Author: Болотин В.В.
Tags: общее машиностроение технология машиностроения машиноведение машиностроение
Year: 1984
Text
'.В.Болотин
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
РЕСУРСА МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
Москва
«Машиностроение»
1984
ББК 34.41
Б79
УДК 621.01 : 539.4
Рецензент В. М. Панов
Болотин В. В.
Б79 Прогнозирование ресурса машин и конструкций.—М.:
хМашиностроение, 1984. — 312 с, ил.
В пер.: 1 р. 40 к.
В книге дано систематическое изложение теории долговечности машин и кон-
конструкций. Предложены общие модели накопления повреждений и распространения
трещин в деталях машин и элементах конструкций. Центральное место занимает
проблема прогнозирования ресурса и срока службы на основании информации о мате-
материалах, узлах, деталях, а также о нагрузках и воздействиях. Развиты методы прогно-
прогнозирования показателей долговечности на стадии проектирования, а также методы
прогнозирования индивидуального остаточного ресурса. Обсуждена проблема норми-
нормирования и оптимизации назначенных показателей долговечности.
Для инженеров-расчетчиков, исследователей и эксплуатационников, работаю-
работающих в различных областях машиностроения.
2702000000-103 1П„ Q. ББК 34.41
Б 038 @1)-84 Ш3'84 6П5.1
Владимир Васильевич Болотин
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ
Редактор О. Ф. форсун
Художественный редактор И. К. Капралова
Технический редактор В. И. Орешкина
Корректор Снастина А. А.
Переплет художника Н. Н. Симагина
И Б № 3586
Сдано в набор 17.08.83. Подписано в печать 24.01.84. Т-01327.
Формат 60X90Vi6- Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 19,5. Усл. кр.-отт. 19,5.
Уч.-изд. л. 20,74. Тираж 11 000 экз. Заказ 221. Цена 1 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
© Издательство «Машиностроение», 1984 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современный уровень технического прогресса позволяет создавать
машины и конструкции, которые обладают высокой надежностью.
Основой для этого служит комплекс мер, применяемых на стадиях
проектирования, изготовления, монтажа и эксплуатации. На стадии
проектирования — это выбор рациональных конструктивных схем и
материалов, надлежащий расчет с учетом всех воздействий, которые
могут возникнуть в процессе эксплуатации. На стадиях изготовления
и монтажа — это тщательный контроль материалов и комплектующих
изделий, высокий уровень организации и контроля технологических
процессов, промежуточные контрольные испытания отдельных эле-
элементов, узлов и агрегатов, отработанная система приемо-сдаточных
мероприятий. Устранение скрытых дефектов на стадии обкатки и
приработки, система технического обслуживания, включающая комп-
комплекс диагностических и планово-профилактических мероприятий,
позволяют снизить до минимума вероятность возникновения отказов
в процессе эксплуатации. Таким образом, наиболее актуальной ста-
становится проблема прогнозирования и обеспечения технического
ресурса машин и конструкций.
Решение этой проблемы предусматривает установление качествен-
качественных и количественных закономерностей, определяющих ресурс;
разработку методов оценки влияния различных факторов на средний
ресурс и разброс ресурса, а также на остаточный ресурс эксплуати-
эксплуатируемого объекта. Решение проблемы открывает пути для научно
обоснованного назначения ресурса, анализа и синтеза машин с учетом
факторов надежности, для выбора конструктивных и технологиче-
технологических решений, обеспечивающих назначенные показатели долговеч-
долговечности.
Практическое значение проблемы весьма велико. Хотя при совре-
современных темпах научно-технического прогресса моральное старение
машин происходит быстрее, чем раньше, во многих отраслях факти-
фактический ресурс еще не достигает оптимальных с экономической точки
зрения значений. Увеличение ресурса машин приведет к существен-
существенной экономии материалов, энергетических и трудовых затрат, кото-
которые в настоящее время идут на пополнение парка машин и на их
ремонт. Особый интерес представляет проблема прогнозирования
индивидуального ресурса машин и конструкций по результатам
наблюдений за их состоянием в процессе эксплуатации.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, что находит отра-
отражение как в ее структуре, так и в стиле изложения. Гл. 1 и 2 зна-
комят с общими вопросами рассматриваемой проблемы. В гл. 1
изложено существо постановок задач и методов их решения. В гл. 2
применительно к проблеме прогнозирования ресурса изложены
основы теории надежности механических систем (машин и конструк-
конструкций). Предельные состояния машин и конструкций являются резуль-
результатом постепенного накопления повреждений в деталях, узлах и эле-
элементах. В гл. 3 дано исследование и обобщение полуэмпирических
моделей накопления повреждений и разрушения, в частности, моде-
моделей механики разрушения. Гл. 4 посвящена моделям, в основе кото-
которых лежат представления о физико-механических явлениях, про-
происходящих на уровне структуры материала. Значительное внимание
уделено объединенным моделям повреждения и разрушения, напри-
например модели накопления рассеянных повреждений, зарождения и
роста усталостных трещин при циклическом нагружении. В гл. 5
задачи прогнозирования ресурса на стадии проектирования решаются
на основе материала гл. 2—4. Здесь систематически изложены
асимптотические и полудетерминистические методы прогнозирования,
рассмотрены вопросы оценки ресурса сложных систем, в том числе
систем, состоящих из большого числа однотипных элементов. Рас-
Рассмотрены экономико-математические модели функционирования ма-
машин и конструкций с учетом факторов надежности, предложены
методы назначения оптимальных сроков службы. В гл .6 рассмотрены
вопросы оценки безопасности конструкций и машин по отношению
к редко встречающимся нагрузкам и их сочетаниям. В гл.7 изложены
методы оценки остаточной несущей способности и остаточного ре-
ресурса конструкций, предложены методы учета априорной информации
о материалах, нагрузках и других условиях эксплуатации совместно
с данными диагностических наблюдений над конкретным объектом,
изложены методологические основы применения индикаторов по-
врежденности, датчиков нагруженности и других технических
устройств для прогнозирования остаточного ресурса.
В основу книги положены разработки автора 1975—1982 гг.,
а также широко использованы последние отечественные и зарубежные
публикации. Содержание книги по частям докладывалось в 1978—
1982 гг., на семинарах по надежности при Отделении механики и
процессов управления АН СССР, а также на семинаре по динамике и
прочности машин Московского энергетического института.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1. ПОНЯТИЕ РЕСУРСА
Технический ресурс (далее ресурс) — показатель долговечности,
характеризующий запас возможной наработки объекта. Согласно
ГОСТ 13377—75 ресурсом называют наработку объекта от начала или
возобновления эксплуатации до наступления предельного состояния.
В зависимости от того, как выбирают начальный момент времени,
в каких единицах измеряют продолжительность эксплуатации и что
понимают под предельным состоянием, понятие ресурса получает
различное истолкование.
В качестве меры продолжительности может быть выбран любой
неубывающий параметр, характеризующий продолжительность
эксплуатации объекта. Для самолетов и авиационных двигателей
естественной мерой ресурса служит налет в часах, для автомобилей
пробег в километрах, для прокатных станов масса прокатанного
металла в тоннах и т. п. Если наработку измерять числом производ-
производственных циклов, то ресурс будет принимать дискретные значения.
Единицы для измерения ресурса выбирают применительно к каж-
каждой отрасли и к каждому классу машин, агрегатов и конструкций
отдельно. С точки зрения теории и общей методологии наилучшей и
универсальной единицей остается единица времени.
Во-первых, время эксплуатации технического объекта в общем
случае включает не только время его полезного функционирования,
ной перерывы, в течение которых суммарная наработка не возрастает.
Между тем в эти перерывы объект подвергается воздействиям окру-
окружающей среды, нагрузкам, возникающим при транспортировании
и т. д. Кроме того, во время перерывов в функционировании свойства
материалов могут меняться. Так, процесс старения материалов вызы-
вызывает уменьшение общего ресурса.
Во-вторых, назначенный ресурс тесно связан с назначенным
сроком службы, определяемым как календарная продолжительность
эксплуатации объекта до его списания и измеряемым в единицах
календарного времени. Назначенный срок службы в значительной
степени связан с темпами научно-технического прогресса в данной
отрасли. Применение экономико-математических моделей для обосно-
обоснования назначенного ресурса требует измерения ресурса не только
в единицах наработки, но и в единицах календарного времени.
