Author: Партон Г.З.
Tags: испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика механика механика деформируемых тел издательство наука для студентов вузов разрушения
ISBN: 5-02-014287-5
Year: 1990
Text
ПРОБЛЕМЫ НАУКИ
И ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА
В. 3.. ПАРТОН
МЕХАНИКА
РАЗРУШЕНИЯ
ОТ ТЕОРИИ К ПРАКТИКЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1890
ББК 22.251
П18
УДК 620.192.7 @53)
П а р т о н В. 3. Механика разрушения: От теории к практи-
практике.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 240 с.— (Пробл.
иауки и техн. прогресса).— ISBN 5-02-014287-5
В доступной популярной форме изложены современные пред-
представления о механике разрушения — новом разделе механики твер-
твердого деформируемого тела, возникшем совсем недавно, буквально
на наших глазах. Содержанием книги охвачен широкий круг во-
вопросов, включающих в себя выяснение причин некоторых серьез-
серьезных катастроф ответственных конструкций и сооружений, необхо-
необходимость и своевременность построения теории распространения
магистральных трещин, внедрение механики разрушения в прак-
практику расчетов сосудов давления, ядерных реакторов, роторов тур-
турбин и т. п.
Для студентов втузов, а также инженерно-технических и на-
научных работников, специализирующихся в вопросах прочности и
механики разрушения.
Табл. 6. Ил. 147. Библиогр. 11 назв.
Рецензент
доктор технических наук Л, И, Слепян
П—ц„,п,, оп 73-90 ^Издательство «Наука»,
053@2)-90 ^Главная редашия
физико-математической
ISBN 5-02-014287-5 литературы, шо
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,.,..,.. 5
Глава I. Прочность и разрушение 7
§ 1. Что такое прочность и разрушение? .... 7
§ 2. Прочность и сопротивление разрушению— от инту-
интуитивных представлений к научным ..... 18
§ 3. Новая наука о прочности и разрушении ... 24
Глава II. Механика деформируемого твердого тела . . 34
§ 4. Сплошная среда 34
§ 5. Напряжения и деформации ....... 38
§ 6. Упругость и пеупругость 47
§ 7. Основы теории упругости 52
§ 8. Концентрация напряжений 62
Глава III. Основы механики разрушения ..... 67
§ 9. Что такое механика разрушения? 67
§ 10. Модель тела с трещинами 71
§ 11. Поля напряжений и смещений в окрестности края
трещины в упругом теле 76
§ 12. Идеи Гриффитса 80
§ 13. Неустойчивое и устойчивое развитие трещины . . 83
§ 14. Критерии разрушения. Концепция Гриффитса —
Орована — Ирвина 88
§ 15. Расчет и измерение коэффициентов интенсивности
напряжении ... 95
§ 16. Измерение вязкости разрушения 111
§ 17. Нелинейная механика разрушения 117
§ 18. Инвариантные интегралы 124
§ 19. Механика разрушения? Это очень просто! . . , 128
Глава IV. Специальные задачи а некоторые приложения
механики разрушения , 134
§ 20. Замедленное разрушение , 134
§ 21. Рост усталостных трещин . . ..... 135
§ 22. Разрушепие при малоцикловой усталости . . . 138
§ 23. Расчет элементов конструкций на усталостную дол-
долговечность .... 142
§ 24. Механика коррозионного разрушения .... 146
§ 25. Кинетика роста трещин в полимерных материалах 152
§ 26. Динамическая механика разрушения .... 157
§ 27, Температурные задачи механики разрушения . . 174
1* 3
Глава V. Некоторые прпложспия механики разрушения 183
§ 28. Как остановить движение трещпБЫ? .... 183
§ 29. Механика разрушения и проблемы энергетики . . 192
§ 30. Механика разрушения и неразрушающие испы-
испытания 193
§ 31. Механика разрушения п судебная экспертиза , . 209
§ 32. О полезных для механики аналогиях. Механика раз-
разрушения и пробой диэлектриков 218
§ 33, Что же хорошего в разрушении? ...... 227
ПРЕДИСЛОВИЕ
Выбрав механику разрушения темой для написания
книги, автор прежде всего представил себе две горы.
Гора слева — это круто уходящая ввысь чисто академи-
академическая проблема разрушения. Встающая во весь рост
гора справа — это диктуемое практикой требование обес-
обеспечения безопасности и надежности. Между утесами *—
тропа по длинной я глубокой долине, которая уходит
вверх. Хотелось бы в этой книге шаг за шагом пройти
по этой тропе, выводящей на гребень с видом направо
и налево одновременно, и в доступной форме рассказать
об исторической подоплеке этого пути, о возникающих
здесь проблемах и способах их преодоления. И еще хо-
хотелось бы передать читателю то воодушевление и энту-
энтузиазм в наших научных исследованиях, которые позво-
позволили в кратчайший срок создать новую науку о прочно-
прочности — механику разрушения.
Само по себе разрушение — сложнейшее явление
природы, присущее практически всем процессам, проис-
происходящим на земле, и известное с момента появления
homo sapiens. Оно доставляло людям как радость (из-
(извлечение ценных включений при разрушении горных
пород, облегчение разрушения при резании металлов
и др.), так и горе, связанное с колоссальными материаль-
материальными потерями и гибелью людей (катастрофы в возду-
воздухе, на земле и на воде).
Свойство человека как само собой разумеющееся вос-
воспринимать хорошее и не забывать плохое привело к то-
тому, что в основном разрушение относят к глубоко не-
неэстетическим категориям и главные усилия направляют
на борьбу с ним. А постоянный ущерб от разрушений
огромен. Одна из лабораторий Бательского института
(г. Колумбус, шт. Огайо) провела исследование по оп-
определению суммарных затрат в экономике США, связан-
связанных с возмещением ущерба от непреднамеренных раз-
разрушений, а также с мерами, направленными на предот-
предотвращение разрушений. Вся сумма затрат была разбита
на три части: 1) потери, связанные с недостаточным
внедрением современных методов расчета, контроля и
Ь
технологии, а также с использованием устаревших норм
и стандартов; 2) потери, которые могли бы быть потен-
потенциально предотвращены благодаря разработкам и внед-
внедрению современных научных методов; 3) потери, устра-
устранение которых станет возможно только после получения
принципиально новых «бездефектных» высокопрочных
материалов. В 1978 г. общпе затраты, связанные с разру-
разрушением, составили в США 88 млрд. долларов, т. е. около
4 % валового национального продукта (соответствующие
части затрат — 26, 21 и 41 млрд. долларов). В 1982 г.
общие затраты оценены в 119 млрд. долларов, т. е. опять
около 4 % валового национального продукта (соответст-
(соответствующие части затрат — 35, 28 и 5G млрд. долларов).
Но сколько бы вреда ни доставляло разрушение, оно
не всесильно, и человек научился, зная причины и ха-
характер возможного разрушения, создавать аппараты, при-
приборы п машины не только предельно легкими и дешевы-
дешевыми, но и достаточно прочными. Таким образом, проблема
разрушения стала центральной проблемой учения о
прочности и сопротивлении материалов.
Более 25 лет занимаясь проблемами прочности и раз-
разрушения, автор неоднократно убеждался в «многолико-
сти» изучаемых здесь закономерностей, что породило
специфические для каждой области науки подходы, тер-
терминологии и приемы решения задач, связанные с опре-
определением сопротивления разрушению. Зачастую это при-
приводило к непониманию между специалистами смежных
областей, решающих одни и те же задачи. Это же мно-
многообразие не дает возможности в небольшой книге дать
сколь-нибудь полное описание такого сложнейшего явле-
явления, как разрушение. Поэтому мы ограничимся кратким
и, по мере сил и способностей, популярным изложением
основ механики разрушения (использующей основные
положения, законы и методы механики сплошной среды)
и ее приложений к расчетам па прочность элементов кон-
конструкций и машин. Такой подход п определил название
книги—«Механика разрушения: от теории к практике».
Книга рассчитана на любознательного читателя, в
минимальной степени знакомого с основами механики
и математики. Автор стремился написать ее так, чтобы
она привлекла внимание будущих исследователей к ин-
интересной, еще далеко не изученной проблеме и была по-
полезна как студентам и аспирантам, так и научным ра-
работникам и инженерам для первого знакомства с осно-
основами мехапики разрушения и ее приложений.
Глава I
ПРОЧНОСТЬ II РАЗРУШЕНИЕ
§ 1. Что такое прочность и разрушение?
С древних времен человек сталкивался с проблемами
прочности и разрушения. Однако долгое время знания
о прочности и разрушении материалов и сооружений на-
накапливались случайно, передавались из поколения в по-
поколение как секреты мастерства и относились скорее
к области искусства, с которым мы знакомы по велико-
великолепным архитектурным ансамблям, удивляющим нас и
сегодня. И прежде всего это «семь чудес света»: статуя
Зевса в Олимпии, Висячие сады Вавилона, Мавзолей
в Галикарнасе, Колосс Родосский, маяк в Александрии,
храм Артемиды в Эфесе и, наконец, самые древние и
единственные сохранившиеся до пас — египетские пира-
пирамиды. Очевидно, что при создании этих ансамблей люди
неизбежно сталкивались с вопросами: как сделать их
прочными, как избежать разрушения?
Что же такое прочность? Под прочностью обычпо по-
понимают способность тел быть целыми достаточно дли-
длительный период времени, не поддаваясь разрушению.
В толковОхЧ словаре В. Даля ото понятие трактуется как
«годное иапредки», т. е. характеристика тел как бы «про
запас». Мы знаем, что прочностью (в той пли иной сте-
степени) обладают все тела, независимо от того, находятся
ли они в твердом или в жидком состоянии. Прочностью
обладают вода, лед и камень; клетка, человеческий во-
волос, кровеносный сосуд и кость; атом, молекула и крис-
кристалл и т. д. Отвечая на вопрос «прочно или разруша-
разрушается?», мы решаем проблему —«быть (что необходимо
для существования всего живого и неживого) или не
быть!».
Что же такое разрушение? Ответить на этот вопрос
просто и не просто. Хочется сразу привести примеры
ужасных разрушений, которые известны человечеству
и которые неистово призывают: с разрушением надо бо-
бороться! Восхищаясь великолепными архитектурными
7
ансамблями, нельзя забывать и о страшных авариях,
дотвращение которых в будущем связано с анализом
причин происшедшего разрушения.
Римский историк Корнелий Тацит описывает одну
из таких аварий, происшедшую в 27 г. н. э., в резуль-
результате которой погибло и получило ранение 50 000 чело-
человек. «В консульство Марка Лпциния и Луция Кальпур-
ния... неожиданное бедствие унесло не меньше жертв,
чем их уносит кровопролитнейшая война... Некто Ати-
лий, вольноотпущенник, взявшись за постройку в Фи-
дене амфитеатра, чтобы давать в нем гладиаторские бои,
заложил фундамент его в ненадежном грунте и возвел
на нем недостаточно прочное деревянное сооружение...
Туда стекались жадные до таких зрелищ мужчины и
женщины, в правление Тиберия, почти лишенные раз-
развлечений этого рода, люди всякого возраста, которых
скопилось тем больше, что Фидена недалеко от Рима.
Это усугубило тяжесть разразившейся катастрофы, так
как набитое несметной толпой огромное здание, переко-
перекосившись, стало рушиться внутрь и валиться наружу, ув-
увлекая вместе с собой и погребая под своими обломками
несчетное множество людей,— как увлеченных зрели-
зрелищем, так и стоявших вокруг амфитеатра». Как конста-
констатировал Римский сенат, причины аварии состояли в
отступлении от законов строительства и недостаточном
обследовании надежности грунта.
Во Франции, в Бове, в XIII в. рухнула башня одного
из самых больших готических соборов, который строил-
строился по всем канонам классической готической архитек-
архитектуры и со всей возможной осторожностью, но при незна-
незнании законов прочности несущих конструкций (в част-
частности, соотношений между длинами пролетов и площа-
площадями сечений).
Вообще катастрофические разрушения происходили
практически непрерывно вплоть до наших дней. Осо-
Особенно часто разрушались мосты. 14 марта 1938 г. в хо-
холодную погоду и практически без силовой нагрузки раз-
разрушился сварной автодорожный мост через канал Аль-
Альберта в Хасселте (Бельгия), в 1940 г. произошла ка-
катастрофа Такомского моста (рис. 1) в США, а в 1962 г.
разрушился Королевский мост в Мельбурне (Австралия).
Во всех случаях расследование установило, что причи-
причиной катастроф были ошибки при проектировании: не-
неполный учет действующих нагрузок, которые приводили
к непредвиденным колебаниям и резонансу, недостаточ-
8
ныв внания 8аконов прочности и разрушения кон-
конструкций.
Большинство обрушений мостов проходило в сильные
бури, зачастую совершенно неожиданно и с большими
человеческими жертвами, а вот упомянутая крупнейшая
в истории мостостроения катастрофа моста через реку
Рис. 1. Такомский мост
Такома в США обошлась без жертв и даже была за-
запечатлена на кинопленке. Этот уникальнейший фильм,
предоставивший массу ценного материала для исследо-
исследования причин аварии, используется во всем мире в ка-
качестве учебного фильма для студентов. Такомский мост,
построенный летом 1940 г., имел третий в мире по дли-
длине пролет в 854 м, перекрытый висячим мостом, доволь-
довольно узким, с проезжей частью Н-образного сечения высо-
высотой 2,4 м и шириной около 12 м, рассчитанной на двух-
двухрядное движение автомобилей. Почти сразу после пост-
постройки обнаружилась внушающая тревогу большая
чувствительность к порывам ветра, вызывавшим коле-
колебания с амплитудой до полутора метров. Безуспешные
попытки введения дополнительных связей и установки
гидравлических демпферов на пилонах моста не смогли
предотвратить катастрофы, происшедшей уже 7 ноября
1940 г. С 10 часов утра при скорости ветра около 19 м/с
установились одноузловые изгибно-крутильные колеба-
колебания с периодом около 5 с и чрезвычайно большой ам-
амплитудой — такой, что угол наклона проезжей части к
горизонту доходил до 45° (рис. 2). После часа таких
колебаний часть проезжего полотна отломилась и рух-
рухнула в воду. Анализ катастрофы указал на необходимость
динамического расчета мостов, ведь несчастный Таком-
Такомский мост был рассчитан на статическую ветровую на-.
Q
грузку от ветра со скоростью 50 м/с. Сейчас на месте
прежнего успешно работает мост шириной 18 м, у кото-
которого проезжая часть имеет коробчатое сечение высотой
10 м. Сплошные балки для уменьшения амплитуды аэро-
аэродинамических возмущений заменены у нового моста
сквозными фермами.
Большие материальные потерн были связаны с раз-
разрушением магистральных газопроводов (рис. 3), где за-
зачастую разрушающая трещина пробегала несколько
Рис. 2. Колебания проезжей части Такомского моста за час перед
катастрофой
километров со скоростью 1—2 км/с. Но особенно невос-
невосполнимые потери, связанные с человеческими жертвами,
имели место при разрушении самолетов и судов. Полет
первого в мире реактивного самолета (серии • «Комета»,
Англия), взорвавшегося в воздухе, привел к гибели эки-
экипажа, причем носле авиакатастрофы удалось собрать
250 тыс. обломков. Как бы мы теперь сказали, практиче-
практически одновременно безудержно развилось большое число
разориентпрованных трещин, что и привело к катастро-
катастрофе. Дальнейшие аварии коммерческих реактивных само-
самолетов этого класса заставили инженеров соорудить ог-
огромный кессон, внутренняя камера которого подверга-
10
лась нагрузкам, моделирующим условия полета, призем-
приземления, взлета п действие реактивного двигателя.
Испытания далп возможность обнаружить так называе-
называемые усталостные трещшш, зарождающиеся на поверх-
поверхности иллюминатора и вырастающие до критических
размеров *).
В конце 1942 г. поступили первые сигналы о серьез-
серьезных внезапных разрушениях нескольких американских
Рпс. 3, Трещина в магистральном газопроводе
судов типа «Либерти», которые пришлось отбуксировать
в порт для ремонта. Поначалу эти аварии отнесли к
случайностям военного времени и не заметили возник-
возникших здесь научных и инженерных проблем. Убедиться
в ошибочности такого мнения заставила авария танкера
«Скенектади», который (после успешно проведенных
морских испытаний) 16 января 1943 г. по возвращении
в порт внезапно разломился на две части. Трещина за-
зародилась в остром углу люка на палубе, практически
мгновенно прошла через палубу ц по обоим бортам кор-
корпуса до подводной части у самого киля {рис. 4), Всо
*) Интереспо, что история с самолотами «Комета» была пол-
полиостью воспроизведена в 1951 г. в кинофильме «Путешествие в
фантастику» с участием Марлед Датрц* и Джеймса Стюарта.
11
это случилось в безветренную погоду, при температуре
воздуха —3 °С и температуре воды —4,5 °С. Примерно
в таких же условиях 29 марта 1943 г. в канале Ам-
бросо вблизи Нью-Йорка разломился пополам другой ко-
корабль такого же класса «Манхеттен», построенный на
Рпс. 4. Авария танкера «Скенектади» (январь 1943 г.)
семь месяцев раньше и имевший аналогичную конструк-
конструкцию, за исключением установки взлетной палубы. Вооб-
Вообще до конца 1958 г. в Америке было зарегистрировано
319 аварий и крупных разрушений кораблей. В Вели-
Великобритании, Дании, ФРГ, Швеции и др. странах также
были зарегистрированы хрупкие разрушения судов (на-
(например, из 28 изготовленных с 1942 по 1965 г. и разло-
разломившихся на две части кораблей 6 были построены в
Европе). Компетентные и представительные комиссии,
расследовавшие причины аварий, отметили, что разруше-
разрушения произошли из-за плохого качества стали и ошибок,
связанных с недостаточными знаниями законов хрупкого
разрушения. Заметим еще, что в то время не было
хорошего испытательного оборудования, позволившего
бы произвести разрушение в лабораторных условиях, и
мне кажется, что указанные случаи остались примерами
разрушений, которые нельзя было ни прогнозировать,
ни достаточно строго исследовать постфактум,
12
Рассказ о катастрофических разрушениях можно про-
продолжать буквально до сегодняшнего дня (если не быть
в курсе диверсий, готовящихся на завтра или послезавт-
послезавтра). Но мы ограничимся лишь еще несколькими история-
историями, происшедшими «на днях» па море и па земле.
27 марта 1980 г. плавучая платформа «Александр
Л. Кьелэнд» потерпела аварию во время шторма в Север-
Северном море, приведшую к гибели 123 человек. Платформа
А. Л. К. с буровой вышкой — одна из 11 полупогружен-
полупогруженных пятиугольных конструкций, разработанных во
Франции в 1960 г. и построенных в период с 1960 по
1977 г., имела размеры 103 X 99 м в плане и высоту
40,5 м от вершины палубы до основания понтона
(рис. 5). Пять понтонов 22-метрового диаметра и опор
в виде колонн 8,5-метрового диаметра были связаны
системой горизонтальных и диагональных трубных креп-
креплений. Погодные условия в момент катастрофы были не
блестящие, но отнюдь не критические для Северного
моря: волнение моря 9—11 баллов (скорость ветра 16—
20 м/с), высота волн — от 6 до 10 м и температура воз-
воздуха +4°Сдо—6°С. При выявлении причин аварии было
установлено, что на ранней стадии произошло усталост-
усталостное растрескивание двойного сварного шва установки
гидрофона, что явилось причиной недостаточной прочно-
прочности и разрушения крепления D6, связанного с платфор-
платформой пятью другими креплениями. Платформа отклони-
отклонилась на 30—35° от горизонтального положения, и буро-
буровая вышка начала медленно погружаться в воду. В по-
последующие 20 минут погружение сопровождалось
дополнительным креном, который медленно увеличи-
увеличивался по мере того, как вода затопляла палубу и колон-
колонны С и Е через открытые отверстия (двери, вентилято-
вентиляторы и т. д.). Затем буровая вышка полностью опрокину-
опрокинулась и продолжала плавать в перевернутом положении
с четырьмя видимыми понтонами. >;
Большие убытки приносит разрушение народному
хозяйству и в нашей стране. Приведу несколько приме-
примеров разрушений, произошедших в химической промыш-
промышленности и промышленности производства минеральных
удобрений. На рис. 6 показано хранилище фосфорной кис-
кислоты Волховского алюминиевого завода. Аппарат был ус-
установлен на открытой площадке без теплоизоляции. После
десятилетней эксплуатации в январе 1974 г. его остановили
для ремонта защитного слоя. После ремонта при заливке в
хранилище (с температурой внутренней поверхности
13
—28 °С) кислоты (с температурой +60 °С) произошел
разрыв корпуса аппарата от днища вдоль образующей
цилиндра с образованием трещины длиной около Зм (ши-
(ширина трещины в месте перехода корпуса к днищу —
15 мм). Через трещину вылились сотни тонн горячей
Диагональные
крепления
Рис. 5. Платформа Александр Л. Кьелэпд
Нижние доризонтальные .
крепления
кислоты, произошло разрушение бетонного основания и
металлоконструкций. Главными виновниками аварии бы-
были, безусловно, эксплуатационники, залившие горячую
кислоту в промерзшее хранилище, что привело к разру-
разрушению от теплового удара. Когда в Череповце в декаб-
декабре 1977 г. ударил мороз —44 "С, на Череповецком хим-
химзаводе произошли сразу две серьезные аварии в линии
производства серной кислоты: во-первых, в сушильпой
14
¦',<¦¦
15
о
Я
о*
<?
башне (рпс. 7) произошел разрыв корпуса из листовой
стали толщиной 10 мм с образованием магистральной
вертикальной ветвящейся трещины длиной около 7 м
и шириной от 3 до 5 мм; во-вторых, разрушился корпус
моногидратного абсорбера (рис. 8) из листовой стали
толщиной 12 мм с образованием трещины вдоль обра-
образующей цилиндра длиной около 4 м. Причиной этих
аварий был, конечно, большой перепад температур, по-
поскольку температура кислоты внутри аппаратов превыша-
превышала 70—80 °С. Количество вытекшей кислоты было здесь
несравнимо меньшим, но вот экономические потери очень
большие — из-за остановки всего производства более чем
на месяц. Наконец, на Рязанском производственном объе-
объединении «Химволокно» произошла авария скруббера ре-
регенерации раствора осадительной ванны контактным
способом (рис. 9). Аппарат также был установлен на
открытой площадке без теплоизоляции, но с защитой
корпуса листовым свинцом, полиизобутиленом, листовым
асбестом и кислотоупорным кирпичем. Через год после
пуска, в 1975 г., произошел отрыв днища от корпуса.
Одновременно появилась и вертикальная трещина вдоль
образующей цилиндра в зоне примыкания газохода к
корпусу. Разрушение сопровождалось вздутием металли-
металлического корпуса, что привело к разрыву всего защитного
слоя. Причиной аварпп послужило химическое взаимо-
взаимодействие агрессивной среды с защитным покрытием.
Закапчивая отрицательные примеры разрушения, с
которыми надо бороться, сформулируем некоторые про-
проблемы, в которых позитивные аспекты разрушения мо-
могут быть использованы и которые ждут своего решения.
Среди них: проведение теоретического и эксперименталь-
экспериментального анализа динамического разрушения горных пород
(особенно при взрывном нагружении); определение ме-
механизмов, при которых поверхностно активные жидкости
снижают износ поверхности; выявление закономерностей
и создание надежных методов использования химико-
механических эффектов и поверхностно-активных сред
при механической обработке; изучение механизмов и тех-
технических возможностей сверхвысоких скоростей механи-
механической обработки металлов. Разрушение становится по-
полезным при освоении естественных ресурсов, эксплуата-
эксплуатации аемных недр и морского дна, при переработке
отходов и др.
Так что же, ответили мы на вопрос — что такое раз-
разрушение?, или нет? И да, и нет. Но безусловно только
2 в, з, партон П
одно — что истинная природа этого хорошо известного
явления выяснена далеко не полностью. Катастрофы
танкеров и судов, самолетов и ракет, химического обору-
оборудования и др., вызванные внезапным распрострапспием
трещин, слабое использование положительных аспектов
разрушения показали недостаточность существующих
классических расчетов, необходимость в повых характе-
характеристиках разрушения. Таким образом, проблема разру-
разрушения, всегда стимулировавшая научную и техническую
мысль, в наши дни приобрела первостепенное значение.
Современный инженер обязан использовать всю мощь
новейших научно обоснованных расчетных методов, чтобы
создать прочную, безопасную конструкцию, способную
надежно функционировать — стоять, летать, нырять, бу-
бурить и делать все, что от нее потребуется, в течение га-
гарантированного срока ее службы и, кроме того, быть еще
экономически выгодной. Мы уже давно не можем позво-
позволить себе такую роскошь, как Собакевич при сооруже-
сооружении своей усадьбы. Вспомните знакомые каждому со
школьной скамьи строки Н. В. Гоголя: «Помещик, каза-
казалось, хлопотал много о прочности. На конюшни, сараи
и кухни были употреблены полновесные и толстые брев-
бревна, определенные на вековое стояние».
§ 2. Прочность и сопротивление разрушению —
от интуитивных представлений к научным
Пропустив рассказ о том историческом периоде, ког-
когда для повышения прочности сооружений прибегали к
жертвоприношениям или помощи потусторонних сил, за-
заметим еще раз, что с древнейших времен люди строили
различные, порой крайне сложные и удивительные со-
сооружения. Знания же о прочности и сопротивлении раз-
разрушению материалов и конструкций приобретались ими
почти всегда интуитивно и в значительной степени слу-
случайно. Обратимся сразу к истокам научного подхода
к вопросам прочности и разрушения, у которых стоят
такие титаны эпохи Возрождения, как Леонардо да Вин-
Винчи A452—1519) и Галилео Галилей A564—1642).
«Леонардо да Винчи был не только великим худож-
художником, но и великим математиком, механиком и инжене-
инженером, которому обязаны важными открытиями самые раз-
разнообразные отрасли физики» (Ф. Энгельс, Диалектика
природы). Не наша задача давать здесь оценку всему
творчеству Леонардо, остановимся лишь на той стороне
13
его деятельности, которая прямо связана с эксперимен-
экспериментальным периодом развития науки о сопротивлении ма-
материалов, начавшимся именно с опытов Леонардо да
Винчи. Проблема разрушения оказалась исторически
первой из поставленных научных проблем сопротивления
материалов, а сопротивление раз-
разрушению — первой механической
характеристикой, предложенной
этой наукой. Леонардо да Винчи
провел интересные, сознательно
поставленные и весьма тщательно
запротоколированные испытания
на изгиб балок на двух опорах,
колонн и консольных балок, а
также на растяжение металличе-
металлических проволок, лютпевых струн и
волокон из разных материалов.
Им было сконструировано ориги-
оригинальное приспособление (рис. 10),
на котором можно было опреде-
определять несущую способность прово-
проволок. «Укрепив железную пропо- Рис. 10. Приспособление,
локу длиной два локтя на чем-пи- созданное Леонардо да
* , Винчи для определения
будь так, чтобы она держалась иесущей способности
крепко, и подвесив к ней корзину, проволок
ящик или что-то подобное, насы-
насыпать туда через малое отверстие на дне воронки некото-
некоторое количество мелкого песку. Как только проволока
лопнет, отверстие воронки закроется укрепленной на ней
пружиной. Падающая с небольшой высоты корзина не
опрокинется. Вес песка и место разрыва следует заме-
заметить». Программа опытов предполагала испытание про-
проволок различной длины.
К сожалению, достижения Леонардо да Винчи оста-
остались не известными следующим поколениям, и очеред-
очередной значительный шаг в развитии науки о прочности
и сопротивлении разрушению был сделан только более
чем через столетие другим великнм итальянским уче-
ученым — Галилео Галилеем. Важпейнпш результатом его
опытов па разрыв деревяпных брусьев является вывод
о том, что разрушающая нагрузка растет прямо про-
пропорционально площади поперечного сечения растягивае-
растягиваемого бруса и пе зависит от длины бруса. Этот несколько
видоизмененный результат и сейчас играет основную
роль в инженерной практике расчета на прочность в
2*
1У
случае неоднородного напряженного состояния. Полал
гают, что в опытах Леонардо с железной проволокой на-
наблюдалось некоторое уменьшение разрушающей нагруз-
нагрузки с ростом длины проволоки. Этот факт всегда объяс-
объяснялся несовершенством экспериментов Леонардо, и толь-
только наши современники поняли, что такое снижение
предельной нагрузки можно отнести за счет истинно
масштабного эффекта, связанного с большей вероят-
вероятностью появления (обусловливающего разрушение)
опасного дефекта в проволоке большей длины. Долгие
годы волновало Галилея увиденное им однажды внезап-
внезапное разрушение только что построенной галеры, которая
была абсолютным подобием обычной, очень надежной
галеры, но отличалась от нее тем, что все элементы ее
были вдвое больше. Только в возрасте 74 лет сформули-
сформулировал «великий еретик» общий закон, до сих пор учиты-
учитывающийся стандартными переводными коэффициентами
для показателя прочности: «Если мы, отвлекшись от
всякого несовершенства материи и предположив таковую
неизменяемой и лишенной всяких случайных недостат-
недостатков, построим большую машину из того же самого ма-
материала и точно сохраним все пропорции меньшей, то
в силу самого свойства материи мы получим машипу,
соответствующую меньшей во всех отношениях, кроме
прочности и сопротивляемости внешнему воздействию:
в этом отношении чем больше будет она по размеру,
тем менее будет она прочна». Проблема переноса ре-
результатов лабораторных испытаний на реальные конст-
конструкции крайне актуальна и в наши дни.
Характерно, что у Галилея прочность связана с пре-
предельным состоянием элемента, а вот как ведет себя
элемент в рабочем состоянии, было еще неведомо. Пер-
Первым, кого осенила догадка о том, что твердые тела не
совсем твердые, что они реагируют па приложенные к
ним силы, был Роберт Гук A635—1703). Этого страст-
страстного изобретателя отличала буйная фантазия и ориги-
оригинальное мышление. Он не только сделал массу удиви-
удивительных изобретений — карданную передачу, ареометр,
проекционный фонарь, термометр и многое другое,— но
и высказал множество идей из сферы деятельности пе-
передовых ученых его времени, а это почти всегда порож-
порождало споры о приоритете на крупные открытия, такие,
как печально известная тяжба с Исааком Ньютоном о
приоритете на закон всемирного тяготения. Отражением
борьбы за приоритет была и вышедшая в 1676 г.
20
та Гука «Десять изобретений, которые я намерен опуб-
опубликовать», где под заголовком «Истинная теория упру-
упругости и жесткости» стояло только «ceiiinosssltuv». Это
анаграмма, где буквы расставлены по алфавиту, была
расшифрована автором только года через три: «ut tensio
sic vis» —«каково удлинение, такова и сила». На совре-
современном языке перевод латинской фразы звучит как «на-
«напряжение пропорционально деформации». Позже выяс-
пилось, что этот закон Гука, право на который принад-
принадлежит ему безусловно, описывает только упругое пове-
поведение тел, а не поведение любых тел при произвольных
нагрузках, как полагал сам Гук. «Современная» форма
была придана закону Гука только лет через пятьдесят
английским ученым Томасом Юнгом A773—1829). Вмес-
Вместо абсолютных величин (сила и удлинение) он ввел
относительные (напряжение и деформация), п тогда
оказалось, что в законе Гука коэффициент пропорцио-
пропорциональности — модуль Юнга — является упругой постоян-
постоянной самого материала, а не конструкции, и характери-
характеризует его важнейшее свойство — жесткость. Краткое
разъяснение затрагиваемых здесь понятий «напряже-
«напряжение», «деформация», «модуль упругости» и других мы
отложим до следующей главы, поскольку в нашей исто-
исторической справке интересно было бы приводить ориги-
пальные формулировки, а они порой бывают не совсем
четкими. Сам Юнг в 1807 г., например, писал: «Модуль
упругости какого-либо вещества представляет собой
столбик этого вещества, способный произвести давление
на свое основание, которое так же относится к весу, как
длина столбика к уменьшению его длины». Не удиви-
удивительно, что современники не приняли это одно из
самых важных технических понятий. Юнга, как
человека слишком далекого от практики, в это время
даже отстранили от чтения лекций в Королевском
институте.
Замечательные работы Галилея, Гука, Юнга, а также
не упомянутые нами исследования французских ученых
Эдма Мариотта A620—1684) и Шарля Кулона A736—
1806), русских ученых Леонарда Эйлера A707—1783) и
Якоба Бернулли A654—1705), других ученых XVII —
XVIII века, изучавших поведепие стержней при растя-
растяжении, сжатии, изгибе и кручении, подготовили почву
для нового скачка в развитии науки о прочности, свя-
связанного с трудами знаменитых французских ученых —
Луи Навье A785-1836), Огюстена Коши A789-1857)
21
и Симеона Пуассона A781 — 1840), создавших класснче^
скую теорию упругости.
Вместо галилеевского принципа расчета по предель-
предельному, разрушающему состоянию стал утверждаться но-
новый принцип рабочего состояния. Напряжения в рабочем
состоянии каждого элемента предполагалось ограничить
допустимыми, т. е. такими, «чтобы возникающие в нем из-
изменения не возрастали со временем». Определение же на-
напряженного состояния каждого кусочка вещества внут-
внутри конструкции стало возможно с помощью выведенных
Навье и Коши уравнений равновесия. Оказалось, что
полная картина напряжений во внутренней точке тела
описывается девятью величинами: тремя напряжениями
растяжения — сжатия и шестью сдвиговыми напряже-
напряжениями, по они связаны шестью уравнениями равновесия,
и независимых среди них, самое большее, три. Имя
Пуассона обессмертили не только полученные им урав-
уравнения равновесия и колебания стержней, но п известный
каждому инженеру коэффициент Пуассона, входящий
наряду с модулем Юнга в «паспорт» любого упругого
материала.
Соотечественнику Пуассона Адемару Жану Клоду
Барре де Сен-Венану A797 —1886), создавшему теорию
кручения и изгиба стержней призматического сечения,
принадлежит знаменитый принцип: «Способ приложения
и распределения сил по концам призм безразличен для
эффектов, вызванных на остальной длине, так что всегда
возможно с достаточной степенью приближения заменить
приложенные силы статически эквивалентными силами,
т. е. имеющими тот же полный момент и ту же равно-
равнодействующую, но с распределением точно таким, какое
требуют формулы растяжения, изгиба и кручения для
того, чтобы стать совершенно точными». Хотя и ориги-
оригинальная формулировка звучит достаточно ясно, не в
пример определению модуля Юнга, выразим принцип
Сен-Вепана покороче: «Способ приложения силы к тор-
торцу стержня сказывается лишь на расстоянии от торца
порядка поперечного размера». Гипотеза Сен-Веиана,
подтвержденная затем и экспериментом, и теорией, по-
позволила выйти из тупика, в который зашла классическая
теория упругости, когда для расчетов, например, стерж-
стержня требовалось задавать распределение внешнего давле-
давления повсюду на границе, в том числе и в торцевых зах-
захватах, где оно не очень хорошо и известно (рис. 11).
По Сен-Венану, папряженное состояние в точках стерж-
22
яя, удаленных от захватов на расстояние, большее, чем
его диаметр (в заштрихованных на рисунке областях),
определяется только результирующей растягивающих сил.
В своем рассказе мы отметили лишь несколько важ-
важных для нас исторических моментов. Заинтересованного
Рис. 11. Согласно принципу Сен-Венана напряженное состояние
стержня в заштрихованных областях не зависит от способа за-
закрепления его торца
читателя следует отослать к книгам по истории механи-
механики. Мы же в кратком изложении хотели подчеркнуть,
что пройдя через десятки веков эмпирического и интуи-
интуитивного познания прочности материалов и конструкций,
23
черев два века экспериментального исследования мате-
материалов, человечество в XIX веке усилиями великих ин-
инженеров и ученых создало стройную теорию сплошного
бездефектного упругого тела и достаточно совершенные
экспериментальные методы исследования прочности ц
сопротивления разрушения. Но вот в нынешнем столе-
столетии наука о прочности пережпла тяжелый кризис.
,§ 3. Новая наука о прочности и разрушении
В XX веке катастрофические разрушения продолжа-
продолжались на суше, на море и в воздухе. Взрывались мощные
паровые котлы, разрушались громадные военные кораб-
корабли и пароходы, хотя рассчитаны они были по всем пра-
правилам современной науки о прочности, науки, которая,
казалось, достигла совершенства. Попытки установить
истину в натурном эксперименте объяснения не давали.
Так, в 1903 г. британские ученые провели испытание
настоящего эскадренного миноносца на прочность. Мино-
Миноносец «Вулф» был заведен в сухой док и поставлен сна-
сначала на одну подпорку посередине, а затем на две по
краям, как будто бы в шторм он оказался на гребне од-
одной волны пли двух волн. После этого испытания были
продолжены в открытом море во время жесткого шторма.
Оказалось, что в течение всего эксперимента приборы не
смогли обнаружить напряжений выше 90 МПа, а проч-
прочность корабельной стали составляла тогда примерно
390—440 МПа. Такой же запас прочности следовал из
расчетов по теории балок, но утешение в этом было сла-
слабое, поскольку отмечались случаи, когда ломались по-
пополам пароходы, максимальное напряжение в корпусах
которых не превышало по расчетам одной трети от пре-
предела прочности стали.
Накапливавшийся печальный опыт показал, что опас-
опасными местами корпуса корабля являются различные лю-
люки, отверстия и вырезы,— именно вокруг них появлялись
трещины, которые от неравномерной загрузки трюма или
от удара волны могли со скоростью пули перерезать суд-
судно надвое, и оно тонуло так быстро, что свидетели ката-
катастрофы догадывались об этом по скрещенным мачтам,
мелькнувшим в последние мгновения над волнами. Ин-
Инженеры-мостостроители, в свою очередь, подтверждали,
что заклепки всегда разрушаются в местах резкого измене-
изменения сечения при переходе от стержня к головке, и реко-
рекомендовали применять изобретенные в Германии заклеп-
24
яи с плавным коническим переходом. К подобному же
выводу и тоже чисто экспериментально приходили и ин-
доенеры-транспортники, хотя предмет их огорчений —
оси железнодорожных вагонов и паровозов — ломались
в условиях усталостного разрушения, связанного с тем,
что при вращении они подвергаются циклически повто-
повторяющемуся изгибу. Инженеры-кораблестроители пыта-
пытались учитывать отверстия в расчетах и усиливать края
отверстий, исходя из того, "что напряжение есть сила,
деленная на площадь сечения, а значит, при уменьше-
уменьшении сечения за счет отверстия напряжения в нем растут
обратно пропорционально площади ослабленного сече-
сечения. К их сожалению, такой подход оказался совершен-
совершенно недостаточным, а теория, отставшая на данном этапе
от практики, смогла дать объяснение загадочного ковар-
коварства отверстий лишь к началу XX века.
В 1898 г. немецкий механик Г. Кирш, ретив задачу
об однооспом растяжении прямоугольной пластинки с
малым круговым отверстием (рис. 12), обнаружил рез-
резкий пик напряжений в точках А на краю отверстия.
Напряжения там втрое (!)
мм_ш_шг
превышали напряжения
в точках, удаленных от
края отверстия, или на-
напряжения в сплошной
пластинке, нагруженной
теми же силами. Бытовав-
Бытовавшие же в то время инже-
инженерные методы расчета
занижали оценку опасных
напряжений почти в три
раза, поскольку малое от-
отверстие почти не снижа-
снижает площадь поперечного
сеченпя. Еще более удиви-
удивительные результаты бы-
были получены при решении
сложной задачи о рас-
растяжении пластинки с эллиптическим отверстием
(рис. 13), которое било получено впервые талантливым
русским ученым Г. В. Колосовым в 1909 г. Однако ра-
работа Колосова была опубликована в небольшом эстон-
эстонском городе Юрьеве (теперь это Тарту), па Западе она
до сих пор малоизвестна, и там ссылаются на статью
английского ученого К. Инглиса, хотя она вышла только
25
ТТТТТТП \к
Рис. 12. Регаеппе Кирша: на
контуре малого кругового от-
отверстия напряжения в 3 раза
превышают напряжения в уда-
ленпых точках
в 1913 г. в Трудах Королевского института коряПельпьтх
инженеров. Так что же показало решение Колосова-Инг-
лиса? Оказалось, что наиболее опасные пиковые напря-
напряжения определяются кривизной отверстия, и у вершин
А, где кривизна максимальна, могут достичь значений,
во много раз превышаю-
превышающих значения напряже-
напряжений в сплошной нластия-
ке. Зона повышенных на-
напряжений, называемых
местными, в соответствии
с принципом Сеп-Венана
имеет малые размеры,
сравниваемые с размером
зоны резкого изменения
границы. Благодаря про-
профессору Инглису в прак-
практику расчетов на проч-
прочность вошло понятие «кон-
«концентрации напряжений».
Число, показывающее, во
сколько раз местные на-
Рис. 13. Решение Колосова — Ипг-
лиса: в вершинах малого эллипти-
эллиптического отверстия напряжения
могут превышаться во много раз,
например, для эллипса с отноше-
отношением полуосей alb = 3 напряже-
а
ния превышаются в 1 + 2- -у =
«= 7 раз
пряжения превышают по-
поминальные, называется
коэффициентом концент-
концентрации напряокений и опре-
определяется формой выреза и свойствами материала. Самая
опасная ситуация возникает у острых вырезов в хрупких
материалах.
Чисто математические выводы о концентрации па-
пряжений были встречены, как это часто бывает, с из-
изрядной долей скептицизма в среде инжеиеров-практн-
ков (путь к современной науке о прочности и здесь пе
был гладким). Кроме того, еще одно весьма острое про-
противоречие стояло на этом пути. Попробуем в нем разоб-
разобраться. Допустим, пас заинтересовал вопрос о прочности
какого-нибудь материала. Зная, например, силы сцепле-
сцепления, связывающие два атома в твердом кристаллическом
теле, можно определить прочность материала путем стро-
строгого расчета. Таким образом, мы получим так называе-
называемую теоретическую прочность. А можно изготовить обра-
образец из того же материала и определить значение проч-
ности экспериментально. Прочность, определенную та-
таким путем, принято называть технической. Так вот,
оказалось, что техническая прочность значительно (в де-
26
сятки и сотни раз) меньше теоретической. Чем же объяс-
объяснить столь резкое различие? В 1920 г. академик
А. Ф- Иоффе ответил на этот вопрос несложным и эф-
эффектным опытом. Е>ерется кристалл каменной соли. Экс-
Экспериментально измеряется его прочность, как правило,
равная нескольким десяткам МПа. Затем кристалл по-
погружается в горячую воду, в которой растворяется по-
поверхностный слой некоторой толщпны. Затем вновь из-
измеряется прочность кристалла. На этот раз она оказы-
оказывается намного более высокой — около 2000 МПа, что
лишь в два раза меньше теоретического значения проч-
прочности. Вывод напрашивается сам собой. Лишившись по-
поверхностного слоя, кристалл освободился и от многочис-
многочисленных ран, которые пакоппл па своих боках за долгую
жизнь,— щербин и царапин, трещин и других более мел-
мелких поверхностных дефектов. В нпх-то, очевидно, и за-
заключалась причина былой непрочности кристалла.
Итак, совершенство структуры кристалла — гарантия
повышенной прочности, близкой к теоретической. Следуя
этой идее, удалось поднять потолок прочности до зна-
значений порядка 10 000 МПа, что до сих пор было пезна-
комо технике. В тридцатых годах академики А. П. Алек-
Александров и С. Н. Журков на стекляпных нитях достигли
прочности в 5900 МПа, а па кварцевых нитях —
в 12 700 МПа (рис. 14). В пятидесятых годах в Физико-
техническом институте АН СССР имени А. Ф. Иоффе,
в лаборатории А. В. Степанова были получены нитевид-
нитевидные монокристаллы («усы») некоторых металлов с
прочностью около 9800 МПа. Под руководством
Ф. Ф. Вптмапа прочность окопного стекла была поднята
до 4900 МПа — против прежних 50 МПа. Высокая (до
5900 МПа) прочность была достигнута в лаборатории
академика С. Н. Журкова на ориентированных полиме-
полимерах. Таким образом, было наглядно показано, что «ис-
«исправление» дефектной структуры кристаллов увеличи-
увеличивает их прочпость па несколько порядков и приближает
ее к теоретическому зпачеиию.
Эксперименты по упрочнению кристаллов, а также
многочисленные случаи преждевременного разрушения
конструкций и сооружений при напряжениях, значитель-
значительно мепыиих расчетных, показали недостаточность раз-
развитых представлений о прочности как о постоянной ма-
материала. Поэтому в исследованиях прочности появилось
новое направление, в основе которого лежит детальное
изучение самого процесса разрушения. Согласно новому
27
подходу, так как разрушение происходит в результате
развития реальных дефектов, при оценке прочности нуж-
нужно учесть имеющиеся в теле трещины и определить их
влияние на прочность.
Рис. 14. Кварцевую нить можно изогнуть таким образом. Напряже-
Напряжения в ней при этом превысят 4900 ЫПа
Новое направление в механике разрушения связывают
с именем молодого английского ученого из Авиацион-
Авиационного исследовательского центра в Фарнборо А. А. Гриф-
фитса A893—1963). Основные результаты Гриф-
Гриффите опубликовал в 1920 г., когда ему было только
27 лет. Гриффите попытался достичь теоретической
прочности в опытах на разрыв свежевытянутых тончай-
тончайших стеклянных волокон и установил, что с уменьше-
уменьшением диаметра волокон их прочность резко возрастает
(рис. 15) и становится сравнимой с теоретическими
оценками. Сильное отличие прочности подавляющего
большинства реальных твердых тел от теоретической
Гриффите объяснил наличием в них трещин, быть мо-
может, и невидимых, но значительно превышающих по
размеру межмолекулярные расстояния. Основная заслуга
28
английского ученого состоит в том, что он связал при-
причины развития в теле трещины с процессами накопле-
накопления и освобождения в нем энергии деформаций. Вели-
Великолепной была и идея распространения математических
Верхний предел
1030Q МПа
3920
2940
19В0
980
Стремится к прочности
оЛ/чного стекла
A20 +150 МПа)
0,05
0,10
0,15 Г, мм
Рис. 15. Такая зависимость между прочностью Ств стеклянных во-
волоков в их толщиной была обнаружена Грпффитсом
расчетов Инглиса о концентрации напряжений у кора-
корабельных люков на дефекты микроскопических размеров:
Гриффите понял, что для роста трещины необходимо
затрачивать работу на образование новых поверхностей
материала, пропорционально длине трещины*) I, т. е. cl
(для хрупкого материала с — постоянная материала, оп-
определяемая его физико-механическими свойствами)
(рис. 16). При этом в процессе распространения трещи-
трещины будут разгружаться заштрихованные на рисунке об-
области, прилегающие к трещине**), и будет освобож-
•) Примем для простоты, что речь идет о плоской сквозной
трещине в пластинке единичной толщины. В таком случае площадь
поверхности трещины равна 2-1-/ (так как у трещины два берега).
**) Понятие зоны существенной разгрузки представляется
весьма неопределенным. Если рассматривать найденную в расчете
или эксперименте картину напряженно-деформированного состоя-
состояния, то одним покажется, что наиболее существенное понижение
напряжений происходит приблизительно в квадрате, диагональю
которого является трещина (площадь квадрата (l/2)j2), другим
гке — что разгрузка проявляется в основном внутри круга, постро-
29
даться энергия деформации, пропорциональная их пло-
площади, т. е. квадрату длины: Ы2 = (kl) -I (решение Ип-
глиса понадобилось Гриффптсу для вычисления констап-
ты к). Для малых трещин, рассуждал Гриффите, для
которых М < с, освобожденной эпергии недостаточно для
Рис. 16. При распространении трещи-
трещины разгружается матрриал в прилегаю-
прилегающих к ней (заштрихованных) областях,
освободившаяся зпергия стекает в вер-
вершины трещины и расходуется там на
разрушение материала
Р
разрыва материала. Для больших же, когда Ш > с, энер-
энергии этой хватит на разрыв, и трещина рванется вперед
с громадной скоростью, если материал хрупкий.
Правильность теоретических выводов А. А. Гриффите
подтвердил экспериментально на стеклянных сфериче-
сферических колбах и цилиндрических трубках, на которые на-
наносилась трещина и в которых создавалось (с помощью
сжатого воздуха) внутреннее давление. Выбор стекла в
качестве материала, наиболее точно подтверждающего
теорию А. А. Гриффитса, не случаен. Этот важнейший
материал (наиболее распространенный после металла и
дерева) очень хрупок, деформируется упруго вплоть до
разрушения, что оправдывает использование упругого
решения К. Инглиса. В ходе эксперимента измерялись
внутреннее давление и длина трещины в момент ее стра-
гивания, которое всегда заканчивалось разрушением
стеклянной колбы или трубки на мелкие осколки*).
Гриффите сумел сформулировать два условия, каж-
каждое из которых является необходимым для распростра-
енного на трещине как на диаметре (площадь круга (/)),
третьи увидят что-то другое. Однако все наверняка согласятся с
тем, что площадь 8оны разгрузки можно подсчитать, умножив I2
на множитель порядка единицы.
*) Объяснение такого характера разрушения читатель найдет
в гл. III.
