Text
Б. Л. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
517.2 Р 62 УДК 517
Лекции по математическому анализу.
Б. Л. Рождественский, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1972. #
Основное внимание уделяется глубокому изложению основных понятий анализа и методов качественного исследования. В связи с запросами вычислительной математики широко освещаются методы приближенных вычислений, основанные на теоремах и понятиях математического анализа.
Построение курса и характер изложения во многом являются не традиционными и позволяют, не снижая строгости изложения, раньше сообщить студентам сведения, необходимые для изучения физики. Пособие содержит ряд новых методических разработок.
Илл. — 66.
Борис Леонидович Рождественский
Лекции по математическому анализу
М., 1972 г. 544 стр. с илл.
Редактор М. М. Васильев
Техн, редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, Л. С. Сомова
Сдано в набор 4/XI 1971 г. Подписано к печати 28/П 1972 г. Бумага 60Х90‘/|в, тип. № 2. Физ. печ. л. 34. Усл. печ. л. 34. Уч. изд. л. 32,98. Тираж 40 000 экз. Т-01570. Цена книги 1 р. 25 к. Заказ № 1317
Издательстве «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
I лавполиграфпрома Комитета но печати при Совете
"ипетров СССР. Измайловский проспект, 29
2-2-3
72
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................... 10
Глава /. Введение..................................................... 13
§ 1. Предмет курса математического анализа........................ 13
§ 2. Понятие предела функции...................................... 15
§ 3. Понятие производной.......................................... 17
§ 4. Понятия неопределенного и определенного интегралов........... 18
Г лава II. Понятие вещественного числа................................ 22
§ 1. Элементы теории множеств.................................... 22
1. Примеры множеств (22). 2. Понятие функции и отображения множеств (22).
3. Эквивалентность множеств (23). 4. Конечные и счетные множества. Последовательности (24). 5. Объединение и пересечение множеств (24). 6. Счетность суммы счетных множеств (26). 7. Несчетность множества бесконечных десятичных дробей (27).
§ 2. Понятие вещественного числа...................................... 27
1. Определение вещественных чисел (27). 2. Сравнение вещественных чисел (28).
3. Соответствие между вещественными числами и точками бесконечной прямой (30).
§ 3. Упорядоченные множества......................................... 32
1. Определения упорядоченного и ограниченного множеств (32). 2. Точные грани множества (33). 3. Теорема о существовании точных граней (33).
§ 4. Арифметика действительных чисел................................. 36
1. Арифметические операции над действительными числами (36). 2. Свойства вещественных чисел (36). 3. Полнота системы вещественных чисел (36).
§ 5. Метрические пространства....................................... 38
Глава III. Теория числовых последовательностей, рядов и бесконечных произведений .......................................................... 40
§ 1. Предел последовательности...................................... 40
1. Понятие последовательности (40). 2. Ряды и бесконечные произведения (41).
3. Предел последовательности (42). 4. Сходимость рядов и бесконечных произведений (44). 5. Некоторые свойства сходящихся последовательностей (45).
§ 2. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности ....................................................... 50
1. Подпоследовательности (50). 2. Теорема Больцано — Вейерштрасса (51).
3. Верхний и нижний пределы последовательности (52). 4. Некоторые примеры сходящихся последовательностей (53).
§ 3. Критерий Коши сходимости последовательности и ряда. Признаки сходимости рядов................................................. 53
1. Фундаментальная последовательность (53). 2. Критерий сходимости Коши (54).
3. Признаки сравнения (56). 4. Признаки Коши и Даламбера (57).
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Монотонные последовательности..................................... fO
оо
1. Признак сходимости монотонной последовательности (60). 2. Ряд
3. Число е (62). 4. Ряды с положительными членами. Знакочередующиеся ряды (64).
Глава IV. Предельное значение функции. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций........................................... 66
§ 1. Способы задания функции........................................... 66
1. Явные способы задания функции (66). 2. Неявное задание функции (67).
3. Монотонные функции (68).
§ 2. Простейшие (элементарные) функции ............................... 68
1. Степенная функция (68). 2. Показательная функция (69). 3. Логарифмическая функция (70). 4. Тригонометрические функции (71). 5. Гиперболические функции (73). 6. Четные и нечетные функции (74).
§ 3. Предел функции................................................... 74
1. Определение предела функции (74). 2. Критерий Коши (76). 3. Правый и левый пределы (77). 4. Предел функции f (х) при х->оо (78). 5. Основные теоремы о пределах (78).
§ 4. Понятие непрерывности функции и некоторые свойства функций, > непрерывных в точке..................................................... 80
1. Непрерывность функции в точке (80). 2. Непрерывность функции на множестве (81).- 3. Классификация точек разрыва (81). 4. Локальная ограниченность непрерывных функций (82). 5. Основные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции (83).
§ 5. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Понятие равномерной непрерывности .............................................. 84
1. Достижение непрерывной функцией любого промежуточного значения (84).
2. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (86). 3. Достижение точных грайей непрерывными функциями (87). 4. Равномерная непрерывность (88).
§ 6. Монотонные функции............................................... 90
1. Существование односторонних пределов у монотонной функции (90$.
2. Счетность множества точек разрыва монотонной функции (91). 3. Условие непрерывности монотонной функции (91). 4. Существование обратной функции (92).
§ 7. Непрерывность простейших функций................................. 93
1. Степенная функция (93). 2. Показательная функция (95). 3. Логарифмическая функция (95). 4. Гиперболические функции (96). 5. Тригонометрические функции (96).
§ 8. Вычисление замечательных пределов................................ 97
1. Первый замечательный предел (97). 2. Второй замечательный предел (99).
3. Примеры (100).
§ 9. Сравнение функций с точки зрения предельного перехода .... 101
Глава V. Дифференцирование и интегрирование функций одного переменного ...............................................................104
§ 1. Понятие производной..............................................104
1. Определение производной (104). 2. Теорема о непрерывности дифференцируемых функций (105) 3. Понятие об операторе дифференцирования (105).
§ 2. Механический и геометрический смысл производной..................106
1. Механический смысл производной (106). 2. Геометрический смысл производной (106).
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения................................................................Ю8
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 4. Дифференциал функции...........................................109
1. Понятие дифференциала (109). 2. Основные правила вычисления дифференциала функции (НО). 3. Связь между дифференциалом функции и ее производной (111).
§ 5. Восстановление функции по ее производной. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.................................112
1. Определение первообразной (112). 2. Неоднозначность определения первообразной (113). 3. Неопределенный интеграл (113).
§ 6. Понятие определенного интеграла .............................. 114
1. Независимость приращения первообразной от ее выбора. Определение определенного интеграла (114). 2. Первообразная как определенный интеграл с переменным пределом (116). 3. Связь дифференцируемой функции со своей производной (116). 4. Обобщение понятия определенного интеграла (116).
§ 7. Линейные свойства производной, неопределенного и определенного интегралов...........................................................118
§ 8. Формула интегрирования по частям...............................119
§ 9. Дифференцирование сложной функции и замена переменной интегрирования .........................................................120
1. Правило дифференцирования сложной функции (120). 2. Замена переменной интегрирования (121).
§ 10. Производная обратной функции...................................122
§ 11. Вычисление производных и интегралов от некоторых функций (табличные производные и интегралы)..................................124
1. Связь формул для производных и интегралов (124). 2. Таблица основных производных и неопределенных интегралов (124). 3. Дифференцирование логарифмической функции (125). 4. Дифференцирование и интегрирование показательной функции (126). 5. Дифференцирование и интегрирование степенной функции (126). 6. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических и гиперболических функций (127). 7. Дифференцирование обратных тригонометрических функций (128).
§ 12. Примеры дифференцирования функций..............................129
1. Дифференцирование показательно-степенной функции (129). 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически (130).
§ 13. Производные любого порядка. Формула Лейбница...................131
1. Определение производных старших порядков (131). 2. Формула Лейбница (133).
§ 14. Восстановление функции по ее производной любого порядка. Формула Тейлора.........................................................133
1. Связь дифференцируемой функции с ее первой производной (133). 2. Связь функции с ее второй производной (134). 3. Формула Тейлора (136).
§ 15. Механический смысл второй производной..........................138
Глава VI. Простейшие свойства дифференцируемых функций..............141
§ 1. Признаки возрастания и убывания функции........................141
1. Достаточные условия возрастания и убывания функции (141). 2. Локальный экстремум функции (142). 3. Теорема о нуле производной (143).
§ 2. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций . . 144 1. Формула конечных приращений Лагранжа (144). 2. Теоремы о среднем для определенного интеграла (146). 3. Обобщенная формула конечных приращений (147). 4. Теорема Дарбу (148). 5. Обобщенная формула среднего значения (149).
§ 3. Оценки остаточного члена формулы Тейлора. Представления остаточного члена формулы Тейлора в общей форме, в форме Лагранжа и в форме Пеано.............................................. 151
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Формула Тейлора для некоторых элементарных функций..............154
1. Показательная функция (154). 2. Тригонометрические функции (154). 3. Логарифмическая функция (155). 4. Приближенное вычисление числа е (155).
§ 5. Понятие дифференциала старшего порядка. Дифференцирование сложной функции........................................................156
1. Определение и свойства дифференциалов функции (156). 2. Связь дифференциалов с производными (157). 3. Дифференциалы сложной функции (160).
4. Связь дифференциалов сложной функции с производными (161).
§ 6. Правило Лопиталя.................................................163
1. Раскрытие неопределенности типа (163). 2. Раскрытие неопределенности типа — (164).
00
§ 7. Метод выделения главной части функции............................166
§ 8. Локальное изучение графика дифференцируемой функции .... 168
1. Достаточные условия монотонности дифференцируемой функции (168).
2. Достаточные условия экстремума (169). 3. Достаточные условия выпуклости и перегиба (171). 4. Краевой экстремум (174).
§ 9. Локальное исследование графика функции, не обладающей достаточным числом производных..............................................174
1. Достаточные условия экстремума (174). 2. Достаточные условия перегиба (176).
§ 10. Асимптоты графика функции и исследование графика функции в целом................................................................176
1. Асимптоты графика функции (176). 2. Исследование графика функции (177).
Глава VII. Теория интегрирования.......................................179
§ 1. Механический смысл определенного интеграла.................. 179
1. Представление определенного интеграла в виде интегральной суммы (179).
2. Механический смысл определенного интеграла (180).
§ 2. Определение интеграла по Риману..................................186
1. Интегральная сумма (180). 2. Сравнение интегральной суммы с величиной определенного интеграла (181). 3. Понятие определенного интеграла по Риману (183). 4. Геометрический смысл определенного интеграла (184).
§ 3. Взаимоотношение интеграла Римана с первообразной.................185
§ 4. Критерий интегрируемости функций по Риману.......................187
1. Верхняя и нижняя суммы (187). 2. Свойства верхних и нижних сумм (188).
3. Верхний и нижний интегралы Дарбу (190). 4. Лемма Дарбу (190). 5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции (192).
§ 5. Простейшие свойства интеграла Римана.............................196
1. Свойство аддитивности и линейные свойства (196). 2. Интегрируемость по Риману произведения функций (197).
§ 6. Формулы среднего значения для интеграла Римана. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Римана..................................193
1. Формулы среднего значения (198). 2. Интегрируемость абсолютной величины функции (200). 3. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Римана (201).
§ 7. Интегрируемость некоторых классов функций........................203
1. Интегрируемость по Риману и существование первообразной для непрерывной функции (203). 2. Интегрируемость ограниченных функций, имеющих конечное число точек разрыва (204). 3. Интегрируемость монотонных ограниченных функций (205).
§ 8. Основные правила интегрирования для интеграла Римана .... 206
1. Интегрирование по частям (206). 2. Замена переменной интегрирования (208),
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 9. Несобственные интегралы.........................................210
I. Понятие несобственного интеграла (210). 2. Критерий Коши сходимости ив’ собственных интегралов (211). 3. Признаки сходимости несобственных интегралов (212). 4. Примеры (215). 5. Признак Абеля (217). 6. Интегралы от неограниченных функций (218). 7. Понятие главного значения интеграла (221). 8. Сингулярные интегралы Коши (224).
§ 10. Обобщения понятий производной и первообразной..................224
§ 11. Задача интерполирования ...................................... 226
§ 12. Приближенное вычисление интеграла..............................229
Глава VIII. Техника интегрирования (аналитические методы отыскания первообразных)...........................................234
§ I. Постановка задачи.......................................234
§ 2. Основные методы интегрирования..........................236
§ 3. Сведения о комплексных числах...........................246
§ 4. Комплексные функции действительного и комплексного перемен-
ного. Формулы Эйлера........................................248
§ 5. Расширение операций дифференцирования и интегрирования на
случай комплекснозначных функций одного действительного переменного ........................................................253
§ 6. Разложение алгебраических многочленов на множители......256
§ 7. Разложение рациональной дроби на простейшие.............258
§ 8. Интегрирование рациональной дроби.......................264
§ 9. Прием Остроградского....................................267
§ 10. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональной функции 271
§ 11. Заключительные замечания................................275
Глава IX. Геометрические приложения математического анализа . . . 279
§ 1. Длина отрезка плоской и пространственной кривых................279
1. Понятие непрерывной кривой (279). 2. Длина отрезка плоской кривой (280).
3. Дифференциал длины кривой (282). 4. Длина отрезка пространственной кривой (282).
§ 2. Вектор-функция. Производная и интеграл от вектор-функции . . . 283 1. Понятие вектор-функции (283). 2. Дифференцирование и интегрирование вектор-функции (284). 3. Формула Тейлора для вектор-функции (285). 4. Неприменимость формулы Лагранжа к вектор-функции (286). 5. Механический и геометрический смысл производной от вектор-функции (287).
§ 3. Кривизна плоской кривой........................................283
1. Понятие кривизны (288). 2. Формулы для вычисления кривизны (28Э). 3. Геометрический смысл кривизны (291).
§ 4. Дифференциальные характеристики пространственной кривой . . . 292 . 1. Кривизна кривой. Сопровождающий репер (202). 2. Кручение кривой. Формулы Френе (294). 3. Разложение вектора г по базисным векторам сопровождающего репера (295). 4. Геометрический смысл кривизны и кручения (296).
§ 5. Вычисление площадей и объемов..................................299
1. Вычисление площади плоской фигуры (299). 2. Объем и поверхность тела вращения (300).
Глава X. Функции нескольких действительных переменных................303
§ 1, Евклидовы пространства..........................................303
1. Метрика n-мерного евклидова пространства (303). 2. Понятия окрестности и области в евклидовом пространстве (305). 3. Предел последовательности (307).
4. Скалярные функции и вектор-функции нескольких независимых переменных (309).
§ 2. Непрерывность функций многих переменных.........................312
1. Предел функции векторного аргумента (312). 2. Предел функции но направлению (314). 3. Повторный предел (317). 4. Непрерывность функций нескольких переменных (318). 5. Свойства непрерывных функций (320).
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Дифференцирование функций нескольких переменных..................322
1. Производная по направлению (322). 2. Примеры вычисления производных по направлению (323). 3. Определение дифференцируемости функции нескольких переменных (326). 4. Индикатриса производных по направлению (329).
5. Признак дифференцируемости функции многих переменных (330). 6. Понятие дифференциала функции нескольких переменных. Оператор V (331).
§ 4. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал сложной функции ..............................................................333
1. Теорема о дифференцируемости сложной функции (333). 2. Инвариантность формы первого дифференциала (335). 3. Геометрический смысл первого дифференциала функции (335).
§ 5. Дифференцирование и интегрирование вдоль кривой. Потенциал векторного поля.......................................................339
1. Вычисление производной от вектор-функции вдоль кривой (339). 2. Понятие криволинейного интеграла от скалярной функции и вектор-функции (339).
3. Потенциал векторного поля (344). 4. Механический смысл криволинейного интеграла (347).
§ 6. Старшие производные для функций нескольких переменных . . . 349 1. Определение m-кратной дифференцируемости функций (349). 2. Симметричность старших частных производных (350). 3. Необходимые условия потенциальности векторного поля (352).
§ 7. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Диффе-
ренциалы старших порядков .....................................353
1. Формула Тейлора (353). 2. Дифференциалы старших порядков (357).
§ 8. Неявные функции...............................................• 360
1. Теоремы о существовании и о единственности неявной функции (360). 2. Дифференцируемость неявной функции (363).
§ 9. Методы нахождения неявных функций..............................366
1. Методы итераций (366). 2. Метод Ньютона для одного уравнения (369). 3. Метод Ньютона для систем уравнений (370). 4. Теорема о сходимости метода Ньютона (372). 5. Достаточные условия единственности решения системы уравнений (374). 6. Достаточные условия существования решения системы уравнений (379). 7. Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений (389). 8. Решение системы линейных уравнений методом последовательных приближений (390).
§ 10. Зависимость функций.............................................392
1. Условия зависимости и независимости системы функций (392). 2. Взаимно однозначное отображение (397).
§ И. Экстремумы функций нескольких переменных........................399
1. Необходимые условия экстремума (399). 2. Достаточные условия экстремума (400). 3. Геометрическая интерпретация условий экстремума (404).
4. Условия знакоопределенности квадратичной формы (406). 5. Метод градиентного спуска (409).
§ 12. Условный экстремум....................................................410
1. Определение условного экстремума (410). 2. Метод исключения переменных (411). 3. Необходимые условия условного экстремума (412). 4. Достаточные условия условного экстремума (414).
Глава XI. Функциональные последовательности и ряды................416
§ 1. Условно сходящиеся ряды......................................416
1. Понятия абсолютной и условной сходимости рядов (416). 2. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда (417). 3. Теерема Коши о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (420). 4. Перемножение рядов (432).
§ 2. Функциональные последовательности и ряды...........................423
1. Понятие равномерной сходимости (423). 2. Критерий Коши равномерной сходимости (424). 3. Признаки равномерной сходимости рядов и последовательностей (425). 4. Теорема Арцела (427).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
§ 3. Свойства предела функциональной последовательности и суммы ряда..................................................................429
1. Достаточные условия непрерывности предела последовательности и суммы ряда (429). 2. Почленное дифференцирование последовательностей и рядов (432). 3. Интегрирование последовательностей и рядов (436).
§ 4. Степенные ряды..................................................439
1. Понятие степенного ряда. Радиус сходимости (439). 2. Понятие аналитической функции (441). 3. Ряд Тейлора для аналитической функции (444).
§ 5. Некоторые применения степенных рядов.......................446
Глава XII. Интегральные и дифференциальные операции в многомерных пространствах ................................................... 449
§ 1. Предварительные замечания..................................449
§ 2. Одномерные интегралы, зависящие от параметра...............451
1. Переход к пределу под знаком интеграла (451). 2. Дифференцирование интеграла по параметру (454). 3. Интегрирование по параметру под знаком интеграла (458). 4. Случай несобственных интегралов (460).
§ 3. Площадь плоской фигуры..........................................466
1. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла (466). 2. Свойства площади плоской фигуры (469). 3. Площадь простой области (470).
§ 4. Двойные интегралы...............................................472
1. Интеграл Римана по квадрируемой области (472). 2. Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций (474). 3. Сведение интеграла по области к повторному интегралу (475). 4. Формула Грина (476). 5. Аддитивные функции области (480). 6. Геометрический смысл двойного интеграла (485).
7. Приближенное вычисление двойного интеграла (486). Л
§ 5. Условия потенциальности векторного поля и независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости . . . 488
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле...........................491
§ 7. Поверхность в трехмерном пространстве. Площадь поверх-
ности ...........................................................498
1. Задание поверхности в Е3. Координаты на поверхности (498). 2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (500). 3. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности (501). 4. Примеры ортогональных координат (502). 5. Площадь поверхности (502). 6. ИнвариантностьТопределения площади поверхности (504). 7. Примеры вычисления площади поверхности (505). 8. Определение поверхностного интеграла (506). 9. Дифференциальные характеристики поверхности (507).
§ 8. Формула Стокса..................................................511
1. Подготовительные формулы (511). 2. Вывод формулы Стокса (513). 3. Правило ориентации контура на поверхности (514). 4. Ротор векторного поля (515).
5. Физическая интерпретация формулы Стокса (516).
§ 9. Условия потенциальности векторного поля в Е3....................519
§ 10. Интегрирование в пространстве Е3 (тройные интегралы). Формула Остроградского ................................................. 521
1. Объем тела (521). 2. Тройной интеграл по области Т (523). 3. Формула Остроградского (524). 4. Физическая интерпретация формулы Остроградского (527).
§ 11. Замена переменных в тройных интегралах..........................529
1. Вычисление объема области с использованием параметрических уравнений ограничивающей ее поверхности (529). 2. Замена переменных в тройном интеграле (530).
§ 12. Дифференциальные характеристики векторного поля в трехмерном пространстве Е3...................................................536
Предметный указатель..................................................540
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое вниманию читателя пособие написано после чтения автором курса лекций по математическому анализу в течение ряда лет для студентов Московского инженерно-физического и Московского физико-технического институтов. Естественно поэтому, что особое внимание автор обращал на вопросы, которые, по его мнению, существенны для математического образования физиков.
На построении курса сказалось убеждение автора в том, что в настоящее время происходит переоценка роли и значения различных методов математики и, в частности, методов анализа. Если в начале нашего века казалось, чю основными методами в применениях анализа являются его аналитические методы, то в настоящее время ясно, что они играют хотя и важную, но второстепенную роль. Возникновение и быстрое развитие вычислительной математики, вызванное появлением быстродействующих математических машин, ставят на первое место методы численного анализа и в связи с этим особенно повышают значение методов качественного исследования в математическом анализе. Поэтому особое внимание уделено в этом курсе глубокому изложению основных понятий анализа и методов качественного* исследования.
По своему содержанию эта книга является кратким изложением вопросов анализа, которые читаются обычно на лекциях студентам-физикам, при этом основные вопросы изложены с возможно большей полнотой. В частности, многие основные теоремы анализа доказываются в этой книге в более широких предположениях, чем в большинстве учебных пособий.
Построение курса и характер изложения во многом являются не традиционными. Например, теория числовых после
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
довательностей и теория числовых рядов излагаются одновременно. В значительной мере опущена теория вещественного числа (обычно излагаемая в «строгих» курсах анализа), зато с самого начала излагаются элементы теории множеств, позволяющие давать более общие формулировки теоремам анализа. Понятия производной и определенного интеграла вводятся одновременно, так же как понятие криволинейного интеграла вводится одновременно с понятием дифференцируемости функции нескольких переменных. Методические отличия от общепринятых изложений имеются при определении понятий первого и старшего дифференциалов функции; для определенного интеграла дается два определения — интеграла Римана и интеграла, понимаемого как приращение первообразной.
По нашему мнению, эти отклонения от традиций позволяют, во-первых, с большей логической стройностью и без повторений провести изложение предмета, а во-вторых, раньше сообщить студентам сведения, необходимые им для изучения физики.
Особо отметим методические отличия изложения анализа в применении к функциям многих переменных. За основной инструмент исследования здесь принимаются методы, развитые ранее для функций одной переменной. При таком подходе более полно выясняется геометрический характер многомерного анализа и отсутствие в нем принципиально новых методов по сравнению с анализом одномерным. Кроме того, это, как нам кажется, помогает усвоению как одномерной, так и многомерной теорий и создает у учащихся желание самим перенести результаты одной теории в другую.
Конечно, следует иметь в виду, что не все из указанных методических новшеств могут оказаться целесообразными. Автор считает, что следует продолжать поиски новых методических разработок изложения курса математического анализа.
~ Наконец, автор хочет отметить, что основное место в этой книге отведено вопросам теории. По этой причине невелико число примеров и упражнений; примеры, как правило, имеют принципиальное значение для изложения материала. Стремясь сократить объем этой книги, автор не включил в нее некоторые дополнения, которые могли бы углубить некоторые ее разделы. Это, по-видимому, станет целесообразным, если
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
предлагаемое изложение курса анализа будет с одобрением встречено читателями.
В процессе чтения лекций и работы над этой книгой автор обсуждал различные вопросы математического анализа со многими своими коллегами и друзьями. В первую очередь следует отметить помощь, оказанную автору сотрудниками кафедр высшей математики Московского инженерно-физического и Московского физико-технического институтов. Автор благодарен также своим товарищам из Института прикладной математики АН СССР. Особенно автор хочет поблагодарить В. Я. Арсенина, Д. А. Василькова, В. А. Ильина, Л. Д. Кудрявцева за полезные беседы и дискуссии, а также М. М. Васильева, который как редактор этой книги во многом способствовал ее улучшению.
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет курса математического анализа
Математический анализ — основной раздел курса высшей математики, изучаемой в высшей школе. Понятия математического анализа являются основными и находят применение в большинстве разделов современной математики. Очень трудно определить предмет какой-либо науки, не обладая понятиями и определениями, с которыми эта наука имеет дело. Поэтому мы постараемся описать предмет математического анализа, прибегая к интуитивным представлениям о переменной величине, изменении переменной величины, непрерывном изменении величины.
Кратко говоря, классический математический анализ связан с изучением переменных величин, которые изменяются непрерывно. Под переменной величиной мы понимаем любую величину (наблюдаемую или вымышленную), которая может принимать различные значения. Понятие же непрерывного изменения переменной величины предполагает взаимосвязанное изменение двух или более величин.
Приведем примеры переменных величин.
Пусть, например, материальная точка под действием силы тяжести падает к земле. Путь s, пройденный точкой за время Л, определяется формулой
s = v0/ + 4-> (1-1)
где ио — начальная скорость точки, g — ускорение силы тяжести.
В формулу (1.1) вместо t можно подставить любое число; произведя необходимые вычисления, мы получим путь s(t), пройденный материальной точкой за t единиц времени. Поэтому мы говорим, что переменное t изменяется непрерывно. Мы говорим также, что формула (1.1) задает путь s(t) как функцию переменного t. Хорошо известно, что путь s(t) непрерывно изменяется с течением времени t (мы пользуемся сейчас интуитивным представлением о непрерывном изменении).
14
ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
В данном примере переменные t и s(t) имеют конкретный физический смысл. Величина t означает время и измеряется в секундах, в минутах и т. д.; путь s(t) измеряется в единицах длины — километрах, метрах и т. д. Отвлекаясь от конкретных представлений, связанных с переменными величинами, мы приходим к важнейшему понятию анализа (да и вообще всей математики) — понятию функции.
Если известно правило (закон), посредством которого значению переменного х ставится в соответствие определенное значение переменного у, то мы говорим, что переменное у является функцией переменного х; переменное х называется аргументом этой функции, величина у — значением этой функции. Для обозначения функции применяем следующие символы: у=у(х) или y=f(x). Таким образом, буквы у(х) и f(x) символизируют правило, согласно которому по заданному х можно вычислить значение функции y=f(x).
Необходимо отметить, что понятие функции мы лишь описываем с помощью других понятий — «правило», «закон», «соответствие», которые сами не опреде-
и В приведенных здесь примерах
Рис- !• соответствие между х и у (или t
и s) задается с помощью формул, обозначающих некоторые операции, которые надо выполнить для вычисления у при известном х.
Способ задания функции с помощью формул называется аналитическим.
Хорошо известен и не требует пока особого пояснения графический способ задания функций. Например, на рис. 1 приведен график функции у = у gt2.
Так же хорошо известен и весьма употребителен табличный способ задания функции, когда ряду значений независимой переменной х поставлен в соответствие ряд значений переменной у. В отличие от предыдущих способов задания функции, табличный способ не позволяет определить значение переменной у для
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
15
§ 2] тех значений х, которых нет в таблице (мы, конечно, при этом считаем, что нет никаких других правил, определяющих соответствие между х и у).
Задача и предмет математического анализа состоят в изучении различных функциональных зависимостей, поведения функций, их классификации. Для этого в анализе вводится много различных понятий, определений, символов, обозначений. Некоторые понятия анализа являются важнейшими, основными. Они, эти понятия, определили развитие анализа, а во многом и всей математики. К числу таких понятий, о которых мы в этой главе будем говорить лишь очень бегло, относятся понятия предела функции и непрерывности функции, понятия производной от функции и интеграла от функции. Эти понятия в этой главе не будут определены строго; мы лишь проиллюстрируем их на ряде примеров. Строго все эти понятия будут вводиться в основном курсе.
§ 2. Понятие предела функции
Пусть нам задана функция
У~НХ), которая любому числу х ставит в соответствие некоторое число y—f(x).
Пределом функции f(x) при х, стремящемся к х0 (обозначаем это так: х->х0), называется число у0, к которому приближается значение функции f(x), когда значение х приближается к числу х0. Если такое число у0 существует, то оно называется пределом функции f(x) в точке х0. Операцию предельного перехода обозначаем символом
Уо = lim f(x).
X~+Xq
Приведем несколько примеров вычисления пределов функций.
Рассмотрим функцию y=f(x), заданную формулами ( х, если х=/=0, у = f (х) = { 1 п
57 ' I 1, если х = 0.
Очевидно, что когда х —► 0, значение f(x) стремится к нулю, поэтому
limf (х) = 0. х->0
Важное значение в анализе имеет вычисление предела функции j/ = -s-n* при х —* 0. Как мы увидим в дальнейшем, предел
16
ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. I
этой функции при х —>0 существует и равен 1, так что мы можем записать:
.. sin X . lim--------= 1.
Это равенство называется первым замечательным пределом.
Вторым замечательным пределом называется предел функции у=(1 4-х) 1/х при х —>0. Мы узнаем в курсе анализа, что этот предел существует, его значение обозначают буквой е, так что мы можем записать:
lim (1 + х)1/х = е. х->0
Для ориентировки приводим приближенное значение числа е\
е = 2,71828 ...
Приведем еще два предела: limxn = 0 (п>0),
х->0
v sin ах .. sin ах lim-------= а lim --------= а
х->0 х ах->0 а*
(а=#0).
К понятию предела функции примыкает понятие непрерывности функции f(x) в точке х0.
Если значение функции f(x0) в точке х0 совпадает со значением предела f (х) в точке х0, т. е. если
yo = f(xo)= lim f (х),
Х->Хо
то мы говорим, что функция /(х) непрерывна в точке х0. Если же это равенство не имеет места, то функция f(x) называется разрывной в точке х0.
Приведем примеры.
Функции y = cosx, y = sinx, {sin х
х
1
непрерывны во всех точках х. Функция
у (*) =
sin X X
2
у = хп (п > 0), при х =/= 0, при х = 0
при х =/= 0,
при х = 0,
очевидно, разрывна в точке х = 0.
§ 3]
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
17
§ 3. Понятие производной
Проиллюстрируем понятия производной и интеграла, пользуясь функциями, возникающими в механике при описании движения.
Обозначим через y=s(t) путь, пройденный материальной точкой за время t. Пусть нам задана эта функция y=s(t). За промежуток времени между моментами t и t + Д/ точка, очевидно, проходит отрезок пути длиной
Ду = s (t + Д/) — s (О
со средней скоростью
UcP“ kt ~ kt
Если существует предел величины иср при Д/ —► 0, то этот предел v(t) называется мгновенной скоростью точки в момент времени t. С другой стороны, предел отношения \yl\t при Д/—>0 называется производной функции y=s(t) и обозначается любым из символов:
lim lim 8(,+Л,),(,) =,^
дг->о Д/->0 ш ai ai
Таким образом, мгновенная скорость точки есть производная пути по времени, т. е.
Пусть задана функция y=f(x). Она обладает производной в точке %о и называется дифференцируемой в этой точке, если существует предел
Ит = пт f(^ + Ax)-f(x) =
Дх->0 &x Ax->0 &x
Г (Xo).
Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования.
Приведем примеры вычисления производных.
Пусть у = хп (п = const — целое положительное число).
Ду = у (х + кх) — у (х) = (х + кх)п — хп =
= пДхх”~» + -П(П27 ° Дх2х”-2 + ... + Дхл,
lim lim [ихп~1 + - Дх хп~2 + ... + кхп~= пхп~1.
Дх->0 А* Дх->0 L 2! J
Итак,
(х") = пхп~'.
18
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Аналогично мы можем вычислить
(sin ах)' = а cos ах, (cos ах)' = — а sin ах.
Если С — постоянная величина, то С' = 0, а если у = Cf (х), то yf = Cf' (х).
Дадим теперь геометрическую интерпретацию величине производной f'(xQ) функции у = f(x) в точке х0.
Изобразим на рис. 2 график функции y = f(x). Отношение
д f (*о + — f (*о) как это видно на рИС 2, есть тангенс
Ах Ах г
угла, образованного секущей М0М, проведенной через точки (*о, f(xQ)) И (х0 + Ах, f(xo + Ах)) графика функции (х), и осью абсцисс (у = 0). Поэтому
f (х0)= hm
Дх->0 Ах
есть тангенс угла, образованного касательной *) к графику функции у = f (х) в точке xQ с осью абсцисс.
Читателю полезно знать следующие правила вычисления производных.
1. Постоянная выносится за знак производной, т. е.
[Cf (х)]' = Cf' (х), если С = const.
2. Производная суммы конечного числа функций равна сумме производных от каждой из этих функций, если эти производные существуют, т. е.
[f/1 (*) + У2 W + ••• + Уп (*)]' = y'l (я) + У'2 + ••• +у'п(х).
§ 4. Понятия неопределенного и определенного интегралов
Пусть нам задана функция f(x). Всякая дифференцируемая функция F(x), такая, что
F'(x) = f(x), называется первообразной для f(x).
Если F(x) —первообразная для f(x), то и F(х) =F(x) + Сг где С — постоянная, также является первообразной для f(x)> так как
[F(x) + C]' = F'(x) + C'=f(x).
*) Касательной к графику функции у = f(x) в точке х0 мы называем прямую, которая является предельной для секущей М0М при A4->Af0.
-§ 4] ПОНЯТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО И ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛОВ 19
Можно доказать и обратное, что любые две первообразные /’i(x) и F2(x) для функции f(x) отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) задается формулой F(x)+Ct где F(x) — какая-либо первообразная для f(x), а С — произвольная постоянная.
Эта совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом
J f(x) dx, так что если
F' (х) = f (х), ТО
J f(x)dx = F(x) + C.
Поэтому мы можем записать:
[/ f(x)dx]' =f(x).
Приведем примеры первообразных.
Так как
^cosaxj = — sin ax, sin axj = cos ax (a = const),
(yqrT *"+ (n = o, 1,...),
TO
sin axdx =---- cos ax 4- C,
J a
cos ax dx = — sin ax + C,
J a
\xndx =—}-rxn+, + C (n = 0, 1, 2,
J n + 1 v 7
Из правил дифференцирования вытекают два простейших правила интегрирования:
J [fl (*') + f2 (*)] dx = j fl (x) dx + j f2 (x) dx,
j Cf (x) dx = C p (x) dx (C = const).
Пусть скорость точки v(t) задана как функция времени. На основании определения скорости точки заключаем, что если £(/) — путь, пройденный точкой за время tt то
£ = ^).
20
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. Г
и, таким образом, путь s(t) является первообразной для скорости v(t). Отрезок пути, пройденный точкой за время между моментами t\ и /2, есть, очевидно, величина
As = s(/2) — s(/j).
Эта величина уже не зависит от выбора первообразной для и(/), а зависит только от v(t) и чисел /ь t2.
Эту величину — приращение первообразной s(t) для функции v(t) на отрезке времени от t\ до t2— назовем определенным интегралом от v(t) в пределах от t\ до t2 и обозначим символом
^2
s(/2) — s(^) = J v (t)dt.
л
Таким образом, задача определения пройденного пути по заданной скорости v(t) приводит нас
к понятию определенного интеграла как приращения первообразной для функции v(t) на отрезке интегрирования.
Другая задача — определение площади фигуры,, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми у = 0у х=а, х=Ь (рис. 3), — также приводит нас к понятию определенного интеграла. Ра-произвольным образом на N
Рис. 3.
У
О
зобьем отрезок [а, Ь] оси абсцисс
частей: а = х0 < Xi < х2 < ... < х?- < хж < ... <xN = b, и пусть {£,} — произвольный набор точек, удовлетворяющих, од-
нако, условиям
(Z = 0, 1, ...» N— 1).
Величина
есть площадь прямоугольника с основанием, равным Дхй и высотой, равной Про-
образуем сумму таких площадей:
^№=5 f (£/)
1=0
и обозначим через Дх максимум среди величин Axf: Дх = тахДх^.
§ 4] ПОНЯТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО И ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛОВ 21
Если существует предел величины lN при Дх—► 0 и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [а, Ь] на части, ни от способа выбора точек то он называется площадью фигуры аАВЬ и одновременно определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а, Ь]. Для этого предела мы сохраняем то же обозначение интеграла, что и выше:
JV-1 ь
lim V Г /(*) dx.
Итак, площадь S фигуры аАВЬ есть определенный интеграл ь
S=$f(x) dx. а
Ь
Последнее определение интеграла ^f(x)dx не совпадает с тем, а
которое мы давали выше, как приращения первообразной для функции f(x) на отрезке [а, &]. Мы узнаем позже, что эти два различных понятия тесно связаны друг с другом.
Глава //. ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
§ 1. Элементы теории множеств
1. Примеры множеств. Множеством называется совокупность объектов, которые мы объединяем в одну группу (по произвольным признакам). При этом в самой теории множеств природа этих объектов несущественна.
Отметим, что понятие множества является исходным и мы не определяем его через другие более простые понятия.
Приведем несколько примеров множеств.
1. Множество целых положительных чисел, не превосходящих целого числа N > 0, т. е. чисел 1,2.W — 1, N.
2. Все целые положительные числа 1, 2, ..., п, n + 1, ... образуют множество натуральных чисел (натуральный ряд).
3. Множество студентов в данной аудитории.
4. Множество людей в данной аудитории.
Принадлежность элемента х множеству А обозначаем символом хе /1, противное — символом х А или хе Л.
Определение. Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множества А являются одновременно и элементами множества В. Если, кроме того, существует элемент хе В такой, что х 9= А, то А называется собственным подмножеством В.
Таким образом, собственное подмножество не совпадает с самим множеством.
Если А — подмножество множества В, то мы пишем A cz В. Символ А В означает, что A cz В и А может совпадать с В.
Пример. Обозначим множество всех людей через В, множество студентов через А. Тогда ясно, что А с: В.
Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. Пустое множество 0 есть подмножество любого множества.
2. Понятие функции и отображения множеств. Пусть мы имеем два множества Л и В. Пусть каждому элементу хе Л поставлен в соответствие определенный элемент у В, который мы обозначим символом y = f(x). Тогда это соответствие (пра
§ I] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 23
вило) y=f(x) называется функцией из множества А в множество В (отображением множества Л в В). Множество А называется областью определения функции z/ = f(x)*).
Пример. Пусть А = {1, 2, ..., и, ...) — натуральный ряд. Множество В состоит только из двух чисел 0, 1: В = {0, 1). Установим соответствие А в В формулой:
Р/ . 1 —(—1)х ГО, если х — четное число, Z1
и = / (х) =---'---\ (1.1)
' 2 ( 1» если х — нечетное число.
Пусть функция f(x) задана на множестве А и отображает А в множество В. Символом /(Л) обозначим множество всех тех элементов В, которые являются значениями функции f(x) хотя бы при одном каком-либо хеЛ. Будем называть f(A) множеством значений функции f (х) на множестве Л.
Ясно, что f (Л) £ В.
Если f(A) = В, т. е. если любой элемент В является значением функции f(x) при хеЛ, то мы говорим, что f(x) отображает Л на В.
Если f(A) = В и f(xi)=# f(х2) при любых хь х2еЛ и X] х2, то отображение (соответствие) y = f(x) множества Л на множество В называется взаимно однозначным.
В этом случае на множестве B=f(A) можно определить функцию х=ф(у) =/-1 (у), ставя в соответствие каждому элементу у е В элемент х е Л такой, что y=f(x). Эта функция называется обратной (по отношению к f(x)) функцией. Функции y=f(x) и х = ф(у) называются в этом случае взаимно обратными.
Отображение (1.1) натурального ряда в В = {0, 1} не является взаимно однозначным; если же А = {1, 2}, а В = {0, 1}, то функция f(x)» заданная формулой (1.1), дает взаимно однозначное отображение А на В.
3. Эквивалентность множеств.
Определение. Множества Л и В называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Эквивалентность Л и В записываем символом А ~ В.
Очевидно, что А ~ А (рефлексивность); если Л ~ В, то В ~ А (симметричность), и если Л ~ В, а 'В С, то Л С (транзитивность свойства эквивалентности).
Пример эквивалентных множеств.
Пусть А = {1, 2....п, ...} —натуральный ряд, В = {0, +1, —1, 4-2,
—2, ..., 4”М —М ...) — множество всех целых чисел. Очевидно, что А с В.
*) То, что сказано выше, не является определением понятия функции, так как понятие функции является начальным понятием математики. Здесь мы лишь описываем это понятие, сопоставляя его с другими понятиями: соответствием, правилом и т. п.
24
ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
[ГЛ. If
Установим взаимно однозначное соответствие множеств А и В. Числу 1 из А поставим в соответствие число 0 из В, числу 2 из А—число +1 из В, числу 3 из А — число —1 из В и т. д.; числу 2т из А ставим в соответствие число +т из В, числу 2т + 1 из А — число —т из В. Это соответствие можно задать и формулой:
= f + т, если х = 2т, У I — т, если х = 2т+Ь
Итак, мы заключаем, что А ~ В.
4. Конечные и счетные множества. Последовательности. Через 1п мы будем обозначать множество чисел 1, 2, п; через / — натуральный ряд 1,2,...
Определения. Множество А называется конечным, если существует такой номер и, что Л ~ /п, и бесконечным в противном случае. Множество А называется счетным, если Л ~ и несчетным, если А бесконечно, но не счетно. Мы говорим, что А не более чем счетно, если А либо конечно, либо счетно.
В п. 7 этого параграфа мы увидим, что существуют бесконечные множества, которые несчетны (теорема 2.4).
Определение. Функцию, определенную на множестве / всех положительных целых чисел, будем называть последовательностью.
Пусть п — целое положительное число, значение х функции для этого п будем обозначать через хп. Последовательность Xi, х2, ..., хп, •.. мы будем кратко обозначать через {хп}«
Теорема 2.1. Всякое бесконечное подмножество Е счетного множества А счетно.
Доказательство. Итак, Е бесконечно и £с=Л. Так как множество А счетно, то между его элементами х А и натуральным рядом / = {1, 2, ...} может быть установлено взаимно однозначное соответствие, т. е- элементы множества А могут быть занумерованы. Поэтому Л ={*„}. Пусть ni — наименьшее положительное число такое, что хП1 е= £; п2 > П\ — наименьшее положительное число такое, что хП2 Е, и т. д. Мы заключаем, что £ = {xnJ, Л=1, 2, ..., и так как множество Е по условию бесконечно, то £ ~ /. В самом деле, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между £ и /, полагая f(k)=xnk.
5. Объединение и пересечение множеств.
Определение. Объединением или суммой множеств Аа (а=1, 2, ..., п) называется такое множество S, что хе$, если х Аа хотя бы при одном а.
Таким образом, любой элемент х^Аа есть элемент множества S и множество S содержит только элементы множеств Аа.
Объединение п множеств Ла будем обозначать символом
п
§ 1] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 25
Понятие объединения множеств имеет смысл и для бесконечного семейства множеств Аа при а= 1,2, ... Объединение бесконечного (но счетного) семейства множеств Аа при а = 1,2, ... обозначаем символом
S==U4.
Каждый элемент множества S в этом случае также должен принадлежать по крайней мере одному из множеств этого семейства.
Определение. Пересечением множеств Аа (а=1, 2, ...) называется такое множество Р, что хеР, если х е Аа при всех а=1,2,...
Иначе говоря, элементы пересечения множеств суть общие элементы всех этих множеств. Пересечение конечного семейства множеств Аа обозначаем символом
р==£!л“:
пересечение бесконечного (но счетного) семейства множеств Аа — символом
0^=1
Пересечение множеств называют также произведением множеств.
Пример. Множество А{ — студенты-девушки, А2 — студенты-юноши. 2
Объединение (сумма) {J Аа = Ai U А2 — множество студентов (юношей и а”1 2
девушек), пересечение (произведение) этих множеств Аа = At П А2 = 0 — * а=1
пустое множество.
Введенные операции над множествами обладают следующими свойствами:
Л (J В = В U А Л ПВ = ВПЛ (коммутативность);
(Л UB)UC = A U(BUC), (ЛПВ)ПС = ЛП(ВПС) (ассоциативность);
А П (В U С) = (Л П В) U (А Г) С) (дистрибутивность);
Л с: Л (J В; Л П В cz Л; Л А В cz В;
Ли0=Л; ЛП0 = 0;
если Л с: В, то ЛОВ = В, ЛГ|В = Л.
126
ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
[ГЛ. II
В справедливости этих свойств читатель легко убедится самостоятельно.
6. Счетность суммы счетных множеств.
Теорема 2.2. Пусть {А а} — последовательность счетных множеств; тогда множество
5=йЛа
счетно. Иначе говоря, счетная сумма счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Каждое множество Ла счетно, поэтому его элементы ха могут быть занумерованы и образуют последовательность (х®). Расположим элементы каждого из множеств Аа в виде строки следующей таблицы:
Теперь расположим все элементы этой таблицы в виде последовательности, перечисляя их по порядку в направлении, указанном стрелками:
у 1 у 2 у! уЗ у2 у 1 у 4 уЗ у 2 у!
Ар Лр Л2, Лр Л2, Л3, Лр Л2, л3, Л,4, . . .
В результате каждому элементу таблицы будет указано определенное место (номер) в этой последовательности. Следовательно, множество элементов нашей таблицы счетно. При составлении множества S из этой последовательности придется вычеркнуть все элементы х®, которые уже встречались ранее. Поэтому S есть бесконечное подмножество счетного множества, и на основании теоремы 2.1 оно счетно. Теорема доказана.
Теорема 2.3. Множество всех рациональных чисел счетно.
Доказ ател ьство. Любое (положительное) рациональное число r=plq содержится по крайней мере в одном из семейств Ла (а=1, 2,.. .), где
А1 (^7=1): 1, 2, 3/..., А2(д = 2): ± А............
Д / ' Q\ 1 2 3
-43 3). -д, у.....
§ 2] ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА 27
Согласно предыдущей теореме счетным будет множество оо
S = (J Аа и, следовательно, множество всех рациональных чисел (как положительных, так и отрицательных), что и требовалось доказать.
7. Несчетность множества бесконечных десятичных дробей. Бесконечной десятичной дробью мы называем последовательность 00,01^2 •.. целых чисел, перед которой поставлен либо знак «+», либо знак «—», причем'0 9 при /=1,2,...,
а число а0 — любое целое неотрицательное число. Договоримся первое число а0 отделять от остальных чисел запятой. Если перед дробью поставлен знак «—», то такую дробь будем называть отрицательной. В противном случае дробь называется положительной.
Теорема 2.4. Множество всех бесконечных десятичных дробей несчетно.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что множество А бесконечных десятичных дробей счетно. Это значит, что все бесконечные десятичные дроби могут быть занумерованы и выписаны в виде последовательности:
х, = а*,”, арц”, ....
х2 = а<2>, а®а®,
Однако можно указать бесконечную десятичную дробь
x = bQ9 bxb2...
такую, что она не содержится в указанной последовательности. Для этого возьмем любое целое число bQ и выберем целое число Ьх (0 9) так, чтобы Ь{ =£а^\ число b2 (0^62^9)
так, чтобы Ь2=£а%\ и т. д., Ьп=£а{"}. В результате мы убеждаемся в том, что существует бесконечная десятичная дробь такая, что она не содержится в указанной последовательности (ибо для любого k a{^=/=b^. Это противоречит тому, что занумерованы все десятичные дроби. Указанное противоречие доказывает теорему.
§ 2. Понятие вещественного числа
1. Определение вещественных чисел. Будем говорить, что каждая бесконечная десятичная дробь изображает некоторое вещественное (действительное) число.
Читатель, безусловно, хорошо знает, что если определить арифметические операции над неотрицательными вещественными
28
ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
[ГЛ. II
числами, то они легко переносятся на случай отрицательных чисел. Поэтому мы сейчас будем рассматривать только неотрицательные действительные числа и действия над ними.
Будем говорить, что десятичная дробь
х = а0, а{а2... ап ... (2.1)
(О < < 9; i = l,2,...; aQ — неотрицательное целое число)
является конечной, если, начиная с некоторого номера п +1, все a,i равны нулю, т. е. аг- = 0 при i п + 1. Итак, конечная десятичная дробь хп записывается в виде
хп = а0, ata2...an (0 = ап+1 = а„+2= ...). (2.2)
Согласно принятой десятичной записи чисел конечная дробь (2.2) изображает некоторое рациональное число
хп = а0 + 2 аа • 10-а = ^2---------. (2.3)
Определение. Рациональное число хп, заданное формулой (2.2), будем называть нижним п-значным приближением вещественного числа (2.1), а рациональное число
хп = хп+10-п (2.4)
— верхним п-значным приближением числа*) (2.1).
Для отрицательных действительных чисел х= —у (у 0)
положим
%п У tv %п У tv
2. Сравнение вещественных чисел.
Определение. Будем говорить, что вещественное число
х == #0, а।а2...
больше вещественного числа
У — *0, • • • ♦
если существует номер п 0 такой **), что
%п > Уп* (2.5)
В этом случае будем писать х> у.
*) Операции над рациональными числами мы предполагаем известными из курса средней школы, поэтому рациональное число (2.4) определено.
**) В формуле (2.5) содержится операция сравнения рациональных чисел, известная из школьного курса математики.
•§ 2] ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА 29
Легко заметить, что рациональные числа хп, уп не убывают с ростом номера и, так что
(2.6) наоборот, верхние приближения хп> уп не возрастают с ростом номера п:
*о>*|>*2> .... Уо>У1>У2>--- (2.7)
Отсюда следует, что если неравенство (2.5) выполнено при л = п0, то оно же выполнено при всех п > п0. Поэтому одновременное выполнение неравенств
х>у и х<у
невозможно и они исключают друг друга. Это означает, что операция сравнения действительных чисел введена корректно (правильно) .
Определение. Если для двух вещественных чисел х и у не выполнено ни одно из условий: 1) х > у и 2) у > х, то числа х и у называются равными, и мы будем писать в этом случае х=у.
Эти определения упорядочивают множество вещественных чисел, устанавливая между каждыми двумя числами х и у одно из трех взаимно исключающих друг друга соотношений:
*>У, У>*, х = у.
Докажем свойство транзитивности правила сравнения, т. е. докажем, что из соотношений х > у, у > z следует, что х > z.
Действительно, из неравенства х>у следует, что существует номер такой, что при п{ имеем хп>уп. Из второго неравенства, y>z, следует, что при п^п2 выполнены неравенства yn>zn. Поэтому при п^тах{И|, п2} выполнены неравенства xn>yn>yn>zn, т. е. xn>zn. Это и означает, что Х> 2.
Легко заметить, что согласно определению операции сравнения два числа
х = а0, а{а2... afe(9) и
y = aQ, а{а2 ... ak (0) + 10“fe
равны друг другу, хотя и имеют различные представления в виде бесконечных десятичных дробей.
Например, десятичные дроби 3,5(0) и 3,4(9) равны друг другу.
Итак, некоторые рациональные числа могут иметь два равноправных представления в виде бесконечной десятичной дроби.
Зэ ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА (ГЛ. II
Согласно нашим определениям для любого действительного числа х имеем неравенства
хп^х ^хп9 (2«8)
справедливые для всех п = 0, 1,2,...
Поскольку
хп — хп=Ю~п, то каждое из рациональных чисел хп, хп является приближенным значением числа х с точностью до 10-п (первое с недостатком, второе с избытком).
Увеличивая номер /г, можно сколь угодно точно аппроксимировать (приблизить) сверху и снизу действительное число х с помощью рациональных чисел хп, Хп-
S. Соответствие между вещественными числами и точками бесконечной прямой. Рассмотрим бесконечную прямую, на которой указаны две точки О и Е (рис. 4). Точка О называется началом отсчета, отрезок ОЕ — масштабным отрезком. Точке О
О Е
Рис. 4.
поставим в соответствие вещественное число 0, (0), называемое-нулем. Произвольной точке М прямой ОЕ (числовой прямой) поставим в соответствие определенное вещественное число, указав, каким образом выписывается бесконечная десятичная дробь
х = а0, ^2... ...,
соответствующая точке М.
Пусть точка Е лежит справа от О. Будем рассматривать лишь точки М, лежащие справа от точки О, так как точкам, лежащим слева от точки О, будут соответствовать отрицательные вещественные числа, десятичные знаки я0, Дь «2, • • • которых определяются так же, как и для точек справа от точки О. Число flo положим равным максимальному числу отрезков ОЕ* укладывающихся внутри отрезка ОМ. Если при этом не получается остатка, то мы полагаем
х = а^ (0) или х = (а0 — 1), (9), что одно и то же, так как эти два действительных числа равны друг другу. Если отрезок ОЕ укладывается внутри отрезка ОМ aQ раз и получается остаток MiM, по длине меньший, чем ОЕ, то цифру tzj находим как наибольшее число отрезков ОЕ{ =
§ 2] ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА 31
= ’/10 ОЕ, целиком укладывающихся внутри отрезка М\М. Если после этого не получается остатка, то полагаем х=а^ aJO) или х=а0, (flj — 1)(9). Если же получается остаток ММ2. то приступаем к определению цифры аг, сравнивая ММ2 с отрезком О£’г= V10ОЕ1 = 7i qqOE.
Продолжая этот процесс, мы получим возможность определить любую цифру бесконечной десятичной дроби
х = а0, а{а2...,
соответствующей точке М,
Указанным построением каждой точке М прямой мы ставим в соответствие вполне определенное вещественное число. Легко заметить, что разным точкам М' и М" прямой соответствуют различные (не равные друг другу) вещественные числа х' и х".
Мы хотим теперь установить и обратное соответствие, т. е. каждому вещественному числу
х —- €Lq. ащ2 • • •
поставить в соответствие определенную точку М прямой ОЕ. Для этого мы будем пользоваться «свойством непрерывности» прямой в смысле Кантора, которое мы принимаем как аксиому. Это свойство формулируется так: для любой последовательности «вложенных» отрезков [МпМ„] существует по крайней мере одна точка М, принадлежащая любому из отрезков М М'(п — = 1, 2, ...).
Термин «последовательность вложенных отрезков» означает, что каждая точка Мп+\ лежит не левее точки Мп, а каждая точка Af'+1 лежит не правее точки М'п при всех и = 1,2,...
Всякому рациональному числу xn = a0, ai...an(0) соответствует определенная точка Мп числовой прямой ОЕ, такая, что
OM„ = a0-Of + al-^O£+ ... +а„4гО£;
аналогично, рациональному числу хп соответствует точка Мп. Поэтому согласно свойству упорядоченности вещественных чисел
х хп,
точка М, соответствующая числу х. должна принадлежать отрезку МпМп при любом п=1, 2,.. . Так как xn+i хп, 5?n+i
хп, то последовательность {МПЛ4П} есть последовательность вложенных отрезков. По свойству непрерывности прямой существует точка М, принадлежащая одновременно всем отрезкам МпМп (я=1, 2, . . .). Не может существовать двух точек М и М',
32
ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА
[ГЛ. I!
принадлежащих одновременно всем отрезкам МпМп, так как длина отрезка МпМп равна части длины ОЕ и при достаточно большом п может быть сделана сколь угодно малой.
Итак, каждому действительному числу х соответствует некоторая определенная точка М числовой прямой и каждой точке М числовой прямой соответствует определенное вещественное число х. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.
Легко видеть, что точке О соответствует число 0, (0), а точке Е — число 1, (0) или равное ему числу 0, (9).
§ 3. Упорядоченные множества
1. Определения упорядоченного и ограниченного множеств.
Определение. Непустое множество А элементов х, у, z,... называется упорядоченным, если задан закон сравнения его элементов, удовлетворяющий следующим требованиям (аксиомам порядка):
а) Для любых элементов х, у А выполнена одна и только одна из трех возможностей: 1) х > у, 2) у > х, 3) х=у (в последнем случае элементы х и у считаются тождественными).
б) Если х > у и у > z, то х > z.
Определение. Пусть В — упорядоченное множество и A cz В. Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует элемент хм е В (хт е В) такой, что для всех элементов хе Л выполнено условие
Элементы хм и хт называются соответственно верхней и нижней гранями множества А.
Определение. Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
Приведем примеры ограниченных множеств.
Пусть В — множество всех действительных чисел, которое является упорядоченным. Рассмотрим некоторые ограниченные подмножества множества В.
1. Пусть А — множество целых чисел 1,2,. .., и. В качестве хт можно взять любое действительное число, не превосходящее 1, а в качестве хм — любое число, не меньшее чем п.
2. Пусть А — множество всех действительных чисел, удовлетворяющих условиям а < Ь. Это множество называется интервалом и обозначается так: А =(а,Ь). Здесь хт^а, хм^Ь.
3. Множество А действительных чисел, заданное условиями а^Сх^СЬ, называется отрезком или сегментом и обозначается [а, Ь]. Здесь также хт а, хм Ь.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
33
S3]
Если множество А задано условиями а х < ft, то оно называется полуинтервалом и обозначается [а, ft); если же а < < х ft, то мы его обозначаем (a, ft]. Здесь хт и хм те же, что и в предыдущем примере.
2. Точные грани множества.
Определение. Если среди верхних граней множества А существует наименьшая верхняя грань хм, то этот элемент хм В называется точной верхней гранью множества А и обозначается xM = supA {супремум Л). Аналогично, наибольшая из всех нижних граней множества А, нижняя грань хт, называется точной нижней гранью множества А и обозначается символом inf А (инфимум А).
Замечание 1. Пусть x = sup A, A s В. Тогда, если х'еВ и x'<x = supA, то найдется по крайней мере один элемент х е А такой, что х > х'.
В самом деле, если такого элемента х не существует, то элемент х' является верхней гранью множества А, что противоречит тому, что x = supA — наименьшая из всех верхних граней.
Замечание 2. Пусть хеВ и А е В. Пусть элемент х удовлетворяет условиям: а) для всех хеА выполнено х х; б) если / е В и xz < х, то найдется элемент х А такой, что X > х'.
Тогда х является точной верхней гранью множества А.
В самом деле, условие а) означает, что х — верхняя грань множества А, а условие б) —что это наименьшая из всех верхних граней.
Таким образом, условия а) и б) выражают свойства точной верхней грани. Эти условия могли бы быть приняты за определение точной верхней грани.
Иногда точные верхнюю и нижнюю грани множества А называют границами множества А.
Точные грани множества А могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству А. Например, пусть В — множество всех действительных чисел, а множество А — интервал (а, Ь). Тогда inf А=а ф A, sup А = Ь ф А.
Если множество А есть полуинтервал [a, ft), то inf А = а е А, sup A = b ф А.
3. Теорема о существовании точных граней.
Теорема 2.5. Пусть В — множество всех действительных чисел, a A cz В — непустое ограниченное сверху множество. Тогда существует sup А—точная верхняя грань множества А. Аналогично, если множество А ограничено снизу и непусто, то существует inf А.
Доказательство. Мы докажем лишь первую часть теоремы, касающуюся точной верхней грани, так как вторая часть теоремы доказывается аналогично.
34 ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА (ГЛ. II
Элементы х множества А — бесконечные десятичные дроби: x = aQ, аха2... (0^af^9) (/=1,2,...).
Согласно условию теоремы множество А ограничено; это означает, что существует вещественное число b такое, что для всех х е А выполнено неравенство
х Ь.
Мыслимы две возможности: 1) число b е А и 2) число Ь&А, т. е. для всех х е А
х<Ь.
В первом случае доказательство теоремы очень просто, так как sup А = Ь.
Легко проверить, что число b и есть точная верхняя грань А. В самом деле, для любого числа 5 < b найдется гисло из множества Л, превосходящее b (это число равно Ь).
Итак, в случае b е А теорема доказана.
Рассмотрим второй случай, когда b А.
Прежде всего поясним, что означает задать действительное число х; ведь выписать бесконечную десятичную непериодическую дробь, конечно, невозможно. Определить действительное число означает указать правило, по которому с помощью конечного числа операций можно вычислить n-значное приближение хп числа х (для любого натурального и). При этом, конечно, должно быть выполнено условие: при всех целых п
х„+1-х„<9- 10-(в+о,
так как это неравенство вытекает из определения бесконечной десятичной дроби.
Приступаем к доказательству теоремы в случае, когда b Л. Так как множество Л непусто, то имеется хотя бы одно число а е Л такое, что а < Ь. Будем рассматривать лишь числа хе Л такие, что х а. Построим число х, которое является точной верхней гранью множества Л. Для этого укажем способ вычисления его n-значного приближения хл.
Пусть задан номер п. Рассмотрим множество рациональных чисел {хп}, каждое из которых является п-значным приближением хп числа хеЛ (х^а). Таким образом, множество {хп} составляют n-значные приближения хп всех чисел х е Л таких, что а х < Ь.
Хотя множество Л может быть бесконечным, тем не менее множество {хп} n-значных приближений может содержать лишь конечное число различных рациональных чисел хп. В самом деле, на отрезке [а, 6] содержится конечное число рациональных
§ 3] УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 35
чисел уПу имеющих п знаков после запятой. Очевидно, число таких дробей уп ограничено сверху числом
tnn = (bn--ап) • 10". (3.1)
Поэтому множество {хп} конечно.
Следовательно, в множестве рациональных чисел {хп} есть наибольший элемент. Его мы и выберем в качестве и-значного приближения хп точной верхней грани х.
Отметим, что так построенные приближения хп точной верхней грани удовлетворяют условию
х„+1-х„<9-
так как нарушение этого неравенства означало бы, что хп не есть наибольший элемент множества {хп}.
Итак, число х определено, ибо мы указали правило построения его приближений хп при любом п.
Докажем теперь, что число х и есть искомая точная верхняя грань множества А. Для этого установим, что а) для любого х е Л выполнено х х и б) если х' < f, то найдется х е А такое, что х > х'.
Будем доказывать а) от противного. Пусть существует число х е Л такое, что х > х. Согласно определению знака > это значит, что для некоторого достаточно большого п
хп> х> хп.
Но это невозможно, так как число хп есть одно из чисел множества {хя}, а хп есть максимальное среди этих чисел.
Докажем свойство б). Если х' < х, то для достаточно большого номера п
х'<хп.
Согласно определению чисел хп существует число*) хеЛ, для которого хп является n-значным десятичным приближением, т. е.
хп = хп.
Тогда имеем % %п = *п % >
и утверждение б) доказано. Из б) следует, что никакое число, меньше чем х, не может быть верхней гранью А.
Итак, мы доказали, что х — точная верхняя грань ограниченного сверху непустого множества А действительных чисед.
Аналогично доказывается существование точной нижней грани у ограниченного снизу непустого множества А.
Теорема доказана.
*) Таких чисел может быть несколько или даже бесконечное множество.
36 ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА (ГЛ. П
§ 4. Арифметика действительных чисел
1. Арифметические операции над действительными числами. Суммой действительных чисел х и у назовем действительное число z такое, что неравенство
*п + Уп<2^хп-\-уп (4.1)
выполнено для любого номера п. Нетрудно убедиться, что существует лишь одно действительное число z, удовлетворяющее неравенствам (4.1).
Произведением вещественных чисел х О и у 0 назовем число z, удовлетворяющее неравенствам
ХпУп %пУп (4*2)
для всех номеров п.
После того, как определены операции сложения и умножения, вводятся обратные операции вычитания и деления, а также действия с отрицательными числами. Это хорошо известно из школьного курса математики.
2. Свойства вещественных чисел. Перечислим основные свойства, которым удовлетворяют вещественные числа с определенными выше операциями сложения и умножения:
1. Из а > Ь и Ь > с следует, что а > с (транзитивность знака >); если а = & и & = с, то а = с (транзитивность знака =).
2. а + Ь = Ь + а.
3. (о -J- ft) -J- с=я 4“ (Р 4" £) •
4. а 4- 0=а.
5. а 4- (—а) =0.
6. ab = ba.
7. (аЬ)с=а(рс).
8. а-\=а.
9. а--= 1. а
10. (а 4- Ь)с=ас 4- Ьс.
11. Если а > Ь, то а 4- с > Ь 4- с.
12. Если а > Ь и с > 0, то ас > Ьс.
13. Каково бы ни было вещественное число х, можно число 1 столько раз повторить слагаемым, что полученная сумма превзойдет х (аксиома Архимеда).
3. Полнота системы вещественных чисел. Принимая за исход-цые рациональные числа и действия над ними, мы «расширили» Систему рациональных чисел до системы чисел вещественных. При этом мы получили множество, существенно более мощное.
Действительно, множество рациональных чисел счетно; множество бесконечных десятичных дробей (множество вещественных чисел), как мы видели в § 1, несчетно.
$ 4] АРИФМЕТИКА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 37
Имеет место
Теорема 2.6 (Дедекинда). Пусть А и В — два множества вещественных чисел такие, что выполнены условия:
а) любое вещественное число х принадлежит или А, или В;
б) ни А, ни В не пусты;
в) если а А и Ь В, то а < Ь.
(Из условия в) следует, что Д П В = 0, т. е. никакой элемент не принадлежит одновременно А и В).
Тогда существует одно и только одно вещественное число у такое, что а у для всех а е А и Ь у при всех Ь В.
Доказательство Выражение «существует только одно число у» означает, что не может существовать двух чисел у и у', удовлетворяющих условиям теоремы, или, как говорят, имеет место «единственность» у. Докажем единственность у от противного. Пусть у и у' удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме, и у < у'. Тогда существует вещественное число х такое, что у < х < у' *). Из условия х < у' следует, что х е А, а из условия х > у следует, что х е В. Это противоречит условию в), и, следовательно, существует лишь одно число у=у'.
Докажем теперь существование числа у.
Ни А, ни В не пусты, поэтому любой элемент В ограничивает сверху множество А; любой элемент А ограничивает снизу В. Поэтому, согласно теореме 2.5, существуют действительные числа sup А и inf В.
Покажем, что sup А = inf В = у. Ясно, что sup А inf В. Если sup Д < inf В, то существует действительное число х такое, что
sup A <x<inf В.
Это число х не принадлежит ни А, ни В, что противоречит условию а). Поэтому sup Д = inf В, что и требовалось доказать.
Легко видеть, что либо уеД, либо уеВ (по условию а)), а одновременно принадлежать Д и В число у не может в силу условия в). Итак, у есть либо наименьшее вещественное число в В, либо наибольшее в Д. Теорема доказана.
Доказанная теорема есть теорема о полноте множества вещественных чисел относительно операций сравнения. Мы показали, что множество вещественных чисел непрерывно: в нем нет пробелов.
Приведем пример.
Рассмотрим множество R рациональных неотрицательных чисел —>0.
*) Например, х можно положить равным у Q
38 ПОНЯТИЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА [ГЛ. 1Г
Разобьем на Л и ft с помощью соотношений:
г е если г2 <2; г е /?2» если г2 > 2.
Легко понять, что каждый элемент г принадлежит либо 7?i, либо /?2 и ни одни элемент R не является ни точной верхней гранью R\, ни точной нижней гранью Rz.
Действительно, как хорошо известно, число х такое, что х2 = 2, не является рациональным.
В самом деле, если / 2 = — (Я#0). где тип — целые, а дробь п
т
— несократимая, то, возводя обе части равенства в квадрат, получим п
т2 = 2м2.
Отсюда следует, что т, а следовательно, и п —четные числа. Это противоречит тому, что дробь — несократимая. Следовательно, равенство У~2 =— п п
невозможно при целых т и п.
В то же время множество действительных чисел содержит границу любого разбиения на два класса, и мы говорим, что множество действительных чисел является полным относительно-операции сравнения.
§ 5. Метрические пространства
Определение. Множество X элементов х (точек) мы называем метрическим пространством, если любым двум его точкам Х[ и х2 ставится в соответствие неотрицательное вещественное число р (%ь х2), называемое расстоянием между точками х\ и х2, и при этом выполнены следующие требования (аксиомы метрического пространства):
1) р(*ь *2)>0, если xi =/= х2, и р(хн х2) = 0, если xj=x2;
2) p(*i, х2) = р(х2> *1);
3) р(*ь х2)<р(Х1, х3) + р(*з, хг) (неравенство треугольника) для любых Х|, х2, х3^Х.
Примеры метрических пространств:
1) Множество вещественных чисел х. Положим р(%ь х2) = = |%1—х21. Легко видеть, что выполнены все свойства 1—3.
2) Множество векторов х= {xi,x2, ..., х71) с вещественными компонентами Х\, ..., хп. Полагаем
р(*. (*i —^)2 = l* —yl- (5.1>
Пространство векторов с метрикой (6.1) обозначаем Еп\ это пространство называется п-мерным евклидовым пространством^
S 5]
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
39
Рассмотренное в примере 1) множество вещественных чисел представляет собой частный случай евклидова пространства при и=1.
Определение. Окрестностью точки xQ метрического пространства X называется множество Wr(*o), состоящее из всех точек х е X таких, что р (х, х0) < г.
Число г называется радиусом окрестности.
Определение. Точка х^Х называется предельной точкой множества Е X, если любая окрестность Nr(x) точки х содержит точку у е Е такую, что
X #= у.
Определение. Точки хеЕ, не являющиеся предельными, называются изолированными точками Е.
Определение. Множество Е называется замкнутым, если все предельные точки Е являются его элементами. Примером замкнутого множества может служить отрезок [а, &].
Определение. Точка х^Е называется внутренней точкой Е, если она имеет окрестность Nr(x)cz Е.
Определение. Множество Е называется открытым, если каждая его точка х е Е является внутренней. Примером открытого множества является интервал (а, Ь) на числовой прямой.
Определение. Множество Е называется всюду плотным в X, если каждая точка х е X либо является предельной точкой Е, либо принадлежит Е (либо и то и другое).
В качестве примера рассмотрим множество Е рациональных чисел г, X — множество вещественных чисел х. Определим р(х, у) = |х — у\. Тогда любая окрестность точки х е X содержит рациональные числа г х, и поэтому любая точка х е X является предельной точкой Е (множества рациональных чисел). Поэтому множество рациональных чисел всюду плотно в множестве вещественных чисел.
Теорема 2.7. Если х е X — предельная точка множества Е, то любая окрестность Nr(x) точки х содержит бесконечно много точек множества Е.
Доказательство. Предположим противное: пусть в некоторой окрестности Nr(x) содержится конечное число элементов у^Е. Пусть это точки у\, ..., уп и они не совпадают с х. Поэтому
min р(#0 х) = р0>0.
/=1..п
Тогда в окрестности Nr(x) при г < р0 не содержится точек У е Е, не совпадающих с х. Это противоречит определению предельной точки и доказывает теорему.
Глава III. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
§ 1. Предел последовательности
1. Понятие последовательности. В гл. II мы назвали последовательностью функцию, определенную на множестве / чисел натурального ряда. Поэтому значения этой функции могут быть занумерованы, и последовательность — это переменная величина с нумерованными значениями. Мы будем обозначать последовательность буквами с индексами хь х2, • • •, хп, - - или, короче, {хп}. Символом хп обозначен член последовательности, натуральное число п указывает номер этого члена *).
Согласно определениям последовательности и функции член последовательности хп может быть объектом любого множества. В частности, это могут быть векторы х е Еп, функции какого-либо переменного, действительные и комплексные числа и т. д.
Сейчас мы будем рассматривать лишь случай, когда члены последовательности {хп} — действительные числа. В этом случае множество значений последовательности {хп} есть подмножество множества вещественных чисел. Такие последовательности мы называем числовыми. Множество вещественных чисел D будем считать метрическим пространством с метрикой:
р(*. Z/) = |X — у\ (x,yf=D). (1.1)
Примеры последовательностей: . 1 / * f 1 I
а) хп = — ; {хл} = < — ?, т. е. последовательность имеет вид Л ( П J
з»• • •» п » • • •
Множество X значений этой последовательности {хп} состоит из 1
нальных чисел вида —* где п — целые положительные числа. п
б) ХЛ= 1 -(- 1)л, т. е. {хп}»2, 0, 2, 0, ..
рацио-
*) Поэтому различные члены числовой последовательности — это числа, быть может, и одинаковые, но обязательно занимающие различные места в последовательности
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
41
В данном случае множество значений последовательности {хп} состоит всего лишь из двух чисел: 0 и 2. Мы видим, что различные члены последовательности могут принимать одни и те же значения.
Последовательность одних и тех же чисел а, а, а, ... будем называть постоянной последовательностью.
2. Ряды и бесконечные произведения.
Определение. Пусть задана числовая последовательность {хп}. Рассмотрим другую последовательность {Sn}, члены которой Sn вычисляются по правилу
п sn = 2 = X| + х2 + ••• + хп- (1.2)
f=i п
Величины Sn=2*/ будем называть частичными суммами z=i
ряда
*| + *2+ ••• + Хп + ••• = 2 Хп. (1.3)
Примеры рядов:
а) 2 хп = —1 + 1 — 1 + 1 — • •. = 2 (—1)"; хп = (-!)".
Sn = — 1, если п нечетно; S4 = 0, если п четно.
б) 2 хп — 1 + q + q2 + ... + qn + ... — 2 Qn< n=0 гря=0
х„ = <Л Sn=14-<7 + ?2+ ... +qn= ‘
Здесь нам удобно начинать ряд со значения п—0.
Определение. Пусть задана последовательность {хл}. Образуем последовательность {Рп), члены которой вычисляются по правилу п
Рп = X] • х2 • х3 • ... • х„ = п X,. (1.4)
Величины Рп будем называть частичными произведениями бесконечного произведения
х{х2 ... х„ ... = П х„.
Определение. Суммой, разностью, произведением и отношением двух последовательностей {хп}, {уп} называются последовательности {zn}, члены которых образованы соответственно по правилам
%п ~ хп + f/л» %П = ХП Уп9 zn = хпУп* = »
Уп
42
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. Ill
при этом в последнем случае предполагается, что i/n#=0 (п= 1,2, ...).
оо оо
Определение. Если даны ряды 2 хп и 2 уп, то сум-п—0 ft—о
мой, разностью и произведением этих рядов называется ряд оо
У zn, где соответственно п=0 п
%п= хп 4“ Уп> %п хп Уп' Zfi S хкУп—к )• Л=0
Последнюю формулу для произведения двух рядов можно запомнить следующим образом. Наряду с исходными рядами
оо оо
2 2 Уп
п—0 п=0
оо оо
рассмотрим два ряда 2 хп^п и 2 Уп^п и образуем произве-п—0 п—0
дение этих двух рядов подобно произведению многочленов. Тогда коэффициент при совпадет с определенным выше числом zn. Действительно,
( 5 хп^п ] ( Zj Уп^) — хоУо + Uif/o + f/i*o) к +
\гМ / \n=0 /
+ (ХоУ2 + Х\У\ + х2Уо) + • • • = Zo + + г2^2 + • • -
3. Предел последовательности.
Определение. Последовательность {хп} называется сходящейся, если существует число х такое, что для любого числа е > 0 найдется номер /V (зависящий от е, и поэтому мы пишем N=N(e)) такой, что при всех n^N имеет место неравенство
| хп — х | < е.
В этом случае число х называется пределом последовательности. Сходимость последовательности {хп} к числу х обозначают следующими символами: limxn = x или хп—►х при и—>оо.
П->оо
*) Можно определить отношение рядов 2 хп и 2 Уп как Ряд S п=0 п=0 /1=0
п
такой, что хп, уп и zn связаны соотношением хп = 2 Уьгп-к' этих соот-л=о
ношений числа zn определяются, если уо=/=О, что можно считать всегда> выполненным.
§ 1] ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 43
Итак, установить, что последовательность {хп} сходится к числу х— это значит указать положительную функцию А^(е), определенную при всех е > 0, которая удовлетворяет определению предела последовательности.
Обратим внимание на то, что если определению сходимости последовательности {хп} к числу х удовлетворяет некоторая функция М(е), то ему удовлетворяет также и любая другая функция 7V(e), если только N(е) А^(е).
Приведем примеры применения определения сходящейся последовательности.
а) Пусть хп — ~* Ясно, что по мере возрастания и число хп становится все меньше и меньше. Положим х = 0 и проверим выполнение определения сходимости.
Итак, пусть х = 0 и е > О — произвольное положительное число. Рассмотрим неравенство
I xrt — х | = | хп — 0 | = | хп | = — < е.
Это неравенство будет выполнено при всех n [y] + * *)• Поэтому АГ (е) = = + 1, и число х = 0 есть предел рассматриваемой последовательности.
б) Пусть хп = (—1)п. Проверим эту последовательность на сходимость. Пусть х — предполагаемый предел этой последовательности, т. е. должна существовать функция АЦе), удовлетворяющая определению предела:
|хп—х| < е при всех n>Af(e). (1.5)
Если взять 8 = —, то ПРИ четных п неравенство (1.5) будет иметь вид
П-хК-Ь,
а при нечетных п —
I - 1 - х|<у.
Эти два неравенства одновременно не могут быть выполнены ни при каком значении х. Тем самым доказано, что числа х и функции Af(e), удовлетворяющих определению сходимости, не существует и рассматриваемая последовательность не является сходящейся.
Определение. Несходящиеся последовательности называются расходящимися.
Из этого определения следует, что для расходящейся последовательности {хп} не существует числа х и функции Af(e), определенной при е > 0, которые удовлетворяли бы определению сходимости последовательности {хп}.
♦) Символом [х] обозначена «целая часть» числа х, т. е. наибольшее целое число п, удовлетворяющее неравенству п х. Этот символ читается так: •антье «икс».
44 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, рядов И ПРОИЗВЕДЕНИИ (ГЛ. III
4. Сходимость рядов и бесконечных произведений,
оо
Определение. Ряд 2 хп называется сходящимся,.
П=1
если сходится последовательность {SJ его частичных сумм
(л \
Sn = У хп . Предел S последовательности частичных сумм {SJ &==1 / называется суммой ряда, и мы пишем, что
п
S = lim 2
Л->ОО fes=|
или еще проще:
s=2xn. (1.6)
Если последовательность {Sn} расходится, то мы говорим, что
оо
ряд 2 xk расходится.
Примеры.
a) xn = qn (n = 0, 1, ...);
дп+1 — 1
Sn=\+q + q*+ ... + = -j-L. '
{qn-¥ * — 1 ) 1
—-----:- / При |?|< 1 СХОДИТСЯ К S = --.
<7 — i J \ — q
Действительно,
Неравенство
| | < «• т- е- I <7 Г+1 < в | I — <71,
- кг 7 \ [в I 1 — q I ]
будет выполнено, если п > N (е) = lg|g| 11 последовательность {£„}, а вместе с ней и рассматриваемый ряд сходятся. Итак,
1 + <7 + Яг + ••• +яп+ ... = ^<7П = , 2.^ ПРИ п=0
б) ХЯ = (-1)П (/1=1,2,...);
$ __Г — 1, если п нечетно;
п I 0, если п четно.
Последовательность {Sn}, как мы видели, не сходится; поэтому ряд
-14-1-1 + 1- ... =2(-1)л
расходится.
§ 1] ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 45
Определение. Бесконечное произведение
оо П xi й=1
называется сходящимся, если последовательность его частичных п
произведений Рп = JJ xt сходится к числу Р=/=0. Предел Р по-/=1
следовательности {Рп} называется величиной бесконечного произведения, и мы пишем:
Р = Пхр /=1
Если предел последовательности частичных произведений не существует, то бесконечное произведение называется расходящимся.
Принято считать бесконечное произведение расходящимся, если Р = 0 *).
5. Некоторые свойства сходящихся последовательностей. Дадим несколько простых определений.
Определение. Последовательность {хп} называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, т. е. существует число М > 0, не зависящее от п, такое, что | хп | М. В противном случае последовательность называется неограниченной.
Для неограниченной последовательности справедливо утвер* ждение: каково бы ни было число М > 0, найдется номер п, для которого | хп | > М.
Определение. Последовательность {хп} называется бесконечно малой, если она сходится и ее предел х=0.
Из определения сходимости для бесконечно малой последовательности имеем: существует функция 7V(e), определенная при е > 0, такая, что неравенство |х71| < е выполнено при всех п 7V(e).
Определение. Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого М > 0 найдется номер М(Л1) такой, что неравенство | хп | > М выполнено при всех п > N(Л1).
Заметим, что неограниченная последовательность не обязательно явлйется бесконечно большой. 'Действительно, для бесконечно большой последовательности неравенство | хп | > М (М— любое положительное число) выполнено для всех номеров п, начиная с некоторого номера М(Л1). Для неограниченной
. , *} В этом случае ряд, получающийся из бесконечного произведения путем логарифмирования, будет расходящимся.
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. III
46
же последовательности это неравенство должно выполняться лишь для некоторых номеров Например, последова-
тельность 1, 0, 2, 0, 3, 0, ..., и, 0, п + 1, 0, ... неограничена, но не является бесконечно большой.
ч 1
Примеры: а) хп*=-^---ограниченная бесконечно малая последователь-
ность; б) хп = 1г — неограниченная бесконечно большая последовательность.
Обсудим еще раз определение предела последовательности. Пусть {Хп}-+х. Это значит, что при п М(е)
| хп — х | < е.
Итак, для любого е > 0 только конечное число членов последовательности не принадлежит е-окрестности предела х\ все остальные члены последовательности (т. е. бесконечное множество членов) принадлежат е-окрестности предела.
Поэтому можно дать другое определение предела последовательности, эквивалентное предыдущему.
Определение. Последовательность {хл} называется сходящейся, если существует число х такое, что в любой его окрестности (|х'— х| < е) содержатся все члены последовательности, за исключением конечного числа*). Это число х называется пределом последовательности.
Теорема 3.1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство. Предположим противное; пусть х и х'— пределы одной и той же последовательности {хп} и х=/=х'. Значит, существуют функции N (е) и N' (е) такие, что | хп — х | < е при n>W(e) и | хп — х' |<е при n^N' (е). Выберем е = — ~ тогда одновременное выполнение при n^2V(e) = max{Af(e), 2V'(e)} неравенств | хп — х , | хп — х' |<'-"** невозможно.
Отсюда следует, что х' = х, и теорема доказана.
Теорема 3.2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть х — предел последовательности {хп}. Для любого е > 0 в е-окрестности точки х находятся все члены последовательности, за исключением конечного числа. Так как конечное множество членов последовательности ограничено, а е-окрестность точки х также ограничена, то вся последовательность ограничена, что и требовалось доказать.
*) Напоминаем, что члены последовательности — это занумерованные числа. Даже если значения разных членов последовательности (имеющих раз-
ные номера) совпадают, члены последовательности являются различными.
§ II
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
47
Теорема 3.3. Предположим, что последовательности {xj u {t/n} сходятся, при этом limxn = x, lim уп = у. Тогда схо-
П->оо П->оо
дятся и последовательности
{Схп} (С = const), {хп±уп}, {хп -уп},
I Уп J
(последняя при у =/= О, =# О, п= 1,2, ...) и их пределы вычисляются по формулам:
a) lim Схп — С lim хп = Сх-, (1.7)
П->оо П->оо
б) lim (хп± уп)= lim хп ± lim уп = х±у, (1.8)
П->оо П->оо П->оо
в) lim хп • уп = lim хп • lim уп = ху, (1.9)
П->оо П->оо П->оо
lim хп
г) Нт^ = 7^Г = 7 0/^=0, ,/„¥=0). (1-Ю)
л->оо Уп 11т Уп У
п-+оо
Доказать справедливость любой из этих формул — это значит указать функцию М(е), фигурирующую в определении предела этих последовательностей.
Доказательство. Пусть jVj(e) и Мг(е) таковы, что
\хп — х|<е при n>Af,(e) и 1уп — у!<е при п^М2(е).
Для доказательства справедливости утверждения а) надо показать, что найдется функция N (е) такая, что при е>0 и n>Af(e)
| Схп — Сх | = | С 11 хп — х | < е.
Полагая М(е) = А^ получим доказательство правила а).
Докажем справедливость утверждения б). Положим
| (х„ ± уп) — (х ± у) к I хп — х | + I уп — у | < + у = е,
и утверждение б) доказано.
в) \хпУп — = — х)уп — х(у- z/n)KI(xn — х)«/„| +
+ |х(у„ — у) |.
Так как последовательность {*/«} сходится, то согласно теореме 3.2 существует число М такое, что |t/n| < М при и=1, 2, ... Увеличивая число М, добьемся, чтобы |х| М. Тогда, полагая
JV(e) = max{^(^r),
48
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, рядов И ПРОИЗВЕДЕНИЙ (ГЛ. III
будем иметь при n > W (в)
1Х«'~Х1< 2лГ’ । Уп ~ У К 2ЛГ*’ поэтому
I хпУп ХУ 1^1 Уп II хп *1 + 1*11 0п~2д| + Af 2^f = ®
при всех n>W(e), и утверждение в) доказано.
Наконец, докажем утверждение г). Имеем
I Х„ _ £ I _ I хпу - хуп I _ I (хп —х)у + х(у-уп) I <
I Уп У I I УУп I I УУп I
I У11 ХП - х| + I х I |уп - УI "" I УI I УпI
Покажем, что существует число М{>0 такое, что
т—п—(<Л<1 ПРИ н=1, 2, ... |у|1Уп| 1 Н
В самом деле, при п>[лг2(-Ц-^-)^ = п0
1Уп-у1<Ц^> т. е. |^„|>|^| —=Ьр->0.
Среди чисел | у{ |, | г/21, •••• I Уп, I найдем наименьшее и обозначим его через б0. Так как согласно условию теоремы уп О (/г=1,2, ...), то д0>0.
Итак, при п>пй |у„|>-^, а при п<п0 |уп |>д0. Поэтому | уп |> minpy!-, 60| = д > 0 при /г=1, 2, ... и
„ I у 11 Уп I ТуГ&=Л11,
Пусть
/И = гпах{| х|, | у\, A4J.
Тогда, полагая
У(е) = тах{у|(2^), ЛГ2(^г)},
получим, что при п N (е)
I хп _ х_ I <-• I у 11 хп — х | + I х | | уп — у | м> (_б_. е \ _
I Уп у|^ I У11 Уп I 1 \2ЛР Т* 2М3)~ •’
что и требовалось доказать.
§ И
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
49
Следствие. Пусть
оо
СХОДЯТСЯ И ряды 2 Схп п = 1
оо оо
ряды 5 хп, 2 уп сходятся, тогда п =1 П в 1
оо
(С = const), 2 (хп ± уп), при этом
п= 1
оо оо оо оо оо
2 схп=с 2 хп, 2 (хп ±уп)= 2 хп± 2 уп-
п=1 л=1 п=1 И=1 П=1
Действительно, это следует из того, что частичные суммы этих рядов соответственно равны CSn и Sn± Sn, где Sn и оо оо
Sn — частичные суммы рядов 2 хп, 2 уп-
п = 1 п = 1
Вопрос о сумме ряда2гп, являющегося произведением сходящихся рядов2*71 и2«/п, более сложен и будет рассмотрен в гл. XI, § 1, п. 4.
Приведем еще два простых утверждения, доказательства которых читатель легко проведет самостоятельно.
а) Если последовательности {хп} и {уп} имеют общий предел x=z/, то последовательность {zn}={xn— Уп} есть бесконечно малая последовательность.
б) Если последовательность {хл} бесконечно малая, а {уп} — произвольная ограниченная последовательность, то последовательность {2п} — {упХг} — бесконечно малая последовательность. В частности, бесконечно малой последовательностью будет {zn}={Cxn}, где С — константа.
Теорема 3.4 (теорема сравнения) Пусть даны последовательности {хл}, {уп}, {zn}.
а) Тогда, если хп уп (хп уп) при n^NQ и последовательности {хп} и {уп} сходятся, то
lim хп = х< lim уп = у
П-> оо
П->оо
(х > у) *).
б) Если последовательности {хп} и {zn} сходятся, имеют общий предел x=z и хп уп zn при п NQ, то последовательность {уп} также сходится; при этом
у= lim yn = x = z.
*) Если члены последовательностей {хп} и {уп} удовлетворяют даже строгим неравенствам хп < Уп, то тем не менее можно лишь утверждать, что х у. Например, хп = 0 < уп = —, но х = у = 0.
50 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИИ [ГЛ. 111
Доказательство, а) Предположим противное, т. е. что-х>у. Выберем
У = max {У1 , У2(~у)) }
(здесь АМе) и N2 (е) — фуикции, характеризующие сходимость соответственно последовательностей {хп} и {«/„}). Так как
хп — Уп = (хп - х) - (уп - у) + (х - у)
> — I Х„ — X I — | уп — у 1 + (х — у).
то отсюда следует, что при n^N
xn-yn>-^-^ + (X-y)=^>Q, что противоречит условиям теоремы, и утверждение а) доказано.
б) Фиксируем произвольное е > 0 и покажем, что найдется N (е) такое, что при n^2V(e)
|х — Уп\<ь-
Действительно, пусть N{ (е) и Af2(e) таковы, что
|хп —х|<е при |zn —z|<e при n>iV2(e).
Выберем Af (е) = max{ Afj М)}« Тогда прип^ЛЦе)
х — уп^х — хп и x — yn^x — zn.
Отсюда |х — уп\<ъ. Теорема доказана.
§ 2. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности
1. Подпоследовательности.
Определение. Пусть задана последовательность {хп} и пусть числа k\ < k% < ... < ki < ... образуют возрастающую последовательность целых положительных чисел. Тогда последовательность {уп} = [XfcJ = xk[, х*2, ..., xfert, ... называется подпоследовательностью последовательности {хЛ}, и если она ({уп}) сходится, то ее предел называется частичным пределом исходной последовательности {хп}.
Теорема 3.5. Если последовательность {хп} сходится, т& любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.
Доказательство этой теоремы очевидно. Пусть {хп} —► х; это значит, что
|х—’ хп |<в при n^JV(e).
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
51
§ 2]
Пусть [х^}—подпоследовательность последовательности {хл}, тогда kn^ п и, следовательно,
|х —x*J<e при п>ДЦе).
Это значит, что подпоследовательность сходится к числу х. Теорема доказана.
Определение. Точка х называется предельной точкой последовательности {хп}, если в любой ее окрестности содержится бесконечное число членов этой последовательности *).
Имеет место простая теорема:
Теорема 3.6. Всякая предельная точка последовательности является ее частичным пределом.
Эта теорема утверждает, что если х — предельная точка последовательности {хп}, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке х. Доказательство этого факта будет приведено при доказательстве следующей замечательной теоремы.
2. Теорема Больцано — Вейерштрасса.
Теорема 3.7 (Больцано — Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {хл} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть а хп Ь. Рассмотрим множество {х} вещественных чисел таких, что для каждого х е {х} выполнено условие: либо нет членов хп рассматриваемой последовательности {хл}, больших х (хл>х), либо их конечное число. Очевидно, что {х} не пусто, так как, например, b е {х}. Это множество {х} ограничено снизу (очевидно, что для всех х е {х} х а) и непусто. Следовательно, согласно теореме 2.5 это множество имеет точную нижнюю грань inf {х}, которую мы обозначим через х. Докажем, что в любой е-окрестности точки х содержится бесконечное множество элементов последовательности {хп}, т. е. точка х является предельной точкой последовательности {Хп}.
Пусть е > И, тогда х — е {х}; поэтому существует бесконечное множество элементов последовательности {хл} таких, что xh > х — е. С другой стороны, так как x = inf {х}, то при любом е > 0 найдется число х' е {х} такое, что х х' < х + е. Так как согласно определению множества {х} существует лишь конечное число элементов последовательности {хл} таких, что xh > х', то отсюда следует, что бесконечное множество членов х;<
*) Иначе говоря, для любого е>0 неравенство |х — хп| <е выполнено для бесконечного множества чисел п. Тем не менее число различных чисел хп, принадлежащих е-окрестности точки х, может быть и конечным.
Рекомендуем читателю сравнить это определение с определением предела последовательности (§ 1, п. 3).
52
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. Ш
последовательности {хп} удовлетворяет условиям х — е < хл < х + е
при произвольном е > 0. А это и значит, что точка х — предельная точка последовательности {хп}.
Теперь докажем, что если х — предельная точка последовательности {хл}, то можно выбрать подпоследовательность {x^J последовательности {хл}, сходящуюся к х.
Рассмотрим последовательность величин еп = -^-. Выберем из последовательности {хп} ее член xki^(x — eb x + ej). Подо-казанному выше такой элемент существует. Выберем теперь элемент х*2 е (х — е2, х + е2), причем так, чтобы k2 > k\. Так как в окрестности (х — 82, х + 82) предельной точки х содержится бесконечное множество членов последовательности {хл}г то такой член также существует. Затем выберем Xk9 так, чтобы |х^3 — х | < 83 и k3 > k2. Продолжая этот процесс, получим подпоследовательность {x*J последовательности {хп}, которая сходится к х, так как | xkn — х| <еп = 2“л. Теорема доказана.
3. Верхний и нижний пределы последовательности.
Определение. Наибольший (наименьший) из частичных пределов ограниченной последовательности {хл} называется ее верхним (нижним) пределом и обозначается
х= Пт хп (х= Нт хп).
П-»оо
Замечание 1. Это определение предполагает, что множество частичных пределов ограниченной последовательности{хп} замкнуто, так как мы считаем, что среди частичных пределов имеются наибольший и наименьший. Доказательство этого несложно и здесь не приводится.
Замечание 2. Построенная в теореме Больцано — Вейер-штрасса предельная точка х является верхним пределом последовательности {хл}. Для того чтобы это доказать, покажем, что не существует предельной точки х', большей, чем х. В самом деле, если бы такая точка х' > х была предельной для {хл}, то в окрестности (х' — х 2 *, х' + ~2~") точки х' содержалось бы
бесконечное множество членов {хл}. Но это невозможно, так как при любом 8 > 0 справа от точки х + 8 лежит конечное число членов последовательности {хп} согласно построению точки х.
Замечание 3. Аналогично может быть построена подпоследовательность, сходящаяся к нижнему пределу х х последовательности {хп}; при этом число х может быть определено как верхняя грань множества {//} таких чисел у, что для
§ 3] КРИТЕРИЙ КОШИ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ 53;
каждого у {у} неравенство хп < у выполнено только для конечного числа номеров п.
Пример. Рассмотрим последовательность чисел
2 1 * * 4 1 k + 1 1 2’ Ь 2 ' 2 ’ 3 ’ 3 ’ k ’ k’
Легко видеть, что х = 1,^ = 0.
4. Некоторые примеры сходящихся последовательностей. Приведем без доказательства несколько важных пределов. Доказательство предоставляем читателю.
1) lim-^- = 0 при а>0. П->оо П
П _
2) lim ур=1 ПРИ р>0.
П-»оо па
3) lim — = 0 при q> 1. В связи с этим говорят, что пока-п->оо q
эательная функция растет быстрее степенной.
4) lim qn = 0 при | q | < 1.
п->оо
Поскольку здесь встречаются степенная и показательная функции с произвольными основаниями и показателями, скажем несколько слов об определении функций x'J при любых действительных х > 0 и у. Достаточно рассмотреть случай х 1 и у 0. В этом случае под ху мы понимаем действительное число z такое, что при любом п
х'п < z < х„п-п п п п
Здесь хп, уп, zn и уп> zn — соответственно нижние и верхние п-значные приближения чисел х, yt z. Более подробно определение и свойства степенной и показательной функций излагаются в гл. IV.
§ 3. Критерий Коши сходимости последовательности и ряда. Признаки сходимости рядов
1. Фундаментальная последовательность. Определение сходимости последовательности {хп} связано с пределом х этой последовательности, который, как правило, не известен заранее. Это определение не позволяет непосредственно проверять сходимость последовательностей, если мы не знаем их пределов.
Поэтому очень важное значение имеет «внутренний» признак сходимости последовательности {хп}> не связанный со знанием
ее предела. Таким признаком является утверждение, известное под названием критерия Коши, к формулировке которого мы
переходим.
54
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. III
Определение. Последовательность {хп} называется фундаментальной, если для любого 8 >0 найдется номер 7V(e) такой, что при всех п, m 7V(e) выполнено неравенство
\хп — хт|<е. (3.1)
Отметим некоторые очевидные следствия определения фундаментальной последовательности:
а) фундаментальная последовательность ограничена;
б) при произвольном 8 > 0 можно указать такой номер W, что в 8-окрестности любого элемента хп при п N содержатся все элементы последовательности {хл}, за исключением конечного числа.
Действительно, ограниченность фундаментальной последовательности {хл} следует из ограниченности множества всех ее элементов при п N(е) (m = N) ввиду неравенства
|x„K|xm| + e = |xJV| + e,
выполненного для некоторого 8 > 0, и ограниченности конечного числа членов последовательности при п < N.
Следствие б) непосредственно следует из определения фундаментальной последовательности.
2. Критерий сходимости Коши.
Теорема 3.8 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность {хл} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, кратко поясним значение слов «необходимо и достаточно».
Термин «необходимо» в формулировке теоремы говорит о том, что если последовательность сходится, то она является фундаментальной. Термин «достаточно» означает, что если последовательность {хл} является фундаментальной, то она является и сходящейся. Поэтому данная теорема устанавливает эквивалентность понятий сходимости числовой последовательности и ее фундаментальности. Отметим, что в математике особое значение имеют теоремы, формулирующие необходимые и достаточные условия, при которых имеет место тот или иной факт. В соответствии со сказанным выше доказательство теоремы распадается на доказательство двух утверждений — необходимости и достаточности.
1) Доказательство необходимости. Пусть последовательность {хл} сходится их — ее предел. Это значит, что при е > 0 определена функция М(в) такая, что при N (е)
\хп — х|<е.
§ 3]
КРИТЕРИЙ КОШИ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
55
Положим М(е) = ЛЦ-|-) и рассмотрим разность \хп — хт\ при /г, /п>ЛЦе).
Имеем |xrt —xm|<|xrt —х| + |хт —х|<у + ~ = е. Итак, при п, /и J>2V(e) |хп—хт\ < е и последовательность {хп} является фундаментальной. Необходимость доказана.
2) Доказательство достаточности. Здесь мы должны доказать, что если последовательность {хп} фундаментальная, то она является и сходящейся, т. е. существует ее предел х. Как мы видели выше, фундаментальная последовательность ограничена, следовательно, у нее есть предельные точки. Поэтому доказательство сходимости {хп} сводится к доказательству того, что предельная точка только одна. Но это действительно так: фундаментальная последовательность не может иметь двух различных предельных точек, так как все ее элементы, за исключением конечного числа, содержатся в произвольно малом интервале длиной 2е > 0. Поэтому фундаментальная последовательность является сходящейся, и теорема доказана.
Следствие 1. Критерий Коши сходимости
оо
ряда. Пусть дан ряд 2 хп. Для сходимости этого ряда не-п = 1
обходимо и достаточно, чтобы для_ любого е > 0 существовал номер N(e) такой, что при п, in N (е)
т
2 xk k = n
(3.2)
Действительно, условие (3.2) есть условие фундаментальности п последовательности {Sn} частичных сумм ряда 2 *k-л = 1
Следствие 2. Необходимым условием сходимости ряда сю
2 xk является требование хп—>0 при п—>оо. Действительно, Л==1
полагая в (3.2) п = т, мы видим, что при N (е) | хп | < е.
Это и значит, что хп->0 при и->оо.
Отметим, что условие | хп |-> 0 есть лишь необходимое, но сю
не достаточное условие сходимости ряда У хп. п=1 * сю
Например, в п. 2 § 4 мы увидим, что ряд 2 п~р расхо-п = 1
дится при хотя = ПРИ Р>0 и га->оо.
пр
58
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. III
б) Если Р= lim < 1, то ряд V хп сходится; если же П->оо I ХП |
П = 1
оо
при п > л/о | *пх+' | 1 ’ то Ря& 2 хп расходится. п = 1
Этот признак сходимости называют признаком Даламбера. _____________________________________ п ____
Доказательство, а) Пусть а= lim y|xrt|<l. Согласно
П->оо
определению верхнего предела последовательности (сравните также построение х = lim хп в теореме Больцано — Вейер-
П-»оо
штрасса) для любого е>0 найдется лишь конечное число элементов последовательности { У\ хп |} таких, что У] хп | > — п г------ 1 — а
> lim у | хп | + е. Так как а<1, то, выбирая е =—z—, мы п-*оо 1
П ___
видим, что лишь конечное число чисел an—ylxnl не удовлетворяет условию
а„ = VTxJ < >im VTxJ + е = а + -Ц-^- = = q < 1.
n->oo 2 2
Итак, найдется номер No такой, что при n^N0 /|х„|<<7<1, т. е. 0<|х„|<<7".
На основании признака сравнения отсюда следует, что ряд оо оо
2 хп сходится, так как | хп | <qn при n~^NQ и ряд 2 Qn п—1 п=О
сходится при | q |<1. -------------------п _____
Пусть теперь lim y|xn| = a> 1. Согласно определению ча-гг->оо
стачного предела последовательности существует подпоследовательность {xfcj последовательности {хп} такая, что п kn
ПРИ «->оо.
Значит, бесконечное множество членов последовательности kn г--------------------------------
будет удовлетворять условию У|хлп|>а — е при е>0. Если положить в = ~ 2 > 0> т0 бесконечное множество членов последовательности [xfcj будет удовлетворять условию
Ч/|----1 +а .
П Хкп I > 2 — ? > 1 •
56 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ (ГЛ. Ш
Теорема 3.9. Необходимым условием сходимости беско-оо
нечного произведения П хп является стремление к 1 элемен-
п-1
та хп при п-+ оо.
Доказательство. Согласно определению, произведение оо П
П xk сходится, если предел частичных произведений Р„ = П хк *=i fc=i
существует и отличен от нуля. Итак, lim Рп — lim Рп-{ — Р
П->оо П-+<х>
(Р 0). Но = х„, поэтому lim Рп lim х„ = -р^-------------------------=1,
«->« ” 1'ш Рп-х
П->ОО
что и требовалось доказать.
3. Признаки сравнения. В качестве примера применения критерия Коши установим признак сходимости ряда
2 Х„, (3.3)
п = 1
сравнивая его с некоторыми другими рядами.
Теорема 3.10 (признаки сравнения), оо
а) Если | хп Куп при всех п^М0 и если ряд 2 уп схо-п = I
оо
дится, то сходится и ряд У хп.
п= I оо
б) Если хп| уп | при n~^N0 и ряд S уп расходится, то рас-п— I
оо
ходится и ряд 2 хп. Отметим, что в этом случае все члены, п = I
ряда (3.3) при n^N0 должны быть неотрицательны.
Доказательство.
а) Пусть задано е>0 и АГ,(в) таково, что
3 Уь <е к=*п
всех m > га > (в). Выберем N (в) = max {Уо. Ni (е)}. Тогда
всех m~^ п~^ N (в) имеем
для
при
m
2 хк
к =п
m
< 2 ук<&. k = n
Таким образом, ряд (3.3) удовлетворяет критерию Коши и, сле-.довательно, сходится.
* 3]
КРИТЕРИИ КОШИ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
67
б) Доказательство этого утверждения легко следует из признака сходимости а). Действительно, если мы предположим, что
оо
ряд 2 хп сходится, то согласно а) должен сходиться и ряд п = 1
2 уп, чт0 противоречит условию теоремы.
Теорема 3.11. Ряд *)
п = 0
(3.4>
сходится при |б?| < 1 к величине
S = -^—
1 -<7
и расходится при |^| > 1.
Доказательство. п . 1
Если | <71 < 1, то <7п+1 -♦ 0 при п —* оо и
<? —> 1 1 — q '
Если же |<у| 1, то |хп| = |(7|п не стремится к нулю при п
-> оо и поэтому ряд расходится, так как не удовлетворяет необходимому условию сходимости рядов.
4. Признаки Коши и Даламбера. Следующая теорема дает некоторые другие признаки сходимости и расходимости рядов.
Теорема 3.12 (признаки сходимости Коши и Даламбера). Пусть задан ряд
оо 2хг п<= 1
а) Пусть а= lim У| |. Ряд 2 хп сходится при а<1 и П-+<х> Л = 1
расходится при а> 1. При а= 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.
Этот признак сходимости ряда называется признаком Коиии
♦) Этот ряд мы уже рассматривали в п. 4 § 1 и даже установили его сходимость при |</| < 1.
§ 3) КРИТЕРИЙ КОШИ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ 59
Следовательно, для бесконечного множества членов хп ряда °°
2 хп выполнено условие хп > qn > 1, т. е. не выполнено не-п = 1
обходимое условие сходимости ряда (хп —>0 при п—>оо). По-оо
этому ряд 2 хп в этом случае расходится. п = 1
б) Пусть lim I-*-+l I =р< L Выберем е = —0 >0. Тогда П-»оо1 ХП | 2
согласно определению верхнего предела последовательности существует такой номер NQ *), что при всех
|^±|<p + e=fl+lz±_-ЦА = ,<1.
Отсюда следует, что при n=N0 + Р (р — любое целое положительное число)
1*лг.+рК|хлг.1<7р-
Таким образом, члены ряда5хп, начиная с номера No, мажори-руются **) членами геометрической прогрессии при q < 1. По-оо
этому согласно признаку сравнения ряд 2 хп сходится. Пусть п — 1
теперь | х"+- 1 при п No; тогда члены ряда хп не убывают
по модулю при п—► оо и не стремятся по этой причине к нулю, оо
Поэтому ряд 2 хп в этом случае не удовлетворяет необходи-п = 1
мому условию сходимости и, следовательно, расходится.
Утверждение б) доказано. ------------------------- п ___
Замечания. Условие lim У|хЛ| = а<1, очевидно, экви-Л-> оо
валентно следующему: существует номер No такой, что при п > No
Эквивалентность этих требований была показана, в частности, в процессе доказательства утверждения а). Точно так же
*) Верхний предел — наибольший частичный предел последовательности. Поэтому лишь конечное число членов последовательности превосходит верхний предел более чем на е > 0.
оо
**) Мы говорим, что члены ряда 2 хп мажорируются членами ряда 1
оо
2 Уп, если |xn|<i/n-
П»1
60
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ (ГЛ. Ш
условие lim 1-^-^ =р< 1 эквивалентно следующему условию:
П->оо1 ХП I
существует номер Nq такой, что при п No
Читатель может проверить, что условие
lim |±1±1| = р> 1
П->оо1 ХП I
влечет за собой расходимость ряда2хп согласно признаку Даламбера.
§ 4. Монотонные последовательности
1. Признак сходимости монотонной последовательности.
Определение. Последовательность {хп} называется не-убывающей (невозрастающеи), если при любом и = 1,2,3, ...
Неубывающие и невозрастающие последовательности будем называть монотонными.
Теорема 3.13. Ограниченная сверху (снизу) неубывающая (невозрастающая) последовательность сходится.
Доказательство. Пусть, например, последовательность {хп} не убывает, т. е. xn+i хп, и ограничена сверху, т. е. хп
М. Очевидно, что {хп} — ограниченная с двух сторон последовательность, так как Xi хп М (п=1, 2, 3, ...).
Следовательно, эта последовательность, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, имеет предельные'точки, и доказательство ее сходимости сводится к доказательству единственности предельной точки. Пусть х — предельная точка последовательности {х„}; тогда хп х при и=1, 2, 3, ... Действительно, из условия хпо>х следует, что при п>пд хп^ хПй> х, т. е.
\хп — х\^хП9 — х>0.
Это противоречит определению предельной точки, поэтому хп х. Отсюда следует единственность предельной точки для любой монотонной последовательности. В самом деле, если предположить, что существуют две предельные точки х и х' (х' > х), то согласно доказанному выше хп х < х'; поэтому в е-окрестности точки х' при 0 < е < |х' — х| нет точек последовательности {хп}. Это противоречит предположению о том, что точка х' — предельная точка для {хп}. Следовательно, у монотонной ограниченной последовательности существует, и притом единственная, предельная точка, и теорема доказана.
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
61
§ 'П
2. Ряд V -4г • Рассмотрим ряд Vдля которого пр “ пр
п = 1 п= I
хп= —. Из необходимого условия сходимости следует, что
при р 0 этот ряд расходится. Заметим, что ни признак сходимости Коши, ни признак Даламбера не дают нам определен-оо
ного ответа на вопрос о сходимости ряда V -4-. Изучим во-. пр п = I
прос о сходимости этого ряда непосредственно.
Итак, пусть р>0. Очевидно, что хл>0 и
х{>х2>х3> ... >хп>хп+{> ...
Рассмотрим величину ь j---------------------2 слагаемых-----------j-
<s2fc+l — S2k = (2fe + + (2fc + 2)Р + ••• + (2fc+l)P >2* • *2*4-1 =
__ . 2”р.
Из этого неравенства следует, что если р 1, то разность S2fe+i — S2k не стремится к нулю при й-*оо и, следовательно, ряд расходится, так как не выполнен критерий Коши. Напротив, если р > 1, то мы будем иметь
o2fe+i • ^kp —2 —q ,
где
0<—= <?< 1. 2P-1 4
Поэтому
2n4-l n n
2 1 + S (S2*+> - S2*)< 1 + S <*
fc = l K k = 0 fc = 0
Последовательность частичных сумм {Sn}, монотонно возрастает, так как хп > 0, и, как мы видим, ограничена сверху числом 1 + j » Поэтому последовательность {Sn} на основании оо
теоремы 3.13, а вместе с ней и ряд V Ц- сходятся при р > 1.
•=. ПР п 1
62
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. III
3. Число е. Рассмотрим ряд со оо
= 1 + 1 + 1 .2 + 1 -2-3 + ••• + "ЙГ + " = X пТ ~в~ п = 0 п==0
(4.1)
Так как Х/1+1 «1 __ 1
хп (п+1)! п+1
И ч
1Б|^-|=о (<1), П->оо I I
то согласно признаку Даламбера ряд (4.1) сходится. Его сумму обозначают буквой е и берут за основание неперовых логарифмов.
Очевидны следующие оценки:
2,5<е< 1 + 1+у+ -^- + ^з + ... =3.
Приводим приближенное значение числа е с пятью знаками после запятой:
е = 2,71828 ...
Теперь рассмотрим последовательность хп = ^1 + -^-) Запишем хп в виде
Из этого выражения легко видеть, что хп монотонно возрастает с ростом номера п. В самом деле, в этом выражении при воз-1 k
растании п возрастают все множители вида 1——, а кроме того, возрастает и число положительных слагаемых. Итак,
%п+1 > %п*
Но также легко заметить, что
= 1 + ТГ + "2? 1 — у) + •••
<1 + Tf + i+ ••• + 7Г< X 7Г = е’ п*=о
<§ 4] МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 63
Итак хп < е, и последовательность 4" монотонно возрастает, ограничена сверху и, следовательно, сходится.
Покажем, что
lim xr„= lim (1+-Д = е. (4.3)
П->оо П->оо \ п I
Обозначим
п
* = 2 4- («)
fe = 0
Согласно (4.1) Sn -> е. Пусть п> т, тогда согласно (4.2) П->ОО
*»=1 + тт + 4‘(| “;)+ +4'(1 " ('
<4-5’
Согласно формуле (4.5) an(m) есть сумма т + 1 членов, которые зависят от п. Фиксируем число т и перейдем к пределу при п-*оо в неравенстве (4.5). Согласно формулам для предела суммы и произведения (конечного числа слагаемых и сомножителей)
(m) == 1 + 1 + ^ + ^ + ••• + = (4.6)
Итак, из (4.5) и (4.6) следует:
lim хп 8т
П->ОО и lim хп^е. П->оо
Так как Sm-*-e при т-*оо, то отсюда следует, что lim хп = е, П->оо
и формула (4.3) доказана.
Для приближенного вычисления числа е применяют ряд оо
2 обрывая его на конечном числе членов. Оценим точ-I
ность, с которой конечная сумма Sn этого ряда приближает число е.
64
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, РЯДОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ [ГЛ. Ill
Число е есть сумма ряда (4.1). Поэтому согласно (4.4) имеем
e~Sn = („4- 1)1 + („4-2)1 + • • •
••• < (n + di I1 + тг+т + (т+т) + •••] =
_ 1 1 _ 1
(п+1)1 . 1 — п\п •
‘“ТГ+Т
Итак,
Если и = 6, то п\ = 720, м!м = 4320 и
п р___с 1 — 1
и п1п — 4320 .
Из неравенства (4.7) вытекает, что число е иррациональное. В самом деле, если бы е = (р, <7 —целые положительные
числа), то, полагая в (4.7) n=q, мы имели бы
0<<?1 (е — Sff)<-y.
Очевидно, что n!Sn — число целое, поэтому из (4.7)i следует, что q!(e—SQ) —целое положительное число, меньшее, чем единица. Это невозможно, и поэтому число е иррационально.
4. Ряды с положительными членами. Знакочередующиеся ряды. Если имеем ряд
оо
5 хп, nt= 1
все члены которого неотрицательны (хп 0), то последовательность частичных сумм {Sn} этого ряда будет монотонной и неубывающей, так как Sn+i— Sn = xn+i 0. Поэтому для доказательства сходимости ряда с положительными членами достаточно установить ограниченность последовательности {Szl} его частичных сумм.
Ряд
2 хп = 2 (- 1)п+* а„, (4.8)
п~ 1
для которого ап 5s 0, т. е. ряд вида
ai — а2-\-а3 «4+ ... +(—1)п+1ап+ ..., (4.9)
§ 4]
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
65
при ап > О (/1=1,2,...) называется знакочередующимся рядом.
Теорема 3.14 (признак сходимости Лейбница знакочередующегося ряда). Если, начиная с n—No, модули членов знакочередующегося ряда образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то ряд (4.8) сходится.
Этот признак говорит о том, что если при п No ап+\<ап и ал->0 при п->оо, то знакочередующийся ряд (4.8) сходится.
Доказательство. Пусть 2/п > No. Последовательность {5гт+1} нечетных частичных сумм не возрастает, так как
*$2m+3 ^2m+l = fl2m+3 a2m+2 О»
и ограничена снизу любой суммой S2k при 2m>2k^N0, так как
«$2т + 1 — S2k = 02m + l + (“" a2m + fl2m-l) + ••• + ^2k+2 + a2k + \)-
(4.10)
В формуле (4.10) каждый член в правой части неотрицателен, так как a2n+i -С а2п при п > Мо; поэтому из (4.10) следует, что $2т+1 S2k- Следовательно, монотонная последовательность {5гт+1} имеет предел S. Аналогично заключаем, что последовательность {S2m} четных частичных сумм при 2m No не убывает и ограничена сверху любой нечетной суммой S2H-1:
S2m^S2fe + 1 (при m>k\ 2k^N^\
поэтому эта последовательность также сходится, как монотонная ограниченная последовательность.
Предел {S2zn} также равен S, так как
*^2m + l $2m ~ x2m+l = G2m + 1 0 При ГП —> ОО.
Поэтому lim S2m+1= lim S2m = S, и теорема доказана. tn -> оо tn -> оо
Замечание. Так как последовательность {<S2nt+l} не возрастает, a {S2m} не убывает, то имеем неравенства:
S2m<S<S2m+l при 2т>У0.
Эти неравенства позволяют оценить ошибку, которую мы допускаем, заменяя сумму ряда S частичной суммой.
Глава IV. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Способы задания функции
1. Явные способы задания функции. В § 1 гл. II мы уже ввели понятие функции как соответствия, установленного между элементами двух множеств А и В. Пусть х е Л и каждому элементу х ставится в соответствие элемент у е В\ тогда мы говорим, что на множестве А задана функция y = f(x), область значений которой принадлежит множеству В.
В этой главе областью определения функции f(x) (множеством Д) всегда будет некоторая часть множества действительных чисел; как правило, это будет отрезок [а, &] {а х Ь) или интервал (а, Ь) (а < х < Ь).
Область значений функций f(x), рассматриваемых в этой главе, также будет часть множества действительных чисел (часть бесконечной числовой прямой).
В этом случае говорят, что y=f(x)—вещественная функция. Вещественную функцию y = f(x), зависящую от одного действительного переменного х, изображают с помощью графика на плоскости переменных х и у.
Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости, ордината у и абсцисса х которых связаны соотношением у = f(x).
Приведем примеры простейших функций.
у = хп (п — целое положительное число)—функция, имеющая смысл при всех значениях х, т. е. область определения этой функции — вся бесконечная прямая —оо < х < оо. Область значений этой функции зависит от п. Если п четно, то область значений этой функции есть полупрямая у 0; при нечетном п область значений функции у = хп — вся прямая —оо < I/ < ОО.
Функция Дирихле задается формулой
У _ Г °’ если х иррациональное число, I 1, если х — рациональное число.
Эта функция задана на всей числовой прямой, а областью значений имеет лишь два числа: 0 и 1.
§ п
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
67
Функция у = sign х (сигнум «икс») задается формулой
+ 1, если х > О,
у = signx =
О, если х = О,
— 1, если х < 0.
Эта функция определена на всей числовой прямой, а область ее значений состоит из трех точек.
Во всех приведенных примерах функции задавались с помощью формул, т. е. с помощью кратких общепринятых обозначений тех или иных действий, необходимых для определения функции y=f(x) Ун
по заданному х.
Другой способ задания функций есть графический способ, когда функция у= /
=f (х) задается графиком на плоскости * /
переменных х и у (рис. 5). х
Еще один способ задания функции из- S । вестей как табличный способ, когда ряду значений переменного х ставится в соот- и ветствие ряд значений переменного у. Рис. 5.
Обычно, однако, при этом предполагается, что значения функции y=f(x) могут быть вычислены и для любых промежуточных между табличными значений переменного х с помощью тех или иных простых формул, использующих табличные значения функции. Эта последняя операция называется интерполированием значений функции по табличным значениям.
2. Неявное задание функции. Наконец, мы укажем еще один способ задания функции, который находит большие применения,— задание функции с помощью соотношения (или соотношений). Обычно этот способ называют неявным.
Приведем пример. Пусть задано соотношение
х2у7 + х5/ + Зу2 - 12 = 0. (1.1)
Ясно, что соотношение (1.1), если фиксировать в нем х, накладывает ограничение на у. С другой стороны, нам не удается из (1.1) получить явные формулы ни для у = у(х), ни для х как функции у. Тем не менее соотношение (1.1) может определять зависимость у = у(х) (или даже несколько зависимостей). Поэтому мы и говорим, что соотношение (1.1) задает одну или несколько функций у = у(х) неявным образом. Оказывается, однако, что, изучая вид этого соотношения (1.1), можно сделать некоторые определенные заключения и о поведении заданных им неявных функций (см. гл. V, § 10, гл. X, § 8).
Простейший способ неявного задания функции у — у(х) есть задание ее с помощью соотношения
Х = ф(//),
(1-2)
68
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
где ср(//)—некоторая заданная функция. При таком способе неявного задания функции у = у(х) мы имеем возможность вычислить значение независимого переменного по известному значению у\ поэтому мы говорим, что соотношение (1.2) задает обратную (к у = у(х)) функцию х = х(у) = ср (у). Оказывается, что, изучая обратную функцию (1.2), можно сделать определенные заключения и о прямой функции у = у(х) (см. § 6 данной главы, § 10 гл. V).
3. Монотонные функции. Условия существования обратных функций довольно просто формулируются в случае монотонных функций (см. § 6).
Определение. Функция y = f(x)t заданная на интервале (а, Ь), называется неубывающей (невозрастающей) на этом интервале, если неравенство xL < х2 влечет за собой неравенство
(f(x,)>f(x2))
для любых хь х2е (а, Ь).
Если же из неравенства Xi < х2 (хь х2е(а, Ь)) следует, что
H^XftxJ (/(x1)>f(x2)),
то функция называется возрастающей (убывающей) или монотонно возрастающей (убывающей).
Неубывающие и невозрастающие на интервале (а, Ь) функции называются монотонными на этом интервале. Если функция f(x) является возрастающей или убывающей на интервале (а, Ь), то такая функция называется строго монотонной на этом интервале.
§ 2. Простейшие (элементарные) функции
1. Степенная функция. Степенная функция у = х0> может быть определена при положительных действительных х > 0 и любом действительном а. Пусть х > 1; тогда ха определяем как действительное число у = ха такое, что при любом п
(хп)а^у = ха^(хп)\ (2.1)
хп, ал и хп, ап — верхние и нижние а-значные приближения чисел х, а (см. § 2 гл. II).
Если 0 <х< 1, то знаки неравенств в (2.1) меняются на обратные.
Можно заметить, что при некоторых рациональных а вещественная функция ха определена и для отрицательных х. Функция ха определена неравенствами (2.1) однозначно, если
lim(x„)“"=lim(x/" (2.2)
П->оо П->оо
ПРОСТЕЙШИЕ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ) ФУНКЦИИ
69
или, что то же,
lim (х®« - х“") = lim [(х„ + 10"л)“л+1° - х“"] =
Я->оо П~>оо
= lim lim [(х + Ю-")10 • (1 + " — 11 = 0.
П->оо rt->ooLX п ' \ ХП ' J
1Л“Л / i \ 1/р
Так как lim (х„ + Ю-л) = lim (хя (р) + —) =1 (р=10л) и
П->оо р->оо \ Р /
/ 10""п\ап
lim 1 Ч---— = I, то формула (2.2) доказана *).
П->оо \ ХпП /
Определенная таким образом степенная функция удовлетворяет обычным правилам алгебры, в частности,
ха* • хаг = ха,+а*. (2.3)
(Это следует из (2.1).)
Докажем, что степенная функция у = ха — монотонно возрастающая функция переменного х при а > 0. В самом деле, пусть Xi > х2 > 0, тогда
уа___ уа — уа Г ( *1 \ _ 11
л1 л2 л2[\х2/ J*
Так как -L>1 и а>0, то. 0^ >1 и х® — х£>0. Равенство х® = х® имеет место лишь при а = 0.
Аналогично устанавливаем, что при отрицательных а степенная функция ха монотонно убывает.
2. Показательная функция. Показательная функция у = а* при а >0 определяется аналогично предыдущему. Пусть а > 1, тогда
Аналогично устанавливаем, что у = ах монотонно возрастает при а>1, так как если х1 > х2, то
У (*i) “ У (*2)= flX| “ аХг = а*2 (аХ{~Хг — I) > 0.
Показательная функция у = ах при а < I равна ах = (у) = где 6 = у>1, и поэтому является монотонно убывающей. Если а = е, то функция у = ах = ех называется экспонентой.
*) Число уу удовлетворяющее (2.1), является точной верхней гранью множества чисел х^п ПрН и = 1, 2, ... и одновременно точной нижней гранью множества чисел х^1 при п = 1,2,...
70
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
Иногда эту функцию обозначают так: z/ = e* = expx (экспонента «икс»).
