Author: Николаенко В.Л.
Tags: общее машиностроение технология машиностроения теория машин и механизмов общие вопросы технической механики машиноведение машиностроение механика строительные конструкции
ISBN: 978-985-6826-88-0
Year: 2010
Text
\\ \\\ \\\\\\\\\\\\\\\
\
\ \ \\ \ \\
1
, r: '
4 П
0000000,:.
j ...
,
//
33.:Jt?S
/ () 3.:1)
!
!
ш
.
.
:r:
:s:
"
О
DJ
t"D
::I:
"
О
В. л. Николаенко
МЕХАНИКА
.
РАСЧЕТ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
::::J
-а
s:
9
::r=
3
m
::r=
s:
.,#
JI
,
.
"'
'"
МЕ
.н
Кратко изложена теория расчетов на
прочность
подбор сечений, выбор
материалов, определение
перемещений коэффициентов запаса
прочности элементов конструкций.
Приведены примеры решения типовых
задач, а также условия задач для
аудиторных занятий и домашних
заданий, для контрольных и расчетно
rрафических работ.
РАСЧЕТ типовыx
ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
$.
J
,""
..........
......
'"
,
....
.
Удачное сочетание теории и
практики ПО3ВОЛЯет рекомендовоть
ЭТО пособие не только студентом
и преподавотелям высших
технических учебных ЗQ8едений
НО и инженерным робоТНИКQН,
желающим повысить КВQЛИфИКQЦИЮ
\J)-a
»
mn
з..с
mm
::L--t
--t--t
OS
Ш:]
"О
ОШ
::L2:
"Х
--t
."
<
"
.t:
S
S(
t
,
#
#
#
! ' .
#
.
.
.....,.....
.f
I
..
.
"
"
,.
""-
'...
JIt..
-. . .
.."..............-..-
#1
ISBN 978
985
б82б
88
О
9 789856 826880
Издательство r ревцова
КА
"
" f"
t
.
\
.
"""" ""
.,
.;
.tl
.
....с.
.
",
"
,...;
\
..
\
,,
' ".-
/ // cl3JS ь.5 -r J
I с ..J.!7/
В.!\. Николаенко
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА.
РАСЧЕТ типовыIx ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
Допущено МИllистерством образования
Республики Беларусь в качестве учеБНОlО 110собия
для студентов высших учебных заведений
по техническим специаJlьностям
,#' ". ,
МИНСК
«Издательство rревцова»
2010
l
УДК 621.01:531.8(075.8)
ББI{ 34.41я73
Н63
Ре ц е н 3 е н т ы: заведующий кафедроЙ теоретической механики и теории Mexa
НИЗМОВII машин БrлтУ, доктор технических наук, профессор А.Н Орда; профес
сор кафедры инженерной rpафики и механики БrуиР, доктор технических наук
В.М. Сурин
Николаенко, В. л.
Н63 Прикладная мехаIIика. Расчет типовых элементов KOIICTPYK
ций: учеб. пособие / В. Л. Николаенко. Минск: изд во rpeB
цова, 2010. 386 с. : ил.
ISBN 978 985 6826 88 O.
Кратко изложена теория расчетов на пр<,чность подбор сечений,
выбор материалов, определение перемещений, коэффициентов запаса
прочности элементов конструкций. Приведены примеры решения типо
вых задач, а также условия задач для аудиторных занятий и домашних
заданий, для КОНТРОЛЬНЫХ и расчетно rpафичеСКIIХ работ.
Удачное сочетание теории и практики позволяет реком:енповать это
пособие не только студентам и преподавателям высших технических
учебных заведений, но и инженерным работника I, желающим повысить
квалификацию.
УДК 621.01:531.8(075.8)
ББК 34.41я73
ISBN 978 985 6826 88 O
@ НИКОJlаСIIКО Б.Л., 2010
@ О(l)ОРМЛСIlИС. «Иэдатсльство [pCBЦOBa , 2010
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.
3
fлава 1. OCIIOBHbIE ПОНЯТИЯ ПРОЧНОСТНОЙ
НАДЕЖIIОСТИ ТI/IПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКl{ИЙ
1.1. Обlцие попятия
1.2. снлыl впеПIнпе и .В.I;;r -I I ;е. : . . .
1.3. lVlетод сеченпЙ
1.4. I rапряжения . . . . . . . . . .
1.5. ПерсмещеПJ1Я 11 де(рормации .
1.6. ОБПJ.ие прннцппы расчета. . .
7
,...,
I
7
8
9
10
11
fлава 2. ОДIIОРОДflОЕ РАСТЯ)}{ЕНИЕ БРУСА I(AK ПРИМЕР
РЕ t\ЛI13АЦIII1 ОДIIООСIIОI'О IIАIIРЯ)J{ЕIIНОI'О СОСТОЯНИЯ
МА1'ЕРИАJIА .. ... . .
2.1 11род..,ольпыIe силы 11 папряжеПIlЯ в поперечных с.ечеНIlЯХ
стержнеп. УПРУПJе ..1сформаIlИП .
2.2. Расчет на прочвость ................ .
2.3. Статически неОНрСДСЛИl\П>Н:l системыI
2.4. Расчет ПРОПОДОВ па прочность
При.меры ...................
Задачи .
................
12
12
13
15
16
19
51
fлава 3. fЕОlVIЕТРИЧЕСI{I1Е ХАРАI(ТЕРИСТI1I(И ПЛОСКИХ
СЕЧЕI1и:t1 .................
...........
77
77
80
82
R3
108
117
117
118 ..'
128
138
{38
139
140
142
155
3
3.1. Осевые MOMeHTI>! инерции сечения
3.2. OMeHTЫ инерции простеЙШIIХ фиryр ... : : : : : : : . . . . .
3.3. СВЯЗI> !\;!сжду rеометрическими характеристиками ПЛОСJ(оrо
сечения и сопротивлением деформации .....
При.меры ................
Задачи
rлава 4. СРЕЗ И СМЯТИЕ
4.1. ОбlЦПС моменть! . . .
прu.ktерыl . . . . . . . . . . . .
Задачи
rлапа 5. сдвиr и кр rЧЕtIИЕ
..........
5.1. ЧИСТI>Н':'I сдвиr . . . .
5.2. Расчеr бруса J(руrл ; l ;I p. t I t I 5 . . .
53 р. .... .
.. асчет ЦIIлиндрическнх винтовых ПРУЖИН на прочность
ПРИJwеры ...............
Задачи
... ..... ..... ......... ...... ........ ....
.........
rлава 6. НАПРЯЖЕННО ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ изrИБЕ ......... - . . . . . . . . . . . . .
6.1. Общие сведения . . . . . . . . - . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Эпюры поперечных сил и изrибающих MOl\feHTOB. Общие
положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Расчет балок на прочность и жесткость .....................
п римеры ..................................................
Задачи ...................................................
rлава 7. ИЗfИБ С КРУЧЕНИЕМ ...............................
7.1. Определение эквивалеlППЫХ НmIряжений при сложнонапряженном
СОС,ТОЯН1IИ .................................................
7.2. COBl\leCTHOe действие изrиба и кручения ....................
п рИА-tерbl ..................................................
Задачи ....................................................
,
1,
1
fлава 8. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
К О Н СТРУКЦИЙ ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Основные понятия ......................................
п pUJrte ры ............ .....................................
Зllдачи ....................................................
fлава 9. МЕСТНЫЕ И КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ..........
9.1. М естны е напряжения .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Контактные напряжения .................................
п римеры ............... ..................................
Задачи ............................................ .......
rлава 10. ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКI{ИЙ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ
НАОР ЯЖЕНИЯХ ............................................
10.1. Основные понятия .....................................
Прuме!JЫ ...................... ... .......................
з адачu ..................................:.................
ПРИЛОЖЕНИЕ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
л 11 Т е р а т у р а ................................................
11
166
166
169
171
174
216
233
ПРЕДИСЛОВИЕ
в этом учеБНОl\1 пособи:и, предназначеllНОМ для начинаЮIЦИХ из
учение курса «Прикладная lVIеханика», кратко излаrается теория
расчетов на прочность и приводятся примеры решения типовых за
дач и условия задач по каждой раССlVlатриваемой теме. Особое вни
мание обращается на вопросы, недостаточно освещенные в курсе.
Эта книrа, написаlfная I-Ia уровне, ДОСТУПНОlVI пониманию студентов,
может быть полез.на и для I-IаЧИI-Iающих преподавателей, и для ин
женеров, повышающих CBOIO кваЛИФI1каЦИIО.
Опыт работы со студента1\IИ показывает, что большинство из них
далеко не всеrда ДОВОJIЬСТВУIОТСЯ решеlIием ТИIIОВЫХ задач. У мноrих
возникаIОТ вопросы, выходящие за рамки курса и требующие более
rлубокоrо ПОllИlVlания преДlVlета; появляется желание решать более
СЛОЖI-Iые задачи, треБУlощие сообразительности и усидчивости.
Учебное пособllе наrIисано в соответствии с проrраl\1МОЙ курса
«Прикладная lVlеханика для IIе1\lеханических инжеI-Iер1Iо техничес
ких специаЛЫIостей вузов. В IIervl наряду с задачами, предназначен
ными для аудиторных занятий и доrvfаШJIИХ заданий, содержатся за
дачи дЛЯ КОНТРОЛЬJIЫХ И расчетно rрафических работ. Книrа COCTO
ит из 10 rлав, в 9 из н:их приводятся примеры и задачи, сrруппиро
ванные по различным ВIlдам расчетов: на проверочные расчеты, на
проеКТllые расчеты (подбор сечений), JIa определение допускаемых
наrpузок и IIa определение перемеп ений.
СЛОЖIfОСТЬ задач, включеIIНЫХ в посоБIlе, ра..1ЛИЧllа, 110 во мноrих
сложных на первый ВЗI'ЛЯД решение оказывается неожиданно
простым. В друrих случаях вроде бы очевидный ответ может OKa
заться непраВИЛЬНЫl\1. Поэтому все приlvIерыI типовых задач снаб
жены подроБНЬП\tIИ реIпениями, которые nOMorYT rrроверить 110ЛУ
чеНIIЫЙ результат, а в случае нахождения ошибки и ход решения.
Эта кн:иrа будет ПОJlеЗlIа и преподаватеЛЯlVI, так как в ней coдep
жится достаТОЧl10е количество задач по BcervI разделаl\1 курса «При
кладная механика . !{роме Toro, задачи, включеlIные в сборник, по
ЗВОЛЯIОТ использовать эту книrу студентам l\tIеханических инженер
но технических спецllалы1остей..
Большинство задач, вошедших в книrу, составлено саl\IИМ aBTO
ром. Мноrие задачи рекомендоваIIЫ ему коллеrаМII, часть задач пу
бликовалась pallee. Тематика и схемы некоторых типовых задач за
233
234
235
269
281
281
284
299
326
326
331
333
337
340
340
344
357
360
385
5
; I
I
:1
имствованы из учеБI-IОЙ литературы, список которой приведен в
конце книrи.
Автор стремился к тому, чтобы тексты условий задач были лако
НИЧНЫl\IИ, а большинство необходимых данных указано на черте
жах. Кроме Toro, наименование заданных и искомых величин во
l\1110rих случаях заменен:о соответствующими буквенными обозна
чеНИЯ1\IИ.
Автор считает своей обязанностью выразить признательность
А.Т. Скойбеде, оказавшеl\IУ ПО 10IДЬ в подборе и проверке задач, при
нявшему деятельное участие в подrотовке книrи. Автор будет TaK
же блаrодарен за критичеСКI1е замечания и предложения, которые
IIОЗВОЛЯТ в даЛЫ-Iейшеl\1 улучшить содержание и структуру даllllоrо
пособия.
rлава 1
11 .
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
.."
ПРОЧНОСТНОИ НАДЕЖНОСТИ
ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
, I
ОСIIовами расчета элементов КОIIСТРУКЦIIЙ называется наука о
прочност:и, жеСТКОСТII и усто:Йчивости элеме:нтов fvIаlIIИН и сооруже
пий. ОСIIОВIIОЙ целью ЯВJIяется создаlIие практически приемлемых
и простыIx приемов расчета типовых, IIаиболее часто встречающих
ея элемеllТОВ конструкц:и Й.
1.1. Общие понятия
\!I
;!
,1
i
:1
РеаЛЫ-Iые объекты часто :имеют BeCblVIa СЛОЖНУIО форму и изrо
товлен:ы :И3 l\1атериалов с раЗЛ:ИЧIIЫlVIИ ф:ИЗИКО l\lеханическими свой
CTBaMII. ПОЭТОl\IУ IIрИХОДИТСЯ в ДОllУСТI1lVIЫХ flредеJIах отступать от
реальныIx условий их работы.
Реальный обl)ект, освобожденныii от llесущественных особенно
стей, называIОТ расчетной схемой объекта. Как для одно Й и той
же КОIIСТрУКЦ'И:И l\Il0жет быть IIредложено иеСКОJIЬКО расчетных схем,
так и одна расчеТIlая cxelVla lVlожет быть поставлена в соответствие
разЛИЧНЫlVI КОIIСТРУКЦИЯМ.
Все lVIIIоrообраЗlfе детаJIей lVlожет быть сведено к слеДУЮЩИl\1 ти
пам: брус, оболочка и lVIассив.
Брусом (стерЖIIеl\I или балкой) называют тело, размеры попе
речноrо сечеНIIЯ KOTOpOI'O маJIЫ по сраВIlеНI1Ю с длиной. Ось бру
са линия, соеДИJIЯIОlцая цеI-IТры тяжести ero попереЧI-IЫХ сечений.
Оболочка тело, ОДI1JI }IЗ раЗl\fеров KOToporo I-IаМНОrО l\lеньше
остальных (ТОЛII(ина).
Массив тело, все раЗlVlеры KOToporo одноrо порядка.
.
1.2. Силы внешние и внутренние
.
r. , "
Сила l\lepa мехаllllческоrо взаI1l\Iодействия тел. Если KOHCTPYK
ция раССl\Iатривается изолированно от окружающих тел, то действия
последних на КОIIСТРУКЦIIЮ заменяется силаl\tIИ, которые называют
8нешним.u. Внешние силы по способу l1риложения l\rlorYT быть co
7
Ili
I
11
1:1'
11
11:
![
средоточеНIIЫМИ 11 раСllределе нными. Распределенные наrpузки xa
рактеризуются интенсивностью, Т.е. значением наrрузки, 11рИХОДЯ
щейся на единичную длину или площадь. По характеру воздействия
наrpузки бывают:
. статическими (при возрастании от нуля до конечноrо значеНIIЯ
вызывают несущественные ускорения элементов конструкции);
. динамическими (вызывают в конструкции такие ускор ния, KO
торыми пренебреrать нельзя).
Все твердые тела состоят 11З мельчайших частиц, удерживае1\IЫХ на
некотором раССТОЯIIИИ друr от друrа силами взаимодействия. Прl'!
наrружении в материале возникают в н у т р е н н и е силы, сопро
тивляющиеся ЭТОlVIУ наrружению.
1. Мысленно рассекаем плоскостыо тело в том месте, rде нужно
определить внутренние силы.
2. Отбрасываем одну из частей (удобнее отбрасывать ту часть, на
которую действует большее число внешних сил).
3. Чтобы равновесие IIe нарушилось, заменяем действие отброшен
ной части на остаВШУIОСЯ внутренними силами.
4. Составляя уравнения равновесия всех сил, действующих на
оставленную часть тела, и решая их, находим неизвестные BHYTpeH
ние силы через внешние силы.
1.4. Напряжения
1.3. Метод сечений
Чтобы характеризовать закон распределен:ия внутренних сил по
сечеНИIО, неоБХОДИlVIО ввести для них числовую меру. За такую меру
ПРИНИlVIается н а п р я ж е н и е. За среднее напряжение на площадке
М принимаеl\1 отношен:ие внутренней силы 6.R к М, Т.е.
I1R
Рср = м'
ДJIЯ бруса, к которому приложена система ВIIешних сил, удовле
творяющая условиям равновесия, можно выявить ВIlутреНIIие силы,
если рассечь мыслеIIНО брус плоскостыо А и paCClV[OTpeTb paBHOBe
с:ие одной из частей (рис. 1.1).
F
2
EtI 1
при ДА Ор = lim !1.R
M oM
Векторная веЛИЧИllа р представляет собой п о л н о е н а п р я ..
ж е н и е в точке сечения А (р ИЗl\Iеряют в МПа = I-f/MM2).
ПОJIное напряжение р раскладываIОТ на три состаВЛЯIощие: по HOp
мали: к плоскЬст.и сечеНIIЯ (оБОЗIlачаlОТ (j' и называIОТ нормальным
..напряжением) и по двум осям в IIЛОСКОСТИ сечения (обоз:начают 'с
и называIОТ касательными напряжениями).
Совокуп:ность IIапряжеНI1Й образует н а п р я ж е нн о е с о с т о ..
я н и е в точке. ЭлеlVlент считается достаточно прочным, если MaK
симальное расчеТIlое наIIряжеНI1е в ОIIасной точке l\tlеllьше предель
Horo напряжения в ОIIределенное чtIСЛО раз. Число, показывающее,
во сколько раз lVlаКСIIlVfальное. расчетное напряжеIlие lеньше предель
Horo для 1\Iатериала рассчитываеl\iIОЙ детали, называется коэффици..
ентом запаса прочности детали или просто запасом прочностu
и обозначается 5.
Деталь ПрОЧJlа в TOl\{ случае, если запас прочности не меньше
требуемоrо (IIОрl\lаТИВJlоrо) запаса, который обозначается [5] и за
висит от ответствеllНОСТИ детали, срока службы, точности расчета и
друrих факторов. 1-'аКИlVl обраЗОl\I, условие ПРОЧIIОСТИ запишется так:
S > [S]. Часто условие прочности записывают через допускаемые
напряжеIIИЯ [а]. Допускаемым напряжением называется lVfакси
МалЬное значение напряжения, которое l\10ЖНО допустить при рабо
Те конструкции и при котором будет rарантироваться прочность
Детали: [а] = апрсд/[5]. Условие прочности через допускаемое Ha
Рис. 1.1. Метод сечений
l'
: I
Необходимо взаимодействие леВОIJ и правой частей за1'1СНИТЬ сис
темой внутренних сил, распределен:ных по сечению. Таким обра
зом, силы, являющиеся внутреlllIИМИ для тела в целом, становятся
внешними для одной I1З ero частей.
Система внутренних сил приводится к центру тяжести сечения.
ВрезультатеПОЛУЧИlVIlлавныu вектор Иlлавныu .момент.
Спроецировав их на оси коорДl1нат, получим в общем случае Harpy
жения тела в ero попереЧНОl\1 сечении шесть внутренних силовых
факторов: продольная сила N z' две поперечные СИJIЫ Qx и Qy' два
изrибающих момента М х и М у и КРУТЯIIltIЙ MOl\tleHT М Z" Каждый из
внутренних силовых факторов связан с определеlIНЫl\1 ВИДОl\1 дe
формаЦИII.
Внутренние силовые факторы в произвольном сечении находятся
с помощью метода сечений, который заКЛIочается в нижеследующеl\1.
9
8
111,
i ,1
'11
li;
I
, '11
I
1 i
i,
1';
1';
I!I
ii: 10
I
1
11
пряжение будет 11MeTb следующий вид: аmах < [а]. НеЗIfачителъ:ное
превышение расчетноrо напряжения (в пределах 5 6%) считается
неопасным.
в расчетах на жесткость определяются максималыlыыe перемеще
НИЯ, соотвеТСТВУЮlцие данному виду деформации, и сраВНIIваются
с ДОllускаеМЬПvI значением перемещеНIIЯ Жесткость элемента счи
тается обеспечеНlfОЙ, если l\1:аксимальное перемещение не превыша
еТ допускаеl\tIоrо.
1.5. Перемещения и деформации
Под действием внешних сил реальное тело деформируется. Изме
няется первоначальное положеlIие ero сечений. Линейным Ha3ЫBaeT
ся переlVIещение, если сечение СДВИIIУЛОСЬ вдоль прямоii. УlЛО6ЫМ
IIазывается перемещение, вызываlоrцее ПОБОрОТ ЛИIIИЙ И плоскостей.
Понятие д е ФОР м а Ц и и введеlIО для характеРИСТИКII ИJIтенсив
ности изменения лине:Йных и уrловых переl\1:ещений. После СJIЯТИЯ
наrрузки дефОРlVlации исчезают, они IIазываIОТСЯ yпpYlUMU, неисче
зающие остаточными.
llредел отношения прираrцеIIИЯ ДЛИIIЫ отрезка к первоначаль
ной длине называIОТ относительной линейной деформацией:
liП1 ( д! ) = t АВ .
e o !
ДефОРlVlации в JIаправлеlII1И КООРДИIlаТIIЫХ осей обозн:ачаrот Ех,
Еу' tz.
Уlловая деформация, или УlОЛ caBUla, определяется выраже:НIIСМ
у АВС = lim (АВС А1В1С1).
E O
В координатных плоскостях уrлыI сдвиrа Иl\lеIОТ об031IачеlIИЯ
у ху' У xz' У yz .
ДефОРМfJроваНllое состояние тела в точке характеризует COBO
KyrIHocTb линейных 11 уrловых де(рормаци'Й.
1.6. Общие принципы .расчета
в завис:имости: от постаrIОВКИ задачи, ее исходных данных суще
ствует три: ВIlда расчетов на прочность, жесткость и устойчивость:
проверочныii, проеКТIIЫЙ и определеllие допускаеl\IОЙ наrpузки. Опре
деляя из условия прочности И жесткости необходимые размеры pac
считываеl\tIОЙ детали, l\1:0ЖIIО получить два значеlПIЯ размера. В Ka
честве окончательноrо СJIедует выбрать больший.
Независимо от вида деформации расчет на прочность можно cxe
матично представить в ВIIде следующих э т а п о в:
1) отыскивается опаСIlое сечеlIие рассчитываемоrо элемента, для
чеrо с поlvIоII{ыo lVIетода сечений строятся эпюры внутренних сило
вых факторов, соотвеТСТВУIОЩИХ данному ВI1ДУ деформации;
2) исходя из заКОIIа распределения напряжений по площади по
переЧIIоrо сечеlIIIЯ ПрII даlIНОМ виде дефОРl\lации, определяется H:a
пряжеНllе в опасной точке;
3) для oIIacHoii ТОЧКII записывается УСЛОВI1е прочности, а затем
в зависимости от исходных даIfIIЫХ задачи производится один из
указанных выше расчетов Ila l1рОЧIIОСТЬ.
z
., .
у
х
Рис. 1.2. Пример уrловой дефор а IIИ
I I
Зависимость между напряжением и продольной деформацией BЫ
ражается законом F.1jKa:
О"=Е'Е
,
(2.3)
,1
11
,11
11'
,i
rлава 2
. .
ОДНОРОДНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ БРУСА
КАК ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ
одноосноrо НАПРЯЖЕнноrо
СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА
rде Е модуль продольной упруrости материала стержня, Н/м2.
Удлинение IOIИ .1jкорочение (изменение Д.[IИIIЫ) участка бруса опре
деляется по фОРlVlуле
р
,i!
!I
1:1
!!
li
jl
1,
I
I
11
I
I
:1
:1
il
11
11
;1
1,
11
11
I
!
11/ = N z . 1
Е. А '
(2.4)
2.1. Продольные силы и напряжения
в поперечных сечениях стержней. Упруrие деформации
Осевое центраЛЬJIое растяжение, или С:Jкатие ПРЯ1\fоrо бруса, BЫ
зывается внешн:ими СИJlаl\1И, вектор равнодействующей которых COB
падает с осыо бруса. Эту равнодеЙСТВУIОЩУЮ называют продольной
силой и обозначают Nz.
В чаСТII01\1 случае, коrда стержеlIЬ растяrивается ИЛII СЖИl\.fается
ДВУlVIЯ раВIfЫМИ силаlVIИ F, приложеННЫl\fИ вдоль оси стержня, про
дольная сила во всех ПОllеречных сечениях равна Р.
Величина ПрОДОЛЫIОЙ силы lIe заВИСI1Т от площади поперечноrо
сечения стержня. При сжати:и ПОllереЧIIУIО СИJlУ СЧIIтаIОТ ОТРИI\атель
ной, при растяжен:ии положитеЛЬJIОЙ.
Чтобы выяв:ить участки бруса или ero сечеIIИЯ, I'де о продольная
сила ИlVlеет llаиболыпее з:начеНIIе, строят э п юру про д о л ь Н bl Х
С и л на базисной линии параЛJlельно OCII бруса.
Нормальные напряжения в 110переЧliЫХ сечениях стеРЖIIЯ, дo
статочно отдалеНJIЫХ от точек nриложения деЙСТВУIОЩИХ сил, при
растяжении или сжаТИII распредеЛЯIОТСЯ paBlloMepHo по сечеlIИIО:
rде Е. А жесткость стержня при растяжении или сжатии; [ дли
на участка бруса, м.
Приведенная фОРlVlула для определения изменения длины д[
справедлива, если продольная сила N и жесткость Е . А постоянны
по всей длине стержня. В ином случае стержень разбиваIОТ на участ
КИ, дЛЯ каждоrо из которых указаlIное требование соблюдается, и
изменение ДЛIIНЫ стеРЖIIЯ опредеЛЯIОТ как CYlVI1\1Y ИЗl\1енеJIИЙ длин
участков:
ы = i Nzi .li (2.5)
i=1 Е. А;
Напряжения и деформаЦI1И ПрI1 растяжеНИlf и С:Jкатии возника
ют как от действия внешних сил, так и от действия силы тяжести
стеРЖIIЯ. В подаВЛЯlощем БОЛЬШfIнстве элеlVIентов машинострои
тельных КОНСТРУКЦIIЙ напряжения и переlVIеlцен.ия, возникаЮlцие
под действиеl\1 силы тяжести, очень lVlалы по cpaBHeHI1R) с напряже
пиями и IтеремещеIIИЯМИ, ВОЗНIIкаJОЩИlVIИ от действия внешних сил,
и их, как правило, в расчет не принимают
N
о" = AZ [HjM2],
2.2. Расчет на прочность
(2.1 )
Условие ПРОЧIfОСТИ IIрИ OCeBOl\1 растяжени:и или сжатии Иl\1еет вид
?
I'де А площадь IIОIIеречноrо сечения стержня, М..... ...
Эпюрой нормальных напряжений IIазываIОТ rрафI1К, показыва
IОЩИЙ заКОII ИЗl\fеllеliИЯ напряжения в попереЧНОl\f сечеJIИИ по ДЛll
не бруса.
Продольные и поперечные упруrие дефОр1\fаllIIИ, возникаЮlцие
при растяжении или сжатии, связаны друr с друrом заВИСИl\fОСТЬЮ
Е' = J.lE, (2.2)
ашах < [а],
rде O'mdx наиболыпее напряжение в некоторой точке детали отнаи
60лыпей ожидаемой наrрузки; [а] ДОПУСКdеl\10е напряжение при
растяжеflИИ или сжат:ии.
ВеЛИЧl1НУ допускаеlVIЫХ напряжений ПрlI растяжении или c:Ji(a
тии npl1HlflVlalOT как I IeKoTopYIO часть от предельных напряжений
материала. Для пластич.ных материалов за предельное IIапряжение
ПРинимают предел текучести ат, а для хрупких l\Iатериалов предеJI
Прочности ан, т.е.:
rде Е' И Е cooTBeTcTBeHllo попереЧIlая и продольная деформация;
Jl коэффициеlIТ Пуассона
il
1,
12
13
для пластичных 1\fатериалов
2.3. Статически неопредеЛИМblе систеМbI
< ав
cr
[SB J'
(26)
Система статически Ilеопределима, если ЧI1СЛО реакций ее связей
и виутреlIНlfХ сил превышает число незаВИСИlVIЫХ уравнений paB
иовесия, которые MorYT быть составлены для этой системы. Каждая
статичеСКJf flеопредеЛllмая система может. рассматриваться как He
которая статически опредеЛИl\1ая система, на KOTOPYIO наложены дo
полнительные связи.
ИЗlVlенеllие ДЛИlI стержней, образующих систему, не MorYT быть
незаВИСИl\IЫlVП1, а ДОЛЖIIЫ удовлетворять некоторым условиям, сле
ДУIОЩIIlVI IIЗ особенностей конструкции. Аналитическая заIIИСЬ этих
уравнен:иi1 дает ,lJраВ1lения nеремеще 1l ИЯ , решая которые вместе с
уравнеНI1Яl\JИ раВJJовеСJfЯ можно ОIIределить fIеизвестные усилия.
Э т а п ы решения статически неОllределимых задач следующие:
1) освободить от связей брус, равновесие KOToporo рассматрива
ется, и заl\fСНИТЬ действие связей реакциями;
2) составить ypaBHeJIIJe равновесия, в Hero войдут неизвестные
реаКЦJIИ связеli, без которых lIеВОЗlVlОЖllО определить продольные си
ЛЫ, ВОЗIIJIкш:ие в стержне (ypaBIIeHfle проеКI :ИЙ всех внешних сил
на ось 1'1 уравнение lVIOl\ICIITOB относительно неПОДВIIЖJlоrо шарllира,
которым )кестк:и:Й брус ПрlIкреплеJI к cTelle);
3) paCCl\:IOTpeTb каРТИIIУ дефОРl\lаЦI'JИ систеrvIЫ, изобразив ее на
рисунке;
4) раССl\fатривая с rеОlVrеТРJlческоj;'I ТОЧКJI зреНJIЯ KapTIIHY дефор
маЦIПI, состав:ить уравнение Ilерсмеп е:ни.Й, в которое войдут те же
неlIзвестные реаКI IIИ, что и в уравнеflие статики;
5) произвести в ypaBHCHI1f! Ilереl\lещен:иj;'I необходимые упро
щения;
6) pellIIITb COBl\feCTIJO ypaBIleIIlle статики 11 ураВIIение перемеще
НIIЙ, определить ИСКОl\Iые реаКЦI1И связей;
7) опредеЛlfТЬ внутреlПIJ1е силовые факторы (продольные силы)
в частях дефОРl\Iируеrvl0rо стержня (еСЛ11 в задаче требуется опреде
ЛJ1ТЬ допускаеl\1УIО lfаrрузку), выразить продольные силь] через ис
КОМую наl рУЗКУ;
8) заверШJ'IТЬ реПlение задаЧJI, производя заданный в ее условии
расчет.
Исходя l1З УСЛОВIIЯ ПрОЧIIОСТI1, 1\10ЖJIО ПрОI1ЗВОДИТЬ три вида
расчетов:
· проверОЧllыii;
· опредеJlеllие допускаеrvIОЙ Jlаrрузки;
· проектны:Й.
В ходе решеIIJ'IЯ очеfJЬ ваЖIIО праВI1ЛЬНО представить себе карти
ну деформации. В задачах 73,76 и 79 сечен:ие, в котором приложе
на наrрузка Е, переlVlещается БНlfЗ на величину !11 (рис. 2.1), следо
вательно, участок бруса выше сечения УДЛИНIlfСЯ на величину !1lудл'
,.,,, '"
< ат
cr
[ST ] '
дЛЯ ХРУIIКИХ !vlатериалов
rде [5т] и [5,J нормативные коэффициенты запаса прочности
азличают три вида pac eTa на прочность: проверочный про
верка !1РОЧНОСТИ; проектныи подбор сечения; определение допус
каеl\IОИ наrрузки.
Про в е р к а про ч н о с т и. При проверОЧНОl\I расчете определя
ют наибольшее напряжение в опасном сечении и сравнивают с дo
пускаемым:
Nz
O']nax <[O'].
А
(2.7)
Наибольшее рабочее напряжение не должно превышаTh допуска
емое напряжеНI1е более чеl\;f на 3 5%.
При проверочном расчете часто сраВнивают фактический запас
прочности с нормальным коэффициентом запаса ПРОчности:
5 = О"пред > [5],
cr
(2.8)
rде crllPCJI преде,:rыюе напряжение для данноrо материала.
Про е к т н ы и р а с чет. Определяют требуемую ПЛощадь попе
речноrо сечения элемента конструкции при заданных материале и:
наrрузках:
А> Nz
[а]'
(2.9 )
Определение допус ка ем оЙ наrруз ки. По известной ПЛо
щади поперечноrо сечения и !'tIатериалу определяют допускаемое зна
чение IIРОДОЛ-ЬНЫХ сил:
[N7] < А . [crJ. (2.10)
Найдя допускаемое значение ПРОДольной силы, определяют дo
пускаемое значение внеШllеii наrрузки.
[4
15
а участок ниже этоrо сечения укоротится на величину Д[УК. Значит,
уравнение перемещений для этих задач ПРИlVIет вид
1
дfудл = дfук (2.11)
Величины д! определяются по формуле [ука (2.4).
В задачах 71, 74 и 77 стальные и алюминиевые стеРЖIIИ (труб
ки) укорачиваIОТСЯ или удлиняются под действием силы F на оди
наковые веЛИЧИI-IЫ. Следовательно, уравнение перемещения будет
иметь следующиЙ вид: дfст = Д[ал'
Рис. 2.3. Схема подвески провода между изоляторами
NI ь'
IX . Ы! ,
.... ..... .... !!.. с
..... А/
...... .... .... ... ...... J u 2
... ..... .... ... --...... ........... ....
--.... 'r
"--"..J
Температурное удлинеllие определяется формулой rеЙ ЛIоссака:
Д[t = [. а . Дt, (2.13)
rде [ длина пролета (хорда параболы); а КОЭФФИI{иеIIТ линейно
ro раСllJ:ирения; !1t ИЗl\lенеI-Iие температуры u
Упруrое удл:инение определяется фОРlVIУЛОИ [ука:
N .[
Ыу= А'
Е.
(2.14)
в
Рис. 2.1. Статически неопределимая
задача
Рис. 2.2. Статически неопре
делимая задача
N продольное УСИЛJ'lе (так называе1\Iое тяжеllllе ПрОБода, рис. 2.4);
r;e модуль продольной упруrости (модуль IOнra); А площадь по
перечноrо сечения провода.
Картина деформации для задач 72, 75, 78 и 80 имеет вид, пока
занный на рис. 2.2, из Hero леrко tIайти rеОlVlетрическую зависимость
между удлинения ми 11ft и I1!2 стеРЖllей, удерживающих жесткий
брус в равновесии, и длинами АВ и АС частей бруса. Действитель
но, из подобия образовавшихся треуrолыIиковB следует, что
дf1 АВ
I1f2 АС (2.12)
При подстановке ЗIIачений " А и Е в формулу для I1! неоБХОДI1lVIО
соблюдать соответствие между наименованиями величин. Напри
мер, если веЛИЧИIIа Е выражена в Н/мм2, то ПЛОll адь А неоБХОДJIl\10
выразить в мм2, а ДЛИIIУ f в мм.
Д(J. =д!с
N
Рис. 2.4. Распределение растяrипаlощеrо усилия
по матер'иалам пропода
2.4. Расчет ПрО80ДО8 на прочность
KpO le Toro, 11З курса lVIатеl\1атики извеСТIIО, TO длина дуrи пара
болы превышает длину хорды на величину 8 ' rде f стрела про
Расчет проводов ОСIIовывается fla слеДУIОЩl1Х соображениях.
При подвеске любоrо провода lVlе)кду двумя изоляторами А и В,
расположеННЫlVIИ на ОДНОl\1 rоризонтаЛЬНОl\1 уровне (рис. 2.3), про
вод никоrда не будет ПРЯl\fОЛИlIе:i:IНЫМ, а примет вид дуrII «цепной
линии», KOTOPYIO приближенно l\IОЖНО считать параболой. Причи
ной кривизны ЯВЛЯIОТСЯ два фактора: удлинеНI1е от изменения TeM
пературы и упруrое УДЛИIIеlfие под действием Вllешних наrрузок,
состоящих из силы тяжести caMoro провода, веса rололеда и давле
ния ветра.
...
висания. ие получим
Соединив IIредыIущиеe выражеl-IIIЯ в одно уравиеlI, .
8/2 N.l (215)
= +la!1t.
3/ Е . А
Поскольку от:ношен:ие продольной силы N к 11лощади попереч
А определяет РастяrиваIОlцее напряжение а, предыду
Horo сечения
щее уравнеllие l\fОЖНО записать так:
16
17
8/2 а.!
= +Iад.t
31 Е '
(2.16)
rде [5] заданный коэффициент запаса прочности; : и O" преде
OCTII lVfатери:алоп провода; Епр «приведеНIIЫИ модуль упру
лы прочН. u u
I'ОСТИ, определяеl\IЫИ формулои
Е А АА + Ее . Ас .
Е = ,
пр А А + Ас
«приведеIIIIЫЙ КОЭ(Р(РIIЦI1еIIТ ЛИIlейноrо расширеlIИЯ опреде
аl1р tJ
ляе1\1Ы.Й Q)OPMY ЛОJtl
аАЕААА + асЕсАс
СХпр = Е ААА + ЕсАс
(2.24)
а после ряда преобразований lVIОЖНО ПОJIУЧИТЬ наиболее ПРОСТУIО
формулу, называемую уравнением состояния провода:
В1
а1 = 2 С,
а1
(2.17)
rде а 1 неизвестное растяrивающее IIапряжение в проводе в лет
HIIX УСЛОВИЯХ (точнее в УСЛОВJtIЯХ теl\lпературы .и IIаrРУЗКII в MO
l\leHT подвеIJ1иваНlIЯ про во до в); В1 11 С вспоl\fоrателыIеe коэcl)Фи
циенты;
(2.25)
2/2
ЕпРУl
В1=
24
В2
С = [а] + Епрапр(tl t2),
[ а]
(2.18)
МехаНl'IчеСК1IС хаРllктеРlfСТ]'lКИ аЛIО:\11IНIIЯ 11 ста.НИ приведены в
табл. 2.1..
Ta6ТZllцa ? 1 Механические характеристики аЛIОМИНИЯ и стали
(2 19)
01 ' .
Предел у дельныЙ вес,
Модуль !{оэ(l)(l)нцнент прочностп, If/CM3 = Н/М. мм2
VПРУl'ОСТИ. расшпрения, 1/rpaд tl/MM2
HjMM2
аЛ с УА Ус
БА Ее аА ас /) а /)
7 . 104 21 . 1 ()4 25 . 1 О б 12.5 . 1 о б 2ОО 800 27 . 10 3 78 . 10 3
rде в свою очередь ВСПОl\10rательный КОЭффИIJ;11еIIТ В2
2/2
Епр У2
82 =
24
У2 = Il1Y1
(2.20)
(2.21 )
Примеры
Пример 1. Для двухступенчаТОl'О бруса (рис. 2.5) ?пре :лить l
.-" ЭI1IОрI- 1 прополыIыIx СИЛ И IIорl\Iа.тIы1ыыx наI1ряжени:и. Опре
ПОСТрОИ1Ь .) ,...... .. .. Е 2 1 х
· делить УДЛ:ИIIеI-lIIе (укорочеНIIС) бруса. Модуль yrlpyrocTII ,
х 105 lVlfla.
(коэффициеIIТ /l1 КОЭ(РФIIЦIlент Jlереrрузки в ЗvIlVIIП1Х УСЛОВИЯХ, за
дается в условии задачи);
у А . А А + У с . Ас
Уl = А А '
А + с
(2.22)
rде УА и Ус еДИJIИЧIlыенаrpузки в сечеlIIIЯХ разделън:о ВЗЯТЫХ алIОМИ
I
ниевоrо и сталыюrо проводов. Они выражаются в единицах 2
l\tf . lVI М
Н
(то же, что ----з). Тем самым УА и Ус совпадают с величиной удель
Cl\1
Horo веса \Iатериалов проводов. ВеЛИЧI1на У 1 представляет собой
«приведеННУIО еДИНИЧНУIО IIаrрузку биметаЛJIическоrо провода, а
У2 больше этой величины за счетrололедной и ветровой Ha
rрузки
ВеЛИЧИIlа [а] есть «приведеНlIое допускаеlVfое IIапряжеllие в ЗИl\1
них УСЛОВИЯХ, вычисляеl\10е по формуле
А А с
[ 0"] = о" Ь' А + о" Ь . Ас ,
(АА +Ac).[SJ
а
iVZ' Kl I
10 О
а r..rПа
7 96
О е
2
о
40 127
О
(2.23)
Е1 =40 к:н
F
1
F
1
J
Рис. 2.5. К примеру 1
18
,.,tu.II"H JII
(16 6:' I ", ,... j 1\. 1
heAul,,/CI
L
,.., ,....
Реш е н и е. Разделим брус на участки, rpаlIИЦЫ которых опре
деляются сечениями, rде изменяется площадь поперечноrо сечеIIИЯ
или приложены внешние наrрузки. Мысленно рассечем брус в пре
делах первоrо участка и отбросим верхнюю часть бруса (рис. 2.5, б).
Сила Е1 уравновешивается внутренней силой
Nz 1 = Fi = 40.103 Н = 40 кН.
Аналоrично в пределах участка II (рис. 2.5, в) отбросим Bepx
нюю uчасть pyca и рассмотрим оставленную часть бруса с действу
ющеи силои Рl' которая уравновешивается продольной силой Nz 2:
Nz 2 = Fi = 40.103 Н = 40 кН.
в соответствии с полученными значениями напряжений строим
эпюру нормальных напряжений. u u
Полное удлинеНllе бруса равно алrебраическои сумме удлинении
ero участков:
,) lп IIП
t11 = 0"1 + aII + aIIl E '
Е Е
или
Продольная сила на участке III (ри:с. 2.5, 2) уравновеши:вается в
сечении внешним:и силами Е1 11 Р2 и равна их а.lIrебраической cY1\IMe:
Nz 3 = Fi Е2 = 40 .103 50 .103 = 10 .103 Н = 10 кН.
Построим эпюру Nz (рис. 2.5, д). Для этоrо параллельно оси бру
са проведем базовую (нулевую) ЛИнию. Левее ее откладываем зна
чение продольной силы, вызваНIIОЙ сжатием участка, а правее pac
тяжением. В пределах участка III брус сжат (Nz 3 = 1 О кН), в пре
делах участков II и 1 брус растянут (Nz 2 = Nz 1 = 40 кН).
Для определения напряжений в поперечных сечениях значение
продольныхu сил необходимо разделить на площади соответствую
щих сечении.
Площадь поперечноrо сечеIIИЯ бруса:
в пределах участка 1
1td2 п(2 .1 0 2)2
А1 = = = 3, 14 .10 4 м2;
4 4
IIa участках 11 и [11
nd 2 п( 4 . 1 О 2 ) 2
Ан Аш =4= 4 =12,56.10 4 м2
Находим напряжения на отдельных участках бруса и строим эпю
ру (рис. 2.5, е)=
1
Ы = Е (0"111 + O"H1ll + О"ш1ш) =
1 (127 .106 .1,2 + 31,8 .106 . 0,6 7,96.106 .1,0) = О, 78 .10 3 м,
2,1 .1011
дl = 0,78 l\fM.
Пример 2. Определ:ить llатяжеlillе тросов, которые rlоддержива
ЮТ rрузы neCOl\I: F1 = 5 K I, Е2 = 6 KtI, Ез = 4 KtJ (рис. 2.6, а). Постро
:ить ЭПIОРУ IlрОДОJlЬНЫХ сил.
NZ! кН
а
+
15 кН
,
10 кН
F
2
4кН
в
Рис. 2.6. К примеру 2
N
rт Z 1
Vl
А1
N
а z2
11
A11
Nz 3
cr 111
Ан
Ре Пl е 11 11 е. 11зобраЗlll\1 расчеТllУЮ CXel\1Y (pI1C. 2.6, б): А, В, С
точку! ПРIlложеlIl[Я внеШIIIIХ сил. Через ТОЧКII ПРlfложения ВllеШIII1Х
с:ил ПрОDОДI1М ЛlI1IIПI, перпе:НДIIку.лярные оси троса, разrраничив Ta
KIIM обраЗОlVl трос на три участка (1, 11, 111). Пользуясь l\fетодом ce
чениi1, ОIlределяеl\J теперь для каждоrо участка величину и знак
продолы1ойй силы. Так как все внешние силы направ еlIЫ вдо:!ь оси
троса то на всех участках возникает один ВIIутреНllИИ с ловои фак
тор IIРОДОJIьная сила. РаССlVIаТРlIвая раВIIовесие нижнеlI части бру
са, получаеlVl:
".
40 . 103 6 2
= 127 .10 Н/м = 127 МПа'
3, 14 . 1 О 4 ,
40 . 103 6 2
4 = 31,8.10 fl/lVI = 31,8 МПа;
12, 56 .10
1 О . 103
4 ....\ 7,96.106 Н/м2 = 7,96 МПа
12,56 . 1 О J .
20
21
Nz 1 = Ез = 4 Ktl (участок 1);
Nz 2 = Р3 +Е2 = 6+4 = 10 кН (участок 11);
Nz з = Ез + Р2 + 11 = 6 + 4 + S = 1S кН (участок 111).
а также величину нормалЫIоrо напряжения:
0"= Nz = 120.103 =95,5 н/мм2.
А 1256
УДЛIПIение стержня можно определить по формуле закона [ука:
. Ы = N) = 0"[ = 95,5. 50 . 103 = 23 мм.
АЕ Е 2, 1 . 10S
IIРОИЗВОДИl\1 построение эпюры продольных сил. Для этоrо на
неКОТОрО1\1 расстоянии от OCII троса ПрОВОДИ 1 параллеЛЬfIУЮ линию
и СТРОИlVI эпюру продольных сил Nz для каждоrо участка, как пока
заlfО на рис. 2.6, в.
"J'aK как продольная сила на каждом участке ПОСТОЯllflая вели
ЧIIна, то эпюра каждоrо участка оrраничена ПрЯМЫ1\IИ, параллель
IiыI\Iии оси. (ЭПIОРЫ принято штриховать ЛИIIИЯМИ, перпеIfДИКУЛЯр
HbI llI оси бруса.) l{аждый отрезок выражает в соотвеТСТВУЮlцем
1\lаСIIIтабе величину BHYTpCHlIero CI1JIOBOI"O фактора в даНIIОМ сече
нии бруса. Знак и маКСIIмаЛЬJlое ЗIlачеJlие ПрОДОЛЫiОЙ силы каждо
ro участка записывается на ЭПlоре. В сечеНIIЯХ бруса, rде приложена
внешняя сила (в даННОl\1 ПРlIмере в точках В и С), эпюра продоль
ных сил Nz имеет скачок на величину этой силы. МаксимаJIЬflая
IIРОДОЛЫlая сила на участке 111 Nшах = 15 кН.
Пример з. К стальному тросу (Е = 2,1 . 10s 11:jl\IM2) ДЛИIIОЙ 50 1\1,
диаlVlеТрОlVI 40 мм подвеПlеlI I"РУЗ 120 кН (рис. 2.7, а). Определить
IIОрl\IаЛьные напряжеНIIЯ в попереЧНОl\-1 сечении троса, изменеJlие
ето ДЛIIНЫ и веЛИЧИJlУ ПрОДОJIЬНОЙ деформации.
ПРОДОЛЫlая де(рормаuия
f = Ы = 23 = 0,00046, или Е = 0,046%.
1 50 . 103
.......
N
Пример 4. Для бруса с задаНIIЫМИ в
милл:иметрах раЗlVlераl\lИ ПОfIеречноrо сече а
ния (рис. 2.8, а) опредеJIИТЬ ДОIlускаемые
значен:ия наrрузок Е1 и Е20 ДЛЯ lVIатериала
бруса (сталь Ст.3) принять допускае1\fые
напряжеНIIЯ при растяжеIIИИ [ар] = 160 МПа
и при сжаТIIИ [ас] = 120 МПа.
Реш е н и е. В заданном брусе два участ б
( 1....1 +Р2
ка: 1 и 11. Имеет l\leCTO растяжение сжа
тие) бруса (подробнее С1\I. реlпение IIреды
дущеrо примера ). и А
Прl'l fеняя метод сечеНИII, определяеl\'1 Рис. 2.8. I( примеру 1
ПРОДОЛЬНУIО силу Nz, выражая ее через ис
F 1: Проводя В Пределах каждоrо из участков сече
KOlVlbIe Сl1ЛЫ 1 И .L'2'
иие БУДСl\I отбрасывать левую закреплеННУIО часть бруса и OCTaB
лят для раССl\ютрения правую часть. На участке 1 продольная с ла
постоянна и paBlla Nz 1 = Р1. На участке 11 продольная сила также
ПОСТОЯIПIа и paBIIa Nz 1 = F1 + F2. 31laK ПЛIОС указывает на то, что на
обоих vчастках брус растянут.
CTP"OIIM ЭПIОрУ продолыlыыx СIIЛ Nz (pIIC. 2.8, б). Эпюра очерчена
ПРЯМЫl\IИ ЛИJIIIЯ, l\IИ параллеЛЬНЫlVIИ базовой.
Из условия прочности Прl1 растяжеIIИИ определяем допускаемые
F F т рI.Iтелыlоo вычислив площади за
3IIачеНI1Я наТРУЗ0К 11 и 2' предва
даIIНЫХ поперечныIx сечеIП1:Й:
A1 = 1td2 / 4 = 3,14 .42 / 4 = 12,56 lVll\12 = 12,56 . 10 6 м2;
Ан = а2 = 72 = 49 lVl 12 = 49 . 10 6 м2;
О" = N z 1 <[ О" J; Р1. < 160 . 106 ,
1 АI Р 12,56 .10 6
. отсюда F1 = 2009,6 Н = 2,01 кН;
7
А Р1
11
1
Nz
z
Nz, кН а, МПа
о 120 О 95,5
F
а б
Рис. 2.7. К ПрfПvIеру 3
"",
Реш е н и е. Выполнив расчетную схему (рис. 2.7, б) и пользуясь
меТОДОl\tI сечения) находим ПРОДОJIЬJlУЮ силу
N =Е= 120 K I = 120.103 Н
z
Вычисляем площадь попереЧllоrо сечеНIIЯ троса:
2 2
А nd 3,14 40 1256 2
!\1М
4 -4 '
22
23
)
Nz 2 < [ ] Рl + Р2 < 160.106,
О"Н = Ан о"р ; 49 .10
отсюда Е1 + Е2 = 7840 Н = 7,84 кН и Е2 = 7,84 Е1 = 5,83 кН. Здесь
допускаемое напряжеНI1е [ар] = 160 МПа = 160 . 106 Па
Пример 5. Для ступенчатоrо чуrунноrо бруса (рис. 2.9, а) опре
делить из расчета на прочность допускаеМУIО наrрузку, если пло
щадь поперечноrо сечеlIИЯ в верХJlей части бруса равна А = 8 см2 и
в 2 раза меньше IIлощади сечеlIИЯ в нижней части, [ар] = 50 Н/М l'vf 2 ,
ae] = 120 Н/мм2.
F F Nz' кН 0", МПа
1
1
3Р
11
11
Nz2
8Р
111
III
. . ".. . ,'. ','.. .','.:.:...' '....
а
б
в 2
L У = F N z 1 = о,
откуда
Nz1= F.
На участке от точки приложения силы F ДО точки приложения
силы 3Е мы придем к аналоrИЧНОlVIУ результату независимо от Toro,
rде будет проnедеllО сечение. Значит, на этом участке продольная
сила IIостоянна. Сечение II II проведем ниже точки приложения си
лы 3Р и опять отбрОСИl\1 НИЖНIОЮ часть бруса (рис. 2.9, в). COCTaB
ляя уравнение равновесия, получим Nz 2:
LY = F+3F Nz 2 =0,
откуда
2Е/А
Nz 2 = 3Е F = 2Р.
F/A
Следует замеПIТЬ, что при составлении уравнений равновесия
надо использовать правило знаков проеКI ИЙ СИ}I, принятых в Teope
тической механике, а Иl\tlеНIIО: проекция силы берется со знаком плюс,
если ее напраВJlеIflIе совпадает с положительным направлением оси.
Определяя Nz 3' удобнее оставить НI1ЖlIIОIО часть бруса, отбросив
верхнюю (pIIC. 2.9, 2):
3Р/А
Rл
о
о
д
е
L У = Nz 3 + RA = о,
Рис. 2.9. К ПрИ1\lеру 5
Реш е н и е. В даНIIОМ nplIlVIepe псе ВIlешние силы действуют по
одной прямой, поэтому 1\IОЖНО составить одно уравнение paBHOBe
сия, из KOToporo будет наlrдена JIеизвестная реакция:
L у = F + 3Е 8Р + RA = о,
откуда
"
RA = 6F.
откуда
Nzз = RA = 6F.
Построим эпюру Nz. Для этоrо параллельно оси бруса проведем
баЗОВУIО ЛИJIИЮ. Левее базовой линии (ЛI1НИИ нулей) будем откла
дывать ПрОДОЛЬНУIО силу, вызваlIНУЮ сжаТIlем участка, а правее
растяжением. В пределах каждоrо участка наrружеНIIЯ (в данном
ПРИlVlере их три lVlежду точкаlVIИ приложения внешних сил, вклю
чая силу реакции) продольная сила не меняетс , поэтому эпюра.
будет очерчеllа прямыми, параллеЛЬНЫМII базовои линии. В произ
вольном масштабе ОТЛОЖIIl\I N 1 = P. Так как на этом участке брус
испытывает сжатие, то отлож:и Nz 1 левее базовой ЛИIIИII. На BT pOM
участке N = 2F отложим значеllие правее линии нулей, и, наконец,
на тpeTьe aCTKe брус снова испытывает сжатие, поэтому Nz 3 = p
ОТЛОЖIIМ левее. Эпюра продольных СИJI построена (рис. 2.9, д).
ВСПОl\tIНI1lVl, что Nz = JadA. Используя rипотезу БеРНУЛЛI1, можно
прийти к выводу, ЧТО при растяжени и и сжатии напряжения paB
номерно распределены fIO всей площади поперечноrо сечения, Т.е.
. для данноrо сечения у = const, тоrда Nz = aJdA, Т.е. Nz = аА, откуда
cr = Nz/ А.
Построим ЭПIОрУ сил. Для этоrо воспользуемся l\IeTOn01\1 сечеНИlr.
Проведем сечение I I и отбрОСIIМ часть бруса, лежащую JIиже сече
ния (рис. 2.9. б). Bl\IeCTO отброшеIfIIОЙ НИЖlfей части приложим BHYT
реННIОЮ силу Nz 1" Если неизвестную ПрОДОЛЬНУIО с:илу всеrда Ha
правлять от сечеlIИЯ, т.е. предваРllтельно Iтредполаrать, что брус на
даНIIОМ участке испытывает растяжеllие, то знак продольной СIIЛЫ,
найденной из уравнеНlIЯ равновесия оставшейся части бруса, будет
указывать не только на правильность или неправильность выбран
IIoro ранее направления, но ,и на вид деформац:ии, т.е. на растяжение
или сжатие. Запишем ураВIlение равновесия части бруса:
24
.
25
Зная ПрОДОЛЫIУЮ силу на каждом участке и площади попереч
ных сечений бруса, можно построить эпюру а (рис. 2.9, е). В произ
ВОЛЬН9М масштабе откладываем влево и вправо от базовой линии
напряжения в поперечных сечеllИЯХ (правило знаков остается преж
ним), получим аI = Nz l/А = E/A.
На втором участке Nz 2 = const, но скачкообразно меняется пло
щадь nоперечноrо сечения. РаздеЛИlVI этот участок на подучастки :и
определим напряжения:
2Р
О"Н =А<[О"Р]'
всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от pac
сматриваемоrо сечения. KpOl\tIe Toro, при построении эпюр :и про
верке ИХ правильности следует руководствоваться следуюIЦИМИ
правилами: .
скачки на ЭПlорах Nz :имеIОТ место в точках приложени cocpe
доточенных сил, причеlVI веЛИЧIIна скачка равна прило)кеннои внеш
ней сосредоточенной силе; ·
на ЭlIIоре а скачки имеIОТ l\tIeCTO не только в точках приложе"
НИЯ сосредоточен:ныIx сил, но и в lVlecTax резкоrо ИЗ1\lен:ения ПJlоща
ди ПОТlеречноrо сечеI-IИЯ; v
ЭПIора а по Зllаку должна совпадать с эпюрои Nz.
Пример 6. Проверить прочность колонны (рис. 2.10, а), ВЫПОЛ
ненной из двутавровых профилей задаН1Iоrо размера. Для l\lатериа
да КОЛОIП-IЫ (сталь Ст.3) пр:инять допускаеl\1ые напряжения при pac
тяжении [а ] = 160 МПа и при сжатии [ае] = 120 МПа. В случае
переrрузки ли значительной недоrрузки подобрать H Bыe размеры
двутавров, обеспеЧIIвающи:е оптимаЛЬНУIО ПрОЧIIОСТЬ колонны.
Р! = 230 кН
aII = Nz 2/ А = 2Е/ А; alJ = Nz 2/2А :::: 2Е/2А = Е/ А.
На третьем участке aIII = Nz з/2А = 6E/2A = 3E/ А.
Брус выполнеlI из материала, различно сопротивляющеrося pac
тя ению и сжатию, поэтому ДОlIускаемое значеllие наrpузки надо
наити как из условия прочности на растяжение, так и из условия
прочности на сжаТIIе:
откуда
t ар JA
F< .
2
А
Nz, Kl-I
О
230 85.8
а, МПа
о
Подставим числовые значения и ПОЛУЧИМ допускаемую наrpуз
ку из условия прочности lla растяжеlfие:
50.800
F < 2 = 20 000 Н = 20 кВ, т.е. F < 20 кн.
1
Запишем УСЛОВlIе прочности на сжатие:
в
F. = 180 кН
2 410
3Е
аIП = <[acJ,
А
11
отсю.{(а
F < [O";JA = 120 800 = 32 000 Н = 32 кН.
а
() 88,17
б в
Окончательно выбираем то значение, которое удовлетворяло бы
УСЛОВИIО прочности как на Растяжение так 11 на сжатие Т е [FJ <
< 20 кН " ..
Если студент, приступая к реПlению задачи, имеет достаточный
навык в построении ЭПIОр, то при построеlIИИ эпюры ПрОДОЛЫIЫХ
сил нет необходимости изображать отдельно отс,еченные части бру
са, достаточно обратить ВIIимание lla то, что продольная с:ила, B03
никающая в ПРОИЗВОЛЫIОМ сечении, равна алrебраической cYlVIlVIe
Рис. 2.10. К примеру 6
Ре III е н и е. В задаlIНОlVI брусе два участка: 1 и 11. rраницами
участков явля]отся сеЧСIIlfЯ, в которых IIриложеIIЫ внешние СIIЛЬ :
Так как с:илы, :наrружаIОll llе брус, расположены по ero п;ентральнои
ПРОДОЛЫ-IО:Й оси, то в поперечных сече1IIIЯХ возникает лишь ОДIIН
внутреНIIИЙ СIIЛОВОЙ фактор продольная сила Nz, т.е. имеет l\feCTO
растяжение (сжатие) бруса.
26
27
Для определения продольной силы бруса применяем метод ce
чений. Проводя мысленно сечение в пределах каждоrо из участков,
будем отбрасывать нижнюю закрепленную часть бруса и оставлять
для рассмотрения верхнюю часть. На участке 1 продольная сила
постоянна и равна Nz 1 = El = 230 кН. На участке 11 продольная
сила также постоянна и равна Nz 2 = El Е2 = 230 180 = 410 кН.
Знак минус указывает на то, что на обоих участках брус сжат.
Строим эпюру продольных сил Nz(рис. 2.10, б). Про ведя парал
лельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, откладываем
перпендикулярно ей в произвольном масштабе полученные значе
ния Nz. Эпюра оказалась очерченной прямыми линиями, параллель
ными базовой.
Выполняем проверку прочности бруса, Т.е. определяем расчет
ное напряжение (для каждоrо участка в отдельности) и сравниваем
ero с допускаемым. Для этоrо используем условие прочности при
сжатии а == NzlA < [ас], rде ПЛОЩадь А является rеометрической xa
рактеристикой прочности поперечноrо сечения. Из таблицы про
катной стали [ОСТ 8239 89 (см. Приложение) берем:
для двутавра N2 20 А1 = 26,8 см2 = 26,8 . 10 4 м2;
для двутавра N2 30 AII = 46,5 см2 = 46,5 . 10 4 1\12.
Проверка прочности:
О" = Nz 1 <[О" J; 230.103 =85,8.106 Па<120.106 Па;
} А} с 26, 8 . 1 О 4
Nz2< . 410.103 6 6
О"п [O"cJ, 4 88,17 .10 Па < 120.10 'Па,
AI1 46, 5 .10
rде допускаемое напряжение [ас] == 120 МПа = 120. 106 Па и ПРОдоль
ные силы Nz 1 = 230 кН = 230 . 103 Н и Nz 2 = 410 кН = 410. 103 Н.
Значения продольных сил взяты по абсолютной величине.
Прочность бруса обеспечена, однако существует значительная
(более 25%) недоrpузка, что недопустимо вследствие перерасхода Ma
териала.
Из условия прочности определяем новые размеры двутавра для
каждоrо из участков бруса: .
0"1 = Nz 1 < [О"С]; 230.103 < 120.106
А1 Al
отсюда требуемая площадь А] == 19,2 . 10 4 м2 = 19,2 см2. По таблице
[ОСТ 8239 89 выбираем двутавр N!! 16, для KOToporo А] = \0,2 см2;
= Nz2 <[ J. 410.103 <120.106
0"11 ас ,
AII А1I
А 34 2 10 4 м2 34 2 Cl\I2 ПО таблице
отсюда требуемая площадь п = " ,. 2
[ОСТ 8239 89 выбираем двутавр N2 24, для KOToporo AII 34,8 см .
При выбранных раЗlVIерах двутавров также имеется недоrpузка,
однако незначительная (менее 5%).
Пример 7. Колонна (материал сталь марки Ст.3) состоит из двух
тей и наrружена силами, как показано ца рис. 2.11, а. Сила F
ча ооо кН. Предел текучести материала ат = 245 Н/мм2, модуль
подольной упруrости Е = 2 . 105 H/M1\12. Построить эпюру продоль
H IX СИЛ И определить, с каким запасом прочности работает каждая
часть КОЛОIIНЫ. Вычислить, на какую величину опустится верхняя и
средняя ОПОРIIые плиты. (РаЗlVIеры колонны указаны на рисунке)
0", МПа
p
А
Nz, кН
9000 1---- О
, Ir
F
1/1 = 0,28 м
r'"
........
F F
1 I 11 В 27 000
JI'
D=0,S2 М '2Е
..- 1 L.
11
N
М
11
t С
. О 127 О
.
146,2
о
,......
,......
11
......
.......
со
,......
.......
а
б
в
28
Рис. 2.11. К примеру 7
Решение. Изобразим расчеТНУIО cxervIY (рис. 2.11, б). Точки А
и В точки приложения внешних сил. Силы давления на средню
опору заl\lеняем их равнодействующей, равной 2Р, приложеннои
В П кам Приложения внешних сил
Вдоль оси колонны в точке . о точ
ПрОВОДИl\I линии, перпендикулярные оси колонны, разrраничив та
ким обраЗОl\f колонну на два участка.
u еляем для каждоrо участка Be
Пользуясь lVIеТОДОl\1 сечении, опред
личину и знак продольной силы. Так как все внешние силы направ
астках возникает один BHYTpeH
лены ВДОЛЬ оси колонны, на всех уч U N = p ==
ний силовой фактор продольная сила: первыи участок z 1
29
..
= 9000 Krl = 9 МН (сжатие), второЙ участок Nz 2 = p ...... 2Р =
= 27 000 кН = ......27 МН (сжатие).
ПроизводимпостроеНI1е эпюры ПРОДОЛЫiЫХ сил (рис. 2.11, в и
Cl\:I. приl\tIер 6). Максимальная продольная сила на втором участке
Nшах = 27 000 кН.
Вычисляем рабочее напряжение в сечениях каждоrо участка KO
ДОНJ:IЫ. НаI1ряжения в сечениях веРХJlей части КОЛОНIIЫ раВIIЫ
аl = Nz 1 9.106 = Ч6 2 Н/мм2.
А1 61 544 t, ,
Верхняя опора опустится на величину, paBIIYK) сумме ИЗl\tlенения
обеих частей колонны: 11 + [2 = 0,804 + 1,15 = 1,94 мм. Таким об
pa30l\I, МОЖIIО считать, что верхняя часть колонны опустится при
l\'leplIO на 2 ММ.
Пример 8. Для заданноrо наrруженноrо стержн определить:
1) допускаеl\IУЮ lIаrрузку [F]. СтержеlIЬ стальнои: [а] = 11 О М Па;
А = 1,1 .103 MlVI2; ·
2) переlVIещение сечения I I.
Nz,KH
0", МПа
площадь попереЧllоrо сечения Kpyr с ДI'Idl\lетром d = 0,28 1\:1 paBlla
2 2
nd 3, 14 . о, 28 2 2
А1 = = = 0,0615 м = 61 S44 мм .
44'
JA
5F
2F
А
2F
1
2А 5F
JF
напряжеJlfIЯ в сечениях нижней части колонIIыI равны
6
N z 2 27 . 1 О 2
а2 = = 127 H/Ml\1 .
А2 212 000 '
5
площадь попереЧllоrо сечеlII1Я paBIIa
2 2
А nD 3,14 · о, S2 2 2
2 = 4 4 = 0,212 м = 212 000 мм
t
"-.
....
2,73 F
6
1
r
Вычисляеl\f КОЭффJlциеlIТЫ запаса прочност:и:
u cr 245
для верХlfеи: части колонI!ыI 51 = = = 1,68;
0"1 146
... S ат 245
для IIИЖIlеl1 части колонны 2 = = = 1, 93.
а2 127
I-Iорl\1ативfIыIй коэ(I)(l>I'II l'lеlIТ запаса ПрОЧIIОСТИ обычно flаЗllача
ЮТ [5] = 1,2 1,6. сJlедователыlо,' УСJIовие IIРОЧНОСТИ соблюдается.
3aTClVI опредеJIJI1\I, IIaCKOJIbKO Уl\;lеlIЫПИТСЯ высота каждой част:и
КОЛОIIНЫ, используя для это['о <pOpl\IYJIY закона [ука: jj.[ = NI/ ЕА.
ВысотаНI1Жllей части КОЛОIIIIЫ Уl\IеНЫllИТСЯ на веЛИЧI-ПIУ
Ы2 = Nz212 = 27.106/,8.10: =1,15 мм;
А2Е 212.10 .2.10
1:
fJ
""....
5F
о
о
Рис. 2.12. К ПрИ1\1еру 8
I = 1vz 1/1
1 А1Е
9 . 1 06 . 1, 1 . 103 1
3. 5 = 0,804 мм.
61, 544 . 1 О . 2 . 1 О
р е IП е 11 и е.
1. Определяеl\/I [FJ.
а) Определяеl\f продольныIe УСIIЛ1IЯ в сечеНIIЯХ стержня:
Nzl= 3F+5F 2F+2F+5F+3F 5F=5
Nz2=5F 2F+2F+5F+3F 5F=8
N z 3 = 2F + 2Р + 5F + 3Е 5Р = 3Р;
Nz4 = 2F+2F+5F+3F 5F=3F;
Nz5=2F+5F+3F 5F=5
N z 6 = 5Р + 3Р 5F = 3Р;
N z 7 = 3Е 5F = 2P;
N z 8 = 5P.
СР<:ДliЯЯ опора колоIIIIыI ОПУСТIIТСН IIa эту же велич:ину. Высота Bepx
неи части KOJIOHHbI Уl\lеН.ЫllIIТСЯ Ila веЛ:ИЧI1НУ
30
31
б) Определяеl\;J напряжения в сечениях стержня:
А1 =3А=3 .1,1.103=3,3 .103 мм2;
А2 = А = 1,1 . 103 Ml\12;
Аз = 2А = 2 . 1,1 . 103 = 2,2 . 103 мм2;
N z 1 5Е . 103
а1 = 1 52Р'
А1 3, 3 . 103 ' ,
N z 2 8Р . 103
а2 А1 3 = 2,42Е;
3, 3 . 1 О
N 3Р . 103
о" z3 О
3 А1 3,3.103 = ,909Е;
N 3Е . 103
а z4 2
4 А2 1 3 = ,73Р;
,1.10
lVz5 5Е.103
0"5 А2 1,1.103 = 4,55Е;
N 3Р . 103
а z6 2
6 А2 3 = ,73Р;
1, 1 . 1 О
а Nz7 2P.103
7 А3 2 2 3 = o, 909Е;
, .1 О
N 8 5P .103
0"8 = ; 2 2 3 = 2,27 Р.
3 ,.10
в) Из эпюры «a : а. = 4 55Р < [а]
nlах , .
Отсюда
Лl а 2 .12 2,42 · 24, 18 . 1, 8 . 103 == О 527 .
u 2 5 ,MM,
Е 2 .10
jj.1з = 0"з .13 0,909.24,18.2,16.103 = О 237 .
Е 5 ,ММ,
2.10
jj.14 = 0"4.14 2,73.24,18.1,8.103 = О 594 .
Е 5 ,мм,
2.10
jj.15 = 0"5 . 15 4,55 · 24, 18 . 1, 8 · 1 03 О 99 .
Е 5 , lM ,
2.10
16 = о" б . lб 2, 73 . 24, 18 . 2, 7 . 103 = О 891 .
Е 2.105 ,ММ,
ЛI l = 0,331 + 0,527 + 0,237 + 0,594 + 0,99 + 0,891 = 3,57 мм.
Ответ: 1) [.F]< 24,18 кН; 2) сечение I I Сl\tIестится вниз на 3,57 ММ.
Пример 9. 11аliти Jlаиболыпее напряжеНIlе в сечеI-IИИ круrлоrо
бруса (рис. 2.13) и определить величину переl\lещеliИЯ L L стально
ro стеРЖIIЯ переl\lеtIНОI'О сечеН1IЯ, !lаХОДЯI1J.еrося под действием про
дольной силы Р :и собствеIIноrо веса.
Модуль YIIPYI'OCT}! для стаЛJI Е = 2 . 105 MHjM2, плотность Р =
= 7,7 м rjl\13 , IIлощадь l\lе:ныпеrо поперечноrо сечения А1 = 5 . 10 4 м2,
большеrо А2 = 10 . 10 4 12. Размеры на рисунке даны в метрах.
Nz, кН
0", МПа
I
IJJ .. ..).................. 111 00
J
J
о
51,056
51,056
/
о
0,453 50,45
0,906 50 45
50 KII
[ F] < [о" J = 11 О
4,55 4,55 24,18 Н.
2. Определяе 1 перемещение заданноrо сечения I I:
Ан = Ы1 +Ы2 +ЫЗ +Ы4 +Ы5 +Ыб;
а. Z
лz = (Е= 2.105 МПа)'
Е '
Ы1 = 0"1 · 11 = 1 52 .24,18 .1,8 .103
Е 2.105 0,331MM;1
II .... ..
L
Il
L
0.226
22
I
I
I.... .. .. ........ ..I
I
21 i
....
о
Рис. 2.1 з. К ПрИl\lеру 9
Решение.
1. tlаидем силы и IIапряжения в пеРВОlVI сечении (I I):
L Zo = о уравнение равновесия;
32
33
I 11
1"
" I .
1 I
I
Nz 1 С1 = О => Nz 1 = С1 продольная сила.
Продольная сила меняется от JIУЛЯ дО l\1аКСИ1\fаЛЫIоrо значения N2 1:
С1 = lпg = g-рV = gpA121121:0C = g.pA1c;
21
N2 1 = g-рА1с = 9,8.7,7 .10З . 5 .10 4 .6= 226,38 Н = 0,226 кН.
Ы1 = 1 Nz зdl = (Р + G1 + G2 + Gз /2)а ,
о ЕА2 БА2
/ (F+pgA1(2.a/2+b+c»a =
д 1 ЕА2
(50.103 + 7700. 9,8. 5 .10 4 .20).8 = 2,03 l\1M',
4 5
2.s.10 .2.10
1 111
l'
I
1,
,
,
1/1
11
11,
I!
11
!
I
11
1/
Напряжение в сечении l'vlеняется ОТ нуля ДО l\1акс:имальноrо ЗJIа
чения:
N z 1 226 О 453 Н! 2
о" 1 А1 500 , мм .
Найдеl\1 СИЛЫ и JIапряжения во BTOpOlVl сечеIIИИ (II II):
L Zo = о, N2 2 С1 С2 = о;
С2 = lпg = l!;P V = g.pAl (22 С )lz2 : +c = gpA1b;
z2 c
Nz 2 = С1 + С2 = g-рА1 (Ь + с) = 9,8.7,7 .10З . 5 .10 4 . (6 + 6) =
= 452, 7 I = о, 453 K I;
а = Nz 2 = 453 = О 906 fI/MM2
1 А1 500' .
3. Найдем СИЛЫ 11 IIапряжеfIIIЯ в TpeTbel\I сечеIIИl1 (III III):
LZo = о, Nz 3 С1 С2 Gз р= о;
Gз = lпg- = gp V = gp. 2. А12зIZ:i:а = gp. 2. А1а;
zз о
N 2 3 = С1 + С2 + Р + Gз = g.pAl (Ь + с) + Р + gp . 2 . А1 а =
,1 =9,8.7.7-103 .5.10 4 .(6+6+2.8)+50.103 =51 056 Н =51,056 кН;
Ы2 = JNZ2dl = (G1 +G2/2)b = (pgAl(b/2+c))b =
о ЕА1 БА1 ЕА1
7700. 9,8 . 5 · 1 0 4 · 9 . 6 = 0,00002 м = 0,02 мм;
5 . 1 О 4 . 2 . 1 011
6./:::: /1 + tJ./2 = 2,03 + 0,02 = 2,05 1\11\1 УДЛ1ПIеН11е.
Пример 10. Из условия ПрОЧIIОСТИ подобрать сечеIП1е стержня АВ
(pIIC. 2.14). flpoBepllTb IIРОЧIIОСТЬ стержня ВС, еСJIИ [а] = 180 МПа.
h 11 = 2Ь
lJ
х
F= 100 кН F
'1
11
l'
I1
1,
N z з 51 056 51 056 Н/ 2
аз 1\111\11
А2 1000' .
4. flаходим переl\tIещеfIIlе сечеIIИЯ I I:
а
б
Рис. 2.14. К примеру 10
п
!11 = /)./.'
L..J 1 '
;=1
{LX=O J NAB NBe'Cos45°=0;
L у = о 1 F N 8е · cos 450 = о;
F 100 .
NBC =....;1 = = 141,4 кН,
. cos4So 0,707
NAB::; Nnr. cos45° = 141,4 . 0,707 = 100 кН
Ы1 = Nz за
ЕА2
/\
Так как Nz з = /(/), то
34
ЗS
Проектировочный расчет для стержня АВ:
А > N АВ = 100.103 = 556 мм2;
АВ [ а] о, 18 . 1 О з
ААВ = h . Ь = 2 . Ь . Ь = 2Ь2;
2Ь2 = 556; Ь2 == 278; Ь = 16,7 MlVl;
h = 2 . Ь = 2 . 16,7 = 33,4 Ml\f.
Для определения продольной силы применяеl\1 метод сечений.
Проводя сечение, отбрасываем закреплеННУIО часть стержня и к
оставленной части прикладываем продольную силу N, предполаrая,
что стержеIIЬ растянут (рис. 2.15, б). Рассматриваем равновесие бал
ки АВ. Применяя в качестве уравнения равновесия сумму MOMeH
тов сил относительно центра опорноrо шарнира А (чтобы исклю
чить из уравнения не подлежащие определеНИIО реакции шарнира),
находим продольную силу N:
у М А = о; Е1 . АК + N cos 300 . АС Е2 cos 600 . АВ = О;
20 . 2 + N . 0,866 . 4 45 . 0,5 . 6 = О,
Проверочный расчет для стержня ВС:
N
а Ее = Ее < [а J .
Аве
По таблице rOCT 8240 89 для швеллера NQ 10 Ас = 10,9 Cl\t12 =
= 1090 мм2;
141, 4 . 1 О з
аве = 3 =129,7 МПа<[а]
1, 09 . 1 О
отсюда N = 27,3 кН.
Знак ПЛIОС указывает на то, что стержень растянут.
Из условия прочности стеРЖIIЯ при растяжении определяеl\1 раз
меры уrолка:
,
8
N < [ ]. 27,3.103 < 160 -106
о" А о"р , А
ОТСIода требуемая rIЛОlцадь А1 = 1,71 . 10 4 м2 = 1,71 Cl\tI2. Здесь допус
каемое IIаrlряжеlIllе [ар] = 160 МПа = 160 . 106 Па и продольная си
ла N = 27,3 кН = 27.,3 . 103 Н.
По таблице прокаТllОЙ стали [ОСТ 8509 86 (см. Приложение)
выбираем равнополочны-Й уrолок NQ 2,5, для KOToporo А = 1,86 см2.
При выбраlIНОМ раЗlVlере уrолка l\1Iатериал недоrружен, однако незна
чительно (около 8%).
Определяеl\1 удлин:ение стеРЖIIЯ CD, дЛЯ чеrо применяем фор
мулу [ука:
ы= Nl = 27,3-103.2 =1,47.10 3 м=1,47 мм,
АЕ 1 86 .1 0 4 . 200 .109
,
Прочность стержня ве обеспечеllа.
Пример 11. Для стержня CD (Р:ИС. 2.15, а), удерживающеrо в paB
новесии жесткую балку АВ и выполненноrо IIЗ равнополочноrо
уrолка, подобрать размеры сечения и определить удлинение (YKOPO
чение) стержня. Для материала стержня (сталь Ст.3) принять допус
каемые напряжения IlрИ растяжении [ар] = 160 МПа и IIрИ сжатии
[ас] = 120 МПа и модуль продольной упруrости Е = 200 rПа.
а
б
rде IIЛОlцадь сечения А = 1,86 см2 = 1,86 . 10 4 lV12; модуль продоль
ноЙ упруrости lVlатеРllала Е = 200 rПа = 200 . 109 Ila; длина стержня
1 = CD = АС . sin 300 = 4 . 0.5 = 2 1\'1 (ОIlределена из ПРЯlVfоуrольноrо
треуrольника ACD).
Пример 12. ЖеСТКI1Й брус OD (рис. 2.16, а), шарнирно закреп
леПIIЫЙ в точке О, удеРЖIIвается в равновесии с помощыо стержне и
1 и 2. В точке D брус llаrружен СИJ ОII F = 40 Kf-I. Определить Ha
пряжения в поперечныIx сечен.ИЯХ обоих стержне.Й, если 1 = 1 1\1, пло
щади попереЧIIЫХ сечений соответственно: А1 = 4 см2 и А2 = 6 см2.
Реш е н и е. Разрезаем стержни и заменяем их действие на брус
силами N1 и N2 (рис. 2.16, б). В даНIIОl\f случае реаКЦIIИ шарнира О
Рис. 2.15. К примеру 11
Реш е н и е Как IIзвестно из статики, шарнирно закрепленный
стержень может находиться в раВIIовесии лишь при условии, что
наrружающие ero o концам СIIЛЫ расположе I по продольной оси
стержня. ПОЭТОl\tIУ в ПОllеречных сечеIIИЯХ ст ржня B03HIIKaeT лишь
один внутренний силовой фактор продольная сила N, Т.е. имеет
место растяжение (сжатие) стержня
36
37
а
о
нас не :интереСУIОТ, а в ypabheI-Iие
lVloMeHToB относительно точки О
(уравнение paBI-Iовесия статики)
E . 2,5 . а + N2 . 2 . а + N1 . а = О
Пример 13. АБСОЛIОТНО жесткий брус (рис. 2.17, а) опирается на
mаРНИР1IО неПОДВИЖНУIО опору О и Ilрикреплен к двум стержням в
точках В и С с ПОlVI0ЩЬЮ шарниров. Определить: а) НОр1"Iальные
силы, воз:никшие в стержнях; б) допускаемую наrрузку [F], Прl1рав
ИЯВ болыпее из IIапряжений, ВОЗ1Iикшее в ОДIIОМ из стержней, дo
пускаеlVtОl\IУ напряжению [а] = 160 МПа.
входят, обе неизвестные силы. Сле
довательно, задача один раз стати
О чески неопределима (уравнеlШЯ про
екций на оси х и .Ц IIичеrо не дают,
так как в них войдут еще две неиз
вестные составляющие реакции шар
11ира О).
ДЛЯ Toro чтобы составить допол
нитеЛЫ-Iое уравнение переrvlещениi:i,
ДОПУСТИlVl, что после Jlаrружения бруса узел С опустился IIa 111?, а
узел В на 1111' Из подобия треуrОЛЬН1IКОВ ОВВ1 и ОСС1 ПОЛУ1.IИlVI
ypaBHeHJle псреl\lеIцеIIИ:Й:
О,5а
б /F
1J
и
а
б
3а
Рис. 2.16. К примеру 12
N2
д12 = 2/111 .
Так как I1f1 = N111/(EA1) If д12 = N212/(EA2), а [2 = 2 .f1, что следует
из рассмотрения тех же треуrОЛЫIИКОВ ОВВ1 и ОСС1, то ураВflеIlие
ПрИl\'lет ви:д
Рис. 2.17. I( nplIl\lepy 13
Реш е 11 :и е. Разрезаеl\1 стеРЖНII и ВВОДИl\I ИСКОl\lые силы N1 и N2
(pIIC. 2.17, б), составляеl\,I ypaBIlelll'Ie равновесия, IIРИНЯВ за центр
MOl\leIITOB I1Iарнир о:
N212 = 2 N111 или N2 = N1
ЕА2 ЕА1 ' А2 А1
Подставив в это уравнеlIие Зllачения А1 = 4 см2 и А? = 6 см2 Ha
ходим, что N2 = 1,5 . N1. ,
Решив совместно уравнения, ПОЛУЧИl\l
F. 2,5 . а + 1,5 . N1 . 2 . а + N1 . а = О,
F . а N1 . 2а N2 . 5а = О,
которое после делен:ия обеих частей на а ПРIIобретает вид
F 2 . N1 5 . N2 = о.
откуда
в результате удлинеIII1Я стеРЖIlей брус зайl\tlет I10вое положение
(рис. 2.17, б). Из подобия треуrольников ОВВ1 II ОСС1 следует про
порция I1l1/2a = .l2/5a, из KOTOpoi:i получаем зависимость lVlежду
удлинеНИЯМI1 стержней: 51111 2/1l2 = О.
Выразим в ЭТОl\,J уравн:еНIIИ IlеремещеНIIЯ IIIарниров В (l1l1) в (11[2)
по фОРlVIуле [ука:
"
N1 = 2,:.р 2,5 40 =25 кН =25.103 Н;
N2 = 1,5 . N1 = 1,5 . 25 = 37,5 кН = 37,5 . 10З Н.
uТеперь ле 1{О найти напряжения поперечных сечениях стсрж
неи, ПОl\IНЯ, что А1 = 4 см2 = 4 . 10 4 1"12 и А? = 6 Cl\/I2 = 6 . 10 4 м2.
.
Nl 25.10З 6 .
аl =62,5.10 Па=625 МПа.
А1 4 . 1 О 4 "
r
N237,5.10З 6
0"2 = = = 62 5.10 Па = 625 МПа
А 2 6 . 1 О 4' ,.
S.N1l1 2.N212 =0.
ЕА1 ЕА2
У МНОЖИl\.f обе чаСТI! ураВIIСIJИЯ на Е И, подставив числовые зна
чения веЛI/IЧИII [1 = 4 l\tI, [2 = 3 lVI, А1 = 20 . 10 4 1\12 и А2 = 10 . 10 4 м2,
ПОJIУЧlll\1 ypaBIIcHI1e пере1\IСПJ;ений в ОКОIlчатеЛЬНОl\,I виде:
5N1 3N2 = о.
Решив cOBlVIecTHO уравнеНI'JЯ, наХОДI1М значения ИСКОl\1ЫХ сил:
N1 z 0,1Fи N2 z O,16F.
38
39
По IIайдеННЫl\f значениям внутренних сил находим напряжения
в сечениях стрежней:
L м А = 1 О . 2,8 . 1, 4 N 1 . 2,8 + 80 . 3, 4 120 N 2 . 4, 9 = О.
Уравнений равновесия два, а неизвестных три, следовательно,
система 1 раз статически неопределима Составим уравнение переме
щений. Балка повернется BOKpyr точки А на не который уrол, не дe
формируясь, и примет некоторое наклонное положение (рис. 2.18, б).
Вертикальные перемещения шарниров В и С соответственно paB
НЫ удлинеНIIЯ!v1 тяr, вызванных действием на них растяrивающих
сил, равных и ПРОТИВОПОЛОЖIIО IIаправленных реакциям N1 и N2.
ВыраЗИl\1 УДЛIlнения стержней:
Ы = N1lB. Ы = N2lc.
в БА' с БА
Из подобия треуrольников АВВ1 и АСС1 получим
/B /c
,
2,8 4,9
.
11 I
I '
: I
!,
N1 О,1Е N2 О,16Е
0-1 = = = SOF Па. а2 = = = 160Е Па.
А1 20.10 4' 4
А2 10.10
а2 > а1, следовательно, допускаеl\IУЮ наrpузку определяеl\1 по Ha
пряжениям в стержне 2, ПОl\IIIЯ, что [а] = 160 МПА = 160 . 106 Па.
160 [Е] = 160 . 106;
[Е] = 106 Н = 1000 кН.
;II
i, Ii
i ,
i 111
I
i
Пример 14. Проверить прочность тяr, поддерживаЮЩIIХ BeCbl\;Ia
жесткую балку, изrибом которой можно пренебречь. Балка шарнир
но укреплена в стене, как указано на рис. 2.18, а. Тяrи одинаковоrо
поперечноrо сечения площадыо А = 2,4 ClVI2 выполнены из стаЛl1,
допускаеlVIое напряжение для которой задано: [а] = 120 H/lV'lM2.
а
111
1,;
11
10 НН/М
..... ..
ООн Н If
I:Q
120хН.м
8 С
откуда
1 1 N11B N2/C
4,9 В = 2,8 с, или 4,9 = 2,8
ЕА БА
2,8м
0,5м
1, s",
Жесткость сечеlIИЙ тяr ОДИIlакова, поэтому 4,9 . N11B = 2,8 . N2/c.
Подставим значения IB и Ic и получим заВИСИ!vfОСТЬ между peaK
ЦИЯlVIИ N1 и N2:
4,9N1 . 1,8 = 2,8N2 . 2,2,
RA
А
дОхИ
N. 120кН.м
откуда N2 = 1,43N1.
Подставив найденное выражение в уравнение моментов, получим
N1 = 19,5 кН, тоrда N2 = 28 кН. Более н:аrружена тяrа С. Найдем Ha
пряжения растяжения в ней: 8 = N2/ А = 28 000/240 = 116 HjMM2,
что меньше допускаемоrо напряжения; значит, прочность тяr обес
печена.
б
с
С1
Пример 15. Абсолютно жесткий брус (рис. 2.19) опирается на
шарнирно неПОДВИЖНУIО опору и прикреплен к двум стальным стерж
ням при ПОlVfОЩИ шарниров.
а) Исходя из заданных ЗIIачений наrpузки и площадей поперечно
ro сечения стержней, определить усилия и напряжения в стержнях,
сделать заключение о прочности и экономичности конструкции.
б) Из анализа условий прочности бруса найти наибольшую внеш
IIЮЮ допускаеlVlУЮ наrрузку Р, приравняв большее из напряжений в
двух стержнях к ДопускаеМОl\ilУ.
Исходные данные: [а] = 160 МПа; F= 120 кН; а = 1,5 м; Ь = 1,8 м;
с = 1,2 м; [1 = 2,0 м; 12 = 1,8 м; А1 = 12 см2; А2 = 10 см2; а1 = 900; а2 = 600.
Рис. 2.18. К ПрИl\fеру 14
Реш е н и е. Превратим балку в свободное тело. Для этоrо отбро
сим опоры и заменим их деЙСТВIlе реаКЦIIЯМ:И R N T С о
ству б А' l' 1У2' IIЛЫ, деи
Iощие Hua aJIKY, предстаВЛЯIОТ собоii CIICTel\IY параллеЛЫIЫХ СIIЛ,
: и: торои можно составить два незавuсимых уравнения равпо
LY=RA 10.2,8 80+Nl +N2 =0;
40
41
Д/2 ..... N 2/2 .
Uc =:) Uc ,
cos 300 БА2 cos 300
N1/1 (а+Ь) N2/2 .
,
БА1 С ЕА2 cos 300
N (а + Ь) N 2/2 А .
1 . l'
С 11А2 cos 30°
N = (1,5+1,8).12.1,8.2.N =3,429N .
1 1, 2 . 1 О . 2, О . .J3 2 2
3,429 . N2(a + Ь) + Е. Ь + N2 cos 300 . с = о;
(3,429 . (а + Ь) + с . cos 300) . N2 = b . Р;
Ь
N2 = Е.
3,429 . (а + + с . cos 300 '
N2 = 1,8 JЗр= 0,1457,Е= 17,48 кН.
3,429 . 3,3 + 0,6. 3
11
11
F
ь с
F
RAy
N1 "
RAX
I1f1 = Бf)
Рис. 2.19. К ПрИ1vlеру 15
Полvчаем:
.t
42
с
Реш е н и е. Составляем ypaB
нения равновесия плоской сис
темы произвольно расположен
ных сил:
N1 = 3,429 . N2 = 0,499 . F = 59,95 кН;
N1 59,95 .103 = 49 95 МПа сжатие'
аl , ,
А1 1200
3
= N2 = 17,48.10 = 17,48 МПа сжатие.
0"2 А2 1000
Наибольшее напряжеllие возникает в первом стержне.
[0"] > L N1] ==> [N1] < А1[ 0"];
А1
[N1] = 1200 . 160 = 192 K:tI;
[N ] 192
[N]= 1 = =s6KH;
2 3,429 3,429
[N1](a + Ь) + [р] . Ь + [N2] cos 300 . с = о;
[N1 ] ( а + Ь) + [N 2 ] cos 300 . с 192 · 3, 3 + 28 . .J3 · 1, 2 384 3 кН
[FJ= . = ..... , .