В-третьих, в задачах прогнозирования остаточного ресурса
функционирование объекта на отрезке прогнозирования представляет
собой случайный процесс, аргументом которого служит время. Таким
образом, наработка приобретает здесь смысл случайной функции
5
времени. Исчисление ресурса в единицах времени позволяет по-
поставить задачи прогнозирования в наиболее общей форме, поэтому
в дальнейшем без нарушения общности для измерения ресурса будем
применять единицы времени, полагая последнее непрерывным незави-
независимым переменным. Иногда будем использовать дискретное время
(например, число циклов или блоков нагружения). Если известно
распределение по длительности циклов или блоков, а также распре-
распределение перерывов между ними, то пересчет на календарное время
(или наоборот) не вызывает затруднений.
Начальный момент времени при исчислении ресурса и срока
службы на стадии проектирования и на стадии эксплуатации выби-
выбирают по-разному. На стадии проектирования за начальный момент
времени обычно принимают момент ввода объекта в эксплуатацию
или, точнее, начало его полезного функционирования. Для объектов,
находящихся в эксплуатации, в качестве начального можно выбрать
момент последней инспекции или профилактического мероприятия
либо момент возобновления эксплуатации после капитального ре-
ремонта. Это может быть также произвольный момент, в который
поставлен вопрос о его дальнейшей эксплуатации, реконструкции
и т. п.
Понятие предельного состояния, соответствующего исчерпанию
ресурса, также допускает различное толкование. В одних случаях
причиной прекращения эксплуатации служит моральный износ,
в других — чрезмерное снижение эффективности, которое делает
дальнейшую эксплуатацию экономически нецелесообразной,
в третьих — снижение показателей безопасности ниже предельно
допустимого уровня. Не всегда удается установить точные признаки
и значения параметров, при которых состояние объекта следует
квалифицировать как предельное. Обычно основанием для списания
машины служит резкое увеличение интенсивности отказов, продол-
продолжительности простоев или расходов на ремонт по сравнению с пока-
показателями для парка аналогичных ммшин. Для однократно восста-
восстанавливаемых объектов различают ресурс до среднего или капиталь-
капитального ремонта и полный ресурс до списания, для многократно восста-
восстанавливаемых объектов — кроме того, и межремонтный ресурс.
Предельные состояния, отвечающие этим значениям ресурса, могут
быть различными.
Рассмотрим подробнее понятия назначенного ресурса и назна-
назначенного (планового) срока службы. Выбор этих показателей —
технико-экономическая задача, решаемая на этапе разработки про-
проектного задания. При этом учитывают современное техническое
состояние и темпы научно-технического прогресса в данной отрасли,
принятые в данное время нормативные значения коэффициентов
эффективности капитальных вложений и амортизационных отчисле-
отчислений, ограничения на стоимость материалов, элементов и комплек-
комплектующих изделий, а также на сроки их поставки, плановые задания,
технико-экономические прогнозы на перспективу и т. д. На стадии
проектирования назначенные ресурс и срок службы являются задан-
• ными величинами. Задача конструкторов, расчетчиков и разработ-
6
чиков — подобрать материалы, конструктивные формы, размеры и
технологические процессы так, чтобы обеспечить плановые значения
показателей для проектируемого объекта.
На стадии проектирования, когда объект еще не создан, его
расчет, в том числе оценку ресурса, производят на основании норма-
нормативных документов, которые в свою очередь основаны (явно или
неявно) на статистических данных о материалах, воздействиях и
условиях эксплуатации аналогичных объектов. Таким образом,
прогнозирование ресурса на стадии проектирования должно быть
основано на вероятностных моделях. Назначенный ресурс задают
определенным числом, соответствующим некоторой вероятности,
с которой назначенный ресурс должен быть реализован в проектируе-
проектируемом объекте. Обычно используют понятие гамма-процентного ре-
ресурса — значение ресурса, обеспеченное с заданной вероятностью у.
Часто употребляют также понятия среднего ресурса и среднего
срока службы. На стадии проектирования эти понятия означают
математические ожидания соответственно ресурса и срока службы.
В последние годы приобретает актуальность вопрос об установле-
установлении для ряда промышленных изделий гарантированных значений
ресурса, которые обеспечены с вероятностью, равной единице. При
этом имеют в виду, что за начало отчисления ресурса принят момент
окончания приработки,_а высокий уровень безотказности и возмож-
возможность быстрого устранения случайных отказов на стадии нормальной
эксплуатации обеспечены необходимыми конструктивными и .техно-
.технологическими-мерами, а также надлежащим техническим обслужива-
обслуживанием.
Применительно к эксплуатируемым объектам понятие ресурса
также можно толковать по-разному. Основным понятием здесь явля-
является индивидуальный остаточный ресурс — продолжительность
эксплуатации от данного момента времени до достижения предель-
предельного состояния. В условиях эксплуатации по техническому состоянию
межремонтные периоды также назначают индивидуально. Поэтому
вводят понятие индивидуального ресурса до ближайшего среднего
или капитального ремонта. Аналогично вводят индивидуальные
сроки для других профилактических мероприятий.
1.2. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ
РЕСУРСА
Ресурс технических объектов (машин, систем машин, приборов,
инструментов, конструкций и сооружений) является важной технико-
экономической характеристикой. При существующих в настоящее
время темпах прогресса в науке и технике поколения ряда машин
и приборов должны сменяться примерно каждые десять лет. Факти-
Фактический ресурс должен быть согласован с оптимальными значениями
срока службы. К сожалению, в большинстве отраслей назначенный
ресурс не достигает значений, оптимальных с экономической точки
зрения, а по ряду изделий средний фактический ресурс оказывается
меньше назначенного.
Рассмотрим проблему ресурса объектов сельскохозяйственной
техники. Известно, что сельское хозяйство занимает второе место
среди других отраслей по потреблению металла. Большинство сель-
сельскохозяйственных машин работает при значительных колебаниях
температуры и влажности, при повышенном загрязнении. Сезонность
сельскохозяйственных работ приводит к высоким нагрузкам в отно-
относительно кратковременный период работы. Возникает проблема
длительного хранения в межсезонные интервалы. Уровень технологи-
технологических процессов и приемочного контроля не всегда обеспечивают
высокий класс точности сопряжений и достаточно высокую безде-
бездефектность. Качество технического обслуживания и условия хранения
в сельском хозяйстве в среднем ниже, чем в других отраслях;
Перечисленные факторы обусловливают снижение ресурса боль-
большинства сельскохозяйственных машин. Кроме того, существует
большой разброс показателей долговечности отдельных деталей и
узлов, хотя расчет, конструирование, изготовление и техническая
эксплуатация должны обеспечивать согласование этих показателей.
Неуклонное повышение технического уровня, качества и особенно
надежности сельскохозяйственной техники, улучшение качества
технического обслуживания и ремонта сельскохозяйственной тех-
техники составляют важную часть Продовольственной программы СССР
на период до 1990 г.
При современном состоянии науки и техники возможно весьма
значительное повышение ресурса машин (до значений, соответствую-
соответствующих их моральному износу). Некоторые меры по повышению ресурса
требуют лишь более грамотного подхода к расчету и проектированию,
техническому обслуживанию и эксплуатации. Другие меры связаны
с применением новых материалов, конструктивных решений и тех-
технологических процессов.
Во многих отраслях научно-технический прогресс сопровождается
не только повышением показателей эффективности, но и увеличением
ресурса. Для примера в табл. 1.1 приведены данные, относящиеся
к двигателям трех поколений для легковых автомобилей ГАЗ.
Таблица 1.1
Характеристика двигателя
Год начала выпуска
Максимальная мощность, кВт
Металлоемкость, кг-кВт
Удельный расход топлива, г-кВт^-ч
Назначенный ресурс, тыс. км
Фактический ресурс, тыс. км:
минимальный
максимальный
средний
Фактический средний ресурс после пер-
первого капитального ремонта, тыс. км
Двигатель
М-20
1946
38
5,50
360
95
50
220
135
44,0
М-21А
1958
55
2,81
319
95
70
280
155
48,3
М-24Д
1968
98
1,89
306
150
155
370
282
83,0
Сведения о фактическом ресурсе получены по материалам эксплуата-
эксплуатации парка легковых такси [58 ]. Объем выборки по двигателям М-24Д
составлял 187, в том числе 108 двигателей до первого капитального
ремонта и 79 после него. Сравнение данных, относящихся к двига-
двигателям различных поколений, показывает, что увеличение мощности
двигателя сопровождается снижением металлоемкости, удельного
расхода топлива и увеличением ресурса. При этом увеличивается
как назначенный ресурс до первого капитального ремонта, так и
фактический ресурс, а также ресурс между капитальными ремонтами.
Вместе с тем обращает на себя внимание высокий разброс среднего
ресурса — среднее квадратическое отклонение составляет 55 тыс. км.