3. Логарифмическая функция. Рассмотрим функцию у = у(х)> обратную показательной функции, т. е. зададим эту функцию соотношением
х = ау. (2.4)
Это соотношение неявно задает функцию у = у(х) *), которая обозначается следующим образом:
У = У (х) = loga х, (2.5>
так что равенство
х = а1ое°х (2.6>
есть тождество.
Поскольку, как мы показали выше, й^(а>1)—монотонно возрастающая функция у, то при У2>У\ х2 = аУ2> хх = ау^
Поэтому каждому значению х из (0, оо) отвечает только одно значение у, удовлетворяющее (2.4), т. е. функция (2.5) однозначна при хе(0, оо); кроме того, она монотонно возрастает при возрастании х, если а > I, и монотонно убывает при 0 < а < I.
Свойству (2.3) степенной функции соответствует следующее свойство логарифмической:
loga(xIx2) = logaxl + logax2. (2.7}
Величина (2.5) называется логарифмом по основанию а от числа х\ если мы выбираем а = е, то применяют следующее
*) Как мы увидим в дальнейшем (см. § 7, п. 3), эта функция определена и непрерывна на интервале (0, оо).
§ 2]
ПРОСТЕЙШИЕ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ) ФУНКЦИИ
71
-обозначение:
у = log, х = In х,
(2.8)
и называют эту величину натуральным (или неперовым) логарифмом числа х.
На рис. 6 приведены графики функций i/i = ха (а>0), у2 = ах (а > 1) и у3 = log0x (а > 1).
4. Тригонометрические функции. Тригонометрические функции введены в курсе элементарной математики.
Функции у = sin х и у = cos х удовлетворяют следующему ряду соотношений:
sin2 х 4- cos2 х = 1,
sin (х + х') = sin х • cos х' + cos х • sin х', cos (х + х') = cos х • cos х' — sin х • sin x',
(2.9)
sin(0) = 0, cos(0)=l, sin-y=l, cos-y = 0, (2.10)
0<|sinx|<|x| при 0<|x|<y.
(2.H)
Можно доказать, что эти соотношения однозначно определяют функции sin х и cosx при всех вещественных значениях аргумента*). Остальные тригонометрические функции выражаются через sin х и cos х.
Свойства тригонометрических функций хорошо известны из курса элементарной математики. Поясним лишь свойство (2.11). Пусть на рис. 7 изображена окружность единичного радиуса; тогда длина отрезка АВ, как известно, равна sinx, АС, как гипотенуза прямоугольного треугольника АВС, больше АВ, длина же отрезка АС меньше длины дуги окружности АС, так
как отрезок прямой есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Поэтому из рис. 7 следует:
0<| ДВ|<| ЛС | < | х |,
Л
т. е. 0<|sinx|<|x| при 0 < | х | < -у.
Заметим, что функции sinx, cosx, tgx, ctgx, ... являются представителями важного класса функций, называемых периодическими.
*) Тригонометрические функции при всех вещественных значениях аргумента можно Также определить при помощи рядов для этих функций (см. гл. VI, § 4).
72 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, а число Т =# О— ее периодом, если область ее определения X такова, что одновременно с f(x) определено значение /(х-{-Г) и при этом для всех х^Х выполнено равенство
fM^f(x + Г). (2.12)
Очевидно, что периодическую функцию y = f(x) достаточно задать на любом полуинтервале [а, а Т); после этого формула (2.12) определяет эту функцию на всей бесконечной прямой — оо < х < оо.
Обратные тригонометрические функции хорошо известны из курса элементарной математики.
Рассмотрим кратко свойства функции t/ = arcsin х. Эта функция есть обратная к функции х = sin у, т. е. она удовлетворяет уравнению
х = sin у. (2.13)
Так как функция sin у — периодическая с периодом 2л, то если у = уо удовлетворяет равенству (2.13) при х = х0, т. е. х0 = sin уо, то и любое из чисел у = (—l)ftf/o + nk, где k — целое число, также удовлетворяет (2.13), т. е.
x0 = sin[(—1)*#о + лН
Поэтому равенство (2.13) не определяет однозначно значение у при заданном х; можно сказать, что оно «задает бесконечное множество» обратных функций. Тем не менее при |х|> 1 нет ни одного значения у, удовлетворяющего (2.13), так как |sinу\ 1. Поэтому при |х| > 1 равенство (2.13) невозможно, и, следовательно, при |х| > 1 это равенство не определяет ни одного значения у. Для однозначного выделения функции у = arcsin х, удовлетворяющей равенству (2.13), мы потребуем выполнения неравенств
Эти неравенства однозначно определяют при любых хе[—1, 1] величину у. Выделенная функция называется главным значением арксинуса и обозначается символом
у = arcsin х. (2.14)
Итак, условия arcsin х <1-^- и х = sin (arcsin х) одно-
значно определяют эту функцию.-
Аналогично определяются остальные обратные тригонометрические функции. На рис. 8 и 9 приведены хорошо известные графики прямых и обратных тригонометрических функций.
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ) ФУНКЦИИ 73
5. Гиперболические функции. Гиперболические функции вводятся с помощью соотношений
sh х = ~ е~* (2.15)
— гиперболический синус;
ch х = е* %- — (2.16)
— гиперболический косинус (рис. 10) и
thx = -^-, cth х = -^—-(sh х^=0) (2.17)
— соответственно гиперболические тангенс и котангенс.
Отметим несколько свойств этих функций: ch2 х — sh2 х = 1, sh (х + у) = sh х • ch у + ch х • sh у, ch (х + у) — chx • ch у + shx • sh г/, ch 0=1, sh0 = 0, sh(—x) = — shx, ch (—x) = ch (x), th(—x) = —thx, cth (— x) = — cth (x).
Все указанные свойства легко проверяются подстановкой формул (2.15) — (2.17).
(2.18)
74
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
6. Четные и нечетные функции.
Определение. Функция y = f(x) называется четной* если ее область определения X такова, что, наряду с точкой х > 0, она определена и в точке —х < 0 и для всех х е X
f(x) = f(—x); если же
то функция f(x) называется нечетной.
Таким образом, функции х, sinx, tgx, ctgx, shx, th x„ cth x — нечетные функции, a x2, cos x, ch x — четные.
§ 3. Предел функции
1. Определение предела функции. Пусть функция y=f(x) задана на множестве X действительных чисел и пусть точка х = а является предельной точкой этого множества*).
Дадим два определения предела функции.
Определение 1. Число b будем называть пределом функции y = f(x) при х-*а, если для любой последовательности точек {хп)еХ (хп#=а), сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)| сходится к Ь.
Если такое число b существует, то мы пишем:
lim /(*) = &• (3.1>
х->а
Определение 2. Число b называется пределом функции u = f(x) при х—>а, если для любого е>0 найдется 6 = б(е) >0 такое, что для всех хеХ, удовлетворяющих условию
0<| х - а |<б(е), (3.2)
выполнено неравенство |/(х) — 6 | <е. (3.3)
Если такое число Ь существует, то мы пишем равенство (3.1).
Обращаем внимание читателя на то, что равенство х = а неравенствами (3.2) не допускается.
Опираясь на любое из этих двух определений, нетрудно показать, что функция f(x) может иметь только одно число в качестве предела в точке х=а. Предоставляем доказательство этого читателю.
*) Напомним, что в любой е-окрестности предельной точки а содержится бесконечное число элементов множества, однако сама точка х » а может и не принадлежать множеству X.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
75
§ 3]
Итак, мы дали два различных по форме определения предела функции. Поэтому прежде всего мы покажем их эквивалентность.
Теорема 4.1. Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны.
Доказательство. Эквивалентность двух утверждений А и В означает следующее: если верно А, то из этого следует В, и, наоборот, из В следует А. Поэтому мы должны показать, что если число b есть предел функции f(x) в точке х = а в смысле определения 1, то это же число b есть предел f(x) в смысле определения 2, и наоборот.
Докажем сначала, что из определения 2 предела функции следует определение 1.
Итак, пусть b — предел функции f(x) при х->а в смысле определения 2 и пусть xit x2l ..., хп ... (хп =/= а) — любая последовательность, сходящаяся к а. Последнее означает, что существует функция N(e) такая, что
1хп — а|<е при n>Af(e). (3.4)
Докажем, что последовательность^ {f(xn)} сходится к числу Ь. Для этого надо указать функцию 7V(e) такую, что
\f(xn) — 6|<8 при всех n>W(e). (3.5)
Согласно определению 2 предела функции существует функция 6(e) > О, заданная при е > 0, такая, что неравенство
\fM - b |<е (3.6)
выполнено пр_и 0 < | х — а | < 6(е). _
Полагая A^e) = A’(6(e)), видим, что при и АЦе) выполнено условие (3.5) ввиду выполнения условий (3.4) и (3.6). Тем самым мы доказали, что из определения 2 предела следует определение 1.
Пусть теперь дано, что число b является пределом f(x) при х —>а в смысле определения 1, и мы покажем, что это же число будет пределом в смысле определения 2. Докажем это от противного, предположив, что число Ь не является пределом f(x) в точке х=а в смысле определения 1. Это означает, что для некоторого е > 0 не существует числа 6(e) >0 такого, что |f (х) — 6| < е при 0 < |х—а| < 6(e), х е X.
Таким образом, для этого е > 0 и любого 6 > 0 найдутся точки х е X такие, что 0 < |х — а | < 6, но \f(x) — b | е.
Возьмем 6 = бп, где 6п->0 при п->оо. Тогда выберем Xi^X такое, что 0 < |Xi — а| < 61 и )f(xi) — 6|>е. Как мы видели выше, такое XiG X существует, если не выполнены условия определения 2. Выберем теперь х2 е X такое, что
76 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
О <|х2 — и | < 61 и |f(x2)—Ь\ > е и т. д. В результате мы построим последовательность {хп} —> а, причем последовательность {/(хп)} не сходится к Ь, так как \f(xn) — b\ > е. Это противоречит тому, что число Ь является пределом любой последовательности {f(xn)} при {хп}-+а. Поэтому число b является также пределом f(x) при в смысле определения 2.
Итак, как мы видим, из определения 2 следует определение 1 и, наоборот, из определения 1 следует определение 2. Теорема доказана.
2. Критерий Коши. Пусть функция f(x) задана на множестве X, имеющем точку а своей предельной точкой.
Теорема 4.2 (критерий Коши). Для того чтобы существовал предел функции f(x) при х->а, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлось 6 = 6 (е) такое, что при любых х, х' е X, удовлетворяющих требованиям 0^|х— а|<6(е), 0 <|х' — а\ < 6(e), выполнялось неравенство
\f(x) — f (х') I < е.
Доказательство $той теоремы вполне аналогично доказательству критерия Коши для числовых последовательностей.
1) Необходимость. Пусть предел f(x) при х—>а существует и равен Ь. Тогда, согласно определению 2, определена функция 6 (е) такая, что при х е X, 0 < | х — а | < 6 (е)
Имеем
lf(x) —И< е.
If (х) - f (x')Klf(x) - b 1 + |f(x') - b |.
Если мы положим 6(e) = d^-|-J, то при х, х'е^Х и 0<|х-а|<6(в) = б(|), 0<|х'-а|<д(8) = б(|) будем иметь
lf(x)-f(x')|<| + | = e.
Итак, б(е) = б(-|-). Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть теперь дано, что |/(х)—f(x') | < е при всех х, х’ е X таких, что О <|х — а|<д(е) и 0<|х' — а|<6(е), и пусть {%„} е X — любая последовательность, сходящаяся к а, причем хп =# а. Покажем, что последовательность {f(хп)} — фундаментальная последовательность. Действительно, так как хп —* а при п -* оо,
£ 3]
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
77
то существует функция АЦе) такая, что 0<|хп— а|<е при n>Af(e).
Выберем 7V(e) = 7V(6(e)); тогда при и, /п^7У(е) имеем О < |хп — я| <6 (е), |хт — а| <6 (е), и поэтому
I f (хЛ) — f (xm) | < е.
Таким образом, последовательность {f(xn)}— фундаментальная и она имеет предел.
Покажем, что этот предел один и тот же для всех последовательностей {хп} е X, сходящихся к а. Действительно, пусть {лп} и {хп} — любые две последовательности, сходящиеся к а. Если f(xn)-*6 и f(xn)-*b при п->оо, то можно построить последовательность f(xi), f(x2), f(x2), ...» которая не будет фундаментальной, что противоречит предыдущему. Поэтому существует общий предел для всех последовательностей {/(хп)} при и —* оо. Теорема доказана.
3. Правый и левый пределы. Для изучения функции полезны следующие понятия односторонних пределов.
Определение. Число b называется правым (левым) пределом функции f(x) при х —► а, если для любого е > 0 найдется 6(e) >0 такое, что при всех хеА" таких, что
0 < х — а < б (е) (0 < а — х < б (е)),
имеет место неравенство
Щх) —6|<е.
Таким образом, правый предел функции f(x) в точке х = а есть предел при х-*а, но при условии, что х > а; левый предел функции f(x)—это предел при х-*а и условии х < а. Правый предел обозначают символом lim f(x) = b или f (а 4- 0) = b, x-*a+0 а левый —
lim f(x) = 6, f(a — O) = b. х->а—0
Теорема 4.3. Функция f(x) имеет в точке х = а предел тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке левый и правый пределы и эти пределы совпадают.
Доказательство. Если f(x) имеет предел b при х->а, то согласно определениям 1 или 2 это же число является как йевым, так и правым пределом f(x) при х->а.
Пусть теперь существуют правый и левый пределы, равные друг другу. Обозначим их общее значение через Ь. Согласно определению односторонних пределов существуют б+(е) и б_(е) такие, что для любого е>0 |^(х)—6|<е, если 0<х — — а < б+(е) или же 0 < а — х < б_(е). Полагая б(е) =
78 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
= min {6+(е), 6-(е)}, получим, что при 0<|х— а|< 6(e) имеет место неравенство |f(x)—6|<е. Это и означает, что число Ь является пределом f(x) при х -> а.
4. Предел функции f(x) при х-*оо.
Определение. Пусть функция f(x) определена при п^х<оо (—оо<х<^а)*). Тогда число Ь называется пределом f(x) при х -> + оо (при х->— оо), если для любого е > 0 найдется X(s) такое, что |f(x)—6|<е при всех х, удовлетворяющих условию
х > X (е) а (х < X (е) < а).
Мы пишем в этом случае:
lim f (х) = 6 ( lim f(x) = 6).
Х->+°о х->—оо
Если определены пределы /(х) как при х-> + оо, так и при х —> — оо и lim f(x)= lim f(x) = b, то мы говорим, что суще-
Х~>+°° х->—ОО
ствует предел f (х) при х—>оо, и пишем:
lim f (x) = b.
Х->оо
Пример. f(x)=l+“ lim f(x)= lim f(x)= lim f(x) = l. X x->+oo X-> — oo X->oo
5. Основные теоремы о пределах.
Теорема 4.4. Пусть f(x)u g(x) — dee функции такие, что limf(x) = 6, limg(x) = c; тогда в точке х = а существуют пре-х->а х->а
делы функций f (х) ± g (х), f (х) • g (х), (g (х) =/= 0); при этом имеют место равенства:
a) lim [f (х) ± g (х)] = b ± с,
х-+а
б) lim f (х) • g(x) = b • с,
х-+а
fl х lim h
в) lim ' = x.7>a—f-r- — — (если c =/= 0).
' x->a g(x) lim gMc
x-+a
Доказательство этих утверждений следует из соответствующих утверждений для пределов последовательностей. В самом деле, рассмотрим произвольную последовательность {хп}, сходящуюся к а. Соответствующие последовательности {f(xn)} и {g’(Xn)} значений функций f(x) и g(x) имеют пределы, равные соответственно b и с. Но тогда из основных теорем о пределах
♦) Или при — оо<х<оо.
§ 3)
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
79
последовательностей следует, что последовательности V(xn) ±g(Xn)}, {f(xn)-g(xn)}, сходятся соответ-
ственно к числам Ь ± г, Ь • с, у (с =/= 0).
Эти числа, в силу определения 1 предела функции, яв-f (х) ляются пределами функций f(x)±g(x), f(x)-g(x), при
х -* а, что и требовалось доказать.
р (х)
Пример. Вычислить предел при х -> а пп\ -с , где Рп (х) = aQxn + Qm\x)
+ aIxn-14- ... +ani Qm(x) = boxm + bixm-1+ ... + bm и Qm(a)=/=0.
В соответствии co свойствами а), б), в) теоремы 4.4 будем иметь
Рп(х) = Рп(а) х->а Qm (х) Qm (а)
Теорема 4.5 (теорема сравнения). Пусть f(x), g(x), h(x)—функции, заданные на множестве А переменного х, имеющем точку а своей предельной точкой. Тогда:
а) если f(x)^g(x) при х^Аи существуют пределы lim /(х) х->а
lim g (х), то х->а
lim f (х)< lim g (х) **); х->а х->а
б) если при х е A f (х) g (х) h (х) и существуют пределы функций f (х) и й(х) при х->а, причем lim f (х) — lim h(x), х->а х-»а
то существует и предел lim g (х), при этом х->а
lim g (х) — lim f (х) — lim h (x). x-»a x->a x->a
Доказательство этой теоремы следует из определения 1 предела функции и теоремы сравнения для числовых последовательностей.
*) Рассматривая отношение
f(x) g(x) 9
мы требуем, чтобы g(x) =/=0 при
всех х е X. Следовательно, это отношение определено при всех х е X, и в
том числе при х = хп.
**) Если даже f(x) <g(x), то тем не менее можно лишь утверждать, что Игл / (х)< lim g(x) (ср. теорему (3.4)).
х->а х->а
80 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
§ 4. Понятие непрерывности функции и некоторые свойства функций, непрерывных в точке
1. Непрерывность функции в точке. Пусть функция f(x) задана на множестве действительных чисел X, для которого точка х = х0 является предельной и сама принадлежит этому множеству*). (Например, мы можем считать, что Х= (а, 6); в этом случае любая точка х е (а, Ь) является предельной точкой множества (а, Ь) и принадлежит ему.)
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если существует предел функции f(х) в точке х = х0 и он совпадает со значением f (х0) функции в этой точке.
Короче условие непрерывности f(x) в точке х = х0 можно записать формулой
lim f(x) — f (х0), (4.1)
Х->Хо
п так как lim х = хй, то (4.1) можно также записать в виде lim f (х) = f( lim х), (4.2)
X->Xo Х->Хо
т. е. для непрерывных функций можно переходить к пределу под знаком функции.
Если функция непрерывна в точке х0, то точку х0 будем называть точкой непрерывности f(x).
Замечание 1. Если функция f(x) непрерывна в точке Хо, то для любого е>0 существует 6(e) >0 такое, что неравенство
I f (X) — /(х0) I <е (4.3)
выполнено для всех х е X, удовлетворяющих требованию |х— х0|< 6(e), т. е. для всех хеХ из 6(e)-окрестности точки х0. Действительно, так как f(x0) есть предел f(x) при х—►Хо, то на основании определения 2 предела функции следует существование функции 6(e) и выполнение (4.3) при |х — х0| < 6(e).
Замечание 2. В отличие от определения предела функции f (х) в точке х = Хо, когда неравенство (4.3) должно было выполняться при х =/= а, теперь аргументу разрешается принимать также и значение х = х0, так как, очевидно, при х = х0 неравенство (4.3) заведомо выполнено.
Определение. Если функция y = f(x) имеет в точке х = а правый предел и он совпадает со значением f(x) в точ-
♦) Подчеркнем, что понятие непрерывности функции f(x) вводится только для тех точек, в которых эта функция определена.
§ »]
ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
81
ке х = %о, то мы говорим, что f(x) непрерывна справа в точке х = х0. Если же левый предел функции y = f(x) совпадает со значением f(x) в этой точке, то мы говорим, что f(x) непрерывна слева в точке х = х0.
2. Непрерывность функции на множестве.
Определение. Пусть функция f(x) задана на множестве А переменного х. Пусть множество В А составляют точки непрерывности функции f(x). Тогда мы говорим, что функция f(x) непрерывна на множестве В, и записываем это символически так:
Г(х)еС0(5) или
f(x)eC(fi).
Буквы Со и С означают здесь класс непрерывных функций, символ Со(В)—класс непрерывных на множестве В функций. Например, запись f (х) С0{(а, Ь)} означает, что функция f(x)
задана на интервале (а, Ь) и непрерывна в каждой точке этого интервала, т. е. для любого х0 е (a, b) lim f (x) = f (х0).
Х->Хо
3. Классификация точек разрыва.
Определение. Точка х = х0 называется точкой разрыва функции у = f(x), если
1) либо функция у = f(x) определена в точке х = х0 и эта точка не является точкой непрерывности f(x),
2) либо точка х = х0 является предельной точкой для области задания функции у = /(х), но f(x) в точке х = х0 не задана.
Пусть Хо — точка разрыва функции f(x).
а) Если при этом существует предел lim f(x), но либо х->х0
lim t (х) =/= / (х0), либо в точке х = х0 функция y = f(x) не опре-
делена, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва, б) Если существуют односторонние пределы lim f(x) =
= Лхо + О) и lim f(x) = f(x0 — 0), но f (х0 — О)Х=#Т(°хо + 0), х->хо-О
то точка хо называется точкой разрыва первого рода.
в) Если не выполнены возможности а) и б), то точка разрыва х = Хо называется точкой разрыва второго рода.
Примеры. 1. Пусть
f (х) = sign
— 1 при х < 0,
0 при х = 0,
1 при х > 0.
Функция f (х) е Со {(—оо, 0) U (0, оо)}, lim f(x) = —1,
Х->0—о
Поэтому точка х = 0 — точка разрыва первого рода.
lim f (х) = Ь х->0+0
82
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
2. Пусть
| х2 при х =/= О, I 1 при х = 0.
Здесь f (0 + 0) = f (0 — 0) = lim f (х) = 0. Точка х = 0 — точка устранимого х->0
разрыва.
3. Пусть
{— при х > О, X
1 при х < 0.
Здесь f(0)=l, но предел f (х) при х->0 и х>о не существует. Поэтому точка х = 0 —точка разрыва второго рода.
Определение. Функция f(x), заданная на [а, 6], называется кусочно-непрерывной на [а, 6], если она имеет конечное число точек разрыва первого рода и непрерывна во всех остальных точках сегмента [а, 6].
4. Локальная ограниченность непрерывных функций.
Определение. Функция f(x), заданная на множестве А значений переменного х, называется ограниченной сверху (снизу) на множестве Л, если существует число М(т) такое, что для всех х е 4
f (х) < М (f (х) > т).
Число М называется верхней гранью, а т — нижней гранью функции f(x) на множестве Л.
Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью, наибольшая из нижних граней — точной нижней гранью. Следующая теорема устанавливает некоторые свойства функций, непрерывных в точке.
Теорема 4.6 (теорема о локальной ограниченности непрерывных функций). Если функция f(x) задана в окрестности точки х = х0 и непрерывна в точке х = х0, то существует окрестность |х — х0| < 6 этой точки, в которой функция f(x) ограничена.
Доказательство. Согласно замечанию 1 к определению непрерывности функции, для любого е>0 существует 6(e) такое, что
If(х) — f (х0) 1 < е при |х — х0| < д(е). (4.4)
Фиксируем произвольное е > 0; тогда при х0—6(e) < х < < *о + б(е) имеем f(xQ) — е < f(x) < f(x0) + е, т. е. функция f(x) ограничена на интервале |х — х0|<6(е), и теорема доказана.
Приведем теорему, близкую к теореме 4.6. Если функция f(x) определена в окрестности точки х0 и имеет предел в этой точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
§ 4] ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 83
Действительно, отличие от условий доказанной теоремы состоит здесь лишь в том, что, быть может, [ (х0) ¥= Игл /(%)=-&. х-»хо
Поэтому \f (х) — Ь\ < е при 0 < |х — х0| < 6(e).
Таким образом, функция f(x) ограничена, так как в окрестности |х — х0|<6(е) точки х0
min {6 — е, f (х0)} (х)< max {6 + е, f (х0)}.
Следствие теоремы 4.6. Пусть функция f(x) задана в окрестности точки х = х0 и непрерывна в точке Хо; если при этом f(x0) =/= 0, то существует окрестность точки х0, в которой f(x) не меняет свой знак.
Действительно, выбирая e<|f(x0)|, согласно оценке (4.4) будем иметь f(x0)—е < f(x) < f (х0)+ е при |х — х0|<6(е). Так как е < |/(х0)|, то величины /(х0)—е, /(х0)+е имеют один и тот же знак, и следствие доказано.
Это свойство непрерывной функции называется свойством устойчивости знака.
5. Основные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.
Теорема 4.7. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х=х0. Тогда в этой точке непрерывны следующие функции:
1) сумма f(x) + g (х), разность f(x) — g (х),
2) произведение f(x)-g (х),
3) отношение f(x)/g(x), если g(xo)=#O*).
Доказательство этой теоремы следует из определения непрерывности функции и теоремы 4.4 об арифметических действиях под знаком предела.
Пусть действительная функция t=f(x) переменного х задана на множестве Д, пусть Ai^A — подмножество множества Д. Через В} обозначим множество значений функции t = f (х) при хеДь Пусть, далее, на множестве Bi задана действительная функция y = q(t).
Определение. Символом д/ = <р(/(х)) обозначим функцию, которая каждому числу хеД| ставит в соответствие число г/=<р(/), где t=f(x) **). Эту функцию y = q(f(x)) будем называть сложной функцией переменного х.
Теорема 4.8. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x=xQ, а функция ф(/) непрерывна в точке t = tQ=f(х0). Тогда сложная функция y = q(f(х)) непрерывна в точке х=х0.
*) Из свойства устойчивости знака непрерывной функции следует, что g(x) =/= О в некоторой окрестности точки хо и в этой окрестности определено отношение f(x)/g(x).
**) Эта функция, согласно нашим условиям, определена при всех так как /(ДО = В{ и ф(0 определена на множестве В\.
84 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. НХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
Доказательство. Согласно определению 2 непрерывности функции при 1х —х0| < 6/(е) \f (х) — f (х0) | = If (х) — /0| < < е, а при |/— /0| < 6ф(е) |ф(0—ф(М I < е- Пусть задано произвольное е > 0; покажем, что существует 6(e) такое, что при |х — х01 < 6(e) будем иметь
I <Р (f (х)) — q> (t0) | = | ф (f (х)) — ф (f (х0)) | < е. (4.5)
Действительно, положим б(е) = б/(бФ (е)); тогда при |х— х01 < 6(e) =б/(дф(е)), согласно определению функции б/, будем иметь
\f(x)-f(xo)\ = \f(x)-to\ <6ф(е), (4.6)
так что если обозначить /'(х)=/, то |/ — /о| <6.р(е) и |ф(/) — ф(М| = |ф(/(х)) — f(t0) I = k(f(x)) — ф(/(х0)) | < е согласно определению функции б(р(е). Теорема доказана.
Доказанная теорема может быть сформулирована также в связи с понятием предельного перехода.
Если to = f(xo) есть точка непрерывности функции <?(/), а функция f (х) непрерывна в точке х=х0, то
lim ф (/ (х)) = ф (lim f (х)). (4.7)
х->хо х->хо
Равенство (4.7) формулируют словесно следующим образом: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.
О функции ф(/) говорят как о суперпозиции функций ф и f. Доказанная теорема гласит, что суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
§ 5. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Понятие равномерной непрерывности
1. Достижение непрерывной функцией любого промежуточного значения. Для сокращения формулировок мы будем пользоваться в дальнейшем следующими символами, означающими непрерывность функции f (х) на отрезке [а, &].
Символом f(x) е Со {(а, Ь)} мы будем обозначать, что функция f(x) непрерывна во всех внутренних точках отрезка [а, Ь] и непрерывна справа в точке х=а и слева в точке х=Ь, т. е.
lim f(x) = f(a + O) = f (a),
x->a+0
lim f (x) = f (b— 0) = f (b). x->b—0
Символом f(x) GC0{[a, 6]}, как мы говорили выше, обозначается непрерывность функции f(x) во всех точках отрезка [а, Ь].
§ Б] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ 85«
Поэтому, если f(x) задана только на отрезке [а, Ь], то этот случай совпадает с предыдущим, т. е. f(x) еСо{(а, Ь)}.
Если же, например, f(x) задана на (а, 0) и [а, b] cz (а, 0), то запись f(x) е Со {[а, Ь]} означает, что limf (/) =f (х) при х е
t^x
е [а, 6]; таким образом, в этом случае
f(a-O) = f(a + O) = f(a), f(b — O) = f(b + O) = f(b).
Теорема 4.9. Пусть f(x)^CQ{{a, &)}, a—f(a), fi=f(b)=£ =/=а. Пусть число у заключено между а и 0, т. е.
(а — у) (0 - у) < 0.
Тогда найдется хотя бы одна*) точка се (а, Ь) такая, что f(c)=y.
Доказательство. Предположим для определенности, что а < 0. Обозначим через X множество точек х е [а, &], для которых непрерывная функция q(x)=f(x) —у отрицательна.
Это множество ограничено сверху хотя бы точкой Ь, поэтому по теореме о существовании точной грани у ограниченного множества (теорема 2.5), существует точная верхняя грань множества X. Пусть с = sup X. Покажем, что 1) с^(а, Ь) и 2) Ф(с) = 0.
Так как ср(а)=а— у < 0 и <р(х) —непрерывная функция, то согласно следствию из теоремы 4.6 функция ср(х) сохраняет свой знак в некоторой полуокрестности точки а: 0<х— а <6 и, следовательно, с > а. Аналогично можно установить, что с < Ь. Итак, доказано, что с — внутренняя точка отрезка [а, 6]. Покажем теперь, что f (с) =у, т. е. ср (с) =0. Если бы это было не так, то функция <р(х) сохраняла бы свой знак в некоторой окрестности |х — с| < б точки х=с согласно следствию из теоремы 4.6. Поэтому точка х=с не могла бы быть точной верхней гранью множества X, так как в любой окрестности точной верхней грани множества X должны быть точки, для которых f(x)<Z < у, т. е. <р(х) < 0, и точки, где f(x)>y, т. е. ф(х)>0. Поэтому f (с) = у, и теорема доказана.
Доказанная теорема говорит о том, что непрерывная на отрезке функция принимает любое промежуточное значение между ее значениями в концах отрезка по крайней мере в одной внутренней точке этого отрезка.
Геометрический смысл доказанной теоремы состоит в том, что существует хотя бы одна точка пересечения графика
*) Читатель легко может убедиться сам, что иногда таких точек может, быть несколько.
86
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
непрерывной функции y=f(x) с прямой у = у, если (f(a) —у) X X (f(^) —у) < 0 и эта точка лежит внутри отрезка [а, &] (рис. 11). Однако функция может принимать любое промежу-
рывной в точке х = 0, так как не а->0.
точное значение между любыми двумя своими значениями и не быть непрерывной.
Например,
I sin — , х ф О, /(*) = < х
I о, х = 0, очевидно, принимает любое промежуточное значение, но не является непре-существует предел функции sin — при
2. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.
Теорема 4.10 (Вейерштрасса). Неограниченная на замкнутом ограниченном множестве значений переменного х функция f(x) не является непрерывной на этом множестве.
Мы будем доказывать эту теорему, когда замкнутым множеством является отрезок [а, Ь]. Эта теорема обычно формулируется иначе: непрерывная на [а, Ь] функция f(x) ограничена на [а, Ь]. Легко видеть, что эти две формулировки эквивалентны.
Доказательство. Пусть f(х) неограничена на [а, &]. Это значит, что при любом М > 0 найдется точка х е [a, ft] такая, что |f(x)| > М. Поэтому зададим Mi = l и найдем х{ е [а, Ь] такую, что |f(xj)| > 1, после этого зададим М2 = 2 и найдем х2 [a, ft] такую, что \( (х2) | >2. Этот процесс будем продолжать неограниченно.
В результате мы получаем последовательность точек {хп} такую, что \f(xn) | > п. Последовательность {хп}, очевидно, ограничена, ибо а хп Ь. Поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть подпоследовательность [xrtjk) сходится к х, т. е. хп^ —► х при А-*оо. Очевидно, точка х есть точка отрезка [а, &], так как отрезок [а, Ь] есть замкнутое множество (содержит все свои предельные точки). Итак, последовательность [xrtJ —► х [а, Ь] при k—►оо; однако последовательность
не сходится при >оо, так как |/(*пл)|>Лл и >оо при k—>оо. Отсюда следует, что функция /(х) не является непрерывной в точке х е [а, Ь]. Теорема доказана.
Замечание. Существенно в условиях теоремы, что множество, на котором f(x) неограничена, является замкнутым. Дей-
§ 5]
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
87
ствительно, неограниченная на замкнутом множестве функция может быть непрерывной на его открытом подмножестве. Например, функция /(х):
fW =
при хе (0,1), при х = 0,
задана на [0, 1], но неограничена на [0, 1]. Эта функция непрерывна на (0, 1), но не является непрерывной на отрезке [0, 1], так как она разрывна в точке х=0.
Итак, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве/! функция f(x) ограничена на этом множестве как сверху, так и снизу, т. е. т f(x) М, хеА. Поэтому по теореме о существовании точных граней существуют supf(x) и inff(x).
А А
3. Достижение точных граней непрерывными функциями. Покажем, что множество значений непрерывной функции f(x) на замкнутом ограниченном множестве А замкнуто. Это означает, что если последовательность {f(xn)} сходится к числу f (f(xn)—*f при л-юо), то найдется точка хеА такая, что т. е. число f принадлежит множеству значений f(x) при х е А.
Теорема 4.11. Множество значений функции f(x), непрерывной на замкнутом ограниченном множестве А, замкнуто.
Доказательство. Пусть f(xn)—*f при п->оо. Ввиду ограниченности А из последовательности {хп} можно выбрать подпоследовательность {xrtJ, которая сходится к х0 при ft—>оо. Итак, xrtfe->x0 при ft—>оо, а ввиду замкнутости A Xq(=A. Так как f (х) непрерывна в точке Хо е А, то
Пт f(xn )= lim f (х„) = f (x0) = f.
/2-»oo
Теорема доказана.
Следствие. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А функция f (х) достигает на этом множестве своих точной нижней и точной верхней граней.
Действительно, согласно определению точной верхней и точной нижней граней множества они являются предельными точками этого множества. Но из доказанной выше теоремы следует, что любая предельная точка множества значений непрерывной на А функции f(x) принадлежит (если А замкнуто и ограничено) множеству значений f(x) на А. Это значит, что найдутся хт е Л, хм е А такие, что
f(xm) = inff(x), f(xM) = supf(x). А А
38
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЯ, ИХ СВОЙСТВА (ГЛ. (V
Обычно это следствие формулируют в виде теоремы для f(x)<=C0{(a, &)}.
Теорема 4.12 (Вейерштрасса). Пусть f(x) е €= Со {{а, &)},
tn— inf f(x), М= sup f(x). a^x^b
Тогда существуют xm е [а, 6] и хм е [а, Ь] такие, что f(xm) = tn, f(xM) = М.
Существенными требованиями для этой теоремы являются как замкнутость, так и ограниченность множества. Так, например, функция f(x)=x непрерывна на ограниченном интервале (а, Ь), но не достигает на нем своих граней, так как множество А в данном случае не замкнуто.
1
1 4-Х2
Функция
непрерывна на замкнутом, но неограниченном множе
стве А = [0, оо] и не достигает на нем своей точной нижней грани m = 0.
4. Равномерная непрерывность.
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве А переменного х, если для любого е > > 0 найдется 6(e) > 0 такое, что для любых двух точек х, х' множества А (х, х'еЛ), удовлетворяющих условию |х — х'| < < 6(e), выполнено неравенство
|f(x)-f(x')|<8.
Отличие этого определения от определения функции, непрерывной на Д, как функции, непрерывной в каждой точке А (см. § 4), состоит в том, что здесь функция 6 = 6 (е) должна быть общей для всех точек множества Д, в то время как непрерывность f(x) на А означает, что в каждой точке хе А существует функция 6 = 6(е) (так что мы можем писать 6 = 6(х, е)) такая, что |f(x) — f (х') | < 8 при |х — х'| < 6(е, х).
Проще всего пояснить это отличие примером.
Функция f(x) = — непрерывна на (0, оо). В самом деле,
II 11 I х — х' I 21 х — х' | х
г “ J г-1- < — 5-L > если х > О’ • хх-------------------------------------хх-х2-2
Полагая 6(e) = —, находим, что
f(x)eC0{(0, оо)}.
Однако эта функция f(x) не является равномерно непрерывной на *(0, оо),
§ Ы
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
89'
Действительно,
I t / \ £ 7 ,Х I | х — к' I I X — х' I , _
I f (х) - f (х ) I « xxi----> ------------» еСЛИ Х < Х-
Пусть выбраны е > 0 и 6(e) >0; тогда мы всегда можем выбрать х, х' е (0, оо) так, что будет выполняться неравенство |х— х'| 6(e), но
I/(X) - f(x') *1>е.
Для этого достаточно положить “j-j" < I х “ I Таким образом,
получено противоречие с предположением о равномерной непрерывности /(х) на (0, оо).
Определение. Колебанием о) функции f(x) на множестве А называется разность sup f (х) — inf f (х).
А А
Из определений равномерной непрерывности и колебания f(x) следует, что если f(x) равномерно непрерывна на [а, Ь], то для любого е > 0 найдется столь малое 6 = 6 (е) > 0, что колебание со функции f(x) на любом отрезке [с, d\ cz [а, Ь] будет меньше е, если только | d — с| < 6 (е).
Следующая основная теорема устанавливает связь понятий непрерывности и равномерной непрерывности функции f(x).
Теорема 4.13. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве А функция f (x) равномерно непрерывна на этом множестве А.
Эту теорему мы докажем для случая, когда множество А есть отрезок [а, Ь]. Таким образом, мы будем доказывать менее общую теорему:
если f (х) е Со {[а, 6]}, то f(x)—равномерно непрерывна на [а, Ь],
Доказательство. Предположим противное, т. е. что функция f(x) не является равномерно непрерывной на [а, 6]. Это означает, что для некоторого е > 0 и любого 6 > 0 найдутся точки х, х'е [а, 6] такие, что |/(х) — f(x')|<>e, хотя |х — х'| < 6.
Выбрав последовательность 6 = 6п>0 такую, что 6rt—>0 при n->oot мы можем определить две последовательности {хп} и такие, что \хп-х'п\<Ъп, но | f (xn) — f (%;)| >в. Ввиду ограниченности множества А из последовательности {хя} по теореме Больцано — Вейерштрасса можно выбрать сходящуюся подпоследовательность [xnJ. Пусть [xnjJ-*x0 при А->оо. Но тогда подпоследовательность {х'П/г} последовательности [х'} также сходится к х0, так как | хп^ — х'* | < 6П* и 6rt*->0 ПРИ k —> оо.
90 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
Итак, можно выбрать две сходящиеся последовательности {хял}->х°е=Д и [ху->хоеЛ, но последовательности и {l(Xnk)]> если и сходятся, то к разным пределам, так как I f (x”k) ~ f (х'пь) I > е’ Эт° противоречит определению непрерывности функции f(x) в точке х0. Теорема доказана.
§ 6. Монотонные функции
1. Существование односторонних пределов у монотонной функции. Определение монотонных функций было дано в § 1, п.З. Согласно этому определению, например, для неубывающей (монотонной) на (а, Ь) функции f (х) неравенство Xi < х2 при любых Xi, х2 е (а, Ь) влечет за собой неравенство
fM<f(x2). (6.1)
Если же при любых хь х2е(а, Ь) из неравенства Xi < х2 следует неравенство
f(xl)<f(x2), (6.2)
то функция f(x) называется возрастающей (строго монотонной).
Аналогично определяются невозрастающие и убывающие монотонные функции.
Монотонные функции образуют важный класс функций, обладающих рядом специфических свойств, к изучению которых мы переходим.
Теорема 4.14. Пусть f(x) монотонна на (а, Ь). Тогда в каждой точке gG (а, Ь) существуют односторонние пределы
f(&-0) = lim f(x), /а + 0)= lim f(x). (6.3)
0 х->£ + 0
Для определенности положим, что f(x) не убывает на (a, ft); тогда
fu-oxfaxfu + o). (6.4)
Доказательство. Множество значений функции f(x) при а < х < £ ограничено сверху, так как, очевидно, f (х) sg:f(£), поэтому оно имеет точную верхнюю грань а, при этом а^/(£). Докажем, что f(£ —0) = (lim f (х) = а. Во-первых,
Х-»£-0
очевидно, что f(g — 0) а. Пусть е > 0. Тогда существует 6 > > 0 такое, что а — е < f (£ — д) а, согласно определению точной верхней грани. Поскольку f(x) монотонна, то при х > > £ — 6 имеем f (х) f (g — 6) > а — е. Отсюда следует, что
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
91
§ G]
/(£ — 0) = lim f(x)>a — е при любом е > 0. Итак, мы дока-х->£—О зали, что
lim f(x) = /a-O) = a<fa). (6.5)
х->£-0
Аналогично доказывается вторая часть неравенства (6.4). Теорема доказана.
Может случиться, что f(% — 0) =/(£); тогда говорят, что f(x) непрерывна слева в точке х=£; если же f(£)=/(£ +0), то функцию f(x) называют непрерывной справа в точке х=£.
Следствие. Монотонные функции не имеют точек разрыва второго рода. Действительно, согласно доказанной теореме в каждой точке £ е (а, Ь) существуют левый и правый односторонние пределы, поэтому все точки разрыва монотонных функций — точки разрыва первого рода.
2. Счетность множества точек разрыва монотонной функции.
Теорема 4.15. Множество точек разрыва монотонной на (а, Ь) функции f(x) не более чем счетно.
Доказательство. Допустим для определенности, что f(x) не убывает. Пусть точка (а, Ь) —точка разрыва f(x), тогда согласно (6.4)
fa-ox/a+o).
Следовательно, существует рациональное число r=r(g) = £ такое, что
Ясно, что если g2 > то r(£2) > r(^i), так как ra2)>f(^2-o)>f(g1 + o)>ra1).
Таким образом, каждой точке разрыва (a, b) поставлено в соответствие рациональное число и разным точкам разрыва — разные рациональные числа. Следовательно, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек разрыва функции f(x) на (а, Ь) и подмножеством множества всех рациональных чисел, которое, как мы видели в гл. II, § 1, п. 6, счетно.
Теорема доказана.
Если функция f(x) не монотонна на [д, ft], то множество точек разрыва }(х) может быть не счетным. Например, функция Дирихле
(0, если х — иррациональное число, 1, если х — рациональное число,
разрывна во всех точках прямой —оо < х < оо.
3. Условие непрерывности монотонной функции. Мы видели в § 5, что произвольная, непрерывная на [a, ft] функция f(x)
92
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
принимает в некоторой промежуточной точке £ (а, Ь) любое
значение, промежуточное между f(a) и f(b) (см. теорему 4.9). Таким образом, принадлежность множеству значений функции f(x) при хе (а, Ь) любого значения, промежуточного между f(a) и f(b), есть необходимое условие непрерывности f(x) на [а, Ь]. Для монотонных функций это условие является и достаточным, о чем говорит следующая теорема.
Теорема 4.16. Пусть f(x) монотонна на [а, &] и принимает любое значение у, промежуточное между значениями а=/(а) и Р=/(6). Тогда f(x) е С0{(а, &)}.
Другими словами мы можем сформулировать эту теорему так: монотонная на [а, Ь] функция f(x) е С0{(а, Ь)}, если множество ее значений на [а, &] есть отрезок [а, р], где a=f(a), р = =f(b) (мы для определенности считаем, что f(x) не убывает).
Доказательство. Если а = р, то f (х) = a = P = const на [а, Ь] и поэтому f(x) непрерывна. Пусть a<p, g (а, Ь) и y = f(i). Покажем, что lim f(x)= lim f(x) = y. Действи-x-> £—0 х->£-Ь0
тельно, согласно (6.4) /(£ — 0)^у и f(£ + O)^Y- Пусть, например, /(£ —0)<у, тогда функция f(x) не принимает значения 6 при f — 0) < 6 < у, так как при х > g f (х) > f (£) = у > 6, а при х < I f (х) f (£ — 0) < 6. Поэтому f (£ — 0) = у. Аналогично доказывается, что f (£4-0) = у. Это и означает непрерывность f(x) в любой точке £ е [а, 6]. Теорема доказана.
4. Существование обратной функции. Строго монотонная функция обладает тем свойством, что каждое значение у=/(£) она принимает только в одной этой точке £. Действительно, пусть, например, f(x) возрастает на [а, &]; тогда при х<£ f(x) </(£), а при х>£ f(x)> f(l). Если же строго монотонная на [а, &] функция y=f(x) также и непрерывна и a=f(a), P=f(&)> то на отрезке [а, р] (мы считаем, что a < р, т. е. f(x) возрастает) существует обратная функция х=ф(у) =f~{ (у), которая также строго монотонна и непрерывна. Таким образом, мы утверждаем, что справедлива следующая теорема.
Теорема 4.17. Если f(x) ^CQ{(a, b)} и функция y=f(x) возрастает*) на отрезке [а, &], то на отрезке [/(a), f(b)] существует строго монотонная и непрерывная обратная функция х= е Со{(f(a). КЬ)}}.
Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает на la, 6]. Так как f(x) eC0{(a, Ь)}, то по теореме о промежуточном значении 4.9 функция y—f (x) принимает любое значение из отрезка [f(a), f(b)]. Так как f(x) также mohotqhhq возрастает, то любое значение y^[f(a), f(b)] функция f(x) принимает только в одной точке х е [а, 6], ибо f(x) Cf(x') при х < х'.
*) Случай монотонно убывающей функции рассматривается аналогично.
§ 7] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ 9?
Таким образом, соотношение
y = fM (6.6)
задает взаимно однозначное соответствие отрезков [а, &] оси абсцисс и [f(a), f(b)] оси ординат. Поэтому каждому у е e[f(a), f(b)] отвечает единственная точка х=ф(у) е [а, &] такая, что
у(«/)]•
Ясно, что если у > у', то х=ф(г/) > х' = ф(у'), т. е. функция х=ф(//) монотонно возрастает на [/(a), f(b)].
Итак, обратная функция х=ф(у) определена и монотонна на отрезке [f(a)t f(b)] и принимает любое значение, промежуточное между a = q(f(a)) и 6 = ф(/(&)). Поэтому на основании теоремы 4.16 функция х=ф(у) непрерывна на отрезке [f (a), f(b)], и мы можем записать:
lim ф (у) = <р (//0) ==ф (f (х0) )•
У-*Уо
Теорема доказана.
§ 7. Непрерывность простейших функций
Мы рассмотрим сейчас основные (элементарные) функции и определим области, в которых они непрерывны.
1. Степенная функция. Степенная функция у=хп, где п — целое неотрицательное число (п О), непрерывна на всей бесконечной прямой, т. е. при —оо < х < оо. Итак, мы можем записать хп С {(—оо, оо)}, если п 0 — целое число.
п. раз
В самом деле, у = хп = х-х ... х есть произведение из п непрерывных функций и по теореме о произведении непрерывных функций есть функция непрерывная. Итак,
lim xn = xnQt х->х0
Функция у = хп, где п — целое отрицательное число, непрерывна во всех точках оси х, кроме точки х = 0. В самом деле,
У = = (m = -n>0).
По теореме 4.7 у(х) непрерывна во всех точках, кроме точки х=0. В точке х=0 функция у = хп при п < 0 не определена, а предел у(х) при х—>0 не существует. Поэтому точка х=0 — точка разрыва второго рода. Итак,
feC[(- оо, 0)U(0, +оо)] (п<0)
94
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. [V
и область непрерывности функции у(х)=хп совпадает с областью ее определения.
Теперь рассмотрим степенную функцию у=ха при произвольном действительном а. Эта функция определена при х > О и во всех точках интервала (0, оо) непрерывна. В самом деле,, пусть, например, х > х0 > 0, тогда
/ х \п <; f—V < ( х \ *0 / \ *0 / \ *0 / '
где п = [а].
Согласно предыдущему
lim (—Г=1, Х-»Хо ' Х° '
поэтому *)
lim (—V=1
И
lim |</(х) —z/(x0)| = x“ lim 11 = 0.
х-»хо+О x-»Xo+0L\xO/ J
Аналогично устанавливается, что lim | у (х) — у (х0) | = 0, и х->х0—0
поэтому функция у = х'1 непрерывна на (0, оо). Если а>0, то 0а = 0 (по определению), поэтому
хаЕС0{[0, оо]} при а?>0, хаЕС0{[0, оо]} при а<0.
Аналогичными рассуждениями легко показать, что если функция ха определена при х < 0 (это имеет место для рациональных а = у, где q нечетно), то там же эта функция и непрерывна.
Итак, функция у = х^ непрерывна во всех точках, где она определена.
Упражнение. Доказать, что рациональная функция
.. (И = Рп(х) = УЯ + УП~'+ ••• +ап_)Х + ап QmW v'n + Vn”‘ + ---+^-/ + ^
непрерывна во всех точках оси х, кроме тех, которые являются корнями полинома Qm(x).
*) На основании теоремы сравнения 4.5.
$ 7]
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПРОСТЕЙШИХ ФУНКЦИЙ
95
2. Показательная функция. Показательная функция у = ах при а > 0 определена при всех х, т. е. на интервале (—оо, оо). Докажем, что в любой точке этого интервала она непрерывна. Для этого введем обозначение ах — аХ9 = е и проведем следующие оценки.
Пусть а>\ и x>Xq, но х — *о<"“ (где и —целое положительное число); тогда
и — 1, т. е. > 1 + еа~х°,
или
а >(1 + ея-*°)п.
Раскрывая здесь скобку по формуле бинома Ньютона, получим
а > 1 + мед-*» 4- ^2"~1 е2 • а~2х® + ...,
откуда следует, что
а > 1 + пеа~Хо и е<ах®----------.
' п
Аналогично можно установить, что при х$>х и х0 —х<~ ах* [ 1 — ах~х>] < ах> • -а ~ 1.
Итак, если |х — х0К~ и о>1, то
| ах — ах> | = | у (х) — у (х0) | = | е | < ах> • .
Из полученной оценки вытекает, что показательная функция непрерывна в любой точке x = xQ. Действительно, пусть задано е>0: тогда при | х — х01 < 6 (е), где д (е) = _1 . , имеем
1 g ‘1 +1
L еа *° J а*°|<е- Итак, ах е С{(— оо, оо)}.
3. Логарифмическая функция. Как мы уже отмечали в §2, п.З, логарифмическая функция y=\ogax является обратной к показательной функции и может быть задана формулой
х = ау (а>0).
Функция ау монотонна на бесконечном интервале —оо < t/<oo и непрерывна на нем согласно п. 2.
Пусть, например, а > 1. Функция ау имеет областью своих значений интервал (0, оо), так как ау-+0 при у—►—оо и ау —► оо при //—>оо. Поэтому по теореме 4.17 обратная функция i/ = logax определена, монотонна и непрерывна на интервале (О, оо).
96 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
В § 2, п. 3, мы говорили лишь о том, что функция f/=logaX расзнством х=а^ задана только для тех значений хе (0, оо), которые являются значениями показательной функции аУ. Теперь мы видим, что все хе (0, оо) являются значениями этой функции х—аУ. Поэтому обратная функция y = \ogax определена при всех хе (0, оо). Итак, logaxeC{(0, оо)}.
4. Гиперболические функции. Из того, что при а > 0 ах е е С{(—оо, оо)} и, в частности, ех е С{(—оо, оо)}, следует, что гиперболические функции также непрерывны в следующих областях:
sh х = С {(— оо, оо)},
chх = е + -— е С{(— оо, оо)},
th х = е С {(— оо, оо)},
cth х = е С {(— оо, 0) U (0, оо)}, так как sh 0 = 0.
5. Тригонометрические функции. Так как sinx — sinx0 = = 2 cos - + х° - sin , то
| sin х — sin х0 К 21 sin | < 2 | ~Xq• | == I х — х01 *).
Отсюда следует непрерывность функции sin х при любом х. Аналогично, из равенства
п . X + XQ . X — Хо
cos х — cos х0 = —2 sin —• sin ——-
вытекает непрерывность функции z/ = cosx. Итак, sin хе еС{(—оо, оо)}, cosxeC{(—оо, оо)}. Для установления непрерывности остальных тригонометрических функций во всех точках области определения следует пользоваться теоремой о суперпозиции непрерывных функций (§ 4).
Обратные тригонометрические функции рассматривались в § 2, п. 4. Возьмем, например, функцию у = arcsinx и покажем, что она определена на отрезке [—1, 1] и является на нем непрерывной и монотонной. Функция x=sinr/ непрерывна и монотонна на отрезке (непрерывность была установлена
*) Неравенство |sin х| < |х| получено нами из наглядных геометрических соображений. Более строго оно может быть получено на основании определения функции sinx как суммы ряда (см. гл. VI, § 4, п. 2).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ
97
§ 8]
в предыдущем пункте, монотонность следует, например, из формулы
п / Л'1 + х2 . Х2 — Х} \
Sin Х2 — Sin Xi = 2 I COS —-? Sin -£—2 I •
Применяя теорему 4.17 из § 6 к функции x=sinz/, получаем, что обратная функция i/ = arcsinx определена, непрерывна и монотонна на отрезке [—1, 1].
Аналогично устанавливается непрерывность других обратных тригонометрических функций во всей области их определения.
§ 8. Вычисление замечательных пределов
1. Первый замечательный предел. Здесь мы вычислим два предела функций, имеющих большое значение в анализе.
Рассмотрим функцию
(8.1)
которая, очевидно, определена при любых х=И=0. Предел этой функции в точке х = 0 называется первым замечательным пределом.
Теорема 4.18. Имеет место равенство
«. sin х. <
lim--------= 1
V—кЛ %
Доказательство. Как мы справедливы неравенства 0<sinx<x
и при —<х<0 0>sinx>x.
Покажем, что при 0 < | х | < -у
видели в § 2, при 0<х<-у
Рис. 12.
I х | < | tg х |.
На рис. 12 изображена часть окружности единичного радиуса. Площадь треугольника OCD равна -|-| CD 1 • | ОС | = у| CD | = “"yltgxl и, очевидно, больше, чем площадь сектора ОАС,
98
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. IV
равная у| х |. Таким образом, имеем *)
I X К I tg X |.
Ясно, что это неравенство сохраняет силу и в 4-й четверти, т. е. при —“<х<0. Поэтому мы можем записать:
при 0<х<-^- 0<sin x<x<tgx, (8.2)
а при 0>х>—у 0>sinx>x>tgx. (8.3)
Деля неравенства (8.2), (8.3) на sinx, получим следующие неравенства:
Sin X COS X
ИЛИ
sin х «
cosx<-^—< 1,
(8.4)
справедливые при 0<|х|<-у.
Как мы видели в § 7, функция cosx непрерывна в точке х=0 и ее значение в точке х=0 есть cos 0=1. По теореме сравнения 4.5 из неравенств (8.4) получаем, что существует предел функции si" х при х —> 0 и он равен 1. Итак,
|jm-^ = l. (8.5)
ж->о х
Теорема доказана.
Как следствие этой теоремы заключаем, что функция
sin х X
(х¥=0), (х = 0)
(8.6)
*) Мы пользуемся здесь понятием площади криволинейной фигуры —сектора О АС — понятием, которое само связано с предельным переходом. Поэтому неравенство |x|<|tgx|, так же как и |sinx| < xt нельзя считать строго обоснованным, ибо мы привлекаем интуитивные геометрические представления о площади фигур и длине кривых. Мы, однако, миримся с этой т, sin х
нестрогостыо. Более строго предел отношения —-—при х->0 может быть установлен, если пользоваться формальным определением функции sin х как суммы ряда
п х2п+\
Sln« = 2(-1) (2п+ 1)1 * и=0
С этим рядом мы встретимся в гл. VI, § 4, п. 2.
§ 81
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ
99
непрерывна в точке х=0. Так как функция(х=/=0) непрерывна в любой точке х=И=0, то мы видим, что функция f(x), заданная условиями (8.6), непрерывна при любом х, т. е. f(x) <= е С{(—оо, оо)}.
2. Второй замечательный предел. Рассмотрим теперь функцию fW = (l (8.7)
Мы видели в гл. III, что
оо
е = 1 и е==г lim (1 4"4') (п — целое число).
Покажем теперь, что существует предел /(х) при х—>оо, ный е.
Теорема 4.19. Имеет место равенство
lim (1 +— V = e.
рав-
(8-8)
Доказательство. Напомним, что символом [х] мы значаем целую часть числа х. Пусть х>1, тогда имеют оценки
обо-место
1 (X]’
1 \W+1
1 _|_____!___
1 [x] + 1
/ 1 \ [•*
0 + [X] + 1 )
Введем в рассмотрение функции g(x) и Zt (х):
, , X I. , 1 \1*)+1
(8.9)
(8.10)
где п = [х].
(8.П)
X
Если х—>-|-оо, то [х] = п —>4-°о, поэтому lim g(x) = lim (1 4-—L-)"= ijm (14.IV-1 :->4-oo n-»4-oo \ ЛТЧ Л-»4-оо \ */
lim
— е.
lim
(8.12)
Аналогично имеем
lim й(х) = lim (14-т) = lim (14-~) Hm (14--^=e.
X->4-oo fl->4-oo\ Л/ fi->4-oo \ tl / \ Л/
(8.13)
100 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. ИХ СВОЙСТВА (ГЛ; ГУ
Из неравенств (8.9), которые запишем в виде g(x)<(l +-Ь) <й(х) (х>1),
и (8.12), (8.13) после применения теоремы сравнения из § 3 следует, что существует предел
lim (1 4--М* = е. (8.14)
Х-> + оо \ Х /
Вычислим теперь lim (1 +-Ц*. Положим х = —1, тогда
Х->-оо\
/-> + °° при X—>—-оо И
(8.15)
На основании (8.14) теперь имеем
.^.(1+Я=[4-1Г”с- <8Л6>
Ввиду того, что lim (1 4--М = lim (1 +—) , заключаем: Х-»+оо \ Х ' х-»-оо \ Х<
^lim (14-1)* = е. (8.17)
Теорема доказана.
Предел (8.17) называется вторым замечательным пределом.
Полагая в формуле (8.17) х = \Ц и учитывая, что при t =* = 1/х->0 х->оо, получаем
lim(l +/)'/< = е.
Г->0
(8.18)
3. Примеры. В качестве примера рассмотрим следующую задачу: найти предел в точке х = 0 функции
Так как — — 1п(1 + х)'!х и учитывая, что функция Inz непрерывна при z=l, имеем
!im ln(l +x) = limln (1 Ч- x)I/x = In Г lim(l 4- х),/ж1. (8.19)
*-►0 х х->0 L*->0 J
СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИИ
101
§ 9] .
Выражение, стоящее в квадратных скобках, согласно (8.18) равно е. Поэтому
|iraln(l+xLelne=L Х->0 Х
Итак, lim 1п('+х) =1. (8.20)
х->0 х
Наконец, вычислим еще один предел:
lim —-—. х-»о х
Пусть х = 1п(1 + 0- Тогда ех = /4-1 и lim е ~ = lim = Нт = 1 (8.21)
х->о х /->.о1п0 + 0 ,->01п(1+/)
согласно (8.20).
§ 9. Сравнение функций с точки зрения предельного перехода
Пусть функции f(x) и g(x) заданы в окрестности точки х — х0. Пусть lim g(x) = 0. Тогда будем говорить, что функ-х->х9
ция g(x) есть бесконечно малая в окрестности точки х = ха.
Если существует
Пт Ж. =/=0,
->x.^W
то мы будем говорить, что функции f(x) и g(x) имеют один и тот же порядок малости в окрестности точки х — х0. Если же f (х)
lim -\ \ =0, то мы будем говорить, что функция f(x) имеет
Х->Х0
более высокий порядок малости, чем g (х), в окрестности точки x = xQ.
Если
lim-^- = a=A0, К-»Ха ®
то мы будем писать, что f(x) = O (g (х)) при х -» х0 (О — большое); если же
lim -Ц4 = °>
то пишем f (х) =« о (g (х)) при х-*х0 (о —малое).
102 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ, ИХ СВОЙСТВА [ГЛ. TV
Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными в окрестности х0, если
Очевидно, что при х->х0 функция (х — х0)т есть бесконечно малая, если /п > 0; мы будем говорить, что это бесконечно малая порядка т.
Если f (х) = О ((х — x0)w), т. е.
lim г-^Цн = а=#=0, (9.1)
то мы будем говорить, что функция f(x) имеет порядок малости т в окрестности точки х = х0. Из (9.1) следует, что
f (х) = а (х — х0)т + о [(х — х0)т]. (9.2)
f (х)
Действительно, согласно (9.1) разность • \т~а есть бес-(X — Хо)
конечно малая величина при х->х0; обозначим ее через 0(х); Р(х)->0 при х—>х0. Отсюда имеем
(х - х0)т ~ а = Р <х)
И
f (х) = а (х — x0)m + (х — х0)т Р (х).
Так как lim Р(х) = 0, то отсюда следует (9.2). х-»ха
Пример.
-^=1 + р(х).
Так как lim Р(х) = 0, то sinx = O(x) при х->0 и sin х = х + о (х) при
Если при х —> х0 функция g(x) неограниченно возрастает, но существует конечный предел
lim Д^- = а=/:0, x^.x>g(x)
то мы говорим, что / (х) и g(x) имеют одинаковый порядок роста при х —> х0.
Функция (х — Хо)-"* неограниченно возрастает при т > 0 и х->х0; мы будем говорить, что она имеет порядок роста т при х —> х0.
$ S]
СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИИ
103
Если существует предел
Iim = lim f W (х “ xo)m = 0=560 Х->Х. *<М х-»х,
и т > 0, то мы будем говорить, что функция f(x) в точке Хо имеет порядок роста т при х -* х0.
Теорема 4.20. Пусть функции f (х) и g (х) — эквивалентные функции в окрестности точки х=х0. Тогда, если существует предел
lim f (х) h (х) = а, (9.3)
Х">Ха
то существует и предел lim g (х) h (х) = а. (9.4)
х->хв
Доказательство. Действительно, g W h (х) = f (х) h (х) .
Так как lim = 1, a lim f (х)й(х) = а согласно (9.3), то х-»хв * х->Хо
отсюда следует (9.4), и теорема доказана.
Доказанная теорема говорит о том, что любой сомножитель (либо делитель) под знаком предела может быть заменен на эквивалентный ему сомножитель (либо делитель).
Однако заменять слагаемые эквивалентными им функциями можно не всегда. Рассмотрим пример:
х / х \ 2
. 2sin2 -77- , / sin —• \
f. 1 — cos х ,. 2 If./ 2 1 '
lim-----5---= lim------—-5- =t lim I -----
x->o x x-»o 4 j x->oy x J 2
Если же мы заменим cos х эквивалентной при х->0 функцией f(x) = 1, то получим неправильный результат:
В дальнейшем (см. гл. VI, § 7) мы увидим, что заменять слагаемые при вычислении предела эквивалентными в более точном смысле величинами можно, если учитывать порядок малости (либо порядок роста) всей суммы.
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Понятие производной
1. Определение производной. Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки х = Хо. Величина At/ = =f(x0-f-Ax) —f(x0) называется приращением функции y=f(x) в точке Хо при приращении аргумента на Ах.
Определение. Если существует предел
lim Л^= lim Hx0 + Ax)-f(xo)
Дх->0 &х Дх->0 ^х
(1.1)
то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке Хо.
Производную функции у — f (х) будем обозначать символами у'(х0), {'(х0), Итак,
/(*о) = lim ^- = 1'(хй)= lim Нх0 + Дх) - / (х0)
Функция y—f(x), обладающая производной в точке х0, называется дифференцируемой в точке х0. Функция f(x), дифференцируемая в каждой точке х е А множества Д, называется дифференцируемой на множестве А. Дифференцируемость f(x) на множестве А мы будем обозначать символом f (x) ^D{(A) и говорить о £>1(Д) как о классе дифференцируемых на А функций.
Заметим, что для величин Дх и х0 можно использовать другие обозначения. Например, тот же самый смысл, что и (1.2), имеет формула
/(х) = lim £(х.+ ло-/(х)
* ' ’ Д/-*0
а также еще одна формула:
/'(х) —lim
(1.3)
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
105
§ и
которая получается из (1.2) заменой Дх=/— х. Согласно определениям производной и предела имеем равенство
А='<« + ^-'М-ГМ + а(Лх), (1.4)
где а(Дх) —► 0 при Ах-*0. Таким образом, отношение при достаточно малых значениях приращения Ах близко к значению производной f'(x) (если, конечно, функция f(x) дифферренци-руема в точке х); это отношение называется первым разностным отношением или разностным аналогом производной у'(х).
Разностные отношения широко используются при численных расчетах во многих математических задачах. Ими заменяют с некоторой точностью производные функций, которые при численных расчетах не всегда могут быть найдены точно.
2. Теорема о непрерывности дифференцируемых функций.
Теорема 5.1. Функция f (х), дифференцируемая на множестве А переменного х, непрерывна на этом множестве А.
С помощью символов, введенных ранее, теорема формулируется так: если f (х)е то f(x)e Со(Л).
Таким образом, теорема утверждает, что любой элемент /(х) класса функций DL (на любом множестве А) есть одновременно элемент класса Со, т. е. имеет место включение
£>1<=С0 (1.5)
класса Dt в класс Со.
Доказательство. Пусть f(x)e£>i(4) и х — любая точка А. Значит, существует предел
ГМ-Ип. + =|1п1ЖЕ£М. (16)
Дх-»О t-*x 1 Х
Имеем _
(t-x), или
f(O=f(x) + ^ZZJx) (t-x). (1.7)
Переходя в (1.7) к пределу при t— х->0, видим, что на основании (1.6) существует предел f(t) при t-*x, при этом limf(f) = f(x). t-+x
Это означает, что функция f(x) непрерывна в каждой точке хе Л, и теорема доказана.
3. Понятие об операторе дифференцирования. Пусть функция y=f(x) задана на [а, &] и дифференцируема в каждой точке хе (а, 6), т. е. /(х) е/)|{(а, &)}. Будем говорить, что производная y'=f'(x) получается в результате действия на функцию
106 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. V
](х) b)} оператора дифференцирования, который бу*
дем обозначать либо символом--^-, либо D. Таким образом, символ Df(x) означает результат вычисления производной в точке x s (а, Ь). Для того чтобы вычислить Df (х) = f (х), надо совершить предельный переход <->х в формуле (1.3).
Мы будем говорить, что оператор дифференцирования D определен на классе Ь\ {(а, Ь)} дифференцируемых на (а, Ь) функций, а результат.дифференцирования — функцию Df(x) — — —будем называть значением оператора D.
§ 2. Механический и геометрический смысл производной
1. Механический смысл производной. Вернемся к механи* ческой интерпретации производной, которую мы уже обсуждали в гл. I.
Пусть у = f (х) означает путь, пройденный материальной точкой за время от t = 0 до t = х. Тогда величина
Af/ = Z(x +Дх) —f(x)
есть величина пути, пройденного за время от t = х до t = х + Дх; отношение
Ду f(x+ \х) — f(x)
&х
Ьх
есть средняя скорость точки за время от t = х до / = х-|-Дх, а предел (если он существует)
lim *L = Нт Нх + Дх)-/(х)
Дх->0 ^х Дх->0 ^х
= f' W
называется мгновенной скоростью точки в момент времени t = х.
Таким образом, задача определения производной f'(x) (зависимость у — f(х) задает путь тела как функцию времени х) есть задача определения мгновенной скорости тела.
2. Геометрический смысл производной. Коснемся теперь более подробно геометрического смысла понятия производной. Пусть функция y = f(x) задана на некотором интервале (а, Ь). Изобразим на рис. 13 график функции y = f(x), и пусть точки М и Mt имеют абсциссы хе (а, Ь) и t — х -|- Дх е (а, Ь) и ординаты y—f(x) и (/) =/(х + Дх), т. е. точки М и Mi лежат на графике функции. Через точки М, Mi проведем секущую MMi и обозначим через а(Дх) угол, образованный этой секущей с осью у = 0.
$ 2] МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Ю7
Касательной к графику функции y = f(x) в точке М называется прямая, получаемая из секущей MMi предельным переходом Mi М.
Любая секущая MMi проходит через точку М, и поэтому ее положение на плоскости однозначно фиксируется заданием угла а, образуемого ею с осью Ох. Угол а для секущей AlAfj зависит от точки Mi (от Дх), т. е. а = а (Mi).
Прямую, проходящую через точку М и образующую угол ао о осью Ох, будем называть предельной для секущих ММ\ при Mi—>М, если а0= lim a(Mj).
Покажем, что если функция /(х) дифференцируема в точке х,
то в этой точке определена и касательная, т. е. угол ао- Согласно рисунку
имеем
= Пх+Дх)-}(*). = f (Дх) Дх Дх 6 ' '
и
а (Дх) = arctg .
(2.1)
(2.2)
Как мы видели в гл. IV, § 7, обратные тригонометрические функции непрерывны во всех точках их определения, в част» пости arctgzeC{(—оо, оо}. Поэтому в равенстве (2.2) можно перейти к пределу под знаком функции arctg.
Следовательно,
lim а (Дх) = ао = arctg( lim = arctg f'(x). (2-3)
Дх->0 \Дх-»0 лх/
Равенство (2.3) показывает, что существует предельное значение угла а(Дх) при Ах-* 0, т. е. предельное положение секущей MMi при Дх—>0. Заметим, что при Дх->0 точка Mi-*M, так как __________
р (Л!, М') = У Ах2 + Д</2 = Дх ]/1 + (-£02 -> 0
при Дх->0. Тем самым мы показали, что если f(x) дифференцируема в точке х, то в этой точке существует касательная. При этом угол ао, образованный касательной и осью абсцисс, связан со значением f'(x) производной функции f(x) равенством (2.3), которое мы перепишем в виде
!' (х) = tg Оо- (2.4)
108 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (ГЛ. V
Таким образом, величина, производной f'(x) равна тангенсу угла, образованного касательной и осью абсцисс. Эту величину называют также угловым коэффициентом касательной или, короче, наклоном касательной.
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения
Теорема 5.2. Пусть функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х. Тогда дифференцируемы в этой точке сумма, разность, произведение и отношение этих функций (при этом в последнем случае предполагается, что v (х) =0) и имеют место формулы
[и (х) ± v (х)]' = и' (х) ± о' (х), (3.1)
[и (х) v (х)]' = и' (х) v (х) 4- и' (х) и (х), (3.2)
Г «(*)]' и'(х) v(x)— v'(x) и(х) ,,,
L v(x) J “ v*(x) *
Доказательство, а) Пусть у (х) = и (х) ± v (х); тогда
Ду = Ди ± До,
lim = lim ± Hm = и' (х) — v' (х),
и формула (3.1) доказана.
б) Пусть теперь у (х) = и (х) v (х); Ду = у (х -f- Дх) — у (х) — -=и(х 4- Дх)о(х 4- Дх) — u(x)v(x) = [и(х 4- Дх) — u(x)]v(x 4- Дх) 4-4-и (х) [о (х 4- Дх)—о (х)] = v (х 4- Дх) Ди + и(х) Ду- Отсюда имеем
-Й- = у(х + Дх)-Й-4-«(х)47-
Согласно теореме 5.1 из дифференцируемости о(х) следует непрерывность о(х) в точке х; поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при Дх->0 и замечая, что
lim v (х 4- Дх) — v (х), lim 4^- = u'(x),
Дх-*0 Дх-*0 ах
lim ^7 = у'(х),
Дх-»о
Ду находим, что левая часть — — также имеет предел при
Дх-»0 и имеет место формула (3.2).
Заметим, что из формулы (3.2) следует, что если С — постоянное .число, то
[Си(х)]' =*Си' (х).
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
109
М)
Это равенство получаем из (3.2), положив v(x) = С и учитывая, что С' = 0.
в) Наконец, пусть у(х) = -^| и и(х)=#0*). Тогда и ixj
ку ___ 1 Г Ц (х + Дх) и (х) 1 _ 1 Ц (х + Дх)и(х) — и (х 4- Ах) и (х) _
Дх Дх L и (х + Дх) у (х) J Дх v (х + Дх) и (х)
__ [ц (х + Ах) — и (х)] о (х) — ц (х) [а (х + Дх) — у (х)| _
Дх v (х + Дх) и (х)
__ D (х) Ди — ц (х) \у Дх у (х + Дх) у (х)
Переходя в этой формуле к пределу при Дх —► 0, получаем, что существует предел отношения при Дх->0 и имеет место формула (3.3).
Теорема доказана.
§ 4. Дифференциал функции
1. Понятие дифференциала. Пусть функция у = f (х) дифференцируема в точке х и обладает в ней производной f'(x)=A. Это значит, что существует предел
lim = lim
Дх-»0 Дх-»0
/ (х + Ах) — /(х) Дх
= А.
Значит, величина
а (х, Дх) = — А
у ' Дх
есть бесконечно малая величина при Дх->0, т. е.
&у = f (* + Ах) — f (х) = Л Дх + Дх а (х, Дх) (4.1) и
а(х, Дх)->0 при Дх->0. (4.2)
Таким образом, приращение Ду дифференцируемой в точке х функции у = f(x) представляется в виде суммы линейного относительно Дх слагаемого A &x = f'(x)kx (член не ниже первого порядка малости при Дх—>0) и слагаемого более высокого порядка малости, чем Дх:
Ду = Л Дх + о (Дх).
(4.3)
Определение. Линейную функцию A dx переменного dx будем называть первым дифференциалом (или просто диффе
*) Так как и(х) дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке. Поэтому из условия о(х) =^= 0 следует, что и(х) Ф 0 в некоторой окрестности точкй х, т. е. о(х +Дх) ф 0 при достаточно малом Дх.
110
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. V
ренциалом) функции y = f(x) в точке х, если для приращения \у функции f(x) в этой точке справедливо представление (4.1), (4.2). Будем обозначать дифференциал функции у(х) символами dy, df. Символ dx будем называть дифференциалом независимого переменного х.
Итак, равенство
df(x) = Adx, (4.4)
согласно определению дифференциала, означает, что
Д/ = f (% -f- Дх) — f (х) = А кх + о(Дх) при Дх->0. (4.5)
Поэтому мы замечаем, что если в равенстве двух дифференциалов (4.4) заменить символы df и dx соответственно на Д/= = /(х + Дх)— f(x) и Дх и положить Дх равным какому-либо отличному от нуля числу, то, конечно, равенство (4.4), вообще говоря, нарушится. Однако если считать Дх переменной и притом бесконечно малой величиной (Дх->0), то разность между Д/ и А Дх есть величина более высокого порядка малости, чем Дх, что .и записано в равенстве (4.5). Это дает нам уверенность в том, что, задавшись произвольным е > 0, мы достигнем выполнения неравенства
| Д/ — А Дх | < е | Дх | при достаточно малом |Дх|. Ввиду этого при достаточно малом |Дх| можно писать:
Af^AAx. (4.6)
Теперь заметим, что из формулы (4.5) следует, что функция f(x) дифференцируема в точке х и ее производная равна А. Поэтому и равенство (4.4) также означает, что производная функции f(x) в точке х равна А, и, следовательно, (4.4) можно переписать в виде
df(x) = f'(x)dx. (4.7)
2. Основные правила вычисления дифференциала функции. Пусть w(x), у(х) — дифференцируемые в точке* х функции и С — некоторая постоянная. Пусть, далее,
du = Adx, dv = Bdxf (4.8)
что означает согласно п. 1, что
Ди = и (х + Дх) — «(х) = Л Дх + о (Дх), 1
До = v (х -р Дх) — и (х) = В Дх + о Дх). j Тогда
ДСи = СЛ Дх + о (Дх),
Т’ е’ dCu (х) = С A dx = С du (х). (4.10)
$ 4] ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 111
Мы получили правило, аналогичное правилу о вынесении постоянной из-под знака производной; постоянная выносится из-под знака дифференциала.
Так как
А (и (х) ± v (х)) = (4 ± В) Дх + о (Дх), то получаем следующее правило для дифференциалов:
d (и (х) ± v (х)) — (4 ± В) dx = du ± dv. (4.11) Далее,
Д (м (х) v (х)) = и (х + Дх) v (х + Дх) — и (х) v (х) =
= [и (х + Дх) — и (х)] v (х + Дх) + [у (х + Дх) — v (х)] и (х) =
» v (х + Дх) Ди (х) + и (х) Дv (х) = [и (х) + В Дх + о (Дх)] X
X Дм (х) + м (х) Ду (х) = v (х) Ди (х) 4- и (х) Ду (х) + о (Дх) =
= [у (х) 4 + и (х) В] Дх + о (Дх). Отсюда
d (и (х) у (х)) = [у (х) 4 + и (х) В] dx = у (х) du -|- и (х) dv. (4.12)
Аналогично легко получить
А (£$) = Гр(х)Л^(У — + о (Дх) (у (х) 0), откуда следует:
(пр„ „М¥.о). (4.13)
Правила (4.10), (4.11), (4.12), (4.13) вполне аналогичны соответствующим правилам для вычисления производных от произведения функции на постоянную, от суммы и разности функций и т. д.
3. Связь между дифференциалом функции и ее производной. Из определения дифференциала функции f(x) в точке х следует, что если
df (х) = 4 dx, то
f (х + Дх) — f (х) = 4 Дх + о (Дх)
Но число 4 равно отношению линейной функции df = Adx переменного dx к самому этому переменному dx. Поэтому мы можем записать:
1- f (х + Ах) — f (х) _ df (х)
(4.14)
112
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. V
понимая символ как отношение дифференциала df функции f(x) к дифференциалу dx независимого переменного х.
Итак, обозначение для производной f'(х) можно понимать в буквальном смысле, как отношение соответствующих дифференциалов.
§ 5. Восстановление функции по ее производной.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла
1. Определение первообразной. Пусть на интервале (а, р) заданы функции y=f (x)eDi {(а, (3)} и g(x) такие, что в каждой точке хе (а, 0) имеет место равенство
g(x)= lim = lim + = (5.1)
Ax->0 Ax->0
Согласно определению из § 1 функция g(x) называется производной функции f(x).
Определение. Функцию f (х) е Di {(а, Р)}, связанную с функцией g(x) в каждой точке хе (а, Р) соотношением (5.1), назовсм первообразной для функции g(x) на интервале (а,0).
Другими словами это определение формулируется так: функция f (х) е D{ {(а, р)} называется первообразной для g(x), если в каждой точке х е (а, р) ее производная существует и равна g(x).
Таким образом, если на (а, р) имеет место равенство
Г (х) = g (х) (5.2)
или эквивалентное ему равенство
df(x) = g(x)dx, (5.2')
то g(x) называется производной от f(x), a f(x)—первообразной для g(x).
Если задана f (х)е £М(а, Р)} и ищется функция g(x), удовлетворяющая равенству (5.2), то этот процесс называется дифференцированием f(x). Нахождение g(x) сводится к вычис-,. f (х + Дх) — f (х) . ,
лепию предела lim —-----?---——, и операция дифференциро-
Дх-»0
вания поэтому приводит к единственной функции g(x), называемой производной от f(х).
Если, наоборот, в равенстве (5.2) считать заданной функцию g(x) и искать функцию f(x), удовлетворяющую (5.2), то этот процесс мы называем отысканием первообразной для g(x) на интервале (а, р) или, короче, интегрированием g(x) на (а, Р).
§5] ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ИЗ
Таким образом, операции дифференцирования и отыскания первообразной (интегрирования) являются до некоторой степени обратными, двойственными, операциями.
2. Неоднозначность определения первообразной. Производная g(x) от функции f (х)е £>i{(a, 0)} определяется однозначно, единственным образом. Однако существует бесконечное множество первообразных для g(x), если существует хотя бы одна. Пусть функция y=f(x) является первообразной для g(x). Легко видеть, что и функция y\ = f(x)-]- С, где С — постоянная, также является первообразной для g(x).
Действительно, как мы видели выше,
[Дх)+с]'=лх)+с'=т
и поэтому согласно (5.2) имеем
У\ (х) = f' (х) = g (х),
т. е. функция у{(х) также первообразная для g(x).
Итак, мы видим, что уравнение (5.2) интегрируется (т. е. решается относительно f(x)) неоднозначно. Именно, решением (5.2) является любая функция
f(x) = f0W + C, (5.3)
если fQ(x) —какое-либо решение (5.2), а С — постоянная.
Можно утверждать, однако, большее: формула (5.3) задает все решения (5.2) относительно f(x), т. е. все первообразные для g(x) отличаются от некоторой первообразной fo(x) лишь постоянным слагаемым. Имеет место следующая теорема.
Теорема 5.3. Любые две первообразные fi(x) и f2(x) для функции g(x) на интервале (а, 0) отличаются друг от друга на постоянную, т. е. f\(x)—f2(^)=const.
Доказательство этой теоремы мы получим в § 2 гл. VI как простое следствие формулы конечных приращений Лагранжа, а пока примем эту теорему без доказательства и будем пользоваться ею.
Эта теорема устанавливает, что любые две первообразные для функции g(x) отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому множество всех первообразных для g(x) задается одной из них (любой) fQ(x) и формулой (5.3).
3. Неопределенный интеграл.
Определение. Совокупность всех первообразных для функции g(x) на интервале (а, 0) называют неопределенным интегралом и обозначают символом
j g (х) dx = fo (х) + с. (5.4)
Здесь символ | называется знаком интеграла, а функция g(x) — подынтегральной функцией.
114 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ (ГЛ V
На самом деле неопределенный интеграл зависит лишь от вида функции g, поэтому формулу (5.4) можно с равным основанием записать в виде
/ g(t)dt = f0(t)+C.
Поскольку производная от любой первообразной для g(x) равна функции g(x), то мы будем говорить, что и производная от неопределенного интеграла J g(x)dx равна подынтегральной функции, и писать равенство
(J g(x)dx)' = g(x) (5.5)
или же эквивалентное равенство дифференциалов
d ( J g (х) dxj —d J g (x) dx = g (x) dx. (5.6)
При этом мы имеем в виду, что равенства (5.5) и (5.6) имеют место для любой первообразной функции, т. е. при любом фиксированном значении постоянной С в формуле (5.4).
$ 6. Понятие определенного интеграла
1. Независимость приращения первообразной от ее выбора. Определение определенного интеграла. Мы видели, что уравнение
f'(x) = g(x) (6.1)
имеет бесконечное множество решений /(х) (если оно имеет хоть одно решение) при заданной g(x). Однако все первообразные f(x) для g(x) отличаются от любой фиксированной из них fo(x) на постоянную. Поэтому для того, чтобы однозначно определить первообразную /(х) для функции g(x) на (а, 0), достаточно задать ее значение в одной точке интервала (а, 0).
Теорема 5.4. Первообразные /Дх) и f2(x) для g(x) совпадают на интервале (а, 0), если они совпадают хотя бы в одной-точке В е(а, 0).
Доказательство. Согласно теореме 5 3 /Дх)—f2(x) = = С=const, но при х = £ имеем /Д£)—f2(t,)=0. Поэтому С=0 и /Дх) = f2(x) на (а, 0), что и требовалось доказать.
Следствие. Из этой теоремы следует, что разность значений первообразной /(х) для g(x) в двух точках х=Ь и х—а интервала (а, 0)
Ка, b) = f(b) — f(a)
§61 ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Цб
не зависит от выбора первообразной. Действительно, величина / есть значение в точке х=Ь первообразной f(x) — f(a) для g(x)> которая в точке х=а обращается в нуль. Таким образом, величина / зависит лишь от функции g(x) и выбора точек а, Ь е е(а, р).
Определение (первое определение определенного интеграла) *). Пусть на (а, Р) задана функция g(x), имеющая своей первообразной функцию f(x). Пусть а, Ь — точки интервала (а, Р). Определенным интегралом от функции g(x) на отрезке [а, 6] называется разность f(b) — f(a) **).
Определенный интеграл обозначается символами
ъ
/ g (х) dx == f (b) - f (a) = [f (<; (6.2)
a
при этом g(x) называется подынтегральной функцией, а числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Формулу (6.2) называют основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона — Лейбница. Иногда ее записывают иначе:
jg(x)dx = [f(x)]* = [J g(x)dx]£. а
Как мы отметили в следствии из теоремы 5.4, величина (6.2) зависит лишь от подынтегральной функции g(x) и от пределов интегрирования а, Ь. Поэтому буква х, фигурирующая под знаком интеграла в (6.2), может быть заменена любой другой буквой.
Теорема 5.5. Пусть с — любая точка интервала (а, р). Тогда
Ъ с Ъ
J g(x)dx = j g(x)dx 4- J g (x) dx. (6.3)
a a c
Формула (6.3) выражает принцип аддитивности определенного интеграла, который состоит в том, что интеграл по сумме сегментов равен сумме интегралов по каждому сегменту. Доказательство этой теоремы следует из формулы (6.2).
*) Другое определение определенного интеграла будет дано в гл. VII, §2.
**) Согласно следствию из теоремы 5.4 эта разность не зависит от выбора первообразной.
116
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
2. Первообразная как определенный интеграл с переменным пределом. Функцию
X
J g (t) dt = f (х) — f (а), а, х <= (а, 0), (6.4)
а
называют определенным интегралом с переменным верхним пределом; эта функция есть первообразная для g(x), которая обращается в нуль при х=а.
Теорема 5.6. Пусть функция у=у(х) дифференцируема на (а, 0); тогда имеет место тождество
X
У(х) = у (а) + J у' (/) dt (6.5)
а
при любых
ае(а, р), хе(а,₽).
Д о к а з а те л ь с т в о. Полагая в тождестве (6.4) f(x)=y(x), заключаем, что g (/)==/'(/) =//'(/). После этого тождество (6.4) преобразуется в тождество (6.5).
3. Связь дифференцируемой функции со своей производной. Мы показали, что если у = f (х) е Z?i{(a, 0)},
f'(x)=-g(x), (6.6)
то х х
f(x) = f(a)+ J f'(x)dx = f(a) + j-g(t)dt, (6.7) a a
т. e. любая функция f(x), имеющая g(x) своей производной, удовлетворяет тождеству (6.7).
Мы говорим, что формула (6.7) есть обращение формулы (6.6) и, наоборот, (6.6) есть обращение (6.7). Действительно, формула (6.6) указывает, как найти функцию g(x) при известной /(х), пользуясь определением производной;, наоборот, формула (6.7) дает способ найти f(x), если известна g(x), пользуясь понятием определенного (либо неопределенного) интеграла *).
4. Обобщение понятия определенного интеграла. До сих пор мы рассматривали случай, когда функция f(x) задана и дифференцируема на интервале (а, 0), а пределы интегрирования а, Ь в определенном интеграле от функции g(x) =f'(x) были внутренними точками интервала (а, 0), т. е. a, fee (а, 0).
*) Уравнение (6.6) относительно функции f(x) есть простейшее дифференциальное уравнение первого порядка.
§ 6]
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
117
Однако понятие определенного интеграла от функции g(x) = =f'(х) распространяется на случай, когда а=а, й = р. Именно, если f(x)^Di{(at b)} и [(х)ЕС0((а, й)}, то формулу
ь
J g(x)dx — f(b) — f(d) (6.8).
а
b
мы принимаем за определение интеграла j g(x)dx ив этом а
случае.
Итак, тождество ь у(х) = у(а) + j y'ifydt а
справедливо для у (х) е Со{(а, Ь}} и y(x)^Dt(a, b).
Если /(х)е£)|{(а, + оо)} и существует lim f(x) = fM, то сим-Х->+оо 4-оо
волом J f'(x)dx обозначают величину а b
lim f /' (х) dx = lim [f (6) — f (a)] = fm — f (a).
b->4-oo J b->-|-oo
a
Эту величину называют несобственным интегралом с бесконечным пределом. Если функция g(x)=f'(х) неограничена на интервале (а, й) и применимо определение (6.8) (т. е. f(x)^ ь
е Dt(a, b), )(х)еС0{\а, 6)}), то интеграл jg(x)dx с конеч-а
ными пределами также называется несобственным *).
Приведем простой пример. Пусть / (х) = }^1 — х. Вычислим производную Я (х) = f (х). Имеем
g(x) = lim =
Дх-»о Дх
___________— Дх____________1
Дх+о Дх (К1 — х — Дх + К1 — х ) 2 V1 — х
Итак, f (х) е Со {(— оо, 1]} и f(x)eZ)j{(— оо, 1)), т. е. f (х) непрерывна слева в точке х=1, но не дифференцируема в этой точке. По формуле (6.8)’ имеем
1 1
J g(x)dx = j-i -1.
*) Более подробно несобственные интегралы будут изучаться в гл. VI 1„
118
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
Так как функция g(x) =-------— неограничена на интервале (0, 1),
2 V 1 — х
то интеграл J g(x)dx есть несобственный интеграл, с
§ 7. Линейные свойства производной, неопределенного и определенного интегралов
Как мы видели в § 3, операция дифференцирования обладает свойствами линейности, которые записываются в виде формул
[и (х) ± v (х)]' =-= и' (х) ± и' (х), (7.1)
[Cu(x)]' = Cu'(*) (7.2)
(С — константа). Эти формулы показывают, что оператор дифференцирования перестановочен с операциями сложения, вычитания и умножения функций на постоянную величину.
Этим линейным свойствам производной соответствуют линейные свойства неопределенного и определенного интегралов, которые записываются в виде формул
| [// (х) ± v (х)] dx = J и (х) dx ± j v (х) dx, (7.3) j С и (х) dx = С J и (х) dx, (7.4)
ь ь ь
| [и (х) ± v (x)]dx — | и (х) dx ± j v (х) dx, (7.5) а а а
b b
| С и (х) dx = С | и (х) dx. (7.6)
а а
Доказать эти формулы — значит показать, что если правая часть в них имеет смысл (т. е. существуют J u(x)dx, J v(x)dx, ь ь
j u(x)dx, J v(x)dx) , то имеет смысл и левая часть и при а а
этом они равны друг другу.
Добавим к этому, что равенства (7.3), (7.4) имеют условный характер, так как в правой части этих формул может получиться «лишняя» постоянная. Точный смысл этих равенств состоит в том, что первообразная, например для и(х)4-и(х), от
§8] ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ ПЭ
личается от суммы любых первообразных для и(х) и v(x) на постоянную.
Формулы (7.3) и (7.4) являются простым следствием соответствующих формул (7.1), (7.2). Читатель легко проведет доказательство этих формул самостоятельно.
Что же касается равенств (7.5), (7.6) для определенных интегралов, то они являются простыми следствиями (7.3) и (7.4). В самом деле, как мы определили в § 6,
f и (х) dx = Г (* и (х) dx \ I = ( f и (х) dx\ — (f и (х) dx) 9
J LJ J |а \ J / х==ь \ J / х=а
а
и поэтому формулы (7.5), (7.6) получаются из формул (7.3), (7.4).
Установленные линейные свойства операций дифференцирования и интегрирования мы выражаем словами, говоря, что операции дифференцирования и интегрирования являются линейными операциями над функциями.
Соответственно мы будем говорить, что оператор дифференцирования функции и оператор интегрирования функции являются линейными относительно операций сложения и умножения на число (короче — просто линейными операторами).
§ 8. Формула интегрирования по частям
Теорема 5.7. Пусть w(x)eDi{(a, Р)}, u(x)eDi((a, 0)} и существует первообразная для функции v(x)u'(x) на (а, 0); тогда существует первообразная и для функции u(x)v'(x) и имеет место равенство
| и (х) v' (х) dx = и (х) v (х) — J v (х) uf (х) dx. (8.1)
С учетом обозначения дифференциала функции (df= =f'(x)dx) эта формула записывается в удобном для запоминания виде:
J udv = uv — J v du, (8.2)
где для краткости письма мы опустили аргумент х у функций и, V. Формула (8.2) называется формулой интегрирования по частям.
Доказательство. Так как и, ueDi{(a, 0)}, то согласно § 3 имеет место формула дифференцирования
[и (х) v (х)]' = и' (х) v (х) + и' (х) и (х), которую мы перепишем в виде
и (х) и' (х) = [и (х) v (х)]' — и' (х) v (х). (8.3)
120
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
Правая часть тождества (8.3) имеет, согласно условиям теоремы, первообразную. Поэтому
J [и (х) v (х)]' dx — J и' (х) v (х) dx = и (х) v (х) + С — J v (х) du (х),
и поэтому имеет первообразную и левая часть (8.3). Включая произвольную постоянную С в неопределенный интеграл J v(x)du(x), получаем формулу (8.2). Теорема доказана.
*§ 9. Дифференцирование сложной функции и замена переменной интегрирования
1. Правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 5.8. Пусть заданы функции / = ф(х) и y=f(t) = = /(ф(х)), имеющие производные: ф(х) — в точке х = х0, f(t) — в точке / = /0=ф(х0). Тогда сложная функция y = f(y(x)) дифференцируема в точке х=х0 и ее производная вычисляется по правилу
у' (х0) = [/ (ф W)lUx,= f' &) ф' (х0) = f' (Ф (Хо)) ф' (ХО). (9.1)
До к а з а те л ьст в о. Согласно определению дифференцируемости функции в точке
Д/ = Ф (х0 + Дх) — ф (х0) = [ф' (х0) 4- а (Дх)] Дх (9.2) и а(Дх)-»0 при Дх—►О. Аналогично, для функции y=f(t)
Ду = f (0 - f (/о) = Д/ = [Л (to) + Р (Д01М (9.3) и 0 (М)—» 0 при Д/ —» 0.
Подставляя (9.2) в (9.3) и деля полученное равенство на Дх =И= 0, получим
= [Г (to) + Р (ДО] [ф' (Хо) + а (Дх)]. (9.4)
Согласно (9.2) Д/—> 0 при Дх—*0; поэтому, переходя к пределу при Дх—*0 в равенстве (9.4), получаем
Вт 77 = f' (t0) ф' (х0) = f' (Ф (х0)) Ф' (х0),
Дх->0 П
’что и доказывает теорему.
Равенство (9.1) можно записать в виде равенства дифференциалов:
dy (х) = df (t (х)) = f' (t) t' (x) dx = f' (0 dt, (9.5)
так как dt = t' (x)dx=<p' (x)dx.
Формулу (9.5) можно прочитать, таким образом, как утверждение о том, что дифференциал dy(x) сложной функции
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 12!
есть произведение /'(/) на дифференциал dt переменного t вне зависимости от того, является ли t функцией какого-либо другого переменного (%). Обычно это свойство дифференциалов называют «инвариантностью» первого дифференциала (см. более подробно об этом гл. VI, § 5).
Итак, имеет место формула дифференцирования сложной функции
I/ (ф (х))Г = Г (ф (*)) ф' W=Г (0 i' (Д (9-6)
если /(/) и ф(х) дифференцируемы.
2. Замена переменной интегрирования. Пусть / = ф(х)е е £>i{(a, Р)}, /(/) дифференцируема при всех значениях t = = ф(х) и хе (а, Р). Обозначим f'(t)—g(t). Согласно определению первообразной
f(t) + C=\ (9.7)
а согласно формуле (9.6)
f (ф <Х)) 4- С = j g (ф (х)) ф' (х) dx. (9.8)
Итак, имеет место равенство
f g (ф (*)) ф' (X) dx = Г Г g (/) dt] , (9.9)
где в правой части указано, что после вычисления интеграла следует снова перейти к переменному %, положив / = <р(х).
Этот прием широко используется при вычислении неопределенных интегралов и носит название замены переменного под знаком интеграла. Пусть / = ф(х)е £>1{(а, 0)}. Тогда dt = = q'(x)dx и формулу (9.9)
Г [ g (/) d/1 = J g (ф (х)) ф' (х) dx
LJ J/=(p(x) J
мы можем понимать в том смысле, что если вводится новое переменное %, связанное со старым t равенством / = <р(х), то для совершения этой замены надо: 1) выразить подынтегральную функцию g как функцию переменного х, т. е. заменить ее на g(cp(x)), и 2) вычислить дифференциал величины /, которая теперь является функцией нового независимого переменного х, и подставить его значение di = (p'(x)dx под знак интеграла.
Таким образом, мы видим, что в неопределенном интеграле
(9.10)
122
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. V
при замене переменного t на новое переменное х подынтегральная функция и, главное, дифференциал dt сохраняют свой смысл.
Из формулы замены переменной интегрирования (9.9) следует формула замены переменной для определенного интеграла:
J «(ф(х))ф'(х)с1х = Г] = J (9.11)
a N J<₽(a) Ф(а)
§10. Производная обратной функции
Теорема 5.9. Пусть y=f(x) и x=<f(y)—взаимно обратные функции, определенные в некоторых окрестностях соответственно точек х=хо=(р(уо) и У=Уо=!(хо).
Тогда, если существует производная f'(xo)=£O, а функция <р(//) непрерывна в точке у=Уо, то существует и <р'(//0), «, наоборот, если существует <р' (у0) = 0, a f (х) непрерывна в точке х=х0, то существует и f'(xo). Величины f'(xo), ц>'(уо) при этом связаны условием
/'(*о)ф'(«/о)= Г (Ю.1)
Доказательство. Согласно определению взаимно обратных функций любое из соотношений
* = ф(/(х)), (10.2)
y = f(<v(y)) (Ю.З)
является тождеством, выполненным в некоторой окрестности соответственно точек х=х0 и у=уо.
Пусть, например, существует ф/(1/о)¥=О и f(x) непрерывна в точке х=х0. Докажем, что существует f' (хо) и имеет место формула (10.1).
Для произвольной последовательности {Дхп) (Дхп#=0), сходящейся к нулю (Дхп—»0 при п—*оо), рассмотрим соответствующую ей последовательность {Ду,,}, где
&Уп = Уп~Уо = 1 (хп) - f (х0), (10.4)
х« = ф(^п). Дх„ = х„ —х0.
Деля обе части равенства (10.4) на Д//„, получаем тождество f(x0 + Axn) —?(х0) .
ДУп ’
ИЛИ
f (хр + Дхп) — f (х0) . <р (у0 + Дуп) — Ф (у0) | НО 5)
Функция f (х), согласно условию теоремы, непрерывна в точке х = х0, следовательно, &уп — f (х„) — f (х0) -> 0 при п-*оо, так
S 101
ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
123
как хп-*-х0 при п->оо. Поэтому, переходя к пределу при п—*оо в равенстве (10.5), заключаем, что для любой последовательности {Дхп}->0 существует предел
1;m f ~ = 1
дх„->о Ф'(Уо) ‘
Аналогично рассматривается вторая возможность в условиях теоремы. Теорема доказана.
Замечание 1. В условиях теоремы требовалась дифференцируемость одной из двух взаимно обратных функций и непрерывность другой соответственно в точках х0 и уо.
Можно сформулировать теорему иначе, поставив дополнительные требования только на одну функцию, которые гарантировали бы существование и непрерывность обратной. Например, пусть функция х = ф(у) определена, непрерывна и возрастает (убывает) в некоторой окрестности точки у = у0. Тогда, если существует производная ф'(уо)=АО, то производная обратной функции у = f(x) существует в точке х0 = ф(уо), при этом
(10-6>
В данном случае непрерывность и монотонность функции <р в окрестности точки у = уо гарантируют на основании теоремы 4.17 о монотонных непрерывных функциях существование и
непрерывность обратной функции y=f(x) и доказательство сводится к доказательству предыдущей теоремы.
Замечание 2. Связь (10.6) производных двух взаимно обратных функций y=f(x) и х = ц)(у) допускает простую геометрическую интерпретацию. Пусть на рис. 14 изображена зависимость
х = Ф (у),
или, что то же самое, у = f (х). Величина ф'(уо) есть тангенс угла, образованного касательной АВ к графику функции в точке (х0, уо) с осью х—0, т. е. тангенс угла 0. Аналогчино, f'(xo) есть значение тангенса угла а. НоР + <х = у, откуда
tgatg₽ = f' (хо)ф'(Уо)= 1-
Поэтому производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции.
124
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. V
§11. Вычисление производных и интегралов от некоторых функций (табличные производные я интегралы)
1. Связь формул для производных и интегралов. Согласно определениям производной и неопределенного интеграла всякое равенство
f'(*) = g(x), хе (а, р), (11.1)
означает:
1. Производная функции f(x) существует в каждой точке х е (а, Р) и равна g (х).
2. Функция g(x) обладает первообразной на (а, Р), равной /(*) + С.
Поэтому всякое вычисление производной от функции f(x) 'есть одновременно вычисление неопределенного интеграла от £(x)=f'(x). Поэтому мы будем записывать сразу две формулы, одна из которых даст значение производной, а другая — неопределенного интеграла, и обе эти формулы доказываются одновременно.
В этом параграфе мы докажем, что имеет место таблица производных и интегралов от простейших элементарных функций.
2. Таблица основных производных и неопределенных интегралов.
1. (ха)' = аха"1, J хМх = у-- +С (Р =#= — 1).
2. (1пх)' = |, /-^ = 1п|хЦ-С.
3. (ех)' = 6х, f exdx = ex + С.
4. (sin х') = cos х, J cosxdx = sinx+ С.
5. (cos x)' = — sin x, J sin x dx = — cos x 4- C.
Tip /т57 = 1^ + с-
7. (ctg«)' = -T₽7' f Iff? = “ ct« x + C'
8. (shx)' = chx, J chxdx = shx-|-C.
9. (ch x)' = sh x, j sh x dx = ch x + C.
10. (arcsinx)' = z 1 , I — = arcsinx + Q.
V1 - x2 J У 1 - x2
§ 111
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ
125
11. (arccos х)' = — у===-, J ~ arccos х + С.
12. (arctgx)' = -pp-^, | , j~r = arctg х + С.
13. (arcctgх)' = — , , J -j-^f = — arcctgх + С.
Приступаем к доказательству формул 1 — 13 таблицы.
3. Дифференцирование логарифмической функции. Рассмотрим функцию у = 1пх. Отметим, что эта функция определена лишь при х>0. Согласно определению производной
(lnx)' = ,im IMx + y-ln(*)= Iim |п(£±М^ =
Д*->0 Ax Дх->0 V х >
= lim ln(l+^)^= lim yln(l+-^рг. (11.2)
Дх->0 х х ’ Дх->0 х \ х /
Как мы видели в гл. IV, § 7, функция In z непрерывна во всех точках г > 0; по этой причине мы можем перейти к пределу при Дх—>0 в равенстве (11.2) под знаком логарифма. Мы получаем
= J-ln{ lim (l + A0^] = lln<? = l. (11.3) х I Д/->0 J х х
В равенстве (11.3) мы использовали обозначение Д/ = -у-
1
и второй замечательный предел lim (1 + А/) дг —е (см. гл. IV,
ДГ->0
§ 8).
Итак, установлена формула
(1пх)' = 1, (11.4)
имеющая место при х > 0. При положительных х, таким образом, мы имеем и обращение формулы (11.4):
J^- = ln|x| + C. (11.5)
Однако в строке 2 таблицы записано также, что при х < 0
f-^ = ln|x| + C = ln|-x| + C. (11.6)
126 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Действительно, (11.6) также есть следствие (И.4). Дифференцируя функцию // = 1п(—х) как сложную функцию переменного %, т. е. // = 1п /(х), где t(x) = — х и х < 0, получим
[In (- х)]' = (In ty t' (x) = 1 (- 1) =- (- 1) = 1.
Таким образом, формула
/^ = 1П| X l + C
справедлива при любых х=#0.
Отметим следствие формулы (11.4). Рассмотрим функцию t/(x) = logax, 0<а=#1.
Так как logax = (In х) loga е, то
(logax)' = y logae. (11.7)
Формулу (11.7) полезно запомнить для быстрого вычисления производных. Мы, однако, не включаем ее в таблицу, так как она является простым следствием формулы (11.4). Итак, строка 2 таблицы доказана.
4. Дифференцирование и интегрирование показательной функции. Показательная функция у = ех и логарифмическая функция х=1пу являются взаимно обратными функциями (см. гл. IV, § 2). Показательная функция у = ех определена во всех точках хе(—оо, оо), так как область значений функции х=1пу есть интервал (—оо, оо ). Производная показательной функции равна, согласно § 10, обратной величине от производной логарифмической функции:
= = = = =
У
Итак,
(^)' = е\ (11.8)
и формула (11.8) доказывает строку 3 таблицы.
Отметим как следствие формулы (11.8) следующую полезную формулу:
(ах)' = [(е,п °)х]' = (ех 1п °)' = [е<₽<*>]' = <Чр' (х) = ах In а. (11.9)
В формуле (11.9) мы полагали ф=х1па и дифференцирование производили по правилу дифференцирования сложной функции.
5. Дифференцирование и интегрирование степенной функции. Степенную функцию у=ха, определенную при произвольном а
§ И] ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ (27
лишь для х > 0, мы представим как суперпозицию показательной и логарифмической функций, записав
г/ = ха = еа1пх. (11.10)
Обозначая ф(х)=а1пх и дифференцируя у=е<№ по правилу дифференцирования сложной функции (см. § 9), получим
у' — еч> (x)q/ (х) = до' (х) = хаа (In х)' = = аха-1. (11.11)
Можно заметить, что формула (11.11) имеет место во всех точках х < 0, в которых определена функция ха; в частности, если а = -“ и п — нечетное, а т— любое целое число, то формула (11.11) имеет место и при отрицательных х. Эта формула доказывает строку 1 таблицы. Формулы 1-й строки таблицы имеют место во всех точках х, для которых определены функции ха и лА Заметим, что формула
= у^-рхР+Ч-С, (11.12)
как это и указано в таблице, имеет место лишь при 0=/= —1. Действительно, из формулы (11.11)
(х“)' =ах“-1
ни при каком а не получается функция вида —, где А=£0. При 0=—1 формула (11.12) заменяется на (11.5). Итак, мы установили справедливость строки 1 таблицы, причем формулы 1 имеют место всюду, где имеют смысл их правые части.
6. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических и гиперболических функций. Для вычисления производной (sinx)' рассмотрим предел
(sinx)'= lim
Дх->0
( . Дх \ . Дх
• / I А \ • cos X Н-— Sin -7—
sin (х + Ах) — Sin X _ |jm \ 2 / 2 ___
Дх д™о Дх —
2
(Дх \ 2
х+-т- • lim —т---= cosх • 1 = cosх. (11.13)
2 / Дх->0 2
Здесь мы пользуемся непрерывностью функции cos х е Со{(— °°)} и первым замечательным пределом (см. гл. IV,
§ 8). Формула (11.13) доказывает строку 4 таблицы.
128
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
Совершенно аналогично
(cosx)'= lim
Дх->0
cos (х + Ах) — cos х Дх
lim
д*->о
. Дх
Sin ~2~
Дх
— sinx,
(1L14)
и строка 5 таблицы доказана. . . sinx . cosx . , ,
Функции i/ = tgx= ——- и ctg х = -Г— будем дифференци-vvj *v olll Л
розать по правилу дифференцирования отношения (см. §’3, (3.3)):
cos х • cos х + sin x • sin x
-4-. (11.15) cos^ X v '
cos2 x
Здесь мы воспользовались (11.13) и (11.14). Аналогично
/ . / cos х \' — sin х • sin х — cos х • cos х 1 Z11
(CH ------------------------= (1L16>
Формулы (11.15), (11.16) имеют место в точках, где соответственно cosx=/=0 и sinx=/=0, и доказывают строки 6—7 таблицы.
Строки 8 и 9 таблицы следуют непосредственно из определения гиперболических функций
г, ех — е~х , ех + sh х =-----£--, ch х =----------
и правила дифференцирования ех.
7. Дифференцирование обратных тригонометрических функций. Функции у = arcsinx и х = sin у являются взаимно обратными функциями. Как это было указано в гл. IV, § 2, функция у = arcsinx однозначно определяется условиями —, при которых она монотонно возрастает и является непрерывной функцией переменного х (см. гл. IV, § 6 и § 7). Поэтому, согласно теореме о производной обратной функции (§ 10),
(arcsinx) (sin у)' cosy cos(arcsinx) *
Так как функция arcsinx определена условием — то cos у 0, поэтому
cos (arcsin х) = У1 — х2.
Итак,
(arcsinx)7 = ♦ (11.18)
§ 121 ПРИМЕРЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 129
Формула (11.18) и вся строка 10 таблицы имеют смысл при И<1.
Аналогично доказывается строка 11 таблицы.
Рассмотрим теперь взаимно обратные функции z/=arctgx и x=tgz/. Функция £/ = arctgx однозначно задается условием — у<// <у • Эта функция определена и непрерывна при всех хе(—оо, оо). Поэтому на основании § 10
(a rctg х)' = = cos2 у = (cos a ret g х)2 = • (11 • 19)
Этим доказаны формулы 12 таблицы, которые имеют место при всех значениях х. Точно так же доказываются и формулы 13. Однако их можно получить также из тождества
arctg х + arcctg х = у. (11.20)
Отсюда следует формула
(arcctg х)' = — (arctg х)' = — х2,
и строка 13 таблицы также доказана.
Итак, мы доказали справедливость всех формул нашей таблицы. На основании этой таблицы производных удается, найти формульные выражения для производной любой элементарной функции и любой суперпозиции элементарных функций. Сложнее обстоит дело с нахождением первообразных, так как задача интегрирования элементарных функций и их суперпозиции не всегда разрешима в элементарных функциях. Вопросам аналитического интегрирования элементарных функций посвящена отдельная глава VIII. Сейчас мы приведем примеры использования таблицы и основных правил для дифференцирования элементарных функций.
§ 12. Примеры дифференцирования функций
1. Дифференцирование показательно-степенной функции. Пусть функция у = [н (х)определена на некотором отрезке [а, &], на котором н(х), и(х)е Di{[a, b]} и н(х)> 0. Тогда
1п у(х) = v (x)lnu(x). (12.1)
Дифференцируя по переменному х обе части равенства (12.1), получим
= V (х) In и (х) + v (х)4g-. (12.2)
130 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Выражение представляет собой, таким образом, производную от 1п«/(х) и называется по этой причине логарифмической производной:
fgi-dHjwr-
Умножая (12.2) на у (х) = [и (х)получим формулу /=([««")'-
— ₽' (х) In и (х) [u (х)]' " + »(х) и' (х) |и (х)]'и-'. (12.3)
Формула (12.3) дает правило дифференцирования функции, которая называется показательно-степенной, так как она имеет переменные основание и показатель степени. Из формулы (12.3) получаются как частные случаи формулы для производных степенной и показательной функций. Действительно, пусть у(х) = = a = const, тогда по (12.3)
([и(х)]7 = а«'(х)[«(х)Г1.
Если, например, и(х) =х, то отсюда имеем
(х“)' = ах“-1.
Если же и(х) =a=const, то
[а° (x)j/ _ vf до in а а» W,
При v(x) = x получаем
(ах)' = In a ax.
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Способ задания функции у—[(х) с помощью двух соотношений
х = ф(0, y = (12.4)
называется параметрическим, а переменное t — параметром.
Теорема 5.10. Предположим, что функции (12.4) заданы в некоторой окрестности точки t=t0\ пусть xo=q>(/o), */о=ф(/о). Если в окрестности — to| < 6 существует обратная к cp(t) функция l=g(x), непрерывная в точке t = to, « существуют в точке t = t0 первые производные функций <р(0, ф(/), причем ср'(/0) =/=0, то в некоторой окрестности точки х0 равенства (12.4) определяют функцию y=f(x), которая дифференцируема в точ-ке х=х0, а ее производная вычисляется по правилу
,,f I v \ (*о) Ф' Uo) dt dy (/р) ZIn
У dx(/0)‘ U '
$ 13] ПРОИЗВОДНЫЕ ЛЮБОГО ПОРЯДКА. ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА 131
Доказательство. Согласно условиям теоремы существует непрерывная в точке x=xQ функция
t = g№, (12.6)
обратная к x=<p(f). Согласно теореме о производной обратной функции существует g'(x0); при этом
= (127>
Равенство
^=Ф(О=ФОзг(*)) (12.8)
задает у как сложную функцию переменного х. Пользуясь теоремой о производной сложной функции и учитывая (12.7), получим, что существует у'(хо) и имеет место формула
У' (*о) — Ф' (g (*о)) g' (*о) = Ф' (<о) YUJ ’ <12 -9>
Эта формула и доказывает теорему.
Заметим, что равенство (12.5) может быть также записано в виде
т. е. в виде отношения дифференциала dy к дифференциалу dx. вычисленным в точке / = /0-
Замечание. В условиях теоремы предполагалось, что зависимость х=ф(/) может быть обращена, т. е. представлена в виде t=g(x). Достаточным условием для этого является, например, следующее: функция <р(/) непрерывно дифференцируема *) в окрестности точки t=t0, и <р'(/о) =#0.
§ 13. Производные любого порядка. Формула Лейбница
1. Определение производных старших порядков. Пусть задана функция y=f (х)е £>|{(а, Ь)}. Может случиться, что производная функции f(x) --функция g(x)=f'(x) также имеет производную на каком-либо множестве А переменного х.
Эту величину
lim Г(х + Дх)-Г(х) ljm g(x+Ax).-g(x) (13л)
Дх-Ю Дх-Ю
♦) Функция <р(0 называется непрерывно дифференцируемой на (а, 0), если ф(/)еП!{(а, 0)} и <р'(/)е Со{(а, 0)}. Таким образом, непрерывно дифференцируемая функция обладает непрерывной на (а, 0) производной. В этом случае мы пишем ф(/)еС|{(а, 0)}. Вопросы существования обратных и вообще неявно заданных функций обсуждаются гораздо более подробно в гл. X.
132 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
мы называем второй производной функции y=f(x) и обозначаем следующими символами:
!/"U) = -g-=t/(2)(x) = f"(x). (13.2)
Если функция y(x)^Di{(a, b)} и в каждой точке хе (а, Ь) имеет вторую производную у"(х), то мы говорим, что функция у(х) дважды дифференцируема на (а, Ь), и записываем это символами
1/(х)е=О2{(а, &)}.
Аналогично второй производной вводятся понятия третьей, четвертой производной и т. д. Вообще производной л-го порядка от функции у=у(х) называется производная от производной (л— 1)-го порядка для этой функции. Таким образом, если обозначать операцию вычисления производной с помощью оператора дифференцирования D, то мы получаем равенство
/^х) = ^ = Пп!/==Р(П',Л)- (13.3)
Итак, вычисление производной л-го порядка сводится к последовательному вычислению п производных первого порядка.
Символом Dn(A) мы будем обозначать класс функций у = =f(x), которые в точках множества А обладают производной л-го порядка.
Может случиться, что функция y = f(x) на интервале (а, Ь) обладает вообще производной любого порядка. В этом случае мы будем писать y=f(x)^Doo{(a, b)} и называть функцию f(x) бесконечно дифференцируемой на интервале (а, Ь).
Пусть у(х)^ D„{(a, &)}, т. е. функция у=у(х) в каждой точке х<=(а, Ь) имеет производную л-го порядка. Так как у(пЦх) = Dt/n~^(x)f то согласно теореме 5.1
</<'-’> (х)еС0 {(а, Ь)}.
Обозначим символом С„(А) класс функций, обладающих на множестве А непрерывной производной л-го порядка. Таким образом, функции класса Dn(A) отличаются от функций класса Сп(А) тем, что у первых в точках множества А существует производная л-го порядка, а у вторых она к тому же есть непрерывная на множестве А функция.
Итак, если у(х)^ Dn(A), то y(x)^Cn-i(A), т. е. Dn(A)cz cz Сп_|(/4) *). Кроме того, очевидно, что C„(A)cz Dn(A), так как если у<п~{)(х) непрерывно дифференцируема на А, то она и дифференцируема на А.
*) Читатель может заметить, что если у(х) е DTO(/4), то у(х) &Сп(А) при любом п. В этом случае пишем: у(х) е СОО(А).
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
133
§ 14]
2. Формула Лейбница. Пусть и(х), v (х) имеют в точке х производные до л-ю порядка. Докажем формулу
(uv)w = 2 Cnu n~k}vw, (13.4)
которая носит название формулы Лейбница и позволяет найти производную n-го порядка от произведения двух функций м(х) и у(х) через производные от каждой из этих функций.
Вначале убедимся, что формула (13.4) справедлива при л=1:
(uvY == u'v + v'u = C^u'v + C\uv'.
Пусть формула (13.4) имеет место при каком-либо значении п 1, вычислим (iw)<n+l>. Имеем
U=o
= 2 С‘п("+|-*>Л + 2 Cknu<n~k)v(k+'} = k=0 k={)
n
= «(n+vo)+ 2(^ + c‘-1)M(',+1-ft)o<w + «(V+1). (13.6) fe=l
Так как
Cfe I —I __ z~»fe
n \ — Ьл + 1
И
CO x>n+l i n+l —bft+l —
то формула (13.5) принимает вид
(«ц)<п+,)= 2c‘+I«("+,-V«
k=0
т. e. вид формулы (13.4), написанной для производной порядка и + 1.
Таким образом, мы доказали справедливость формулы Лейбница (13.4) по методу индукции.
§ 14. Восстановление функции по ее производной любого порядка. Формула Тейлора
1. Связь дифференцируемой функции с ее первой производной. Как мы видели в § 6, для того чтобы однозначно найти функцию у(х) по ее производной у'(х), достаточно задать значение функции у(х) в одной точке. Формула (6.5)
У (х) = У (а) + j if (/) dt (14.1)
134 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ, V
решает*) эту задачу: функция у(х), заданная этой формулой, принимает в точке х = а значение у(а) и имеет производную у'(х). Подчеркнем, что мы здесь не решаем вопрос о существовании первообразной от какой-либо функции; равенство (14.1) есть тождество, справедливое для любой функции у(х) е Di {(а, Р)} при а, хе(а, р), т. е. это тождество имеет
X
смысл тогда, когда первообразная J у' (/) dt заведомо суще-а
ствует.
2. Связь функции с ее второй производной. Пусть на (а, Р) задана функция у = f (х) е D2 {(а, Р)} и пусть [а, х] cz (а, Р). Согласно сказанному выше первая производная у'(х) восстанавливается по второй производной у"(х) однозначно, если задать значение у'(х) в какой-либо точке интервала (а, р). Поэтому мы можем записать:
X
у'(х) = у'(а) + J (14.2)
а
Тождество (14.2) дает представление первой производной у'(х) от функции у — у(х) через ее вторую производную у"(х) и значение у'(х) в некоторой точке ае(а, р). Поэтому, если мы, предварительно сменив обозначение х аргумента в (14.2) на t: t
y'W = y'(a)+\y"®dt„
а
подставим y'(t) в (14.1), то мы получим тождество
X / t х
у(х) = у(а)+ J /(а)+ JV(£)^ Л = al a J
х х ( * 1
= г/ (a) + J y'(a}dt+ J И у"® di- Л. (14.3) a a la J
В формуле (14.3) есть интеграл
X х
J у' (a) dt = у' (a) j dt = у' (а) (х — а), а а
*) Формула (14.1) позволяет найти y(x)t если мы умеем вычислять входящий в нее интеграл.
5 И]
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
135
X л t ч
Для вычисления J {J у" (£) d& > dt надо найти сначала функ-a lo )
t
цию g (0 = J у" (£) d£ и затем проинтегрировать ее от t = а до а
х
t = x, т. е. найти определенный интеграл J g(t)dt. а
Мы здесь встречаемся с операцией интегрирования дважды, поэтому такие выражения называются повторными или кратными интегралами и обозначаются символом
X / t ч X t
J J/ft(g)dgld/ = &(£)<*&• (14.4)
a la J а а
Итак, с учетом этого обозначения и значения интеграла X
J у' (a)dt тождество (14.3) записывается в виде
а X t
у(х)^у (а) + у' (а) (х - а) + J dt / у" ® dg. (14.5) а а
Формула (14.5) представляет собой тождество, справедливое для любой функции у(х) е £>2 (а, ₽) их, ае (а, 0).
Мы видим, что функция у = у(х) однозначно определяется своей второй производной у"(х) и значениями первой производной у'(х) и самой функции у(х) в любой точке х = = д g= (а, 0). Если же известна только лишь вторая производная функции у = у(х), т. е. задано равенство
Г(х)-й(х), (14.6)
то функция у(х) однозначно не определяется, а согласно формуле (14.5) определена с точностью до произвольной линейной функции ф(х) = сх + d.
Действительно, ф"(х) = (сх + d)" = 0. Следовательно, если у=у}(х) есть какое-либо решение уравнения (14.6) относительно у(х) при заданном h(x) *), то решением этого уравнения является также функция у\(х) + сх d.
Для однозначного определения функции у(х) надо задать два числа: значение в точке х = а самой функции у = у(а) и значение в точке х = а ее первой производной у'(а).
*) Уравнение (14.6) относительно у(х) есть простейшее дифференциальное уравнение второго порядка для функции у(х).
136
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. V
Мы несколько видоизменим тождество (14.5). Для этого, предполагая, что у(х) е D2 {(а, 0)}, рассмотрим тождество (14.1):
X
у(х) = у(а)+ / y'(t)dt. (14.7)
а
Применяя правило интегрирования по частям, получим
/ у' (/) dt = у' (/) (t - х) - J у" (/) (t — х) dt. (14.8)
(Формулу (14.8) мы получаем, полагая у'(/)=п, dt = =—d(x— t) =dv, x=const.)
Так как y(x) eD2{(a, 0)}, то согласно теореме об интегрировании по частям (§ 8) вместе с ‘первообразной для у'(/) существует и первообразная для у"(/) (t — х), так что мы имеем формулу (14.8). Из формулы (14.8) для неопределенных интегралов следует формула для определенных интегралов:
X
J у' (/) dt = [у' (х) (t — х) + J у" (/) (х — 0 dt\ = а х
= у' (а) (х — а) + J у" (/) (х — t) dt, (14.9) а
а подставляя (14.9) в (14.7), находим
У (х) = у(а) + у' (а) (х — а) + J у" (/) (х — t) dt. (14.10) а
Из сравнения двух тождеств (14.5) и (14.10) заключаем, что
X t X
J dt \y"{t){x-f)dt. (н.п)
а а а
3. Формула Тейлора. Формула (14.11) позволяет вычислить повторный интеграл с помощью обычного (однократного). Однако мы сейчас обратим наше внимание на ^тождество (14.10). Если предположить, что у(х) еО3{(а, 0)}, то, полагая
х
в интеграле J у" (/) (х — /) dt а
u = y"(t); dv = (x — t)dt, v = — - * ~
§ 14]
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
137
и применяя формулу интегрирования по частям, получим
/ у" (/) (х -i)dt = [- у" (/)] |* + J у'" (/) dt = « а
= /'(а)1£2^-+(14.12)
а
Подставляя (14.12) в (14.10), получим формулу
У (х) = у (а) + у' (а) + У" (а) + j у'" (0 dt,
(14.13)
которая по-прежнему является тождеством и справедлива для любых у(х) е О3 {(а, Р)} и х, а е (а, 0).
