И. Я. ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
в трех томах
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1972

И. Я. ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
I
ФИЗИКА
НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
НЕЙТРОННАЯ ФИЗИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1972

УДК 539.12
Собрание научных трудов в трех томах. ПомеранчукИ. Я.
Физика низких температур. Нейтронная физика. Том I.
Изд-во «Наука», 1972.
В собрание трудов выдающегося советского физика-тео-
физика-теоретика академика И. Я. Померанчука включены почти все
его научные статьи, опубликованные в различное время в
отечественных и зарубежных периодических изданиях. Рабо-
Работы И. Я. Померанчука охватывают широкий круг физиче-
физических вопросов, они содержат важные результаты в таких раз-
разделах современной физики, как физика элементарных частиц
и ядерная физика, теория ядерных реакторов и теория твер-
твердых тел и жидкостей.
В I том вошли статьи по теории металлов и диэлектри-
диэлектриков, по физике квантовых жидкостей и нейтронной физике.
Издание представляет значительный интерес для науч-
научных работников в области физики, инженеров-физиков, а
также преподавателей, студентов и аспирантов физических
специальностей вузов.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
В. Б. БЕРЕСТЕЦКИЙ (ответственный редактор),
Б. Л. ИОФФЕ, И. Ю. КОБЗАРЕВ, Л. А. КОНДРАТЮК,
Л. Б. ОКУНЬ
2-3-7
179-71A1)

ПРЕДИСЛОВИЕ
Собрание научных трудов включает почти все работы
Исаака Яковлевича Померанчука.
Работы распределены по тематическому признаку: пер-
первый том посвящен физике низких температур и нейтронной
физике, остальные два тома — физике элементарных частиц
и квантовой теории поля. Работы по теории сильных взаимо-
взаимодействий элементарных частиц выделены в третий том.
Каждый том делится на разделы также по тематическому
признаку, внутри раздела работы следуют в хронологиче-
хронологическом порядке. Полный хронологический перечень помещен
в конце третьего тома.
Каждая статья снабжена ссылкой на журнал, в котором
она опубликована. Статьи, опубликованные на русском и
иностранном языках, печатаются по русскому тексту со
ссылками на оба журнала. Статьи, опубликованные только
на иностранном языке, печатаются в переводе. В собрание
включено также несколько неопубликованных работ.
В собрание трудов не вошли книги И. Я. Померанчука,
написанные совместно с А. И. Ахиезером «Вопросы теории
ядра» (М., Гостехиздат, 1948) и «Введение в теорию ней-
нейтронных мультиплицирующих систем» (М., Отчет ИТЭФ,
1947).
Редакционная коллегия

ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ
ПОМЕРАНЧУК
Конец 40-х годов

ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ ПОМЕРАНЧУК
Исаак Яковлевич Померанчук родился 20 мая 1913 г. в Варша-
Варшаве. Его отец, Яков Исаакович, был инженером-химиком, мать
Амалия Давыдовна — врачом. Во время первой мировой войны
семья переехала в Ростов, а затем — в Рубежный, в Донбасс,
где Исаак Яковлевич окончил в 1927 г. семилетнюю школу, а в
1929 г.— двухлетнюю школу ФЗУ при Рубежанском химическом
заводе. Проработав на этом заводе два года рабочим, Исаак Яков-
Яковлевич поступил в 1931 г. на первый курс Ивановского химико-
технологического института. Со второго курса он перевелся на
физико-механический факультет Ленинградского политехничес-
политехнического института, который и окончил в 1936 г.
Свою научную деятельность Исаак Яковлевич начал в 1935 г.
в Физико-техническом институте в Харькове под руководством
Л. Д. Ландау. Он появился у Ландау студентом, у которого
окончательно созрело решение заниматься теоретической физи-
физикой. В два месяца он сдал теоретический минимум, только что
введенный Ландау. Ландау оказал глубокое влияние на формиро-
формирование Померанчука как ученого. Дружба его с Ландау продол-
продолжалась всю жизнь. Будучи уже зрелым теоретиком, всегда бога-
богатым новыми замыслами, Померанчук любил прежде всего «про-
«пропускать» их через учителя.
Первая работа И. Я. Померанчука, выполненная им совмест-
совместно с А. И. Ахиезером и Л. Д. Ландау и опубликованная в авгу-
августе 1936 г. в журнале «Nature», была посвящена рассеянию света
светом в случае, когда энергия сталкивающихся фотонов много
больше массы электрона. В том же 1936 г. была выполнена работа
Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчука, в которой впервые были рас-
рассмотрены эффекты, связанные со взаимодействием электронов про-
проводимости друг с другом; до этого в электронной теории металлов
совокупность электронов проводимости рассматривалась всегда как
газ, частицы которого взаимодействуют лишь с колебаниями ре-
решетки. Основной результат этой работы заключался в том, что
влияние взаимодействия электронов на электросопротивление
приводит к зависимости Т2 сопротивления чистого металла при
низких температурах.

Из всего многообразия исследований Исаака Яковлевича в об-
области физики твердого тела необходимо выделить два, принесших
ему мировую известность. Речь идет о работах по теории рас-
рассеяния нейтронов в кристаллах и теории теплопроводности
диэлектриков.
В работе по теории рассеяния медленных нейтронов в кристал-
кристалле A938 г.) и более поздней работе, выполненной совместно
с А. И. Ахиезером A947 г.), была дана общая теория неупругого
рассеяния нейтронов, сопровождающегося однофононными и мно-
гофононными возбуждениями в кристалле. Фактически эти рабо-
работы послужили отправной точкой для целого ряда более позд-
поздних исследований, приведших, в частности, к созданию метода вос-
восстановления фононного спектра кристаллов на основе измерения
дважды дифференциального сечения медленных нейтронов. К этому
же циклу принадлежит работа по рефракции нейтронов A948 г.).
где для медленных частиц получен целый ряд соотношений,
очень близких к оптическим.
Следует специально отметить, что глава книги «Некоторые
вопросы теории ядра» (написанной Исааком Яковлевичем
с А. И. Ахиезером в 1948 г.), посвященная взаимодействию мед-
медленных нейтронов с веществом, до сих пор является лучшим вве-
введением в рассматриваемую проблему.
Ангармоническое взаимодействие фононов в кристаллах и об-
общая задача теплопроводности решетки всегда были и остаются
до сих пор одной из наиболее интересных проблем физики твер-
твердого тела. Исаак Яковлевич сделал первый шаг в развитии этого
направления. В своей докторской диссертации, защищенной в
1940 г., он дал подробный анализ трехфононных и четырехфонон-
ных взаимодействий в кристалле; им построена теория теплопро-
теплопроводности диэлектриков как при низких, так и при высоких тем-
температурах.
И. Я. Померанчук обратил внимание на принципиальные де-
дефекты прежних теорий теплопроводности диэлектриков. Он по-
показал, что кубическая ангармоничность колебаний атомов в ре-
решетке кристалла, вопреки существовавшему мнению, недостаточ-
недостаточна для установления конечной теплопроводности; для получения
конечного результата необходимо учитывать ангармоничность
более высоких порядков. Совместное действие этих ангармонично-
ангармоничностей и других источников рассеяния фононов (примеси, отраже-
отражение от стенок кристаллитов, рассеяние на упругих деформациях)
приводит к сложной картине, которая была исследована И. Я. По-
меранчуком с исчерпывающей детальностью. Были определены
законы, по которым должна меняться теплопроводность диэлект-
диэлектриков в зависимости от температуры, концентрации примесей и
размеров кристаллитов в различных областях значений этих па-
параметров и для различных типов кристаллической структуры.
Этот цикл работ очень характерен для всего творчества Исаака
Яковлевича, ибо здесь физическая интуиция играла не менее важ-

ную роль, чем формальный аппарат. В этой связи показательно,
что хотя вся задача в целом в дальнейшем получила широкое раз-
развитие, поставленная им проблема о роли длинноволновых фононов
в теплопроводности кристаллов, которую часто называют «проб-
«проблемой Померанчука», и по сей день является весьма актуальной.
Из других исследований Исаака Яковлевича по физике твер-
твердого тела следует особо отметить работу, посвященную изотопи-
изотопическому эффекту в остаточном сопротивлении металлов A958).
В ней Исаак Яковлевич впервые обратил внимание на то, что хотя
амплитуды рассеяния электронов на ионах различных изотопов
в металле имеют одно и то же значение, нарушение строгой перио-
периодичности в динамической картине колебаний (за счет разных масс
изотопов) приводит к конечному сопротивлению в металлах даже
при Т — 0. Это весьма нетривиальный эффект, и нет сомне-
сомнений, что в ближайшем будущем он будет обнаружен эксперимен-
экспериментально.
К исследованиям Исаака Яковлевича по физике твердого тела
примыкают его работы по теории квантовой жидкости Hell и
Не3. В работе о движении посторонних частиц в Hell, опублико-
опубликованной совместно с Л. Д. Ландау в 1948 г., на основе простых ка-
качественных соображений показано, что всякая частица, растворен-
растворенная в сверхтекучем гелии, должна принимать участие в нормаль-
нормальном (а не сверхтекучем) движении, т. е. должна входить в нор-
нормальную компоненту жидкости вне зависимости от того, какой
статистике эта частица подчиняется. Эта работа имела принципи-
принципиальное значение; она положила конец существовавшим до нее не-
неправильным представлениям о том, что участие примесей в сверх-
сверхтекучем движении зависит от статистики. В частности, из этой ра-
работы следовало, что в нормальную часть должны входить малые
примеси как изотопа Не3 (подчиняющегося статистике Ферми),
так и изотопа Не6 (подчиняющегося статистике Бозе), что и было
подтверждено дальнейшими экспериментами.
Вопрос о влиянии примесей на термодинамические и гидроди-
гидродинамические свойства жидкого гелия был затем подробно исследо-
исследован И. Я. Померанчуком в 1949 г.
В работе, посвященной теории жидкого Не3 A950 г.), впервые
были качественно рассмотрены квантовые жидкости с фермиев-
ским спектром. Было показано, что вязкость такой жидкости
должна возрастать с уменьшением температуры как ЦТ2. Было
показано также, что в жидком Не3 существенную роль играют об-
обменные эффекты, которые приводят к своеобразным явлениям при
превращении жидкого Не3 в твердый. Наличие магнитного упоря-
упорядочения ядерных спинов в жидкости при его отсутствии в твер-
твердом кристалле приводит к тому, что энтропия твердой фазы стано-
становится (при достаточно низких температурах) больше, чем у жид-
жидкой фазы — ситуация, обратная обычной. В результате было пред-
предсказано существование минимума на кривой фазового равновесия
(на диаграмме рТ) гелия — знаменитый эффект Померанчука,
9

полностью подтвержденный дальнейшими экспериментами. В по-
последнее время эта особенность жидкого Не3 успешно использу-
используется для получения сверхнизких температур.
И. Я. Померанчук внес важнейший вклад в создание ядерных
реакторов в Советском Союзе. Он начал заниматься этой проблемой
в 1943 г. Этот год знаменует развертывание в нашей стране широ-
широкого фронта научных исследований, ставящих целью овладева-
ние атомной энергией. Как известно, эта задача была успешно
решена в рекордно короткие сроки.
И. Я. Померанчук сразу же становится одним из ближайших
помощников научного руководителя всей проблемы И. В. Кур-
Курчатова и возглавляет разработку теории атомных реакторов. За
исключением работ Я. Б. Зельдовича и Ю. Б. Харитона, вы-
выполненных перед войной, теория реактора стала интенсивно раз-
развиваться в нашей стране именно с 1943 г. и в первую очередь
благодаря работам И. Я. Померанчука.
При создании первого советского физического реактора фун-
фундаментальную роль сыграли так называемые экспоненциальные
эксперименты, проводившиеся И. В. Курчатовым. В этих экс-
экспериментах оказалось возможным определять такие важнейшие
величины, как поглощение тепловых нейтронов замедлителем,
длины' замедления нейтронов деления. Эти эксперименты были бы
невозможны без теории экспоненциальных опытов, и эту теорию
построил И. Я. Померанчук, обеспечив, таким образом, осуществ-
осуществление важнейшего этапа по овладеванию ядерной энергией в на-
нашей стране.
Еще более крупным вкладом Исаака Яковлевича в теорию ре-
реактора была созданная им теория резонансного поглощения нейт-
нейтронов в гетерогенных системах. Как сейчас хорошо известно,
только гетерогенное размещение блоков урана р замедлителе
позволяет эффективно осуществить незатухающую цепную ре-
реакцию в системах из естественного урана и замедлителя. Теория
резонансного поглощения в блочных системах И. Я. Померанчу-
Померанчука, созданная совместно с И. И. Гуревичем, несмотря на внешнюю
простоту, дает глубокую физическую картину явления.
Большое значение имеют работы И. Я. Померанчука по тео-
теории критических размеров. Так, ему принадлежит формула для
критического размера в возрастном приближении. Важны работы
И. Я. Померанчука по теории температурных эффектов в реакто-
реакторе. Померанчук первым начал исследование процессов размноже-
размножения нейтронов при замедлении.
Являясь одним из создателей диффузионной теории реактора,
И. Я. Померанчук первый заложил основы более точной теории,
начав систематически применять кинетические уравнения к про-
процессам замедления и диффузии нейтронов в реакторе.
Вклад И. Я. Померанчука в теорию ядерных реакторов не ог-
ограничен его непосредственным участием, его научными трудами.
Ему принадлежит важная роль в создании советской школы
10

Конференция по физике частиц высоких энергий. Москва, 1956.
И. Я. Померанчук. За столом Л. Д. Ландау
теории ядерных реакторов. В частности, под его руководством
начали работать в этой области А. Д. Галанин, Б. Л. Иоффе,
А. П. Рудик и др.
Несколько работ Исаака Яковлевича посвящены теории магнит-
магнитно-тормозного (так называемого синхротронного) излучения, воз-
возникающего при движении релятивистской заряженной частицы в
магнитном поле. Первая работа, принадлежащая этому направле-
направлению, была опубликована в 1939 г. В ней было указано на харак-
характерную особенность излучения электронов при движении
в магнитном поле: интенсивность его так растет с энергией, что
после движения частицы в магнитном поле в течение заданного
промежутка времени энергия частицы, независимо от ее началь-
начального значения, стремится к некоторому пределу. По этой причине,
например, приходящий из космоса электрон при движении в зем-
земном магнитном поле должен терять энергию таким образом, что
на земной поверхности его энергия не может быть больше, чем
5-Ю17 эв. В последующих работах A944—1946 гг.) было обращено
внимание на важную роль магнитно-тормозных потерь энергии
при движении электронов в циклических ускорителях (бетатроне
и синхротроне) и проведен более детальный анализ излучения.
В дальнейшем выяснилось, что вскрытая Исааком Яковлевичем осо-
особенность поведения заряженных частиц в магнитном поле наблю-
наблюдается и при движении в поле электромагнитной волны с достаточ-
достаточно низкой частотой. Этот эффект (существование предельной
11

энергии) очень важен при решении проблемы происхождения
космических лучей.
На протяжении многих лет И. Я. Померанчук занимался ис-
исследованием процессов взаимодействия излучения с веществом.
Им было проведено теоретическое рассмотрение вопроса о флук-
туациях ионизационных пробегов заряженных частиц в вещест-
веществе. Решение этой задачи оказалось весьма существенным для опы-
опытов с космическими лучами. В 1950 г.,исследуя вопрос об излучении
квантов тяжелыми частицами, Исаак Яковлевич (совместно с
И. М. Шмушкевичем) показал, что наличие обменных сил
между протоном и нейтроном должно приводить к значительному
возрастанию интенсивности излучения фотонов при столкновени-
столкновениях между этими частицами или их столкновениях с ядрами.
Большое значение имели совместные работы И. Я. Померан-
чука и Л. Д. Ландау по электронно-лавинным процессам при вы-
высоких энергиях A953 г.). В них было показано, что поскольку рас-
расстояния, на которых происходит тормозное излучение электрона,
растут с ростом энергии электрона, при достаточно высоких энер-
энергиях в процессе тормозного излучения одновременно участвует
целая совокупность атомов среды. Действие большого числа ато-
атомов вызывает многократное кулоновское рассеяние электрона во
время акта тормозного излучения и приводит к тому, что форму-
формулы Бете — Гайтлера оказываются неприменимыми при высоких
энергиях. В работах Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчука были
получены качественные оценки влияния многократного рассея-
рассеяния на тормозное излучение и рождение пар. В дальнейшем эта
задача переросла в целую область физики.
В 1947 г. И. Я. Померанчук рассчитал сечения аннигиляции
позитронов на электронах с учетом поляризации и обнаружил, что
в 5-состоянии с полным спином, равным единице, двухквантовая
аннигиляция запрещена. Эта работа легла в основу дальнейшего
развития теории позитрония. В настоящее время физика позитро-
позитрония и ее приложения составляют целую область.
Благодаря обнаруженному И. Я. Померанчуком эффекту по-
позитроний применяется как весьма точный индикатор в разнооб-
разнообразных исследованиях.
В 1952 г. Исаак Яковлевич совместно с А. Д. Галаниным рас-
рассмотрел влияние поляризации вакуума на расщепление уровней
[х-мезоатомов. В отличие от обычных атомов, в ц-мезоатомах из-за
их малого радиуса поляризация вакуума дает большой вклад. Об-
Обнаруженное явление интересно как с теоретической точки зрения
(возможность наблюдения поляризации вакуума), так и для экс-
экспериментальной физики мезоатомов.
Начало 50-х годов, когда в лабораториях стали искусственно
получать мезоны, стало временем зарождения физики элементар-
элементарных частиц в современном смысле этого слова. С этого момента ин-
интересы Исаака Яковлевича все больше концентрируются на проб-
проблеме сильных взаимодействий элементарных частиц. На первом
12

На 9-й конференции по физике высоких энергий в Дубне, 1964 г.
Слева направо И. Я. Померанчук, С. Н. Вернов и В. И. Векслер
этапе он развивает феноменологический подход к теории сильного
взаимодействия. В цикле работ И. Я. Померанчука с соавторами
была развита теория взаимодействия я-мезонов с дейтронами.
Эта теория (так называемое импульсное приближение) связывает
сечение процессов, происходящих при столкновении мезонов с
дейтронами, с сечениями процессов, происходящих при столкно-
столкновениях мезонов со свободными нуклонами. Анализ дейтронных
реакций, принадлежащий Исааку Яковлевичу, имеет большое зна-
значение. Ведь большинство сведений о взаимодействиях с нейтрона-
нейтронами при высоких энергиях физики получают, делая опыты с дейт-
дейтронами.
С 1953 г. после того, как окончательно выяснилось, что мезо-
мезоны сильно взаимодействуют с нуклонами и теория возмущений со-
совершенно не применима к процессам взаимодействия я-мезонов
и нуклонов, Исаак Яковлевич обращается к фундаментальной
проблеме: исследованию общих свойств уравнений квантовой тео-
теории поля в тех случаях, когда взаимодействие нельзя считать ма-
малым. В совместной с А. Д. Галаниным и Б. Л. Иоффе работе иссле-
исследуется перенормировка массы и заряда в ковариантных уравнениях
теории поля. В это время Л. Д. Ландау и его сотрудниками было по-
получено решение уравнений квантовой электродинамики при высо-
высоких энергиях. Исаак Яковлевич анализирует это решение и совме-
совместно с Л. Д. Ландау показывает, что из его свойств вытекает воз-
возможность пренебречь в лагранжиане системы электронов и квантов
13

при высоких энергиях действием свободного электромагнитного
поля еще в той области, где эффективный заряд мал. Отсюда был
получен весьма важный вывод о том, что в квантовой электродина-
электродинамике любой сколь угодно большой затравочный заряд полностью
экранируется зарядами, возникшими при поляризации вакуума,
так что физический заряд электрона, наблюдаемый на больших
расстояниях, должен быть равен нулю. Тем самым было указано
на внутреннюю противоречивость квантовой электродинамики.
Для электродинамики проблемы, связанные с нулем заряда, мо-
могут оказаться существенными только при энергиях — тес2е137 и
не затрагивают области, где обычная техника перенормировок
достаточна для решения реальных задач. Для мезонных теорий с
сильной связью это может быть не так. Развивая эти идеи, Исаак
Яковлевич показал, что в мезонной теории может возникнуть
аналогичная ситуация с обращением в нуль физического заряда,
т. е. что есть серьезные основания считать мезонную теорию так-
также внутренне противоречивой. Итоги этих исследований были
подведены в совместной с К. А. Тер-Мартиросяном и В. В. Су-
Судаковым работе.
Вывод о внутренней противоречивости теорий, использующих
лагранжев метод, привел Исаака Яковлевича к поискам других
подходов к теории сильных взаимодействий, не использующих
уравнений теории поля. Исаак Яковлевич возвращается к фено-
феноменологическому подходу. Основываясь на общих свойствах амп-
амплитуд квантовой теории поля, он совместно с Л. Б. Окунем по-
показывает, что фазы рассеяния с большими орбитальными момен-
моментами определяются полюсными диаграммами, соответствующими
обмену наилегчайшей частицей. Теоретическое вычисление фаз,
обусловленных обменом одним и двумя мезонами, которое было
выполнено на основе этих соображений, позволило значитель-
значительно упростить фазовый анализ нуклон-нуклонного рассеяния.
В течение длительного времени (начиная еще с 1946 г.) Исаак
Яковлевич неоднократно возвращался к модели дифракционного
сильного взаимодействия при высоких энергиях. Эта модель рас-
рассматривала частицы как черные шарики и позволяла предсказы-
предсказывать некоторые свойства процессов, не конкретизируя механизмы
взаимодействия. По существу именно дифракционные представле-
представления привели Исаака Яковлевича в 1956 г. совместно с Л. Б. Оку-
Окунем к формулировке предсказаний о том, что при предельно высо-
высоких энергиях сечения процессов перезарядки должны стремиться к
нулю, а сечения упругих процессов для частиц из данного изото-
изотопического мультиплета не должны зависеть от их заряда. С дру-
другой стороны, он же впервые обратил внимание на неудовлетво-
неудовлетворительность дифракционной теории. Изучая реакции рождения
нескольких частиц при малых импульсах отдачи мишени, И. Я.
Померанчук и В. Б. Берестецкий пришли к заключению, что
обычная теория дифракции приводит к трудностям и нуждается
в существенном изменении.
14

Весенняя школа теоретической и экспериментальной физики. Ереван,
1965. И. Я. Померанчук и К. Штраух
Переход Исаака Яковлевича к исследованиям в области пре-
предельно высоких энергий не был случаен. Он искал в физике сильно-
сильного взаимодействия такие общие свойства, которые проявлялись
бы наиболее простым образом. Известно, что при создании кван-
квантовой механики решающую роль сыграло знание свойств простей-
простейшей квантовомеханической системы — атома водорода. В созда-
создании теории сильного взаимодействия Исаак Яковлевич отводил
роль «атома водорода» процессам взаимодействия при асимптоти-
асимптотически высоких энергиях. В 1958 г. на основе анализа дисперсион-
дисперсионных соотношений Исаак Яковлевич формулирует свою знамени-
знаменитую теорему, согласно которой при предельно высоких энергиях
сечения взаимодействия с нуклоном частицы и античастицы долж-
должны быть равны.
Теорема Померанчука знаменовала рождение нового направ-
направления — физики предельно высоких энергий. В последующие го-
годы эта область получила быстрое развитие. Ее разрабатывали
физики-теоретики в десятках научных центров во всем мире.
Крупнейшие ускорители были использованы для эксперименталь-
экспериментальной проверки ее предсказаний. Исаак Яковлевич был признан-
признанным лидером этого направления. Совместно с В. Н. Грибовым, с
начала 60-х годов Исаак Яковлевич разрабатывает подход к тео-
теории асимптотик, основанный на математическом аппарате комплекс-
комплексных угловых моментов, введенном Т. Редже.
15

Почти все существенные результаты, полученные в этой об-
области, связаны с именем И. Я. Померанчука. В течение 1962 —
1964 гг. он совместно с В. Н. Грибовым исследовал свойства диф-
дифракционного рассеяния, обусловленного одним полюсом Редже,
получившим название полюса Померанчука. Результатом этих
исследований явились важные теоремы о соотношениях между
сечениями различных процессов, свойствах траектории полюса
Померанчука, существовании максимума при рассеянии назад,
поляризационных явлениях при высоких энергиях и др. Одновре-
Одновременно развивались и чисто теоретические аспекты метода комплекс-
комплексных моментов. Было установлено сгущение полюсов Редже при
пороговых энергиях. Было обнаружено замечательное свойство
парциальной волны при моменте, равном минус единице, послу-
послужившее началом нового этапа в развитии теории комплексных
моментов — обнаружения точек ветвления в плоскости комплекс-
комплексных моментов. Дальнейшие работы Исаака Яковлевича в этом
направлении также сыграли большую роль. Им совместно с
В. Н. Грибовым и К. А. Тер-Мартиросяном была исследована
структура точек ветвления в комплексной плоскости и выска-
высказана идея об усилении ветвлений полюсом, совершенно по-
новому поставившая вопрос о структуре дифракционного ко-
конуса.
Исаак Яковлевич придавал большое значение методу комплекс-
комплексных моментов. Этот метод был для него не только средством для
описания процессов при высоких энергиях, но и новым языком в
теории сильных взаимодействий, в котором отсутствуют частицы
как объект исследования, и их место занимают траектории полю-
полюсов Редже. Научные интересы Исаака Яковлевича охватывали и
область слабого взаимодействия. Опубликованная посмертно его
работа о поведении слабого взаимодействия при высоких энергиях
вызвала большой интерес и стимулировала появление ряда работ.
Вли-яние этой области интересов Исаака Яковлевича сказалось и
в том, что теория слабого взаимодействия (в частности, при вы-
высоких энергиях) занимала значительное место в работах его уче-
учеников (Б. Л. Иоффе, И. Ю. Кобзарева, Л. Б. Окуня, А. П. Ру-
дика).
Исаак Яковлевич Померанчук создал большую школу совет-
советских физиков-теоретиков. Он организовал теоретический отдел в
Институте теоретической и экспериментальной физики и руково-
руководил им со дня основания института до последних дней жизни. Он
был основателем и в течение ряда лет руководителем теоретиче-
теоретических групп в Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова и
Лаборатории ядерных проблем Объединенного Института Ядер-
Ядерных Исследований (С. М. Биленький, Л. И. Лапидус и др.); его
влияние плодотворно сказалось на выборе основных направлений
их работ. В течение 20 лет он был профессором Московского инже-
инженерно-физического института.
За научные работы Исааку Яковлевичу дважды была присуж-
16

дена Государственная премия первой степени. Он был награжден
орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и орде-
орденом Знак почета.
В 1953 г. И. Я. Померанчук был избран членом-корреспон-
членом-корреспондентом, а в 1964 г. — действительным членом Академии наук
СССР.
Исаак Яковлевич был скромным и даже застенчивым, когда
дело касалось его личных удобств; однако он совершенно преобра-
преображался, становился настойчивым и непреклонным, когда речь шла
об интересах науки.
Исаак Яковлевич очень любил физику. Он радовался каждому
новому научному результату. Любовь к физике означала для
Исаака Яковлевича неустанную работу. Работа была его высшим
наслаждением. Он был неутомим. Он жил физикой. Он не понимал,
как можно тратить время на что-либо другое. Самым главным было
для него установление научной истины. Именно этот критерий оп-
определял его отношение к физическим идеям и проектам, научным
статьям и людям. Он всегда был устремлен вперед. Если ему рас-
рассказывали о том, как стал «работать» один из «эффектов Померан-
чука», он только устало и несколько виновато улыбался. Что из
того, когда так много непонятного, когда так много проблем, к
которым пока нет подступа. Он нес на себе бремя человеческого
стремления к познанию. Даже страшная болезнь, рак пищевода,
не изменила его поведения. Исаак Яковлевич продолжал интен-
интенсивно работать буквально до самого последнего дня. Он продол-
продолжал встречаться с физиками. Он обсуждал научные проблемы;
его волновало все связанное с развитием физики в нашей стра-
стране. Последнюю свою научную работу — о поведении полного се-
сечения аннигиляции электронно-позитронных пар в адроны при
высоких энергиях — Исаак Яковлевич закончил за два дня до
смерти, наступившей 14 декабря 1966 года.
В. Б. Берестецкий

I
ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
1
О СВОЙСТВАХ МЕТАЛЛОВ
ПРИ ОЧЕНЬ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ*
Совместно с Л. Ландау
В первой части разбирается влияние взаимодействия электронов, рас-
рассматриваемого как малое возмущение, на сопротивление металлов. Сопротив-
Сопротивление, вызванное взаимодействием электронов, пропорционально Т2.
Во второй части выводится выражение для термо-электродвижущей сил j ,
находящееся в согласии с соотношением Онсагера — Томсона.
§ 1. Существующая теория металлов не учитывает взаимодей-
взаимодействия электронов металла друг с другом, хотя последнее должно
быть весьма большим и пренебрегать им ни в какой степени нель-
нельзя. Так как, однако, строгое рассмотрение вопроса невозможно
при существующем положении теории, то необходимо по край-
крайней мере рассмотреть взаимодействие электронов как малое воз-
возмущение. Такое рассмотрение дает возможность по крайней мере
выяснить пределы применимости существующей теории. При
этом оказывается, что при низких температурах порядка несколь-
нескольких абсолютных градусов электрическое сопротивление, вызванное
взаимодействием электронов, нельзя считать малым, так как
эффекты, им обусловленные, сравнимы по величине или больше
эффектов, обусловленных взаимодействием электронов с тепловы-
тепловыми колебаниями решетки. Увеличение сопротивления, вызванное
взаимодействием электронов, пропорционально Т2 и при низких
температурах больше обычного сопротивления, пропорциональ-
пропорционального Тъ. Имеющиеся здесь соотношения аналогичны соотношениям,
существующим в области теплоемкости металлов, где при низких
температурах (несколько абсолютных градусов) теплоемкость
* ЖЭТФ, 1937, 7, 379; Phys. Zs. Sowjet, 1936, 10, 649.
18

электронов играет существенную роль (так как она пропорцио-
пропорциональна Г, а дебаевская — Г3), несмотря на то что при обычных
температурах электронной теплоемкостью можно пренебречь по
сравнению с теплоемкостью решетки.
Как известно, состояние электрона в периодической решетке
описывается волновой функцией if) = eikr <p (k, г), где компоненты
вектора к определены только с точностью до периодов обратной
решетки, а функция ф (к, г) является периодической функцией с
периодами, равными периодам решетки
Ф (к, х + dly у, z) = ф (к,х,у + d2, z) = ф (к, x,y,z + d3) =
= ф (к, х„ у, z),
где dly d2 и d3 — периоды решетки.
Вектор Кк (квазиимпульс) играет роль импульса свободной
1 дг г<
частицы; v = -г~~аТ7— скорость электрона, 8 — его энергия, Тък =
= F, где Р — сила, действующая на электрон. Благодаря неодно-
неоднозначности определения вектора к сумма векторов к у взаимодей-
взаимодействующих электронов сохраняется с точностью до периодов обрат-
обратной решетки, так как возможны только такие переходы, для ко-
которых
V к- — V к1 — 0 — —
где к| — векторы в начальном состоянии, кг — векторы в конеч-
конечном состоянии.
Таким образом, увеличение импульса, вызванное электриче-
электрическим полем, может разрушаться и вследствие взаимодействия
электронов друг с другом, а не только с тепловыми колебаниями
решетки.
Напишем теперь условия стационарности для функции распре-
распределения электронов при наличии электрического поля, рассмат-
рассматривая пока только их взаимодействия между собой. Мы получаем
~ vxeF = J WW*- [*Л A - »') A - **) - п'п' A - пг) A - тг2)] х
X dx2dx". A)
Здесь F — напряжение электрического поля; пг и п2 — плотно-
плотности электронов в начальном состоянии, п1 жп' — в конечном.
Благодаря законам сохранения (энергия и квазиимпульс)
интегрируем только по квазиимпульсам электронов в состояниях
п2 и п", так как состояние п' будет задано, если известны состоя-
состояния пх, п2 и п"
е' = ех + ва - е", к9 = кг + к2 - Г - ~f- , m = 0, ± 1, . . .
Вероятность перехода Wu^k'u" определяется обычным образом
через матричный элемент перехода возмущающей энергии УкхЫ'к».
19

Предполагая энергию взаимодействия кулоновской, можно ожи-
ожидать, что область малых углов «отклонения» (т. е. переходов, при
которых электрон от состояния с некоторым вектором к переходит
в состояние, характеризующееся вектором к', мало отличающимся
от к), будет играть особую роль (как известно, при кулоновском
взаимодействии вероятность рассеяния обратно пропорциональна
sin4 Ф/2, где Ф — угол рассеяния) в металле; однако эта область
ничем не замечательна, так как малые углы отклонения означают,
что взаимодействующие электроны в среднем находятся на боль-
больших расстояниях друг от друга, вследствие чего всегда имеется
экранирование посторонними: зарядами и энергия взаимодействия
уже не будет кулоновской. Произведем теперь подстановку в
A), вместо п п + 6га, где п —фермиевская равновесная функция
распределения, равная ехр 1 &кТ ¦) +1 , бтг —отклонение
равновесного значения, предполагаемое малым. 8п положим рав-
равным -т— Ф (к), где ф—некоторая функция. Так как фермиевская
функция обращает в нуль правую часть уравнения A), то справа
берем члены 1-го порядка малости, т. е. линейные относительно ф.
Слева же производной от 5п пренебрегаем. При этом A) пере-
переходит в
ж v^eF = \ W*M*-1 (.ri 4г id - *') а - **) *! + п'п
'п'
-f <f2 -^ 1A — п') A — п") пг -f п'п" A — пх) ] — члены,
где нижние значки заменены верхними и наоборот! . B)
Так как п и dnldz суть функции только от (s — \i)/kT, то бтг мож-
можно положить функцией от % = (s — \х)/кТ и углов в импульсном
пространстве. От переменных кх, ку, kz переходим к переменным
(е — \\IкТ и углам в импульсном пространстве. Тогда вместо B)
будет
^ \ " (kT), Ba)
dlkxW
где Л = -^—^^-= якобиан перехода к переменным е, О, ф, аоэ —
д (г )
элементы углов. { } означает выражение, заключенное между фи-
фигурными скобками в B). Подынтегральное выражение в Bа) есть
функция от %i» %2> %" и ^l' ®2 и ^"; весь интеграл является функ-
функцией от %i и coi- (Буква к, стоящая перед Г, означает постоянную
Больцмана и не должна быть смешиваема с квазиимпульсом, ко-
который всегда сопровождается специальным индексом.) Если те-
теперь в Bа) подставить вместо
пг = ( exp ^ —l7f^
20

и соответственно вместо п2 и п" их фермиевские выражения, то
получаем
(«-*« + !) («-*• + !)(«* +1)(ел + 1)
C)
В члене с фх можно выполнить оба интегрирования по %а и
%", в членах с ф2, ф' и ф" — только одно (в члене с ф' интегрирова-
интегрирование по % заменяется интегрированием по %'). При этом якобиан
преобразования А и вероятность Wkxk,k'k" в нашем приближении
можно рассматривать независящими от энергии, т. е. от % (так
как на самом деле они являются медленно меняющимися функция-
функциями по сравнению с ф, которая меняет порядок своей величины при
изменении s от \х до (л +; к Г). В результате простого, но длинного
интегрирования получаем
*± VleF = e**VieF = (kT)
Yt/y у2 ]
оо
' + 1I
* <pn(Xi — X")dXi
Ф1 (Xi — X') dX'
_. v. +1) (e"x'
-Г
Из этого уравнения следует, во-первых, что ф (%) = ф(—%),
так как ф (—у) удовлетворяет тому же уравнению, что и ф (%),
только с ф2 от —%2, ф' от —jc' и ф' от —х"» во-вторых, если урав-
уравнение D) переписать в виде
-3- ^eF = Л рх + \ L (хл) ф (X) d%f
то оператор L имеет симметричное ядро
—х ^г1^—х—х- = L
в-третьих, из уравнения D) следует, что ф = Fg (x, со)/?1'2, где
?(%>tt>) —некоторая четная функция %.
21

Находим ток
A+ехJ
Так как дп/дг имеет при низких температурах вид б-фуыкции от
s — [х, т. е. отлично от нуля только при е, близких к |х, можно при
интегрировании по 8 (%) рассматривать vA райными своему зна-
значению при 8 = (х.
Таким образом, сопротивление, вызванное взаимодействием
электронов друг с другом, пропорционально Г2.
При температурах, меньших дебаевской, но больших, чем те,
при которых существенно взаимодействие электронов, сопротив-
сопротивление пропорционально Тъ (определяется тепловыми колебаниями
решетки).
При очень низких температурах порядка нескольких
абсолютных градусов сопротивление пропорционально Г2. В про-
промежуточной области температур должно получиться качественное
согласие с опытом, если соединить эти два закона формулой вида
R = аТ2 +
Эта формула хорошо описывает данные о сопротивлении пла-
платины до температур порядка 20° с коэффициентами а и C, равными
16-Ю и 3.1СГ7.
§ 2. Существующие теории термо-электрических явлений при
низких температурах не являются удовлетворительными. Так,Бете1
выводит выражение для термо-электродвижущей силы, не
учитывая установления равновесия по направлениям (идущее
при низких температурах медленнее, чем по энергиям), полу-
получает поэтому результат, который противоречит соотношениям
Томсона — Онсагера 2 между теплом Пельтье П, теплом Томсона
М и произвольной от термо-электродвижущей силы по темпера-
температуре Е
Е = П±9 M = T^L. E)
Выполнение этих соотношений обеспечивается симметрично-
симметричностью stoss-операторов, приводящей к тому, что если написать
1 Н. A. Bethe. Handbuch der Physik, 24, Teil 2, S. 579.
2 L. Onsager. Phys. Rev., 1931, 38, 2265; L. Nordheim. Ann. d. Phys., 1931,
9, 626.
22

электрический i и тепловой s ток в виде
(i/e) otu dT
l==a" Si ^Т~Г' s = 0t21 Si + <Х»'ЗГ'
причем z — координата, ф — потенциал, то a12 = a23.
Это равенство и дает соотношения E); у Бете это равенство не
соблюдается. Бете пользуется при низких температурах функцией
распределения (вернее, ее отклонением от равновесного фермиев-
ского значения) такого вида:
дп а (со) d (ф — \i/e)
дп \ U (%, со) g (%, со)"] dT
дг [ Тз ' Т2 J ЧГ '
где a — функция только углов в импульсном пространстве, U и
g — функции углов и энергии, причем U (%, о) — нечетная функ-
функция х = (8 — v)/kT, g (%, со) — четная функция х- Найдем а12 и
а12/Т — есть ток от членов в дп, пропорциональных dT/dz,
Ввиду того что дп/дг имеет при низких температурах вид 6-функ-
ций от s — [х, т. е. отлично от нуля при в, близких к (я, можно в
интеграле с g считать vzA = [1;2ДЦвр. = const. В интеграле с
U (х, со) такое приближение дает нуль ввиду нечетности функции
U (%, со), поэтому там разлагаем у2Л в ряд
Благодаря этому ап/Т = a/Г2, где
2е JA [vzA]^к ^ A^Х %U (х
а21 — есть тепловой поток от члена в блг, пропорционального
электрическому полю,
«21 = 2 J vz (е - (*) -l-,i- w
е% Да(со)
1 + в^ г»
? J
Таким образом, а21 — Г, а а12 — 71.
23

Кролль г при рассмотрении членов кинетического уравнения,
соответствующих установлению равновесия по направлениям,
пренебрегает величинами того же порядка, что оставляемые им.
Благодаря этому у него оказывается невозможным перенос тепла в
металле, по которому не течет электрический ток. Это следует из
того, что при равенстве нулю электрического тока (условие, из
которого, как известно, определяется термо-электродвижущая
сила) у Кролля исчезает отклонение функции распределения от
равновесного фермиевского значения, т. е. функция распределения
при наличии градиента температуры остается фермиевской, не
могущей, как известно, дать какой-либо тепловой поток.
Для выяснения вопроса рассмотрим сперва в общем виде урав-
уравнение стационарности при наличии градиента температуры. Как
известно, изменение числа электронов в единице фазового прост-
пространства под влиянием взаимодействия с тепловыми колебаниями
решетки равняется:
J Aklr {п A - п') (N + 1) - п* A - п) Щ dfxdfydfz +
+ ] Вь# {п A - п") N - п» A - п) (N + 1)} dfxdfydfz, F)
где Ahxh> и Вкхк> — вероятности переходов, отличающиеся только
знаками в б-функциях: именно в Акхк> входит б (s — е' — 7ш), в
Bhxh' — б (е' — е — Йсо); N — функция распределения фононов,
f — волновой вектор фонона. Интеграл с Ahxh> учитывает пере-
переходы из состояния е в состояние е', лежащее энергетически ниже,
чем е, интеграл с Вкхк> —переходы в состояния в", лежащие энер-
энергетически выше, чем е.
Фононы, принимающие участие в переходах электрона с дан-
данным к, должны удовлетворять условию s (k + f) = е (к) + /ко (!),
т. е. лежать на поверхности в импульсном пространстве фононов
г (к+ f) — 8 (к) + ^@ (f) = 0- Поэтому число фононов, прини-
принимающих участие в данном переходе, пропорционально элементу
этой поверхности, т. е. величине | / | d \ f \ при низких темпера-
температурах возбуждения колебания малых частот, при которых
Окончательно
dfxdfydfz ~ | /1 d | / | do ~ (kTf | х' -
Вероятности перехода Aklk> и Bklk> при малых частотах фононов
пропорциональны, как известно, частоте, т. е.
—
XI
1 W. KrolL Zs. Phys., 1933, 80, 50.
24

В F) вместо N подставляем планковскую функцию распреде-
распределения
1 1
еЛсо,/ст __ j_ е!х'-х| | *
вместо п, п -\- Ьп, где п — фермиевская функция распределения,
(е(е-Ю/лт + I), Ьп — малая функция, которую положим рав-
равной 6п/де-ц) (% со), ф — некоторая функция. Ввиду малости дп
оставляем только члены, содержащие дп линейно. С учетом всего
этого выражение F) переписываем в виде
где q — численный множитель (в него входит коэффициент про-
пропорциональности между частотой и волновым вектором и пр.).
В первом интеграле е' = е + /ш, во втором е = б' + Йа>. Так
как волновые векторы фононов при низких температурах значи-
значительно меньше квазиимпульсов электронов, т.е. |f|<^|k|, то
углы со' (со") и со отличаются друг от друга на очень маленькую
величину. Поэтому <р (%'«') можно разложить в ряд по степеням
со' — сох
Ф (*'«') = Ф (хЧ) + Щ^- (со' - со,) + 4
Разлагать в ряд по энергиям фонона, как известно, нельзя,
так как хотя Йсо <^ е, однако ф (%со) есть быстро меняющаяся
функция энергии, со' — (ог пропорционально волновому вектору
фонона
| «,'_<»,_ | — | f | — «> — ЛУ | х' — Xi I-
При интегрировании по углам (азимуту) член, содержащий
со' — о)х (т. е. f), сократится (в предположении шаровой симмет-
симметрии) и остается член, содержащий квадрат волнового вектора.
Теперь G) переходит в
I Х/ — Xi I2 d ,d ,
dd
«г Яг AГ) \ Д Bklk (e-x4l)(ex1+1)(eix
25

(:4;(:-xt+1)(ei,-x,l_1)
где gx, g2 — численные множители.
Это выражение можно записать так:
(АгГJ^(ф).+ (АГLЬ2(ф), (9)
где Lx — stoss-оператор, заключенный в первых квадратных скоб*
ках (8), L2 — во вторых. Выражение (8) нужно приравнять те-
теперь изменению функции распределения под влиянием градиента
температуры, т. е.1
дщ ь dT
Для функции ф получаем уравнение
*** ^ (*Г)^1 (Ф) + Г
В Lx учитываются только те переходы, при которых направление
квазиимпульса не меняется (т.е. переходы внутри конуса в фазо-
фазовом пространстве электронов). В L2 входят переходы, при которых
квазиимпульс меняет направление. Переходов первого рода не-
недостаточно для того, чтобы установить равновесие при наличии
градиента температуры. Чтобы показать это, проинтегрируем обе
части уравнения A0) по энергии (т. е. по конусу в фазовом про-
пространстве электронов). Помня, что
имеем
Но JAxLj (ф) d%i = 0, так как число электронов внутри конуса не
может измениться вследствие переходов, при которых электрон
остается в том же конусе 2. Член] же с dTldz не равен нулю
1 R. Peierls. «Ergebnisse der Exakten Naturwissenschaften». Elektronentheorie
der Metalle, стр. 298.
2 В самом деле
= I AiA"{<P(Xi) - ф (Х")}^1(вх " ^"l
/ {Ф (Xi) - Ф (X')} 41fc'K
При перемене местами %х и %' (xi и %") I меняет знак, оставаясь равным
самому себе, т. е. он равен нулю (при такой замене В^к„ переходит в
26

Таким образом, градиент температуры меняет число электронов с
данным направлением квазиимпульса, в то время как столкнове-
столкновения с фононами, входящие в Lx, не меняют его. Поэтому необходи-
необходимо рассмотреть также и переходы с изменением направления ква-
квазиимпульса, хотя они происходят гораздо медленнее, чем пере-
переходы, при которых это направление сохраняется.
Для решения уравнения A0) ищем функцию ф (%со) в виде сум-
суммы функции только от углов в импульсном пространстве и функ-
функции от углов и энергии (т. е. от %) ф = р (со) + У (Xе0)- При этом
предположим, что 7<СР>так что будем пренебрегать урядом с р.
В Lx р не войдет, ибо там содержится разность
Ф (Oh©i) — Ф (хЧ) = Г (Xi®i) - Г (хЧ).
В L2 войдет у+ Р, но так как мы полагаем у<^Р, то оставляем
только р. Уравнение A0) перепишется так:
^ ^r u (ft. A1)
Для решения уравнения проинтегрируем его по s (т. е. по конусу
импульсного пространства). Интеграл с Ьг при таком интегриро-
интегрировании, как мы видели, исчезает и остается
Из этого уравнения следует, что р (со) обратно пропорциональна
температуре в четвертой степени, т. е.
Для определения у (%со) имеем теперь уравнение
или
~~ в *У * -^ = (кТJ Ьх (г) + &4L2 (Pi) ^-. A2а)
Отсюда можно сделать заключение, что у (хсо) состоит из двух
функций, из которых одна пропорциональна Г", другая — Г;
так как Р ^ Г, то при низких температурах р действительно
больше у.
27

В дальнейшем нам потребуется только выражение для элект-
электрического тока, которое получается из |3, в отличие от теплового
потока, уже в первом приближении (т. е. заменой {vzA) на
{vzh}z=y). Поэтому у нам не потребуется.
Итак, при наличии градиента температуры мы получаем дп
в виде
« дп Вг (со) dT
Полное отклонение функции распределения от равновесного
значения при наличии градиента температуры и электрического
поля будет г
& дп j3i (со) dT дп ol (s)
где а — функция углов, отличная от ($1в Найдем ток
i (со)
где сг и с2 —постоянные. Отсюда следует, что а12 ^ 27.
Найдем тепловой поток от члена d((f — \kje)ldz. Он будет
равен
1 Член _—?L ( ф 1L j найден Блохом.
28

где а21 ^ Г, как и а12. При наличии электрического поля функ-
функция распределения состоит из двух членов г:
дп ct(co) , дп_ (№>V\
дв 1*5 "Г" дг g T* Г
dz
где g (%(o) — функция энергии и углов; g — четная функция % =
= (е — \х)/кТ. При вычислении потока тепла следует в обоих
членах брать второе приближение, ввиду чего тепловые потоки от
аи g будут относиться друг к другу как Г. Поэтому при низких
температурах член g (%co) можно не рассматривать (так же, как
это делается при вычислении электропроводности).
Положив теперь ток i равным нулю, находим производную от
термо-электродвижущей силы по температуре
Т4 И "¦ ~ТЬ dz = '
d (Ф — НУе) с±т
dT "" с2 '
Таким образом, при низких температурах производная от тер-
термо-электродвижущей силы по температуре пропорциональна Г,
как и при высоких температурах. В силу соотношений E) коэф-
коэффициент Томсона М = Т, а тепло Пельтье должно быть пропор-
пропорционально Г2. Если обозначить d (ф — \i/e)/dT через Е, то при
низких температурах отношение EIT должно быть постоянным.
Имеющиеся экспериментальные данные относительно термо-
термоэлектродвижущих сил чистых (наличие примеси вносит сильные
усложнения) металлов при низких температурах2 подтверждают
этот вывод при температурах, больше 5° К (в отношении Sn, Ag, Pt).
До сих пор при рассмотрении термо-электрических явлений
мы учитывали только влияние тепловых колебаний решетки. Од-
Однако как электрическое сопротивление, так и термо-электриче-
ские эффекты обусловливаются еще примесями (остаточное со-
сопротивление) и взаимодействием электронов. Действием этих
двух факторов пренебрегать при низких температурах нельзя,
так как величина остаточного сопротивления или сопротивления,
вызванного взаимодействием электронов, при очень низких тем-
температурах больше сопротивления, вызванного колебанием решет-
решетки. При рассмотрении влияния на термо-электродвижущие силы
примесей (остаточного сопротивления) оказывается, что коэффи-
коэффициент пропорциональности в соотношении Е ^кТ два раза пре-
претерпевает изменение: первый раз, когда сравниваются электриче-
электрические сопротивления (от примесей и от колебания решетки), и вто-
второй раз — при более низких температурах, когда сравниваются
1 L. Nordheim. Ann. d, Phys., 1932, 9, 648.
2 Borelius. Leiden Comm., № 217.
29

тепловые сопротивления от примесей и от колебания решетки.
(В то время как отношение электрических сопротивлений пропор-
пропорционально Г5, отношение тепловых сопротивлений пропорциональ-
пропорционально Г3, откуда видно, что тепловые сопротивления сравнива-
сравниваются при более низких температурах, чем электрические.)
Те же результаты получаются и при рассмотрении взаимодей-
взаимодействия электронов, т. е. соотношение Е — Т справедливо только в
тех областях температур, где одна из сопротивлений (электронное
или обычное) больше другого. Если остаточное сопротивление
сравнимо с величиной электронного сопротивления, соотношение
Е ^ Т перестает выполняться.
При измерениях термо-электродвижущей силы пользуются
цепью из двух металлов с несовпадающими температурами, при
которых происходит изменение коэффициента пропорционально-
пропорциональности в соотношении Е — Т. Благодаря этому наблюдаемая кар-
картина термо-электродвижущей силы отличается большой сложно-
сложностью при температурах, когда сказывается влияние примесей и
взаимодействия электронов.
Украинский Получено
физико-технический институт 4 декабря 1936 г.
Харьков

КРИТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
У СВЕРХПРОВОДНИКОВ МАЛЫХ РАЗМЕРОВ
Целью работы является выяснение зависимости критического значения
магнитного поля от радиуса образца. Учитывая поверхностную энергию для
#, как для функции радиуса г, получаем выражение
Я = Но VT + p/F,
где р порядка 10"^ см.
Как известно, критическое магнитное поле, разрушающее
сверхпроводимость, связано с разностью термодинамических по-
потенциалов сверхпроводящего и несверхпроводящего состояний со-
соотношением Рутгерса — Гортера [1]
H*l8n=Fn-F8 A)
(Fn и Fs — соответственно термодинамические потенциалы еди-
единицы объема нормального и сверхпроводящего состояний). Это
соотношение не учитывает изменения поверхностной энергии, ко-
которое происходит при переходе от сверхпроводящего к нормаль-
нормальному состоянию. Такое изменение может оказаться существенным
при рассмотрении маленьких сверхпроводников, у которых боль-
большая удельная поверхность. Легко видеть, что изменение поверх-
поверхностной энергии приведет к тому, что для маленьких сверх-
сверхпроводников критическое поле будет иметь значение, отличное от
получаемого из соотношения A).
Представим себе, например, цилиндрический проводник, по-
помещенный во внешнее магнитное поле, направленное параллель-
параллельно его оси. Условие равенства термодинамических потенциалов
нормальной и сверхпроводящей фаз во внешнем магнитном поле
Н можно записать так *:
VFs + sas + J^V = VFn + sa.n. B)
V — объем проводника, равный nr2h; r — радиус проводника;
h — длина; s — площадь боковой поверхности, равная 2nrh;
*
ЖЭТФ, 1938, 8, 1096.
1 Это уравнение не учитывает в явной форме кинетической энергии сверх-
сверхпроводящих токов.
31

as> «тг — коэффициенты поверхностного натяжения сверхпрово-
сверхпроводящей и нормальной фаз соответственно. Подставляя вместо Vrs
их значения, имеем
Н* р р , 2К-%)
где Fn — Fs равняется //"o/8it, где Яо — значение критического поля
для толстого образца. Отсюда
H(r) = H
При малых значениях разности Н (г) — Но можно C) разло-
разложить в ряд
(8л (а —а. )
i+ " *
Полученная зависимость Н от г хорошо совпадает с результа-
результатами измерений Понтиуса [2], если положить <хп — <xs равным
0,1 эрг/см2. ап — as есть, очевидно, коэффициент поверхностного
натяжения поверхности раздела между нормальной и сверхпрово-
сверхпроводящей фазами. Как и следовало ожидать, коэффициент поверх-
поверхностного натяжения нормальной фазы ап оказался больше ко-
коэффициента поверхностного натяжения сверхпроводящей фазы.
Это обстоятельство является необходимым для того, чтобы сверх-
сверхпроводники малых размеров были устойчивы. С другой стороны,
имеются некоторые теоретические аргументы в пользу того, что
условия, благоприятствующие переходу в сверхпроводящее со-
состояние, выполнены для маленьких кусков металла лучше, чем
для больших [3].
В соотношение C) входит характеристическая длина
16л(ап-од
Р= 7Й? »
которая, очевидно, имеет порядок величины глубины проникнове-
проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Подставляя найденное
значение ап — as, для глубины проникновения поля в сверхпро-
сверхпроводник получаем значение 2-10~~5 см.
Соотношение C) справедливо до тех пор, пока радиус г в не-
несколько раз больше глубины проникновения магнитного поля в
сверхпроводник (т. е. величины 16я (ап — а$)/Н02). Это условие
при измерениях Понтиуса было выполнено (радиусы его образцов
больше 10 см). В том случае, когда радиус образца примерно
равен 16я (an — as)/J702, для рассмотрения условий перехода ста-
становится существенной структура слоя, в которую проникает поле.
По этому вопросу пока ничего нельзя сказать.
32

Измеряя Н(г) при различных температурах, можно получить
зависимость коэффициента поверхностного натяжения между
нормальной и сверхпроводящей фазами от температуры (следова-
(следовательно, и глубины проникновения поля р).
Такие измерения представляются весьма желательными. При
разрушении сверхпроводимости током, в отличие от рассмотрен-
рассмотренного здесь случая разрушения магнитным полем, рассмотрение
вопроса может усложниться в связи с тем, что при разрушении
током возникает промежуточное состояние [4]. Лауэ [5] рассмот-
рассмотрел вопрос о зависимости критического поля от радиуса, пользу-
пользуясь уравнениями Лондона. Представляется небезынтересным ука-
указать на возможность несколько иной трактовки этого вопроса.
Академия наук СССР Получено 17 июня 1938 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. J. Gorier, Nature, 1933, 132, 931.
2. R. В. Pontius. Nature, 1937, 139, 1066.
3. F. Hund. Ann. d. Phys., 1938, 32, 102.
4. H. E. Алексеевский. ЖЭТФ, 1938, 8, 342.
5. M. V. Laue. Ann. d. Phys., 1938, 32, 71; 1938, 32, 253.
2 И. Я. Померанчук, т. I

О ВЛИЯНИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
МОНОКРИСТАЛЛОВ ВИСМУТА
ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ*
Совместно с Б. Давыдовым
Рассматривается влияние квантования электронов на рост остаточного
сопротивления в поперечном магнитном поле. Предполагается при этом, что
электронов [проводимости и дырок в висмуте мало и что они имеются в почти
одинаковом количестве. Найдены волновые функции для блоховских «сильно
связанных» электронов в магнитном поле при малых энергиях и показано,
что они аналогичны функциям совершенно свободных электронов с анизо-
анизотропной массой. Показано, что число столкновений, создающих остаточное
сопротивление, изотропно, т. е. может зависеть только от энергии электронов.
В ычислена сила . тока.
Если считать, что вследствие малой эффективной массы электронов су-
существенно только квантование в верхней зоне, то на параболический рост
сопротивления накладываются осцилляции, что находится в хорошем согла-
согласии с опытом. Температура вырождения электронов получается около 70° К
и число свободных электронов порядка 10~5 на атом. При более высоких тем-
температурах оно должно расти как Т3/г. Этим объясняется наблюдаемое увели-
увеличение постоянной Холла при низких температурах.
1. Введение
Рассматривая изменение сопротивления металлов в магнит-
магнитном поле, можно большей частью не учитывать вызываемое этим
нолем квантование электронных состояний. Магнитное поле вхо-
входит только в кинетическое уравнение как причина переходов из
одного состояния в другое. При учете анизотропии кристалла обыч-
обычно получается увеличение сопротивления правильного порядка
величины.
Особенно резкое возрастание сопротивления уже в сравнитель-
сравнительно слабых полях наблюдается у висмута. Это связано там с малой
эффективной массой свободных электронов, а также с тем, что в
чистом висмуте имеются в почти одинаковом количестве и элект-
электроны проводимости и дырки в заполненной зоне [1].
Однако наиболее чистые образцы монокристаллов висмута да-
дают при низких температурах вообще аномальный ход кривой со-
сопротивления в магнитном поле: на монотонное параболическое
возрастание накладываются осцилляции, так что получается не-
несколько максимумов и минимумов [2]. Подобным же образом ведет
*~ЖЭТФ, 1939, 9, 1294; J. Phys. USSR, 1940, 2, 147.
34

себя и магнитная восприимчивость висмута [3]. Этот аномальный
диамагнетизм висмута связан с квантованием электронов в маг-
магнитном поле [4—6]. Аномальный ход сопротивления естественно
поэтому приписать той же причине. Вследствие малой эффектив-
эффективной массы* свободных электронов и связанной с этим большой ве-
величины магнетона квантование у висмута сказывается уже в по-
полях, при которых у других металлов оно еще незаметно.
В достаточно сильных полях и при низкой температуре рассто-
расстояние между дискретными уровнями энергии электронов в магнит-
магнитном поле становится больше кТ. Для силы тока существенны
электроны, обладающие энергией, близкой к химическому потен-
потенциалу. Когда дискретные уровни, смещаясь кверху при усилении
магнитного поля, пересекают уровень химического потенциала,
получается увеличение силы тока. Это и создает наблюдающиеся
на опыте минимумы на кривой сопротивления.
Если воспользоваться значениями составляющих тензора об-
обратной массы электронов проводимости, получающимися из ос-
осцилляции магнитной восприимчивости [7], то по положению ми-
минимумов сопротивления можно определить значения химического
потенциала. Получается температура вырождения ?//Ь^70°К.
Это несколько ниже, чем значение, полученное из магнитной вос-
восприимчивости A40° К). Концентрация электронов проводимости
получается отсюда порядка 10 на атом.
Число электронов проводимости можно также определить по
электропроводности и по зависимости ее от магнитного поля.
При комнатной температуре оно порядка 10~4 на атом [1]. Такое
расхождение заставило Блекмана [6] предположить, что осцил-
осцилляции магнитной восприимчивости создаются особой небольшой
группой электронов, которая мало сказывается на электропро-
электропроводности. Это предположение является, однако, излишним.
Вследствие наличия двух перекрывающихся полос уровней при
высоких температурах число электронов проводимости должно
расти пропорционально Г3/2. Если при низких температурах оно
порядка 10~5 на атом, то при комнатной температуре мы получим
уже около 10 электронов на атом. Этим, к тому же, объясняет-
объясняется и наблюдаемое на опыте увеличение эффекта Холла при пере-
переходе к низким температурам [8]. Из постоянной Холла для поли-
поликристаллического висмута получаются как раз приведенные вы-
выше числа электронов проводимости.
Влияние квантования электронов на рост сопротивления метал-
металлов в магнитном поле рассматривал Титейка [9]. Он считал элект-
электроны совершенно свободными и учитывал только столкновения их
с упругими волнами. Осцилляции, о которых мы говорили выше,
Титейка не рассматривал [10]. Результаты его нельзя, впрочем,
непосредственно переносить на висмут, так как он не учитывал
ни анизотропии, ни наличия дырок.
Мы будем рассматривать волновые функции электронов прово-
проводимости в магнитном поле в блоховском приближении, исходя-
2* 35

щем из атомных функций. При этом мы ограничимся случаем ма-
малых энергий, т. е. состояний, энергия которых близка к краю
дозволенной полосы. В висмуте вследствие небольшого числа элек-
электронов проводимости и дырок существенны только такие состояния.
Зависящая от атомного номера часть волновых функций при
этом совпадает с волновыми функциями совершенно свободных
электронов, обладающих анизотропной массой. Елоховские
«сильно связанные» электроны и электроны совершенно свобод-
свободные представляют два предельных случая электронов проводимо-
проводимости. Можно поэтому думать, что и в промежуточном случае волно-
волновые функции имеют подобный же вид.
При вычислении силы тока мы для простоты будем рассматривать
только остаточное сопротивление, т. е. столкновения с атомами
примесей. Несмотря на анизотропию массы вероятности перехо-
переходов при этом получаются изотропные (опять-таки для случая ма-
малых энергий) и могут зависеть только от энергии электронов.
2. Волновые функции
Как указывалось выше, у висмута очень мало свободных элект-
электронов и положительных дырок. Поэтому химический потенциал
тех и других невелик, и для электропроводности существенны
только состояния, уровни энергии которых лежат возле перекры-
перекрывающихся краев полос дозволенных уровней. Для таких состояний
энергии при отсутствии поля квадратично зависит от волновых
чисел.
Для того чтобы найти волновые функции электронов при на-
наличии электрического и магнитного поля, мы воспользуемся бло-
ховским приближением «сильно связанных» электронов и будем
исходить из атомных функций в магнитном поле. Пусть электри-
электрическое поле F будет направлено по оси z, магнитное Н — по оси
у и векторный потенциал А = А х = Hz. Если обозначить eHlhc =
= у (h — планковская постоянная, деленная на 2л), то волновое
уравнение будет
а)
Здесь V (г) означает потенциал периодического поля кристалла.
Обозначим Vn (r) потенциал тг-го иона решетки, соответствующим
образом заэкранированного объемным зарядом (п означает сово-
совокупность трех значков, нумерующих ионы). Пусть далее а|з0 (г)
означает волновую функцию основного состояния электрона в по-
ле ^о (г) ПРИ наличии магнитного поля. Это последнее на опыте
всегда гораздо слабее, чем атомные поля, так что г|H от Н зависит
слабо. Тогда волновой функцией электрона в поле Vn (г) = Vo (г—
- rm) будет не а|э0 (r — rn), a
Фп(г) = Фо(г-Гп)^1г2л(МВл). B)
36

Действительно, волновое уравнение для о|зЛ (г):
i JL_l—1-4-7 (г —г ^1яЬ — F ib C)
отличается от соответствующего уравнения для п = О не только
заменою г на г — гп, но и появлением добавочного члена — iyzn
у векторного потенциала. Это приводит, как известно, к появле-
появлению экспоненциального множителя у tyn. Решение уравнения A)
в первом приближении будем искать в виде
"Ф (Г) = S amtym (r)- D)
т
Умножая A) почленно на i|)n и интегрируя, получаем
1% = EXtyntydx. E)
Если сюда подставить D), то у нас появятся следующие интегралы:
0 (г - гп) % (г - rn+v) е-^Чх = 5^^ ^+ Т *)
^ (г - гп) г|H (г - rn+v) (F - Fn) е-*^*Л
Здесь обозначено:
V, = W0 (r) г|)„ (г - rv) (V - Vo) dx, F)
где i5v ж Vv от п уже не зависят и экспоненциально убывают с
увеличением |v|. О (d2) обозначает также не зависящую от п поправ-
поправку порядка yd2, где d — постоянная решетки. Этой поправкой при
всех достижимых полях можно пренебречь. Мы можем пренебречь
также членами порядка Fd, считая электрическое поле слабым.
Нас интересуют только состояния с энергией, близкой к краю
дозволенной полосы уровней. Поэтому ап = а (гп) можно считать
медленно меняющейся функцией от п. Раскладывая ее, а также
экспоненциальные множители в B) в ряд по степеням ?v, t]v, ?v и
37

ограничиваясь квадратичными членами, получаем, учитывая C)
2 1(Я- Ео -eFz)Sv- V] |а(г) + ?, (^ + *
х
G)
При отсутствии внешнего поля коэффициенты а (гп) для вол-
волновой функции с малым волновым числом приближенно удовлет-
удовлетворяют, как известно, такому уравнению:
- -г-2 № -Щ^- = (Е- Ег) а, (8)
где Xol = х, у, z; \1а$ означает тензор обратной массы; I — край
рассматриваемой 1-й полосы уровней. Формула G) показывает,
что уравнение для* а (г) при наличии электрического и магнитного
полей отличается только тем, что (Е — Ео — eFz) стоит вместо
Е — Eq и д/дх + iyz вместо д/дх. Это уравнение имеет, следова-
следовательно, вид:
4-2 №Р*Р*а = (Е-Ег- eFz) a, (9)
где
1 i \ дх '
Тензор \i^ здесь немного зависит от магнитного поля, так как
функция а|з0, входящая в 5V и Fv, учитывает действие поля (атом-
(атомный диамагнетизм). В первом приближении этой зависимостью
можно, однако, пренебречь.
В уравнение (9) внешнее поле входит так же, как в волновое
уравнение для совершенно свободных электронов. Действие
периодического поля кристалла сводится, таким образом, только
к анизотропии тензора обратной массы. Необходимо подчеркнуть,
что это имеет место только для состояний, лежащих вблизи края
дозволенной полосы уровней: только для таких состояний коэф-
коэффициенты ап медленно меняются с изменением п.
Висмут обладает тригональной симметрией. Вследствие этого
мы должны иметь три группы электронов проводимости и три
группы дырок. Каждая из групп при абсолютном нуле заполняет
эллипсоид в пространстве волновых чисел, причем эти эллипсоиды
повернуты друг по отношению к другу на 2я/3. Пусть ось z, по
которой направлено электрическое поле, совпадает с тригональ-
тригональной осью кристалла. Мы примем для простоты, что она является
38

также главной осью всех эллипсоидов, хотя результаты Шёнберга
и показывают, что в действительности соответствующие главные
оси расположены под небольшим углом к тригональной оси. Две
другие главные оси каждого эллипсоида будут тогда лежать
в плоскости ху.
Угол между главной осью одного из эллипсоидов, совпадаю-
совпадающей с бинарной осью кристалла, и осью х обозначим^. Тогда уг-
углы $i между одноименными осями всех трех эллипсоидов и осью х
будут: %
Составляющие
вид:
[1ц = \хг cos2 i
i
ft, ^2 = ^ + 2я/3,
тензора обратной
}t +j!2Sin2^Z, |^22 =
2) sin 'О'/ cos $1,
массы
= fiiSin2
1
прочие — нули. Здесь pia означают главные
Это дает при Фг = 0 \ilap = |Aa6ap; при fy
1*11 =
1 0 1
У"з"
i
+ An/3.
jxip имеют при
!/&/ + |Л2 COS2 fy,
оси тензора.
- 2я/3 и 4я/3
A0)
этом
A1)
A1а)
Если же О = л/2 (#! = я/2, ф2 = 7я/6, ^3 = —я/6), то [хх и pi2
следует поменять местами.
К сожалению, тензор обратной массы известен только для тех
состояний, которые создают осцилляции магнитной восприимчи-
восприимчивости; мы условно примем, что это — состояние верхней полосы
уровней. Согласно Шёнбергу [7] для этих состояний
^ — 0,003^0, l/fx2~5m0, 1/|д3~0,05т0, A2)
где т0 — нормальная масса электрона.
Решения уравнения (9) с такими значениями |ia? имеют вид:
a(T)=ei{4****v%(z). A3)
Если ввести новую переменную
то для фп (s — s0) получается уравнение осциллятора:
2Е
(J
A5)
39

Здесь
eF
(i6)
еН
где д означает осцилляторное квантовое число.
Таким образом, полная энергия
Е = Я,
где
а = h2 {\i22 — ^212/^u).
Величины а, о и z0 у нас будут разные для разных эллипсои-
эллипсоидов, так как [х^ — разные. Приф^ = 0 значения очевидны. При
$ч = 2я/3 и 4л/3 имеем:
Обычным путем легко убедиться, что волновому уравнению (9)
с анизотропной массой соответствует плотность тока:
S[ h ( * да да* \ е А ]
^ Ы [а -^ -а -щ) -—А*а
В нашем случае при А = А ж = Hz, усредняя по всему про-
пространству, находим среднюю плотность тока:
""B0)
Таким образом, если не учитывать столкновений, то сила тока
в направлении электрического поля равна нулю. Конечное со-
сопротивление появляется при этом только в результате столкно-
столкновений.
3. Столкновения
Мы будем рассматривать только столкновения электронов с
искажениями решетки, например с атомами примесей. Как уже
указывалось, в висмуте приходится рассматривать шесть групп ста-
стационарных состояний: три электронных группы и три дырочных.
При столкновениях электроны будут переходить из одного состоя-
состояния в другое как в пределах одной группы, так и из одной группы
в другую.
40

Пусть атом примеси расположен в начале координат. Созда-
Создаваемое им искажение периодического поля обозначим U (г). Вол-
Волновое уравнение запишется тогда в виде:
{Н + U (г)} г|) = Яф, B1)
где Н означает гамильтониан при отсутствии искажений периоди-
периодического поля.
Энергию U (г) нельзя считать малой, поэтому теорию возму-
возмущений здесь применять нельзя. -Мы рассмотрим сначала столкно-
столкновения при отсутствии внешнего поля. Решение B1) ищем в виде:
l>@ = *ikr"z(M) + iM0- B2)
Здесь иг (к, г) означает модулирующую функцию падающей вол-
волны, I — номер группы состояний (Z = 1, ..., 6).
Подставляя B2) в B1), получаем уравнение для рассеянной
волны i|)s
(Н - Е) 1|>в = U (г) [е^щ (к, г) + i|>8]. B3)
Если длина волны X = 2п1к больше, чем размеры области, в
которой U (г) заметно отличается от нуля, то здесь можно eikr
приближенно заменить на единицу, а иг (к, г) — на их @, г), со-
соответствующую к = О
(H-?)*.?e-tf(r)[M0,rL-t|>.]. B4)
Вероятность перехода W0 из состояния (к, I) в состояние (к', V)
с той же энергией должна быть пропорциональна | ty8 | 2. Но в
приближенное уравнение B4) для о|э8 волновой вектор к вообще
не входит. Следовательно, W0 не может зависеть ни от к, ни, в
силу симметрии, от к'; она может зависеть только от I и V (и при-
притом симметрично) и от энергии электрона. Зависимость от энергии
мы, впрочем, можем не учитывать, так как нас интересуют толь-
только состояния, близкие к уровню химического потенциала. Таким
образом, вероятность перехода есть
Несмотря на анизотропию массы, мы получили для состояний
с малыми волновыми числами изотропные вероятности перехода,
т. е. изотропное число столкновений. Что же касается вероятно-
вероятностей W° для различных I и V, то все они должны быть одного по-
порядка, так как иь входящие в B4), как правило, одинаковы по по-
порядку величины.
Интересно отметить, что вероятности перехода не обращаются
в нуль при квазиимпульсе к = 0, если полосы дозволенных уров-
уровней перекрываются. Действительно, при к = 0, к' =f= 0, и поток
электронов, рассеянных в другую группу состояний, вовсе не ра-
41

вен нулю. Здесь мы имеем чисто квантовое явление: эффективное
сечение атома примеси для падающего на него электрона при пере-
перекрывающихся полосах стремится к бесконечности, когда длина
волны X = 2я/&-> оо.
При наличии электрического и магнитного полей вместо пло-
плоских волн мы имеем функции A3). Решение уравнения B1) ищем
теперь в виде
* (г) = е{ №Ч>)Ьп (z - z0) uln (к, г) + ф, (г). B5)
Здесь п — осцилляторное квантовое число, ф*п (z — z0) — ос-
цилляторная волновая функция с положением равновесия zQ.
Нас интересуют только состояния, лежащие возле края до-
дозволенной полосы. Для них мы можем приближенно заменить опять
ег(кхх+куу) на едИШщу? модулирующую функцию щп (к, г) на
иг (О, г), а также ф^п (z — zQ) на фгп (z0). Вместо B4) получаем:
(Н - Е) ^s щ - U (г) [ф4я (zQ) щ @, г) + фв]. B6)
Вероятность перехода между состояниями (Z, п, к) и (Z', п', к')
с одинаковой энергией в первом приближении опять не зависит
от к = (кх, ку). Она должна быть теперь пропорциональна
I ф/пB0)|2, а следовательно, в силу симметрии, также и | фгП' (z0') | 2
т. е. она будет
Wou>\<pln(zo)<prn.(zo)\*6(E-E').
Если рассеивающий атом примеси расположен не в начале ко-
координат, а в точке z = z1? то вероятность перехода будет,- оче-
очевидно,
l | Ъп (Ч - Ч) 4i>n> & - z'o) |2 6 (Е - Е'). B7)
4. Функция распределения и сила тока
В стационарном состоянии функция распределения / у нас
зависит от трех параметров: от группы состояний Z, от осциллятор-
ного квантового числа п и от волнового числа ку в направлении
магнитного поля. Как мы сейчас убедимся, от кх она не зависит.
Условие стационарности имеет вид:
I n,fcx,
Xb{E-E')[f(l,n,kv)-f(r,n',ky)] =0. B8)
Здесь W = vsW°, где vs означает концентрацию рассеивающих
электроны примесей, которые мы считаем хаотически распределен-
распределенными.
42

Если ограничиваться членами, линейными относительно
электрического поля, то это уравнение удовлетворяется фермиев-
ским распределением, причем в показателе должна стоять энер-
энергия за вычетом члена, пропорционального F [9],
^ ) = (exp ^M-l)~\ B9)
где согласно A7)
8
== (Л + 4") Л@' + 4" aikv C0)
для состояний верхней полосы уровней (Z = 1, 2, 3) и
е = Д - (д + .1-) Пщ + -i- <x,&J C1)
для нижней, почти заполненной полосы (Z = 4, 5, 6). Здесь Д
означает перекрытие полос (расстояние от нижнего края верхней
полосы до верхнего края нижней).
В уравнении B8) мы можем разложить / (Z, п, ку) в ряд по сте-
степеням (z'o — zQ). Ограничиваясь линейными членами, получаем:
/ (Z, п, ку) - f (Z', п', ку) = eF (z0 -zo)-?L. C2)
Стационарность распределения B9) вытекает из того, что в B8)
при суммировании по кх, т. е. по всевозможным z0, каждому чле-
члену, пропорциональному (z'o —z0), сопоставится член, равный по
величине и противоположный по знаку.
В магнитном поле химический потенциал ? в B9) не остается
неизменным. Полное число электронов меняться не может; сле-
следовательно, разность между числом электронов v_ в верхней
полосе и числом дырок v+ в нижней также не должна меняться.
В достаточно чистом висмуте эта разность мала, и мы будем счи-
считать, что она равна нулю. Таким образом, ? у нас определяется
условием для концентраций: v_ = v+. С распределением B9)
имеем для электронов
От суммирования по кх, ку переходим к интегрированию. Мы бу-
будем рассматривать кубический кристалл, ребра которого равны
единице. На промежуток dkx, dky приходится тогда dkxdky/4K2
состояний. Далее из A6) и C0) имеем:
dkxdkv = -^=^-dzQds. C4)
43

Двойка здесь появляется вследствие двух ветвей интегрирования
по
ку = ± у [2е — Bи
Это дает
1 е-g
Я f \
fno
C5)
и аналогично для дырок
^- ?) - Bп + 1) Acoz]/az. C5а)
Таким образом, химический потенциал ? определяется усло-
условием
2 (A D р» + 1)ЛГ C6)
В слабом магнитном поле/гац^ ?, и суммирование по п мож-
можно заменить интегрированием. Пренебрегая единицей по срав-
сравнению с 2п, получаем
Теперь формула C6) дает:
3 / 3 /
?^=?~^г- C7)
Здесь магнитное поле выпадает, так как согласно A6) все (Oj
одинаково пропорциональны Н. Следовательно, в слабых полях
химический потенциал остается постоянным. Он меняется только
в сильном магнитном поле, когда сказывается квантование, и в
C6) от суммирования по п нельзя перейти к интегралам.
Переходим к вычислению силы тока в направлении электриче-
электрического поля. При каждом переходе, учитываемом в уравнении B8),
электрон смещается в направлении поля на величину z'o — z0.
Следовательно, полная сила тока получится, если подынтегральное
выражение в B8) помножить на е (z0 — z0) и просуммировать не
только по всем начальным состояниям, но и по конечным, разде-
разделив затем на два, так как при двойном суммировании каждый пе-
44

реход учитывается дважды: один раз через начальное состояние,
другой — через конечное. Такой способ вычисления тока проще,
чем примененный Титейкой, так как сразу приводит к двойному
интегралу C9) вместо тройного. Мы получаем таким образом:
6 + оо + оо 1
13 S И dk*dkv 11 dk'Jk'y I dzi (z° -z»)x
l r
И 11 I
I, l'=l n,nr — oo — oo 0
X Wir I %n (*i - *o) yi'n'^ - z0) \4(E-
X [f(hn,kv)-f(l\n',k'y)]. C8)
Учитывая спиновое вырождение, мы удвоили только число на-
начальных состояний, считая, что спин при столкновениях не ме-
меняется. Интегрирование по z± здесь производится по рассматривае-
рассматриваемой области. По остальным переменным при этом можно условно
интегрировать от —оо до +оо.
В C8) заменяем переменные согласно C0) и C4). При этом
Выполняя
X <{>1п
Ь(Е — Е')
= »[
интегрирование
в
T- ^ ^
/, l=i п,п'
^i z0) Фг-п
-4- оо
И'
О г)
ОО
е-е
ПО 87
izQdzQ
>
1
0
+ eF(zQ-
получае.м:
го)]-
. «о) W
f (l',n', k'y)
V V
Раскладываем подынтегральное выражение в ряд по степеням
F и ограничиваемся линейными членами согласно C2). По свой-
свойствам осцилляторных функций
dzodz'o | ф/п (z± — zQ) ф/'n' (z± — z'Q) I2 (zQ — z'oJ =
[-OO +O0
^0 I Ф/n (^l -
= -f l(n + V2) /5n4 + К + V2) /ji^>u]. C9)
Интегрирование по zx дает теперь ребро куба, т. е. единицу. Окон-
Окончательно имеем
Суммирование по п и п и интегрирование по 8 здесь распро-
распространяется на все те неотрицательные значения этих величин, для
которых согласно C0) и C1) ку и к'у вещественны.
45