Ь 1,8
Так как данная I-Iаrрузка меньше предельн:ой и напряженность
меньше предельной IIапряженности, то конструкция прочная для
даНI-Iоrо условия.
Пример 16. АБСОЛIОТНО жесткий брус (рис. 2.20) опирается на шар
нирно неподвижную опору и IIрикреплен к двум стальным стерж
иям с ПОlVlОIЦЬЮ шарниров.
Знак l\IИНУС показывает, что N2 направлен:о против выбранноrо Ha
правления.
L Х = о;
L у = о;
LMA(FK) = о;
RAx N2 cos60° = о;
Nl + RAy F + N2 cos30° = о;
N1 (а + Ь) + Fxb + N2 соsзоо. с = о.
Система 1 раз статически lle
определима.
Составляем ураВllение пере
lVlеlцеIIИЙ:
DD=a+b.
бс с'
N/
д/ = 8 =:) 8 = 1 1 .
1 D D ЕА1'
дц.
2
1
с
F
0.1
ь
а
Рис. 2.20. К примеру 16
43
11
I
I
L м А = N 1 а + N 2 . cos 300 · Ь F · с = О.
Неизвестных четыре. Уравнений статики три. Система 1 раз CTa
тически неопределима.
Составляем дополнительное уравнение перемещений, учитыва
ющее характеристику дефОРlVIации стержней:
81 82 .
b'
/1 /2.
= ,
а соsзоо. Ь
а) Исходя из заданных значений наrpузки и площадей поперечно
ro сечения стержней определить усилия и напряжения в стержнях.
б) Найти наибольшую внешнюю допускаемую наrpузку.
в) Определить коэффициент запаса прочности в двух стержнях.
Исходные данные: F = 150 кН; а = 4 м; Ь = 5 м; с = 3 м; а1 = 900;
а2 = 1200; /1 = 2 м; /2 = 3 м: А1 = 4 . 102 мм2, А2 = 6 . 102 мм2.
Реш ение.
Схема деформации систеl\IЫ:
N1/1 . N2/2 .
rде /1 = , /2 ,
ЕА1 ЕА2
N1/1 N2/2 .
,
ЕА1 . а ЕА2 cos 300 . Ь
N1.2.103
4.102.4.103
N2 .3.103 .
2 J3 3'
6.10 . .5.10
2
Расчетная схема:
N1
N1 = 0,924 . N2.
Для определения ус:илий N1 и N2 достаточно pacclVloTpeTb ypaB
нения:
А1
RA}T
А2
N1a + N2 . cos 300 . Ь = F. с;
N1 = 0,924 N2;
J3
0,924 · 4 · N2 . + 2 · 5 · N2 = 3Р;
N2(3,696 + 4,33) = 3F;
3.F
N2 = = 0,374F;
8,026
N1 = 0,924 N2 = 0,924 0,374F = 0,345F сжатие.
RAX
А
I
1:
1,
I
111
11
11
11
а
ь
Схема перемещений:
<1
11
!:J.l2
Ь2 ==
cos 300
Определяем Ilапряжения:
_.
0"1 = N1 = О,345Р = 0,86.1 0 3 F = 0,86.1 0 3 .1 SO .103 = 129,4 н/мм2;
А1 4 .102
,
0'2 = N2 = О,374Р =0 623.10 3 F =0.623.10 3 .150.103 =93,45 н/мм2.
2 '
А2 6.10
б) Найти IIаиболыпую допускаемую наrрузку возможно двумя
способами.
а) Составляем уравнения статики:
(
L у = N 1 + R А У F + N 2 . cos 300 = О;
LX = RAX + .l.V2 . sin30° = о;
44
45
111
11111'
11
I
I
l'
Первый способ. Приравниваем большее из напряж ний в двух
стержнях допускаемому.
Условие прочности О"тах = 10"11 = 1 = 0,86 .10 3 Р;
1
Пример 17. Для стальноrо бруса, жестко заделаllноrо двумя KOH
дам и 1'1 наrруженноrо (рис. 2.21), необходимо определить из расче
та на прочность требуемую площадь поперечноrо сечения, приняв
Е= 15 кН, [а] = 75 HjMM2.
[Р] = [ 0"]
О, 86 . 1 О з
160 з
3 = 185.5.10 Н = 185 5 кН
0,86 .1 O , .
Klo o
1,4 Е/ А
А 26 Р/А
4Е .
1,7 F/A
1Il 26F
6Р
\::! 2А 1,3 F / А
1Il
3,4 F
О О
б в
Рис. 2.21. К примеру 1 7
Вmорой способ. Из условия прочности О" = N тах < [о-]
тах А
для 1 ro стержня
1,
11
1I1
[N1J = [а] . А1 = 160 .400 = 64 . 10З Н = 64 кН'
,
для 2 ro стержня
[N2J = [а] . А2 = 160 . 600 = 96. 103 Н = 96 KfI'
,
Nj = 0,924 N2.
Имеем:
Реш е В. 1'1 е. Заменим верхнюю и нижнюю заделки силаl\IИ peaK
ций связей RB и RA. Составим уравнение равновесия:
L у = Rn 4Р + 6Е RA = О.
I
1"
I'j
i 1
:1'
11
,,1
Е= N1a+N2cos30°.b.
с
N1a + N1 cos30°. Ь 64.4 + 64 .0 866.5
Fi = 0,924 0,924 '
с 3 = 185, 3 кН;
Р2 = 0,924N2a + N2 cos300. Ь = 0,924. 96.4 + 96. 0,866 5
с 3 = 256,8 кН.
Из двух значений силы F допускаемой наrрузки является наи
меньшая [}] = 185,3 кН 185,5 кН.
в) Находим коэффициент запаса прочности в первом и BTOpOl\1
стержнях:
/а1/ = 160 МПа; S = ат = 240,0 = 1 5.
1 10"11 160, О "
0"2 = : , О, 623 .10 3[ Р] = О, 623 .10 3 .185,5.103 = 115,6 МПа;
52 = О"Т = 240,0 = 2,08.
а(2) 115.6
('
Видим, что в уравнеllие равновесия входят два неизвестных. 3a
дача 1 раз статически неопредеЛИlVlа. Для раскрытия статической
неопределимости неоБХОДИlVIО составить уравнение перемещений.
Для этоrо отбросим одну из опор, например нижнюю, и заменим ее
действие силой реакции. Получим статически определимый брус,
на который кроме сил 4F и 6F действует неизвестная сила RA. Boc
пользуемся принципом независимости действия сил и запишем пе
ремеlцение нижнеrо сечения от каждой силы в отдельности. Ниж
нее сечение моrло бы переместиться от действия каждой силы Ha
столько, насколько каждая сила деформирует брус на участке от ее
точки приложения до верхней заделки. На самом деле нижнее сече
ние заделано и не имеет возможности перемещаться, а потому алrеб
раическая cyl\tfMa переl\lещений от всех сил равна нулю. Разбивая
брус на участки постоянной жесткости, получим уравнение
: I
I
/1
11
RA · 3а + RA · 2,5а 6Р .1,5а 6Р. 2,5а + 4Р .1,5а = О
Е.2Л ЕЛ Е.2А ЕА ЕА '
откуда RA = 3,4 . Р.
Далее строим эпюру N и а (рис. 2.21, б, в). Из эпюры нормаль
ных напряжений видно, что О"шах = 2,6. Р/А.
46
47
111
Запишем условие прочности:
н
:'1
I'I!
I1
,:1
I
I
Рис. 2.22. К примеру 18
форму лы следует упростить, разделив числители и знаменатели
формул (2.22) (2.24) на Ас, а формулу (2.25) на произведение
Ес . Ас и вводя при этом коэффициенты:
Ал 320 =4=k. Ел = 7.104 31.
Ас 80 'Ес 21.104
При вычислении приведенных величин особое внимание следу
еТ удел:ить их наименованию и размерlIОСТЯМ:
Ул .k+yc = 27.10 3.4+78.10 3 =37,2.10 3 Н 2;
у 1 k + 1 4 + 1 м . мм
O" .k+O" = (200.4+800) = 128 Н
[ о" I (k + 1) . [S] (4 + 1) · 2, 5 мм2 '
Ел .k+Ec = 7.104.4+21.104 =0,98.105 Н
Епр k + 1 4 + 1 мм2 '
а .!.k+ac 25.10 .!.4+12,5.10 6 1
А 3 3 =19,6.10 6
fXпр = 1 1 rрад
.k+1 .4+1
3 3
По результатам приведенных величин и фОрlVIулам (2.21), (2.20),
(2.19), (2.18) последовательно получаеlVl вспомоrательные коэффи
Цl1енты:
II
F
(J'П1ах = 2, 6 < [а] ,
А
А > 2,6Е 2,6. 15 000 520 2
откуда = = мм
[а] 75
Пример 18. Рассчитать на прочность провод АС (рис. 2.22), у
KOToporo длина 1 = 200 м, полная площадь сечения А = 400 мм2,
алюминиевая часть превосходит стальную в 4 раза; температура из
менилась от t1 = 200 до t2 = 100; удельные приведенные наrрузки
отличаются в 2,4 раза, рекомендуемый запас прочности [5] = 2,5.
!
I
11
I
Решение
Составляеl\I таблицы l\1ехаllических характеРI1СТИК составных час
тей провода и ИСХОДIIЫХ данных.
Таблица 2.2. Механические характеристики составных частей провода
н
12 = k1 . 11 = 2,4 . 37,2 . 10 З = 89,28 . 10 З 2 ;
мм
lVl0ДУЛЬ Коэффициент Предел у деЛЬНЫll вес,
упруrости, расширения, прочности, Н/см3 = Н/М. мм2
Н/мм2 ljrрад HjMM2 (МПа)
ЕА Ее аА ас А С Уд Ус
ан ан
7 . 104 21 . 104 25 . 10 6 12,5 . 1 0 6 200 800 27 . 10 З 78 . 10 З
Таблица 2.3. Исходные данные
в = Епр · y '[2 = 0,98.105 · (89,28 .10 3)2 · 2002 = 1301913,7 (. Н 2 )3;
2 24 24 мм
В 1301913,7
С = [0"] + Епр · (Xnp(tl t2) = 1282
[ а]
Сече Темпера Отношение Отношение Запас Площадь
ние Длина тура площадей наrрузки ПрОЧНОСТII сечения
1, м
А, мм2 t1 t2 А А/А с k1 = У2/У1 [S] Ал Ас
400 200 2() 10 4 2,4 2,5 320 80
2 [2
Е . Уl .
В пр
1 24
н
128 + 0,98 . 105 . 19,6 . 1 0 6 . [20 ( 10)] == 9,08 мм2 ;
0,98.105 .(37,2.10 3)2 .2002 = 22,6.104 ( Н2 )3.
24 мм
".
Определяем приведенные величины биметаллическоrо про вода
по формулам (2.22) (2.25). Причем для ускорения вычислений эти
По результатаl\1 расчетов приведенных величин составляем
табл. 2.4.
48
\
49
Таблица 2.4. Приведенные величины
N1
N1C = 9943 Н;
1+ЕА-АА
Ес.Ас
N1 .
N1A = Е А = 13 257 Н,
1+ с- с
ЕА.АА
N2
N2C = Е А = 21 943 Н;
1+ А' А
Ес.Ас
N2
N2A = Е А = 29 257 Н.
1 + с' с
Ел-АА
Епр' МПа 'у l' [а], МПа allp' В1' (МПа)3 С, МПа
Н/М. мм2 (rрад 1)
0,98 . 105 37,2 . 10 З 128 19,6 . 1 0 6 22,6 . 104 9,08
Найденные числа ПОЗВОЛЯIОТ составить «уравнение СОСТОЯIIИЯ
провода» (2.17):
у силия в алюминии и стали распределяются ПрЯlVIО пропорцио
налЫIО «жеСТКОСТЯlVI сечений , т.е. произведеН:ИЯlVI площадей на MO
дули упруrости.
Выясняется, что растяrивающие напряжения оказываются про
порционалЬНЫl\vIИ модулям упруrости материалов независимо от пло
lцадей. Определим напряжения в частях биметаллическоrо провода:
В1 С = 22, 6 . 1 04 9 08
а1 = 2 1; а1 2 ,.
аl аl
Решаем уравнение методом подбора или друrим методом, при
няв первую пробу а{ = 0,5[ а] = 0,5 . 128 = 64 МПа. При подстановке
оказывается, что это число н:е 110ДХОДИТ. Вторая проба ар = 55 МПа
11]
также не подходит, а аl = 58 МПа дает хорошее приближение.
Окончательно а 1 = 58 М Па.
Определяем и анализируем результаты расчетов, сведенные в
табл. 2.5.
Необходимая стела провисания:
леТОl\I
Уl _Z2
/1 =
8 . аl
37, 2 .10 З .2002
= 3,2 м;
8.58
N1A 13257 41 4 МП' [ J N2A 91 4 МП
а lА , а, а А = а 2А = =, а;
АА 320 АА
N1C 9943 [ J N2C 274 3 МП
аlС = = = 124,3 МПа; а с = а2С = =, а.
Ас 80 Ас
Оценка ПРОЧI-IОСТИ частей биметаллическоrо ПрОБода:
S = O" = 200 = 2 19 .
А а А 91, 4 ' ,
с
Sc = О"В = 800 = 2,92.
ас 274,3
зимой
У2 .Z2
12 = 8.[О"]
89, 28 .10 3 · 2002 = 3 488 м.
8 . 128 '
Таблица 2.5. Результаты расчетов
N1 = а1 . (А А + Ас) = 58 . (80 + 320) = 23 200 Н;
JV2 = [а](АА + Ас) = 128 . (80 + 320) = 51 200 Н.
а l' 11' Nt, [0-], 12' N2, N2л, N2C' а 2С' а2Л, Sc Sл
МПа М Н МПа М Н Н Н МПа МПа
58 3,2 23 200 128 3,488 51 200 29 257 21 943 274,3 91,4 2,92 2.19
Близость результатов указывает на то, что зимняя наrрузка У2
скомпенсировала температурное укорочение провода.
Летнее и зимнее «тяжение» провода:
qчень важно вычислить и ОСl\1ЫСЛИТЬ распределение растяrива
ющеrо усилия N1 и N2 по материалам провода (рис. 2.27), Т.е. в
алюминиевой N А и в стальной N с частях.
4
И Nc Ее .Ас 21.10 .80 3
з СООТIIошения = = найдем N с и N л
Nл ЕА .АА 7.104 -320 4
в летний и зимний периоды:
Вывод: так как Sc > 5, а SA < ts], то это ЗI-Iачит, что ПРОЧI-IОСТНЫХ
характеРllСТИК стали достаточно, а алюминия недостаточно
Задачи
1...10. ДвухступеlJчатый стальной брус, ДЛИIIЫ ступеlIей KOTOpO
ro в l\lилл:иметрах указаны на рис. 2.23 (схеlVIЫ I...X), наrружен си
ла и Е1 и F2. Построить эпюры продольных сил и НОрl\lальных Ha
пряжений по длине бруса. Определить перемещение /J,,/ нижнеrо
50
(
51
11
I
I i
торцевоrо сечения бруса, приняв Е = 2 . 105 МПа. Числ вые значе
ния Ft, Е2, а также площади поперечных сечений А1 и А для CBoero
варианта взять из табл. 2.6. 2
Таблица 2.6. Исходные данные к задачам 1...10
Рис. 2.23. К задачам 1..1 О
Номер Ba Величина Номер Ba Величина
задачи ри задачи ри
и схемы на Еl' Е2' Аl' А2' и схемы на Еl' Е2' Аl' А2'
рис. 2.23 ант кН кН см2 см2 рис. 2.23 ант кН кН см2 см2
Задача 1, О 18 30 1,2 2,5 Задача 4, 3 13,8 39 2 2,5
схема 1 1,5 схема IV
11 20 40 3,8 13 4,8 28,8 2,5 3
21 12 10 0,9 2,4 22 7 21,5 2,8 3
31 28 50 2 4,2 32 17,6 43,2 3 3,2
49 6 14 0,5 1,5 41 9,9 22,7 3,2 3,5
58 8 20 0,8 1,2 57 17 51 3,5 4
63 15 12 1,5 2,8 60 23,1 40,5 3,8 4,2
71 16 32 1 2,2 77 12 39 4 4,5
81 16 8 1,4 3,6 87 39 63 4,5 4,8
91 25 35 2,5 4 92 39,2 80,8 5 5,2
Задача 2, 1 3 8,4 0,2 0,6 Задача 5, 5 4,5 12 2,5 2
схема 11 10 4,2 9 0,3 0,6 схема V 15 7,2 17,4 2,8 2
20 4,8 10 0,4 0,8 25 8 18,8 2,2 1,8
30 5 9,8 0,5 1 35 8,4 20,4 2 1,5
39 7,2 15 0,6 1,5 44 15 35 3 2,5
59 5,6 8,6 0,7 2 54 12 16,4 3 2,4
61 7,2 14 0,8 2,4 67 14,3 29,3 3 2,5
74 14,4 14,4 0,9 2,5 73 13,3 24,8 2,8 2,3
84 9 22 1 3 83 9,2 22,2 3,2 2,5
90 14,4 28 1,2 3,2 95 21,6 45,6 3,5 3
Задача 3, 2 16 34 2 1,5 Задача 6, 4 16 3,8 0,2 0,6
,
схема 111 12 24 12 2,4 2 схема УI 14 3,6 6,6 0,3 0,6
23 40 42 2,8 2,2 24 6,2 9,4 0,4 0,8
33 20 36 2,5 1,8 34 3,75 8 0,5 1
42 25 5 3 2,4 43 9,6 16,8 0,6 -1,5
56 38 50 3,2 2,5 55 9,8 4,9 0,7 2
62 30 14 2,1 1,6 65 12 4 0,8 2,4
70 12 30 1,8 1,2 76 11,7 5 0,9 2,5
80 10,4 2 2,6 2,1 86 13,5 4,5 1 3
93 27,2 50,2 3,4 2,3 94 18 7,2 1,2 3,2
1 I 11 111 r lV , V
,7$ I f% /f/ % ;
I 5! I j I
,
A2 I
J ' A 'tf Т .,А"
-.... j ". .
, с\, J c\j , "" I
I \ A ,
" l.vA, А I I 'z A,
\ ! ! .
А! "
а
I , " I
. !
'" I ) . I
Fz i "" J
i .. , I 'А
, , 1 "А
t , 1 , I 1 t
I
F. j f; 1 fF,
1 I 1 F: I
1
Vl w////& Vll о///; / V1II I'« IX Х
" "1. :' 11, "' (t: . / /
r i .1 :/ А /: .
1 Al j 1
j
I .. Al , t . ",А! Fz J I
"" ' · ...... А
с\,
А "" 1
, ---А1 1,
I 1 I ...
I ..vA, I f ,, A,
j I
j '
, с::а
.....А ,
, ,", I ..,А
t\I
с.о 1 , J I t
, f ., z 1 I
. , "'i;
, , ..
1'F, 1." 1.L; tF, t
\.
1
52
53
1/;1
i!
I
Номер Ba Величина Номер Ba Величина
задачи ри задачи ри
и схемы на Е1, Е2' А1' А2' И схемы на Еl' Е2' Аl' А2'
рис. 2.23 ант кН кН см2 см2 рис. 2.23 ант кН кН см2 см2
Задача 7, 7 15 10 1,2 2,5 Задача 9, 9 12 30 2,5 2
схема VII 30,5 1,5 схема IХ 19 10,8 30,8 2,8 2
17 18,3 3,8
27 9,9 19,8 0,9 2,4 29 12,8 34,8 2,2 1,8
37 28 8 2 4,2 38 11.2 24,7 2 1,5
46 4,5 20 0,5 1,5 48 22,4 2,4 3 2,5
52 8,4 15 0,8 1,2 50 18,9 45,3 3 2,4
66 12 24 1,5 2,8 68 30,8 15,3 3 2,5
72 16,2 5,2 1 2,2 75 22,8 4,4 2,8 2,8
82 21 6 1,4 3,6 85 36,8 11,8 3,2 2,5
97 32,5 10 2,5 4 99 29,6 5,6 3,5 3
Задача 8, 6 15 17 2 2,5 Задача 1 о, 8 16,8 34,8 3,1 1,5
схема схема Х
VIII 16 6 12 2,5 3 18 12 42 3 2
26 11,9 16,1 2,8 3 28 11,2 31 3,5 2,2
36 6,4 17,6 3 3,2 40 15 37,5 3 1,8
45 10,8 16,4 3,2 3,5 47 48 12 3,6 2,4
53 10,8 27,7 3,5 4 51 38,4 13,4 3,5 2,5
64 15,4 18,8 3,8 4,2 69 29,4 10,2 2,8 1,6
79 7,4 18,6 4 4,5 78 24,8 8,7 2,5 1,2
89 11,7 18,9 4,5 4,8 88 39 5,4 3,2 2,1
96 33,6 16,4 5 5,2 98 42,S 12,6 4 2,3
........
4
Окончание табл. 2.6
А, I
А1 АI
! А, 1 'i
'
t
F; F:
r;. 1
I
VII VIII ,..
I
I
:2
I
I
Fi
Fj
q
Рис. 2.24. К задачам 11...20
11...20. ДвухступенчаТЫ11 стаЛЫIОЙ брус, ДЛИIIЫ ступеней KOTO
poro в l\fИЛЛИl\lетрах указаllЫ на рис. 2.24 (схемы I...X), наrружен
силаl\fИ Р1 и Е2. Построить эпюры 11РОДОЛЬН:ЫХ сил и НОрl\1альных
напряжений по длине бруса. Определить УДЛI1нение (укорочение)
бруса, приняв Е = 2 . 105 МПа. Числовые значения сил F1 и Е2, а
также площадей поперечных сечений А1 и А2 дЛЯ cBoero BapI1aHTa
взять из табл. 2.7 (к вариантам 84, 54, 87, и 55 взять даНllые вариаIf
тов 83, 52, 89, 53 соответственно).
r
54
55
Таблица 2.7. Исходные данные к задачам 11...20
, I
t
Номер Ba Величина Номер Величина I
задачи и Ba
ри задачи и
схемы на Еl' Е2' Аl' А2' ри
рис. 2.24 ант схемы на Е1, Е2' А1, А2'
кН кН см2 см2 рис. 2.24 ант кН кН см2 см2
Задача О 10 20 1,2 0,8 Задача 1 3,3 8 0,4 0,5
11, cxe 12 12 10 12, cxe
ма 1 1,2 0,8 19 4 9,2
ма 11 0,5 0,6
27 12 20 0,7 0,9 29 4,8 10 0,4 0,8
31 21 40 2,4 2,2 30 5 9,8 0,5 1
49 16 13 2,6 1,6 39 7,2 15 0,6 1,5
58 18 23 1,8 1,4 59 5,6 8,6 0,7 2
63 15 13 2,6 2 61 7,2 14 0,8 2,4
71 14 22 3,5 2,3 74 14,4 14,4 0,9 2,5
82 13 18 4,4 3 80 9 22 1 3
93 15 25 2,3 1,4 97 14,4 28 1,2 3,2
Задача 2 15 30 2,1 1,6 Задача 3 10,8 29 1,8 2
13, cxe
ма 111 11 14 18 2,3 2,1 14, cxe 17 8 18
ма IV 2 3
23 20 32 2,5 2,2 22 7,6 20,5 2,8 3,2
33 30 36 2,4 1,6 32 17,6 432 3 3,2
,
42 26 15 2 1,3 41 9,9 22,7 3,2 3,5
56 30 40 2,2 2 57 17 51 3,5 4
62 33 14 2,4 1,5 60 23,1 40,5 3,8 4,2
70 14 34 1,9 1,3 77 12 39 4 4,5
91 24 50 1,4 0,8 95 39,2 88 5 5,2
Задача 5 3,5 12 2,5 1,8 Задача 4 6 3 0,4 0,8
15, cxe 16 cxe
ма V 14 27 27 2,8 2 15 3 6 0,5 0,9
ма VI
25 18 38 2 1,8 24 6,2 9 0,4 0,8
35 1,4 20 2,6 1,5 34 3 8 0,8 1,2
44 15 35 3,2 2,6 43 9,6 16 0,6 1,5
67 14 29 3,4 2,5 65 12 4 8 2,4
73 13 24 2.8 2 76 11 5 0,9 2,5
83 19 22 3 2,5 86 13 5 2
3
92 21 45 2,5 3 96 16 7 1
;1---. 2,4
I I
, I
I I
I
1111
I
11, I
1"1
i I
1
1:
[ I
i"
,1
I
l
11
:11
!i/
1/,
!
56
Окончание табл. 2.7
.....
Номер Ba Величина Номер Ba Величина
задачи ри задачи ри
и схемы на Еl' Е2' Аl' А2' 11 схемы на Еl' Е2, А1, А2,
рис. 2.24 ант кН кН см2 см2 рис. 2.24 ант кН кН см2 см2
.....
Задача 7 16 8 1,4 0,4 Задача 6 14 16 2,4 2,8
17, cxeIVla 1.3 8.3 30,5 1,5 0,8 18, CXel\ld 18 16 12 1,1 3
VII VIIJ
21 19 9,8 0,9 0,6 26 10 16 2,2 3
37 8 8,4 2 1,4 36 6,2 17,6 3 3,2
46 5 20 1,5 1 45 11,8 16,4 3,2 3,5
52 8 15 1,8 1 53 12,8 27,7 3,5 4
66 12,4 24 2,5 2 64 14,4 18,8 3,8 4,2
72 16 5,2 1 0,7 79 84 18,6 4 4,5
,
81 21,6 6 3,4 3 89 11 18 4,5 4,8
90 30,5 10 2,5 1,6 94 30 16 5 5,6
Задача 9 22 30,6 2,7 2,1 Задача 8 12 30 2.1 2,5
19, cxelVla 10 10,8 30 2,8 2,4 20, схема 16 14 40 2 2,6
IX Х
20 12 34 2,2 1,8 28 14,2 30 1,5 2,4
38 11 24 2 1,6 40 25 37,5 1 2,8
48 22.4 24 3 2.4 47 40 12 1,6 2,6
,
50 18,9 45,3 3 2,6 51 30,4 134 1,5 2.8
,
68 30,8 15,3 3 2,3 69 20,4 10,2 0,8 1,5
75 22,8 4,4 2,8 2,2 78 24 8,7 0,8 1,4
85 36,8 11,8 3,2 2,1 88 30 5,4 2,2 3,1
98 29,6 5,6 3,5 3.1 99 22 12 1 2,6
.
21...30. Трехступенчаты:Й стаЛЫIО:Й брус, ДЛl1НЫ ступеlIей KOTO
poro в lVIИЛЛIIl\tfетрах указаны на рис. 2.25 (схеl\IЫ I...X), наrружен
силами Р1 и F2- 110СТРОИ:ТЬ эпюры продольных сил и НОРlVlальных
напряжеIIИЙ rIO ДЛIIне бруса. ОпредеЛIIТЬ удли:неIiие (укорочение)
бруса, при:няв Е = 2 . 105 М I I/lVf2. Числовые значения сил F 1 и Е2' а
также ПЛОlцадей Ilоперечных сечен'ий ступеней ,,41} А2 и Аз дЛЯ СБО
ero вариан:та взять из табл. 2.8.
57
11'"
11'1
I
I
1 11 111 IV V
"/
r .....
1 I !
1:
liI' t::;).......,;. <::;)
fZ.
;1 I .....
I
I I !F2
! F2 <::::)
I v') t::) -т I
А2 C'O..I J
I I
I А2 '2
i
j
t:) ,
t:::) ; 1 <:::::. I
с'-' 1 1 l' 1
L... I
. I
,
fF,
VI VII УIII IX
Х
Таблица 2.8. Исходные данные к задачам 21...30
Номер Номер
задачи Ba Еl' F2' Аl' А2' Аз, задачи Ba Е1, Е2, А1, А2, Аз,
И схемы ри кН кН см2 см2 см2 и Слемы ри KIi KI1 см2 см2 см2
на ант на ант
РИС. 2.25 РИС. 2.25
Задача О 18 30 4 1,2 2,5 Задача 3 13,8 39 1 2 2,5
21, cxe 11 20 40 4,5 1,5 3,8 24, cxe 13 4,8 28,8 1,2 2,5 3
ма 1 l\la IV
21 12 10 3,2 0,9 2,4 22 7 21,5 1,4 2,8 3
31 28 50 6 2 4,2 32 17,6 43,2 1,6 3 3,2
49 6 14 2,2 0,5 1,5 41 9,9 22,7 1,8 32 3,5
,
58 8 20 2,4 0,8 1,2 57 17 51 2 3,5 4
63 15 12 42 1,5 2,8 60 23,1 40,5 2,2 3,8 4,2
,
71 16 32 3,4 1 2,2 77 12 39 24 4 4,5
,
81 16 8 4,8 1,4 3,6 87 39 63 2,6 4,5 4,8
91 25 35 5,4 2,5 4 92 39,2 80,8 2,8 5 5,2
Задача 1 3 8,4 0,4 0,2 0,6 Задача 5 4,5 12 1,5 2,5 2
22, cxe 10 4,2 9 0,35 0,3 0,6 25, cxe 15 7,2 17,4 1,8 2,8 2
ма 11 ма V
20 4,8 10 0,64 0,4 0,8 25 8 18,8 1,6 2? 1,8
J ....
30 5 9,8 0,9 0,5 1 35 8,4 204 1,4 2 1,5
,
39 7,2 15 1 0,6 1,5 44 15 35 2 3 2,5
59 5,6 8,6 1 2 0,7 2 54 12 16,4 2,1 3 2,4
,
61 7,2 14 1,5 0,8 2,4 67 14,3 29,3 2,2 3 2,5
74 14,4 14,4 2 0,9 2,5 73 13,3 24,8 1,9 2,8 2,3
84 9 22 1,5 1 3 83 9,2 22,2 2,3 3,2 2,5
90 14,4 28 2 1,2 3,2 95 21,6 45,6 2,4 3,5 3
Задача 2 16 34 3,1 2 1,5 Задача 4 1,6 3,8 0,4 0,2 0,6
23, cxe 12 24 12 3 2,4 2 26, cxe 14 3,6 6,6 0,35 0,3 0,6
ма 111 ма УI
23 40 42 3,5 2,8 2,2 24 6,2 9,4 0,64 0,4 0,8
33 20 36 3 2,5 1,8 34 3,75 8 0,9 0,5 1
J..
42 25 5 3,6 3 24 43 9,6 16,8 1 0,6 1,5
,
56 38 50 3,5 3,2 2,5 55 9,8 4,9 1,2 0,7 2
62 30 14 2,8 2,1 1,6 65 12 4 1,5 0,8 2,4
70 12 30 2,5 1,8 1,2 76 11,7 5 2 0,9 2,5
80 10,4 2 3,2 2,6 2,1 86 13,5 4,5 1,5 1 3
93 27,2 50,2 4 3,4 23 94 18 7,2 2 1,2 3,2
........... ,
с:::::. t::::)
\.r) C'\I <::)
с-.". Аз ....... \.n
Аз
t.r)
t:::) ;42 r А2
c'...t
...... !
F2 А iF2
f
I с::::а i
I
C'..I I
1 <"..1 ........ I А
L I
F;
Рис. 2.25. !{ задачам 21...30
r
58
59
11
I
I
1,
l'
, I
Окончание табл. 2.8
1 УI 2А А
Е2 F Е1 F.
1 2
. ........
2А А
11 VII 2А А
Е2 Fз Е2 Е1
F ............... - ........
1
А I
2А
УIII А 2А
111
F F.
1 2
. .............. ........
/
А 2А
IV 2А 2А IX 2А А 2А
А
/
F. Е1 Е1
2
. . ................ .
Номер Номер
задачи Ba Еl' Е2' Аl' А2, Аз, задачи Ba Еl' Е2, Аl' А2, Аз,
и схемы ри кН кН см2 см2 см2 и схемы ри кН кН см2 см2 см2
на ант на ант
рис. 2.25 рис. 2.25
Задача 7 15 10 4 1,2 2,5 Задача 9 12 30 1,5 2,5 2
27, cxe 17 18,3 30,5 4,5 1,5 3,8 29, cxe 19 10,8 30,8 1,8 2,8 2
ма VII MaIX
27 9,9 19,8 3,2 0,9 2,4 29 12,8 34,8 1,6 2,2 1,8
37 28 8 6 2 4,2 38 11,2 24,7 1,4 2 1,5
46 4,5 20 2,2 0,5 1,5 48 22,4 2,4 2 3 2,5
52 8,4 15 2,4 0,8 1,2 50 18,9 45,3 2,1 3 2,4
66 12 24 4,2 1,5 2,8 68 30,8 15,3 2,2 3 2,5
72 16,2 5,2 3,4 1 2,2 75 22,8 4,4 1,9 2,8 2,3
82 21 6 4,8 1,4 3,6 85 36,8 11,8 2,3 3,2 2,5
97 32,5 10 5,4 2,5 4 99 29,6 5,6 2,4 3,5 3
Задача 6 15 17 1 2 2,5 Задача 8 16,8 34,8 2 3,1 1,5
28 cxe 12 1,2 2,5 3 30, cxe 18 12 42 2,4 3 2
ма VIII 16 6 маХ
26 11,9 16,1 1,4 2,8 3 28 11,2 31 2,8 3,5 2,2
36 64 17,6 1,6 3 3,2 40 15 37,5 2,5 3 1,8
,
45 10,8 16,4 1,8 3,2 3,5 47 48 12 3 3,6 2,4
53 10,8 27,7 2 3,5 4 51 38,4 13,4 3,2 3,5 2,5
64 15,4 [8,8 2,2 3,8 4,2 69 29,4 10,2 2,1 2,8 1,6
79 7,4 18,6 2,4 4 4,5 78 24,8 8,7 1.8 2,5 1,2
89 11,7 18,9 2,6 4,5 4,8 88 39 5,4 2,6 3,2 2,1
96 33,6 16,4 2,8 5 5,2 98 42,5 12,6 3,4 4 2,3
F
з
2А
I
х
2А
А
V
31...40. Для ступенчатоrо чуrунноrо бруса (рис. 2.26, схемы I...X)
построить эпюры продольных сил и НОрl\Iальных напряжеJIИЙ, из
условия прочности найти требуеl\IУЮ ПЛОlцадь поперечноrо сечения,
если [ар] = 50 H/l\IM2 и [ас] = 120 H/Ml\I2. Дан:ные для решения CBO
ero варианта задачи выбрать из табл. 2.9.
Рис. 2.26. К задачам 31...40
r
60
Е1
61
сжатия колонны. Модуль про?ольной упруrости чуrуна принять
Е == 1 . 105 H/l\IM2. Высота частеи колонны [1 = 1,5 м и [2 = 0,9 lVI. Силу
тяжести колонны не учитывать.
44. На рис. 2.28 показан брус, COCTO
ЯIЦИЙ из двух частей и наrpуженный
силами F и 2Р, ЛИIiИЯ действия этих сил:
совпадает с продольной осыо бруса
Диаметр попереЧllоrо сечеНIIЯ верхuней
частИ бруса d1 = 400 мм, нижнеlI
d2 = 600 lVIlVl. Определить допускаеМУIО
велИЧИНУ СЖIIмающих сил из условия
прочности бруса на сжатие. Материал
бруса сталь Ст.3, допускаеl\10е напря
жение [ас] = 160 I1jl\IM2. fIостроить
эпюру IIРОДОЛЬНЫХ сил И выч.ислить, на
какую веЛI1ЧИНУ опустятся верхнее A A
и среДllее B B опорные сечения вслед
ствие сжатия бруса l ЛfIна участков
бруса [1 = 0.8 м, [2 = 0.4 м. Модуль про Рис. 2.28. К задачам 42...44
ДОЛЫIОЙ упруrости Е == 2 . 105 1-1/1\11\12.
45. Штанrа квадратноrо поперечно
ro сечеllИЯ удсрж.ивает два rруза Р1 и
Е? Центр тяжеСТII этих rpYJOB распо
ложен на ос:и lIITalIrlI (рис. 2.29). Сила
тяжести F2 в 2 раза больше силы тяже
сти Р1. ОпредеJIl'IТЬ допускаемую веJIИ Fi
чину силы тяжести rрузов 110 УСЛОВl'lЮ
ПрОЧliОСТИ штанrll на растяжеНIIе,
предварительно построив эпюру про
дольных СИ]l. CTopoIla квадрата попе
речноrо сечения llIтанrи а = 60 I\П\I.
МатеРllал ПIтаlIrи сталь Ст.3, [ар] =
= 160 Н/мм2. Вычислить, на какую Be Fz
ЛИЧИ1lУ опустятся ОПОРllые повеРХIIОСТI1
rрузов вследствие удлинения участков
mтаllr:и. Длина участков штанrи [1 = 2 м
и /2 = 1,5 1\1. Модуль УIIРУI'ОСТИ l\lатери
ала Е = 2 . 105 I1:jl\fM2. u
46. 1-1а pl'IC. 2.29 LIоказана I11TaJlra с дв мя закреплеIIНЫl\;lИ на неи
rрузаМI1 Р1 = 60 Kli 11 F2 = 80 KI1. Верхнии КОllец штанrи жестко за
креплеlI; цеllТры тяжести rрузов и продольная ось Iптанrи располо
жены lIa ОДIIОЙ веРТl1кальной ЛИНIIИ. Определить величину CTOpO
НЫ квадрата поперечноrо сечения штаНI'И по УСЛОВl'IЮ 11рОЧНОСТИ.
Материал штаllrи сталь Ст.3, [ар] = 160 H/l\11\12. Вычисцить, на Ka
rl 1
: I
i
11:1
Таблица 2.9. Исходные данные к задачам 31...40
Величина Величина
Номер Схема по floMep Схема по
задачи Е1' Е2. Fз, рис. 2.26 задачи Е1, Е2, Fз, рис. 2.26
кН кН KI1 кН кН кН
31 10 4 28 1 36 4 19 48 VJ
32 12 32 36 11 37 8 12 16 Vll
33 18 8 52 III 38 16 4 46 VIII
34 18 18 46 IV 39 26 32 16 IX
35 20 10 22 V 40 20 22 24 Х
1I
': I
I
1;,
1';
[1
,1,
l'
41. Брус с ОДНИlVf жестко закреплен
IIЫМ концом IIаrружен силаlVIИ F1 =
= 110 KII, Е2 = 30 K I (рис. 2.27). Ли
ния деiiствия этих сил совпадает с про
дольной осыо бруса. Материал бруса
сталь Ст.3, допускаеl\10е напряжеIlие
[ар] = 160 J-IjlVIl\I2. Определить, пред
Рис. 2.27. 1< задаче 41 варитеЛЫIО построив ЭПIОрУ ПРОДО}IЬ
IfЫХ сил, П..7JОПJ:ади поперечноrо сеЧСIIИЯ
Aj и А2 участков бруса по условию IIрОЧIIОСТИ, а также насколько
переl\fестится своБодllыIй конец бруса. ДЛJПlа участков 11 = 0,8 lVl;
[2 = 0,6 м. Модуль продолъной упруrости материала Е = 2 . 105 Н/мм2,
42. СтаЛЫlая стойка опирается lfa rоризонтальную плоскость.
CTolIKa COCTOIIT 11З двух частей и наrру)кеиа СJIJIа1\1И, линия деЙСТllIIЯ
которых совпадает с ее IIрОДОЛЫIОЙ осыо (рис. 2.28). Определить
ДIlаметры 110перечных сечеJIИЙ каждой части СТОIIКИ, предваРI1тель
но II0СТРОИВ ЭПIОРУ продольных СIIЛ. ВеЛИЧIIIIа силы F = 3000 Klf.
Допускаемое напряжение на сжатие принять [о"с] = 140 Н/мм2 (Ma
l"ериал стойки сталь Ст.3). Вычислить, на сколько опустится Bepx
ияя A A 11 средняя B B опорные IIЛI1ТЫ вслеДСТВIlе сжаТIIЯ частей
стойки. Высота частей стойки [1 = 0,6 м и [2 = 0,8 м. Модуль про
;:J,ольно УПРУl"ОСТИ материа{Iа стойки Е = 2 . 105 Н/мм2. Силу тяжс
сти СТОI1КИ не УЧIIтывать.
43. Чуrунная колонна, состоящая из двух частей, наrружена си
Лаl\fИ, как показано па pIIC. 2.28. CIIJIa F = 6000 кН. Построить эпю
ру продольных сил. Определить, с каКИ1\1 КОЭффИI{иеIiТОМ запаса
прочности работает каждая часть колонны. Диаметры поперечных
сечений колонны d1 = 250 мм и d2 = 600 мм. Предел прочности чу
I'Ylla lia сжаТI1е cr"ч.с = 630 Hj1\IlVf2. Вычислить, на какую веЛИЧIIJIУ
опустятся верхняя A A 11 средняя B B ОПОРJlые ПЛI1ТЫ ВСJlедствие
А.
F.
2
А2
F
.
[2
62
r
F
А
А
d,
в
12!
8
...... .....
d2
I
А 1.. '
J.A
......., ......
А....А
rш
Рис. 2.29. К задачам 45...47
63
кую величину ОI1УСТЯТСЯ ОIIорные повеРХНОСТII rрузов вслеДСТВIlе
деформации штанrи, предварительно построив эпюру продольных
сил. Длина 11 = 1,5 lVf и 12 = 1,6 м, модуль продольной упруrости l\Ia
териала Е = 2 . 105 H/Ml\I2.
47. Вертикально расположенная штанrа (рис. 2.29) жестко закреп
лена верхним концом. На ней установлены два rpуза Е1 = 45 кН и
F2 = 80 кН. Поперечное сечение штаlП'И квадрат со стороной
а = 30 .l\f:M:. Определить, предварительно построив эпюру продольных
сил, с каКИ.l\I коэффициентом запаса прочности работает каждая часть
штанrи. Материал штaнrи сталь 30, предел текучести О"Т = 280 HjMM2.
Вычислить, на какую веЛИЧЮfУ опустятся опорные поверхности rpy
зов вследствие деформации штанrи. ДЛlIна участков 11 = 1,8 м и
12 = 1,6 м. Модуль продольной упрyrости материала Е == 2 . 105 HjMM2.
48. Два rруза Е1 = 40 KI1: и Е2 = 30 кН соеДине
ны l\rIежду собой стаЛЬНЫl\1 тросом АВ. [рузы
удерживаются в заданном положении тросом CD,
закреплеННЫlVf в точке D (рис. 2.30). Про верить
прочность тросов, предварительно построив эпю
ру ПРОДОЛЫIЫХ сил. Диаметры тросов d1 = 20 мм
и d2 = 30 мм, допускаемое llапряжение на растя
жение [ар] = 200 HjMM2. Вычислить, Fla KaKYIo Be
личину ОПУСТIIТСЯ каждый rруз вследствие удли
нения тросов. Длина участков тросов АВ = 2,4 м и
CD = 1,8 l\1, модуль ПРОДОЛЫfОЙ Yl1pyrocTI1 тросов
Е=2,1.105 Н/мм2.
49. I'рузы противовеса Е1 и Е2 соеДИIIены l\fеж
ду собой тросом АВ и удерживаются в paBHOBe
Сl1И с ПОl\rIОЩЬЮ троса CD (рис. 2.30). Определить
допускаемую величину силы тяжести rрузов Е1 и
F2 по условию прочности троса. Построить эпюру
продольных сил. Диаметры тросов d1 = 30 мм и
n 2 30 К d2 = 35 мм, допускаемое напряжеFIие на Растяже
rUC. . . зада
чам 48...50 Flие стальных тросов принять [ар] = 220 HjMlVI2.
Вычислить, на какую веЛИЧlПfУ опустится каж
дый rруз вследствие удлинения тросов. Длина участков троса
АВ = 1,6 м и CD == 0,8 м, модуль продольной упруrости материала
тросов Е = 2,1 . 105 HjMM2.
50. fрузы Р1 = 70 кН, Р2 == 60 кН удерживаются в равновесии
тросом СД закрепленным в точке D. Между собой rрузы соеДине
IfЫ тросом АВ (рис. 2.30). Построить эпюру продольных сил и
определить диаметры участков троса d1 и d2 из условия ПРОЧIIОСТИ
на растяжение. Допускаемое напряжение для стальных тросов при
нять [о"р] = 190 HjMM2. Вычислить, на какую величину опустится
каждый rpуз вследствие удлинения троса. Длина тросов АВ = 2,2 м
и CD = 1 м модуль ПРОдольной упруrости материала тросов
Е= 2.105 HjMM2.
1,1"
11' i
,1
11'
1 I
/,
, '
il
l'
i
, ,
:'1
Ij,lII
;
"
I
';II
I i
1:/
111
II:!
,
11'
1,
, I
1,1
11
I
.о
,
с
В!
I
I
I
!с!,
I
,
4'
. I
64
u е eMeHFloro сечения находится под дей
51. СтаЛЫfОИ с ержеНЬFПиРсобственноrо веса. Найти наибольшее
Родольнои силы
ствием п круrлоrо бруса и определить величину пере
жение в сечении 2 31 (
наПРЯ I I Расчетные схемы указаны на рис.. схемы
мещения сечения. едены в табл. 2.10. При расчете мож
I X), а числовые дaHHь e Пу fрlВуrости при растяжении для стали
но ПРИНИlVIать модул 3
Е== 2.105 МПа и плотность р = 7,7 Mr/M. ·
Таблица 2 10. Исходные данные к задаче 51
Вариант
Величина 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3
5 6 6 7 7 8 8
............. 4 5
А. 104, lVI2 4
10 11 12 13 14
....... 5 6 7 8 9
а, м 5 5 5 4 4 3
....... 7 7 7 6
Ь, 1\-1 6 5 4 4 3 3
!'-""' 8 7 6 6
С, м 60 70 70 80 80
40 40 50 50 60
Е, кН I I
111 lУ V
1 11 //// /// /// /////А/////
"11"///// I
/// '/J//////
////// I ! 2
! I A
. ......... .
t---
I 1 1
t--- А" 2А,
'- 2k---
F ,
2k'"' ... 'rp 'Е 1 A
1
1 1 1 11 1 1
! A ... :F u u
i v u
А............. u 2A u А/ I I
I I i . r
I I Т
VIII IX Х
VI УН "II ///// ' I // / / / / / /0/ / / / /.
111 /J/ '/// /// .//0//. '/// ! ! I !
I j
I 2А.... I A 2A
1"- 1 1
. A . 1 1
A r---
I 1 1
.F
E
1 1
1 1 2 .,.. т:;'
/1 2k ! u '.р U A "" u
F u A
2 u
i <.
J т
I
РИС. 2.31. К задаче 51
хступенчатоrо стальноrо бруса,
52. Определить реакции опор дву 2 32 (схема 1) и проверить ero
наrpуженноrо, как показано H РИ к;зать в проц нтах, насколько
прочность, если [а] 160 М а. ружена Построить эпюру
каждая ступень переrружена :или недоr .
65
нормальных напряжений по длине бруса. Размеры на рисунке даны
в миллиметрах.
53. Жесткий брус удерживается в равновесии двумя стальными
стеРЖНЯl\IИ круrлоrо поперечноrо сечения одноrо и Toro же диамет
ра (рис. 2.32, схема 11). Определить необходимые диаметры этих
стержней, если [а] = 150 МПа.
54. Определить допускаемое значение силы Е, приложенной к
двухступенчаТОl\IУ стальному брусу (рис. 2.32, схема 111), если
[ар] = 160 МПа и [О'е] = 120 МПа. При найденном значении постро
ить эпюру нормальных напряжеНIIЙ по длине бруса.
55. Проверить прочность стальных стержней, удерживающих в
раВfIовесии жесткий брус, один конец KOToporo шарнирно закреп
лен (рис. 2.32, схема IV), если [а] = 160 МПа.
56. Определить требуемые площади попереЧIIЫХ сечений бруса,
одна ступень KOToporo стаЛЫIая, друrая lVIеДfIая (рис. 2.32, схема
V), если [ает] = 160 МПа; [ам] = 60 МПа; Еет = 2 . 105 МН/м2;
Ем = 1 . 105 МН/м2. Определить площади поперечных сечений, по
строить эпюру нормальных напряжений по длине бруса.
57. Определить допустимое значение наrpузки F для жесткой
балки (рис. 2.32, схема VI), шаРНИРI-IО закрепленной ОДНJIМ КОНЦОl\1
и поддерживаемой двумя ТlараллеЛЬНЫl\III стержнями из уrловой
равно полочной прокатной стали, если [а] = 160 МПа. Определив [.f],
найти напряжения в обоих стержнях.
У к а з а н и е. Если студент не имеет у себя задачника по сопро
тивлению lVIатериалов или справочника с необходимыми таблицами
[ОСТов на стальной про кат, то ему следует принять площадь по
IIеречноrо сечения каждоrо стержня А = 4 Cl\f2.
58. Определить реакции опор и проверить прочность двухступен
чатоrо бруса (рис. 2.32, cxelVla VII), если [0'] = 160 МПа. Построить
ЭПIОрЫ продольных сил И нормальных напряжений по длине бруса.
59. Определить требуемый размер стальноrо уrловоrо равнопо
лочноrо проката для 11зrотовления стержней, удерживающих в paB
новесии жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом
(рис. 2.32, схема VIII), если [о-] = 150 МПа. Определив размеры
уrольников, найти напряжения в обоих стержнях.
У к а з а н и е. Если студент не имеет у себя таблиц [ОСТов IIa
уrловую равнополочную прокатную сталь, то ему надлежит принять
для изrотовления стеРЖIIей сталь круrлоrо поперечноrо сечения и
определить требуемые диаметры этих сечений, для чеrо вычислен
ные значения диаl\Iетров окруrлить в большую сторону до ближай
шеrо четноrо числа l\lиллиметров или числа, оканчивающеrося на 5.
60. Определить допускаемое ЗI-Iачение силы F для двухступенча
Toro стальноrо бруса (рис. 2.32, схема IX), если [о-р] = 150 МПа и
[ас] = 100 МПа. Определив [.f], построить эпюры продольных сил и
норrvIальных напряжений по длине бруса.
61. Про верить прочность стержней, удерживающих в paBHOBe
сии жесткий брус, шарнирно закреrlленный одним концом (рис. 2.32,
схема Х), если [ар] = 150 МПа и [ае] = 120 Mrla. Указать, на сколь
ко процентов стержни переrружены или недоrружены
1 11
AZ=tJCM2
AZ=JC,..,2 q.==40KH/H
"
V УI
2А
Медь
2."1 I 1."'1
VII VIII
.:= А.2-4сн2
....а
C'.I F =50 к Н
L
'2А
е:::> а а а
IX Х
t:
\Q
t:: F
"':)
J:
111 IV
:= l F=80KH
1/'1
2м
Рис. 2.32. К задачам 52...61
66
67
62...71. Определить требуемый размер поперечноrо сечения
стальных стержней (рис. 2.33), удерживающих в равновесии rори
зонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом,
если [а] = 160 МПа. Определив требуемое значение площади А,
найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Данные
CBoero варианта взять из табл. 2.11.
1,211 f,SI1 0,8."1 1.0,'1 :"Н
VII VII1 F
.
"Q
1,011 2,511 2,Ом
аВа '/Z 1,811 "а'1
lХ Х 11
11
Ft ;\
, I
-"':-!f
, 2,Ом
Рис. 2.33. К задачам 62...71
I
I,Он
"2М 0,011
111
v
68
Таблица 2.11. Исходные данные к задачам 62...71
11
Величина Номер задачи Величина
Номер задачи Бари Вари
и схемы на М, и схемы на ант Р, кН М,
рис. 2.33 ант Р, кН кИ,м рис. 2.33 кН.м
Задача 62, О 12 22 Задача 63, 1 4 24
схема I 18 40 cxeMa'II 18 16 48
18
26 20 36 29 20 50
35 19 30 34 24 40
43 4 48 46 45 25
57 60 50 56 42 60
61 34 68 60 40 22
74 15 20 77 19 36
81 10 50 84 17 42
97 12 48 94 30 35
Задача 64, 2 18 30 Задача 65, 3 10 45
схема III 40 80 схема [У 16 12 30
19
28 32 52 21 15 30
37 24 36 36 24 24
45 14 18 48 30 15
59 10 42 58 25 35
63 15 45 62 18 42
76 38 22 79 20 45
80 50 40 87 14 20
99 5 50 96 40 36
Задача 66, 5 10 18 Задача 67, 4 40 45
схе1\1а V 20 18 схема У! 17 38 42
14
20 24 30 23 42 30
38 48 30 31 35 25
47 12 24 40 30 18
51 24 52 50 32 50
65 6 15 64 15 30
78 30 45 75 14 20
86 38 50 83 20 24
98 40 25 98 25 48 I
I
Z
11
lV
11
111м f,2н "5Н
VI
F
69
Окончание табл. 2. 11
74. Определить требуемые площади поперечных сечений сталь
Horo бруса, наrруженноrо, как показано на рис. 2.34, схема 111. При
пять [а] = 160 Н/мм2. Определив площади поперечных сечений,
построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. Разме
ры на рисунке даlIЫ в миллиметрах.
75. Три стержня одинаковой длины 1 растяrиваlОТСЯ силой
Е= 6 кН (рис. 2.34, схема IV). Крайние стержни стальные, cpeд
пий алюмин:иеВЫII. Площадь поперечноrо сечения каждоrо из
стальных стержней Ас = 12 мм2, аЛЮМИНIIевоrо Ал = 36 мм2. Опре
делитЬ коэффициенты запаса прочности стержней, если передел Te
кучести стали 280 Н/мм2, алIОМИНИЯ 180 Н/мм2, для стали и
для алюминия lVIОДУЛЬ упруrости cootbeTCtbeHI-IО Ее = 2,1 . 105 Н/мм2
И Ел = 0,7 . 105 Н/мм2.
76. Жесткая балка, наrружеНI-Iая, как показано на рис. 2.34, cxe
ма У, удерживается в равновесии ДВУlVIЯ стальными стержнями.
Определить требуеМУIО площадь А поперечноrо сечения стержней,
ПРИНИ fая [а] = 160 Н/мм2.
77. Двухступенчатый брус, зажатый между неподатливыми опо
рами, наrружен, как показано на рис. 2.34, CXel\Ia VI. Определить дo
пускаемое значеНJ;Iе наrpузки, ПРИIIИlVlая для стали [ас] = 160 Н/мм2,
Ее = 2 . 105 Н/мм2, для меди [ам] = 60 Н/мм2, Ем = 1 . 105 Н/мм2.
Размеры на рисунке даны в lVIиллиметрах.
78. АЛЮlVIиниевый стержень диаметром 1 О мм вставлен в сталь
ную трубку (рис. 2.34, cxelVIa VII), внутренний диаметр которой
12 l\tIM, а наРУЖIIЫЙ 13 Ml\1. Стержень и трубка сжимаются си
лой F= 5 кН, передаIошейся I-I3 них через абсолютно жесткую пли
ту. Определить напряжение в поперечном сечении стержня и
трубки, если для аЛЮlVIИIIИЯ Ел = 0,7 . 105 H/ M2, а для стали
Ее = 2,1 . 105 Н/мм2.
79. Определить из УСЛОВIIЯ прочности стержней требуемые для
них площади поперечных сечеlIИЙ (рис. 2.34, схема VIII). Абсолют
но жесткая балка, удерживаемая в равновесии стержнями, наrруже
На моментом т = 300 кН. м. Принять [ар] = 160 Н/мм2 и [ае] =
= 120 H/l\IM2.
80. Из условия прочности двухступенчатоrо стальноrо бруса
(рис. 2.34, с.хема IX) определить допускаеlVl0е значение наrрузки F.
Принять [п] = 1,6, ат = 280 H/lVIM2. Определив [F], найти при этом
значении НОРl\1альные напряжения в поперечных сеч;еН11ЯХ бруса.
Размеры IIa РИСУIIке даны в миллиметрах.
81. Проверить прочность стальных стержней, удерживающих в
равновесии аБСОЛIОТIIО жесткую балку, наrpуженную силами Fl =
== 20 кН и Е2 = 40 кН (рис. 2.34, схема Х). Принять [а] = 150 Н/мм2.
Указать, на сколько процеlIТОВ стеРЖIIИ недоrружены или пере
rpужен ы.
Номер задачи Величина I-Iомср задачи Величина
и схемы на Вари М, и схемы на Вари
рис. 2.33 ант 1: кН ант 1: кН М,
кН.м рис. 2.33 KI-I . м
Задача 68 8 8 35 Задача 69, 9 32 40
схема VII 13 40 15 схема VIII
12 60 50
22 38 20 25 58 42
39 35 18 30 38 38
49 60 24 42 31 20
53 50 30 52 37 30
67 45 28 66 42 30
72 30 18 73 55 33
82 16 42 89 4S 28
93 20 12 90 8 20
Задача 70, 6 25 38 Задача 71, 7 80 70
схема IX 19 30 42 CXe1\Ia Х
15 60 50
24 23 32 27 6S 38
33 42 32 32 50 42
41 46 18 44 25 32
55 27 24 54 62 31
69 32 20 68 40 3S
71 48 15 70 22 20
8S 52 25 88 28 30
95 12 48 92 70 40
72. Трубuка из алюминиевоrо сплава и вставленный BIIYTPb труб
ки стальнои стержень (рис. 2.34, cxe Ia 1) сжаты силоЙ F = 150 кН
u '
передающеися н:а них через аБСОЛIОТIIО жеСТКУIО плиту. Определить
коэффициенты запаса прочности трубки и стержня, если предел Te
кучести аЛЮl\lиниевоrо сплава 180 Hjl\IM2, стали 320 H/ IM2. ДЛЯ
аЛIО1\tIИНИЯ и стали l\IОДУЛЬ упруrости принять соответственно
Ел = 0,7 .105 H/l\fM2 и Ее = 2,1 . 105 Н/мм2.
73. Жесткая балка поддерживается стеРЖНЯМI1, изrОТОБлеНIIЫМ:И
из стальноrо равнополочноrо уrолка (рис. 2.34, схема 11). Опреде
лить допускаемое значение действующей на балку наrрузки, если
предел текучести стали ат = 240 HjMM2. Принять [п] = 1,6.
70
71
1 11 111
F "
А
Лл со ! F=!OO/(H
F
w
t::) ....1,5А
IV
w
F
Рис. 2.34. К задачам 72...81
сТИ, если F= 60 кН, [ар] = 140 МПа, [ае] = 100 МПа. Определив
площади поперечных сечений ступеlIей, построить эпюру нормаль
Hыx напряжеН}IЙ по длине б'руса.
85. Из условия прочности стальных стержней, удерживающих в
равновес:ии rоризонтальный жесткий брус (рис. 2.35, схема IV),
шарнирно закреплеJIНЫЙ одним KOHI OM, опре.делить [q] допускае
мое значение интеНСJIВНОСТИ равномерно распределенной наrрузки
на брус. Принять [ар] = 160 МПа, [ае] = 120 МПа.
УI
86. Проверить прочность двухступенчатоrо бруса (рис. 2.35, cxe
ма У), веРХIIЯЯ ступен.Ь KOToporo из стали, IiИЖНЯЯ из меди, если
Е= 60 кН, [ас] = 160 МПа, [ам] = 60 МПа, Ес = 2 . 105 МПа,
Ем = 1 . 105 МПа. ПОСТРОIIТЬ ЭПIОрЫ НОрlVIальных напряжений по
длине бруса и определить, на CKOJIbKO проц.ентов каждая ступень
недоrружена ИЛI1 переrpужена.
87. Определи:ть требуеlVIЫ Й размер поперечноrо сечения сталь
Hыx стержней (рис. 2.35, схема VI), удерживающих в равновесии
rоризонтальный жесткий брус, шаРНИРJIО закреплеIIНЫЙ одним KOH
ЦОlVf, если [а] = 160 МПа. Определив требуемое значение площади
А, найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней.
[Х
88. Определить допускаеl\fое значение наrрузки F для ДBYXCTY
пенчатоrо бруса (pJIC. 2.35, схема VII), у I<OTOpOro нижняя ступень
из меди, а верхняя из стали, если [ас] = 160 МПа, [ам] = 60 МПа,
Ее = 2 . 105 МПа, Ем = 1 . 105 МПа. Определив значение [F], постро
ить ЭПIОрУ НОРlVIальных напряжений по длине бруса.
t"\j
А
F
12 С,., 2
89. Проверить ПРОЧIIОСТЬ стальных стержней (рис. 2.35, схема
VIII), удерживающих в раВIIовесии rоризонтальный жесткий брус,
шарнирно закрепленны:Й ОДНИl\1 концом, если [а] = 150 МПа.
90. Определить 11З условия ПрОЧIIОСТИ требуемые площади по
перечных сечеlIИЙ двухступенчатоrо стальноrо бруса (рис. 2.35, cxe
Ма IX), если [а] = 160 МПа. Определив значения площадей попе
речных сечеНIIЙ ступеней, построить ЭПIОрУ нормальных напряже
Ний по ДЛIIне бруса.
82. Определить допускаемое значение наrрузки F дЛЯ ДBYXCTY
пенчатоrо бруса (рис. 2.35, схема 1), если [а] = 150 МПа. Определив
[ F], построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса
83. Проверить прочность стержней, удерж:ивающих в paBHOBe
. сии rоризонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный ОДНИlVl
концом (рис. 2.35, схема 11), если [а] = 160 МПа. Указать. на сколь
ко процентов стержни недоrружены или переrружены.
84. Определить требуемые площади поперечных сечений обеих
ступеней стальноrо бруса (рис. 2.35, схема 111) из условия прочно
72
91. Из условия прочности стеРЖliей, удерживаЮЩJIХ в paBHOBe
СИИ rоризонтальную жесткую балку (рис. 2.35, схема Х), опреде
ЛИТЬ допускаеl\10е значеНllе интеНСИВIIОСТИ q равномерно распреде
ленной наrрузки, действующей на балку в пролете между стержня
l\IИ, если [ар] = 160 МПа, [ас] = 110 МПа. Определив [q], найти HOp
МаЛьные напряжения в поперечных сечениях стержней.
73
1 , п 111 1
'Z( -Ya 4СН!
I &MZ [Вен2
<. .
.F+ .
v) У=50ХН
"'"
I . ., :;:
2
6 с"" N
I 5 I I
,
.r//;rМ'/; I 1.5101... I
: 2.SM
Nл
IV '//. '" УI
10 СИZ
t , .......
2М 2М
12 СМ:
N
дlл = lc
Рис. 2.36. К задаче 92
А
IX
VIII
2А
(= 5KH
Величина
Вариант А, мм2 1, м t1 о Ал/ Ас k1 = У2/У! [5]
t2
1 300 150 15 5 4,5 1,75 2,1
2 320 175 16 6 5,0 2,0 2,2
3 340 200 17 8 5,5 2,4 2,3
4 360 225 18 10 6,0 2,5 2,4
5 380 250 19 12 6,5 2,7 2,5
6 400 275 20 14 7,0 3,0 2,6
7 420 300 21 16 7,5 3,2 2,7
8 440 325 22 18 8.0 3,5 2,8
9 460 350 23 20 8,5 3,7 2,Н
10 500 375 25 25 9,0 4,0 3,0
11 300 200 25 25 4,5 1,75 2,1
12 320 230 23 6 5,0 2,0 2,2
13 340 250 21 8 5,5 2,4 2,3
Таблица 2.12. Исходные данные к задаче 92
а
а
а
,::2А
Рис. 2.35. К задача l 82...91
92. Биметаллический ПрОБ од (ри:с. 2.36) про вод подвешивается
на rОРИЗ0НТальном пролете 1. Требуется определить:
а) стрелу провисания /1 в леТIIИХ условиях с тем, чтобы Б 3ИМ
них УСЛОВI1ЯХ напряжение в про воде не превысило допускаемое;
б) распределение усилий 11 наI1ряжений IIO различным материа
лам биметаллическоrо про вода в JlеТIIИХ и зимних условиях;
в) «тяжеНI1е» провода в летних и ЗI1МНИХ условиях N1 И N2.
Дать заКJIючение о запасе ПРОЧНОСТI1 в разл.ичных частях ПрОБода.
ДаlIные cBoero BapllaHTa взять из табл. 2.12.
74
75
Окончание табл. 2.12
Величина
Вариант А, мм2
/, м t; t2 Ал/ Ас k1 = У2/У1 [5]
14 360 290 19 10 6,0 2,5 2,4
15 380 320 17 12 6,5 2,7 2,5
16 400 350 15 14 7,0 3,0 2,6
17 420 380 13 16 7,5 3,2 2,7
18 440 410 11 18 8,0 3,5 2,8
19 460 540 9 20 8,5 3,7 2,9
20 400 570 5 25 9,0 4,0 3,0
21 200 150 10 10 4,5 1,75 2,1
22 210 160 15 15 5,0 2,0 2,2
23 220 170 20 20 5,5 2,4 2.3
24 230 180 25 25 6,0 2,5 2,4
25 240 190 30 10 6,5 2,7 2,5
26 250 200 31 15 7,0 3,0 2,6
27 260 210 32 20 7,5 3,2 2,7
28 270 220 33 25 8,0 3,5 2,8
29 280 230 34 10 8,5 3,7 2,9
30 290 240 35 5 9,0 4,0 3,0
rлава 3
. .
rЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
плоских СЕЧЕНИЙ
На практике известно, что сопротивлен:ие элементов деформации
изrиба, кручеlIИЯ зависит, при paBIIbIx прочих условиях, от формы
сечения и eI o ориентации к направлению наI'рУЗОК. Если сопротив
ление элементов растяжению (сжатию) зависит только от материа
ла и площади поперечноrо сечения, то для друrих видов деформа
ции изrиба и кручеlIИЯ необходимо иметь сведения о rеометри
ческих характеРI1стиках сечения, зависящих от их формы.
3.1. Осевые моменты инерции сечения
Статическим моментом относительно оси называется величи
на, равная взятой по всеЙ ПЛОlцади cYl\1Me произведений площадей
элемеI-lтарных площадок dA на расстояние от них ДО этой оси.
S х = J ydA;
А
(3.1 )
Sy = J xdA,
А
rде Х, у координаты элементарной площадки.
Пр:и известных статических моментах и IIлощади сечения А KO
ОРДИIIаты ero центра тяжести можно определить по формулам:
5
хс = ;; (3.2)
Sx
Ус = .
А
к простеЙШИl\1 относятся такие плоские фиrуры, положение цeH
тра тяжести: которых известно (прямоуrольник, Kpyr, кольцо, тpe
уrольник) или леrко определить (круrовой сектор). К простейшим
также относится сечения профилей стандартноrо про ката (см При
ложение ).
77
Из фОрl\IУЛЫ 3.1 ВИДНО, что статический момент системы равен
сумме статических MOlVIeHToB отдельных простейших фиrур, COCTaB
ляющих систему.
Координаты цеIIтра тяжести сложной фI1rуры вычисляются по
фОрlVlУ лаl\I:
Х1А1 + .Х2А2 + ... + хпАп .
ХС ,
А1 + А2 + ... + Ап
УIА1 + У2А2 + ... + УпАll
у = ,
с А1 + А2 + ... + Ап
rде Х1' У1' X2' У2' ..., Хп, Уп координаты центров тяжести простейших
фиrур относ:ительно выбраНIIЫХ базовых осей; А1" А2' ..., Ап пло
щаДII простейших фиrур.
Моментом инерции пЛОС"ОlО сечения относительно оси IIa
зывается величина, равная взятой по всей ПЛОlцади cYlVIMe произве
дений ПЛОIцадей элеlVIентарных площадок dA на квадраты расстоя
н:ия от них ДО этой оси
(3.3)
Осевой MOl\leHT инерции и полярный момент инерции всеrда по
ЛОЖIIтельны, так как содержат под ин:теrpалом координаты во BTO
рой степени. ЦентробеЖfIЫЙ l\10MeHT инерции содержит произведе
ние координат в первой степени и, следовательно, может быть по
ложительиым, отрицатеЛЬНЫl\1 или равным нулю.
При параллельном переIlосе осей КООРДИllат существует следую
щая заВИСИl\10СТЬ:
1.IJ = f (хс +b)2dA = Jyc +ь2А;
А
f 2 2 .
Jx = (Ус +а) dA = Jxc .+а А,
А
J.\y = f (хс + Ь)(Ус + a)dA = J хсус + аЬА.
А
(3.6)
Jy = f x2dA;
А
(3.4 )
[лавные оси и rлавные lVlOMelITbI инеРЦИI1 оси, относитеJIЬНО KOTO
рых центробеж:ный l\IOlVleH:T инерци:и paBeli нулю, а осевые МОl\fенты
инерции ИlVlеют экстремалЫlые значен:ия, называются lлавными
осями инерции сечения. [JIавные оси, проходящие через центр тяже
сти сечения, Iiазываются lлавными центральным'И осями инерции.
Для симметричных сечений rлаВНЫlVfИ осями инерuии (в том
числе и цеliтралЫIЫМИ) будут их оси симметрии.
ПоложеIlие rлавных осей :инерции относительно друrих осей
определяется так:
Jx = f y2dA.
А
Полярный момент инерции сечения определяется слеДУIОЩИl\l
обраЗОl\1:
Jp = f p2dA,
А
(3.5)
2J lY
tg 2а =
Jx Jy
у
.х
У1
Рис. 3.1. Момент инерции плоскоrо
сечения относительно оси
78
rде р расстояние от площаДКlI
dA то ТОЧКуI (полюса), ОТIIОСИ
тельно которой ВЫЧIIсляется l\IO
lVleHT инерции.
Центробежный мn.мeнт инер"
ции сечения относительно двух
взаJIlVIНО перllеIIДИКУЛЯрНЫХ осей
определяется слеДУЮЩИl\1 образОlVI:
Осевой MOlVlellT инерЦlII/I ОТIlоситеЛЫIО rлаВIIОЙ OCII lлавный
мо.мент инерции:
JmJX/min = [(}x + Jy)+ (Jx Jy)2 +4J J. (3.7)
х
Jxy = f xydA.
А
На рис. 3.1 представлен MO
мент инерции плоскоrо сечеlIИЯ
относительно оси.
РешеIil1е задаЧII на определение осевых lVIОl\tIеитов инеРЦИII сече
Ния сводится к следующим этапам:
1) СЛОЖllая фиryра разбивается на простеЙПIие, к НИl\1 относятся
фиrypы, центр тяжести и lVIoMeIiТbI ИfIерции относитеЛЫIО централь
Hыx осей которых или извеСТIiЫ, ИJIИ ВЫЧИСЛЯIОТСЯ по известным фор
мулам: прокаПlые профили, ПрЯlVlОyrольник, треуrОЛЫIИК, Kpyr и т.П.;
2) выбираIОТСЯ базовые оси Х и у, относительно которых опреде
ЛЯются координаты центра тяжести каждой простейшей фиrуры;
3) вычисляются коорд:инаты центра тяжести всей фиrуры. Про
Водятся rлаВllые центраЛЫ-Iые оси всей фиrуры;
79
4) вычисляются осевые моменты инерции каждой простейшей
фиrуры относительно собственных rлавных центральных осей, па
раллельных rлавным цеlIтральным ОСЯl\f всей фиrуры;
5) пользуясь теоремой опараллельном переносе осей, вычисля
ются МОlVIенты инерции каждой простейшей фиrуры относительно
rлавных центральных осей всей фиrуры;
6) вычисляются моменты инерции всей фиrуры относительно
rлавных центральных осей, учитывая, что осевоЙ момент инеРI{ИII co
ставной фиrуры относительно оси равен алrебраической cYlVIMe MO
ментов инерции отдельных частей ФИIУРЫ относитеЛЫIО той же оси.
3.2. Моменты инерции простейших фиrур
Пр я м о уrол ь ни к. Рассмотрим
элементарную площадку в виде полос
ки толщиной dx (рис. 3.2).
Тоrда MOl\IeHT инерции относитель
но осей ох и О.У
ь 2 hb3
Jy = fx hdx= .
о 3
dA =h.dx
i
i
!
I
. . . . . . . .
jC
j
i
i
о
х
Аналоrично
h 2 ЬhЗ
J х = f у bdy = .
о 3
ь
Рис. 3.2. Момент инерции пря
моуrольника
Ь/2
Jy = f
b/2
rлавные моменты .инеРЦИ11
2 hx3 bj2 hb3 hj2 2 113 hj2 bh3
х hdx = 3 = ; 1.1: = f у bdy = У = . (3.8)
bj2 12 hj2 3 hj2 12
dp
к р у r. ОпредеЛИl\I полярный момент
инерции Kpyra (рис. 3.3), выделив в Hel\f
элемеlIтарное кольцо площадью dA = 21tpdp,
и найдемJр по формуле
fr З 1tr4 nd4
Jp = 2п р dp = = .
о 2 32
р
Осевые моменты инерции и равные им
rлавные моменты инерции Kpyra найдем
из условия равенства их суммы ПОЛЯрIIО
му моменту инерции:
Рис. 3.3. Момент инерции
Kpyra
80
\
\
] р 1td4
Jx =Jy =2=64"
Полярный момент инерции кольца определяется по формуле
1td4 4 4 4
Jp =32(1 c )=::0,01D (1 c ),' (3.9)
rде с = d/D; d, D соответственно внутренний и внешний диаметр
кольца.
Тр еуrольни к. Найдем значе
ния осевых и центробежных значе
ний площади треyrольника относи
тельнО осей х и у, совпадающих с ero
катетами (рис. 3.4).
Уравнение ПрЯl\IОЙ АВ У = f(x) ,
X=f2(Y):
h Ь
у = h Ь х; х = Ь h у;
ь ь h
Jy = fx2f(x)dx= fx2(h x)dx=
о о Ь
ь
hхЗ hx4 hb3
=3 4Ь =12;
о
h
h h Ь Ьу3 Ьу4 bh3
Jx = fy2f2(y)dy= fy2(b hу)dу=з 4h 12
о о о
у
Yo
А
х
ь
Рис. 3.4. Момент инерции Tpe
уrольника
Центробежный MOl\IeHT инерции
Ь f( ) 1 ь 2h2x2 h2x3
J = f xydA == f х xf(x)dx = f (h2x + 2)Ш ==
ху А О 2 20 Ь Ь
ь
1 h2x2 2h2хЗ h2x4 1 h2b2 2h2b2 h2b2 h2b2
= 2 (2 3Ь + 4ь2 ) О = / 2 3 + 4 ) = 24 ; (3.10)
2J 2h2b212 hb
tg 2а = ху 3 3 ь2 h2
J х J у 24( bh hb )
Так как центр тяжеСТl1 треуrольника лежит на расстоянии 1/3h
от оси ох и на расстоянии 1/3Ь от оси оу, по формулам найдем:
81
/12 Ь 2
72
Сечение к р у r:
W = 1.у; = nd4/64 = nd3 = О 1d3'
х d/2 d/2 32 ' ,
w = = nd4/32 = nd3 '" О 2d3.
р r d/2 16 '
( J2 З 2
] =J(X b)2dA=J A=hb bhb
уО 3 у 3 12 18
А
h 2 (h )2 ЬhЗ bhh2
J хО = I (у 3") dA = J х 3" А = 12 18
Ь h b2h2 h2b2
JxOyO =J(xc )(Yc )dA=Jxcyc А=
А 3 3 - 9 24
hЬЗ
= 36 ;
bh3
= 36 ;
h2b2
18
(3.11 )
Условие ПрОЧIlОСТИ при прямо м поперечном изrибе:
М Х111ах []
О"тах = W < 0",
х
Сечеllие к о л ь Ц о:
= J х = nd4(1 с4)/64 = nd3(1 с4) '" О 1d3(1 с4).
Wx d/2 d/2 32' '
W = J р = nd4(1 с4)/32 = nd3(1 с4) '" О, 2d3(1 с4).
р r d/2 16
3.3. Связь между rеометрическими характеристиками
плоскоrо сечения и сопротивлением деформации
Примеры
[де Wx осевой момент сопротивления сечения относительно оси
з
х, см .
w Jx
х h/2'
Пример 1. Вычислить координаты центра тяжести сечения плос
кой фиrуры (рис. 3.5, а).
Mz < l ]
1:"П1ах 1:" ,
Wp
60 60 60
У у
220 220 220
\ , , 1
\
\ ,
"")
l
х
280 280 280
а б в
Рис. 3.5. К примеру 1
[де h высота сечения, Jx осевой момент инерции относительно
оси ох.
Условие прочности при кручеlIИИ:
[де Wp полярный момент сопротивления сечения, мм3.
W =Jp
Р r'
rде r радиус сечения; ] р полярный l\'IОlVlеит ИIlерции.
Сечение п р я lVI О У r о л ь н и К.
W = ] х '" bh3/12 = bh2 .
х h/2 h/2 6'
W = Jy '" hb3/12 = hb2
у Ь/2 Ь/2 6'
р е III е н и е. Заданную плоскую фиryру разбиваем на составные
части, центры тяжеСПI которых леrко онределяются (рис. 3.5, б)
НРЯМОУI'ОЛЬНИК 1, треуrольник П и прямоуrольники ПI и IV.
Располаrаем координатные оси, как ноказано на рис. 3.5, 6.
Находим площади каждой части и координаты ХС и Ус их цeH
трОВ тяжести Cr. Все эти данные заноСИМ в табл. 3.1.
83
82
Таблица 3.1 Результаты расчетов по 1"му варианту
Таблица 3.2. Результат расчетов по 2"му варианту
Co ......
Координаты центров тяжести
CTaB Площадь составной части А; мм каждой части
ные
части Xi' мм Yi' ММ
1 300 . 160 = 48000 = 48 103 80 150
11 1/2 . 120 . 180 = 10800 = 10,8 . 103 1 1
160 + .120 = 200 .180 = 60
3 3
111 120. 120 = 14400 = 14,4 . 103 160 + 120 = 220 120
180+ = 240
2 2
IV 80 . 60 = 4800 = 4,8 . 103 60 80
220+ = 250 300 + = 340
2 2
Координаты центров тяжести
Co
став Площадь составной части Ai' мм каждой части
ные Xi' мм Yi' мм
часТИ
280 =.140 300 = 150
300 . 280 = 84000 = 84 . 103
1 2 2
2 2
1/2.120. 180= 10800= 10,8 .103 .120+160 = 240 .180 = 120
11 3 3
1""""" 60 80
111 60 . 80 = 4800 = 4,8 . 103 220 + = 250 300 + = 340
2 2
Центр тяжести тела в обоих случаях совпадает, что указывает на
правильность решения задачи.
Пример 2. Для задаННОll плоской
фиrуры (тонкой однородной пласти
пы) (рис. 3.6) определить положение
центра тяжести. (Размеры на чертеже
даны в сантиметрах.)
Реш е н и е. Определение положе
пия центра тяжест.И фиryры означает
определеlIие координат ее центра тя
жести в выбранной систеl\'Iе КООРДИIlат.
ДаННУIО сложную фиryру представля
ем состоящей из трех простых: 1 пря
моуrольника, 11 Kpyra и 111 треуrОЛЫlика. Площади KpyroBoro и
треуrольноrо отверстий вводим в расчет со знаком минус, а плоп:адь
ПРЯl\lоуrольника вычисляем без учета ИlVIеющихся в нем отверстии.
ПЛОlцади простых фиrур: А1 = 12 .31 = 372 Cl\f2; А2 = 1td2/4 =
= 3,14 .102/4= 78,5 см2; Аз= 12. 9/2 = 54 см2, rде совпадающая с
осью СИl\'Iметрии высота треуrольника h = 31 (8 + 10/2 + 6) = 12 см.
Фиrура имеет ось симметрии, следовательно, ее центр тяжести
лежит на этой оси. Совмещаем координатную ось х с осью симмет
рии, а начало координат с левым Kpael\f фиryры (чтобы коорди
наты центров тяжести оказались положительными).
Координаты центров тяжести простых фиrур: Х1 = 31/2 = 15,5 см;
Х2 = 8 см; хз = 31 6 12/3 = 21 см, rде 12/3 см расстояние от цeH
Тра тяжести треуrольника до ero основания, равное 1/3 высоты.
Координата центра тяжести заданной фиryры
х = А1Хl + А2Х2 + Азхз = 372 .15,5 78,5. 8 54.21 = 16,7 см.
с А, + А1 + Аз 372 78, 5 54
Вычисляем координаты хс и ус центра тяжести плоской фиrуры:
A.x.
L..J 1. 1
хс = }:Ai =
48.103 .80 + 10,8 .10З .200 + 14,4 .10З .220 + 4,8 .103 .250
= 133 MlVf"
48.103 + 10,8 .10З + 14,4.103 + 4,8 .10З '
}:AiYi
УС = }:Ai =
48 .10З .150 + 10,8 .103 .60 + 14,4 .10З .240 + 4,8 .103 · 340
= 166 Ml\I.
48 .10З + 10,8 .10З + 14,4 .10З + 4,8 .103
При решении задач можно использовать rvIетод отрицательных
площадей, как это показано на рис. 3.5, В. Здесь данная фиrура раз
делена на три части: прямоуrольники 1 и III и треуrольник II, при
чем площадь треуrольника 11, вырезанная из плоской фиrуры, бе
рется со знаком минус, т.е. СЧI1тается отрицательной. Если при Ta
ком разделении фиrуры все исходные данные свести в табл. 3.2 и
выполнить вычисления, то получится тот же результат.
Определяем:
А.х. А.у.
L..J 1 1 L..J 1 1
Хс = }:Ai и УС = }:Ai ;
84 000 .140 10 800.240 + 4800.250
Хс = 84 000 10 800 + 4800 = 133 мм;
84 000 .150 10 800.120 + 4800.340
УС = 84 000 10 800 + 4800 = 166 мм.
84
ХЗ
ХС
х,
Xt.
х
Рис. 3.6. К примеру 2
85
у
1
с>
C'I
N 16
00
ф
11
м
Рис. 3.7. К ПРИ1\tlеру 3
у
Пример 3. Найти положение цeHT
ра тяжести фиrуры, показаlIНОЙ На
рис. 3.7.
Реш е н и е. Разобьем фиryру на три
простейших: ПРЯIvIоуrольник 1, ДBY
тавр N 18 2, швеллер N 16 3.
Площади фиryp: А1 = 20 . 100 = 2000 lVIlVf2,
А2 = 23 400 мм2 ([ОСТ 8239 89), Аз ==
= 18 100 r.лм2 ([ОСТ 8240 89).
х Базовую ось проводим через центр
тяжести второй фI1rуры и определяеlVI
координаты .У! и .У2. Фиrура имеет ось
СИl\fметрии, центр тяжести лежит на
ней, поэтому определять координату х('
не надо.
х
Е
с>
("!j
50
h а 180 20
Уl =........ +........ = + = 100 l\tfM;
2 2 2 2
Рис. 3.8. К примеру 4
Уl = 15 мм; центр тяжест:и треуrОЛ:ЫIика BDE расположен на пере
сечении медиан:
У2 = О;
h 180
У3 = (2 + s 20) = (T + 5 18) = 77 мм,
ВВ1 = 1/3ВЕ = 15/3 = 5 1\IlVl;
ВВ2 == 1/3BD = 30/3 = 10 MlVf;
X2=ABj =АВ+ВВl =50+5=55 мм;
У2 = DB2 = DB ВВ2 = 30 10 = 20 lVfM.
rде а высота IlepBoi:'I фиrуры; h высота двутавра; s ТОЛЩИllа CTeH
КИ швеллера; Zo расстояние от нижней плоскости cteI-IКИ швеллера
до ero центра тяжести. Все значения выбираIОТСЯ 113 [ОСТ 8239 89 и
[ОСТ 8240 89.
Вычислим КООРДИIlату цеlIтра тяжести всей фllrуры:
Центр тяжести Kpyra расположен в ero rеометрtlческом центре
(точка 01) и ИIvfеет КООРДИIlаты ХЗ = 20 мм, УЗ = 12 мм.
ПЛОlцали отдельных сечеlIИЙ будут равны:
А1 = АВ. BD = 50.30 = 1500 мм2;
1 1 2
А2 = 2 ВЕ · BD = 215 · 30 = 225 мм ;
1td2 1t .102 2
Аз= = =78,5мм.
4 4
А1Уl +А2У2 + Азуз 100.20 000+0.23 400+( 77).18 100
Ус А1 +А2 +Аз . 20 000+23 400+18 100
= 9,858 мм ::=: 9,9 мм.
Отметим положение центра тяжест:и, отложив значеlIие УС вверх
от базовой оси х.
Пример 4. Для бруса, 1Il\lеlощеrо указанное lla рис. 3.8 сечеfIие,
определить КООРДИIIаты центра тяжести ПЛОIцади сечеlIИЯ.
Реш е н и е. Выбираеl\f CJICTelVlY КООРДИI-Iат с начаЛО1\1 в точке
О сечения. РаздеJIИМ площадь СЛОЖIIоrо сечеJП1Я на три простей
тие фиrуры: ПРЯМОУI'ОJIЬНИК OABD, треуrОЛЫ-IИК BDE, Kpyr (OTBep
стие в сечении) с центрОlVI 01' ОпредеЛИl\tl положение центров тяже
сти простых площадей. I eHTp тяжести прямоуrольника OABD pac
положен на пересечении диаrоналей и имеет коорди:наты Хl = 25 М1\I,
86
Коорд:инаты центра тяжести сечеНJIЯ:
А1Хl + А2Х2 Азхз 1500.25 + 225. 55 78,5.20 =
ХС =
А1 + А2 Аз 1500 + 225 78,S
= 37500 + 12375 1570 = 29,3 мм;
1646,5
87
ус = А1У1 + А2У2 Азуз 1500.15 + 225. 20 78,5 .13
А1 + А2 Аз 1500 + 225 78,5
22500 + 4500 942 = 15 8 мм.
1646,S '
Х]
вырезаны два прямоуrольника: прямоуrольник 11 со сторонами
Ь2 = 18 см, h2 = 6 см и прямоуrольник 111 со сторонами Ьз = 12 см,
з = 3 см. Положение центров тяжести каждоrо из этих прямоуrоль
иков определяется, как известно, точками пересечения их диаrо
алей (эти диаrонали не показаны на рис. 3.9, б, чтобы не заrро
мрждать ero). Центр тяжести прямоуrольника 1 обозначен С1, центр
т жести прямоуrольника 11 С2 и прямоуrО:ТIьника 111 Сз.
3. Ось СИМlVlетрии сечения, являющуюся одной из rлавных цeH
тральных осей, обознаЧИlVl Оу. Чтобы определить положение второй
rлавной центральной оси, необходимо знать rде на оси Оу располо
жен центр тяжести сечения. Для этоrо совместим с нижним OCHOBa
ниеl\I сечения «начальную ось абсцисс ОХО и относительно ее
определим ординату центра тяжести сечения по известной из Teo
ретической механики формуле
LAiYi
Ус = L .
А.
1
Знак минус в уравнениях хс и ус указывает на то, что из Бсей
площади сложноrо сечения следует вычесть площадь отверстия с
центром 01' диаметром 10 мм.
Пример 5. Требуется оrIределить rлавные центральные момеlfТЫ
инерции сечения с вертикальной осью симметрии, форма и разме
ры KOToporo в МИЛJIИlVIетрах показаны на рис. 3.9, а.
б
со
J
..с::
I J=
J. '
'С1 Ш !
.i8 j
......... .. . '""-:=-
Cz 11
11
Ь2 = 18 . Xz t;J
J . "
..... С, \5" х, It
, f'c
I.t') I
t-.:'
IJ
.
, I
01 Ь, =30 см
I
у ь 12
Ха
в даННОl\f случае, исходя из размеров сечения и ero разбивки на
прямоуrольники 1, 11 и 111 (рис. 3.9, б), получим следующие значе
ния площадей А; ПРЯlVIоуrольников и ординат У их центров тяжести:
h1 2.
А1 = b1h1 = 30 .18 = 540 см2; У1 = ОС1 = 2 = 9 см ,
2 ht + h2 2.
A2= b2h2= 18.6= 108cM; У2=ОС2= 2. 12CM,
h1 h3 5 2
Аз = Ьзhз = 12. 3 = 36 см2; У3 = ОС3 = 2 + h2 + 2 = 16, см.
х
а в bJ=9
180 !J.J
' f"') с; .ш
720 11 1!1
.J
Y2 I л
f сос) «::;s С2 Х2
l' "bz Т с;
с:-.. Ь2=б с'.4
I ос:: C'OI .с::
t::J
t::) С. j Х
<::
1.
..с:: t-o..... С, Х,
"
I . ..::t-
, ;1
.1 о b,=JO с,.,
300
Рис. 3.9 К примеру 5
Площади А1 и А2 взяты со знаком минус в связи С тем, что
прямоуrольники 11 и 111 вырезаны из прямоуrольника 1.
Подставив найденные значения площадей А; и ординат У; в фор
мулу, найдем ординату ус центра тяжести сечения:
А1У1 + А2У2 + Азуз = 540. 9 108 .12 36 .16,5 = 7,5 см.
у с А1 + А2 + Аз 540 1 08 36
Положение центра тяжести сечения на оси Оу отметим точкой
С. Через эту точку перпеlfДИКУЛЯРНО к оси Оу проходит вторая
rлавная центральная ось ось абсцисс Сх данноrо сечения.
4. Находим Jx rлавный центральный момент инерции сеч:ния,
который складывается из l\10MeHToB инерции составных частеи ce
чения относительно rлавной центральной оси Сх. В данном случае
из прямоуrольника 1 с моментом инерции J Х; вырезаны прямо
Решение.
1. На отдельном листе бумаrи в клетку или на lVIиллиметровке
вычерчивается в масштабе заданное сечение (рис. 3.9, б).
2. Вычерченное сечен:ие нужно разделить на составные части,
положение центров тяжести которых можно определить исходя Jle
посредственно из размеров, заданных на рисунке (в задаче). Сече
ние на рис. 3.9, б может быть получено таким образом, как будто
из прямоуrольной фиrуры 1 со сторонами Ь1 = 30 см и h1 = 18 ClVI
88
89
уrольники 11 и 111 соответственно с momeI-Iтами инерции J Х2 И J ХЗ'
Поэтому Jx = JX1 JX2 Jхз. .