Описанную выше процедуру применения формулы интегрирования по частям можно продолжить дальше, повышая порядок производной от функции y(t) под знаком интеграла и соответственно повышая показатели степени у разности (х—/). Если у(х) sDn{(a,p)}, то мы получим формулу
У (X) = у (а) + у' (a) + у" (а) (* ~а)2 + ...
+ («)+ *Ж х), (14.14)
где
Rn(a, y'^(t)^=^-dt. (14.15)
а
Тождество (14.14) называется формулой Тейлора с центром в точке а функция /?п(а, х)— остаточным членом формулы Тейлора (в интегральной форме).
Мы видим, таким образом, что формула Тейлора представляет собой тождество, применимое к любой функции у(х)е (= Dn{ (а, р)} и х, а е (а, р).
Пусть у=у (х) =Рт(х), где Рт(х) = аох”г + ... + ат-\Х + ат.
Так как (хш)(п)=0 при n^m-f-l, то мы заключаем, что производная порядка выше т от полинома степени т тождественно равна нулю, т. е.
[Рт (Х)](П> s 0 пРи п^т-^1. (14.16)
138 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Поэтому, если применить к #(х) «=Pm(x) формулу Тейлора (14.14), то в силу (14.16) при п т + 1 /?п(а, х) =0 *). Таким образом, для любого полинома Рт(х) справедливо тождество
Рт (х) = Рт (а) + Р'т (а) + Pm (а) (х ~ аУ + ...
... +Р{т>(а) ^4^"- (14.17)
т. е. любой полином однозначно определяется по его значению Рт(а) в точке х=а и значению его производных до порядка tn включительно в точке х=а.
Формулу Тейлора (14.14), записанную при а = 0, называют обычно формулой Маклорена:
f/(x) = fz(0) + /(0)^+r(0)4+ •••
1 +^(n-1)(0)-^_,j, +Pn(x), (14.18)
я
P„ (x) = 11/^ (0 dt. (14.19)
о
Формула Тейлора (14.14), (14.15) показывает, что функция z/(x) е £)п{(а, 0)} однозначно восстанавливается по значениям ее производной л-го порядка »/(п)(х), заданной на (а, 0), и значениям функции у(х) и ее п — 1 младших производных у'(х) ,.. ... «/п-1>(х) в какой-либо точке ле (а, 0). Таким образом, формула Тейлора дает решение дифференциального уравнения л-го порядка:
У{п} (х) = g (х), (14.20)
если заданы значения у(а), у'(а), ..., у^п~^(а).
§ 15. Механический смысл второй производной
Пусть у=у(х) есть расстояние от материальной точки М, движущейся вдоль прямой линии, до начала отсчета О, измеренное в момент~времени t—x. Первая производная
у' (х) = lim -%- = v (х), (15.1)
Дх->0
*) Действительно, если g(l) = 0t то
X х
J g (J)dt = 0 dt = 0,
а а
$ 15]
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
139
как мы видели выше, есть по определению мгновенная скорость точки в момент времени t=x. Вторая производная
/'(.<) = „ш ,и+^-,ы _о(х)
Дх->0
(15.2)
называется мгновенным ускорением точки М, а второй закон Ньютона формулируется в виде равенства
ту" (х) = F,
(15.3)
где т—масса материальной точки, a F — действующая на нее сила. Итак, первая производная пути по времени есть мгновенная скорость точки, вторая производная пути по времени есть ускорение.
Если задана скорость точки и(х) как функция времени х, то для отыскания расстояния у(х) точки от начала отсчета надо задать это расстояние в какой-либо момент времени, например при х=0. После этого формула
х
у(х) = у(0) + J v(t)dt
О
(15.4)
однозначно определяет расстояние у(х).
Аналогично, если задано ускорение а(х) точки М как функция времени х, то для отыскания скорости и(х) надо задать значение скорости в какой-либо момент времени, например х = 0; тогда формула
X
о(х) = о(0) + J a(t)dt (15.5)
О
однозначно определяет скорость v(x). Если, кроме того, задано начальное положение точки у(0), то, подставляя (15.5) в (15.4) и пользуясь формулой (14.11), получаем
х
У (х) = у (0) + и (0) X + | a (t) (х — 0 dt о
(15.6)
— формулу, которая дает расстояние от точки М до начала отсчета, если известно ускорение а(х), начальная скорость и(0) точки и начальное расстояние у(0) от точки М до начала отсчета.
140
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. V
Пример. Пусть движение равноускоренное, тогда а « const,
|/=х
а
7=0
о
о о
= а I х
По формуле (15.6) получаем
S = y(x)-y(0) = v(0)x + a±-
— известную из курса физики формулу ^S = u0/ + a-“j для пути при равно-ускоренном движении.
Глава VI. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Признаки возрастания и убывания функции
1. Достаточные условия возрастания и убывания функции.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) возрастает (убывает) в точке х = с, если существует окрестность |х — б точки с такая, что в этой окрестности при
f(x) — f(c) Q mx)-f(c) Q\
х — с \ х — с /
Это, конечно, вовсе не означает, что функция y = f(x) моно-
тонна в этой окрестности. Например, как легко проверить, функ-
ЦИЯ Z/ = x(l 4-ySiny
при х =# 0 и у = 0 при х = 0 возрастает
в точке х=0. После доказательства теоремы 6.1 мы увидим, что она не является монотонной ни в какой окрестности точки х=0.
Теорема 6.1. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, Ь] и имеет в точке с^(а, Ь) производную ['(с)У=0. Тогда, если f'(c)> 0, то функция f(x) возрастает в точке х=с\ если же f'(c)<Z 0, то функция f(x) убывает в точке х=с.
Доказательство. Согласно определению
f'(c) = Hm v Х — С
(МГ
и на основании определения 2 предела функции для любого е > 0 найдется 6(e) > 0 такое, что неравенства
Л(с)-е< Н^-Н£).<Л(с) + е (1.2)
справедливы для всех х, удовлетворяющих условию
О < | х — с | < 6 (е).
(1-3)
Если в неравенствах (1.2) выбрать е так, что 0 < 8 < |/'(с) |, то в б (в)-окрестности (1.3) точки х=с, согласно (1.2), отношение
X — с
142 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
будет сохранять один и тот же знак. Это и означает, что функция f(x) возрастает (если /'(с)>0) или убывает (если f'(c)<Z < 0) в точке х=с.
3 а м е ч а н и е. Данная теорема устанавливает достаточные условия возрастания (убывания) функции f(x) в точке х=с. Может, конечно, случиться, что f'(c)=O, но функция f(x) возрастает в точке с или, наоборот, убывает. Например, функция у = х3 имеет в точке х = 0 производную [//]'=0 = [Зх2]л=о==О, но возрастает в этой точке.
Применим доказанную теорему к функции */(х) = х(1 + + у sin yj (х=/=0). Дифференцируя у(х), получаем у' = 1 + 4sin“ — tt-cos— (х=/=0).
Мы видим, что в любой окрестности точки х=0 имеются как точки, в которых у'(х) положительно (т. е. точки, в которых у(х) возрастает), так и точки, в которых у'(х) отрицательно (т. е. точки, в которых у(х) убывает). Поэтому функция у(х) не является монотонной ни в каком интервале, содержащем точку х=0.
Следствие. Пусть при х, ае(а, 0) существует первообразная для f (х):
X
F (х) = J f (х) dx. (1.4)
а
Если f(x)>0 (f(x)<0) при хе (а, 0), то F(x) возрастает (убывает) в точке х.
Действительно, F'(x)=f(x). Применяя к F(x) доказанную выше теорему, мы приходим к указанному следствию.
2. Локальный экстремум функции.
Определение. Будем говорить, что функция y=f(x) имеет в точке х=с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность |х — с| < 6 точки х=с, что функция f(x) определена в этой окрестности и значение f(c) является наибольшим (наименьшим) среди значений функции f(x) в этой окрестности *).
Локальный минимум и максимум объединяются общим термином локальный экстремум.
Следующая теорема устанавливает необходимое условие экстремума для дифференцируемой в точке х = с функции У = fix).
*) Таким образом, в этой окрестности выполнено неравенство
§ П
ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ
143
Теорема 6.2 (Ферма). Пусть функция y=f(x\ обладает производной f'(c) в точке х=с. Если функция f(x) имеет в точке с локальный экстремум, то f'(c) = 0.
Доказательство. Пусть, например, в точке х=с функция f(x) имеет локальный максимум. Тогда &y=f(x) — 0
при |х — с|< 6. Следовательно, при Ax>0-^-<Z0, поэтому
f'(c)^O. Но при Дх<0 --^->0, поэтому f'(c) 0. Отсюда следует, что f'(c)=O, и
теорема доказана.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в точке экстремума х=с параллельна оси Ох (рис. 15).
3. Теорема о нуле производной.
Теорема 6.3 (Ролля) (о нуле производной). Пусть функция f (х) е
D\ {(a, b)}, f(x) непрерывна справа в точке
Рис. 15.
х = a (f(a + O)*=*
= f(a)) и непрерывна слева в точке х = b (f(b — O) = f(b)).Ec~ ли, кроме того, f (a) =f (Ь), то найдется хотя бы одна точка с <= (а, Ь) такая, что f'(c) =0.
Д о к а з а те л ьст в о. Так как Di{(a, b)}czCo{(a, b)}, то функция f(x) непрерывна на (а, Ь). Кроме того, f(a + O) = f(a), f(b — 0) = f(b), поэтому f(x)e С0{(а, ft)}.
Следовательно, функция f(x), согласно теореме 4.12 Вейер-штрасса, достигает на отрезке [а, 6] своих точной верхней М и
точной нижней m граней.
Если т=М, то f(x) =const и с — любая точка (а, Ь). В этом
случае теорема доказана.
Если т=/=М, то выполнено по крайней мере одно из неравенств
f (а) = /(£)>«, f(a) = f (b)<M.
Пусть, например, М > f(a) =f(b). На основании теоремы Вейерштрасса 4.12 можно утверждать, что найдется точка с е е(а, Ь), в которой функция f(x) принимает максимальное значение М, т. е. f(c)=M. Следовательно, в точке с^(а, Ь) функция f(x) имеет локальный экстремум (максимум) и на основании предыдущей теоремы f'(c)=.O. Аналогично рассматривается случай in <zf(a)=f(b). Теорема доказана.
Эта теорема имеет столь же простой геометрический смысл, как и предыдущая теорема: между двумя точками равных значений функции находится хотя бы одна точка с нулевой производной, т. е. точка с, в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 16).
144
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Замечание. Все условия теоремы о нуле производной существенны для ее справедливости. Отказ от выполнения хотя бы одного из условий f(а + 0) =f(a), f(b — делает
теорему неверной.
Например, функция
при при
№ 0,
0<х < 1
разрывна в точке х = 0 и /(0 4-0) ¥= f(0). Легко видеть, что хотя /(0) = = f(/) — 1, но в любой точке хе (0, 1)
у Г (X) 0.
Если положить а < 0 и eDi{(—а, 0) U (0, а)}, но точки
Столь же существенно и требование существования производной f'(x) во всем интервале (а, Ь).
Например, функция
„=1x1=/—* "Р« *<°>
I х при х > 0
как
не имеет производной лишь в одной точке х = 0.
b ««—а, то хотя |х|еСо{(д, Ь)} н |х|се с, в которой f'(c) = 0, не существует, так
/(*) —
—-1 1
при при
х<0, х > 0.
§ 2. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций
Формула конечных приращений Лагранжа, о конечных прираще
1.
Т е о р е м а 6.4 (Лагранжа ниях). Пусть f(x) е Со{(а, Ь)} и f(x) {(a, b)Y, тогда найдется точка g е (а, Ь) такая, что
f(b)-f(a) = f'(l)(b-a). (2.1)
Формула (2.1) называется формулой конечных приращений Лагранжа. Геометрический смысл равенства (2.1) состоит в том, что касательная к графику функции z/ = f(x) в точке х=£ параллельна хорде АВ (рис. 17).
Доказательство. Рассмотрим функцию
Ч (х) == f (х) - / (а) — (х - а). (2.2)
§2] ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 145
Легко видеть, что ф(а) = ф(6) =0, (х)е С0{(а, Ь')} и ф(х)е
е £>i{(a, Ь)}. Таким образом, функция ф(х) удовлетворяет всем условиям теоремы 6.3 о нуле производной. Поэтому найдется такая точка £ е (а, Ь), что
Ф'Й) = 0, т. е.
<p'U)=T(g)--a4^r£l=0-
Отсюда
f (6) —/(«) = /'(&)(& — а),
и теорема доказана.
Заметим, что теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа при f(a)=f(b).
Формула конечных приращений Лагранжа применима к функциям f(x)e С0{(а, Ь)}, дифференцируемым на (a, fe), т. е. к функциям, которые могут и не иметь односторонних производных в точках х = а и x=fe.
Формулу Лагранжа (2.1) часто записывают в виде
f (х + Ах) - f (х) = Л (х + 0 Ах) Ах, (2.3)
где 0 < 0 < 1. Эта формула получается из (2.1), если обозначить а=х, b=x + Дх, £ = х + 9 Ах; тогда, так как а < g < 6, то 0 < 0 <С 1.
Доказанная теорема Лагранжа является одной из важнейших, центральных теорем математического анализа. Эта теорема связывает функцию /(х) и ее производную f'(x) или, что то же, функцию g (x)=f'(x) и ее первообразную f(x). Мы увидим ниже, в гл. VII, что формула Лагранжа приводит к понятию операции интегрирования для восстановления функции по ее производной, причем эта операция может быть определена уже независимо от операции дифференцирования.
Следствие из теоремы 6.4 (теорема 5.3). Пусть функции Fi(x) и F2(x) являются на (а, 0) первообразными для одной и той же функции g(x); тогда F\ (х) — F2(x) =const на (а, Р).
Доказательство. Действительно, Fj(x), F2(x) D{ (а,0) и F\ (х) = F2 (х) = g (Х). Поэтому у (х) = F\ (х) — F2 (х) Dx {(а, 0)} и у'(х) = 0 на (а, 0). По формуле Лагранжа (2.1) при любых х, a G (а, 0) имеем
1/(х) — у (а) = у' (I) (х — а) = 0,
так как £ е (а, х) е (а, р). Поэтому
у(х) = у (а) — const
146 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
при хе (а, Р). А это и значит, что Fi (х)—F2(x)=const на (а, р), и следствие доказано.
Итак, мы доказали теорему 5.3 из гл. V о том, что любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную.
Мы покажем в дальнейшем, что формула Лагранжа конечных приращений (2.1) может быть записана как формула для приращений дифференцируемой на (а, Ь) функции и одновременно как формула для определенного интеграла.
Последующие простые следствия формулы Лагранжа мы сформулируем в виде теорем.
2. Теоремы о среднем для определенного интеграла.
Теорема 6.5. Пусть функция f(х) задана на (а, Ь) и имеет первообразную F(x), непрерывную на [а, 6]. Тогда найдется точка £е(л, Ь) такая, что
ь
\f(x)dx = F (b) -F(a) = f (b - а). (2.4)
а
Доказательство. Согласно определению первообразной F(x) она дифференцируема на (а, Ь) и согласно условиям теоремы непрерывна на [а, Ь]. Записывая для F(х) формулу конечных приращений в форме (2.1) и учитывая, что А(£)=/(£), получаем (2.4).
Определение. Пусть па (jfl, b) задана функция f(x), имеющая первообразную, непрерывную на [а, Ь]. Величина ь
b j* f(x)dx называется средним значением функции f(x) на а
интервале (а, Ь),
Теорема 6.6. Если функция f(x) имеет первообразную, непрерывную на [а, 6], и f(x)^ 0, то ее среднее значение неотрицательно, т. е.
Jf(x)dx>0. (2.5)
а
Доказательство формулы (2.5) следует из (2.4), так как za)>o.
Теорема 6.7. Пусть функции f(x) и g(x) заданы на (а, Ь) и имеют первообразные, непрерывные на [а, 6]. Тогда, если f(x)^g(x), то b ь
j f (х) dx J g (х) dx. (2.6)
а а
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
147
§ 2]
Формула (2.6) получается из формулы (2.5), записанной для функции <р(х) =f (х)— g(x) 0.
Теорема 6.8. Пусть функции h(x)=f(x)g(x) и g(x) имеют на [о, Ь] непрерывные первообразные и f(x) ограничена на (а, Ь), т. е. m f (х) М при х е(а, Ь). Тогда имеют место не-
равенства ь ь ь
g(x)dx^T^^ f(x)g(x)dx^-^ J g(x)dx. (2.7) a a a
Доказательство этих двух неравенств следует из предыдущей теоремы (см. (2.6)), так как mg(x) ^f(x)g(x) tgzMg(x) при х е(а, b).
Теорема 6.9. Пусть функции <р(х) и |<р(х) | имеют непрерывные на [a, 6] первообразные. Тогда ь ь
-b±-^q>(x)dx /|<р(х)Мх.
а а
b
Доказательство. Если среднее значение g- J <p(x)dx a функции <p(x) на (а, b) положительно, то доказываемое неравенство есть неравенство (2.6) при f= | ф(х) |, £=ф(х). Если же ь
J qp(x)dx<0, то доказываемое неравенство снова есть а
частный случай формулы (2.6) при f(x) = |<р(х) |, g(x) — = — <₽(*)•
Теорема 6.10. Пусть функция f{x) имеет непрерывную на [a, ft] первообразную и при хе (о, b) m^. f(x)^ М. Тогда
ь
/ f(x)dx = p<M. (2.8)
а
Доказательство. Неравенства (2.8) получаются из неравенств (2.7), если в них положить g(x) si.
3. Обобщенная формула конечных приращений. Следующая теорема устанавливает обобщенную формулу конечных приращений (формулу Коши).
Теорема 6.11. Пусть функции f(x), g(x)eC0((a, b)} и дифференцируемы на (а, Ь). Тогда найдется точка £е(а, Ь), такая, что
U (*) - f (a)] g' (I) = [g (b) - g (a)] f' (I). (2.9)
148
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Формулу (2.9) также записывают в виде / (<>)-На) _ g(b) — g(a) g'(l) ’ если g'(x)^0 на (а, b).
Доказательство. Функция
Л (х) = [f (b) — f (a)] g (х) — [g (b) — g (а)] f (х) дифференцируема на (а, Ь) и А (х) е Со {(а, Ь)}. Кроме того, h (b) — h (а) = [f (b) — f (а)] g (ft) — [g (b) — g (a)] f (b) —
— [f (b) — f (a)] g (a) + [g (b) — g (a)] f (a) = 0.
(2.10)
Поэтому к функции h(x) применима теорема Ролля, согласно которой найдется точка g ^(а, Ь) такая, что
лха)=о. (2.П)
Равенство (2.11), как легко видеть, совпадает с равенством (2.10), и теорема доказана.
3 а м е ч а н и е. Формула (2.1) конечных приращений Лагранжа есть частный случай формулы (2.9) и получается из нее после подстановки g(x)=x.
4. Теорема Дарбу. Следующая замечательная теорема устанавливает важное свойство дифференцируемых функций: производная f'(x) дифференцируемой на (а, 0) функции f(x) принимает любое промежуточное значение между любыми двумя своими значениями.
Теорема 6.12 (Дарбу). Пусть f(x)—дифференцируемая на (а, Р) функция (/(х)е ₽)}), а, b е(а, р) и имеют ме-
сто неравенства
f'(a)<K<f'(b)- (2.12)
Тогда существует точка £е(й, b) такая, что
/'(£)=*•
Доказательство. Рассмотрим функцию f(x)—Xx=q?(x). Эта функция дифференцируема на (а, р) и, следовательно, непрерывна. Имеем q/(a) =f'(a)—Л < 0. Поэтому в точке х = = ае(а, р) функция <р(х) убывает и можно утверждать, что значение ф(а) не является минимальным значением функции ф(х) на [а, Ь]. Аналогично <p'(fe) =f'(b)—X > 0, поэтому функция ф(х) в точке х=Ь возрастает и значение ф(6) также не является ее минимальным значением на отрезке [а, Ь]. Поэтому существует точка %^(а, Ь), в которой непрерывная функция ф(х) принимает минимальное значение. Согласно теореме Ферма 6.2 в этой точке (£) =0, т. е. /'(£) — К = 0, или /'(£) = и теорема доказана.
§ 2]
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
149
Эта теорема устанавливает важное свойство производной: если производная f'(х) существует на (а, 0), то f'(x) не может иметь на (а, 0) ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода, так как в любом из этих двух случаев можно указать такую окрестность точки разрыва, в которой нарушалась бы теорема Дарбу 6.12, т. е. производная не принимала бы своих промежуточных значений.
С другой стороны, производная f'(x), заданная на (а, 0), может и не быть непрерывной на (а, 0), т. е. она может иметь точки разрыва второго рода.
Например, функция
y = f(x) =
2 • 1
х2 sin —,
X
О
х^О,
х = О,
(2.13)
в любой точке х=#=0 обладает производной
Г = 2х sin “ “ cos ;
в точке х = 0 производная вычисляется согласно определению
Г(0) =
lim Z(0 4-Ax)-Z(0) Лх->0 &Х
lim Лх->0
(Ax)2 sin ----О
Ьх
&х
О-
Таким образом, производная f'(x) функции f(x) определена на (—оо, оо), однако в точке х = 0 имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции
/' (х) = 2х sin -у — cos у при х —0.
Теорема Дарбу имеет прямое отношение к вопросу о том, какая функция g(x) имеет первообразную. Пока мы можем лишь утверждать, что функции g(x), имеющие разрывы первого рода, не обладают первообразной. Более подробно этот вопрос обсуждается в § 7 гл. VII.
5. Обобщенная формула среднего значения. На основании теоремы о промежуточном значении производной установим формулу, называемую обобщенной формулой среднего значения:
ь ь
J f(x)g(x)dx = f(l) j g(x)dx. (2.14)
а а
Теорема 6.13. Пусть функции f(x), g(x) и h(x)=f(x)g(xj имеют первообразные, непрерывные на [a, ft], и g (х) 0.
150 простейшие свойства ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI.
Тогда существует такая точка Ь), что имеет место равенство (2.14).
Доказательство. По условиям теоремы функции f(x) и g(x) являются на (а,Ь) производными соответственно от функций F(x), G(x)eC0{[a, b]}. Так как G'(x) =g(x) 0, то G(x)
не убывает. Поэтому, если G(a)=G(6), то g(A')=0 при хе е(а, Ь).
Итак, если ь J g(x)dx=G(b)-G(a) = 0, а
то равенство (2.14) выполнено при любом ^е(а, Ь), так как g(x)^0.
ь
Если же j g(x)dx = G (b) — G (a)=/=0, то имеет смысл отно-a шение ь
J f(x)g(x)dx
—ь---------= b (2.15)
J g(x)dx a
Сначала рассмотрим случай, когда функция f(x) ограничена на (а, Ь). Тогда существуют точные грани m и М функции f(x) на (а, Ь).
Согласно теореме 6.8 и формуле (2.7) отношение (2.15) заключено между точной нижней и точной верхней гранями функции f(х) на (а, Ь):
tn f М.
Если tn <Z J <Z М, то согласно определению точных граней найдутся точки хь х2^(а, Ь) такие, что in < f (Х|) < J < f (x2) < M. Поэтому на основании теоремы Дарбу функция f(x), как производная Е(х), принимает значение J в некоторой точке g€= (xi, х2) cz (а, Ь), т. е. f(g) =/*).
Если же / = М (так же рассматривается случай / = т), то из (2.15) следует, что
ь
j [АГ — f (х)] g (х) dx = 0.
*) Мы разыскиваем точки Х|, х2 такие, что пг < [(х^) <f < f(x2) < Mt так как величины m и М могут, вообще говоря, не быть значениями функции f(x) на [а, 6], ибо функция f(x) может не быть непрерывной.
ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
151
§ 3!
Но Л1 — f(x) > О, g(x)>0, и первообразная для [М— f(x)]g(x) не убывает на (а, Ь); поэтому [Л1— f(x)]g(x)=s » 0 при х <= (а, Ь).
Так как g(x) О на (а,Ь), то найдется точка в которой g(£)#=0 и, следовательно, = т. е. /(|) = /.
Теперь укажем, что доказательство остается в силе, если функция f(x) является неограниченной на (а, Ь) либо снизу, либо сверху, либо и снизу и сверху. В этом случае найдутся точки Xi,Xi^(a, b) такие, что f(Xi) < J < f (х2) > после чего доказательство проводится так же, как и выше. Теорема доказана.
§ 3. Оценки остаточного члена формулы Тейлора.
Представления остаточного члена формулы Тейлора в общей форме, в форме Лагранжа и в форме Пеано
Пусть функция f (х) еDn {(а, 0)}, й,хЕ(а, 0). Тогда, согласно § 14 гл. V, имеет место тождество
Г(х) = /(а) + Г(а)^=г- + Г(а)-^4^+ ...
... +,'"”(<» /('”(<)вл
а
Тождество (3.1) называется формулой Тейлора, а функция
X
Rn (а, х) = f dt (3.2)
а
— остаточным членом (в интегральной форме).
Приведем несколько различных представлений остаточного члена /?п(а, х), которые допускают простые оценки его величины.
Прежде всего заметим, что функции /<")(/) (х—t)n-k~* имеют первообразные (по переменному /) при целом А, если 0 k п — 1. Действительно, производная имеет на
(а, Р) п — k производных, т. е. fUl)(t) е Dn-h {(а, Р)}. Для этой производной напишем тождество Тейлора:
№=A)+rwv+... +/"-" +
(з.з)
152 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V!
Из тождества (3.3) следует, что функции
имеют первообразные (по переменному /) на (а, 0) при О k п — 1.
Записывая остаточный член Rn(a, х) в виде
X
/?„ (а, х) = -przr-ijr J 1^’ (0 (* - 0"'₽] (х - t)p~l dt, (3.4) а
применим обобщенную формулу о среднем (2.14), полагая g(t) = (х—Проверим возможность применения этой формулы. Функция /(л)(/)(х — t)n~P при любом целом р (О р п) имеет, согласно доказанному выше, первообразную, кроме того, g(t) = (x — t)P~' >0 (fe(a,x)) при любом р. Таким образом, мы можем применить теорему о среднем 6.13, согласно которой найдется точка £е(а, х) такая, что
х
Яп(а, X)^1^^j[fw(t)(x-trp\(x-t)p-ldt = а
_ 1(п>(Ю(х-1)п~р С, АР-1 f{n4l)(x-l)n-p(x-a)p , _
— (п- 1)1 J' l’ at~
а
Формула (3.5) дает так называемое общее представление остаточного члена формулы Тейлора *).
Относительно величины | нам известно лишь, что g (а, х); сама эта величина может быть определена точно из тождества (3.1) после подстановки туда (3.5) и решения полученного таким образом уравнения относительно %. Формула (3.5) позволяет оценить величину Rn(a, х) и тем самым оценить ошибку, которую мы допустим, если отбросим в тождестве (3.1) остаточный член /?п(а, х) и получим приближенное равенство.
Пусть, например, известно, что | (х) | < М при хе(а, р).
Тогда из (3.5) следует:
। г> и I М|х - g |п"~р | х - а |р Af | х — а
Х)|< (м-1)!р (п-1)!р '
так как | х — £ I < I х — а |.
*) Эту форму остаточного члена при р = 1 часто называют формой Коши,
ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
155
§ 3)
Полагая в (3.5) р = п, получим формулу
Rn (а, х) = = (*~а)П (а + 0 (х - а)) (3.6)
(О <0 < 1)
— представление остаточного члена в форме Лагранжа. Пусть функция f(n)(x) непрерывна в точке х = а, тогда f{n)(a + 0(х — a)) = f{n}(a) + <х(х, а),
где величина а(х, а) —бесконечно малая при х —► а.
Подставляя это выражение в (3.6), получим новую формулу для Rn(a, х):
Rn (а, х) = /(п) (а) + а (х, а) =
= f(,,4a)^-=^4-oGx-ar). (3.7)
Формула (3.7) для остаточного члена может быть, очевидно, переписана в виде *)
Rn+i (а, х) = о(\х — а Г). (3.8)
Такая форма остаточного члена называется формой Пеано. Заметим, что формула (3.7) имеет место и без предположения о непрерывности f^{x) в окрестности точки х = а\ в § 5 мы покажем, что это представление для остаточного члена имеет место в предположении о существовании производной f^(a) в одной лишь точке х = а.
Сделаем полезное замечание. Читатель должен усвоить, что равенство (3.1) есть тождество, поэтому величина /?п(а,х) не зависит от того, в какой форме она представлена. Различные представления остаточного члена дают одно и то же число, так как они определяются из одного и того же условия
Rn (а, х) = f(x) — Рп_1 (а, х), где
Рп-\(а> x) = f(a) + f'(a)^^- +
+ Г(а)1£21£1+ ... +/<"-> (д)
— полином Тейлора степени п—1 для функции f(x) е Dn {(а, р)}. Зачем же нужны различные представления остаточного члена формулы Тейлора? Они позволяют провести различные оценки остаточного члена в удобной для нас форме.
*) Так как если подставить (3.7) в (3.1), то величина о(|л — а|п) совпадет с /?п+1(а, х).
154 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Отметим некоторые свойства полинома Pn_i(a, х). 1) Этот полином в точке х = а принимает то же значение, что и f(x). 2) Производные полинома Pn_i(a, х) до порядка п—1 включительно совпадают с производными функции f (х) в точке х = а.
§ 4. Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
1. Показательная функция. Рассмотрим функцию у = ех. Как мы видели выше, (ех)'= ех. Поэтому эта функция обладает при хе(—оо, оо) производной любого порядка, т. е. eeD» {(—оо, оо)}. Итак, ех бесконечно дифференцируемая функция и мы имеем (ех’)<п) = ех. Запишем для функции ех формулу Тейлора с центром в точке а = 0. Так как е° = 1, то у{п}(а) = е° = 1 и мы имеем тождество
^=1 + 1^+!^-+ ... + 1-£ + /?„+1(0, х). (4.1)
В частности, отсюда следует, что, число е=е1 может быть представлено в виде
*=1+^ + 4-+ ••• +4-+^+>(°- О- (4.2)
Применим выражение (3.6) для остаточного члена в формуле (4.1):
/?п+1(°. *)=-(7^р7)Г' (4-3)
Отсюда имеем оценку
I X 1^"^" । pl I
|7?п+1(0,х)|<^ + 1е)| (4.4)
Неравенство (4.4) позволяет оценить ошибку, получаемую в (4.1) при отбрасывании остаточного члена /?„+1(0, х).
2. Тригонометрические функции. Функция у = sin х е е Dx {(—оо, оо). Полагаем а — 0 и вычисляем
г/(0) = 0, /(0) = 1, Г(0) = 0,
у'" (0) = - 1....у^ (0) = 0, о (0) = (- 1)т.
После этого записываем формулу Тейлора:
v3 v5 7 у2п+1
sin X = X — -gj- + -gj yj- + ... +(—1) (2n+ 1)[ + ^2n+2(0> *)•
(4.5)
Из (3.6) имеем оценку для /?2ге+г(0, х):
I , (2и+2) ^п+2 I |v|2«+2
I #2п+2 (0, X) | = J (2п + 2)1 | (2п + 2)1 ’ (4-6)
так как | sin(2n+2)(|) 1.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
155
§ 4]
Аналогично получаем формулу Тейлора для cosx: cosx=l-4 + 4- ••• +<-1)"w + /?2'‘+i(0’ (47>
I X |2л+1 |/?2л+1(0, . (4.8)
3. Логарифмическая функция. Рассмотрим функцию у —
= ln(l + х) <= Dm(— 1, оо). Для этой функции вычисления дают: z/(x) = ln(l + х); у(0) = 0;
/W = -jTp7’» /(0) = 1;
= у"(0) = -1;
/"(0) = 2;
yW{x}=^-^-^n //(n)(o) = (n_ i)i(—!)«->.
Поэтому имеем формулу Тейлора
v2
1п(1 + х) = х-^- + ^-^-+ ...
... +(-1Г14 + Ря+1(°, X). (4.9)
Если х е [0, 1] то, записывая остаточный член в форме Лагранжа, получаем следующую оценку:
|/?„+1(0, х)| = |
(/<«+!) (g)x"+l (п+ 1)1
xrt+1
п + 1
1
Если же хе[—а, 0] (0 < а < 1), то, пользуясь общей формой остаточного члена при р = 1 (формой Коши), получим
I /?п+1(0, х)1 =
п\
(х — 1)пх
(1 + I)n+I
а'
а
Последнюю оценку можно получить, полагая £ = 0х (0 < 0 < 1) и пользуясь неравенством * + g7< U справедливым при х е [—а, 0].
4. Приближенное вычисление числа е. Приведенные формулы показывают, что для вычисления элементарных функций
156
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
можно пользоваться формулой Тейлора. Приведем пример. Вычислим приближенно число е = е1 по формуле (4.2). Имеем
Л
1) = 7^7)Г. 0<£<1;
поэтому
<><«.., (О, 1)<-(7утуг'
з
Так как е<3, то /?п+1(0, 1) < . Если взять, например,
л = 8, то 0</?9(0, 1) = 10-5. Поэтому, взяв п = 8 в фор-
муле Тейлора (4.2) и отбрасывая остаточный член /?9(0, 1), получаем число е с точностью не меньшей, чем 10“°.
§ 5. Понятие дифференциала старшего порядка. Дифференцирование сложной функции
1. Определение и свойства дифференциала функции. Пусть на интервале (а, 0) задана функция y = f(x) и х, а <= (а, 0). Предположим, что относительно функции f(x) известно, что ее приращение &у = f(х)—f(a) в точке х = а представимо в виде
by = f (х) — f (а) =
= Л1(х-а) + Л2-^4г^+ ... + Д. + о(| х-а |"), (5.1)
где 41, Д2, ..., 4П — некоторые числа.
Определение. Пусть для приращения &у функции у = f(%) в точке х = а имеет место формула (5.1). Степенные функции Д| dx, 42dx2, ..., Andxn переменного dx будем называть дифференциалами функции y=f(x) в точке х=а соответственно 1-го, 2-го, ..., п-го порядка и обозначать символами
dy = Axdx, d2y = A2dx2, ..., dny = Andxn. (5.2)
Символ dx будем называть дифференциалом независимого переменного х *).
Поясним кратко введенные понятия. Во-первых, отметим, что понятие дифференциала &-го порядка предполагает существование дифференциалов (k—1)-го, (й—2)-го, ..., 1-го порядков.
Во-вторых, согласно определению, равенства (5.2) означают, что для приращения Ду функции f(x) имеет место формула
*) Рекомендуем читателю сравнить это определение с определением первого дифференциала (гл, V, § 4).
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА 157
(5.1). Поэтому, если вычислить дифференциалы (5.2) при dx = х — а и образовать из них сумму
М = {А,Чх+Л^+ ... о.
то эта сумма Дг/ будет отличаться от приращения Д// функции f(x) на величину порядка более высокого, чем |х— а\п (при х -> а).
Для дифференциалов любого порядка справедливы правила сложения и умножения на число
dn(yi + y2) = dnyi+dny2, (5.3)
dn (Су) = С dny (С = const), (5.4)
непосредственно вытекающие из их определения. Формулы (5.3) и (5.4) выражают линейные свойства дифференциалов.
2. Связь дифференциалов с производными. В § 4 гл. V мы видели, что если представление (5.1) имеет место при п 1, то функция у = f(x) дифференцируема в точке х = а и при этом f'(a) =Дь Из формулы (5.1) при п > 1, однако, не следует существование в точке х = а производных более чем первого порядка, но если они существуют, то
^)(а) = д/г, k=l, 2, ..., п.
Теорема 6.14. Пусть функция f(x) имеет в точке х = а производную п-го порядка f^(a). Тогда эта функция имеет в точке х = а дифференциалы до порядка п включительно, при этом
dy = f (a) dx, d2y = f" (a) dx2, ..., dny = f{n} (a) dxn.
Доказательство. Согласно определению величина f(r,)(a) есть предел
Г%)=1!т .
х->а х а
и, следовательно, в некоторой окрестности точки х = а
(х) = /("-|) (а) 4- f(n> (а) (х — а) + а (х, а) (х — а) (5.5)
и а(х, а)-*0 при х->а.
Итак, в окрестности точки х = а функция у = f(x) дифференцируема п—1 раз, поэтому в этой окрестности имеет место
158
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
формула Тейлора
• • • + f(n~2) -У-2)?-2- + *«-• х>’ V*
где
/?„_1 (а, х) = / /(п-1) (О di.
а
Подставляя в /?„—> (а, х) представление (5.5) для /("-|) (/), получим
, (а, х) = / [f"-1’ (а) + fM (а) (t - а) + a (t, а) (/ - а)] =
=<“> WZ+Iм(») / ‘'"й-?),0"'’ л+ а
f (х - а) (х - /)п~2 ,, . . f (х-/)п~2 ,. , ,, . , _
+ J (п - 2)1 dt + J (п - 2)! V di ~
а а
= Г-" («) ^’г,г + Г Ы [^. - (£=41] + о (| л - а Г) =
= (а) + /<П) + 0 О х ~ а И-
В самом деле, как мы видели ранее (см. § 3), функция /(”-*)(/) (х — t)k имеет первообразную при — 1;
поэтому из тождества (5.5) следует, что существует первообразная и для функции а(/, a)(t — а) (х — t)n~2. По теореме о среднем значении имеем
X
/ a (/, a) (t - а) (х - t)n~2 dt = а
= •(£"-2)1 “ “ а) (* — £)"-2 ~ а)> £ *= (а> *)•
Но | 5 — а | < | х — а |, | х — ! | < | х — а | и £ ->• а при х -* а; поэтому
X
j а (/, а) (I -а)(х- 1)п~2 dt
< 2)1 Iа <£» °) И * — а Г,
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА 159
т. е.
X
А2),- J a(t, a)(t — а)(х — f)n~2dt = о(\х — а Г). а
Итак, для Аг/ имеет место представление
• • • + ю -(тГ-17 + fw («) +°(\х-а Г)- <5-6)
Формула (5.6) доказывает теорему, так как из нее следует, что
dy = f' (a)dx, d2y = f"(a)dx2, dny = fn(d)dxn. (5.7)
Из доказанной теоремы следует, что дифференциалы дифференцируемой п раз функции у = f (х) могли бы быть определены по формулам (5.7), т. е. дифференциалом Л-го порядка dhy функции y = f(x) можно назвать произведение производной fh(x) функции y = f(x) на степень dxh дифференциала переменного х. Поэтому верно следующее правило вычисления дифференциалов:
dy = I' (х) dx, d2y = [/' (х) dx] dx =
= f" (х) dx2...dky = ~h dxk-'ldx = f(k) W dx“ (5 8)
(дифференцирование в формулах (5.8) производится по переменному х; величина dx считается не зависящей от х и поэтому выносится из-под знака производной).
Замечание 1. Формула (5.6) есть формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано\
Rn+i(a, х) = о(|х — а Г).
Здесь мы имеем менее обременительные ограничения на f(x), чем в § 3; функция f(x) имеет производную порядка п лишь в точке х = а и все производные меньшего порядка в рассматриваемой области изменения переменного х.
Замечание 2. Эта теорема говорит о возможности другого определения производных старшего порядка. Можно определить производную Л-го порядка для функции f(x) в точке х = а как коэффициент Ah в формуле (5.1) для приращения /(х). Это более общее определение Л-й производной для дифференцируемых k раз в обычном смысле функций совпадает с введенным ранее.
160 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V!
Из формул (5.7) следует, что обозначение производной порядка п в виде
можно понимать также и в буквальном смысле, как отношение дифференциала n-го порядка функции f(x) к степени dxn дифференциала dx.
3. Дифференциалы сложной функции. Пусть функция у = =f(x) обладает в точке х=а дифференциалами до порядка п включительно и пусть переменное х само есть функция х = = ф(/) переменного t. Пусть ф(а) =а и функция х = ф(/) в точке t = а обладает дифференциалами до порядка п. Это значит, что справедливо равенство
х — а = Дх = ф (/) — ф (а) —
= ВЛ/-а) + В2-Цг^+ ••• + В„-^^ + о(|/-а|я). (5.9)
Равенство (5.9) мы записываем в виде равенств дифференциалов:
dx = dq = dt,
d2x = d2<p(t) = B2dt2, (J |Q)
d"x = dnq)(/) = B„ dtn.
Рассмотрим сложную функцию z = f(<p(/)) переменного t и представим ее приращение Ixz = f (q> (/)) — f (<p (a)) в виде многочлена от (/ — а). Для этого подставим (5.9) в (5.1). Мы получим Az = f(qp(/)) —f(q>(a)) =
= Л, [в, (/ - а) + ... + В„-Ц^- + о(| t - а |я)] +
+ Л[В1(/_а)+ ... _|_Вп1Ц^1 + о(н_аГ)]2+ ...
... +Л-[в1(/_а)+... + вге-Ц^1 + о(|/_а|«)]п +
+ о (| х - а Iя) = Л.В, + (Л2В? 4- Л,В2)-Ц^ +
4- (ЛзВ| + ЗЛ2В1В2 + Л1В3) -—+ ...
... +(Л„ВГ + пЛ„_1ВГ'В2+ •••)—~!а)П + 0(1 Z — а |я). (5.11)
При проведении этих выкладок учитываем, что величина |х — а| при имеет порядок малости не меньший, чем первый. Поэтому слагаемое о(|х — а|")—величина порядка о(|/—a|n)«
§5] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА 16|
Мы приходим к выводу, что сложная функция z(t) = = f(cp(/)) в точке t = a также обладает дифференциалами до порядка и, при этом
dz = AiBi dt = (В{ dt) = А{ dx,
</2г = (Л2В1 + AiB2)dt2 =
= А2 (В1 dt)2 + Д1 (в2 dt2) = А2 dx2 + Aid2x,
d3z = (Л3В? + 3A2BtB2 + Л^з) dt3 =
= Л3 (В, dt)3 + ЗЛ2 (Bl dt) (В2 dt2) + Л, (В3 dt3) =
= Л3 dx3 + ЗЛ2 dxd2x + Atd3x,
(5-12)
ввиду формул (5.10).
4. Связь дифференциалов сложной функции с производными. Пусть функции y = f(x) и х = ф(/) п раз дифференцируемы соответственно в точках х — а и t = а. (<р(а) = а). Тогда и сложная функция z(t) = f(<p(t)) переменного t дифференцируема в точке t = а п раз *).
Согласно теореме 6.14 из п. 2
A\ — f' (a), A2=f"(a)....An = fw(a), 1
B^y'ta), В2 — ф"(а), ...» В„ = ф(">(а) J
И
dz = z' (a)dt, d2z = z"(a)dt2, ..., dnz = zn(a)dtn. (5.14)
Подставляя выражения (5.13) в (5.12) и сравнивая результат с (5.14), заключаем, что
s' (а) = А{В{ = f' (a) qp' (а),
z (а) = Л2В? + Л ,В2 = Г (а) [<р' (а)]2 + f (а) ф" (а), г'" (а) = f'" (а) [Ф' (а)]3 + 3f" (а) ф" (а) ф' (а) + f' (а) Ф'" (а).
(5.15)
Таким образом, из определения дифференциалов функции z(t) =f((p(/)) мы получили формулы для старших производных сложной функции z(t). Конечно, эти формулы могут быть легко получены повторным применением правила дифференцирования сложной функции z = f(cp(t)).
*) Убедиться в этом очень легко, применяя п раз теорему 5.8 из § 9 гл. V о дифференцировании сложной функции.
162 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Подставляя (5.13) в (5.12) и пользуясь (5.10), находим
dz = f' (a) dx,
d2z==f„(a) dx2 + f'(a) d2x,
d3z = f'" (a) dx3 4- 3f" (a) dx d2x + f' (a) d3x,
(5.16)
Эти формулы для дифференциалов сложной функции удобно получать, пользуясь правилом (5.8):
dz=-^[f (х (0)] dt = f' (х) х' (0 dt = f' (х) dx (0,
d2z = (dz) dt = -^ [f' (x (0) x' (0 dt] dt = = f" (x (0) [x' (0 dt]2 + f' (x (0) x" (0 dt2 = = f"(x)dx2 + f'(x)d2x,
(5-17)
Мы видим, что выражение для первого дифференциала dz сложной функции z = f(x(f)) переменного t в виде f'(x)dx совпадает по форме с первым дифференциалом dy функции y = f(x). Это обстоятельство называется инвариантностью формы первого дифференциала.
Для второго и старших дифференциалов функции z= = f(x(/)) появляются дополнительные слагаемые по сравнению с соответствующими дифференциалами функции y = f(x). Это, впрочем, не удивительно, так как сравниваются дифференциалы разных функций z(t) = f(x(t)) и у(х) = f(x).
В связи с этим заметим, что происходят досадные недоразумения, когда эти две разные функции обозначаются одной и той же буквой, например: у — у (х) = у (х (/)).
Тогда вторая формула (5.17) выглядит гак:
d2y = у" (х) dx2 + у' (х) d2x,
что нелепо, ибо y"(x)dx2 = d2y (х), и мы можем продолжить:
d2y = d2y (х) + у' (х) d2x,
т. е. получать другие нелепые формулы.
§ 6]
ПРАВИЛО лопитлля
163
§ 6. Правило Лопиталя
1. Раскрытие неопределенности типа^-. Понятие производной оказывается полезным при вычислении некоторых пределов.
Теорема 6.15. Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы при 0 < |х— а|<8 (дифференцируемость f и g в точке х = а не требуется) и lim f(x)= lim g(x) = 0. Тогда, если при х->а х->а
О < |х — а| < е g'(x)=^0 и существует предел
(6.1)
то существует и предел
lim == Ит ‘ЦЦ- = А. х->а в(х) х->а S (х)
Если при этом определены f'(a) и g'(a), то А = .
Раскрытие неопределенности по формуле (6.2) называется правилом Лопиталя.
F ( х\
Доказательство. Предел отношения ' \ ' при х—>а, g (я)
как мы знаем, не зависит от значений f(x) и g(x) в самой точке х = а. Поэтому, не ограничивая общности, мы можем для простоты считать, что f(a) = g(a) =0. Тогда функции f(x) и g(x) будут непрерывны в точке х = а. Функции f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности точки х = а (так как они дифференцируемы при 0< |х — а|<е и непрерывны в точке х = а) и дифференцируемы в этой окрестности, кроме, может быть, точки х — а. Поэтому мы можем применить на отрезке [а, х] обобщенную формулу конечных приращений Коши (§ 2, формула (2.10)):
е(*)-е(<А g(x) g'd) a|<|x а1<еЬ
Пусть x-»a. Тогда |->a. Поэтому
lim -Ц4 = Hm = A.
и g'(a) существуют и отличны от
(6.2)
lim-Ц4 х->а
Если же производные f'(a) нуля, то очевидно, что
f(x)-f(a) х — а
нт_ц4=Ит*-<?.
х->а ё(х) х^а g(x)~g(a) g'(a)
х — а
(так как f (а) = g(a) = 0), и теорема доказана.
164
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ VI
Замечание 1. Если производные f'(x) и g'(x) удовлетворяют тем же требованиям теоремы, что и сами функции, то правило Лопиталя (6.2) можно применять повторно, т. е. мы можем написать в этом случае
lim х-»а
f(x) g(x)
= lim
х->а
гм g'M
= lim х->а
f" м g"M
(6.3)
Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять и при х —* оо, а также либо при — оо, либо при х —>• + оо.
f (х)
Пусть, например, нам надо вычислить lim . , причем
Х->+оо g М
lim f(x)= lim g(x) = 0. Тогда, полагая t = — получим ;->4-oo x->+°o x
= lim
X->+oo
f'(x) g'M ’
(6-4)
неопределен-
Если же f(x)—>оо, g* (х) —> оо при х->а, то есть неопределенность типа —
Замечание 3. В доказанной теореме limf(x) = limg(x) = 0. x->a f(x)
Поэтому отношение при x->a называют О
ностью типа -у.
f(x) говорят, что отношение
в точке х — a. Оказывается, что формула (6.2) имеет место и для неопределенностей типа
при х->а существует.
2. Раскрытие неопределенности типа
Теорема 6.16. Пусть f(x) и g(x) имеют производные при О < | х — а | < е, f(x)—юо, g(x) —► оо при х->а и существует
оо Г(x\
—, если только предел ,. .
ОО ’ F g (x)
oo
предел
lim Cj-y = А.
х->а 2 М f (х}
Тогда существует предел отношения ’ при х^>а\ при этом
lim \х\ = lim ЛШ- = А. х->а g (х) х-»а g (х)
(6.5)
$ 6]
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
165
Доказательство. Мы докажем существование односто-t (х\
ронних пределов при х-> а+ 0 и х-* а — 0 и докажем, что оба они равны Л. Отсюда будет следовать (6.5).
Пусть, например, у <_ х <. а, |х— а | < е, | у — а|<е. Тогда можно применить обобщенную формулу конечных приращений Коши:
где
Их)-Иу) __ НЕ)
g(x)-g{y) g'd)’
a — 8<t/<g<x<a.
(6-6)
Ввиду условий теоремы
ХШ. = Д + a (£), где а(£)->0 при £->а.
Отсюда и из (6.6) получаем
1 Ну)
ИХ) ИХ) _ fjX)-fjy) _ f'jl) _ д , zjx g(x) . g(y) g(x) — giy) g'il) '8*
l-7w
и
i--^4
Их)
Пусть е > 0 — произвольное число. Так как a(S) -»0 при £ —► а и у <£ < а, то можно фиксировать значение у так, чтобы выполнялось неравенство а(£)<-|-. При х—*а — О £(х)—*оо и / (х) —+ оо. Поэтому при фиксированном у можно выбрать такое значение х, что 1 eiy) six) .
. Ну)
fix)
(6-7)
е
Тогда из равенства (6.7) следует, что
Таким образом, хР < х < а
существует значение Хо такое, что при
I fix)
I Six)
— А | < е.
155 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
f (х)
Это означает, что существует lim ; \ =А. Аналогично дока-х->а—О ё Iх)
t (х)
зывается существование правого предела lim ~ = А. Тео-x->a+0 £ W
рема доказана.
Доказанная теорема остается справедливой при х-*оог а также либо при х->—оо, либо при х —► + °° (ср. замечание 2 к теореме 6.15).
Примеры применения правила Лопиталя *):
1
2 ‘
1.
lim х->о
1 — cos х х2
= lim х->0
sin х 2х
2.
lim х->0
х — sin х х3
lim х->0
1 — COS X
lim х->о
sin х 6х
1
6 ’
В примере 2° мы два раза применяем правило Лопиталя. 1
4. lim (xlnx)= lim -» X = lim ——X = lim (— x) = 0.
x->0+0 x->0+0 1 x->0+0 (___x->0+0
X \ X2/
5. Пусть y = [u (x)]v и при x->a w(x)-> 1, и(х)-><». Тогда 2= In y = z . , . . In и (x) 0
= o(x)lnu(x)=------p—- есть неопределенность типа — в точке х = а.
6. Пусть у=х и х-> + 0. Тогда z=lny = xlnx и, согласно 4% lim 2 = 0. Поэтому х->+о
lim z
lim у = lim ег = ех~>+0 =1.
х->+0 х-»+0
В тех случаях, когда функции f(x) и g(x) дифференцируе* мы в точке х = а и в окрестности этой точки |х — а|<е, вместо правила Лопиталя можно с тем же успехом для вычис-f (х)
ления предела отношения ПРИ х—>а пользоваться форму* лой Тейлора.
§ 7. Метод выделения главной части функции
Будем говорить, что функции f(x) и g(x) имеют одинаковы» главные части при х-* а до порядка п (п — целое положительное число), если
f (х) — g (х) = о (| х — а Г).
*) Конечно, эти пределы легко вычисляются и без применения правила Лопиталя.
$ 7] МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ФУНКЦИИ 167
Очевидно, что существует бесконечное множество функций, имеющих одинаковую главную часть до порядка п с функцией fix).
Пусть функция f (х) <= Сп {(а, 0)}, т. е. производная f<n>(x) непрерывна на (а, 0). Тогда, разлагая f(x) в окрестности х = = а <= (а, 0) в ряд Тейлора
f(x) = f(a) + f'(a)J4r-+ +f(n>(a)-~,a)n+^+l(a, *)
и учитывая формулу (3.8):
(а. х) = о(|х — а Г), получаем, что функция
fnW = f(a) + f'(a)^ + ... +Г)(а)1^1
имеет одинаковую с f(x) главную часть до порядка п при
Таким образом, формула Тейлора дает возможность простого алгоритмического нахождения главной части функции.
Мы поясним это двумя примерами.
1. Будем искать величину
из § 6, существует и равна у. Ясно, что если
1 — cosx .. g(x)
которая, согласно примеру 1 1 —cosx = g(x) + о(х2), то
х->о х2 х->о х2
Поэтому надо найти главную часть функции 1—cosx в окрестности точки х = 0 до второго порядка.
Согласно формуле (4.7) имеем
1 _ cos X = 1 - [ 1 - + о (х“)] = 4 + ° (*2)-
После этого легко находим, что
х х->0 2х2 2
из
х->0
что соответствует примеру 1
1 — COS X — у х2
2* 1*т т v~\2 • В этом примере надо прежде всего опреде-
(l-cos-£)
лить» до какого порядка должны быть вычислены главные части числителя и
168
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
знаменателя. Согласно формуле (4.7)
l-cosy=l-l+^r^+o(x2) = -j-x2 + o(x2).
Поэтому
(l-cos^)2=-^-x« + 0(x«),
и, следовательно, нам нужно выделить главную часть числителя до четвертого порядка. Согласно (4.7)
1-1x2-cosx=1-1x2-[1-4+-^- + ‘’(^)]-----^ + °W-
Поэтому
lim х->0
1 1 2
1 — COS х —— X2
lim х->0
х4
’ 24 _ 8
х4 ” 3 ’
64
§ 8. Локальное изучение графика дифференцируемой функции
1. Достаточные условия монотонности дифференцируемой функции. В § 1 этой главы вы установили признаки возрастания и убывания дифференцируемой функции y = f(x) в точке.
Так, если у'(а) = f'(a) >0 (z/'(a) <0), т0 согласно теореме 6.1 существует окрестность точки х = а, в которой >0 т- е- функция f(x) возрастает
(убывает) в точке х = а.
Теорема 6.17. Функция y = f(x) не убывает (не возрастает) на (а,Ь), если на (a,b) f'(x) ^0 (f'(x) г^О), и строго возрастает (убывает) на (а,Ь), если f'(x) >0 (f'(x) < 0) при х е (а, Ь).
Доказательство. Выберем две произвольные точки и х2, принадлежащие интервалу (а,Ь). Пусть < х2. Так как f(x)^D\{(a,b)} и [xi,x2]cz(a, 6), то f (х) <= Со{[%1, х2]} и можно воспользоваться формулой Лагранжа:
f (х2) — f (*1) = Г (I) (*2 — Xj).
Так как xt < х2, то знак приращения функции f(x) на отрезке [Х], х2] определяется знаком производной /'(£) в точке ge(xi,x2). Отсюда следует, что если при любом хе (а, Ь) f'(x) 0 (f(x) ^0), то функция f(x) не убывает (не возрас-
тает) на интервале (а, Ь). Аналогично, из условия f'(x) >0 (f'(x) < 0) при любом хе (а,Ь) вытекает строгое возрастание (убывание) функции f(x) на интервале (а, Ь). Теорема доказана.
$ 8] ЛОКАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ 169
2. Достаточные условия экстремума.
Теорема 6.18 (достаточные условия экстре и у-м а). Пусть функция f(x) имеет в точке х = а производную порядка п 2 и f'(а) = 0. Тогда:
а) если Г'(я)>0, то точка х = а — точка локального минимума функции у = f(x);
б) если f '(а) < 0, то точка х=а есть точка локального максимума функции у =
в) если f"(a)=-0 и f"'(a)=£O, то точка х = а не является ни точкой максимума, ни точкой минимума функции у = = f (х), т. е. в точке х — а нет экстремума-,
г) если п>4, f" (а) = ['" (а) = 0 и /<4)(а)=#0, то при f^(a) >0 функция f(x) имеет в точке х — а локальный минимум, а при fw(a) < 0 — локальный максимум
Вообще, если f'(a)=O, f"(а) = 0, f(n~1)(a)=O, а
о т0
д) в случае п = 2m (т. е. когда первая отличная от нуля в точке х = а производная есть производная четного порядка) при f(n)(a) < 0 в точке х=а имеет место локальный максимум, а при fW(a)>0 — локальный минимум,
е) в случае п = 2m + 1 (т. е. когда первая отличная от нуля в точке х = а производная есть производная нечетного порядка) в точке х = а нет экстремума.
Доказательство, а) Если f'(a) = 0 и f"(a)>0, то по формуле Тейлора (5.6)
г/(х) = /(х)==На) + Г(а)-Цг^+о(|х-а|2). (8.1)
Отсюда
f (*) - f (а) = -^4^- [f" (а) + а (х, а)], (8.2)
где а(х,а)—бесконечно малая при х-*-а. Поэтому существует окрестность |х— а | < б точки а, в которой |а(х, а) | < /"(а), и, следовательно, в этой окрестности f"(a) + а(х, а) > 0. Итак, при 0 < |х — а| < б
f (х) — f (а) > 0, т. е. f(x)>f(a). (8.3)
Это означает, что значение f(a) есть наименьшее значение функции у — f (х) в окрестности |х — а| < б точки а, и утверждение а) доказано (рис. 18).
б) Если f'(a) = 0 и f"(a) <0, то согласно (8.2) при 0< < |х— а| < б
f (х) — f (а) < 0, т. е. f(x)<f(a), (8.4)
т. е. функция f(x) имеет в точке х = а локальный максимум (рис. 19). Утверждение б) доказано.
170 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VF
в) Пусть и f'(a) =f"(a) — 0, a f"'(a)=/=O. Тогда записываем для f(x) формулу Тейлора:
f (*) - f (а) = f'" (а) -^=^- + о (| х - а |3) =
= + а)],
где а(х, а)->0 при х-+а. [х—а|<6 точки х = а, в
Рис. 18.
Поэтому существует окрестность которой величина + а(х, а) сохраняет свой знак. Следова-
тельно, в любой окрестности
Рис. 19.
|х— а | < 61 < S разность f(x)—f(a) меняет свой знак вместе с (х— а). Это означает, что точка х = а не является экстремальной, и утверждение в) доказано.
Рис. 20.
Качественное поведение графика функции f(x) в окрестности точки х=а приведено в этом случае на рис. 20.
г) Пусть f'(a) = f"(a) = f"'(a) = 0, fW{a)=/=0. Тогда по формуле Тейлора
fix) - f (а) = [fw (а) + а (х, а)] (8.5)
'§ 8] ЛОКАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ 171
и а(х, а)->0 при Поэтому в некоторой окрестности
|х — а | < 6 точки а величина + а(х, а) сохраняет свой знак. Следовательно, при 0<|х — а|< 6 и х #= a f(x) — — f(a)>0, если f(4)(a)>0, т. е. имеем минимум в точке х = а\ f(x) — если f(4)(a)<0, т. е. имеем максимум в точке
х = а. Графики функций в этих случаях имеют такой же характер, что и в случаях а) и б).
д) Пусть теперь
f'(a) = f"(a) = ... =f(n-n(a) = O и f(n) (а) =£ 0;
тогда
(а) = -^=^- [f(n) (а) + а (х)]. (8.6)
Если п четное, 6 достаточно мало и 0 < |х — а| <6, то при /<п>(а) > О f(x)— f(a)>0 и мы имеем минимум, а при f<n>(a)< <0 f(x)— f(a)<0 и мы имеем максимум. Графики функции в этих случаях похожи соответственно на графики в случаях а) и б).
е) Если в формуле (8.6) п нечетное, то величина f(x)—f(a) меняет знак в точке х = а вместе с х — а и экстремума в точке х=а нет. График в этом случае похож на график в случае в).
Итак, сформулированная теорема полностью доказана.
3. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Дополнительную информацию о функции дает знание взаимного расположения графика функции и касательной к графику.
Определение. Будем говорить, что график функции у = = f(x), дифференцируемой в точке х = а, имеет в точке х = а выпуклость, обращенную вверх (вниз), если в некоторой окрестности |х — а | < 6 этой точки при х =# а график функции у — = f(x) лежит ниже (выше) касательной к графику, проведенной в точке х = а.
Определение. Мы говорим, что график функции имеет выпуклость, обращенную вверх (вниз) на (а,Ь), если он имеет выпуклость, обращенную вверх (вниз) в каждой точке хе <=(а, Ь).
Определение. Точку х = а мы называем точкой перегиба, если в достаточно малой окрестности | х — а | < б точки а график функции y = f(x) при х<а и при х>а расположен по разные стороны от графика касательной.
На рис. 21, 22, 23 приведено характерное расположение графика функции и касательной для случаев выпуклости вверх, вниз и точки перегиба.
Теорема 6.19 (достаточные условия выпуклости и перегиба). Пусть функция у = f(х) имеет в точке х = а п производных. Тогда:
172
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
а) если п^2 и f"(a)>0, то график функции y = f(x) в точке х = а имеет выпуклость, обращенную вниз;
б) если п^2 и f"(а) < 0, то график функции в точке х = а имеет выпуклость, обращенную вверх;
в) если п^Зи f"(a) = O, a f"'(a)=/=O, то точка х = а является точкой перегиба графика функции.
Выпуклость Вниз
Рис. 21.
Выпуклость бберос
Рис. 22.
Рис. 23.
Вообще, если f"(a) = = ... = f{n !)(а) = 0 и f<n)(a)=#O, то
г) при п — 2т + 1 точка х = а является точкой перегиба графика функции;
д) при п = 2m выпуклость в точке х = а обращена вниз, если (<пЦа) > 0, и вверх, если f^fa) < 0.
Доказательство. Уравнение касательной, проведенной через точку х = a, y = f(a) графика функции y = f(x), согласно § 2 гл. V, есть
Y =( (а) + /' (а) (х — а)
(8.7)
§8] ЛОКАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ 173
(букву Y мы применяем для отличия от y = f(x)). Поэтому, согласно формуле Тейлора,
У — Y = f (х) — f (а) — г (а) (х — а) =
= f" (а) (х~^ + ... + fn> (а) + о (| х - а |п). (8.8)
а) Пусть f"(a)>0. Тогда, полагая в (8.8) п = 2, получаем
У (х) - У (х) = [f" (а) 4- а (х, а)], (8.9)
где а(х, а)->0 при х->а. Следовательно, в некоторой окрестности | х — а | < б точки а при х =/= а, согласно (8.9),
y — Y>Q,
а это и означает, что график функции y = f(x) в точке х = а имеет выпуклость, обращенную вниз.
б) Если то из (8.9) заключаем, что при |х — а|<
< б и х =/= а у—У<0 и график функции y = f(x) в точке х = а имеет выпуклость, обращенную вверх.
в) Если f"(a) = 0, a 0, то
У (х) - У (х) = [f'" (а) + а (х, а)]. (8.10)
При достаточно малом 6>0и |х — а| < 6 величина +“ '4-а(х, а) сохраняет свой знак, так как а(х, а)->0 при Поэтому величина у— Y при |х — д| < 6 имеет различные знаки слева и справа от точки х = а. Следовательно, график функции у = f (х) слева и справа от точки х = а расположен по разные стороны от графика касательной Y = f(a) + f'(a) (х — а)-Это и означает, что х = а — точка перегиба.
г) В этом случае
y-Y = (Х(^т + Т)Т- ^2т+'} (а) + а (х’ (8Л0
Так же, как в случае в), имеем точку перегиба.
д) В этом случае
У - Y = (а) + а (х, а)]. (8.12)
Поэтому знак f(2m) определяет направление выпуклости графика функции y = f(x) в точке х == а (вниз при /<2т>(ц)>0 и вверх при f<2m>(a) < 0).
Теорема полностью доказана.
174
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Замечание. Пусть п 2. Тогда можно написать формулу Тейлора для f'(x):
f' (X) = f' (а) + f" (а) + ... + f(n-1) (а) (*~Д,- +
+ fW(a) + о(\х-а Г1). (8.13)
Легко заметить, что точки перегиба графика функции y = f(x) (случаи в), г) теоремы) являются точками экстремума для f'(x); в точках, где производная y' = f'(x) возрастает, график функции y = f(x) обращен выпуклостью вниз (случай а) и случай д) при ^2т)(а) > 0); в точках, где f'(x) убывает, график функции y==f(x) обращен выпуклостью вверх (случай б) и случай д) при f<2m)(a) < 0).
Таким образом, исследование выпуклости графика функции y = f(x) и его точек перегиба сводится соответственно к нахождению участков монотонности и точек экстремума для первой производной у' = f'(x).
4. Краевой экстремум. Пусть теперь функция y=f(x), заданная на ограниченном замкнутом множестве А значений переменного х, непрерывна на нем. Тогда по свойствам непрерывных функций она принимает на А свое наибольшее и наименьшее значения, которые называются соответственно максимумом и минимумом f(x) на А. Пусть, например, А есть сегмент [а, &], f(x) eD]{(a, b)} и f (х) е С0{[а, Ь]}. Указанным выше способом мы находим все экстремальные значения f(x) на интервале (а,Ь). Для определения максимума и минимума f(x) на отрезке [а, Ь] их надо сравнить также со значениями f (х) в точках х = а и х = Ь. Если максимальное (минимальное) значение функции f(x) достигается в граничных точках х — а или х = Ь, то мы говорим, что f(x) имеет краевой максимум (минимум).
При некоторых условиях можно утверждать, что f(x) не имеет краевого экстремума. Например, если f'(a -{-0)> 0, то значение f(a) не может быть максимумом; если же f'(a + O)< < 0, то f(a) не может быть минимумом. Аналогично, если f'(b— 0) < 0, то f(b) не является максимумом; если же f'(b — — 0) >0, то f(b) не есть минимум. Если величины f'(a + O) и f'(b — 0) имеют разные знаки, то на (а,Ь) найдется по крайней мере одна точка, в которой f(x) имеет экстремум.
§ 9. Локальное исследование графика функции, не обладающей достаточным числом производных
1. Достаточные условия экстремума. В предыдущем параграфе мы предполагали, что в точке х = а существуют производные f'(a), f"(a), .f(n)(a), которые дают ответ на вопрос
ЛОКАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
175
§ 9)
о росте функции и выпуклости ее графика в этой точке. Может случиться, однако, что производная, которая давала бы ответ на эти вопросы, в самой точке х = а не существует, а существует лишь в ее окрестности |х— а| <6 при х =/= а. Наконец, может случиться, что в точке х = а существуют все производные f'(a), f"(a)....f(n)(fl), но они равны нулю и мы не мо-
жем методами § 8 выяснить, например, вопрос, является ли точка х = а экстремальной.
Рассмотрим пример
Легко проверить *), что 0 = f(0) = f'(0) = ... = f(n)(0) = ...
Однако можно утверждать, что в точке х = 0 имеет место минимум функции у = f(x), так как /(0) = 0, a f(x) > 0 при х ф 0.
Две теоремы, позволяющие исследовать график функции в этих случаях, приводятся ниже.
Теорема 6.20. Пусть функция у = f(x) непрерывна в точке х = а. Тогда, если ее производная у' = f'(x) существует в окрестности точки х = а, за исключением, быть может, ее самой, и меняет свой знак с минуса при х < а на плюс при х > а, то функция f(x) имеет в точке х — а локальный минимум; если производная меняет знак с плюса на минус, то х = а — точка локального максимума.
Доказательство. Пусть, например, f'(x)<0 при а — — 6^х<а и /'(х)>0 при о<х<а + 6. Функция f(x) непрерывна на отрезке [а — 6, а + б], так как f(x)^D}{[a — б, a) U U (а, а+ 6]} и f(x) непрерывна в точке а. Тогда, применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем f(x)—f(a) = = Г(£) (х~а). Отсюда следует, что f(a)<f(x) при а —б< <х<а (?е(х,а)) и f(a)<f(x) при а<х<а+б (g е е (а, х)), т. е. точка х=а есть точка минимума функции у=* = f(x).
Аналогично рассматривается второй случай теоремы.
Заметим, что эту теорему иногда полезно применять и в тех случаях, когда производная y'=f'(x) существует и в точке х=а (иногда бывает удобнее проверять изменение знака первой производной, чем вычислять вторую производную).
Пример. Рассмотрим функцию у = f(x), заданную формулой (9.1). Имеем
Так как е""1/х2>0 при |х| =И= 0, то f'(x) <0 при х<0 и f'(x) >0, при х > 0. Поэтому точка х = 0 — точка локального минимума функции у = f(x).
*) Производные в точке х == 0 надо вычислять, пользуясь определением производной.
176
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
2. Достаточные условия перегиба.
Теорема 6.21. Пусть в некоторой окрестности |х— а|<6 точки х = а функция y = f(x) имеет непрерывную первую производную, а вторая производная f"(x) определена в этой окрестности всюду, кроме, может быть, самой точки х = а. Тогда, если f"(x) имеет разные знаки слева от точки х = а и справа от нее, то точка х = а — точка перегиба графика функции.
Доказательство. Как мы видели выше, точки перегиба суть точки экстремума первой производной f'(x). Согласно предыдущей теореме из смены знака f"(x) следует, что f'(x) имеет в точке х -= а экстремум, и теорема доказана.
§ 10. Асимптоты графика функции и исследование графика функции в целом
1. Асимптоты графика функции.
Определение. Прямая Y = kx-}-b называется асимптотой графика функции y = f(x) при х->4-°о (х-*—оо), если
f(x) = kx + b + a(x) (10.1)
и а(х)->0 при %->4-оо (%->—оо).
Теорема 6.22. Для того чтобы график функции y = f(x) имел при х—>4~°о асимптоту
Y = kx + b, (10.2)
необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:
lim -t^- = k, lim [f(x) — kx] = b. (10.3) x-»4-oo x x->4-oo
Доказательство. Необходимость. Пусть график функции у = f(х) имеет асимптоту (10.2), т. е. имеет место формула (10.1) и а(х)->0 при х-> 4-оо. Тогда
lim [f (х) — kx] = lim [b 4- a (x)] = b,
X->oo X-»oo
a
lim iw = iim ft + L+^ X->+oo X x->oo L x J
Необходимость равенств (10.3) доказана.
Достаточность. Пусть имеют место равенства (10.3). Тогда из второго равенства (10.3) следует, что
/(х) — kx — b = а(х),
где а(х)->0 при х->4-°о, т. е. следует (10.1):. Аналогично рассматривается случай х —>—оо. Теорема доказана.
§ 10]
ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ В ЦЕЛОМ
177
Определение. Прямая х — а называется вертикальной асимптотой графика функции = если хотя бы один из односторонних пределов
существует и равен нулю.
Таким образом, если прямая х = а— асимптота графика функции y = f(x), то функция f(x) неограничена в любой окрестности | х — а | < б точки х = а.
2. Исследование графика функции. Для получения представления о поведении графика функции у = f(х) в целом целесообразно выяснить следующие вопросы:
1. Определить область задания функции.
2. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.
3. Найти области, в которых график функции сохраняет направление выпуклости, и точки перегиба.
4. Найти асимптоты графика функции.
По этой информации в большинстве случаев удается составить представление о качественном поведении графика функции.
Пример. Пусть
1. Эта функция определена при всех х ф — 1.
2. Находим первую производную:
2 (х+ I)2- 2
(* + I)2 “ (*+ I)2
Отсюда следует, что при (х-НО'Кг />0, а при |х+1|<К2", т. е. при — 1 — V2 <х< — 1+1^2, у'< 0. Значит, при | х + 1 | > /2* функция у(х) возрастает, а при |х+_1|<]^2 — убывает.
В точках Xi = — 1 — 1^2 и х2 = — 1 + К 2 у' = 0, поэтому эти точки являются точками возможного экстремума. Легко видеть в данном случае, что в точке х = Х[ производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому точка х = Xi — точка максимума; аналогично, точка х = х2 — точка минимума.
3. Для определения направления выпуклости определяем у":
п" =--------
У (*+1)3’
При х < — 1 у”(х) < 0 и график функции имеет выпуклость, обращенную вверх; аналогично, при х > — 1 у”(х) >0 и выпуклость обращена вниз
В точке х — — 1 не определена ни функция у = у(х), ни ее первая производная, поэтому график функции у = у(х) не имеет точек перегиба.
178 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. УГ
Заметим, что в точке %i = — 1 —у" (xj) <0, поэтому точка х=Х| — точка максимума, а в точке х = х2 = — 1 4- Vz~> — 1 у" (х)>0, поэтому точка х = х2— точка минимума. Это мы уже установили выше, исследуя знак у'(х).
Рис. 24.
4. Функция у(х) = х — 1 + * ] имеет две асимптоты: вертикальную
х = — 1 и наклонную У = х— 1.
По этой информации строим график, передающий качественное поведение функции (рис. 24).
Глава VII. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Механический смысл определенного интеграла
1. Представление определенного интеграла в виде интегральной суммы. Пусть задана функция f(x) е £>1{(а, &)}, f(x)^Co{{a,b)} и f'(x) = g(x). Согласно определению определенного интеграла из § 6 гл. V имеем тождество
ь
J g(x)dx = f(b)-f(a). (1.1)
а
Пусть а = хо < Xi < ... < xn-i <Z хп = b. Будем говорить, что система отрезков [a, xj, [xi, х2], ..., [xn-i, b] есть разбиение Т{х?) *) отрезка [а, Ь] на п частей.
Пусть задано некоторое разбиение отрезка [а, &]; формулу (1.1) мы можем представить в виде
ь
J g(x)dx = f(b) — f(a)==f(xn) — f(x0) =
* = ИU1) - f (хо)] + [f (х2) - f (х,)] +..•+(/ (х„) - f (х„_,)] = n-l
= 2[Hxi+1)-f(xi)]. (1.2)
i=0
Функция f(x)e Di{(a, &)} и f(x)e Co{ (a, &)}; поэтому на каждом из отрезков [х,-, Xf+i] cz [a, 6] к функции f(x) можно применить формулу конечных приращений Лагранжа (см. §2 гл. VI):
XZ + 1
f (Х/+1) — f (х,) = j g(x)dx = f'(li)(xl+i — xt) =
= g(ll) (Xf+1 —xr),
где e. X/< < х^
♦) Иногда для краткости вместо Г{х£) мы будем писать Т.
180
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Поэтому равенство (1.2) можно записать в виде
Ь п— 1
/ g(x)dx = — х^, xt<li<xi+l. (1.3)
a i—")
Правую часть в формуле (1.3) будем называть интегральной суммой. Представление (1.3) для определенного интеграла ь
J g(x)dx имеет место для произвольного разбиения отрезка а
[а, &]; точки однако, не произвольны, а определенным образом зависят как от функции g(x) (от f(x)), так и от х,, х<+1. Напри-мер, если g(x) — x, /(t) = -y, то
т. е. точки gt расположены посередине отрезков [хг-, х<+1].
2. Механический смысл определенного интеграла. Если считать, что величина f(x) означает расстояние от прямолинейно движущегося тела до некоторой фиксированной точки на линии его движения в момент времени t = х, то величина f(x1+i)— — f(Xf) есть путь, пройденный телом за время от х< до xf+i. Тогда
[ (Х• ) — f (X )
величина Г (£() = g (gf) — - 1+1 _ v ° есть средняя скорость xi + i xi
/ \ г / (х + Ах) — f(x)
тела за время от х, до xi+I, a g(x) — lim -—!мгно-
Дх->0 венная скорость тела.
Итак, если под g(x) понимать скорость движения тела в момент времени х, то интеграл
ь
J g(x)dx = f (b) — f (а) а
есть путь, пройденный телом за время от х = а до х = Ь.
§ 2. Определение интеграла по Риману
1. Интегральная сумма. Введенное в § 6 гл. V определение ь
интеграла J g(x)dx с помощью первообразной f(x) в некотором а
смысле не является конструктивным. В самом деле, операцию
§ 21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО РИМАНУ 181
нахождения первообразной мы определили как операцию, обратную операции дифференцирования; мы не указали алгоритма, который позволял бы по заданной функции g(x) находить первообразную f(x) (если она существует). Если, однако, первооб-ь
разная f(x) существует, то для определенного интеграла | g(x)dx а
имеет место представление (1.3) при произвольном разбиении отрезка [п, Ь]. Существенно, что в формуле (1.3) первообразная f(x) явно не фигурирует, хотя практически вычисление точек (они, как мы видели выше, не произвольны) связано со знанием f(x).
Точки £г е (хъ Xi+i) в равенстве (1.3) нам не известны. Посмотрим, какую ошибку мы допустим в правой части этого равенства, если выберем эти точки каким-либо определенным образом. Будем пока предполагать, что первообразная f(x) для g(x) на [а, Ь] существует, так что мы вправе рассматривать ин-ь
теграл J g(x)dx и писать тождество (1.3). а
Рассмотрим случай, когда функция g(x)e С0{(а, Ь)}. В этом случае, согласно основной теореме из § 5 гл. IV, функция g(x) равномерно непрерывна на [а, 6]. Согласно определению равномерной непрерывности это означает, что для любого е > 0 найдется 6 (е) >0 такое, что при любых х, х' е [а, Ь] и | х — х' | < < 6(e) выполнено неравенство lg(x) —g(x') | < е.
Пусть задано разбиение Т{х{} (х0 < xt < ... < хп) отрезка [а, 6], пусть Дх = max(x,+i — х{) (i = 0, 1.n—1) и пусть
t]i е [Х{, Xi+J — произвольный набор точек из указанных отрезков. Величину
п— 1
/(*i>4i)=2s(’li)Ui+i-^) (2.1)
;=о
назовем интегральной суммой для функции g(x) на отрезке [а, 6] при разбиении Т и выборке точек т),.
2. Сравнение интегральной суммы с величиной определен ного интеграла. Оценим, насколько отличается значение интегральной суммы (2.1) от величины определенного интеграла ь
J g(x)dx для случая функции g(x), развномерно непрерывной d
на [а, 6].
182
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(ГЛ. VII
Имеем следующие оценки:
b
I g (х) dx — 7 (xlt т],) = [g (£,) - g (T|,)] (x{ a
п—1
1=0
n-1
<^jlg(£i) —g(ib)|A*o Дх< = х,+1 — Х/>0, (2.2)
z=o
где Zi — точки, при выборе которых для разбиения Т имеет место тождество (1.3).
Из (2.2) имеем дальнейшие оценки:
п-1
ь
/ g(x)dx — 1(х{, т^) <max|g(^) — g Gb) I Дх< = а 1 1=0
= max|gtei) —g(ib)l(6 —а). (2.3)
Неравенство (2.3) показывает, что для случая g(x)e ь
еС0(Ц Ь')} интеграл J g(x)dx может быть вычислен с произ-а
вольной точностью 8 > 0 путем замены его интегральной суммой (2.1), если только выбрать достаточно мелкое разбиение Т отрезка [а, &], для которого Дх = max (xt+i— х$)—достаточно малая величина.
В самом деле, если Дх < 6 j и так как ^е(х/, х/+1),
tyGEfxo х<+1], то |^ —tkKIx^i—х,КДх<б(^4-^-). Так как функция g(x) равномерно непрерывна на [а, 6], то при Н<-п1Кб(^7)
lg(U —ЯЧ)1<ТГГ7-
Подставляя это неравенство в (2.3), получаем
ь
/ g(x)dx — /(xlt п<) <
— (Ь — а) = в b — а ' '
— неравенство, которое имеет место при любом разбиении Г, для которого Дх<6^^д^, и любом выборе точек 1^е[х/, х<+1].
*) Здесь функция 6(e)—это функция, которая фигурировала выше в определении равномерной непрерывности /(х) на отрезке (а, 6].
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО РИМАНУ 183
b
Поэтому ясно, что если Дх—>0, то I (xh т]/)-* J g(x)dx по край-а
ней мере для случая g (х) е Со {(а, Ь)}.
Итак, мы видим, что появляется возможность дать новое определение интеграла, не ограниченное необходимостью знать первообразную для подынтегральной функции.
3. Понятие определенного интеграла по Риману.
Определение. ЧислоI называется пределом интегральных сумм (2.1) при Дх->0, если для любого е>0 можно указать 6(e) >0 такое, что при Дх < 6(e) неравенство
|7 —7(х<, Т]/)|<8 выполнено независимо от выбора разбиения (для которого, однако, Дх = max Дх, < 6 (е)) и от выбора точек r]i е [х;, xi+i].
i
Мы показали выше, что если g(x)e Со{ (а, Ь}} и существует первообразная f(x) для g(x), то величина ь
7= J g(x)dx = f(b) — f(a) а
и есть предел интегральных сумм /(х,, т],) при Дх->0. Поэтому естественным является следующее новое определение определенного интеграла.
Определение (определенного интеграла по Риману). Ограниченная на [а, Ь] функция g(x) называется интегрируемой (по Риману) на [а, &], если существует предел 1 интегральных сумм для этой функции при Дх->0. Этот предел / называется определенным интегралом от функции g(x) на от-ь
резке [а, 6] и обозначается символом J g(x)dx. а
Замечание. Определение интеграла по Риману мы даем лишь для ограниченных на [а, Ь] функций g(x), так как если g(x) не ограничена, то для любого разбиения 7\ можно так выбрать точки T]i, что абсолютная величина интегральной суммы (2.1) превзойдет любое наперед заданное число М > 0.
Однако в некоторых случаях можно разумно определить понятие интеграла и для неограниченной на [а, &] функции g(x) (см. § 9).
Приведем примеры функций, интегрируемых и не интегрируемых по Риману.
Функция g(x) *= С = const интегрируема на любом отрезке [а, Ь], так как п—1
7(ХР п,)= 2 Cbxt=C (Ь — а).
184
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Пример не интегрируемой по Риману функции дает функция Дирихле. Напомним, что функция Дирихле в рациональных точках равна единице, в иррациональных — нулю.
Еспи в качестве точек т), выбирать только рациональные точки, то для любого разбиения будем иметь
п—1
1 (xi- ^)= 2 Д*г = * - а;
»=э
если же выбирать иррациональные точки, то для любого разбиения /(Хр л,)=0.
Поэтому не существует предела интегральных сумм и функция Дирихле не интегрируема по Риману.
4. Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл Римана имеет простой геометрический смысл. Напомним
(см.
геометрический гл. I) определение площади S фигуры, ограниченной графиком функции y = g(x) (g(x)>0 при хе[а, &]), осью у = 0 и прямыми х = а и х = Ь.
Пусть T{xi} — разбиение отрезка [а, Ь] (а = х0 < Xi < ... < хп = Ь), а т]г — некоторые точки отрезков [хь хг+1]. Произведение #(£г)(хж — — х^ есть величина площади прямоугольника с основанием хг+1 — Xi и высотой g(li) (рис 25).
Площадью S нашей фигуры мы называем предел *)
п—1
S = lim 2 g(n/)U/+i — Дх-Ю i=Q
(2-4)
при стремлении к нулю максимальной из длин отрезков [xt-, xt+t] разбиения.
Если предел (2.4) существует, то фигура называется квадрируемой.
Таким образом, для квадрируемых фигур имеем формулу
ь
S=^g(x)dx, (2.5)
которая выражает геометрический смысл определенного интеграла.
*) Предел этой суммы понимается в том же смысле, что и предел интегральной суммы (2.1) при Дх->0. Более подробно о площади фигур мы будем говорить в гл. IX.
§ 3] ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА С ПЕРВООБРАЗНОЙ 185
Заметим, что если g(x)^0, то площадь S по формуле (2.5) оказывается отрицательной. В общем случае величина S есть-разность площади части фигуры, лежащей над осью у = 0, и площади части фигуры, лежащей под осью у = 0.
§ 3. Взаимоотношение интеграла Римана с первообразной
В гл. V мы ввели понятие первообразной для функции g(x) и понятие определенного интеграла с помощью формулы Ньютона — Лейбница
ь
J g(x)dx = f(b)-f(a), (3.1)
а
т. е. как разность значений первообразной f(x) в точках х = Ь и х = а (приращение первообразной на отрезке [а, &]).
Наряду с этим в § 2 этой главы мы ввели понятие интеграла Римана как предела интегральных сумм и использовали для него то же самое обозначение.
Возникает вопрос: не может ли при этом получиться недоразумение, т. е. не определяются ли здесь две различные величины, имеющие одно и то же обозначение? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая показывает, что недоразумение возникнуть не-может.
Теорема 7.1 (основная теорема интегрального исчисления). Пусть на [а, Ь] задана функция g(x). Тогда, если для g(x) на (а,Ь) существует первообразная /(х)еС0{(а, Ь)} и„ кроме того, g(x) интегрируема на [а, Ь] по Риману, то интеграл ъ
Римана J g (х) dx равен разности значений первообразной в точ-а
ках х = Ь и х = а, т. е. имеет место формула Ньютона — Лейбница (3.1).
Доказательство. Пусть Т(хг}— любое разбиение сегмента [а, &]. Имеем
п— 1
f(b) — f (а)= s If Сч+i) — f (*<)] (xn = b, x0 — a). (3.2> /=0
Так как f(x)^Di{(a,b)) и f (x)e Co{ {a, &)}, то найдутся точки ^EUi,Xj+1) такие, что по формуле конечных приращений Лагранжа
п—1 п—1
(а) = 2 [f (x/+I) - f (х,)] = 2 Г &) Дх, = i=0 /=0
п—1
= 2^(^)Дх,. (з.з)
186 ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. VII
Отсюда следует, что разность7(Ь)—f(a) есть значение некоторой интегральной суммы для любого разбиения отрезка [а, Ь]. По условию теоремы функция g(x) интегрируема на [а, &] по Риману; это означает, что существует предел интегральных сумм при Дх->0. Но на основании (3.3) этот предел равен f(b) — f(a), и теорема доказана.
Установленная теорема показывает, что в тех случаях, когда одновременно существуют определенные интегралы в смысле первого определения (с помощью первообразных, § 6 гл. V) и второго определения (по Риману, § 2 этой главы), значения этих интегралов совпадают. Именно по этой причине мы применяем для них общее обозначение. Однако ни одно из этих определений не является более общим, чем другое, так как можно указать случай, когда функция g(x) имеет первообразную, но не интегрируема по Риману, и, наоборот, случай, когда g(x) интегрируема по Риману, но не имеет первообразной.
Например, функция
Ж =
1 2 1
2xsin —--------cos—5-, х =/= О,
х2 х х2
(3.4)
как легко проверить *) является производной от функции
Нх) =
х2 sin х #= О, х2
О, х = 0.
Поэтому g(x) имеет первообразную f(x)eDi{(—оо, 4-оо)}, и, согласно определению из § 6 гл. V, существует интеграл
ь
I g (х) dx.
а
Однако g(x), заданная формулой (3.4), не интегрируема по Риману, если отрезок [а, 6] содержит точку х = 0, так как функция g(x) не ограничена в этом случае на [a, ft] и, следовательно (см. § 2), не интегрируема по Риману.
Наоборот, разрывная функция g(x), имеющая точки разрыва первого рода, не имеет первообразной (так как производная не может иметь точек разрыва первого рода — см. § 2 гл. VI), но вполне может быть интегрируемой по Риману.
*) В точке х = 0 производную как предел отношения
f(x)-HQ)
х — О
от f(x) надо вычислять непосредственно,
2 : 1
х2 sin — при х->0.
X
§ 4) КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ ПО РИМАНУ 187
Таким образом, понятия первообразной и интеграла Римана там, где они пересекаются, тождественны, но они взаимно дополняют друг друга в тех случаях, когда одно из этих понятий не определено. Это дает возможность обобщить понятие как первообразной, так и интеграла Римана (см. § 10).
§ 4. Критерий интегрируемости функций по Риману
1. Верхняя и нижняя суммы. Пусть задано некоторое разбиение T{xi} (а = х0 < Xi < х2 < ... < xn-i < хп = b) отрезка [а, &]. Обозначим через /и» и Mi соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани функции g(x) на отрезке [xi? xi+i]. Мы по-прежнему считаем, что функция g(x) ограничена; поэтому точные грани существуют.
Суммы
п— 1
S(x,)=2 Mtbxt, (4.1)
(=0
п— 1
5 (х{) = 5 АИ/ЛХ/ А=0
называются соответственно верхней и нижней суммами*) для
функции g(x) при данном разбиении Т сегмента [а, 6]. Геометрический смысл сумм S(Xj) и s(Xi) становится ясным из рис. 26. Величина S(Xj) равна площади фигуры, заштрихованной один раз и содер'
a b xt &
Рис. 26.
жащей внутри себя фи-
гуру, образованную графиком функции у = g(x) и прямыми х = а, х — 6, у = 0; величина s(x,) есть площадь фигуры, заштрихован-
ной дважды.
Для любых т]г е [*ъ *i+i] очевидны неравенства
Поэтому
Mi kxi g (тц) Лх< > nii t±Xi.
п— 1
S (х,) > з g (тц) Ах, = / (х„ т]<) > $ (х,), i—Q
(4.2)
(4.3)
Т], е [Х„ Х,+ 1].
*) Величины S(x<) и $(х») могут и не быть интегральными суммами, так как точные грани пц и Mi функции g(x) на [х», xl+i] могут не быть значениями функции g(x) в каких-либо точках отрезка [х/, Xj+i]. В этом случае нет точек тц е [х<, xi+1] таких, что т, = Дтц) либо М{ = f(i]i), и величины (4.1) и (4.2) не являются интегральными суммами.
188 ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (ГЛ, VII
Неравенства (4.3) означают, что любая (при любом выборе точек г)г е [%г, х1+1]) интегральная сумма /(хг, т]г) данного разбиения Т заключена между верхней 5(хг) и нижней s(xt) суммами этого же разбиения Т.
Однако числа А1г-Дхг- и tni&Xi суть точная верхняя и точная нижняя грани величины £(гр)Дхг при г)г е [Х{, х,+1]. Следовательно, S(%i) и s(Xi)—соответственно точная верхняя и точная нижняя грани множества интегральных сумм I(xit гр) данного разбиения Т при произвольном наборе точек гр е [хг-, Хг+1].
Поэтому очевидно, что при любом е > 0 и любом разбиении Г отрезка [а, Ь] найдется набор точек тр е [х:,х^1] такой, что
S (х{) — I (xh < е.
Аналогично, найдется другой набор точек е[хр xi+1] такой, ЧТО
Z(x,., nJ) - «(*,) < e.
Эти неравенства показывают, что если даже величины S(Xi) и s(Xi) и не являются значениями интегральных сумм, то тем не менее существуют интегральные суммы, сколь угодно мало от них отличающиеся.
2. Свойства верхних и нижних сумм. Будем говорить, что разбиение Г* [х*] есть размельчение разбиения T{Xi}, если каждая точка х, разбиения T{xJ есть в то же время точка х£ = х, разбиения Г*[х*}. Таким образом, размельчение Г* разбиения Г получается путем добавления к разбиению Т новых точек.
Лемма 1. Пусть Т* [x*j есть размельчение разбиения Т{х$. Тогда
s(x;)<s(xz), s(x;)>s(x/).
Доказательство. Достаточно доказать утверждение леммы для случая, когда разбиение Г* содержит лишь одну новую точку по сравнению с разбиением Т, так как после этого утверждение леммы доказывается методом индукции.
Итак, пусть
xt = x] при 1,
x, = xj+1 при
и xk_{ < х* < xk. Рассмотрим разность S (xj — S (х*); очевидно, $(*<)-«(<)=
~ ^k-l (ХЛ — Xfc-1) [^-1 (Xfe Xk-l) "Ь (ХА ~’ х*)]-
§ 4] КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ ПО РИМАНУ 189
Напомним, что Mfe_p М*_р М* — точные верхние грани функции g(x) соответственно на отрезках [xr_f, xkj, [хл_р x*j, |х*, xk]. Очевидно, что верхняя грань части множества не превосходит верхней грани всего множества. Поэтому <^Mfe_p так как
[%-Р ^/г] С==- [Х£— 1» Xk] И [Xfe» Хл] С" [Xfc-Р Xk]'
Отсюда имеем
(х0 ““ (х/)= (^k-i^k-i) (xk xk-i) "Ь
+(«.-, - «ж - -»;)><>
Аналогично проводится доказательство и для нижних сумм. Лемма доказана.
Замечание. Пусть Ax = max(xf+1 — xf), М, т — соответ-i
ственно верхняя и нижняя грани g(x) на [а, &]; тогда
М. . <Л4, Af .>т, Л4’>аи;
поэтому
о < s (-'<) - s (о <(«-»•) к< - ч-,)+(*. - =
= (М — т) (xk — х^-!) = (М — т) ДхЛ < (М — т) кх. (4.4)
Из этой формулы следует, что при добавлении к разбиению Т одной дополнительной точки х\ верхняя сумма S убывает не более чем на (М — т)Дх (аналогично доказывается, что нижняя сумма возрастает не более чем на (М — ш)Ах).
Поэтому, если к разбиению Т добавляется р новых точек, то верхняя сумма убывает, а нижняя возрастает не более чем на величину
(М — /и) рЛх,
где Дх = max (х/+1 — X/) вычисляется для разбиения Т. i
Итак, при размельчении разбиений верхние суммы не возрастают, а нижние суммы не убывают. Это обстоятельство становится особенно понятным, если обратиться к геометрическим представлениям, связанным с верхними и нижними суммами.
Лемма 2. Пусть Т' [х^] и Т" (х"} — два произвольных разбиения отрезка [а, Ь]. Тогда
s К) >»(«;-) „ з (<)>*(<).
Доказательство. Рассмотрим разбиение Т*[х^],все точки которого состоят как из точек {х,} разбиения Т', так и точек
190
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. Ш
разбиения Т". Тогда разбиение Г* есть одновременно раз* мельчение как разбиения Г', так и разбиения Г".
Поэтому согласно лемме 1
s(x;)>s(x;)>s(x;)>s(x;) И
Из этих двух групп неравенств вытекает справедливость утверждения леммы.
3. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Рассмотрим теперь множества {S} и {s} значений верхних и нижних сумм для функции g(x) при всевозможных разбиениях отрезка [а, Ь]. Каждое из этих множеств ограничено как сверху, так и снизу соответственно числами М (Ь — а) и m (b — а), где М и m — точные верхняя и нижняя грани g(x) на [а, &]. Можно утверждать даже более: любая верхняя сумма £(*;) е {S} ограничивает сверху все нижние суммы и, наоборот, любая нижняя сумма
s(xi) ограничивает снизу все верхние суммы S(Xi) множества {S}. Это следует из леммы 2. Поэтому точная нижняя грань 7 множества {5} верхних сумм (она существует по теореме об ограниченном множестве, гл. II, § 3) не меньше, чем точная верхняя грань J множества {s} нижних сумм, которая также существует.
Итак, существуют величины
/ = inf{S} и / = sup{s},
которые называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции g(x) на отрезке [а, &], и при этом/^7.
Докажем это неравенство. Предположим противное, т. е. I — 7 = 8 > 0. Так как 7 = inf {S}, то существует такое разбиение Г', что соответствующая верхняя сумма S' удовлетворяет неравенству I +y>S'. Можно также выбрать такое разбиение Т" отрезка [а, &], что соответствующая нижняя сумма s" будет отличаться от своей верхней грани I меньше, чем на у, т. е.
/ — Вычитая из последнего неравенства неравенство
I + -|- > S', получаем 0 =_/ — 7 — 8 < s" — S', т. е. s" > S', что противоречит лемме 2 этого параграфа. Итак, мы доказали, что
7<Л
4. Лемма Дарбу. Пределы верхних и нижних сумм при Дх->0 определяются аналогично пределу интегральных сумм.
$ 4] КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ 191
Число А называется пределом верхних сумм, если существует б(е) >0 такое, что для любых разбиений Т {хг} отрезка [а, Ь\ таких, что Дх<б(е), выполнено неравенство |S(xf)—А| < е. Тогда мы пишем А= limS(X/). Аналогично определяется пре-Дх->0
дел нижних сумм.
Лемма Дарбу. Существуют пределы верхних и нижних сумм при Дх->-0; при этом
I = lim S (xz), I = lim s (xz). Дх->0 — Дх->0
Доказательство. Докажем только одно, например первое, из этих утверждений. Пусть величина I есть точная нижняя грань множества {S} всех верхних сумм. Это значит согласно определению точной грани, что для любого е > 0 найдется верхняя сумма S {х;} (естественно, и разбиение Т' [х'}), для которой
o<s«j-7<±.
Пусть р — число точек х\ разбиения Г', строго внутренних по отношению к сегменту [а, Ь].
Пусть теперь Т" (х") — произвольное разбиение, которое, однако, удовлетворяет условию
=i=I.m.ax„-i<6 = • (4-5)
В формуле (4.5) величины М и m означают соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани функции g(x) на [а, &]. Как мы говорили уже ранее, мы рассматриваем лишь функции g(x), ограниченные на отрезке [а, Ь]; поэтому величина М — пг^ 0 ограничена.
Рассмотрим разбиение Т* (x*j, точки которого xj суть точки xj разбиения Г' и точки х" разбиения Т". Очевидно, что разбиение Т* есть одновременно размельчение разбиений Г' и Г". Поэтому S(xJ)^S(x'), S(xJ)^S(x"). Кроме того, очевидно, что
о<5(х;)-7<5(х;)-7<|.
Сравним друг с другом величины 5 (х") и 5 (xj). Во-первых, как мы уже отмечали, S(x")^>S(xJ). Кроме того, разбиение Г* состоит из разбиения Г", к которому добавлено не более р точек х' разбиения Т'.
) Если М = пг, то положим 6 = b — а. При М = m для любого разбиения имеем S(x<) «= s(Xi) = I = /.
192
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Согласно замечанию к лемме 1 при добавлении к разбиению р новых точек верхняя сумма уменьшается не более чем на (Л4 — т)р Дх, поэтому
5 (х?) - S (xj) < (Л1 - т) р \х
и, согласно (4.5),
Итак, если разбиение Т" удовлетворяет условию (4.5), то o<s(<)-7<s(<)44-7<sW)-744<| + -|--e.
Итак, при любом е >0 и любом разбиении Г", для которого выполнено (4.5) (т. е. для достаточно мелкого разбиения),
0<5(х;)-Г<е,
а это и означает, что нижняя грань I множества верхних сумм является пределом верхних сумм. Аналогично доказывается утверждение для нижних сумм, и лемма доказана.
5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции. Из установленных выше свойств интегральных сумм и верхних и нижних сумм вытекает следующая основная теорема.
Теорема 7 2. Для того чтобы ограниченная на [а, Ь] функция g’(x) была интегрируема на [а, Ь] по Риману, необходимо и достаточно, чтобы верхний интеграл Дарбу I равнялся нижнему интегралу Дарбу /, т. е. I = I.
Другая формулировка этой теоремы такова:
Для того чтобы ограниченная на [а, Ь] функция g(x) была интегрируемой на [а, Ь] по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось разбиение T{xJ отрезка [а, Ь], для которого
S (Xi) — s (х{) < е.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, докажем эквивалентность двух ее формулировок. Пусть дано, что / = = I = 7, и пусть е — любое положительное число. На основании определения пределов / и/ для любых разбиений Т (х<) отрезка [а, &]
|S(XZ)-Г|<|, |5(х,)-/|<|.
если только Дх < Й! (у), Дх < б2 (у) • Здесь б| (е) и б2 (е) ~ величины, фигурирующие в определениях пределов_/ и /.
§ 4] КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ ПО РИМАНУ 193
Пусть Дх<min |\ (у), Тогда
S (xz) — s (хг) = 5 (х<) — 1 + 1 —’S(xt) =
= S(x,)-7+/-s(x,)<| + f = е.
Пусть выполнены условия второй формулировки, т. е. для любого е > 0 существует разбиение T’(Xi) такое, что
S (х() — s (xf) < е.
Так как I / и для любого разбиения Т S(x,) I, s(xz) А то отсюда следует, что 0 < I — / •< е. Ввиду произвольности числа е > 0 заключаем, что I = L Таким образом, действительно обе формулировки теоремы эквивалентны.
Доказательство теоремы 7.2. а) Необходимость. Пусть g(x) интегрируема по Риману на [а, д] и пусть 1 есть предел интегральных сумм при Дх->0. Согласно определению предела интегральных сумм для произвольного е > О найдется б(-|-)>0 такое, что
\l~Hxi, Пг)|<у (4.6)
для произвольного разбиения Т {xj и произвольного выбора точек rji е [х{; xt+J, если только
Дх = max Дхг < d .
Итак, пусть задано произвольное е > 0 и пусть Т {х,} — одно из разбиений таких, что при произвольных г), е [х,-, xi+J выполнено неравенство 0.6).
Пусть {т],} и {т)1} — Два различных набора точек тц для данного разбиения Т. На основании неравенства (4.6) имеем
[/(хь г),) — /(xz, th) I Cl /(xit т)() — /1 +
+ |/(xz, n/)-/|<|+|=e. (4.7)
Отсюда вытекает, что при любом выборе точек т|< и т]4 для Данного разбиения Т
— г<1(хь т)Л — 1(х{, п()<е,
т. е. множество значений разности /(xz,i]Z)—/ (xt-, т|<) ограничено. Следовательно, и точные верхняя и нижняя грани этого множества также не превосходят по модулю величины е (так
194 ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. VII
как в противном случае нарушалось бы условие (4.7)). Очевидно, _что точной верхней гранью множества /(хг-, т],) — — /(хг-> r]t) является величина 5(хг)—s(Xi)>0, а точной нижней гранью s(Xi)—S(x/)^0, так как величина 5(хг) есть точная верхняя грань Z(xt-, т]г) и 7(х<, т)<), a s(Xi)—точная нижняя грань этих же сумм. Поэтому для данного разбиения Т из условия (4.7) имеем
S(Xf) — s(Xf)<e,
и необходимость доказана.
б) Достаточность. Если для любого е>0 найдется разбиение Т {xj такое, что 5(хг) —s(xt) < е, то это означает, что I = L
Покажем, что в этом случае существует предел / интегральных сумм /(хг, т]г) при Дх—*0 и при этом / = / = /. В самом деле, для любого разбиения Т имеем
Т]/) С s C*j).
При Дх—>0 как левая часть этого неравенства, так и правая часть стремятся к одному и тому же пределу I = I = L Поэтому существует предел при Дх—>-0 и интегральных сумм I(Xi, и он равен /. Достаточность доказана, и тем самым доказана вся теорема.
Необходимому и достаточному условию интегрируемости f(x) на [а, 6], указанному в теореме 7.2, придадим несколько иную, более удобную форму.
Определение. Величину w = М— m (М, m— соответственно точные верхняя и нижняя грани ограниченной на отрезке [а, 6] функции / (х)) назовем колебанием функции f(x) на отрезке [а, &].
Очевидно, что |f(x')—f(x")|^w при любых х', х"е[а,&]. Так как п— 1
5 (xj — s (х£) = 2 (Mt — mt) bxi i=0
(Mi, mt — точные грани f(x) на [xt-, xi+i]), то необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману на отрезке [а, Ь] функции f(x) формулируется так: для любого е > 0 существует разбиение Т (xj отрезка [а, 6], при котором
п—1
2 (О/Дх/<е, 1=0
где (Ог — колебание f(x) на отрезке [хг-, Xt+i].
КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ ПО РИМАНУ
195
§ 41
Следствие 1. Если функция g(x) интегрируема по Риману на отрезке [а, 6], то она интегрируема по Риману также и на любом отрезке [с, d], вложенном в отрезок [а, &].
В самом деле, если g(x) интегрируема на [а, &], то для е > 0 существует разбиение Т {xj отрезка [а, Ь] такое, что 5(хг) — s(Xi) < е.
Добавив к разбиению Т {xj точки end отрезка [а, 6] (если они сами не являются точками разбиения Г), мы получим разбиение Г* [х,], которое является размельчением разбиения Т. Поэтому
s(x;)<s(xz),
И
S (xj) — s (xj) < S (х,) — s (x J < e.
Через Г'{х{} обозначим разбиение отрезка [с, d], которое состоит из точек xj, принадлежащих [с, d], т. е. таких xj, что c^xj^d. Но для разбиения Г'в разности S(x') — s(x') будет присутствовать лишь часть неотрицательных членов
(Л4, — tn J Дх^ = ДХр
входящих в S(xJ) — s (х,); поэтому
О < S (xj) — s (xj) S (xj) — s (xj) < e.
Итак, для каждого е > 0 существует разбиение отрезка [с, d] такое, что S (х<) — s (xj) < е, т. е. выполнено необходимое и достаточное условие интегрируемости g(x) на [с, d]. Следствие доказано.
Следствие 2. Если g(x) интегрируема на [а, с] и интегрируема на [с, 6], то она интегрируема и на [а, Ь]. Действительно, из этих условий следует, что для е>0 существуют разбиения Т' [х'} отрезка [а, с] и Т" [х") отрезка [с, Ь] такие, что S (х') — s (х') < -|» S (х") — s (х") < . Полагая, что разбиение T{xi} отрезка [а, Ь] составляют точки х' и х", получаем
5 М -»(«О - Р и - s («01 + Is «) -5 (OJ <*
что и доказывает утверждение.
193
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(ГЛ. VII
§ 5. Простейшие свойства интеграла Римана
1. Свойство аддитивности и линейные свойства. Сначала мы рассмотрим свойства интеграла Римана, связанные с отрезком [а, 6] интегрирования. По определению положим, что
а
$g(x)dx = 0, (5.1)
а
а b
/ g(x) dx = — J g (х) dx. (5.2)
Ь а
Эти равенства следует рассматривать как определения, так как до этого мы всегда считали, что 6 > а. Они соответствуют очевидным свойствам интеграла, понимаемого как приращение первообразной на отрезке [а, 6].
Теперь докажем, что если g(x) интегрируема на [а, 6] и на [6, с], то она интегрируема и на [а, с], при этом
с b с
J g(x)dx= J g(x)dx + J g(x)dx.
а а Ь
(5.3)
Формула (5.3) выражает свойство аддитивности интеграла Римана, которое снова очевидным образом выполнено для интеграла, .донимаемого как приращение первообразной (т. е. в смысле определения гл. V). Докажем это свойство.
Пусть а < b < с. Тогда интегрируемость g(x) на [а, с] вытекает из следствия 2 теоремы 7.2 (§ 4). Что касается самой формулы (5.3), то она легко следует из соответствующей формулы для интегральных сумм.
Пусть теперь точка х = b лежит вне [а, с], например, а < с < Ь. Тогда согласно условию функция g(x) интегрируема на [а, 6] и по следствию 1 из § 4 интегрируема на [а, с] с: [а, 6] и [с, 6] а: [а, &]. Применяя свойство (5.3) к отрезкам [а, с] и [с, bl будем иметь
ь с ь
J g(x)dx= J g(x)dx+ J g(x)dx.
b c
Но согласно (5.2) J g (x)dx = — J g(x)dx. Отсюда получаем, c b
что равенство (5.3) справедливо при любом Ь.
3 5] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА 197
Следующие две формулы выражают линейные свойства интеграла Римана. Если С = const и функция g(x) интегрируема ла [а, ft], то ь ь
/ С g(x)dx = C J g(x) dx; (5.4)
а а
если функции gi(x) и g2(x) интегрируемы на [а, ft], то интегрируемы и функции gi (х) ± g2 (х); при этом
ь ь ь
/ [gi (х) ± gi (х)1 dx = j g! (х) dx± f g2 (x) dx. (5.5)
a a a
Доказательство этих утверждений легко получается из определения интеграла Римана как предела интегральных сумм.
Итак, заметим, что свойства (5.1) — (5.5) интеграла Римана совпадают со свойствами интеграла, определенного в гл. V с помощью первообразных.
Замечание. Мы говорили уже, что одним и тем же сим-ь
волом | g(x)dx мы обозначаем как интеграл Римана (если он а
существует), так и приращение первообразной на отрезке [a, ft] (если g(x) имеет первообразную на [a, ft]). При таком общем ь
понимании интеграла g(x)dx формулы (5.5) могут не иметь
а
места без дополнительных оговорок. В самом деле, пусть gi(x) интегрируема по Риману на [a, ft], но не имеет первообразной на (a, ft]; g2(x) имеет на [a, ft] первообразную, но не интегрируема по Риману. Тогда в правой части (5.5) стоит сумма интеграла Римана для gi(x) и приращения первообразной для g2(x), однако функция gt(x) + g2(x) не интегрируема по Риману и не обладает первообразной. Таким образом, левая часть в (5.5) в этом случае лишена смысла.
Чтобы этого избежать, можно называть функцию g(x) интегрируемой на [a, ft], если она представима в виде суммы функций g^x) и g2(x), одна из которых интегрируема по Риману, а другая обладает первообразной, и понимать символ ь
J g (х) dx в смысле суммы этих двух интегралов. а
2. Интегрируемость по Риману произведения функций. Докажем, что если gi(x) и g2(x) интегрируемы по Риману на [с, ft], то произведение g(x) = gt(x)g2(x) этих функций также интегрируемо на [a, ft].
198 ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |ГЛ. VII
Интегрируемые по Риману функции gt(x) и g2(x) ограничены на [а, 6], т. е. | g{ (х) | At, | g2 (х) | А2 при хе [а, 6].
Пусть задано произвольное разбиение Т [х(] и х'(, х" — произвольные точки отрезка [xz, xz+I]. Имеем тождество
Cl (4)С, (4) - Cl (4') <7 (4')=е, (4) [г2 (4) -
-е, (4)1 + е,(4') [г,(4) -г, (4')]-Отсюда
g (<) - g (<) | < ЛI & (О - я2 (<') | + 4 (О - 5> К) | <
< Л,<о<2>4- Л2©(Д
где со/’, ©/’ — колебания функций g,(x) и g2(x) на отрезке [х;, х,+1]. Поэтому колебание ®( функции g(x) = gi (x)g2(x) на отрезке [xf, xi+I] удовлетворяет неравенству со( Лj®/1 + Л2<о/’ и, следовательно,
2 ©, &х. <1 A, S ®(i2) + Л, 2 ©I0 Ьх,.
1=0 i=.) 1=0
Так как gi(x) и g2(x) интегрируемы по Риману, то для любого е>0 можно указать такое разбиение Т*), что одновременно п—! п—!
S ’ Ч < 777 " S »1“ Ч < 777 (5.6)
i=0 х=0
Отсюда следует, что для этого разбиения Т
л-1
5 (О/Дх/<е, i=0
т. е. функция g(x) = gl(x)g2(x) интегрируема на [а, Ь].
§ 6. Формулы среднего значения для интеграла Римана.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла Римана
1. Формулы среднего значения. Пусть функция g(x) интегрируема по Риману на [а, &]; следовательно, она ограничена на [а, &]. Через m и М обозначим соответственно точную нижнюю и
*) Ввиду интегрируемости g\(x) и существуют разбиения 7\ и Г2, для которых выполнены условия (5.6). Указанным разбиением Т является разбиение, точками которого являются все точки разбиений и Т2.
§ 6] СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА 199
точную верхнюю грани g(x) на [а, &]. Имеют место неравенства
ь
m ь —а / &(х) dx^M, (6.1)
а
которые очевидным образом вытекают из определения интеграла Римана как предела интегральных сумм. В самом деле, неравенства П.ХА1 справедливы для любого раз-
биения Т {х,} независимо от выбора точек ц,.
Если функция g(x) непрерывна на [а, 6], то на отрезке [а, существуют точки Х|е[а, Ь] и х2& [а, 6], в которых g(xl) = m, ^(х2) = М, так как непрерывная функция принимает на [а,/>] свои минимальное и максимальное значения (см. гл. IV, § 5). Далее, непрерывная на [а, Ь] функция g(x) принимает любое значение, промежуточное между tn и М, в некоторой точке Е 6]. Поэтому для непрерывной функции f(x) найдется хотя бы одна точка £ е [а, 6] такая, что
ь
$g(x)dx = g® (6.2)
а
ИЛИ
Ь
j g(x)dx = g(l)(b — а), а
Формула (6.2) называется формулой среднего значения.
Замечание. Формулу (6.2) мы уже получили в гл. VI для функций g(x), имеющих первообразную f(x), при этом функция g{x) могла и не быть непрерывной на [а, Ь].
Пусть теперь функции g(x) и h(x) интегрируемы по Риману на [a, 6], согласно § 5 интегрируемо на [а, 6] и их произведение g(x) h(x). Если h(x) 0 при х е [а, 6] и tn g(x) М, то
ь ь ь
m J h (х) dx < J g (x) h (x) dx < M J h (x) dx. (6.3) a a a
Действительно, так как й(х)>0, то tnh (х)< g (х) h (х)< <МЛ(х). Справедливость неравенств (6.3) поэтому легко следует из определения интегралов j h(x)dx и J g(x)A(x)rfx как а а
ределов интегральных сумм. В самом деле, для любого
200
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
разбиения Т{xj и точек е [xz, xz+1] из неравенств для g(x)h(x) следуют неравенства
mIh(Xi-t П/) <MIh(Xi\ тц)>
где 1ь(Хг\щ) — интегральная сумма для Л(х), 1(х^ т]г)—для g(x) h(x). Переходя здесь к пределу при Дх-> 0, получаем (6.3).
Если при тех же условиях g(x) непрерывна на [а, &], то найдется точка g е [а, &] такая, что ь ь
/ g(x)h (х) dx = g(l) J h (х) dx. (6.4)
а а
Это следует из того, что непрерывная функция g(x) принимает на отрезке [а, &] значение
ь
J g(x)h(x)dx
J h (х) dx
промежуточное между m и М.
Формула (6.4) называется обобщенной формулой среднего значения. Заметим, что неравенства (6.1) и формула (6.2) получаются соответственно из (6.3) и (6.4), если в последних положить Л(х) s 1.
2. Интегрируемость абсолютной величины функции. Отметим еще одно свойство интеграла Римана. Из интегрируемости g(x) на [а, &] следует интегрируемость |g(x) |, при этом
ь ь
/ g(x)dx < j | g (x) | dx
a a
(6-5)
Действительно, колебание ©J функции |g(x) | на любом отрезке не превосходит колебания и, функции g(x). Поэтому из интегрируемости g(x) следует, что функция |g(x)| также интегрируема, так как
п—I п—1
2 Дх. 2 Дх,. /=0 1=0
Оценка (6.5) легко следует из оценок (6.1) записанных для интегрируемой функции <р (х) = |g(x) |— g(x) 0.
Заметим, что если |g(x)| интегрируема на [а,6], то g(x) может оказаться неинтегрируемой.
$ 6] СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА 201
Пример.
{1, если х — рациональное число,
— 1, если х — иррациональное число;
|g(x) | ев 1 — интегрируемая функция, g(x)—неинтегрируемая.
3. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Римана. Если задана функция f(x,y,z), зависящая от нескольких вещественных переменных х, у, г, то производную по одному из этих переменных (например, по у) называют (если, конечно, эта производная существует) частной производной по переменному у и обозначают символом . Следовательно, по определению
df_ _ .. f(x, y + by, z) — f(x, у, г) *)
дУ д™о *У
Если функция f(x,y,z) при любых (х, у, z) и (x',y',z') из области 8 удовлетворяет условию
|/(х', у', z') — f(x, у, г)|<Л(|х' — x| + |i/' — y| + |z' — z|}, где А — некоторое число, то мы говорим, что она удовлетворяет условию Липшица по переменным х, у, z в области
Теорема 7.3. Пусть функция g(x) интегрируема по Риману на [а, 0]. Тогда:
а) Определенный интеграл ь
I(a, b)= J g (х) dx а
есть непрерывная функция каждого из переменных а и b при а, b е [а, 0], т. е. интеграл Римана есть непрерывная функция пределов интегрирования. Если (Ь — а) -»0, то 1(а,Ь)-+0.
б) Если х = Ь (а, 0) — точка непрерывности функции g(x), то функция 1(а,Ь) дифференцируема по Ь\ при этом
Если функция g(x) непрерывна в точке х = а, то Ца, Ь) дифференцируема по а\ при этом
= (6.7)
) Более подробно о частных производных мы будем говорить в гл. X.
202
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(ГЛ. VII
Формулы (6.6), (6.7) могут
быть записаны в виде
д дЬ
g (х) dx
= g (b),
д да
g (х) dx
= -g(a)
ИЛИ
г x
d dx
g (0 dt
= g (x),
d
dx
- b
j* g (0 dt
= — g(x).
(6-8)
Доказательство теоремы, а) Докажем, например, что I (а, b) непрерывно зависит от Ь при 6 е (а, 0). Так как g(x) интегрируема по Риману на [а, 0], то |#(х)|г^ А при х е [а, 0]. Согласно (5.3) и (5.2)
b b, ь
I (a, b) — I (a, b0) = J g (х) dx — j g (х) dx = J g (x) dx, a a bi
а из (6.1) следует, что
Итак,
ъ
J g(x)dx
do
<Л|6-60|.
b
lim[Z(a, b) — I(a, 60)] = lim f g (x) dx = 0, b-+bQ b-+bQ *
°o
и функция 1 (a, b) — непрерывная функция пределов интегрирования а и Ь. Вообще, имеет место оценка
|7(а', 6')-7(а, b) |< А (\а' - а | +1 b' - b |),
если |g(x) | А.
Итак, мы видим, что 7 (а, Ь) не только непрерывна, но и удовлетворяет условию Липшица по пределам интегрирования а и Ь.
б) Докажем, например, дифференцируемость 1(а, Ь) по переменному Ь, если х = Ь — точка непрерывности g(x). Имеем
ь+д&
7 (а, b + Д6) — 7 (а, b) = J g (х) dx. ь
Пусть т (kb) и М (Д6) — точная верхняя и точная нижняя грани g (x) на отрезке [6, 6 Д£>]. Согласно (6.1)
/а (л> + Ad) — / (а, Ь) .. , А , х
/п (Д&) < < М (Д6).
§ 7] ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 203
Так как g(x) непрерывна в точке х = Ь, то limm(A&) = д& ->0
= lim M(kb) = g(b) *). Поэтому, переходя к пределу при Ы>->0
&Ь->0, получаем
ДЬ->0
т. е. имеем формулу (6.6). Теорема доказана.
Итак, доказано, что интеграл Римана
X
F(x)=j g(t)dt а
дифференцируем (по х) во всех точках непрерывности g(x) и является поэтому первообразной на (а, р), если g(x) непрерывна на (а, р).
§ 7. Интегрируемость некоторых классов функций
1. Интегрируемость по Риману и существование первообразной для непрерывной функции.
Теорема 7.4. Непрерывная на [а, 6] функция g(x) интег-' рируема на [а, £>].
Доказательство. Согласно основной теореме 4.13 гл IV непрерывная на [а, Ь] функция g(x) равномерно непрерывна на [а, &]; поэтому для любого е > 0 найдется б > 0 такое, что
|g(x')-g(x")|<-^- (7.1)
при всех х', х" е [а, &], удовлетворяющих условию | х' — х" | < < 6 (г, — а) ‘ ПУСТЬ е>0 — произвольное число. Выберем некоторое разбиение Т, такое, что Дх = max Дх> < б (—V Тогда колебание и(. = sup [g(x<) — g (х'')| функции g(x) на отрезке (xz, х/+1] удовлетворяет неравенству
согласно (7.1).
*) В самом деле, из определения непрерывности g(x) в точке к = b имеем: |g(x) — g(b) | < е при |х — 6|<д(е); поэтому М(&Ь)— g(b) < е, g(b) — m(&b) < е при |Д6| < б(е).
204 ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (ГЛ. VII
Для этого разбиения п-1 И- 1
S(xt) — = Дх« = 8*
i=0 i=o
Итак, для g(x) выполнен критерий интегрируемости, и теорема доказана.
Из этой основной теоремы математического анализа вытекает очень важное следствие.
Следствие. Если g(x) непрерывна на (а, 0), то интеграл Римана
X
f(x)=^g(t)dt (7.2)
а
при х, ае(а, р) является первообразной для g(x) на (а, р). Таким образом, всякая непрерывная на (а, р) функция g(x) имеет на (а, р) первообразную, т. е. g(x) является производной от некоторой функции /(х). Одну из таких функций дает формула (7.2), если входящий в нее интеграл понимать как интеграл Римана.
Действительно, из теоремы 7.4 следует, что интеграл (7.2) существует при х, а е (а, р), а из теоремы 7.3 следует, что функция f(x), заданная формулой (7.2), дифференцируема при а, хе (а, р).
Итак, доказан следующий основной факт. Для непрерывной функции g(x) существуют как интеграл Римана, так и первообразная, которая является интегралом Римана (7.2) с переменным верхним пределом.
2. Интегрируемость ограниченных функций, имеющих конечное число точек разрыва. Докажем теперь интегрируемость по Риману некоторых других классов функций g(x).
Теорема 7.5. Если функция g(x) имеет на [а, 6] конечное число точек разрыва и ограничена на [а, 6], то она интегрируема по Риману на [а, Ь]. В частности, интегрируемы кусочно-непрерывные на [а, 6] функции g(x)*).
Доказательство. Пусть g(x) имеет на [а, 6] р точек разрыва и пусть m^.g(x)^.M. Зададимся произвольным е > 0 и заключим точки разрыва в р непересекающихся сегментов, сумма длин Дх<’’> которых не больше, чем
8
2(Л1-т) ’
*) Кусочно-непрерывная на [а, 6] функция g(x) также имеет конечное число точек разрыва, но все они — точки разрыва первого рода. В основной формулировке теоремы это не предполагается.
§ 7] ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 205
На остальной части отрезка [а, 6] мы получим еще р'+ 1 не-пересекающихся сегментов, на каждом из которых g(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема по Риману. Поэтому существует разбиение каждого из этих р + 1 отрезков такое, что для каждого из них
(Л=1, 2......р+1).
Здесь и s<ft) — соответственно верхняя и нижняя суммы на k-м отрезке непрерывности функции g(x).
Выберем теперь разбиение отрезка [а, Ь], состоящее из указанных выше разбиений для р + 1 отрезков непрерывности g(x), и добавим р отрезков, окружающих точки разрыва. Для этого разбиения разность S — $ верхних и нижних сумм будет состоять из разностей для р+ 1 отрезков непрерывно-
сти и для р отрезков, окружающих точки разрыва. Для каждого из последних $<’> — 4^ (М — т) Дх<’>. Поэтому
р
S - s < (р + 1) ° + (М - т) Дх<‘> <
4 + (М — гп) л,..6—г = е.
^2 1 ' ' 2 (М — т)
Итак, для любого е > 0 существует разбиение Т отрезка [а, 6] такое, что S — s <_ е. Следовательно, g(x) интегрируема на fa, 6] по Риману, и теорема доказана.
3. Интегрируемость монотонных ограниченных функций. Следующая теорема устанавливает интегрируемость по Риману важного класса функций — монотонных ограниченных функций.
Теорема 7.6. Пусть функция g(x) задана и монотонна на отрезке [а, 6]; тогда она интегрируема на [а, 6].