5. Сопротивление
Удельное сопротивление равно отношению составляющей
электрического поля в направлении тока к плотности тока:
Р = -?-=^г- D1)
Параболический рост сопротивления в магнитном поле пока-
показывает, что в чистом висмуте дырок столько же, сколько электро-
электронов проводимости. В этом случае согласно B0) jx+ = —/*-, и.
следовательно, «холловский» ток }х = 0; точно так же и jy = 0.
При этом
Р = F\)z. D2)
В слабом магнитном поле квантование электронов несуществен-
несущественно (hcdi <^l кТ), и мы можем в D0), так же как и в C7), заменить
суммы по п и п' интегралами. Имеем, например:
С1 , С <Мп _ 8 63/2 (А - бI/2
\ СиТЬ \ —г —¦ —Q ~
о о » \ l'\ L * 1 1
и т. п. Далее, df/дг можно здесь заменить на б-функцию:
df/de^: б (е — Q.
Таким образом, в слабом магнитном поле
X
Значения — (Jti^? ее и: со определяются формулами A1) и A6)—A8).
Формула D2) в основном совпадает с выражением, получен-
полученным Джонсом [1] для случая, когда р ^> р0, т. е. со^т^>1, где
р0 — сопротивление без магнитного поля и т — средний промежу-
промежуток времени между двумя столкновениями. Разница заключает-
заключается только в том, что у Джонса вместо шести групп состояний было
только две (электронная и дырочная).
Таким образом, если в D0) от суммирования по п переходить к
интегрированию, то при cdztJ^>1 результат совпадает с тем, ко-
который получается, если рассматривать магнитное поле как слабое
возмущение, т. е. как причину переходов. Если cozt < 1, то наш
метод непригоден, так как столкновения будут тогда более силь-
сильным возмущением, чем магнитное поле.
В более сильных полях /ш^ становится сравнимым с кТ, и
дискретность п становится существенной. Можно] думать, что
46

у «шенберговских» состояний вследствие их малой массы квантова-
квантование сказывается раньше. Поэтому для дырок мы сохраним интегри-
интегрирование по п. Сила тока D0) распадается у нас теперь на три части:
U = U + /- + /±. D4)
где ток 7+ связан с переходами в пределах нижней полосы, т. е.
между «дырочными» состояниями, ток /_ связан с переходами в
пределах верхней полосы и, наконец, j± обязан переходам из од-
одной полосы уровней в другую.
Ток 7+ У нас будет иметь прежний вид D3), причем суммирова-
суммирование по I и Г производится от 4 до 6:
Ww -,/^э (Д-Р2
^?У ^"^~'
Переходим к току j±. Интегрирование по дырочным состояни-
состояниям дает
Л—б А—е
С dnr (А—8)У« Г n'dn' __
О ' 1 0 ' 1
_ 4 (А — 8K/а
Второй из этих интегралов значительно больше первого. Мы по-
получаем
2p?FH 4i V V WW С° л rf/ Г / 1 \ I/»
ssa j *1()Н х
^зз (Д-е) 3 / 1 \ -, / ^з (Д-8I^
X \ I/ —Г? Г7~И 1 о~ I л П о"
D6)
Здесь множители (Д — s) — медленно меняющиеся функции, и их
можно вынести из-под интеграла. Там, где df/ds велико, А — е S5
^ А — ?. Следовательно,
2e*FH V V V ^ Tl / ^зз (А - g) ,
V V V ^ Tl / ^зз
A Zl Zl 7^= I/ TT
D7)
где
47

Для простоты мы будем здесь считать эффективную массу ды-
дырок изотропной
и вероятности перехода одинаковыми {Ww = W).
Если магнитное поле перпендикулярно к бинарной оси крис-
кристалла, то это дает:
1* -
D8)
Если магнитное поле направлено по бинарной оси, то нужно
поменять местами \i± is. (х2.
Интегралы Jn (со i) представляют собой функцию от Н, об-
обладающую максимумом при (п + V2) feco I ^ t- В точке максиму-
максимума их значение ^ (кТ)~Ч2. Вследствие наложения этих макси-
максимумов ток ;± (Н) приобретает осциллирующий характер.
Наконец, для тока ;'_ имеем из D0):
3 /—
2 2 W ILL I/ -H- Jnn. (©„ cor), D9)
где
df/дг dz
' 1/ Г / л.1
Интегрирование здесь простирается от ех = (/г + 12)т,
где сот —большее из соi и cor? и до бесконечности. Если (п +
4- х/2) со; =/= (д' + 1/2) cor, то интеграл сходится; в противном
случае он расходится. Это связано с тем, что согласно B8) и C4)
при ку -> 0 вероятности перехода у нас стремятся к бесконечно-
бесконечности как 1/ку. Продолжительность каждого отдельного столкно-
столкновения при малом ку уже не мала по сравнению со средним проме-
промежутком времени т, отделяющим два последовательных столкнове-
столкновения; следовательно, взаимодействие электронов с рассеивающи-
рассеивающими атомами примеси при малых ку нельзя разложить на отдельные
столкновения.
Наш расчет сохраняет смысл, очевидно, только до тех пор, пока
продолжительность столкновения или, точнее, квантовая неопре-
неопределенность момента столкновения меньше, чем т. Но если мы вы-
выберем Д? — т, то с этим связана неопределенность энергии As —
— hh, и только с такой точностью мы можем указать ег. Можно
48

поэтому думать, что получится разумный результат, если взягь
Ч — {п + \) Ьщ ~ hlx (e±). E0)
У нас т пропорционально |/~е— (^г + 1/2) Дсог. Следовательно,
т (8i) ~ т Пе1 — {п Jr1l?)h(i)l] 1г. Здесь т и е —их средние зна-
значения; мы возьмем т ~ 4-100 сек, г — 10~14 эрг (см. ниже). Это
дает
ei — (п + V2) h®i ~ {h\/T2)i/3 ~ 2 • 10~17 эрг.
Интеграл Jnn> (соь со^) также дает максимум при (п + 1/2)
hiom ^ ^. При (п + 1/2) озг =j= (n' + 112) сог' в точке максимума
Лш» (©/, <о;0 ~ (кТ [ I - {п' + Va) A(Dm] )-V«.
Если же (п + 1/2) o)z = (гг' + 1I2) @f', то при максимуме
/пп'.(соь о);') — 1/feT'ln eJkT; поэтому при самых низких тем-
температурах соответствующие члены играют большую роль.
Если же вероятности переходов Ww одного порядка величи-
величины, то вблизи максимума ;_ ^ 7±.
6. Обсуждение результатов
Ток «неквантующихся» дырок /+ обратно пропорционален
Н2. На него накладываются осциллирующие /V и /_. Отношение
осциллирующей части тока при ее максимуме к монотонно убываю-
убывающей по порядку величин будет:
/+max __ fcto+ heH .-.
/+ /(А - Q кТ т+с /(Д-ОМГ ' [ }
Положение максимума тока, т. е. минимума сопротивления,
определяется условием:
4-)^ = С, т.е. # = ^_jL_(^3)-V% E2)
где п —«порядок» максимума, т. е. осцилляторное квантовое чис-
число, \11г1 я [4з определяются формулами A0)—A2). Таким образом,
относительная амплитуда осцилляции обратно пропорциональна
п + х/2, и заметить можно только осцилляции, соответствующие
небольшим п = 0, 1, ...
Вычисленное по формулам предшествующего параграфа со-
сопротивление мы должны сравнивать с сопротивлением при отсут-
отсутствии магнитного поля. По обычной формуле
Всего у нас имеется три группы свободных электронов. Сле-
Следовательно,
4я Bm?K/*
49
3 Bя/гK л2/*3

где т = (МаИ^з)"^3* При вычислении т главную роль играют пе-
переходы в состояния нижней полосы, так как там уровни располо-
расположены гуще. Поэтому
(в - Д
3W
Таким образом,
<53>
На рисунке изображен приблизительный ход отношения Ря/р0-
При этом мы принял!и: т+ = А/4 т0, т = 4«100 сек, Т =
= 4,2° К (такому т соответствует при комнатной температуре т —
— 103 сек). Ток направлен по тригональной оси кристалла;
магнитное поле перпендикулярно к бинарной оси. Теоретическая
кривая хорошо согласуется с экспериментальными точками,
полученными при тех же условиях [2]. Трехмиллионное увели-
увеличение сопротивления получается, с одной стороны, за
счет большого т и, с другой — вследствие наличия свободных
электронов и дырок в почти одинаковом числе, благодаря чему
параболический рост идет достаточно далеко.
На опыте минимумы получаются приблизительно при 12 и
24 кгс. Эти минимумы можно припи-
приписать п = О, ^ = 0 и Ф2,з = 2л/3. Тогда
положение минимума около 14 кгс, ко-
который наблюдается, когда магнитное
поле направлено по бинарной оси, так-
также совпадает с теоретическим: п = 0,
^2,3 = db гс/3, Н = 24 / у 3 кгс [формулы
E2) и A1); если магнитное поле направ-
направлено по бинарной оси, то \ix и fx2 нуж-
нужно поменять местами].
По положению минимумов мы может
теперь определить химический потенци-
потенциал электронов. Получается ?//с~70°К,
т. е. несколько ниже, чем по Шёнбергу
A40° К). Отсюда концентрация свобод-
свободных электронов и дырок: v_ = v+ = 1,6«1017 см~3, или 0,6 «10~6
на атом.
Приблизительно такое же значение получается при низких
температурах из постоянной Холла для поликристаллического
висмута [8]. Монокристаллы висмута дают более низкое значение
постоянной Холла, но это, очевидно, объясняется взаимной ком-
компенсацией электронов и дырок.
При комнатной температуре число свободных электронов и ды-
дырок у висмута больше. По электропроводности и по росту сопро-
сопротивления в магнитном поле получается 10~4 свободных электронов
1
1
А
•4
0 5 10 15 Н,нгс 25
50

на атом [1]. Это объясняется тем, что вследствие наличия двух пе-
перекрывающихся полос при температурах выше, чем ?/&, число как
электронов проводимости, так и дырок в нижней зоне должно
увеличиваться как Т3/*.
Действительно, число электронов проводимости и дырок
3
v =
о
3
E4)
о
При высоких температурах А < кТ, и в последнем интеграле
А можно пренебречь. Введем новые переменные: х = /?/уг2тАГ,
у = ЦкТ. Тогда
Q BткГ)я/> f хЧх __ Q Bт + /сГK'2 f хЧх
Из правого равенства вытекает, что у от температуры не за-
зависит. Но в таком случае v пропорционально Г3/2.
Таким образом, хотя висмут и металл, число свободных элект-
электронов и положительных дырок в нем зависит от температуры,
что сближает его с полупроводниками.
Рассмотрим теперь случай очень сильных полей. С усилением
магнитного поля осцилляторная нулевая энергия должна стать
больше, чем расстояние от верхнего края нижней полосы уровней
до нижнего края верхней полосы A/2/ког > А ). После того как
это произойдет для всех трех групп электронов (I = 1, 2, 3),
кристалл должен был бы стать изолятором, электропроводность
которого экспоненциально убывала бы с усилением магнитного
поля. Если магнитное поле перпендикулярно к бинарной оси
кристалла, то это должно было бы получаться уже начиная
с Н—^30 кас, при других положениях — в более сильных полях;
если магнитное поле направлено по бинарной оси, то — при по-
полях, в несколько десятков раз больших.
В действительности, однако, вследствие наличия примесей число
свободных электронов и дырок никогда в точности не совпадает.
Разность между ними не может зависеть от поля. Поэтому не-
небольшая металлическая проводимость сохранится в любых полях.
Если положительных дырок больше, чем квантующихся в
более слабых полях электронов проводимости, то в сильных по-
полях останутся одни дырки. При этом в дальнейшем могут еще по-
появиться осцилляции, связанные с квантованием дырок.
Если же свободных электронов больше,чем дырок, то в сильном
магнитном поле останутся одни электроны и притом только в со-
состояниях с п = 0. Ход кривой сопротивления при этом должен
51

быть монотонным. Химический потенциал будет зависеть от
магнитного поля; вместо условия C5) имеем
"'
\ * УBе-Ц, • E6)
— Лео
2
Значок I мы отбросили, так как сохранится только та группа элек-
электронов, для которой о/ наименьшее^' означает число избыточных
электронов проводимости.
Обозначим е —1/2Ыо = е', ? —1/2^со = ?'. В очень сильном
поле получится максвелловское распределение
Следовательно,
еН ТЧкТ Т de'e-z''kT eH i/"~W Y41sT /к„ч
v = —г— е* 'кТ \ —г = -7Г-7— I/ ъ— е*/КТ. E7)
г
о
Сила тока согласно D9) будет
. _ e*FH W
4я4/гс акТ
оо
Но согласно E7) Не^'/кт от Н не зависит. Следовательно, у_ —
также не зависит от #.
С другой стороны, холловский ток согласно B0) обратно про-
порционален Н. Следовательно, при избытке электронов проводи-
проводимости (v_ > v+) в очень сильном магнитном поле сопротивление,
увеличиваясь с усилением поля, стремится к постоянному преде-
пределу. При указанных выше условиях переход к пределу должен по-
получаться при полях — 106 гс.
Ленинградский Физико-технический институт Получено
Академии наук СССР 11 августа 1939 г.
Физический институт
Ленинградского государственного университета
ЛИТЕРАТУРА
1. Е. Jones. Proc. Roy. Soc, 1936, A, 155, 653.
2. Proc. Amst., 1930, 33, 130, 363, 418; Physica, 1935, 2, 907.
3. W. J. de Haas, P. M. van A Iphen. Proc. Amst., 1930, 33, 1106; 1932, 35, 454.
4. L. Landau. Zs. f. Phys., 1930, 64, 629.
5. R. Peierls. Zs. f. Phys., 1933, 80, 763, 81, 187.
6. M. Blackman. Proc. Roy. Soc, 1938, A, 166, 1.
7. D. Shoenberg. Proc. Roy. Soc, 1939, A, 170, 341.
8. Kamerlingh-Onnes, B.Beckman. Proc. Amst., 1912,15, 307, 649; 981; Ка-
Катет lingh-Onnes and K. Hof. Proc. Amst., 1914, 17, 520.
9. S. Titeica. Ann. d. Phys., 1935, 22, 129.
10. А. Ахиезер. ЖЭТФ, 1939, 9, 426.

4
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВИСМУТА *
Совместно с А. Ахиезером
Исследуется температурная зависимость теплопроводности висмута в
раличных областях температур. Показано, что при температурах, удовлет-
удовлетворяющих условию 6 > Т > h Snl3/k F — дебаевская температура, s —
скорость звука, пе — число электронов в единице объема), теплопроводность
висмута, в отличие от обычных металлов, определяется колебаниями решетки,
а не электронами.
Известно, что висмут при низких температурах обнаруживает
«периодичность» в изменении сопротивления и диамагнитной вос-
восприимчивости с магнитным полем. Эти явления связаны с тем об-
обстоятельством, что у висмута, в отличие от других металлов, чис-
число электронов проводимости крайне мало (по порядку величины
оно равно пе ~ 1018 1/см3 [1]. Отсюда следует, что энергия элект-
электрона может считаться квадратичной функцией его квази-импульса.
Несмотря на малость числа электронов проводимости, последние
удовлетворяют, однако, статистике Ферми —Дирака, а не Больцма-
на, но с очень низкой температурой вырождения, порядка 100° К.
В настоящей статье мы рассмотрим, исходя из этих предположе-
предположений, вопрос о теплопроводности висмута. Так как в дальнейшем
нас будет интересовать только порядок величин и зависимость их
от температуры, то мы не будем учитывать анизотропии; электрон
характеризуется поэтому в далыпейшем одной массой т. Далее,
мы не учитываем дисперсии фононов и полагаем энергию фонона
равной sf (s —скорость звука, f —импульс фонона).
Рассмотрим взаимодействие электрона с решеткой. Обозна-
Обозначим квази-импульс электрона через р. В силу законов сохранения
импульса и энергии имеем
2m ^- J " V 2m
причем знак плюс относится к поглощению фонона электроном, а
минус — к испусканию. Так как скорость электрона значитель-
значительно больше скорости звука, то
/ = + 2/? cos #.
* ЖЭТФ, 1945, 15, 587.
53

где Ф — угол между р и f. Таким образом, импульс фонона, стал-
сталкивающегося с электроном, не может быть больше удвоенного
значения импульса электрона. Максимальное значение импульса
электрона по порядку величины равно HnJ\ поэтому максималь-
максимальная энергия фононов, участвующих во взаимодействии электронов
с решеткой, по порядку величины равна
ЙЮщах = Sfm ^ HsnJ\
Если считать скорость звука равной 2-Ю5 см/сек, то темпера-
температура Го, соответствующая максимальной энергии фононов, будет
порядка 1°. Эта температура значительно ниже дебаевской темпе-
температуры. Поэтому во взаимодействии электронов с решеткой уча-
участвует лишь небольшая часть фононного спектра. Этим обстоя-
обстоятельством мы воспользуемся для того, чтобы оценить длину сво-
свободного пробега электронов, обусловленную их взаимодействием с
решеткой. Для определения порядка величины достаточно огра-
ограничиться рассмотрением случая поглощения фонона. Вероятность
такого процесса может быть представлена в виде
hco/kT i ° VeP+f — 8р — sJh
где и — величина порядка атомной энергии (в частности, по-
порядка Ms2), M — масса атома, N — число атомов кристалла.
Средняя вероятность поглощения равна
N hMs
о
Здесь Q — объем кристалла, dOp — элемент телесного угла /.
Уничтожив 6-функцию интегрированием по углам, получим
__ /м? ( f4f
Если температура значительно превосходит Го, то при определении
w можно разложить экспоненциальную функцию в ряд. Мы по-
получим при этом
4 (Зя2J/з а3и2пе/з
W T
где v — скорость электрона.
Длина свободного пробега электрона равна
Ms2
nJ3a3u2kT KI
где Wma* порядка и.
54

Таким образом, длина свободного пробега электронов при тем-
температурах, больших Т01 обратно пропорциональна абсолютной тем-
температуре. У обычных металлов граничной температурой, разде-
разделяющей области высоких и низких температур, является дебаев-
ская температура. Мы видим, что у висмута роль граничной тем-
температуры играет кТ0 = Hsnelh. Поэтому, в частности, электриче-
электрическое сопротивление висмута, обусловленное взаимодействием
электронов с решеткой, будет пропорционально Ть при темпера-
температурах, меньших Го, а не 0.
Определим теперь теплопроводность висмута. Она складыва-
складывается из электронной и фононной частей. Теплопроводность, обу-
обусловленная электронами, по порядку величины равна %е — 1есеи1
где се —теплоемкость электронов, отнесенная к единице объема.
Теплопроводность, обусловленная фононами, равна %/—ifCfS,
где Cf '— теплоемкость решетки, отнесенная к единице объема, а
If —длина свободного пробега фононов, определяемая из соотно-
соотношения
1 __ 1 1
h " hi + he '
Здесь Iff — длина свободного пробега, связанная с взаимодейст-
взаимодействием волн решетки между собой, a lfe — длина свободного пробе-
пробега по отношению к взаимодействию фононов и электронов.
Рассмотрим прежде всего температуры, заключенные между 0
и Го. Так как температура вырождения электронов Те того же
порядка величины, что и дебаевская температура, то мы можем
считать теплоемкость электронов пропорциональной температуре
ь т
Се — /€Пе -тр— ,
р
поэтому теплопроводность, обусловленная электронами, равна
Ms2
le —vane\ B)
она не зависит, следовательно, от температуры.
В рассматриваемой области температур длина свободного про-
пробега фононов определяется главным образом взаимодействием фо-
фононов друг с другом, а не взаимодействием их с электронами, так
как концентрация электронов в висмуте очень мала.
Теплопроводность, обусловленная фононами, обратно пропор-
пропорциональна Т5/* [2]. Сравнение %t и %е показывает, что при дебаев-
ской температуре их отношение по порядку величины становится
равным десяти, если считать s/v — 10. Поэтому при температурах
ниже дебаевской, в области То < Т < 0, теплопроводность, обу-
обусловленная фононами, превосходит электронную теплопровод-
теплопроводность. У обычных металлов при низких температурах теплопровод-
теплопроводность обусловливается главным образом электронами, так как
теплоемкость фононов пропорциональна Г3. Поэтому теплопровод-
55

ность решетки оказывается пропорциональной Т2, тогда как теп-
теплопроводность электронов обратно пропорциональна Т2 (длина сво-
свободного пробега электронов пропорциональна Г).
Если мы перейдем в область более низких температур, мень-
меньших То, то соотношение между ролями электронов и фононов из-
изменится. Теплопроводность будет определяться главным образом
электронами. Действительно, длины свободного пробега электро-
электронов и фононов, определяемые предыдущими формулами, безгра-
безгранично возрастают с уменьшением температуры; поэтому в этой
области температур длина свободного пробега электронов опреде-
определяется примесями и по порядку величины равна а/г, где 8 — отно-
относительная концентрация атомов примесей. Что касается длины
свободного пробега фононов, то она теперь определяется разме-
размерами тела L (длина свободного пробега фононов, обусловленная
примесями, обратно пропорциональна Г4). Поэтому электронная и
фононная теплопроводности равны
1 Т а к ( Т \з Q
%е~кпе1Т- — и, 1г~ -г у— j Ls, C)
отношение между ними равно
Это отношение становится равным единице при температуре
—Y~r (при 8 ~ 10~5, L ~ 1 см эта температура составляет
доли градуса). При температурах, меньших 01/ -2-?- е -^-, теп-
теплопроводность определяется электронами.
Резюмируя, мы можем сказать, что при температурах, мень-
меньших Го, теплопроводность уменьшается с понижением темпера-
температуры, тогда как при температурах То <^ Т <i 0 теплопроводность
увеличивается с понижением температуры. Поэтому вблизи
Т ~ То теплопроводность должна достигать своего максимума.
Заметим, что максимум в температурной кривой теплопровод-
теплопроводности висмута наблюдался С. С. Шалытом в области температур
4—14° К.
Рассмотрим, наконец, высокие температуры Т ^> 0. Длина
свободного пробега фононов в этом случае обратно пропорцио-
пропорциональна ТЬ1*. Фононная теплопроводность определяется по фор-
формуле [3]
При рассмотрении электронной теплопроводности нужно
иметь в виду, что температура вырождения того же порядка ве-
величины, что и дебаевская температура. Далее следует учитывать
56

увеличение числа электронов, а также дырок, которое вызывается
наличием двух перекрывающихся энергетических полос. Легко
видеть, что благодаря этому обстоятельству число электронов
проводимости и дырок растет с увеличением температуры пропор-
пропорционально Г3/2 [4]. Действительно, считая числа электронов
П- и дырок п+ одинаковыми, имеем
__ 2 г» ЫрЧр 2
Здесь АЕ — перекрытие полос, е и е' — энергия электрона и
дырки. Если ДЕ < /сГ, то
Теплопроводность, обусловленная электронами и дырками, равна
% ~ nj_v_c_ + п+1+и+с+
(знак минус относится к электронам, плюс к дыркам). Длина сво-
свободного пробега обратно пропорциональна температуре, скорость
пропорциональна Г'/% и теплоемкость не зависит от температуры,
поэтому
t~hpMs4T. E)
Электронная теплопроводность пропорциональна, таким образом,
температуре и превосходит фононную теплопроводность, опреде-
определяемую формулой D).
Остановимся еще на вопросе о влиянии магнитного поля на
теплопроводность висмута. Магнитное поле влияет в первом при-
приближении на электронную теплопроводность. По порядку вели-
величины относительное изменение электронной теплопроводности
равно (фхлJ, где coL = eHlmc и т — время свободного пробега
электронов, равное при низких температурах (a/v) (Ms2/kT).
При достаточно сильном поле наступает насыщение. Порядок
величины этого поля Hs определяется из условия colt ~ 1.
Поэтому
\ F)
H8~hnJ\
8 еа Ms» e
Таким образом, следует ожидать, что поле, при котором наступа-
наступает насыщение, пропорционально температуре. Считая пе —
~ 1018-1/сж3, получим при Т - 100° Hs ~ 2000 гауссов.
Экспериментальному изучению теплопроводности висмута при
азотных и водородных температурах посвящена работа де-Гааза и
др. [5]. Рассматривая влияние магнитного поля на теплопровод-
теплопроводность и предполагая, что магнитное поле действует на электрон-
57

ную часть теплопроводности, авторы производят разделение теп-
теплопроводности на электронную и фононную части (см. табл. IX
[5]). Данные таблицы показывают, что в интервале температур
68—80° К электронная теплопроводность не зависит от темпера-
температур, тогда как фононная теплопроводность растет с убыванием
температуры и в несколько раз превосходит электронную тепло-
теплопроводность. Эти данные находятся в соответствии с результатами
настоящей работы.
Далее в цитируемой работе показано, что при сравнительно
слабых полях, порядка 103 гауссов, наступает насыщение в ходе
теплопроводности с магнитным полем. Формула F) настоящей
статьи дает тот же порядок величины.
Как и следует ожидать, с уменьшением температуры насыще-
насыщение наступает при меньших полях. Пересекаемость кривых на
рис. 7 в работе [5] объясняется тем, что при насыщении теплопро-
теплопроводность определяется преимущественно фононной частью, кото-
которая в рассматриваемом интервале температур убывает с повыше-
повышением температуры.
В области гелиевых температур теплопроводность висмута
изучалась С. С. Шалытом. Он обнаружил наличие максимума в
температурной кривой теплопроводности в области 4—14° К.
Далее им показано, что вблизи максимума, со стороны более низ-
низких температур, магнитное поле не оказывает влияния на тепло-
теплопроводность. Этот факт следует понимать как указание на то, что
вблизи максимума основную роль продолжает еще играть фонон-
фононная теплопроводность, электронная же теплопроводность всту-
вступает в свои права при более низких температурах.
В заключение выражаем благодарность С. С. Шалыту за со-
сообщение им своих экспериментальных данных до их опубликова-
опубликования, а также проф. Л. Ландау за интерес к работе.
Физико-технический институт Получено
Академии наук Украинской ССР 15 октября 1944 г.
Ленинградский физико-технический институт
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Shoenberg. Proc. Roy. Soc, 1939, 170, 341.
2. 7. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1942, 6, 237, формула B.4). 1942 (Собр.
трудов, № 11).
3. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1943, 7, 197 (Собр. трудов, № 12).
4. Б. Давыдов, И. Ломеранчук. ЖЭТФ, 1939, 9, 1925. (Собр. трудов, № 3).
5. W. J. de Haas, A. N. Gerritsen, W. H. Capel. Physica, 1936, 3, 1143.

ИЗОТОПИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
В ОСТАТОЧНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
СОПРОТИВЛЕНИИ МЕТАЛЛОВ *
Существование в металле разных изотопов приводит к различию нулевых
колебаний в соответствии с различием масс этих изотопов. Это в свою очередь
вызывает появление нерегулярного возмущающего поля, могущего рассеи-
рассеивать электроны проводимости. Таким образом, в кристалле без физических
дефектов и химических примесей возникает конечное остаточное электричес-
электрическое сопротивление. Производится оценка величины этого сопротивления.
Если в решетке металла находятся ядра различных изотопов,
то возникает рассеяние электронов проводимости, вызванное от-
отклонением нулевых колебаний данного изотопа от среднего значе-
значения. Этот эффект приводит к конечному остаточному электричес-
электрическому сопротивлению металлов при абсолютном нуле температуры
в условиях, когда сопротивление, обязанное химическим и физи-
физическим примесям, отсутствует. Иначе говоря, при очистке металла
его остаточное сопротивление должно вначале уменьшаться, а
затем стремиться к постоянному пределу. Интересующее нас рас-
рассеяние появляется в результате комбинированного действия сле-
следующих членов в гамильтониане, которые мы будем рассматри-
рассматривать как возмущение.
1) Дополнительная кинетическая энергия изотопа дает в га-
гамильтониане член (начало координат совпадает с атомом изотопа
в его равновесном положении)
м — М • /ПЧ2 v М — М . + ч /
u@J 2 (а ak) (*
М —масса атома изотопа, М —средняя масса атомов металла:
cs — концентрация изотопа с массой М8, и @) — вектор смещения
из положения равновесия атома изотопа, f — вектор поляризации^
* ЖЭТФ, 1958, 35, 992.
59*

2) Взаимодействие электрона с колебаниями решетки F. Рас-
Рассматривая идеализированную изотропную модель металла без
звуковой дисперсии, запишем обычным образом:
у 00 = Vo 2 j/ ^g^ («/;^х/я + «/>-ifx//l); C)
Vo — энергия атомного порядка, s — скорость звука. Формулы
A) и C) дают рассеяние электронов в третьем приближении теории
возмущений. Так как A) содержит матричные элементы трех
типов: а) отвечающие рассеянию фонона (—afl а/~2), б) отвечающие
испусканию двух фононов (~ а^а^) и в) отвечающие поглощению
двух фононов (— afxaf2), то процесс рассеяния под действием A)
и C) получится суммированием трех цепочек переходов, графиче-
графически изображенных на рисунке (начальное состояние электрона
характеризуется импульсом р0, конечное —р).
Матричный элемент, возникающий под действием цепочки б,
имеет вид
A \ [E (po) - E (po - fi) - sj!\ [- sfi - s\ fi - q | ]
Здесь HdI = sfc Н(й2 = SU = s I 4— fi |; 4 = Po — P — изме-
изменение импульса электрона. Интересуясь только порядком ве-
величины эффекта, мы не учитываем различия скоростей про-
продольного и поперечного звука. В случае цепочки в получаем мат-
матричный элемент, отличающийся от D) только тем, что вместо вы-
выражения, поставленного в фигурные скобки, стоит:
При интегрировании D), E) первый множитель может прохо-
проходить через нуль. Эту особенность надо обходить так, как это соот-
\
p:~f' \ / *~f> \ / *+* \
Р Ро /7Х TpQ /Л
* d в
ветствует функции 6+ {х). При этом возникают два члена —ин-
—интеграл в смысле главного значения и член, содержащий ib [Е (р0) —
- Е (Ро -h) -s/J в случае D) и id IE (p0) - Е (р0 + fx) -
— s\\x + q | ] в случае E). Части, содержащей главное значение,
отвечает | Е (р0) — Е (р0 + ix) \ порядка атомных энергий, что
значительно больше, чем 5/2 или s \ i± + q|. Поэтому главное зна-
значение, обязанное цепочке B) и C), одинаково. Так как функция
60

б [Е (р0) — Е (ро— fi) —s/J входит с множителем i, то она дает
вклад в мнимую часть матричного элемента перехода. Однако
сумма мнимых частей, происходящих от всех цепочек, должна рав-
равняться нулю, так как матричный элемент обязан быть веществен-
вещественным. Рассеяние электронов атомом изотопа происходит из-за
того, что вблизи изотопа появляется небольшое возмущающее по-
поле, рассеивающее электрон. Это поле своим возникновением обя-
обязано отличию нулевых колебаний данного изотопа от средней
амплитуды колебаний. Учитывая, что средние нулевые колебания
малы по сравнению с постоянной решетки а и, кроме того, отличие
нулевых колебаний изотопа дополнительно мало в силу малости
(М —М)/М, действующее на электрон возмущающее поле очень
мало. Рассеяние в таком поле УЭфф (х) должно описываться бор-
новским приближением. Матричный элемент рассеяния с переда-
передачей импульса q выражается интегралом:
который является вещественным числом, так как Уэфф (х) =
= ^эфф ( — Х).
Таким образом, в D) следует оставить только главное значе-
значение интеграла, которое одинаково для цепочек б и в. Матричный
элемент, отвечающий цепочке а, имеет вид
ST/2f ft2(oio>2 Qd3fi
°hS?iV^(MK X
X \[E (Pc) - ? (po - fi) - */i] [E (po) - E (po -fi) - s | fi-qj ] I &*)" F)
В интеграле здесь могут обращаться в нуль оба множителя в фи-
фигурных скобках. Поэтому мы имеем здесь: 1) интеграл в смысле
главного значения; 2) два члена, пропорциональных i& [Е (р0) —
-#(р0 -fi) -s/J либо i8[E(p0) -Е(р0 — f х) — s | f x -q|].
Согласно сказанному ранее мы их опускаем.
При оценке порядка величины мы можем в цепочке а выбросить
ж главное значение интеграла, так как ему отвечают энергетиче-
энергетические разности в фигурных скобках F) порядка атомных энергий.
В D) и E) одна из разностей была Ть^ + /гсо2 ~ в <^ 70 (Fo по-
порядка нескольких электроновольт). Поэтому по порядку величины
мы имеем следующий матричный элемент (пренебрегая цепочкой
и) (полагая Е = p2/2m, m — эффективная масса электрона) при
Я = 0;
1М
"" 2 V°a
А у/2 з М-М ят/g / /о
2 V°a 2)* ~^ГР \7Г
F (J±) =
\2po) xpo+fo /о /3 xu 4ра '
61

/0 — максимальный импульс фонона, р0 — импульс электрона на
фермиевской поверхности. Мы считаем, что 2/?0 > /0. Подставляя
в G) Bя2I/з %1а вместо /0, находим
Отсюда находим полную вероятность рассеяния W в веществе,
состоящем из 5 изотопов с концентрацией cs, пренебрегая зависи-
зависимостью Ж от д:
~ 64я M*s*h* dE ~~ 64яЛ7452Я4р0 ' * '
Ж^ - Ж2 = 2 CsM2. - B csM8f .
8 8
Соответствующая длина пробега I равна:
г ^ dE 1 _ 64яЖ^^4р^
Входящие сюда величины можно частично выразить через электро-
электропроводность а при высоких температурах (Т ^> ©), которая в на-
нашей модели равна
а = 4 Dn)i/3e2n2eri*ai4s*/m4/20T A1)
(Г в энергетических единицах, гге_—число электронов проводи-
проводимости в 1 см3). Подставляя m2VQ2/Ms2 из A1) в A0), находим
М2 — М1 n\vl*as2F4*
При —¦= 10 4, что отвечает естественному олову, мы полу-
получаем I порядка нескольких миллиметров. Если ввести пробег, обя-
обязанный примесям в виде
k = а/е A3)
(е —концентрация примесей), то A2) отвечает следующей эф-
эффективной концентрации е0:
1 W-Minb
При е ^> 80 остаточное сопротивление пропорционально 8. При
8 < 80 оно уже не зависит от 8.
Оценку I можно несколько улучшить, если привлечь данные о&
электронной теплоемкости.
В заключение выражаю благодарность акад. Л. Д. Ландау и
Ю. В. Шарвину за дискуссии по поводу этой статьи.
Академия паук СССР Получено 20 мая 1958 г

6
О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ ПРОВОДИМОСТИ
В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ*
Совместно с А. И. Ахиезером
Показывается, что в ферромагнетиках имеет место добавочное притяже-
притяжение между электронами проводимости, обусловленное обменом спиновыми
волнами.
1. Если взаимодействие электронов в металле приводит к эф-
эффективному взаимному притяжению между ними вблизи поверх-
поверхности Ферми, то пара электронов может иметь, как известно [1],
связанное состояние с отрицательной энергией связи. Это явле-
явление лежит в основе недавно построенной теории сверхпроводимо-
сверхпроводимости [2,3].
В обычных металлах эффективное взаимное притяжение между
электронами возникает благодаря виртуальному обмену фонона-
ми. Матричный элемент энергии взаимодействия, обусловленный
этим обменом, стремится к конечному пределу при стремлении к
нулю импульса фонона. Такое поведение матричного элемента
связано с тем, что он содержит в знаменателе энергию фонона,
матричные же элементы поглощения и испускания фонона про-
пропорциональны квадратному корню из энергии фонона.
Мы хотели бы обратить внимание на то обстоятельство, что в
ферромагнетиках возникает добавочное взаимодействие притя-
притяжения между электронами проводимости, обязанное виртуально-
виртуальному испусканию и поглощению спиновых волн. Так как энергия
спиновой волны пропорциональна квадрату ее импульса, а мат-
матричные элементы испускания и поглощения спиновой волны не
содержат дополнительного множителя, пропорционального квад-
квадратному корню из энергии спиновой волны, то матричный элемент
эффективной энергии взаимодействия между электронами, обус-
обусловленного обменом спиновыми волнами, оказывается обратно
пропорциональным квадрату импульса спиновой волны, т. е.
квадрату передаваемого импульса.
Передаваемый импульс должен, однако, превосходить некото-
некоторое минимальное значение, так как энергия электрона проводимо-
проводимости в ферромагнетике зависит от ориентации спина [4] и поэтому
обеим ориентациям спина соответствуют фермиевские сферы раз-
* ЖЭТФ, 1959, 36, 859.
63

ных радиусов. Это обстоятельство приводит к уменьшению эф-
эффективного взаимодействия между электронами.
В настоящей заметке мы определим характер эффективного
взаимодействия между электронами, обусловленного обменом
спиновыми волнами.
2. Мы будем пользоваться упрощенной моделью ферромагне-
ферромагнетика, исходящей из представления о двух группах электронов —
электронов проводимости (s-электроны) и ферромагнитных элект-
электронов (d-электроны).
Оператор энергии взаимодействия между s- и d-электронами
V (г) должен, очевидно, содержать линейно как спин s-электрона sy
так и магнитный момент М (г) единицы объема ферромагнетика,
обусловленный d-электронами. Поэтому V (г) можно представить
в виде
V (г) = CsM (r),
где С — некоторый линейный интегральный оператор. Так как
обменные силы быстро спадают с расстоянием, то величину С мо-
можно приближенно считать константой. Мы запишем ее в виде С =
= Аа3/(л0, где (i0 — магнетон Бора, а — постоянная решетки и
А — некоторая энергия, связанная с температурой Кюри в
соотношением А ~ ]/"вЛ. Здесь А имеет порядок величины атом-
атомной энергии. Такая оценка величины А соответствует предположе-
предположению о том, что обменная энергия между d-электронами обусловлена
s-электронами и приводит, по-видимому, к завышенному значе-
значению А [5].
Итак, энергия взаимодействия между s- и d-электронами имеет
вид [5]
F(r) = (AaV|io)sM(r). A)
Из этой формулы следует, что энергия электрона проводимости
в ферромагнетике имеет вид
где р — импульс электрона, a = + V2 — проекция спина элект-
электрона на ось z и 8° (р) — величина, не зависящая от а; в дальней-
дальнейших расчетах мы для простоты будем считать, что 8° (р) = р2/2т.
Испускание и поглощение спиновых волн связано с проекция-
проекциями вектора М (г), перпендикулярными оси легчайшего намагниче-
намагничения (ось z). Эти проекции определяются формулами [6]
Мх =
х
Mv = i
B)
64

где Мо — магнитный момент насыщения, Q — нормировочный
объем и ак, #к — операторы рождения и уничтожения спиновой
волны с импульсом к, удовлетворяющие соотношениям
Определим теперь матричный элемент энергии эффективного
вьаимодействия между двумя s-электронами, связанного с обменом
спиновыми волнами. Обозначим начальные импульсы и спины
электронов через рх, р2> аь °2i a конечные — через pi, р2, о[, о$.
Интересующее нас взаимодействие, так же как и известное мелле-
ровское взаимодействие, является эффектом второго прибли-
приближения теории возмущений. Так как матричные элементы операто-
операторов sx + isy отличны от нуля, лишь если а + а' = 0, то взаимо-
взаимодействуют электроны только в том случае, когда их спины имеют
противоположные направления.
Учитывая два типа промежуточных состояний, отвечающих
испусканию спиновой волны первым и вторым электроном, по-
получим следующее выражение для искомого матричного эле-
элемента:
ц ^^^.Дг! ^иЧг^Ог,-Чг ^ ,
г/ ° е (рь oi) - е (pi -.k^j) — 8(a/cJ
+
8 (P2, 62) - 8 (P2 + k, G2) -
где 0 (акJ — энергия спиновой волны.
Притяжение между электронами имеет место в триплетном со-
состоянии с суммарной проекцией спина, равной нулю. Отсюда
следует, что пространственная часть волновой функции электро-
электронов является антисимметричной. (В простейшем случае она пред
ставляет собой р-состояние.)
Введем радиусы фермиевских сфер р+ и р- электронов с раз-
различными ориентациями спинов. Предполагая, что е° (р) = p2l2mt
получим
р+=уг2тAг-Д), р_ =/2m (|i + Д),
где \i — химический потенциал.
Ясно, что, если рг ~ р+, то р[ ~ /?_. Отсюда легко заключить,
что минимальное значение импульса спиновой волны будет
Umin = Ро (У 1
где Ро = |/2т|л. Считая, что Д^Ц» получим отсюда кт{П /
Поэтому максимальное значение матричного элемента равно
tf=bfi2/0. D)
3 И. Я. Померанчук, т. I 65

Этому значению энергии взаимодействия соответствует, очевидно,
суммарный импульс пары электронов, равный
(см. рисунок, на котором изображены смещенные на р фермиев-
ские сферы радиусов р+ и р_. Наибольшее взаимодействие имеет
место в том случае, когда окружность пересечения будет боль-
большим кругом меньшей сферы. На рисунке заштрихованы области,
в которых расположены импульсы электронов до и после рас-
рассеяния).
-4
у
\
Сравнение матричного элемента D) с матричным элементом
взаимодействия, обусловленного обменом фононами, показывает,
что последний по порядку величины в р,/в раз меньше матричного
элемента D). Более сильное взаимодействие, обусловленное обме-
обменом спиновыми волнами, компенсируется, однако, уменьшением
статистического веса, связанным с тем обстоятельством, что сум-
суммарный импульс взаимодействующих электронов отличен от нуля.
Кроме того, уменьшению эффективного притяжения электронов
содействует антисимметричность волновой функции. Поэтому
вопрос о связанных состояниях электронов, обусловленных
обменом спиновыми волнами, требует специального исследо-
исследования.
Однако наличие дополнительного притяжения между электро-
электронами проводимости в ферромагнетиках может, вообще говоря,
содействовать при подходящих условиях появлению сверхпро-
сверхпроводимости. Возможно, что такие условия могут осуществляться
в тонких пленках, в которых повышается критическое маг-
нитное ноле G].
Физико-технический институт
Академии наук Украинской ССР
Получено 12 сентября 1958 i\
«г

Примечание при корректуре A2 февраля 1959 г.) В появившейся недавно
работе (В. Matthias, Н. Suhl, Е. Corenzwit. Phys. Rev. Lett., 1, 449, 1958) экс-
экспериментально установлено наличие сверхпроводимости ферромагнитных
сплавов (Ge, Pr) Ru2 (Ge, Gd) Ru2.
ЛИТЕРАТУРА
1. L. Cooper. Phys. Rev., 1956, 104, 1189.
2. J. Bardeen, L. Cooper, J. Schriffer. Phys. Rev.f 1957, 108f 1175.
3. H. H. Боголюбов. ЖЭТФ, 1958, 34, 58, 73.
4. А. А. Абрикосов, И.Е.Даялошинский. ЖЭТФ, 1958, 35, 771.
5. C.KitteU A.Mitchell. Phys. Rev., 1956, 101, 1611.
6. С KitteU E. Abrahams. Rev. Mod. Phys., 1953, 25, 233.
7. В.Л. Гинзбург. ЖЭТФ, 1956, 31, 202.

II
СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИКОВ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПАРАМАГНИТНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ *
В парамагнитных диэлектриках имеется парамагнитный энергетический
спектр. Этот спектр участвует в теплопроводности (собственно парамагнитная
теплопроводность) и, кроме того, приводит к добавочному рассеянию упругих
волн. В некоторой области температур главную роль в теплопроводности
играет парамагнитный спектр. При низких температурах теплопроводность
парамагнитных диэлектриков имеет существенно немонотонный характер,
резко отличаясь от теплопроводности обычных диэлектриков.
Как указал Пайерлс [1], при температурах, значительно мень-
меньших, чем дебаевская, теплопроводность диэлектриков должна
экспоненциально возрастать с понижением температуры, именно
теплопроводность х ~ e^D'T (Qd —дебаевская температура, Т —
температура, а —численный коэффициент порядка единицы).
Такому быстрому возрастанию теплопроводности при низких тем-
температурах отвечает очень большая длина свободного пробега фо-
нонов. Это обстоятельство было экспериментально подтверждено
на примере KG1 [2], где при температурах от 2,5 до 4,5° К тепло-
теплопроводность зависела от формы образца, т. е. длина свободного
пробега фононов имела макроскопические размеры, будучи поряд-
порядка 10 см. [При таких низких температурах (~1° К) становится
существенным действие примесей, граней поликристалликов и
т. п. Это обстоятельство приводит к прекращению экспоненциаль-
экспоненциального хода х с температурой]. Экспоненциальное возрастание
хс понижением температуры обусловливается тем, что для установ-
установления стационарного состояния при наличии градиента темпера*
¦ ЖЭТФ, 1941, 11, 226; J. Phys. USSR, 1941, 4, 356.
68

туры в диэлектрике необходимы такие столкновения фононов, при
которых суммарный квазиимпульс решетки менялся бы, т. е.
необходимы процессы переброса. Как известно, такие процессы
возможны только при наличии коротковолновых фононов, у ко-
которых] Hay ~ 9d. Так как при низких температурах число этих
фононов N экспоненциально мало (N~e-n<»tT), то процессы пере-
переброса, устанавливающие стационарные состояния, происходят
очень редко, что и приводит к установленному Пайерлсом соот-
соотношению х ^ е* °tT #
Совершенно иной зависимости х от температуры при Т <gl 9d
следует ожидать у парамагнитных диэлектриков. В качестве при-
примера таких тел могут служить парамагнитные соли а, твердый
кислород и т. д. Иной ход теплопроводности у парамагнитных
диэлектриков связан с тем, что у них существует магнитный энер-
энергетический спектр, обязанный обменному взаимодействию элек-
электронов парамагнитных атомов и взаимодействию магнитных мо-
моментов с электрическим полем решетки [3]. Этот спектр оказывает
влияние на пробег фононов и, кроме того, сам участвует непосред-
непосредственно в переносе тепла.
1. В случае, когда обменный интеграл имеет знак, приводя-
приводящий к ферромагнетизму, соответствующая система магнитных
уровней (ферромагнитный спектр) была подробно исследована
Блохом [4] для такой модели ферромагнетика, в которой при Т =
= 0 имеет место абсолютное насыщение. Независимо от деталь-
детального характера магнитного спектра, очевидно, что он имеет тем-
температуру вырождения порядка температуры Кюри у ферромагне-
ферромагнетиков и порядка температуры 0К у парамагнетиков, где 8К свя-
связана с парамагнитной восприимчивостью % соотношением: % =
= const/ Т + 6К.
При температурах, малых по сравнению с 0К, возбуждены уров-
уровни, близкие к основному, который осуществляется при Т = 0. Так
как число возбужденных состояний при этих условиях мало по
сравнению с числом атомов, то магнитный спектр можно характе-
характеризовать, исходя из следующего представления. Низкие воз-
возбужденные магнитные состояния означают собою такие распре-
распределения магнитных моментов атомов всей решетки, которые не-
немного отличны от распределения, осуществляющегося при Т = 0.
Как и в случае модели со спиновыми волнами [4], магнитным воз-
возбужденным уровням будут соответствовать отклонения от основ-
основного распределения магнитных моментов, не локализованные
в определенном месте решетки, а бегущие через весь кристалл.
1 Здесь и в дальнейшем температуры измеряются в энергетических единицах.
* Исключая те из них, которые показывают так называемые криомагнитные
аномалии. Теплопроводность в таких солях будет рассмотрена в другой
работе. Выводы данной теории не могут быть также применены к сильно
гидратированным солям, у которых обменные эффекты не играют суще-
существенной роли.
69

Такие магнитные возбуждения в дальнейшем будут называться
магнонами (это название предложено Л. Ландау). Так как при
^^9к число магнонов мало по сравнению с числом атомов, то
взаимодействием магнонов можно в первом приближении прене-
пренебречь; это дает возможность рассматривать энергию возбуждения
как сумму энергий магнонов. Так же как и у фононов *, трансля-
трансляционная симметрия решетки приводит к тому, что состояние маг-
нона характеризуется некоторым вектором-квазиимпульсом р,
определенным с точностью до вектора обратной решетки (умно-
(умноженного на К). Энергия магнона есть функция его квазиимпульса;
очевидно, что при малых квазиимпульсах энергия Е представляет
собою квадратичную функцию компонент квазиимпульса. Отбра-
Отбрасывая аддитивную постоянную, мы имеем:
A.1)
где пцк — тензор обратной массы магнона. Порядок величины
компонент тензора ты может быть определен следующим образом»
При р ~ HI а (а —постоянная решетки), формула A.1) хотя уже
и не справедлива, но по порядку величины дает еще приемлемые
результаты. С другой стороны, магноны с длиной волны порядка а
имеют энергию порядка 9К. Отсюда Н2/та2 ~ 0к; это дает
Определим еще предельную скорость Vm магнона (т. е. скорость
магнонов с длиной волны порядка а)
Vm~ та Г "Ж" аТ- A'^
Формулы A.2) и A.3) выведены, считая, что число парамагнитных
атомов в решетке того же порядка, что и общее число атомов.
В дальнейшем нам понадобится функция распределения маг-
нитных уровней по энергиям. При Г^>9к» когда спектр не вы-
вырожден, мы можем воспользоваться классической статистикой
(гиббсово распределение), разлагая статистическую сумму в ряд
по степеням ИТ (см. § 5), При Т <^ 6К необходимо знание стати-
стики, которой подчиняются магноны. Имеющиеся эксперимент
тальные данные говорят в пользу того, что магноны подчиняются
статистике Ферми* Именно, при Т <^ 0к восприимчивость стре-
стремится к постоянному пределу, по порядку величины равному
const/вк [5] (при Г>6К> % =* const/(r+ 6K)). Очевидно, что здесь
мы имеем дело с паулиевским парамагнетизмом, который непосред-
непосредственно получается из распределения Ферми. Кроме того, оче-
очевидно, что состояние парамагнетика при Т « 0 легче всего опи-
* И у электронов в металлах.
76

сывается как наложение большого количества коротковолновых
магнонов. Наличие магнонов с большим импульсом при Т = О
представляет собой сильный аргумент в пользу распределения
Ферми. Поэтому, в тех случаях, когда будет необходимо знание
статистики магнонов, мы будем исходить из фермиевской *• Бла-
Благодаря фермиевскому характеру распределения магнонов, импуль-
импульсы магнонов всегда порядка Н/а, поэтому при столкновениях
с участием магнонов процессы переброса могут происходить столь
же часто, как и процессы, при которых квазиимпульс сохраня-
сохраняется.
Теплопроводность парамагнитных тел слагается из фононной
X/ и магнонной (хм) частей. Каждая из них может быть определена
из соотношения
xsd7, A.4)
где с — теплоемкость единицы объема, V — эффективная скорость,
I — длина свободного пробега. У фононов длина свободного про-
пробега определяется теперь не только ангармоничностью, но и их
взаимодействием с магнонами. У магнонов при определении /
необходимо учитывать как их взаимодействие друг с другом, так
и взаимодействие с тепловыми колебаниями. Взаимодействие
магнонов с фононами приводит либо ,к поглощению (испусканию)
фононов, либо к рассеянию их (ограничиваясь процессами наи-
наинизшего порядка). При столкновениях магнонов с фононами, кро-
кроме энергии, сохраняется квазиимпульс. В частности, при процес-
процессах первого порядка (испускание, поглощение) мы имеем условие:
р = р'±1 +q, A.5)
где р — импульс магнона до столкновения, р' — то же после
столкновения, f — импульс фонона, q — вектор обратной решетки
(умноженный на К). При T<^QD импульс f мал по сравнению с q.,
В силу фермиевского характера распределения магнонов по энер-
энергиям, импульс р, напротив, порядка q, т. е. р ^> f. Поэтому закон
сохранения энергии в применении к процессу A.5) приводит к со-
соотношению 2:
Ер - Е# = ± sf, fVp# = ± sf, A.6)
где s —скорость звука, VPJ? —скорость магнона. Очевидно, что
условие A.6) может быть выполнено только в том случае, если
скорость магнона больше, чем скорость звука: |VP/? | ^>s. Пользуясь
1 Полученный Блохом [4] иной результат (статистика Бозе для спиновых
волн) объясняется тем, что в его модели ферромагнетика при Т = О осуще-
осуществляется особое состояние (абсолютное насыщение), имеющее меха-
механически экстремальный характер по отношению ко всем другим сос-
состояниям.
* ур означает градиент в импульсном пространстве*
71

A.3) и подставляя для скорости звука выражение порядка а =•
= 9#М, мы находим, что поглощение фононов магноном возможно
только в таких парамагнетиках, у которых 9К > QD. У боль-
большинства парамагнитных диэлектрических солей это неравенство
не выполнено, 9К оказывается иногда значительно меньше, чем
9d. У таких тел необходимо рассматривать процессы второго
порядка. В дальнейшем будет рассматриваться отдельно случай,
когда 9К ]> 9d и 9к <С 9d.
2. Случай, когда 9К ^> 9#. Магнонная теплопроводность при
Т <^ Эк. Для нахождения хм необходимо вычислить длину сво-
свободного пробега магнонов ZM. Она получается из соотношения:
? =!=- + •?-• B-1)
здесь ZS — длина свободного пробега магнонов по отношению к
взаимодействию их друг с другом, If — длина свободного про-
пробега магнонов по отношению к взаимодействию их с тепловыми
колебаниями решетки. Рассмотрим температуры, значительно
меньшие дебаевской:
При этих условиях в силу фермиевского характера магнонного
спектра длина I™ обратно пропорциональна Т2 [6, 7]
;М const /9 9Ч
*м = —2?г~ • \^-ч
Очевидно, что при Т = 9к пробег магнонов, обязанный их
взаимодействию друг с другом, будет порядка постоянной решет-
решетки а. Комбинируя это обстоятельство и B.2), получаем
%~а|— I . B.3)
Для вычисления If мы найдем полную вероятность столкнове-
столкновения магнона с фононом, не учитывая того, что при таких столкно-
столкновениях импульс р магнона изменяется на очень небольшую ве-
величину. В отличие от металлов, где это пренебрежение является
незаконным [8], в нашем случае мы получим правильный резуль-
результат, так как даже преуменьшенная при таком подсчете длина If
оказывается значительно больше С и поэтому длина свободного
пробега магнонов /м определяется только их взаимодействием друг
с другом.
Матричный элемент возмущающей энергии, обязанной теп-
тепловым колебаниям решетки при низких температурах, когда игра-
играют роль только длинноволновые фононы, как и в случае металлов
72

C9], может быть записан в виде— 1/ MN - Ux. Это выражение
дает вероятность перехода, пропорциональную частоте фонона со.
Ux имеет порядок величины Эк. Это соответствует тому обстоя-
обстоятельству, что при изменении расстояний атомов решетки друг от
друга на величину того же порядка, что и сами расстояния, об-
обменные интегралы и взаимодействия магнитных моментов с элек-
электрическим полем кристалла претерпевают относительные изме-
изменения порядка единицы г. Вероятность перехода, W? по порядку
h 6(?p-i?p,t-s/)
величины равна 2:
ТУ?
где М — масса элементарной ячейки, N — число элементарных
ячеек в кристалле, dO — элемент телесного угла в импульсном
пространстве фононов, X —длина волны фонона, деленная на
2я, Q —объем кристалла, б —дираковская б-функция.
Так как нас интересует только порядок величины Z/1, мы нигде
в B.4) не пишем численных множителей. В B.4) не написана так-
также планковская функция распределения фононов и не записан
в явной форме принцип Паули. Оба эти обстоятельства учитыва-
учитываются тем, что интегрирование по Йо производится от 0 до величины
порядка Т. Разлагая Z?p — Z?p-f в ряд по степеням / и уничтожая
fi-функцию интегрированием по dO, получаем
K M7ih\y9E\fs»N Ms\
В формулах B.4) и B.5) все величины, относящиеся к магно-
нам, берутся на месте спада распределения Ферми, т. е. при
Е ~ Эк. Пользуясь соотношением
получаем
B.6)
При последнем преобразовании мы использовали A.3). Для вели-
1 Как известно, 6К имеет порядок величины обменного интеграла.
2 Очевидно, что учет процессов поглощения фононов магноном не может
изменить порядок величины W^t поэтому мы их не рассматриваем из-за
простоты. То же относится и к суммированию по поляризациям фононов-
73

чины /*4 используя соотношение: If = —*~—t находим следую-
Wf
щее выражение:
7м Msa
Сравнивая B.7) и B.3), мы видим, что If >> С1'-
If
B>8)
(Следует учесть, что Ms2/QD ~ 100, в то время как диэлектри-
диэлектрических парамагнетиков, у которых 9К было бы значительно боль-
больше 9d, не существует.) Таким образом, окончательное выражение
для /м имеет вид
Для нахождения теплопроводности магнонов мы должны опре-
определить еще их теплоемкость см. Как известно, у вырожденного
ферми-газа с температурой вырождения 6К она по порядку вели-
величины равна
сш~пк Xf B.10)
где п — число парамагнитных атомов в единице объема, к — по»
стоянная Больцмана. Подставляя A.3), B.9) и B.10) в (J.4)t
находим теплопроводность магнонов:
Таким образом, магнонная теплопроводность возрастает с пони-
понижением температуры обратно пропорционально температуре. Этот
рост будет происходить до тех пор, пока не станет существенным
действие примесей, механических напряжений в решетке и т. п.
причин, приводящих к постоянной, не зависящей от температуры,
длине свободного пробега магнонов. В этом случае, по порядку
величины Iм оказывается равной а/е, где е — относительная кон-
концентрация примесей. (Такой результат соответствует эффектив-
эффективному сечению атомов примеси порядка атомных размеров.) Теп-
Теплопроводность магнонов при этих условиях оказывается равной
1 В отличие от металлов, где сопротивление, обязанное взаимодействию
электронов, существенно только при очень низких температурах [6, 7].
Для нашего результата оказалась существенной малость температуры вы-
вырождения 0к.
74

Переход от B.11) к B.12) происходит при температурах порядка
3. Случай, когда 9к ]> 0^. Фононная и полная теплопровод-
теплопроводности при Т <^ 9к> Длина свободного пробега фононов lf опре-
определяется из соотношения
4+ (З1)
где Z/ — длина свободного пробега фононов по отношению к их
взаимодействию друг с другом (ангармоничность), 4 —длина
свободного пробега фононов по отношению к их взаимодействию
с магнонами. Рассмотрим сначала Z/. Так как в дальнейшем ока-
окажется, что при интересующих нас температурах пробег фононов
определяется их столкновением с магнонами, а ангармоничность
не играет существенной роли, то мы не будем выделять процессы
переброса, а определим полную вероятность столкновения фононов
друг с другом WJ. По порядку величины матричный элемент воз-
возмущающей энергии в нашем случае равен
C.2)
где N (о) — планковская функция распределения фонояовх.
В выражении C.2) учтено то обстоятельство, что для длинновол-
длинноволновых фононов вероятность столкновения пропорциональна час-
частотам участвующих в столкновении фононов. Величину ? можно
определить из того условия, что при температурах, при которых
относительное смещение атомов вследствие тепловых колебаний
оказывается порядка единицы, энергия ангармоничности будет
порядка кинетической энергии колеблющихся атомов. При таких
температурах мы имеем:
hW(coi)/V(©2) [N(сов) +1 ] \V«
а,.-'.
M(OiаJ(Оз I X1X2X3 Jeff
а кинетическая энергия равна Мо)е//а2 — Ms2, отсюда ? ~ Л/s2.
Для вероятности W] при Т <^ ©D получаем выражение2:
; С (Ms^-f h*N (@i) /V (со2) [N (соз) + 1 ] aco2d(Oirf06 ((o3 — coi — co2)
1 В отличие от числа элементарных ячеек в кристалле N планковская функ-
функция N (со) всегда сопровождается указанием аргумента (со, /), от которого
зависит распределение фононов.
1 В C.3) учитывается только один из возможных типов столкновений фононов
друг с другом, так как нас интересует порядок величины.
75

По частотам, как и в B.4), интегрирование должно производиться
до Й(о ~ Г. Это дает
Отсюда находим //
C.5)
При температурах, больших чем дебаевская, пробег фононов
из-за ангармоничности, как известно [10], обратно пропорционален
температуре. Сравнивая с C.5), мы имеем:
^ . C.6)
Перейдем теперь к рассмотрению /м. Вероятность определяется
выражением, аналогичным B.4),
Здесь не написаны функции распределения магнонов и фоно-
фононов; вместо этого интегрирование по энергиям магнонов произво-
производится в интервале порядка Т. Уничтожая б-функцию интегри-
интегрированием по углам, получаем|
N ~~?~~W ~~ ) MsWN Ms&N
Подставляя вместо /?г A,2) и выражая N/Q через постоянную ре-
решетки, преобразовываем C.8) к виду
Отсюда для 1м получаем
lfM~aMs2/T. C.10)
Сравнивая C.5), C.6) и C.10), мы видим, что при Т <^ 9j>
отношение Zm к Z/ значительно меньше единицы
Когда температура высока по сравнению с дебаевской, можно
легко показать (рассматривая соответствующие stoss-операторы),
что ZL не зависит от температуры, т. е. имеет вид aMs2/QD. Отсюда
76

следует, что при Т ^> 6д становится существенной //. Так как
при Т ^> Эр процессы переброса столь же часты, как и процессы
с сохранением квазиимпульса, вычисленная нами длина Z/, в ко-
которой не выделялись процессы переброса, имеет правильный поря-
порядок величины в той области, где она имеет значение. Таким обра-
образом, при Эк > Т >> 0d мы получаем для длины свободного про-
пробега фононов ту же температурную зависимость, что и в не пара-
парамагнитных диэлектриках, если в этих диэлектриках не сущест-
существенны столкновения с участием четырех фононов (см. ниже).
Если необходимо рассмотреть четверные столкновения, то и при
Т > Qd в некоторой области температур существенна ll. При
Т <[ Эр пробег фононов определяется их столкновениями с маг-
нонами и имеет вид:
f C.11)
Пользуясь выражением для дебаевской теплоемкости решетки
с ~ пк B70?)K, мы получаем следующее выражение для фононной
теплопроводности Х/:
Т \2 Ms* 7 Ms* ( Т\2 /о ,оч
е~) *а — = nksa -g- ^) . - C.12)
Мы видим, что в наших условиях теплопроводность фононов
падает с температурой пропорционально Г2. Это обстоятельство
является следствием быстрого падения фононной теплоемкости
(~ Г3) при понижении температуры. При очень низких темпера-
температурах на X/ могли бы оказывать влияние примеси. Легко видеть,
однако, что это не имеет места. Вероятность рассеяния фонон^
частицами примеси пропорциональна Г4 [И], а вероятность столк-
столкновения фонона с магноном пропорциональна Г, откуда видно,
что последняя вероятность всегда больше первой. Из B.11) и
C.12) следует, что выше температуры 7\, удовлетворяющей ра-
равенству X/ G\) = хм G\) и по порядку величины равной
C13)
суммарная теплопроводность определяется фононами (х = X/)
и оказывается пропорциональной Г2. Ниже этой температуры ос-
основную роль в теплопроводности играют магноны (х = хм) и и
обратно пропорциональна Т. Таким образом, при Т = Ти теп-
теплопроводность имеет минимум (рис. 1). Так как Ms2^> 100 0d и,
как уже отмечалось, по-видимому не существует диэлектрических
парамагнетиков, у которых 9к было бы много больше QD, темпе-
температура Тг оказывается много меньше дебаевской. При очень низ-
низких температурах магнонная теплопроводность снова начинает
падать пропорционально температуре под действием примесей
77

B.12). Поэтому химеет максимум, положение которого зависит от
концентрации примесей. Температура, при которой этот максимум
расположен, определяется по порядку величины соотношением
T^QKyi. C.14)
хм (Гд) по формуле B.11) равна хм(Г2) по формуле B.12). Мы счита-
считали, что Т2 <[ Тг для чего необходимо, чтобы примесей было доста-
точно мало. Если е<|/ (д—) -^ j , можно считать, что Т% бу-
дет значительно ниже, чем Тг. Полагая Ms2= 1000d, и Эк того
же порядка, что и 0d, видим, что относительное содержание при-
примесей должно быть много меньше одного процента для того, чтобы
максимум при Тг и минимум при Тг были ясно разделены. Хотя
при Т < Т2 магнонная теплопроводность убывает пропорцио-
пропорционально Г, фононная теплопроводность, убывающая по-прежнему
пропорционально Т2, не играет роли и при Т < Т2.
Следует отметить, что все существенные для теплопроводности
длины свободного пробега получаются сравнительно малыми.
Пробег магнонов B.9) имеет максимальную величину порядка
а/в. Полагая е ~ 10~3—10~4, мы имеем максимальный пробег
в 10~6—10~4 см Пробег фононов (там, где он играет роль) ока-
зывается не больше, чем а -^— ( —^— ) — 103а ^ 10~5 см. Поэтому
е
г
можно думать, что поликристаллическая структура не окажет
влияния на температурный ход теплопроводности тел, у которых
9к ^> 6i>, если размеры поликристалликов больше, чем 10~б см.
При Т > Qd начинает играть роль ангармоничность [см. C.6)
и C.10)]. Выше дебаевской температуры мы имеем либо темпера-
температурный закон: к ~ 1/7\ либо х ~ Т~Ч* (см. ниже). Комбинируя
Рис. 1. Примерный ход
теплопроводности к при
это с C.12) мы видим, что при Т ~ Qd теплопроводность имеет
второй максимум. Так как If при Т ~ Qd примерно равно lffi
следует ожидать, что при Г, близких к 0d, теплопроводность рас-
рассматриваемых парамагнетиков будет, как правило, меньше теп-
теплопроводности обычных диэлектриков.
Таким образом, при Т < 0К теплопроводность наших объектов
имеет сравнительно сложный характер, совершенно отличный от
того, который имеет место у обычных диэлектриков [1]. Пример-
78

яый ход х представлен на рис. 1; х имеет два максимума при Т~ Qd
и Г~ QkYb Ч минимум при Т =» 7\.
4. Теплопроводность при 0d ]> 6к> Температуры малые по
сравнению с 9к. Когда Эр ]> 8к, процессы поглощения фононов
магнонами невозможны. Взаимодействие между тепловыми коле-
колебаниями решетки и магнонами может осуществляться только
в результате процессов высшего порядка, простейшими из которых
являются процессы второго порядка. Последние могут протекать
либо с участием двух фононов (рассеяние фононов магноном),
либо с участием двух магнонов (столкновение двух магнонов
с испусканием одного фонона). Рассмотрим сначала первый про-
процесс. Он возможен в первом приближении под действием членов
второго порядка в разложении энергии магнона в ряд по степеням
тепловых колебаний и во втором приближении под действием чле-
членов первого порядка в этом разложении. Матричный элемент
первого приближения имеет вид
| U21, очевидно, порядка Эк; (о, X и со ', X' — частоты и длины волн
участвующих в процессе фононов. Мы не написали второго члена,
в котором переставлены о и со' (X и X'), так как мы интересуемся
только порядком величины. Амплитуда вероятности второго при-
приближения равна
иъ u
p+t
~ш / Л 1 ТТ ТТ -I /
Y
м дг^гр — матричный элемент перехода магнона
от состояния с импульсом р к состоянию с импульсом р + f под
действием фонона с импульсом f.
Здесь написаны члены, соответствующие двум имеющимся при
рассеянии промежуточным состояниям. Выражения D.1) и D.2)
не сокращаются друг с другом. Поэтому в нашем приближении
можно не интересоваться интерференционными членами, возника-
возникающими при сложении D.1) с D.2). Вероятность перехода данного
фонона под влиянием D.1) Wmf получится интегрированием квад-
квадрата модуля D.1) по импульсам магнонов и по импульсам дру-
другого участвующего фонона г:
fI
1 Для простоты суммирование по поляризациям не производится, это несу»
щественно при определении порядка величины.
79

где s из' — скорости звука, могущие быть различными (например,
s — скорость продольных колебаний, s' — скорость поперечных
колебаний).
Переходя к переменным энергии магнона и углам в его импульс-
импульсном пространстве, мы должны интегрировать по энергии магнона
в интервале ^Т
J P № '"*
""""""**. D.4)
В D.4) использовано A.2) и все величины sf заменены на Т. Заме-
Заметим, что интервал интегрирования по df по порядку величины
равен г
Определим теперь вероятность перехода W{$> получающуюся
из D.2). При этом прежде всего следует учесть, что первый и вто-
второй члены в D.2) почти сокращаются друг с другом. Для этого
приведем оба члена в D.2) к одному знаменателю
" X
иъ uiP BEp - Vt - ?P-f+s/ -s'/') + ° «?p -'
XX' (Ep - Ep+t + sf) (Ep - Ep_v - s'/')
f4.5)
Здесь написан нулевой и первый члены в разложении матрич-
матричных элементов (например, С/р ) в ряд по степеням/. Более высокие
члены в разложении не существенны. Ради простоты мы не выпи-
выписали точно всех линейных членов; О—-означает порядок величины.
Рассматриваемый процесс состоит в столкновении фонона
с импульсом f с магноном с импульсом р, в результате получается
фонон с импульсом Г и магнон с импульсом р + f —Г, причем
Ep+t-v = Ep + sf-srf. D.6)
Разложим Eji+t-r в ряд по степеням f — f'
Ep+t.t. = Ер + (f - f', VPS) + Va (f - f )* (f -1% ^-.
Подставим это в D.6)
1 Это легко видно из D.7).
80

Воспользовавшись этим равенством и разложениями
получаем соотношение
2ЕР - Яр+, - ?p_f< +sf- s'f = - ^gr /Л. D.8)
Мы видим, что в D.5) члены нулевого и первого порядка в импуль-
импульсах фононов сокращаются. Знаменатель в D.5) может быть за-
заменен на —ss'ff. В самом деле
Ер - Ep+t + sf=- iVvE + sf = - fV + sf**sf, D.9)
так как скорость магнона меньше скорости звука Fk<!9d-)«
Подставляя D.8) и D.9) в D.5), находим следующее выражение
для вероятности Wf?j
D.10)
Здесь градиент матричного элемента 17г в импульсном простран-
пространстве заменен на Ujp (p по условию ~h/a).
Выберем в качестве переменных энергию магнона Е и углы
в его импульсном пространстве. При интегрировании по углам
уничтожаем б-функцию
fs* | f — Г |
Используя приближенное (по порядку величины) равенство
. D.10')
можем написать
Vftw L»"*" \рЛ
Сравнивая D.11) с D.4), мы видим, что D.11) можно пренебречь.
81

Следует отметить, что при малых со вероятность рассеянияг
как и следует ожидать, идет пропорционально со4 [это легко вид-
видно из D.11) и D.4)]. Это обстоятельство, в отличие от случая рас-
рассеяния фононов примесями в диэлектриках [И], не существенно,
так как пробег фононов в наших условиях определяется не их
рассеянием магнонами D.18').
Пробег фонона по отношению к рассеянию оказывается равным:
Обратимся теперь к рассмотрению вероятности поглощения
(испускания) фонона при столкновении двух магнонов. Эту веро-
вероятность мы обозначим wLm- Амплитуда вероятности запишется
следующим образом:
/ ТТ ТТ ТТ ТТ ТТ ТТ
\ p'-f р"р"' , , p-f р^у , p//p//4f р'" ,
И? ТР *t I Т? Т? о^'Д'Л-Д' Р Р . ~Г
X Q
13)
где иг, как и в D.1), имеет порядок 9К. Ux у д^]у-^ матричный
элемент взаимодействия магнона с колебаниями решетки. Н опре-
определяется взаимодействием магнонов друг с другом * также по-
порядка Эк. Множитель 1/Q происходит от нормировки магнонных
функций на объем; На3 написано в соответствии с тем, что взаимо-
взаимодействие двух магнонов отлично от нуля только тогда, когда рас-
расстояние между ними порядка а. Следует отметить, что символиче-
символический метод теории возмущений в применении к взаимодействию
магнонов дает приемлемые результаты только при Т <g! 9к [6]г
что мы считаем выполненным. Рассматриваемый процесс осущест-
осуществляется с помощью двух типов промежуточных состояний.
1) Сначала магнон с импульсом р (или р') испускает фонон
с импульсом f, переходя при этом в состояние с импульсом р — f
[первый и второй члены в D.13)]; затем магнон с импульсом р — f
сталкивается с магноном с импульсом р', в результате чего полу-
получаются два магнона с импульсами р" и р'". Закон сохранения им-
импульса дает:
D14
2) Сначала сталкиваются магноны с импульсами р и р', давая
в результате магноны с импульсами р' и р'"+ f (или р"+ f и р'/г)г
1 HpiPt соответствует переходу двух магнонов от состояний с импульсами
РзР4
Рх и р2 к состояниям Рз и pi.
82

после чего происходит испускание фонона [третий и четвертый
члены в D.14)].
Из уравнения
Ер + Ер> = Er + Ер>» + sf D.15)
мы заключаем, что все члены в D.13) имеют одинаковый порядок
величины. В отношении числителей это очевидно. Знаменатели
же записываются так:
а) у первых двух членов
Ер — E^t -sf = fVpE - sf^ - sf; EPx + Ep^ -sf^-sf
б) у третьего и четвертого членов, в соответствии с D.15)
Ер + ЕРх - Er+t - Яр-' = Er -
В нашем приближении мы ограничимся рассмотрением только
одного члена из написанных в D.13) *. Для получения вероятно-
вероятности W^MM необходимо квадрат модуля D.13) проинтегрировать
по р, р" и р'":
f
- E* -E#' - s
Вводим в качестве переменных энергию и углы в импульсном
пространстве
S (^ + E Е
D.17)
X imp)* dEdE"dE'"dOdQ"dO"r.
где б — функция может быть уничтожена при интегрировании по
одному из телесных углов. Каждое интегрирование по энергии
магнона дает множителем первую степень температуры; величину
sf в знаменателе можно заменить на Т
D.18)
1 В отличие от D.2) различные члены в D.13) не сокращаются друг с другом#
так как матричные элементы Vx во всех членах в D.13) не одинаковы.
83

Сравнивая D.4) и D.11) с D.18), мы видим, что вероятность
последнего процесса оказывается значительно больше вероятности
рассеяния
Пробег фонона V определяется поглощением (испусканием) при
столкновении двух магнонов. Он оказывается равным х:
Мы получим отсюда фононную теплопроводность X/, умножив
D.19) на скорость звука и теплоемкость пк (T/QD)S.
Это дает
Ms0- T 7 Ms* Т ^п ,, опч
^_. D.20)
__^___
В отличие от случая, когда 9к было больше бр, теперь фонон-
ная теплопроводность идет пропорционально Г[а не Г2, см. C.12)].
Переходя к магнонной теплопроводности хм, можно сказать,
что она и при Эк < Эр будет определяться формулой B.11):
Это выражение непосредственно получается из рассмотрения
длины пробега магнона. В § 2 было показано, что пробег магнонов
определяется не их взаимодействием с колебаниями решетки, а
взаимодействием магнонов друг с другом. В нашем случае взаимо-
взаимодействие с решеткой слабее, чем в случае, разобранном в § 2,
так как запрещены наиболее вероятные процессы первого порядка.
Это, в частности, привело к тому, что длина пробега фонона D.19)
оказалась значительно больше, чем C.10). С другой стороны, вза-
взаимодействие магнонов друг с другом не изменилось и дает ту же
длину пробега а (Эк/ГJ, что и в § 2. Отсюда мы заключаем, что
пробег магнонов и при Эк ^> 9d и при 9к <^ Э# определяется од-
одним и тем же выражением а (бк/77J (ПРИ ^^9к)- Такой резуль-
1 Легко видеть, что ангармоничность при Т ^ 9D не играет роли. Пробег по
отношению к ангармоничности /| равен C.5):
a
li а—[т
Отношение C.5) к D.19) значительно больше единицы:
84

тат непосредственно приводит к B.11). Магнонная B.11) и фонон-
ная D.20) теплопроводности сравниваются при температуре Тг,
равной
Ti-bV-nx
Выше этой температуры тепло переносят фононы, и полная тепло-
проводность пропорциональна температуре:
Ниже температуры Тх главную роль в теплопроводности играют
магноны; теплопроводность с понижением температуры возрас-
возрастает обратно пропорционально температуре. При температуре Тг%
имеет минимум. Действие примесей начинает сказываться с тем-
температурой Т2 порядка.
В интервале от Тг до Т2 теплопроводность имеет вид
7 Эк а2дк
х—л/с к к
т h f
г~тг- \
D.23)
Для того чтобы такой интервал температур существовал, не-
необходимо, чтобы относительное содержание примесей е было зна-
значительно меньше, чем 10~2:
Ниже температуры Т2 теплопроводность снова падает пропорцио-
пропорционально температуре B.12)
^ . D.24)
Т^Г (
К
При температуре Т2 к имеет максимум. Отметим, что в максимуме-
значение х в 1 / ? 2 больше, чем в минимуме при Tv При е
порядка сотой процента, теплопроводность в максимуме примерна
в 10 раз больше, чем в минимуме. Из всех существенных длин
пробега наибольшей является фононная длина lf D.19) при тем-
85.

яературе Тг D.21), когда она достигает значения
] 9к = 40°К. Поэтому поликристаллическая структура будет
несущественна для температурной зависимости, если поликри-
поликристаллики будут иметь размеры, значительно превышающие
Ю-3 см.
Следует заметить, что для тел, у которых Эк почти равно Эр,
будучи больше чем Эр, нужно пользоваться формулами § 3. Фор-
Формулы, выведенные в этом параграфе, не переходят при Эк = 9/>
в формулы § 3; это объясняется тем, что при увеличении отношения
#к к 9d, когда это отношение проходит вблизи единицы, практи-
практически внезапно снимается запрещение процессов испускания и
поглощения фононов одним магноном.
5. Температуры, большие чем 8к (9к <С ®d)* Когда темпера-
температура в несколько раз больше чем Эк, парамагнитный спектр можно
рассматривать самым общим образом, пользуясь разложением
свободной энергии в ряд по степеням ЦТ. Такое разложение пред-
представляется возможным, потому что подавляющее большинство
всех магнитных энергетических уровней по порядку величины
не больше NQr [14]* Если в статистической сумме Z = Л,е~Е^Т
собрать члены, соответствующие всем возможным ориентациям
механического момента отдельного атома, то энергия системы Е
во всех этих членах будет отличаться на величину порядка Эк-
Отсюда следует, что статистическую сумму можно записать, от-
отбрасывая члены более] высокого порядка (см. [12,13]):
где г% — энергия парамагнитного атома.
Сумма по i распространяется по всем ориентациям механиче-
механического момента отдельного атома. Следует отметить, что возмож-
возможность независимо ориентировать отдельные атомы решетки имеет
место только при температурах, высоких по сравнению с энергией
взаимодействия, т. е. при Т ^> Эк. Свободная энергия равна
V
Разлагаем это выражение с точностью до членов порядка 1/Т2
.. E.3)
«6

Отсюда находим парамагнитную теплоемкость см
ть d2F пк
E.4>
(си — теплоемкость единицы объема). С помощью соотношения
54 ?•*)'
г
г г
Для см получается выражение
>Т)\ E.5>
Определение парамагнитной теплопроводности требует еще зада-
задания длины пробега и скорости, с которой передается возбуждение
от одного парамагнитного атома к другому. Длина Iм B.9) стано-
становится порядка а, когда температура достигает величины Эк.
Очевидно, что дальнейшее повышение температуры никак не может
увеличить длину пробега; с другой стороны, Iм не может быть
меньше, чем а. Отсюда,
Psa, (Г>вк)." E.6>
Частота со, с которой происходит передача возбуждения, опреде-
определяется обменным интегралом
со
Умножив со на длину порядка постоянной решетки (возбуждения
передаются соседним атомам) х, получаем независящую от темпе-
температуры скорость
E.7>
Полученная из E.5), E.6) и E.7) магнитная теплопроводность
оказывается равной
*м ~ a2 Y nk (^ff, (вк < Т). E.8>
Перейдем теперь к фононной теплопроводности. При рассмот-
рассмотрении взаимодействия между фононами и парамагнитным спект-
спектром, когда jT^>9k, следует учесть невозможность поглощения
1 Выражение E.7) справедливо только при Т ^ 9К, когда возбуждения имеют
длину волны порядка а.