Исходя из Toro что rлавная центральная ось инерции сечения
Су параллельна собственным центральным осям С1Хl' С2Х2 и Сзхз
(см. рис. 3.9, б) ero составных частей, для определения J xi' стоя
щих В правой части последнеrо равенства, нужно применять фор
мулу, выражающую зависимость между М2ментами инерции OTHO
сительно параллельных осей J х. = J х. + ai Ai' rде в данном случае
з 1 1
J х. = bihi / 12 моменты инерции прямоуrольников относительно
1
собственных центральных осей, Aj площади прямоуrольников и
ai расстояние между осями, которые после определения ординаты
УС леrко определяются (рис. 3.9, б):
аl =Уl Yc =ОС1 OC=9 7,S=1,5 см;
а2 = У2 ус = ОС2 ОС = 12 7,5 = 4,5 см;
аз = уз ус = ОСЗ ОС = 16,5 7,5 = 9 см.
тей (рис. 3.9, в) прямоуrольник 1 со сторонами Ь1, h1, два симмет
рично расположеНIIЫХ относительно оси Оу прямоуrольника II со
сТОрОllами Ь2, h2 и симметрично расположенных относительно оси
Оу два прямоуrольника III со сторонами Ьз, hз. u
Центр тяжести С1 прямоуrольника 1 расположен на rлавнои си
Оу блаrодаря симметричному расположению центров тяжести С2 и
С2 прямоуrОЛЫ-IИКОВ 11, их общий центр тяжести ле ит также на
оСИ О.ц, точно так же расположена и точка СЗ общии центр тяже
сти прямоуrольников 111.
От Toro, что сечение разделено на составные части иным спосо
бом, положение ero центра тяжести С, естественно, не изменилось
Изменились ЛИIIIЬ некоторые значения bi, hi, Ai и ai (см. рис. 3.9, б
и 3.9, в).
Исходя из рис. 3.9, в, наХОДИlVI rлавный центральный момент
инерции относитеЛЫ-IО оси Ох:
Ь1Щ 2 b2h 2 Ьзh 2А)
] =] +2] +2] = +alAl +2( +а2А2)+2( +аз з '
х Х1 Х2 ХЗ 12 12 12
Таким образом,
J Х = J Х! J Х2 J Хз = J Х] + а; А1 (j Х2 + aiA2) (j хз + а Аз) =
b1hf 2 А (b2h'J. 2 А) (Ьзh 2 А )
12 + аl 1 12 + а2 2 12 + аз з .
откуда после подстановки числовых значений
30 93 6 . 6З 9 . з3 2
] = . + 32 .30.9 + 2( + 4,52 .6.6) + 2( + 9 .9.3) =
х 12 12 12
= 1822,S + 2430 + 2(108 + 729) + 2(20,25 + 2187) = 10 341 см4.
После подстановки числовых значений получим:
J =30.183 +152'540 (18'63 +452.108) (12.33 +92.36)=
х 12' 12' 12
= 14 580 + 1215 (324 + 2187) (27 + 2916) = 10 341 см4.
Аналоrичным обраЗОl\tI находим
h ЬЗ h ЬЗ h ЬЗ 2
J = J + 2] + 2] = 1 1 + 2( 2 2 + a A2) + 2( з з + аз Аз),
у У1 У2 УЗ 12 12 12
5. НаХОДИМ/1J rлавный центральный момент инерции сечения,
который складыIаетсяя из моментов инерции составных частей OT
носительно оси О.ц, а эта ось для всех трех составных частей сече
ния также является rлавной центральной. Поэтому
h1bf h2b hзЬ
Jy JYt JY2 Jуз 12 12 12'
rде
а2 = С2С2 = С2С2 = 12 ClVl, иаз = СзСз = СзСз = 10,5 см,
откуда
] =9.303 +2(6.63 +122.6.6)+2(3.93 +10,52'9.3)=37152см4.
у 12 12 12
откуда
J = 18. 303
У 12
6.18З
12
з
3 .12 = 37 152 см4
12
Как ВIIДИl\I, результаты те же, что и в первом варианте решени .
Следует заl\1етить, что решение подобных задач вторично при инои
разбивке на составны е части является carvlbIM надежным способом
Проверки правильности полученных результатов.
Пример 6. Вычислить rлавные центральные моменты инерции
Плоскоrо сечения, указанноrо на рис. 3.10.
,
91
6. Заданное в нашем примере сечение может быть разделено на
составные части каким либо друrим способом, наIlример на пять час
90
Реш е н и е. Разделим плоское
сечение на простеЙIIIие элементы:
1) двутавр NQ 20 сплошноrо сече
ния без выреза; 2) вырез прямо
уrольноrо сечения; 3) IIIвеллер NQ 16.
Фиryра сечения имеет вертикаль
ную ось симметрии, поэтому центр
тяжести лежит на ней.
Проведем базовую ось u через
J центр тяжести IIIвеллера, найдем KO
ординаты составных элементов OT
носительно данной оси и определим
площади элементов фиrуры: V1 =
= 11,8 см; V2 = 14,8 см; VЗ = О и А1 =
и = 26,8 см2; А2 = 5,2 см2; Аз = 18,1 см2.
Площадь и моменты инерции Bыpe
за будем считать отрицательными.
Для двутавра и IIIвеллера данные
выбираем из таблиц [OCl a. в этих
таблицах площади сечений и осевые моменты инерции даны в caH
тиметрах, поэтому и для прямоуrОЛЬНI1ка эти параметры необходи
мо брать в той же размерности. Вычислим Vц.т:
A1v1 + A2V2 + Азvз 11,8. 26,8 14,8. 5,2 6
VIl Т см.
. А1 +А2 +Аз 26,8. 5,2+18,1
Проведем rлавные центральные оси инерции Х и у. Через цeH
тры тяжести 01' 02' Оз каждой простеЙIIIей фиrуры проведем оси
Х1' Х2' Хз, У1 параллельно rлаВНЫlVf центральным осям и определим
моменты инерции каждоrо элемента относительно своих осей:
]1 = 1840 см4. JII = bh3 = 0,52.103 = 433 см4. ]111 = 63 3 см4.
Х! 'Х2 12 12 'Хз'
Подстрочный индекс означает, относительно какой оси вычисля
ется момент инерции, надстрочный какой фиryры.
Осевые моменты инерции для двутавра и швеллера берутся из
таблиц (rOCT 8239 89 и [ОСТ 8240 89).
111
В [ОСТе IIIвеллер расположен иначе, и поэтому ] Хз = ] у таб
личное. В дальнейшем при пользовании таблицами [ОСТов нельзя
относиться формально к совпадению индексов моментов инерции.
ОСИ Х1' Х2' ХЗ не совпадают с rлавной центральной осью фиrуры,
ПОЭТОlVIУ найдем МОl\1енты инерции каждой фиrуры относительно
rлавной центральной оси х:
J;' = J;'1 + А1а[ = 1840 + 26,8. 5,82 = 2742 см4;
иу
.
yz
............4
1/.'
I
t;::a
Х,
х,
Ih
OJ
Ш6еллер IP 16
Рис. 3.10. К примеру 6
92
JII = JII + А а2 = 433 + 5 2 . 8 82 = 836 см4.
Х Х2 2 2 " ,
JIII = JIII +А а2 = 633+181.62 = 715 см4
х хз З З " .
Теперь можно вычислить момент инерции всей фиrуры относи
тельНО rлавной центральной оси Х, при этом момент инерции BЫ
реза мы должны взять с отрицательным знаком:
] = JI + JII + JIII = 2742 836 + 715 = 2621 см4
Х Х Х Х .
.
Аналоr:ИЧIIО вычисляется момент инерции относительно оси у, с
той лишь разницей, что оси У1' У2' Уз совпадают с осью у, а потому
не надо пользоваться фОрl\fУЛОЙ момента ИIlерции относительно па
раллельных осей:
J = J I; J l = J ; J 11 = J l.
Для швеллера и двутавра значения берем из таблиц [ОСТа:
1 111 JII
Jy = 115 см4; Jy = 747 см4, а у практически можно пренебречь,
так как
JII = hb3 = 10.0,522 4 11
У 12 12 = 0,12 см , Т.е. Jy '" О.
Тоrда Jy = J + J II = 115 + 747 = 862 см4
Пример 7. Для заданноrо сечения, co
ставленноrо из приваренных друr к дpy
ry прокатных профилей (рис. 3.11), :::
определить rлавные центральные MOMeH
ты инерции.
Реш е н и е. Данное сложное сечение
представляем состоящим из двух прос
тых частей: 1 двутавра и 11 IIIвеллера.
rеометрические характеристики (пло
щадь и осевые моменты инерции) ДBY
тавра и IIIвеллера, а также необходимые
ИХ размеры берем из таблиц прокатной
СТали (соответственно [ОСТ 8239 89 и
rOCT 8240 89) (см. Приложение).
Для двутавра NQ 20 А1 = 26,8 см2; J Х1 = 1840 см4; ] Уl = 115 см4.
Для швеллера NQ 18 А2 = 20,7 см2; J Х2 = 86 см4 (в таблице Jy);
JY2 = 1090 см4 (в таблице Jx); 20 = 1,94 см.
IP 18
Xz
х
Х,
Рис. 3.11. К примеру 7
93
тяжести сечения находится в точке пересечения осей симметрии х,
у. Осевой момент инерции обоих швеллеров Jx относительно оси х
равен сумме осевых моментов инерции каждоrо швеллера:
Jx = 2Jx = 2 . 1520 = 3040 см4.
Ввиду Toro что рассматриваемое сечение не имеет двух осей
симметрии, следует вначале определить положение ero цеllтра ТЯ
жести, лежащеrо на оси симметрии у:
у = А1Уl +А2У2 26,8.10+20,7.21,9 = 15,2 см,
с Aj + А2 26, 8 + 20, 7
rде Yj = 20/2 = 10 см; У2 = 20 + Zo = 20 + 1,94 z 21,9 см.
Одна из rлавных центральных осей ось симметрии у, друrая
rлавная центральная ось х проходит через найденный центр ТЯЖе
сти сечения перпендикулярно первой.
rлавные центральные моменты инерции сечения определяеlVl как
алrебраическую сумму моментов инерции ero частей. В случае Kor
да rлавная центральная ось сечения не является центраЛЫIОЙ осью
какой либо ero части (н(tпример, ось х не совпадает с осью Х1)' MO
мент инерции этой части ОТIIосительно rлавной оси сечения опреде
ля ют по формулеJ't; = ] Х1 + а2А, rде а расстояние lVlежду ЭТИl\IИ па
раллельными осями.
[лавный центральный момент инерции сечения относитеJIЬНО
оси х
J х = (] Х! + af А1) + (] Х2 + aiA2) = (1840 + 5,22 · 26,8) +
+ (86 + 6,72 .20,7) = 2565 + 1015 = 3580 см4,
rде а1 = УС У1 = 15,2 10 = 5,2 см; а2 = У2 УС = 21,9 15,2 = 6,7 Cl\I.
[лавный центральный момент инерции сечения относитеJIЬНО
оси у
Уо !I !I"
z" Z&l
Рис. 3.12. К примеру 8
94
Осевой момент :инерции относительно оси У можно определить
по формуле
l.lJ = 2(] Уо + а2А),
rде а = ХС1 = 2,07 см, следовательно,
Jy = 2( 113 + 2,072 . 23,4) = 427 Cl\tI4
Пример 9. Определить MOlVleHT инер
ЦИИ площади поперечноrо сечения OTHO
сительно оси хх профиля, составленноrо
ИЗ вертикальной стенки, четырех равнобо
ких уrолков N 5 с толщиной стенок 5 мм
и двух rоризонтальных листов (рис. 3.13).
(Размеры на рисунке показаны в милли
метрах. )
Реш е н и е. Момент инерции верти
кальноrо листа
J' = 1. 303 = 2250 см4.
х 12 "
730........f
l(}
Т
L50X50x5
1!l[J .:с
:с
..............
Рис. 3.13. К примеру 9
Jy =JYt +JY2 =115+1090=1205 см4.
Момент инерI ИИ rоризонтальноrо листа
]" = 13 .13 + 13 .1(15 + ..!i = 1,08 + 3123 = 3124 см4.
х 12 2
r
...
Ось х является осыо максимум,
так KaKJx > l.lJ'
Пример 8. Вычислить осевые MO
менты инерции сечения, составлеllnО
ro из двух приварен:ных друr к друrу
швеллеров (рис. 3.12).
Реш с н и е. По таблицам Прило
жения находим следующие rеометри
ческие характеристики швеллера: пло
щадь А = 23,4 см2, расстояние центра
тяжести ХО1 = ZOt = 2,07 см, осевой MO
lVIeHT инерции относительно оси х J:x ==
= 1520 см4, осевой lVIoMeHT инерции OT
носительно оси Уо l.lJ = 113 см4. Центр
../'
95
Из таблицы нормальноrо сортамента для равнобоких уrолков
[ОСТ 8509 57 находим площадь сечения, момент инерции относи
тельно rоризонтальной оси, проходящей через центр тяжести уrол
ка, и расстояние центра тяжести до основания уrолка:
А = 4,8 см2; ] = 11,2 см4; у = 1,42 см.
Момент инерции уrолка относительно оси хх будет равен
т 2 30 4
J Х = J + Аа = 11, 2 + 4, 8( 2 1,42) = 896 см .
Момент инерции Bcero сечения будет
J Х = J + J; + J; = 2250 + 2.3124 + 4. 896 = 12 994 см4.
у
ys
OJ
to')
-c:::-c:::r
о
,('1 Xz, Х
Рис. 3.14. К примеру 10
Х:!
Пример 10. Вычислить rлавные цeH
тральные моменты инерции плоскоrо сеЧе
ния (рис. 3.14).
Реш е н и е. Разобьем фиrуру на Прос
тейшие: 1 элемент двутавр N2 20 сплош
Horo сечения без выреза; 11 элемент вырез
прямоуrольноrо сечения; 111, IV элементы
швеллеры N2 16. Фиrура имеет две оси сим
метрии, поэтому центр тяжести лежит на
их пересечении.
Проведем rлавные центральные оси ИIIер
ции х и .у.
Через центр тяжести 01' 02' Оз, 04 каж
дой простейшей фиrуры проведем оси Х1'
У1' Х2' У2' Хз, 1jз, Х4' Y4 параллельно rлавным
центральным ОСЯlVI и определим МОlVIенты
инерции каждоrо элемента относительно CBO
их осей:
Теперь можно вычислить момент инерции всей фиrуры OTHO
сительно rлавной центральной оси х, вспомнив, что момент инер
циИ выреза надо взять с отрицательным ЗI-Iаком:
] х = J J 1 + 2] 11 = 1840 43,3 + 2 . 2580 = 6957 см4.
Аналоrично вычисляется момент инерции относительно оси у с
той лишь разницей, что оси У1' У2' уз, У4 совпадаIОТ с осью у, а по
тому не надо пользоваться формулой момента инерции относитель
но параллельных осей:
Jl = Jl. JII = JI1. JIII = JIII. JIV = JIV.
У У1 ' У У2 'У УЗ 'У Y/j
ДЛЯ швеллера и двутавра значения берем из таблиц [ОСТов:
Л = 115 см4, j lI = 747 см4, а j I практически можно пренебречь,
11 hЬЗ 1 О . 0,523 4. JII ,..., О Т
так как J = = = 0,12 см ,Т.е. У"'" . оrда
У 12 12
Jy =J +2J II =115+2.747=1609см4.
Xf
Jl = 1840 см4.
Х1 '
Пример 11. Вычислить rлаВIlые цeH
тральные MOlVleHTbI инеРЦIIИ сечения,
изображеlIноrо на рис. 3.15.
Реш е н и е. Разобьем фиrуру на че
тыре простейшvх: 1, 11 прямоуrольни
ки, 111, IV ДByтaBpы N2 18. Фиryра име
ет две оси симметрии, поэтому центр
тяжести лежит в точке их пересечения.
Проведем rлавные центральные оси
инерции х, .1f и через центры тяжести
каждой простейшей фиrуры проведем
ОСИХ1' У1'Х2' У2'ХЗ' УЗ'Х4' У4 параллель
НО rлавным ОСЯlVI инерции всей фиrуры.
Вычислим lVIоменты инерции каждой
Простейшей фиrуры относительно их
s.oбственных осей инерl{ИИ:
JII = bh3 = 0,52.103 = 43 3 см4. J1II = JIV = 63 3 см4.
Х2 12 12 ' 'Хз Х1 '
Подстрочный индекс означает, ОТIIосительно какой оси вычис
ляется момент инерции, надстрочный какой фиryры.
Осевые моменты инерции для двутавра и швеллера берут из таб
лиц [ОСТов ([ОСТ 8239 89. Сталь rорячекатаная. Балки ДBYTaB
ровые. [ОСТ 8240 89. Сталь rорячекатаная. Швеллеры.). Заl\fетим,
что в таблице [ОСТ 8240 89 швеллер расположен иначе, чем в
примере, и поэтому ] I = ] у табличное. В дальнеЙшем при пользо
вании таблицами нельзя относиться формально к совпадению ин
дексов моментов инерции.
Найдем моменты инерции каждой фl1ryры относительно rлав
ной центральной оси х. Заметим, что оси Х1 и Х2 совпадают с rлав
ной центральной осью инерции, а хз и Х4 не совпадают, ПОЭТО1\IУ дЛЯ
вычисления J I и J необходимо воспользоваться формулой MO
ментов инерции относительно параллельных осей:
,
1
У"
Х,
bJ
х
I 20 см
Рис. 3. 15. К примеру 11
jI 11 bh3 20.23 = 13 см4; jIIl = /У = j = 1290 см4.
х, = j Х2 = 12 = 12 хз Х4 Хта6.n
JI = Jl = 1840 см4. JII = JII = 43 3 см4.
х Х1 'Х Х2 ' ,
JIII = JIV = JIII + А а2 = 63 3 + 18 1.11 82 = 2580 см4
Х Х ХЗ 3 3 , " .
96
Найдем моменты инерции каждой простейшей фиrуры OTHO
СИтельно rлаВIIОЙ оси х Bcero сечения
РаССТОЯI-Iие а1 между ОСЯ1\IИ Х1 И Х равно сумме половины BЫCO
ТЫ двутавра и половине высоты прямоуrольника:
97
18 2
аl = а2 = 2 + 2" = 10 см, А1 = А2 = 2. 20 = 40 см2.
Torдa J = J. I = J 1 + Aja[ = 13 + 40.102 = 4013 см4.
ОСИ Х3' Х4 совпадают с осью Х, поэтому J 1I = J ;I = 1290 см4,
J v = J = 1290 см4.
Теперь lVfОЖНО найти момент ин:ерции всей фиryры относитель
но оси х:
Площадь сечеIIИЯ полосы А1 = 1,6 . 16 = 25,6 см2; площадь ce
чеНИЯ двутавровоrо профиля N2 24: А2 = 34,8 см2 (по таблице
[ОСТ 8239 89).
А1и1 +А2U2 25,6.8+34,8.5,75
ис = А1 + А2 = 25.6 + 34, 8 = 6, 7 см;
V = Ajvj+A2v2 =25,6.0,8+34,8.13,7 =817
с А! + А2 25.6 + 34,8 ,см.
Jx =2J +2J l] =2.4013+2.1290=10 606см4.
2. Определяем осевые :t\10?\-fенты инерции относительно вспомоrа
тельных центральных осей ХО и Уо, параллельных собственным rлав
ным центральным осям полосы и двутавра.
Момент инерции относительно оси хо:
Пример 12 Определить положение rлавных центральных осей :и
вычислить веЛIIЧИНЫ rлавных центральных MOMeIfToB инерции.
N 24
J J1 . Ь2А . 11 Ь2
хо х! + 1 1 + J Х2 + 2 А2;
JI =16.1,63=546 4.
Хl 12 ,см ,
v
115 У2
Х!
U
Ь1 = Vc Vl = 8, 17 0,8 = 7, 37 см;
J. = 3460 см4 (по [ОСТ 8239 89);
Ь2 =vC v2 =8,17 13,6= 5,43 см;
] ХО = 5, 4q, + 7.372 · 25,6+ 3460 + ( 5, 43)2 · 34,8 = 6062 см4.
Момент инерции относительно оси уо:
JyO =J 1 +а[А! +J +aiA2;
J l = 1.6 163 = 546,13 см4;
12
аl = Uс и1 = 6, 7 8, О = ....1' 3 см;
J = 198 см4 (по [ОСТ 8239 89);
а2 = ис и2 = 6, 7 5, 7S = 0,95 см;
] Уо = 546,13 + ( 1,з)2 .25,6 + 198 + 0,952 · 34,8 = 818,8 см4.
ф
'.......
Х2
ф
c"f":)
.......
11
N
Х
ХО
ао = 4076'
r--
r-- .......
м 00
r-- 11
::sl.;)
Рис. 3.16. К примеру 12
3. Определяем центробежный tvlOMeHT Иllерции сечения относи
тельно осей Хо, Уо:
] ХОУО = J IYI + ajbjA1 + J ;Y2 + а2Ь2А2'
Решение.
1. Определяем координаты центра тяжести сечения в системе
вспомоrательных осей u и v
98
99
I I
I
I
J tYt = о и J Y2 = О, так как соответственно для полосы и ДБУ
тавра оси Х1' ,Ц1 и Х2' У2 являются rлавными осями.
i
!
i
J ХоУо = 1,3 · 7,37 · 25, 6 5,43 · 0,95 · 34,8 = 424, 79 см4.
4 Определяем уrол наклона rлавных центральных осей к вспо
моrательным центральным осям:
j!
1:1
1'1
11
1I
I
,1
t 2 2] ХоУо = 2. ( 424, 79) = О 1632'
g ао = J J 818,8 6062 ' ,
УО Хо
2аа = 9027'; аа = 4063'; аа = 94063'.
5. Определяем rлавные центральные моменты инерции:
J J Хо + J Уо + 1 I 2 2
max/min 2 2"и Хо J Уо) + 4] ХоУо ·
Так как} Хо > J Уо' а ось Х составляет меньший уrол с осью Хо, чеl\1
с осью УО, то, очевидно, J х = } Пlах' J У = J nlin'
'1
ill
11I
:,11
!
] =] = 6062+818,8
х шах 2 +
+1:. (6062 818,8)2 + 4. ( 424, 79)2 = 6096,2 см4;
2
J =J. =6062+818,8
У Пl1П 2
(6062 818,8)2 + 4. ( 424, 79)2 = 784,6 см4.
1
11111
'1
! I
: I
;
Пример 13. Определить координаты цеIfтра тяжести сечения,
составленноrо из листа 180х8 мм и равнобокоrо прокатноrо уrолка
80 х 80 х 8 (рис. 3.17). Найти положения rлавных центральных осей
инерции, вычислить значения rлавных моментов инерции.
Реш е н и е [еометрические характеристики отдельных элеме:н
тов сечения:
1) лист: площадь сечеIfИЯ А1 = 1440 мм2; собственные моменты
инерции:
J = 0'8;;83 = 338,8 см4; JO = 18. 0,83 "" О 77 см4.
У 12 ' ,
1 '
I
! "
100
i:r: tC
.
.. ap C
.
J,=Jтa:c
>1
а
6
Рис. 3.17. К примеру 13
2) уrолок (по [ОСТ 8509 86):
А2 = 12,3 см2; J = J2 = 73,36 см4;
J шах = 116,39 см4;
J min = 30,32 см4;
JO J шах ] min . 2 116, 39 30, 32 43 04 4.
ху 2 sш X 2 ,CM J
,
20 = 2,27 см.
1. Определяем координаты центра тяжести сечения.
Выбрав вспомоrательные оси Х1 и У1' подсчитаем статические MO
менты сечения:
.
SXt = А1У1,1 + А2У1,2 = 14,4. 9 + 12,3. 2,27 = 157,52 см3;
SYt = А1х1,1 + А2Х1,2 = 14,4 . 0,4 + 12,3.3,27 = 45,981 см3.
J
Расстояние от осей Х1 и У1 дО центра тяжести сечения:
ХС = SYt 45,981 = 1,72 см, ус = SXt 157,52 = 5,89 СМ.
А1+А2 12,3+14,4 А1+А2 12,3+14,4
2. Определяем положения rлавных центральных осей инерции.
Через найденный центр тяжести сечения проведем новые вспо
Моrательные оси Хе И Уе, параллельные полкам уrолка, и вычислим
101
осевые и цен:тробежный моменты инерции сечения относительно
этих осей пользуясь формулами переход а к параллельным осям.
Вычисления удобно свести в табл. 3.3.
Таблица 3.3. Таблица моментов инерции сечения
Jx + Jy = 128,17 + 763,1 = 891 см4;
Jxc + Jyc = 762,61 + 128,77 = 891 см4.
Положение rлавных осей инерции показано на рисунке. Так как
уrол 0,0 > О, то откладываем ero от оси Хе против хода часовой стрел
ки до rлавной оси Х. За fеТИlVI, что если J ХсУс < О, то rлавная ось,
относительно которой момент инерции Иl\fеет наибольшее значение,
проходит через первый квадраlfТ. Из сопоставления найденных Be
ЛИЧИН видно, что
.'" КООРДIIна Моменты IIнерции площадей, см4
о :з:: :Е
Q) U ты центра
:з::
Q) о:: Q) тяжести Jx( = J + Ау; ] y( = J. + Ах; J Х(:Ус = J'k + АхсУс
:Е =: t:::: tд:
Q) :з:: :::::: площадей.
t:::: Q) :::::: :з::
('1':) ::r см
Q)
Q) U S
:Е о J; 2 JO 2 J.
о t:::: Jx( J lJc АхсУс Jxcyc
t:::0 хс Ус Аус Ахс
у
f-o<
1 14,4 1,32 3,11 388,8 139,3 528,1 0,77 25,09 25,86 0,00 59,11 59.1
2 12,3 1,55 362 73,36 161,2 234,6 73,36 29,55 102,9 43 O 9,01 112,1
,
Итоrо 462,2 300,5 762.6 74,13 54,64 128.8 43.0 128,1 171,16
J х = J шах = J 1; } у = J n1in = J 2 .
ТаКИl\I обраЗОlVl, Jxc = 762,61 см4, ] ус ::;: 128,77 см4 и ] ХсУс =
= 1 71 ,16 Cl\'I4.
Уrол наКЛОJlа rлавных осей к осям Хе И Ус определяется из условия
2 2] ХсУс 2 .171,16 = 0,54.
tg <Ха = Jyc Jxc 128, 77 762,61
Отсюда 2ао = 28°36', ао = 14°18', sinao = 0,245, cosao = 0,9695,
sin 2ао = 0,475.
3. ВЫЧИСЛЯСl\1 rлавные центраJIЫiые моменты Иlfерции.
Пользуясь формулаl\1И перехода к повернутым осям, получим:
JX = JX cos2 ао + JY sin2 ао Jx У sin2ao =
. с с с с
= 762,61. 0,96952 + 128,77 . 0,2452 + 171,16 . 0,2256 = 763,1 см4;
J у = J хс sin 2 <Ха + J Ус cos2 <Ха J ХсУс sin 2<хо =
= 762,61 0,2452 + 128,77 . О, 96952 171,16. 0,2256 = 128,17 см4.
[лавные моменты инерции сечения можно опредеJIИТЬ также rpa
фически, пользуясь KpyroM Мора (р1IС. 3.17, б). ОТЛОЖl1В в выбраНIIОМ
масштабе КООРДИIlаты точек Da(OE = J Хс' EDa = J ХсУс) И Df3(OE1 =
= J Ус' Еlп(3 = J УсХс ), строим Kpyr Мора так же, как при rpафичеСКОl\1
определеНI1И rлавных напряжений по задаННЫl\f О"х' 'CXJ! 11 О",}' 'С.цх'
4. ПОСТрОИl\f эллипс инерции сечеllИЯ.
х2 у2
Уравнение эллипса инерции Иl\tlеет ВIIД + = 1.
ly lx
Здесь ix и ilJ rлавные радиусы инерции сечения являются по
луосями элл:ипса:
ix = 1; =
763,1 = 5 34
26, 7 '
см;
iy = =
128,17 =12 19
, см.
26,7
Можно также воспользоваться Формулаl\,II1, не содержаЩИlVIИ
триrонометрических фУНКЦI'IЙ, получив те же значенияJ-r иJ!!:
J max/min = 0,5 [(] хс + J у) + (] хс J у)2 + 4J.;cyc J.
,
Отложив радиусы инерции перпендикулярно к соответствую
ЩИМ осям в TOl\1 же масштабе, в каком вычерчена фИI"'ура, строим на
них как lIa полуосях эллипс инерции (рис. 3.17).
Пример 14. Определить положение rлавных центральных осей и
вычислить величины rлавных центраЛЫiЫХ моментов инерции
(рис. 3.18): 1 уrолок 70 х 45 х 5 l'vlM ([ОСТ 8510 86); 2 швеллер
N2 12 ([ОСТ 8240 89); 3 лист 20 х 2. (Размеры сечения на рИСУlf
Ке даны в сантиметрах.)
Yt
.
" I
х
=-
1) уrолок N2 7/4,5 (rOCT 8510 86):
А = 5,59 см2;
Jx = 27,78 Cl'vI4;
т = 9 05 см4.
Ц' ,
Jmin = 5,34 см4;
В = 70 мм;
Ь 45 l'vIM;
Хо = 1,05 см;
о
Проверка арифметических выкладок () х + ] у = J хс + ] ус = const) :
102
103
11
у
j
I
I
,
ХО
ь
х
УО = 2,28 см;
2) ш в е л л е р N2 12 (rOCT 8240 89):
А = 10,9 см2;
Jx= 174 см4;
т = 20 4 см4.
Jlj , ,
Хо = 1,44 см;
Ь = 4,6 см;
h t> 1 О см;
у j ХЗ = 1 О Y:i j
""
7,25 II\
..... I
I У2 I СЗ
,..........." "...............t.................. , .....\.,............ ...................-..: .......... ...... ...... ""'t
... ,........ ... '......,
I J
I
У1 f I C .. Х(,
....
...
Х2 1
. С2 .......
..
:,, L 11
I j со м
[ tr.) .
11 со
С1 · " Х! ::"1
......
, , " \11
..
Х! = 1.05 Х2 = 1,44
н Х
..... со
со
с--;
11
Хз
у
3)лист 20х2:
А = 40 см2;
Ь = 2 см;
h = 20 см;
.J:::)
х
J = hb3 = 20.23 = 13 3 см4;
Х 12 12 '
J = hb3 = 2.203 = 1333 33 см4.
у 12 12 '
20
Реш е н и е.
1. ОпределяеlVI положение центра тяжести (рис. 3.19).
Вспомоrательные оси ХУ.
Х = LAiXi = А1Х1 + А2Х2 + АзХз ==
с L А; А1 + А2 + Аз
= 5,59. ( 1, 05) + 1 О, 9 . 1,44 + 40 . 1 О = 7 25 см'
5,59 + 1 О, 9 + 40 "
3
5
104
h
Рис. 3.19. К примеру 14
У LAiYi A1Yl +А2У2+АзУз S,S9.2,28+10,9.S+40.11
с = 8,98 см.
LAi А1 +А2 +Аз 5,59+10,9+40
2. Определяем осевые и центробежные моменты инерции OTHO
сительно осей ХС Уе:
5,2
аl = Уе У1 = 8,98 2,28 = 6,7 Cl\I; Ь1 = ХС + Х1 = 7,25 + 1,05 = ,3 см;
а2 = Уе У2 = 8,98 5,0 = 3,98 см; Ь2 = ХС Х2 = 7,25 1,44 = 5,81 см;
-
аз = Уз Уе = 8,98 11 = 2,02 Cl\f; Ьз = ХЗ ХС = 7,25 10 = 2,75 см;
] Хс = L(/ Х; + Aiai2) =] Х1 + А1а12 +] Х2 + А2а22 +] хз + Азаз2 =
= 27,78 + 5,59 . 6,72 + 174+ 10,9 . 3,982 + 13,33 + 40 . ( 2,02)2 =
= 27,78 + 250,94 + 174+ 172,66 + 13,33 + 163,22 = 801,92 см4;
]ус ='L(/Y; +Aibi2)=]Yl +Alb12+JY2 +А2Ь22+]уз + АзЬз2=
= 9,05 + 5,59 . 8,32 + 20,4 + 10,9 . 5,812 + 1333,33 + 40 . ( 2,7S)2 =
= 9,05 + 385,1 + 20,4 + 367.94 + 1333.33 + 302,5 = 2418,3 см4.
Рис. 3.18. К примеру 14
Центробежный момент инерции уrолка:
J х,у, = + (] х, J min )(]У, J mш) ==
= (27, 78 5,34) . (9, 05 5,34) = 9,12 см4;
105
J Х2У2 = о; J ХзУз = о;
J ХсУс = I(! XiYi + A;aibi) J Х1У1 + А1а1Ь1 +] Х2У2 + А2а2Ь2 +] ХзУз + АзазЬз =
== 9,12 + 5,59 . 6,7 . 8,3 + О + 10,9 . 3,98 .5,81 + О + 40 ( 2,02). ( 2,75) =
= 9,12 + 310,86 + 252,05 + 222,2 = 794 23 см4.
При м е ч а н и е. При несовпадеIIИИ положений собственных цeH
тральных осей проката в СОРТИlVIенте и в заданном сечении следует
учесть перемену осей.
4. Определяем положения rлавных центральных осей.
Так как J хс < J Ус' то определяется положение rлавной оси V:
'tg 2av = 2] ХсУс 2 . 794,23 = 0,983;
J х JY 801, 92 2418, 3
с с
2av= 44,50°;
av= 22,25°.
5. Определяем величины rлавных цеIIтраЛЫIЫХ моментов инер
ции (рис. 3.20).
Ju =Jmax = 2743,3 ClVI4;
J11 =Jmin == 476,95 см4;
] хс +] Ус = Ju + ]1'; 3220,2 == 3220,2.
Проверка: JU1J == о;
J = J ХС J Ус sin 2а + J cos 2а =
uv 2 ХсУс
= 801,92 2418,3 0,7 + 794,23.0,7132 =
2
== 566,47 + 566,53 = 0,06.
006
Поrpешность: ' .100% = 0,011%.
566, 53
Пример 15. Определить rлаВI!ые l\10меIIТЫ инерции сложноrо ce
чениЯ (рис. 3.21). (Размеры на рисунке даны в сантиметрах.)
у
у
J J Хс + J УС 1 (J 2 2
. = + Х Jy) + 4 . Jx У
rn x 2 2 с с (' С
rnln
\
Х
Х
v
У2
ХЗ
сх)
сх)
u
Рис. 3.20. К примеру 14
2 2 2 2
= 801,92 + 2418,3 + ..!. (801 92 2418 3)2 + 4.794 2з2 =
2 2' , ,
1
= (3220, 2 + 2266,3) ;
2
Рис. 3.21. К ПрlП\1еру 15
Реш е н и е. Так как оси Х и У являются осями симметрии, то
ЭТо и есть rлавные центральные OCII сечения.
106
107
Разбиваем сечение на IIростые фиryры: ] IIрямоуrольник с OCHO
ванием Ь1 = 8 см и высотой h = 16 см; 11 Kpyr диаметром d = 6 ClVl;
111 два треуrольника с ОСIIованием Ьз = 4 см и высотой hз = 4 см
Момент инерции сечения относительно оси Х равен:
J = Jl Jl1 + 2J1II.
х х х Х'
Jl = bth{ 8.163 = 2730 66 см4.
х 12 12 ' ,
1 11 6
сх;)
CN
/5
111 б l lУ Фб
v
Jll = тrd4 = 3,14. 64 = 63 58 см4.
х 64 64 ' ,
]lll =] + А . а2 = b3hl +.!..ь h а2 =
х хз 3 36 2 3 3
4.43 1
+ . 4 . 4 . 9 332 = 703 5 см4.
36 2 ' "
Уl
11
5
w)
.....
се
Jx = 2730,66 63,58 + 2 . 703,5 = 4074,08 Cl\f4
MOMeIIT инерции сечения ОТfIоситеЛЫIО оси У равен:
J = Jl Jl1 + 2JIlI.
у У У У'
УН
У1II
.......
.......
t()
i = htb[
у 12
16 .83 = 682 66 см4.,
12 '
Ф8
13
J l = J l = 63,58 см4;
Jlll = hзы1 = 5 33 см4.
у 48 ' ,
IX
Х
ч.
l.lJ = 682,66 63,58 + 2 . 5,33 = 629,74 см4.
......
N
Так KaKJr: <JlJ, то
Рис. 3.22. К задачам 1...10
Ju = Jx = 4074,68 Cl\f4;
JrJ = l.lJ = 629,79 ClV14.
\
11...20. Определить положение цеlIтра тяжести тонкой OДHOpOД
Ной пластин:ки, фОрl\1а и размеры которой в МИЛЛИlVfетрах показаны
На рис. 3.23. Данные для CBoero варианта взять из табл. 3.4.
Задачи
1...10. Для заданной тонкой однородной пластины определить
положение центра тяжести (рис. 3.22). (Размеры на чертеже даны в
сантиметрах. )
108
109
ХI XII
.., 2. O
,.
60
а
XIII а XIV
с:::,
с:::::,
c."-.J
40 1: 260 I
а
ХУ а ХУI "ПD I
)80
150
а 40 а .)
....: -
XIX ХХ
-....;
181
Q3
а а.
Ш0 180
XVII
5?О
ХУIII
РИL. 3.23. К задачам 11...20
110
Таблица 3.4. Исходные данные к задачам 11...20
\
,.....
Номер Величина Номер Величина
схемы Вари схемы Вари
на рис. 3.23 ант а, мм Ь, мм на рис. 3.23 ант а, мм Ь, мм
,......
Х] 1 200 150 XIl О 360 160
12 210 140 11 310 140
23 180 l30 22 320 150
34 190 110 33 330 170
46 170 150 45 340 180
51 180 140 50 350 140
67 190 130 66 320 150
72 200 120 71 370 170
89 210 110 84 310 160
90 170 100 99 320 140
XIII 4 160 100 XIV 6 600 440
15 150 110 17 610 400
26 140 120 28 580 410
37 170 90 39 560 420
49 180 80 41 540 430
54 170 100 56 530 450
60 188' 110 62 600 420
75 140 80 77 530 400
81 150 90 82 540 410
93 160 120 95 590 420
ХУ 2 280 220 XVl 8 900 600
13 270 210 19 800 620
24 260 200 20 910 640
35 250 190 31 820 650
47 240 180 43 930 610
52 270 200 58 840 630
68 280 190 64 850 580
73 290 220 79 890 590
80 260 180 83 880 600
91 250 210 97 870 650
111
Окончание табл. 3.4
Номер Вари Величина Номер Вари Величина
схемы схемы
на рис. 3.23 ант а, мм Ь, мм на рис. 3.23 ант а, мм Ь, мм
XVII 3 920 290 XVIII 9 300 200
14 900 300 10 290 210
25 910 310 21 280 220
36 920 280 32 270 230
48 930 320 44 310 230
53 880 310 59 320 190
69 890 290 65 330 210
74 870 300 70 340 220
85 910 320 88 310 230
92 900 280 98 280 240
XIX 5 260 120 ХХ 7 450 300
16 270 100 18 400 240
27 280 110 29 500 250
.....
38 290 90 30 410 260
40 300 120 42 420 270
55 300 110 57 430 280
61 310 120 63 440 290
76 270 90 78 460 310
86 280 100 87 480 320
94 300 100 96 490 330
21...30. Определить rлавные центральные моменты Ьнерции ce
чений с вертикальной осью СИl\fметрии Форма и размеры сечений
в миллиметрах показаны на рис. 3.24.
31...40. Вычислить rлавные центральные МОlVfенты инерции плос
Koro сечения (рис. 3.25). Данные для решения CBoero варианта за
дачи выбрать из табл. 3.5.
112
....
ХХI
XXII 240 XXIII
40
160 . I $i!,
100
'/.1
I ""'" . v,
/ I '" I
v/ ' .
r/L. с:)
:i
. t
(:) (:)
60 :;.. )- t"-I
.o:t ...... 40
C\.,I
Vh
C;:)
'/ ' i if с:::.
,
// -11 ,
120 80 100
...
, r
с:::.
for)
с:;)
C"'\I
.....
.,
XXIV ХХУ
300 150
...
200
I
с::> 6п
.....
Ir
. ,
f6 100 r/////. '//.
V////...'/.
1 JOO
ХХУI 60 XXVII 80 60
60 60 . 40
I
I с::::»
с:) о)
с:::»
: "///"
1.
I'l-
'100 300
"
XXVIII XXIX 60 ХХХ :О,Т
120 ..
h. , / /,. , '/ -
'// '/ :t'/% 60 I
/
80 /
'/.
t '/ / / /
..... f6 '/ '/, %: l' )- .
r;.. /": l'
t ... 'с '/
'/ It
с::::» '/ '/// /' /,;
'///.
/'/. '// 200
200 100
.
" ....
Рис. 3.24. К задачам 21...30
113
ХХХI
XXXVI
'с XXXVII
о
XXXIII
ХХК ЧФI
XXXIV
6
о
XXXV
XL
"1 ,.. 6
.., I.l "...
I
JI
t'J
6
о
8
Рис. 3.25. К задачам 31...40
114
Таблица 3.5. Исходные данные к задачам 31...40
Номер Ba Номер Величина Схема по
рианта рис. 3.25
задачи двутавра швеллера уrолка а, мм Ь, мм
31 20 12 46 52 ХХХI
32 16 4 120 10 XXXII
33 36 5 100 90 XXXIII
34 30 7/4,5 160 120 XXXIV
35 20 3,6 85 60 ХХХУ
36 16 5,6/3,6 200 16 ХХХУI
37 20 4,5 120 60 XXXVII
38 14 40 50 40 XXXVIIJ
39 14 36 60 70 XXXIX
40 18 4,5 180 20 XL
41...50. Для заданноrо сечения. составленноrо из прокатных
профилей (рис. 3.26), определить rлавные центральные lVIОl\Iенты
инерции.
'о
115
XLI
XLIII
XLV
XLVII
73 )( 100
2шт.
N!.lч
116 )( 10
2шт.
N!!./4
Z I).i т.
N!2
Ij ш т.
60х8
80хВ
2шт.
N!! 8
2шт.
162 хl0
2шт.
N!!.16
2шm.
N!JZ
2шт.
N! 12
rлава 4
.
.
XLIV
СРЕЗ И СМЯТИЕ
4.1. Общие понятия
Для соединения l\tIежду собой различных деталей применяются
болтовые, штисртовые, шпоночные и шлицевые соединения. Если
же узлы не должны разбираться, применяют сварные, клеевые, а
иноrда заклепочные соединения. В соединительных элементах воз
никают касательные напряжения в сечениях, расположенных в плос
кости ВОЗlVfожноrо СДВllrа соединяемых деталей, поэтому их рассчи
тывают по условию прочности на срез:
XLVI
L
(4.1 )
XLVIII
Q
Тер = = [Тср) ,
Аср
rде Аср площадь среза, мм2; Q поперечная СIIла, Н; ['Сер] допус
KaelVIoe IIапряжение на срез, МПа.
Дета.,1JИ для соединения отдельных элементов l\Iашин (заклепки,
болты, штифты и Т.П.) воспринимают наrpузки, перпеН;J,икулярные
их ПрОДОЛЫIОЙ Ъси. Расчеты таких деталей базируются на следую
щих основных допущениях:
1) в попереЧНОlVI сечении возникает только один внутренний си
Ловой фактор IIоперечная сила Q;
2) касатель:ные напряжения в поперечном сечеНИl1 распределены
по ero площади paBHOMepllO;
3) если соединение осуществлено IIеСКОЛЬКИlVIИ одинаковыми дe
таЛЯl\IИ (болтаl\IИ и т.п.), то принимается, что все они наrружены
одинаково.
Условие прочности при срезе
N!10
N"!.B,5
2шт.
120}( 'lJ.
2шт.
Рис. 3.26. К задачам 41...50
"Сер = Q / (ik п 2 ) < ["Сер],
( 4.2)
rде 'Сер расчетное напряжение среза, возникающее в поперечном
сечении рассчитываемой детали; k количество срезов одной за
КЛепки; Q поперечная сила; i число болтов, заклепок и т.п.; d
диаметр болтов, заклепок и т.П.; ['Сер] = (0,25 0,35)0".(, допускаемое
напряжение среза, здесь ат предел текучести материала болта.
117
'1
1I1
1:1
1;"
1,:1
I
При передаче сил от одноrо ЭJlеlVlента конструкции к друrому в
местах соприкосновения возникаIОТ местные напряжения. Эти Ha
пряжения, достиrнув значительноЙ: величины, MorYT привести 1(
смятию поверхности Чтобы избежать повреждения поверхности,
неоБХОДИl\IО производить расчет по условию прочности на СlVIятие:
F
асм =
A < [crcMJ, (4.3)
см
РеШ е н и е. Определяем допускаеМУIО наrруз
ку из условия прочности стержня на растяжение:
1td2
Рр = [О"р]А = [О"р]Т;
Рр =140 З,14
402 =176.103 Н.
I
11
I
I
I
I
I
rде [О"см]
допускаеlVlые напряжеНIIЯ IIa смятие, МПа; F
сила дaB
ления, Н; АС м
площадь поверхности контакта, мм2.
Рассчитывая болтовые, ШПОIlочные, шлицевые и штифтовые
соединения при постоянной наI'рузке, для сталей марок 15, 20, 25,
Ст.3 и СТ.4 можно ПРИНИl\Iать [О"см] = 100
120 МПа, для сталей Ma
рок 35,40,45, Ст.5, Ст.б [О"см] = 140
165 МПа и для чуrунноrо литья
[О"см] = 60
80 МПа.
Расчетная формула на смятие, коrда соединение осуществлено
несколькими одинаковыми деталями, имеет в:ид
Определяем высоту rОЛОВКl1 из условия проч
насти на срез, принимая ['Сср] = 100 МПа (см.
табл. 4.1):
'Сер = Ер / Аер = Ер / (1tdoh)
['Сер]'
откуда
Fp
h=
1tdo [1:"ер J
176.103 =13мм.
3,14.42.100
асм = F / (iAcM) < [аем J,
(4.4 )
D
...с::
Рис. 4.1. К при
меру 1
rде Аем
расчетная площадь смятия, Аем = 8mi!Jd; [о"ем]
допускае
мое напряжение на смятие, ПРИНI1мают по таЬл. 4.1; 8min
l\fИНИ
мальная толщина соединяемых деталей; d
диаl\lетр заклепки; i
число заклепок
В заклепочном соединении проверяется прочность листа по
формуле
Определяеl\1 диаl\fетр опорной поверхности rоловки из условия
ее прочности на смятие, ПРИНИl\lая [О"ем] = 280 МПа (см. табл. 4.1):
Рр Fp
асм =
= < [crCMJ,
Асм
(D2
do)
откуда
F
О"СМ = Б(Ь
md) < [О"СМ],
4Fp 2
+do
п[ cr ем ]
4.176.103 2
+ 42 = 51 мм
3, 14 . 280
Пример 2. С помощью пальца 1 шарнирно соединены детали 2 и
3 (рис. 4.2). Сила р= 100 кН; материал пальца
сталь 40;
[-Сер] = 100 МПа; [О"ем] = 160 МПа. Определить требуемый диаметр
пальца. По ПрИНЯТОl\fУ диаметру пальца проверить прочность coe
ДИняемых дета.пей. Материал деталей
F
сталь Ст.3.
Реш е н и е. Условие прочности на
срез пальца при ero работе на срез по
двум IШОСКОСТЯlVf можно написать в виде
( 4.5)
D=
rде т /' число заклепок, попадающих в одно поперечное сечеIlие
листа; Ь
Шllрина листа; 8
толщина листа; d
диаметр заклепок.
Таблица 4.1. Значение допускаемых напряжений на смятие
Допускаемые напряжения
Материал при продавленных отверстиях при сверленых отверстиях
конструкции ['tcp] [crl\l] ['tcpJ [а L
I]
Сталь СТ.2 100 240 140 280
Сталь Ст.3 100 280 140 320
Примеры
Пример 1. Определить высоту h и диаlVIетр D rоловки стержн:я,
наrруженноrо растяrивающей силой F (рис. 4.1). Допускаемые Ha
пряжения для стали Ст.3 при продавленных отверстиях ПрИНИlVIаеl\1
[0"] = 140 МПа
118
F <[ ]
1:" ср
2
1:" ср ,
k 1td
4
rДе k = 2
,
Рис. 4.2. К примеру 2
.......
...... .........
........
.....
......
----..........
Ь-.ОО
119
'11'
11,1
1 1
1 ,
i i
откуда
d
V п[ 1:ср]
2.100.103 == .J627 == 25 2
3,14 .100 '
мм.
Условие ПРОЧIIОСТИ на смятие
откуда
"
ПОД действием силы F возникают напряжение среза по цилин
ичесКОЙ поверхности, которое при достижении предела прочно
на срез может срезать rоловку, и напряжения смятия по опор
IIОМУ кольцу rоловки.
Площадь среза
2
А == 1tdh == 3,14 . 6 · 7 == 132 мм .
ер
F F
О' == == < [О' ]
ем Аем dh ем'
Площадь смятия
А == 1t(df d2) == 3,14. (122 62) == 85 мм2
ем 4 4
Напряжения среза в rоловке образца
=: =: 11304 == 85 6 МП
'(ер 132 ' а.
Аер
Напряжения смятия по опорному кольцу образца
F 11304
О' == == == 132,9 MfIa.
см А 85
см
d == F 100. 103 == 31 25 мм.
h[O'CMJ 20.160 '
Принимаеl\f диаметр пальца d == 32 мм.
Проверку на растяжение полосы 2 по ослабленному сечеНИIО
производим по формуле
N <[ J
О'р О'р ,
Аоел
rде N == F продольн:ая сила; А()СJI == h( Ь d) площадь ослаблеНlfоrо
сечения.
Подставляя известные значения, получим
О' == N 100.103 ==104 МП <[
р Аосл 20(80 32) а О'р].
Так как рабочие напряжения меньше допускаемоrо 100р] == 160 МПа,
прочность листов достаточна.
'
'1
F
а
F
.....
I
drf2
б
Рис. 4.3 К примеру 3
120
Пример 4. Полоса 1 через приваренную к ней накладку 2 [IIар
нирно соединеllа с rIОЛОСОЙ 4 с помощью пальца 3 (pIIC. 4.4). Из
условия равнопрочности всей конструкции определить дли:ны lJl и
lф сварных швов, диаметр d пальца, толщину s и ШИРИIlУ Ь полосы 4.
Для материала деfалей 1, 2 и 4 (сталь Ст.3) принять допускаемые
напряжения при растяжении [ар] == 140 МПа 11 при: СМЯТI1И [асм] ==
= 180 МПа; для материала пальца (сталь 45) Прl1 срезе ["Сер] == 80 МПа;
для материала сварных швов при срезе [tcp] == 85 МПа.
Реш е н и е Равнопрочность конструкции подразумевает работу
каждой из ее деталеЙ: при напряжении, близком к допускаемому,
Т.е. без существенной недоrpузки.
1. Из условия прочности
Полосы 1 при растяжении (раз
Меры сечения полосы заданы)
определяем допускаемое значе
иие силы F:
Пример з. Стальной обра
зец (рис. 4.3) был испытаlf на
растяжение. Испытания про
водились в круrлых захватах
разрывной машины. Опреде
лить llаибольшие напряжен:ия
сдвиrа и смятия, ВОЗIlикщие в
rоловке образца при испыта
IIИИ. Предел прочности при
растяжении ар == 400 МПа.
Реш е 11 и е. Находим наrpуз"
ку F, соответствующую пределу
прочности при растяжении:
E==пd2.0' з.14'62'400==
4 р 4
== 11 304 Н.
N
a= <[O'p]; F<A'lO'p],
А
ОТСIода
F < 800 140; F < 112 000 Н.
А"А
н ,- X
F
Рис. 4.4. К примеру 4
121
112 000
Slnin = = 14,8 ММ.
42.180
F F
б см == d < [О' СМ ], Srnin > d
SП1i11 . [О' ем]
З tССЬ IТРОДОJJЬJIая СI1ла N = Е, площадь сечения полосы А = 16 х
х 50 = 800 М!\12 и ДОJIускаеl\Iое напряжение [ар] = 140 МПа.
2. 11з условия ПРОЧIIОСТI1 уrловых сварных швов при срезе оп
рР Iсляеl\1 длины lл и /(1) llIПОВ:
Принимаеl\1 s = 15 ММ.
Здесь принято Srnin = s, так как по условию толщина полосы 4 и
накладки 3 одинакова.
5. Из условия прочности полосы 4 при растяжении определяем
ее ширину Ь:
F
"(ер = ['tep]; Аер = cos45. k ./,
.1 \ер
ОТСlода
N N
о' = < [ о' Р ]; А = (Ь d) . s; (Ь d) > ;
А [crpj.s
Ь d = 112 000 = 53 3 ММ.
140.15 ' ,
1 > F ;
cos45. k . ['tep]
СУI\fl\lарIIая ДЛ ИIIа ПII30В
1 = 112 000 = 189 !\1!\1
0,7.10.85
OllaCJlOC tсчснис
k
Рис. 4.5. К примеру 4
ь = d + 53,3 = 43 + 53,3 = 96,3 ММ.
11 plI расчете принято k =
= 1 О !\IМ катет cBapHoro шва
(рис. 4.5). Учитывая, что 1 = /}( +
+ 2/ф' и приняв длину лобовоrо
П.Iпа Iл = 50 IM (равной Ш1lрИ
не пластины 1), найдем ДЛИ1-IУ
IIахлеста, т.е. ДЛIIНУ фланrовых
IIIBOB:
Принимаем Ь = 96 ММ.
,
Пример 5. Круrлый стальной стержень
испытывали на срез с ПОIvIОЩЬЮ приспособ
ления, которое находилось между под
вижной и н:еподвижной траверсами одноrо
из прессов (рис. 4.6). Определить наиболь
mиfI диаметр стальноrо стержня, если сила
среза F = 1177,5 KI1 и временное сопро
тивление испы.уемой стали при срезе
'Св = 300 МПа. Толщины проушин принять
t= 30 мм.
Реш е н 11 е. Стержень подверrается cpe
зу по двум сечениям. У силие, необходимое
для перерезывания стержня диаметром d,
р= n(пtf2/4)tlJ, (п = 2 количество срезов),
ОТкуда диаметр
/<1> = (1 lл)/2 = (189 50)/2 =
= 69,5 ММ.
Принимаем /ф = 70 ММ.
3. Из условия ПРОЧIIОСТИ пальца при срезе определяем ero диа
метр d:
F 1td2
"(ер = < ['tep]; Аер = п
Аер 4
(п = 1 число плоскостей среза пальца),
отсюда
Ri5. F
d
1t . [ 't ер ]
4 . 112 000 = 42 2 ММ.
3, 14 . 80 '
d== 2F .
пт в
Следовательно,
d=
2.1177,5.103 ==50 мм.
3, 14 . 300
Принимаем d = 42 1\IIvI.
4. Из условия прочности деталей шарнирноrо соединения при
смятии определяем ТОЛЩИfIУ s полосы 4:
122
F
.tl.'t tl'
t
..м ",wqа .
t
Рис. 4.6. К примеру 5
НапряжеfIИЯ смятия, возникающие в высокопрочных вкладНЫХ
ВТулках проушин будут
123
о' =!.... == 1177,5.103 == 785 МПа.
ем td 30 · 50
ь = Ан = 1500 = 150 ММ.
н t 10
F
F
Полная ширина Ь = ЬН + тd, rде т число заклепок в попереч
HOl\1 сечении. При ширине Ь > 150 мм число заклепок в поперечном
ряду должно быть не менее т = 2; тоrда сечение будет ослаблено
двумя отверстиями, и полную ширину листов следует принять
Ь = 150 + 20.2 = 190 мм. Пять заклепок целесообразно разместить в
шахматном порядке. Приняв шаr а = 3d и расстояния от осей закле
почных отверстий до краев листов и накладок по с = 2d, размещаем
заклепки, как показано на рисунке.
Пример 7. Толщина стенок стальноrо цилиндрическоrо котла
диаметром D = 1,5 м t = 1 О мм. Котел имеет шов, перекрытый двумя
накладками ТОJIЩИНОЮ t1 = 6,0 мм каждая, присоединенными к
стенке котла двумя рядами заклепок (с каждой стороны стыка) ди
аметром d = 20 мм. Размещение заклепок в шахматном порядке.
Расстоянием между рядами е = 45 мм, шаr в каждом ряду а = 100 мм
(рис. 4.8). Испытать на прочность стыковое соединение, если допус
каемые напряжения на растяжение стали [ар] = 122 МПа, на срез
['! ] = 80 МПа на смятие [а ] = 245 МПа. Рабочее давление пара
ер , см
внутри котла q = 1,28 МПа.
Пример 6. Стык двух листов, толщина которых t = 10 мм, pac
тяrивается силами Е= 240 кН (рис. 4.7). Стык пере крыт двумя Ha
кладками, толщина которых t1 = 6 мм. Найти необходимое количе
ство заклепок диаметром d = 20 мм и разместить их в плане. Допус
каемые напряжения для заклепок: на срез [tep] = 100 МПа, на
смятие [асм] = 240 МПа, на растяжение листов [ар] = 160 МПа.
F
.
F
:)
Рис. 4.7. К примеру 6
п >. F == 240 000 == S.
td[ O'cpJ 10 . 20 .240
F
F
Реш е н и е. Заклепки двухсрезные. Необходимое количество их
из условия прочности на срез должно быть
I
> F
п 1td2
2T['tcp]
По условию прочности на смятие требуется
2 . 240 000 4
3,14.202.100
бf
Следует расставить с каждой стороны стыка по 5 заклепок.
Для размещения их в плане надо определить иеобходимую ши
рину листов. Из условия прочности на растяжение рабочая пло
щадь сечения листа должна быть
ТJ
Рис. 4.8. К примеру 7
Ан > == 240 000 == 1500 мм2,
[O'pJ 160
Реш е н и е. Нормальные напряжения в стенке котла, направлен
ные перпендикулярно к образующей, складываются в усилия, pac
тяrивающие стык. Вырезав полоску шириной а = 1 О Cl\f так что на
ней размещаются две заклепки, найдем величину усилий, растяrи
вающих эту полоску и воспринимаемых двумя двухсрезными за
клепками:
Рабочая ширина листа (за вычетом ослабления заклепочными
отверстиями) должна быть
124
125
lp ( b)= ( 100)=49 мм
> О, 7 Tcp] О, / 5. 90 .
ПроеКТIfУЮ длину шва (IIрИ учете ослабления HenpOBapOl\t1 толь
КО на одном конце) ледует принять 1 == 49 + 5 = 54 мм
Пример 9. Уrолок растяrивается усили
ем р= 160 KJ-I, катеты швов KOToporo равны
t= 8 мм (рис. 4.10). Найти длину фланrовых
швов, необходимую для приварки равнобо
Koro уrолка размерами 110 х 110 х 8 Ml\tl К фа I \1
сонному листу, если допускаемое Ifапряже -1........J ." ",,;*""
ине на срез швов [tep] = 80 МПа.
Реш е н и е. Общая длина обоих боковых
швов может быть определена из условия
прочности их на срез:
F 160 . 103
1 = 11 + 12 > . о == 357 мм. (4.1)
0,7t['tepJ ,7 .8.80
РастяrиваЮlцее усилие F приложено в
центре тяжести уrолка, отстоящеl\tl от обуш Рис. 4.10. К примеру 9
Ка На расстоянии Zo = 30 IvlM. Так как линия
ДеU
иствия усилия F проходит на разных расстояниях от левоrо и
npaBoro швов, то доля этоrо усилия, приходящиеся на каждый из
,;их, обратно п опорциональны расстояниям до ШВОВ Zo и b zo, Т.е.
1 . Е2 (b zo) . zo. В таком же отношении следует распределить и
ДЛИны швов:
qD
о' 1 = 2t'
F == 0'1 .А == qD at == 1,28.1500 .100 == 96 000 Н.
2t 2
НИЯ полосы К фаСОIIке, если: допускае
мые напряжения на срез швов [! ] =
ер
== 90 МПа. Размеры сечеI-IИЯ 110ЛОСЫ
Ь = 100 мм и t = 8 Ml\1.
Р е 111 е I-I и е. Проверка ПрОЧJIОСТИ т-Lo
60ВЫХ швов условно прои:зводится на
срез. Принято считать, что УСИЛllе, BOC
принимаеl\Iое всеми шваl\tII1, paBHOMep
но распределяется по рабочему их ce
чению. Следовательно,
Проверка прочности заклепок на срез и смятие дает
т == 2Е == 2. 96 000 == 76,43 МПа < 80 МПа,
nd2n 3,14 . 202 . 2
F 96 000
ас = = = 240 МПа < 245 МПа.
tdn 10.20.2
't = F < ['t ]
ер О, 7 (Ь + 21p) ер .
ОТСIода расчетная длина фланrово
ro шва
Произведем также проверку прочности стенки котла на растя
жение по сечению т п, ослаблеlIНОМУ одним заклепочным OTBep
стием, и условно по зиrзаrообразному сечению тl пl' ослаблеННОl\1У
ДВуl\tIЯ отверстиями.
С е ч е н и е т п. Площадь сечения нетто
AII = (а d)t = (100 20) . 10 = 800 l\1M2.
Напряжение
'\.
F 96000
о' = = = 120 МПа < 122 МПа.
Ан 800
с е ч е н и е тl пl. Площадь сечения брутто и нетто
)2 ) ( )
а а 2 100 2 2 2
4БР==(2"+ (2" +е .t== 2+ sO +45 .10==1173 мм ;
Ан == Абр 2td == 1172 2.10. 20 == 772 мм2 ·
Напряжение
F 96 000
о' = = = 124,4 МПа> 122 МПа.
Ан 772
Таким образом в сечении ml пl не соблюдаются условия проч"
ности.
Пример 8. Стальная полоса приварена к фаСОННОIvtУ JIИСТУ вна"
хлестку одним лобовым и двумя фланrовыми швами (рис. 4.9). она
подверrается растяжению под действием силы Е== 0,1 МН. НайТlI
наименьшую длину фланrовых ШВОВ, необходимую для прикрепле'"
12G
F
t
t
F
F
Рис. 4.9. К примеру 8
Zo
F
, .......... h I
1
цz
lJ ..... Zo
I
127
d
11 О 30
11 : 12 == (b 20) : 20 == 30 == 2,67, или 11 == 2,6712'"
Решая совместно с (4.1), найдем 11 == 260,5 мм и 12 == 97,5 мм.
Проектную длину при учете непровара примем 11 == 270 мм и
[2 = 11 О ММ.
( 4.2)
r:J'I.
F/2
Задачи
1. Определить напряжения среза и смятия, возникающие в приз
матической шпонке, соединяющей шкив с валом (рис. 4.11), если
окружная сила F == 4 кН. Шпонка длиной 1 == 80 мм наполовину BXO
дИТ В паз вала и наполовИНУ в паз ступицы. Размеры: D == 800 мм;
d = 60 мм; Ь = 20 lM; h = 12 мм.
2. Зубчатый венец шестерни прикрепляется к ступице болтами,
расположенными по окружности диаметром D == 200 мм (рис. 4.12).
Передаваемый момент М == 24 кН. м, диаметр болтов d == 20 мм,
число болтов i = 8. Определить касатеJIЫ-Iые напряжени:я среза в
болтах.
.
.4.
I
.
Рис. 4.1 з. К задаче 3
ь
t:
A A
"
JJ
Рис. 4.14. К задаче 4 Рис. 4.15. К задаче 5
5. Шпилька диаметром 20 IM прикрепляет к стенке ста.lIЬНОЙ
Лист сечение l Ь х d = 100 х 8 l\IM (рис. 4.15). Чему равны расчетные
касательные напряжен:ия среза и IIапряжения смятия в шпильке,
если сила Е= 3 кН?
6. Стальная скоба для подъема rруза силой тяжести G = 270 кН
имеет ветви диамеТРОIvl dB = 60 Ml\tI И штырь диамеТРОl\f d = 72 мм
(рис. 4.16). Проверюъ прочность штыря на срез и отверсти J ветви на
смятие. ДопускаеIvl0е касательное напряжение среза ["Сер] = 100 МПа;
допускаемое IIапряжение смятия [О'ем] = 280 МПа.
7. Две стальные полосы ТОЛЩI1НОЙ 8 = 16 l\tlM соединены с ПОIvIО
щью болта, устан овленноrо в отверстие без зазора (рис. 4.17). Опре
делить из расчета на срез требуемый диаметр болта и про верить
стенки отверстия полос па смятие, если сила Е= 20 кН, допускае
Рис. 4.11. К задаче 1 Рис. 4.12. К задаче 2
3. Определить диаметр болта d, соединяющеrо проушину с ДBY
мя накладкаrvIИ (рис. 4.13), и проверить ее на срез и С IЯТIlе. Растя
rивающая сила F = 100 кН; допускаемое касательное напряжение на
срез ['ер] == 90 МПа; допускаемое напряжение на смятие [О'ем]::::
= 280 M11a. Размеры: 8 = 16 IM; Ь = 60 мм.
4. Равнополочные уrолки 75 х 75 х 8 (rOCT 8509 72) соединеныI
со стапьным листом ТОЛ1ЦИНОЙ 8 = 1 О мм с помощью заклепок d = 20 1\1 1
(рис. 4.14). Растяrивающая сила F == 260 кН; допускаемое касатель
ное напряжение на срез для материала заклепок ['ер] == 120 МПа,
допускаемое напряжение смятия [О"ем] == 280 МПа. Определить не-
обходимое количество заклепок.
128
129
мое касательное напряжение на срез для материала болта
['"Сер] == 100 МПа; допускаемое напряжение смятия [О'ем] == 280 МПа.
8. В стыке двух листов приме:неlIЫ заклепки диаrvlетром d == 28 1\lrvl.
Соединение выполнено, как показано на рис. 4.18. ДопускаеrvIые Ha
пряжения: ['"Сер] == 100 МПа; [О'ем] == 280 МПа; [О'р] == 140 МПа. Опре
делить наиБОЛЬШУ1О растяrиваЮЩУIО силу, допускаемую для стыка.
9. Определить необходимую высоту h и диаметр D rоловки стерж
ня, растяrиваеl\10rо силой р== 50 кН (рис. 4.19), если [аср] == 80 МПа,
допускаемое напряжение смятия [асм] == 260 МПа, диаIvlетр OTBep
стия do == 30 мм.
l
dB
'" J\'
8жdв
Рис. 4.16. К задаче 6
\
I
.
J
4-
.
i
Рис. 4.18. К задаче 8
8)1 == 12 мм, толщина накладок l\. == 8 мм; допускаемые напряжения:
на срез ["[ер] == 90 МПа, на смятие [асм] == 260 МПа
d
F
F
Рис. 4.20. К задаче 10
Рис. 4.17. К задаче 7
11. Определить напряжения сдвиrа и смятия, возникающие в
шпонке, соеД ИНЯlощей шкив с в ал о l\:1 (р:ис. 4.21), если окружное
усил:ие F == 1 О K I. Шпонка наполовин:у входит в паз вала и наполо
вину в паз ступицы.
D
РИС 4.21. К задаче 11
12. }Зал передает зубчатому колесу Ivl0ЩНОСТЬ Р == 24 кВт при
уrЛОВОl1 скорости (о == 60 рад/с (#OW575 обjl\IИН) (рис. 4.22). Прове
рить прочность шлиц, если допускаеIvIое напряжение [асм] == 50 МПа,
число шлиц z == 8. При расчете считать, что наI'рУЗКУ воспринимают \
Только 3/4 всех шлиц.
F
РИС. 4.19. К задаче 9
. 10. Определить необходимое количество заклепок диаметром
d == 18 мм для соединения встык двух листqв С помощью двух Ha
кладок (рис. 4.20). РаСТЯI'ивающая сила р= 280 кН; толщина листов
130
Рис. 4.22. К задаче 12
131
13. Проверить на смятие бурт бронзовой rайки домкрата
(рис. 4.23) rрузоподъе IНОСТЫО Е= 150 кН, есл:и допускаемое напря
жение [а ем] = 60 МПа. Чему должен быть равен наружный диаметр
основания домкрата, если допускаеIvlое напряжение на смятие про
кладки [аем] = 2 МПа?
14. Проверить прочность пальца rусеничноrо трака (рис. 4.24),
если сила Е= 206 кН. Допускаемые напряжения: ['tep] = 75 МПа,
[О'СМ] == 300 МПа. Зазором между траком и пальцем пренебречь.
ф2S
15. Три стальных листа толщиной
дl каждый соеДИIIеI-IЫ заклепкаrvIИ с
двуrvIЯ стальными листаl\IИ толщиноЙ
по 82 (рис. 4.25). Определить допускае
Ivloe ЗIIачеНI1е действующих на соедине
HJtle сил Е, если [ар] = 160 МПа; ['tep] =
= 110 МПа; [аем] = 280 МПа. Вычислить
расчетные напряжения растяжеI-IИЯ, cpe
за и смятия при наrpузке, равной дo
пускаеl\IОЙ.
16. При торможени:и в ленте TOpIvl0
за, схема KOToporo представлена на рис. 4.26, возникает усилие
р= 3,5 кН. Проверить прочность заклепочноrо соединения ленты с
хвостовиком АВ ТОрl\10за, если [Тер] = 40 МПа; [аем] = 100 МПа.
17. Двутавровая балка опирается своими концами lla выступы
кирпичной стены (рис. 4.27). На балку действует равномерно pac
пределенная наrpузка, равнодействующая которой Q == 120 кН.
Найти необходимую площадь подкладки под конец балки из усло
вия, чтобы давление смятия на стену не превышало 1,2 МПа.
ФIО5
ФдО
D
Рис. 4.2З. К задаче 13
I
t .
,
f
I . .
I -#
I
.
F I F
I '-с)
I ;f-
I
I I
I
Рис. 4.25. I{ задаче 15
132
а
б
F
2
F
F
Рис. 4.24. К задаче 14
F
,
I$
Рис. 4.26. К задаче 16
Рис. 4.27. К задаче 17
133
18. Стержень А соединен с вилко:Й В ТОЧI10 приrНdlIНЫМ к OTBep
стию болтом (рис. 4.28). Определить диаметр болта, если действую
щие на стержень и вилку силы равны Е== 32 кН, а допускаемое Ha
пряжение материала болта ["Сер] = 50 МПа.
19. Проверить прочность опорной площади замка хвостовика
протяжки (рис. 4.29), если наибольшее усилие резания р== 75 кВ и
допускаемое напряжеllие [асм] = 600 МПа.
......
Рис. 4.28. К задаче 18
\
Рис. 4.30. К зада
че 20
134
F
d
Рис. 4.31. К за
даче 21
d
Рис. 4.29. К задаче 19
подошвой чуryнноrо башмака на
пластмассовую опору Определить He
обходимый диаметр подошвы, если
допускае1\10е напряжение для пласт
массы [асм] = 5 МПа.
23...32. Шарнирное соединение
(рис. 4.32, табл. 4.2) стержней 1 и 4
осуществлено с помощью пальца 3
через проl\tfежуточную прокладку 2,
приваренную к стержню 1 флаllrо
выми шваМII., Стержень 1 выполнен
113 стальноrо проката швеллера (1
или 2 шт.), уrолка (2 1lЛИ 4 шт.) или
квадрата; стержень 4 и н акладка 2
из полосовой стали одинаковой тол
ЩИIIЫ S, ширина которой не задана и
определеНИIО не подлежtIт. Требует
ся определить: а) длину IIахлеста 1
CBapHoro соединеlIИЯ; б) диаl\lетр d
пальца шарнирноrо соеДИJlен ия. Для
материала деталей 1, 2 1I 4 (сталь
Ст3) пр:инять [ар] = 160 МПа и
[(J'CMJ = 250 МПа; для материала пальца (сталь 45) ['tcpJ = 90 l\fПа;
для материала cBapHoro шва ['tcp] = 100 МПа.
Таблица 4.2. Исходные данные к задачам 23...32
"
A A
1 , +
2 2 2 2
б'" б
s s
sl2 s
а
б
Рис. 4.32. К задача1\l 23...32
20. Проверить прочность ШII
пов оправки торцевой насадной
фрезы (рис. 4.30), если MOlVleHT,
скручивающий оправку при фре
зеровании, равен 425 Н . 1\1. Ha
пряжения СIvIЯТИЯ считать paB
HOl\1epIIO распределенными 110
всей площади смятия.
21. Чуrунная колонна, Hecy
щая наrрузку F = 90 кН, BCTaB
лена в чуrУIIНЫЙ баШl\fак, KOTO
рый опирается на кирпичныii
фУllдаIvlент (рис. 4.31). Опреде
лить необходимую площадь KBaД
ратной подошвы башмака прll
условии, чтобы давление }Ia ФУН
даIvlент не превышало 1,2 МПа.
Чему равна сторона подошвы
башмака?
22. Чуrунная КОЛОНllа несет
наrpузку F = 400 кН и опирается
Номер Тип сечения Размер Тип шарнирноrо Катет
задачи детали 1 сечения соединения s, мм cBapHoro
по рис. 4.32 детали 1 по рис. 4.32 шва k, мм
23 1 ШВ. NQ 12 а 18 7
24 11 2 ШВ. N2 8 б 23 7
25 111 2 yr. NQ 4 а 13 4
26 IV 4 yr. NQ 3,2 а 16 4
27 V 15 х 15 а 8 7
28 1 ШВ. NQ 14 " 20 7
о
29 11 2 ШВ. N2 10 а 23 7
30 III 2 yr. N2 4, 5 б 13 4
31 IV 4 yr. N2 3, 6 б 18 4
32 V 20х20 б 10 8
...............
135
33...42. Стальные листы соединены между собой с помощью
штифтов, плотно вставленных в отверстия, как показано на рис. 4.33.
К листаl\I приложены растяrиваIощие силы F. Материал листов
Ст3; допускаемое напряжение на растяжение [ар] = 140 МПа, на
смятие [асм] = 160 МПа. Определить диаметр болтов и проверить
прочность листов. НеоБХОДИl\'Iые данные для решения задачи BЫ
брать по табл. 4.3.
Таблица 4.3. Исходные данные к задачам 33...42.
F
111
F
F
Номер Номер Величина Номер Номер Величина
схемы по схемы по
задачи рис. 4.33 Р,кН 1, мм 8, мм задачи рис. 4.33 Р,кН 1, мм 8, мм
33 1 180 400 10 38 11 170 220 16
34 11 160 300 8 39 111 160 340 10
35 III 210 260 12 40 IV 180 250 12
36 IV 300 240 14 41 1 200 220 14
37 1 150 230 15 42 IV 180 230 16
1
Ile j е 11
1: .
1: . 11
F t 11
!, ( F F I t 1 F
" I"
f I ( е- 1'1
11 I 111 "
I1 ! I -;t ............. ! 11
:1 I 111
I
I
11 IV
F
F F
%
.
i
-е-
.
4
,
F
F
I
€)
Ф I
'1 е
:1 ...J....
11 !
1I i
F
F
8110)
1
Рис. 4.ЗЗ. К задачам 33...42
136
с= Е
[2(1 + J-!) 1
(5.4)
L\S = tgy,
rде tgy относительныЙ сдвиr; !1S абсолютный сдвиr.
(5.1 )
5.2. Расчет бруса круrлоrо поперечноrо сечения
Кручение это БИД дефОРlVlации бруса, характеризующийся тем,
что из шести известных нам силовых факторов (Nz, Qx' QzJ' МХ' м,ц'
Mz) в попереЧНОl\I сечении бруса отличается от нуля лишь один'
крутящий момент Mz.
Крутящий l\10MeHT считается положительным (Mz> О), если он
вращает брус против часовой стрелки (смотреть со стороны отбро
шенной части бруса), и наоборот отрицательным.
[рафик, показывающий ИЗl\lенеНIlе крутящеrо lVloMeHTa по длине
бруса, называ1ОТ эпюрой крутящих моментов. При кручении бру
са круrлоrо 110перечноrо сечения Б ero сечениях возникают лишь
касательные напряжения.
Для определеlfИЯ l\lаксимальноrо касатеЛЫiоrо наПР5Jжения нуж
но воспользоваться фОрlVlУЛОЙ
rлава 5
11 ·
сдвиr и КРУЧЕНИЕ
"
5.1. ЧИСТblИ сдвиr
Возникновение касательныХ напряжений на rpанях выделенноrо
элемента при напряженном состоянии называют чистым сiJвиzом.
Определим деформацию сдвиrа, условно закрепив одну из rpa
ней элемента (рис. 5.1). Верхняя rpань сместится о!носительно ниж
ней на L\S под действием касательныХ напряжении.
/15
7
/
/
'tmax == Mz [н/м2 J,
Wp
rде Mz крутящий l\10MeHT в сечении бруса [tJ . lVl]; Wp полярный
MOMelIT СОfrротивления сечеIIИЯ бруса, м3, см3.
ПОЛЯрIIЫЙ момент сопротивления определяют по формулам:
для Kpyra
( 5.5)
't
h
1
/
/
/
/
I
't
w == Jp == J р == nd4 .3. == 1tdЗ z О 2dЗ'
р r d / 2 32 d 16 ' ,
( 5.6)
Рис. 5. 1. Схема деформацпи элемента при сдвиrе
Так как у бесконечно l\Iалый уrол tg У z у.
3aKoIi [ука при сдвиrе
1: = G . у,
( 5.2)
для кольца
с == do W == J р == 1td4 (1 с4)3. О 2d3(1 с4)
d' Р d / 2 32 d' ,
(5.7)
rде G модуль упруrости при сдвиrе.
Условие прочности при расчете на сдвиr
"Сед = ЛQ < ['teJt], (5.3)
ед
rде 'tп напряжение сдвиrа; Q сдвиrаюЩая сила; Аед расчетная
площ дь сдвиrа; [1:СТ1] допускаемое напряжение сдвиrа. й
Между модулем упруrости при сдвиrе, модулем продольно
упруrости и коэффициентом Пуассона существует зависимость
rдеJр полярный lVfoMeHT инерции, м4, мм4; d наружный диаметр
Kpyra, м Ml\1; do внутренний диаIvfетр кольца. м, мм.
Уrол <р закручивания бруса постоянноrо диаметра при одинако
BOIvI во всех поперечных сечениях крутящем моменте
MI
<р == GJ: [рад] ,
rДе 1 ДЛИIlа бруса, м, мм; G модуль сдвиrа материала бруса,
G == 8 . 104 МПа для стали
( 5.8)
139
11
138
1800 MzZ (5.9)
<р0 = . . .
1t С] Р
. Брус, работа1ОЩИЙ I1a прочность, должеТI удовлетворять:
условию прочности
rде k поправочный коэффициент, учитывающий влияние кривиз
ны БИТКОВ И поперечной силы, принимаемый по табл. 5.1; F oce
вая наrрузка пружины; Do средний диаlVlетр витков пружины; d
диаIvlетр проволоки; с индекс пружины: с == Dol d; [ ] допускае
мое напряжение (табл. 5.1)
Таблица 5.1. Значения поправочноrо коэффициента k
при расчете пружин растяжения сжатия витками круrлоrо сечения
ол З. ак.руч:ивания в rрадусах на 1 I длины
Если вычислить yr
вала, то
м
<r't].
'tп1ах W L ,
Р
(5.1 О)
с 4 5 6 8 10 12
k 1,37 1,29 1,24 1,17 1,14 1,11
УСЛОВИIО жесткости
8 == Mz < [8J, (5 11)
С]р
rдe ['t] допускаемое напряжение при кручении, Н/м2; 8 == <J/l
относительный уrол заКРУЧI1вания, рад/м; [8] допускаемыи OT
носительный уrол закручивания.
fIОIlравочный коэффициент 10ЖНО рассчитать слеДУIО1ЦИl\f образом:
5.3. Расчет цилиндрических винтовых пружин
на прочность
00 Пружины сжатия llавивают с просветоIv!
между виткаl\llI. Для образовани опорнои
поверхности, перпеНДИКУ ЯРIIОИ к про
дольной оси пружины, краин:ие витки под
жимают и СОIlIлифовываIОТ (рис. 5.2). Пру
т ЖИIIЫ растяжения обычно навивают без
просвета между витками. Для соединен ия
d с друrИl\IИ детаЛЯIvIИ на KOHI{aX ПРУЖИIIЫ
обраЗУIОТ зацепы в Вl1де изоrнутых витков.
Из paccmotpeI-IИЯ равновесия отсечеlI
f ной части пружины l\'IОЖНО устаIIОВИТ , что
в сечеlIИИ витка действует крутящии MO
Рис. 5.2. Пружина сжа l\leHT Т == FDo /2 и поперечная Сl1ла Q == F
тия С поджаТЫМII и co (последняя не показана на рисункеu' пото
шлифованными крайни 1VIY что IIапряжения сдвиrа от этои силы
ми витками неЗIlачитеЛЫIЫ и их при расчете учитыва
ют поправочIIыl11 КОЭффI111иентом). Таким образом, ВИIIтовые пру
жины рассчитывают на кручение.
Условие IIРОЧIIОСТJI для ПРУЖi'II1 ИЗ проволоки круrлоrо сечения
имеет В:ИД
k = 4с + 1 .
4c 4
Зазор 1\1ежду витками во избежание СОIlрикосновения их при
сжаТI1И пружины.
На рис. 5.2 показан шаr пружины Р
ДJIЯ пружин растяжеI-IИЯ с за1 епами в виде отоrнутых витков
значения [ ] следует СНJtIжать ПрИl\fерн:о на 25%.
При проеКТИРОВОЧНОl\f расчете диаметр проволоки, из которой
свита Irружина, опредеЛЯIОТ по фОРlVlуле
( 5.13)
d = 1, 6 kFc / ['t].
(5.14 )
После определения диаметра по фОРIvlуле окончательное значе
ине d выбирают по [ОСТу для пружинной проволоки.
ВыБI1рая Иflдекс пружины, следует придеРЖJlваться следующей
реКОl\1еllдаЦИII: при диаметрах d (l\IM) дО 2,5; 3...5; 6...12 с COOTBeT
ственно равен 5...12; 4...10; 4...9.
Расчет на усталость состоит в определении коэффициента запа
са прочности SR и сравнении ero с требуеМЫl\f [SR]. Условие проч
ИQСТи: S R > [ S R ]
Запас прочности определяют из фОрIvlУЛЫ
== 'tшах [1 + R + ( 2'tn 1) (1 R)],
sR 2'tn '(О
(5.15)
== k == k 8FDo == k 8ЕС2 < t 't J ,
"t1nax W d3 d
р 1t 1t
(5.12)
rДе tтax Ivlаксимальное напряжение при кручении; '(в предел
Прочности материала пружины при сдв:иrе: 'tn О, 6crn; R коэффи
Циент аСИМl\'lетрии ЦI1кла: R :;:: 'tщiп / 't1nax' при расчете пружин пред...
ПОлаrают 0< R < 1; O предел ВЫfIосливосrи при отнулевом
(ПУЛЬСИРУЮIцеl\f) цикле.
140
141
Требуемый коэффициент запаса прочност:и [SR] = 1,5...2,2.
Изменение высоты пружины растяжен:ия сжати:я из проволоки
круrлоrо сечения определяют по фОРIvlуле
л == 8FD6п == 8Ес3п ,
р Gd4 Gd
Определяем вращающие моменты на шкивах:
( 5.16)
Т1 =Рl / ro = 30.103/100 = 300 Н. м;
Т2 =Р2 / (о = 10.103/100 = 100 Н. м;
Т3 =Р3 / (о = 12.103/100 = 120 Н. м;
T4=P4/(O=8.103/100=8QH.M.
ДЛЯ построения ЭПIОр крутящих моментов проведем базовую
(нулевую) лин:ию параллельно оси вала и, используя метод сече
н:ий, найдем значение крутящеrо момента на каждом участке, отло
жим найденные ЗIlачения перпеllДИКУЛЯРНО базовой ЛИНИIJ.
В пределах каждоrо участка значение КРУТЯ1цеrо l\fOl\1eIITa coxpa
няется постоянным (рис. 5.3, б): м; = Т4 = 80 Н . Ivl; м; = Т4
Т3 = 80 120 = 200 Н . М"; м; = Т2 = Т4 Т3 + Т1 = 100 Н . I.
ИЗ условия прочности диаметр вала н а пер в о м у ч а с т к е
определяем по фОРl\lуле
l' == Mz == 16Mz < [1'],
Wp rcdЗ
rде п число рабочих витков пружины; у пружин сжатия рабочее
число витков на 1,5 2 меньше пол:ноrо числа витков п1 из за Toro,
что крайние витки поджима1ОТ и сошлифовываIОТ (pI1C. 5.2), они
практически в деформации ПРУЖИIIЫ не учаСТВУ1ОТ; G модуль
сдвиrа (для стали G = 8 . 104 МПа).
Примеры
Пример 1. Для стаЛЬ110rо пала (pI1C. 5.3, а) определить из усло
вия прочности требуеl\fые диаl\fетры каждоrо участка и уrлы закру
чивания этих участков Уrловую скорость вала при:нять (о = 100 рад/с,
допускаеl\10е напряжение ["С] = 30 МПа, модуль упруrости СДВlI
ra G = 0,8.1011 Па, [1 = 11 CIvl, [2 = 10 см, [3 = 0,8 см.
откуда
а :18 кВт 1=121(Bm я =30 КВт =10 кВт
d 3 16М; 3 16.80 == 2,38.10 2 м == 25 мм.
1 л[ '[] 3, 14 . 30 . 1 06
Ia втором участке
d 3 16М; 3 16 . 200 == 3, 2 . 1 0 2 м == 32 мм.
2 п[ 't J 3, 14 . 30 . 1 06
6
200
На третьем участке
d ==3 16М; ==3 16.100 ==2,8.10 2 м==28 мм.
3 п[ 't ] 3, 14 . 30 . 1 06
80
Рис. 5.З. К примеру 1
Вычисляем полярные l\10меIIТЫ инерции сечения вала:
nd4 2 4 8.
J 1 = 0,1(2,5 .1 О ) = 3,9 .1 О м ,
· р 32
Jp 11 = 0,1(3,2 . 10 2)4 = 10,5 . 10 8 м;
Jp 111 = 0,1(2,8 . 1 0 2)4 = 6,2 . 1 0 8 м.
Реш е н и е. Вал вращается с постоянной уrловой скоростыо,
следовательно, система вращающих MOMeIIToB уравновешена. На
одном валу имеется ведущий шкив, передаIОЩИЙ вращаIОJДИЙ MO
мент Т1, и три ведомых шкива, ВОСПРИIIимающих вращающие MO
менты Т2, Т3' Т4. МОЩIIОСТЬ, подводимая к валу без учета потерь IIa
трение равна сумме l\fощностей, СНИl\lаемых с вала:
Р1 = Р2 + Р3 + Р4 = 10 + 12 + 8 = 30 кВт.
Уrлы закручивания соответствующих участков вала:
о M; .1.180 80 .11.10 2 .180 == o, 160;
</>11 1t.C.Jp 1 З,14.0,8.1011.З,9.10 8
142
143
о M; ./2 .180 == 200 .10 .10 2 .180 == o 1370.
<1'2 11 8"
1t . G . J р 11 3, 14 · О, 8 . 1 О . 1 0,5 · 1 О
q>; == м; 'Z3 .180 100. О, 8 .10 2 .180 == О 00930
n.C.Jp 111 З,14.0,8.1011.6,2.10 8 ' .
доrо участка крутящий момент не меняется поэтому эпюра Mz
оrраничивается прямыми, параллельными базовой линии. Из эпю
ры видно, что максимальный крутящий момент возникает на участ
ке между первым и третьим шкивами:
\ м == 52.103 == 5,2 .107 Н-ММ.
шах ro 00
Пример 2. Для стальноrо вала (рис. 5.4, а) требуется определить
из условия прочности И жесткости минимально допустимую уrловую
скорость вращения. Вал постоянноrо ПО длине сечения d = 60 M !
вращается с неизменной уrловой скоростью. Мощности, снимаемые
со шкивов: Р2 == 42 кВт, Рз = 31 кВт, Р4 = 21 кВт. Принять [0] =
== 0,35 rрад/м, [ ] = 30 HjMM2.
Найдем предельную уrловую скорость вращения из условия
прочности:
rtJi
.
F}
м
z тах $ ['t' J ;
Wp
Wp = O,2cJ3.
а
ra
Подставим значения входящих величин внеравенство:
5, 2 1 07 3 <30,
ro . 0,2 . 60
откуда
б Mz 21/Ш
(J) > 5,2 '1307 = 40 [1 j с].
О, 2 . 60 · 30
1f2/W
Найдем предельное значение уrловой скорости вращения вала
из условия жесткости:
Рис. 5.4. К примеру 2
8 = м z тах < [8] ;
П1ах С] р
Реш е н и е. Вал вращается с ПОСТОЯНIIОЙ уrловой скоростью,
следовательно, система внешних вращаЮ1ЦИХ MOMelfToB ypaBHOBe
Iпеflа. На одном валу И 1еется ведущий шкив, передающий вращаю
щий момент Тl' и три ведомых шкива, воспринимающих вращаю
Щ11е МОl\:Iенты Т2' Тз' Т4. Пренебреrая потерями на трение в ПОДШI1П
никах, можно считать, что Ivl0ЩI10СТЬ, подводимая к валу, равна CYIvf
ме мощностей, СНИI\Iаемых с вала, т.е. Р1 == Р2 + Рз + Р4 == 42 + 31 + 21 =
= 94 кВт. Выразив передаваемые враща1ощие моменты через l\10Щ
ность и неизвестную уrЛОВУIО скорость, построим эпюру крутящих
1\tfOMeHToB (рис. 5.4, б).