Доказательство. Из монотонности g(х) на [а, 6] вытекает, что значения g(x) заключены между g(a) и g(b)\ поэтому g(x) ограничена на [а, 6]. Для определенности будем считать, что g(x) — неубывающая на [а, 6] функция.
Пусть задано произвольное разбиение Т(xj. Тогда
п—1 п—\
S (х£) — $ (х,) = 2 <0, kxt < Дх s coi = Дх [g (6) — g (a)], (7.3) 1=0 i=0
так как ®{ = g(xf+1) — g(x{)^0, 0<Axf^Ax и
п—1
S fi>i = g (b) — g (a). i=0
Из формулы (7.3) следует, что S(x,)—з(х<)-*0 при Дх->0, и. следовательно, g(x) интегрируема на [а, 6].
206
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Замечание. В § 6 гл. IV мы видели, что множество точек разрыва монотонной на [а, Ь] функции либо конечно, либо счетно. Вообще, всякая ограниченная функция, имеющая счетное число точек разрыва на [а, &], интегрируема по Риману на [а, Ь] (мы не приводим здесь доказательства этого утверждения).
§ 8. Основные правила интегрирования для интеграла Римана
Для интегралов ^Римана мы докажем сейчас два основных правила: правило интегрирования по частям и правило замены переменной интегрирования.
1. Интегрирование по частям.
Теорема 7.7 (правило интегрирования по частям). Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману на [а, &], F (x) и G(x) заданы формулами
X
F(x) = F0+ J f(x)dx,
\ (8-D
G(x) = G0+ J g(x)dx,
a
где Fo, Go— произвольные числа.
Тогда интегрируемы по Риману на [а, ft] и функции F(x) -g(x), G(x) -f(x), и имеет место формула
ь ь
$F(x)g (х) dx = [F (х) G (x)]‘ —J G (x) f (x) dx. (8.2) a a
Доказательство. Во-первых, формула (8.2) очевидна в том случае, когда F(x), G(x) е £>i ([a, ft]} и любой один из интегралов, входящих в формулу (8.2), существует. В самом деле, в этом случае функции f(x) и g(x) имеют на [a, ft] первообразные F(x) и G(x), так что F'(x) =f(x), G'(x) = g(x) и
F (x) g (x) + G (x) f (x) = F (x) G' (x) + G (x) F' (x) = [F (x) G (x)]'.
b b
Так как один из интегралов J F(x)g(x)dx, J G(x)f(x)dx су-a a
шествует, то из этой формулы следует как существование второго, так и формула (8.2).
Если, например, функции f(x) и g(x) непрерывны на [a, ft], то согласно § 7 они имеют первообразные F(x) и G(x) и лю-
§ 8] ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ 207
b b
бой из интегралов J F(x)g(x)dxt J G(x)f(x)dx существует, а а
ибо подынтегральные функции непрерывны.
Итак, для непрерывных функций f(x) и g(x) формула (8.2) имеет место, как следствие формулы дифференцирования произведения двух функций.
Приступая к доказательству общего случая, заметим, что ин-' ь ь
тегралы Римана J F (х) g (х) dx и $f(x)G(x)dx существуют. а а
В самом деле, под знаком интеграла стоят произведения интегрируемых по Риману функций f(x), g(x) на непрерывные функции G(x), F(x), которые также интегрируемы по Риману. На основании п. 2 § 5 отсюда следует, что существуют интегралы, входящие в (8.2).
Остается лишь доказать, что имеет место формула (8.2). Пусть имеем разбиение Т {хг} отрезка [а, 6]. Запишем:
п — 1
[F (х) G (х)]* = [F (х/+1) G (х<+1) - F (xz) G (х,)] =
i=0
п-1
= 21- F (-Vi)] G (х/+1) + F (xz) [G (хж) - G (х,)]} =
1=0
п-1 Г xi + i */ + 1
= 21 G (хг+|) J f (х)dx + F (х,) j g(x)dx
1=0 xt xt
(8.3)
Имеем очевидные неравенства
f (xt+i) Ч (х) (xz+i) "Ь g N ~ < g W < g (x J + <of,
выполненные при Здесь и со? — колебании
функций f(x) и g(x) на отрезке [xt; х/+1]. Из этих неравенств следует:
J Hx)dx-f(xi+1)(x/+1-x;)
Х1
xi+l
J gMdx-g^x^x^-x.) xl
<®?(х.+1-хг).
208
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VH
Так как F (х) и G (х) непрерывны на [а, &], то они ограничены, т. е. существует число А4>0 такое, что
|F(x)|<M, |G(x)|<M.
Поэтому
С^+i) J f (х) dx G (xz+J f (Xj+j) Ax^ xi
xi+\
/ g (x)dx — F(xJg(xf)Ax£ xi
\xe
Axr
Подставляя эти оценки в равенство (8.3), получим И— 1 И—1
[F (х) G (х)]> - 2 G (хж) f (xi+1) \xt - 2 F (хг) g (xt) \xt < /=0 1=0
pt-! n-1
U=o
1=0
(8.4)
Но при Дх = тахДх^->0 имеем n—1 b
^lG(x{+l)f(xi+i)bxl-+$ G (x)f (x) dx, i=0 a
n—I b
2 F (*<) S (xi) &xt-> J F (x) g (x) dx. i=0 a
Так как функции f (x) и g(x) интегрируемы на [a, &], то n—1 n-I
2 ®/ кх, -> 0, 2 Дх, -> 0 при Дх -> 0. <=о /=о
Учитывая это, получаем из (8.4) формулу (8.2). Теорема доказана.
2. Замена переменной интегрирования.
Теорема 7.8 (о замене переменной интегрирования). Пусть функции f (х) и g (t) интегрируемы по Риману, f (х) — на [а, &], g (/) — на [а, Р], при этом
з
J g (/) dt = b — а, а а функция t
$ (/) = а + j g (т) dx
§ 81 ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ 209
монотонна на [а, 0]. Тогда существует интеграл Римана J и имеет место равенство
ь з
$f(x)dx = j f($(t))g(t)dt. (8.5)
а а
Доказательство. Заметим, что утверждения теоремы очевидны в случае непрерывных функций f(x) и g(t), причем в этом случае можно не требовать монотонности $(t). В самом деле, в этом случае существуют первообразные F(x) для f(x) и g(t) для g(t). Формула (8.5) следует из формулы дифференцирования сложной функции
[F Ф (0)]' = р' (0) (0 = р' (0) g (0-
Проведем доказательство в общем случае.
Согласно условиям теоремы функция монотонна и, как интеграл Римана, непрерывна (см. § 6).
Пусть дано произвольное разбиение Т{Ц} (а = t0 <Z t\ < ... ... < tn = P) отрезка [a, p] и tt h f<+1. Обозначим xi = ^(/<), Xi = ^(Zt). В силу монотонности $(t) имеем
«о = хо < Xi с х2 с ... с хп = Ь,
Xi^Xi^Xt+i,
т. е. точки Х[ образуют разбиение отрезка [а, 6], а точки xt могут быть взяты для образования интегральной суммы. Имеем равенство
П-1 П —I
S f& ft» g ft) ft+i - ы=Sf g ft) =
i=0 i=-Q
n-I + 1 n-I ~ + 1
==^f(^<) J g (x) dx 4- J} f (x{) g(li)Mi— j g(x)dx =
/=° tl i=0 _ tt _
n-1 n-l + i
= Sf(^)(xi+I — xz) + ^fiXi) j [g(Fz) — g(t)]dx. (8.6) i=0 i=0 tt
При |g(fj — g(т)I <, где cof — колебание функ-
ции g(x) на отрезке pz, fi+1j; поэтому
'i+i
J Igft) — gWJdx 4
210
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VTT
Функция f(x) ограничена на [а, 6], как интегрируемая по Риману функция: |f(x)|<Af. Из (8.6) поэтому следует:
п—1 п—1 л—1
2 f ft)) g (?/) - 2 f (xt) < м 2 ®f (8.7) 1=0 1=0 i=0
Пусть Д/ = тахД/р Тогда ввиду непрерывности SF(0 Дх = = max Дх/= max (//+1) — 0 при Д<-*(). Так как f (х)
интегрируема на [а, Ь], то
л—1 Ь
f (х,) Дх; -> J f (х) dx при Дх->0 (Д/-*()), 1=0 а
а так как g(t) интегрируема на [а, 0], то при Д/-*0
Л—1
2 ®f дс -* о.
1=0
Поэтому из (8.7) следует, что при Д/-*0 существует предел л—1 b
интегральных сумм f (9 (?f)) g (?/) Д^ и он совпадает с | f(x)dx.
i=0 а
b
Это означает, что существует интеграл Римана j* f${t))g(t)dt а
и имеет место формула (8.5). Теорема доказана.
§ 9. Несобственные интегралы
1. Понятие несобственного интеграла. Пусть функция g(x) задана на [а, оо) и интегрируема (в смысле любого из двух наших определений: по Риману или имеет первообразную) на любом отрезке [а, 6] при b > а. Предел интеграла
ь
J g W dx, а
при Ь ~► + °0 (если он существует) будем называть несобственным интегралом от функции g(x) в пределах от а до оо и обозначать символом
оо Ь
[ g(x)dx= lim |g(x)dx.
*1 ОО J
а а
оо
В этом случае говорят, что интеграл ^g(x)dx сходится, а
а функция g(x) называется интегрируемой на [а, оо).
$ 9]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
211
Совершенно аналогично определяются несобственные интегралы *
I g(x)dx = lim Г g(x)dx
J a->—oo
—oo a
И 4-oo c b b
f g(x)dx = lim f g(x)dx+ lim | g(x)dx= lim | g(x)dx. oo J b-+<x> J a->—oo
— oo a c b->4-00 a
oo
Если наряду с интегралом j g(x)dx существует несобствен-а 00 оо
ный интеграл J | g (х) | dx, то говорят, что интеграл J g (х) dx а а
сходится абсолютно, а функцию g(x) называют абсолютно интегрируемой на [а, оо). оо Ъ
Если же существует J g(x)dx, а j" | g (х) |dx-> оо при д->оо, а а
то говорят, что g(x) интегрируема условно на [а, оо).
Если для функции g(x) на [а, оо) существует первообраз-ь
ная f(x), то J g(x) dx — f(b) — f (а) и вопрос о сходимости не-а
собственного интеграла решается путем вычисления предела Пт /(&) = /„. Ь-> + <х>
Если этот предел существует, то мы пишем: 00 j g{x)dx = fm — f(a). а
2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов, оо
Пусть интеграл j" g (х) dx существует. На основании критерия Коши существования предела функции при Ь -> оо (см. гл. IV, § 3) для произвольного е > 0 найдется Л(е) а такое,
л, А,
j g(x)dx— j g(x)dx а а
<8
при любых Ai > Д(е), Д2 > Д(е).
212
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Это неравенство переписываем в виде
g(x)dx <е.
Таким образом, мы получаем необходимое и достаточное условие интегрируемости g(x) на [а, оо). Это условие (критерий Коши) формулируется так:
для любого е > О найдется число Д (е) а такое, что при любых At, Д2 > А (е) имеет место неравенство
g(x)dx <е.
Если функция | g (х) | интегрируема на [а, оо), т. е. сущест-оо
вует интеграл J | g (х) | dx, то существует также и интеграл а
J g(x)dx, т. е. функция g(x) интегрируема абсолютно на [а, оо). а
В самом деле *),
Аг
/ lg(x)|dx
А,
и поэтому для интеграла J g(x)dx выполнен критерий Коши. а
3. Признаки сходимости несобственных интегралов. Существуют несколько признаков сходимости (как условной, так и абсолютной) несобственных интегралов. Мы приведем здесь некоторые из них.
Теорема 7.9 (признак сравнения). Если существует оо
несобственный интеграл J h (х) dx, h(x)^0 и | g (х) | h (х), то а
оо
существует также и несобственный интеграл j g(x)dx', при а
*) Читатель помнит, что мы предполагаем интегрируемость функции g(x) ь
на любом конечном отрезке [а, 6], поэтому существование интеграла J g (х) dx а
в конечных пределах предполагается.
§ 91
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
213-
ЭТОМ
оо
/ g (х) dx а
оо
J h(x)dx. а
оо
Доказательство. Интеграл J g(x)dx существует, так как а
Аг
Аг
J h(x)dx *) л,
и для функции g(x) выполнен критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Что касается неравенства в формулировке теоремы, то оно имеет место для интегралов в конечных пределах и, следовательно, для несобственных интегралов.
Приведем несколько простых утверждений для несобственных интегралов.
ь
Если g(x) 0, то J g(x)dx есть неубывающая функция а
верхнего предела Ь. Поэтому для существования несобственно-оо
го интеграла J g(x)dx в случае g(x) 0 необходимо и доста-а
точно, чтобы существовало число С такое, чтобы при любом Ь > а имело место неравенство
ь
J g(x)dx^.C.
а
Вопрос о сходимости несобственного интеграла J g (х) dx а оо может быть сведен к вопросу о сходимости ряда 2 «*, где Л=1 ак
ик— J g(x)dx и а = а0< <а2< ... <ак < ...
(если при этом ак— бесконечно большая величина, т. е. ак-*<х>. при k-+ оо).
*) См, подстрочное примечание на предыдущей странице.
214
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Пусть, например, g (х) > 0 — невозрастающая функция. Оче-+°°
видно, что для сходимости интеграла J g(x)dx в этом случае а
необходимо, чтобы g(x)-+0 при х->оо, так как в противном случае не выполнен критерий Коши.
Так как g(x)^g(x') при х<х', то ak + \
g (aA+i) (a*+i — / g (*) dx < g (ak) (ak+i — ak).
ak
Будем считать для простоты, что ао = О, и выберем последовательность точек ^ = 1, а2 = 2, ..., ak = k, тогда, если оо
сходится интеграл J g(x)dx, то о
оо /г+1 оо
J g(x)dx — J g(x)dx fe=0 k о
и оо оо оо
S g(k+ 1)<J g(x)dx^^g(k). (9.1)
/г=0 б /г-=0
оо
Эти оценки показывают, что для сходимости интеграла j* g(x) dx о
с монотонной функцией g(x)^0 необходима и достаточна схо-оо оо
димость ряда g№) и что значение интеграла J g (х) dx опре-А=0 О
оо оо
деляет сумму ряда 2 g(k) с точностью до g(0), ибо 2 g (&) — k=Q k=Q
-Sg(*+i) = g(o). /г=0
Неравенства (9.1) могут служить не только для установле-оо
ния сходимости несобственного интеграла J g(x)dx, но и, на-0 оо
оборот, для установления сходимости ряда 2g(&), где g(x)— k—0
невозрастающая положительная функция. Именно, имеет место так называемый интегральный признак сходимости ряда.
§ 9]
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
215
Теорема 7.10. Пусть g (х) — невозрастающая положительная функция} тогда ряд
^gtk)
оо
сходится, если сходится несобственный интеграл j g (х) dx, и о
оо
расходится, если расходится интеграл j g(x)dx. о
Доказательство этой простой теоремы очевидным образом следует из неравенств (9.1).
4. Примеры. Приведем два примера, иллюстрирующих абсолютную и условную сходимость несобственных интегралов.
1. Пусть g(x) = x”a. Для этой функции существует первообразная *1—а
f (х) = (а=/=О и Н*) = 1п|х| при а=1. При а< 1 не существует
предел f (х) при х->оо; поэтому функция х“"а при а^1 не интегрируема на [а, оо) (а>0). Наоборот, при a> 1
lim f (х) = lim------------
Х-»оо Х~>°° 1 — а х
foo=0
1 ____1
а — 1 а0"1
(а > 0, а > 1).
Пусть | ф (х) | < С при хе[а, оо); тогда функция g(x)=x аф (х) при а>1 абсолютно интегрируема на [а, оо), так как | g (х) | < Сх~а и функция х"а абсолютно интегрируема на [а, оо) при а > 1.
2. Покажем, что функция g (х) = Jin и* уСЛ0ВН0 интегрируема на [1, оо) х
при 0<а^1 (при а> 1 эта функция абсолютно интегрируема на [1, оо) согласно примеру 1).
Имеем представление несобственного интеграла в виде суммы ряда
216
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(ГЛ. VII
2fe
Каждый член uk = — I [-7-------------——1 sin лх dx ряда (9.2) положителен
(* + 1) J
при а > 0. Поэтому для сходимости ряда (9.2) и одновременно несобствен-оо f sin лх , кого интеграла --------— dx достаточно показать ограниченность суммы
1 х
ряда (9.2).
По формуле конечных приращений Лагранжа
—------------— = -73—, где х < 1 < х + 1.
Ха (х+1)“ £1+а’
Поэтому при х е [2k — 1, 2k] а <_!_ (2fe)l+a ха
1 <________а______
(х + 1)а (2k - 1),+а ’
По обобщенной формуле среднего значения (формулы (2.14) гл. VI и (6.4) гл. VII) получаем
2k
1 (*+Da
sin лх dx <
Итак,
2k
-----[ I sin лх I dx = —-----------?—j—. (2*-!)'+“ 2ftJ, n (2k — l),+a
sin лх __ VI 2a _________I__
X~i\Uk n i~i (2*- l),+a ’
Последний ряд, как мы видели в гл. III, § 3, сходится при a > 0; поэтому ОО Ь
f sin лх ~ м Г I sin лх | ,
интеграл —-— dx существует при a > 0. Однако интеграл J------1 dx
1 х Iх
при Ъ -> оо и aC 1 расходится. В самом деле,
f I sin лх I , J xa
N-\ *+* fc==l k
I sin ЛХ I xa
tf-1
dx = £vk
fc=l
н
* + l
Г | sin лх I . 1
о b = J------—L dx > ------------
к J x“ (k + l)a J
/v К
fc+!
I sin лх I dx =----——.
1 л(*+1)а
§ 91
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
217
Поэтому
N
Г I sin тех |
J ха
(V-l N-1
„, = у „>2у_!_.
Й “Й +
Так как ряд
у _J___
£(*+•)“
при 1 расходится (см. гл. III, § 4), то расхо-
дится и интеграл
sin пх I .
—:—1 dx. ха
5. Признак Абеля. Приведем лишь один признак, который часто применяется для установления условной сходимости несобственных интегралов.
Теорема 7.11 (признак Абеля). Пусть функция f(x) интегрируема на [а, 6] при всех Ь > а\ при этом
f (х) dx
а функция g(x) дифференцируема на [а, оо) и, монотонно убывая, стремится к нулю при х->оо. Тогда интеграл
/ f (х) g (х) dx а
сходится.
X
Доказательство. Введем обозначение F(х) = J f(/)dt. а
Согласно условиям теоремы |F(x)|^F0 при любых х > а. Согласно критерию Коши достаточно доказать, что величина
А'
J f(x)g(x)dx
А
может быть сделана меньше любого числа е > 0, если А, А' >А(е).
Интегрируя по частям, имеем формулу
А' А'
J f W g (х) dx = [F (х) g (x)tf — J F (x) g' (x) dx.
A A
218
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Так как g(x) монотонно убывает, то g'(x)<0; поэтому к ин-А'
тегралу J F(x)g'(x)dx можно применить теорему о среднем: А
А' А'
j F (х) g' (х) dx = F (I) J g' (x) dx = F (I) (Д') - g (A)],
A A
| <= (A, A').
Итак, имеем
A'
/ f(x)g(x)dx <|[F (x)g(x)]A | + |Г(|)[£(Д')_ £(Д)]|.
A
Так как |F(x)|<F0, a g(x)-+0 при x->oo, то из этой формулы следует доказательство теоремы.
С помощью признака Абеля легко доказать сходимость не-оо
собственного интеграла sin^x dx при а > 0. Для этого нужно Г х
положить
f(x)=sinnx, g(x) = x~a.
6. Интегралы от неограниченных функций. Рассмотрим теперь другой тип несобственных интегралов — случай, когда функция g(x) неограничена на отрезке [a, ft] интегрирования. Инте-ь
грал J g(x)dx в этом случае также называется несобственным. а
Определим точнее, что мы понимаем в этом случае под вели-ft
чиной J g(x)dx. Пусть функция g(x) неограничена на [a, ft], но а
ограничена на любом отрезке [а, b — б], 0<6<ft— а (следовательно, g(x) неограничена в любой окрестности точки х = Ь). Пусть на любом отрезке [a, ft — б] (0 < б < ft — а) функция g(x) интегрируема; тогда, если существует предел
Ь-6
lim [ g(x)dx,
d->+0 J a
b
то его мы называем несобственным интегралом J g (х) dx, а не-а
ограниченную на [a, ft] функцию g(x)—интегрируемой на [a, ft].
§ 9J
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
219
В частности, если g(x) имеет на (а, Ь) первообразную f(x) и f(x) непрерывна на [a, ft], то g(x) интегрируема на [a, ft], так как
Ь-б
lim [ g(x)dx = lim f(b — 6) — f(a) — f(b) — f(a).
d->+0 J 6->+0
a
Именно так вводилось понятие несобственного интеграла вгл.У, § 6. Мы видим, таким образом, что в случае существования первообразной для g(x) понятие несобственного интеграла ничем не отличается от понятия интеграла от ограниченной функции.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла для функции g(x), неограниченной в окрестности точки х = а.
Если функция g(x) неограничена в окрестностях точек х = а с
и х = b и если существуют пределы lim | g(x)dx и в*»+° Г л а + 0
Ь-б
lim I g(x)dx ft)), то их сумма также называется не-
6->+0
с b
собственным интегралом и обозначается символом ^g(x)dx.
а
Аналогично вводим понятие несобственного интеграла Римана для функции g(x), неограниченной в окрестностях точек a, хь х2, • • •, Xk, ft (а «С Xi ... -^х* ft), полагая
Ь х{ х2 Ь
J g (х) dx = J g (х) dx + J g (x) dx + ... + j g (x) dx.
a a X\
(<*=/= 1),
(a=l),
Мы считаем, что стоящие в правой части несобственные интегралы существуют в указанном выше смысле.
В качестве примера несобственного интеграла с неограниченной функцией ь
, . f dx .
g(x) рассмотрим интеграл I -----—. Функция g(x) имеет первообразную
а ' '
[ (х-а)'-а f(x) = | 1—а
| In | х — а |
и предел f(x) при х-+а существует лишь при а < 1. Поэтому функция g(x) интегрируема на [а, 6] при*а < 1 и не интегрируема при а > 1.
Может случиться, что вычислению подлежит несобственный интеграл, у которого пределы интегрирования неограничены и неограничена подынтегральная функция g(x). Понятие такого несобственного интеграла вводится аналогично предыдущему.
•220
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
Для несобственных интегралов выполнены свойства аддитивности и линейные свойства, а также имеют место некоторые теоремы о среднем значении, из которых приведем лишь одну.
Пусть на отрезке [а, Ь] функция f(x) ограничена:
т < f (х) < М,
a g(x) не меняет свой знак и обе функции f(x) и g(x) интегрируемы на [а, Ь]. Тогда
ь ь
/ f (х) g (х) dx = ц j g (х) dx, (9.3)
а а
b
где В этой формуле интегралы J g (х) dx и
а
Ь
J Hxjg^dx могут быть как собственными, так и несобствен-Д
ными причем могут быть неограниченными как пределы интегрирования, так и подынтегральная функция g(x).
Отметим еще условия, при которых формула интегрирования по частям
ъ ь
f F (х) g (х) dx = [F (х) G (x)]* - j G (x) f (x) dx, (9.4)
a a
где x x
F(x) = F0 + f f(x)dx, G(x) = G0 + J g(x)dx, a a
имеет место для несобственных интегралов. Аналогично § 8, нам нужно требовать, чтобы /(х) и g(x) были либо интегрируемы по Риману, либо имели первообразные F(x) и G(x) на [а, Ь] и любые две из трех величин
ь ь
J F (х) g (х) dx, j G (х) f (х) dx, [F (х) G (х)] £ а а
имели смысл. Тогда имеет смысл и третья из этих величин и справедлива формула (9.4). Эта формула имеет место как в случае неограниченности пределов интегрирования, так и в случае неограниченности подынтегральных функций. Она может быть получена предельным переходом в формуле (8.2) для собственных интегралов.
§ 9)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
221
Отметим также еще, что формула (8.5) замены переменной интегрирования ь 6
/f(x)dx = $ f($(t))g(t)dt (9.5)
а а
имеет место для несобственных интегралов при следующих условиях:
t
функция ^(/) = а+ J g(x)dx монотонна на [а, 0], и ^ (/)->& а
при /->0, а функция f(x) интегрируема на [а, Ь] (в собственном либо несобственном смысле).
Тогда формула (9.5) имеет место и для несобственных интегралов, т. е. могут быть неограниченными либо пределы интегрирования, либо подынтегральные функции f(x) на [а, Ь] или на [а, 0].
7. Понятие главного значения интеграла. Мы определили несобственный интеграл от функции f(x), неограниченной в окрестности точки х = с е (а, 6), по формуле
с—ех b
f/(x)dx=lim f f(x)dx+ lim f f(x)dx =
J e(->0 •’ e2->0 •’
a a c+e2
?-e, h
J f(x)dx+ j f(x)dx
c+e2
(eh e2>0). (9.6)
= lim
e,->0 e,->0 L a
Здесь ei и бг стремятся к нулю независимо друг от друга. Предполагается, что при любых eie(0, с — а) и ег^(0, b — с) функция f(x) интегрируема на отрезках [а, с — ej и [с + ег, Ь].
Иногда случается, что предел (9.6) не существует, но можно ь
определить интеграл J f(x)dx как предел суммы а с—е( h
f f(x)dx+ f f(x)dx, (9.7)
a c+Ej
когда 8t и 62 стремятся к нулю не независимо, а будучи связанными между собой некоторым соотношением.
В частности, если существует предел суммы (9.7) при ei = == б2->0, т. е. существует предел
lim
е->о
“С—8 b
/ f (х) dx + j f (х) dx
-а с+е
(е>0),
222
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
то он называется главным значением ь
зпачается символом V. р. J f (х) dx.
а
Таким образом,
интеграла по Коши и обо-
ь
V. р. [ f (x)dx = lim
J е->0
а
-с—в
/ f(x)dx +
ъ
/ f(x)dx
с+е
(е > 0). (9.8)
Буквы V. р. (valeur principale — главное 'значение) часто опускаются.
Интегралы в смысле главного значения иногда называют сингулярными интегралами.
Рассмотрим пример. Пусть f (x)=s-JL- и се (а, 6).
с—Bj ъ
f dx . Г dx 'b — с -----------h ----------= In----------
J x c J x — с c — a a c+e2
4- In — e2
(9.9)
Ясно, что предел этой суммы при независимом стремлении к нулю в| и е2 не существует. Положим ei = е2 = е. Тогда предел выражения (9.9) при е->0 есть главное значение рассматриваемого интеграла:
ь ь
V.p. Jf(x)dx = V. р.|-^7 = 1п|£у. (9.10)
а а
Приведем еще один пример. Важная неэлементарная функция — интегральный логарифм Н х выражается с помощью сингулярного интеграла
И
х =
Г dx
J In х ’
(9.11)
который при хе (0, 1) сходится, а при х > 1 вычисляется в смысле главного значения.
Аналогично можно определить главное значение интеграла в случае бесконечных пределов интегрирования. Напомним, что несобственным интегралом с бесконечными пределами интегрирования от функции ф(х), интегрируемой на каждом конечном отрезке, мы называем предел
А72 a Ni
lim I qp(x)dx = lim | qp(x)dx + lim | qp(x)dx,
JV,->oo J Nj->oo J N2->oo J
-N, a
причем и Nt стремятся к бесконечности независимо друг от друга. Бывают случаи, когда определенный таким образом несобственный интеграл не существует, но существует главное зна-
§ 9)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
223
чение интеграла, определяемое по формуле оо /V
V. р. [ <p(x)dx = lim [ <p (х) dx. (9.12)
J Af“>OO J
— oo —W
Такие интегралы также называются сингулярными.
Пример, оо /V
V. р. sinxdx= lim sinxdx= lim [— cos N + cos (— /V)] = 0. J jV->oo j N-+OO
— oo —/V
Иногда сингулярный интеграл удается выразить через обыч-оо
ный несобственный. Предположим, что интеграл J q>(x)dx су-
ществует лишь в смысле главного значения, а интеграл оо
J [ф(*) + ф(~ *)МХ существует как несобственный. Тогда, пред-о
ставляя функцию ф(х) в виде суммы четной и нечетной функций, получаем
лг
qp(x)dx= lim q>(x)dx = N-+<x> J
— oo — N
|ф(х) + ф(-х)^ + |ф(х)-ф(-х)^
AT AT
= lim f .«P.(x) + <p(-x)dx = 2 Hm f ф(х) + ф(-х)^ = /V-»oo M /V"»OO J “
= / [<P (*) + Ф (— x)] dx.
0
Итак, мы получили формулу оо оо
V. р. J ф (х) dx = j [ф (х) + ф (— x)J dx, (9.13) — оо 0
справедливую при условии, что оба входящих в нее интеграла существуют в указанном смысле.
Пример.
оо оо
xr f 1 + Х j n f d*
1 I 2 dx = 2 7—:----2 = n-
J 1 + X2 J 1 + X2
—00 0
224
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
8. Сингулярные интегралы Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [а, Ь] условию Гёльдера, если при любых Xi, х2 е [а, Ь] имеет место неравенство
lfU2) — f(xi)|<C|x2 — *1 Г,
(9.14)
где С и а — некоторые положительные постоянные. При а= 1 это условие совпадает с условием Липшица, о котором мы уже говорили в § 6 данной главы. Если а > 1, то очевидно, что в каждой точке рассматриваемого отрезка [а, 6] -^- = 0, и тогда f = const. Исключая этот неинтересный случай, мы будвхМ предполагать, что 0 < а 1.
Ясно, что если функция удовлетворяет условию Гёльдера на отрезке [а, Ь], то она должна быть непрерывной на этом от
резке.
о г f (х) dx
В приложениях часто встречаются интегралы вида ——• J X ~~ 5
а
Такие интегралы называются сингулярными интегралами Коши. Покажем, что они существуют в смысле главного значения при всех £е(а, Ь), если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [а, Ь] условию Гёльдера (9.14). Действительно, существование ь
Г f(x)dx
главного значения интеграла J * _ следует из оценок
ь
[ fWdx
J
ь
Г dx
J а
(см. формулу (9.10)).
§ 10. Обобщения понятий производной и первообразной
Как мы видели выше, два определения интеграла, как приращения первообразной и как интеграла Римана, не совпадают в том смысле, что может существовать интеграл в смысле одного из определений и не существовать в смысле другого. Можно, однако, так обобщить понятия производной и первообразной, что интеграл Римана будет частным случаем интеграла в смысле первообразной. Это означает, что всегда, когда существует
§ 10] ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЙ ПРОИЗВОДНОЙ И ПЕРВООБРАЗНОЙ 225
интеграл Римана
ь
J g (х) dx, а
то существует и «обобщенная первообразная» и последняя совпадает с интегралом Римана
X
J а при х е (а, 6].
Мы не будем здесь ставить перед собой задачу такого обобщения. Сейчас мы лишь укажем направление этого обобщения и, в частности, на базе этого обобщения покажем, что для всех случаев интегрируемости функций по Риману, указанных в этой главе, будет существовать и первообразная.
Определение. Пусть непрерывная функция f(x) задана на (а, Р) и во всех точках хе (а, р), за исключением, быть может, конечного или счетного множества точек, обладает производной g(x), т. е. всюду, за исключением, быть может, конечного или счетного множества точек, имеет место равенство
f'M = g(x). (10.1)
Тогда, полагая значения g(x) в остальных точках (т. е. там, где g(x) не определена равенством (10.1)) равными совершенно произвольным числам, будем говорить, что функция f(x) обладает на (а, р) обобщенной производной g(x), и писать равенство (10.1).
Определение. Пусть на (а, р) задана функция g(x). Если непрерывная на (а, Р) функция f (х) обладает во всех точках интервала (а, р), за исключением, быть может, конечного или счетного множества точек, производной и эта производная совпадает с g(x), то функция f(x) называется обобщенной первообразной для g(x) на (а, р).
Приведем простой пример.
Пусть f(x) = |х|. Всюду, кроме х = 0, /'(х) существует:
,,, ч J"1’ х<°>
I 1, х > 0.
Таким образом, функция f (х) = | х | имеет на (—со, со) обобщенную производную
-1, а,
+ 1,
g(*) =
х < 0, х = 0, х > 0,
226
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
где а — произвольное число, а функция g(x) имеет обобщенную первообразную |х| и
f I*
g(x)dx=|x| .
J la
a
В частности, J sign x dx = | x 11 . a
В отличие от классических производных, обобщенная производная g(x) может иметь разрывы первого рода. Однако обобщенная первообразная f(x) непрерывна, что мы требуем в ее определении.
Если принять эти определения обобщенной производной и ь
обобщенной первообразной, а интеграл J g(x)dx определить а
равенством
ь
f g(x)dx = f(b) — f(a), (10.2)
а
где под f(x) понимать теперь обобщенную первообразную для g(x), то определение (10.2) определенного интеграла становится более общим и содержит все рассмотренные нами случаи интегрируемости по Риману.
§11. Задача интерполирования
При практических вычислениях часто бывает так, что для функции у = f (х) известны лишь ее значения в ряде точек а = — Хо < Xi < ... < хп = Ь, а иногда нам надо знать значения этой функции в остальных точках отрезка [а, Ь] либо в некоторых точках, не совпадающих с точками х0, хь ..., хп. Тогда возникает задача о распространении каким-либо образом функции f(x) на весь отрезок [а, Ь]. Задача о распространении функции f(x), заданной лишь в ряде точек, на весь отрезок [а,Ь] называется задачей интерполирования.
Прежде всего надо отметить, что если у нас нет никакой дополнительной информации о поведении функции f(x), кроме ее значений в некоторых точках, то нет никаких оснований предпочесть один способ интерполирования другому. Обычно в подобных случаях выбирают самый простой способ — способ линейной интерполяции. Он состоит в том, что на отрезке хг-^ х xl+i функцию f(x) заменяют линейной функцией Дх), заданной
§ И]
ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ
227
— X
формулой
1 (х) = f (X,) + f (х/+1) =
•4+1 xi -4+1 xi
= a(x)f(x,) + (l — a(x))f(x,+I), где a(x)
х
Xi + \ ~ Xi
и принимающей в точках хш заданные значения f(Xi),
f(Xi+l).
В результате на отрезке [а, &] функция f(x) заменяется кусочно-линейной функцией f(x), так что график функции у =
= f (х) имеет вид, изобра- ~ жепный на рис. 27. fava
Если о функции f(x) известна дополнительная информация, то иногда можно оценить ошибку интерполяции, т. е. оценить величину Й(х) —f(x)|. Пусть, напри- ~д-мер, известно, что f(x)e <=D2{[a,&]} и |Г(х)|^М
а Х1 Х2 Xn-t Ь Х
Рис. 27.
при хе[а, !>]. Обозначим
ф(х) = /(х)— f (х) и рассмотрим ф(х) на отрезке [xf, х,+1]. Нам известно, что ф(хг) = <р(х,+1) = 0 и <р"(х) = f"(х), так что |ф"(х)|^Л1. Оценим величину первой производной ф'(х)
в точках х = х, и х = х,+ь Записывая для ф(х) формулу Тей-
лора, получим
Ф(х) = <р(х,) + ф' (х,) (х — х^ 4- ф" (£) - 2*'- , (И-1)
где Е,е[х, xj. Учитывая, что ф(х{) = 0, ф(х<+|) = 0, и полагая в (11.1) x = xi+i, находим
Ф (х;) = — ф" (£) -^2--
И
1ф'(хг)|<м-^=А=л1^-.
ДХ;
Совершенно аналогично | ф' (х^+ОКЛ/-^. Теперь оценим ф(х) „ Дх,
при х4<х<х<+|. Пусть х — х{^.-~-. Тогда по формуле Тейлора (11.1) имеем
IФ (х) I = I f (х) - ЙхЖ М (х - xf) + М (X -2X,y <
< М + М = 4 М Дх?
228
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VII
(так как х — xt < —, a ф(х/) = 0 и | ф'(*/) I . Это не-
равенство и дает оценку погрешности линейной интерполяций при условии, что | f" (х) [ М.
Если известно, что на отрезке хг_1 х -Кг-м функция f(x) обладает некоторой гладкостью (например, непрерывной второй йроизводной), то на этом отрезке можно применить квадратичную интерполяцию, т. е. задать f (х) в виде полинома второй степени:
f (*)=
принимающего в точках Xi-i, х,, Xj+i предписанные значения /(Xi-!), /(Xi), /(xi+1).
Следует знать, что формула квадратичной интерполяции может давать значения, которые могут быть больше наибольшего из чисел f(Xi-i), f(Xi), f(Xf+i) и меньше наименьшего из этих чисел. Погрешность квадратичной интерполяции также может быть легко оценена, если, например, известно, что f(x) е е D3{ [а, 6]} и | f'” (х) I «С М.
Следующая формула Лагранжа
I — (х —х2)(х —х3) ... (х — Хп) ,
Г W — / И j (Х1 _ Хг) (Х1 _ Хз) (Х1 _ Хп} -t-
I f ( \ (х — Х1) (х — Хз) ... (х — Хп) .
' М 2' (*2 — *1) (х2 - Хз) ... (х2 - Хп) Г ‘ ’
I f ( \ (х — Х|) ... (х — Хп~2) (х — хп)
п 1 (хп—1 Х|) ... (Хп—1 — Хп—2) (хп—1 — хп)
| С / \ (х—Х1)(х — Х2) ... (х — Хп-1)
‘ ' П (хп — Х|) (Хп — х2) ... (Хп — Хп-1)
задает полином степени п— 1 (интерполяционный полином Лагранжа), который в точках х2, ...» хп принимает предписанные значения f(xi), f(x2), ...» f(xn).
Иногда в йриближенных вычислениях, когда известно, что функция f(x) обладает на отрезке [хь хп] высокой степенью гладкости, применяют для интерполирования полином Лагранжа. Однако в большинстве случаев представляется целесообразным применять более простые методы интерполирования за счет увеличения числа точек хг-. •
В заключение заметим, что если формулы для f (х) принимаются действующими и за пределами максимального из отрезков, образованных точками Xi, то мы говорим, что применяем
§ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 229
экстраполяцию для f(x). Так, например, вычисление по формуле
f (x) = af(Xi) + (l — a)f(xi+i), где ct = *'+' * ,
XZ + 1 Xi
при Xi х Xi+i называется интерполяцией f(x), а при х < Xt или х > хг+1 — экстраполяцией f(x).
§ 12. Приближенное вычисление интеграла
Рассмотрим кратко вопрос о практических (численных) приемах вычисления определенного интеграла
ь
1 = j f(x)dx. а
Пусть функция f(x) непрерывна на [а, Ь]. Тогда, как мы видели в § 7, для f(x) существует первообразная F(x) на [а, Ь]; кроме того, f (x) интегрируема на [а, Ь] по Риману. Пусть дано некоторое разбиение
Т{х,} (а = х0<х(< ••• <xn-i<xn = Ь) отрезка [а, &]. Тогда
b n—lxi + i п—!
/=/f(x)dx = £ J f (х) dx = [F (xt+l) — F (х<)] =
а Z=0 i=0
и—! п—1
= 2 f &) (X/+1 - Xt) = £ f &) ДхР (12.1)
i=0 i=0
Здесь точки & не произвольны, а определяются из формулы Лагранжа F(Xi+i) — F(xt) = f (^) (xi+i — Xf) и при этом X; < < h < Xj-i-i. Таким образом, в случае непрерывной функции f(x) и произвольного разбиения T{xJ величина определенного интеграла совпадает со значением некоторой интегральной суммы.
Если, однако, в формулу (12.1) подставить вместо точек & некоторую произвольную систему точек т]г-, удовлетворяющих условиям Xi т|г- х7-+|, то полученная сумма
п—! п—!
т = 2 f Gb) = s f (П<) (х,+| - Xj) (12.2) 1=0 1=0
будет отличаться от /. Так как функция f(x) интегрируема по Риману, то согласно § 4 Т —► I при Дх = max Дх, —> 0. Поэтому
i
при достаточно малых Дх формула (12.2) может быть применена для приближенного вычисления /.
230
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. VH
Формула (12.2) называется формулой прямоугольников для ь
вычисления интеграла J f (х) dx. а
Предположим, что 6)}, и попробуем оценить
ошибку Т — I этого приближенного способа интегрирования. Имеем
*Z + 1
F(x/44) —F (xj—f (ть) Дх, = J f (х) dx — f (тц) Дх, =
xi
*/+i
= f [fW-fbl/W (12.3)
xi
Согласно формуле Лагранжа найдется е (х, т)г) такое, что
Поэтому
|f(x)-f(ni)|< max |Г(Ш1х-П/I-5 е (а, 6]
Но в формуле (12.3) х, е [х,, xi+)], поэтому подынтегральное выражение оценивается следующим образом:
I f (х) — f Ы К Af | х/+1 — Xi | == М bxt
и
где М = max | f' (£) | при £ е [а, 6]. Итак,
i=0
xi + l
J f (x)dx — f(r\i)^Xi xi
n— 1
1=0
n—1 n—1
Ax • Axj — M Ax Axz = A4Ax(6 —a) (12.4) i=0 z=o
(здесь Ax = maxAxi = max(x/+1 — хг)). Неравенство (12.4) оце-i I
нивает сверху ошибку, допускаемую при интегрировании по «методу прямоугольников» дифференцируемой на [а, 6] функции f (х). Мы видим, что / — Г -* 0 при Дх -+ 0.
$ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
231
Пусть теперь f(x)^D2{[at д]}. Выберем =. По формуле Тейлора имеем
f (х)=f (nJ + Г (nJ (X - nJ + f" (li) .
где nJ- Подставляя это выражение в (12.3), получаем
так как п<=** и j (х —nJdx = 0. Поэтому *<
V V (x-nj2 Дх?
J lf(x)-f(nJHx J 1 ^-dx = -^-M, X/ xi
где М= max |f"(g)|.
I в [a, Z>J Поэтому
м V Дх* м V А м ~ а) /ю <Л1 1|-2Г<^4-^Дх‘=----------24----’ (12<б)
1=0 1=0
Формула (12.5) оценивает сверху погрешность формулы интегрирования (12.2) при п< = —~—2 ,<+1, Для дважды дифференцируемых функций.
Пусть снова f (х) е D2{[a, &]}. Оценим величину разности ~ ~ t ~"2*<+1)* Применяя к f (х) формулу Тейлора
X/ *1" х,. ।
с центром в точке п« = —1—п 1 > легко получаем оценку
f(xz) + /(xf+1) _ (xt + xl+l\I „ Дх?
2 ' \ 2 /1 т 8 ’
где М | f" (х) | при хЕ[а, />].
(12.6)
232
ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[ГЛ. уп
Учитывая неравенства (12.5) и (12.6), получаем
п—I
М Дх’ (Ь - а) . М Ьх* V А „
-----24-------8“ 2jAX<
1=0
__ М (b — а) \х2
~ 6
Вводя обозначение,
/,Р = ”£[^<^Ь (12.7)
1=0 имеем оценку
|/-/тр|<М (Ь — а) \х2 . (12.8)
Формула (12.7) называется формулой трапеций для определенного интеграла.
Часто бывает, что функция /(х) известна на сегменте [а, 6] лишь в некоторых точках. Тогда естественно эти точки брать за точки Xi и пользоваться формулой трапеций (12.7).
Иногда подынтегральная функция бывает известна в точках Xi=a + ih, i=0t 1, 2,..., п и /г = -~а . Тогда формула трапеций (12.7) принимает вид
7Tp=^[Ha) + 2f(a + /i) + 2f(a + 2/i)+ •••
... +2f(a + (n-l)h) + f(b)], (12.9)
а оценка погрешности (12.8) записывается в виде
\1 - /тр |<М
(Ь — а)3 Ъп2
Таким образом, для приближенного вычисления определенного интеграла нужно выбрать подходящую формулу, позволяющую по имеющейся о функции информации находить приближенное значение интеграла, и оценить погрешность, которую дает эта формула
§ 12] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 233
Существует довольно много различных приемов численного интегрирования. Хорошо, если читатель будет знать, что существуют формулы «прямоугольников», «трапеций», Симпсона, Гаусса, Чебышева и др., позволяющие интегрировать функции в предположениях о той или иной степени их гладкости.
Кроме того, ясно, что вычисление величины
ь
1= $ f(x)dx а
достигается также нахождением первообразной F(x) для f(x) на [ц, Н ибо
I = F(b) — F(a).
Поэтому каждый метод численного решения обыкновенного дифференциального уравнения
dF
есть в то же самое время и метод численного интегрирования функции f(x). В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений предлагаются несколько методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений: метод «ломаных Эйлера», метод Пикара, Адамса, Рунге — Кутта и др. Каждому из этих методов может быть поставлена в соответствие вполне определенная формула либо алгоритм для вычисления определенных интегралов или, как говорят, «квадратурная формула».
Глава VIII. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ (АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ)
§ 1. Постановка задачи
Пусть на (а, 0) задана функция F(x)eDi{(a, 0)}. Это означает, что в каждой точке хе(а, 0) функция F обладает производной, которую мы обозначим через f (х):
F'(x) = f(x).
Как мы знаем, функция F(x) в этом случае называется первообразной для функции f(x) на (а, 0). Знание первообразной для f(x) позволяет вычислять определенные интегралы от функции f(х), так как ь
f(x)dx = F(b) — F(a). (1.1>
а
Если задана функция f(x) и ставится задача об отыскании для нее первообразной F(x) (или неопределенного интеграла J f(x)dx^, то такую задачу мы называем задачей интегрирования f (х).
Сразу же отметим, что задача интегрирования /(х) может оказаться неразрешимой, т. е. может случиться, что не существует ни одной функции F(x), производной которой являлась бы функция /(х). В самом деле, для того, чтобы f(x) являлась производной от F(x), т. е. для того, чтобы существовала первообразная F(х) для f(x), например, необходимо, чтобы функция f(x) принимала на (а, 6) = (а, 0) любое значение у, промежуточное между f(a) и f(b). Действительно, это следует из теоремы Дарбу 6.13 о промежуточных значениях производной (§ 2 гл. VI). Поэтому, если функция /(х) не удовлетворяет на (а, 0) этому необходимому условию (например, f(x) имеет точки разрыва первого рода), то не существует первообразной для f(x).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
235
§ П
Можно указать достаточные условия интегрируемости f(x) на (а, Р), т. е. условия, при которых заведомо существует первообразная F(x)eDi{(a, р)} для функции f(x). Например, если функция f(x) непрерывна на (ос, р), то существует первообразная F(x)^ Cj{(a, Р)}, т. е. f(x) интегрируема на (а, р). Действительно, это наше заключение следует из теоремы 7.4 (§ 7 гл. VII), согласно которой каждая непрерывная на (а, р) функция f(x) имеет первообразную на (а, р) и, кроме того, интегрируема по Риману.
Задача интегрирования, которой мы будем заниматься в этой главе, ставится так. Известно аналитическое представление функции f(x) (т. е. функция f(x) задана формулой либо формулами); при этом f(x) является элементарной функцией переменного х. Требуется найти аналитическое представление для первообразной F(x).
Мы будем рассматривать лишь случай непрерывных функций f(x), поэтому первообразная F(x) существует. Однако первообразная F(x) для элементарной функции f(x) может оказаться функцией неэлементарной, и мы не сможем ее описать как суперпозицию элементарных функций. В этом случае мы говорим, что f(x) не интегрируется в элементарных функциях; иногда более кратко говорят, что f(x) «не интегрируется». В этом состоит существенное отличие операции интегрирования функций от обратной ей операции дифференцирования.
Мы видели в гл. V, что производная любой элементарной функции является функцией элементарной. Если же говорить об операции интегрирования элементарной функции f(x), то первообразная F (х) хотя и существует, но может не быть элементарной функцией, и тогда мы не можем найти для нее аналитического выражения.
Например, для функций f(x) = ex2, f (х) = s-^— первообразные или неопределенные интегралы J ех2 dx, J dx не могут быть выражены через элементарные функции.
В этой главе мы ставим своей целью найти некоторые классы элементарных функций /(х), для которых можно указать способы аналитического нахождения первообразной F(x) (или, что то же, неопределенного интеграла J f(x)dx}.
Следует заметить, что многообразие функций f(x), для которых с помощью тех или иных приемов и методов могут быть аналитически получены выражения для первообразных, конечно, не исчерпывается классами, которые будут приведены в этой главе. Здесь излагаются лишь некоторые основные приемы и методы аналитического интегрирования функций.
236 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Более того, мы не можем во всех случаях ответить на вопрос: вычисляется или же не вычисляется аналитически первообразная для данной функции f(x)? Поэтому во многих случаях успех в задачах аналитического интегрирования функций зависит от опыта вычислителя, от «умения» применить подходящие преобразования, такие, как замену переменной интегрирования, интегрирование по частям, разбиение подынтегральной функции на сумму других функций и т. д.
При возникновении трудностей в задаче аналитического интегрирования функций мы рекомендуем читателю пользоваться справочниками, в которых достаточно полно отражены классы функций, допускающих аналитическое интегрирование. В частности, мы можем рекомендовать читателю справочник И. С. Градштейна и И. М. Рыжика «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений», в котором с достаточной полнотой изложены приемы аналитического интегрирования.
Изложение в этой главе преследует две цели:
1. Научить читателя основным методам аналитического интегрирования и на ряде примеров показать возможности этих методов.
2. Указать достаточно широкие классы элементарных функций f(x), для аналитического интегрирования которых разработаны общие приемы и методы.
§ 2. Основные методы интегрирований
Основой для аналитического интегрирования элементарных функций является таблица неопределенных интегралов (см. § 11 гл. V), а также следующие основные правила:
1. Линейные свойства интеграла, записываемые в виде Ф°Р У J [и (х) ± v (х)] dx = J и (х) dx ± J v (х) dx, (2.1)
J Cu(x)dx = C J u(x)dx (С = const) (2.2)
(см. § 7 гл. V).
2. Правило интегрирования по частям, которое записывается в виде формулы
J udv = uv — | vdu (2.3)
или
| и (х) v' (х) dx = u (х) v (х) — J v (х) и' (х) dx, применимой к функциям и(х), v(x)^C{ *).
•) Если мы пишем и(х) е Cj (или и(х) е Dj) и не указываем области, В которой функция и(х) непрерывно дифференцируема (или дифференцируема), то мы имеем в виду, что эта функция непрерывно дифференцируема (или дифференцируема) там, где мы ее рассматриваем.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
237
§ 2]
3. Замена переменной интегрирования по правилу, задаваемому формулой
/ Р' (ф (х)) ф' (х) dx = F (<р (х)) + С (2.4)
ИЛИ
j F' (ф (х)) Ф' (х) dx = J F' (/) dt = F (/) + С = F (ф (х)) + С (2.5) (F, ф <= Ct),
где производится замена ф(х)=/ и после вычисления интеграла мы вновь заменяем t через ф(х).
Приведем различные примеры использования этих правил.
1. Рассмотрим интеграл J Pn(x)dx, где
Pn(x) = aoxn + aIxn-1 + ... +ап_!х + а„ (2.6)
— полином степени п.
Пользуясь свойствами (2.1) и (2.2) и формулой
jx₽dx = ^n+C (₽¥=-!)
таблицы неопределенных интегралов, легко устанавливаем равенство
|р„(х)^х = а0^- + «1^+ ••• +тукх2 + -^-х + С. (2.7)
Итак, интегрирование полинома степени п приводит к полиному степени n -|- 1. Вообще, очевидно, что формулы (2.1) и (2.2) позволяют проинтегрировать любую функцию f(x), которая является линейной комбинацией подынтегральных функций из таблицы § 11 гл. V. Например:
J (4 +^xa + T^)rfx = ^lnlx| +^Txa+1 + Aarctgx + C («=/= — 1).
2. Вычислим Имеем (х _ _ =
= •—1 , (-!------. Поэтому
а — b \х — а x — b) J
.____dx______ 1 I dx_________dx \
(x — a) (x — b) a — b \x — a x — b)
=_l r d(x-a) _ d(x -b) 1 = _1 J ! _b |) =
a — b I x — a x — b J a — b x 1 1 1 17
= ' Jin gzzAl ' Inl^l.
a — b |x — &| a — b |x — b\
238 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIH
Следовательно,
f 1---Т7----м =—Ч,n I + С.
J (х — а)(х — Ъ) а — b |х— &|
Эта формула имеет место при х =/= а, х Ь.
Приведем примеры применения правила замены переменной интегрирования.
3. Вычислим J ex,xdx. Если обозначить t = x2, то dt — 2xdx и ех'х dx = -^ е‘ dt = d ~ е*. Поэтому
J ex,xdx = = + C =
4. f ДЦ^у-dx. Имеем , = da ret gx. Обозначая arctg x—t,
J I -t- X 1 -t- X
получаем a.rc!_s * dx = t dt = -y dt2 = d . Поэтому
C arctg xdx _ (arctg x)2 ,
J 1+x2 — 2 “T0,
5. J (x4 + I)2 x3dx. Полагаем / = х4+1; тогда d/ = 4x3dx, (x4 4-1)2 x3 dx — у (2 dt = -jy dt3 = d t3 = d . Итак,
/ (x4+lj2x3dx = -(x-+1)3+C.
Приведем примеры применения метода интегрирования по частям.
6. Вычислим In = | exxndx. Полагая хп = и, ех dx=dex=dv, получаем v = ex, du = nxn~l dx. Поэтому
еххп dx = udu — d (nv) — v du = d (xnex) — nexxn~l dx.
Итак,
Z„ — J exxn dx = xnex — n J exxn~l dx = xnex — (2-8)
Мы получили формулу, которая связывает 1п и /п_( и позволяет вычислить любой из этих интегралов при известном другом. В частности, если п — целое неотрицательное число, то интеграл вычисляется. В самом деле /0= J ех dx = ех 4- С. По рекуррентной формуле для 1п: Ц — хех — /0 = хех — ех 4- С\ точно так же 12 = х2ех — 2/| = х2ех — 2хех 4- 2ех 4" С. Этим способом можно вычислить интеграл /п при любом целом п 0.
§ 2)
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
239
7. Комбинируя метод замены переменной и интегрирования по частям, видим, что аналитически вычисляются интегралы вида п
J Рп (х) еах dx, где Рп (х) = akxk (а = const).
k—0
В самом деле, полагая t = ax, имеем dt = adx, Рп(х) еах dx— = Pn(t)ef dt, где Р„(/) = -^-— полином степени п. Итак,
Рп (х) еах dx = Рп (t) е* dt —
п
п
= £-^tket(u= k=Q
п п
ft+i dlk $ = S „*+i di* (ах)‘
*=о а л=о а
Л=0
Окончательно получаем
п
k=Q
п
(2.9) k=o а
где интегралы /й(ах) берутся способом, указанным в примере 6.
8. Обозначим
Sn = J хп sin х dx и Сн = J хп cos х dx.
Применяя к Sn формулу интегрирования по частям, полагаем и = хп, dv = sinx dx, т. е. v = — cosx. Тогда
dSn = хп sin х dx = и dv = d (uv) — vdu =
— d(—xn cos x) + nxn~l cos x dx = — d (x" cos x) + n dCn-x.
Итак, Sn = — x'1 cosx + nCn_ p (2.10)
Совершенно аналогично:
dCn = xn cos xdx — d (x” sin x) — n dSn-{ и
Cn = x"sinx — nSn-x. (2.11)
Формулы (2.10) и (2.11) позволяют рекуррентно вычислять значения интегралов Sn и Сп для n = 0, 1, 2, ... В самом деле,
= J* sin х dx = — cos х + С, Со = f cos х dx = sin x + C.
240
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
По формулам (2.10) и (2.11) получаем при п=1
St — J х sin х dx = — х cos x + Co = — x cos x + sin x + C,
Ct = j x cos x dx = x sin x — So = x sin x + cos x + C.
Точно так же при n = 2
S2 = — x2 cos x + 2x sin x 4- 2 cos x 4- C,
C2 = x2 sin x + 2x cos x — 2 sin x 4- C.
Ясно, что можно продолжить этот процесс вычислений и получить формулы для и Сп при любых целых положительных п.
9. Интегралы | Рп (х) cos ах dx и Рп(х) sin ах dx, где
п
Рп=^ акхк и а = const, очевидно, сводятся к рассмотренным л=о
в примере 8. В самом деле, рассмотрим, например, первый из этих интегралов. Полагая ах = /, будем иметь Рп (х) cos ах dx — = Pn(t) cos tdt, где
п
Рп (х) cos а х dx = tk cos t dt =
*=o а п tl
= It] a*+l de* = fc+1 Ck (ax)-/?=0
Итак,
_ / П \ n
J I akxk I cos ax dx = Zj t+i (ax)> \k=o / fc=o a
где величины Ск вычислены в примере 8.
10. Рассмотрим интегралы | e*sinxdx и excosxdx. Полагая sinx = «, exdx = dv, имеем ex = v, du = cos xdx,
ex sin x dx = и dv = d (uv) — v du = d (ex sin x) — ex cos x dx.
Итак,
| e*sinxdx = exsinx — J excosxdx. (2.12)
5 21
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
241
Аналогично
J ех cos к dx = ех cos х + J e*sinxdx. (2.13) Подставляя (2.13) в (2.12), получим
J ех sin х dx = ех sin х — ех cos х — J ех sin х dx.
Отсюда следует, что
J е sinxdx = e ------%----hC.
Аналогично получаем формулу f X j X COS X + sin X . Л J е cos х dx = e -----------------%------h C.
11. Точно так же вычисляются интегралы J еах cos bx dx, J еах sin bx dx (а = const, b = const).
Обозначим S (a, b) = J eax sin bx dx, C (a, b) — J eax cos bx dx (S (a, b) и C (a, b) — очевидно, функции переменного x, зависящие также от параметров а и Ь).
Имеем
aS (a, b) = еах sin bxdx = -у d(eax sin bx) — b cosbxdx —
= -j- d (eax sin bx) — ^dC(a, b) =
= d bx ) — d (eax cos bx) — eax sin bx dx =
= d - d eax cos 6x) - dS (a, b).
n b2
Перенося в этом равенстве dS (a, b) в левую часть, получаем
1 .1 аеах sin bx — beax cos bx \
dS(a, 6) = -_d(--------------t--------) =
+ a1 * * * S
= d sin bx - cos bx] e0*]
И
S (a, b) = asin^-^cos4 -j_ c. (2.14)
Аналогично получаем формулу для С (a, b):
с (a, b) = ^bx + bsinbx_ eaX + c (2 15)
242
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ (ГЛ. VII!
12. Рассмотрим интегралы Сп(а, ft)= j хпеах cos bxdx и $п(а, Ь)== j хпеах sin bxdx. Получим для них с помощью интегрирования по частям рекуррентные формулы, позволяющие понизить показатель га степени буквы х.
Имеем
dCn (a, b) — хпеах cos bx dx.
Полагаем в этой формуле хп — и, еах cos bx dx = dv = dC (a, b) и пользуемся формулой интегрирования по частям:
dCn (a, b) = хпеах cos bxdx = u dv — d (raw) — v du =
= d[xnC(a, 6)] — nxn~'C(a, b)dx =
= d[x"C(a, ft)] - nx»~> ««*»* + ^* eaxdx =
=d[xnC(a,fe,)]--7*.2 xn~leax cos bx dx--xn~,eaxsinbxdx =
= d [xnC (a, 6)] - dCn_t (a, b) - dSn^ (a, b). Итак,
Cn (a, b) = xnC (a, b) - (a, b) + bSn.x (a, ft)]. (2.16)
Аналогично находим формулу
Sn(a, b) = xnS(a, b) + -j^[bCn_x(a. b)-aSn_x(a, ft)]. (2.17)
Величины C(a, b) = C0(a, ft) и S(a, b) = S0(a, ft) даются формулами (2.15) и (2.14), поэтому формулы (2.16) и (2.17) позволяют рекуррентно вычислять Сп(а, ft) и Sn(a, ft) для любых целых положительных га.
Полагая в (2.16), (2.17) га==1, получим
С] (a, ft) = J хеах cos bx dx =
= хС (a, b) - С (а, ft) — S (a, ft), (2.18) Sj (a, ft) = J xeax sin bx dx =
= xS(a,b)~ S (a, ft) + C (a, ft). (2.19)
В эти формулы можно подставить выражения (2.14) и (2.15) для S(a, ft) и С (a, ft).
§ 2)
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
243
Аналогично можно получить выражения для 52(а,Ь), С2(а, Ь) и т. д.
13. Легко заметить, что согласно формулам (2.16), (2.17) и (2.14), (2.15) величины Сп(а,Ь) и Sn(a,b) состоят из суммы слагаемых вида SkXkeax sin bx + CkXheax cos bx, где k изменяется от 0 до п, а величины Sh и С* — постоянные числа.
Можно легко подметить, что и интеграл
J е',х [sin bx • Рп (х) + cos bx • Q„ (х)[ dx =
п
еах хк (pk sin bx + qk cos bx)
A=0
dx =
n
= ^[pkSk(a, b) + qkCk(a, 6)]
также будет состоять из членов такого же вида. Поэтому мы можем искать этот интеграл в виде
J (*) sin bx + Qrt (х) cos &х] dx = п
= 5>fcSfc(a, b) + qkCk(a, b)] =
fe=o
= eax f sin bx V Skxk + cos bx V Слх*^ + C, \ ^=0 /2=0 /
где постоянные числа Sk и заранее неизвестны и подлежат определению.
Дифференцируя обе части этого равенства, получим уравнение
еах fsin bx Pkxk + cos bx ?лх*^ =
\ k=0 k=o J
= aeax | sin bx Skxk + cos bx Ckxk j + \ /2=0 /2=0 J
+ beax sin bx V Ckxk + cos bx V SAxft>j +
\ k=Q л=о /
+ eax fsin bx kSkxk^1 + cos bx kCkxk~l .
241
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ VHI
(2.20)
(2.21) имеет, и при а2 4-
Сокращая это равенство на еах и приравнивая коэффициенты при xk sin bx и при xh cosbx в левой и правой частях этого уравнения соответственно, получаем систему из 2(n+ 1) уравнений:
ЬСп = pnt | 4~ bSn = qnt I aSk — bCk = pk — (k + 1) + bSk = qk — (k + 1)C, + |
(k = n — 1, n —2, ..., 2, 1, 0).
Система 2(/i + 1) уравнений (2.20) и (2.21) всегда притом единственное, решение относительно Са, Sa + д2=/=0 (именно этот случай только и интересен).
Действительно, если а2 + &2=/=0, то из (2.20) получаем
О 1 \Рп —И с 1 |д Рп I п а2 + b2 \qn а | ’ п а2 + b2 \b qn | *
После этого из уравнений (2.21) при k = n—1, п — 2, ... 2,1,0 последовательно определяются коэффициенты Sn_j, Cn-i, Sn_2, Cn-2, ...»So, Cq.
Изложенный здесь способ нахождения интеграла путем определения неизвестных коэффициентов Sa, Са носит название метода неопределенных коэффициентов и широко применяется при различного рода вычислениях.
Приведем конкретный пример использования метода неопределенных коэффициентов. Пусть мы вычисляем интеграл /= J 2х2ех cos х dx. Полагаем, согласно сказанному выше,
I = J 2х2ех cos х dx =
[х2 (S2 sin х + С2 cos х) + х (Sj sin х + С, cos х) + So sin х + Со cos х] + С. Дифференцируя обе части этого равенства и сокращая на е*, получаем 2х2 cos х = х2 (S2 sin х + С2 cos х) +
+ х (Sj sin х + Ci cos x) + So sin x + Co cos x + 2x (S2 sin x + C2 cos x) +
+ Si sin x + Cj cos x + x2 (—C2 sin x + S2 cos x) 4*
+ x (—Cj sin x + Sj sin x) — Co sin x + So cos x.
Требуя, чтобы это равенство выполнялось тождественно, приходим к уравнениям
S2 — С2 = 0, S2 + С2 = 2, S] —- С] = — 2S2,
Cj -j- Si = — 2С2, So — Со = — Si, Со 4" So = —Ср Из первых двух уравнений находим S2 = C2=1, из следующих двух определяем Si = —2, С1=0, и наконец, из последних двух находим S0 = l, Со = — 1. Итак,
J 2х2ех cos х dx = ех [х2 (sin х 4* c°s х) — 2х sin х + sin х — cos х] + С.
§2] ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 215
14. Из формул тригонометрии
9 1 + cos 2а . 9 1 — cos 2а
cos2 а = ——?------, sin2 а =----,
n 1 4- cos 2а 1 . 1 Л
cos3 а = —--------cos а = у cos а + у cos а cos 2а =
= у cos а + у (cos За + cos а),
sin3 а =----g-----sin а = у sin а — у sin а cos 2а =
= у sin а — у (sin За — sin а),
которые можно продолжить для cos4 а, sin4 а и т. д. до любых целых степеней п, мы делаем заключение, что любые целые степени синуса и косинуса выражаются как линейные комбинации синусов и косинусов кратных дуг.
Отсюда следует, что аналитически вычисляются интегралы вида
| еаххп cos'" bx dx, J eaxxn sin"1 bx dx
при любых целых неотрицательных т и п и их линейные комбинации; в частности, аналитически вычисляются интегралы вида
{п 1
Хк (sin bx) + Cmk (cos 6x)] I dx, 4=0 J
где Smk (/) и Стк (t) — полиномы степени mk.
15. Метод интегрирования по частям позволяет вычислять аналитически разнообразные интегралы, класс которых, к сожалению, трудно охарактеризовать. Приведем примеры:
Г Г vrt+l Vrt+l Г rrt+1
xnlnxdx = Inxd , , = —j-rln x — , . dlnx =
J J n 4- 1 n 4" 1 J n -г 1
rrt+1 1 Г rrt+1 *rt+l / 1 \
= 7+Tlnx“ 7+T J _V_dx^7+r(lnx —7+t) +
Vn+I 9 f*
— , In2 x---ft x"lnxdx =
n + 1 n + 1 J
= n+T [ln2 X ~ T+T ln X + (n + 1)2 ] +
246 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIП
Становится очевидным, что аналитически могут быть вычислены интегралы вида
Jxalnm xdx
при любом целом m 0, а также всевозможные линейные комбинации интегралов подобного вида.
§ 3. Сведения о комплексных числах
Для описания приемов аналитического интегрирования рациональных функций, т. е. функций вида
Рп + + ••• +ап-\х + ап
Qm(x) boxm + blXm-l+ ... + bm_lX + l,n 9
удобно пользоваться комплексными числами. Кроме того, конечно, понятие комплексного числа играет фундаментальную роль во всей математике. Мы кратко сообщим здесь некоторые сведения о комплексных числах, учитывая, что само это понятие вводится и довольно подробно изучается в курсе средней школы.
Комплексным числом z называются два действительных числа х и у, первое из которых называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом Rez=x, второе называется мнимой частью z и обозначается символом Im z=y *).
Если Rez=x, Imz=i/, то мы пишем:
г=х + iy.
Если Im z=0, то мы говорим, что комплексное число совпадает с действительным числом x = Rez. Если же 1гп2=/=0, то комплексное число называется мнимым. Если Rez=0, то мы говорим, что комплексное число является чисто мнимым. Число 2=0 + i0 называется нулем.
Комплексные числа Z\ = %i 4- iyx и z2 = х2 + iy2 совпадают по определению, если xi=x2, У\=У1, и тогда мы пишем, что 2i = Z2.
Пусть zi=%i + ил, z2=x2 + iy2.
Суммой комплексных чисел z\ и z2 называется число
z = zt 4- z2 = (х( 4- х2) + I (У1 + Уг)'
а произведением чисел Z\ и z2 — комплексное число
z = 2) • z2 = (xtx2 — t/iy2) 4- i (x{y2 4- X2«/1)-
♦) Более точно комплексные числа определяются как пары упорядоченных действительных чисел, для которых определены арифметические операции, удовлетворяющие сформулированным ниже свойствам 1) —9).
§ 31 СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ 247
Так введенные операции сложения и умножения обладают обычными свойствами операций сложения и умножения для действительных чисел. В частности, сложение и умножение действительных чисел может рассматриваться как сложение и умножение комплексных чисел с равными нулю мнимыми частями.
Имеют место следующие свойства этих операций:
1) zI + z2 = z2 + z1,
2) (Z1 + z2) + z3 = Zi + (z2 + z3),
3) Z] + (0 + iO) = z, -j- 0 — z„
4) z + (— l)z = x + iy — (x + iy) = 0,
5) z{ • z2 = z2- zt,
6) (Zj • z2) z3 = z1 • (z2 • z3),
7) Zi(l -f-0 • i) = Zi • 1 = zh
Для любого числа z, если только | z | = Vх2 4- у2 Ф 0, существует обратное число-у такое, что z Тогда
± — 1 = х — ; У
' г х + iy х2 + уг хг +уг’
9) (z, + z2) z3 = ztz3 + z2z3.
Указанные свойства операций сложения и умножения комплексных чисел, очевидно, однозначно определяют операции вычитания и деления комплексных чисел как обратные операции.
Если Rez=0, Imz=l, то z=i и z2=i2=—1, так что мы можем считать, что t= У~ 1.
Числа z = х + iy и z* = х — iy называются взаимно сопряженными, а действительное число I z | = ]/ х2 4- у2 называется модулем комплексного числа z=-x-\-iy. Так как (X|4-4/i)X X (х2 4- iy2) = (xtx2 — у#2) + i (хху2 + х^,). (Х| — iyx) (х2 — iy2) = = (х,х2— у^ — Ц*\У2-\- х2ух), то отсюда следует, в частности, что
(21 ‘ 2г) ~ 2i22*
(г"Г = (г*)п.
Особо отметим, что если z=z*, то Imz=Imz*=0, т. е. в этом случае z — действительное число. Отметим также, что (z*)* = z. Легко проверить, что |г|2—х2 4- y2=z-z*.
Обычно комплексные числа z=x 4- iy геометрически изображают как точки плоскости переменных х, у, имеющие абсциссу х и ординату у.
•248
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Если обозначить через 0 величину такую, что
z ='х + iy = | z|(cos 0 + i sin 0).
Эта формула дает представление комплексного числа в тригонометрической форме. Величина 0 называется аргументом комплексного числа z и обозначается
О = Arg z = Arg (х + iy).
Если Zj = | Zj | (cos 0j + i sin0j), ^2 = |z2|(cos02-|-/sin02), to
Zj ’ z2 = I Zj 11 z2 I [(cos 0! COS 02 — sin 0! sin 02) +
+ i (sin 0| cos 02 + sin 02 cos 0j)] =
= | Zj 11 z21 [cos (0! + 02) + i sin (0j + 02)], t. e.
\zi • z2l = lzi ||z2|, Arg(z! • z2) = ArgZj + Argz2.
Отсюда следует, что z2 = | z |2 (cos 20 + i sin 20),
(cos 0 + i sin 0)2 = cos 20 + i sin 20 и вообще
(cos 0 + i sin 0)rt = cos n0 -|- i sin n0
(i —любое целое положительное число). Эта формула называется формулой Муавра.
§ 4. Комплексные функции действительного и комплексного переменного. Формулы Эйлера*)
Если по определенному закону значению действительной переменной величины t поставлено в соответствие комплексное число /(/), то мы говорим, что нам задана комплексная функция действительного переменного t. называется
действительной частью функции f(t), \mf(t)=f2(t)—мнимой частью f (/). Таким образом, задание одной комплексной функции действительного переменного t сводится к заданию двух действительных функций fi(/) и f2(0-
Например, величина /(/) = (/ — i)2 = t2 — 1—2it представляет собой комплексную функцию переменного t, для которой (если t действительно) А (О = /’-!, Mt) = -2t.
♦) Излагаемые здесь сведения о комплексных функциях являются предварительными сведениями, которыми студент-физик должен владеть как можно раньше. Эти вопросы более подробно изучаются в теории функций комплексного переменного. Некоторые относящиеся сюда вопросы рассмотрены в гл. XI.
§ 4] КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 249-
Если по определенному закону комплексному числу z=x + -j- iy, которое будем считать переменным, т. е. считать переменными x=Rez и i/ = Imz, поставлено в соответствие комплексное число 10 = ф + ир = ф(г) + hp(z), то мы говорим, что задана комплексная функция w = w(z) комплексного переменного z= = x + iy.
Комплексное число z однозначно определяется парой действительных чисел х, у, поэтому для задания функции w(z) комплексного переменного z достаточно задать две вещественные функции ф = ф(х, у), ф = ф(х, у) двух действительных переменных X и у.
Тогда мы пишем:
W = w (?) = ф 4- iy ф (х, у) + лр (х, у).
Например, функция
w (z) = z2 = (х 4- iy}2 = х2 — у2 4- i2xy
есть комплексная функция комплексного переменного; для нее
Ф = Ф (X, у) = х2 - у1, ф (х, у) = 2ху.
Другой пример. Функция
^(г) = |г|2 = х2 + ^/2
есть вещественная функция w(z) комплексного переменного z, для которой Ф (х, у) = х2 4- Z/2, ф (х, у) s 0.
Таким образом, мы приходим к следующим выводам. Мы знаем, что действительные числа можно считать комплексными числами с равной нулю мнимой частью. Точно так же вещественную функцию действительного переменного t можно рассматривать как комплексную функцию действительного переменного с мнимой частью f2(0 = Imf(0> равной тождественно нулю.
Наконец, функцию действительного аргумента х (безразлично какую, вещественную или комплексную) можно рассматривать как функцию комплексного переменного х 4- iy = z, когда областью изменения z является множество действительных чисел, т. е. когда Imz=0. Весьма существенно, что при этом сохраняются все правила действий с числами и функциями.
Приведем дальнейшие примеры функций комплексного переменного.
Определим функцию е2 = ех+*и с помощью равенства *)
ez = ех+1У = ех (cos у + i sin у), (4.1)
так что
Re ez = ех cos у, Im ez = ех sin у.
*) Мы увидим в дальнейшем, что к этому равенству приводят степенные Ряды для функций ех, sin х, cos х.
250 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Из формулы (4.1) следует, что
= cos х + i sin x, e~lx = cos x — i sin x, (4.2) и отсюда следуют формулы
elx + e~lx . eix — e~lx
COS X —------j---• sin x = “--2i-----• (4.3)
Формулы (4.2) и (4.3) называются формулами Эйлера.
Заметим, что мы определили ez так, что формула ег>+г» = = ег< • егг имеет место для любых комплексных чисел Z\ и zz.
Так как z= |z| (cos 0 + * sin 0), где 0=Argz, то из формул (4.2) следует еще одно представление комплексного числа z:
z = | z |е'0, 0 = Argz.
На случай комплексных чисел легко распространяются понятия последовательности и ряда. Если задана последовательность комплексных чисел zn=xn + iyn, то мы говорим, что последовательность (г„) сходится, если одновременно сходятся последовательности {хп} и {t/n}-
Если lim уп = у, Ит хп — х, то мы пишем; П->оо п->оо
lim zn = z — х + iy.
П-><х>
Если {z„} — последовательность комплексных чисел, то суммой оо
ряда S zk называется предел S последовательности его ча-/г=0
п
стичных сумм Sn = 2 zk- Если л=о
п
S — x + iy— lim S„ = lim 2 гк и zk = хк + iyk, n->oo n->oofc=0
то согласно определению предела последовательности п п
х= lim 2 хк, у = Iim 2 Ук‘ п-^оо k—Q п-*оо £=0
оо
Заметим, что если сходится ряд 2\гк I из действительных чи-ft=0
оо
сел | zk I, то сходится и ряд 2 В самом деле, | хк |<| гк |, £=0
оо оо
IУ k IСI zk I и ряды 2 *к и 2 У к сходятся по признаку сравнения 6=0 л==о
(теорема 3.10, гл. III, § 3).
5 4)
КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
251
Рядом Тейлора для функции f (х) е Сп {(а, ₽)} мы называем Ряд
2 fW(a)^=^~ (ае(а, ₽)), п=0
а если этот ряд сходится к f(x)*) при хе(а, р), то функция f(x) называется аналитической на (а, Р) **).
Для функций 6х, sinx, cosx имеем ряды Тейлора, сходящиеся ***) при любом х е (— оо, 4- оо):
*х=1+-к+4+•••+£+••••
хъ
81’ПХ = Х--зГ+-5Г- ....
cosx= 1 + •••
По определению положим, что и для комплексных z=x + iy функция ег определяется рядом *♦♦♦)
ег=14- — + — + +— +
' ц 2! „| • • •
Этот ряд сходится при любом г. В самом деле, ряд для е<г1 сходится, так как
.. |zn+I| /|г”| .. |z| п
lim т , / = lim ' =0,
П->0О (И ”1" 1)1/ П-»00 П "I" 1
а ряд для ег сходится согласно признаку сравнения.
Положим также, что при z=x + iy
z5
sin Z = Z — + 5i •••»
*) Ряд 2 a* (x) сходится к f(x) на множестве А, если в каждой точ* оо
КехеЛ числовой ряд 2 аь (х) сходится к числу f(x).Более подробно схс-л=о
димость рядов, членами которых являются функции, рассматривается в гл. XI.
**) Более детально определение аналитичности функции в области будет Дано в гл. XI.
***) Сходимость этих рядов при любом х легко устанавливается с помощью признака Даламбера. Таким образом, функции ех, sinx, cosx — анали-Т,,Че**5* на (—00» 00) Функции.
*) Мы уже определили ег равенством (4.1). Однако мы увидим, что Ряды для е2, sin г, cosz приводят к выполнению равенства (4.1).
252 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VHI
Эти ряды, как нетрудно показать, также сходятся при любом z. Из формул для sin z, cos z и ez имеем
••• -
Ч1 -4 + -4Г- •••) + ' (-П--зг + 4- ...J-cosy+Zsiny.
Умножая обе части этого равенства на ех, получаем форму-лу (4.1).
Вообще любую аналитическую функцию действительного переменного х можно определить и для комплексных значений аргумента z=x + iy, если формально вместо действительного аргумента х подставить в ряд Тейлора z=x + iy.
Определим логарифмическую функцию Ln z комплексного переменного z=x + iy как функцию, обратную к показательной, т. е. зададим ее тождеством
eLn2 = z. (4.4)
Если Ln z=Ln(x + iy) = ф +*ф, то согласно (4.1)
eLnz еФ+1’Ф1 = (COS ф _|_ I sjn ф) — х
Из этой формулы следует, что
e<p = |z| = Ух2 + у2, т. е. qp = ln|z| = ln ]/х2 + у2
(где In|z| понимается в обычном смысле, т. е. как действительное число), и
ф = Argz.
Мы видим, что мнимая часть логарифма ф = 1т Ln z определена формулой (4.4) неоднозначно. Если Lnz=qp-|-h|)o удовлетворяет равенству (4.4), то и число ф + i (фо + 2kn) (k — целое число) также удовлетворяет этому равенству.
Говорят, что формула (4.4) определяет бесконечно много значений Ln z, или что функция Ln z „бесконечнозначная" *).
Итак, действительная часть ф функции Ln z определена однозначно; мы имеем формулу
Ф = КеЕпг = 1п|г| = 1п Vх2 + у2,
*) Строго говоря, функция определена лишь при однозначном соответствии значения f(z) функции значению г ее аргумента. С этой точки зрения формула (4.4) вообще не определяет функции, так как не устанавливает однозначного соответствия числу z числа Ln z. Однако дополнительные условия к равенству (4.4) могут однозначно фиксировать какое-либо соответствие z и Ln z, т. е. определить функцию.
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИИ 253
а мнимая часть i|)=lmLnz имеет бесконечное множество значений:
ф = Im Ln z = ф0 + 2/?л.
Дополнительные условия
— л < Im Ln z ^л
определяют однозначную функцию, которую мы будем обозначать In z. Итак, e,n Z = z и —л < Im In z л.
Получим одну полезную формулу:
In (— х) = In (— 1) + In х.
Так как — 1 = 1 (cos л + Zsin л), то
Re Ln (— 1) = In| — 1 | = In 1 =0, Im Ln (— 1) = л + 2&л.
В частности, поэтому 1п(—1) =л/ и при действительных х имеем
In (— х) = 1пх 4- л/.
§ 5. Расширение операций дифференцирования и интегрирования на случай комплекснозначных функций одного действительного переменного
Пусть задана комплексная функция f (х) =f\ (х) + действительного переменного х. Введем понятие производной от комплексной функции f(x).
По определению производной от f(x) называется предел
/' (х) = lim Дх->0
f (х + Дх) - f (х) Дх
lim Г f.(x+Ax)-f,(x) . . h(x + Ax)-f,(x)
Дх->о L Дх Дх
(5.1)
если он существует. Очевидно, что для существования f'(x) необходимо и достаточно существование двух пределов:
f'(x)= Jim f(х + Дх) — Re f (х) __ |jm fi(x + Ax) —fi(x)
Дх->0 &х Дх->0 ^х _
|jm Im f (х + Дх) — Im f (x) _ цт ft(x + Дх) — f2 (x) '
Ax-»0 Дх Дх->0 &X
так что
Ref'(x) = [Ref(x)]', Imf'(x) = [Imf(x)r. (5.3)
Мы видим, что f (х) =fi (х) 4- £>i{(a, p)} тогда и
только тогда, когда fi (х) (= £>i{(a, 0)}, f2(x)e Di{(a, P)}.
254 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Определенная таким образом операция дифференцирования комплексной функции удовлетворяет основным свойствам операции дифференцирования для вещественной функции, установленным в гл. V.
Точно так же обобщается понятие первообразной для комплексной функции f(x)=fi(x)+if2(x) вещественного переменного х на интервале (а, Р). Функцию F (х) =Fi(x)+ iF2(x)^ еШ ₽)} назовем первообразной для f(x) =/t (х) 4- if2(x), если
F' (х) = F\ (х) + iF2 (х) = Ц (х) + if2 (х), (5.4)
т. е. если одновременно имеют место два равенства:
Re А'(х) — Re f (х), Im F' (х) = Im f (x). (5.5)
Отсюда, в частности, следует, что
[ [Re f (х)] dx = Re f f (x) dx,
, . (5.6)
J [Imf(x)]dx= Im J f (x)dx.
Приведем несколько примеров применения комплексных функций действительного переменного.
Пусть х — действительное переменное. Рассмотрим функцию где a — любое комплексное число, и вычислим производную от этой функции. Пусть a=ai + ia2, тогда согласно (4.1)
еа!х+1агх — eatx (cos д2 х / sjn
и согласно (5.2)
(еах)' = еа'х [(a, cos а2х — а2 sin а2х) 4-
4- i (a, sin а2х 4- а2 cos а2х)] = аеах. (5.7)
Отсюда следует также, что формула
j е™ dx = ± еах + С (5.8)
справедлива и при комплексных значениях а и С.
Запишем формулу Эйлера (4.3):
. е1х — е~,х
Sin X =----.
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИИ 255
Дифференцируя эту функцию по правилу (5.7), находим
(sin х)' =
ieix + ie ix 2i
etx + e tx ~ 2
= COS X.
Точно так же по формуле (5.8) находим
f е,х — е ,х j 1 I eix , е 1х\ smxdx=J --------ах = 4—~) —
Jx _1_ „-‘X
= ---|-C = -cosx4-C,
Рассмотрим интеграл
еах cos bx dx = С (а, Ь),
который мы уже вычислили в п.11 § 2. Так как
elbx + e-lbX cos bx —------„---
то
f pibx t --Ibx C (a, b) — J eax---------±----------dx =
if if -(a+ib)jr Ja-lb)x
= _L fi(a+ib)x dr -L — e<a~ib',x dx — --------------------и —___________l г
2je ax^ 2 J e aX 2(a + ib)' 2(a — ib)'
Эта формула справедлива при любых комплексных a, b, С; если, однако, а и b действительны, то мы запишем ее в виде
„ , Рах I Pibx p-ibx \
_ еах a (eibx + e~ibx) + ib (e~ibx - elbx') 2 a2 + b2
(л । A—ibx
a e 4- g
a2 + b2 * 2
___лах I d ________l „ । b
b е1Ьх _ e-lbx а2 + Ь2 ‘ 21
0^2 cos bx + a2lb2 sin Ьх) + С>
что совпадает с формулой, полученной в § 2.
Мы видим, что тригонометрические функции sin bx, cos bx являются комбинациями показательных функций с комплексными показателями. При вычислении интегралов поэтому можно пользоваться заменой тригонометрических функций показательными.
25 i
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
§ 6. Разложение алгебраических многочленов на множители
Алгебраическим многочленом (полиномом) п-й степени называется функция fn(z) комплексного переменного z вида
fn(z) = aoz', + ajz"-1 + ••• +an-iz + an, (6.1)
где «в •• •, Дп — произвольные комплексные числа и go=/=O. Комплексное число Ъ называется корнем многочлена fn(z), если jn(b)=0. Известно, что если ft —корень многочлена fn(z), то
fn(z) — (z — b)fn_t(z),
где fn_i(z)—некоторый полином степени п—1.
Согласно основной теореме алгебры любой многочлен fn(z) имеет ровно п корней. Некоторые из этих корней могут совпадать друг с другом; они называются кратными. Комплексное число b называется корнем многочлена fn(z) кратности а (а — целое положительное число), если
f„(z) = (z-*Hn-a(z) и
fn-a(^) ¥= 0.
Пусть Ь\, Ь2, ..., bk — корни полинома fn(z) соответственно кратности cq, аг, .... cth тогда
f„(z) = a0(z — bt)a' (z — b/2 ... (z — bk)ak (6-2) И
«1 + a2 + • • • + afe = n-
Представление fn(z) в виде (6.2) называется разложением fn(z) на множители. Для разложения полинома на множители необходимо знание всех его корней. Задача определения корней полинома — трудная задача и может быть решена для произвольных многочленов лишь приближенно.
Сравнивая (6.2) с формулой для производной f'n(z):
Г(2) = а,-^^- + а2-^^+ ... +ak-^^- =
=a0(z — &,)“* ‘ (z — fe2)“2 ‘ ... (z — b^ ‘ [a, (z—b2) ... (z—bk)+ +a2 (z-bi) (z—b-i)... (z-bk)+... +aft (z-6,) (z-b2)... (z-^.,)!, заключаем, что если ft/— корень многочлена fn(z) кратности a/> 1, то он является корнем многочлена f'n(z) кратности az — 1. Поэтому многочлен (z — fe|)a* 1 ... (z — 1 является общим
наибольшим делителем многочленов fn(z) и f'n(z).
§ 6] РАЗЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 257
Рассмотрим особо случай алгебраического многочлена fn(z) (6.1), когда его коэффициенты а0, •••, 0п— действительные
числа.
Докажем, что если комплексное число b=x-\-iy является корнем многочлена fn(z) с действительными коэффициентами, то и комплексно-сопряженное число Ь* = х— iy также является корнем полинома fn(z).
В самом деле, из равенства fn(b)=O следует, конечно, и равенство [fn(&)]*=0. Но если а0, 01, •••» — действительные
числа, то
[/„(&)]’ = ao(6-)" + а, (&’)"'+ ... + + =fn(b')= О,
что и требовалось доказать.
Из этого свойства многочленов с действительными коэффициентами мы легко выводим, что если b=x-\-iy — корень fn(z) кратности р и z/=/=0, то Ь*=х — iy — также корень fn(z) той же кратности р. Действительно, так как b — корень fn(z), то
(z) = (г-&)/„_, (г),
где fn-i(z) —некоторый многочлен степени п—1. Но согласно доказанному выше Ь* также корень fn(z). Поэтому
fn (z) = (z — b) (z) = (z — b) (z — b‘) fn^ (z) =
=[z2-(b + H z + W] fn-2 (z) == (z2 - 2xz + x2 + у2) f„_2 (z). • (6.3)
В равенстве (6.3) fn(z)— многочлен с действительными коэффициентами, (г2 — 2xz + Р|2) —квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Отсюда следует, что многочлен fn-2(z) также имеет действительные коэффициенты. Если р > 1, то b является корнем fn-2(z) кратности р — 1; на основании доказанного выше корнем этого же многочлена fn_2(z) является и Ь*. Повторяя наши рассуждения, мы приходим к выводу о том, что кратности корня b и сопряженного корня Ь* для полиномов с действительными коэффициентами совпадают.
Поэтому, если многочлен fn(z) имеет действительные коэффициенты, то он представляется в виде произведения
fn (z) = a0(z — xf' ... (z — x^ (z2 — 2ptz + qrfl ...
... (z2 — 2ptz + (6-4)
где X|, xft — действительные корни полинома fn(z) и аь ... ..., ah — соответственно их кратности, а р\ ± i У q} — р\ ...
•.. pi ± i Vqt — р2 — комплексно-сопряженные корни полинома Li(z) (pi и qi — действительные числа) и pz — соответ-
ственно кратности этих корней.
258
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ (ГЛ. VIII
Сравнивая степени левой и правой частей (6.4), получаем k i
2а/ + 22р/ = п- (6.5)
/«1 м
§ 7. Разложение рациональной дроби на простейшие
Рациональной дробью (а также и рациональной функцией) переменного z называется функция у (г) вида
’(г>—<7Л>
где Pm(z) и Qn(z) —произвольные алгебраические многочлены переменного z соответственно степеней тип.
Если т < л, то дробь (7.1) называется правильной; если же т п, то дробь называется неправильной.
Неправильная рациональная дробь (7.1) с помощью деления многочлена Pm(z) на Qn(z) представляется в виде
Рт — р (z\ 4. /7 2}
Qn(z) Qn{z} .
Здесь Pm-n(z)—некоторый полином степени m — n О, называемый целой частью дроби (7.1), a Rk(z) —остаток от деления Рт на Qn, степень которого не превосходит п — 1, т. е. k п — 1.
В отличие от числовых дробей, сумма любого числа произвольных правильных рациональных дробей будет правильной рациональной дробью.
Дробь (7.1) назовем несократимой, если наибольшим общим делителем полиномов Рт и Qn является полином нулевой степени, т. е. число. Если (7.1)—несократимая дробь и z=b— корень многочлена Qn(z), т. е. Qn(b)=O, то Рт(Ь)У=0.
Будем рассматривать правильные рациональные дроби (7.1), т. е. будем считать, что т < п.
Теорема 8.1. Пусть т < п,
Qn(z) = (z — b)aQn-a(z), Qn.a(b)^O (а>0). (7.3)
Тогда:
а) имеет место представление дроби (7.1)
Рт (*) А . Pi (z)
Qn(z) (z-b)a + (z-b)a-'Qn_a(z)' (7,4)
где A — постоянное (комплексное) число, a Pi(z)—некоторый полином степени не выше чем п — 2 (т. е. I п — 2), так что в правой части формулы (1А) стоит сумма правильных дробей;
б) если (7.1) — несократимая дробь, то 4=/=0;
§ 7] РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ 259
в) если Pm(z) и Qn(z)—полиномы с действительными коэффициентами и b — действительное число, то А — действительное число, а полином Pi(z) имеет действительные коэффициенты.
Доказательство, а) Для выполнения (7.4) необходимо, чтобы имело место тождество
А • Qn-a (z) + (z-b) Pt (z) = Pm (z).
Полагая здесь z=b, находим число A:
которое определено, ибо согласно условию теоремы Qn_a(6)y=0. После этого определяем Pi(z):
Pi (2) = Pm(z)-AQn-n(z) = f (7 6)
где
Ф(2) = РСТ(2)- 4Q„_a(z).
Так как
Ф (b) = Pm (b) - AQn-a (b) = Pm (b) - QP”^}b} • Q„_a (b) - О,
то полином Ф(2) делится без остатка на г — b и Pi(z) есть по-
лином, степень I которого не выше чем п — 2, так как
т^п—1, п — a^n—1.
Утверждение а) теоремы доказано.
б) Если дробь (7.1) несократимая, то Рт(Ь)=/=0 и согласно (7.5) Л=#0.
в) Если коэффициенты полиномов Рт(г) и Qn(z) —действительные числа и b — действительное число, то Рт(Ь) и Qn(6) — действительные числа. Поэтому согласно (7.5) А — действительное число, а согласно (7.6) Pi(z) —полином с действительными коэффициентами.
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть (7.1)—правильная дробь и
Qn (2) = (2 — 6,)“* (2 — й2)“2 ... (2 - (7.7)
Тогда имеет место представление правильной дроби (7.1) суммы простейших правильных дробей: W >11" 4" лу
Qn (г) (г - (г - + г - Ь,
+^L-+ + +^L
(г-Ь^ (г —Z>2)°1-1 ••• г-62
A\k} А^
(z — bi,)ak (г — 6A)a*-1
в виде
(7.8)
л 2 — ЬЬ
260 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
гдеЛ/°— некоторые (комплексные) числа, часть которых может оказаться равной нулю; но если дробь (7.1) несократимая, то числа Л}1), Л{2), ..., Л<*> отличны от нуля.
Действительно, представление (7.8) для правильной дроби
(7.1) следует из повторного применения предыдущей теоремы.
Следствие 2. Если Qn(z) == Qi(z)Qn-i(z) и полиномы Q/(z) и Qn_i(z) не имеют общих корней, то правильная дробь (7.1) представима в виде
Рт (z) __ Pk (z) . Ps (z) gv
Qn(z) Qdz)^ Qn~i(z)f
g. Pk (z) Ps(z) L. f 1
где дроби —— и -ZL-- также правильные, т. е. — I, Qi(z) Qn-i(z)
S — I — 1. г
Действительно, если Qi (г) = Ц (г — &/)Ч то, применяя /=1
. Рт (г)
к дроби -тг~Г\ доказанную теорему, получим
Чп \Z)
Pm(z) А(,'’ 4'* 4°
Qn(Z) — (2-6,)“' (z г-bl 'r
А(2' ( А<2) . ( А<[’ . Ps(z)
‘ ‘ ‘ + (z - &г)а’ + (г-&2)а’-‘ + • • • + г_Ьг + Qn_t(z) ‘
Приводя к общему знаменателю все члены правой части, кроме р" (z\
последнего получаем формулу (7.9).
Qn—l (z)
Заметим, что если известны все корни ..., bk полинома Qrt(z), то коэффициенты Л!0, Ло1), ..., Л^, ..., A\k\ ...» Л^ могут быть определены из равенства (7.8).
Приводя правую часть (7.8) к общему знаменателю, получим правильную дробь, знаменатель которой совпадает с Qn(z), а числитель представляет собой полином степени не выше чем k 2az—l=n—1 с коэффициентами, линейным образом зави-z=i
сящими от коэффициентов Л10, •A{ak- Приравнивая коэффициенты при степенях буквы z соответствующим коэффициентам полинома Pw(z), получим п уравнений, содержащих п неизйе-\
ибо число коэффициентов Л/° есть 2 az=nj. z=i /
Из этих уравнений однозначно определяются коэффициенты Л(11)..Ла^. Такой метод разложения дроби на простейшие
7] РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ 261
носит название метода неопределенных коэффициентов. Поясним его примером.
Пусть Qrt(z) = (z2—l)z = (z—l)z(z+l), Pm(z) — 1. Полагаем Pm(z) 1 __ Al , А2 | А3
Qn(z) (г-1)г(г+1) г-1 г г+1
_ (А, + А2 + Л3) г2 + (Ai - Л3) г - Л2
(г —1)г(г+1)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей этого равенства, получим три уравнения:
А^ + А2 + А3 = 0, Ai — Д3 = 0, —Д2==1*
Отсюда находим А2 = —1, Д1 = Д3 = -|-. Итак, 1 = 2. 1 _ 1 । _i_' 1
г (г2—1) 2 ’ г — 1 г "* 2 г + 1 *
Теорема 8.2. Пусть трехчлен z2-\-2pz-\-q имеет комплексносопряженные корни bub* (отсюда следует, что р, q — действительные числа) и пусть
Qrt (г) = (г2 + 2рг + ^)pQn_2p (г) (р>1),
Qrt-20 W 0» Qn-20 (6 ) #= 0.
Тогда:
а) для правильной дроби (7.1) имеет место представление Pm(z) Mz + N ______________________Pt(z)_______
Qn(z) (г2 + 2рг + ^ (г2 + 2pz + q)^[Qn^ (z) ’
где М и N — некоторые числа, а степень I многочлена Pi (z). не выше, чем п — 3 (1^п — 3)\
б) если Pm(b) =/= 0 и Pm(b') =/= 0, то М2 + N2 =/= 0;
в) если Pm(z) и Qn-2$(z) —полиномы с действительными коэффициентами, то М и N — действительные числа, a Pi(z) — полином с действительными коэффициентами.
Доказательство, а) Рассматривая равенство (7.10) как уравнение для определения М, N и Pi(z), получим
Qn-2р (?) (Mz + N) + (г2 + 2pz + q) Pt (г) = Pm (г). (7.11)
Сначала определяем М и N, полагая в (7.11) г= b и z = b*. Получаем систему двух уравнений:
Mb + N = Pm(b)/Qn^(b), Mb* + N = Pm(byQn^(b-),
262
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIH
из которых находим М и N:
М = 1 г _ Pm(b’) 1
& — L Q„_2p (6) Q„_2p(ft*)J
л/ — 1 г ЬРт(Ь>) _ Ь*Рт(Ь)1
b-b* LQn-2p(ft*) Qn-ifi(b) J*
(7.12>
Формулы (7.12) имеют смысл, так как Qn-2$(6) =#= О. Qn_2p(6*)¥=0 и b— b* = 2i Im b 0 (так как по предположению корни b и Ь* — мнимые числа).
Далее определяем Pi(z);
n. . Pm(z)-(Af2 + AT)Qn_2p(2) Фт(2)
P«<Z> =----------г- + 2рг + , + <7-13>
Здесь Фт(г) — Pm(z) — (Mz + N)Qn-2fi(z). Легко проверить,, что Фт(&) =Ф,П(&*) =0; поэтому формула (7.13) определяет полином, степень которого I гС п — 3, ибо т^п—1, п — 20 п — 2.
б) Если М = N = 0, то Рт(6) = Рт(Ь*) = 0, что противоречит условиям теоремы.
в) Если Pm(z) и Qn_2p(2)—полиномы с действительными коэффициентами, то, как мы видели в § 6,
[Pm (2)1 = Рщ (z )» [Qn-2р (z)l = Qn-2p (z )•
Из формул (7.12) имеем
м. = » ( _ ±Ж)Г_ U
(&-ftviQ;_2p(&) [Qn_2p (&*)]* >
______1 Г Pm (ft*) _ Pm (ft) 1 M
ft* - ft L Qn-2p (6‘) (Qn-2p(ft)J ’
д,. _ I f [ftPm(ft*)r [ft*Pm(ft)]’l (ft-ft*)*l [Q„_2p(ft*)J* [Qn-2p(ft)]*J
__ I Г ftPm(ft‘) ft’PmWlxr — ft - ft* L Qn-2p (&’) Qn-2p (ft) J
(7.14).
Итак, M* = M и N* = N. Поэтому числа M и N являются действительными, а из (7.13) следует, что полином Pi(z) также имеет в этом случае действительные коэффициенты. Теорема доказана.
Как следствие доказанных теорем имеем следующий важный вывод о представимости правильной дроби (7.1) с действительными коэффициентами в виде суммы простейших.
§ 7] РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ 263
Именно, если многочлен Pm(z) имеет действительные коэффициенты,
Qn (z) = (г - &,)“' ... (z — (z2 + 2pzz + qrf1 ...
... (z2 + 2ptz + qtf1, (7-15)
где pi, t/i, ...» рь qi — действительные числа, bit bk — различные действительные корни многочлена Qn(z), а трехчлены z2 + 2piZ + qi имеют комплексно-сопряженные корни (различные при разных г), то имеет место следующее разложение:
д№ Л^>
M^z + Л$>г + Afl> ,
(z2 + 2p!z + ?i)₽l z2 + 2p1z + <?,
M[l)z + z + Af’
••• +----------------₽? + + z2 + 2Pz + g > <7-16)
(z2 + 2pzz + 2 +2pzz + <7z
при этом все коэффициенты Л/’, Af(/\ Afz° являются действительными, причем некоторые из них могут оказаться равными нулю. Эти коэффициенты могут быть определены из равенства (7.16) после приведения правой части к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях z у полинома PTO(z) и числителя правой части.
Пример. Пусть дана дробь
2х2 + 2х + 13 (х — 2) (х2 + 1 )2'
Воспользуемся разложением (7.16):
2х2 + 2х + 13 _ А Вх + С Рх + Е (х - 2) (х2 + I)2 “ х - 2 + х2 + 1 + (х2 + I)2 ’
Приводя правую часть к общему знаменателю и опуская в левой и правой частях одинаковые знаменатели, получаем
2х2 + 2х+ 13 = Л(х2+ 1)2 + (Вх + С)(х2+ 1) (х — 2) + (Dx +£) (х — 2).
264
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Приравнивая коэффициенты из пяти уравнений:
X4
X3
X2
X1
х°
при одинаковых степенях х, приходим к системе
А + В = О,
-2В + С = О,
2 А + В - 2С + D = 2,
—2В + С - 2D + Е = 2,
Л-2С-2£ = 13,
откуда Л = 1, В = — 1, С = —2, D = —3, Е = —4, т. е.
2х2 + 2х + 13 1 х + 2 Зх + 4
(х2- 2)(х2+ I)2 х-2 х2+1 (х2+1)2‘
§ 8. Интегрирование рациональной дроби
Пусть теперь независимое переменное снова принимает лишь действительные значения. Поэтому мы будем обозначать его по-прежнему буквой х.
Будем рассматривать рациональные функции R (х) = \х\-
Qn (X) действительного переменного х, хотя коэффициенты полиномов Рт(х) и Qn(x) могут быть комплексными числами. Неправильная рациональная дробь (tn^ri) может быть представ-Qn (X)
лена в виде суммы полинома степени т — п и правильной рациональной дроби. Поскольку интегрирование- полиномов не встречает никаких затруднений, то мы рассмотрим лишь вопрос об интегрировании правильных рациональных дробей.
Теорема 8.3. Всякая рациональная дробь R (х) = \х\
Qn (х) интегрируется аналитически в элементарных функциях.
Практически интегрирование рациональной дроби становится возможным, если известны корни знаменателя-полинома Qn(x). Лишь в некоторых случаях рациональную дробь можно проинтегрировать аналитически, не зная корней знаменателя.
Доказательство. Как мы видели выше, достаточно рассмотреть случай правильной дроби, т. е. считать, что пг < п.
Согласно § 7 всякая правильная рациональная дробь пред-yi ,
ставляется суммой простейших дробей вида > где а Ь
а b — корень полинома Qn(x), являющийся, вообще говоря» комплексным числом. Поэтому неопределенный интеграл J R(x)dx состоит из комбинации интегралов вида
— = С + । ~ «-* ’ (*-*)а-‘ (8.1)
J (х-ь)а * |п|х-6| (а=1)
§ 8]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
265
Мы видим, что действительно, интеграл от всякой рациональной дроби выражается (в принципе, ибо нет алгоритмов для точного определения корней полиномов) через элементарные функции. Заметим, что для произвольной рациональной дроби константы Л/г) и корни bi представляют собой комплексные числа, поэтому по формуле (8.1) мы получим представление для J R(x)dx через комплексные (элементарные) функции действительного переменного х. Теорема доказана.
Если, однако, рациональная дробь R (х) = имеет действительные коэффициенты, то неопределенный интеграл J* R(x)dx есть F(x) + С, где F(x) —действительная функция переменного х, а С — произвольная (комплексная) постоянная. Действительно, если
j R (х) dx = F (х) + iG (х) + С, то F' (х) + IG' (х) = R (х).
Так как 1т/?(х) = 0, то G'(x) = 0 и G(x)=const. Поэтому для рациональной функции с действительными коэффициентами естественно получить представление первообразной через действительные (элементарные) функции.
Если
Qn (х) = (х — &,)“ ... (х — (х2 + 2ptx + q{fl ...
• • • (х2 + 2ptx + (8-2)
где 6i, ..., bk—различные действительные корни многочлена Qn(x), а трехчлены х2 + 2р;х + Qj имеют различные (при разных /) комплексно-сопряженные корни, то согласно § 7 имеет место представление (7.16) правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами в виде суммы простейших правильных дробей также с действительными коэффициентами.
Р (х)
Поэтому, применяя представление (7.16) для дроби с-, мы видим, что кроме интегралов вида (8.1) при интегрировании рациональной дроби встречаются также интегралы вида
Г Afx 4- У , J (х2 4- 2рх 4- q)$
(8-3)
где М, W, р, q — действительные числа и 0 — целое положительное число, а корни трехчленов х2 + 2рх + q — мнимые, т. е. Я ~~ р2 > 0.
266
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Покажем, как берутся интегралы вида (8.3) с помощью действительных функций переменного х *). Имеем
(Мх + N)dx = -^- (2х + 2р) dx + (N — Мр) dx =
= -у- d (х2 + 2рх + q) + (N — Мр) dx.
Поэтому
Г __Mx+_V__. _
J (x2 + 2px + q)^
= A f d(x2 + 2P* + ?) + (JV _ Мр) [-—-----g-. (8.4)
2 J (х2 + 2рх + q/ ’ J (х2 + 2рх + ?)Р
Если 0=1, ТО
f t г^о+^. \ dx=-^~ In (x2+2px+q)+(N—Мр) [г —
J (х2 + 2рх + q) 2 v г 1 ч/ 1 х г/ j
Л *+р\
М , , , . л । х N -Мр Г 1 а /
= -ln(x2 + 2px + ?) + ^-^J (х + ру =
= 4г In (х2 + 2рх + q) + -^y^-arctg^A с =
= V|п (х2 + 2рх 4- q) + arctg *_±2L + С (8.5)
2 V q — р2 V q — р2
(мы ввели обозначение а = У р — р2; р>р2). _____
Если же р>1, то положив t — x + p, а= ]/q — р2, имеем. из (8.4)
Г Мх + .
------------a-dx =
J (х2 + 2рх 4- <?)р
=-------------------1----5-г + (N - ^Р) f 7Т-^—в • (8-6)
2(0—1) (х2 + 2рх + <7)₽-‘ J «2 + а2)₽ ' '
Таким образом, для вычисления интеграла (8.3) нужно найти интеграл вида
J (/2 + а2)р
(8.7)
*) Выше мы видели, что интеграл от всякой рациональной дроби выражается через элементарные, но комплексные функции переменного х. Кроме того, неопределенный интеграл от действительной функции есть функция действительная. Следовательно, интеграл от рациональной функции с действительными коэффициентами выражается через действительные элементарные* функции.
§ 9]
ПРИЕМ ОСТРОГРАДСКОГО
267
при р>1. Имеем
Г dt \ Г (/24-fl2)-/2
J (/2 + а2)е а2 J (/2 + а2)р
____If dt________________1_ Г t 2tdt _
— а2 J (/2 + а2)Р-1 2а2 J (/2 + а2)Р —
_ 1 Г dt_________________1 Г d(t2 + a2) _
— а2 J (/2 + д2)₽-1 2а2 J (Z2 4-а2)р
____1_ Г dt_____________1_Г -<_____________I 1 Г dt
~'a2 J (/2 + а2)р_ 1 2а2 [ Р — I ' (Z2 + а2)₽-1 + 0 - 1 J (/2+а2)3-1
_ /2_____L_\ f____*.____+ J__________I___________!____ (
2a2 \ 0—1/J (C2 + a2)p-1 '2a2 0-1 (<2 + a2)p-‘ v
Мы произвели интегрирование по частям, полагая
и = /, dv
d(t2 + a2) (t2 + a2)0 ’
Полученная формула (8.8) выражает интеграл J 2)3 чеРез f-----dt ft-", . Так как f ——— = —arctg—+С, то эта формула
J (/2 + д2)3-1 J /2 4- a2 a a н j
Г dt позволяет рекуррентно вычислять интегралы J при
0 = 2, 3, ...
Итак, мы показали, что интеграл от рациональной дроби с действительными коэффициентами выражается через действительные элементарные функции.
Пример.
Зх* + 2х3 + Зх2 — I „ Г dx , f dx , (х-2)(х2+1)2 dx 3 J х-2 +2J +
+ f 7F+7y2 = 3 |п Iх - 2 I + 2 arc‘g - 2(^2 + 1) + C.
§ 9. Прием Остроградского
Как мы видели в § 8, интеграл от простейшей правильной Дроби _ pja при a > 1 есть снова правильная дробь (с точностью до постоянной), т. е.
dx _____ — 1
(х — b)a a — 1
_____________!_________________С
(9.1)
268
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
и лишь при а = 1 он не является рациональной дробью, а будет трансцендентной (логарифмической) функцией*).
Так как любая правильная рациональная дробь
QnM
А?
+ :—777т + •••
(x-bj) i
л(Л 1
х — bj
(9-2)
представляется в виде суммы простейших дробей (в общем случае с комплексными и 6/), то и интеграл от правильной дроби (9.2) будет содержать некоторую правильную рациональную дробь, которая называется рациональной частью интеграла.
М. В. Остроградский предложил остроумный метод определения рациональной части интеграла от рациональной дроби.
Существенной особенностью этого метода является то, что для выделения рациональной части интеграла не требуется знания корней полинома Qn(x). Изложим существо этого метода. Если проинтегрировать равенство (9.2), то получаем
QnM
dx =
k Г _ л(/) —л(/)_
= L (а/_1)(х_6/)ау-1+ • - +7^7+ Л^1П| X — &; | +С =
к Г в(/) в(/> 1 к
==S[(X_M«/-- + •• • +r=7}J + S Л“/1п| X-&/I + C. (9.3)
д(/)
В равенстве (9.3) . Первая сумма в правой
части (9.3), очевидно, и есть рациональная часть интеграла, так как вторая сумма есть сумма трансцендентных функций. Итак, рациональная часть R интеграла представляется, со-
гласно (9.3), в виде
‘ [ В(/>
___________ в?
(х — bj)ai~' "и (х — bj)ai~Z
в(/) %-
х — Ь/
• (9.4)
J=i
*) Трансцендентной функцией у = f(x) называется такая функция, для которой х и у не могут быть связаны алгебраической зависимостью вида м N
2 пХтУп = 0, где я™, п — некоторые числа. /л=0 п=0
§ 9]
ПРИЕМ ОСТРОГРАДСКОГО
269
Легко видеть, что если привести сумму (9.4) к общему знаменателю, то мы получим
п = Рг(х)
Qs{x}’ (9.5)
Qs(x) = (x ... (х
Многочлен Q8(x) содержит произведение множителей (хб/)0/-1, т. е. корнями Qs(x) являются все кратные корни многочлена Qn(x), а их кратность на единицу меньше, чем кратность корней многочлена Qn(x). Полином Рг(х) есть полином, степень которого r^s—1, а его коэффициенты выражаются через в¥} и 6/.
Мы видим, что так как
Qrt(x) = (x-61)ai ... (X-&J4 (9.6)
Qs (х) = (х - ... (х - b^~\ (9.7)
то полином Q.(x) является общим наибольшим делителем полинома Qn(x) и его производной
%(X) = (X - 6|at (» - 42) ... (X - 6,) + ...
... + а, (»-»,)(« — »г) ... (л - (9.8)
Поэтому полином Qs(x) определяется как общий наибольший делитель Qn(x) и Q' (х) Процесс нахождения общего наибольшего делителя двух многочленов является строго алгоритмическим процессом и сводится к последовательному делению многочлена на многочлен. Этот алгоритм носит название алгоритма Евклида (мы его здесь не излагаем *)).
С другой стороны, производная от второй суммы в правой части (9.3) (трансцендентной части Т интеграла) также есть сумма правильных дробей вида
/ k у k AU)
г= 2л{//)1п|х-&/| (9-9)
\/=1 ' м
и после приведения к общему знаменателю также является правильной рациоцальной дробью со знаменателем Qn-S =
= (х—6t) ... (х—6/t) таким, что Qn(x) = Q.s(x)Qn-8(x). (Очевидно, п — s = k.)
) А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, Изд-во «Наука», 1971, стр. 289.
270 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ (ГЛ. VIII
Поэтому мы можем записать:
Г РтМ PrM . f PlW <
j QnW Qs(x) J Qn-s(x) '
(9.10)
где полиномы Qs(x) и Qn_s(x) известны: Qs(x) есть наибольший общий делитель полиномов Qn(x) и Q'(х); Qn_s(x) есть частное от деления Qn(x) на Qs(x), а полиномы Рг(х) и Pi(x) суть некоторые полиномы, степени г и I которых удовлетворяют неравенствам г s — I, I п — s — 1
Записывая полиномы Рг(х) и Pi(x) в виде полиномов с неопределенными коэффициентами
Рг(х) = С,х^' + С2х^2+ ... +Cs_,x + Cs.
Pl(x) = Dixn-s-l + D2x^-2+ ... + D„_4_(x + D„_s
и дифференцируя (9.10), найдем
Pm (x) __ Г Pг (x) V j Pj (x) __
Qn(x) I Qs (x) J Qn—s (x)
_ p'r (x) Qs (x) - Q's(x)Pr (x) Pt(x) = + Qn-sM
Pr(*) r,„^ ! PlM
n , . [In Qs (*)] 4" т . .
Qs (x) Qn-s (*)
Q2S(*)
P'rM Qs(x)
(9.12)
Уравнение (9.12) служит для определения неизвестных Сь... ..., Сз> Qi» • • • > Qn—s-
Общим знаменателем правой части уравнения (9.12) будет полином Qn(x). В самом деле, fe ' k
(lnQs(x)]'= шДо-м“‘-' -2^=7*^-.
L i=i J /=i ГГ (х - ьл
где (х) —полином степени k—_1. Поэтому знаменателем дроби [lnQs(x)]' является полином Qn-S(x) и общий знаменатель правой части (9.12) есть
Qn {х) Qs (х) • Qn-s (х).
Числитель же представляет собой полином степени п—1, коэффициенты которого линейно выражаются через п «неопреде^ ленных коэффициентов» С|, ..., Cs, ..., Dn_s. Приравнивая коэффициенты числителя правой части коэффициентам полинома Лп(х), получим п уравнений, из которых определяются Ci,..., CSi D\,..., Dn-.s.
§ 10) ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНОЙ функции 271
Итак, метод Остроградского позволяет с помощью простого алгоритма вычислить рациональную часть интеграла от рациональной функции. Последняя (рациональная часть интеграла) существует лишь при наличии кратных корней у знаменателя Qn(x), поэтому прием Остроградского применим лишь в случае кратных корней.
§ 10. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональной функции
Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций после подходящей замены переменных сводится к интегрированию рациональной функции — задаче, которую мы рассмотрели выше достаточно подробно. Приведем примеры, когда это имеет место.
Договоримся через /?(х, у) обозначать функцию вида D (jc |Л
Q{xy)' где У} И — многочлены от переменны^ х
и у. Мы говорим, что Р(х, у) есть многочлен от х и у, если при фиксированном х он превращается в многочлен от у, а при фиксированном у — в многочлен от х. Такой многочлен представляется формулой
Р(х, y) = a00 + awx + amy + awx2 + allxy + a02y2+ ... + аОтут,
где ац — некоторые числа.
Р
Функцию R(x, у}= п. \ будем называть рациональной
Ч. у)
функцией двух переменных х и у.
1. Интегрирование д р о б н о - л и н е й н ы х иррациональностей.
Рассмотрим интегралы вида
Р(х, /
ах + 6 \ сх 4- d I
dx,
(10.1)
где R(x, у) — рациональная функция переменных х и
fc /--I
у =1/ Тт, a k — целое положительное число. у сх + d
/~~а /—b
Если ad — Ьс=О, то и=1/ — = 1/ -^- — постоянное число у с У d
и мы имеем дело с интегрированием рациональной функции одного переменного х — задачей, рассмотренной выше. Поэтому пусть ad — be =/= 0. Тогда вводим новое переменное t по формуле
ах 4- Ь __
сх + d
. .ь ах 4- b
y = i, Г = —Т7- х сх + d
__ Pd-b а — cP
272
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
Выразив л через переменное /, находим дифференциал dx:
hkd-b у dt = (ad-be) ktk~' \a — ctk )t (a — ctk)2
dt,
и подставляем полученные выражения для х, у и dx в интеграл (10.1):
R\x, У
ах + Ь сх 4- d
dx= J R
tkd — b\ a — ctk /
(ad—be) ktk 1
(a — ctk)2
dt. (Ю.2)
Согласно формулам замены переменных х есть рациональная функция переменного t. Рациональная функция от рациональной функции переменного t есть также рациональная функция этого переменного. Поэтому подынтегральное выражение в (10.2) есть рациональная функция переменного t. Как мы видели выше, такие интегралы вычисляются аналитически в элементарных функциях. Поэтому после вычисления интеграла (10.2) и обратной замены t через х мы получим выражение для интеграла (10.1) через элементарные функции.
Пример.
—dx. Полагаем t2 = ——- х = --*
х — I X — 1 * t2 — 1
2/(/2- D-2/-2/2 -2tdt „ Тогда dx =-------------dt = . Итак,
= Ух (х — 1) 4- у In
— 1 4- УТ
Ух — 1 — ут
+ с.
2. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Выражение хт(а + bxn)?dx с рациональными т, п, р называется биномиальным дифференциалом (а и b — любые действительные числа). Интеграл от биномиального дифференциала выражается через элементарные функции только *) в трех случаях. Мы укажем эти случаи и соответствующие подстановки, сводящие задачу к интегрированию рациональной функции.
а) Если р—целое число, то выражение х™ (а-}-Ьхп) р есть р _
рациональная функция от Ух, где q — общий знаменатель ра-
) Это доказал П. Л. Чебышев.
§ 10J ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 273
циональных чисел т и п. Поэтому подстановка х = ft
где q — наименьшее общее кратное знаменателей т и и, приводит к вычислению интеграла от рациональной функции *).
б) Если + 1 — целое число, то, полагая /=хп, будем иметь
J хт (а + bxn)p dx = J tq (а + bt)p dt [q = т + 1 — 1 j.
Согласно п. 1 этот последний интеграл, представляющий собой интеграл от дробно-линейной иррациональности, рационализируется подстановкой
zr = а + Ы = а + Ьхп, где г — знаменатель рационального числа р.
в) Если m +- + р — целое число, то полагаем i =
где г — знаменатель числа р, после чего приходим к интегралу от рациональной функции.
3. Интегрирование квадратичных иррациональностей.
Рациональную функцию /?(х, у), где у=У ах2 Ьх + с у
назовем квадратичной иррациональностью.
Если трехчлен ах2 + Ьх + с имеет кратный корень х==а, то ах2 + Ьх + с = а(х — а)2 и R (х, у) = R [х, Уа (х — а)], т. е. в этом случае мы имеем дело с рациональной функцией. Поэтому пусть ai и аг — различные, вообще говоря, комплексные корни трехчлена ах2 -J- Ьх + с, т. е.
ах2 + Ьх + с = а (х — а() (х — а2). Так как
у = /ах2 4- Йх + с = (х — а2) тЛ, У л и>2
ТО
R (х, j) = R [х, (х - = R (х, /.
где Й(х, г)—рациональная функция переменных х, г. Таким образом, интегрирование квадратичных иррациональностей подстановкой (вторая подстановка Эйлера)
х — а2
*) В этом случае, быть может, проще, применяя формулу бинома Нью-гона, проинтегрировать биномиальный дифференциал как сумму степенных Функций.
274 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VHI
сводится к интегрированию рациональной функции. Если а, Ь, с — действительные числа, a aj и «2—мнимые (комплексно-сопряженные) корни трехчлена ах2 + Ьх + с, то применяют другую подстановку:
t = ]/ах2 + Ьх-}- с + х /а
(первая подстановка Эйлера), которая также сводит задачу к интегрированию рациональной функции.
В самом деле, переменное х рационально выражается через /:
поэтому рационально через t выражаются также
dx = 2
12Уа + bt + с
&V^+b)2
dt
и
у = У ах2 + bx-j-с = t — х У а
t2Va + bi + с
2tVa + b
У а
Отметим, что существуют другие практические приемы интегрирования квадратичных иррациональностей, которые в ряде случаев приводят к более простым выкладкам, чем подстановки Эйлера.
4. Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование любой функции /?(sinx, cosx), рационально выражающейся через тригонометрические функции, сводится к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки / = tgy.
Тогда имеем
2/ ’-^7 1-/’
sinx =------Г=ТТП5_’ cosx =-------Z = TT^’
i + tg2y ,+z ’ + ^1 +
dx = d (2 arctg t) = ,
так что
J fl(sinx, cosx)dx = J* /? f R(t}dt,
где (f) — некоторая рациональная функция переменного t.
§ 11] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 275
11. Заключительные замечания
На этом мы заканчиваем изложение методов аналитического интегрирования функций. Отметим еще раз, что приведенные выше методы и приемы интегрирования далеко не исчерпывают всех классов функций, допускающих аналитическое интегрирование. Существует много различного рода приемов, остроумных подстановок, позволяющих аналитически вычислить интеграл от некоторых элементарных функций. Поэтому, если читатель встретится на практике с задачей аналитического интегрирования функции, которая не принадлежит к классам, указанным выше, то ему следует обратиться к справочникам, среди которых можно рекомендовать книгу Градштейна и Рыжика «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений».
Сделаем несколько общих замечаний.
1. Введение комплексных функций действительного переменного, правил дифференцирования и интегрирования этих функций позволяет получить для одного и того же интеграла несколько различных по форме представлений. Нужно, чтобы читатель понимал, что два выражения первообразной для одной и той же функции могут различаться лишь на некоторую постоянную, которая в случае использования комплексных функций может принимать комплексные значения.
Приведем некоторые примеры.
а) Интеграл J является табличным, и мы пишем:
J 1 + Х2 = arctg х + С. (11.1)
С другой стороны, X2 + 1 = (* + 0 (х — I),
1 = _£ Г 1________1 1
х2 4- 1 2 L х 4- / х — i J *
поэтому
/тТ^=И7Т7“И7^7 = т[1п(х + 1-)-1п(х-0] + С.
(Н-2)
Сравнение формул (11.1) и (11.2) приводит нас к выводу, что действительная функция arctg х и функция-у [In (х + г) — In (х —Z)] отличаются друг от друга на постоянную (возможно, комплексную) . Покажем это.
In (х + 0 = In /1 4-х2 +iarctg-T,
In (х — i) = In V1 + х2 — i arctg y .
276 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ (ГЛ. VI1Г
Поэтому
In (х + i) — ln(x — i) = 2tarctgу — 2i arcctgx = 2i (у — arctg xj.
Итак,
у [In (x 4- i) — ln(x — i)] == arctg x — у.
Мы видим, что действительно arctg х и у In отличаются друг от друга на постоянную величину.