основной части фононов. Это следует из того, что энергия боль-
большинства фононов порядка Т; поглощение таких порций энергии
может иметь место только в результате одновременного действия
многих парамагнитных атомов, что мало вероятно, вопреки [15].
Лишь небольшая часть длинноволновых фононов (Йсо ^ 9к) мо-
может поглощаться магнитным спектром, имея в результате этого
значительно меньший пробег, чем остальная главная часть фоно-
фононов. Большинство фононов взаимодействует с магнитным спектром
либо непосредственно путем рассеяния, либо взаимодействуя
•с длинноволновыми фононами с частотами ^ Q&lh. За последний
процесс ответственна ангармоничность. Так как фононы с частотами
^ЗкМ скорее взаимодействуют с магнитным спектром, чем с дру-
другими фононами, эффективная длина пробега основной части фоно-
фононов, определяемая ангармоничностью, будет равна той длине, на
которой происходит столкновение фонона с энергией Т с фононом
с энергией ^9к, если рассеяние мало.
Вероятность такого столкновения может быть получена из
соответствующего stoss-оператора, который, как известно (см.,
например, [16]), имеет вид
N? = 2 Л-2-з8 К- соа- со3)
2,3
X ЩЩЩ
2,3
- Ni (#2 + 1) tf3] со^соз + 2 Л+1+2-з« К + со2 - (о3) [{Nx+ 1) X
2,3
X (N2 + 1) JV8 - NxNt (N9 + 1)] (о^соз, E.9)
где N — функция распределения фононов. Суммирование распро-
распространяется по всем возможным состояниям фононов 2, 3, т. е.
по f2, j2 и f3, j3, (j ^ отличает поляризацию фононов). Вели-
Величины А от частоты не зависят. В нашем случае одна из частот
ю2, оK мала по сравнению с сог (Н(дг ~ Г, ЙоJ, Нщ порядка 9к).
Это дает возможность разложить выражения, стоящие в квадрат-
квадратных скобках в E.9), по степеням малого волнового вектора
{N (у + 1} N (f2) N (f,) - N (fx) {N (f2) + 1} {M (f3) + 1} = (M, +1) X
X
E.Ю)

{N (ix) +1}N (fx + f3) {N (f8) + 1} - N (h) {N (fx + f3) + 1} N (f,) -
= (Nt + 1) (^ + f.V,^ + 1/^/,,-^L. j (AT, + 1) -
1 + 1 + f,Vf АГХ + V
{N (h) + 1} {iV (f2) + 1} Л^ (ft + f.) - JV (fx) JV (f2) {iV (fx + f.) + 1} =
= (A^i + 1) (#2 + 1) {^ + f,V,N, +эЩ^}
Х + V2/2i/2ft Д) (ГХ + 1) N, + f,V^ X
N2 WL
^ = Л^ (у, Л^а = N (f2), iV3 = Л^ (f,).
Учитывая, что в сумме, которой соответствует E.10), вдвое боль-
больше членов, чем в суммах, которые соответствуют E.11) и E.12) 1Г
мы видим, что нулевые члены в E.10), E.11) и E.12) взаимно
сокращаются. (Величины ^4±1±2±з симметричны по отношению»
к индексам 1, 2, 3). Пользуясь
= со (f2) + со (fx) -[f2Vftco (fx) = ©1 + <o2 - -?±,
»©(!,) = Vit
получаем следующее выражение для угла между f2 и V^ в E.10):
cos(fltVf|) = ^-, E.10').
где \fl — групповая скорость фонона flf по величине равная ско-
скорости звука (Acoj^GiJ).
1 В первой сумме в E.9) f2 и f3 играют равноправную роль, а в двух других
суммах только f3 (во второй сумме) и f2 (в третьей сумме) могут быть малы-
малыми по сравнению с fle

Только фононы с такими поляризациями, которым соответствуют
не наименьшие скорости звука, могут непосредственно взаимодей-
взаимодействовать с фононами малых частот Ч Остальные фононы будут
осуществлять такое взаимодействие через промежуточный этап
столкновения с фононами, способными удовлетворить равенствам
^5.10'), E.11'), E.12'). Так как прохождение через такой проме-
промежуточный этап последует значительно быстрее, чем время взаимо-
взаимодействия с фононами малых частот, можно не рассматривать от-
отдельно фононы it не могущие удовлетворить вышеуказанным ра-
равенствам.
Легко видеть, что линейные и квадратичные члены в E.10) —
{5.12) имеют одинаковый порядок величины. В самом деле, в ко-
коэффициенте при линейном члене разложения по степеням fa (f3)
сокращается N (i2) (iV(f3)), в то время как в коэффициенте при
квадратичном члене этого не происходит. Отсюда для отношения
линейного к квадратичному члену находим:
i !
Помня, что весь stoss-оператор, определяющийся ангармонич-
ангармоничностью, равен C.4)
Wf ~ Т ( Т \* —
f л/52 \!^) "лГ'
можно оценить вероятность интересующих нас переходов, умно-
умножая Wj на FК/ГL. Множитель (9к/^О2г появляется благодаря
разложениям E.10), E.11) и E.12), если мы sx f1 положим равным
Т, a sj2 (s3f3) равным Эк. Такой же множитель (Ьк/Т)*мы получим,
если пределы интегрирования по частоте в C.3) распространим
не до Tlh [как было сделано при выводе C.4I, а до 0к/Й. Заметим,
что согласно E.10), E.11) и E.12) вероятность перехода пропор-
пропорциональна величине N (f2) (N (^з))- Поэтому, хотя квадрат мат-
матричного элемента C.2) пропорционален малой, частоте, будучи
умноженным на N (/2) = (TIsJ^), он дает вероятность, не стремя-
стремящуюся к нулю, когда /2-*- 0. Таким образом, для вероятности мы
получаем выражение
Т Вк / 6К чз
Ms* п \ eD J •
Длина свободного пробега фононов оказывается равной:
f cos (f, Vfi) = 1 исключается [21.
90

Оценим теперь время т0 взаимодействия длинноволновых фо-
нонов с магнитным спектром. Для этого в D.18) нужно подставить
вместо Т2 величину порядка вк/Т. Для того чтобы убедиться в этом,
обратимся к соответствующему stoss-оператору:
J {Nf (Е) -(N + l)f(E+ Щ) dEp (Е) А (со, Е);
А определяется вероятностью перехода, / (Е) — функция распре-
распределения магнитных уровней (~e-ElT) р(Е) (dE)—число механиче-
механически возможных уровней в интервале энергии dE. Разложим
выражение в фигурных скобках в ряд по степеням hw/T:
Положим N равным
ТЕГ""Г
Это выражение для N дает:
{Nf {E) + (N-l)f(E+ Щ) =
Так как \ f(E) pAdEne зависит от температуры при Т }> 0к, весь
stoss-оператор обратно пропорционален Т. Отсюда получаем
[сравнивая с D.18)] следующее выражение для времени взаимодей-
взаимодействия т0 между отдельными фононами (hco ^ 0к) и магнитным
спектром:
1 ек
"то"~ Ms4T л E.14)
Этот результат является несколько парадоксальным, так как т0
возрастает с повышением температуры. Отметим,что кроме рассмот-
рассмотренного поглощения длинноволновых фононов, начиная с неко-
некоторых температур, для их времени пробега становятся существен-
существенными процессы более высокого порядка.
Из E.13) и E.14) мы заключаем, что т0 значительно меньше,
чем время, определяющее Z/ E.13), если Г<0х>. С помощью
E.13) получается теплопроводность %f
E,15)
91

Отношение X/ к хм при Т ^> Эк оказывается равным E.15) и E.8)
Основную роль в теплопроводности в этих условиях играют фо-
лоны
При температурах, меньших чем Эк, мы имели для х выражения
D.20), которое при Т = Эк оказывалось равным
Ms*
Приближаясь к 9К сверху (Т ^> 9К), мы для х при Т ~ 9К полу-
получаем значительно большее выражение
Таким образом, теплопроводность резко изменяется в/-^-) раз
m L \eK/ J
при прохождении через Т ~ 0к- Такое резкое увеличение х
является следствием внезапного прекращения процессов погло-
поглощения основной части фононов магнитным спектром. Следует отме-
отметить, что этот результат не зависит от характера магнонного спек-
спектра при Т > Эк, так как теплопроводность при Т ~ Эк может
быть по порядку величины получена, пренебрегая вырождением
магнонного спектра.
Ход теплопроводности при дальнейшем увеличении температу-
температуры может быть прослежен лишь качественно, так как интервал
от Эк до Эр обычно не очень велик. Сначала х при повышении тем-
лературы сверх Эк резко возрастает (в Э^/Эк раз), затем растет
пропорционально Т2 E.15). Этот рост, однако, идет недолго, так
как вскоре начинает играть существенную роль рассеяние фононов
магнитным спектром. Вероятность W такого процесса при Т ^> Эк
можно оценить, рассматривая рассеяние фонона отдельным пара-
парамагнитным атомом:
^~(-М2^-е2к
/г2*3
Вместо Йсо подставим сюда Т
W —
92

Пробег, определяемый этой вероятностью, равен
При температуре
*:
EЛ7)
EД8>
E.16) и E.13) сравниваются. В небольшой области температур
теплопроводность в соответствии с E.17) будет падать с возраста-
возрастанием температуры обратно пропорционально первой степени тем-
тем[1] 2:
пературы
E.19)
При Т = Тх мы имеем, таким образом, максимум теплопровод-
теплопроводности. Дальнейшее возрастание температуры влечет за собой появ-
появление частых процессов переброса, когда температура стремится
к дебаевской. Так как пробег, обязанный ангармоничности, имеет
вид
мы видим, что вблизи 0?> теплопроводность сильно уменьшается
в отношении порядка Ms2 Эд/Эк ~ 100.
Теплопроводность при Т > QD ведет себя примерно так же,
как и у обычных диэлектриков. Примерный ход х при Э^ > Эк
представлен на рис. 2.
Рис. 2. Примерный ход тепло-
теплопроводности х при 0? < Эд
Разбор экспериментальных данных будет произведен в подго-
подготавливающейся к печати работе, в которой будут рассмотрены
соли с необменным взаимодействием.
1 Как и следует ожидать, при Т ~ 9К E.16) дает тот же результат, что и D.4).
2 Формула Пайерлса справедлива в том случае, когда длина пробега, опреде-
определяемая из рассеяния, больше длины пробега, определяемой из ангармонич-
ангармоничности. Это условие у нас выполнено [ср. E.17) и C.5)].
93

В заключение считаю своим приятным долгом выразить ис-
искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за интересные дискус-
дискуссии, ценные указания и постоянный интерес к работе.
Физический институт Получено 4 ноября 1940 г»
Академии наук СССР
ЛИТЕ РАТУРА
1. R.Peierls. Ann. d. Phys., 1929, 3, 1055.
2. W. de Haas, Th. Biermasz. Physica, 1938, 5, 320.
3. Van Fleck. The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities. Oxford»
1932.
4. F. Block. Zs. f. Phys., 1930, 61, 206.
5. Intern. Crit. Tables, 1929, 6, 354; B. Cabrera. L'etude experimental du
magnetisme; le magnetron, Hep. Inst. Phys. Solvay, 1932, 6, 183; G. Foex.
Les lois experimentales du paramagnetisme. Memorial des Sciences Physi-
Physiques, 27, Paris, 1935.
6. L. Landau, /. Pomeranchuk. Phys. Zs. Sowjet., 1936, 10, 649 (Собр. трудов,
№1).
7. W. Baber. Proc. Roy. Soc, 1937, A, 158, 383.
8. F. Block. Zs. f. Phys., 1929, 57, 545.
9. Г. Б erne y А. Зоммерфелъд. Электронная теория металлов, стр. 187.
10. P. Debye. Vortrage uber die kinetische Theorie, Teubner, 1914.
11. R.Peierls. Ann. d. Phys., 1929, 3, 1097.
12. Waller. Ann. d. Phys., 1937, 104, 132.
13. Шотткиу дит. по Ubbelohde. Modern Thermodynamics.
14. W. Heisenberg. Zs. f. Phys., 1928, 49, 619.
15. Temperlby. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1939, 35, 256.
16. А.Ахиезер. ЖЭТФ, 1938, 8, 1318.

8
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДИЭЛЕКТРИКОВ
БРИ ТЕМПЕРАТУРАХ БОЛЬШЕ ДЕБАЕВСКОЙ *
Доказывается, что полученный Дебаем и Пайерлсом температурный ход
теплопроводности диэлектриков при высоких температурах имеет место толь*
ко при определенном виде дисперсии скорости тепловых колебаний и опреде-
определенном виде зависимости этой скорости от направления. В общем случае в
идеальном монокристалле ангармоничность не дает никакого теплового со-
сопротивления. Необходимо учитывать столкновения с участием четырех фо-
вонов, которые дают тепловое сопротивление, пропорциональное Г*/в.
Теплопроводность кристаллических диэлектриков была впер-
впервые рассмотрена Дебаем [1], указавшим на то, что кристалличе-
кристаллическая решетка будет обладать бесконечной теплопроводностью,
«ели ее атомы связаны с положениями равновесия квазиупругими
силами. Это хорошо известное обстоятельство получается непос-
непосредственно при рассмотрении собственных колебаний гармониче-
гармонической модели кристалла. Именно в такой модели мы имеем совокуп-
совокупность плоских волн, не взаимодействующих друг с другом и обла-
обладающих, таким образом, бесконечным пробегом (пренебрегая
отражениями от стенок и т. п.). Для установления равновесия
необходимо ввести взаимодействие между отдельными фононами
(плоскими волнами). Такое взаимодействие Дебай получил, рас-
рассматривая следующий член в разложении потенциальной энергии
по степеням смещения атомов из положений равновесия, т. е. рас-
рассматривая член кубический в смещениях (ангармоничность).
Таким путем для теплопроводности х при высоких температурах
(Г^>0, Т — температура в энергетических единицах, 0 — де-
баевская температура в тех же единицах) была получена Дебаем
пропорциональность ЦТ (убывание х обратно пропорционально
температуре). Важный дальнейший шаг был сделан Пайерлсом
12], который подверг вопрос последовательйому квантово-механи-
чвскому рассмотрению. Пайерлсом было выяснено отличие
в поведении дискретной решетки и континуума (см., впрочем
13 и 4]) и указано то свойство дискретной решетки, которое приводит
к конечной теплопроводности при взаимодействии фононов в от-
отличие от бесконечной теплопроводности в случае континуума.
¦ ЖЭТФ, 1941, 11, 246; J. Phys. USSR, 1941, 4, 259.
95

В случае дискретной решетки, кроме столкновений фононов, со-
сопровождающихся сохранением суммарного волнового вектора,
мы имеем еще так называемые процессы переброса Пайерлса, при
которых суммарный волновой вектор изменяется на величину век-
вектора обратной решетки. Без процессов переброса установление
равновесия оказывается невозможным.
При высоких температурах (Т ^> 0) процессы переброса столь
же часты, как и обычные столкновения. Поэтому Пайерлс ограни-
ограничивавшийся, подобно Дебаю, рассмотрением столкновений с уча-
участием трех фононов (ангармоничность), получил для х также
обратную пропорциональность температуре при Т ^> 0. При
Т <^ 0 процессы переброса приводят к экспоненциальному воз-
возрастанию х при понижении температуры.
В настоящей работе показывается, что для теплопроводности
существенную роль играет дисперсия скорости тепловых колеба-
колебаний, которую мы кратко будем называть дисперсия звука, а так-
также зависимость скорости тепловых колебаний (мы будем говорить
скорости звука — ради краткости) от направления распростра-
распространения. Оказывается, что в теле с отсутствующей дисперсией и с
изотропными скоростями звука ангармоничность сама по себе не
дает никакого теплового сопротивления. Для того чтобы в таком
теле получить конечную теплопроводность, нужно привлечь
в рассмотрение члены 4-го порядка в разложении потенциальной
энергии в ряд по степеням смещений атомов из положений равно-
равновесия, т. е. необходимо рассматривать столкновения 4 фононов.
Такой результат является следствием очень быстрого возраста-
возрастания длины пробега фононов, обладающих наибольшей скоростью,
когда их частота со стремится к нулю. Именно, оказывается, что
пробег таких фононов обратно пропорционален со4. Такая ситуа-
ситуация, как и в случае эффекта одних примесей [2], приводит к рас-
расходимости интеграла:
dt
где ct — теплоемкость фонона, lf — его пробег, vf — егогруппозая
скорость, di = dfxdfydfz; flK — волновой вектор фонона, опре-
определяющего теплопроводность.
Для того чтобы дисперсия и анизотропия звука могли изменить
положение, необходимо выполнение некоторого условия A.3)
каждой точкой поверхности, выражающего скорость звука как
функцию углов при заданной частоте. Ввиду тождественного
характера этого условия по отношению к углам представляется
маловероятным, чтобы оно могло быть выполнено во всех реаль-
реальных кристаллах. Можно поэтому заключить, что в природе осу-
осуществляется несколько классов диэлектриков — у одного класса
теплопроводность ведет себя по Дебаю — Пайерлеу, у другого —
совсем иначе. В частности, при Т ^> 0 у этого второго класса х
обратно Пропорциональна ТЪ1*. Наконец, может иметь место про-
промежуточный случай.
96

1. Пробег длинноволновых фононов
в приближении кубической ангармоничности
Поглощение длинноволнового фонона может иметь место в ре-
результате либо его столкновения с коротковолновыми фононами
(собственно поглощение — длинноволновый фонон, поглощаясь
коротковолновым, дает другой коротковолновый фонон), либо
в результате столкновения с длинноволновым же фононом. Рас-
Рассмотрим возможность первого процесса. Из закона сохранения:
f + F = F', A.1)
(о (f) + со (F) = со (F') = о (F + f). A.2)
где /—волновой вектор, умноженный на h (длинноволнового
фонона), F — то же коротковолнового фонона. Разлагая A.2)
в ряд по степеням f, получаем условие:
Для длинных волн дисперсия несущественна, поэтому Йсо (f) =
= *//.
A.3)
Мы видим, что фонон может поглощаться только таким высокочас-
высокочастотным фононом F, у которого групповая скорость больше, чем
скорость звука, соответствующего фонону /. В изотропном теле
с отсутствующей дисперсией звуковых колебаний наибольшей
скоростью обладают, как известно, продольные колебания. В та-
таком случае из A.3) следует, что продольные длинноволновые фо-
ноны в таком теле не могут вообще поглощаться в результате
столкновений с коротковолновыми фононами. Этот результат был
получен Ландау и Румером [5]. В реальных кристаллах всегда
в той или иной степени имеет место дисперсия скорости звука и
анизотропия. Если эти эффекты малы, то положение не меняется,
так как в предельном случае их отсутствия мы имеем только что
рассмотренный случай изотропного тела без дисперсии. Когда
дисперсия и анизотропия велики, нетрудно себе представить, что
для фононов /, движущихся в некотором направлении, можно по-
подобрать такие фононы F, у которых групповая скорость vF будет
больше, чем наибольшая скорость звука Sf. (Теперь термин «про-
«продольные колебания» не имеет смысла. Очевидно, что их роль
играют длинноволновые колебания, которым соответствует наи-
наибольшая скорость звука. Мы их в дальнейшем все время будем
иметь в виду). Однако существенное изменение положения может
наступить только в том случае, если соответствующие фононы F
будут находиться в распоряжении фононов /, движущихся под
любым углом. Такое тождественное, условие накладывает жесткое
4 И. Я. Померанчук, т. I 97

ограничение на анизотропию и дисперсию, так что представляется
мало вероятным, чтобы во всех кристаллах оно было выполнено.
Поэтому следует ожидать по крайней мере двух типов диэлект-
диэлектриков. Для одного из них должно иметь место соотношение х ~
— \1Т (Г^>0), для другого же типа х будет нами определена
в дальнейшем. В том случае, когда область углов, для которых не
выполнено условие A.3), мала по сравнению с 2я, может встре-
встретиться «смешанная» ситуация. Именно, х будет состоять из двух
частей, сравнимых между собой, например, при комнатных тем-
температурах, но имеющих различную температурную зависимость.
Перейдем к рассмотрению второго типа столкновений, при ко-
которых все участвующие фононы имеют малые частоты х. Опреде-
Определим вероятность такого процесса. Матричный элемент возмуща-
возмущающей энергии записывается следующим образом:
X IN»{N« + 1)(Na. + 1)]'/.-?*_, A.4)
где Q @ 0' 0") — функция углов, dO — элемент телесного угла,
в f-пространстве фонона /, соответственно О, О", ? — энергия
порядка Ms2. Такой порядок величины ? определяется условием,
чтобы при колебаниях порядка постоянной решетки и длине волны
того же порядка изменение потенциальной энергии было порядка
атомных энергий. М — масса элементарной ячейки, N — число
элементарных ячеек в кристалле; A.4) соответствуют процессу,
при котором фонон / «расщепляется» на два других фонона /'
и /". Множители 1/Х соответствуют вероятности перехода обраща-
обращающейся в нуль при со = 0, или со' = 0, или со" = 0, Na> — функ-
функция распределения фононов (не путать с N). Вероятность полу-
получается из A.4) обычным образом
б (о-со'-со") ( ,
— N„'N„'(N„ + 1)}. A.5)
Здесь записан только один из возможных процессов столкновения
второго типа. Так как остальные возможности, если они имеются,
дают тот же порядок величины, мы их писать не будем. Полная
вероятность перехода получится в результате интегрирования
A.5) по всем волновым векторам фононов /'
^«p™ A.6)
1 У изотропного тела без дисперсии таким процессом может быть только рас-
расщепление продольного фонона на два поперечных или на один поперечный
и один продольный фононы. Поперечные фононы не могут в таком теле рас-
расщепляться [6].

где Q — объем кристалла, Qx — функция углов порядка единицы,
Qx = IQ ?¦
Подставим сюда вместо Na выражение
Na = Noa + ЛС = (e~^ - I) + (е~Т~ - IJ Г^Ф (f) -jr.
Для И7111 получаем следующее выражение:
wm _ С «Р//' 11 - ГI dt'Qi {ф (f) - Ф (Г) - Ф (f - t')) v
т ^~
NMh*T(e т —1)(е т - 1) A - е ^) BяK
X в [©(f)-o(!')-©(!-Г)].
Так как нас сейчас интересуют температуры значительно боль-
большие дебаевской, то еп^т можно разложить в ряд
™ш _ С QiT*sQf1' I f - Г | dV {ф (f) - Ф (Г) - Ф (f - Г)} д
Хб[*//-^/'-^Л, A.7)
где 5/ — скорость фонона / и соответственно sy и Sf».
б-функцию можно уничтожить при интегрировании по углам
в фононном импульсном пространстве (под «импульсом» фонона
мы понимаем / = Й/Х):
[s,f - srf - sr V/2 + //2-2//'cosG] sin QdQ =
cos 0O определяется из равенства
p-2ff7CQSe0 = S,f - Sff.
Используя A.8), приводим A.7) к виду
A.9)
Пределы интегрирования по /' распространяются от 0 до
(Sf/sj>) f ~ /. Поэтому WU1 оказывается пропорциональным со2*
4*

Деля A.9) на число фононов, равное
находим время жизни длинноволновых, наиболее быстрых фононов
тш, обязанное ангармоничности
» ГО (А©)* A10)
7
Выразим Q/N через дебаевскую температуру: -тп-г— (~а~) «Под-
«Подставим это в A.10): ш м 2ъс\з ¦ Соответствующий пробег за-
записывается следующим образом:
\ з s Ms^1 fis
где а — постоянная решетки.
Поглощение длинноволновых фононов, рассмотренное здесь,
было исследовано Слонимским [6], который получил пробег, об-
обратно пропорциональный со5, а не со4, как у нас. Разница в его
результате по сравнению с A.11) объясняется тем, что он рассмат-
рассматривал случай Г<^Йо), в то время как у нас имеет место обратное
неравенство /ш <ij Т.
Длинноволновые колебания, имеющие немаксимальную ско-
скорость распространения (например, поперечные колебания в изо-
изотропном теле), могут, разумеется, поглощаться в результате столк-
столкновений с коротковолновыми фононами [51. Вероятность поглоще-
поглощения при этом оказывается пропорциональной со, т. е. соответст-
соответствующий пробег равен (по порядку величины)
у Ms2 Э . / 4 4 О\
1~а-т-1*< AЛ2>
Из сравнения A.11) и A.12) видно, что длинноволновые коле-
колебания, не могущие поглощаться коротковолновыми в силу A.3),
рбладают значительно большими пробегами, чем остальные типы
колебаний. В наших условиях основную роль в теплопроводности
должны играть длинные волны с максимальной скоростью рас-
распространения.
Пробег A.11) приводит к бесконечной теплопроводности
d Йсо \ Ms2 б4 0Lо) 1 бМл;
^^ kaS
где к — постоянная Больцмана.
100

Такой результат можно увидеть и несколько иным путем. Ки-
Кинетическое уравнение, из которого определяется функция ф(/),
при наличии градиента температуры имеет вид (пусть температура
меняется вдоль оси z)
еПш/т ha dT
(
BлJ
где г|? — угол между направлением групповой скорости фонона
и осью. Учитывая сказанное выше о пределах интегрирования
по / и разлагая левую сторону этого уравнения в ряд по степеням
/ш/Т, легко можно убедиться в том, что функция ср обратно про-
пропорциональна кубу частоты
Y со3 dz '
Теплопроводность определяется с помощью величины ф соот-
соотношением
h со
= С 9 (f) ЫеУрЛ =г-. Т { ф (f) di Ур
При малых частотах подынтегральная функция ведет себя как
dco/co2:
Г 1 1 о , С da
У со3 со У со2
ti со3 со
Для получения конечной теплопроводности необходимо обра-
обратиться к рассмотрению столкновений с участием 4 фононов.
2. Пробег длинноволновых фононов,
обязанный членам 4-го порядка
в разложении потенциальной энергии
Потенциальная энергия атомов (молекул, ионов) кристалла
с требуемой нами точностью записывается так:
U Ы = U (гом) + — _lj- PiPfc + х -ц§
^ Ж dxjdxRdxldxm
где гм — вектор-радиус атома или молекулы М решетки; гоМ —
соответствующее положение равновесия; р^ — компонента век-
вектора теплового смещения из положения равновесия. Рассматри-
Рассматриваемые столкновения могут быть двух типов:
101

1) до столкновения было два фонона и после столкновения
также остаются два. Законы сохранения в этом случае дают
fi + U = h + h + d; со (fx) + со (f2) = со (f2) + со (f4), B.2)
где d — вектор обратной решетки. Если d =/= О, мы имеем процесс,
аналогичный процессу переброса, рассмотренному Пайерлсом
в случае столкновений с участием трех фононов;
2) до столкновения был один фонон, после столкновения обра-
образовалось три фонона и, наоборот, три фонона, сталкиваясь, дают
один:
fi = f2 + f3 + f4 + d>
со (f2) = со (f2) + со (f3) + (о (f4). B.3)
Так как число уравнений в B.2) или B.3) по-прежнему равно 4,
как и в случае, рассмотренном в § 1, а число независимых пере-
переменных за счет введения еще одного фонона возросло на 3, столк-
столкновения B.2), B.3) оказываются всегда возможными и в том слу-
случае, когда один из фононов стремится к нулю. Рассматриваемая
нами возмущающая энергия равна
SmttMi tjMxMzMs
_ ~ @Mt __ 0МА /0Mt __ ОМ2) @Mt _ 0М3\ @Mt __ 0М2\
24дх.дхь.дх,дх Wi Рц )Wk Р/с МР/ Р/ MPm Pm Л
МхМгМ3 г к I m
B.4)
Индекс Mi отличает различные атомы (молекулы, ионы) решетки
Матричный элемент этого возмущения для столкновения 1-го
типа по порядку величины может быть записан следующим обра-
образом:
N
дх*
M2N2 (C0i0J@30LI/2 X1X2X3X4
1). B.5)
B.5) строго справедливо только для длинных волн, для кото-
которых длина волны значительно больше постоянной решетки. По»
порядку величины мы можем, однако, пользоваться B.5) и при
X ~ а {а — постоянная решетки). Коэффициент -^- имеет
порядок величины UJa*, где Uo — энергия порядка тепловой
энергии при температурах, которым соответствуют тепловые коле-
колебания, равные расстоянию между соседними узлами решетки.
Пользуясь приближенным равенством (в среднем) потенциальной
и кинетической энергии, имеем
Uo ~ Ма2п2 ~ Ma2e2h~2 ~ MsK B.6)
Окончательно матричный элемент B.5) равен
Ms2h*B (O1O2O3O4)
NM2 ((Oi(O2CO3CO4)V* Х1Х2Х3Х4
102
B.7)

где В (О1О2О3О4) — функция углов, которая порядка единицы.
Ох — телесный угол первого фонона в импульсном пространстве
и т. п. Записываем соответствующий stoss-оператор:
X {N^N^A + JVMl)(l MJ NN
-f 1) (ЛГ«, + 1) (/VW1 + 1) iVo,,} 6 К - cd2 - оK - оL) +
.. +1) <*-. +1) (лг^ +1) х
2 3 4
X AU - N^N^N^ (yVW4 + 1)} б К - ю1 - со, - юз). B.8)
Здесь ^4 — функция углов порядка единицы. Конкретный
вид функции А зависит от кристаллической структуры решетки.
Суммы в B.8) распространяются по всем компонентам волно-
волновых векторов 2,3 и 4 фононов. Поставим вместо N^ выражение
Формула B.8) записывается с помощью этой подстановки следу-
следующим образом:
>п s*h?A (О1О2О3О4) 6 @I -f 0J — соз — @4) ,
= 2л WM^sss^XsU (ф
2,3,4
Ф1 Т2/
, V^ SftM (О1О2О3О4) 6 @I — @2 — СОЗ — 0L) (ф! — ф2 — фз — ф4)
Ъ S*h2A (О4О2ОзОг) б @L — 0I — 0J — С03) (ф4 — ф1 — ф2 — фз)
B.9)
Нас интересует случай, когда частота о^ мала. Тогда вторую сумму
в B.9) можно не писать, так как пределы суммирования по вели-
величине импульсов фононов 2, 3 и 4 в ней малы (примерно от нуля
до /х). С другой стороны, в первой и третьей суммах суммирование
можно распространить до максимальных величин импульса, от-
отвечающих, очевидно, граничной дебаевской частоте. Так как
область малых /2/3/4 не играет существенной роли в B.9), вторая
сумма мала по сравнению с первой и третьей. Разлагаем еп<л/т
103

в ряд:
,дт v _ у sWA (O1O2O3O4) ^36 @I+ <р2— соз- со,) (ф3 + Ф4 — ф! - фа)
^VcoJstOSS— Sj iVW25152W4^@i0J0K0L?eiX2X3X4
2,3,4
V №s*A (О4О2О3О1) T36 (@4 — 0I — 0J — 0K) (ф4 — ф! — ф2 — фз) __
~^~ ^ /V2A/-Sl5253^4C0lC020K0LXlX2X3X4 ~~
2,3,4
Ss*A (O1Q2O3O4) Г36 (Q)i + 0J — 0K — 0L) (фз + ф4 — ф! — фг) ,
^1 $М (О4О2О3О1) У3б @I + 0J + СОЗ — 0L) (ф4 — ф1 — ф2 — фз) /г, л ПЧ
2,3,4 /V M S1S2S3T
Переходим теперь от суммы к интегралам по di2 и di3
(ФЗ + ф4 - ф 1 - ф2) 47,3. г f|Wf v ¦ . .(П
А)яBлА)в ^ i 6 [<0 (tx)+ со (ta) —
/# ч ts 1 f * м 1 С л (О4О2О3О1) Q2s4r3 7
- СО (f,) - СО (fд + f2 - f3)] + ] \NM8lWjp (Ф4 - Ф1 ~
ф (f2) + »(f,) —
B.11)
Как будет видно из дальнейшего, ф2, ср3 и ф4 малы по сравнению
с cpj. Поэтому мы их писать не будем. Под знаком б-функции можно
малую частоту со не писать и разложить также величины со (!х +
+ ^2 — h)i <° (^i + ^2 + ^з) в РЯД по степеням /1г ограничиваясь
нулевым членом в этом разложении:
А(О1О2О3О4)s^T^dhdhQ^ х ,„,9 ч ,М ,- f
А (О4О2О3О1) я Л r f , f f nf
. {NMSls.2sss*h)ZBKh)* б Mf2> + CO(fs) —C0(fa
B.12)
Функция A (Ox O2 O3 O4) симметрично зависит от своих аргу-
аргументов. Поэтому оба интеграла в B.12) примерно равны друг
другу
)
B.13)
Здесь интегрируется по всем возможным значениям /2 и /3. Оче-
Очевидно, что главную роль при этом играют большие импульсы фо-
нонов порядка h/a
a ) 6 "
Т 6 *
104

-j^~a3, (A^Jt e"T1J
Используем приближенное равенство
Деля B.15) на
находим время свободного пробега т1Л
Т
/ _
е
_L_ ,
Соответствующий пробег имеет порядок величины
Докажем теперь, что ср2, ф3 и ф4 в B.11) малы по сравнению
с фг Для этого напишем уравнение стационарности при наличии
градиента температуры, из которого определяется функция ср
е
т Паи dT
- Ф2) 6 [со (fx) + со (f2) - со (f8) - со (fx + f2 + f3)] +
А (О1О2О3О4) T^Q4hdh (ф1 — фг — фз —ф4) б [со (fi) —
С — со (f2) — со (f8) — со (fi — h — h)]
t Г А (О4О2О3О1) T3s*Q2dhdh , \ x Г /* \ . /* \ .
+ \ 7»7T7 ^w /o ^a (фл — ф, — фо — ФоО @ (l,) + СО (Га) +
+ со (f.) - со (fx + f2 + f3)} + ^ N™*m* x B-18)
x (sf — lrL\ {ф (f) _ ф (f) — ф (f — f)} 6 [со (f) — со (f) — со (f — f)].
Выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой
stoss-оператор, обязанный столкновениям с участием четырех
фононов. Последний интеграл в B.18) отвечает за ангармоничность
A.7). Как мы уже видели, при стремлении сох к нулю первый stoss-
оператор стремится к конечному пределу B.14), а второй пропор-
пропорционален coi A.9). Левая сторона B.18) обратно пропорциональна
(д1 (Йсо <^ Т). Отсюда можно заключить, что ф убывает с возраста-
ниемчастоты, по крайней мере как—.Так как в B.11) основную
105

роль в интегралах играют большие частоты, функции (р2, ф3, ср4
оказываются малыми по сравнению с фх.
Пробеги A.11) и B.17) сравниваются при частоте со0 порядка
Ms*
_ ( 9
Й0H= I
Очевидно, что в теплопроводности главную роль будут играть
частоты порядка со0. При пользовании выражением для х
можно для If подставить A.11) и интегрировать до частоты (Oq,
B.19), так как при меньших частотах пробег возрастает значитель-
значительно медленнее B.17) и соответствующая область интегрирования
не играет роли. Таким образом, мы получаем
__ , Ms2 б4 С rfa> _
— rCSCL ——— . „ \ г-
Т НЧ3 J со2
Т
где к — постоянная Больцмана.
Используя равенство 6 ~ hsaT1, находим
B.20)
где п — число элементарных ячеек в 1 см3. Таким образом, мы
видим, что в наших условиях к оказывается обратно пропорцио-
пропорциональной температуре в степени 3/2. Кроме того, в нашем случае
величина к оказывается в У"Ms2/T раз больше, чем в случае,
когда к ~ \1Т. В приближении ангармоничности пробег (средний)
Ms2
равен aMs2/T см. A.12), откудах — а-у-Пк.Ш сравнения с B.20)
следует наше утверждение о величине х.
Следует отметить, что кроме тел, для которых справедлив
закон х ~ 1/Г, и тел, для которых мы имеем соотношение B.20),.
может встретиться промежуточный случай, именно: для той части
углов, когда условие A.3) может быть выполнено, фононы дают
х ~ 1/Г, для остальных — х ^- . При комнатной температуре*
обе части теплопроводности случайно могут оказаться одинако-
одинакового порядка величины. Резюмируя, можно сказать, что х при Г^Ы)
не должна следовать универсальному закону, справедливому для
всех без исключения диэлектриков.
106

Обсуждение экспериментальных данных будет проведено в
статье, посвященной рассмотрению влияния примесей на тепло-
теплопроводность, которую предполагается опубликовать в ближайшее
время.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить ис-
искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за интересные дискуссии
и ценные указания.
Физический институт Получено 6 ноября 1940 i •
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. P. Debye. Vortrage iiber die kinetische Theorie etc. Teubner, 1914,
2. R. Peierls. Ann. d. Phys., 5, 1929, 3, 1055.
3. L. Ornstein, F. Zernicke, Proc. Amst. Acad., 1925, 19, 1295.
4. W. Pauli. Verh. d. deutsch. Phys. Ges., 3, 1925, 6, 10.
5. L. Landau, G. Rumer. Phys. Zs. Sowjet., 1937, 11, 18.
6. Г. Слонимский. ЖЭТФ, 1937, 7, 1457.

9
О ПОГЛОЩЕНИИ ЗВУКА В ДИЭЛЕКТРИКАХ*
Показывается, что поглощение звука в диэлектриках определяется ан-
ангармоничностью только в том случае, если выполнено условие A). Нет осно-
основания полагать, что это условие выполнено у всех (или даже у большинства)
диэлектриков. В связи с этим зависимость поглощения звука от температуры
не должна иметь универсального характера для всех диэлектриков.
Получена зависимость поглощения звука от температуры в кристаллах,
для которых условие A) не имеет места.
Вопрос о поглощении звука диэлектриками был недавно под-
подвергнут рассмотрению Ахиезером [1]. Полученный им результат
не учитывает того обстоятельства, что для пробега длинноволновых
фононов весьма существенную роль играют дисперсия и анизо-
анизотропия скорости тепловых колебаний. В изотропном теле без
дисперсии такие длинные волны, которым соответствует макси-
максимальная скорость звука, имеют пробег обратно пропорциональный
со4 (со — частота) (см. статью «О теплопроводности диэлектриков
при температурах больше дебаевской» [2]).
Это сильное возрастание пробега с уменьшением частоты влечет
за собой бесконечную теплопроводность, если не рассматривать
столкновений с участием четырех фононов. Аналогичная ситуация
встречается во всех телах, у которых условие
W(fl,<P)/ = fVF A)
не может быть выполнено при любом значении углов ф, ф. Здесь
^тах ("в1, ф) — максимальная скорость распространения звука
в направлении, характеризуемом углами Ф. ф; / — импульс фо-
нона (/ = Й/Х, X — длина волны, деленная на 2л); Vp — групповая
скорость каких-либо коротковолновых фононов.
Аналогично теплопроводности, поглощение звука в телах,
в которых условие A) не может быть тождественно по отношению
к О, ф выполнено, также существенно определяется столкнове-
столкновениями с участием четырех фононов. Одна ангармоничность ока-
оказывается недостаточной для того, чтобы установить соответствую-
соответствующее распределение фононов.
* ЖЭТФ, 1941, 11, 455; J. Phys. USSR, 1941, 4, 529.
108

Мы не рассматриваем здесь эффекты, обязанные примесям,
искажениям решетки, отражениям упругих волн от граней по-
поликристалликов и т. п. Таким образом, наши рассуждения отно-
относятся к идеальному бесконечному монокристаллу.
1. Температуры,
высокие по сравнению с дебаевской
Как и в [1], мы будем рассматривать звук как внешний фак-
фактор, изменяющий функцию распределения фононов. Такое изме-
изменение вызывается зависимостью частоты фононов от звукового
поля. Именно: имеет место соотношение
(of = (o0f(l+XiKuik), A.1)
где (О/ — частота фононов с импульсом f в отсутствие звукового
поля, uik — симметричный тензор деформации, обязанный звуку,
к{к — тензор второго ранга, определяемый кристаллической сим-
симметрией. Мы здесь и в дальнейшем будем стараться придерживать-
придерживаться обозначений, принятых в [I]1.
Изменение функций распределения по действием звукового
поля равно
(eft"/T_1J ~ [К^и^ — Т) ' I1-*4
Здесь вместо со0 написано со. Точка обозначает дифференцирова-
дифференцирование по времени. Все температуры (Т, 0) измеряются в энергети-
энергетических единицах. Как показано в [1], величина Т/Т равна uikXiki
где Л^ — есть некоторым образом усредненный по направ-
направлениям импульса f тензор Хцс. Поэтому можно вместо Я^ щк —
— Т/Т писать условно Х{к щк, учитывая только существование
соотношения
следующего из сохранения энергии кристалла при столкновениях
фононов друг с другом. ; отличает различные состояния поляри-
поляризации фононов.
Рассмотрим положение, создающееся в теле, для которого
условие A) не может быть выполнено в том смысле, о котором шла
речь в введении. Длинноволновые фононы, которым отвечает мак-
максимальная скорость звука, не могут поглощаться в таком теле
коротковолновыми фононами. Пробег таких волн, если ограни-
1 За всеми подробностями (в частности, относительно свойств тензора
мы отсылаем к [1].
109

чиваться ангармоничностью, определяется их столкновениями
с фононами малых же частот [2].
Полный stoss-оператор записывается в виде
= 2j ^4+1-2-3С010J0K^ (^l — ®2 — ^з) {(^1 + 1) ^2^3 —
2,3
1) (/V3 + 1)} + S 4+1.a.8©l®l«>8* К - °>2 +
2 Q
1) yV2(l + ЛГ8) - Л^/У3(ЛЛ, + 1)}. A.3)
Суммирование распространяется по всем возможным состояниям
(включая и поляризацию) фононов 2,3. Л±1+2t3—Функция углов
и частот; в случае малых частот А от частоты не зависит; Ni —
функция распределения фононов. А по порядку величины равна
* (i 4^
MN
[см. 2, формула A.5I. Функция N определяется из кинетического
уравнения
Для решения уравнения A.4) делаем подстановку
которая приводит к уравнению *
(Ох — 0J — 0)з) =
( " '
В наших условиях можно произвести разложение еПш^т в ряд:
ТА
У. +1-2-3 со^гйз (Ф, + Фз - ФО 6 («1 - «о, - (о3) = likuiklh(x>lt
*-* Я30HJ@з
2,3
-^ 2 4+1-2-3 (Ф2 + Фз - Фх) 6 К - ©t - С03) = Х^Й^/Й©!. A.7)
2,3
Из A.7) можно видеть, что при малых частотах функция воз-
возрастает обратно пропорционально кубу частоты. Для того чтобы
доказать это, перейдем от суммы к интегралу
w \ Л+1_2_3 (Ф, + Ф3 - Фх) б El/x - s2f2 - s3/3) ^ = К**я1Я®и
A.8)
1 Здесь написан член, происходящий только из одной суммы A.3). Остальные
члены имеют тот же порядок величины, поэтому мы их не пишем.
110

где Й — объем кристалла, Si — скорость звука, соответствующая
фонону i. Здесь при преобразован^ аргумента, стоящего под
знаком 6-функции, используется соотношение %ац = «г/г? (здесь
суммирования по i нет!). Мы можем это ^лать, так как интересу-
интересуемся длинными волнами.
Мы уже знаем, что все импульсы фононов/х, /2, /3 одинакового
порядка величины. Поэтому, если ввести в качестве переменных
компоненты вектора f2, деленные на величину вектора Д, то урав-
уравнение A.8) примет вид
1_2_3 {Ф(/Хп2) + Ф (Дпд) - Ф (ищ)} 6 («Л - s2n2-s3n3)ft X
Xdn2Q = Х^щ^Нщ, (п = f2//x; пг = f3/A, пг = 1), A.9)
где играют роль значения щ, п2, щ порядка единицы. Это дает
возможность использовать приближенное равенство
Здесь ^4+1-2-з некоторым образом усредненное по углам значение
величины ^4+1_2-з Окончательно для Ф [пользуясь A.5)], получаем
выражение
ф =
где Г — функция углов Ф, ф; по порядку величины она равна
единице. Введем сюда дебаевскую температуру
(Йсо<9;Г>0). A.10)
Такая зависимость Ф от частоты приводит к тому, что диссипатив-
ная функция (Те) обращается в бесконечность.
Поглощение звука мы получаем, рассматривая возрастание
энтропии фононов диэлектрика при наличии звукового поля [1].
Те (о энтропия) —есть, очевидно, поглощенная в единицу вре-
времени звуковая энергия.
Энтропия фононов равна [3]
- Nti In Nti). (l.H)
f;
Скорость изменения энтропии записывается следующим образом
«. A-12)
Ш

Подставляя сюда вместо N A.3), находим после небольших преоб-
преобразований
0=2 Al-2-З (OiCDgCDgtf (С0х — @2 — 0K) X A.13)
1, 2,3
X {(N, + 1) Л^2^3 - (ЛГ2 + 1)(N3 + 1) NJln
Как и в A.6), мы пишем только один из нескольких членов, оди-
одинаковых по порядку величины. В соответствии с Я-теоремой Ь >0.
При подстановке в A.13) вместо N, No + N' мы ограничимся чле-
членами, квадратичными в добавке к планковской функции распре-
распределения
,4 _ @>1 —Ф3-ФзJ @1@20K
_ 4) (
б К - «, - соз). A.14)
В нашем случае высоких температур A.14) переходит в следующее
выражение
Т6 = 2 Л+1-2-3 (Фх - Ф2 - Фз)* Л S (№ ~ f - Юз) . A.15)
2,3
Перейдем от суммы к интегралу
Подставим сюда A.10)
То s (А^ГJ Й2Г-2Г8 (Ms2J 0вГ2 Bлй)-в Q2 JJ df2 df3 x
X б (со, - со, - со,) |_?L_ _ -^- _ ^}2. A.16)
Черта над Я^ означает усреднение по углам. Мы видим, что при
малых частотах интеграл расходится как 1/со. Если в качестве
нижнего предела интегрирования по со* выбрать некоторую час-
частоту (о о» то выражение для То оказывается пропорциональным
1/со о-
где А —некоторым образом усредненное по углам значение А.
Подставляем A.5) в A.6)
й^Щ^ H^N Ш • A.17)
112

Если ограничиваться ангармоничностью, со0 = 0, диссипативная
функция обращается в бесконечности *. Для получения конечного
поглощения звука в идеальном монокристалле рассматриваемого
нами типа, как и в случае теплопроводности, обратимся к рассмот-
рассмотрению столкновения с участием четырех фононов. При учете этих
столкновений мы получаем для определения функции Ф вместо
{1.4) более сложное уравнение
1Я\
Здесь (A^Jstoss — stoss-оператор A.3), обязанный ангармонично-
ангармоничности, a (N2)ltoss — stoss-оператор, отвечающий за столкновение
с участием четырех фононов. N[Y имеет вид ([2], формула B.9))
<ЛЩ..= A.19)
__ yi h2s*A (O1Q2O3O4) б @J + (Pi — (Оз — аи) {Фз + <1>4 — Фх — Фг} ¦
""я.^4 ^2^251^з54Х1Х2ХзХ4 {еп^т - 1) (еп<**1т - 1) (е~п^т - 1) (е-Л^т - 1) i"
V ^2^^4 (О4О2О3О4) б @I — @2 — @3 — 0L) Ф1 — Ф2 — ФЗ — Ф4 ,
2,7 "^
V
- 1) Т (еп<л*/т
Л (О4О3О2О1) б (@4 — @1 — @2 — @з) ф4 — фг — ф2 —
где О{ —телесный угол фонона i (di, ф,-).
Вторая сумма в A.19) мала по сравнению с остальными, если
coi мало. Мы ее писать не будем. Разлагаем еп^т в ряд по степеням
Ы1Т
Wstoss = 2j ^^(йа1Да^4J в I© (*l) "Г ^ (f2) - CO (f,) -
2,3,4
+ f, - f3)] [Ф, + 0,-0,- ф2]
2, 3, 4
x [ф4_ф, —ф2 —ay.
A.20)
При малых сох (Л/^gtoss оказывается пропорциональным со \ A.9),
в то время как (^jitoss стремится к конечному пределу, когда со
4 В кристалле конечной величины в качестве соо надо было бы выбрать s/L
(L — линейные размеры) или ту частоту, начиная с которой сэ меньше, чем
1/т [6] (т — время жизни фононов с /ш ~ 0), если 1/т > s/L. Эти величины,
однако, всегда значительно меньше, чем соо из A.22).
113

стремится к нулю
- со (f3) - со (fa)l {Ф4 - Ф3 - Ф2 - Фг}. (
Частоты, при которых сравниваются оба stoss-оператора, совпа-
совпадают, очевидно, с частотами, при которых сравниваются соответ-
соответствующие пробеги фононов ([2], формула B.19)). Таким образом,
ниже частоты со0
кинетическое уравнение A.18) может быть заменено на более про-
простое уравнение
(N&s + K^iJ (Гг^Г1 = 0. A.23)
Из A.21) и A.23) мы заключаем, что при со <^; со0 функция Ф воз-
возрастает с уменьшением частоты значительно медленнее, чем при
со ^> о) 0; именно Ф в этой области обратно пропорционально о>
Ф~1/со, (со<со0). A.24>
Из A.15) и A.24) можно заключить, что область частот, меньших
со 0, не существенна для диссипативной функции, и мы можем
поэтому получить правильный порядок величины диссипативной
функции, если вместо со0 в A.17) подставим A.23). Таким образом,
в наших условиях (как и в случае теплопроводности) главную роль-
в эффекте играют частоты порядка тех частот, при которых пробег,
обязанный ангармоничности, сравнивается с пробегом, обязанным
столкновениям с участием четырех фононов.
Получаемое таким образом выражение для диесипативной
функции имеет вид
W 6
Для упрощения этого выражения используем соотношения
Э ~ Hs/a (а — постоянная решетки), asN ~ Q
Q MS2 "I/ MS
V
Вместо I/a3 мы можем ввести п — число элементарных ячеегс
в единице объема (оно по порядку величины, очевидно, равно числу
молекул атомов в 1 еле3)
То ~ ппЦК^ i?i УЩ- . A.25)
114

В отличие от результата, полученного в [1], в нашем случае по-
поглощение звука при Т ;>> Э оказывается обратно пропорциональ-
пропорциональным корню из температуры. Следует также отметить, что в нашем
^г—раз больше,
чем в случае, рассмотренном в [1]. Именно Т6, согласно [1], при
Г >>9равна ([1], формула A.6))
A.26)
Так как теплопроводность к рассматриваемого нами класса ди-
диэлектриков также в У Ms2/T раз больше величины х, получаемой
в том случае, когда условие A) тождественно выполняется, отно-
отношение затухания звука, обязанного теплопроводности, к рассмот-
рассмотренному нами затуханию оказывается таким же, как и соответст-
соответствующее отношение в [1].
Согласно [1], оба затухания при Т^> 9 по порядку величины
одинаковы. Следовательно, то же самое будет иметь место и в
нашем случае.
2. Температуры, малые
по сравнению с дебаевской
В рассматриваемых теперь кристаллах необходимо учитывать
вероятность столкновения с участием четырех фононов и вероят-
вероятность столкновения с участием трех фононов, причем все три фо-
нона имеют одинаковый порядок величины.
Из A.9) следует, что последняя вероятность пропорциональна Т
1_2_3 {Ф (/, п2) + Ф (/, п3) - Ф (/, щ)} X
X б (sx — s2n2 — s3n3) dn2.
Разделив этот stoss-оператор на ФГ/^оэхJ, получаем интере-
интересующую вероятность, используя A.4)
Отметим, что B.1) имеет тот же вид, что и при высоких температу-
температурах ([2], формула A.10)).
Этот результат естествен, так как мы рассматриваем частоты,
у которых hay <^ Т.
Определим теперь вероятность столкновений с участием четы-
четырех фононов при Т <^J Э в том случае, когда частота одного из фо-
115

ионов стремится к нулю. Для этого произведем в stoss-операторе
A.19) разложение в ряд по степеням hayJT:
lim (N^)IJOSS =
cOi->0
= у &s*A (О1О2О3О4) б [CO (f2) - CO (f8) - CO (f > - f8)]
2^4 NW^sstXfaXsUm (e^'T - 1) (ehta</T - 1) A -
X (Ф3 + Ф4-Ф1-Ф2) +
ft2.sM (О4О2О3О1) 6 [со (f2) - со (f8) — со (f2 — fa)]
, у
^ 2,7^4 A^2SbW4XiX2X3X4Ucoi (eh°»'T - 1) (eh(**T - 1) A - e-WT)
X (Ф4 - Фх - Ф2 ~ Ф3) =
_ у hs*Ab [со (f2) — со (f8) — со (ff2 — fa)] (Фа + Ф4 — Ф1 — Фа) ,
~~ 7^ №
T)
S^S4/4 (Ф4 — Ф1 — Ф2 — Фз) с г /? ч , /г \ /Z , С М
^7Г2 ГГ7 L б Iе0 f2 + ш f3 - <» ('2 + fз)] X
Z, о, 4
Х (вл«.т
Мы здесь не писали второй суммы, входящей в A.19), так как она
обращается в нуль вместе с cov
Перейдем от суммы к интегралу
_ fT ^ dU dhA (О1О2О3О4) б [со (f2) + со (fa) — со (f2 + b)] (Ф4+Ф3—Ф1—Фг)^2
~ JJ NWhls2S3Si%&o%3 (eh^T - 1) (в(Л«.-Л«з)/Г __1} A_е-^2/Т) ХЛХ4 Bя^6
HdhdhA (O4O3O1O2) б [со (fa) + со (f8) — со (f2 + Ь)] (Ф4 — Oi— Фг— Фа)
Вводим безразмерные переменные:
8У6 (Ф4 + Ф3 ~ Ф1 " ф2
е^ - 1) (е^8 - 1) A — е"^
Лз) ^ с Г faO2 to3 __ toil
I T T Т \
Х
ft ((h m гЬ rh \ Л Г Я@ ^^ hm 1 /9 q\
х ?f ' 4"" ф1"" 2 "" Фз^ ° [Т г F~J' ^ * '
116

где dO2, dO3 — элементы телесных углов второго и третьего фо
яонов. Так как пределы интегрирования по т] можно распростра-
распространить до бесконечности, то B.3) оказывается пропорциональ-
пропорциональным Г8; деля полученное выражение на
'(eh<ai/T — IJ T
находим искомую вероятность
Выражения B.1) и B.4) равны друг другу при со = со0, где
<2
В соответствии с § 1 очевидно, что главную роль в поглощении
звука будут играть частоты B.3). Выражение для диссипативной
функции мы получим, подставив B.5) в A.17),
B.6)
Поглощение звука идет обратно пропорционально Г3, т. е. воз-
возрастает быстрее с понижением температуры, чем в случае, разо-
разобранном ранее [4].
3. Проверка критерия
применимости понятия фононов для малых частот
Для использования понятия фонона в применении к длинным
волнам необходимо, чтобы самые маленькие частоты, фигуриру-
фигурирующие у нас, удовлетворяли условию [4] free ^> ft/т, где т — время
жизни тех фононов, с которыми взаимодействуют фононы и).
При низких температурах (Т <^ 0) наименьшие частоты имеют
величину B.5)
Время т оказывается равным B.1)
Ms1 I 6 \з %
)
т ~
Т~\т ) Т '
Требуемый критерий хорошо выполняется
е
117

Когда температуры велики по сравнению с дебаевской, существенны
частоты -?- I/ -TFT- Величина Й/т равна ВТ (Ms2)'1. Отсюда сле-
/' Ms*
Это значительно больше единицы при комнатных температурах.
В заключение выражаю искреннюю благодарность проф.
Л. Ландау за интересные дискуссии и ценные указания. Благодарю
также Ф. С. Юткевича за указания при просмотре рукописи.
Физический институт Получено 7 декабря 1940 г.
А кадемии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Ахиезер. ЖЭТФ, 1938, 8, 1318.
2. И. Ломеранчук. ЖЭТФ, 1941, 11, 246 (Собр. трудов, № 8).
3. W. Pauli. Probleme der modernen Physik, 1928, стр. 31.
4. L. Landau, S. Rumer. Phys. Zs. Sowjet., 1937, 11, 18.

10
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Как хорошо известно, Пайерлс и Дебай нашли, что если Т ^> 0 (Т —
температура, 6 — температура Дебая), то теплопроводность диэлектриков к
меняется обратно пропорционально температуре. Однако это оказывается
Справедливым только для диэлектриков, для которых выполняется определен-
определенный закон дисперсии скорости звука и определенный закон зависимости ско-
скорости звука от направления. Для всех других диэлектриков при Т ^> G %
меняется обратно пропорционально Т^2. Это следует из рассмотрения длины
свободного пробега продольных упругих волн.
Пайерлс [1] и Дебай [2] нашли зависимость теплопроводности
диэлектриков х от температуры Т для случаев, когда Т —много
больше температуры Дебая Э. Для выяснения этого вопроса рас-
рассмотрим ситуацию, которая имеет место в теле, характеризую-
характеризующемся отсутствием дисперсии звука и изотропной скоростью
звука.
Как известно [3], коэффициент поглощения поперечного звука
(т. е. поперечных фононов) пропорционален со, где со — циркуляр-
циркулярная частота. Легко видеть, что при Т ^> 0 длина свободного про-
пробега фонона имеет вид
I ж a (Ms2/kT) (&6//HO), (Т > 6). A)
Здесь М — масса элементарной ячейки, к — постоянная Больц-
мана, s — скорость звука, а — постоянная решетки. Коэффициент
поглощения продольного звука зависит от возможности погло-
поглощения длинноволнового продольного фонона коротковолновыми
фононами. Из законов сохранения следует, что
f -f F = F', o)(f) -f co(F) = co(f + F). B)
Здесь f — волновой вектор длинноволнового продольного фонона^
F — волновой вектор дебаевского коротковолнового фонона.
Получаем
|j fVF, C)
* Phys. Rev., 1941, 60, 820. Перевод М. С. Маринова
11»

где sjong—скорость продольного звука, VF — групповая скорость
дебаевского фонона.
Если для рассматриваемого тела s\ong > VFi то процесс B)
невозможен. Для тел, обладающих таким законом дисперсии и
анизотропной скоростью звука, поглощение длинноволнового
продольного фонона возможно, только если он расщепляется на
пару поперечных фононов или на один продольный и один попереч-
поперечный фонон. Коэффициент поглощения оказывается пропорцио-
пропорциональным со4 (в отличие от со5, как было получено Слонимским [4]).
Порядок величины длины свободного пробега 1т можно оценить
по следующей формуле
1Ш ^ a (Ms2/kT) (/с0/ЯсоL. D)
Следует также учесть поглощение продольных фононов в столк-
столкновениях с участием четырех фононов. Соответствующая длина
свободного пробега имеет вид
ZIV х a (Ms^jkTf (kQ/hcoJ. E)
Формулы D) и E) дают одинаковые значения при частоте со0,
при которой
й(оо = /с9 (kT/Ms2)*!*, (Т > 9). F)
Очевидно, что в этих условиях тепловая энергия передается малы-
малыми продольными фононами, так как они имеют очень большие
длины свободного пробега.
Теплопроводность х равна
G)
Здесь Со —теплоемкость данного фонона. Так как существенны
только низкие частоты, то можно положить сш равным к. Подстав-
Подставляя формулу D) в G) и интегрируя до со0 (этот предел находится
из формулы F)), получаем
Y(Y
Ms2\3h 1 / /c9
) U
Обозначим a~3 через п, величина того же порядка, что число ато-
атомов (или молекул) в кубическом сантиметре, и используем соот-
соотношение
))
Тогда
х ~ nksoL (Ms2/kTyi>, (T > 9).
Таким образом, для тел, для которых smax > VF, где smax— мак-
максимальная скорость колебаний, теплопроводность при высоких
температурах ведет себя как Т~3/*, в отличие от результатов Пай-
ерлса [1] и Дебая [2].
120

Если smax <C Vf, to разница в поглощении «продольного»-
и «поперечного» звука исчезает, и результат Пайерлса и Дебая
остается справедливым.
При низких температурах (Г<^;0), согласно детальным вычис-
вычислениям, только примеси, отражения от границ для маленьких
кристаллов и тройные столкновения фононов существенны для
определения х. В отличие от случая, рассмотренного Пайерлсом
[5], здесь конечное значение теплопроводности не может быть полу-
получено, если рассматривать только рассеяния фонона на атомах при-
примеси и тройные столкновения фононов, так как для обоих эффектов
длина свободного пробега меняется как со4. Конечную величину
теплопроводности можно получить, если учитывать отражение от
границ для малых кристаллов. В результате х оказывается обрат-
обратно пропорциональной L1/*, где L — линейный размер кристалла.
Поэтому при низких температурах теплопроводность, как найдено
в эксперименте, зависит (хотя и не сильно) от формы кристалла.
Это справедливо, даже если длина свободного пробега фонона
с частотой порядка kT/h много меньше размеров кристалла. Если
температура падает и становится меньше температуры Дебая,
теплопроводность сначала растет пропорционально Г3/*, но в конце
концов перестает зависеть от температуры при низких температу-
температурах, когда волны с частотой (д=кТ/Н имеют длину свободного про-
пробега того же порядка, что и размеры кристалла. Дальнейшее
уменьшение температуры приводит, как известно, к изменению
х пропорционально Is [6, 7].
Температурный интервал, в котором х совсем не меняется,
особенно велик для алмаза из-за высокого значения его температу-
температуры Дебая. Этот результат объясняет экспериментальные данные
0 теплопроводности алмаза [8, 9], согласно которым х не обнару-
обнаруживает заметной зависимости от температуры в интервалех от 24°
до 343°.
Физический институт Получено 25 сентября 1941 tv
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Peierls. Ann. d. Phys., 1929, 3, 1055.
2. P. Debye. Vortrage uber die Kinetische Theorie, s. 43 (Teubner, 1914).
3. L. Landau, G. Burner. Phys. Zs. Sowjet., 1937, 11, 18.
4. Я. Слонимский. ЖЭТФ, 1937, 7, 1457.
5. В. Peierls. Ann. d. Phys., 1929, 3, 1097.
6. W. J. de Haas, T. Biermasz. Physica, 1938, 5, 619.
7. H.G. B. Casimir. Physica, 1938, 5, 495.
8. Eucken.\ Phys. Zeits., 1911, 12, 1055.
9. W. J. de Haas, T. Biermasz. Physica, 1938, 5, 47»
1 Детальные расчеты были опубликованы в Journal of Physics USSR, 1941,
4, 259 (Собр. трудов, № 8). Там же опубликованы расчеты, относящиеся
к области низких энергий.

11
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДИЭЛЕКТРИКОВ
ПРИ ТЕМПЕРАТУРАХ, МЕНЬШИХ ДЕБАЕВСКОЙ
Рассматривается зависимость теплопроводности диэлектриков от тем-
температуры и концентрации примесей при низких температурах. Диэлектрики
при этих условиях обладают истинной, не зависящей от размеров тела тепло-
теплопроводностью только в узкой области сверхмалых концентраций примесей.
При больших концентрациях примесей теплопроводность оказывается про-
порциональной Yb (L — линейные размеры кристалла). Установлено су-
существование области температур, в пределах которой теплопроводность не
зависит от температуры. Это объясняет аномальное поведение теплопровод»
ности алмаз?.
Введение
Теория теплопроводности диэлектриков при низких темпера-
температурах рассматривалась Дебаем [1], Пайерлсом [2] и Казимиром
[3]. При этом рассмотрении не учитывалось, что, как правило,
кубическая ангармоничность недостаточна для установления ко-
конечной теплопроводности диэлектриков [4, 5]. Только в диэлек-
диэлектриках с некоторым вполне определенным законом дисперсии
звука кубическая ангармоничность обеспечивает конечную теп-
теплопроводность. У всех прочих диэлектриков при Т^> 0 (Г — тем-
температура, Э —дебаевская температура) необходимо привлекать
в рассмотрение ангармоничность следующего порядка D-го поряд-
порядка) для того, чтобы получить правильное выражение для тепло-
теплопроводности х. Такая ситуация имеет место благодаря мощному
возрастанию свободного пробега длинных упругих волн при
уменьшении их частоты. Благодаря этому интеграл, определя-
определяющий х
расходится при малых частотах, если для 1Ш подставить выраже-
выражение A.6), следующее из рассмотрения одной кубической ангармо-
ангармоничности. Здесь со —круговая частота, 1Ш —свободный пробег,
С(й —теплоемкость колебания, Уш—групповая скорость, s^ —
-фазовая скорость, еЮ — элемент телесного угла.
* ЖЭТФ, 1942, 12, 245; J. Phys. USSR, 1942, 6, 237.
422

Если при высоких температурах к определяется ангармонич-
ангармоничностью 3-го и 4-го порядков, то при низких температурах из-за
малой вероятности процессов переброса [2] становится сущест-
существенным рассеяние упругих волн примесями г. Как указал Пайерлс,
примеси сами по себе не могут дать конечную теплопроводность,
так как обязанный им пробег фононов обратно пропорционален
со4, т. е. имеет ту же зависимость от частоты, что и A.6). Пайерлс
получил конечную теплопроводность, комбинируя действие при-
примесей и кубической ангармоничности. Однако этот результат
Пайерлса будет иметь место только для избранных диэлектриков,,
для которых (при Т ^> 0) х определяется кубической ангармонич-
ангармоничностью [4]). Для всех прочих диэлектриков совместное действие
примесей и кубической ангармоничности недостаточно для полу-
получения конечного значения х. Очевидно, что при малых частотах
становятся существенными добавочные источники поглощения
и рассеяния тех упругих волн, которым отвечает наибольшая
скорость звука [4] 2. Такими источниками при низких температу-
температурах могут быть следующие:
1) ангармоничность 4-го порядка (столкновения с участием
4 фононов);
2) неупругое рассеяние на примесях;
3) отражение от стенок кристалла;
4) рассеяние, связанное с двойниками и упругими натяжения-
натяжениями решетки.
Как будет показано далее, эффекты 1) и 2) имеют очень малую*
вероятность и, как правило, не могут играть существенной роли.
Роль эффектов, перечисленных в 4), с трудом может быть оценена.
Сначала мы рассмотрим теплопроводность кристаллов без двой-
двойников и упругих натяжений, а затем (§ 4) прэизведем анализ по-
положения в кристаллах с двойниками и упругими натяжениями.
Полученные нами результаты, в частности, объясняют неза-
независимость теплопроводности алмаза от температуры—факт, ко-
который находится в противоречии с теорией Пайерлса — Дебая.
Из рассмотрения теплопроводности диэлектриков следует, что
при Г^>0 теплопроводность диэлектриков не является истинной-
1 Здесь и в дальнейшем под примесями мы будем понимать не только химичес-
химические примеси, но и всякие микроскопические отклонения решетки от идеаль-
идеальной структуры, например, отсутствие в каком-либо месте атома и т. д. Под
концентрацией примесей е мы будем принимать отношение числа узлов,
испорченных или занятых химическими примесями, к полному числу узлов^
Заметим, что если элементы, входящие в состав решетки, имеют несколько-
изотопов, то упругие волны будут испытывать рассеяние, вызываемое не
одинаковостью масс изотопов. Легко показать, что такое рассеяние пропор-
пропорционально квадрату разности масс изотопов. Соответственно наличие изо-
изотопов приводит к некоторому вкладу в е. В кристаллах с изотопами мы име-
имеем, таким образом, некоторый естественный нижний предел для концентра-
концентрации физических и химических примесей е.
* Напомним здесь, что пробег из-за кубической ангармоничности пропорцио-
пропорционален 1/со4 только у длинных волн такой поляризации, которой отвечает
максимальная скорость звука в данном направлении.
123

теплопроводностью, а слабо зависит от размеров кристалла L
(х— i/L, L — линейные размеры). Эта зависимость х от L имеет
место при температурах, значительно больших, чем те, при ко-
которых х ~ LT3 (Казимир) [3]. Даже тогда, когда пробег волн
с частотами порядка Tlh значительно меньше L, х зависит от раз-
размеров тела (х — ] L).
Заметим, что при Т я^ 9 теплопроводность хороших кристал-
кристаллов диэлектриков и теплопроводность металлов должны быть оди-
одинакового порядка величины (см. конец § 3). Экспериментальные
данные согласуются с этим выводом теории (см. § 3).
В дальнейшем мы рассмотрим зависимость теплопроводности
от концентрации примесей и от температуры для основной массы
диэлектриков, для которых при Т > 0 существенны столкновения
с участием четырех фононов [4, 5].
§ 1. Пробег длинных упругих волн
при низких температурах
Для определения пробега упругих волн необходимо знать
вероятности рассеяния этих волн примесями (упругого и неупру-
неупругого) и вероятности столкновений с участием трех и четырех фо-
фононов из-за ангармоничности. Мы ограничиваемся при этом крис-
кристаллами без двойников и внутренних напряжений.
Вероятность упругого рассеяния примесями пропорциональна
о4, если длина волны значительно больше, чем размеры рассеи-
рассеивающего центра. Учитывая, что при концентрации атомов примеси
порядка единицы пробег волн, имеющих длину порядка постоян-
постоянной решетки, также должен быть порядка постоянной решетки,
получаем без труда выражение:
Ь~в(±У± = в(* iLV_L«e(e yj_t AЛ)
\ а ) е \ hs а ) 8 \ Йсо / 8 ч/
где 1е( — пробег, обязанный упругому рассеянию примесями,
а— постоянная решетки, X— длина волны, 8— относительная кон-
концентрация атомов примеси. Все температуры измеряются в энер-
энергетических единицах. Как будет показано в дальнейшем C.2),
в A.1) должен стоять малый коэффициент порядка 10~2, если под
е понимать концентрацию химических примесей в кристаллах
типа, употреблявшегося Де Хаасом и Бирмасом:
Поэтому более точным является выражение
Исключая случай сверхмалого содержания физических и химических при-
примесей [см. B.6) и B.7)].
424

При малых частотах вероятность упругого рассеяния становится
очень малой. Более вероятным процессом может (в принципе)
•стать неупругое рассеяние примесями. Перейдем к рассмотрению
этого процесса. Неупругое рассеяние фонона на примеси можно
представить как столкновение трех фононов, происходящее в ме-
месте, где находится примесь. Очевидно, что при таком столкнове-
столкновении закон сохранения импульса фононов не будет иметь места
(изменение импульса принимает на себя атом или молекула при-
примеси). Взаимодействие между фононами и примесью нельзя рас-
рассматривать как малое возмущение и поэтому нельзя описывать
это взаимодействие методами теории возмущений. Правильную
картину явления мы получим, представляя себе неупругое рас-
рассеяние на примеси как столкновение трех фононов в месте, где
показатель преломления испытывает хаотическое изменение. Это
хаотическое изменение локализовано в области порядка размеров
примеси, т. е. порядка атомных (молекулярных) размеров х.
В качестве энергии возмущения можно, очевидно, взять теперь
энергию взаимодействия фононов в области, занятой атомом при-
примеси. Матричный элемент этой энергии, соответствующий столк-
столкновению фонона 1 с фононом 2 и образованию фонона 3, по поряд-
порядку величины записывается следующим образом:
где п —функция распределения фононов, к —длина волны делен-
деленная на 2я. Множители 1/Х соответствуют тому, что существенным
является относительное смещение соседних узлов решетки. F3 —
^энергия порядка атомных энергий, М — масса элементарной
ячейки, N —число элементарных ячеек в кристалле. Возводя
A.2) в квадрат обычным путем, находим вероятность столкно-
столкно2
X 0J@2 <Ю2 dO3 dco2 dco3, A.3)
где б — дираковская б-функция, Q — объем кристалла, dO\ —
элемент телесного угла в импульсном пространстве фонона i,
s — скорость звука. Нас интересует случай, когда одна из частот
очень мала. При этом под знаком б-функции можно о^ не
1 Или размеров порядка постоянной решетки.
2 Так как мы интересуемся только порядком величины, то мы здесь рассмат-
рассматриваем один из нескольких возможных типов столкновений. Остальные
имеют тот же порядок величины. Аналогичное обстоятельство имеет место
л для A.8).
125

писать. Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразовы-
преобразовываем с помощью подстановки:
yi — , 1 1 .
Эт0 дает1
nlti2 (щ -\- 1) — щ (ть-l -(-1) (Щ ~h 1) ==r
ф1 + ф2 — фЗ
Интеграл A.3) записывается теперь следующим образом:
Ю2 dO3d (со2 - со3)
(Фх + Ф2 — Фз).
Вероятность, отнесенную к одному фонону, получаем отсюда
6! A.4>
делением 2 на
Для упрощения A.4) используем соотношения
(справедливость второго соотношения легко проверить путем под-
подстановки чисел:
М~4.10-23г, s — 2.106 —
сек
Вместо A.4) мы имеем
оответствующий пробег 11п оказывается равным
Как и следовало ожидать, let ^ lin при Йсо
/
Но при очень малых| частотах coi, равных
%щ = ¦)/*16яFя2I/»
1 ф2 == ф ((Dj, Oj) И Т. П.
2 фх > ф2, Фз, так как пробег / растет при уменьшшии частоты (ф
126

T 6 /
оба пробега сравниваются. Частота ^i<C"f8" ПРИ 21 <С-g~ (9 —
Ms2). Очевидно, что неупругое рассеяние примесями яв-
является существенным только для частот меньших, чем cdj или по-
порядка 6)|. Из выражения A.5) можно сразу заключить, что неупру-
неупругое рассеяние примесями не может играть существенной роли.
В самом деле, при е ~ 10~3 (одна десятая процента примесей) и
s
s 500 '
мы получаем для о) —g)j пробег tin порядка 10 см. Даже учиты-
учитывая, что точность наших подсчетов невелика, можно исключить
из рассмотрения неупругое рассеяние примесями, так как этот
эффект дает пробег больший, чем размеры кристаллов, обычно
употребляющихся экспериментаторами г.
Как уже указывалось, наличие изотопов приводит к рассея-
рассеянию упругих волн. Легко видеть, что энергией возмущения будет
разность между кинетической энергией, отнесенной к средней по
изотопам массе, и истинной массой изотопа. Отсюда мы получаем
вероятность рассеяния, пропорциональную квадрату разности
масс изотопов.
Пробег, обязанный изотопам, записывается так:
где М — масса элементарной ячейки, С-х — концентрация изо-
изотопа i (см. по этому поводу ([17], формула C.17)], Mi — масса
изотопа i. Для каменной соли мы получаем большой пробег, не
имеющий значения.
Перейдем теперь к рассмотрению вероятности столкновения
€ участием трех и четырех фононов (ангармоничность). Как было
показано в [4], длинные волны, отвечающие наибольшей скорости
звука в данном направлении, не могут поглощаться короткими
волнами. Такая возможность появляется только в телах со спе-
специальным законом дисперсии звука. Оставляя в стороне такие
избранные кристаллы, мы должны для получения пробега фонона,
обязанного кубической ангармоничности, рассмотреть вероят-
вероятность столкновения с участием трех фононов, при котором все
фононы имеют малую частоту одинакового порядка величины
«>i ~ (р 2 ~ о>з <С Tlh. Очевидно, что для рассматриваемых нами
частот температура всегда является «высокой». Поэтому интере-
интересующий нас пробег при Г^би при T^>Q имеет одинаковый вид
1 Отметим, что при Т = 6/5 наша асимптотическая формула, годная при Т <^
<^ 6, имеет смысл только по порядку величины. Нас он только и интересует.
127

и записывается следующим образом (см. [4], формула A.11); [5],
формула D); см. также [8], формула B.1))
7Ш _ a Ms* ( G \4
в дальнейшем (§ 3) мы увидим, что в этом выражении стоит коэф-
коэффициент порядка 10~2 C.3):
ли a Ms9- ( 8
Отметим, что этот и другие пробеги, определяющиеся ангар-
ангармоничностью A.7), A.8), соответствуют столкновениям, при ко-
которых сохраняется квазиимпульс фононов. Несохранение квази-
квазиимпульса обеспечивается примесями, столкновениями со стенками
кристалла и тому подобными процессами.
Пробег A.6') относится к колебаниям определенной поляриза-
поляризации той, которая имеет наибольшую скорость распространения
(в изотропном теле без дисперсии этим колебаниям соответствуют
продольные колебания). Остальные типы колебания могут иметь
пробег значительно меньший (они могут поглощаться короткими
волнами). Согласно Ландау и Румеру [6], такие колебания (на-
(например, поперечные колебания в изотропном теле) обладают про-
пробегом, равным:
tr ~ 100 T \ T ) Яо> r
A.7)
Обратимся теперь к вероятности столкновения четырех фо-
фононов при низких температурах. Согласно [4], формула B.9) ху
интересующая нас вероятность записывается следующим образом
Q2 1 V I2 Ш [ЩП2 (W8 + 1) (П1 + 1) - (Щ + 1) (П2 + 1) nsrij]
Х
X б [Щ + С02 — С03 — С04] 0J
1 г-1 v |2 Й2 (ф1 + фз — фз — ф4) 6 [0J — соз—оL]
= 16 3
16 3 г (вПоI/т - 1) (еПш>т - 1) 7V2M4S10 A - е~ПШ9 т) A - e'na*fT) Bл:M
| г? Г2 Я
__ Fя2J1 р |2 Г8ф1 10 _ 360 / Т \*( ТУ Ф1
~ е6 ^2L я 3 ^IF1" v л/52 у \ в у п
1 См. также [9], формулы B.2), B.3) и B.4).
128