Кроме того, средний ресурс после первого капитального ремонта
примерно втрое меньше фактического среднего ресурса двигателей
заводского изготовления. Уменьшение ресурса происходит вслед-
вследствие использования в отремонтированной машине деталей и узлов,
которые уже выработали часть своего ресурса перед ремонтом.
Таким образом, увеличение ресурса представляет серьезный
резерв для экономии средств, материалов, энергии и трудовых
затрат. Так, увеличение ресурса по некоторому парку машин в сред-
среднем на 10 % эквивалентно приблизительно 10 % экономии на про-
производстве новых машин или введению соответствующих новых
производственных мощностей. Ресурс в значительной степени зависит
от нагрузок, действующих на элементы машины или конструкции.
Правильный выбор материалов и корректный расчет — основные
источники повышения ресурса без значительного удорожания машины
или конструкции. Поскольку прогнозирование ресурса включает
установление зависимости его от всех внешних и внутренних факто-
факторов, разработку методов прогнозирования следует рассматривать
как одну из неотъемлемых частей общей проблемы ресурса.
Особое место занимает прогнозирование ресурса на стадии
эксплуатации. В отличие от стадии проектирования, когда прогнозу
подлежит ресурс генеральной совокупности еще не созданных
технических объектов, прогнозирование на стадии эксплуатации
выполняют для конкретных, существующих, объектов. При этом
оценке подлежат остаточный ресурс и (или) остаточный срок службы.
Индивидуальное прогнозирование ресурса открывает дополни-
дополнительные пути для получения экономического эффекта. Из-за есте-
естественного разброса свойств объектов и различных условий их эксплуа-
эксплуатации (включая историю нагружения каждого из них) индивидуаль-
индивидуальные показатели ресурса лежат в широких пределах (см. табл. 1.1).
В парке из 108 машин фактический ресурс до первого капитального
ремонта имеет широкий разброс — от 155 до 370 тыс. км. Индиви-
Индивидуальное прогнозирование ресурса не только позволяет предупре-
предупреждать возможные отказы и непредвиденные достижения предельных
состояний, но и более правильно планировать режимы эксплуатации,
профилактические мероприятия и снабжение запасными частями.
Более того, переход к индивидуальному прогнозированию ведет
к увеличению среднего ресурса машин, поскольку уменьшает долю
машин, преждевременно снимаемых для ремонта, и открывает путь
9
для обоснованного выбора оптимального срока эксплуатации. В ряде
случаев рентабельная эксплуатация может быть продолжена в усло-
условиях сниженных нагрузок. Поэтому можно рассматривать прогнози-
прогнозирование индивидуального остаточного ресурса как своего рода
систему управления процессом эксплуатации и технического обслу-
обслуживания.
Внедрение индивидуального прогнозирования требует дополни-
дополнительных расходов на средства технической диагностики, на встроен-
встроенные и внешние приборы, регистрирующие уровень нагрузок и состоя-
состояние объекта, на создание микропроцессоров для первичной пере-
переработки информации, на разработку математических методов и
программного обеспечения, позволяющих получать обоснованные
выводы на основе собранной информации.
В настоящее время эта проблема является первоочередной для
двух групп объектов. К первой группе относятся самолеты граждан-
гражданской авиации. Авиацию отличают высокий научно-технический
уровень разработок, жесткие требования к весовым показателям,
которые приводят к напряженности как конструкции планеров, так
и деталей двигателей, а также высокие требования к безопасности
полетов при наличии воздействий, не поддающихся прямому кон-
контролю. В авиации впервые была поставлена проблема индивидуаль-
индивидуального прогнозирования ресурса. Именно здесь впервые были приме-
применены датчики для регистрации нагрузок, действующих на самолет
в процессе эксплуатации, а также датчики ресурса, позволяющие
судить о накопленных в конструкции повреждениях, а следова-
следовательно, об остаточном ресурсе.
Вторую группу объектов, для которых проблема прогнозирования
индивидуального остаточного ресурса стала актуальной, составляют
крупные энергетические установки. Это тепловые, гидравлические
и атомные электростанции, большие системы для передачи и распре-
распределения энергии и топлива (например, магистральные трубопроводы
большой протяженности). Будучи сложными и ответственными тех-
техническими объектами, они содержат напряженные узлы и агрегаты,
которые при аварии могут стать источником повышенной опасности
для людей и окружающей среды. Ряд тепловых электростанций,
построенных в послевоенные годы, был рассчитан на срок службы
25—30 лет. Таким образом, к настоящему времени они выработали
свой расчетный ресурс. Поскольку оборудование электростанций
находится в удовлетворительном техническом состоянии и они про-
продолжают вносить существенный вклад в энергетику страны, возни-
возникает вопрос о возможности дальнейшей эксплуатации без перерывов
на реконструкцию основных блоков и агрегатов. Для вынесения
обоснованных решений необходимо иметь достаточную информацию
о нагруженности основных и наиболее напряженных элементов
в течение всего предыдущего периода эксплуатации, а также об
эволюции технического состояния этих элементов. При создании
новых энергетических установок, среди которых особое значение
имеют "атомные электростанции, необходимо предусматривать их
оснащение не только системами раннего предупреждения отказов, но
10
и более основательными средствами для диагностики и идентифика-
идентификации состояния их основных-компонентов, регистрации нагрузок,
переработки информации и установления прогноза относительно
изменения технического состояния.
1.3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА И ТЕОРИЯ
НАДЕЖНОСТИ
Прогнозирование ресурса — составная часть теории надежности
машин и конструкций. Под надежностью понимают способность
технического объекта выполнять заданные функции в течение задан-
заданного отрезка времени или заданной наработки. В понятие надеж-
надежности, полное определение которого дано в ГОСТ 13377—75, входит
ряд свойств объекта: безотказность, долговечность, ремонтопригод-
ремонтопригодность, сохраняемость. Одним из центральных понятий теории надеж-
надежности является отказ — событие, которое заключается в нарушении
работоспособного состояния объекта. В теории надежности отказ
трактуют как случайное событие, принимая за один из основных
показателей надежности вероятность безотказной работы в течение
заданного отрезка времени или в пределах заданной наработки.
Ресурс и срок службы, будучи показателями долговечности,
также принадлежат к числу основных понятий теории надежности.
В простейшей ситуации, когда объект эксплуатируют до первого
отказа, отождествляемого с предельным состоянием, безотказность
работы объекта одновременно характеризует и его долговечность.
Однако здесь рассматриваем более общий случай, когда после периода
приработки интенсивность отказов снижена до минимума, причем
система планово-профилактических мероприятий и технического
обслуживания гарантирует предупреждение возможных отказов
или по меньшей мере их быстрое устранение без длительных пере-
перерывов в эксплуатации и других нежелательных последствий. При
этих условиях основными понятиями становятся предельное состоя-
состояние, ресурс и срок службы. Это смещение точки зрения составляет
одну из особенностей применения теории надежности в настоящей
книге.
Вторая особенность — машины и конструкции целиком или
в основной части представляют собой механические системы. Вопросы
надежности впервые были поставлены именно при расчетах механи-
механических систем, точнее, в связи со статистическим истолкованием
коэффициентов запаса и допускаемых напряжений. Однако теория
надежности в ее современном виде возникла в 50-е годы, в начале
бурного развития электроники и вычислительной техники. Аппарат
теории надежности в то время разрабатывали главным образом при-
применительно к системам, элементы которых взаимодействуют между
собой с точки зрения сохранения работоспособности по некоторым
логическим схемам. Основная задача теории надежности состоит
в оценке показателей надежности систем по известным показателям
отдельных элементов. Обычно эти элементы представляют собой
изделия массового производства, которые могут быть испытаны
11
в количестве, достаточном для получения достоверных статистических
оценок показателей надежности. Отличительная черта объектов,
служащих приложением теории надежности, состоит также в том, что
условия их эксплуатации относительно однородны, стационарны и
поддаются воспроизведению в условиях стендовых испытаний. Теория
надежности таких объектов разработана весьма детально [2, 31 ]. Эта
теория стала составной частью общей теории больших систем; на-
назовем ее системной теорией надежности. В последнее время получила
развитие так называемая параметрическая теория надежности, в кото-
которой отказ трактуют как выход параметров объектов за некоторые
установленные пределы, характеризующие работоспособность
объекта. Однако разработка физических моделей отказов в пара-
параметрической теории пока находится на ранней стадии.