б) J sin хdx = ——-cosх + С. (11.3)
С другой стороны, по формулам (4.3)
sin х = -у- (е1х — е~‘х), поэтому
Jsinxdx = yp J (e(v —e',x)dx = yT-(J etxdx— J e~lx dxj = =^(те"+те-“+с) = ^-<‘!"+е’"> + -&=
J* 4- P~ix
= - "У—+ C,. (11.4)
Мы снова видим, что согласно формулам Эйлера (4.3) выражения (11.3) и (11.4) совпадают с точностью до постоянного слагаемого.
Приведенные примеры подтверждают общее правило: при операциях дифференцирования и интегрирования можно пользоваться комплексными функциями действительного переменного х; при этом, конечно, мы всегда получаем правильный ответ. После проведения этих операций мы снова можем вернуться к действительным функциям переменного х, причем в случае операции интегрирования в ответе мы можем получить лишь «лишнюю» комплексную постоянную.
2. Наше второе замечание касается условности понятия элементарной функции и задачи аналитического интегрирования функций.
В самом деле, выделение некоторых функций' в разряд элементарных носит до некоторой степени условный, произвольный характер. Например, тригонометрическая функция sin х получила специальное обозначение и причислена к разряду элементарных. Для нее составлены подробные таблицы, а вычисление ее значений производится на основании ряда Тейлора
у.3 „5 2п +1
sin X = X — ур 4- 51 ...+(— 1) + + . . .
$ 11]
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
277
f sin х 1
-----dx = s\ х = х
J X
X
- • Г sin х 1
Функция si х = I —— ах не относится к разряду элемен-о тарных, хотя для нее составлены достаточно подробные таблицы, ее свойства хорошо изучены, а вычисление ее значений также можно проводить на основании ряда Тейлора для si х;
х3 . х5 х7 .
"" 3! 3 + 5! 5 7! 7 ’ ’ ’ ’ ’
о
который сходится даже быстрее, чем ряд для sin х.
Таким образом, выбор некоторых классов функций в качестве элементарных носит условный характер, хотя этот выбор в значительной мере связан с развитием математики, особенно ее аналитических методов.
Естественно, что и задача аналитического интегрирования, как задача выражения первообразной от некоторой элементарной функции f(x) через суперпозицию других элементарных функций, носит в той же степени условный характер. Приведен-х
ный выше пример для si х= j* -S1”x- dx показывает, что, хотя о
этот интеграл и не выражается через элементарные функции, тем не менее его вычисление от этого не становится более сложным.
Вообще заметим, что нахождение неопределенного интеграла J f(x)dx при х е [а, &] эквивалентно определению какой-либо-X
первообразной для f(x) на [а, Ь], например J f(x)dx при а х
хе [а, Ь]. При вычислении интегралов J f(x)dx можно приме-а
нять самые различные методы, как-то: представление f(x) в виде ряда Тейлора и почленное интегрирование этого ряда (см. гл. XI, § 5), применение приближенных методов интегриро-х
вания и табулирование функции F(x) = J f(x)dx (см. гл. VII, а
§ 12), решение дифференциального уравнения F'(x)=f(x) разностными методами и др.
Таким образом, задача интегрирования (определение первообразной и нахождение определенного интеграла) отнюдь не
278 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ [ГЛ. VIII
исчерпывается аналитическими методами интегрирования. Эту задачу следует рассматривать шире и применять для ее решения другие указанные выше способы. В настоящее время, особенно в связи с развитием быстродействующей вычислительной техники, задачу интегрирования можно считать элементарной операцией, с которой машины справляются порой даже более легко, чем с задачей вычисления значений функции по формулам, содержащим «элементарные функции». Однако в теоретических исследованиях часто бывает важно получить хотя бы приближенные аналитические представления интегралов.
Глава IX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Длина отрезка плоской и пространственной кривых
1. Понятие непрерывной кривой. Множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнениям
x = q>(t), 1/ = ф(0; ф(0, ф(/)ё=со{[а, Р]} (1.1)
кривая с самопересечением
Рис. 28.
при / е [а, р], будем называть непрерывной кривой, а переменное t — параметром этой кривой.
Вообще говоря, непрерывные функции ф(/), ф(/) могут определять такое множество точек М(х,у), которое не будет соответствовать нашим обычным представлениям о кривой на плоскости. Например, если ф(/) и ф(/) постоянны на [а, р], то (1.1) определяет лишь одну точку; «кривая», задаваемая уравнениями (1.1), может заполнять целую область переменных х, у\ отдельные участки кривой (1.1) при различных значениях параметра t могут совпадать друг с другом и т. д.
Для того чтобы множество, заданное формулами (1.1), соответствовало нашим интуитивным представлениям о кривой, мы потребуем, чтобы разным значениям парамет
ра t соответствовали разные точки плоскости (х, у), т. е. чтобы при ti^t2
[<Р (О - Ф О2 + fo (/>) - Ф (*2)]2 ¥= 0.
Это условие исключает возможность самопересечения кривой. Можно, однако, допустить, чтобы это условие нарушалось в конечном числе точек; тогда кривая (1.1) может иметь конечное число самопересечений (рис. 28).
280 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IX
2. Длина отрезка плоской кривой. Основным понятием в теории кривых является понятие длины отрезка кривой (1.1) при а t р. Введем это понятие.
Определение. Пусть <р(/), ф(/)еС0{[а, р]} и число точек самопересечения кривой (1.1) является конечным. Выберем точки /о, Л, • •., tn отрезка [а, р] (а = tQ < t\ < ... < tn = Р) и соответствующие им точки кривой (1.1) Мо, Afh ..., Мп, где M! = Mi((p(/1), ф(/г)). Соединив точки и М1+1 при i = 0, 1, ... .. ., п — 1 отрезками прямых, мы получим ломаную MoMi ... ..., Мп, которую будем называть вписанной в кривую (1.1).
Если существует предел I длины ломаной M0Mi ... Мп при А/ = max(/t+i — /г)->0, то он называется длиной отрезка i
а^/^Р кривой (1.1), а кривая (1.1) называется спрямляемой*).
Расстояние между точками Мг (хг-, г/г) и Мг+1 (хг+ь г/г+i) дается формулой
p(Mt, Mt+t) = /(х(+1 — хг)2 4- (yi+t — у()2-,
поэтому длина ломаной M0Mi ... Мп есть величина
п—I
цм0, м......м„)=2 /[<ра/+1)-ф(/а]2+[м>(^+1)-1|>ш
i—Q
(1-2)
Теорема 9.1. Пусть <р(0, ф(/)е Ci{(a, 0)}. Тогда кривая (1.1) спрямляема на [а, 0], а ее длина I дается формулой
В _____________
/= J/<p'2(0 + t'2(0^. (1.3)
а
Доказательство. Так как ср(0, ф(/)е Ci{(a, р)}, то согласно формуле конечных приращений Лагранжа найдутся ТОЧКИ Тг e(/j, ti+\) И Т* S (/р + ТЗКИе, ЧТО
Ф (<z+i) — ф(^) = Ф' (Tz) (*z+i — h) = ф' (tz) ^z.
t (*Z+1) - * (О = «) ('z+i - Q = (Tz) Ч-
*) Более общее определение длины отрезка кривой таково: если существует точная верхняя грань I длин ломаных, вписанных в кривую (1.1) на отрезке а t р, то это число I называется длиной отрезка кривой, а сама кривая (1.1)—спрямляемой.
Для наших целей достаточно, однако, менее общего определения длины отрезка кривой, так как для изучаемого ниже класса дифференцируемых кривых эти определения эквивалентны.
§ п
ДЛИНА ОТРЕЗКА ПЛОСКОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВЫХ
281
Следовательно,
У[ф (/<+,) - ф (Q]2 + [Ф (*/+I) ~ Ф (Mf = V ф'2 (*<) + ф/2«).
(1-4)
Имеем следующее неравенство:
| У а2 + &2 - Va24-6*’|<| b(1.5)
Поэтому из (1.5) следует оценка
I / ф/2 (т/) +ф'2 (О - / ф'2 (т<) + ф'2 (l) I < | Ф' (т<) - Ф' (<) | < ®,.г (i.6> где со, — колебание функции ф'(т) на отрезке 6^т^//+1.
Из (1.6) имеем дальнейшую оценку:
п— 1 ______________________________________
2 Иф (6+1) - ф (G)]2 + [ф (G+1) - Ф (Л)]2 -/==0
п — 1_________
— 2 мр'2 (*/) + ф'2 (*/) м{ х==0
n-1___________________________________________________
S М( (/ ф'2(т.) + ф'2 (tJ) - V ф'2 (т,) + ф'2(т,))
< 2 Ml I ф'2 (т;) + Ф'2 «) — |Лф'2 (т,) + ф/2 (т;) | <
п—1 п—1
< 2 Mt | ф' (т,) - ф' «) | < 2 Mtat.
(1.7)
Ввиду непрерывности функций ф'(/) и ф'(/) существует интеграл (1.3) и функция ф'(/) интегрируема. Поэтому существует предел интегральных сумм
л-1 ______________
2 м{ Vф'2 (т,) + ф'2 (т;) /=0
п — 1
при A/ = maxAG-*0 и lim 2®/д^ = 0> так как Для функции М->0 i=0
ф'(/) выполнено необходимое условие интегрируемости (см. гл. VII, §4).
*) Действительно, (1.5) следует из преобразований
I Ka2 + Z>2 - Уаг + Ь'21 =
|Ь2 —6,2| < |b-dt|(l»l + |fr,|) _
/а2 + Ь2 + У а2 + Ь,г "" । h । + । h" ।
282 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IX
Переходя в неравенстве (1.7) к пределу при Д/—► О, получаем, что существует предел длин ломаных М0М] ... Мп при At —► 0 и он совпадает с интегралом (1.3). Теорема доказана.
3. Дифференциал длины кривой. Обозначим через s(t) длину отрезка а т t кривой (1.1) (/ 0) Согласно предыду-
щей теореме для случая фЛ' е Ci{(a, ₽)} имеем формулу
t _______________
V<p'3(T) + ^\r)dr (1.8)
а
и формулу для дифференциала ds длины кривой
ds = /<p'2(0 + t'2(0 dt = Vx'2(/) + /2 (0 dt = У dx2 + dy2. (1.9)
Если в качестве параметра t выбрано переменное t=x, то уравнение кривой задается в виде
y = f(x). (1.10)
В этом случае, если f(x)eCi{(a, b)}, то по формуле (1.3) для длины отрезка а^х^Ь кривой (1.10) получаем
ь
Vl + [f'(x)]2dx. (1.11)
а
В качестве параметра t можно выбрать также длину дуги кривой s, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки Мо кривой. Такой параметр s называется натуральным.
В этом случае уравнения (1.1) записываются в виде
x = x(s), y = y(s)
и, согласно (1.9),
ds = Vх'2 (<$) + у'2 (s) ds. так что
Ш + 0>2)
Это условие позволяет проверять, является ли параметр t натуральным: если х' (/) + //' (0=1, т0 t — натуральный параметр.
4. Длина отрезка пространственной кривой. Совершенно аналогично вводится понятие длины отрезка а t 0 пространственной кривой, задаваемой тремя уравнениями
*=<р(0, # = Ф(0> з = х(0 (ЫЗ)
§ 2] ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 28$
с непрерывно дифференцируемыми функциями <р(/), ф(/), х(0-Кривая (1.13) в этом случае спрямляема, а ее длина задается формулой
Р _____________________
i= J /ф'2(0 + Ф'2(0 + х'2(0^. (1-14)
а
Если в качестве параметра пространственной кривой выбирается ее длина $, отсчитываемая от какой-либо ее точки, то уравнения (1.13) принимают вид
x = x(s), y = y(s)t z = z(s), (1.15)
и тогда
x,2(s) + /(s) + 2'2(s)=1. (1.16)
§ 2. Вектор-функция. Производная и интеграл от вектор-функции
1. Понятие вектор-функции. Совокупность из п действительных функций f\ (/),..., fn(t) действительного переменного t мы называем вектор-функцией переменного t и обозначаем одной буквой f(t), так что f(t)={f\(t),...,fn(t)}.
В случае п=3 мы будем иногда вектор-функцию обозначать буквой r(t)={x(t), y(t), z(t)}, а под х, yt z понимать декартовы координаты точки, положение которой изменяется вместе с переменной t.
Например, уравнения (1.13) пространственной кривой можно записать также в виде
r = r(0 = {x(0, y(t), z(t)}, (2.1)
а уравнения плоской кривой (1.1)—в виде
p = p(f) = {x(0, y(t)}. (2.2)
Под длиной (или нормой) вектора .... fn} мы будем понимать величину
\f\=Vfz+ ... +Рп. (2.3)
Суммой и разностью вектор-функций f(t) и g(t) называются функции f(t)± g(0={h(0± gi(0.........fn(0±gn(0)-
Произведением вектор-функции f(t) на число а называется вектор-функция af (/) = {af\ (/), ..., afn(t)}.
Пределом вектор-функции f(t) при /->/0 называется такой постоянный вектор /°» что
lim |/(0-/° 1 = 0. (2.4)
284
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
[ГЛ. IX
Если это равенство имеет место, то мы пишем limf(0 = f°. (2.5)
t -> to
Из (2.3) следует, что если /°=[^, f», .... f»} есть предел f(t) при t-+t0, то
lim —f?]2 + [f2(0 —f“]2+ ••• +[M0-f°J2 = 0.
Из этой формулы видно, что векторное равенство (2.5) равносильно п скалярным равенствам
limf,(0 = f?. limf2(n = f°... limf (0 = f®.
/-»/0 t-*h
В частности, при n = 3 равенство lim r(t) — r0 — {x0, y0, z0} t-^to
означает следующее:
limx(0 = xo, lim j/(0 = ^o, limz(/) = z0. /->fo t-^to t-^t^
Вектор-функция f(t) называется непрерывной в точке /0» если существует предел f(t) при /->/0 и
limf(O = f(/o). t -> to
Легко видеть, что для непрерывности f(t) в точке tQ необходима и достаточна непрерывность в точке t0 функций fi (/),..., fn (/).
2. Дифференцирование и интегрирование вектор-функции.
Если в точке t=tQ существует предел
lim + ВД=
At->Q
= Ит Г fi (/о + АО-fi (/о) . . . fn(/o + A/)-fn(/o)-|
то этот предел называется производной от вектор-функции f(t), а вектор-функция f(t) называется дифференцируемой в точке t0, и мы пишем, что
ГШ = lim + ||т (ад
ДГ-»О Ы д/-»о
Для дифференцируемости f(t) необходима и достаточна дифференцируемость всех компонент вектора f(t): fi(f),...
при этом f(o={f;(o..........................му (2.7)
ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
285
§ 2]
Если вектор-функция f(t) имеет в точке t производную
то мы пишем равенство
df(t) = f'(t)dt
и называем символ df (/) ={dfi,..., dfn} первым дифференциалом f(t). Если f(t) дифференцируема на множестве А переменного /, то мы пишем
Пусть на интервале (а, 0) переменного t задана вектор-функция g(t). Вектор-функция f(t) называется первообразной для Я(0 на (а, 0), если 0)} и f'(t)=g(t).
Аналогично случаю одной (скалярной) функции введем два определения определенного интеграла. Если f(t)—первообразная для g(t) на (а, 0), то приращение
Ца, b) = f(b) — f(a)
первообразной f(t) на отрезке [a, fe]cz:(a, 0) мы называем определенным интегралом от g(t) на [а, Ь] и обозначаем символом
ь
J g(t)dt = f(b) — f(a). (2.8)
а
Из (2.7) следует, что
Ь ( b by
$g(t)dt = .... jgn(t)dt . (2.9)
a ' a a '
Интегралом Римана от вектор-функции g(t) на отрезке [a, 6] назовем предел
Ъ п-1
tl ^^4-!,
интегральных сумм (если он существует). Предел (2.10) понимается в том же смысле, как и в § 2 гл. VII.
Мы видим, что формула (2.9) имеет место и в том случае, когда в левой и правой ее частях стоят интегралы Римана.
3. Формула Тейлора для вектор-функции. Пусть
£M(a, 0)}. Заменив букву b в тождестве (2.8) на /, а t на т, запишем его в виде
t
+ J Г (г) dr. (2.11)
286 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА (ГЛ. IX
Тогда, полагая и(х) =f'(x), w(t) = t — т и применяя формулу интегрирования по частям, будем иметь
t t
f (/) — f (a) = J f' (?) dx = — J и (?) dv (?) == a a
t
= — [«(?) v (т)]д + J tt' (?) о (?) dx == a t
= f(a)(t-a) + $f"(x)(t-x)dx.
a
Проинтегрировав последнее выражение по частям еще п — 2 раза, получим формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:
= + + ...
... + /(п-,)И (а> Z)’ (2-12>
t
Rn(а, 0 = JfW(т)dx. (2.13>
а
Таким образом, мы видим, что в случае вектор-функции формула Тейлора имеет тот же вид, что и в случае скалярной функции. При сделанных предположениях интегрирование по частям возможно и сводится к интегрированию по частям каждой компоненты вектора /(/)•
Равенство (2.12) так же, как и в случае скалярной функции, представляет собой тождество, справедливое при любых /(О <= Dn {(а, ₽)}, a, t е (а, р).
4. Неприменимость формулы Лагранжа к вектор-функции-Вообще введение вектор-функции не вносит существенно новых понятий, а позволяет лишь более кратко записывать известные о системе из п функций факты. Конечно, это тоже очень важно и позволяет легко обозреть эти факты.
Основные правила математического анализа, установленные нами для случая скалярных функций, легко переносятся (как правило, без изменений) и на случай вектор-функций. Существенным отличием вектор-функций от скалярных является, однако, то обстоятельство, что значения вектор-функции /(/) в общем случае уже не составляют упорядоченного множества. По этой причине некоторые теоремы, справедливые для скалярных функций, не имеют аналога для вектор-функций. Напри
§ 21 ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 287
мер, теорема о промежуточном значении для непрерывной скалярной функции f(t) не имеет аналога для вектор-функций, ибо не определено, какой вектор является «промежуточным» между а и Ь.
Не имеют аналога для вектор-функций формула среднего значения для интегралов от непрерывной функции (гл. VI, VII) и соответственно формула конечных приращений Лагранжа для дифференцируемых функций. Причина этого состоит в том, что хотя для каждой компоненты gi(t) вектора g(t) е С0{(а, Ь)} точка gte(a, b), в которой выполнено равенство
ь
/ gi (О dt = gl (lt) (b - а)-, ь е (а, Ь), (2.14)
а
существует, но эти точки различны для разных компонент и, вообще говоря, не существует точки £ е (а, Ь) такой, что g(g) = gn(En)}- По этим же причинам не имеет
аналога для вектор-функций и формула конечных приращений Лагранжа.
В связи с этим (в общем случае) не существует точки § такой, чтобы остаточный член /?п(а,/) формулы Тейлора (2.13) допускал представление в форме Лагранжа.
5. Механический и геометрический смысл производной от вектор-функции. Пусть кривую в пространстве задает уравнение
г = г(0 (2.15)
с вектор-функцией r(t) е Ci{[a, £]}. Тогда формула (1.3) для длины кривой записывается в виде
1= j\r'(t)\dt. a
Согласно определению производной вектор • совпадает по направлению с предельным положением секущей М0М кривой (2.15) при М -► А1о, т. е. вектор имеет направление касательной к кривой в данной точке г = г(/0). Таким образом век-dr ,
тор — есть касательный вектор.
Если же под t подразумевать время и считать, что вектор r(t) определяет положение движущейся точки в пространстве,
Дг . , dr
то есть средняя скорость точки за время Д/, а ——мгновенная скорость точки. Таким образом, величина представ
288
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
[ГЛ. IX
ляет собой вектор скорости точки, имеющей закон движения г = r(t).
Рассмотрим несколько простых примеров.
Пусть точка движется вдоль прямой линии в направлении вектора / = {/ь/2,/з). Тогда ее положение может быть задано формулой
г = r0 + Z<p (/), где <р(/) —некоторая скалярная функция, и пусть ф(/) дифференцируема. Тогда -^- = /0/ (/) и вектор скорости коллинеарен вектору г — Го, т. е. смещению точки за время t.
Пусть теперь точка находится на поверхности сферы радиуса R и перемещается по ней по некоторому заданному закону
r = r(t)f=Cl {[а, р]}, | г (0 | = /? = const.
Тогда векторы r(t) и ортогональны.
В самом деле, имеем
| г (/) |2 = х2 (/) + У2 (0 + z2 (/) = R2 = const. Отсюда
2 [х' (/) х (/) + у' (0 у (/) + г' (0 г (/)] = 2 • г (/) = 0.
Покажем также, что если кривая задана уравнением r = r(s),
где s — натуральный параметр (т. е. длина кривой, отсчитываемая от некоторой ее точки), то |-^|=1, т. е. вектор •— единичный касательный вектор.
В самом деле,
— = f— d* 1 I —| = _|/Г/ ^*\2 । (&У\2 . / dz\2 ds~~\ ds9 ds9 ds j9 I ds |— V \ds) ’
Ho
§ 3. Кривизна плоской кривой
1. Понятие кривизны. Пусть задана плоская кривая
P = p(0 = {*(0, y{t)} (3.1)
при t G [а, р]. Пусть р (/) е Ci {[а, р]}; тогда формула
s(0= / 1Р'(т)|^т (3.2)
§ 3]
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
289
каждой точке t е {а, 0] кривой (3.1) ставит в соответствие длину кривой $(/), отсчитываемую от точки М0(х(а), у (а)).
Если при /е[а, 0] | р' (/) | =/= 0, то функция s = s (/) —строго монотонная и поэтому существует обратная функция t = t(s)
при se[0, /], где /= | р' (т) | dx, и при этом*)
а
f(s)=_b = . I =________!____
1 ; s'(t) |р'(/)| |PW))I
(3.3)
(см. § 10 гл. V). Из формул для старших производных обратной функции / = /($)
<4 1 1 ।___________ipz«)г
w dt Ls'ioJ s’(t) ~ ।P'(op ’
...
следует, что если | р' (/) | =/= 0 и р (/) е= Dn {[а, 0]}, то и обратная функция t (s) е Dn {[0, /]}.
Пусть теперь р (/) е £>2 {[а, £]} и | р' (/) | =/= 0 при t е [а, 0].
Согласно предыдущему параметр t является некоторой функцией натурального параметра $; поэтому можно считать, что уравнения кривой заданы в виде
p = p(s) = {x(s), y(s)}, х2(s) + z/2(«) = 1, 1
p(S)eD2{[0, /]}. J (3’4)
Производные по натуральному параметру s мы обозначаем точками над соответствующими буквами, чтобы отличить их от производных по произвольному параметру.
В каждой точке s кривой (3.4) определим единичный касательный вектор t(s) ==p(s). Обозначим через <р($) угол, образуемый касательным вектором т($) = {x(s), y(s)} с каким-либо постоянным вектором, например вектором i= (1,0).
Определение. Производная ф (s) = k(s) называется кривизной плоской кривой (3.4) в точке $; величина = называется радиусом кривизны этой кривой в точке s.
2. Формулы для вычисления кривизны. Выведем формулы для вычисления кривизны k(s).
Так как вектор t(s) = р (s) = {x(s), y(s)} — единичный согласно условию (3.4), то угол <р($) между вектором т и вектором i = {1,0} определяется условиями
x(s) = cos(p(s), i/(s) = sinqp(s). (3.5)
) Точки кривой (3.1), в которых |р'(/) | = 0, называются особыми»
290 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IX
Дифференцируя формулы (3.5) по натуральному параметру s, получаем
— ф (s) sin ф ($) = х ($), ф (s) cos ф ($) = у ($).
Умножая первое уравнение на —зтф($) =—у($), второе на cos ф($) =х($) и, складывая результаты умножения, получаем
k (s) = Ф (s) = X (s) у (s) — у (s) X (s) (3.6)
— формулу для вычисления кривизны А($).
Единичный вектор п = {—z/(s), i(s)} ортогонален касательному вектору т = р($) и называется нормалью к плоской кривой в точке $.
Заметим, что формула (3.6) для кривизны k(s) может быть записана в виде
/ф) = л($)р($). (3.6')
Так как вектор нормали n(s) ортогонален касательному вектору t(s), а вектор р($) ортогонален вектору r(s)=p(s) (как производная вектора постоянной длины), то векторы n(s) и р($) коллинеарны. Поэтому из (3.6) следует, что
|/ф)1 = |р(*)|.
Формула (3.6) дает возможность вычисления кривизны k(s)t если уравнения кривой заданы как функции натурального параметра s. Для того чтобы вычислить кривизну k(t) кривой (3.1), заданной с помощью произвольного параметра /, перейдем от дифференцирования по s к дифференцированию по tt предполагая, что |р'(/)| = 0. Тогда, согласно (3.3),
x(s) = dx dx ~ds~~dt dt ds dx 1 ' f A 1 dt 1/(01 1/(01’
У («) = dy dy ds dt dt ds dy 1 , > v 1 — dt 1/(01 ~y W 1/(01’ (3.7)
*(«) = dt _ ds 1/(01’ x 1 1/(01 x (/) d 1 dt |/(0l’
y(s) = dt . ds |/(0|2 y 1 1/(01 y d 1 dt 1/(01 •
Подставляя эти выражения для х, у, х, у в (3.6), получаем < /а __ * (0 (0 - / (О (0 _ х' (О у" (0 “ / (0 х" (0 (ъ а\ Я (0 ------ 1п'ГА“|3 Г .2...2 .
|р,(/)|э [Ao+zW’
Для радиуса кривизны R мы, таким образом, получаем формулу
Р _ [х,г (0 + ул (оГ к — I/(0/'(0-/(0*" (01
(3.9)
(3.10)
§ 3] КРИВИЗНА плоской КРИВОЙ 291
3. Геометрический смысл кривизны. Для иллюстрации геометрического смысла кривизны и радиуса кривизны заметим, что в случае прямой линии k = 0 (/? = оо), в случае окружности |Л| = -б" (Я — радиус окружности). Для дальнейшей ил-к люстрации геометрического смысла понятия кривизны плоской кривой введем понятие соприкосновения двух плоских кривых.
Пусть заданы две кривые p = pi(s) = {x,(s), yt(s)} и р = p2(s) = {x2(s), z/2(s)}, где s— натуральный параметр каждой из этих двух кривых. Пусть pi(s), p2(s) е Dn {[а, 0]} и п 1.
Будем говорить, что кривые p = Pi(s) и p = p2(s) имеют в точке М (хо> Уо) соприкосновение или касание порядка не ниже чем п, если выполнены следующие условия:
Pi ($|) = Р2 («г) == {*о. Уо),
| р! ($! + As) — р2 ($2 + As) I = О ( I As Г).
Если Pi (s), p2(s) еС„{(а, Р)}, sb s2e(a, Р), то по формуле Тейлора
р, (s, + As) =
= Pi (*i) + Pi (si)As + Pi (si) + • • • + Р(1я) (si) 7Г + ' «1 (si’ As).
p2(s2 +As) =
= P2 (S2) + P2 (S2) As + P2 (s2) IT + • • • + Р2Л) (S2) 7Г + As" • a2 (S2> As)>
где ai (si, As) -> 0, a2 (s2, As) -> 0, при As -> 0.
Вычитая эти формулы одну из другой, видим, что для соприкосновения двух кривых Pi(s), p2(s) е Сп порядка не меньше чем п необходимо и достаточно, чтобы
Pi (si) = Р2 (s2)> Pi (si) = Р2 (*2)« • • • > Р(я) (*1) = РУ” &)•
Отсюда, в частности, следует, что для того, чтобы две кривые р = р1($)) р = р2($) имели соприкосновение второго порядка в точке А1о, необходимо и достаточно, чтобы обе они проходили через точку Мо, имели бы в этой точке общую касательную и совпадающую кривизну k (включая знак кривизны).
В самом деле, условие прохождения через точку А40 означает, что pi(sj) = p2(s2). Пусть две кривые имеют общую касательную. Так как |Pi(si)| = | р2($г)| = 1, то Pi(st) = p2(s2)=r; поэтому совпадают также векторы нормали ni(si) и n2(s2). На основании формулы (3.6Z) совпадение кривизны означает, что Pl(Si) = p2(s2).
292
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
[ГЛ. IX
Рис. 29.
Итак, мы можем сделать следующее заключение о геометрическом смысле кривизны k = ф($) плоской кривой р = р ($). Если через точку (x(s), y(s)) кривой провести прямую, имеющую направление нормали n(s) (рис. 29), отложить от этой точки на этой прямой расстояние R = 1/1Л(s) | (в сторону вогнутости кривой) и из полученной таким образом точки (центр кривизны) провести окружность радиуса R (соприкасающаяся окружность), то эта окружность в точке (x(s), y(s)) будет иметь с кривой p = p(s) соприкосновение не ниже второго порядка.
В самом деле, эта окружность по построению проходит через точку Af(x(s), i/(s)), ортогональна в этой точке нормали n(s) и,
О
следовательно, имеет тот же касательный вектор, что и кривая p = p(s). Так как кривизна этой окружности есть k=n(s) р (s) = A(s), то совпадают и кривизны этой окружности и кривой. Поэтому на основании сказанного выше эта окружность имеет с кривой р = р($) соприкосновение не ниже второго порядка.
§ 4. Дифференциальные характеристики пространственной кривой
1. Кривизна кривой. Сопровождающий репер. Пусть г = = {*, У> 2) и нам задано уравнение пространственной кривой
r = r(s), (4.1)
где s — натуральный параметр, т. е. длина дуги кривой (4.1), отсчитываемая от некоторой точки г(0) этой кривой.
Векторное уравнение (4.1) содержит три скалярных уравнения: x = x(s), y = y(s), z = z(s), а так как s— длина дуги кривой (4.1), то x2(s) + y2(s) -|- z2(s) = 1, т. е.
|r(s)l=l. (4.2)
Предположим, что г($) ^С*4 {[0, /]}. Согласно § 2 для r(s) имеет место формула Тейлора (2.12), которую мы запишем в виде
Г (S) - г (s0) = ф0) + Г (So) +
+ Г (So) -Цг^ + *4 (8, SO), (4.3)
§ 4] ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 293
где
(S, So) = J Г (Т) dr. (4.4)
So
Тождество (4.3) имеет место при $, $о е [0, /].
Проведем изучение поведения кривой (4.1) в окрестности точки $ = So, опираясь на формулу Тейлора (4.3). Согласно условию (4.2) касательный вектор r(s) = r(s) имеет постоянную длину, равную 1. Поэтому производная т($) = г($) от этого вектора есть вектор, ортогональный касательному вектору т($). (В самом деле, так как г2=т2=1, то (т2)*=0, т. е. 2т-т= = т«г=0.) Пусть |r(s) | #=0. Плоскость, в которой лежат точка r=r(s) и проведенные через нее векторы r(s)=r(s) и т($) = = г($), называется соприкасающейся плоскостью для кривой (4.1) в этой точке *).
Из формулы (4.3) мы заключаем, что точки кривой (4.1) отстоят от соприкасающейся плоскости, проведенной через точку s = s0 кривой (4.1), на расстоянии порядка o(s — s0)2. Итак, длина дуги кривой от точки s0 до точки $ есть $ — $0, а расстояние от точки $ кривой до соприкасающейся плоскости есть величина не ниже третьего порядка малости относительно s — $0 **).
Введем единичный вектор v(s), имеющий то же самое направление, что и вектор г($) = т($). Полагая |r(s)| = A(s), будем иметь
fe(s)v(s) = r(s) = r(s) и v ($) т ($) = О, А ($) = | г ($) |. (4.5)
Единичный вектор v(s) называется главной нормалью (или просто нормалью) к кривой (4.1) в точке $, а число k(s) —кривизной кривой (4.1) в точке $.
Первые два члена в правой части формулы (4.3) могут быть записаны с помощью векторов т($0) и v(s0):
Г (So) Ss~2is°}2 = т + k v (So) "У-2 •
и представляют линейную комбинацию этих векторов.
*) Если r(s) = 0, то эта плоскость однозначно не определяется. Точки, в которых r(s) = 0, называются точками спрямления кривой (4.1). Мы будем считать, что точек спрямления на кривой (4.1) нет.
**) В самом деле, вектор г (so)-^-jp2- + г (s0) лежит в сопри-
касающейся плоскости как линейная комбинация лежащих в ней векторов r(s) и '($о).
294 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА (ГЛ. IX
Итак, в каждой точке кривой (4.1) мы ввели два ортого-нальных единичных вектора — касательный вектор т($) и вектор главной нормали v(s). Обозначим через 0(s) единичный вектор, ортогональный векторам т($) и v(s). Для того чтобы фиксировать направление этого вектора, положим
₽(S) = [T(S), v(s>],
где [а, 6]—векторное произведение векторов а и Ь. Вектор p(s) называется вектором бинормали.
Таким образом, в каждой точке s кривой (4.1) мы построили три взаимно ортогональных единичных вектора: т($), v(s). P(s) —касательный вектор, векторы нормали и бинормали. Эти векторы удовлетворяют условиям
[т ($), V ($)] = ₽ ($), [V ($), ₽ (S)] = т (s), [₽ ($), т (s)] = V (S). (4.6)
Эта тройка векторов называется основным репером кривой (4.1). Так как направления этих векторов зависят от точки s кривой (4.1), то эту тройку векторов называют также сопровождающим репером кривой (4.1).
2. Кручение кривой. Формулы Фрейе. Изменение направления каждого из векторов сопровождающего репера характеризуется производной этого вектора по длине s. Как мы уже определили ранее, у*
т (s) = k (s) v (s).
Вычислим P(-s). Имеем*) из формулы (4.6)
₽(5) = [i(s). v(s)] + [t(S), v(s)] =
= [6 (5) v (s)> v («)] + [t (*). V (s)l = [t (s). v («)]• (4.7>
Производная p(s), как и производная любого единичного вектора, перпендикулярна вектору p(s); кроме того, согласно формуле (4.7) вектор 0($) ортогонален также т($) и поэтому коллинеарен вектору v(s), и мы можем положить
₽ (s) = — х (s) v ($). (4.8)
Скалярная величина х($) называется кручением кривой (4.1) в точке <$.
Наконец, вычислим v(s). Имеем
V ($) = [Р ($), Т ($)]’ = [Р (s), Т ($)] + [Р ($), i ($)] =
= [- X (s) V (S), т (S)] + IP (s), k (s) V ($)] =
= - % (s) [V ($), T (S)] + k (S) [P ($), V (s)J =
=-£(s)T(s) + x(s)p(s). (4.9)
*) Формула [a, b]' = [a', 6] + [a, 6'] легко следует из определений векторного произведения и производной.
§ 4] ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 295
Соединяя вместе формулы (4.5), (4.8), (4.9), запишем их в виде
т ($) = k (s) v (s), (4.10)
v(s) = — £(s)t(s) + x(s)₽(s), (4.11)
₽ (s) = — x (s) v (s). (4.12)
Формулы (4.10), (4.11), (4.12) носят название формул Френе.
3. Разложение вектора г по базисным векторам сопровождающего репера. Мы видели, что r(s) = t(s), г = Z>(s)v(s). Выразим через r(s), v(s), 0(s) вектор r(s). Имеем
г (s) = (k (s) v (в))’ — k (s) v (s) + k (s) v (s).
Подставляя сюда v(s) по формуле (4.11), получим
r (s) = - k2 (s) T (s) + k (s) V (s) + k (s) X (s) ₽ (s). (4.13)
Так как вектор v коллинеарен г, а вектор т коллинеарен г, то смешанные произведения (rrv) и (ггт) равны нулю. Поэтому из (4.13) получаем формулу
(г ($) г (s) г (s)) = k (s) х (s) (rr₽) =
= k (s) X (s) (r (s) r (s) [r (s), = k2 (s) X (s),
откуда
x (s) = (r(s)r(s)r (s)) (r (s)r (s)r ($)). (4 14)
*2(s) |r(s)|2
Подставляя в формулу Тейлора (4.3) равенства r(so) = t($o)> r(s0) = &(so)v($o) и формулу (4.13), записанную в точке s = s0, получим
Г (s) - г (So) = Т (s0) -4^ + k (So) V (s0) +
4-1— k2 (s0) T (s0) + k (s0) V (s0) + k (s0) X (s0) ₽ (So)] (s, s0) =
= T (So) [As - k2 (So) -V-] + v (So) [* (So) ^г + k (So) + + ₽(s0) k (so)x(So)^- + *4 (So + As, So), (4.15)
где As = s — sfl.
Формула (4.15) дает разложение вектора r(s)—r(s0) по базисным векторам t(s0), v(s0), 0($о) сопровождающего репера в точке s = s0.
296
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
[ГЛ. IX
1 -соприкасающаяся
11 - нормальная
III - спрямляющая плоскости
Рис. 30.
4. Геометрический смысл кривизны и кручения. Для выяснения геометрического смысла кривизны k(s) и кручения x(s) кривой (4.1) проведем следующие построения.
Поместим в точку s0 кривой (4.1) начало декартовой системы координат, тогда r(so) = 0. Ось х направим вдоль касательной к кривой (4.1) в точке So, и пусть координата х возрастает в направлении вектора r(so). Это значит, что мы выбираем систему координат, в которой т($о) = = {1,0,0} = /. Выберем оси координат х и z так, чтобы v(s0)=/={0, 1, 0}, 0(so) = = й={0, 0, 1}. Заметим, что при таком выборе координат координатная плоскость хОу (плоскость векторов т, v) есть соприкасающаяся плоскость} плоскость yOz (плоскость векторов v, 0) имеет нормалью вектор т и носит название нормальной плоскости. Наконец, пло
скость гОх (плоскость векторов 0, т) носит название спрямляющей плоскости (рис. 30).
В этой системе координат формула Тейлора (4.15) может быть записана в виде
Г (s) = i [As — у k2 (s0) As3] + j [y k (s0) As2 4- 3- fe (s0) As3] +
+ k • 1 k (So) x (So) As3 + о (As3) *). (4.16)
Формула (4.16) указывает, что в окрестности точки s0 кривой (4.1) мы можем задать координаты х, yt z кривой как следующие функции длины As = s — s0:
х = As — у k2 (s0) As3 + о (As3), (4-17)
У — у k (s0) As2 + у k (s0) As3 + о (As3), (4.18)
z = у k (s0) X (s0) As3 + о (As3). (4.19)
’) Равенство /(0 = °(0 означает, что lim = 0. /->о *
§ 4) ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 297
Формулы (4.17) — (4.19) позволяют просто выяснить геометрический смысл дифференциальных характеристик кривой (4.1)—кривизны k(so) и кручения x(s0), так как из них мы легко получаем параметрические уравнения для кривых, являющихся проекциями кривой (4.1) на координатные плоскости.
В самом деле, проекция кривой (4.1) на соприкасающуюся плоскость, проведенную через точку s = Sq (плоскость хОу), задается уравнениями (4.17) и (4.18):
х = As — k2 (s0) + о (As3),
1 , . Д,’ <4-2°)
У = у k (s0) As2 + k (s0) + о (As3).
Эти два уравнения следует рассматривать как параметрическое задание плоской кривой, являющейся проекцией кривой (4.1) на плоскость z = 0. Параметр As в общем случае не является длиной дуги этой плоской кривой (As — длина дуги пространственной кривой (4.1)), хотя и отличается от нее на величину порядка As3.
По формуле (3.8) вычисляем кривизну k плоской кривой (4.20) в точке As = 0. Так как в точке As = 0 Хд5 = 1, х'д$)2 = = 0, y'ss = ^’ ~ (so)> т0 по Формуле (3.8) находим
1*1 =
х'у" ~ у'*" (* + У )
= k (s0).
Итак, кривизна проекции кривой (4.1) на соприкасающуюся плоскость совпадает по модулю с кривизной *(so) пространственной кривой.
Из формулы (4.19) делаем заключение о геометрическом смысле величины кручения x(so) кривой (4.1). Прежде всего заметим, что если для кривой (4.1) x(s) =0, то кривая (4.1) — плоская кривая Действительно, из формулы (4.8) в этом случае имеем, что p(s) = р0 = *— постоянный вектор. Значит, вектор t(s) = r(s) (как вектор, ортогональный вектору р0 = k) есть линейная комбинация векторов i и /; пусть
r(s) = r(s) = a(sP + *(«)/•
Но тогда согласно тождеству
г (s) — г (s0) = J rdx = | [а (т) i + b (т) j] dx = sa
=- i | a (t) dx + / J b (t) dx
298 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА [ГЛ. IX
заключаем, что вектор r(s) —г($о) представляет собой линейную комбинацию векторов i и /. А это и значит, что кривая (4.1) плоская при x(s) s 0.
Из формулы (4.19) следует, что произведение A(s0)x(s0) характеризует скорость, с которой кривая (4.1) в окрестности точки «о удаляется от соприкасающейся плоскости хОу, проведенной через точку so. В этом заключается геометрический смысл кручения.
Если рассмотреть, аналогично предыдущему, проекцию кривой (4.1) на спрямляющую плоскость гОх, то мы получим ее параметрические уравнения (4.17) и (4.19):
х — As — у k2 (s0) As3 + о (As3), z = ^rk (s0) x (s0) As3 + о (As3).
(4.21)
Параметрические уравнения (4.21) определяют в плоскости zOx плоскую кривую (проекция пространственной кривой (4.1)
на плоскость z/ = 0), которая, как легко видеть, в окрестности точки s = So ведет себя как кубическая парабола (рис. 31), если&(so)x(so) /
В заключение укажем, как вычислить кривизну k(s) и кручение х($) пространственной кривой, уравнение
r = r(t) (4.22)
которой задано с помощью функции произвольного (а не натурального) параметра t, если при этом Ir'(Z) | =А 0.
Снова предполагаем, что r(t) е {(а, 0)}. Будем считать, лто $ = $(/); тогда, как мы знаем,
ds = | г' (t)\dt. (4.23)
§ 5) ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ 299
Формула (4.23) позволяет выразить r(s), r(s), r(s) через /(/), *•"(/), /"(/). Например:
IHOI’ W |r'(0l2 W|r'(0l3
и т. д. Подставляя эти выражения в формулы
I Г (s) Р
получим выражения для кривизны и кручения кривой, уравнение которой задано при помощи функции произвольного параметра А
•§ 5. Вычисление площадей и объемов
1. Вычисление площади плоской фигуры. Пусть часть плоскости хОу (фигура) ограничена графиком непрерывной функции y = f(x), заданной на отрезке [а, 6], и прямыми х = а, х = bt у = 0 (рис. 32). Как мы видели в § 1 гл. VII, площадь «S этой фигуры может быть определена как предел у
л-! У {
3= lim и f(Xi) (xl+t — %/)= ;; У’Пх) |
Дх->0 i=0 |
п-1 I. I
= lim %f(xi)bx, (5.1) Дх->0 /=0 U'CL ° 31
~ __г . . , ч Рис. 32.
где Xi s [xf, xf+]], Ax = max(x<+( — xt),
а предел (5.1) понимается в том же смысле, что и предел интегральных сумм (§ 2 гл. VII).
Заметим, что можно ввести более общее понятие площади фигуры, расположенной над осью у = 0, как предела площади любых вписанных многоугольников или даже как точную верхнюю грань площадей вписанных Многоугольников*). Для наших целей, однако, достаточно определёния (5.1), которое для случая непрерывных функций f(x) эквивалентно более общему.
Так как для непрерывных функций f(x) предел (5.1) суще-ь
ствует и совпадает со значением интеграла J f(x)dx, то мы а
*) Площадь фигуры (или части фигуры), расположенной под осью у = 0, «читается отрицательной.
300
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
[ГЛ. IX
имеем формулу
ь
S = j f(x) dx, а
(5.2)
площадей, т. е. площадь,
Рис. 33.
которая и служит для практического вычисления площадей. Как мы уже говорили, по формуле (5.2) получается разность площадей части фигуры, лежащей над осью у = 0, и части фигуры, лежащей под осью у = 0.
Если же перед нами стоит задача вычислить сумму этих понимаемую в обычном смысле, то мы должны, очевидно, вычислить интеграл
ъ
S+ = J|f(x)|dx. (5.3) а
Рассмотрим еще вопрос о вычислении площади криволинейного сектора на плоскости, т. е. площади плоской фигуры, ограниченной гра
фиком непрерывной функции р = р(0) и лучами 9 = а, 9=0 (рис. 33), где р, 0 — полярные координаты.
Разбивая отрезок а 0 0 точками 0О, 0Ь ..., 0П (а =
= 0о < 91 < ... < 9П = 0) на п частей, представим площадь S нашей фигуры как предел при Д0->О*) суммы площадей круговых секторов 0г^0^0г+1, р = p(0i), где 0г 0г 0г+1. Так как площадь такого кругового сектора есть величина Р2(9г) (9г+1 - 9г) = р2(9г)Д9г, ТО
п—1
S = lim 2р2(0«)А0<-
Д0->О i—Q
(5.4)
Если р = р(9)—непрерывная функция, то она интегрируема, тогда предел (5.2) существует и равен величине
S = / Р2 (6) de. (5.5)
а
2. Объем и поверхность тела вращения. Приведем еще две формулы, позволяющие вычислять объем и поверхность тела, образованного вращением непрерывной кривой y=f(x) вокруг оси Ох и ограниченного плоскостями х = а, х = Ь (рис. 34).
♦) ДО = max [ ДО/ | = max | 0t+1 — 0/1.
§ 5)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
301
Пусть Т {xj — произвольное разбиение отрезка [а, Ь]. Объем цилиндра, имеющего радиус основания f(хг), а высоту Дхг = = Xi+\—Xi (%i xi+i), есть величина л/2(хг) Дхг-. Опреде-
ляя объем тела вращения как предел суммы объемов таких цилиндров при Дх = шах|Дх:|-*0, имеем
и—1
V = lim 2 л/2 (xz) Дх/.
Дх-»0 М
(5.6)
Для непрерывных функций f (х) этот предел существует и он есть
интеграл nf2(x)dx; поэтому объем V тела вращения, указан-
ного на рис. 34, равен величине ь
v = n Jf2(x) dx. (5.7) а
Боковая поверхность S этого тела вращения может быть определена как предел площади поверхности, образуемой вращением ломаной Л0Л]Л2...Лп (Лг(хг-,
f(xj)) при Дх—>0. Площадь поверхности, образованной вращением отрезка AjAWf есть величина
2л V(xi+1 - х,)2 + [f (X/+1) - f (xtf.
Поэтому
S= lim 2л V+ V(xi+1-^+[fU(+l)-fW. (5.7)
Дх->0 z
Предположим, что f(x)eC1{[a, 6]}; тогда
f (Xf+i) — f = f' (x,) Axb xt < x< < x/+1, и
S = lim 2л V V1 + f'* (xt) Ax< =
д‘->° So 2
П—I ________
= lim 2л У f (xt) Vl + f'a (xO Ax, +
д*-° i=0
rt-1 ___________
+ lim 2ny4-Vl+r2(Xi)[f(Xi)-f(Xi)+/(Xi+1)-f(Xi)]AXi. (5.8) д*-*° i=0
302
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИЗА
(ГЛ. IX
Так как f(x) eCi{[a, 0]}, то при Дх->0 первый член в правой части (5.8) стремится к величине
ь _______________
S = 2n р(х) /1 + f'2(x)dx, (5.9)
а
а второй член — к нулю. В самом деле,
| f (х{) — f (xt) к <oz, |f(x/+|) — f(xi) |<(O„ /1 + f2 (;z) < M,
где M — некоторая константа, и
n— 1 __________ И—1
S 4 1+f'2 -2f 2 °'
1=0 /=0
где <0i — колебание функции f(x) на отрезке [xi( x,+l]. Так как f(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема по Риману на И —I
[а, 6], то ПРИ Дх—*0. Поэтому для площади S
<=о
боковой поверхности тела вращения получаем формулу (5.9), которая имеет место для f (х) е Ct {[a, b]}.
Глава X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Евклидовы пространства
1. Метрика п-мерного евклидова пространства. Пусть каждая из величин хь ..., хп может принимать независимо от других любое вещественное значение. Символом х = (хь ...» хп} будем обозначать совокупность этих п чисел. Множество всех этих совокупностей будем называть п-мерным координатным пространством. Для геометрической интерпретации под символом х мы можем понимать либо точку М. имеющую в какой-либо системе координат числа хь ..., хп своими координатами, либо вектор ОМ. имеющий те же координаты. Часто совокупность х = {хь . ., хп} мы будем обозначать буквой М. имея в виду точку М с координатами хь ..., хп.
Число п координат хь ...» хп называется размерностью этого координатного пространства. Например, при п = 2 символ x={xi,x2} может обозначать точку на плоскости, при /2 = 3 — точку в пространстве трех измерений. В этих двух случаях координаты хь х2, *з мы часто будем обозначать соответственно через х. у. z.
Если в n-мерном координатном пространстве задать расстояние р(х,у) между любыми двумя его точками х = {xh ... .хл} и у = {уь..., уп}, то координатное пространство становится метрическим пространством (см. гл. II, § 5).
Пространство точек х={хь хн} с метрикой
р (*. у) = Vto — У1У + • • • + (*« — и,,)2 = |/ 2 (х/ — yt)2 (i.i) называется п-мерным евклидовым пространством и обозначается символом Еп.
Метрика (1.1) очевидно удовлетворяет аксиомам р(х,у) = = р(У»*)!>0 и р(х, х) = О метрического пространства (см. гл. II, § 5). Не совсем очевидно лишь выполнение третьей
304
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
аксиомы метрического пространства —неравенства треугольника р(х, у)<р(х, г) + р(г, у), (1.2)
которое должно выполняться для любых точек х, у, z^En. Поэтому мы докажем выполнение неравенства (1.2).
Для любых чисел аи ..., аПу Ь\. ..., Ьп имеет место неравен-
ство
.3)
В самом деле, возводя обе части неравенства (1.3) в квадрат и опуская в обеих частях равные члены, получим
т. е.
(1-4)
Последнее же неравенство (неравенство Коши — Буняковского) следует из неотрицательности квадратного относительно переменного t трехчлена
п п п п
2 (att + bt)2 = fl? + 2t s a(bt + S b2
/=1 ' 7 /=1 i=\ 1=1
при любых действительных t (дискриминант этого квадратного трехчлена должен быть неположителен).
Полагая в неравенстве (1.3) а; = xf— zf, bi = Zi— yi, получаем неравенство треугольника
2 (*/ — У if < у 5 (Xt — Zt)2 + у 2 (Zi — у№ •
Совокупность x = {xi, ..., xn} мы можем также считать координатами вектора в декартовой системе координат. Если скалярное произведение х-у двух векторов х—{х1 ..., хп} и у= = {У\, • • •, Уп} определить формулой
п
* •= 2 xtyh
/=1
(1.5)
а число [х| —длину вектора х— формулой
I * I =- (х • х)7'
X
2 i ’
§ 1] ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 305
то расстояние р(х, у), заданное формулой (1.1), есть в то же время длина вектора х — у, т. е.
р(х, у)=|х — г/| = (х — у, х — у)'11. (1.6)
Заметим, что неравенство Коши — Буняковского (1.4) допускает простую векторную запись:
|аЫ<|а|.|Ь|, (1.7)
где а = {«1, ...» ап] и b = {Ь^ ..., Ьп} — произвольные векторы.
2. Понятия окрестности и области в евклидовом пространстве. Окрестностью точки х радиуса г > 0 в пространстве Еп называется совокупность всех точек у^Еп таких, что
р(х, у)<г.
Сама точка х называется центром этой окрестности (см. гл. II, §5).
При п = 2 окрестность точки М0(х0, уо) содержит все внутренние точки круга радиуса г с центром в точке Af0, ибо неравенство ___________________
V(x — х0У + (у — у0У2<г
на плоскости переменных х, у определяет внутренность круга. Аналогично, при п = 3 окрестность точки Af0(xo, Уо, z0) составляют внутренние точки шара радиуса г с центром в точке Мо.
Прямой в n-мерном евклидовом пространстве Еп назовем все точки х = {xi, ..., хп}, координаты которых удовлетворяют условиям
= 0 = 1,2......п), (1.8)
где t = 01, ..., 1п} ¥=0— произвольный постоянный вектор, а параметр t может принимать любое вещественное значение.
При t = Q х/ = х®, так что прямая (1.8) проходит через точку Af0(x®, ..., х%). Вектор Z = {/i, .... /„} называется направляющим вектором прямой (1.8).
Уравнения (1.8) допускают запись в виде одного векторного уравнения:
x = x°+rt (1-8')
Будем говорить, что непрерывную кривую составляют все точки х = {xi, ..., хп} е Еп, которые удовлетворяют уравнению
* = <Р(0.
где вектор-функция <p(/)={q>i(/), .... <рп(/)}— непрерывная Функция действительного переменного t, заданная на некотором
306 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
отрезке [а, &]. Предполагается, что различным значениям пара* метра t соответствуют различные точки х. Это означает отсутствие самопересечений кривой. Можно, однако, допустить конечное число самопересечений. Если ф(/0)=х0, то мы говорим, что эта кривая проходит через точку х0.
В пространстве Еп мы будем рассматривать различные множества X точек х. Для этих множеств сохраняются основные определения, которые мы ввели в § 5 гл. II. Для удобства чтения мы повторим здесь определения предельной точки множества. открытого и замкнутого множества.
Пусть задано множество X с: Еп точек х = {хь ..., хп}. Точка у = {уь ...» уп} Еп называется предельной точкой множества X, если в любой е-окрестности точки у (р(х,у)< е) содержится точка хеХ и х ^У*).
Точка х множества X называется его внутренней точкой, если существует некоторая е-окрестность этой точки х такая, что все точки этой е-окрестности принадлежат множеству Х<
Рассмотрим, например, шар радиуса R:
*?+4 + ••• (1.9)
Если X — внутренняя часть шара (1.9), то любая точка хе X удовлетворяет условию
*? + *! + ... +4<я2 (1.Ю)
и является внутренней точкой множества X; однако любая точка n-мерной сферы
Х*+х*+ ... +%2=/?2 (1.11)
не является внутренней точкой множества X.
Если любая е-окрестность точки х е Еп содержит как точки, принадлежащие множеству X, так и точки, ему не принад* лежащие, то эта точка называется граничной точкой множества X.
Поэтому все точки n-мерной сферы (1.11) являются ее граничными точками.
Эти точки являются также граничными точками шара (1.9) и внутренней его части (1.10).
Множество X а Еп называется открытым множеством или областью в Еп, если каждая точка х е X является его внутренней точкой.
Например, множество точек, заданное формулой (1.10), образует область в Еп» так как каждая точка этого множества яв
*) Предельная точка у множества X может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству X.
$ 1] ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 307
ляется его внутренней точкой. Наоборот, множество, заданное формулой (1.11), состоит из одних граничных точек.
Замкнутой областью мы называем открытое множество X, к которому добавляются все его граничные точки.
Множество X с: Еп назовем ограниченным, если существует такое число R > 0, что для любого хеХ имеет место оценка
I х |</?.
Замечание. Из ограниченности множества X вытекает ограниченность п множеств Хг-, i = 1, ..., и, где Xi — множество значений ьй координаты хг- точки х = {хь ..., хп} е X. В самом деле, |х/| |х|, поэтому |хг|^Я
Верно и обратное: если ограничены все множества Xi значений i-й координаты Xi точки х (i = 1, ..., и), то ограничено и множество X точек х. В самом деле, это легко следует из неравенства
| х | У и • max | X/12 = Уп max | xz1.
Введем определение связности множества X.
Множество X называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству X.
3. Предел последовательности. Пусть в евклидовом пространстве Еп задана последовательность точек x(fe) = [x<fe), ... ... k=l, 2, ...
Определение. Точка х = {хь ..., хп} называется пределом последовательности {х<*>}, если для любого е > 0 найдется номер N(г) > 0 такой, что при всех N (г)
р (x(fe), х) < 8 (| x(fe) — х | < е).
Если последовательность {х^} имеет предел х, то мы называем ее сходящейся и пишем
lim х(*> — х.
fe->OO
Замечание 1. Если последовательность {х<*)} сходится к х при k —* оо, то в любой е-окрестности точки х содержатся все точки последовательности {x<ft>}, за исключением конечного числа. Это непосредственно следует из определения сходимости.
Замечание 2. Если последовательность {x<ft>} сходится к х = {xi, ...» хп}, то каждая из последовательностей {x<ft)} сходится к Xi, так как равенство lim x(fe) = x означает выпол-fe->OO нение п равенств
lim = х( (I = 1, ..п).
П-»оо
308
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ действительных переменных
(ГЛ. X
В самом деле, из неравенства р (*<*>, х) — 2 — х,)2 < в
следует, что | — xt | < е (i = 1, ..., и).
Замечание 3. Наоборот, если сходится каждая из последовательностей и lim x^=xt (t=l.............п), то сходится
и последовательность xw точек Еп\ при этом lim х(А!) = х, где fe->oo
* = {Х|, .... Хп}.
В самом деле, так как lim х\к} = xt, то существуют Nt (е) fe->OO
такие, что | | < е при k^N{(e). Полагая ЛЦв) =
= max^A^yS=-j}, получим, что при k~^N(e)
е2 • п п
= е.
Таким образом, последовательность х^ точек Еп сходится, когда сходятся последовательности {х*/0} всех координат, и расходится, если расходится хотя бы одна последовательность
Мы видели в гл. III, что всякая числовая сходящаяся последовательность является фундаментальной и, наоборот, любая фундаментальная последовательность является сходящейся.
Определение. Последовательность точек евклидова пространства Еп будем называть^ фундаментальной, если для любого е>0 найдется номер 7V(e) такой, что р (х<*>, х<0) < е для любых /, k 7V(e).
Замечание 4. Из фундаментальности последовательности {х^} в Еп вытекает фундаментальность последовательностей при г=1, ..., и, так как |x<.fe) — x\l}\<p(x(fe), х(/)), и, наоборот, из фундаментальности всех последовательностей (x<fe)j (/ = = 1, ...» п) вытекает фундаментальность последовательности {х<*>} в Еп. так как
р (x(fe), х(/)) = j/^ У (х^> — х(/>)2 < У п max | x<fe) — x<Z) |.
Поэтому имеет место следующая теорема.
Теорема 10.1 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность {xW} точек п-мерного евклидова пространства Еп была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство этой теоремы легко следует из предыдущего замечания. В самом деле, если последовательность {x<fe>} сходится, то согласно замечанию 2 сходятся одновременно все по
§ I] ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 309*
следовательности {х^}. Поэтому они фундаментальны, и на основании замечания 4 фундаментальной же является и последовательность {лс<л>}.
Теперь докажем достаточность. Если последовательность {х<*>} фундаментальна, то на основании замечания 4 фундаментальными же являются все последовательности (х^) (I— I, ...
п); поэтому все последовательности (/=1, ...» п)
сходятся, а на основании замечания 3 сходится и последовательность {х^}.
Теорема 10.2 (Больцано — Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности {х^)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Как мы видим, эта теорема вполне аналогична соответствующей теореме для числовых последовательностей.
Доказательство. Из ограниченности последовательности {х^} следует ограниченность всех последовательностей {х^} при Z = 1, ..., п.
Поэтому согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, доказанной в гл. III для числовых последовательностей, из ограниченной последовательности {х^} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {х{Л/^} —► х1ж Соответствующая последовательность вторых координат векторов {x^z^} — также ограничена, и поэтому из нее также можно выделить сходящуюся подпоследовательность {хр*)}->х2. Так как последовательность {х(М} есть подпоследовательность последовательности {х^)}, то, очевидно, по-прежнему {х^/2)} —> хг Точно так же из последовательности {х^)} выделим сходящуюся подпоследовательность {х(klJ} -> х3.
Продолжая этот процесс, мы выделим п сходящихся последовательностей:
....
На основании замечания 3 сходится и подпоследовательность (х<Я последовательности {x(fe)}; при этом {x^z^)->x, где х = {хь ..., х„}.
Теорема доказана.
4. Скалярные функции и вектор-функции нескольких независимых переменных. Пусть задано множество X с: Еп. Если каждой точке хеА' поставлено в соответствие число f(x) = =f (xi,..., хп), то мы говорим, что на множестве X задана скалярная функция f(x), зависящая от вектора х или, что то же„
310 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X от п переменных , хп. При этом множество X называется областью задания функции f(x).
Приведем примеры скалярных функций нескольких переменных. Пусть I = {/j, ...» /п} и х = {*1, .хп}. Рассмотрим функцию
f(x) = f(x(...Х„) = /,Х1+ /2Х2+...+/„xn + a = Zx + a. (1.12)
Функция (1.12) определена во всем евклидовом пространстве Еп, эта функция линейна по каждому переменному ...
хп. Мы будем говорить, что функция f(x), заданная формулой (1.12), есть линейная функция переменных xi,... ,хп или, что то же, линейная функция вектора х={хь хп}-
Приведем еще один пример скалярной функции векторного аргумента г={х, у, г}:
f (г) = f (х, у, z) = Vx2 + r/2 + z2 — 1 +/jX + l2y + l3z + a =
= 4-Z-r + a. (1.13)
Функция (1.13) определена в области |г|^1, т. е. всюду в Е3, за исключением внутренности шара радиуса, равного 1.
Аналогично случаю одного независимого переменного, мы введем понятие вектор-функции f(x)={fi(x), fs(x), ..., fm(x)} нескольких независимых переменных Xi, ..., хп или, что то же, векторного аргумента x=(xi, ..., хп). Число пг компонент fi (*) » • • • , f m (х) вектор-функции f(x) будем называть размерностью вектор-функции', число п независимых переменных хь... ...,хн (размерность вектора х) —размерностью векторного аргумента.
Приведем примеры векторных функций. Пусть а — некоторое число, b — постоянный вектор и пусть
f(x) = ax + b, b — {blt ..., (1.14)
Здесь f(x) есть вектор-функция векторного аргумента х, причем m = п. Формула (1.14) означает, что
f 1 (х) = axi + b!, f 2 (х) = ах2 + Ь2.fn (х) == ахп + Ьп.
О вектор-функции (1.14) мы будем говорить как о линейной вектрр-функции векторного аргумента х={хь ..., хп}.
Пусть задана постоянная матрица чисел а,;, где i=l,2,... ..., tn, /=1, 2,..., п, т. е. матрица А имеет пг строк и п столбцов (матрица m X п): ,
(«11 Ц|2 • »'i Ди \
«21 а22 • • • а2п (1-15)
aml am2 • • • amn /
5 1] ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 31J
Символом Ах, где х={хь... ,хп}, будем обозначать вектор *={zi. •••> Zmi, компонента z, которого вычисляется по правилу
z, = 2 auxi = aaxi + ai2x2 + ... + atnxn = atjXj*). (1.16)
Мы будем говорить, что z—Ax есть результат умножения матрицы А на вектор х справа.
Если задан вектор у={у\, .... «/mJ, то символом уА мы будем обозначать вектор z={zit »»,, zn}, компоненты которого вычисляются по правилу
г/ = 2ао^ = а1Н/1 + зд> + ••• + W/m = U-17)
i—1
Мы будем говорить, что г=я>уА есть результат умножения матрицы А на вектор у слева **).
Пусть b={b\, ..... bm} — постоянный вектор; равенство
f(x) = Ax + b, (1.18)
где Л — матрица (1.15), означает, что
fi(х) = auxt + b(=-ga{lxt + bt (»= 1, 2, ..., m).
Таким образом, формула (1.18) задает вектор-функцию размерности т как функцию п-мерйбГр вектора X. Функцию (1.18) мы будем называть линейной вектдр-функцией f векторного аргумента х.
Мы должны заметить, что, как и в случае вектор-функции скалярнрго аргумента (§ 2 гд. 1л), введение вектор-функции /(х) векторного аргумента х сновА дает возможность краткой записи пг равенСх?
А(*) = Л(*1. •••. хп)....fm(*) = Ап (*1. •••» хп)
в.^иде одного векторного равенства!
/(х) = /(х,....х„).
*) Предполагается, что производится суммирование по индексу, встречающемуся дважды. Такой индекс называется немым.
** ) 0{>щие правила умножения матриц требуют, чтобы при умножении на Матриц^ слева вектор изображался в биде вектора-строки x = {xi, хг, ...» *п}, [ У\ I У2
а справа — в виде вектора-столбца у =={ ’ . Однако для удобства записи
( Ут мы этого различия не делаем и пользуемся только векторами-строками.
312 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Таким образом, символ f вектор-функции — краткое обозначение системы из т функций. Если, однако, пользоваться этими краткими обозначениями, то мы, помимо краткости записи, выигрываем также в легкости производства выкладок и обозрения фактов. Примеры этому будут приведены ниже.
Приведем еще один пример скалярной функции f(xi,...,xn) векторного аргумента х. Пусть А — квадратная (п\п)-матрица, т. е.
(аи . • а1п \
.......I .
• • • ^пп '
Согласно сказанному выше z = Ax есть вектор {zh ..., zn}, п
где zt = atjXj = 2 atlXj. Образуем скалярное произведение х • (Ах) вектора х на вектор z = Ax и положим
п
Цх) = хАх = 5 aijXiXj = i, /=i
= +а12Х1Х2 + ••• ainXlXn + a2lX2Xl + a22X2 + + annXn'
(1.19)
Таким образом, применение векторных и матричных обозначений позволяет сложную запись (1.19) заменить простой:
f (х) = хАх.
Функцию f(x)=xAx будем называть квадратичной функцией (или квадратичной формой) векторного аргумента х.
§ 2. Непрерывность функций многих переменных
1. Предел функции векторного аргумента. Будем считать, что функция f(x) векторного аргумента х={хь .хп} задана на некотором множестве X с± Еп и точка ..., х®} яв-
ляется предельной точкой множества X. Последнее означает, что в любой е-окрестности точки х° имеется точка хе X, отличная ют х°.
Определение 1 (предела функции). Число b называется пределом функции f(x)=f(xi, ..., хп) в точке xQ — = . ..,х®}, если для любой последовательности точек {х<Л)}
(х^^еХ), отличных от х° (т. е. x(ft)=#x0), сходящейся к х° (Jim х(Л) = соответствующая последовательность значений функции сходится к числу Ь.
S 2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 313
Определение 2. Число b называется пределом функции f (х) в точке х°, если для любого е > 0 найдется д(е) > 0 такое, что
| f (х) — Ь | < в
для всех х е X, удовлетворяющих условию
О < р (х, х°) = | х — х° | < 6 (е).
В этом случае мы пишем
lim f(x) — b
ИЛИ
lim f (xb х2, ..хп)= b.
Замечание. В определении 2 | х — х° | > О, поэтому х=/=х°. Для этого требования основания те же, что и в случае функций одного переменного: функция может быть такова, что /(х°)=/=&, или может быть даже не определена в точке х°.
Определения 1 и 2 предела функции f(x) в точке х° эквивалентны. Доказательство эквивалентности этих определений вполне аналогично случаю одного переменного (см. гл. IV, § 3) и здесь опускается.
Введем еще понятие предела функции f(x) при |х| —► оо.
Определение. Число b называется пределом функции f(x) при |х| -> оо (будем писать также х—>оо), если для любого е > 0 найдется /?(е) > 0 такое, что
I f(x) — 6|<8
для всех хе А', удовлетворяющих условию
р(х, 0) = | х |> R (е).
В этом случае мы пишем lim f (х) = lim f (х) = b.
I X | -> OO X->oo
Легко заметить, что это определение предела вполне аналогично определению предела функции f(x) одного переменного х при | х | —► оо.
Для функций многих переменных справедливы все теоремы об арифметических действиях с пределами, которые были установлены в гл. IV для случая одного переменного. Имеют место
314
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
формулы
lim (f(x) ± g(x)]« lim f(x) ± lim g (x),
*->X°
lim cf(x) = clini f(x),
lim [f (x) • g (x)] = lim f (x) • lim g(x), X-*X9 x->x9 x-*x9
f(r\ Um f(x)
lim —, ! = /если lim g(x) O') .
hm g(x) ( v ' J
x->x9
Эти формулы справедливы, если правая часть в них имеет смысл, т. е. соответствующие пределы существуют. Доказательство этих формул ничем существенно не отличается от случая одного переменного.
Критерий Коши. Для того чтобы функция f(x) имела предел в точке х°, необходимо и достаточно, чтобы для любого я > 0 нашлось б(е) > 0 такое, что при всех х, х' е X таких, что 0<|х — х°|<д(е), 0 < |х' — х°|< 6(e), выполнялось условие;
|f(x) - f (х')|<е.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично случаю одного переменного.
Будем говорить, что функция /(х) есть бесконечно малая при х—*х°, если lim f(x) = O.
Х-*Х9
Будем говорить, что f(x) имеет порядок g(x) при х->х°, если существует предел отношения этих функций и
fM
lim — х->х* S (•*)
¥=0.
Тогда мы пишем:
f (х) = О (g (х)) при х—>х°.
Если же
lim -^4 = 0, Х->Х9 &
то мы пишем, что
f М = о (g (х)) при х -> х°.
Если lim = 1, то функции f(x) и g(x) называются х->х° s W
эквивалентными при и мы пишем
2. Предел функции по направлению. Для того чтобы яснее представить себе, что нового дает понятие предела функции многих переменных , хп по сравнению с понятием предела
$ 2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 315
функции одного переменного, будем рассматривать значения функции f(xt, х2, ..., хп) =f(x) на прямой линии
х = х°+«; 1*1=1 (^=4+*4 (2.1)
имеющей направляющий вектор *={/i, ...» /п} и, очевидно, проходящей через точку х° при значении параметра /=0.
Вдоль прямой (2.1) при фиксированном направляющем векторе I функция f(x) становится функцией одного вещественного переменного t. Мы обозначим ее через <р(/, Z)=f(x° + *Z).
Будем считать, что функция <р(/, I) определена при фиксированном I на некотором множестве значений переменного t, которое имеет точку t=0 своей предельной точкой. Отметим, что это всегда имеет место, если, например, функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х°.
Предел функции <р(/, I) в точке t = 0 назовем пределом функции f(x) в точке х° по направлению I *).
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х=х°, за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда понятие предела функции f(x) по направлению I в точке х° имеет смысл для любых векторов I.
Мы покажем, что если функция f(x) имеет в точке х° предел, равный 6, то эта функция f(x) имеет предел в точке х° по любому направлению /, этот предел не зависит от I и совпадает с 6.
В самом деле, если lim f (х) = 6,то для любого е > 0 най-х->х°
дется б(е)>0 такое, что \f(x)—6|<е при всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < |х — х° | < 6 (е).
Так как |х° -I- It — х°| = \ l-t \ = |/|, то для 0 < |/| <6 (е) имеем 1<р(*, *)—6| = Ц(х° + И)—6|<е. Мы показали, что функция f(x) имеет предел b по произвольному направлению I.
Однако функция f(x) может иметь в точке х° один и тот же предел b по любому направлению I и тем не менее она может не иметь предела в точке х°.
Приведем соответствующий пример. Пусть п = 2 и пусть функция f(xty) задается формулой
f(x,«) = f° Ир" 1x1 И"РИ Х = У = °- (2.2)
[1 при I х I = у2 0.
Функция }(х, у) отлична от нуля лишь в точках двух парабол х = у2 и х = —у2, за исключением их общей точки (0,0).
*) Пределом функции f(x) в точке х° по направлению I называют также величину lim <р (/, Z). Чтобы упростить изложение, мы здесь пользуемся /-»+о
более узким определением предела функции по направлению, так как оно достаточно для наших целей.
316
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Пусть I = {cos a, sin а}. Прямая
х = t cos а, у = t sin а
(2.3)
проходит через точку (0, 0). Будем обозначать ф (/, I) через ф (/, а). При <х=--уХ = 0, y = t. Поэтому ф^, у) = 0 и Итф(/, у) = 0. При а = 0
<р(/,0) = 0 и Ilin ф(/, 0) = 0. Если иа^О, то, кроме начала коор-
динат, прямая (2.3) пересекает параболы х — у2 и х = — у2 в двух точках: <ctg2a, ctga) и (— ctg2 a, — ctga). Эти точки соответствуют следующим
. . COS a , cos a I cos a I
значениям параметра t\ t = —v~^— и / =------r-j—. При OCU < -ri—
K sin2 a sin2 a | sin2 a |
ф(/, a) = 0. Поэтому lim ф(/, a) = 0 при всех значениях a.
f->o
Итак, функция (2.2) в точке (0,0) имеет предел по любому направлению. Все эти пределы совпадают друг с другом (не зависят от I) и равны 0. Однако легко видеть, что функция (2.2) не имеет предела в точке (0,0), так как в любой сколь угодно малой окрестности точки (0,0) имеются точки, в которых f (х, у) = 1. Поэтому не выполнен критерий Коши, и функция (2.2) не имеет предела в точке (0,0).
Постараемся выяснить, что может препятствовать тому, чтобы функция f(x), имеющая в точке х° один и тот же предел по всем направлениям I, йМела бы в точке х° и просто предел.
В предыдущем примере Ишф(/, Z) = 0 для всех I. Согласно определе-/->о
нию предела функции одного переменного это означает, что для любого € > 0 найдется 6а(е)>0 такое, что
. | ф (/, Z) — 0 | = | ф (/, Z) | = | f (t cos a, t sin a) | < e
при 0<| 11 <6a (e). Ho da (e) = I I при e < 1.
I pin a I
Мы видим, что величина 6a(e) зависит от а, т. е. от направления Z, причем эта зависимость такова, что
л . . COS “тг
•г* Z\ . с cos a 2 n
inf oa (e) = inf -г-,— =------= 0.
a al sin’a | Л
Это обстоятельство отражает неравномерность сходимости функций Ф(/, а) к своему пределу при различных а.
Пусть функция f(x) имеет один и тот же предел b в точке х° по любому направлению I и |<p(f, I)—&|<е при 0<|/|< < 6(в, I). Если существует функция 6(e) такая, что при любом 8>0 0 < 6(e) < б(е, I) при всех /, то мы будем говорить, что семейство функций <p(Z, I) равномерно по направлениям I сходится к одному и тому же пределу Ь.
Понятие равномерной по I сходимости при Z—>0 семейства функций <p(Z, I) к пределу b не означает, конечно, одинаковой скорости сходимости для всех возможных направлений Z; оно означает лишь, что существует некоторая наихудшая характеристика сходимости 6(e) > 0, которая оценивает сходимость для всех направлений I.
§ 2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 317
Из изложенного легко вытекает следующее утверждение.
Если функция f(x) имеет в точке х° один и тот же предел b для всех направлений I и если сходимость к пределу Ь равномерна по направлениям Z, то число b является пределом функции f (х) в точке х°.
В самом деле, пусть | f (х° + Щ — b | < е при 0 < 111 < d (е, I) и 0<д(е)г^д(е, Z) при всех I и е > 0. Тогда при 0< <|х— х°|< д(е) мы имеем \f(x) — 6|<е, т. е. функция f(x) имеет в точке х° предел Ь.
Итак, определение предела f(x) в точке х° требует как существования одного и того же предела функции f(x) в точке х° вдоль всех направлений Z, так и равномерной по Z сходимости f (х° + ZZ) к b при t —► 0.
Поэтому очевидно, что существования одинаковых частных пределов lim f (х°, х°_р хр х°+Р .х°) = b при всех
i=l,2,...»л недостаточно для существования предела f(x) в точке х°.
3. Повторный предел. Рассмотрим, например, случай п <= 2. Пусть при уо — е<у<уо + е (е > 0) определена функция Ф (у) = lim f (х, у). Тогда, если существует предел
х->хв
lim <р(у) = lim lim f (х, у) = b, У~*У9 У-*Уь х->Хо
то он называется повторным пределом f(x, у) в точке (х0, £/о) • Если существуют два повторных предела
lim lim f (х, у) = и lim lim f(x, у) = &2,
У~*У9
то, вообще говоря, ф Ь2, т. е.
lim lim f(x, у) lim lim f(x, у).
X->Xo У-*У' У-+У9
Но если при этом существует предел функции f(x, у) в точке (х0, //о), равный 6, то обязательно равны друг другу и повторные пределы:
lim lim f (х, у)— lim lim f (x, у) = b.
X->X, У-+У, y-^Vt x-txa
Теорема 10.3. Пусть функция f (x, у) определена в окрестности |х —xol<ei> \У~ ^оК82 точки (х0, у0), имеет в точке (хо, Уо) предел
b= lim f(x, у)
У~>У9
318
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
и имеет пределы
ф(«/) = lim f(x, у) х->х0
Ф(х) = lim f(x, у)
(I— Уо 1<ег)»
(|х — Х0|<в|).
Тогда существуют lim <p(z/) и lim ф(х), причем
У~+Уо х->х0
lim <р (f/) = Hm lim f(x, у) = lim ф (x) = lim lim f (x, y) = b. y-*y9 У-+У* *->Xq X“>Xq X->Xq 'У-*у9
Доказательство. На основании определения предела функции в точке (х0, z/o), при е>0 определена функция д(е)>0 такая, что |f(x, у)—Ь\ < е при 0 < (х — Хо)2+’ + (У — */о)2< 62(е). Итак, при 0 < (х — х0)2+ (у — Уо)2< 62(е) значения f(x, у) отличаются от числа b меньше чем на е. Переходя к пределу при х->х0 в неравенстве |f(x, у) — b\<Z е, заключаем, что предельное значение <p(z/) функции f(x, у) отличается от числа b в этой окрестности также не более чем на е, т. е. |<р(*/)—при 0 < |у — //0|<д(е). Но это неравенство означает существование предела lim <p(z/) = 6. Аналогично
доказывается, что lim ф (х) = Ь.
Итак, читатель должен твердо усвоить, что менять местами операции предельного перехода по разным переменным можно не всегда. Например, равенство
lim lim f (х, у)= lim lim f(x, у)
X->Xo У~>Уо У->Уо Х->Х9
может не иметь места.
Если, однако, функция f(x, у) имеет предел в точке (х0, уо) и существуют повторные пределы, то они совпадают друг с другом.
4. Непрерывность функций нескольких переменных. Переходим к формулировке понятия непрерывности функции f(x) нескольких переменных х={хь ..., хп} в точке х°= {х°, ..х^).
Пусть функция f(x) задана на множестве X, которое имеет точку х° своей предельной точкой, и в самой точке х° (например, f(x) задана в окрестности точки х°).
Определение. Функция f(х) называется непрерывной в точке х°, если она имеет в точке х° предел 6, равный значению f (х°) функции в этой точке, т. е. если
lim f(x) = /(*«).
§ 2)
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
319
Если f(x) непрерывна в каждой точке х множества X, то мы говорим, что f (х) непрерывна на X и пишем
f(x)eC0{X} или f(x)e=C{X}.
Если функция f(x) не является непрерывной в точке х°, то мы говорим, что точка х° — точка разрыва f(x).
Замечание. Из определения предела функции f(x) в точке х° следует, что функция является непрерывной, если при е > 0 определена функция 6(e) >0 такая, что неравенство \ f (х) — f (х°)\<г
выполнено при всех х^Х, для которых |х— х°|< 6(e).
Величину Ди=/(х)—f(x°) назовем приращением функции u=f(x) в точке х°.
Для непрерывности f(x) в точке х° необходимо и достаточно, чтобы предел Ди при х—*х° был равен нулю, т. е.
lim Ди = lim [f (х) — f (ж0)] = 0. ж->ж° ж->ж°
Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке х° по направлению I, если существует предел f(x) по направлению I и lim <р (I, I) = lim f (ж0 + It) = Ф(0, I) = f (ж0).
Ясно, что непрерывности функции /(ж) по любому направлению I недостаточно для непрерывности f(x) в точке ж0.
В самом деле, например, функция f(x, у), заданная формулой (2.2), будет непрерывна в точке (0, 0) по любому направлению I, однако она не является непрерывной в точке (0, 0).
Поэтому, если функция f(xi, .... хп) непрерывна в точке ж0 по каждому из переменных хь ..., хп при фиксированных остальных, т. е. если имеют место равенства
lim f(x?, ...» х«_,, хр х«+1.*°) = Ц4 •••>*?......*«)
(/=1, 2, п),
то этого недостаточно для непрерывности f(x) в точке х°.
Однако если функция f(x) =f (xj, ..., хп) непрерывна на любой прямой х° 4- Н в точке х°, притом равномерно по всем направлениям I, т. е. при е > 0 определена функция б(е) >0 такая, что |f(x°4-//) — f(x°)|<8 при любых I и |/|<б(е), то f(x), конечно, и непрерывна в 4очке х°. Действительно, если неравенство \f(x° + lt)— f(x°) | <е справедливо для любых I (|/|=1) при |/|<6(е), то отсюда следует, что неравенство I/(х) — f(x°) |< е справедливо для всех х таких, что |х — х°|<? <. 6(e). Итак, мы видим, что непрерывность функции несколь
320
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
ких переменных есть равномерная непрерывность по всем направлениям I функций ф(/, I) одного переменного i в точке /=0.
5. Свойства непрерывных функций. Для непрерывных функций многих переменных справедливы свойства, установленные для функций одного переменного: сумма и разность непрерывных в точке х° функций f(x) и g(x) непрерывны в этой точке; произведение f-g и отношение f/g непрерывны в этой точке; в последнем случае нужно требовать, чтобы g(x°)y=0.
Следующая теорема является аналогом теоремы о суперпозиции непрерывных функций одного переменного.
Теорема 10.4. Пусть функция u=f(x) = f(xb...txn) задана в окрестности точки х° е Еп и непрерывна в этой точке, а функции
*1 = Ф1(*1...U. *2 = ф2(<1. •••> Q.......*л = Фп(6, •••, Q
(или X = (f (t))
заданы в окрестности точки t°m} евклидова простран-
ства Ет, непрерывны каждая в точке t° и
Ф1 (*°) = Ф] (fi, • • •, = х®, • • , Ф„ (?) = х® (2.4)
(Ф(П = *°).
Тогда сложная функция
u = f(cp(t)) = f((pl(t).Фп(0) = £(0 = £(<1, •••, U
непрерывна в точке t°.
Доказательство. Так как f(x) непрерывна в точке х°, то при е>0 определена величина бу(е)>0 такая, что If (*) — f (*°) I < е ПРИ |*~*°| < 6/(е). Так как непрерывны в точке tQ функции фг(t) (i= 1, 2,..., и), то существуют функции 6i(e)> 0 такие, что для любого е > 0
1фЛ0 —ф«(*°)1<8 При |/—/°|<6<(8).
Обозначим через бф (е) функцию
бф(е)= min б,(е). (2.5)
fc=l, 2, ...» п
Очевидно, что бФ (е) > 0.
Наконец, покажем теперь, что сложная функция g(t) = =f(4>(^))=f(Vi(^)’ •••» Ф»(0) непрерывна в точке t°.
В самом деле, пусть | ? — /° | < 6ф ) Так как 6ф(ХХ df (б)
С б/ (Л) при i—l, 2, .... п, то | ф/ (/) — ф1 (f°) |< /—-. Так как
г П
ф/(#°) = xj согласно условию (2.4) и х4 = <₽,(/)• то это означает,
§ 2] НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 321
df (е)
ЧТО |Х/ — Х?|<—7=- при /=1, 2, ...» и. Поэтому 1 1 V п
Но при |х — х°|<6/(е) имеем |f (х) — f (х°) | < е, поэтому |g(/)—g(f°) | = If (*)—/(х°)|<е. Это и означает, что сложная функция g(t) =f(x[t)) непрерывна в точке /°. Теорема доказана.
Следующие две теоремы устанавливают основные свойства функций f(x), непрерывных на замкнутом ограниченном множестве X переменных хь ..., хп-
Теорема 10.5. Если функция f(x) неограничена на множестве X и X замкнуто и ограничено, то f(x) не является непрерывной на X.
Другими словами, если f(x)e С0{Х} и множество X замкнуто и ограничено, то функция f(x) ограничена на X.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично случаю функции одной переменной. Пусть f(x) неограничена в X; это значит, что можно выбрать последовательность такую, что |f (х^) | k и х^ е! Так как X — ограниченное мно-
жество, то из последовательности {х<А>} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность {х^^}, а так как множество X замкнуто, то lim х(^ = х°еХ. Итак, последовательность оо
_>x° х. Но последовательность f (х^^) не является сходящейся, так как (x^Ol^^b Следовательно, f(x) разрывна в точке х°, и теорема доказана.
Теорема 10.6. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве X переменных х= {хь ..., функция f(x) достигает на нем своей точной верхней грани М и точной нижней грани /и, т. е. найдутся точки хм е X и xm е X такие, что
f (*Af) = М, f (Xm) = Ш.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично случаю одной переменной (см. гл. IV, § 5) и легко проводится, если учесть два обстоятельства: а) множество значений непрерывной на замкнутом ограниченном множестве X функции f(x) замкнуто; б) точные грани m и М являются предельными точками множества значений непрерывной функции f(x).
Определение (равномерной непрерывности). Пусть функция f(x) задана на некотором множестве X пространства Еп. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если при е > 0 определена функция
322
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
6(e) > 0 такая, что для всех х, х' е X выполнено условие \f (х) — f (х') | < е, если |х —х'|<6(е).
Теорема 10.7 (о равномерной непрерывности). Если {(x)^Cq{X} и X — замкнутое ограниченное множество в Еп, то функция f(x) равномерно непрерывна на X.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично случаю одного переменного (см. гл. IV, § 5).
§ 3. Дифференцирование функций нескольких переменных
1. Производная по направлению. Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х° пространства Еп. Изучение поведения функции f(x) в малой окрестности точки х° можно начать с изучения поведения f(x) вдоль прямых линий, проходящих через точку х° и имеющих различные направления в Еп (различные направляющие векторы Z={/b ..., /л}).
Вдоль прямой
x = x°+ZZ (|Z|=1)
функция f(x) становится функцией ф(/, t) =f (х° + It) = =f(x? + М, ...» х° J- Int) одного переменного t (при фиксированном I).
Определение. Если функция ср(/, Z) = f (х° + ZZ) дифференцируема по переменному t в точке Z=0, то мы говорим, что функция f(x) дифференцируема в точке х° по направлению 1\ величина ф'(0, Z) называется производной функции f(x) в точке х° по направлению I и обычно обозначается символом -^-*).
Символ не совсем точно соответствует характеру величины ф'(0, Z), так как не отражает зависимости этой скалярной величины от направления вектора Z. В связи с этим более подходит другое, также часто применяемое, обозначение для этой величины: (IV) f. Смысл этого обозначения станет более ясным после введения понятия градиента.
На основании определения производной ф'(0,Z) можем записать
Я.(0, /)=lim ф(/> lim . (3.1)
а/ 1 /->о 1
*) Существенно, что |/|= 1; тогда производная <р'(0, Z) зависит только от функции f(x) и заданного направления.
Производной по направлению I можно было бы назвать величину lim + Z/) — f Для упрощения изложения мы пользуемся более /-> +о узким определением производной по направлению. Ср. это замечание со сноской на стр. 315.
$ 3) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 323
Если функция f(x) дифференцируема в точке х° по направлению I, то она дифференцируема в этой точке и по направлению Z'= —I и при этом ф'(0, I) = —<р'(0, —Z). Это легко следует из тождества ф(/, I) *=f (х° + It) =f (х° -f- (—Z) (—/)) == =Ф(-/, —Z).
Пусть в некоторой окрестности точки х°=[х^, х®] нам
задана функция f(x)=f(xi, хп). Производную от функции f(x) в точке х° по направлению вектора Z/ = {0, ...» О, 1, 0, ...
i — 1
..., 0} будем называть частной производной функции f(x) = = f(xi, ..., хп) по переменному х, в точке х° и обозначать символами
Согласно формуле (3.1)
df —lim ....... Х°‘~" X°‘ + t’ X°i+l..........x") , (3.2)
/>0 t
и мы видим, что частная производная функции многих пере* менных есть производная по одному из этих переменных, когда все остальные переменные имеют фиксированные значения*).
2. Примеры вычисления производных по направлению. Пусть в Еп задана линейная функция
f (х)=ах + Ь—а1х1 4- ... + апх„ + Ь. (3.3)
Вычислим в точке х®={х^, ..., х®) производную по направлению вектора Z={Z......... Согласно определению (3.1) имеем
dl оо z
= ljm ai (*? + GO + • • • + (4 + G?) - atx°i - • • - anx°n ==
= ... +anln = al. (3.4)
Формулу (3.4) мы можем получить и более коротким путем, пользуясь векторными обозначениями
W-iim w + ‘-).-№-) „|im (35)
/->0 1 />0 1
Из формулы (3.4) очевидны следующие выводы:
а) Производная существует для любого направления /.
*) Именно так мы определяли частные производные в § 6 гл. VII.
324 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. X
б) Так как 11\= 1, то производная по направлению имеет df . , * а
максимальное значение ^[ = \а\ Для направления < = -^- и df , . , —а
минимальное значение -^-=—|а| для направления
Таким образом, вектор а указывает направление, в котором производная линейной функции f(x) максимальна.
Мы будем называть вектор а градиентом функции (3.3) и обозначать его символами a = Vf = gradf. Таким образом, формула (3.3) записывается в виде
(ZV)f = Z(Vf) = /gradf, т. е. производная функции f в направлении вектора I равна проекции градиента Vf па это направление.
в) Если вектор I ортогонален вектору а, то -^ = 0.
г) Дм=/(х)— /(х°) = а(х — х°), т. е. для приращения линейной функции имеем формулу
Дц = f (х) — f (ж0) = V/ (х0) (х — х0) = grad f \х.
Для простоты геометрической интерпретации рассмотрим линейную функцию (3.3) при п=2 и п=3. Пусть f(x, у) =а\х +. .+ а2У + Ь.
Линия уровня этой функции, т. е. такая линия, на которой f (х, у) = f(xo> Уо) = Oi*o + й2Уо + b = const, задается уравнением al(x — xQ) + a2(y — yo) = O или а(р — р0) = 0, (3.6)
где а = {щ, а2}, р = {х, у}.
Уравнение (3.6) определяет на плоскости хОу линию уровня — прямую линию, которая проходит через точку (х0, Уо) . и имеет нормалью вектор а =
= {ai, а2} (рис. 35). Функция \ f(x,y) постоянна вдоль линии
\ уровня (3.6) и равна f(xo, уо)-
; Градиент функции f(x,y) —
ВеКТ0Р а=={аЬ^2}, который
У определяет направление наи-
более быстрого возрастания функции f(x,y), перпендику----------------------------- лярен линии уровня (3.6).
° х Аналогично обстоит дело и
Рис. 35. в случае п = 3 (как, впрочем,
и в общем случае). Поверхностью уровня линейной функции f (х, у, z) = а\Х + а2// + аз2 + Ь является плоскость, уравнение которой записывается в виде
01 (х — х0) + ^2 (У — Уо) + a3(z — z0) = 0 (3.7)
или
а (г — Го) =0.
(3.8)
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 325
Плоскость (3.7) проходит через точку Го={хо, Уо, £о} и имеет нормалью вектор Vf=a={ab а2, а3}, в направлении которого производная функции f(x, у, г) максимальна (рис. 36).
Рассмотрим еще один пример. Пусть п = 2,
« = f (х, у) = ацх2 4- 2а12ху + а22«/2 (3.9)
и Z = {/h l2} (|Z|=1). Тогда
ZUo + ZiZ, Уо 4- ht) — f (х0, Уо)—
= ап (хо + lit)2 + 2а12(х0 + l{t) (у0 + l2t) 4- a22(z/0 + ht)2 — ацХо — — 2al2x0y0 — ацгуо — 2 (ацХо/, 4- йцУоК + а12х0/2 4- a22y0l2) 14- О (t2). Поэтому
(ZV) f (х0, у0) = lim f^o + t^yo+J.^-f^O’ Уо) = /->0 1
= 11(2ацХо + 2а12уо) + 12(2а12хо + 2а22уо) = 1- Vf(x0, ув), (3.10)
где через V/(x0, у0) мы обозначаем вектор
Vf (х0, у0) = 2 (anx0 4- al2y0) I 4- 2 (a12x0 4- а22у0) j. (3.11)
Нетрудно заметить, что 2 (апх0 4- а12у0) = (х0, у0),
2(а12хо4-а22г/о)=-^-(хо, у0), так что
Vf (х0, уо) =-^- (х0, Уо)1 + ^- (Хо. Уо)(3.12)
Из формулы (3.10) для производной в направлении I мы снова, так же как и для случая линейной функции, заключаем, что
326 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
производная в направлении I равна скалярному произведению вектора I (|/|=1) на некоторый вектор Vf(x0), не зависящий от направления I. Этот вектор Vf будем называть градиентом функции f(x, у) в точке (*о, !/о) и обозначать его также символом gradf.
Таким образом, и в случае квадратичной функции (3.9) вектор V/ указывает направление и скорость наибыстрейшего возрастания функции f.
3. Определение дифференцируемости функции нескольких переменных. Для линейной функции (3.3) ее приращение Ди = = f(x) — f(xQ) представляется в виде
Д. - Дх V/ = Дх а = (х, - х») А + ... + (хя _ 4) Д. (3.13>
Формула для приращения квадратичной функции выглядит несколько сложнее:
Дм = f (х, у) — f (х0, Уо) = (2мцХ0 + 2а12//0) Дх +
+ (2а|2х0 + 2а22у0) &у + анДх2 + 2а12Дх ку + а22 ку2, т. е.
Дм = Др • Vf (х0, t/0) + I Др I а (х0, t/0, Др), (3.14}
где Др = {Дх, ку} = {х — х0, у — у^, а (х0, f/0, Др) -> 0 при | Др |->0. В самом деле,
n(v „ — аиА*2 I 2а12АхАу а22 Ау2
а Ио> £/0> 1/~А 2 I Л 2 ’ |/~л 2 I ' Л 2 ’ 1/~л 2 I—л-2* *
У Дх2 + Д«/2 V Дх2 + Дг/2 ] Дх2 + Дг/2
Так как | Дх | | Др |, | ку | | Др |, то а(х0, у0, Др)->0 при
|Др| = {/Дх2 +Дг/2->0.
Рассмотренные два примера линейной и квадратичной функций показывают, что в малой окрестности точки х° изменение функции характеризуется вектором V/ в том смысле, что ее приращение Дм = f(x) —f(x°) представляется в виде
ku = f(x)-f(x°) = kx-V/(х°) + | Дх | • а (х°, Дх), (3.15)
где а(х°, Дх)—бесконечно малая при Дх—>0, т. е. lim <х(х°, Дх) = 0, а производная функции f(x) в направлении I
Лх> 0
равна скалярному произведению I на Vf, т. е.
(ZV) / (х°) =(х°) = Z • V/(х°). (3.16)
Пусть функция f(x)=f(xi, хп) задана в некоторой окрестности точки х°= {х®, ..х®}.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) дифференцируема в точке х°, если существует вектор Vf(x0) —
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 327
= {«1, ..., ап} такой, что для приращения Ди = f(x)—f(x?) функции f (х) в точке х° имеет место представление
Ди = Дх • Vf (х°) +1 Дх | а (х°, Дх) =
= Дх( + а2 Дх2 + • • • т ап ^хп + I Дх | • а (х°, Дх), (3.17) где а(х°, Дх) — бесконечно малая величина при |Дх|->0, т. е. lim а(х°, ах) = 0.
Дх-> О
Вектор Vf(x°) называется градиентом функции f(x) в точке х°.
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке множества X cz Еп, то мы называем ее дифференцируемой на множестве X и пишем f(x)^ D\{X}.
Замечание 1. Из выполнения равенства (3.17) следует, что в точке х° функция f(x) имеет производную по любому направлению Z, при этом
(/V) f = Z • Vf (х°) = a1Z1 + •.. + anln = at, т. е. существует вектор а такой, что в точке х°
(ZV)f = aZ. (3.18)
В самом деле, если Ax=Z/, то, деля обе части равенства (3.17) на t и переходя к пределу при получаем (3.18).
Замечание 2. Однако определение дифференцируемости содержит больше требований к функции f(x), чем требование существования производной (ZV)/(x°) по любому направлению Z. Именно, из (3.17) вытекает не только существование предела
lim(3.19)
Г>0 1
для всех Z, но и равномерная по Z сходимость отношения
/(x° + ZO-f(x°) к при /_>().
В самом деле, из (3.17) вытекает, что
| + . у (ж0) | ^ | a (жо( щ |(
и так как \1\ = 1, то при |/| < б(е) |a(x°, Z/) | < е, т. е. имеет место равномерная по Z сходимость разностных отношений ——!—j———- к производной по направлению Z.
Поэтому мы можем сказать, что требование дифференцируемости в точке х° функции f(x) состоит из следующих двух требований:
1) существования производных по всем направлениям Z и выполнения при этом равенства (3.18);
328
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
2) равномерной по I сходимости разностного отношения к значению производной по направлению.
Поэтому, если применить несколько необычный термин, то можно сказать, что дифференцируемость функции /(х) в точке х° означает «равномерную дифференцируемость по всем направлениям I» функции f (х) в точке х°.
Нетрудно привести пример функции f(x)t которая имеет в точке х° производную по любому направлению I и при этом выполнена формула (3.18), но которая тем не менее не дифференцируема.
Пусть п = 2. Рассмотрим уже встречавшуюся ранее функцию
О 1 О
f (х, у)
Для этой функции в точке (0,0)
при х^=у2, при х = //2=/=0, (3.20)
при х = у = 0.
df существует производная по любому
направлению /, равная нулю. Следовательно, градиент Vf(O,0) этой функции равен нулю. Однако функция (3.20) не дифференцируема в точке (0,0), так как ее приращение Ди не представляется в виде (3.17). В самом деле, в любой окрестности точки (0,0) есть точки (для которых х = у2), где Ди = 1. Поэтому (3.17) не имеет места.
Итак, функция (3.20) не дифференцируема в (0,0) и даже не непрерывна в ней, хотя и имеет в точке (0,0) производные по всем направлениям. Причина этого состоит в том, что сходимость отношения
f(x° + //)-H*°) t
к Z-V/^O
при /->0 не равномерна по I.
Замечание 3. Как мы уже говорили в замечании 2, из определения дифференцируемости функции /(х) в точке х° следует дифференцируемость /(х) в точке х° по любому направлению. Поэтому из (3.17) следует существование в точке х° частных производных
(3.21)
т. е. i-я компонента вектора grad/(x°) есть Следова-
тельно, вектор Vf(x°) однозначно определен и
Vf(x°) = gradf(x0)={^(x0), ...» Д(ж°)}. (3.22)
Отсюда следует, в частности, что представление Дм в виде (3.17) единственно.
Замечание 4. Так же как и в рассмотренных нами примерах, вектор V/(x°) = grad/(х°) и общем случае указывает направление наибыстрейшего возрастания функции f(x) в точке х°. Величина | V/(х°) ] есть максимальная скорость воз
§ 3]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 329
растания функции f(x) в точке х°. Это очевидным образом следует из неравенства
Поэтому вектор Vf(x°) есть геометрически инвариантная величина, которая определяется только по значениям функции f (х) в окрестности точки х° и не зависит от выбора системы координат.
Имеет место следующая простая теорема:
Теорема 10.8. Если f(x)eDi{X}, то [(х)еС0{Х}, т. е. Dt с= Со.
Действительно, если функция f(x) дифференцируема в точке х° е X, то из формулы (3.17) следует, что ее приращение в этой точке -> 0 при х —>х°, т. е. f(x) непрерывна в точке х°. А это и есть утверждение нашей теоремы.
4. Индикатриса производных по направлению. Итак, для дифференцируемой функции производная по направлению вектора I равна скалярному произве-дению некоторого вектора Vf—
градиента функции f — на вектор Z: /
dL = l .yf. /
dl 1 v/’ f /
C*
Дадим геометрическую иллю- j
страцию этому равенству. Рассмот- / 0(хо,у01
рим случай п = 2. *
В заданной точке (х0, t/0) вы- / .числяем производную функции / f(x,y) по направлению вектора /. /
Будем изображать величину /м' графически в зависимости от на- Рнс. 37.
правления I следующим образом.
Из точки О(х0, //о) проведем луч, имеющий направление вектора I. Будем откладывать на этом луче отрезок ОМ, по своей • df
длине равный величине производной в этом направлении, если она положительна. Если же производная -Ц- отрицательна, то будем откладывать отрезок ОМ' в направлении, противоположном направлению вектора I (рис. 37).
Если провести такое построение для всех направлений /, то точки М(1) образуют кривую, по которой легко можно определить производную в любом направлении /.
330 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
ЦИИ
есть
Полученный график мы будем называть индикатрисой производных по направлению I*).
Теперь легко сообразить, что индикатриса производных функ-/(х, у) по направлению окружность, проходящая
/, согласно формуле — • h
через точку О(х0, Уо) и имеющая своим диаметром вектор а = Vf (рис. 38).
В самом деле покажем, что уравнение индикатрисы есть уравнение окружности. Для этого введем полярные координаты: р — расстояние от точки М до точки О и ср — угол между векторами а и I. Уравнение индикатрисы в этих координатах есть р = |а|созф, т. е. уравнение окружности.
Итак, при п = 2 индикатриса производных по направлению есть окружность, проходящая df
через точку, в которой вычисляется и построенная на векторе \f — градиенте f (х, у) — как на диаметре.
5. Признак дифференцируемости функций многих переменных. Мы видели, что существование в точке х° производных по всем направлениям и выполнение формулы (3.18) составляют лишь необходимые условия дифференцируемости f(x) в этой точке. Поэтому представляет интерес сформулировать достаточные условия дифференцируемости функции f(x) в точке х°, выразив их в требованиях на производные f(x) по направлениям (или на частные производные от f(x)).
Теорема 10.9 (о дифференцируемости функций многих переменных). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х° и во всех точках этой окрестности обладает частными производными ..., . Тогда, если
иХ\ дхп
вектор | 1 непрерывен в точке х°, то функция f (х)
дифференцируема в точке х°.
Заметим, что непрерывность градиента = ....
означает непрерывность всех его компонент. Поэтому другая формулировка этой же теоремы такова:
*) Индикатрисой мы называем график величины, зависящей от направле* ния, когда он строится подобно тому, как указано выше.
$ 3] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 331
Если функция f(x) обладает в окрестности точки xQ частными производными и они непрерывны в точке х°, то функция f(x) дифференцируема в точке х°.
Доказательство этой теоремы проведем для случая п = 2, так как обобщение его на случай большего числа переменных не представляет труда.
Рассмотрим приращение ku = f(x, y) — f(xQi у0) функции /(х, у) в точке (х0, j/o)- Имеем тождество
Ди = f (х, у) — f (х0, Уо) =
= [f (х, у) — f (х0, у)] 4- [f (х0, у) — f (х0, г/0)]. (3.23)
Пусть точки (х, у) и (х0, у) принадлежат окрестности точки (х0, Уо), в которой существуют частные производные fx (х, у) и fy(x, у)- Тогда к разности f(x, у) — f (х0, у) можно применить формулу конечных приращений Лагранжа:
f (х, у) — f (х0, у) = f'x (х0 + 0( Дх, у) Ьх (3.24)
(О<0[< 1, Дх = х —х0);
аналогично
f (хо> У) ~ f (хо- У о) = f'y (хо> У о + е2 by) • by (3.25) (О<02< 1, Ьу = у — у0).
Так как частные производные fx и непрерывны в точке (х0, Уо), ТО
f;(xo+01Ax,//) = f;(Xo, 1/0) + «Р |
f'y (Х0’ Уо ”1“ by) — fy (Х0’ Уо) ”1“ а2’ J
где ai-*0, аг -> 0 при Дх-*0, Ду->0. Подставляя выражения (3.24), (3.25) и (3.26) в (3.23), получим
Ди = f (х, у) - f (х0, yQ) = f'x (х0, у0) Дх + f'y (х0, у0) Ду+а, Дх + а2Ьу
и ai—> 0, аг-*0 при ]/Дх2-j-Дг/2-► 0. Это и означает, что функция f(x,y) дифференцируема в точке (х0,Уо)- Теорема доказана.
6. Понятие дифференциала функции нескольких переменных. Оператор V. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х°, т. е. для приращения Ди этой функции имеет место формула (3.17):
Ди = f (х) — f (х°) = Ьх -Vf (*°) + | Дх | а (х°, Дх) (Дх = х —х°; а(х°, Дх)-*0 при |Дх|-*0).
332 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Аналогично случаю функции, зависящей от одного переменного (см. п. 1 § 4 гл. V), будем называть линейную функцию
du = V/(x°)-dx =
~ < («») + dx, i (»•)+... + dx. i (««) (3.27)
векторного переменного dx = {dxb dx2, ..., dxn} первым дифференциалом функции и = f(x) в точке х°.
Символы du, df(x°) будем называть первыми дифференциалами функции и = f(x) в точке х°, символ dx = {dxi, ... ..., dxn} — дифференциалом векторного аргумента х и dxi — дифференциалом переменного Х{.
Аналогично случаю одного переменного заключаем, что если в равенстве дифференциалов (3.27) заменить du на Ди = = f(x)—f(xQ) и dx = {dxi, ..., dxn} на Ax = x —x0^^ — x°, ...» xn — x®}, то разность между правой и левой частями будет бесконечно малой более высокого порядка, чем |Ах| = = |х — х°| при х—►х0.
Введем в рассмотрение оператор V = + •••
• • • + еп (здесь elt е2у ...» еп — базисные векторы декартовой ахп
системы координат в пространстве Еп).
По определению результат применения оператора V к дифференцируемой функции f(x) есть градиент функции /(х):
V(fM = !fW_.,A + e,A+...+,X. (3.28)
Действия с оператором V вполне аналогичны действиям с оператором дифференцирования О = в случае функций одного переменного.
В частности, укажем следующие правила.
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х°, то дифференцируемы в точке х° также и следующие функции:
Cf(x) (С = const), f(x)±g(x), f(x)-g(x), f(x)/g(x) (если g (ж0) #= 0); при этом
VCf(x°) = CVf(x°), (3.29)
V [f (х°) ± g (ж»)] = Vf (ж°) ± Vg (Хо)г (з.зо)
V [f (ж0) • g (ж0)] = g (ж°) • Vf (ж0) + f (*°) • Vg (ж°), (3.31)
v f(x°) _ g(x0)-V/(x0)-f(x°)-Vg(x°) , .
g(*°) g2(*°) ’
§4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 333
Все эти правила аналогичны случаю п= 1 (см. гл. V, § 3). Формулы (3.29) — (3.32) следуют из определения оператора V: v=(jL.............................
| dxi дхп J
и выполнения соответствующих правил для каждой из частных производных. Например:
{If (*) • g (х)] I = f' (*°) • g (*°) + f (*°) • g'x. (*°); I С'-Ч J-r=r0 I I
поэтому имеет место формула (3.31).
§ 4. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал сложной функции
1. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
Теорема 10.10. Пусть функция f(x) =f(xh ..., хп) дифференцируема в точке х° е Еп и, следовательно, обладает в ней градиентом Vf(x°) =(-^-(х°), ...» -57-(*0)}- Пусть, далее, система функций
*1=Ф1(*1» •••> U» •••> xn = <$At\> •••> U (4-1) задана в окрестности точки t° при этом
<pz(/o) = xj и каждая из функций <рь <рп дифференцируема в точке t°. Тогда сложная функция аргумента i = {Л, ..., tm}
u(tlt .... Q = «(/) = f(<p1(O, .... <P«W) (4-2)
дифференцируема в точке и, следовательно, обладает в ней частными производными которые вычисляются по правилу ди df дф1 . | df dqn _
dii dxi dti "Г ’ ’ ’ dxn dti
_ df dx} . . df dxn .
dti dxn dti
(f = 1, 2, .... m).
Сформулируем эту теорему еще раз, пользуясь векторными и матричными обозначениями.
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке xQ^En, а вектор-функция
х = ф (0 = {Ф1 (0> Ф« (0) (ф (<°) = *°)
334 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
задана в окрестности точки /° е Ет, дифференцируема в ней и имеет градиент*) V<p(f°). Тогда сложная функция
= (4.2')
векторного аргумента i дифференцируема в точке /° и ее градиент вычисляется по правилу
V„ (fO) = vf (х°) V ° <р (f>) = V/ (*о). v о к (f) * *). (4.3')
Формула (4.3) для компонент градиента V«(f°) также может быть записана короче:
(*°) (*°) • (*°)- <4-3")
Доказательство. Пусть х = ф(0, &х = ф(0 —ф(*°) = = ф(1)—х°. Так как функция f(x) дифференцируема в точке х°, то для приращения Ды = f(x)— f(x°) имеем формулу
Д« = f (х) — f (х°) = V/ (х°) Дх 4-1 Дх | а (Дх), (4.4)
где а(Дх) -»0 при |Дх| ->-0. Ввиду дифференцируемости в точке t° вектор-функции х = ф(0 имеем
Дх = <р (0 - ф (Г°) = V о ф (f0) М + | М I • ₽ (ДО (4.5)
и ₽ (ДО -*• 0 при | Д/ | -> 0.
Подставляя (4.5) в (4.4), получим
\и = f (х (0) - f (X (Г0)) = Vf (x°) V о ф (/0) м +
+ V/ (х°) | Д, | ₽ (ДО + IV ° ф (t°) М + | Д/1 р (ДО | а (Дх). (4.6)
Величина
V (А0=
= W l?f (*0) 1 1 ₽ (Д#) + IV о ф (/0) д/ -|_ | | р (дГ) | а (ДЖ)] (4.7)
*) Градиентом вектор-функции ф(0 = {ф1(/).........фи(/)} мы называем
матрицу V°<P(O* <-я строка которой образована компонентами градиента функции Ф((0» т. е.
dqPi dqpi dqpi
dtx dt2 dtm
?оф(0 =
дф2 дф2 дф2
д!} dt2 ‘ dt,n
д^п дфл дфп
dt\ dt2 ditn
♦♦) В формуле (4.3') мы имеем произведение матрицы V°q> (/°) на вектор V/(x°) слева. Результат этого перемножения — вектор m компонент
которого вычисляются по правилу (4.3").
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 335
есть бесконечно малая при В самом деле,
| Y (ДГ) | < | м (х°) 11 0 (Д/) | +1 а (Дх) 11V о ф (t°) | +1 а (Дх) 11 ₽ (ДО ].
При | Д/1-*0 |а(Дх)]->0, так как | Дх | -» 0 при | Д/1 —► 0.
Итак,
Ди = Vf (х°) V о <р (t°) М +1 Д#| у (ДО (4.8)
и у(Д0~>0 при Д/—> 0. Отсюда следует, что сложная функция f(<p(O) дифференцируема в точке t° и имеют место формулы (4.3), (4.3') и (4.3") для градиента и частных производных. Теорема доказана.
Мы провели доказательство этой теоремы сокращенно, пользуясь векторными и матричными обозначениями. Читателю рекомендуется, однако, провести те же выкладки подробно, для каждой компоненты.
2. Инвариантность формы первого дифференциала. Итак, согласно (4.8) мы заключаем, что для дифференциала du функции и = Нф(0) имеет место формула
du = V/(х°) V ° <р (/°) • d/, (4.9)
а согласно (4.5)
dx(f°) = VoV(/0).dt (4.10)
Поэтому формула (4.9) может быть записана в виде
du = Vf(x°)dx(t°). (4.11)
Мы видим, что формула для первого дифференциала du функции f(x)
du = Vf(x°)dx=-|£-(x°)dx1 + ... +-£t-(x°)dxn
справедлива независимо от того, являются ли переменные Xi, ..., хп (вектор х) независимыми переменными или они сами являются функциями других (независимых) переменных ti....tm, т. е. х = x(t) (Xi = x{(ti, , tm)). Этот факт
называют инвариантностью формы первого дифференциала.
3. Геометрический смысл первого дифференциала функции.
Дадим геометрическую интерпретацию понятию дифференциала du и равенству (4.11). Для этого рассмотрим случай п = 2 и будем считать, что уравнение
z = f(x, у) (4.12)
с непрерывной функцией f{x,y) определяет в пространстве Е3 переменных х, у, г некоторую поверхность.
Фиксируем на этой поверхности точку М0(х0, уо, ?о) (г0 = = f(x0,Уо)), и пусть функция f(x,y) дифференцируема в точке (А'о, 1/о).
336 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Пусть кривая L, заданная уравнениями
х = х(/), y = y{t), z = z(t), (4.13)
проходит через точку Л1о при t = 0 и лежит на поверхности (4.12); это значит, что
z (/) = f(x(O, i/(0).
Пусть существуют величины х'(0), r/z(0). По теореме 10.10 дифференцируема в точке / = 0 тогда и функция z(t), при этом
z' = 17 ^о) • х' (°) + 77 (хо> Уо) • у' (0)- (4.14)
Пусть, далее, [х'(0)]2 + [/(О)]2 =# 0 *).
Тогда в точке Mo (х0, f/0, £о) кривой L определен касательный вектор
т (0) = (х' (0), у' (0), У (0)} = {%' (0); у' (0); f'x' (0) + f'yy' (0)}. (4.15) Вектор (4.15) будем называть касательным в точке MQ к поверхности (4.12) вектором. Согласно формуле (4.15) касательный вектор к поверхности зависит от кривой L, проходящей через точку Л40. Меняя кривую, получаем другой касательный вектор.
Определение. Если плоскость проходит через точку Л10 поверхности и любой касательный к поверхности в точке вектор лежит в этой плоскости, то такую плоскость будем называть касательной.
Это определение предполагает, что все касательные в точке Мо к поверхности (4.12) векторы, проведенные из точки Л40, лежат в одной и той же касательной плоскости. Это действительно так для поверхности (4.12), если функция f(x,y) дифференцируема в точке (х0, уо) • В самом деле, вектор
«={77 (хо. Уо); 77 (х0, Уо); -1} (4.16)
ортогонален любому вектору т(0), заданному формулой (4.15), так как л-т = 0. Поэтому плоскость, проходящая через точку Мо и имеющая вектор п своей нормалью, является касательной плоскостью к поверхности (4.12) в точке Мо.
Уравнение этой плоскости имеет вид
(г —г0)п = 0, (4.17)
т. е.
U — х0)^-(х0, у0) -ь (у — Уо)-^-(хо, Уо) —(Z —zo) = O (4.17') или
z - г0 = (х - х0) (х0, у0) + (у — у0)-^(х0,у0). (4.18)
*) То есть точка t = 0 не является особой точкой кривой L.
§ 4]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
337
Вектор п — нормаль к касательной плоскости — называется нормалью к поверхности (4.12) в точке А4о.
Мы видим, что если в равенстве дифференциалов dz = f'x (хо- i'o) dx + f'u (xo- Vo)
следующем из уравнения (4.12), заменить символы dx, dy, dz соответственно величинами х — х0, у — yQ, z — z0, то получает* ся уравнение касательной плоскости. Это и составляет геометри-
ческую интерпретацию первого дифференциала функции fix, у).
Установим важное свойство касательной плоскости, которое, кстати, можно было бы использовать при ее определении.
Пусть точка М'(х',у', г') лежит на поверхности (4.12) (г' = fix', у')), 6(М')—рас-
стояние от этой точки до касательной плоскости (4.18), проведенной через точку
Рис. 39.
Мо (х0, Уо, *о) поверхности
(рис. 39). Тогда величина б (Л)') при A1'->Af0 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние p(Af0, АГ) между
точками Мо и М' поверхности (рис. 39).
Итак, мы утверждаем, что
д (АГ)
Пт ——tty ЛГ->МЭ Р (М» М )
0.
Докажем это равенство. Для вычисления величины б (Л!') приведем уравнение (4.17') касательной плоскости к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель
___________1___________
/1+£(*0> у о) + fy(xo> Уо)
Мы получим нормальное уравнение касательной плоскости:
РрХ + qotf — г р0х0 + <7оуо — z0 _ »
Vl + pl + ti Vl+fi + fi * (4Л9)
Для краткости мы обозначили p0 = f'(x0, yQ), q0 = f'y(x0, у0), ^o = fixo, Уо)-
338
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ действительных переменных
(ГЛ. X
Как известно*), расстояние от точки М'(х',у',г') до плоскости, уравнение которой записано в нормальном виде, равно модулю числа, получаемого после подстановки в левую часть (4.19) вместо координат х, у, z точки плоскости координат х', у', z' точки М'.
Итак,
6(М') =
РрХ, + ЯоУ' — * _ PqXqjF УрУр — ?р V • + Ро + 4о V1 + Ро + <7о
Ро (У — х0) + Ро (у’ — у0) + / (х\ у’) — f (Хр, Уо) V1 + Ро + <7о
(4.20)
(так как z0 = f(x0, у0), z'=f(x', у')).
Но так как функция f(x, у) дифференцируема в точке (х0, у0) и Po = f'x (V Уо)’ 4o = fy(xo’ У& то
fix', у') — f (х0, Уо) = Ро (X' — Хо) + Уо (у' — Уо) +
’ +У(х' — Хо)2 4- (/ — Уо)2 а (х', у')
и а (х', у') -► 0 при М' -* Мо. Поэтому
б Ш') = ।а ix'’ у } । ^У_х' ~ х^2 j~ W ~ ]Л + ро + <?о
Наконец,
р (ЛГ, Л40) = У(х' — Хо)2 + (у' — Уо)2 + (z' — z0)2 =
= V(x' — х0)2 + (у' — УоУ 4- [f (х', у') — f (х0, t/о)]2 >
> /(х'-хо)2 + (у'-уо)2- (4-21) Поэтому
0 < Ь(М') < Ъ(М') = |а(х; у')\ .
р (м', Afp) V(х' — хо)2 + (у' — уо)2 +ро + уо
Переходя в этих неравенствах к пределу при (т. е. при х'-*х0, у'-*Уо)» получаем Ь(М’)
!im
ЛГ->М0 р ’ мо)
что и требовалось доказать.
*) См., например, В. А. Ильин н Э. Г. Позняк, Аналитическая геометрия, изд. «Наука», 1968, стр. 132.
§5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ 339
§ 5. Дифференцирование и интегрирование вдоль кривой. Потенциал векторного поля
1. Вычисление производной от вектор-функции вдоль кривой. Пусть в пространстве Еп задана некоторая спрямляемая кривая L, пусть s — длина этой кривой, отсчитываемая от некоторой точки на ней. Пусть задано уравнение этой кривой
* = Ф($); <р= {ф, (s)...<p„(s)} (5.1)
при s е= [ci, р] (s — натуральный параметр). Предположим, что в каждой точке интервала (а, 0) кривая L имеет касательную*); это значит, что <p(s) е£Ц(а, 0)} и определен касательный вектор t(s) = x(s). Так как s — натуральный параметр, то
|т($) | = |ф($) | = 1. (5.2)
Пусть, далее, функция f(x) = ..., хп) задана в некоторой
области пространства Еп, содержащей отрезок a^s^Cp кривой (5.1), и дифференцируема во всех точках этого отрезка.
На основании теоремы 10.10 сложная функция u(s) = = f(<p(s)) = f(Ф1 ($), •••> <Pn(s)) переменного s появляется дифференцируемой функцией. Вычисляя получим
=-Д- <s)+Д <s) + • • •+Д- ф" <s)=v/ to • •р(s)>
и так как | т (s) | = | ф (s) | = 1, то
-g- = (Т (s) V) f = т (s) • Vf (ф ($)). (5.3)
2. Понятие криволинейного интеграла от скалярной функции и вектор-функции. Итак, u(s)^ f>i{(a, £)}, поэтому согласно определению определенного интеграла из гл. V, § 6,
ь
/ ds = u(b)-u(a) = f(4(b))-f(<p(a)) (5.4)
а
при любых а, b (а, р).
Подставляя в (5.4) формулу (5.3) и учитывая, что r(s)ds = cp(s)ds = dx, получаем
ь ъ
J Vf (Ф (s)) dx = J grad f dx = f (ф (&)) — f (ф (a)). (5.5)
a a
*) Кривая может быть спрямляемой, но не иметь во всех точках касательной. Например, в угловых точках кривая не обладает касательной.
340 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Пусть теперь функция f(x) задана в связной области X и дифференцируема в каждой ее точке, т. е. f(x)^D\{X}. Тогда мы видим, что для любой кривой (5.1), проходящей через точки Д(<р(ц)) и В(<р(Ь))*), при <p(s)e Di{[a, b]} имеет место тождество в ь
/ Vf dx = j ds = f (В) - f (Л), (5.6)
А а
В
т. е. величина jvf dx, введенная с помощью равенств (5.4) и А
(5.5), не зависит от выбора кривой, соединяющей две точки Д, 5еХ, а есть только лишь функция самих этих точек. Поэто-в
му в обозначении j Vfdx этой величины и отсутствует указа-А
ние о кривой, соединяющей точки А и В.
Дадим несколько определений, которые помогут нам выяснить смысл формулы (5.6).
Определение. Пусть задана кривая х = <р(0еС|{(а, Ь)}, проходящая через точку А (при t = а) и точку В (при t = Ь), Пусть, далее, на этой кривой задана скалярная функция g(x). Если существует определенный интеграл
ь
$g(<f(t))dt, (5.7)
а
то мы называем его криволинейным интегралом вдоль кривой х = ф(/), взятым между точками А (начало) и В (конец), и обозначаем символом
ь
/ g Ч> (0) dt = f g (х) dt. (5.8)
а АВ
Замечание 1. В этом определении интеграл (5.7) понимается как приращение первообразной для g(q>(/)), если последняя существует, либо как интеграл Римана, если функция g(<jp(/)) интегрируема по Риману.
Если, например, функция g(x) непрерывна во всех точках кривой х = <р(/) при t е [а, Ь], то криволинейный интеграл
*) В дальнейшем для краткости Л (<р (а)), В (ср (/?)) будем обозначать через А и В.
§5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ II ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ 341 (5.8) существует при любом понимании определенного интеграла (5.7).
Замечание 2. Определенный интеграл
ь
1 = / f (X) dx а
с помощью введенных символов может быть записан как криволинейный интеграл
/ = J у dx,
АВ
взятый вдоль кривой y = f(x) между точками A(a,f(a)) и В(й,/(&)).
Определение. Пусть на непрерывно дифференцируемой кривой (5.1) (х = ф($)е Ci {[а, р]}) задана вектор-функция g(x) = (gi(x), gn(*)}*). На кривой (5.1) эта функция
становится функцией переменного $: #(ф($)).
Если существует определенный интеграл
ь ь
J g (Ч> («)) • Т (s) ds = J g (ф (s)) • Ф (s) ds, (5.9)
a a
то мы называем его криволинейным интегралом от вектор-функции g(x) вдоль кривой (5.1) от точки A(s = a) до точки B(s = b) и обозначаем символом
ь
J g dx = J g (ф (s)) ip (s) ds = aS a
ь ь
= J [gi(s)<Pi(s)-|- ••• +g«(s)<Pn(4ks= / gx(s)ds. (5.10) a a
Здесь g’r(s) —проекция вектора g(x(s)) на направление вектора t(s), т. е. касательная по отношению к кривой (5.1) составляющая вектора g(x) **).
*) Существенно, что размерности пространства Еп и вектор-функции g совпадают.