30
нения трещины, достаточным же для роста трещины яв*
ляется одновременное выполнение этих двух условий.
Первое условие заключается в том, что процесс роста
трещины должен быть энергетически выгодным, а вто-
второе условие относится к существованию микромеханизма,
способного осуществить преобразование запасенной энер-
энергии (именно наличие такого механизма преобразования
энергии и отличает хрупкие материалы от вязких). У ав-
автомобиля, спускающегося с горы, должны быть не удер-
удерживаемые тормозами колеса для того, чтобы происходило
преобразование запасенной в нем потенциальной энергии
в кинетическую.
Иллюстрацией происходящего преобразования энергии,
запасенной в твердом теле с помощью автомобиля без
тормозных колодок, разумеется, весьма примитивна. А вот
другой пример: недавно нам удалось, используя изомор-
изоморфизм явлений и, в частности, аналогию между напряжен-
напряженным и электрическим состояниями, создать оригинальную
теорию электрического пробоя диэлектрика (см. об этом
в § 32).
Конечно, можно привести множество и более слож-
сложных примеров, в которых усматривается аналогия с пре-
преобразованием энергии при хрупком разрушении. Но глав-
главное здесь не в этом. Главное в том, что для любых видов
энергии (хорошо известных со школьных лет механичес-
механической, электрической и модной в последнее время энер-
энергии биополя) процесс преобразования должен быть под-
подготовлен достаточной концентрацией энергии, которая
расходуется на качественное преобразование объекта.
Здесь безусловно уместно вспомнить об общефилософских
законах перехода количества в качество.
Не буду настаивать на том, что такие аналогии яв-
являются прямыми, без которых невозможны исследования
в сфере естественных наук. Вернусь к теории Гриффит-
са, которая одними специалистами была встречена весь-
весьма скептически (что может быть и естественно для
новых теорий) и вызвала кратковременный интерес у
других. Даже сам автор постепенно охладел к проблеме
хрупкого разрушения и никогда впредь к ней не возв-
возвращался. Отчасти причиной забвения послужило то, что
классическая концепция хрупкого разрушения Гриффит-
са была связана только с такими хрупкими материалами,
как стекла, а металлы оставались вне сферы ее приме-
применимости. Правда, вряд ли бы Гриффите сумел создать
эту теорию, если бы он взял для своих опытов не стекло,
31
а какой-то другой материал, где хрупкое разрушение не
проявлялось бы в таком чистом виде, а сопровождалось
текучестью, вязкостью, ползучестью и другими яв-
явлениями.
Следующий значительный шаг в трудном пути ста-
становления современной механики разрушения связан о
экспериментальными исследованиями английского уче-
ученого Дж. Ирвина A948 г.) и венгерского ученого Е. Оро-
вана A950 г.), предложившими использовать теорию
Гриффитса для квазихрупкого *) разрушения металлов
и неметаллов, когда все необратимые процессы пласти-
пластических деформаций происходят лишь в малой окрестно-
окрестности вблизи вершины трещины. Достаточно только в тео-
теории Гриффитса константу, равную поверхностной энер-
энергии материала, заменить на удельную работу пластиче-
пластических деформаций (последняя может в сотни и тысячи
раз превосходить первую), и тогда теория Гриффитса
окажется полезной для многих распространенных мате-
материалов. Но к этому поразительпо простому и ясному
выводу Джордж Ирвин пришел в итоге почти десяти-
десятилетних раздумий. Еще до второй мировой войны профес-
профессор Ирвин, начав работу в научно-исследовательской ла-
лаборатории Военно-морских сил, участвовал в баллисти-
баллистических испытаниях плит из корабельной стали. Главны-
Главными специалистами на полигонах были тогда металлурги,
подходившие после выстрела к мишени и старательно
зарисовывавшие вмятину в плите и откол на обратной
стороне плиты. Именно участие в таком ритуале (по-
(подобном рисованию листьев и амеб у биологов) способ-
способствовало, по словам Ирвипа, зарождению у него стойко-
стойкого интереса к проблеме разрушения, который не поки-
покидал его никогда и благодаря которому оп внес в механи-
механику разрушения неоцепимый вклад. Вместо того, чтобы
рассматривать общий энергетический баланс всего тела,
Ирвин занялся изучением поля напряжений в непосред-
непосредственной близости от конца трещины, куда стекает энер-
энергия и где возникает драматическая картина хрупкого
или почти хрупкого разрушения. Воспользовавшись из-
известными к тому времени решениями задач, Ирвин по-
показал, что единственным параметром, определяющим на-
напряженное состояние концевой зоны, является так назы-
называемый коэффициент интенсивности напряжений. Это
понятие для современной механики разрушения явилось
•) Подробнее об этом понятии мы поговорим позже.
82
фундаментальным. Критическое значение коэффициента
интенсивности, характеризующее сопротивление материа-
материала разрушению, заняло в инженерной практике одно из
главных мест среди характеристик материала наряду
с модулем упругости или коэффициентом Пуассона.
Силовой подход Ирвина, адекватный в принципиаль-
принципиальном отношении энергетическому подходу Гриффптса, по-
позволил обойти почти неопреодолимые вычислительные
трудпости, с которыми приходилось сталкиваться до кон-
конца 50-х годов прп решении задач в рамках концепции
Гриффптса.
В дальнейшем, разумеется, оказалось, что трудпости
в позпапии проблемы разрушения растут гораздо быст-
быстрее, чем того хотелось бы,— чем глубже в лес... Однако,
существование таких явлений, для объяснения которых
теория Грпффитса — Ирвина (названная линейной ме-
механикой разрушения) непригодна, как раз и подчерки-
подчеркивает ее значение как некоторой предельно простой тео-
теории по отношению к другим, более всеобъемлющим, но
иампого более сложным. Линейная мехаппка разруше-
разрушения приняла в целом законченную форму и заняла в
бурно развивающейся механике разрушения такое по-
почетное место, как, допустим, теория упругости в меха-
механике деформируемого твердого тела.
Беседе о современном состоянии механики разруше-
разрушения, ее принципах, возможностях практического приме-
применения и посвящены все главы книги, кроме следующей,
в которой содержатся сведепия из механики деформи-
деформируемого твердого тела, необходимые в дальнейшем. Пос-
После длительных колебаний автор, не в пример большин-
большинству популярных книг, решился использовать для объяс-
неппй некоторые формулы, даже те (немногие из них),
которые содержат производные и интегралы. Мие ка-
кажется, что лучше все-таки привести поучительную фор-
формулу, имеющую ясный физической смысл, чем пускаться
в многословные рассуждения. Итак, сделав такую оговор-
оговорку, собравшись с духом и соблюдая меру, пойдем дальше...
8 В, 3. Пакте а
Глава II
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 4. Сплошная среда
В 1822 и 1823 гг. великими Навье и Коши были пред-
представлены в Парижскую академию научные трактаты,
или, как их тогда называли, мемуары, положившие на-
начало двум подходам к рассмотрению механических
свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотре-
рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой
молекул, привел к довольно строгим физическим теориям
механических свойств кристаллов различного строения.
Второй же, так называемый континуальный подход, за-
заключался в замене реального тела воображаемой сплош-
сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство.
Уравнения равновесия ее были получены Коши с по-
помощью предложенного Эйлером метода выделения эле-
элементарного объема и рассмотрения действующих на него
сил. Для описания поведения сплошной среды постули-
постулируются определяющие уравнения. Полученная модель
такой среды считается пригодной для расчета процессов
в некоторых реальных телах, если результаты этого рас-
расчета с достаточной точностью соответствуют результатам
макроскопического эксперимента, в ходе которого изме-
измеряются механические величины, входящие в уравнения.
Такие модели называются феноменологическими, они со-
составляют основу механики сплошных сред.
Физикам больше нравится первый подход, они счи-
считают теории, в которых фигурируют атомы и молекулы,
более адекватными реальной действительности. Возможно,
это дело вкуса, однако не следует забывать, что в теории
мы имеем дело не с самим атомом, а с некоторой его мо-
моделью, более или менее точно описывающей поведение
реального объекта. Так что феноменологический подход
не менее честен, чем молекулярный. Важно только пом-
помнить о гипотезах, положенных в основу модели, и о пре-
пределах ее применимости. Так, сама гипотеза континуума
(т. в. сплошной среды) теряет справедливость, если речь
34
вдет об объектах, размеры которых приближаются к мо-
молекулярным, например, о таком важном для механики
разрушения понятии, как вершина трещины. Позже мы
увидим, что модель упругого тела предсказывает беско-
бесконечные напряжения в вершине острого разреза. К такому
предсказанию, разумеется, следует относиться критиче-
критически, оно является лишь следствием принятых гипотез.
Одпако сама модель в целом будет иметь полное право
на существование, если она правильно описывает то, что
она должна описывать, а именно разрушение тела с раз-
разрезом, предельные нагрузки, скорости распространения
трещин и долговечность тела с трещиной. Понимание
физики процесса бывает полезным и для механики, иног-
иногда оно может подсказать выбор надлежащей феномено-
феноменологической модели или же указать границы ее примени-
применимости. «Для построения механической теории данные
макроэксперимента достаточны, тогда как обращение к
физике может быть полезно в качестве наводящего со-
соображения»,— говорил академик Ю. Н. Работнов.
Если одинаковые объемы среды имеют одинаковые
свойства, то такую среду называют однородной. Аморф-
Аморфный материал (например, стекло) очевидно является од-
однородным, а вот технические сплавы являются поликри-
поликристаллическими (рис. 17), и возпикает вопрос, а можно
ли их моделировать однородной сплошной средой? Здесь
не существует однозначного ответа, все зависит от того,
какую задачу мы решаем. Если необходимо оценить воз-
возможность образования микротрещии в стыках зерен, сле-
следует решать задачу для неоднородного тела, состоящего
из нескольких кристаллических зерен разной ориента-
ориентации. Но если нам предстоит рассчитать прогиб стержня
от действия определенной силы, то можно моделировать
стержень однородной сплошной средой, поскольку его
длина и толщина, измеряемые, например, сантиметрами,
велики по сравнению с размерами зерен (измеряемыми
сотыми долями миллиметра), и ошибка от замены ре-
реального материала сплошной средой не должна быть
существенной. Подобные проблемы возникают у механи-
механиков, имеющих дело с деталями из композитных материа-
материалов, например, из стеклопластика, полученного намоткой
пучков стекловолокон с последующей пропиткой эпоксид-
эпоксидной смолой (рис. 18). Решая задачу о действии внутрен-
внутреннего давления на стеклопластиковую трубу, они исполь-
используют модель эквивалентной однородной сплошной среды,
а переходя к анализу расслоений между волокном и смо-
8* 35
о
Н
о
и
о
О
Ы
О
н
И
И
о
о
и
ф
S л
§1
о
н
о
в
iSjlpii
plill
II
'шеии
р.
то
) ХПОСТ
HOBCf
д
S
о
о.
Cj
Н
9
6
04
36
яой или обрывов волокон, начинают решать задачи об
одном волокне, погруженном в однородную среду, свой-
свойства которой такие же, как у смолы пли же у композита
в целом,— все зависит от плотности укладки волокон.
Такие процедуры напоминают исследования с помощью
микроскопа при различных увеличениях и называются,
кстати, «принципом микроскопа».
Если свойства образца, вырезаппого из материала, пе
зависят от того, в каком направлении он был вырезан,
то такой материал называют изотроп-
изотропным. Если же зависимость от ориен-
ориентации имеет место, то говорят, что
материал анизотропный. Можно го-
говорить об анизотропии упругих, пла-
пластических, электрических, тепловых
и прочих свойств материала. Все
кристаллы анизотропны, их анизо-
анизотропия определяется структурой
кристаллической решетки (рис. 19).
Поликрнсталлическип металл макро-
макроскопически изотропен, поскольку
зерна его ориентированы хаотиче-
хаотически. Однако при прокате зерна могут
Рис. 19. Типичные кристаллические структуры металлов: а) гекса-
гексагональная плотноупаковаппая (например, магшш, цпнк); б) куби-
кубическая грапецеитрнроваипая (например, алкшшшй, медь, свинец,
аустепитпыо стали); в) кубическая объемиоцептрнроваипая (на-
(например, хром, молпбден, ванадий)
деформироваться в направлении прокатки, и металл ста-
становится макроскопически анизотропным, хотя это в основ-
основном относится к пластическим, а пе к упругим свойствам..
В макроскопическом смысле анизотропны, разумеется,.
ЗТ
древесина и волокнистые композиты, причем в зависимо-
зависимости от технических потребностей анизотропией последних
можно управлять, меняя направления укладки волокон.
Наконец, для расчета, допустим, применяемой в авиа- п
ракетостроении оболочки с подкрепляющим каркасом из
колец-шпангоутов и продольных ребер-стрингеров прак-
практикуется замена реальной оболочки на эквивалентную,
однородную, но, конечно же, анизотропную оболочку.
Такая анизотропия условно называется конструктивной.
Проблема определения параметров эквивалентной одно-
однородной сплошной среды возникла довольно давно, чуть
ли не со времен Пуассона, и решалась зачастую полуэм-
полуэмпирическими и полуинтуптивными методами, и только
в последнее время стали бурно развиваться математиче-
математически строгие методы осреднения периодических неодно-
родностей.
§ 5. Напряжения п деформации
Говорят, что существуют три предмета, в которых
каждый человек считает себя вполне разбирающимся,—
это философия, живопись и медицина. Вероятно, близко
к ним стоит и сопротивление материалов. С прочностью
каждый знакомится в детстве, с понятиями «упругость»
и «жесткость» в их обыденном смысле мы сталкиваемся
повседневно, а если вы в гостях заикнетесь о стрессе, что
на русский язык переводится как напряжение, то разго-
разговорам не будет конца. Однако научные понятия напря-
напряжения и деформации человечество выстрадало.
К счастью, в средневековье наука о прочности в идео-
идеологическом отношении считалась относительно безопас-
безопасной, и Галилей избрал именно ее предметом своих заня-
занятий после отлучения от астрономии. Он ближе всех по-
подошел к представлению о напряжении, вернее, о разру-
разрушающем напряжении, обнаружив пропорциональность
между разрывающей силой и площадью поперечного се-
сечения растягиваемого стержня. Но только почти через
два столетия сила была поделена на площадь, а частное
названо напряжением. Сделал это Опостеп Коши, при-
причем он впервые понял, каким образом можно описать
внутреннее напряженное состояние тела в любой точке
при любом способе нагружения, а не только в момент
разрушения.
Для объяснения этого проведем, как предполагал
еще Эйлер, в теле разрез, тогда для сохранения равнове*
сия придется к поверхности разреза приложить те силы,
которые действовали в теле на месте разреза. Этот ка-
кажущийся нам довольно элементарным прием является
могучим средством анализа внутреннего состояния тела.
Разумеется, разрезы мы будем проводить мысленно, тог-
тогда от наших упражнений ущерба никакого не будет.
Так, поперечный разрез растягиваемого силой S бруса
позволяет установить, что в любом его сеченпи действу-
действуют напряжения a = S/A, которые называют нормальны-
нормальными, поскольку они направлены по нормали к поверхности
(рис. 20), измеряют напряжения в тех же единицах,
что и давление жидкости, например в техниче-
технических единицах кгс/см2 или кгс/мм-2, часто используют
с- и
Площадь
Рис. 20. Так определяются напряжения в растягиваемом брусе
I напряжение = спм
\, площадь сечения
единицы системы СИ — МН/м2 (меганыотоны на квадрат-
квадратный метр, «мега» означает миллион, а «Н» — ньютон).
Один ньютон равен приблизительно 102 граммам, т. е.
весу небезызвестного яблока, так что 1 МН/м2 =
= 10,2 кгс/см2 = 0,102 кгс/мм2. Отметим также, что в си-
системе СИ употребляется и другая единица напряжения
Па (паскалъ), причем 1 Па = 1 Н/м2 и соответственно
1 МПа (мегапаскалъ) = 1 МН/м2. Обычно считают растя-
растягивающее нормальное напряжение положительным,
а сжимающее — отрицательным. Для камешюн кладки,
например, растягивающие напряжения, считающиеся по-
положительными,— величайшее зло, с которым боролись
поколения инженеров и строителей.
Если рассечь стержень наклонной плоскостью, то
внутренние силы на месте разреза будут иметь в общем
случае не только нормальную составляющую, но и каса-
касательную, направленную вдоль плоскости разреза. Каса-
Касательным напряжением называют отношение касательной
39
еилы к площади сечепия, Обозпачпв п — вектор единич-
единичной- нормали к сечению, а — угол наклона п к оси стерж-
пя; о„ — нормальное и т„ — касательное напряжения л
\
A3 SL
\
Рис. 21. Вычисление папряжешга в наклонном сечепип стержня
при одноосном растяжении (вид сбоку)
паклопном сечении (рис. 21), получим*) из условий рав-
равновесия части стержпя:
¦ cos 2a
A)
оп — о cos-а =а •
2
sin 2os
тп = a sin a cos а = а
Из формул A) следует, что в сечениях, наклоненных к
оси под углом +45°, действуют касательные напряжения,
величина которых максимальна: хтл% — ±о/2 (знак каса-
касательного напряжения выбирается также условно). Этим
объясняется, что многие твердые вещества разрушаются
*) Вывод формул A) можпо найти в любом учебнике по сопро-
сопромату. Для вывода следует сравнить усилия, действующие в попе-
поперечном сечении В — В (площадью Л) и в наклонном сечении С — С
(площадью /1/cosa). В сечепип В — В осевые напряжения рав-
равны а, следовательно, в сечении С — С они равны a cos a. Проекти-
Проектируя их на нормаль к площадке С —С, получим an = (a cos a) X
X cos a = a cos2 а. Проектируя их на касательное направление, по-
получим тп = (о cos a) sin a = о sin a cos a,
40
при сжатии именно путем скольжения, вызванного
тельными напряжениями под углом около 45° к оси
сжатия (рис. 22).
Более сложный случай двухосного растяжения пла-
пластинки (рис. 23) можно рассматривать как наложение
Рис. 22. Разрушение хрупкого чугун-
чугунного цилиндрика при сжатии проис-
происходит по плоскости, в которой каса-
касательные напряжения максимальны
двух простых растяжений вдоль осей 1 и 2, параллель*
ных сторонам пластицки. Если о\ и о — напряжения.
f 1
2
{fit
I I I I
Рис. 23. Вычисление напряжений в наклонном сечении при двуое-
ном растяжении
действующие вдоль осей 1 и 2, то на произвольной на-
наклонной площадке
On = — К + ог) + -у К — а2) cos 2^
%п = -у- ((?! — а2) sin 2а,
B)
Очевидно, и здесь па площадках, наклоненных под уг-
углом в ±45° к осям растяжения, действуют касательные
41
напряжения максимальной величины
В самом общем случае плоского напряженного состоя-
состояния прямоугольный элемент пластинки (рис. 24) под-
подвергается действию нормальных напряжений ах и ау
вдоль осей х и у и касательных напряжений ixy и тух.
\ I
Рпс. 24. Напряженное состояние пря-
прямоугольного элемента пластинки
Рис. 23. Пространственное
напряженное состояние
элементарного кубика
Из равенства нулю суммарного момента сил можно выве-
вывести открытое Коши правило парности напряжений тху —
= тух. Используя снова прием Эйлера, можно установить,
что всегда найдутся два взаимно перпендикулярных на-
направления 1 а 2, относительно которых происходит толь-
только двуосное сжатие — растяжение без сдвига. Соответству-
Соответствующие напряжения Oi и ог называются главными напря-
напряжениями, а оси 1 и 2 — главными осями. Связь ах, ау и
ixy с главными напряжениями выражается формулами
1 1
ox = -j- (oi + а2) + — (ох — о2) cos 2cc,;
1
C0S
C)
= -у (стх — а2) sin 2а.
Разумеется и здесь наибольшие касательные напряжения
42
действуют на площадках, наклоненных под углом 45°
к главным осям.
В самом общем пространственном случае напряжен-
напряженное состояние описывается шестью величинами — нор-
нормальными напряжениями о*, о„, аг и касательными на-
напряжениями Тху, iXI и Хуг (рис. 25), здесь также действу-
действует закон парности касательных напряжений хух — хху,
izx = т«, х:у = Xy,. Существуют три взаимно перпендику-
перпендикулярные главные оси, в которых отличны от нуля только
три нормальных напряжения <л, 02 и оз. Максимальные
касательные напряжения, равные полуразностям глав-
главных напряжений, действуют в плоскостях, наклоненных
под 45° к координатным плоскостям в главной системе
координат,
Коши вывел уравнения равновесия между внутрен-
внутренними силами (напряжениями) и внешними объемными
силами, например силой тяжести. Составим баланс сил
для элемента стержня, лежащего между сечениями с ко-
координатами х и я+Да: (рнс. 26). Проекция внутренних
Рис. 26. Вывод уравнения равноиесня D) для произвольного эле-
элемента растягиваемого стержия
сил на ось стержня равна А ¦а(х + Ах)-А -а(х), внеш-
внешняя сила равна А ¦ Ах • Fx, если Fx обозначает внешнюю
силу, приходящуюся на единицу объема (А -Ах — объем
элемента). Приравнивая нулю сумму всех сил, получим
А -о{х + Ах)-А -а(х) + А • A*-F» = 0
илн
Ах х
При малой толщине элемента Ах первое слагаемое,
приблизительно равное производной о по х, характери-
характеризует скорость изменения а(х) вдоль стержня, а само ра-
равенство перепишется в виде:
—г- + Fx = 0. ил
dx * '
43
Аналогичным образом была выведена система уравнений
равновесия в саном общем пространственном случае
ду
E)
дх ду дг
Система получается прямо из условия равенства нулю
суммы всех сил, действующих на элементарный кубик
дах
(рис. 25); символ -^т , например, обозначает так называ-
называемую частную производную, которая представляет собой
просто скорость изменения ах по координате х при неиз-
неизменных у u z. Систему E) я привожу для того, чтобы
вы увидели се изящный и симметричный вид. Ею почти
в неизменном виде пользуются механики по сей день
уже более полутора веков. До появления работ Коши в
распоряжении ученых были словесные формулировки
вроде закона Галилея о пропорциональности разрушаю-
разрушающей силы и площади сечения стержпя, теперь же — за-
законченная теория напряжений. Но этим заслуги Коши
не исчерпываются — из трех уравнений равновесия E)
и заданных на границе тела силах в общем случае нель-
нельзя найти сразу шесть неизвестных*) ах, о„, о2, хху, тхг, туг.
Для определения папряжетгаого состояния следует еще
ввести понятие деформации тела и привлечь законы,
связывающие деформации с напряжениями, например
закон Гука для упругого тела. Но и с этой задачей спра-
справился Коши в своих знаменитых «Математических уп-
упражнениях».
При одноосном растяжении стержня деформацией на-
называют относительное удлинение стержпя, т. е. отноше-
отношение изменения его длины А1, возникающее от действия
силы 5, к первоначальной длине стержпя I (рис. 27)
е = —' 6)
Деформация является безразмерной величиной, иногда
для удобства ее выражают в процентах. Часто в ишке-
*) Впрочем, бывают исключения, так называемые статически
определимые задачи.
44
нерпых расчетах деформации весьма малы, так что во
всех формулах можно отбрасывать квадраты, кубы и бо-
более высокие степени деформаций. Если стержень растя-
растягивается неравномерно, например, центробежными сила-
силами при размахивании им, то деформацию надо вычис-
вычислять в каждой его точке и делать это надо следующим
образом. Отметим положение материальной точки ее ко-
координатой х до деформации и х — после деформации.
Рис. 27. Так определяется деформация растягиваемого бруса
удлинение
деформация =
иериоиачальпая длина
Величина и = и(х) = х' — х называется смещением точ-
точки х. Для элемента стержня, изображенного па рис. 26,
начальная длина Ах, а удлинение Аи = и(х + Ах)—и(х).
Деформация элемента согласно определению F) равна
Аи
-д—, деформация стержня в самой точке х вычисляется
при стремлении Ах к пулю, следовательно,
Если мы имеем дело с пространственной деформацией
тела, когда смещения точки вдоль осей х, у и z равны со-
соответственно и, v и ю-, то деформация элемента тела опи-
описывается шестью величинами — тремя деформациями
растяжения — сжатия вдоль осей координат
ди ди дш ,о>
1 У dy ' dz
ех =
и тремя деформациями сдвига
— _L (— о- —) — — (—
dw
dz
dw
(9)
Геометрически ех, е„, ег задают относительные удлинения
4S
элемента тела вдоль каждой из осей, а е = е% + еу '¦? ег
относительное изменение объема. Деформации же сдви-
сдвига еху, еХ1, еуг задают изменения углов между соответству-
соответствующими сторонами элемента, вызванные приложением
нагрузки (рис. 28). Точно так же, как и для напряже-
напряжений, Кошп нашел, что для деформаций существуют вза-
взаимно перпендикулярные главные оси, в которых дефор-
деформация элемента происходит без искажения углов эле-
элемента и сводится только к сжатию — растяжению вдоль
Рис. 28. Сдвиговая деформация описывает изменение углов меж-
между перпендикулярными элементами АВ в АС, Смещения точек А,
В, Ci
вдоль оси х вдоль оси у
Точка А и, v,
ди dv
Точка В и + -г— dy, v -J- ^— dy,
о~у оу
ди dv
Точка С u+g^-dx, v + r^-dx,
ди dv
Изменение прямого угла равно а + Р = -j- + т^- = 2е
главных осей. Соответствующие деформации ei, e2i вз на"
зываются главными.
О том, как Коши завершил вывод системы уравнений
теории упругости, которой пользуются и в наши дни, мы
46
скажем в следующем параграфе. Отметим, что первые
приложения этих уравнений к решению конкретных за-
задач были сделаны уже лет через пять после открытия
Коши. Французские инженеры Ламе и Клапейрон, слу-
служившие тогда в Петербурге, решили, например, крайне
важные для практики задачи о равновесии толстостен-
толстостенного цилиндра или шара под действием внутреннего дав-
давления. Труды 33-летнего Коши, подарившего миру урав-
уравнения математической теории упругости, не остались не-
незамеченными во Франции, ему был пожалован титул
барона.
§ 6. Упругость и неупругость
Расчет напряженно-деформированного состояния кон-
конструкций и их элементов невозможен без знания меха*
нических свойств тела, они должны быть измерены и
описаны уравнениями, которые в механике называются
уравнения-ми состояния или определяющими уравнения-
уравнениями. Эти математические зависимости характеризуют,
строго говоря, поведение идеального объекта, важно
только, чтобы идеальная модель воспроизводила поведе-
поведение реального тела с приемлемой точностью.
Механические свойства материалов изучаются с по-
помощью специально изготовленных образцов, которые за-
закрепляются в испытательной машине. В ходе испытания
ведется измерение и запись напряжений и деформаций,
возникающих в образце при увеличении нагрузки. Полу-
Полученный график зависимости напряжений от деформаций
называют обычно кривой деформирования. Вопрос о том,
хорошо или, плохо отражает эта кривая свойства самого
материала и не зависит ли ее вид от размеров и формы
образца и свойств машины, очень важен. Только поло-
положительный ответ на него свидетельствует о достоверно-
достоверности проведенных испытаний.
Рассмотрим один из основных видов испытаний — рас-
растяжение цилиндрического образца под действием посте-
пенпо возрастающей силы S (рис. 27). Кривая одноос-
одноосного деформирования образца из малоуглеродистой стали
приблизительно имеет вид, изображенный на рис. 29. До
некоторых пор относительная деформация остается пря-
прямо пропорциональной напряжению (точки прямолиней-
прямолинейного участка кривой О А на диаграмме). Если снять на-
нагрузку (разгрузить образец), тело примет исходную фор-
форму (этот процесс описывается все тем же прямоли-
47
нейпым участком крилей). С этом случае говорят об
обратимой упругий деформации, а математическая связь,
выражающая прямую пропорциональную зависимость
между напряжением и деформацией, записывается в виде
о = Ее,
где Е — коэффициент пропорциональности — постоянная
величина, характеризующая способность материала со-
сопротивляться действию силы и называемая модулем уп-
упругости или модулем Т. Юша. Продолжением прямой
м
Рпс. 29. Типичная кривая одноосного деформирования образца из
малоуглеродистой стали
на диаграмме служит искривленный участок, описываю-
описывающий так называемую необратимую пластическую дефор-
деформацию. Пусть напряжение, созданное в образце и соот-
соответствующее точкам этого участка (точка В), затем
уменьшается до нуля. Образец уже не вернется к исход-
исходной форме и приобретет некоторую остаточную (точка
С) деформацию еост. Поведение образца при разгрузке
па этот раз описывается пунктирной прямой ВС, почти
параллельной начальному участку О А. При повторном
нагружепии образец будет деформироваться упруго
вплоть до точки В, а затем деформации будут расти при
постоянном напряжении. Говорят при этом, что достиг-
достигнут предел текучести материала. Дальнейший рост на-
напряжений называют упрочнением материала. Для реаль-
реальных материалов дело состоит сложнее, и кривая пласти-
пластического деформирования зависит от скорости иагружения
образца. Однако у многих конструкционных материалов
зависимость от скорости невелика, и различие менаду
48
кривыми деформирования, снятыми при скоростях дефор-
деформации, отличающихся в сотни раз, не превышает раз-
разброса диаграмм, снятых па отдельных образцах.
Интересно, что по кривой деформирования удобпо
судить о накопленной в образце энергии. Если в некото-
некоторый момент, соответствующий точке М, под действием
силы S = Аа удлинение 1-е увеличивается на I ¦ Де, то
совершается дополнительная работа а ¦ А ¦ I ¦ Ае = о • Де X
XV (V — объем образца) и на столько же увеличивает-
увеличивается энергия деформаций. Следовательно, приращение
энергии в единице объема равно AW — о ¦ Де, на рис. 29
это приращение изображено заштрихованпой площадью
столбика о • Де. Таким образом, если при иагружении
образца возникшая деформация характеризуется точкой
В, то произведенная на единицу объема работа w равна
площади фигуры OBD. Она состоит из обратимой упру-
упругой энергии, равной площади треугольника BCD, и не-
необратимой работы пластических деформаций, изображае-
изображаемой площадью ОВС. Для линейно-упругого материала,
подчиняющегося закону Гука а = Ее, удельная упругая
энергия равна
поскольку геометрически это есть площадь прямоуголь-
прямоугольного треугольника с катетами о и е.
Окружающие пас естественные и искусственные ма-
материалы, подвергающиеся различным условиям эксплуа-
эксплуатации, проявляют как упругие, так и иеупругие свой-
свойства. Известно, что часто материалы, из которых изго-
изготовлены химические аппараты, паровые и газовые тур-
турбины, авиациоппые и ракетные реактивные двигатели
испытывают действие высоких температур и зпачитель-
ных силовых нагрузок. Имитация таких условий в экспе-
экспериментах с образцами показала, что образцы постепенно
деформируются даже под действием постоянной нагруз-
нагрузки. Это явлеппе получило название ползучести. Ползу-
Ползучесть ограничивает срок службы изделия, поскольку мо-
может привести либо к накоплению недопустимых дефор-
деформаций, либо просто к разрушению. Па рис. 30 схемати-
схематически представлена кривая ползучести образца, растяги-
растягиваемого постояпиой силой. Внезапно приложенная сила
в начальный момент вызовет мгновенную деформацию е0
[(упругую или упругопластическую), затем деформация
* В. 3, Партой 49
начнет постепенно увеличиваться. Как правило, сначала
наблюдается неустановившаяся ползучесть (участок /)
с уменьшающейся скоростью, затем установившаяся пол-
ползучесть (участок //), когда скорость ползучести почти
постоянна, и, наконец, ускоренная ползучесть (участок
///), когда в образце возникают микропоры и микро-
микротрещины, что заканчивается разрушением образца.
Разрушение
Рис. 30. Типичная кривая высокотемпературной ползучести
Масштаб времен на кривой ползучести может быть са-
самым различным. Расчетная долговечность стационарных
паровых турбин составляет десятки лет, ползучесть же
сопла реактивного ракетного двигателя под действием
намного более высоких напряжений и температур раз-
развивается во много раз быстрее, но ведь и время работы
такого двигателя составляет несколько минут. Конечно,
и механические модели, используемые в расчетах на
длительную и кратковременную ползучесть, должны от-
отличаться друг от друга.
При изучении прочности и разрушения деталей, кон-
конструкций и машин различают два вида нагрузок: стати-
статические и динамические. К статическим нагрузкам отно-
относят такие, которые постепенно возрастают от нулевых
до своих конечных значений, вызывая в теле медленный
рост напряжений и деформаций. Здесь в любой момент
имеет место равновесие между внешними и внутренни-
внутренними силами. При действии же динамической нагрузки на-
нарушается равновесие между ними. Примером статической
нагрузки может служить подъем груза на некоторую
высоту с постоянной скоростью (установившееся движе-
движение), когда в любой момент времени существует равно-
равновесие между грузом (внешняя сила) и натяжением в ка-
канате (внутренняя сила). В то же время при неравномер-
неравномерном (например, ускоренном) движении того же груза на
БО
упругий канат, воспринимающий пагрузку, действуют
еще силы инерции. При больших ускорениях возникают
значительные силы инерции, которые необходимо учи-
учитывать в расчетах. Динамический характер воздействия
ощущается при внезапно приложенных нагрузках и,
естественно, при ударном нагружении.
В нашем примере внешняя сила (груз) сохраняла
свою величину и направление. Однако на практике мно-
многие машины или отдельные нх детали работают в усло-
условиях, когда действующие силы и моменты изменяются
как по величине, так и по направлению (знаку). В со-
соответствии с этими изменениями будут меняться по ве-
величине и знаку вызываемые ими внутренние напряже-
напряжения. Переменным нагрузкам подвергаются железнодо-
железнодорожные рельсы, валы двигателей, лопатки турбин и др.
Особое значение в машиностроении приобрело периоди-
периодическое (циклическое) динамическое нагружепие, приво-
приводящее к периодическим (циклическим) изменениям на-
напряжений. Число перемен N величины и знака напряже-
напряжений может быть очень большим. Так, при вращении
вала, нагруженного постояппой по величине и направ-
направлению силой Р, который непрерывно работает в течение
7 часов ежедневно, делая 400 об/мин, число перемен ве-
величины и знака напряжений в течение года равно
дг = 400 ¦ 60 • 7 • 365 « 6,13 • 107.
Многократное изменение напряжений как по величине,
так и по зпаку приводит к накоплению повреждений в
материале, которое получило название «усталости» ма-
материала. Сопротивление усталости назвали «выносли-
«выносливостью» материала. Тщательное исследование этой про-
проблемы в середине XIX века провел немецкий железнодо-
железнодорожный инженер А. Вёлер. На рис. 31 приведена типич-
типичная кривая выносливости для железа и стали, которую
обычно называют кривой Вёлера. По оси ординат откла-
откладывается напряжение а, а по оси абсцисс принято от-
откладывать число циклов N, которое выдерживает образец
до разрушения. Как правило, после нескольких милли-
миллионов циклов нагружепия кривая Вёлера становится прак-
практически горизонтальной. Такой характер кривой указыва-
указывает на то, что для материала существует предел выносли-
выносливости О/, определяющий наибольшее напряжение, при ко-
котором образец не разрушится при сколь угодно большом
числе циклов. По кривой Вёлера всегда можно рассчи-
рассчитать уровень рабочих напряжений по требуемой долговеч-
4* 51
иости вала, или же его долговечность по заданному
уровню нагрузок. О рассмотренном выше вращающемся
вале можно, очевидно, сказать, что если оп проработал
год, то проработает еще хотя бы лет пять (если машина
морально не устареет и ее не спишут раньше).
К рассказу о некоторых особенностях расчета па раз-
разрушение в условиях усталости мы вериемся позже,
Рис. 31. Типичная кривая выносливости (кривая Велора) для же-
железа и стали
а сейчас отметим, что сам Волер указывал, что при цик-
циклических нагрузках видоизменяется и ослабляется кри-
кристаллическая структура металла, а это в свою очередь
способствует разрушению. Любопытно, кстати, что в «За-
«Записках туриста» А. Стендаль, будучи, по-видимому, на-
наблюдательным человеком, дал весьма точное описание
усталостного излома: «Ось моей коляски неожиданно
сломалась. Я внимательно осмотрел структуру железа в
месте излома: железо стало крупнозернистым, видимо,
потому, что служит уже давно...».
§ 7. Основы теории упругости
Вернемся ненадолго к закопу Гука и рассмотрим его
немного более подробно. Существенное дополнение к не-
нему сделал Пуассон в виде закона связи поперечных и
продольных деформаций. Если к упругой пластинке при-
приложить растягивающее напряжение oi, то она удлинится
в этом направлении и сократится в поперечном направ-
направлении. Пуассон нашел, что отношение поперечной де-
деформации в2 к продольной <?. является постоянной вели-
величиной
еа ve,. (И);
52
Постоянная v пазываегся коэффициентом Пуассона.
С учетом закопа Гука
ег = ^ A2)
получим
e2=-v^. A3)
Оказалось, что дпа числа Е и v полппстыо описывают
поведепие липейпо-упругого тела при сколь угодно слож-
сложном пагружеппи. D самом деле, для главных осей на-
напряженное состояние является наложением трех растя-
жеппй — сжатий от напряжений О\, ог, оз во взаимно
перпендикулярных направлениях. Вычислив продольные
и поперечные деформации по формулам типа A2) н A3)
и сложив их, получим пространственный закон Гука
в1 = -J [°1 — V (СТ2 + Оз)]>
Ч = -JF [стз - v (ffi + ог)]-
В произвольных осях доформацпп определяются такими
же зависимостями, только к ним добавятся формулы
для деформаций сдвига
ех = ]т [ах — v (аи + о2 )], еху = —^ хху,
еи = -^ К - v (^ + °; )]. еу: = Цг"туг> (
1 1 + V
е, = -^г [а2 — v (ах + оу )], е2х = —~—хгх.
Складывая первые три формулы, мы получим связь меж-
между объемной деформацией е — ех+ еу + ег (относительным
измепеппем объема элемента) и гидростатическим на-
пряжением о = -тг{Ох + оу + а2 ), аналогичным давлепию
в жидкости:
Постояппая и, = _ , ~\—г называется модулем сдвига,
а постоянная К = ., ^_ „ — объемным модулем упру-
53
гости. Из закона сохранения энергии следует, что Е, и,
и К положительны, а — 1 < v < 1/2. Для реальных кон-
конструкционных материалов v > 0 (при растяжении попе-
поперечные размеры сокращаются), хотя из теории не сле-
следует, что не могут существовать материалы с отрица-
отрицательным коэффициентом Пуассона. В предельном случае
v = 1/2 материал называют несзюимаемым — это, разуме-
разумеется, идеализация, ведь реальные материалы всегда хоть
Материал
Железо
Алюминий
Стекло
Е, МН/м2
2,06.105
0,69.105
0,69.10?
V
0,28
0,33
0,25
Т
ct, км/с
5,8
6,1
5,7
а б л и ц а 1
сг, км/с
3,2
3,1
3,2
немного сжимаемы. Ориентировочные значения упругих
постоянных некоторых материалов приведены для справ-
справки в табл. 1.
Итак, уже полтора века мы благодаря Коши распола-
располагаем полной системой уравнений пространственной зада-
задачи теории упругости*). Но и по сей день получение на
их основе точных решений является очень сложной
проблемой. Аналитические решения удается построить
только для очень простых идеализированных конфигура-
конфигураций, численные же решения для реальных пространст-
пространственных тел даже с использованием современных ЭВМ
получить весьма трудно. К счастью, согласно принципу
Сен-Венана пространственные детали картины напря-
напряженного состояния существенны только вблизи мест рез-
резкого изменения границы или мест приложения сосредо-
сосредоточенных нагрузок, в остальной же части элемента кон-
конструкции состояние близко к более простому одномерному
или двумерному (растяжению, кручению, изгибу и т. п.).
Для дальнейшего полезно еще сказать о так назы-
называемых плоской и антиплоской задачах теории упру-
упругости.
В плоской задаче теории упругости различают пло-
плоское напряженное состояние и плоскую деформацию.
Плоское напряженное состояние приблизительно реали-
__ *) Точнее, линейной теории упругости (зависимость деформа-
деформаций от первых степеней напряжений A5) в математике называ-
называется линейной).
54
вуется в тонкой пластинке, нагруженной силами, парал-
параллельными ее плоскости и распределенными симметрично
по толщине таге, чтобы не вызывать ее изгиба (рис. 32).
Если под напряжениями и смещениями понимать их
средние по толщине величины, то отличными от нуля
будут только смещения и и v и напряжения о*, ау и хху
в плоскости пластинки. В систему уравнений плоского
напряженного состояния войдут уравнения равновесия
дх
дхху
дх
ду
дау
~дТ
Fy =
A7)
выражения для деформаций
ех =
ви
дх
dv
ди , dv
и закон Гука
ех = -у {ах — хоу \ еу = т {ау - \
еху = ±+±хху. A9)
В такой постановке задача является плоской, но после ее
решения оставшаяся неплоская деформация ег (измене-
(изменение толщины пластинки) может
быть вычислена по формуле
ez = -^{ax + ay). B0)
Другой случай — плоской де-
деформации — приближенно реа-
реализуется в длинном цилиндри-
цилиндрическом теле (рис. 33), если все
силы направлены перпендику-
перпендикулярно его оси и одинаковы в
любом его поперечном сечении.
В таком случае
и = и(х,у), v = v(x,y)\
0, B1)
Р лГ
w •¦
Рис. 32. Плоское напряжен-
напряженное состояние наблюдается
в тонкой пластинке, загру-
загруженной в ее плоскости
а поэтому отличны от нуля
только ех, еу, еху. Для плоской деформации верны уравне-
уравнения равновесия A7), зависимости между деформациями
и напряжениями A8) и закон Гука A9), если в нем
55
провести формальную замену постоянных
V
v на Vg = j _ .
и Е на
Е
1 — v
B2)
Касательные напряжения тжг и хуг при плоской дефор-
деформации равны нулю, а осевое напряжеппе вычисляется
Рис. 33. Плоская деформация наблюдается в длппном цилиндриче-
цилиндрическом теле, загруженном равномерно по длине нормальными си-
силами
(после решения плоской задачи) по формуле
a, = v(o, + oj. B3)
Наконец, антиплоская деформация (которая является
антиподом плоской деформации) приближенно реализу-
реализуется в длинном цилиндрическом теле, загруженном не
меняющимися вдоль образующей касательными напря-
напряжениями -г** и туг. В данном случае
u = v = Q, w = w(x,y),
и отличны от пуля только деформации
eXz = ¦
1 dw
1 dw
B4)
B5)
B6)
Z1±L _i_ _LI^_ = о. B7)
дх ' ay v '
Отметим, что смещение w в аптиплоской задаче удовлет-
56
и напряжения
%хг = 2|лежг = (.i -^-, туг = 2\ieyz ^ ji -^-.
Уравнение равновесия будет только одно:
воряет так называемому гармоническому уравнению,
д w д w
д w п
д
дх ду
которое играет исключительную роль в математике.
До сих пор речь шла о равновесии упругого тела,
как же описать его движение? Оказывается, что система
уравнений движения сплошпой среды удивительно похо-
похожа па систему E) уравнений равновесия
i У i 1 ]? — г.
х — Ь 5~i
дх ' ду dz
Fu=p-^s B8)
#г ди dz
F2= p
d2w
дх ' ду > dz { ~ z r gr •
В отличие от системы E), здесь в правых частях стоят
не нули, а произведения плотности среды р на состав-
составляющие ускорения (вдоль соответствующих осей х, у
и z). Так и должно быть, ведь фактически перед нами
запись второго закона Ньютона: сумма внешних сил,
действующих на элементарный кубик, равна его массе,
умпожепиоп па ускорение, вызванное приложенными си-
силами*). Все остальные формулы (закон Гука A5) пли
выражения деформаций через перемещения (8) —(9))
остаются справедливыми в случае движения упруго-
упругого тела.
Для решения как задач равновесия, так и задач дви-
движения необходимо знать внешние нагрузки, приложен-
приложенные к поверхности тела (например, давлеппе жидкости
на подводную часть сооружения), или перемещения в
тех точках границы, где их можно считать известными
(например, перемещениями в месте жесткой склейки ре-
резиновой прокладки с пеподвпжпоп стальной плитой мож-
можно пренебречь). При решении задачи о движении тела
дополнительно должны быть известны начальные усло-
условия, т. е. положеппя точек и их скорости в начальный
момент времени.
Отметим крайпе важное свойство решений задач о
движепии или равповесии линейно-упругих тел. Для того
чтобы найти напряженно-деформированное состояние
*) Напомним, что уравнения E) являлись следствием перво-
первого закона Ньютона: в состоянии покоя сумма всех внешних сил
равна нулю,
57
линейно-упругого тела под действием сложной системы
внешних поверхностных и объемных сил, необязательно
решать задачу в лоб, можно решить ряд более простых
частных задач для каждого из внешних воздействий си-
системы сил отдельно, а затем сложить полученные напря-
напряжения и деформации. Этой возможностью суммирования
решений линейной теории упругости широко пользуются
механики. Они, добывая «по кирпичикам» относительно
простые решения, строят довольно сложные комбинации,
являющиеся решениями интересных и важных практи-
практических задач.
В динамических задачах такими простейшими реше-
решениями являются упругие волны. Для всех привычными
являются представления о том, что волны, возникающие
от удара, распространяются, преломляются, отражаются
и т. д. по воздуху, воде и твердым телам. При ударе по
упругому телу (например, стволу пушки) в нем, много-
многократно отражаясь и преломляясь, побегут с большими
скоростями упругие волны. В глубине тела будут рас-
распространяться так называемые объемные волны, вблизи
же поверхности особые, поверхностные волны. Рассмот-
Рассмотрим основные виды волновых решений, суммируя кото-
которые можно подойти к описапию сложных динамических
процессов, происходящих в упругих телах.
Простейшим видом объемных волн являются плоские
волны, в которых перемещения зависят только от одной
координаты, допустим, х, и времени t:
и = и(х, t); v = v(x,t); w = w(x, t). B9)
В плоской волне все частицы тела*), лежащие в плоско-
плоскости х = const, движутся одинаково. Для получения урав-
уравнений, описывающих плоские волны, подставим B9) в
(8) и (9), вычислим деформации
ди j-, \ dv
е в s и е
\
еху = -7J-
1 дш
а затем по закону Гука A5) найдем напряжения
?A —у) ди _ Е dv_
A — 2v) A + v) ~дхх Хху ~ 1 + v ~дТ1
_ Е дю
%™ - TTV 17-
ох
*) Которое мы считаем неограниченным, так как речь идет об
областях реального тела, весьма удаленных от его границ.
58
Подставив эти выражения в уравнения движения B8)
(в которых для простоты объемные силы Fx, Fy, Fz по-
положим равными нулю), придем к так называемым вол-
волновым уравнениям
Я2
„2
д а
с\-
d2v
дг
fix1
d2w
где
1 — v
с. = v —
C0)
C1)
р (f^~2v)(l + v) ' ~ У "р Т(Т+^7 " C2^
Уравнения типа C0), C1) называются волновыми, по-
поскольку, как нетрудно проверить простой подстановкой,
выражения
u = U(x-c]t), v=V(x-c2t), w=W(x-c2t) C3)
являются решениями этих уравнений для любых функ-
функций U, V, W. Из рис. 34, на котором изображен график
u(x,t)
Л
/ crtf \
Рис. 34. Распределение возмущений для моментов t = ?о = 0 и t\
функции и(х, t) для двух последовательных моментов вре-
времени to — O<ti, видно, что первое из выражений C3)
описывает волну с неизменным профилем U(x), распро-
распространяющуюся напраио со скоростью С\. Эта волна назы-
называется продольной волной или волной расширения — сжа-
сжатия, поскольку частицы в такой волне сжимаются и ра-
растягиваются, двигаясь в направлении распространения
волны (рис. 35, а). Волны, описываемые двумя послед-
последними выражениями C3), называются поперечными или
сдвиговыми волнами, или волнами искажения, поскольку
частицы среды перемещаются поперек направления дви-
движения волны, испытывая только деформации сдвига; при
59
этом искажается только их форма, по объем не меняется
(рис. 35,6). Скорость продольной волпы С) всегда больше
скорости поперечной волны С2, ориентировочные значе-
значения этих скоростей для некоторых материалов указаны
Рис. 35. Деформация тола при прохождении продольной (а) и попе-
поперечной (б) волн
в табл. 1. Различие скоростей волп расширения и иска-
искажения используется, например, в сейсмологии для опре-
определения расстояния до очага землетрясения I по разнице
времен прихода воли At. Очевидно соотношение
Важным частным случаем плоских волп являются гар-
гармонические волны, для которых функции U, V и W суть
косинусы или сппусы, например,
u=U0 sin [kL (х — ctt)] = Uo sin [со f — — t)]. C4)
L vci /J
Здесь C/o—амплитуда волны, со — частота волны (часто-
(частота колебательного движения частиц), k\ = co/ci — так на-
называемое волновое число, L = 2n//ci = 2nci/(o — длина
60
волны. Характерно, что скорости объемных волн пе
зависят ни от амплитуды, пп от частоты волны, значит,
любые сигналы по объему упругого тела передаются без
затухания н изменения формы, называемого дисперсией.