Вероятность, отнесенная к одному фонону, равна
) ) — ^
Соответствующий пробег имеет вид
Мs2 \ 2 е5
360лFя2I/з
Формулы'A.8) и A.6) сравниваются при /гсо =— |/,6д Fji2)V%
|/ Ms293
т. е. при той же примерно частоте, при которой сравнивались про-
пробеги A.1) и A.5). Эта частота, как уже отмечалось, меньше Т,
>' 1 \ Ms2
по крайней мере, в 18 раз (при Т <C~g- 9). Подставляя —g— = 100,
9 = 5Г, йсо = т*гзл*№*)'* , д = 2-10 еле, находим ZIV по поряд-
8/2|/Ms2
|
ку величины равным 400 см. Такой большой пробег, как и в слу-
случае A.5), лишает ангармоничность 4-го порядка какого-либо зна-
значения для теплопроводности при Г<^9.
Кроме ангармоничности четвертого порядка, только что рас-
рассмотренной нами, следует оценить вероятность столкновения 4
фононов за счет эффектов второго порядка, обязанных кубической
ангармоничности. Подробный расчет показывает, что такие эффек-
эффекты при низких температурах (Т <^ 9) несущественны. Соответст-
Соответствующие вычисления при Г<^9 и Т ^> 9 проведены в последующих
работах.
Таким образом, в кристаллах без двойников и упругих напря-
напряжений микроскопического характера пробег фононов при низких
температурах определяется выражениями A.1), A.6) и A.7).
К ним необходимо добавить рассеяние (отражение) от стенок кри-
кристалла (или поликристалликов). Очевидно, что отражение от сте-
стенок приводит к постоянному, не зависящему от частоты пробегу
порядка размеров кристалла х.
§ 2. Зависимость теплопроводности
от температуры концентрации примесей
и размеров тела при М
При столкновениях, приводящих к A.6) и A.7), импульс со-
сохраняется. Существенным для теплопроводности является про-
пробег, на котором происходит изменение импульса. Изменение им-
импульса имеет место при столкновениях с примесями A.1) или со
стенками. Чаще всего сталкиваются с примесями волны с feco ~ Т.
При eMs2<^ Г волны, у которых feco <^ Т, взаимодействуют с при-
1 Если один из размеров кристалла будет значительно меньше других, то
пробег будет определяться наименьшим размером.
5 И. Я. Померанчук, т. I 129

месями не непосредственно, а через посредство столкновений
с волнами, имеющими частоты порядка T/h.
В случае волн, имеющих пробег A.7), косвенное взаимодей-
^ л/52 / е \8 е
ствие с примесями осуществляется либо на длине а ^qT I у ) -^ »
а б4
либо на длине 100 -^г» в зависимости от того, какая из этих длин
а 94
длиннее (напомним, что щ—jT есть пробег по отношению к при-
примесям волн с Йсо = Т). Очевидно, что оба эти пробега меньше, чем
пробег ¦ в 4 4, обязанный «прямому» рассеянию волны при-
примесями.
В случае волны, имеющей пробег A.6), «косвенное» взаимодей-
взаимодействие осуществляется в три этапа: 1) сначала волна с пробегом
A.6) и частотой со<С T/h сталкивается с волной, имеющей про-
пробег A.7) и ту же примерно частоту coi- Такое столкновение проис-
происходит на длине itqq -f—^г~г • 2) Волна с частотой он <^ T/h и с
пробегом A.7) поглощается короткой волной. Это происходит на
/л „v a Ms1 Э3 6 оч -г» тп-
длине (I./J-tqtt—7р—тГ"й©"# **) Волны с частотами порядка llh
сталкиваются с примесями. Как уже говорилось, последнее
а б4 ^
столкновение имеет место на длине тоо^^4"* Сравнивая длины
а А/52 Э4 а Л/52 б3 9 а Э4
oo-lT-liW 'ТОО-Т^Т3"^- и 1555"-я^» можно
что при частотах, больших, чем Т 1/ ^-т!— -г-, косвенное взаимо-
взаимодействие с примесями (или, иначе говоря, передача импульса при-
месям) происходит на длине 100 -=^. При частотах, меньших, чем
-^-1 —j,— 1 ^ «косвенное» взаимодействие осуществляется на длине
Ms* / 9 \4 „
("й/ ^эта Длина оказывается наибольшей). Длина, на
которой осуществляется прямое столкновение с примесями, равна
а / 6 \4
Об \ Х~) ' что "ольше» чем указанные только что пробеги по
ЮОб
отношению к косвенному взаимодействию.
Из полученного результата мы можем сразу же найти выраже-
выражение для теплопроводности при Т <^ &Ms2. Для этого необходимо
подставить в выражение A) вместо 1^ для частот, больших чем
Т / bMs*\1U а Э4
-jj- I у ) , величину -щ^- -^ , а для меньших частот величину
а Ms2 e4 тт ^
-^оо~ у~ "я5©*** Ри очень малых частотах последний пробег сравни-
сравнивается с размерами кристалла L. Начиная с этих частот, пробег
постоянен и равен L. Частота, при которой пробег A.6) достигает
130

/ a Ms2 y/4 6 o /л,
размеров тела, равна (-щ—jr~! х* соответствии с A)
находим х1
100s
г)
Г'/ft
aMs2e4 "С о2 da> (Я
где Гг =
eMs*
T
a /_6_\4 ks_
ЮОе [Г
№LT \1
lOOeT
T; n — число элементарных ячеек в 1 см3
(п порядка числа молекул в 1 см3), к — постоянная Больцмана.
Выражение B.1) справедливо только до тех пор, пока пробег
а94/100 еГ4 меньше размеров тела, т. е.
a Vй
100L8
B.2)
При меньших температурах пробег фононов равен L, и мы имеем
соотношение [3] х — LT3 (рис. 1).
Г
Рие. 1. Зависимость х от 8, L
и Т при Т <g О
Мы вывели выражение B.1) в предположении, что Г ^> eMs2.
Для того чтобы B.1) имело место вплоть до Т = eMs2, необхо-
необходимо, чтобы концентрация примесей удовлетворяла неравен-
неравенствам
100Z.8
е
а \7<
Ms'- V100L
ь0 —
(а у
\ 100 L ;
B.3)
1 В первом интеграле B.1) верхний предел поставлен равным Tlh. При со ^>
^>Т/Н 1Ш убывает пропорционально 1/со4 A.1). Поэтому частоты, большие,
чем Tlh, дают примерно такой же вклад, что и со < Tlh.
5*
131

Если е ^> е0, то B.1) упрощается, так как первым членом можно
пренебречь по сравнению со вторым. Их отношение равно
j <- Ms286/* \ 100L ) \& ) ^ '
Тг \ Ms2 ) \ 100L j <- Ms286/* \ 100L
Таким образом, при е > е0, Т > &Ms2 мы получаем следую-
следующее выражение для х:
Znksa I Ms* \V* / 100L
К =
100
u f 100
Подставляя сюда в/Л = 287° К [14], ЛЛ»/А = 5,4-1040 [14], а -
= 3-Ю™8 еж, L = 1 еж, находим х
е0 =2-Ю-4. B.5)
Критическая концентрация е0 играет существенную роль при
рассмотрении теплопроводности диэлектриков при низких тем-
температурах.
При этой концентрации температура, при которой сравнива-
сравниваются пробеги A.1) и A.6), совпадает с температурой, при которой
оба пробега достигают размеров тела.
Согласно B.4), теплопроводность обратно пропорциональна
Г3/* (а не Т, как у Пайерлса [2] и Дебая [1] и, кроме того, зависит
от размеров тела L. к пропорциональна у L. Заметим, что такая
зависимость имеет место тогда, когда пробег основной массы волн
с со = Tlh оказывается значительно меньшим, чем L. В самом
деле, согласно предыдущему, пробег фононов с энергией Т равен
-<6.10- см
Хотя этот пробег оказывается меньше, чем размеры тела, в 100 раз
(L ~ 1 см), х все же зависит от размеров тела (не следует смеши-
смешивать эту зависимость от L с той зависимостью, которая рассмот-
рассмотрена Казимиром [3] и которая наступает при значительно мень-
меньших температурах, именно тех температурах, при которых все
волны имеют свободный пробег, достигающий размеров тела).
Установленная только что зависимость от размеров образца обя-
обязана быстрому возрастанию пробега при уменьшении частоты
упругих волн, распространяющихся с максимальной скоростью.
В опытах Эйкена [9, 10] и Де Хааса и Бирмаса [11, 12, 13] 8 на-
находится на грани, допускаемой неравенством B.4). Поэтому в
их условиях следует ожидать зависимости х от L более слабой,
1 Данные применительно к каменной соли.
132

4/—
чем пропорциональность у L. Так как даже пропорциональность
у/Т является слабой зависимостью от размеров, то в указанных
опытах зависимость теплопроводности от размеров с трудом
могла быть обнаружена. Представлялась бы крайне интересной
экспериментальная проверка соотношении х ^-, на образ-
образцах, удовлетворяющих условиям B.4) и с широко изменяющими-
изменяющимися размерами (по крайней мере в 5—10 раз). Следует отметить,
что х, согласно B.4), не зависит от концентрации примесей, хотя
они играют существенную роль в механизме установления ста-
стационарного состояния.
Если е меньше, чем е0, вместо B.4) мы получаем следующие
результаты:
1) при у Ту ,в (-щхг) U\ > * по-прежнему определяет-
определяется формулой B.4);
2) при уТ <" тг ( лапт ) * имеет место соотношение [1, 2]
s (Ms2)и \ iuu,b /
_ Ъп ksaQ (t? п.
Это выражение для х справедливо до таких температур, при кото-
~ а б4 тт
рых пробег taq-^г оказывается порядка размеров тела. Начи-
Начиная с этих температур,ус пропорционально LT3.
Условия применимости B.6) могут быть записаны так:
Г3>Г>Г1, B.7)
где
/ 8о
Условия применимости B.4)
еМ52,
B.8)
>
(см. рис. 1).
Мы видим, что при низких температурах диэлектрики обла-
обладают «истинной», не зависящей от размеров, теплопроводностью
(определяющейся концентрацией примесей) только в случае
сверхмалого содержания «примесей»1 (значительно меньше сотой
доли процента).
Резюмируем теперь положение, создающееся при Т ^> Т2\
1) При 8>80 B.3) х~-^- B.4) и не зависит от кон-
концентрации примесей;
1 Еще раз напомним здесь, что речь идет не только о химических примесях,
но и о всяких дефектах решетки, присутствии изотопа и т. п.
133

2) При е <^ е0 Т3 ^$> Т ^> Тг результат Пайерлса и Дебая
х^^г (см. B.6)).
3) При е <^ е0, Т ^> Т3 тот же результат, что и при
§ 3. Случай, когда Т<^Т2.
Теплопроводность алмаза
Перейдем теперь к рассмотрению теплопроводности при Т <€:
<^ sMs2. Из формул A.1) и A.6) следует, что при в с е х со в этих
условиях пробег определяется прямым рассеянием примесями.
Отношение A.1) к A.6), равное TIeMs2, значительно меньше
единицы. Подставляя в A) вместо Zw A.1) и интегрируя до часто-
частоты о)о, при которой пробег A.1) оказывается равным размерам
тела L,
получаем следующее выражение для к:
lOOLs \Ч< Znksa ( 100L \ Ч*
}
Согласно этой формуле, теплопроводность зависит от разме-
размеров тела так же, как и B.4), т. е. х пропорционально L1^. Тепло-
Теплопроводность обратно пропорциональна не концентрации приме-
примесей (как в случае Дебая и Пайерлса B.6)), а обратно пропорцио-
пропорциональна концентрации примесей в степени 3/4. Наконец, самый
важный вывод — полученное выражение для теплопроводности
не зависит от температуры. Мы приходим, таким образом, к за-
заключению, что при низких температурах должна существовать
область температур, в пределах которой теплопроводность не
зависит от температуры. Этот вывод находит свое эксперимен-
экспериментальное подтверждение в давно установленном факте, что тепло-
теплопроводность алмаза не меняется с температурой при ее изменениЕг
от 24° К до 343° К [10, 12]. Следует отметить, что у алмаза шири-
ширина области температур, в которой х не зависит от Г, особенно ве-
велика из-за большой дебаевской температуры алмаза [14] (9 —
- 2230°).
Установим нижний предел для температур, при которых C.1)
имеет место. Очевидно, что C.1) перестает быть справедливым
при таких температурах, при которых фононы с энергией Т име-
имеют пробег, равный L.
Начиная с этих температур х пропорционально LT3 (Казимир
[3]). Прежде чем приравнивать A.1) размерам тела L для опреде-
определения нижней границы применимости C.1), докажем, что в фор-
134

мулах A.1) и A.6) должен стоять численный фактор порядка 1/100,
если под е понимать концентрацию химических примесей в кри-
кристаллах, которые употреблялись Де-Хаасом и Бирмасом. Что ка-
касается A.1), то такой вывод следует из рассмотрения экспери-
экспериментальных данных, согласно которым у каменной соли, сильви-
сильвина и кварца зависимость х — ЬТЪ наблюдается при температурах
не выше 5° К [И, 12, 13]. Подставляя в A.1) следующие данные г:
Каменная соль 0 = 290° [14], е = 10, а = 2,8.10~8 см,
Сильвин в = 290° [14], е = З-Ю [11]* в ==3,2-10-8 еде,
Кварц 0 = 170° [14], 8 = 4.10-з(?) [13], а = 3,5-10-8 См,
мы при 10° К получим пробег порядка ОД — 1 см2 только в том
случае, если численный множитель в A.1) не больше одной со-
сотой. Таким образом, уточненный пробег 1е\ можно записать так:
Для определения коэффициента в формуле A.6) необходимо
установить коэффициент в соотношении V3 = Ms2, которым мы
пользовались при выводе A.6), У3 есть совокупность коэффици-
коэффициентов, стоящих при кубе относительного смещения атомов в раз-
разложении потенциальной энергии U в ряд по степеням относитель-
относительных смещений (см., например, [4], формула B,1)). Величина V3
связана с коэффициентом теплового расширения. Рассмотрим ради
простоты модель изотропного твердого тела. Как известно, коэф-
фициент теплового расширения-~- \-Qf) \" — давление) равен
_ 1 /5Q\ __ / дР\ 1 ( д\
а ~ ~Q \WJo ~~ ~~ \dFja "О" V^
У твердого тела свободная энергия F при низких температурах
записывается так:
}т
1 Таковы линейные размеры образцов, употребляющихся Эйкеном [9, 10] и
Де-Хаасом и Бирмасом [11—13].
2 Здесь мы отождествляем 8 с концентрацией химических примесей, данные
о которых имеются в [11 и 13].
135

Выражение в фигурных скобках связано с теплоемкостью
= —N
2i'T /"Г2
где с0 — теплоемкость единицы объема.
о din 9
Подставляем сюда выражение для 9 г
6 = FяТ. JL. N* = Fя
v 7 Q v
f Q'3 v ' Q1'3
где p — плотность (г!см3).
Разложим теперь Р в ряд по степеням р — р0
Р = Ро + ? (р - р0) + А (р - р0J,
<Э1п9 1_ _1
1 А д (р — ро) /1ро
in q
Qo - Q
С помощью А найдем выражение для F
F = const — (р — р0J Qo —
Относя на одну молекулу, получаем
r 3 3N 3
Значения у берем из
3s2
Ms*
- 0,25,
Ms*
-0,2,
кварц
Уз
мТ2
=¦ = 0,40,
1 NaGl
Vs
9 "
Ms'1
KCI
= 0,40.
Зная F3, можно определить коэффициент в A.6).
Пусть f будет импульс «продольного» фонона, пробег которого
мы определяем. Такой фонон может либо расщепиться на два
«поперечных» фонона
is — есть s среднее по углам.
136

либо расщепиться на один «продольный» и один «поперечный»
фонон:
Обычным образом находим вероятность перехода с помощью ко-
коэффициентов ангармоничности Р', Q', R' (см. [6], стр. 20; см. так-
также [7]). Положив Р' = Q' = Я' = -g-Ms2, получаем *
7щ a Ms* ( 6 у
Таким образом, коэффициент в Z111 порядка 1/1Оо-
Воспользовавшись C.2), находим, что при температурах
Т -( а
1 ! "" V lOO
пробег A.1) достигает размеров тела для частот порядка Т/И.
Отсюда пределы применимости формулы C.1) можно записать в
следующем виде:
C-3)
Вместо S вводим сюда дебаевскую температуру
C.4)
Чем больше дебаевская температура, тем шире область темпера-
температур, в пределах которой теплопроводность не зависит от темпера-
температуры. Если Э ~ 200—300°, интервал температур C.4) при е ~
~ 10~4 оказывается несуществующим
16.10-64
8.10-ie.le.10-M = 16.Ю-1В =
Интересующий нас интервал имеет место в этих условиях только
при больших концентрациях, порядка 2-10~3 (доли процента).
Если же Э = 2230°, как у алмаза, интервал температур, допус-
допускаемых C.3), оказывается довольно большим (б = 4«10~4, не-
несколько большая величина 8 обязана тому, что речь идет о есте-
естественных кристаллах)
54°<Г<380°
1 В окончательном результате мы положили Sjoncr = У S|.rans (это не отра-
отражается на порядке величины slong).
137

(в одной элементарной ячейке алмаза содержится два атома угле-
углерода).
Заметим, что е0 у алмаза значительно меньше, чем 10~4 (ско-
(скорее 1СГ5).
Мы приходим к заключению, что у диэлектриков типа камен-
каменной соли или кварца при е ^ 10" не должно существовать тем-
температурного интервала, в пределах которого х не зависит от Т.
У диэлектриков типа алмаза (с высокой дебаевской температу-
температурой) такой интервал должен существовать и быть довольно боль-
большим. Этот вывод полностью подтверждается экспериментом.
При температурах, меньших, чем (тщтг) в, все фононы име-
имеют пробег порядка размеров тела и осуществляется ситуация, рас-
рассмотренная Казимиром [3], т. е. х ~ LT3.
Мы можем теперь резюмировать общую картину зависимости
L от е и при низких температурах (е0 см. B.4))
А) Г<ГГ
Теплопроводность пропорциональна кубу температуры и раз-
размерам тела: х ~ LT3.
В)еМ52>Г>Г1, (е>80).
Теплопроводность не зависит от температуры; она зависит от
размеров тела и обратно пропорциональна концентрации приме-
примесей в степени 3/4 C.1):
х ^-jt— , случаи алмаза.
8/4
С) Г>7тз, (е<е0),
Г>Г2, (е>е0),
где Т2 = eQMs2.
Теплопроводность пропорциональна , .
По-видимому, в этой области находятся кристаллы NaCl и
КаС1, исследованные в [И—13].
D) Случай, разобранный в [1] и [2], Тг :> Т > Тг.
Имеет место истинная теплопроводность, обратно пропорцио-
1 _
нальная концентрации примесей и температуре: х ^ • ^~
щий характер зависимости х от L и е представлен на рис. 1.
Любопытно отметить, как ведет себя х при заданной темпера-
температуре при изменении концентрации примесей е. Здесь могут быть
два случая:
первый случай
138

При увеличении е от нуля до е0 ( ^* ) х не зависит от е, а
затем х убывает обратно пропорционально е3/* C.1) (рис. 2):
второй случай
к не зависит от е при 0 < г <^ е0 ( ^у* j . Далее, при
теплопроводность обратно пропорциональна 8 B.6). Когда 8 ле-
лежит в пределах
теплопроводность не меняется при изменении е B.4). Наконец,
т
при е^> -дтт » х в соответствии с C.1) обратно пропорционально
б1/* (рис. 3).
!Г
Рис. 2. Зависимость х от г
при i < eqM s2
Рис. 3. Зависимость хот е при!1 >eoMs2,
гг = ee (e0Ms2 / T)S e, = е0 (SoMs^ / T)Vi, s3 = T/Ms*
Отметим зависимость х от Г при заданной концентрации при-
примесей:
1) е <: е0.
Когда Т <^ Тг теплопроводность пропорциональна Г3. При
(-j-) 4 она не зависит от Т. х ~ L1/* г~^.
При Т ^> eMs2 теплопроводность (рис. 4) обратно пропорцио-
пропорциональна Г3/* B.4);
2) 8 > 80.
Теплопроводность х пропорциональна LT3 при Г <^ Гх.
139

В интервале температур 7\ << Т <§: Т3 х обратно пропор-
пропорциональна Т B.6).
При Т ^> Г3 теплопроводность (рис. 5) обратно пропорцио-
пропорциональна ГА B.4).
В заключение этого параграфа укажем на то, что при Т ~ О
теплопроводность хороших кристаллов диэлектриков и теплопро-
теплопроводность металлов должны быть по порядку величины равны-
равными. Теплопроводность диэлектриков при Т ~ 0 имеет вид
г,
тз
Рис. 4. Зависимость % от Т
При 8 Г^> 80
Рис. 5. Зависимость к от Т
ПрИ 8 <^ 80
х
nka2
Ms2
. # Подробный вывод этого соотношения будет
h \ 6 /
приведен в последующих работах. У металлов теплоемкость равна
nk T ¦ (Ms2 порядка температуры вырождения), пробег электрс-
Msl v
нов а Л^?1и их скорость а —^- . х металлов, таким образом, име-
имеет вид (Т > ~ 6): х = пка2-^-. Учитывая, что —^ 102, мы
видим, чтохм /^ ха. Экспериментальные данные указывают на то,
что в среднем хм всего лишь в несколько раз больше, чем ха.
§ 4. Замечания о влиянии двойникования кристаллов
на теплопроводность диэлектриков
при низких температурах
Как известно, реальные кристаллы часто показывают явление
двойникования, т. е. разбиваются на отдельные области, либо
сдвинутые друг относительно друга, либо по-иному ориентиро-
ориентированные друг относительно друга. Поверхность, отделяющая один
двойник от другого (одну область от другой), является источни-
источником рассеяния фононов и может приводить к тепловому сопро-
сопротивлению. Рассеяние фононов от такой поверхности может быть
двоякого типа — правильное отражение и преломление на гра-
границе и диффузное рассеяние, обязанное «шероховатости» грани-
границы. Шероховатость границы связана с химическими примесями
и физическими дефектами поверхности (например, отсутствие
140

в том или ином узле атома и т. п.). Можно думать, что толщина
поверхности порядка постоянной решетки, т. е. значительно
меньше, чем длина волны фононов, возбужденных при низких
температурах. В этих условиях интенсивность диффузного рас-
рассеяния поверхностью должна идти обратно пропорционально
квадрату длины волны [16] г. Если расстояние от одной поверх-
поверхности до другой порядка Lo, то пробег фононов по отношению к
диффузному рассеянию может быть записан так:
где r\ — коэффициент, характеризующий испорченность поверх-
поверхности.
Пробег по отношению к регулярному отражению и преломле-
преломлению можно записать так:
где Av — разность показателей преломления упругих волн у
двух двойников (возникающая, например, из-за их различной
ориентации). Если угол О , на который один двойник ориентирован
по отношению к другому, мал, то Av ~ф, и мы имеем
h~L0±. D.3)
Для того чтобы двойникование было существенно, необходимо,
чтобы ld или 1Г были сравнимы или меньше, чем пробеги A.1) и
A.6). Заметим, что поскольку 1Т при малых частотах стремится к
постоянному пределу, не зависящему от длины волны, наличие
заметного регулярного рассеяния должно сказаться так же, как
и отражение от стенок кристалла, только величина L (линейные
размеры кристалла) заменяется на 1Т.
Рассмотрим экспериментальные данные относительно Lo иф.
У некоторых образцов каменной соли Lo, по-видимому, порядка
10~2 см, угол* — 1/50 (Iе). Отсюда lr ~ 25 см. Ясно, что регуляр-
регулярное рассеяние в этих условиях не играет роли. Что касается ld>
то из опытов нельзя сделать надежных заключений о величине rj.
Даже если г\ порядка единицы2, мы получаем ld равным
U)
Отношение этого пробега к A.1) и A.6) соответственно равно
а -2,8-10"8):
ld __ 1008 / Ы \2 8-1Q8 / Ы \2
V б ) *
iel ~~ а.юо V е I ~ з
100Г
Ш ЮОМзЧ \ 6 1 3Ms2 \ Т
2 л г\я т> / fe r \ \ 2
1 Я весьма обязан проф. М. Леонтовичу за указание мне этой статьи.
2 Что представляется довольно вероятным.
141

Подставляя сюда
Ms2
е«1СГ4, Г>5°~1(Г4МЛ Йсо — Г, 0;
100
можно заключить, что в каменной соли, вплоть до температур в
несколько градусов, ld не играет роли. Так как ниже этих темпе-
температур пробег определяется стенками кристалла, то при Lo =
= 10~2см и О = 1/50 двойникование не существенно для теплопро-
теплопроводности.
В реальных кристаллах, кроме двойников, могут быть упру-
упругие натяжения макроскопического размера. Можно считать, что
поскольку размеры натяжений велики по сравнению с длиной волн
фононов, такие макроскопические натяжения не будут заметно
рассеивать упругие волны.
В заключение я хотел бы поблагодарить проф. Л. Ландау за
важные указания и интерес к работе.
Физический институт] Получено
Академии наук СССР 3 февраля 1942 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. P. Debye. Vortrage uber die Kinetische Theorie u.s.w., S. 43. Teubner, 1914,
2. R. Peierls. Ann. d. Phys., 1929, 3, 1055.
3. H.B.G. Casimir. Physica, 1938, 5, 495.
4. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1941, 4, 259. (Собр. трудов, № 8).
5. /. Pomeranchuk. Phys. Rev., 1941, 60, 820. (Собр. трудов, № 10).
6. L. Landau, G. Rumer. Phys. Zs. Sowjet., 1937, 11, 18.
7. Г. Слонимский. ЖЭТФ, 1937, 7, 1457.
8. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1941, 4, 529 (Собр. трудов, № 9).
9. A. Eucken. Ann. d. Pbys., 4 Folge, 1911, 34, 185.
10. A. Eucken. Phys. Zs., 1911, 12, 1005.
11. W.J.De Haas, T.Biermasz. Physica, 1937, 4, 752.
12. W. J. De Haas, T. Biermasz. Physica, 1938, 5, 47.
13. W. J. De Haas, T.Biermasz. Physica, 1938, 5, 320.
14. A. Eucken. Energie und Warmeinhalt.— Hdb. Exp. Phys., 1929, 8/1, 242.
15. E.Gruneisen. Hdb. d. Phys., 1926, В 10, 28, 31, 32.
16. L. Mandelstam. Ann. d. Phys., 4 Folge, 1913, В 41, 609.
17. /. Pomeranchuk. Phys. Zs. Sowjet., 1938, 13, 65 (Собр. трудов, № 25).

12
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ*
Рассматривается влияние на теплопроводность столкновений четырех фо-
фононов, обязанных кубической ангармоничности. Соответствующая вероят-
вероятность столкновения получается во втором приближении теории возмущений.
Предельный закон для зависимости теплопроводности % диэлектриков от
температуры при высоких температурах (Т ^> 9) имеет вид % ~ Т~6\
Производится сравнение выводов теории с экспериментом. Констатиро-
Констатировано согласие между теорией и экспериментом.
Как было указано автором [1—3], при вычислении теплопро-
теплопроводности диэлектриков необходимо учитывать столкновения че-
четырех, фононов. Без таких столкновений теплопроводность ди-
диэлектриков оказывается бесконечной г. Столкновения с участием
четырех фононов могут происходить за счет членов четвертого
порядка в разложении потенциальной энергии V в ряд по степе-
степеням смещений U атомов из положений равновесия
v = v0 + 4- 2 (ui - и{) (от - of) ЛИГ +
ikjm
+ 4" 2 (ul-ui)(u?-uT)(u1l-url)BT+
jmnik
jmnlik
Индексы i и к означают различные атомы решетки. Индексы
/, m, n, l означают координатные оси, на которые проектируются
смещения UR. Вероятность столкновений, обязанных членам
четвертого порядка в A), была вычислена в [1—3] с помощью ме-
методов теории возмущений. При этом интересующая нас вероят-
вероятность получалась в первом приближении теории возмущений. Лег-
Легко видеть, что кубические члены в A) также приводят к столкно-
столкновениям четырех фононов. Но при этом вероятность такого четвер-
четверного столкновения получается теперь не в первом приближении
теории возмущений, а во втором приближении. Целью настоящей
заметки является вычисление вероятности четверных столкнове-
столкновений фононов, обязанных кубическим членам в A), и получение на
* ЖЭТФ, 1942, 12, 419; J. Phys. USSR, 1943, 7, 197.
1 За всеми подробностями мы отсылаем к [1 и 2].
143

этой основе уточненного по отношению в [1—3] выражения для
теплопроводности диэлектриков при температурах, больших, чем
дебаевская (Г^>6).
Как было выяснено в [1—3], для теплопроводности сущест-
существенное значение имеет свободный пробег длинных волн такой по-
поляризации, которая имеет максимальную скорость звука (напри-
(например, продольных волн в изотропном теле). Поэтому мы сперва по-
получим выражение для пробега интересующих нас длинных волн с
учетом вероятности столкновения четырех фононов, получающей-
получающейся из-за кубических членов в A).
Матричный элемент кубической ангармоничности, соответст-
соответствующий, например, поглощению фонона 1 и испусканию двух фо-
фононов 2 и 3, имеет вид (см. [1], формула A.4), а также [3], форму-
формула A.2))
У 3 —
где М — масса элементарной ячейки, со — круговая частота,
X — длина волны фонона, деленная на 2я, s — скорость звука,
N — число элементарных ячеек в кристалле, п — функция рас-
распределения фононов.
В дальнейшем мы будем считать, что частота щ мала и соот-
соответствует максимальной скорости звука в данном направлении.
Очевидно, что четверное столкновение за счет кубической ан-
ангармоничности может иметь место только во втором приближении
теории возмущений, так как в B) участвуют только три фонона.
Четверные столкновения могут быть двух типов: два каких-либо
фонона превращаются в два другие фонона, или один фонон пре-
превращается в три других фонона. Так как оба типа четверных столк-
столкновений имеют одинаковую по порядку величины вероятность,
то мы ограничимся рассмотрением только первого типа.
Амплитуда вероятности перехода из состояния I в состояние
II во втором приближении имеет известный вид
Здесь Ei— энергия состояния I, Et — энергия промежуточного
состояния.
В начальном состоянии мы имеем два фонона с импульсами
fxn f2. В конечном состоянии вместо этих двух фононов образуют-
образуются два другие фонона с квазиимпульсами f3 и f4. Промежуточные
состояния могут быть следующие:
1) при соударении фононов 1 и 2 они исчезают и образуется
фонон с квазиимпульсом х fx + fa = f3 + f4? который в последую-
последующем этапе расщепляется на фонон 3 и 4;
1 Ради краткости мы не упоминаем здесь о процессах переброса Пайерлса,
так как при Т ^> 9 они не изменяют положения.
144

2) имеющиеся благодаря тепловому движению фононы fx -f- f2
сперва расщепляются на два фонона 3 и 4, а затем фононы 1 и 2
превращаются в фонон fx + f2.
Очевидно, что вторая последовательность переходов отличается
от первой только перестановкой первого и второго этапов.
Учитывая только что сказанное, записываем C) в следующем
виде (со (f) означает частоту фонона с квазиимпульсом f)
(Ms2J Ш
/со (fi) со (f2) со2 (fi + f2) со (f3)
УпЦ12 (П5 + lJ (ПЗ + 1) (П1 + 1)
f \
X\ со (fi) + со (f2) - со (fi + f2) "^ co(fi + f2) — co(f3)-co(fi) J
= SU? V ЩП2 (Щ + 1) (Я4 +ТГ 1
Заметим здесь, что фонон 1 по условию имеет такую поляриза-
поляризацию, которая делает невозможным его поглощение дебаевским
фононом, т. е. невозможно равенство
Возводим теперь модуль D) в квадрат и интегрируем по всем
возможным фононам 2 и 3, учитывая обратные переходы,
4 + 1) — Я4Я1(Я1 + 1)(Я2 + 1I
X [со (fi) +со (Ь) — со (f 1 + f,)]* Л*
X dt2 Из Q26 [со (fх) + 0) (f2) - (о (f8) — со (fx + f2 — f3)] X да , E)
где Q — объем системы, W — вероятность перехода в единицу
времени, б — дираковская б-функция.
Вместо пг подставляем сюда п01 + п, где пох — планковское
значение функции распределения. Вместо п2, пг и ?г4 подставляем,
как обычно, их равновесные значения; законность такой подста-
подстановки следует из того, что пробег фононов, во всяком случае, не
падает при уменьшении частоты, а в интервале E) играют роль
большие частоты оJ, со3, (о4, в то время как частота (дг мала *
N
0 /
[со (fi) - fiV2]2 (e^ - 1) (i^ - 1) (ег - 1)
где V2 — групповая скорость фонона 2. Разлагаем здесь ет
1 Температуры измеряются в энергетических единицах.
145

W = ( Q Yn T2s2 [
~ V TV У * 2"я*Л/2 ,) Ы,2Ь^со,о)зСО4 (coi -fiV2J
1л/. ч
^ (m-W 5^ + ^-со3 - co4).
F)
В дальнейшем o)i можно пренебречь под знаком б-функции.
Знак приближенного равенства в F) появляется из-за наличия
дисперсии звука (например, @2^2 не равно s, так как f2 велико.
Но по порядку величины такое равенство имеет место).
Используем равенства
w= ( Q Y T%i [dhdMf0J-д*-
- 0K - O34)
_ / Т у s ' 37/зBя2O/3 __ / Т у s ' 34У/з _ Т2
где а — постоянная решетки.
Производим переход от If к свободному пробегу
(Г>е,/но<6), G)
где 6 — дебаевская температура.
Мы находим, что пробег, обязанный столкновениям четырех
фононов, полученный за счет кубических членов в A), не зависит
от частоты. Он меньше, чем пробег ([1], формулы B) и E)), в (-тр)
раз, следовательно, истинный пробег определяется выражением
G). Большая величина вероятности W, которая привела к G)г
объясняется малостью разности энергетических уровней (Ei —
— Et), фигурирующей в C).
Пробег G) оказывается равным пробегу ([1], формула A.11);
[3], формула D)), обязанному столкновениям трех фононов, при
частоте 9 / Т \5Л
Щ--2П
Очевидно, что главную роль в теплопроводности играют частоты
порядка (о0.
Отсюда, в соответствии с [1—3], обычным образом находим
для теплопроводности х при Т ;§> Э следующее выражение:
\ (8)
где к — постоянная Больцмана, п = I/a3.
146

Здесь, при написании численного фактора, учитывалось, что
существенный вклад в теплопроводность вносят фононы только
одной какой-нибудь поляризации.
Таким образом, предельный закон для зависимости х от Т
при Т ^> 6 имеет вид х — jT'Vi, анех^ Т~3!*.
Экспериментальные данные Эйкена *, по-видимому, подтверж-
подтверждают закон (8), если мы учтем, что в интервале температур, ис-
исследованных Эйкеном, теплоемкость рассматриваемых им диэлек-
диэлектриков не была постоянной, а росла с температурой. Поэтому Эй-
Бен вместо (8) должен был получить скорее закон х jr , который
был бы непонятен, если бы уже при постоянной теплоемкости мы
имели бы соотношение х — -=г в соответствии с результатами
Дебая и Пайерлса.
Из формулы (8) следует, что при Т — 6 теплопроводность
хороших кристаллов диэлектриков должна быть всего лишь в
5—10 раз меньше, чем теплопроводность металлов при Т = 6.
Упоминание о хороших кристаллах необходимо для того, чтобы
не играли роль отражения упругих волн от граней поликристаллов
и т. п. Если учесть, что —тг--~300, то по порядку величины при
Т = 6, xd (теплопроводность диэлектриков) записывается соглас-
согласно (8), так:
Y,d = 2nksa^f.~nka*J^-. (9)
Теплопроводность металлов хм получается обычным образом из
теплоемкости электронов:
где То — температура вырождения, их скорости
/з 2
и свободного пробега, который при Т ^ Э имеет вид (см., напри-
например, [6])
Л/52
Т Ms* 7 2 Ms*2 (Зя2J'3 а г 2 Ms2 ,. лч
Если учесть еще теплопроводность решетки металлов, которая
по порядку величины равна (9) \ то мы приходим к выводу, что
теплопроводность металлов при Т = 6 должна всего лишь в не-
несколько раз превышать теплопроводность диэлектриков при
Т — 0. Экспериментальные данные согласуются с этим выводом
1 См. там же [5].
147

теории. Для иллюстрации приводим здесь данные о теплопро-
теплопроводности при Т = 6 у 19 металлов [9]:
А1
Cd
Си
Аи
1г
0,5
0,22
1,00
0,70
0,14
Fe
Pb
Mg
Mn
Mo
0,16
0,11
0,38
0,15
0,35
Ni
Pd
Pt
Rh
Ag
0
0
0
0
1
,14
,17
,17
,21
,0
Sn
Та
W
Zn
0
0
0,47@,
0
,15
,13
35)
,27
Среднее значение хм (Т = 6) равно 0,33.
Сравнивая с теплопроводностью хороших кристаллов диэлект-
диэлектриков, исследованных Эйкеном [4]:
NaCl 0,02
КС1 0,02
Кварц (параллельно оси) 0,05
находим согласие с выводом теории.
В заключение заметим, что при Г<^6 из E') легко получается
следующее выражение для пробега, обязанного столкновением че-
четырех фононов из-за кубических членов в A):
= 10~3a -7ТГ-) [-7fr) F^>Г). A1)
\ l j \ i j ^
Подробный анализ ситуации при низких температурах [2}
показывает, что аналогично пробегу, обязанному четырехкрат-
четырехкратным столкновениям, возникающим из-за членов 4-го порядка вA)г
пробег при низких температурах не играет роли, вследствие
своей большой величины.
Мне доставляет удовольствие в заключение выразить здесь
искреннюю благодарность проф. Л. Ландау за интерес к работе.
Физический институт Получено 22 мая 1942 г#
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1941, 4, 259 (Собр. трудов, № 8).
2. /. Pomeranchuk, J. Phys. USSR, 1942, 6, 237 (Собр. трудов, № 11).
3. /. Pomeranchuk. Phys. Rev., 1941, 60, 820 (Собр. трудов, № 10).
4. A. Eucken. Annd. Phys., 4 folge, 1911, 34, 185.
5. Г. С. Ландсберг, А. А. Шубин. ЖЭТФ, 1940, 10, 247, 2.
6. A. Sommerfeld, H.Bethe. Hdb. d. Phys., 1933, 24/11, 2 Auflage, 522.
7. A. Sommerfeld, H.Bethe. Hdb. d. Phys., 1933, 24/11, 547.
8. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1941, 4, 529 (Собр. трудов, № 9).
9. Handbook of Chemistry a. Physics, twentieth edition, 1929, 1935 (Chemical.
Rubber Publishing Co).
1 При Т = 6 свободный пробег фононов в металлах и в диэлектриках имеет
одинаковый порядок величины (см. по этому поводу [7], формулы D2), A8)>
а также [8]).
148

13
ЗАВИСИМОСТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКА
В ДИЭЛЕКТРИКЕ ОТ ЧАСТОТЫ И ТЕМПЕРАТУРЫ*
Определено влияние четырехфононных столкновений, идущих за счет
процессов второго порядка теории возмущений, на поглощение звука. Най-
Найдена зависимость поглощения звука от частоты и температуры как в диапазоне
частот, где звук есть звуковое поле, так и в диапазоне частот, где по отноше-
отношению к одним фононам звук есть звуковое поле, а по отношению к другим фо-
нонам звук есть фонон.
Отмечено наличие дисперсии звука при Ясоо^> 0 \1пПр ) • При 6
Т
<^ /гоэо <^ 6 -дтт поглощение звука пропорционально частоте в степени 7/4»
Температурная зависимость поглощения звука определена для случая темпе*
ратур, значительно больших дебаевской (9 <^ Т).
Как было показано автором [1], поглощение звука в основной
группе диэлектриков определяется изменением энтропии тепловых
колебаний [2] такой частоты, на которой длина свободного пробега
фононов за счет кубической ангармоничности оказывается равной
той же длине за счет ангармоничности четвертого порядка (т. е.
за счет столкновений, в которых принимают участие четыре фо-
нона) *. Тепловые колебания, о которых выше шла речь, отвеча-
отвечают той поляризации, которая соответствует максимальной ско-
скорости звука, распространяющегося в произвольном направлении
(подробнее см. [1, 3, 4]). При вычислении длины свободного про-
пробега за счет четырехфононных столкновений в работе [1] принима-
принимались во внимание лишь процессы первого порядка по теории воз-
возмущений. Как было показано в [4], процессы второго порядка,
связанные с кубичной ангармоничностью и приводящие к четы-
рехфононному рассеянию, дают большую вероятность такого
рассеяния, нежели процессы первого порядка 2. Учитывая про-
: J. Phys. USSR, 1943, 7, 266. Перевод Б. Я. Зельдовича.
Сходная ситуация имеет место и для теплопроводности диэлектриков при
Г^>9 (здесь Т—температура, 6—температура Дебая).
В связи с тем, что второе приближение теории возмущений дает больший
результат, чем первое, могут возникнуть сомнения по поводу сходимости
решения, используемого в теории возмущений. Нетрудно показать, однако,
что третье и последующие приближения дают значительно меньший резуль-
результат, чем второе, и что начиная со второго приближения ряд сходится.

цессы во втором приближении, мы получим следующее выраже-
выражение для частоты, на которой длины пробега за счет тройных и
четверных столкновений становятся равными [4]:
(температуру выражаем в энергетических единицах) в отличие от
выражения ~^~ у -jgy, использованного в [1]. В соответствии с
A) ([1], формула A.17)) мы примем выражение для плотности
диссипативной функции [3], определяющей поглощение
B)
Здесь и ниже используются те же обозначения, что и в [1]
{М — масса элементарной ячейки, s — скорость звука, п — число
молекул в см3, Uik — тензор звуковой деформации, A,ifc — мате-
материальный тензор, определяющий изменение частоты тепловых волн
в звуковом поле [2] U^; точка сверху означает дифференцирова-
дифференцирование по времени; черта над (^щО^J означает усреднение по всем
направлениям). Установим теперь пределы применимости форму-
формулы B). Она, очевидно, применима до тех пор, пока возрастающая
частота внешнего звука со0, умноженная на Й, не сравняется с
неопределенностью энергии [5] Де тех фононов, которые играют
основную роль в поглощении. Де связано с длиной свободного
пробега обычным соотношением
Дв«-?-. C)
Частоте A) отвечает длина свободного пробега, равная [3, 4]
{а — постоянная решетки).
Следовательно,
Т \2
Таким образом, уравнение B) применимо до частот соо порядка
Т \ 2
При комнатной температуре со^ах равно 109 сек (М = 80-10~24 Г,
s == 2,5-105 см/сек, Ms2 = 5-Ю2 эрг, Т = 4,2-104 эрг. Здесь
мы положили молекулярный вес равным 50).
Следует заметить, что хотя применение формулы B) ни в коей
мере не ограничено малыми частотами, в случае малых частот ос-
150

новная роль в поглощении звука принадлежит не внутреннему
трений), рассмотренному здесь, а поглощению энергии звука
вследствие ее ухода через точки закрепления колеблющейся сис-
системы; в случае поликристаллической структуры колеблющегося
тела основная роль в поглощении звука принадлежит процессу
экстинкции за счет теплопроводности [6]. Явление, выражаемое
формулой B), можно наблюдать лишь в случае достаточно высо-
высоких частот; при этом предельная частота, начиная с которой глав-
главная роль в поглощении принадлежит выражению B), зависит от
способа и характера закрепления колеблющейся системы и от сте-
степени поликристалличности, принятой в рассматриваемой модели.
Поэтому этот нижний предел для уравнения B) не может иметь
универсального вида. Таким образом, для частот, меньших
ft 1Г \ 2
где ^ ^ ^' поглош.ение звука в диэлектриках про-
пропорционально квадрату частоты звука (множитель Q^{]pikf ') и об-
обратно пропорционально корню четвертой степени из температуры.
(В [2] поглощение не зависело при этих условиях от температуры.)
Длина свободного пробега звука 10 (на которой энергия бегущей
волны затухает в е раз), отвечающая уравнению B), оказывается
равной
да)* [*-.<• (да)']- о
Например, если частота звука 108 сек, то при комнатной
температуре /0 равно 102 см. Коэффициент поглощения 1/ZO =
= 10 см. На пределе применимости уравнения F) 10 равно 1 см.
Когда частота звука больше, чем Де/Й [5], то звук уже нельзя
рассматривать как медленно меняющееся звуковое поле [5К
В случае очень высоких частот звука (умноженных на Й), пре-
превосходящих неопределенность энергии тепловых фононов с энер-
энергией порядка 0, звуковое колебание очевидно следует рассмат-
рассматривать как фонон [5]. (Отметим, что Ksll возрастает с ростом час-
частоты тепловых фононов [3, 4]). При этом для 10 получаются раз-
различные выражения в зависимости от того, квазипродольны или
квазипоперечны рассматриваемые колебания [4]. В первом случае
имеем
(см. [3], формула A.11)),
(см. [4], формула G)).
Следует отметить, что область применимости формулы (8) не
слишком велика. Длина свободного пробега квазипоперечного
151

фонола была рассчитана Ландау и Румером [5]
^ A0)
Квазипоперечный звук поглощается значительно сильнее,
чем квазипр(одольный. Лишь граничные частоты (Йо)о ж 0) име-
имеют тот же коэффициент поглощения, по порядку величины не за-
зависящий от типа поляризации.
Т ( Т \2
В случае б-^г ^ ^о ^ 9 (-дтр") звуковое колебание по от-
отлошению к одной части фононов является фононом, в то время как
ло отношению к другой части тепловых колебаний оно является
звуком, т. е. медленно меняющимся во времени и в пространстве
внешним полем. В этих условиях звук будет фононом по от-
лошению к тем фононам, для которых hsll меньше, чем /ш0. По
отношению к тепловым колебаниям, для которых hsll больше, чем
Лсоо, звук будет звуковым полем г.
Использованный в [1] и [2] метод расчета поглощения может
быть применен и в случае рассматриваемых здесь частот, однако
теперь функция распределения фононов должна определяться не
из кинетического уравнения, использованного в [1], формула A.5)
или в [2], а из кинетического уравнения, в котором сохранены
члены -J- + VV/ (здесь / — функция распределения, V — груп-
ловая скорость фонона) 2.
Как обычно, будем искать / в виде /0 + /х, где /0 — планков-
ское распределение и /jl<^/0. Частота, уже возмущенная зву-
звуком, будет служить аргументом/0, т. е. [2]
1 Т
Используя соотношения, следующие из канонических урав-
уравнений (Р есть волновой вектор):
^ + VV/0 + FVF/0 = *¦ (-? + Wco + FVFco) =
и учитывая сохранение возмущенной частоты в случае столкнове-
лий, мы получим для fx уравнение
vv/, (f)_ra ?S
--^.„А,^,,. A1)
1 На это обстоятельство обратил мое внимание Ф. С. Юдкевич.
2 Обоснование такого подхода будет дано после формулы A8).
152

Здесь [-4т~) отвечает изменению функции распределения
/столки
за счет столкновений между фононами
dt /столкн I '
I следует взять из уравнений (8), (9) и A0).
Решение уравнений (И) при
и ik — и гке
имеет вид (как обычно, введение комплексных выражений означа-
означает, что следует взять вещественную часть полученных решений) г
, Ы1К oik Ш hkik
/1 = — = • К1 d>
— io)o + iVF0 — — i (F0V — coo^ — —
Если coo (VF0 ~ co0) значительно меньше, чем -у-, то f± —
I Т
= z— A,^^^, и мы получаем поглощение, определяемое уравне-
нием B). В общем же случае мы получаем решение A3), с помощью
которого диссипативная функция Тд выражается обычным спо-
способом (см. [1], формула A.12)):
/o + /l
CO J O) /
Здесь a — энтропия, индекс / отмечает поляризацию фононов.
Поскольку 6 положительно после суммирования по всем час-
частотам и поляризациям фононов, в уравнении A4) остается лишь
следующий член:
^(m(WJ f. (.5)
Так как квазипродольные колебания имеют значительно мень-
меньшую величину s/Z, чем квазипоперечные (сравни уравнения (8) и
(9) с уравнением A0)), то в уравнении A5) основная роль принад-
принадлежит квазипродольным колебаниям, и в этом случае
s2 s2 (ft©)* Г2
i T \V* I T \ У *
При /i@>9 -77T И I = Const ПРИ /~?(D<C0
1 Членами FVp/i =—VcoVp/x = — ^hk^uikh можно пренебречь ввиду
малости Uifr.
153

Если
то функция под знаком суммы в уравнении A5) зависит от со как
const/co4.
В противоположном случае в результате интегрирования по
углам мы получаем либо не зависящую от со константу (случай, ког-
когда возможен резонансный (квазипоперечный) звук), либо значение,
пропорциональное со4 (квазипродольный звук, для которого,
согласно условию, резонанс невозможен [1, 3]).
Таким образом, ясно, что важны те квазипродольные частоты
о)', для которых число столкновений s I в единицу времени равно
частоте звука соо:
fta/
= е
поскольку 8-^>Й(о0>еA^гу, то
Учитывая уравнение A6), получим окончательное выражение
для Та
(it)
Соответствующая длина свободного пробега
7 / е ул / Ms* yu
I = а -=— —тг- ,
Таким образом, в рассмотренном диапазоне частот поглоще-
поглощение как квазипродольных, так и квазипоперечных волн пропор-
пропорционально частоте в степени 7/4. Поглощение звука различных
поляризаций отличается, конечно, коэффициентом, величина ко-
которого порядка единицы. Существенное различие в поглощении
квазипродольного и квазипоперечного звука начинается на час-
частотах, больших, чем 0-^-(см. (8), (9) и A0)).
Из вывода уравнения A7) следует, что в поглощении звука в
Т ( Т \2
диапазоне 9-^г>>Й«о^>0 [j^rj основную роль играют фоно-
ны, у которых квантовая неопределенность Де C) порядка Йсоо.
154

Для таких фононов рассмотрение звука в виде внешнего зву-
звукового поля по порядку величины правильно. Это делает закон-
законным применение использованного здесь метода, в котором звук
вводится в качестве внешнего поля, даже и в случае, когда /мо0
меньше, чем Де. Оказывается, что фононы, имеющие Де j> /гсоо,
не играют какой-либо роли в поглощении звука в рассмотренном
здесь диапазоне частот.
Заметим также, что если (о0 соответствует квазипоперечному
звуку, то при любом направлении распространения квазипопе-
квазипоперечного звука может выполняться следующее равенство [4, 5]:
Соответствующая область значений со не играет основной роли в
уравнении A5), поскольку, как уже было показано, существенны
те частоты, на которых -^-^(VFq— сооJ, независимо от направ-
направления движения фононасо1. Квазипродольные фононы, удовлет-
удовлетворяющие уравнению A9), играют основную роль в поглощении
квазипоперечного звука лишь при
Т
Очевидно, что при /шо<^ 8 м г резонансные члены'A9) дают
выражение для Та того же порядка величины, что [и уравне-
уравнение A7).
Окончательно получаем следующие выражения для длины
свободного пробега звука (т. е. длины, на которой энергия бегу-
бегущей звуковой волны уменьшается в е раз):
Квазипродольный звук
по формуле G)
\ Л/52 / ' \ Н(Оо } \ Ms1
по формулам A8)
1 Резонанс в уравнении A5) может иметь место при любом направлении дви-
Т
жения фонона со, в отличие от случая йо0 ^> в ^g2 , когда резонанс воз-
возможен лишь в избранном направлении [5].
155

по формулам (9)
по формулам (8)
: Квазипоперечный звук
по формулам G)
по формулам A8)
по формулам A0)
0
)
Все приведенные здесь формулы относятся к температурам,
значительно большим дебаевской @ <^ Т).
Очевидно, что при Йсо0 5> 0 f м 2 ) должна быть дисперсия зву-
звука, поскольку при таких частотах важны релаксационные явле-
явления — период звукового колебания порядка времени релаксации Us
тех фононов, которые играют главную роль в поглощении. (Из-
(Известно, что это условие имеет общий вид для любых релаксацион-
(Т \2
м 2 ) также можно
Ms I
рассматривать с помощью полученной нами функции распре-
распределения fx [см. формулу A3)].
В заключение я хочу поблагодарить проф. Л. Ландау за цен-
ценные советы и интересные обсуждения в процессе выполнения настоя-
настоящей работы.
Физический институт им. П. Н. Лебедева Получено
Академии наук СССР 11 января 1943 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Померанцу к. ЖЭТФ, 1941, 11, 455. (Собр. трудов, № 9).
2. А.Ахиезер. J. Phys. LSSR, 1939, 1, 277.
3. И. Померанчук. ЖЭТФ, 1941, 11, 246. (Собр. трудов, № 8).
4. И. Померанчук. J. Phys. USSR, 1943, 7, 197. (Собр. трудов, № 12).
5. L. Landau, E. Rumer. Phys. Zs. Sowiet., 1937, 11, 18.
6. С. Zener. Phys. Rev., 1938, 53, 582.

14
К ТЕОРИИ ПОГЛОЩЕНИЯ
ИНФРАКРАСНЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ,
ОБЛАДАЮЩИХ ЦЕНТРОМ СИММЕТРИИ *
Показывается, что в кристаллах, имеющих центр симметрии, noi лощение
инфракрасных лучей невозможно, если рассматривать простую ^ангармони-
^ангармоническую связь между вынужденным колебанием, возбужденным электромаг-
электромагнитным полем и остальными колебательными степенями свободы кристалла.
В отличие от теории Паули, ширина линий поглощения инфракрасных лучей
определяется не кубической ангармоничностью, а ангармоничностью четвер-
четвертого порядка. Благодаря этому при высоких температурах инфракрасная
ширина поглощения должна быть пропорциональной квадрату температуры*
Для определения коэффициентов поглощения инфракрасных
лучей в кристаллах и их отражения от кристаллов (поглощение
и отражение остаточных лучей) необходимо учитывать взаимо-
взаимодействие между вынужденным колебанием кристалла, возбужден-
возбужденным электрическим полем световой волны, и всеми остальными
тепловыми колебаниями кристалла. Наличие такого взаимодей-
взаимодействия приводит к затуханию возбужденного инфракрасными лу-
лучами колебания, а следовательно, приводит к появлению конеч-
конечной ширины линии поглощения. Ширина инфракрасных линий
была вычислена Паули [1] на основании предположения о сущест-
существовании простой ангармонической связи между вынужденным коле-
колебанием, возбужденным светом, и остальными колебательными сте-
степенями свободы кристалла. Энергия взаимодействия колебаний в
приближении простой ангармоничности, как известно, имеет вид
ТД/ * V дпт ,ттоп ТТО1Г\(Т1оп TJom\ (ТТоп ТТОГ>\ Н\
W = "е" 2л ЛШ \U г — U г ){Uk — U к ) [Ui — U i ), A)
iklnm
где UT — проекция на ось i смещения атома (молекулы) п из
положения равновесия; 4ш — постоянные. В A) вместо одной
из разностей Uoa — Uom можно подставить разность вынужден-
вынужденных смещений, вызванных электрическим полем, а вместо двух
других разностей Uoa — Uom разность тепловых смещений.
Пользуясь выражением типа A), Паули [1], а затем развивав-
развивавшие его работу Борн и Блекман [2] получают выражение для ши-
ширины линий поглощения в инфракрасной области и для зависи-
ЖЭТФ, 1943, 13, 428; J. Phys. USSR, 1943, 7, 262.
157

мости показателя преломления от частоты. При этом в работе
Паули и остальных работах волновой вектор инфракрасных лу-
лучей считался равным нулю, а поляризуемость х ионов не зависе-
зависела от тепловых колебаний. Однако легко показать, что в кристал-
кристаллах, обладающих центром симметрии 2, энергия взаимодействия
типа A) обращается в нуль тождественно, если не учитывать эф-
эффектов, связанных с волновым вектором электромагнитной вол-
волны, или влияния тепловых колебаний на поляризуемость. Энер-
Энергия взаимодействия между вынужденным колебанием, возбуж-
возбужденным инфракрасными лучами, и остальными колебаниями кри-
кристалла, не учитывающая волнового вектора и влияния тепловых
колебаний на поляризуемость, не равна нулю только в пьезо- или
пиро-электрических кристаллах. В кристаллах, имеющих центр
симметрии, обращается тождественно в нуль не только энергия
взаимодействия типа A) (кубическая ангармоничность), но и
энергия взаимодействия в любом более высоком приближении,
если считать, что поляризуемость ионов решетки не зависит от
тепловых колебаний решетки (влияние ангармоничности на поля-
поляризуемость) и не учитывать волнового вектора электромагнитной
волны. Так как эффекты волнового вектора малы по сравнению с
эффектом влияния тепловых колебаний на поляризуемость, мы
в дальнейшем будем иногда говорить только о последнем эффекте.
Только учитывая влияние 3 тепловых колебаний на поляризу-
поляризуемость, можно получить не равное нулю выражение для энергий
взаимодействия между вынужденным колебанием, возбужденным
инфракрасными лучами, и остальными колебательными степенями
свободы кристалла. Легко видеть, что влияние тепловых колеба-
колебаний на поляризуемость может появиться только при рассмотрении
ангармоничности не ниже четвертого порядка, т. е. членов в по-
потенциальной энергии кристалла, пропорциональных четвертой
степени смещений атомов решетки из положения равновесия [а не
третьей степени, как в A)]. Очевидно, что температурная зависи-
зависимость ширины инфракрасных полос и другие характеристики
инфракрасного поглощения должны иметь другой вид в кристаллах
с центром симметрии, чем полученные из A).
Для доказательства наших утверждений рассмотрим в общем
виде выражение для потенциальной энергии колебаний кристалла,
имеющего центр симметрии, при наличии электрического поля.
После общего доказательства равенства нулю A) мы ради нагляд-
наглядности докажем это же и для частного случая линейной цепочки
1 Под выражением поляризуемость здесь и ниже понимается отношение эф-
эффективного заряда иона к его квазиупругому коэффициенту, т. е. коэф-
коэффициент пропорциональности между амплитудой вынужденного колебания
и напряжением поля.
2 К таковым принадлежат многие из кристаллов, исследованных эксперимен-
экспериментально (например, NaCl, KG1).
3 На роль зависимости поляризуемости от тепловых колебаний указал мне
проф. Ландау.
158

атомов, взаимодействующих только со своими соседями, так как
в этом случае соотношения особенно просты. В дальнейшем мы
пренебрежем волновым вектором электрического поля и пре-
пренебрежем влиянием на поляризуемость тепловых колебаний
кристалла. Благодаря последнему пренебрежению отклонение
атома (молекулы) кристалла из положения равновесия может быть
записано так:
U% = с&Я* + Ub Vf- = *7>кЕк + С/?'. B)
Здесь U°+n — отклонение положительного иона п, U°lx — откло-
отклонение отрицательного иона п'\ п и пг означает тройку чисел, опре-
определяющих номер элементарной ячейки, к которой принадлежит
рассматриваемый ион.
Ради простоты мы рассмотрим кристалл, в котором имеются
только два сорта ионов, хотя обобщение на случай произвольного
числа ионов очевидно. aj? —тензоры поляризуемости, которые
по условию мы считаем не зависящими от тепловых колебаний,
представленных в B) членами U™ и С/?; Ек — проекция элект-
электрического поля на ось к. Так как мы пренебрежем волновым век-
вектором инфракрасной волны, то afkEk не зависят от координат
(от п).
Разложим теперь потенциальную энергию колебаний W в
ряд по степеням разностей отклонений атомов из положений рав-
равновесия, причем это разложение мы не будем обрывать, т. е. раз-
разложим W в точный ряд Тейлора. Символически это разложение
записывается так ь.
W = Wo + 2 A™" (U°n - Uomf. C)
nmN
Нас интересует член в C), пропорциональный электрическому
полю. Он получится, очевидно, за счет тех членов в C), в которые
входит разность смещений положительного и отрицательного
ионов.
(Uon - Uom)N = (ol+E - ol~E + Un - Um)N ->
-> AT (a+ - a") E {Un - Um)N~\ D)
если Uon соответствует положительному, а Uom — отрицательному
иону. Таким образом, интересующая нас часть в C) может быть
записана так:
V = 2 NAnmN («+ - «") Е (Un - Umf-\ E)
nmN
1 Annii — постоянные, зависящие от взаимного расстояния элементарных
ячеек п и т и углов между линией, их соединяющей, и кристаллографиче-
кристаллографическими осями.
159

Так как кристалл по условию обладает центром симметрии, то
вместо E) мы можем написать выражение, в котором положитель-
положительные и отрицательные ионы заменены местами:
V = 2 NAnnN (a" -a+)E(Un- Um)N~\ F)
nmN
Но F) равно E) с обратным знаком. Отсюда следует, что V = 0.
Докажем теперь для наглядности то же утверждение для простей-
простейшего примера линейной цепочки атомов, в которой взаимодейст-
взаимодействуют только соседи. Соседние атомы в такой цепочке имеют про-
противоположный заряд. Энергия взаимодействия в такой цепочке
имеет вид
, G)
nN
где An — постоянные. Снова подставляем вместо Uon и Uon+1 вы-
выражения типа B)
U°n = апЕ + Un,
Выписываем член, пропорциональный полю,
V = Е 2 NAy (ап - an+1) (Un - Un^f-1 =
nN
= E 2 NAy (an - ow) {(Un - Ur,*)"-1 - (Un+1 - f/n+2)N"X}. (8)
n.V
Очевидно, что (an — an+i) не зависит от п, поэтому мы выносим
ее из-под знака суммирования по п
an+1 = — (Зп+i —
Так как эффекты, возникающие на краях цепочки, ничтожны, то
сумму
можно заменить на
что дает V = 0, т. е. член, пропорциональный электрическому
полю, в энергии взаимодействия колебаний тождественно обраща-
обращается в нуль. Легко видеть, что в нашем выводе [и в общем случае
E), F), и в случае линейной цепочки (8)] существенную роль
играла независимость разностей поляризуемости двух ионов от
места, занимаемого этой парой в решетке [независимость | ап —
— ап-г | от п в (8), или зависимость а" — а+ только от разности
160

п и п в E)]. Если поляризуемость ионов одного знака зависит от
положения иона в решетке, энергия возмущения вынужденного
колебания тепловыми колебаниями не исчезает. Требуемая зави-
зависимость поляризуемости от положения иона в решетке может быть
получена в идеальном кристалле, свободном от химических или
физических примесей, либо за счет эффектов, связанных с волно-
волновым вектором инфракрасных лучей, либо за счет эффектов, связан-
связанных с воздействием тепловых колебаний на поляризуемость.
Воздействие тепловых колебаний на поляризуемость приводит
на
где Вп~п> — постоянные, они имеют порядок величины, равный
а/щ а —постоянная решетки. Такой порядок величины получа-
получается, если учесть, что изменение поляризуемости а должно быть
порядка самой поляризуемости, когда расстояние между ионами
меняется на величину, сравнимую с а. В то время как эффекты
волнового вектора порядка квадрата отношения г постоянной
решетки к длине волны инфракрасных лучей, т. е. ~ 10~6, эффек-
эффекты, связанные с воздействием тепловых колебаний на поляризу-
поляризуемость, порядка квадрата отношения амплитуды тепловых коле-
колебаний к постоянной решетки, т. е. ~ Т/То (Т —температура,
То —атомная температура ~ 104 °К), если Т ;> Э, Э — дебаев-
Т 1 1
екая температура; при комнатной температуре-^ ^-, г^.
Отсюда видно, что эффекты волнового вектора малы по срав-
сравнению с эффектами, обязанными влиянию тепловых колебаний
на поляризуемость.
Если подставить (9) в A), то получается выражение для энер-
энергии F, пропорциональное кубу тепловых смещений из положе-
положения равновесия и электрическому вектору инфракрасной волны
iklmn
п2
Равенство A0) имеет вид формально такой же, как если бы
эффект поглощения инфракрасных лучей происходил от ангар-
ангармоничности четвертого порядка 2. Как известно, эффекты куби-
1 Вероятность поглощения пропорциональна квадрату матричного элемента
возмущающей энергии.
2 То, что в кристаллах, имеющих центр симметрии, в приближении кубичес-
кубической анагармоничности исчезает связь между электрическим полем и тепло-
тепловыми колебаниями, т. е. исчезает выражение
6 И. Я. Померанчук, т. I 161

ческой ангармоничности дают ширину инфракрасных линий, про-
пропорциональную температуре Т [1, 2]. Очевидно, что в соответст-
соответствии с A0) ширина инфракрасных линий должна быть пропорцио-
пропорциональной квадрату температуры, а не первой ее степени. Так как
этот закон должен иметь место при Г^>Э, существующие экс-
экспериментальные данные [3] A1), по-видимому, не могут быть ис-
использованы для надежного сравнения с теорией, так как в боль-
большинстве случаев экспериментальные данные относятся к темпе-
температурам, близким к дебаевской температуре или более низким.
Представляется крайне желательным экспериментальное иссле-
исследование поглощения инфракрасных лучей в кристаллах, облада-
обладающих центром симметрии, при температурах, по крайней мере в
несколько раз превышающих дебаевскую.
В заключение я хочу выразить искреннюю благодарность проф.
Л. Ландау за важные указания и интерес к работе.
Физический институт им. П. Н. Лебедева Получено 6 августа 1943 г.
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. W. Pauli. Verh. d. D. Phys. Ges. C), 1925, 6, 10.
2. M. Bern, M. Blackman. Zs. f. Phys., 1933, 82, 551.
3. К. Шефер, Ф. Матосси. Инфракрасные спектры. ОНТИ, 1935, стр. 309 —
315.
легко понять, если учесть требование инвариантности потенциальной энергии
тепловых колебаний при замене Е на —Е (центр симметрии). Бели бы A1)
tte было равно нулю, то, будучи квадратичным в IP1— Um (подобно потен-
потенциальной энергии гармонических колебаний), оно приводило бы к линейной
зависимости скорости звука от Е, что в кристаллах, обладающих центром
симметрии, не может быть.

15
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СОЛЕЙ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В МЕТОДЕ
МАГНИТНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ *
Совместно с А. Ахиезером
Показано, что теплопроводность солей с магнитным взаимодействием
между ионами, используемых в методе магнитного охлаждения в области тем-
W
ператур ^<у ~0,02°, определяется не колебаниями решетки, а энергетиче-
энергетическим спектром системы спинов. На эту часть теплопроводности влияет маг-
магнитное поле и она становится пренебрежимо малой при достаточно сильных
полях. В этом случае остается лишь фононная теплопроводность.
В работе [1] мы рассмотрели явление релаксации в солях, ис-
используемых в методе магнитного охлаждения, при определенных
предположениях о характере энергетического спектра системы
спинов. Наличие такого энергетического спектра приводит к до-
дополнительной теплопроводности, так как элементарные возбуж-
возбуждения спиновой системы—экситоны, как мы будем называть их
в дальнейшем — участвуют в распространении тепла.
Статья И. Померанчука [2] посвящена детальному изучению
парамагнитных диэлектриков с обменным взаимодействием меж-
между атомами, теплопроводность которых заметно зависит от суще-
существования энергетического спектра парамагнитных ионов. В на-
настоящей статье мы определим температурную зависимость тепло-
теплопроводности солей, используемых в методе магнитного охлажде-
охлаждения, как при наличии магнитного поля, так и бее него. Хотя в
рассматриваемых солях главную роль играет магнитное, а не
обменное взаимодействие между ионами, в отсутствие поля это
не приводит к различному поведению теплопроводности как функ-
функции температуры, по сравнению с диэлектриком с обменным вза-
взаимодействием, если предположить, что элементарные возбужде-
возбуждения подчиняются одной и той же статистике. В дальнейшем, так
же как и в [1, 2], предполагается, что возбуждения подчиняются
статистике Ферми — Дирака.
Введение достаточно сильного магнитного поля в случае ди-
диэлектрика с магнитным взаимодействием превращает непрерыв-
непрерывный спектр энергий системы спинов в дискретный. Как следствие
этого, теплоемкость системы спинов, а следовательно, и тепло-
* J. Phys. USSR, 1944, 8, 216. Перевод А. М. Переломова.
6» 163

проводность содержит множитель е~2^н1кт, т. е. экспоненциаль-
экспоненциально падает с понижением температуры.
Таким образом, теплопроводность рассматриваемых солей в
области низких температур зависит от поля и с увеличением его
падает.
Предположим, сначала, что поле отсутствует. Тогда теплопро-
теплопроводность соли к равна сумме двух частей: фононной проводимости
X/, которая возникает из-за колебаний решетки, и экситонной про-
проводимости хт, которая связана с существованием вышеупомяну-
вышеупомянутого спектра энергий. Порядок величины фононной и экситонной
теплопроводности может быть определен по хорошо известным
формулам:
l Km~lmVCm, A)
где If и lm—средние длины свободного пробега фононов и эксито-
нов соответственно, s и v — соответствующие скорости, a Cf и ст —
теплоемкости решетки и спиновой системы.
Последние равны
(ГТП V О ГГ\
-§-) , ст~кп — , B)
где п — число атомов в 1 см3, 9 — температура Дебая, а |Л — тем-
температура вырождения экситонов, имеющая тот же порядок ве-
величины, что и энергия магнитного взаимодействия W между со-
соседними ионами, т. е. приближенно 0,02° К.
Средние длины свободного пробега lf и 1т определяются различ-
различными возможными процессами взаимодействия фононов и эксито-
экситонов и могут быть представлены в следующем виде:
-7- = J )- -j \~ -j 1 7 , -j = -j 1~ —j | j . C)
Ч 4f Чт Чг LfW lm lmm lmf Lmr
Здесь ///—средняя длина свободного пробега фононов, связанная
с их взаимодействием друг с другом; 1тт имеет тот же смысл для
экситонов, lfm — средняя длина свободного пробега фононов, обу-
обусловленная их взаимодействием с экситонами, lmf имеет анало-
аналогичный смысл для экситонов, Ifr и 1тг — средние длины свободного
пробега фононов и экситонов, соответственно обусловленные при-
присутствием примесей и, наконец, lfw — средняя длина свободного
пробега фононов, связанная с конечными размерами тела. В об-
области сверхнизких температур (< |ы), которыми мы интересуем-
е
ся, можно пренебречь lff и lfr, так как ltf — е2Т, lfr — Г~4.
Средняя длина свободного пробега фононов определяется в за-
зависимости от условий или величиной lfm или — lfW. Последняя
величина по порядку равна размерам образца L. Для того чтобы
вычислить lfm, мы дадим выражения для вероятностей простейших
процессов, описывающих взаимодействие экситонов с решеткой.
164

Как было показано в [1], такими процессами являются: столкнове-
столкновение двух экситонов с поглощением (излучением) фонона и рассе-
рассеяние фонона экситоном. Вероятности этих процессов соответст-
соответственно равны (см. [1] формулы E), G))
ЛЛ7е 2л U2W2 о, о . о
J <°оюв (ePo + Йсоо - бр — йю). D)
Здесь JV означает полное число атомов в кристалле, М —
масса атома, s — скорость звука, U — энергия расщепления ион-
ионного уровня электрическим полем решетки, ер — энергия экси-
тона с импульсом р, /гсо — энергия фонона с частотой (о х.
После интегрирования W6 по всем состояниям экситонов с
импульсами pj, pj, p2 и замены Йсо средним значением кТ мы по-
получим среднюю вероятность поглощения (излучения) фонона W/m.
При интегрировании удобно ввести в качестве переменных энер-
энергии экситонов и углы в их импульсных пространствах. Якобиан
преобразования —^т (а —постоянная решетки), область ин-
интегрирования по отношению к энергии каждого экситона ~ кТ,
так что интегрирование дает кТ для каждого дифференциала
энергии. б-Функция исчезает при интегрировании по одному
из углов (например, по углу между рх и р? + р? + f), а подын-
подынтегральное выражение приобретает множитель ~ 1/W. Мы полу-
получаем
е UW* С 1 ^°jnde\dBrt 1 ( иу (кТ)*
vy fm hMs2 J to W3W h \W
Нетрудно видеть, что средняя вероятность рассеяния фонона
экситоном WSfm много меньше, чем Wfm. Фактически
(в)
где 0 —температура Дебая; 6-функция исчезает при интегри-
интегрировании по углу между р и р0 + f. Из сравнения E) и F) следует§
ЧТО WSfm < Wefm.
1 Следует заметить, что излучение фонона может происходить в первом при-
приближении теории возмущений также из-за изменения энергии взаимодейст-
взаимодействия экситонов за счет теплового движения. Однако вероятность таких про-
процессов оказывается меньше We.