**) Легко видеть, что J gdx — — J g dx, если интегрирование произ-
АВ ВА
водится вдоль одной и той же кривой, соединяющей точки А и В. Точка А — начальная точка интегрирования, точка В—конечная точка интегрирования в первом из этих интегралов, и наоборот во втором.
342
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Замечание 1. В этом определении определенный интеграл
ь
I(a, b) = j g (ф (s)) • Ф (s) ds (5.11)
а
понимается в смысле любого из двух определений, которые мы вводили для определенного интеграла от функции одного переменного. Если функция g(<p(s))-q)(s) имеет первообразную f(s) eDi{[a, ft]}, так что f'(s) = Я(ф($))-ф($), то мы считаем, что ь
/ g (Ф («)) • Ф ($) ds = f (b) — f (a), a
Если существует интеграл Римана для функции g(<p(s))-<p(s), то мы понимаем под выражением (5.11) интеграл Римана.
Мы знаем (см. § 3 гл. VII), что если оба эти интеграла существуют, то они совпадают.
Для непрерывных функций <p(s) и g(x) будет непрерывной функцией переменного s также и их скалярное произведение gx(s) = Я(<р($))-ф($). Поэтому в этом случае интеграл (5.11) существует и
b 7V-1
f g (Ф ($)) Ф ($) ds = lim V g (ф (sz)) • ф (Si) Asi, (5.12)
a As-*° i=0
Sl^Si^Si + 1,
As = max Ast- = max (s/+1—sz),
где предел понимается в том же смысле, что и в гл. VII.
Покажем, что если ф($) и g(x) непрерывны, то существует также и предел
АГ-1
lim 2 g(<t(si)) =
As->0 /=0
7V-1
= lim 2 £ (Ф (2£))[ф($/+1) — Ф ($/)] =
As -> 0 i=0
N-1
•= lim 2 {gi (ф (s,)) [л:, (s,+1) — x, (sz)] + ...
As~>0 /=0
. • • + gn (Ф (si)) [x„ (si+1) — xn (sz)]}, равный пределу (5.12).
Так как xk (s) e Cx {[a, ft]} (£=!,..., и), то существуют точки такие, что sz<s^)<s/+1 и
xk(si) = xk (^Л))(5Н1 si) = xk(&lkr)&sr
§ 5]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ
343
Поэтому
Л'-l Л'-1
lim Sg(4>(sz))-A*z= lim 2 £(ф($|)) • 4>($i)Asi +
Д$->0 i=0 Дз->0 ^=0
+ J™ 2 te« te te<)) tei tev*) - tea] + • • •
uwMm-Wr <5-|з>
Покажем, что второй предел в правой части (5.13) равен нулю. Ввиду непрерывности функции g (<р ($)) она ограничена при а <$<&*), т. е. | g(<р(s)) КМ. Имеем
2 gk (q>te.)) teft te?’) ~ ** tei)] As< < 1=0
Л'-l N-l
< M 21 i. ю - i, (S,) | As, C M 2 <»!« As,,
где co)*'— колебание функции хЛ(з) на отрезке [sz, si+l]> Функции Xfc(s) непрерывны и, следовательно, интегрируемы
по Риману на [а, 6], поэтому**)
W-I
lim 2 a»(.fc)As, =0.
Дз->0 /=0
Итак, если <p(s)sCt{[a, 6]}, то
b .V-I
f g (ф («)) • Ф («) ds = lim У g (ф (st)) • ДЖ|, (5.14) a As>0
8|<S|<Si + i, Лж/ = ф(з< + 1) —ф(зО.
Из доказанного следует, что криволинейный интеграл (5.9) можно определить также с помощью равенства (5.14).
Замечание 2. Криволинейный интеграл J g(x)dx, как
АВ
это видно из формулы (5.10), вообще говоря, изменяет свою величину, если изменяется кривая х = <р($), соединяющая точки А и В. Поэтому для однозначного задания криволинейного интеграла от точки А до точки В надо также указать кривую х= =ф($), вдоль которой производится интегрирование.
*) Если бы вектор-функция £(Ф ($)) была неограничена, то предел (5.12) не мог бы существовать. Это легко показать, аналогично случаю обычных интегралов Римана (см. § 2 гл. VII).
**) См. гл. VII, § 4.
344
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
3. Потенциал векторного поля.
Определение. Пусть в связной области XczEn задана вектор-функция g(x) ={gi (х),..., gn (х)} переменных х= = {xi, х„}. (Существенно, что размерности вектор-функции g
и переменного х совпадают.) Если в области X существует скалярная функция f(x), дифференцируемая в точках хеХи обдающая в каждой точке области X градиентом, равным g(x)t т. е. если
W) = g(x), (5.15)
то функция f(x) называется потенциалом векторного поля g(x) в области X, а векторное поле g(x) называется потенциальным векторным полем.
Очевидно, что если fi(x)—потенциал g(x), то и /г(х) = =fi(x)+C (где С — постоянная) также потенциал g(x).
Теорема 10.11. Любые два потенциала fi(x) и f2(*) для g(x) отличаются друг от друга в связной области X на постоянную, т. е.
fl (x) — f2(*) = const.
Доказательство. Согласно определению потенциала fi(x), f2(x)f=Di{X}. Пусть А и В—любые две точки X и х= = <р(s) е Di {[я, Ь]} — уравнение непрерывной кривой АВ, соединяющей точки А и В (такая кривая существует, так как область X — связная область по условиям теоремы). Пусть точке А соответствует значение s = а, точке В — значение s = b. Производная по длине дуги s от функции ф(х) =f{ (х) — f2(x) вдоль кривой АВ, согласно (5.3), вычисляется по формуле
=Vt(*(s))T(s), а < s < b,
и тождественно равна нулю, так как ?ф(х) = Vfi — Vf2 = 0.
Поэтому функция ф(ф($)), как функция одного переменного s, постоянна, и, следовательно, ф(В) =ф(Л), т. е. fi (В)— f2(B) — =f\(A) — f2 (Л) =const. Так как это равенство выполнено для любых точек Л irBe X, то теорема доказана.
Итак, если fi (х) —потенциал векторного поля g(x), то формула
определяет все многообразие потенциалов данного векторного поля g(x).
Таким образом, мы видим, что взаимоотношение потенциала f(x) и векторного поля g(x) «такое же», как и взаимоотношение первообразной f(x) и ее производной g(x)=f'(x).
Более того, при п=1 понятие потенциала совпадает с понятием первообразной, так как при n=l Vf(x) = f'(x). Поэтому естественной является следующая теорема.
$ 51 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ 345
Теорема 10.12. Пусть векторное поле g(x) потенциально в связной области X. Тогда криволинейный интеграл
j g (х) dx АВ
между точками А, В^Х не зависит от кривой x=<p(s)e Сь соединяющей эти две точки (и целиком принадлежащей X), и равен разности значений потенциала f(x) для g(x) в точках В иА.т.е. g (х) dx — f (В) — f (А).
АВ
По этой причине в обозначении интеграла достаточно указать лишь начальную точку А и конечную точку В и обозначать интеграл от потенциального векторного поля g(x) символом в
j g (х) dx.
А
Доказательство. Так как векторное поле g(x) потенциально в X, то существует функция f(x)^D\{X} такая, что Vf(x) = g(x).
Пусть x=<p(s)e Di {[а, &]} — любая кривая в X, проходящая через точки А (при s = а) и В (при s = b).
Согласно определению, по формуле (5.8) имеем ь
J g(x)dx = j g(q>(s)) • <p(s)ds. AB a
Так как g(x) = Vf (x), то, учитывая, что Vf (<p ($)) • q> (s) = =-^-[f(<P («))]> получаем
b
J g (x) dx =f [f (q> ($))] ds = f (q> (6)) — f (<p (a)) = f (B) — f (A).
AB a
Эта формула показывает, что интеграл | g(x)dx от потен-АВ
циального векторного поля g(x) не зависит от выбора кривой x=<p(s) и доказывает теорему.
Утверждение доказанной теоремы можно, таким образом, записать в виде тождества
в
j Vf(x)dx — f(B) —f(A), (5.16)
А
которое справедливо для f(x)^Di{X} и В, А е X, если X — связная область.
346
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Формулу (5.16) можно переписать в виде в в
= f (Л) + / V/ (ж) dx = f (Л) + / df (ж). (5.16')
А А
Заметим, что формулу (5.16) можно было бы принять за опре-в
деление интеграла J Mf(x)dx.
А
Так как f(x)^D\{X}, то f(x)^CQ{X}. Поэтому f(B)-+f(A) при В-+А, и из формулы (5.16) следует, что криволинейный интеграл от вектор-функции g(x) = Vf(x) вдоль любого замкнутого пути равен нулю. Это обстоятельство мы запишем в виде тождества
(fvf (x)dx = 0.
Таким образом, необходимым условием потенциальности векторного поля g(x) в связной области X является равенство нулю криволинейного интеграла по любому замкнутому контуру С, лежащему в X, т. е.
g (ж) dx = 0. с
“I” tP I f* Р
Пример. Пусть п = 2, X = Е2 и f (х) =--» — = -Цр. Тогда
df df
dx dy *
и Vf = xi + yj = г. Формулу (5.16) можно в этом случае
записать в виде
в
J r-dr =
А
(/У)
(*0, у0)
xdx + ydy
х2 +у2 2
*о + Уо 2
Пусть «(ж), o(x)gOi{X}. Согласно § 3
V [и (ж) v (ж)] — v (ж) Vu (ж) + и (ж) Vo (ж).
Поэтому из (5.16) получаем в в в в
J V (uv) • dx = uv | = J v Xu • dx + и Vo • dx,
Л A A A
т. e. имеем формулу интегрирования по частям в в в
J и Vo • dx — uv I — J о Va • dx. л A л
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ
317
§ 5]
В В
В последних двух формулах интегралы J u\v dx и | v¥u dx, во-А А
обще говоря, зависят от пути интегрирования. Эти формулы справедливы, если оба эти интеграла берутся вдоль одной и той же кривой, соединяющей точки А и В.
Замечание. Пока мы не располагаем признаками, которые позволили бы установить потенциальность векторного поля g(x). Однако несколько позже мы сможем установить некоторые достаточные условия потенциальности g(x) и укажем способы нахождения потенциала f(x) для потенциальных векторных полей.
4. Механический смысл криволинейного интеграла. Дадим механическую интерпретацию понятия криволинейного интеграла. Для наглядности интерпретации рассмотрим случай п = 3, и пусть г={х, у, z}.
Пусть на материальную точку М, имеющую координаты (х, у, z), действует сила g(x, у, z) =g(r) = gi(x, у, z)*i + + gi(x, у, z)-j + g3(x, у, z)-k={gi(r), g2(r), g3(r)}. природа этой силы нас сейчас не интересует. Заметим, однако, что согласно нашему предположению сила g(x, у, z) не зависит от времени. Пусть материальная точка М движется по заданному закону
r = r(t), т. е. x = x(t), y = y(t), z = z(t) (5.17> b]}),
а параметр t означает время. Тогда вектор
r'(/) = {x'(0> z'(t)} = v(t) (5.18)
есть скорость точки М в момент времени t. Скалярное произведение
g (г) • V (0 = X' (/) • £, (г (/)) + у' (/) • g2 (г (/)) + Z' (/) . g3 (г (/))
есть мощность, расходуемая силовым полем на точку М, а интеграл h ti
J g(r)-r' (t)dt= J g(r)-v(t)dt (5.19)
t, t,
— работа силового поля g(r) над точкой М за время от t\ rq t2.
Мы видим, что работа силы g (5.19) не зависит от характера движения точки М вдоль заданной траектории (5.17), т. е. не зависит от скорости движения v(t), а зависит только от самой траектории (5.17). В самом деле, пусть А — положение точки Л1 при t = ti, В —при t = /2, s —натуральный параметр кривой
348
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
(5.17). Тогда интеграл (5.19) есть криволинейный интеграл от вектора g(r) вдоль кривой (5.17) между ее точками А (начало) и В (конец):
J g (г) • dr = J g (г ($)) • т (s) ds.
АВ АВ
Такова общая закономерность силовых полей, не зависящих от времени, — работа поля над движущейся точкой зависит только лишь от траектории ее движения, но не от характера движения точки вдоль этой траектории.
Если векторное поле g(r) потенциально, т. е. существует потенциал U(r)& С\ {X}, X — связная область переменных х, yf z и Vt/(r) = g(r), то, как мы видели выше, криволинейный интеграл
/ g(r)dr = U(B)-U(A)
АВ
не зависит от пути интегрирования (не зависит от траектории точки М) и равен разности значений потенциала И в конечной точке В и начальной Л.
Как мы знаем, в этом случае сила g(r)= \U(r) ортогональна поверхности уровня потенциала U(г) (эквипотенциальной поверхности) :
U (г) = const.
Поэтому перемещение точки М вдоль эквипотенциальной поверхности не сопровождается совершением работы. По этой причине работа силового потенциального поля £(r)=Vf/(r) равна нулю для всех траекторий, начало и конец которых лежат на одних и тех же эквипотенциальных поверхностях.
Пример. Сила притяжения, действующая на материальную точку массы т со стороны точечной массы М, как известно, есть
g (г) = - Y
Мтг
W’
где г — радиус-вектор, направленный из точки с массой М в точку с массой т. Легко заметить, что
. . . _/ Мт\ Мт\
g(r) = VU (r) = V\y— j =
Итак, Е/ (г) = у ; эквипотенциальными поверхностями являются сферы х2 + У2 + z2 — г2 = const. Работа силы притяжения при изменении расстоя-
ния между рассматриваемыми двумя материальными точками от г — г1 до г = г2 есть величина
А = U (гг) - U (г,) = уМт (-i- - -^).
СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
349
§ 6]
§ 6. Старшие производные для функций нескольких переменных
1. Определение m-кратной дифференцируемости функций. Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х°; это значит, что в каждой точке х из этой окрестности существует вектор Vf(x)={-^-, ...» такой, что
f (х + Л*) — f (х) = Дх • Vf (х) + | Дх | а (х, Дх) (6.1)
и а(х, Дх)-> 0 при Дх -* 0.
Определение. Если каждая компонента
Д(*>
2, ...» л) вектора Vf(x) дифференцируема в точке х°, то 1Лы говорим, что функция f(x) дважды дифференцируема в точке х°.
Итак, если мы пишем f(x)eD2{X}, то это означает, что все компоненты вектора Vf(x) дифференцируемы в каждой
точке множества X, т. е.
(х) е Di {X} при I = 1, 2................п.
Пусть f(x)^D2{X}. Тогда в ствует вектор
каждой точке х е X суще-
(« = К2, ..., п) dxn\dxlH
такой, что
Д(х + Дх)-Д(х) = Дх-¥ Д(х) + |Дх|а(»(х, Дх) (6.2)
и а'.'Цх, Дх)->0 при Дх->0 (t = l, 2, .... п).
Определение. Величины называются част-
к °xk \ °xi /
ными производными второго порядка и обозначаются символами . <4 дх{
Все п равенств (6.2) при i= 1, 2, п мы можем записать в виде одного векторного равенства:
Vf (ж + Дх) - V/ (х) = V о (Vf (х)) Дх -И Дх | • а(,) (ж, дх), (6.3)
350
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
где под символом Vo(Vf(x)) понимается квадратная (/гХ«)*
матрица: d2/ d2f d2f
м дх} дх2 дх}дхп
d2f d2f
V»(V/(x)) = дх2дх{ дх2 .. дх2дхп (6-4)
d2f o2f . d2f
дхп дх1 дхп дх2 дх2п
под символом V о (Vf(x))Ax — произведение вектора Ах =» = {Дх1( ..Ах„} на матрицу (6.4), под а*11 (х, Ах) — вектор (а</) (х, Ax)j.
Итак, если f(x)^D2{X}, то в каждой точке хеА' суще-d2f
ствуют все частные производные ~—, входящие в матри-иX jОХу
цу (6.4).
2. Симметричность старших частных производных. Существенная деталь отличает матрицу V°(Vf(x)) вторых производ-
ных от матрицы V°g(x) первых производных дифференцируемой вектор-функции g(x) ={gi (х), gn(x)}. Именно, матрица,
вторых производных (6.4) симметрична, т. е. для ее элементов aij выполнены равенства при всех i, j = 1,2, ..., п.
Так как элементами матрицы являются частные производные.
второго порядка, то это означает, что
d2f = d2f dxt dxj dXj dxi *
(6.5)
т. е. частные производные второго порядка не зависят от по-
рядка дифференцирования.
Итак, мы утверждаем, что справедлива следующая теорема. Теорема 10.13. Если функция f(x) дифференцируема &
окрестности точки х° и дважды дифференцируема в точке х°, то>
в этой точке частные производные
d2f dxt dxj
d2f dxj dxt
равны друг
другу, т. е. справедливо равенство (6.5).
Доказательство. Мы приведем доказательство для случая п=2, т<£к как после этого утверждения теоремы становятся
U
очевидными.
Пусть точки (х0 + й, у0 + й), (х0 + й, z/о), (*о, Уо + й) принадлежат окрестности точки (х0, уо), в которой существуют частные производные f'(x, у), (х, у).
СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
351
§ 6]
Рассмотрим функцию Ф(/г):
ф f (хо + h,y0 + h) — f (х0 + h, у0) — f (х0, y0 + h) + f (х0, уа)
функцию Ф(й) можно выразить через разность значений функции <р(х) = у^ в точках х = х0 + h и х = х0,
т. е. Ф(й) = ---°-+-Л^~-ф^х^-. Так как ф(х) дифференцируема, то по формуле конечных приращений Лагранжа
ф (Л) = Ф(хр + Л)-ф(х0) = ф,{Xq + 01Л) =
=IГ; К + 0Л у0+А) - Гх(*0 + ед Уо)]=
= Т (хо + 0i А> Уо + А) - f'x (хо> Уо)] -
-|[/;(^о+0луо)-/;(^уо)] (в-в)
(О < 0| < 1).
Величины, стоящие в квадратных скобках в правой части (6.6), представляют собой приращения производной /' в точке (х0, #0). По условиям теоремы f'x дифференцируема в точке (х0, z/0); поэтому
f'x (*о + Qih> Уо + Л) - f'x (хо- Уо) ==
= f'xx (Х0> Уо) 01А + fyx (Х0> Уо) h + Ла1 (Л)
и a.i(h)-+0 при й->0. Аналогично
f'x (*о + 01Л> Уо) ~ f'x (*о- Уо) = f'xx (хо> Уо) 01Л + Л<х2 <Л)
и а2(й)->0 при Л—>0. Подставляя эти формулы в (6.6) и переходя к пределу при Л->0, получим
lirn®(4 = lim[/'',(x0, + ».) <в-7>
Л-rU
Если, однако, представить Ф(Л) в виде
ф (ft) == (Уо + ~ 'Ф <Уо) t (у) = + ,
и провести аналогичные выкладки, то получим, что
1ип Ф(Л) = ^(х0, у„). (6.8)
352
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Сравнение равенств (6.7) и (6.8) показывает, что ПтФ(Л) = So) = /;,(x„
т. е. теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что и для функций f(xt, х2, .. . . .., х„)еО2 при п>2 имеем
d2f = d2f dxi dXj dXj дх{ ’
так как производные f" xixj
И f'xx xixl
суть производные от функции
f(x9....хр х^+1, ..., х,, х9+1, ..., х°) по двум перемен-
ным при фиксированных значениях остальных переменных xft = х9 (/?=/= i, k =/= j).
Определение. Будем говорить, что функция f(x) т раз дифференцируема на множестве X, если в каждой точке х е X
дифференцируемы все частные производные порядка т—1:
дт~Ч
дх^ ... дхапп
(а,+а2+ ... +ап = т — 1).
В этом случае пишем f (х) е Dm {X}.
Из доказанной выше теоремы вытекает, что если f(x) дифференцируема т раз и ai + аг + ... + an w, то частная производная' от функции f(x), полученная дифференцированием ai раз по переменному Xi, аг раз по х2, .... an раз по хп, не зависит от того, в какой последовательности выполняются эти дифференцирования.
Достаточным условием /n-кратной дифференцируемости функции /(х) в точке х° является существование в окрестности этой точки и непрерывность в точке х9 всех частных производных порядка т (см. теорему 10.9).
3. Необходимые условия потенциальности векторного поля. Применим доказанную теорему к изучению вопроса о потенциальности заданного векторного поля g(x)={gi(x), ..., gn(x)}, X = (X|, . . . , Xn}.
Теорема 10.14. Пусть векторное поле g(x) задано в области X и пусть g(x)eD1{X}, т. е. все компоненты gi(x) дифференцируемы в X. Тогда для того, чтобы векторное поле было потенциальным, необходимо выполнение следующих условий:
(»,/=1,2......п). (6.9)
С/Л j С/Л j
§ Л
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
353
Доказательство. В самом деле, пусть g(x)—потенциальное векторное поле в X; тогда существует функция f(x)e е£)2(Х) такая, что Vf(x) = g(x), т. е.
= (6-10)
Так как Я1 (х) <= D, {/}, то = и из (6.10) еле-
дует, что для потенциального векторного поля условия (6.9) должны выполняться тождественно в X.
Итак, условия (6.9) представляют собой необходимые условия потенциальности дифференцируемого векторного поля g(x).
В гл. XII, § 9, мы увидим, что при некоторых предположениях относительно области X эти условия являются также и достаточными.
Сформулируем доказанную теорему для случая /1 = 2. Если векторное поле
F(x, у) = Р(х, y)i + Q(x, у) j
потенциально и дифференцируемо, то дР (х, //) __ dQ (х, у) ду дх
При п = 3 потенциальность дифференцируемого векторного поля
F(х, у, г) = Р(х, у, z)i + Q(х, у, z) j + R (х, у, z) k приводит к выполнению трех условий:
= dQ = a/? dQ_=dP_ ду dz * dz дх * дх ду
§ 7. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Дифференциалы старших порядков
1. Формула Тейлора. Пусть функция /(х) задана и т + 1 раз дифференцируема в связной области X переменных х = ={*........ (f(x)e £>„1+1 {/}).
Формулу Тейлора с центром в точке х° для функции /(х) легче всего получить, предположив, что все точки прямой
5 = х° + /(х-х°) (7.1)
при 0 1 лежат в области X. Тогда вдоль прямой (7.1)
функция f(x) является функцией u(t) = f(х° + /(х — х0)) одного
354 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X переменного t\ применяя к этой функции тождество Тейлора (см. гл. V, § 14), получим
(7-2)
_ f dm+I«(T) (1-т)т , ,q
------—dr. (7.3)
0
Вычисляя производные —и подставляя их в (7.2), по-diR
лучим тождество, называемое формулой Тейлора для функции f(x)<=Z)m+, {X}.
Имеем равенства
и (0 = f (х° + t (х — х0)), и (0) = f (х°), Дх — х — х°,
=4 f (х°+1 Дх)=(х°+* д*> •Дх=
= ‘Й-(Х°+ /Дх)Дх1 + ••• +(х° + Мх) Дх„,
^Г=^МД*1 + ••• +-^(*°)Ax„ = Vf(x»)-Ax,
= [V о (V/ (х° + t Дх)) Дх] • Дх =
= 7^-Дху+ ~1 Дх,Дх2 + ... + Дх, Дх„ +
дх{ дх{ дх2 дх1дхп
I d2f А А | , d2f А А I
+ —л— &х2 + ... + iкхп +
1 дх2 дх^ 2 1 1 * дх2 дхп 2 п 1
дх„<?х,
d2u(0) _ VI d2f , 0}. .
dt2 ~ 2d дх, дх. (х ’ *xiДх/
i, /=1 7
Формула, получающаяся из (7.2) после подстановки в нее этих выражений для производных, достаточно громоздка. Мы приведем ее лишь для случая и=2, обозначив независимые пе-
§ 7] ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА 355 ременные через х и у. Тогда имеем
f (х, у) = f (ХО, у0) + (х0, Уо) Дх + (х0, Уо) Ajr] +
+4" [&(х<”Уо) Дх2+2 (х°’Уо)Дх ^у+w(х<”Уо) Д!/2]+
+ i ["S' (х°’ Уо) Д*3 + 3 ~дхЙ)у (х°’ Уо) Дх2 ^У +
+ 3 <х°’ Дх Ду2 + W <Х°’ Уо)Д^3] + ‘ * *
mF [~di^ (Х°’ У^ ^Х>П +
+/п71-.^-д^~|ду+ ••• +
дх ду оу 1
+ /?т+1(Дх, &у)\ ^X — X — Xo, ь.у = у — уй. (7.4)
Если же мы хотим иметь общий вид формулы Тейлора, то запишем тождество (7.2) в виде
f (х)=f (х°)+[4 и*°+1 (* - *°))Цо+
••• +i[^-H*°+/(*-«°))]/=o + /?m+i(x. *°). (7.5) где
/?т+1 (х, х°) = / <+1Н*°+т(х-х0)) t о_=_1П dx (7 6) О
Выражая входящие в формулу (7.5) производные через частные производные функции f(x) в точке х° и подставляя их в (7.5), получаем формулу Тейлора.
Замечание 1. Возможно, что приведенный выше вывод формулы Тейлора может создать неправильное впечатление о том, что формула Тейлора (7.5) имеет место лишь в том случае, если вместе с точками х°, х области X принадлежат также все точки прямой (7.1) при 0 t 1. На самом деле этого не требуется и достаточно лишь связности X. Действительно, пусть точки х, х° е X, а кривая х=<р(/) лежит в X, проходит через точку х° при /=0 и через х при /=1 и <р(/)е Cn+i {[0, 1]}. Пусть, кроме того, эта кривая такова, что
<р'(0) = х —х°, q/'(0) = 0.ф"‘> (0) = 0, <р(т+1,(0) = 0. (7.7)
356 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Тогда для функции u(t) =f(<?(/)) запишем тождество Тейлора (7.2). Учитывая (7.7), обнаружим, что равенство (7.2) совпадает с (7.5).
Итак, мы видим, что формула Тейлора (7.5) имеет место для всех f(x) е Dm+\ {X}, если X — связная область, любые две точки, которой можно соединить кривой ж = ф(/) eDm+ь удовлетворяющей условиям (7.7). Выполнение этих требований, однако, не накладывает на область дополнительных ограничений.
Замечание 2. Аналогично случаю одной переменной, формула Тейлора (7.5) может быть получена из тождества
X X
f(x) = f (х°) + / Vf (т) dx = f (х°) + / Vf (t) d (т - x) (7.8)
с помощью интегрирования по частям. Например;
J Vf(T)d(T-x)=[Vf(T)(T-x)]^.- J (t-x)Vo(Vf(T))d(r-x)= X* x°
= (x-xO)Vf (x°) + J (x - T) V о (V/ (т))d(r - X).
X9
Подставляя это равенство в (7.8), получим
f (*) = f (ж0) + (ж - ж0) V/ (ж0) + R2 (ж, ж0), (7.9)
т. е. формулу Тейлора при /и=1. Если продолжать процесс интегрирования по частям дальше, то можно получить формулу Тейлора с произвольным т.
Будем считать, что если один и тот же индекс встречается дважды в одночлене, то по этому индексу производится суммирование в пределах от 1 доп*). Например:
= S 3x7(х°^х‘+ +тх7Ллг'1'
1 / /=1 /=1 11 i. /=1 1 1
п
^Xf^X/ЛХц.
ил^ ил$ ил& ил^ ил$ и л
) Такой индекс называется немым индексом.
§ 7]
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
357
Если принять такую договоренность, то формула Тейлора (7.5) записывается в виде
/ (ж) = / (х«) + Дх, Д (х, + ± Дх, Дх, (х") + ...
... + А Дх,, Дх,, ... Дх,„ (х, х«). (7.10)
ч 1т
„ dkf
Подчеркнем, что так как частные производные -т---------—
ахц ... ах1к не зависят от порядка дифференцирования (см. § 6), то имеют место равенства
dkf dkf
дх, ... дх, дх. ... дх, дх, ... дх. дх, ... дх, *1 Ч lm lk G Ч lk
2. Дифференциалы старших порядков.
Определение. Пусть функция f (х) задана в окрестности точки х° и удовлетворяет условию
/ (х) — f (*°) = gl bXt + -^j- gli bx{ bXj + gilk b.Xt bXj bxk + ...
••• -t bxt bx{ ...bxt + I Ьх г a (x, x°), (7.11)
"H 4*2 *1 *2 m
где bx( = x( — x°it bx = x — x°; постоянные величины g^, gllk, .. . •••> 1т удовлетворяют равенствам gu = glh giik = giki = — gkii = gkii = giik = giki*) и т. д. (/, /, k ... = 1, 2.n),
а величина a (x, x°) — бесконечно малая при Дх->0, т. е. lim a(x, х°) = 0. Тогда мы говорим, что функция f (х) имеет х-+х°
в точке х° дифференциалы до порядка пг, и записываем равенства
df = gldxt = gdx=^gidxl + ... +gndxn, п
d2f = gi! dxt dx} = 2 ( gl! dxi dxh
(7.12)
n
dmf = g. . dx. ...dx. = 2 gi t dx. ...dx. .
'1 •••‘1 'n lvi2.....lm=.\ *Г”*т ‘1 *m
*) To есть величины g{j, ........gl ,,, i не изменяются при пере-
становке у них любых индексов.
ЗБ8 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Символы df, d2f, ..., dmf называем дифференциалами функции f(x) в точке х° соответственно первого, второго, ..., /и-го порядка, символы dx\, dx2, ..., dxn — дифференциалами независимых переменных Х\, ..., хп.
Итак, пг равенств (7.12) означают, что имеет место представление (7.11) для приращения ku=f(х) — f(х°) функции f(x) в точке х°.
Равенства (7.12) означают также, что разность
А/ (*°) - g, Ьх, - 4- gtl Ах, Ах, - g(i... Ах/( ... Ax,m==
= | kx Г a (x, x°) есть бесконечно малая при х—>х° порядка выше чем т. Так же как и в случае одной независимой переменной, из равенства (7.11) не следует, что f(x) дифференцируема в точке х° более чем один раз. Однако имеет место следующая теорема.
Теорема 10.15. Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х° и дифференцируема пг раз в точке х°. Тогда функция f(x) имеет в точке х° дифференциалы до tn-го порядка', при этом = — (*°) dxl>
1 Z=1 1
= дх, dxf dX{ dx> = дх, дх, dXl dx> ’
(7.13)
dmf = -д—— dx'i dxi ... dx{ , ' дх, ... дх, ч *2 ‘m’
ч lm
т. е.
ёи = «т. д.
Доказательство. Пусть х — любая точка из окрестности точки х°, в которой функция f(x) ш—1 раз дифференцируема.
Рассмотрим функцию
и (/) = f (х° + t (х — х0)) (7.14)
одного переменного t. Эта функция дифференцируема в точке t=0 пг раз и обладает m—1 производной по переменному t при 0 t 1. Поэтому для функции u(t) имеем формулу Тейлора (см. гл. V, § 14)
U(/) = W(0) + «'(0)4+ ••• + um (0) "S’ +1 <г a (/) (7.15) и a(0~* 0 при / —► 0, т. е. a —> 0 при х —> х°.
§ 7|
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
359
Простые вычисления дают
(«ж
*1 т
(7.16)
Подставляя в (7.15) формулы (7.16) и полагая затем /=1, получим
и (1) = f (х) = f (X») + ± Д (X») (х, - X?) +
"* 2Г дх{ дх, (*о) (*« — Х°) (*/ — */) + • • •
_|_ J-----_________(х —хо\ (х _ х° \ ~1_
+ ml дх{ дх{ ... дх{ \.Xl, *1 *2 1т
+1 х — х° |т а (х, х°) (7.17) и а(х, х0)->0 при х-+х0.
Сравнение равенства (7.17) с (7.11) показывает, что функ-ция /(х) обладает в точке х° дифференциалами до т-го порядка и выполнены равенства (7.13). Теорема доказана.
Равенства (7.13) показывают, что для дифференцируемой р раз функции можно пользоваться правилом вычисления дифференциалов
dmf(x) = d(dm-7(x)) (7.18)
при tn^Cp, если только договориться, что d(dxi) = d2Xi = О, i=l, 2, ..., и, т. е. считать при вычислении второго и старших дифференциалов функции f (х) дифференциалы dxh ..., dxn независимых переменных фиксированными. Тогда мы имеем
#f (X) = d (df (x)) = d (x)) dx, + ... + d (X)) dxn =
4$dx'+^1dx'dx’+ +^dx'dx-+ + , dxx dx2 + ... +-^-dx2n = dx2dx{ dxn
(7.19)
n
= V “3^—dxtdxi = —dxidxi и т. д.
дх.дх, 1 1 дх.дХх 1 1
/. /«1 ‘ z 1 z
360 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Рекуррентные формулы (7.18) удобны для запоминания, и мы легко вычисляем по ним дифференциалы любого порядка. Например, для функции двух переменных имеем
df — fxdx + fydy, d2f = d (fx dx + fy dy) = fxx dx2 + fxy dx dy + fyx dy dx + fyy dy2 =
= fxx dx2 + 2fxy dx dy + fyy dy\
d3f = d (d2f) = fxxx dx3 + fxxy dx2 dy + 2fxxy dx2 dy + + tfxyy dx dy2 + fyyx dy2 dx + fyyy dy3 =
= f xxx dx3 4- 3/xxy dx2 dy 3fxyy dx dy2 -f- f yyy dy3, и т. д.
§ 8. Неявные функции
1. Теоремы о существовании и о единственности неявной функции. Один из способов задания функциональной зависимости и(х) есть неявный способ, когда эта зависимость задается в виде
F(x, н) = 0, (8.1)
не позволяющем, вообще говоря, непосредственно находить и по заданному х={хь ..., х„}.
Для наглядности геометрической интерпретации мы рассмотрим случай п = 2, и пусть уравнение (8.1) задано в виде
Г(х, у, z) = 0. (8.2)
Если существует функция г = ф(х, у) такая, что F(x, у, ф(х, у)) = 0 (в некоторой области переменных х, у), то мы говорим, что функция г = ф(х, у) неявно задана уравнением (8.2). Такая функция z = ф(х, у) называется неявной.
Возникают следующие вопросы:
1) Пусть функция F(х, у, г) задана в некоторой области переменных х, у, z. Существует ли неявная функция г=ф(х, //) и в какой области переменных х, у она определена?
2) Единственным ли образом задана неявная функция г= = ф(х, у) уравнением (8.2)?
3. Какими свойствами обладает функция г = ф(х, у), неявно* заданная уравнением (8.2)? Как связаны свойства функции z = ф(х, у) со свойствами функции F(x, yt z)?
4) Каковы практические приемы вычисления неявной функции z = ф(х, г/)? Как дифференцировать неявную функцию? И т. д.
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
361
§ я]
Ниже мы приведем достаточные условия на функцию f(x,/у, г), при выполнении которых можно дать ответ на эти вопросы.
Прежде всего ограничимся случаем, когда функция F(x,y,z) задана в цилиндрической области 3 переменных
- 1 ПрИ х и у
у, z, т. е. случаем, когда функция F(x,y,z) из некоторой области 3' двух переменных и при z е [а, 6] (рис. 40). Будем в этом случае писать, что S’ = X [а, Ь].
Теорема 10.16. Пусть функция F(x,y,z) задана и непрерывна, в цилиндрической области 3 = 3' X [л, w пусть при (х, у) е 3'
F(x, у, a) -F(x, у, Ь) 0. (8.3)
Тогда существует по крайней мере одна функция z = ср(х, у), заданная при (х,у)^3', такая, что F(х, у, <р(х, у)) = = 0 в области 3'.
задана
Доказательство. Пусть (х0, z/0)—любая точка области 3'. Так как F(x, у, г) непрерывна в 3, то F(x0, yQ, z) непрерывна при а z Ь. Непрерывная функция F(xQ, уо, z) принимает на [а,Ь] любое промежуточное значение между F(x0, уо, а) и F(xq, уо, Ь). Если F(x0, yQ, a)-F(x0, z/о, Ь) = 0, то либо F(xo,yo,a) =0, либо F(xo,yo,b) =0. В этом случае полагаем соответственно либо z = (р(х0, уо) = а, либо z = <р(х0, уо) = Ь. Если же Е(хо, уо, a) -F(xq, уо, Ь)К 0, то в силу непрерывности функции F(xo,yo,z) существует точка £ е (а, Ь) такая, что F(х0, уо, £) = 0. В этом случае полагаем z = <р(х0, Уо) = £ *).
Итак, каждой точке (х0, уо) ^3' мы поставили в соответствие число <р(х0, уо) = Z е [а, Ь] такое, что F (х0, уо, <р(х0, Уо)) = = 0. Таким образом, неявная функция z = <р(х, у) в области 3' построена, и теорема доказана.
Заметим, что эта теорема остается верной, если потребовать непрерывности F(x, у, z) лишь по переменному z вместо непрерывности F(x, у, z) по совокупности переменных х, у, z.
Теорема 10.17. Пусть функция F(x,y,z) задана в цилиндрической области 3 = 3' \ [а,Ь] и в каждой точке (х0, уо) е 3' функция h (z) = F (х0, yQ z) — строго монотонная функция переменного z. Тогда уравнение (8.2) определяет в Зг не более чем одну неявную функцию z = ср(х, у).
Доказательство. Предположим противное. Пусть в некоторой точке (х0, уо) = 3' уравнение (8.2) определяет два
) Если таких точек £ е (а, Ь) несколько, то выбираем любую из них.
362
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
значения z\ Z\ = q>i (х0, Уо) и z2 = ф2(хо, Уо) =# zh таких, что F(x0, Уо> zI) = F(x0, t/o, z2) = 0.
Но это невозможно, так как функция F^x^y^z) строго моно* тонна по переменному z и, следовательно, F(x0, z/o, zt) =# =/= F(x0, z/o, z2) при Zi #= z2. Следовательно, в каждой точке (х0, уо) е &' определено не более чем одно значение z = ср(х, у) неявной функции, заданной уравнением (8.2). Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть F(x, z/, a)-F(x, у, b) 0, функция F(x,y,z) дифференцируема no z и производная F'(x, z/, z) сохраняет один и тот же знак в области например, F'(x, У\ z)>0. Тода существует, и притом только одно, решение z = ф(х, у) уравнение (8.2).
В самом деле, функция F(x,ytz) непрерывна по переменному г, как дифференцируемая по z функция. Поэтому согласно теореме 10.16 существует по крайней мере одна неявная функция г = ф(х, у). Так как F'z > 0, то F(x,y,z) монотонна по z, и, следовательно, по теореме 10.17 неявная функция единственна.
Следствие 2. Пусть функция F(x, z/, z) непрерывна в S и дифференцируема по г; производная F'(x, z/, z) сохраняет знак в например Fz(x, у, z)>0, и F(xo, z/o, Zo) = 0, где точка (х0, z/o, z0) — внутренняя точка области S. Тогда существует окрестность (х —х0)2+ (у — z/o)2 < е2 точки (х0, z/o), принадлежащая области S', в которой определено единственное решение г = ф(х, у) уравнения (8.2).
Доказательство. Так как F (х0, z/0, z0) = 0, а < z0 < & и Fz(x0> l/o’z)>O ПРИ то F^, yQ,a)<0 и Г(х0, у0, &)>0.
Функции F (х, у, а) и F (х, у, Ь) — непрерывные функции переменных х, у. Поэтому существуют окрестности (х — х0)2 Н-+ (У ~ Уо)2 <е/ (1==1> 2), в которых сохраняют свой знак соответственно F(x, у, а) (г=1) и F(x, у, Ь) (1=2). Выбирая е, = min {е^ е2}, получим, что в области SFe:
(х — х0)2 + (у — Уо)2 < е2, а < z < b,
выполнены все условия следствия 1 из теоремы 10.17. Поэтому в окрестности (х — *o)2+(y — Уо)2 <. е2 точки (хо, уо) существует, и притом единственная, неявная функция z = <р(х, у), определяемая уравнением (8.2).
Теорема 10.18. Пусть функция F(x,y,z) задана и непрерывна в области 9 = “S’ [о, ft], дифференцируема в этой области по г, F(x,y,a)-F(x,y,b) 0 и F'z (х, у, z)>e>0.
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
звз
§ 8]
Тогда уравнение (8.2) определяет единственную неявную функцию z = ц>(х, у), которая непрерывна в области 9'.
Доказательство. Существование и единственность неявной функции г = ф(х, у) при (х, у)е^' вытекают из предыдущей теоремы (следствие 1). Докажем непрерывность функции z = ф(х, у) в области 3'.
Пусть точки (х0, у0) и (х, у) принадлежат области 3'. Обозначим z0 = ф (х0, у0). Так как F (х0, у0, z0) = F (х, у, г) = 0, то
Г (хп, у0, z0) — F(x, у, z) =
₽ [F (х0, у0, z0) — F (х, у, z0)] + [F (х, у, z0) — F (х, у, z)] = 0; (8.4)
ввиду непрерывности функции F(x, у, г) величина | F(x0, у0, z0) — — F(x, у, z0)|->0 при (х, у)-+(х0, уо). Так как F(x, у, г) дифференцируема по z, то
F (х, у, z0) - F (х, у, z) = F'z (х, у, г0 + 0 (z0 - z)) (z0 - z) =
= У> У[ф(хо’ Уо)-<₽<*• S')] (0<0< 1, a<l<b).
Подставляя это равенство в (8.4), получим
ф(х, 9)-ф(х0, №)=
Fz (х, у, £)
Так как по условию F'z (х, у, £) > е > 0, то ф (х, у) — ф (х0, у0) -> 0, при (х, I/) —* (х0, Уо), т. е. ф(х, у) — непрерывная функция. Теорема доказана.
2. Дифференцируемость неявной функции.
Теорема 10.19. Если к условиям предыдущей теоремы добавить требование дифференцируемости функции F(x,y,z) в области 3 (по совокупности переменных х, у, z), то тогда неявная функция z = ф(х, у) будет дифференцируемой в области 3'.
Доказательство. Пусть (х,у) ^3', (хо,уо)^3',
z = ф(х, у) и z0 = ф(х0, уо).
Так как функция F(x, у, z) дифференцируема в области 3, то
О = F (х, у, z) — F (х0, уо, z0) = (х0, у0, г0) + а] Дх +
+ [17 (*о. I/o, *о) + ₽] Ay + [-|£ (х0, уо, z0) + у] Az,
где Ах = х — х0, Ау = у — уо, Az = z — z0 и а, 0, у -* 0 при Ax2 + Ay2-j-Az2->0.
Согласно предыдущей теореме ф(х, у) — непрерывная функция переменных х, у. Поэтому Az = ф (х, у) — ф (х0, у0) = z — z0-»(X при Дх-*0, Ду->0. Следовательно, мы можем считать, что
364
ФУНКЦИИ нескольких действительных переменных
[ГЛ. X
а~>0, Р“► 0, у->0 при Дх->0, Az/—>0. Таким образом, dF , dF , о
-Ч—+ о ---h Р
Дг = <р (х, у) - ф (х0, у0) = - ----Дх - -----Ду. (8.5)
<?z +v dz
(В обозначениях частных производных функции опущены аргументы х0, у0, z0.)
ар
По теореме о пределе частного, учитывая, что (х0, у0, zo)y=O, получаем
lim
Ах->0
Д{/ -> 0
dF , \ dF
-т- + а \ -s-
dx i-а I dx
dF + y; ~ dF
dz dz
lim
Дх-»0
Д1/ -> о
dF ду dF dz
dF 4-А
dF .
dz + Y
Поэтому
dF , dF dF , Q dF
——Fa "3- "3—F p -z—
dx ' _ dx । , dy r _ dy । q,
dF , ~ dF ’ dF , — dF P
dz +Y dz dz Y dz
и a'-*0, Pz —>0 при Дх->0, Ду->0. Итак, dF dF
Дя==ф(х, у) — ф(х0, Уо) =---------77-Ду + а'Дх + 0'Ду,
> Fz Fz
т. e. неявная функция ф(х, у) дифференцируема в каждой точке (х0, у0) е
Градиент V\p(x, у) и частные производные неявной функции вычисляются по формулам
?ф(х, у) = {--£-, --М, (8.6)
' Fz Fz '
= _ (8 7)
дх F'z‘ ду F’z‘ 1 ‘ '
Теорема доказана.
Пусть теперь функция F(x, у, г) задана в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0), обладает в этой окрестности непрерывной производной F'z(x, у, г) и дифференцируема в ней; пусть также
F(х0, Уо, z0) = 0 (8.8)
м
Fz(X0’ У# Zo) °'
§ 8]
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
365
Тогда в достаточно малой окрестности точки (х0, Уо, z0) производная Fz(xy у, z) сохраняет постоянный знак, как непрерывная функция, и мы можем применять в этой окрестности предыдущие теоремы. Как их объединение получаем поэтому следующую теорему.
Теорема 10.20. Пусть функция F(x,y,z) дифференцируема в окрестности точки (х0, Уо, z0), обладает в этой окрестности непрерывной частной производной F'z(x, у, z), удовлетворяет условию (8.8) и F'z{xQy yQy z^ =/= 0. Тогда найдется достаточно малая окрестность точки (х0, Уо, z0)
(х — х0)2 + (у — У о)2 + (z — ZO)2 < 62.
в которой *) уравнение (8.2) определяет единственную непрерывную и дифференцируемую неявную функцию z = <р(х,//), частные производные которой вычисляются по правилу (8.7).
Эта теорема является объединением предыдущих и по этой причине не нуждается в отдельном доказательстве.
Ниже нам потребуется случай, когда число независимых переменных произвольно. Поэтому приведем формулировку этой теоремы для случая произвольного числа I независимых переменных gi, ..., £/. Доказательство этой теоремы аналогично случаю I = 2 и следует из предыдущих теорем.
Теорема 10.21. Пусть функция Ffa,... £/, т]) = F(g, т]) дифференцируема в окрестности
— §°12 +1 п —П°12</?2
точки (£°, т|°) пространства Ем, обладает в этой окрестности непрерывной частной производной F'^ (§, т]) и F'n (§°, т]°) =^= 0, а F (§°,т1°) = 0.
Тогда найдется достаточно малая окрестность точки (£°, П°)
I § - §°12 + I п- П°1<62</?2,
в которой уравнение
F& П) = О
определяет единственную непрерывную и дифференцируемую неявную функцию т] = ф(£ь ..., £„) = (р(£).
*) Условие (х — х0)2 + (//— у0)2 + (z — 2о)2 < & гарантирует, что |ф(х, У) — Zo| < 6. Единственность неявной функции в окрестности (х — х0)2 4- (у — #0)2 < д2 гарантируется поэтому лишь при дополнительном условии \z — z0| < д. Если бы мы потребовали, чтобы Fz нигде не меняла знак, то тогда мы доказали бы единственность неявной функции ф(х, у), уже не прибегая к ограничениям на z = ф(х, у).
366
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
§ 9. Методы нахождения неявных функций
1. Методы итераций. Переходим к изучению вопроса о практических приемах нахождения неявной заданной уравнением
F (х, У> 2) = 0.
функции Z = ф(х, у),
Задача сводится к отысканию в каждой точке (х0,Уо)^$' числа Zq такого, чтобы функция одного переменного h(z) = = F(x0, Уо, z) обратилась в нуль в точке z0.
Поэтому рассмотрим следующую задачу.
На отрезке [а, Ь] задана непрерывная функция h(z) и
h(a)*h(b)^O. Требуется отыскать точку (или точки)
z е [а, такую, что h(z) = 0.
Простейший прием решения этой задачи носит название
«метода вилок». Так как
h(а) и h(b) разных знаков (случай h(a) = 0 или h(b) = 0 мы опускаем), то на отрезке [а,Ь\ найдется точка z = g, в которой непрерывная функция h(z) обратится в нуль. Укажем алгоритм («метод вилок»), позволяющий найти точку g с произвольной точностью.
Делим отрезок [а, Ь\ пополам о а —b * / \ #
точкой Zj — —-— и, если h(zi) =/=
, ~ Г а + Ь 1
=/= 0, то из двух отрезков 1а, ——
Га + Ь .1 .
и I—-—, bl выбираем тот, на концах которого функция h(z) имеет
значения с противоположными знаками. Следовательно, в этом отрезке заключен корень уравнения h(z) =0. Снова делим этот отрезок пополам точкой z2
и, если h(z2) #= 0, то снова выбираем тот из двух отрезков,
в котором необходимо заключен корень уравнения h(z) = 0. Продолжая этот процесс, мы сможем с произвольной точностью определить корень уравнения h(z) = 0.
«Метод хорд» отличается от «метода вилок» лишь тем, что отрезок [а, И для которого h(b)-h(a) < 0, делится не пополам, а точкой z = g пересечения хорды
и —,Mn) + (Z-0)
с прямой и = 0 (рис. 41). Отсюда получаем формулу для
t_____h(a)(b — a) , _ ah(b) — bh(a)
6— ft (ft)-Л (a) 'r — h(b) — h(a) ’
§ 91
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
367
и так как h(a)h(b) < 0, то а < £ < Ь. В остальном все обстоит так же как и в «методе вилок»: если Л(^)=/= 0, то из двух отрезков [af g] и [£, Ь] выбираем тот, на концах которого функция Л (г) имеет разные знаки. Этот выбранный отрезок хордой снова делится на два, и этот процесс продолжается до тех пор, пока корень уравнения h(z) = 0 не будет известен с заданной точностью. (Очевидно, точность определения корня не меньше, чем длина отрезка, на котором мы прекращаем деление.)
Очень важный способ отыскания корня уравнения h (г) =0 носит название метода последовательных приближений или ме-тода итераций.
Пусть уравнение h(z) =0 эквивалентно уравнению z = f(z) (т. е. эти уравнения имеют одни и те же корни) *).
Рассмотрим последовательность {Zk}, которая задается рекуррентной формулой
h=fM (9.1)
и начальным значением Z| = аЕ [а, ft]. Установим достаточные условия, при которых последовательность {гк} сходится при оо к корню уравнения
Л(г) = О. (9.2)
Теорема 10.22. Пусть функция /(г) задана и дифференцируема на [a, ft]. Если при этом а < f(a), f(b) < ft, а </(?)<. ft и |/'(г)|^<7<1 пРи z е [°. Н то существует единственный корень £ е (а, ft) уравнения
z = f(z) (9.3)
и последовательность {?*}, заданная формулой (9.1), сходится при k-* оо к этому корню (гл -> g).
Доказательство. Функция f(z) непрерывна на [a, ft], как дифференцируемая функция; также непрерывна функция ф(г) =/(г)—г. Так как <р(а) = f(a)—а > 0 и q>(ft) = = f(ft) —ft < О, то по крайней мере в одной точке ge (a, ft), <p(g) =0, т. е. Итак, корень ge (a, ft) уравнения
(9.3) существует.
Докажем, что уравнение (9.3) не может иметь двух корней £i, (a, ft). В самом деле, равенства и /(&) =
при gi & невозможны, ибо по формуле Лагранжа
1/Q1) - f G2)l = l ГС) II Ъ - Ы, £ e (gh g2) c (a, ft),
и мы получаем противоречие:
I - Ы<<71£1 - bl<l li - u
*) Существует много приемов приведения уравнения Л(г) = 0 к виду г =/(г). Например, если I(г) = а(г)Л(г) + г и а(г) т£0, то уравнения г = I (г) и Л (г) =0 имеют одни и те же корни.
368 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Так как согласно условиям теоремы при z е [а, 6] а f(z) 6, то при любом Zi = а е(а, Ь) рекуррентная формула (9.1) задает последовательность {z/J, все члены которой удовлетворяют условию
a<z*<6 (*= 1, 2, ...).
Вычитая из уравнения (9.1) уравнение zh-\ = f(z*_2) (очевидно, также имеющее место при k 3), получим по формуле Лагранжа
Zk “ Zk-\ = f (Zk-\) “ f (Zk-2) — f' (£ft) (zk-\ Zk-2)>
%>k ~ Zk-2 + 0ft (Zk-\ “ Zk-2) (0 < 0ft < 1)>
откуда следует, что a<lk<b. Поэтому |f'(£fe)l^?< Ь и мы получаем оценку
I zk ~ *ft-i К q I zk~\ ~ zk-21- (9.4)
Многократно применяя эту оценку, получим
I Zfc - zk-x к q\z*_, - z*_2 K<72| zk-2 - zfc_31<
< <731 Zfc-з - zk-t |< ... < qk~21 z2 - zx | = q*M, где
М=\^Л b-a^ <72 <72
Отсюда следует сходимость последовательности {zk} при й-* оо, ибо
zk = z( + (z2 — zx) + (z3 — z2) + ••• +(** — zk-i), (9.5)
oo
а ряд 2 I z* — z*-! | сходится, так как | zk — zft_, |<M?* и ft = 2
UKI.
Пусть g= lim zk\ очевидно, a<£<6. Так как функция f(z) ft->oo
непрерывна на [a, &], то f(zk)-^f(l) при fe->oo. Переходя к пределу при k-+<x> в равенстве (9.1), получаем
*, = №)>
т. е. предел последовательности {z*} является корнем уравнения z = f(z). Теорема доказана.
Останавливая процесс итераций на какой-либо итерации номера &о, мы определим лишь приближенное значение гка корня уравнения z = f(z). Ошибка |£ — гк, | в определении корня
§ 91 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 369
Не превзойдет, как это видно из (9.5), величины
оо оо
I £ I I Z& + 1 %k I I ^Ло+Л ^Ло + Л-1 I
k = /г0 k = 1
• < I z.o - ^0-11 S qk = —. (9.6)
fe = i
Из этой оценки можно сделать заключение о необходимом числе итераций для достижения заданной точности в определении корня £ уравнения z = f(z).
Очень многие вычислительные алгоритмы могут быть представлены как метод итераций для определения корня некоторого уравнения.
2. Метод Ньютона для одного уравнения. Снова рассмотрим вопрос о нахождении корня z = g уравнения
F(2) = 0, (9.7)
и пусть функция F(z) обладает на [а, Ь] двумя ограниченными
производными.
Пусть нам известно, что на отрезке [«, 6] имеется (один) корень уравнения (9.7). Изложим так называемый «метод касательных» (или метод Ньютона) для на-
хождения корня уравнения (9.7).
Пусть число zh достаточно близко к значению корня z = % уравнения (9.7). Будем предполагать, что вблизи корня F'(z)=£0. Проведем из точки (гЛ, F(zk)) на плоскости переменных г, и касательную к графику функции и = F(z) до пересечения ее с осью и = 0 (рис. 42) в точке zk+[. Очевидно, имеем формулу
/r(ZA) + -^-(Zt)(24 + 1-zJ = °, (9.8)
откуда
2*+l dF
dz
(9.9) Рис. 42.
Вычисление последовательных приближений {zj по формуле (9.9) и называется методом Ньютона решения уравнения (9.7). Мы видим, таким образом, что метод Ньютона есть один из способов итераций, для которого
f (z) = z -
f (г) Г (г) •
370
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ГЛ. X
Производная этой функции
I W 1 Г(2) -Г [F'(z)]2 [Г (г)]2
близка к нулю, если аргумент z близок к корню z = £ ния (9.7) и F'(£) =/= 0. В самом деле, тогда величина
уравне-
(f'(z)P ограничена вблизи корня, a F(z) -> 0 при z->g. Поэтому метод Ньютона дает сходимость, и притом очень быструю, если только начальное приближение находится достаточно близко от корня z = £ уравнения (9.7). Заметим, что существенным недостатком метода Ньютона для применения на вычислительных машинах является то, что он требует достаточно точного начального приближения zlt что подчас бывает трудно обеспечить при практических расчетах.
3. Метод Ньютона для систем уравнений. Применим теперь метод Ньютона к решению системы из т уравнений с т вестными:
Fdz\.....г,„) = 0....Fm(z{......zm) = 0,
неиз-
(9.10)
с дважды дифференцируемыми функциями уравнения мы можем записать в виде одного нения:
Л......Fm.
векторного
Эти урав-
F(z) = 0,
(9.10')
где F = (F1, .... Fm}, z = {zi..zm}.
(ft) w Пусть известно k-e приближение z = {zit .. (ft+i) деления следующего k + 1-го приближения z полагаем
w
., zm}> для опре-
W dF, W (fe+1) (ft)
F‘&+ - z/) = ° /=) 1
(Z = 1, 2, ...» /и).
(9.U)
Эти т уравнений также удобно записать в виде одного векторного уравнения:
(k) яр (k) (fe+l) (Л)
Г(г)+<(*)( z — z) = 0.
(9.Н')
Уравнения (9.11) получаются из уравнений Fi(z) = 0 при-да
менением формулы Тейлора с центром в точке z при учете членов только первого порядка.
’Система уравнений (9.11) относительно т неизвестных (*+1) (ft+i) (ft+i)
z' ={ z,..... zm] является линейной системой из т урав-
§ 9)
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
371
(ft)
нений с определителем A = det
dF, dzi
I, где
dFt dzn
dFm dzt
dFm dzm
Определитель (9.12) называют функциональным телем или символом
якобианом (определителем Якоби) и
Итак,
det [g. .....f").
L dz 'J ............zm)
(ft)
A = det
D{Fx....Fm)
D(z.....zm)
(9.12)
определи-обозначают
(9.13)
(9-14)
Линейная система (9.11) однозначно решается относительно <ft+i) (ft+i) (ft+D w
z ={ z1( ..., zm }, если Д о. Тогда, обозначая символами quiz) элементы матрицы (~^~(2)) » обратной матрице ^-(z), (ft+i)
мы можем написать формулы Крамера для zt:
(ft+D (ft) .2, (ft) (ft) (ft)
Zi = Zt — S) F, (z) • Wil («) = (г) О'—1, 2, .... m) (9.15)
пли в виде одной векторной формулы:
(ft+D (ft) (ft)x-l (ft) (ft)
z .= z-(^-(z)) .Р(г) = Ф(г), (9.15')
где Ф (г) = z - (г)) • F (г).
Для дальнейших оценок вычислим производную т aZi
Имеем
Sr в ~ S S; (Fi & • чч = /=1 1 tn _ m
==6//_ Fi^ *>•
ЛИЛ UA.f ЛШ UCf
/=1 1 /=1 1
V л f °» ^ =/= />
Кронекера, 0// = ^
*) — символ
372
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Но матрицы обратными. Поэтому
являются взаимно
и мы получаем
дФ{
Заметим, что
т = г V dFl .
/=1 1
(9.16)
то § — решение уравнения означают, что
если det (£)] =/= 0 и
системы уравнений (9.10). В самом деле, эти
F(5)=o,
а так как матрица (£)) не особая, то отсюда следует, что
F(S) = O.
4. Теорема о сходимости метода
Ч7О в некоторой окрестности
Ньютона. Будем считать,
решения z = £ = {£( . •, системы уравнений (9.10) выполнены следующие условия:
1°. Функциональный определитель (9.12) отличен от нуля во всех точках этой окрестности.
2°. Функции Fi(z) обладают ограниченными вторыми производными по переменным zt, ..., zm, т. е. в этой окрестности выполнены условия
d2Ft дг! дгк
<Л1
(/, /, k = 1, 2, .... m).
т
|г-51</?
Теорема 10.23. Пусть выполнены условия 1° и 2°, сформулированные выше. Тогда существует столь малая окрестность решения '
|г —||<б (б</?),
(9.17)
§ 91
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
373
(0) что если начальное приближение z лежит в этой окрестности* (fe)
то последовательность {z}, заданная формулой (9.15), сходится при k-+oo к решению z = ^ системы уравнений (9.10).
Доказательство. Согласно условиям теоремы определитель (9.12) отличен от нуля в окрестности |z— §|</? точки £ и непрерывно зависит от z. Поэтому существует при любом б < R такое число е > 0, что при | z — § | < 6 < R
I D(F....Fm)
I D(zt, .... zm) дфи
Величины выражаются через производные второго п первого порядков от функций Fi(z) и содержат определитель (9.12) в знаменателе*). Следовательно, из ограниченности производных второго и первого порядков и из условия (9.18) вы-О^ф^ i
текает ограниченность величин -т—- в окрестности (9.17), т. е. вытекает, что существует число С > 0 такое, что в окрестности (9.17)
0 при (так как Fj(z) ->0), т. е. VOi(z)->0 при dzi
Следовательно, если выбрать величину б < R достаточно малой, то всюду в окрестности (9.17) можно удовлетворить условиям
(9.18)
^С. Поэтому из формулы (9.16) следует, что
дг1
(i —1,2, .... tn), 0<<7<1. (9.19)
У tn
Итак, фиксируем 0 < < 1 и 0 < б < R так, чтобы были выполнены условия (9.19), и покажем сходимость итераций (0)
(9.15), если только \z — §|<б. Через £ мы обозначили решение системы (9.10). Поэтому
= (i=l, 2, .... /71).
Вычитая эти равенства из равенств (9.15), получим (fc+i) (k)
*i -^ = Ф<(г)-Ф<(£). (9.20)
*) Величины суть элементы матрицы, обратной матрице из производных Как элементы обратной матрицы они представляют собой алге-
1 (dFl\
браические дополнения элементов матрицы I дг~~г деленные на определитель этой матрицы.
374 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Функции ФДг) дифференцируемы; поэтому, применяя формулу конечных приращений Лагранжа к дифференцируемой (*> <*)
функции Ui(О — Ф/(§ + (2 — »)) одного переменного I, получим
(Л) <*) (к) (*)
Ф, (г) - Ф/ (5) = щ (1) - Ui (0) = (00 =
(*) (к) (k)
= ¥Ф<(54-0/(г-?))-(г-5)
(О<0,<1).
(9.21)
Подставляя (9.21) в (9.20), получим
(ft+D (к) (к) т
I zt -&d<| V<M + Gi(z-g))| • |z —51. (9.22)
(к)
Если точка z лежит в окрестности (9.17), то в этой же ок-(ft) (к) (k) (к)
рестности находится и точка = § + 0< (z — |), так как 0 < 0< < 1, (к) (» (Л)
и, следовательно, |ц — §|<|z — § |. Поэтому в точке z = if)z выполнены неравенства (9.19) и из (9.22) следует оценка
(ft+D
(к)
т
из которой получаем
(ft+D , / <\ <*+» , / W
I г —51= У У I zi — ^|2<У m-^-|z — §|2 = 9|z — § |. ( = i
(9.23)
(А)
Итак, мы видим, что если точка г лежит в окрестности (9.17), (ft+D (Ю
то точка z ближе к корню чем г (так как 0 <(?<!).
(0)
Поэтому, если в окрестность (9.17) попала точка z, то все последующие приближения также лежат в этой окрестности. Следовательно, неравенства (9.23) в этом случае выполнены при всех k = 1, 2, ... Но из оценки (9.23) следует, что
Й+1) (0)
I z — 5К?*+1|г — 51-
Поэтому z-+5 при £->оо, и теорема доказана.
5. Достаточные условия единственности решения системы уравнений. Покажем, что в указанной выше окрестности |> — ^|<6 решения системы уравнений (9.10) содержится только одно решение z =
§ 9] МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 375
Теорема 10.24. Пусть в некоторой выпуклой области*) D переменных z= {zlt ..., zm} выполнены условия (9.19):
| (z) | < -S= (0<4<l, i=l, 2, .... tn).
V m
Тогда в области D содержится не более одного решения системы уравнений (9.10).
Доказательство. Предположим противное, и пусть г = 1я г = 1) — два решения системы (9.10), лежащие в области D.
Тогда
^ = Ф<(5), П/==ФЛп) 0 = 1,2.....п)
и
1^-п<1=|ф<(5)-ф<(п)1=1^ф<(§ + 0Дп-5))(§-п)К
<1 ?ФД5 + Мп-5))||£ - п1-
Так как 0 < 0, < 1, то точка £+0,(п— I) находится вместе с точками g и п в области D. Поэтому имеют место неравенства (9.19) и
|^-М<-^=15-п1 0=1, 2, ..., П).
У m
Отсюда следует, что
15 —пК?1§ —nl,
а это возможно, если только £ = ц. Теорема доказана.
Условия теоремы 10.24 содержат требования на вторые производные функций Л (г), однако теорема единственности решения системы уравнений (9.10) может быть сформулирована и для функций А (г), дифференцируемых только один раз.
Теорема 10.25. Пусть функции Fi(z) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки z°, а в самой этой точке z^ функциональный определитель det > (см. (9.12)) отличен от нуля.
Тогда существует окрестность | г — г° | < 6
точки z°, в которой содержится не более одного решения системы уравнений (9.10).
*) Выпуклой области D по определению вместе с любыми двумя ее точками s и л принадлежит также отрезок 0 0 1 прямой г — \ + 0 (1) — £),
проходящей через эти две точки. Поэтому выпуклая область, в частности, связна.
‘376 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Доказательство *). Если существуют два решения z = § и z = t] системы (9.10), то
F/(5)-^(n) = 0 (/=1, 2, /и).
Так же как и в теореме 10.24, отсюда следуют формулы
?/М5 + 0<(п-5))-(5-П) = О (/=1, 2, .... пг). (9.24)
Таким образом, пг компонент вектора § — 4 = Ui— Л....
.... — T)m} удовлетворяют системе пг уравнений
(*">) Ui - Л.) + • • • + (*(И) (U - Лт) = 0,
^2-(г(т))а.-Л1)+ ••• +4г!-(2,т>)(^-Лт) = 0. UZ\
(9.25)
Здесь zw = 5 + 0ь (Л — 5)> 0 < 0* < 1. Если определитель
A(z<’\ z<2’, .... z<m’) =-
-^-(г(1)) ... 4^-(*(,)) dzt ' ' dzm ' ’
(9.26)
отличен от нуля, то система (9.25) имеет только тривиальное решение — ть) =0 (i= 1, 2, ..., tn), т. е. в этом случае £=1].
Поэтому покажем, что если число д > 0 достаточно мало и точки g, т] принадлежат окрестности \z— z<°)| <д точки za, то определитель (9.26) отличен от нуля. Из формулы (9.26) видно, что элементы определителя Д(г(1), z(2\ ..., z^) суть частные производные функций EJz), Fm(z)y вычисленные в точках ..., z^n\ Согласно условиям теоремы эти производные непрерывны в некоторой окрестности точки z°. Поэтому и определитель Д(г(’\ ..., z^) есть непрерывная функция совокупности величин .. ., z^ (т. е. т2 переменных).
При z^=z\ z<2)=z°, ..., z^ = z° имеем, согласно условию теоремы,
Д (z°, z°, ..., z°) = det [4^- (z°)] =/= 0.
Определитель Д(г(1), ..., z^)y как непрерывная функция tn2 переменных ..., ztm\ сохраняет свой знак в некоторой окрестности точки zW=z\ z<2)==z°, .z^=zQ пространства Ет'.
*) Доказательство этой теоремы при первом чтении может быть опущено.
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
377
§ «1
Поэтому существует число 6д > 0 такое, что при
| 2(1) _ 2о |2 | 2(2) _ го |2 _|_ _ _|_ | z(m) _ 2о |2 < б2д
выполнено условие
Л («о, z<2>...*<")) #= 0.
Фиксируем это значение 6д > 0, и пусть точки | и ц при-дд
иадлежат окрестности | г — z° |< у— —д точки г°. Тогда, так как 0 < 0а < 1, то каждая точка z(ft) = £ + 9а(п — £) принадлежит этой же окрестности точки z°. В самом деле,
। _ го । = । (! _ 0Jk) g _|_ 0лП _ (1 _ 0fc) го _ 0*2о ।
бл
<(l-9Jl5-zol + 9Jn-z»|<6 = -^-.
V т
Итак, в этом случае
| г(1) _ го| 2 + _ + |z(m) — z°|2 < md2 = d2,
поэтому A(z(1), z(2), ..., z(m)) =/= 0 и, как мы видели, 5 = Та есть в окрестности
дд
|z-z°|<d = -4=
У т
существует не более одного решения системы (9.10). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь систему уравнений
Fx (х, z) = 0, ..., Fm (х, z) = 0, (9.27).
где х = {хь х2, ...» *n}> *={zi, г2, ..., zm}. Символом (х, z) обозначена точка пространства Еп+т с координатами {хь ..., хп, 2|, .. . , Zw}.
Приведем некоторые теоремы о единственности, существовании и свойствах решений уравнений (9.27):
21 = Ф1(*).....Zm = <J)m(x)
или кратко
z==<p(x).
Теорема 10.26. Пусть функции Fi(x, г) непрерывно диф-^ ференцируемы по совокупности переменных z={zh .... гш} в некоторой окрестности
|*-*°|2 + |z-z°|2<7?2
(9.28),
378
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ГЛ. X
точки (х°, z°), а функциональный определитель
[4г (*’")] =
dFx (х, г) dF, (х, z) дг, ' " дгт
dFm (х, z) dF,n (х, г) dzj • • • дгт
отличен от нуля в этой точке:
det [4^- (*°, г0)] ¥= 0.
Тогда существует столь малая окрестность
|ж-ж°|2 + |г-г°|2<д2</?2
(9.29)
(9.30)
(9.31)
этой точки, что система уравнений (9.27) не допускает двух решений £(ж) и т](ж), лежащих в этой окрестности, т. е. удовлетворяющих условию (9.31):
| X - Х° I2 + I § (*) - г° I2 < б2,
| х — х° |2 + 11) (ж) — г° |2 < б2.
Доказательство. Определитель (9.29) есть непрерывная функция переменных (ж, г). Поэтому, ввиду условия (9.30), существует окрестность точки (ж0, ж0)
| ж - ж°|2 +1 г - г° |2< R2 <R2, (9.32)
в которой
| det [4у-(*, г)] | > е > 0. (9.33)
Рассмотрим точки окрестности (9.32), заданные z = х°. Согласно теореме 10.25 в каждой точке (х, z°) ности (9.32) существует число 6 (х) = -Л— > е j > 0
У tn
условиями из окрест-
такое, что
при
| г — г° |< б (ж)
система уравнений (9.27) имеет не более одного решения г(ж)*). Выбрав в качестве д величину
б = min {inf б (ж), Ri}, (9.34)
|Г dF 11
d et I(х, z) I > е > 0, то при всех (х, z°) из этой окрестности дд(х)>е2>0.
§ 9]
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯ
379
где inffi(x) берется по всем х, удовлетворяющим неравенству
мы видим, что в окрестности (9.31)
| х — х° |2 +1 z — z° |2 < б2
не может существовать двух решений £(х), л (*) системы (9.27), так как это означало бы нарушение теоремы 10.25.
6. Достаточные условия существования решения системы уравнений. Сформулируем теперь достаточные условия существования решения z = q>(x) системы уравнений (9.27).
Теорема 10.27. Пусть функции Р,(х, z) (i=l, .... m) непрерывны no совокупности своих аргументов, непрерывно дифференцируемы по переменным zb ..., zm в некоторой окрестности
\x-x°\2 + \z-z°\2<R2 (9.35)
точки (х°, z°) и обладают ограниченными вторыми производными по переменным г, т. е. всюду в окрестности (9.35) | М.
Пусть, далее,
Fx (х°, z°) = 0, ..., Fm (х°, г°) = 0 (9.36)
и функциональный определитель det г)] (см. (9.29))
отличен от нуля в точке (х°, z°):
det F (ж0, z0)] =/= 0. (9.37)
Тогда найдется столь малая окрестность
| х — х° | < dj (9.38)
точки х° е Еп, что для каждого х из этой окрестности решение z = <р (х) системы уравнений (9.27) существует, удовлетворяет условию
|х -х°|2 + |г(х) -г° |2<д2</?2
(ft)
и является пределом <р (х) = lim г (х) последовательных при-
(Л)
ближений z(x), получаемых по методу Ньютона'.
(ft+i) да
Z (х) = Ф(х, z(x)) =
(Л) Г dF / №
= z (x) - (X, z (x)) ] . F (x, z (x)), (9.39)
380
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
если положить в качестве начального приближения
(0)
г(х) = г°. (9.40)
Доказательство. Ввиду непрерывной дифференцируемости функций Fi(xt z) по переменным z и условия (9.37) существует окрестность
| х - х° |2 + | z - z° |2 < 62 < /?2, (9.41)
в которой
|det [^(х, г)] |>е>0. (9.42)
В этой окрестности ограничены •обратной к матрице -~-F(x, х).
Так как в окрестности (9.41)
элементы <pz/ (х, z) матрицы,
вторые
производные
dZj dzt
ограничены,
dzt
выражаются
через производные первого
и второго порядков от функций Fi(x, z) по переменным zt причем в знаменателе находится отличный от нуля определитель (9.42), то существует число М* такое, что
^-(x,z)<M* (/, j, Z=1.tn) (9.43)
при любых х, z из окрестности (9.41).
Пусть q — любое число такое, что 0 < q < 1.
Так как согласно формуле (9.16)
г) = - 2 F, (*, z) (х, z) (9.44)
и Fj(x, 2)—непрерывные функции переменных ж, г, а ГДж0, z°)= = 0, то найдется окрестность
1*-*°12 + |г-г°|2<б|<б2 (9.45)
т-очки (ж0, 2°), в которой неравенства
У m
(9.46)
выполнены при i= 1, 2, ..., m.
Наконец, будем рассматривать только точки хеЕп такие, что
I х - х° |2<d§<62, (9.47)
а величину д3 фиксируем позже.
$ 91 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 381
Если мы покажем, что все последовательные приближения ^(х) (fe = 0, 1, ...) при х из окрестности (9.47) удовлетворяют условию
!«’(«)- г°|2<б|-б|, (9.48)
(fc)
то тогда точки (х, z(x)) принадлежат окрестности (9.45), в которой выполнены условия (9.46).
(k)
В этом случае последовательные приближения г(х) сходятся при k —► оо. В самом деле, (fe+l) (Л) (fe) U-D
I Zi(x) — zz (х) | = | Ф, (х, z(x)) — Ф,(х, Z (x)) I— (ft-1) (k) (ft) (ft-l) (ft) (ft-l)
= |{?Ф([х, z (x) + 0z(z(x)— z (x))]} •[* *(*)- 2 (*)]l (9.49)
(ft)
(0<0z< I).
Так как окрестность (9.45) — выпуклая область, то точка (ft-D (ft) (ft) (ft—i) (*—i) (ft)
(x, z +9z(z— z )) вместе с точками (x, z ) и (x, z) лежит в этой окрестности. Поэтому в этой точке выполнена оценка (9.46), и из (9.49) тогда следует:
(ft+i) (ft) „ (ft) (ft-D
I z,(x)-z,(x)K-^|z(x)- z(x)|,
V tn а отсюда (fe+D (k) (k) (fe-i)
| z (x) — z(x)|<?|z(x)— z(x)|.
Применяя эту оценку последовательно k — 1 раз, найдем (fe + t) (fe) (I) (0) (I)
| z (x) — z(x)\^qk\z(x) — z(x)\ = qk\z(x) — zQ \. (9.50)
Отсюда следует сходимость последовательных приближений {z(x)}, так как 0<^<1 *).
Покажем теперь, что, уменьшая величину бз, мы сможем до-(fe)
биться, чтобы все последовательные приближения z(x) при х из окрестности (9.47) удовлетворяли условию (9.48). Тогда это и будет означать, что мы нашли окрестность (9.47) точки х°, в которой сходятся последовательные приближения.
(k) (0) fc-1 (s + I) (s)
*) Действительно, z(x) = z(x)+ 2j ( * (x) — z(x)) и ряд
s=0
(s4-I> (s)
( z (x) — z(x)) сходится, если выполнено условие (9.50), согласно s = о
-признаку сравнения (см. гл. III, § 3, п. 3).
382
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Для этого проведем еще ряд оценок. Имеем
(fe+D * (Z+0 (/>
| г(х)-?|<2| ж(ж)-ж(ж)|, /=0
(0) так как z(x) = zQ. Если выполнено (9.50), то
(fc+i) (D ~ (D .
| (9.51)
/=0
Мы видим, что для выполнения (9.48) достаточно потребовать, чтобы при |х — х°|2<6з (см. (9.47)) имело место неравенство
| Z (ж) — ж012 < (1 - q)2 (б! - di). (9.52)
В самом деле, если в окрестности (9.47) точки ж0 выполнено (*+1) неравенство (9.52), то для любого приближения z (зс) согласно оценке (9.51) будем иметь
I - г" |!<Й - Й. (»)
т. е. точки (ж, ж (ж)) будут принадлежать окрестности (9.45) при k = 1, 2 ... и | ж — ж01 < б2.
Поэтому доказательство теоремы свелось к нахождению величины бз > 0 такой, чтобы для всех ж из окрестности (9.47) точки ж0 выполнялось неравенство (9.52).
Рассмотрим это неравенство более подробно. Имеем по формулам (9.39) (!) (0)
г (ж) = Ф (ж, z (ж)) = Ф (ж, Ж0),
ж (ж0) = Ф (ж0, ж0) — z°, <|)
| ж (ж) — ж01 = | Ф (ж, ж0) — ж01.
Итак, условие (9.52) переписывается в виде
|Ф(«,г”)-г"|<(1-«!)(Й-Й). (9.53)
Под знаком модуля в левой части неравенства (9.53) стоит непрерывная вектор-функция Ф(ж, ж0)—ж0 переменного ж, которая обращается в нуль в точке ж0.
§ я;
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
383
Поэтому максимальное значение (И
Р(б) = тах|ж(ж) — г°| = тах|Ф(ж, г0) — г°| (9.54)
*6 *6
модуля этой функции внутри n-мерного шара К6: | х — ж0 К б
будет непрерывной и неубывающей функцией параметра 6^0, при этом Р (0) =0, так как z (ж0) = ж0.
Итак, неравенство (9.48) будет выполнено в окрестности (9.47), если мы величину бз выберем так, что будет выполнено неравенство
Р2(б3) <(1 ~ ?)2(б22 - бз). (9.55)
Покажем, что неравенству (9.55) можно удовлетворить, если 63^63, где 63 — корень уравнения
Р2(бз) = (1-?)2(б1-б1). (9.56)
На рис. 43 построим графики левой части равенства (9.56) Р2 (б3) и правой части (1 — <?)2 (б2 — б^) как функций параметра бз.
Так как Р2(0) = 0, Р(б3)—непрерывная функция бз и не
убывает, а график функции (1 — q)2 (б2 — б2) в зависимости от бз — парабола с вершиной в точке (о, (1 —<?)2б2), то уравнение (9.56) имеет единственный корень б3 = б3, а неравенство (9.55) выполнено при любом бз б3.
Итак, выбрав в (9.47) величину 63 = 63, мы видим, что в этой окрестности точки ж0 сходятся последовательные прибли-т жения ж(ж). Обозначим
w z (ж) = lim z (ж). Л->оо
Переходя в равенстве (9.39) к пределу при k -> 00 и пользуясь непрерывностью функций Ф(ж, ж), получаем
ж(ж) = Ф(ж, ж(ж)), т- е. (9.57)
Г (ж, ж(ж)) = 0.
(i-q)!(Sl-S32)
О
К
Рис. 43.
384 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Итак, при |х— лг°| < 6з предел z(x) последовательных прибли-(*)
жений z(x) существует и дает решение системы уравнений (9.27). Эта длинная, но поучительная теорема наконец доказана.
Замечание. Как это будет видно из последующей теоремы 10.28, для существования решения системы уравнений (9.27) в некоторой окрестности точки (х°, 2°) достаточно меньших требований на функции Ft(x, г).
Условия теоремы 10.27 более жесткие, чем теоремы 10.28, однако при этом обеспечивается не только факт существования неявных функций, но и применимость определенного алгоритма, в данном случае метода Ньютона, для их вычисления.
Теорема 10.28 (о существовании неявных функций, определенных системой уравнений). Пусть функции Fi(x, z) (/=1,2,..., ш) определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы (по совокупности переменных х = = {Х1, ...» хп} и z={z\, ..., zw}) в окрестности
|х-х° |2 + |Z-Z° |2 < R2
точки (x°, 2°). Пусть
(z = l, 2, ...» in)
и
det [17 <*°’ z0)] =
«°) ••• z°)
d*i ' dzm ' ’
(9.58)
(9.59)
Тогда найдутся столь малое число е и столь малая окрестность
I х - х° K&I
точки х°, что в этой окрестности существует единственное решение
z = (f (ж) (Z, = ф! (ж), . . ., zm = Ф,„ (ж))
системы уравнений
Ft (х, z) = 0 (i = 1, 2, ..., /и), (9.60)
удовлетворяющее условию
| z (х) — 2° | = I <р (х) — 2° | < е, (9.61)
причем функции cpi(x), ..., ф/п(х) непрерывно дифференцируемы в указанной окрестности по переменным хь ..., х)п.
§ 9]
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
385
Доказательство*). Ввиду условия (9.59) хотя бы один
dFm (х°, 2°) элемент я >
нижней строки определителя отличен ог
нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что
Так как производная г)~ непрерывная функция пе-
ременных (х, z) согласно условию теоремы, то найдется окрестность
|ж-1"|! + |г-г‘Т<Й.<Я1
точки (х°, 2°), в которой
4^(*.г)¥=0. (9.62)
игт
Возьмем последнее уравнение системы (9.60):
^т(х»2|, ...» ^лп-1» zm) = 0, (9.63}
и будем рассматривать его как уравнение, определяющее неявным образом зависимость переменной zm от всех остальных переменных Хь ...» хт, Зь • • •» 3/п—ь т. е. как уравнение, определяющее неявную функцию
zm = Фт (ж, Z1, • • •, 2т-х). (9.64)
Для доказательства существования и непрерывной дифференцируемости функции фт(ж, 2], ..., 2m_i) применим теорему 10.21.
Так как
Гт(ж°, г».....г» ., 2») = 0, -^-=#0
т\ 1’ т— I» т) » дхт
и функция Лн(х, 2Ь ..., 2m-i, 2т) непрерывно дифференцируема по переменным х, 2Ь ..., 2w-i, zm, то на основании теоремы 10.21 существуют е1П>0и окрестность
|ж-ж°|2 + \21^201\2<д2т (9.65)
( = 1
*) Читатель может пропустить при первом чтении доказательство этой теоремы.
386 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X точки (ж0, z°, z^-J, в которой уравнение (9.63) опреде-
ляет единственную функцию (9.64), удовлетворяющую условию
I Фт - Zm I2 < em (С + «т < (9-66)
и эта функция непрерывно дифференцируема по переменным хь xn,zh ...» zm_i в окрестности (9.65).
Если подставить найденную функцию ф,п(*, zh ...» zm_i) вместо переменного z,n в первые т—1 уравнений (9.60) (последнее уравнение обращается в тождество при замене zm на фпг), то мы получим /и — 1 уравнений:
Р \ (^» • • •» Фп (^> %1> • • • 9 %т-|))
=a)j(x, z[y ...» zrn_I) = o,
^т-\ Z\9 • ••» ^т-\9 Фт(^>^1» •••» Zm_|)) =
= Фт-1(х, Zj, ...» zm_1) = 0,
(9.67)
связывающих т—1 переменных zh ...» zm-\. Нас интересует возможность продолжения процесса исключения переменных Z]» ...» zm_i путем разрешения одного из уравнений (9.67) относительно одного переменного (например, z?n_i). Мы покажем, что система уравнений (9.67) удовлетворяет всем условиям, которые выше предполагались выполненными для системы уравнений (9.60) (с учетом, конечно, того, что число переменных Zj, ..., zm_j стало меньше). Тогда, как мы видели выше, можно разрешить одно из уравнений относительно одного из переменных Zj, . . . , Zm-I.
Функции Фь ..., Фт-1 определены в окрестности (9.65) точки (х°, z°, ...» так как в этой окрестности выполнено условие (9.66) и, следовательно, точка
(ж, Zp .... zm_p ф (ж, Zl...zm_,))
принадлежит окрестности
|ж-ж°|2 + |г-ж°|<62<Я2
точки (ж0, z°), в которой определены все функции F,-.
В окрестности (9.65) функции Фь .... Фт-1 непрерывны и непрерывно дифференцируемы, как сложные функции переменных ж, гь ..., zm_i (ибо непрерывно дифференцируемы и фт(ж, г,, ..., zm-i)). Так как фт(ж°, z°, ..., z^_,) = г°т, то в силу условий (9.67)
ФДжО.г»....2m-i) = 0, » = 1, 2, ..., т —I. (9.68)
$ 91
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ
387
Нам остается проверить только лишь, что функциональный определитель
det[4r(*>2» •
дФ1 dd>i dzj dzm_ j
т,
(9.69)
(9.70)
дФщ-i дФщ -1 dzi * * * dzm_\ в точке (х°, 2®, ...» z^_j) отличен от нуля. Для простоты выкладок обозначим
^-(*, г)—ац, дФ.
zb ..., zm-l) = bih i, j=- 1, .... m— I.
По правилу дифференцирования сложной функции находим
+ + (9 71)
dzf dZj 1 dzm dZj 4 1 dzf ' '
(в эту формулу следует подставить zm = ipm(x, zt, ..., zm_t)). Производные определяем дифференцированием no Zy уравнения (9.63), в котором полагаем гт = фт: dtb dF / dF ат1
=-----(ж, z) /-г-22- (ж, Z) ----- .
дг1 дг1 '' дгт атт
Подставляя (9.72) в (9.71), имеем
_L „ а1тат) • | <
-j—— Ьц— ац-----------, I, ] — 1, ..., т — 1.
azl атт
Теперь легко проверить, что определитель (9.69) с определителем (9.59) простой формулой: det (ж, z] L dz ' ’ 1
(9.72)
(9.73)
связан
т
j * Г /
(^, ^1» •
(9-74)
Эта формула становится очевидной, если в определителе
ан а12 ’ • ^l/n
а21 а22 • а2т
°m-l, 1 1 am-I, 2 • • • ^т — h tn
ат2 • • атт
388
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ГЛ. X
из каждой строки номера i ф т вычесть последнюю строку, умноженную на число - — —. Определитель при таких прео-атт
бразованиях не изменяет свою величину, а ввиду формул (9.73) мы получаем
det [4у (х, *)] =
&12 ... О
Й2| Ь22 ••. ^2т-1 О
I ^т-1, 2 • • • ^гп-1, т-[ ®
&т1 &т2 • • • ^т, т-l &тт
^тт
... &|Ш-|
^т — 1, 1 • • • т — 1
amm det [ (х, Z|, ...,
т. е. формулу (9.74).
Из формулы (9.74) следует, что определитель (9.69) в точке (ж0, zj, ..., отличен от нуля вместе с определителем (9.59).
Поэтому, так же как и выше, найдутся числа em_t>0, dzn_1>0 (em-1+ 6^-1 такие, что при
т — 2
|«-«”|!+ 2 |г(-гг|2 <й?„_, <в?„ i = 1
(9.75)
одно из уравнений системы (9.67) может быть представлено в виде
%т-1 == Фт—1 (*> 2^1» • • • > 2ОТ—2) *).
При этом функция ф|П_1 удовлетворяет в окрестности (9.75) условиям
!%.-(* 21..гт-2)-гт-!|2<ет-Р
Ф,„-> (*°, 4 ...» 4_2)=4_,
и она непрерывно дифференцируема в окрестности (9.75).
Продолжая процесс исключения переменных
2т-2» •••»
т раз, мы придем к следующим выводам.
♦) Условие e^_j + Ь2т_{ гарантирует принадлежность точки
х, zh ..., Zm-i) окрестности (9.65), где, собственно, только и определены функции ф).....Фт-|.
gj МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯ 389
Существуют положительные числа е*, д* (е2б* ^6*+1, £,„ + 6m < 6m /?2) такие, что каждая из функций
Z*=l|>*(x, Zh .... ZA_|) (6=1.....tn)
определена при
|х-х°|2 + 2 |zz-z?r<62b (9.76)
1=1
непрерывно дифференцируема в окрестности (9.76) и удовлетворяет в этой окрестности условиям:
^(*°> 21....2ft-l) = 4
1МХ’2......... 2*-1)“2*Г<е1-
Так как каждое из уравнений
г* = Ф*(*. *. zA_|)
эквивалентно одному из уравнений системы (9.60) при подстановке в него вместо z^+t, .... zm функций фл+ь .... фт, то мы заключаем, что в окрестности
| х — х01 < 61 точки х° т функций
2|=Ф1 (х) = ф| (х),
z2 = <p2(x) = '*2(*. Ф1 (*)), (9.77)
гт=фт(*) = Фт(*, Ф1(*).....Фт-1 (*))
определяют решение системы (9.60). Эти функции удовлетворяют условию (9.61), если е2 = е2 + е2 + .... 4-е^; они непрерывно дифференцируемы при |х — х°|<б1 и ф*(х°) = г®. В самом деле, при
|ж-имеем
I 4>(х) - г°| = 2 | Ф(- (х) - г°|2 < 2 в2 <е2.
Теорома доказана.
7. Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений. Пусть выполнены условия теоремы 10.28. Тогда неявные функции zi(x), ..., zm(x), заданные системой уравнений (9.60), определены, непрерывны и дифференцируемы в окрестности |х — х°| < 61 точки х°.
390
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Для вычисления производных
dzk dqpfe(x)
дифференци-
dxj дх?
руем каждое уравнение (9.60) по переменному х;-, рассматривая Zk как неявные функции переменных х15 xm. Мы полу
чим уравнения
dF. dz. dF{ . ч
= 0 О'-'............'">•(' = 1.........m). (9.78)
fc=l k 7 1
содержащие при фиксированном номере / т производных Определитель этой линейной системы —
det (х, — при 2=<р(х) отличен от нуля в окрестности
|х— х°|< бь Поэтому все производные неявных функций и X j
однозначно выражаются из уравнений (9.78) через производные функций Fi по переменным х и г.
8. Решение системы линейных уравнений методом последовательных приближений. Применим метод последовательных приближений для решения системы из п линейных уравнений с п неизвестными х={Х], х2, ..., хп}, которая может быть записана в виде
х£= 2 Я//Х/+ &/ (/=!,...,«) (9.79)
или, короче,
х = 4х + &, (Р.80)
где Л = (а£/), 6 = {6j, Ьп].
Для решения этой линейной системы применим метод итераций:
(Л+1) (Л)
х = Ах+ ь (9.81)
или, в компонентах,
(Л+1) " (k) /Q n0\
xf=2fy/*/ + &/ (/= 1,2, ..., n). (9.82)
n
Если 2 I an I =^<7< 1 ПРИ « = 1.2..n, то метод итераций схо-
/=i
дится. В самом деле,
(ft+D W
I Xi — х<| =
" (ft) (ft-1)
2i (х, — X,)
” (ft) (ft-D
< I^/IIX/— X/ |
(/=1,2, .... n).
§ g] МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 391
Далее имеем (к+о (к) да и-i) "
max |xj — xj^ max |хг — xf | • max Л | ап |
/==1,2, ...» п /=1,2, ...,п £=1, 2, ..., и/=1
(k) (fe-1)
С max | х{ — Xi | • q. (=1.2.........
Из полученных оценок следует сходимость последователь-да
пости {*} к решению х системы (9.79).
В самом деле, из этих оценок следует:
<fe+D (к) (к + 1) (к) (к) (к-1)
\х( — x/К max | х( -х(|<? max |х,— х,|<...
1=1...п (=1...п
к. <*> ((Ч к
... < <7 max | хг — X/1 = q6.
Так как /=|....п
(к) (0) * (/) (/-1)
Х[ = Х[ + 2j (Xi— Xi) i=t
(l) (1-1) (к)
и | x(-—Xj | d, 0<<7< 1, то последовательность {xj сходится при A->oo к решению системы (9.80).
Итак, если система линейных уравнений приведена к виду п
(9.79) и выполнены условия 2 I ан |< 1 (/=1,2......../г), то схо-
/=1
дится метод последовательных приближений. Следовательно, с помощью процесса (9.81) решение х системы уравнений (9.80) может быть получено с любой заданной степенью точности.
Обсудим кратко вопрос о том, какое значение может иметь этот метод решения систем линейных уравнений.
Из курса линейной алгебры известно, что решение системы линейных уравнений дается формулами Крамера:
Д,
где А — определитель линейной системы (Д=/=0), Аг— некоторые определители.
Однако при больших п эти формулы почти неприменимы на практике.
Дело заключается в том, что любые практические вычисления ведутся с некоторой точностью (с конечным числом знаков). Определитель n-го порядка состоит из и! членов, каждый из которых есть произведение п сомножителей.
Во-первых, чтобы произвести п\ действий при большом п, нужно очень много времени (даже «машинного»), а во-вторых,
392 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X задаваясь небольшим числом знаков, мы не получим даже и при этой затрате времени сколько-нибудь удовлетворительного ответа. Причиной этого является эффект, называемый обычно «потерей точности». Он состоит в том, что при совершении операций вычитания и сложения ошибка вычисления удваивается. Так как в определителе и! операций сложения и вычитания, то при этом ошибка округления может вырасти, вообще говоря, в п! раз.
Поэтому при большом п формулы Крамера могут оказаться и в большинстве случаев оказываются неприемлемыми для реализации. Именно по этой причине при большом числе неизвестных применяются другие методы решения системы линейных уравнений, один из которых был рассмотрен выше.
§ 10. Зависимость функций
1. Условия зависимости и независимости системы функций.
Определение. Функции fi(x), ..., fm(x) называются зависимыми в области $ пространства Еп переменных х = ={xi, ..., хп}, если существует дифференцируемая функция F(z,,..., zm) такая, что
^(А(*)....Ап(*)) = 0 (10.1)
при всех хе?, и градиент этой функции VF(z,, ..., zm) отличен от нуля в каждой точке z = {z,, = {f,(x)...fm(x)}
при x e S’.
Мы будем изучать условия (необходимые и достаточные) зависимости функций для случая дифференцируемых в области 9 функций fl (X)..fm(x).
Теорема 10.29. Если дифференцируемые в области & е Еп функции fi(x), .... fm(x) зависимы в этой области, то ранг функциональной матрицы, имеющей п строк и ш столбцов-.
(df, dfm \
dxi * * * dxi 1
......... , (Ю.2) df, dfm j dxn ' " dxn /
меньше чем in в каждой точке х области 3. Если же ранг этой матрицы в области 3 равен tn, то функции fi(x), ..., f,n(x) независимы в области % *}.
Доказательство. Пусть функции f,(x), ..., fm(x) зависимы в области <3\ это значит, что существует дифференцируе-
*) Функции fi(x), .... fm(x) называются независимыми в области 9, если не существует функции F(z,, .... г,„), удовлетворяющей определению зависимости этих функций в любой подобласти области 9.
$ 101
ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
393
мая функция F такая, что выполнено тождество (10.1). Дифференцируя тождество (10.1) по каждому из переменных ... ..., хт, получаем равенства
-^(z)-gL(x)+ ... +^(z)^(x) = 0, C/Zj (7Л| OZffi ОХ\
-^(г)-^Ч*) + ... +-^(г)-^(*) = 0, ОЛ2 Осщ 0X2
(10.3)
-^-(г)-^-(х) + ... +-^-(г) ^-(х)=0,
<??1 ’ дхп' ’ 1 дгт ' ’ дхп' '
которые можно рассматривать как п уравнений, линейных отно-сительно tn величин -т—(г), . ..,-z—(г), составляющих компо-
*OZ[ OZm
ненты градиента функции F(z). По определению зависимости функций градиент \/F(z) отличен от нуля в каждой точке z = =f(x) ={fi(x),... ,fm(x)} при x^&. Поэтому в каждой точке
<2? ^F dF
х существует нетривиальное решение ——— ли-aZj и%т
ценной однородной системы уравнений (10.3). Следовательно, на основании теоремы Кронекера — Капелли ранг матрицы коэффициентов системы (10.3) меньше чем tn. Но матрица коэффициентов системы (10.3) есть матрица (10.2), и поэтому первая часть теоремы доказана.
Пусть теперь ранг матрицы (10.2) равен tn (он, конечно, не может быть ни больше т, ни больше и, поэтому т ^п). Тогда система функций f\ (х), ..., fm(x) независима в области S. В самом деле, предположим противоположное. Тогда должна существовать дифференцируемая в некоторой подобласти области функция F(zi, ..., zm), удовлетворяющая уравнениям (10.3), градиент которой отличен от нуля, т. е. должно существовать нетривиальное решение , ...» системы (10.3). Но это невозможно, так как в каждой точке области % ранг матрицы коэффициентов системы (10.3) равен числу неизвестных tn. Теорема доказана.
Замечание 1. Если система функций Z\=fi(x), ..., zm= =fm(x) является зависимой в области то функция F(zi, •••, 2П1), фигурирующая в определении зависимости функций, определена, конечно, неоднозначно. В самом деле, пусть Ф(т)—любая функция одного переменного т, определенная в окрестности точки т=0, и Ф'(0) =/=0.
Тогда из (10.1) следует, что в области S’
ЗД(*).......fm(x)) = O(F(A(*), .... /т(х)))_ф(0)^0,
т. е. определению линейной зависимости удовлетворяет, наряду с функцией Ft также и функция F\.
394 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
Замечание 2. Если функции f\(x), fm(x) зависимы в области то при добавлении к ним произвольных функций fm+i(x), fm+i(x) мы получаем снова систему зависимых функций. Действительно, пусть F(f\(x), • • • , fm (х)) = О и градиент функции F отличен от нуля.
Полагая
E(z,....гт, .........Zm+l) = F(zl....Zm),
получаем, что F(fi(x), fm+;(x)) зОв области *3.
Теорема 10.30. Пусть в области 3 задана система функций fi(x)....fm(x) е С] {!?} и ранг матрицы (10.2) равен k <
< m. Пусть, далее, минор А-го порядка
df, dfk
dxi dX}
D(ft- .. D(x,,. fk) _ xk) df. dfk (10.4)
<4 • dxk
матрицы (10.2) отличен от нуля в некоторой окрестности точки л'0={х°, .... х°). Тогда существует окрестность точки х° такая, что в ней зависимы функции fi(x), ..., при этом функции fk+i (*), • • •, fui (^0 выражаются через f, (х), . *., (х), т* е. существуют функции q>A+i(zi, .... zk)...<pm(zi, .... zh) такие, что
+ = + .....fk(x))....fm(x) = q>m(fl(x), ffe(x)).
(10.5)
Доказательство. Если любое из соотношений (10.5) установлено в окрестности точки х°, то это и означает, согласно замечанию 2 к теореме 10.29, зависимость функций fi(x), ... ..., Дп(х) в этой окрестности. В самом деле, если fk+a(x) = = <Pfc+a(fl. .... Д), то
^(fb •••> fm)~<Pk+a(fh •••• fk)— fk+a = O'
Поэтому нам достаточно показать, что в некоторой окрестности точки х° имеет место соотношение
(*)....fkW).
Для этого рассмотрим систему из k уравнений
fl (х.....хк, xk+i, .... х„) —Z| =0, I
............................................. (10.6)
fk{X\, .... xk, хк + \, •••, xn) zk = 0, J
из которой будем определять переменные ..., считая, что формулы (10.6) определяют их как неявные функции переменных Z], ..zh, xh+h ..., хп.
§ 10]
ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
395
В точке x=xQ при zi=fi(x°), z/l=f/l(x°) выполнены условия теоремы 10.28 о существовании неявных функций
*1=Ф1 (*i> •••» ^ + 1, хп),
Хл = Фл(*р •••> ^+1> •••> *п)-
(Ю.7)
В самом деле, функциональный определитель lk
u(xv ...» xk) отличен от нуля в окрестности точки х° по условию теоремы, значения х/ = х?, zz = ft (x°) удовлетворяют уравнениям (10.6) и функции, стоящие в левой части уравнений (10.6), непрерывно дифференцируемы по переменным xit Zj в окрестности точки х°. Согласно теореме 10.28 при этих условиях в некоторой окрестности D точки х° существуют функции (10.7) и эти функции непрерывно дифференцируемы по переменным x,, zj.
Рассмотрим теперь функцию
%k + \ •••> -^£ + 1» •••> Хп).
Поскольку в окрестности D
...** + 1. •••• *n) = <Pi(Zl.........г*. хЛ+1, .хп) (i= 1,2..............................k),
то мы можем записать:
f* + l(*l...xk, xk+.......x„) =
= /л + 1(ф1(21..zk> xk + i, .... xn),
<рй(г„ .... zk, .... x„), xfc+1.......x„) =
= Фл+1(21......zk, xft+1.....x„). (10.8)
Ранг k матрицы (10.2), очевидно, не превышает числа переменных п. Если k=n, то все переменные х\.........хк определяются из уравнений (10.6) как функции величин z\=ft(x)........гк=
=fk(x), и тогда формула (10.8), имеющая в этом случае вид fk+i (*) = Ф* + 1 (2i........2*)=Фй + 1(Мх)......
и означает зависимость системы функций Л(х), ...,
Поэтому остается рассмотреть только случай k < п. В этом случае уравнения (10.6) определяют только часть хь ..., хь переменных х. Тем не менее функция cp/i+i (zi, ..., zh, Xk+\, ... ..., хп), заданная формулой (10.8), не зависит от переменных Хл+ь ...» хп. Для доказательства этого покажем, что производные ~?Ш.э0 при а=1, 2, ..., п — k всюду в окрестности D точки х°, в которой определено решение (10.7) системы (10.6).
396 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. X
Дифференцируя f/l+i((pi, .... фл, хл+ь •••> *п) по переменному хк+а (aj> 1) как сложную функцию, получим
k
d<pfe+i у dfk+t дфу dfi+l
dxk+a £ дх1 ' дхк+« дхк+а ’
J—1
(10.9)
Рассмотрим следующий минор матрицы (10.2):
dfi д{к дх} dfk+i dxi
дх.
дЦ dfk ^lk+i
дхк дхк дхк
df, dfk dfk + .
дхк+а ” дхк+а дхк+а
(10.10)
Согласно условиям теоремы этот определитель равен нулю, и поэтому последняя строка этого определителя является линейной комбинацией остальных. Значит, существуют Zi, .... X/, такие, что
k
= О’=1>2, .... k, k+l). (10.11)
Oxk+a ~ Oxl
Подставляя выражение (10.11) для 4-*+| в (10.9), получим °Хк+а
= V ( дч,.1 - 4- X/Y (10.12)
дх. , п дх, \ дх.. 1 '/ v '
я+a / \ « + а /
]—।
Покажем, что все коэффициенты —hX;j (/=1.......k)
в (10.12) тождественно равны нулю.
Для этого продифференцируем по переменному х*+а тождества
f/(<Pl(Zi...Zk, Xk + i, .... Х„).ф*(г1» •••
.... гк,хк+1...х„), хк+1, .... xJ-z^O (i = l,2, А).
Мы получим
§ 101
ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
397
Подставляя сюда выражения (10.11) для -—I1— , получим oxk+a
+ (» = 1»2, ...» k). (10.13)
“ Oxi \0Xk + a /
(дф/ \
д—1—F I (/=1, 2, ..., А) удовлетво-
°xk+a /
ряют системе (10.13) из k линейных и однородных уравнений. Определитель этой системы есть величина (10.4), согласно условиям теоремы отличная от нуля в D. Поэтому всюду в окрестности D точки х°, где существуют и дифференцируемы функции (дф. \
——'—тождественно равны нулю. axk+a /
Следовательно, производные (10.12) также тождественно равны нулю при а=1, 2, ..., п — k. Это означает, что функция
Фй+1—/а + 1(Ф1» •••» Фа» •••> Xfl)
не зависит от ха-ц, .... хп, т. е.
ffc+i(*) = Фа+i(«1, •••» г*) = фл+1(/(х), .... М*)),
что и требовалось доказать.
2. Взаимно однозначное отображение. Пусть в области $ переменных х={х}, ..., хп} заданы п функций f\(x), ..., fn(x), которые будем предполагать непрерывными и непрерывно диф* ферепцируемыми в
Определение. Будем говорить, что формулы
£i = M*)» ...,£„ = /„(*) (Ю.14)
или, в векторной форме,
§=/(*) (10.14')
устанавливают взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение области 3 переменных х = {xit..., хп] на область 9' переменных £ = {£i, ..., £,г}, если каждая точка £е3' является образом единственной точки хе?, т. е. 3' есть область значений функции f(x) е С((^) и равенства /(х) = f(x') возможны лишь при х = х'.
Следовательно, при взаимно однозначном соответствии областей 3 и 3’ уравнения (10.14) разрешаются относительно * = {xt....ха} при заданной точке £ = {£ь..., |п} е 3’ одно-
значно. Обозначим через
* = Я(§)
(10.15)
398
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ГЛ. X
или, в компонентах,
*1=21(5), ••.,*„ = 2» (5) (10.15')
решение уравнений (10.14) относительно xlt ..., хп-
Таким образом, для взаимно однозначных отображений каждое из равенств
’ » = g(f(*>), t = f(g®> (10.16)
представляет собой тождество, выполненное — первое в области второе — в 3'.
Пусть формулы (10.14) задают взаимно однозначное соответствие областей 3 и 3\ f(x)^C\(3) и пусть в какой-либо точке Хо е 3 определитель
.....................M.)l =det№) (10.17)
D(xi,.... хп) D(x.........хп) \dxil
отличен от нуля.
Согласно теореме 10.28 о существовании системы неявных функций в некоторой окрестности точки £о = /(*о)^^/ уравнения (10.14) однозначно определяют неявные функции Xf = = gi(£).....Хп = gn(l) (x — g(l)), которые непрерывны и
непрерывно дифференцируемы в этой окрестности.
Поэтому функции gid) непрерывны и непрерывно дифференцируемы во всех тех точках | области S', для которых функциональный определитель (10.17) отличен от нуля, если вычислять его значения при х = g(%).
Рассмотрим одну из точек хе?, в которой определитель (10.17) отличен от нуля. В точке i = f(x) дифференцируема функция g(g). Продифференцируем тождества (10.16):
xi = gi (f (х)) = gi (fi (x).fn (x)) (i = 1.n) (10.18)
по переменным xit x2..xn- Мы получим тождества
SdSi _^L — V dfk d$k ’ dXj ~ ’ dx{ °‘l
(i, j= 1,2, .... n).
(10.19)
на матрицу
Тождества (10.19) означают, что произведение матрицы (-—-Ч есть единичная матрица Е. Так как опреде-
литель произведения двух матриц равен произведению опре
$ 111 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 399
делителей матриц-сомножителей *), то из (10.19) следует:
z D(g.....gn) fn) 7__
D(t,......In) ' D(x........ x„)
__ D(xt, .... xn)
D(l.....In)
Итак, если предполагать, что функции f(x) и g(5), устанавливающие взаимно однозначное соответствие областей и непрерывны и непрерывно дифференцируемы, то из формулы (10.20) следует, что каждый из якобианов ...........<4- и
Ь' VS1» • • •> Sn) 'Dtx'1 ’ “ х”) С0ХРаняет св°й знак в областях и соответственно.
Действительно, так как производные функций f;(x), gj(%) непрерывны, то непрерывны и эти якобианы. Из перемены знака одного из якобианов следует обращение его в нуль и невозможность равенства (10.20). Поэтому оба якобиана имеют один и тот же знак соответственно в областях 9 и 9'.
§11. Экстремумы функций нескольких переменных
1. Необходимые условия экстремума. Пусть функция f(x) определена на множестве X Еп, которое содержит некоторую окрестность точки ас0.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х° локальный максимум (минимум), если существует окрестность точки х°, в которой наибольшим (наименьшим) среди значений функции f(x) является ее значение /(ас0) в точке х°. Точка х° называется в этом случае точкой локального максимума (минимума) f(x). Оба случая (максимум и минимум) объединяются общим названием — экстремум.
Итак, в некоторой окрестности экстремальной точки х° выполнено неравенство
f(x)</(x°), (11.1)
если х®— точка локального максимума f(x), и
f(x)>f(x°) (11.2)
в случае, когда х°—точка локального минимума f(x).
Очевидно следующее утверждение: если точка х® есть точка локального максимума (минимума) функции f(x), то для любого направления I = {/ь ..., 1п} функция <р(t, I) = f (х° + It)
) А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Изд-во «Наука», 1971, стр. 93.
•400 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X одного переменного t (х° и I фиксированы) имеет в точке t = О локальный максимум (минимум).
Из этого нашего замечания легко следует теорема.
Теорема 10.31 (необходимые условия экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х° и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда в этой точке выполнены одновременно эквивалентные условия:
Vf(x°) = O, (11.3)
df(*°) = O, (11.4)
= 0 (/=1,2, .... п). (11.5)
Точки, в которых выполнены эти условия, называются ста-
ционарными точками функции f(x).
Доказательство. Эквивалентность условий (11.3), (11.4), (11.5) очевидна и вытекает из определений градиента, дифференциала и частных производных функции f(x). Поэтому докажем, что в экстремальной точке х° выполнено любое одно из них, например (11.3).
Согласно предыдущему замечанию при любом I функция <р(/, Z) = f (х° + It) имеет экстремум в точке t=0. Функция <р(/,/) одного переменного t дифференцируема в точке t = 0, поэтому для нее выполнено необходимое условие экстремума (см. гл. VI, §1):
[£ ‘р z>](=0=•₽; (°> *)=1 • (*°)=°- (н -6)
Так как равенство (11.6) имеет место для любого вектора I, то отсюда следует, что Vf(x°) = 0, и теорема доказана.
2. Достаточные условия экстремума. Приведем теорему, устанавливающую достаточные условия экстремума.
Теорема 10.32 (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х° и = 0. Если при этом квадратичная форма
п
I, /~1 1
положительно определена для любых векторов 1={1\, ..., 1п} (таких, что |/|=1), т. е. если выполнено условие
'(0 = S й^гл//>е>0*)’ (н-7)
U Л ] U Л I
I, /р=1 ‘ 1
*) Существование е>0 и выполнение (11.7) вытекает из условия 1(1) >0 при любых I (|/| = 1).
§ 11] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 401
то точка %0— точка локального минимума функции f(x), а если
<"®
то точка х° — точка локального максимума функции f(x).
Если же квадратичная форма 1(1) является знакопеременной (т.е. существуют I и I' такие, что I (t) и 1(1') разных знаков), то точка х° не является экстремальной.
Доказательство. Пусть х— x°—lt, |Z| = 1 и выполнено условие (117). По формуле Тейлора (7.10) при т=2, учитывая, что Vf(x°) = 0 согласно условиям теоремы, получаем f(x)-f (х°) = Vf (х«) • И + 1ZV о (Vf (*<>)) +
+ Ра (х, х°) = у {/ (I) + 2а (х, х0)} =
=/2[т S + *°)1 (,L9>
L i. /=i '
и а(х, х°)->0 при х->х°, т. е. при /->0.
Из (11.9) поэтому следует, что f (х) - f (х°) > 1 f- [е + 2а (х, х°)]. (11.10)
Ввиду того, что а(х, х°)-»0 при I—*0, существует окрестность точки х° |х — х°|<б (т.е. |/|< 6) такая, что |а(х, х°)|<
В этой окрестности из (11.10) следует неравенство f (х) — f (х°) > 0, т.е. f(x)>f(x°).
Следовательно, точка х° — точка минимума функции f(x). Случай максимума рассматривается аналогично.
Наконец, остается доказать, что если 1(1)—знакопеременная квадратичная форма, то в точке х° нет экстремума.
Пусть 1(1)>0 и /(Г)<0. Так как
/(O = [5-/(x°+«)]z=o и Vf(x°) = [4f(x°+H)]<=0 = 0, то мы заключаем, что при достаточно малом д и 0<|/ |<й <р(/, Z)>qp(O, Z) = /(лг°) и ф(Л V) <ф (0, Z)=J(x°)
(так как для функций ф(/, Z) и ф(/, Z') переменного t выполнены достаточные условия экстремума в точке / = 0). Итак, в любой
402
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
окрестности |х — х°| < б имеются как точки, в которых f(x) <Z < /(ж0), так и точки, в которых f(x) > f(x°). Поэтому точка х° не является экстремальной, если форма 1(1) знакопеременна.
Теорема полностью доказана.
Замечание 1. 1(1) есть величина второй производной ф" (0,/) функции ф(/, l)=f(xQ + lt) одного переменного t в точке / = 0, так как
ф"(0, Z) = /Vo(Vf(x°))Z = /(Z).
Поэтому условия (11.7) и (11.8) согласно § 8 из гл. VI—это достаточные условия соответственно минимума и максимума функции ф(/, I) одного переменного t в точке t=0 для всех направлений I.
Замечание 2. Если dx = {dx{, ..., dxn}, то
I(dx)='^-^^dxidxl
и условия (11.7) и (11.8) можно переписать соответственно в виде
(11.7')
d2f(x°) = V dXidXj<0.
1 у dxt dXj 1 1
(Н.8')
Под неравенствами (11.7') и (11.8') мы понимаем следующее. Если вместо символов dx}, dx2, ..., dxn в правой части d2f подставить любую систему чисел, одновременно не равных нулю, то полученное число должно иметь указанный в этих неравенствах знак.
Поэтому мы говорим, что достаточным условием экстремума является равенство нулю первого дифференциала и знакоопределенность второго дифференциала исследуемой функции.
Замечание 3. Рассмотрим матрицу
d2f d2f d2f
дх? dxt дх2 d.V| дхп
H = Vo(Vf (х°)) =
d2f d2f d2f
dxn dxt dxn dx2 dx?n
которая согласно § 7 является симметричной. Знакоопределенность квадратичной формы 1(1) означает знакоопределенность выражения 1А1*). Если 1А1 > 0 при любых I (|/| = 1), то говорят, что матрица А положительно определена; если при т.гх же
*) 1А1 есть скалярное произведение I на вектор А1 или, что то же самое, скалярное произведение 1А на вектор I. Итак, 1А1 = (/, А1} = (1А,1).
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
403
§ И]
условиях 1А1 < 0, то говорят, что матрица А отрицательно определена. Поэтому достаточные условия экстремума функции f (х) —это равенство нулю градиента функции и условие знакоопределенности матрицы Л=\7 °(Vf(x0)) вторых производных.
Итак, вопрос о максимуме или минимуме функции f(x) в стационарных точках х° (т. е. в точках, где Vf (x°)=0) решается установлением знакоопределенности квадратичной формы
'(')= 1 га-М'Л. (11.11)
I, /=1 7
Приведем условия, которые гарантируют знакоопределенность квадратичной формы (11.11) при п = 2.
При п = 2, обозначая х{=х, х2 = у, имеем
= 5'’ + 277^'А + $Ё- <Н|2>
Так как l\ + /2= 1» то, полагая /l = cosa, Z2 = sin <х, получаем
. /n d2f 9 . п d2J . । д21 . 2
= cos- a 4- 2 cos a • sin a 4- sin2 a =
= cos2a[-^ + 2 tga +-т-7tg2al (11.13)
L dx2 1 дх ду b 1 dy2 b J ' '
(при cos a Ф 0).
Если /(Z) не меняет свой знак, то квадратный трехчлен относительно tga в (11.13) либо положительно, либо отрицательно определен; это имеет место тогда и только тогда, когда d2] d2f / d2f
-3-7 • -т2— -3- ч >0 или, что то же, дх2 dy \ dx dy / ’
d2j d2f
дх2 дх ду
d2f d2f
дх ду ду2
(пи)
дх2 ду2 \дхду)
При выполнении (11.14) легко видеть, что 1(1) сохраняет свой знак также и в случае cos a=0.
Итак, достаточные условия экстремума функции f (х, у) двух переменных в точке (х, у) таковы:
W у) —0‘, Д =
дг1 дх2
d*f
дхду
d2f дхду
д2!
ду2
= f"f" _/Р'у>о. ' хх' уу V ху)
(11.15)
404 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
При этом, если -^->0 (из (11.14) тогда следует, что и ^г> о)» то / (/) > 0 и точка (х, //) —точка локального минимума функ-d3f d2f
ции f(x, у). Если же -jp-<0, -^7<0, т0 точка (х, у) — точка локального максимума.
3. Геометрическая интерпретация условий экстремума. Поясним геометрически достаточные условия экстремума, пользуясь тем, что <р"(0, Z) = ZV® (Vf(*°))/=/(/). Мы рассмотрим случай п = 2, полагая I = {cos a, sin а}. Тогда, обозначая х| = х, х2=у, будем иметь
Г/»\ d2f 2 10 d2f I W 2
I (*) — тт cos2 a + 2 -5—5- cos a sin a 4- -r4 sin2a.
' ' дхг ' дхду 1 ду2
Величину
d2f 2 10 W I W 2 /II
= dFC0S a + 2‘d7d7cosa's,na+d7sin a (И.16) будем называть второй производной функции fix, у) в направлении вектора /={cosa, sin a}.
Изобразим индикатрису вторых производных функции fix, у) в точке (х0, уо), откладывая от точки (х0, у0) величину (11.16) на луче, проведенном из точки (х0, уо) и имеющем направление , <рф(о, I) -
вектора I, если величина —— положительна, и обратное направление, если вторая производная отрицательна*). Величина (11.16) не меняется при замене направления вектора I на обратное. Поэтому достаточно изобразить график индикатрисы вторых производных лишь для 0 а л.
Если обозначить вектор {£, г)} = {х — х0, у —через р, то уравнение индикатрисы вторых производных будет иметь вид
| A cos2 а + 2В sin a • cos a + C sin2 a | = | p |, t n <32 f
причем cosa = -^-, sina = -^. Здесь A = (xQ, y„), B=* ~ дхду ^X°' C==~d^ ^V°’
Если AC — В2 > О, то квадратичная форма 1(1) знакоопре-делепа и |-^т(0. I) | > Ро > О- В этом случае индикатриса вторых производных есть некоторая замкнутая кривая, охватывающая точку (х0, уо) (рис. 44).
*) Об индикатрисе первых производных см. § 4 (стр. 329).
§ II] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 405
Если же АС — В2 < 0, то для некоторых значений a=ai и a = a2 /(/) =0, т. е. вторая производная меняет знак и обращается в нуль при a=ai и а = аг. Индикатриса вторых производных в этом случае приведена на рис. 45.
Индикатриса вторых производных (АС-В2'О) Изображена лишь половина графика, с тем чтобы было видно, что при ос < ос < ос 2
Рис. 45.
Индикатриса вторых производных, конечно, не является кривой второго порядка, хотя она является центральной кривой и может быть приведена к главным осям с помощью поворота системы координат. Ее уравнение записывается через координаты g, т] в виде
| A? + 2Bgn + Ст)’ | _
-----(F+V)-----’
406
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Вводя новые переменные %'=% cos 0 + П sin 0, т)'=— g sin 0 + + т) cos 0, где 0 — угол поворота осей координат, можно привести уравнение индикатрисы к виду
А'1'2 + В'т]'2 I'2 + п'2
Ve + rf2-
С помощью понятия индикатрис первых и вторых производных достаточные условия экстремума дважды дифференцируемой функции f(x) могут быть сформулированы следующим геометрически наглядным образом: для того чтобы функция f(x) имела в точке х° локальный экстремум, достаточно, чтобы а) индикатриса первых производных состояла из единственной точки х° (т. е. Vf(x°) = 0); б) индикатриса вторых производных охватывала точку х° и не проходила через нее (т. е. чтобы квадратичная форма 1(1) была знакоопределенной).
4. Условия знакоопределенности квадратичной формы. Вопрос о знакоопределенности квадратичной формы (11.11) решается следующей теоремой.
Теорема (Сильвестра). Для того чтобы квадратичная $орма
п
l(t) = Hllt .... (11.17)
была положительно определенной (1(1) >0), необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:
ац>0,
ап
#21
«12
а22
#11 #12 #13
#21 #22 #23
#3! #32 #33
#1/1
#2п
#11 #12 #13
#21 #22 #23
(11.18)
#nl #п2 #лЗ • • • #лп
Эти определители называются главными минорами матрицы
#п
а\п
§ 11] ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 407
Для отрицательной определенности квадратичной формы (11.17) необходимо и достаточно, чтобы
ац<0,
Дц д12
#21 ^22
>0,
дн Д12 #13
а21 #22 #23
а31 #32 #33
(11.19)
т. е. знаки главных миноров должны чередоваться и #ц < 0.
Доказательство этой теоремы хотя и несложно, но здесь опускается *).
Заметим, что другой способ установления знакоопределенности квадратичной формы (11.17) состоит в приведении ее к сумме квадратов — способ, известный из курса линейной алгебры**). Приводя квадратичную форму (11.17) с помощью невырожденного преобразования
(det I |^0)
к сумме квадратов, т. е. представив ее в виде п
Ц1)=ЦП = s аи (/;)’, i—1
мы видим, что квадратичная форма (11.17) будет положительно определенной, если все коэффициенты ац положительны; отрицательно определенной, если все ац отрицательны, и не является зиакоопределенной, если ац разных знаков.
Применяя критерий Сильвестра или приводя квадратичную форму (Н.П) к сумме квадратов, мы устанавливаем выполнение либо невыполнение достаточных условий экстремума в стационарных точках, в которых df=O. Итак, если df=Q, a d2f > О (или d2f < 0), то имеем экстремальную точку.
Если в стационарной точке х° (df(x°)=0) d2f (х°) s 0, a d3f(xQ) 0, то точка‘х° не является экстремальной. В самом деле, третий дифференциал
п
d3f (х°) = V -д *— dxt dXj dxk
1 v дх, дх, дх. 1 7 к
I, I, k=i 1 1 k
*) См., например, А. А. Курош, Курс высшей алгебры, Изд-во «Наука», 197], стр. 181.
**) См. там же, стр. 166.
408
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
не может быть знакоопределенным, так как он меняет свой знак при изменении знаков дифференциалов независимых переменных.
Достаточным условием экстремума в точке, в которой df(x°) = d2f (x°) = d3f (xQ) = 0, является условие
(х°)> 0 (dV(x°X0).
Однако проверка этого условия связана с установлением знакоопределенности следующей формы:
п
Ц(1)= 2 dx^Xjdx^dx
I 1 к т
Эта задача является сравнительно сложной и здесь не рассматривается.
Пример. Найдем точки локального экстремума функции
z = 2х4 + у4 — х2 — 2у2.
Вычислим частные производные
z' = 8? — 2х, = 4^3 “
•Стационарные точки определяются уравнениями
2х (4х2 — 1) = 0, 4y(ff2- 0 = 0.
Решая эти уравнения, находим девять стационарных точек:
*1 = 0, */i=0; *2 = 0, у2=1; *з = 0, */3 = —1;
1 Л 1 1 1
*4 = —-2 » */4 = 0; *б = — — ,г/5 = 1; х6 = — — , */б = —1;
1 л 1 - I .
*7= у- ^7 = 0; хв=2-. Ув = >; *9=2-. =
Для проверки достаточных условий экстремума вычисляем в этих точках вторые производные:
z£ = 24? - 2, z"xy = 0, z" = 12?- 4,
и обнаруживаем, что
г^г^з — z”y > 0 только лишь для точек 1, 5, 6, 8 и 9.
§ 111
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
40£
Таким образом, получаются следующие точки экстремума: 1) (0, 0) max (так как z"2 (0, 0) < О) zmax = 0,
2) (—min (так как z„2 (0, 0)>0),
3) (—i-, —1) ппп(так как z'z2(0, 0)>0),
4) (у, 1) min (так как z''2(0, 0)>0),
5) (у, — min (так какг''2(0, 0)>0)
_ 9
гш!п-----g”
5. Метод градиентного спуска. Остановимся кратко на одном методе отыскания локального минимума, имеющем применение при практических вычислениях, в том числе и на ЭВМ (электронных вычислительных машинах). Этот метод называется «градиентным методом» или «методом градиентного спуска».