Силовое и кинематическое взаимодействие элементов машин и
конструкций носит более сложный характер. Поведение этих объектов
существенно зависит от их взаимодействия с окружающей средой,
а также характера и интенсивности процессов эксплуатации. Для
предсказания поведения деталей машин и элементов конструкций
необходимо рассматривать процессы деформирования, изнашивания,
накопления повреждений и разрушения при переменных нагрузках,
температурах и других внешних воздействиях. Чтобы судить о пока-
показателях безотказности и долговечности объекта в целом, недоста-
недостаточно знать только показатели отдельных элементов. К тому же,
многие конструкции и машины уникальны или малосерийны, их
блоки и агрегаты слишком громоздки или дороги, поэтому нельзя
рассчитывать на накопление статистической информации на основе
их стендовых или натурных испытаний. В связи с этим для оценки
показателей безотказности и долговечности механических систем
применяют в основном расчетно-теоретический метод, основанный
на статистических данных относительно свойств материалов, нагру-
нагрузок и воздействий. В этом наиболее существенное отличие теории
надежности машин и конструкций как от системной теории надеж^
ности, так и от параметрической теории.
В настоящей книге для прогнозирования ресурса применяем
вариант теории надежности, предложенный автором A959 г.). Пове-
Поведение объекта рассматриваем как результат его взаимодействия
с окружающей средой. Современное состояние механики материалов
и конструкций (теории упругости и пластичности, строительной
механики, механики разрушения и др.), а также прикладных методов
расчета машин и конструкций позволяет с большой степенью досто-
достоверности предсказывать поведение механических систем, если из-
известны свойства материалов и заданы внешние воздействия. В теории
надежности механических систем свойства материалов и воздействий
приняты случайными, поэтому поведение объекта также носит слу-
случайный характер. Нормативные требования и технические условия
эксплуатации накладывают определенные ограничения на эти пара-
параметры. Ограничения могут быть сформулированы в виде условия
нахождения некоторого случайного вектора, зависящего от времени
и характеризующего качество объекта, в заданной области. Отказам
12
и предельным состояниям соответствуют выходы этого случайного
вектора из области допустимых состояний. Таким образом, основная
задача теории надежности — оценка вероятности безотказной работы
на заданном отрезке времени — сведена к задаче о выбросах случай-
случайных процессов. Соединение методов механики материалов и конструк-
конструкций с теорией случайных процессов составляет основу теории надеж-
надежности механических систем [8, 17].
1.4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА И МЕХАНИКА
РАЗРУШЕНИЯ
Если исключить из рассмотрения выходы из строя машин и
конструкций вследствие резких нерасчетных перегрузок, природных
воздействий, неподдающихся контролю, грубых ошибок при проекти-
проектировании или эксплуатации или неблагоприятного сочетания пере-
перечисленных факторов, то остальные случаи наступления предельных
состояний можно отнести преимущественно к одной из двух больших
групп. Первую группу образуют предельные состояния, наступившие
в результате постепенного накопления в материале рассеянных
повреждений, приводящих к зарождению и развитию макроскопи-
макроскопических трещин. Часто зародыши и очаги таких трещин, вызванные
несовершенством технологических процессов, содержатся в объекте
до начала его функционирования. Причиной выхода объекта из строя
является развитие трещин до опасных или нежелательных размеров.
Если трещина не обнаружена своевременно, ее развитие может при-
привести к аварийной ситуации. Вторая группа состоит из предельных
состояний, связанных с чрезмерным износом трущихся деталей и
поверхностей, находящихся в контакте с рабочей или окружающей
средой. ПреДельные состояния первой группы типичны для несущих
элементов, работающих при высоких уровнях общей нагруженности.
Случаи, когда несущие элементы испытывают интенсивное изнашива-
изнашивание, сравнительно редки. Рассмотрим более детально первую группу
предельных состояний.
Классический пример напряженных объектов — сосуды давле-
давления. Эти объекты встречаются почти во всех областях техники,
в частности, в энергетике, на транспорте, в химической и нефтегазо-
нефтегазовой промышленности. Сосуды давления обычно рассчитывают на
большие сроки службы. Стенки сосудов работают в условиях растя-
растягивающих напряжений, часто при повышенных температурах,
нередко в контакте с активными и агрессивными средами. Для
безопасности работы необходимы достаточно большие запасы проч-
прочности. Однако толщина сосудов должна быть ограниченной из-за
технологических, экономических и других соображений. Иногда
масса сосудов давления ограничена условиями технической осу-
осуществимости проекта в целом.
Разрушение или повреждение как результат развития трещин —
типичная форма предельного состояния сосудов давления. Для
иллюстрации используем данные, полученные при анализе отказов
сосудов давления, проведенном по поручению Управления по атом-
13
ной энергетике Великобритании [137]. Были исследованы паровые
котлы, теплообменники, резервуары химической и нефтехимической
промышленности и т. д. Анализ был предназначен для оценки допу-
допустимого риска применительно к оболочкам атомных реакторов,
поэтому он включал данные, относящиеся к сравнительно толсто-
толстостенным (толщиной более 9,5 мм) и напряженным (с рабочим избыточ-
избыточным давлением более 725 кПа) оболочкам. Среди рассмотренных
229 отказов было 13 отказов катастрофического характера. В осталь-
остальных случаях эксплуатация была прекращена, так как обнаруженные
повреждения были классифицированы как опасные.
Приведем сведения [137], дающие представление о характере
отказов:
Развитие трещин ....
Дефекты изготовления .
Коррозия
Ошибки при эксплуатации
Ползучесть
Не установлен .....
Число
отказов
215
5
1
3
3
2
/о
94
2
4
В с с г с ... 229 100
Число
отказов
52
30
бЪ
61
10
/о
24
14
29
28
5
Подавляющее большинство (94 %) отказов связано с возникнове-
возникновением трещин. Обычное место нахождения трещин — сварные швы
или их окрестности. Приведем классификацию причин, которые при-
привели к развитию трещин [137]:
Усталость
Коррозия
Технологические трещины
Не установлена
Различные (ползучесть, ошибки при эксплуатации и т. л.) .
Всего... 215 100
Относительно небольшую долю усталостных трещин B4 %)
можно оъяснить тем, что амплитуды напряжений и (или) числа
циклов в сосудах давления обычно не бывают слишком большими.
Обращает на себя внимание высокий процент врожденных трещин,
по-видимому, технологического происхождения B9 %). Этот вывод
согласуется со следующим наблюдением: около 64 % общего числа
отказов паровых котлов приходится на отказы котлов со сроком
службы до 10 лет (для анализа были взяты данные по котлам, прослу-
прослужившим до 40 лет).
Особенно велика роль усталостных повреждений и развития
трещин для деталей и узлов, испытывающих вибрационные нагрузки.
Примером служат авиационные двигатели, работающие в условиях
высоких температур, под действием скоростных потоков, переменных
и вибрационных нагрузок [44]. Хотя в авиационных двигателях
кроме механических процессов важную роль играют процессы пре-
преобразования энергии, а также процессы управления, около 60 %
14
отказов в двигателях имеют механическое происхождение. Среди
последних около 80 % отказов связано с накоплением усталостных
повреждений, развитием усталостных трещин и родственными явле-
явлениями. Аналогичную картину наблюдаем в конструкциях внутри-
корпусных устройств атомных реакторов и теплообменников. Основ-
Основные причины отказов трубных пучков (помимо абразивного изнаши-
изнашивания и фреттинг-коррозии) — усталостное разрушение из-за вибра-
вибраций и переменных тепловых нагрузок в потоке газа или теплоноси-
теплоносителя [481.
Теоретической основой для прогнозирования ресурса в условиях
накопления повреждений и развития трещин служит механика
разрушения. Этот раздел механики материалов и конструкций на-
находится сейчас в состоянии интенсивного развития, главное направ-
направление которого — механика тел, содержащих трещины. Хотя первые
классические работы по механике трещин были выполнены в 20-е
годы, интерес к проблеме возник лишь в последние десятилетия.
Можно назвать по крайней мере две причины, вызвавшие этот инте-
интерес. Во-первых, в течение длительного времени экспериментаторам
не удалось систематизировать и научно обобщить результаты испы-
испытаний материалов и конструкций при различных силовых, тепловых и
прочих воздействиях. Появилась необходимость иметь более прочную
теоретическую основу для описания механизмов разрушения, чем
инженерные критерии прочности. Во-вторых, повысился технический
уровень наблюдений над объектами в процессе эксплуатации, а также
над объектами, пришедшими в аварийное состояние. Обнаружено,
что во многих случаях узлы и конструкции продолжают успешно
функционировать несмотря на наличие в них усталостных трещин и
других трещиноподобных дефектов. Трещины могут быть устойчи-
устойчивыми, их рост можно контролировать и прогнозировать. Чтобы обос-
обоснованно судить о возможности эксплуатации технических объектов
с механическими повреждениями, надо было развивать механику
разрушения.