Средняя длина свободного пробега, соответствующая W6fm% ра-
равна
? s
\7Г) ~Т~~кТ~' ' '
При достаточно низких температурах средняя длина свободного
пробега фононов определяется не их взаимодействием с эксито-
нами, а размерами образца L. Фононная теплопроводность бу-
будет иметь вид
nf~kn(^-YsL. (8)
Средняя длина свободного пробега экситонов определяется
главным образом взаимодействием между ними и присутствием
примесей. Что касается последнего фактора, то lmr по порядку
величины равна lmr , где е — относительная концентрация
примесей, lmm — обратно пропорциональна Т2 и имеет порядок
величиныZmm~a [j
j
Средняя длина свободного пробега экситонов из-за их взаимо-
взаимодействия с решеткой lmi обратно пропорциональна Г8 и таким об-
образом много больше, чем Zmm.
Действительно,
1 W kT I T у
n w Ms* \ е ) •
Так как скорость экситонов V т- W9 то
v i w \2 Ms* ( е
Для температур kT <^ Ye W средняя длина свободного пробега эк-
экситонов lm приближенно равна lmr. С помощью B) мы получаем сле-
следующее выражение для экситонной теплопроводности:
хт~*/г^М\ (kT<YiW). A0)
Если У в W < kT <^ W, то lm ~ lmmy и экситонная теплопровод-
теплопроводность будет иметь вид
Таким образом, видно, что экситонная теплопроводность при
температурах кТ <^ у е W уменьшается с уменьшением Г, тогда
166

как в области температур У в W < кТ < W она уменьшается с уве-
увеличением Т. При Т — У г W теплопроводность достигает макси-
максимального значения.
Сравним экситонную и фононную теплопроводности, которые
определяются формулами A1) и (8)
а m ( 9 У
L кТкд \ Т ) #
nf sL\T) hkT
Для кТ ~ W ~ 0,02° мы получим, предполагая, что L ~ 1 см%
—— — 1; при более низких температурах экситонная теплопро-
х/
водность становится больше фононной теплопроводности.
Предыдущее рассмотрение относилось к случаю отсутствия
магнитного поля. Если приложить достаточно сильное поле \iQH ^>
^> W, то вырождение состояния отдельного иона полностью сни-
снимается и, следовательно, непрерывный спектр превращается в
дискретный. Теплопроводность ст в этом случае равна
кТ ] "
Экситонная теплопроводность при кТ <^ \i0H таким образом
пренебрежимо мала. Так как фононная теплопроводность не за-
зависит от поля, то в области температур кТ ^ W включение поля
должно привести к уменьшению, а его выключение к увеличению
теплопроводности. Заметим, что можно прийти к подобному за-
заключению и относительно поглощения звука, которое также за-
зависит от поля.
В заключение мы хотели поблагодарить здесь проф. Л. Ландау
за интерес к этой работе.
Физико-технический институт Получено
Академии наук УССР 22 декабря 1943 г.
Физический институт им. П. Н. Лебедева
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Akhieser, I. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1944, 8, 206. (Собр. трудов,
№ 16).
2. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1941, 4, 356. (Собр. трудов, № 7),

16
О ТЕПЛОВОМ РАВНОВЕСИИ
МЕЖДУ СПИНАМИ И РЕШЕТКОЙ *
Совместно с А. Ахиезером
Предполагается, что система спинов и решетка находятся порознь в со-
состоянии теплового равновесия. Исходя из определенных представлений об
энергетическом спектре спиновой системы, определяется количество тепла Qf
переходящее в единицу времени от решетки к спинам как функция темпера-
температур решетки Т\ и спинов Ts. Q имеет вид const- T\q (TjTj). Функция q (х)
при х <^ 1 обратно пропорциональна я6, при х <~~* 1 — пропорциональна
1 — х. Время, по истечении которого температуры будут отличаться на 1 %s
при начальной температуре спинов 10~4 °К (начальная температура решетки
=^> 10-4 °к_) не превышает 1 сек.
Вопрос об установлении теплового равновесия между спинами
и решеткой имеет существенное значение для теории и практи-
практических приложений магнитного метода охлаждения, так как после
снятия магнитного поля низкая температура устанавливается в
спиновой системе (системе магнитных моментов ионов решетки) г
и лишь спустя некоторое время происходит охлаждение решетки.
В первых расчетах Гайтлера и Теллера [1] время установле-
установления равновесия между спинами и решеткой получалось чрезвы-
чрезвычайно большим. Из этого вывода можно было прийти к заключе-
заключению о невозможности практического использования магнитного
метода охлаждения для получения сверхнизких температур. На
ошибочность этого заключения указал Казимир [2], который по-
получил приемлемое время, предполагая, что количество тепла Q,
передаваемое от решетки к спинам в единицу времени, равно
к (Тг — Г8), где TtVL Ts —- температуры решетки и спинов, и х —
коэффициент, играющий роль коэффициента теплопроводности.
В работе Казимира не определялась, однако, зависимость х от
температур Тх и Ts. Кроме того, совершенно ясно, что Q будет
пропорционально Тх — Ts только при малых разностях темпера-
температур, на первой же стадии выравнивания температур различие
между Тг и Т8 может быть значительным. Целью настоящей ста-
статьи является определение Q как функции Тх и Ts и вычисление
на основе этого времени установления равновесия между спинами
и решеткой.
* ЖЭТФ, 1944, 14, 342; J. Phys. USSR, 1944, 8, 206.
168

§ 1. Энергетический спектр спиновой системы
Энергетический спектр спиновой системы обязан своим суще-
существованием, во-первых, взаимодействию между спинами и внутри-
кристаллическим электрическим полем и, во-вторых, магнитно-
магнитному и обменному взаимодействию между магнитными моментами
отдельных ионов решетки. Состояние изолированного иона обыч-
обычно является вырожденным. Благодаря взаимодействию магнит-
магнитного момента с электрическим полем решетки это вырождение
либо понижается, либо вовсе снимается. Согласно фундаменталь-
фундаментальной теореме Крамерса, вырождение снимается полностью толь-
только при четном числе электронов. Если число электронов в ионе
нечетное, то остается по крайней мере двукратное вырождение,
которое может быть снято магнитным взаимодействием между
ионами.
Однако этим роль магнитного и обменного взаимодействия
между ионами не ограничивается. Благодаря этому взаимодейст-
взаимодействию из каждого уровня изолированного иона создается энерге-
энергетическая полоса, содержащая N густо расположенных уровней
(N — число ионов в кристалле). Ширина полосы по порядку ве-
величины равна энергии взаимодействия между двумя соседними
магнитными моментами W и составляет около 0,02° К [1]. Подоб-
Подобно тому, как в блоховской модели ферромагнетика один ориенти-
ориентированный влево спин в совокупности правых спинов приводит к
образованию спиновой волны, так и в рассматриваемой нами сис-
системе возбужденный ионный уровень не локализуется в определен-
определенном месте решетки.
Мы можем рассматривать всякое не слишком сильно возбуж-
возбужденное состояние спиновой системы как совокупность элементар-
элементарных возбуждений, с которыми связаны распространяющиеся в
кристалле волны. Каждое элементарное возбуждение характе-
характеризуется, подобно фонону и электрону в решетке, некоторым век-
вектором квазиимпульса р, определяющим энергию элементарного
возбуждения ер. Для краткости будем в дальнейшем называть
наши элементарные возбуждения экситонами г.
Чрезвычайно существенным является вопрос о статистике
экситонов. Легко видеть, что этот вопрос возникает только в
случае нечетного числа электронов, входящих в состав иона.
Действительно, при четном числе электронов энергия возбужде-
возбуждения может быть представлена в виде U + ер, где U — энергия
расщепления ионного уровня, обусловленная взаимодействием
между спином и электрическим полем решетки. По порядку ве-
величины U равно 0,06° К [1]. Эта величина больше, чем ширина
полосы. При температурах, малых по сравнению с U, которые и
представляют наибольший интерес, различие между статистика-
1 Это название впервые было предложено проф. Я. И. Френкелем.
169

ми, очевидно, исчезает, так что мы можем считать, что возбужде-
возбуждения в этом случае подчиняются статистике Больцмана. Для прак-
практических приложений наибольший интерес представляет, однако,
случай нечетного числа электронов: в применяемых солях ион
Gd"' имеет 7 электронов, ион V" — 3 электрона, ион Fe'" —
5 электронов.
Мы будем предполагать, что экситоны подчиняются статисти-
статистике Ферми — Дирака с температурой вырождения, по порядку
величины равной энергии взаимодействия между соседними маг-
магнитными моментами. W. Основанием для такого предположения
является тот факт, что при приближении к абсолютному нулю-
парамагнитная восприимчивость стремится к конечному пределу.
Этот факт можно трактовать как паулиевский парамагнетизм,,
непосредственно вытекающий из статистики Ферми — Дирака [4].
Для экспериментального подтверждения нашего предположе-
предположения требуется точное знание энтропии как функции температуры
при сверхнизких температурах. Если предположение о статис-
статистике верно, то энтропия должна быть линейной функцией темпе-
т
ратуры, по порядку величины равной к — N, где \х —граничная
энергия фермиевского распределения. (Энтропией, обусловленной
колебаниями решетки и пропорциональной Т3, можно пренеб-
пренебречь.) К сожалению, мы не располагаем в настоящее время инте-
интересующими нас экспериментальными данными. Заметим, что воз-
возможен также случай, когда энергетический спектр спиновой сис-
системы имеет характер спектра электронов в полупроводнике, т. е.
энергия экситона отличается на конечную величину от наиниз-
наинизшего уровня системы. Этот случай требует специального рассмот-
рассмотрения.
§ 2. Взаимодействие между экситоноя
и решеткой
Прежде всего заметим, что взаимодействие между колебани-
колебаниями решетки и экситонами не может осуществляться в результате
процессов первого порядка, т. е. поглощения и испускания фо-
нонов экситонами. Действительно, обозначая импульсы экситона
и фонона до столкновения через р и f и импульс экситона после
столкновения через р', имеем в случае поглощения фонона
ерр = ер + Йсо, р' = р + f,
Tpfi ep — энергия экситона с импульсом р и /ко — энергия фонона
с импульсом f. При низких температурах возбуждены фононы с
малыми f, импульс же экситона в силу фермиевской статистики
порядка hi а (а — постоянная решетки).
Поэтому можно разложить еР' в ряд по степеням /. В резуль-
результате получим
f V = fst
170

Где V = Зер/9р — скорость экситона и s — скорость звука. По
порядку величины V можно определить из соотношения V — ~ W,
где W —энергия взаимодействия между соседними магнитными
моментами. Считая W ~ 0,02° К, а ~ 4-10~8 см, получим V ~
~ 200 см/сек, тогда как s ~ 105 см/сек.
Таким образом, мы должны рассмотреть процессы более вы-
высоких порядков. Простейшими из возможных являются следую-
следующие процессы второго порядка: столкновение двух экситонов с
поглощением (испусканием) одного фонона и рассеяние фонона
экситоном. Для определения вероятности этих процессов рас-
рассмотрим энергию взаимодействия между экситоном и колебаниями
решетки. Мы получим ее, разложив энергию экситона в ряд по
степеням тензора деформаций, соответствующего тепловым коле-
колебаниям решетки. Ограничиваясь линейными и квадратичными
членами, можно представить энергию взаимодействия в виде
где %i — амплитуда колебания решетки, которому соответствует
длина волны 2nkx. U и U" по порядку величины равны U либо
W, если расщепление ионного уровня, обусловленное взаимодей-
взаимодействием магнитного момента иона с электрическим полем решетки,
отсутствует (ср. Гайтлер и Теллер [1] и Валлер [3]).
Для дальнейшего необходимы матричные элементы Un. Мат-
Матричный элемент Uf}\ соответствующий переходу экситона из сос-
состояния с импульсом р в состояние с импульсом р' с одновремен-
одновременным поглощением фонона с импульсом I, равен
B)
где М — масса атома, N — общее число атомов в кристалле, рав-
равное Qa3 (Q — объем кристалла); Nt —число фононов с частотой
со. Матричный элемент U$\ отвечающий переходу экситона из
состояния с импульсом р в состояние с импульсом р', при кото-
котором поглощается фонон с импульсом f0 и испускается фонон с
импульсом 1, равен
Перейдем теперь к вычислению вероятностей интересующих
нас процессов. Определим прежде всего вероятность столкнове-
1 Здесь и в "дальнейшем 2лА, обозначает длину волны.
171

ния двух экситонов с импульсами р? и р2, в результате которого
поглощается фонон с импульсом f и экситоны приобретают им-
импульсы рх, р2. Очевидно, при этом
= 8Р1
Амплитуда вероятности этого процесса равна
o + epo - 8Pl - %-t J у MM
Здесь PFp^pV обозначает матричный элемент энергии взаимодей-
взаимодействия экситонов друг с другом, соответствующий переходу эк-
экситонов из состояний с импульсами р1 и р2 в состояния с импуль-
импульсами р{, Р2. Четыре слагаемых в D) отвечают четырем возмож-
возможным промежуточным состояниям. Первое слагаемое соответствует
тому случаю, когда сначала поглощается фонон первым эксито-
ном, а затем меняются импульсы экситонов. В третьем слагаемом,
напротив, сначала изменяются импульсы экситонов, а затем по-
поглощается фонон первым экситоном. Во втором и четвертом сла-
слагаемых первый и второй экситоны меняются ролями. Множи-
Множитель а3/й появляется из-за того, что взаимодействие между маг-
магнитными моментами ионов практически ограничивается только
соседними ионами.
Так как при низких температурах возбуждены фононы с
малыми частотами, то мы можем разложить матричные элементы
U$, PFp/^pV и энергию экситона ep+f в ряд по степеням /. Огра-
Ограничиваясь нулевыми членами разложения и используя закон
сохранения энергии, представим D) в виде
2'P2 TfV2WVr P^
Pi, p2 — u p2 vv Pi, p2 )•
Выражение в скобках не обращается в нуль и по порядку величи-
величины равно UW либо W2 (см. выше). Так как нас интересует только
порядок величин, то в дальнейшем мы будем повсюду вместо вы-
выражения в скобках писать просто UW. Вероятность рассматри-
172

ваемого процесса с учетом принципа Паули для экситонов может
быть записана в виде
X 6 (е о + е о + h(o — ePl — eP2). E)
Здесь пр обозначает число экситонов в состоянии с импульсом р.
Ради простоты мы выписали числа экситонов только для первого
из четырех слагаемых D).
Определим теперь вероятность рассеяния фонона экситоном.
Этот процесс состоит в столкновениц фонона с импульсом f и
экситона с импульсом р°; в результате экситон приобретает им-
импульс р и появляется фонон с импульсом f, причем р0 + f 0 =
= Р + f» еРо + ^о = sp + ^а>. Амплитуда вероятности рас-
рассматриваемого процесса определяется как линейным, так и квад-
квадратичным относительно ? членом в разложении Uft. На основании
формул B), C) она может быть представлена в виде
(
х
X
Mo
Приведя оба члена, стоящие в скобках в F), к одному знаме-
знаменателю и разложив затем матричные элементы и энергию эксито-
экситонов в ряд по степеням /, получим (ср. [4], формула D.8))
Ро
Здесь О означает порядок величины. О I —— J происходит от линей-
линейного члена в разложении матричных элементов; при этом произ-
производная dU/dp0 по порядку величины считается равной U/p0. Бо-
Более высокие степени в разложении, очевидно, не существенны.
Далее, в F) подразумевается суммирование по i и к. —г-^-— тен-
др\ dpi
зор обратных масс экситона, по порядку величины равный W (а/НJ.
Легко видеть, что второй из двух членов, входящих в квадрат-
квадратную скобку F), по порядку величины в s/Fpa3 больше первого.
Мы можем поэтому не рассматривать Д/? -^—^—. Сравним
173

теперь О \^^J h(^h(d и (р01 UJV | р). Отношение абсолютных
значений этих величин равно
с I ps
Таким образом, as определяется матричным элементом (р01 U$ | р).
Вероятность рассеяния фонона экситоном равна
X S (еРо + Йсоо — ер — Й(о), G)
причем здесь, так же как ив E), учтен принцип Паули для экси-
тонов. GРР заменено на U, что верно, конечно, только по порядку
величины.
§ 3. Энергия, передаваемая решеткой спинам
Перейдем к вычислению энергии, передаваемой в единицу
времени решеткой спиновой системе. Рассмотрим прежде всего
энергию, переходящую благодаря столкновениям двух эксито-
нов, которые приводят к поглощению или испусканию фонона.
Мы получим эту энергию (обозначим ее через GJ, просуммировав
вероятность столкновения E), предварительно умноженную на
Йсо, по всем возможным состояниям экситонов и фонона с импуль-
импульсами pj, Р2, р1? f и учитывая обратные переходы, при которых
испускается фонон
- A + Nt) nPlnP2 A - лро) A - пр0)] б (еро - еро +
+ Йсо — ePl — 8Р;) dtp0 drp0 drPl dxt. (8)
Здесь, так же как и в выражении E), для простоты учитывается
только первое из четырех возможных промежуточных состояний,
входящих в формулу D). Далее мы вынесли за знак интеграла
(UW) 2. Это соответствует замене матричных элементов, завися-
зависящих от энергии экситонов, их значениями в точке е = ц,, усред-
усредненными по углам, dtp обозначает -^dpxdpydpz, такой же смысл
имеет dxt.
Напишем теперь выражение для энергии, передаваемой ре-
решеткой спинам, обусловленной рассеянием фононов экситонами.
174

Обозначая эту энергию через Q2, имеем на основании G)
— A — /ip0) n^Nt (Nto + 1)] 6 (ePo + Йсоо — 8P — Йсо) йтРойтрйтГо. (9)
Полная энергия, передаваемая в единицу времени, равна Q =
Будем считать, что экситоны и фононы находятся порознь
в тепловом равновесии. Соответствующие им температуры обозна-
обозначим через Ts и Тг. Таким образом, мы полагаем функции распре-
распределения Ир и Nt равными
1 яг 1
Подставив эти распределения в формулы (8) и (9) и использо-
использовав закон сохранения энергии, получим
Q _ 2л (UWf
Vl""^ WF~
A - еНТ> *Г*) е *Т* б (epi + 8р - в - г -h^)dx dx dxpt dx,
Pi P2Pl P2
k~T»
gp—Iх
(e feTe
x M8p ~~6po)
(9')
Перейдем к новым переменным интегрирования — энергиям
экситонов ePlo, eP2o, ePl и углам в их импульсных пространствах.
Учитывая фермиевский характер функции распределения экси-
экситонов, мы возьмем якобиан перехода от переменных импульсов к
энергии и углам на границе фермиевского распределения. По
порядку величины этот якобиан равен
б-Функции могут быть уничтожены интегрированием по одно-
одному из углов. При этом интеграл (8') получит множителем величину
175

порядка —, а (9') JL @ — температура Дебая). Интегрирова-
ние по остальным углам мы заменяем умножением на 4я для каж-
каждого дифференциала. Это соответствует вынесению за знак интег-
интеграла U — усредненных значений матричных элементов Up*.
В формуле (8') введем в качестве переменных интегрирова-
интегрирования безразмерные величины
kTs
тогда Q1 представится в виде
A0)
причем интегрирование по |, т), ^ совершается в пределах (— оо,
+ оо), а по р @, + оо).
Перепишем теперь выражение для Q2, введя безразмерные пе-
переменные интегрирования
х -
кТ8 '
Х
(Ms2J \
(здесь а — Т 1Тг). Пределы интегрирования по z0 @, оо) и по
х0 и х (— оо, + оо ). Преобразуем несколько A1), введя вместо х0,
х, z0 новые переменные az0 = ?, а (х — х0 ) = г|, е** = г/. Ин-
Интегрирование по у производится немедленно; в результате полу-
получаем
W* (кТг)» Q ИС - ЛJ
^2 (м^J ixW (/сЭJ ) (е^ _ 1} {е1 _ 1} (eS-u _ 1} ' VIМ
причем интегрирование по | совершается в пределах @, оо) и по
т] в пределах (— оо, + оо).
Обозначим интегралы, входящие в A0) и A1), соответственно
через ?i(-^-) и?2(-^]. Тогда
176

Вычисление интегралов приводится в дополнении. Здесь мы
приведем приближенные формулы, определяющие qx (х) и q2 (х)
при малых и больших значениях аргумента:
20
при х<^1 ?i(#)=^r, ga(*)^2-6!
при х<^1 дг(х)^ 280A —х), q2{x)^96A — х). A4)
Сравнение Qx и Q2 при х <§: 1 дает
e
Если ^^0,l°,9^
)
.Таким образом, можно вовсе не учитывать (J.
§ 4. Время релаксации
Перейдем к определению времени выравнивания температур
решетки и спинов. Обозначая теплоемкости решетки и спинов
соответственно через С^и Cs, имеем
*« = —&, *. = ?. A5)
Легко видеть, что температуру спинов можно считать постоянной.
Действительно, в силу закона сохранения энергии
десь 0 — температура Дебая, Tq — температура вырождения
экситонов. В области температур rs^>5l/ fl31- температура
спинов практически постоянна. Если считать Тг = 0,1, 0 = 300°,
Го = 2-Ю*2, то мы получим Г8^>10-6. При начальной темпера-
температуре спинов 10~4 отношение теплоемкости спинов и решетки сос-
составляет около 106.
Подставив в A5) вместо Q выражаение для Qt и считая Ts по-
постоянным , получим
d Tj^ __ 20 / UW \2(/сГ8J / Г8\з / T8 \
Ж T7 ~ -~ зя2 V"i^ / "^^" \тГ) qi \Tf) •
Обозначая ^/Г^ через ^, имеем
rfa: 1
(x)
Отсюда ? = т0 \
(X) *
177

Нижний предел положен здесь равным нулю, так как началь-
начальная температура решетки значительно больше температуры спи-
спинов. При х ^ 1 интеграл логарифмически расходится. Поэтому
удобно представить его в следующем виде:
Здесь / (х) = хъдг (х), т = — -ут^у-т0 = gggp, t0 определяется ин-
интегралом
. I
__ I Г 1 1 1 , _ то / 1 , 1
0J
о
т
Интеграл, входящий в A7), при # ^ё 1 равен приближенно
Для значений х, близких к единице, мы можем пренебречь этим
интегралом по сравнению с логарифмическим членом. Поэтому
iA. A8)
Оценим величину т0. Считая \i ~ W ~ 0,02°, М ~ Ю2 г,
s ~ 3-Ю5 см/сек, 9 ~ 300°, Т8 ~ 10~4, получим т0 — 20 сея.
Время, по истечении которого разность 1 — х становится равной
0,01, составляет около 1 сек.
В заключение мы хотим выразить благодарность проф. Л. Лан-
Ландау за интерес к работе и важные указания.
Приложение
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
1. Ф у н к ци я qi(x)
Введем обозначение
qi (x) = \ / (р) еХр__1 ?Чр. B)
о
178

В A) легко выполнить интегрирование по ?. Введя далее вместо g и rj новые
переменные |, А, = g + л + Р» получим
Способ вычисления интегралов типа
Р (я) lns *d;r, D)
где Р {х) — рациональная функция х, достаточно быстро убывающая на бес-
бесконечности, и $ — целое число, состоит в следующем. Рассмотрим интеграл
\ Р (z) \nsJrlzdz по замкнутому контуру, охватывающему начало координат,
г
в котором вещественная положительная полуось проходится дважды в про-
противоположных направлениях.
По теореме Коши
§ Р (z) In8*1 z dz = 2zti 2 Res P (z) ln8+1z.
г
С другой стороны, так как In z при обходе точки z = 0 получает прираще-
приращение, равное 2jti, то
оо оо
^ Р (z) lns+1 z dz = § P (x) In8*1 xdx — ^P (x) (In x + 2jtOs+1 rfx + ^ ,
г о о R
где \ —интеграл по окружности большого радиуса i?, который по условию
R
стремится к нулю, если R —» сю. Итак,
) In8 д: dx = — 2ni ]g Res P (z)
+ Bnif *(^1} 5 P (x) In8-1 x cte +
0
Таким образом, мы можем последовательно вычислять интегралы типа D)
с 5 = О, 1, 2, ....
В интересующем наЬ случае функция Р (х) имеет полюсы на вещественной
оси; интегралы типа D)' порознь не существуют. Поэтому в качестве контура
интегрирования берется контур, указанный на рисунке.
12* 179

Учитывая, что на участках контура с"х и с In z отличается на 2ni от
значений In z на участках c'v c'v получим следующую формулу для / (р).
Ci+C2
(^ § P(z)\nzdz +
Ci+C2
Cl+C2
где Ф представляет собой сумму интегралов по контурам, охватывающим
Ci+C2
соответственно точки z—lnz=e p. В результате простых вычислений получим
Заметим, что / @) = 2/зя2. Если р -» оо, то / (р) ^ -g- .
Переходим к вычислению q\ (x). Так как 1 (р) может быть представлено в
виде простого ряда по степеням е~9, то дело сводится к вычислению интеграла
типа
Последний интеграл с заменой у = е~хр приводится к виду [51
1 г» 1 — ^ь ^
где
Таким образом,
— 1—8
(-D8
180

Для q\ (х) получаем следующее выражение:
n=l
-§-«** 2 W3) (т-) -
§
n=l
Для ж <^ 1
1 20
ИУб>A)
при х ^ 1
^1 (ж) с* 280 A - ж).
2. Функция #2 0е) определяется инегралом
оо оо
()^)() Т
—оо 0 *
Ограничимся определением д, (х) при хр> I и х ^ 1. Легко видеть, что
О 0 v ' '01
В первом интеграле разбиваем интервал интегрирования по т| на два интер-
интервала @, I) и (?, оо). Во втором вместо х\ вводим и = ? + г\
ог2 (оо) = \ с?^ \ —р du — \ dt \ ~~р du
4 V } J ^ J (е^ — 1) (еи — 1) J ^ .) (е^ — 1) (еи — 1)
oov /v ' о ov v
о ? о о
0 0 —оо v
оо оо оо оо
„ Р и* {и-W , ,
о о
181

При х ^ 1 qt (х) = A — х) /, где
-Физико-технический институт Получено
Академии наук УССР 14 января 1944 г.
•Физический институт им, П. Н. Лебедева
Л кадемии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. TF. Heitler, E. Teller. Proc. Roy. Soc, 1926, 155, 629.
2. Casimir. Physica, 1939, 6, 156.
3. Waller. Zs. f. Phys., 1932, 79, 370.
4. И. Померанчук. ЖЭТФ, 1941, 11, 226. (Собр. трудов, № 7).
5. Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, ГТТИ, 1934, ч. П4
стр. 39.

17
О ПАРАМАГНИТНОЙ ДИСПЕРСИИ
Совместно с А. И. Ахиезером
1. Парамагнитные диэлектрики могут обладать своеобразным
магнитным энергетическим спектром, обязанным своим проис-
происхождением обменному взаимодействию электронов и взаимодей-
взаимодействию магнитных моментов между собой и с электрическим полем
решетки [1, 2]. Магнитным возбужденным уровням соответству-
соответствуют отклонения от распределения магнитных моментов атомов,
решетки, характерного для основного состояния. Эти отклонения
не локализуются в определенном месте решетки, а распростра-
няются в кристалле в виде волн, которые мы будем называть маг-
нонами [2]. Магноны характеризуются квази-импульсом р, энер-
энергией е (р), магнитным моментом |л и спином s. Для малых возбуж-
возбуждений число магнонов невелико по сравнению с числом атомов, и
энергия возбуждения кристалла может быть представлена в виде
суммы энергий отдельных магнонов.
Если знать статистику, которой подчиняются элементарные
возбуждения — магноны, то можно найти магнитный момент кри-
кристалла как функцию внешнего магнитного поля и температуры.
Естественно предполагать [2], что магноны подчиняются статис-
статистике Ферми — Дирака. При этом находит простое объяснение тог
факт, что парамагнитная восприимчивость многих парамагнит-
парамагнитных диэлектриков в области низких температур перестает зависеть
от температуры [3]. Можно думать, что мы имеем здесь дело с пау-
левским парамагнетизмом, непосредственно связанным со стати-
статистикой Ферми — Дирака. Заметим кстати, что теплоемкость та-
таких парамагнетиков в области низких температур должна быть
пропорциональна температуре.
2. Если парамагнитный диэлектрик с магнонным спектром
находится в магнитном поле Н (t) — Н0 + Нгеш, причем пере-
переменная составляющая Нг параллельна постоянной составляющей
Но и много меньше последней, то при выполнении условий \хН0 <^
<^Т<^ е0 магнитный момент единицы объема диэлектрика может
быть представлен в виде
] е
#1 1 +
* ДАН СССР, 1952, 87, 917. (Представлено академиком Л. Д. Ландау И ок-
октября 1952 г.)
185

где Т — температура (выраженная в энергетических единицах);
е0 — граничная энергия (фермиевского распределения магнонов;
•а — по порядку величины постоянная решетки и соо — средняя
вероятность изменения ориентации спинов магнонов в единицу
времени.
Оценим величину со0. Изменение ориентации спинов магнонов
может происходить благодаря магнитному взаимодействию маг-
магнонов с электрическим полем решетки и с полем излучения. В об-
области низких температур наиболее важную роль играет магнит-
магнитное взаимодействие. Вероятность изменения ориентации спинов
магнонов с импульсами рх, р2, обязанного этому взаимодействию,
равна
2j
где U — матричный элемент перехода, равный по порядку вели-
величины U ~ |X2/Q; Q — нормировочный объем и п — фермиевская
функция распределения магнонов (множители 1 — п служат для
учета принципа Паули).
Считая импульс магнона по порядку величины равным h/a и
магнитный момент ~ еИ/2тс, получим по порядку величины
w , во / П \4/ «» \2/Г2ч2 ^тз
т h \ 2тса / V аео / V 8о У Н7 '
Если считать е0 ~ 30° К, а ~ 2,5-Ю"8 см, то
Заметим, что при Т <^ е0 cow не зависит от концентрации маг-
магнонов.
Вероятность процессов взаимодействия магнонов с электри-
электрическим полем решетки, приводящих к изменению ориентации
спинов магнонов, в частности процессов испускания и поглоще-
поглощения одного фонона, пропорциональна Ть и гораздо меньше wm.
Вероятность взаимодействия магнона с излучением может быть
оценена по формуле
р 2 е2 /ft© \2
Y ftcoc3 he \ me2 )
Считая Йсо ~ е0, найдем, что гоу <^ wm, если Т ^> 10 7 е0, и
что вероятности становятся по порядку величины одинаковыми
при Т ~ 10'7 е0.
Таким образом, основную роль играет магнитное взаимодей-
взаимодействие, и величина со0, определяющая парамагнитную дисперсию»
по порядку величины совпадает с wm
184

В заключение мы хотели бы отметить важность эксперимен-
экспериментального изучения парамагнетизма диэлектриков при низких тем-
температурах. Вместе с данными о теплоемкости таких диэлектри-
диэлектриков данные о парамагнитной восприимчивости и ее дисперсии мо-
могли бы быть использованы для проверки основных предположе-
предположений о характере энергетического спектра парамагнетиков.
Академия наук СССР Получено 30 сентября 1952 rv
ЛИТЕРАТУРА
1. Van Vleck. The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities, 1932.
2. И. Померанчук. ЖЭТФ, 1941, 11, 226. (Собр. трудов, № 7).
3. Б. Cabrera, Rep. Inst. Phys. Solvay, 1932, 6, 183.

Ill
БОЗЕ- И ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
18
О РАССЕЯНИИ НЕЙТРОНОВ
С ЭНЕРГИЕЙ НЕСКОЛЬКО ГРАДУСОВ
В ЖИДКОМ ГЕЛИИ II*
Совместно с А. Лхиезером
Рассматривается рассеяние медленных нейтронов в гелии И. Принято,
что спектр энергии гелия II имеет вид, даваемый теорией Ландау. Доказы-
Доказывается, что при температурах ниже, чем температура точки перехода, рас-
рассеяние ничтожно мало.
Гелий II представляет собой, как известно, единственный при-
пример квантовой жидкости. Характерные особенности его энерге-
энергетического спектра выяснены Л. Ландау в работе [1] о сверхтеку-
сверхтекучести гелия II. А. Алиханов поставил вопрос, как влияют особен-
особенности этого спектра на рассеяние нейтронов в гелии II. Ясно, что
связь ядер гелия II может играть существенную роль только при
рассеянии нейтронов, энергия которых не превосходит дебаев-
ской температуры гелия II, равной 15,5° К1. При больших энер-
тиях нейтронов рассеяние не будет отличаться от рассеяния сво-
свободными ядрами.
Вычислить вероятность рассеяния удается только для нейтро-
нейтронов, скорость которых меньше скорости звука в гелии II, что
соответствует энергиям, меньшим, чем 3,5° К. (В этом случае
энергия взаимодействия нейтрона с гелием имеет весьма простой
вид — она пропорциональна плотности гелия.) В промежуточ-
промежуточной области энергий, между 3,5 и 15,5° К, вычисления наталки-
наталкиваются на большие затруднения. Как видно из дальнейшего,
длина свободного пробега нейтронов в первой из указанных об-
¦ ЖЭТФ, 1946, 16, 391; J. Phys. USSR, 1945, 9, 461.
1 Это значение дебаевской температуры гелия II вычислено А. Мигдалом
(устное сообщение).
186

ластей энергии столь велика, что гелий II должен быть «прозрач-
«прозрачным» для таких нейтронов.
1. Мы будем пользоваться методом теории возмущений, счи-
считая энергию взаимодействия нейтронов с ядром гелия б-функцией
от расстояния между ними. Общая энергия взаимодействия ней-
нейтрона в гелии равна V = ^А6(т — R*), где гиК| — радиусы-век-
г
торы нейтрона и г-го ядра гелия II, А — постоянная, связан-
связанная с сечением упругого рассеяния нейтрона свободным ядром
гелия а0 соотношением
где m — масса нейтрона, Л/не — масса ядра гелия.
Рассмотрим тот случай, когда длина волны нейтрона X значи-
значительно превосходит среднее расстояние между ядрами гелия а.
В этих условиях суммирование в выражении для V может быть
заменено интегрированием
где р (R) — плотность гелия в точке R. Последняя формула спра-
справедлива, если
h
где v — скорость нейтрона. Для гелия это требование эквива-
эквивалентно условию у<^5, где $ — скорость звука в гелии II (s ~
~ 240 м/сек). Энергия нейтрона Е при этом меньше 3,5° К.
2. Энергетический спектр гелия, согласно теории Л. Д. Лан-
Ландау, складывается из фононной и ротонной частей. Рассмот-
Рассмотрим прежде всего взаимодействия нейтрона с фононным спект-
спектром.
Представив плотность гелия р (г) и скорость его v (г) в виде
где ро~ — плотность в отсутствие фононов, f — импульс фонона
частоты ф/ = sflh и Q — объем, занимаемый гелием, легко най-
найдем, пользуясь установленными [1] соотношениями коммутации
187

между р и v, следующие соотношения между компонентами
Фурье ру, р,*, V/
справедливые в отсутствие ротонов (rot v = 0). Если считать, что
гамильтониан единицы объема гелия имеет вид у vpv + ре (р) (е—
энергия единицы массы), то с точностью до кубических в ру чле-
членов общий гамильтониан гелия будет
р/*ру) = 2 (
где П/ — число фононов с импульсом /. Отличные от нуля матрич-
матричные элементы компонент Фурье р/ и р/ равны:
(р,)»/, п, + 1 = У^
Пользуясь этими формулами, легко написать матричные эле-
элементы энергии возмущения нейтрона, отвечающие эмиссии и по-
поглощению одного фонона f и переходу нейтрона из состояния с им-
импульсом р0 в состояние с импульсом р:
{матричный элемент поглощения фонона имеет аналогичный вид).
Мы видим, что матричные элементы энергии возмущения ней-
нейтрона, отвечающие неизменному числу фононов, равны нулю.
Это значит, что, учитывая взаимодействие нейтрона только с фо-
лонным спектром, мы не получим обычного упругого рассеяния
нейтрона (при v < s).
При v < s невозможен процесс испускания фонона нейтроном;
поглощение возможно, но энергия фонона должна превосходить,
как легко видеть, 2rns2 fl j ^14°. Отсюда следует, что инте-
интересующее нас рассеяние нейтронов есть эффект второго прибли-
приближения теории возмущений. Вероятность, содержащая Fp^+i во
второй степени и пропорциональная квадрату ядерного сечения
<т0, крайне мала. Поэтому необходимо ввести в рассмотрение ан-
ангармоничность в гелии П.
Достаточно ограничиться при этом членами, содержащими pf и
vt в третьей степени. Эти члены содержатся как в потенциальной
188

энергии ре (р), так и в кинетической энергии у vpv. Нас будет
интересовать порядок величины, поэтому мы рассмотрим ангар-
ангармоничность только в потенциальной энергии, имеющую вид
t\H = — ( -=—— ) 2 Р# Р# Рр •
Задача состоит в определении вероятности перехода нейтрона
из состояния с импульсом р0 в состояние с импульсом р = Ро —
— f3, при котором поглощается фонон ix и испускается фонон!2.
Возможны два промежуточных состояния I и II: О = —» р0>
7i1? n2, щ; I = р0 — f3, n1? п2, п3 + 1; II == р0, щ — 1, п2 + 1,
п3 — 1; F ^ р0 — f3, nt — 1, щ + 1, п3.
Матричный элемент перехода равен
р2 A d s2
где В^^^г ~]jj— "^г ~т~ • Замечая, что знаменатель в Vof pa-
вен приближенно — s/3, представим вероятность рассеяния в
виде
оо
А — #2 С 1 /i | 1 \fdA2r2j^P2dpd0
/min
где сЮ — элемент телесного угла р, б = е0 — е, q = р0 — р,
, 1 / б \ 1 -л- ^ о
/min = -Q-tf —-о-#. Легко видеть, что можно пренебречь о
Вероятность dw; приобретает вид
где
ОО
/» ЛХ
их.
I (eax - I)
При a ;> 1 F {a) ~ (l/a)ea, при a << 1 F (a) ~ 24a. Отсюда
видно, что наиболее важную роль играют д, для которых q ^
^ kT/s, что соответствует углам рассеяния
189

Интегрируя по углам I dO = 2я-^-М и конечному импульсу
нейтрона, найдем полную вероятность рассеяния нейтрона фоно-
нами
Соответствующая длина свободного пробега нейтрона равна
приближенно
где п — число ядер гелия в см3,10п = 1/а0 (коэффициент 3 прибли-
приближенно учитывает также ангармоничность, обусловленную кине-
кинетической энергией; интересуясь порядком величины, мы не учи-
учитываем зависимость s от р).
При Т = 1° получаем
Що = 10е (u/s) (Zo —10 см, п ~ 2,3 • 1022 смТ*).
3. Рассмотрим теперь взаимодействие нейтрона с ротонным
спектром. Нам необходимо определить изменение плотности гелия
в месте нахождения нейтрона, обусловленное наличием ро-
ротонов.
Энергия возмущения нейтрона пропорциональна, как было по-
показано выше, этому изменению. Предположим сперва для про-
простоты, что в гелии имеется только один ротон. Как показано [1],
энергия ротона равна
8 = + Д
где А — величина энергетического зазора между наинизшими
значениями уровней ротонного и фотонного спектров, \i — масса
ротона и рг — его импульс; А ~ 8—9° К, \i ~ 7—8Л/"не [см. ра-
работу [1], формула C.8)]. При малых рг энергия ротона сводится к А;
эта величина зависит от давления Р, причем производная dA/dP
определяет, очевидно, разность между значениями объема гелия
в отсутствие ротона и после его возникновения. Иными словами,
возникновение ротона приводит к изменению объема, приходя-
приходящегося на гелий, и соответственно к изменению плотности гелия
на величину po-gp-б (г — Rr), где Rr — радиус-вектор ротона. Та-
Таким образом, энергию взаимодействия нейтрона с ротоном сле-
следует брать в виде
Легко видеть, что испускание ротонов нейтроном невозможно. Мы
имеем дело, следовательно, с рассеянием нейтрона ротоном таким
190

же, как рассеяние нейтрона свободным ядром. Полная вероят-
вероятность такого рассеяния равна
А ад\г 1
Общее число ротонов Nr равно
Длина свободного пробега нейтрона, обусловленного взаимодей-
взаимодействием с ротонным спектром, будет
но дР
Для оценки величины положим9o~jp г> тогда 1Г11О-—sT~*heSIT.
При Т = Г получаем lr/l0 ~ 1,5-104, при Т = 2° имеем Zr//0 —
-3-Ю2.
Таким образом, при Г> 1° длина пробега 1Г меньше lt. Од-
Однако обе длины столь велики, что гелий, как указывалось выше,
«прозрачен» для рассматриваемых нейтронов.
Физико-технический институт Получено 28 февраля 1945 г.
Академии наук Украинской ССР
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. L. Landau. J. Phys. USSR, 1941, 5, 71.

19
О ДВИЖЕНИИ ПОСТОРОННИХ ЧАСТИЦ
В ГЕЛИИ II*
Совместно с Л. Д. Ландау
В последнее время было высказано предположение, что имею-
имеющийся в гелии в небольшом количестве A0~6 — 10~7) изотоп ге-
гелия с массой 3 не участвует в сверхтекучем движении гелия
II [1].
Цель настоящей заметки показать, что любые посторонние атомы
или молекулы (включая изотопы гелия Не3 и Не6, а также и элект-
электроны, попавшие извне в массу гелия II), когда их концентрация
мала, не могут участвовать в сверхтекучем движении.
Рассмотрим для доказательства энергетический спектр гелия
II, содержащего малое количество посторонних атомов. При этом
можно не учитывать взаимодействия посторонних атомов друг с
другом и рассматривать только их взаимодействие с атомами ос-
основного изотопа гелия. Получаемый таким образом энергетиче-
энергетический спектр содержит в себе, кроме фононного и ротонного спект-
спектра чистого гелия II [2, 3], дополнительные энергетические уровни,
обязанные наличию посторонних атомов. Каждый такой атом не
может находиться в определенном месте жидкого гелия II, а дол-
должен будет, подобно электронам в металлах, двигаться через весь
гелий II (существование локальных уровней в кристаллах связано с
квазиклассичностью кристаллической решетки, которая не имеет
места в гелии II).
Движению каждого постороннего атома через гелий сопостав-
сопоставляется определенный вектор импульса, от которого непрерывным
образом зависит энергия. Мы получаем непрерывный энергетиче-
энергетический спектр, характеризуемый для каждого сорта посторонних
атомов определенной зависимостью энергии от импульса.
Эта зависимость может быть различна для различных сортов
атомов.
Наинизшему энергетическому состоянию может соответствовать
либо импульс Р, равный нулю, либо имеющий некоторое конеч-
конечное значение Ро. Разлагая энергию в ряд по степеням Р — Ро,
вблизи минимума энергии получаем
* ДАН СССР, 1948, 59, 669.
192

Здесь \i — эффективная масса, как правило равная по поряд*
ку величины массе постороннего атома, исключая электрон, для
которого эффективная масса может быть значительно больше
электронной.
Если Ро = О, то вместо A) мы имеем е — е0 + P2/2\i.
При малых Р разложение энергии в ряд по степеням импульса
начинается с квадратичного члена, а не с линейного, как в случае
фононов.
Как известно, наличие линейного члена в случае фононов выз-
вызвано специальными причинами, не имеющими места при рассмат-
рассматриваемых сейчас условиях.
В силу законов сохранения импульса и энергии, возбуждение
фононов посторонним атомом с энергией A) становится невозмож-
ным, как только скорость атома (Р — Ро) I \л оказывается мень-
меньшей, чем скорость звука. Что касается возбуждения ротонов, то
оно требует энергии, большей чем А = 9,6° К [3]. Когда екорость
атома меньше определенной скорости, зависящей от приведенной
массы, возбуждение ротонов невозможно. В случае Не3 эта кри-
критическая скорость оказывается порядка скорости звука. Таким об"
разом, практически все посторонние атомы, двигающиеся со ско-
скоростью меньше некоторой критической скорости, не могут пере-
передавать свою энергию сверхтекучей части гелия II. Пробег таких
атомов определяется их столкновениями с фононами и рото-
ротонами.
При не очень низких температурах вероятность столкновения с
фононами меньше, чем с ротонами, так как ротонное сечение—по-
сечение—порядка атомных сечений, а фононное сечение мало ввиду большой
длины волны фононов, имеющихся в гелии II (рассеяние фононов
примесями пропорционально четвертой степени частоты). Благо-
Благодаря столкновениям с фононами и ротонами атомы примеси будут
двигаться вместе с нормальной частью гелия II и не смогут участ-
участвовать в сверхтекучем движении. Таким образом, в нормальную
часть гелия II, кроме массы, связанной с ротонами и фононами, бу-
будет входить также дополнительная масса, обязанная посторон-
посторонним атомам. Величина этой массы, содержащейся в 1 см3, равна
пР\ I ЗкТ (п — число атомов примеси, заключенных в 1 см3).
Если Ро = 0, то дополнительная масса равна п\х.
Так как Не3 должен двигаться с нормальной частью гелия II,
то при сверхтекучем вытекании гелия Не3 должен будет оставать-
оставаться в исходном сосуде. Именно такой результат был получен недав-
недавно Доунтом и др. [4], которые смогли уменьшить концентрацию Не3
в вытекающей сверхтекучим образом массе Не II в 50 раз. При
этом неучастие Не3 в сверхтекучем движении Доунт и др. пытают-
пытаются связать с вопросом о свойстве сверхтекучести чистого Не3.
Однако, согласно вышеизложенным теоретическим соображениям,
вопрос о том, сверхтекуч или не сверхтекуч чистый Не3, не имеет
7 И. Я. Померанчук, т. I 193

никакого отношения к его неучастию в сверхтекучем движении
Не П. Лю5ые посторонние атомы, содержащиеся в Не II, не будут
участвовать в сверхтекучем движении Не П. В частности, это от-
относится и к Не6, хотя сам по себе Не6, возможно, обладает свойст-
свойством сверхтекучести.
Академия наук СССР Получено 12 декабря 1947 г#
ЛИТЕРАТУРА
1. J.Frank. Phys. Rev., 1946, 70, 561.
2. Л. Ландау. ЖЭТФ, 1941, 11, 592.
3. L. Landau. J. of Fhys., 1947, И, 91.
4. J.G. Daunt et al. Phys. Rev., 1947, 72, 502.

20
ВЛИЯНИЕ ПРИМЕСЕЙ
НА ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
И СКОРОСТЬ ВТОРОГО ЗВУКА В ГЕЛИИ II *
Примеси, содержащиеся в гелии II, входят в его нормальную часть. Так
как нормальная часть гелия II, обязанная фононам и ротонам, быстро падает
С понижением температуры, а вклад примесей в нормальную часть с пониже-
понижением температуры не уменьшается (или даже растет), то малые содержания
примесей вызывают большие изменения термодинамических свойств гелия II,
а также скорости второго звука.
В § 1 определяются условия применимости классической статистики к
описанию поведения примесей. В § 2 вычислен вклад примесей в нормальную
плотность, энтропию и теплоемкость. В § 3 установлена система гидродина-
гидродинамических уравнений, описывающих: слабые растворы и учитывающих осмо-
осмотическое давление примесей. В § 4 найдено выражение для скорости второго
звука и2 в присутствии примесей. Показано падение и2 до очень малых зна-
значений при Т —> 0, в отличие от чистого гелия II, в котором и2 —» а/ 1^3, когда
Т —* 0. В § 5 определено и2 в том случае, когда примесный газ полностью
вырожден (квантовый раствор).
Как было указано в [1], растворенные в гелии II любые посто-
посторонние частицы (в том числе атомы Не3 и Не6) не участвуют в сверх-
сверхтекучем движении и входят в нормальную часть гелия П. Таким
образом, нормальная плотность рп в случае слабых растворов име-
имеет вид: рп= Pno + Pnii гДе Рпо ~~ нормальная плотность, связанная
с тепловыми возбуждениями чистого гелия II (фононы и ротоны)
[2, 3], pni — нормальная плотность, обязанная примесям. Про-
Простое сложение рп0 и рп* может иметь место только в слабых раство-
растворах посторонних веществ. В дальнейшем мы будем все время счи-
считать концентрацию примесей 8 малой по сравнению с единицей.
Так как рп0 быстро падает с понижением температуры [2], а рп{
либо стремится к постоянному пределу (9а), либо даже растет с по-
понижением температуры (96), то при достаточно низких температу-
температурах pni становится сравнимым с рп0. Начиная примерно с этих
температур, все термодинамические функции гелия II (энергия,
теплоемкость, энтропия, нормальная плотность и т. д.) будут оп-
определяться примесями и показывать зависимость от температуры,
отличную от той, которая существует в чистом гелии II. Так как
* ЖЭТФ, 1949, 19, 42.
7* 195

pn0 мало при низких температурах, то даже малые количества при-
примесей оказывают аномально большое влияние на рп. Те же пример-
примерно условия имеют место при рассмотрении изменений теплоемко-
теплоемкости и энтропии, производимых примесями. В дальнейшем мы рас-
рассмотрим влияние примесей на свойства гелия II, основываясь на
теории гелия II, развитой Ландау [2,3]. Мы будем также считать,
что с понижением температуры примеси не выпадают из раствора.
§ 1. Условия, при которых примеси можно описывать
с помощью классической статистики
Частицы примеси распределяются по уровням своего индиви-
индивидуального трансляционного движения [1] в соответствии с распре-
распределением Максвелла — Больцмана до таких низких температур,
при которых существенны либо явления квантового вырождения
«примесного газа», либо взаимодействие частиц примеси друг с
другом. Отклонение от классической статистики наступает при
температурах, которые сильно зависят от характера энергетичес-
энергетического спектра частиц примеси. Этот спектр определяется зависи-
зависимостью энергии частицы примеси Е от ее импульса/? [1]. Логически
возможны два случая: либо минимуму энергии соответствует им-
импульс, равный нулю, либо не равный нулю. Вблизи минимума
энергии мы имеем
Е = Е0 + p2/2fx, (la)
E=EQ-{p-pofl2\i, A6)
где \i — эффективная масса.
В первом случае квантовое вырождение наступает при темпера-
температурах, определяющихся из обычных соотношений. Если спин при-
примесей s полуцелый, то температура вырождения То равна
В случае примесей с целым спином [4]
Т
где п0 = р/пг — число атомов чистого гелия в 1 см3, m — масса
атома Не4.
Сравним Bа) и (За) с температурами, при которых играет роль
взаимодействие атомов примеси друг с другом. Энергия взаимодей-
взаимодействия атомов примеси порядка С/е, где U — характеристическая
энергия, зависящая от рода примесей. Если примесями являются
изотопы Не3 или Не4, или атомы благородных газов, слабо взаи-
взаимодействующих друг с другом, то U — порядка нескольких гра-
градусов. В этих условиях вырождение начинается раньше, чем взаи-
196

модействие: kT0/Ue ~ е/» ;> 1. Если 8 < 10, то То < 0,2°.
В дальнейшем мы будем всюду, за исключением § 5, считать, что
Т ^> То и соответственно пользоваться классической статистикой.
Рассмотрим теперь условия применимости классической ста-
статистики в том случае, когда минимуму энергии отвечает р0 =/= 0.
Если спин частиц примеси полуцелый, то температура вырожде-
вырождения определяется из уравнений, описывающих полностью вырож-
вырожденный ферми-дираковский газ с р0 =f= 0:
кТ0 = (,\р)*/2|х, B5 + 1) р2Лр/2я2/*3 = пог,
кТ0 = 2я* (й^/рб) {Р2/[Х) 82/Bs + 1J Bб)
В отличие от Bа) температура вырождения при р0 =/= 0 оказывает-
оказывается пропорциональной е2, а не г21\ Так как энергия взаимодей-
взаимодействия примесей пропорциональна 8, то пределы применимости
классической статистики определяются взаимодействием приме-
примесей. Пользование классической статистикой при р0 =f= 0 и полуце-
полуцелом спине законно вплоть до температур порядка Us I к. Полагая
U/к ~1-ьЮ° D)
(случай Не3 и Не6), получаем То ^> A ч- 10)е. Если 8 < 10~2,
То должно быть больше 0,1°.
Если спин целый, то переход к распределению Бозе — Эйн-
Эйнштейна осуществляется при температурах того же порядка, что и
B6). Следует отметить, что при р0 =f= 0 бозе-эйнштейновская кон-
конденсация не имеет места. Для доказательства этого рассмотрим
общее соотношение, связывающее химический потенциал ?, тем-
температуру и число частиц в 1 см3:
2я2й» ^ exp [(E - О/к Г] - 1 "ос"
Подставляя сюда A6), вводя акТ = — ? + /?0 > О и вынося
под зв
25+1
р2 ^^ р02 из-под знака интеграла, получаем
0 J ехр
Вводим переменную х = (р — ро)/У2\хкТ:
С dx __ 2я2 Wno |/ Рр
3 ^+-2_1 ~82, + 1 рз |/ 2^Т •
^о
Правая сторона в E) порядка 10е (р1/2[1кТ)л/\ так как pi
Если We (pll2\ikT)lf* <^1, то а^1 и осуществляется переход
197

к классической статистике. Вырождение осуществляется при
а ^ 1, т. е. при Т — Го, где
кТ0 ~ 2eWh*nl/p*oli Bs + If. C6)
Как и следовало ожидать, (За) и C6) одинакового порядка.
Рассмотрим сильно вырожденный газ с pQ =f= О и целым спи-
спином. В этом случае правая сторона в E) велика по сравнению с еди-
единицей. Поэтому а<^1 и значения х, играющие главную роль в
интеграле левой стороны E), малы по сравнению с единицей. Тог-
Тогда этот интеграл сводится к интегралу от 1/(а + х2), и мы по-
получим
а = B5 + IJ p*Q\ikT/27i4i«nle2 ~ [лкТ/р^. F)
При любой, сколько угодно малой, но конечной температуре су-
существует а, определяемое F), и не происходит конденсации в им-
импульсном пространстве. На самом деле, однако, так же как и в
случае полуцелого спина, классическая статистика перестает быть
применимой при температурах порядка Ue/k (те же условия, что
и в случае полуцелого спина).
Резюмируя этот параграф, можно утверждать, что при е^Ю
иГ> 0,2° можно описывать примеси с помощью классической
статистики.
§ 2. Термодинамические функции
в классической области
Вклад примесей в нормальную плотность определяется интегра-
интегралом [2]
1. Нормальная плотность
[ в нормальную плотность oпpeдeJ
Vpni=-lp(df/dE)(pV)dp. G)
Если р0 = 0, то
f/2/^T (8)
Подстановка (8) в G) дает
Рпг = Щьр = рщ!т. (9а)
Таким образом, при р0 = 0 рП| стремится при Т= 0 к постоянному
пределу, пропорциональному е. При р0 =f= 0 / равно
Аналогично разобранному ранее случаю ротонов в чистом гелии II
[3] получаем
Рт = (pl/SkT) пог (pi> (хАГ). (96)
198

Случай р0ф0 замечателен возрастанием pni с уменьшением'
температуры. Это возрастание прекращается при Т—• Us I к.
Предельное значение рп$, достигаемое при этой температуре, равно
пот = р.
A1)
Поразительно, что pni достигает при температуре Us I к значения,
не зависящего от 8 и равного по порядку величины полной плот-
плотности гелия II. Чем меньше концентрация примесей, тем при мень-
меньшей температуре рп\ оказывается порядка р. Сильное возрастание
pni при Т ->• Us I к объясняется тем, что состояния, близкие к
р0, имея импульс, обладают малой скоростью, стремящейся
к нулю, когда р —>¦ р0. Следовательно, p/v, являющееся мерилом
эффективной массы, стремится к бесконечности, когда р ->- р0.
Л так как при Т ->- 0 примеси располагаются на уровнях, прибли-
приближающихся к р0, то pni увеличивается. При Т — Ue I к взаимодей-
взаимодействие между примесями с р =f= 0 оказывается настолько большим
15], что весь спектр перестраивается, и вместо индивидуальных
движений отдельных растворенных частиц возникают коллектив-
коллективные движения всех взаимодействующих частиц.
Таблица 1
Ро = 0
1,51-10-'
2,5-10-6
2,5-10-5
1,4-10-*
6,65-Ю-4
2,22-«Г8
6.10-3
Ро
2
6
3,3
1,2
4
Температуры
10-8
ю-8
• Ю
•10-5
-ю-*
• ю-*
т
о,
о,
0,
о,
о,
о,
1
при
о
2
4
6
7
8
9
которых pni
г
Ро = 0
1,36-10-2
2,72-10-2
4,87-10-2
7,8-10-2
1
1
2
Рпо
I
Ро = РОг
9-10-*
2-10-3
4-Ю-з
7-10
,М0
,7-10-2
,5-10-2
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
Полная нормальная плотность в присутствии примесей может
быть теперь записана следующим образом (A), (9а), (96) в 12, 3]):
A2а)
A26)
\ir, pori Ar — постоянные, характеризующие ротоны в чистом ге-
гелии II, с — скорость звука. При достаточно низких температурах
199

добавочная нормальная плотность, происходящая от примесей,
оказывается значительно большей, чем рп0.
В табл. 1 приведены температуры, при которых pni равно рпОт
если считать \х порядка массы Не4 (случай Не3 или Не6) иро=рОг =
= 2,МО9.
Если температуры, при которых pni и рп0 оказываются равными,
лежат ниже 0,6°, то, рассматривая только фононную часть рпОг
получаем следующее выражение для температуры, при которой
pni равно рп0 (при Т < 0,6° вклад ротонов в р7г0 не существен):
Т = DЪпо\лП,*съ/2пЧА)у*ги (р0 - 0), A3а)
Т = D5rc0p^3rV6tt2u5)V/5 (р0 ф 0). A36)
Если температуры, при которых pni и рп0 сравниваются, ле-
лежат выше0,6°, то, пренебрегая фононной частью рп0, находим вме-
вместо A3а) и A36) (выше 0,6° рп0 определяется ротонами):
kT
Подставляя сюда значенке ротонных постоянных [3]
Ar/k = 9,6°, \ir - 0,77/и, рог/А = 2-Ю8
и полагая р0 = рОг, [х = рг, приводим соотношения A4а), A46)
к следующему виду:
Т = 9,6/D,8 - In е — V21* Г) (р0 = 0), A5а)
r-9,6/(l,8 + V2lnr-lne) (Po^O) A56)
(Г в градусах).
Из табл. 1 и формул A3а), A36), A5а), A56) видно, что при
одинаковом значении е pni больше в том случае, когда р0 =f= 0.
Температура, при которой pni равно рл0, слабо зависит от е.
При е > 2,5-10~5 (р0 = 0) фононная часть рГ@ никогда не играет
роли. В этом случае при температурах, больших чем A5а), рп
совпадает с ротонной частью рп0, а при меньших температурах рп =
— pni. Если р0 =/= 0, то фононная часть р„0 перестает играть какую
бы то ни было роль при еще меньших значениях е.
2. Энтропия
Используя формулы для энтропии и свободной энергии слабых
растворов [6] и идеального одноатомного газа [7], получаем при
р0 = 0 следующее выражение для энтропии 1 г гелия, содержа-
200

щего примеси:
где So — энтропия чистого гелия; и0 — объем, приходящийся
на 1 атом гелия, R — газовая постоянная. Полагая \i равным
массе Не4, приводим A6а) к виду
S = tf0 + (#е/4) In A,5Г3/7е). A7а)
В табл. 2 приведены температуры, при которых S — So равно
So для различных значений е.
В случае, когда po=f=--O, для определения S выпишем сначала
свободную энергию [3]
2J '
A66)
_
0
Полагая здесь /?0 и (г равными их значению для ротонов и s = \'2)
имеем
S = So + (вД/4) In C0 |/Т/е). A76)
Таблица 2
Температуры, при которых S — So =
e
Po = 0
10-4
l,8-10-4
З.Ю-4
5-10-4
Ю-3
2-10-3
4.IO-3
Po = POr
5.Ю-5
9.IO-5
l,6-10-4
З.Ю-4
6,5-10-4
1,3-10-3
2,6-Ю-з
T
0,
0,
0,
o,
1,
1
1
6
7
8
9
0
1
2
Po:
7.
1,2-
2.
3,2-
4,5-
6,5-
= 0
Ю-3
Ю-2
Ю-2
Ю-2
Ю-2
Ю-2
?
\
4
8
1
2
3
,8-
A-
,4
2
,7
,7
Ю-3
IO-3
Ю-2
•10-2
Ю-2
Ю-2
rpo
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
Из табл. 2 и A7а), A76) следует, что влияние примесей на энт-
энтропию гелия начинает сказываться при температурах, больших,
чем те температуры, при которых примеси заметно меняют нор-
нормальную плотность [табл. 1, A5а), A56)]. С понижением темпера-
температуры сперва сказывается действие примесей на энтропию, и толь-
201

ко при более низких температурах примеси оказывают действие
на рп. Влияние примесей на энтропию больше в том случае, когда
р0 ф О и по порядку величины равно р0 для ротонов. Однако раз-
разница между действием двух родов примесей на энтропию меньше,
чем в их действии на рп, где также более сильное влияние оказа-
оказалось в случае р0 ф 0. Если е > 10~3, то при Т < 1° энтропия ге-
гелия определяется почти полностью примесями.
3. Теплоемкость
Теплоемкость 1 г гелия, содержащего примеси с р0 = 0, име-
имеет вид
С = Со + 3 Де/8; A8а)
Со — теплоемкость чистого гелия.
Если р0 ф 0, то
С = Со + Re I 8. A86)
Влияние примесей на теплоемкость оказывается более слабым,
чем на энтропию или на нормальную плотность.
§ 3. Система гидродинамических уравнений гелия II,
содержащего примеси
Уравнения движения гелия в присутствии примесей несколько
отличаются от уравнений для чистого гелия. Эти отличия связа-
связаны с сохранением при движении количества растворенных частиц
и с возникновением осмотического давления примесей (экспери-
(экспериментально осмотическое давление было обнаружено Даунтом и
др. [8]).
Сохранение количества растворенных частиц, учитывая, что
примеси входят в нормальную часть гелия II, приводит к урав-
уравнению
д (pe)/dt + div pevn = 0, A9)
где vn — скорость нормальной части гелия II. Соотношения [21
j = Psvs + Pnvn, Р = Ps + Рп»
др/dt + divj = 0, dj\/dt = - dUik/dxK, B0)
UiK = PSiK + pnVniVnli + psl^sfc
сохраняются и при наличии примесей (обозначения те же, что и в
[21; Р — давление).
Изменяется уравнение движения сверхтекучей части гелия II,
в котором должно быть учтено осмотическое давление примесей.
Как указано в [2], dvs I dt удовлетворяет уравнению
202

Здесь Ф — термодинамический потенциал единицы массы. Вве-
Введя вместо Ф химический потенциал ?: Ф = XJrn и пользуясь вы-
выражением для ? растворителя в слабых растворах: ? = ?0 — /Г
получаем
Последний член в B1) ответствен за осмотическое давление.
Уравнения A9), B0) и B1) составляют полную систему гидроди-
гидродинамических уравнений гелия II, содержащего примеси.
Из B1) в состоянии равновесия, когда vs = vn = 0, нахо-
находим
Фо — ЕкТ/т = const, — SodT + VdP — (к/т) Д (еТ) = 0.
Если Р постоянно, то
— S0^T = (k/m)^(гT). B2)
При малых е достаточно ничтожных изменений температуры,
для того чтобы вызвать большие неоднородности в распределении
концентрации. Если е = 10~6 (концентрация Не3 в обычном ге-
гелии), то Де — е при температуре в 1,8°, когда Д Т = 10~5°. Поэтому,
если в гелии II где-нибудь имеется место, охлажденное на 10~4 —
10~5°, то при Т—1—2° в этом месте соберутся все примеси, со-
содержащиеся в концентрации порядка 10~6.
§ 4. Второй звук в гелии II, содержащем примеси
Так как скорость второго звука и2 в чистом гелии, равная [2]
E2Гр8 / Cpn)xf*, определяется такими величинами, которые силь-
сильно меняются под действием примесей E, рп, С), то можно ожидать,
**то в слабых растворах скорость второго звука будет сильно от-
отличаться от ее значения в чистом гелии, если рассматривать до-
достаточно низкие температуры. Было бы, однако, неправильно поль-
пользоваться в присутствии примесей выражением для и22 в виде
TS2ps/Cpn, так как примеси меняют систему гидродинамических
уравнений (§3). Поэтому для нахождения и2 мы рассмотрим ли-
линеаризованную систему уравнений, получающуюся из A9), B0)
и B1) отбрасыванием всех малых величин второго порядка. При
этом, как обычно, считаются малыми скорости vs и vn и откло-
отклонения всех величин от их равновесных значений:
S = SQ + S', р = р0 + р', Т = То + Г, Р = Р0 + Р\
е = 80 + 8'. B3)
Равновесные значения снабжаются индексом нуль. Но в тех слу-
случаях, когда это не будет вызывать недоразумений, мы будем опу-
опускать этот индекс.
203

Линеаризованная система уравнений, определяющая распро-
распространение первого и второго звука, имеет вид:
dp's /at + dp'jdt + Pn0 div vn + Ps9 div vs = o, B4)
podS'/dt + Sodp'/dt + Sopo div vn = 0, B5)
pode'/dt + eodp'/dt + poeo div vn = 0, B6)
Pno# vjdt + psOdvs/dt = - VP\ B7)
dvjdt = — VO0 — {k/m) (eovT' + roVe'). B8)
Из B4) и B5) получаем
d2p/dt* = ДР. B9)
Для градиента Ф имеем:
^Фо = - SodT + Р dp, VO' = - S0VT' + p^VP'.
Подставляем VP' из этого соотношения в B7)
pnodvjdt + p^dvjdt = - Po^oVr + р0УФ'; C0
используем B8):
div (vn - v.) = - (Р/Р„) S0AT - (kp/mpn)(TAs+
Из B4) и B5) получаем:
^'Po = — p\ — 5oPo div vn = — psS0 div (vn — v8),
div (vn — vs) = — ^'p/50ps.
C1) и C2) дают
S = (p,/Pn) ^^оЛТ1 + EЛр,/1ирп) (еАГ + ГДе). C3)
Соотношения B5) и B6) устанавливают связь между е' и S':
div vn = - ё'/е - р'/р = - <Ь"/^ - Р'/Р,
C4)
e'/B=S'/S, b' = (bo/So)S'.
Преобразовываем C3) с помощью C4)
$ = (Р8/Рп) 5 E0 + Ае/то) ЛГ + (р,/рп) (АвГ/m) Де. C5)
204

Выражаем теперь S' через Т', Р' и е', используя C4),
S -\dTJpJ +)Р +{
^-\ Р'4-(
дР )y +
Исключаем S' из B9) и C5)
^Г7 +?Р +"аГ
Пользуясь A6а) и A66), преобразовываем C7) и C8) к сле-
следующему виду:
dS rj, , ^ р Ps Г/с , *e\2 kTe dSl Ps
dSl Ps
C9)
Г ар , ар а? в 1 ^ , г ар ар а? е п у>_Ар
L ат "^ а дГ ^+Z/J ^ "т" [ дР ^ дв дР S0 + ke/m] ~~ *
L
D0)
Полагая
Г' = А№ <*-"% Р' = Be* (x~ut\ D1)
получаем квадратное уравнение для и2, корни которого дают ско-
скорости первого и второго звука. Получаемое таким образом выра-
выражение довольно громоздко. Однако уравнения могут быть сильно
упрощены, если мы пренебрежем изменением плотности и дав-
давления при распространении второго звука и изменением темпера-
температуры при распространении первого звука.
Заметим, что те же пренебрежения делаются и при рассмотре-
рассмотрении распространения звука в чистом гелии И. Легко можно пока-
показать законность этих пренебрежений. Рассмотрим второй звук.
В коэффициенте при Р в D0) первый член больше второго. Их от-
отношение на основании A66), A6а) равно (| (др/де) \рт = \ рх | ~ р)
к
\
р_ + /
дР ) Те pie (dS/dP)
So + /ее/га
вР (dS/dP)Tt
So + кв/т
b~S
205

Поэтому D0), D1) дают
? Г? /Зр\ 1Г1[(др\ , п (dS\ e I
А - [со2 \дР]Тг\ WdTjp^Vi \dT)ptS0+ ke/m] '
Подставляя это в C9), определяем отношение 7 отбрасываемого
справа члена к оставляемому (TdS I дТ = С):
dp ,dS epi
m \дР)те дТ^дТ So + ke/m
(q2 /со2 — dp / dP) — порядка или больше щ2, где йх — ско-
скорость «обычного» звука (и2 — порядка или меньше щ):
u\dSldP ~ S/p,
S \Ьр . Се 1г/„ , key , кеС ~]~1
[ + P\l[S+ +J
Если е настолько мало, что (dp / dT)Pt больше, чем
то
(Ske/m) (Tjp)
[F*0 +/се/тJ + Се/c/m]
(др_\
\дТ)Рг
Учитывая, что при низких температурах | (Т/р)др/дТ\ <^
(при Г-> 0 тепяовое расширение стремится к нулю) имеем
Если же, наоборот, dp / дТ мало, то [A6а), A66)]
H&SC Г / с , А;е\ 2 . кеС I ^ .
Аналогичным образом можно доказать законность пренебрежения
членом в C9), содержащим d2P/dt2 и изменением температуры при
распространении первого звука. Таким образом, мы приходим к
двум раздельным уравнениям:
f = (TpjCpn) [(So + кг/mJ + keC/m], D3)
(др/дР)Р = АР. D4)
Отсюда получаем скорости первого и второго звука:
и\ = дР/др; D5)
и\ = (Tps/Cpn) [(SQ + helmJ + keClm]. D6)
206

Так же как и в чистом гелии, щ имеет обычный вид. Не сущест-
существует аномально большого влияния е на иг . и2 в присутствии при-
примесей определяется формулой D6), из которой видно, что уже очень
малое е вызывают большие изменения и2. Действие примесей ска-
сказывается, кроме членов, содержащих кг I т, еще и в рп A2а) и
„A26) и в С A8а), A86). В качестве примера, иллюстрирующего
действие малых е на и2, приводим табл. 3. Приведенные в ней циф-
цифры относятся к случаю р0 = 0.
Таблица 3
W2-10-3
W2.10-3
W2-10-3
W2.10-3
2,39
2,39
2,43
2,82
1,4
2,12
2,13
2,22
2,92 .
1,2
1,88
1,90
2,14
3,42
1,0
1,96
2,06
2,70
4,47
0,8
3,20
3,46
4,32
5,09
?
0
ю-4
10-3
10-2
При Т ^> 1,1° и е ^ 10~3 разница между двумя случаями р0 =
= 0 и р0 Ц= 0 незначительна. Сравнивая и2 в чистом гелии II и в
слабых растворах, видно, что с понижением температуры от
^-точки и2 в слабых растворах сначала оказывается больше, чем в
чистом гелии (еще не сказывается действие рп — рп0). Однако
при дальнейшем понижении температуры под влиянием pni в сла-
слабых растворах и2 оказывается меньше, чем в чистом гелии.
Когда температуры таковы, что pni ^> рпо, и2 быстро падает
с понижением температуры. Рассмотрим подробнее этот предель-
предельный случай. Пусть кг / m^$> So. Тогда все термодинамические
функции определяются примесями; D6) дает в этих условиях:
и\ = (гкТр/трп) [1 + кг/тС]. D7)
Мы здесь отождествили р8 и р.
Если р0 — 0, то согласно A2а), A8а) имеем
С = Зке/2т, рп = (\i/m) ре, и2 = /5?273fx. D8)
Полученный результат имеет простой физический смысл. Когда
рп обязано примесям, второй звук распространяется только по
примесям. Его скорость совпадает со скоростью звука в примесном
одноатомном газе. Если р0 = 0, скорость звука в примесном газе
имеет обычный вид, так как связь Е и р обычная. Именно это и
выражается формулой D8).
Пусть р0ф0; A26), A86) и D7) дают
и\ = ЗкТ I Ро. D9)
Эта формула непосредственно следует из общего соотношения,
определяющего скорость звука в примесном газе: -
u*=(Cp/Cv){dP/dP)T. E0)
207

Подставляя сюда [см. выражение для свободной энергии перед
A66)]
Р =ркТ I m, m =р20/ ЗкТ E1)
и используя для определения Ср I Cv термодинамические соотно-
соотношения: dS = О, dE + PdV = 0, в соответствии с A86) полу-
получаем:
dE = 1/2 RdT, 1/2 dT + {ТI V) dV = 0, TV2 = const, PF3 = const.
Отсюда
у = Cp I Cv = 3. E2)
Подставляя E1) и E2) в E0), получаем D9).
Общая картина иг как функции Т дана на рис. 1. и20 относится
к чистому гелию. В то время как в чистом гелии иг стремится к ко-
конечному пределу, равному их/}/3, когда Т стремится к нулю, в
Рис. 1
слабых растворах в гелии и2 падает с понижением температуры
пропорционально ]/ Т D8) или Т D9).
Падение щ продолжается до тех пор, пока не начнет сказывать-
сказываться квантовое вырождение (р0 = 0) либо взаимодействие частиц
примеси друг с другом (роф 0).
§ 5. Влияние вырождения на щ при Ро=О
Имея в виду слабые растворы Не3, мы определим скорость вто-
второго звука для полностью вырожденного ферми-дираковского газа,
считая р0 = 0. Термодинамический потенциал такого квантового
раствора имеет вид:
Fл2)
г/8 fe2 / \ 2/з
1.1 L) e = n/N.
E3)
Химический потенциал растворителя
I = to - 8'/'
208

Вместо B1) и B8) получаем:
E4)
д vjdt = - V [Фо - &01т) е'/з]. E5)
Поступая аналогично процедуре, изложенной в § 4, приходим
к уравнению
^(?JН <56>
Так как температуры настолько низки, что примесный газ мо-
¦жет считаться полностью вырожденным Bа), первый член в квад-
квадратных скобках в E6) мал по сравнению со вторым. Отсюда нахо-
находим
Щ = Eр8|ое6/з/ЗрптI/2.
Подставляя сюда вместо рп его выражение, находим
и2 - Eg0e2/V3^)V2. E7)
Это есть скорость звука в полностью вырожденном газе Ферми.
Таким образом, при абсолютном нуле скорость второго звука в
слабом растворе Не3 (если р0 = 0) пропорциональна кубическо-
кубическому корню из концентрации и имеет величину, малую по сравнению
со скоростью второго звука в чистом гелии при абсолютном нуле.
Остается пока не ясным, что будет происходить с и2 при Т = 0,
-если р0 ф 0.
В заключение я хочу поблагодарить акад. Л. Д. Ландау и проф.
Е. М. Лифшица за ценные указания и интерес к работе. Я выра-
выражаю также благодарность Ф. М. Филлер за содействие при про-
проведении численных расчетов.
Академия наук СССР Получено 9 июля 1948 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Ландау, И. Померанцу к. ДАН СССР, 1948, 59, 669. (Собр. трудов, № 19).
2. Л, Ландау. ЖЭТФ, 1941, 11, 592.
3. Л.Ландау. J. Phys. USSR, 1947, 11, 91.
4. Э. Шредингер. Статистическая термодинамика. ГИИЛ, 1948.
5. Л. Ландау, И. Халатников. Изв. АН СССР, сер. физ., 1948, 12, 216.
6. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Статистическая физика. ГТТИ, 1940.
7. G. Joos. Lehrb. d. theoretischen Physik, 6. Aufl., 1945, 561.
8. J.G. Daunt, R.E.Probst, H. L. Johnston. Phys. Rev., 1948, 73, 638.

21
К ТЕОРИИ ЖИДКОГО Не3 *
В § 1 определяется зависимость от температуры теплоемкости, вязкостш
и теплопроводности Не3. В § 2 выясняется влияние обменных эффектов, вы-
вызванных ядерным спином атомов Не3, на фазовый переход жидкого Не3 в
твердое состояние. Теплота плавления Не3 при низких температурах должна
быть отрицательна и равна —R In 2. Указывается на принципиальную воз-
возможность получить температуры порядка 10~6 — 10 при адиабатическом
затвердевании жидкого Не3. Выясняются некоторые особенности ядерной,
магнитной восприимчивости.
1, Теплоемкость, вязкость
и теплопроводность жидкого Не3
В последнее время было установлено, что жидкий Не3 в отли-
отличие от жидкого Не4 не обладает сверхтекучестью вплоть до темпе-
температуры в 1,05°К [1]. Этот результат делает вероятным отсутствие
сверхтекучести у Не3 при любых температурах. В случае Не4^
сверхтекучести способствует статистика Бозе—Эйнштейна [2].
Если же рассматривать достаточно разреженный газ, подчиняю-
подчиняющийся статистике Ферми—Дирака, то методами теории возму-
возмущений можно выяснить влияние взаимодействия атомов на свойства
такого газа. Теория возмущения оказывается применимой при до-
достаточно малых плотностях газа и в случае короткодействующих
сил. Такие расчеты не показывают никакой сверхтекучести. В ана-
логичных условиях бозе-газ обнаруживает в некоторых случаях
сверхтекучесть [2]. Таким образом, есть основания считать жидкий
Не3 не сверхтекучим. Энергия возбужденных состояний Не3*
при малых энергиях возбуждения представляет собой сумму энер-
энергий элементарных возбуждений «квази-частиц» [3]. Естественно
считать, что эти возбуждения подчиняются статистике Ферми—Ди-
Ферми—Дирака, так как при этом такие возбуждения всей системы непрерыв-
непрерывным образом переходят в возбужденные состояния в смысле посту-
поступательного движения отдельных атомов Не3, когда происходит
переход от жидкости к газу. К такому жб рассмотрению возбуж-
возбуждений в жидком Не3 приводят свойства возбуждений проводящих
¦ ЖЭТФ, 1950, 20, 919.
210

электронов в металлах. Как известно, электронная теплоемкость
.металлов и ряд других их свойств соответствуют статистике Фер-
Ферми — Дирака для возбуждений. (Существование сверхпроводимости
связано с какими-то малыми эффектами, не учитываемыми в гру-
грубой модели Ферми—Дирака. Малость этих эффектов проявляет-
проявляется в малости температур, при которых возникает сверхпроводи-
сверхпроводимость, по сравнению с «естественными» электронными температу-
температурами, имеющими порядок величины температуры вырождения
электронов.)
Известен случай [4], когда возбуждения системы взаимодейст-
взаимодействующих электронов подчиняются статистике Бозе. Этот случай
соответствует состояниям, мало отличающимися от «нулевого» со-
состояния, в котором все спины электронов ориентированы в одну
сторону. Такое «нулевое» состояние является «особой точкой»,
и поэтому возбуждения вблизи такого состояния также обладают
исключительными свойствами. В случае жидкого Не3, так же как
и в случае неферромагнитных металлов в несверхпроводящем
состоянии, наинизшее «нулевое» состояние характеризуется толь-
только наинизшей энергией и больше ничем. (В ферромагнитном слу-
случае оно характеризуется еще большим магнитным моментом.)
Так как длина волны атомов Не3 — порядка расстояния между
ними, то взаимодействие между атомами Не3 зависит от взаимной
ориентации ядерных спинов (у Не3 ядерный спин равен V2) [5].
Таким образом, в жидком Не3 существенную роль играют обмен-
обменные эффекты, связанные с обменом двух атомов Не3. Легко пока-
показать, что эти обменные эффекты, по-видимому, приводят к преиму-
преимущественной антипараллельной ориентации соседних ядерных спи-
спинов, так что жидкий Не3 не является ядерным ферромагнетиком,
а представляет собой пример ядерного обменного парамагнетика,
аналогичного электронному обменному парамагнетику типа твер-
твердого кислорода. В самом деле, в случае двух атомов Не3, имеющих
параллельные спины, координатная часть волновой функции
должна быть антисимметричной по отношению к перестановке
двух атомов. Поэтому она не может включать ^-функцию. В этих
условиях вероятность малых расстояний между атомами Не3
весьма невелика по сравнению с тем случаем, когда координатная
часть волновой функции двух атомов может включать ^-функцию,
т. е. когда спины антипараллельны. Если учесть быстрое убыва-
убывание величины отрицательной энергии притяжения двух атомов
Не3 с возрастанием расстояний между ними, то мы приходим к вы-
выводу, что энергия двух атомов Не3 будет меньше в том случае, ког-
когда они могут поближЗе подойти друг к другу, т. е. в случае анти-
антипараллельных ориентации соседних спинов. При этом рассматри-
рассматриваются хотя и малые расстояния между атомами, но все же боль-
большие, чем г0, где г0 — расстояние, при котором наступает интенсив-
интенсивное отталкивание. Это ограничение хорошо выполнено в жидком
Не3, так как среднее расстояние между атомами в несколько раз
больше, чем г0. Именно поэтому и существует жидкий Не3, в кото-
211

ром атомы в среднем притягиваются друг к другу. Таким образом,,
нет оснований считать жидкий Не3 ядерным ферромагнетиком.
Поэтому также можно считать, что вблизи нулевого состояния Не*
статистика возбуждений совпадает со статистикой атомов.
Пользуясь распределением Ферми—Дирака для возбужден-
возбужденных состояний, можно легко вывести ряд заключений о некоторых
свойствах жидкого Не3. Поверхность Ферми в рассматриваемом
случае представляет собой сферу радиуса/?0, где р0 по порядку ве-
величины равно (Зя2I/з hNll*, N — число атомов в 1 см3 (при этом
было учтено, что ядерный спин Не3 равен 1/2). При температурах,
малых по сравнению с температурой вырождения, возбуждения
будут иметь импульсы, по величине близкие к р0. Разлагая энер-
энергию возбуждений е в ряд по степеням р — р0, получаем
e = v\p — ро\. A)
Так как при температуре Т главную роль играют возбуждения,,
у которых е — Г, а число таких возбуждений (в 1 см3) равно
р1&р/к2Н3 ~ple/h3v — plT I h3v, то энергия 1 см3 Не3 зависит
от температуры следующим образом:
и = ио + Ч2аТ\ B)
а = ypl/h3v, у ~ я. C)
A) и B) справедливы при температурах, достаточно малых по срав-
сравнению с температурой вырождения возбуждений То. По порядку
величины То равно
То ~ pl/2m ~ (Зя2J/зй27У2/з/2т ~ 5°.
Согласно B) теплоемкость Не3 оказывается пропорциональной
температуре
с = аТ (Т < То). D)
Этот вывод дает возможность непосредственной эксперименталь»
ной проверки фермиевского характера энергетического спектра*
Легко установить зависимость от температуры некоторых кинети-
кинетических характеристик Не3. Для этого определим длину свободного
пробега возбуждений. Конечность свободного пробега возбужде-
возбуждений вызвана столкновениями их друг с другом. Количество воз-
возбуждений в 1 см3 по порядку величины равно
Др/Н* ~ plT/h3u ~ NT/T0 < TV. E>
п ~ р
Так как п <^N, то наиболее вероятными будут парные столкнове-
столкновения. При каждом столкновении двух возбуждений оба состояния,,
получающиеся после столкновений, должны иметь импульсы,
близкие к р0. Это уменьшает эффективное сечение такого столкно-
212

вения, так как вероятность столкновения пропорциональна чис-
числу возможных конечных состояний. Число состояний после столк-
столкновения равно
dkQ кЧЫО ~
Bл/гK
где к — импульс одной из частиц после столкновения, dO — эле-
элемент телесного угла, характеризующего направление распростра-
распространения частицы. При интегрировании по dedO возникает множи-
множитель, пропорциональный температуре. Таким образом, эффектив-
эффективное сечение а для столкновения двух возбуждений оказывается
порядка
где а0 имеет порядок величины газо-кинетического сечения
(ЮЪсм2). Комбинируя E) и G), находим длину свободного пробе-
пробега возбуждения /:
— результат, полученный ранее при рассмотрении свободного про-
пробега электронов в металлах, обязанного взаимодействию электро-
электронов друг с другом [6,7] (см. также [8]).
Найденная длина свободного пробега дает возможность уста-
установить зависимость вязкости жидкого Не3 от температуры, так
как все кинетические свойства Не3 могут быть найдены при рас-
рассмотрении газа возбуждений со свойствами, описываемыми соот-
соотношениями A)—(8). Так как г) = Nmlv, то, подставляя сюда (8)*
находим
'""'"> = у5. (9)
Вязкость жидкого Не3 должна быть обратно пропорциональна
квадрату температуры при Т <^ То.
С помощью (8) и D) получаем теплопроводность жидкого Не3:
х = eh = BIT. AОУ
Теплопроводность жидкого Не3 должна быть обратно пропорцио-
пропорциональной абсолютной температуре при Т <^ То.
Формулы D), (9) и A0) дают возможность полной эксперимен-
экспериментальной проверки излагаемой теории. Следует при этом еще раа
отметить, что при выводе D), (9) и A0) мы не пользовались моделью
идеального газа в применении к атомам Не8.
21&

2. Влияние обменных эффектов в жидком Не3
на фазовый переход жидкого Не3 в твердый Не3
Хотя пока еще твердый Не3 не получен, тем не менее вряд ли
могут быть сомнения в том, что под давлением того же порядка,
что и в случае Не4, жидкий Не3 будет затвердевать. Причина, вы-
вызывающая затвердевание под большим давлением, заключается
в том, что по мере уменьшения объема (под действием приложен-
приложенного давления) уменьшается отношение амплитуды нулевых коле-
колебаний к расстоянию между атомами. Если при малых давлениях
(больших объемах) это отношение в случае жидкого Не4 и Не3
оказывается порядка единицы (что препятствует затвердеванию),
то с уменьшением объема это отношение становится меньшим, чем
единица, и таким образом образование кристаллов становится воз-
возможным. Для доказательства только что изложенных соображе-
соображений * сравним амплитуду нулевых колебаний yfl/jmo и расстоя-
расстояние между атомами Ъ. Под о) следует понимать некоторую среднюю
частоту, связанную с потенциальной энергией взаимодействия
двух атомов следующим образом:
таJ ж (d2u/dr2)r=b>
Полагая и =а/гп, где п — 6—8 [9], получаем
Т ТП(й О
Yf) ' еСЛИ Ъ -+ °'
ввиду того, что п^> 2.
Легко показать, что фазовый переход жидкий Не3 — твердый
Не3 должен обнаружить некоторые своеобразные особенности, вы-
вызванные обменными эффектами атомов Не3 в жидком состоянии.
Для разъяснения этих особенностей сравним энтропию S жидкой
ж твердой фаз у Не3. В жидком состоянии S стремится к нулю
при падении температуры до нуля. Если справедливо распределе-
распределение Ферми—Дирака для возбуждений, то S должно быть пропорци-
пропорционально Т [10]. Следует, однако, отметить, что для дальнейшего не
существенно, какой функцией Т является S в жидкой фазе. Един-
Единственно важным является падение S с понижением Т. Важно под-
подчеркнуть, что при этом падает и та часть S, которая вызвана ядер-
ядерными спинами. При отсутствии обменных эффектов, обязанных
ядерному спину, спины ядер могли бы свободно ориентироваться
в пространстве вплоть до температур, настолько низких, что уже
существенным оказывалось бы магнитное взаимодействие ядер-
ядерных спинов друг с другом. Эти температуры Гм по порядку величи-
величины равны
и ° A1)
u Высказанных Л. Д. Ландау.
214

Таким образом, при отсутствии обменных эффектов при Т^>
^> Гм в S входила бы часть, равная Д1п2 (на один грамматом).
Обменные эффекты приводят к появлению корреляции между ори-
ентациями спинов соседних ядер Не8 уже при температурах поряд-
порядка градусов, т. е. порядка «естественных» гелиевых температур.
Этот вывод следует из того, что различие в энергии взаимодействия
двух атомов Не8 в случае параллельной и антипараллельной ори-
ориентации спинов имеет тот же порядок, что и сама энергия взаимо-
взаимодействия (см. § 1). При этом несущественно, является ли Не3
жидким обменным ядерным парамагнетиком или ферромагнети-
ферромагнетиком. Характер корреляции в этих двух случаях различен, но само
существование коррреляции должно наступать в каждом из этих
случаев при Т ^ 1°. Отсюда следует падение части S, вызванной
ддерными спинами, до значений, меньших, чем Л1п2, уже при Т ^ 1°.
Так как энтропия, не связанная с ядерным спином, также падает,
то уже при Т ^ 1° вся энтропия жидкого Не3 должна упасть до
значений, меньших, чем R In 2, Сравним теперь эту энтропию с
энтропией твердого Не3. Существование кристаллической решет-
решетки, в которой амплитуда нулевых колебаний значительно меньше,
чем расстояние между атомами, приводит либо к исчезновению эффек-
эффектов, связанных с обменом двух атомов, либо к их значительному
уменьшению. Поэтому в твердом Не3 ядерные спины должны сво-
свободно ориентироваться вплоть до Г — Гм. Следовательно, энтро-
энтропия твердого Не3 имеет часть, равную R In 2, если Т ^> 10~7°.
Так как часть Sr обязанная колебаниям, пропорциональна Г8
и по порядку величины равнаг 12/5я4Л (Г/вK, в ^ 30°, то вся эн-
энтропия твердого Не3 при Т ^ 1° оказывается постоянной, равной:
R In 2. Только при Т ^ Гм магнит-
магнитное взаимодействие ядерных спинов
в кристалле быстро уменьшает
S до нуля при Т <^J Гм- Пример-
Примерная зависимость S от Т в двух фа-
фазах Не3 изображена на рис. 1. Заме-
Заметим, что Тг ~ 1°. Мы видим, что
при температурах Т таких,
что
Рис. 1
энтропия твердого Не3 оказывает-
оказывается большей, чем у жидкой фазы,
т. е. осуществляется соотношение, обратное обычному. Поэтому
при изотермическом переходе твердого Не3 в жидкий Не3 тепло-
должно не поглощаться, а выделяться и, наоборот, при изотерми-
изотермическом затвердевании должно поглощаться тепло. Мы имеем здесь
отрицательную теплоту плавления Q, величина которой при Гм <С
1 в у жидкого Не4 равна 30° [И], у твердого Не3 в должна быть величиной
того же порядка.
215

^ T <^ Тг равна
Q = Т (Sm - <?,) = _ дг |n 2. (i2)
При этих же температурах получается своеобразная зависимость
давления, при котором происходит фазовый переход, от температу-
температуры. Согласно соотношению Клаузиуса- Клапейрона
(т - относится к твердой фазе, ж - к жидкой), имеем
dpIdT = R In 2/(vT -!>«) = - Л In 2/(vm - „г) < 0. A3)
При этом считается, что жидкость имеет объем больший чем v ктш-
сталла. ' J F
Начиная с некоторых температур порядка градусов Sm будет
больше, чем ST Поэтому р, как функция Г, имеет вид, изображен-
ныи на рис. I. Существование прямолинейного участка с оттзипа
тельным наклоном при малых температурах качественно отли-
Отметим, что при Т < Гм, ^ стремится к нулю ввиду наступле-
наступления корреляции между спинами в кристалле. При этом dpIdT
стремится к нулю. Если рассматривать адиабатическое затверде-
затвердевание Не3, то, как видно из рис. 1, открывается принципиальная
возможность получения твердого Не3 при экстремально низких
Т
Рис. 2
Рис. 3
температурах порядка 10~6 — 10оК. Для этого необходимо
адиабатически сжать жидкий Не3, имеющий температуру, мень-
меньшую Тъ до давлений, при которых наступает затвердевание.
Условие равенства энтропии в твердом и жидком состояниях
приведет к тому, что температура кристалла получится порядка
^м (переход совершается вдоль пунктирной линии на рис. 1).
Применение термодинамических соотношений к фазовому пере-
переходу жидкого Не3 в твердое состояние предполагает, что все соот-
216

ветствующие времена релаксации малы. Выяснение выполнимо*
сти этого предположения требует особого рассмотрения.
Обменные эффекты в жидком Не3 должны сказаться также на
ядерном магнетизме Не3, так как свободная ориентация спинов
ядер прекращается не при Т — Гм? как У почти всех тел (исключая
соединения типа орто-или параводорода), а при Т — 1°. Начиная
с этих температур ядерный магнитный момент жидкого Не3 во
внешнем магнитном поле не должен быть обратно пропорциона-
пропорционален температуре [13], а должен зависеть от температуры так же,
как зависит от температуры восприимчивость обменных электрон-
электронных парамагнетиков типа твердого кислорода. В модели жидкого
Не3, рассмотренной в § 1, ядерная магнитная восприимчивость Не3
не должна зависеть от температуры при Т ^ 1°.
В заключение я хотел бы поблагодарить акад. Л. Д. Ландау за
важные указания и постоянное внимание к работе. Выражаю так-
также благодарность В. В. Владимирскому за интересную дискуссию-
по поводу этой работы.
Академия наук СССР Получено 22 марта 1950 г*
ЛИТЕРАТУРА
1. D. Osborne, B.Weinstock, C.Abraham. Phys. Rev., 1949, 75, 988.
2. H. H. Боголюбов. Изв. АН СССР, сер. физ. 1947, 11, 67.
3. Л. Ландау. J. Phys. USSR, 1941, 5, 71.
4. F. В loch. Zs. f. Phys., 1930, 61, 206.
5. H.Anderson. Phys. Rev., 1949, 76, 1460,
6. Л. Ландау, И. Померанчук. ЖЭТФ, 1937, 7, 379 (Собр. трудов, №
7. W. G. Baber. Proc. Roy. Soc. A, 1937, 158, 383.
8. S. Tomonaga. Zs. f. Phys., 1938, 110, 573.
9. M. Борн, М. Гепперт-Мейер. Теория твердого тела. ОНТИ, 1938.
10. Л. Бриллюэн. Квантовая статистика. ГНТИУ, 1934.
11. В. Кеезом. Гелий. ИИЛ, 1949, стр. 393.
12. В. Кеезом. Гелий. ИИЛ, 1949, стр. 233.
13. F. Block. Phys. Rev., 1946, 70, 460.