Существование особых приповерхностных волн, адгали-
туда которых быстро убывает с глубиной, было теорети-
теоретически предсказано в 1885 г. английским ученым Дж.
Рэлеем. Рэлей доказал, что в упругом полупространстве
z > О *) со свободной границей (о, = т« = хуг = О при
z —0) (рис. 36) уравпения динамической задачи теории
упругости (8), (9), A5), B8) имеют решение вида
u = (t/1e h
-»,-)
со cos со
-*,
C5)
1 и sin со I—
где Uu U2, W\, W2, ?4, A,2 зависят только от упругих по
стоянных Е и v, причем A,i>0, Х2 > 0. Формулы C5)
по-
поСвободная
подерхность
00
z
1,00
0,95
0,90
Смещений
частиц
Рис. 36. Упругое полупрост-
полупространство г ~Ss 0, вдоль поверх-
поверхности которого распространя-
распространяется волна Ралея
0.85
0
0,25
0,50х>
Рпс. 37. Зависимость отноше-
отношения скорости рэлиевской вол-
волны сц к скорости волны иска-
искажения с2 от коэффициента Пу-
Пуассона v
описывают рэлеевские волны — гармонические волны, рас-
распространяющиеся вдоль поверхности тела в направлении
оси х со скоростью св = с2 ¦ /(v), где с2 — скорость объ-
*) Так в механике моделируется небольшой участок у поверх-
поверхности конечного тела, из-за малости которого можно пренебречь
кривизной границы и влиянием удаленных от пего частей тела.
61
емных волн искажения, a /(vj— не очень сильно меняю-
меняющаяся функция коэффициента Пуассона, ее значения ле-
лежат между 0,874 и 0,955 для всех известных материалов
(рис. 37). Частицы среды в рэлеевских волнах испыты-
испытывают как расширение — сжатие, так и искажение
(рис. 38), их амплитуда очень быстро убывает с глуби-
глубиной. Теоретически открытые волны Рэлеп были обнару-
обнаружены сейсмологами. Оказалось, что это те самые обла-
обладающие большой амплитудой и энергией волны, кото-
которые являются главной причиной разрушений наземных
?
1
л
, -
. '
у—*
,—-
i—:
г
—».
f
г
Рис. 38. Деформация тела при прохождении поверхностной волны
Рэлея
сооружений при землетрясениях. Они приходят из очага
землетрясения позже объемных волн расширения и иска-
искажения (сл< сг < С\), но несут основную часть энергии*).
Заметим, что рэлеевские волны бывают и полезны, они
находят широкое применение, например, при дефекто-
дефектоскопическом контроле поверхностных дефектов. Это осо-
особенно важно для обеспечения целостности конструкций,
ведь, как Вы скоро увидите, имепно такие дефекты явля-
являются наиболее опасными.
§ 8. Концентрация напряжений
Мы уже говорили о том, какую роковую роль могут
играть отверстия и вырезы, например, для стального кор-
корпуса судна. Наличие резкого изменения формы поверх-
поверхности упругого тела приводит к существенному повыше-
*) По некоторым оценкам, переносимая энергия распределя-
распределяется так, что на волны расширения — сжатия приходится 7 %, на
волны искажения — 26 %, а на волны Рэлея — 67 %.
62
нию напряжений в непосредственной близости от такого
места. Говорят, что в теле появился концентратор на-
напряжений, само же явление возникновения локального,
часто весьма опасного пика напряжений получило на-
название концентрации напряжений.
Явление концентрации напряжений первыми обнару-
обнаружили теоретики, а вот экспериментаторы даже при на-
натурных испытаниях британского эсминца «Вулф» в
1903 г. не обнаружили ее, поскольку не догадались по-
поставить хотя бы один регистрирующий прибор вблизи
корабельного люка. Это выглядит странным хотя бы по-
потому, что из житейской практики, например, общеизвест-
общеизвестно, что следует сделать предварительный небольшой над-
надрез для аккуратного разламывания таблетки или отрыва
лоскута материи.
Итак, если мы обратимся к задаче о двуосном растя-
растяжении упругой пластинки с круговым отверстием
(рис. 39), то обнаружим, что вблизи контура отверстия
о
\ t t t t t t t t t
ттТГП
у
ft1
ъ
—^-
I\ \ Fill\ \ \
Pnc. 39. Двуосное растяжение упругой пластинки с круговым от-
отверстием
окружные направления повышаются вдвое по сравнению
с напряжениями вдали от него (или с напряжениями,
которые возникали в сплошном теле до появления отвер-
отверстия). Распределение напряжений в полярной системе ко-
координат *) в описываемом случае дается следующими
*) Каждая точка на плоскости характеризуется своим рассто-
расстоянием до полюса и углом наклона 9 радиуса-вектора (соединяюще-
(соединяющего рассматриваемую точку с полюсом) к полярной оси — горизон-
горизонтальной прямой, проходящей через полюс,
63
зависимостями:
2 \ / а2\
г2 /' 6 ° \ ^ г2 )'
Они показывают, что при приближении к отверстию (при
уменьшении г) радиальное напряжение о, убывает ;ю
нуля, а окружное напряжение Ое возрастает до 2оп.
В этом случае говорят, что коэффициент концентрации
напряжений К равен 2. В общем случае К вычисляется
с помощью отношения
К __ сттах
где Ошах — наиоольтее местное напряжение, вызванное
концентратором напряжений, а ов — «номинальное» на-
напряжение, которое возникло бы в отсутствие концен-
концентратора.
Если спять часть нагрузок и оставить только растя-
растяжение вдоль одной оси (рис. 12) то, как показал в
1898 г. немецкий инженер Кирш, концентрация напря-
напряжений не уменьшится, а значительно возрастет. Решение
Кирша описывается уже более сложными формулами:
1
За
4
— — ] cos 20
г
4
^J + ll + §L]cos20|, C7)
С нахождением наибольших напряжений по формулам
C7), безусловно, справятся все студенты первого курса
и уж обязательно инженеры. Окружное напряжение ств
принимает наибольшее значение Зоо в точках А осп х па
контуре отверстия, радиальное же напряжение макси-
максимально в точках В оси х, по в стороне от отверстия, там
о
т = а12 и (ar)max= g- ст0.
Коэффициент концентрации напряжений равен в дап-
ном случае трем, а вот локальный максимум радиальных
напряжений, оказывается, тоже имеет значение для
64
анализа разрушения некоторых материалов (напри-
(например, композитов), но об этом мы поговорим несколько
позже.
Как уже отмечалось, решение задачи о растяжении
пластинки с эллиптическим вырезом (рис. 13) было впер-
впервые получено Г. В. Колосовым в 1909 г. в его диссертации
«Об одном приложении теории функций комплексного
переменного к плоской задаче математической теории
упругости». Найденные формулы очень сложны, мы их
приводить не будем, отметим только крайне важный для
нас результат: наибольшие напряжения наблюдаются в
вершинах А эллипса, где
() C8)
Согласно этой формуле напряжения в вершипах узкого
эллипса (а/b — велико) могут стать очень большими.
Если мы введем в формулу величину р = Ь2/а, называе-
называемую радиусом кривизны в вершине выреза, то получим
C9)
Оказалось, что в таком виде выражение для концентра-
концентрации напряжений применимо не только для эллиптиче-
эллиптических отверстий, но и для отверстий любой формы, на
контуре которых есть точки с малым радиусом кривизны
(рис. 40). В любом случае концентрация напряжений
определяется глубиной выреза и радиусом кривизны в
его вершине. Большая концентрация напряжений может
согласно формуле C9) наблюдаться и у острого края
люка в борту корабля и у вершины царапины на окон-
оконном стекле.
Конечно же, в реальном материале напряжения мо-
могут расти до определенных пределов, и формулу C9)
нельзя применять без тщатольпого дополнительного ана-
анализа. В зоне концентрации напряжений активизируются
необратимые процессы, которые могут снижать эту кон-
концентрацию (например, в пластичных материалах). Зача-
Зачастую в таких зонах происходит постепенное накопление
повреждений, приводящее в последующем к появлению
трещины. Ясно одно — концентрацию напряжений сле-
следует тщательно учитывать в расчетах на прочность. Не-
Необходим и обоснованный расчет конструкций с подкреп-
подкреплениями, вводимыми для предотвращения разрушения,—
ведь они сами могут служить концептраторами напря-
5 В. 3, Партоц 65
жений. Ясно и другое — предельным случаем концентра-
концентратора напряжений является трещина, разрез «нулевой»
толщины. Понятпе коэффициента концентрации упругих
напряжений, конечно же, утрачивает здесь физический
t f t t
\ I I H
Рис. 40. Концентрацпя напряжений у выреза определяется глуби-
глубиной выреза и радиусом кривизвы контура в его вершине, но не за-
зависит от формы контура
смысл, и мы вступаем в область механики трещин — важ-
важнейшей составной части механики разрушения, попытка
популярного изложения которой и предпринимается в
этой книге.
Глава III
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
§ 9. Что такое механика разрушения?
Вернемся к главному вопросу нашего повествования.
Разрушение! Как его обуздать или облегчить? С по-
помощью каких гипотез и законов адекватно описать этот
процесс? Оказывается, что таких гипотез и законов су-
существует достаточно много, так как явление разрушения
изучается с разных позиций, отражающих те или иные
взгляды ученых на эту проблему.
Известно, что явление разрушения представляет со-
собой сложный, многоступенчатый процесс, который начи-
начинается задолго до появления видимых трещин. Из-за
отсутствия единой теории процесса разрушения (кото-
(которую, быть может, и вообще невозможно создать) изуча-
изучают закономерности этого явления, начиная от зарожде-
зарождения микротрещин (что определяется с помощью тончай-
тончайших физических экспериментов) и до образования види-
видимых макротрещин длиной от нескольких миллиметров до
километров. Другими словами, ученые выделяют опреде-
определенные масштабные уровни и в пределах каждой мас-
масштабной области изучают это явление в соответствии с
построенной ими моделью, хорошо отражающей внутрен-
внутреннее строение материала и учитывающей граничные усло-
условия со стороны как левых, так и правых соседних обла-
областей масштабной шкалы. Линейные масштабы явления
разрушения проиллюстрированы на рис. 41. В частности,
явление разрушения изучается с позиций механики.
Центр тяжести ее интересов лежит ближе к концу изо-
изображенной здесь масштабной шкалы. Для механики ха-
характерно стремление к описанию основных особенностей
разрушения в рамках строго сформулированных и доста-
достаточно общих моделей, применяемых к некоторым клас-
классам материалов. Использование основных положений, за-
законов и методов механики (точнее, механики сплошной
5* 67
Ионы и
электронный
газ
Дислокации
Границы
судзереи,
выделения
Суо~зерна,
полосы
скольжения
Зерна,
Включения,
пустоты -
Большие
пластические
деформации
ю-1
Упруго- Особая
пластическое точка
поле , упрузоео поля
10'1 1
Плоское
деформиро-
деформированное
состояние
Переходная Номинальные
область напряжения
Юсм
Плоское
Шсм
напряженное состояние
Рис. 41. Схема явления разрушения с точки зрения масштабной
шкалы (напряженное состояние оценено по отношению к плоской
детали толщиной 1 мм)
среды) прп исследовании процесса разрушения опреде-
определило название предмета — «механика разрушения».
Интуиция подсказывает нам, что вид нагрузки и ее
интенсивность, о которых уже шла речь, а также форма
тела в первую очередь оказывают влияние на его проч-
прочность и разрушение. Так вот, механика разрушения как
раз и является областью знаний о влиянии нагружения,
геометрии тела и свойств материала, из которого тело
состоит, на его разрушение. Можно сказать, что механи-
механика разрушения в широком смысле этого понятия вклю-
включает в себя ту часть науки о прочности материалов и
конструкций, которая связана с изучением несущей спо-
способности тела либо без учета, либо с учетом начального
распределения трещин, а также с изучением различных
закономерностей развития трещин. Этот подход не за-
зачеркнул все прежние достижения науки о прочности,
о которых шла речь в гл. L С появлением нового под-
подхода она лишь пополнилась еще одним направлением.
Пусть, например, при решении вопроса о несущей спо-
способности тела с трещинами исследователь не в силах
учесть возможный характер развития трещин. Тогда он
обращается к классической теории прочности. Как мы
уже говорили, расчет несущей способности тела в этом
случае сводится к тому, чтобы определить напряжения
и деформации и проверить, не достигает ли определен-
определенная комбинация этих параметров своего критического
вначения в каких-либо точках тела.
Учет возможного развития трещин, казалось бы, не-
неимоверно усложняет расчет несущей способности. Теперь
уже требуется знать закономерности развития трещин,
решать сложную задачу об их поведении: при различных
нагрузках они могут расти, а могут и оставаться в рав-
равновесном состоянии, не развиваясь. Однако дело обстоит
вовсе не так сложно, как кажется поначалу. Решение
задач с учетом трещин, зачастую связанное с большими
математическими трудностями, содержит гораздо больше
информации, чем требуется в этой проблеме. Для того
чтобы получить ответ на главный вопрос — обладает ли
тело несущей способностью при рассматриваемой нагруз-
нагрузке? — совсем не обязательно располагать решением самой
задачи о равновесии тела с трещинами. Требуется лишь
выяснить, существует ли решение этой задачи при рас-
рассматриваемой нагрузке или не существует. А это приво-
приводит к проверке некоторых относительно простых усло-
условий, о чем будет сказано ниже,
69
В настоящее время значение исследований по меха-
механике разрушения выходит далеко за рамки вопроса о не-
несущей способности. Как уже отмечалось, исследование
процесса разрушения представляет самостоятельный ин-
интерес. Управление процессом разрушения и знание его
закономерностей имеют огромное значение для практики
(для конструкций и сооружений желательно замедлить
процесс роста трещин, тогда как при обработке резанием,
наоборот, необходимо всячески облегчить разрушение).
Убеждать руководителей промышленности в необходи-
необходимости развития исследований по механике разруше-
разрушения, по-видимому, не требуется. Вспомните об уже упо-
упомянутых колоссальных материальных потерях от разру-
разрушения в США, составляющих порядка 4 % совокупного
национального продукта, что сравнимо, например, с рас-
расходами на здравоохранение. А ведь около четверти этих
средств можпо спасти за счет последовательного внедре-
внедрения технологий, уже разработанных согласно рекоменда-
рекомендациям специалистов по механике разрушения, и еще около
четверти — за счет разработки новых научных методов
борьбы с разрушением.
В нашей стране проблема управления разрушением
стоит не менее остро, чем в других крупнейших промыш-
ленно развитых странах. Советские ученые занимают пе-
передовые позиции в мировой механике разрушения: регу-
регулярно проводятся всесоюзные и международные конфе-
конференции и съезды, разработаны отраслевые и государствен-
государственные стандарты по расчетам на прочность с учетом воз-
возможного разрушения, проблема впедрения передовых тех-
технологий решается в масштабе всего государства.
Сейчас механика разрушения является одной из наи-
наиболее бурно развивающихся областей механики. К числу
основных направлений ее исследований относятся про-
проблемы разрушения в условиях значительных пластиче-
пластических деформаций, разработки методов механики разру-
разрушения неметаллических материалов (композиты, кера-
керамика, полимеры, бетоп, горные породы и т. д.), изучение
распространения трещин при динамическом нагруженип
и при наличии агрессивных сред, прогнозирование ресур-
ресурса и надежности элементов конструкции с учетом слу-
случайного характера возникновения и развития в них де-
дефектов. Не следует забывать и о положительных аспек-
аспектах разрушения и связанных с этой задачей проблемах:
облегчение разрушения прп резании, разрушение при
извлечении ценных пород и др.
70
§ 10. Модель тела с трещинами
Общим для различных моделей развития трещин в
твердых телах является то, что в начальный момент счи-
считается заданным некоторое распределение трещин ко-
конечной длины. Это хорошо согласуется с эксперименталь-
экспериментальными данными. Любой материал, какой бы предвари-
предварительной технологической обработке он ни подвергался,
всегда обладает какими-либо несовершенствами*). Что
же все-таки легло в основу моделирования явления раз-
разрушения? Трещина! Ее развитие чаще всего не сопро-
сопровождается большими деформациями в объеме всего тела
и является главной формой проявления разрушения.
До сороковых годов нашего века развитие идей в этом
направлении было незначительным. Процесс развития
трещин оставался в стороне благодаря широко распро-
распространенному мнению о том, что разрушение происходит
почти мгновенно. Иными словами, мгновенные разруше-
разрушения, обусловленные трещинами, трактовались как «раз-
«разрушение без предупреждения». Считалось, что трещина
появляется только на последних минутах «жизни» кон-
конструкции или сооружения, завершая процесс разруше-
разрушения. Чуть позже научились выявлять трещины на ран-
ранних стадиях разрушения, по меры борьбы с ними по-
прежнему оставались неясными. В такой ситуации при
проектировании и изготовлении реальных конструкций
старались вообще избегать решения проблемы возникно-
возникновения и развития трещины. Даже в тех случаях, когда
предотвращение роста трещин было абсолютно необхо-
необходимо, основные усилия направляли на то, чтобы вовсе
не допустить трещины как «незваных гостей». К сожа-
сожалению, это была продолжительная по времени эпоха,
когда открыто, в полный голос о трещине не говорили.
Но вот наступил новый период, и в последующие (после
сороковых годов) десятилетия эта точка зрения была
пересмотрена. Было установлено, что развитие трещины
занимает значительный период, предшествующий разру-
разрушению, причем это относится не только к пластическо-
пластическому, но и к усталостному и даже хрупкому разрушению
(разрушению без остаточных деформаций, когда из об-
*) Отсюда при выводе различных критериев прочности с уче-
учетом процесса разрушения можно получить соотношения, совпадаю-
совпадающие по форме с обычными критериями прочности, только входя-
входящие туда константы становятся зависящими от расположения, кон-
конфигурации и размеров начальных трещин,
71
ломков можно составить исходное тело). Развитие тре-
трещины — это весьма сложный процесс (так, например,
скорость развития трещины в силикатном стекле в на-
начале процесса в 10—100 миллионов раз меньше, чем на
заключительном этапе).
В то же время экспериментальные факты свидетель-
свидетельствовали о том, что при изменении внешних нагрузок в
значительном диапазоне трещины если и развиваются, то
устойчиво (о чем еще будет речь), не приводя к разру-
разрушению конструкцию, спроектированную с учетом имею-
имеющихся начальных трещин. Отсюда следовало, что харак-
характеристика прочности в определенных пределах не зави-
зависит от начальных длин трещин, а может определяться
некоторыми структурными параметрами материала, та-
такими, например, как величина зерна. Здесь речь уже
идет не только о современных требованиях сохранения
прочности (в смысле устойчивости и целостности кон-
конструкции), а о конечной цели (до которой еще очень
п очень далеко) — предотвращении разрушения из-за
трегципы.
Что же представляет собой математическая модель
трещины? Рассматривая реальную трещину (рис. 42)
в деформируемом твердом
теле, можно всегда выделить
на ее границе линию 1 —
фронт трещины, на котором
смыкаются поверхности по-
полости 2 — берега трещины.
Очевидно, что в окрестности
фронта будет наблюдаться
наибольшая концентрация
папряжепий и именно здесь
будет происходить локальное
разрушение материала.
С точки зрения постанов-
Рис. 42. Фронт реальной тре- ки и решения задачи теории
щняы в деформируемом твер- упругости берега трещины
дом теле играют роль дополнительной
границы тела, причем из-за
малого расстояния между берегами реальную трещину
можно рассматривать как математический разрез, т. е.
полость нулевого объема, ограниченную двумя геометри-
геометрически совпадающими поверхностями — берегами разреза.
Переход от полости к математическому разрезу можно,
например, осуществить следующим образом, Рассмотрим
72
неограниченное тело с полостью в форме эллиптического
цилиндра, образующая которого параллельна оси z (пер-
(перпендикулярной рисунку) (рис. 43, а). Если совершить
предельный переход при Ъ -*¦ 0, то эллиптический цилиндр
превратится в туннельный разрез па отрезке [—а, а]
Рис. 43. Переход от эллиптической полости к математическому раз-
разрезу
перейдет в верхний берег разреза \х\ =S а, у — +0, а ниж-
нижний полуэллипс у
берег разреза \х\ =g а, у
= — Ъ |/ 1 — (-f-j—в
в нижний берег
разреза Ы «S а, у = -О (рис. 43,6).
Заметим, что прямолинейный туннельный разрез в
неограниченном теле или прямолинейный сквозной раз-
разрез в тонкой пластинке является основным идеализиро-
идеализированным образом реальной трещины, так как в произ-
произвольной малой окрестности точки О фронта (рис. 42)
трещину можно рассматривать как плоскую трещину с
прямолинейным фронтом. Следовательно, изучение на-
напряженно-деформированного состояния в окрестности лю-
любой точки фронта трещины можно проводить в рамках
плоской или антиплоской задачи теории упругости.
Предельный переход к математическому разрезу есте-
естественно возникает при анализе задачи с точки зрения
масштабной шкалы (вспомните рис. 41). Если мы будем,
например, решать задачу о разрушении под действием
внутреннего давления р тонкостенного цилиндрического
сосуда с осевым трещиноподобным дефектом на поверх-
поверхности (это наиболее опасный для сосуда давления де-
дефект), то рациональная схема решения предполагает
использование «принципа микроскопа». Пусть между
73
радиусом цилиндра /?, толщиной его стенки h и некото-
некоторым параметром р, имеющим смысл радиуса кривизны
в вершине дефекта или размера зоны, в которой суще-
существенно проявляются эффекты нелинейности, пластич-
пластичности и т. д., имеет место следующее соотношение:
R>h>p (символ > означает много больше). Тогда
Цилиндрический ь* 2 (/?+/>) ^
сосуд
бездефектная
часть сосуда
d
Участок стенки.
с дефектом
Упругая область,
прилегающая
к вершине
трещины
Концевая зона
у Вершинь/ трещины
Рис. 44. Принцип микроскопа
«меняя степень увеличения» воображаемого «микроско-
«микроскопа», мы разобьем задачу на ряд простых, отличающихся
масштабом (рис. 44). Из элементарного расчета безде-
бездефектного сосуда (дефект без «микроскопа» не заметен)
74
получим, что окружные напряжения в стопке почти по-
постоянны по толщине и равны а=р-?- (масштаб /). При
некотором увеличении участок стенки, на котором нахо-
находится дефект, становится очень похож на упругую по-
полосу с боковым надрезом, растягиваемую напряжением о
на «бесконечности» (масштаб 11). Нацеливаем наш «мик-
«микроскоп» на вершину разреза, где дол?кны происходить
процессы разрушения, и при большем увеличении видим
полубесконечный разрез в неограниченной линейно-упру-
линейно-упругой плоскости (масштаб ///). И, наконец, еще большее
увеличение (масштаб IV) позволит детально рассмотреть
область у вершины трещины конечной кривизны, где по-
поведение материала существенно отклоняется от эакопа
Гуна. При решении каждой из отмеченных задач мы
должны, как уже говорилось, учитывать требования не-
непрерывного перехода от одного решения к другому.
На рис. 45 схематически представлен график нормальных
напряжений с„ вдоль линии дефекта, он «склеен» аз
'/////////У/,
Рис. 45. Распределение напряжений иеред вершиной дефекта
частей, построенных по соответствующим решениям. Ма-
Математически условия склейки означают, что поведение
одного решения вдали от начала координат должно совпа-
совпадать с поведением решения для меньшего увеличения
вблизи пачала координат. Из проведенного анализа сле-
следует важное заключение. Для решеппя задачи о разви-
развитии трещины совсем не обязательно интересоваться де-
детальными и не вполне изученными процессами, происхо-
75
дящими в весьма малой окрестности конца трещины
(и решать крайне сложную и неопределенную задачу
для области IV). Достаточно знать характер и интенсив-
интенсивность напряженного состояния в малой области III,
окружающей вершину разреза.
Итак, для механики разрушения крайне необходимо
располагать так называемым асимптотическим решением
задачи линейной теории упругости для полубесконечного
разреза, о чем и пойдет речь в следующем параграфе.
| 11. Поля напряжений и смещений
в окрестности края трещины в упругом теле
Как мы уже говорили, решение данной задачи для
малой окрестности любой точки гладкого фронта
(рис. 42) можно считать не зависящим от координаты г,
отсчитываемой вдоль фронта трещины (рис. 46). Самый
общий случай полей деформаций и напряжений у кон-
кончина трещины можно получить путем взаимного нало-
наложения напряжений следующих частных видов плоской и
антиплоской деформаций (рис. 47). Вид / связан с от-
отрывным смещением, при котором поверхности трещины
прямо расходятся одна от другой во взаимно противопо-
противоположных направлениях (так происходит при забивании
клина). Вид // соответствует перемещениям, при кото-
которых поверхности трещины скользят друг по другу (так,
например, снимает стружку резец токарного станка).
Вид III связан с антиплоской деформацией (разрезание
ножницами), при которой одна поверхность скользит по
другой параллельно фронту трещины. Решения этих за-
задач, очень сложные в математическом отношении, были
получены в пятидесятые годы. Оказалось, что для любых
задач теорий упругости поля напряжений и смещений
вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую
структуру. Первыми поняли это английские ученые
Дж. Ирвин и М. Вильяме, хотя строгое доказательство
общности формул было дано позже. Сейчас мы приведем
все формулы, описывающие распределение напряжений
и смещений, причем многоточия в них ставятся вместо
слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с
выписанными. Мы приводим эти довольно громоздкие вы-
выражения совсем не для того, чтобы лишний раз вызвать
трепет перед механикой разрушения. Наша задача — об-
обратить внимание на некоторые их общие свойства и по-
постараться сделать для себя поучительные выводы. Все
76
¦</*
Рис. 46. Система координат и компоненты напряжений у кончика
трещины
¦ Вид!
ЬидП
Вид Ж
Рнс. 47, Основные виды смещений поверхности трещины
77
формулы записаны ниже для случая плоской деформа-
деформации, когда w = О, они годятся и для плоского напряжен-
напряженного состояния, если положить в них а, = 0 и заменить
v
коэффициент Пуассона v на . _ .
Для трещины I вида {трещины отрыва пли нормаль-
нормального разрыва)
к\ е Л • О . 36
° 051 sinsm
^) ¦¦'i D0)
е е зо ,
0S0S +
= % = 0, Оz — V (оЛ + Оу ),
Для трещины II вида (трещина поперечного сдвига)
fl.fi 39
sin + ...f .42)
Угнг г 2 а т • ¦
^п е Л . о . зо
г« = Ту,- = 0, а, = v (а,- + а„),
D3)
У =
Для трещины III вида {трещина продольного или
плоского сдвига)
С-о.-о.-^-О, D4)
D5)
Приведенные соотношения содержат величины К т»
.ffiI, Ки\1 называемые коэффициентами интенсивности
напряжений для трех указанных выше видов деформа-
деформаций. Эти коэффициенты играют исключительно важную
роль в механике хрупкого разрушения. Коэффициенты
интенсивности напряжения заслуживают специального,
самого серьезного обсуждения. Здесь же мы пока отме-
отметим следующее: все формулы для напряжений и смеще-
смещений имеют схожую структуру:
Вблизи вершины трещины каждого вида поля напряже-
напряжений и смещений могут отличаться только постоянным
множителем К, зависящим от внешних пагрузок и гео-
геометрических размеров тела. Распределение же напряже-
напряжений п смещений по радиальной и угловой координатам
всегда одинаково.
Невольно возникает вопрос, а как относиться к тому,
что согласно приведенным формулам в вершине трещины
возникают бесконечно большие напряжения, а профиль
трещины из заостренного становится параболическим.
В свое время это обстоятельство вызвало довольно боль-
большие споры. Некоторые механики утверждали, что беско-
бесконечных напряжений в вершине трещины быть не может,
никакой материал таких напряжений не выдержит. Сле-
Следовательно, такая модель является несовершенной и ее
надо улучшить, например, вводя вблизи вершины особые
силы микроскопической природы, ликвидирующие беско-
бесконечные напряжения. На самом деле факт обращения на-
напряжений в бесконечность у вершины трещины нельзя
считать находящимся в непримиримом противоречии с
опытными данными. Как раз наоборот! Такое обстоятель-
обстоятельство хорошо отражает действительность, разумеется,
в рамках такой чрезвычайно упрощенной теории, какой
является линейная теория упругости и гипотеза о ма-
малости деформаций. Пользуясь асимптотическими форму-
формулами, мы должны исключить из рассмотрения концевые
зоны такого размера, чтобы вне этих зон деформации
были малы и выполнялся закон Гука. Во многих слу-
случаях эксперимент и расчеты подтверждают малость раз-
размеров такой зоны, например, для стали ее размеры оце-
оцениваются в полмиллиметра и уже для сантиметровых
трещин расчет по линейной теории представляется обос-
обоснованным.
79
§ 12. Идеи Гриффитса
Развитие механики разрушения связано с естествен-
естественной необходимостью иметь представление о характере и
возможностях начавшегося разрушения. А это достижи-
достижимо лишь тогда, когда исследователь не только знает рас-
распределение внутренних напряжений, но и умеет опреде-
определить допустимое напряжение (называемое критическим),
при котором начинается разрушение, а также длину
(и, быть может, траекторию) трещины, соответствующую
приложенным внешним нагрузкам. К сожалению, эти
сведения не содержатся в уравнениях классической тео-
теории упругости, они дают ответ только на вопрос о рас-
распределении возникающих напряжений и деформаций.
Интуиция подсказывает нам, что, по-видимому, суще-
существует определенная зависимость между нагрузкой и
длиной трещины. Для того чтобы установить эту зави-
зависимость, приходится привлекать некоторые дополнитель-
дополнительные соображения. Одно из таких простых и несомнен-
несомненных соображений предполагает, что разрушение требует
определенных затрат эперпш и связано с использова-
использованием закона сохранения энергии.
Как уже отмечалось, первым, кто практически исполь-
использовал эти положения, был сотрудник Авиационного
исследовательского центра в Фарпборо А. А. Гриффите
A893—1963). Его работы имели революционизирующее
значение для всего последующего развития механики
разрушения, особенно статья «Явление разрушения и те-
течения твердого тела», которая была им опубликована
26 февраля 1920 г. А. А. Гриффите писал: «Можно сде-
сделать общий вывод о том, что недостаточная прочность
изотропных твердых тел, с которой обычно приходится
встречаться, вызвана присутствием нарушений сплош-
сплошности или дефектов, основные размеры которых велики
по сравнению с межмолекулярным расстоянием. Эффек-
Эффективную прочность технических материалов можно повы-
повысить по крайней мере в 10—20 раз, если удастся устра-
устранить подобные дефекты». Гриффитсу было только 27 лет,
известностью он не пользовался и его статья прошла
почти незамеченной. К тому же подход Гриффитса к
проблеме разрушения был совершенно нетрадиционным,
и хотя с тех пор прошло почти 70 лет и концепции ме-
механики разрушения воплотились во впечатляющих дости-
достижениях современной техники, даже сейчас многие не
80
вполне представляют, в чем же сущность энергетическо-
энергетического подхода Гриффитса.
Роль энергии в процессе хрупкого разрушения со-
состоит, по Гриффитсу, в следующем. Одной концентрации
напряжений у вершины трещины мало для того, чтобы
трещина разорвала тело. Если не обеспечить подвода до-
достаточной энергии к вершине, то разрушение прекратит-
прекратится. Точно так же остановится и автомобиль с совершен-
совершенно исправным мотором, если в бензобаке иссякнет горю-
горючее. Для того чтобы разобраться с вопросом о балансе
энергии, рассмотрим простейшую задачу.
Возьмем прямоугольную пластинку, растянем ее на-
напряжением о и жестко закрепим ее края (рис. 48). Дли-
Длину и ширину пластинки считаем большими по сравнению
Ь _
а жестко
закреплена
разгрузка
областях.
Пластинка растянута
--¦ прилегающих
к растущей
трещине
Рис. 48. Рост трещины в пластпнке, которую сначала растянули,
а затем жестко закрепили по краям
с толщиной, которую для удобства принимаем равной
единице: а > 1, Ъ> 1. В закрепленной пластинке запа-
2
сена энергия упругой деформации Wo = ^в- аЪх причем
на единицу площади приходится энергия -^. Пусть в
пластинке появился дефект в виде трещины малой дли-
длины I (a»Z, b>l), такая трещина приведет к уменьше-
уменьшению деформаций, в основном в зоне, прилегающей к тре-
трещине. Площадь указанной зоны имеет порядок I2*) (на
рис. 16,48 оаа затемнена), значит, освобожденная упругая
*) Вспомните рассуждения в сноске на с. 29,
6 в. 3, Партон
81
энергия равна
тт/ — w — г — /-
и — и 0 ЧЕ
Множитель с введен для учета неопределенности формы
и размеров затемненной зоны и неравномерности дефор-
деформаций в ней. Константу Гриффите определил, воспользо^
вавшись решением К. Инглиса о растяжении пластинки
с тонким эллиптическим разрезом. Оказалось, что с = 2л,
т. е.
W = Wo - ^ D6)
для плоского напряженного состояния (для плоской же
деформации последнее слагаемое надо умножить на
1 — v2). Освобожденная упругая энергия W поступает в
вершину трещины, где возникла концентрация напряже-
напряжений, и там затрачивается на разрушение, точнее, на об-
образование новой поверхности тела. Если считать •у —
удельную работу разрушения на единицу площади новой
поверхности тела — постоянной материала, то работа, за-
затрачиваемая на образование трещины длины 21, равна
r = 4fZ. D7)
Сам Гриффите отождествлял величину f с поверхност-
поверхностной энергией тела, экспериментально же такое предпо-
предположение подтверждается только для очень хрупких ма-
материалов вроде стекла. Долгое время, кстати, считалось,
что теория Гриффитса лишь для стекла и годится. О том,
как удалось распространить теорию Гриффитса на другие
материалы, мы расскажем в следующем параграфе,
а сейчас попытаемся составить баланс энергии. Закреп-
Закрепленные кромки пластинки неподвижны, и внешние силы
работы не совершают. Если представить, что длина тре-
трещины увеличится на малую величину Д/, то высвободит-
высвободится энергия деформации —AW>0:
-AW= - [W(l + AZ) - W (I)] « Щ^, D8)
На увеличение длины трещины должна быть затрачена
энергия ДГ:
дГ = 4у(г + Д/)-4^ = 4ТДг. D9)
Возможны две ситуации. Если окажется, что —ДИ^>
> Д Г, то освободившейся энергии с избытком хватит на
разрушение материала в вершине и трещина будет само-
самопроизвольно распространяться. Энергия, равная разности
82
—AW — ДГ > 0, будет переходить в кинетическую энер-
энергию, ее будет все больше и больше (—AW в данном слу-
случае растет пропорционально длине трещины) и пластин-
пластинка разрушится, по-видимому, с большим шумом. В про-
противном случае, когда —Д W < ДГ, освобожденной энергии
будет недостаточно для увеличения длины трещины и
она останется неподвижной. Таким образом, условием на-
наступления критического состояния служит равенство
-ДТ7 = ДГ. E0)
Для рассматриваемой нами пластинки с помощью D8)'
и D9) условие Гриффптса записывается так:
2ла I a, /at -!/--¦ ,-,,
—к—Д2= 4vAt пли <т= 1/ —г-, E1)
Е у ni ^
Из E1) можно найти критическое напряжение, при ко-
котором трещина длины 11 становится опасной. Формулу
E1) можно также переписать в виде
2Еу
l=-Jr E2)
и определять из нее критическую длину трещины 1С,
ограничивающую сверху размеры безопасных дефектов.
Полученные соотношения относятся к плоскому напря-
напряженному состоянию, для случая же плоской деформации
они записываются так:
/2Еу 2?у
—т. кг и 1 = ~Т< гг-г» E3)
п A — v)l яA— v")cr
Зависимости E1) —E3) критических пагрузок и раз-
размеров дефекта представляют собой основной теоретиче-
теоретический результат Гриффитса. Однако проведение расчетов
на прочность тел с трещинами по Гриффитсу, исходя из
расчета энергии деформаций всего тела, оказывается
очень сложным и неудобным в вычислительном отноше-
отношении. Вот почему до создания Ирвином в 1957 г. силового
подхода в механике хрупкого разрушения такие расчеты
до конца почти никому не удалось довести.
§ 13. Неустойчивое п устойчивое развитие трещины
Что же показывает зависимость E1)? Вначале изо-
изобразим ее графически (рис. 49), а пользоваться графи-
графиком следует так. Пусть известна начальная длина тре-
трещины, которая имеется в теле. Отложим эту величину.
6* 83
вдоль горизонтальной оси и, восстановив перпендикуляр
в конце отрезка до пересечения с графиком, найдем со-
соответствующее напряжение, критическое для данной дли-
длины трещины. Если напряжение, приложенное к телу,
меньше критического, трещина не будет развиваться.
Напряжение,
критическое
для трещины
длины 1„
Заданное
напряжение
Начальная Критическая длина
длина для напряжения с
Рис. 49. Зависимость критических нагрузок и размеров трещины
Гриффитса
Если же, повышая напряжение, мы достигнем его кри-
критического значения, трещина начнет развиваться, при-
притом неустойчиво, и тело разрушится.
Понятие критического напряжения, введенное Гриф-
фитсом, весьма ценно. Ведь оно связано с началом раз-
развития трещины и служит важнейшей характеристикой
сопротивления материала росту трещины. Однако одной
этой характеристики явно недостаточно для понимания
начавшегося процесса разрушения. Как протекает этот
процесс? Каким образом происходит разрушение? Всегда
ли тело разрушается на части или трещина может оста-
остановиться, «не дорезав» тело до конца? Что происходит
после того, как трещина двинулась в путь?
На первый взгляд кажется, что если уж трещина на-
начала развиваться, то тело непременно разрушится. Одна-
Однако это справедливо только при лавинообразном, неустой-
чивом распространении трещины*).Как показывают экс-
эксперименты и расчеты, проведенные автором этой книги
более 25 лет тому назад, в случае взаимодействия тре-
трещины с препятствиями и границами ее развитие может
происходить устойчиво, без окончательного разрушения
тела в значительном диапазоне изменения нагрузки. Оче-
Очевидно, что в конструкциях и сооружениях, работающих
при определенных внешних нагрузках и определенных
режимах их изменения, наличие устойчивых трещин не
ттттттггпт
t I IJ I f
Рис. 50. Панель с приклепанными ребрами жесткости (а) и схема-
схематизация задачи о трещине в листе с ребрами жесткости (б)
опасно. Срок службы таких сооружений можно значи-
значительно продлить, искусственно усиливая их заклепками
и пластинами, высверливая отверстия на пути распро-
распространения трещин и т. д.
Остановимся на одном примере подробнее. Чтобы
предотвратить катастрофическое развитие уже имеющих-
имеющихся трещин и разрушение конструкции, ее часто подкреп-
подкрепляют ребрами жесткости (см. рис. 50, а). Простейшая
математическая схематизация этой задачи состоит в сле-
*) Как может, например, влиять царапина (трещина) на проч-
прочность хрупкого стекла? В итальянском кинофильме «Операция
«Святой Януарип» герои фильма не могут добыть клад, закрытый
стеклом, которое пе удается разбить ни кувалдой, ни выстрелами.
Отказавшись от бесполезной затеи и покидая грот, кто-то в отчая-
отчаянии бросает разряженный пистолет и разбивает стекло. По-видп-
мому, бросавшему помогла трещина, и распространение ее было
явно неустойчивым.
85
дующем. В расчете обычно принимаются во внимание
только ближайшие к линии трещины заклепки, так как
влияние более удаленных незначительно. Пара заклепок,
препятствующая развитию трещины, моделируется дву-
двумя равными противоположно направленными сжимаю-
сжимающими сосредоточенными силами (рис. 50,6). Первый
вопрос, который здесь возникает: каким должно быть
к < 0,45
л
i гН-t-ri гт-г-Н гН-Н
i
I
Clg I
Рис. 51. Разрушение панелп с ребрами жесткости (к — отношение
расстояния между заклепками к расстоянию между ребрами)
отношение расстояния между заклепками к расстоянию
между ребрами? Оказывается (рис. 51), если это отно-
отношение превышает 0,45, то кривая зависимости критиче-
критического напряжения от длины трещины — монотонно убы-
убывающая и разрушепие происходит так же, как в задаче
Гриффитса. С увеличением растягивающей нагрузки дли-
длина трещины не меняется, пока растущая нагрузка оста-
остается меньше критического значения, соответствующего
выбранной длине трещины. По достижении критического
значения нагрузки трещипа начинает расти неустойчиво,
и тело разрушается (первый рисунок). Однако, если за-
заклепки отстоят друг от друга достаточно близко по вер-
вертикали, на кривой появляется участок возрастания (ри-
(рисунки со второго по четвертый).
Отметим на кривой точку локальпого максимума С,
абсцисса которого с, локального минимума Ъ и точку, где
86
высота кривой равна высоте точки локального максиму-
максимума а. Рассмотрим вариант, когда значение начальной
длины лежит между а и b (второй рисунок). В этом
случае размер трещины не меняется, пока нагрузка не
достигнет критического значения А. Тогда при малейшем
превышении нагрузки трещина увеличивается скачком и
переходит в другое, устойчивое состояние, соответствую-
соответствующее тому же значению нагрузки АВ, после чего устой-
устойчиво развивается с ростом нагружения ВС до макси-
максимального значения С. После этого трещина начинает ка-
катастрофически расти и тело разрушается. Рассмотрим
следующий вариант: значение начальной длины трещины
расположено между Ъ и с (третий рисунок). Размер тре-
трещины не меняется, пока нагрузка не достигнет критиче-
критического значения А; далее трещина развивается устойчиво,
и все идет так же, как в предыдущем случае. Последний
вариант: начальная длина трещины больше, чем расстоя-
расстояние между ребрами, и на графике отмечается точкой, ле-
лежащей правее с. Когда нагрузка достигает критического
значения А, тело разрушается, как и в первом случае
(последний рисунок).
Обратим внимание на второй и третий случаи. Здесь,
пока нагрузка лежит в промежутке между высотами то-
точек локального минимума и локального максимума кри-
кривой, длина трещины есть непрерывная функция прило-
приложенной нагрузки. Тело не разрушается и способно
воспринять возрастающую нагрузку, несмотря на рост
трещины. Предельное значение нагрузки, определяющее
прочность рассматриваемой нами конструкции, одинаково
для всех значений начальной длины трещины в диапа-
диапазоне ас. Этот пример показателен в том отношении, что
механика разрушения указывает универсальную харак-
характеристику прочности, не зависящую от начальной длины
трещины. Такую характеристику желательно вводить
при расчетах на прочность.
Современные суда проектируются в расчете на безо-
безопасную работу при наличии трещин метровой длины,
даже для самолетов докритическими являются трещины
длиной в несколько сантиметров. Необнаружение их при
осмотре возможно только при халатности со стороны об-
обслуживающего персонала. Так что «сенсационные» сооб-
сообщения газет, радио и телевидения об обнаружении тре-
трещин (вероятно, докритических), например, в фюзеляжах
самолетов, могут произвести впечатление только на лю-
людей, не знакомых с механикой разрушения.
87
§ 14. Критерии разрушения. Концепция
Гриффитса — Орована — Ирвина
Процесс разрушения складывается из двух стадий —»
зарождения трещины и ее распространения, причем каж-
каждая из этих стадий подчиняется своим законам. Есте-
Естественно, что среди критериев прочности одни описыва-
описывают условия зарождения трещины, а другие — условия
их распространения. Первые из них фактически есть
критерии наступления опасного состояния в точке в рас-
рассматриваемый момент. Вторые же исходят из наличия
в теле трещины, то есть в них используется модель тела
с трещиной, о которой шла речь в § 10. Критерий нача-
начала распространения трещины (иногда называемый кри-
критерием разрушения), составляющий основу механики
разрушения, является дополнительным*) краевым усло-
условием при решении вопроса о предельном равновесии те-
тела с трещиной. Предельное состояние равновесия счи-
считается достигнутым, если трещиноподобный разрез по-
получил возможность распространяться, и тогда разрез ста-
становится трещиной. Критерии начала распространения
трещины могут быть получены как на основе энергети-
энергетических соображений (см. § 12), так и силовых. Истори-
Исторически сложилось так, что, как мы говорили, сначала
А. А. Гриффитсом в 1920 г. был предложен энерге-
энергетический критерий разрушения, а силовой критерий был
сформулирован лишь в 1957 г. Дж. Р. Ирвином, дока-
доказавшим к тому же их эквивалентность.
Сущность этих подходов, обобщающих идеи Гриф-
Гриффитса, состоит в следующем. Пусть имеется идеально
упругое тело с начальным разрезом. Для того чтобы этот
разрез стал распространяться, увеличивая свою поверх-
поверхность, требуется израсходовать энергию, равную по ве-
величине работе, которую надо затратить, чтобы обеспечить
целостность материала перед кромкой разреза. Эту рабо-
работу (с обратным знаком) можно назвать работой разру-
разрушения. Одновременно с образованием новой поверхности,
свободной от нагрузок, в некотором объеме тела умень-
уменьшается деформация. Это приводит к соответствующему
выделению из тела упругой энергии. Таким образом, на
основании закона сохранения энергии (в пренебрежении
иными возможными потоками энергии) при развитии
трещины па величину 65 соблюдается энергетическое
*) По отношению к уравнениям теории упругости, описываю-
описывающим напряженно-деформируемое состояние изучаемого тела.
условие вида
Здесь 6Г — работа разрушения, необходимая для образо-
образования новой поверхности разрыва площадью 65, G —
поток энергии в вершину трещины, отнесенный к еди-
единице площади трещины, или, иными словами, интенсив-
интенсивность освобождающейся упругой энергии.
Как мы уже отмечали, Гриффите предполагал, что
величина 6Г есть поверхностная энергия твердого тела,
имеющая ту же физическую природу, что и для жидко-
жидкости. Такая трактовка работы разрушения не позволяла
учесть некоторые важные детали процесса разрушения.
Вот одна из этих деталей. Когда трещина развивается,
то в более или менее обширной окрестности ее кончика
всегда происходят необратимые, пластические деформа-
деформации материала. Венгерский учепый Е. О. Ороваи, проводя
эксперименты на плитах из малоуглеродистой стали с
нанесенными трещинами, отчетливо видел, как происхо-
происходят такие деформации. Орован заметил, что пластиче-
пластическая деформация сосредоточивается в тонком слое вбли-
вблизи поверхности трещины. Подобное разрушение было
названо квазихрупким. Таким образом, затраты энергии
в процессе создания новых поверхностей при развитии
трещины связаны главным образом с работой пластиче-
пластической деформации объемов материала, расположенных
перед фронтом трещины.
Если линейные размеры этих объемов малы сравни-
сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-
прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упру-
упругим решением, а затрату энергии на разрушение отно-
относить к работе пластической деформации. В этом состоит
концепция квазихрупкого разрушения Е. О. Орована и
Дж. Р. Ирвина, которая явилась круппым вкладом в ме-
механику разрушения и позволила перейти от идеального
материала в схеме Гриффитса к реальным металличе-
металлическим материалам. Благотворность этой концепции объ-
объясняется тем, что разрушение реальных конструкций
практически всегда происходит квазихрупким образом,
т. е. макрохрупкий излом содержит значительные оста-
остаточные деформации вблизи поверхности разрушения. Ta-i
ким образом был открыт путь применения теории разру-
разрушения Гриффитса к решению инженерных проблем.
Непосредственпое вычисление потока эпергии, иду-
идущего в вершину трещины, является очень сложной ма-
тематической задачей даже в рассмотренном Гриффит-
сом простейшем случае. Однако этот поток можно вычис-
вычислить, следуя Ирвину, через работу сил сцепления у
вершины трещины. Увеличение поверхности трещины на
величину Л5 можно трактовать так: вдоль линии трещи-
трещины мысленно проведем требуемой длины разрез, который
не имеет возможности раскрыться из-за связи между
берегами, подверженными действию тех же напряжений
(с обратным знаком), что возникали перед фронтом тре-
трещины в сплошном теле (до проведения мысленного раз-
разреза) (рис. 52, а). Если затем медленно уменьшать эти
напряжения до нуля, то разрез раскрывается и получа-
получается трещина с площадью, увеличенной на Д5
(рис. 52,6). Сообразно изложенным рассуждениям при
вычислении потока энергии рассматривается только не-
непосредственная окрестность фронта трещины, где мож-
можно напряженно-деформированное состояние разбить на
Al
Рис. 52. Схематическое изображение конца трещины до ее про-
продвижения на отрезок А1 (а) и после (б)
три составляющие: нормальный разрыв, поперечный и
продольный сдвиг, и воспользоваться соответствующими
асимптотическими формулами из § 11.
В нашем мысленном эксперименте для трещины нор-
нормального разрыва на участке разреза от х до х + dx си-
сила aydx, действующая на удерживающую связь, медлен-
медленно убывает от значения
К.