Общепринятая модель трещины в механике разрушения — мате-
математический разрез в теле из неповрежденного материала. Трещину
считают заданной, а ее размер достаточно большим по сравнению
с максимальным размером структуры материала — размером зерна,
кристаллита, волокна и т. п. Такие трещины называют макроскопи-
макроскопическими (в отличие от микроскопических трещин, размер которых
имеет порядок характерного размера структуры материала или ме-
менее). Задача состоит в том, чтобы найти закономерности роста тре-
трещины при различных свойствах материала и различных процессах
нагружения, а также установить условия, при которых этот рост
устойчив, т. е. малые приращения нагрузок или малые изменения
размеров трещин не приводят к ее интенсивному росту. В действи-
действительности физический процесс разрушения состоит из двух стадий.
Первая стадия — накопление рассеянных повреждений — может
составлять значительную часть общего ресурса (по различным данным
от 50 до 90 %). Если в детали или элементе не было начальных техно-
технологических трещин, то зарождение первой макроскопической тре-
15
щины есть результат накопления рассеянных повреждений. Процесс
накопления повреждений продолжается и после того, как начался
рост трещины, причем эти процессы взаимодействуют между собой.
Механика тел с трещинами располагает большим числом досто-
достоверных и фундаментальных результатов, механика же рассеянного
повреждения до последнего времени оставалась полуэмпиричёской.
До последнего времени не было стыковки между описанием процесса
накопления повреждений и процессом роста макроскопических
трещин. Пока эта стыковка не была достигнута [7, 11 ], приложение
механики разрушения к задачам прогнозирования ресурса вызывало
затруднения. В связи с несовершенством средств неразрушающего
контроля и риском пропуска трещин это замечание отчасти справед-
справедливо также по отношению к прогнозированию индивидуального
ресурса.
Различают два подхода к построению теорий в естественных и
прикладных науках — полуэмпирический (феноменологический) и
структурный. Первый подход основан на-обобщении результатов
наблюдений и экспериментов и не ставит целью объяснение или
полное описание существа явлений. Структурный подход состоит
в разработке моделей, которые позволяют описать и объяснить явле-
явления исходя из внутренней структуры рассматриваемых объектов. Эти
подходы тесно связаны между собой. Классическим примером служат
соотношение между термодинамикой, дающей феноменологическое
описание процессов преобразования энергии, и статистической физи-
физикой, основные разделы которой дают объяснение термодинамических
явлений с учетом атомно-молекулярной структуры.
В механике разрушения возможны как полуэмпирические, так и
структурные подходы к построению моделей. В частности, модель
макроскопической трещины — пример подхода, который не учиты-
учитывает элементы структуры реальных материалов. Другими примерами
служат способы описания процессов накопления повреждений при
циклических и длительных нагрузках, основанные на введении мер
повреждений. Эти меры не допускают прямой интерпретации на
уровне структуры материала. Более того, мера повреждений вообще
не имеет четкого физического истолкования, кроме, может быть,
двух ее предельных значений, отвечающих начальному (неповрежден-
(неповрежденному) состоянию и состоянию полного исчерпания ресурса.
В качестве простейшего примера структурной модели отметим
модель хрупкого разрушения Вейбулла A939 г.). Согласно этой
модели тело состоит из весьма большого числа структурных элемен-
элементов. Их прочность различна и для наугад взятого элемента является
реализацией некоторой случайной величины. Разрушение тела
происходит, когда уровень действующих напряжений достигает
предела прочности слабейшего элемента (в оригинальной работе
Вейбулла рассмотрено тело со случайным распределением дефектов,
а не совокупности структурных элементов, но это не существенно для
конечных выводов). Модель Вейбулла является вероятностной. Это
типично для большинства других структурных моделей. На уровне
структуры вероятностные свойства играют более существенную роль,
16
чем на макроскопическом уровне, хотя статистический разброс
макроскопических параметров также имеет практическое значение
и должен быть учтен в расчетах на прочность и долговечность.
Полуэмпирические и структурные модели имеют и достоинства,
и недостатки. Полуэмпирические модели более просты и, будучи
результатом обобщений опытных данных, больше приспособлены
для обработки экспериментальных результатов и их представления
в аналитической форме. Полуэмпирические модели могут оказаться
непригодными за пределами области, в которой получены лежащие
в их основе опытные данные. Это следует учитывать, например,
при оценке больших значений ресурса, при планировании ускорен-
ускоренных и форсированных испытаний и т. п. Перенос результатов испы-
испытаний образцов и малых моделей на натурные крупногабаритные
конструкции также может встретить затруднения из-за масштабного
эффекта, присущего многим явлениям повреждения и разрушения.
Структурные модели этим недостатком в принципе не обладают. Они
дают основания для более обоснованной экстраполяции результатов
как во времени, так и в геометрическом масштабе, позволяют возме-
возместить недостаток сведений о статистической изменчивости результа-
результатов, присущей большинству ресурсных испытаний. Вместе с тем
структурные модели сложнее полуэмпирических и требуют значи-
значительно большего объема информации. Для непосредственного полу-
получения такой информации необходимы эксперименты на уровне струк-
структуры материала, что, как правило, лишено практического смысла.
Исключение составляют искусственные композиционные материалы,
сведения об элементах структуры которых часто бывают известны еще
до создания материала.
Естественный путь для проверки структурных моделей и оценки
входящих в них параметров основан на сопоставлении этих моделей
с соответствующими полуэмпирическими моделями, а также с резуль-
результатами макроскопического эксперимента. Одна из целей данной
книги — дать совместное изложение обоих классов моделей.
1.5. ПРОБЛЕМА БЕЗОПАСНОСТИ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
Многие машины и конструкции следует рассматривать как источ-
источники повышенной опасности для людей и (или) окружающей среды.
Это является неизбежным побочным результатом научно-техниче-
научно-технического прогресса. Наблюдаются неуклонное увеличение скоростей на
транспорте, повышение энерговооруженности в промышленности,
создание уникальных по размерам и мощности комплексов для
производства электрической энергии, для добычи и транспортирова-
транспортирования нефти и газа, и др. Все это по-новому ставит проблему обеспече-
обеспечения безопасности.
Проблема особенно остро стоит для объектов, эксплуатация
которых запланирована вплоть до достижения ими предельных со-
состояний. Если интенсивность отказов сведена до минимума, а система
раннего обнаружения отказов и их предупреждения в совокупности
с системой технического обслуживания делает единичные отказы
17
малозначимыми событиями, то на первый план выходит проблема
обеспечения безопасности эксплуатации технического объекта.
Требования безопасности состоят в том, чтобы отказы, связанные
с угрозой для здоровья и жизни людей, опасностью для окружающей
среды, а также с серьезным экономическим и моральным ущербом,
были либо исключены, либо обладали в течение всего установленного
срока службы весьма малой вероятностью появления. Эта категория
отказов нуждается в специальном названии. Термин «авария» имеет
в инженерной практике слишком широкий смысл: к авариям обычно
относят все отказы, устранение последствий которых требует значи-
значительных затрат времени или труда. Термин «катастрофа» употребляют
в русском языке для исключительных по своим последствиям явле-
явлений, носящих характер массовых бедствий. Английский термин
accident (происшествие, несчастный случай), возможно, наиболее
точно определяет класс отказов, связанных с потенциальной или
реальной опасностью.
В этой книге используем термин авария, относя к авариям все
отказы, наступление которых связано с угрозой для людей и (или)
окружающей среды, а также с серьезным экономическим и (или)
моральным ущербом. Соответствующие технические состояния
объектов будем называть аварийными.
Аварии могут быть вызваны различными причинами; однако все
эти причины лежат за пределами расчетного уровня нагрузок,
нормативных условий технического обслуживания и т. п. Аварии
могут быть связаны как с исключительными воздействиями (удар-
(ударными нагрузками, ураганами, наводнениями, пожарами), так и
с неблагоприятным сочетанием обычных нагрузок с весьма малой
вероятностью появления. Исходной причиной аварий могут служить
крупные ошибки, допущенные при проектировании, расчете, изго-
изготовлении, монтаже, эксплуатации и техническом обслуживании,
а также сочетания этих ошибок с неблагоприятными внешними усло-
условиями, не зависящими от технического персонала.
Типичным примером аварии, обусловленной целым комплексом
причин, служит авария, которая произошла в Северном море на
норвежском месторождении Экофиск 28 марта 1980 г. Запроектиро-
Запроектированная и изготовленная во Франции вначале как буровая, платформа
«Александер Кьелланд» была использована в качестве плавучей гости-
гостиницы для персонала, обслуживающего производственные платформы.