22
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ФЕРМИЕВСКОЙ ЖИДКОСТИ
В теории фермиевской жидкости, предложенной Ландау [1 —2],
энергия системы представляет собой функционал от распределе-
распределения возбуждений по квантовым состояниям (в частности, по им-
импульсам). При малых отклонениях 8п функции распределения воз-
возбуждений от равновесного, отвечающего заполнению всех состоя-
состояний с р <Zpo (BCe обозначения те же, что и в [1]), энергетический
функционал Е имеет вид
где а — спин возбуждений.
Устойчивость при малых б/г будет иметь место, если Е ^> 0 при
любых дп. В интегралы, входящие в A), реально входят /?, близкие
а — невозмущенное распределение (внутри все состояния заняты),
б —возмущенное распределение; в областях 1 Ьп = —1, в областях 2 Ъп = 1;
внутри сплошной линии все состояния заняты
к р0 (температура равна нулю). Поэтому е (р) = (de/dp)Po(p —
— Ро) = го (Р —Ро)- Вариации блг, входящие в A), связаны с
деформациями фермиевской поверхности, и мы найдем критерий
устойчивости по отношению к таким деформациям (см. рисунок).
Разложим импульс р, отвечающий сплошной линии рисунка б,
в ряд по шаровым функциям
Y,o(O) =
B)
lm
* ЖЭТФ, 1958, 35, 524.
218

Первый член в A) приобретает следующий вид:
Р—Ро 2у j
О \ (р' — Ро) dp' = BлПK S ®*т 21 J. 1 A — т)\ ' ^
Потенциальная энергия приводится к выражению
ФХ) - Pol IP (вя,. ф2) - Pol d
d0xd02/ (912),
cos 012 = cos 0Х cos 02 + sin 0X sin 02 cos (фх — ф2).
Разлагаем / @12) в ряд по шаровым функциям:
i
f @M) =2fiPt (cos 912) = S S *W (9i. Ф1) J"»»' (8„ ф2) feS
Подставляя E) в D) и складывая с C), получаем полный энерге-
энергетический функционал
4я
^т 2Z+l(/-m)! '
F)
Условия устойчивости пишутся для каждого I, m отдельно:
При Z = 0 и 1 эти условия совпадают с условиями A1) и A8)
работы [1], где они означали положительность квадрата скорости
звука и положительность эффективной массы.
До сих пор мы считали / (р, р') не зависящей от взаимной ори-
ориентации спинов возбуждений. Если учесть эту зависимость, то
вместо / появится функция
/(РР') + (»Л)*(Р1Р«). (8)
Возмущение фермиевской поверхности будет вместо B) выра-
выражаться формулой
P = Po + 2iWlmYlm(Q,<?). (9)
lm
219

Так как Е содержит Sp по а и а', то вместо F) получаем
4я
1т
A0)
где gz — коэффициенты разложения функции g (PiP2) = g (cos612)
(все берется из поверхности Ферми) в ряд по полиномам Ле-
жандра:
2. A1)
Условия устойчивости, следующие из A0), имеют вид
При 1 = 0 это условие означает отсутствие ферромагнетизма
и содержится в условии %^> 0 (формула B6) работы [1]).
В заключение выражаю благодарность Л. Д. Ландау за ди-
дискуссию по поводу этой заметки.
Академия наук СССР Получено 7 мая 1958 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л.Д.Ландау. ЖЭТФ, 1956, 30, 1062.
2. Л. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1957, 32, 59.

23
К ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ*
Ссеместно с А. И. Лхиеаерсм и И. А. Ахиезером
Теоретически исследуется рассеяние медленных нейтронов в ферми-
экидкости. Определены сечения прямого рассеяния и рассеяния с возоужде-
яием нулевого и обычного звуков.
1. Целью настоящей работы является теоретическое исследо-
исследование рассеяния медленных нейтронов в ферми-жидкости. Как
известно, в такой системе при достаточно низких температурах
могут распространяться специфические звуковые волны — так
называемый нулевой знак (Ландау [1], Климонтович и Силин [2]).
Эти волны, как мы покажем, можно возбуждать, пропуская через
ферми-жидкость медленные нейтроны, скорость которых превос-
превосходит скорость нулевого звука.
Поэтому, исследуя рассеяние медленных нейтронов в жидком
Не3, являющемся ферми-жидкостью, можно принципиально про-
проверить существование нулевого звука.
Помимо рассеяния с возбуждением нулевого звука (и обычного
звука) возможно также прямое рассеяние нейтронов ядрами фер-
ферми-жидкости. При таком рассеянии передача энергии и угол рас-
рассеяния не коррелированы, в то время как при рассеянии, связан-
связанном с возбуждением коллективных степеней свободы и носящем
характер черенковского излучения, угол рассеяния является
однозначной функцией переданной энергии.
2. Гамильтониан взаимодействия медленного нейтрона с яд-
ядрами ферми-жидкости представляет собой сумму фермиевских
лсевдопотенциалов:
^2( + bKL (г -
где г, г^ и s, К| — радиусы-векторы и спины нейтрона и i-vo ядра,
т' —приведенная масса нейтрона и ядра, а и Ъ —длины коге-
когерентного и некогерентного рассеяний нейтрона свободным ядром
4>ерми-жидкости (величины а и Ъ являются комплексными из-за
поглощения нейтронов ядрами). Ферми-жидкостные эффекты на-
наиболее отчетливо проявляются при малых изменениях импульса
нейтрона Арп. Мы будем поэтому далее предполагать, что |ApJ <C
ЖЭТФ, 1961, 41, 478.
221

<C Po, где р0 — граничный импульс ферми-жидкости. В этих
условиях можно заменить в выражении A) суммирование по i
интегрированием по р (ri? аь t) dtu где р— плотность ядер ферми-
жидкости в точке Г| с проекцией спина а{
Ж = — BлП2/т/) (а + bsK (г)) p (r, a, t). B)
Отклонение плотности ферми-жидкости от равновесного значения
Ро равно, очевидно, бр = \6nItdxp, где dxv = BяЙ)~3 dp (p — им-
импульс квазичастицы ферми-жидкости) и 8пр—отклонение функ-
функции распределения квазичастиц от равновесного значения
(ер — энергия квазичастицы, ? — химический потенциал), удов-
удовлетворяющее, согласно Ландау [3], уравнению
ш + w $
Здесь / —интеграл столкновений, / = / (р, р') + КК', /(р,р') —
величина, характеризующая взаимодействие квазичастиц.
При абсолютном нуле 8пр = (v + К|и)б (ер — Q, где v и (i —
некоторые функции п = р/р и г, t. Монохроматические колеба-
колебания 8пр (~ e*<qr-G>o) удовлетворяют уравнениям
(Л1 - cos в) vgi (п) - cos Э J F (х) vQi (n') dO'/Лл,
(ц; - cos в) (igi (n) - cos в $ G (х) fiQi (n') dO'/4jtf
где в — угол между rj и q, % — угол между р ир', сЮ' —элемент
телесного угла р', г\г = 5|/г;0, % = Si/i;0, 5{ = со^/д, 5г = щ/q —
скорости распространения колебаний величин v и ц (индекс i
нумерует сорт колебания), v0 — граничнаяфермиевская скоростьи
величины F и G, пропорциональные / (р, р') и g (p, р'), определяют
изменение энергии квазичастицы, связанное с изменением функ-
функции распределения
6ер = [ (W + j<3y К) dO74jt,
v' = v(n', r, 0, A'= ц(п', г, *). E)
При достаточно низких температурах, когда поглощение ну-
нулевого звука очень мало, рассеяние нейтрона с возбуждением
нулевого звука можно рассматривать как испускание нейтроном
кванта нулевого звука. Этот процесс описывается гамильтониа-
гамильтонианом, отличающимся от B) заменой р на изменение плотности фер-
ферми-жидкости, обусловленное колебаниями нулевого звука.
222

Чтобы вычислить вероятность испускания кванта нулевого
звука, нужно произвести квантование нулевого звука. С этой
целью следует предварительно определить энергию колебаний ну-
нулевого звука
с Ро+сРо 1 с с
Е = \> drSp ^ epdxp + -1 ^ drSp ^ bzpbnpdxv, F)
Р=Ро
тде ер = vQ (р — р0) и 6р0 = (v + Kjw) / v0 —изменение гра-
граничного импульса, связанное с колебаниями ферми-поверхности
(второе слагаемое в F) учитывает взаимодействие между квази-
квазичастицами). Используя E), получим
G)
Это выражение должно, очевидно, иметь вид
Е = 2 ( #ai + т) й<0* + S
qi У q, г, X
где iVQi (Nqi\) — число квантов нулевого звука сорта v* и часто-
частоты со i (сорта [Х|, частоты о)г и поляризации X = 1, 2, 3). Соотноше-
Соотношение (8) будет следовать из G), если в разложении v и jn на плоские
волны
. s B % {|1йх (n) CqiJ (Чг-М;(,
q, г, X
-г (qr-a>' О
считать величины cQi (cji), caix Dгх) бозевскими операторами по-
поглощения (испускания) соответствующих квантов нулевого звука и
подчинить функции vql(n) и ftQix(n) условиям нормировки х
5 (n) |2 dO/cos Q = 1. A0)
1 Для получения этих условий следует использовать вытекающие из D) соот-
соотношения:
^ J — 1) | vai |2rf0t
\ЧО.
223

Подставляя (9) в B), получим энергию взаимодействия нейтро-
нейтрона с колебаниями нулевого звука
CL 2jV ^i (AiCqie + K. C.) +
qi
+ 2 [(а + Ъ sK) K]c S /ftST(BiXcJiX <Г* (ЧГ"Ш*° + к., ]
A1)
где
Л, = J vqi (n) <Ю, Bft = $ |1„* (n) dO, A2>
а скобка [Y]c обозначает когерентную относительно спинов ядер
часть Y, не седержащую линейно операторов спина ядер К (т* =
= P<Jv0).
Используя выражение для Ж^°\ легко определить сечения рас-
рассеяния нейтрона (отнесенные к одному ядру) с испусканием кван-
квантов нулевого звука различных сортов:
d^i'f = \ {m'lm'f \А -, |21 а |2 (siVo/v*) (h9q4q/pl), doff = О,
,|Ы2 ^ ^
1117 О Hi t4 -1.7 - ^ *
где vn — скорость нейтрона, В\= Bix -f- jB^ (ось z направлена
вдоль 5), стрелки служат для обозначения параллельной и анти-
антипараллельной ориентации спина нейтрона до и после рассеяния;
индексы Vi и \хг указывают на сорт испущенного кванта нулевого-
звука.
По всей вероятности [1], одновременное распространение Vj-
и |иг.-волн в ферми-жидкости невозможно (по крайней мере, при
F(X) = const). Мы рассмотрим поэтому далее только возбуждение-
Vi-волн. При этом должны выполняться законы сохранения
Pn^P^ + Uq, Еп = Еп
где рп,Еп(р'п, Е'п) — импульс и энергия нейтрона до (после) рас-
рассеяния.
Из A4), следует, что угол # между рп и сг, а также угол рассея-
рассеяния % однозначно определяются переданной энергией:
COS 0 = — -f ^- , COS Y = zt7- t A5)
224

где » °= а'гшт — масса нейтрона. Первое соотношение показывает,
WTO vn должно быть больше s.
При малых углах рассеяния
cos*» = s/vn, y? = (HlPn? (I -s*/v*n), hq<pn. A5>
В этом случае кванты нулевого звука испускаются под строго оп-
определенным углом к направлению движения нейтрона (так же как
при черенковском излучении). Максимальное возможное значе-
значение импульса кванта равно hqm3LX = 2 (рп — ms), а минимальное
значение импульса нейтрона после рассеяния равно рп mm = | Рп —
— 2ms | (нейтроны с минимальной энергией будут двигаться вдоль
первоначального направления пучка; все эти соотношения справед-
справедливы при fegmax <С Ро)'
Легко видеть, что угол рассеяния % достигает максимума при
hq — B/3//i5) (рп2 — т?). Этот предельный угол равен (при рп z&
х ms)
X, - arccos
Вблизи максимального угла рассеяния /0 сечение рассеяния веде1*1
себя как
d<3(v*} ~ g2dg ~ sin %dx/ /cos x — cos/о, х ж Хо> A7)
т. е. обладает интегрируемой особенностью. Этот вывод, однако,
так же как и вывод о самом существовании %oi получен в пренеб-
пренебрежении поглощением нулевого звука (см. раздел 4).
При малых углах рассеяния сечение rfa(*v) имеет вид
Если Hqmax «<; р0, то можно найти интегральное сечение ис-
испускания кванта нулевого звука
Величина А\ определяется видом функции F (%). Если считать
что F (%) = const, то, согласно A0) и A2),
Х[2 - (п-- 1) (r,0 In^l - 2)]"V\ Ло = ^- B0)
Отметим, что при F ~-+> 0 величина А исчезает.
8 И. Я. Померанчук, т. I 225

3. Перейдем теперь к- вычислению сечения прямого рассеяния
нейтрона ядрами ферми-жидкости и учету поглощения нулевого
ввука в рассеянии, сопровождающемся возбуждением нулевого
8»^ка. Для простоты б^дем предполагать, что .энергия квазичасти-
Цы не зависит от ориентации ее спина. Сечение когерентного рас-
рассеяния нейтрона без изменения ориентации его спина doc определя-
определяется, согласно B), компонентой Фурье отклонения плотности фер-
ферми-жидкости 6p(i% t) от равновесного значения р0, т, е. величиной
у>р (г, t) e-l«ir-<»fy>dvdt, где ftq == pn — р'п и Йсо = Еп — Еп — измене-
изменений импульса и энергии нейтрона:
dzQ = 2я (| а |2/г;пр0) BяЙ/^JФ (<?, со) dp'JBnh)*, B1)
где Ф — коррелятор плотности ядер ферми-жидкости
ф Ь> ®) = Ь \ Лг1е~Щ (Г1"Г2)) dhei<* (h~U) <бр (Fl' k) бр ('2' h)y> B2)
а скобки (...) служат для обозначения усреднения (квантовомеха-
нического и термодинамического) х. Величину Ф можно, соглас-
согласно общей теории флуктуации, вычислить (при Г, Йсо <^ ?) сперва
в области температур Т ^> Й©, а затем заменить получающийся
при этом множитель Т на Ясо (N<* + 1), где N<* —планковская
функция распределения 2.
, со) = ^ (Ыш + 1) JL J йг^ч (г-^) 5 d^*" ('-'«> X
X6p(ri, ^Np(r2, t2) B3)
(черта означает термодинамическое усреднение).
Для вычисления коррелятора Ф(д, со) с учетом столкновений
мы воспользуемся методом, примененным Абрикосовым и Халат-
йиковым [5]. Вводя в кинетическое уравнение C) случайную силу
у (р, г, t) и выбирая интеграл столкновений / {v} в простейшем ви-
виде, удовлетворяющем требованиям сохранения числа частиц, им-
импульса и энергии,
1
1 (cos 9) е*ШФ [, ^24)
где v? — коэффициенты разложения функции v (n) по сфериче-
сферическим функциям, получим следующее выражение для среднего зна-
1
Общая связь между сечгением рассеяния нейтронов и корреляционной функ-
функцией плотности ядер была установлена Ван-Ховом [4].
Такой метод был применен Абрикосовым и Халатниковым [5], вычисливши-
вычислившими коррелятор Ф в пренебрежении столкнове ниями.
226

дения произведения случайных сил:
х б <8' - » S i + ^/pZ+i) Р< (cos X). B5)
где /^ — сферические гармоники функции F (%). Решая, далее,
кинетическое уравнение C) со случайной силой у, найдем связь
между компонентами Фурье функций dp и у (—e*(qr-coO)# Учитывая
только первые две гармоники в разложении F по сферическим
функциям, получим
где
D = 1 + ИЛ + fт||Ло) - g (A2F0
h (n\ =
cos 6 -
. _ 1 Г x"dx
(r] = (dlqv0, | = 1/cot). Отсюда, используя B4) и B5), получим
окончательно следующее выражение для Ф
B7)
Если выполняется условие | ю|т ^> 1 (т — Г), то функция
, со) имеет полюса при значениях со, близких к вещественным,
<я = t)ovoQ — *Yo (Ло^о —скорость нулевого звука, у0 —коэффи-
—коэффициент его затухания; выражение для у0 найдено в [6]). Выделив по-
полюса функции Ф(#, со), представим ее в виде
Ф (q, со) = Фо (q, со) + Фа (q, со), B8)
где функция Фо связана с полюсами Ф, а" Фа не содержит по-
полюсных особенностей. Предполагая для простоты, что F =*
= const, получим
12
\ B9)
х [
1@) - j ^
Величина Фй является 'гладкой функцией со. Поэтому при ввд-
8* 227

числении Ф^ можно не учитывать столкновений квазичастиц.
Если F = const, то г
СО
— со
О, х < О
х>0
Выделению из коррелятора Ф полюсных особенностей соот-
соответствует разделение сечения когерентного рассеяния нейтрона на
два слагаемых:
dsc = <W«> + <ia<d>, C1)
где
При F = const имеем, согласно B9), C0),
х ( То ,
l(J + i
То 1
т]о^J + Г?1
|a|2Jl(^+1)i?o(^\ efl-W)^-. C3)
Величина da@> представляет собой сечение рассеяния нейтро-
нейтрона с возбуждением (или поглощением) нулевого звука, а dai } —
сечение прямого когерентного рассеяния нейтрона без изменения
ориентации его спина.
Если Yo -* 0, то 2
1 Выражение для Ф^ при у = 0 и F = const может быть непосредственно
взято из формулы B3) работы Абрикосова и Халатникова [5].
2 Выражение B9') может быть непосредственно взято из формулы B3) в [5].
Заменяя в этой формуле
б (Aw ± 4cvoq) на л~гу [ (Асо ± r\woqJ + Т2],
мы учтем влияние поглощения нулевого звука на рассеяние света в ферми-
жидкости,
228

Подстановка этого выражения в da@> приводит, как легко видеть,
к формулам A3), B0) для сечения рассеяния нейтрона с возбужде-
возбуждением нулевого звука при F = const.
Отметим, что применимость выражения B9) ограничена нера-
неравенствами x-1<^\<u\<^Tlh. Если Г^Йсо, то для величины Ф
можно пользоваться лишь выражением B9'), так как в B9) не учи-
учитывается квантово-механический эффект в поглощении нулевого
звука, указанный Ландау [1]. Можно ожидать, однако, учитывая
результаты [11, что формула B9) останется справедливой и при Т^>>
^ Ню, если заменить в ней Yo на У = Yo(l + (Йсо/2яГJ}.
4. Выше мы видели, что при у -*¦ 0 и т|ог;о < vn < 2т|0г;0 угол
рассеяния нейтрона с возбуждением нулевого звука не может пре-
превосходить некоторого предельного значения %о и что сечение этого
процесса при % — Хо обращается в бесконечность. Если учесть
ватухание нулевого звука, то сечение рассеяния при % — Хо
будет, согласно C2), иметь вид
= G(J + ОA))sin
где
и G — некоторая функция %. Предельный угол %о определяетсЯ|
очевидно, из условий
При х^Хо разность r\ (x, t)—г\0, рассматриваемая как функция^,
не обращается в нуль и интеграл / имеет порядок величины ?: /=
= О (I). При х < Хо и I ^ 1 интеграл / равен
и с точностью до членов порядка ? для сечения da@) справедлива
формула A3).
Наконец, если % zzz Xo> то» используя разложение
где
можно представить / в виде
При х = Хо мы получим отсюда / ~ (р^)/г ^> 1.
Таким образом, учет затухания нулевого звука приводит к
размытию предельного угла рассеяния.
229

5. Сечение прямого когерентного рассеяния нейтрона ядрами
ферми-жидкости (без изменения ориентации спина нейтрона), опре-
определяемое формулой C3), отличается от сечения когерентного
рассеяния нейтрона без изменения ориентации его спина в идеаль-
идеальном ферми-газе той же плотности множителем До. Этот множитель
при | со \/qv0 <1 не зависит от передаваемых энергии и импульса
и равен Ro ^ A + F0)~2 Если| со \lqu0 —> 1, то Ro -»• 0; поэтому се-
сечение прямого когерентного рассеяния на углы, близкие к
%d = arc cos f—L. [P2 + p>2 _ Bmv0)-* (p* -Py
в ферми-жидкости значительно меньше, чем в идеальном газе
Если в разложении F учесть две первые гармоники, то сечение
прямого рассеяния будет иметь вид
- 4 (¦?¦) Vr?w.+1) л, (?) • (* - й) х • <33')
где множитель Rv которым это сечение отличается от соответствую-
соответствующего сечения рассеяния в идеальном ферми-газе, равен
6. Рассмотрим теперь некогерентное рассеяние нейтрона в фер-
ферми-жидкости. Это рассеяние, обусловленное величиной Ъ в псев-
псевдопотенциале A), происходит так же, как рассеяние нейтрона в
идеальном ферми-газе ядер, масса которых равна эффективной мас-
массе яг* квазичастиц ферми-жидкости. Суммарное сечение некоге-
некогерентного рассеяния (без изменения и с изменением ориентации
спина нейтрона), отнесенное к одному ядру, равно
Отметим, что в это выражение, в отличие от dac(d), не входит фактор
Л, зависящий от корреляции между ядрами.
При прямом рассеянии, как следует из C3) и C4), нет одно-
однозначной связи между передаваемой энергией и импульсом, в то вре-
230

мя как такая связь существует (при 7 -*¦ 0) для рассеяния с воз-
возбуждением нулевого звука (наличие 6-функции в формуле B9')).
Это обстоятельство позволяет в принципе отличить оба типа рас-
рассеяния.
Остановимся еще на угловом распределении нейтронов при
прямом рассеянии в области малых углов % <С 1- Если vn — vOy
то сечение будет пропорционально %d%. При больших скоростях
нейтронов сечение будет вести себя как %2d%. Считая при оценке
порядка величины сечения R — 1, получим при ип ^> v0 и % <^ 1
4 оо (pjpo) fdi, а0 = 4л (| а |2 + ^ | Ъ|2) . C4')
ёо выражение зависит от % так же, как d^ (см. A8)). Отноше-
Отношение сечений по порядку величины равно
(s/u0) A - *ХГ8/а C5)
и может быть больше единицы, если vn — s; вообще же de^ —
7. Сечение рассеяния нейтронов с возбуждением колебаний
нулевого звука определяется, как мы видели выше, полюсами
функции Ф (д, со) при | со | т^> 1. Если | со | х ~ 1, то Ф не имеет по-
полюсов при значениях со, близких к вещественным. Поэтому при
|со|т — 1 из сечения рассеяния не выделяется член, соответствую-
соответствующий возбуждению резко выраженных коллективных колебаний фер-
ми-жидкости. Если же | со | т <^ 1, то у функции Ф вновь появляются
полюса при близких к вещественным значениях со. Эти полюса
(ф = r\svoq — iys) определяют закон дисперсии и коэффициент за-
затухания колебаний обычного звука (выражения для скорости t\sv0
и затухания ys звука найдены в работах Ландау, Халатникова и
Абрикосова [1,6]).
Величина Ф при |со|т<^1, которую мы обозначим через Ф8,
имеет вид
C6)
Подставляя C6) в B1), получим сечение рассеяния нейтрона с воз-
возбуждением (со ]> 0) и поглощением (со < 0) колебаний обычного
звука:
231

Заметим, что сечение прямого рассеяния нейтронов с малой пере-
передачей энергии (| со | <^ Г) имеет порядок величины | со | т; поэтому
при | со | х <^ 1 можно пренебречь вероятностью прямого рассеяния
по сравнению с вероятностью рассеяния с возбуждением обычного
звука*
Если у8 = 0, то сечение возбуждения обычного звука \ соглас-
согласно C7), содержит б (со —i\svoq). Заменяя BлН)~Чрп на Bn)~3dq
и интегрируя по углам вектора q, получим сечение возбуждения
обычного эвука с волновым вектором в интервале (q, q + dq):
dot» = к K/m'J | a |2 (tf« + 1) (volvnyh*q4ql4sp*. C8)
Возбуждение обычного звука возможно только в том случае, если
Сравнение формул C7) и C2) показывает, что зависящая от
со, q часть ds& может быть получена из соответствующей части
cfo <0) заменой tjo->t)s, Yq-^ Ys- Поэтому ряд соотношений, относя-
относящихся к рассеянию нейтронов с возбуждением нулевого звука,
справедлив также для рассеяния с возбуждением обычного
звука.
В частности, если fs =0 и i\8v0 < vn<i2r\sv0, то нейтроны не
могут рассеяться на угол, больший некоторого предельного угла
%s. Этот угол дается формулой A6), если заменить в ней ?0 на
?s = vn/r\8v0. Как и в случае нулевого звука, учет затухания обыч-
обычного звука приводит к размытию предельного угла рассеяния,
причем сечение рассеяния нейтрона в интервал углов d% (проин-
(проинтегрированное по модулю вектора рп) пропорционально вблизи
угла %8 величине гГ*'*.
8. К сожалению, в единственно известной ферми-жидкости —
жидком Не3 — очень велико поглощение медленных нейтронов.
При энергии порядка 1° К сечение захвата нейтронов в Не3 со-
составляет бс — 10б»10~24 см2, в то время как сечение рассеяния толь-
только а0 — 10~24 см2. Поэтому на каждый акт рассеяния будет прихо-
приходиться очень большое число захватов нейтронов, приводящее к
сильному поглощению нейтронной волны. Так как длина пробега
нейтрона по отношению к захвату равна 1С ~ (Ро^с) — Ю см> Т(>
рассеяние нейтронов будет происходит только в поверхностном
слое Не3, эффективная толщина которого составляет —10~3 см.
Кроме того, следует иметь в виду, что жидкий Не3 будет разогре-
разогреваться за счет энергии ядерных реакций, обусловленных захватом
нейтронов (эта энергия составляет 5-105 эв на один захват нейтро-
нейтрона, что соответствует нагреву 1016 ядер Не3 на 1° К на один акт
рассеяния). Все это затрудняет проведение экспериментов по рас-
1 Выражение для de^ без учета затухания звука было иным путем независи-
независимо получено М. Кагановым.
232

сеянию медленных нейтронов в жидком Не3. Можно, однако, на-
надеяться, что такие опыты со временем станут возможны.
Авторы благодарны Л. Д. Ландау, С. В. Пелетминскому и
Л. П. Питаевскому за полезные дискуссии.
Физико-технический институт Академии наук
Украинской ССР
Институт теоретической и экспериментальной физики
Академии наук СССР
Получено
24 февраля 1960 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1957, 32, 59.
2. Ю. Л. Климонтович, В. П. Силин. ЖЭТФ, 1952, 23, 151.
3. Л. Д. Ландау ЖЭТФ, 1956, 30, 1058.
4. L. Van Hove. Phys. Rev , 1954, 95, 249.
5. А. А. Абрикосов, И М. Халатников. ЖЭТФ, 1958, 34, 198.
6. И. М. Халатников, А. А. Абрикосов. ЖЭТФ, 1957, 33, 1154.

24
О РАССЕЯНИИ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ*
Ссвместно с А. И Ахиезером и И А Ахиезером
Теоретически исследуется рассеяние медленных нейтронов в ферми»
жидкости Если изменение импульса и энергии нейтрона при рассеянии много
меньше импульса и энергии, соответствующих границе Ферми, то в рассея-
рассеянии возникают характерные эффекты Если скорость нейтрона превышает
скорость нулевого звука, то нейтроны при рассеянии могут возбуждать волны
нулевого звука. Для такого рассеяния существует однозначная связь между
передачей энергии и импульса, в противоположность прямому рассеянию,
сопровождаемому выбиванием квазичастицы ферми-жидкости за пределы
заполненной ферми-сферы Это дает возможность, в принципе, различить
между собой оба типа рассеяния.
В статье определены сечения прямого рассеяния и рассеяния с возбужде-
возбуждением нулевого звука, а также коэффициент деполяризации нейтронов и коэф-
коэффициент отражения нейтронов от поверхности ферми-жидкости. При сколь-
скользящем падении коэффициент отражения имеет острый максимум, соответст-
соответствующий возбуждению нулевого звука
1. Введение
Авторами было показано [1], что медленные нейтроны, проходя
через ферми-жидкость, могут возбуждать волны нулевого звука,
и были исследованы особенности прямого рассеяния нейтронов на
ядрах ферми-жидкости. При этом для простоты предполагалось,
что изменение энергии квазичастиц, обязанное изменению
функции распределения, не зависит от спина кзазичастиц.
В настоящей работе мы изучим эффекты, возникающие при рас-
рассеянии медленных нейтронов в ферми-жидкости, в общем случае,
принимая во внимание зависимость самосогласованной части энер-
энергии квазичастиц от их спина. Наряду с сечениями рассеяния мы
определим коэффициенты деполяризации и отражения нейтронов.
2. Дифференциальные сечения рассеяния ,
Начнем с общего выражения для дифференциального сечения
рассеяния, отнесенного к одному ядру ферми-жидкости, при кото-
котором нейтрон переходит из состояния с .импульсом рп и проекцией
* Nucl. Phys., 1963, 40, 139. Перевод В. С Попова.
234

спина о в состояние с импульсом] рА = рп — Щ и проекцией
спина <т', а ферми-жидкость — из состояния /, к в состояние /', у!
(х характеризует спиновое состояние ферми-жидкости):
2я 1 С
X (/, х, а | Ж* (г') | /', х', о') 6 (?п - Е'п + ё, - Я,.) ^ . A)
Здесь Ж — гамильтониан взаимодействия медленного нейтрона с
ядрами ферми-жидкости, представляющий собой сумму фермиев-
ских псевдопотенциалов
где а и Ъ — длины рассеяния нейтрона свободным ядром ферми-
жидкости (эти величины являются комплексными из-за поглоще-
поглощения нейтронов ядрами), s —спин нейтрона, г' и К' —радиус-
вектор и спин Z-ro ядра, т! — приведенная масса нейтрона и
ядра, Еп и Епг—энергия нейтрона до и после рассеяния, с?/—уров-
с?/—уровни энергии ферми-жидкости, ^0 —ее плотность, vn —начальная
скорость нейтрона и V — объем системы.
Уравнение A) для сечения рассеяния следует просуммировать
по конечным состояниям ферми-жидкости и усреднить по началь-
начальным состояниям с фактором Гиббса Pf. Учитывая, что для ферми-
жидкости нельзя построить аксиального вектора, мы можем пред-
представить усредненное сечение в виде
da = Ik (^J {'а I2 6ф <* ю> + ж M
где /по = Еп — Е'п,
X 2(/'|б(г-г
C)
iq(r-r')} 2 р< X
U Г, х, х'
X S (/'. *' I ^'S (г - vl) \ /, х) (х, /1 /ф (г - г'') | /', %') х
I, V
, of) = (ef \si\e)(e\sj\of).
235

Если между спинами ферми-частиц существует обменное взаимо-
взаимодействие, то, как будет показано ниже, тензор Уц имеет вид
Поэтому из уравнения B) вытекают следующие выражения для
сечений рассеяния нейтронов без переворота и с переворотом
спина:
3. Функции плотности
Покажем, что величины Ф (д, со) и 4?ij (q, © ) являются корре-
корреляционными функциями плотности ядер ферми-жидкости и плот-
плотности их спинов * . Для этой цели заменим б-функцию в уравнении
C) ее выражением через интеграл по времени и перейдем от шре-
дингеровских операторов L для физических величин, относящихся
к ферми-жидкости, к гейзенберговским операторам
= ехр{- -1 Mo
имеющим классический аналог (здесь Жо—гамильтониан ферми-
жидкости). Вводя операторы плотности ядер ферми-жидкости и
плотности их спинов
р (г, *) = 2 * (г - Л * (г, 0 = 2 к'б (г - Л
мы окончательно получаем следующие выражения для функций
ФиТ:
-1')} X
X <х,(г, «)х*(*%*')>. E)
где скобки <...> означают термодинамическое и квантовое усред-
усреднение
1 Общая связь между сечением рассеяния нейтронов и корреляционной функ-
функцией ядерной плотности была установлена Ван-Ховом [2].

4. Функция распределения квазичастиц
В дальнейшем мы примем, что изменения импульса и энергии
нейтрона при рассеянии hq и Йсо много меньше граничного импуль-
импульса р0 и граничной энергии ?, поскольку в этом случае эффекты фер-
ми-жидкости наиболее резко выражены. Для малых q и со при вы-
вычислении корреляторов Фи? можно использовать квазикласси-
квазиклассическое приближение, в котором плотность ядер ферми-жидкости и
плотность их спинов связаны с функцией распределения квазича-
квазичастиц л, являющейся матрицей плотности для их спинов [3].
р (г, t) = Sp J п (р, г, t) dx, к (г, t) = SpK $ п (р, г, t) dx. F)
Здесь р — импульс квазичастицы и dx = BяЙ)~3 dp. Эти со-
соотношения сводят вычисления корреляторов для величин рихк
вычислению коррелятора для флуктуации функций распределе-
распределения 8п = п — га0, удовлетворяющих кинетическому уравнению
Ландау [3]:
G)
где nl = [ехр {(гр — Q/T} + I] — равновесная функция квазича-
квазичастицы, ер — энергия квазичастицы, J — интеграл столкновений
и F — функция, характеризующая взаимодействие между квазича-
квазичастицами и зависящая, вообще говоря, от их спинов. Мы примем,
что взаимодействие между спинами ферми-частиц имеет обменное
происхождение; в этом случае величина F определяется двумя
скалярными функциями / и g (см. работу [3]):
5. Флуктуации функции распределения
Флуктуации функции распределения могут быть вычислены в
соответствии с общей теорией флуктуации путем введения в пра-
правую часть кинетического уравнения G) случайных сил Y (р, г, t) и
бпределения скорости изменения энтропии под действием этих
сил *. Замечая, что при Т <^ ? флуктуации функции распределения
возникают только вблизи поверхности Ферми, можно привести ки-
кинетическое уравнение со случайными силами к форме
? + i;on ?) v (л) + von §-r J F (nn') v (n') ^ = I {v} + у„ (8)
1 Этот метод был впервые использован Абрикосовым и Халатниковым [4]'
вычислившими коррелятор Ф в пренебрежении столкновениями.
237

где
в то время, как п = р/р и т* — po/vo. Далее, v0 есть гранич-
граничная скорость, и функции v, |л, г/0, у связаны с флуктуациями функ-
функции распределения 8п и случайными силами Y соотношениями
Ьп (р, г, t) = {v (n, г, t) + Kfx (n, r, t)} S (ep - ?),
Y (p, r, 0 = {y0 (n, r, 0 + Ky (n, r, t)} б (ep - Q. (9)
Определим теперь временную производную энтропии ферми-жид*
кости S = — SpK \ {/г In л + A — л) In A — п)} dx dv
'S = 11Ш- ldr{\v ^ I7 fv(n)> + 2/o HI g + A0)
v (n') F (nn') [/ {v (n)} + 2/0 (n)]
Выбирая интеграл столкновений в простейшей форме, удовлетво-
удовлетворяющей законам сохранения числа частиц, импульса и энергии *
(n) — vu — 2л v *т (cos к
m=-l
1
m=—l
где т — среднее время между столкновениями, которое всюду,
где это можно, полагается равным бесконечности, мы можем при-
привести уравнение A0) к форме
оо I
& == \dr 2j 4J \X X + * X ), A0)
c 1—0 m=—l
1 Интеграл столкновений I {ц} можно выбрать в простейшей форме I {ц} =
= —тг1 \i. Мы выбираем I {ц} в форме, аналогичной I {v}, поскольку при этом
получаются более симметричные выражения для корреляторов Ф и Т. За-
Заметим, что большая часть полученных результатов относится к случаю
/ = 0, когда точная форма интеграла столкновений несущественна.
238

где
Xlm___pom* I *\ \ 1 A + \т\У , _
"" 4я2Й3Г\2^ + 1 / 2
21 + 1A — \m\)\ ** '
?° = .Vo°, *lm = 2/?m' *'m = - T~Vm + УТ при I < 2,
xo = y°, xlm = ylm, x/m = — т!*' + уггп при I > 2,
Здесь alm — коэффициент разложения функции а (п) по сфери-
сферическим гармоникам Р™ (cos 9) ^гтФ, a Fz и Сг — коэффициенты*
разложения функций F (пп') и 6? (пп') по полипомам Лежандра
Л(пп').
В соответствии с теорией флуктуации [5], если ? дается вы-
выражением A0') и установлены следующие соотношения:
r'm' v*m' A2')
то произведения случайных сил, усредненные по флуктуациям^
даются формулой
<У1Г (г, 0 yj'm' (г7, О> - (г^-rw' + rf7'' ш) б (* - гг) б (г - г')
(*,/ = 0, 1,2, 3)
Сравнивая уравнения A2) и A2)'), получаем
<уГ(г,*)уГ'(ЛП> =
f 0 при Z = 0,1,
= 1 26р - f)S(г - г')8и>Ьт,-т> Т- (g) BZ + 1) Г{, при / > 2,
где A3)
00 == 1 2Z + 1 "^ ) ' ofe = ft0 == ^'
Решая квиетические уравнения (8) со случайными силами и ис-
используя уравнение F), находим связь между компонентами Фурье
функций бр = р — р0, и и функциями г/0, у (—exp {i (qr — at)}.
Принимая для простоты, что F (п) = Fo = const, G (n) =G0 *=s
== const, получаем
A4)
239

тде функции Dp и h имеют вид
- (A2F0
h (n) = [cos e - ц (i + фг1 [1 - fi|3L_ cos e],
причем
^n 2 .) ж — rj A + il) *
—l
Здесь 0 — полярный угол вектора о, в то время как т\ = a>/qv0
и ? = 1/(от. Функция Do получается из функции Dp заменой Fo -*¦
Теперь следует представить выражения A4) для бр и х в со-
соотношения E) и выполнить усреднение в соответствии с уравне-
уравнением A3). Таким путем получаются выражения для коррелято-
корреляторов, справедливые в классической области температур (Г^>/ш),
причем Фи? содержат температуру только в виде множителя 7\
если т-*• оо. Заменяя этот множитель на фактор Й(о (iVw + 1)?
где Nay — функция распределения Планка, мы получаем выра-
выражения для корреляторов, справедливые при любой температуре
(если только Т<^ ? и т достаточно велико [5,4]):
A5)
Эти формулы в комбинации с уравнением D) дают сечение рассея-
рассеяния нейтронов в ферми-жидкости.
6. Полюса функций Ф и W
При FQ > 0 и |со | т ^> 1 функция Ф (д, (о) имеет полюса при зна-
значениях оо = +5д — $т% расположенных близко к вещественной оси;
эти значения со являются корнями уравнения | Др(д, со) |2 = 0, совпа-
совпадающего с дисперсионным уравнением для колебаний нулевого
звука (s и у скорость и коэффициент затухания нулевого звука,
определенные в работах [6,7]).
Аналогично, если |(о|т^>1 и Go > 0, то коррелятор Ч*" имеет
полюса при значениях со — +SQ — *Т'> близких к вещественной оси;
2Ю

эти полюса соответствуют возможности распространения спиново-
спинового звука в ферми-жидкости (s' и у' — скорость и коэффициент за-
затухания спинового звука [6, 7]).
Отделим полюса функций ФиТ, записав их в форме
Ф (9> со) = Фс (д, со) + Фа (д, со), Т (д, со) = Yc (g, со) + Yd (g, со),
где
A7)
^^ ^ }
связаны с полюсами корреляторов, в то время как функции
Yd не содержат полюсных особенностей:
Здесь введены обозначения:
= |A + Fowf + ( -J- ti^0 ) 2}~\ RG (ti) = j(l 4
1 11 4- n I I О ПРИ ж <С 0»
21 |1—г)Г V; U при ж>0.
Заметим, что мы учитываем затухание у, у' в уравнении A7) при
условии Т ^> Й(о; в этом случае 7^— ^2- В соответствии с резуль-
результатами Ландау [6], при Т ^ hay следует сделать подстановку
в уравнении A8) для Фа и Wd, являющихся плавными функциями
0), МЫ ПОЛОЖИМ Т = ОО.
7. Разделение сечений на различные составляющие
Выделение полюсных особенностей из корреляторов соответ-
соответd d
ствует разделению сечения рассеяния do^ на три и сечения dd^ на
два члена:
Щ. B0а)
241

Различные вклады имеют вид
d^ = 2я|а|2
ч=
B06)
Величины daft и d\ являются сечениями рассеяния нейт-
нейтронов с образованием пары квазичастица — дырка, т. е. с перехо-
переходом из заполненной сферы Ферми р ^ р0 в состояние с р ^> р0.
Этот тип нейтронного рассеяния существует также в идеальном
ферми-газе и будет называться прямым рассеянием нейтрона.
Величины d3«^, djfc и d^[ являются сечениями рассеяния нейт-
нейтрона с возбуждением (или поглощением) нулевого или спинового
звука (v-или (х-звук). Ниже мы увидим, что такое рассеяние яв-
является специфическим эффектом ферми-жидкости и не существует
в идеальном ферми-газе.
8. Сечение возбуждения нулевого звука
Рассмотрим сначала сечение рассеяния daft. При y~*0 его
можно представить в виде
B1)
и интерпретировать как сечение рассеяния нейтрона с излучением
((о ^> 0) или поглощением ((о < 0) одного кванта нулевого звука
с частотой о = sq и волновым вектором q. При таком рассеянии
выполняются законы сохранения Еп = Еп + hqs, рп =^= р« -Ь hq, из
которых следует, что угол О между рп и q так же, как и угол рас-
рассеяния % (угол между рл и рл'), определяется передачей энергии
V- ^n 2pпУ(p*п-2m^E)
242
B2)

где т — масса нейтрона. Другими словами, излучение нулевого
звука происходит так же, как и черенковское излучение. В част-
частности, лишь нейтроны со скоростями vn^>s могут вызывать колеба-
колебания нулевого звука.
Поскольку импульс кванта нулевого звука мал по сравнению с
граничным импульсом ферми-жидкости И5^уо, то нулевой звук
может возбуждаться (или поглощаться) только при рассеянии ней-
нейтронов на малые углы. Если vn — s ж s, то мы имеем
и энергия, переданная в рассеянии, пропорциональна углу рас-
рассеяния: h | со | = spn% (I — s2/Vn)~v\ В этом случае сечение рас-
рассеяния нейтронов в интервал углов (%, % + dy) с излучением ну-
нулевого звука имеет вид
^ s*/vl)-*fitfd% B3)
(сечение рассеяния с поглощением нулевого звука может быть по-
получено из этого выражения подстановкой Л^ + 1 -> NJ).
Если ип — 5<^5, то угол рассеяния при возбуждении нулево-
нулевого звука не может превысить некоторый предел, который, как вид-
видно из уравнения B2), дается формулой
В этой области скоростей ип изменение энергии нейтрона
как функция угла рассеяния, определяется из уравнения
(/гсоJ Bpns - 2ms2 - %(о) = {ms2)* %2. B5)
Если % <С Хо» то уравнение B5) имеет три корня, два из которых
(@j_, (о2 ^> 0) соответствуют возбуждению и один (со3< 0) погло-
поглощению квантов нулевого звука.
Сечение рассеяния нейтрона в интервал углов (%, % + dy)
с возбуждением или поглощением нулевого звука частоты
| ©г I (* = 1»2, 3) имеет вид
(^)^ B6)
где
5 () B7)
Когда х <^ A — s/vn) , то доминирует рассеяние с излучением кван-
243

та нулевого звука с энергией %щ = 2ms2 A — sfvn). В этом случае
= 2ms2 A — s/yj, B8)
Когда х ^> Хо» то уравнение B5) имеет единственное решение,
соответствующее поглощению нулевого звука с частотой | <ю31 >
^ 4ms2 .. ч ~.
> —g—(I — s/i\i)- Сечение для этого процесса также дается урав-
уравнением B6) и экспоненциально мало при Т <^H\(os\.
9. Затухание нулевого звука
Согласно уравнению B6), сечение рассеяния с возбуждением
нулевого звука ведет себя вблизи предельного угла %0 как (%1 —
— Х2)~/2Хо^Х> т- е- имеет особенность. Этот вывод, так же, как и
само уравнение B6), получен в пренебрежении затуханием нуле-
нулевого звука. Найдем поэтому угловое распределение рассеянных
нейтронов с учетом затухания нулевого звука.
Проинтегрируем общее выражение для сечения рассеяния del,
даваемое формулами B0) и A7), по рп. Принимая для простоты,
что ms2(l—s/un)^>T, мы получим для углового распределения
рассеянных нейтронов выражение, отличающееся от B8) заменой
множителя Z?! (%) на множитель
в (х; г) = ? A - s/y»> Sdt [/<f,j]«+y ' B9>
где
5
6-
5
Предельный угол %о дается, очевидно, соотношениями
Если х ^> Хо» то величина / (t, %) как функция t не исчезает, и мы
имеем
Когда х < Хо» то функция В (%; у) отличается от В± (%) только в
малых членах, пропорциональных у
#(х;г)~ — A —*/»пЗ
о
244

Наконец, если % ^ %0, то используя разложение
можно представить Б (%; 7) в виде
SliiFTObFF? B9'>
О
При х = Хо имеем
Таким образом, сечение рассеяния da^ как функция угла рас-
рассеяния х достигает при % = %о максимума, который пропорциона-
пропорционален у-Ч* и затем резко уменьшается при % ]> %0 и становится про-
пропорциональным у.
10. Сечения возбуждения спинового звука
Все выводы, относящиеся к рассеянию нейтронов с возбужде-
возбуждением v-звука, легко можно обобщить на рассеяние нейтронов с воз-
возбуждением ji-звука. Для этой цели достаточно заметить, что об-
общее выражение для da§ (см. уравнение B0) ) может быть получено
из общего выражения для da^ с помощью подстановок | а |2 —» т^ | Ъ |2,
i?v -> R\x, s-> s', Y->Y> и что сечение dofj вдвое больше сечения ^
В частности, такая подстановка в B1) дает сечение рассеяния
в пренебрежении затуханием (i-звука
+ 6(a> + ^)}^n. C1)
Аналогично уравнения B3), B6), B8), и C0) можно исполь-
использовать для нахождения углового распределения нейтронов с воз-
возбуждением fi-звука как вдали, так и вблизи предельного угла рас-
рассеяния Хо' (выражение для %о' может быть получено из B4) заме-
заменой $-> s').
245,

Как уже было показано, возбуждение v-и [г-звука нейтронами
является ферми-жидкостным эффектом, исчезающим при перехо-
переходе к идеальному ферми-газу. Это легко увидеть, если заметить,
что величины 7?v и R^ исчезают при F = G = 0.
11. Сечения прямого рассеяния
Перейдем к прямому рассеянию нейтронов. Согласно уравне-
уравнениям B0) и A8), поперечные сечения этого процесса имеют видЗ
где функции /?f и Rq определены в A9).
Мы видим, что эти сечения не обращаются в нуль, пока выпол-
выполнено условие | (о | <: qu0. Отсюда следует, что при vn^> v0 ж фик-
фиксированном значении энергии рассеянных нейтронов Еп' (близкой
к Еп) рассеяние может происходить лишь на углы % ^\{Еп),
где
^1[(^)'Г C3,
При F = G = 0 величины dod переходят в сечения рассеяния нейт-
нейтронов на идеальном ферми-газе. Действительно, эти сечения дают-
даются, очевидно, формулами
где е, е' = е + Йсо и р, р' = р + Щ — энергия и импульс ядра
до и после рассеяния, ш пр — функция распределения Ферми для
ядер. Когда Hot <^ ?, hq <^ р0 и Т <^ ?, мы имеем отсюда
C2')
где тп* — масса ядра.
246

Сравнивая уравнения C2)и C2'), мы видим, что сечения прямо-
прямого рассеяния нейтронов в ферми-жидкости с переворотом и без пе-
переворота спина отличаются от аналогичных сечений в идеальном
ферми-газе той же плотности (с массой ядра т*) на множители
учитывающие корреляцию между ядрами в ферми-жидкости. При
I w I ^ Qvo эти множители не зависят от переданного импульса и
равны
-2
||(+о) + ^|Ч( + оГ
Щ = т , Щ = A + Go)
Если |(o|/gi;o->-1, т. е. х -> Xi (Еп), то /?п ->• 0 и Rn ->• 0;
поэтому сечения прямого рассеяния для углов, близких к %г (En')f
значительно меньше в ферми-жидкости, чем в идеальном газе.
12. Различие между прямым рассеянием
и рассеянием с возбуждением нулевого звука
Как видно из уравнения C2), для прямого рассеяния не суще-
существует однозначной связи между передачей энергии и импульса
(выполняется лишь условие | со | ^ qv0), в противоположность рас-
рассеянию с возбуждением нулевого звука. Это обстоятельство по-
позволяет, в принципе, сделать различие между обоими типами рас-
рассеяния.
Рассмотрим, например, угловое распределение рассеянных ней-
нейтронов с фиксированной энергией Еп'. В этом процессе нейтроны,
испытавшие прямое рассеяние^ летят под углами Х^>Х1(?П)»
С другой стороны, в области углов 1<^\(Еп) могут двигаться
лишь нейтроны, возбудившие нулевой звук, для которых угол
рассеяния равен
VnVn
(для простоты принято, что в ферми-жидкости может распростра-
распространяться лишь один тип звука).
Сравним теперь сечение для прямого рассеяния нейтронов, про-
проинтегрированное по всем рп, с сечением рассеяния с возбуждением
нулевого звука. Рассмотрим малые углы рассеяния %<^ 1 и при-
247

мем, что vn — и0 ^ и0. Для оценки dod используем тот факт, что
эта величина отличается от сечения рассеяния в идеальном газе
иа множитель порядка единицы.
Если ип — и0 ж v0, то сечение прямого рассеяния, проинтег-
проинтегрированное по всем рп, имеет ту же угловую зависимость %еЙС,
что и сечение dav, определяемое соотношением B6). При % ж %о
оба сечения равны по порядку величины. Когда % ^> %0, сечение
рассеяния с возбуждением нулевого звука много больше сечения
прямого рассеяния.
Если vn^>vQ, то сечение прямого рассеяния, проинтегриро-
проинтегрированное по импульсу рассеянного нейтрона, пропорционально
%2d%, т. е. имеет ту же угловую зависимость, что и сечение рассея-
рассеяния с возбуждением нулевого звука в этой области vn (см. урав-
уравнение B3) ); оба сечения одного порядка величины.
13. Деполяризация нейтронов
Рассмотрим деполяризацию нейтронов при рассеянии. Если
угол рассеяния % превышает %г (Еп), то, как мы видели выше, про-
происходит прямое рассеяние; в этом случае коэффициент деполяри-
деполяризации
отличается от коэффициента деполяризации в идеальном газе
<20 = 21Ъ |2 {161 а |2 + 31 ЪI2} только на множитель порядка едини-
единицы (зависящей от Е'пЖ у).
Когда х < Xi (En), возможно лишь рассеяние нейтронов с воз-
2
Суждением v- или fi-звука, причем d = 0 в первом случае и d = у
в последнем.
Коэффициент деполяризации нейтронов, рассеянных на опре-
определенный угол
для углов х? не близких к предельным углам рассеяния %о> %</>
отличается от величины d0 на множитель порядка единицы (яв-
(являющийся плавной функцией %). Если % ж %о> то D = 0; когда
%~%о, то D= у.
14. Отражение от поверхности ферми-жидкости
Наконец, рассмотрим отражение нейтронов от поверхности
«ферми-жидкости. Так же, как и сечение рассеяния, коэффициент
отражения можно связать с корреляционными функциями для
плотности ядер ферми-жидкости и плотности их спинов Ф, Y.
248

Чтобы определить коэффициент отражения нейтронов от ферми-
жидкости (будем предполагать, что она заполняет полупростран-
полупространство z > 0), необходимо найти волновую функцию нейтрона, удов-
удовлетворяющую, очевидно, уравнению
где Ж— гамильтониан взаимодействия нейтронов с ядрами фермя
жидкости. Функция г|э должна удовлетворять следующим гранич-
граничным условиям: при z = — оо она сводится к сумме падающей вол-
волны cexpj-i- (pr — Et)\ (где с'— единичная спинорная амплитуда
и pz^> 0) и отраженных волн; при z = + оо исчезает.
Подставляя величину Ж в форме Ж = V + ЬЖ, где
V =в (ЖУ = - ^ аРо, б^ = - 25? («dp + Ьв-м), C4)
будем искать волновую функцию нейтрона в виде ряда по степе-
степеням ЬЖ г i|) = t|>o + бг|) + . .. Для функции г|H получаем
J при
с2 exp j-i- (pr р + #г) —jE*)J при z > 0,
где р и pt — компоненты векторов г и р, параллельные поверхно-
поверхности жидкости,
g = yp*-2>nV(Im g > 0) и сг = (рг - g)/(pz +g),c2 = 2pJ(pz + g).
Поскольку функция 6г|) удовлетворяет уравнению
{- Ш -Ж ~ ? Д + 0 (z) V} б^ <г> *) = - ЬЖ <г' О *о (г,«), C5>
то ясно, что при z < 0 она является суперпозицией отраженных
плоских волн
(г, *) - Jt,(P;, F)exp{-L(p'.r - ЕЧ)}^^, C6>
где р; = - V2mE' - pt\
Чтобы найти бг|) при z > 0, применим к уравнению C5) преоб-
преобразование Фурье по переменным р и t и преобразование Лапласа
24»

по переменной z. Вводя обозначение
оо
Ф (Р;, Е'; w) = ^d9dtexp|- i-(P;P - E't)] Jdzexp (- ^
0
получаем
Ф (P,\ E'\ w) = (g'* + w*)-1 {h (w + ipz) т| (P;, E') +
+ 2тЬЖ (Р; - Vt, E'-E\w- ig) c2}, C7)
где ЬМ (р^, ?; w) — преобразование Фурье — Лапласа от функ-
функции
Амплитуда отраженной волны г\ может быть найдена из усло-
условия бф = 0 при z = + оо. Действительно, из этого условия сле-
следует, что функция ф (w) ^ ф (р^Ё"; w) не может иметь полюсов
при Него ^> 0. Поэтому выражение, стоящее в скобках в уравне-
уравнении C7), должно обращаться в нуль при w = — igr
Tl ф^> & ) — -j
i + ipz
w= —ig
_ (pj __ Pf) p + (Ef -E) t]} 6^ (г, О c2. C8)
Это соотношение, в комбинации с уравнениями C6) и C4), выража-
выражает волновую функцию отраженных нейтронов через флуктуации
бр и х.
15. Коэффициент отражения
Поскольку теперь мы знаем волновую функцию i|) при z < О,
следует найти поток отраженных нейтронов, усреднить его по флук-
туациям ферми-жидкости и найти коэффициент отражения, т. е.
отношение потока отраженных частиц к потоку падающих.
Если бы флуктуации в ферми-жидкости отсутствовали, то 6i|) ис-
исчезало бы и существовало бы только упругое отражение нейтро-
нейтронов от поверхности Е' — Е, р? = рь pz = — pz, о' = а с
коэффициентом отражения, равным А0 = | рг — g \ 2 \pz + g \ .
Благодаря флуктуациям ферми-жидкости б г|) =f= 0, поэтому ко-
коэффициент отражения содержит также дополнительный член
250

Используя уравнения C4), C6) и C8), представим коэффициент от-
отражения нейтронов в форме
где
-2Z
Здесь имеем
r = rx — r2,
Мы учли, что коррелятор (б^^, ^iN^+(r2» ^2)) зависит от пере-
переменных Pi, р2 и ?lf ?2 только в комбинациях рх — р2, t± — t2.)
Величины dAft, dA\\: характеризующие потоки отраженных ней-
нейтронов с импульсом р' без переворота и с переворотом спина, мо-
могут быть названы дифференциальными коэффициентами отраже-
отражения.
Как мы видим, они определяются корреляторами флуктуации
плотности ядер ферми-жидкости и их спинов. Эти последние долж-
должны быть определены, вообще говоря, с учетом границы ферми-жид-
ферми-жидкости. Если, однако, рассмотреть длинноволновые флуктуацииг
для которых l/q^> d, где d ^ —5- есть среднее расстояние между яд-
ядрами ферми-жидкости, то можно, очевидно, пренебречь гранич-
граничным эффектом и вычислять корреляторы так, как если бы ферми-
жидкость заполняла все пространство. В этом случае, которым
мы только и будем интересоваться, корреляторы даются уравне-
уравнениями E) и A5).
Если 1С
то пределы интегрирования по z в уравнении C9)
можно заменить на — оо и оо. В итоге получаем следующее окон-
25t

нательное выражение для дифференциальных коэффициентов от-
отражения нейтронов от поверхности ферми-жидкости:
а |2 Ф (д, со) + ^ | Ъ |2 Т (д, со)} 9 (— р'г) dp' +
D0)
dAn=lilpL>* 4-i^i2^(g>^)9(-
Мы видим, что коэффициенты отражения имеют ту же структу-
структуру, что и сечения рассеяния. В частности, полюса функций Фи?
соответствуют острым максимумам коэффициентов отражения, обя-
обязанным возбуждению нулевого звука нейтронами. Поскольку для
возбуждения нулевого звука должны выполняться неравенства
ип ]> s,s' и hq <^р0, максимумы в отражении существуют лишь
при скользящем падении нейтронов (р ')
16. Применения
Теория, развитая выше, может быть применена к изучению рас-
рассеяния нейтронов в жидком Не3. Скорость нулевого звука (v-зву-
ка) в нем составляет, согласно Ландау, 192 м/сек ((i-звук, по-видимо-
по-видимому, [8] не может распространяться в жидком Не3).
К сожалению, в жидком Не3 велико поглощение медленных
нейтронов. При энергии порядка 1° К сечение радиационного
захвата нейтронов в Не3 составляет <зс ^ 105 б, в то время, как
сечение рассеяния только а0 ~ 1 б- Поэтому на каждый акт рас-
рассеяния будет приходиться очень большое число захватов нейтро-
нейтронов, что приведет к сильному поглощению нейтронной волны.
Так как длина пробега нейтрона по отношению к захвату равна
(poGc^^lO см, то рассеяние нейтронов будет происходить толь-
только в поверхностном слое Не8, эффективная толщина которого со-
составляет 10~3 см. Кроме того, следует иметь в виду, что жид-
жидкий Не3 будет разогреваться за счет энергии ядерных реакций,
обусловленных захватом нейтронов (эта энергия составляет
50 • 104 эв на один захват нейтрона, что соответствует нагреву
1016 ядер Не3 на 1° К на один акт рассеяния). Все это затруд-
затрудняет проведение экспериментов по рассеянию медленных нейтро-
нейтронов в жидком Не3.
Эксперименты по отражению нейтронов от поверхности жид-
жидкого гелия, возможно, окажутся более плодотворными для изу-
изучения нулевого звука1 в Не3. Коэффициент отражения при
Это соображение было независимо высказано Ф. Л. Шапиро.
252

скользящем падении нейтронов должен иметь, как было показано
выше, максимумы, соответствующие возбуждению нулевого зву-
звука нейтронами.
Авторы хотели бы выразить благодарность Л. Д. Ландау,
С. В. Пелетминскому и Л. П. Питаевскому за стимулирующие об-
обсуждения.
Физико-технический институт Получено 1 апреля 1962 г»
Академии наук
Украинской ССР
Институт теоретической
и экспериментально й физики
А кадемии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Я. Ахиезер, И. А. Ахиезер, И. #. Померанцу к. ЖЭТФ, 1961, 41, 478
(Собр. трудов, № 23).
2. L. Van Hove. Phys. Rev., 1954, 95, 249.
Ъ. Л. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1956, 30, 1058.
4. А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 1958, 34, 198.
5. Л. Д. Лан day, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., Гос-
техяздат, 1957.
6. Л. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1957, 32, 59.
7. И. М. Халатников, А. А. Абрикосов. ЖЭТФ, 1957, 33, 1154.
8. А. А. Абрикосов, Я. М. Халатников. УФН, 1958, 66, 177.

IV
РАССЕЯНИЕ II ПОГЛОЩЕНИЕ НЕЙТРОНОВ.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
25
О РАССЕЯНИИ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ *
Определяется вероятность упругого и неупругого рассеяния медленных
нейтронов в кристаллической решетке. При /сО ^> Е ^> кТ (Е — энергия
нейтронов, 0 — дебаевская температура решетки) захват нейтронов становит»
ся значительно больше, чем неупругое рассеяние, и поэтому не может уста-
установиться тепловое равновесие между нейтронами и решеткой.
Рассеяние и замедление нейтронов свободными ядрами были
подробно рассмотрены Ферми [1]. Полученные им результаты мо-
могут быть применены к рассеянию нейтронов в кристаллической ре-
решетке только в том случае, когда энергия нейтронов велика по срав-
сравнению с энергией связи ядер в решетке. Если это условие не соб-
соблюдено, то необходимо учесть связь ядер в решетке. Целью насто-
настоящей работы является изучение рассеяния и замедления медлен-
медленных нейтронов связанными ядрами. Этот вопрос был недавно рас-
рассмотрен Виком [2,3]. Вик, однако, не учитывает наличие изотопов,
а также влияние механических моментов ядер. Полученные нами
результаты будут содержать, как частный случай, результаты ра-
работы Вика.
В дальнейшем мы будем считать, что энергия нейтронов недо-
недостаточна для возбуждения ядер. Это дает возможность пользовать-
пользоваться упрощенной формой взаимодействия между ядрами и нейтро-
нейтронами.
* ЖЭТФ, 1937, 8, 894; Phys. Zs. Sowjet., 1938, 13, 65.
254

1. Энергия взаимодействия
Несмотря на то что взаимодействие между нейтроном и ядром
велико, при рассмотрении упругого рассеяния медленных нейтро-
нейтронов ядрами можно, как показали Плачек и Теллер, пользоваться
методами теории возмущений, беря энергию взаимодействия в виде
б-функции от расстояния между нейтроном и ядром
V = аб (г), A.1)
где а — коэффициент, не зависящий от г.
Когда у ядра есть механический момент, то при рассеянии на-
направление спина нейтрона может измениться на обратное. Это
изменение связано с поворотом момента ядра в соответствии с за-
законом сохранения момента количества движения. Отсюда следует;
что коэффициент а состоит из двух членов: постоянной А, не за-
зависящей от спина нейтрона и момента ядра, и члена, учитывающе-
учитывающего возможность изменения направления спина, который, очевидно,
должен содержать спиновые матрицы нейтрона и матрицы момента
ядра. Так как спин нейтрона равен V2, то квадрат его спиновых
матриц .равен единичной матрице. Поэтому энергия взаимодейст-
взаимодействия может содержать спиновые матрицы нейтрона только линей-
линейно. Отсюда следует, что а имеет вид
а = AI + B(KS) = AI + B(KXSX + KySy + KZSZ). A.2)
Здесь В постоянная, Кх, Ку, Kz — матрицы момента ядра,
aSx, Sy, Sz с точностью до постоянной равны матрицам Паули:
/ — единичная матрица.
Кх, Ку, Kz имеют следующие, отличные от нуля, матричные
элементы:
{Kz)mm = ГП,
(Кх + tKv)m+lt т = (Кх- iKy)m> m+1 = Yl (/ + l)-m(m + 1), A.4)
где т — магнитное квантовое число ядра, / — квантовое число,
Определяющее момент ядра.
В A.2) за переходы без изменения направления спина отвечают
члены:
AI + BKZSZ;
за переходы с изменением направления спина соответственно:
BKXSX + BKySy.
Постоянные А и В, входящие в A.2), связаны с эффективным
поперечником упругого рассеяния нейтронов отдельными ядрами
255

следующим легко выводимым соотношением;
где М — масса ядра, т — масса нейтрона.
Заметим, что из условия эрмитовости для оператора Гамильто-
Гамильтона следует, что А и В — вещественные числа. Полная энергия
взаимодействия нейтрона с кристаллической решеткой получается
суммированием A.2) по всем ядрам решетки:
Sl^Z + ^K^ldOr-R,). A.6)
I
Здесь г — радиус-вектор нейтрона, R/ — радиус-вектор
Z-ro ядра.
В заключение следует указать, что А и В могут рассматриваться
как постоянные только при рассмотрении рассеяния достаточно
медленных нейтронов. Интервал нейтронных энергий, для кото-
которых А и В сильно меняется от элемента к элементу, нами не учтен.
В частности при рассмотрении рассеяния нейтронов протона-
протонами А и В являются постоянными вплоть до энергий нейтронов в не-
несколько десятков тысяч электрон-вольт. (Энергия XS уровня дейт-
дейтрона равна 120 000 эв.)
В дальнейшем мы всюду будем считать, что рассматриваемые
нами нейтроны обладают такими скоростями, что для них предполо-
предположение о постоянстве А ж В является законным.
2. Матричный элемент перехода
Будем рассматривать нейтрон и кристаллическую решетку
как одну квантово-механическую систему. Ее состояние характе-
характеризуется заданием следующих величин: импульса нейтрона р,
его спинового магнитного квантового числа (Л, магнитных кванто-
квантовых чисел всех ядер решетки тп, квантовых чисел щ всех осцил-
осцилляторов, описывающих тепловые колебания решетки.
Рассеяние нейтрона можно представить как переход системы
из состояния р^щ ... п8 ... т1 ... тх ...
в состояние р'^'щ ... п8 ...тх ... т\ ...
Волновая функция рассматриваемой нами системы имеет видг
пФт;, BЛ)
где Q — объем, в котором заключена система, Фп1 — волновая
функция i-то осциллятора, ц>тг — волновая функция Z-ro ядра
решетки, зависящая от его внутренних координат (из квантовых
чисел, описывающих состояние Z-ro ядра, мы пишем только маг-
магнитное rrti, так как в°е остальные квантовые числа при рассеянии
256

не изменяются), %^— спиновая функция нейтрона, представляю-
представляющая собой матрицу с 1 колонкой и 2 строчками:
2%X = i> 2ед,,=о.B.2)
Пользуясь A.3), легко доказать следующие соотношения:
1 1
Матричный элемент перехода в соответствии с A.6) и B.1) ра-
равен
r-V> Д фп. П фтД., dTr dT П dtn. B.4)
Значок * означает комплексно-сопряженную величину; dir —
есть произведение дифференциалов нейтронных координат; в dx
входят дифференциалы переменных, описывающих колебания
решетки; в dxn — дифференциалы внутренних переменных гг-го
ядра решетки. Уничтожая б-функцию интегрированием по dxr
и подставляя вместо Rz R° + \Jh где R° — положение равновесия
Z-ro ядра, Uj — его смещение из положения равновесия, вызван-
вызванное тепловыми колебаниями решетки, получаем:
¦i-P'-P.R1
B 5)
Рассмотрим теперь рассеяние, при котором направление спи-
спина не меняется. Тогда, согласно A.4), B.2) и B.3), мы имеем сле-
следующее выражение для матричного элемента перехода:
хШф^лР'Р'и/П Ф/ dxe * (Ep~Epf)'. B.6)
9 И. Я. Померанчук, т. I 257

Здесь знак плюс будет в том случае, когда (i = V2, знак минус,
когда (I = — г1г.
При переходах с изменением направления спина матричный
элемент неравен нулю] только тогда, когда все т\* = mv за ис-
исключением одного (mj), для которого т\ = тх + 1. При этом
согласно B.2) и B.3) мы имеем
X \Цф:АР'-р-"Ч1ф .d*T<*HV>'. B.7)
Знак плюс относится к тому случаю, когда \х' = 1/2, знак минус,
когда Ji'= — V2-
3. Упругое рассеяние
Мы применим теперь формулы B.6) и B.7) к рассмотрению уп-
упругого рассеяния нейтронов с длиной волны X большей, чем по-
постоянная решетки d. Нашему условию удовлетворяют нейтроны,
энергия которых меньше, чем
H2/2md\ (ЗА)
В соответствии с C.1) мы можем воспользоваться следующим раз-
разложением
1 л г " ' C.2)
Р'-Р, U
п
4<0-
(легко видеть, что
Так как при упругом рассеянии состояние колебаний решетки
не меняется (все п\ = щ), достаточно в C.2) ограничиться первым
членом. Второй член в C.2) ответствен за неупругое рассеяние.
Подставляя в B.6) и B.7) вместо eh ' l единицу, мы имеем:
п р р , B.6)
Вероятность упругого рассеяния нейтрона на данный угол бу-
будет:
при неизменном направлении спина
VPih}i
/п > C.3)
258

при изменении направления спина
dW*=-SSSf 2 т tf I/, (/г+*)-«*; к ± 1I.
где (Юр> — элемент телесного угла рассеянного нейтрона. В C.4)
написана вероятность рассеяния, полученная из B.7) и просумми-
просуммированная затем по всем ядрам решетки.
Усредняя C.3) и C.4) по всем значениям магнитных квантовых
чисел ть мы находим с помощью хорошо известной формулы:
следующие выражения для вероятностей:
. (з.5)
-
Величины dW1 и dW2 необходимо далее усреднить по всем воз-
возможным распределениям изотопов в решетке (каждый изотоп ха-
характеризуется своими коэффициентами А ж В), При таком усред-
усреднении ys?/z(/z + 1) не изменится, и нам остается только найти
i
среднее значение от
г р'-р, R?
Это выражение можно преобразовать следующим образом:
(Лг -
C.7)
Здесь А = 2С8Л8 — среднее значение А, С8 — концентрация
ядер с 5-м значением постоянной А. При усреднении C.7)
9*
259

вторая и третья суммы дают нуль, например,
Г I
Среднее значение от первой суммы будет
i v
Здесь недиагональные члены равны нулю:
(At — A) {Av — А) = AtAv — А А, - Л 4г« + I2 = 0.
Заметим, что
8S'
Что касается диагональных членов, то каждый из них равен
Подставляя это в C.7), находим
Здесь во втором члене можно произвести суммирование спер-
сперва по всем ядрам, входящим в состав одной элементарной ячейкИ|
а затем суммировать по всем ячейкам:
Теперь R? есть радиус-вектор какой-то определенной точки
внутри элементарной ячейки, Rv — радиус-вектор ядра по от-
отношению к этой точке. Сумма по v распространяется по всем яд-
ядрам, входящим в состав 1 элементарной ячейки.
Вторая сумма, входящая в C.8), может быть переписана так?
Л w v'z l\ C.9)
260

Очевидно, что все три множителя в C.9) подобны друг другу;
поэтому мы вычислим только сумму с я-овыми компонентами. Вве-
Введем для упрощения обозначения
(P'-P)x (P'-PJj, (Р'-Р),
и воспользуемся формулами *:
где nx, и2»пз — целые положительные числа, A + nmax)s = iV2.
JV^ — общее число элементарных ячеек в решетке. Первый мно-
множитель в C.9) можно записать так:
nmax
2-
n=0
i (l+nn
i-e
sin2
1 e * C.10)
sin2
C.10) имеет острый максимум для qx% удовлетворяющих усло-
условию:
qx = Inmjd^ . C.11)
где т1 — целое число. Для qy и qz действуют аналогичные условия.
Отсюда видно, что вторая сумма в C.8) соответствует переходам
типа пайерлсовских процессов переброса.
Так как C.10) ведет себя подобно б-функции, удобно преобра-
преобразовать его к виду, содержащему 6-функцию. C.10) велико только
для таких значений аргумента, при которых sin qxdxl2 мал. Эти
значения даны в C.11). Поэтому для любой, не обращающейся в
бесконечность, функции имеет место равенство
. а (* + "max) ggfo
?* sin2 g
\ / (Qx) j dqx =
ci sin2 -Jy^
2^T +* . J1 + "max) Vxdl
ш 2nmft
где e — малая величина.
В C.12) суммирование распространяется по всем тк, для кото-
которых выполнено неравенство
1 Эти формулы справедливы только для определенного вида решеток. Мы
можем, однако, воспользоваться ими, так как значение интересующей нас
суммы не зависит от типа решетки.
261

Для вычисления интеграла, входящего в C.12), сделаем за-
замену переменных: qx = 2nmh/dx + т|, что дает
. a _ . e • о ("max
Sin^ о * Sin2
3 sin2 (? ,/i)/2
2nm
c\
Так как ёгг «^ 1, можно sin {d-^12 заменить на dlv\/2 и в по-
полученном интеграле пределы распространить до бесконечности
. .
2
sin* (*4)/2 -I-— dl
Подставим это в C.12)
'max + 1)
di
Отсюда следует равенство
%{»»* +1). C.13)
С помощью C.13) и C.8), C.5) мы можем записать следующее
окончательное выражение для вероятности упругого рассеяния
на данный угол:
C.14)
Вводим величины: р — число ядер в 1 см3, рх — число элемен-
элементарных ячеек в 1 см3
рг = N2/Q.
Проинтегрировав C.14) по dOP', получим полную вероят-
вероятность упругого рассеяния
_ г) = 5 (gx - ^) 6 (g, - ^) 6 (g, - i^) . C,15)
262

Заменяя под знаком б функции q и г на безразмерные векторы
j и 2ят (у т— целочисленные проекции), получаем вместо C.15)
Когда импульс нейтрона р становится меньше, чем Й/d (d —
одна из постоянных решетки), процессы переброса оказываются
невозможными [легко видеть, что в этом случае равенство C.11)
не может быть удовлетворено при т, не равном нулю].
Для таких медленных нейтронов W равняется
Длина свободного пробега Хе, отвечающая упругому рассея-
рассеянию, соответственно будет
Хе = ** C.16)
Из формулы C.16) видно, что если ядра решетки не обладают
магнитными моментами и в решетке нет изотопов, то исчезает
упругое рассеяние нейтронов с длиной волны большей, чем посто-
постоянная решетки.
4. Неупругое рассеяние
Рассмотрим неупругое рассеяние медленных нейтронов с
энергией, достаточной для возбуждения только дебаевских тепло-
тепловых колебаний решетки. Обратимся к процессам рассеяния, при
которых нейтрон отдает 1 квант колебательной энергии решетке.
В этом случае в разложении C.2) необходимо взять оба члена:
так как первый член (единица) дает при интегрировании нуль в
силу ортогональности собственных функций Ф. Заметим, что для
нейтронов, энергия которых достаточна только для возбужде-
возбуждения дебаевских тепловых колебаний, величина
p'-p,U
где X — длина волны нейтрона значительно меньше единицы. По-
Поэтому одновременное испускание двух или большего числа кван-
263

тов является менее вероятным процессом, чем испускание одного
кванта, ибо за многоквантовые процессы отвечают высшие члены
разложения D.1). Интеграл, входящий в B.6) и B.7), имеет вид
т. D.2)
Как известно,1 Ut можно представить в виде
и, = 2 <* Дf R? mV
где звездочка означает комплексно-сопряженную величину, etj —
единичный вектор поляризации колебания с волновым вектором
f/ft, a atj — его комплексная амплитуда; значок / отличает раз-
различную поляризацию колебаний. Величины ац и afy имеют сле-
следующие, неравные нулю матричные элементы:
/W4'> D-4)
где iVM — масса кристалла, Ofj — круговая частота колебания
с волновым вектором f / Я.
Подставляя D.2) в D.1) и пользуясь D.3), мы получаем:
D.5)
где e*j и cofj относятся к возбужденному нейтроном колебанию.
Матричный элемент перехода, при котором направление спина
не меняется, будет согласно C.5), C.9) и D.4) равен г:
и) X
D 6)
Для того чтобы получить вероятность неупругого рассеяния,
необходимо, как и в прошлом параграфе, усреднить квадрат мо-
модуля D.6) по магнитным квантовым числам и по распределениям
изотопов. Это усреднение проводится аналогично усреднению в
1 Если все Ai одинаковы (нет изотопов) и моменты ядер равны нулю, то D.5)
отлично от нуля только при условии р' — р + f = 2n#q (q — вектор
обратной решетки). В нашем случае это невозможно.
264

предыдущем параграфе, так что квадрат модуля D.5) будет
Добавляя согласно C.17) соответствующее выражение для не-
неупругого рассеяния с изменением направления спина, мы получа-
получаем следующее выражение для вероятности неупругого рассеяния,
при котором испускается квант продольных колебаний с частотой,
лежащей между со и о + dco и волновым вектором f/Й, а импульс
рассеянного нейтрона находится внутри телесного угла <ЮР'#.
ЮР. cos О,, D.7)
где st — скорость продольного звука.
Легко показать, что при Т <^ 0 и Е ^> кТ член с га в D.7)
(индуцированное испускание) играет меньшую роль, чем член с
единицей (спонтанное испускание), поэтому в дальнейшем мы
заменим п + 1 на 1. По этой же причине мы не будем рассматри-
рассматривать поглощение нейтроном 1 фонона.
Интегрируя D.7) по направлениям испущенного фонона, по-
получаем вероятность неупругого рассеяния на данный угол с поте-
потерей энергии от Н(о до Н (со + dec). Заметим при этом, что в нашем
случае закон сохранения импульса не имеет места:
Выбирая за полярную ось р — р' и помня, что угол между е
ир' — р для продольных колебаний равен углу между f и р' — р
(т. е. углуф в нашей полярной системе координат), получаем, что
J cos2 tff
Соответствующий интеграл для поперечных колебаний будет
8 я/3. [В самом деле, поляризацию одного из поперечных колеба-
колебаний можно выбрать перпендикулярно к плоскости р' — р и f;
поляризация другого будет тогда в этой плоскости: cos df первого
колебания равен 0, cos'&f второго равен sinft в нашей координат-
2
ной системе ^ dq> ^sin2 Ф sin ddft = -у-1. Подставляя D.8) в D.7)
о о
и добавляя часть, вызванную испусканием поперечных колеба-
265

ний, имеем
S 1 5~
Теперь 0 есть угол между р и р', &* — скорость поперечного звука.
Интегрируя по dOv>, находим вероятность неупругого рассея-
рассеяния с потерей энергии от Йсо до Н (со + dec):
D.10)
Здесь р' = j/p2 — 2mft(o.
Выразим в D.10) со через Е' = р'2/2т
т* (Е* — Е'2) YW dE' ( 1
Из D.11) видно, что вероятность сильно растет при увеличе-
увеличении потерянной энергии и что главную роль при неупругом рас-
рассеянии играют переходы с потерей энергии порядка начальной
энергии нейтрона. Интегрируя D.11) по Е', находим следующее
выражение для полной вероятности неупругого рассеяния:
lf + Tf j
Длина свободного пробега Хи, соответствующая неупругому
рассеянию, будет
Воспользовавшись соотношением:
(8 — дебаевская температура), мы можем выражению D.13) при»
дать вид
7
Так как мы считали ? <^ &Э, то Яи^> Я/, т. е. неупругое рас-
рассеяние в наших условиях значительно меньше упругого.
266

5. Соотношение между неупругим рассеянием
и захватом нейтронов в твердом водороде
Представляет интерес сравнение длины свободного пробега,
соответствующей захвату нейтронов Кс и длины свободного пробе-
пробега Яи, вычисленной в предыдущем параграфе. Если Хс больше
чем Хи, то рассматриваемые нами нейтроны будут замедляться до
энергий, соответствующих тепловому равновесию с решеткой.
Если же ^с < Kui то захват нейтронов наступит раньше, чем они
замедлятся.
Для того чтобы произвести сравнение Кс и Ки, необходимо оп-
определить постоянные А и В, входящие в выражение для ^и. Это
можно сделать только для водорода, так как для него экспери-
экспериментально известны поперечники рассеяния нейтронов протона-
протонами при параллельном и антипараллельном спине протона и нейт-
нейтрона. Из этих поперечников, зная, что синглетный уровень Х5
дейтрона является виртуальным (Ферми [4], Теллер и Швингер
[5]), можно определить амплитуды рассеянных волн. Сравнивая их
с амплитудами, полученными с помощью энергии взаимодействия
B.2), можно определить А и В.
Согласно Мотту [6] амплитуда рассеянной волны, в случае
медленных частиц имеет вид
4W>4._.l)f E.1)
2rik
к = 2п/К, X — длина волны нейтрона.
По Бете [7] для параллельных спинов нейтрона и протона
(триплетный уровень 35 дейтрона)
Здесь е — энергия триплетного уровня дейтрона, равная, соглас-
согласно Бете, 2,15 -106 эв. В E.1) нужно подставить наименьшее по аб-
абсолютной величине значение г]0. Так как ctg yj << 0, то г]0 будет
отрицательным и
Кк Нк
7
me
(р == Нк — импульс нейтрона — значительно меньше У2тг).
Заменяя sin тH на т|0, мы получаем: т]0 = — Hk/jfme, поэтому
вместо E.1) можно написать
E.2)
где а3 — амплитуда рассеянной волны для триплетного уровня»
Для синглетного уровня мы будем иметь выражение, аналогич-
267

ное E.2), но с противоположным знаком, так как синглетный уро-
уровень дейтрона виртуальный
= _?^2L E.3)
1 г Уть1 v '
где е' = 120 000 эв.
Коэффициент а A.2) удобно преобразовать следующим обра-
образом:
А + В (KS) = А + 4(К + SJ- \ К* —*-& = А +4/о (/о +1) -
Здесь /0 — квантовое число, определяющее момент системы, со-
состоящей из ядра и нейтрона; / — квантовое число, определяющее
момент ядра. (Для протона / = 1/2).
Когда спины нейтрона и протона параллельны/0 = 1,
+±В). E.5)
При антипараллельных спинах протона и нейтрона / = 0
E.6)
Пользуясь методом Борна [8], мы находим следующие выраже-
выражения для амплитуд рассеянных волн:
а3 =
4яй2г
E.7)
"! 4я/*2г
Сравнивая E.2), E.3) и E.7), мы находим
h т
Решая эти уравнения, определяем А и В:
VI ^ у?Г «% ( VI
подставляя значение е и е', получаем
А = —1,1.10~42 эрг см*у 5 = 9-10~42 эрг см3. E.8)
268

Формула D.14) дает для Хи следующее выражение:
я _пч1023 7 ffceV
е = 9i°.
E.8')
Для нахождения Яс воспользуемся тем фактом, что для тепло-
тепловых нейтронов при 300° К отношение эффективных поперечников
рассеяния ае и захвата (протонами) равно приблизительно 140>
аае =43.1024сж2.
Отсюда
с"~<зсР~ 2,8-Ю5.43.10--4р ' ^'^
где и — скорость нейтрона.
Из сравнения E.9) и E.8') мы находим
0,32.10s
140г?
_fc8\3 _ / 30\Т
Е ) ~ [ То )
где То = EJk. Когда энергия нейтрона меньше 30°, Хс ста-
становится меньше Хи и дальнейшее замедление нейтронов в твердом
водороде прекращается. По-видимому, и в решетках других ве-
веществ должна существовать область нейтронных энергий, где име-
имеют место аналогичные соотношения. Имеющиеся эксперименталь-
экспериментальные данные подтверждают этот вывод [9].
Украинский физико-технический институт
Харьков
ЛИТЕРАТУРА
Получено
28 апреля 1938 г.
1. Fermi. La Ricerca Scientifica, 1936, 2, 13.
2. Wick. Phys. Zs., 1937, 38, 403.
3. Wick. Phys. Zs., 1937, 38, 689.
4. Fermi. Phys. Rev., 1936, 50, 809.
5. Teller, Schwinger. Phys. Re\., 1937, 52, 286.
6. Мотт, Мэсси. Теория атомных столкновений. ОНТИ, 1936, стр. 38.
7. Bethe, Backer. Rev. Mod. Phys., 1936, 8, 116.
8. Мотт, Мвсси. Теория атомных столкновений. ОНТИ, 1936, стр. 112.
9. Leipunsky, Rusinow. Phys. Zs. Sowjet., 1937, 12, 460.