Построение эпюр крутящих MOIvfeIIToB принципиально ниче1\f не
отличается от построеIiИЯ эпюр ПРОДОЛЫIЫХ сил. Ilроведем базовую
линию параллеЛЫIО оси вала и, используя метод сечений, найдем
значения крутящеrо ,йомента на каждом из участков и отложим I-Iай
денные значения перпендикулярно базовой линии В пределах каж
0,35. 7t 6 1 10 6 /
[е]==0,3Srpадjм== 180.103 == " рад ММ;
4 5, 2 . 1 07
Jp = 0,1d ; Mz шах = (J)
е == 5, 2 · 1 07 < [е J
шах ыС . 0,1. d4 .
'I!
v
Подставляя числовые значения и решая неравенство наидем
предеJIьное значение уrловой скорости из условия жесткости:
5, 2 · 1 07 < 6 1 . 1 О 6
5 4 , ,
(о. 0,8 .1 О · О, 1. 60
144
145
> 5, 2 . 1 07
Ы 5 4 6.
о, 8 . 1 О . о, 1 . 60 . 6, 1 . 1 О
Таким образом, (о 82 [ljc].
Из двух найденных ЗIIачеfIИЙ необходимо выбрать большее зна
чение уrловой скорости, так как только в этом случае удовл творя
ются оба условия. Таким образом, предельное значение уrловой
скорости [(о J = 82 1 j с.
Пример з. Для ступенчатоrо стаЛЬНОI'О бруса d = 200 мм круrло
ro сечения (рис. 5.5, а) построить: эпюры крутящих MOlVreHTOB, MaK
симальных касательных напряжений и уrлов поворота попереЧIIЫХ
сечеfIИЙ. Проверить прочность бруса IlрИ [t] = 60 МПа.
1;==5 КН.М/
l-*' d== 60 мм
, I (
, I .
, L
К D В А z
, ... .. ..
.
,
, \ [
, V \ IУ , Т1 == 2 К
tfl = 200 мм, а 2а 111 ,,\. 2а 11 v 4а
11 .i iJ
, .,
4 Mz, кН. М
П 11 I 3
О
IIT 111 1011111 '1 I о
5942 т, МПа
44,57
29,85
11 О
ff If I Ц
19,90
I
з 47,18 I
<р, рад. 10
973
6 ,- ,. 11 7,24
",,,,,,,,-,,, ... .... fII-.
42 ..,..,-,.,-",,-
I . '
I I
О
849
откуда
d==70 мм То== 1 кН.м
d== 80 мм
а
б
о
в
о
l
о
\
Рис. 5.5. К примеру 3
146
Реш е н и е. Эпюру крутящих моментов строим, начиная от CBO
бодноrо конца Проводим сечение в пределах первоrо участка, OT
брасываеIvI левую часть и рассматриваем равновесие правой части:
Mz 1 = Т1 = 2 кН . м.
Аналоrично:
Mz 11 = Т1 = 2 кН . м;
Mz 111 = Т1 + Т2 = 2 + 5 = 3 KtI . м;
Mz IV = Т1 + Т2 = 2 + 5 = 3 кН . м;
Mz V = Т1 + Т2 + Т3 = 2 + 5 + 1 = 4 кН . м.
Для нахождения опасноrо сечеIiИЯ строим эпюру максимальных
касательных напряжений:
Н.м
Mz [ 1td3 )
W .
Ттах = р 16 '
Wp
Mz 1 6
ТI = 2 .10 == 47, 18 МПа;
Wp (60)3 . 3,14
16
Mz II 6
2 .1 О
тв = 3 14 = 19,90 МПа;
Wp (80)3 .
,
16
т MzIII 3.106 == 29 85 МПа' ,
111 Wp (80)3 . 3, 14' ,
16
Mz IV 6
TIY = 3.10 = 44 57 МПа;
Wp (70)3 . 3,14 '
16
Mzv 4.106 == 59 42 МПа о!
Ту =
Wp (70)3 . 3, 14 '
16
ОIlасными оказались сечения участков IV и I. Условие прочно
сти t [t] выполняется.
Эпюру уrлов поворота строим, начиная от защемленноrо конца:
<f)L = о;
147
I 11
11,
,1
I
I
4.106.200 з
= 4, 2 . 1 О рад;
8.104 . з,14(70)4
32
з 3 . 1 06 . 200 з
<Рп =<Рк +<PD K =4,2.10 + 4 =6.10 рад;
8 .104 . 3,14(80)
32
3 3 .106 . 400 з
<Ре = <PD + <Pe D = 6.10 + 4 = 9,73.10 рад;
8 .104 . 3,14(80)
32
з 2.106 . 400 з
<РВ =<Pe+<PB C =9,73.10 4 =7,24.10 рад;
8.104 . 3,14(80)
32
6
з 2.10 .800 з
<РА =<Рв +<PA B =7,24.10 . 4 = 8,49 рад.
8 . 1 04 . 3, 14( 60)
32
м У.а
z
<р к = <р L + <р к L c. J р
d= 70 M 1
d=60 ММ
Т2 = 2 кН. м
d = 50 мм
Тз=J кН.м
а
б
L
к
е
-
Т1 = 1 кН. м
А
z
IV
ПI
11 1
а а
о
1
Пример 4. Для ступенчатоrо стальноrо бруса d = 200 мм круrло
ro сечения (рис. 5.6, а) построить: эпюры крутящих моментов, MaK
симальных касательных наllряжений и уrлов поворота поперечных
сечений. Проверить прочность бруса при [т] = 60 МПа.
р е III е н и е. Эпюру крутящих l\fOl\'IeHTOB строим, наЧIIная от CBO
бодноrо конца Проводим сечение в пределах flepBoro участка, OT
брасываем левую часть и paccMaTpI1Bael\f равновесие правой части:
'tшLlх, МПа
2359
в
I
I
о:
23,59
2971 <1', рад. 10 З 1076
l 197
О
u
Mz 1 О кН . 1\1;
Mz 11 = 1 кН . 1\1;
Mz 111 = 1 кН . м;
Mz IV = Т1 + Т2 == 1 кН . м;
Mz V = Т1 + Т2 = 1 кН . м;
Mz УI == Т1 + Т2 Тз = 1 + 2 3 = 2 к11 . м
о
4,0
'tmax == Mz (Wp == 1td3 J;
. Wp I 16
Тl == О;
Рис. 5.6. К примеру 4
MzII 1.106 == 40,76МПа.,
Тll == 3 14
Wp (50)3.'
16
6
'tш == Mz ш 1.10 == 23,S9 МПа;
Wp (60)3 . 3,14
16
б
М z IV = 1 . 1 О = 23 59 МПа.
't IV 3 14' ,
Wp (60)3.'
16
Для нахождения опасноrо сечения строим ЭIII0РУ l\lаКСИl\Iальных
касательныIx напряжеНИJi:
148
149
6
Mz V 1.10 = 14 86 МПа'
TV 3 14' ,
Wp (70)3"
16
М VI 2.106
TVI = z == 3 14 == 29, 71 МПа.
Wp (70)3 .
16
Опасным оказалось сечение участка 11. Условие прочности t < [t]
выполняется.
Эпюру уrлов поворота строиrvl, начиная от защемленноrо конца:
<РМ == о;
Т4 . а 2 . 1 06 . 200 3
<PL == <РМ +<PL M == = 2,12.10 рад;
G . J р 8.104 . 3,14(70)4
32
3 106 .400
<РК == <PL + <Р K L == 2, 12.10 + 4 == о;
8.104 . 3,14(70)
32
106 200 3
<Р D = <Р к + <Р D К = 4 = 1, 97 . 1 О рад;
8 .104 . 3,14(60)
32
3 106 .200
<Ре ==<PD +<Pe D =1,97.10 4 =0;
8 .104 . 3,14(60)
6 32
10 .200 3
<PB=<Pe+<PB e== 4 = 4,0.10 рад;
8.104 . 3,14(50)
32
<РА = <РВ +<PA B = 4,0.10 3 рад.
Крутящий MOIvleHT на тормоз
НОМ шкиве
D 30.10 2
T=P =720. =108 Н.М.
2 2
Полярный момент сопротив
ления и полярный момент инер
ции сечения вала равны:
w = d3 = (4 .10 2)3 ==
р 16 16
= 12, 6 .10 b м3;
J == d4 = (4 .10 2)4 =
р 32 32
== 25, 1 . 1 О 8 М 4 .
Рис. 5.7. К примеру 5
Наибольшие напряжения кручения в сечении вала
м z 108 1 06 2 8 2
't'П1ах == = 6 == 8,6. Н/м == ,6 МН/м .
Wp 12 6.10
Уrол заКРУЧI1вания вала TOpM03Horo шкива
(j)0 == м zl . 1800 == 108 · 0,4 . 1800 == 0,120; (j) == 7'.
С] р 11: 8.1010 . 25, 1.10 8 11:
Пример 6. Стальной вал сплошноrо поперечноrо сечения диа
метром d == 30 мм скручивается моментом Т== 100 Н . м. Определить
наибольшие напряжения кручения в сечении вала и уrол закручи
вания, если длина вала 1 == 1 м.
Реш е н и е. Определяем ПОЛЯРlfЫЙ момент сопротивления и по
лярный момент инерции сечения вала:
w = d3 = (3 .10 2)3 = 5 30 .10 6
р 16 16 '
J = d4 == (3.10 2)4 =7 96.10 8
р 32 32 '
Пример 5. Шкив двухколодочноrо тормоза крана, имеющий диа
метр D == 300 мм, жестко крепится на с талЫfом валу диаlVlетра
d == 40 мм (рис. 5.7). ОпредеJIИТЬ наибольшие напряжеIIИЯ кручения
в сечении вала, если сила нажатия на колодки торrvl0зноrо шкива
Q == 900 Н, коэффициент 'Фения скольжения между колодками и
шкивом f = 0,4. Чему равен уrол закручивания вала, если 1 == 400 MlVI?
Реш е н и е. Окружн:ое усилие на ТОрlVfОЗRОМ шкиве равно силе
трения, возникающей между колодками и шкивом: Р == 2Qf == 2 . 900 х
х 0,4 == 720 Н.
м3.
,
о!
м4.
Iаибольшие напряжения кручения в сечении вала
м z 100 6 2 2
't'П1ах = = 6 ==18,9.10 Н/М =18,9 МН/м.
Wp 5,30 .10
150
151
d > k8Poc == 1,6 kPOC .
п[т] [т]
у roJ.t закручивания вала
Mz/ 1800 .100.1 . . 1800 = О 90. = 54'
«>0 "" GJ ' 1t 8.1010 . 7,96 .10 8 1t " <р ·
Пример 7. Определить величину наибольшеrо вращающеrо MO
мента, который может передавать вал диаметром d = 35 мм, если
наибольшие напряжения кручения не должны превыIатьь tmax::::
== 60 МН/м2.
Реш е н и е. Наибольшие напряжения при кручени:и определя
ются по формуле
Поправочный коэффициент
k == 4с + 1 == 4.6 + 1 == 1,25.
4с 4 4 . 6 4 ·
По рабочей характеристике пружины определяем величину Ha
rpузки Ро, при которой витки смыкаются, и соответствующую Be
JfИчину осадки пружины: Ро = 800 Н и Ао = 20 мм.
Диаметр ПРОВОЛОКИ
d > 1, 6 1, 25 · 8006' 6 = 6, 2 . 1 О з м;
400 .10
Mz
'tП1dХ = W '
р
откуда соответствующее значение вращающеrо момента
Mz = Jtmax.
Полярный момент сопротивления сечения вала
принимаем диаметр проволоки d = 7 мм.
Средний Д1lаметр пружины
D = cd = 6 . 7 . 1 о з = 42 . 1 о з м = 42 мм.
Рабочее число витков определяем из формулы осадки пружины:
Gd4ло 8.1010 (7 .10 3)4 . 20 .10 3
п= =8
8PoD3 8 . 800(42 .1 0 3)3
w = !!:.d3 = !!:.(З 5 .10 2)3 = 8 4 .10 6
р 16 16' ,
м3
,
тоrда
Mz = )Tтax = 8,4 . 10 6 . 60 . 106 = 504 Н . м.
Пример 9. Концентрически расположенные между двумя непо
датливыми плитами стальные цилиндрические винтовые пружины
Пример 8. Спроектировать стаЛЬНУIО цилиндрическую винто
вую пружину сжатия по заданной рабочей характеристике (рис. 5.8).
Индекс пружины с = 6. Допускаеl\fое напряжение [t] = 400 МН/м2.
Реш е н и е. Спроектировать пружину это значит определить
диаметр проволоки d, средний диаметр пружины D и число рабо
чих витков n.
подверrаются сжатию силой Р =
= 400 Н (рис. 5.9). Наружная пру
жина имеет средний диаметр вит
ков D1 = 80 мм, толщину проволоки
d1 = 8 мм и число рабочих витков
nl = 6. Внyrренняя пружина имеет
среДIIИЙ диаIVlетр витков D2 = 60 мм,
толщину проволоки d2 = 6 мм и
число рабочих витков п2 = 8. Опре
делить осадку пружин, распределе
ние наrpузки между ними и наи
большие касательные напряжения
в каждой пружине в отдельности.
Реш е н и е. Для определения Be
личин сил Рl И Р2' приходящихся
На наружную и внутреннюю пру
жины, статика дает только одно
уравнение:
H
Условие прочности пружины Иl\fе
ет вид
R - 800 -- .... .... ....
q ,
I
f
,
Ао-20
8роп
'tJ11aX = k 3 <[т].
nd
/ Учитывая, что Djd == с, перепишем
условие ПРОЧ1IОСТИ в виде
k ВРоС <
т шах 2 ...... [т J,
тcd
J\jHH
Рис. 5.8 К примеру 8
откуда диаметр проволоки
152
:01
Р
о
Рис. 5.9. К примеру 9
153
Р1 + Р2 == р== 400 Н,
Так как индексы обеих пружин одинаковы, то поправочные KO
ЭффИЦУlенты будут также равны:
k k 4Сl + 1 4. 1 О + 1 1 1
2 1 , 4.
4Сl 4 4 . 1 О 4
Наибольшие касательные напряжения в наружной пружине
.
следовательно, задача является статически неопределимой.
Недостающее для решения задачи второе уравнение ПОЛУЧИ l из
рассмотрения деформаций пружин Из за неподатливости плит обе
пружины получают одинаковые осадку!. Осадки llаружной и BHYT
ренней пружин определяют по формулам:
л 8P1D{п1. л 8P2D п2
1 Gd{ , 2 Gdi .
Так как осадки обеих пружин одинаковы, то
't " ==Ь 8 D1 ==1,14 8.2S6.80.10 3 ==116,1.106 Н/м2 ==116,1 MfI/M2.
шах 1 "1 1td( п(8.1 0 3)3
Наибольшие касательные напряжения во внутренней пружине
3
8Р1 D1 пj
Gd{
3
8P2D2 п2
Gd
"с. ==k 8P2D2==1,148'144'60'10 3 ==116,1.106 н/м2==116.1 мн/м2.
шах 2 2 1tdi п(6.1 0 3)3
или
P1Dlпl P2D п2
d{ di
Отсюда находим СООТIlошение сил:
Р1 == D п2d{ == (60 '10 3)3 . 8(8 .10 3)4 == 1,78
Р2 D{п1d (80 .10 3)3 . 6(6 .10 3)4
Задачи
1...10. Для одной из схем (рис. 5.10, табл. 5.2) 1I0СТРОИТЬ эпюру
крутящих l'vfOl'vfeHTOB; определить диаметр вала на каждом участке и
полный уrол закручивания. Указания: мощность на зубчатых коле
сах принять Р2 == 0,5 Рl' рз == 0,3 Рl' Р4 == 0,2 Р1.
Получеllное расчетное значение диаметра (в миллиметрах) oKpyr
лить до ближайшеrо большеrо числа, оканчивающеrося на О, 2, 5, 8.
Таблица 5.2. Исходные данные к задачам 1...10
Решая совместно равенства
Р1 + Р2 == 400 и Рl == 1,78 Р2'
Номер Величина Номер Величина
задачи Вари задачи Вари
и схемы ант Ф, Р, И схемы ант 0), Р,
на рис. 5.10 рад/с кВт на рис. 5.10 рад/с кВт
Задача 1, 00 20 30 Задача 2, 02 40 18
схема 1 14 30 22 схема 11 16 35 40
26 50 15 28 30 32
35 34 24 37 36 24
43 28 36 45 15 14
57 40 25 59 35 10
61 43 18 63 42 15
74 28 20 76 45 38
81 40 24 80 20 50
94 50 30 96 36 15
,,
получаеl'vf
Р1 == 256 11 и Р2 == 144 Н.
Осадка пружин
3
1 1 1 8P1D1 пl
1\ 1\1 1\2
Gd{
8.256. (80.1 0 3)3 .6 == 19, 2 .10 3M == 19,2 мм.
8.1010 (8 .10 3)4
Для опреде.J"ТIения напряжений вычислим индексы ПРУЖИII и II0
правочные коэффициенты:
D1 80
С1 == d; 18 == 10,
D2 60
C2== == ==10.
d2 6
')
154
155
"
о!
Продолж:ение табл. 5.2
Окончание табл. 5.2
Номер Величина Номер Величина
задачи Вари задачи Ba
и схемы ант (О, Р, и схемы ри (о, Р,
на рис. 5.10 рад/с кВт на рис. 5.10 ант рад/с кВт
Задача 3, 03 24 12 Задача 4, 01 22 14
схема 111 19 48 18 схема IV 17 40 16
21 30 20 29 50 20
36 40 19 34 30 24
48 25 14 46 48 45
58 60 60 56 50 42
62 22 30 60 68 40
79 36 15 77 20 19
87 42 10 84 SO 17
99 35 12 97 48 30
Задача 5, 05 35 32 Задача 6 07 40 18
схема V 18 15 60 схема V] 10 50 40
20 20 58 22 42 38
38 18 З8 31 38 35
47 24 31 39 20 60
51 30 37 53 30 50
65 28 42 67 30 45
78 18 55 72 33 30
83 23 45 82 28 16
98 12 28 90 20 20
Задача 7, 06 45 10 Задача 8, 04 18 40
cxervIa VII 12 42 20 CXel\1a VIII 11 18 38
25 30 24 23 30 42
25 48 40 30 35
42 18 12 49 24 30
52 50 24 50 52 32
66 30 16 64 15 15
73 20 30 75 45 14
89 24 38 86 50 20
93 48 40 91 20 25
Номер Величина Номер Ba Величина
задачи Вари задачи
п схемы ант (О, Р, и схемы ри (о, Р,
на рис. 5.10 рад/с кВт на рис. 5.10 ант рад/с кВт
Задача 9, 09 10 25 Задача 10, 08 31 27
схема IX 13 50 30 схема Х 15 35 32
24 38 23 27 20 48
33 12 42 32 30 52
41 24 36 44 40 12
55 38 30 54 24 62
69 42 60 68 20 40
71 32 65 70 15 22
85 10 50 88 25 28
92 18 25 95 48 70
11. Рассчитать из услови:я жесткости при [8] = 0,4 rpaд/M требуе
мый диаметр вала, передаЮlцеrо мощность Р = 40 кВт при частоте
вращеlIИЯ n = 240 об/мин. ОпредеЛIIВ диаметр вала, IIайти коэффици
ент запаса по IIределу текучести 1:'1' = 140 МПа; G = 0,8 . 105 мн/м2.
12. Определить из условия прочности при [1:к] = 35 МПа требуе
IЫЙ диаметр вала, передающеrо l\10ЩНОСТЬ р:::: 50 кВт при частоте
вра1цения n = 300 об/l\1ИН. tIайти уrол закручивания вала на длине
1 = 5d, rде d ПРИfIЯТЫЙ диаl\lетр вала.
13. Сплошной стальной вал, рассчитанный из условия жестко
сти при [Е>] = 0,008 раД/IvI на передачу мощности р= 120 кВт при
частоте вращения 11 = 270 об/мин решеllО заl\fенить стальным валом
колыIевоrоo сечеlIИЯ с отношеllиеl\1 диаl\lетров с = do/d = 0,8, не сни
жая ero жесткости; G = 0,8 . 105 МН/м2. Во сколько раз вал кольце
BOI'O сечения будет леrче СПЛО1IIноrо?
14. Сплошн:ой стаЛЫIОli вал, рассчитанный на передачу мощно
CTII 250 кВт при частоте вращения 11 = 360 об/мин и [1:к] = 40 МПа
решено заменить валом кольцевоrо сечеlIИЯ с отношением диаlVIет
ров с = do/d = 0,75. Определить диаметры BaJla кольцевоrо сечения,
не снижая ero прочности по сравнеН11Ю со сплошным. Во сколько
раз вал кольцевоrо сечения будет леrче СПЛО1IIноrо?
15. Для передачи какой МОЩIIОСТИ при частоте вращения 11 =
= 450 об/мин рассчитан вал ди:аметром d = 35 мм, если [1:к] = 35 МПа
и [8] = 0,007 рад/м?
16. Рассчитать наружный d и внутреlIНИЙ do диаметры полоrо
сталь.ноrо вала для передачи мощности р:::: 30 кВт при частоте Bpa
156
157
]
Q1H
811
11
111
o,SH
IV
v
V1
поперечном сечении не превышали ['tK] = 42 MIla, а относительный
уrол закручивания был бы не более [8] = 0,8 rрад/м?
19. Определить диаметр стальноrо вала для передачи мощности
р = 25 кВт при частоте вращения п = 270 об/ rин из условия проч
ности, приняв ['tK] = 16 МПа. Исходя из принятоrо размера диамет
ра Ba a, определить уrол закручивани:я на длине 1 = 6d, rде d при
нятыи диаметр вала.
20. Стальной вал должен передавать мощность Р = 30 кВт при
частоте вра1цения п = 240 об/мин. Определить требуемый диаметр
вала из условия ero жесткости, если [8] = 0,5 rрад/м. Какими будут
наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении вала
при принятом значении диаметра?
21. Стальной вал передает мощность Р = 15 кВт при частоте Bpa
щения п = 420 об/мин. Определить диаметр вала из условия проч
ности, еСЛJI ['tK] = 60 H/l\fM2. Определив диаметр, найти уrол закру
чивания вала на ДЛИIIе 1 = 300 мм.
22. Определить диаметр стальноrо вала для передачи мощности
р = 7,56 кВт при п = 240 об/мин из условия жесткости, приняв
[8] = 0,4 rрад/м. Найдя диаметр вала, определить наибольшие Kaca
тельные напряжения в ero поперечном сечении.
23. При какой :наименьшей уrловой скорости стальной вал коль
цевоrо сечения (d = 40 IvIM И С = do/d = 0,7) может передавать мощ
ность Р = 15 кВт, чтобы максимальные касательные напряжения в
поперечном сечении не превышали ['tl{] = 35 Н/мм2, а относитель
ный уrол закручивания был бы не более [8] = 1 rрад/м.
24. Рассчитать IIаРУЖIIЫЙ d и внутренний do диаметры полоrо
стальноrо вала для передачи мощности Р = 1 О кВт при частоте Bpa
щения п = 540 об/Ivrин, считая, что ['tK] = 32 Н/мм2, [8] = 0,009 рад/м
и с = do/d = 0,6.
25. Определить из условия прочности диаметр стальноrо вала,
передающеrо мощность р= 5 кВт при частоте вращения п = 300 об/мин.
Принять ат = 140 Н/мм2. При найденном диаметре вала определить
относительный уrол закручивания [8] в rрад/м.
26. Для передачи какой мощности при частоте вращения
п = 600 об/мин рассчитан стальной вал диаметром d = 32 мм, если
['tK] = 40 Н/мм2 и [8] = 0,01 рад/м?
27. Сплошной вал, рассчитанный на передачу мощности Р = 500 кВт
при частоте вращеflИЯ п = 450 об/мин и ['tK] = 40 Н/мм2, решено за
менить валом кольцевоrо сечения с отношением диаметров с =
= do/d = 0,5. Определить диаметры вала кольцевоrо сечения, не сни
жая ero прочность rIo сравнению со сплошным валом. На сколько
процентов снизится Ivlacca вала?
28. Определить из условия жесткости при [8] = 0,1 rрад/м Tpe
буеIvrый диаметр вала, передающий мощность Р = 50 кВт при частоте
"
0$",
VI1
р,
VIII
х
о.8н O,SI1
Рис. 5.10. К задачам 1...1 О
щения п = 210 об/мин, считая, что ['tK] = 30 МПа; [8] = 0,008 рад/м
и с = do/d = 0,6; G = 0,8 . 105 MH/l\f2.
17. Определить из условия жесткости диаметр стальноrо Ba
ла, передающеrо l\fОЩНОСТЬ Р = 16 кВт при частоте вращения
п = 240 об/мин. приняв [8] = 0,3 rраД/l\I; G = 0,8 . 105 МН/м2 Каким
будет у вала фактический запас прочности по отношению к преде
лу текучести 'tT = 140 МПа?
18. При какой наимеlIьшей уrловой скорости стальной вал коль
цевоrо сечения (d = 50 мм и с = do/d = 0,6) может передать мощ
ность Р = 20 кВт, чтобы l\lаксимальные касательные напряжения в
158
159
j
i
111
вращения п = 650 об/мин. КаКИl\I будет коэффициент запаса проч
ности вала, если предел текучести Ivlатериала вала t r == 140 H/l\fM2?
29. Рассчитать из условия прочности при r tK] == 40 Н/мм2 Tpe
буемый диаIvlетр вала для передачи l\IОЩНОСТИ р == 40 кВт при
п = 360 об/мин. Определить уrол закручивания вала на длине 1 == 5d,
rде d принятый диаметр вала.
30. Сплошной стальной вал, рассчитанный из условия жестко
сти при [0] == 0,008 рад/м на передачу мощности Р == 120 кВт с час
тотой вращения п == 240 об/мин, решено заме1fИТЬ стальным валом
кольцевоrо сечения с отношеllием диаl\fетров с = do/d == 0,6, не сни
жая ero жесткости. Во сколько раз вал кольцевоrо сечения будет
леrче сплошноrо?
Методика решения задач 11...30 состоит в расчете вала
на кручение как из условия ПРОЧНОСТI1, так и из условия жеСТКОСТI1.
Приступая к решению задачи, студенту необходимо знать сле
дующее.
Если передаваемая валом мощность Р выражена в кВт, уrловая
скорость (о в рад/с, а внешние момеlfТЫ Т, скручивающие вал, нуж
но выразить в Н . l\fM, то заВИСИl\fОСТЬ между этими величинами вы
ражена уравнением
nп
ш== .
30
(5.18)
1) находим полярный момент сопротивления Wp;
2) полаrая в выражении условия прочности tmax == [tK], находим
допускаемое значение крутящеrо момента [Mz] == Wp [tK];
3) наХОДИl\f допускаемое значение приложенных к валу внешних
(вращающих) моментов (в задачах контрольноrо задания [т] == [Mz]);
4) из уравнения, выражающеrо зависимость между вращаЮЩIIМ
моментом, уrловой скоростью и передаваемой мощностыо, Haxo
дим, какую максимальную мощность можно передать с ПОl\fОЩЬЮ
данноrо вала при заданной уrловой скорости или наименьшую
уrловую скорость вала, при которой может передаваться заданная
мощность.
Про е к т 1l bl Й Р а с ч е т рекомендуется производить в такой
последовательности:
1) находим крутящий l\fOMeHT в поперечном сечении вала;
2) rlолаrая в выражении условия прочности tmax == [tK], находим
требуемую величину полярноrо момента сопротивления:
М
W == . (5.19)
р ['tKJ'
3) исходя из фОрl\fЫ попереЧIIоrо сечения вала (Kpyr или коль
цо), по найденному значению Wp определяем величину диаметра
вала. полученное значеlIие диаметра, выраженное в миллиметрах,
следует окруrлить в сторону увеличения до ближайшеrо целоrо
четноrо числа или числа, оканчивающеrося на 5.
Прl1 расчетах валов на жесткость допускаемый уrол закручива
ния [0], соrласно МеЖДУllародной системе единиц (СИ), должен
быть задаlf в рад/м, но на практике ero значение часто задается
в rрад/м. в этом случае величину уrла закручивания необходимо
перевести в единицы СИ, умножив на отношение 7t/1800. о
НаПРИl\lер, если дано [0] == 0,4 rpад/м, то 0,4 rрад/м = 0,4 . п/180 ==
= 0,007 paд/rvl, Т.е. [0] = 0,4 rpaд/M == 0,007 рад/м, или [0] = 7 . 10 3 рад/м =
= 7 . 10 6 раД/Мl\f.
Из условия жесткости (5.11) можно производить также три вида
расчетов, аналоrичных расчетаIvI на прочность.
Последовательность пр о в ер оч н о ro р а с чета:
1) найти максимальный крутящий момент;
2) определить полярный момент инерции поперечноrо сече
IIИЯ вала;
3) определить фактический относJtIтельный уrол закручивания
М
е = z (5.20)
JpG'
rде G модуль сдвиrа материала бруса (для стали G = 8 . 104 Н/мм2);
4) сравнивая 0 с r8], определить, соблюдено или нет условие
жесткости.
1: ,1
" "
I
Т==106Р. (5.17)
(J)
3адаННУIО в условии задачи частоту враlцения п (об /МИII) леI"КО
перевести в единицы уrловой скорости (о (рад/с) по формуле
Из условия прочности на кручеlII1е (5.10) МОЖIIО производить
три вида расчетов:
а) провеРОЧIIЫЙ; б) определение допускаемой наrрузки IIa вал;
в) проектный, т.е. определение необходимоrо диаl\Iетра вала.
Пр о в е р о ч н bl Й Р а с ч е т ВЫПОЛIlяется в такой последователь
ности:
1) находим маКСИlVlальный крутящий rvloMeHT в поперечном сече
нии вала (в задачах 11...30);
\ 2) определяем полярный MorvleHT сопротивлеfIИЯ сечения вала
Пj) по соотвеТСТБУIОЩИl\f фОРl\fулам для Kpyra или кольца;
3) находим IvlаКСИl\fальное расчеТIfое касатеЛЫfое напряжение (5.5);
4) сравнивая тmахс [tJ(]' определяем, соблюдено или нет условие
прочности.
Расчет на определение допускаемой наzрузки вa
л а выполняется в такой последовательности:
160
161
Последовательность рас ч ет а Д опус к ае м о й н а rpy3 ки:
1) опредеЛl1ТЬ полярный MOl\IeHT ин:ерции попереЧIIоrо сечения
вала;
2) полаrая, что 0 = [0], из выражения условия жесткости опре
делить допускаеl\IЫЙ крутящий l\fOMeHT [Mz] = [е] . J р . С;
3) по допускаеМОl\fУ крутящеl\IУ моменту найти допускаемое 3Ha
чение приложенных к валу внешних скручивающих ero l\fOl\leHTOB
(в задачах 11...30 [т] = [Mz]); "
р
4) из уравнения Т = определить либо l\tIаксимально допускае
u)
мую мощность, KOTOPYIO можно передать при заданной уrлово:Й
скорости, либо l\IИНIIмаЛЬНУIО уrЛОВУ1О скорость вала, при которой
можно передать задаlIlIУЮ мощность.
Если расчет допускаемой наrpузки
выI0лняетсяя И3 условия жесткост:и и
И3 условия flрОЧIIОСТИ, ТО из двух по
лучеНIIЫХ допускаемых значений [Mz]
следует выбрать меlIьшее.
Последовательность про е к т н о r о
расчета:
1) найти IvIаксимаЛЫIЫЙ КРУТЯ1ЦИЙ
момент в поперечном сечении вала;
2) полаrая в выражении условия
жесткости 0 = [0], определить требу
емую величину полярноrо момента
инерции
11
72
7j
Т"
........
." J) I I
1 J .......\... r...J f-ooo
?ь. , , t l r l
\ \ \ '
-Ifr. 'Т2 /1j, '
II +.... + I
\ \ ,
/; 17; 1f /ТS '
111 ..t tr----"+ H--.a
" \ , ,
/Т, 17; ,Т; '19
IV.. t- '=s1t ..+ 1--1
"' , \" "
jT, '71 /7j i7i,
H" "+ +
" " , \
j 1; . 7i I
VI fo-o--.. f-- f--- --t1.
\ \
/; Jr, J7i ,14 ,14
I 11 ..+ I...,
\ " \ '
z 171 J I A1f
.. ....... + I+
\ \. \
" 17; 472 17j ,7f
IX.. .. t ':1 ......... ---+- I+
\ ' \"
I 11 1f I 13' 7f
х... fo-o--.. +- 1 .. + н .......
а' IJ \ , , Q \
...
"
V
VII
VIII
Рис. 5.11. К задаче 31
162
схемы I X). Левый конец вала жестко закреплен в опоре а правый
:конец свободен и ero торец Иl\fеет уrловые переме1цения ОТIIОСИ"
теЛЫIоrо левоrо конца. Требуется:
1) построить эпюру крутящих l\tl0MeHToB по ДЛИIlе вала;
2) при заданном значении допускаемоrо напряжения на круче
НИI1 определить диаметры d1 и d2 вала И3 расчета на ПрОЧIIОСТЬ, по
J1ученные значения окруrлить;
3) построить эпюру действительных напряжений кручен:ия вала
по длине вала;
4) построить эпюру уrлов закручивания, приняв О,4Е (Е =
=2.105 МПа). ДаlIIlые взять И3 табл. 5.3.
Таблица 5.З. Исходные данные к задаче 31
м
Jp == G [ J;
3) исходя из фОрl\IЫ поперечноrо ce
чения вала (Kpyr или кольцо) по найден
HOIvty 31Iaчению Jp определить диаметр
(ВЫЩ1сленное значеШlе d следует oкpyr
лять в сторону увеличеlШЯ до ближаiI
шеI О целоrо четноrо числа МIJJШИМетров
или числа, окан'lliВаЮll еrося на 5).
Если проектный расчет вала про
изводится И3 УСЛОВI1Я жесткости и из
условия прочности, то из двух вычис
леНIIЫХ значений диаметра вала сле
дует выбрать большее
31. К сталЬНОl\1У ступенчатому валу,
имеющему сплошное поперечное сече..
fше, 11JЛ1Ложены четыре MOMelffil (рис. 5.11,
Расстояние, м Момент, кН . м [t],
Вариант Ь Т1 Т2 Тз Т4 МПа
а с
1 1,0 1,0 1,0 5,1 2,1 1,1 0,1 30
2 1,1 1,1 1,1 5,2 2,2 1,2 0,2 30
3 1,2 1,2 1,2 5,5 2,3 1,3 0,3 35
4 1.3 1,3 1,3 5,4 2,4 1,4 0,4 35
,
5 1,4 1,4 1,4 5,5 2,5 1,5 0,5 40
6 1,5 1,5 1,5 5,6 2,6 1,6 0,6 40
7 1,6 1,6 1,6 5,7 2,7 1,7 0,7 45
8 1,7 1,7 1,7 5,8 2,8 1,8 0,8 45
9 1,8 1,8 1,8 5,9 2,9 1,9 0,9 50
10 1,9 1,9 1,9 6,0 3,0 2,0 1,0 50
(5.21 )
32. Спроектировать сталЫlУЮ цилиндрическую ВИНТОВУIО пру
ЖIIНУ, если маКСIIмальная сжиl\tIающая HarpY3Ka Р = 600 Н, допуска
емое напряжение [t] = 600 MHjM2, индекс пружины с = 8 и осадка
л. = 35 ММ.
33. Две концентрически расположенные между двумя неподат
ливыми плитами цилиндрические винтовые пружины подверrают
ся сжатию силой Р = 200 Н. Наружная пружина, изrотовленная из
восы\имиллиметровойй стаЛЫIОЙ проволоки, имеет средний диаметр
D1 = 120 Ml\1 и шесть рабочих витков. Внутренняя ПРУЖIIна, изrо
товленная И3 шестимиллиметропой бронзовой проволоки, Иl\lеет
средний диаl\fетр D2 = 80 l\IM И 8 рабочих витков. Определить ocaд
ку пружин, распределение IIаrpузки rvIежду ними и: наибольшие Ka
сательные напряжения в каждой пружине в отдельности. Модуль
сдttиrа бронзы G = 4,2 . 104 МН/м2.
163
34. Спроектировать цилиндрическую
винтовую пр ужину сжатия по заданной
рабочей характеристике (рис. 5.12). ИII
декс пружины с = 6, материал проволоки
фосфористая бронза. Допускаемое напря
жение [t] = 200 MHjM2. Модуль сдвиrа
G = 4,8 . 104 MHjM2.
35. Спроектировать стальную цилинДри
.i\ A.lU ческую винтовую Пружину При макси
J ,-".,
rvrальной растяrивающей наrpузке р = 800 Н,
допускаеIvl0М напряжении [t] = 500 MHjM2,
индексе пр ужины с = 6 и наибольшеIvf
удлинении пружины 21 мм.
36. Проверить прочность пружины буфера MOCTOBoro крана
(рис. 5.13), если IIаибольшая сила нажатия на буфер р = 36 кН
U тах ,
сред ии диаметр пружины D = 140 мм и диаметр проволоки, из KO
торои она свита, d == 30 мм. Чему равна при этом осадка пружины?
Число рабочих ВИТКОВ пружины п == 7, модуль сдвиrа G == 8,2 х
х 104 MHjM2, допускаемое напряжение [т] == 640 м HjM2.
I1н
650
42
Рис. 5.12. К задаче 34
между витками удвоится по сравнению с зазором между ними в He
напряженном состоянии пружины, равном 3 l\1M. Чему будут равны
при этом наибольшие касательные напряжения, если наружный
диаметр пружины D" = 120 IvlM?
39. Стальная винтовая цилиндрическая пружина, изrотовленная
из проволоки диаметром d = 16 мм, имеет средний диаметр витков
D = 120 ММ. Определить величину допускаемой сжимающей наrруз
ки, если напряжение в витках пружины не должно превосходить
300 MHjM2. Чему равна осадка пружины, если число рабочих вит
ков п = 6?
40. Определить требуемый диаметр проволоки пружины, чтобы
при среднем диаметре D = 120 мм и наибольшей растяrивающей
наrpузке Р = 350 Н удлинение, приходящееся на один виток, равня
лось 6 мм. Чему будут равны при этом наибольшие касательные
напряжения?
41. Как изменится величина допускаемой наrрузки пружины в
преДЫДУ1цей задаче, если средний диаIvIетр ее и диаметр проволоки
уменьшить в 2 раза?
р
Рис. 5.14. К задаче 37
164
Рис. 5.13. К задаче 36
37. Для определения модуля сдвиrа BЫ
сокоуrлеродистой стали пружина, изrотов
ленная из этой стали, была установлена на
прессе (рис. 5.14). Чему равен модуль сдви
ra этой стали, если при давлении пресса
750 Н индикаторы показали осадку пружи
ны 8,47 мм? Наружный диаметр пружины
dIl = 90 мм, диаметр проволоки d = 12 мм,
число рабочих витков п = 5.
38. Цилиндрическая винтовая пружина,
изrотовленная из 14 миллиметровой сталь
ной проволоки, подверrается растяжению.
Определить силу, при которой зазор в свету
Приложиl\tl К КОIIцам балки два раВIIЫХ, но противоположно Ha
правленных l\tl0l\fеита. Стержень ПОД действием приложеlIНЫХ изrи
бающих MOMelIToB проrнется, начерченные наl\IИ 11рямые останутся
ПРЯIvlЫМИ и перпеНДИКУЛЯРIIЫl\fИ к JIЗОI'НУТОЙ оси стержня. Из этоrо
можно вынести заключение о том, что плоские поперечные сечен:ия
и после дефОРl\tlации остаются плоскими. !{роме Toro, исходя из
этой модели, l\tl0ЖНО сказать, что продольное укорочение волокон
на воrнутой стороне сопровождается УДJIинеlI1lем в поперечном Ha
правлении, а продольное удлинен:ие волокон на выпуклой CTOpO
не сужениеl\I в 1Iоперечном направлении.
Элементы реальных конструкций часто испытывают деформаЦИIО
изrиба, ПОЭТОl\tIУ объектом решеНI1Я во l\tIноrих задачах являются
балки или балочные систеIvlЫ. Балкой называются брусья с прямо
ЛИI-IеЙlfОЙ осью, положенн:ые на опоры и изrибаемые приложенны
ми к НИl\f наrpузкаl\fИ. Балки преДIIазначены для передачи действу
ющих Ifa них наrрузок на опоры. На опорах балки возникают peaK
ции, с нахождения которых начинают реше.ние всех задач, связаlI
ных с изrи60М.
Опоры балок делятся на тр:и ОСlfОВНЫХ вида:
. шарнирно неПОДВI1жная;
. шаРНИРНО ПОДВJIжная;
. жесткая заделка (защемление).
ШаР1lИР1l0 1fеподвИЖ1lая опора (рис. 6.3) не дает возможности пе
редвиrаться концу балки. Неизвестную по величине и направлению
реакцию R, деЙСТВУЮIl УIО на балку, можно раЗЛОЖIIТЬ на две реакц:ии
RA , RA ,IIe известных по веЛИЧИIlе, но известных по IIаправлеfIИЮ.
!/ Х
Шар1lИр1l0 подвИЖ1lая опора (рис. 6.4) отличается от шарнирн:о
неПОДВИЖIIОЙ TeIvl, что она поставлена на катки и может двиrаться.
Подвижная опора не дает ВОЗl\10ЖНОСТИ перемещаться концу балки
в IIаправлении, перпендикулярном к оси балки. Итак, мы можеl\1
сказать, что в шаРI-IИРНО ПОДВИЖНОЙ опоре есть только ОДIlа peaK
ция, извеСТlfая по напраВJIени:ю и не известная по величине.
Жесткая заделка (защемле1lие) (рис. 6.5) препятствует всякому
перемещеНИIО балки, ее также невозможно вращать. В жесткой за
rпasa 6
. .
НДПРЯЖЕННО"ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ изrИБЕ
6.1. Общие сведения
F
Для начала рассмотрим пря
молинейный призматический брус
с продольной плоскостыо СИl\Il\tlет
рии (рис. 6.1). Изrиб бруса си
лами, перпендикулярными к ero
оси и лежащими в той же плос
кости, через которую проходит
ось бруса, называется попереч..
IlЫМ изzибом.
Такой изr:иб, коrда в плоскости
происходит деформация, называется
F
F
Рис. 6.1. 11ризматическиЙ брус
действия внешних наrpузок
плоским изzибом.
Изrиб бруса, который ПРОИСХОД1IТ под действием двух равных
IvIoMeHToB, IIаправленных в противоположные стороны, называется
чистым и3luбо:м.
Для Ifаrлядноrо рассмотрения изr:иба раССl\tl0ТрИМ призматиче
ски:Й резиновый стержень (рис. 6.2, а, б). Для проведения экспери
l\feHTa начертим на ero rранях две ЛI1НИИ, параллельные друr друrу,
и перпендикулярные к НИl\1 оси.
а A/ I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _f_ A/
б А/( jA/
Рис. 6.2. Резиновый стержень
Рис. 6.3. Шарнирно
неподвижная опора
166
RA
у
МА
Рис. 6.4. Шарнирно под
вижная опора
Рис. 6.5. Жесткая заделка
167
делке возникает реаКЦIIЯ, не известная ни по величине, ни по Ha
правлению, препятствующая перемещени:ю конца балки, и реактив
ный момент, препятствующий вращению. Реакцию R можем заме
нить реакциями RAy и RAx. После этоrо можем сказать, что при
жестком защемлении возника1ОТ три неизвестных реакции RA , RA ,
х у
МА Чаще Bcero на практике сталкиваются с силами, действующи
ми перпендикулярно к оси балки. В этом случае реакция RA ro
х
ризонтальная составляющая не применяется.
Определение опорных реакций. Если на балку действуют силы,
которые лежат в одной плоскости, из статики имеем три уравнения
равновесия
наrpузки, приходящаяся на единицу длины). Если F сплошная
F
наrрузка, 1 длина участка, то q = интенсивность; ее размер
1
ность обычно KHjM. При заданной интенсивности и длине участка,
на котором она действует, веЛИЧI1на силы определяется как произ
ведение интенсивности на длину: F = q . 1.
6.2. Эпюры поперечных сил и иэrибающих моментов.
Общие положения
IX = о; IY = о; 'LM = О,
(6.1 )
В общеl\1 случае ПРЯl\Iоrо изrиба в поперечных сечениях бруса
возникаIОТ два внутренних силовых фактора:
· поперечная сила;
'" u
. изrиоающии 10MeHT.
ПопереЧI-Iая сила в любом перечном сечении бруса численно
равна алrебраической cYIvlMe проекций на ось .У всех внешн:их сил,
деЙСТВУIОЩИХ по одну сторону оси сечения
Изrибающ:ий MOlVleHT равен сумме моментов, вычисленных OT
I-Iосительно цеl-Iтра тяжести сечения, всех внешних сил, действую
щих по одну сторону от сечения.
[рафики, показываlощие закон измеI-Iеl-IИЯ Q и м по длине бал
KI1, называют эпюрамu. Для построения эпюр существует несколь
ко способов:
. aI-Iалитический:
· по характерным точкам;
. путеl\1 сложения сил.
Характер эпюр зависит от способа наrружения балки.
Для определения знаков поперечной силы и изrибающих MOMeH
тов существуют нижеследующие правила.
Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки
по часовой стрелке BOKpyr той точки оси, которая соответствует про
веденному сечению, берется со знаКОlVl плюс, а внешняя сила, CTpe
мящаяся повернуть балку против часовой стрелки BOKpyr указанной
точки, вызывает отрицательную поперечную силу, т.е. берется со зна
ком минус.
Внешняя сила (пара сил), изrибающая отсечеННУ1О часть балки
относительно проведенноrо сечения выпуклостью вниз, дает поло
жительный изrибающий момент, а внешняя сила, изrибающая OT
сеченную часть балки выпуклостью вверх, дает отрицательный из
rибающий 1VlOMeHT.
Между изrибающим моментом М, поперечной силой Q и интен
сивностью распределения наrрузки существует связь:
dQ · q dM == Q =>
rЬ dx
т.е. для равновесия балки надо, чтобы сумма проекций всех сил,
приложенных к балке, Bl\IeCTe с реакциями была равна нулю, а TaK
же должна быть равна нулю сумма моментов.
Если силы, действующие на балку, перпендикулярны к ее оси, то
уравнение IX = о ненужно, т.е. остается два ураВlfения:
IY= о; IM = о.
(6.2)
Если балка ИlVlеет такие опоры, в которых общее число связей
меньше или paBJIO двум, то последн:ие всеrда MorYT быть определс
ны из уравнений статики. В ЭТОl\1 случае балКlI называются стати
чески определимыми балками. Их существует Bcero два вида:
· балка с одним жестко заделаJIНЫМ КОJIЦОIvr и одни:м своБОДНЫIvl;
· балка с одной шарНИрНО IIеподвижной и друrой шарнирно
подвижной опорой.
Балка, прив-еденная на рис. 6.6, называется консольной. Свеши
вающиеся концы называют КОНСО.п:ями. Балки, у которых общее чис
ло реакций больше числа уравнений стаТИКll, называют статически
неОI1редеЛИМЫlVIИ балками. В даННОl\1 случае требуется составить:
· уравнение статики;
· уравнение деформации балок.
Если н:а балку будет действовать сплошная равномерно распре
деленная наrpузка, как мы можем видеть на рис. 6.7, то НУЖI-IО pac
смотреть понятие интенсивности сплошной наrрузки (это величина
'/6/.
};)h
Рис. 6.6. Консольная балка
Рис. 6.7. Равномерно распреде
ленная наrрузка
168
169
Q = qx + (20;
dM
= Q = qx + Qo;
dx
х2
M=q +Qox+Mo,
2
(6.3)
3. В точке приложения сосредоточенной пары сил на эпюре Мх
моментов наблюдается скачок на величину момента этой пары, а
эпюра Qy не претерпевает изменения.
4. На 'участке действия равномерно распределенной наrpузки эпю
ра Qlj выражается наклонной пряl\10Й, а эпюра Ц'f параболой, обра
щенiIОЙ выпуклостью навстречу стрелкам распределенной наrpузки.
S. Если на участке действия распределенной наrpузки эпюра Qlj
пересекает ось абсцисс, то в ЭТОIvI сечении изrибающий момент при'
НИ Iает экстремальное значение (точка переrиба на эпюре Цх).
6. Если на rpанице действия распределенной наrрузки не rlрИ
ложено сосредоточенных сил, то на эпюре Qy участок, параллель
ный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а параболиче
ская и наКЛОIIная части эпюры Мх сопряrаются плавно, без излома.
7. Изrибающий момент в концевых сечениях балки всеrда равен
нулю, за ИСКЛIочением случая, коrда в концевом сечении приложе
на сосредоточеI-Iная пара сил. В этом случае изrибающий момент в
концевом сечении балки равен моменту действующей пары.
8. В сечении, соответствующеl\I заделке, Q11 и Мх численно равны
опорной реаКЦИII и реаКТИВНОl\IУ 10MeHTY. .
Если q = О, то Q = const:
dM М
= Q = const => М = Q . х + о.
dx
Если q == const, то dQ == q == const:
dx
(64)
rде Qo, Мо значения попереЧIIОЙ силы и 11зrибающеrо l\fOMeHTa в
начале участка.
ДJIЯ балок, Иl\lеIОЩИХ l\1110rO участков IIаrружения, т.е. наrружен
IIЫХ КОlVIбllнацией наrрузок, цеJIесообразно строить ЭПIОрЫ по xa
рактерИЫl\f точкаl\'I, а ИIvrенно: ВЫЧl1СЛИТЬ поперечные силы и IIзrи
баЮ1цие МОl\lенты только для сечеНI'П1, в которых эпюра претерпева
ет ИЗlVIенеНl1е, 11 затеl\l, зная закон ИЗl\lенения эпюры между найден
ныl\tIИ точками, соединить их соответствующими линиями.
К характерным ОТIIОСЯТСЯ точки, соответствующие сечениям, в
которых приложены сосредоточеlIIIые силы или МОl\lенты, а также
сечения, l"де наЧИIIается или кончается распределенная наrpузка.
Для Toro чтобы вычислить поперечную силу и изrибающий Ivl0
мент в ПРОИЗВОЛЫIОIvI сечении, необходимо мысленно рассечь плос
костыо в этом месте балку и часть балки (люБУIО), лежащую по
одну CTOpOI-IУ от рассматриваеIvIоrо сечения, отбросить. 3aTel\I по
деЙСТВУIОЩИIvI на оставленную часть балки внешним силам надо
IIайти и комые Цц и Мх, причем ЗI-Iак послеДIIИХ надо определять по
тому деИСТВИIО, которое оказыва1ОТ внешние силы на оставленную
часть балки в соответствии с принятым ранее правилам знаков.
При построеНI1И эпюры слева направо отбрасывается правая часть
qалки, Qy и Ц{ lIаходятся по силаl\l, действующим на левую часть.
! При построении эпюр справа lIалево, наоборот, отбрасывается
левая часть, Qlj и Мх определяются по силаl\1, действующим на пра
BY10 часть балки. Для построеНI'IЯ ЭПIОр необходимо запомнить ни
жеследующие правила.
1. На участке балки, rде отсутствует распределеНIIая наrpузка,
эпюра Q'j прямая, параллельная оси абсцисс, а ЭlIIора Мх JIa
КЛОIIная прямая.
2. ПОД сосредоточенной силой на эпюре Qlj наблюдается скачок
Iia величину приложеIIНОЙ внешней силы, а на ЭПlоре Мх ИЗЛОl\f.
6.3. Расчет балок на прочность и жесткость
При плоском изrибе в попереЧНОIvI сечении возникают нормаль
ные (а) и касательные (t) напряжения.
Нормальные напряжения в поперечном сечеI-IИИ балки при изrибе
0'== Мх . Ушах [HjM2],
Jx
(65)
rде М 1: изrибаIОЩИ:Й l\fOMeHT в сечении балки, Н . м; У тах paCCTO
яние от нейтральной оси до раССlVIатриваемоrо слоя BOJIOKOH, M;Jx
осевой момент инерции сечеиия балки, м4.
Наибольшие нормальные напряжения при изrибе балки с сече
ИJtIем, СИl\fметричным ОТНОС11тельно центральной оси,
о' = м ХЛ1ах [HjM2]
ШdХ W '
Х
rде \.Vx осевой l\IOMeHT сопротивления сечения балки, МЗ.
fIрочность баЛК1I, работающей на изrиб, проверяется по наи
большим нормальным напряжениям
(6.6)
М х шах []
о' шах = < о' ,
Wx
rде [а] допускаемое напряжеllие при изrибе, МПа.
(6.7)
170
171
Д ешения задач приведем моменты сопротивлений наиболее
ля р u
часто встречающихся сечении.
а) Момент сопротивления для прямоуrольноrо сечения:
Ь W = Jx .
х ,
Ушах
h
W == ] х == ЬhЗ
х h 12. h
2 2
bh2
6
Последовательность решения задач:
1) определить реакции опор балки (для определения реакций
опор рекомендуется использовать два уравнения моментов: одно
относительно левой опоры, второе относительно правой) а затем
обязательно проверить правильность решения по уравнению про
екций на ось, перпендикулярную к балке;
2) построить эпюру поперечных сил; ·
3) построить эпюру изrибающих MOMeIIToB (для построения
эпюр целесообразно использовать метод построения по xapaKTep
ным точкам);
4) по ЭПIоре изrибающих моментов определить расчеТI1ЫЙ (наи
больший по аБСОJIЮТНОМУ значению) изrибающий момент, выразив
ero в Н .l\1M;
5) в выражении условия прочности
М
о' = < [О']
Wx
б) Момент сопротивления для круrлоrо сечения:
Wx == ] х == пd4 == пdЗ О,1dЗ,
w d 64 . d 32
2 2
в) Момент сопротивления для кольцевоrо сечения с внеш
ним диаметром D и с внутренним d:
J п(D4 d4) п(D4 d4) D4 d4
Wx == 15 == D == 32D О, 1 D
64.
2 2
(6.8)
ПрИIIЯТЬ, что (j = [а], и определить требуемый осевой MOlVIeHT сопро
тивления поперечноrо сечения балки;
6) выразить значение Wx в смЗ (при подстановке в расчетную
формулу Wx == J величину Mx в Н'мм И [0'] В Н/мм2, значение
Wx получится, как леrко видеть, в IvIМЗ), а затем с помощью таблиц
соотвеТСТВУIОЩИХ [ОСТов по найденному значению подобрать He
обходимый HOl\fep профиля швеллера [ОСТ 8240 89 или двутавра
[ОСТ 82З9 89.
Перемещения при изrибе.
Под действием внешней Ha
rрузки ось балки искривляется
(рис. 6.8). В результате точки,
лежащие на оси балки, переме О
щаются по вертикали, а попе
речные сечения, оставаясь плос
кими, поворачиваются на He
который уrол по отношеfIИЮ к
первоначальному положению. Рис. 6.8. Линейное и vrловое переме
П роrибом балки в любом сече щение сечения при изrибе балки
нии на расстоянии х от начала u
координат называют вертикальное перемещение точки, лежащеи на
оси балки в этом сечении. Уrлом поворота е поперечноrо сечения
балки будет уrол наклона касательной к оси баJIКИ в этом сечении
к первоначальному положению этой оси.
Расчет балок на жесткость. Во мноrих случаях деформации ба
лок MOryT нарушить нормальную эксплуатацию машин или KOHCTPYK
у
ИJIИ
!i == С; W == O,1D\1 с4).
D
На практике очень часто сечения балок выбирают в Биде ДBYTaB
ра, швеллера, часто примеНЯIОТСЯ сварные балки такие балки дают
большие моменты сопротивления. Моменты сопротивления CTaH
дартных размеров даются в таблицах.
Касательные напряжения при изrибе балки опредеЛЯ1ОТСЯ по
/формуле
в
't == [HjM2],
rде Q поперечная сила Б сечении балки, Н; S статический IvIO
lVIeHT относительно нейтральной оси, IvlЗ; Ь ширина рассматривае
Moro продольноrо слоя, M;Jx осевой момент инерции, м4.
Условие прочности при изrибе балки по касательным напря
жениям:
х
1
'tшах == Qшах · S < ['t] [HjM2],
Ь. Jx
rде [1'] допускаемое касательное напряжение.
(6.9)
172
173
ции. НаПРИl\'lер, большой проrиб валов зубчатых передач l\fожет об
условить выход из зацепления зубчатых колес. При токарной об
работке деталII в центрах при больших деформациях не достиrается
необходимая точность ее изrотовления. Следовательно, наряду с
прочн:остью в ряде случаев детали маШИlI и элементы конструкций
должны обладать необходимой жесткостью.
При расчете балок на жесткость при изrибе опредеЛЯIОТ наиболь
ший проrиб и сравнивают ero с допускаеl\1ЫМ: f Ы, т.е. максималь
ный проrиб (стрела проrиба) не должен превышать допускаемоrо
значения (fJ. Допускаемый проrиб зависит от условий работы KOH
струкций и обычно назначается в зависимости от пролета расстоя
ния между опорами /. Для балок, применяемых в строительных KOH
СТРУКЦl1ЯХ И маШИIIостроении, он составляет (0,001...0,05)/.
Для рациональноrо выбора опорных устройств, обеспечения HOp
малЬНОII работы подшипников скольжения в некоторых случаях BBO
дЯТ дополнительное условие жесткости конструкции: уrол поворота
ОПОрllоrо сечения не должен превышать допускаемоrо значеlIИЯ.
Реш е н и е ОIlределяеIvl ОПОРllые реакции:
L м А = О; F.1 + RB .4 = О,
откуда
Р.1 16.1
RB = = = 4 кН;
4 4 ·
LM в = О; F. 3 RA .4 = О,
откуда
Р.3 16.3
RA = = = 12 кН.
4 4
F:.. 19 кН
Проверку праВИЛЫIОСТI1 найденных значеllИЙ опорных реакций
про:изводим по уравнению СУl\IМЫ проекций всех сил на вертикаль
ную ось: RA Р + RB = О, или 12 16 + 4 = О, О = О, отсюда заключа
ем, что ОПОРllые реакции по веЛИЧИllе и направлению определены
правильно. Для построени:я ЭПIОр поперечных си:л и изrибающих
l\fOMeIIToB ПРIIменяеl\1 l\JIетод сечений.
Балку УСЛОВIfО предстаВIIМ состоящей из 2 участков: первый
участок расположен от точки А ДО точки с; второй от точки С ДО
точки В. Определим значения попереЧIIЫХ сил для каждоrо участка
балки. 11a пеРВОIvr участке l1РОИЗВОЛЬНО выбереrvI сечение на paCCTO
ЯIIИИ х-l от опоры А.
Слева от сечения на балку действует одна внеПIНЯЯ сила RA
(ОПОРIIая реакция), которая стреrvIИТСЯ повернуть Jlевую часть балки
относительно точки, лежащей в проведеIfНОl\1 сечении fIO часовой
стрелке. Следовательно, сила RA вызывает полож:ительную попереч
ную силу
Примеры
Пример 1. ПОСТРОI1ТЬ эпюры поперечных сил и изrибающих l\JIO
l\leHTOB для баЛКII, изображенной на рис. 6.9.
с
Х2
Эм
/
о
о
QYl = RA = 12 кН.
На втором участке балки ПРОИЗВОЛЫIО выбереl\1 сечение на pac
СТОЯIIИИ Х2 от опоры А. Слева от сечения на балку действуют две
внешние силы RA и Р. Сила RA, как 11 на первом участке, вызывает
положительную ПО1IереЧIIУIО силу, а сила F, стреl\1ящаяся поверllУТЬ
леВУ1О часть балки ОТ1fОСl1тельно точки, лежащей в проведеННОl\'1 ce
чении, против часовой стрелки:, вызывает отрицатеЛЬНУIО попереч
ную силу
12
Оу, кН
12
A1x кН.м
о
QY2 = RA P = 12 16 = 4 кН.
ЭПIора поперечных сил приведена на рисунке.
ОпредеJIИl\1 значеНI1Я изrибающих MOMelIToB для каждоrо участ
ка балК1I.
о
Рис. 6.9. К примеру 1
174
175
\1ысленно защеМИlVI отсеченную левую часть балки в проведен
ном сечении на первом участке.
Сила RA изrибает отсеченную часть балки относительно прове
денноrо сечения выпуклостью вниз, следовательно, сила RA дает по
ложитеЛЫIЫЙ изrибающий MOIvfeHT
в сечении С (справа) = RA F = 12 16 = 4 кН;
в сечении В QB = RB = 4 кН.
Вычислим значения изrибающих моментов в этих же сечениях:
в сечеН1IИ А М А = о;
в сечении С МС = RA .1 = 12.103 .1 = 12.103 Н. м = 12 кН. м;
всеченииВ МВ =RA .4 F.3=12.10З.4 16.103.3=0.
По найденным значеllИЯМ и известному качественному характеру
изменения поперечной силы и изrибающеrо момента строят эпюры
Qy и Мх.
Пример 2. Построить эпюры поперечных сил И изrибаЮIЦИХ l\10
ментов для балки, 1Iзображенной на рис. 6.10.
м Х1 = RA . Х1 .
ИзrибаIОЩИЙ MOIvleHT на этом участке меняется по закону пря
l\fОЙ линии, для построения которой достаточно два ero значения:
при Х1 = О МХ1 = о;
3 3
ПРИХ1=1м МХ1 =12.10 .1=12.10 Н.м=12кН.м
Аналоrично мысленно защемим отсеченную левую часть в про
веденном сечении на BTOpOl\f участке.
Сила RA, как и на пеРВОl\f участке, дает положительный изrиба
ющий MOl\feHT. Сила F изrибает отсеченную часть балки относи
тельно проведеlIноrо сечения ВЫlIУКЛОСТЫО вверх, следовательно,
сила F дает отрицательный изrиба1ОЩИЙ l\fOMeHT
IJ = 8KнjAl
.".
А ....
:е
:cz
1м
МХ2 = RA .Х2 F(X2 1),
и на этом участке изrибающий MOMelIT ИЗl\fеняется по закону пря
мой линии, для построения которой также достаточно знать два ero
значения:
При Х2 = 1 м М = 12.103 .1 = 12.103 Н. м = 12 кН. м .
Х2 '
ПРИХ2==4м МХ2 ==12.10З.4 16.10З.З==0.
Эпюра изr:ибаЮ1ЦИХ моментов приведена на рисунке. Построить
эпюры Qy и Мх можно и без состаВJlения уравнений поперечных
сил и изrиба1ОЩИХ моментов, а путем вычисления значени:й попе
речных сил и изrибающих MOl\feHTOB в характерных точках (сечени
ях). Для рассматриваемой балки характерными точками (сечения
ми) являются точки А, С и В. Характер изменения эпюр между эти
ми точками установим с помощью дифференциальных заВIIСИМО
стей: так как распределенная наrрузка lla обоих участках отсутствует
(q = О), то поперечная сила в пределах каждоrо участка постоянна,
а изrибающий момент изменяется по линейному закону.
Вычислим характерliые значения поперечных сил. Поскольку
мы установили, что поперечная сила постоянна IIa каждом из участ
ков балки достаточно вычислить по одному значению Q1J на каж
дом участке. Однако в целях контроля можно вычислить большее
количество характерных значений. Например: .
в сечении А QA = RA = 12 кН:
в сечении С (слева) Qc = RA = 12 кН;
15 Qy, кН
D
в
klX"i кИ.м
10,'
и
Рис. 6.10. К примеру 2
Реш е н и е. Определяеl\1 опорные реаК1IИИ:
LMA =0; q.3.1,5+RB.4 =0,
176
177
откуда
RB == q. 3 . 1, 5 == 8. 3 . 1, 5 == 9 кН'
44'
L м в == о; q' 3 . 2, 5 RA · 4 == О,
при Хl = О МХ1 = о;
При х == 3 м М == 15 .103 . 3 8.103 · 9 == 9.103 Н. м == 9 кН . м;
1 Х1 2
третье значение изrибающеrо момента определим для сечения, в
котором поперечная сила равна нулю, а следоватеJIЬНО изrибаю
щий rvIOl\1eIIT будет Иl\lеть свое наибольшее значение. Находим зна
чение х, при котором поперечная сила будет равна НУЛIО:
откуда
RA == q. 3 · 2, 5 == 8. 3 . 2, 5 == 15 кН
4 4 .
Для построения эпюр поперечных сил Q и изrибающих MOMeH
тов М условно пред ставим балку состоящей из 2 участков: первый
участок от точки А до Точки С; второй участок от точки С до
точки В.
Определим значе.ния поперечных сил для каждоrо участка бал
ки. На первом участке ПРОизвольно выберем сечение, отстоящее на
расстоянии Х1 от опоры А. Равномерно распределенную наrpузку
на длинеuХ1 заменим равнодействующей силой, равной q . Х1 И при
ложеннои в сереДине длины Хl. Поперечная си:ла в этом сечеIIIIИ
QYl = RA q . х = о,
откуда
QYl = RA q. Хl.
Из уравнения следует, что поперечная сила на первом участке
изменяется по закону прямой линии, для построения которой дo
статочно знать два значения fiоrlеречн:оЙ: силы:
при Хl = О QYl = RA = 15 кН;
при Х1 = 3 м QYl = RA q . 3 = 15 8 . 3 = 9 кН.
Поперечную силу на Втором участке определяем, рассматривая
часть балки справа от сечения:
х == RA == 15 10з3 == 1,875 м.
q 8.10
наиБолы1ийй изrибающий момент
2 3 S2
М = RA . Х q = 15 . 103 . 1, 87 S 8 . 1 О . 1, 87
шах 2 2
=14,1.103 H.Ivf=14,1KH.M.
По найдеIIНЫМ Tpel\1 значениям изrибающеrо IvloMeHTa СТрОИIvI
эпюру на первом участке. Уравнение изrибаlощеrо IvloMeIITa на BTO
pOlVI участке баJIКИ заПИ1пется (справа от сечеIIИЯ) так:
QY2 = RB = 9KH.
По найденным ЧИСЛОВЫМ значениям строим эпюру поперечных сил.
Определим значения изrnбающих моментов для каждоrо участ
ка балки. Для этоrо ВОСПОЛьзуемся теми же участками балки и ce
чениями, K Topыe были выбраны ранее. На первом участке балки
изrибающии MOl'vreHT
МХ2 =RB(4 x2).
На этом участке изrибаlОЩИЙ MOl\leHT изменяется по закону пря
l\;IОЙ ЛИIIИИ, дЛЯ построеН1IЯ которой достаточно знать два ero
значения:
Прl1 Х.2 = 3 м М Х2 = 9( 4 3) = 9 кН . м;
при Х2 = 4 1\1 МХ2 = 9( 4 4) = О кН . м.
По найдеНН:ЫIvI числовым значеНI-!ЯМ строим ЭПIОрУ ИЗfl'IбаlОЩИХ
IvloMeHToB Ifa втором участке.
Эту же задачу решим IIO методу характерных точек. Д.J1Я данной
балки характерными точками (сечениями) являются точки А, ис. В.
На участке АС действует распределенная наrрузка пос ояннои ин
тенсивности q, следовательно, здесь поперечная сила оудет изме
няться 110 линеЙlfОl\1У закону, а изrибаIО1ЦИ}! IvIOMeHT по кпадрат:ич
ному. ]a участке СВ распределеllНОЙ: IIаrРУЗКI'I нет. З есь IIопереч
llая СИJlа ПОСТОЯIlна (и не равна IIУЛ1О), а :изrибаIОЩl1И IvfoIvIeHT .из
меняется по линейному закону.
Вычислим значения попереЧIIЫХ сил в характерных сечениях:
в сечении А QA = RA = 1S KI1;
х х2
МХI == RA . Х1 q. Х1 21 == RA . Х1 q d .
Из ибающий момент на этом участке изменяется по закону KBaд
ратнои параболы. для построения котороЙ достаточно знать три ero
значения.
178
179
Для проверки составляем сумму проекций всех сил на верти
кальную ось у:
:LY = о, p q . а + RA + RB = 4 . 2 + 11 8 + 5 = о.
Строим эпюру поперечных сил (рис. 6.11, б):
в сечении К QK = о;
у
в сечении А Q = q . а = 4 . 2 = 8 кН;
Алсв
Q = q . а + RA = 8 + 11 = 3 кН
А"рав
(В сечеlIИИ А н:а ЭПlоре Q получается скачок на величину peaK
у
цИИ RA);
в сечеlIИИ D
в сечении С
а
Qc = R А q . 3 = 15 8 . 3 = 9 кН;
в сечении В (слева) Q = RA q. 3 = 15 8.3 = 9 кН.
Вычислим значения изrибающих моментов в этих же точках
( сечениях):
в сечении А МА = о:
в сечении С М с = RA · 3 q . 3 . 1, 5 = 15 . 10З · 3 8 . 10З . 3 . 1,5 =
= 9 . 10З Н. м = 9 кН . м.
,
В сечении В МВ = о.
Вычисленные значения изrибающих моментов не дают возмож
ности построить правильно эпюру М на участке А с. Для правиль
Horo построения эпюры Мх на этом участке найдем значение х, при
котором : == Qy == о, а следовательно, изrибающий момент будет
иметь максимум. Определить данное значение х можно, рассматри
вая подобие треуrольнико на эпюре Qy' а также способом, приме
ненным при решении этои же задачи в первом варианте решения.
Одним из этих методов мы находим, что Q.lj = о при х = 1,875 м.
Этому значению х соответствует Мп1ах = 14,1 кН. М. ПО получен
ным четырем значениям изrибающеrо момента строим эпюру МХ.
Пример з. Для балки (рис. 6.11, а) построить эпюры попереч
ных сил И изrибающих MOl\feHTOB, если сила F = 8 кН, интенсив
ность равномерно распределеlIНОЙ наrрузки q = 4 KHjM, момент
М = 11 кН . м, расстояние а = 2 м, Ь = 4 м, с = 3 м.
Реш е н и е. Определим опорные реакции:
б
в
а
:LMA ==0; qa2 Fb M+RB(b+e)==OJ
откуда
а
qa + Fb + М 8 + 32 + 11
RB = 2 = = 5 кН;
Ь+с 7
:LMB = о;
qa( + Ь + е J RA (Ь + е) + Ее М == о,
откуда
qa ( а + Ь + е ) + Ее М
R 2 64 + 24 11 11 Н
A к
Ь+с 7
в сечении В
180
J(
F
О
Ь= f"4
c-Jм
Qy, кН
о
s
о
lYlx, кН.l\if
о
о
I!
Рис. 6.11. К примеру 3
"
Q = q . а + RA = 4 . 2 + 11 = 3 кН;
Dлсв
Q = q . а + RA F = 8 + 11 8 = s кН;
DllpaB
QBy = RB = 5 кН.
181
СТРОИМ эпюру ИJI'ибаIОЩИХ Ivl0l\tIeHTOB по характерным сечениям
К, А, D, В (рис. 6.11, в).
В сечении К изrибающий MOIvreHT М К = О, так как в этом сече
х
нии нет сосредоточенноrо момента.
В сечении А раССМОТрИl\f леВУIО часть, на которую действует paB
HOl\feplIO распределенная наrрузка:
а 2
МА = qa = 4 . 2 = 8 кН . м
х 2 2 .
В сечении В деlIствует сосредоточеllНЫЙ MOl\tIeHT М:
МВу = M = 11 кН 'М.
В сечен ии D раССМОТР:ИIvI правую часть, на которую действует
сила RB и сосредоточенныi1l\10меIIТ М:
0,5qa
Qy, кН
O,5qa
м D = RBG М = 5 . 3 11 = 4 кН · М.
х
о
.
а
.1 5а ..,
I
]У! кн -1\'1
qa2
о
1:1 5qa
СоеДИНI1l\;1 получеlIные точки ЭПIОрЫ lla участках DB и AD Ha
клонными ПрЯМЫl\I:И, на участке АК параболой, обращенной BЫ
пуклостыо навстречу paBIloMepHo распределенной наrрузке.
Пример 4. Для балки на двух опорах пролетом Z = 3а, .IIаrружен
HO paBHOl\tlepHO распределеНIIОЙ наrрузко:Й интенс:ивностью q, паr
рои сил с Ivl0l\leHTOM Мо = qa2 и сосредоточенной силой F = qa
(рис. 6.12), составить в буквенном виде выражения Ql и МХ' по
строить ЭП1ОрЫ Qy И A(-r и вычислить наиБОЛЫIIие по аБСОЛIОТIIОl\IУ
3IIачению величины изrиба1ощеrо МОl\fеита и поперечной силы, если
q = 2 И/Ivl И а = 2 М.
Решение.
1. О п р е Д е л е н и е о пор н ы х р е а к Ц и й.
НапраВIIВ реаКЦ1IJI опор в точках А и В вверх (rОрlIзонтальная pe
акция RA.J. завеДОIvl0 равна НУЛIО), составим уравнеНIIЯ l\tIOl\feHTOB OTt;
НОСJIтельно опор А и В:
О.
о
Рис. 6.12. К ПрИ1Vlеру 4
"LMB = о,
RA . 3а Мо F. 2а + 3qa .1,Sa = о.
2. Составлен:ие аllалитических выражений Q.1J и МХ.
е.ила F раздеJlяет балку на два участка, в пределах которых BЫ
ражеlIИЯ QlJ и Мх будут различны. Для составления этих выраже
lП1И необходимо раССl\fотреть два сечения l\fежду силами: сечение
1 1 левее силы F на первом участке и сечение 2 2 справа ОТ He :
При этом целесообразно рассматривать ту часть балки, к которои
ПР1Iложено l\fеньше сил, и выбирать начало КООРДИJlат так, чтобы
ypaBI-IСН:ИЯ были возможно проще; Хl отсчитываем от опоры А, а
Х2 от опоры В. УраВIIеНI1Я Qy и Мх примут ВJIД:
для первоrо участка (О < Хl < а)
QYl = RA qXl = 0,5qa qXl'
qx2 2 qx2.
== RAXl + МО T == O,sqaxl + qa Т'
МХ1
Отсюда
1 2' 2 2
RA = ( qa 2qa + 4,Sqa ) = о. 5qa;
3а
"LMA = о;
RB .3а+F.а Зqа.1,5а Мо =0,
откуда RB = 1,Sqa.
Проверка: "L У = О, RA + RB + F 3qa = О .
для BToporo участка (О < Х2 < 2а)
2 2
qX2 qX2
QY2 == RB + qX2 == l.sqa + qX2' М Х2 == RBx2 Т == 1,sqax2 Т"
Уравнения Q и м показываIОТ, что поперечная сила изменяет
1} х u б u
ся IIa каЖДОl\1 участке баЛКI1 по закону прямои, а изrи ающии MO
,IeHT по квадратной параболе.
182
183
3. Построение эпюр QуИМх.
Построение rрафиков функций Qy и Мх производим, придавая
перемеННЫl\I хl и Х2 определенные значения (для Qy не менее двух
на каждом участке, а для Мх не менее трех) Подсчеты выполнеlIЫ
в табличной форме:
Подставляя это значение в уравнение М Х2' ПОЛУЧИ:l\1
5 q(1,Sa)2 9 2
М тах = 1, qa. 1, Sa = qa ,
2 8
Х2=0
Q2 = 1,5qQ
М2 =0
Т.е. такое же значение, как и на первом участке. Вид полученных
эпюр показан на рисунке. Обратим внимание на то, что в эпюре Qlj
ИlVlеется скачок на величину силы F = qa в сечении под силой, а в
эпюре Мх получен скачок на величину МО в опорном сечении, rде
приложена пара сил. Характер кривых, оrраничивающих эпюру, Ha
d2M
ходится в соответствии с дифференциальной зависимостью = q
dx2
d2M
Так как q < о (направленно вниз), то < О, т.е. кривизна эпюры
dx2
отрицательна, :И, значит, выпуклость кривой должна быть направле
на в сторону положительных ординат Мх, что и получено.
Расчетные значения Q.1j и Мх, как это видно из эпюры, COOTBeT
ственно равны:
Абсциссы
сечения
Поперечная сила Qy
Изrибающий момент Мх
Хl =0
Ql = А = 0,5qa
2
М1 = Мо = qa
Хl = 0,5а
2
2 qa 9 2
M1=qa +0,5qa.0,5a = qa
8 8
Хl =а
Ql = о, 5qa qa = o, 5qa
qa2
М1 = qa2 + O,Sqa2 2 == qa2
Х2=а
2
2 qa 2
М2 = 1,5qa = qa
2
Х2 = 2а
Q2 = 1, 5qa + 2qa = 0,5qa
м 2 == 1,Sqa. 2а q(2;)2 == qa2
I I 929 2
QП1ах = 1,Sqa = 1,5 . 2 . 2 = 6 Н, М тах = qa = 2 . 2 = 9 Н. м
8 8 .
По приведеlfНЫМ в табли:це значеНИЯl\l построены эпюры Q.lj и
Мх. Положительные значения попереЧlfЫХ С1IЛ и изrибающих MO
ментов откладываем вверх (в некоторых курсах принято строить
эпюры Мх на растянутых волокнах баJIКИ, Т.е. откладывать rIОЛОЖИ
тельные значения l\IOMeHToB вниз).
Эпюра Q изображается двумя параллельными наклонными пря
ными; эпюра М-У оrраничена параболическими КР1IВЫlVIИ, причем
наибольшие значения изrибающий момент ИIvlеет в сечениях, rде
Q.1J == О. На первом участке Мl11аХ == qa2 (при Хl == O,sa).
Для отыскания наибольшеrо MOMellTa на втором участке иссле
дуем уравнение М Х2 на максимум:
dMX2
= О = Q2 (знак l\IИНУС, так как ось Х2 I1аправлена влево);
dX2
Пример 5. Для балки, изображенной Ifa pllC. 6.13, а, построить
Э11ЮрЫ поперечных сил и изrибающих моментов, если Е= 6 кН,
q = 5 KHjM, М = 1,6 кН · М, а = 0,8 м.
Реш е н и е. Прежде чем при ступить к построению эпюр Q1j и Мх
необходимо определить реакции опор Освободим балку от связей,
т.е. вместо опор приложим силы реакции RA и RB. Система актив
ных сил И сил реакций представляет систему параллельных сил,
для которой можно составить два незаВИС1IМЫХ уравнения paBHO
весия. Составим два ураВIIения моментов относительно точек А и В
балки:
LMA = Fa+M q2aa+RB2a=O;
LMB = F3a+M+RA2a+q2aa=O,
откуда
dMx2
= 1, Sqa qx 2 = О,
dX2
Fa м + q2aa 6 . О 8 1 6 + 5 . 2 . О 8 . О 8
R ", , 6 Н
B = К
2а 2 . О, 8
F3a М q2aa 6 . 3 . о 8 1 6 5 . 2 . О 8 . О 8
RA = ='" , = 4 K I.
2а 2 . О, 8
откуда Х2 = 1,5а.
184
185
а
у
d
2.0
. 1 ... N ... ,
х
б
IfА
.. Qyt кН
в
о
б
о
1;6
Рис. 6.1З. К примеру 5
Проверl1М праВI1ЛЬНОСТЬ определеlIИЯ реакци:и RA и RB' состаВИIvI
уравнение проекций на ось у:
L у = F RA q2a + Rn = о;
L у = 6 4 5 . 2 . о, 8 + 6 = о;
0=0.
ЭrIIОрЫ CTpOI1l\1 по характерНЫlVl точкам, т.е. вычисляем Qy и Мх в
тех точках, rде ЭПlора претерпевает ИЗl\lенения, а именно в точках
ПРl1ложения сосредоточеНIIЫХ сил 11 сосредоточеlIНЫХ MOl\leHTOB, а
также в точках, соответствующих rраlI.ице распределенной наrруз
ки. ОбознаЧИl\1 точку сечеНIIЯ, соотвеТСТВУIОЩУЮ леВОlVlУ свободно
му концу балки, через с.
ВЫЧИСЛИl\1 QlI В точке с. Так как сила F стремится поднять ле
ВУI0 часть балки OTHOC1ITeJIbHO правой вверх, то, соrласно пр:инято
lVlY IIpaBIIJ1Y знаков, 01Ia вызовет появление 110JIожительно:Й попе
реЧJIОtI СIIЛЫ Qy:
186
Qc = F = 6 кН.
у
в сечении А балки найдем QA через силы, лежащие левее сече
у
иия А:
QA = F = 6 кН.
у
Отложим IIайденные значения Qy на ЭП1оре, проведя базовую
л:инию (ЛI1НИIО НУJlевых значений Q ) параллельно оси балки:. На
участке СА ЭПlора Q1J изобразится ПрЯl\10Й, параллеЛЫIОЙ оси балки.
В сечении А должен быть скачок на величину действующей силы.
Чтобы определить знак Q1J от действия RA' отступим от сечения А
правее на бесконеЧIIО малое раССТОЯIlие и мысленно разрежем бал
ку. Видим, что RA стреl\IИТСЯ опустить левую часть балки относи
тельн:о право:Й ВНI1З, значит, должна быть взята со знаком IИНУС, и
скачок в сечеllИИ А, равный RA = 4 кН, следует отложить ВIIИЗ. I Ia
участке АВ действует равномерно распределенная наrрузка, значит,
ЭПlора QlJ на ЭТОl\1 участке изображается наклонной прямой. В сече
н:ии А поперечн:ая сила QZJ найдена: QA = F RA = 6 4 = 2 Kll.
.1 у
Для Toro чтобы IIровести наКЛОI-IНУIО прямую, достаточно на:Йти
положение еще одной точки. Вычислим Q.lJ в сечеlIИИ В. Ес и CTpO
ить ЭПIОрУ справа налево, т.е. оставлять те силы, которые де:иствуют
на балку правее рассматриваемоrо сечения, то леrко видеть, что
правее сечения В сил нет, но в самом сечеI-IИИ приложена сила RB,
стремящаяся ПОДIIЯТЬ правую часть балки вверх относительно ле
вой, 11 в соответствии с ПРИIIЯТЫМ праВИЛОIvl знаков СlIла Q1j должна
быть взята со знаком минус: QB = RB = 6 Kli. .
у
От.тtожим на ЭПlоре Qy в выбранном lVlасштабе l-IайдеIП-Iое значе
ние и соеДИНИlVl наклонной прямой точки эпюры. ЭП1ора QlJ ПОСТрО
el-Ia на рис. 6.13, б. .
3 амеТИl\1 , что в точке К наклонный участок ЭПIОрЫ QlJ пересек
линию нулей, значит, в этой точке на эпюре МХ будет точка экстре
MYl\la. Найдем абсциссу х это:Й ТОЧКlI, рассматривая подобие Tpe
уrольников на ЭПlоре Цц:
х/2 = (1,6 х)/6.
Решив пропорцию, получим х = 0,4 М.
П о С т р о е II и е э п 10 Р ы М-Х. в сечении С действует cocpeДOTO
чеНI-IЫЙ l\10l\leHT М = 1,6 кН . Ivl. Следовательно, эпюра Мх начинает
ся не из нуля. В сечеНИl1 С МС = 1,6 кН . I. Знак l\IИНУС взят по
х
тому, что MOl\IeHT М изrибает балку таКИl\1 обраЗОIvl, что сжатые BO
локна оказываlОТСЯ внизу. Отложим в ПРОИЗВОЛЫ-IО выбраННОl\1 lVlac
штабе найдеНI-Iое значение IvloMeHTa ниже линии нулей. В сечеlIИИ А
балки также вычислим изrибающий момент, учитывая все силы,
187
лежа1цие левее сечения, т.е. учитывая момент от силы F и cocpeдo
точенный момент М. Сила изrибает балку таким образом, что сжа
тые волокна оказываются сверху, поэтому момент от нее должен
быть взят со знаком плюс, а момент М, наоборот, со знаком минус:
LMA =F.1 M q.1.0,5+MA =0;
L М в = М А + RA . 1 + q . 1 . о, 5 М = о.
Подставляя значения, получаем:
МА =Fа М=6.0,8 1,6=З,2кН.м.
х
Отложим полученное значение момента в выбранном масштабе
выше базовой линии.
Вычислить моменты в сечении К балки удобfIее через силы, ле
жащие правее сечения К. Правее сечения К действует реакция RB'
изrибающая балку сжатыми волокнами сверху, и равномерно pac
пределенная наrрузка, изrибающая балку сжатыми волокнами сни
зу, поэтому изrибающий момент от RB надо взять со знаком ПЛIОС, а
от q со знаком минус. Заметим, что правее сечения К лежит не
вся равномерно распределенная наrрузка, а лишь ее часть. Вычис
ляя М к в сечении К, надо учесть распределенную наrpузку, дей
х
ствующую на длине участка, равной 1,2 rvl. Вычислим М к :
х
МА = q . 1 . 0,5 + М F. 1 = 10 . 1 . 0,5 + 12 15 = 2 кН . м;
RA = М МА q . 1 .0,5 = 12 2 10 . 1 .0,5 = 5 кН
Про верим правильность определения реакции RA и момента МА,
составив уравнение проекций на ось у:
L У = F RA q = о;
LY = 15 5 10 = о;
0=0.
о
Эпюры строим по характерНЫl\l точкам, т.е. вычисляем Q и м
.ц х
В тех точках, rде эпюра претерпевает изменение, а именно: в точ
ках приложения сосредоточенных сил и сосредоточенных MOMeH
тов, а также в точках, соответствующих rраницам распределенной
наrрузки.
Так как на участке BD приложенных сил нет, то на этом участке
поперечная сила Qy будет равна нулю.
Участок 1: О <Х1 < 1 rvI;
Цц 1 = о.
Участок 11: 1 <Х1 <2 м;
Qy 11 = о.
Вычислим Цц В точке В. Так как сила F стремится повернуть OT
сеченную часть балки против часовой стрелки BOKpyr точки, COOT
ветствующей проведенному сечению, то, соrласно принятому пра
вилу знаков, она вызовет появление отрицательной поперечной
силы (а приложенная наrрузка положительной силы) Qy:
Цц 111 = E + q . (хз 2).
При хз = 2 м Цц 111 = 15 кН.
При хз = 3 м Цц 111 = 5 кН.
Отложим найденные значения Цц на эпюре, проведя базовую
линию (линию нулевых значений Q1J) параллельно оси балки На
участке BD эпюра Цц изобразится прямой, совпадающей с базовой
линией. В сечении В должен быть скачок на величину действую
щей силы, что l\lЫ И изображаем. На участке АВ действует paBHO
мерно распределенная наrрузка, значит, эпюра Qy на этом участке
МК =Rв.1,2 q.1,2.0,6=6.1,2 5.1,2.0,6=З,6кН.м.
х
Отложим найденное значение М к в выбранном масштабе выше
х
базовой линии.
В сечении В видим, что изrибающий момент должен быть равен
нулю, так как правее этоrо сечения нет сил, а в самом сечении IIeT
сосредоточенноrо 1\10MeHTa М в = о.
х
Соединим полученные точки эпюры: на участке СА наклонной
прямой, на участке АВ парабо
лой, обращенной выпуклостью
навстречу стрелкам q. Эпюра М:л
построена на рис. 6.13, 6.
Пример 6. Для балки, изоб
раженной на рис. 6.14, построить
эпюры поперечных сил и изrи
бающих моментов.
Реш е н и е. Прежде чем при
ступить к построению эпюр QlJ и
МХ' необходимо определить pe
аКЦИIО опоры. Освободим балку
от связей, т.е. вместо опоры при
О ложим силу реакции RA и воз
никший 1\10MeHT МА. Составим
необходимые для решения ypaB
нения равновесия:
fv1A =2 кН.м
R ",=5 кН
-1 м
1 м
Q ,кН
о
5
15
Мх, кН,м
о
2
-12
12
Рис. 6.14. К примеру 6
188
189
изображается наклонной прямой. В сечении А поперечная сила QlI
найдена: QA = 5 кН.
Отложи : на эпюре Qy в выбраННО 1 масштабе найденные значе
ния и соединИМ точки эпюры.
П о с т р о е н и е э п ю р ь] м.-r.
В сечени:и D нет ни сил, ни моментов, ни наrрузки.
Участок 1: О <Х1 < 1 м; м.у: 1 = О кН . м.
СледоватеЛЫIО, IIa эпюре м.-r ПРОВОДIIl\1 JIИНИIО, совпадающую с HY
лем. На участке CD действует сосредоточенный момент М = 12 кН . М.
Участок 11: 1 <Х1 < 2 м; м.-r 11 = 12 кН . м.
Знак минус взят ПОТОl\IУ, что MOl\leHT М изrибает балку таким об
разом, что сжатые волокна оказываются внизу. Отложим в произ
вольно выбраННОl\tl масштабе I-Iайденное значение MOMelITa ниже ли
нии нулей. В сечении В балки также вычислим изrибающий l\fO
MeIIT, УЧIIтывая все силы, лежащие левее сечения, т.е. учитывая MO
мент от СИЛЫ F и paBIloMepHo распределенной наrрузки q.
q . (хз 2)2
УчастокПI: 2<Х1<3М;МхlII== М 2 +F.(хз 2).
Прихз=2м м.:tIII= 12кН.м.
Пр:и ХЗ = 31\11 М1- III = 2 кН . 1.
ОТЛОЖИl\1 полученные зн:ачеlIИЯ l\tIOMeHToB в выбранном масшта
бе IIlfже нулевой линии. СоеДИIIИВ получеНIIые точки, получим
ЭПIОрУ м.у:
Пример 7. ПОСТРОIIТЬ ЭIIЮрЫ поперечных сил и изrибающих MO
l\tIeI-IТОВ для балки, изображенной на рис. 6.15, а. Подобрать из усло
ВI1Я прочности требуемыi'! номер двутавра, если q = 12 KHjM,
1 = 0,5 м, [а] = 130 Hjl\Il\[2.
Реш е н и е. РеШИl\1 задачу в буквеНIIОМ в:иде. Прежде чем при
ступить к построеlIИIO эпюр, неоБХОДИl\10 определить реакции опор.