В момент аварии на платформе находилось 212 человек. Перед аварией
платформа простояла на якоре вблизи одной из производственных
платформ около 9 мес. В условиях плохой погоды (скорость ветра
16—20 м/с, высота волн 6—8 м) разрушилась одна из связей, скреп-
скрепляющих колонны, затем примыкающие связи, возникла перегрузка
одной из колонн, в результате чего угол крена платформы достиг
30—35°. Из-за погодных условий, неудовлетворительного состояния
спасательных средств и нераспорядительности спасательной службы
погибло 123 человека. Это была крупнейшая авария в истории
освоения континентального шельфа (ближайшая по масштабам
авария произошла в Китайском море и унесла 93 жизни).
18
Анализ причин аварии «Александер Кьелланд» был проведен
компетентной комиссией, назначенной правительством Норвегии
[84]. Оказалось, что первичной причиной послужила трещина
вблизи сварного шва в окрестности конструктивного концентратора —
отверстия для установки гидрофона. Эта трещина постепенно раз-
развивалась как типичная трещина усталости. Устойчивый рост трещины
проходил около 12 мес, причем к моменту разрушения соответствую-
соответствующего конструктивного элемента трещина охватывала около 2/3 его
периметра. Система колонн и скрепляющих их связей была спроекти-
спроектирована таким образом, что платформа фактически не обладала
запасом живучести, т. е. не была способна выполнять хотя бы ча-
частично свои функции при разрушении отдельных элементов. Поэтому
разрушение одного из элементов повлекло за собой последовательное
разрушение соседних элементов, что в конечном счете вызвало
аварийную ситуацию. Таким образом, экспертиза обнаружила ряд
серьезных ошибок при проектировании, изготовлении и эксплуата-
эксплуатации — выбор неудачной конструктивной схемы, пропуск серьезного
технологического дефекта, отсутствие средств для обнаружения
развитых усталостных трещин в эксплуатируемой конструкции,
халатное отношение к личной безопасности экипажа платформы,
неэффективность спасательных служб. Достаточно было устранить
или предупредить одну—две из перечисленных ошибок, например,
выбрать для несущей конструкции схему повышенной живучести,
чтобы авария не произошла или, во всяком случае, не сопровожда-
сопровождалась бы таким большим числом человеческих жертв.
Вообще, освоение шельфа принадлежит к числу областей деятель-
деятельности с наиболее низкими показателями безопасности. Приведем
средние данные о числе несчастных случаев со смертельным исходом,
приходящихся на 1000 человеке-лет, в разных отраслях промыш-
промышленности Норвегии [120]:
Морской транспорт 2,1
Горная промышленность 0,9—1,4
Строительство 0,3
Перерабатывающая промышленность 0,15
Разработка шельфа до аварии «Александер Квышанд» 1,5—2,0
Разработка шельфа после аварии «Александер Кьелланд» 3,5—4,7
Разработка шельфа в среднем . 3,1^4,1
По удельному числу несчастных случаев со смертельным исходом
разработка шельфа опередила морской транспорт.
Фирма «Ллойд» опубликовала сводные данные о числе аварий
(табл. 1.2) и человеческих жертв (табл. 1.3) при разработке конти-
континентального шельфа за период 1.01.70—31.12.80 [120]. Цифры в скоб-
скобках относятся к подвижным платформам, цифры вне скобок — ко
всем платформам. Пожары и взрыЕЫ, возникшие в связи с выбросами
нефти или газа, отнесены к первичной причине — к выбросам. Под
начальной причиной «Потеря конструктивной прочности» составители
таблицы понимают отказы конструкций, вызванные технологическими
дефектами. Погодные условия, ошибки маневрирования, управления
19
Таблица J-2
Начальная при-
причина аварии
Погодные условия
Столкновение
Выброс нефти или
газа
Течь
Отказ механизмов
Взрыв
Пожар
Перекос
Потопление
Посадка на мель
Опрокидывание
Потеря конструк-
конструктивной прочности
Прочие
Всего
полное
7C)
4B)
15E)
—
1
2@)
3A)
—
4A)
2A)
11 A1)
1 0)
2@)
52 B5)
Повреждение v
тяжелое
12 A0)
5B)
13G)
2B)
2A)
3B)
6B)
—
—
6F)
4D)
6D)
3@)
62 D0)
среднее
30 B2)
17A1)
15(9)
3C)
5D)
10D)
20A2)
3B)
3B)
3A)
20 A4)
1 @)
130 (84)
^онструкци
малое
21 A7)
21 A8)
14G)
—
5F)
9F)
19A2)
—
5B)
1 A)
25 B0)
12(8)
132 (97)
нет
9(8)
23 A2)
13F)
3B)
1 @)
6D)
1 A)
2B)
15A0)
73 D5)
суммарное
79 F0)
70 D5)
70 C4)
8G)
13A1)
25A2)
48 B7)
9F)
4A)
17A2)
19A7)
54 D1)
33 A8)
449 B91)
Таблица 1.3
Начальная при-
причина аварии
Число человеческих жертв при повреждении
конструкции
среднем
без пов-
повреждений
суммарное
Погодные условия
Столкновение
Выброс нефти или
газа
Течь
Отказ механизмов
Взрыв
Пожар
Перекос
Потопление
Посадка на мель
Опрокидывание
Потеря конструк-
конструктивной прочности
Прочие
13 A3)
1 A)
12E)
4@)
93 (93)
123 A23)
8(8)
35 B6)
1 (О
8B)
7@)
6F)
6F)
20 B0)
1 (О
И B)
2@)
1 С)
1 (О
3@)
4D)
3@)
11 (8)
8@)
10G)
4B)
17@)
A)
13A3)
30A3)
70 F1)
1 A)
1A)
34 A2)
17@)
1 (О
6F)
100A00)
137A31)
4B)
Всего
246 B35)
71 D9)
39 B5)
40B1)
18A)
414C31)
и другие подобные причины, вызвавшие разрушения и повреждения
конструкции, отражены в табл. 1.2 и 1.3 как начальные причины,
хотя собственно аварийное состояние есть зачастую разрушение или
повреждение конструкции.
В настоящее время повышенный интерес общественности вызывает
безопасность эксплуатации атомных реакторов и особенно атомных
электрических станций. Этот интерес возрос после аварии на атомной
20
электростанции «Три Майл Айленд», расположенной вблизи густо-
густонаселенной области Восточного побережья США. Эта авария сопро-
сопровождалась значительными повреждениями активной зоны. По оценке
американских специалистов [85 ] такие повреждения могли стать
источником неконтролируемых выбросов в атмосферу радиоактивных
продуктов, включая до 10 % от общего количества содержащегося
в активной зоне изотопа 1-131. В рекомендациях комиссии США по
атомной энергии [85 ] поставлено условие, чтобы вероятность повторе-
повторения таких аварий не превышала 1СГ4 на один реактор в год, а услов-
условная вероятность неконтролируемых выбросов при таких авариях
не превышала 1(Г2.
Хотя вероятность аварий такого рода можно значительно умень-
уменьшить, остается ряд источников повышенной опасности, в малой
степени зависящей от человека. К ним относятся природные воздей-
воздействия — ветровые, сейсмические и волновые нагрузки (последние
в подтопляемых зонах). Некоторые воздействия связаны с челове-
человеческой деятельностью, но не вполне поддаются контролю. К ним
относятся пожары, попадания самолета в здание реактора, взрывы на
близлежащих путях сообщения, а также преднамеренные челове-
человеческие действия, которые могут привести к серьезным аварийным
ситуациям. Задача состоит в том, чтобы путем проектирования и
соблюдения правил технической эксплуатации свести до минимума
риск возникновения аварийных ситуаций. Так, площадки для строи-
строительства атомных электростанций следует выбирать вдали от крупных
аэропортов и воздушных коридоров, от районов с повышенной сейсми-
сейсмической активностью или угрозой затопления и т. п. Если неблаго-
неблагоприятный выбор неизбежен, следует принимать все доступные меры
для повышения уровня безопасности до приемлемых значений.
В связи с возникновением проблемы безопасности атомных
электростанций были по-новому поставлены вопросы безопасности
традиционных источников энергии, в частности тепловых и гидравли-
гидравлических электростанций. Индивидуальный риск для людей, проживаю-
проживающих в районе крупной тепловой или гидравлической электростанции,
в общем, не меньше, чем для людей, живущих вблизи атомных
электростанций [39, 85]. Поэтому следует обращать внимание на
безопасность традиционных источников и способов передачи энергии,
например магистральных газо- и нефтепроводов [65]. Современные
газопроводы имеют диаметр до 1500 мм при избыточном давлении
газа до 10 МПа и скорости до 20 м/с. При разрыве такого трубопро-
трубопровода выделится большое количество энергии, а выброс газа может
вызвать пожары и взрывы.