26
ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
В ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМАХ*
Совместно с И. И. Гуревичем
1. Малые блоки1
Резонансное поглощение в системах, представляющих смесь
урана и замедлителя, можно уменьшить, если вещество, погло-
поглощающее нейтроны (уран), распределить неравномерно, сосредо-
сосредоточив его в виде отдельных блоков, разделенных замедли-
замедлителем.
Легко понять причину, вследствие которой применение систем
блоков приводит к уменьшению резонансного поглощения.
В случае однородной смеси захватывающего вещества и замед-
замедлителя нейтроны, замедлившись до резонансных энергий, продол-
продолжают двигаться в среде с равномерным повсюду содержанием за-
захватывающего вещества и поэтому с большой вероятностью по-
поглощаются ядрами последнего. В блочной системе при достаточно
больших расстояниях между блоками нейтрон выйдет из опасной
зоны резонансного поглощения раньше, чем достигнет поверхно-
поверхности одного из блоков. Наряду с этим в гетерогенной системе име-
имеет место эффект экранирования внутренних слоев блока внешни-
внешними, вследствие чего в резонансном поглощении участвуют не все
атомы урана.
Оба эти эффекта существенно уменьшают резонансное погло-
поглощение в гетерогенных системах (по сравнению с гомогенной той же
концентрации), если
1>К(Е0), A)
где 1 — средний путь нейтрона в блоке; L — средний путь нейт-
нейтрона в ячейке замедлителя (со — отношение объемов замедлите-
замедлителя и урана); Xs — длина пробега рассеяния нейтронов в замедли-
замедлителе; Хс (Ео) — длина пробега поглощения резонансного нейтро-
нейтрона в уране.
* Международная конференция по мирному использованию атомной энергии,
Женева, 1955, М., 1955, Изд-во АН СССР, стр. 557.
1 Теория резонансного поглощения в малых блоках урана была развита
авторами в 1943 г.
270

Рассмотрим «малые» блоки, для которых средний размер бло-
блока 1 меньше длины рассеяния нейтронов в замедлителе и уране.
Пусть со ^> 1. Условие I < ^позволяет пренебречь эффектом воз-
возмущения поля резонансных нейтронов вблизи блока, а такое же
условие для урана — считать движение нейтрона в блоке прямо-
прямолинейным.
Можно показать, что и в случае I ]> Xs поле резонансных нейт-
нейтронов возмущено слабо, если изменение энергии нейтрона при од-
одном столкновении больше ширины опасной зоны резонансного по-
поглощения
Для «малых» блоков вычисление вероятности избежать резо-
резонансного захвата в процессе замедления (ф) может быть проведена
по образцу кинетической теории газов, где «молекулами» служат
сами блоки.
Длина пробега нейтрона по отношению к столкновению с бло-
блоками равна
L = ± = la, B)
где с — число блоков в единице объема; 2 — среднее геометри-
геометрическое сечение блока (для шаровых блоков 2 = nR2)г.
Определим длину пробега нейтрона энергии Е по отношению к
захвату его блоками
A C)
где ? (Е) — коэффициент «прилипания» нейтрона к блоку, равный
l; D)
/ (I) — функция распределения пробегов нейтронов в блоке.
Если IАс (#)<< 1, то
Относительная вероятность захвата нейтрона блоком может
быть представлена в следующем виде:
—. _. -~, где V— объем блока, S — его поверхность, f= —-
I 4 S '
374

Если резонансное поглощение A — ф) мало, то, как хорошо
известно,
где ?—средняя логарифмическая потеря энергии в замедлителе.
Отметим, что если поле резонансных нейтронов можно считать
невозмущенным и резонансное поглощение малыМ| то связь между
величинами ф и W одинакова для гетерогенного и гомогенного
случаев. Вероятность поглощения в гомогенном случае [1]
Покажем, что выражение E) для W (Е) в случае совсем малых
блоков дает гомогенный результат для величины ф.
I = Я,в/со, то L < 18 и в выражении
-Шф—f J-
g dE
±- Е
существенную роль будут играть значения ? (Е) ж ЫХ8 <С 1
и поэтому для ? (Е) можно взять предельное выражение D').
Тогда
Любопытно отметить, что переход к гомогенности происходит
для блоков с размером I ~ Zo = Xs/co, для которых эффект само-
самоэкранирования может быть еще сильно выраженным (Г<^Л8/о),
но Vco > К)-
Рассмотрим второй предельный случай, представляющий наи-
наибольший интерес, — случай достаточно больших блоков,
Тогда в выражении для
в знаменателе можно пренебречь величиной ? B?) ^ 1 по сравне-
сравнению с большой величиной L/Xs. Таким образом, ф для блочных
272

систем выражается формулой
Подставляя в формулу (8) выражение для ? D), получим
(О
где
J(O=J A-^/Хе(?))^. A0)
(Е)
Рассмотрим две группы уровней U238: первая (нижняя) состоит
из сильных, не перекрывающихся уровней, для которых сечение
захвата в резонансе велико и, следовательно,
>1
где Хс0 = XG (Ео) — длина поглощения в резонансе.
Ко второй группе отнесем высокие .уровни (их может быть мно-
много, и они могут перекрываться), для которых сечения в резонансе
невелики, так что для них
Для энергетической области, соответствующей второй группе
уровней, в формуле A0) можно заменить подинтегральное выраже-
выражение первым членом разложения, т. е. написать:
/ (Z) = 1Х (I) + /2 (I) = J A - е"^ W) *§- + 5^ ~ • A3)
Предполагая, что уровни первой группы не перекрываются,
представим первый интеграл (/х) в виде суммы интегралов, взятых
по отдельным уровням. Используя для каждого из уровней первой
группы формулу Брейта — Вигнера г
Ki(E)^tti(l+x% A4)
— Ео
х =
Л
2
и пренебрегая пока допплеровским уширением линий, запишем
выражение для 1г (I) в следующем виде:
- e'llXoi <1+ж2)) dx-
Фактор 1/ —~- полагается равным единице в пределах эффективной зоны
резонансного захвата ?-м уровнем.
273

В интеграле A5) существенный вклад вносит область | х |
1 [(ZAc0)(l + х2)-^ 1], и поэтому он приближенно равен
(г) (г)
Подставляя A6) в A3) и A3) в (9), получим окончательное вы-
выражение для величины ср
где N — число ядер U238 в 1 см3 уранового блока.
Формула A7) является общей и применима к блокам любой
геометрической формы.
Первый член этой формулы представляет блокируемое погло-
поглощение, пропорциональное
При заданной концентрации урана в замедлителе блокируемое
поглощение меняется как Z/2. Для низко расположенных уров-
уровней, для которых нейтронная ширина меньше радиационной, ooi —
— Е~Ч\ и, следовательно, в этой области блокируемое резонанс-
резонансное поглощение одним уровнем пропорционально Е^*.
Второй член формулы A7) представляет неблокируемое погло-
поглощение, пропорциональное 1/L = 1/со, т. е. не зависящее при данной
концентрации от размера блока.
Для совсем малых блоков (не представляющих, впрочем, прак-
практического интереса) ф может быть вычислено по общим формулам
F), E) и D). При этом получается непрерывный переход от гомо-
гомогенного значения ф к величине, даваемой формулой A7).
Рассмотрим в качестве примера бесконечную периодическую
решетку, состоящую из длинных цилиндрических урановых бло-
блоков. В этом случае
- w ^4-h
S ~" zidh
( 9 П
Г -
2
Y'l = 0,975 Yl ж Yl =
В формулах A8) V,_S и h — соответственно объем, поверхность
и высота уранового блока; а —шаг квадратной решетки.
274

Подставляя выражения A8) в формулу A7), получим
где
И
V = ^n[ в(ЕL§- A9')
(Е)
— суть константы, определяемые уровнями U238.
Как видно из формулы A9), резонансное поглощение нейтронов
в решетке с цилиндрическими урановыми блоками представляется
в виде суммы блокируемого (— d3/2) и неблокируемого (— с?2)
поглощений.
Разбиение уровней U238 на две группы (блокируемые и неблоки-
руемые), соответствующие обоим членам формулы A7), строго
говоря, определяется размерами блоков. Поэтому формула A7)
может рассматриваться лишь как интерполяционная для не слиш-
слишком широкого интервала диаметров блоков,
2. Учет допплеровского уширения линий
Допплеровское уширение приводит к увеличению резонансного
поглощения A — ф) и к зависимости его от температуры урана.
Эффект Допплера не оказывает влияния на неблокируемую часть
резонансного поглощения, даваемую вторым членом формулы A7).
Это обстоятельство связано с тем, что для каждого уровня
Площадь уровня \e(E)dE всегда равна -^~Я50Г и не зависит
от допплеровской ширины Д.
Для оценок воспользуемся формулой допплеровского уширения
в газе. Эффектами, специфическими для твердого тела, будем пре-
пренебрегать. Тогда
(Е)
^=TVT \ ии *У* (a»
х =
2
/г
Уя
Г
2
oo _J-
p в 4
—OO
Г
Л '
IJ
-dy,
Д =
л/"ЕокТ
У А
275

Дальнейшие оценки будут произведены для одного уровня при
Д ^> Г. Известно, что далекие крылья полосы поглощения при
tj2 х ^> 1 совпадают с дисперсионной формулой Брейта — Вигнера.
При tj2 х <^ 1 получим
?1Т**. B1)
Таким образом, для одного уровня
e-lN°oi*i)^dl. B2)
Заметим, чт,о эффект Допплера не должен сказываться на ре-
резонансном захвате, обусловленном первыми уровнями блокируе-
блокируемой группы. Для нижних уровней, где Хс0 очень мала, это связана
с тем, что при условии-г— !^> 1 из падающего на блок нейтронного
спектра «выедаются» почти все нейтроны с АЕ = Е — i?0^> —
и поэтому контур поглощения является практически брейт-вигне-
ровским. Эффект Допплера может играть существенную роль
только для относительно высоких уровней блокируемой группы,
т. е. для уровней, непосредственно прилегающих к неблоки-
руемой группе.
В соответствии с приведенными выше замечаниями разобьем
блокируемый резонансный захват на две составляющие. К первой
составляющей отнесем поглощение, связанное с нижними резонан-
резонансными уровнями U23S, которое описывается выражением, анало-
аналогичным первому члену формулы A7). Ко второй слагающей отне-
отнесем поглощение, обусловленное уровнями средних энергий с доп-
плеровской формой резонансного контура.
Для грубой оценки второй слагающей блокируемого поглоще-
поглощения воспользуемся предельным выражением для функции i|p (tj, x),
справедливым в том случае, когда резонансный контур имеет чисто
допплеровскую форму.
Введем понятие эффективной ширины блокируемого резонанс-
резонансного захвата на одном уровне (Д2?Эф) ПРИ помощи соотношения
1 «1. B3)
Подставляя в выражение B3) сначала формулу A4), а затем
B1), получим
276

для резонансного контура, описываемого формулой Брейта —
Вигнера и
для чисто допплеровского контура.
Как видно из формулы A7), выражение для блокируемого резо-
резонансного захвата, с точностью до множителя порядка единицы,
может быть представлено так:
^3^1. B4>
(г)
Ввиду этого формулу для резонансного захвата, учитывающую
эффект Допплера, в грубом приближении можно записать следу-
ющим образом:
B5>
В формуле B5) первый член описывает блокируемое резонанс-
резонансное поглощение на наиболее низких уровнях. В этой области
энергий эффект Допплера практически не оказывает влияния на
резонансный захват. Второй член дает блокируемое поглощение в
области уровней, характеризующихся допплеровской формой ре-
резонансного контура. Наконец, третий член представляет неблоки-
руемый резонансный захват на высоко расположенных уровнях,,
для которых форма контура не существенна.
Зависимость резонансного поглощения от температуры опре-
определяется, очевидно, вторым членом формулы B5). Учитывая, что
А = у —^д—и пренебрегая слабой логарифмической зависимостью
V lnocl, можно представить выражение для резонансного захвата
на один уровень в допплеровской области в следующем виде:
Таким образом, в допплеровской области резонансное погло-
поглощение на один уровень,' грубо говоря, пропорционально корню
квадратному из температуры урана (У*Г) и обратно пропорцио-
пропорционально корню квадратному из энергии уровня.
Количественное рассмотрение резонансного захвата блоками
с учетом допплеровского уширения линий было произведено
Ф. Л. Шапиро.
277

Он нашел, что интеграл поглощения
(E)
определяющий ф,
Ь8Г. л
Oi (г)
равен:
U (I) = na0ZjV 2 (~
B7)
При весьма сильных поглощениях (o0lNiJ > 5):
П@ = 2/я
В промежуточной области, в которой поглощение связано с
эффектом Допплера,
Формула B8) была получена для промежуточного интервала
.энергий f 10<^iVa0Zr]<[ — ]ЛпМзо/г] ), в котором поглощение оп-
определяется в основном допплеровской формой контура. В области
применимости формулы B9) основную роль играет первый член
выражения, пропорциональный второму члену приближенной
•формулы B5).
Как уже отмечалось в § 1, полученные выражения для ф по-
показывают общий характер зависимости ф от концентрации урана
в решетке и размеров блоков. Отсутствие экспериментальных дан-
данных о точной структуре всех полос поглощения U238 требует опре-
определения ф в макроскопическом опыте.
278

3. Большие блоки
Теория резонансного поглощения в больших блоках была раз-
развита А. Д. Галаниным. Он рассмотрел предельный случай: ре-
резонансное поглощение блоками, размеры которых значительно
больше длины рассеяния в них( р = -tj-^^-F ).
Так же, как и ранее, будем считать, что ширина энергетической
зоны, в которой происходит эффективное поглощение нейтронов,
блоком, значительно меньше скачка энергии при столкновении с
атомом замедлителя.
Здесь будет рассмотрено блокируемое резонансное поглощение
одним изолированным уровнем.
Поглощение блоком разобьем на две части: —In cpA>—погло-
cpA>—поглощение центральной частью линии (где длина захвата ХС<^Х^ —
длины рассеяния) и — In фB) — поглощение крыльями линии
(Хс — Х^). В первом случае можно считать поверхность блока плос-
плоской, так как поглощение нейтронов в этой области энергии про-
происходит в тонкой корочке и, следовательно, кривизна блока здесь
несущественна. Во втором случае, когда длина захвата в блоке Хс
порядка длины рассеяния Я^, будем использовать диффузионное
приближение. Условие р ^> ^«Р позволяет получить непрерывный
переход от одного случая к другому.
В первом случае резонансное поглощение имеет вид (8)
C0)
где в качестве ? (Е) стоит коэффициент прилипания для плоскости
2а2
и вместо L подставлено —- (а ^> р). Это коэффициент прилипания,.
вычисленный в работе [2] путем точного решения кинетического-
уравнения, равняется:
где
b C2>
В этом случае Хс << X? и а <^ 1. Тогда, как следует из C3),
F (S) << 1 и eSi?(s) в подинтегральном выражении C1) можно
разложить в ряд:
C4)
279»

Подставляя C4) и C3) в C1) и интегрируя но S, получаем
C5)
Для удобства дальнейших вычислений введем переменную zl
^/ сО
/ тт X —
к
z=
E-Eo
Г
2
я запишем C0) так:
¦к
C6)
где 2 — точка сшивки; при z ^> z будем считать пригодным диф-
диффузионное приближение.
Значения ? (г), подсчитанные по формуле C5), приведены в
табл. 1. При этом учтено, что в той области, где ? (z) начинает за-
заметно отклоняться от единицы, можно уже считать х ^> 1, так что
Z; будет функцией только z и не будет зависеть от х.
Т аблица 1
Z
0
1
1
V2"
0,905
1
0,0832
YT
0,731
VT
0,661
Точку сшивки z выберем, исходя из условия ЗА,У = Яс, что соот-
соответствует z = ]
При помощи данных табл. 1 находим
Уз
J
= 1,54.
При вычислении второй части резонансного поглощения будем
шшользовать уравнение диффузии с поправкой Боте. Обозначая
280

через п (г) плотность нейтронов внутри блока, можно записать
<р<2> так:
<37>
где Т — время жизни нейтрона внутри блока. Как следует из урав-
уравнения диффузии, плотность нейтронов [при нормировке п (р) = О
равна
п(г) =
Jo
'U
C8),
где Lu — диффузионная длина в блоке
L2 /ТТ Г) * Т, 0. 0, ~1 (\ Uv-l I Q, -1
TJ — JL *-* — "3— **'^с' — V'^s / ~Т~ **с •
О
Подставляя C8) в C7) и интегрируя по г, получим
или, после перехода к переменной интегрирования z и введениям
обозначений C6):
j = г «^ : 2» ^^1-. Dо>
При р/Я^ ^> 1 интеграл / растет логарифмически с ростом»
р/Я8;
/ = const -f In—yp • D0')
(Значение фA) зависит, конечно, от места сшивки z.) Поэтому
при р/Я? ^> 1 с логарифмической точностью
У ' "\и„2 In ^u • D1)
" Поскольку ф^1) не содержит членов с логарифмом р/Я^, то с этож
же точностью полное резонансное поглощение совпадает с D1).
281

Для практических целей, когда In
не столь велик, жела-
5
тельно иметь значение постоянной в D0'). Численный расчет,
результаты которого приводятся в табл. 2, дает, что значение по-
постоянной близко к нулю, так что полное резонансное поглощение,
Таблица 2
р
J
1
0,475
3
1,12
5
1,60
являющееся суммой C6) и C9), может быть с удовлетворительной
точностью записано так:
In
-»» ф = -ж-^г (°>67+J)«4- -&
-I D2)
Можно проверить, что полученное в D2) значение постоянной
@,7) действительно слабо зависит от выбора точки сшивки. (Так,
например, если сшивку производить при Хс = 2А,?, вместо кс =
= 3 Я?, то значение постоянной будет отличаться от прежнего
всего лишь на 10%.)
Таким образом, мы знаем резонансное поглощение в двух пре-
предельных случаях: р<^Я? (малые блоки) и р^>А^ (большие блоки).
Можно попытаться проинтерполировать полученные выражения на
область р — А,?. Для этой цели построим отношение Р резонансного
поглощения большими блоками —In ф<б\ даваемого D2), к резо-
резонансному поглощению малыми блоками —In ф(м\ которое можно
записать в следующем виде [см. A9)]:
Имеем
P=
-'. @,64 + 0,95/).
D3)
D4)
При p/X^^Jl Р = 1. С другой стороны, на границе примани
мости теории больших блоков при р/Я? = 1 Р = 1,08 и при даль-
дальнейшем возрастании р/Х^ медленно убывает. Это позволяет думать,
что теорией резонансного поглощения в малых блоках можно
пользоваться вплоть до значений р/Х8 ~ 1, причем истинное зна-
значение резонансного поглощения —In ф будет меньше значения, да-
даваемого теорией малых блоков.
.282

При помощи формул C9) и D0) можно проверить правильность
основного предположения A') о малости ширины энергетической
зоны, в которой происходит эффективное поглощение, по сравне-
сравнению с величиной скачка энергии при одном столкновении с атомом
замедлителя. Как видно из D0), основной вклад в интеграл вне-
внесут те значения z, для которых
или, поскольку предполагается, что
го Р
Z.
Отсюда, переходя от z к энергии, находим, что ширина энерге-
энергетической полосы Д2?, в которой происходит резонансное поглоще-
поглощение, будет порядка
Следовательно, должно выполняться условие
^^е)Я0, D5)
где 8 — доля энергии, теряемая нейтроном при столкновении с ато-
атомом замедлителя:
_ ' М — пь
8 ~~ \ М
М + т
Для численных оценок примем Ео/Т = 300 и сечение поглоще-
поглощения в центре линии а = 2,5 «Ю4 барн, так что LQ = 2,7 • 10~2 см.
Тогда из D5) получим, что в случае, например, дейтронного за-
замедлителя A — е == 8/9) р <^ 15 см, а в случае графитового за-
замедлителя A — е = 0,285) р << 5 см.
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. Я. Б. Зельдович, Ю. Б. Харитпон. ЖЭТФ, 1940, 10, 29.
2. О. ffalpern, R. Zueneburg, O.Clark. Phys. Rev., 1938, 53, 173.

27
РЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ *
Совместно с А. И. Ахиевером
§ 1. Основное интегральное уравнение
В мультиплицирующих системах, которые мы изучали в пре-
предыдущей главе, быстрые нейтроны, рождающиеся при делении
ядер, замедляются до тепловых скоростей.
В процессе замедления, вне тепловой области, возможно, одна-
однако, резонансное поглощение нейтронов, не приводящее к деле-
делению ядер и препятствующее поэтому протеканию цепной реак-
реакции.
Изучению резонансного поглощения посвящена настоящая
глава.
В важном практическом случае, когда мультиплицирующая
система представляет собой смесь урана и одного или нескольких
замедлителей, резонансное поглощение нейтронов, не приводящее
к делению, обусловлено главным образом ядрами основного изо-
изотопа урана и имеет место при энергиях нейтронов порядка не-
нескольких десятков или сотен вольт.
Только «проскочив» эту опасную энергетическую зону, нейтро-
нейтроны в конце концов превращаются в тепловые и приобретают воз-
возможность сильно взаимодействовать с ядрами изотопа U235, бла-
благодаря возрастанию эффективного сечения деления по закону 1/v.
Рассмотрим сперва систему, представляющую собой однород-
однородную смесь элемента, ядра которого способны резонансно погло-
* В 1946—1947 гг. А. И. Ахиезером и И. Я. Померанчуком была написана
книга «Введение в теорию нейтронных мультиплицирующих систем», ко-
которая, к сожалению, не была опубликована. Через несколько лет, когда
публикация стала возможной, необходимо было, в связи с развитием тео-
теории, переработать рукопись, но научные интересы авторов переместились
в другие области, и рукопись в целом осталась неопубликованной. Мате-
Материал ряда ее глав вошел в другие издания. Так, теория замедления ней-
нейтронов вошла в книгу А. И. Ахиезера и И. Я. Померанчука «Некоторые
вопросы теории ядра» (Гостехиздат, 1950), теория резонансного поглощения
в гетерогенном реакторе явилась содержанием доклада И. И. Гуревича и
И. Я. Померанчука на Первой конференции по мирному использованию
атомной энергии (Собр. трудов, № 26), гетерогенная теория решетки реак-
реактора частично изложена в книге А. Д. Галанина «Теория ядерных реакто-
реакторов на тепловых нейтронах» (Атомиздат, 1959). Ниже помещена глава из
рукописи А. И. Ахиезера и И. Я. Померанчука, посвященная резонансно-
резонансному поглощению нейтронов в гомогенной среде и ранее не публиковавшаяся.
284

щать нейтроны, и замедлителя, поглощением в котором можно
пренебречь.
Мы предположим, что нейтронное поле можно считать в доста-
достаточной степени однородным.
Это предположение об однородности или, вернее говоря, ква-
зи-однородности г нейтронного поля дает основание пользовать-
пользоваться диффузионным рассмотрением. Мы видели, что в этом случае
резонансное поглощение может быть учтено введением величины
<р — вероятности того, что быстрый нейтрон дойдет до тепловой
области, не будучи резонансно захваченным ни на один из уровней
ядер захватывающего элемента. Именно эта величина входит в
интегральное уравнение для тепловых нейтронов.
Наша задача состоит в выяснении тех факторов, от которых
зависит ф.
Рассмотрим нейтрон с некоторой энергией Е. Нас интересует
вероятность того, что такой нейтрон достигнет тепловой области,
не будучи захваченным ни на один из резонансных уровней захва-
захватывающих ядер. В силу сделанного предположения об однород-
однородности нейтронного поля искомая вероятность зависит только от
энергии нейтрона. Обозначим ее через ф (Е). Через ф будем обоз-
обозначать значение функции ф (Е) при Е = Ео, где Ео — энергия, с
которой рождаются при делении нейтроны. Эта энергия значи-
значительно больше тех энергий нейтрона, при которых главным обра-
образом происходит резонансное поглощение. Поэтому можно считать,
что ф равно ф (оо). Мы выведем здесь прежде всего общее интеграль-
интегральное уравнение, которому удовлетворяет функция <р{Е).
Обозначим через ос (Е) эффективное сечение захвата нейтрона с
энергией Е ядром захватывающего элемента; пусть далее Gs —
сечение рассеяния нейтрона ядрами сорта а. Обозначим относи-
относительные концентрации захватывающего элемента и различных
рассеивателей соответственно через с и са. Эти величины связаны
соотношением
Введем в рассмотрение нормированную вероятность того, что
нейтрон с энергией Е захватывается в ближайшем столкновении;
обозначим ее через WC(E). Она равна, очевидно,
где суммирование распространяется на все сорта ядер, включая
1 В том смысле, что изменение поля нейтронов происходит на расстояниях
которые можно считать большими по сравнению с длиной замедления
285

ядра поглощающего элемента. (Условимся в дальнейшем ис-
использовать при суммировании индекс i, если суммирование рас-
распространяется на все сорта ядер, включая и ядра поглощающего
элемента; индекс а будем относить только к ядрам рассеивателей.)
Нормированная вероятность рассеяния нейтрона с энергией
Е ядром сорта i (в ближайшем столкновении)
i
Напомним, что в результате упругого столкновения нейтрона
с ядром сорта i энергия нейтрона будет находиться в пределах от
&{Е до Е, где
(Мг — отношение массы ядра г-сорта к массе нейтрона).
Мы будем считать, что все значения энергии в этих пределах
равновероятны.
Вероятность того, что ближайшее столкновение нейтрона,
имеющего энергию Е, происходит с ядром сорта ?, причем в ре-
результате столкновения энергия нейтрона лежит в интервале
(гг, и + du), равна, очевидно,
cpl I du
УсА + аАЕ) 1-е, "Г" A-3)
Умножив A.3) на ф (гг), мы найдем вероятность того, что нейтрон,
испытав рассматриваемое столкновение и имея энергию, равную
и, дойдет, не будучи резонансно захваченным до тепловой области.
Проинтегрировав далее это произведение по du в пределах г\Е, Е
и просуммировав результат по всем сортам ядер ?, получим ис-
искомую вероятность, ф (Е), т. е. вероятность того, что нейтрон,
имевший энергию Е, замедлится до тепловой энергии, не подвер-
подвергнувшись захвату в резонансной области. Итак, ф (Е) удовлетво-
удовлетворяет следующему уравнению:
\r \ (f(u)du. A.4)
Е J' W )
У}-= Л -т-i\
i7c# + cacW 1-^ Е ?e
Основная задача, которой мы будем заниматься, состоит в
изучении асимптотического поведения функции ф (Е) при больших
Е. Мы покажем, что существует конечное предельное значение
функции ф (Е) при Е-^> оо и выясним, как определять этот предел.
286

§ 2. Резонансное поглощение в гомогенной системе
с замедлителем, содержащим водород
Переходя к исследованию уравнения A.4), рассмотрим сперва
тот случай, когда в числе элементов, входящих в состав замедля-
замедляющей компоненты, имеется водород (например, в замедлителях
типа Н2О, СНа и т. д.).
В этом случае, как будет сейчас показано, уравнение A.4)
значительно упрощается. Так как большинство результатов, по-
полученных при рассмотрении водородного замедлителя, примени-
применимо также к случаю неводородного замедлителя (§ 4), мы рассмот-
рассмотрим подробно случай водорода.
Предположим, что концентрации водорода и других замедли-
замедлителей таковы, что сумма ]>!' а* сл, распространенная на все сорта
а
замедляющих ядер, кроме водорода, значительно меньше, чем
а? сн, или, по крайней мере, того же порядка величины, что и
а? Си. Принимая во внимание это предположение, сводящееся по
существу к тому, что слагаемое а = Н (водородный замедлитель)
играет главную роль в общей сумме (]>] са с?) и замечая, что для
а
тяжелых замедлителей выполняется неравенство 1 —8а <^ 1;
а Ф Н; 8Н == 0 можно в первом приближении положить в A.4)
(в дальнейшем мы рассматриваем общий случай смеси нескольких
рассеивателей, для которых е не близко к единице):
Е
4~ J <p(u)du&(l-ea)<p(E); a^#. B.1)
Уравнение A.4) приобретает при этом следующий вид:
н Е
-^—^ \г \ Ф (и) du +
откуда
(знак ' означает, что в сумме не содержится член а = Н.)
Мы получили уравнение, соответствующее тому случаю, когда
в качестве замедлителя применяется только один водород. Все
члены в сумме A.4), относящиеся к более тяжелым рассеивателям,
в уравнение B.2) вовсе не входят. Это вполне понятно, так как
сделанное нами предположение означает, что замедлением, вы-
вызываемым всеми сортами ядер, кроме водорода, мы пренебрегаем.
287

Перейдем к исследованию уравнения B.2). Введем обозна-
обозначения
Е
•ф (Е) = \ q)(u)du. B.4)
о
Уравнение B.2) может быть переписано в виде
г|/ (Е) __ ± — W{E)
откуда
J 1
E
dE
Е
B.6)
Для определения постоянной Ъ заметим, что при Е —> О функ-
функция ф (Е) по самому смыслу ее определения должна считаться рав-
равной единице. Мы предположим, что ог (Е) определено таким обра-
образом, что в тепловой области ас (Е) = 0 при Е —> 0. Такое определе-
определение соответствует тому, что нас интересует здесь только резонанс-
резонансный захват нейтронов, а не их поглощение в тепловой области.
Итак, мы можем считать W @) = 0. Отсюда следует, что Ъ должно
равняться нулю.
Функция ф(/?) имеет, следовательно, вид
-f™^. B.7)
<f>(E)=[i-W(E)]e
Интересующая нас величина q> = <р (оо) равна
оо
W B.8)
(Заметим, что W(oo) = 0, поэтому интеграл, входящий в B.8),
существует.)
Переходя к рассмотрению показателя в выражении для ф,
выясним сперва, какой вид имеет функция W(E).
Предположим, что резонансные уровни, ответственные за за-
захват нейтронов, расположены достаточно далеко друг от друга,
288

так что эффект интерференции уровней не играет существенной
роли. Ниже мы уточним условияу при которых выполняется это
предположение.
В этом случае показатель в формуле B.8) можно представить в
виде суммы членов, каждый из которых относится к отдельному
резонансному уровню, т. е.
г О
где
(огс (Е) представляет собой сечение захвата нейтрона, обусловлен-
обусловленного существованием i-ro резонансного уровня с энергией E-t);
ан — сечение рассеяния нейтрона ядрами водорода.
Обозначим область энергии вблизи Ег, играющую существен-
оо
ную роль в интеграле j Wl(u)—— через Д2?|. Мы будем называть
о
в дальнейшем АЕг шириной опасной зоны г-го уровня. Далее мы
оценим величину АЕ. Ясно, что ширина опасной зоны должна
быть много меньше расстояния между уровнями Di, если мы тре-
требуем, чтобы уровни не интерферировали друг с другом. Для наи-
наиболее низких уровней, не расположенных аномально близко к
тепловой области, расстояние между уровнями D^ того же порядка
величины, что и Е\. Поэтому условие
hEi<^Di B.10)
может быть заменено условием
АЕ{ < Е. B.10')
(Это же условие должно быть выполнено для того, чтобы можно
было считать хп в B.11) постоянной.)
Заметим, что рассматривая захват нейтронов, необходимо,
вообще говоря, учитывать эффект Допплера. (При достаточно
низких температурах эффект Допплера, однако, не играет роли.)
Приведем сначала формулу для агс (Е) без учета эффекта Доп-
Допплера. Сечение захвата свободным ядром агс (Е) равно
(М1),+4-г. ' <2Д1>
где X —длина волны нейтрона, Е{ —резонансная энергия, Тп(Е)
и 1\ — нейтронная и радиационная ширина ?-го уровня, Г —
полная ширина уровня, равная Г = хп + 1\, / —спин ядра.
10 И. Я. Померанчук, т. I 289

Так как при интегрировании в формуле B.9) наиболее сущест-
существенную роль играют значения энергии, близкие к центру линии
Ei, то мы в дальнейшем будем пользоваться следующей формулой
для el (E)
B.11')
где а0 (Ei) — значение сечения захвата при резонансе.
Перейдем к определению In ф в том случае, когда эффект Доп-
плера не играет роли. (Далее мы выясним условия, при которых
можно не учитывать эффект Допплера.)
Пользуясь формулой B.11') для (Ус (Е), представим—In ф (оо)
в виде
— lnq>(oo)=2l-g— J Wl(E)dE =
г г о
оо
dE
гь
(множитель ME, входящий в интеграл B.9), мы заменили на
Введем вместо Е новую переменную z согласно формуле
B.12')
и расширим пределы интегрирования по z от—эо до +°°- Такое
расширение пределов интегрирования будет сейчас оправдано, так
как мы убедимся, что область существенных значений энергии
расположена вблизи Е\. Мы получим, таким образом,
B.13)
Оценим теперь величину области существенных значений энер-
энергии в интегралах, образующих сумму B.12). Считая в формуле
B.12) область эффективных значений z порядка единицы, получим
B.14)
Наше рассмотрение, как мы указывали выше, будет законным при
290

выполнении условия B.10), которое можно согласно B.14) пере-
переписать в виде
Y ^<Ei- BЛ4°
Оценим величину А Е\, которую можно назвать шириной «опасной»
зоны г-го уровня.
Рассмотрим два предельных случая, когда cgo(Ei) ^
и когда cao(Ei) J^> ^^
Если са0 (Ei) <^ сн(Т?» то ширина опасной зоны по порядку
величины равна ширине уровня и не зависит от относительной кон-
концентрации захватывающего элемента. В этом случае необходимое
условие B.10') применимости нашего рассмотрения выполняется,
если только
Г* < Ег. B.15')
Рассмотрим теперь практически наиболее важный предельный
учай, когда со0
ляется здесь как:
случай, когда со0 (Ег) ^> cuof. Ширина «опасной» зоны опреде-
AEi-. " ' ' "^~л)
Она оказывается пропорциональной (с/сц) ^2. Условие B.10') на-
накладывает ограничение на величину концентрации захватывающе-
захватывающего элемента, которая должна удовлетворять неравенству
B-15")
Считая Ег ж 10 эв, Г^ОД эви полагая ~ 10~2, мы придем
к условию, что концентрация захватывающего элемента должна
быть много меньше 100 сц. В практически интересных случаях это
условие выполняется. Таким образом, можно считать доказанной
законность нашего рассмотрения.
Выясним, как зависит ф от концентрации захватывающего эле-
элемента в предельных случаях слабого и сильного поглощения.
В первом случае са0 (Ег) <^J сцв?> во втором — cg0 (Ei) ^> ен<*?.
Если условие са0 (Е{) <^ сцО^ выполняется для всех уровней,
то, согласно общей формулы B.13), мы получим
Вычислить сумму ряда, входящего в B.16), в общем виде невозмож-
невозможно, так как величины Гь а0 (Ei) сложным образом меняются от
уровня к уровню.
10* 291

Чтобы выяснить свойства его сходимости, можно воспользо-
воспользоваться данными статистической теории ядер об усредненных (по
большому числу уровней) значениях ширин хп* -Гу.
Напомним, что средняя нейтронная ширина при малых энер-
энергиях нейтронов пропорциональна /?'/*; средняя радиационная ши-
ширина практически не зависит от энергии. Для не слишком боль-
больших возбуждений ядра (?<^104 эв) радиационная ширина значи-
значительно больше нейтронной ширины, так что полная ширина опре-
определяется главным образом радиационной шириной.
Мы оценим сумму ряда в B.16), заменив его интегралом по dE
и считая, что число уровней в интервале dE равно: __ dE, где
D — среднее расстояние между уровнями, которое будем считать
постоянным. Таким образом, мы получим
где Ег —энергия наинизшего уровня. Сечение захвата при ре
зонансе о0(Ег) определяется по формуле
(Ег) - 2**1 (l ± jJ^) -Щ-. B.18)
Заменяя здесь частичные ширины их средними значениями, полу-
получим
ао(Е) = const Е-*<\ B.18')
поэтому
= 1 5
2
=r^-const —jt- . B.19)
D J ?3/2 v *
2 сн D J ^
Входящий сюда интеграл хорошо сходится. Это значит, что
сумма ряда практически сводится к сумме его первых нескольких
членов. Иными словами, главную роль играют несколько первых,
наиболее низко расположенных, резонансных уровней. Считая
верхний предел в интеграле B.19) равным бесконечности, мы по-
получим для ф следующую формулу:
<psl--^i^a0(?1)- B.20)
Итак, в случае достаточно малых концентраций захватыва-
захватывающего элемента с, когда условие са0 (Ег) <^сло^ выполняется
для всех резонансных уровней, разность 1 — ф, т. е. In ф, пропор-
пропорциональна концентрации захватывающего элемента. Условие
со0 (Ei) <^ c# af" может не выполняться для всех уровней, но оно
навзрное будет выполняться для уровней, расположенных доста-
достаточно высоко, так как сечение а0 (Еь) обратно пропорционально Ег 2-
292

Определим энергию Ео, для которой величина со0 (Е) становится
равной ен в?- Используя формулы B.18) и B.18') для о0(Е), полу-
получим Ео
Для уровней, расположенных выше Ео, условие са0 (Ег) <
выполняется, поэтому вклад, вносимый этими уровнями в выра-
выражение для ф, пропорционален концентрации захватывающего эле-
элемента.
Перейдем теперь к рассмотрению случая сильного поглощения,
когда сечение захвата в резонансе (с учетом концентрации) велико
по сравнению с сечением рассеяния, т. е. когда выполняется усло-
условие
Согласно общей формуле B.13), мы имеем в этом случае
<2-22>
B.22')
Выясним прежде всего как сходится ряд
^ Г.
Пользуясь усредненными значения-
ми ширин и заменяя сумму интеграл-
лом, получим
V Г. /-ао(?г)
? Ei V о?
/
/
/
/
Последний интеграл существует. По-
Поэтому ряд B.22) сходится, но сходится Рис 1.
он медленнее ряда, входящего в фор-
формулу B.16), и относящегося к случаю слабого поглощения. Это
значит, что высоко расположенные уровни играют в случае силь-
сильного поглощения сравнительно более важную роль, чем в случае
слабого поглощения.
Обратим внимание на то обстоятельство, что — 1пф в случае
сильного поглощения пропорционален ус, в то время как для
слабого поглощения —1пф—¦*с.
На рис. 1 изображен качественный ход зависимости от концент-
концентрации захватывающего элемента для величины — In ф.
293

§ 3. Учет эффекта Допплера
Перейдем теперь к учету эффекта Допплера. Напомним, что
сечение захвата с учетом эффекта Допплера можно представить
в виде х
oj (Я, ?) = 60^) *(?,*). C-1)
где
х - ЕЕ^ г-
Г,/2 ' - Л,
- f б „ . dy. C.1')
Величина Д представляет собой так называемую «допплеровскую
ширину» i-vo уровня, равную
, C.2)
где m и М — массы нейтрона и ядра, Т — температура, к — по-
постоянная Больцмана.
Эффект Допплера играет существенную роль, если
Г. _ д?
? = -^-<1 пх<<^1 2, т.е. если |#___ е{\<^—1— .
Благодаря эффекту Допплера происходит деформация контура
линии поглощения — уширение линии и понижение ее высоты в
центре (площадь, ограниченная контуром линии поглощения не
изменяется). Функция^ (?, х) в том случае, когда эффект Допплера
играет существенную роль, имеет следующий вид:
Г
C>3)
Далекие крылья линии поглощения (х ^> ^~2) не подвергаются
действию эффекта Допплера и всегда имеют естественную форму,
т. е. для них
р
Если? = -д-^> 1? то эффект Допплера не играет роли и линия
поглощения имеет естественную форму.
Выясним, какое влияние оказывает эффект Допплера на ре-
резонансное поглощение. Мы предположим, что ширина «опасной»
з )ны i-то уровня, определенная выше (формула B.14)) и относящая-
1 Мы не будем при рассмотрении эффекта Допплера учитывать усложнения,
связанные с химической связью атомов в кристаллах.
294

ся к естественной форме линии поглощения, порядка или меньше
допплеровской ширины
АЕг<Аг. C.5)
При выполнении этого условия вся «опасная» зона, а не только
центр линии, подвергается действию эффекта Допплера. Мы мо-
можем при этом считать, что линия поглощения имеет допплеровскую
форму C.3).
Подставляя в общую формулу B.9), определяющую In ф, вместо
<То (Е) выражение
{ееу
1{)^0(г)^-е "^Г", C.6)
получим
оо
- lncp = 2-^-JW
г * о
где
e &i dE
C.8)
Е — Е.
Вводя новую переменную z = —т и расширяя пределы ин-
тегрирования по z от — со до + оо, перепишем последний инте-
интеграл в виде
j Wt (E) dE = A{ J J~* dz, C.8')
0 —oo e *
где
сн °?
Д,
n с со (Д.) Г. *
Рассмотрим аналогично тому, как мы это делали выше, случаи
слабого и сильного поглощения. В первом случае
q-x >>1, т. е.
f1
Во втором случае (/i<^l, т. е.
Напомним, что при естественной форме линии поглощения случаи
слабого и сильного поглощения определяются неравенствами:
со0 (Ег) < cHaf и сз0 (Ег) >
295

Если Qi^l, то в знаменателе подынтегральной функции в
C.8) можно вычеркнуть e~z\ Мы получим при этом
]
О
и, следовательно, ф будет равно
С
C.9')
Формула C.9') совпадает с формулой B.16), относящейся к
случаю слабого поглощения при естественной форме линии по-
поглощения.
Итак, в случае слабого поглощения эффект Допплера не меняет
вида ф, т. е. не играет роли. Это обстоятельство легко понять,
если иметь в виду, что в случае слабого поглощения интеграл
оо
\ Wi (Е) dE сводится к площади, ограниченной контуром линии
о
поглощения, которая, как мы знаем, не изменяется благодаря
эффекту Допплера.
Рассмотрим теперь предельный случай сильного поглощения,
когда qi << 1.
Вводя в интеграле C.8) новую переменную и = е~г\ получим
Т f J(JLY^g (зло)
Последний интеграл при малых q-x равен приближенног
поэтому
J -f—dz = 2 (in-±-Уш, (ffl<l). C.10')
1 Действительно, представим C.10) в виде
1 1
и и 4- Я , -¦ .
q ' 7 0
1
q . ' и J и(и-
296

Заметим, что область существенных значений энергии в инте-
интеграле C.8') в том случае, когда qi<^ 1 по порядку величины равна
А|1п —^ Аг. Используя C.10'), получим следующее выражение
для ф, справедливое при условии дг<^1:
Напомним, что эта формула выведена нами в предположении,
что линия поглощения имеет допплеровскую форму. Такое пред-
предположение является законным, если ширина «опасной» зоны i-ro
уровня порядка или меньше допплеровской ширины. Действитель-
Действительно, при выполнении последнего условия вся «опасная» зона под-
подвергается действию эффекта Допплера и поэтому форма линии
поглощения может считаться допплеровской.
В рассматриваемом случае сильного поглощения ширина опас-
опасной зоны ?-го уровня Д2?| равна по порядку величины
i-r.j/
сво {ЕЛ
Поэтому формула C.11) справедлива в том случае, если
C.12)
Второй из этих интегралов меньше интеграла
я } J " + я
Третий интеграл меньше интеграла
1
q 1
Последний интеграл вблизи верхнего предела можно представить в виде
Ш Цд
q f (In z)~xl2 dz = q[[z (In z)-V«]l/e + — f (In 2)/2 dzl =
J 1 2 J J
a ^ a
/ i \~v, i
= ( In — +-ij-(lng) /2 +... + const.
\ Я J *
Поэтому асимптотически интеграл C.10) при q <^ 1 действительно равен
297

Покажем, что влияние эффекта Допплера сводится в случае
сильного поглощения к увеличению резонансного поглощения,
т. е. к уменьшению ср.
Сравним для этого выражение C.11) с выражением B.22),
определяющим In ф в случае сильного поглощения при естествен-
естественной форме линии поглощения. Отношение соответствующих чле-
членов обоих рядов C.11) и B.22) равно
Это отношение, согласно C.12), больше единицы, чем и доказывает-
доказывается наше утверждение. (Входящий в C.12') In больше единицы.)
Мы видим, что если эффект Допплера оказывает влияние на
резонансное поглощение (случай сильного поглощения), то это
влияние приводит обязательно к увеличению поглощения, т. е. к
уменьшению ф.
Выясним более подробно, какие уровни подвержены действию-
эффекта Допплера.
Так как допплеровская ширина растет с ростом энергии,
а естественная ширина остается постоянной, то влияние эффекта
Допплера сказывается тем больше, чем выше расположен уровень.
С другой стороны, эффективное сечение при резонансе падает
с увеличением энергии. Если контур линии поглощения имеет
естественную форму, то максимальное значение сечения падает
с увеличением энергии Е по закону
г (т?\ «-V2 n const
В случае допплеровской формы линии поглощения падение о0 (Е}
происходит более быстро, а именно по закону
const
Эти соотношения показывают, что при достаточно больших энер-
энергиях поглощение становится слабым и поэтому эффект Допплера
никакого влияния на него не оказывает.
Мы видим, что при получении резонансного поглощения следу-
следует различать три группы резонансных уровней: наиболее низка
расположенные уровни с естественной формой линии поглощения;
уровни средних энергий, характеризующиеся допплеровской фор-
формой линии поглощения, и, наконец, высоко расположенные уровниг
попадающие в область слабого поглощения, для которых поэтому
форма линии поглощения не играет роли.
Эффект Допплера оказывает существенное влияние на резонанс-
резонансное поглощение, обусловленное уровнями второй группы.
Энергия, разделяющая первую и вторую группы, может быть
298

определена, как энергия, при которой допплеровская ширина ста-
становится равной естественной ширине.
Допплеровская ширина Д равна, как мы знаем,
д=2у -jfEkT.
Поэтому энергия Е, при которой естественная (радиационная)
ширина Гу равна Д, определяется из соотношения
~ 4ЛГ m
Эта энергия не зависит от концентрации захватывающего элемента
и обратно пропорциональна температуре.
Полагая [\ — 0,1 эв, кТ — 1/40 эв, мы получим для урана
Выше мы видели, что при Е^> Ео B.21) поглощение становится
слабым. Таким образом, эффект Допплера оказывает влияние на
резонансное поглощение, обусловленное теми уровнями, которые
расположены между Е и Ео.
§ 4. Асимптотическое решение основного уравнения
В предыдущем § 3 мы рассмотрели резонансное поглощение в
том случае, когда замедление нейтронов вызывалось в основном
водородом.
Изучим теперь влияние более тяжелых замедлителей. Рассмот-
Рассмотрим сперва случай, когда замедлитель состоит из ядер одного сор-
сорта.
Основное уравнение, определяющее ф(?), т. е. вероятность
того, что нейтрон с энергией Е дойдет до тепловой области, не
будучи резонансно захваченным, имеет вид
где
С
с з (Е)
D.1')
с
(gs и ос (Е) — соответственно сечения рассеяния и захвата нейт-
нейтрона, с и cs — концентрации захватывающего элемента и рассеи-
вателя).
Наша задача состоит в нахождении ф (сю).
Приступая к изучению уравнения D.1), заметим предваритель-
предварительно, что если Е1 есть первый наиболее низкий резонансный уровень,
то w (E) может считаться равной нулю для значений энергии нейт-
нейтрона Е <^ Е", где Е' = Е — Д#1, Д/?1 — ширина «опасной» зоны
290

уровня Ег. Ясно, что в области энергий Е <^ Е', где w (Е) = О,
функция ф (Е) равна единице
Ф(Я) = 1, {К<Е'). D.2)
Будем предполагать, что резонансные уровни не перекрыва-
перекрываются. Легко видеть, что в этих условиях достаточно ограничиться
рассмотрением того случая, когда имеется только один резонанс-
резонансный уровень, и указать метод определения ф в этом случае. Дей-
Действительно, найдя ф, обязанное существованию одного уровня, и
взяв полученное значение ф за исходное (см. формулу D.2)), мы
сможем найти ф при наличии двух уровней и т. д.
Пользуясь соотношением D.2), легко найти решение уравнения
D.1) в интервале энергии ?', Е 1г. Действительно, введем в рас-
рассмотрение функцию Ф(Е), определенную соотношением:
Е
Ф(Е)= §<p(E)dE. D.3)
о
Уравнение D.1) перепишется тогда в виде
ф' <*> - -т=$- ф <*> = - -т^В-ф (в*>- D-4>
t Er \
В интервале энергии 1Е\ — J функция Ф(гЕ) известна:
она равна гЕ. Поэтому уравнение D.4) можно рассматривать как
неоднородное дифференциальное уравнение с известной правой
частью
D.5>
которое легко интегрируется.
Определив Ф (Е) в интервале ( Е\—),мы можем, пользуясь
уравнением D.4), найти Ф(Е) в интервале (—, —о-), так как
\ 8 8 /
правая часть уравнения D.4), содержащая Ф(е2?), будет в этом
интрвале известной функцией.
Аналогичным образом мы сможем последовательно находить
ris/cx I Е' Е' \ I Е' Е' \
Ф(Е) в интервалах (^-, -^-J, ^, -^rj,...
Поступая указанным образом несколько раз, мы выйдем в конце
концов за пределы «опасной зоны», т. е. перейдем некоторое зна-
значение энергии Е", выше которого W(E) может считаться равной
нулю.
Задача, которую нам предстоит теперь решить, заключается r
следующем. Известно решение уравнения D.4) в интервале {Е\
Е"). Требуется найти решение этого уравнения за пределами этого»
300

интервала, где уравнение имеет вид
Заметим, что в написанное уравнение не входят значения функ-
функции ф (и) для значений и <<гЕ'. Поэтому для нахождения решения
уравнения D.6) нет необходимости знать ср(гг) во всем интервале
(Е', Е"), достаточно задать функцию Ц)(и) в интервале (е/?", Е").
Введем функцию щ{и), совпадающую с ф(гг) в интервале
(гЕ", Е"), и равную нулю всюду вне этого интервала.
Из сказанного выше следует, что если ty(E) удовлетворяет
уравнению D.6) при Е^>Е" и совпадает с фо(?) при Е^Е",
то функции г|)(?) и ф (Е) совпадают при Е > Е"'.
Покажем, как найти г|) (Е). Функция г|) (Е) удовлетворяет урав-
уравнению
и условию
D.6')
Ч) Ф( D.60
при Е < Е".
Уравнение для ty(E) вместе с условием, которому удовлетво-
удовлетворяет г|) (Е) при Е <^Е\ можно записать в виде одного неоднород-
неоднородного интегрального уравнения
Е
J ф(и)d« = г(?), D.7)
где функция g{E) равна
g (Е) = Фо (Я) - -^4-^- jj Ф0 («) du, E < ?",
D.8)
0, E>E".
Заметим, что нижний предел в интеграле,входящем в D.8), можно
заменить на е?", так как в интервале (гЕ", гЕ) при Е <^ Е"
функция фо (и) по определению равна нулю. Ясно, что g (Е) = 0,
если Е <е?".
Для решения уравнения D.7) применим к нему преобразова-
преобразование Лапласа — Меллина.
Умножая D.7) на Е6'1 и интегрируя по?отЕ = 0 до Е = сю,
получим
со Е
г|>8 - -^ $ Е*~ЧЕ $ ф (и) du = g., D.9)
0 еЕ
301

где
оо
ldE, D.10)
Е"
Е*-ЧЕ= jj g(E)Es-4E. D.10')
О еЕ"
Заметим, что для того чтобы o|)s имело смысл, достаточно счи-
считать с = Res<^0. Вычислим интеграл, входящий в D.9).
Вводя вместо и новую переменную z = и/Е и меняя порядок
интегрирования, получим
Е 1 ©о 1
E8~2dE \ i|> (u) du = \ dz \ U8-1^ B
0 sE e О
D.9')
Пользуясь выражениями D.9) и D.9'), получаем
Воспользуемся теперь формулой обращения
с+гоо
1|) (i?) = —-
и найдем
с+гоо
1 Г - SS- DЛЗ)
г; - е - — 1
•гоо 1 — — — -—
Входящий сюда интеграл можно представить в виде бесконеч-
бесконечной суммы членов вида АпЕ Sn, где sn — полюсы подынтегральной
функции.
Действительно, замкнем прямую, вдоль которой производится
интегрирование, бесконечной полуокружностью, охватывающей
правую полуплоскость. (При Е —* 0 интеграл вдоль этой полу-
полуокружности равен нулю.) По теореме о вычетах будем иметь
'Ф (Е) = 2 АпЕ~\ D.14)
где sn — полюсы подынтегральной функции, лежащие справа от
прямой Res = c<^0, а 4п — соответствующие вычеты.
Мы можем теперь найти интересующее нас значение предела
Km ф (Е) = И
302

Этот предел определяется, очевидно, вычетом относительно
точки 5 = 0 и равен
-^ =1+8У;_е?о, D.15)
+ (l)(l)
где, согласно D.10')
Е
go = \ g(E)-^~. D.150
гЕ"
(Знак минус в формуле D.15) получается вследствие того, что пря-
прямая, вдоль которой производится интегрирование, замыкается
кривой, охватывающей прямую полуплоскость).
Подставляя в D.15') вместо g(E) выражение D.8), получим
Е
гЕ" гЕ" гЕ
Е" Е" Е
еЕ" еЕ"
На рис. 2 изображена область интегрирования в последнем инте-
интеграле.
Меняя в этом интеграле порядок интегрирования, получим
гЕ" *Е" и
гЕ"
Подставляя это значение g0 в формулу D.15), получим D.16)
окончательно следующее выражение для ср:
теперь, что аналогичная форйула может быть полу-
получена для ф и в том случае, когда замедлитель представляет собой
смесь ядер нескольких сортов.
В последнем случае ер (Е) удовлетворяет уравнению A.4), ко-
которое мы перепишем в виде
Е
Ф (Я) = 2-1^711-^)]-^$ Ф (")**. D-18)
303

где
i_
Пусть «опасная» зона простирается до энергии Е", так что при
Е ^> Е" сечение захвата ас (Е) может считаться равным нулю,
а следовательно, и W (Е) = 0 при Е > Е".
Будем по-прежнему считать, что решение уравнения D.18)
известно для значений энергий Е ^ Е" и найдем ф (Е) в области
Е > Е\
Нахождение ф (Е) при Е <[ Е" производится так же, как и в
случае, когда замедлитель содержит ядра только одного сорта. Вве-
Введем в рассмотрение функцию Ф(Е)
Е
^i
ф(Е) =
Уравнение D.18) перепишется тог-
тогда в виде
Е"
Ряс. 2
Е
D.19)
В интервале (О, Е1) функция ф (Е) = 1 и, следовательно,
Е\ —), (ех <^ е2 <^... <^ ?>п) Урав-
8П /
нение D.19) можно рассматривать как неоднородное уравнение
относительно Ф(/?) с известной правой частью.
Найдя решение последнего уравнения, можно использовать
/ Fr E' \
для нахождения Ф (Е) в интервале/ >~Т~) и т- Д-
После того, как Ф(Е) определена, ф(?) находится дифферен-
дифференцированием Ф(Е).
Итак, будем считать, что функция ф(#) известна вплоть до
значения энергии Е = Е"'. Для значений энергии Е > Е"', у(Е)
удовлетворяет уравнению
е
его
где суммирование распространяется на все сорта ядер рассеива-
теля.
304

В написанное уравнение не входят значения функции ср(Е
для и < гг Е" (ех — наименьшее из чисел 8|). Поэтому достаточно
знать функцию ф (и) в интервале (е^/?", Е"). Обозначим через
Фо (и) функцию, совпадающую с ф (и) в интервале (ггЕ'\ Е") и
равную нулю повсюду вне этого интервала.
Аналогично рассмотренному ранее случаю одного сорта рас-
рассеивающих ядер задача сводится теперь к решению уравнения
Е
Т| 1 С
i 1-8i E г\Е
если известно, что
(?<?"'). D.2Г)
Уравнение D.21) вместе с условием D.21') можно записать в
виде одного неоднородного интегрального уравнения
3tt4S D-22)
г г е^
где
ZJ 1 —8. Е
г г
D.22')
Для решения уравнения D.22) применяем к нему преобразова-
преобразование Лапласа — Меллина.
Умножая D.22) на Es~x и интегрируя по Е в пределах от Е = О
до Е = оо, получим, используя формулу D.9'),
[- 2 (i-sJ(.-D <*" ~
где
ОО
J D.23')
Е-ЧЕ = ^ * (*) ?*-УД, D.23")
О ?lB"
причем мы должны считать, что с = Re 5 <^ 0.
305

По формуле обращения D.12) найдем отсюда
e+ie.
Значение \|) (Е) при Е = оо определяется, очевидно, вычетом
подынтегральной функции относительно полюса 5 = 0.
Поэтому
D.25)
где, согласно D.23"),
и*
dE
Преобразуем несколько выражение для g0. Представим для
этой цели g(E) в виде
Е
г zE
где функция (л (о:) определяется следующим образом:
0, ж<1,
D-26')
Подставим D.26) в формулу для
Рассмотрим двойной интеграл, входящий в D.27). Пользуясь
тем, что фо(гг) отлична от нуля только в интервале {^Е", Е"),
представим интеграл в виде
] *§? \ ^Wu)du =]%-l »Щ%(и)*и. D.27')
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования, полу-
получим
\ i>(w
гЕ" Х ]
306

min IE"', -
Eo ) E"
1
М du jj -g- = 5 ф0 (и){-±- - max D*
Подставим D.27") в выражение для g0
ft- (»-2т
%) 1 7 !
После упрощений получим
E"
и. D.28)
Подставляя D.28) в формулу D.25), найдем окончательно выраже-
выражение для
Если имеется только один сорт рассеивающих ядер, то эта фор-
формула переходит в формулу D.17).
Формулы D.17) и D.28) дают возможность определить ср(оо),
если функция у(Е) известна в интервале энергии {гЕ'\ Е").
§ 5. Резонансное поглощение в однородной системе
с неводородным замедлителем
Формулы D.17), D.28) в принципе решают поставленную зада-
задачу. В общем виде ониприводят,однако,к очень громоздким выра-
выражениям, которые мы поэтому не будем здесь выписывать.
Рассмотрим подробнее тот практически важный случай, когда
Ф, обусловленное наличием одного уровня, близко к единице, т. е.,
когда каждый отдельный уровень поглощает малую часть нейт-
нейтронов.
307

Считая для простоты, что замедлитель содержит ядра только
одного сорта, мы будем предполагать, что выполняется условие
E.1)
где W (Е) вероятность захвата, обусловленного одним уровнем.
Мы увидим далее, что условие Р<С 1 приводит к результату
1 — ф <^ 1. Заметим, что, строго говоря, E.1) представляет собой
менее жесткое условие, чем требование малости 1 — ф, так как
Обратимся к основному уравнению
Е
<p(u)du E.2)
гЕ
и разложим ф (Е) в ряд по степеням
E.3)
?с=о
Вводя обозначение
получим
2 ф^ W р" = 'Л? 1 2 рйфк (») *»¦ E.4)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Р, найдем
Е
ЛЦ- E-6)
еЕ
Полагая здесь /с = 0, получим
Рассматривая действие наиболее низко расположенного уровня§
мы должны считать
308

Соотношение E.5) приводит при i = l к уравнению
Е
ч>1 (?) = -jrh)E 5 ср*Мdu- w°W- <5-7>
zE
Мы получили неоднородное интегральное уравнение, для решения
которого применим преобразование Лапласа — Меллина.
Введем обозначения
¦фз =\[ Е8-\х (Е) dE = [ ?8i {E) dE, Res =—а<0,
[vs = 5 Wo (?) ^8-^^ = 5 ?S"Wo №) ^ E.8)
* 0 E'
(мы заменили нижний предел на ?', так как при Е < jE", ф = 1,
т. е. фх = 0). Величину а, т. е. Re s следует выбрать столь боль-
большой, чтобы первый интеграл сходился (второй интеграл в силу
условия EЛ) сходится очевидно при любом Re s<!0).
Умножим E.7) на Ев~г и проинтегрируем по ?,в результате
получим
00 Е
T=zdE \
0 eJS
Входящий сюда интеграл легко вычисляется
J 1 _ 8 ; T1 V У J 1 — 8
0 zE о и
Итак,
Откуда
Пользуясь формулой обращения, получим
.— 1
309-

Чтобы найти limcp(.E), заметим, что при достаточно большом Е
Е-+оо
вероятность W (Е) может считаться равной нулю. Пусть при
Е^Е0, W(E) = 0. Легко видеть, что при Re s > 0
Поэтому при Е }> Ео интеграл E.11) можно вычислить, замы-
замыкая контур интегрирования, как показано на рис. 3. Подын-
Подынтегральная функция имеет в качестве полюсов только нуль знаме-
знаменателя, причем все они, кроме полюса 5 = 0, лежат в правой
полуплоскости. Поэтому все вычеты подынтегральной функции,
кроме вычета относительно точки 5 = 0, стремятся к нулю с
возрастанием Е. Отсюда следует, что предел ц>х (ос) равен
d
ds
A — в)(s — 1) Js=.o
Пользуясь формулой E.8) для z;s, получим
w°
Е'
Переходя от фх и WQ к величинам ф и W, найдем окончательно
lim ф (Е) = 1 - -.—Ц^— [ W(E)-^-.
Е-ьсо 1 — в + 8 In 8 .1^ К ' Е
E.14)
Положив здесь 8 = 0, получим формулу,
справедливую в том случае, когда замедли-
замедлителем является водород
^r. E.14')
Рис. 3. ?
Сравнивая эту формулу с формулой E.14) и считая в них функ-
функцию W (Е) одинаковой, получим соотношение
E.15)
из которого следует, что резонансное поглощение в неводородном
замедлителе больше, чем в водороде (при одинаковом W(E)).
Это обстоятельство связано с тем, что водород отличается наи-
наибольшей замедляющей способностью. Ясно, что чем меньше ско-
скорость замедления, тем больше времени проводит замедляющийся
нейтрон в опасной зоне вблизи уровней резонансного поглощения
и тем больше поэтому вероятность захвата.
310

Переходя от ф, обязанного одному уровню к общему ф с учетом
всех резонансных уровней, получим
ср = I I И _
где Wx (E) вероятность захвата, обусловленного i-u уровнем.
Эта формула справедлива в том случае, если для всех уровней
выполняется условие
^^ E.17)
Если к этому же для всех уравнений выполнено более жесткое
условие -т——-тг!—\Wi—p-<^l, т. е. малость резонансного
поглощения каждым уровнем, то мы можем представить ср в сле-
следующем виде
W —g- , так же как и в §2, определяется как сумма
Г ттг dE
интегралов \ W\ —jf, каждый из которых относится к отдельно-
отдельному резонансному уровню.
В § 2 мы видели, что в случае водородного замедлителя ф имела
вид
Фн=е JW"^\ E.19)
Сравнение формул E.18), E.19) показывает, что при одинаковых
С тл7 dE
\кк—^-имеет место соотношение
1-е
Ф = (фнI~?+?1пе. E.20)
Отметим, что для применения формул E.20), E.18) требуется вы-
выполнение лишь одного условия: вероятность поглощения отдель-
отдельным уровнем должна быть мала. Общее ф, обусловленное действием
всех уровней, может сильно отличаться от единицы.
Благодаря этому формула E.20) охватывает практически все
наиболее важные случаи резонансного поглощения в однородных
системах.
Заметим, что для протекания цепной реакции в системах с
естественным ураном ф должно дать больше 0,7, поэтому 1 — ф
для каждого из уровней меньше 0,3, т. е. мало по сравнению с еди-
единицей.
Это показывает, что условия применимости формул E.18) и
E.20) практически выполнены.
Академия наук СССР

28
О РАССЕЯНИИ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ
В КРИСТАЛЛАХ*
Совместно с А. Ахиезером
Рассматривается рассеяние медленных нейтронов в кристаллах с тож-
тождественными ядрами. Выведены формулы для сечений упругого и неупругого
рассеяния нейтронов (в частности, для скоростей нейтронов, меньших ско-
скорости звука в кристалле). Показано, что если длина волны нейтрона много
меньше постоянной решетки, то рассеяние происходит одинаково в кристал-
кристаллах с тождественными и отличающимися ядрами (предполагается, что отли-
отличие вызвано наличием изотопов и магнитных моментов ядер). В этих условиях
отношение сечения неупругого к сечению упругого рассеяния с учетом только
однофононных процессов составляет Sm/IM (Е/&K, где т — масса нейтрона,
Е —- его энергия, М — масса ядра, в — температура Дебая.
Выясняется, как осуществляется переход при увеличении энергии нейт-
нейтрона от рассеяния связанными к рассеянию свободными ядрами. Для этого
выведена общая формула для сечения рассеяния, учитывающая испускание
и поглощение любого числа фононов. При энергиях Е ^>МВ/т связь атомов
в кристалле не отражается на рассеянии нейтронов. В области малых энер-
энергий Е <^t в при малом общем сечении неупругого рассеяния передаваемая ре-
решетке энергии велика,— порядка всей энергии нейтрона.
Вопросу о рассеянии медленных нейтронов в кристаллах по-
посвящено несколько работ [1—4]. Под медленными при этом понима-
понимаются нейтроны, энергия которых недостаточна для возбуждения
ядер. Замедление таких нейтронов может происходить поэтому
только благодаря возбуждению тепловых колебаний решетки.
Рассеяние и замедление нейтронов в кристаллах с тождественными
ядрами было впервые рассмотрено Виком [1]. В этом случае при
рассмотрении процессов испускания и поглощения тепловых фоно-
фононов может точно выполняться как закон сохранения энергии, так
и закон сохранения импульса. Именно этот случай выполнения
закона сохранения импульса рассмотрен в [1]. Простым вычисле-
вычислением легко убедиться в том, что при этом испускание фононов не-
невозможно, если скорость нейтрона меньше скорости звука в рас-
рассматриваемом кристалле. Поэтому при точном выполнении закона
сохранения импульса невозможно замедление нейтронов, скорость
которых меньше скорости звука в кристалле. Закон сохранения
* ЖЭТФ, 1947, 17, 769.
312

импульса не имеет места, если ядра отличаются друг от друга
(изотопы, наличие магнитных моментов ядер). В этом случае,
рассмотренном в [2], возможно замедление нейтронов, скорость
которых меньше скорости звука. В недавней работе Вайншток
[4] вновь рассмотрел вопрос о замедлении нейтронов в решетке с
тождественными ядрами. Он обратил внимание на то, что, если
учитывать процессы переброса, нарушающие строгое выполнение
закона сохранения импульса, то становится возможным испуска-
испускание фононов также при скоростях нейтронов меньших, чем ско-
скорость звука. Вайншток, однако, не получил общей формулы для
сечения неупругого рассеяния нейтронов и ограничился численным
вычислением для случая нейтронов с энергией в 300° К, рассеива-
рассеиваемых в железе при различных температурах. Он также не рассмот-
рассмотрел вопроса о взаимоотношении между замедлением нейтронов в
решетках с тождественными и отличающимися ядрами.
В настоящей статье мы рассматриваем этот вопрос и даем общую
формулу для сечения неупругого рассеяния нейтронов в кристал-
кристаллах с тождественными ядрами. Мы выясняем также, как осущест-
осуществляется при увеличении энергии нейтрона переход от рассеяния
связанными к рассеянию свободными ядрами. Для полноты изло-
изложения мы приводим здесь также формулы для упругого рассеива-
рассеивания нейтронов в решетке с тождественными ядрами и даем простой
квантово-механический вывод теплового фактора.
1. Будем считать решетку состоящей из тождественных ядер,
положения которых определяются радиусами-векторами Rj =
= R? -(- uz; R? определяет положение равновесия 1-го ядра, иг —
его смещение из положения равновесия, обусловленное тепловыми
колебаниями. Это смещение может быть представлено в виде L
„ ifR? • -i-!R?4
u/=2iefj(flfj*/l +atje h ),
tj
где f — импульс и / — поляризация колебания частоты cof7", a^
и a\j — амплитуда колебания и комплексно сопряженная ей ве-
величина, имеющие следующие не равные нулю матричные элементы:
A)
где щ — число фононов частоты (Ofj, M— масса атома, N — число
атомов в кристалле.
Энергия взаимодействия нейтрона с решеткой представляет
собой сумму энергий взаимодействия с отдельными ядрами, имею-
имеющих вид ^6(R — Rz), где R — радиус-вектор нейтрона, А —-
В этой работе h обозначает везде постоянную Планка, деленную на 2л.
313