оу dx = ——= dx, E4)
~у2лх
определяемого второй формулой D0) при г — х, G = О,
90
до нуля. Прп этом точка ее приложения перемещается
вдоль оси у от 0 до значения
4(l-v2) v Л/ТГ=Т ^
v =
Е
к, У
М — х
2л
определяемого формулой D1) при т = Ы~х,
бота удерживающей силы
равна площади заштрихован-
заштрихованного треугольника на графи-
графике зависимости ау dx от v,
которую можно принять лп-
нейной (рис. 53), т. е. поло-
половине произведения величин,
определяемых формулами
|E4) и E5). Вычисляя пол-
полную работу, совершаемую
при продвижении разреза на
А1, мы должны взять инте-
грал от 2-у Gy-dx-v по все-
я. Ра-
РаРис- 5з. К вычислению работы
напряжений оу при продвиже-
нпи трещины на отрезок А1
му разрезу (двойка появляется из-за того, что у разреза
два берега):
Этот интеграл*) довольно успешно вычисляют студенты
первого курса.
Поток энергии G равен численно работе, отнесенной
к единице приращения длины трещины, т. е.
Е
для плоской деформации, и
±
E6)
E7)
для плоского напряженного состояния. Аналогично мож-
можно вычислить интенсивности освобождения энергии для
*) С помощью подстановки х = Al sin2 ср сводится к элементар-
элементарному интегралу
ДI Л/2
!ф = д/. iL,
2
о
91
cos
трещин поперечного п продольного сдвигов, а затем, сло-
сложив их, получить выражения для трещины общего вида
G = ±=^- (К\ + КЮ + 1±1 Kin. E8)
Таким образом, приходим к двум эквивалентным фор-
формулировкам критерия разрушения. Трещина получает
возможность распространения в том случае, когда
1) интенсивность освобождающейся энергии G дости-
достигает критической величипы Gc — б Г/65 = const;
2) коэффициент интенсивности напряжений К дости-
достигает критической величины Ка = const.
Итак, энергетический критерий начала роста трещи-
трещины имеет вид
G = GC. E9)
Силовой критерий
К = К с. F0)
Заметим, что соотношения E6), E7) справедливы так-
также и для критического состояния (Gc и Кс), где Gc —
удельная (эффективная) работа разрушения, а Я, — кри-
критический коэффициент интенсивности напряжений. Часто
обе эти величины называют вязкостью разрушения.
Формулировки E9) и F0) справедливы для идеального
упругого разрушения (при ау -*¦ °° у конца трещины в
линеаризованной постановке задачи теории упругости),
и ими, вообще говоря, исчерпывается собственно линей-
линейная механика развития трещин.
В действительности для большинства реальных мате-
материалов в малой области конца разреза из-за больших на-
напряжений возникает зона проявления нелинейных свойств
материала, в которой распределения напряжений и сме-
смещений отличаются от упругого. В схеме квазпхрупкого
разрушения (Орован, Ирвин) принимается, что зона не-
нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещи-
трещины. Это позволяет считать, что и размер данной зоны,
и интенсивность пластических деформаций в ней целиком
контролируются коэффициентом интенсивности напря-
напряжений, пределом текучести и коэффициентом упрочне-
упрочнения, а поле напряжений вокруг пластической области
описывается асимптотическими формулами. Следовательно,
для квазихрупкого разрушения обе формулировки крите-
критерия разрушения сохраняются. В дальнейшем мы не будем
делать существенного различия между хрупким и квази-
квазихрупким (в указанном смысле) разрушением и для обо-
92
их Случаев будем пользоваться термином «хрупкое раз-
разрушение».
Перед концом трещины для большинства реальных
материалов возникает более или менее развитая пласти-
пластическая зона, причем даже если протяженность этой об-
области будет доходить до 20 % длины трещины, то поле
напряжений вокруг пластической зоны все еще опреде-
определяется асимптотическими формулами. Поэтому и размер
пластической области, и интенсивность пластических де-
деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом
интенсивности напряжений К и свойствами материала.
Надо только оговорить, что для справедливости положе-
положений линейной механики развития трещин при вычисле-
вычислении коэффициента К следует искусственно (фиктивно)
увеличить длину (или полудлину) трещины на полови-
половину длины пластической зоны. Эта процедура носит на-
название пластической поправки Ирвина.
Пусть на расстоянии г = гу от конца трещины (при
6 = 0) напряжение а„ достигает предела текучести ат.
Тогда из равенства Кг/У2пгу = aT находим радиус пласти-
пластической зоны
К2
где в критический момент KY = Ка при плоском напря-
напряженном состоянии. Плоская деформация при объемном
напряженном состоянии растяжения уменьшает долю ка-
касательного напряжения и пластическая зона уменьшает-
уменьшается — разрушение будет более хрупким, а напряжения
при разрушении более низкими. Получаем, что для уче-
учета пластической зоны достаточно в формуле коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений заменить полудлину
трещины I на Z + г„. В этом и состоит так называемая
поправка на пластическую деформацию при вычислении
Ко по формуле для К. Эта поправка расширяет область
справедливости линейной механики разрушения: по раз-
разрушающим напряжениям в сторону их увеличения, по
критическим длинам трещин — в сторону их уменьшения.
При плоской деформации пластическую поправку (в си-
силу ее малости) можно не вводить.
Поскольку малая пластическая зона окружена упру-
упругим полем, характеризующимся значением К, то размеры
пластической зоны и величина деформации внутри этой
зоны зависят от коэффициента К, а также от сопротивле-.
93
ния материала пластической деформация. Размеры пла-
пластической зоны зависят также и от степени стеснения
поперечной деформации (вдоль переднего края трещины).
В свою очередь степень стеснения деформации зависит
от толщины плоского образца, с увеличением которой
напряженное состояние изменяется от плоского (о2 = 0)
к объемному при плоской деформации (a, = v(a* +а„)).
На рис. 54 изображена своеобразная форма пластической
зоны у вершины сквозной трещины в плоском образце.
Задняя сторона
пластинки
Плоское р
состояние
Срединная
поверхность
пластинки
'Передняя сторона
пластинки
0~
Рис. 54. Схематическое изображение пластической зоны у кончика
сквозной трещины в пластинке, отдалешю напоминающее кость.
а) Сопоставление форм пластических зон при плоской деформации
(в среднем сечении пластинки) и при плоском напряженном со-
состоянии (у ее свободных поверхностен), б) Пространственное изо-
изображение пластической зоны
Она наглядно показывает переход от почти плоского на-
напряженного состояния у поверхности к плоской деформа-
деформации в глубине, что отдаленно напоминает кость, которую
любят грызть собаки.
Из сказанного выше видна определяющая роль коэф-
коэффициента интенсивности напряжений в механике разру-
разрушения, что связано с рассмотрением коэффициента ин-
интенсивности напряжений как объекта аналитического или
экспериментального исследования. Таблицы аналитиче-
аналитических выражений коэффициентов интенсивности иапря-
94
зкений для тел различных конфигураций и схем нагру-
ясения можно найти в справочниках. Изучению влияния
этого коэффициента на закономерности роста трещины,
а также определению коэффициента интенсивности на-
напряжений в разнообразных задачах посвящена значи-
значительная часть излагаемого в этой книге материала.
§ 15. Расчет и измерение коэффициентов
интенсивности напряжений
Для вычисления коэффициентов интенсивности напря-
напряжений приходится решать задачи для тел сложной кон-
конфигурации с трещинами, а решение задач механики де-
деформируемого тела для областей с разрезами (трещина-
(трещинами) связано с известными математическими трудностями
вследствие наличия особых (сингулярных) точек. Боль-
Большинство этих задач эффективно может быть решено
только с применением ЭВМ.
Среди вычислительных методов в задачах механики
разрушения в настоящее время наиболее широкое рас-
распространение получил метод конечных элементов (МКЭ).
МКЭ основан на предположении, что тело можно пред-
представить в виде набора элементов, соединенных друг с
другом только в узлах. Мы не будем углубляться в из-
изложение метода конечных элементов, это тема для само-
самостоятельной книги. Скажем только, что применяемые в
нем приемы во многом похожи на приемы строительной
механики. Замену сложного тела сеткой конечных эле-
элементов (рис. 55) можно уподобить замене сплошного
тела решетчатой конструкцией, распределение напряже-
напряжений в которой должно быть схожим. Естественно, расчет
решетчатого аналога проще и ои сводится к решению
системы линейных уравнении, выражающих равновесие
узлов решетки. Вблизи концентраторов напряжений и,
в частности, вблизи вершины трещины необходимо силь-
сильно сгущать сетку или применять специальный конечный
элемент (рис. 56), поведение которого эквивалентно
асимптотическому поведению напряжений и деформаций,
описываемому формулами D0) —D5). Методом конечных
элементов вычисляются смещения и и напряжения о в
узлах сетки, а коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений вычисляются затем, например, с использованием
асимптотических формул D0) —D5) следующим образом:
„ 1/2Й7
К » -т77тг~а шш
/ @)
/ @) s @) Л/г
95
Пример конечноэлементного расчета Kz и Ки для пла-
стинки с наклонным боковым надрезом (расчетная мо-
модель которой уже приведена на рис. 55) показан на
рис. 57.
\
/
щ
: —А.
¦
—•—
1
1.
1 .
Рис. 55. Замена сплошного тела сеткой конечных элементов
У
Среди прочих численных методов, применяемых для
решения задач механики разрушения, я бы выделил ме-
метод граничных элементов. В самом названии его содер-
содержится указание на то, что на элементы разбивается не
все тело целиком, как в ме-
методе конечпых элементов,
а только граница его. Число
граничных элементов, при
котором достигается прием-
приемлемая точность расчета, во
много раз меньше числа ко-
конечных элементов, особенно
если тело большое, а грани-
Рпс. 56. Специальный конеч- Ча его невелика, скажем, не-
ный элемент, моделирующий большая полость в неограни-
вершину трещины ченном теле. Одной из са-
самых привлекательных осо-
особенностей метода граничных элементов является отно-
относительно небольшой объем исходной информации, а зна-
значит, и ручного труда при подготовке задачи к расчету
на ЭВМ.
Остановимся очепь коротко па варианте метода гра-
граничных элементов, носящем название «метод разрывных
смещений». Этот метод успешно используется при реше-
решении плоских задач о телах произвольной формы с про-
произвольными криволинейными трещинами. В основе ме-
метода лежат известные аналитические выражения, позво-
позволяющие по заданному разрыву касательных (и) и нор-
нормальных (v) смещений между берегами прямолинейного
2,0
12
0,8
04
У
1
0,2 0,4 0,6 l/b
0,8 г
0,6
0,2
О
/
0,2 0,4 0,6 l/b
Рис. 57. Сравнение значений коэффициентов пптппсивпости напря-
напряжений, вычисленных по МКЭ (точки) и по аналитическому реше-
решению О. Бови (линии)
разреза в неограниченной плоскости рассчитывать каса-
касательные (т„) и нормальные (о„) напряжения на произ-
произвольной площадке в любой точке плоскости. Представим
себе, что граница тела и имеющиеся в нем трещины при-
приближенно заменяются системой N малых прямолинейных
разрезов (граничных элементов), на которых заданы по-
пока неизвестные разрывы смещений щ и vs (/ = 1, 2, ...
..., N). По упоминавшимся аналитическим формулам
можно выразить вызываемые ими напряжения на линии
каждого из разрезов. Просуммировав эти вклады для ?-го
Элемента (г = 1, 2, ..., N) кг приравняв их внешним из-
известным напряжениям ani и тп(, получим систему урав-
уравнений для определения неизвестных щ и иу.
N
7 B. 3. Партой
Коэффициенты atj, Ьц, сц, пц называются граничными
коэффициентами влияния. Например, btj дает нормальное
напряжение на i-м элементе, вызванное единичным раз-
разрывом смещений в касательном направлении вдоль /-го
элемента (fj = 1). После нахождения щ и Vj по тем же
аналитическим формулам вычисляются напряжения, воз-
возникающие в теле от заданных нагрузок. Коэффициенты
интенсивности рассчитываются затем любым известным
методом (например, исходя из асимптотического поведе-
поведения смещений и напряжений у вершины трещины, или
энергетическим методом). Отмечу лишь, что для повы-
повышения точности расчета, в граничных элементах, при-
примыкающих к вершине трещины, принимается параболи-
параболическое распределение разрывов смещений, которое, как
известно, имеет место у вершины любой нагруженной
трещины (вспомните формулы D1), D3) или D5)).
Численные методы позволяют избежать те непреодо-
непреодолимые трудности, которые появляются при применении
аналитических методов к решению конкретных задач для
тел ограниченных размеров. В настоящее время числен-
численные методы, и, в первую очередь, метод конечных эле-
элементов, характеризуются высокой степенью развития,
близкой к «насыщению». Анализ публикуемой в основ-
основных научных центрах США и Японии литературы пока-
показывает, что основные усилия сейчас сосредоточены в
направлении применения численных методов к обработке
экспериментальных данных и к расчету конструкций,
собственно же разработка этих методов уже не является
столь актуальной задачей, как было 5—10 лет назад,
и отходит постепенно на второй план. Тем не менее, не
следует думать, что аналогичная степень «насыщения»
вычислительными ресурсами и программными средства-
средствами достигнута в нашей стране, и представляется, что
разработка программных комплексов для численного ре-
решения вообще задач механики продолжает оставаться
задачей чрезвычайной важности. Действительно, с чисто
научной точки зрения в методе конечных элементов, на-
например, все ясно, однако при практической реализации,
в полном соответствии с законом Мэрфи*), картина ока-
оказывается не столь благополучной.
В качестве одного из примеров успешной практиче-
практической реализации МКЭ приведем расчет коэффициентов
*) Закон Мэрфи: если какая-нибудь неприятность может слу-
случиться, она случается. Следствие: всякая работа требует больше
времени, чем Вы думаете.
Рис. 58. Часть ротора газовой турбины
А
п
с
/
\
У
\
А
\/ \/
Рис. 59. Конечноэлеиентная модель области ротора, выделенной
кружком на рис. 58
7* S9
интенсивности напряжений в роторе газовой турбины у
вершины трещины, находящейся в зоне придисковой гал-
галтели (рис. 58). Действующая нагрузка состоит из внеш-
внешнего давления, центробежных сил и термических напря-
напряжений. Ясно, что аналитически подобную задачу решить
если и возможно, то лишь ценой заметных упрощений,
которые непредсказуемым образом могут отразиться на
результатах расчета, расчет же коэффициентов Кг и Кп
на ЭВМ не представляет особых сложностей. Решение
методом конечного элемента начинается с идеализации
объекта. На рис. 59 показана конечноэлементная модель
/Г,Н/мм
1600
1400
1200
1000
Z/Z
1
0 N
/
/
/О
20
-100
-400
Рис. 60. Коэффициенты интенсивности напряжений для кольцевой
трещины в роторе
осесимметричного ротора с трещиной. По мере прибли-
приближения к вершине трещины сетка элементов сгущается,
что для наглядности на этом рисунке отражено последо-
последовательными вставками. Последняя из них окружает вер-
вершину трещины. Итоговый результат представлен на
рис. 60, где даны значения коэффициентов интенсивности
напряжений первого и второго типа Kt и Кп. Далее при
100
Таблица 2
Коэффициенты интенсивности напряжений
Номер
схемы
Форма образца и схема
нагрушения
Условие нагру-
ження
Формула для коэф-
коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений
t 1
-Г
И
11
Неограничен-
Неограниченная пло-
плоскость с
трещиной,
растяжение
перпендику-
перпендикулярно тре-
трещине
Неограничен-
Неограниченная пло-
плоскость с
трещиной,
растяжение
сосредото-
сосредоточенными си-
силами
Полуплоскость
с краевой
поперечной
трещиной,
растяжение
перпендику-
перпендикулярно тре-
трещине
= 1,99а У1
Полоса с крае-
краевой попереч-
поперечной трещп-
ноп, осевое
растяжение
= — (k< 0,7),
Y(},) = 1,99-
-0.41Х+
+18,70Х2—
-38,48Х8+
+585Х*
Полоса с цент-
центральной по-
поперечной
трещиной,
осевое рас-
растяжение
Y{X)= Ц-0.128Л,
-0,288Я2+
Н-1,525^3
101
Продолжение табл. 2
Номер
схемы
Форма образца п схема
нагружения
Условие нагру-
нагружения
Формула для коэф-
коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений
Цилиндр
с внешней
кольцевой
трещиной,
осевое рас-
растяжение
Я=О,ОЗ
0,05
0,1
0,2
0,4
Y=1.88
1,82
1,66
1,41
1,01
Балка с крае-
краевой попереч-
поперечной трещи-
трещиной, изгиб
сосредото-
сосредоточенной си-
силой
to
Х= — (Ж 0,6),
Y(k)= 1,93-
+14,53V—
«Компактный»
образец,
растяжение
сосредото-
сосредоточенными си-
ламп
to
= 29,6—
185Х +655Х2—
1017Р+639Я4
необходимости эти коэффициенты можно использовать в
расчетах на прочность.
Для справки приведем небольшую таблицу 2 коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений, вычисленных раз-
различными методами для наиболее часто используемых в
практике схем нагружения (t — толщина образца). Коэф-
Коэффициенты иитенсивпости обычно представляются в виде
Ш или K = oflY.
Безразмерные множители Y носят в механике разруше-
разрушения название «К-тарировки». Они зависят от отношений
длины трещины I к размерам тела, например, к толщине
сечения Ь, т. е. от числа К = lib. Эта зависимость обычно
102
Представляется таблицей или приближенной формулой,
часто многочленом
Y(X) = с0 + Ы 4- с2Я2 + СзЯ3 +...
Если инженер обнаружит в справочнике подходящую
/^-тарировку (рис. 61), то задача расчета конструкции на
г
—— ¦-г Опоры
Надрез
Рис. 61. А'-тарировкой удобно пользоваться в практических рас-
расчетах
разрушение для него чрезвычайно упростится, ведь ему
уже не нужно решать сложнейшую математическую
задачу, и дальнейшие вычислительные трудности вполне
преодолимы.
Наряду с численными методами широкое распростра-
распространение получили экспериментальные методы определения
напряженно-деформированного состояния, так как карти-
картину возникающих напряжений можно увидеть в экспери-
эксперименте и подсчитать коэффициенты интенсивности, ис-
используя для этого все те же асимптотические формулы.
Для экспериментального определения напряженного со-
состояния реального упругого тела используются самые
различные физические методы, мы остановимся лишь на
некоторых наиболее известных, методе фотоупругости,
Методе теневых son и методе муаровых полос.
ЮЗ
Уже с начала нашего столетия успешно применяется
метод фотоупругости, который часто называют поляри-
зационно-оптическим. Он основан на использовании ис-
искусственного двойного лучепреломления — интересного
физического явления, наблюдающегося в некоторых мате-
материалах, например, в эпоксидных смолах или полиурета-
новых каучуках. Показатель преломления в таких ма-
материалах меняется пропорционально механическому
напряжению, поэтому картину сложного напряженного
состояния оптически чувствительной пластинки можно,
как при получении фотографий,
увидеть, «проявив» возникшую
в ней картину распределения
показателей преломления.
С этой целью через пластинку
пропускают поляризованный
свет: луч в каждой точке пла-
пластинки расщепляются на две ор-
ортогонально-поляризованные со-
составляющие, которые из-за раз-
разности показателей преломле-
преломления распространяются с раз-
различными скоростями, за счет
чего на выходе из пластинки
возникает разность хода свето-
Рис. 62. Полосы изохром у Вых лучей, пропорциональная
вершины трещины разности главных напряжений
в этой точке. Если разность
хода равна полуцелому числу длин световых волн, то
на специальном экране составляющие луча погасят друг
друга. Таким образом, на экране возникнет картина
светлых и темных полос, представляющих собой линии с
постоянной разностью главных напряжений. Вдоль наи-
наиболее темных липий {изоклин) выполняется соотношение
2,5
о, — а, = и-
h
где Oi и 02 — главные напряжения (o"i>02), h — толщи-
1 3
на пластинки, Оо — оптическая постоянная, а п — -д-, -?-
¦тт.... В точках наиболее светлых линий (изохром) спра-
справедливо аналогичное соотношение, но с п = 1, 2, 3, ...
У самой вершины трещины, где справедливо асимптоти-
асимптотическое решение, форма изохром всегда одна и та же
104
'(рис. 62), поскольку согласно формулам D0) и C)
Т7=
sin
а уравнение изохромы порядка п:
\h*
K\h
¦sm'i
Результаты исследования напряжений в оптически-
чувствительных моделях можно перенести на реальные
металлические и неметаллические детали, пользуясь уста-
установленной еще в 1898 г Морисом Леви теоремой, по
которой во многих важных случаях плоское напряжен-
напряженное состояние тела не зависит от его упругих постоян-
постоянных.
Пример экспериментальных и теоретических картин
изохром для так называемого модифицированного ком-
компактного образца (рис. 63) представлен па рис. 64, а и б.
163
Z03
50
Нг-
254
Рис. 63. Компактный образец
Эти рисунки относятся к квадратику 50 X 50 мм, окру-
окружающему вершину трещины. Отметим, что у самой вер-
вершины трещины на рис. 64, а наблюдается картина изо-
изохром, изображенная на рис. 62,
Картины изохром бывают настолько своеобразны и
экзотичны, что у людей с развитым воображением могут
вызвать определенные художественные видения. Есть
крупные специалисты по поляризационно-оптическим ме-
методам, которые считают, что на основе картин изохром
105
можйо создавать живописные произведения ирреалисти-
ческого плана в стиле «лог-арт» А. Дюрелли и «фрак-
арт» Х.-П. Россманита (рис. 65, я и б).
Еще один широко известный метод теневых полос,
имеющий и другое название — метод каустик, основан на
Рис. 64. Полосы изохром у вершпны трещины в компактном об-
образце: а) эксперимент, б) теорня
Рис. 65. Ирреалистические картины изохроы в стиле «фрак-арт»:
а) «Флора», б) «Угол»
следующем оптическом эффекте. Образец с трещиной
освещается параллельным пучком света. Повышение ин-
интенсивности напряжений в окрестности вершины трещи-
103
ны вызывает уменьшение толщипы пластины и изменяет
показатель преломления. Следовательно, вершина тре-
трещины действует как рассеивающая линза, отклоняющая
лучи света от оси пучка. На экране эти лучи образуют
сильно освещенную кривую (каустику), ограничивающую
теневую зону. Размер каустики удается связать с вели-
величиной коэффициента интенсивности напряжений. Для
прозрачных материалов экран устанавливают позади об-
образца, для непрозрачных же используют отраженный
свет. Отсюда понятно явное достоинство метода кау-
каустик — он пригоден для исследования металлов, хотя и
не свободен от некоторых недостатков. Например, обра-
образовавшаяся впереди вершины магистральной трещины
микротрещина становится источником распространяющих-
распространяющихся радиально волн, что изменяет размер каустик и ус-
усложняет интерпретацию результатов (рис. 66).
При измерениях методом муаровых полос на иссле-
исследуемую поверхность наносят каким-либо способом (фото-
(фотолитографией, травлением, напылением, накаткой и т. п.)
Гис. 66. На картине каустик видны волны напряжений, расходя-
расходящиеся от вершины трещины
систему периодически повторяющихся линии, точек или
иных элементов, расположенных в одной плоскости (та-
(такие структуры называют растрами). Наиболее широко
в практике применяют линейчатые растры из парал-
параллельных равноудаленных прямых (от 10 до 200 линий
на мм). Растр, нанесенный па исследуемую поверхность
модели, детали или образца, деформируется вместе с по-
поверхностью в процессе пагру?кепия. При наложении де-
107
¦гшшшж
ян
ia&?&' '"vi%^it^fr-^Mj^5ii^wbri<iio«th^^wijhi^^fcjjf|fffv.|
Рис. 67. Картина
муаровых полос
для полосы с
боковыми выре-
вырезами и искусствен-
искусственными трещинами:
1 — <7я = О,40Т
3 —
1,0от
1
н ,
5 — картина муа-
муаровых полос после
разрушения. Коэф-
Коэффициент концент-
концентрации равен 1,92
(левые фотогра-
фотографии) или 2,5 (пра-
(правые фотографии),
на двух фотогра-
фотографиях эталонный
растр повернут
для того, чтобы бо-
более четко была за-
заметна появившая-
появившаяся трещина
108
формированного и эталонного растров светлые промежут-
промежутки одного растра перекрываются темными линиями друго-
гр, что приводит к изменениям интенсивности отражен-
отраженного или проходящего через совмещенные растры света
и образованию черных и белых муаровых полос. Этот
эффект возникновения полос механической интерферен-
интерференции, описанный английским физиком Рэлеем, Вы часто
можете наблюдать в повседневной жизни, проезжая на
автомобиле, поезде или велосипеде мимо садовой решет-
решетки или снегозащитного ограждения. В зависимости от
расстояния до решетки и скорости движения контрастные
темные полосы будут возникать, исчезать или мчаться
наравне с Вами. Эксперименты с применением эффекта
муара удобны тем, что положения минимумов и макси-
максимумов освещенности муаровых полос однозначно связаны
с деформациями растра, нанесенного на исследуемую
поверхность. Поэтому нахождение на муаровой картине
ех,'о
0,8
0,6
о А
0,1
Трещина
1
Л
\\
V
\
в
у
2
у
\
\
\
\
\
ч
А
Трещины
—L. i_
В В
А
—¦—.
0 7 2 3 ят,мм
Рис. 68. Распределение деформаций ех перед вершиной боковой
трещины в алюминиевой пластине, измеренное методом топогра-
топографического муара: 1 — деформации при номинальном напряжении
а, г — остаточные деформации при полной разгрузке (х —
расстояние до вершины В вдоль линии трещины)
точек с одинаковой освещенностью и измерение расстоя-
расстояний между ними позволяет определить поле перемеще-
перемещений, а затем вычислить деформации и напряжения. Из-
Измерительные возможности методов муаровых полоо
позволяют эффективно использовать их для анализа на-
109
йряженно-деформированных состояний в элементах коп-
струкций с трещинами.
Для примера на рис. 67 приведены картины муаро-
муаровых полос, полученных на плоской модели из алюми-
Рис. 69. Интерференционные картипы, по которым строились кри-
кривые 1 а 2 аа рис. 68
ниевого сплава с боковыми вырезами, в вершинах кото-
которых сделаны пропилы длиной 5 мм и толщиной 0,1 мм.
Положение муаровых полос, изменяющееся по мере ро-
роста номинальной нагрузки аи от О/iOj до 1,10ц свидетель*
НО
ствует о том, что кривизна выреза, а зпачит, и концент-
концентрация напряжений у его основания практически не
влияют на картину смещений у вершины острого пропи-
пропила или трещины. Для повышения точности и надежности
измерения перемещений у вершины трещины, без чего
нельзя достоверно определять коэффициенты интенсив-
интенсивности напряжений, приходится применять растры с ча-
частотой до 1200 линий на 1 миллиметр, облучаемые лучом
лазера. Такой вариант метода ыуара носит название ме-
метода голографического муара. На рис. 68, например, по-
показаны полученные этим методом графики распределения
деформаций ех перед вершиной трещины в алюминиевом
сплаве при нагружении и разгрузке. Интерференционные
картины (рис. 69), по которым определялись эти дефор-
деформации, способны, на мой взгляд, произвести пе меньшее
впечатление, чем картины в стиле фрак-арта (рис. 65).
§ 16. Измерение вязкости разрушения
Для практического расчета опасности дефектов в эле-
элементах конструкций, сравнения и выбора материалов и
технологий на основе энергетического
или силового
К = КС
критериев разрушения (см. § 13) необходимо не только
знание скорости освобождения упругой энергии G или
коэффициента интенсивности напряжений К, но и, ко-
конечно, знание удельной работы разрушения Gc и крити-
критического коэффициента интенсивности напряжений Кс.
Как мы уже отмечали, величины Ge и Кс (Glc и Кгс для
случая плоской деформации) называют вязкостью разру-
разрушения (часто обе, иногда последнюю). Этот термин, хотя
и употребляется в отечественной научно-технической ли-
литературе, но вряд ли можно считать удачным. Это лишь
буквальный перевод английского «fracture toughness»,
который не отражает свойства материала сопротивляться
росту в нем трещин. Русское «трещиностойкостъ» гораздо
лучше соответствует сути дела, этот термин употребля-
употребляется, но всеобщего распространения, к сожалению, пока
еще не получил.
Вязкость разрушения Кс определяют в эксперименте
непосредственно, или измеряют G,, а затем рассчитывают
111
по формулам E6) пли E7) (см. § 14):
Kic = 1/ - ^ic для плоской деформации^
г 1 — v
Кс «= YEGU для илоского напряженного состояния.
Выбор формы, размеров и способа нагружения образ-
образца, а также условий эксперимента, гарантирующих до-
достоверность результатов измерения, устанавливаются на-
национальным или ведомственными стандартами. Для со-
создания необходимой остроты надреза обычно выращива-
выращивают небольшую усталостную трещину, для чего образец
предварительно подвергают действию пульсирующей на-
нагрузки. В ходе эксперимента самописец снимает кривую
Р — V (нагрузка, приложенная к образцу,— смещение
точки ее приложения), длина трещины I регистрируется
в каждый момент специальными методами (визуальны-
(визуальными, электрическими, акустическими и т. д.). Для пра-
правильного экспериментального определения Кс (или Ge)
необходимо, чтобы пластическая деформация не была
чрезмерной. Так, при сквозной пластической деформации
по всей толщине пластически деформированный объем в
вершине трещины оказывается настолько велик, что уже
нельзя пользоваться асимптотическими формулами. На
основании экспериментальных проверок было ориентиро-
ориентировочно установлено, что допустимая пластическая дефор-
деформация в вершине трещины имеет место, если разрушаю-
разрушающее напряжение в нетто-сечении образца не превосходит
0,8 предела текучести материала, определенного на глад-
гладких образцах. Критическая длина трещины, используе-
используемая для подсчета Кс, в этом случае будет равпа не экс-
экспериментально определенному значению, а несколько
большему — на упомянутую выше поправку Ирвина г„.
Для приемлемой точности определения значения Кс дли-
длина пластической зоны не должна превышать 20 % полу-
полудлины трещины, иначе вне этой зоны нельзя пользовать-
пользоваться асимптотическими формулами линейной механики
разрушения.
Уменьшение пластической деформации путем увели-
увеличения толщины образца ведет к снижению значения Ка
до некоторого предела, к которому оно асимптотически
приближается (рис. 70). Это есть именно то значение К„
для объемного напряженного состояния при плоской.де-
плоской.деформации, для которого (благодаря достаточной для дан-
данного материала толщине) практически запрещается
112
$айРоОЛаСтИчесКая Деформация перед краем трещины й
«азрушение происходит по типу «прямого» излома без
боковых скосов. Эта величина носит название критиче-
критического коэффициента интенсивности напряжений при
плоской деформации и обозначается Ки, поскольку раз-
разрушение осуществляется здесь по первому виду дефор-
деформаций— путем отрыва (рис. 47). Диаграмма деформа-
деформации в координатах «сила Р — смещение V» практически
м Н Н
Рис. 70. Зависимость вязкости разрушения Кс от толщпны t плоско-
плоского образца. Показано сечение образцов разной толщины по излому
треугольной формы (рис. 71, диаграмма /). Расчет К1о
ведется по максимальной силе Рс, и его значение уже
значительно ближе к получаемому из чисто упругой за-
задачи, поскольку пластически деформированный объем в
этом случае меньше и поправку на длину трещины вво-
вводить не надо.
'Экспериментальное определение К1е не требует изме-
измерения длины растущей трещины, так как она практиче-
практически не растет, и для подсчета пользуются ее исходной
длиной. Тем не менее определение Ки оказывается бо-
более сложным, чем Ке, поскольку нельзя знать заранее,
будет ли получеп при данной толщине прямой излом..
В этих случаях иногда помогает метод скачка. Замечено,
что для многих материалов диаграмма «нагрузка — сме-
смещение» имеет скачок — резкий прирост смещения без
8 В, 3, Дартон ИЗ
роста или даже при спаде нагрузки (диаграмма 77)".
Этот скачок обычно сопровождается треском *) и образо-
образованием участка прямого излома в виде треугольника в
центре толщины, непосредственно у вершины исходной
Рис. 71. Основные типы диаграмм испытания образцов с исходны-
исходными трещинами
усталостной трещины. Образование прямого участка из-
излома, судя по его форме, происходит в условиях плоской
деформации, что дает право принять нагрузку, соответ-
соответствующую его образованию, для определения напряже-
напряжения при подсчете значения К1а.
Если скачок отсутствует (рис. 71, диаграмма 777), то
можно определять нагрузку, проведя секущую под уг-
углом р, тангенс которого на 5 % меньше тангенса угла
наклона прямой упругого нагружения а. Точка пересе-
пересечения секущей с линией диаграммы «нагрузка — смеще-
смещение» дает искомое значение нагрузки PQ. При этом не-
необходимо убедиться в том, что смещение от точки Ру до
точки Ря происходило за счет прироста трещины, а не
8а счет пластической деформации.
*) Этот факт положен в основу акустических методов анали*
за трещин,
114
Наконец, надо установить, что нелинейность диаграмм
испытания есть следствие роста трещины, а не развития
пластической деформации. Для этого следует проверить
условия достоверности определения К1с, которые ограни-
ограничивают размеры пластической зоны у вершины трещи-
трещины. Эти условия, строго оговариваемые стандартами,
ограничивают снизу размеры образца по отношению,
например, к характерному размеру пластической зоны
г„ (см. формулу F1)), сверху же размеры ограничива-
ограничиваются техническими и финансовыми возможностями.
После определения достоверных значений критиче-
критической нагрузки PQ и длины трещины I остается подсчи-
подсчитать Ки, восаользовавшись соответствующей Я-тариров-
кой (см. таблицу 2).
Если речь идет об измерении удельной работы раз-
разрушения Gc, то здесь обычно пользуются предложенным
Ирвином методом податливости, заключающемся в сле-
следующем. Пусть (рис. 72) линейно-упругая прямоуголь-
прямоугольная пластинка (для простоты единичной толщины) с
боковой трещиной длины I нагружена постоянной силой
У/////////////.
AV
Л/
Рис. 72. Рост трещины в пластинке, загруженной постоянной силой
Р (например, гирей). Рассмотрим с энергетических пози-
позиций Гриффитса, что произойдет, если длина трещины
увеличится на малую величину А1. Упругая энергия пла-
пластинки увеличится при этом на величину AU = -^-P-AV
(AV — перемещение точки приложения силы), об этом
говорит знаменитая теорема уже упоминавшегося нами
французского инженера Э. Клапейрона. Внешняя сила Р
совершит работу А А = Р • AV, часть которой идет на
пополнение упругой энергии пластнпкп, а часть на раз-
разрушение материала:
AT = GAl. F2)
8* 115
Составим энергетический баланс
р.Д7--|-Р.А7 = уР.ДУ. F3)
Заметим, что в отличие от случая неподвижных захва-
захватов, рассмотренного в § 12, поток энергии на разрушение
черпается из нагружающего устройства и составляет
ровно половину внешнего потока.
Поскольку пластинка упругая, перемещение захвата
V пропорционально приложенной силе Р:
V-XP.
Коэффициент пропорциональности X, называемый подат-
податливостью, зависит от размеров пластинки и, разумеется,
от Длины трещины, т. е. К = ХA), поэтому, объединяя
F2) —F4), получим
GM = i- PAV = -L Р'-АХ
dl
или
_ 1 р2
-е
F5)
Податливость образца определяется непосредственно по
экспериментальной кривой Р — V.
Любопытно отметить, что формулу F5) можно не-
непосредственно использовать для получения Я-тарировок.
В качестве примера рас-
рассмотрим образец в виде
двухконсольной балки
длиною Ь, высотой 2h и
толщиной t (ДКБ-обра-
зец, рис. 73). Конфигура-
Конфигурация образца такова, что
оба его плеча можно рас-
рассматривать как консоль-
консольные балки длины I, на-
нагруженные на свободном
конце изгибающей силой
Рис. 73. Двухконсольный образец р. Из сопротивления ма-
материалов известно, что
прогиб такой балки равен APP/(Eth3). Отсюда находим
перемещение верхнего конца относительно нижнего, рав*
ное удвоенному прогибу балки:
¦е
8Р13
Eth?
откуда К =
8/3
Eth3
116
формуле F5) для пластинки толщины t имеем
2i <Й
P2 24Za
2i2 Е/г3
Коэффициент интенсивности напряжений в ДКБ-образце
по формуле E7) § 14 будет
F6)
Эта приближенная формула тем точнее, чем длиннее
плечи образца.
В заключение уместно привести ориентировочные
значения Ке для некоторых материалов (табл. 3).
Таблица 3
Материал
Сталь
Чугун
Дюраль
Кс, МПа-м1/2
11,06
3,16
11,06
Материал
Древесина
Полистирол
Реакторный графит
Кс, МПа-м1/3
0,85
0,41
0,13
§ 17. Нелинейная механика разрушения
Линейная механика разрушения (точнее, механика
развития магистральных трещин) описывает хрупкое
разрушепие, происходящее в результате роста трещины
при отсутствии заметных пластических деформаций у
вершины трещины. В этом случае справедливы асимпто-
асимптотические формулы для напряжений и деформаций
(D0) — D5) § 11), и задачу о распространении трещины
можно сформулировать в терминах коэффициентов ин-
интенсивности напряжений. Таким образом, основной при-
признак линейной механики разрушения — возможность изу-
изучения поведения тела с трещиной с помощью коэффи-
коэффициентов интенсивности напряжений, причем само поня-
понятие этого коэффициента имеет физический смысл.
Если же характерный линейный размер пластической
зоны у вершины трещины начинает на 20 % превышать
Длину трещины, то понятие коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений утрачивает смысл (из-за ограниченно-
ограниченности области справедливости асимптотических формул).
В этом случае формулировка закономерностей, опреде-
определяющих поведение тела с трещиной, так или иначе
117
связана со свойствами сопротивления материала пласти-
пластическим деформациях!. В такой постановке задача отно-
относится к нелинейной механике разрушения, все модели
которой исходят из наличия достаточно развитой пласти-
пластической зоны перед вершиной трещины*).
Особенности и детали пластического течения у конца
разреза определяют условия превращения его в трещину,
способную расти, и законы ее дальнейшего развития.
Поэтому очень важно иметь правильное представление
о форме и размерах пластической зоны, об интенсивности
деформаций в ней и об эволюции этих величин в про-
процессе роста внешней нагрузки и распространения тре-
трещины. Указанные характеристики пластической зоны у
конца трещины служат обоснованием для построения
некоторых моделей трещин.
Развитие области пластических деформаций можно
изучать как теоретически, так и экспериментально. Для
экспериментального изучения пластических зон удобны
плоские образцы малоуглеродистой стали. Изменяя их
толщину, можно варьировать условия протекания дефор-
деформации от плоского напряженного состояния до плоской
деформации. Плоская деформация в малой окрестности
конца трещины осуществляется при малых уровнях на-
напряжения сравнительно с пределом текучести. Травле-
Травление полированной поверхности образца показывает, что
пластическая зона распространяется в направлении рас-
растяжения (вверх и вниз) нормально к плоскости тре-
трещины. С повышением уровня напряжений условия раз-
развития пластической области приближаются к плоскому
напряженному состоянию. Этому способствует увеличе-
увеличение размера пластической зоны по отношению к тол-
толщине (рис. 74).
Изображение в сечениях, проведенных поперек на-
направления трещины, свидетельствует о том, что пласти-
пластическая зона имеет вид двух пересекающихся полос, рас-
расположенных под углом 45° к поверхности образца
(рис. 75). В этом направлении, как известно, возникают
наибольшие касательные напряжения при растяжении
тонкой пластины. На поверхности образца наблюдается
*) Разумеется, что существует некоторая промежуточная об-
область, где обе механики разрушения могут быть использованы. За-
Заметим еще, что к пелипенной механике разрушения относятся п
задачи об упругих толах с трещинами в уточненной физически а
геометрически нелинейной постановке,
118
Значительная деформация в направлении толщины, вы-
выражающаяся внешне в виде утяжки (пли местной шей-
%и). Вместе с тем следует указать па сложность конфи-
конфигурации пластической зоны, которая проявляется при
более детальном анализе. Эта сложность состоит в том,
Рис. 74. Пластическая зона у конца
разреза на поверхности плоского
стального образца: а) разрез имеет
закругленное основание с радиусом
около 0,07 им, б) разрез заканчива-
заканчивается усталостной трещиной. Отлетим,
что ни в форме, ни в размерах пла-
пластической зоны различия не обнару-
обнаруживается
. -.?
Рис. 75. Вид на пластическую зону, спереди па лицевую поверх-
поверхность (а), по поперечному сечепшо (б) и на поверхность образца
сзади (в). Сталь та же, что и на рис. 74; t = 0,5 мм, а/а? = 0,9
что одновременно можно наблюдать конфигурацию и в
виде шарнира, и в впде наклонных полос. Наблюдения
показывают, что при малых уровнях напряжения, в ча-
частности, для коротких трещин и толстых пластин, шарнир-
шарнирная форма пластической зоны является преобладающей.
119
Для соответствующего сочетания высоких уровней
напряжения, длинных трещин и тонких пластин пре-
преобладающей является форма пластических зон в виде
Рис. 76. Трехмерная модель пластической зоны при растяжении
плоского образца (сталь та же, что и на рис. 74): о) область пла-
пластического течения ва поверхности образца, 6) объемная модель
пластической зоны
Рис. 77. Фотография растягиваемого в вертикальном направлении
образца из стали Ст. 3 при о/о? = 0,92 (о — напряжение в ослаб-
ослабленном сечении). Видно, что длина пластической зоны примерно
в два раза больше длины разреза
наклонных слоев. Переход от плоской деформации к
плоскому напряженному состоянию происходит перма-
перманентно, вследствие чего граница раздела трудно опреде-"
120
Приведенное описание позволяет схематиче-
схематичеизобразить трехмерную модель пластической зоны
|рис. 76). В начальной ее части преобладает петлеоб-
петлеобразная форма, которая затем сменяется одной или двумя
наклонными полосами.
При растяжспии тонкого листа (из мягкой стали)" в
экспериментах наблюдались пластические области в виде
слоя (рис. 77), продолжающего трещину.
Численные расчеты с помощью ЭВМ показывают, что
пластическая зона развивается по-разному (рис. 78).
При плоской деформации
пластическая зона вытянута
поперек линии трещины, а
при плоском напряженном
состоянии она простирается
вперед по направлению ро-
роста трещины. Рассмотренные
экспериментальные и чис-
численные результаты подтвер-
подтверждают правомерность неко-
некоторых упрощенных теорети-
теоретических моделей, на основа-
основании которых можно получить
аналитические решения за-
задач о разрушении элементов
конструкций за пределами об-
области применимости линей-
линейной механики разрушения.
Наиболее известной среди таких нелинейных моделей
является 6к-моделъ. Суть ее состоит в том, что перед
концом существующего разреза вводится зона ослаблен-
ослабленных связей в виде тонкого слоя. При этом тело обладает
следующими свойствами: а) максимальное растягиваю-
растягивающее напряжение нигде не превосходит сопротивления
отрыву о0; б) зависимость между деформациями и на-
напряжениями подчиняется закону Гука; в) силовое взаи-
взаимодействие между поверхностями разреза отсутствует;
г) противолежащие поверхности слоя ослабленных свя-
эей притягиваются одна к другой с напряжением, рав-
равным со. Эту теоретическую схему независимо друг от дру-
друга и почти одновременно предложили советские ученые
М. Я. Леонов и В. В. Панасюк A959 г.) и американ-
американский ученый Д. Дагдейл A960 г.). Однако принципиаль*
ный подход у них был разным: Панасюк и Леонов в зна-
знаменитой статье «Развитие мельчайших трещин в твердом
121
-0,25
Рпс. 78. Форма пластической
зоны, полученная численным
расчетом: 1 — плоское напря-
напряженное состояние, 2 — плоская
деформация
теле» говорили о приближенном учете сил межатом-
межатомного взаимодействия для микротрещин, а у Дагдейла
зона ослабленных связей — это пластически-деформиро-
ванный материал (он отталкивался от экспериментов,
проведенных на тонких листах мягкой стали, см. рис.77).
В то же время в обеих моделях математическая формали-
формализация одинакова; в частности, на линии трещины, сво-
свободной от внешних нагрузок, соблюдаются следующие
краевые условия:
Gy = (Jo,
Оу < 00,
2у(х)>6й при \х\<1,
' 2и(х)^ 0 при I < \х
v{x) = О при \х\ > а.
Здесь 21 — длина трещины, d = а — I — длина слоя ослаб-
ослабленных связей, ось у перпендикулярна линии трещины,
а ось х совпадает с ней; начало отсчета — в средней точ-
точке трещины (рис. 79). Слой ослабленных связей заме-
заменяется дополнительным разрезом у = 0, l^lxl^a, на
Рис. 79. Трещина о пластической зоной или зоной ослабленных
связей: а) исходная задача, б) упругая задача
поверхностях которого действуют напряжения ау = Со.
Смещение 2и(х, у = 0) в направлении оси у, принимаю-
принимающее в точке х = I значение бк, называется разрушающим
(или критическим) и полагается постоянной материала.
Предельное состояние равновесия определяется условием
122
которое вводится в модель как критерии развития тре-
трещины. Для определения протяженности слоя ослаблен-
ослабленных связей требуется введение еще одного условия, ко-
которым может быть плавность смыкания противополож-
противоположных поверхностей дополнительного разреза на его конце
или условие ограниченности напряжений.
В качестве примера рассмотрим задачу Гриффитса в
постановке бк-модели. Пусть плоскость с одиночной тре-
трещиной растягивается напряжениями р, приложенными
в бесконечно удаленных точках. Требуется найти крити-
критическое напряжение для заданной длины трещины 21.
Граничные условия таковы:
тху(х, 0) = 0, оу(х, °°) — р при — оо <: х < °°,
оу(х, 0) = 0 при \х\ =S I,
Су(х, О) = ао при Z < Ы s? а.
Мы не будем приводить достаточно сложное решение та-
такой простой на вид задачи теории упругости. Выпишем
сразу окончательный результат. Условие наступления
предельного состояния равновесия F7) дает следующее
выражение для критического напряжения:
2
рк = — а0 arccos exp
Заметим, что при больших длинах трещин (и, следова-
следовательно, при малых рн сравнительно с Со) формула F8)
переходит в следующую:
которая совпадает с формулой Гриффитса при соблюде-
соблюдении условия
Go — бкао-
Это условие нетрудно получить в рамках бк-модели, под-
подсчитав удельную работу разрушения. Эксперименты и
теоретические решения для более детальных схем учета
формы пластической зоны подтверждают это соотноше-
соотношение, они уточняют лишь числовой множитель перед бкао
в правой части последнего выражения.
Критическое напряжение в функции длины трещи-
трещины, построенное по формуле F8), показано на рис. 80.
Там же приведена критическая диаграмма Гриффитса.
123'
Заметное расхождение между двумя кривыми начинается
со значения напряжения рк ~ О,6ао. При стремлении дли-
длины трещины к нулю, получаем ограниченную величину
разрушающего напряжения, что соответствует физиче-
физическому смыслу. Напряжение Оо оказывается разрушаю-
разрушающим при стремлении длины трещины к нулю. Поэтому
р*
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис. 80. Критические диаграммы разрушения растянутой плоскости
с трещиной: 1 — по условию F8), 2 — по условию К = Ка
на основании экспериментальных данных можно прини-
принимать о"о равным пределу текучести материала от (но
большее соответствие опыту дает равенство ао пределу
прочности ав).
§ 18. Инвариантные интегралы
Важное место в современной нелинейной механике
разрушения занимает понятие независимого от контура
интегрирования интеграла. К настоящему времени таких
интегралов изобретено достаточно много, но наиболее
широкое распространение получили два из них, построен-1
ные практически одновременно и независимо: Т-интеграл
Г. П. Черепанова A967 г.) и J-интеграл (Джей-инте-
грал) Дж. Р. Раиса A968 г.). Видимо, к этому времени
124
идея инвариантных интегралов, как говорят, уже висела
в воздухе*).
Черепанов проанализировал с точки зрения закона
сохранения энергии состояние области D, окружающей
вершину трещины, движущейся в сплошном деформи-
деформируемом теле (рис. 81). Все в соответствии с Гриффит-
сом: поступающая через контур С механическая работа
внешних сил и тепловая энергия АА + AQ (трещина счи-
считается свободной от внешних воздействий) затрачивается
с
Рис. 81. Контур С, охватывающий Рис. 82. Интеграл Черепано-
Черепанова — Раиса одинаков для кон-
контуров С, Си С2
вершину движущейся трещины.
Система координат х\, у\ непод-
неподвижна, система х, у связана с
вершиной трещины. Баланс энер-
энергии вычисляется в движущейся
системе координат х, у
на увеличение кинетической и внутренней энергии АХ +
+ Д?/ и на разрушение ДП. В области D имеется одна
лишь точка, поглощающая энергию,— вершина трещины,
извне энергия поступает через контур С — границу обла-
области D. Очевидно, что поступающее количество энергии
одинаково для любого контура С (инвариантно относи-
относительно выбора С) (рис. 82). С помощью чисто матема-
математических преобразований Черепановым было получено
выражение для удельной работы разрушения
где W — плотность энергии деформаций, К — плотность
кинетической энергии, р = {рх, ру) — вектор усилий,
*) Этот результат мог быть получен гораздо раньше. Однако
работа Дш. Д. Эшелби A951 г.), рассчитавшего с помощью инва-
инвариантного интеграла силу, действующую на точечную особенность
в упругой среде, осталась незамеченной.