Общий принцип проектирования технических объектов повышен-
повышенной опасности состоит в том, чтобы исключить возникновение си-
ситуаций, представляющих опасность для людей и (или) окружающей
среды, либо уменьшить риск наступления таких ситуаций до значе-
значений, сопоставимых с приемлемыми значениями индивидуального
естественного риска. В настоящее время существуют различные под-
подходы к определению приемлемого риска. Расчеты на безопасность по
отношению к аварийным ситуациям следует проводить с учетом
21
нагрузок при нормальной эксплуатации объекта, а также с учетом
повреждений, которые накапливаются в объекте по мере приближе-
приближения его к предельному состоянию.
Особую роль для обеспечения безопасности технических объектов
играет живучесть конструкции. С точки зрения безопасности кон-
конструктивную схему следует выбирать так, чтобы ее основная (несу-
(несущая) конструкция и наиболее ответственные элементы сохраняли
целостность во время и непосредственно после аварии. Конструкция
должна выдерживать эксплуатационные нагрузки при наличии
повреждений или разрушений части ее элементов, т. е. должна
обладать достаточной живучестью. Приведенный пример платформы
«Александер Кьелланд» свидетельствует о том, что нарушение этого
требования делает конструкцию уязвимой и может стать источником
возникновения аварийной ситуации.
Важная роль в обеспечении безопасности технических объектов
принадлежит системе прогнозирования индивидуального остаточного
ресурса. Эта система позволяет непрерывно следить за техническим
состоянием каждого конкретного объекта и действующими на него
нагрузками и выдавать рекомендации о дальнейшей эксплуатации
объекта. В частности, если результаты обработки диагностических
данных показывают, что объект приближается к аварийной ситуации,
должно быть принято решение о прекращении его эксплуатации
или о переходе на облегченный режим с одновременным приня-
принятием мер, обеспечивающих безопасность людей и окружающей
среды.
1.6. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПРОГНОЗИРОВАНИИ
РЕСУРСА НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
На стадии проектирования должны быть разработаны технические
решения, обеспечивающие выполнение объектом всех назначенных
функций при высоких показателях эффективности и экономичности.
Снижение материальных и трудовых затрат на производство объекта,
ускорение его ввода в эксплуатацию обычно служат основными кри-
критериями качества проектирования, доводки и отладки. Требования
надежности, в том числе безотказности, долговечности, ремонтопри-
ремонтопригодности и сохраняемости, также входят в число руководящих кри-
критериев. Задача состоит в том, чтобы обеспечить безотказность основ-
основных и наиболее ответственных узлов объекта, снизить до минимума
вероятность наступления остальных отказов, уменьшить продолжи-
продолжительность простоев, связанных с поиском и устранением неисправ-
неисправностей.
Главная задача прогнозирования ресурса на стадии проектирова-
проектирования состоит в согласовании ожидаемых показателей долговечности
с плановыми, назначенными показателями. На стадии проектирова-
проектирования предметом прогнозирования служит идеализированный объект —
расчетная схема, основанная на изучении предшествующего опыта
проектирования и эксплуатации сходных объектов, а также на стати-
статистических данных о свойствах материалов, элементов узлов и агрега-
22
тов. Это относится также к условиям эксплуатации, данные о которых
имеют статистический и неполный характер.
Необходимо отметить, что вероятностный характер прогноза
вызван не только отсутствием исчерпывающей информации о проек-
проектируемом объекте, но и разбросом показателей долговечности,
которые обладают большой чувствительностью к различным факторам
(см. табл. 1.1). Разброс показателей долговечности — неустранимый
фактор, который необходимо учитывать как при проектирова-
проектировании, так и на стадии эксплуатации, правильно планируя систему
технического обслуживания и планово-профилактических меро-
мероприятий.
Несмотря на ожидаемый разброс фактического ресурса, его
следует, по возможности, согласовать с назначенным ресурсом. Труд-
Трудность состоит в следующем: если назначенный ресурс — величина
детерминистическая, то прогнозируемый ресурс представляет собой
случайную величину. Допустим, что параметры объекта выбраны
таким образом, что к моменту выработки назначенного ресурса
только 50 % парка достигают предельного состояния, т. е. установ-
установленное плановое значение по парку в целом не реализовано. Надо
найти значение гамма-процентного ресурса, оптимальное с точки
зрения суммарного экономического эффекта. Очевидно, для получе-
получения высокой эффективности вновь проектируемых машин следует
стремиться к тому, чтобы разброс ресурса был минимальным. С точки
зрения организации технического обслуживания подчас выгоднее
иметь более компактные распределения ресурса, чем повышенные
средние показатели. Кроме того, объект, по возможности, не должен
содержать элементов, средний ресурс которых не согласован с гра-
графиком планово-профилактических мероприятий.
Увеличение показателей долговечности всех без исключения
элементов, узлов и агрегатов до уровня, установленного для объекта
в целом, нерационально и нерентабельно. Часть элементов подлежит
замене, ремонту или восстановлению при промежуточных профилак-
профилактических мероприятиях. Возникает задача о выборе рациональной
периодичности средних и капитальных ремонтов, а также о согласо-
согласовании случайных значений межремонтного ресурса с детерминисти-
детерминистически заданной периодичностью профилактических мероприятий.
Перечисленные трудности в значительной степени снижаются, если
перейти к более прогрессивной системе прогнозирования индиви-
индивидуального ресурса, при которой каждый объект имеет свой график
технического обслуживания.
Задача прогнозирования ресурса, кроме собственно оценки
ожидаемых распределений фактического ресурса и изучения факто-
факторов, влияющих на эти распределения, включает в себя также тради-
традиционный расчет на эксплуатационную надежность. Поэтому про-
проверка объекта в целом и его отдельных блоков на безотказность
также входит в задачу прогнозирования ресурса. Особое место зани-
занимает расчет на безопасность по отношению к редко встречающимся
интенсивным воздействиям или их сочетаниям. В процессе выработки
ресурса общее сопротивление объекта интенсивным воздействиям
23
снижается (из-за изнашивания, коррозии, роста устойчивых трещин
и т. д.). Таким образом, расчет на безопасность и прогнозирование
ресурса —это тесно связанные задачи.
1.7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ПРОГНОЗИРОВАНИИ
РЕСУРСА НА СТАДИИ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Прогнозирование индивидуального остаточного ресурса отно-
относится к конкретному находящемуся в эксплуатации техническому
объекту. Основой для прогнозирования служит информация, которую
условно можно разделить на три части. Во-первых, это данные теку-
текущего (оперативного) поиска дефектов в процессе эксплуатации.
Контроль может быть непрерывным или дискретным (например,
приуроченным к плановым профилактическим мероприятиям). Для
поиска дефектов нужны встроенные и внешние приборы, системы для
хранения и переработки диагностической информации, алгоритмы и
программы для принятия решений. Во-вторых, это данные о нагруз-
нагрузках и других условиях взаимодействия объекта с окружающей средой.
Диагностическая информация, в принципе, ограничена по объему
и носит лишь косвенный характер. Существующие средства неразру-
шающего контроля не позволяют обнаружить все повреждения и тре-
трещины, которые в дальнейшем могут стать причиной предельных со-
состояний. Имеется достаточно большая вероятность пропуска дефектов
из-за несовершенства аппаратуры, небрежности оператора или
недоступного расположения дефектов. Данные о режимах нагруже-
ния служат ценным дополнительным источником информации. По
известной истории нагружения с использованием расчетных схем
можно оценить степень накопления повреждений в конструкции,
а сопоставляя результаты расчета с диагностическими данными, —
оценить параметры объекта, которые на предыдущих стадиях еще
не были идентифицированы с достаточной точностью. Таким образом,
два источника информации —диагностические данные о состоянии
объекта и данные об истории нагружения объекта —оказываются
тесно связанными и взаимно зависимыми.
Третий вид информации для прогнозирования ресурса на стадии
эксплуатации — весь объем априорных данных о материалах, эле-
элементах, узлах, нагрузках и т. п., т. е. информация, которая лежит
в основе прогнозирования ресурса и оценки показателей надежности
на стадии проектирования. Эта информация, в принципе, относится
к генеральной совокупности объектов, в то время как предметом
индивидуального прогнозирования служит вполне определенный
представитель из этой совокупности. Однако информация об этом
представителе остается неполной и неточной, а значительная ее
часть имеет вероятностный характер. Например, если внешние
воздействия обладают случайной изменчивостью, то их изменение
на отрезке прогнозирования надо трактовать как случайный процесс.