величина, связанная с сечением упругого рассеяния нейтронов
свободными ядрами соотношением
el A* I тМ у
т + М ) W
(т — масса нейтрона). При наличии изотопов А есть, очевидно,
функция I. Состояние системы нейтрон + кристаллическая ре-
решетка определяется заданием импульса нейтрона р и чисел фоно-
нов тг1? п2, ... с импульсами f1? f2, ...
Рассмотрим прежде всего упругое рассеяние нейтрона, при ко-
котором числа пг не изменяются. Матричный элемент энергии возму-
возмущения нейтрона имеет вид
2e П(л eh ls ns), C)
где ns — число фононов частоты o)s, Q — объем кристалла,
p и р' — импульсы нейтрона до и после рассеяния.
Вычисление матричного элемента (п8\ ... | п8) может быть просто
выполнено, если заметить, что as'—¦ iV/2, причем N ^> 1. Раз-
Разложив ^Т(р"~р)и^8 в ряд по степеням as, a*, получим
[п8 еТ (Р"Р) U/s I nsj = 1 — -^ | (р' — р) е812 (п81 a8al + a*sas \ ns) + ...=
= 1 i_ I (D' _ D\ е I2 ^ -
— а 2/1*1№ Р;ев| MiVcDs -г--
Невыписанные члены содержат iV~2, iV, ... Эти члены могут
быть поэтому опущены. Матричный элемент \пъ eh ls ns)
можно представить в виде:
I 4" (р'-р> uls I ) Г I (Р' — Р) es |2
поскольку JV ^> 1.
Произведение таких матричных элементов, входящее в Mpnirl2##.,
p'nin2...
имеет вид e"w, где
есть известный из теории рассеяния рентгеновских лучей экспо-
314

нент теплового фактора. В изотропном случае, если пренебречь
дисперсией, W имеет вид
ту_з (р'-р)' {
W
Л/в
' A . Гд/еу Dlx)-±{_!±_
О
где Т — температура, в—температура Дебая, измеренные в
энергетических единицах. Замечая, что
где В — объем элементарной ячейки, т — вектор обратной решет-
решетки, получим из C) следующее выражение для эффективного сече-
сечения упругого рассеяния, отнесенного к единице телесного угла и на
одно ядро:
В
где Wx = W при р' — р = 2nhx, а0 = A2m2/nh4:.
Для того чтобы получить сечение упругого рассеяния в случае
поликристалла, нужно усреднить E) по ориентациям т. В резуль-
результате получим:
где О — угол между р и р'.
Аналогичной формулой выражается рассеяние рентгеновских
лучей в поликристаллах. Полное сечение упругого рассеяния равно
2 4
4
Эта формула относится к случаю простой решетки. Для сложной
решетки должен быть еще введен структурный фактор. Для доста-
достаточно больших ка (а — постоянная решетки) сумма в E") содер-
содержит много слагаемых и может быть поэтому заменена интегралом
fc/я
(для простой кубической решетки 2 —* ^я^3 \ . . . t2dt) .
то'
В изотропном случае, в пренебрежении дисперсией, получаем
при этом
где Е — энергия нейтрона.
Если к <^ JiTmin, то сумма E") вовсе не содержит членов, упру-
упругое рассеяние в этих условиях невозможно. Если увеличивать
315

волновой вектор к нейтрона, то при значении волнового вектора,
равном JTTmin, начинается рассеяние, причем сечение вплоть до
к = ят2 (т2 — второе в порядке возрастания значение т) монотон-
монотонно убывает обратно пропорционально энергии нейтрона. При к =
= ят2 сечение скачком возрастает [в E;/) теперь входят два члена] и
затем вплоть до к = ят3 (т3 — третье в порядке возрастания зна-
значение т) убывает обратно пропорционально энергии нейтрона.
С дальнейшим ростом энергии нейтрона скачки в сечении уменьша-
уменьшаются и в пределе мы получаем формулу F).
Формулы E) и F) получены и исследованы в [3].
2. Перейдем к рассмотрению неупругого рассеяния нейтронов
решеткой с тождественными ядрами. Мы рассмотрим наиболее
вероятные процессы при малых энергиях нейтрона — испускание
и поглощение одного фонона. Если таковым является фонон f/ с
частотой (Of/, то матричный элемент энергии возмущения нейтрона,
отвечающий испусканию этого фонона, будет
ъ/г A V lT(p'-p)RW 7T(p'-p)u*
Mpntn2...nf... =-q~2j^ \nf e
p'n1n2...Tiy:+l ... I
X 11 [n8 e* ls\ns)
Здесь штрих у знака произведения означает, что в нем отсутст-
отсутствует множитель с s = /. Так как каждый множитель бесконечно
мало отличается от единицы' (N—>оо), то Д не отличается от Д f
S 3
входящего в матричный элемент для упругого рассеяния. Мы мо-
можем поэтому для Д , воспользоваться полученным ранее выраже-
s
нием e~w, где W по-прежнему выражается формулой D). Иными
словами, тепловой фактор для рассеяния с учетом однофононных
процессов не отличается от теплового фактора для упругого рас-
рассеяния.
Для вычисления матричного элемента [nf eh lf\nf-]-l)
нужно разложить eh "z/ в ряд, сохранив в нем линейный
член. Пользуясь A), получим:
"-(p'-p-f-f)R/ |
pn/ ~ Q 2ле
Заменив в этом выражении f на —f и nf -f 1 на /г/, получим мат-
матричный элемент для поглощения фонона.
316

Дифференциальное сечение рассеяния с испусканием фонона
в телесном углу сЮ/, отнесенное к одному ядру, равно:
где dOr — элемент телесного угла р\
В случае поликристалла F) следует усреднить по всем ориента-
циям вектора т. Выполнив это усреднение и проинтегрировав ре-
результат по dOf, получим:
Рассмотрим подробнее тот случай, когда можно не учитывать
дисперсии фононов. Для простоты расчета будем считать, что су-
существует одна скорость звука s. Вводя вместо угла между р' и р
новую переменную х = | р' — р | и просуммировав G) по поля-
поляризациям /, получим:
+ 16jc v ; ' ' Mspjhx
Аналогичный вид с rif вместо rif -\- 1 имеет сечение для поглощения
<фонона f.
Для определения полного сечения неупругого рассеяния с ис-
испусканием фонона выясним, каковы пределы изменения перемен-
переменных х и /. В G') предполагаются выполненными законы сохране-
сохране2
?=?!_«/ = О, р' - р + f = 2яЬт. (8)
(Мы пишем здесь, имея в виду в дальнейшем исследование формулы
{7'), энергию фонона в виде sf.]
Заметим, что из (8) вытекает соотношение -^ (v -f- v') (f —2nhx) =
— s/, где v и v' —скорости нейтрона до и после испускания фонона.
Если считать скорость нейтрона v меньшей, чем скорость звука, то
прит = 0 выполнение написанного соотношения невозможно. Ины-
Иными словами, при точном выполнении закона сохранения импульса
испускание фонона невозможно [1], если v<^s. Оно становится,
однако, возможным при т =f= 0. На это обстоятельство обратил
внимание Вайншток [4]. Поглощение фонона при v<^ s возможно,
но при этом должно выполняться условие [1]: / > 2 т (s — г;), что
часто противоречит требованию f<Cfo(sfo = ®) Ш.
Вводя переменную х = | р' — р I , получим из второго усло-
условия (8)
х -[- / > 2jtfer, | х — / |
2 Рассмотрению законов сохранения в случае неупругого рассеяния нейтро-
нейтронов в кристаллах посвящена статья Теллера и Зигера [5].
317

Из закона сохранения энергии (в случае испускания фонона)
следует, что
— 2msf9 *>р
Этими соотношениями определяется область интегрирования
по х, /. Мы изобразим ее графически, однако предварительно вве-
введем безразмерные величины:
Е
т =
я/гт
На рис. 1 заштрихована получающаяся область интегрирования,
= т—. Легко видеть, что максимально возможное т*
4 S
при v < s равно единице, иными словами, допустимые при неупру-
неупругом рассеянии с испусканием фонона значения т, так же как и при
упругом рассеянии, не превосходят kin.
Для получения полного сечения неупругого рассеяния с ис-
испусканием одного фонона, а+, нужно проинтегрировать G) по
/, х и просуммировать по всем допустимым значениям т*
О)
Приведем результат интегрирования в формуле (9) при |3 <§: 1,
т. е. v <^ 4 s. В этом случае при интегрировании по ц можно подын-
Рис. 1
тегральную функцию заменить ее значением при ц = т* и считать
интервал изменения г\ равным 2 |3?. Таким образом, мы получим
m f p
^ = 17 <5о —
318

где
U/ _ 4 9 ^*2 _ -\--g-L . г
Если сумма (9) содержит много членов, что имеет место при вы-
выполнении условия ак ^> 1, то суммирование может быть заменено
интегрированием по -у^Уг ^dx*. Первый член в (9'), при пренебре-
пренебрежении тепловым фактором, дает при этом
?¦-4» D)'
-?¦-4» D
[В рассматриваемом случае температура Дебая определяется,
Как показано в [2], такой же формулой определяется отноше-
отношение сечений неупругого и упругого рассеяния в кристаллах с от-
отличающимися ядрами (предполагается, что отличие вызывается
наличием изотопов и магнитных моментов ядер).
Таким образом, при достаточно больших к (ка 2^> 1) неупругое
рассеяние нейтронов в решетках с тождественными и отличающи-
отличающимися ядрами происходит одинаково. Это обстоятельство легко по-
понять, если заметить, что при достаточно больших к в рассмотрение
входит большое число возможных значений т, так что в F) сум-
суммирование может быть заменено интегрированием по т. Благодаря
этому исчезнет б-функция от импульсов. Таким образом, учет
всех возможных процессов переброса приводит к полному устра-
устранению интерференционных условий, заменяющих закон сохране-
сохранения импульса в кристаллической решетке. С другой стороны, ясно,
что в решетке с нетождественными ядрами также не выполняется
закон сохранения импульса, так что различие между этими двумя
типами решеток исчезает.
Если р столь велико, что суммирование по т может быть заме-
заменено интегрированием, то сечение о+ может быть представлено как
[г) при заданном I меняется между y(l — У*1 — I) и т
319

Если не учитывать тепловой фактор, то
откуда
Однофононные процессы, которые мы пока рассматриваем, дают
первый член в разложении сечения неупругого рассеяния в ряд
по степеням EIQ. Учет двухфононных процессов дал бы сечение,
/ т \2 / Е \6 гг. л
пропорциональное \-%т) I "q" ) • Ааким образом, речь идет о раз-
ложении в ряд по степеням -=гг ( -^- ) . Мы можем ограничиться рас- .
смотрением однофононных процессов при выполнении условия
ЭД"
Отсюда далее следует, что учет теплового фактора в не-
неупругом рассеянии, в отличие от упругого рассеяния, имеет смысл
ТТ7 т Е ^ / т \ 2/з ^ л ^ „
только в том случае, когда W ~м~~®~<^\~И~) "^^- Действи-
Действительно, член, пропорциональный W* в разложении e~2W по степе-
степеням W, не может уже рассматриваться без сечения, соответству-
соответствующего испусканию двух фононов.
Сечение для поглощения фонона а_ может быть найдено по фор-
формуле
На рис. 2 заштрихованы области интегрирования, отвечающие
трем различным значениям т*, обозначенным через т{, т1, Тз-
Уравнение прямой типа A) имеет вид
Прямая типа B) имеет уравнение
ч + К = х*.
Далее |0 обозначает в/^. Максимальное возможное т* равно, оче-
очевидно,
320

Если |3<^fl, то подынтегральную функцию можно заменить ее
значением при т] = т* и считать интервал изменения т) равным
2|J?. Таким образом, мы получим
Пределы интегрирования по ? зависят от т% как это показано на
рис. 2.
В частности, если г]г = у(]/ 1 +1о — 1) <С ^»то
где
о
Если Т < в, Г <; Я, то
Если Т >> в, Т^> Е, то
(.2,
- 2 Ат*р-1)е-*Ъ + ± 2 tV*M. A2')
Здесь PFT имеет тот же смысл, что и в формуле (9'), т|х =
= v2(VT+i;--i).
Если импульс нейтрона достаточно велик, так что в A1) входит
много слагаемых, то сумма по т* может быть заменена интегралом.
Мы получим при этом
2m
1/2 11 И. Я. Померанчук, т. 1 32f

Пренебрегая тепловым фактором, получим
о т Е IT \2? /о Т \ лГ\ . Т zdz
о
Если Г<0иГ<?,то
Если Т < 0, Г ;> ^, то
м °° в V в У •
Ту/г Г Т\*
, то
Если
Укажем формулы для вероятности изменения энергии нейтрона
от Е к Е', если учитывать однофояонные процессы и считать, что
суммирование по т может быть заменено интегрированием.
Рис. 2
Вероятность перехода нейтрона с энергией Е в область энергий
dEr с испусканием фонона равна
тзг ,о мз 2 ~т^= (Е2- Еп) 1пш + 1) dE\ h® = E-E' A2")
М BлАK 5а у^л/Sav / \ » i / » \ /
(л* — функция Планка); аналогичная вероятность с поглощением
фонона равна
322

Из этих формул видно, что наиболее вероятны большие пере-
передачи энергии нейтрона,— порядка всей его энергии.
Приведем еще формулу для изменения энергии нейтрона на
единице его пути
-3? = JV 2$ *® (*$-*?)• A3)
X
где л __ число атомов в 1 см8. Если ак J> 1, так что суммирование
по т можно заменить интегрированием, то, пренебрегая тепловым
фактором, будем иметь
J5.
о
где 10 = в/Я. Если 71<еиГ<?,то
cLE 64 га
Если Т << в и ? << Г, то
dfi и» /Я\*ЙЯ,Г64 8 Г
Если
3. Мы перейдем теперь к выводу общей формулы для эффектив-
эффективного сечения рассеяния нейтронов с учетом поглощения и «спус-
«спускания любого числа фононов. Пусть по-прежнему р и р' — значе-
значения импульса нейтрона до и после рассеяния; nl, п^ ...и^, тг2,...—
совокупность чисел фононов в начальном и конечном состоя-
состояниях. Интересующая нас вероятность перехода имеет, очевидно,
вид:
W = -г
х (р'-р)
h
^- (р'-р) и,
X в ( E + Zi (/?Y — лр Ло>. —
11* 323

Входящий сюда матричный элемент можно представить как
где
/ 4- fR/ - — f i
Вспоминая, что матричные элементы afj и а/;- содержат N~ifzr
ыы можем ограничиться рассмотрением только тех случаев, когда
П/ отличается от Л/ не больше чем на единицу. Вводя для
краткости обозначение
2MNha>fj
имеем с точностью до членов порядка UN
Замечая, что б-функция может быть представлена в виде
и переходя от вероятности w к дифференциальному сечению
рассеяния da, в результате которого нейтрон двигается в телесном
углу dO' и обладает энергией в интервале dE', получим
da - ^
+ 2 w i 2 •* (P'"P+f+' °R? Г («/ + D (-/'
(для простоты из многофононных процессов здесь выписан только
один член, отвечающий возникновению двух фононов f и Г); do
отнесено к одному] ядру. Входящие сюда У\ дают б-функ-
ции от импульса, однако, если энергия нейтрона достаточно
велика, а нас интересует именно этот случай, то, как мы видели
324

в § 2, эти б-функции можно вовсе не учитывать. Поэтому, пренеб-
пренебрегая степенями #/, получим
/г
Учитывая малость ф (Nf —> ос), можно представить do в виде
do = ?L!L dO'dE' J e*« (?'-?>+? <a> da, A4)
где
8 («) = 2 (Я/ + !) ***"' + ^"^ - 2Й/ - !) «?• A5>
/
Здесь, так же как и в более ранних формулах, hf означает среднее
число фононов в состоянии /, определяемое формулой Планка*
Заметим, что данный здесь вывод общей формулы для сечения
рассеяния близко примыкает к рассуждениям Лшба [6] в работе о
захвате нейтронов в кристаллах 8.
В изотропном случае при пренебрежении дисперсией фононов
функция g (a) может быть представлена в виде:
в
*(«) = !¦ (Р>д^»РJ $ К". + 1)eiat + п*е~ш - 2л. - Ц в <fe, A5')
о
где nz = 1/(е*!т — 1).
Выполнить интегрирование в A4) в общем виде не представля-
представляется возможным, хотя, конечно, формулой A4) можно восполь-
воспользоваться, чтобы путем численного интегрирования определить da.
Аналитические выражения могут быть получены в двух пре-
предельных случаях «слабой» и «сильной» связи, для которых не су-
существенна область значений а, лежащих вблизи a — 1/в. В пер-
первом из этих случаев, случае малых 0, оказываются существенными
малые | а |, | а | в <^ 1. В случае «сильной» связи (большие 0)
существенной является область больших | а |, | а |0 ^> 1. Мы
убедимся в справедливости этих утверждений, если рассмотрим
выражение для g (a) в случаях |а|0<^1и|а|0^>1. Если
| а | 0 <^ 1, то мы можем разложить g (a) в ряд по степеням а.
Пользуясь формулой A5'), справедливой в изотропном случае, и
ограничиваясь квадратичным по а членом, найдем
A5")
8 Мы пользуемся здесь случаем, чтобы поблагодарить Л. Д. Ландау, указав-
указавшего нам на возможность проведения данного вывода.
325

Вводя обозначение
будем иметь
Отметим, что Ej = 3/8 в4, если Г<<е, и Е* = в3 Г, если Т^>в.
Из A5") в соединении с формулой A4), определяющей сечение
рассеяния, легко заключить, что область малых | а |, | а | в <^ 1,
будет существенной в интеграле A4) при выполнении условия
(р'-р)з / Ер у^ Q Mfi.
Энергия «отдачи» R = 2М по порядку величины равна
-т^Е(Е — энергия нейтрона в начальном состоянии). Поэтому
условие A6) может быть переписано так: Е ^> Mint (в/Е0L в*
В предельных случаях высоких и низких температур отсюда
следует Е ;>Мв/m, если Г<<6, Е^>(М/т)(@2/Т), если Г;>е.
При выполнении условия A6) мы можем пользоваться выраже-
выражением A5") для g (а). В этом случае эффективное сечение da равно
Л бо / JP jr» С ix (E'-E+R)-<x* —^-
<2g = —^. i_ dE dO \ e 0 da =
8я2 р J
V1'/
"¦"/#A)'
Очевидно, формула A7') практически не отличается от б-функ-
ции:
do = ^LlL&(E' - Е + R)dE'dO'. A7')
Смысл формулы A7') очевиден: нейтрон рассеивается по закону
столкновения упругих шаров, связь атомов в кристалле не играет
никакой роли. Это и есть случай «слабой» связи, осуществляющей-
осуществляющейся при выполнении условия A6).
Проинтегрируем сперва A7') по углам оЮ'. Имея в виду, что
под знаком б-функции стоит выражение
Е' + 2L ф+Щ-Е- ^ УЖ' cos * = О
(в —угол между р и р'), получим da = Ma0dE'/4mE.
326

Интегрируя по К в пределах (
м ,
получим
Полное сечение рассеяния нейтрона оказывается независящим
от энергии нейтрона и равным сечению Oq1 рассеяния отдельным
ядром.
Рассмотрим теперь противоположный предельный случай «силь-
«сильной» связи, когда в —>оо. Если R <^ в, то, как следует из A5'),
модуль функции g (а) мал. В этом случае, очевидно, несуществен-
несущественны осциллирующие множители е±*аЛо), входящие в A5'). Мы можем
поэтому не рассматривать их и считать, что g (а) мало отличается
от g (оо), определяемой как
Сравнение gi^) с выражением для теплового фактора D) по-
показывает, что g (оо) = — 2W. Возвращаясь к формуле A4) для се-
сечения, мы видим, что при R <^ в
J?L JL е~
• dO' dE' =
> - Е) dO> dE'.
A8)
Мы получили формулу для сечения упругого рассеяния. Про-
Проинтегрировав A8) по dE'd'O, получим полное сечение упругого
рассеяния, совпадающее с даваемым формулой F).
Таким образом, в области малых энергий нейтрона Е <^ — в
имеет место главным образом упругое рассеяние (/?' = Е). Сечение
рассеяния а (Е) мало отличается от а0, поскольку тепловой фактор
не отличается значительно от единицы (W<^ 1). Сечение упругого
рассеяния уменьшается с ростом энергии и одновременно начинает
327

все большую роль играть неупругое рассеяние. В области больших
энергий Е^> -тт-б) (-у-) чисто упругое рассеяние отсутствует;
главную роль играет неупругое рассеяние, причем энергия, теряе-
теряемая нейтроном, определяется обычными законами сохранения при
столкновении частиц нейтрона и неподвижного атома. В § 3 мы
видели, что в области малых энергий можно при рассмотрении
неупругого рассеяния ограничиться учетом однофононных про-
процессов, который для сечения неупругого рассеяния дает <з+/б0~
— (т/М)(Е/0>K<^:1. Это находится в соответствии со сделанными
только что выводами.
Заметим, что в области малых энергий нейтрона при малом об-
общем сечении неупругого рассеяния наиболее вероятны большие
передачи энергии нейтрона, порядка всей его энергии, в то время
как в области больших энергий нейтрона, когда неупругое рас-
рассеяние составляет главную часть рассеяния, передаваемая энергия
будет порядка (т1М)Е.
На рис. 3 приведен схематически ход зависимости от энергии
сечений будр, бнеупр, о (Е) = аупр '+ знеупр. Как видно из рис. 3,
полное сечение а (Е) может обладать минимумом при значении
энергии, лежащем между в и — (-пг-ч4в.
TYl \HiO /
В заключение мы хотим здесь поблагодарить акад. Л. Д. Лан-
Ландау за постоянный интерес к работе.
Физико-технический институт Получено
Академии наук УССР 20 сентября 1946 г.
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. Wick. Phys. Zs., 1937, 38, 403, 689.
2. И. Ломеранчук. ЖЭТФ, 1938, 8, 894. (Собр. трудов, № 25).
3. О. Halpern, M. Hamermech, M.Johnson. Phys. Rev., 1941, 59, 981
4. R. Weinstock. Phys. Rev., 1944, 65, 1.
5. Teller, R. Siegert. Phys. Rev., 1942, 62, 37.
6. W. Lamb. Phys. Rev., 1939, 55, 190.

29
К ТЕОРИИ РЕЗОНАНСНОГО РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ *
Совместно с А. Ахиезером
Указан простой метод рассмотрения задачи о резонансном рассеянии
медленных частиц. Показано, что возможны только два общих закона рас-
рассеяния медленных частиц ядрами, а именно: рассеяние, амплитуда которого
складывается из амплитуд резонансного и потенциального рассеяния, и рас-
рассеяние типа рассеяния медленных нейтронов протонами. В излагаемом методе
естественным образом, без каких-либо специальных предположений, вводится
конечный радиус действия ядерпых сил.
Известно, что если энергия нейтрона или другой частицы, стал-
сталкивающейся с ядром, принимает некоторые определенные значе-
значения, то вероятность соответствующей ядерной реакции становится
особенно большой. Максимумам вероятности отвечают состояния,
при которых энергия падающей частицы совпадает с одним из
значений энергии составного ядра, образующегося в результате
слияния исходного ядра с падающей частицей.
Это явление ядерного резонанса описывается так называемой
резонансной формулой, аналогичной формуле, описывающей ре-
резонансные явления, имеющие место при взаимодействии света с
материей. В последнем случае при выводе резонансной формулы
можно пользоваться теорией возмущений, справедливой ввиду ма-
малости постоянной тонкой структуры.
При выводе ядерной резонансной формулы вначале также поль-
пользовались теорией возмущений [1, 2], хотя это и является незакон-
незаконным, так как взаимодействие между падающей частицей и исход-
исходным ядром весьма велико. В дальнейшем появился целый ряд
работ, посвященных выводу дисперсионной формулы, не основы-
основывающемуся на применении теории возмущений [3—8]. В этих рабо-
работах было показано, что формула типа резонансной может быть
получена при весьма общих предположениях, не связанных с
обычной теорией возмущений. В общем виде, однако, получаются
очень громоздкие и плохо обозримые формулы. Сложность в зна-
значительной степени обусловлена далекими от резонанса уровнями.
Эти уровни играют существенную роль в так называемом потен-
потенциальном рассеянии, взаимоотношение которого с резонансным
рассеянием в указанных работах выявлено недостаточно ясно.
* ЖЭТФ, 1948, 18, 603.
329

Настоящая статья также посвящена выводу дисперсионной фор-
формулы, не связанному с применением теории возмущений. Мы рас-
рассматриваем ниже, главным образом, случай упругого рассеяния
частиц и показываем, что дисперсионная формула может быть
получена из весьма общих предположений, не основывающихся
на малости каких-либо членов в гамильтониане ядерной системы
и не связанных поэтому с обычной теорией возмущений.
В методе, которым мы пользуемся, далекие уровни учитываются
автоматически, благодаря чему не возникает трудностей с опреде-
определением потенциального рассеяния. Кроме того, этот метод охва-
охватывает одновременно случай рассеяния медленных нейтронов про-
протонами и приводит к заключению, что возможны только два об-
общих закона рассеяния медленных частиц ядрами, а именно: рас-
рассеяние, определяемое дисперсионной формулой, и рассеяние типа
рассеяния медленных нейтронов протонами (формула Вигнера).
Рассматривая рассеяние медленных частиц, мы будем предпола-
предполагать, что длина волны частицы значительно больше, чем радиус дей-
действия сил. В этих условиях главную роль играет, как известно,
момент относительного движения частиц, равный нулю; поэтому
рассеяние будет здесь сферически симметричным.
Если расстояние г между частицами велико, то волновая функ-
функция частиц имеет следующий асимптотический вид:
где к —волновой вектор, равный B МЕ)^г (М —приведенная
масса частиц, Е — Mv2/2 — кинетическая энергия относительного
движения, v —относительная скорость частиц); ip (i) —волновая
функция, описывающая внутреннее состояние частиц. Первое
слагаемое в скобках представляет собой падающую, а второе —
расходящуюся волну, причем обе они нормированы на единичный
поток. Величина $е, зависящая от энергии в рассматриваемом слу-
случае упругого рассеяния, равна по модулю единице, т. е.
где б — вещественная величина, называемая «фазой на бесконеч-
бесконечности». Сечение рассеяния а (Е) связано с C соотношением
[б (Е) = Dя/?2) sin2 6 = (я/А2) | C? - 112. B)
Нас интересует ход зависимости от энергии сечения а (Е). Пред-
Предполагая а (Е) аналитической функцией, будем рассматривать так-
также комплексные значения энергии W и исследуем поведение функ-
функции o(W) в окрестности особой точки. Мы будем предполагать,
что на конечном расстоянии функция a (W) имеет только простые
полюсы. Из физических соображений ясно, что на положительной
вещественной полуоси о (Е) и $е особенностей не имеют.
В дальнейшем мы будем исходить из двух основных свойств
функции pw Первое свойство состоит в том, что на положительной
вещественной полуоси, т. е. при W = Е, функция $w по модулю
330

равна единице. Это свойство означает, что отсутствует поглощение
частиц, в силу чего интенсивность расходящейся волны должна
быть равна интенсивности падающей волны.
Чтобы разъяснить второе свойство, представим себе, что мы
совершаем обход в плоскости комплексного переменного W вокруг
нуля. После такого обхода величина волнового вектора, пропор-
пропорциональная УЕ, меняет свой знак. Отсюда следует, что член е~*кг,
представляющий в A) падающую волну, после обхода будет пред-
представлять расходящуюся волну, и наоборот. С другой стороны,
ясно, что в результате обхода квадрат модуля волновой функции
не может измениться. Отсюда легко заключить, что после обхода
вокруг точки W = О, который] переводит ]ЛЕ в — у Е, величина
Ре должна перейти в комплексно сопряженную ей величину ря г.
Введем в рассмотрение новую переменную z = ^W\ мы можем
тогда рассматривать pw как однозначную функцию z: $w = Р (z),
которая равна по модулю единице на вещественной оси и которая
принимает комплексно сопряженные значения в точках z = у Е
и z = — YE (Е>0):
В силу аналитичности р (z) отсюда следует, что
P(-z) = l/P(z). C)
Пусть точка z = z0 есть полюс функции р (z). Так как на веще-
вещественной оси | р (z) | = 1, то отсюда следует, что точка z = zQ
будет нулем р (z); Поэтому р (z) можно представить в виде:
), D)
где рх (z) в точке z = z0 регулярна и, подобно р (z), равна по мо-
модулю единице на вещественной оси.
Используя C), мы получим из D):
т. е.
р2 (z) регулярна в точке z = —zQ. Таким образом точка z =
—z0 является полюсом р (z), а точка z = —z0 —нулем р (z).
Из D) и D') следует, что если полюс z0 не чисто мнимый, то
1 Это свойство было указано нам Л. Д. Ландау.
12* 331

где % (z) регулярна в точках z0 и —zj, равна по модулю единице на
вещественной оси и так же, как и р (г), удовлетворяет усло-
условию C). Если точка z0 ле^шт на мнимой оси, то вместо E) мы полу-
получаем более простое представление (З^:
Рассмотрим функцию In % (z)/z. В окрестности точки W = О
плоскости W эта функция однозначна, так как при обходе вокруг
нуля и числитель и знаменатель меняют свой знак. Отсюда сле-
следует, что
X(z) = ±e^W\ F)
где ф (W) — аналитическая функция от W, регулярная в точке
W = О, а также в точках W = z\, z02, и принимающая веществен-
вещественные значения на положительной половине вещественной оси W.
Таким образом, если точка z0 не лежит на мнимой оси, то мы
получаем следующее представление для |Зе:
где
Ъ =
В том случае, если точка z0 лежит на мнимой оси, представле-
представление |Зе имеет вид
Выбор знака в формулах G), (8) может быть произведен, исходя
яз условия конечности сечения рассеяния при Е = 0. В силу B)
отсюда следует, что при Е—> 0 р# —> 1. Поэтому в формуле G)
следует взять верхний, а в формуле (8) нижний знак
E-E0-iE4'
= ег
К''
Определим теперь сечение упругого рассеяния. Подставляя
G') в B) (обозначая у = 2b ]/"#), получим
2
— Ео —
— 1
ег
332

Это выражение полезно при исследовании поведения сечения
вблизи точки Е = Ео, так как при этом <р (Е) не имеет особенно-
особенностей. Если ф (Е) = 0, то (9) переходит в известную резонансную
формулу
определяющую сечение резонансного рассеяния вблизи уровня Ео.
Ширина уровня 7 пропорциональна У Е. Этот результат хорошо
известен и находится в соответствии с тем, что мы рассматриваем
случай малых энергий, когда длина волны частиц велика по срав-
сравнению с радиусом действия сил, т. е. размерами ядра.
В общем случае, когда <р (Е) Ф О, сечение рассеяния (9) состоит
из трех слагаемых. Первое слагаемое, не содержащее резонансного
знаменателя, представляет собой так называемое потенциальное
рассеяние, аналогичное рассеянию, происходящему в потенциаль-
потенциальном поле. Второе слагаемое представляет собой резонансное рас-
рассеяние, и третье — интерференцию обоих видов рассеяния.
Если энергия стремится к нулю, то потенциальное рассеяние
стремится к пределу (мы считаем, что Е = h2k2/2M)
апот=(яД2/2М)|ф@)|2. (И)
Е-*д
Экспериментально определяемое сечение рассеяния а8 для мед-
медленных нейтронов порядка ni?2, где R — радиус ядра (R = г0А^3,
гох 1,8-10~13 см [9]). Резонансное рассеяние A0) мало по сравне-
сравнению с яД2, исключая случай близкого резонанса, поэтому os обя-
обязано главным образом потенциальному рассеянию.
Заметим, однако, что as изменяется не монотонно с ростом атом-
атомного номера А. Это обстоятельство указывает, по-видимому, на то,
что потенциальное рассеяние скорее соответствует рассеянию от
потенциальной ямы, нежели рассеянию от барьера, так как в по-
последнем случае рассеяние менялось бы монотонно с ростом атом-
атомного номера (оно равнялось бы точно 4яД2).
Определим теперь сечение рассеяния в том случае, когда вели-
величина $Е выражается формулой (8). Подставляя (8) в B), получим
Для достаточно малых энергий мы заменим здесь е1 ^^^(Е) на
+ г]ЛЕф @). В результате простых выкладок получим
Мы получили формулу, которая совпадает с известной форму-
формулой, определяющей сечение рассеяния медленных нейтронов про-
протонами [9]. При этом если ф @) « 0, то формула A2) соответствует
тому случаю, когда радиус действия ядерных сил считается рав-
333

ным нулю. При ф @) Ф 0 формула учитывает конечность радиуса
ядра. Последнее обстоятельство находится в соответствии с выра-
выражением A1), определяющим потенциальное рассеяние.
Итак, мы видим, что самые общие предположения о величине
Ре приводят только к двум возможным выражениям для сечения
рассеяния (9), A2).
Перейдем теперь к изучению общего случая распада составного
ядра. Будем по-прежнему считать, что относительный момент коли-
количества движения частиц, образующих составное ядро, а также час-
частиц, возникающих при его распаде, равняется нулю (это означает,
что мы ограничиваемся рассмотрением достаточно медленных час-
частиц). Для простоты мы сначала не будем учитывать спины ядер.
Начнем с определения общего сечения всех неупругих процес-
процессов аи. Известно [10], что ои связано с отношением амплитуд расхо-
расходящейся и сходящейся волн р# соотношением
Зи = (я/&2)A-|Ря|2). A3)
(Напомним, что если возможно поглощение частиц, то \$е\ <С !)•
Сечение упругого рассеяния равняется при этом
а, = (я/А2)|1-рЕ|*. A4)
Выясним, какой вид имеет теперь p#.
В случае чисто упругого рассеяния р# вблизи уровня Ео опреде-
определяется формулой G). Если возможно поглощение частиц, то форму-
формулу G) следует заменить следующей:
где i|) (E) — вещественная функция, не имеющая особенностей при
Е > 0. Величина ге удовлетворяет условию Те <С Т» необходимому
для того, чтобы было | Рв К 1. Если уе = Т* To A5) переходит в G').
Подставляя выражение A5) в A3), мы получим формулу для
общего сечения неупругих столкновений
_ W
(Т — Те)
/с2 (E-Eof+itH) '
A6)
Сечение упругого столкновения, согласно A4), имеет вид
A7)
Е — Ео — *т/2
Последняя формула отличается от формулы (9) только тем, что
в числитель амплитуды резонансного рассеяния вместо полной
ширины у входит теперь величина уе. Если не учитывать потен-
потенциального рассеяния, то формула A7) дает
т2
as = ~ -| 5 » A7')
334

откуда следует, что Те представляет собой частичную ширину по
отношению к упругому рассеянию.
Вводя обозначение Ти*=* Т— Те (суммарная ширина уровня для
всех неупругих процессов), перепишем A6) в виде
Д.2
A6')
Чтобы получить сечение оа для какого-либо определенного про-
процесса, необходимо лишь в формуле A6') заменить Тп на соответст-
соответствующую частичную ширину уа. Мы получим, таким образом, об-
общую дисперсионную формулу
_^
°а " к* (Е — Ео
В приведенных выше формулах мы считали спин ядра равным
нулю. Покажем теперь, как следует учитывать спин ядра. Так как
мы рассматриваем случай медленных частиц, то для них I = 0 и
поэтому значения момента количества движения составного ядра /
заключены в пределах \ i — s | ^ / ^ i + s, где i — момент ко-
количества движения исходного ядра, s —спин падающей частицы.
Вероятность данного значения I равна
B1 + l)IBs + 1) {21 + 1), A9)
так как общее число возможных ориентации векторов i и s равно
B? + 1) Bs + 1), а число ориентации вектора I равно 21 + 1-
Чтобы учесть спины ядер, нужно приведенные выше формулы для
о и и os умножить на A9). Мы получим общую дисперсионную фор-
формулу [2].
В заключение мы хотели бы поблагодарить А. И. Ахиезера,
Л. Д. Ландау и Н. Н. Меймана, дискуссия с которыми помогла
выяснению изложенных выше вопросов.
Академия наук СССР Получено 8 октября 1947 г.
Физико-технический институт
Академии наук УССР
ЛИТЕРАТУРА
1. G.Breit, E.Wigner. Phys. Rev., 1936, 49, 519.
2. H.Bethe, G. Placzek. Phys. Rev., 1937, 51, 450.
3. P. Kapur, Д. Peierls. Proc. Roy. Soc, 1938, 166, 277.
4. A.Siegert. Phys. Rev., 1939, 56, 750.
5. G.Breit. Phys. Rev., 1946, 69, 472.
6. E. Wigner. Phys. Rev., 1946, 70, 15, 606.
7. E. Wigner. Proc. Nat. Acad. Sci., 1946, 32, 302.
8. H.Feshbach, Peaslee, V. Weisskopf. Phys. Rev., 1947, 71, 145.
9. H.Bethe, R. Backer. Rev. Mod. Phys., 1936, 8.
10. H.Bethe. Phys. Rev., 1940, 57, 1125.

30
О РЕФРАКЦИИ НЕЙТРОНОВ*
Ссвместно с А. Ахиезером
Выведены формулы, определяющие коэффициент преломления медлен-
медленных нейтронов для обычных кристаллов и намагниченных тел (ферромагне-
(ферромагнетиков и парамагнетиков). В последнем случае коэффициент преломления, а
также угол полного отражения зависят от ориентации спина нейтрона по
отношению к вектору магнитной индукции. Это обстоятельство может быть
использовано для получения полностью поляризованного пучка нейтронов.
Известно [1 — 3], что в решетках с тождественными ядрами, не
имеющими механических моментов, не может происходить рас-
рассеяние нейтронов с длиной волны, удовлетворяющей неравенству
%12п 2^> (яТгшп), где tmin —минимальное значение вектора обрат-
обратной решетки. Однако при прохождении таких нейтронов из одной
среды в другую они могут испытывать преломление и отражение.
Эти явления можно описывать макроскопически, вводя коэффици
ент преломления нейтронов п [4]. Такое макроскопическое рас-
рассмотрение законно (как и в оптике), если длина волны нейтронов
больше, чем расстояние между соседними атомами. Предполагая
это условие выполненным, мы выведем здесь выражение для коэф-
коэффициента преломления п1.
Напомним предварительно, что энергия взаимодействия доста-
достаточно медленного нейтрона с ядром может быть представлена в
виде [5]:
4d(r-R), A)
где г и R — радиусы-векторы, определяющие положение нейтрона
и ядра. А есть некоторая постоянная, не зависящая от расстояния
между частицами; она может быть легко связана с сечениями упру-
упругого рассеяния и захвата нейтронов. Учитывая захват нейтронов,
следует, как видно из дальнейшего, считать величину А комплекс-
комплексной.
Установим, прежде всего, связь между величиной А и комплекс-
комплексной фазой рассеяния г]0, определяющей асимптотическое поведение
* ЖЭТФ, 1948, 18, 475.
Общая теория рефракции нейтронов изложена в работе Гольдбергера и
Зейца [4]. Ниже приводится простой вывод формулы для коэффициента
преломления, несколько отличающийся от вывода, данного^в работе [4].
336

волновой функции нейтрона (мы рассматриваем, естественно, толь-
только s-волну, поэтому величина т) снабжена индексом нуль).
Будем предполагать, что модуль фазы рассеяния мал по срав-
сравнению с единицей; это значит, что сечения рассеяния и захвата
предполагаются малыми по сравнению с л (Я/2яJ. (Последнее усло-
условие выполняется во всех практически интересных случаях.)
Известно, что, если модуль фазы тH мал, то она может быть пред-
представлена в виде [6]:
оо
% = Ч(ог) + Н*> = - B/и*/Й«)]v(r)\U(r)|2r*dr, B)
О
где г|оГ) и г]ог) — вещественная и мнимая части г\0, V (г) — энергия
взаимодействия нейтрона и ядра, т — масса нейтрона, к — его
волновой вектор и
/0 (г) = sin кг/кг.
Подставляя в качестве V{r) в B)
Лб(г)-^(Л/4яг2N(г),
получим
оо
ткА /оч
--ЩГ- C)
Сечения рассеяния и захвата нейтронов, а8 и аа, выражаются
через rjgr) и г]ог) следующим образом [4, 6]:
а. =
Отсюда следует, что
х№ «(Ааав/4я), т|Г - + [(^2/4л) as - (А«ав/4я)«]%. E)
Пользуясь C), найдем
±[-Ш-Шт) -t-1-J^Oa]- F)
Определим теперь потенциальную энергию нейтрона в кристал-
кристалле. Она равна, очевидно, сумме энергий взаимодействия нейтрона
со всеми ядрами решетки. Предполагая ядра тождественными и не
имеющими механических моментов, получим следующее выражение
для искомой энергии
и(г) = А'%6(т-И1), G)
I
где суммирование распространяется на все ядра решетки.
337

Мы будем предполагать, что длина волны нейтрона значительно
больше расстояния между соседними атомами. В этих условиях
суммирование по I может быть заменено интегрированием по pdV,
где р — число ядер в единице объема, dV — элемент объема. Поэ-
Поэтому энергия взаимодействия G) приобретает вид
U = Лр. (8)
Смысл проделанной нами замены суммирования интегрированием
заключается, по существу, в том, что матричные элементы опера-
операторов G) и (8) при выполнении условия Х12п ^> а, где а — среднее
расстояние между соседними атомами, одинаковы. Выражение (8)
можно трактовать как потенциальную энергию нейтрона, находя-
находящегося в кристалле.
Напишем уравнение Шредингера для нейтрона в кристалле.
Обозначим волновую функцию нейтрона через г|) (г). Используя
выражение (8) в качестве потенциальной энергии, получим
— (h2/2m) Аг|) + Ару = Е% (9)
где Е — энергия нейтрона. Вне тела уравнение Шредингера имеет
вид
- {Н2/2т) Лф0 = ЕЦ0. A0)
Будем искать решения уравнений (9), A0) в виде плоских волн
^ = C^kr, i|)o = <Vkor, (И)
где к — волновой вектор нейтрона в среде, а к0 — в вакууме; Сг
и С2 — постоянные.
Подстановка (И) в (9) и A0) дает
{П2/2т) к2 + Ар = Е {П2/2т) к20 = Е;
откуда
А»-**- 4яр {+ (? - -ЩЛ + * 44 о.}. A2)
Введем теперь коэффициент преломления нейтронов (индекс
рефракции) п, как это обычно делается в оптике,
п = k/k0. A3)
Величина п очень мало отличается от единицы (см. ниже), поэтому,
используя для определения п формулу A2), мы заменим в ее пра-
правой части к на /с0. Итак,
A0
338

Если поглощение нейтронов отсутствует, то оа = 0 и
п1 - 1 = + (р/А:2) 1/4ясГ8 = + U2p У1я<Гв/2л1#. A5)
Эти формулы являются основными соотношениями в теории
нейтронной рефракции. Подробный анализ этих соотношений дан
в работах [4, 5].
Определим теперь коэффициент преломления нейтронов для
намагниченного (ферромагнитного или парамагнитного) кристалла.
Предполагая, что длина волны нейтрона значительно больше рас-
расстояния между соседними ядрами кристалла, мы должны в этом
случае добавить к потенциальной энергии 4р в уравнении Шре-
дингера (9) член — |isB, где \i — магнитный момент нейтрона,
s — матричный вектор Паули и В — вектор индукции.
Взамен формулы A2) мы получим теперь соотношения:
к% — AJ = - Bm/h2) (pA ± \iB), A6)
где к+ и /с_ — значения волнового вектора нейтрона (внутри крис-
кристалла), спин которого направлен соответственно по или против
вектора магнитной индукции.
Обозначая коэффициенты преломления нейтронов для обеих
ориентации спина через п+ и гг_, найдем в соответствии с A3) и A6):
A7)
^ 1
Пользуясь формулой D2) работы [4], получим следующие выра-
выражения, определяющие коэффициенты отражения нейтронов для
обеих ориентации спина нейтрона:
R+ = [(/г2 - sin2 9)V« - cos 9]2/[(/г* — sin2 вI/. + cos 9]2,
A8)
Д_ = [(/г! — sin2 9I/2 — cos 9]2/[(/г! — sin^I'* + с os 9]2.
Так как коэффициент преломления зависит от ориентации спина
нейтрона, то угол полного отражения будет также зависеть от
ориентации спина нейтрона по отношению к вектору магнитной
индукции. Это обстоятельство может быть использовано для по-
получения поляризованного пучка нейтронов. Если угол падения
нейтронов таков, что только нейтроны с одной ориентацией спина
полностью отражаются от поверхности намагниченного кристалла,
то прошедшие в кристалл нейтроны будут полностью поляризова-
поляризованы. Отраженный луч нейтронов будет при этом частично поляри-
поляризован.
Определим разность углов полного отражения для обеих ориен-
ориентации спина нейтрона. Согласно формуле D2) работы [4], полу-
339

чим в том случае, когда можно пренебречь поглощением нейтронов
Ф+ = /2A-тг+) = [Y^sh*p/mE + \iB/E)lf\
_ A9)
Ф_ = у2 A - /г.) - (УюаП*р/тЕ - \iB/E)Vi,
где ф± = я/2—6±, 6± —углы полного внутреннего отражения
для обеих ориентации спина (sin 0± = п±).
Разность углов ф+ и ф_ имеет вид
Ф+ - Ф- = (\ьВ/Е) (mE/fmsh*9yf\ B0)
Подставляя сюда В ж 1,8-104, [х = 1,93 \х0 [5] (|х0 —ядерный
магнетон), мы получим для тепловых нейтронов ф+ —ф_ ^ 5',
т. е. величину того же порядка, что и угол полного отражения [4].
Отсюда следует, что опыты по получению поляризованных нейтро-
нейтронов указанным методом не должны приводить к дополнительным
трудностям по сравнению с хорошо изученными опытами с полным
отражением нейтронов.
Приведем еще формулы для степени поляризации в отражен-
отраженном и падающем пучках. Под степенью поляризации мы понимаем
величину S = (/+ —/-)/(/+ + /_),где /+ и /_ —интенсивности
нейтронов с обеими ориентациями спина.
Степень поляризации отраженных нейтронов равна
, р ч _ A - /+J A + /^ - A -П2 A + /+J
B1)
где
/± = A - 24и±/Ф2I/2, |л± = 1 - п± B2)
(ф есть угол между направлением пучка и плоской поверхностью
ферромагнетика). Степень поляризации преломленных нейтронов
равняется
Sd = [A - Д+) - A - Д_)]/[A - Д+) + A - i?J] =
Д+-Д_). B3)
Л кадемия наук СССР Получено
Физико-технический институт 8 октября 1947 г.
Академии наук УССР
ЛИТЕРАТУРА
1. G. Wick. Phys. Zs., 1937, 38, 403, 689.
2. R- Weinstock. Phys. Rev., 1944, 65, 1.
3. А* Ахиезер, И. Померанцу к. J. Phys. USSR, 1947, 11, 167 (Собр.
Ла 28).
4. М. Goldberger, F. Seitz. Phys. Rev., 1947, 71, 294.
5. L. Alvarez, F. Block. Phys. Rev., 1940, 57, 111.

31
ЗАМЕЧАНИЕ О РАССЕЯНИИ ЧАСТИЦ
С НУЛЕВОЙ ЭНЕРГИЕЙ *
Если силовое поле таково, что не существует связанных уров-
уровней, то можно указать некоторые неравенства, которым должны
удовлетворять эффективные сечения рассеяния медленных частиц
в этом поле.
Мы будем считать поле убывающим на больших расстояниях
настолько быстро, что существует интеграл по всему простран-
пространству от потенциала. Полагая энергию рассеиваемой частицы Е
равной нулю, получаем уравнение Шредингера в виде
— (Гг2/2т) Ля|) + Fi|) = 0. A)
При отсутствии связанных уровней я|)-функция, отвечающая
Е = 0, соответствует низшему энергетическому уровню и поэтому
нигде не обращается в нуль[1]. (Если бы низший энергетический
уровень находился в дискретном спектре, то я|)-функция обраща-
обращалась бы в нуль на бесконечности; ввиду отсутствия связанных
состояний это исключено.)
Вводим функцию ф, согласно
а|) = 1 + <р. B)
Ф стремится к нулю при возрастании расстояния от силового цент-
центра. Единица представляет падающую волну с нулевой энергией:
Отсюда
При очень больших г получаем
ф = 1 - (m/2nh2r) [ V (г) [1 + ф (г)] dt. D)
Амплитуда; рассеянной волны S равна
? = _- (ю/2лй*) J V (г) [1 + Ф (г)] dv. E)
Сравнивая C) и E), можем установить некоторые свойства S.
ЖЭТФ, 1948, 18, 1146.
341

Пусть V <[ О (силы притяжения, но связанных уровней нет).
Так как я|) = 1 + ф ]> О, то 5и ф положительны: S ^> О, ср > 0.
Ввиду положительности ф в этом случае имеет место неравенство
S > - (m/2nh2) [ V (г) dr. F)
Аналогичное неравенство для эффективного сечения рассеяния
4|?|2
(r)dr|2. G)
В поле сил притяжения, не приводящих к связанным уровням,
эффективное сечение рассеяния медленных частиц всегда больше
борновского [2]. Амплитуда рассеянной волны положительна.
Если V ^> 0 (силы отталкивания), то C) и E) дают ф <^ 0,
S <^ 0. Отбрасывание ф в E) увеличивает S и а:
(8)
(9)
В случае отталкивательных сил эффективное сечение рассея-
рассеяния медленных частиц всегда меньше борновского. Амплитуда
рассеянной волны отрицательна.
Неравенства F) — (9) могут быть получены также и несколько
иным способом. Разделим уравнение A) на я|). Это можно сделать,
так как я|) нигде не обращается в нуль
A + ф) Дф = 2mV/h2.
Производя очевидные преобразования, интегрируем это уравнение
по сфере большого радиуса R
Bт/h2) ^ Vdr = 4яД2 (ckp/dR) + jj (уфJ A + ф)~2 dr.
В соответствии с D) имеем
S = - (т/2кГг2) J Vdv + A/4я) ^ (^/фJ A + Ф) dr.
Отсюда сразу получается F) — (9).
Заметим, что функция я|) предполагалась нами вещественной,
что справедливо при Е = 0.
Академия наук СССР Получено 22 сентября 1948 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики, т. 1. ГТТИ,
1934, стр. 429, 436.
2. Мотт, Мэсси. Теория атомных столкновений. ОНТИ, 1936, стр. 112.

32
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ И НЕЙТРОНАМИ*
Совместно с А. И. Ахиезером
Изучая асимметрию рассеяния тепловых нейтронов в ксеноне,
Ферми и Маршалл сделали вывод, что она является свидетельст-
свидетельством существования неэлектромагнитного взаимодействия между
нейтронами и электронами. При анализе их опытных данных
необходимо, однако, учитывать, что асимметрия рассеяния может,
помимо специфических короткодействующих сил неэлектромаг-
неэлектромагнитного характера, вызываться также интерференцией волн, рас-
рассеянных различными атомами газа. Интерференция возникает
вследствие корреляции во взаимном расположении атомов, обя-
обязанной тому, что расстояние между центрами двух атомов, практи-
практически не может быть меньше двух атомных радиусов. Хотя этот
интерференционный эффект, будучи пропорциональным плотности
газа, оказывается малым при давлениях порядка атмосферы (при
таких давлениях производились опыты) сам эффект, исследован-
исследованный авторами х, также очень мал. Простой расчет показывает,
что эффект корреляции оказывается того же порядка величины,
что и исследованный эффект. Расчету этого интерференционного
эффекта и посвящена настоящая заметка.
Сечение рассеяния нейтрона в газе определяется, как известно,
следующим выражением:
-. 9
A)
где q — изменение волнового вектора нейтрона при рассеянии,
гп — радиус-вектор, определяющий положение я-го атома, черта
сверху означает усреднение по всем возможным расположениям
атомов. Представив A) в виде
о = N + 2л е пту \Ч
п
где N — общее число атомов, гпт = гп — гт (штрих над суммой
обозначает, что в сумме отсутствуют члены с п = т), мы видим,
что асимметрия рассеяния определяется множителем
* ЖЭТФ, 1949, 19, 558.
1 Е. Fermi, L. Marchall. Phys. Rev., 1947, 72, 1139.
343

Пусть р (rnm) — есть функция распределения в пространстве
тпт. Тогда
)Hrnm)dr
Если U (г) — взаимная потенциальная энергия двух атомов,
расстояние между которыми равно г, то р — e~ulT (T — абсолютная
температура, выраженная в эргах). Поэтому
О функции U (г) в случае благородных газов мы сделаем сле-
следующие предположения:
О, если r>2i?,
о, если г<2й, <5>
где R — радиус атома.
Используя E), перепишем D) в виде:
—
где Q — объем и п — плотность газа (мы пренебрегаем объемом
атома по сравнению с Q). Выполнив интегрирование, получим
n
sin2qR \
где q = Bро/й) sin @/2) (ф — угол рассеяния нейтрона).
Определим, пользуясь формулой G), отношение интенсивностей
рассеянных нейтронов при углах-&х = 45° ид2 = 135°. Обозначая
это отношение через р, найдем
где
cost] sin г] 8яЯ . ф
'II l\i U
(к — длина волны нейтрона). Полагая X = 2-Ю"8 см, R = 1,44-
•10"8 см, получим р — 1 ^ 1,7 -10~4.
По экспериментальным данным х р — 1 я^ —0,0005 + 0,0085.
Отвлекаясь от того обстоятельства, что в этих опытах фон в
17 раз превышает основной результат, мы видим, что интерферен-
интерференционный эффект имеет тот же порядок величины, то и эффект,
исследованный авторами1.
Академия наук СССР Получено 9 марта 1949 г.
1 Е. Fermi, L. Marchall. Phys. Rev., 1947, 72, 1139.

Добавление
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗИРОВАННОГО ГАЗА
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ*
В. Б. Берестецкий, Б. Л. Иоффе, И. Я. Померанцу к
Мы будем рассматривать теплопроводность полностью ионизированного
газа при температурах (в энергетической шкале) порядка 100 ков, В этих
условиях можно считать скорости ионов малыми сравнительно со скоростями
электронов и пренебречь вкладом ионов в теплопроводность. Кинетическое
уравнение для функции распределения по импульсам п (г, р) в общем случае
при наличии градиента температуры и внешнего электрического поля Е
можно записать в виде
где Jie — интеграл столкновений электронов с ионами и Cfee интеграл столк-
столкновений между электронами:
С?ге = \* № (Р..*) п (р, г) - N (Р', г) п (р', г)] Gs (p, 6') dQdP, B)
(Р' Г) « (Pi r) - п (Р', Г) п (р', г)] dw (p, p', P) dl\ C)
где TV (P, г) — функция распределения ионов, о$ (/?, 0') dQ' дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния электронов при столкновении с ионами и dw — вероят-
вероятность рассеяния при столкновении электрон — электрон.
Как известно [1], при газо-кинетических процессах в случае кулонов-
ского взаимодействия основную роль играют столкновения с большими при-
прицельными расстояниями, сопровождающиеся малыми передачами импульса.
Для таких столкновений, т. е. для столкновений, при которых передача им-
импульса q = |р' — | р <^ р — величины самого импульса — сечение рассеяния
электрона с импульсом р на ионе на угол 0 будет равно
-|r D)
(заряд иона равен единице). Вероятность рассеяния^при столкновении реля-
релятивистских электронов может быть получена из матричного элемента рассея-
рассеяния, подсчитанного с помощью релятивистских волновых функций и учетом
запаздывания. Согласно [2], этот матричный элемент равен
НАЕ =
(uQ1ui) (u02u2) - (ifaami) (u^m) \
1
* Работа выполнена в 1951 г. в Институте теоретической и экспериментальной
физики. Публикуется впервые.
345

где и — спинорные амплитуды электронных волновых функций, р — им-
импульсы, Е — энергии электронов, индекс 1 относится к 1-му электрону, ин-
индекс 2 — ко второму, индекс 0 обозначает начальное состояние. В матричном
элементе E) не учтен обмен между двумя электронами; не проведена антисим-
антисимметризация по волновым функциям конечного состояния. Однако при столк-
столкновениях с прицельными расстояниями d ^> X — длины волны электрона нет
необходимости учитывать квантово-механический эффект обмена (т. е. интер"
ференционные члены). Классическое же удвоение вероятности будет учтено
нами впоследствии в том, что интегрирование вероятности по углам будет
проводиться по всему пространству вместо полупространства, как это должно
было быть для одинаковых частиц. При малых передачах импульса можно
считать um = ui и u02 = и2 и, следовательно,
V1 = 1' uliaui ^ ~Y '
F)
Кроме^того, разложим по степеням
q = pi — poi G>
разность энергий, стоящую в знаменателе
Ei — Eoi = viq. (8)
Тогда получаемая обычным образом вероятность рассеяния'электрона с им-
импульсом poi в элемент dpi пространства импульсов равна
/ V01V02 \ 2
\ ~ /
dw = 4e* [g2_(VoiqJ/c2]2 б (voi-vcB, q) dpi. (9)
(Аргумент б-функции, выражающей закон сохранения энергии, разложен по
степеням q до первого порядка).
Как обычно, при вычислении теплопроводности предполагаем градиент
температуры и электрического поля малыми, и поэтому распределение элект"
ронов слабо отличающимся от равновесного максвелловского
п = ивA + Х). (Ю)
где п0 — максвелловское распределение релятивистского электронного газа
131
m,dp = p expj-cVmV+рЧТ] dp(И)
где ре — число электронов в см3, Т — температура в энергетических едини-
единицах, Ко и Кх — функции Макдональда. Функция %, описывающая отклонение
от максвелловского распределения, должна с точностью до более высоких
степеней градиента температуры и электрического поля иметь вид
346

причем %\ (р) и %2 (р) являются функциями только абсолютной величины им-
импульса. Левая часть уравнения A) в предположении постоянной плотности
числа частиц может быть с той же точностью записана как
дпо дп0 рЕ
^^6 A3)
Найдем теперь выражения для интегралов столкновений. При этом, по-
поскольку получающиеся уравнения линейны относительно функции %, мы
найдем сначала уравнение для %\. Уравнение для Хг получится аналогично.
Интеграл столкновений электронов с ионами B) с помощью A0) можно за-
записать в виде:
v {N (Р) по (р) [1 + X (Р, г)] - N (П по 0/) [1 + X (Р', г)]} X
Xss (p, 0') dVdF = vno (p) J [X (Р, г) - X (Р', г)] N (Р) as (p, 9') dQ'dP,
A4)
так как согласно закону сохранения энергии при столкновении
N(P)no(p)=N(P')no(p'). A5)
Проводя в A4) интегрирование по Р, которое дает
Ph A6)
где Pi — число ионов в см3, и используя A2), получаем
СГ\е = Pivno (p) VT ^ (р - р') xi (P) (J8(P, Q') dQ'. A7)
Проектируя подынтегральное выражение на единственное выделенное на-
направление р и подставляя as из D), находим выражение для интеграла юлк-
новений с ионами
В A8)
i по (р) [ —) (рУГ) xi (p). A8)
il = In Гтах , A9)
«min 9
гдегтах — максимальное, rmin — минимальное прицельное"расстояние. Мак-
Максимальное прицельное расстояние выбирается [1] как расстояние, на котором
становится существенным экранирование кулоновского поля данного иона
соседними зарядами. Без учета магнитных сил это расстояние может быть
принято равным радиусу Дебая — Хюккеля
T 1
ле* Pi + Pe • B0>
Учет магнитных сил не изменит порядка величины гтах, и, следовательно, с
точностью до малой величины порядка 1/L не изменит логарифма в A9). Ми-
Минимальное прицельное расстояние в случае электронов с высокой_температу-
347

рой должно быть принято равным X = fr/p, ибо при таких расстояниях нельзя
уже считать передачи импульсов малыми. Таким образом,
L- — \ Г137 ( тс У 1 ( Р V Т
Метод рассмотрения далеких соударений, приводящий к обрезанию ло-
гарифмически-расходящегося интеграла на пределе 0miu (или rmax), ограничи-
ограничивает относительную точность выражений A8), B6) величиной — 1/L ~ 0,1.
Такова же точность кинетического уравнения D3), D5) и значений теплопро-
теплопроводности, приведенных в табл. 1.
Для вычисления интеграла столкновений между электронами восполь-
воспользуемся общим выражением, полученным в [1] путем разложения по малым
передачам импульса:
^^лТ1, * = 1.2,3, B2)
q.qkdw, B3)
причем dw по-прежнему дается (9) (в обозначениях voi = v, v02 = V, poi = p»
Pi = p\ q = p' —- p). Подставляя в j\ вместо п (р) выражение A0), сохраняя
только линейные по % члены, получаем для д
и=- 4"п* (р) I ^ (р) \Ч^- - 4f^~\ giq*dw dv B4)
При этом в B4) были отброшены члены, получающиеся подстановкой в B3)
равновесной функции тг0, которая должна обращать в нуль интеграл столкнем
вений (то, что п0 обращает j\ в нуль, легко может быть проверено непосредст-
непосредственно) .
После подстановки д%\/дрк из A2)
и приведения к виду, удобному для интегрирования по углам, получается
следующее выражение для интеграла столкновений между электронами:
- [4/г0 (р) pOi (р) + р* щ (по (р) Oi (р))] -^- -
- по (р) Oi (р) р* ~ф-по (р) [О>2 (р) - ЗФ1 (р)] + B6)
д — —
+ Р JJ 1^0 (р) Oi (р)] + Згсэ Фз (р) +
д — _*
-\- Р-^[ПО (р) Фз (р)] - п0 (р) Фх (р)
348

где
Фх(р) = W0(P) f-3—j dYdw, B7)
ф2 (р) = С по (Р) q2 dV dw, B8)
Oi (p) = \ яо (p) ( ~ J2 Xi (*) <*P <*">> B9)
C0)
C1)
C2)
При выводе B6) были учтены также обусловленные наличием в (9) б-функции
равенства
Р V р
Проведем интегрирование выражения
1 \ U I Г о 1 о"] 2
причем сначала будем интегрировать по направлениям Р, а потом по всем
значениям q. Для интегрирования по направлениям Р удобно ввести систему
координат с осью з," направленной по q. В этой системе единичные вектора
Р/Р и р//? будут иметь составляющие:
р
— = {sin p cos б; sin p sin б; cos P}, C4)
-Е- = {sin 9 cos <p; sin 9 sin ф; cos 9} C4')
Р
н интеграл B7) примет вид
1 Ы cos I
ф1( )== ^ С по(Р)РЧР № С CQS'9d
е) J Я J Л — ?1
X
X Г1 — 4 Vv (cos P cos 9 + sin p sin 9 cos (q> — 6I2X
X б (v cos 9 — V cos P) d cos $dd. C5)
Интегрирование по Р, б и ф дает
<Di (p) = 16л V С по (Р) Р2 J-dP^t / cos2 9^ cos 9
о
f /
X
vl cos2 9^12 + Y^L sin2 9 — -El sin2 9 cos2 e\ , C6)
c- / 2c2 2c4 J
349

где
V ПРИ V> ' C7)
1 при # < V.
Интеграл по передачам импульсов равен так же, как и в случае столкновений
электронов с ионами
Обозначая cos 9 = и и Р = у/с, окончательно получаем
оо X
X 1A - р2J + Р2 51 A - и*) -1 Р*и* A - и*) J . C9)
Аналогичным образом находим для Ф2 и Ф3
оо X
Ф2 (р) = KJrt»!^ J ло (^ -Р dP J A-%иу Х
О О
X 1A - Р%2J + Р* g A - и*) -1 3*U2 A - «») |, D0)
о
X |
|«2 A - р!«2J - 1 A - и») A - Р«и*) f ^ - Э'и
После подстановки C9), D0), D1) и выражений для <Di, Ф2 и Фз в интеграл
столкновений B6), интегрирования некоторых выражений по частям и при-
приведения подобных членов, получается следующее уравнение для функции
распределения %i (х) = Ал L. peL%i (p) в переменной
с
02)
D3)
где a = тсУТ, и линейный интегро-дифференциальный оператор iiv опре-
определен как
350

Mix (x) = - .
[(x)+B(x) d-l
+ С (x)
a2ATo(a) + 2aA:i(a) z2
oo
:} + [ K(x, y)ti
D4)
Коэффициенты А (ж), В (х), С (х) и ядро К (ху) приведены ниже:
А (х) = - _^g== е~ Y«^ +1 е~ У^ { УОЧ^ (a. +
Ух1 + а3 2 L
2 /5Ч^+ 2) [i -^A - ^)ln J-±|] -
+4- 5
о
- у C
— .1. E
j-1.[т а - т -
— 3^ — Зт^ + р^т2) 1а *±1]};
х r±
LP
1-pj pi1 2? 1-p
^2dy|* ГТ E - 3C* + 6E*) -
- T E + 6P2 - 3T* - 3p* - 6^-T2
~ MTE ~3!32)-т E ~ Зр2~
PV) In
р2т2) ln
e~V
*2+ 2/^
2)+
x
0
It E - зэз) - ~ E - 3P2 - 3t2 + Ft2) in i±I
l ^ i — t
при y>x,
при г/ < x,
351

+ г/2 [5
- 5) ± In
) In
= й [5 ~4pJ ~Зт2 + 2piT2 ~ iA ~ т E - Зт'2)
? [и -^ Р2-9т2
- 4 A1 - 9р^ - 9т» + 7?РТ2)In
t U E - 3|? — 4т2 + 2[^т2) — — A — Т2) E - ЗЗ2) In L±ll
- 4- (И - W - 9Т2 + 7P2T3) In i±I 1 ,
причем использованы обозначения
Уравнение для функции х-2 (д:) = 4я — peL%-2 (p) отличается от D3) только ис-
с
пользованием в качестве неоднородности в левой части второго члена A4)
и будет иметь вид
1 =Мх>(х). D5)
V<& + ^
Граничные условия для уравнений D3) и D5) таковы: % = 0 и %' — 0 при
х = 0. Эти условия получаются автоматически из требования конечности
интеграла столкновений электронов с ионами, который будет преобладать
при малых скоростях электронов, поскольку сечение рассеяния обратно про-
пропорционально 4-й степени относительной скорости сталкивающихся частиц
и стремится к бесконечности в случае столкновения электронов с ионами и к
конечному пределу в случае столкновения электрон-электрон.
Так как при малых Cf\e ~ --X (*)» т0 X ix) Должно быть пропорционально
х3, откуда и получаются приведенные выше граничные условия.
С помощью функций распределений можно легко найти поток тепла и
теплопроводность газа. Поток тепла j равен
3 ^ I Якину^Р = $ *<^кинуХФ = $ п°Ек1жу [P^Xi (Р) + еЕрх-2 (р)] dp, D6)
352

так как равновесная функция распределения обращает j в нуль. Входящее
сюда электрическое поле Е, вызванное перераспределением зарядов в газе,
которое произойдет значительно раньше выравнивания температур, должно
быть определено из равенства нулю полного тока
J = J nvdp = ^ no%vdp= ^ ndV ЦрЧТ) Xi (р) + еЕрх-з (р)] dp = 0. D7)
Так как единственным выделенным направлением является направление
градиента температуры, то электрическое поле и ток должны иметь то же
направление. Обозначая его через х, имеем из D7)
еЕх \ по (р) vxpxX2 (p)dp = — — \ по (р) vxpxXi (p) dp. D8)
Отсюда
по (р) -^ Xi (P) dp
/г0 (р) Л^г Х-2 (Р) ^Р
о
D9)
Подставляя D9) в D6), находим
кингсо (р) [%i (p) — gX-2 (P)] Pkvidp _ . E0)
Так как, с другой стороны,
/. = — хбг/с— , E1)
где х — теплопроводность, то
J ?ни« (Р) [Xi (Р) - СХ» (Р) 1 ??- dp. E2)
о
Выражая все через переменные х и функции xi (ж) и Хг (ж)> получаем оконча-
окончательно
LJL ^\2 ^V/ 1х
причем
JLJL ^\^V
12л L \ё> ) \ш] у а [2Кг (а) + а/Го (а)]
х\ fi- ; ,)[xi(*)-i
У а2 +:
— dx
E4)
\ е х-2 (^) . ^
353

Уравнение для функции распределения допускает значительные упрощения
в двух предельных случаях: нерелятивистском (а ^> 1) и ультрарелятивист-
ультрарелятивистском (а <^ 1). Уравнение для нерелятивистской задачи удобно написать*
положив
г' = _J_ г = Р
E5')
E5)
В этих переменных уравнения D3) и D5) в нерелятивистском случае примут
вид
к,{x,f уГ)х'х{у>)
E6)
+ С (х') _iL + ^К' (х', г/') Х2 (У') dy'\ ,
где
я2
3
T
X*
Г —; —) ,
2 2
зс2
[ } "з Т чТ'Т,1 '
К'(х, г/) =
xiye
О Ъ
E7)
E8)
E9)
F0)
F1)
Выражение E3) для теплопроводности при а р> 1 (нерелятивистский случай)
также упрощается и будет
оо X'2
при
оо а,'2
• о
оо X'2
г' @2)
F3)
354

Уравнения D3), D5) решались численно для следующих температур Т =•
= 50 кэв (а = 10,2), Т = 100 кэв (а = 5,1) и Т = 200 кэв (а = 2,55).
Кроме того, для контроля метода было проведено численное решение нереля-
нерелятивистских уравнений E6), E7) и решение методом Чэпмена — Энскога
уравнений для ультрарелятивистского случая (см. стр. 356). Полученные в
результате расчета значения к I —- (— ] [-] ! приведены в табл. 1.
/ L \е*' ) \т)
Таблица 1
Т <^: тсг (нереля-
(нерелятивистский случай)
?0 кэв
100 кэв
200 кэв
Т > тс2 (ультраре-
лятивистский случай)
0,97
0,73
0,61
0,47
Входящее в выражение для % значение L может согласно B1) быть за-
записано как (при ре = pi == 4» 1022 см~3)
F4)
где х — некоторое эффективное значение х, соответствующее максимуму под-
подынтегрального выражения в E3). Значения х и подсчитанные по F4) значе-
значения L приведены в табл. 2.
Таблица 2
т
X
L
50 кэ?
10
9,6
100 кэч
7,5
10,3
200 кэз
5,8
11,1
В работе [4] расчет теплопроводности для нерелятивистского случая ме-
— ( — ] ( •— } значе-
L \е2 / V m ]
ние 0,95 х, так что расхождение лежит в пределах точности обоих расчетов
(точность расчета работы [4] составляет около 2% — см. [5]).
Следует отметить, что падение отношения теплопроводности к ее значе-
значению в нерелятивистском случае с ростом температуры можно было ожидать
из априорных соображений, поскольку % ~ lvcv (I — длина свободного про-
пробега, пропорциональная Е2, cv — теплоемкость газа), что приводит в нереля-
нерелятивистском случае к зависимости от температуры % ~ Т^2, а в ультрареля-
ультрарелятивистском % ~ Т2.
1 Нужно иметь в виду, что_в формуле F2) работы [4] имеется опечатка: вместо
У2 должно быть У2л.
355

Вычисление теплопроводности в ультрарелятивистском случае
Мы рассмотрим случай температур Т ^> тс2, но еще таких, когда нет
необходимости учитывать движение ионов. В этих условиях кинетическое
уравнение может быть получено путем разложения по степеням малого пара-
параметра
Производя такое разложение в D3) и D5) (при этом, очевидно, следует счи-
считать Р =у = *)» получаем следующие уравнения для функций распределения
Xi(*) и %г(х):
F5)
F6)
J
о
тогда как выражение для теплопроводности приобретает вид:
О
где
F8)
j е~хх*х* (х) dx
о
Разложим xi ix) и Х2 (х) по обобщенным полиномам Лагерра 3-й степени
оо
х), F9)
_ «), G0)
удовлетворяющих дифференциальному уравнению
dx1 dx n
356

и условиям ортогональности
з?е~хЬп (х) Lm (х) dx = Smn- m! (m + 3I G2)
0
Подстановка F9) в F5) и учет G1) дает
C-я:) я:
n=o
Умножим G3) на x3e~xLm (x) и проинтегрируем пожв пределах от нуля до
бесконечности. Тогда, воспользовавшись условием ортогональности и ре-
рекуррентной формулой для полиномов Лагерра 3-й степени
xLn (x) = 2 (л + 2) I* - Ln+1 - п (п+ 3) Ьп_ъ G4)
получаем следующую бесконечную систему уравнений для определения коэф-
коэффициентов рп:
- 48бп0 + 1688Я1 - 240бп2 = - 2р0 (бп0 - бп1) - ± п* (п + 3) р^ +
+ ("¦'+ Зи + 3) Р; - i (« + 2) р'п+1. G5)
Мы ввели обозначение р^ = ге! (я + 3)! рп. Уравнение для определения <?„'
будет отличаться от G5) только левой частью, равной в этом случае:
-24(бп0-бп1). G6)
Для определения теплопроводности достаточно знать только нулевой и пер-
первый коэффициенты разложения, ибо
1 1 / Т \ 2
х = — г ( — ) с f ^°"" ^ ~~ ^ (<7о — 7i) ]i G7)
Я -L/ \ б у
причем
С = ?!. G8)
Чтобы получить желаемую точность, достаточно поэтому ограничиться
первыми 4 уравнениями в G5) и G6). (Подсчет с 5 уравнениями указывает,
что возможная ошибка не превышает 2% в х.)
Пренебрегая, следовательно, р'п и q'n, начиная с « = 4и решая полу-
получившуюся систему уравнений, находим
4,32,
1 /ю = — 4, go = _ 3,29 71 = 0,18. G9)
357

Подставляя эти значения в G7) и G8), находпм окончательное выражение
для теплопроводности в ультрарелятивистском случае
* = 0,25 ?(?)'«. (80)
Авторы выражают глубокую благодарность А. С. Кронроду за числепное
решение уравненпй.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау. Phys. Zs. Sowjet., 1936 10, 154.
2. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. Гостехиздат, 1940.
3. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Статистическая физика. Гостехиздат, 1951, стр.
135.
4. R. Landshoff. Phys. Rev., 1949, 76, 904.
5. R. Landshoff. Phys. Rev., 1951, 82, 442.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
Исаак Яковлевич Померанчук 7
I
ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
1. О свойствах металлов при очень низких температурах {Совместно
с Л. Ландау). 1936 18
2. Критическое поле у сверхпроводников малых размеров. 1938 . 31
3. О влиянии магнитного поля на электропроводность монокри-
монокристаллов висмута при низких температурах. (Совместно с Б. Давы-
Давыдовым). 1939 34
4. О теплопроводности висмута. (Совместно с А. Ахиезером). 1945 53
5. Изотопический эффект в остаточном электрическом сопротивлении
металлов. 1958 59
6. О взаимодействии между электронами проводимости в ферромагне-
ферромагнетиках. (Совместно с А. И. Ахиезером). 1959 63
II
СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИКОВ
7. Теплопроводность парамагнитных диэлектриков при низких
температурах. 1941 68
8. О теплопроводности диэлектриков при температурах больше
дебаевской. 1941 95
9. О поглощении звука в диэлектриках. 1941 108
10. О теплопроводности диэлектриков. 1941 119
11. О теплопроводности диэлектриков при температурах, меньших
дебаевской. 1942 122
12. Теплопроводность диэлектриков при высоких температурах. 1942 143
13. Зависимость поглощения звука в диэлектрике от частоты и тем-
температуры. 1943 149
14. К теории поглощения инфракрасных лучей в кристаллах, обла-
обладающих центром симметрии. 1943 157
15. О теплопроводности солей, используемых в методе магнитного
охлаждения. (Совместно с А. Ахиезером). 1944 163
16. О тепловом равновесии между спинами и решеткой. (Совместно
с А. Ахиезером). 1944 168
17. О парамагнитной дисперсии. (Совместно с А. И. Ахиезером). 1952 183
111
БОЗЕ- И ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
18. О рассеянии нейтронов с энергией несколько градусов в жидком
гелии II. (Совместно с А. Ахиезером). 1945 186
359

19. О движении посторонних частиц в гелии II. {Совместно с Л. Д. Лан-
Ландау). 1948 192
20. Влияние примесей на термодинамические свойства и скорость
второго звука в гелии II. 1949 195
21. К теории жидкого Не3. 1950 210
22. Об устойчивости фермиевской жидкости. 1958 • . . . 218
23. К теории рассеяния медленных нейтронов в ферми-жидкости.
{Совместно с А. И. Ахиезером и И. А. Ахиезером). 1961 .... 221
24. О рассеянии медленных нейтронов в ферми-жидкости. {Совместно
с А. И. Ахиезером и И. А. Ахиезером). 1963 234
IV
РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ НЕЙТРОНОВ.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
25. О рассеянии медленных нейтронов в кристаллической решетке.
1937 254
26. Теория резонансного поглощения в гетерогенных системах. {Сов-
{Совместно с И. И. Гуревичем). 1955 270
27. Резонансное поглощение. {Совместно с А. И. Ахиезером). 1947 . . 284
28. О рассеянии медленных нейтронов в кристаллах. {Совместно
с А. Ахиезером). 1947 312
29. К теории резонансного рассеяния частиц. {Совместно с А. Ахиезе-
Ахиезером). 1948 329
30. О рефракции нейтронов. {Совместно с А. Ахиезером). 1948 . . 336
31. Замечание о рассеянии частиц с нулевой энергией. 1948 .... 341
32. К определению неэлектромагнитного взаимодействия между
электронами и нейтронами. {Совместно с А. И. Ахиезером). 1949 343
Добавление. Теплопроводность полностью ионизированного газа
при высоких температурах. {Совместно с В. В. Берестецким
и Б. Л. Иоффе). 1951 345
ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов. Том 1
Физика низких температур. Нейтронная физика
Утверждено к печати Отделением ядерной физики Академии наук СССР
Редактор Л. А. Кондратюк Редактор изд-ва Л. В. Кудрявцева
Художественный редактор Н. Н. Власик. Технический редактор П. С. Кашина
Сдано в набор 26/1-1972 г. Подписано к печати 4/VIM972.
Формат 60x90Vi6- Бумага № 1. Усл. печ. л. 22,5 Тип. ззк. 133
Уч.-изд. л. 21,3. Тираж 2700. Т—08897. Цена 1 р. 73 к.
Издательство «Наука». Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». Москва, Г-99, Шубинский пер., 10

ОПЕЧАТКИ И ИСПРАВЛЕНИЯ
Страница
62
100
135
135
143
224
Строка
Ф-ла (9)
Ф-ла A.10)
4 сн.
2 сн.
12 сн.
Ф-ла A3)
Напечатано
(Ш — м2)
TQ (К<*У
NMhWsf *
1 Таковыми
2 Здесь
UR
Должно быть
{М* — Л?2)
TQ(h<i>y
~ NMii^sp •
2 Таковыми
1 Здесь
tf(R)
1 Bf I»
И. Я. Померанчук, т. I