Пусть ставится задача об отыскании минимума функции f(x) (заданной либо аналитически, либо таблично). Выберем некоторую точку х° и вычислим в этой точке градиент V/(x°) функции f(x). Если Vf(x°)=#0, то найдем точку х^из условия x(i)=xo_AiVf(xo) (At>0).
Если hi достаточно мало, то f(x<")<f(x°).
В самом деле, по формуле Тейлора
f (*< >) - f (х°) = - (й, V/ (х0)) • V/ (х«) + | й, Vf (х°) | а (й( V/ (х®)) = = - й, [(V/ (х®))2 - | Vf (х®) | а (й, V/ (х®))1
и а (й] Vf (х®))-> 0 при й,->0. Поэтому при достаточно малом й| получаем: f (х<0) — f(x°)<0.
Если V/(х(1)) =/= 0, то снова двигаемся в пространстве Еп в направлении, противоположном направлению вектора Vf(x(1))^ т. е. полагаем
х<2> =*(1) -/г^НхО) (й2>0) и вообще
= (йп>0). (11.20)
По формуле Тейлора снова имеем
/(*<"’)-/(*(п-|)) =
= V/ (х»""1») • (х<« - х*"-») + | х<«> - х<п-»| • а (х<"> - х(',~1>) = = — hn [Vf (х<"~1 >)]2 + й„| Vf (х<«-‘>) | а (х<п> - х*"-1») (11.21 >
и а(х(п> — х(п-|)) = а (й„ V/(х(п-1))) —> 0 при hn—>0.
410
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. X
Итак,
ЦхМ)-№-") =
= -hn\Vf (х<"-‘>) | [ | V/ (х<«-1 >) | - а (Л„ Vf (*<"-»))]. (11.22)
Мы получим заведомо монотонно убывающую последовательность {f (х<”))}, если выполнены условия
(И.23)
Если xW-+xd и х°— точка локального минимума функции /(х), то Vf(xn)-+0. Поэтому для выполнения условия (11.23) иногда требуется уменьшение hn с ростом номера п.
§ 12. Условный экстремум
1. Определение условного экстремума. Пусть в некоторой области пространства Еп задана функция f(x) переменных Xi, хп. Будем рассматривать значения функции f(x) не во всех точках, в которых задана f(x), а лишь в тех точках х, которые удовлетворяют т условиям, заданным в виде
<Р1 (*) = Ф1 (Хр • • •• х„) = 0,
Фт(х) = Фт(Х1, .... Х„) = 0.
(12.1)
Множество таких точек будем обозначать через X. Таким образом, т уравнений (12.1) ограничивают область рассмотрения функции /(х), и их называют обычно уравнениями связи или просто связями.
Точка х°^Х (т. е. <р,-(х°) =0; i = l.т) называется точ-
кой условного максимума (минимума) функции f(x) при наличии связей (12.1), если существует некоторая окрестность точки х°, в которой значение функции f(x°) в точке х° является наибольшим (наименьшим) среди всех значений f(x) в тех точках х этой окрестности, которые принадлежат множеству X (х«=Х).
Таким образом, условный максимум функции f(x) отличается от безусловного тем, что неравенство
Их°)>/(*)
должно быть выполнено не для всех точек окрестности х°, но лишь для тех из них, которые удовлетворяют условиям связи (12.1). Точно так же, если х°— точка условного минимума f(x), то в некоторой окрестности точки неравенство
должно выполняться лишь для точекх, удовлетворяющих (12.1).
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
41Г
§ 12]
2. Метод исключения переменных. Наиболее важен случай т < п, который мы сейчас и рассмотрим, предполагая, что функции f(x), cpi(x), ..., ср™(*) дважды дифференцируемы в точке х°.
Если бы из системы уравнений (12.1) нам удалось выразить какие-либо пг переменных из хь х2, ..., хп как определенные функции остальных п — пг переменных, то задача об отыскании условного экстремума свелась бы к задаче об отыскании экстремума безусловного. Не ограничивая общности, будем считать, что из уравнений связи (12.1) могут быть определены последние т переменных xn_m+i, *n-m+2, •••» хп как функции первых п — т переменных хь ..., хп_т.
Итак, мы считаем, что уравнения (12.1) в окрестности точки х° могут быть записаны в виде
хп~т+1 = Ф1 •••» хп~т)> •••> •^д = ,Фт(-^1» •••» хп~т)> (12.2)
и при ЭТОМ
Х° „,-4-1 ='Ф1 •••> •••> Хп = Фт » • «> Хп т)- (12.3)
п—т+1 т1\ 1 ' n—mj1 1 п • т \ 1 n—mj ' '
Подставляя вместо аргументов xn-m+i, ..., хп функции f(x) выражения (12.2), мы приходим к выводу, что значения функции f(x) на множестве X могут рассматриваться как значения некоторой функции g(X\, ..., хп_т) меньшего числа (п — пг) переменных xh ..., хп-т:
f(x) = f(x[t Хп_т, Ф1(Х1» •••» •••> Фт(-^1» •••» хп-т)) =
= g(xlt Хп-т), (12.4}
и при этом в некоторой окрестности точки (х^, ..., х°_т) эти переменные могут принимать произвольные значения.
Исследуя функцию £(хь ..., хп_т) на экстремум в точке х^_т) методом § И, мы сможем установить наличие или отсутствие условного экстремума функции f(x) в точке х°. Заметим сразу же, что для отыскания точек возможного экстремума мы должны решить систему уравнений
#=о..... ~дГ---------<12-5>
(7X1 ОХп — т
и хотя левые части этих уравнений содержат производные от функций ф1, ..., фт, тем не менее они могут быть вычислены через производные функций <рь ..., <рт. В самом деле, согласно § 8 производные от неявных функций могут быть вычислены через производные определяющих их функций, в данном случае
Ф1 (*1...хп), фт(хь .... хп).
412
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ГЛ. X
Таким образом, этот метод позволяет проверить в точке х° необходимые условия экстремума функции f(x) при наличии связей (12.1), лишь зная первые производные функции f(x) и функций фг(х) в точке х°.
Точно так же и вторые производные функции g(*i,..., хп-т) вычисляются через вторые и первые производные функций f(x), ф1 , Срт(*).
Поэтому и достаточные условия экстремума функции f (х) при наличии связей (12.1) проверяются в точке х°, если известны первые и вторые производные функций f (*), <pi (*)»•••, ф,н(*) в этой точке.
Некоторым неудобством этого метода является, однако, нарушение симметрии: часть переменных (хь ..., х _w) мы считаем независимыми, часть — функциями от них. В ряде случаев это усложняет выкладки.
3. Необходимые условия условного экстремума. Ниже изложим другой способ исследования, в котором роль всех переменных одинакова. Предположим, что дважды непрерывно дифференцируемая кривая х=ф(/) е С2 проходит при 1=0 через точку х° и точки этой кривой удовлетворяют уравнениям связи (12.1), т. е. точки этой кривой принадлежат множеству X, на котором только и рассматривается функция f(x) в задаче об условном экстремуме.
Тогда
фДф(/)) = 0 (4=1,2,..., т). (12.6)
Дифференцируя эти тождества по / в точке t = 0 и учитывая, что ф(0) =х°, находим
?Ф/(х°)-ф'(0) = 0 (4=1,2,..., т). (12.7)
Таким образом, касательный вектор ф'(0) к любой кривой х = ф(0, лежащей в X, ортогонален градиенту каждой из функций ф^Х).
С другой стороны, рассмотрим функцию f (х) в точках кривой ж==ч»(^); мы будем иметь функцию Если в точке
х° функция f(x) имеет условный экстремум, то функция £(/) = =f(if(/)) также имеет в точке / = 0 экстремум. Следовательно, необходимым условием экстремума функции f(x) в точке х° при наличии связей (12.1) является требование
g40) = W°W'(0) = 0, (12.8)
которое должно быть выполнено для всех кривых х=ф(/) е С2, проходящих через точку х° и лежащих в X. Таким образом, условие (12.8) должно быть выполнено для любого вектора т= ф'(0), удовлетворяющего системе условий (12.7).
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
413
$ 12]
Итак, необходимые условия экстремума функции f(x) при связях (12.1) допускают следующую простую геометрическую интерпретацию. Градиент Vf(x°) функции f[x) в эстремальной точке х° должен быть ортогонален касательному вектору ф'(0) любой кривой, проходящей через х° и лежащей в X. Это и есть наиболее общая формулировка необходимых условий условного экстремума, не нарушающая симметрии переменных и не предполагающая выполнения каких-либо дополнительных условий, кроме дифференцируемости функций f(x) и ср, (х) в точке х°. В частности, здесь не предполагается, что
/-JrH*0) •••
/ dxt ' ' i
rang! .................... | = ш,
так что связи (12.1) могут быть даже зависимы в точке х°. Если умножить (12.8) и (12.7) на dt и учесть, что дифференциалы dx и df суть величины dx = ty'(t)dt, df =» \f dx, то необходимые условия условного экстремума можно сформулировать следующим образом.
Дифференциал функции f(x)
df = yf(xo)dx (12.9)
равен нулю при любых таких дифференциалах dx, при которых
V<p(- (х°) dx = 0, т. е. dqpz(x°) = O, (12.10)
1= 1, 2, ...» tn.
Легко заметить, что если V/ (х°)=—(AqVqpj (х°) 4- ... + ^т^фт(х°)), т. е. если
V(f + Mi+ ... +*HPmUx. = 0, (12.11)
где Xi, Л„, — некоторые числа, то условие (12.8) является алгебраическим следствием т условий (12.7) и поэтому выполнено для всех ф'(0), удовлетворяющих условиям (12.7).
Отсюда следует, что необходимые условия экстремума для функции f(x) при наличии связен (12.1) можно получить, записав необходимые условия безусловного экстремума для функции Лагранжа
....M = f(x)4-M.(*)+ •.. +MU*) (12.12)
С ПОСТОЯННЫМИ Z.I, . . . , Кт'-
VF = Vf(x0) + s Z/Vqp/(x°) = O, (12.13)
i=*l
414 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. X
и требуя, чтобы точка х° удовлетворяла уравнениям связи (12.1), т.е.
фДх0) = 0 (/=1, ..., tn). (12.14)
Практически этот прием означает, что для функции Лагранжа (12.12) с неопределенными коэффициентами ..., 7.т мы пишем п условий безусловного экстремума (12.13), а стационарную точку х°={х°, ..., находим путем совместного решения п уравнений (12.13) и т уравнений (12.14) относительно п + т неизвестных: дф ...,
Этот метод носит название метода неопределенных коэффициентов Лагранжа.
4. Достаточные условия условного экстремума. Вопроса о достаточных условиях экстремума мы коснемся лишь вкратце. Дело в том, что эти условия обычно сложно проверить и лучше использовать какую-либо дополнительную информацию о функции f(x) для выяснения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в точке х°.
Для условного экстремума функции f(x) при связях (12.1) достаточно, чтобы вторая производная функции g(t) = f(ty(t)) в точке / = 0 была отлична от нуля и имела бы один и тот же знак для всех дважды дифференцируемых кривых х=ф(/), лежащих в X и проходящих через точку х°. Вычисляя эту производную в точке / = 0, получим
g" (0) = 4?' (0) V о (V/ (х0)) ф' (0) + V/ (х°) • ф" (0). (12.15)
Дифференцируя дважды по t каждое из соотношений (12.6) и полагая затем /=0, получим
Ф' (0) V о (фф< (х0)) ф' (0) + V<p£ (х°) ф" (0) -0 (12.16)
(1=1,2.......пг).
Умножая каждое из уравнений (12.16) на X,, суммируя по i от 1 до пг и прибавляя результат в правую часть (12.15), получим g" (0) = ф' (0) V ° {V [f (х°) 4- А |Ф) (х°) + ... 4- АтФт (х°)]} ф' (0) 4-
+ v [f (Х°) 4- х1ф| (х°) 4- ... 4- (*0)] • Г (0) =
= Ч>' (0) V ° [VF (х°, А1( ..., Am)] it' (0) 4- VF (*°, X!.Am) if" (0) =
г d2 1
*.....Ага)Ц, (12.17)
где функция F (х, 7ц, ..., Ат) задана формулой (12.12).
Таким образом, g" (0) — F"t (ф (t), A,....A,„) |z=0, а если
учесть, кроме того, что в экстремальной точке х° выполнено необходимое условие (12.13), то мы можем получить формулу
g” (0) = ф' (0) V о (VF (х°, X,.Хт)) ф' (0). (12.18)
§ 12]
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
415
Итак, мы получаем следующие достаточные условия условного экстремума функции f(x) при наличии связей (12.1):
а) выполнены необходимые условия (12.13), (12.14);
б) квадратичная форма
g" (0) = ф' (0) V о (VF (х°, Лр ..., XJ) ф' (0)
относительно вектора ф' (0) = {ф[ (0), ...» ф' (0)} знакоопределена для всех векторов ф'(0), удовлетворяющих системе условий (12.7) («связям»).
Условие б) можно сформулировать с помощью дифференциалов, так как ^'(0)dt = dx: второй дифференциал функции f(x)
d2f (Xoj = dxy о (v/ (х0)) dx = dxy о (vf (х0> ..., XJ)z/x =
= d2F(x\^ ...» Xm)
является знакоопределенной квадратичной (относительно dx) формой на множестве решений dx линейной (относительно dx) системы уравнений (12.10). Другими словами, второй дифференциал функции f(x) совпадает в экстремальной точке с d2F(x, Xi, ..., Хт) и должен быть знакоопределен для всех dx, удовлетворяющих системе (12.10).
Пример. Найдем условный экстремум функции г = ху, если х + у = 1. В этом случае F(x, у, X) = ху + Х(х + «/ — !). Дифференцируя, получаем
Р'х = У + = 0, у = — X;
Ffy = х + X = 0, х = — X;
х + у—1=0, — 2Х=1, х = у, </ = у.
г / 1 Ц
Стационарная точка: 1 — , —I.
F"> = F"t = 0, F" = I, epF = dx dy.
** У л</ ' &
Учитывая, что тельно, в точке
х + у=1, т. о. dy = — dx, имеем d2F = — dx2<0; следова (у, у) — условный максимум: гтах =
ГлаваХ!. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Условно сходящиеся ряды
1. Понятия абсолютной и условной сходимости рядов. С понятием числового ряда и его сходимости мы встречались в гл. III. Теперь мы рассмотрим более тонкие вопросы теории числовых рядов и перейдем к рассмотрению функциональных рядов и последовательностей, т. е. рядов и последовательностей, членами которых являются функции.
оо
Мы можем рассматривать сейчас ряды У ak, членами аь k=i
которых являются произвольные комплексные числа ak=Xk + + 1уь или даже элементы евклидова пространства Еп, т. е. ak = • • •» 4м)- Однако, как мы видели уже в гл. VIII и X,
оо
сходимость ряда У ak, если ak = x{k} = [x\k}, .экви-
оо оо
валентна сходимости п числовых рядов S 5 x<9k\ ... л=1 к=[
оо
. S Поэтому рассмотрения обычных числовых рядов,т. e. /г=1
случая, когда а^ — действительные числа, вполне достаточно для изучения рядов с членами а также с комплексными
членами + iyh.
Поэтому в этом параграфе мы будем рассматривать обычные числовые ряды %ak, члены ah которых суть произвольные действительные числа.
оо
Напомним определение сходимости ряда 2 которое мы k=i
вводили в гл. III.
оо
Ряд 2 аь называется сходящимся, а число S — его суммой, *:=!
(п \
S|,=2flJ. частичных сумм
ь=1 /
§ 1]
УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
417
сходится к числу S. Тогда мы пишем
5 »= 2 ak* ьм
Это означает, что’ при е > 0 определена функция N(г) такая, что при любом п > N (е) имеет место неравенство
|Sn-S|-
п
2 — s
k^\
<е.
Определение. Ряд 2 ak называется абсолютно сходящимся^. k^\ оо
если сходится ряд S | ak | (из признака сравнения (см. гл. III, § 3) оо \
при этом следует сходимость и самого ряда 5 а* .
*=i /
оо
Ряд У ак называется условно сходящимся, если он сходится,. Л=1 оо но ряд 2 I <4 I расходится.
/г=1 Например, ряд k=\ k=\
является условно сходящимся, ибо он сходится согласно признаку сходимости Лейбница, а ряд оо оо
Л=1 /г=1
расходится, как мы это видели в гл. III, § 4.
Следующие две теоремы показывают существенное различие абсолютно и условно сходящихся рядов с точки зрения перестановки членов ряда.
2. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.
оо
Теорема 11.1 (Римана). Если ряд 2 ak сходится ус-_ ь=1
ловно и S — произвольное число, то можно так перенумеровать члены ряда ah, т. е. положить ah = bkf (Л=1, 2, ...), что полу-оо
ченный ряд S b# будет сходиться к числу S. *'=1
418 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. XI
Доказательство. Так как ряд 2 сходится, то |ah| —► 0 при k —► оо (см. гл. III, § 3). Обозначим через р2, • • • ..., рп, ... положительные члены нашего ряда, взятые в том же порядке, в каком они входят в ряд 2 через q[t q2, • • • ..., qn, ... — модули отрицательных членов этого ряда, также сохраняя порядок их следования в ряде 2 Обозначим, далее, через Рп сумму тех из чисел р2, •••, которые входят п
в частичную сумму Srt = 2 а через Qn — сумму тех из чисел k=i
Q2, • • •, которые со знаком минус также входят в сумму Sn. Таким образом,
Sn=Pn Qn и п
2 |a*l = P„ + Q„. k=\
00
Так как ряд 2 ак сходится, то fe=l
lim Sn= lim (Pn — Qn) = S, П->оо n-^oo
а так как ряд 21 я* I расходится, то
(P„ + Q„)->oo при n—* оо.
Отсюда следует, что при п->оо Рп—>оо и Qn->oo. Итак, ряды оо оо
2 Рп и S Qn состоят из положительных членов и оба расхо-П=1 п==1
дятся. Поэтому из чисел рь (так же как и из qh) можно выбрать такое конечное число членов, что их cyMMja превзойдет любое наперед заданное число. Пусть задано 5 > 0. Составим ряд 2 Ьп, члены Ьп которого являются членами исходного ряда 2art и который сходится к 8.
В качестве первых k{ членов ряда 2 Ьп возьмем k{ положительных членов ряда 2а„ ’• Р2> • • •> Pkx- Число kx определяется
так, что pt + p2+ ... +pkt_l<S, а р, + Р2 + • • • + Pkl> § Следующие/| членов &s,+i, &s,+2> •••, bk,+i, ряда 2 Ъп положим равными первым /, отрицательным членам(— — q2, ..— qt^
ряда 2ап- Число определяется из условий
/’1 + 02+ ••• + Pk, ~ (?i + Я2 + ••• +<7t,_|)>5.
Pi + Р2 + • • • + Pk, ~ (?i + <h + • • • + ?/,)<
УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
419
5 I)
Аналогично определим следующую группу из k2 + /2 членов ряда 2^л> полагая &ft|+Z|+| = Pkl+i> bk+l+2 = pk+2, ...» bki+l+ki = Pk,+k,"
^A1+li+fea+^ ^li+l’ ^А1+/|+Ла+2 ^/,+2* * ’ ^ki+li+kj+li Qli+li'
Числа k2 и l2 удовлетворяют условиям
fti+/,+*,-l _ ft,4-rt+*s _
2 bn<s, 2 *„>$. n—l n=l
ki+li+ki + h— 1 _ k 14-/1+Л2+/2 __
2 bn>s, 2 bn<s.
fl 1 fl— 1
Процесс этот будем продолжать и дальше, т. е. выбирать из оставшихся членов ряда Sart kt положительных членов рп так, чтобы частичная сумма была не меньше числа 8 лишь при прибавлении последнего члена из данной группы. После этого выберем Ц отрицательных членов —qk из оставшихся членов ряда оо
У ak так, чтобы соответствующая частичная сумма станови-л=1 лась меньше числа 5 лишь при прибавлении последнего члена данной группы. В результате мы получим ряд, члены которого являются членами исходного ряда 2 ап и содержат все его члены. В полученном ряде каждый член ah исходного ряда входит ровно один раз.
Итак, полученный ряд отличается от исходного лишь порядком следования его членов.
Легко видеть, что построенный ряд сходится к числу 8.
Пусть, например, частичная сумма 8п ряда У bk оканчивается положительным членом pj, входящим в состав группы положительных членов, которая заканчивается членом рп , и пусть —q^ —последний отрицательный член, входящий в эту частичную сумму. Тогда по построению ряда У Ьп имеем очевидные неравенства
-4<s»-s<4-
Так как |ам| —>0 при /г—>оо и ап, Рп —► оо при м—>оо, то из этих неравенств следует, что построенный ряд сходится к числу S, и теорема доказана.
Конечно, следует твердо помнить, что можно переставить местами любое конечное число членов сходящегося ряда (безразлично, как сходится ряд: условно или абсолютно), и при этом сходимость ряда не нарушается, и он будет иметь ту же сумму» что и до перестановки.
420
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
Поясним доказанную выше теорему Римана примером. Как мы видели, ряд
/г=1
условно сходится. Из сравнения с формулой Тейлора для 1п(1 4-х) у2 уЪ у4 (—1 \п I
ln(14-x) = x-4- + 4-“^r+ ••• +-LJ^----------------
Z О П
I xlrt+1 п 4" *
* 0 при п -> оо и |х|<1,
заключаем, что ряд (1.1) имеет суммой число S = 1п(1 4- 1) = In 2. Если же поменять порядок суммирования этого ряда, объединив его члены в группы, содержащие одно положительное и два отрицательных слагаемых, т. е. записав ряд
i 1 + 1__L_1 + _L_ J___L + ... =
2 4 ~ 3 6 8 ~ 5 10 12 ~
I-------1 I---------1 I----------1
то мы видим, что он условно сходится к -у In 2, т. е. имеет своей суммой по-ловину суммы ряда (1.1).
Можно показать, что можно так переставить члены условно
оо
сходящегося ряда У ak> что полученный после перестановки к=\
ряд будет вообще расходящимся.
В отличие от этого при произвольной перестановке членов абсолютно сходящегося ряда он остается абсолютно сходящимся и его сумма не изменяется. Именно, имеет место следующая теорема.
3. Теорема Коши о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда.
оо
Теорема 11.2 (Коши). Если ряд У ak сходится абсо-
4=1
ОО
лютно, то и любой ряд У а', полученный перестановкой его
§ 1] УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 421
членов, также сходится абсолютно и имеет ту же самую сумму. оо
Доказательство. Ряд 2 ak сходится к S, поэтому по-/?=!
следовательность частичных сумм при и->оо. Ввиду аб-
оо оо
солютной сходимости ряда S ak сходится ряд S I ak |. На ft=i fc=i
основании критерия Коши поэтому существует такая функция JV(e), что для е > О
I ап I + I ап+1 I + ••• +laml<e m
при любых пг > /I > 7V(e). Отсюда следует, что 2 1^1“*О k=n
при п —► оо и любом m > п. оо оо
Пусть ряд 2 а'ъ получен перестановкой членов ряда 2 ak-k=i /?==i
Обозначим через tn(ri) число первых членов а[у а2> . оо
ряда 2 ak> входящих без исключения в число первых п членов
оо
ряда Т a'k, а через М (п) — максимальный номер члена ряда оо
2 а* среди входящих в первые п членов преобразованного А=1
ряда. Очевидны неравенства m (п) п, М (п) п,
m(n+ 1) > т (n), М (п + 1) > М (п), и m(n)->oo при п->оо*). оо оо
Покажем, что ряд 2 аь сходится к сумме S ряда 2
оо
Для частичной суммы S' ряда 5 имеем
/г=1 М(п) 2 laj. (1-2)
п т (п) \ 1 « 1 ' '
k=m (п)+1
оо
Здесь Sm (п) — частичные суммы ряда 2
*) Если бы т (п) не стремилось к бесконечности при п -> оо, то это означало бы ограниченность т (п) при всех п = 1, 2, ... Это в свою очередь оо оо
означало бы, что не все члены ряда 2 ak ВХ°ДЯТ в состав ряда 2 a'k*
422 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. XI
Переходя в этом неравенстве к пределу при п—>оо и замела (п)
чая, что при п->оо /п(п)->оо, 2 и Sm(n)->S, полу-
т
чаем доказательство нашей теоремы.
4. Перемножение рядов. Напомним определение произведения оо оо оо
рядов 2 и 2 bk. РЯД S ck называется произведением рядов k=0 k=Q k=0
оо оо
2 ak и 2 bk, если его члены ck удовлетворяют равенствам л₽=о fe=0
k ckz==ak^o + + ••• + = 2 (1-3}
/=o
Выясним достаточные условия сходимости произведения рядов оо оо
5 ак и 2 Ьк.
А=0 fe=0
оо оо
Теорема 11.3. Пусть ряды 2 ak и 2 Ьк сходятся соответ-k=0 k=0
(оо \ например, 2 bk) сходится аб-fe=0 / оо
солютно. Тогда ряд 2 Q> являющийся их произведением, схо-fes=0
дится к С и при этом С = АВ. п
Доказательство. Обозначим через Ап= ак, Вп = л«=о п п
= 2 Ьк, Cn=^j ск частичные суммы соответствующих рядов. fc=0 fc=0
Ввиду (1.3) имеем тождества
Cn = aobo + (aobl + atb0) + ... + (йо^п + ai^n-i + ••• +«/»^о) =
— аоВп + щВп-1 + ... + апВ0 =
= а0 (В + 0п) + а, (В + Pn-i) + ... + ап (В + Ро) =
= АпВ + йоРп + й|Рп-1 + ... +а„Ро>
где $п = Вп — B-+Q при п-> оо. Итак, Сп —Л„В = у„ = аоРл + а1Рп-1+ ••• +“п₽о
и для доказательства теоремы нужно показать, что ул->0 при п—> оо,
оо
Так как ряд 2 I о* I сходится, то положим А=0
•5 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 423
Выберем произвольное е>0, и пусть N таково, что |Цп|<в при n>N. При п>N имеем неравенство
I Yn I । Роап + ••• + $Nan-N I + I Ptf + lfln-Af-l + ••• + 0пао I =С I Роап + ••• + ^N^n-N 1 + e(l an-N-l 1+ ••• + I ЙО I ) ^IP<At+ ••• +Рлгап-лг1+ еа-
Фиксировав здесь N и переходя к пределу при п->оо, получим
Ит | у„ |<еа,
Л->оо
ибо | ап |->0 при п-> оо. Но ввиду произвольности числа е>0 отсюда следует, что lim | уп| = 0, и, следовательно, lim уЛ = 0.
П->оо П->оо
Таким образом, теорема доказана.
§ 2. Функциональные последовательности и ряды
1. Понятие равномерной сходимости. Пусть на некотором множестве X переменного х задана последовательность функций ап(х) (п=1, 2, ...). Тогда мы будем говорить, что на X задана функциональная последовательность {ап(х)}.
Определение. Будем говорить, что последовательность {ап(х)} сходится на множестве X's X к а(х), если в каждой точке х0 е X' числовая последовательность {ап(*о)} сходится
оо
к а(х0). Мы говорим, что ряд 2 ап(х) сходится на X'£ X п=\
к S(x), если последовательность его частичных сумм {Sn(x)} сходится к S(x) на X'.
Введем понятие равномерной на множестве X' сходимости последовательности {an(x)J к а(х).
Определение. Будем говорить, что последовательность {ап(х)} равномерно сходится на множестве Х'^Х к функции а(х), если при е > О определена функция N(е) такая, что неравенство |ап(*) — а(х) | < е выполнено при п > /V(e) сразу для всех хеГ. Тогда мы пишем: ап(х) =>а(х) на X'.
со
Определение. Ряд S ak(x) будем называть равномерно ь=1
сходящимся на X' X к S(x), если последовательность {Sn(*)} частичных сумм этого ряда равномерно сходится на X' к S(x).
Сравним определение сходимости {ап(х)} к а(х) на А' с определением равномерной на X' сходимости {ап(*)} к а(х).
Последовательность {ап(х)} сходится к а(х) на X', если эта последовательность сходится к а(х) в каждой точке хе X*. Согласно определению сходимости числовой последовательности это означает, что при е > 0 определена функция /V(e) такая, что
424 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. XI
при п > имеет место неравенство |ап(х) —а(х) | < е. Но эта функция /V(e) может зависеть от точки хеА", поэтому мы должны считать, что М = М(е, х). В отличие от этого, из определения равномерной на X' сходимости {ап(х)} к а(х) следует, что для любого е > О существует общий для всех х е X' номер /V(e) такой, что неравенство |ап(х) —а(х) | < е выполнено при п > N(е) сразу для всех хеХ'.
Таким образом, очевидно, что понятие равйомерной сходимости на X' более узко, чем понятие сходимости на X'. Именно, если {ап(х)} равномерно на X' сходится к а(х), то последовательность {fln(x)} также и просто сходится к а(х) на X'.
Однако обратное, вообще говоря, неверно. Именно, последовательность {ан(х)} может сходиться к а(х) на X', но не быть равномерно сходящейся на X'.
Поясним это простым примером. Рассмотрим на [0, 1) последовательность {ап(х)} = {л”). При 0 х < 1 ап(х) ->0, однако эта сходимость не равномерна на [0, 1). В самом деле,
| - 01 = хп
и для любого числа 8 (0 < е < 1) и любого X >= 1 найдется такое xg[0, 1), что xN > 8. Поэтому последовательность {хп} сходится на [0, 1) к 0, но неравномерно.
Аналогично этому ряд
fe=0
сходится на интервале (—1,1), но сходится неравномерно. Действительно, п
j
х — 1
fe=0
и для любого е > 0 и любого N 1 найдется такое х (—1, 1), что
1 I I z+l I. _ — X I 1 — X
|5w
чтобы последовательность
2. Критерий Коши равномерной сходимости.
Теорема 11.4. а) Для того
{flnW} равномерно на X' сходилась к а(х), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция 2V(e), определенная при е > 0, такая, что для всех пг > п > 2V(e) и всех х е X' выполнялось неравенство
б) Для того чтобы ряд 5 (*) равномерно на X' сходился
k=\
к S(x), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая
§ 2) ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 425
функция 7V(e), что для всех х g X', е > 0 и любых т > п>
>;V(e) выполнялось неравенство
I S ак(х)
I k—n.
<е.
Доказательство достаточно привести лишь для последовательностей.
Необходимость. Пусть ап(х) => а(х) на X'. Это значит, что существует такая функция Л^(е), что при всех хеГ и любых п > N(е)
| а (х) — (х) | <е.
Полагая N (е) = У , получим, что при всех х s X' и любых m>n>N (|)
| ат (х) — ап (х) К | ат (х) — а (х) | +1 ап (х) — а (х) | < е.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть при zn>n>JV(e) и всех х^Х' \ат(х) — ап(х)\<е. (2.1)
Это означает, что в каждой точке хе Г последовательность {ап(х)} является фундаментальной и, следовательно, сходится. Пусть а(х) —предел аГ1(х) при п—►□©. Переходя в (2.1) к пределу при /71 —► оо, получим, что при п > ?V(e)=7V(e) и всех х (= е X' выполнено неравенство
| а„ (х) — а (х) К е. (2.2)
Но это и значит, что ап(х) =ф а(х) на Хг. Теорема доказана.
3. Признаки равномерной сходимости рядов и последовательностей.
Теорема 11.5 (мажорантный признак Вейерштрасса). Если при всех £= 1, 2, ... u х е X' выполнено не-оо
равенство I ah (х) I bh и числовой ряд У bk сходится, то fe=i
оо
функциональный ряд 2 cik(x) равномерно сходится на X'. k=\
оо
Доказательство. Так как ряд У bk сходится, то суще-fc=l _
ствует функция /7(е) такая, что при m > /г > 7V(e) и е > О
tn
2 ьк k=n
m
= 2 t>k<e. k=n.
426
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
Поэтому при т > п > N(e) и любом х е X' имеем
т т
2 ак(х) < 2 bk<e., fc=tl k=n
оо
т. е. для ряда 5 ak(x) выполнен критерий Коши равномер-fe=i
ной сходимости. Следовательно, он равномерно на X' сходится, и теорема доказана.
Определение. Последовательность {ап(х)} называется равномерно ограниченной на множестве X', если существует число С>0 такое, что неравенства |ап(х)| С выполнены для любых п= 1, 2, ... ихеГ.
Теорема 11.6 (признак Абеля). Если последователь-п ОО
ность частичных сумм А„(х)=2 л* (*) ряда У ал(х) равно-fe=i k=\
мерно ограничена на X', а последовательность {bk(x)} в каждой точке хеГ не возрастает при k-+<x> и равномерно стремится к нулю (т. е. (bh(x)} =>0 на X'), то ряд
%ak(x)bk(x) (2.3)
Ь=1
равномерно сходится на Хг.
Доказательство. Равномерная на X' ограниченность частичных сумм Ап(х) означает, что существует С > 0 такое, что при любых п=1, 2, ... ихеХ'
М„(х)| =
5 ak(x) k=\
<с.
Рассмотрим сумму
ап (х) Ьп (х) + ... + am (х) bm (х) = bn (х) [Ап (х) — An_t (х)] +
+ 6п+1(*)Ип+1(х) — Л„(х)]+ ... + (х) (х) — Дгл_1(х)] =
= — Ьп (х) Л„_( (х) + [bn (х) — bn+i (х)] Ап (х) + ...
• • 4“ [^m-l 00 bm (X)] Ат-1 (х) -|- Ьт (х) Ат (х).
Так как bk+l (х) bk (х), то
I ап Ьп(х) + . • • + От (*) Ьт (х) К С [6„ (х) + (Ьп (х)'— Ьп+((х)) + ...
... + (&т-! (х) - Ьт (х)) + Ьт (х)] = 2СЬп (х).
Так как 6п(х)=^0 на X', то |6„(х)|<е при n>W(e), и мы видим, что для всех tn> п> N и хеГ
|ап(х)Мх)+ ••• +ат(х)Ьт(х)\<е,
§ 2] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 427
т. е. выполнен критерий Коши равномерной сходимости на X' ряда (2.3). Теорема доказана.
Определение. Последовательность {ап(х)} называется равностепенно непрерывной на множестве X', если для любого г > 0 существует такая величина 6(e) > 0, что неравенства
\ап(х') — ап (х")|<е
выполнены при всех х', х" еГ и любых п=1, 2, ..., если только |х'— х"\ < 6(e).
Из этого определения следует, что равностепенно непрерывную последовательность могут образовывать лишь равномерно непрерывные на множестве X' функции ап(х).
4. Теорема Арцела. Следующая теорема позволяет устано« вить, когда из некоторой последовательности {ап(х)} можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность. Эта теорема играет очень важную роль в анализе и приложениях.
Теорема 11.7 (Арцела). Пусть последовательность функций {ап(*)} равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на [а, &]. Тогда из нее можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно сходится на [а, &] к функции а(х), равномерно непрерывной на [а, &].
Доказательство. Пусть точки последовательности {x/J = xi,х2, ... образуют всюду плотное множество на [а, &]*).
Из последовательности функций {ап(х)} выберем подпоследовательность {а<й (х)}, которая в точке х=х\ сходится. Это возможно согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, ибо | ап (х) | С при хЕ[а, &] и, следовательно, |an(xi) | С.
Из последовательности функций {а^1)(х)} выберем подпоследовательность {я(п2)(х)}, которая сходится в точке х=х2. Таким образом, последовательность (х)} сходится одновременно в двух точках: х = х{ и х=х2. Процесс этот продолжим и далее. Пусть последовательность функций (х)} сходится в точках х = хь х=х2, ...» х=Хь. Выберем из этой последовательности подпоследовательность {а^+1) (х)}, которая сходится в точке хл+ь и т. д. В результате мы получаем счетное множество последовательностей Ai, А2, ...» Ah, Ak+i, ..., из которых каждая последующая A/i+i является подпоследовательностью предыдущей А/{ и сходится в точках xi, х2, ..., хл+1. Расположим элементы
*) Это значит, что для любых х е [а, 6] и е > 0 найдется хп е {хА} такое, что |хп— х| < е. В качестве {хл} можно выбрать, например, все рациональные точки отрезка [а, 6], которые, как мы знаем, образуют счетное множество.
428
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
этих последовательностей в виде таблицы:
Л,: а(/)(х)а(')(х) ... <0 (х) ...
Л2: а<2)(х)а(2)(х) ... а™ (х) ...
Ak: ... а™(х) ...
Если выбрать теперь последовательность (х)], состоящую из диагональных элементов нашей таблицы, то эта последовательность будет сходиться в каждой точке x=xk нашего множества {x/f}.
В самом деле, все элементы последовательности (а^Цх)] йри и > k являются по построению элементами последовательности Ah. Следовательно, (х)) ПРИ п> k есть подпоследовательность последовательности (х)} и, следовательно, имеет тот же предел, что и {а^(х)}, т.е. сходится в точке х=х&.
Покажем теперь, что, более того, последовательность (х)} сходится в любой точке х е [а, Ь] и притом сходится равномерно на [«, Ь]. Для этого покажем, что последовательность (х)} удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на [а, Ь]. Пусть д(е)—величина, входящая в определение равностепенной непрерывности последовательности {an(A')}, и пусть задано произвольное число е > 0. Тогда при любых х', х" е [а, Ь] и всех п = 1, 2, ... | ап (х') — ап(х") |<~, если только | х' — х" | <б (уj ’
Так как множество {х*} всюду плотно на [a, ft], то можно выбрать р точек х. , х. , ..., х. из {хЛ таких, что для любой Ч 12 1Р
точки х е [а, 6] найдется одна из этих р точек х. , х...х. >
*1 Ч ‘р
например xt, такая, что |Ху —х|<д (у). Последовательность [а*,"* (х)} сходится в каждой из этих р точек; поэтому существует такая величина N (у), что при т> п> N (у) и любых k=l,2,...,p
<2Л>
Пусть теперь х — произвольная точка [а, &], xj — ближайшая к ней точка из выбранных р точек х, , х, , ..., х, такая, что ч Ч
|х-Х/|<б(у).
« 3]
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ РЯДА
429
Пусть т> п> N . Тогда
| off (х) - а<р (х) | < | а£*> (х) - а%> (xf) | +
+ | (*,) - «<"> (X/) | + | (ху) - (х) |.
Так как | х - ху | < д , то | а™ (х) - а™ (х.) | < |, | а™ (х;.) -— W | < у ввиду равностепенной непрерывности последовательности (art(x)), I^C*/) "" 6Znl)(x/)| <у ВВИДУ (2.4). Итак,
W — <n) W|<e
для всех 6] и т> п> ,
Так как величина (у) не зависит от х, то это и означает, что подпоследовательность (х)} равномерно сходится на к Ь].
Докажем, что предел а(х) последовательности (х)} есть равномерно непрерывная на [а, Ь] функция. В самом деле,
|<п) — (х')|<е
при всех х, х'е [я, Ь] и любых /1=1, 2, ..., если только |х — х'| < 6(e). Переходя здесь к пределу при //—>оо, получим, что при любых х, х'е [а, Ь] и |х — х'| < 6(e) имеет место не* равенство
| а (х) — а (х') | е.
Теорема полностью доказана.
§ 3. Свойства предела функциональной последовательности и суммы ряда
1. Достаточные условия непрерывности предела последовательности и суммы ряда. Установим достаточные условия, при которых предел а(х) последовательности {яп(х)} непрерывных на [а, Ь] функций является непрерывной на [а, Ь] функцией, а также условия, при которых сумма S(x) ряда ^ak(x) является непрерывной функцией.
Теорема 11.8. а) Пусть последовательность {а)г(х)} непрерывных на [я, Ь] функций ап(х) (//=!, 2, ...) равномерно сходится на [а, Ь] к функции а(х). Тогда предел а(х) также непрерывная на [а, Ь] функция.
430
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
оо
б) Если все члены ряда 5 л* (х) — непрерывные на [а, 6] ь=1
функции, а ряд равномерно сходится на [а, 6] к S(x), то его сумма S (х) также непрерывна на [а, 6].
Доказательство, а) Покажем, что если задано е > 0, то существует д(е) >0 такое, что неравенство | а (х)—а(х')|< < е выполнено при любых х, х' е [а, 6], если только |х — х'| < < д(е).
Имеем неравенство
I а (х) — а (х') |<|а(х) — а„(х)| +
+ IM-*) — а„(х')| + |ап(х') — а(х')|. (3.1)
Пусть n>N *). Тогда | а (х) — ап(х) | <у. Фиксируем номер п в неравенстве (3.1). Так как ал(х)еС0{[а, й]}, то при |х — х'| < < (у) = д(е)**) имеет место неравенство
|ап(х)-а„(х')|<у.
Таким образом, получаем, что если | х — х' | <дп(у)' то |а(х) —а(х')| < е, что и требовалось доказать. Итак, предел а(х) равномерно сходящейся последовательности {ап(х)} непрерывных функций непрерывен.
б) Доказательство второго утверждения теоремы следует из первого, так как последовательность {5л(х)} частичных сумм оо
ряда S ak(x) удовлетворяет всем условиям теоремы для слу-/?=1
чая а).
Доказанную выше теорему можно записать в виде равенства
а(х0) = lim lim art(x) = lim lim an(x)= lim an(x0), (3.2) X->Xo rt->oo n->oo X->Xo rt->oo
которое имеет место для случая, когда ап(х) =>а(х) на [а, Ь] и все ап(х) — непрерывные на [а, Ь] функции.
Таким образом, в случае равномерной сходимости непрерывных функций ап(х) можно менять местами предельные переходы ПрИ П —► ОО И X —► Xq,
*) Af(e)—функция, фигурирующая в определении равномерной сходимости на [а, 6] последовательности {ап (х)} к а(х).
**) 6п(е)—функция, фигурирующая в определении равномерной непрерывности ап(х) на [а, 6]. Согласно условию теоремы ап(х} непрерывна на [а, 6] и, следовательно, равномерно непрерывна на [а, 6] (см. теорему 4.13).
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ РЯДА 431
§ 3]
Аналогично, доказанная теорема записывается для ряда в виде равенства
lim 2 ak(x) = 5 lim ak(x) = 2 ak(xQ). X~>X0 k~\ k=\ fe=l
Конечно, условия доказанной выше теоремы являются лишь достаточными условиями для непрерывности предела а(х) последовательности {ап(*)} непрерывных функций.
Следующая теорема устанавливает тесную связь понятия равномерной сходимости последовательности {ап(х)} непрерывных на [о, Ь] функций с понятием равностепенной непрерывности на [а, Ь] последовательности функций {ап(*)}«
Теорема 11.9. Если последовательность {ап (х)} непрерывных на [а, Ь] функций ап(х) (п=1, 2, ...) равномерно сходится на [а, 6], то эта последовательность равностепенно непрерывна на [а, Ь].
Доказательство. Пусть задано любое е > 0. Так как последовательность {ап(*)} сходится равномерно на [а, 6], то существует (у) такое, что для всех n>Af(y) и любых х е [а, Ь]
|а„(х) — ajvWK-y-
Фиксируем N = jw (у)] + 1; так как функции ах(х)......aN (х)
равномерно непрерывны на [а, Ь], то существует число такое, что
la^x) —а,(4/)|<у при 4=1, 2,..., N (3.3)
для любых х, уе[а,Ь], если только | х—у 1<^(у) Пусть
|х —4/|<дЦу) и n>w(y). Тогда
I ап М — ап (у) | < | ап (х) — aN (х) | +
+ | aN (х) — aN (у) | +1 aN (у) — ап (у) |< е.
*) Каждая из функций а,(х) непрерывна на [а, и, следовательно, равномерно непрерывна на [а, Ь]. Для каждой из этих функций существуетд/ такое, что (3.3) выполнены. Мы полагаем (у) = i j min (yj J
тогда неравенства (3.3) выполнены сразу для всех i = 1, 2, ..., N.
432
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
Итак, для всех п>АЦ-|-) и любых х, у s [а, &] при
\ап(х)-ап{у)\<г- п = N + 1, N + 2, ... (3.4)
Так как при неравенство (3.4) выполнено согласно
(3.3), то это и означает, что последовательность {ап(*)} равностепенно непрерывна.
Теорема доказана.
2. Почленное дифференцирование последовательностей и рядов. Пусть задана последовательность {ап(х)} и ап(х)е D^a.b]}.
Установим достаточные условия, при которых
а) последовательность {ап(х)} сходится и ее предел а(х) — дифференцируемая па [о, Ь] функция;
б) последовательность [а' (х)} из производных сходится на [а, Ь] к а'(х), т. е. имеет место равенство
Нт а' (х) = lim ап (х) а' (х). (3.5)
П->оо ил П~>оо
Если равенство (3.5) имеет место, то мы говорим, что последовательность {ап (х)} можно почленно дифференцировать.
Теорема 11.10. Пусть последовательность функций {gn(х)} равномерно на [о, Ь] сходится к некоторой функции g(x), а последовательность {fn(x)} сходится в какой-либо точке х0 е [а, Ь] к значению f(x0). Тогда, если функции ftt(x) <= Di {[а, Ь]} являются первообразными на [а, Ь] для gn (х), т. е. если
f'n(x) = Sn(x) (п=1,2, ...),
то последовательность {fn(x)} равномерно на [а, сходится к функции f (х), причем
f' (х) = g М-
Итак, если последовательность производных (х)) сходится равномерно на [а, И а последовательность функций (fn(x)} сходится хотя бы в одной точке, то эту последовательность можно почленно дифференцировать.
Доказательство. Рассмотрим последовательность {фп (х, /)}, где
Фп (*, 0 =
при
fn(X) = gn(X> ПРИ
X=£t, x = t
(3.6)
§ 3] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ РЯДА 433
и х, t е [а, 6]. Так как fn(x)—дифференцируемые функции на [л, И то функции фп(х,/) непрерывны по каждому одному из переменных х и t при х, t^[a,b] (но не по'совокупности пере* менных хи/). Функции фп(х,/) непрерывны по совокупности переменных х и / во всех точках квадрата а х Ь, а < bt кроме точек прямой х = /. В точках прямой х = I функции фи (х,/) могут и не быть непрерывными, так как Фп(х, х) = f'(x), а непрерывность производных f'n(x) нами не предполагалась.
Покажем, что последовательность {фп(х, /)} равномерно по х е [я, &] и / е [а, Ь] сходится при п -* оо. Для этого покажем, что для этой последовательности выполнен критерий Коши равномерной сходимости. В самом деле, при х =/= /
I <Гт (-V, 0 - ф„ (X, /) | = |xlz| | [fm (х) - fn (х)] — (0 — fn (О] |.
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к функции li,nn(x) = fm(x) — fn(x)&D1{la, &]}, будем иметь
I Фт (х, t) ф„ (х, t) | = । х । | hmn (х) hmn (/) | »
=77=тг । * -' 11 Чт« - f. wi;.s | =
= [О>-№1-|г„(6)-г.(Е)|. (3-7)
где I е (х, t) cz [а, &].
Так как последовательность (/' (х)) = (х)} равномерно
сходится на [о, &], то из (3.7) следует, что последовательность {фп(х, /)} равномерно по х, /е[а, &]*) сходится к функции <p(x, I), которая непрерывна по каждому одному из переменных х е [о, &] и t <= [а, Ь] **). Итак,
(3.8)
(равномерно по х е [а, &] и / е [а, 6]). Полагая здесь t = х0 и учитывая, что fn(xo) —*f(xe), получаем
fn (х) => f (х0) + (х — х0) ф (х, х0) = f (х),
*) Последовательность <рп (х, /) сходится к ф(х, t) равномерно по х, / е [а, Й, если при е>0 определена такая функция W(e), что |ф(х, О— — Фв (X, 0 | < е при любых х, t « [а, Ь] и п > W(е).
**) Так как сходимость фп(х,/) к Ф(х, 0 равномерна по х е [а, д] и функции Фп(х, t) непрерывны по переменному х на [а, Ь], то на основании теоремы 11.8 функция ф(х, /) непрерывна по переменному х е [а, д]. Точно так же мы устанавливаем, что функция ф(х, /) непрерывна по переменному t « [а, Ь].
434 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. ХГ
т. е. {fn(x)} равномерно на [а, Ь] сходится к f(x). Так как fn(x) => f(x), fn(t) =>f(0» то согласно (3.6) и (3.8) имеем
Ф (х, /) = I х t (3.9)
I g(x), х =/.
Так как сходимость фп(х, /) к <р(х, /) равномерна на [а, &] по х и по /, а функции фп(х,/) непрерывны по х и по /, то функция qp(x, t) = lim фп(х, t) будет непрерывной по каждому из П-> оо
переменных х, t е [а, д]. Поэтому
g (х) = q> (х, х) = lim ф (х, t) — lim — f' (х). (3. ю)
/->* t-*x x ‘
Отсюда следует, что функция f(x) дифференцируема на [а, &], и справедливо утверждение теоремы.
Приведем еще одну теорему о почленной дифференцируемости последовательности {ап(х)}.
Теорема 11.11. Пусть последовательность (fп(х)} дифференцируемых на [а, Ь] функций (fn(x) E0i{[a, 6])) сходится на [о, b\ к f(x), а последовательность производных {gn(x)} = = {/п(х)} равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на [а, &].
Тогда f(x) дифференцируема на [а, И /п(х)=^/(х) на [а, ы {gnCt)}^ g(x) =f'(x) на [а, 6]. Таким образом, при этих условиях последовательность {fn (х)} можно почленно дифференцировать.
Доказательство. Докажем сначала, что f(x) е е £М[а, Ь]}. В самом деле, так как последовательность {gn(х)} = {/„(х)} равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на [а, &], то по теореме Арцела из нее можно выбрать равномерно сходящуюся на [а, 6] подпоследовательность. Пусть (gftn (х)} S (х) на [а< Ь]— одна из таких подпоследовательностей, а (х)} -> f (х) —соответствующая ей последовательность первообразных. Эти подпоследовательности удовлетворяют всем условиям предыдущей теоремы, и поэтому f(x) eDJfa, b]} и g(x) = f' (x).
Докажем теперь, что последовательность {gn(x)J сходится в каждой точке х е [а, Ь] к g(x) = /'(х). Для этого докажем, что для любого х е [а, 6] все предельные точки этой последовательности совпадают с f'(x). Это и будет означать сходимость последовательности {gn(x)J к g(x).
Пусть х — произвольная точка [а, 6]. Последовательность (gn (*)} согласно условиям теоремы ограничена, и поэтому у нее есть хотя бы одна предельная точка. Пусть — любая
$ 3] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ РЯДА 435 сходящаяся в точке х подпоследовательность последовательности {gn(x)J. Покажем, что gnk.(x) -+g(х) = f'(х). В самом деле, из равностепенно непрерывной и равномерно ограниченной последовательности, какой является {gnft'(x)), можно выбрать по теореме Арцела подпоследовательность {gnk« (х)], которая равномерно на всем отрезке [а, Ь] сходится и, как мы видели выше, сходится к g(x) =f'(x). Следовательно, и подпоследовательность (gnF(x)) 0 точке х сходится к g(x).
Итак, любая сходящаяся в точке х е [а, 6] подпоследовательность {gnjl' (х)} сходится к g(x) = f'(x). Это и означает, что в каждой точке х е [а, 6], т. е. на [а, &],
gn(x)-^g(x).
Наконец, докажем, что gn(x) g(x) на [а, &]; тогда из предыдущей теоремы будет следовать, что и fn (x) =^f(x) на [а, 6]. Пусть задано произвольное е > 0. Так как последовательность {gn(x)} равностепенно непрерывна на [а, И то при любом е > 0 найдется б(-|-)>0 такое, что | gn (х) — gn (х') | <у при любом п = 1,2,... и сразу для всех х, х'е [а, &], удовлетворяющих условию | х — х' |<д (у). Выберем р точек хь х2, ..., хре[а, &] таких, что расстояние от любой точки х е [а, до ближайшей из этих р точек меньше чем б (у) (например, xt = а + zd(у))* и пусть х — произвольная точка отрезка [а, 6]. Имеем
I gn (х) — g(х) |<| gn(х) — gn (х{) | +
+1 gn (х<) — g (xt) | + | g (xt) — g (x) I, (3.11) и пусть здесь x, — ближайшая к х точка из выделенных р точек; поэтому |х —xj<d(yj. Согласно теореме Арцела предел g(x) равностепенно непрерывной и равномерно ограниченной последовательности {gn (х)} есть функция, равномерно непрерывная на [а, &], так что | g(x) — g(x') Ку при | х — х' 1<6 (у) • Пусть Nt(e) — такая функция, что lgrrt(xf) — g(xj|<e при тогда, полагая N (в) = max (у)> будем иметь, что для n^zV(e) и любого хе [а, д] согласно (3.11) выполнено неравенство
Кп(х) —g(x)|<e.
А это и означает, что последовательность {gn(x)} равномерно на [а, />] сходится к g(x). Теорема полностью доказана.
436 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. XT
{{ sin пх ) х л
—~— г 0 на (—оо, оо) при п -> оо.
(sin пх)' ) . .
-------? = (cos пх} вообще нет сходимости на
, ч Л
(—оо,оо); например, в точке х = ~2 последовательность из производных расходится. Последовательность {cos пх} ограничена, по не является ни равномерно сходящейся на [л, Ь], ни равностепенно непрерывной, поэтому ни одна из теорем о почленном дифференцировании не применима.
Приведенные две теоремы о почленном дифференцировании последовательности {ап(х)} могут быть перенесены на случай оо
функционального ряда 2 ak(x). Приведем формулировки со-
<?=i
ответствующих теорем, не приводя доказательств, ибо они легко следуют из теорем, доказанных для последовательностей.
оо
Теорема 11.12. Пусть ряд У gk (х) равномерно на [а, Ь] k=0
оо
сходится и имеет суммой функцию G (х), а ряд У, fk (х) схо-
Л=0
дится хотя бы в одной точке х« е [а, Ь].
Если fk(x)^Dl{[a, 6]} « f'k(x) = gk(x) (£=1, 2,...), то
оо
тогда ряд 2 fk(x) равномерно на [а, 6] сходится и имеет сум-k=0
мой дифференцируемую на [а, 6] функцию F(x) такую, что F'(x) = G(x).
оо
Теорема 11.13. Пусть ряд S fft(x) сходится на [а, М k=0
оо
к F (х) и £>!{[«, 6]}, а ряд У gkM имеет равномерно k=0
ограниченную и равностепенно непрерывную на [а, Ь] последо-
5 gk (*) г-
k=0 J
оо оо
Тогда, если gb(x) = f'(x}, то ряды 2Ль(х) и 3 gk(x)равно-я fc=O А==0
мерно сходятся на [а, 6], F (х) дифференцируема на [а, 6] оо
и имеет производной сумму ряда 2 gk (*)> т*
*=о
F'w = 2 ^w = 2 (з.12)
3. Интегрирование последовательностей и рядов. Теперь рассмотрим вопрос о почленном интегрировании последователь
$ 3] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ РЯДА 437
ности. Если последовательность функций {gn(*)} сходится к g(x) на [а, 6] и для любых а, хе [а, ft] имеет место равенство
XX X
lim (3.13)
П->оо ln->°o J J
а а а
то мы говорим, что последовательность {gn(*)} можно почленно интегрировать на [а, Ь].
Укажем достаточные условия, при которых сходящуюся последовательность (gn(x)} можно почленно интегрировать на (а, ft].
Теорема 11.14. Пусть функции gn(x) интегрируемы на (я, ft] (n = 1, 2, ...) и последовательность {gn(*)} =т> g(x) на [а, ft]. Тогда g(x) интегрируема на [а, ft] и при любых а, х е [а, Ь] имеет место равенство
X X
lim [ gn(№ = f g(№.
П->оо J J
а а
Эта теорема справедлива равным образом, если под интегралами здесь понимать приращения первообразных подынтегральных функций или же интегралы Римана *).
Доказательство, а) Если члены последовательности gn(x) имеют первообразную на [a, ft], то эта теорема есть следствие теоремы о почленном дифференцировании, ибо gn(£) =
а
= /'„(!)» g„(£)=>g(£) на [«> и/п (о) = j (£) = °, т. е. а ч
/„(а)^0.
X
б) Пусть под J gn (£) понимается интеграл Римана. Досс
кажем, что g(x) интегрируема на [a, ft] по Риману и имеет место формула (3.13).
Пусть задано произвольное е > 0; найдем номер п такой, что
lgn(*) —g(*)l< з(Д-д) при (3.14)
Это возможно, так как gn(x) равномерно на [а, 6] сходится к g(x).
*) Но, конечно, интегралы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, надо понимать в одинаковом смысле.
438
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
Теперь фиксируем какой-либо номер п и функцию gn(x), удовлетворяющую неравенству (3.14). Согласно условию теоремы функция gn(x) интегрируема по Риману на [а, Ь]. Поэтому для нее выполнен критерий интегрируемости по Риману (см. гл. VII, § 4), т. е. существует разбиение Т {хг} отрезка [а, Ь] такое, что
SM-sMC-j. (3.15)
где Sn(Xi) и sn(Xi)—верхняя и нижняя суммы Дарбу для gn(x). Согласно (3.14)
е с
W - 3(6^) <g W < gn W + г(ь-а)' Отсюда
sn(Xi) —
Здесь S(xt) и s(x{) — верхняя и нижняя суммы Дарбу для g(x) и разбиения T(Xi). Поэтому
5 (xt) s (х()= S (х^) Sn (х<) -j- Sn (xt) sn (x/) -|- (x^) —• s (x<)
< Sn (xi) — sn (x<) + | e < e.
Итак, для предела g(x) последовательности {£n(*)} выполнен критерий интегрируемости и g(x) интегрируема по Риману на [а, й].
Замечаем, что
XX X
/ g(№- / gn^)dl < f|gU)-gn(S)|d& а а а
е । .
<у|х —а|
и е—>0 при п->оо*). Отсюда следует формула (3.13). Теорема полностью доказана.
Как следствие этой теоремы имеем следующую теорему о почленном интегрировании функционального ряда.
оо
Теорема 11.15. Пусть все члены gk(x) ряда У gk (х) ин-
А=0
оо
тегрируемы на [а, 6], ряд У gk (х) равномерно сходится на
k=0
X X
*) Из этой оценки следует, что J gn(£M£=^ J g(£)d£ (равномерно по а а
а, х е [а, 6]) при п -> оо.
§ 4] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 439
[л, 6] и имеет своей суммой G(x). Тогда сумма ряда G(x) интегрируема на [а, Ь\ и имеет место равенство
X X / оо \ оо X
f g*(d<^=2 Jg*(M. (з.1б)
а а '/г=0 ' k=Q а
Эта теорема не нуждается в отдельном доказательстве, так п
как для частичных сумм ряда G„(x)=2 gk (х) выполнены все k=0
условия предыдущей теоремы.
§ 4. Степенные ряды
1. Понятие степенного ряда. Радиус сходимости. Будем рассматривать сейчас функциональные ряды с комплексным независимым переменным z = х + iy-
оо
Напомним, что сходимость ряда 2 ап с комплексными п=0 членами ап = ап + фп означает сходимость двух рядов оо оо
2 ап и 2 Рп с действительными членами. л=0 п=0
оо
Для ряда 2 <*п с комплексными членами справедлив приз-П=0
оо нак сравнения', если | ап | уп (n= 1, 2, ...) и ряд 2 Yn оо с действительными членами сходится, то сходится и ряд 2 ап. П=0 с комплексными членами.
В самом деле, из неравенств | ап | уп вытекает, что |ап|^уп. |pn|^ уп; поэтому согласно признаку сравнения оо оо оо
(см. гл. III, § 3) сходятся ряды 5 <4 и 2 Рп’ т. е. ряд 22 ^п п=0 п=0 п=0
сходится.
Сформулируем также признак Коши сходимости ряда _____________________________ п ____
с комплексными членами: если lim У1ап1=а, то при а <. 1 п->оо
ряд ап сходится, а при а > 1 расходится.
В самом деле, если а < 1, то согласно признаку сравнения оо
Для числовых рядов (см. гл. III, § 3) сходится ряд 2 I ап |, п=0 а согласно признаку сравнения для рядов с комплексными
440
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. ХГ
сю
членами и ряд 2ап- Если же а > 1, то | ап | не стремится к нулю П=0 сю
при и —> оо, поэтому ряд 2 ап расходится, так как не выпол-п=0 ______
нено необходимое условие сходимости ряда | ап | — +0* ->0
при оо. оо
Ряд 2 ап с комплексными членами называется сходящим-п=0 оо
ся абсолютно, если сходится ряд 2 I I из модулей его чле-
п=0
нов; этот ряд называется сходящимся условно, если он сходит-оо
ся, а ряд 2 I «п I из модулей его членов расходится. п=0 оо
Ряд 2 ял(г) из функций комплексного переменного z на-п=0
зывается равномерно сходящимся к S(z) на множестве Z комплексного переменного z, если при е > 0 определена функция Af(e) такая, что
п
2 а*(г)-«(г) fe=0
<е
при л > /V (е) и любом z g Z.
Очевиден мажорантный признак равномерной сходимости ряда, составленного из комплексных функций: если | ап (г) | уп оо
при п = 1, 2, ... и любых z е Z и ряд 2 Yn сходится, то ряд п=1
оо
2 яп(г) равномерно (и абсолютно) сходится на множестве Z
(ср. теорему 11.5).
Функциональный ряд
2 спгп (4.1)
с комплексным г = х + iy и произвольными комплексными коэффициентами сп называется степенным рядом.
Особенностью степенных рядов является то обстоятельство, что они имеют специфическую область сходимости. Именно, для каждого ряда (4.1) существует круг | z| R (круг сходимости) такой, что ряд (4.1) сходится внутри этого круга, т. е. при |z < R, и расходится вне, т. е. при |z|> R. На границе \z = R круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться в различных точках.
§ 41
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
441
Если R = 0, то ряд (4.1) сходится только лишь в точке z = 0; если R = оо, то ряд (4.1) сходится при любом г, т. е. во всей плоскости комплексного переменного г. Приведем две
в точке z =
теоремы, доказывающие эти утверждения.
Теорема 11.16. Пусть ряд (4.1) сходится
— zq =х0 + 1уь- Тогда ряд (4.1) абсолютно сходится во всех точках г, для которых | z | < | г01. Кроме того, ряд (4.1) сходится равномерно в любом круге |z| г < |г0 .
Доказательство. Пусть | г | г < г0|. Тогда | cnzn |
| сп | • гп. Поэтому, если сходится ряд У |сл|гп, то сходится п=0
и ряд (4.1); при этом он сходится абсолютно и равномерно на основании мажорантного признака Вейерштрасса. Так как
S Ыг"=21сп2о|Шп’ 1слго‘Но
п=0
п _____
при п->оо (ввиду сходимости ряда (4.1) в точке г0) и ylcnrnl =
— |у-| cnzo |’ то на основании признака Коши ряд (4.1) схо-___________________________________________ п _____
дится. В самом деле, |^g|—>0, поэтому lim у|^"|<1 и
Теорема доказана.
Теорема 11.17. (Коши — Адамара). Радиус R сходимости ряда (4.1) задается формулой
1 --- П Г--
R = — > где a=lim)/|crt|.
° Л->оо
П _____
Доказательство. Пусть 0 < R < оо. Так как |/1 cnzn | = м -----
&l Z I /I Сп I, то
Пт спг" 1 = 1 z | lim /fcj =
П->оо Л->оо А
и на основании признака сходимости Коши ряд (4.1) сходится при |-||<1 и расходится при -^->1. Теорема доказана.
2. Понятие аналитической функции. Пусть f(z)=u(z) +
Я*/у(г) —комплексная функция комплексного переменного
442 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ [ГЛ. XI
г = х + iy (u(z), v(z)—действительные функции переменного г).
Функция f(z) называется непрерывной в точке г0, если
| f (г) — f(z0) |->0 при |г —г0|—>0.
Непрерывность /(г) означает, таким образом, непрерывность функций u(z) и и (г).
оо
Если члены ряда 2 0rt(z) являются непрерывными в об-п—\
ласти D функциями переменного г и если этот ряд сходится равномерно в области D к функции S(z), то S(z) —непрерывная функция переменного z = х + iy в каждой точке zeD.
Доказательство этого утверждения буквально повторяет доказательство теоремы 11.8 с заменой буквы х на z и интервала (а, Ь) на область D. Поэтому мы не будем его здесь проводить.
Определение. Функция f(z) называется аналитической функцией комплексного переменного z = х + iy в области D, если в каждой точке zeD значение f (z) есть сумма некоторого степенного ряда, т. е.
оо
f(z) = 2 сп(г — г0)п, п—0
где Zq и сп — некоторые комплексные числа.
Пусть ряд (4.1) сходится при | z| < R. Его сумма
оо
f(z)=2c„zn (4.1)
м=0
является аналитической в области |z| < R функцией переменного z = х 4- iy. Как мы видели выше, ряд (4.1) сходится равномерно в любом круге | z | < R — е при 0 < е < R. Поэтому сумма этого ряда внутри круга сходимости | z | < R является также непрерывной функцией z и, следовательно, х и у. Итак, сумма степенного ряда (4.1)—аналитическая функция — является непрерывной функцией переменного z = х -j- iy при |г|</?.
Покажем, что ряды
f' (z) = 2 tlCnZn~l, f" (z) = 2 « (tl — 1) cnzn~2.f(">) (z) =
n«=l n=2
= 2 n(n— 1) ... (rt — m+ l)cazn~m, (4.2) n=m
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
443
§ 4]
полученные формальным дифференцированием ряда (4.1) по переменному г*), имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (4.1).
В самом деле,
lim У| («4- 1)с„+, | = lim Vn + 1 • lim Vl cn+l | =
П->оо П->оо П->оо
------ n r----- 1 = lim |/|cn+1 | = a =-p.
П->оо A
Пт У(п + 2)(п+ 1)|ся+2| = a = -L
П->оо A
--- fl ------------------------------------ ]
lim V(n + m)(n + m — 1) ... (« + l)|c„+m| = a =-~ • П->оо A
Отсюда по теореме Коши — Адамара следует, что ряды (4.2) имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (4.1).
Отсюда также следует, что ряд (4.1) для случая действительного аргумента
(4.3)
и ряды, составленные из производных каждого члена ряда (4.3),
Г (х) = 2 пспхп~', .... Лт) (х) =
Л=1
= 5 п (п — 1) • • ♦ (п — т + О спхп~т (4.4) n=m
имеют общий интервал (—/?, /?) сходимости.
Кроме того, на каждом интервале (—R 4-е, R — е) эти ряды сходятся равномерно. Поэтому сумма f(x) ряда (4.3) дифференцируема в интервале (—/?, /?) на основании теоремы 11.10 и обладает в этом интервале производными любого порядка. Эти производные равны суммам рядов (4.4).
Ясно, что в том же интервале (—R, R) сходится ряд у спхп+' « +1 ’ n=Q
*) Производной j'(z) комплексной функции /(г) в точке г0 называется предел отношения ---11^1 при дг->0. Легко видеть, что (zn)' =
Дх nzn“l.
444
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
[ГЛ. XI
составленный из первообразных для каждого из членов ряда (4.3). Поэтому мы делаем следующий важный вывод: степенной ряд (4.3) можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри круга сходимости произвольное число раз.
3. Ряд Тейлора для аналитической функции. Итак, аналитическая функция
f(x)=icnxn (4.5)
n—Q
внутри интервала (—/?, /?) сходимости обладает производными любого порядка, т. е. f(x) еСм{(—/?, /?)}. Так как из (4.4) следует, что
f(O) = co. f'(0) = co f"(0) = 2lc2, |
fW(0) = fe|Cft, J (4’b'
то ряд (4.5) можно представить в форме
оо
f(x) = £ f(«>(0)-£. (4.7)
fi=0
Ряд (4.7) называется рядом Тейлора для функции f(x) с центром в точке х = 0, а ряд
<4-8>
п=0
— рядом Тейлора для f(x) с центром в точке х = а. Из формул (4.6), в частности, следует единственность представления любой аналитической функции f(x) в виде суммы степенного ряда, так как коэффициенты сп степенного ряда однозначно определяются по производным Поэтому и представление
(4.7) или (4.8) аналитической функции f (х) в. виде ряда Тейлора также единственно.
Итак, аналитическая на (—/?, /?) функция f(x), т. е. сумма степенного ряда (4.5), имеющего радиус сходимости /?, является в то же самое время суммой ряда Тейлора с центром в точке х = 0, написанного для f(x).
Пусть теперь f(x)—произвольная бесконечно дифференцируемая на интервале (а, 0) функция. Напишем для f(x) формально ряд Тейлора (4.8) с центром в точке х = а е (а, 0). Сходится ли этот ряд и сходится ли он к f(x)?
Простые примеры показывают, что, вообще говоря, ряд Тейлора может даже и сходиться, но не к функции f(x).
•§ 4]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
445
Например, функция
/(*) = {
О
(х =# О), (х = О)
(4-9)
бесконечно дифференцируема на (—оо, оо) и имеет в точке х — 0 производные любого порядка; при этом
0 = Л(0) = Г(0) = ... =^>(0)= ...
Поэтому ряд Тейлора этой функции
n=Q
хотя и сходится при любых х, но сходится к S(x) = 0, а не к f(x).
Постараемся выяснить, почему сумма ряда Тейлора для функции (4.9) оказалась отличной от f(x). Так как f(x) е е Соо{(—сю, оо)}, то для f(x) справедливо тождество Тейлора:
Их) = /(0) + Л(0)^+ ... +fW(0)-^ + /?n+I(x), (4.10)
/?„+1(х) = р('!+,’(т)-^?^Л о
при любых хи п.
Так как /?n+i(x) s f(x), то Rn+i(x) не стремится к нулю при л —► оо (кроме точки х = 0), и по этой причине ряд Тейлора не сходится к f(x).
Очевидно следующее утверждение. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая на (—/?, /?) функция f(x) представлялась на этом интервале (—/?, R) суммой своего ряда Тейлора, т. е. чтобы имело место равенство
оо
Цх) = 2^>(0)-£, гг=О
X (л+1) 1—. . rfr—>0
о на (— /?. Я).
В качестве следствия приведем еще одно утверждение. Если на (—R, R) производные функции f (х) е С<х> равномерно ограничены при всех п = 1, 2.........хе (—7?, R), то /(х) предста
446 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ (ГЛ. ХГ
вима в виде суммы своего ряда Тейлора. Действительно, если при любых х е (—/?, R) и п = 1, 2, ...
|Г(х) |<с, то
I/?„+>(*)! =
О
Из этой формулы следует, что /?п+1(х) 4 0 на (—/?, R) при н—> оо, и, следовательно, утверждение доказано.
Рассмотрим ряд Тейлора (4.8) для функции f(x) е еСоо{(а, Р)} с центром в точке ае(а, р). Имеет место следующее утверждение: функция f(x) еСоо{(а, Р)} является суммой своего ряда Тейлора (4.8) с центром в точке х= а во всех тех точках интервала (а, Р), в которых
Rn+\ (а, *) = J (?) 0 при п-*оо.
а
Доказательство этого утверждения легко следует из тождества Тейлора:
f(x) = /(a) + f'(a)J4r£+ ••• +/(п)(а)1х-~|0)" + ^‘(а’ *)>
(х - т)" . п!
§ 5. Некоторые применения степенных рядов
Степенные ряды находят много применений в различных областях анализа и прикладных вопросах. Укажем лишь несколько важнейших применений.
Разложение функций в ряды Тейлора позволяет вычислять значения этих функций с заданной точностью и изучать различные свойства функций. Как мы видели выше, представление функции f(x) в виде суммы своего ряда Тейлора возможно при Rn+i (х) 0.
Например, пусть f(x) = ex. Тогда ^пЦх)=ех и все производные равномерно ограничены на любом конечном интервале (—Rt R). Поэтому, согласно § 4, в любой точке х имеет место равенство
§ 5]
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
447
Эта формула позволяет вычислять значение ех с любой заданной степенью точности.
Точно так же для f(x) = sin х имеем |/(n)(x)|^ 1. Поэтому ряд Тейлора
Sinx — X 3! + 5| 7! + • • • 2j ( 0 (2п + 1)!
п=0
сходится к sinx на (—оо, оо).
Рассмотрим ряд Тейлора для f(x) = 1п(1 4-х):
оо у2 v3 1
1ю=«-тг+т-т+
м=0
Этот ряд, как нетрудно проверить по признаку Даламбера, сходится на интервале (—1, 1). Из признака Лейбница следует, что он сходится также в точке х= 1. Для того чтобы выяснить, сходится ли этот ряд к 1п(1 4-х), продифференцируем его почленно. Тогда будем иметь
оо
1 _ х + Х2 _ Х3 + ... (_1)пхп = т±_.
п=0
Этот ряд есть геометрическая прогрессия и сходится, как известно, при —1 < х < 1. Внутри интервала сходимости степенные ряды можно почленно интегрировать. Интегрируя это равенство, получим
ОО X оо
_^_ = 1п(14-х) = 2 J (-\)ntndt = % (-1)" п=0 О гг=Э
^я4-1
П + 1 *
и мы видим, что действительно функция 1п(1 + х) представима на (—1, 1) в виде суммы своего ряда Тейлора. То же самое мы могли бы установить, оценив Rn+i(x).
Применение рядов Тейлора удобно при вычислении интегра-
X
•лов. Например, интеграл j* ~^dt не вычисляется с помощью О
элементарных функций. Так как
sin х = . х2 . %4__
х =1 3! ‘ 5!
жл b x2k
(2k + 1)1 п =0
448 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ (ГЛ. XI
и последний ряд сходится на (—оо, оо), то его можно почленно интегрировать на любом конечном интервале. Интегрируя, получаем
f sin t ..
—j—dt = x о
X3 | X5
ТЗТ^ 5-5!
k=0
x2ft+I
?2* + l)[(2*+l)!]
— ряд, который сходится очень быстро и может служить для х
Jsin t
—-—at.
о
Глава XII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ В МНОГОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Предварительные замечания
В гл. X мы уже ввели некоторые интегральные операции над функциями нескольких переменных. Именно, было введено понятие криволинейного интеграла от скалярной функции f(x) переменных хь ..., хп вдоль кривой х = ф(/) e Ci между точками t = а и t = Ь этой кривой.
Этот интеграл был введен как обычный одномерный интеграл
от функции g(t) = f(<p(/)) одного переменного.
Затем было введено понятие криволинейного интеграла от векторной функции g(x) вдоль кривой х = <р(/) так же, как одномерного интеграла
j g (х) dx = J g (ф (/)) • ф (0 dt.
АВ а
Если g(x) = V/(x), т. е. поле g(x) является потенциальным, то этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек интегрирования А и В:
Jvf(x)dx = f(V(6))-f(V(a)).
В этой главе, опираясь на понятия одномерного и криво-
15 Б- Л- Рождественский
450
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
линейного интегралов, мы введем более сложные операции интегрирования для функций нескольких действительных переменных. Одновременно с этим будут введены некоторые специальные дифференциальные операции.
Вначале мы рассмотрим случай двумерного пространства Е2 и введем понятие двойного интеграла. На базе двойного интеграла будут введены поверхностные и объемные (тройные) интегралы. Эту цепочку можно продолжать и далее, вводя четырехмерные и т. д. интегралы.
Излагая теорию интегрирования на плоскости и в пространстве, а также некоторые формулы векторного анализа, мы будем пользоваться понятиями «положительного направления на плоскости» и «положительного направления на контуре» в пространстве. «Положительным направлением на плоскости» хОу называется направление, в котором надо повернуть вектор /={1,0}, чтобы кратчайшим путем совместить его с вектором / = {0, 1}.
Если это направление противоположно направлению хода стрелок часов (положенных на плоскость хОу циферблатом к читателю), то система координат (х,//), выбранная на плоскости, называется «правой»; в противном случае система координат называется «левой».
Чтобы избежать недоразумений, мы в этой главе будем применять на плоскости только «правую систему координат», поэтому «положительное направление» всегда будет направлением, противоположным ходу стрелок часов.
Точно так же и в пространстве мы будем применять только «правую систему координат» (х, у. г), когда базисные векторы / = {1,0,0}, / = {0,1,0}, k = {0,0,1} образуют «правую тройку».
Мы говорим, что базис /, /, k образует «правую тройку» векторов, если поворот вектора / кратчайшим путем до совмещения с вектором / происходит против направления хода часов (если смотреть из конца вектора k) и аналогично поворот вектора / кратчайшим путем до совмещения с вектором k происходит против направления хода часов (если смотреть из конца вектора /).
Наконец мы отметим, что изложение в этой главе отличается от предыдущих тем, что полно и строго определяются и доказываются лишь основные понятия и теоремы. Причинами этого является то, что многие теоремы анализа в многомерном случае похожи на подобные в одномерном; а также и то, что полное и строгое их доказательство в ряде случев довольно громоздко. Поэтому мы иногда лишь намечаем путь доказательства ряда громоздких теорем.
§ 21 ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 451
§ 2. Одномерные интегралы, зависящие от параметра
1. Переход к пределу под знаком интеграла. Сейчас мы будем изучать свойства определенного интеграла
ь
Цу) = J g (х, у) dx а
в зависимости от переменного (параметра) у.
По-прежнему величина Цу) может означать как интеграл Римана, так и приращение первообразной для g(x, у) на отрезке [а, 6]. Если возникнут различия между двумя этими случаями, то они будут особо оговариваться.
Мы будем предполагать ниже, что функция g(x,y) задана в прямоугольнике D: a^x^b, c^Cy^d и интегрируема на отрезке [а, й] переменного х при любом значении параметра У €= [с, 4
При изучении зависимости интеграла от параметра существенным оказывается понятие равномерного по х е [а, д] стремления функции g(x,y) к функции £о(*) при г/->г/о. Введем это понятие.
Мы говорим, что функция g(x, у) имеет предел при у -* yQ, равный go(*), и пишем g(x,y) -* go(*) при г/-*у0, если при любом фиксированном х е [a, b\ и любом е > 0 найдется б > О (зависящее от е и х) такое, что неравенство
I g(x, y) — g0(x)\<e, выполнено, как только 0 <|«/ — х/о| < 6 = б(е, х). Тогда мы пишем:
lim g(x, y) = g0(x) при х е [а, &].
Определение. Мы говорим, что функция g(x, у) равномерно по хе[М] стремится при у —► yQ к функции go(x), если для любого е > 0 существует число б(е) >0 (не зависящее от х) такое, что неравенство
lg(*. у) — йГо(х) | <е
выполнено сразу для всех х е [а, 6], если только 0 < | у — «/о| <3 „< 6(e). Тогда мы пишем:
g(x, y)=^go(x) при у->у0 и ХЕ [а, 6].
Понятие равномерного по хе [а, 6] стремления функции g(х,у) к go(x) при у-+уо родственно понятию равномерной сходимости последовательности (см. гл. XI, § 2). Пусть, например, дана последовательность {уп} (уп =/= Уо) и уп~* Уо при
452
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XIГ
п—>00. Рассмотрим на отрезке [а, Ь] функциональную последовательность {g(x, Уп)}* * Если g(x, у) -> g0(x), то, очевидно, последовательность {g(x,уп)} сходится к g0(x); если же g(x, У) =7* go(x) при у-+уо и xs[a,fc], то последовательность {ё(х>Уп)} => go(x) на [а, Ь].
Справедливо и обратное: если для любой последовательности {уп} —► Уо (Уп Уо) функциональная последовательность {g(x, Уп)} равномерно на [а, й] сходится к g0(x), то и функция g(xy у) равномерно по xg[q, сходится к go(x) при у -* //о-Напомним также, что мы уже пользовались понятием равномерного по всем векторам I стремления отношения -^х- +
к производной по направлению l-Vf(x) для дифференцируемой функции f(x) (см. гл. X, § 3, п. 3).
Теорема 12.1 (о переходе к пределу под знаком интеграла). Пусть функция g(x,y) задана в прямоугольнике D, интегрируема по переменному х на отрезке [а, Ь] при любом у^[с, d] и пусть g(x, у)=$> gQ(x) при у-+Уо на [а, 6]. Тогда функция go(x) интегрируема на [а, b\ и существует предел /0 интеграла Цу) при у-+уо\ при этом имеет место равенство ь ь
lim I (у) = f [lim g(x, y)]dx = f gQ(x)dx = IQ. (2.1) У~*Уо ~ У-*Уй J
В частности, если вдобавок к этому функция g(x,y) непрерывна по переменному у на прямой у = у0, т. е. если limg(x, у) = g(x, г/о), то у-*уь b ь
lim [ g(x, y)dx= f g(x, y^dx.
V-^'a a
Доказательство. Теорема справедлива равным образом, если под 1(у) понимается интеграл Римана или же приращение первообразной для g(x,у) *).
Установим, во-первых, интегрируемость на [а, Ь] функции go(x). Пусть {уп}-*Уо (Уп^Уо). Тогда последовательность 1g(х, Уп)} интегрируемых на [а, й] функций равномерно сходится к функции go(x) согласно условиям теоремы.
ь ъ
*) Но I (у) = J g (х, y)dx и /0 = J go (х) dx понимаются, конечно, в а а
одном и том же смысле (либо как интегралы Римана, либо как приращения первообразных).
§ 2]
ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
453
На основании теоремы 11.14 об интегрируемости последовательности предел gQ(x) равномерно сходящейся последовательности есть интегрируемая на [а, Ь] функция. Поэтому вели-ь /
чина j goM dx определена I в том же смысле, что и Цу) = а
Ь \
= / g(x, y)dx\. a '
Пусть теперь 0<| у — у0 |<б (е>0). Тогда
lg(*. У) ~go(x)\
и
ь
\1(у)~ 41= /[£(•*> У)~ go(x)]dx а
Ь go(*)|dx< j а
Ввиду произвольности числа е > 0 отсюда следует, что интеграл 1(у) имеет предел при у-*Уо, равный /о. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает простое следствие.
Следствие. Если функция g(x,у) непрерывна в прямоугольнике D по совокупности переменных х, у, то при y^[ctd] интеграл Цу) непрерывен, т. е.
ь lim I (у) = 1 (у0) = [ g (х, уо) dx. У-*У9 J
В самом деле, непрерывная в замкнутой области D функция равномерно непрерывна в ней.
Следовательно, при е > 0 определена функция 6(e) >0 такая, что
I g (х, y) — g(x0, Уо) |<8
при любых (х,у), (х0, уо)^ D. Полагая здесь хо = х, заключаем, что при 1у — у0|<б(е) и любых х е [a, i>]
lg(*> y)~g{x, Уо) |<е,
*) Здесь д(е)—функция, входящая в определение равномерного по х Ч стремления функции g(x, у) к go(x) при у-+Уь
454
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. Х1Г
т. е. g(х, у) => g(х, у0) при уУо и xg [а,Ь]. Следовательно, применима теорема 12.1 и верно написанное выше равенство.
Приведем еще одну теорему о предельном переходе под знаком интеграла. Доказательство этой теоремы мы не приводим ввиду его сложности *).
Теорема 12.2 (о переходе к пределу под знаком интеграла). Пусть функция g(x, у) равномерно ограничена в прямоугольнике D (т. е. существует число g > 0 такое, что |ё‘(х» У) I g), интегрируема на [а, Ь] по переменному х при любом y^[c,d] и стремится при у-+уо к интегрируемой на [а,Ь] функции gQ(x) (g(x,y) ->g0(x) при у->уо).
Тогда функция 1(у) имеет предел /0 при у-*уо, при этом
ь
/0= lim I (у) = [ g0 (x)dx.
Теперь рассмотрим вопрос о дифференцируемости и интегрируемости по параметру у определенного интеграла /(у).
2. Дифференцирование интеграла по параметру. Теоремы о дифференцируемости интеграла /(у) мы получаем как простые следствия теорем 12.1 и 12.2.
Теорема 12.3 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция g(x, у) удовлетворяет всем условиям теоремы 12.1 и, кроме того, дифференцируема по и g (х, Уо + А*/) “ g (х, уо) х
параметру у на прямой у = у0\ при этом ———--— уо/ =Ф
(х, у0) на [а, &] при Ау -* 0. Тогда функция g'y(x, yQ) интегрируема на [а, Ь], интеграл I (у) дифференцируем в точке у = уо и имеет место правило Лейбница-.
ь
!'(У0)= J S'y(x, yQ)dx. (2.2)
а
Теорема не нуждается в отдельном доказательстве, так как она является простым следствием теоремы 12.1.
Сформулируем еще одну важную теорему о дифференцируемости интеграла по параметру.
Теорема 12,4. Пусть функция g(x,y) задана в прямоугольнике D: а х ^2 Ь, с у d и интегрируема по х при любом у е [с, d}. Пусть в этом прямоугольнике существует производная g'y(x, у) и она непрерывна по совокупности переменных х, у. Тогда 1(у) дифференцируема по переменному У и при любом у0 е [с, d] имеет место формула (2.2).
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. II, «Наука», 1969, стр. 748.
§ 2] ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 455
Доказательство. Рассмотрим отношение ь
J (у + At/) — / (у) _ f g(x, у + by) — g (х, у) dx = by J by
a b
= § gy(x, y + Q(x)by)dx; O<0(x)<l. a
Ввиду равномерной в D непрерывности gy(x, у) по совокупности переменных х, у для любого е > 0 найдется 6(e) > О такое, что при |Az/|< 6(e)
|^(*» y + ^{x)by)-g'y(x, #)|<ут77.
Поэтому
7 (у + Ду) - 7 (у) Ду
ъ
f g'y(x, y)dx
b
< J I g'y (x, у + 0 (x) by) — g'y (x, y) I dx <e. a
Отсюда следует справедливость теоремы 12.4.
Теорема 12.5. Пусть функция g(x,y) удовлетворяет всем условиям теоремы 12.2 и, кроме того, обладает в прямоугольнике D ограниченной производной gy (х, у), т. е. | g'y (х, у) | М. Пусть, кроме того, функция gy (х, у0) интегрируема на [а, 6]. Тогда интеграл I (у) дифференцируем в точке у = уо и имеет место формула (2.2).
Доказательство этой теоремы получаем как простое следствие теоремы 12.2. Рассмотрим функцию ф (х. ад - -»<«*> _ (х,
Она ограничена, так как
|g(x, y0 + by)-g(x, t/0)| = |g'(x, уо4-0Ду)|| A//К All Д'/I и | <p (x, by) 2M. Кроме того, <p(x, Ду)->0 при Ду~>0 на
[а, 6]. Применяя к функции <р(х, by) теорему 12.2, убеждаемся в том, что верна и эта теорема.
Теорема 12.6 (формула дифференцирования интеграла по параметру). Пусть функция g (х, у) удовлетворяет условиям любой из двух теорем 12.3 или 12.5. Пусть, далее, а(у0) > а, Ь(у0) < Ь, функции а (у) и b (у) дифферен
456
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
цируемы в точке у = yQ, a g(x,y) непрерывна по совокупности переменных в точках (а(у0), yQ) и (b(yQ)t yQ). Тогда интеграл
Ь(у)
Цу)= J g(x,y)dx
а'<У)
дифференцируем в точке у = yQ и его производная может быть вычислена по формуле
g (X, у) dx
= f gy (х, у0) dx + b' (//0) g (b (у0), у0) - а' (у0) g {а (у0), у0). (2.3) а (у»)
Заменяя уо на у, запишем формулу (2.3) также так:
Ъ(У)
i J S(x, y)dx =
а (У)
Ь(у)
= J g'y (х, у) dx + b' (у) g (b (у), у) — а' (у) g (а (у), у) *). (2.4) а (у)
Доказательство. Снова отметим, что, как и в предыдущих теоремах, интегралы, стоящие в формуле (2.3), понимаются либо как интегралы Римана, либо как приращения первообразных, но одинаково в обеих частях этого равенства.
Рассмотрим отношение
Ь (!/о)
7 (Уо + Ду) ~ ' (Уо) = _L J [g yQ + fry) _g (х> уо)] dx _|_
a (//o) b(yt+by) a(yo+by)
+ V J g(x, y0 + \y)dx — -^- J g (x, y0 + \y) dx (2.5) b (l/о) a (i/o)
при ky -> 0.
*) Формулу (2.4) читают так: производная интеграла по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому же параметру плюс производная верхнего предела (по параметру), умноженная на значение подынтегральной функции при верхнем пределе, и минус производная нижнего предела, умноженная на значение подынтегральной функции при нижнем пределе.
$ 2] ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 457
К перврму интегралу в правой части формулы (2.5) применима одна из теорем 12.3 или 12.5 (в зависимости от того, условия какой из этих теорем выполнены), так как пределы в этом интеграле фиксированы. Поэтому согласно формуле (2.2)
b (t/o) b (t/e)
lim f [g( х, yQ + by) - g( x, g0)] dx = f g' (x, y) dx. (2.6)
Рассмотрим второе слагаемое в правой части формулы (2.5). Мы имеем
b(j/o+&!/) Ь(у0+Ду)
Пт Л- g (х, уо + by) dx = lim Д- g(b(y0), у0) dx+ д//->о ЛУ J Ду->О .у ч
у Ь (уо) а Ь(у0)
b (уо+Ьу)
+ |im -тт (g (х, уо + by) — g (Ь (у0), у0)] dx =
Ь(у9+\у)
= g(b (у)> Уо)Ь' (go) + lim Л- [g (х, у0 + by) —
— g(b(yo). y0)]dx. (2.7)
Покажем, что
Ь(уо+&у)
|im -Т77 [ [g(x, yo + by) — g(b(yo), yo)]dx = o. (2.8)
В самом деле,
b(yo+&y)
4г J [я (х, Уо + by) — g (b (Уо), t/o)] dx < b(».)
<|Н!'. + л,)-М,,.> (2.9)
где ®(уо, by) — колебание функции [g(x, g0 + At/) — g(b(y0), t/0)l на отрезке [6 (t/0), b (y0 + Ag)].
При by —> 0 первый сомножитель в правой части неравенства (2.9) стремится к |Ь'(у0) |, предел <o(t/o, by) при Ag-*0 равен нулю ввиду непрерывности функции g(x, у) в точке (b(go), go) по совокупности переменных х и у.
458
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Итак, равенство (2.8) доказано, поэтому
Ь (Уо+ &у)
lim 4т f g(x, y0 + by)dx= g(b(yQ), Уо)- b'(у0). (2.10)
А^°Лу d) -
Аналогично вычисляется предел при Аг/ —► 0 третьего слагаемого в правой части (2.5); при этом получается формула
а (у?+&у)
lim | g(x, t/o + ky)dx = ao(y)g(a(yo), y0). (2.11) 4^° У 4.)
Переходя в равенстве (2.5) к пределу при \у -* 0 и подставляя в него (2.6), (2.10), (2.11), получаем формулу (2.3). Теорема доказана.
у
т-г г» г / \ Г In (1 + ху) .
Пример. Вычислим интеграл /(*/)= —pv—г22" ПРИ помощи диф-
J I “Г х о
ференцирования по параметру у:
у
dl _ Г________xdx_____, In (1 + у2)
dy J (1 + ху)(1 + х2) + 1+у2 •
Разлагая подынтегральную функцию на сумму простейших дробей и производя интегрирование, получим
di _ In (1 + у2) . у arctg у In (1 + у2) _
dy 2(1 + у2) + \+у2 1+у2
1п(1 + у2) у arctg у
= 2(1+у2) 1+у2 *
Теперь /(у) легко вычисляется интегрированием по частям:
, . . 1 ? In (1 + х2) . . Г х arctg х . 1 Г In (1 + х2) . ,
/(У)=2 J l + x2 "rfx+J -T+^-rfx=2 J —Г'+х2 dx +
ООО
у
1 \х~у 1 Г In П -4-х2) 1
+1 arctg х In (1 +x2)|^~Y J j + Х2 -° 7 arctg У • in О + У2).
3. Интегрирование по параметру под знаком интеграла. Рассмотрим простейшие случаи, когда интеграл I (у) интегрируем на отрезке [с, d] переменного у, т. е. будем рассматривать величину
d Г Ь 1 d Ь
И / g {х, у) dx I dy = j dy j g (x, y) dx
c ' a ' c a
ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
459
5 2]
и поставим вопрос об условиях, когда существует также инте-гРаЛ А Ь d
J I J g (х, у) dy | dx = J dx j g (x, y) dy. a ' c ' a c
Если имеет место равенство d b b d
I dy f g(x, y)dx — j dx j g(x, y)dy, c a a c
b
то мы говорим, что интеграл I(y) = Jg(x, y)dx можно интегри-a
ровать по параметру у под знаком интеграла.
Теорема 12.7. Пусть функция g(x, у) непрерывна по совокупности переменных (х, у) в прямоугольнике а х Ь, с
У d. Тогда при любом т] е [с, d] имеет место равенство
Т] b b Т]
J dy J g(x, y)dx = J dx J g(x, y)dy, (2.12) c a a c
b
г. e. интеграл J g (x, y) dx можно интегрировать no пара-a
метру у под знаком интеграла.
Доказательство. Согласно следствию из теоремы 12.1 ь
интеграл /(//)=]* g(x, y)dx непрерывен при с у d. По-fl
этому интеграл в левой части (2.12) существует и производная его по переменному т] равна
ь
I (n) = f g (х, n) dx. а
Введем обозначение л
Ф (х, t]) = J g (х, у) dy. С b
Тогда правая часть (2.12) есть интеграл J <р(х, т|) dx. а
В силу того же следствия из теоремы 12.1 функция ф(х, т)) непрерывна по х, а ее производная по переменному т) равна g(x, т)):
Фч(х« п) = я(-»;. п)-
460 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. XI!
Ввиду непрерывности g(x, q) мы видим, что функция <р(х, q) обладает производной по переменному q, непрерывной по совокупности переменных х, т]. Поэтому на основании теоремы 12.4 ь
производная интеграла | <р(х, r\)dx по параметру т) равна а
b b
/ <рл(х, r\)dx = J g(x, v\)dx = I(x\). а а
Таким образом, производные левой и правой частей равенства (2.12) по переменному т] совпадают при с т] d. Так как при т] = с левая и правая части равенства (2.12) совпадают, то это равенство имеет место при любом т] е [с, d\. Теорема доказана.
Приведем без доказательства *) еще одну теорему об интегрировании интеграла по параметру.
Теорема 12.8. Пусть функция g(x, у) определена при а
х 6, интегрируема по х на [а, Ь] (при фиксиро-
ванном у) и по у на [с, d\ (при фиксированном х). Пусть, кроме того, функция g(x,y) ограничена в рассматриваемом прямоугольнике'.
Ig(*,
Тогда существуют повторные интегралы d Ь Ь d
/ dy J g (x, у) dx, j dx j g (x, y) dy c a a c
и они равны между собой.
Формулировку этой теоремы полезно сравнить с формулировкой теоремы 12.2.
4. Случай несобственных интегралов. Если интеграл 1(у) является несобственным (неограничены пределы интегрирования или же неограничена подынтегральная функция g(x, у)), то изучение зависимости I(у) от параметра у несколько осложняется.
Мы рассмотрим только лишь случай, когда подынтегральная функция ограничена и неограничены пределы интегрирования. Пусть функция g(x, у) при у^[с, d] интегрируема на [а, оо) по переменному х, т. е. (см. § 9 гл. VII) существует предел
Ь оо
lim f g(x, y)dx = [ g(x, y)dx = I(y). (2.13)
b-> + o°J J
*) См. Г. M. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ч. II, «Наука», 1969, стр. 749.
$ 2] ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 461
Равенство (2.13) означает, что для произвольного е > 0 найдется В (е, у) а такое, что неравенство
ь
1 (У) — / g(x, y)dx а
<е
(2.14)
будет выполнено при всех Ь В(е, у).
Основным при изучении зависимости несобственного интеграла (2.13) от параметра у является понятие равномерной по оо
параметру у е [с, d] сходимости интеграла j g (х, у) dx. а
Определение. Мы говорим, что несобственный интеграл оо
J S (*> У) dx сходится равномерно по параметру у е [с, d], если а
существует В(ъ)^а такое, что неравенство (2.14) выполнено при всех у е [с, d], если только b В (е).
Можно установить некоторые признаки равномерной сходимости интеграла (2.13) по параметру у [с, d\. Мы укажем здесь только один, достаточно очевидный признак.
Теорема 12.9. Пусть функция g(xyy) задана при х а, интегрируема по х на [а, оо) при любом y^[c,d] и удовлетворяет условию | g (х, у) | go(*), где функция g'o(x) ин-
тегрируема на [а, оо). Тогда интеграл (2.13) равномерно по у е [с, d] сходится.
Доказательство этой теоремы легко следует из неравенства
оо Ь
J g(x, у) dx — j g (х, у) dx а а
оо оо
< f lg(*> y)\dx^ J g0(x) dx = b b
так как ср (/?)—► О при b —> oo.
Сформулируем теперь теоремы о непрерывной зависимости, дифференцируемости и интегрируемости несобственных интегралов по параметру. Доказательства этих теорем будут краткими, так как они в основном повторяют доказательства соответствующих теорем для собственных интегралов и учитывают лишь новое понятие равномерной сходимости интеграла по параметру.
Теорема 12.10. Пусть функция g(x, у) при любом фиксированном у [с, d] интегрируема по х на [а, оо) и на любом конечном отрезке [а, Ь] равномерно по х [а, Ь] стремится при
462
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
у -> у0 к функции go(x). Пусть, кроме того, интеграл (2.13) сходится равномерно относительно y^[c,d\. Тогда функция go(x) интегрируема на [а, оо) и имеет место формула
оо оо оо
lim ( g(x,y)dx = f [lim g(x, y)]dx = [ g0(x)dx. (2.15) a a y-*y' a
Доказательство. Ввиду равномерной сходимости интеграла (2.13) относительно переменного у ^[с, d] при е>0 существует В(е)^ а такое, что неравенство
ь
Ну) — / g (х, У) dx а
(2.16)
В
выполнено при любых у е [с, d}, если только b В(е).
Функция g(x, у) на любом конечном отрезке [a, ft] равномерно по хе [a, ft] стремится к go(x) при у -> у$\ это значит, что при е >0 и ft > а определена функция б(е, ft) > 0 такая, что
неравенство
lg(*> У) —go (*)1<е
выполнено при всех хе[а, ft],если только \у — f/o| < б(е, ft)*).
Докажем интегрируемость функции go(x) на [а, оо). Для этого покажем, что выполняется критерий Коши (см. гл. VII, § 9): для любого е > 0 найдется В(е)^а такое, что неравенство
Ъ'
ь
выполнено при любых ft' > ft > 15(e).
В самом деле, положим В(ъ) = в[^ (Н(е) характеризует равномерную сходимость интегралов 1(у)—см. (2.16)) и пусть ft' и ft (ft' > ft > В(е)) — фиксированные числа. В неравенстве
Ь'
ь
g0(x)dx < J [goOO — g(x, y)]dx + jg(x,y)dx
*) Может случиться, что д(е, 6)->0 при b-+oo, что отражает неравномерность стремления g(x, у) к £э(я) при у -► Уо на бесконечном интервале [а, °°).
§ 21
ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
463
будем считать, что 0 < | у — у01 < d ь)> ’ ТогДа
Ь'
I [go 00“ g(x, z/)] dx b
b'
। e i _________________ e
J 2(b' — b) aX — 2 ’ b
b'
J g (x, y) dx b
<8,
и
b'
J g0 (x) dx b
т. e. критерий Коши выполнен и функция go(x) интегрируема на [а, оо).
Докажем теперь выполнение самого равенства (2.15). Пусть задано е > 0 и пусть Ь>В(ъ) = в[^. В неравенстве
оо
Цу)~ J go(x)dx а
Ъ
J [g(x, У)~ g<M\dx + а
с помощью предыдущих оценок оценим последние два члена:
оо
Цу) — J go (х) dx а
b
/ [g (х, у) — go (*)] dx а
3
2
Мы видим, что если 0 < | у0 — у | < d L fl) , b), то
Цу) — / goMdx <2е. а
(2.17)
Итак, при I У ~~ Уо I < & ( 2~(& ~fl)~ * выполнено неравенство (2.17). А это и означает выполнение (2.15). Теорема доказана.
Следствие. Пусть функция g(x, у) равномерно по х & е [а, Ь] непрерывна по переменному у на любом конечном отрезке [а, Ь] и интегрируема при y^[ct d] по переменному х на
464
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
(ГЛ. XII
оо
[а, оо). Пусть, далее, интеграл J g(x, y)dx равномерно отно-а
оо
сительно у е[с, d\ сходится. Тогда величина I(y)= | g (х, y)dx а
есть непрерывная функция параметра у.
В частности, если функция g(x, у) непрерывна по совокупности переменных х, у при х е [а, оо) и у е [с, d], то она является равномерно непрерывной (по параметру у) на любом конечном отрезке [а, Ь] оси х. Поэтому требование равномерной относительно х непрерывности функции g(x, у) на конечном отрезке в предыдущем следствии можно заменить требованием непрерывности g(x, у) по совокупности переменных х, у при хе е [а, оо), d}.
Приведем теперь простейшие теоремы о дифференцировании и интегрировании несобственных интегралов по параметру.
Теорема 12.11 (о дифференцировании несобственного интеграла по параметру). Пусть функция g(x, у) определена и непрерывна при х а, у е [с, d\ и интегрируема по х на [а, оо) при всех у е [с, d]. Пусть, далее, функция g(x, у) имеет частную производную g'y(x,y), которая непрерывна по совокупности переменных х, у. Если интеграл
оо
\g'y<x.y)dx (2.18)
а
сходится равномерно относительно у е [с, d], то интеграл Цу) = оо
= J g(x, у) dx представляет собой дифференцируемую функцию а
параметра у и при любом у е [с, d]
= / ё'у (х, у) dx. а
Доказательство. Покажем, что интеграл оо
Г g(x, У + Ду) — g(x. у) _ / (у -Ь Ду) — / (у)
J Ду Ду
а
(2.19)
сходится равномерно относительно Дг/. Для этого достаточно показать, что для любого е >• 0 найдется В(е) > а такое, что
g(x, у + Ду) — g (х, у) Ду
<8 при Ь'> В (е.).
ОДНОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
465
Так как интеграл (2.18) сходится согласно условиям теоремы равномерно, то существует В(е)> 0 такое, что
(х, y)dx < е
при Ь' >Ь^В(г).
Пусть Ь' и b — любые числа и b' > b В(е). Тогда по формуле (2.3) имеем
Ь'
-fc- j g(x, т) dx b
b'
/ gy(x, У + 0 by) dx b
O<0< 1.
Итак, интеграл (2.19) равномерно относительно А// сходится. Поэтому согласно предыдущей теореме в равенстве (2.19) мы можем перейти к пределу при А// 0, после чего получим нуж-
ную формулу. Теорема доказана.
Теорема 12.12 (об интегрировании несобственного интеграла по параметру). Пусть функция g(x, у) определена и непрерывна по совокупности аргументов в области х а, у е [с, d], а интеграл
оо
I (у) = f g (х, у) dx а
сходится равномерно относительно у [с, d}. Тогда существует d
интеграл J / (у) dy *), при этом с
ф d оо оо d
J / (у) dy = j dy j g (х, y)dx=\ dx J g (x, y) dy. (2.20) с с a a c
Доказательство этой теоремы близко к доказательству предыдущих и здесь опускается.
Интересен вопрос о возможности изменения порядка интегрирования, когда оба интегрирования выполняются на
*) Согласно следствию из теоремы 12.10 1(у) —непрерывная функция па-d
раметра у, поэтому интеграл J / (у) dy существует.
с
466
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
бесконечном интервале, т.е. вопрос о справедливости равенства
оо оо оо оо
j dy J g (х, y)dx = j dx j g (x, y) dy. c a a c
Мы этот вопрос не будем сейчас рассматривать. Отметим, что возможность изменения порядка интегрирования в бесконечных интервалах следует проверять в конкретных случаях, так как общие теоремы здесь не дают достаточно хороших условий.
§ 3. Площадь плоской фигуры
1. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла. На плоскости переменных (х, у) рассмотрим область %, ограниченную сверху непрерывной кривой у = У2 (х), снизу — непрерывной кривой у = f/i(x) и прямыми х = а, х = b (рис. 46).
Область такого вида мы будем называть криволинейной трапецией относительно оси Оу. Если ух (а) = у2 (а), Ух(Ь) = = у2(Ъ), то прямые х = а и х = b можно не вводить, так как тогда кривые y = yi(x) и у = у2(х) сами ограничивают область Область и в
этом случае мы также будем называть криволинейной трапецией.
Итак, мы считаем, что уъ(х)^ У\{х) при хе[с, &]. Согласно
§ 5 гл. IX площадь S(^) области определяется по формуле
ь ь
S(G)= J y2(x)dx — J y,(x)dx. a a
(3.1)
Интегралы в (3.1), очевидно, существуют, так как функции ь
У1(х) и уг(х) непрерывны. Интеграл J y2(x)dx зависит только а
лишь от кривой у=у2(х) и представляет собой криволинейный интеграл от функции 2*=у, взятый вдоль кривой у=у2(х) между ее точками Л2 (начало) и В2 (конец). Поэтому мы обозначаем его символом
ь
jy2(x)dx = jydx.
а АВ,
$ 31
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
467
Точно так же ь j yt(x)dx = j у dx а
— криволинейный интеграл вдоль кривой 4^ (у = у{(х)) между точками Ai (начало интегрирования) и (конец).
Замечая, что
J ydx = — I у dx, АВ ВА
перепишем равенство (3.1) в виде
S 0?) = — j у dx — | уdx. (3.2)
А|В( ВчАг
Интегралы J ydx и J ydxt взятые соответственно вдоль AzAi B\Bt
прямых х = а и х = Ь между точками А2, А[ и Bit В2, равны нулю, так как вдоль этих прямых х = const (dx = 0). Учитывая это, запишем (3.2) так:
S (S) = — у dx — j у dx— ydx— J у dx. В\Вг В^Аг AtAi
Сумму этих интегралов назовем интегралом по замкнутому контуру С, ограничивающему область $?*), и обозначим символом
AiBi
В\Вг ВгАг АаЖ
— у dx.
с (3.3)
Если связывать с интегрированием по кривой АВ представление о передвижении «точки интегрирования» от точки А вдоль кривой АВ до ее точки В, то при выполнении интегрирований, стоящих внутри квадратной скобки в формуле (3.3), «точка интегрирования» пробежит весь замкнутый контур С в направлении, противоположном направлению движения стрелок часов.
Примем это направление, противоположное направлению движения стрелок часов, за «положительное направление» интегрирования вдоль замкнутого контура С.
*) Контур С состоит из отрезка А \В\ кривой у = t/i(x), отрезка В{В2 прямой х = Ь, отрезка В2А2 кривой у = у2(х) и отрезка A2Ai прямой х = а (см. рис. 46).
468
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Поэтому в соответствии с (3.3) символ у у dx означает кри-с
волинейный интеграл по замкнутому контуру С, взятый именно в этом, положительном направлении.
Теперь допустим, что область ограничена кривыми х= = х2(у), х = Х\ (у), c<y<.d (рис. 47). Пусть х2(у)> х, (у), х2(с) =xl(c), x2(d)=Xi(d). Площадь S(^) области # вычис-ляется по формуле d d
5 (^) == / х2(у) dy - f х, (у) dy.
С с
Так же как и раньше, мы придем к выводу, что сумма этих двух интегралов представляет со-D бой интеграл по замкнутому конту-
d —РУ ограничивающему область Sk, \ так что имеет место формула
( 1 S<tS) = §xdy> (3.4)
\ Х=Х2(Ш С
с_____причем по-прежнему мы считаем
С положительным направление инте-
---------------------* грирования против направления хо-и--------------------да стрелок часов.
Рис- 47- Для площади области Э’ мы по-
лучили две формулы: (3.3) и (3.4). Нужно, чтобы они давали один и тот же результат. Это действительно так.
Покажем, что криволинейные интегралы ф
xdy и — ф у dx с
существуют одновременно и всегда равны друг другу. В самом деле, так как xdy + у dx=d(xy) и интеграл по замкнутому контуру С от дифференциала d(xy) равен нулю, то
§xdy + ydx = Q, т. е. j) х dy = — (j) у dx.
с с с
Поэтому вычислять площадь области 9 можно, пользуясь любой из формул (3.3) и (3.4) или их комбинацией, например:
S (9) = ± f X dy — у dx. (ЗА')
с
В частности, можно получить совершенно инвариантную формулу, не зависящую от выбора системы координат*).
*) То есть мы можем написать формулу, в которую будут входить только геометрические характеристики области S?.
§ 3)
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
469’
Обозначим г={х, у}\ пусть кривая С спрямляема ns - длина дуги кривой С; n(s)—внешняя нормаль на кривой С, т. е. нормаль, имеющая направление из области 3 наружу.
Тогда, если х = х($), у = y(s) — натуральные уравнения контура С, то т ($) = {х (s), у ($)}, п ($) = {у ($),—* ($)} и п (s) • г (s) • ds= = I* (^) У (s) — у ($) х ($)] ds = х dy — у dx. Поэтому
S (£) = j j г (s) п (s) ds, (3.4")
с
где r=r(s)— уравнение контура С, n(s) — внешняя нормаль на контуре С.
2. Свойства площади плоской фигуры. Посмотрим, к каким
результатам мы придем, если примем определение площади S(^) области ограниченной замкнутым контуром С, во всех случаях, когда эти интегралы существуют.
Во-первых, эти формулы дают те же самые значения площади для фигур, которые мы рассматривали в гл. IX. Во-вторых, эти формулы удовлетворяют свойству аддитивности площади области, которое формулируется так: если область 3 состоит из двух частей 3\ и З2, имею-
формулы (3.3) и (3.4) за
щих общими точками лишь свои
граничные точки, и если они имеют площади S(3\) и S (З2), то площадь S(3) области 3 равна S(.%)4- S(^2).
В самом деле, пусть области 3\ и З2 граничат по кривой АВ
(рис. 48). Контур С\ для области 3\ включает эту кривую АВ, и положительное направление на ней для контура С] есть направление от точки А к точке В. Наоборот, контур С2 для области З2 также включает в себя кривую АВ, но положительное направление на ней обратное — от точки В к точке А. Поэтому в сумме §)xdy-\- §xdy те части интегралов, которые берутся
С, С2
по кривой АВ, взаимно уничтожаются и остаются интегралы, взятые по контуру С, ограничивающему область 3, причем в положительном направлении. Итак,
т. е.
х dy + у х dy = ф х dy,
Cl с, с
S(SQ + S(?2) = S(S0.
470
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Согласно формулам (3.3) и (3.4) площадь области удовлетворяет двум основным свойствам этой геометрической характеристики области:
1°. Площадь 8(&) области $ неотрицательна. Это легко следует, например, из формулы (3.1), так как У2(х) yi(x).
2°. Площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей.
Интегралы §xdy и §ydx существуют и для контуров с с
С, которые не удовлетворяют нашим первоначальным предпо-У ложениям. В частности контур С
м может иметь вид, указанный на
J рис. 49, т. е. прямые х = const мо-
( / гут пересекать его более чем в двух
I f точках. Это соответствует предста-
\ i4—-—влению области & в виде суммы
двух областей и указанных 1---- на рис. 49.
Связную область будем называть односвязной областью, если
_________ этой области принадлежат все точ-х ки, лежащие внутри любого замкну-
Рис 49 того контура С, расположенного в
области
Таким образом, внутри области отсутствуют «дырки». Любой замкнутый контур, лежащий внутри области $?, можно непрерывным образом стянуть в точку, при этом мы не выйдем за границу области *).
Если дана односвязная область $?, ограниченная контуром С, то ее площадь мы полагаем равной величине
S (^) = § х dy = — (j) у dx, с с
(3.5)
если эти интегралы существуют. При этом интегрирование по контуру С производится в положительном направлении, о котором говорилось выше.
3. Площадь простой области. Распространим теперь определение (3.5) площади на случай многосвязных областей 9, которые ограничены несколькими замкнутыми контурами. На рис. 50 приведен пример двусвязной области S, ограниченной снаружи замкнутым контуром С\ и изнутри контуром С2. Ясно,
*) Таким образом, внешняя по отношению к контуру С часть плоскости не является односвязной областью.
§31
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
471
что площадь области <3 надо положить равной разности площади фигуры, ограниченной контуром Ci, и площади фигуры, ограниченной контуром С2, т. е. положить
S (S?) = §xdy — §xdy.
с, с2
Здесь интегрирование в каждом из интегралов производится
в положительном направлении, т. е. против хода стрелок часов. Если буквой С обозначить объединение контуров С\ и С2,
причем на первом контуре считать положительным направле-
ние, противоположное ходу стрелок часов, а на контуре С2 положительным направлением считать направление движения стрелок часов, то мы приходим снова к формуле S (3) = j) х dy = — у dx для пло-с с
щади области 3.
Контуром С, ограничивающим область будем считать объединение всех замкнутых контуров Cf, входящих в состав границы области с указанным на каждом из этих контуров «положительным направлением» интегрирования.
Положительное направление на
границе области выби-
рается в соответствии с правилом ориентации: при движении наблюдателя вдоль границы области в положительном направлении слева от него остается область S?, а справа — точки, не принадлежащие области 3.
Тогда ясно, что для рассмотренного случая (см. рис. 50) положительное направление на контуре Ci — против хода стрелок часов, на С2— по ходу стрелок часов. Если придерживаться этой договоренности и обозначать буквой С границу области 3 с указанными на ней положительными направлениями, то формула (3.5) будет определять площадь плоской фигуры также и для многосвязной области 3.
Определение. Пусть плоская область 3 ограничена контуром С, состоящим из конечного числа замкнутых контуров С{1 на каждом из которых указано положительное направление в соответствии с приведенным выше правилом ориентации. Если
существует интеграл
S (JF) = j) х dy = — (£ у dx с с
(3.5)
472
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
(состоящий из конечного числа интегралов по замкнутым контурам), то он называется площадью области 9, а область S — квадрируемой.
Какие же области квадрируемы?
Определение. Область будем называть простой, если ее граница состоит из конечного числа замкнутых контуров Cit каждый из которых является непрерывной кусочно-гладкой замкнутой кривой, не имеющей самопересечений.
Мы говорим, что кривая L является кусочно-гладкой, если она непрерывна и состоит из конечного числа частей таких, что на каждой части определен непрерывный касательный вектор. Если x=x(s), y = y(s)—натуральные уравнения кусочно-гладкой кривой*), то вектор t(s)={x(s), y(s)} кусочно-непрерывен при 0 s ^ /, где I — длина этой кривой.
Имеем очень простую теорему.
Теорема 12.13. Всякая простая область квадрируема.
Доказательство этой теоремы состоит в установлении существования интеграла (3.5). Пусть С<— один из контуров, входящих в состав С. Так как — простая область, то Ci — кусочно-гладкая замкнутая кривая. Интеграл
k §xdy = j xt (s) уi (s) ds, Ci о
где x = x2(s), у = yi(s)—натуральные уравнения контура Cit li — его длина. Функция x,(s) непрерывна, yi(s) кусочно-непрерывна, и поэтому этот интеграл существует. Значит, величина (3.5) определена, и теорема доказана.
§ 4. Двойные интегралы
1. Интеграл Римана по квадрируемой области.
Определение. Пусть на плоскости переменных х, у задана квадрируемая область S. Пусть {Si}— разбиение области S на квадрируемые части S\, ..., SN**). Пусть {MJ — произвольный набор точек Mt(gi, и в области S задана функ-
ция f(x, у).
Величина
(4.1) /=1
*) Конечно, кусочно-гладкая кривая спрямляема (см. гл. IX, § 1) и для .нее определена длина дуги $.
**) Любые части Si, 9j области 9 могут иметь общие точки только иа • своей границе.
§ 4)
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
473
где S(Si)—площадь области Si, называется интегральной суммой для функции f(x, у) по области при разбиении ее на части {St}. Величина d = maxdb где di — диаметр области ^г, называется диаметром разбиения*).
Определение. Если существует предел при d —► 0 интегральных сумм (4.1), то этот предел называется интегралом Римана от функции f(x, у) по области и обозначается символами
lim/= [ f f (х, у) dx dy = f [f(x, y)dS. (4.2) d->0
S' V
Функция f(x, у) называется в этом случае интегрируемой (па Риману) в области
Замечание 1. Так же как и в случае функций одного переменного (см. гл. VII, § 2), равенство (4.2) предполагает, что' для любого е > 0 найдется 6(e) > 0 такое, что неравенство
/- J J f(x,y)dS Я
<6
будет выполнено при любом разбиении области на квадрируемые части Si и любом выборе точек Mi е Sit если только d(Si)^d<6(s).
Замечание 2. Мы предполагали область S квадрируемой. Кроме того, мы применяем только такие разбиения области S на части Sif что каждая из них также квадрируема. Укажем в связи с этим, что если делить область S на части Si с помощью кусочно-гладких линий, то полученные части Si будут также квадрируемы.
Все свойства интегральных сумм (4.1) очень схожи со свойствами интегральных сумм для функций одного переменного. Они формулируются и доказываются почти буквально так же, как это делалось в гл. VII. Поэтому мы не будем изучать, а тем более доказывать их здесь.
Приведем критерий интегрируемости функции /(х, у) в области S: для того чтобы функция f(x, у) была интегрируема в области S по Риману, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного е > 0 нашлось разбиение области S на части Si такое, что
N
(4.3> (=1
*) Диаметром di области Si называется supp(Af, ЛГ), где р(М,М') — расстояние между точками М и М' и верхняя грань берется по любым точкам Л4, Ясно, что если диаметр d разбиения области S стремится к нулю,
то число областей Si (и соответственно точек ЛЬ) неограниченно увеличивается.
471 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. XII
где со/ — колебание функции f(x, у) в области St *), S (^z) — ее пл нцадь.
2. Интегрируемость непрерывных и кусочно-непрерывных функций. Пусть в квадрируемой замкнутой области S задана непрерывная функция f(x, у). Тогда эта функция интегрируема (по Риману) в области S.
В самом деле, непрерывная в ограниченной и замкнутой области функция f(x, у) равномерно непрерывна в ней (см. гл. X, § 2). Поэтому существует 6(e) > 0 такое, что
IfU. — /)|<е
для любых точек (х, у), (xz, y')^S, если только расстояние ме? жду этими точками р((х, у), (х', у'))< S(е).
Пусть задано произвольное е > 0. Разделим область S на квадрируемые части Si так, чтобы диаметр di каждой части Si не превосходил величины d j **). Тогда для этого разбиения имеем
2 ю/S (Si) < max coz У S (S{) = max co/S (S).
i=l i z=i
Ho max ’ поэтому
2 ю/S (!^)<e.
Ввиду произвольности 8 > 0 отсюда следует, что выполнен критерий интегрируемости. Поэтому функция f(x, у) интегрируема в области S.
Определение. Функцию f(x, у) будем называть кусочнонепрерывной в области S, если область S можно разбить на конечное число частей S\, ..., Sk таких, что в каждой открытой области Si функция f(x,y) будет равномерно непрерывной***).
*) Колебанием со функции f(M) в области S мы называем sup [/(Af) — — где супремум берется по всем точкам М, М' е
**) Мы полагаем довольно очевидным то, что это можно сделать. Например, это можно сделать, разбивая область # на части прямыми х = const и у = const, если расстояние между параллельными прямыми меньше чем
W \S(9)K
***) Мы требуем непрерывности в открытой области Si для того, чтобы избежать вопроса о значении функции f (х, у) на границе области Si. Мы требуем равномерной непрерывности функции f(x, у) в открытой области Sit чтобы не допустить сложного поведения функции в окрестности границы области Si. В частности, если f(x,y) кусочно-непрерывна в S, то можно построить в каждой замкнутой области Si функцию fi(x,y), которая внутри St совпадает с f (х, у) и будет непрерывной (и равномерно непрерывной) в замкнутой области Si.
§ 41
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
475
Имеем следующее предложение: функция f(x, у), кусочно-непрерывная в квадрируемой области 3, интегрируема по этой области.
Это предложение есть простое следствие следующего свойства интеграла Римана по области S?: если функция f(x, у) интегрируема в областях 3i и 32, то она интегрируема и в объединении 3 этих областей; при этом, если области 3\ и 32 не имеют общих внутренних точек, то
J jf(x,y)dS=\ jf(x,y)dS+ J jf(x,y)dS. (4.4)
Это очевидное свойство доказывается так же, как и для случая функций одного переменного.
Ввиду свойства (4.4) и определения кусочной непрерывности функции в области 3 заключа функции интегрируемы в квадрируемой области 3.
3. Сведение интеграла по области к повторному интегралу.
Так же как в п. 1 § 3, предположим, что область 3 ограничена двумя непрерывными кривыми У = Уъ(х) и у = ух(х) (//2(х)>
У\(х)) и отрезками прямых х = а и х = b (рис. 51). Область 3 подобного типа мы называем криволинейной трапецией относительно оси Оу.
Теорема 12.14. Пусть в криволинейной трапеции 3 задана
функция f(x,y), интегрируемая в ней по Риману. Пусть, кроме того, существует повторный интеграл*)
b У2 (х)
/ dx J f (х, у) dy. a yi (х)
Тогда этот повторный интеграл равен интегралу Римана по области 3 от функции f(x, у), т. е.
Ь У2 (х)
/ dx J f (х, у) dx = j J f(x, y)dS. (4.5)
а ух (х) У
*) Повторный интеграл может пониматься как приращение первообразной (по переменному у) для f(x, у), проинтегрированное по переменному х, или же как интеграл Римана по переменному у для функции f(xt у), проинтегрированный по переменному х.
475 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. хп
Доказательство. Разобьем непрерывными кривыми у = = Пг(^): */1(*)=По(*)^ ••• < T)ft(x)=f/2(x) криволи-
нейную трапецию *3 на k криволинейных трапеций 3i (см. рис. 51) и каждую из них разобьем на I частей прямыми x=xjf х0=а < Xi < ... < Xi—b. Имеем
Ъ у2^ ь Л-1 4/ + ! (X)
J dx j f (х, у) dy = J dx У J f (x, y) dy =
a yx (x) a i—Q f]{(x)
k—1 b H/+IW k—I /—1 */ + i +
= / H*, y)dy = '%i'£ j dx j f(x,y)dy.
1=0 a ty(x) Z=0 1=0 xj Tlt-<x>
На основании теорем о среднем для определенных интегралов (см. гл. VI, § 2 и гл. VII, § 6)
J f(x, y)dy = iit(x)[x\t+i(x) — nz(x)], где
inff(x, z/Xpz(x)<supf(x, у) при t]z(х)<ц/+1 (х).