Составим уравнен ия равновесия:
RA
t'l
R
... .В
а
2.
ft' l ll5l
Qy. кН
2ql ql
О О
6 2ql
4ql
A1x IdI.l\'1
2
б,5ql
2
5,5ql
в
о
о
0-,5QZ2
Рис. 6.15. К ПрИl\lеру 7
L у = RA 2q. 3/ + 2ql + RB q/ = О;
LМл == s,sqI2 2q. 31.1,51 + 2ql. 3,51 + RB41 ql. 4.51 == О.
в точке 1 для определеfIИЯ QY1 остаВИlVI часть баЛКII, лежащую
левее сечения 1, а все, что леЖl1Т праnее, мыслеНfIО отБРОСИIvI. BII
Д1fIvI, что си:ла R А стреl\IИТСЯ СДВIIНУТЬ леВУIО (.lасть балки вверх OT
НОС1Iтельно правой, следовательно, 110 ПРИIIЯТОl\IУ flраВIIЛУ зн'аков,
вызовет появлеНllе по.чожитеЛЫIОЙ поперечно'Й СIIЛЫ, а распреде
леНJlая наrрузка стремится СДВ1IНУТЬ левую часть баЛКII ВJIИЗ OTIIO
сительно правой, знаЧJIТ, она вызовет ВОЗНJIКIIовение ОТРIIцательной
силы Q.lJ' Найде I алrебраичеСКУIО CYl\llVIY этих сил для О1Iределения:
Qy\ = 2ql 2q · 31 == 4ql. Наrpузка Qy\ отрицательна, поэтому ДОJIЖ
на быть отложена в выбранном l\lаСlIIтабе НI1же базовой ЛИJIИИ.
I-Ia участке A 1 эmора изобразится наКЛОIПIОЙ прЯl\IОЙ (рис. 6.15, 6).
Определяя Q1J2' мы должны отбросить ЛIlбо леВУIО часть балки,
либо npaBYIO часть балки. ПОСТУIIИIvI преЖIIJ1М образом и оставим
Решив систе IУ уравнеfIИЙ, получиl\tI: RA = 2q/; RB = Зql.
ОТIvIетим характерflые точки балки (pI1C. 6.15, а). Найдем попе
реЧНУIО силу в точке А. Левее этой' точки СIIЛ нет, но в саl\.IО:Й точке
ПРIIльжеllа сила RA = 2ql, стреIvlящаяся левую часть балки ПОДJIЯТЬ
относительно правой, значит, QA = 2ql положительна и должна
у
быть отложена в произвольно выбра1-tНОl\1 масштабе вверх от базо
вой оси которую следует провеСТI1 параллельно оси 9алки.
190
191
часть балки, лежащую левее точки 2: QY2 = 2ql 2q. 31 = 4ql. Пра
вило знаков было объяснено выше.
ОТЛОЖИl\I найденное значение в точке 2 на эпюре Qy ниже базо
вой линии. На участке 1 2, rде нет распределенной наrjJузки, эпюра
изобразилась прямой, параллельной оси балки. Но в точке 2 при
ложена сосредоточенная сила 2q1, поэтому она должна быть отло
жена на ЭПlоре в виде скачка вверх, так как стремится сдвинуть ле
вую часть балки относительно правой вверх.
Силу Qy в точке В удобнее определить, отбрасывая часть балки,
лежащую левее точки В, и оставляя все, что лежит правее. Иначе
rоворят: «Построить эпюру справа налево»-. Правее точки В лежит
распределенная наrрузка, которая стремится сдвинуть правую часть
балки вниз относитеЛЫIО левой. Соrласно принятому правилу зна
ков поперечная сила должна быть взята со знаКОhf плюс.
Сила QB = q1. Отложим значение QB в выбранном ранее Mac
у у
штабе выше базовой линии. Видим, что в точке В приложена cocpe
доточенная сила RB = 3q1, поэтому ее IIеобходимо отложить в виде
скачка. Сила RB стремится сдвинуть правую часть балки относи
тельно левой вверх, значит, l\fЫ ее должны отложить вниз. Теперь
можно соединить прямой точки эпюры 2 B. Эпюра изобразится
прямой, параллельной оси балки.
В точке 3 видим, что Qуз = О, так как правее нет наrpузки и в ca
MOl\I сечении IIe приложена сосредоточенная сила. На участке B 3
эпюра изобразится наклонной прямой. Эпюра Qy построена. Выше
было записано, что если наклонный участок эпюры Q1J пересекает
ось нулей, в этой точке на эпюре Мх будет точка переrиба. Найдем
значение координаты х из подобия треуrольников на эпюре Q.lj:
х 31 х
2q1 4q1'
!)ешая пропорцию, получим х = 1. На балке эту точку обознаЧИl\;I
К. Приступим теперь к построению эпюры Мх (рис. 6.15, в).
В точке А приложена сосредоточенная пара сил 5,5qf2. Отложим
на эпюре МВ = 5,5 выше линии нулей в виде скачка (сжатые BO
х
локна IIаходятся сверху).
Найдеl\f значение изrибающеrо момента в точке К, отбросив
часть балки правее точки К и оставив часть балки левее. Считаеl\f,
что в точке К балка закреплена; пара сил 5,5q[2 и реакция RA изrи
бают балку сжатыми ВОЛОКllами вверх, а распределенная наrрузка
вниз, тоrда М К = 5,5q12 + 2q1 .1 2q1 . 0,51 = 6,5q12.
х
Отложим IIa эпюре значение МХ выше базовой линии в выбран
ном ранее масштабе. Вычислим изrибаЮll(ИЙ момент в точке 1, по
прежнему оставляя левую часть балки: М Х! == s,sqZ2 + 2qZ · 3! 2q х
x31.1,51 = 2,5q12. Отложим значение на эпюре Мх. Соединим эпюру
по найденным точкам, получим на этом участке параболу, IIаправ
леН:НУIО выпуклостью навстречу стрелкам 2q.
Чтобы вычислить М Х2' можно оставить о.пять таки левую часть
балки:
м Х2 == s,sqZ2 + 2qZ. 3,SZ 2q. 3Z. 2! == 0,Sqz2.
Отложим значение на эпюре М.х: и соединим с предыдущей точ
кой эпюры наклон:ной прямой. Видим, что параболическая часть
эпюры M плавно спряrлась с наклонной прямой.
В точке В удобнее, вычисляя М в ' оставлять часть балки, лежа
х
щую правее точки В. На эту часть балки действует только распре
деленная наrрузка интенсивностью q. Считая, что балка условно
закреплена в точке В, видим, что распределенная наrрузка изrибает
балку таКИl\;I образом, что сжатые волокна оказываются снизу, по
этому, по принятому прав:илу знаков, изrибаIО1ЦИЙ момент будет
отрицателеfI:
МВ = q1. 0,51 = 0,5q12.
х
Отложим значеfПifе М в на ЭПlоре и соединим с предыдущей точ
х
кой, соответствующей значению М Х2 наК.lIОННОЙ ПрЯl\fОЙ. В точке 2
на эпюре MOl\ileHTOB, rде на балку действует сосредоточенная сила,
получился излом. В точке 3 изrибающий момент равен нулю, так
как праnее ее нет Вflешних сил и в самой точке не приложена llapa
сил. СоеДИfIИМ точки В и 3 параболой. В точке В на эrrюре полу
чился излом, так как в это:Й точке на ба.,ТIКУ действует сосредоточен
ная сила RB.
ЭПlора построеllа Мы видим, что опасным будет сечение COOT
ветствующее точке К. Запишем условие прочности:
М х шах []
о' шах =' < о' ,
Wx
откуда
.
Wx > М[О'ТХ
6, 5q12 .
[0'] ,
q = 2 KHjl\f = 12 Hjl\fl\I; подставляя значения, получим
W > 6,5.12.5002 == 150.103 мм3 == 150 см3.
х 130
192
193
Из таблип:ы ([ОСТ 8239 89) выбираеl\tJ двутавр NQ 18, дЛЯ KOTO
poro wx= 148 Сl\tlЗ. Балка будет переrpужена на 1,4%, что допускается.
Пример 8. Подобрать размеры KBaдpaTHoro сечения заданной ДBYX
ОПОРI10Й балКI1 (рис. 6.16). Для материала балки (сталь Ст.3) с учетом
повьппеНIIЫХ требоваН1IЙ к ее жеСТКОСТ1I принять [а] = 130 МПа.
отсюдаRD = 400 Н;
2) LMn=O; Ml RB.BD+M2+Fl.CD+F2.DE=O;
10 RB .0,2+ 210.0,1+ 16+300.0,05 = о,
о
о
ОТСlода RB = 31 О Н.
Составляем проверОЧI-Iое уравиеНIIе равновесия: IF.lJ = Rn Р1 +
+ RD + Е2 = 310 210 + ( 400) + 300 = 610 610 = о; следоватеЛЫ IО, pe
акции опор определеlIЫ верно. Реакция RD получил ась отрицатель
IIОЙ, Т.е. направлена не вверх, а ВIIИЗ (что и показываеl\1 :на чертеже,
перечеркивая предварительно выбранное направление). I1айденные
ЗIIачения RB и RD проставляеIvI на чертеже.
Для определеНIIЯ ВIlутренних силовых факторов Qy и Мх при
меняеIvJ метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каж
доrо из участков, будем отбрасывать правую часть балки и OCTaB
лять для рассrvrотреНIIЯ левую часть, т.е. строим эпюры слева Ha
право (с раВНЫl\I успехом l\tIОЖНО было принять порядок построения
справа налево).
Определение попереЧIIЫХ сил и: построение эпю
р ы Qy. На участке 1 поперечная сила равна QI = О (случай чистоrо
изrиба). На участке 11 поперечная сила постоянна и paBIIa Qп =
= RB = 310 Н. На участке 111 поперечная сила также ПОСТОЯIIна и paB
на QIII = RB Е1 = 310 210 = 100 Н. На участке IV поперечная
сила постоянна и равна QIV = RB rl RD = 310 210 400 = зоо Н.
Построенная эпюра поперечных сил Q показана на рис. 6.16, 6.
Определение изrибающих моментов и построение
э п юры Мх. Эпюру изrибаIОЩИХ моментов строим по характерным
точкам, т.е. вычисляем M.:r в характерных сечениях А, В, С, D и Е.
В сечениях А и в, равно как и в любом друrом сечении участка 1, из
rибающий MOIvIeHT постоянен и равен Мх J = Ml = 10 Н . м. В сече
нии С участка 11 (т.е. в сечении, бесконечно близком к сечению С
слева) изrибаIОЩИЙ l\-10l\.fент МС = Ml + RB. ВС= 10 + 310.0,1 =
. хН
= 21 tl . м. В сечении С участка 111 (т.е. в сечении, бесконечно близ
KOl\il к сечеНИIО С справа) изrибаIОII{ИЙ MOMelIT М С = M 1 + Rn . ВС
xIII
М? = МС М2 = 21 16 5 Н . IvI (т.е. в сечеН1IИ С изrибаЮIЦИЙ
.. хII
l\tIOl\feIIT измен:ился скаЧКОl\1 на значение приложенноrо здесь ВIIеш
Hero MOIvleHTa М2).
ДЛЯ упрощения расчетов дальнейшие вычисления M:t целесо
обраЗIIО про водить справа налево, Т.е. отбрасывая левую часть балки
и оставляя для раССl\10трения правую часть. В сечеНIIИ D изrибаю
щий момент М D = Е2 . DE = 300 . 0,05 = 15 Н . м. В сечеНИI1 Е изrи
х
бающий MOmeI-IТ М Е = О, так как относительно точки Е внешняя
х
t
Hz-'6H'H А lZ t
, . F, 8J1}(J
0;.1 н · Q.D',.
л. -IIDDH
01
а
Н, -3/0 Н
,.. -fDН'11
:8
А
l к II
аО5н : 0.1 и
r,-ZfG н
Qy, кН
о
М... Н'М
..
б
в
Рис. 6.16. К примеру 8
Реш е н и е. В задаННОl\-{ брусе четыре участка: 1, 11, 111 и JV. Име
ет место изrиб бруса.
В отличие от раССl\il0треНRОЙ в предыдущем ПРИl\1ере К9НСОЛЬНОЙ
(т.е. ОДII00ПОРНОЙ) балки расчет ДВУХОПОрIIОЙ балки следует начать
с определеН1IЯ реакций RB и RD шаРНИРllЫХ опор (rоризонталЫ-Iая
реакция llIарнирно неподвижной опоры в, очевидно, равна нулю).
Полаrая обе реакции направлеННЫl\IИ вверх, составляем два ypaBHe
ния рав:новесия, выбрав в качестве центра l\tIOMeHToB точки В и D:
1) LMB=O; Ml Fl.BC+M2+RD.BD+F2.BE=0,
1 О 21 О . О, 1 + 16 + R D . о, 2 + 300 · О, 25 = О,
194
195
сила F2 момента не создает (плечо силы равно нулю). Нанося по
лученные характерные точки на rрафик и соединяя их прямыми
линиями, получаем эпюру изr:ибавших foMeHToB Мх (рис. 6.16, в).
3 а!\1ечаем , что на участке 1 равной НУЛIО поперечной силе COOTBeT
ствует постоянный изrибающий момент; на участках 11 и III положи
тельной постоянной поперечной силе соответствует линейно возрас
тающий (слева направо) изrибающий момент; на участке IV отрица
тельной постоянной поперечной силе соответствует линейно убыва
ющий (слева направо) изrибающий момент, т.е. известные правила о
взаимосвязи эпюр Мх и Q!J соблюдены, эпюры построены верно
Из условия прочности балки при изrибе определяем размеры ее
поперечноrо сечения. В опасном сечеlIИИ (сечение С) взятый по аб
солютноl\tlУ значению изrибающий момент Мх = 21 Н. м; О'тах =
= Цх/Wх < [0']; 21/Wx < 130 . 106, отсюда требуемый осевой момент
сопротивления = 0,162. 10 6 мЗ = 162 t\JIМЗ. ДЛЯ квадрата MOMelIT
сопротивления выражается формулой 1-Vx = аЗ /6. Приравнивая
аЗ /6 = 162 ммЗ, находим сторону квадрата а = 9,9 !\1М. Принимаем
а = 10 l\:lM.
Пример 9. Для консольной балки, показанной на рис. 6.17, опре
делить размеры поперечноrо сечения, по условию прочности cpaB
нить массу баЛКI1 прямоуrольноrо сечения и двутавра. При расчете
принять СООТI-Iошен:ие сторон прямоуrольноrо сечения h/b = 2.
Материал балок сталь Ст.3; допускаемое напряжение на изrиб
[0'] = 160 Н/мм2.
Реш е н и е. При расчете балок I-Iеобходимо определить наиболь
ший изrибающий момент ц'Л тах. Для этоrо строим эпюры попереч
ных сил и изrибающих MOMelITOB в той последовательности, KOTO
рая указана в табл.
1. Определение опорных реакций дЛЯ КОНСОЛЫIЫХ балок можно
не производить, так как, ПРИlVlеlIЯЯ метод сечений, лучше отбрасы
вать часть балки вместе с заделкой (опорой).
2. Разделим балку IIa три участка (rраницы участков точки
приложения сил).
3. ОпределяеIvI характер эпюры поперечных сил на каждом
участке. На участках 1 и 111 отсутствует распределенная наrрузка
эпюра попереЧIIЫХ сил прямая, параллельная оси. На участке 11
(среднем) под paBHO!\fepHO распределенной наrрузкой наклонная
прямая. 1
4. ВычисляеIvI ПОlIеречные силы на каждом участке
Участок 1:
а
к
(J=8АН/М
D1
с
a H
б
10.
6
Мх. кН.м J5.fi
в
,.. С D
...
о
,.
,
't;
!lJ8
,
Рис. 6.17. К примеру 9
Участок 11:
QII = F q(x2 0,4).
При Х2 = 0,4 м Q11 = p = 6 кН.
При Х2 = 1,6 м QbI = p q .1,2 = 6 8 .1,2 = 1St 6 кН.
Участок 111:
QIII == F q.1,2= 15,6 кН.
QI = F = 6 кН (см. правило знаков).
По этим данным и построена эпюра поперечных сил (рис. 6.17, б).
5. Определяем характер эпюры изrибающих моментов. На участ
ке 1 наклонная прямая; на участке 11 под равномерно распреде
196
197
11 = 12W.\ = 12 .135 = 1620 = 11,7 см.
ПРИIiимаеl\1 h = 120 м 1\-1; Ь = 60 мм; площадь ПРЯl\tlоуrольника
А1 = bh = 12 . 6 == 72 Cl\f2.
10. Сравниваем массы балки прямоуrольноrо сечеНI1Я и ДBYTaB
ра При одно:Й и той же длине балок, изrотовленных из ОДIПiаково
ro материала, отношеН1Iе масс балок равно отношеНИIО площадей
их поперечных сечений:
ленной наrрузкой очертания эпюры изrибаIОЩИХ моментов пара
бола. IIa vчастке 111 наклонная прямая.
, '"
6 Вычисляем изrибающие моменты в характерных сечениях.
Участок 1:
м А = О; М в = F. 0,4 = . 0,4 = 2,4 кН . 1\,1 (СМ. прав:ило знаков Д7IЯ мх).
х ..\
Участок 11:
2
М (.Х2 0,4)
х 2 = .L X 2 q 2 .
А1 = 72 = 3 08.
А 23, 4 '
Вес балки прямоуrольноrо сечеНI1Я почти в 3 раза больше, чем
вес двутавра.
Пример 10. Для консольной
балки, изображенной на рис. 6.18,
построить ЭПIОрЫ поперечных
сил и изrибающих моментов. rIo
добрать из услов:ия прочности
требуемый HOIvlep двутавра, если
Е= 10 кН, 1=0,65 м, [а] = 130 МПа.
2F
Реш е н и е. С левой стороны
на балку не наложено никаких
связей и ПОЭТОl\IУ поперечные си
лы и изrибающие моменты мож
н:о определить без предваритель
Horo определеlIИЯ реакций в за
делке. ЭПIОрЫ l\10ЖНО строить со
свободноrо левоrо конца балки,
т.е. искомые поперечные силы и
изrибающие моменты находить
через силы, действующие на часть
балки, лежащую левее сечения, в
KOTOpOIvI опредеЛЯIОТСЯ Qlj и ЦУ'.
Сначала сделаеIvI зада iу в бук
венном виде. ВЫЧИСЛИl\1 Q'j в сечении А. Сила 2F стремится под
нять вверх левую часть балки относительно правой, поэтому он:а
вызовет возникновение положительной поперечной силы: = 2Р.
ДО сечеl1ИЯ С эпюра Qy должна быть очерчеlIа ПрЯ1\fОЙ, hарал
лельной оси балки, причеl\1 I-Ja ЭТОl\1 участке в Лlобом сечении
Q1J = 2Р. В сечении С на эпюре Цц должен быть отложен скачек вниз
на величину СIIЛЫ 6F, так как эта си'ла стреIvlИТСЯ сдвинуть вниз ле
вую часть ба.тIКИ относительно правой. На участке CD ЭПlора Цц
[Iри Х"2 = 1 м
МЕ == F.1 q' 0,62 == 6 80,36 == 7,44 КН'М.
х 2 2
1 22
МСХ == E .1,6 Q' == 9,6 5,76 == 1S,36 кН. М.
11ри Х2 = 1,6 l\tI
Участок 111:
MD = F. 2 q. 1,2.1 = 12 9,6= 21,6 кН. м.
х
На рис. 6.17, в дано построение ЭПIОрЫ :изrибающих l\10meI-JТов
(ПрУI построении эпюр Qy и Цу; неоБХОДИl\10 соблюдать l\Iасштаб не
только величины поперечной силы и изrибаIощеrо момента, но и
1J,лины участков балки. При несоБJlIодеlfllИ масштаба характер ЭПIОр
будет искажен).
Максимальный изrибаIОЩИЙ l\10l\feHT ВОЗlIИкает в заделке (точка D):
М = 21,6 Kf-I . м = 21,6 . 106 Н . l\1M.
х П1ах
7. По условию ПРОЧIIОСТИ на изrиб
0'= Мхшах [O'].
Wx
Определяеl\I требуеl\fЫЙ 1\10l\felIT сопротивлеlIИЯ балки:
W == М х шах == 21,6 .106 == 13,5 .104 ММ3 == 135 см3.
[О'] 160
8. ВыбlIраеl\tI размеры сечеlIИЙ двутавровой балКII по [ОСТ 8239 72
(Cl\l. [Iриложен:ие). Наиболее близкой является балка N2 18, У KOTO
рой осевой lVI0l\IeHT сопротивлеlIИЯ Y" = 143 см3, ПЛОIl адь попереч
Horo сечения А = 23,4 см2
9. Выч:исляем раЗl\lеры прямоуrольноrо сечения. Как известно,
y = bh2j6. При hjb = 2 Wx = h3j12, отсюда
198
2F
4Рl
БF
А
в
1
с
о
J
1
Qy, кН
2F
о
о
4F
Мх.КН.м
4F
о
4Fl
о
Рис. 6.18. К ПРИl\IСрУ 1 О
199
также изобразится ПрЯIvl0Й, параллеJIЫIОЙ оси балки, но в JIюБОIvl
сечении на ЭТОIvI участке Qy будет равна алrебраической cYMIvIe сил
2Р и 6F;
Подставляя значения, получим
Wx > 4 . 10 . 103 . 0,65/130 . 106 = 200 . 10 6 м3,
Wx > 200 см3.
Такому условию удовлетворяет двутавр NQ 20а с осевым MOMeH
том сопротивления сечения Wx = 203 см3.
Пример 11. Для заданной KOH а
сольной балки (рис. 6.19, а) по
добрать размеры сечения в двух
вариантах: а) двутавр; б) IIрЯl\IО
уrольник с заданным отношени б
ем h/b = 1,5 высоть] и ширины.
Сравнить массы балок по обоим
расчеТНЫl\f вариантам. Для MaTe
риала балки (сталь Ст.3) принять
допускаемое напряжение при из
rибе [а] = 160 МПа.
Реш е н и е. В заданном брусе
три участка: 1, 11 и 111. rраlIицами в
участков являются сечения, в KO
торых приложены внешние силы
и моменты. Так как силы и l\10
менты; наrpужающие брус, дей
ствуют в продольной плоскости,
совпадаlощей с плоскостью сим
метрии бруса, то в поперечных
сечениях возникает два внутрен
них силовых фактора изrибаю
щий момент м.х и поперечная сила Qy, т.е. брус испытывает изrиб.
Для определения Вllутренних силовых факторов применяем Me
тод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждоrо из
участков, будем отбрасывать правую закрепленную часть балки и
оставлять для рассмотрения левую часть.
Определение поперечных сил и построение эпю
р ы QlJ. На участке 1 поперечная сила постоянна и равна QI = Р1 =
= 20 кН. На участке 11 поперечная сила также постоянна и равна
. Qп=F1 F2=20 20=0 (случай чистоrо изrиба). На участке 111
поперечная сила ПОСТОЯIIна и равна QIП = F1 F2 F3 = 20 20
44 = 44 кН. ПостроеНlfая эпюра поперечных сил Q.y показана на
рис. 6.18, б (построен:ие ЭПIОрЫ поперечных сил принципиально Hlf
чем не отличается от построения эпюры продольных сил).
О пр еде л е н и е из rи б а 10 Щ их М о м e HTO в и по стр О е
11 И е э п юры Мх. Эпюру .изrибающих моментов строим по xapaK
Qy = 2F 6F = 4P.
В произвольно выбранном масштабе откладываем наЙденные
ЗIlачения Qy. Эпюра Q1J построена на рис. 6.18.
Вычислим значения изrибающих моментов в сечениях А, В, С,
D. В сечении А MOl\IeHT равен нулю, так как в концеВОl\1 сечеlIИII не
приложен внеШIIJIЙ сосредоточенный м о l\tlеит. В сечении В изrиба
ющий момент от силы 2F нужно взять со знаком плюс, так как сила
2F 11зrибает балку таким образом, что сжатые волокна оказываются
сверху балки: М в = 2FI.
Отложив найд енное значеНllе М B.t llа ЭПlоре и соеДИlfИВ с нуле
вым значен:ием Мх сечения А наклонной прямой, отложим в сече
нии В скачок на величину действующеrо сосредоточеllноrо MOMeH
та. В силу Toro, что MOIvIeHT 4Fl изrибает балку так, что сжатые BO
локItа оказываlОТСЯ снизу, скачок IIУЖНО отложить ВНIIЗ. Итак, с
учеТОIvl скачка изrибающий MOMefIT в сечении В вычислим следую
ЩИIvl образом:
MB = 2Fl 4Fl = 2Fl.
В сечении С, вычисляя М С J неоБХОДИl\IО учесть как силу 2F на
плече 21, так и сосредоточеlfньiЙ l\10MefIT:
Mct. = 2F. 21 4Fl = о.
Отложим найденное значеНJ;Iе Мс на эпюре и соеДИНИl\1 наКЛОII
u u Х
нои прямои точки эпюры, соответствующие значеНИЯl\1 МВ 11 мс.
В сечеlIИИ D найдеIvI М D ' учитывая обе СIIЛЫ и момент: х х
Х
М D.t- = 2Р . 31 4Fl 6Рl = 4Fl.
Отложим значение MD.t. в выбранном масштабе и соединиl\tI с
точкой, соотвеТСТВУlощей Мс наКЛОIIНОЙ прямой Эпюра Мх по
х
строена на рис. 6.18.
Требуемый номер двутавра неоБХОДИl\10 найти из условия проч
fIОСТИ. Опасныl\tl будет сечение, rде ВОЗI1икает маКСII1VlаЛЬНЫIvl наrи
баЮJЦИЙ момент, т.е. сечение D. Запишеl\1 условие прочности при
изrибе:
О'mах = МХП1ах / \Vx < [0'],
откуда
Wx > MXlnax / [0'], или Wx > 4Fl / [0-].
200
А
1
'z-tfJ«Н Jj ="!,,,Н
Н- '6ItH м
8 С
JI
O,jM а5м
Qv.kH
О
'r-ZQхН
n'К
,,-,J 11
20
о
о
о
Мх. kH.M
10
ZB
Рис. 6.19. К примеру 11
201
терным точкам, Т.е. вычисляем М--r В характерных сечениях А, В. С и
D. В сечеlIIIИ А изrибаIОЩИЙ l\10l\leIIT МА = о, так как относительно
х
ТОЧК1I А внеШIIЯЯ сила Р1 MOl\IeHTa не создает (плечо силы равно
нулю). В сечении В изrибающий момент МВ == Е1 . АВ == 20 · 0,5 ==
х
== 1 О кН . м. В сечении С участка 11 (т.е. Б сечении, бесконечно близ
ком к сечению С слева) изrибающий момент М С == Е1 . АС Е2 · ВС =
хП
= 20 . 1 20 . 0,5 = 10 кН . м. В сечеНIIИ С участка 111 (т.е. в сечении,
бесконечно близком к сечению С справа) изrибающий момент
МС ==F1.AC F2. ВС М==МС М== 10 16= 6 кН. м (т.е.
х П1 х П
В сечеНIIИ С изrибающий момент И3l\1енился скачком на значение
приложенноrо здесь внешнеrо момента М). В сечении D изrибаю
щий момент MD == F1 . AD F2 . BD М F3 . CD == 20 · 1,5 20 х
.t
Х 1 16 44 . 0,5 = 28 кН . Ivl. Нанося полученные характерные
точки на rраф:ик и соединЯЯ их ПрЯl\llЫIvlИ ЛИIIИЯМИ, получаеIvl эпюру
изrибающих моментов М-У; (рис. 6.19, в).
3амечаеl\1, что на участке] постоянной положительной попереч
ной силе соответствует линеЙIIО возрастающий (слева направо) из
rибающий MOl\lIeHT; на участке 11 раВIIОЙ нулю попереЧIIОЙ силе co
ответствует постоянный изrибающий момент; на участке 111 посто
янной отрицательной поперечной силе соответствует линейно убы
вающий (слева направо) изrибаIОЩИЙ MOl\1eIIT, т.е. известные правила
о взаимосвязи эпюр Мх и Qy соБЛlодеlIЫ, ЭПIОрЫ построены верно.
Определяем размеры поперечноrо сечения балки, для чеrо ис
пользуем условие прочности при изrибе О'rnах == Mx/Wx < [0'], rде
осевой момент сопротивления Wx является rеометрической харак'"
теристикой прочности поперечноrо сечения, а МХ взятый по абсо
лютному значению максимаЛЫIЫЙ изrибающий момент.
В нашем случае в опасном сечении (сечение D) МХ == 28 кН . м ==
= 28 . 103 Н . м;
ь =h/1,5 = 11,7/1,5 = 7,8 см = 78 мм. Площадь 11рЯl\lIоуrольноrо сече
ния А = bh = 7,8 . 11,7 = 91,3 см2. ОТIlошение масс балок одинаковой
длины равно отношению площадеlI сечений А /А = 91 3/26 8 3 4
1111 '(В ' , , .
Слuедовательно, балка ПРЯ1Vl0уrольноrо сечения тяжелее ДBYTaBpo
вои в 3,4 раза.
Пример 12. Для балки, изображенной на рис. 6.20, подобрать
раЗl\Iер I поперечноrо сечения в четырех вариантах: а) Kpyr дepe
вянныи, если [а] = 12 МПа; б) ПРЯl\10уrольник деревянный с задаlf
ным отношениеl\1 ширины и высоты b/h = 1,4; в) пакет из двух бре
вен; r) два швеллера, если [а] = 160 М Па. Определить максималь
ные касатеJIьные напряжения для балки круrлоrо сечения.
Р=15 кн
1\.1=12 КИ. м
q =10 кН/м
В
ХЗ
2 OM
2,Ом
ау. кН
2,.0 1
2#37
16 3
,
О
о
381
м х < [ ]. 28 .103 < 60 1 6
О"тах cr , 1 . О ,
Wx Wx
отсюда требуемый момент сопротивления Wx == 175 . 1 O м3 == 175 см3.
Здесь допускаемое напряжение [0'] == 160 МПа== 160. 106 Па.
Подбираем сечеНllе балки в двух вариантах.
Сечение Д в у т а в р. По таблице прокатной стали [ОСТ
8239 72 (см. Приложение) выбираем двутавр NQ 20, для KOToporo
Wx == 184 см3 и площадь сечения А == 26,8 см2.
СечеlIие п р я м о у r о л ь н и к с заданным отношением высоты
и ширины h/b = 1,5. Для ПрЯl\IоуrОЛЫflIка MOMelIT сопротивления
выражается формулой Wx.==bh2/6. В нашем случае Wx==hh2/(1,S. 6)==
== h3/9. Приравнивая h3/9 = 175 см3, находим h == 11,7 см == 117 мм и
Мх, КН'м
58,0
о
о
Рис. 6.20. К ПрИl'flеру 12
Реш е н и е.
1. Определение реакций опор:
L М А = 6RB 4Е . 4,0 . 4,Oq М = о;
203
202
6RB 15 . 4 10 . 4,0 . 4,0 12 = о; 6RB = 232 кНм; RB = 38,7 кН;
'LM в = 6RA + 2Р + q . 4,0 . 2,0 М = о;
6RA + 2 . 15 + 10 . 4,0 . 2,0 12 = о; RA = 16,3 кН.
Проверка:
L у = о;
16,3 + 38,7 15 10 . 4,0 = о; 55 55 = о.
2 Определение поперечных сил и построение эпюры Qy.
Участок 1: О <Х1 < 2.0 м;
Q=RA = 16,3 кН.
Участок 11: О < Х2 < 2,0 м;
Q = RB + q . Х2.
При Х2 = О Q = 38,7 кН.
При Х2 = 2 м Q = 38,7 + 10 . 2 = 18,7 кН.
Участок 111: 2 tvl < ХЗ < 4 м;
Q = RB + q . ХЗ + F.
При ХЗ = 2 м Q = 38,7 + 10 . 2 + 15 = 3,7 кН.
При ХЗ = 4 м Q = 38,7 + 10 . 4,0 + 15 = 16,3 кН.
3 Определение изrибаlОЩИХ loMeHToB и построение эпюры МХ.
Участок 1: О <Х1 < 2,0 м;
М = RA . Х1;
Х1 = о;
М=О;
Х1 = 2 м;
М = 16,3 . 2 = 32,6 кНм.
Участок 11: О < Х2 < 2,0 м;
2
q .Х2
М == RB · Х2 2 ; d
Х2 = о;
М=О;
Х2 == 2 м;
1 О . 22
М = 38,7 . 2 = 57,2 кНм
2
Участок 111: 2 м < ХЗ < 4 1\1;
2
q. ХЗ
М == RB · ХЗ 2 F(хз 2);
204
dM
= RB qХЗ + F = О;
dx
хз = 2,37 м;
10.2,372
М тах == 38, 7 . 2, 37 2 15 · О, 37 == 58, О кН · м;
ХЗ = 2 м;
М = 57,2 кН . м;
ХЗ = 4 м;
10.42
М == 38, 7 · 4 2 15(4, О 2) == 44,6 кН. м.
4. Подбор сечений.
а) Круrлое деревянное с'ече
ние: [а] == 12 МПа.
Из условия прочности при изrибе:
,.. == IMmaxl < l ].
v Л1ах v ,
Wx
W == пdз > Мтах == 58.106 == 4830 .10З ммз, ..s::
х 32 [0'] 12,0 '
х
32 . 58 . 106
d = з = 365 мм.
3, 14 . 12, О
ь
х
Х2
б) Деревянное прямоуrоль
н о е с е ч е н и е:
Wx = 4830 . 10З ммз;
Ь
h == 1, 4 ;
h= 1,4Ь;
W == bh2 == Ь(1,4Ь)2 ЬЗ
х 6 6 = 3;
ь = 3 . 4830 . 10З = 244 мм.
в) Па кет из бр ев е н при раци
оналЫIОМ положении бревен в пакете
Момент Иlfерции пакета
j =2(] +Rт2)=2[1td4 + пd2(d)2]=2(1td4 +1td4]=Sпd4.
х Х1 1 64 4 2 64 16 32
Х1
205
MOl\IeHT сопротивлеНIIЯ пакета
5. Определяем максимальные и касательные напряжения в
стальной баJIке:
W == ] х == S1td4 s1t(z3
х
. Ушах 32d 32
0'. == IMmaxl == 58 000 000 == 149,0 МПа'
111 ах 2W; 2.192.103 '
Диаметр бревен
W >S.пd3 >IMmaxl.
х 32 ..... [0'] ,
d == 3 321Mmaxl = 3 32. 58.106 == 98s0 == 21,3 см.
5п[ 0'] 5п .12, О
IQmaxl. 2S IQmaxl. S
П1ах 2t. 2 . ] 2t . ]
38 700.110.103 = 187 МП
4' а.
2 . 5, 4 . 211 О . 1 О
6. Определяеl\1 маКСИ1\lальные касательные напряжения в балке
круrлоrо сечения: J
Х
. ...............
СТ
Sx . Qmax
lnax = ;
bJx
1td4 1t . 3654 6
] = = = 82 32.10 1\11\14
х 64 64' .
ХО
Х
r) Сечение из двух ш.веллеров:
I Мп1ах I
О"1l1ах = . < [O"j;
Wx
[а] = 160,0 МПа.
Пример 13. Из УСЛОВIIЯ ПРОЧIlОСТИ балки, изображеНllОЙ на
рис. 6.21, опредеЛIIТЬ раЗ1\lеры поперечных сечеНI1Й Kpyra, кольца,
l1рямоуrОЛЫIика, двутавра, если [а] = 170 МПа, с = djD = 0,6; hjb = 1,2.
Составить таблицу, показываIОЩУЮ ОТl{ошение ПЛОlцади каждоrо
сечения к площади двутавра.
Реш е 11 и е.
1. Определение реакци:Й опор:
{LM А = о; {q 1 . 2 . 1 F . 2 + q 2 . 6 . 5 М R в . 1 О = о;
LM в = о; q1 .2 .11 RA .10 + F. 8 q2 .6. 5 М = о;
q1 .2.1..... F . 2 + q2 .6. 5 М 14.2.1 25.2 + 7 .6. 5 15
R = = = 17 3 кН.
в 10 10' ,
ql .2.11 + F . 8 q2 .6. 5 М 14.2.11 + 25. 8 7 .6. 5 15
RA = = = 28 3 кИ.
10 10'
Требуеl\IЫЙ момент сопротивлеlIИЯ
W. == 5, 8 . 1 07 = 356 5 . 103 мм3,
х 160, О ' ,
y= 2 ;.
OMeHT СОПРОТl'Iвления одноrо швеллера
W' == Wx == 356.103 = 172.103 мм3
-r 2 2 .
Выбирае1\I по COpTal\IeHTY [ОСТ 8240 72 швеллера с моментом
сопротивления близким к расчетному.
Швеллер 20а: = 167 C1\I3;
y = 2 . 167 = 334 смз;
о' == 58 .106 == 151 МП
шах 384 -103 а.
Проверка:
Недоrрузка: 160 151 .100 = 5 625%
160 ,О .
Допускаеl\1ая переrрузка или llедоrрузка равна 3%. Окончатель
но ПРИIIимаем швеллер NQ 22, так как швеллер с нормаТИВIIОЙ Heдo
rрузкой не представляется возможным.
I:Y = о;
ql . 2 + RA F + q2 . 6 RB = о;
14 . 2 + 28,3 25 + 7 . 6 17,3 = о;
70,3 + 70,3 = о.
2. Определение поперечных сил и построение эпюры Qlj:
Ql = о;
206
207
RA =28 З т.н
q 1 =14 КН/]V!
в
МА = ql .2. 1 = 14 .2. 1 = 28 кН . м;
М2 = ql .2 3 + RA . 2 = 14 . 2 . 3 + 28,3 .2 = 27,4 кН . м;
17,3
х= = 2,47 м;
7
мх= q2. 2,47 . 1,24 М RB. 4,47 = 7.2,47. 1,24 15 17,3.4,47 =
= 70,9 кН . м;
Мз = M RB .2 = 15 17,3 . 2 = 49,6 кН . м;
MB= M= 15 кН. м.
4. Из эпюры M.:r максимальный изrибающий момент МХ mах =
= 70,9 кН . м = 70,9 . 106 Н . мм.
W > Мхтах = 70,9.106 ==417.103 мм3.
Х [ о' J о, 1 7 . 103
1
F = 25 кн
2м 2м
.q .... = 7 КН/!\(
L.
61М:
2 "
QJI1 кН
о
0:1'3
173 173
:+:
о
х = 2,47 1<.'1
28
24,7
Мх. кН.м
а) к р у r:
J]
о
Wx = 0,1tfЗ;
d > Wx == 3 417 .103 == 161 мм.
о, 1 О, 1
15
.
б) Кольцо:
w о 1DЗ(1 с4).
х' ,
70 9
Рис. 6.21. К примеру 13
3
WX 3 417.10 169
D > 3 = = мм.
0,1(1 c4) 0,1(1 0,13) ,
d=c.D=0,6.169= 101 мм.
М1 = о;
в) П ря м оуrольник:
h
= 1, 2; h = 1,2 Ь;
Ь
bh2 Ь. (1,2. ь)2 1,44Ь3 .
W ,
х 6 6 6
Ь 6 · Wx 3 6. 417 . 1 03 120 .
> 3 мм,
1, 44 1, 44
h = 1,2Ь = 1,2 . 120 == 144 мм.
QB = RB = 17,3 кН;
cl4 = ql .2 = 14 .2 = 28 кН;
Qз = RB = 17,3 кН;
Q2= ql.2+RA= 14 .2+28,3=0,3 кН;
Q2 = RB q2 .6= 17,3 7 .6= 17,3 7 .6= 17,3 42 = 24,7 кН.
3. ОпределеfIие изrибающих MOIvIeHTOB и построеllие эпюры Мх:
208
209
Wx = 417 . 103 l\IM3 = 417 см3.
. I
Решение.
1. Определяем опорные реакции:
. 1 SFa
'f.MB ==0, 2aRA +Fa+O,sFa=O; RA == 2а ==0,7sF;
'f.M А = О; 2aRB Еа + o,SFa' О; RB == O,sFa == О, 2SF.
2а
r) Двутавр:
По таблице [ОСТа принимаеl\1 1 N2 27а Wx 1 = 407 см3.
Определяеl\I площади сечений
А 1td2 3 14.1612 = 20 300 ммз == 203 СМЗ,
Kpyr = 4 = 4 '
1t 2 2 3, 14 2 2 2 2
Акольцо = (D d ) = (169 101 ) = 14 400 мм = 144 см ;
d 4
Анрямоуl'. == Ь . h == 120 . 144 == 17 300 мм2 == 173 см2.
По таблице [OCl-'а для 1 N2 27а AI = 43,2 см2.
2. ПереХОДИl\1 к построению эпюр Qx и Мх
Сечение I I:
Q=0,75 F; M=RA .Х1.
17
0,5 FQ
При Хl = О М = о.
При Х1 = а М = 0,75 F. а = 0,75 Ра.
Сечение II II:
Q = 0,25 F; М = 0,5 Fa + RB . Х2.
При Х? = О М = 0,5 Ра.
ПрI1 Х2 = а М = 0,5 Ра + 0,25Fa = 0,75 Ра.
Определяем допускаемую иаrрузку.
Двутавр 1 N2 20 (табл. П.1):
Wx = 184 Cl\14.
А Kpyr Кольцо П рямоуrольник
А] 4,7 3,33 4,0
Пример 14. Для двутавровой балки N2 20, изображенной на
рис. 6.22, определить допускаеl\IУЮ наrрузку.
1
2
RA= О 75Р
Хl
1
Х2
RB= O 2J Р
Условие прочности
о
о
м шах
о' П1ах < [О'] ;
Wx
[а] = 160 МПа = 16 KHjCM2;
Мтах = 0,75 Fa;
[м] = [а] wx= 16.184 = 2944 кН. см = 29,44 кН. IvI = 0,75 Fa;
[Е] == 29,44 == 19 63 кН.
О, 75 2 t
2
а=2м
а= 2 lу!:
а/2 ==lь[
Qy, кН
о 75Jl
0,25 .
о
о
Пример 15. [lостроить ЭПIОРЫ поперечных сил и изrибающих
l\10MeJITOB ДJIЯ балки , изображенной на рис. 6.23.
Решение.
1. Разрезаеl\1 балку по IпарIIJIрУ, расчленяя ее на заВИСI1l\t[УЮ и He
зависимую балк:и.
2. Определяеl\1 опорные реаКllИИ заВИСIlIvl0Й балки:
М:(, кН,м
о 15Fa
О,.5Ра
Рис. 6.22. К ПрlIмеру 14
LMB = 10 .2,0 . 3,0 4RA 15 . 2,0 + 12 = о;
210
211
М= 12 УВ!\-!
Е В
с
10,5 + 10 . 2,0 + 15 5,5 = о;
25,5 25,5 = о.
Х4
к незаВИСИlVIОЙ балке прикладываем найденную реакцию RB, но
с ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ знаком.
3 Определение поперечных сил и построение эпюры Цц.
Участок 1: О <Х1 < 2 м.
ПРИХ1 =0 м Q= 10,5 кИ.
При Х1 = 2 м Q = 10,5 10 . 2,0 = 9,5 кИ.
Участок 11: О < Х2 < 1,0 М.
Q= RB = 5,5 кИ.
F = 15 кн
20 м I,Ом 1"Ом
2,0 м
R.A=10,5 кн
М=12кНм В
Е
Р=l.5кН
ХЗ
с
Участок 111: 1,0 < хз < 2 М.
Q= RB = 5,5 кИ.
Qy, кН
Участок IV: О < Х4 < 2 М.
5,.5
Q = RB = 5,5 кН.
о
о
4. Определение изrибающих моментов и построение эпюр Мх
Участок 1: О <Х1 < 2 м.
qx2
М = R А . Х 1 ...........L
2 .
91'5
Мх, кН.м
При Х1 = О м М = о.
Определяем Мmах:
о
dM
= RA q . Х1 = о.
dx
Рис. 6.23. К примеру 15
При Х1 = 1,05 М
R = 60 30 + 12 = 1 О 5 .
А 4 ' кИ,
'LMA = 4RB + 12 + 15 . 2,0 10 . 2,0 1,0 = о;
R 12 + 30 20 5 5
в 4 ,кИ.
1 О . 1, 052
МmаХ = 10,5 .1,05 = 5,52 кИм
2
При Х1 =2 м М= 1 кНм.
Участок 11: О < Х2 1,0 м.
М = RB .Х2.
Проверка:
LY = о.
,
ПРИХ2=0 М
При Х2 = 1 м
М=О.
М = 5,5 . 1,0 = 5,5 кНм.
212
213
F::.15 кн
4 . RA + 10 . 4 . 2 20 15 . 2 = о;
RA == 80 20 30 == 30 == 7,5 кН.
4 4
'l.MA = о;
4 . RB 20 15 . 6 10 . 4 . 2 = о;
.
RB = 20 + 90 + 80 == 190 == 47,5 кН.
4 4
Проверка: I:Y = 47,5 + 7,5 10 . 4 15 = 55 55 = О
2. Определение поперечных сил и построение эпюры Q .
Участок 1: О <Хl < 4 1\1. У
При Хl = О М Q = RA = 7,5 кН.
При Хl = 4 м Q= 7,5 4. 10 = 32,5 кН.
Участок 11: Q = F = 15 кН.
3. Определение изrибаIОЩИХ моментов и построение эпюры Мх.
Участок 1:
Участок 111: 1,0 < ХЗ < 2,0 м.
М = RB .Хз +М.
При хз = 1,0 м М = 6,5 кНм.
При хз = 2,0 1\1 М = 5,5 . 2 + 12 = 1,0 кНм.
Участок IV: О < Х4 < 2,0 м.
М = RB . Х4.
ПрI! Х4 = О м М = о.
[Iри Х4 = 2,0 1\1 М = 5,5 . 2 = 11,0 кНм.
Пример 16. Для заданной балки, изображенной на рис. 6.24, по
строить ЭПIОрЫ поперечных сил и изrибающих моментов. Подобрать
из условия прочности требуемый номер двутавра, если [а] = 160 МПа.
с
о
МА = 20 KHl\I.
MK:::::20+75.075 10.0,752 20 5625 8 5
" 2 == +, 2, 12 ==22,8125 кНм.
Участок 11: О < Х2 < 2 м.
При Х2 = О м М = о.
ПРИХ2=2м M= 15.2= 30KHM
4. Подбираем двутавр:
W = Mn1ax = 30 000 = 187 5 з
х [ 0'] 160 ' СМ.
ИЗ сортамента [ОСТ 8239 89 (табл. П.1) выписываем близкие
значения:
",'R.A=7,5 кн -
R в=41.,5 rJl
2а=4 м
)(2
l1 =2 м
Оу, кН
15
15
7,5
О
т
0,75 м
20
325
J
22,8125 M:t:. kH-м
о о
1 20 y = 184 смз Jx = 1840 см4.
1 22 Wx:::: 232 СIvlЗ Jy = 2550 см4.
Если примем 1 20, то
30
Рис. 6.24. К примеру 16
Реш е н и е Расчет двутавровой балки следует начать с опреде
леНI1Я реакций RA и RB:
cr Inax =
30 .10З .103
184 .103
163 МПа.
Переrрузка:
163 160
. 100 = 1 875%
160 ' о.
"ЕМ в = о;
214
215
П ИIvlем 1 22:
Продолжение табл. 6.1
30 .103 .103 == 129 3 МПа.
О'П1ах = 232 .103 '
Задачи
1...10. Для двухопорной балки, наrруженной, как показано на
рис. 6.25, силами F1, F2 и парой сил с моментом М, определить pe
акции опор, построить эпюры поперечных сил, изrибающих MOMeH:
тов и подобрать необходимый размер поперечноrо сечения (ДBY
тавр или два швеллера), приняв [0"] = 160 МПа. Числовые значения
величин для cBoero варианта задачи взять из табл. 6.1.
Таблица 6.1. Исходные данные к задачам 1...10
Номер задачи Вари Велпчина
и схемы М, к 1-1 . м
на рис. 6.25 ант А,м Ь, м С, м Еl' кН Е2' кН
Задача 3, 02 1 3 0.5 20 1 0,6
схема 111 14 2 3 0.8 18 0,8 0,8
29 3 2 1 16 2 0,8
35 3 1 1,2 15 4 0,6
. 49 2 2 1,5 12 5 1
53 2,5 2,5 1 10 2,2 1
62 2,5 1,5 1,2 8 3 1,2
74 1,5 2,5 1,5 6 0,5 1,5
82 1.5 3,5 1,4 5 0,4 1.2
98 3,5 1,5 0,8 4 1 2
Задача 4, 03 2,5 1,5 1 0,8 1,2 5
схема IV 17 1,5 2,5 1 1 4 4
28 1,5 1 2,5 1,2 0,6 5
34 1 1,5 2,5 1,5 2 4
40 1 2,5 1,5 4 2 5
52 2,5 1 1,5 8 4 4
63 1,5 1,5 1 6 12 5
72 1,5 1 1,5 12 6 4
86 1 1,5 1,5 4 2 5
91 2 2 1 5 4 4
Задача 5, 05 2 3 0,4 10 5 30
схема V 16 3 2 0,5 12 6 24
21 2,5 2,5 0,6 14 7 15
37 3,5 1,5 0,8 20 10 16
44 1,5 3,5 1 18 9 8
50 1,4 2,6 1,2 8 4 18
60 1,5 2.5 1,5 16 8 20
70 2 2 0,8 15 8 14
83 2,5 1,5 1 24 12 12
90 2,6 1.4 1,2 30 15 10
Задача 6, 04 1,2 3 2 5 10 12
схема УI 19 1 2 3 6 12 10
20 0,8 3,5 1,5 7 14 15
36 1,5 2,5 2,5 10 20 8
43 1,2 2,6 1,4 9 18 16
54 1 3,5 1,5 4 8 6
61 0.8 2,5 1,4 5 10 9
78 0,6 1,5 2,5 8 16 14
89 0,5 1,4 2,6 15 30 10
93 0,4 2 2 12 24 4
Недоrрузка:
160 129,3 .100 = 19%.
160
Допускаемая переrрузка или недоrрузка равна 3%.
Окончательно принимаем 1 20.
Номер задачи Вари Величина
и схемы М, кН . м
на рис. 6.25 ант А,м Ь, м С, м Ft, кН Е2, кН
Задача 1, 00 2 2 1 20 10 12
схема 1 13 1 3 1 12 8 20
27 1 2 2 10 20 15
33 3 1 1 8 12 10
41 2 1 2 16 8 24
59 1 1 3 12 20 16
64 1 2 1 40 20 40
73 2 1 1 20 8 20
85 1 1 2 8 16 12
96 2,5 2,5 1 16 8 24
Задача 2 01 1 2 2 12 20 6
схема [1 15 1,2 3 1 10 40 8
26 1,5 1 3 16 8 10
32 0,8 2 3 20 10 12
42 1 3 2 25 15 14
51 1,5 2,5 2,5 15 25 15
65 1,2 2,5 1,5 18 20 20
77 0,5 3 2 8 12 5
88 0,8 2 3 5 15 10
99 1 3,5 0,5 24 10 12
216
217
Окончание табл. 6. 1
1
Номер задачи Вари Величина
и схемы М, кН . м
на рис. 6.25 ант А,м Ь, М С, М Е1, кН Е2, кН
Задача 7, 07 1 1,5 2,5 10 12 10
схема VII 18 1,5 1 2,5 12 10 10
23 1,5 2,5 1 20 14 10
38 2,5 1,5 1 14 20 10
46 2,5 1 1,5 18 22 10
55 1 2,5 1,5 22 18 10
67 1 1,5 1,5 8 12 10
79 0,5 1,5 2 6 14 10
81 0,5 3,5 1 10 10 10
92 3,0 1 1 12 12 10
Задача 8, 06 0,5 1,5 3 8 10 4
схема VIII 11 1,5 0,5 3 10 8 5
22 1,5 3 0,5 12 20 6
30 3 1,5 0,5 12 8 8
45 3 0,5 1,5 10 6 10
56 0,5 3 1,5 8 16 4
66 1 1,5 2,5 10 12 12
75 1,5 1 2,5 8 12 8
84 1,5 2,5 1 12 6 10
95 2,5 1,5 1 20 20 5
Задача 9, 09 1,5 2,5 1 10 12 10
схема IX 10 2,5 1,5 1 12 6 8
25 1 3 1,2 14 7 4
31 1,5 3,5 1,2 16 10 5
46 3,5 1,5 1,5 6 4 6
57 2,5 2,5 1,5 8 16 12
69 2 2 0,8 15 10 8
76 3 1 0,8 5 3 14
80 0,5 1,5 0,5 50 20 40
94 1,5 0,5 0.5 60 10 30
Задача 1 о, 08 0,5 1,5 3,5 10 10 12
схема Х 12 0,5 2,5 1,5 8 12 8
24 1,5 1,5 2,5 12 14 4
39 1 1,5 2,5 4 16 5
47 1 2,5 1,5 5 20 6
58 0,5 0,5 1,5 5 30 10
68 1 2 2 6 18 6
71 1,2 1 2 4 10 8
87 0,8 1,5 3,5 8 12 20
97 0,5 3,5 1,5 2 22 15
rr
F2
а
ь
1
'-'7т
С
III
MJ!L Fz 1
f : ';! I (]
I I а -': h ./п С :
V
м
1
f;
I ,
а
ь
c
VII
r-;
Fz
м
h
с
а
IX М
F;
ь wтc
а
11
F,
м
............
а."''"....;, "
IV
lFr
'
t :l. !J
1" .. ....
VI
м
F,[a Ь
VIII
r;
т;7::'
а
[]
aW7h h
Рис. 6.25. К задачам 1...10
F.
.
][
,t'
I
с
IFz
/У'
I
.
I
.....
с,
....
I
......1
1f2
J. c :r[]
!J
1
Fz
с
1
11...20. Для двух опорной балки (рис. 6.26, числовые значения
веЛИЧIIН для CBoero варианта взять из табл. 6.2.) определить peaK
п;ии OfIOp, построить ЭПIОрЫ поперечных сил, ИЗl'ибающих l\IOl\:leHTOB
и подобрать необходимые раЗlYIеры h и d сечеlfИЯ деревянной балки,
составленной либо из двух ПрЯl\10уrольных, либо из двух круrлых
брусьев. Для прямоуrОЛЫlоrо сечения бруса принять h = 2Ь. Для дe
рева [а] = 10 МПа.
218
219
ХI ХН F;
JИ
ь ь
t,5r1 3,Он (5,., IIн
XIII XIV
Fl
f.6M 2,0/1 "6н 2,Он 2 6H
XV XVI
. '* ..
.
F,
f.6H 2.2м /.ВМ- OH "Он
XVIII 11 Ii
J]J
0)/1 f,JH
2.5н 3$м 2,5н Ь
О,8м
220
f,SM
Ц9н
ь
Табл. 6.2. Исходные данные к задачам 11...20
Номер задачи и схемы Величина
Вариант М, кН . м
на рис. 6.26 Е1, кН Е2, кН
Задача 11, 00 18 30 4
схема ХI 11 20 40 4,5
21 12 10 3,2
31 28 50 6
49 6 14 2,2
58 8 20 2,4
63 15 12 4,2
71 16 32 3,4
81 16 8 4,8
91 25 35 5,4
Задача 12, 01 3 8,4 0,4
схема XII 10 4,2 9 0,35
20 4,8 10 0,64
30 5 9,8 0,9
39 7,2 15 1
59 5,6 8,6 1,2
61 7,2 14 1,5
74 14,4 14,4 2
84 9 22 1,5
90 14,4 28 2
Задача 13, 02 16 34 3,1
схема XIII 12 24 12 3
23 40 2 3,5
33 20 36 3
42 25 5 3,6
56 38 50 3,5
62 30 14 2,8
70 12 30 2,5
80 10,4 2 3,2
93 27,2 50,2 4
Задача 14, 03 13,8 39 1
cxervIa XIV 13 4,8 28,8 1,2
22 7 21,5 1,4
32 17,6 43,2 1,6
41 9,9 22,7 1,8
57 17 51 2
60 23,1 40,5 2,2
77 12 39 2,4
87 39 63 2,6
92 39,2 80,8 2,8
r;
ЦОн
, 1,5Н
1J,7t4
Рис. 6.26. К задачам 11...20
221
Продолжение табл. 6.2
Окончание табл. 6.2
Номер задачи и схемы Величина
Вариант М, кН . м
на рис. 6.26 Е1, кН Е2, кН
Задача 15, 05 4,5 12 1,5
схема XV 15 7,2 17,4 1,8
25 8 18,8 1,6
35 8,4 20,4 1,4
44 15 35 2
54 12 16,4 2,1
67 14,3 29,32 2,2
73 13,3 4,82 1,9
83 9,2 2,2 2,3
95 21,6 45,6 2,4
Задача 16, 04 1,6 3,8 0,4
схема ХУ] 14 3,6 66 0,35
24 6,2 9,4 0,64
34 3,75 8 0,9
43 9,6 16,8 1
55 9,8 4,9 1,2
65 12 4 1,5
76 11,7 5 2
86 13,5 4,5 1,5
94 18 7,2 2
Задача 17, 07 15 10 4
cxervfa XVII 17 18,3 30,5 4,5
27 9,9 19,8 3,2
37 28 8 6
46 4,5 20 2,2
52 8,4 15 2,4
66' 12 24 4,2
72 16,2 5,2 3,4
82 21 6 4,8
97 32,5 10 5,4
Задача 18, 06 15 17 1
схема XVIII 16 6 12 1,2
26 11,9 16,1 1,4
36 6,4 17,6 1,6
45 10,8 16,4 1,8
53 10,8 27,7 2
64 15,4 18,8 2,2
79 7,4 18,6 2,4
89 11,7 18,9 2,6
96 33,6 16,4 2,8
Номер задачи и схемы Величина
на рис. 6.26 Вариант М, кН . м
Е1, кН Е2, кН
Задача 19, 09 12,0 30,0 1,5
схема XIX 19 10,8 30,8 1,8
29 12,8 34,8 1,6
38 11,2 24,7 1,4
48 22,4 2,4 2,0
50 18,9 45,3 2,1
68 30,8 . 15,3 2,2
75 22,8 4,4 1,9
85 36,8 11,8 2,3
99 29,6 5,6 2,4
Задача 20, 08 16,8 34,8 2,0
CXel\la ХХ 18 12,0 42,0 2,4
28 11,2 31,0 2,8
40 15,0 37,5 2,5
47 48,0 12 О 3,0
,
51 38,4 13,4 3,2
69 29,4 10,2 2,1
78 24,8 8,7 1,8
88 39,0 5,4 2,6
98 42,5 12,6 3,4
Задачи 21...30. Для стальных балок, 11зображенных на рис. 6.27,
построить ЭПIОРЫ Il0перечных сил и изrибающих моментов, опреде
лить размеры двутавра по [ОСТ 8239 72 или двух швеллеров по
[ОСТ 8240 72 и балки прямоуrольноrо сечения с отношениями
сторон hjb = 3 Материал балок СтЗ; допускаемое напряжение
[о-] = 160 HjMM2. Сравнить массу балки прямоуrольноrо сечения и
стандартноrо профиля.
223
222
ХХI '1-:;1(1 «wн XXII f{-8ХН/И
"'-:'\
j . , I
.
O.4 . -.
IH '-2н
:
.....
l; 6H 1.1" .
I , ..1It
f::J(JаИ f;2QxH
XXIII f:, .К XXIV
"= 40 xH/H 1/= 6 хН 1м
, . . н 4 f 4 .
N D4и lи
.... "
..... ...
. t;lI.8N l=I,2H
,'-
. .. ,1\
.
f-IO"H
'(XV f= ff АК XXVI
q=fOKH/,., j 1/&12 кН/"
.
:
.. J t . t t 4 "
,
, 0.4н 0.614. :r..
t-0,8H
..
: "
l=IH ...
,
.., .
, f =10 _и \\
XXVII ,,=4 хН!" XXVIII , " -К/Н
:
, t I 4 ,. , t t
, Ii
fи : о,4:4Н
'11
l=/t4H l =(J,6H
11 .... ,'1 if
f=JOxH F =IICH
ХХI f::l00 кН ХХХ {=' t<H
, =1e «Н/Н ,=1. К"/Н
I
. t .
11
46!1 IJ.JH ..
.. "1 а2 114и
,.
l=1.2и , l ::./ 6H
\ .
!Ir. "iI.."II
,....
Задачи 31...40. На рис. 6.28 изображена расчетная схема оси. Опре
делить диаметр сечения оси по условию прочности, предварительно
построив эпюры поперечных сил и изrибающих моментов Материал
оси сталь 40. Допускаемое напряжение на изrиб [а] == 100 HjMM2.
XXX I.'OKH
fz.2QKH
XXXII. СЛ..Н
r I · (1:'" '1:'
Fz-40хН
о.2н
1.2Н
O.JH
· D.6H
D.2H
ХХХlll
XXXIV
J' 'Н
F/810xH
IJ.,8H
.1.6н
2н
fJ.2и
44н
{',-/ОкН
1.20XN
.,
ХХХУ
F28.20xH
XXXVl
/J,5И
fj -/ОхН
05'"
а4н ,.. '/ "4Н W/ .,
J F,.'SJtH
XXXVIJ JH XXXVlII
r,-20KH F,.80KH
а6н а6н 1I.2H D,6H
"" z., F,ft40xH
rl-tОItН 1.6н
XXXIX 2.4 и XL 2н
: D.BH Fz825KH дан а4н F,-40ХН D.6N
V///A
iI'
'/
FI-2QKH
F, .IO/(H
Рис. 6.27. К задачам 21...30
Рис. 6.28. К задачам 31...40
225
224
Табл. 6.3. Исходные данные к задачам 41...50
Задачи 41...50. Для заданной коIIсолы1ойй балки (рис. 6.29, чис
ловые значения веJIИЧИН взять из табл. 6.3) построить эпюры попе
речных с:ил и изrибаIОЩ:ИХ l\10MeHToB и подобрать размеры попереч
Horo сечения в двух вариантах: а) двутавр или сдвоенный швеллер;
б) 11рЯI\Iоуrольник с задаННЫI\f отношением hjb высоты и ширины.
СраВlilIТЬ массы балок по оБОИI\f расчеТНЫl\I вариантам. Для MaTe
риала балки (сталь Ст.3) ПРИIIЯТЬ [а] == 160 МПа.
XLI
Х LI 1 1
F
XLV
F
XLVII
F
1
z,
l
1.1
z,
[]
lt
lt
l1
XLII
XLIV
1
Fj
Номер r: кН F1, кН М, кН . м 11' м 12, м Iз, м h/b
задачи
41 15 40 15 0,4 0,3 0,3 2
42 6 2S 20 0.4 0,9 1,5 3
43 5 3 12 0,3 0,5 0,7 3
44 60 1S 30 0,9 0,8 0,5 3
45 12 8 10 1,5 1,0 0,4 3
46 22 6 8 1,2 1,1 0,4 2
47 20 4 9 0,8 1,2 0,7 2
48 35 13 14 1,5 0,6 0,4 3
49 8 10 12 0,7 0,5 1,3 2
50 2S 17 18 0,4 0,6 0,7 2
XLVI
Zs
XLVIII
][
II
1,
lt
1,
I
F,
[]
Задачи 51...60. Д ля заданной двухопорной балки (pI1C. 6.30,
числовые значения веЛI1Ч1IН взять из табл. 6.4) построить эпюры
поперечных сил и изrlIбаЮЩI1Х MOl\feIITOB и подобрать размеры по
перечноrо сечения (Kpyr или квадрат). Для IvIатериала балки (сталь
Ст.3) с учетом повышенных требований к ее жесткости принять
[а] == 130 МПа.
Zl
F
l,
Табл. 6.4. Исходные данные к задачам 51...60
Номер Е,Н Е1, Н М Н.М М1, Н . м 11' мм 12' мм Iз, мм Поперечное
задачи , сечение
51 50 100 2 20 50 30 Квадрат
52 40 30 2 1 ЗО 100 20 Kpyr
53 30 130 6 50 100 50 Квадрат
54 200 2 3 30 40 60 Kpyr
55 60 80 6 50 100 40 Квадрат
56 80 4 1 30 70 50 Kpyr
57 180 110 2 40 60 40 Квадрат
58 120 10 8 70 100 30 Kpyr
59 90 160 7 110 90 40 Квадрат
60 280 18 5 50 200 40 Kpyr
;
][ I
ХИХ L
Fr
F
1
226
1S
lz
11
'f, п []
l1 1=;z ' z, JF
Рис. 6.29. К задачаl\1 41...50
227
\
М=20кН,н
= 16КН/Н: F=40KH' 11=10кН.м
, ,
LI
LII
LXI
tF
М=20кН,м F=60KH
lt
2н
1
LПI
Н fF,
В ур J
l, "'t--- II ... II
LIV
LV
LVI
...(':J}I-:
"".
ь
F=.ltO кН
q.=10KH/H M=16KJI.H
... 1
2н
LXIII
LXV
,
.'1,5Н
1,5н
LVП LVIII
;, F аН'
...H
. .. ..
& .&
l! / / 1, 1t l / "
LIX LX
'1 уМ H.
11 .
. .
1, lJ ' /' . J:.
t '" 1, l l
.1
1M4
..
3н 1М
..... 'Т... ...itWo r'''''.
LXVII
F = 8кН
11=10 кН. м
Рис. 6.30. К задачам 51...60
[]
Задачи 61...70. Для двухопорной балки, наrруженной, как пока
зано на рис. 6.31, определить реакции опор, построить эпюры по
перечных сил, изrибающих моментов и, исходя из условия прочно
сти, при [а] = 160 МПа подобрать необходимый размер поперечно
ro сечения (двутавр или два швеллера).
у к а з а н и е. Если студент не имеет у себя задачника или спра
вочника с IIеоБХОДИМЫl\IИ таблицаIvlИ [ОСТов на стальной fIpoKaT,
то ему следует подобрать необходимые раЗ1\1еры (Ь, h или d) сечения
деревянной балки, составленной либо из двух прямоуrольных, либо
из двух круrлых брусьев. Для ПРЯl\Iоуrольноrо сечения бруса при
нять h = 2Ь. Для дерева [а] == 10 МПа.
LXIX
F=20KJ./
11= 1БкJI
q,=10KH/M
,
2н 2н
LXII
111..-
-.t:: *
,.
F= 30KJ.J .. Ь ;
q.=25 кН/м
, . f
2н 1М ! 2н'
М=50кн,н
т
: - ......
... ......
l
F=,OKH
М=30кН,н =20KH/M
. r]
1М k ",$:'"
LXIV
3н
LXVI
F=15KH
][
1,5н
LХVIП
nm
J:...EW
.. bl,..#
F=10KJI
q,=8 кН/м
М=12 кН'н
3н
LXX
F=2DKH
М=4кН'н q. =12КН/м
1
3н
2н
Рис. 6.З1. К задачам 61...70
.
228
229
Задачи 71...80. Для двухопорной баJIКИ, наrруженной, как пока
заlIО на рис. 6.32, определить реакции опор, построить эпюры по
перечных сил, изrибающих l\IOIvIeHToB и подобрать необходимый
размер попереЧllоrо сечения (двутавр или два швеллера), приняв
[а] = 160 I1/l\tIIvI2.
LXXIII LXXIV
F=40KH
[] H.M
1т,! 4м .kj'
LXXI
м=30кН,м
F:=SOKH
1
LXXV
M=SKH'M
F =30 кН
q, =20 кН/н
1
3,5н
LXXVII
М=25кН,м
[] '7
12М
F =40кН
Id 2м I
LXXIX
F=SOKH
м=40кН'м
I
l I
L 1M M ,
LXXXI
LXXII
=25кН/м
z-аzн 1
F=100KH
LХХХIП
F
,.,-IFl
M
][
1м.1
м=40кН'м F=80KH
LXXXV
1
12
LXXVI
м=БОкН'м
q, = O кН/н
. ._ .'I..." .
LXXXVII
r
И-2Fl
13
:11:
1.QfI.f
I F=50KH
][
.
.&
t
2Z
,
1М 4м
,
1М
LXXVIII
F=18KH
=5кН/н
LXXXIX
H-t".Fl
.21
,21
1:
М=10кН'м
1
2'1
. l
2. M
LХХХП
'.tH
LXXXIV
8(:
1ft" 16
С]
LXXXVI
Н-- 2 rl
LXXXVIII
F
ХС
'F
l-QJи 1
.31
Рис. 6.З3. К задачам 81...90
Задача 91. Плоская стальная ПРУЖИIIа (рис. 6.34) с раЗl\lерами
поперечноrо сеЧ IIИЯ h = 3 l\tIM И Ь = 20 l\lM прижимает деталь А с
силой р= 100 Н. Определить стрелу ПРОI'иба f и IIаибольшие IIa
пряжения в поперечном сечении пружины.
Задача 92. Плоская пружина должна быть изrотовлена из сталь
ной полосы толщиной 8 = 2 мм (рис. 6.34). ОпредеЛl1ТЬ требуемую
ширину Ь, полосы из условия, что жесткость пружины Р: f = 16 H/IvIM.
Принять Е = 2 .105 МПа.
Задача 93. Проверить жесткость стальной балки (рис. 6.34),
если проrиб среднеrо сечения не должен: превышать 1/800 расстоя
.
ния l\1ежду ОIIорами.
LXXX
F=БОкН М-30кн.н
][
lrн I
1М 4н А! 1М
Рис. 6.32. К задачам 71...80
Задачи 81...90. Из УСЛОВIIЯ прочности балки на изrиб (рис. 6.33)
011ределить допускаСIvlУЮ иаrрузку, если [а] :;: 100 М Па.
230
231
Задача 94. Определить из условия жесткости стальной балки
(рис. 6.34) допускаемое значение наrрузки F. Принять rл = 1/600.
При наrрузке, равной допускаемой, определить наибольшие HOp
мальные напряжения в поперечном сечении балки.
Задача 95. Определить ширину Ь стальной полосы толщиной 8
(рис. 6.34) из условия, чтобы стрела проrиба бьта равна 2 мм. При най
денном значении Ь проверить прочность полосы, если [а] = 160 МПа.
Задача 96. Проверить жесткость стальной балки (рис. 6.34), если
rл = 10 мм, Е= 2.105 МПа. Определить максимальные напряжения
в попереЧНОl\1 сечении балки. Оценить получившийся результат.
Задача 97. Из расчета на жесткость стальной балки (рис. 6.34)
определить допускаемую величину наrрузки F, если rл = 1/700.
При найденном значении наrрузки определить максимальные Ha
пряжения в поперечном сечении.
Задача 98. Из расчета на жесткость опредеЛJ1ТЬ требуемые раз
меры поперечноrо сечения стальной трубы (рис. 6.34), работающей
на изrиб. Принять rл = 1/800; do = 0,8d.
Задача 99. Из расчета на жесткость стальной балки (рис. 6.34)
подобрать требуемый номер двутавра, если rл = 1/600.
Задача 100. Деревянная балка (рис. 6.34) шарнирно закреплеJIа
по концам, наrружена по середине силой F. Определить допускае
мое значение этой силы, если проrиб в середине пролета не должен
превышать 12 IvlM.
ХСI
I -З-
t: ( i!
ХСIII
r,t-8tJ1и
i/- NJ I(N/N
...Ц .,. . .
.
...
., IJ-
. 1
1'": . ."'.11
4/111
ХСУ
crif
XCt r:, , : [;j t
'EI It'HIM
'ж.. а.л .
"} 4INJ
XCIX F-fllfll Jp
t, l,иJ,иr,иt 1
rлава 7
11 11
изrИБ с КРУЧЕНИЕМ
"
7.1. Определение эквивалентных напряжении
при сложнонапряженном состоянии
Под эквивалентным напряжением (аэ) понимают напряжение
при одноосном растяжении, равноопасном задаННОl\fУ напряuженно
му СОСТОЯIIИЮ. В отличие от реально возникаЮIlIИХ в одн и точке
напряжений эквивалентное напряжение представляет собои услов
ную расчетную величину. Эквивалентные напряжения вычисляют
по известным rлавным напряжениям заданноrо напряженноrо co
стояния. По теории наибольших касательных напряжеJIИЙ (третьей
теории ПрОЧIIОСТИ)
аз 111 = 0'1 0'3.
(7 1)
ХСII
ДЛЯ ХРУПКIIХ материалов, у которых предельные напряжения на
растяжение и сжатие неодинаковы, эквивалентное напряжен е BЫ
числяют по формуле, вытекающей из теОрlIИ Мора (четвертои Teo
рии прочности):
..
"1$
lF r:цl
XCIV
М-$Р' F
[О'р]
О'з 1V = 0'1 0'3 . .
[О'с]
'.....' 1-',.,
1r!
l ;.
По теории энерrии формоизменения (пятой теории прочности)
эквивалентное напряжение
О'э V = O'i + O' + O' (0'1 · 0'2 + 0'1 · 0'3 + 0'2 · 0'3) . (7.3)
(7.2)
ХСУI
,ti...SIfкII.и
J
. ;'ZN
ХСУIII
Uри упрощенном плоском напряжеННОl\1 состоянии, под ставив
вместо rлавных напряжений их значения:
p
""". .
". ;i'
.,.... :;F"
О' 1.J 2 2 .
0'1 =......... + . а + 4 . 't ,
2 2
(7.4)
С
JF 11 m
J.. lи .1. t ,=,r
0'2 = О;
о' 1 .J2 2
0'3 = . О' + 4 . 't ,
2 2
(7.5)
Рис. 6.34. К задачам 91...100
233
(7.6)
н . IVI; М к крутящий MOMeJIT, Н. м; [а] допускаемое напряже
ине, МПа.
На совместное действие изrиба и кручения рассчитываIОТСЯ валы
машин. Если ВI-Iешние силы, деЙСТВУIощие на вал, не лежат Б одной
плоскости, то каЖДУIО из них раскладывают lla ее состаВЛЯIощие 110
двум направлеНИЯIVI: вертикальному и rоризонтальному. Затем CTpO
ят эпюры изrибаЮЩIIХ моментов в вертикальной и rоризонтальной
плоскостях и эпюру крутящих l\10lVIe11ToB По найденным изrибаю
щим MOMeHTaIVI в вертикальной и rоризонтальной плоскостях М И.В И
МИ.l' строят эпюры суммарных изrибающих IvlOMeHTOB. Величину
cYMMapHoro :изrибаЮlцеrо IvloMeHTa определяют по формуле
Ми == М .п + M .r
(7.12)
ПОЛУЧИIvI:
О'э Ш == .J 0'2 + 4 . т2 ;
о' э V == .J 0'2 + 3 · т2 ,
(7.7)
[де а и 1: ИОРl\Iальное и касательное IIапряжеlIИЯ на площадке по
перечноrо сечения бруса, проходящей через рассматриваеl\IУЮ точ
КУ. Прочность считается обеспеченной, если эквивалеlIтное напря
жение, вычисленное по даIIНОЙ теории прочности, не превосходит
допускаемоrо напряжения IIa растяжеllие:
О'э <[0-].
(7.8)
7.2. Совместное действие изrиба и кручения
Совместный анализ эпюр крутящих и CYMMapH ЫX изrибающих
моментов позволяет устаlIОВИТЬ положеIIие опасноrо сечен ия в KO
тором 11 вычисляется д:иаметр вала:
ПрI1 cOBMeCTHOl\1 действи и изrI1ба и кручения в поперечном сече
НИI1 стержня возникаIОТ IIОрl\fальные и касательные напряжения.
В точках стержня J1l\leeT IvIecTo упрощенное rIлоское напряжеНIlое
СОСТОЯН1Iе. Условие ПРОЧIIОСТИ 1Il\IeeT вид
м
d> 3 э
[] .
О, 1 о'
(7.13)
о' Э < [0'],
Примеры
rде crэ вычисляется по формулам частноrо случая упрощенноrо
11JIOCKOro напряженноrо состояния формулам.
Для наиболее важноrо в Сl\lысле праКТllческоrо применения слу
чая расчета иа COBl\1eCTHOe действие изrиба и кручения стержня
круrлоrо (сплошноrо или кольцевоrо) поперечноrо сечения иеоб
ходимые подстановки в фОрIvIУЛУ для crэ производятся В общем
виде, и условие прочности внеПIне записывается анал:оrично записи
условия прочности при ПрЯl\10М изrибе:
Мэ []
О'э = < о' ,
W
(7.9)
Пример 1. Для rоризонтальноrо вала, несущеrо два зубчатых KO
леса с центрами О 1 и 02 и наrруженноrо, как показано на рис. 7.1, а,
определить реакции опор А и В вала, если в точках С и D COOTBeT
Ctbel-IНО приложен:ы силы: Ft1 = 420 Н, Fr1 = 140 Н и Ft2 = 360 Н,
Fr2 = 120 Н. Радиусы зубчатых колес cooTBeTcTBeHIfo равны: r1 = 120 мм
и r2 = 80 мм. Вал по ДJIИIIе имеет размеры: [1 = 60 мм, [2 = 140 мм и
'з = 100 мм.
Реш е н и е. Освобождая вал от связей (подш:ипников) в точках
А и В, замеlIяем связи реакциями связей. Выбираем пространствен
ную систеl\fУ координат с началом в точке А так, чтобы ось Z pac
полаrалась по оси вала, ось х параллельно силам Ft1 и Ft2 И ось
у параллельно силам Fr1 и Ру2. ПРИНИ lая во внимание, что сил,
действующих параллельно оси вала (оси Z), на схеме не имеется, в
точках А и В будут приложены реакции связей, располаrаIощиеся
IIараллельно внешним силаl\l, приложенным к валу в точках С и D,
а имеlIНО: в точке А RA-r и RA1J, В точке В RBx и RBlJ. В итоrе на
вал будет действовать Ilространственная система восы\ии произ
вольно расположенных сил: Ft1 ' Fr1 ' Ft2 ,Fr2 БнеПIние силы и RAx,
RA!J' RB_p RBy реакции связей (рис. 7.1, б).
rде Мэ чисто расчетная величина, называеl\fая эквuвалентны:м
.моментом и определяеIvIая фОрl\lулаl\fИ:
М э III == М 2 + М; по третьей теории прочности;
(7.1 О)
МэV == M2 +0,7s.M; по пятой теории прочности. (7.11)
в приведенных формулах использованы обозначения: W oce
БОЙ момент сопротивлеI-IIIЯ, мз (Сl\fЗ); М изrибающий момент,
234
235
z
а
LMx = о; .....Fr1 ./1 + Fr2 . (/1 + 12) RBy . (/1 + 12 + Iз) = о;
L м у = о; Ft1 ./1 + Ft2 . (/1 + 12) RBx . (/1 + 12 + Iз) = о.
Для определения неизвестных реакций опор вала используем
четыре уравнения равновесия:
L Х = о; L у = о; L м х = о; L м у = о.
х
r2
AW7
?7Е В
НаХОДИ I:
R == Fr1'/1 +Fr2 '(/1 +/2) == 140.60+120.(60+140) =52 Н;
Ву /1 +/2 +/з 60+140+100
RAy = Fr1 Fr2 + RBy = 140 120 + 52 = 72 Н;
Ft ./1 + Ft. . (/1 + 12) 420.60 + 360. (60 + 140)
R = 1 2 = = 324 Н;
ВХ 11 + 12 + Iз 60 + 140 + 100
RAx = Ft1 + Ff2 RB:t = 420 + 360 ..... 324 = 456 Н;
RA == R1 + R y == ../4562 + 722 == 461,649 Н;
(n = arccos RA-r ::::: 8 9720.
'УАх RA"
RB == R x + R y == ../3242 + 522 == 328,146 Н;
R
q> Вх = arccos Вх::::: 9,1180.
RB
Пример 2. Для ведомоrо вала цилиндрическоrо редуктора обще
ro назначения (рис. 7.2) построить эпюры изrибающих и крутящих
моментов по следующим данным: вращающий момент на валу Т2 =
= 622 Н . м; силы, действующие в зацеlUIении: Ff2 = 6277 Н, Fr2 = 2322 Н,
Еа2 = 1137 Н; диаметр делительной окружности d2 = 198,17 мм; а2 =
= 61 мм, Iк = 85 мм.
Решение.
1. Определяем консольную наrpузку <, действующую на вал.
Так как редуктор общеrо назначения и не указано ero конкретное
назначение, то соrласно [ОСТ 16162 78 на «Редукторы общеrо Ha
значения» к ВЫХОДНОl\1У концу ведомоrо вала прикладывают KOH
сольную наrpузку Ек, которую для одноступенчатых зубчатых peДYK
торов (цилиндрических и конических) определяют по зависимости
Ек = 125.Р; = 125..J622 = 3117 Н
(Для червячных редукторов < = 250 . .JT2 .)
11 12 Iз
r2
RAlj I
б 02 ! В
А 01 i
E
RAx r2 RB.lj
Ft2 D
11 12 /з
Рис. 7.1. К примеру 1
Из условия равновесия данной систе IЫ сил определим неиз
вестные реакции связей в опорах А и В вала, составив шесть ypaB
нений равновесия:
LX == о; LMx == о; LY == о; LMy == о; LZ == о; LMz == О
Перед составлением ураВJlений заметим, что, например, силы Fr1 '
Fr2' RAx' RA.1J, RBx, RBy имеIОТ моменты относительно оси z, равные
нулю потом)', что эти силы пересекают ось z непосредственно или
своим продолжением (силы Fr1 и Fr2). Силы Fr1 и Fri а такж.е RAy и
RBy не дают моментов отиосительно оси // потому, что они параллель
ны этой оси, а сила RAy расположена на самой оси у. Аналоrично
этому моменты сил Ft1, Ff2, RAx И RBx относительно оси х также обра
щаются в нуль. Уравнения равновесия системы сил принимают вид:
L Z = о; силы системы проекций на ось z не дают;
L Х = о; RAx Ff1 Fr2 + RBx = о;
LY = о; RAy Frl + Fr2 RBy = о;
L м z = о; Ff1 . r1 Ff2 . r2 = о; уравнение не имеет неизвестных;
236
237
238
а
б
в
l
д
е
ж О
з
Ек
H X
Направление силы Ек неизвестно. Оно l\Iожет быть любым по OT
ношению к силам, действующим в зацеплении. Поэтому реакции от
силы Ек не совпадают с направлениеl\1 реакций опор от сил в зацеп
лении зубчато Й передачи и их определяют отдельно
2. Вычерчиваеl\1 расчеТНУIО силу наrружения вала (рис. 7.2, а).
3. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости zy от сил
Fr2 иFа2 (рис. 7.2, б). ·
L м D = О; R Ну . 2а2 + Fr2 . а2 + Ра2 . d2 / 2 = о;
RHy == ЕТ2 · а2 + Еа2 · d2 / 2 == 2322.61 + 1137 .198,17 j 2 == 2084 Н;
2.а2 2.61
L М н = о; RDy. 2а2 Fr2 . а2 + Еа2 . d2 / 2 = О ;
RDy == РТ2 · а2 Еа2 · d2 / 2 == 2322. 61 1137 .198,17 j 2 == 238 Н.
2.а2 2.61
А
Еа2
lK
а2
а2
Вертикальная плоскость (zy)
11 1
y
RDy
о
127,1
fоризонтальная плоскость (zx)
Проверим правильность определения реакций:
L у = о; RDy + Fr2 RHy = о; 238 + 2322 2084 = О
Ft2
z
Н X
Реакции определены правильно.
4. Строим эпюру изrибающих l\10MeHTOB Ми в(М:л.) В Бертикаль
ной плоскости (рис. 7.2, в).
Z.1 = 0,061 м М1 = 2084 . 0,061 = 127,1 Н . м;
D 11 В
1
о
Ми.r(Му), Н . м
ЕI(
191,5
Реакции и изrибающие моменты от силы ЕI(
RDK
Z1 = О м М1 = 2084 . О = о.
Z2 = 0,061 м M11 = 238 . 0,061 = 14,5 Н . м;
I I: МI = Rн.lI . Z1
II II: МВ = RDy . Z2
Z2 = О м M1I = 238 . О = о.
Заметим, что ЭПIОрЫ изrибающих и крутящих l\10меитов необхо
димы для проверочноrо расчета вала на усталость, а не для подбора
подшипников, но рекомеIlдуется их строить сразу после определе
IIИЯ реакций опор.
5. Определяеl\tl реакции опор в rОРИЗ0нтальной плоскости xz от
силы Ft2 (рис. 7.2, 2).
RDx = RHx = Fr2 / 2 = 6277 / 2 = 3139 Н
iЭпюра крутящеrо момента
622
о МК 2' Н . м
о
Рис. 7.2. К примеру 2
6. СТрОИl\1 эпюру изrибающих моментов М И.f (м.1I) в rоризонталь
ной П.7IОСКОСТИ (рис. 7.2, д).
239
21 == 0,061 м М] == 3139 . 0,061 == 191,5 Н . м;
I I: MI == Rих .21
21 == О м M1 == 3139 . 0==0.
22 == 0,061 м МВ == 3139 . 0,061 == 191,5 Н . м;
II II: МВ == RDx .22
22 == О м МВ == 3139 . О == о.
7. Определяем реакции опор от консольной силы Ек (рис. 7.2, е).
LMD == о;
F ./ RH .2. а2 == о.
к к к '
RHK == рк ./к / (2.а2) == 3117.85/ (2.61) == 2 171,7 Н;
L м н == О ; рк . (lK + 2 . а2) R DK . 2 . а2 == О ;
RDK == «(11( + 2а2)/(2а2) == 3117. (85 + 2.61)/(2.61) == 5288,7 Н.
Проверим правильность определения реакций:
LY == о; FK + RDK Rик == о; 3117 + 5288,7 2171,7 == о.
Реакции ОIIределены правильно.
8. СТРОИl\f эпюру изrибающих l\tIOMeHTOB М F. от сил Ек (рис. 7.2, ж).
к
21 == 0,122 1\1 MI == 2171,7 .0,122 == 265 Н . м;
] [: MI == Rик . 21
21 ==0 м MI== 2171,7. 0==0.
22 == 0,085 м МВ == 3117 . 0,085 == 265 Н . м;
II II: МВ == EK .22
Z2 == о М МВ == 3139 . 0==0.
9. Строим эпюру крутящеrо момента (рис. 7.2, з). flередача Bpa
щающеrо момента происходит вдоль оси вала от середины ступицы
колеса до точки приложения консольной наrpузки. При этом KPy
тящий момент pabeI-1 вращаlощему моменту МК 2 == Т2 == 622 Н . м.
Пример 3. Вал вращается в ПОДШИIIниках с уrловой скоростью
(о == 9,4 рад/с и передает с первоrо зубчатоrо колеса на второе 1\10Щ
ность Р == 40 кВт. Ia зубья колес деЙ:ствуют окружные силы Ft, Ha
правленные касательно к расчетным окружностям, диаIvlетры KOTO
рых соответственно d1 == 0,49 м и d2 == 0,13 м. Определить диаrvIетр
вала, считая ero постоянным по всей длине. Для материала вала
(сталь 45) с учетом предотвращения устаЛОСТI-lоrо разрушения при
нять допускаемое напряжение [а] == 90 МПа.
240
а
E Y
х
А
Ft1
0,14 м
0,14 м 0,12 м
6
в
Т2 ==4,25 кН. м
l
Мк' Н . м
y Вертикальная
плоскость
д
D
е
о Ми.в(Мх)' Н . м
ж
Сх == 93,3 кИ
1 Ft2 == 65,3 кН
D z
rоризонтальная
плоскость
х
о Миr(Мх)' Н. м
u
Рис. 7.3. К примеру 3
241
Реш е н и е. Соrласно правилу статики для параллельноrо пере:но
са силы ПРИВОДИIvl наrpузки Ft1 и Fr2 К оси вала, присоединяя при этом
пары с МОl\lентами соответственно Т1 =Ft1 . d1/2 и Т 2 = Ft2 d2/2, плос
кости деЙСТВIIЯ которых перпендикулярны оси вала (рис. 7.3, б).
В заданном брусе TPI1 участка: 1, 11, и 111. Имеют места изrиб и
кручение бруса. В поперечных сечениях возникает два внутренних
силовых фактора КРУТЯЩИII момент МК и изrибающий момент Ми
(в рассматриваемом случае изrиб одновременно в двух плоскос
тях в ртикаЛЬНОII и rоризонтальной). Возникающие в сечении по
переЧНLIе силы Q при расчете вала не учитываются.
1. 3 ая передаваемую валом l\-IОЩНОСТЬ Р и ero уrловую скорость
(О, опреЪеляем вращающий момент на валу по формуле Т = Р/ro =
= 40/9,4 = 4,25 кН . М. Вращающий момент Т1 на первом (прием
ном) колесе, очевидно, равен Т1 =Т .
Для равномерно вращающеrося вала сумма моментов относи
тельно ero продольной оси 2 равна нулю: IMz = о, т.е. Т1 Т2 = о,
отсюда Т1 =Т2 =Т = 4,25 кН ,. м. Силы Ft1 И Ft2 найдем из приведен
JIЫХ выше зависимостей:
IMA = о; Ft2 . AD + Rcx . АС = о; 65,3 . 0,4 + Rc't: . 0,28 = о,
отсюда Rcx: = 93,3 кН;
IMc = о; Ft2 . CD + RAx. АС = о; 65,3 . 0,12 + RAx. 0,28 = о,
отсюда RAx = 28 кН.
Про верка: IF х = RAx Rcx + Ft2 = 28 93,3 + 65,3 = 93,3 93,3 = о.
Применяя метод сечений, определяем изrибающие моменты в xa
рактерных сечениях.
Z1 = 0,12 м MI = 65,3. 0,12 = 7,8 кН. м;
I I: MJ = Fr2 . 21
21 = О м М} = 65,3 . О = о.
22 = 0,28 м MI1 = 28 . 0,28 = 7,8 Kli . м;
II II: МВ = RAx .22
22 = 0,14 м МВ = 28 . 0,14 = 3,9 кН . м.
23 = 0,14 м MI}I = 28 .0,14 = 3,9 Klf . м;
III III: МП1 = RAx . 23
Ft1 = 2 .T1/d1 = 2 .4,25/0,49 = 17,4 кН;
Ft2 = 2 .T2/d2 = 2 .4,25/0,13 = 65,3 кИ.