125
действующих на контур извпе, а — угол между нормалью
к контуру и осью х (линией трещины).
Напомним, что озпачает понятие криволинейного ин~
тег-рала от функции / вдоль контура С (см. рис. 82):
ds^/jAs, +/2As2 + . .. + fri&sN. G1)
Мы подсчитываем интеграл, разбивая контур С на боль-
большое число элементарных участков с длинами Asi, Д«2, ...
..., Asjv, вычисляем значения функции на каждом из
участков /i, /2, ..., /n и составляем сумму G1). Так по-
поступают, например, подсчитывая общий электрический
заряд на контуре по известной плотности распределения
заряда / на этом контуре (fk&sk — заряд k-то участка),
/-интеграл Раиса получится из Г-интеграла Черепа-
Черепанова, если пренебречь в нем кинетической энергией
(инерционными эффектами)
cos а
- [Рх -gr + Ру -?-)] ds. G2)
Райе доказал независимость такого интеграла от пути
интегрирования в нелинейно-упругом теле или же в
упруго-пластическом теле для случая широко употреб-
употребляемой в инженерной практике деформационной теории
пластичности.
В § 14 было показано, что локальный критерий Ир-
Ирвина связан с характеристикой сингулярности поля на-
напряжений или деформаций в окрестности вершины тре-
трещины. В упругом случае, как отмечалось, такой харак-
характеристикой является коэффициент интенсивности напря-
напряжений. В предельном состоянии при переходе от одной
детали (со своей схемой иагружения) к другой детали
из того же материала (с другой схемой нагружения) эта
характеристика (или критерий) должна быть одинако-
одинаковой. Такому свойству вполне удовлетворяет коэффициент
интенсивности напряжений при идеально хрупком раз-
разрушении. В случае же развитых пластических деформа-
деформаций в части нетто-сечения инвариантными характеристи-
характеристиками могут служить коэффициенты при сингулярных
членах в выражениях напряжений или деформаций.
В частпости, оказывается, что если диаграмма дефор-
деформации материала может быть представлена в виде сте-
степенной зависимости
о = Лет (А, т = const), G3)
126
то напряжения и деформации у вершины трещины име-
имеют следующий вид (сравните с формулами D0) —D5)):
т
- /у F)
1
1+т
,1+т
G4)
Здесь 7m — функция числа m и вида раскрытия трещины
(для большой области значений m и в случае плоской
деформации при растяжении 7т = 5). Так как величина
/, стоящая в числителях G4), отражает некоторую
среднюю характеристику поля напряжений и деформа-
деформаций в окрестности вершины трещины, то она может
быть принята за критериальный параметр (точно так же,
как величина К в формулах D0) —D5) из § И).
Свойство инвариатности, а также сингулярность на-
напряжений и деформаций (согласно формулам G4)) по-
позволили принять /-интеграл в качестве критериальной
величины при формулировке критерия разрушения: тре-
трещина начинает распространяться, когда инвариантный
/-интеграл достигает предельного значения /к,:
J = h, G5)
Предельное значение / обозначено /^ (аналогично Kic)
по той причине, что выражение G2) записано для усло-
условий плоской деформации. При плоском напряженном
состоянии ег *? 0, и оно разное в разных точках пласти-
пластины, так как ez — —-~ {<ух + Оу )¦ Поэтому условие по-
постоянства толщины, используемое при выводе формулы
G2), в плоском напряженном состоянии не соблюдается.
Кроме того, при плоской деформации обычно отсутствует
докритический рост трещины, который концепцией /-ин-
/-интеграла не допускается во избежание разгрузки из пла-
пластической области.
В случае идеально хрупкого разрушения величина /
представляет собой поток упругой энергии в вершину
трещины и, следовательно, Лс = Gu- Тогда согласно E6)'
из § 14 можно записать
A - v2) К% = EJlf, G6)
12/
Для б„-модели (в случае топкой пластической зоныI
У-интеграл равен (контур интегрирования расположен
вдоль границы пластической зоны, cos а = 0, рх = О,
J = - J Ру ¦§¦ ds = - 2о"о J ¦? ^ = сто6к. G7)
о I
Заметим, что такой же результат дает вычисление Gc в
§ 17. В случае развитого пластического течения У-инте-
грал уже не характеризует поток упругой энергии в вер-
вершину трещины, и хотя по-прежнему критерий разруше-
разрушения G5) сохраняется, тем не менее формула G6) ста-
становится несправедливой.
В заключение заметим, что для использования усло-
условия G5) необходимо иметь экспериментально определен-
определенное предельное значение Jie. Эту величину иногда назы-
называют упругопластической вязкостью разрушения. Рас-
Рассматриваемый здесь критерий становится эффективным
при значительных пластических деформациях, занимаю-
занимающих большой объем тела. Основное достоинство /-инте-
/-интеграла — независимость от контура интегрирования — по-
зволяет считать (хотя и несколько произвольно), что
инвариантность относительно пути интегрирования озна-
означает также и инвариантность при переходе от образца
к изделию. Иными словами, критическое значение ./-ин-
./-интеграла (упругопластическая вязкость разрушения /1с),
определенное на образце, считается таковым же и для
рассчитываемой детали.
§ 19. Механика разрушения? Это очень просто!
Вам наверняка попадались брошюрки с подобными
названиями. В них нас пытаются убедить в том, что без
особого труда можно починить телевизор, построить
дельтоплан, вырастить топинамбур и т. д. Я пе буду
сейчас убеждать Вас в том, что механика разрушения
доступна любому школьнику начальных классов, но я
утверждаю, что расчет реальной детали, всегда содержа-
содержащей дефекты, вполне доступен любому студенту втуза,
любому инженеру, вообще людям, которые в институте
изучали сопромат. Причем расчет с использованием ме-
механики разрушения не сложнее традиционного прочност-
прочностного расчета. Вот в этом я и постараюсь Вас убедить на
простых реальных примерах,
128
Пример 1. В алюминиевой панели шириной 6 =
¦s=2 м и толщиной h = 100 мм обнаружена плоская сквоз-
сквозная трещина в сварном шве. Панель нагружена усилием
/=1400 тс, трещина длиной I = 20 мм расположена пер-
перпендикулярно направлению растяжения в центральной
части панели. Материал — алюминиевый сплав 5083-О
6 вязкостью разрушения 25 МПа • м1/2. Безопасна ли
эксплуатация такой панели?
Р е ш е п и е. Длина трещины мала по сравнению с
шириной панели. Коэффициент интенсивности напряже-
напряжений вычислим по формуле К\ = а у — I- Критерий
хрупкого разрушения Ki = Klc определяет критический
размер трещины:
2Kb
G8)
Я0
Прежде чем подставить конкретные числовые зпачепия
в G8), переведем все данные в систему СИ. Сила F =
= 1400 тс = 1,37 ¦ 107 Н, напряжение
F 1,37- 107Н лп лттт
о = тт- = —¦ 5— » Ь9 МПа.
bh 2-0,1 мг
Формула G8) дает
/с « 2'B5). м» 0,085 м,
п- F9)"
т. е. критическая длина трещины 1С = 85 мм, так что
имеющаяся трещина длины I = 20 мм ие является кри-
критической. Однако прежде чем подтвердить безопасность
Эксплуатации панели, инженер должен разобраться в том,
откуда появилась эта трещина, как выросла до 20 мм,
не продолжится ли ее рост из-за усталости или коррозии
и как скоро длина ее может дойти до критических 85 мм.
Пример 2. Поперечная трещина длиной I = 30 мм
обнаружена в нижней полке стальной крановой балки,
ширина которой Ъ = 254 мм. Балка эксплуатируется при
максимальпом растягивающем напряжении а = 172 МПа.
Является ли эксплуатация безопасной, если вязкость
разрушения стали Ки « 165 МПа • м1/2?
Решение. Проверку, разумеется, можно провести
Двумя способами: 1) Вычислим К\—ау^-1 =
* 172 /я -0,015 МПа ¦ м^ л;37,3 МПа• м^. Сравним най-
8 В. 3, Партон 129
деппос значение с вязкостью разрушения. Поскольку К^
много меньше Кгс, балку считаем совершенно безопасной,
разумеется, с упомянутыми в примере 1 оговорками.
2) Подсчитаем критическую длину дефекта по фор-
формуле G8):
7 2-A65J r,,Q
lc = — Цг л; 568 мм,
т. е. длина имеющейся трещины почти в 20 раз меньше
критической длины.
Посмотрим теперь, как следует учитывать конечные
размеры детали и вводить поправку на пластическую зо-
зону у вершины трещины. Для учета реальной геометрии
тела из таблицы 2 мы берем соответствующий Х-тари-
ровочный множитель У, например, для полосы шириной
Ъ с боковым надрезом длины I
К1=Р-а1Т, G9)
где
Y= 1,99 - 0,41 А + 18,70А2 - 38,48А3 + 53,85Х\
а Л, = Z/& — относительная глубина надреза. Формула
G9) дает хорошую точность вплоть до X = 0,7. Поправка
Ирвина на пластичность материала заключается в фик-
фиктивном увеличении длины трещины на малую величину,
которая приблизительно равна радиусу пластической зо-
зоны у вершины трещины.
Вернемся к разобранному примеру 2 о крановой бал-
балке и предположим па этот раз, что
1) поперечная трещина в нижней полке расположена
но в середине балки, а с краю,
2) кран должен работать на открытом воздухе, а по
сводке погоды во время работы ночной смены темпера-
температура может упасть до нуля градусов. Из справочника на-
находим, что при такой температуре вязкость разрушения
снизится до 60 МПа • м'/2, а предел текучести — до
480 МПа.
В данном примере относительная глубина трещины
k = lib = 0,12, для такой глубины /?-тарировочпый мно-
множитель Y по таблице 2 равен
Y = 1,99 - 0,41 • 0,12 + 18,70 ¦ @,12J - 38,48@,12K +
+ 53,85 ¦ @,12L = 1,99 - 0,049 + 0,269 - 0,066 + 0,011 =
= 2,15.
130
Вычислим по формуле E2) поправку Ирвина на пла-
пластичность
1 / 60 Y о г
г \)ш2шм
Снова проверим безопасность балки двумя способами
1/2 » 667 МПа • м1/2
= 2,15 • 172У0,03 •+¦ 0,0025 МПа • м1/2 » 66,7 МПа • м
(вспомните, что ночью вязкость разрушения стали может
понизиться до 60 МПа ¦ м1/2!);
(вспомните, что в балке обнаружена трещина длиной I =
= 30 мм!). Оба расчета говорят о том, что ночью крано-
крановая балка будет на грани катастрофы. Разумеется, при-
пример этот является условным в том смысле, что вязкость
разрушения реальных крановых балок должна быть до-
достаточно высокой и при низких температурах, скажем,
на 20° ниже минимальной рабочей температуры.
Усталостную долговечность предсказывать сложнее, но
не намного. Для описания роста усталостной трещины
чаще всего используют закон Париса (см. 83) § 21). С по-
помощью формулы G9) выразим размах изменения коэф-
коэффициента интенсивности за цикл нагружения
АК = YAa ¦ П, (80)
где Да = Omax — ffmin — размах изменения напряжений
за цикл нагружения. Для нахождения зависимости I от
•N следует подставить (80) в (83) § 21:
и проинтегрировать
i
nN. (81)
Из критерия хрупкого разрушения К = Кс находим кри-
критическую длину /с, а долговечность Nc получится при под-
подстановке 1С вместо I в формулу (81). В общем случае Y
зависит от I (см. табл. 2), и интегрировать (81) сложно.
9* 131
Мы поэтому упростим задачу, взяв тарировочную поправ-
поправку Y = const. Тогда неопределенный интеграл в (81) ста-
станет табличным интегралом от степенной функции:
2)l[1 ^ (А1Ь(ДтаЛг (82)
Рассмотрим конкретный пример.
Пример 3. Обследование методами иеразрушагоще-
го контроля позволило обнаружить в анкерном стержне
экструзиопного пресса поверхностную трещину глубиной
I = 4,5 мм. Диаметр стального стержня 300 мм, на четы-
четыре таких стержня поровну и распределяется усилие
1850 тонны, развиваемое при каждом иагружепин. Будем
считать, что в месяц число пагружений равно прибли-
приблизительно 9600, критическая глубина трещины составляет
примерно 60 мм. Пусть из эксперимента установлен за-
закон роста усталостной трещины
цикл'
если АК измерен в Н -мм~3/2.
Заводу необходимо, чтобы пресс работал. На сколько
же можно отложить замену стержня? Заводской инженер
находится перед выбором:
1) через 24 месяца стержень все равно спишут,
2) через 14 месяцев пресс остановят, поскольку по-
подойдет срок планового ремонта,
3) кратчайший срок, в который возможна поставка
идентичного стержня, составляет 2,5 месяца,
4) кратчайший срок замены поврежденного стержня
временным — около 2 недель,
5) работа пресса небезопасна, он должен быть оста-
остановлен до замены стержня.
Р е ш е п и е. Переведем данные в систему СИ. Наи-
Наибольшая нагрузка: 1850 тс = 18,1 МН, общая площадь
@ 3)а
сечений стержня: 4л- —^—м2 = 0,283 м2, наибольшее
напряжение в стержнях: 18,1/0,283 МПа « 64 МПа, наи-
наименьшее напряжение: 0, размах напряжений: До =
= 64 МПа, начальная глубина трещины: Zo = 0,0045 м.
По таблице коэффициентов интенсивности напряжений
(таблица 2, п. 6) находим, что для поверхностной
кольцевой трещины Г =1,88 для глубины Zo = 0,0045 м
и У = 1,01 для глубины Iq = 0,060 м. Для получения ниж-
132
ней оценки долговечности берем наибольшее значение
Y =1,88. Если трещина не полностью опоясывает сече-
сечения, то замена ее кольцевидной ведет, естественно, к кон-
консервативной оценке долговечности стержня.
Итак, уравнение роста трещины (82) принимает вид
или
@,0045)~°.75 - Z-o.75 = 0,75 ¦ 1,7 • 101 -A,88 • 64K>5 • N
I = E7,56 - 2,44 • Ю-4 • N)-1-33 м.
Через 24 месяца, т. е. через N = 24 • 9600 = 23,04 • 10*
циклов нагружения, глубина трещины будет равна I =
= 0,675 м = 675 мм, что превышает более чем вдвое диа-
диаметр стержня! Через 14 месяцев, т. е. через iV=14X
X 9600 = 13,44 • 104 циклов глубина трещины составит
Z = 0,014 м = 14 мм. Значит, пресс можно спокойно экс-
эксплуатировать вплоть до планового ремонта, ведь крити-
критической является глубина 1С = 60 мм.
Глава IV
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Трещины еще нет
7??%
§ 20. Замедленное разрушение
К числу наиболее распространенных причин разруше-
разрушения конструкций относится постепенный рост небольших;
начальных трещин, вплоть до достижения ими критиче-
_ ской длины. Происходит так
называемое замедленное раз-
разрушение в условиях невысо-
невысоких рабочих напряжений, за-
заканчивающееся катастрофи-
катастрофическим хрупким разрушени-
разрушением, разумеется, если вовремя
не произведена остановка и
своевременный ремонт конст-
конструкции. Хотим мы этого или
нет, но период эксплуатации
конструкции с растущей тре-
трещиной занимает существен-
существенную часть ее жизни до раз-
Рис. 83. Относительная продол- рушения (рис 83)
жительность процесса уста- J рЯЧЛ7Л/Г„„^,г ' МРуЯ1тичмы
лостного разрушения после Разумеется, механизмы
возникновения трещины (за- замедленного разрушения
штриховано) в процентах по от- различны для различных ма-
ношению к общей долговечно- гериалов, нагрузок, условий
сти образца: 1 — идеальныл т/-
случай однородного материала эксплуатации и т. д. К числу
и однородного нагружения наиболее распространенных
видов замедленного разруше-
относится, например,
(без образования трещины),
2 — гладкий образец на возду- ния
хе, 3 — надрезанный образец
на воздухе, 4-гладкий обра- усталостпое разрушение, раз-
зец в пресной воде, 5 —глад- рушение от действия агрес-
кий образец в 3 %-ном раство- сивных сред, разрушение и
Ре IIG1 условиях ползучести, дли-
длительное разрушение вязкоупругих полимерных материа-
материалов, а также их комбинации, скажем, усталостное разру-
разрушение в коррозионной среде. Центральное место во всех
134
исследованиях замедленного разрушения должно зани-
занимать изучение роста трещин, поскольку именно они вы-
вызывают большую концентрацию напряжений, которая ак-
активизирует все процессы предразрушения.
Отметим, что па начальной стадии процесса разруше-
разрушения почти всегда наблюдается постепенное появление и
накопление микродефектов, размеры которых сравнимы
с характерными размерами микроструктуры (например, ве-
величиной зерна). Такой период, называющийся периодом
зарождения трещины или инкубационным периодом, закан-
заканчивается локализацией процесса рассеянного разрушения
с появлением растущей макротрещины. Если в теле
имелся надрез, то инкубационным периодом будет период
от приложения нагрузок до страгивапия трещины. Ча-
Часто основную часть времени жизни изделия занимает не
инкубационный, а последующий период медленного ква-
квазистатического подрастания трещины от начального до
критического размера, о чем мы, как правило, и будем
говорить в дальнейшем. О заключительной стадии дина-
динамического роста трещины говорить не очень приятно, за-
зачастую это уже катастрофа, которую надо предотвратить.
Однако и динамическое разрушение нужно тщательно
изучать, и не только для того, чтобы по анализу облом-
обломков установить виновника аварии, по и для разработки
мер остановки быстрых трещин, ведь совсем не безраз-
безразлично, лопнет ли труба газопровода на участке в кило-
километр или трещина остановится, пройдя метр.
§ 21. Рост усталостных трещин
Мы уже говорили о немецком ученом Л. Вёлере и об
открытом им явлении усталости. Кривая Вёлера связы-
связывает напряжение с числом циклов до разрушения, что
позволяет судить о долговечности элемента конструкции.
Однако здесь не содержится информации о медленном
развитии трещин в этом процессе, а ведь именно подра-
подрастание усталостных трещин до критического размера и
ведет к разрушению элементов циклически нагруженных
конструкций.
Следует различать обычное усталостное разрушение
при низком уровне напряжений или так называемую мно-
многоцикловую усталость и разрушение за сравнительно не-
небольшое число циклов приложения достаточно высоких
напряжений, т. е. случаи малоциклоеой усталости. В пер-
первом случае мнкропроцессы разрушения локализуются в
135
малой зоне у вершины трещины и определяются асимп-
асимптотическими полями напряжений и деформаций, а, сле-
следовательно, скорость движения трещины должна зави-
зависеть от коэффициентов интенсивности напряжений. Во
втором же случае зона пластических деформаций не ма-
мала, и для описания процесса развития трещины нужно
рассматривать последовательность шагов нагружения и
подрастания трещин.
В данном параграфе мы поговорим об обычном уста-
усталостном разрушении. Известный интерес представляет
оценка долговечности по числу циклов переменного на-
нагружения па стадии роста трещины (т. е. определение
числа циклов при увеличении длины трещины от началь-
начального значения Iq до критического 1С). С теоретической точ-
точки зрения изучение параметров, ответственных за про-
процесс роста трещины и входящих в расчетные уравнения,
позволяет глубже вникнуть в механическую природу
процессов, происходящих в окрестности растущей тре-
трещины. С практической точки зрения оценка долговечности
важна для приложений, например, при расчете ресурса
изделий.
Довольно долго для оценки скорости роста усталост-
усталостных трещин использовались эмпирические формулы, в
которые не входили характеристики механики разруше-
разрушения. Однако только введение в число параметров (влияю-
(влияющих на распространение трещины) коэффициента интен-
интенсивности напряжений позволило судить об общих законо-
закономерностях роста трещины при повторном (циклическом)
нагружении. И это естественно, так как рост трещины
усталости происходит па фоне упругих деформаций, ког-
когда справедливы критерии линейной механики разрушения.
С учетом этого было получено довольно много различ-
различных зависимостей для скорости роста трещины, по все
они практически следуют из формулы П. Париса A965 г.),
основа которой — соображение о том, что все явления в
копчике трещины, а также и скорость dl/dN ее распро-
распространения зависят от коэффициента интенсивности напря-
напряжений. Эта формула записывается в следующем виде:
-^ = Л(АКу\ (83)
Здесь А и п — эмпирические коэффициенты, АК = i?max —
— Kmin — перепад {размах) коэффициента интенсивности
напряжений за один цикл нагружения, N — число цик-
циклов. Многочисленные экспериментальные исследования
136
хорошо подтверждают эту формулу, причем показатель
степени п для разных материалов располагается в ин-
интервале от 2 до 7 (чаще всего п = 4). Чем более хрупкое
состояние материала наблюдается при испытании, тем
больше показатель степени п. По поводу формулы (83)
сам Парис позже писал: «Любопытно, что столь простой
закон способен описать данные для материалов с резко
отличающейся микроструктурой! По-видимому, механизм
роста трещины для всех них одни и тот же вне зависи-
зависимости от особенностей микроструктуры материала».
Формула Париса описывает средний (линейный) уча-
участок полной диаграммой усталостного разрушения, кото-
которая в большинстве случаев имеет S-образный вид
(рис. 84). Наблюдающиеся отклонения диаграммы от
Рис. 84. Диаграмма усталостного разрушения в логарифмических
координатах (схема); ], 3 — области низких и высоких скоростей
роста трещины; 2 — область справедливости формулы Париса
этой формы обычно связаны с непростыми условиями на-
гружения (активные среды). Для описания полпой диа-
диаграммы усталостного разрушения предлагается, напри-
например, выражение
dl „ , "»!Н_р1 j _ (g4)
137
Здесь Со, q — эмпирические величины, К%ъ — пороговый
коэффициент интенсивности напряжений*), Кс — вязкость
разрушения. Предполагается, что если Кшл% ^ Kih, то тре-
трещина не растет.
Формулы (83) и (84) применяются как для обычной
(многоцикловой) усталости, так и для малоцикловой
усталости. Разумеется, это удобно, но в то же время не-
необходимо проявлять осторожность при обращении с эмпи-
эмпирическими коэффициентами. Дело в том, что закономер-
закономерности механизма усталостного явления различны при ма-
малоцикловой и мпогоцикловой усталости. Эти различия
могут даже привести к разрыву кривой Вёлера (зависи-
(зависимость amas цикла от N) в области ограниченной выносли-
выносливости. При этом в одном случае трещина идет по телу
зерна, в другом — по его границе. В таком случае харак-
характеристики усталостной прочности должны зависеть от
структуры материала. Поэтому надо учитывать возмож-
возможную зависимость эмпирических коэффициентов от уровня
максимальных напряжений цикла.
§ 22. Разрушение при малоцикловой усталости
При растяжении плоских образцов с центральной
сквозной трещиной перед наступлением критического со-
состояния равновесия (когда трещина начинает быстро ла-
лавинообразно распространяться при постоянной внешней
нагрузке) почти всегда наблюдается стадия медленного
устойчивого докритического роста трещины. Это медлен-
медленное подрастание трещины, хорошо известное эксперимен-
экспериментаторам, приводит к тому, что критическая длина трещи-
трещины /с превышает исходную длину U на 30, 50, а то и на
100 % в зависимости от свойств материала и длины ис-
исходной трещины. Зависимость напряжения в неослаблен-
неослабленном сечении образца от длины устойчивой трещины при-
принято называть докритической диаграммой разрушения.
Стадии медленного роста трещины придается настолько
большое значение, что при исследовании механических
свойств материалов предполагается дополнять диаграммы
деформации диаграммами разрушения.
Докритическая диаграмма разрушения представляет
собой характеристику материала данной толщины, оцени-
оценивающую способность материала тормозить трещину. Эта
*) Обозначение К^ связано с английским словом threshold
(порог).
138
диаграмма отражает процесс разрушения, в то время как
на обычных диаграммах деформации стадия разрушения
отмечается только координатами концевой точки. Этой
информации недостаточно для оценки такой важной ста-
стадии процесса сопротивления материала воздействию внеш-
внешней нагрузки, как стадия раз-
разрушения. Вместе с тем пе-
период медленного роста тре-
трещины не описывается тео-
теориями, рассмотренными ра-
ранее (§ 14 и 17). Остановимся
вкратце на существующих
теориях докритического рос-
роста трещины.
Первая попытка матема-
математического описания докрити-
докритического роста трещины была
предпринята Дж. Р. Ирви-
Ирвином. Идея состояла в том,
что с ростом длипы трещины
меняется также и сопротив-
сопротивление этому росту в виде ра-
работы разрушенияR *). В каж-
каждый текущий момент осво-
освобождаемая энергия G в
устойчивом состоянии равна
работе R.
Дальнейшее развитие это-
этого метода состоит в предпо-
предположении, что Д-кривая есть
характеристика материала,
причем вид этой кривой за-
зависит от подрастания трещи-
трещины (но не от ее начальной
длины). Форма эксперимен-
экспериментальной й-кривой определяет характер докритического
роста трещины. На рис. 85 показано, как по .ff-кривой
можно получить докритпческую диаграмму разрушения
Рис. 85. Связь Я-кривой (а)
с докритической диаграм-
диаграммой разрушения (б)
*) Работа разрушения R измеряется работой, которую надо
затратить для продвижения трещины на единицу длины в образ-
образце данной толщины t. Полезно заметить, что R отличается от из-
известной интенсивности работы разрушения (или вязкости разру-
разрушения) 2*( = Gc, поскольку последняя определяется в момент на-
начала быстрого распространения трещины. При этом справедливо
неравенство U ^ R ^ 2*[t.
139
или, наоборот, как по известной из опыта диаграмме раз-
разрушения получить плотность энергии разрушения в функ-
функции прироста длины трещины. По известной Х-тарировке
I Ki = о у I ¦ Y (-г-)) и формуле E7) из § 14 строим для
каждого фиксированного значения а кривую
(В случае трещины Гриффитса в неограниченной плоско-
плоскости будет прямая G = о2п1/Е.) Пересечение кривой (85)
с Л-кривой:
l0) (86)
определяет подрастание трещины при данном значении
с. Критическое состояние наступает при таком ас, для
которого G-кривая касается jR-кривой. Условие касания
dG_ _ dB_
dl ~~ dl
определяет критическую длину 1С трещины.
Из уравнений, описывающих докритические диаграм-
диаграммы разрушения, также можно получить характеристики
долговечности при повторной статической нагрузке, или,
согласно современной терминологии, при малоцикловой
усталости. Для этого на первом цикле диаграмма разру-
разрушения строится до нагрузки, отвечающей максимальному
напряжению цикла ат&х. При этом длина трещины уве-
увеличивается, и эту новую длину следует считать началь-
начальной при расчете докритической диаграммы на следующем
цикле. Следовательно, краевое условие для расчета ин-
интегральной кривой дифференциального уравнения докри-
докритической диаграммы разрушения на ?-м цикле будет о =
= amiu при l = li-\ (г=1, 2, ...). Семейство докритиче-
ских диаграмм разрушения в области изменения папря-
жений цикла от amin до amax позволяет рассчитать длииу
трещины в функции числа циклов.
Учитывая идеализированпость рассматриваемой моде-
модели и появление остаточных сжимающих напряжений при
разгрузке, следует считать, что при снятии нагрузки (и
уменьшении расстояния между поверхностями трещины)
приращение трещины также уменьшается. Таким обра-
образом, если приращение длины трещины на i-м цикле по
докритпческон диаграмме разрушения составит величину
Alt, то длина трещины на i + 1-м цикле будет li+i = li +
140
+ а ¦ Ali (рис. 86). Коэффициент снижения приращения
длины а < 1 определяется эмпирически по эксперимен-
экспериментальным кривым I — N для данного материала данной
толщины. Не исключено, что этот коэффициент меняется
с длиной трещины, т. е. с ростом числа циклов.
За каждый цикл получаем определенное приращение
длины трещины, и в конце концов па каком-то номере
¦+-¦ Л
Рис. 86. Схематическое изображение подрастания трещины при ци-
циклическом нагружении от начальной длины 10 до критической 1С;
1 — докритические диаграммы разрушения, 2 — критическая диаг-
диаграмма разрушения
А
0,5
О
1
1
Рис. 87. Рост трещины в пластинке при циклическом растяжении
С ПОСТОЯННЫМ коэффициентом асимметрии Цикла П = XmlnArnas!
У— рост трещины при постоянных Лшах = 0,7 и Лт,п = 0,49, т. е.
// = 0,7; 2 — сначала трещина росла при постоянных Ятах = 0,7 и
Япнп = 0,49 (R = 0,7), затем при постоянных Ятах = 0,45 и Xmin =
= 0,32 (R = 0,7). t, — безразмерная длина трещины, X — безразмер-
безразмерная пагрузка
цикла диаграмма разрушения достигнет кривой критиче-
критических нагрузок, в результате чего произойдет быстрое ла-
лавинообразное разрушение прп постоянном напряжении.
В виде примера на рис. 87 показаны докритиче-
докритические диаграммы разрушения при повторном статическом
141
пагружешш пластины с трещиной. Пластина растягивалась
сначала с большим максимальным напряжением цикла,
а затем режим пагружения был измеиеп и максимальное
напряжение цикла стало меньше, однако коэффициент
асимметрии цикла был сохранен прежним. На первом
режиме пластина работала три цикла, остальные четыр-
четырнадцать циклов до разрушения пластина простояла на
втором режиме, перейдя в критическое состояние на пят-
пятнадцатом цикле. Эти кривые могут быть перестроены в
координатах I— N, поскольку именно в этих координа-
координатах обычно получают экспериментальные кривые при
испытании образцов с трещинами на малоцикловую
усталость.
Подобный режим докритического роста трещины имел,
по-видимому, место в одном довольно трагикомическом
случае, рассказанном профессором Дж. Конном из Глаз-
Глазго. Большая трещина в стальном полу камбуза грузового
корабля была обнаружена коком. Корабельное начальст-
начальство отмахнулось от его сообщения, и коку ничего пе оста-
оставалось, как следить за трещиной, которая после каждого
шторма подрастала, он даже делал заметки краской на
концах увеличивающейся трещины. В конце концов про-
произошла катастрофа, судно разломилось пополам, по не
затонуло, и отметки кока тщательно анализировались
при исследовании причин аварии.
§ 23. Расчет элементов конструкций
на усталостную долговечность
Рассмотрим условия, определяющие долговечность эле-
элемента конструкции на стадии развития трещины. Как
указывалось, число циклов, соответствующее росту тре-
трещины от начальной длины /0 до критической 1С, опреде-
определяет долговечность данного элемента конструкции по чис-
числу циклов. Чтобы обеспечить прочность конструкции,
долговечность должна быть больше числа перемен задан-
заданной нагрузки. Таким образом, наряду с оценкой материа-
материала по классической кривой Вёлера, существенную инфор-
информацию о поведении элемента конструкции с трещиной в
условиях усталости должна дать механика разрушения.
Следовательно, в данном случае, как обычно, надо исхо-
исходить из того, что начальный трещипоподобнып дефект су-
существует в конструкции с момента ее изготовления (не-
(несмотря на дефектоскопический контроль, который, как
142
известно, имеет определенный допуск па размер пеоо-
наружпваемых дефектов).
Число циклов, за которые появляется трещина, доста-
достаточно неопределенно, что схематично показано на рис. 88
(область /). Эти начальные дефекты могут быть дисло-
дислокациями, микротрещинами, порами и прочими несовер-
несовершенствами, структуры, определение которых затруднено.
Зарождение
I
—-—-
Распространение
i /
в , . ш У
_—¦—-
Рис. 88. Схематическое изображение зарождения и распростране-
распространения трещины
Область // соответствует дефектам, которые могут быть
обнаружены инженерными методами (конкретная вели-
величина обнаруживаемого дефекта зависит от разрешающей
способности аппаратуры). В этой области расположена
граница, отделяющая зону начальных трещин от распро-
распространяющихся. Для области /// рост трещины наблюда-
наблюдается визуально.
Рекомендуется придерживаться следующего порядка
расчета на долговечность по числу циклов в связи с рос-
ростом трещины:
1. Выявить на основе количественной оценки возмож-
возможностей дефектоскопического контроля максимальную дли-
длину (глубину) начальной трещины, существующей в эле-
элементе конструкции, и подобрать наиболее подходящее
выражение (формулу) для коэффициента интенсивности
напряжений К.
2. По вязкости разрушения Кс или К1с и номинально-
номинальному эксплуатационному (расчетному) напряжению о„1ах в
сечении трещины найти (по критерию Ирвина) критиче-
критическую длину трещины 1С.
3. Рассчитать размах цикла АК = Ктая — Кт[п по из-
известным напряжениям цикла ота* и omin.
143
4. Из лабораторных испытаний па усталость опреде-
определяются значения постоянных материала в соотношениях
(83) или (84) для циклической скорости роста трещины
dl/dN. Схема, иллюстрирующая получение эмпирической
Определение
константы материала
¦О-
Построение
К-тариродки
ДК
Рпс. 89. Схематическое изображение последовательности получе-
получения скорости dl/dN по результатам эксперимента
зависимости для dl/dN по результатам эксперимента, при-
приведена на рис. 89.
5. В соответствии с требованиями, предъявляемыми к
данному элементу конструкции, решить одну из следую-
следующих задач прогнозирования роста усталостной трещины:
а) определить кривую роста трещины 1 — N в эле-
элементе конструкции,
б) найти, интегрируя уравнения (83) или (84) (см.
§ 21), число циклов (циклическую долговечность), за ко-
которое известная исходная трещина или дефект 1о в эле-
элементе конструкции достигнет критической (заданной) ве-
величины 1С.
Рассмотрим теперь достаточпо реальный пример рас-
расчета па долговечность по числу циклов.
Полоса с одной краевой трещиной подвергнута цикли-
циклическому растяжению. В этом случае размах коэффициен-
коэффициента интенсивности напряжений (см. табл. 2) равен АК —
144
= 1,12ДаУя?. Материал полосы — мартепситиостареющая
сталь А514 (от = 700 Н/мм2, К,с = 5300 Н/мм3/2). На-
Начальная длина трещины h=lfi мм; параметры цикла
нагружеиия отах = 320 Н/мм2, ат1п = 175 Н/мм2, Да =
= Ста*—ат1п = 145 Н/мм2- Предположим, что обработка
результатов усталостных испытаний образцов из данной
стали в соответствии с формулой Париса дает
если АК измеряется в II • мм~3/2.
Критическую длину трещины определяем в соответст-
соответствии с критерием Ирвина Ктах = К1о:
h = ( , .„ Kle ,_V « 70
мм.
Интегрируя уравнение Париса, получаем, что на рас-
распространение трещины от 10 = 7,6 мм до 1С = 70 мм нуж-
нужно 82 000 циклов.
Если потребуется, чтобы конструкция выдержала, на-
например, 100 000 циклов, то в распоряжении конструктора
есть следующие пути обеспечения данной долговечности.
1. Увеличить критическую длину трещины 1С, приме-
применив материал с более высоким значением К\о или снизив
расчетное напряжение 0тах-
2. Уменьшить размах напряжений Да для уменьше-
уменьшения Д-ЙГ и, следовательно, для уменьшения скорости
роста трещины. Это вызывает соответствующее увеличе-
увеличение числа циклов при подрастании трещины от 10 до 1С.
Скорость dl/dN связана с Да нелинейно, и небольшое из-
изменение Да вызывает достаточно большое изменение
dl/dN.
3. Изменить технологию и контроль изготовления кон-
конструкции с тем, чтобы уменьшить начальную длину тре-
трещины 10. Из рис. 88 видно, что больший вклад в долго-
долговечность дает область малых длин трещин. Поэтому
небольшое уменьшение начальной длины трещины долж-
должно дать значительный прирост долговечности.
В рассматриваемом примере уменьшение начальной
длины трещины до 1о = 4,7 мм приводит к увеличению
долговечности на 20 700 циклов, в течение которых тре-
трещина растет от 4,7 до 7,6 мм. Суммарная долговечность
при этом оказывается равной 102 700 циклов.
Ю в. 3, Партой 145
§ 24. Механика коррозионного разрушения
В начале 70-х годов началось интенсивное развитие
специального раздела мел аники разрушения, посвящен-
посвященного вопросам трещииостойкости металлов и сплавов в
условиях совместного воздействия коррозионных сред и
длительных нагрузок. Первые исследования сопротивле-
сопротивления росту коррозионных трещин с применением коэффи-
коэффициентов интенсивности напряжений касались длительно-
длительного статического нагружения (коррозионного растрескива-
растрескивания). Было показано, что такие (традиционно считаю-
считающиеся малоактивными) среды, как вода, спирты и т. п.,
вызывают докритический рост трещин в высокопрочных
сталях при значениях коэффициента интенсивности на-
напряжении К, существенно меньших вязкости разрушения
Kic. В дальнейшем кардинальное воздействие коррозион-
коррозионных сред на докритический рост трещины было под-
подтверждено и для ряда других высокопрочных сплавов.
Коррозионные среды сильно снижают усталостную дол-
долговечность конструкционных материалов в первую оче-
очередь за счет ускорения процесса распространения имею-
имеющихся трещин. Это свидетельствует о необходимости уче-
учета влияния рабочих сред на усталостный рост трещин
при инженерном конструировании.
Па первых этапах развития механики коррозионного
разрушения трещииостойкость при статических нагруз-
нагрузках обычно оценивали по зависимостям долговечности
образцов с искусственными трещинами от значений коэф-
коэффициента интенсивности напряжений в начальный мо-
момент испытания (Ко или Кю). При понижении Ко время
до разрушения образцов увеличивается. На основании
такой диаграммы определяется значение К,к или К1асс,
ниже которого докритическпй рост трещины отсутствует.
Величина KUcc — важный параметр системы материал —
среда *), позволяющий рассчитывать допускаемые напря-
напряжения в конструкции, содержащей трещиновидпые дефекты
определенных размеров и подвергаемой совместному воз-
воздействию длительных статических нагрузок и коррозион-
коррозионных сред. Эта величина является структурно-чувстви-
структурно-чувствительным параметром, низкие его значения характерны
для высокопрочных низкопластических материалов (для
*) Обозначение K!scl. связано с английскими словами stress
corrosion cracking (коррозионное растрескивание под напряже-
напряжением).
146
которых Кис?, может быть в несколько раз меньше зна-
значения Kic). Co снижением прочности п повышением пла-
пластичности Kiscc повышается (рис. 90) и достигает значе-
значения Kic, что свидетельствует о нечувствительности ма-
материала к воздействию коррозионной среды.
Долговечность образцов состоит из инкубационного
периода и периода докритического роста трещин. Инку-
Инкубационный период — это время от приложения к образцу
1000
Рис. 90. Зависимость К\е. (линия 1) и Kiscc (линия 2) от продела
текучести стали AISI 4340 при испытаниях в морской воде (на ри-
рисунки показаны экспериментальные точки)
нагрузки до начала докритического роста трещины, когда
скорость превышает 4 • 10~10 мм/с. Этот период, наблю-
наблюдаемый, например, при испытаниях пластичных материа-
материалов, зависит от начального коэффициента интенсивности
напряжений и увеличивается с его понижением. Для вы-
высокопрочных металлов процессы, обусловливающие до-
критический рост трещины, локализованы в малой зоне
У ее вершины, где напряженно-деформированное состоя-
состояние, как мы знаем, определяется одним параметром К —
коэффициентом интенсивности напряжений. Поэтому ос-
основной расчетной формулой для определения времени
Докритического роста трещины служит зависимость ско-
скорости роста трещины v от коэффициента интенсивности
10* 147
напряжений К:
dl
график которой называется кинетической диаграммой
разрушения.
Коррозионная трещипостойкость металлов и сплавов
при циклическом пагружоиии оценивается, как правило,
на основании кинетических диаграмм усталости, на кото-
которых, как и в случае испытаний в инертных средах, стро-
строится зависимость скорости распространения трещины как
функции амплитудных значений коэффициента интенсив-
интенсивности АК (иногда максимального значения коэффициента
интенсивности за цикл нагружения Кат) ¦ Из начального
участка кинетической диаграммы определяют амплитуд-
амплитудное пороговое значение AKUc исследуемой пары металл —
среда для определенных условий испытания (частота и
форма цикла нагружения).
В некоторых случаях склонностью к коррозионному
росту трещин обладают и сравнительно низкопрочные
конструкционные материалы, для которых рекомендуется
оценивать трещиностойкость с позиции нелинейной меха-
механики разрушения. В настоящее время в качестве такого
подхода для изучения коррозионного растрескивания кор-
корпусных сталей применяется метод /-интеграла. Исполь-
Использование метода заключается в построении кривых дли-
длительной трещиностойкости в координатах «начальный
уровень Jio — время до разрушения». По аналогии с iflscc
на основании такой зависимости определяется пороговое
значение /-интеграла JISCC, под которым подразумевается
максимальный уровень /ю при отсутствии докритического
роста трещины.
Основпые типы кинетических диаграмм коррозионно-
усталостного роста трещин представлены на рис. 91. Из
рисунка видно, что коррозионные среды могут сущест-
существенно мопять конфигурацию диаграмм, присущую испы-
испытаниям в инертной среде. Для сплавов, не склонных к
коррозионному растрескиванию, кинетическая диаграмма
имеет S-образный вид (рис. 91, а), а понижение частоты
пагружепия сдвигает ее в сторону более высоких скоро-
скоростей роста. На диаграммах сплавов, чувствительных к
воздействию длительных статических нагрузок и корро-
коррозионных сред, при KmaK = Kisrc наблюдается резкое уско-
ускорение роста трещины (рис. 91, б, в) с последующим вы-
выходом на пологий или даже горизонтальный участок, в за-
148
висимости от того, какой вид диаграммы характерен для
статического растрескивания данной системы.
Различают три основных механизма влияния корро-
коррозионных сред на трещиностойкость конструкционных ма-
материалов: адсорбционное понижение прочности, водород-
водородное охрупчивание и коррозионное растворение.
Адсорбция поверхностно-активных веществ на поверх-
поверхности высоконапряженного материала в кончике трещи-
трещины приводит к понижению поверхностной энергии и об-
облегчению разрушения (эффект Ребиндера). Адсорбцион-
Адсорбционное воздействие можно успешно использовать для повы-
повышения эффективности металлообработки. Об этом речь
Рис. 91. Основные тппы диаграмм коррозпошю-усталостпого раз-
разрушения. Пунктирами обозначены диаграммы в случае испытаний
в ипертпой среде
пойдет в дальнейшем при обсуждении полезных аспектов
разрушепия, а сейчас лишь отметим, что из трех основ-
основных механизмов именно адсорбционное воздействие яв-
является доминирующим при больших значениях коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений, когда в связи с вы-
высокими скоростями докрнтпческого роста трещины другие
механизмы не успевают проявиться.
Хорошо известно, что влияние влаги на металлы при-
приводит к коррозии и разрушению. Эта старая проблема,
возникшая уже тогда, когда человек научился выплав-
выплавлять металл, приобрела в настоящее время особое зна-
значение в связи с многочисленными авариями и катастро-
катастрофами, главной причиной которых было охрупчивающее
действие влаги на высокопрочные стали. По современным
представлениям, основным процессом, который ускоряет
докритичеекпй рост трещин, приводящий к авариям,
149
является водородное охрупчивапие малой области вблизи
вершин трещин.
Атомарный водород, всегда содержащийся в чистом
или связанном с нейтральными молекулами виде (напри-
(например, в растворах электролитов и воде), в результате диф-
диффузии способен проникать в любые металлы. Раствори-
Растворимость водорода при нормальной температуре и давлении
составляет от 10 до 100 см3 на 1 кг металла, с ростом же
температуры и давления растворимость существенно рас-
растет. Охрупчивание наблюдается уже при концентрации в
2 см3 на 1 кг металла, а с 10 см3 на 1 кг оно признается
опасным. Наиболее уязвимым для проникновения водо-
водорода являются малые участки новой поверхности метал-
металла, не защищенные пленкой окисла.
Малые размеры зоны водородного охрупчивапия во
многих случаях позволяют вести расчеты докритического
роста трещины, а значит, и долговечности металлической
конструкции, взаимодействующей с водородом, исходя из
щ
~6-
t =6,04 С
6,04 12,1 18,1 24,2 604 t,c 0
а
0,5
1,0
Рис. 92. Концентрация водорода в результате диффузии в вершину
трещины: а) концентрация в конце пластической зоны при х = хт =
К2
= 1,22т;—, б) распределение концентрации перед вершиной тре-
шины (х = 0) в момент t = 6,04 с
зависимости скорости трещины от коэффициента интен-
интенсивности напряжений -т- = v (К). Такая зависимость, на-
зываемая обычно диаграммой растрескивания, определя-
определяется экспериментально или теоретически. Для теоретиче-
теоретической оценки этой зависимости прежде всего проводятся
расчеты накопления водорода в зоне предразрутиения
прилегающей к вершине трещины. На рис. 92 приведе-
приведены результаты интегрирования уравнения диффузии во-
150
дорода в окрестность вершины трещины для стали 4340
(Е = 2 • 105 Н/ым2, от = 1581 Н/мм2) при Я = 135 Н • мм'2.
Уже в течение нескольких секунд в зоне предразрушепия
достигается концентрация водорода С, существенно пре-
превышающая поверхностную концентрацию Со- Обычно
предполагают, что при достижении критической концен-
концентрации водорода Сст па расстоянии хс перед вершиной
трещины происходит локальное разрушение, и трещина
скачком подрастает на величину хс. Используя расчетные
кривые концентрации водорода, можно найти интервал
между скачками, а затем рассчитать и среднюю скорость
v роста трещины.
Конечно же, водородное охрупчивание далеко не всег-
всегда проявляется в чистом виде, картину могут существен-
существенно изменить другие факторы. Например, кислород уже в
малой концентрации способен практически мгновенно пре-
прекратить докритический рост трещины в среде водорода
за счет образования тонкой окисной пленки, защищаю-
защищающей поверхность металла (рис. 93). После прекращения
Рис. 93. Влияние кислорода на докритический рост трещины в
стали в среде увлажненного водорода (зависимость прироста тре-
трещины &.1 от времени t): 1 — увлажненный водород с 0,7 % кисло-
кислорода, 2 — увлажненный водород
подачи кислорода начинает брать верх процесс восста-
восстановления кислорода водородом или же растворение плен-
пленки водой. С практической точки зрения положительное
влияние кислорода представляет счастливый случай, ведь,
вероятно, именно это влияние помогает обеспечить не-
необходимую трещипостойкость высокопрочных сталей на
открытом воздухе. Кривые докритического роста трещин
151
в сталях практически одинаковы на воздухе и в инерт-
инертном газе. Следует подчеркнуть, что такое защитное дей-
действие кислорода проявляется только при статическом
иагружепии и совершенно не сказывается при цикличе-
циклическом нагружении.
В большинстве случаев коррозионного роста трещин
процессы адсорбции, водородного охрупчпвания и корро-
коррозионного растворения взаимосвязаны между собой, и про-
протекание одних обусловливает проявление других. Взаимо-
Взаимосвязь этих процессов усложнена влиянием структуры
металла, вида напряженного состояния, внешних условий
нагружения. Изучение этой взаимосвязи составляет пред-
предмет механики коррозионного разрушения — научного на-
направления па стыке механики разрушения, материало-
материаловедения и химического сопротивления материалов.
§ 25. Кинетика роста трещин
в полимерных материалах
Для разрушения полимерных материалов характерны
отчетливо выраженные временные эффекты. Полимеры
обладают сложными вязкоупругими свойствами, влияю-
влияющими на процессы постепенного накопления поврежде-
повреждений. Прочность полимерного элемента конструкции пада-
падает с течением времени нахождения его под нагрузкой,
и при расчете такого элемента прежде всего речь идет
об определении его долговечности, существенно завися-
зависящей от уровня рабочих нагрузок. В одноосных экспери-
экспериментах обнаруживается резкое падение долговечности
образца т с ростом приложенного напряжения а:
т = В ¦ е~аа (В, а = const). (87)
На практике разрушение образца происходит посред-
посредством зарождения и медленного распространения трещи-
трещины. Можно отметить некоторые закономерности крайне
сложного процесса роста трещин в полимерах. Время за-
зарождения трещины и период инициирования (заканчи-
(заканчивающийся страгиванием трещины) обычно невелики по
сравнению с долговечностью образца, основную часть ко-
которой занимает период медленного роста трещины. Ха-
Характер дальнейшего медленного движения макротрещи-
макротрещины зависит от уровня приложенных нагрузок. При
достаточно больших нагрузках наблюдается самоускорен-
самоускоренный рост трещины. Если же нагрузки невелики, то раз-
развитие трещины замедляется за счет влияния релаксаци-
152
онных процессов — в ряде материалов вблизи конца мак-
макротрещины образуется «трещина серебра» (зона с силь-
сильным деформационным упрочнением) (рис. 94). В неко-
некоторых случаях возможна полная остановка трещины, за
Рис. 94. Концевая зона трещины («трещина серебра») в полимер-
пом материале
которой может последовать разрыхление материала и
дальнейший ускоренный рост трещины.
Степень локализации процесса разрушения при рас-
распространении макротрещипы различна: при больших на-
нагрузках процессы предразрушения существенны только
вблизи вершины трещины, при меньших же напряже-
напряжениях значительное влияние на рост магистральной тре-
трещины оказывает накопление повреждений во всем объ-
объеме полимера.