Так как т]»+1(х) — т]<(х) 0, то на основании обобщенной тео-
ремы о среднем (см. гл. VI, § 2, гл. VII, § 6)
Jt/ + 1 Ч/+,(х) х/+1
J dx j f(x, y)dy= j P/(x)h<+i(x) — Th(x)]dx =
Xj П/ (x) Xj
x/+l
= Hz/ / hz+1 W — П/ (*)] dx = nuSu = y.uS(9tl), xl где
inf f (x, у) < Иц < sup f (x, y)
при n/W<f/<nz+iW; x/<x<x/+1.
Итак, b yt(x) k—I I-1
f dx f f(x,y)dy = ^i^iHuS(9(l), a y{ (x) Z=0 /=0
где 9ц — область, ограниченная кривыми z/=r)l(x), z/=t]i+i(x) и прямыми x=Xjt x=Xj+\ (см. рис. 51), и
inf f(x, sup f(x, «/)*).
(x, y)^^tj (X, у)^^ц
*) Эти оценки для повторного интеграла справедливы при любом понимании интегралов, входящих в состав повторного интеграла в формуле (4.5).
§ 41
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
477
Пусть (£ь T]j) — какая-либо точка области &ijt тогда I f (£<. п/) — ui/Юи.
где со,; — колебание f(x, у) в области Sij. Поэтому неравенство
Ь Уг(х) k—l 1—1
j dx j f (х, у) dy — fill, a Uiix} i=0 /=0
fe-1 /—I
(4.6)
1=0 /=0
выполнено для любого набора точек (g2-, т];) е Пусть при увеличении чисел /, k диаметр разбиения d = maxd(^/) стремится к нулю.
Тогда ввиду интегрируемости функции f(x, у) в области $ правая часть неравенства (4.6) стремится к нулю в силу критерия интегрируемости, а двойная сумма в левой части (4.6) стремится к интегралу Римана по области *3 от функции f(x, у). Переходя в неравенстве (4.6) к пределу при d-*0, получаем формулу (4.5), и теорема доказана.
Аналогично можно показать, что если область 3 является криволинейной трапецией относительно оси Ох, т. е. ограничена непрерывными кривыми x=x2(z/), х=Х\(у) (x2(z/) Xi (у)) и прямыми у=с, y = d, и если функция f(x, у) интегрируема по Риману в области и существует повторный интеграл, выписанный ниже, то
d х? (у)
f dy J f(x, y)dx = j J f(x, y)dS. (4.7)
c xt(y) ?
В частности, если область 3 является криволинейной трапецией как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу и если одновременно определены (существуют) повторные интегралы (4.5) и (4.7) и функция f(x, у) интегрируема по Риману в области S?, то
Ь yt(x} d х2(у)
j dx J f (x, y) dy = J dy j f (x, y) dx.
a yt (x) c Xi (y)
Заметим, что если функция f(x, у) непрерывна в области 3, то согласно п. 2 она интегрируема в криволинейной трапеции 3 по Риману. Кроме того, легко видеть, что в этом случае существует любой из повторных интегралов (4.5) и (4.7). Поэтому в случае непрерывной в области 3 функции f(x, у), если область
478
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
3 является областью типа криволинейной трапеции, интеграл по области может быть представлен как повторный.
Понятие повторного интеграла естественным образом распространяется на области 3. которые могут быть представлены в виде объединения конечного числа областей 3^ каждая из которых является криволинейной трапецией одного из указанных типов. В этом случае уже затруднительно указывать пределы интегрирования, и мы эти повторные интегралы будем обозначать символами
/ dx j fix, y)dy, J dy j f(x, y)dx.
Если существует, например, первый из этих двух интегралов и функция f(x, у) интегрируема по Риману в области 3, то, аналогично (4.5), имеем
/ dx J f(x, y)dy= J j f(x,y)dS.
Пусть функция f(x, у) интегрируема по Риману в области 3. Тогда
]//(*, y)dS = pS(&,
где
inf f (х, z/X ц < sup f (х, у).
У ?
Эта формула очевидным образом следует из определения интеграла Римана.
Если, в частности, функция f(x, у) непрерывна в области 3% то найдется точка (g, т] )^ 3 такая, что
n)=H.
и поэтому для непрерывной функции f(x, у) имеет место формула
/ jf(x,y)dS=f(l,Ti)S($),
называемая формулой среднего значения для двойных интегралов.
4. Формула Грина. Пусть замкнутая область S’ представляет собой криволинейную трапецию относительно оси Оу (см. рис. 46) и пусть в замкнутой области S’ функция Р(х, у) непрерывна и обладает частной производной р(х, у) — Ру(х, у).
§ 41 ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 479
Тождество
02 (х) 1/2 (X)
j р (х, у) dy = J Ру (х, y)dy = P (х, у2 (х)) — Р (х, yt (х)) (4.8) ih (X) У\U)
мы можем проинтегрировать по переменному х в пределах от х=а до х=Ь. Мы получим
Ь У2(х) b yt(x)
j dx J p (x, y} dy = j dx j Py (x, y) dy = — j) P (x, y) dx. (4.9) а У\ (x) a yx (x) C
Эти интегралы, очевидно, существуют, так как правая часть (4.8) непрерывна на [а, 6]. Интеграл по контуру С, ограничивающему область S, возникает здесь точно так же, как и в п. 1 § 3.
Если в дополнение к предыдущему дано, что функция р(х, у) = Р'у(х, у) интегрируема по Риману в области S, то повторный интеграл в (4.9) есть, согласно п. 3, интеграл по области S, и мы получаем равенство
J / Р [х, у) dS = j J Ру (х, у) dS = — j) Р (х, у) dx. (4.10) р р с
Совершенно аналогично для областей S, являющихся криволинейными трапециями относительно оси Ох, и непрерывных в замкнутой области S функций Q(x, у), обладающих частной производной Qx(x, y)=q(x, у), которая интегрируема в S по Риману, получаем равенство
| J q(x, y)dS= J J Q'x(x, y)dS = <§> Q (x, y)dy. (4.11) ? & c
Пусть область S такова, что для функций Р(х, у), Q(x, у) выполнены одновременно равенства (4.10) и (4.11). Тогда, вычитая из (4.11) равенство (4.10), получим формулу
jj Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = j J [Qi (x, у) — P'y (x, «/)] dS. (4.12) c
Формула (4.12) называется формулой Грина и связывает интеграл по контуру С, ограничивающему область S, с интегралом по области S.
480 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. XII
Если область 3 состоит из частей 3\ и ^2, ограниченных контурами С] и С2, то
Р dx 4- j) Р dx = j) Р dx,
С, С2 с
§Qdy + Q dy = j) Q dy,
c, c, c
где C — контур, ограничивающий область 3.
К такому выводу мы приходим, проводя рассуждения, совершенно аналогичные тем, которые мы провели в § 3 в отношении интегралов §xdy, §ydx.
с с
Поэтому, если формулы (4.9) — (4.12) справедливы для областей и ^2, то они справедливы и для их объединения !?.
Итак, формулы (4.10), (4.11) и комбинация последних (4.12) установлены нами пока лишь только для областей, являющихся криволинейными трапециями относительно осей координат, а также для областей, состоящих из конечного числа таких трапеций. Формула (4.12) пока справедлива лишь для случая, когда область одновременно является криволинейной трапецией как относительно оси Оу, так и относительно оси Ох.
Для примера мы будем говорить о формуле Грнна (4.12), хотя все сказанное будет справедливо и в отношении формул (4.10) и (4.11).
Теорема 12.15 (о справедливости формулы Грина). Пусть дана простая замкнутая область 9 и пусть в ней заданы непрерывные функции Р(х, у), Q(x, у), обладающие производными ’Ру (х, у), Qfx (x,y). Пусть, наконец, каждая из этих производных интегрируема по Риману в области 3. Тогда имеет место формула Грина (4.12).
Вместо доказательства мы приведем основные соображения, на которых оно основано.
Это утверждение очевидно, если область 3 может быть представлена состоящей из конечного числа частей Зг и каждая из этих частей является криволинейной трапецией как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. В самом деле, для каждой части Зг тогда имеет место формула (4.12); складывая их все и пользуясь аддитивностью двойного интеграла, мы получаем, что формула (4.12) имеет место и для самой области 3.
Основываясь на этом, можно установить справедливость формулы Грина (4.12) и для областей указанного в теореме типа.
5. Аддитивные функции области. Пусть в области D задана непрерывная функция f (х, у) и пусть 3 cz D — некоторая квадрируемая область.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
481
§ 4]
Тогда для двойного интеграла имеет место теорема о среднем:
/ р (*,!/) ^ = /(1,4)5(89. (4.13)
где (£, л) —некоторая точка области S’ (см. п. 3).
Будем говорить, что последовательность областей cz £> сходится к точке (х, y)^D, если (х, y)^S{ (/=1,2...) и
►О при i —► оо. Очевидно, что при этом
Рассмотрим последовательность областей {S\}, сходящуюся к точке (х, D. Тогда из (4.13) имеем
j / f(x,y)dS
‘S(?i)----= f(Un<) (4.14)
и (gi, T]i)E$i. Если перейти к пределу при t->oo в этом равенстве, то так как d(Si)->0 и f(x, y)^C0{D}, то /(£/, т]г)-> —>f(x, У)- Таким образом, существует предел отношения (4.14) при стремлении области Si к точке (х, у).
Это обстоятельство приводит нас еще к одному определению интеграла по области S. Для его формулировки введем понятие функции области.
Будем говорить, что в области D задана функция области S, если каждой простой области S cz D поставлено в соответствие число /(S’). Величина I(S) называется аддитивной функцией области, если в случае, когда область S можно разбить на две части — простые области S\ и S2, выполнено равенство
/(^) = Z^1) + Z(^2).
Будем говорить, что аддитивная функция области I(S), определенная в области D, обладает производной по площади, равной /(х,у), если для любой точки (х, y)^D существует предел отно-шения при стремлении области 3 к точке (х,у). В этом случае мы будем писать
dS (S?) = t (4.15)
Уточним содержание равенства (4.15). Записывая равенство (4.15), мы имеем в виду, что для любого е > 0 существует число б(е) > 0 такое, что неравенство
|4{1г-Их.г/)|<е
выполнено для любой простой области 3 cz D, содержащей точку (х, у), диаметр d(3) которой меньше б (в).
482
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Если в области D выполнено равенство (4.15), то /(х, у) называется производной по площади от функции области /(G), а аддитивная функция области 1(3) называется первообразной от функции j (х, у) в области D.
Пример. Площадь S(^) области & есть аддитивная функция области. Производная этой функции по площади, очевидно, существует и равна 1 во всех точках плоскости Е2.
В случае непрерывной функции /(х, у) из формулы (4.13) мы заключаем, что двойной интеграл по области
/(^)=/ р(х, y)ds у
представляет собой аддитивную функцию области, обладающую производной по площади, равной f(x, у)\ мы также можем сказать, что этот двойной интеграл есть первообразная от функции f(x, у).
Покажем, что аддитивная функция области однозначно определяется в области D своей производной по площади.
Теорема 12.16. Если две аддитивные функции области Ii($) и /2(^) определены в D и обладают в D одной и той же производной по площади, то они равны друг другу. Итак, если
dl2(3) |fiv
dS($) dS($) ’
то равенство имеет место для любой простой об-
ласти $ с D.
Доказательство. Во-первых ясно, что если /i(^) и /2(^) — аддитивные функции области, заданные в D, то и 11(3)± lift) также аддитивные функции области в D.
Во-вторых также ясно, что если аддитивные функции /i (I?) и /2(^) обладают в D производными по площади, то их сумма и разность /|(^)±/2(^) также обладают в D производными по площади; при этом
^1Ш)±/г<эд=4^±-йте- <4-17)
Поэтому из условий теоремы и, в частности, из равенства (4.16) следует, что для аддитивной функции области /(^) = = /i(^) — /2(^) в D выполнено условие
(*^) -Л (Д 1
для всех точек (х0, yo)^D. Требуется доказать, что /(^)=0 для любой простой области лежащей внутри £>.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
483
§ 4)
Предположим противное: пусть для некоторой простой области SqC-D 1(&о) = Безразличен знак /0; пусть, например, /о > 0. Обозначим
л-явд>0' (4-19>
и пусть последовательность еь ег, ...» еп, ... сходится к нулю.
Представим область So как сумму некоторого конечного числа ее частей S?o таких, что каждая область So простая и диаметр каждой области So меньше чем еь Довольно очевидно, что это всегда можно сделать.
По крайней мере для одной из этих областей (обозначим ее через ^i) выполнено неравенство
/(^)>p0S(^). (4.20)
В самом деле, если для всех областей So выполнено обратное неравенство
то, суммируя по i эти неравенства и учитывая, что /(S) и S(^) — аддитивные функции области, мы пришли бы к противоречию с (4.19). Итак, существует область S\ cz^0, Для которой выполнено неравенство (4.20).
Область S\ представим в виде конечной суммы областей диаметры которых не превосходят ег. По тем же причинам, что и раньше, среди них найдется область (мы ее обозначим через ^2) такая, что
Z(Sy>p0S(Sy.
Продолжая наш процесс, мы найдем, что существует последовательность So =>=>^2 ... ... вложенных друг в
друга замкнутых областей, диаметр которых d(Sn) не превосходит еп, и при этом
Ж)>РоЖ). (4.21)
Так как области Sn вложены друг в друга (Sn+i <^Sn}, то по лемме о вложенных областях существует точка (хо, !/о)> принадлежащая одновременно всем областям Sn *).
В точке (хо, уо), как и во всех точках области D, функция области /(^) обладает производной по площади. Но так как d(^n) Ей И при п -> ОО, ТО
.. 1(3) .. 1($п)
lim «lim о?® \ •
I/O) d W п->оо ° \^п)
♦) Это утверждение составляет двумерный аналог леммы о вложенных сегментах (см. гл. II, § 2). Мы здесь будем принимать эту лемму без доказательства, учитывая полную аналогию с одномерным случаем.
484
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
Согласно (4.21) мы получаем отсюда, что
I _Hm2W>D
Но это противоречит условию (4.18), и поэтому /(^о)=О и вообще при всех S? cz D /($?) = 0. Отсюда следует, что Л(^) = =/2(^), и теорема доказана.
Таким образом, аддитивная функция области 1(3) однозначно определяется в области D значениями своей производной по площади.
Сравним теперь понятие аддитивной функции области, обладающей производной по площади р(х, у), с понятием первообразной функции в одномерном случае. Заметим, что в одномерном случае замкнутой областью является отрезок [а, Ь]. Поэтому аддитивной функцией I(at b) отрезка [а, Ь], обладающей заданной производной р(х) по длине отрезка, является приращение первообразной Р(х):
ь
I(а, Ь) = j р (х) dx = P (b) - Р (а) а
(Р'(х) = р(х)).
В самом деле, мы видели в гл. V и VI, что эта разность не зависит от выбора первообразной; покажем, что существует Производная /(а, Ь) по длине отрезка [а, Ь] и она равна р(х).
Пусть а «С с Ь. Тогда согласно определению производной в точке с имеем равенства
Р (b) = Р (с) + Р' (с) (Ь - с) + о (Ь - с), Р (а) = Р (с) + Р' (с) (а - с) + о (а - с).
Согласно определению величин о(Ь — с) и о (а — с)
lim^£^- = 0.
(4.22)
11m -0,
ь-ы Ь — с
Из равенств (4.22) получаем
PW-PW Р,(е) +
о (Ь — с) . о (а — с) b — а ' b — а
(4.23)
Пусть а<с и а-*с; Ь>с и Ь-+с. Тогда Ь — а>Ь — с>0; Ь — а>1а — с|>0. Поэтому из (4.23) следует:
.. (а.Ь) •• Р(Ь )-Р (а)
lim ? - = lim —i—
b — a h-^r о —а
= РЧ(:) + П„,£Й_£>
Ь lim
а->с
о (а — с) b — а
= Р' (с) = Р (с)-
§ 4]
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
485
Итак, мы видим, что значение первообразной /(^) на области S’czD соответствует в одномерном случае определенному интегралу, понимаемому как приращение первообразной.
Совпадение для случая непрерывной функции f(x, у) первообразной от f(x, у) с интегралом по области от функции j(x,y) дат основание для следующего определения.
Определение. Аддитивную функцию области /(^), обладающую в области D производной по площади, равной f(x, у), будем называть интегралом по области 3 от функции f(x, у) и обозначать символом
/(^)= / \Ux,y)dS. (4.24)
Совпадение первообразной 1(3) для f(x, у) с интегралом
Римана имеет место не только
f(x,y), но и во всех случаях, когда функция f(x,y) одновременно обладает первообразной /(3) и интегрируема в области 3 по Риману. Поэтому обозначение (4.24) не может привести к недоразумению.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта.
6. Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть об
для непрерывных функций
ласть 3 — простая односвязная
область плоскости (х, у). Рассмотрим в этой области непрерывную функцию z = f(x, у) > 0. Величину
Ж y)dS =
f(xt,
назовем объемом цилиндрической фигуры, имеющей область 3 основанием и ограниченной сверху поверхностью z=f(x, у) (рис. 52).
Если f(x, у)< 0, то этот двойной интеграл получается отрицательным и для получения объема в обычном смысле нужно взять этот интеграл со знаком минус или интеграл от модуля функции f(x, у).
Если же f(x, у) меняет знак в области 3, то для вычисления объема интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов по областям, в каждой из которых функция f(x, у) не меняет знак, или просто вычислить интеграл от модуля функции f(x, у),
486
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XIF
7. Приближенное вычисление двойного интеграла. Согласно определению интеграл Римана по области S? есть предел интегральных сумм
лг
1 = 2 f (I/. П/) 5 (9,) (4.25)
i=l
при стремлении диаметра d разбиения к нулю. Поэтому фор* мула (4.25) дает возможность приближенно вычислять двойной интеграл, если только выбрать части области S достаточно малыми (как по площади, так и по размерам).
Двойной интеграл в случае простых областей и хороших границ сводится к повторному. Пусть, например,
j j f (х, у) dS = j dx j f (x, y) dy. (4.26> & a y\ (x)
Применяя формулы приближенного вычисления одномерного интеграла, мы получаем формулу для приближенного вычисления двойного интеграла. Например:
ь N-\
j <p(x)dx ~ 2<p(^)(x,+1 — xt); xt^h^Xi-i. a i=0
У2 (X)
Полагая здесь <p(x) = J f(x,y)dy, получим
Vi (X)
N-l Vt(ll)
j j f (x, y) dS ~ (xi+1 — xt) j f {It, y) dy. (4.27)
* МУ
Наконец, положим
м-i
/ f(b, У) dy ~ 2 f&i’ 4)<yi.i+i -Уи)> (4-28)
Vi G<) /=°
yi.o = ydli)< yi,M = ydli)-
Подставляя (4.28) в (4.27), получим формулу для приближенного вычисления двойного интеграла, которая будет, между прочим, частным случаем формулы (4.25) при специальном дроблении области на части
Формула Грина, например, в виде (4.10):
/ / Ру{х, у) dS = — (j) Р (х, у) dx, (4.29)
& с
§ 4)
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
487
позволяет свести двойной интеграл от функции f(x, у) = Р'у(х, у) к одномерному, если известна первообразная (по переменному у) для /(х, у). Поэтому, если известна функция Р(х, у) и Р'у(х, у) — f(x, у), то, пользуясь приближенными формулами для вычисления одномерного интеграла (4.29) (см. гл. VI, § 10),
(где (х0) Уо) — произвольная точка малой области S’), которое может быть использовано для приближенного вычисления частной производной функции Р(х, у). Это особенно удобно, когда значения функции Р(х, у) известны в точках, которые не образуют правильной сетки, например, как на рис. 53.
Выберем контур С, который «окружает» точку (хо, уо) и проходит через точки MJXf, i/,) (i = 1, ..., k), в которых известны значения функции Р(х, у). Тогда из приближенных формул
fe-i
$ Р (х, у) dx « Р'+'2+ Р‘ —
С /=1
л-1
S (£) = - f у dx « - 2 У‘ 2y‘+i- (x/+I - xt) i=l
получаем формулу для приближенного вычисления Py(xQ, уо):
2 + Pi+i)(xi x/+i)
Pу (*о» Уо) ~
2 (Vi + Ui + \) (Xi + \ ~ Xi)
которую удобно использовать при произвольных сетках, на которых известна функция Р(х, у).
488 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. XII
§ 5. Условия потенциальности векторного поля и независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости
Пусть в связной области S’ переменных х, у задано векторное поле g(x,y) = {Р(х,у), Q(x,y)}.
В § 5 гл. X мы видели, что необходимым условием потенциальности векторного поля g(x, у) является равенство нулю криволинейного интеграла по любому замкнутому контуру С9 лежащему в области
§Pdx + Qdy = 0. (5.1)
с
Повторим этот вывод. Пусть поле g(x, у) потенциально, т. е. существует функция U(x, j/)e£>i(^) такая, что g(x, у) = = \U(x, у). Тогда
Р (х, y)dx + Q (х, y)dy = -^-dx + ^~dy = dU (х, у).
Поэтому (j) Р dx + Q dy = j) dU (x, у) = 0 для любого замкну-с
того контура С в области S.
Если векторное поле g(x, у) непрерывно в JF, то условие (5.1) является также и достаточным условием потенциальности g(x, у) в S’.
Теорема 12.17. Пусть вектор-функция g(x,y) = {Р(х,у), Q(x,y)} непрерывна в связной области & и криволинейный интеграл (5.1) по любому замкнутому контуру С, лежащему в S’, равен нулю. Тогда существует функция U(х, у)^ Di(&) такая, что всюду в <3
g^y) = VU(x> у), (5.2)
т. е. векторное поле g(x, у) потенциально в 3.
Доказательство. Рассмотрим криволинейный интеграл и» у)
и (х, у) = j Р (х, у) dx + Q (х, у) dy, (5.3) (х0, уо)
взятый от некоторой фиксированной точки (х0, уо)^3 до точки (х, у)^3. Мы обозначили его через U(x, у), считая, что он зависит только от конечной точки (х, у) (начальная точка (х0, Уо) фиксирована), но не зависит от пути интегрирования, связывающего точки (х0, Уо) и (х, у). Но это действительно так. Пусть, например, точки (х0, уо) и (х, у) соединены кривыми АСВ и ADB (рис. 54). Покажем, что криволинейный интеграл
УСЛОВИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ векторного ПОЛЯ
489
§ 5]
(5.3) вдоль пути АСВ равен интегралу (5.3) вдоль пути ADB. Разность
j Р (х, y)dx + Q (х, y)dy — J Р (х, y)dx + Q (х, у) dy
АСВ 'ADB
есть интеграл по замкнутому контуру от векторного поля Я(х» У)> 11 согласно условиям теоремы он равен нулю. Поэтому криволинейный интеграл (5.3) не зависит от пути интегрирования и определяется только точкой (х,у), что и учтено в его обозначении.
Интеграл (5.3) существует, если точки (х, у) и (х0, £/о) соединены спрямляемой кривой, так как функция g(x, у) непре
рывна.
Наконец, имеет место равенство Vt/(x, y) = g(x, у).
Это следует, например, из равенств
и (х + Ах, у) — и (х, у) = j Р (t, у) dt,
X
У+&У
U(x,y + \у) —U(x,y)— j Q (х, t) dt,
У
и так как функции Р(х, у) и Q(x, у)
= Р(х,у), -^- = Q(x, t/).Таким образом, имеет место формула (5.2). Теорема доказана.
Пусть векторное поле g(x, у)={Р(х, у), Q(x, у)} непрерывно дифференцируемо в 3. Установим достаточные условия, при которых интеграл (5.1) по любому замкнутому контуру С, лежащему в , равен нулю.
Теорема 12.18. Пусть область 3 односвязна и векторное поле g(x, у) непрерывно дифференцируемо в 3. Тогда выполнение в области 3 условия
дР dQ
ду дх
(5.4)
влечет за собой выполнение условия (5.1).
До к а з а те л ь ст в о. Для непрерывно дифференцируемых в односвязной области & функций Р(х, у) и Q(x, у) применим формулу Грина (4.12). Пусть С — произвольный замкнутый контур, ограничивающий простую область S', лежащую внутри
490
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. Х1Г
области Применяя формулу (4.12), имеем
Pdx + Qdy == J / (Qi - P'y) dS. c Г
Так как Q* = Py в области то у Pdx + Qdy = 0, и теорема с
доказана.
Пусть теперь область JF не односвязна, а ограничена «наружным» контуром Г® и внутренними контурами Г{, k = 1, ... , (рис. 55).
Теорема 12.19. Пусть в области 3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле g(x, у). Если всюду внутриЗ
дР _ dQ ду дх
и для каждого внутреннего контура
Г£ выполнено условие
§Pdx + Qdy = Q (k = l, 2, I),
г* (5.5)
то условие (5.1) выполнено для любого замкнутого контура С, лежащего в области 3.
Доказательство. Если контур С не содержит внутри себя контуров Г*, то условие (5.1) выполнено для этого контура на тех же основаниях, что и в предыдущей теореме. Если внутри контура С содержится несколько_контуров Г1, то, применяя формулу Грина (4.12) к области 3, ограниченной контурами С, Г*, будем иметь
+ J J(Q;-Pi)dS = O. (5.6) с k г< У
Так как для всех контуров Г£ выполнено (5.5), то из (5.6) еле-дует доказательство теоремы.
Итак, мы установили условия, при которых криволинейный (X. у)
интеграл J Pdx-{-Qdy не зависит от пути интегрирования^ (Хо, Уо)
а векторное поле g(x, у)={Р(х, y)t Q(x, у)} является потенциальным.
$ 6]
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
491
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле
Пусть на плоскости Е2 переменных х, у задана простая односвязная область с ориентированной границей С (рис. 56). Согласно определению площади S(^) области из § 3, имеем
S (^) = j) х dy = — j) у dx. с с
(6.1)
Рис. 56.
Предположим, что мы имеем отображение
х = х (а, и), у = у (и, v) (6.2)
области 9' переменных ut v на область 9 переменных х, у, и
1. Отображение (6.2) области на область $ взаимно однозначно. Это означает в добавление к (6.2), что если (и — й)2 + + (и — v)2 0, то [х (и, и) — х (й, у)]2+
+ [у(и, v) — y(fi, и)]2 =/= 0.
Функции х(и, и), y(u,v) определены при любых (н, и)е^', а из условия взаимной однозначности следует, что существует обратное отображение и = и(х,у), v = v(x,y) области на область т. е. функции и = и(х,у), v = v(x,y) определены в области
2. Отображение (6.2) области на S’ непрерывно дифференцируемо в S'. Это означает, что функции х = х(и, и) и дифференцируемы в S'.
3. Отображение (6.2) устанавливает взаимно однозначное соответствие точек границы Г' области S' точками границы Г области 3.
4. Будем считать, что функции x(u,v) и y(u,v) в 3' таковы, что всюду в 3' существуют непрерывные смешанные вторые производные, при этом
Уии и) = у"и (и> и)> <0 («> и) = Х"и (“> °)- (6-3)
Совершим при этих предположениях замену переменных интегрирования в равенстве (6.1), полагая x = x(u, v) и dy = = у'и(и, v)du-}-y'v(u> v)dv. Так как точки контуров Г и Г' взаимно однозначно соответствуют друг другу, то при такой замене мы получим интеграл, распространенный по замкнутому контуру Г'. Именно, будем иметь
у = у(и, и) непрерывно
S(3) = <$xdy = $ х(и, v)[y'u(u, v)du +y'v(u, v)dv] . (6.4) с
С'
Объясним происхождение знака модуля в правой части (6.4).
492
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
В левой части этого равенства стоит криволинейный интеграл, который согласно нашим обозначениям берется в положительном направлении контура С, т. е. в таком, что направление движения от начальной точки интегрирования к конечной есть направление против хода часовой стрелки (см. рис. 56). Может случиться, что при движении точки М вдоль контура С в положительном направлении соответствующая ей согласно отобра-
жению (6.2) точка М' на контуре Г' будет двигаться не в положительном, а отрицательном направлении. Тогда при замене переменных интегрирования х, у на мы получили бы равенство
х dy = — j) х v)dy v), с С'
как буквой С' мы по-прежнему обо-
U, V
и
о
Рис. 57.
так
значаем контур Г' на плоскости (н,v) с заданным на нем положительным направлением (рис. 57). Поэтому формула (6.4) объединяет два воз-
можных случая: сохранения ориентации граничных контуров при отображении (6.2) и несохранения ее.
В области рассмотрим две функции:
р (и, и) = х v) у'и (и, v) и Q (и, v) = х (и, v) t/'j (и, и).
Они непрерывно дифференцируемы: Р(и, v) по переменному v, a Q(iz, v) — по переменному и. Поэтому мы можем применить формулу Грина (4.12), в результате чего получим
(j) х (и9 v) dy (iz, и) = (j) Р (и, v)du + Q (и, v) dv =
C' C'
“ / J dS'= i J {[* °) y'v (U> ~ 9' 9'
~[x(u, v)y'u(u, V)]'v]dudv= J J (x'uy'0 + xy''u-xy"0-x'^dS'^ 9‘
= J J {x'uy'v — %X)du dv “ J J 1 (u’ v)du dv =* j /1 (“’ u) dS'> (6-5) 9' 9'
где введено обозначение
I (и, v) = x'u (и, v) y'v (u, u) — x'v (u, v) y'u (u, v) =
y'u («’ f) y'o («> f) D 1 ;
§ 6)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
493
Поэтому из равенства (6.4) получаем формулу
S(^)= jxdy=*
С
J J I (и, v)dS' 9’
(6.7)
Мы уже знаем, что если отображение (6.2) непрерывно дифференцируемо в и взаимно однозначно, то якобиан I(u, v) этого преобразования не меняет свой знак в области (см. гл. X, § Ю, п. 2).
На основании этого формулу (6.7) перепишем в виде
S (g?) | J dS = $ xdy — J J11 (и, и) Ids' =
9 с 9'
<6-8>
9'
Теперь заметим, что правая часть равенства (6.8) имеет смысл и для случая, когда производные и), у”и(и, £’), возможно, и не существуют в В самом деле, двойной интеграл
/111 (и, V) | dS' = / / | | du dv (6.9)
G' 9'
имеет смысл и определен лишь при условии, что функция I {и, v) интегрируема в
Так как согласно нашим предположениям производные х', z/', х', у', непрерывны в то непрерывна в и функция Ци, v). Поэтому интеграл (6.9), как интеграл от непрерывной функции, существует.
Итак, как левая, так и правая части равенства (6.8) определены независимо от существования производных y”v (и, и), у); если же предположить существование и равенство этих смешанных производных, то имеет место формула (6.8).
Это дает нам основание думать, что равенство (6.8) имеет место, когда производные у'^ и г/''ц, не существуют. С помощью некоторых усложнений доказательства формулу (6.8) можно доказать, не пользуясь величинами y"v и
Переходим к выяснению геометрического смысла равенства (6.8). Так как функция /(и, и) непрерывна в как комбинация непрерывных функций х', х', у'и> y'v, то по теореме о среднем существует точка (u, v) ^3' такая, что
5(^) = |/(й, 0)|S(^'), (6.10)
где S(3') — площадь области
494
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Если мы будем стягивать область к точке (а0, Vo), то при этом и область будет стягиваться к точке (х0, у0), где xQ= = х(«о, v0), f/o=f/(wo, ^о). При стягивании области 9' к точке («о, Vo) мы получим из (6.10), что существует предел отношения площади S(^) к площади S(^'):
,im У®Т = 1/(“о. «о) I- (6.11)
iT-+(u,. t'o> ° Is >
Таким образом, формула (6.11) выясняет геометрический смысл якобиана /(«, и) = . Модуль якобиана l(u, v) есть пре-
дел отношения площади области $ к площади области при стягивании области 3' в точку.
В качестве примера рассмотрим линейное отображение
х — аи -И + х0, 1
У = Y« + 6v + Уо, J
(6.12)
для которого якобиан /(и, v) постоянен и равен величине
а р у б
/ (и, v) =
= аб — у0 = /0-
(6.13)
При отображении (6.12) отношение площадей S(S?) к S(&') всегда равно /о- В частности, из (6.12) следует, что прямоугольник на плоскости (и, v) переходит в параллелограмм на плоскости (х, у). Отношение площади этого параллелограмма к площади прямоугольника равно /о-
Из формулы (6.11) также следует, что в точках (и0, Vo), в которых /(«о, Vo) =5^0, имеет место равенство
.. $(Л_ 1
Vo)T
(6.14)
Мы предполагали, что отображение (6.2) взаимно однозначно. Это означает, что уравнения (6.2) могут быть однозначно разрешены относительно u, v и формулы
u = u(xt у), v = v(xty) (6.15)
будут задавать отображение области 9 на область 9'.
По теореме о дифференцируемости неявных функций (см. гл. X, § 9, п. 7) функции и(х, у) и v(x, у) будут дифференцируемы в области 9.
Так же, как и выше, мы можем получить формулу
(616)
§ б] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 495
Сравнение (6.16) и (6.14) показывает, что мы должны иметь тождество
Нетрудно убедиться, что во всех точках, где /(н, и)#=0, мы имеем тождество
Р(иу у) . Р(ху у) = Р(ху у) ’ Р(иу у) ~
из которого и следует (6.17). В самом деле, это равенство следует из тождеств
и (х (и, и), у (и, и)) SS и, 1 v(x(u, и), у (и, y))su, /
имеющих место ввиду того, что отображения (6.2) и (6.15) являются взаимно обратными. Дифференцируя тождества (6.19) по и и V, получаем
U'xX'u + и'уУи = 1 > «X + «X = °>
<Х'и + »'уУи = °’ UX + V'yy'v = 1 >
откуда следует, что матрицы
[ихиу\ (хи < \
/ / и , , \ Vx Vу J \УиУ^)
„ Р (и, у) взаимно обратные. Следовательно, для определителей -----------г
и д имеет место равенство (6.18).
Заметим, далее, чю величина
X'u(u,v) x'v(u,v) _D{Xty}
{U,V) У'и(“, V) y'v(u, V) D(u,o)
по модулю совпадает с площадью параллелограмма, образованного векторами Vx(w, у) и Vy(u, v).
Так как можно положить
/(и, v)dudv —
х'и du х' dv У и du y'vdv
то мы видим, что символ |/(zz, v)\dudv может означать площадь параллелограмма, образованного векторами
dx = x'udu + х' dv и dy = у'иdu + у'о dv,
где du = {du, 0}, dv — {0, dv}.
496
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Пример. Пусть на плоскости Е2 введены полярные координаты (р, ф), связанные с декартовыми координатами формулами
x = pcosqp, i/ = psinqp. (6.20)
Имеем
л/ \ D(x,u) cosqp “Psin(P ,лоп
Z(p, qp) = -——4-= . = p^0. (6.21)
D(p, <p) sin qp pcosqp r
Отсюда следует, что площадь плоской фигуры в полярных координатах вычисляется по формуле
S (£) = J J dxdy = J J pdpdqp*). (6.22)
Переходим к замене переменных в интеграле по области S’:
/ J f (х, у) dS = / / f (х. у) dx dy, (6.23)
у
содержащем некоторую непрерывную функцию f(x, у). Сначала рассмотрим случай односвязных областей <3 и S'.
Пусть отображение (6.2) области S' на S удовлетворяет тем же самым требованиям, что и выше. Под интегралом (6.23) мы можем понимать значение на S аддитивной функции области, производная по площади от которой равна подынтегральной функции:
lim f (х, у) dS = f (х0, у0).
у«) d w J J
Очевидно ввиду (6.14), что имеет место равенство
J J f (*> У) dS = J J f (х (ц, и), у (и, и)) 11 (ц, и) | dS' —
= J J f (х (и, и), у (и, и)) | D(*u' § | du dv. (6.24)
В самом деле, интеграл в правой части (6.24) есть аддитивная функция области S" (а следовательно, и при этом, если S' -* («о, Уо), то
J f\?\du dvj J J f [х (и, v), у (ut v)]| I(ut v) [ dudv
“SW = '-IS. yj ~
= f (X («0. ^o)> У («о> Vo)) 11 («o> Vo) I = f (.x0, Уо) 11 (u0, V0) |.
*) «Элемент площади» записывается в полярных координатах символом р dp J(p.
§ С] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ 497
Но из (6.14) получаем, что
d / j j f 111du
\ »'________/ =
' dSW)
= lim lim ~s7^ IJ ^x> 0)lz(u> v)\dudv= «A
= |/(t^ Oo)| • 1I («0» t»o) I • f (*o, y0) = f (x0, y0).
Таким образом, это равенство и доказывает формулу (6.24) замены переменных, так как согласно этой формуле величина || f\I\dudv есть аддитивная функция области 9, производная по площади от которой есть f(x,y). Но мы видели, что аддитивная функция области однозначно определяется своей производной по площади, поэтому и имеет место равенство (6.24).
Теперь можно доказать, что формула (6.24) остается справедливой и в случае многосвязных областей 9 и 9'. Пусть 9 и 9' — многосвязные простые области и отображение (6.2) по-прежнему взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо. Так как простые области 9 и 9Г могут быть разбиты на односвязные части, для которых мы установили уже справедливость формулы (6.24), то на основании свойства аддитивности интеграла эта формула имеет место и для суммы областей, т. е. для многосвязной области 9. Отметим, что формула (6.24) справедлива и для кусочно-непрерывных в области 9 функций f(x,y)t что следует из свойства аддитивности двойных интегралов.
Докажем теперь справедливость формулы (6.24) замены переменных, понимая под входящими в нее интегралами интегралы Римана.
Теорема 12.20 (о замене переменных в интеграле Римана). Пусть отображение (6.2) удовлетворяет нашим предыдущим предположениям, в частности, якобиан /(и, и) = д непрерывен в 9'. Пусть также функция f(x,y) интегрируема по Риману в области 9. Тогда существует интеграл Римана для функции f(x(u,v), у (u,v))\I(u,v) в области 9'; при этом имеет место равенство (6.24).
Доказательство. Оценим, насколько интегральная сумма лг
2 f (х (Ut, v(), у (щ, vt)) 11 (щ, Vi) | S (Sft (6.25)
498 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ (ГЛ. XIг
по области отличается от соответствующей интегральной суммы
N
(6.26) 1=1
по области 3. Здесь мы обозначили Xi=x{u.i, о,), о,),
а области 3i и 3'i соответствуют друг другу при отображении (6.2).
Так как якобиан I (и, и) непрерывен в 3 , то согласно (6.10) существуют точки (й/, б/) е 3\ такиё, что
5(^) = П(йг, 3/)|S(^)-
Функция f(x, у) ограничена в области G, как интегрируемая по Риману функция. Пусть
\f(x, t/)|<M.
Подставляя эти формулы в (6.26) и вычитая из (6.25), получаем оценку
N
2f(x (и{, Vi), у (uh v{)) 11 (ut, Vi) | S (3i) — 1=1
N N
- ^f(Xi, yt) S (3i) < s I f(Xi, yt) |. S ($'i). | I(uh Vi) -I (Hl, Vi) |< /=1 /=1
N
max 11 (uit Vi) — I(uh Vi) | • M 2 5 (S'i) =
i=l..n i=i
= max | / (uh Vi) — I(uh vt) | • MS (^'). (6.27)
Z=1..N
Но функция I (и, v) непрерывна и, следовательно, равномерно непрерывна в S'. Поэтому max иЛ — Цй^ 5/)|-
/=1..w
когда d = maxd(3’/)->0. Таким образом, из неравенства (6.27) следует, что при d(S'i)-+0 существует предел интегральной суммы (6.25) и он совпадает с пределом интегральной суммы (6.26), т.е. имеет место (6.24). Наше утверждение доказано.
§ 7. Поверхность в трехмерном пространстве.
Площадь поверхности
1. Задание поверхности в Е$. Координаты на поверхности» Интуитивные представления о поверхности в трехмерном евклидовом пространстве Е3 имеются у каждого человека. Поэтому мы очень кратко попытаемся формально описать эти представления, заранее ограничившись сравнительно узким классом поверхностей.
7] ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 499
Пусть нам заданы три уравнения:
X = х (и, v)t у = у (и, и), 2 = 2 (ц, и), (7.1)
которые также будем записывать в виде одного векторного:
Г = г (и, v), г = {х, у, г), (7.2)
и пусть функции х(и, и), у (и, и), 2(и, v) непрерывны в области изменения переменных ut v.
Будем рассматривать х=х(и, и), у=у(и9 и), z=2(u, v) как координаты точки М(х, у, z) в евклидовом пространстве Е3\ тогда мы говорим, что формулы (7.1) или (7.2) задают непрерывное отображение области S? переменных и, v на некоторое множество 2 точек Е3. Если отображение (7.1) взаимно однозначно, т. е. если разным точкам (и, и) и (й, й) из области $ отвечают разные точки (х, у, г) и (х, yt z) из 2, то будем говорить, что множество 2 есть поверхность в £3, заданная уравнениями (7.1) либо (7.2).
Такой способ задания поверхности 2 носит название параметрического способа задания, а величины и, v называются параметрами или координатами на поверхности 2.
Часто уравнение поверхности задается в виде
* = /(*,</)• (7.3)
Здесь параметры ut и равны соответственно х, у. Эта поверхность однозначно проектируется на плоскость хОу.
Пусть точка (и0, у0) Уравнения
х = х («о, V), у = у (uQt и), 2 = 2 (uQ, v) (7.4)
либо, короче,
r = r(u0,v) (7.5)
при (ио. и) е $ и фиксированном и0 задают кривую на поверхности 2 (сравните с определением кривой из § 1 гл. IX). Эта кривая называется координатной линией и = и0 на поверхности 2. Аналогично, уравнение
г = г (и, Оо) (7.6)
задает координатную линию о=о0.
Так как отображение (7.1) взаимно однозначно, то через каждую точку (л'о, уо, г0) поверхности 2 проходит только одна координатная линия u—Uo и только одна координатная линия V = О0; при этом г (и0, v0) = ГО = {х0, Уо, z0}.
Кривой
и = и (/), v — v(t)
500
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
на плоскости параметров и, v соответствует кривая
r = r(u(t)9v(t)) (7.7)
на поверхности 2.
2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Предположим, что отображение (7.1) непрерывно дифференцируемо в т. е. r(u, v) eCJiF), и кривая u = u(t), v = v(t) также непрерывно дифференцируема (т. е. u(t), v(t) е Ci). Тогда непрерывно дифференцируема и кривая (7.7) (r=r(w(/), v(t)) е Cj). Вычислим касательный вектор к кривой (7.7). Согласно § 2 гл. IX имеем
dr 1 r'uu (t) + r'vv (t)
,=^|^|“|гум+гУ(0Гаг-+^'
Таким образом, касательный вектор к кривой (7.7) представляет собой линейную комбинацию векторов г'и и называемых координатными векторами. Мы будем считать, что векторы г', г' линейно независимы. Если это не выполнено, то точку М будем называть особой точкой поверхности 2. В дальнейшем мы будем рассматривать поверхности 2, не содержащие особых точек.
Итак, касательный вектор к любой кривой (7.7), проходящей через точку М на поверхности 2, есть линейная комбинация координатных векторов г', г' и поэтому лежит в плоскости, определяемой этими двумя векторами.
Поэтому проходящая через точку М поверхности 2 плоскость, в которой лежат координатные векторы г', г', называется касательной плоскостью к поверхности 2 в точке М*). Ее уравнение можно записать в виде равенства нулю скалярного произведения:
(p-r, N) = 0.
Здесь p = (g, л» £) —точка касательной плоскости, г(х, у, z) — точка М на поверхности 2, вектор N—нормальный к поверхности 2 в точке М вектор, определенный как векторное произведение векторов г' и г':
N = r'M (7.9)
Так как поверхность 2 не имеет особых точек, а величины г', г' непрерывны на 2, то тем самым в каждой точке поверхности 2
*) Согласно определению касательной плоскости к поверхности из гл. X, § 4, п. 3.
г ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 50 Г
§ /J
однозначно определен вектор N нормали, который непрерывно изменяется при переходе от точки к точке.
Поверхности 2, на которых можно задать в каждой точке вектор нормали N так, что он будет непрерывен на 2, будем называть ориентируемыми или двусторонними поверхностями.
Таким образом, поверхность (7.2) при r(u, u)eCi(^) — ориентируемая поверхность. Относительно понятия ориентации поверхности (а точнее, ее нормали) мы будем говорить подробнее в конце § 8.
3. Длина дуги на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Вычислим длину отрезка кривой (7.7), лежащей на поверхности 2, заключенного между ее двумя точками t = и t = t2. Согласно формулам из гл. IX, § 2, для случая r(u(/), у(0) /2]} можно написать
t'L
/ = (7.10}
Имеем
17—«'(/)< + -'Ю<, =
И
| £ Г - (о(О2 + 2»'«)»' (о«•<)+'’' w(О2-
Последнюю формулу перепишем в виде
d/2 = (Г')2 dt2 = Edu2 + 2F dudv + G dv2, (7.11)
где введены обозначения:
du = и' (/) dt, dv = v' (/) dt, £=«)2. = c-«)2-
Выражение (7.11) называется первой квадратичной формой поверхности 2, заданной уравнением (7.2). Итак, получаем формулу для длины дуги: tt tt
I = 11 -g-|d/= j VEu't + 2Fu'tv't + Gv't dt — ti tl
it
== | /Е (u, v) du2 4- 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv2 (7.13)
(интегрирование в последнем интеграле (7.13) ведется вдоль кривой и = u(t), v = v(t) между ее точками, соответствующими значениям параметра t = Л и t = t2).
(7.12)
502 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. XII
Отметим, что если векторы г' и г' ортогональны, то F = 0. В этом случае координаты и, v называются ортогональными. Для ортогональных координат первая квадратичная форма поверхности S имеет вид
dl2 = Edu2+Gdv2.
4. Примеры ортогональных координат. Приведем важные примеры ортогональных координат.
1. Декартовы координаты на плоскости:
x = u, y = v, z = 0; dl2 = du2 + dv2 = dx2 + dy2.
2. Полярные координаты на плоскости:
x = pcos<p, у — р sin ф; z = 0; u = p, и=ф;
Гу = {COS ф, 5(Пф, 0}, г'=р{— ЗШф, СОЭф, 0},
«0 = 0; £ = (<)'= 1’ f' = K.'-;) = 0. G = (O!“P’: dl2 = du2 + и2 dv2 =- dp2 + Р2 ^ф2.
5. Площадь поверхности. Площадь S параллелограмма, образованного двумя векторами а и &, есть, как известно, величина
S = | а X Ь | = ab этф, (7.14)
где ф — угол между векторами а и & (0<^ф^л).
Рассмотрим векторы a = r'udu и b = r'vdv и вычислим площадь dS, образованную этими двумя векторами. Согласно формуле (7.14) получаем
dS = | r'u X r'v 11 du dv | = r'u • r' sin co | du dv |, (7.15)
где 0 co л—угол между векторами г' и г'. Преобразуя (7.15), получаем
dS = |r'r' sin со du du | = V(rц)2 (r^)2 (1 “ cos2 со) (du)2 (du)2 =
= V(<W)2-(rW)2cos2fi> Idu 1 = Veg-f2 I du dv I,
так как r'r' cos co = (r'u • r') = F. Итак,
. (7.16)
Определение. Пусть непрерывно дифференцируемое в замкнутой простой области переменных и, и и взаимно од-
§ 7] ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 503 позначное отображение (7.2) задает поверхность S. Площадью этой поверхности называется величина
5 (S) = / / do (S) = J j VE(u, v) G (и, v) — F2(u, v) dS =
= J J Veg - F2 du dv, (7.17) z
которая, очевидно, определена, ибо подынтегральная функция непрерывна.
Приведем ряд соображений, оправдывающих такое определение площади поверхности.
Во-первых, величина S(S), заданная формулой (7.17), есть аддитивная функция области S’ и, следовательно, поверхности S. Во-вторых, величина (7.17) положительна; поэтому, если кусок поверхности Si содержит внутри себя кусок 2г той же поверхности 2, то
S(S1)>S(S2).
Далее, для любой плоской поверхности S формула (7.17) дает ее площадь, которую мы уже определили ранее, в § 3. В самом деле, пусть, например, отображение (7.2) задает кусок плоскости z = 0, т. е.
X = х (и, у), у = у (и, о), 2 = 0. Тогда
< = К’ У»> °}.
£=(О2 “ (О2 + с=(О2=(х')2 + (О2;
£G - F2 = [«)2 + (^)2] [«)2 + (уЭ2] - (X')2 «)2 - (у')2 (у')2 -
- 2х'иХ'М = (Хи)2 Ш2 + (.У'и? (О2 - 2х'иХ'М = (ХиУ» - y'UXvV
Таким образом, в этом случае по формуле (7.17) имеем
S(S)= J J Veg - F2 dudv = j J I z (u, v)\dudv, 3r V
а это совпадает с формулой (6.8) для площади плоской фигуры, полученной в § 6.
Далее отсюда следует, что формула (7.17) дает площадь поверхности S любого многогранника. В самом деле, площадь поверхности 2 многогранника есть сумма площадей его граней Si, а для каждой грани, как мы видели выше, формула (7.17) Дает ее площадь.
504 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. хп
6. Инвариантность определения площади поверхности. Легко убедиться, хотя для этого и придется проделать несложные, но длинные выкладки, что величина (7.17) не зависит от выбора параметров п, и, но зависит только от самой поверхности S.
В самом деле, пусть параметры u, v являются в свою очередь непрерывно дифференцируемыми функциями новых параметров g, т), таких, что формулы
« = «(£, Т]), v = v(l, Т])
задают взаимно однозначное соответствие области 'S' переменных g, Tj и области S’ переменных u, v. Тогда поверхность S может быть задана в виде
г = г (и, V) = Г (и (£, Т|)» V (I, Т]))
при (g, П)
Обозначим через Е', F', G' коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S при параметризации ее с помощью т]. Тогда
£' = - (<«' + - £ (utf + 2F„M + G (»;)’,
r' = (rsri) = K“S + r'^S (rlA + Г'Л) =
= £»;«;. + f + g»j»;,
°'=K)’=+’•>;)’=E w+w;+c
Нетрудно проверить, что
E'G' -F’' = (EG- P) - v'tuy - (EG - P) .
Поэтому
]*/ V£'G'-F'’d^n=/f ]/EG — F2 (7.18)
Как мы видели в § 6, имеет место формула замены переменных: у' ?
Поэтому из равенства (7.18) следует:
С | Ve'G'-F'2 dl dr] = J J Veg - F2 du dv, &
и мы доказали, что величина (7.17) не зависит от выбора параметров, а определяется лишь самой поверхностью S.
§ 71
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
505
7. Примеры вычисления площади поверхности. Приведем примеры вычисления площади поверхности. Пусть поверхность 2 задана уравнением .
z = f(x,y) (7.19)
при (х, и f(x,y)^Ci(S). В этом случае в роли параметров и, v выступают координаты х, у, т. е. мы можем положить и = х, v = у. Имеем следующие формулы:
£=1 + «)!, б = 1 + ю>. г
(7.20)
Таким образом, в этом случае
5(2) = / J Vl+O + O dx dy. (7.21)
Можно обратить внимание, что нормаль к поверхности 2 в ее точке (х, у, f(x, у)) определяется согласно (7.9):
N = r'u%r'v =
i j k
1 of; о 1
(7-22)
а косинус угла между векторами k и N есть величина
cos (WV)=-^-
________1________
V1 + К)2 + кг
(7.23)
Поэтому согласно (7.23) и (7.21) имеем еще одну формулу для площади 5(2) поверхности 2, заданной уравнением (7.19):
dx dy cos (АГЛ)
Р
dS (x, у) cos (Nk)
(7.24)
Формула (7.24) имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим отношение площади S(S) куска поверхности S к площади S(S’) проекции этого куска на плоскость z = 0. Из формулы (7.24) вытекает, что существует предел этого отношения, когда поверхность S стягивается в точку. Согласно формуле (7.24)
имеем
lim
Уо)
5(2) $(*)
1
cos
(7.25)
506
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
а это означает, что для маленького куска S поверхности (7.19) его площадь близка к площади S(S’) его проекции на плоскость z = 0, деленной на косинус угла, образованного поверхностью с плоскостью z = 0 (рис. 58).
8. Определение поверхностного интеграла. Согласно определению площадь S(S) поверхности S задается формулой
S (2) = J / do = J j V EG — F2 dS = j j VEG - F2 du dv, (7.26)
где $— область изменения параметров и, и, соответствующая выделенному куску S поверхности.
Символ
da=]/£G-F2 dudv
называют «элементом» площади поверхности S. Заметим, что, как и всякий двойной интеграл от непрерывной функции, интеграл (7.26) может быть сведен к повторному. Если, например, область 9 ограничена кривыми u = ui(w) и и = оъ(и) (V2(u)^ >ui(w)) при то
Рис. 58.
S(S) = J J Veg - f2 du dv =- &
b vt (u)
= J du J VEG - F2 dv. (7.27) a Uj(u)
Пусть в точках поверхности 2 задана функция f(x,y,z). Согласно отображению (7.2)
х = х {и, v), y = y(u,v), z — z(u, v),
причем x(u, v), y(u,v), z (u, v) e= C( {(?}. Поэтому функция f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = f(u, v) задана в области З.
Если существует двойной интеграл
J J f (и, v) Veg - F2 dudv =
= j | f(x(u, v), у (и, v), z(u, v)) Veg — F2 dudv, (7.28)
e 7; ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 507 то он не зависит от способа параметризации поверхности S, а зависит исключительно от функции f(x,y,z) и поверхности 2 *)•
Интеграл (7.28) мы называем интегралом от функции f(x,y,z), распространенным по поверхности S, и обозначаем СИМВОЛОМ
J I f (X, у, z) da. 2
Этот интеграл можно вычислять либо как двойной интеграл (7.28), либо как предел интегральных сумм
лг
^f(xt>yi, Zi)S(^)
при делении поверхности S на части Si и стремлении диаметра каждой части Si к нулю. Здесь S(St) —площадь куска Si поверхности S; точка (xif yit Zi) произвольна, но принадлежит куску Si поверхности S.
Для непрерывных функций f(x,y,z) и непрерывно дифференцируемых отображений (7.2) очевидно, что отношение ( j f (х, у, z) da 2'
5 (S')
при стягивании куска S' поверхности S в точку (хо, r/o, Zo) ^S имеет предел, равный f(xQ, yQ, z0).
Поэтому можно сказать, что поверхностный интеграл (7.28) для непрерывной функции f(x,y,z) есть аддитивная функция куска поверхности S, обладающая производной по ее площади, равной f (х, у, z).
9. Дифференциальные характеристики поверхности. Пусть поврхность S в пространстве Е3 задана параметрическими уравнениями
Г = r(u, и)«=С3 (7.29)
и пусть уравнения
u = u(s), v = v(s)^C3 (7.30)
фиксируют на поверхности S кривую 2?, для которой параметр s является длиной ее дуги. Короче говоря, уравнение
r(s) = r (u(s)t v (s)) (7.31)
♦) Доказательство независимости величины (7.28) от выбора параметров на поверхности S проводится точно так же, как в п. 6 доказывалась инвариантность определения площади поверхности.
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
есть натуральное уравнение кривой 2?, расположенной на поверхности S, и поэтому
|T(s)| = |r’| = |r'u + r;v| = l, (7.32)
ИЛИ
(г')2 й2 + 2 (Г'и • г') UV + (г')2 v2 = Ей2 + 2Fuv + Gv2 = 1. (7.33)
Вектор r(s) совпадает по направлению с вектором v главной нормали кривой 2? (см. § 4 гл. IX), его модуль k = | г($) | называется кривизной кривой 2?.
Дифференцируя уравнение (7.31) два раза, находим
г (s) = + 2ГцОйй + Гиий2 + гий + r'vv. (7.34)
Пусть п — единичный вектор нормали к поверхности S. Согласно формулам (7.9) и (7.16) имеем
Ги X Гу
Veg - f2 ’
(7.35)
Обозначим через ср угол, образуемый вектором нормали п поверхности 5 с вектором v главной нормали кривой 2. Тогда, так как |n| = 1 и г = fev, то, умножая скалярно уравнение (7.34) на вектор п, получим
k cos ф = r"v й2 • п + 2r"vuv • п + r"vv2 п (7.36)
(так как вектор п ортогонален векторам г', г', то г'-л = 0,
<«=о)-
Коэффициенты r"u • л, г''о • л, r"v • п в (7.36) называются коэффициентами L, М, N второй квадратичной формы поверхности. Итак,
r ft Гии * (Ги X fp) b uu " Veg-f2 (rury ruu) Veg - f2
M rn „ ruv ’ (,rи X Гр) M r™‘n vTg-f^' (rurvruv) Veg — f2 (7.37)
( F / \
дг —rrr . n tvv * X uo Veg — f2 V Veg -p
Подставляя в формулу (7.36) обозначения (7.37) и разделив затем равенство (7.36) на равенство (7.33), получим
, Lu2 + 2Мйу + Uv2 Ldu2 + 2M du dv + N dv2 (_
CO Ф = £j.2 2Fuv + Gv2 = Ё du2 + 2F dudv + G dv2 * ' '
$ 7] ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 509
В формуле (7.38) в знаменателе стоит первая квадратичная форма поверхности (которая положительно определена); числитель (7.38) называется второй квадратичной формой поверхности.
Пусть мы рассматриваем кривые 2, проходящие через точку Мо поверхности 2 и имеющие в этой точке один и тот же касательный вектор т = г($). Это означает, что для этих кривых величины ii(So), г>(50) фиксированы, т. е. отношение фиксировано. Следовательно, правая часть формулы (7.38) не зависит от <р. Согласно формуле (7.38) мы заключаем, что кривизна k этих кривых в точке Мо тем больше и соответственно радиус R кривизны тем меньше, чем больше угол ср между вектором п нормали к поверхности 2 в точке Мо и вектором v главной нормали кривой 2 в точке Мо.
Итак, минимальную кривизну k имеют среди кривых с заданным в точке Мо касательным вектором т те кривые 2, которые имеют вектор п нормали к поверхности в точке Мо своей главной нормалью v.
Поэтому изучение кривизны кривых на поверхности 2 сводится к изучению кривизны кривых, полученных сечением поверхности 2 плоскостью, проходящей через точку Мо параллельно вектору п нормали в точке Мо. Такие кривые называются нормальными сечениями поверхности 2.
Очевидно, чтобы задать однозначно нормальное сечение поверхности 2 в точке Мо, достаточно указать направление касательного вектора т. Направление вектора т = г'й-|-г'й одно-
значно фиксируется заданием величины в точке М.
Назовем величину
b _ L du2 + 2М du dv + У dv2 , Q
Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
при фиксированном отношении -^- = а (т. е. фиксированном векторе т = г($)) кривизной нормального сечения поверхности 2 в точке Мо (в которой вычислены коэффициенты L, М, N, Е, гл \ du r\ 1
г, G) в направлении — = а; величина Я “у называется радиусом кривизны этого нормального сечения.
Мы видим, что формула (7.39) приписывает кривизне k определенный знак; кривизна k положительна, если вектор главной нормали v нормального сечения совпадает с вектором л, и отрицтельна, если v = —л.
Возможны три случая;
510 АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. XII
I. Если М2— LN < 0, то квадратичная форма
+ 2М + N знакоопределена и кривизна k сохраняет свой знак для всех нормальных сечений, так как Е ('|“)2 + 2F + + 00. Это означает, что главные нормали для любых нормальных сечений направлены в одну и ту же сторону. Точки поверхности S, в который М2— LN < 0, называются эллиптическими.
II. Если М2— LN > 0, то имеются нормальные сечения, имеющие различную по знаку кривизну. Это означает, что имеются нормальные сечения, для которых главные нормали противоположны. Такие точки поверхности называются гиперболическими.
Для двух направлений j“ = ai и -^- = а2 в гипеРболиче-ском случае кривизна k = 0.
III. Если М2— LN = 0, то в числителе (7.39) стоит полный квадрат. Поэтому кривизна k сохраняет свой знак для всех
du , flT нормальных сечении; при одном значении -^- = 1/ 77 кривизна обращается в нуль. Такие точки называются параболическими.
Обозначив = перепишем формулу (7.39) для кривиз-du
ны нормального сечения с направлением а = в виде
Так как квадратичная форма Еа2 + 2Fa + G положительно определена, то кривизна Л (а) имеет максимум и минимум при некоторых значениях ai и аг.
Величины aj и аг являются корнями квадратного уравнения
(LF - ЕМ) а2 + (LG - EN) a + (MG - FN) = 0, (7.41)
которое получается из условия k'(a) =0.
Интересно отметить, что направлениям ai и аг соответствуют ортогональные нормальные сечения, т. е. можно проверить, что векторы Ti=ruai+fv и T2=rua2 + rv ортогональны.
Экстремальные значения кривизны ki и Л2 называются главными кривизнами поверхности S.
Эти величины в свою очередь являются корнями квадратного уравнения
(EG - F2) k2 + (2FM -EN -GL)k + (LN - M2) = 0. (7.42)
§8] ФОРМУЛА СТОКСА 5Ц
Для эллиптической точки k{ и k2 имеют один и тот же знак; для гиперболической точки k\ и *2 — разных знаков, и в параболической точке одно из чисел kh k2 равно нулю.
Величина
К = *1*2 (7.43)
называется гауссовой кривизной поверхности S в данной точке, а
Я = 1(^ + А2) (7.44)
— средней кривизной.
Из квадратного уравнения (7.42) следует, что
K = klk2 = -^=^-. (7.45)
Таким образом, гауссова кривизна положительна в эллиптических точках, отрицательна в гиперболических точках и равна нулю в параболических точках.
§ 8. Формула Стокса
1. Подготовительные формулы. Пусть в пространстве Е3 задана поверхность 2. Пусть уравнения
г — г (и, о) или
х = х(и, о), у — у(ц, о), z = z(u,v) (8.1)
суть параметрические уравнения поверхности 2 и пусть г(и, о)е где $— простая замкнутая область параметров и, v с ориентированной границей — замкнутым контуром С'. Пусть точкам границы С' области 3 отображение (8.1) ставит в соответствие точки контура С пространства £3. Ввиду непрерывной дифференцируемости отображения (8.1) граница С поверхности 2 также будет непрерывным замкнутым контуром.
Пусть в области 3 заданы функции <р(ы, и), ф(м, о)е Ci{3}. Рассмотрим криволинейный интеграл
ф Ф (и, v) t/ф (и, v) — ф ф (и, v) [ф' (u, и) du + ф; (и, v) dv]. (8.2) С' с>
К интегралу (8.2) применим формулу Грина (4.12), полагая
512
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Е = фФ', Q = 4>^> Х = и, y = v. Тогда
f ф (и, у) (и, v) = J | [-£- (фФ'„) - (фФ')] du dv =
с <8-з>
Пусть, далее, ср (и, v), ф(и, у) суть значения функций Ф(х, у, г), 44%, У, ?) Ci {2} на поверхности 2, т. е.
ф(и, у)=Ф(х(и, у), у (и, v), z(u, у)), 1
ф(ы, у) = Чг(х(м, у), у (и, у), z(«, у)). J ’ )
Легко заключаем, что в этом случае ф(п, у), ф(«, у) е С\ {3} и применима формула (8.3). При этих предположениях криволинейный интеграл по контуру С' превращается в криволинейный интеграл по контуру Сх в пространстве Ез:
^ф(и, у)йф(п, у) = ^Ф(х, у, z)d)V(x, у, z)**). (8.5)
с с2
Если вычислить производные ф', ф', ф', ф':
-^- = ?Ф(х,у, z)-<, $ = ?ф(х, y,z)-r'v,
^ = W(x,y,z)-r'u, ^ = V4<(x, у, z).<,
и подставить их в двойной интеграл, входящий в (8.3), то последний может рассматриваться 'как интеграл по поверхности 2:
Г Г/дф _дф__ f Г .. Г(УФ. г') (УТ - г') -
\ ди dv dv ди / J?J EG — F2 v'
- (7Ф • r'v) (VT • r')] /EG - E2 du dv =
f f [(™ • <) • <) - (VO • ri) (VT. r')] da /o
= JsJ Veg=^T2 ' (8,6)
♦) Получая формулу (8.3), мы пользовались вторыми производными Фии> Фии от ФУН1“*ИИ Ф(и»и)» существование которых нами не предполагалось. Эти производные, однако, не входят в окончательный результат, и некоторое усложнение вывода формулы (8.3) позволяет доказать ее, не пользуясь вторыми производными функции <р(ц, ц). Таким образом, мы будем пользоваться формулой (8.3) для функций ф, ф е С\.
♦*) Положительное направление на контуре отвечает положительному направлению на С' согласно отображению (8.1).
§ 8]
ФОРМУЛА СТОКСА
513
что точно соответствует определению интеграла по поверхности
2, введенному нами в § 7. Поэтому с учетом (8.5) и (8.6) равенство (8.3) записывается следующим образом:
(j) Ф (х, у, z) (TV (х, у, z) =
J.J Veg — f2 ' ' ' 7
Здесь Е, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности 2, заданной отображением (8.1).
2. Вывод формулы Стокса. Пусть на поверхности 2 заданы функции Р(х, у, г), Q(x, у, z), /?(х, у, z) е Cj {2}.
Положим в формуле (8.7) Ф=Р(х, у, z) и Т=х; тогда
VQ = VP, V4r = {l,0, 0}, V'F -r'u = x'u, V’F • г'= x',
и формула (8.7) принимает следующий вид:
/дР , I дР_ , . дР_ ,1 do
Ux Х° "1” ду У° + dz ZvJ X“J ^EG-F2
= f f _ 2L (*X~*X)1 da = X p { 2) dx.
JJ Ldz VEG-F2 dy VEG-F2 J /
(8-8)
Согласно (7.9) вектор N нормали к поверхности S определяется формулой
Отсюда имеем дальнейшие формулы:
cos = VW=T2 (y'“z° ~
cos (^У) = Ve^f2 ~ г»х“)’
cos (^) = ~
(8.Ю)
514
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Подставляя последние две формулы (8.10) в равенство (8.8), получим
f Р dx = / / [-g- cos (Nj) - cos (Nk)] da. (8.11) cx z
Полагая в (8.7) <D=Q(x, у, z), W=y и произведя аналогичные преобразования, получаем равенство
f Q dtJ=11 cos W #cos (M)] <8-12>
cz x
и если положить Ф = R (х, у, z), W = z, то
(f R dz = | J cos (Ni) - -g- cos (Л7)] da. (8.13) cz x
Суммируя (8.11), (8.12), (8.13), получим общую формулу
+ + [(₽; - Q'z) cos (Ni) +
cs x
+ (Pz - Pi) cos (Nj) + (Qi - Py] cos (ЛГЛ)] da,
(8.14)
которая носит название формулы Стокса.
3. Правило ориентации контура на поверхности. Сделаем за-
и направлении нормали N
мечание об ориентации контура Cv
к поверхности S. Мы договорились выше приписывать контуру Се то направление в качестве положительного, которое соответствует положительному направлению на контуре С' в плоскости (м, и) согласно отображению (8.1). В частности, если и = х, v = у. то положительное направление контура Cv задается так, как это показано на рис. 59, в соответствии с положительным направлением контура С' в плоскости (х, У).
Легко заметить, что нормаль N=ru X г? определена нами
так, что имеет место следующее правило ориентации.
Правило ориентации. Если наблюдатель, находясь в положении, когда направление от ног к голове совпадает с направлением вектора нормали N, будет двигаться по контуру Сх
ФОРМУЛА СТОКСА
515
§ 8]
в положительном направлении, то точки поверхности S, ограниченные контуром Сх, будут находиться от него с левой стороны.
На рис. 59 указано положительное направление контура Сх и направление нормали N. Если отказаться от ориентации контура Сх с помощью параметров*), то можно указать следующее общее правило.
Пусть задана ориентируемая поверхность S без особых точек**). Зададим нормаль N к поверхности S так, чтобы вектор N был непрерывной функцией точки поверхности S. Назовем то направление на контуре Сх положительным, которое связано с нормалью N правилом ориентации, изложенным выше.
Замечая, что в формуле (8.14) при замене вектора нормали N на противоположный вектор N' = —N правая часть меняет свой знак, так как
cos (АО) == — cos (— AfTi), cos (N, j) — — cos (— N^j), cos (N, k) = — cos (— N, k), а левая часть также меняет свой знак, так как ориентация контура Сх , соответствующая нормали N', противоположна ориентации контура Сх, приходим к следующему выводу.
Формула (8.14) имеет место при любом выборе на S непрерывной нормали N, если контур Сх ориентирован согласно указанному выше правилу ориентации.
4. Ротор векторного поля. Введем обозначения
F(х, у, г) = Р (х, у, z)i + Q (х, у, z)/ + R (х, у, z) k, (8.15) rot F (х, у, z) = (/?; - QO i + (P'z -R'x)i + (Qi - P'y) k (8.16) и будем называть вектор rot F ротором (или вихрем) векторного поля F(x, у, z).
Заметим, что удобно запомнить формулу для ротора, воспользовавшись следующей символической записью:
i j k
rot F (х, у, z) = д д d dx dy dz (8.17)
P Q R
♦) Легко видеть, что эта ориентация не однозначна. Например, если бы мы положили и « у, v = х, то получили бы ориентацию, противоположную той, которая приведена на рис. 59.
**) То есть точек, где ru X = 0.
516
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
и понимая под умножением символов дифференцирования
на ФУНКЦИИ Q» R соответствующее дифферент^ рование этих функций. Тогда, раскрывая определитель (8.17) по обычным правилам, получим формулу (8.16).
Воспользовавшись обозначением (8.16), мы можем записать формулу Стокса (8.14) в виде
j) F dr — j) Р dx + Q dy + R dz —
= j j [rotF(x, y, z)]ndo — j j rotFda, (8.18) S 2
где под [rot F]n понимается проекция на нормаль N вектора rotF, а под da понимается символ Иногда этот символ
называют элементом ориентированной поверхности S.
5. Физическая интерпретация формулы Стокса. Разъясним смысл формулы (8.18).
Величина F dr есть скалярное произведение вектора F на вектор-дифференциал dr={dx, dy, dz}. Если контур Се задан натуральным уравнением
r = r(s), |г |= 1, то
F dr — (F • г) ds и
j) F dr = § (F • г) ds = Fx ds, (8.19)
CE cs
т. e. это — криволинейный интеграл от тангенциальной составляющей Fx вектора F.
Если под вектором F понимать силу, действующую на материальную точку, то величина
(J) F dr = (J) Fx ds
Се с2
есть работа силового поля F над материальной точкой, проходящей один раз контур Cv. Величина (8.19) называется циркуляцией векторного поля F (х, у, z) на контуре Се .
Интеграл по поверхности 2 от векторного поля Я(х, у, z)
J*/ Я(х, у, z)-]*]* Нп(х, у, z)do 2 X
(8.20)
ФОРМУЛА СТОКСА
517
§ 8]
называется потоком векторного поля Н(х, у, г) через поверхность 2 (с заданным направлением нормали N). Здесь через Нп(х, у, г) обозначена нормальная составляющая вектора Н(х, у, г) на поверхности 2:
Нп(х,
Таким образом, формула Стокса (8.18) утверждает, что циркуляция векторного поля F(x, у, z) на замкнутом контуре Сх ограничивающем поверхность S, равна потоку ротора rotF(x, у, z) этого векторного поля через поверхность S.
Итак, запишем еще раз формулу Стокса:
§Fdr = J J rotFda (da = -гур dor). (8.21)
с2 ъ
В этой формуле положительное направление контура С? и направление нормали W должны быть выбраны согласно правилу ориентации контура С\, изложенному выше.
Формула (8.21) имеет место, если имеют смысл входящие в нее интегралы по контуру Cs и по поверхности S. В частности, они существуют, если поле F(x, у, z) непрерывно дифференцируемо на 2, а поверхность S и контур Сх таковы, что существует интеграл
| J do= J J VEG-Pdudv S У
при какой-либо параметризации поверхности 2, т. е. если поверхность 2 квадрируема.
Из формулы Стокса (8.21) следует также, что если поле F(x, у, z) непрерывно дифференцируемо на поверхности 2, то
§Fdx
[rotF (г, у, z)]„= lim —' , . (8.22)
у, z)
В формуле (8.22) [rot F]n — проекция rotF на нормаль N к поверхности S в точке (х, yf z) е S, а символ S' —► (х, у, z) означает, что рассматривается предел при стягивании куска S' поверхности S к точке (х, у, z).
Из формулы (8.22) вытекает, что вектор rot F определяется инвариантно по отношению к выбору системы координат. Поэтому, хотя каждое из слагаемых в формуле (8.16) для rotF и зависит от выбора системы координат, тем не менее вся сумма, как это следует из (8.22), от выбора системы координат не
518
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
зависит. Таким образом, вектор rotF(x, у, z)—инвариантная дифференциальная характеристика векторного поля F(x, у, г). Дадим физическую интерпретацию понятию ротора векторного поля.
Будем считать, что векторное поле F(x, у, z) е С\ задает поле скоростей жидкости как функцию координат х, у, z. Пред
Рис. 60.
касательной к окружности С
ставим себе, что в этот поток жидкости помещено маленькое колесико радиуса R с лопастями, расположенными на окружности С этого колесика (рис. 60), и оно настолько мало, невесомо и т. п., что никак не влияет на течение жидкости. Выберем нормаль N к плоскости колесика и касательный к окружности С вектор т так, чтобы положительное направление на контуре С, указываемое вектором т, было согласовано с вектором N правилом ориентации, изложенным выше (см. рис. 60). Среднее значение компоненты скорости vx есть ве
личина
с с
и колесико, очевидно, будет вращаться, имея эту среднюю линейную скорость на окружности. Согласно формуле Стокса
F dr — j j rot F de = j j (rot F)n da, Ci? iT
где S — круг, ограниченный окружностью С. Из двух последних формул мы получаем следствие:
2л/?2 ^Fdr~ 2nR2 jf <rot c f
- 2 л/?2 П (r0t F^n d°"
(8.23)
Величина есть угловая скорость о) вращения колесика, по-
f\
этому согласно формуле (8.23) угловая скорость вращения колесика равна половине среднего значения от проекции rotF на
§ 9) УСЛОВИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ В Е3 519
направление N оси вращения. Устремляя величину R к нулю, мы получаем
lim -JjF j J (rot F)„ dS = (rot F)„.
Поэтому (rotF)n характеризует угловую скорость вращения бесконечно малой частицы жидкости вокруг оси N. Эта величина в данной точке зависит от направления вектора JV; максимальное ее значение равно у| rotF |.
§ 9. Условия потенциальности векторного поля в Е3
Пусть в некоторой области Т евклидова пространства Е3 задано векторное поле F(x, у, z):
F(x, у, z) = {P(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y, z)}.
Будем предполагать, что векторное поле F(x, у, z) непрерывно дифференцируемо в области Г; кроме того, будем считать, что область Т такова, что если замкнутый контур С лежит внутри области Г, то найдется некоторая односвязная *) поверхность 2, ограниченная контуром С (натянутая на контур С), также целиком лежащая в области Г. В частности, этому условию удовлетворяют все области Г, которые ограничены одной замкнутой ориентируемой поверхностью.
Мы видели, что если векторное поле F(x, у, z) е D\(T) является потенциальным в области Т (т. е. если F(x, у, z) = = VU(x, у, z)), то в каждой точке области Т должны быть выполнены условия
d/? _ dQ дР _ dR dQ _ дР
ду dz ’ dz дх * дх ду '
(9.1)
Согласно (8.16) эти условия можно записать короче в виде одного векторного равенства:
rotF(x, у, z) = 0. (9.2)
Мы покажем сейчас, что условие (9.2) является не только необходимым, но и достаточным условием потенциальности векторного поля F(х, у, z) е С\ {Г}, если только область Т удовлетворяет условию, о котором мы говорили выше: на всякий замкнутый контур С, лежащий в Tf можно натянуть поверхность 2, ограниченную контуром С, целиком лежащую в области Т.
*) Поверхность S односвязна, если любой замкнутый контур на S можно стянуть в точку так, что при этом контур всегда будет состоять из точек поверхности Е.
520
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
В самом деле, покажем, что криволинейный интеграл
м м
J F (г) dr = j Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz,
Мц м$
взятый между любыми двумя точками Мо и М области Г, не
зависит от выбора кривой, соединяющей эти две точки. Пусть
MqAM и МоВМ— две различные кривые, соединяющие точки Мо и М (рис. 61) и целиком лежащие в Т. Натянем на контур MqAMBMq односвязную поверхность 2, что согласно нашим предположениям возможно. Разность
J Fdr — J Fdr = §Fdr, (9.3)
ЛММ Мовм с
как легко видеть, равна криволинейному интегралу, взятому по замкнутому контуру С, ограничивающему поверхность 2. Применим теперь к непрерывно дифференцируемому векторному полю F формулу Стокса (8.21). Мы
получим
§Fdr = j J rotFdff = 0 С 2
ввиду (9.2). Итак, криволинейные интегралы | Fdr и лмм
| Fdr равны друг другу, как и вообще любые два интегра-лмш
ла, соединяющие две заданные точки. Поэтому при фиксированной точке Мо интеграл мм
U (х, у, z) = U (М) = j Fdr= j Pdx + Qdy + Rdz Mq Mq
зависит только от точки М(х, у, z) и является непрерывно дифференцируемой функцией координат (х, у, z). Очевидно, что
MU (х, у, z)==F(x, у, z)
и векторное поле F потенциально.
Из формулы Стокса (8.21) делаем также следующий вывод. Если поверхность 2 односвязна, ориентируема и ее нормаль N ортогональна к вектору rotF(x, у, z), т.е.
(АГ rotF(х, z/, z)) = 0, (9.4)
§ 10]
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФОРМУЛА ОСТРО ГРАДСКОГО
521
то интеграл от векторного поля F(х, у, г)
м м
j F dr = J Р dx + Q dy -|- R dzt
м9 Mi
взятый между точками Mo и М этой поверхности, не зависит от выбора кривой, соединяющей эти точки и лежащей на этой поверхности. Действительно, для любого замкнутого контура С, лежащего на 2, из формулы Стокса (8.21) следует:
С
а это и значит, что криволинейный интеграл между двумя точками поверхности 2 не зависит от выбора кривой, лежащей на поверхности 2.
Если же поверхность 2 не односвязна, а ограничена несколькими контурами Г/, то условие (9.4) уже не обеспечивает независимость криволинейного интеграла § F dx на поверхности 2 от пути интегрирования. Аналогично случаю плоской области (см. § 3), для независимости интеграла от пути интегрирования достаточно потребовать, чтобы одновременно с (9.4) условия
§Fdr = 0 (9.5)
выполнялись для всех контуров Гг, ограничивающих поверхность 2.
§ 10. Интегрирование в пространстве £3 (тройные интегралы). Формула Остроградского
1. Объем тела. Пусть в трехмерном пространстве Е3 задана область Г, ограниченная замкнутой поверхностью 2. Поверхность 2 будем предполагать ориентируемой и обладающей непрерывной внешней нормалью*) N.
Пусть поверхность 2 состоит из двух частей 2j и 22, которые могут быть заданы уравнениями
z = z1(x, у) (20, г = г2(х, у) (22), (10.1)
*) Нормаль N к замкнутой поверхности 2 называется внешней, если ее направление совпадает с направлением из внутренности Т поверхности 2 наружу.
522
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. ХП
при этом функции Zi(x, у) и z2(x, у) непрерывны в односвязной замкнутой области переменных х, у и в области выполнено неравенство
z2(x> y)>z{(x, у) (10.2)
(рис. 62).
Простейшие геометрические соображения, которые приводились в § 4, п. 6, приводят к выводу, что величина
V (Т) = / / [г2 (х, у) - г, (х, у)] dx dy (10.3)
может быть принята за объем области Т. Легко видеть (см. также рис. 62), что в точках части Si поверхности S dxdy —
(10.4) в виде
= — cos (АГй) rfo, а на S2 dxdy = = cos(Nk)do (N — внешняя нормаль); поэтому величина (10.3) есть двойной интеграл, распространенный по поверхности S:
V (Г) = J | z cos (Nk) da (Ю.4) z
(здесь z = z(x, у) — значение коор-
динаты z в точках поверхности S).
-- ДО
Замечая, что z cos (Nk) = zk • -у (JV = |AT|), запишем также
£
(10.4')
Точно так же для объема V(T) области Т можно получить аналогичные формулы:
(Ю.5)
Z
и
У(Г)= || xi-^-dv.
(10.6)
Не вдаваясь в подробности, заметим, что интегралы (10.4) — (10.6) существуют одновременно.
Будем пользоваться более симметричной формулой для объема V(T), получаемой комбинацией этих трех формул:
V (D = y И4-!// + г*]-^^==-у f f r-^-da. (10.7) 2 Ъ
$ 10] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 523
Определение. Пусть задана область Г, ограниченная замкнутой поверхностью S с внешней нормалью N. Величину (10.7) (когда интеграл (10.7) существует) мы называем объемом V(T) области Г, а саму область Т — кубируемой.
Какие же области кубируемы?
Если, например, область Т ограничена непрерывной замкнутой поверхностью S, состоящей из конечного числа кусков Si, каждый из которых является непрерывно дифференцируемой поверхностью (т. е. поверхность Si может быть задана уравнением г = r(u, d)gCi(^) и область ^г- параметров u, и — простая область), то область Т кубируема.
В самом деле, в этом случае интеграл (10.7) по части St- поверхности S существует, так как
j (10.8)
2(.
и подынтегральная функция в (10.8) непрерывна (нормаль N и коэффициенты Е, G, F первой квадратичной формы поверхности определяются первыми производными от функции r(u, v) (= С1(^г))-
2. Тройной интеграл по области Т. Интеграл по области Т переменных х, yt z от функции f(x, у, г) мы определяем аналогично двойному интегралу.
Тройным интегралом по кубируемой области Т от функции /(*, I/. Z)
Z(D=/JJf(x. у, z)dV (10.9)
т
мы можем назвать значение аддитивной функции области Г, производная которой по объему V(Т) области Т равна подынтегральной функции f (х, у, z), т. е.
т !im > W = ^’ У, г).
Г->(х, у, z) v У1 )
Под величиной (10.9) мы можем также понимать интеграл Римана
N
7-lim 2f(x6 yt, zt)V(T(), d->0 /=0
т. e. предел интегральных сумм при стремлении диаметра d = maxd(7\) разбиения области Т на части 7\- к нулю и N ->оо.
i
Хотя эти понятия несколько различны в том смысле, что функция f (х, у, г) может оказаться интегрируемой согласно
624
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
одному из этих определений и неинтегрируемой по другому определению, тем не менее, если существуют оба эти интеграла, то их значения совпадают.
Отметим без доказательства, что если область Т кубируема, а функция f(x, у, z) непрерывна в Т, то интеграл по этой области от функции f(x, у, z) существует в смысле любого из этих двух определений, и он также равен значению повторного интеграла
j* dz J J f (x, y, z)dydx = J dz j dy J f (x, y, z) dx
с подходящими пределами.
Для непрерывных функций f(x, у, z) справедлива теорема о среднем:
///И*, У, z)dV=f(l, 7), QV{T), (10.10) т
где (£, я, Г.
3. Формула Остроградского. Рассмотрим область Т, ограниченную замкнутой поверхностью S с непрерывной внешней нормалью N. Пока будем считать, что поверхность S состоит из двух частей Si и 2г, которые заданы уравнениями
z = z, (х, у) (Sj), z = z2(x, Z/)(S2); (10.11)
при этом функции zt(x, у) и z2(x, у) непрерывны в некоторой односвязной области 3 переменных х, у (см. рис. 62), а также z2(x, y)^zt(x, у). (10.12)
Пусть в замкнутой области Т задана непрерывная и непрерывно дифференцируемая по переменному z функция R(x, у, г). Тождество
Z: (X, У)
J у> z)dz = R(x> У, z2(x, у)) — R(x, у, Zi (х, у)) (10.13)
2l (Х, У)
проинтегрируем *) по области & переменных х, у. Мы получим следующее равенство:
Zt (х, у)
ffdxdy | -^-dz= f f R(x, у, z2(x, y))dxdy —
9 (X. £/)
— 11 R (X, y, z, (x, y)) dx dy. (10.14) У
•) Согласно нашим предположениям величина (10.13) есть непрерывная функция переменных х, у в области следовательно, она интегрируема по области Итак, все интегралы, входящие в (10.14), существуют.
§ 10] ТРОПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 525
В первый интеграл правой части (10.14) входят лишь значения функции R на поверхности S2; во второй — на поверхности Si. Поэтому сумму этих интегралов можно записать как один интеграл от функции /?(х, у, z) по поверхности S.
Обозначим через N(x, у, 2) внешнюю нормаль к поверхности S в точке (х, у, 2) е S. Тогда легко видеть, что
J J R (х, у, г2 (х, у)) dx dy= J J R (x, y, z) cos (Nk) da, У Si
R (x, y, z, (x, y)) dx dy — — J J R (x, y, z) cos (Nk) da tr s,
(см. рис. 62).
Подставляя эти формулы в правую часть (10.14), получим
Z2 (х, у)
JJ dxdy J = J J R(xt у, 2) cos (Nk) da. (10.15) Zi (x, у) E
Для непрерывных функций f(x, у, 2) повторный интеграл
г2 (х, у)
dxdy J f (х, у, 2)d2 ? г, (х, у}
есть интеграл по области Т от функции f(x, у, 2). Так как R(x, У, г) е Ci Ш, то» следовательно, и (10.15) есть интеграл по области Т:
Z2 (х, у)
= (Ю.16)
Z| (х, у) Т Т
Запишем поэтому (10.15) в виде
У/ж*.у' *) c°s wd<T- (1ол7>
Т Е
Используя свойство аддитивности интегралов по области, мы можем установить справедливость формулы (10.17) и для любой области Г, которая может быть разбита на конечное число частей Tit каждая из которых удовлетворяет предположениям, сделанным в начале этого пункта. В самом деле, пусть область Т состоит из двух частей Т' и Т" и ограничена поверхностью S; S' и S" ограничивают области Т' и Г" и S=S'П S" — общая часть поверхностей S' и S" (рис. 63). Пусть для каждой из
526
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
областей Т' и Т" формула (10.17) выполнена. Тогда она выполнена и для области Г, так как
<10|8>
Ti т2 т
и
j j /?cos (ЛГЛ)</ог + J* J R COS (N"k)do = j J R cos (Nk) do. S' 2// 2
Последняя формула имеет место, так как на общей части 2 поверхностей 2' и 2" внешние нормали N' и N" противоположны друг другу (см. рис. 63), и поэтому cos (N'k) = — cos (N"k) на поверхности 2. Следовательно, интегралы по поверхности 2 взаимно уничтожаются и остается лишь интеграл по поверхно-t сти 2, ограничивающей область Г.
________£ Поэтому мы делаем заключение, что фор-X" \ мула (10.17) справедлива для произвольной \ простой области*) Г, ограниченной квадри-/ / I руемой поверхностью 2 с непрерывной внеш-
г / ней нормалью N.
/\ I ч\ / Точно так же мы можем получить формулу
/ ХА У
I Лу Ш 4? <'+*>'«' =
\ 1 / г
= J J Р (х, у, z) cos (Ni) do, (10.19)
Рис. 63. 2
которая справедлива для простых областей Т и непрерывно дифференцируемых по переменному х функций Р(х, у, z).
Наконец, если производная Qy(x, у, г) непрерывна в простой области Т, то
Ш4т(х> У’ z>dV = ^Q(x> У> z) cos (Nj) do. (10.20) Т 2
Складывая равенства (10.17), (10.19) и (10.20), мы приходим к следующему выводу.
Если функции Р(х, у, г), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны вместе со своими производными Р'х, Q'Uf R'z в простой замкнутой области Т, ограниченной поверхностью 2 с непрерывной
♦) Простой областью мы называем область Г, которую можно разбить на конечное число частей Tit удовлетворяющих нашим первоначальным требованиям к области Т. Функция /?(х, у, г) по-прежнему предполагается непрерывна дифференцируемой в простой области Т.
§ 10] ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 527
внешней нормалью N, то справедлива формула Остроградского J J IP cos (Ni) + Q cos (Nj) 4- P COS (Nk)] da =
Ч/Ж + f+ 17И OO-2»
T
Если ввести в рассмотрение векторное поле Г:
F(x, у, z) = P(x, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k, (10.22) то формула Остроградского (10.21) записывается короче:
j | Р(х, у, z) do = J J = / J do =
S S E
=/f№+<+>W»''2- <lo-23>
T
Обозначим
<|0-24>
и будем называть скалярную функцию (10.24) дивергенцией (расходимостью) векторного поля Г(х, у, г).
Тогда формула Остроградского записывается еще короче:
J J F (х, у, z) do = J J J div F (х, у, z) dV. (10.25) Е Т
4. Физическая интерпретация формулы Остроградского. Дадим физическую интерпретацию понятию дивергенции векторного поля. Для этого будем считать, что векторное поле F(х, у, г) есть постоянное во времени поле скоростей несжимаемой жидкости, плотность которой есть ро. Выделим некоторую область Г, ограниченную поверхностью S, и пусть N — вектор внешней нормали к поверхности S. Величина ?п = ' есть нормальная к поверхности S компонента вектора скорости F; поэтому за единицу времени из объема Т вытекает количество жидкости, равное величине
Ро J j Fn do = Ро j J F do = p0 J j F (x, y, z) do S EE
(если Fn положительно, то жидкость вытекает из Г, так как N—внешняя нормаль).
528
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
(ГЛ. XII
Пусть поле F е С\ {Т}, ро=1; согласно формуле Остроградского (10.25) количество вытекающей из объема Т жидкости равно интегралу по объему Т от дивергенции векторного поля/7:
J J F (х, у, z) de = j j J divF(x, y, z)dV. (10.2C) т т
Мы предположили, что поле F(x, у, z) описывает стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей несжимаемой жидкости, т. е. жидкости, плотность которой постоянна (во времени и пространстве). Следовательно, количество жидкости в любом фиксированном объеме должно оставаться постоянным. Поэтому количество (10.26) жидкости, вытекающей из объема? за единицу времени, должно компенсироваться точно таким же количеством жидкости, поступающей за единицу времени в объем Т за счет действия источников, расположенных внутри объема Т.
Величина (10.26) есть количество жидкости, выделяющейся в объеме Т за единицу времени в результате действия этих источников. Поэтому естественно называть дивергенцию divF(x, yt z) векторного поля F плотностью источников векторного поля, т. е. мощностью источников, приходящейся на единицу объема. В частности, если F(х, у, z) —установившееся поле скоростей несжимаемой жидкости и никаких источников нет, то полное количество вытекающей из объема Т жидкости должно равняться нулю.
Поэтому в этом случае из формулы Остроградского следует, что для любого объема Т
J f J divFdV = j f Fdo = 0. T X (Г)
Так как
J J J divfdV —0 T
для любого объема, то divF = 0,
и мы приходим к выводу, что поле F(x, у, z) скоростей несжимаемой жидкости в случае отсутствия внешних источников удо-
влетворяет условию
divF^O.
Если векторное поле F(x, у, z) непрерывно дифференцируемо, то из (10.25) следует, что
[ [ [ divFdr [ J Fdo
divf(x, у, z)= lim r V(T}-----------= lim \IT} , (10.27)
T->(x, y, z) v ) T-*(x,y,z} v J
§ II] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОННЫХ ИНТЕГРАЛАХ 529
т. е. дивергенция поля F есть предел отношения (10.27) при стягивании области Т в точку (х, у, z) в обычном смысле, когда диаметр d(T) области Т стремится к нулю.
Формула (10.27) могла бы быть принята за определение дивергенции векторного поля F(x, у, z). Из этой формулы видно, что дивергенция векторного поля определяется независимо от выбора системы координат (инвариантно).
Итак, дивергенция div F векторного поля F есть инвариантная дифференциальная характеристика поля.
§ 11. Замена переменных в тройных интегралах
1. Вычисление объема области с использованием параметрических уравнений ограничивающей ее поверхности. Пусть в пространстве переменных х, у, z задана область Г, ограниченная одной замкнутой поверхностью 2. Поверхность 2 задается уравнениями
r=-r(u, v), (г = {х, у, г}) (11.1)
или, в компонентах,
х = х(и, ц), у = у(и, ц), z = z(u, v), (И.Г)
где (u, v) — параметры, область изменения которых обозначим через Предположим, что r(u, v) е С\ {!?}, и применим для вычисления объема V(T) области Т одну из формул (10.4') — (10.6), например формулу
<il2>
£
В формуле (11.2) Ne — внешняя нормаль к поверхности S. Так как N=ru X rv, то имеем выражение для нормали N;
I
j k
z' _ . о (у. г) , D (z, х) . . Р(х, у)
и и р (и, v) ’ * Р (и, v) ’ Р(и, v)
У? <
= Ai + Bj + Ck,
(11.3)
где
. _ Уи Zu _ Р(у, г)
У'о < D(u.v)’
г- Х'и У“
Х» y'v
Z“ Х» _ D(z, х)
< < ~D («.«)’
D(x, У)
Р(и, v) ’
(Н-4)
530
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
а хп, уи, zu, хг, ... — соответствующие производные функций (11.1).
Нам неизвестно, является ли нормаль N внешней или внутренней*), поэтому она может отличаться от внешней нормали Ne знаком, который, очевидно, один и тот же на всей поверхности 2, ибо нормаль N = r'uy^r'v отлична от нуля и непрерывна на 2. Из формулы (11.3) определяем cos (Ni):
cos (Ni) = -У- = , A . (11.5)
|ЛП /д2 + в2 + с2
Наконец, вычислим еще У EG — F2 = V(r'u)2(rv)2 ~ (rurv)2: — F2 =
= n«)2+w+«)2] к^)2+w+«)2i-«4+i/x+^;)2=
= V(УuZ'v - y'vZu)2 + (.ZuXv - X'uZ'v)2 + (ХиУ'е - Х'0У'и)2 =
- V [ттйтГ + + [ттйгГ = 'Л4’+«г+с! • ("«
Учитывая, что либо Ne=N, либо Ne=—N, где N задана формулой (11.3), и что в связи с этим либо cos (Nei) == cos (Ni), либо cos (Nei) = — cos (Ni), получаем из формулы (11.2)
V (Г) = f f X -7==^==- da Кд2 + в2 + с2
f [ XA У A2 + B2 + C2 du dv
J J /д2 + в2 + с2 r
nxAdudv = x (u, v) yr,---,- du dv
J J D(u, v)
z &
(U.7)
так как da = У EG — F2 du dv ~ У A2 + В2+C2 du dv.
Формула (11.7) позволяет вычислить объем области Т, граница Ё которой задана параметрическими уравнениями (11.1) и r(u, v) е С\($).
2. Замена переменных в тройном интеграле. Пусть теперь формулы
г = г(р), г = {х, у, г}, Р = {(£, п. £)) (Н.8)
или, в компонентах,
х = х&, ть £), У = у(1, ть ^), 2 = 2(1, S) (11.9) задают взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое
*) Ибо направление нормали N зависит от выбора параметров ut и на поверхности 2.
§ 11)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
531
отображение области Т' с границей 2' пространства переменных (£, т), £) на область Т с границей 2 в пространстве переменных (х, у, z).
Пусть поверхность 2', ограничивающая область Т', задана параметрическими уравнениями
p = p(u, v) при (и, (11.10)
или, подробнее,
£ = £(u, v), т) = т](и, v), z = z(u, v), (11.10')
Итак, каждой точке (w, v) соответствует точка p(w, u) S', а в силу взаимно однозначного соответствия (11.8) —точка г(р(и, у)) поверхности 2.
Таким образом, мы можем считать, что уравнение
r = r(p(u, v)) (11-И)
или, подробнее, уравнения
х = х(£(и, и), т)(и, и), v))t У = У(1(и, и), т)(и, и), £(u, v)), z = z(l(u, v), т\(и, v), £(u, v))
(11-11')
суть параметрические уравнения, задающие поверхность 2, ограничивающую область Г. Поэтому входящие в (11.7) функции у = y(u,v), z = z(u,v) и их первые производные, присутствующие в , мы можем считать сложными функциями переменных и, и, заданными уравнениями (11.11).
Вычислим якобиан , используя эти сложные функции. Имеем
У и = У'& + У'К + У'&, 2'и = Z& + z'trt + Z&, y'v = у'& + уХ + у'&, z'v = z'^'v + + z'g;.
Подставляя эти формулы в определитель (см. (11.4))
LJ (ОI
и раскрывая его, находим формулу
л = D(y> г) = Д(У. г) D (I, п) _|_ Д(У. г) Д(п. С) . Д(У. г) Д(£.1) D(u, v) D(t и) Д(«, v) "Г Д(П) □ D(u, v) £>(£, g) D(u, v) ‘
(11.12)
Подставляя (11.12) в (11.7), получаем
I/ /тч_ f j. it 5-\ Г Д (у. г) Д (£ и) । Д (у> г) о (л> £) ।
V \1)— J П- n) D{Ut V) f Р(л> г) D(U 0} -+•
У
(|НЗ>
532
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
где предполагается, что х, у, z заданы как функции £, q, £ с помощью формул (11.8), a £, т), £ — как функции параметров и, и формулами (11.10). Аналогично (11.3) имеем формулу для нормали N' поверхности S':
аг = i D -4- i D + k —— = A'i 4- B'i 4- C'k (11 14) ™ 1 D(u>v)^ 1 D(u,v)^ K D(u>v) л i-r D jя, (11.14)
Поэтому, вводя вектор-функцию
F(l, 0 - X(E. л. 0 [i + i + к ^£1]. (11.15)
можем переписать формулу (11.13) в виде
И(Г) =
/рй. л. о-
3-
• da'
TfT\N'\dudv
(11.16)
так как
IN' |= УА'2 + В'2 + С'2 — Ve'G' - F'2, /д'2-|- В'2 +С'2 du dv = da'.
Теперь предположим, что отображение (11.9) области Т' на Т таково, что существуют все смешанные частные производные второго порядка от функций х(£, т), £), r/(£, q, £), z(£, т), £) и при этом они не зависят от порядка дифференцирования. Тогда легко заметить, что вектор F(£, т), в области Т' обладает дивергенцией divF(£, т), £). Вычисляя divF по правилу (10.24), найдем
divFIS, л. о Л. г)^лу] +
+ "Э?1Р’ ® DK. ?>] + ‘Эг[х®’ ’’’ О в.’ Ч)] =
_ „ D (У> z) . О (у, г) Р(у, г)
“ « £>(п. 2) I) t
, Г_2_ Р(У’ 2) 4- д г} ' д °(У'гЛ
D(n,S) D(C.g) f dZ D(l n)J-
(H-17)
Легко заметить, что
D(y, z) . D(y,z), D(y,z)_
XiD(r\,i) ” D(&1) D(g, T>) —
x' x'n x't y't y\ y[ zi zri 2c
__ D(x, y, z)
D(l, r), C) •
(11.18)
§ П) ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 533
и убедиться, что выражение в квадратной скобке в правой части (11.17) равно нулю. В самом деле,
(У'Л - У&Ъ + = °-
Итак, мы получаем
div Г а, E)=o((^g)- (11.19>
Поэтому по формуле Остроградского (10.25) из формулы (11.16) получаем
J/JdivFa, n, QdV' =
Г
И/ D&л’, О d^d^ ~ /IJ | D(l, ц, О I d^dl}dt' Т' т,
(11.20)
На последнем этапе получения формулы (11.20) мы внесли знак модуля под знак интеграла. Это можно сделать, так как при взаимно однозначных отображениях якобиан преобразования (11.8) не меняет знака.
Итак, предположив, что существуют смешанные частные производные второго порядка х'^ = х^, х'^ = х^ и т. д., мы пришли к формуле
V (7)- /Д dV = Дf dxdydz- Д/ | |dV’ =
<1L21>
T'
для объема V(T).
Мы можем, однако, заметить, что в полученную формулу эти частные производные второго порядка вообще не входят и как левая часть равенства (11.21), так и правая его часть не зависят от этих вторых производных. В связи с этим укажем, что (11.21) сохраняет силу и для случая отображения (11.2), не обладающего вторыми производными, но имеющего лишь непрерывные первые производные.
Коснемся кратко геометрического смысла формулы (11.21).
V (Т)
Из формулы (11.21) следует, что отношение v объема области Т к объему V(T') ее прообраза Г' стремится к значению модуля якобиана | если область Т' (и Т) стяги-
вается в точку, т. е.
lim vffv = l n I- (П.22)
534
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
Итак, модуль якобиана отображения — это производная объема V(T) образа Т по объему прообраза Т'.
Наконец, заметим, что объем параллелепипеда, построенного на трех векторах Н d^ = {<, y'v 2'] d& г' di\ = х' у' z' ] di], = y'^, равен величине
ч
xl y't z'i
поэтому говорят, что величина | g) есть объем
«бесконечно малого параллелепипеда» или «элемент объема».
Теперь нам ясно, что если подлежит вычислению интеграл
j J J f(x, у, z)dV = j J j f(x, y, z)dxdydz (11.23) T T
и мы имеем отображение (11.9) области Т на Г', то
11J dz =
т
= Шf (x (S’ л’ S)’ y n’ & z (l’T’’ S)) I C) Idl dT1 dt'
(11.24)
В самом деле, в формуле (11.24) справа стоит аддитивная функция области Г, производная которой по объему V(Т) области Т согласно (11.22) есть функция f(x, у, z).
В качестве примеров отображений рассмотрим отображения, определяемые цилиндрическими и сферическими координатами, а также произвольными ортогональными координатами.
1°. Цилиндрические координаты р, ф, z определяются формулами
x = pcosqp, t/ = psinqp, z = z
(здесь ё=р, г| = ф, £=z). Простые вычисления дают
Р(х, у, z) = D (р, ф, z)
cosqp — psinqp О
sing) р cosqp О
О 0 1
= Р>0.
Итак,
I J J У' z)dx dy dz = f (рcosqp, psinqp, z)pdpd(fdz. т г
§ 11] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 535
2°. Сферические координаты г, 0, ф задаются формулами х = гзт0созф,
(рис. 64). Имеем
sin 0 cos ф
sin 0 sin ф cos 0
у — г sin 0 sin ф, г = г cos 0
D (х, у, z)
D(r, 0, <p)
Г COS 6 COS ф г cos 0 sin ф — г sin О
— г sin 0 sin ф г sin 0 cos ф О
= г2 sin 6.
Итак,
J f f ^х> у’ dx dy dz =
т
= J j J f(r sin 0 cos ф, r sin 0 sin ф, r cos 0) г2 sin 0 dr dq> d0. Г
3°. Рассмотрим, наконец, отображение
х = х(^ т]» £)» У = У& 0, 2 = z(gt т], &
которое взаимно однозначно каждой точке х, yt z области Т ставит в соответствие точку (£, т], е Т'. Это отображение определяет координаты £, г|, £, которые называются криволинейными.
Как мы видели выше, элемент объема в этих координатах есть | Dd^ | d^ di\ d£ и имеет место формула (11.24). Наиболее ча.сто употребляются ортогональные криволинейные координаты £, т), £. По определению координаты £, г|, £ называются ортогональными, если векторы
г' = (4 у', z'), <
взаимно ортогональны. В этом случае
I я(м.с! 1=1'111'’:
dr = г' d| + г' di) + r'd£,
I dr |2 = (r')2 dg2 + (rQ2 dif + (r^2.
Обозначая (r02 == A2, (r')2 = h?,, (r£)2 = (коэффициенты Ляме), будем иметь
d/2 = A2 d|2 + A2 di)2 + A2 dg2
с— lxc’ y'v
(11.25)
(11.26)
536
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
И
J J J* / (•*» У» г)dx dy dz =
т
= Ш т>’ т1> z^’ т>’ С))М2М£<М£. (11-27)
Г
§ 12. Дифференциальные характеристики векторного поля в трехмерном пространстве £3
Пусть в некоторой области Т трехмерного пространства Е3 задано векторное поле
F(x, у. z) = P(x, у, z)i + Q(x, у, z)j + R(x, у, z)k (12.1) как вектор-функция координат х, у, г. Вектор F есть совокупность трех скалярных величин Р, Q, R, и поэтому изменение векторного поля F(x, у, z) в точке характеризуется производными этих функций или градиентами VP, VQ, V/? этих функций. Однако некоторые специальные инвариантные дифференциальные характеристики особенно удобны и имеют важные физические приложения.
Мы ввели два понятия для векторного поля: ротор векторного поля
rot F (х, у, z) = (R'y ~Q'z)i + (Р'г ~R'x)j + (Q'x -P'y)k =
i i k
= £ W £ 02.2)
P Q R
и дивергенцию (или расходимость) векторного поля
divFUs, z)=4p + ^Q + 4«. (.12.3)
Особая важность этих дифференциальных характеристик связана с формулами Стокса и Остроградского.
Формула Стокса
§ F(xt у, z) dr = j) P dx + Q dy + R dz = j J rotF da (12.4) c c
утверждает, что циркуляция векторного поля F по замкнутому контуру С равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность Sc, натянутую на этот контур С.
§ 12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 537
Формула Остроградского
11 F(*, z)dcf = [ 11 divF(x, у, z) dV (12.5)
говорит о том, что поток векторного поля F через замкнутую поверхность 2 равен интегралу по ограниченной поверхностью S области Т? от дивергенции divF векторного поля F. Если, например, под v(x, yt z) понимать скорость установившегося течения несжимаемой жидкости плотности ро=1, то интеграл
JI v (х, у, z) do, (12.6)
распространенный по замкнутой поверхности S, ограничивающей область 7’е, равен количеству жидкости, вытекающей за единицу времени из объема, ограниченного поверхностью S, и он равен полной мощности источников жидкости в объеме 7\, Поэтому divv(x, у, z)—плотность источников жидкости в точке (х, у у z). Мы видели ранее, что векторное поле F(x, yt z) е eCi(?) потенциально в односвязной области $ (т. е. F = = VU(x, у, z) = grad U (х, у, z)), если в S’
rotF(x, у, z) = Q. (12.7)
Условие (12.7) гарантирует потенциальность векторного поля F(x, У, ?) {&} не только в трехмерном случае, но и в дву-
мерном: в этом случае компонента R поля F равна нулю (R = = 0), а остальные компоненты не зависят от z. Поэтому Р'= = Q' = 0 и rot F имеет единственную отличную от нуля компоненту (rot F)z = Q'x — Р'. Как мы видели в § 3, условие Q'x = P'y гарантирует потенциальность векторного поля F(x,у)=Р(х, y)i + Q(x, y)j в односвязной области %.
Если дивергенция векторного поля F(х, у, z) равна нулю в области S, то поле F(х, у, z) называется соленоидалъным или трубчатым в области Если векторное поле F соленоидально, то поток этого векторного поля через любую замкнутую поверхность S равен нулю, как это следует из формулы Остроградского (12.5).
Назовем линией тока векторного поля F(x, yt z) такую кривую r=r(s) е С], касательный вектор r(s) которой колинеарен в каждой точке этой кривой вектору F, т. е.
r(s) = ^F(r(s)).
Рассмотрим какой-либо замкнутый контур С в £3, и пусть он не имеет самопересечений, а векторное поле F ни в одной
538
АНАЛИЗ В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. XII
точке контура С не касается контура С. Часть пространства, заключенная внутри поверхности 2, составленной из линий тока, проведенных через точки контура С, называется векторной трубкой или трубкой тока для поля F (рис. 65). Поток векторного поля F через любой кусок поверхности 2 векторной трубки равен нулю, так как поле F касательно к этой поверхности и Fn = =0 на 2. Отсюда следует, что поток соленоидального векторного поля через любое сечение 2П векторной трубки постоянен.
В самом деле, это следует из формулы Г Остроградского, так как поток вектора F через замкнутую поверхность, состоящую из боковой поверхности 2 векторной трубки и сечений 2^° и 2„2), равен нулю ввиду соленоидальности поля F. Поток вектора F через боковую поверхность 2 также равен нулю, так как всюду на поверхности 2 имеем: Fn = 0. Поэтому
И™”--И
2(2)
п п
'w Если учесть, что внешние нормали N на
Рис. 65. поверхностях 2^ и 2^ направлены в
противоположные стороны, то, изменив на поверхности 2„2) направление нормали на противоположное,
получим
IW “ Пг
2(1)
п
т. е. сохранение потока в векторной трубке.
Легко проверить, что если
Г(х, у, z) = rot А(х, у, z) (12.8)
и А(х, у, z)^C2{$}, то
divF(x, у, z) = div rot А(х, у, z) = 0. (12.9)
Равенство (12.9) следует из (12.2) и (12.3).
Справедливо и следующее утверждение.
Пусть векторное поле F(xy уу z) <= С\ {S} соленоидальное (т. е. divF = 0) в односвязной области S’. Тогда в S существует векторное поле А(х, уу z) eC2(S) такое, что равенство (12.8) имеет место во всей области S.
Вектор А(х, уу z) в этом случае называется векторным потенциалом для поля F(xfytz).
§ 12] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 539
Это утверждение мы приводим без доказательства. Заметим лишь, что векторный потенциал А(х, у, z) определен равенством (12.8) неоднозначно. В самом деле, пусть
А' (х, у, z) — А (х, у, z) + grad U (х, у, z), где U(xt у, z) (= C2{^}— скалярная функция. Так как rot grad U (x, у, z) = О, то мы видим, что А'(х, z/, z) также является векторным потенциалом для F (х, у, z) одновременно с А(х, у, z). Поэтому векторный потенциал поля F(х, у, z) определен с точностью до любого потенциального поля grad (7(х, уу z).
Также без доказательства укажем, что если задано произвольное векторное поле F(x, уу z) (= Ci {!?}, то оно может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального векторных полей:
F(x, у, z) — Fn(x, у, г) + Гс(х, у, z), где
rot Fn(x, у, z) = 0, divFc(x, у, z) = 0,
т. е. существуют скалярный потенциал t7(x, у, г) е С2{^} и вектор-потенциал А(х, у, z) е С2(^) такие, что
F (х, у, z) = grad U (х, у, z) + rot А (х, у, z).
В заключение заметим, что операции rotF и divF часто обозначаются символами
rot F = [V, F] = V X F, div F (х, у, z) = VF.
Здесь символом V обозначен оператор
дх 1 ' ду 1 dz ’ символом VF— «скалярное произведение» оператора V на вектор F, символом [V, F] — «векторное произведение» оператора V на вектор F. При таком подходе операцию взятия градиента функции
grad U (х, у, z) = VU
можно рассматривать как «произведение» оператора V на скалярную функцию (7(х, у, z).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивная функция области 481
Аддитивность определенного интегра-
ла 115, 196
Аксиома Архимеда 36
Аксиомы метрического пространства 38
Аргумент 14
— комплексного числа 248
Бесконечная десятичная дробь 27
Бесконечно малая функция 101, 314
Биномиальный дифференциал 272
Бинормаль 294
Вектор-функция 283
Векторная трубка 538
Верхнее приближение вещественного числа 28
Верхний предел последовательности 52
Верхняя грань множества 32
----- функции 82
Вещественное (действительное) число 27
Вторая квадратичная форма поверхности 508, 509
Второй замечательный предел 16, 99
Главная часть функции 166
Главное значение интеграла 221
Главные кривизны поверхности 510
Градиент вектор-функции 334
— функции 324, 327
Границы множества 33
График функции 66, 174, 176
Действительная часть функции 248
Действительное (вещественное) число
27, 246
Диаметр области 473
Дивергенция (расходимость) векторного поля 527
Дифференциал длины кривой 282
— независимого переменного ПО, 156
— функции 109
--- нескольких переменных 331
Дифференциалы сложной функции 160
— старшего порядка 156, 157
Дифференцирование 17, 112
— гиперболических функций 127
— интеграла по параметру 454, 464
— логарифмической функции 125
— неявной функции 389
— обратных тригонометрических функций 128
— отношения 108
— показательной функции 126
— показательно-степенной функции 129
— произведения 108
— разности 108
— рядов и последовательностей 432
— сложной функции 126
— степенной функции 126
— суммы 108
— тригонометрических функций 127
— функций, заданных параметрически 130
Дифференцируемость неявной функции 363
— сложной функции 333
— функции нескольких переменных 326, 330
Длина (норма) вектора 283
— дуги кривой 280
Достаточные условия выпуклости и перегиба 171
---монотонности функции 168
---экстремума 169, 400
Зависимость системы функций 392
Задание функции 14
Замена переменной интегрирования 121, 208, 491, 530
Значение функции 14, 66
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
541
Инвариантность формы первого дифференциала 162, 335
Индикатриса вторых производных 404
— производных по направлению 329
Интеграл Дарбу верхний 190
---нижний 190
— криволинейный 339
— неопределенный 19, ИЗ
— несобственный 210, 218, 219
— определенный 21, 115, 183
— от вектор-функции 285
— по области 485
— поверхностный 506
— Римана 180, 183, 472
— сингулярный 222
---Коши 224
— тройной 523
Интегральная сумма 180, 181, 473
Интегральный признак сходимости ряда 215
Интегрирование 112
— гиперболических функций 127
— дробно-линейных иррациональностей 271
— квадратичной иррациональности 273
— несобственного интеграла по параметру 465
— по частям 119, 206
— под знаком интеграла 458
•— показательной функции 126
— последовательностей и рядов 436
— степенной функции 126
— тригонометрических функций 271
Интегрирования методы 236
Интегрируемость функции 192
Интервал 32
Интерполяционный полином Лагранжа 228 У
Инфимум 33
Касательная плоскость 336, 500
Касательный вектор 336
Квадратичная иррациональность 273 '
Колебание функции 89, 194, 474
Координаты ортогональные 502
Коэффициенты Ляме 535
Кривая кусочно-гладкая 472
— непрерывная 279
— спрямляемая 280
Кривизна нормального сечения 509
— плоской кривой 288
— поверхности средняя 511
--- гауссова 511
Криволинейная трапеция 466
Критерий Коши равномерной сходимости последовательности 424
Критерий Коши существования предела функции 76, 314
---сходимости несобственных интегралов 211
------- последовательности 54, 308
------- ряда 55
Круг сходимости 440
Кручение кривой 294
Лемма Дарбу 191
Линейные свойства интеграла 196
Мажорантный признак сходимости ряда 440
Максимум краевой 174
— локальный 142, 399
— условный 410
Математический анализ 13
Метод градиентного спуска 409
— исключения переменных (для отыскания условного экстремума) 411
— итераций 366
— неопределенных коэффициентов 261
-------Лагранжа 414
— Ньютона 369
Минимум краевой 174
— локальный 142, 399
— условный 410
Мнимая часть функции 248
Многочлен алгебраический 256
Множества эквивалентные 23
Множество 22
— бесконечное 24
— всюду плотное 39
— замкнутое 39
— конечное 24
— не более, чем счетное 24
— несчетное 24
— ограниченное 32, 307
сверху 32
снизу 32
— открытое 39, 306
— пустое 22
— связное 307
— счетное 24
— упорядоченное 32
Направляющий вектор прямой 306
Необходимые условия экстремума 400
Непрерывность вектор-функции 284
— функции на множестве 81
--- нескольких переменных 318
--- равномерная 321
— функции слева 80
--- справа 80
542
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Неравенство Коши — Буняковского 304
Неявное задание функции 67
Нижнее приближение вещественного числа 28
Нижний предел последовательности 52
Нижняя грань множества 32
функции 82
Нормаль главная 293
— внешняя 521
— к плоской кривой 290
------ поверхности 337, 500
Область 306
— выпуклая 375
— задания функции 310
— замкнутая 307
— квадрируемая 472
—-----кубируемая 523 — основная 470 — простая 526 Объединение (сумма) множеств 24 Объем тела 521 ------вращения 300 — области 523, 529 Окрестность точки 39, 305 Окружность соприкасающаяся 292
Оператор дифференцирования 105 Операции над множествами 25 Особая точка поверхности 500 Особые точки кривой 289
Остаточный член формулы Тейлора 137
----------в интегральной форме 151 ----------форме Коши 152 ----------Лагранжа 153 ----------Пеано 153 ----------; общее представление 152
Остроградский 267, 527
Отношение последовательностей 41
— рядов 42
Отображение 23 — взаимно однозначное 23, 397
Параметр натуральный 282 — непрерывной кривой 279 Первая квадратичная форма поверхности 501
Первое разностное отношение 105 Первообразная 112, 482 — комплексной функции 254 — обобщенная 225
Первый дифференциал вектор-функ-цип 285
— замечательный предел 15, 97
Перемножение рядов 422
Пересечение множеств 25
Переход к пределу под знаком интеграла 452
Период функции 72
Плоскость нормальная 296
— соприкасающаяся 293, 296
— спрямляющая 296
Площадь области 472
— плоской фигуры 299, 466
Поверхность ориентируемая (двусторонняя) 501
— тела вращения 301
Подмножество 22
— собственное 22
Подпоследовательность 50
Поле потенциальное 344
— соленоидальное (трубчатое) 537
Полнота системы вещественных чисел 36
Полуинтервал 33
Порядок малости 101
— роста 102
— функции 314
Последовательность 24, 40
— бесконечно большая 45
— бесконечно малая 45
— монотонная 60
— невозрастающая 60
— неограниченная 45
— неубывающая 60
— ограниченная 45
— постоянная 40
— равномерно ограниченная 426
— расходящаяся 43
— сходящаяся 42
— фундаментальная 54, 308, 423
— числовая 40
Потенциал векторного поля 344
Потенциальность векторного поля 353, 519
Поток векторного поля 517
Правило Лопиталя 163
— ориентации 471
Предел вектор-функции 283
— левый 77
— повторный 317
— последовательности 42, 46, 307
— правый 77
— функции 74, 312, 313
--- по направлению 315
Предельная точка множества 39, 306
--- последовательности 51
Признак Абеля равномерной сходимости ряда 426
---сходимости несобственных интегралов 217
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
543
Признак Вейерштрасса (мажорантный) сходимости функционального ряда 425
— Даламбера 57
— Коши сходимости ряда 57
— Лейбница 64
— сравнения (для несобственных интегралов) 212
Признаки сравнения (для ряда) 56
Приращение функции 104
Произведение бесконечное 45
— множеств 25
— последовательностей 41
— рядов 42, 422
Производная 17, 104
— вдоль кривой 339
— вектор-функции 284
— обобщенная 225
— обратной функции 122
— по направлению 322
---площади 481
— частная 201
Производные старших порядков 131, 349
Пространство евклидово п-мерное 38, 303
— метрическое 38, 303
Прямая 306
Равностепенная непрерывность последовательности функций 427
Радиус кривизны 289
---нормального сечения 509
— окрестности 39
Разложение на множители алгебраического многочлена 256
Размельчение разбиения 188
Размерность векторного аргумента 310
— вектор-функции 310
— пространства 303
Разность вектор-функций 283
— последовательностей 41
— рядов 42
Расходимость ряда 44
Репер основной (сопровождающий)
Ротор (вихрь) векторного поля 515
Ряд, абсолютно сходящийся 417
— знакочередующийся 64
— с положительными членами 64
— степенной 439
— сходящийся 44, 416
— Тейлора 251, 444
— условно сходящийся 417 оо
-
Сегмент (отрезок) 32
Система координат левая 450
Система координат правая 450
Соприкосновение (касание) данного порядка 291
Сопряженные комплексные числа 247
Сравнение вещественных чисел 28
Сумма вектор-функций 283
— верхняя 187
— множеств 24
— нижняя 187
— последовательностей 41
— ряда 44, 416
— рядов 42
— счетных множеств 26
— функционального ряда 430
Супремум 33
Существование неявных функций 389
Сходимость метода Ньютона 372
— несобственного интеграла абсолютная 211
------- равномерная 461
— последовательности 42
— ряда абсолютная 440
--- равномерная 440
--- условная 440
Таблица основных интегралов 124
---производных 124
Теорема Арцела 427
— Больцано — Вейерштрасса 51, 309
— Вейерштрасса 86, 88
— Дарбу 148
— Дедекинда 37
— Коши (о перестановке членов ряда) 420
— Коши —Адамара 441
— Лагранжа (о конечных приращениях) 144
— Римана (о перестановке членов ряда) 417
— Ролля 143
— Сильвестра 406
— сравнения (для пределов последовательностей) 49
---(для пределов функций) 79
— о среднем 146
---существовании точных граней 33
— основная интегрального исчисления 185
— Фермй 143
Теоремы о пределах 78
Точка внутренняя 39, 306
— граничная 306
— изолированная 39
— непрерывности функции 80
544
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Точка поверхности гиперболическая 510
— — параболическая 510
---- эллиптическая 510
— предельная 39
— разрыва 81
второго рода 81
первого рода 81
устранимая 81
— стационарная 400
Точная верхняя грань функции 82
— нижняя грань функции 82
Трубка тока 538
Уравнения связи 410
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 489
— потенциальности векторного поля 488
Устойчивость знака у непрерывных функций 83
Формула Грина 478
— конечных приращений 147
— Лагранжа 228
— Лейбница 133
— Муавра 248
— Ньютона — Лейбница 115
— Остроградского 527
— прямоугольников 230
_ Стокса 514
— Тейлора 137, 151, 285, 353
— трапеций 232
Формулы среднего значения 149, 198, 478
— Френе 295
— Эйлера 250
Функция 14, 23
— абсолютно интегрируемая 211
— аналитическая 251, 443
— возрастающая 68
---- в точке 141
— дифференцируемая в точке 104
----на множестве 104
— квадратичная (квадратичная форма) 311
— комплексная 248
— кусочно-непрерывная 82, 474
— линейная 310
— логарифмическая 70, 95, 155, 252
Функция монотонная 68, 90
— невозрастающая 68
— непрерывная 442
------ в точке 80
— непрерывно дифференцируемая 131
— неубывающая 68
— нечетная 74
— неявная 360
— области 481
— обратная 23, 92
— ограниченная сверху 82
-снизу 82
— периодическая 71
— показательная 69, 95, 154
— равномерно непрерывная на множестве 88
— рациональная 258
— сложная 83
— степенная 68, 93
— строго монотонная 68
— трансцендентная 268
— убывающая 68
в точке 141
— условно интегрируемая 211
— четная 74
Функции гиперболические 73, 96
— тригонометрические 71, 96, 154
— эквивалентные 102, 314
Центр кривизны 306
— окрестности 292
Циркуляция векторного поля 517
Частичная сумма ряда 41
Частичное произведение 41
Частичный предел последовательности 50
Чебышев 272
Число действительное 246
— е 62, 155
— комплексное 246
— мнимое 246
Эйлера вторая подстановка 273
— первая подстановка 274
Экстраполяция 229
Экстремум краевой 174
— локальный 142, 399
— условный 410, 412
Якобиан 371
1р. 25 к.
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Б.Л.РОЖДЕСТВЕНСКИЙ
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