23 = О м МПI = 28 . О = О
Построенная эпюра изrибаIОЩИХ моментов для изr:иба в rори
зонтальной плоскости дана на рис. 7.3, з.
5. РеЗУЛЬТИРУIОЩИЙ ИЗfибающий l\fOl\1eHT определяем по фОрl\1У
ле Ми = M;.B + M;.r ' так как МИ.В и Ми.l. действуют во взаимно
перпеНДИКУЛЯрliЫХ плоскостях. Опасным является сечение С, дЛЯ
KOToporo Ми == 7,82 + 02 = 7,8 кН. м (сечение В менее опасно, так
как для Hero Ми == З,92 + 1,222 == 4 кН. м). Суммарная эпюра изrи
бающих моментов дана на рис. 7.3, и.
6. ОпределяеIvl по rипотезе наиболып:их касательных напряже
ний эквивалеliТНЫЙ момент в опаСJIОIvI сечении.
2. Рассматриваемая схема вала при кручении представлена на
рис. 7.3, В. Применяя l\fетод сечений, определяем крутящий момент
на каждом из участков: МК I = о; МК II = МК ПI = Т1 = 4,25 кН . м. По
строен:ная эпюра крутящих lVIOl\'IeHTOB дана на рис. 7.3,2.
з. Расчетная схема вала при изrибе в вертикальной плоскости
IIредставле:на на pI1C. 7.3, д. Так как наI'рузка Ft1 приложена СИl\'Iмет
рично относительно опор, реакции опор равны RAy = RC!J = Ft/2 =
= 17,4/2 = 8,7 KJ1 и направлены навстречу наrpузке. Применяя Ivlетод
сечений определяем изrибающие моменты в характерных сечениях.
21 == 0,14 м М1 = 8,7 . 0,14 = 1,22 кН . м;
I I: МI = Rcy . 21
21 = О м М! = 8,7 . О = о.
22 = 0,14 м MII = 8,7. 0,14 = 1,22 кН. м;
Мэ == M; + М; == 7,82 + 4,252 == 8,8 кН. м == 8,8.103 Н. м
7. Из условия прочности вала при изrибе и кручеIIИИ определя
ем требуеl\IЫЙ диаметр вала.
= М э < [ ]. 8,8. 103 < 90 . 1 06
О'э о' , ,
w w
II II: МВ = RAy . 22
22 = О м MII = 8,7 . О = о.
4. Расчетная схема вала при изrибе в rОРИ30нтальной плоскости
rrредставлена на рис. 7.3, ж (rОР:ИЗОJlтальная плоскость условно co
вмещена с плоскостью чертежа). РеаКЦИII опор определяем из ypaB
Jlений равновесия статики.
отсюда требуемый осевой момент сопротивления W = 97,8 . 1 О 6 м3 =
= 97,8 . 103 ммЗ. Для Kpyra момент сопротивления W = 1t . rf3 /32 О 1 . rf3.
242
243
Приравнивая 0,1 . rf3 = 97,8 . 103 мм3, :находимдиаметр вала d = 99,3 мм.
Принимаем d = 100 мм.
Пример 4. Вал передает мощность Р = 30 кВт при уrловой CKO
рости вращения (О = 42 рад/с. Определите диаметр опасноrо сече
ния вала (рис. 7.4, а), несущеrо шкив ременной передачи диаметром
d1 = 0,6 м и зубчатое колесо с косыми зубьями диаметром d2 = 0,25 1\1.
Натяжение ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения ведомой
(Р1 = 2 . Р2). В зацеплении на зубчатое колесо действуют силы: окруж
ная Ft, направленная по касательной к делительной окружности KO
леса, осевая Ра' направленная параллельно оси вала, и радиальная
Fr' направленная по радиусу к центру зубчатоrо колеса. Материал
вала сталь 45. [а] = 65 МПа. Расчет выполните, используя rипоте
зу наибольших касательны; напряжений. Примите Fr== 0,38 . Ft,
Ра = 0,2 . Ft, а = 0,2 м, а = 25 .
Решение.
1. Составляем расчетную схему вала (рис. 7.4).
С е ч е н и е с. Перенесем силы Р2 и F1, действующие на шкив 1
(рис. 7.4) а, б, в) параллельно самим себе к продольной оси вала,
d d
присоединив при ЭТОlVl пары сил с моментами Р1 ....i и Р2 . . Име
2 2
ем центральную силу р= Р1 + Р2 = 3 . Р2, вызывающую изrиб вала в
rоризонтальной плоскости, и скручивающий момент
d1 d1 d1 d1 d1
Т, 1 = Р1 . Р2 . = 2 . Р2 . Е2 . = Р2 . .
е 2 2 2 2 2
1
F
r
2
l
а
tzd
I
I
I
AV7J
а
а
б
в
E:
RBy 2
z Х
о МК' Н . м д
Ft
е z!
.\
rоризонтальн'я
плоскость zз
1 RBx=4475,7 н
rRAx = 5234,9 Н z1
,
Ft= 57.14,5 Н
895.1
ж
С е ч е н и е D. Приведем к оси вала силы, действующие на зубча
тое колесо 2 (рис. 7.4, а): силу Ft (рис. 7.4, д), получаем скручиваю
щий момент Ft. d2/2, и центральную силу Ft, изrибающую вал в ro
ризонтальной плоскости. Кроме Toro, следует учесть силы: ради
альную Fr и осевую Еа' изrибающие вал в вертикальной плоскости.
Для дальнейших расчетов представим вал как балку на двух
опорах, рассмаТРl1вая подшипники А и В как шарнирные опоры,
одна из которых имеет продольную неподвижность.
2. Определяе1\f IvIOl\1eHT, передаваемый валом, по заданной мощ
ности Р И уrловой скорости (О:
з
z
RAlI= 2330,3 fI R = 1483 2 Н
F = 1143 Н Ву! '
ЕlI=3018,6 Н а 'Fr=2171,5 Н
111 11 1
Р=Е1 +Е2
М (М) Н.
о И.r !/' · I
I
I
IF
I х
Вертикальная
плоскость
о
zз
Ми О(М;А.) Н. м
Те = Pj(O = 30.103/42 = 714,3 Н. М.
u
Внутренний момент в сечениях вала на участке CD определяем
l\fеТОДО1\f сечений :
о
МК = Те = 714,3 Н . м.
Строим эпюру МК (рис. 7.4,2).
Рис. 7.4. К примеру 4
244
245
3. ОIIредеJIяе l силы натяжения реIvIней и силы, возникаЮJ1 ие в
зацеплении зубчатой передачи Из paBellcTBa 1\10ментов Те 1 == Те2 == МК
находим:
силу натяжения ветве Й ременной передачи
F2 == 2 . r:. (/1 == 2 . 714,3/0,6 == 2381 Н; F1 == 2 . F2 == 4762 Н;
Z3 == 0,1 1\1 M11J == 6473,7 . 0,1 == 647,5 11 . м;
III III: M111 == Fx . Z3
23 == О м МIп == 647,5 . 0==0.
Рассматриваем изrиб вала в вертикальной плоскости (рис. 7.4, з).
ВЫЧИСJIяеl\tI реакции OIIOp RAy и RBy:
LMA == О; Ey .0,1+Еа .0,12s Fr .0,2 + RBy .0,4 == О;
R 3018,6. О, 1 1143. 0,125 + 2171,5 . 0,2
Ву 0,4 == 1483,2 Н;
L м в == о; Py. 0,5 + Fa . 0,125 + Fr . 0,2 + RAy . 0,4 == О ;
R == 3018,6. О, 5 1143. о, 125 2171,S. О, 2
Ау О, 4 2330, 3 Н.
СТрОИIvl ЭПIОрУ IIзrибаIОЩIIХ 1\10l\feHTOB М (М)
И.13 х.
21 == 0,2 1\1 М1 == 1483,2 . 0,2 == 297 Н . м;
сил:ы в зацеI1леНIIII:
окружную силу F{ == 2 . Tc/d2 == 2 . 714,3/0,25 == 5714,5 Н;
радиаЛЫlУЮ силу Fr == 0,38 . Ft == 0,38 . 5714,5 == 2171,5 Н.
4 Определяем силы, изrибаlощие вал в rоризонтальной и верти
кальной плоскостях, и строиl\tI эпюры изrибающих моментов.
Силы в зацеплеlIIIИ зубчатой передачи действуют в нашем ПрИIvlе
ре cтporo Б rоризонтальной (ft ) и вертикальной (Ра' Fr) плоскостях.
На шкиве силы натяжения ремня действуют под уrлом а, поэто
l\tlY их равнодеЙСТВУIОЩУЮ раскладываем на rоризонтальную и Bep
ТIIкаЛЬНУIО составляющ:ие (ри:с. 7.4, ж):
F == Р1 + Р2 == 2381 + 4762 == 7143 Н;
Еу; == F . cos 250 == 6473 Н;
ц == р. sin 250 == 3018,6 Н.
Рассматриваем изrиб вала в rоризонтальной плоскости (рис. 7.4, е).
11аходим реакции опор RAx и RBx:
"IMA == о; Px. 0,1 + RBx . 0,4 Ft . 0,2 == о; =>
=> RBx == (6473 . 0,1 + 5714,5 . 0,2)/0,4;
RBx == 4475,7 Н;
IMB == о; Fy;. 0,5 + RAx. 0,4 + Ft. 0,2 == о; =>
=> RAx == (6473 . 0,5 5714,5 . 0,2)/0,4;
RAx == 5234,9 Н.
Строим ЭПIОрУ изrибающих l\10MeHToB МИ.l'(Му)'
21 == 0,2 м MI == 4475,7 . 0,2 == 895,1 Н . м;
I I: М1 == RB!J . 21
21 == о lVf MI == 1483,2 . 0==0.
22 == 0,3 1\1 Мп == 3018,6 . 0,3 2330,3 . (О,3
0,1) == 439,5 11 . м;
[I II: МВ == ; . 22
RAy(22 а/2)
22 == 0,1 м МВ == 3018,6. 0,1 23303,3 . (0,1
0,1) == 301,9 Н . м.
z3 == 0,1 м МПI == 3018,6 .0,1 == 301,9 Н . м;
III III: MI1I == F'.1J . 23
Z 1 == О Ivl
Z2 == 0,3 1\1
MI == 4475,7 . 0==0.
Мп == 6473,7 . 0,3 5234,9 х
х (0,3 0,1) == 895,1 Н. 1\1;
Z3 == О м MIII == 3018,6 . О == о.
5. РеЗУЛЬТИРУЮIЦИЙ изrи:бающий l\fOl\leJIT опреде.lIяем слеДУЮЩИ1\f
обраЗОIvI:
МИ == м2и.r + м2и.D ;
М и с == о;
МИ А == 647,s2 +301,92 == 714,4 Н. м;
МиD == 89s.12 +439,52 == 997 Н. м;
МИ D == 89s, 12 + 2972 == 943 Н. М.
I I: MI == RBx .21
II II: МП == F..t . 22
RAx(22 а/2)
z2==0,1M МII==6473,7.0,1
5234,9 . (0,1 0,1) == 647,5 Н . М.
Ми в == О
246
247
Определяем положение опасноrо сечения, анализируя эпюры CYM
MapH:oro изrибающеrо Ми и крутящеrо МК моментов. Это сечение D.
6. Определяем диаметр вала. Расчет производим для опасноrо
сечения. Эквивалентный момент в опасном сечении подсчитыва:м
с использованием rипотезы наибольших касательных напряжении:
Мэ == M; D + М; == 9972 + 714,з2 == 1226,5 Н. м.
Диаметр вала из условия прочности при изrибе с кручением:
М М 1226,S .103
O'rnax= <[a] d>з э =3 =57,3 мм.
WX , О, 1. [ 0'] О, 1 . 65
Учитывая ослабление вала шпоночными канавками, окруrляе f
диаметр до большей стандартной величины. Принимаем d = 60 MIvI.
Пример 5. На валу жестко закрепле ы муфта 1 и колесо 2
(рис. 7.5, а). Муфта передает вращающии момент Т = 1000 Н. м.
Длина вала между опора1\lИ 1 = 800 мм; диаметр колеса D = 200 1\11\1.
Определить диаметр вала по теории наибольших касательных Ha
пряжений. Материал вала сталь 45. Допускаемое напряжение
принять [0"] = 70 н/мм2.
ственный вес муфты и вала не учитывается, ВЛИЯIlие их веса обыч
но невелико). Таким образом, участок вала от муфты до колеса
скручивается постоянным моментом МК = 1000 Н . м. Сила Ft при
ложена к ободу колеса, должна быть приведена к точке, лежащей
на оси вала.
1. На рис. 7.5, б показана расчетная схема вала. При переносе
D
силы Ft добавляется пара сил с моментом Т1 = Ft . (сила этой
2
пары отмечена на схеме двумя чертежами). Плоскость действия
пары сил перпеНДИКУJIярна к оси вала, и вал вращается с постоян
ной уrловой скоростью, следовательно,
Т1 =Т.
Отсюда
а
Fr == 2. Т == 2 .1000 == 10 000 Н == 10 кН.
D 0,2
2. Расчетная схе1\lа вала при кручении изображеIlа на рис. 7.5, в.
Пользуясь методом сечени Й, 1\10ЖНО леrко определить что KPy
тящий MO leHT МК =Т = 1000 Н . м возникает только на участке вала
от муфты до колеса. Эпюра крутящих моментов изображена на
рис. 7.5, 2.
3. Расчетную схему вала изображаем как балку на двух опорах с
наrрузкой посередине (рис. 7.5, д), причем сила Ft будет направлена
перпендикулярно к оси.
Строим ЭПIОрУ изrибающих моментов. Так как наrрузка прило
жена симметрично опор и направлена вертикально вверх, реакция
опор равна Ft/2 = 10/2 = 5 кН.
К балке приложены только сосредоточенные СИJIЫ, следователь
но, эпюра изrибающих l\rl01\leHTOB очерчена наклонными прямыми
ЛИНИЯ lИ.
x
б
в
l
F:
I I: М1 = . 21
2
Z1 =0,4 м MI= 10/2. 0,4= 2 кН. м;
д
F:
II II: MII = .....1.... z2
2
21 = о м
Z2 = 0,4 м
MI= 10/2. 0=0.
Мп = 10/2. 0,4 = 2 кН. м;
е
О
О МИ' Н.М
Z2=OM MII= 10/2.0=0.
На рис. 7.5, е показана эпюра изrибающих моментов
4. Вычисляем по теории набольших касательных напряжений
IvlаКСllмальн:ый эквивалентный момент МЭ. МаКСИIvlальный изrиба
ющий Ми тах И крутящий МК моменты возникают в сечении В, дЛЯ
KOToporo вычисляем эквивалентный момент:
Рис. 7.5. К примеру 5
Реш е н и е. Следует отметить, что муфта передает валу только
вращающий момент, т.е. скручивает вал, но не изrибает ero (соб
248
249
Мэ == M + М; == .J22 + 12 == 2,24 кН. М.
5. Определяем теперь диаметр вала:
d > 3 М э == 3 2, 24 · 106 == 69 мм.
0,1.l 0'] о, 1. 70
Решеllие
1. Момент, передавае fЫЙ валом:
р 12.103
Т = = == 300 Н. м
w 40
Окончательно принимаем d = 70 мм.
Пример 6. Для стальноrо вала крyrлоrо поперечноrо сечения с oд
ним зубчатым колесом (рис. 7.6, а), передающеrо мощность р= 12 кВт
при уrловой скорости (о = 40 рад/с, определить диаметр вала в опас
ном сечении, приняв [о-] = 60 МПа и полаrая, что Fr= 0,4 . Ft.
2. Окружная сила
F. == 2. Т == 2. 300 · 103 == 2000 Н
t d 300
3. РадиалЫIая с:ила
Fr = 0,4 . = о, 4 . 2000 ;:: 800 Н.
R R }k!
а
d=300MM
ЗoJ мм 200 мм :i
б F R I l
п 1
z tt Ц
С
Z2
в
О Mu(M ).Н'м
:i
l :r:=
F п А 1
t.)
z Q 2!
с tit.)
Е х
ОПОРllые реакции от окружной силы F" в вертикальной плоско
сти (рис. 7.6, б):
д
LMA = о; Ft .0,3+RB 0,2 = О,
F. . О 3 О 3 . 2000
откуда RBy = t ' = ' = 3000 Н;
0,2 0,2
LMB =0; .0,5+RAy .0,2=0,
F. . О 5 О 5 . 2000
откуда RAy = t ' = ' = 5000 Н
0,2 0,2
4. Проверяем правильность определения опорных реакций:
IY = о; Ft RAy + RBy = о; 2000 5000 + 3000 == о.
5. Строим ЭПIОрЫ изrl1бающих MOl\feHTOB в вертика.льной плоско
сти (рис. 7.6, в).
21 = 0,2 м М1 = 3000 . 0,2 = 600 I-I . 1\;1;
о
оМпJ,М Н. Af
I I: М1 = RBy . 21
21 = О м М1 = 3000 . О = о.
22 = 0,3 м МВ == 2000 . 0,3 = 600 Н 1\1;
646
II II: M11 = Rp/ .22
о
30J
о МIiН.М
!
22 = О м МВ = 2000 . О = о.
6. Опорные реакции от радиаЛЫIОЙ силы Fr в rОрИЗОIIтаЛЬНОI i
плоскости (рис. 7.6, z):
LMA = о; RBx. 0,2 Fr . 0,3 = О,
О. R 0,3. Fr 0,3 . 800 1200 Н
ткуда В == = .
х 0,2 о, 2 '
е
ж
о
о M H'M
z.:
Рис. 7.6. К примеру 6
250
251
/ ! M"
. \
о.. .............. .. ....* ... ....... ..... .... ... ...................
! ,)
j \.
I
!
I
Ч! Ь
I.MB = о; Fr. 0,5 + RAx. 0,2 = о,
R 0,5. Fr 0,5.800 2000 Н
откуда Ах = = = .
0,2 0,2
П роверяем правильность определения опорных реакций: I.X = о;
Fr+ RA RB = о; 800 + 2000 1200 = о. .
7 Строим эпюру изrибающих моментов от силы Fr' действую
щей в rоризонтальной плоскости (рис. 7.6, д).
21 = 0,2 l\tI МI = 1200 .0,2 = 240 Н . м;
а
/1/2 /1/2
I I: МI = RBx .21
21 = О м МI = 1200 . О = о.
22 = 0,3 м МВ = 800 . 0,3 = 240 Н . м;
б Изrиб в вертикальноЙ плоскости
II II: МВ = Fr .22
о
F/./1 ....... .ш. R Ну
С
22 = О м МВ = 800 . О = о.
8. Строим суммарную эпюру изrибающих моментов (рис. 7.6, е).
Сечение с: Ми С = о.
Сечение А: МИ А == M x+M y == 6002+2402 ==646Н,м.
С е ч е н и е В: М и в = О .
9. Значение крутящеrо lvloMeHTa в любом сечении вала МК =
= 300 Н . м. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 7.6, ж).
Из суммарной эпюры изrибающих моментов следует, что опас
ное сечение вала проходит через точку А.
10. Определяем наибольшее значение эквивалентноrо момента:
Мэ ш == M + М;' == 6462 + 3002 == 713 Н · м.
11. Определяем диаметр вала в опасном сечении:
RAx
120 I
................................... ...
о
18,6
185
в И зrиб в rоризонтальной плоскости
RAx .... J....... J Р, IJ ....... 2....... RJJx
С
d> МэlIl 713 2
3 3 6 = 4, 9 .1 o м = 49 ММ.
0,1 [ о' J о, 1 . 60 . 1 О
/
120 120
Принимаем d = 50 мм.
Пример 7. На рис. 7.7, а изображена схема червячноrо peДYKTO
ра. Вал червяка передает мощность Р = 5 кВт при уrловой скорости
(о = 100 рад/с (п = 960 об/мин). В зацеплении червячной передачи в
точке М действуют три взаИl\fНО перпендикулярные силы: Еа = 5260 Н,
Fr = 1700 Н, Ft = 1580 Н. Определить величину наибольшеrо экви
валентноrо напряжения в материале червяка, если диаметр окруж
ности впадин червяка dj= 46,2 l\1M, а диаметр делительной окруж
ности червяка d = 63 lvIM, длина вала червяка /1 = 240 мм. Осевое
· усилие воспринимает левый подшип:ник. Расчет произвести по Tpe
тьей и пятой теориям прочности.
А! (Л ,,),Н.:м
94,8
l
о
о
о
о
Рис. 7.7. К примеру 7
252
'
z.
= 'l
х
253
Реш е н и е. Силы, действующие на червяк, вызывают деформа
ЦIIИ изrиба, кручения и сжатия. Рассмотрим отдельно каждую из
деформаций.
1 Деформация изrиба. Так как силы, действующие в за
цеплеI-IИИ, IIe лежат в одной плоскости, то рассмотрим раздельно
IIзr:иб в веРТIIкальной и rоризонтальной плоскостях. Изrиб в верти
кальной плоскости вызывается силаl\IИ Fa и Fr. На рис. 7.7, б дана
расчетная схема вала червяка в вертикальной плоскости. Опреде
ляеl\1 опорные реакции из условия равновесия червяка:
Максимальный изrибающий момент в rоризонтальной плоскос
ти М{", тах = 94,8 Н . м.
Эпюра изrибающих моментов приведена на рис. 7.7, В. CYMMap
ный изrибающий момент в опасном сечении
Мтах == M; тах + М; тах == 1852 + 94,82 == 208 Н. М.
.
IMA =0; RBy.O,24+Fr.O,12 Fa.O,0315=0;
R == Fr .0,12 Ea .0,0315 == 1700.0,12 5260.0,0315 = 155 Н;
Ву 0,24 0,24
I У = о; RAy + Fr RBy = о; RAy == Fr .... RBy = 1700 155 = 1545 Н;
IX = о; RAx Fa == о; RAx = Fa = 5260 Н.
ИзrибаЮЩIlе МОl\lенты в сечениях вала:
21 == 0,12 м MI = 1545. 0,12 == 185 Н. м;
Осевой момент сопротивления червяка на практике определяют
по диаметру окружности впадин червяка:
Wx = о, 1 . d J = 0,1 . ( 4,62 · 1 О 2) 3 = 9,9 . 1 О 6 м3.
СУМ1\lарное напряжение от изrиба в опасном сечеlIИИ червяка
о' == МтаХ == 208 21.106 HjM2 == 21 MHjM2
и Wx 9,9 .10 6
2. Д е фор м а Ц и я с ж а т и я. Напряжение сжатия от осевой си
лы Fa == 5260 Н:
21 == о М MI = 1545 . 0=0.
22 == 0,12 м МВ = 155 . 0,12 == 18,6H . м;
О'с =
А == п. d] 3,14. (4,62 .10 2)2 == 16 8 .10 4 м2.
4 4 ' ,
5260 == 3,1.106 н/м2 == 3,1 MHjM2.
16 8 . 1 О 4
,
] I: MI == RA.1J . 21
F
о' =....J:!:....
t А'
II II: Мп == RBy . 22
22 = О м MI1 == 155 . О == о.
Таким обраЗОIvl, максимальный изrибающий момент в верти
кальной плоскости МВ Inax = 185 Н . м.
Эпюра изrибающих моментов в вертикальной плоскости дана на
рис. 7.7, б.
Изrиб в rоризонтальной плоскости вызывается силой Ft На
p11C. 7.7, в дана расчетная схема вала червяка в rоризонтальной
плоскости.
F 1580
[оризонтальные опорные реакции: RA-r == RBx == == = 790 I-I.
2 2
Величина наибольшеrо нормальноrо напряжения от изrиба и
сжатия
cr == О'и + ас = 21 + 3,1 = 24,1 MHjM2.
3. Д е фор 1\1 а Ц и я к р у ч е н и я Определим величину скручи
ваIощеrо момента, действующеrо на вал червяка:
М == р == 5000 == 50 Н · М.
к о) 100
Изrибающие моменты в сечениях вала:
21 ::: 0,12 м МI = 790 . 0,12 = 94,8 Н . м;
На рис. 7.7, l дана эпюра крутящих моментов.
Полярный момент сопротивления тела червяка
I I: MI = RAx . 21
Wp = 0,2. dJ = 0,2. (4,62 .10 2)3 = 19,8 .10 6 м3.
21 = О 1\1
22=0,12 м
II II: Мп = RBx .22
22 == О м
МI == 790 . О = О
МВ = 790 . 0,12 == 94,8 Н . 1\1;
Наи:большие касательные напряжения
M1I = 790 . О == о.
о' == МК == 50 == 2,5.106 HjM2 == 2,5 MHjM2.
Wp 19,8 .10 6
254
255
Определяем эквивалентное напряжение в материале червяка:
а) по третьей теории прочности
О'э III == .J 0'2 + 4 . 0'2 == 24,12 + 4 . 2,52 == 24,6 MHjM2;
а) Определяем опорные реакции:
L lб d1
М3 ==0; RA .lб +Р . p . p .1 =0.
у rl 2 аl 2 оп оп '
б) по пятой теории прочности
О'э V == .J0'2 + 3. 0'2 == 24,12 + 3.2,52 == 24,4 MHjM2.
Ет . lб / 2 Еа . d1 / 2 Fоп . lоп
RAy == I 1 'б == 178,7 Н;
Пример 8. Определить диаметр быстроходноrо вала (рис. 7.8, а)
в опасном сечеlIИИ, если: 1 == 4000 Н; Fr1 = 1376 Н; Еа1 = 730 Н;
ЕОJl = 915 Н; d1 = 70 мм; lб = 140 IM; IOIf = 50 1\11\1, [О'] = 60 МПа.
У..
I . R {l
\
А .-
а
1
. lб d1 .
LJ М1 == О, Frl · 2: Fщ · 2" + RBy · 'б Fоп · (lб + 'оп) == О,
Е, .lб / 2 + Fa . d1 /2+ Fоп . (lб + lоп)
RBy == 1 1 'б == 2112,3 Н.
R
1.12
(1
41,5 F 1
F R
Проверка: L:Y = о; RA.1J Frl + RBy ЕОIl = о.
б) Строим эпюру изrибающих моментов относительно оси 2 в xa
рактерных сечениях I III (рис. 7.8, в).
21 = 0,07 1\1 М} = 178,7 . 0,2 = 12,5 Н . м;
I I: МI = RAy . 21
J
JJ
,,J'
оп Бе pтliКiшъная L !
Zз mюскссть
21 = О М МI = 1483,2 . 0=0.
22 = 0,12 1\1 МВ = 915 . 0,12 + 2112,3 . (0,12
0,05) = 38 Н . м;
6
2
Z,
в
Z2
о.м" (М.), J! . м
ш-
II II: М}I = FOII Х
Х 22 + RBy(22 1()1f)
22 = 0,05 м МВ = 915 . 0,05 + 2112,3 . (0,05
0,05) = 45,8 Н . м.
23 = 0,05 1\1 МIп = 915 .0,05 = 45,8 Н . м;
12,5
J
l
)ркюнтапьнаJi r,.
Z 3 ItJЮс ю:с ть liI
Х
III III: М}}I = FOJJ .23
д
(1
ОJJпJ,М ).Н'М
23 = о м МВ! = 915 . 0=0.
2. [оризонтальная плоскость.
Расчетная схема вала в rоризонтальной плоскости дана на
рис. 7.8, 2.
а) Определяем опорные реакции: RAx == RBx == .........!.. = 2000 Н.
2
б) СТрОИl\1 ЭIIЮрУ изrибающих моментов относительно оси у в
характерlIЫХ сечениях I III (рис. 7.8, д).
21 = 0,07 м MI = 2000 . 0,07 = 140 Н . м;
е
о
о 1r! (Н -J{)
Рис. 7.8. К примеру 8
Решение
1 Вертикальная плоскость
Расчетная схема вала в вертикалЫIОЙ плоскости дана lIa рис. 7.8, б.
I I: М1 = RAx .21
21 = о м
М} = 2000 . О = о.
256
257
Рис. 7.9. К примеру 9
R == Еа. · d1 j 2 Ет! "1
Ву 'б == 694,8 Н.
Проверка: l:Y = о; RAl" + RB p = О
.7 !J Тl .
б) Строим ЭПIОрУ изrибающих lvIoMeHToB относительно оси 2 в
характерных сечениях I III (рис. 7.9, в).
I I: MI = о.
22 = 0,07 м M1I = 2000 . 0,07 = 140 Н . м;
:1 t-z F]
::.. ....
II II: МВ = RBx .22
22 = О м
M11 = 2000 . 0=0.
III III: МП1 = о.
3. Строим эпюру крутящих моментов (РИС. 7.8, е).
М == М == Ft · d1 = 4000. 0,07 == 140 Н . М.
к z 2 2
4. Определяем суммарные изrибающие моменты в наиболее Ha
rруженных сечениях:
а
б
в
l
м = 1м2 + м2 = 1382 + 1402 = 145 Н . м;
и Х2 У2
МИЗ = МХ3 =45,8 Н. м.
Следовательно, опаСН:Ы f является сечение 2.
5. Определяем эквивалентный MO IeHT в опасном сечении:
Мэ == M 2 + М; == .J1452 + 1402 == 201,6 Н . м.
6. ОпределяеlVI диаметр вала в опасном сечении:
д
е
d > 3 Мэ = 3
0,1[а]
201,6 6 == 3, 23 .10 2M == 32,3 мм.
о, 1 . 60 . 1 О
Выбираем d = 34 мм.
Пример 9. Определить диаметр БЫСТРОХОДlIоrо вала (рис. 7.9, а)
в onaCHOl\I сечеlIИИ, если:Ft1 = 3500 H;Fr1 = 522 Н;Еа. = 3000 Н; Ем =
= 650 Н; d1 == 57 lvfM; Iб = 90 мм; 1м = 52 мм, [О'] = 30 МПа, 11 = 44 мм
Решение.
1. Вертикальная плоскость.
Расчетная схема вала в вертикальной ШIоскости дана на рис. 7.9, б.
а) Определяем опорные реакции:
R
lь
l1i
R
11
..У
Берrн:кs,nьная L
IШCC кос"1Ь
85,5
(j .!V rn( ! ), Н. ,
IOpIOJнтальН:iЯ
IПI0С :кость r
х
(j lJ rzP.1 ).Н л
м. Hr.t
22 = 0,09 м
Мп = 694,8 . 0,09 = 62,5 Н . м;
II II: MII = RB . 21
.11
d
LMBx == О; Ea! '1+Ет! .и1 +lб)+RАу .lб == О;
Fa .d1 / 2 Fr, .(/1 +16)
R = 1 1 =1728Н'
Ау Iб ' ,
L 1.
MA4 =0; p . +E. ./1 +RB . б =0,
rLt аl 2 rl У
22 = О м Мп = 694,8 . О = о.
ZЗ = 0,044 1\11 M11I = 522 . 0,044 + 3000 х
х (0,057 /2) = 62,5 Н . м;
III III: МПI = E11 Х
1
Х 2з + Еа1 . d1/2
258
2з=0,1 м
МПI = 522 . О + 3000 . (0,057/2) =
= 85:5 н . М.
259
2.rоризонтальная плоскость
Расчетная схема вала в rоризонтальной плоскости дана на
рис. 7.9, 2.
а) Определяем опорные реакции:
5. Определяем эквивалентный момент в опаСIIОМ сечении:
Мэ == M; 2 + М; == 166,22 + 99,82 == 193,9 Н . м.
6. Определяем диаметр вала в опасном сечении:
м = о; Ft . (11 + 1б) + RAx .1б Ем ./м = о;
L.J Уз
. Ft.(11+lб)+Fм.1м
RAx = 1 = 5586,7 Н;
1б
LMY2 =0; Ft.[1+Rвх.1б FМ.([б+[М)=О;
Ft . [1 + F м . (lб + 1 м )
RBx == 1 lб == 2736,7 Н.
м
d>з э =з
0,1 [ о' J
193,9 6 == 4, 01.10 2 м == 40,1 мм.
0,1. 30 .1 О
Проверка: LX = о; Ft1 + RAx RBx + Ем = о.
б) Строим эпюру изrибающих моментов ОТНОСIIтельно оси 2 в
характерных сечениях I IIJ (рис. 7.9, д).
21 = 0,052 м М! = 650 . 0,052 = 33,8 Н . м;
Выбираем d = 42 ММ.
Пример 10. Определить диаметр быстроходноrо вала (рис. 7.10 а)
в опасном сечении, еСЛII: 1 = 1300 Н; Fr1 = 1720 Н; Fa1 = 5000 Н;
Ем = 652 Н; d1 = 70 fvIM; 1б = 150 мм; [м = 455 мм, [о'] = 90 МПа.
R
'р' Яя ( 1
3 F
а
А
1.j2 I
21 = о м M1 = 650,2 . О = о.
22 = 0,142 м MI1 = 650 .0,142 + 2736,7 х
х (0,142 0,052) = 154 Н . м;
6
Ее pm..э.. LЬRa1Я
пrmс т..:ю 1"ь
.)
I .. z;
I I: М! = EM . 21
II II: Мп = FM .22 +
+ RBx(22 0,052)
22 = 0,052 м M11 = 650 . 0,052 + 2736,7 х
х (0,052 0,052) = 33,8 Н . м.
2з = 0,044 м MII1 = 3500 . 0,044 = 154 Н . м;
в
-::
о .м." (J\I ) .Н. hI
l
rcpicJс1mlлыfl.я
Р :rmcc !-;DC 'IЬ
rt
III III: МПI = 1 .2з
2з = о М МIП = 3500 . О = о.
3. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 7.9, е).
F. . d1
М = М = t = 99,8 Н.м.
к z 2
4. Определяем СУМIvIарные изrи:бающие fО fенты в наиболее Ha
rруженных сечениях:
М2 == M;2 + M 2 == 62,52 + 1542 == 166,2 Н'м; Мз == Муз == 33,8 Н,м.
д
. :. M M ).H.h
е
-::
J , П 'N.
Рис. 7.10. К примеру 10
Следовательно, опасным является сечение 2.
Решение.
1. В е р т и к а л ь н а я п л о с к о с т ь.
Расчетная схема вала в вертикальной плоскости дана на рис. 7.10, б.
260
261
d 1
M =0. RA ./б F .....l.+F . =o.
Li 3 ' У а1 2 '1 2 '
F .d /2 P ./6/2
R = аl 1 '1 = 306 7 н.
Ау lб ' ,
б) Строим эпюру изrибающих MOlVleHTOB относитеJIЬНО оси z в
характерных сечениях I III (рис. 7.10, д).
Zl = 0,055 м MI = 652 . 0,055 = 35,9 Н . м;
а) Определяем опорные реации:
I I: MI = EM . 21
d 1
М = о. F .....l. F . + RB ./б = о.
L 1 ' а1 2 '1 2 У ,
Zl = О м М1 = 2171,7 . 0=0.
22 = 0,15 м Мп = 88,9 . 0,15 + 1300 . (0,15
0,075) = 35,9 Н . м;
F . d1 / 2 + Р. . Iб / 2
RB = аl 11 = 2026,7 Н.
у Iб
Проверка: IY = о; RAy + RB.lJ Fr1 = о;
б) Строим ЭПIОрУ изrибаЮIЦИХ моментов относительно оси 2 В
характерных сечениях I III (рис. 7.10, в).
I I: М! = о.
II II: МВ = RAx . 22 +
+ Ft1 (22 0,075)
22 = 0,075 м Мп = 88,9 . 0,75 + 1300 . (0,075
0,075) = 66,8 Н . м.
23 = 0,075 м МВ! = 889 . 0,075 = 66,8 Н . м;
III III: МПI = RAx. 23
22 = 0,75 м M11 = 2026,7 . 0,075 = 152 Н . м;
23 = О м MIII = 889 . 0=0.
3. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 7.10, е).
М . == М == Fr1 · d1 == 1300. 0,07 == 45 5 Н . м.
к z 2 2 '
4. Определяем суммарные изrибающие моменты в Ilаиболее Ha
rpуженных сечениях:
МИ2 == M;2 +M 2 == 1522+66,82 ==166 Н,м;
МИЗ = МУЗ = 35,9 Н. Ivl.
Следовательно, опасным является сечение 2.
5. Определяем эквивалентный l\tIOMeHT в опасном сечении:
Мэ == M 2 +М; == 1662 +45,52 == 172,1 Н. м.
6. Определяем диаIvlетр вала в опаСНО 1 сечении:
II II: МВ = RB.lJ . 22
22 = О м MI1 = 2026,7 . 0=0.
23 = 0,075 м МПI = 306,7 .0,075 = 23 Н . 1\1;
III III: МПI = RAy . 23
23 = О м МIп = 306,7 . 0=0.
2. [оризонталыIаяя плоскость.
Расчетная схема вала в rоризон:тальной плоскости дана на
рис. 7.1 О, 2.
а) Определяем опорные реакции:
1
}:МЗ == О; Ft' + RAx .lб Ем .IM == О;
F. ./б/2+F .1
RAx == tl lб М м == 889 Н;
1
}: М 1 == О; Ftl. + R Вх · lб F.\1 · (lб + 1м) == О;
RBx == FrI .lб j 2 + F.\! · (lб + [м) == 241 Н.
Iб
d>3 Мэ ==3 172,1 6 ==2,674.1O 2M==26,74MM.
О,1[О'] 0,1.90.10
Выбираем d = 28 мм.
Пример 11. Определить диаметр быстроходноrо вала (рис. 7.11, а)
в опасном сечении, если: Ft2 = 5000 Н; Е'2 = 1380 Н; Ра2 = 900 Н;
Еон = 4200 Н; ; = r;),.sin30° = 2100 Н; Ех= Follcos30° = 3637 Н; d2 = 181 мм;
IT = 150 Ml\I; /011 = 70 мм, [О'] = 65 МПа.
Проверка: IX = о; Ft1 + RAx RBx + Ем == о.
262
263
v
-kzF
у
F
2
Проверка: IY == о; Еу Rcy + RDIj Fr2 == о.
б) Строим эпюру изrибающих моментов относительно оси z в
характерных сечениях I III (рис. 7.11, в).
21 = 0,075 м М1 = 2213 . 0,075 = 166 Н . м;
F
а:
а
lI II: M1I = F.1J . Z2
RC!J(Z2 0,07)
Z2 = 0,07 1\1 M1I = 2100 . 0,07 + 2933 . (0,07
0,07) = 147 Н . м.
2з = 0,07 1\1 МПI = 2100 . 0,07 = 147 Н . м;
III III: МПI = Еу . Zз
2з = О 1\;1 M111 = 2100 . О = о.
2. rоризонтальная плоскость.
Расчетная схема вала в rОРИЗ0нтальной плоскости дана на
рис. 7.11,2.
а) Определяем опорные реакции:
I I: М1 = RD.1J . 21
Lz
21 = О М М1 = 2213 . 0=0.
22 = 0,145 м МВ = 2100 . 0,145 933 . (0,145
0,07) = 84,5 Н . м;
б
Вертикальная
плоскость
Z2
в
LM4 = О;
Ех . (lоп + [т) Rex ,ZT Ft2 . = о;
F1: . (/оп + /т) 2 ./т / 2
Rcx = = 2834,3 Н;
lT
LM2 == о; Ех .Zоп + 2 .Z; RDx ,ZT == о;
F./ +Е. ./ /2
R = х оп [2 т = 4197 3 Н
Dx / ' .
т
о Mtl.8 (.А.1 х)' Н . м
2
1 оризонтальная r z
плоскость
х
д
о М и.r( "'1 ..), I!.:!t
о Alz, Н . м
е
Рис. 7.11. К примеру 11
Решение.
1. В е р т и к а л ь н а я п л о с к о с т ь.
Расчетная схема вала в вертикальной IШоскости дана на рис. 7.11, б.
а) Определяем опорные реации:
[т F d2 О.
LM4==0; Fу,(Zоп+Zт)+Rсу,Zт+Fr2'2 а2'-Т=='
264
R Еу . (Zоп + [т) Fr2 ,ZT j 2 + Еа2 · d2 j 2 == 2933 Н;
Су /
т
М О . F ./ F · !:J.. F · d2 + RD ./т = О;
Li 2 , у оп 1 2 2 а2 2 у
Еу .Zоп + Fr2 ,ZT / 2 + Еа2 . d2 / 2 == 2213 Н.
RDy 1
т
Про верка: Ix = о; Fx Rc't: 2 + RDx = о.
б) Строим эпюру изrибающих моментов относительно оси Z в
характерных сечениях I III (рис. 7.11, д).
Z1 = 0,075 м MI = 4197,3 . 0,075 = 314,8 Н . м;
l I: М1 = RDx . 21
21 = О М
M1 = 4197,3 . 0=0.
265
r рuзонтальная плоскость (zx)
F,
3 It
L
22 = 0,15 м МВ = 4197,3 . 0,15 + 5000 х
х (О, 15 0,075) = 254,6 Н . м;
F:
II IJ: M11 = RDx. 22 +
+ Ft2 (22 0,075)
22 = 0,075 1\1 Мп = 4197,3 . 0,075 + 5000 х
х (0,075 0,075) = 314,8 Н . 1\1.
0,05
0,05
23 = 0,07 м МПI = 36З7 . 0,075 = 254,6 Н . м;
III III: МПI = Fx .23
ртикальная плоскость (zy)
Fa F,
6
111
з I
23 = О 1\1
M111 = З637 . О = О.
3. СТрОИIvl ЭПIОрУ крутящих IvrOl\leHTOB, Н . м (рис. 7.11, е).
l ,) . d2 5000. 0,181 == 452 5 LI . М
MK==Mz== 2 2 ,1.
в
4. Определяем СУIvIl\Iарные изrибаIОIllи:е 1\10l\1енты в наиболее Ha
rрvжеНI IЫХ сечеIIИЯХ:
М2 == M;2 + M 2 == 1472 + 254,62 == 294 Н . м;
Мз == М;з + М з == 1662 + 314,82 == 355,9 Н . м.
l
J/
Z2
Следовательно, опаСНЫl\1 является сечение 3.
5. Определяем эквива.лентный момент в опасном сечении:
д
М:! == Mj + М; == J355,92 + 452,52 == 575,7 Н . м.
25,2
6. Определяем диаметр вала в опаСНОtvI сечении:
е
пюра Kp ящеео момента
50,3
d > з Мэ == з 575,7 6 == 4,458 .10 2 м == 44,58 мм.
0,1[0'] 0,1.65.10
о
о
Выбираем d = 46 l\1M.
Рис. 7.12. К примеру 12
Пример 12. По третьей rипотезе ПрОЧllОСТИ определить диаметр
вала редуктора (рис. 7.12, а) в опаСIIОМ сечении, если передаваемая
l\10Il НОСТЬ р = 5 кВт, уrловая скорость п = 950 обjl\111Н, диаметр дe
лительно:Й окружности d = 100 мм, приняв [0'] = 70 МПа и полаrая
чт fl' = 0,2 . Ft; Ра = 0,38 · Ft.
Реш е н и е.
1. Определяем враlцающий MOl\leHT:
: x
т
ОМив (М,). Н . м
ZJ
Х
о Лl и r<!!...l' ),}}
Mk, Н . м
Т= 9,55Р/п = 9,55 . 5.103 /950 = 50,3 Н.М.
266
267
2. Окружная сила
Ft == 2T/dt == 2.50,3/0,1 = 1006 Н.
I I: МI == R .21
Х2
21 == 0,05 м МI == 503 . О 05 == 25,2 Н . м;
3. Радиальная сила
21 == О м МI == 503 . О == О
22 == 0,05 м MII == 503 . 0,05 == 25 2 Н . м;
Fr == 0,38 . Ft == 0,38 . 1006 == 382 Н.
II II: MII == RXl. 22
4. Осевая сила
22 == О м MII == 503 . 0==0.
Эпюра изrибающих моментов относительно оси 2 дана на
рис. 7.12, д.
7. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 7.11, е):
МК == Т== 50,3 Н . м.
F{J == 0,2 . Ft == 0,2 . 1006 == 201 Н.
5. Составляеl\f расчетную схему вала в вертикальной плоскости
(рис. 7.12, б), определяем реакции опор и строим эпюру Ми в(мх):
т == Fa . dj2 == 201 .0,1/2 == 10,1 Н . м.
Опасным является сечение 3.
В. Определяем эквивалентный 1vloMeHT в опасном сечении:
Ми == M; + М;== 25,22 + 14,62 ==?9,1 Н . м;
Мэ з == M + М;== 29, 12 + 50,з2 == 58,1 Н . м.
Для определения неизвестных реакций опор вала используем
два уравнения равновесия:
{LM1 == о; { Fr .0,05+m+RY2 .0,1 о;
LM2 ==0; RY1 .0,1+m+Fr.O,05 0.
Находим:
9. Определяем диаметр вала в опасном сечении:
RY2 == (Fr. 0,05 т)/0,1 == (382 . 0,05 10,1)/0,1 == 90 Н;
RY1 == (т + Fr. 0,05)/0,1 == (10,1 + 382 .0,05)/0,1 == 292 Н.
Проверяем правильность определения опорных реакций: IY = о;
RY1 Fr + RY2 == о; 292 382 + 90 == о.
Реакции определены правильно.
21 == 0,05 м MI == 90 . 0,05 == 4,5 Н . м;
м 58 1 2
d > з э 3 = 3 ' 6 == 2,03 . 1 О м == 20, 3 мм.
О,1[О'] 0,1.70.10
Окончательно принимаем d == 22 мм.
Z1 == О м МI == 90 . О == о.
z2 == 0,05 м Мп == 292 . 0,05 == 14,6Н . м;
Задачи
1...10. На стальном валу 1 (рис. 7.13) жестко закреплена муфта
2 и зубчатое колесо З. Вычислить силу, приложенную к окружно
сти зубчатоrо колеса, диаметром d. Построить эпюры крутящих и
изrибающих моментов по длине вала. Определить требуемый диа
1vleTp вала.
Материал вала сталь 40; допускаемое напряжение [а] == 70 Н/мм2
(расчет производить по теории прочности наибольших касательных
напряжений или энерrетической теории).
11...20. Для стальноrо вала постоянноrо поперечноrо сечения с
двумя зубчаТЫIvlИ колесами (рис. 7.14), передающеrо мощность Р при
уrловой скорости ro рад/с (числовые значения этих величин для
cBoero варианта взять из табл. 7.1): а) определить вертикальные и
rоризонтальные составляющие реакций подшипников; б) построить
эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изrибающих MO
ментов в вертикальной и rоризонтальной плоскостях; r) определить
l I: МI == Ry2. 21
II II: МВ == RY1 . z2
Z2 == О м Мп == 292 . О == о.
Эпюра изrибающих моментов относительно оси Z дана иа
рис. 7.12, 6.
6. Составляем расчетную схему вала в rоризонтальной плоскости
(рис. 7.12,2), определяем реакции опор и строим эпюру Миr(Му).
RX1 == RX2 == Ft/2 == 1006/2 == 503 Н.
268
269
диаlVlетр d вала, flрlIНЯВ [а] = 70 Hjl\fM2 (в задачах 11, 13, 15, 17, 19)
или [а] = 60 HjM I2 (в задачах 12, 14, 16, 18, 20) и полаrая Р'1 = 0,36 х
х Ft1; Fr2 = 0,36 . Ft2. В задачах 11...15 расчет производить по rипотезе
потеlIциальной энерrии ФОРМQИЗ1\'lенения, а в задачах 16...20 по
rИII0тезе наибольших касательных напряжений
:)
1
VI
Ft
, =5K T
;1 '- '\.IIJ =50 PfJ4Ie
I .... J
, f: ." :
I:/J I 2
р =6 JI. T
11
111 IV
D,-. ),..
44' 2 D,/JL
Lz600
IП VIII J Р=7к8т
VII
Ifl
х", 'if
IV ..(
х lJ, -3Осн
2 1 .,
11
Э
V Х
l/2
t
[-=400
II
V
VI
Dl tJO
Рис. 7.14. К задачам 11...20
Рис. 7.1 з. К задачам 1...1 О
270
271
Таблица 7.1. Исходные данные к задачам 11...20
Окончание табл. 7. 1
Номер задачи Вари Р, (о, Номер задачи Ba Р, (о,
и схемы кВт рад/с
и схемы кВт рад/с на рис. 7.14 риант
на рис. 7.14 ант
Задача 11, 00 12 22 Задача 12, 01 4 24
схема 1 14 18 40 схема II 17 16 48
26 20 36 29 20 50
35 19 30 34 24 40
43 4 48 46 45 25
57 60 50 56 42 60
61 34 68 60 40 22
74 15 20 77 19 36
81 10 50 84 17 42
94 12 48 97 30 35
Задача 13, 02 18 30 Задача 14, 03 10 40
cxe 1a [11 16 40 80 схема IV 19 12 35
28 32 52 21 15 30
37 24 36 36 24 24
45 14 18 48 30 15
59 10 42 58 25 35
63 15 45 62 18 42
76 38 22 79 20 45
80 50 40 87 14 20
96 5 50 99 40 36
Задача 15, 05 10 18 Задача 16, 04 40 45
CXel\1a V 18 20 18 схема VI 11 38 42
20 24 30 23 42 30
38 48 30 40 35 25
47 12 24 49 30 18
51 24 52 50 32 50
65 6 15 64 15 30
78 30 45 75 14 20
83 38 50 86 20 24
98 40 25 91 25 48
Задача 17, 07 8 35 Задача 18, 06 32 40
схема VII 10 40 15 схема VIII 12 60 50
22 38 20 25 58 42
31 35 18 30 38 38
39 60 24 42 31 20
53 50 30 52 37 30
67 45 28 66 42 30
72 30 18 73 55 33
82 16 42 89 45 28
90 20 12 93 8 20
Номер задачи Вари Р, (о, Номер задачи Ba Р, (о,
и схемы кВт рад/с и схемы кВт рад/с
на рис. 7.14 ант на рис. 7.14 риант
Задача 19, 09 25 38 Задача ,20, 08 80 70
схема IX 13 30 42 схема Х 15 60 50
24 23 32 27 65 38
33 42 50 32 50 42
41 46 18 44 02 32
55 27 24 54 62 . 31
69 32 20 68 40 35
71 48 15 70 22 20
85 52 25 88 28 30
92 12 48 95 70 40
21...30. Для стальноrо вала постоянноrо поперечноrо сечения с
двумя зубчатыми колесами (рис 7.15), передающеrо мощность
Р, кВт, при уrловой скорости 0), рад/с (числовые значения эти:х Be
личин для cBoero варианта взять из табл. 7.2): а) определить верти:
кальные и rоризонталЫlые составляющие реакций подшипников;
б) построить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изrn
бающих моментов в вертикальной и rоризонтальной плоскостях;
r) определить диаметр d вала, приняв [0'] == 60 МПа (в задачах 22,24,
26, 28, 30) или [0'] == 70 МПа (в задачах 21...25) и полarаяFrj == 0,4 х
)( Frt' Fr2 = 0,4 . Fri В задачах 21...25 расчет производить по rипотезе
потенциальной энерrии формоизменения, а в задачах 26...30 по
rипотезе наибольших касательных напряжений.
Таблица 7.2. Исходные данные к задачам 21...30
Номер задачи Вари Р, Ф, Номер задачи Вари Р, (о,
и схемы и схемы
на рис. 7.15 ант кВт рад/с на рис. 7.15 ант кВт радjс
Задача 21, 00 12 22 Задача 22, 01 04 24
схема 1 14 18 40 схема II 17 16 48
26 20 36 29 20 SO
35 19 30 34 24 40
43 4 48 46 45 25
57 60 50 56 42 60
61 34 68 60 40 22
74 15 20 77 19 36
81 10 50 84 17 42
94 12 48 97 30 3S
272
273
Окончание табл. 7.2
Номер задачи Варп Р, (о, Номер задачи Вари Р, (О,
и схемы п схемы
на рпс. 7.15 ант кВт рад/с на рис. 7.15 ант кВт рад/с
Задача 23. 02 18 30 Задача 24, 03 10 40
схема III 16 40 80 схема IV 19 12 35
28 32 52 21 15 30
37 24 36 36 24 24
45 14 18 48 30 15
59 10 42 58 25 35
63 15 45 62 18 42
76 38 22 79 20 45
80 50 40 87 14 20
96 5 50 99 40 36
Задача 25, 05 10 18 Задача 26, 04 40 45
схема V 18 20 18 схема VI 11 38 42
20 24 30 23 42 30
38 48 30 40 35 25
47 12 24 49 30 18
51 24 52 50 32 50
65 6 15 64 15 30
78 30 45 75 14 20
83 38 50 86 20 24
98 40 25 91 25 48
Задача 27, 07 8 35 Задача 28, 06 32 40
схема VII 10 40 15 схема VIII 12 60 50
22 38 20 25 58 42
31 35 18 30 38 38
39 60 24 42 31 20
53 50 30 52 37 30
67 45 28 66 42 30
72 30 18 73 55 33
82 16 42 89 45 28
90 20 12 93 8 20
Задача 29 09 25 38 Задача 30. 08 80 70
CXCl\1a I Х 13 30 42 схема Х 15 60 50
24 23 32 27 65 38
33 42 50 32 50 42
41 46 18 44 2 32
55 27 24 54 62 31
69 32 20 68 40 35
71 48 15 70 22 20
85 52 25 88 28 30
92 12 48 95 70 40
1
D, . __
Ft:1
111
.". -SI
V
VI}
11
li! IV
.60
V}I}
О, llJt.и
IX
Рис. 7. 15. К задачаl\1 21...30
274
275
31...40. Для стальноrо вала постоянноrо поперечноrо сечения с
одним зубчатым колесом (РИС. 7.16), передающеrо мощность Р, кВт,
при уrловой скорости 0), рад/с (числовые значения этих величин
для CBoero варианта взять из табл. 7.3): а) определить вертикаль
ные и rоризонтальные составляющие реакции подшипников; б) по
строить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изrиба
ющих моментов в вертикальной и rоризонтальной плоскостях;
r) опредеЛIIТЬ диаметр вала, приняв [о-] = 60 МПа (в задачах 31, 33,
35,37,39) или [о-] = 70 МПа (в задачах 32,34,36,38,40) и полаrая
Fr= 0,4. Ft. В задачах 31...35 расчет производить по rипотезе потен
l иальной энерrии формоизменения, а в задачах 36...40 по rипоте
зе наибольших касательных напряжений.
Таблица 7.3 Исходные данные к задачам 31...40
2О0м/'1 fgOf'1/1
I
ш
Номер задачи Вари Р, Номер задачи
и схемы (о, Вари Р, (о,
ант кВт рад/с и схемы кВт
на рис. 7.16 на рис. 7.16 ант рад/с
Задача 31, 00 30 10 Задача 32, 01 22 14
схема 1 14 36 12 схема II 17 40 16
26 52 15 29 50 20
35 24 24 34 30 24
43 18 30 46 48 45
57 42 25 56 50 42
61 45 18 60 68 40
74 22 20 77 20 19
81 40 14 84 50 17
94 50 40 97 48 30
Задача 33, 02 40 18 Задача 34, 03 24 12
схема III 16 35 40 схема IV 19 48 18
28 30 32 21 30 20
37 36 24 36 40 19
45 15 14 48 25 14
59 35 10 58 60 60
63 42 15 62 22 30
76 45 38 79 36 15
80 20 50 87 42 10
96 36 15 99 35 12
Задача 35, 05 35 32 Задача 36 04 18 40
схема V 18 15 60 схема УI 11 18 38
20 20 58 23 30 42
38 18 38 40 30 35
47 24 31 49 24 30
51 30 37 50 52 32
65 28 42 64 15 15
78 18 55 75 45 14
83 23 45 86 50 20
98 12 28 91 20 25
Задача 37, 07 40 18 Задача З8, 06 31 27
схема VII 10 50 40 схема VIII 12 35 32
22 42 38 25 20 48
31 38 35 30 ЗО 52
39 20 60 42 40 12
53 30 50 52 24 62
67 30 45 66 20 40
72 33 30 73 15 22
82 23 16 89 25 28
90 20 20 93 48 70
1
11
100NH
125fo1M f50f1H
IV
,
801111 '20нн ! 2501111
V 28011/1 VI
Ф2fО/'111
VII
VIII
. "
,
10011/1
IX
Х
2101111
20011"
Фl251111
*
Рис. 7.16. К задачам 31...40
276
277
Окончание табл. 7.3
ОКО1lчаuuе Пlабл. 7.4
Номер задачи Вари Р, (о, Номер задачи Вари Р, (О,
11 схемы кВт рад/с и схемы кВт рад/с
на рис. 7.16 ант на рис. 7.16 ант
Задача 39 09 10 25 Задача 40, 08 31 27
CXel\fa IX 13 50 30 схема Х 15 35 32
24 38 23 27 20 48
33 12 42 32 30 52
41 24 36 44 40 12
55 38 30 54 24 62
69 42 60 68 20 40
71 32 65 70 15 22
85 10 50 88 25 28
92 18 25 95 48 70
I
Номер задачи Вари Р, Ф, Номер задачи Вари
и схемы и схемы Р,кВт Ф,
на рис. 7.17 ант кВт рад/с на рис. 7.17 ант рад/с
Задача 43, 02 10 30 Задача 44 03 18 40
схема 111 16 12 36 схема I\ т 19 40 35
28 15 52 21 32 30
37 24 24 36 24 36
45 30 18 48 14 15
59 25 42 58 10 35
63 1 8 45 62 15 42
76 20 22 79 38 45
80 14 40 87 50 20
96 40 50 99 5 36
Задача 45, 05 40 18 Задача 46, 04 10 45
схема V 18 38 18 CXel\Ia У] 11 20 42
20 42 30 23 24 зо
38 35 30 40 18 25
47 30 24 49 12 18
51 32 52 50 24 50
65 15 15 64 16 30
78 14 45 75 30 20
83 20 50 86 38 24
98 25 20 91 40 48
Задача 47, 07 32 35 Задача 48, 06 8 40
схема VII 10 60 15 cxel\la \TIII 12 40 50
22 58 20 25 38 42
31 38 18 30 35 38
39 31 24 42 60 20
53 37 30 52 50 30
67 42 28 66 45 30
72 55 18 73 30 33
82 45 25 89 16 28
90 28 12 93 20 20
Задача 49, 09 30 38 Задача 50 08 25 70
схема IX 13 60 42 схема Х 15 30 50
24 65 32 27 23 38
33 50 10 32 42 12
41 25 18 44 36 24
55 62 24 54 27 31
69 40 20 68 32 35
71 22 15 70 48 20
85 28 25 88 52 30
92 70 48 95 12 40
41...50. Для стальноrо вала постоянноrо поперечноrо сечения
(pIIC. 7.17), передаЮlцеrо rvlОЩНОСТЬ Р, кВт, при уrловой скорости
(о, рад/с (ЧIIсловые значения этих веЛИ:ЧИII для CBoero варианта взять
11З табл. 7.4): а) определить верт:икаЛЫIые и rоризонтальные COCTaB
,JIЯIОIl ие реакции ПОДШИПIIИКОВ; б) построить эпюру крутящих MO
l\leHTOB; в) IIОСТРОИТЬ ЭПIОрЫ изrибающ:их rvIo 1eHToB в вертикаЛЫIОЙ
и rор:изонтальной плоскостях; r) опредеЛl'IТЬ диаметр вала, приняв
[а] = 70 МПа (в задачах 41, 43, 45, 47, 49) или [а] = 60 МПа (в за
дачах 42, 44, 46, 48, 50). Для усилий, деЙСТВУIОЩИХ на зубчатое KO
л:есо, принять P, = 0,36 . , для натяжения реrvIней 51 = 2 . 52. В за
дачах 42, 44, 46, 48, 50 расчет производить по rипотезе потенциаль
lIО:Й энерr:ии (рорrvIОИЗlVIенения, а в задачах 41,43, 45,47,49 по rипо
тезе наибольших касательных IIапряжений.
Таблица 7.4. Исходные данные к задачам 41...50
tloMep задачи Варп Р, (о, tloMep задачи Вари Р, (О,
н схемы кВт рад/с н схемы кВт рад/с
на рис. 7.17 ант на РВС. 7.17 ант
Задача 41, 00 14 22 Задача 42, 01 12 24
схема 1 14 16 40 схема 11 17 18 48
26 20 50 29 20 30
35 24 30 34 19 40
43 45 48 46 4 25
57 42 50 56 60 60
61 40 68 60 30 22
74 19 20 77 15 36
81 17 50 84 10 42
94 зо 48 97 12 35
278
279
1
rлава 8
11 .
УСТОЙЧИВОСТЬ
СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
v
8.1. Основные понятия
Рис. 7.17. К задачам 41...50
Превышение силой, сжимающей стержень, критическоrо значе
ния приводит К нарушению устойчивой прямолинейной формы
равновесия стержня. Деформация сжатия переходит в деформацию
ПрОДОЛЬНоrо изrnба. При этом появляется изrnбающий момент,
возрастающий с увеличением силы, что вызывает резкий рост Ha
пряжений. Как следствие, это может привести к разрушению стерж
ия. IIоэтому ДОЛЖНО выполняться условие
F
F<
(81)
[Sy] , .
rде F
значение силы, сжимающей стержень, Н; Sy
коэффициент
запаса устойчивости (действительный); [Sy]
то же, требуемый (за
данный или нормативный):
ля стальных стоек [Sy] == 1,8 ... 3,0; для
чyryнных стоек [Sy] == 5 ... 5,:>; для деревянных стоек [Sy] == 3 '" 3,2;
FKp
критическая сила сжатоrо стержня, кН, Н.
Условие устойчивости может быть записано в напря
жениях:
а
о' < кр или о' < [О'у], (8.2)
[ S кр ]
F Екр
rде о' ==
напряжение, соответствующее силе F, HjM2; О'кр ==
А А
акр
критическое напряжение, HjM2; [О'у] == [Sy]
допускаемое lIdпряже
ние для расчета на устойчивость, HjM2; А
площадь поперечноrо
сечения стержня.
К р и т и ч е с 1с а я с и л а определяется по формуле Эйлера,
если Л > Лпр или акр < О'пц, rде
лпр == J1t2E , (83)
апц
281
2
F = п EJn1in
кр (J.!l) 2
rде Jll приведенная длина стержня; 'А rибкость стержня; л'о rиб
кость, при которой напряжения в поперечном сечении сжатоrо
стержня равны пределу текучести (0''1'); 'Авред предельная rибкость
(при rибкости сжатоrо стержня, равной 'Апред, напряжения в ero по
перечном сечении равны пределу пропорциональности); 1 длина
стержня; Е модуль продольной упруrости материала стержня, Н/м2
(табл. 8.1); Jmin l\fOMeHT инерl ИИ сечения стержня относительно
оси меньшей жесткости, Т.е. наименьший из двух моментов инер
ции относительно rлавных центральных осей, м4; Jl коэффициент
приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стерж
ня (рис. 8.1); О'нц предел пропорциональности материала (табл. 8.1).
(8.4)
Критическое
образом:
н а пр я ж е н и е определяется следующим
п2Е
акр = у.
Fuбкость стержня определяется так:
(85)
л=
. ,
lmin
rде imin минимальный радиус инерции сечения, м, см:
(86)
F JF ,р ,p
\ l"1f1
j'
I \ J
\ I I
I \ , J
1 t I I
I f \
1 I \
\ \ \
\ \
\ \
F
i. = U:::
mll1 A'
ДЛЯ стержней, у которых л < Лllр' критические напряжения опре
деляют по формуле Ясинскоrо:
(8.7)
g
О'КР = а Ь'А, (8.8)
rде а, Ь коэффициенты, зависящие от свойств материала (табл. 8.2).
Та6JШца 8.2. Значения коэффициентов, входящих в формулу Ясинскоrо
предельная rибкость материала
/
J
1
1
\
а Ь
Материал Л"РСi[
М Н/М 2 MHjM2
Сталь Ст.2, 15 245 0,665 105
Сталь СТ.3 310 1,14 100
Сталь Ст.5, 30 342 1,39 90
Сталь 40 315 1,14 90
Кремнистая сталь 577,2 3,74 100
Ч yrYH 760,48 11,76 80
Дерево 28,8 0,19 75
l'
L = 1,0
=2,O
= 0,5
=0,7
=0,7
Рис. 8.1. Значения коэффициента приведения длины
Таблица 8.1. Предел пропорциональности
u
И модуль продольнои упрyrости материалов
Материал ашр МПа Е, МПа
Сталь Ст 3 200 2 . 105
Леrированная сталь 800 2 . 105
Дюралюминиi:'r 210 7 . 104
Текстолит 26 104
r етинакс 39,5 104
Балинит 140 2 . 104
Чуrун 180 1,0. 105
Дерево 61 о, 1 . 105
Для чуrуна О'кр = а Ь'А +с'А2, rде с = 0,53.
Для обеспечения работоспособности центрально сжатых стержней
ДОЛЖНО удовлетворяться условие их устойчивости:
F
a= <[ayJ, (8.9)
Абр
rде Абр полная площадь (брутто) поперечнOI'О сечения стержня.
акр
[ау] = [Sy]'
(8 10)
282
283
Связь rvIежду допускаемым напряжением при расчете на устой
чивость [ау] и допускаемым напряжением при расчете на осевое
сжатие [а] определяется коэффициентом продольноrо изrиба (KO
эффициентом снижения OCHoBHoro допускаемоrо напряжения):
[ау]
[а] =q>,
Решение. Двутавр N2 30 имеет А = 465 см2 т " =] = 337 см4
. . ' , JmJП у
И Zmjn Zy 2,69 см.
fибкость стержня
(8.11 )
Л= = 1.500 = J Е '105
i . 2 69 185,9 > Лпрсд п 3,14 2 99,3.
n11n ' апп 2 10
Таким образом, применима формула Эйлера.
Критическое усилие равно
F. = Е] min п2 2.105 · 337 .9,86 = 265825,6 Н.
кр (JlI)2 (1.500)2
Критическое напряжение равно
а = Ркр = 265825,6 57 16
кр А 2 , МПа.
46,S . 1 О
тоrда
а $; <р [а]
(8.12)
в табл. 8.3 приведены значения коэффициентов продольноrо
изrиба.
Таблица 8.3. Значения коэффициентов <р продольноrо изrиба
(коэффициентов снижения OCHoBHoro допускаемоrо напряжения)
rиб Сталь: rиб Сталь:
Ст.2, Сталь Чу Дepe Ст.2, Сталь Чуryн Дepe
кость Ст.З, CT.S кость Ст.З, СТ.5
Л ryH ВО Л во
СТ.4 Ст.4
О 1,00 1,00 1,00 1,00 110 0,52 0,43 0,25
10 0,99 0,98 0,97 0,99 120 0,45 0,37 0,22
20 0,97 0,96 0,91 0,97 130 0,4 0,32 0,18
30 0,95 0,93 0,81 0,93 140 0,36 0,28 0,16
40 0,92 0,89 0,69 0,87 150 0,32 0,25 .... 0,14
50 0,89 0,85 0,57 0,8 160 0,29 0,23 0,12
60 0,86 0,8 0,44 0,71 170 0,26 0,21 0,11
70 0,81 0,74 0,34 0,61 180 0,23 0,19 0,1
80 0,75 0,67 0,26 0,49 190 0,21 0,17 0,09
90 0,69 0,59 0,2 0,38 200 0,19 0,15 0,08
100 0,6 0,5 0,16 0,31
Пример 2. Для u стойки длиной 1 = 3 м кольцевоrо поперечноrо
сечения, наружныи диаметр KOToporo D = 50 мм, а внутренний
d = 40 мм, определить: величину критической силы, критическоrо
напряжения, допус аемой сжи ающей силы и допускаеl\10rо напря
жения [Sy]' Нижнии конец стоики жестко защемлен, верхний шар
нирно закреплен. Материал стойки сталь Ст.3. Требуемый коэф
фициент запаса устойчивости [Sy] = 2,5.
Реш е н и е. Центральная ось для кольцевоrо сечения является
rлавной и все центральные моменты инерции равны между собой:
1t 4 4 3 14 2 4
]min =]= 64(D d )= ([5.10 ] [4.10 2]4)=18.1.10 8 м4.
Площадь поперечноrо сечеlIИЯ стойки:
1t 2 2 3 14
A=i(D d)= '4 ([5.10 2p [4.10 2]2)=7,065.10 4 м2.
Примеры
Минимальный радиус инерции площади сечения
Z. . = ]min 18,1.10 8 1 6 10 2
mln ,. м.
А 7, 065 .10 4
При таком закреплении в коэффициент приведения длины J.l = О 7
fибкость стойки '
Пример 1. Определить величины критической силы и критиче
cKoro напряжения для сжатой стойки двутавровоrо поперечноrо ce
чения N2 30. Оба конца стойки шаРНИРllО закреплены (шаровой
шарнир). Длина стойки 5 м. Материал сталь с пределом пропор"
циональности аllц = 200 МПа и l\10дулем упруrости Е = 2 . 105 МПа.
Л = .Jl! = 0,7. 2 = 131,25.
zmin 1,6.10
284
285
Определяем IIредельную rибкость стойки, для чеrо по табл. 8.1
находим для Ст.3 Е = 2 . 105 МПа и а)(ц = 200 МПа:
2.1011
Лпр = те . = 3,14. 6 = 99,3,
апц 200.10
Вычислим rибкость стержня:
л = о, 7 . 2, 5 . 103 = 121 27
14, 43 ,.
так как А> ""11]1' то критичеСКУ1О силу определяем по формуле Эйлера:
Е = 1[2 ЕJшiп = 3,142 . 2 .1011 .18, 1.10 8 = 80,9 кН.
I P (Jl/) 2 (О, 7 . 3)2
Для стали марки Ст.3 ""нред = 100, поэтому сrlраведлива формула
Эйлера:
Критическое Ilапряжение
2
F = 1t Е] П1iп .
КР (Jl/)2
Jшiп = 100.503 =104,2.104 мм4 =104,2.10 8 м4.
12
F = 3, 142 . 2 · 105 . 106 . 104, 2 . 1 О 8 = 671 кН
КР (О, 7 . 2,5)2
о" = Екр = 80,9.103 = 115.106 н/м2
кр А 7,065.10 4 .
[Р) = Екр = 80,9 103 = 32 4.103 Н = 32 4 кН.
[ 5 у J 2, 5' ,
Допускаеl\lые значения сжима1ощей силы и: напряжения
Найдем запас УСТОЙЧIIВОСТИ::
S = Екр = 671 = 3 95 :::: 4.
у F 170 '
о"у = О"кр = 115.106 = 46.106 HjM2 = 46 MHjM2.
[ 5 у J 2, 5
ЬhЗ
] min = ] х = , А = bh,
12
Пример 4. ОпредеЛIIТЬ запас устойчивости вин
та ДОl\1крата (рис. 8.3) rpузоподъемностыо F = 50 кН,
высотой подъема 1 = 450 мм. Резьба упорная Cal\;IO
ТОРl\10зящая. Наружный диаl\tlетр резьбы d = 48 мм,
внутреНIIИЙ d1 = 34,116 Ml\I. МатеРllал сталь 45
(Е = 2 . 105 МПа, (J'пц = 270 Mfla).
Реш е н и е. Рассматривая ВИIIТ ДОl\1крата как
стойку высотой 1, диаметром d1 с нижним защем"
ленным концом, примем Jl = 2,0 (см. рис. 8.1).
Определим предельную rибкость:
'105
ЛПРСД = 1t . = 3,14 = 85,5.
апц 270
Определим минимаЛЬfIЫЙ радиус IПfеРЦИl1 сечеIIIIЯ винта:
IF
Пример 3. Найти запас устойчивости стойки
(рис. 8.2), выполненной из стали марки Ст.3.
Реш е н и е. Прежде чем вычислять крити
ческую силу, надо выяснить, какую формулу
можно использовать.
Найде.м rибкость стержня:
i . = JШiП л =
mПl А .'
lmin
d,
I Е= 170 кН
I
у
с
..,.. ,
11
lJj ...t:
N
11 Х
......
Ь = 100
Рис. 8.3. К при..
меру 4
Рис. 8.2. К ПрИl\fеру 3
в данн:ом случае
. [bj;3""" {h2 w .
lшiп = V = Vi2 = Vi2 = 14,43 мм.
i . = J J шiп = 4 . 1[dt = d1 = 34, 116 = 8 53 ММ.
ШlП А 64 . nd[ 4 4 '
НаХОДl1М rибкость BI1HTa:
Jl/ 2.450 с
л. = = = 105,51 > л.прсд = 85,J,
lmin 8, 53
Т.е. формула Эйлера примеНИl\;Iа.
ТОI'да
КОЭффllциеllТ приведеlIИЯ длины при данном виде закреплеllИЯ
f.t= 0,7.
286
287
Минимальный момент :инерции сечения винта
1[d4
] J 1
П1iп .
3 а4 3 05 3 64
F = 1[ Е 1 = 3, 14 · 2 . 1 · 4, 11 = 162 кН.
кр (J.!1)2 . 64 (2 .450)2 · 64
Пример 6. Определить допускаеl\fое значение сжи
мающей силы для стержня круrлоrо сечения диаметром
d = 100 мм и длиной 1 = 2,25 l\tl (рис. 8.4). Материал
стержня сталь Ст.3. Требуемый коэффициент запаса
устойчивости [SyJ = 2
Реш е н и е. Определяем радиус инерции сечения:
i . =)1 min = 4 . 1[ . d4 = d = О 25 d
In 1 n А 64 . 1[ . d 2 4 ' ,
I
Находим значение критической силы:
Находим действительный коэффициент запаса устойчивости:
S = Ркр = 162 = 3 24
у F 50 ,.
imin = 0,25 . d = 0,25 . 0,1 = 0,025 м.
l"'оrда
Рис. 8.4. К
примеру 6
Так как для винтов домкрата ПРИНИl\tlают [SyJ = 4, следовательно,
в данном случае коэффициент устойчивости винта недостаточен,
необходимо увеличить диаметр резьбы.
Пример 5. Стержень двутавровоrо профиля NQ 27 длиной 1 = 3 м
защемлен ОДНИIvl концом И наrружен на свободном конце силой Р.
Определить допускаемое значение сжимающей силы, приняв Е =
= 210 [Па, [SyJ = 3.
Реш е н и е. В нашеl\1 случае f.l = 2, imiп = 2,54 см. [ибкость стержня
л = J.t. 1 = 1. 2, 25 = 90.
iп1iп 0,025
fl= '105
Лпр =1[. =3,14. =99,3.
апц 200
Полученная rибкость больше л'IIРСIР следовательно, потеря устой
чивости происходит В области средней rибкости. ВЫЧIIсляем кри
т:ическое напряжение по формуле Ясинскоrо:
л = .1 = 2 . 3 2 = 236.
lmil1 (2,54 . 1 О )
О"кр = а ьл' = 310 1,14 .90 = 207,4 МПа.
Находим критическую силу:
f
Полученная rибкость больше л'нред' следоватеЛЫIО, потеря устой..
чивости происходит В области большей rибкости. Вычисляем кри
тическое напряжение по формуле Эйлера:
FKp = О"кр' А = 207,4. 106 . 0,785 . 0,12 = 1,62 .106 Н = 1,63 МН
Определяем допускаемое значение сжимающей
силы:
IЕI
О"кр = 1[2; = 3,142 · 21 .109 = 37,3.106 Па = 37,3 МПа.
л 236
[Р] = Ркр = 1,63 106 = 815.103 Н = 815 кН
[Sy] 2 .
Определяем допускаемое напряжение:
[О" J= О"кр = 37,3.106 =124.106 Па=12.4 МПа.
у [Sy] 3 '
Пример 7. Определить допускаемую наrpузку ;;
[FJ дЛЯ стойки (рис. 8.5) при [SyJ 4. Материал
сталь Ст.3 (0")11( = 200 MlIa, Е= 2.105 МПа) ......
Решение.
1. Определяем rибкость материала стойки:
:!:
:!:
ОТСIода допускаемая сжимающая сила
24
[FJ = [ау] . А = 12,4 .106 .40, 2 .10 4 = 49 865 Н = 49,8 кН,
rде А = 40,2 см2 (см. табл. П.1).
'105
Лпрсд = 1[ = 3,14. = 99,3.
О'пц 200
Рис. 8.5. К при
меру 7
288
289
. Jmin f;;4 а 190
Zmin = А = V127 = 2./3 = 2./3 = 54,8 мм.
110 найденному л определяем <р (табл. В.3):
при л = 60 <р = 0,86;
при л = 70 <р = 0,81;
при л = 62,59
= О 86 о, 86 о, 81 . 2 59 = О 847
<Р, 10 ' ,.
2. [11бкость стойки
л=
. ,
lmin
rде ! = 0,5 (С1\I. рис. 8.1), 1 = 1200 мм.
3. МI1нимальный раДIlУС инеРЦИl1 квадратноrо сечения СТОЙКI1
. Jmin f;;4 а 24 6 93
lшiп = А = V127 = 2./3 = 2./3 =, мм.
Тоrда
Находим
'\ = = О, 5 . 1200 = 86 5 '\ = 99 3
/\, . , < /\'прсд ,.
lmin 6, 93
[Е] = <р [а]А = 0,847 . 160 . (190)2 = 4892 кН.
КРIIтическая сила Ркр определяется в зависимости от А rибко
сти стойки; л = = 62,59 < 100 это стержень средней rиБКОСТJ:I, зна
чит, акр определяется по форrvlуле Ясинскоrо:
акр = а Ьл,
rде а = 310 МПа, Ь = 1,14 МПа (Cl\f. табл. 8.2).
акр = 310 1,14 . 62,59 = 238,65 МПа.
ЗIlачит, формула Эйлера н:еприменима.
4. По фОРlVlуле Ясинскоrо определяем критическое напряжение,
приняв по табл. 8.2 для стал:и Ст.3: а = 310 Н/мм2, Ь = 1,14 Н/мм2 :
акр = а ЬА = 310 1,14 . 86,5 = 211 МПа.
5. I1аходим критическую си.НУ:
FKp = акр. А = 211 .242 = 122 . 103 Н = 122 кН.
6. Допускаеl\10е значеIIие наrpузки
[Р] = Ркр = 122 = 30 5 кН.
[Sy J 4 '
Приме.ls. Для стойки, указаНtIО:Й на рис. 8.6, определить значе
IIJ:IЯ сжимающей наrpузки и КРИТI1ческой силы, приняв [ау] = 160 МПа,
Е = 2 . 105 МПа для стали, 1 = 4,9 1\1.
F Реш е 11 и е. Определяеl\1 предеЛЬНУIО rрузоподъ
_ емность из условия устойчивости:
F<<pfa]A,
Значит,
Екр = акрА = 238,65 . (190)2 = 8615 кН.
Коэффициент запаса усто:Йчивости
S = Ркр = 8615 = 1 76
у [ Р] 4892 ' .
При мер 9. Пользуясь таб
лицей зtIачеI1ИЙ коэффициента
снижеllИЯ допускаемоrо напря
жения, ОIIределить наиБОЛЬШУIО
допускаемую величину наrруз
ки на шарнирпо закреплен
ную по KOHI aM стойку длиной
8 м, составленную из двух
швеллеров NQ 22 и двух л:истов
320 х 10 ММ из Ст.3 (рис. 8.7).
Листы и швеллеры скреплены
заклепками диаметром d = 20 М1\I.
Основное допускаемое напря
жение[crj = 160 МПа.
F
а = < <р[а].
А
а= 190 мм
Для нахождеlIИЯ КОЭффllциента <р определяе1\f
rибкость стойки А (значение Jl см. на рис. 8.1):
л = = о, 7 · 4900 = о, 7 · 4900 = 62 59.
iI11in iп1iп 54,8 '
Рис. 8.6. К при..
меру 8
290
,. 82 У 3Z(Jx/1l
I
r f ffi$2
I О :с
I т ... .... .....
f
lDtll "'D41
.
I
I
,
' 320-
РозмеРIJ; 8 МА'
I
I
Рис. 8.7. К прпl\tIеру 9
291
Таким образом, допускаемое СЖИ Iающее УСИJIие на стойку долж
но быть назначено по условию устойчивости: [FJ = 1629 кН.
Пример 10. Для заданной стой F
ки (рис. 8.8) определите значение
сжимающей наrpузки (предельную
rрузоподъемность) и критической
СИЛЫ, приняв для стали [о-] = 160 МПа,
чуrуна [о-] = 100 МПа, дерева по
перек волокон [о-] = 10 МПа.
Решение.
1. Из условия устойчивости опре
деляем предельную rрузоподъем
ность:
Реш е н и е . Выбираем по сортаменту для одноrо швеллера
N2 22 А = 26,7 CM2,Jx = 2110 см4 иl.1J = 151 см4, тоrда для Bcero сече
ния Абр = 2(А + А1), rде А1 площадь сечения одноrо листа.
А6р = 2(26,7 + 32.1) = 117,4 см2.
[лавный момент инерции сечения
J == 2и у + а2 · А + ] У! ],
rде а = ОС = 16 8,2 + 2,21 = 10,01 см.
1 · 323
J == 2. [151 + 26,7 . (16 8,2 + 2,21)2 + 12 ] == 11114 см4,
32 · 13 2 4
] =2.(2110+ +32.1.11,5 )=12690см >Jy
х 12
F
а = < <р . [а] ==> [F] < <р · [а] . А .
А
Наименьший радиус инерции сечения стойки
. . J J 11 114 == 9 73 СМ
nin == Ху == Абр == 117,4 '
у
......
х
Рис. 8.8. К примеру 10
Для нахождения коэффиц:ие:нта снижения OCHOBHoro допускае
Moro напряжения <р определяем rибкость стойки А:
л == J! .1 == 0,7 · 6000 == 53 9
imin 77,92 ' ,
rде Jl = 0,7 для указанноrо способа закрепления стойки; 1 = 6,0 м
длина стойки;
. Jmin 4672,23
lmin А 76,36
[ибкость стержня
л == J!' 1 == 1. 500 == 51, 39 .
iп1iп 9, 73
Из табл. 8.3 значений <р коэффициента снижения допускаемо
ro напряжения при продольном изrибе путем линейной интерпо
ляции находим для Ст.3 <р = 0,886. Допускаемое сжимающее усилие
равно
= 7,792 см = 77,92 мм;
А = 4А1 = 4 . 19,24 = 76,96 см2 =
= 7696 мм2.
[FJ = <р[ о-]Абр = 0,886 . 16 000 . 117,4 1664,262 кН.
Поперечное сечение стойки ослаблено четырьмя отверстиями
под заклепки, причем
А =Аб 4d(t +t )=117,4 4.2(1+0,95)=101,8CM2.
110М )р Л 111 В
Так как сечение симметрично
относительно осей ХС и ус (рис. 8.9)
и уrолки равнополочные, то oce
вые моменты инерции:
Из условия прочности
Jxc = Jyc = Jmin;
F
аmах == А < [а]
НО\{
Jmin = 4(1 Х1 + а2А1) = 4(178,95 +
+(10 2,8З)2.19,24)=
= 4672,23 см4 = 4672,23 . 104 мм4.
следует, что
[FJ < [o-]АlIом = 16 000 .101,8 = 1 629 000 Н = 1629 кН.
292
УС
У,
100
Q
=
"""
XJ.X4
fO)
QQ
N
Х, , Х,
ХС
Рис. 8.9. К примеру 10
293
fIo полученному значению л. = 53,9 по табл. 8.3 находим значе
H}iIe <р:
при А = 60 <р :%: 0,86;
при А = 50 <р = 0,89;
при А = 53,9
Необходимую величину Ь найдем путем проб Вначале ориенти
ровочно принимаем, что <р = 0,1, тоrда:
А = F = 20 000 = 2000 мм2 и Ь = {А = 2000 = 3162 мм
<р . [а] 0,1.100 '12 2 ' .
<р = 0,89 (0,89 0,86) . 3,9/10 = 0,878.
По полученному значеНИIО А = 970/31,62 = 30,67 по табл. 8.3 Ha
ходим значение <р:
при А = 30 <р = 0,93;
при А = 40 <р = 0,87;
при А = 30,67
= О 93 ( О, 93 О, 87 J . о 94 = О 92А
<Р, 10 ' , 1.
F 20 000
[ау] = <р[а] = 0,924 . 100 = 92,4 МПа> а,tсйст = = = 10 МПа
А 2.31,622
Подсчитываеrvf:
[F] = <р[а]А = 0,878 . 160 . 7696 = 1 081 503 Н = 1081,5 кН.
2. Определяеl\'1 критическую силу. Известно, что критическая
СI1ла определяется в заВИСИl\-IОСТИ от rибкости стойки. В нашем слу
чае А = 53,9 < 100 это стержень средней rибкости, следовательно,
КРИТI1ческие llапряжения наХОДИ1\;I по формуле Ясинскоrо: акр = а ЬА,
rде а, Ь Эl\tfпирические КОЭффИЦl'lенты, а = 310 МПа; Ь = 1,14 МПа;
ПодстаВI'IВ значеНl1Я а, Ь, А, получаем
акр = 310 1,14 .53,9 = 248,55 МПа;
(P
акр =}1 => (p = aK = 248,55 . 7696 = 1912871,6 Н = 1912,8 кН.
Коэффициент запаса устойчивости:
Сечеflие сильно недонапряжеfIО.
Испробуем Ь = 15 1\;11\;1;
теперь
Sy = FKp/[F] = 1912,8/1081,5 = 1,77.
л = 970 = 64 66
15 "
по табл. 8.3 наХОДИl\f ЗIIачение <р:
при А = 60 <р = 0,71;
при А = 70 <р = 0,61;
при А = 64,66
== О 71 ( О, 71 О, 61 J . 4 66 = О 66
<р, 10 ' ,.
F::. 250 иН
Пример 11. Из условия устойчивости с помощью табл. 8.3 опре
дели раЗl\'1еры поперечноrо сечения деревянной стойки, Harpy
жеliНОЙ ПрОДОЛЫIОЙ сжимаlощей силой F = 20 кН. Один конец стой
ки пrарнирно закреплен, второй защеl\f.лен, длина ее 1 = 4 м; сечение
стойки прямоуrОЛЫlое с отношениеl\1 сторон h : Ь = 2 : 1. Основное
допускае1\;Iое напряжение [а] = 100 МПа.
Реш е 11 и е. ВыраЗИl\1 основные rеометрические характеристики
ПОI1еречноrо сечеliИЯ и rибкость СТО:ЙКJI через размер Ь. Имеем:
h . ь3 ь4
А = bh = 2Ь2, Jmin = 12 = 6"";
. Jmil1 ь
nin = А =V = 2JЗ;
л = J.t .[ = О, 7 . 400 . 2JЗ = 970
imiп Ь' Ь'
[ау] = 0,66. 100 = 66 МПа> О-дсйст =
20 000
2 = 44 МПа.
2.15
ПРИНИl\lаем Ь = 15 см и h = 30 см
Пример 12. Для стальной сжатой стойки
(рис. 8.10) определите размеры ПОIIеречноrо
сечения, если [о-] = 160 МПа
Ре П1 е н 11 е. Используем l\fетод последо
вательных приближеНI'IЙ:
:t
v)
'1)
JI
N!22
Ж
F
о- = =:; <р[о-].
А
PUL. 8.10. К ПрИl\1еру 12
294
295
.
Первая попытка. Задаемся <Р1 = 0,5; о- = <р[о-] = 0,5.160 =
= 80 МПа.
Определяем
F 250 . 103 2 2
А = = = 3125 мм = 31,25 см .
а 80
Для двутавра N2 22 А = 30,6 см2; ix = 9,13 см; iy = 2,27 см; imjn = iy.
При принятии коэффициента <р = 0,5 не учитывалась длина стой
ки: и способ ее закрепления, поэтому проверяем стойку с подобран
НЫl\1 сечением на устойчивость.
fибкость стойки
Проверяем стойку с подобранным сечением на устойчивость
rибкость стойки
л = 0,5. 5500 = 116 03
23 7 ,.
,
По табл. 8.3 для А = 116,03 наХОДИl\1 <р = 0,478.
Действительные напряжени:я
F
а '(СЙСТВ =
<р.А
250 000 = 150.29 МПа
0,478.34,8.102
F
0'=
...", <р . А
Переrрузка
25.104 =183,59 МПа.
0,445.30,6.102
Недоrрузка 6,07%, что в пределах нормы
ПРИI-IИl\Iаем: двутавр N2 24.
Пример 13. Подобрать сечение
колонны из четырех равнобоких
уrолков (рис. 8.11) под сжимаю
ЩУIО наrрузку 550 кН. Длина ко..
ЛОI-IНЫ 4 м; КОI-IЦЫ ее шарнирно за..
креплены. Материал сталь Ст.3;
основное допускаемое напряжение
[а] = 160 МПа.
Реш е н и е. Подбор сечеНIIЯ
IlРОИЗВОДИМ путеl\J проб. Вначале
принимаем <р = 0,5. fIеобходимая
площадь сечения колонны
I
" a=glJJ!4/
.., 1'" i
. .' ---=:+:,:, $0
· (j=IIJAtH
л = .[ = 0,5. 5, 5 . 103 = 121.
i1nin 22, 7
Определяем действительный коэффициент <р по табл. 8.3 для
А = 121: .
IIрИ А = 120 <р = 0,45;
при А = 130 <р = 0,40.
ИнтеРПОЛI1руем:
<р' = 0,45 (0,45 0,40) . 1/10 = 0,445.
I
,'а
., ''С
/J=IDЯJl
Действительные напряжения
да = 183,59 160 .100% = 14 7%
160 ' ,
Да = 14,7% (допускаеl\lая 5%).
F
Аб =
Р <р'[а]
Рис. 8.11. К примеру 13
550 000
О 5 = 6875 мм2 = 68,75 см2
, . 160
в т о р а я поп ы т к а. Определяеl\1:
= (<(>1 + «>J) = (0,5 + 0,445) = О 473'
<Р2 2 2 "
0'=0,473 . 160 = 75,7 МПа;
F 250 000 2 2
А = = = 3302 мм = 33,02 Cl\I .