Накапливающиеся микроповреждения в полимерах
можно непосредственно обнаружить рентгеновскими ме-
методами. В экспериментах, проведенных ленинградскими
физиками под руководством акад. С. Н. Шуркова, обна-
обнаружено появление в нагруженных полимерных пленках
большого количества дискообразпых субмикротрещин с
объемами порядка 107 см3. Каждая отдельная субмик-
ротрещина с течением времени не растет, увеличивается
лишь их концентрация. При достижении характерной
153
для материала концентрации микродефектов (порядка
1012—1016 микротрещии на см3) они сливаются, образуя
макротрещину. В дальнейшем достижение такой концент-
концентрации у вершины трещины обеспечивает ее прорастание
(рис. 95).
Первая модель растущей трещины была построена
немецким ученым Л. Прандтлем еще в 1933 г. вне ка-
какой-либо связи с существовавшей уже моделью Гриф-
фитса (работа его называлась «Мысленная модель
/V. -предельная
концентрация
Трещина
г, мм
Рис. 95. Концентрация субмикротрощии перед вершиной трещины
в капроновой пленке
процесса разрыва твердого тела»). Интенсивное же раз-
развитие идей и моделирование растущих трещин началось
только в 60-х годах.
Распространение трещин в полимерных материалах
описывается чаще всего достаточно простыми моделями
движения трещины в вязкоупругих средах. Как ни па-
парадоксально, но эта простота объясняется сложностью
и малоизученностью механизмов деформирования и раз-
разрушения полимеров в зоне высокой концентрации на-
напряжений вблизи вершины макротрещипы.
Моделирование тела с растущей трещиной, как пра-
правило, предполагает выбор реологической модели мате-
материала (например, упругое тело, вязкоупругое тело и
т. д.), описание разрушения элемента среды (например,
постепенное накопление микроповреждений) и построе-
построение критерия разрушения в копчике трещины (напри-
(например, критерий Грнффитса, Ирвина, Леонова — Панасто-
ка и их модификации). Учет вязких свойств среды обыч-
154
но связывают с надеждой получить описание медленно-
медленного квазнстатического роста трещины.
Два слова о вязкоупругих моделях, простейшими сре-
среди которых являются модели Максвелла и Фохта. Схе-
Схематически их можно представить как последовательную
и параллельную комбинацию вязкого сопротивления и
упругого элемента (рис. 96). Математическое описание
1
1
Тб"
Вязкое Упругий
сопрошидление элемент T
(прижима) Модель
а Максвелла
Рис. 96. Простейшие вязкоупругие модели
изображенных па рисунке моделей довольно элементар-
элементарно (Е — модуль упругости, л — коэффициент вязкости):
de _
~dt'
de
i da
I
dt E dt + Ц °' °
вязкий
элемент
упругий
элемент
модель Максвелла
1 ' dt -
модель Фохта
Реакция в моделях Максвелла и Фохта на внезапное
приложение постоянного напряжения о"о (в момент t = 0),
которое затем исчезает (в момент t = T), изображена
схематически на рис. 97. Конечно же, характеристики
этих математических моделей весьма далеки от свойств
реальных тел*), тем не менее первая модель — простей-
простейший пример моделей, обладающих мгновенной упругой
реакцией (е0 = ао/Е), а вторая — модели без упругой ре-
реакции (е0 = 0).
*) Хотя некоторые теоретики до сих пор не прекращают по-
попыток использования их для описания поведения пластиков, но,
конечно же, не от хорошей жизни — просто для более совершенных
моделей решения получить не удается.
155
В рамках моделей вязкоупругого тела, в которых не
учитывается область ослабленных связей (например,
в модели Гриффитса — Ирвина), поток энергии, идущий
в конец трещины, а также напряжения и деформации
в его окрестности оказываются такими же, как в упру-
упругом теле с соответствующими мгновенными модулями.
?
Рис. 97. Поведение простейших моделей при ступенчатом измере-
измерении нагрузки (в): модель Максвелла (а), модель Фохта (б)
Поэтому описание развития трещины в такой модели не
отличается от описания по модели упругого тела.
Для вязкоупругого тела, не обладающего мгновенной
упругой реакцией (модель типа фохтовской), имеет ме-
место очевидный парадокс: согласно критерию Гриффитса
трещины в таком теле не распространяются, а по кри-
критерию Ирвина рост возможен, но он будет идти без по-
потребления энергии (?!). Появление этого парадокса свя-
связано, конечно же, с наличием чразвычайпо сильной идеа-
идеализации: полным пренебрежением размерами и структу-
структурой области высокой концентрации напряжений (обла-
(области, в которой протекают нелинейные диссипативные
процессы и процессы разрушения). Ситуацию можно
спасти, сделав, например, предположение о том, что по-
поверхностная энергия "f является универсальной функци-
функцией скорости трещины v. Вид функции ^(v) получают
либо из эксперимента, либо из рассмотрения моделей с
зоной ослабленных связей.
Критерий Леонова — Паиасюка не эквивалентен кри-
критерию Гриффитса, ведь часть упругой энергии может
уходить на изменение размера концевой зоны. Если рас-
рассмотреть вязкоупругое тело с трещиной в рамках модели
Леонова — Панасюка, то можно изучать кинетику мед-
медленного развития трещины даже при отсутствии зависи-
зависимости сил сцепления или поверхностной энергии от ско-
скорости трещины. Модель Леонова — Панасюка оказалась
156
очень удобной для описания медленного роста трещины
в полимерных материалах.
Другой подход связан с учетом влияния накопления
крайне малых рассеянных по всему объему повреждений.
Учесть это влияние можно, например, считая, что по-
повреждения уменьшают поверхностную энергию тела.
Можно также рассмотреть рост макротрещипы, продви-
продвигающейся при накоплении предельной концентрации
микроповреждений вблизи ее вершины (см. рис. 95).
§ 26. Динамическая механика разрушения
У думающего читателя, прочитавшего название этого
параграфа, сразу возникнут несколько вопросов. Во-пер-
Во-первых, если существует динамическая механика разруше-
разрушения, то, наверное, есть еще и статическая механика раз-
разрушения? Во-вторых, как же это согласуется с тем, что
разрушение чаще всего происходит вследствие неустой-
неустойчивого распространения трещины (т. е. является сущест-
существенно динамическим процессом) ? О какой же механике
разрушения шла речь до сих пор? Нужно сразу при-
признаться, что эти вопросы отнюдь не просты, и ответы
на них далеко не очевидны! Действительно, процесс раз-
разрушения характеризуется (по крайней мере на заключи-
заключительной стадии) быстрым распространением магистраль-
магистральной трещины или семейства разветвленных трещин, т. е.
является существенно динамическим. В описании этого
процесса на микро- и макроуровнях остается много не-
неясного, н когда мы встречаем в литературе утверждение
о том, что механика разрушения предоставляет необхо-
необходимый аппарат для расчета прочности тел и конструк-
конструкций, то подразумеваем так называемую квазистатическую
механику разрушения, которая дает ответ на вопрос о
том, является ли существующая магистральная трещина
устойчивой или нет. В самом деле, квазистатпческая ме-
механика разрушения разработана достаточно хорошо, но
это лишь первое приближение к описанию разрушения,
позволяющее судить только о том, начнется катастрофи-
катастрофический рост трещины или пет. Предмет же динамической
механики разрушения значительно шире, чем квазиста-
квазистатической. Если в квазистатической механике разрушения
формулируется только критерий неустойчивого распро-
распространения трещины, то в динамической механике раз-
разрушения нужно установить ряд критериев: для старта,
157
остановки, распространения, искривления траектории тре-
трещины и ее ветвлении.
При попытках описания динамического разрушения
с помощью магистральпой остроугольной трещины и ко-
коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) возни-
возникает соответственно целый спектр критических КИП:
КИН старта, зависящий от скорости нагружения, КИН
остановки, КИН ветвления, критический КИН, завися-
зависящий от скорости трещины. При этом некоторые экспери-
экспериментальные данные удается удовлетворительно объяс-
объяснить, а некоторые приводят к противоречиям с теоретиче-
теоретическими положениями. Одпако экспериментальные данные
сами по себе являются противоречивыми. Возможно,
дело здесь в том, что многие эксперименты являются
некорректными, так как в них нренебрегалось взаимо-
взаимодействием отраженных от границ волн с вершинами тре-
трещины и недостаточно точно измерялись скорость тре-
трещины и коэффициент интенсивности напряжений. По-
Поскольку при обработке экспериментальных данных осо-
особенно важно установить связь между происходящими в
вершине трещины процессами и эффектами распростра-
распространения волн, то требуется экпериментальное оборудова-
оборудование, позволяющее регистрировать изменение напряжен-
напряженного состояния в течение микросекунды (так как время
прохождения волны расширения, например, через прак-
практически используемые образцы небольшого размера, не
превышает нескольких десятков микросекунд).
Динамическая теория вообще тем и отличается от
статической, что она исследует распространение воли.
В случае же наличия в теле стационарного или распро-
распространяющегося дефекта картина волнового поля стано-
становится чрезвычайно сложной, и это всегда следует при-
принимать во внимание. Так, например, при ударном раз-
разрыве образца с учетом отражений волн зависимость КИН
от времени характеризуется сильными осцилляциями.
Еще пример — при ветвлении вершина каждой ветви ста-
становится источником распространения волн. Даже микро-
микродефекты, формирующиеся впереди вершины магистраль-
магистральпой трещины, излучают волны и взаимодействуют с ма-
магистральной трещиной, и, как показывают исследования,
пренебрегать этим нельзя.
Итак, на нынешней стадии своего развития теория
динамической механики разрушения весьма противоре-
противоречива, и сейчас именно динамическая механика разруше-
разрушения является той областью, где необходима концентра-
158
ция сил ученых, работающих в области механики раз-
разрушения. Однако не хотелось бы, чтобы читатель впал
от этих слов в уныние и скепсис, и завершил чтение
данного раздела (а может быть, и всей книги) на этом
абзаце. Наоборот, противоречия в науке всегда служат
колоссальным стимулом для исследователей, и накапли-
накапливаемые знания о динамике разрушения неизбежно при-
приведут к появлению стройной теории. Отметим, что по-
последнее десятилетие характеризуется особенно резким
возрастанием исследований по динамике разрушения. Они
включают разработку моделей разрушения, аналитиче-
аналитических и численных методов решения задач динамической
теории упругости и пластичности для тел со стационар-
стационарными или распространяющимися трещинами, разработку
экспериментальных методов.
Вспомним предисловие к нашей книге. Теоретические
построения и изящные аналитические решения модель-
модельных задач, с одной стороны, и потребности практики
вместе с противоречивыми экспериментальными данными,
с другой стороны,— это две горы, разделенные узкой до-
долиной, и мы собирались пройти по этой долине так, что-
чтобы обе горы постоянно были в поле нашего зрения.
Однако в данном разделе стоящая перед нами задача
особенно трудна. Продолжая начатые сравнения, скажем,
что на этом отрезке пути нам придется избегать лавин
общепринятых взглядов, нагромождений разрозненных
фактов, обманчиво прочных мостков, пролеты кото-
которых состыкованы с помощью неубедительных рассуж-
рассуждений.
Но прежде чем повести за собой читателя, не могу
удержаться от соблазна пройти небольшой путь с видом
налево. Давайте поговорим о некоторых теоретических
решениях задач динамической механики разрушения.
Ведь эти задачи являются едва ли не сложнейшими в
механике деформируемого твердого тела, и па их реше-
решения уходили годы!
Среди всего многообразия динамических нагрузок
можно выделить два основных типа: гармонические (на-
(например, изменяющиеся синусоидально во времени) и удар-
ударные. Таким образом, учет инерционных эффектов при
расчете конструкций и сооружении с трещинами при-
приводит к рассмотрению следующих основных задач дина-
динамической механики разрушения.
1. Определение зависимости коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений (как мы знаем, основной характерна
159
стики механики разрушения) от частоты для трещины
под действием гармонических нагрузок.
2. Определение зависимости коэффициентов интен-
интенсивности напряжений от времени для трещины под дей-
действием ударных нагрузок.
3. Определение зависимости коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений от времени и скорости распростране-
распространения трещины.
4. Определение закона движения трещины, если из-
известна зависимость коэффициентов интенсивности напря-
напряжений от скорости роста трещины.
При численном решении первой задачи в случае тела
конечных размеров коэффициенты интенсивности напря-
напряжений определяются при помощи форм и частот свобод-
свободных колебаний, которые могут сильно зависеть от кон-
конфигурации и длины дефекта. В связи с этим можно от-
отнести к дипамической механике разрушения и исследо-
исследования влияния трещин на формы и частоты свободных
колебаний (такие исследования важны и для ди-
диагностики дефектов неразрушающими методами конт-
контроля) .
При решении поставленных основных задач применя-
применяются как численные, так и аналитические методы в со-
сочетании (в некоторых случаях) с использованием экспе-
экспериментальных результатов. Аналитические решения за-
задач динамической механики разрушения в случае тре-
трещин нормального разрыва, поперечного и продольного
сдвига позволяют сделать важнейшие качественные вы-
выводы о процессах, предшествующих хрупкому разруше-
разрушению при динамическом нагружении, и о распространении
фронта разрушения.
Как мы уже знаем, при математическом описании
распространения трещин важнейшим моментом является
выявление общих закономерностей распределения полей
напряжений и смещений в окрестности вершины тре-
трещины. Оказывается, что если вершина трещины пере-
перемещается вдоль некоторой гладкой кривой с произволь-
произвольной скоростью, то в локальной системе координат (свя-
(связанной с вершиной трещины) угловое распределение
напряжений зависит только от текущей скорости этой
вершины. Напряжения и смещения могут быть представ-
представлены в виде, аналогичном формулам D0) — D5), с той
разницей, что коэффициенты интенсивности напряжений,
входящие в эти зависимости, являются функциями вре-
времени, а угловое распределение напряжений и смещений
160
зависит от скорости, т. е.
Угловое распределение напряжений и перемещений в
окрестности вершины стационарной трещины одинаково
при статическом и динамическом нагружении, а влияние
инерционного эффекта заключается в том, что коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим
от времени. Решение ряда модельных задач позволило
сделать вывод о том, что спустя некоторый период вре-
времени после приложения нагрузки характер зависимости
коэффициентов интенсивности напряжений и ударных
нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого
периода времени коэффициент интенсивности напряже-
напряжений достигает своего пикового значения, существенно
превышающего статическое (аналогичный вывод можно
сделать и в случае гармонического нагружения тела с
трещиной).
Таким образом, напряженное состояние в окрестности
вершины трещины описывается при помощи коэффици-
коэффициентов интенсивности напряжений. Эти коэффициенты
используются, как нам известно, для суждения о пре-
предельном равновесии тела с трещиной (в случае стацио-
стационарной трещины) и о характере ее распространения
(в нестационарном случае), а также о скорости подра-
подрастания трещины при многоцикловом нагружении.
Мы уже говорили о том, что критерий начала рас-
распространения трещины (называемый иногда критерием
разрушения), составляющий основу механики разруше-
разрушения, не следует из уравнений равновесия и движения
механики сплошной среды и является дополнительным
условием при решении вопроса о предельном равнове-
равновесии тела с трещиной. Предельное состояние равновесия
считается достигнутым, если трещиноподобный разрез
получил возможность распространяться.
Динамическая модификация уже известного нам (см.
§ 14) критерия разрушения Гриффитса имеет вид
2У = G = ж ( ,д t ., f8^i(t) + бД11 (t) +
Ф [ -R F6) L
(88)
B. 3. Партон 161
где 6i = УI — {v/Cif (t = l, 2), c\ и С2 — скорости распро-
распространения волн расширения и сдвига в упругой среде,
функция R* (бх, б2) обозначает функцию Рэлея:
В пределе при v ->- 0 получаем статическое соотношение
E8). Равенство (88) является динамическим аналогом
соотношения, связывающего силовые и энергетические
характеристики процесса разрушения, и оно может слу-
служить уравнением (если положить 2^ = G = Gc) для оп-
определения зависимости скорости распространения трещи-
трещины от времени.
Анализ потока энергии в конец трещины позволяет
сделать ряд полезных выводов. В интервале скоростей
О < v < cR (сн, как и раньше,— скорость волн Рэлея)
для трещин нормального отрыва и поперечного сдвига
G > 0, а в интервале cR< v < с% поток энергии G < 0.
Поскольку эффективная поверхностная энергия 2 у поло-
положительна, то распространение трещин со скоростью,
большей скорости волн Рэлея сп, невозможно. Для тре-
трещин продольного сдвига энергетический анализ показы-
показывает, что скорость распространения не может превышать
с2. Отметим, что на практике скорость распространения
трещины ограничивается не скоростью волн Рэлея,
а меньшей величиной, колеблющейся для различных ма-
материалов от 0,2 до 0,5 от скорости волн сдвига.
Итак, если с помощью каких-то математических ме-
методов удалось решить уравнения движения B8) гл. II
при заданпых граничных условиях и найти коэффициент
интенсивности напряжений, то из (88) можно определить
закон движения трещины. Например, в случае распро-
распространения полубесконечной трещины продольного сдви-
сдвига в поле равномерного сдвигающего напряжения
- JL VW, (89)
где q — нагрузка продольного сдвига. Подставляя (89)
в (88) при K-i = Кц = 0, получим
(90)
162
Для того чтобы правая часть этого равенства оставалась
ограниченной величиной при больших временах t (так
как 2^ = const), необходимо, чтобы скорость распростра-
распространения трещины v стремилась к сг.
В случае приложения сосредоточенных ударных на-
нагрузок на расстоянии хо от вершины трещины продоль-
продольного сдвига имеем
= q
и из (88) найдем
- ^ ) при
(91)
(92)
Анализ полученного выражения показывает, что дви-
движущаяся трещина через некоторое время остановится.
В 1969 г. нами была рассмотрена динамическая
задача о плоскости с трещиной конечной длины 21, на
берегах которой задана гармоническая нагрузка растяже-
растяжения-сжатия амплитуды q. Коэффициент интенсивности
напряжений нормального отрыва был найден в зависи-
зависимости от волнового числа (рис. 98) при v = 0,3. Ампли-
Амплитуда коэффициента интенсивности напряжений во всем
1,3
иг
1,0
1
\
\
0.2
ы1/с,
У
т
°о 1 1
Я
«см
с t
Рис. 98. Зависимость ко-
коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений К% от
волпового числа l/
Рис. 99. Пластина с центральной
трещиной
диапазоне практически встречающихся частот нагруже-
ния превышает статический коэффициент интенсивности
напряжений (при <а = 0), причем пиковое значение Кг
превышает статическую величину более чем на 30 %.
Таким образом, опасность хрупкого разрушения возра-.
»• 163
2,4
1.5
0,8
-0,8
ft
/7
f
I
1
it
i
\
\
\
12
стает за счет инерционного эффекта. При воздействии
ударных нагрузок поведение зависящих от времени ди-
динамических коэффициентов интенсивности напряжений
естественно, имеет более сложный характер.
При рассмотрении конечных пластин с трещинами
аналитические решения связаны с большими математиче-
математическими трудностями, в связи с чем необходимо привле-
привлекать численные методы. Например, при решении методом
конечных элементов зада-
задачи об ударном нагруже-
нии прямоугольной пла-
пластины с центральной тре-
трещиной (рис. 99) получа-
получается зависимость КИН от
времени, изображенная на
рис. 100. Возрастание ко-
коэффициентов интенсивно-
интенсивности напряжений начинает-
начинается в момент прихода в
вершину трещины волны
Рэлея (t « 2,3 мкс). Круж-
Кружками отмечены моменты
прихода в вершину волн,
1ис. 100. Зависимость коэффици- отраженных от границ
ента интенсивности напряжений ;^а ц
от времени для прямоугольной прямоугольного образца.
" Видно, что после начала
взаимодействия этих волн
рпй тмит тт,™,™ *—'~ с трещиной аналитическое
ной, прямая линия — статическое „„ /
решение) решение (пунктирная кри-
вая) перестает быть спра-
справедливым. Отметим, что динамический коэффициент ин-
интенсивности напряжений в 2,45 раза превышает статиче-
статический (горизонтальная линия на рис. 100).
Численные методы позволяют в принципе рассчитать
поведение трещины практически во всех случаях, проб-
проблематичными, однако, остаются основные положения,
заложенные в модель движения трещины. Так что перей-
перейдем теперь к сравнению теоретических представлений с
экспериментальными данными.
Основные различия между идеализированной моделью
квазихрупкого разрушения и реальным разрушением
можно объяснить только на микроструктурном уровне
Рассмотрим этот вопрос подробно. Среди подходов к опи-
описанию разрушения можно выделить два: в первом проч-
прочность тела характеризуется поведением магистральной
64
пластины с трещиной (пунктир-
(пунктирная кривая — аналитическое ре-
решение для плоскости с трещи-
макротрещины, во втором — через развитие и рост мно-
множества микродефектов. Первое направление доминирует
в научной литературе, прежде всего потому, что оно дает
удовлетворительный критерий прочности и доступный
расчетный аппарат при квазистатических нагрузках. Вто-
Второе направление в основном развивается в физике твер-
твердого тела и материаловедении (и редко в механике, так
как оно пока не привело к удовлетворительным моде-
моделям). Однако развитие множественных дефектов к ма-
магистральной трещины — взаимосвязанные процессы, при-
причем не только на стадии зарождения макротрещины, но
и на стадии ее распространения. Макротрещина обеспе-
обеспечивает высокую локализованную концентрацию напря-
напряжений, при этом ее поведение становится зависимым от
роста появляющихся при этом микродефектов.
В доминирующей сейчас в динамической механике
разрушения модели обычно рассматривается рост пря-
прямолинейной трещины в упругой плоскости. При этом в
вершине возникают неограниченные напряжения, и про-
процесс разрушения предполагается происходящим собствен-
собственно в самой вершине трещины. Кроме того, предполагает-
предполагается, что расход энергии на образование единицы новой
поверхности является константой материала. Исходя из
этого, рассчитывается упругодинамическое поле напря-
напряжений в вершине трещины и формулируется критерий
распространения трещины — уравнение энергетического
баланса (88).
Итак, можно выделить следующие основные положе-
положения идеализированной модели динамической механика
разрушения.
1. Поля напряжений в вершине трещины описывают-
описываются при помощи коэффициентов интенсивности напря-
женпй.
2. Критерии старта, остановки и распространения тре-
трещины выводятся из уравнения энергетического балан-
баланса (88).
Таким образом, для суждения об адекватности этой
модели необходимо проверить выполнение именно этих
двух положений. Это можно сделать, анализируя экспе-
экспериментальные данные по коэффициентам интенсивности
напряжений и сравнивая условия старта, распростране-
распространения и остановки трещины с теоретическими предсказа-
предсказаниями.
Сразу же скажем, что это сравнение приводит к силь-
сильным сомнениям относительно справедливости теории.,
165
Например, из уравнения энергетического баланса сле-
следует, что условия остановки являются «обращением» ус-
условий старта: при одном и том же критическом значении
коэффициента интенсивности напряжений неподвижная
трещина стартует, а распространяющаяся трещина оста-
останавливается. Однако на практике критические значения
коэффициентов интенсивности напряжений остановки и
старта не совпадают. Еще пример: из того же уравнения
устанавливается взаимно однозначное соответствие менаду
коэффициентами интенсивности напряжений и скоростью
трещины, однако и оно не подтверждается в эксперимен-
экспериментах — чаще это соответствие оказывается неоднозначным.
Наконец, из уравнения энергетического баланса никак
не следует возможность ветвления трещин (а это явле-
явление мы часто наблюдаем даже в повседневной жизни —
достаточно вспомнить трещины в асфальте, стекле, бе-
бетоне и т. п.).
Что же касается первого положения динамической
механики разрушения, в котором идет речь о напряжен-
напряженном состоянии в вершине трещины (а не о критериях
разрушения — им посвящено второе положение этой тео-
теории), то и здесь возникает целый ряд вопросов — напри-
например, почему при небольших скоростях нагружения и
умеренных нагрузках имеется соответствие между тео-
теоретически и экспериментально найденными коэффициен-
коэффициентами интенсивности напряжений, а при больших скоро-
скоростях нагружения и высоких нагрузках этого соответствия
нет? Конечно, можно здесь говорить о том, что экспери-
эксперименты проводятся в пластинах, где наблюдается диспер-
дисперсия волн, а характер напряженного состояния в верши-
вершине отличается от двумерного (что предполагается при
теоретическом определении коэффициентов интенсивно-
интенсивности напряжений), и все это будет действительно верно.
Но главная причина расхождений теории с практикой
состоит все же не в этом.
Качественное объяснение несоответствиям между идеа-
идеализированной моделью разрушения и экспериментами
можно дать, если предположить (и это подтверждается
экспериментально!), что разрушение происходит не в са-
самой вершине трещины, а в некоторой зоне впереди вер-
вершины в результате сложного процесса возникновения
микротрещин, их объединения и взаимодействия. Суще-
Существование этой зоны удалось продемонстрировать в экс-
экспериментах по разрушению чисто хрупкого оргстекла
(обратите внимание на то, что материал Хявлялся хруп-
166
ким — следовательно, при объяснении расхождений тео-
теории н эксперимента ссылки на пластическое течение в
вершине трещины безосновательны!).
В пользу гипотезы о наличии зоны микроразрушений
свидетельствуют шероховатость поверхности разрушения
(почему это так, станет ясно чуть позже) и высокоско-
высокоскоростное фотографирование в режиме реального времени
(т. е. непосредственно в течение процесса разрушения)
волн напряжений, расходящихся от микродефектов. Эти
волны (см. рис. 66) генерируются только при высоком
уровне напряжений в вершине трещины, когда энергия,
высвобождающаяся при образовании впереди вершины
трещины микродефекта, становится достаточной для ге-
нерацип макроскопически наблюдаемых деформаций.
На разрушенной поверхности (рис. 101) после про-
прохождения трещины с высокой скоростью можно выделить
Рис. 101. Зеркальная, матовая и перьевая зоны па разрушенной по-
поверхности
три зоны: зеркальную, матовую (затуманенную) и перь-
перьевую (искромсанную). После прохождения перьевой зо-
зоны трещина разветвляется на несколько ветвей. Зеркаль-
Зеркальная зона характеризуется совершенно гладкой, полностью
отражающей свет поверхностью. В матовой зоне поверх-
поверхность грубеет и становится совсем шероховатой в послед-
последней зоне — перьевой. Важно отметить установленную при
обработке экспериментальных данных связь между каче-
качеством поверхности и величиной приложенной разрыва-
разрывающей ударной нагрузки. Оказалось, что при увеличении
этой нагрузки размер зеркальной зоны уменьшался,
а размеры матовой и перьевой зон увеличивались. При
уменьшении же уровня нагрузки, наоборот, размер зер-
зеркальной зоны увеличивался, а размеры матовой и перье-
перьевой зон уменьшались. Этот качественный вывод. под-
подтверждается графиками на рис. 102. Видно, что при уда-
удалении от точки, где находилась вершина трещины в пер7
167
воначальный момент, глубина шероховатости увеличива-
увеличивается (рис. 102, а), соответственно увеличивается и ко-
коэффициент интенсивности напряжений (рис. 102, б).
Итак, мы видим, что чем большая энергия высвобож-
высвобождается в вершине трещины, тем сильнее шероховатость
Or
в
a
E
•ы -?
en
-2
o/
15 х
О 0,5
ig (к/Ко)
Рис. 102. Шероховатость поверхности разрушения в зависимости
от расстояния х до вершины трещины (а) и КИН (б): d — глубина
шероховатости, dmax — максимальная глубина, .ff0 — КИН в момент
старта
поверхности. Что же из этого следует? А вот что: чем
выше нагрузка, тем сильнее поведение трещины будет
отличаться от того, которое предписывается идеализиро-
идеализированной моделью. В самом деле, ведь в этой модели при
подсчете энергии разрушения плотность этой энергии
умножается на площадь разрушенной поверхности, рав-
равную произведению длины трещины на толщину образца.
На самом же деле площадь разрушенной поверхности с
учетом шероховатости значительно больше.
Механизм образования шероховатой поверхности про-
проясняется при микроскопическом исследовании разрушен-
разрушенной поверхности (рис. 103, увеличение в 7000 раз).
В зеркальной зоне трещина на своем пути пересекает
множество полостей размера 10—25 микрон. Взаимодей-
Взаимодействие трещины с этими полостями приводит к старту
многочисленных микроповерхностных трещин, которые
тем не менее не меняют напрнвления распространения
магистральной трещины. Можно утверждать, что в зер-
зеркальной зоне микротрещины, стартующие из микрополо-
микрополостей, не взаимодействуют между собой (рис. 103, а).
В матовой зоне за счет повышения КИН возникшие на-
напряжения становятся достаточными для активизации
168
i.
1 ¦; '
'¦ t- ¦ :¦
Рис. 103. Микрофотографии зеркальной (а), матовой (б) и перьвг-
вой зон (в)
изолированных полостей и их взаимодействия между собой
(рис. 103, б). При этом возникает множество параболи-
параболических фигур, что характерно для пересечения полостей
и трещины, распространяющихся с одинаковой скоростью.
Эти параболы разнятся по размеру и глубине, что ука-
указывает на трехмерный характер их распределения. Та-
Таким образом, в матовой зоне еще до прихода магистраль-
магистральной трещины образуется ансамбль ориентированных в
различных плоскостях микроразрушений, стремящихся
изменить направление ее распространения. Наконец,
в перьевой зоне (рис. 103, в) этот процесс становится
еще интенсивнее и охватывает все большую зону впе-
впереди вершины трещины. Появляются «ручейки», расту-
растущие в перпендикулярном трещине направлении.
Подводя итог этим наблюдениям, можно заключить,
что первоначально в зеркальной зоне распространяется
единичная трещина и ее поведение незначительно отли-
отличается от квазистатического подрастания. В матовой зо-
зоне уже имеет место одновременное равномерное распро-
распространение ансамбля трещин. В перьевой зоне распростра-
распространение трещины происходит в рамках того же физического
процесса, но размер зоны мнкроразрушенпй увеличи-
увеличивается. Таким образом, можно утверждать, что распро-
распространение трещины при высоком уровне напряжений
управляется развитием микрополостей и микротрещин,
их объединением и затем взаимодействием.
Находясь на этих позициях, удается дать приемлемое
качественное описание ветвления трещин как непрерыв-
непрерывного процесса эволюции опережающих микротрещин.
Действительно, рассмотрим микрофотографии разветвлен-
разветвленных трещин (рис. 104). Видно, что процесс ветвления
является продолжением интенсивного роста и взаимодей-
взаимодействия микродефектов, происходящего в перьевой зоне.
До наступления окончательного ветвления происходят
многочисленные попытки ветвления — микротрещины
гладко отклоняются от направления распространения ма-
магистральной трещины, а затем останавливаются. Менаду
этими микроветвями и магистральной трещиной начина-
начинается сложное волновое взаимодействие, которое в какой-
то момент времени приводит к возникновению таких на-
напряжений, при которых трещина окончательно развет-
разветвляется. Этот процесс, вне всяких сомнений, является
статистическим и трехмерным, однако он имеет и детер-
детерминированные черты: вазброс координаты точки окон-
окончательного ветвления в серии пз пяти экспериментов при
170
Рпс. 104. Микрофотографии ветвей трещины
одинаковой величине нагрузки составил всего 1 мм
(рис. 105). Важно подчеркнуть эволюционный характер
ветвления, он заключается не просто в превращении од-
одного математического разреза в два разреза, как это мо-
моделируется в задачах динамической теории упругости,.
\
Рис. 105. Характер ветвления в пяти одинаковых экспериментах;
но в постепенном качественном изменении фронта раз-
разрушения по механизму, показанному на рис. 106. Чита-
Читатель теперь вполне может себе представить, какие серь-
серьезнейшие математические трудности существуют в опи-
описании процесса ветвле-
ветвления.
Еще одно подтверж-
подтверждение описанного мик-
микроструктурного меха-
// низма распространения
Механизм бетбления
ъУдействие
трещин
И Неустойчивость
Рис. 106. Механизм ветвления
разрушения дает ана-
анализ экспериментов по
старту трещипы. Кри-
Критерий начала разруше-
разрушения, согласно идеализи-
идеализированной модели, заклю-
заключается в следующем:
рост трещины следует
немедленно после до-
достижения КИН крити-
критического значения. Из
полученной экспериментально зависимости между мгновен-
мгновенными КИН при старте и временем от момента приложе-
приложения нагрузки до начала разрушения (рис. 107) следует,,
что такой простой критерий пригоден только при отно-
относительно низких скоростях нагружеиия. При времени на-
172
гружения большем, чем 40—60 мкс, разрушение проис-
происходит при постоянном КИН, который совпадает с найден-
найденным из статических экспериментов, тогда как при более
коротком времени требуемый КИН резко возрастает. Ка-
Качественное объяснение этого явления возможно с при-
привлечением концепции опережающих микротрещин и за-
заключается в том, что существует определенная скорость
зарождения и роста микроде-
чректов. Если она превышает
скорость нагружения, то полу-
получаются квазистатические ре-
результаты. В противоположном
случае оказывается, что микро-
тгроцессы не успевают развить-
развиться в достаточной степени, и это
приходится компенсировать ве-
величиной нагрузки.
Была также проведена се-
серия экспериментов, в которых
систематически изменялась ско-
скорость нагружения и, соответ-
соответственно, скорость трещины. Хо-
Хотя зависимость КИН от време-
времени была очень сложной, ско-
скорость трещины почти всегда была постоянной, а ее мак-
максимум имел порядок 0,45сн. Изменение скорости происхо-
происходило только вследствие прихода в вершину отраженной
от границы образца волны, носле чего она вновь ста-
становилась постоянной. Такое поведение трещины также
вполне укладывается в микроструктурную модель ее ро-
роста: впереди вершины создаются микроразрушения,
и можно предположить, что размеры этой зоны процесса,
равно как п размеры и ориентация микротрещин, опре-
определяются условиями при старте. Структура зоны сохра-
сохраняется до тех пор, пока новая волна напряжений не
изменит ее размер или ориентацию. Однако если скорость
трещины выше некоторой величины («300 м/с), то при-
приход волн в вершину не меняет ее скорости. Следова-
Следовательно, зона процесса обладает определенной «инерци-
«инерцией», т. е. трещина «сопротивляется» изменению скорости.
Укажем еще, почему скорость трещины не достигает
в хрупких материалах теоретического предела, равного
скорости волн Рэлея. Дело в том, что ее скорость огра-
ограничивается скоростью распространения микроразруше-
¦ний. Действительно, при разрушении кристаллических
173
о то юо
Рис. 107. Зависимость КИН
старта от времени до разру-
разрушения
тел по типу чистого откола, а также в случае «залечен-
«залеченных» трещин, когда микроразрушения не образуются,
скорость разрушения достигает 0,8—0,9сл.
Подведем итоги. Мы познакомились с основными по-
положениями идеализированной модели динамической ме-
механики разрушения, проанализировали ее основные про-
противоречия, вскрыли их причины. На этом наша экскур-
экскурсия в динамическую механику разрушения заканчивает-
заканчивается. Хочется надеяться, что нашлись читатели, которым
она все же показалась увлекательной.
§ 27. Температурные задачи механики разрушения
Большинство лекторов, по моим наблюдениям, начи-
начиная рассказ о хрупких разрушениях в условиях нерав-
неравномерного нагрева, приводят пример стакана, лопнувше-
лопнувшего после того, как в него был налит горячий чай. Тела
при нагревании, как всем известно, расширяются, и в
стакапе внутренние нагретые слон давят на еще холод-
холодные внешние, появляются растягивающие напряжения,
которые могут стать критическими для небольшой цара-
царапины па внешней поверхности стакана. Подобные раз-
разрушения могут встретиться и в серьезной инженерной
практике, как, например, в уже описанной нами аварии
остывшего на сильном морозе резервуара, в который по
небрежности обслуживающего персонала была налита
горячая фосфорная кислота (рнс. 6). Хрупкие разру-
разрушения от внутренних температурных напряжеппй могут
происходить не только при быстром нагревании, но и
при быстром охлаждении. Скажем, в лесу в сильный мо-
мороз довольно часто разрушаются стволы деревьев (осо-
(особенно дубов), образование трещин — «морозобоин» со-
сопровождается резким, похожим на выстрел звуком.
Внезапное охлаждение возникает также и прп аварии
ядерного реактора, когда жидкость системы охлаждения
попадает па нагретые элементы конструкцип. Расчеты оп-
оптимальных характеристик, гарантирующих отсутствие
разрушения в такой ситуации, являются обязательными
при проектировании ядерных силовых установок.
Тепловой удар в результате неравномерного нагрева
или охлаждения конструкций может вызвать распростра-
распространение имеющихся в них трещин даже при полном от-
отсутствии механических нагрузок. Иногда же, напротив,
действие температурных напряжений оказывает благо-
благотворное действие, снимая полностью или частично кон-
174
центрацию напряжений у вершины дефекта, обусловлен-
обусловленную внешними механическими нагрузками. Таким обра-
образом, в реальной практике могут встретиться самые раз-
разнообразные ситуации. Естественно, что и температурные
задачи механики разрушения, адекватно описывающие
эти явления, весьма сложны и многогранны. Поэтому мы
ограничимся эскизным изложением некоторых интерес-
интересных проблем.
Дополнительные температурные деформации, возни-
возникающие при нагревании от температуры Го до темпера-
температуры Т, обычно считают пропорциональными AT — Т ~
— То- Тогда для учета тепловых воздействий, которым
подвергается упругое изотропное тело, достаточно в обыч-
обычном законе Гука деформации ех, еу и ег изменить на ве-
величину а ¦ ЛГ, а сдвиговые деформации оставить без
изменений. Число а, называемое коэффициентом темпера-
температурного расширения материала, является одной из важ-
важнейших физических постоянных. Различие этих коэффи-
коэффициентов для материалов деталей, жестко соединенных
между собой, приводит при изменении температуры к воз-
возникновению значительных деформаций, например, к из-
изгибу биметаллической пластины. Если же конструкция
не имеет возможности свободно деформироваться, то мо-
могут возникнуть большие внутренние напряжения, при-
приводящие к разрушению. Античные статуи, например, бы-
быстро разрушались из-за различия коэффициентов темпе-
температурного расширения золота и слоновой кости или
мрамора.
Учет температурных деформаций сс&Т, разумеется, из-
изменит уравнения движения упругого тела B8), но из-
изменения эти формально будут небольшими — они све-
сведутся к появлению дополнительной объемной силы с со-
составляющими
rEL P]JL qJL
1 дх ' ' dij ' l dz
I здесь p = _ 2 I, которые связаны с перепадом темпе-
температур между данно^ частицей тела и соседними части-
частицами. Если распределение температур известно, то рас-
расчет напряженно-деформированного состояния тела све-
сведется к обычному расчету по теории упругости. Отсюда,
в частности, следует, что при неравномерном нагреве по-
поля напряжений и смещений в окрестности края трещины
описываются уже известными формулами D0) — D5),.
175
только коэффициенты интенсивности напряжений будут
зависеть как от механических, так и от тепловых внеш-
внешних воздействий.
Расчет температурных полей требует решения урав-
уравнения теплопроводности
дТ к I д2Т , д2Т , д2Т
дх~- di/ ' dz
(здесь к — коэффициент теплопроводности, р — плотность,
с — теплоемкость при постоянной деформации) при из-
известном начальном распределении температур и извест-
известных условиях па границе тела. На поверхности тела
должна быть задана температура или поток тепла, по-
поступающий из внешней среды, пли же задается условие
теплообмена (например, по закону Ньютона, когда по-
потери тепла пропорциональны разности температур тела
и окружающей среды). Заметим, что среди механиков
шли оживленные дискуссии по поводу того, какие усло-
условия следует задавать на берегах трещины: те, что пере-
перечислены выше, или какие-то особые. Ответ не может
быть однозначным, так как все зависит от условий кон-
контакта берегов трещппы и от содержимого самой трещи-
трещины (иногда приходится решать взаимосвязанные задачп
механики разрушения, гидродинамики или газовой дина-
динамики для среды, заполняющей полость разрыва).
Решение задач о трещинах в неравномерно нагретых
телах сопряжено с довольно большими математическими
трудностями даже в простых, на первый взгляд, задачах.
Приведем несколько известных, довольно любопытных ре-
результатов.
Каковы будут, например, коэффициенты интенсивно-
интенсивности у вершин прямолинейной трещины длины 21 в не-
неограниченном упругом теле под действием постоянного
однородного теплового потока интенсивности q, перпен-
перпендикулярного трещине? Предполагается, что трещина тер-
моизолироваиа, а все тело находится в условиях плоской
деформации (рпс. 108). Оказывается, что в условиях
таких термических напряжений развивается трещина по-
поперечного сдвига *) Кх = Кщ = 0 и
qlYT. (93)
*) Напомним, что зпаки + носят условный характер, они от-
отражают факт, что сдвиги у противоположных вершин происходят
в противоположных направлениях.
176
Представим теперь, что тепло поступает в тело из
полости дефекта, например, дисковидной трещины ра-
радиуса R (рис. 109). Подобная задача может встретиться
в геофизике при анализе поведения разрывов в глубоких
горных породах. Расчет показывает, что у края трещины
а будут наблюдаться условия нор-
11111111 мального разрыва (Кп = Ки1 =
ттТТТ1Тт=0),а коэффициент интенсивно-
<."~~~~~~~~~-> сти напряжений Кг выражается
Z
/ q l
г *
21
Рис. 108. Плоская трещина
в пространстве при дейст-
действии теплового потока
Рис. 109. Дискообразная трещи-
трещина в пространстве при действии
теплового потока через ее поверх-
поверхности
через заданную интенсивность теплового потока q фор-
формулой, очень похожей на предыдущую (93):
v _ иЕУя~ ,
4 A — v) k
(94)
Если же полость дисковидной трещины нагрета до за-
заданной температуры Т% и нагружена равномерным внут-
внутренним давлением р, то Ки = К1П = 0, а
-. (95)
Это выражение показывает, что нагрев может способ-
способствовать устойчивому росту трещины, вызывал повыше-
повышение уровня допустимых давлений рс и увеличение допу-
допустимых размеров дефекта Rc:
R, =
Чс
Рс ='
2Т/7Г
аЕТ*
2 A - v) •
Конечно же, решение (95) остается справедливым толь-
только тогда, когда правая часть неотрицательна. В против-
противном случае выражение (95) дает бессмысленный резуль-.
в. 3. Партон
177
тат Ki < 0, который означает, что имеет место взаимное
проникновение берегов трещины по крайней мере вблизи
ее края. На самом же деле условие Kz < 0 приводит к
необходимости учета контакта берегов в некоторой окре-
окрестности конца трещины. Любопытно, что верное в физи-
физическом смысле условие К\ = 0 используется в механике
разрушения для определения положения неизвестной
границы контакта берегов.
Итак, температурное поле по-разному влияет на тре-
трещину. Ну а, в свою очередь, какое влияние оказывает
сама трещина на температурное поле?
Если трещина неподвижа, то она может лишь нару-
нарушить теплообмен между разделенными ею частями тела.
Но движущаяся трещина является мощным источником
тепла. В самом деле, за единицу времени в ее вершину
стекает поток энергии G ¦ I, который за вычетом обрати-
обратимой поверхностной энергии 2у1 затрачивается на пласти-
пластические деформации и разрушение материала в малой
зоне около вершины трещины. Теплообмен с окружаю-
окружающим материалом происходит медленно, ц поэтому кон-
концевая зона разогревается до весьма высоких температур.
Картины изотерм у вершины трещины нормального раз-
разрыва, движущейся в стали со скоростью 1 м/с и 100 м/с
(рис. 110, а и б), получены расчетным путем. Они гово-
говорят о крайне высоком разогреве в чрезвычайно малой
зоне у вершины трещины (температура вдали от нее
0°С). Измерения с помощью термопар показывают по-
повышение температуры на 1 °С на расстоянии примерно
в 1 мм и уже на 130 °С на расстоянии 30 мкм от вер-
вершины трещины, бегущей в стали со скоростью 10 м/с.
Ближе к вершине трещины измерения этим методом про-
произвести не удается. Оптические же методы свидетельст-
свидетельствуют о разогреве на 230 °С в оргстекле (ПММА), на
1900° в стекле и па 4400° в кварце, разумеется, па мик-
микроскопических расстояниях от вершины «летящей» тре-
трещины. Этот факт и является объяснением того, что столь
сильпый разогрев сам по себе не способен существенно
оплавить окружающий вершину трещины материал п за-
затормозить ее.
Во многих отраслях — в атомном машиностроении,
в двигателестроеыии и др. необходимо учитывать напря-
напряжения, возникающие при внезапных изменениях темпе-
температуры. Действие этих напряжений кратковременно, но
они велики и могут привести к хрупкому разрушению
или к термической усталости конструкций. Быстрые
178
~т -и -6
12 18 х
-/8 -12 -6
12 18 х
Рис. 110. Поля изотерм вблизи вершины трещины (точка х = 0,
V = 0) при скоростях движения трещины 1 м/с (а) и 100 м/с (б).
Масштаб изображения в 1 делении 1 микрон A0~6 м), для сравне-
сравнения изображен типичный размер зерна для стали
2*
179
изменения температуры возникают в аварийных ситуаци-
ситуациях, например, при внезапной остановке ядерного реак-
реактора. Они также создаются при пусках и остановках аг-
агрегатов. Так, при запуске двигателя в стенках камеры
сгорания возникают динамические термоупругие напря-
напряжения. Они максимальны при первой вспышке топлива,
пока двигатель еще холодный. Время сгорания мало (по-
(порядка 10~5 с), поэтому возникает задача определения
напряжений при кратковременном повышении (или по-
понижении) температуры поверхности.
В качестве примера рассмотрим задачу о тепловом
ударе в плоскости с разрезом. Пусть в начальный момент
плоскость имеет нулевую температуру, а на разрезе
мгновенно возникает и в дальнейшем поддерживается
отрицательная температура —То. Тогда коэффициент ин-
интенсивности сдвиговых напряжений Кп тождественно ра-
равен нулю, а
(96)
Здесь с\ — скорость упругих волн расширения, а М —
функция, график которой при v = 0,3 изображен на
рис. 111. Из формулы (96) и критерия хрупкого разру-
разрушения Ki = Kic следует, что при тепловом ударе время
M(h)
1,5 V
1,3
1J
О 0,5 1,0 15 Ь
Рис. 111. График функции Л/(/г), фигурирующей в формуле (96)
до начала хрупкого разрушения зависит от отношения
(К1с/Т0)т, причем 2 < т < 4. Можно показать, что подоб-
подобные оценки справедливы для тела конечных размеров и
любой формы. Заметим, что величина с\ появилась в фор-
формуле (96) не случайно. При тепловом ударе та область
(или точка), в которой резко изменялась температура,
180
является генератором распространяющихся (конечно же,
со скоростью ci) упругих волн расширения-сжатия. На
рис. И2 показана такая волна расширения, идущая в
глубь полупространства х > 0 от внезапно нагретой на
и. EAT
Рис. 112. Волна термоупругпх напряжений при тепловом ударе
(внезапный нагрев или охлаждение границы х = 0 в момент t =
= 0 на AT градусов) идет в глубь полупространства со скоростью
упругой волны расширения-сжатия с\
AT градусов поверхности х = 0. Максимальные динами-
динамические термоупругие напряжения при перепаде, допу-
допустим, в 100 °С, имеют порядок сотен МПа и могут су-
существенно влиять на прочность деталей.
Представим теперь, что в плоскости с разрезом мгно-
мгновенно возник источник тепла. Как повлияет такая
Рис. 113. Если точечный источ-
источник тепла находится в облас-
областях 1, то у правого конца раз-
разреза х = -\-1 возникают растя-
растягивающие напряжения (Kj >
> 0), если же его поместить
в область 2, то у правого кон-
конца напряжения станут сжима-
сжимающими {Кг < 0)
вспышка на поведение трещины в наиболее опасные на-
начальные моменты времени? Какое расположение места
вспышки относительно вершины трещины приводит к по-
положительным значениям Ки а какое — к отрицательным?
Иными словами, какое расположение дефекта относитель-
относительно точки нагрева является опасным с точки зрения'
181
склонности к хрупкому разрушению? Для тела с полу-
полубесконечным разрезом, например, положительные значе-
значения Ki возникают в тех случаях, когда источник тепла
находится в секторе —т- sj. <p ^=гт-, симметричном относи-
относительно линии продолжения разреза. Для аналогичной за-
задачи о разрезе конечной длины (—I, I) картина становит-
становится существенно сложнее. На рис. 113 показаны области,
в которых появление источника тепла вызывает в пра-
правом конце разреза положительные и отрицательные зна-
значения Кг. Любопытно, что тепловой источник, близкий
к одному из концов разреза, создавая вблизи него сжи-
сжимающие напряжения, может вызвать в окрестности дру-
другого конца опасные растягивающие напряжения.
Глава V
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
§ 28. Как остановить движение трещины?