а 75, 7
По сортаменту: двутавр N2 24; А = 34,8 см2; ix = 9,97
= 2,37 см; imjn = iy.
см; 1 =
У
Из сортамента видно, что эту площадь можно получить, взяв че
тыре yrолка 100 х 100 х 10 l\IM С А1 = 19,2 CM2,Jx = 179 Cl\f4 и Zo = 2,83 см.
При этом для Bcero поперечноrо сечения колонны:
Абр = 4А1 = 4 . 19,2 = 76,8 см2,
J = 4[} х + А1 . а2],
8 2 83 1, О
rде а = 20 + 2 =, + '2 = 3,33 см.
J = 4[ 179 + 19,2 . 3,332] = 1568 см4.
Радиус инерции поперечноrо сечения
· lх = JAX = 1568 = 4,52 см
76,8
296
297
ПРИНIП\Iаем J.! = 1,0 по рис. 8.1:
rибкость КОЛОIIIIЫ
А = Аб 2d . 2t = 55 6 2 . 2 . 2 . О 8 = 49 2 см2
) I)P , ".
Сжимающее напряжение в ослабленном сечении
л = JЛ'[ = 1.400 "" 88,496.
1 х 4, S 2 .
По таблице значений <р для Ст.3 находим <р = 0,70. Допускаеrvlое
напряжение равно
[ а у] = <р [ а] = 0,7 . 160 = 112 М Па.
а = АЕ = 550 OO = 111,8 МПа < [0"] = 160 МПа.
н 49,2.10
Прочность материала запроектированной колонны ВПО.ТIне обес..
печена.
Радиус инерции поперечноrо сечения
(928
./ ix =V55:6 = 4,09 см.
Задачи
1. Стальная труба длиной 1 = 8 м шарнирно укреплена обоими
концами в двух неподатливых опорах при температуре t = 1 О ос и
наrpужена СЖИl\/Iающеi1 наrpузкой F = 200 K I. При какой теl\;Iпера
туре труба потеряет устойчивость? Наружный диаметр трубы
D = 200 мм, внутренний диаметр d = 180 мм.
2. Проверить устойчивость чуryнной стойки (рис. 8.12), IIarpy
женной сжимающей силой F = 87 кН. Требуемый коэффициеlIТ за..
паса устойчивости [SyJ = 5. Модуль упруrости Е = 1,2 . 105 МПа.
3. Определить допускаемую сжимаIОЩУЮ наrрузку для деревян"
ной стойки (рис. 8.13) исходя из условия ее устойчивости Требуе
мый коэффициент запаса устойчивости [SyJ = 3,2.
F
Действительное напряжение равно
.. == = 550 000 = 71,61 МПа.
О"дсисТII А6р 76,8.102
Это зн:ачитеЛЫIО меньше допускаемоrо, поэтому выбранное се..
чеНllе будет сильно недонапряжено.. 2
Возьмем уrолки 90 х 90 х 8 мм с площадью А1 = 13,9 см,
J't- = 106 Cl\14, Zo = 2,S 1 см и t = 8 мм. Для Bcero поперечноrо сечения
КОЛОIIIIЫ теперь и:мееlVl
4бр = 4 . 13,9 = 55,6 см2;
J = 4[106 + 13,9(2,51 + 1,0/2)2] = 928 см4
F
л == 1. 400 == 97, 8.
4,09
По таблице 31lачений <р для Ст 3 находим <р = 0,62. Допускаемое
наIIряжение равно
[ау] = <р[ а] = 0,62 . 160 = 99,2 МПа.
c'tj
-....;.
20
fOо'мм
c'f:)
\\ ....
,, ф'r
,
11 (fJ
;,
r'ибкость колонны
Действительное напряжение paBI-IО
Рис. 8.12. К задаче 2
Рис. 8. 1 З. К задаче 3
F 5S0 000
а. v = = = 98,92 МПа [ау] = 99,2 МПа.
/IСИСТВ Абр SS 6 . 102
Останов'имся на уrолках 90 х 90 х 8 см.
Проверим прочность КОЛОIПIЫ. Ослабленная отвеРСТИЯl\'IИ под
заКJIеIIКИ площадь поперечноrо сечения равна
4. Определить коэффициент запаса устойчивости винта ДOMKpa
та (рис. 8.14) rpузоподъеl\fНОСТЬЮ 100 кН изrотовлеНIfоrо из стали
СТ.5. Внутренний д иаметр винта d1 = 51 1\1M. Максимальная высота
подъема 500 мм Один конец винта жестко защемлеlI, друrой
свободный.
298
299
11 F VII
m
120
. - . ... ..
. . ;..,..
с
с ...
v':
Рис. 8.14. К задаче 4
5...14. Проверить на устойчивость сжатую стойку (рис. 8.15),
если fSy] = 3 5. Данные для решения выбрать из табл. 8.4. Размеры
сечении стоики даны в миллиметрах
Таблица 8.4. Исходные данные к задачам 5...14
/
Номер F, MaTe Схема Номер Е, MaTe Схема
1, м риал по 1, м риал по
задачи кН стойки рис. 8.15 задачи кН стойки рис. 8.15
5 50 3 Ст.3 1 10 70 4 Чуrун VI
6 64 2 СТ.5 11 11 250 2,8 СТ.5 VII
7 84 2,5 Ст.3 IIJ 12 65 3 Ст.3 VIII
8 60 3 СТ.2 IV 13 120 4 Ч yrYH IX
9 130 3 Ч yrYH V 14 13 3 Чуrун Х
IV
15...24. Проверить на устойчивость сжатую стойку (рис. 8.16),
если [SyJ = 3,5. Данные для решения выбрать из табл. 8.5. Размеры
сечений стойки даны в миллиметрах.
Таблица 8.5. Исходные данные к задачам 15...24
V
Номер F, MaTe Схема Номер F, MaTe Схема
1, м риал по 1, м риал по
задачи кН стойки рис. 8.16 задачи кН стойки рис. 8.16
15 95 3 СТ.2 1 20 90 2 Чуrун VI
16 70 2 Ст.3 11 21 100 2,8 СТ.2 VII
17 110 2,5 Ст.3 111 22 115 3,5 Ст.3 VIII
18 55 3 Ч yrYH IV 23 75 2,5 Чуrун IX
19 80 3 СТ.5 V 24 220 4 СТ.5 Х
300
1
111
....;а..
F
NJO
NZO
VI
F
.
VIII
IX
Х
'1.
N20
ба
50
NZ2
50
,
Рис. 8.15. К задачам 5...14
301
F 25...34. Про верить на устойчивость сжатую стойку (рис. 8.17),
1 F VI если [SyJ = 3,5. Данные для решения выбрать из табл. 8.6. Размеры
сечеНlfЙ стойки даны в миллиметрах.
с::;,
F VI р
1
.
аоо,,)
11 VII
11 F
m
NJO
z
111 F VIII
NZ2
z
'-1) 111
z ФJО 60
.....;)
--....)
JO
IV IX
'5
NZO IV
m
....:а
..J- ....:а .....
'1.
/ V Х '1.
50
V Х
Ф60
-
t:::)
,
-
Рис. 8.16. К задачам 15...24
.,
"
Рис. 8.17. К задачам 25...34
302
303
Таблица 8.6. Исходные данные к задачам 25...34
F, MaTe Схема Номер F, MaTe Схема
Номер 1, м по 1, м риал по
кН риал кН
задачи стойки рис. 8.17 задачи стойки рис. 8.17
25 150 4 Ч yrYH 1 30 140 3,5 СТ.3 V1
26 94 3,2 СТ.2 11 31 45 2,5 СТ.5 VII
27 54 2,5 l..I yrYH III 32 75 3 СТ.3 VIII
28 60 3 СТ.5 IV 33 205 2 Чуrун IX
29 70 4 Ч yrYH V 34 80 3,8 СТ.2 Х
F': 520nн
6
F =1J70J<H
а
"
;{)
=12
':f :Ji
d :::230
IC
35. Проверить на устойчивость сжатую СТОЙКУ (рис. 8.18) из CTa
ли Ст.З0, если [Sy] = 3,5.
а
6
Рис. 8. 19. К задаче 36
lF = (ООки
r =tОltиН
39. Определить из расчета на устойчивость требуемые раЗ1\-fеры
поперечноrо сечения сжаТОlI стойки (рис. 8.21) из чуrуна. Принять
[Sy] = 4,5; Е= 1,8.105 МПа.
I F= 3,8'103,( r
, t
а
6
F2. 50/(н
11
.......
х
y
F= 70/(н
1I
.......
do=4J
/
"
Рис. 8.18. К задаче 35
11
......
d=50
11
36. Проверить на УСТОЙЧ:ИБОСТЬ чуrунную CTOllKY (рис. 8.19),
если [SyJ = 3,0; Е = 2,2 . 105 МПа.
37. Построить rрафик зависимости величины критическоrо Ha
пряжения от rибкости для стоек из стали, у которой Е = 1,0 . 105 МПа,
О'lIЦ = 280 МПа, 0'0,2 = 350 МПа.
Определить Апрсд и Ао (rибкость, при которой О'кр = 0'0,2)' Для
значения rибкости ло < А Анрс/{ принять О'кр = 47 2,3A МПа. [pa
фlIК построить для значеНIIЙ rибкости о < А 200.
38. Проверить на устойчивость стойку из чуrУIld (рис. 8.20), у
которой Е = 105 МПа, O'JlI{ = 180 МПа, [Sy] = 3,5.
1
Рис. 8.20. К задаче 38
Рис. 8.21. К задаче 39
40. Определить из расчета н:а УСТОЙЧIIВОСТЬ при [SyJ = 8,0 требуе
lVIЫЙ диаметр пrтанr:и ПОРIJ11Iевоrо насоса с диамеТрО1\-1 ПОрШIIЯ
450 1\-11\-1, работаЮlцеrо при давлении 1,4 МП'а.
Расчетная (приведеlIная ) длина штанr:и 1,4 lVI; материал: сталь
Ст.5, Е= 2,1 .105 МПа.
304
305
41. ОIIределить требуемую толщину стенок стальной колонны
(pIIC. 8.22) еСJIИ наружный диаметр ее задан. Принять [Sy] = 4,0;
Е= 2,1.105 МПа. u
42. Определить допускаемое значение сжимающеи силы
(рис. 8.23). Материал сталь Ст.4; [Sy] = 2,5. Как изменится вели
ЧIIна [F], еСЛl1 длину стержня уменьшить в 3 раза?
44. Выяснить, будет ли верен результат, полученны Й в предыду
щей задаче, если материал стойки леrированная сталь, ее длина
1 = 1,5 м, диаметр круrлоrо сечения d = 100 мм
45. Стержень прямоуrольноrо поперечноrо сечения закреплен
таким образом, что в плоскости наибольшей жесткости оба ero KOH
ца жестко защемлены, а в плоскости наибольшей жесткости шар
нирно закреплены (рис. 8.25). Определить допускаемое значение
силы Р, если [Sy] = 2,5, а материал стержня сталь Ст.3. u
46. Определить допускаемое значение центрально IIриложеннои
сжимающей силы (рис. 8.26), если [Sy] = 3,5. Материал стойки ле
r:ированная сталь с О'ПЦ = 800 МПа, Е = 2,2 . 105 МПа.
у к а з а н и е. [ребенка не допускает поворота опорноrо сечения
в плоскости zy. Для эллипса},\,: = пЬ3а/4;}у = пЬаЗ /4; А = пЬа.
47. Стойка состоит из стальноrо стержня и чуrунноЙ: трубы,
сжимаемых совместно силой F, передающейся на стойку через аб
солютно жесткую плиту АВ, не скреплен:ную со стойкой (рис. 8.27).
Определить [F] из расчета на устойчивость, если для стальноrо
стержня [SYl] = 2,0, а для чуrунной трубы [SY2J = 5,0. 11РИIIЯТЬ дЛЯ
стержня и трубы Jl = 2,0, для чуrуна Е = 1,2 . 105 МПа. u
48. Проверить на устойчивость стойку AD задаJIНОЙ сте жневои
системы (рис. 8.28); IlрИНЯТЬ lSy] = 4,0. Материал: стержнеи TeK
стол:ит; все стержни имеют круrлое поперечное сечеllие, d1 = d2 =
= 20 мм, dз = 30 мм.
49. Определить максимально допустимый уrол поворота стяж
ных муфт А (рис. 8.29) из условия, что для среДllеrо стержня Tpe
а 6
r-:1r F !F
rRi
'" .
!1
р) 11
""... J
I .
.
1 q 1
I P;
.
1
ь //
1
,
I
...
-: -п/.
Рис. 8.22. К задаче 41
.g
Рис. 8.23. К задаче 42
,
......
I
43. Определить отношение допускаемых наrрузок для сжатой
стойки при указанных на рис. 8.24 вариантах формы ее поперечно
ro сечения (все сечения имеют одинаковую площадь). Принять, что
rибкость стойки больше предельной.
F
Рис. 8.25. К задаче 45
-....а
8
. .
а h.2
01a
.
d
Рис. 8.24. К задаче 43
306
........
1 1
I
I
-4
.,z
/.../
Рис. 8.26. К задаче 46
307
54. Определить из условия устой
чивости стойки (рис. 8.32) допуска
емое повышение ее температуры t,
если материал стойки сталь Ст.3
и [5у] = 3,0.
55. Для стойки (рис. 8.33, табл. 8.7)
из стали Ст.30 определить допуска"
емое значение сжимающей силы,
если [5у] = 2,2.
у к а з а н и е. ЭлемеlПЫ стоек (швел..
леры или двутавры) считать жестко соединенными между
Т.е. рассматривать сечение как монолитное.
буемый коэффициент запаса устойчивости [5у] = 3,0. Все стержни
имеют круrлое поперечное сечение d = 20 мм; материал сталь 40
Обе стяжные муфты поворачивают одновременно на один и тот же
уrол; каждая из них имеет с одной стороны правую, а с друrой ле
вую однозаходную резьбу шаr которой р = 2 мм.
F F:401<H
'м
lи 1м
I
N 9. 16
t
1 . 4Ох40х4
'J .
F
А ' 8
t 1 1 НI
11 I
d со f1I
:I
! ..-
. I
Рис. 8.30. К задаче 50
..r::
т
А
(.с:)
..
11 ос:
....,. "', 00 4()
' .
{ .,
\":jf( Ji
.,
.. .....
d & ff/O
1
N!l2Za
2м
2м
jJfd=60
Рис. 8.31. К задаче 52
0= IN
I
н t 180
..
11
.......
d-?/J -/11
Рис. 8.32. К задаче 54
собой,
Рис. 8.27. К задаче 47 Рис. 8.28. К задаче 48
Рис. 8.29. К задаче 49
Таблица 8.7. Исходные данные к задаче 55
Вари Cxe Величина Номер Ba Cxe Величина Номер
ант ма /, м ДBY риант ма швел
С, мм тавра /, м С, мм лера
1 1 1,6 88 18 17 V 1,8 102 5
2 1 2,7 75 12 18 V 2,4 76 8
3 1 1,8 90 10 19 V 1,2 64 [О
4 1 2,1 98 16 20 V 2,0 86 10
5 11 3,7 80 22 21 Уl 2,2 80 5
6 11 4,1 86 14 22 Уl 32 92 10
,
7 11 3,2 94 12 23 УI 2,8 74 8
8 11 3,8 78 16 24 УI 4,0 106 6,5
9 111 6,8 80 10 25 УII 2,6 84 6,5
10 [11 5,9 92 18 26 УII 1,4 72 5
11 [11 7,7 98 20 27 УII 6,0 78 10
12 111 8,1 82 18 28 VIJ 4,2 86 8
13 lУ 3,2 84 12 29 VIIJ 2,8 98 6,5
14 IV 2,9 76 16 30 VIIJ 1,4 96 5
15 IV 2,4 96 14 31 VIIJ 1,0 92 5
16 lV 2,8 92 16 32 VIIJ 2,6 104 10
50. ОпредеJIИТЬ коэффициент запаса прочности (5) балки и ко..
эффициеtIТ запаса устойчивости (5у) стойки (рис. 8.30). Материал
балки и стойки сталь Ст.3 с 0"'1' = 240 МПа.
JТказание. При определении усилия в стойке ее сжатием
пренебречь.
51. Определить, на сколько (в процентах) изменятся результаты
предыдущей задачи, если при раскрытии статической неопредели
,10СТИ учитывать деформацию сжатия стойки.
52. Определить q из условия устойчивости стойки (рис. 8.31),
если [Sy] = 2,0 :и материал стойки сталь Ст.3. Проверить прочность
балки при наЙ:денном значении q, если [0"1 = 160 МПа.
у к а з а н и е. При Оfrределении усилия в стойке ее сжатием
пренебречь.
53. Во сколько раз увеличится значение q, определяемое из усло
вия устойчивости стойки по данным предыдущей задачи, если ниж"
ний конец стойки закрепить жестко? Будет ли при новом значении
q обеспечена ПРОЧIIОСТЬ балки?
308
309
1 11
+Е F
$ ,...::. Jt
III E IV
t "
V iF VI
Ще
VH VIII
Таблица 8.8. Исходные данные к задаче 56
Ba Величина Ba Величина
Cxe Cxe
ри ма 1, м Ь, Н, d. Sy ри ма 1, м Ь, Н, d, Sy
ант мм мм мм ант мм мм мм
1 1 2,0 2,0 58 2,5 17 V 3,8 70 4,3
2 1 2,2 2,2 68 2,3 18 V 4,8 72 4,0
3 [ 4,3 4,3 62 2,0 19 V 4,2 80 3,1
4 [ 2,1 2,1 60 3,9 20 V 4,4 64 2,0
5 11 3,5 3,5 3,0 21 VI 3,0 58 82 3,6
6 11 4,8 4,8 2,1 22 VI 4,0 48 76 2,2
7 11 2,4 2,4 2,3 23 VI 2,6 44 98 2,8
8 11 2,3 2,3 2,5 24 VI 2,8 60 80 3,6
9 111 3,6 3,6 56 3,0 25 VII 4,3 44 4,5
10 111 2,9 2,9 60 3,5 26 VII 5,2 32 3,1
11 111 4,5 4,5 54 3,3 27 VII 3,0 22 2,1
12 111 3,0 3,0 50 2,1 28 VII 3,8 44 2,3
13 IV 4,2 4,2 2,2 29 VIII 4,1 38 2,9
14 IV 4,6 4,6 2,9 30 VIII 2,9 26 3,0
15 JV 2,5 2,5 3,2 31 \fIII 3,5 36 2,8
16 IV 2,2 2,2 3,8 32 VIII 4,0 40 3,7
c
!с
1 /; IJ F
j ...са
.... fIP ...... .
III F IV Р
'!e:I .
с"ооо.
... i1 ....
V Р УI F
....
...а $
УII Р VHJ
Р
....
.... М! ..... 1fP
Рис. 8.33. К задаче 55
56. Для стойки (рис. 8.34, табл. 8.8) из rетинакса определить до..
пускаемое значение СЖИl\lающей силы, если [SyJ = 2,2.
57. Деревянный сосновый столб диаметром d = 200 мм и ДЛИIIОЙ
l = 5 1\1 сжимается осевой силой. Определить значение допускаемой
СЖИl\lаIощей си.ПЫ, если коэффициент запаса устойчивости тpeXKpaT
НЫЙ. Концы столба шарнирно закрепленные. Принять Е = 10 [Па.
58. Определить допускаемое значеlIие сжимающей силы для за..
данной стойки двутавровоrо профиля N2 33 (pI1C. 8.35). МатеРl1ал
стойки сталь с пределом пропорциональности О"пц = 300 МПа.
Требуеl\fЫЙ коэффициент запаса устойчивости [SyJ = 2,5.
59. Оба конца TOHKOI'O стержня закреплены неПОДВIIЖНЫМИ шар
нираl\111 (рис. 8.36). При каком увеличении температуры дt стержня
произойдет выпучивание, если предполаrается упруrое поведение
материала? Предположить, что а коэффициент температурноrо
линейноrо расширения задан.
Рис. 8.34. К примеру 56
310
311
упруrости Е= 0,9 .104 МПа и пределом про
порционаЛЬНОСТI1 ан = = 15 МПа. Коэффици
ент запаса устойчивости S = 3.
65. Прямой чуryнныйУ стержень длиной
1 м, шириной 25 Mrvl и толщиной 2,5 мм изо
rHYT в виде лука с упруrим проrибом посере
дине, равным 5 см. Ero концы связаны тети
вой. Определить усилие в тетиве и наиболь
шее напряжение в стержне.
66. Двутавр NQ 24 длиной 6 м защемлеlI
оБОИl\;fИ концами в стены при температуре
15 ОС. При к кой температуре двутавр начнет Рис. 8.38. К задаче 64
терять УСТОIIЧIIВОСТЬ, если стены считать:
а) абсолютно жvесткими; б) податливыми с коэффициентом подат
ливости каждом стеlIЫ k = 2 . 1 o 6 cM/Kr: в) аБСОJIIОТlfО жесткими ·
при шарнирном закреплении концов двутавра?
67. Тр бчатая дюралюминиевая стойка, имеющая длину 3,2 м 1I
на УЖIIЫИ диаметр 60 IM, наrpужена IIРОДОЛ:ЬНО-Й сжимаЮIцей си..
лои F = 15 т. Оба КОIlца стойки защеl\Iлены. Определить необходи
мую ТОЛIl ИНУ стенки трубы, если для ПРl1НЯТОЙ rvfарки дюраЛIОМlI
ния при О < л < 80 КРИТIIческое напряжеlIIIе по ОПЫТНЫ f даНIIЫМ
paBIlo ак = 336 2,8л (МПа); Sy = 2.
68. Определить допускаеМУIО величину Ha
rрузки на CTOfIKY с IIопереЧНЫl\1 сечением, IIЗО
бражен:ным на рис. 8.39 (швеллеры составле
ны стенками БПЛОТIlУЮ и сварены). ДЛIIIlа
стойки: 3,0 м, КОIIЦЫ ее заlцемлены. I(оэффи..
циент запаса устойчивости Sy = 1,8. При BЫ
числениях использовать фОрl\1УЛУ Ясинскоrо:
а}( = 310 1,14л (l\1Па). Рис. 8.39. К задаче 68
69. Стойка состоит из четырех уrолков
100х 100х 10 f, скрепленных планкаl\Ш (рис. 8.40).
Оба конца стойки Iпарнирно закрепJlены' ее
ДЛИllа 6 М, она сжата СIIJIОЙ 2 МН. ОпредеЛIIТЬ
размер СТОрОIIЫ а поперечноrо сечения СТОЙ
ки. Матерl1ал сталь Ст.3; [а] = 160 МПа.
При вычислеНIIИ l\10lVleHTa инерI Иl1 попе
речноrо сечеНlfЯ СТОЙКlf считать уrОЛКII жест
ко соединеНIIЫМИ l\;Iежду собой. УвеЛIIЧСIlи:е Рис. 8.40. К задаче 69
rибкости стойки за счет соединения уrолков
Не ВПОЛllе жеСТКОli решеткоi-i во внимание не ПрИIIIIмать.
70. Проверить на устойчивость сжатую деревянную стойку
(рис. 8.41), если [ас] = 10 МПа. РаЗl\1еры поперечных сечений даны
в миллиметрах.
1111
11
60. Определить наименьшую rибкость
стержня, при которой для вычисления кри
тическоrо усилия еще применима формула
Эйлера, если стержень выполнен:
а) из стали с пределом пропорциональ
ности ап = 490 МПа и Е= 1,9.105 МПа;
б) из 3,5% никелевой стали, с = 490 МПа
и Е= 2,15 .105 МПа;
в) из дюралюминия, с = 177 М Па и Е =
Рис. 8.35. К Рис. 8.36. К = 7 . 104 МПа'
,
задаче 58 задаче 59 r) из СОСIIЫ, С = 16 МПа и Е = 104 МПа.
61. Какой из двух стержней одинаковой
длины является более rиБКИl\1 стержень квадратноrо или круrлоrо
сечения с равной IIлощадью? Условия закрепления и наrружения
одинаковы.
62. Пользуясь формулой Эliлера, найти отношение величин кри
ТI1ческих усилий для работающих в одинаковых условиях стоек
(рис. 8.37), поперечные сечеlIИЯ которых имеют одинаковые rшощади.
F
т
.,.jo-
l'
- .
tyJj
h: :z
Q/{':% ::;.:
.[1.
I J I I
a .......d
а б
--+{
, f
/ ,-
/.'
?;:i.
c"s
.'% 11
.'% + J
?:- ( ..1
I , .! 1 t i
b a
1
11
1 r, I
k-------- Ь ........-+f
l1
/1if
/_1" , ,.-'/ /,I,
/i
)
'/ а
t ID
, . ., ,. -/, . ,
--1
д
е
в
l
Рис. 8.37. К задаче 62
63. Используя формулу Эйлера, подобрать по сортаменту на
продольную сжимаlОЩУЮ наrрузку F = 14 т двутавровое поперечное
сечение стойки длиной 2,6 м. Один конец стойки защемлен, второй
закреП7Jеlf шаРНИРIIО. Материал сталь Ст.3. Коэффициент запаса
устойчивости Sy = 3.
у к а з а н и е. Из формулы Эйлера определяется неоБХОДИl\10е
значение Jmiп' затем по сортаменту устанавливается номер профи
ля. для KOToporo Jmin = Jy имеет такую же или несколько большую
величи у. При Э1"О1\1 Л = JlZ/imin = 0,7 . 260/1,55 > "'-прсд 100, Т.е. фор
rvry ла Э1Iлера ПРИ1\lенима.
64. Определить веЛИЧlfНУ допускаеrvrоrо сжимающеrо усилия 11
допускаемоrо напряжения для стойки (рис. 8.38) пряrvIоуrольноrо
поперечноrо сечения 12 х 20 см, длиной 6 м, из дерева с rvlодулеl\1
312
р
р
""-:а
ffi 18
r ,..... --... -- .... .... -- ... ........, ., 1
I t
: 1//IIХ1//(Jkl/Lш( :
! ! l
I I
I I
I «
r.... ....... ... ... ........ .J ij..
1. 'll )1
313
а
6
,
I
1
I
F=IIJOXH
ки во всех направлениях С каким коэффициепт?м заПаса устойчи
вости будет работать стоика при наrpузке, равнои допускаемой?
F=: 'ООКI#
а
б
F
F
11
L
аа
11
"'-
z
QQ
1.
,......
_', f. н.1S
: I :
;Iic $
Рис. 8.41 К задаче 70
j1
il
'11i
'1'
11
I!!
11'
71. Проверить на устойчивость сжаТУIО стойку (pI'IC. 8.42) из CTa
ли Ст.5, если: [acJ = 180 МПа.
,.
F-fО5ин
F .GO/(H
Рис. 8.43. К задаче 72
I
:1
I"!'
li:
11:,
111
jl
I
I
11
i'
,
,
,1
J!
.;,
fi
Тpvfir 1I{II/IIfI(/WJI/Il1f
Jz >rJJ. 4-8
.lg=l1.7jCМ ;
F; 6!c",Z
g
73. Сравнить допускаеrvlые наrpузки для двух случаев исполнения
стойки (рис. 8.44): а) швеллеры fIоставле:ны ВПЛОТНУIО один К друrо"
му; б) швеллеры поставлены так, что Jr: = l.lj' Матерllал СТОЙКI1 СТ.2.
74. CpaBHI1Tb допускаеl\tIые наrрузки. для сжаТОlI стойки (рис. 8.45)
при двух указанных вариантах ее сечения. Материал стойки СТ.5.
'"
F
F
1'1
'1
1I
il
Ф7б
а
"
1,
il
.,
б
!
. x
NQ/G N /б
а
б
I
1,
1
1 '
1I
'11' !
,i'!
,1,
!I
:1
,,1
I
ill
"1
1I I
l' i
11,
11, '
Рис. 8.42. К задаче 71
БJ-GЗ ж 6 75х60х6
2
72. Оrlределить допускаеМУIО H:arpY3KY для сжатой стойки из
стали: Ст.З, есл.И [ас] == 160 lVIПа. Стойка состоит из двух швеллеров
(pIIC. 8.43), жестко соеДl1неfIНЫХ между собой. Расстuояние с меж у
стеIIками швеллеров выбрать из условия равноустоичивости стои
Рис. 8.44. К задаче 73
Рис. 8.45. К задаче 74
314
315
а б f = 14 т r::' ЗОО/(Н
F F
б б
1!P а а
I. {f . F J:[ . 'З1.Е
11 .. ....: .
...... \{ .',1\;., - 1...J2
1I J'::,"
.....,.
d
1111
i
I
1,1
;1
75 Определить требуемые размеры поперечноrо сечения дepe
вянной стойки (рис. 8.46), если [ас] = 10 МПа. С каким коэффици
ентом запаса устойчивости будет работать стойка при принятых
размерах сечения? Принять Е = 1,0 . 104 МПа.
"
Рис. 8.46. К задаче 75
76. Подобрать сечение сжатой стойки (рис. 8.47) из равнобоких
уrольников жестко соединенных между собой. Материал сталь
Ст.3, [ас] = 160 МПа. Определить коэффициент запаса устойчиво
сти при принятых размерах сечения
а
б
!F 300I!H
F:J/Of(1f
l'
........
.тх
tJ
Рис. 8.47. 1< задаче 76
77. Подобрать сечение стойки (рис. 8.48) в двух вариантах:
а) двутавр; б) два швеллера. Сравнить массы стоек (та и ть), Мате"
риал сталь Ст.3, [ас] = 160 МПа.
316
78. ОпредеЛI ТЬ требуемый номер профиля для двух вариантов
исполнения стоики (рис. 8.49): а) швеллеры поставлены ВПЛотную'
б) швеллеры поставлены так, что lх = llJ' Материал сталь CT.S:
[ас] = 140 МПа. Сравнить массы (та и mh) стоек.
"/
Рис. 8.48. К задаче 77 Рис. 8.49. К задаче 78
79. Определить допускаемую наrрузку кронштейна (рис. 8.50)
из условия прочности балки АВ и устойчивости подкоса CD. MaTe
риал сталь Ст.3, [ас] = 160 МПа. Уrолки, составляющие подкос,
жестко соединены один с друrим.
При наrрузке, равной допускаемой, определить атах в попереч
ном сечении балки и а в поперечном сечении подкоса.
80. Определить допускаемое значение силы F, если стержни 1 и
2 (рис. 8.51), поддерживающие абсолютно жесткую балку АВ, изrо
товлены из стали Ст.5, имеют одинаковое поперечное сечение и
[ас] = 180 МПа.
F F'
А 800 2а За а
8
, rБJt6З-S
I
в
1 2
fS d. · 30
<.с *
11
"
Рис. 8.50. К задаче 79 Рис. 8.51 К задаче 80
317
81 Определить допускаеМУIО наrpузку сжатой стойки (рис. 8.52,
табл. 8.9) из стали Ст.3; принять [ас] = 160 МПа. При н rрузке, paB
ной допускаемой вычислить коэффициент запаса устоичивости.
Окончание табл. 8.9
JF
11
f-o о- Величина f-o о- С. Величина
:r:: c\s Q) :r:: c\s Q) t:Q PaBHO
t:::: c\s t::::
::s:: Q) t:::: ::s:: Q) t:::: f-o бокип
о- >< Q) Ь, о- ><: Q)
c\s U t:Q С, 8, c\s U t:Q t:Q С, Ь, 8,
S 1, м S t::[ уrольник 1, м
ММ ММ ММ ММ ММ мм
4 1 8 60 40 6 6,0 20 5 16 8 70 8,5
5 2 12 40 80 10 8,5 21 6 12 10 90 8,6
6 2 12 50 80 8 10,5 22 6 8 12 80 7,8
7 2 6,5 35 55 12 12,0 23 6 10 20 50 9,5
8 2 10 60 70 10 8,5 24 6 16 10 60 12,0
9 3 18 90 80 4 11,0 25 7 70х70х5 200 10 10,6
10 3 12 80 70 6 13,5 26 7 63х63х6 180 12 7,5
11 3 5 100 80 8 9,5 27 7 63х63х4 160 8 8,8
12 3 14 70 60 6 8,0 28 7 63х63х5 210 14 11,4
13 4 6,5 50 100 12 12,0 29 8 10 80 90 10 12,0
14 4 16 70 110 10 8,0 30 8 12 90 100 12 11,2
15 4 18 40 80 10 12,5 31 8 16 80 90 10 9,7
16 4 10 65 100 8 7,5 32 8 14 70 80 8 10,8
,......::. с
""
111 I F IV JF
It
.....
....а.
82. Определить допускае:М:УIО наrрузку сжато:Й СТО}IКИ (pIIC. 8.53,
табл. 8.10) из стали Ст.5, еСJIИ [ас] = 170 МПа. При наrрузке, рав"
ной допускаеlVIОЙ, вычислить коэq)Фflцие:нт запаса устойч:ивости.
Уrолки (швеJlлеры), из которых сделаIlа стойка, считать жестко
соедине:ННЫ1\1И между собой, т.е. раССl\fатр.ивать сечеfIIlе стоrIКИ как
монолитное.
\
F
УI
F
Таблица 8.10. Исходные данные к задаче 82
\ Il F
{1
VIII
Вари Cxe Швел Уrолки Величина
ант ма лер paBHO полочныЙ неравно полочный 1, м С, мм
1 1 10 4,0 80
2 1 5 4,0 85
3 1 6,5 3,0 70
4 1 14 4,3 75
5 2 40 х 40 х 3 8,0 65
6 2 45 х 45 х 4 3,2 85
7 2 28 х 28 х 3 7,0 80
8 2 56 х 56 х 4 3,3 70
9 3 50 х 32 х 4 5,5 10
10 3 63 х 40 х 4 S,6 12
11 3 63 х 40 х 5 5,1 16
12 3 32 х 20 х 4 5,0 14
13 4 12 7,5 20
14 4 14 6,3 18
15 4 16 6,0 16
16 4 20 6,1 14
Рис. 8.52. К задаче 81
Таблица 8.9. Исходные данные к задаче 81
о- f-o С. С. Величина
t-- Q) Величина :r:: c\s Q) t:Q PaBHO
::r.:: t:::: c\s t:::: c\s
""" Q) t:::: f-o бокиii
Q) ..... cl) Ь, 8,
..... Q) с. ><: с,
о.. Ь, 8, t:Q t:Q 1, м
c\s r "\ ;:о С 1, м c\s U а t::1 уrольник
u со ММ мм
::о мм
ММ ММ мм
1 1 10 S5 45 8 5,0 17 5 12 10 70 10,0
2 1 5 70 60 8 8,1 18 5 14 14 60 12,5
3 1 65 90 70 6 7,5 19 5 10 18 80 11,0
318
319
320
Окончание табл. 8. 1 О
83. Определить из расчета на устойчивость требуемые размеры
поперечноrо сечения сжатой стойки (рис. 8.54, табл. 8.11). Вычис
лить коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах
сечения.
1
F
11
Уrолки Величина
Вари Cxe Швел неравно полочный 1, м С, мм
ант ма лер paBHO полочный
50 х 50 х 5 3,0 16
17 5 4,2 10
56 х 56 х 5
18 5 4,0 14
40 х 40 х 3
19 5 5,0 13
63 х 63 х 5
20 5 65 х 50 х 5 7,4 80
21 6 65 х 50 х 6 7,0 56
22 6 70 х 45 х 5 6,4 80
23 6 50 х 32 х 4 6,2 39
24 6 9,0 10
35 х 35 х 3
25 7 4,0 82
45 х 45 х 4
26 7 6,5 14
45 х 45 х 5
27 7 3,4 63
45 х 45 х 3
28 7 9,0 10
40 х 40 х 3
29 8 5,3 98
56 х 56 х 5
30 8 6,2 40
50 х 50 х 5
31 8 8,6 33
63 х 63 х 4
32 8
1 11 F
F
.
<s
I 1 V VI
F
dJ
:::O t
. ...& t
',,.. . . 1
[У
111 F
J t;
-==ZA '"- t
.....
.., . .' VII VIII
F
Ii'
V Уl
F F
В ......
; J.
.i I. r.
,...а '---r
..... . :F9 B ....
]'i. .
Рис. 8.54. К задаче 83
Vll F Уlll F
t
'b. r
J. ........
....а
1,
111 F
IV
.....
tr
.....
Рис. 8.53. К задаче 82
F
т
.
321
Таблица 8.11. Исходные данные к задаче 83
Окончание табл. 8.12
Величина E--t Вели
E--t t::: t:::
::r: ::r: чина
::Е ::Е
.... (l) Материал (l) Материал
.....
о.- ::с ::Е о.- =t:
ro U u U ::Е u
со :::.:::: ::Е ..s.: ..t:) Ь со ь
.......;- ....: ""---'
f..S
1 1 90 5.5 24 0,65 Сталь Ст.5 170 17 V 70 7,8 Сталь Ст.3 150
2 1 85 4,9 22 0,7 Сталь Ст.3 150 18 V 65 8,2 Сталь Ст.5 160
3 1 9S 6,3 20 0,75 Сталь СТ.2 160 19 V 50 8,4 Сталь Ст.3 140
4 1 90 5,8 26 0,8 Сталь СТ.5 130 20 V 75 7,5 Сталь СТ.2 180
5 11 70 5,0 0,9 Сталь Ст.3 180 21 VI 35 3,2 Сталь СТ.5 170
6 11 60 4,9 0,8 Сталь Ст.2 160 22 VI 30 3,4 Сталь СТ.2 185
7 11 5S 6,1 0,75 Сталь Ст.5 150 23 VI 25 3,6 Сталь СТ.3 160
8 11 65 6,5 0,65 Сталь Ст.5 120 24 VI 30 3,8 Сталь Ст.5 190
9 111 35 4,5 2Ь Сосна 10 25 VH 18 2,1 Сосна 10
10 111 20 3,5 2,5Ь Сосна 8 26 VH 16 1,8 Сосна 9
11 111 25 3,8 2,2Ь Сосна 12 27 VH 14 2,5 Сосна 11
12 111 20 3,1 2,6d Сосна 14 28 VII 19 2,1 Сосна 10
13 lV SO 8,1 128 78 Сталь Ст.2 130 29 VIII 35 5,0 Сосна 8
14 IV 60 9,5 188 88 Сталь Ст.5 180 30 VIIl 41 5,3 Сосна 10
15 IV 70 7,9 148 98 Сталь Ст.3 190 31 VIII 42 4,8 Сосна 9
16 IV 6S 9,6 168 68 Сталь Ст.2 160 32 VIII 39 5,1 Сосна 12
111
3,5 45
Сталь
111
IV
Схемы стоек I
NQ Схема 1, F, Схемы сечений
п/п мм кН Материал
V F 9 60 Сталь V УI
JL 5<1
r4 't'lV)).
о
10--
VI 4 98 Ч yryH '"
o' , /rcst
v;
"т
VII 12 32 Дерево VIJ VIII
,&
I I
f . I... v.f
VIII , 3 37 Чуrун .
.....,'\. '
ТП7
12fa I
j .........,
IX 7 110 Сталь IX 71 V' Х
F
7"A
. . r'1
Х ..с:
9 52 Сталь /A
.J
лr; I/ , "УВ'
7:fd .
I 'h 1
I ..,
XI 3 45 Дерево ХI XII D.5а
I
: f r« I t
'/""'(1 r/ / [/ I r
t:I V
XII 3 f/ 10 tJ
. 50 Дерево с:) t/ / с\8
4'/ 77 Q V .7 //.
'" Q
XIII 3 80 Чуrун XIII Q XIV
l I
r ,J!L
" . '" а
XIV 7 . jIIj". .1
73 Сталь ) ...:
'r'
1.6а
L...
ХУ 2 70 Чуrун XV XIV
...о>
I
/
....... о
XIV , 8 87 Чуrун "/
I 7h g
' "'T
Q .<=1
1...... I
84. Для заданной стойки (табл. 8.12) определить значение сжи
l\tfающей наrрузки (предельную rрузоподъемность) и критической
силы, приняв для стали cr = 160 МПа, чуryна cr = 100 МПа, дерева
поперек волокон cr = 10 МПа.
Таблица 8.12. Исходные данные к задаче 84
Схемы стоек
NQ 1, F, Схемы сечений
Схема Материал
п/п мм кН
1 F 3 35 Сталь 1 11
!,
11 7 70 Дерево LIJ
7 41
Сталь
..... ........
.......
.
.
.
,.......
. ."......
Реч85. Для стальной стойки (табл. 8.13) определить размеры попе
Horo сечения, если cr = 160 МПа.
IV
322
323
N2
п/п
11
1 1 1 .-...
IV
V
VI
VII
VIII
IX
ХI .-...
Таблица 8.13. Исходные данные к задаче 85
Схемы стоек
Схема
1
r-///./
F
1, Р,
м кН
6
70
11
Окончание табл. 8.13
Схемы стоек
N2 1, F, MaTe Схемы сечений
Схема
п/п м кН риал
XIII 4 55 Сталь XIII XIV
IF n J z 160. 10
. n
.... .. ,....J
XIV 5 36 Дерево ""1:
r". -.-48'..
, . '
I
XV 9 29 Чуrун XV XVI
.-... [N21
..с::
XIV 10 70 Сталь
8
83
Схемы сечений
MaTe
риал
Сталь 1
Сталь
f6400
.......
W./:'-./У/Д
y/.) .Jrп
10
54
Чуrун 111
Чуrун
r
:I/. Q
4
38
F 4 45 Сталь V
, '
.-...
-...,
1111
'1
6
33
Чуrун
.A::t- 60
/Л
.::i i 2
.6DO""", ' -.
W
2
F 3,5 69
Х
I
и 11
XII .Cf J 11
324
7 15 Чуrун VII
12
9
56
Wj
W/
I
a
ч yrYH
Дерево IX
90
Дерево
tI i
..............J
"// ., 7ZJ fi
..... 7' LL #/
fI
i 60 О .6'(} I
83
Сталь ХI
I CW24
7
.
97
Чуrун .T.'" .c:
L7 "
h
I
lN24
,-,
I
I
... .
I
!
.........
., .F
I
IV
84...
f WA
'VA2...
.. .400
н.
VI
.
9
!fl2/ I
VIII
'.iI. /
/F:V"..; О
'/)}а s с)
'/L. ·
'lr ,,
.60 (;5. t
2ifO
Х
"'
-1""'"
XII
..........
h..и .4«)
'1
.......
или
F
. .. . I .......
. О'и
k = 'Т 1
't ,
'Т 1k
rде a l, 'Т 1 предел выносливости материала при СИМl\lетричном
цикле; a 1k, 't lk предел выносливости Toro же образца с KOHцeH
.
тратором напряжений.
Действительный коэффип:иеlIТ концеlIтрации напряжений (ka
или kt)' учитывающий структуру 11 пластические свойства материа
ла, определяется экспериментально на реальной детали.
Для деталей, изrотовленных из пластичных матер1lалов, KOHцeH
трация напряжений при статической наrpузке неопасна и может не
приниматься во внимание. Для хрупких же материалов высокая
концентрация напряжений сохраняется до MOl\1eHTa разрушения и
поэтому должна учитываться в расчетах на прочность путем BBeдe
ния соответствующеrо коэффициента концентрации.
Действительный коэффициент концентрации напряжений MeHЬ
те теоретическоrо. Соотношение между ними устанавливается по
формуле
(9.3)
rлава 9
. .
МЕСТНЫЕ И КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
9.1. Местные напряжения
PaBIIOtvlepHoe распределение напряжений по площади сечения дe
тали нарушается в тех местах, rде имеются разноrо рода 'к о Н Ц е 11. -
траторы напряжеllUЙ (рис. 9.1): отверстия, выточки, перехо
ды от сечения ОДIIИХ размеров и форм к друrим, повреждения и Т.п.
F
(
...........
К(] = 1 + q( аа 1),
(9.4)
Рис. 9.1. Возникновение местных напряжений в сечении стержня
Повышенные напряжения в таких сечениях называются ;мест-
IlЫМU llапряжеllUЯМU.
Как правило, в зоне концентратора происходит резкое измене"
ние напряженноrо состояния, сопровождаемое быстрым затухани
е:м: при удалении от этой зоны. u
Теоретически концентрация местных напряжении оцениваетс
теоретическим коэффициентом аа или а,; (рис. 9.2 9.5, табл. 9.1 и 9.2).
аmах 'Тmах (9.1)
а(] = а'[ = ,
ан 'Тн
rде а или 1: . tvIаксимальное местное напряжение в зоне кОН"
mах тах М
Центратора' а или 1: номинальное напряжение в ослабленно
, н 11 БU д
сечении при статической наrрузке, представляющее со ои усре ..
ненное значение. u u ф..
В практике расчета деталей ис ользуют деиствительныи коэ
фициент концентрации напряжении
k = a 1 (9.2)
(]
а lk
rде q коэффициент чувствительн:ости материала к концентрации
напряжений.
Величина q зависит в основном от свойств материа.lIа. Так, Ha
пример, для высокопрочных леrированных сталей величив:а q близ
ка к единице. Для конструкционных сталей в среднем q = O,6 O,8,
причем' более прочным сталям соответствуют большие значения q.
Для ceporo чуryна величина q близка к нулю.
t%d
1,0
218
'
tt.
2,,2
160
1,8
t6
t"
t
D
217 .,.
11 1lI
r
.
i 0..% 3 5 , 41 , g D,./t1
РиС. 9.2. [рафики теоретических коэффициентов концентрации напря..
жений при растяжении полосы с различными концентраторами
326
327
I
«,
42
2,1
tll "&
(*)"
2,0 ..
3
1,6 11/tt-1 s"сЯJl tr..z-«
.,
2 !
F
F
-QI
t1
6-=
/J,B О CDt.
" 412 Ц16 420 zp/d
т
F
42 D,J Ц
p/rl
Рис. 9.6. Растяжение пластины с
эллиптическим отверстием
Рис. 9.7. Растяжение пластины
с круrлым отверстием
Рис. 9.3. [рафики теоретиче
ских коэффициентов KOHцeH
трации напряжений при круче..
нии вала переменноrо сечения
Рис. 9.4. [рафики теоретических
коэффициентов концентрации
напряжений при изrибе круrло..
ro стержня переменноrо сечения
Значения теоретических коэффициентов концентрации при pac
тяжении или сжатии полосы прямоуrольноrо сечения определить из
rpафиков на рис. 9.2, а для стержня круrлоrо сечения
по табл. 9.1.
Номинальное напряжение в ослабленном сечении
F
ан = ,
Amin
rде Amin
площадь ослабленноrо сечения.
Таблица 9.1. Значения теоретических коэффициентов концентрации
для стержня круrлоrо сечения
11,6
t5
2,5"
2,0
а() = 1 + 2ajb.
(95)
Вид концентратора напряжения аа
Полукруrлая выточка при отношении радиуса выточки к диа..
метру стержня:
0,1 2,0
0,5
1,0 1,6
2,0 1,2
1,1
rалтель при отношении радиуса rалтели к меньшему диаметру
стержня:
0,0625 1,75
0,125
0,25 1,50
0,5 1,20
....... 1,10
Еереход под прямым уrлом
2,0
страя V"образная выточка
3,0
Отверстие при отношении
диаметра отверстия к диаметру 2,0
ержня 0,1
O,33
РИСКИ от
............. резца на поверхности изделия 1,2 1,4
1,0 D
42
4'"
С' r/h
Рис. 9.5. [рафики теоретических
коэффициентов концентрации на..
пряжений при изrибе полосы с
двусторонней внешней выточкой
Концентрация напряжений при растяжении
сжатии. В случае
растяжения пластины (рис. 9.6), ослабленной отверстием эллипти"
ческой формы (размеры отверстия а и Ь малы по сравнению с об-
щей шириной пластины), теоретический коэффициент кониентра"
ции опреlIеляется следующей зависимостью:
в частном случае при наличии в пластине (рис. 9.7) КРУI'лоrо ОТ"
верстия диаметр KOToporo мал по сравнеНИIО с шириной пластиН"
ки, а = Ь = d и а(}" = 3
328
329
u
КОlЩеmpация напряжении при
кручении. При кручении стерж
llей основными наиболее распро
страненными концентраторами
являются продольные пазы для
шпоночных канавок, отверстия
или резкие изменения диаметра
в l\leCTaX сопряжений в валах пе
peMeHHoro сечения.
Максимальные местные напря
Рис. 9.8. Концентрация напряже жения '[mах при кручении опреде
ний для вала со шпоночной KaHaB ляются по формуле (9.1). В част
кой и вала переменноrо сечения ности, для вала круrлоrо сечения
't = Т /W rде W полярный MO
11 / р' Р
мент сопротивления сечения.
Для круrлоrо сечения Wp = 1td3/16.
Снижение концентрации напряжений достиrается увел чением
радиуса закруrлеНI1Я р в уrлах продольноr аза шпоночнои KaHaB
KliJ (рис. 9.8, а) либо увеличение!\1 радиуса сопряжения Р в валах
переменноrо сечения (рис. 9.8, б). Значения коэффициента БОН Н
трации ат для этих случаев приводятся соответственно в та л. . и
на рис. 9.3.
Таблица 9.2. Значения коэффициента концентрации at
в зависимости от радиуса закруrления р в yrлах шпоночной канавки
р
rде r радиус кривизны в rлубине выточки; h высота ослабленно
ro сечения.
Эта же формула применима для выточек иной формы. например
для прямоуrОЛЫIЫХ или треуrольных с закруrлением на дне выточ
ки (рис. 9.9), так как в этих случаях концентрация напряжений за
висит не столько от фОр!\tlЫ выточки, СКОлько от величины отноше
ния h/r ·
а
6
Рис. 9.9. Прямоуrольные и треуrоль
ные (с закруrлением на дне) выточки
Номинальное напряжение слеДУlощее:
2,54 5,08 7,62 10,16 12,70 15,24 17,78
р, мм
at 5,4 3,4 2,7 2,3 2,1 2,0 1,9
м
(j =
н W'
х
rде М изrибающий момент; Wx осевой момент сопротивления
или момент сопротивления при изrибе rеометрическая xapaKTe
ристика прочности бруса.
,Для круrлоrо сечения Wx = 1trfЗ /32.
Для прямоуrольноrо сечения W = bh3/6, rде h сторона прямо
уrоЛЬника, перпендикулярная оси, относительно которой вычисля
ется момент сопротивления.
Концентрация напряжений при изrибе. При изrибе, так e как
и при растяжеНI1И или кручении, концентрация напряжении B03
ни:кает в местах резкоrо изменения формы или размеров попереч
ных сечений.
Максимальные местные напряжения аmах при изrибе определя
ются по формуле (9.1).
[рафики для теоретическоrо коэффициента концентрации в слу
чае изrиба ступенчатоrо стержня круrлоrо сечения, участки KOTOpO
ro сопряжены круrовой rалтелью радиуса р, и полосы с двумя сим
метричными полукруrлыми выточками приведены на рис. 9.4 и 9.5.
Для полосы с выточками rиперболической формы примеllяется
формула Нейбера
а =
Q'
h
О, 335 + О, 85 + О, 08 ,
r
(9.6)
9.2. Контактные напряжения
При сжатии двух соприкасающихся тел На площадках их KOH
такта возникают местные напряжения, называемые контактными.
Площадь контакта двух тел зависит от силы их взаимодействия,
материалов, из которых они изrотовлены, СООТНОIIIения радиусов
соприкасающихся поверхностей. В теории упруrости показано, что
наибольшие напряжения возникают в точках тел, несколько yдa
ленных от поверхности контакта. Ниже приведены без вывода pac
четные формулы для некоторых частных случаев.
Касание в точке. Рассмотрим два тела А и В (рис. 9.10) с плав
ной поверхностью в точке касания О, на один из которых действует
сила F по нормали z к общей касательной плоскости kk. Как извест
Но из дифференциальной rеометрии, rлавные радиусы кривизны в
данной точке поверхности наибольший и наименьший радиусы
330
331
Z F
Наибольшее напряжение шах CJz в центре площадки в 1,5 раза
превышает среднее давление:
шах CJz = 1,5Fj1tab.
Касание по прямой. Если два ци
линдрических тела (катка) давят друr
на друrа, соприкасаясь по образую
щей (рис. 9.11), то плоскость KOHTaK
та представляет собой узкий прямо
уrольник, ширина KOToporo Ь опреде
ляется следующим выражением:
КРИВИЗНЫ среди всех нормальных сече
ний, проходящих через данную нормаль
к поверхности. Обозначим rлавные кри
визны тела А через К1 и Ki, а rлавные
кривизны тела В через К2 и К;.. Они
выражаются через rлавные радиусы кри
uизны поверхностей следующиМ образом:
К1 = 1/ Р1' К! = 1 / Рl;
К2 = 1 / Р2, К2 = 1 / Р2 ' (9.7)
Рис. 9.10. Касание в точке
[де Р1 и Рl rлавные радиусы кривизны
двух тел
тела А; Р2 и Р2 rлавные радиусы кри
визны тела В.
Взаимно перпендикулярные сечения, содержащие rлавные радиу
сы кривизны, называются zлавllblми плоскостями кpuвиз!}ы пo
верхности. В общем случае rлавные ruюскости поверхностеи А и В
MOryT составлять некоторый отличны.i4:. от прямоrо уroл <р. Площадка
касания двух тел, изrотовленных из одноrо материала, имеет эллип
тическую форму с полуосями, которые определяются формулами:
а = а. E: ' ь = 13' E: ' (9.8)
rде
q dd 1 1
b=2,15 . 1 2 ( + },(9.12)
2 d1+d2 Е1 Е2
(9.11 )
rде q интенсивность поrонной Ha
rрузки (q = F/l); 1 длина катка; Е1' Рис. 9.11. Касание двух цилин
Е2 модули упруrости материалов дрических тел
катков
В случае контакта двух тел из одноrо материала наибольшее Ha
пряжение шах CJz на оси площадки касания превышает среднее дaB
ление (q/b) в 4/1t 1,27 раза и определяется из соотношения
шах CJz = 1,27(q/b) = 0,59 qE(d1 + d2) / d1d2 .
(9.9)
Примеры
Пример 1. Определить наибольшие
местные напряжения в растянутой силой
F = 50 кН пластине (рис. 9.12), ослаблен
ные выкружками радиусом r.
Реш е н и е. Номинальное напряжение
в ослабленном сечении
cose = т (К1 к1)2 + (К2 к;.)2 + 2(К1 К1)(К2 к;.) cos 2<р . (9.10)
4
4 4Е
т = К1 +К1 +К2 + К;. , п = 3(1 2)'
Постоянные а и берутся из табл. 9.3 в зависимости от уrла е,
определяемоrо для каждоrо частноrо случая из соотношения
Таблица 9.3. Значения постоянных а и
CJH=FjAmin=5.104/8.1.10 4=62,5x
Х 106 Па = 62,5 МПа.
е а 13 е а 13
20 3,778 0,408 60 1,486 0,717
ЗО 2,731 0,493 65 1,378 0,759
35 2,397 0,530 70 1,284 0,802
40 2,136 0,567 75 1 ,202 0,846
45 1,926 0,604 80 1,128 0,893
50 1,754 0,641 85 1,061 0,944
55 1,611 0,678 90 1,000 1,000
332
(9.13)
ID
F
F
Рис. 9.12. К примеру 1
Коэффициент концентрации аа выби
раем из rpафиков. Для рассматриваеl\10rо случая rlb = 10/80 = 0,125
и аа = 2,2. Максимальные местные напряжения вблизи краев BЫ
кружек атах = acrCJ11 = 2,2 .62,5 = 137,5 МПа.
Пример 2. Для пластины (рис. 9.13), растянутой силой F= 10 кН
(рис. 9.14), определить наибольшие местные напряжения. Пласти
333
F
Рис. 9.13. К примеру 2
на толщиной с = 5 мм ослаблена Kpyr
лым отверстием радиуса r = 6 мм.
Принять Ь = 40 мм.
Реш е н и е Коэффициент KOHцeH
трации выбираем из rpафиков по
рис. 9.2. Для рассматриваемоrо слу
чая rjb = 6/40 = 0,15 и аа = 2,4.
Номинальное напряжение в ослаб
ленном сечении:
Коэффициент концентрации для вала переменноrо сечения с pa
ДИУСОl\1 сопряжения участков вала Р2 == 2 мм определяеl\1 из rрафи
ков по рис. 9.3. В рассматриваемом случае 2p/d == 4/20 == 0,2; D/d =
= 40/20 == 2,0; at = 1,4; 1;mах 2 == 1;2 . at = 40 . 1,4 = 56 МПа.
Пример 4. Определить маКСИl\1альные касательные напряжения
на участках 1, 11, 111 с учетом концентрации напряжений стальноrо
вала переменноrо сечеНI1Я (рис. 9.15), испытывающеrо кручение.
Радиус сопряжения участков вала р = 3 мм, крутящий MOlVIeHT Т =
= 31,4 Н . м, радиус закрyrJIения yrлов в шпоночной канавке р' == 2,5 мм.
cr ==Р/А . = 10.103/40. 5 .10 6=50 .106 Па=50 МПа.
11 /. mln
Максимальные MecTllbIe напряжения
4Т
А..А
6A Р'
cr = а cr = 2,4 . 50 = 120 МПа.
шах cr 11
Пример 3. Для стальноrо вала переменноrо сечения, испытыва
lощеrо кручение, определить максимальные касательные напряже
ния (рис. 9.14) на участках 1 и II с учетом к?нцентрации напряже
ний. Радиус закруrления уrлов в шпоночнои канавке Р1 u 5,08 мм,
радиус сопряжения участков вала Р2 == 2 мм. Крутящии момент
Т==62,8 Н. м.
А
Рис. 9.15. К ПРИl\1еру 4
"-
Реш е н и е. МаКСИl\fальное касательное напряжеI-Iие на участке 1
определяем по формуле
Т1 2 . Т . 16 2 . 31, 4 . 16 6
Т1 = Wp1 = nDЗ 3,14. ЗЗ .10-----6 = 11,85 .1 О Па = 11,85 МПа.
Коэффициент концентрации для участка 1 at = 14 (2p/d == 2 .3/30 ==
= 0,2; D/d = 60/30 = 2,0), '[rnах 1 = 11,85 . 1,4 == 16,59 МПа.
Максимальное касательное напряжение на участке IJ определя
el\1 по формуле
't Т2 Т . 16 31, 4 . 16 6
2 3 3 6 0,74. 10 Па 0,74 МПа.
Wp 2 nd 3, 14 . 6 . 1 О
Коэффициент концентрации напряжений для участка 11 ат == 5,4
(по табл. 9.2), '[тах 2 == 0,74 . 5,4 == 3,996 МПа.
МаКСИlVlальное касатеЛЫlое напряжение на участке 111 определя
ем по формуле
тз = ТЗ Т.16 31,4.16 = 2,5.106 Па=2,5 МПа.
Wp3 1td3 3,14 .43 .1 o 6
КОЭффI1циеfIТ концеlIтрации для участка 111 at = 1,45 (2p/d = 0,15;
D/d = 60/40 = 1,5), 1;rnах 3 = 2,5 . 1,45 == 3,625 МПа
3Т
А--А
В
..........
..
r r&
Рис. 9.14. К примеру 3
р е III е н и е. Максимальное касательное напряжение на участке 1
BaJla определяеlVl по формуле
Т1 2.Т.16 2.62,8.16 = 107 Па= 10 МПа.
'['1 = W 1tDЗ 314.43 .10 6
РI '
Коэффициент концентрации для вала со шпоночной канавкой с
раДI1УСОМ закруrления уrлов Рl == 5,08 мм выбираем из табл. 9.2:
а 3 4. '[ 1 = '[1 . а = 10 . 3,4 = 34 МПа.
t , , тах t 11
Максимальное касательное напряжение на участке вала опре
деляем по формуле
Т2 =..!L.= Т.16 62,8.16 =40.106=40 МПа.
WP2 1tdЗ 3,14. 2З .10-----6
334
335
Пример 5. Круrлый брус переменноrо сечения испытывает чис
тый изrиб. Изrибающий момент М = 106 Н . м, диаметры участков
бруса D = 45 мм, d = 30 мм, радиус rалтели р = 6 мм. Определить
максимальные нормальные напряжения в брусе с учетом KOHцeH
трации.
Реш е н и е. Максимальные нормальные напряжения атах = ааап
возникают на участке бруса с меньшим диаметром. Номиналь
ное напряжение ан = M/W = М. 32/1trf3 = 106 . 32/3,14 . 33 . 10 6 = 40 х
х 106 Па = 40 МПа. Коэффициент концентрации определяем из rpa
фика на рис. 9.4. При значении D/d = 45/30 = 1,5 и отношении
p/d = 6/30 = 0,2 коэффициент аа = 1,45. Тоrда ашах = 40.1,45 = 58 МПа.
Пример 6. Определить максимальные местные напр жения в
пластине прямоуrольноrо поперечноrо сечения, имеющеи ДBYCTO
РОННIОЮ внеllIНЮЮ выточку (рис. 9.16). Толщина пластины 10 мм,
радиус закруrления выточки 2,4 мм.
TCJIO А (шарIIК): Р1 =Р! = d/2 = 2 ClV[; К1 = К! = 0,5 Cl\f l;
I
тело В (IIаРУЖllая дорожка качен:ия): Р2 = r= 2,8 см, Р2 = D/2 =
= 12,S CI\'I; К2 = 1/Р2 = O,36 CM l; К2 = 1/Р2 = O,08 Cl\tl l.
3lIaK минус пр:и Р2 и: Р2 обусловлен ВОI'НУТОСТЬЮ поверхности.
[}одсчитываеrv1 КОЭффJtIЦllенты т, п :и cos8 соrлаСJIО (9.9) и (9.10):
lп = 4/[0,5 .+ 0:5 + ( O,36) + ( O,08)] = 7,14 см;
п = (4-2,2 1011)/ 3(1 О,З2) = 3,22 1011 Па;
cosO = + 7, 14 . (o,5 .o,5)2 +( О,З6+ o,o8i + 2(0,5 O.5)( O.36 +O,08)cos2<p,
4
М(
или cosO =:t 7, 14 ( 0,З6 + 0,08) = 0,5 (знак Быоираем так, чтобы cos8
4
БЫJI IIоложитеJIыты1).. тоrда е = 600.
По таБJI. 9.3 наХОДl'IМ а = 1,486, Р = 0,717.
110 формулам 'наХОДИ ,f:
a=a. l;'т/п=
= 1.486. 60, 75 .103 · 7, 14 .10 2) / (3,22.1011) = З,54-10 3 м;
Рис. 9.16. К примеру 6
"'-
Реш е н и е. Коэффициент концентрации аа определяем из rpa
фика на рис. 9.5. При H/h = 40/20 = 2,0 и r/h = 2,4/20 = 0,12 аа = 2,0.
Номинальное напряжение
Максимальные местные напряжения
Ь= fЗ' =
= О, 717 · (60, 75 .103 · 7, 14 .10 2) / (3,22.1011) = 1 ,71.10 3 м.
По ф()рl\1Ул е (9.11.) maxaz = 1,5F/1tab = (1,5 . 60,75 . 103)/(3,14 .3,54 х
х 10 'З . 1,71 . 10 3) == 4,794 . 109 Па = 4794 MIIa
ДаНflое зн:ачение напряжеFII1Я ЯВJlяется опаСНЫl'tl: так как для po
ЛIIКОВЫХ И шарIIковыIx ПОТ{IIIИПНИКОБ из ХрОМIIСТОЙ CTa.HI! ДОIIускае
мые напряж,еl{ИЯ Д..7IЯ наи:БОJlыпеrо давлеI-IIfЯ в l\1CCTe контакта IIрИ
нимаIОТ paBHЫ 111 ЗООО 50UО МПа.
а = M/W = 50 .6/1 . 23. 10 6 = 37,5 . 106 Па = 37,5 МПа.
( I
d
А
Рис. 9.17. К приме
ру 7
336
cr = а cr = 2,0 . 37,5 = 75 МПа.
шах а н
Пример 7. Определить наибольшее напря
жение шах az на поверхности контакта k k в
шариковом подшипнике (рис. 9.17), если дано:
F= 60,75 кН сила, сжимающая шарик; MO
дуль упруrости l'латериала Е = 2,2 . 105 МПа;
d = 4 см диаметр шарика; r = 2,8 см радиус
поверхности канавки; D = 25 см диа fетр
обоймы; Jl = 0,3 коэффиц иент Пуассона.
Реш е н и е. Будем считать шарик те.лом А,
а оБОЙlVlУ телом В. Тоrда, соrласно (9.7), rJraB
ные радиусы кривизны и rлавные кривизны
тел А и В равны:
Задачи
1. Определ:ить l\.Iаксимальные l\1eCT
ные напряжеJIИЯ в растянутом силоЙ:
F = 30 KI1 стеРЖllе КРУI'лоrо пере /lеI-IНО
ro сечеНliЯ (р:ис. 9.18).
2. Определить l\1аксIIl\fальныIe 1\/IeCT
ные напряжеIIИЯ, возн:икаЮЩJilе flрИ pac
тяжении СI1ЛОЙ F= 100 кН полосы с rал
ТеJIЬЮ в 1eCTe rlерехода ОТ ОДIIОI'О ди:а
n;
е....
])ис. 9. '18. К :задаче 1
337
метра к дрyrому, если отношение радиуса rалтели к меньшему диа
метру стержня равно 0,5. Площадь ослабленноro сечения Amin =
= 600 M 12.
3. Для П1Jастины с эллиптическим отверстием (рис. 9.19), растя
нутой силой F = 30 кН, определить наибольшие местные напряже
ния. Принять а = 2 мм, Ь = 3 мм. Площадь ослабленноrо сечения
Amin = 200 1\11\12.
4. Определить наибольшие местные напряжения в растянутой
силой F= 40 кН пластине (см. pllC. 9.12), ослаблен ные Быкружками
радиусом r = 8 мм. Расстояние между краями выкружек L = 60 мм,
толщина IIластин:ыI 8 П\f.
5. Определить, в каком из участков стержня (рис. 9.20) возника
101' Ifа:и60льшие касательные IIапряжения, если раДIIУС заКРУI'ления
yrлов в шпоночной канавке Рl = 2,54 мм, радиус сопряжения участ
ков вала Р2 = 1,8 мм. Крутящий момент Т= 70 Н · м.
нюю В IТочку. Расстояние между краями выточек L = 30 мм, ПIири
I-Ia и IОЛIЦIIна ПJIаСТIIIIЫ соответственно 60 Ml\I И 10 rvП\I, ра и с
закруrления вытчкии 4 мм. д У
8. Опредсли?,ь максимальные нормальные наПРЯЖLНИЯ в KpYT
ЛО I брус: IIepel\feHIIOro сечеlIIIЯ с учеТОl\1 КОIlцентрации, если из
rибаюшии l\leHT М = 25О Н . м, диаметры участков бруса D = 50 мм,
d 35 Ml\/I, раДIIУС rалтеJIII р = 5 Пvl.
9. Опреде.7IIfТЬ, во ско.лько раз IIаибольшее давление IIa поверх
насти KOlfTaKTa l\-fежду соприкасающимися сфеРIlчеСКIIМИ телами А
и В в случае а больше, чем в случае б (рис. 9.22), еСЛII 1\lатери:ал
везде одинаков, а D/d = 2.
а
6
F
А-А
fl.
T
11
F'
F
- 1J-o
ь
,
j в
.. ,.
-
"*,, /
,. /'
F
Рис. 9.19. К задаче 3
Рис. 9.20. К задаче 5
6. ОпредеJIIIТЬ l\lаксимальные касательные IIапряжеНlIЯ на участ
ках 1, 11, 111 с учетом КОllцеlIтраЦlIИ IIапряжений стаЛЫfОI'О вала пе
ременното сечения (рис. 9.21), испытывающеrо кручение. Радиус
сопряжения участков вала р = 2,0 мм, радиус закруrления уrлов в
ШПОlfOЧНОЙ канавке р' = 2.0 ММ, крутящий момент Т = 50 Н . 1\1
А.... А
Рис. 9.22. К iадаче 9 Рис. 9.23. К задаче 1 О
10. uФрамуrа 1 весом Q и ДЛfПfОЙ 1 (ОА) поддерживается тяrой 11
Д 7IIIJI. 011 а через POJIIIK К Диаl\1етром d (рис 9 23) }(.'
б. ,. . . акова должна
ыть длин:а ролика С, еСЛ11 дано: ДОIIускаеl\10е максимальное давле
иие по п ощ ке KOH:raKTa [crKUHr], а также Q, 1, d, уrол а, a=I/10,
Е l\1 7YJIb YIlpyroc1 контактирующих тел (РОЛIIка и П.,Ч:ОСКОЙ
ОIIОрНО.И поверхности 11 рычаrа ОА) Трениеl\! ролика по поверхно
сти кон:такта пренебрепь
4Т
2Т
т
Рис. 9.21. К задаче 6
7. Определить максимальные местные напряжения в пластине
IIpнмоyrольноrо поперечноrо сечения, имеющей двустороннюю внеш
338
при изrибе
cr 1 cr 1 . Е .
S а.
O' ,
аа аа . kO'
(10.5)
rлава 10
. .
ПРОЧНОСТЬ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
при кручении:
10il1. Основные ПОНЯТitя
't 1 't 1.E'(3
S l'
'[ ,
t а t а . k'[
rде Еа И Et масштабные коэффициенты при изrибе и кручении
(табл. 10.1); a 1' '[ 1 пределы ВЫНОСJIИВОСТИ при симметричном
цикле (табл. 10.2).
(10.6)
в данно:Й Te le раССJ\ifаТрllвается расчет на ПРОЧIIОСТЪ при. напря
жениях, 11З1VfеfIНЮЩI1ХСЯ ВО bpe:m:eI-iI1 11О 1{IПС1IIчсс.КОJVfУ закону.
ХарактеР.ИСТИКJtI I lIк.ла IIаIIряжени:й:
маКСI1М;'l.1Iьное наllряжеI-Iи:е (IIаlIболыпее по модулю) атах IOlИ tшах;
МИIIIIмалЫfое I-IапряжеНlfе (1IaJ1mel-Iыпее по IUДУЛЮ) О-П11П илп t'НJП;
среднее наrlряжеllие
Таблица 10. '1. Значения Еа' Е! И \Vt
1
"Ст = "2 ('tшах + 'tшill ),
.............
1
0'111 = 2 (О'шах + О'шiп)'
(10.1 )
Сталь Диаметр вала d, мм
\Vt
20 30 40 SO 70 100 200
УI'леродис Еа 0,92 0,88 0,85 0,82 0,76 0,70 0,69 0,1
тая
Е! 0,83 0,77 0,73 0,70 0,65 0,59 0,52
Леrирован Еа 0,83 0,77 0,73 0,70 0,65 0,59 0,52
ная
Et 0,83 0,77 0,73 0,70 0,65 0,59 0,52
I'де О"тах l\rfакси мальное наllряжеflllе (IТО l\10ДУЛI0); О'Пliп М:ИНИ
:NIаЛЫiое напряжеllие (по l\tIОДУЛЮ);
ампл:итуда н:апряжеlIИЙ
О"а = (О'шал О"шiп)' 't;t = . ('tшах 'tшiп);
Таблица 10.2. Механические характеристики
основных материалов валов
R = CJmill
cr .
(j П1ах
3IIачеII:ИЯ О"тах' (j'Injп' О"т MOI'YT быть ПОЛОЖIIте.JIЬНЫl\lИ, OTpJ.IIla
теЛЬНЫl\IИ и равным:и fIУЛК). Аl\lп.литуда всеrда ПО 10жителън:а.
Пр:и напряжениях, переl\tIсIIныIx ВО вреl\'lеIIИt расчеты IIa проч
I-IОСТЬ на IIрактике обычно бывают проверО1:IIIЫl\IИ
(1.0 3)
Марка Диаметр заrотов Твердотельность (J' в' ат, 0' 1' "[ 1'
стали ки, мм, не более НВ, не менее l\tlIIa l\IПа МПа МПа
45 Неоrраничен 200 560 280 250 150
80 270 900 650 380 230
40Х Неоrраничен 200 730 500 320 200
120 270 900 750 410 240
40ХН Неоrраничен 240
200 270 920 750 420 250
(10.2)
коэффициент аСИ:l\ll\fетри и
ПрI1 неСИ lметричных циклах и люБОl\f виде дефОРl\Iации
s > [5],
(10. L)
s = a 1
О' k(J'cra
А + \v О'ат
EO'tJ
s '( 1
'[ k
'['t'a
+ \jf't
Е'[Р '[ т
(10.7)
rде [s] JIормативн..ый коэq>фl'IциеlI r заllаса 11рОЧIIОСТI1; s фактиче
ский коэффициент запаса IIРОЧIIОСТИ данной дета.ли при даНIIОМ
цикле напряжеIIИЙ.
КОЭффllIJ,иент запаса ПРОЧIIОСfl1 ПрlI си:ммеТрИЧ1:IОJ\1 цик,.ле равен
ОТIlошеНИIО предела БЫflОСJП1ВОСТI1 l\Iатериа.П.а детаТJИ к l\IаКС_И"Iа.i1Ь
HOl\fY IiаIIряжению I икла:
rде 'Va, 'Vt коэффициенты, учитываlощие чувствительность MaTe
риала к аСl1мметрии I икла при соответствующем наI'ружеlfИИ (при
водятся в справочниках в заВИСИМОС1И от предела прочности MaTe
340
341
риала); коэффициент качества поверхности; k эффективный
коэффициен:тнапряжений (табл. 10.3, 10.4, 10.5).
Окончание табл. 10.4
k a 1 k = 't 1
а , 't '
cr lk 't 1k
". Предел выносливости с симметричным циклом из
rде a lk' " 1k u
менения напряжений при наличии концентраторов напряжении.
Таблица 10.3. Значения ka и kt для валов с одной шпоночной канавкой
Ь пdЗ bt1(d t1)2
WK НСТТО = 16 2d
пdЗ bt1 (d t1)2
WПСТТО = 32 2d
(10.8)
Валы из стали, имеющей ав, МПа
D r
600 700 800 900 600 700 800 900
d d
ka k-c
Свыше 0,02 2,34 2,51 2,68 2,89 1,50 1,59 1,67 1,74
1,1 до 1,2 0,04 1,92 1,97 2,05 2,13 1,33 1,39 1,45 1,48
0,06 1,71 1,74 1,76 1,80 1,26 1,30 1,33 1,37
0,08 1,56 1,58 1,59 1,62 1,18 1,22 1,26 1,30
0,10 1,48 1,50 1,51 1,53 1,16 1,19 1.21 1,24
0,15 1,35 1,37 1,38 1,40 1,10 1,11 1,14 1,16
0,20 1,27 1,29 1,30 1,32 1,06 1,08 1,1 О 1,13
Свыше 0,02 2,40 2,60 2,80 3,00 1,70 1,80 1,90 2,00
1,2 до 2 0,04 2,00 2,10 2,15 2,25 1,46 1,53 1,60 1,65
0,06 1,85 1,88 1,90 1,96 1,35 1,40 1,45 1,50
0,08 1,66 1,68 1,70 1,73 1,25 1,30 1,35 1,40
0,10 1,57 1,59 1,61 1,63 1,21 1,25 1,28 1,32
0,15 1,41 1,43 1,45 1,47 1,12 1,15 1,18 1.20
0,20 1,32 1,34 1,36 1,38 1,07 1,10 1,14 1,16
-1...,)
d I
О'в' МПа
ka
kt
600
1,6
1,5
700
1,75
1,6
800
1,8
1,7
900
1,9
1,9
Таблица 10.5. Значения коэффициентов ka и kt для валов с выточками
Валы из стали, имеющей ав, МПа
D r 900 600 900
600
d d
ka kt
До 1,1 0,02 1,96 2,08 2,20 2,35 1,30 1,35 1,41 1,45
0,04 1,66 1,69 1,75 1,81 1,20 1,24 1,27 1,29
0.06 1,51 1,52 1,54 1,57 1,16 1,18 1,20 1.23
0.08 1,40 1,41 1,42 1,44 1,12 1,14 1,16 1,18
0,10 1,34 1,36 1,37 1,38 1,09 1,11 1,13 1,15
0,15 1,25 1.26 1,27 1,29 1,06 1,07 1,08 1,09
0,20 1.19 1,21 1,22 1,23 1,04 1,05 1,06 1,07
1
J
Q
,
,........
D d ka ДЛЯ валов из стали, D r kt для валов нз ста.i1И
r имеющей О'н, МПа имеющеп О'в' l\1Па
2у d d d
::; 600 700 800 900 ::; 600 700 800 900
До 0,02 1,85 1,95 2,10 2,25 До 0,02 1,29 1,32 1,39 1,46
1,0 0,04 1,80 1,85 2,00 2,10 1,1 0,04 1,27 1,30 1,37 1,43
0,06 1,75 1,80 1,90 1,95 0,06 1,25 1,29 136 1,41
,
0,08 1,70 1,75 1,80 1,90 0,08 1,21 1,25 1,32 1,39
0,10 1,65 1,70 1,75 1,80 0,10 1.18 1.21 1.29 1,32
0,15 1,55 1,57 1,60 1,65 0,15 1,14 1,18 1,21 1,25
Свы" 0,02 1,89 1,99 2,15 2,31 Свы" 0,02 1,37 1,41 1,50 1,59
те 0,04 1,84 1,89 2,05 2,15 те 0,04 1,35 1,37 1,47 1,62
1,0 0,06 1,78 1,84 1,94 1,99 1,1 0,06 1,32 1,36 146 1,52
,
до 1,5 0,08 1,73 1,78 1,84 1,94 до 1 ,2 0,08 1,27 1,32 1,41 1,50
0,10 1,68 1,73 1,78 1,84 0,10 1,23 1,27 1,37 1,41
0,15 1,58 1,60 1,63 1,68 0,15 1,18 1.23 1,27 1,37
Таблица 10.4. Значения коэффициентов ka и kt для валов с rалтелями
r
342
343
Окончание табл. 10.5
диаметром d = 50 мм. Коэффициент запаса прочности должен быть
равен [s] = 1,8, f3 = 1, предел вынос.тш:вости материала a 1p = 250 МН/м2.
Определить допускаемую величину наrрузки на стержень
Реш е н и е. Условие прочности:
ka для валов из стали, D r k't для валов из стали,
D d r имеюшей ан, МПа имеющей а в' МПа
d d
2r d
600 700 800 900 600 700 800 900
CBЫ 0,02 1,93 2,04 2,20 2,37 CBЫ 0,02 1,40 1,45 1,55 1,65
ше 0,04 1,87 1,93 2,09 2,20 ше 0,04 1,38 1,42 1,52 1,60
1,5 0,06 1,82 1,87 1,98 2,04 1,2 до 0,06 1,35 1,40 1,50 1,57
до 2,0 0,08 1,76 1,82 1,87 1,98 1,4 0,08 1,30 1,35 1,45 1,55
0,10 1,71 1,76 1,82 1,87 0,10 1,25 1,30 1,40 1,45
0,15 1,60 1,62 1,66 1,71 f};15 1,20 1,25 1,30 1,35
Е.В cr 1
s [s] или . >[s].
kcr О'а ·
Здесь амплитуда напряжений аа определяется амплитудой Ha
rрузки Ра:
Ра
О'а = .
F
Влияние качества обработки поверхности детали на предел BЫ
носливости материала учитывающий коэффициент качества по
верхности р,
в = 0' 1 , (10.9)
0' 1п
rде a 1 п предел выносливости образца ПОЛJlрованной поверх
ностью.
При сложном напряженном состоянии коэффициент запаса
прочности детали вычисляют так:
Величина k(J = 1, так как стержень rладкий, Е определяем по
табл. 10.1 при d = 50 мм. Значит, Еа = 0,70. ПРИl\;Iем a 1 = 250 МН/м2
(под пределом выносливости материала всеrда понимается пре
дел выносливости стандартноrо лабораторноrо образца диаметром
d = 7,5 мм).
Площадь сечения
А = пd2 = n(SO .10 З)2 = 1963 5 .10 6 м2
4 4 ' .
scrs't
s=
s2 + s2
cr 't
(10.10)
Выразим Ра:
р < Еcr.rз.а 1.А = 0,70.2S0.106.196З,S.10 6 =1908 Н
а k(j . [ s ] 1 . 1, 8 ' к .
Кроме коэффициеlIта запаса прочности детали по сопротивле
нию материала усталости необходимо вычислить коэффициент за
паса прочности по сопротивлению ero пластическим деформациям:
О'т
S =
Т
о' П1ах
О'т
О'а + О'т
Тт
S =
т
't шах
Тт
Та + Тт
(10.11)
Наrpузка может изменяться по симметричному циклу в преде
лах от + 190,8 кН до 190,8 кН.
Пример 2. Стержень из уrлеродистой стали диаметром d = 50 мм
наrpужен осевой силой, изменяющейся в пределах от +200 кН до
80 кН. Предел текучести ат = 360 МН/м2, предел выносливости
при симметричном цикле a 1p = 200 МН/м2, Ч/(J = 0,11, k(J = 1,25,
f3 = 1. Определить коэффициент запаса прочности стержня по BЫ
носливости И сравнить с коэффициентом запаса прочности по
текучести.
Реш е н и е. Площадь поперечноrо сечения
Расчетным является меньший из коэффициентов запаса проч
ности s И S'I'.
Амплитуда напряжений
"а == "т == O,S'tmax == O T ,
к
А = nd2 = n(SO .10 З)2 == 1960 .10 6 м2.
4 4
rде WK 1\10мент сопротивления кручению.
Примеры
Максимальное и минимальное напряжения:
200.103 2
О'тах = + 6 = +102 МН/м
1960 .10
Пример 1. Растяжению сжатию по симметричному циклу под
верrают rладкий цилиндрический стержень из леrированной стали
344
345
80.103 2
O'min = 6 == 40, 8 МН/м .
1960 .10
у + A A
I Ь= 16
...............
2
== 102 + ( 40, 8) == 30 6 мн/м2.
2 ' ,
= 102 ( 40,8) =71,4 мн/м2.
2
tfJ
х
...........
Находим среднее напряжение и амплитуду:
О'П1ах + O'n1in
О'lп =
О'mах О'П1iп
о' ==
а 2
110 табл. 10.1 для d == 50 мм Еа == 0,82.
Коэффициент запаса прочности:
по выносливости
Рис. 10.1. К примеру 3
Максимальное и минимальное нормаЛЫIые напряжения:
O' lp
s==
k(jO' а
+ \If(jO'm
Еа .
200 == 1,78;
1, 25 . 71, 4 + О 11 . 30 6
о, 82 . 1 ' ,
м и тах
О'mах
3630 6 = 340,9 .106 Н/м2 = 340,9 мн/м2.
1 0,65 . 1 О ,
по текучести
М.
cr . s::: И П11П
mln W
х
3630 2
6 = 340, 9 МН/м .
10,65 .10
cr
s == т
т
О' lnax
= 360 == 3 53.
102 '
Так как цикл СИl\fl\lеТРИЧIiЫЙ) то ат = О, а а 1плитуда напряжений
О"а == О"тах == 340,9 MHjM2. По табл. 10.1 при d = 50 Ml\1 Еа = 0,70.
Коэффициент запаса ПрОЧIIОСТИ по нормаЛЫIЫl\1 наrlряжениям
Scr = Ecrf3 a 1 = 0,70 .1.330 = 0,31.
k(j О'а 2,2 . 340,9
3аключаеl\tl, что опасность разрушеIIИЯ стержня от усталости зна
ЧI1тельно больше, чем опасность возникновения в нем пластических
деформаI ИЙ.
Пример з. Крутящий MOl\tleHT, передаваемый валом, изменяется
по пульсирующе1\IУ циклу Mk шах == 5500 Н . м; изrибающий момент
Б сечеН:Иl1 ИЗl\1еняется по симметричному циклу от Ми тах == 3630 Н . м
до Ми min == 3630 Н 1\1 (рис. 10.1). Определить общий коэффици
elIT запаса ПрОЧНОСТl'I сечения A A вала из леrированной стали,
если предел выносливости на изrиб материла вала 0" 1 = 330 МН/м2,
предел выносливости на кручение t l = 190 МН/м2, \Vt == о, ka == 2,2,
k'[ = 1,,9, Р = 1. Осевой МО1\1ент сопротивления сечения A A вала
опредеЛIIТЬ по приближенной формуле
1td3 bt(d t)2
W ==
х 32 2d
КоэффициеlIТ запаса прочности по касатеЛЫ-IЫl\J напряжениям:
Wp == 2Wx == 2 . 10,65 . 10 6 = 21,3 . 10 6 1\13;
Mkmax 5500 6 2 2
П1ах 6 == 258,2 .1 О H/l\1 = 258,2 МН/м .
w р 21, 3 . 1 О ,
tInin = о;
. 258 2
. == 't . = П1ах = '== 129 1 МН! 2
а т 2 2 '-, м .
Масштабный фактор Е! = 0,70;
Решение.
w =1t(5.10 2)З
х 32
1,6.10 2 .10 2 .0,S.(4,S.10 2)2 = 10,6S.10 6 м3.
2.5.10 2
s == "[' 1
't k't . "['а
+\If't'tm
Е .
't
190
1 9 129 1 == о, 54.
, , + О . 129 1
о, 70 . 1 '
346
347
ОБIЦИЙ коэффициент запаса прочности в сечении A A вала
5 = 5а. 51: = О, 31 · О, 54 = О 269
5 + 5; 0,312 + 0,542 ' .
Wp "" 0,2(5, 3 .10 2)З 1, 6 .10 2 . О, 6 .10 2(5, 3 .10 2 О, 6 .10 2)2
2 . 5 3 . 1 0 2
= 27,8 .10 6 м3.
Пример 4. По данным, полученным при решении примера 3 из
раздела 7, БЫПОЛfIИТЬ проверочный расчет ведомоrо вала редуктора,
пр иняв диаlVIетр вала под ступицу зубчатоrо колеса d2K = 53Ml\tI.
Решение.
1. Выбираем материал вала (табл. 9.2). Ввиду больших наrрузок,
действующих на вал от консольной силы FK, принимаем сталь 40Х.
Диаметр заrотовки неоrpаничен. Твердость не менее НВ 200; ан =
= 730 МПа предел прочности; a l = 320 МПа и '"( 1 = 200 МПа
пределы выносливости при симметричном цикле изrиба и кручения.
2 В соответствии с эпюрами изrибающих и крутящих моментов
преДII0ЛОЖIIтельно устанавливаем опасные сечения вала, которые
подлежат расчету. Таких сечений два: I I под серединой ступицы
зубчатоrо колеса и II II под подшипником D.
3. Сечение I I.
Суммарный ИЗlибающий момент Ми в сечении. При определении
Ми ПрИНИl\1ают, что момент М F. от силы FK В худшем случае совпа
к
дает по направлению с суммарным MOl\tIeHTOM, найденным от дей
ствия сил В зацеплении зубчатой передачи:
Амплитуда нормальных напряжений цикла
cr М и 359 6
а W 6 = 27,83.10 Па = 27 83 МПа
о 12, 9 . 1 О ,.
Амплитуда касательных напряжений цикла
l' = 1'шах = 1 М2 к 1 622 6
а 2 2 Wp 2 27,8.10 6 = 11,2.10 Па = 11,2 МПа.
Коэффициеnты запаса nрочnости по nормальным S и касатель
llЪLM S'[ наnряжеnиям: а
ЧIа = о;
Е'[ по табл. 10.1;
k'[ по табл. 10.3;
Еа по табл. 10.1;
ka по табл. 10.3;
ЧJ'[ = 0,1 по табл. 10.1;
Ми = M; + М; + МРК = 127,12 + 191,52 + 129,3 = 359 Н. м.
S a 1
a
kcrcr а
+ \Jf аат
Еа
320
27, 83 . 1, 83 = 5, 2;
0,829
КРУТЯЩIIЙ MOl\leIIT в сечении вала М2 к = 622 Н . м.
Осевой момеnт сопротивления сечения с учетом шпОНОЧnОlО паза
W "" о 1dЗ bt1 (d2K t1)2 .
о ' 2 к 2d
2к
ДJIЯ вала диамеТРОl\1 d2 к = 53 мм ширина паза Ь = 16 мм, rлубина
паза t1 = 6 Ml\f.
W "" 0,1(5, 3 .10 2)З 1, 6 .10 2 · О, 6 .10 2(5, 3 .10 2 О, 6 .10 2)2
о 2 . 5,3 . 1 0 2
=12,9.10 6 м3.
S = 1' 1 200
't k l' (1 56 ) = 7,7.
а + \v 't l' т 11, 2 ' + О 1
Ст О, 7075 '
Результирующий коэффициеnт запаса nрочности для сечения 1 1
s = S cr . S't > [ S] 1 5 2 5
5 + 5; . , ... , .
4 Сечение II II.
Суммарный И3luбающий момеnт М и в сечеnии
М Рк от СИЛЫ (' т.е. равен моменту
IIолярuый МОJИЕum сопроrпuвленuя сечения с учетом ШnОНОЧnОlО паза
w "" о 2dЗ bt1 (d2K t1)2
р , 2 к 2d '
2к
Ми = м Ек = 265 Н . м.
Крутя ий MOMefIT в сечении М2 к = 622 Н . М.
Осевои момеnт сопротивления сечеnия
348
349
Wo :::; О, 1d п = О, 1(5 .10 2)3 = 12,5 .10 6 м3.
Полярный момент сопротивления сечения
W = 2 W = 2 . 12 5 . 1 0 6 = 25 . 1 0 6 м3
р u' .
Амплитуда нормальных напряжении цикла
аа = Ми/Wо == 265/(12,5 . 10 6) = 21,2 . 106 Па = 21,2 МПа.
Амплитуда касательных напряжений цикла
'[. = 't = 'tшах =.!. М2 к =.!. 622 = 12,4.106 Па = 12,4 МПа.
а т 2 2 Wp 2 25 . 1 0 6
Коэффициенты запаса прочности по нормальным 50 и касатель
ным St напряжениям:
{ 7
с
'&
C'\I
М
'&
Ь+I
с
.....-4
5
cr 320
S (J = k cr 1 1 83. 21 2 = 6, 8;
а а +'If (j , ,
Еа а т. 0,82
s = '[ 1 200 = 6 9
'С k :a + 'JI 'С '[т 12, 4( 1 + 0,1 ) ,.
Результирующий коэффициент запаса прочности для сечения II I]
s= S(J'S'C >[S] =1,5...2,5.
s2 + s2
а 't
Рис. 10.2. К примеру 5
Рассмотрим сечение A A.
Концентрацию напряжений вызывает наличие шпоночной Ka
навки.
Коэффициент запаса ПРОЧНОСТI1
5 = S = '[ 1
't k 't
't а +'11 't'
Е 't т
't
rде амплитуда и среднее значение от нулевоrо цик.ла
Так как расчетные значения s в проверяемых (опасных) сечени
ях незначительно превышают [s], то размеры вала (посадочные диа
метры) и выбранный материал оставляем без изменения.
Пример 5. Определить коэффициент запаса прочности для Be
дущеrо вала редуктора в опасных сечения х, если М А = 35,4 . 103 Н . м
(рис. 10.2).
Материал вала: сталь 45; термическая обработка улучшение;
Т1 == 125 . 103 Н . мм; ав == 780 МПа. .
Предел выносливости при симметричном цикле изrиба
". =". = Тmах
"т
2
Т1
2WK НСТТО
a 1 == 0,430'в == 0,43 . 780 == 335 МПа.
1td3 bt (d t )2
Так какWкнетто =16 1 2d 1 (по табл. 10.з)(приd=32 мм,
Ь = 10 l\IM, t1 = 5 мм),
W = 3,14.323 10.5(32 5)2 =5,88.103 мм3;
к НСТТО 16 2 . 32
125.103
Та = Тт = 3 = 10,6 МПа;
2.5,88.10
193
s = 5't == 1 68 . 1 О 6 = 7, 85.
, '+01.106
О, 76 ' ,
Реш е н и е. Предел выносливости при симметричном цикле из
rиба касатеЛЫIЫХ напряжеlIИЙ
'[ 1 == O,58a 1 == 0,58 . 335 == 193 МПа.
350
351
k == 1,68, Е'[ == 0,76, \v 't = О, 1. u
Коэффициент запаса прочности нормальных напряжении
a 1
So = k О' '
о а + "\I( (j
'1'0 т
Ео
F 250 . 103
о' . = == == 127 . 106 Па == 127 МПа.
тах А 1t . 0,052 / 4
По формуле 10.2 вычисляем среднее напряжение и амплитуду
цикла:
о' =MA A =9,7;
а WИСТТО
О'т == [127 + ( 102)]/2 == 12,5 МПа;
О'а == [127 ( 102)]/2 == 114,5 МПа.
По формуле 10.7 определяем коэффициент запаса:
тcd3 bt1 (d t1)2 .
Wнстто = 32 2d '
S(J = k 0' 1 == 210/(1,5 · 114,5 + 0,05 . 12,5) == 1,22.
оДО'а + 'VoO'm
MA A == 35,4 Н . мм;
1 == 80 мм длина посадочной части под муфту.
k 1 8 Е == О 87 (по табл. 10.2, 10.3); О'а == 9,7;
a , 'О' ,
Вычисляем коэффициент запаса по отношению к пределу Te
кучести:
S == О'т/О'тах == 360/127 == 2,84.
335
s == = 16, 6.
о 1, 8 . 9 7
0,87 '
Этот коэффициент запаса значительно выше, чем по усталостно
му разрушению, поэтому последнее опаснее, чем возникновение Te
кучести.
Пример 7. Вращающийся круrлый
полый вал (рис. 10.3) в опасном сече
нии ослаблен отверстием для смазки.
В опасном сечении изrибающий момент
М == 1500 Н. м, крутящий момент Т==
== 1800 Н. м. Нормальные напряжения Q)
изменяются по симметричному циклу, а
касательные по асимметричному ци
клу при R't == 0,2 Наружный диаметр
вала de == 70 мм, внутренний di == 35 мм.
Материал сталь 45 (О'и == 610 МПа,
О'т==360МПа'0' 1 ==210МПа,L 1 == 180 МПа).
Принять КаД == 2,0; К'tД == 3,0. Циклическая долrовечность неоrрани
чена. Определить коэффициент запаса.
Реш е н и е. Определяем номинальные напряжения в опасной
точке сечения:
!
Результирующий коэффициент запаса прочности
50 . S'( 16,6 .7,85 == 7 1
s == , .
S + s; 16,62 + 7,852
Результирующий КОЭффИIlиент запаса прочности s близок к S't.
ЭТО свидетельствует о том, что консольные участки валов, pac
считанные по крутящему моменту, оказываются прочнь ми и учет
консольной наrрузки не вносит существенных изменении.
По той же причине проверять прочность в сечении Б Б и B B
нет необходимости.
Пример 6. Изменяющийся от 200 кН (сжатие) до +250 кН (pac
тяжение) стержень изrотовлен из стали 45 с механическими xapaK
610 МПа о' 360 МПа о' 1 == 210 МПа. Принять
теристиками О'и == , т ,
к Д == k(J == 1,5. Количество циклов наrpужения неоrpаничено.
(j Ea
Реш е н и е. Определяем минимальное и максимальное напряже
ния цикла:
03
.
Рис. 10.3. К примеру 7
О"тах == I O"min I = ==
а
3
F 200.10 == 102 .106 Па== 102 МПа;
O"min А п.0,052 /4
Ми
O,1d3(1 (di / de)4)
1500 4 == 46, 7 МПа.
3 ( зs J
о 1. 70 . 1
, 70
352
353
Получаем О"а == О"тах = 47,3 МПа; О"т == о.
Касательные напряжения в опасной точке сечения
Масштабный коэффициеfIТ для вала диаl\lетром d = 40 мм Haxo
дим по табл 10.1: Е'[ = 0,73, \V'[ == 0,1.
D r
При d = 1,25 и d = 0,05 по табл. 10.4 имеем kT = 1,4.
Для полированноrо вала ПРИНИl\lается р = 1
Коэффициент запаса
т т 1800
t == == = 4 = 27,99 МПа.
тах Wp 0,2dЗ(1 (di/dе)4) 02'70З'(1 35)
, 70
ПО формулам (10.1), (10.2) и (10.3):
t . == R t = 0,25 . 27,99 = 7,1 МПа;
mln '[ тах
'[а == (27,99 + 7,1)/2 == 17,6 МПа;
"[т == (27,99 7,1)/2 = 10,5 МПа.
Определяеl\f коэффициенты запаса при изrибе и кручении, при
нимая для стали 45 \V'[ = о:
s '[' 1
't k
'[Та
А + Ч/'t "Ст
E'tJJ
190
1,4.23,5 = 3,88.
О. 73 + О, 1 · 39, О
s == a 1 == 210/(2,0 . 46,4 + 0,05 . О) == 2,25;
а Кадаа + \11 аат
Пример 9. Стальной полирован
ный вал из уrлеродистой стали с
выточкой (рис. 10.5) в опаСIIОМ ce
чении испытывает кручение по He
СИl\fметричному циклу. По извест
ным номинаЛЬНЫl\1 характеристикам
цикла "[тах == 65 МПа, tmin == 25 МПа
определить КОЭффИI иент запаса.
Радиус выточек r == 2 мм Механиче
ские характеристики l\lатериала:
"[ 1 == 200 МПа, О"В = 700 МПа.
Решение.
о
I..tj
'&
.. ........
s = '[' 1 == 180/(3,0 . 17,6 + О . 10,5) == 3,41.
1" К'tд'tа + \11 't "Ст
Определяем общий запас по формуле (10.10):
s = S(J' S'[ = 2,25. 3,41 = 1 878.
S + s; 2,252 + 3,412 '
Рис. 10.5. К примеру 9
'т' == "Стах 'tmin
"а
2
65 25
== 20 МПа'
2 '
= 65+25 =45 МП
2 а.
Пример 8. Стальной полированный
вал из леrированной стали с rалтелью
(рис. 10.4) работает на кручение по He
симметричному циклу. Наибольшее
значение момента Т шах == 800 Н . м, наи
Рис. 10.4. К примеру 8 меньшее значение Tmin = 200 Н . м. Me
ханические характеристики материала:
"[ 1 = 190 МПа, о"в == 600 МПа. Определить коэффициент запаса.
Реш е н и е. Подсчитываем номинальные характеристики цикла:
Тп1ах 800 62 5 МП
't =, а;
шах 0,2d3 0,2. 0,043
Tmin 200 15 6 МП
tmin d3 О 3 , а,
о, 2 О, 2 . О, 4
откуда "[а == 23,S МПа, "[т == 39,0 МПа.
t == 't'шах + 't'min
т 2
"" D r
В нашем случае d = 1,25, d = 0,1. По табл. 10.5 находим kT = 1.30.
Для вала ДllаметрОlVI d = 40 мм 110 табл. 10.1 определяем Е = О 73
О 1 '[ , ,
\V'[ = , .
Полаrая р = 1, определяем коэффициент запаса:
't
S = 1
't k 't'
't а +Ч/ 't'
Е'tfЗ 't т
200
1 3 20 = 4, 99.
, + О 1. 45 О
О, 73 ' ,
Пример 10. Произвести проверочный расчет вала на выносли
вость для некоторых опасных сечений. Материал вала сталь 45
(табл 10.2), О"В = 900 H/lVIM2, О"Т = 650 HjMM2, 0" 1 = 380 If/MM2, '( 1 ==
= 30 Н/мм2, МI == 286 116 Н. мм, Т== 216000 Н. мм
354
355
!.J
. t . -rэ. i
Б
Рис. 10.6. К примеру 10
a = 't" = Ттах = .!. =.!. 216 000 = 9 278 Н мм2
т 2 2 W 2 11 641 '
1(
Коэффициент безопасности для сечения A A по кручению
s = 1
t kt а
+ \v t т
Е!
190. = 7.58;
1, 9 · 9, 278 + 9 278 . О 1
О, 73 ' ,
Решение. б u М
1. В сечении A A действует (рис. 10.6) изrи ающии момент 1 =
= 286 116 Н . мм и крутящий момент Т = 216 000 Н . мм. Для вала
диаметром d1 = 40 мм ширина канавки Ь = 12 мм, t1 = 5 мм.
Осевой момент сопротивления сечения вала (нетто)
тrd3 bt1(d t1)2 3,14.403 12.5.(40 5)2 =5361 мм3
Wx = 32 2d 32 2.40
Амплитуда номинальных напряжений изrиба при симметричном
цикле изменения напряжения изrиба
= м = 286 116 = 53.37 .106 HjM2 = 53,37 н/мм2.
аа <J F W 5361
Коэффициенты безопасности в сечении по изrибу:
s = a 1 = 380 = 3,19;
kcr<J а 1, 9 . 53,37 + 0,1. О
+ \JIcr<Jт 5
Еа 0,8
k = 1 9 по табл. 10.3;
cr '
Е = О 85 по таб. 10.1;
cr '
\jfcr=O,l; v б
ат = О (при симметричном цикле изменеlIИЯ напряжении изrи а
равна нулю).
2. Определяеl\1 коэффициент безопасности по кручению:
тrd3 bt1(d t1)2 3,14.403 12.5.(40 5)2 = 11641 мм3.
Wp = 1:"6 2d 16 2.40
11 ри непрерывном вращении вала напряжения кручения из
меняются 110 пульсирующему циклу, поэтому переменные COCTaB
ЛЯlощие (аl\1плитуда) и постоянные составляющие цикла находим
по формуле
'[ 1 = 230 HjMM2;
kt = 1,9 по табл. 10.3;
"[а = 9,28 HjMM2;
Е! = 0,73 по табл. 10.1;
\I1t = 0,1 по табл. 10.1.
Общий коэффициент запаса ПРОчности вычисляется по форму
ле (10.11):
s = S(J' s-r = 3,19 . 7,58 = 2 94 > [s ]
S +S; З,192+7,582' .
Коэффициент запаса прочности s > [s] = 2,5.
Коэффициент запаса прочности в сечении Б Б определяется
аналоrично.
Задачи
1. Стержень d = 60 мм подверrается растяжению сжатию, коэф-
фициент запаса прочности [s] = 2, предел выносливости материала
стержня a 1p = 210 МН/м2, Р = 1. Какую наибольшую по величине
наrрузку, изменяющуюся по симметричному циклу, можно прило
жить к данному стержню? Принять Еа = 1,75.
2. Найти коэффициент запаса прочности по выносливости для
вала, на который действует пульсирующий скручивающий момент.
Мmах = 2100 Н . м максимальное значение момента, диаметр вала
d = 50 мм, ' 1 = 200 МН/м2 предел выносливости при кручении
при симметричном цикле, \I1t = 0,08; kt = 1,4; Р = 1, Е! = 1,78.
з. Вал d = 50 мм из стали скручивается моментом, мноrократно
изменяющимся в пределах от +820 Нм до 340 Нм. Предел текуче
сти ат = 190 MHjM2 при кручении. Предел выносливости на КРУЧе
ние при симметричном цикле "[ 1 = 140 MHjM2, Р = 1, \1ft = 0,08, kt =
356
ЗS7
= 1,25, Et = 1,78. Определить коэффициент запаса прочности по Te
кучести и коэффициент запаса прочности вала по выносливости.
4. Стальной стержень диаlVlетром d = 40 мм наrpужен осевой си
лой, непрерывно изменяющейся в пределах от + 50 кН до 70 кН.
Предел текучести ат = 420 МН/м2, предел выносливости a 1p =
= 230 MHjM2, \jIcr = 0,12, kcr = 2, Р = 1, Еа = 1,82. Определить коэффи
l иент запаса прочности стержня по выносливости и коэффициент
запаса прочности по текучести.
5. Стальной вал с наружным диаметром D = 60 мм и внутренним
диаметром d = 40 мм наrружен l\fHOrOKpaTHo изменяющимся изrи
бающим и крутящим моментами: Ми тах = 860 Н. м, МИ min =
= 500 Н . м, МК таХ = 1240 Н . м, МК min = 560 Н . м. Предел BЫHOC
ливости на изrиб материала вала a 1 = 280 МН/м2 и предел BЫHOC
ливости на кручение "С! = 150 MHjM2, \jIcr = 0,17, \jIf = О, kcr = kf = 1,25,
Еа = Е'[ = 1,82. Определить общий коэффициент запаса прочности
вала.
6. Стальной полироваlIНЫЙ вал с rалтелью работает на круче
ние по неСИМlVlетричному циклу. Наибольшее значение момента
т тах = 800 Н . м, f!'аименьшее значение т min = 200 Н · м. Механиче
ские характеристики материала t 1 = 190 МПа, ан = 600 МПа. Диа
метры участков вала d = 40 мм, D = 60 мм, радиус сопряжения
участков вала r = 3 мм. Определить коэффициент запаса. Материал
вала леrированная сталь.
7. Стальной полированный вал из уrлеродистой стали с выточ
кой В опасном сечении испытывает кручение по несимметричному
циклу. По известным номинальным характеристикам цикла tmax =
= 120 МПа, Lmin = 70 МПа определить коэффициент запаса:lеомет
рические параметры вала: d = 65 мм, D = 80 мм, радиус выточек
r = 3 мм. Механические характеристики материала: t 1 = 250 МПа,
ав = 800 МПа.
8. Изменяющийся от 200 кН (сжатие) до + 250 кН (растяже
ние) стержень изrотовлен из стали 45 с механическими характерис
тиками CJи = 610 МПа, ат = 360 МПа, a 1 = 210 МПа. Принять
kcr = 1,05, Еа = 0,78, Р = 1. Количество циклов наrpужения Heorpa
ничено.
9. Сравни:ть коэффициенты запаса прочности для сечения поли
pOBaHHoro вала из леrированной стали в месте перехода с d = 45 мм
на D = 55 мм при двух вариантах посадки роликовоrо подшипника:
а) подшипник посажен без дистанционноrо кольца и радиус rалте
ли р = 1 мм; б) l\1ежду внутренним кольцом подшипника и заплечи
ком установлено дистанционное кольцо и радиус rалтели р = 8 мм
(рис. 10.7). Для варианта а) kcr = 2,0; для варианта б) kcr = 1,3. Для
а
6
р=1
р=8
.
Рис. 10.7. К задаче 9
материала вала 1 = 250 МПа. В рассматриваемом сечении возни
кает изrибающии момент Ми = 2,0 кИм. Нормальные наI1ряжения
изменяются по симметричному циклу.
358
w
:s:
ж
w
:Е
о
с:
:s:
D.
с
360
:!Е:
с:
ta
Ь
):!Е:
О
Ж
...
ta
О
а.
с
...
ж
QJ
:Е
ta
...
а.
о
u
ф
ос)
I
ф
м
C"'I
ею
Е-о4
U
О
=
.
(l) :S::
u
I О
...
:S:: ::::
=
. = (l)
(l)
U
cтj
=
:S:: cтj
SM
U
О
::::
I
I
.
Q)
:а
=
Q
c-t
=
Е-с
=
==
::а::
::::
о ::::
=
cтj (l)
=
:s::
o..
:::: о..
S
I м
8
.... (l)
cтj =
=
t:Q (l)
cтj
r:Q
r:Q
ro u
о :S::
cтj
r:Q
I I
:S::
::::
=
(l) о
=
м =
О ::::
\OS
O
о
.
==
Е-с
::а::
Q,.)
c-t
Q
-
Е-с
U
;::!'
;:::s
I
. 11
t
I
ч
')
::Е
u
.
j:::::
(l)
u
о
tt::
t:::::
tt::
:::::
::r:
(l)
ro
::r:
('/)
(l)
::Е
:з::
о
C\I
c-t
t:::
U
с\')
>-.. u
""
::Е
u
с\')
::Е
u
vj
м
u
""
::Е
u
ro
u ::G
U
ro
::Е.....-4
ОС"1
..Q ::Е
Oc.;
C\$::r:
S tt::
О :::::
t::::: (l) ::r:
1---4t:::(l)
oa:;
t::: u
::Е
::Е
"too,;j
i
c-t
(1)
::Е
('/)
ro
CI)
I ro
::E
о C\I
::r: Е-<
u
.
(1)
(l)
t::::
о
\о
(l)
::r:
00
"! "1
т--4
с"1
['--
ф 00
q q
['-- ['--
т--4
q 1':
м м
с"1 м
ф 00
о
--::::r
""t
ф 00
м 1J'j
00 о
\1')
м
ф о
--::::r \1')
т--4
q
\1') о
м
о 1fl
['-- ['--
"! м
['-- ['--
111 OO
I.tj
I.tj
о
\1')
т--4
q
ф
м
['--
lfj
['--
00
['--
1J'j
о
['--
м
т--4
q
м
о
00
1J'j
['--
q
--::::r
о
1':
00
['-- ['-- ['-- м O'J м
о с"1 м \1') ф ['-- о о "! м \1')
м м м м м
о о о о о о о о о о о о
т--4 lfj lfj q q т--4 О О О О
Ф
м 00 O'J м т--4 с"1
с"1 с"1 М lfj ['-- 00 о 11j 00
т--4 т--4
О О О q q q о q о q q q
\1') ['-- 00 о ['-- ф ['-- 00 м ф l.tj
lfj O'J Ф М ф о I.tj
м 1J'j ф 00 о м ['--
т--4
О О О О О О О О О О О О
--::::r т--4 м с5 00 O'J М lfj 00
о м ф ф м о 00
......-4 C"J М 1J'j ['-- O'J
00 м ['-- о о о о о о о о о
"! т--4 q "! С'Т1 tq ['-- "! O'J Ф
00 O'J т--4 М --::::r ф 00 м
т--4 с"1
О О О О q О О О О О О О
--::::r O'J т--4 ['-- м м lfj о
00 м 00 ['-- ['-- O'J l.tj м 00 м ф
м lfj ['-- 1J'j о l.tj
с"1
О О О О О О О Ф t-- Ф
l.tj ф т--4 00 00 ф O'J Ф о
00 lfj о о 00 м о ф t-- 00
м l.tj ['-- м O'J ['-- l.tj ф
м 11j ['--
о о о о о о о о о о о о
о о м \1') lfj ф о l.tj l.tj ф о
т--4 ['-- ф 00 ['-- ф 00 00
м м lfj ф ['-- о
00 ф с"1 tr) 00 q ф ['-- о о о
ф о о ф м ['-- о 00 00
N М М --::::r l.tj ф ['-- 00 о т--4 м
т--4
О О О 1J'j О О О О О О О О
l.tj I.tj ф ф ['-- ['-- 00
l.tj о l.tj о q q q о о о о о
о о м I.tj ф ['-- 00 о
т--4 N
['-- 1J'j с"1 М О "! l.tj 00
00 00 O'J О м I.tj ф ['--
т--4
"! "t 1fl q 1.t1 м q о q
\1') lfj lfj ф ф ['-- 00 о т--4 с"1
......-4
О О lfj lfj lfj о l.tj lfj о о о о
о т--4 м --::::r \1') ф ['-- 00
т--4 т--4 т--4 ......-4 т--4 т--4
О О О О О О О О О О О О
О с"1 ['-- о м ф о \1') о \1') о
N N N N М М М --::::r 11j l.tj ф
о с"1 ['-- о м ф о lfj о l.tj о
с"1 м м м --::::r lfj lfj ф
о
\1')
о
00
00
\1')
с"1
00
м
ф
--::::r
т--4
00
['--
\1')
ф
с"1
--::::r
['--
ф
о
О...
М
......-4
м
['--
00
о
т--4
о
ol
1J'j
т--4
о
--::::r
00
т--4
"!
о
"'t
м
N
\1')
м
\1')
м
\1')
00
о
ф
['--
т--4
00
q
\1')
\1')
lfj м о
lfj ф ['-- 00
о о о
о
т--4
о о
ф 00
о ф 00
т--4 т--4
361
ею
I
Q
N
ею
r-c
u
О
.
с.с
Q)
Q)
=
=
.
t:t::
==
Е-
Q)
:r
t:t::
с.с
Q
Е-
U
t::
;:::s
362
1-
N
ч
I
:I:
(l)
0..'
::::
= =
CQ
U U
::::
::s:: =
t=:!cтj
cтjo..
o..
I j:S::
o
... =
::s::
o..
о cтj
t::
c\s О
= t=:!
::::
о
::::
I U
o
:::: о
(l)
= ::::
(l) =
U О
cтj
= U
:::: U
ecтj
o..
о I
о
IN
...
...
::s::
о
а
t:=
cтj ::s::
= =
::S:: (l)
o..
::s::
s6:
I
..t:)M
... U
cтj
::::
о t=:!
u cтj
::Qo..
CQ I
I
Ы'
:I: (l)
(l) r:::
=r
cтj
=0..
М
О cтj
\.ОМ
00
(l)
=
Q
Q
=
Q)
==
с.с
==
==
==
Q)
с.с
Е-
==
=
:е
Q
==
Q
CJ
:а
с.с
Q)
Q)
=
:3
j::S::
(1)
u
О
tI::
t:::::
I::!
tt::
:::::
:I:
(l)
::з-с
C\I
::r:
м
(1)
::Е
::r:
О
ro
1::
U
;::s
u
с\')
u
:l ?S
u ..
ro
:E
ON
..Q ::Е
1:f0u
:I:
s::з-сtl::
о :::::
(1):I:
t:::(1)
о::з-с
1::
::Е
i
(l)
::Е
м
c-t I
(l)
(l)
0 (1)
::r::st:::::
u
.
u
......
u
io.,)
C<I)
..s:::
ф
,....с
Т-I
ttj
01
о
\1')
t--..
tn
u
. ....
u
::
u
(1)
(1)
t:::::
О
\о
(1)
:I:
--::::r ,....
"!. с'1
00 ф
,....с ,....с
00 \1')
1':
м
о о
00
,....с
ф
tt1
\1')
N
01
т--4
,....с
ф
с'1
с'1
'-
ф
ф
ttj
с'1
о
ф
['--
м
о
\1')
\1')
о о
q CYl
ф CYj
ф
111
с'1 М
..
Llj
00
00
о ttj
q
ttj ['--
,....с 00
ttj q
['-- 00
111 111
о \1')
с6 ф
"!.
t-- t--
.. 111
ф о
CYj
ttj о
ф 00
\1')
с6 00
'4
,....с
['-- о о --::::r м ['-- ['-- 00 11j
ф q q q "! "t lfj lfj ф t--:
т--4 с"1
О ['-- т--4 00 о ['-- о м ['-- о м
['-- q "! м ф q "!
с'.1 с'1 с'.1 с'.1 М М
О О О О О О О О О О О О О
О 00 "t о о \1') ф м ф ['-- --::::r
м с:.о ['-- о о 1Jj т--4 ['-- М Т"'iI М
т--4 т--4 N N М М 1Jj ф ['--
о о о о
м о о о о о о о о о о
1Jj м 00 ф \1') м 00 C"I ['-- О М
--::::r ф ['-- 00 о lfj о ф с"1 --::::r
.....-4 м --::::r lfj ф
о о о о о о о о о о о о о
00 т--4 "t 00 т--4 00 О О О О О О О
О ф ['-- о 00 --::::r т--4 о
\1') 1Jj ф ['-- 00 м ['-- 00 1Jj
с'.1 М --::::r
о с"1 с"1 ['-- м о о о о о
ф м о 00 ['-- о ,...... ['--
lfj ф ф ['-- ['-- 00 00 о м --::::r 1J'j
т--4
о о о q о о о о о о о
о м м т--4 с'.1 с"1 00 ['--
['-- о м 1J'j --::::r о 00 00 о ф
т--4 м м ф ['--
о о о о о о о о о о о о о
т--4 ['-- М О с5 о с5 о с5 о о о о
--::::r о ф 00
['-- 00 о т--4 11j 00 O'J 00
т--4 с"1 с'.1 --::::r lfj ['-- о lfj
о о о о о о о о о о о о о
м с"1 CYj М "t о о ['-- 00 \1') м
lfj с:.о ['-- 00 т--4 ['-- ф 00
т--4 т--4 с"1 М М --::::r
о о о о о о о о о о о о о
ф т--4 lfj ['-- "! .. ['-- ф lfj lfj "t tr)
1Jj 00 о с"1 м ф о \1') о ф м т--4
т--4 т--4 т--4 м м --::::r lfj с:.о
о lfj lfj \1') \1') q о о lfj о о о о
м м м м м --::::r --::::r lfj lfj ф ф
о lfj 1Jj о о 1J'j о 1Jj о о о о о
00 00 00 с5 о м 1J'j
т--4 т--4
т--4 "t q С'Т1 о lfj q tq о ['-- \1')
00 00 00 о о т--4 М
о о с'.1 "t ф о lfj о lfj о
lfj lfj tr) \1') 11j lfj 11j ф ф ['-- ['-- 00
00 00 о ф о lfj о lfj о lfj
1J'j ф ф ['-- ['-- ['-- 00 O'J О О
т--4
о о о о о о о о о о о о о
--::::r ф с:.о 00 00 о ['-- о м с:.о о
т--4 с"1 М М М
c\s c\s
--::::r ф с:.о 00 00 о ['-- о м ф о
N N N N М М М --::::r
t-- CYj
с'1 tt'l
.....-4
ф с'1
.. \.tJ
Ф 00
о о
о
с'1 М
о о
Ф..
о Ф
с'1
ф 00
q t--
М
о
м \1')
--::::r
t-- о
,....с CYj
о
tt'l ..
00 о
о о
с'1
с5 м
т--4
q
м м
tt'l
t-- t--
['-- t--
tt'l
ф
\1')
о о
о
.....-4
о с'1
Т-I т--4
363
::Е OJ 00 М Ф с:"1 ['-- ф о 1"- с:"1 00 М О \1')
u с:"1 С"1 М lfj Ф 00... ... "1"""'4 т--4 М М ['-- ['-- OO ol о
.....-4 "1"""'4 "1"""'4 т--4 с"1 с"1 М
::Е 00 о \1') о \1') 00 \1') \1') 00 "1"""'4
U q "! ф OO о "1"""'4 с:"1 С'Т1 м tq q "1"""'4 "'! cfl \1')
о т--4 т--4 т--4 с:"1 с"1 м м м м
. ....
с\')
::Е ф ['-- о о о о о о о о о о о о о
u O м м 00 --::::r ф ф м О... \1') ['-- 00 ф м
I --::::r м ['-- с"1 Ф о \1') "1"""'4 Ф ф
т--4 т--4 м- м м --::::r \1') ф ['-- 00
j:::::
(l)
u "" \1') \1') о о о о о о о о о о о о о о о о
о
о;: ::Е q м Ф Ф \1') 00 1J'j О... О О О O о о о о
u О
1=: tf') м т--4 О М --::::r 00 00 --::::r м "1"""'4 О
....... т--4 М \1') ['-- о с"1 м ['-- "1"""'4 Ф ф
tt:: т--4 м м ф ['--
::::: с\')
::r: "1"""'4 с:"1 О О О О О О О О
cl) ::Е ф о м \1') ['-- о') м tf') о м о O O о о о о
::r u "1"""'4 00 "1"""'4 О 1J'j
ro \1') м о о о ф 00
:t: т--4 \1') 11") ['-- ['-- 00 м ['-- 00 \1')
м v) "1"""'4 "1"""'4 м
(l)
::Е ::Е N \1') Ф т--4 ф --::::r 00 о \1') о о о о о
::r: u q \1') ......-1 ['-- ф \1') с:"1 М О q ['-- О... М 00
. ......-1 М М \1') ф ф ['-- ['-- 00 00 о м \1')
о "1"""'4 т--4
ro
о.. с\')
t::: ::Е о tf') q 00 00 о о о q q O о о о о о
U u \1') --::::r о о м м т--4 м м м м о ['-- ф м м
м tf') ['-- о с"1 м 1J'j ф "1"""'4 00 00 о ф
"1"""'4 м м --::::r ф ['--
"" OO 00 00 о о о о о о о q о о о- о о о
::Е с:"1 00 \1') tf') м о ['-- о о о о о о о о о о
u --::::r 00 ['-- о O'J \1') N О М 00 м т--4 \1') Ф
......-1 М ['-- 00 о tf') т--4 т--4 00 О oo
"1"""'4 --::::r 1J'j 00 о \1')
т--4 т--4
.;i о \1') о о о о о о о о о о о о о о
u 00 q о tf') м м f'1 --::::r O о ['-- 00 tf') q м
C\I
:х: \1') ['-- 00 о --::::r \1') ф ['-- 00 т--4 ['-- "1"""'4 Ф "1"""'4 00
U т--4 "1"""'4 т--4 м м --::::r
...........
..Q I .
(l)C".I
::Е ф 00 о о о о о о о о о о о о о O "О
ro cl) cl) u
S о..с.; \1') Ф м ф т--4 lfj ['-- "t ['-- ф 11j \1') : \1')
(l) ti о 6
о t::: О Ф 1"- 00 О М \1') 00 с"1 М Ф О \1') Ф м "1"""'4
t::::: О ::::: "1"""'4 ......-1 ......-1 "1"""'4 с"1 м м \1') ф
t:: t::: О ::r:
::r:
(l) tf') 11j \1') о lfj tf') O O O tq о \1') tf') tf') о
(l) ф
1=: М М М --::::r \1') \1') \1') \1') \1') ф ф ['-- ['-- 00
о
\.о О О \1') О tf') О lfj tq о O \1') о \1') о о о о о
о::; (l) ф ф ф ['-- ['-- 00 00 00 ф о о т--4 М \1')
::r: т--4 т--4 т--4
::Е о ф 00 q о о о ф
::Е 1': С'Т1 11j \1') ['-- tf')
['-- ['-- ['-- ['-- ['-- 00 00 00 о 6 т--4 т--4 М
i ......-1 ......-1 "1"""'4 т--4 "1"""'4
c-t
cl)
::Е --::::r --::::r tf') \1') 00 q O ф о 1J'j о \1') о
м v) Ф
ro --::::r --::::r 11j \1') tf') tf') tf') \1') lfj ф ['-- ['-- 00
ф о ф 00 --::::r 00 о ф с"1 О lfj О \1') О lfj
м м --::::r --::::r tf') \1') ф ф ['-- ['-- ['-- 00 о о т--4
......-1 т--4
О lfj О О О О О О О О О О О О О О О О
...s:: tf') ф 00 о с"1 Ф Ф 00 00 о с"1 ['-- о м ф о
т--4 т--4 ......-1 м м м
о.. .
(l) t::::: ro t::: t::: t:::
::Е (l) с.. t::: t::: t::: t::: t::: t::: t::: t::: t::: t::: t::: t:::
о (l) t::: tf') t::: ro ro
::сЕЗ t::::: о ф ф 00 00 о --::::r ['-- о м ф о
\1') ф 00 ......-1 т--4 ......-1 ......-1 м м м
Q
Q
==
==
:g
==
с.
:s:
:g
:а
==
..с
Q)
с.
==
CJ
:а
с.
Q)
Q)
се
S
;:::s
I . ... j::::
cтj
м ::::
o::r=
(l)
=::::'8
(l)u
:::: =
t:::i(l)
r:Q cтj ::r
u I
I
ц:> ::::.
ос> t:::i ....
cтj :::: ....
I ::r
ос> f'v-; о
(l)
Е--с .... =
u :::: :::: :s:
О ::r::
= cтj
oc)
:а cтj Oj::::
== = о
g I
а
== о ....
Q cтj
== о =
се 1 О
о t:::i
....
== :::: ::::
::::
u
Q О (l)
(l)
?;;;
cтj
=
cтj
;
м =
S U (l)
Q)I ::r
=-'
..cтjO .
Q (l) =:=
I S
(l)
=r о (l)
б =
м =:= tS =:=
,,",o5cтj
t:::: \00 В о.. (l)
I
00
;:::s N
::Е
u
11j м lfjM ['-- 11jM М т--4 11jM
с';$ ['-- ['-- о ......-1 т--4 "!"!
Е oo 000 ммм
......-I т--4 ......-1
с) т--4 т--4
"'"
I
:I::S:; ""
cl)
u ::Е
о u
tt:: >: м 00 с"1 о ['-- 000 с"1 Ф ......-1
t::::: Е ф ['-- ,,! q 00 M 00 tf')
06 t'-- ['-- ['--
т--4 ......-4 ,......j C"i'C"i'M M M tr5'
::Е с)
::r:
:::::
::s::
r::::: ::Е 00
(l) \1') м lfj т--4 О O'J
u 11j tf') ['-- ф ['-- ф lfj
['-- ['-- ['-- 00 OOOO O'J O'J
(l) o o ooo 000
о 000 00
::Е .....-4
::r:
о
с\')
C\I ::Е 00 ['-- ф т--4
о.. u 00 ['-- ['-- C:.D ['-- О М ['--
t::: M \1') ['-- tf') C:.D 00 О ['-- О
00
u 000 о OO O O
""
::Е
u
........
00 M Ф 11j 0 ['--ф lfjт--4
lfj 00 о т--4 --::::r 00 ['--
00 O "! МОФ
.......-4 ......-4.......-4с:"1 -.....-4 MM
I C".I
О О ::Е
t::: u
..Q О
::r: tt::
ro :::::
SCl)::r:
о c-t cl)
t::::: cl)
t:::t:::
I
м Ф м Ф ['-- с"1 ...
"t "t "! ф ф м --::::r ['-- 00
... "t Oт--4
т--4 ......-I с"1 -.....-4 c"i' м
tf')
м м
то-! т--4
-.....-4
::Е tf') о tf')
::Е
м --::::r
i
о..
(l) I
::Е
м
C\I
о.. м --::::r * *
M lfj М M 11j M М --::::r \1')
о tf') 00 о с"1 trj
с"1 с"1 М М М
o..ro
cl) ::G
::Е t::::: 11j с"1 trj
О О N N М
::C м м
q
364
365
'"
;:::s
с
f\:)
с
j:::::
cl)
u
о
t:::::
::Е
::r:
:::::
:::;:
t:::::
(l)
(l)
:а
::r:
о
ro
c-t
t:::
U
о
u
х
Е
::G
t:::::
О
1J'j ф 00 ['-- ф
::Е 00 00 Ф о о 00 11") 00
::G 00 т--4 "t ['-- М ['-- "t q ф lfj "t lfj
о
.....-4 т--4 т--4 .....-1 т--4 .....-1 т--4 .....-1 М
ro
u
u
ro
::Е о --::::r М Ф О О lfj М ['-- 11j O'J М ['--
u
Ф Ф ['-- ['-- 00 00 00 00 q q о о о т--4 .....-1
cs с5 о о cs с5 cs о
о о о о .....-1 т--4
""
::Е М 00 ['-- ф 00 11") 00 ['-- М ['-- tn О 00 00 C'I
u "! "t lfj ф Ф о с"1 о М М о ф ['--
о о о о о о о .....-1 .....-1 .....-1 с"1 М М
""""-i
:1:::::
Q)
u
о
tt::
::Е
:з::
=
::Е 00 00 00 lfj 00 00 М 00
= u 00 00 00 00
. М М "t lfj lfj lfj lfj ф Ф Ф с:.о Ф ['-- ['-- ['-- ['--
Q) с О О О О о о о о о о о о о о о о о с5
'" ......
Q)
::Е
:з::
::r
о
""
t=
U
с\')
о ::Е о --::::r М ['--
u т--4 М т--4 т--4 00 lfj 00
"! М "t "t "t lfj ф ['-- lfj ['-- ['-- OQ. о .....-1 М lfj
о
с О О О О О О О О О О О О О
""
::Е
u
... ['-- --::::r м 00 о ['-- ['-- tr) ['-- о о о
с::: "! CVl "t 11":) "t ['-- q ['-- q N 11j q М ['--
.е cs о о о о о о о о о о о .....-1
с
""""-i
I С'1
00::Е
t::: u
..CI О
::r:
ro :::::
S (l) :З::
о (l)
t::::: (l)
t:::t:::
lfj М N О \1') \1') т--4 ['-- 00 Ф М ['-- lfj --::::r М
S 55
с
....
""
::Е
u
МфlfjМ MC"1 O ['--М['--С"1['--М ф 0"t""'1['-- oo
Ф с"1 ['--.....-1 1fl1': с"1 Ф ['-- ['-- --::::r о 1': С'Т1 Ф --::::r 00 ['-- ф 00
u-5'r--:ооО OOO r--:омФ 0\1') u-5' ФФu-5' ффC'i
.....-1 .....-1 т--4 т--4 с"1 с"1 с"1 с"1 с"1 М М 1J'j с"1 М
><
Е
с>
::g
u
s:..
Ioo.....i.
М N О 00 ['-- ф \1') М с"1 О М lfj М т--4 \1') --::::r М
"! "! с'! "! С'Т1 С'Т1 С'Т1 c't1 1fl1fl tq tq 1fl 1': 1': 1': Ф q q
.............-1 ......-4......-4 т--4 т--4 т--4 .....-1.....-1 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4
с\')
::Е
u
с"1 О 1J'j О Ф --::::r 11") --::::r --::::r М М Ф Ф о Ф о о \1') 00
"! Ф q M UJ О li.) O'J \1') ......-4 Ф ['-- ['-- \1') о \1') o q q
.....-1 с"1 c'f c'f c'i c'f м м м м м l1"5' 00 \1') 11")
""
::Е
u
1J'j 00 М М М М 11") ......-4 т--4 О ['-- о ['-- т--4 .....-1 \!j Ф о Ф
11") 11") lfj q CVl т--4 с"1 О 00 lfj q ['-- lfj м O
м tr5'Ф lfjфОО r--:ф м ф М\1') ФФмФu-5' OOM
т--4 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4 м
\1')00 00 lfjOO OO Ф О Ф 0От--4 M OO ФМОО
М О ['-- --::::r Ф о 00 00 Ф 1..tj CVl ['-- 00 о о т--4
C'fMM C'fM tr5' C'fм u-5'Ф lfj tr5'фф "';ф
т--4
"'
['--
т--4
00
т--4
о
М
::Е о \1') q
::Е lfj \!j Ф ['--
.
::Е
c-t
(l)
::Е
м
ro * * * *
cl.. М 11jф М l.(jф М lfjф[,--ОО --::::r lfj \1')Фооо lfjф
.....-1
366
..Q
C-tro
(l) ::G
::Е t:::::
О О
::r=
о
--::::r
\1')
о
lfj
ф
lfj
о
Ф
М
Ф
UJ
--::::r
lfj
м
Ф
lfj
*
ф
367
'"
;:::s
с
("с)
с
::G
t:::::
о
OOM[,-- \1')['--['--1J'j lfj OOMOO o
::Е O[,--M MO[,-- OO с'! ['--lfj т--4['-- 00 ['--
::G C"i'C"i'MM C"i'мм u-5'u-5' M M u-5'r--:cx5 M u-5'
.....-4
ro
u
u
ro
::Е
::Е t--4фО МОО ФОМ с"1 ['-- фООО1J'j --::::r00
u С'!С'!"1"1 MM \1')Uj 1fll11 фф['--['--ОО ф", 1': 1':
... .... .... .... .... .... .. ... .... ... ...
т--4 т--4 т--4 т"'4 т--4 ......-4 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4
"" т--4 00т--40 000
::Е 0 \1') ф ['--\1')м
u О 00 ['-- --::::r --::::rlfjфф\1') ФФ М t-- q
... ... ... .... ...
mм u-5' u-5' ф ['-- 00 ф ['-- ф фт--4м[,--о т"'4 М 1J'j
т--4 т--4 т--4
........
j:::::
(l)
u
о
tt::
t::::{
::Е
::r:
:::::
::Е OOOO O OOOO['--['-- ОООО['--ф \1') \1')
::::: u 00000000 О Ф Ф т--4 т--4 С'!С'!С'!
... .. ... ...
(l) ё 0060 00600 т--4 "('--4 ......-4 ......-4 т--4
.
(l)
::Е
::r:
о
ro
c-t
t:::
U
с\')
о ::Е --::::r Ф ['--\1')OMM C':I ['-- M OO Ф ['--
u "!1fl q Uj Мф 1fl0l ф['-- 00
о ё т"'4 т--4 т--4 т-= т-= c"i' c"i' м м м "'tr5' MM
'<:r
::Е C':IOOO O с"1 00
u --::::rМО \1')OMM OO т--4
[,--M ооф--::::r lfj ['-- ФМО 1fl
.:: C"i' MM м u-5'ФФ u-5'ф фоофC'iu-5' ['-- т--4
Е .....-I т"'4
с>
j:::::
(l)
u
о
tt::
t:::::
::Е
::r:
:::::
:::::
t:::::
(1)
(1)
::Е
::r:
о
C\I
c-t
t:::
U
I C"I
О О ::Е
t::: u
о
::r: tt::
(\f
!::f(l)::r:
;:::j c-t (1)
О (l)
t::::: t::: (l)
t::: u
о
::Е
u
><
c';s
Е
с>
.
OO
I':
C"1
О ['--ф
Olq
C"1
Uj['--.........
ос? ['--
M
Ф['--ОО О
т--4
т"'4 О 00 ['--
c-qc-q"!"!"!
т"'4 ['-- ф 00 м
lfjOO
r--:ооФ
M["- O
uj lfj М 00 .....-4
ФФМФ Ф
м --::::r lfj lfj Ф
ф 00 11") О М
M['-- UjОО
r--: 00 о c"i'
т--4
о
м
OO .........
oooo
мммммм
фОО ['--
l11"t cYlcYl"!
МОМфО
ОО От--4--::::rФ
т--4 т--4
['-- ['-- uj О
--::::r
c"i' c"i' c"i' c'i
м О с"1 О ['--
ОООМООф
Ф c'i u-5' 00
т--4 т--4
ОО['--т--4фоо--::::r
ф ф м м 11j ['--
C"1 Ф Uj м м c'i
lfj lfj ф ['-- 00 О
MOOUjO O
ФМООМ
OO Ф о c'i u-5' r--:
О Ф 00 Ф 1J'j
lfj --::::r
ММММММ
O[,-- OMOO
ОФ О ОО
оciооФмu-5'
m--::::rФОООМ
ОО['--фlfj
['--['--['--['--['--['--
c"i' c'i C':I c"i' c'i
ф lfj Ф Ф ['-- uj
M OOO
C"i' ФОООМ
т--4
oo oo['--
М ОФФ
фооооа)
oo o
......-4
OOMO[,--M
Ф Ф М
0C'i Mu-5'r--: О
C':I
м
м
::Е О О О
::Е 00 о
i
c-t
(l)
::Е
м
C\I 1fl * 111 * * *
io.,) *
\1') ф ['-- 00 О lfj Ф ['-- 00 lfjф['--ООО Ф['--ОО О
......-4 т--4
368
C-tro
(l) ::G
::Е t:::::
о о
""
::Е
u
M['-- фUj
ОФФ МUj
ФОФООФ
--::::r t1j lfj ф ['--
><
c';s
s
с>
u
. ....
ФФ1J'j О
c'i c"i' c"i' c"i'
с\')
::Е
u
[,--[,--M[,--OO
ф lfjфОО
u-5'Фr--:ооФ
т--4
""
::Е
u
.........
ООООФО
О \1')ф ф
Ф '" r--: c'i OO ['--
MM 11")
Офlfj ['--
ОО"'l""""4--::::rФ
Ф ФООФОМ
["-
о
['--
['--
lfj
['--
L11
['--
о
00
00
о
ф
ф
369
'"
;:::s
с
с
370
j:::;:
(l)
u
о
о:::
t:::::
::Е
::r:
:::::
::r
:::::
t:::::
(l)
Q.)
::Е
::r:
о
ro
о...
t:::
U
Е
о
О
.....
I
"1'
::Е
u
I N
О О ::Е
t::: u
о
::r: tt::
:::::
Q.)::r:
j:::;I c-t Q.)
О (l) ::r
t::::: t::: Q.)
t:::= u
::Е
u
ОО['__ ООф
0000000000['--['--['--
ММММММММ
ф 00
С'!"!
"'1" т""4
111tt1
00
['__ т""4
M
O
--::::r М
ММ
м ['__
['--
т--4 --::::r
т--4 ['__
1J'j 00
['--
lfj О
"!
lfj ['--
т--4
ООф ['--
ффФtn
-..:i-..:i -..:i
tnфОО
['__ M
C'i'cv5o
т--4 о т""4
lfjlfj['--
M [,--M
['--ффф
ММММ
оо Оф
ФVjм
Ф ф' м c'i'
M \1')
VjфоО
OO
OO
Vj ['--
MM
O O
оо фф
00 Mr--: м
т--4 M
['__ ф 00 \1')
00000000['__['__
ci
::G
t:::::
о
>-. ['--ООФO'J['__ О Ф ['__ ООфт--41J'jОО1.!") m--::::rмоооФ
::Е OOMMMM OOOO OO ['-- М lfj Ф 00 О МФФС"1--::::r
::G --::::r u-5' ф r--: OO о u-5' ф ['__ ф о фr--:ооф....; 00 ф о C"1 М lf5
.......
...-.4 т--4 т--4 т--4
ro
u
u
ro
:Е .
::Е ooc--::::r C"'\IО ФОlfjОО ['__ M['__Uj
u M['__ Uj ['__
qqqq 00 т--4 т""4 с"1 М --::::r lfj 1J'j lfj ф
т--4 ......-4 ......-4 ......-4 с"1 c'i' c"i' c'i' c'i' c"i' c'i' c'i' c'i' c"i' C'i'C'i'C'i'C'i'C'i'C'i'
"" 000000
::Е 00000 000000 000000
u О['__Т""4 ф t--4м оФ MO['__11j --::::rмОМ
00 1J'j 00 М M ....; tr5' 00 О МООМ<.6Ф 00 tr5' c'i' 00 tr5' <.6
т--4 т--4 с"1 C"'\I C"'\I М C"1 MMM mmm--::::rUjlfj 11jфф['--ОО
j:::::
(l)
u
о
о:::
t:::::
::Q
::r:
:::::
::Е 00 ['__ ['__ ф
::::: u 00 ['__ ['__ ф 00 00 ['__ ф uj 00 ['__ ['__ ф 1.!")
ММ ММ мм "t"t"t"'t lfj lfj uj lfj 1.!") lfj t--:t--:
... .... ... .... ... ... ... .... ... ... .... ...
о т--4 т--4 т--4
..... ......-4 т--4 т--4 т--4
(l)
::Е
::r:
::r
о
ro
c-t
t:::
U
с\')
о ::Е м ф т""4 ['__ мфт--4 OOUj O'J OOUj OO M
u Uj фМ т--4 t'-Ф--::::r t--4фlfj Оф OO M 1J'jUj
о o u-5' ф <.6 00 tr5'<.6r--:сОоо ['-- 00 ф ....; C"1 mТ:C'i'м Ф
.......4 т--4 .......4 т""4 т--4
""
::Е
u ['-- ['-- ['-- 00 ['__ о 00 О "'1" ['__ с"1 f' 00['__0
О Uj['__ С"1 --::::r 000 00 \1') м 00 с"1 O'J ООф
.:: м u-5' r--: ф ф ф c'i' ['__ МФОФМ MooMcOcv5C'i'
....
т--4 .......4 ...-.4 с".1 C"JMM mm--::::r--::::rtnФ
о
.......
Е
о
ф фМ11jООf''''1''
0--::::r00 000
мr--:ммо u-5'Ф
OMOOM[,--
C"1 MMM
ФО О
['__OOO OO
ФОТ:ОМC'i'
ф ['__t'-Ф\1')
lfjlfjФ['__ОО
[,__фlfj ООО
0000000000['__
ММММММ
О О \1') ['__
O['__0т--40
C'i'ФФr--:
МCV':)М 1J'jФ
ФОО МФФ
"'t "! ['--.. tq
['--ФC'lТ''''400
lfj OOM
MM \1')
фОМфt"-['__
ФОМООМ['__
ФC'i' 06м
C'lMM
--::::r
О О
::Е
::Е т""4
i
c-t
(l)
::Е
м \1')
ro *
i-.,) ф ['-- 00 о с"1 lfJ Ф ['__ 00 00 O lfj 00 ф О C'I Ф
т--4 т--4 т--4 т""4 т--4 т--4 т--4
C-tro
(l) ::G
::Е
о о
::Е
u
.....
OOf'\1')MO OO
ОООООО O'J
MMMMMM N
с\')
::Е
u
OO['--['--Mtn--::::r
фO'JМ ОО О
Ф о Фcv5и-5оо
Т""4 NNС"1МММ
""
::Е
u
O lfjOtnOO
t--41.!") т--4фОО
Оr--:оОоО ОМ
NМ ['__ОМ1J'jФ
N C"1
C"1lfjO--::::rООО ОО
OO[,__Ф ОО ф
мtr5ciNФr--:Ф
Т""4Т""4т--4 C"1
о
О
О
О
О
о
C'I
т--4
*
с"1
1.tj
т--4
l1j
371
'"
;:::s
с
f"C)
с
c€
::G
t:::::
О
ф lfjООМ['--О O Ф ['--ОО ФОООООtfj
О['--С"1 ФO'JМ 00 1fl ['-- ФФ М ФС"1Ф
::Е ОО Ф ... .... .... .... .... ..
::G 60C'i'u-5' O M т--4 м \1') Ф
.....-I т--4 NNС"1 т--4 т--4 т--4 с"1 с"1
ro
u
u
ro
:Е
::Е ОО 1J'jМт--4 МФ ФО lfjMt--4М ФОlfjC"fjт--400
U ф['--['--ОО ОО O M 1J'j М \1')ФФ
C'i'C'i'C'i'C'i'C'i'C'i'ММ С'1М ММММ ММ ММ ММ
"" 00000000 00 0000 00000t(j
::Е --::::rМООООО o q q qq ooooo
u .... .... .... .... .... ....
ФФОС'1ооtr5 ФФ м 00 с"1 т--4 00 с"1 М
['--['--OOт--4C'1M \1') О т--4 \1')OOt--4Ф [,--O'J ОО
. т--4 т--4 т--4
j:::::
(l)
u
О
tt::
t:::::
::Е
::r:
::::: ОО[,--Ф1J'j--::::r
ООООф\1') --::::r 00 ['--Ф"Cj"
::;;: u O'J Ф O'J т--4 "1С'Т1С'Т1С'Т1 --::::r--::::r --::::r--::::r--::::r
t::::: ... .. ... .... .... ....
.... .. .... .... .... .... .... с"1 NN
(l) о т--4
. .....
(l)
::Е
::r:
О
ro
c-t
t:::
U
с\') ООМфт--40 ф 1J'j ['--фt(j--::::rоО
о ::Е
u Мт--4Фlfj --::::rф[,-- С'Т1С"! ['--[,--M Ф т--4
M .... .... .... .... .... ..
о o м-.::iи-5'оо cv5-.::iu-5' ['-- \1')OOO--::::r М
т--4т--4 т--4 C"1 C"1 "1"""4 MM MMM
""
::Е 00 м MOO ООООФМС"1
u МФ ОО"!' ОО
['-- ОООМ Ф OO Ot(jM ФОО\1')--::::rф
r--:омФ ... .... .... ... .. ...
.... .... .... .... .... .... .... ... с"1 т--4 т--4 t(j 00 --::::r --::::r
о о--::::rФфt(j т--4
,... \1')\1')Ф[,--ООO'JОт--4 ['-- 00 ОМ tfj 00 M [,--
...
о ......-4 т--4 т--4 N
::Е
u
['-- Ф м Ф м O'J \1') м О ['-- М О Ф О 1J'j "1"""4
>< --::::r "t"t OO", ['-- ['-- с"1 с"1 с"1 т--4 т--4 О О О q q
а \1') tfj 1J'j t(j t(j tfj t(j Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф ['-- ['-.. ['-- Ф Ф
о
. ....
I
""
00 ф Ф О с"1 О Ф О М М М Ф О 00
u q lfj cq т--4 О О "1"""4 ['-- О t'-:q Ф м
>< м Ф 00 ['-- О О cs lfj т--4 00 М
м lfj О 00 00 с"1 tfj Ф Ф Ф м O'J 11j ['--
Е ['-- 00 О т--4 Ф с"1 М --::::r Ф 00 О О uj
о ......-4 ......-4 ......-4 ......-4 ......-4 ......-4 ......-4 C'I C'I ......-4 м
j;:S:
(l)
u
О
tt::
t:::::
::Е
::r:
:::::
(l)
cl)
::Е
::r:
О
ro
c-t
t:::
U
с\')
::Е
u
""
::Е
u
::Е
u
.
м т--4
м м м
--::::r
\1')М Ф
Ф Ф 1J'j uj
.... .... ... ..
['--ОФФ
qq C'4
OOOO
1J'j Ф 00
ФОООООО
[,-- MO
--::::r ooc5
м О Ф
Ф['-- О
т--4
М ООO'J
"1 qq
--::::r м
M Lfj
Ф 1J'j --::::r ['-- \1')
qqcr:.qcqC'4
--::::r
--::::r с"1 ['-- О
t--4"t I': "!
ФС"1000 lfj
ф['--['--фО
......-!
"cj" т--4 "cj" uj
C"!C"! "t "!
с"1 Ф lJ") О 00
['-- --::::r --::::r ['-- ......-!
['--OO O C'I
М ['--['--фО
"t "1 Lf1 q t'-: "t
......-4 ['--M O
МММ Ujф
м
lfj
0 \1')"I"""4
111 1fl "'
1J'j 11";) uj 1J'j 1J'j
--::::r Ф ['--
"t"tI':C'Т1q
ОМФ
о --::::rФ
т--4 т--4
""" с"1 Ф ['--
"tФМО
Ф Ф -.::i
"I"""4 оооФ
C'lМфООО
......-! т--4
O OO M
cq q "t
00 C':I т--4 00
М \1')ФФ
::Е р< q q
--::::r Ф
::Е
::Е
о..
(l)
::Е
м * * *
ro
О О с"1 uj 00 О с"1 --::::r ф 00 О lfj 00 О
......-! т--4 т--4 т--4 т--4 N т--1 N
372
OC"\l
::Е
Oc.;
ro::r:
е tt::
О :::::
t::::: (l) ;А
t:::"'"
O
t::: 8
C-tro
(l) ::G
::Е t:::::
О О
uj Ф
I11cYl
\1') О
--::::r lfj 11j
с"1 O'J
"t
\1')
Ф О
lfjф
с"1 М
t'--:"1
['--
с"1 М
Ф
о
--::::r
т--4
......-!
О
uj
*
lfj
т--4
О
Ф
т--4
Ф
О
00
00
373
'"
Е:
;:::s
'-'
с
('с)
с
::Е
u
M OO\1') t(')M\1') 000 001J'jN Ф
>< ['-- ['-- 1': 1fl ф \1') ['-- ['-- ['-- lfl tq
['--['--['--['--['--['-- ['--['-- 00 00
t::
о
I
j::S: "" ФОООO'J--::::rNо--::::r1J') \1') ['-- о мо --::::rФ
::Е
Q) u t--4 ом\1') 1J'jОО т--4 М Ф[,--Ф1J'jООФ
u ФФМu-5' ом c-iФФ u-5'м
о О \1')
tt:: >< м\1')фф O':JLn ['-- М\1')Ф Ф
OOt--4М('--т--41J')м--::::rм O М O'J
t::::: Е
о Nmmm--::::r--::::r1J')1J')ф 1J') ['--OO
::Е
::r:
:::::
::::: ::Е
t::::: N О['--1J') ООФО мо Фмт--4 \1')
(l) u N OOO 00 00 ['--['--['--ОФФlfj
ФФФФФФФФФ ФФ r--:r--:r--:r--:r--:r--:r--:
(l) . ....
::Е
::r:
о с\') МNФФ \1')
['--[,-- M(,-- ['-- 00 т--4
ro ::Е Ф--::::r МС"1['--['--\1')11j т--4 ['-- 1': "! 1': с'!
c-t U МN ОФu-5'оо
t::: \1') 00 00000000т--4
U м--::::rФооом--::::rоо ['-- lfjOOt--4--::::rO':JМФ
т--4 С"1 N т--4 т--4 "'MMM
"" ОО('--О['-- ['--Ф О Ф "'f" о--::::r['-- Ф
::Е 1': 1': q 1fl "! С'Т1 00 м cv") 00 lfj
u С"10['--NО ОФ \1') r--:r--: оФФФ
С"1ФOJФС"1['--1J')фт--4 ['-- --::::rФ[,--О [,--
. ООO'JомФоом--::::rо 00 т--4 ['-- ['-- 0['--т--4
т-т--I C"1 C"1MM NM \1')\1')Ф['--['--ОО
ОC'l
::Е
о u ОLпОООО--::::rОО --::::r 00 00 о Ф Ф
::r:
ro tt:: ООФ МLп['--С"1\1') М 1J'j ['-- ['--т--4
S (l) ['-- с5 O'J Ф О 000 oor--:ФФc:ri'м
о C-t.....
(l) ::r: Lп1J')<DФ[,--O'J ФФ ['--OO O M
t:: Q) т--4 т--4 т--4
О :т
t::
о q q
Ф ['-- 00
О О О
::Е 00
::Е с"1
i
c-t
(l)
::Е
м * *
ro -oi..,,) NМ"'f"ФООО \1')О Ф фООО lfjООО
......-4......-4 т--4 NМ M
О О 11j
...t::) о с"1 N
N N
c..ro
(l) :Х:: о
с"1 lfj
О О с"1 с"1 N
374
c'd'
::G
t:::::
о
::Е
::G
.....-4
U
U
ro
I
j:::::
(l)
u
о
I
:s
::r:
:::::
:::::
t:::::
(l)
(l)
::Е
::r:
о
C\I
c-t
t:::
U
u
""
::Е
u
.
о
.
о
о
с\')
::Е
u
о
""
::Е
u
о
т--4 lfj о
"t lfl
lfj
т--4
00 О
['--OO
ммм
00 О
qqo
--::::r
['-- о \1')
с"1 М М
::Е
u
00 Ф
['-- ('-- ['--
с"1
ltj ['--
OlqOl
11j O'J --::::r
м м --::::r
с
,...
МФ
О ФО
c-iooo
--::::r
т--4
с"1 O'J
О М 00 т--4
M MO
M--::::r
['-- lfj ['-- 00
q ,,!"1
0000
0000
o
['-- --::::r м с"1
М lfjф
00 ['-- lfj м
O'J
C"i'C"i'
Ф
C'Т1C'Т10l0l
\1') 0
--::::r \1') Ф r---
['-- ['--
O
О ['-- ci
Фо['--м
мм
['-- lfj ['-- с"1 --::::r
фом 1J')о
--::::r r--: 00 м 00 м r--:
с"1 с"1 М М --::::r
О 1J'j ['-- 11j м о
м м м --::::r lп Ф ('о-
0000000
0000000
u-5'Фr--:u-5'о о
lfj м O'J ['-- М
lfjФФ['--ОО
00 ['-- -..о --::::r м
т--4 т--4 .....-4 .....-4 "!"""4
МММММММ
NMMlfj OOC"1
lfj \1') 1J') о о
c-iФоооu-5'c-iо
1J') 1J') Ф Ф ['-- 00 о')
ОО ООТ"'"" ФМ
"1 [,--ООФ 'qt
u-5' o r--: а)
['--cY)OOMOO
10'.1 CV") М --::::r --::::r 11j 1f)
['-- <.DФ
"'f" Ф ['--
ОМОООМ
м м --::::r lfj
lfjO'J MO
ooooo
u-5'u-5'u-5'
00000
00000
ФФООООО
['-- o
['--['--
ООФ--::::rм
Ln 11j ltj \1') 1J'j
ммммм
фl/j ОО
00 00 ['--
00 м Ф v-5'
('о- ['-- о
OOltjM N
('о- --::::r ['-- --::::r O'J
ф О ci u-5' o
O'J 11j ['-- 11j
1J')Ф['--СО
375
с""\
t:::
;:::s
с
а
::G
t::::
О
['-- 0С"1000Ф Ф ОМ lfjф т--4['--О
::Е ФO'JооФ--::::rОС"10\1') --::::r tq С'Т1 q 1fl
::G
.......-4 ФФC'iоо о,.; r--: ['-- М т--400ФММ
ro ММ \1')Ф[,--[,--ОО --::::r 1J'j ФФ['--ОО О
u т--4
U
C\I
:Е
['-- Ф--::::r о\1')O'J[,-- т--4 с"1 \1')M O M
u М \1')Ф['--ооооо Ol ['-- OQ. q "! С'Т1
u-5'u-5'u-5'u-5'u-5'u-5'u-5'u-5'Ф \1') ф ффф['--['--['--I'
t
"" 000000000 00 0000000
::Е qqqqqqo qo 00 o q
u мФФм--::::r Моо 1J'j 1J'jфUj ['--ОО
['--lfjМO'J ООФ М \1') Ф ['--00 т--4 00
О М\1')Ф ом ФОО ['--ОМ Фт--4lfj ['--
....... т--4 C"1MMM
j:::::
Q.)
u
о
tt::
t:::::
:Е
:r::
::::::
::Е оо['--Ф--::::rМ"'I"""'\"'I"""'\ ООФ ООф Мт--40O'J
::::: u O'JO'J ОО ММ qqqqq
t::::: cv5mcv5cv5MMMMM
(l) ::> --::::r --::::r
. ....
(l.I
::Е
::r:
о
ro
c-t
t:::
U
с\')
о ::Е ф ('-о ['--00 C"1--::::r ООФ lfjO'J OO
u фОlfj['----::::rФt'-ФО C'Т1 "11fl1fl q
00 u-5' м u-5' Ф r--: c'i м
о с ООМ MM O[,--т--4['--
От--4 М Ф['-- М \1') о --::::rФООт--4
.....-4.....-4 .......-4 т--4т--4 MM
""
::Е ОUjО С"1МООФ Ф с"1 оо --::::rФ оо
u МО['--['-- ['--М \1') lfj ql': qC'! q
фu-5',,;фф r--:оооо 00 lfj ['--Оф['-- ОО
с:: оФФ['--ООООМO'J \1') о --::::rlfj ['--['--0000 00
"8 [,--оооо о м--::::rФ т--4 М M\1')OOт--4M
с т--4 MM
""""-1
376
I
=r
о
j::::
о
о
u
::Q
м
х
о
х
о
cтj
(l)
м
cтj
О.
cтj ..
::Q
о
O
о
= о
=r
о ..
M
О
::::
O
= о
r:Q
cтj (l)
'"
= 5
(l)M
=r
cтjU
= ::::
м
O
\Ocтj
О
::::
о
cтj
о t)
= м
r:Q ::::
о"........,
u"'"'"
::::
o..
(l)
о
t= t)
о
=
Ф
ооф
1['--
ФI
\1')
OO
Uu
00
I I
М М
Х t::
o
1J'j
х U
о
1J'j
о
о
ф
ос)
1
<=
.......
ос)
u
С
cтj j
= = (l)
:::: =
so
а
I
I
::::o
о cтj
о =
g
j:::: ::::
(l) =
t
=
f5
,м cтj ,м
M
:::: u
o.. =
ro
I о.. О
I (l)
::::
ti ;
:::: о ::::
о = е
(l)tS
cтj (l)
j:::: =
(l) I ::::
S O
cтj =
м (l)
о B
r') о
.. ::g
:::: = S j
r'\ (l) """"'
:::: (1) =
s =
I = :::: (l)
r:Qu'"
u o
::::
:::: cтj =
= cтj (l)
,.., \ r'\ ::f
s:: I I
cтj I .
= .'"
м ---... ::::
о ... :::: ...
\о :::: ::f
О
о = о
::::
.
Q)
:s
=
t:r
Q
Q
=
Q
=
=
с'4
с..
Q)
=
==
Q
""-
.
о::
с'4
=
с'4
E-t
с'4
Q.)
t:r
о::
с..
Q
..Q
E-t
U
t::
;:!'
;>...
.......
q
::Е Ф lfj uj --::::r о O'J 00 ['-- Ф
u --::::r \1') lfj 1J'j tf") ['-- Ф Ф 00 00
..... о 00 00 000 oo
м
::Е ф o o ф М ['--
u
j::s:1 ММ ММ Ф['--
(l) о 00 00 000 ОТ:
u
о .
tt::
t::::
""
::Е ::Е 1J'j Ф Ф ['-- МОО
u "tl1'l 1J'j O'J q
::r: о 00 00 o
::::: с"1
:::::
t::::
Q.)
::Е
(l) 00 M o ['-- Ф 1J'j lfj
::Е u ['-- qO'? 00 "!"t"! "!"t
::r: . о 00 т--4
::r
о
ro
с\')
t::: ::Е М с"1 с"1 М O'J
U u --::::roo
Ф 00 ['-- "t 1fl
=t о 00 00
""
::Е о r--- M ФММ 00 --::::r
u ['-- C'! 1J'j ф о O'J ['-- q
о MM --::::r \1')
ОC"l
..J:I ::Е
oc.;
::r: Ф МФ ['-- М
g tt:: ['-- 00
"t O'J --::::r "!
о :::::
t::::: (l) ::r: NM NM
t:::(l)
О
I:j
М
CI:: lfj о
М
::Е
::Е
::Е
М M M M lfj tf")
(l)
::Е
м
ro
Ф о о 11j о
..,.....4 М
uj о о о
N М М
C-tC\l Ф
(l) ::G * lfj *
::Е t:::: '-..... '-..... М
О О \1') '-..... '-..... ............
М М --::::r
377
;:::s
с
с
::Е 00 т--4 О М т--4 O'J ['-- с.о lfj ['-- М с"1 т--4 О
u ['-- ['-- 00 т--4 0 .. "t "t "t "t"t"t"t
00 ... ... .... ...
00 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4
. ....
с\')
::Е ......-40 uj --::::r \1') ['-- \1') M OOM \1') 1J'j М 00
u OO 00 о "1 ф", ФО OOM OO OO
j;::::: ?; 00 О т--4 т--4 т--4 C"iC"iM MM MM
(l)
u
о
о::
"" с"1 ф 000 с.о ф \1') 00 lfj 00 uj ['--o
::Е ::Е C'Т1 qlfl I':"t "l "l o ooo с.о ф lfj
u C'i ФОО C"i ФОО
::r: . т--4 с"1 М --::::r l1j ф ['-- O'J Ф
т--4 т--4 т--4 т--4 т--4
.
Q)
::Е О Ф Uj M М 00 ф \1')
00 O 00 ['--
(l) u --::::r ф lfj 1':1': qqqq q qq "l "1C'1C'1c-q
::Е
...... т--4 т--4 т--4 т--4 т--4 т--4 C"1
...... . ....
о
ro
о. с\') т--4 О M OO oc.ooo 00 т--4 00
t::: ::Е 11j о N 00
U u "tq СХ2.С'Т1 О ['-- 1'-:1fl"l т--4 О 00 О Mlfj
т--4 ММ М --::::r lfj ['-- tr5'Фr--: lfj ФООФО
'<:J' 00 00 00 ['-- Mт--4 O т--4 с.о с"1 О с.о ['-- 00
::Е
u "t т--4 C'1 c-qqС'Т1 --::::r "t С'Т1 ['-- ql':C'Т1
uj ф ['-- M Ф М М ['-- \1') ['-- ОФ
т--4 т--4 MM М --::::r 1J'j
O
...CI ::Е
о u
::r: OOOOO c.oo 1J'j ['-- ['--
ro tt:: --::::r0 с"1 ['-- 00 т--4
g (l) ::::: 111 o qq Ujффф lf1 "l c-q
о C-t::r: с"1 с"1 М M --::::r\1')['-- tt5Фr--:оо lfj с.о ['-- 00
t::::: (l) (l)
t:::
О (l)
t::: u
['-- о М о lfj t"-:
т--4 N N с"1
О \1') О О О lfj О
l1j 11j ф ['-- с.6 r--: 00
::Е
....:'
...CI *
c-t -.....:1 M М --::::r --::::r uj --::::r 11j ф 00 uj ф ['-- 00 lfj lfj ф ['-- 00
(l)
::Е
м
ro
00 ф о О uj О
с"1 М М --::::r lfj --::::r с.о
lfj О Ф М lfj О \1')
lfj \1') ф ф ['-- ['--
o..ro Ф О * 111 lfj
Q) с"1 "! М lfj "
::Е '-.... М " " " lfj
ь " tr) " ф С'Т1 uj "
lfj ф ['-- ['--
--::::r uj ф
::Е
u
,О
::G
ro c\f
u
u t:::::
ro о
........
ro
::r:
о
+--J
ro
::r: :i
u
о о
""
::Е
u
::Е
u
О
01
О
с"1 Ф
['--
111
т--4
00 ['--
ММ
00
['--
"t111
00
00
o
т--4
O'J М
tr)
00
00 --::::r ['--
"t0lc-q
т--4 ......-4 с"1
11j
00 00 ['--
ммм
O О o
ФС"1
--::::r
0""""'-""""'-
с"1 l'
"1"1
......-4
ФМФ
Ujфф
000
фф
"l
с"1 с"1
--::::r
M
1111J1
00
00 О
фо
00 с"1
M
......-t ......-4
со
t'-- 00
00
00 о
ф с"1
"1""""4
с"1
00 ['--
"1"1
00
00 ['--
М t'--
"1""""4 т--4
['-- т--4
111
........ .......
--::::r 00
фф
00
Ol"t
M
00
"t"t
00
т--4
О lfj
с"1
о 11j
фф
т--4
с"1 Ф
['-- ['--
o o
ф
OO
с"1 М
ф
00
--::::r
00
--::::ro
1':1J1
M
с"1 t'--
СХ2.СХ2.
00
00 00
0 c5
['-o.. MM
O'JфО
ММ Ф
['--ФМФ
O'JO'J ОО
мммм
o ooo
Lr) ['--
с"1 --::::r с"1
u-5'Фr--:Ф
MOO O
qq "l
с"1 с"1
т--4 uj ['--
O'J O'J О
О о О т--4
::Е
u ММ ММ M
.5 --::::r --::::r т--4 О 00') 00 00 ['-- ф ф uj
М uj tn lfj фф ['-- ф ['-- ['-- 00000000
j::::: Е о 00 o o 000 00 00 00 00 o ooo
(l)
u
о . ....
tt::
t:::::
::Е
::r:
::::: с\')
:.:s Ф uj lfj М ......-4 C'\I uj т--4 с"1 ['-- 00 00
::::: u М ['-- O
t::::: I "l"1 с"1 М "tlfl ['-o.. q 11j ф CX2. "1 t':q
(l) ?; О 00 00 000 00 00 00
т--4 с"1 с"1
(l)
::Е
::r:
о
ro
о. ""
t::: ::Е
U u М c:.o 00 11j ф ф O'J М Ф с"1 00 с"1 lfj ['-- М Ф 00
ё: т--4 "lc-q C'-J М 111 t'-- cq qC'Т1 ['-- о lfl с:.о qt':"1111
"8 о 00 00 000 ......-4 0""""'- ......-4 ......-4 с"1 с"1 М М --::::r 11j
378
с"1
М
О
['-- т--4
с"1
"t"t
00
"l
О
M
"t111
00
ф
00
о
""J'
00
o
uj \1')
00
379
380
;:::s
с
\с:)
с
::g
::G
.....-4
ro
u ::G
u t:::::
ro о
::E
ro
::r:
о
5t:lO
....+J
ro
::r: :i
t::::: U
о о
::Е
u
"")
::Е
u
6
::Е
u
j:::::
(l)
u
о
tt::
t:::::
:Е
::r:
:::::
:::::
t:::::
(l)
(l)
::Е
::r:
о
ro
c-t
t:::
U
I
ф 00 00 ['--
м т--4 ['--
u-5' u-5' ф
Ф 1Jj т--4 О
['-- ['-- ['-- ['--
lfj 11j lfj 1Jj
oo oo
['--ф т--4
"t0l
т--4 M
т--4
О 00 с"1
qo q
с"1 с"1
фО ['--
"!С'Т1"'1сУ1
т--4
::Е
u
['-- ['-- ф ф
qqqq
с:
'6
;::s
. ....
с\')
::Е
u
00 1Jj с"1
tqq
с"1 М М --::::r
""
::Е
u
"е
Е
01Jj
"t1fl
ф ['-- 00
м
ф['--м
['-- Ф 1Jj --::::r
u-5' ф ['--
ф
О
--::::r
О
j:::::
(l)
u
о
tt::
t:::::
::Е
::r:
::=
::r
:::::
t:::::
(l)
(l)
:Е
::r:
о
ro
c-t
t:::
U
ф lfj 11j О
MCVJMM
o ooo
00000
О т--4 00
c"i --::::r ф ['--
т--4
I
00
"!
--::::r 00 с"1
cY1"t"t1fl
с"1 с"1
\1')
О
..Q I сь C'I
::E
Q,)u
;:::1 (l) u
о t::: о ti
t::::: о ::=
t::g::r:
т--4
['-- lfj
"!"!"!
"I"""'4 т--4
00
q
О
00 00 ['--
qqo q
т--4 т--4
::Е
::E
c-t 'io.,)
Q,)
::Е
м
ro
о
"!
с"1
CVJ
['-- ф т--4
.... ... ..... ...
C"1MM
--::::r
м
1Jj
--::::r 00 ['--
C"!"t
['-- 00 О
o..C\I
(l) ::G
::Е t:::::
о о
=
ес:
::Е
u
.
o
"t
м
:::s
u
00 00
"!
мм
"" 00 IJ")
::Е Ф 00
u
::Е
u
.
ф 1J'j
lfj 1J'j
м
::Е
u
1Jj
['-- т--4
['--
""
::Е
u
00
Ф O'J
00
ф lfj
м 1Jj
ф-r--:
['--
с"1
О
00
lfj Ф
о
lfj
о
00
IJ")
"-..
00
ФIJ")
1': r-....
т--4
00 м Ф
lfj
u;фr--:
00 1J'j
r-....
1Jj 00
M
M O
1Jj IJ") IJ")
с"1
['-- 00
00 м
O-;o
......-4 .....-4
Ф ОО
ОФОО
C"1 о-; ф-
lfj ltj ф
1J'j С'1 ['--
ф
cx5O-;6
......-4
ф ['-- 00
О
с.о
О
00
*
ф
"-..
00
ООООФ
1J'j 1Jj lfj
т--4
м т--4
1Jj M
ф-
['-- 00
c.o o
['--
........
00 00 lfj
c.o
['-- с.о
О IJ")
т--4
00 00 ['--
lfj 00
U;OO
Ф['--O'J
ф 00
tq
['-- 00
О
М
О
1Jj
lfj фОО
ф
lfj
о
ф
1Jj
"-..
ф
O'J 00 ['-- 1Jj
[,--М[,--O'J
ф-r--:ооо-;
OO OO
tqq,,!
О Ф['--
MMM
0 00\1')
"!
MMCVJM
00 с"'1
tq q"'1
Ф м
т--4 с"1
ф с.о 11')
ОО Ф
оо фм
т--4 1Jj
......-4
00 ['-- ['--
tq q 1fl
O'J т--4 lfj
т--4 т--4
"1
м
q
о
с.о ['-- 00 О
м
с.о
о
О
С'Т1
с.о
"-..
О
........
IJ")
т--4
OO
['-- ['-- ф
r--:ooo
т--4
фОО
"!"!
00 с"1
М uj
00 lfj
ммм
['-- 1J'j
Ф м
1Jj
qC'Т1l11
--::::r 00 IJ")
IJ")
т--4
м м ['--
"!I':
1Jj
т--4 т--4
['-- 00 О
lfj
ф
о
о
*
tq
Ф
"-..
О
000
qOl
O
"t"!
00 о
........
1Jj --::::r
lfj
M
tqtq
мм
т--4
C"!
M
с"1
11j
с"1
--::::r ['--
т--4
lfj м
--::::r q
т--4 М
\1')
ФОО
о
['--
о
['--
"-..
O'Jоос.о
С"!С"!С"!С"!
C"1
['-- с"1 Ф
00 1J'j
м ф ф
т--4
CVJIJ")f'
['-- OO
моОф
['--0о0т--4
т--4
0001J'j
qQOlOl
CVJM
['--с.о['--['--
C"!C"!Q
ФО['--
MM
м т--4ф
lfj ф ф ['--
ф-u;
ф
MM
с.оооос.о
qqt--:"1
lfj M
т--4
r-....
м
О
['--OOO
о
00
IJ")
00
"-..
IJ")
381
;:::s
с
с
::Е 00 00 t(')--::::r 0 с"1 о OO['--
u 1fl1fl 00000000 \1')lfj\1')\1')
...... .... .... ... мм cv5cv5MM
с"1 N C"1C"1C"1
.
с\') ф МO'J ['-- О 00\1') М М
::Е C"100 N с"1 OO OO
u т--4 C"i'oo .... ... ... ....
.... .... .... ... \1') ['--
МФт--4\1')
j=:;: ?S ['-- NC"1MM c'f') СУ') --::::r \1')ф
(1) N
U
О
tt:: Ф --::::r M \1')O ['-- Ф ФМ['--Ф
2r "" ОО['--Ф С'Т1С?. М ['--Ф
::Е ['-- tq ... .... .... .... ['-- ф Оф
::Е u O'J \1') Ф--::::rоо Ф с"1 0О1J'j
::r: т--4 ОООМ['-- СУ') \1')Ф
::::: т--4 т--4 ......-4 с"1 с"1 N
:::::
t::::: \1')M OO
(1) ::Е ['-- M OO О ['--
Cfj
u т--4т--4т--40 I':
(1) u-5'tr5'u-5'u-5' \1') \1') фффф
::Е . ....
::r:
о C"1l.tj ФМ
с\') \1') \1') М М\1')Ф--::::r
ro ::Е о --::::rФ .... .... .... ..
c-t ... ..... .... ... ООМ ['--Ф
t::: u oor--: Ф М
\1')Ф['--ОО ['-- O Mlfj
U M т--4 т--4
00 \1') ['-- C"1 00 Ф ФМОО
"" "!1fl O OOO
::Е Ф --::::r \1')C"1 фоооф
.... .... ..... ....
u cv5 lt")Ф ['--
ОФОО \1') ФО
Ф --::::r lfjOOO
M фф['--ОО т--4
т--4 N
..!:I I
I (1) C"I M ['-- ['--['--
::Е O ['-- 00 --::::r N
(1) (1) U ON OO O['-- МФ 000000['--
s" c-t U .... .... ... ... ООМ r--:мФ
0(1)0 ti 00C"i' N\1')O--::::r с"1 М MM
t::::: t::: ::::: с"1 C"1MM
t:::°0 ::r:
t::: ::r:
о М 1':
q О О
N М
т--4
::Е
::Е
::Е 000 O O N Ф
о... т--4 т--4
(1) т--4 т--4
::Е
('1')
ro
О О О l.tj
о
т--4
о О О О
Ф 00 о
т--4 с"1
\1')
C-tro О
(1) :х:: т--4
::Е t::::: '-..... '-..... '-..... ......-4
О О Ф 00
т--4 т--4 О
ф М ['--
"t
т--4 т--4
ro ci ['-- ['-- О ['-- МО --::::r т--4 О 00 М OO['--
::G "tq МММ ['-- ['-- lfj ['-- q"'1 qq q "'1
u фr--:оо
u lfj ф ф 00 ['-- 00 ['-- с"1 00 с"1 00 О \1') 00
ro о
т--4 т--4 т--4
ro
::r:
о tS ф ['-- Ф --::::r --::::r 0 М C':I т--4 ['-- lfj --::::r О O ['--ф--::::rо
t:::::
::G.+-J 00 00 --::::r 00 00 00 Ф ОО ,..-.4 т--4 т--4 00 0000
ro ММ lfj \1') lfj МММ ММММ "t"t --::::r
:r: :i
t::::: u 06 000 000 0000 000 00 0000
о о
I ""
::Е 00 OO M MM 0000 O OO 00 0000
u lfj qq tq"!"'1 tq о Ф ,..-.4 00 ['-- oo
... .... .... ....
М lfj О Ф O OO ФООО OO Ф l.tj --::::r --::::r 00
с"1 с"1 с"1 М М --::::r М \1') --::::r 11";) r--- 00 О
::Е
u
О lfj
ФФ
с"1
['-- Ф
tq
::Е
u
М ['--
т--4
т--4
lfj --::::r
qqq
M
Ф 00 ф
С'!С'!"'1
MOO O
с"! "! "'1
ММ мм
ФООО
"t"'ttq
т--4
00 ['--
"!"!С'Т1
ммм
с"1 Ф
lfj 11j Ф
"' ..
т--4
11j
11";) Ф
ММ
00 --::::r
11";) Ф
т--4
,..-.4 11j
00 C"1
.... .. .... ....
--::::r
0--::::rС"10
OOOO O
.... .... .... ...
u 000 O'J 00 00 ['-- Ф l!') ,..-.4 О MN Фl!') С"1
ё: 00 С"!"!С"! "!С"!С"! "'1"'1"'1С'Т1 --::::r "t "t 11";) 11j r--- ['-- ['-- ['--
j:S: "8 .... .... .... ...
(1) т--4 т--4 т--4 т--4 ......-4
u ;::s
о . ....
tt::
::Е
::r: lfj Ф ['-- Ф с"1 МФМ l!') О Ф11j
::::: с\')
::Е I':"! "1Ol т--4 "1 OOOM --::::r с"1 00 О lfj 0l"!1':
::::: u M --::::r lfj lfj М --::::r l!') tr5' Ф Ф 00 Ф ОО r--- 00 O'J ,..-.4 М Ф
t::::: I
(1) ?S т--4
[Q
(1)
::Е
::r:
о
ro ""
c-t ['-- 00 00 O'J ['-- О OMOO ['----::::r0 O M[,--
t::: ::Е tq tq"t I':I':"! "! "1"1 ['-- Ф M OOM--::::r
U u МООФФ
ё ['-- 00 М 1J'j ['-- т--4 C:"J Ф ОООМОО lJ') О ФN
т--4 т--4 т--4 т--4 N M с"1 М --::::r lfjф
Е
382
383
;:::s
с
а
::Е
::G
.....-4
ro C\I
u ::G
U t:::::
ro о
::E
ro
::r:
о
t:::::
::G
ro
::r: :i
u
о о
j:::::
(l)
u
о
tt::
t:::::
::Е
::r:
:::::
:::::
t:::::
(l)
<lJ
::Е
::r:
о
ro
c-t
t:::
U
""
::Е
u
::Е
u
6
::Е
u
мФ
т--4 --::::r
['--
т--4 т--4
т--4
т--4 О
--::::r --::::r
00
00
00
т--4 ['--
с"1 --::::r
т--4 т--4
00
"t1fl
--::::r
м с"1
О т--4
с"1 N
::Е
u
00 ф
6 1flq
"8
;::s
. ....
т--4 т--4
с\') 00
::Е С'Т1 tq
I U --::::r ['--
?1' т--4 т--4
['-- т--4
U "! 11j
ё: О 11j
"8 ['-- 00
Ф11jООФ
00 11j с"1
r--:O-;Mr--:
т--4 т--4 N с"1
о 00 \1')
Ф ОООО
мм мм
0000
0000
qq q
--::::r м с"1
т--4--::::rоо
т--4 с"1 с"1 с"1
MC"10
т--4 с"1 М --::::r
tr5'u-5'u-5'u-5'
ооФм
"! "! С'Т1 --::::r
N с"1 с"1 с"1
О ООф
"! т--4
с"1 с"1 с"1 с"1
т--4 с"1 М \1')
qqql':
о с"1 \1')
с"1 с"1 с"1 N
ОФ Ф
"t т--4 "t
о с"1 с"1
т--4 с"1 --::::r Ф
00
"! --::::r
с"1 Ф
N с"1
Ф --::::r
['-- ['--
мм
00
00
q
\1') 00
ф --::::r
с"1 м
00 ['--
q
11j \1')
--::::r с"1
--::::r 1fl
с"1 с"1
с"1 О
--::::r --::::r
с"1 с"1
Фм
q
Ф т--4
NM
--::::r 00
"t"!
\1') --::::r
ф
.....-4 ......-4
['-- --::::r м ['--
С'Т1 ['-- --::::r q
['-- --::::r
с"1 с"1 М М
с"1 с"1 О 00
oo
мм мм
0000
0000
0000
u-5'Mu-5'M
Ф О ['-- --::::r
\1')\1')Ф
О --::::r с"1
\1') \1') Ф ['--
фффф
М O'J
['-- q O'J
с"1 с"1 с"1 с"1
\1') --::::r м с"1
1': ['-- 1': 1':
с"1 с"1 с"1
['-- \1') ['-- ф
с"1 \1') lfj
00 ['-- м
M lfj
--::::rO'J
OOOlfj
М'tr5Ф Ф
ФОО Ф
с"1 с"1 М М
j::::
о
о
u
r:Q
х
о
х
м
ф
::::
cтj
(l)
м
cтj
о..
cтj ..
::Q
8
о
o..
о
=
=r
о ..
M
О ::::
S ::::
=
r:Q О
cтj
(l)
(l)
=
:::: u
=
(l)U
=r :s:
cтj
=
м cтj
О ::g
\o:s:
о @
о t)
м
О
=1""""..
r:Q
0"--'"
::::
u
o
(l)
::::
t=
о
ф
ООф
1['--
I
1J'j\1')
OO
Uu
00
I I
M
Х t::
o
х U
м
ф
о
о
ЛИТЕРАТУРА
\
1. Прикладная механика: учеб. пособие / А.Т. Скойбеда
[и др.]. Минск, 1997.
2. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов:
учеб пособие для техн. вузов/ И.М. Миролюбов [и др.]. М., 1985.
3. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев.
М., 1976.
4. Феодосьев, в.и. Сопротивление материалов / в.и. Феодо
сьев. М., 1986.
5. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред.
В.К. Качурина. М., 1970.
6. р"удеН0К, Е.Н. Техническая механика. Сборник заданий: учеб.
пособие / Е.Н. Руденок, В.П. Соколовская. Минск, 1990.
7. Шейнблит, А.Е. Курсовое проектирование деталей машин:
учеб. пособие для техникумов / А.Е. Шейнблит. М., 1991.
8. КИ1lасошвили, Р.С. Сопротивление материалов / Р.С. Кина
сошвили. М., 1975.
9. Ицкович, Т.М. Сборник задач по сопротивлению материалов:
учеб. пособие / [.М. Ицкович, А.И. Винокуров, Н.В. Барановский.
Л., 1972.
10. Дубейковский, Е.Н. Сопротивление материалов: учеб. посо
бие для машиностроит. техникумов / Е.Н. Дубейковский, Е.С. CaB
вушкин. М., 1985.
11. Шапиро, Д.М. Сборник задач по сопротивлению материа
лов: учеб. пособие для машиностроит. техникумов / Д.М. Шапиро
[ и др. ]. М., 1970.
12. Феодосьев, в.и. Избранные задачи и вопросы по сопротивле
нию материалов / В.И. Феодосьев. М., 1973.
13. Иосuлевич, Т.Б. Прикладная механика / [.Б. Иосилевич,
[.Б. CTporaHoB, [.С. Маслов; под ред. [.Б. Иосилевича. М., 1989.
14. Подскребко, М.Д. Сопротивление материалов. Практикум по
решению задач: учеб. пособие / М.Д. Под скреб ко. Минск, 2009.
\
Учебное издание
Николаенко Владимир Лаврентьевич
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА.
РАСЧЕТ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Учебное пособие
Ответственный за выпуск Н.А. Дашкевuч
Редактор Л.А. Слабко
Художник обложки А.А. Кулаже1/,КО
Компьютерная верстка В.Е. КО1/,О1/,юка
Корректор Л.А. Слабко
Подписано в печать 18.03.2010. Формат 60 х 90/16. Бумаrа О<})ССТllая.
rарllитура Pctcrsbtlrg. ПсчаlЪ оq)сстная. Усл. псч. л. 24,13. Уч. изд. л. 21,19.
Тираж 1500 экз. Заказ 0401.
000 ИздаТСЛlэСТВО rpcBHoBa».
ли N 02330/0552671 от 10.02.2006.
У л. Смолячкова, 16, 220005, Минск.
ОтнсчатаllО в ТИIIОI'раq)ии ОАО «ПРОМllсчать»
ЛП N 02330/0494112 от 11.03.2009.
У л Черняхонскоrо, 3, 220049, МИllСК.