Мы уже разобрались в основных механизмах движе-
движения трещины, в том, откуда берется энергия, идущая на
рост трещины, можем рассчитать уровень безопасных
рабочих напряжений, а также долговечность реальных
конструкций с дефектами. Поговорим немного об основ-
основных направлениях исследований, связанных с живу-
живучестью конструкций, и оценим эти усилия с точки зре-
зрения механики разрушения. Бесспорно, что в хорошо
спроектированной конструкции должна быть организо-
организована глубоко эшелонированная оборона от наступления
трещпп, причем война должна вестись на каждом ру-
рубеже.
Вкратце уже говорилось о том, какие меры следует
предпринимать, когда медленно растущие безопасные де-
дефекты начинают приближаться к критическим состояни-
состояниям. По попробуем разобраться в том, что делать с кон-
конструкцией, содержащей опасный дефект. В статиче-
статическом случае можно подумать о ремонте конструкции (что
иногда оказывается тоже сложной в инженерном и в
теоретическом плане задачей), а вот в динамическом
случае проблема намного усложняется, ведь речь идет
о торможении (в течение микросекунд) рванувшейся
с огромной скоростью трещины в условиях, быть может,
ударных нагрузок. Сложилось даже представление о
принцпппальной невозможности торможения начавшего-
начавшегося быстрого лавинообразного распространения трещины.
Однако положение здесь не совеем безнадежное. Во-пер-
Во-первых, для развивающихся трещин можно устроить ловуш-
ловушки, которые поймают бегущую трещину, а, во-вторых, на
современном этапе развития электроники можно гово-
говорить о сенсорных системах, которые способны вовремя
заметить такую трещину, включить вычислительные уст-
устройства прогнозирования ее движения, а затем пекото-
183
рый механизм торможения разрушения. Конечно же, по-
построение простых ловушек, останавливающих разрушение,
проще и дешевле, но создание надежных противоаварии-
ных, пусть и дорогостоящих, систем, представляет собой
жизненно важную задачу, особенно тогда, когда речь
идет об уникальных сооружениях и (или) о безопасности
людей.
Остановимся на некоторых проблемах ремонта.
В этой области одним из наиболее широко распростра-
распространенных методов является установка дополнительных ре-
ребер жесткости, называемых в ряде случаев стрингерами.
Помимо повышения устойчивости, они могут обеспечить
безопасность дефектной конструкции (мы уже говорили
об этом в § 13). Конечно же, стрингеры часто устанавли-
устанавливают заранее, создавая препятствия на возможном пути
распространения трещин в «уязвимых» местах конструк-
конструкции. Особенно любят стрингеры авиационные инженеры, ко-
которым необходимо обеспечить целостность летательного
аппарата даже со значительным числом повреждений,
притом в условиях минимально возможного веса, вклю-
включая подкрепляющие элементы. Вы, конечно же, обраща-
обращали внимание на ряды заклепок, покрывающих поверх-
поверхность фюзеляжа и крыльев,— ими к широким металли-
металлическим листам основной конструкции прикрепляются
многочисленные стрингеры в виде тонких полос.
Наряду с обычными стрингерами могут применяться
и так называемые заплаты-дублеры или ремонтные запла-
заплаты, приваренные, приклеенные или приклепанные к конст-
конструкции. Во многих случаях они, помимо торможения тре-
трещин, могут обеспечивать также герметичность, местную
прочность конструкции, защиту от коррозии и т. п., т. е.
выполнять сразу несколько полезных функций, восста-
восстанавливая поврежденную конструкцию. Особенно пер-
перспективными в этом отношении представляются заплаты
из армированных пластиков.
Об эффективности ремонтной заплаты можно судить
по результатам численного расчета коэффициента ин-
интенсивности напряжений К у вершины сквозной тре-
трещины длины 21 в тонком листе с приклепанной прямо-
прямоугольной заплатой шириной 1Ъ и высотой 2Н (рис. 114).
На рнс. 115 представлены безразмерные зависимости ко-
коэффициента интенсивности напряжений К(Ко = оУп1 —
коэффициент интенсивности в неподкрепленном листе)
от длины трещины. Они показывают, что только заплата,
целиком закрывающая трещину, может существенно
184
Сквозная
трещит
снизить коэффициент интенсивности, причем в таком
соединении лучшие результаты получаются для отно-
относительно более жестких заплат и заклепок. Заметим
еще, что лучше устанавливать заплаты симметрично с
обеих сторон листа, иначе
появляются изгибные на-
напряжения, которые могут
снизить или ликвидиро-
ликвидировать совсем подкрепляю-
подкрепляющий эффект заплаты.
К положительным ре-
результатам могут привести
и противоположные дейст-
действия — не усиление де-
дефектной конструкции, а
ее «ослабление»—высвер-
«ослабление»—высверливание дополнительных,
разгружающих отверстий
в вершинах трещины. Ни-
Никому не придет в голо-
голову мысль дырявить без на-
надобности конструкцию до
появления трещины, ведь
наблюдательным людям
известно, что при под-
подходе к отверстию трещина значительно ускоряет свой
бег. Иначе дело обстоит, если разгружающее отверстие
просверлено в кончике трещины после ее обнаружения.
Эффективность такого известного на практике приема
определяется различного рода факторами: устранением
сингулярности напряжений и наиболее поврежденного ма-
материала в кончике трещины; появлением остаточных
сжимающих напряжений в процессе холодной обработки
и уменьшением чувствительности материала к концент-
концентрации напряжений и т. п.
Известно, что коэффициент концентрации напряжений
определяется в основном длиной концентратора и ра-
радиусом кривизны его контура в точке действия макси-
максимальных напряжений. Это позволяет в ряде случаев при
определении концентрации напряжений изучаемый кон-
концентратор заменить на эквивалентный, решение для ко-
которого известно. Можно ввести понятие «эквивалентного
эллипса)} (эквивалентный эллиптический вырез), позво-
позволяющее определить максимальный коэффициент кон-
концентрации напряжений для концентратора в виде тре-
185
гттлг
Рис. 114. На лист со сквозной тре-
трещиной приклепана ремонтная ва«
плата
0,45
0,30
0,15
1/Ь
l/h
I
2,0 О
1,0
2,0
О А
1/Ь
О 10 2,0
Рис. 115. Коэффициенты интенсивности напряжений в листе с тре-
трещиной и ремонтной заплатой: а) влияние размеров заплаты; 1 —
Н/Ь = 0,6; 2 — Н/Ъ = 1; 3—Я/6 = 2, б) влияние жесткости закле-
заклепок (заплата квадратная); 1 — абсолютно жесткие; 2, 3, 4 — подат-
податливость заклепок растет, в) влияние жесткости заплаты (заплата
квадратная); 1 — более жесткая; 2 — менее жесткая
186
щины с отверстиями в ее концах в бесконечной (полу-
(полубесконечной) пластине при растяжении. Около концент-
концентратора описывается эллипс (полуэллипс) с большой
ю
0.8
О А
0,8 b/l
Рис. 116. Коэффициенты концентрации напряжений у разгружаю-
разгружающих отверстий: а) внутренняя трещина, б) краевая трещина. Здесь
сплошная линпя — расчет по методам теории упругости; пунктир-
пунктирная — по методу эквивалентного эллипса
осью (полуосью), равной длине концентратора, и мини-
минимальным радиусом кривизны в вершине трещины, равным
радиусу отверстия. На рис. 116 приведены коэффици-
коэффициенты концентрации напряжений на контуре раз-
разгружающего отверстия, полученные при решении соот-
соответствующих задач методами теории упругости и по фор-
формуле «эквивалентного эллипса», имеющей согласно C9)
следующий вид:
(97)
Представленные графики указывают на приемлемую в
практических расчетах аппроксимацию Кт по форму-
формуле (97).
Для усиления разгружающего действия отверстия
иногда в них с натягом вставляют шайбы, заклепки или
болты, вызывающие сжатие в окружающем материале.
Дело в том, что один из наиболее эффективных методов
187
борьбы с образованием и движением трещин — создание
в материале сжимающих напряжений, которые препят-
препятствуют подводу энергии к вершинам трещины. Этой идее
уже больше ста лет, причем начало использования сжи-
сжимающих напряжений датировано 1861 г. и связано с
именем русского инженера Гадолина и с его «техноло-
«технологией скрепления артиллерийских орудий». Основа ее —
создание предварительного сжатия в стволе орудия за
счет насадки горячих колец. После остывания растяги-
растягивающие напряжения сосредоточивались в кольцах, а в
основной конструкции, и в том числе у поверхностей
нарезного ствола орудия, создавалось сжатие. Этот прин-
принцип повторяется в множестве вариантов, растягиваемым
элементом может служить и высокопрочная проволока,
намотанная на поверхность сосуда давления, арматура
в предварительно напряженном железобетоне, внутрен-
внутренние слои стекла в закаленном стеклянном стакане или
же уже знакомая нам накладка-стрингер. Попав в зону
сжимающих напряжений возле стрингера, неустойчивая
трещина может стать устойчивой (см. § 13).
Другим известным методом торможения и, может
быть, остановки трещины, лежащим в основе многих
технических решений, является создание на пути дви-
движения трещпны границы раздела. На такой границе
связи между частицами тела ослаблены, а именно эта
«слабинка» увеличивает вязкость материала, его сопро-
сопротивления распространению трещин. Мы, рассматривая
концентрацию напряжения около эллиптического отвер-
отверстия, видели, что, помимо максимума напряжений нор-
нормального разрыва в вершине трещины, на некотором
расстоянии перед ее концом наблюдается пик растяги-
растягивающих напряжений в направлении, параллельном ли-
линии трещины. Этот пик в несколько раз меньше (в изо-
изотропном материале примерно в 5 раз), но этих напря-
напряжений может быть достаточно для того, чтобы вызвать
поперечный разрыв на границе раздела, который пой-
поймает основную трещину и, затупив ее, затормозит. Воз-
Возможная последовательность событий изображена схема-
схематически на рис. 117. Такой механизм торможения тре-
трещин назван по имени ученых, объяснивших его,
механизмом торможения по Куку — Гордону. Правда, изо-
изобрела этот механизм сама Природа. В биологических
материалах, например, в кости или в древесине может
быть множество внутренних поверхностей раздела, ко-
которые не ослабляют материал в целом, а упрочняют его,
188
Рис. 117. Механизм торможения трещины на границе раздела по
Куку — Гордону: 1 — пик напряжений перед вершиной трещины
«ще не подошел к поверхности раздела; 2 — пиковые напряжения
отрывают материал на части поверхности раздела; 3 — образуется
поперечная трещина; 4 — основная трещина дорастает до попереч-
поперечной, образуется затупленная Т-образная трещина. А — основная
трещина, В — поверхность раздела, С — вторичная трещина
220
\
ПО -
Сталь
о
690
1580
2070 Сг,МПа
Рис. 118. Зависимость между вязкостью разрушения и пределом те-
текучести для типичных металлических материалов
189
делая вязким. К счастью, в таких материалах отсутству-
отсутствует известное экспериментаторам отрицательное явление,
которое заставляет в металлах за увеличение предела
текучести от платить уменьшением трещпностойкости
Ею (рис. 118).
Механизм торможения, заимствованный у природы,.
обеспечивает и рекордную трещиностойкость искусст-
искусственных композитов. Даже если такой композит состоит
S-U.'/l-
Рис. 119. Типичная картина раарушвния: (а)—для материалов»
обладающих слабыми поверхностями (композит, древесина) и (б) —
для однородных материалов (металл, стекло)
из хрупких стеклянных волокон, погруженных в хруп-
хрупкую эпоксидную смолу, он обладает большой вязкостью
разрушения за счет множественных торможений магист-
магистральной трещины на поверхностях раздела волокон и
связующего (рис. 119). Расчет напряженного состояния
190
у вершпны вторичной трещины расщепления показывает,
что постепенно растущее расщепление превращается из
трещины нормального разрыва (Кг) в трещину попереч-
яого сдвига (Ки). Обычно вязкость разрушения сдвигом
Кпс больше, чем вязкость разрушения отрывом Кгс, а
значит, на расщепление расходуется больше энергии.
Расщепление вызывает концентрацию напряжений на
соседних волокнах, и когда расщепление распространит-
распространится до места, в котором прочность волокна понижена, оно
разорвет волокно и разрушение отрывом пойдет дальше,
пока не затормозится другой поверхностью раздела
(рис. 119).
Своеобразно проявляется роль поверхностей раздела
в строительстве асфальтобетонных дорожпых покрытий.
Вы наверняка обращали внимание на сетку трещин,
покрывающую полотно дороги. Трещины эти образуются,
как правило, весной или осенью, когда еще или уже
достаточно холодно, а значит, покрытие более хрупко,
и в то же время грунт, па котором лежит дорога, насы-
насыщен водой п обладает повышенной податливостью. Да-
Далее, под колесами автомобилей полотно выкрашивается,
а что такое плохие дороги, мне Вам объяснять, наверное,
не надо. Вот решают дорожники сложную инженерно-
экономическую задачу. Наложить ли слой свежего ас-
асфальта просто сверху плп, может быть, сиять потрес-
потрескавшийся слой (или его часть) и сколько дорога после
ремонта прослужит? При этом необходимо учесть не-
нехватку рабочей силы, удорожание асфальта (из-за взвин-
взвинчивания цен на нефть), помноженное на тысячи кило-
километров дорог и т. д. и т. п. Стоит ошибиться в расчетах,
и значительно быстрее, чем хотелось бы, знакомый узор
появится на поверхности дорог: сетка трещин в точности
повторит старую (у дорожников такие трещины назы-
называются отрао/сенными). Этот феномен легко объясним с
позиций механики разрушения, ведь каждая оставшаяся
под слоем нового асфальта трещина — это концентратор
напряжений. У старательных строителей итогом работы
обычно бывает слишком сильное сцепление между слоя-
слоями, что приведет по Куку — Гордопу к преждевремен-
преждевременному появлению отраженных трещин. У халтурщиков,
положивших асфальт в лужу, результат будет также
плачевным. Истина лежит, наверное, посередине, и,
действительно, очень хорошие результаты дает исполь-
использование тонкой резинобитумной прослойки, обладающей
невысокой прочностью, но большой вязкостью.
191
В § 1 мы много говорили о разрушении судов. Так
вот, кораблестроители в послевоенные годы стали бо-
бороться с проблемой разламывания судового корпуса, соз-
создавая стыки с накладками. Эти заклепочные или свар-
сварные соединения, называемые обычно барьерными швами,
также являются хорошими ловушками опасных трещин.
Проблема торможения быстрых трещин активным
воздействием по команде датчиков, обнаруживших ее
лавинообразный полет,— дело недалекого будущего. Уже
сегодня в этом направлении ведутся интенсивные ис-
исследования. Во-первых, трещину можно останавливать
тепловыми источниками; оказывается, она, подобно мо-
мотыльку, летящему на свет, поворачивает в нагретую, а
значит, более вязкую, область. Во-вторых, используя то
свойство трещины, что вершина ее является концентра-
концентратором не только механических напряжений, но и элект-
электрического тока, можно затормозить трещину импульсом
тока. Дело в том, что последний вызывает разогрев и
даже оплавление материала в окрестности вершины тре-
трещины. В-третьих, действуя на быструю трещину упру-
упругими волнами, можно заставить ее ветвиться, а каждое
ветвление — это снижение скорости иногда на несколько
километров в секунду, вплоть до полной остановки. В ар-
арсенале ученых мощные электрические и магнитные поля,
другие более экзотические средства воздействия. Работа
по спасению «агонизирующей» конструкции продол-
продолжается...
§ 29. Механика разрушения и проблемы энергетики
Наша экскурсия по практическим приложениям до-
достижений современной механики разрушепия может по-
показаться несколько пестрой — наряду с очень масштаб-
масштабными н важными проблемами встретятся и не столь
важные, но, с моей точки зрения, крайне любопытные
и поучительные. В популярной книге, наверное, вообще
невозможно отразить все многообразие прикладных воп-
вопросов механики разрушения, да еще и расположив их
по степени значимости. Поэтому я решил остановиться
прежде всего на тех, с которыми мне пришлось столк-
столкнуться лично.
Длительное время я участвую в разработке крайне
важного раздела механики разрушения — прикладной
механикой разрушения элементов энергооборудования
192
тепловых электростанций (ТЭС)*). Быть может, я буду
несколько пристрастен, но не удержусь от утверждения,
что эта проблема и масштабна, и важна, и весьма по-
поучительна.
Значительную часть электрической энергии дают
ТЭС, мощности энергоустановок постоянно растут, и в
наши дни турбина ТЭС — это громадное сооружение ве-
весом от 10 до 60 т, длиной от 3 до 6м, имеющее массив-
массивный корпус толщиной от 10 до 40 см и цельнокованый
ротор толщиной 20—30 см. Проектный ресурс**) многих
существующих турбин составляет 100 тыс. ч (примерно
11,5 лет), однако решение национальной энергетической
программы требует увеличения предельного ресурса**)
до 200 тыс. ч и более. При этом необходимо как можно
реже останавливать турбины для ремонта, ведь к зат-
затратам на сам ремонт добавляются огромные убытки от
простоев. Необходимо также использовать существующие
энергоустановки в процессе регулирования постоянно ме-
меняющейся нагрузки энергосистем, хотя большинство из
них создано без учета возможности работы при малоцик-
малоцикловом нагружении, которое всегда сопряжено с перемен-
переменным режимом работы.
Традиционные методы обеспечения прочности роторов
и корпусов турбин оказались совершенно недостаточны-
недостаточными из-за того, что им приходится работать длительное
время при интенсивных переменных термомеханических
воздействиях, которые в процессе эксплуатации прпводят
к развитию исходных макродефектов. Надежное опреде-
определение времени безопасной эксплуатации и остаточного
ресурса **) роторов илп корпусных элементов возможно
только при использовании теоретических методов меха-
механики разрушения в сочетаппп с экспериментальными и,
в частности, с диагностическими методами.
*) Автор книги за работу «Разработка и внедрение научных
основ расчета и повышения прочности энергооборудования по кри-
критериям трещиностойкости» удостоен премии Совета Министров
СССР. {Примеч. ред.)
**) Мы употребляем принятый в энергетике термин «ре-
«ресурс» в значении «периода безопасной эксплуатации» или «спо-
«способность к безопасной эксплуатации в течение данного периода»,
хотя инженеры часто вкладывают в него различные дополнитель-
дополнительные оттенки. Предельный или проектный ресурс — это расчетное
время эксплуатации нового элемента конструкции, по прошествии
которого он подлежит списанию или восстановлению. Межремонт-
Межремонтный ресурс — это расчетное время между плановыми остановками
на ремонт, остаточный ресурс — расчетное время до полного раз-
разрушения.
13 В. 3. Партон 193
В роторах и корпусах турбин перепады напряжении
у поверхности концентраторов напряжений могут дости-
достигать 0,5 от. Поэтому важнейшей составной частью реше-
решения проблемы расчета их ресурса является создание
набора надежных программ, по которым на ЭВМ с при-
приемлемой для инженера точностью (скажем, не менее
10 %) можно определять напряжения, деформации и,
конечно же, коэффициенты интенсивности напряжений
в элементе конструкции с растущей трещиной. Расчет
напряженно-деформированного состояния с учетом пла-
пластичности и температурных эффектов очень сложен, но
его можно успешно провести, например, методом конеч-
конечных элементов, который мы кратко обсудили в § 15. Этот
метод лежал и в основе наших расчетов ресурса деталей
турбпн. Конечноэлементная схема расчета ротора паровой
турбины ТЭС очень похожа на вышеприведенную схему
расчета ротора газовой турбины (рис. 58 м 59). На
рис. 120, изображающем часть корпуса стопорного кла-
клапана турбины, можно увидеть, что здесь используются
те же принципы встраивания фрагментов сетки, содер-
содержащих трещину, в сетку конечных элементов, модели-
моделирующую бездефектный объект.
Конечноэлемептиые расчеты ротора позволяют нам
получить зависимости жесткостных (или электриче-
электрических) характеристик и коэффициента интенсивности на-
напряжений от относительных размеров трещины, геомет-
геометрии и схемы нагружения. Эти зависимости позволяют
оценить допустимое число циклов нагружепия до воз-
возникновения макротрещины и допустимое число циклов
нагружения на стадии ее медленного развития до момен-
момента хрупкого разрушения, с одной стороны, и организо-
организовать эксплуатационную диагностику ротора, с другой.
Для диагностики очень удобен, например, так называе-
называемый метод вибродиагностики, позволяющий по измере-
измерениям собственных частот и форм колебаний контролиро-
контролировать рост скрытых трещин.
Математический эксперимент по определению меж-
межремонтного ресурса корпусных элементов дополняется
натурным экспериментом. В том месте, где корпус имеет
мипимальный запас прочности, перпендикулярно линии
действия максимального растягивающего напряжения де-
делается искусственный надрез. Глубина его имеет поря-
порядок размера пластической зоны, длина в 2—10 раз боль-
больше глубины, радиус основания надреза не превышает
0,1 мм. Деталь с таким искусственным надрезом эксплуа-
194
Тируется в условиях реальной ТЭС, разумеется, при по-
постоянном контроле размеров трещины дефектоскопиче-
дефектоскопическими методами. Ресурс считается исчерпанным, если
глубина трещины достигнет величины примерно в 45—
65 % толщины стенки. Этот критический размер опреде-
определен опытным: путем, причем установлено, что удаление-.
/ре щи на
Рис. 120. Конечноэлементная модель корпуса стопорного клапана,,
содержащая трещину
трещины такого размера даже с последующей заваркой
не гарантирует от возможности хрупкого разрушения дета-
детали. В результате синтеза результатов натурного и мате-
математического эксперимента возникает более надежная
методика определения ресурса реальных массивных де:
13* 19S
талей с макродефектами, работающих в сложных ус-
условиях.
Параметры, описывающие процесс устойчивого раз-
развития трещины (например, константы в законе Париса),
могут определяться в полунатурных термомеханических
испытаниях специальных образцов, а вот параметры тре-
17-
Рис. 121. Образец-свидетель для уточнения скорости развития кор-
коррозионных повреждений элементов ротора, а — образец из металла
эксплуатировавшегося ротора, содержащий коррозионные повреж-
повреждения; б — образец, моделирующий соединение хвостика лопатки
с диском ротора; в — образец, моделирующий шпоночное соедине-
соединение диска с валом. 5 — датчик повреждения, 6 — образец-свидетель;
7 — дефект; 8 — перфорированный кожух; 9 — съемный установоч-
установочный шток, закрепленный в корпусе; 10, 11 — захваты; 12, 13 — вы-
выступы на образце; 14, 15 — распорные стожки; 16, 17 — электроды
и провода для контроля за развитием дефекта методом электропо-
электропотенциала, соединенные с источником тока и потенциометром; 20 —
модель хвостика лопатки; 21—модель зоны посадки шпопки в вал
ротора; 22 — модель шпонки
196
(циностойкости оказывается удобнее и надежнее опреде-
определять не на стандартных образцах, а расчетом, исходя из
размеров наиболее опасных дефектов, обнаруженных при
ремонте энергоустановок. Такой метод обследования на-
натурных конструкций позволяет получить более обоснован-
обоснованную оценку*) трещиностойкости, учитывающую наличие
ремонтных заварок, агрессивных сред, особенностей ре-
реального цикла нагружения и т. д.
Для определения трещиностойкостп роторов паровых
турбин весьма перспективной оказалась установка об-
образцов-свидетелей (рис. 121). Такие образцы содержат
усталостную трещину, ориентированную в наиболее
опасном направлении. Конструкция образца, устанавли-
устанавливаемого в исследуемую зону ротора (например, в цент-
центральную полость), должна обеспечивать в нем те же тер-
термомеханические нагрузки, что в исследуемой зоне. Спе-
Специальные датчики выполняют постоянный контроль
состояния образца-свидетеля в ходе эксплуатации турби-
турбины. Полное разрушение образца не сказывается на надеж-
надежности работы энергоустановки.
Достижения механики разрушения помогают не толь-
только в прогнозе ресурса турбин, но и в разработке спосо-
способов восстановления ресурса роторов в ходе капитального
А-А
V/y/77ZW/7/YA
Рис. 122. Устройство для восстановления ресурса роторов: 1 — опо-
опоры ротора; 2 — тихоходный D об/мин) привод для механической
обработки ротора; 3 — стойка для установки суппорта и шлифо-
шлифовального устройства; 4 — суппорт; 5 — фиксатор осевого положения
ротора
ремонта после каждых 60—100 тысяч часов эксплуата-
эксплуатации, а также конструктивных мер увеличения остаточ-
остаточного ресурса роторов и корпусов турбин. Без теоретиче-
теоретических расчетов и дефектоскопических исследований нель-
нельзя обоснованно определить, например, толщину поврезд-
*) Как правило, метод дает нижнюю оценку, ведь обследуются
не окончательно разрушенные детали турбин.
197
денного поверхностного слоя, подлежащего снятию нгс
специальном устройстве (рис. 122). Теоретические рас-
расчеты позволили предложить устройство специальных Т-
образных разгружающих полостей для снижения осевых
температурных напряжений в наиболее опасных зонах
или систему оптимального регулирования таких папря-
жений путем обогрева фланцевых соединений корпуса-
Успеха в решении сложной проблемы увеличения
безопасной эксплуатации роторов и корпусных элементов
турбин ТЭС удалось достичь только в результате ком-
комплексного использования методов механики разрушения
в сочетании с натурными и полунатурными испытаниями,
диагностическими методами и рядом схемных и конст-
конструктивных решений.
§ 30. Механика разрушения
и неразрушающие испытания
В январе 1986 г. практически сразу после старта тра-
трагически погиб американский космический корабль «Че-
ленджер» с семью астронавтами на борту. Картина взрыва
потрясла всех, кто смотрел телевизионный репортаж,
совпавший для меня еще с одним обстоятельством —¦
случившееся показалось ужасной иллюстрацией к док-
докладу, который мы буквально накануне обсуждали па
научном семинаре. В нем речь шла о разрушении тела
с трещинообразной полостью, внутри которой в резуль-
результате горения повышается давление газа. Решение подоб-
подобных задач связано с моделированием повышения давле-
давления и даже внезапным разрушением твердого топлива
в ракетном двигателе. Твердотопливные двигатели, а
именно такие ускорители работали на «Челенджере»,
могли выйти на нерасчетный режим и даже взорваться*)г
если в твердом топливе были трещиноподобпые дефекты
недопустимых размеров. В процессе прогара топлива
фронт горения пламени достигает края дефекта и горе-
горение быстро охватывает всю полость дефекта. Так как
выход продуктов сгорания через узкое входное отверстие
(конец трещины) затруднен, то в полости повышается
давление. Суммирование таких же эффектов, имеющих
место в других трещинах, может привести к резкому
повышению давления в твердом топливе, потере устой-
*) Сейчас наиболее распространенная версия катастрофы —•
наличие низкой температуры, потеря упругости и быстрый про-
прогар уплотнителя.
198
чивости горящих трещин и взрыву с отрывом оболочки,
содержащей твердое топливо. Язык пламени может пе-
перекинуться па соседние баки твердотопливных ускори-
ускорителей, и произойдет непоправимое.
Для получения безопасных оценок в этой сложной
проблеме приходится уравнения теории трещин комби-
комбинировать с уравнениями газовой динамики, преодолевать
всевозможные математические трудности, но результат
получается примечательным: для каждого конкретного
вида твердого топлива можно указать предельный допус-
допустимый размер технологического дефекта, превышение ко-
которого может привести к взрыву. Контролем твердого
ракетпого топлива на отсутствие опасного дефекта долж-
должны заниматься специалисты по дефектоскопии или не-
разрушающему контролю. О трудностях, стоящих перед
ними не в техническом, а прежде всего в принципиаль-
принципиальном плане, мы и поговорим ниже.
Развитие современной техники и технологии немыс-
немыслимо без самого широкого использования неразрушаю-
щих испытаний. В неразрушающих испытаниях поль-
пользуются физическими методами, которые не наносят ма-
материалу дополнительных повреждений. Таких методов
¦существует очень много, но самый старый из них, один
из лучггих и простейших — это визуальный метод. Им
пользуются в обувном магазине, когда рассматривают
пару ботинок перед покупкой, и если освещение до-
достаточно, то можно успешно обнаружить поверхностные
дефекты. Этот метод незаменим для авиатехников — при
подготовке самолета они должны тщательно осматривать
шасси, поскольку острые камешки, вылетающие из-под
колес, могут повредить поверхность стоек. Послед-
Последствия развития коррозионных трещин в условиях силь-
сильной влажности, больших перепадов температур и удар-
ударных нагрузок нетрудно себе представить. Если же не-
необходимо обследовать недоступные для непосредственно-
непосредственного наблюдения те или иные области изучаемого тела,
то в наше время широко используется электронная ми-
микроскопия и волоконная оптика.
В арсенале специалистов по неразрушающему конт-
контролю есть п более изощренные методы: тепловые, радио-
радиоактивные, акустические, электромагнитные, голографи-
ческие и т. д. Современная дефектоскопия дает возмож-
возможность достаточно надежно и быстро обнаруживать дефекты
материала, в том числе и внутренние, определять их вид,
размеры, расположение. Большое значение имеют не
199
только разрешающая способность приборов и квалифи-
квалификация персонала, но и знание технологии изготовления,
а также условий эксплуатации элемента конструкции.
Дефекты могут быть собственными (включения в металле,
расслоения в композите), появиться при изготовлении
(непровары и трещины в сварных швах), а могут обра-
образоваться в процессе эксплуатации изделия (усталостные
и коррозионные трещины). Для успешного выявления
дефектов, консчпо же, необходимо представлять, что нуж-
нужно искать и где следует искать.
Однако при всем его могуществе у неразрушающего
контроля есть слабое место. Дефект обнаружен, п что
же дальше: оставить его без внимания, продолжить ра-
рабочий процесс, но периодически повторять контроль, ос-
остановить процесс и начать ремонт конструкции, а может
быть, списать ее? С выдачей таких рекомендаций у
специалистов по неразрушающему контролю возни-
возникают затруднения, хотя вопросами целостности конструк-
конструкции они озабочены чрезвычайно. Почему, например, по-
поверхностные механические надсечки для стальной дета-
детали несущественны, но катастрофичны для детали из
бериллия? Вы, уважаемый читатель, уже можете под-
подсказать, кто же мог бы помочь в данном вопросе,— ко-
конечно же, специалисты по механике разрушения. Они в
силах установить, опасен ли обнаруженный дефект для
заданного уровня рабочих нагрузок, как скоро дефект
может вырасти до опасного размера, какие меры следует
принять для предотвращения катастрофического разру-
разрушения, на каком уровне нагрузок безопасна эксплуата-
эксплуатация дефектного элемента конструкции.
Попробуем на простейших примерах пояснить воз-
возможности взаимодействия неразрушающего контроля и
механики разушенпя. Ограничимся линейной механикой
разрушения, широко используемой в инженерной прак-
практике. Методы неразрушающего контроля конкретизиро-
конкретизировать не будем, считая, что используемые средства дефек-
дефектоскопии позволяют достоверно обнаружить и установить
размеры имеющихся трещин, если они превышают неко-
некоторый предельный размер, определяемый разрешающей
способностью приборов.
Анализ целостности элемента конструкции предпола-
предполагает проведение расчета его напряженного состояния и
установление связи между внешними нагрузками и мак-
максимальными внутренними напряжениями. Традиционный
прочностной расчет, как нам известно, признает конструк-
200
цию приемлемой, если эти максимальные напряжения не
превосходят предела прочности материала или предела
текучести с учетом подходящего коэффициента запаса.
В простейшей конструкции, вроде рассматривавшей-
рассматривавшейся еще Галилеем (рис. 123), жестко заделанная одним
концом в стену консольная балка удерживает груз Р,
Рис. 123. Жестко заделанная консольная балка, удерживающая
груз Р. Показаны напряжения в наиболее опасном сечении у места
заделки
подвешенный на свободном конце. Самые большие рас-
растягивающие напряжения будут действовать па верхней
стороне балки у ее заделанного конца. Согласно техни-
технической теории изгиба, описанной в любом учебнике по
сопротивлению материалов,
СТтах = ~, (98)
bh
«ели L, Ъ и h — соответственно длина, ширина и высота
балки прямоугольного сечения. Считается, что балке при
данной нагрузке Р ничего пе угрожает, если
Ошах < ojn, (99)
201
где ат — предел текучести материала (для хрупких ма-
материалов, вроде камня, берется предел прочности), п—
коэффициент запаса, который учитывает неточность из-
изготовления, разброс свойств материала и т. д. Коэффи-
Коэффициент запаса узаконен отраслевыми нормами (в строи-
строительных металлоконструкциях, например п ~ 1,5) и от-
отражает практический опыт эксплуатации конструкций.
Итак, классическая теория сопротивления материа-
материалов ограничивает сверху несущую способность балки
следующим пределом:
Ш A00>
Реальная конструкция всегда содержит дефекты (как
уже говорилось, дефекты самого материала и дефекты,
возникшие при изготовлении и эксплуатации), и только
что полученные оценки в принци-
принципе должны быть дополнены рас-
расчетом на безопасность от возмож-
возможного хрупкого разрушения. Здесь
мы обязаны вести себя как разум-
разумные консерваторы, а поэтому сле-
следует предположить, что наиболее
опасный дефект — трещина дли-
длины I появилась в наиболее опас-
опасном месте — на поверхности бал-
балки у места ее заделки в стенуг
т. е. там, где растягивающие пап-
Рис. 124. Трещина дли- ряжения максимальны (рис. 124).
ны I в наиболее опасном Величина I определяется по-
посечен™ оалки разному: если речь идет об ана-
анализе конкретной дефектной конструкции, то I — длина,
измеренная дефектоскопическими приборами, если же
мы хотим установить технические требования к методам
неразрушающего контроля ответственного изделпя, то I
определяется разрешающей способностью прибора.
При определении коэффициента интенсивности па-
пряжений для трещины малой глубины мы можем вос-
воспользоваться соответствующей формулой (табл. 2)
Кг = 1,12 (wVnZ". A01)
По критерию Ирвипа эксплуатация конструкции будет
безопасной, если
Кг<-^-К1с, A02)
202
где Kic — вязкость разрушепия, am — еще один коэф-
коэффициент запаса. Оценку безопасной (с позиций линей-
линейной механики разрушения) эксплуатационной нагрузки
мы получим, подставив (98) и A01) в формулу A02):
Отметим, что геометрические размеры балки присут-
присутствуют в формулах A00) и: A03) совершенно идентич-
идентичным образом, то же можно сказать и о прочностных ха-
характеристиках материала от и Kic. Однако в A03) со-
содержится новый физический параметр — размер трещи-
;ноподобного дефекта. Это как раз та ниточка, которая
связывает механику разрушения и дефектоскопию. Она-
то и выводит специалистов по неразрушающему контролю
из леса полуэмпирических заключений на упомянутую в
.предисловии к книге тропу, по которой можно выйти на
L
Рис. 125. Расчет напряженного состояния тонкостенного цилиндри-
цилиндрического сосуда с полусферическими доньями; а) — элемент цилинд-
цилиндрической стенки, 6) элемент полусферического донья
гребень и увидеть справа гору — диктуемое практикой
требование безопасности и надежности.
В качестве другого примера приложения механики
разрушения для анализа результатов дефектоскопии
можно назвать сосуды давления. Рассмотрим тонкостен-
тонкостенный цилипдрический сосуд с полусферическими доньями
(рис. 125), заполненный газом или жидкостью под дав-
203
лением р. Пусть длина его цилиндрической части L, ра-
радиус цилиндра и доньев R, толщина стенок сосуда h
(h мала по сравнению с R). С помощью простого расче-
расчета методами сопромата устанавливаем, что напряжения
в стенках сосуда распределены равномерно, причем на-
напряжения в сферических доньях и осевые напряжения
в стенках цилиндра s = pR/2h, а окружные напряжения
в стенках цилиндра вдвое больше а = 2s = pR/h. Это —
максимальные напряжения, и разрушится наш сосуд,
очевидно, лопнув вдоль осевой линии. В подтверждение
этого все лекторы обязательно приводят пример с сосис-
сосисками, у которых при варке разбухает содержимое и
шкурка всегда лопается в продольном, а не в поперечном
направлении.
Условие прочности (99) приводит к следующему ог-
ограничению безопасных рабочих давлений:
Р <-??<>*¦ A04)
Наиболее опасными для данного сосуда будут, разумеется,
поверхностные трещины, расположенные вдоль осп ци-
цилиндра. Коэффициент интенсивности напряжений для
длинной, но неглубокой трещины можпо получить из
формулы A01), подставив туда ат^ = pR/h:
Kj= 1,12-^- /лГ. A05)
Безопасное рабочее давление для сосуда с таким дефек-
дефектом определяется критерием Ирвина A02):
mR 1,12
A06)
Заметим, что поверхностные трещины образуются, как
правило, па внутренней поверхности трубы под дейст-
действием усталости или коррозии. Иногда пытаются несколько
уточнить расчет, приняв во внимание непосредственное
давление газа или жидкости на берегах трещины, для
этого в A01) нужно подставлять не pR/h, a рA + R/h).
Существенно ли это — зависит от величины R/h?
но обычно для тонкостенных сосудов она превышает 10,.
и данная поправка не принципиальна.
Для выбора того или иного дефектоскопического ме-
метода существен вопрос об определении 1С — критическо-
критического размера дефекта, исходя из известных условий эк-
эксплуатации элемента конструкции. В случае рассматри-
204
ваемого цилиндрического сосуда 1С определяется из усло-
условия достижения равенства в формуле A06):
<107>
Бели сосуд находится под давлением, определенным по
классической теории прочности, т. е. при omax = ajn, to
1С = 0,254 (-^J(—)¦ A08)
Этот критический размер пропорционален параметру
(KiJaTJ, имеющему размерность длины. Как Вы, навер-
наверное, помните, он связан с размером похожей на собачью
кость пластической зоны у вершины трещины.
Для обеспечения надежности конструкции важно
иметь возможность с большой вероятностью обнаруживать
трещины прежде, чем они достигнут критического раз-
размера. Условия A07) и A08) необходимо учитывать при
выработке технических требований, предъявляемых к не-
разрушающему коптролю. Насколько критические длины
разнятся в различных материалах, можно представить^
сопоставляя значения (KiJaTJ. Например, для типич-
типичной стали, используемой в сосудах давления ядерных
силовых установок, эта величина составляет примерно
140 мм, а для высокопрочной авиационной стали имеет
порядок 1 мм. Приблизительно так соотносятся крити-
критические длины трещин, следовательно, и к выбору метода
контроля подход будет различный.
От неразрушающего контроля мы ждем не только
надежного определения размера, но и места расположе-
расположения дефектов. Сравним критические размеры краевой
и внутренней трещины в растягиваемой толстой плас-
пластинке (рис. 126). Для краевой трещины
К, = 1,12
для внутренней же
К\ = а у л -j.
Будем считать, что критическая длина трещины опре-
определяется условием Ki = Kic, а вязкость разрушения оди-
одинакова и в середине пластпнки, и на ее краях, поэтому.
К1с = 1,12а У л1Теч п К1с = а V я -^,
205
откуда
Более опасным всегда будет появление краевой трещины.
От неразрушающего контроля конструкторы требуют
не только сведений о размере и расположении, но и о
форме дефекта. Поясним важность такого требования
примером сосуда давления, в ко-
котором имеется несквозная трещи-
трещина на внутренней поверхности
Рис. 126. К сравне- Рис. 127. Последовательные стадии прора-
нию критических раз- стания A—2—3—4—5) начальной трегци-
меров для краевой и пы A) на внутренней стороне сосуда п
внутренней трещин в превращение ее в сквозную трещину E)
растягиваемой плас- длины L (схема)
тинке
стенки (рис. 127). За счет циклических процессов млл
коррозии под напряжением эта трещина может расти и
достичь внешней поверхности сосуда. Начнется утечка со-
содержимого через образовавшуюся сквозную трещину, что
дает возможность ее обнаружить. Этой возможностью мы
¦сумеем воспользоваться, если размер сквозной трещины
ниже критического, и пока она дорастет до опасного сос-
состояния, будет время приостановить эксплуатацию и при-
принять меры для ремонта. Сосуд, спроектированный таким
образом, удовлетворяет требованию утечки перед разру-
разрушением, что является обязательным, например, при
проектировании сосудов в ядерных установках. Крити-
Критическое состояпне исходной внутренней песквозной тре-
трещины можно грубо оценить по формуле A07). Если
длина образовавшейся затем сквозной трещины имеет
порядок длины исходного дефекта L, то условие ее
206
устойчивости (течи перед разрушением) записывается так:
Если в A07) взято критическое значение Kic для плос-
плоской деформации, то в A09) лучше брать Кс для плос-
плоского напряженного состояния, ведь сосуд тонкостенный.
Вообразим себе дисплей, на котором отображается
форма трещины, находящейся в поле зрения дефекто-
дефектоскопа (рис. 128). Совместив ее изображение с критиче-
критическим прямоугольником 1С X Lc, мы увидим, что трещина
иииинти
Рис. 128. Трещина A) устойчива, трещина B) неустойчива, но она
превращается в сквозную устойчивую трещину, трещина E) абсо-
абсолютно неустойчива
1 устойчива, ее глубпна меньше критической 1С, трещи-
трещина 2 неустойчива — она проскочит на внешнюю поверх-
поверхность, но там остановится, и мы успеем вызвать ремонт-
ремонтную бригаду. И только дефект 3 абсолютно опасен. Сосуд
с таким дефектом ни в коем случае нельзя ставить под
рабочую нагрузку. С подобным анализом могут столк-
столкнуться не только специалисты по неразрушающему конт-
контролю, но и специалисты, изучающие по виду поверхно-
поверхностей излома причины аварии, но об этом речь пойдет
в следующем параграфе. Мы же в заключение приведем
более реальный пример использования механики разру-
разрушения для обоснования процедуры дефектоскопическо-
дефектоскопического контроля.
207
Допустим, что требуется установить периодичность
дефектоскопического контроля плоской растягиваемой
детали, имеющей форму широкой полосы с центрально
расположенной трещиной. Материал детали — сталь
А588 (ат = 350 Н/мм2, cv=490 Н/мм2), толщина де-
детали f == 38 мм. Вязкость разрушения принимаем рав-
равной Кс — 6400 Н/мм3/2 (при заданной толщине), вязкость
разрушения при плоской деформации Ки = 3900 Н/мм3/2,
Пусть нагрузка циклически изменяется с периодом, рав-
равным одному часу. Максимальное напряжение цикла при-
примем равным Omai = 0,8от = 280 Н/мм2, а минимальное —
Omin = 0.
Для ориентировочной оценки длины начальной тре-
трещины можно принять, что если наличие трещины конт-
контролируется при изготовлении детали, то 21о = 3 мм; если
во время эксплуатации — неразрушающими методами, то
Таблица 4
Результаты испытания детали на долговечность *)
1, мм
6
12
24
48
1, мм
96
166
Итого
Al, mm
6
12
24
д!, мм
48
70
Число циклов
9600
6800
4800
Число циклов
3400
1900
2,65.10*
Время, сут
400
283
200
Время, сут
142
81
1106
*) В колонках таблицы 4 указаны: текущая длина усталостной трещины
I, очередное приращение се длины &.1 (как правило, равное предшествующей
длине), а также число циклов или число суток, за которое длина трещины
получает указанное приращение.
210 = 8 мм; если во время эксплуатации визуально, то
210 = 12 мм. Будем в нашем примере считать, что тре-
трещина контролируется визуально и, следовательно,
~.21о = 12 мм на поверхности детали.
Определим критические размеры трещины для сквоз-
яой трещины длипой 21. В этом случае К = oVnZ и со-
208
ответственно критическая полудлина трещины, опреде-
определенная ИЗ УСЛОВИЯ iTmai = %с, буДвТ
^ 166 мм. A10)
Найдем число циклов и время, необходимые для под-
подрастания сквозной трещины от начального размера до
критического, интегрируя полученную из эксперимента
зависимость для скорости распространения трещины
jgL= 2,06.10-13'(AZK, AK = #max = o-max /ST. (Ill)
Результаты приведены в табл. 4, откуда следует, что
долговечность рассматриваемой детали составляет 1106 су-
суток (при длительности одного цикла нагружения, рав-
равной одному часу) и что трещина удваивает свою длину
(по отношению к начальной) за время, равное пример-
примерно одной трети долговечности. Поэтому имеет смысл наз-
назначить шестикратный запас по долговечности для ос-
осмотра конструкции и проводить дефектоскопический
контроль два раза в год A106 : 6 = 184 суток).
§ 31. Механика разрушения и судебная экспертиза
Существовал ли в конструкции дефект? Явился ли он
причиной аварии? Как развивалось разрушение? Кто не-
несет ответственность за дефект? На эти и на другие по-
подобные вопросы должны уметь отвечать специалисты по
механике разрушения. Но такие же вопросы интересуют
следователя, прокурора и других участников судебного
разбирательства дел об авариях. Поэтому-то механики
часто привлекаются истцом или ответчиком в качестве
судебных экспертов. Ждут от них обоснованных отве-
ответов и, как правило, ожидания эти оправдываются. Про-
Проблемы, которые приходится решать при этом, несколько
похожи на проблемы дефектоскопии, только в отличие
от неразрушающего контроля необходимо заглянуть не
вперед по времени, а назад. Проиллюстрируем это двумя
случаями из судебной практики.
Дело о лопнувшем колесе мотоцикла.
Из протокола с места происшествия:
«Водитель с пассажиром ехал па мотоцикле со скоро-
скоростью около 80 км/час по прямому участку автострады.
Внезапно раздался низкий звук, напоминающий ружей-
ружейный выстрел, после чего забуксовало заднее колесо. Пас-1
!4 В. 3. Партон 209
сажир упал направо, водителя отбросило также направо.
Колесо, проскользнув на правом боку по шоссе, остано-
остановилось в 35 метрах от места аварии».
Из результатов обследования разрушенного колеса:
«Из прилагаемой к делу фотографии колеса, сделан-
сделанной после снятия шины (рис. 129), видно отделение обо-
обода от остальной части колеса. Стрелкой на ободе указано
Рис. 129. Общий вид левой стороны колоса мотоцикла. Видно от-
отделение обода от остальной части колеса. Стрелкой указано поло-
положение сварного шва
положение сварного шва... Визуальное обследование уча-
участка отделения кромки обода от основания наводит на
предположение об усталостном разрушении, но оно не
может быть признано окончательным, поскольку участок
разрушения частично покрыт ржавчиной». «Колесо.... бы-
было изготовлено формовкой полосы, изгибом ее по окруж-
окружности и сваркой концов друг с другом. Окалина со шва,
вероятно, удалялась шлифованием. После механической
обработки и сварки было проведено хромирование».
«Микрофотографии (рис. 130, а ж б) показывают попе-
поперечное сечение обода на месте сварного шва с левой (ве-
(ведущей) и с правой стороны колеса».
О реконструкции разрушения:
«Разрушение обода развивалось у основания кромки
обода из-за усталости, начавшись у сварного шва, к тому
же толщина стальной полосы, из которой штамповался
обод, уменьшилась приблизительно на 40% (начальная
210
толщина 1,25 мм, конечная около 0,75 мм), без сомне-
сомнения, из-за шлифовки, проведенной при удалении окали-
окалины. Фото (рис. 130) показывает плохое качество сварки
Рпс. 130. Поперечное сечение обода па месте сварного шва с ле-
левой (а) п с правой (б) стороны, глядя па мотоцикл спереди
и уменьшение толщины металла. Раз стартовав от осно-
основания сварного шва, трещина распространялась в окруж-
окружном направлении по тонкому металлу, тем более что рез-'
14* 211
кое внутреннее закругление вызвало существенную кон-
концентрацию напряжений. Когда обод был значительно ос-
ослаблен, кромка отогнулась наружу и была оторвана от
основания обода из-за давления воздуха в шине на кром-
кромку обода. Край шины больше не удерживался кромкой
обода и был вытолкнут наружу. Боковая стенка шины
выпятилась, задела при вращении за конструкцию мото-
мотоцикла. Из дыры, образовавшейся при этом, в шине выпя-
выпятилась часть внутренней камеры. Эта часть была сра-
сразу же сорвана, и камера взорвалась, что привело к «мгно-
«мгновенному» спуску шины».
Из заключения эксперта:
«Непосредственной причипой разрушения, а следова-
следовательно, и аварпи несомненно является производственный
дефект».
Данный случай был улажен в суде выплатой несколь-
нескольких тысяч долларов пострадавшим. Не входя в юридиче-
юридические аспекты дела, отмечу, что здесь налицо был грубый
дефект изготовления, приведший к скорой аварии (мото-
(мотоцикл прошел в нормальных условиях не более 4000 км).
Если бы причина усталостного разрушения была пе столь
очевидна (специалисту!), то потребовался бы более тща-
тщательный расчет по теориям усталостпого роста трещины
и сравнение расчетной долговечности и сроков эксплуата-
эксплуатации до плановой проверки и ремонта.
Дело об аварии бензовоза.
Из протокола:
«Колесный трактор тянул полуприцеп и цистерну с
бензином. Покидая автостраду по закруглению с радиу-
радиусом около 100 м, водитель притормозил перед указателем
остановки, но в этот момент состав перевернулся и заго-
загорелся. Пожар полностью уничтожил бензовоз ж прицеп,
водитель не пострадал».
В результате осмотра на месте происшествия обнару-
обнаружено, что сломалось прицепное приспособление, а вот
тросы безопасности остались невредимыми. Владельцем
было возбуждено дело о возмещении ущерба на том ос-
основании, что тяговый брус был дефектным и после девя-
девяти месяцев эксплуатации вызвал аварию. Главный воп-
вопрос, который надо было выяснить в суде, состоял в том,
была ли авария вызвана разрушением тягового бруса или
же он сам сломался в ходе аварии. Ответить на него
предстояло экспертам-специалистам по разрушению, ко-
которых наняли истец и ответчик.
212
"ip. -'i.:'-.-J" -i' '• >i ¦¦л.'.'.'Т"'.-!-:.'.'"*.**:^**'.
t- ¦ ¦-.* ' ,:¦:¦¦
Рис. 131. Общий вид тягового приспособления (примерно в 1/13 ве-
величины)
Рис. 132. Поверхность разрушения правой отливки (см. рис. 131)
Сварной шов сверху, интенсивное порообразование снизу (пример-
(примерно в 1/2 величины)
213
Было выдвинуто две противоположных версии. Вер-
Версия истца состояла в том, что первой от усталости раз-
разрушилась проушина с правой стороны, передняя ось при-
прицепа резко повернулась вправо, ее в этот момент тянул
один трос безопасности и левая проушина. Но от увели-
увеличившейся нагрузки она разрушилась, и далее прицеп
ударил по полуприцепу, перевернул его и за ним опро-
опрокинулся и сам.
Прицепное приспособление было сварено из труб,
пластин и стальных отливок (рис. 131). Разрыв произо-
произошел по месту сварки трубы с отливкой (рис. 132 свер-
сверху) и по самой отливке (рис. 132 снизу). Видно, что ка-
качество отливки плохое, на рис. 132 внизу видим доста-
достаточно крупные поры. В сварном шве (рис. 133) видны
¦ =
Рис. 133. В сечении сварного шва, соединяющего трубу с правой
отливкой, видны непровары (примерно в 1/3 величины)
непровары. По результатам анализа было сделано заклю-
заключение о том, что низкое качество отливки и сварки по-
послужило причиной разрушения прицепного приспособ-
приспособления.
Эксперт ответчика признал полностью плохое качест-
качество отливок и отчасти недостатки сварки. Но он утвер-
утверждал, что запасы, заложенные в конструкцию тягового
приспособления, компенсируют любое снижение эффектив-
эффективной площади несущего сечения. Микроструктурное ис-
исследование не выявило изменений в форме зерен, что
привело к мысли о разрушении под действием внезапно
приложенной нагрузки. По мнению эксперта ответчика,
бензовоз был в абсолютно рабочем состоянии в момент
съезда с автострады. Он полагал, что водитель двигался
214
слишком быстро, тем более, что дорожная полиция ука-
указывала на возможное превышение скорости, и торможе-
торможение было слишком резким. Другими словами, опрокиды-
опрокидывающие силы, возникшие из-за неспособности водителя
вписаться в кривую, с последующей потерей управления
при внезапном включении тормозов, уже действовали до
того, как разрушалось прицепное приспособление.
Для разрешения противоречий в позициях экспертов
было проведено дополнительное изучение. Методами элек-
электронной микроскопии была исследована большая часть
поверхности разрушения в месте сварки: на рис. 134 да-
дано увеличенное изображение части рис. 132, отмеченной
Рис. 134. Область поверхности разрушения сварпого шва, отмочен-
отмоченная стрелкой 1 на рис. 132. Видны усталостные бороздки, образо-
образовавшиеся при продвижении фронта усталостной трещины. Увели-
Увеличение 20 тыс. раз
стрелкой 1. Ясно видны параллельные бороздки устало-
усталости, показывающие продвижение фронта трещины за
цикл нагружения. На рис. 135 показан другой участок
рис. 132, отмеченный стрелкой 2. Черные точки — это
продукты коррозии, что говорит о разрушении, начавшем-
начавшемся задолго до аварии. И, наконец, на рис. 136 изображе-
215
на часть поверхности разрушения левой отливки, разру-
разрушившейся вслед за правой. Это типичное разрушение от-
отрывом без каких-либо признаков усталости илп
коррозии.
Дополнительная экспертиза подтвердила позицию
пстца, который после трех дней судебных заседаний вы-
выиграл процесс и получил компенсацию, хотя и примерно
Рис. 135. Область поверхности разрушения сварного шва, отмечен-
отмеченная стрелкой 2 на рис. 132. Черные точки — продукты коррозии —
говорят о том, что разрушение началось задолго до аварии. Увели-
Увеличение 6 тыс. раз
две трети из того, что требовал вначале, но это заслуга
адвокатов ответчика, а не вина экспертов.
Отмечу, что и в данном деле экспертиза ограничилась
только фрактографическим анализом разрушенных дета-
деталей. Безусловно, следы усталостного разрушения — это
веский аргумент против изготовителя дефектного прице-
прицепа, но следовало бы экспертизу дополппть расчетом крп-
тических размеров трещины, что могло бы представить
дело несколько в другом свете. Допустим, могло обнару-
216
житься, что усталостная трещина при обычном уровне
нагрузок еще долго росла бы, не достигая опасного со-
состояния, и была бы обнаружена при очередном ремонте,
а в рассмотренной аварии произошел хрупкий долом от
резкого повышения нагрузок. Так что для фрактографии,
Рис. 136. Поверхности разрушения левой отливки представляют
собой типичную поверхность хрупкого разрушения отрывом без
признаков усталости или коррозии. Увеличение 6 тыс. раз
как и для неразрушающего контроля, механика разру-
разрушения может служить основой не только качественных,
но и количественных суждений.
В разобранных примерах причиной разрушений были
производственные дефекты, но виноваты в авариях и ре-
реклама продукции, и обывательские представления о со-
современной технологии, и масса других факторов. Однако
гарантией может служить только изготовление и прода-
продажа хорошо сконструированных, обоснованно рассчитанных
и тщательно изготовленных изделий при условии разумной
217
эксплуатации, контроля и ремонта. А такие безопасные
изделия не только реже ломаются и при авариях влекут
за собой меньший ущерб, но и могут быть успешно за-
защищены в зале суда.
§ 32. О полезных для механики аналогиях.
Механика разрушения п пробой диэлектриков
Прежде чем познакомить читателя еще с одним срав-
сравнительно новым аспектом применения методов механики
разрушения, указанном в заглавии, расскажем о некото-
некоторых аналогиях, возникающих при моделировании явле-
явлений природы. Различные по своему физическому содер-
содержанию явления окружающего нас мира при их матема-
математической идеализации во многих случаях описываются
уравнениями тождественной структуры. Это обстоятель-
обстоятельство позволяет установить соответствие между величина-
величинами, характеризующими различные физические процессы.
Обратимся к примерам. Чтобы сделать рассуждения бо-
более краткими, нам придется использовать некоторые
дифференциальные уравнения, характеризующие процесс,
однако менее подготовленный читатель может не вникать
в суть формул, так как основ-
основное содержание аналогий будет
понятно и так. На рис. 137
изображена механическая коле-
колебательная система, которая
Рис. 137. Механическая
колебательная система
Рис. 138. Электрическая цепь, пове-
поведение тока в которой аналогично по-
поведению груза в механической систе-
системе, изображенной на рис. 137
состоит из груза массы т, невесомой пружины жесткости с,
а также вязкого элемента с коэффициентом трения к.
Под действием гармонической силы Po(t) она совершает
пблизи положения равновесия малые колебания.
Дифференциальное уравнение колебаний этой системы,
записанное для скорости v движения массы т, имеет
218
вид
? \vdt=Posinat, A12)
\
где со — частота колебаний.
На рис. 138 изображена электрическая цепь, состоя-
состоящая из последовательно включенной катушки индуктив-
индуктивности L, конденсатора емкости Со и сопротивления R.
При подаче напряжения U(t) = Uosin&t колебания в це-
цепи тока i описываются уравнением
L~ +Ri +-^-Udt=Uosmat. (ИЗ)
о J
Сравнивая уравнения A12) и (ИЗ), видим их полную
аналогию. Это означает, что в рамках принятой идеали-
идеализации реальных физических процессов различной приро-
природы мы можем составить некий «словарь» (см. табли-
таблицу 5), с помощью которого описание электрических коле-
колебаний можно свести к описапию механических коле-
колебаний и наоборот. Отмеченные аналоги носят название
Таблица 5
Механические колебания
Масса тела т
Упругость пружины с
Коэффициент трения к
Скорость тела v
Электрические колебания
Индуктивность катушки L
Величина, обратная емкости кон-
конденсатора 1/С0
Сопротивление R
Сила тока i
электромеханических аналогий и находят широкое при-
применение при изучении колебаний сложных механических
систем различных устройств, поскольку позволяют заме-
заменить изучение зачастую дорогостоящих механических си-
систем электрическими цепями с дешевым набором конден-
конденсаторов, сопротивлений, катушек и провести при помощи
доступных физических приборов типа осциллографов,
вольтметров и т. п. анализ соответствующей эквивалент-
эквивалентной электрической цепи.
Подобные обстоятельства побуждают исследователей
устанавливать все новые и новые аналогии между явле-
явлениями, которые, на первый взгляд, ничего общего между
собой не имеют. Например, что общего между валом,
передающим вращательный момент от двигателя совре-
219
менного морского судна к его гребному винту, и мыльной
пленкой? Более тщательный анализ этих различных объ-
объектов показывает, что в определенных условиях мыльная
пленка может оказать инженеру неоценимую помощь при
проектировании не только вала современного морского
судна, но и многих других конструкций, которые в про-
процессе эксплуатации подвергаются действию скручиваю-
скручивающих нагрузок. Предложенная в 1904 г. знаменитым
немецким механиком Л. Прандтлем так называемая мем-
мембранная аналогия, крайне полезная при изучении пробле-
проблемы кручения призматических стержней сложного профи-
профиля, основана на тождественности математических уравне-
уравнений, описывающих разные явления.
Представим себе мембрану из однородного материала,
натянутую на жесткий контур того же очертания, что и
поперечное сечение скручиваемого стержня, и подвергну-
подвергнутую затем равномерному поперечному давлению интен-
интенсивности р, малому по сравнению с натяжением мембра-
мембраны q. Прогиб w мембраны удовлетворяет уравнению
* * ? A14)
дх' ду" 1
Касательные же напряжения, возникающие при круче-
кручении стержня, определяются через так называемую функ-
функцию напряжения U, удовлетворяющую уравнению
-т?"+-7т = -2- A15)
дх ду
Если теперь положить
w = -^U, A16)
то уравнение A14) преобразуется в уравнение A15) и,
таким образом, соотношение A16) устанавливает анало-
аналогию между мембраной и скручиваемым стержнем и яв-
является «ключевым» при составлении «словаря», подоб-
подобного вышеприведенному. Таким образом, в тех случаях,
когда теоретическое определение функции напряжения U
для стержня со сложной формой поперечного сечения
затруднительно, мембранная аналогия позволяет при по-
помощи экспериментов определить прогибы и по ним судить
о функции напряжений и напряжениях, возникающих
в стержнях. В качестве совершенной мембраны может
быть взята мыльная пленка, в которой постоянная вели-
величина натяжения а обеспечивается силами поверхностного
220
ватяжения. Мембранная аналогия с мыльными пленками
неоднократно применялась для экспериментального реше-
решения многих практически важных задач кручения, а в тех-
технику постановки этих экспериментов были внесены неко-
некоторые усовершенствования с целью повышения точности
определения прогибов. Так, известная каждому с детства
мыльная пленка из забавы превращается в руках инже-
инженера в изящный экспериментальный метод.
Заметим, что, кроме мембранной аналогии, в теории
кручения стержней известны гидродинамические анало-
аналогии, а также электродинамическая аналогия. Последняя
является следствием той аналогии, которая присуща урав-
уравнениям теории упругости и уравнениям стационарных
электрических полей в диэлектрических или токопрово-
дящих линейных средах.
В общем случае составить «словарь», позволяющий
по решениям электростатических задач получать реше-
решение задач теории упругости, затруднительно, однако в
ряде частных случаев составление такого «словаря» не
представляет труда. Один из таких случаев упомянут вы-
выше, а другой связан с антиплоской задачей (см. § 7). Ин-
Интересно, что с некоторыми оговорками уравнения анти-
антиплоской задачи могут быть применены к расчету на сдвиг
клеевого соединения двух тел. Одним из важнейших при-
примеров применения клеевых соединений являются много-
многослойные конструкции, соче-
сочетающие в себе высокую
удельную прочность, хо-
хорошие теплоизоляционные
свойства и находящие при-
применение в авиационной и ра-
ракетной технике, судостро-
судостроении, энергомашиностроении,
химической промышленпо-
сти. При изготовлении мно- „ ,Г„ „' ,
„ ^ „ Рис. 139. Трещиноподобныи
гослоиных конструкции из-за дефект в клеевом соедине-
несовершенства технологиче- нжи
ских операций или по другим
причинам в клеевом соединении возможно появление
различных трещиноподобных дефектов.
Рассмотрим трещиноподобныи дефект, например, пу-
пузырек воздуха в толще клея, смоделировав его разрезом
(рис. 139). Будем полагать для простоты, что дефект рас-
расположен в срединной поверхности клеевого слоя толщи-
толщины 2h и имеет бесконечную протяженность вдоль оси г
221
На поверхностях х = ±h слоя заданы касательные на-
напряжения, а поверхность дефекта свободна от напряже-
напряжений. Решение этой задачи также сводится к решению
системы уравнений B6), B7). Асимптотические выраже-
пия для напряжений ххг, xyz и смещения w в малой ок-
окрестности у края трещины определяются формулами
D4), D5).
Рассмотрим теперь тонкую металлическую пластину,
форма которой совпадает с поперечным сечением рас-
рассмотренного выше призматического тела (рис. 140, а),
предположим, что на двух противоположных ее сторопах
\'о
""Г
шшшш
а 'о S
Рис. 140. Пропускание электрического тока через тонкую металли-
металлическую пластинку, сплошную (а) или содержащую трещину (б)
задан электрический ток /о, причем нас интересует рас-
распределение токов в пластине. «Словарь», позволяющий
пз решений механической задачи получить решение зада-
задачи о распределении токов, представлен таблицей 6.
Эта таблица позволяет решение системы B6), B7)
преобразовать в решении задачи о распределении токов в
пластине без дефектов. А как поведет себя такая же
пластинка, но с трещпноподобным дефектом (рис. 140, б) ?
Читатель, руководствуясь аналогией, ответит, что распре-
распределение токов в окрестности края дефекта будет анало-
аналогичным распределению напряжений D4), которое возни-
возникает в подобной механической задаче B6), B7) с заме-
заменой обозначений в соответствии с таблицей.
Таким образом, дефект в токопроводящем листе при-
приводит к концентрации электрических токов, распределение
которых у края трещины имеет характерную особенность
и пропорционально некоторому коэффициенту Ки кото-
который можно назвать коэффициентом интенсивности токов.
Эффект концентрации токов в окрестности края
трещиноподобного дефекта используется для торможе-
222
ния трещин в токопроводящих средах. Так, если токо-
проводящую пластинку с трещиной нагрузить механиче-
механическими усилиями, перпендикулярными трещине, и про-
пропускать ток, то критическая нагрузка, приводящая к росту
Таблица 6
Переменные для механической за-
задачи
Переменные для задачи о токах
Смещение w
Напряжения тЖ2, iyz
Закон Гуна: устанавливает со-
соответствие между деформа-
деформациями exz, e и напряжения-
напряжениями xxz, ryz соответственно;
коэффициент пропорциональ-
пропорциональности 2fi
Деформации exz, еуг
При условии, что тело не за-
закреплено, внешние нагрузки
должны быть самоуравнове-
самоуравновешенными
Потенциал электрического поля ф
Токи/,,/,,
Закон Ома: устанавливает соот-
соответствие между напряжен-
напряженностью электрического поля Ех,
Еу и компонентами вектора~эле-
ктрического тока 1Х, I соответ-
соответственно; коэффициент пропор-
пропорциональности а
Компоненты вектора напряжен-
напряженности электрического поля Ех,
Ev
При условии, что на границе пла-
пластинки заданы только токи, име-
имеется дополнительное условие, в
соответствии с которым суммар-
суммарный ток, проходящий через кон-
контур пластинки, равен нулю («са-
(«самоуравновешенность» токов)
трещины, будет большей, чем для такой же пластинки,
но при отсутствии токов. Повышение критической нагруз-
нагрузки можно объяснить, если вспомнить, что в токопрово-
дягцих пластинках в соответствии с законом Джоуля по-
появляются источники тепла. Так как окрестность трещины
является зоной концентрации токов, то плотпость джоу-
левых источников тепла в ней выше, чем вдали. Это
приводит к тому, что указанная зона будет нагрета до
высокой температуры (вплоть до точки плавления), и,
кроме того, в пей возникнут сжимающие напряжения,
препятствующие росту трещины.
Близкой к только что рассмотренной задаче о пла-
пластинке с током является задача о распределении электро-
электростатического поля в плоском конденсаторе (рис. 141).
Установить аналогию между этими двумя задачами не
223
представляет труда, несмотря на очевидное различие
между токонесущей и диэлектрической пластинками.
В частности, в диэлектрических пластинах осуществляет-
осуществляется такое явление, как пробой, т. е. потеря диэлектричес-
диэлектрических свойств или нарушение
.Цо электрической прочности.
С явлением пробоя ди-
диэлектриков каждый сталки-
сталкивается в повседневной жизни.
Кто не расстраивался, когда
в предвкушении встречи с
хорошей телепередачей обна-
~ио руживал «безжизненный» те-
Рис. 141. Плоский конденсатор левизор. Одной из возмож-
возможных причин неисправностей
мог явиться пробой какого-нибудь конденсатора при
включении телевизора в электросеть, когда напряжение
на его обкладках резко возрастает.
Что же такое пробой диэлектрика или, по-другому,
потеря электрической прочности диэлектриком? Ответить
па этот вопрос просто и сложно. Просто потому, что каж-
каждый из нас имеет интуитивное представление о пробое,
а сложно потому, что в литературе по пробою диэлектри-
диэлектриков имеется несколько определений этого явления и мно-
множество различных физических теорий, объясняющих его.
Одно из возможных определений этого явления мы сей-
сейчас попытаемся дать.
Известно, что в природе идеальных изоляторов, т. е.
сред, которые вообще не проводят токи, не существует.
Даже хорошие изоляторы в большей или меньшей сте-
степени проводят ток, однако по сравнению с проводниками
эти токи в сотни раз меньше. Поэтому применительно к
диэлектрикам есть смысл говорить о токах, и, следова-
следовательно, для любого диэлектрика или конденсатора мы
можем составить, в принципе, его вольт-амперную харак-
характеристику. Для простоты ограничимся плоским копдеп-
сатором (рис. 141), когда суммарный ток, протекающий
через конденсатор, можно сравнительно просто измерить,
включив чувствительный амперметр последовательно с
конденсатором (рис. 142). Плавно увеличивая напряже-
напряжение U на клеммах цепи и измеряя ток i и напряженно
АС/ на обкладках конденсатора, мы можем построить за-
зависимость тока от напряжения. Качественно такая зави-
зависимость представлена на рис. 143. Сначала при напря-
напряжении Д?/<Д?/Пр (участок 1 кривой на рис. 143) ток в
цепи весьма мал и конденсатор сохраняет свои диэлект-
диэлектрические свойства. Дальнейшее увеличение напряжения
на обкладках конденсатора приведет к тому, что при
Д[/>Д[/пР малое увеличение напряжения будет приво-
приводить к значительному увеличению тока (участок 2 на
v) 4=
Рис. 142. Электрическая схе-
схема, позволяющая измерять
суммарный ток, протекающий
через конденсатор
Л1/
Рис. 143. Вольт-амперная ха-
характеристика диэлектрика
кривой рис. 143). Другая ситуация, возникающая при не-
незначительном увеличении напряжения At/ при достиже-
достижении предельного зпачения Л?/Пр, качественно характери-
характеризуется кривой 2' на рис. 143. Отметим, что в обоих слу-
случаях имеет место резкое увеличение тока, проходящего
через диэлектрик.
Если бы электрическое ноле в конденсаторе было
однородным, а диэлектрик между обкладками идеально
однородным, то нарушение электрической прочности про-
происходило бы одновременно во_всем объеме диэлектрика.
В действительности же ввиду микронеоднородности ма-
материала, пеидеальности электродов пробой (даже в одно-
однородном электрическом поле) наступит в одном, наиболее
слабом месте и в диэлектрике образуется токопроводя-
щий канал, соединяющий разноименно заряженные об-
обкладки конденсатора. Следовательно, можно трактовать
пробой как «прорастание» токопроводящих поверхностей
от одного электрода к другому, не вдаваясь при этом в
сам механизм их образования. Такое представление яв-
явления пробоя весьма созвучно механике разрушения, где
распространение трещины трактуется как увеличение на-
начальной поверхности под действием внешней нагрузки.
Основываясь па этих рассуждениях и учитывая суще-
существующую аналогию между задачами механики и электро-
15 в. 3. Партон 225
статики диэлектриков, можно ввести понятие коэффици-
коэффициентов интенсивности, характеризующих электростатиче-
электростатическое поле у краев электродов, а также в диэлектрике в
окрестности концов тонких раскрытых трещин. Так, на-
например, если диэлектрик, помещенный между двумя
разноименно заряженными электродами, содержит тре-
щипоподобпый дефект, то электростатическое поле вбли-
вблизи его краев описывается уравнениями вида D4), D5),
которые с учетом аналогии можно записать так:
Kq
к к
0
Dx = ^rsmT, Z?w = 7=cosT.
|/2ixr z \/2nr z
Коэффициент Kq, зависящий от геометрических размеров
задачи и значения потенциала на границе, будем назы-
называть коэффициентом интенсивности плотности зарядов.
Двигаясь по дорожке, проложенной механикой разруше-
разрушения, будем предполагать, что именно коэффициент ин-
интенсивности плотности зарядов ответствен за пробой ди-
диэлектрика, т. е. за образование проводящих поверхностей
между электродами. Отметим, что так же как и в меха-
механике разрушения, введенный коэффициент Kq связан с
потоком энергии через произвольный контур, охватываю-
охватывающий край дефекта или электрода, которая затрачивается
на образование проводящей поверхности или канала.
Пользуясь этой аналогией, будем говорить, что пробой
диэлектрика наступает тогда, когда величина Kq дости-
достигает критического значения, т. е. запишем критерий про-
пробоя в виде
Kq = Кс, A18)
где Кс — критический коэффициент интенсивности плот-
плотности зарядов, являющийся характеристикой диэлектрика.
Конечно, предлагаемый критерий пробоя диэлектри-
диэлектриков в виде A18), по-видимому, не в состоянии описать
все многообразие явлений пробоя и применительно к
различным средам нуждается в усовершенствовании.
В частности, приведенные выше соображения, следствием
которых явилась формула A18), никак не учитывают
возможность создания между обкладками конденсато-
конденсатора объемного заряда, который может образоваться вслед-
вследствие «вырывания» электронов с поверхности электродов
226
при больших напряжепностях электрического поля или
в результате ионизации некоторых объемов диэлектрика.
Вместе с тем критерий A18) применительно к вакуум-
вакуумной изоляции находит довольно хорошее эксперимен-
экспериментальное подтверждение. Для иллюстрации сравним зна-
значения пробивных напряжений, вычисленных согласно
критерию A18) и измеренных экспериментально: 350 и
384 кВ (вакуум 1,33 • «Н Па), 290 и 300 кВ (вакуум
1,33-Ю-4 Па), 130 и 125 кВ (вакуум 0,66 • 10 Па).
Электродами служили диски радиуса а, расположенные
на расстоянии h (приведены данные для случая h =
= 0,2а).
Аналогия между электростатикой и теорией упруго-
упругости помогает не только в моделировании электрического
пробоя диэлектрика. Используя ее, можно описать влия-
влияние электрического поля на распространение трещины
под действием механических нагрузок. В электрическом
поле к потоку освобождающейся упругой энергии, идуще-
идущему в вершину трещины, добавляется и поток электричес-
электрической энергии. Подсчет суммарного потока G, затрачи-
затрачиваемого на образование новой поверхности разрыва, и в
данном случае проводится по схеме Ирвина (§ 14),
только к интегралу от произведения пормального напря-
напряжения ау па перемещение берега трещины v следует
приплюсовать интеграл от произведения электрического
смещения Dy па разность потенциалов ср между берегами
трещины. Именно отмеченная аналогия — сравните фор-
формулы D4), D5) и A17)—и подсказывает вид условия
распространения трещины в диэлектрике. Подобные ус-
условия, названные ПК-критериями, были установлены в
1975 г. проф. Б. А. Кудрявцевым п автором этих строк.
§ 33. Что же хорошего в разрушении?
Попробуем, обладая известной степенью воображения,
представить себе фантастический мир без разрушения.
Ну, конечно же, прекратились катастрофические земле-
землетрясения, связанные с разломами земной коры, не ру-
рушатся здания, не разваливаются пополам суда, не лома-
ломаются руки, пальцы, зубы. Прекрасный мир. Однако пти-
птицы (и крокодилы тоже) исчезли бы в таком мире, ведь
из яйца птенец не мог бы вылупиться. Небьющиеся яйца
привели бы к закату кулинарного искусства, даже от
яичницы остались бы одни воспоминания. И, вообще,
15* 227
нельзя было бы резать колбасу, жевать хлеб. Грустный
небритый (бритва стала бесполезной) человек мог бы
только сосать и облизывать, используя в пище только ве-
вещества, растворимые в воде. Было бы холодно, лед бы
не разрушался до тех пор, пока его полностью не расто-
растопит солнце, не работали бы тепловые электростанции,
поскольку добыча полезных ископаемых связана с разру-
разрушением. Даже костер пришлось бы разводить из целых
стволов деревьев. Если дальше эту картину продолжали
бы писать профессионалы, то по их сценарию можно
было бы спять леденящий душу фильм ужасов.
Мы же, уяснив всю важность и полезность явления
разрушения, вернемся в наш реальный мир и обсудим
кратко полезные аспекты применения разрушения. В по-
повседневной жизни мы заинтересованы не только в до-
достаточно легком, но и в надежно контролируемом раз-
разрушении. Примерами такого разрушения являются ак-
аккуратное вскрытие без помощи ножа банок с пивом или
сардинами из-за наличия ослабленных участков упако-
упаковок, отрыв почтовых марок точно по перфорациям или
вскрытие стирального порошка надавливанием пальца
на окруженное просечками место па коробке. Хозяйки
очепь сердятся, если просечки эти недостаточно глубокие
или их нет вовсе, а участок с надписью «Вскрывать здесь»
окружен нарисованным на поверхности красивым
пунктиром. Еще один широко известный пример пред-
предсказуемого разрушения дают подвергнутые специальной
обработке автомобильные ветровые стекла, которые рас-
рассыпаются при аварии на легкие безопасные кусочки, а
не разбиваются на характерные для обычного стекла
крупные вытянутые осколки, похожие на острые ножи.
Мы сознательно ведем разрушение, затачивая грифели
карандашей, растирая в ступке душистые или красящие
вещества перед изготовлением кулинарных или космети-
косметических препаратов, а также шлифуя, обрабатывая на-
напильником и т. д. и т. п.
Мы используем контролируемое разрушение в искус-
искусстве при измельчении красителей для составления
красок, при огранке драгоценных камней, а также
при создании скульптур из мрамора, дерева, гранита.
Неконтролируемое разрушение только случайно приводит
к эстетически привлекательным результатам. Спекули-
Спекулируя на том, что людям может правиться сетка трещип
на глазурованной керамике или на поверхности картин
старых мастеров, «умельцы» (для создания эффекта
228
подлинности) обрабатывают вазы и картины специаль-
специальным образом *).
В промышленности разрушение полезно при дробле-
дроблении, перемалывании, бурении. Высокая степень измель-
измельчения компонент способствует полноте растворения, уве-
увеличивает скорость химических реакций, повышает проч-
прочность цемента. Мы уже говорили о том, что затраты на
возмещение ущерба от катастрофических разрушений, а
также на предотвращение разрушения оцениваются в
США в огромную сумму порядка 4 % валового нацио-
национального продукта. Так вот, еще в большую сумму, при-
примерно 5 % валового национального продукта, оценивает-
оценивается стоимость проведения операций, связанных с контро-
контролируемым разрушением в машиностроительных отраслях
промышленности (разрезка, шлифовка, полировка, токар-
токарная обработка металлов и неметаллов и т. п.).
Сложилась довольно странпая ситуация. С одной сто-
стороны, предприняты значительные усилия и достигнут зна-
значительный прогресс в понимании явления разрушения, в
создании научно-обоснованных методов выбора материа-
материалов и конструктивных параметров, гарантирующих безо-
безопасность конструкции в течение расчетного срока ее
эксплуатации. С другой же стороны, было предпринято го-
гораздо меньше попыток исследования факторов, облегчаю-
облегчающих разрушение в технологических процессах, создания
методов оптимизации формы инструмента, режимов обра-
обработки, выбора активных сред и т. д. Это направление пе
вызывает должного интереса у специалистов по меха-
механике и физике разрушения, а поэтому инженеры-прак-
инженеры-практики здесь пока идут вперед в эмпирических потемках.
А ведь экономические итоги, связанные с повышением
эффективности дробления, резания, перемешивания, пе-
перемалывания или металлообработки, составляют милли-
миллиарды рублей.
Рассмотрим возможности повышения эффективности
некоторых важных производственных процессов за счет
оптимизации использования разрушения. Всем известно,
что взрыв успешно служит человеку при извлечении
угля, руды и прочих полезных ископаемых. Однако плохо
рассчитанный взрыв приводит к тому, что взрывная по-
порода летит куда попало, размеры разлетевшихся опасных
осколков самые различные, что неудобно для последую-
*) Вспомните, например, известную детективную киноленту
«Возвращение «Святого Луки».
229
щей обработки (рис. 144, а). Напротив, если взрыв под-
подготовлен хорошо, то он происходит без разлета породы с
хорошей фрагментацией осколков и аккуратным отвалом
породы (рис. 144, б). При таком взрыве колебания окру-
окружающей земной поверхности минимальны, что уменьшает
негативное действие на человека, природу, здания и со-
сооружения.
Основные теоретические схемы, используемые для
описания взрыва в твердом теле, сводятся к моделирова-
моделированию: 1) растрескивания породы при распространении
*4
1-. /г*
Рис. 144. а) плохо рассчитанный взрыв, б) хорошо рассчитанный
взрыв
трещин нормального разрыва (расходящихся во все сто-
стороны от заряда взрывчатого вещества), разрываемых
внутренним давлением газов, образовавшихся при взры-
взрыве; 2) откола кусков породы при отражении от свободной
поверхности волн сжатия, приходящих из центра взры-
взрыва, и 3) растрескивания за счет образования трещин
поперечного сдвига при взаимодействии волн сжатия с
границами раздела в самой породе. Высокоскоростная
230
2?иносъемка показывает, что в течение нескольких сотен
микросекунд массив успевают прорезать радиальные тре-
трещины (через которые газы выходят на поверхность),
взаимодействующие со свободными поверхностями, по-
поверхностями раздела и неоднородностями, что волны на-
напряжений приводят к зарождению, распространению и
пересечению отрывных и сдвиговых трещин. В резуль-
результате этого взаимодействия и происходит фрагментация
породы, причем отделившиеся куски продолжают разру-
разрушаться сохранившимися в них волнами напряжений.
С самого начала теоретическая модель позволяет по-
новому подойти к определению положения зарядов, их
.мощности и времени детонации. По американским дан-
данным, новая схема организации взрывных работ может
обеспечить уменьшение стоимости горнодобычи примерно
на 10 % и в масштабах страны дать экономию более чем
в 250 млн. долларов в год. Точные количественные оцен-
оценки требуют углубленного исследования динамической
прочности и трещиностойкости горных пород при высокоч
скоростном нагружеиии, решения сложных нелинейных
динамических задач о распространении нестационарных
волн большой амплитуды. Однако огромные выгоды, ко-
которые сулит математическая теория оптимального взры-
взрыва твердых тел, безусловно, стимулируют работу ученых-
механиков в этом направлении.
Другой известный метод добычи полезных руд и мине-
минералов связан с бурением горных пород. Наиболее распрост-
распространено ротационное бурение, характер которого сильно за-
зависит от вида породы: в очень жесткой скалывание проис-
происходит почти непрерывно и долговечность бура определяет-
определяется его абразивным износом, в менее жесткой бурение ста-
становится скачкообразным и на долговечность инструмента
влияет также ударная усталость. Любопытно сопоставить
энергетические затраты на выемку единицы объема мате-
материала. Если затраты рудокопа, дробящего породу киркой,
принять за единицу, то затраты на обычное сверление
составят примерно 63 единицы, при взрыве и бурении
они почти одинаковы — около 76 единиц, плавление же
является чемпионом — более 1800 единиц. Простор для
работы изобретателей огромный, однако реальная сто-
стоимость добычи определяется в основном иными факто-
факторами. Например, при глубинном бурении энергетические
затраты не превышают 1 % общих затрат и не идут ни
в какое сравнение, допустим, с убытками от простоев
при заменах бурильного инструмента.
231
Крайне плодотворным должно быть направление, свя-
связанное с использованием хемомеханически активных жид-
жидкостей (см. § 24), когда благодаря эффекту Ребиндера
(открытому еще в 1928 г. акад. П. А. Ребиндером и но-
носящему его имя) достигается минимальный коэффициент
трения между буром и горной породой. Срок службы бу-
бура в условиях применения тщательно подобранных по-
поверхностно-активных растворов может возрасти в 3 —
4 раза, а стоимость бурения скважины (900 м) понижена
почти вдвое. Оптимизация процесса бурения с исполь-
использованием хемомеханически активных жидкостей требует
решения сложной математической задачи с учетом урав-
уравнений динамики адсорбции. Из-за неправильного выбора
параметров бура и режима бурения адсорбционный эф-
эффект может не проявиться по той причине, что молекулы
поверхностно-активного вещества не успевают достигать
свежих поверхностей разрушения и хемосорбироваться на
них до следующего прохода режущей кромки инстру-
инструмента.
Теоретическое обоснование крайне важно и для обес-
обеспечения эффективности принципиально других способов
бурения. Рассмотрим, например, так называемое огневое
бурение, которое осуществляется посредством воздействия
на породу высокотемпературной струи газа (рис. 145).
Теория этого метода была развита
Г. П. Черепановым в 1966 г. Расчет
показывает, что наиболее эффек-
эффективным режимом огневого бурения
является тот, при котором порода
не оплавляется, а хрупко дробится
на мелкие куски под действием тем-
температурных напряжений в зоне
интенсивного нагрева. Для расчета
необходимо совместное решение за-
задачи о течении газа и задачи хруп-
хрупкого разрушения породы.
Вопросы долговечности инстру-
инструмента и экономической эффективно-
эффективности играют в бурении центральную
роль. Например, в «Литературной
газете» (№ 10 от 4.03.87) была опи-
описана поучительная история вибро-
виброэлектробура:
«В центре киноэкрана возникла белая точка, она стала
расти, и из нее вылупилась цифра 140 000 000. Голос
232
У
Рис. 145. Огневое бу-
бурение (разрушепие
хрупкой породы вы-
высокотемпературной
струей газа)
за кадром торжественно прокомментировал, что такой вы-
выигрыш в денежном исчислении получит страна, если
хотя бы треть бурильных станков спабдить виброспаря-
дами.
А вот и сам чудо-бур в действии. Будто раскаленный
нож в сливочное масло, оп вонзается в землю. И это по
кинотрюк. Очевидцы утверждают, что наяву это зрелище
еще более завораживающее. Сначала демонстрировался
вчерашний день: обычный бур, вооруженный так назы-
называемыми шарошками, вяло крошил гранит. Но вот па
сцену вступал день завтрашний — электровибробур,
придуманный изобретателем В. О. Мальченком. Счи-
Считанные минуты — и двухметровый гранит прошит на-
насквозь».
К сожалению никто в 1972 г. после демонстрации виб-
вибробура не заглянул за обратную сторону чудесной декора-
декорации. Оказывается, на машину подавалась сверхпредельпая
мощность и короткое время она могла показывать в этом
режиме сумасшедшую производительность. Но вскоре
нагревалась и теряла свои полезные свойства. Две дырки
могла просверлить, а па третьей выдыхалась. Впрочем,
до третьей дело никогда п пе доходило, присутствующим
уже было яспо: в бурении грядет революция.
При испытаниях вибробура в горном карьере главным
тоже стал демонстрационный эффект. Делалось все,
чтобы подчеркнуть привлекательные сторопы новой ма-
машины. Десятки людей, масса техники обеспечивали ее
работу.
Пробный образец бура объявили годным для повсе-
повсеместного применения. На основе демонстрационных эф-
эффектов высчитывался эффект экономический, который
выражался астрономическими цифрами. На этом основа-
основании и было признано, что электровибробуру, принадле-
принадлежит будущее. Приступили к проектированию завода...
Когда комиссии — одна за другой — разбирались в ис-
истории создания электровибробура, их поражало прежде
всего отсутствие серьезной и обоспованиой конструктор-
конструкторской проработки. Оии обнаружили случайный набор
инженерных идей.
На создание электробура затрачено 20 000 000 рублей.
Изготовление одного виброснаряда обходится почти в 35—
40 тысяч рублей. Между тем работает впбробур всего
500 ч, после чего выбрасывается, поскольку ремонту пе
подлежит. Такие затраты окупило бы добываемое в карь-
карьере золото, по никак не железная руда. Сравните: комп-1
233
лект применяемых сегодня бурильных штанг с приблизи-
приблизительно таким же сроком службы стоит 2700 рублей...
Американцы в свое время заинтересовались электро.
вибробурами. Затратив около 10 миллионов долларов,
поняли: метод бурения чрезвычайно дорог, неэффективен.
И свернули изыскания.
Заметим в заключение, что многих неприятпостен,
связанных с конструированием вибробура, можно было
бы избежать, проведя предварительный расчет усталост-
усталостной долговечности. Из расчета по методике, похожей па
описанную в § 23, можно получить зависимость долго-
долговечности рабочего инструмента от подаваемой на пего
мощности. Приближенные оценки показывают, что рабо-
работа виброэлектробура станет экономически выгодной толь-
только в будущем после получения принципиально новых
высокопрочных материалов.
Примером рационального применения представлений,
основанных на мехапике разрушения, является решение
проф. С. С. Григоряном и его коллегами из Института
механики МГУ одной важной прикладной народнохозяй-
народнохозяйственной задачи. Она посвящена разработке эффектив-
пого способа ликвидации так называемого прихвата бу-
рильпого инструмента — весьма неприятной и связанной
с большими потерями средств и времепи аварии, часто
возникающей при бурении глубоких нефтяных и газовых
скважин. Проявляется прихват в том, что в какой-то
момент при выполнении операций бурения колонна бу-
бурильных труб в скважине теряет подвижность — невоз-
невозможно ни повернуть ее, ни сместить в осевом направле-
направлении в скважине, т. е. колонна, действительно, оказывает-
оказывается на какой-то глубине «прихваченной».
Причипы и факторы, приводящие к прихвату, много-
многочисленны и разнообразны, общим же для всех типов
прихватов является то, что колонна на некотором своем
протяжении оказывается достаточно прочно связанной со
стенкой скважины. Роль «клея», связывающего трубу со
стенкой, выполняют глинистые корки, образующиеся из
глинистого раствора, циркулирующего в скважине в про-
процессе бурения, частицы разбуренной или осыпавшейся
со стенок скважины горной породы. И несмотря на то,
что удельная прочность материала этой связи невелика,
из-за большой длины участка прихвата извлечь колон-
колонну бурильных труб оказывается практически невозмож-
невозможным: прочность самой колонны становится ограничиваю-
ограничивающим фактором, поскольку приложение больших усилий
234
приведет сначала к обрыву колонны, а освобождающее
прихват усилие так и не будет достигнуто.
Это обстоятельство и есть главная причина трудно-
трудностей борьбы с прихватом, причем до недавнего времени
высокоэффективных средств ликвидации прихвата не су-
существовало. Прихват возпикает довольпо часто, и после
безуспешных попыток его ликвидации обычно отрезают
свободную часть колонны (над участком прихвата) и
забуривают с этого места параллельный ствол, так что
все, что было ниже начала участка прихвата, остается
навечно в земле. Необходимо отметить, что метр пробу-
пробуренной скважины стоит сотни рублей, а объемы бурения
весьма велики, в связи с чем результирующие потери,
связанные с прихватом, выражаются внушительными
числами.
Исходная идея ученых состояла в следующем. Если
оторвать колонну от стенки скважины единовременным
приложением статической силы невозможно, то можно
попробовать разрушать связь колонны с породой по ча-
частям путем последовательного приложения к зоне при-
прихвата серии динамических силовых воздействий, отправ-
отправляя по колонне труб интенсивные упругие волны. Прак-
Практическая реализация этой идеи очень изящна и состоит в
следующем. При натяжении прихваченной колонны зна-
значительными осевыми усилиями вся свободная от прихвата
часть колонны, растягиваясь, накапливает значительную
энергию упругих деформаций. Достаточно резко освобо-
освободить колонну от действия осевого усилия, как при таком
ее «обрыве» упругая энергия перейдет в кинетическую
энергию движения элементов колонны в возникающих
упругих волнах: таким образом, сама бурильная колонна
становится аккумулятором энергии для генерирования
мощных упругих волн, которые, приходя к месту прихва-
прихвата, будут разрушать связь колонны со стенкой скважины.
Для осуществления этой схемы требовалось лишь раз-
разработать устройство, которое могло бы быть введено в ком-
компоновку колонны бурильных труб и осуществляло бы бы-
быстрое расцепление соединенных этим устройством частей
колонны при достижении осевого усилия заданнной ве-
величины. Критическая величина осевого усилия опреде-
определяется из решения динамической задачи механики раз-
разрушения для стальной трубы, жестко соединенной на
некотором участке с окружающей хрупкой породой, со-
содержащей, разумеется, трещинообразные дефекты. Опи-
Описанное устройство, пазванное возбудителем упругих коле-
235
баиий (ВУК), было разработано, изготовлено, испытано
и передано в промышленность.
Конструкция ВУКа предельно проста и не содержит
ни смазки, ни прецизионных деталей, она не требует осо-
особых условий ухода при эксплуатации. Эффективность
ВУКа оказалась поразительно высокой; уже первые об-
образцы устройства позволили ликвидировать ряд прихва-
прихватов высшей категории сложности, из-за которых бурение
аварийных скважин было прервано на многие месяцы.
Крайне важной в экономическом отношении слож-
сложной комплексной научно-технической проблемой является
промышленное дробление и измельчение. Успешное осу-
осуществление программы исследований в этой области свя-
связано не только с решением задач о хрупком разрушении
при сжатии частиц вещества, по и с проблемой поступле-
поступления выбранного материала в зону нагружения, а также
удаления оттуда раздробленных и измельченных частиц.
Многие существующие методы перемалывания чрезвы-
чрезвычайно неэффективны, поскольку лишь малая часть затра-
затрачиваемой энергии идет па измельчение, т. е. на создание
новых поверхностей. Наибольшие трудности при модели-
моделировании связаны с механизмом разрушения, реализую-
реализующимся при взаимодействии полей сжимающих напряже-
напряжений, начальных механических или тепловых напряжений,
а также окружающих сред. Существующие теории измель-
измельчения базируются на том, что для получения мелких ча-
частиц требуется затратить больше энергии, чем для
получения крупных частиц. Качественно это следует из
того, что мелкие частицы получаются при дроблении из
более крупных, а ведь способность частиц поглощать
упругую энергию, идущую на распространение трещин,
линейно уменьшается с уменьшением объема частиц.
Уменьшается при этом, разумеется, и размер характерно-
характерного дефекта. Остаточные напряжения вызывают разруше-
разрушение при разгрузке, а это увеличивает склонность к обра-
образованию относительно более крупных частиц (рис. 146).
Передача сжимающих усилий от нагружающих приспо-
приспособлений к частицам происходит крайне неэффективно,
например, на измельчение частиц в шаровой мельнице
идет только десятая часть потребляемой энергии.
Мало изучены возможности использования химически
активных веществ для более эффективного измельчения.
Такие вещества позволяют успешно бороться со «спека-
«спеканием» измельченных частиц, которое мешает не только
транспортировке, но и просто разгрузке бункера мель-
236
ницы. Есть данные и о влиянии поверхностно-активных
веществ на сам процесс разрушения частиц. Особенно
важно решспнс всего комплекса химико-физикомеханиче-
ских проблем для развития новой порошковой метал-
металлургии сплавов с очень высокой прочностью и коррози-
коррозионной стойкостью.
Не менее сложной является и проблема повышения
эффективности металлообработки режущим инструмен-
инструментом. Здесь в игру вступает множество факторов: свойства
„,
'* "
Рис. 146. Разрушение при разгрузке увеличивает склонность к об-
образованию более крупных частиц
материалов заготовки и резца, геометрия резца, скорость
резания. Вводя в сталь добавки, например, свинца, или
серы, можно существенно улучшить ее металлообраба-
тываемость. Нуждается в развитии и теория высокоско-
высокоскоростного резания. По-видимому, из-за сильного локаль-
локального разогрева при резании со скоростями порядка
80—90 об/с не только улучшаются условия металлообра-
металлообработки, но и просто становится возможной эффективная
обработка некоторых металлов, которые очень трудно
обрабатывать при обычных скоростях.
Перспективным способом увеличения скоростей ме-
металлообработки является использование активных жид-
жидких металлов. Достаточно взглянуть на график скоростей
погружения сверла в нержавеющую сталь на воздухе и-
237
Л, мм
О
;
Sn-Zn
/
t.c
Рис. 147. Погружение сверла в
нержавеющую сталь в зависи-
зависимости от времени сверления на
воздухе и в жидкой эвтектике
Sn — Zn
в жидкой эвтектике Sn — Zn при 200° С, чтобы понять
заманчивость такой металлообработки, ведь скорости
растут примерно в 8 раз (рис. 147). Для сверления
меди и алюминия использова-
использование эвтектики In — Ga — Sn
сулит увеличение скорости
сверления уже в 100 раз!
Разумеется, и здесь ученые
и инженеры должны обой-
обойти много подводных кампей.
Нужно, например, обеспе-
обеспечить, чтобы при использова-
использовании жидких металлов охруп-
чивалась поверхность заготов-
заготовки, но никак ни инструмента.
Сама эвтектика должна тща-
тщательно удаляться из конеч-
конечного изделия, иначе оно мо-
может разрушиться от жидкоме-
таллического охрупчивания
в процессе эксплуатации.
Очень интересным здесь мо-
может оказаться предложенный
Е. Д. Щукиным с сотрудниками новый подход, который
состоит во введении частиц активных низкоплавких спла-
сплавов непосредствеино в стандартную смазочную среду, ис-
используемую при металлообработке. В области контакта
инструмента и заготовки эти частицы расплавляются и
способствуют резанию, что заметно увеличивает долговеч-
долговечность и скорость обработки без ухудшения прочности и
надежности изделия.
Итак, разрушение — это чрезвычайно полезное явле-
явление, которым мы просто еще не научились как следует
управлять. И совершенно недостаточны те усилия уче-
ученых, инженеров и техников, которые направлены не на
борьбу с разрушением, а па использование его положи-
положительных аспектов.
Молодая наука «Механика разрушения» крепнет и раз-
развивается от теории к практике, внедряясь в конструкци-
конструкционные расчеты и технологические схемы. Обогащаясь
важными практическими результатами и новыми идеями,
она пеудержимо движется вперед. И мие показалось не-
неуместным писать заключение к этой книге. Вместо этого
я решил назвать некоторые монографии и статьи (от
простого к сложному), которые могли бы быть полезны-
238
ми для дальнейшего знакомства с механикой разрушения
и получения самостоятельных результатов.
Финке ль В. М. Портрет трещины.—М.: Металлургия, 1981.—
160 с.
3 а ц а р и п н ы й В. П., Акопов А. И. Атланты держат небо.—
М.: Знание, 1979.— 176 с.
Партон В. 3. Механика разрушения / Наука и жизнь.— 1974.—
№ 12.— С. 51—59.
Р а б о т п о в 10. Н. Введение в механику разрушения.— М.: Наука,
1987.— 80 с.
Нотт Дж. Ф. Основы механики разрушения.: Пер. с англ.— М.:
Металлургия, 1978.— 256 с.
Б р о е к Д. Основы механики разрушения: Пер. с англ.— М.: Выс-
Высшая школа, 1980.— 368 с.
Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластпческого
разрушения.— М.: Наука, 1985.— 504 с.
Н н к и ш к о в Г. П., Морозов Е. М. Метод конечных элемен-
элементов в механике разрушения.— М.: Наука, 1980.— 256 с.
Сиратори М., М и ё с и Т., М а ц у с и т а X. Вычислительная
механика разрушения.: Пер. с японск.— М.: Мир, 1986.— 334 с.
Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных мате-
материалов.—М.: Наука, 1983.—296 с.
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Паука,
1974.— 640 с.
Если и эта новая книга поможет Вам, дорогой читатель,
ознакомиться с основными идеями современной механи-
механики разрушения, ее практическими приложениями и воз-
возможностями, а также станет стимулом для дальнейшей
работы в этой увлекательной области знаний,— то по-
поставленная автором цель достигнута.