Если удастся объединить априорную информацию с оперативными
данными о поведении данного объекта и о действующих на него
нагрузках, то основанная на этой информации расчетная схема будет
24
более полной и точной, чем априорные расчетные схемы, обсуждаемые
на стадии проектирования.
Прогнозирование индивидуального ресурса включает целый
комплекс задач: оценка текущего технического состояния объекта,
прогнозирование развития этого состояния на ближайшее будущее и
выдача на основе этого прогноза рекомендаций об оптимальном оста-
остаточном сроке эксплуатации (до списания данного объекта или его
очередного ремонта). Если доступной информации недостаточно для
вынесения решений о прекращении эксплуатации, то необходимо
назначить обоснованный срок очередного диагностирования объекта.
Вместе с тем в задачу прогнозирования входит оценка вероятностей
наступления различных отказов с целью их предупреждения.
Еще одна задача индивидуального прогнозирования — оценка
риска по отношению к опасным аварийным ситуациям, установление
предельно допустимых остаточных сроков эксплуатации при наличии
возрастающего риска и выдача рекомендации о мерах по повышению
безопасности.
Поскольку прогнозирование остаточного ресурса относится
к конкретному, индивидуальному объекту, а прогноз неизбежно
содержит элементы вероятностного характера, то возникает вопрос об
истолковании вероятностных выводов применительно к индивидуаль-
индивидуальным объектам и индивидуальным ситуациям. Современная теория
вероятностей и математическая статистика традиционно отдают пред-
предпочтение статистической интерпретации вероятности как единствен-
единственному толкованию, имеющему объективный смысл. Аналогичное тол-
толкование дают и в системной теории надежности, развитой в первую
очередь применительно к массовой продукции, работающей в стати-
статистически однородных условиях. Применительно к уникальным
объектам приходится использовать менее популярное понятие инди-
индивидуальной, субъективной или байесовской вероятности как меры
уверенности в истинности суждения. Теория статистических решений
почти целиком основана на байесовском истолковании вероятности,
причем выводы индивидуального характера базируются на статисти-
статистической информации, полученной из анализа представительных
выборок. Применительно к прогнозированию индивидуальных пока-
показателей надежности роль статистической информации играют данные
о нагрузках, свойствах материалов, соединений и деталей, причем
эти данные относятся либо к массовым явлениям, либо к эргодическим
процессам. Понятия индивидуальных показателей надежности в ко-
конечном счете представляют собой математическую формализацию
интуитивных представлений, которые использует группа экспертов
при обсуждении вопроса о возможности дальнейшей эксплуатации
конкретного технического объекта.
2. ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Технические объекты, рассматриваемые в теории надежности,
представляют в виде систем — совокупностей взаимодействующих и
функционально взаимосвязанных частей, называемых элементами.
Выбор системы и образующих ее элементов весьма произволен.
Любая система при расширенной постановке задачи станет частью
более крупной системы, а каждый элемент можно разбить на части,
которые в свою очередь станут его элементами. Большинство понятий
теории надежности применимо как к системам, так и к элементам.
Следуя ГОСТ 13377—75, объединим понятия системы и элемента
общим термином объект.
Отказом называют любое событие, состоящее в нарушении или
прекращении работоспособного состояния объекта. Различают вне-
внезапные и постепенные, конструкционные, производственные и
эксплуатационные отказы. Среди них особое место занимают отказы
или их совокупности, приводящие объект в предельное состояние,
после достижения которого его дальнейшее использование по назна-
назначению недопустимо или нецелесообразно. Иногда понятия предель-
предельного состояния и приводящего к нему отказа отождествляют, В нор-
нормативных документах, которые регламентируют расчеты и проекти-
проектирование в строительстве, термин предельное состояние используют
для любых отказов, вызывающих прекращение или нарушение
нормальной эксплуатации. Здесь используем терминологию, приня-
принятую в теории надежности.
Отказ трактуют в теории надежности как случайное событие.
Вместе с тем в основе теории лежит статистическое истолкование
вероятности. Элементы и образованные из них системы рассматри-
рассматривают как массовые объекты, принадлежащие одной генеральной
совокупности и работающие в статистически однородных условиях.
Когда говорят об объекте, то в сущности имеют в виду наугад взятый
объект из генеральной совокупности, представительную выборку из
этой совокупности, а часто и всю генеральную совокупность. Спе-
Специальные оговорки для краткости обычно опускают.
Вероятность безотказной работы объекта, т. е. вероятность того,
что на заданном отрезке времени отказ не возникает, служит одним
из основных показателей при расчетах на надежность. В дальнейшем,
если нет специальных оговорок, полагаем, что эксплуатация объекта
происходит непрерывно, продолжительность эксплуатации выражена
в единицах времени t и эксплуатация начата в момент времени
t — 0. Обозначим Р (t) —вероятность безотказной работы на отрезке
26
времени [0, t]. Вероятность, рассматриваемую как функцию верхней
границы отрезка времени, называют также функцией надежности.
Для массовых объектов статистическую оценку Р (t) вероятности
безотказной работы Р (/) можно получить, обработав результаты
испытаний на надежность достаточно больших выборок. Способ
вычисления оценки зависит от плана испытаний. Пусть испытания
выборки из N объектов проведены без замен и восстановлений до
отказа последнего объекта. Обозначим продолжительности времени
до отказа каждого из объектов tlt ..., tN. Тогда
N
k=l
где г] (•) —единичная функция Хевисайда.
Для вероятности безотказной работы на определенном отрезке
10, t] удобна оценка
Здесь п (t) —число объектов, отказавших к моменту времени /.
Рассмотрим также дополнение функции Р (t) до единицы:
Q (t) = 1 - Р (t). B.3)
Эта функция равна вероятности отказа на отрезке [0, t]. Функцию
B.3) особенно удобно использовать по отношению к отказам или
совокупностям отказов, последствия которых представляют опасность
для людей, окружающей среды, а также связаны с серьезным мате-
материальным и (или) моральным ущербом, т. е. по отношению к авариям.
Вероятность наступления аварии в течение эксплуатации должна
быть весьма мала, так что функция B.3) должна принимать весьма
малые по сравнению с единицей значения. В дальнейшем покажем,
что для оценки риска аварийных ситуаций необходимо применять
специальные математические модели и методы. Для этого класса
задач функцию типа B.3) назовем функцией риска и обозначим ее
H(t).
Время работы объекта до первого отказа — случайная величина
Т. Функция распределения этой величины Fr (T) равна дополнению
до единицы вероятности безотказной работы при t — Т:
FT (Т) = 1 —Р (Т). B.4)
Соответствующая плотность вероятности рт (Т) с точностью до
знака равна производной от функции надежности:
pT(T) = -P'(t)\t-T. B.5)
Пусть объект невосстанавливаемый или характер отказа таков,
что ремонт или восстановление объекта нецелесообразны. Тогда
время Т до первого отказа имеет смысл срока службы объекта или его
ресурса (в данном случае эти понятия совпадают). Математическое
27
ожидание величины Т связано с плотностью вероятности рт (Т)
соотношением.
со
Е [Т] = J рт (Т) TdT. B.6)
о
Подставив B.5) в B.6) и проинтегрировав полученное выражение
по частям, получим
оо
Е[Т]=\ P(t)dt. B.7)
о
Аналогично вычислим моменты и другие параметры распределе-
распределения срока службы (ресурса). Разброс величины Т характеризуется
дисперсией
D [Tj = Е [Т2] - (Е [Г]J, B.8)
где Е IT2] —второй начальный момент распределения:
со
Е[Г2] = j рт{Т)ТЧТ. B.9)
о
Значения Т, соответствующие заданной вероятности безотказной
работы, являются также квантилями распределения FT (T). В рас-
рассматриваемом простейшем случае гамма-процентный срок службы
(гамма-процентного ресурса) Ту есть корень уравнения Р (Ту) =
= 7/ЮО, где 7 в %.
- В расчетах на надежность широко применяют еще один показа-
показатель — интенсивность отказов — который связан с функцией надеж-
надежности Р (t) формулой
k(t) = —P' (t)/P (t). B.10)
Интенсивность отказов широко используют при обработке резуль-
результатов ресурсных испытаний или наблюдений над объектами в про-
процессе эксплуатации. Если вероятности отказов достаточно малы, то
интенсивность отказов близка к плотности вероятности B.5) при
t= Т.
Статистическую оценку К (t) для интенсивности отказов можно
принять в виде
х ,Л _ n(t + At/2) — njt — м/2)
АУЧ— [N — n{t)]At
Отрезок времени А^ выбирают так, чтобы он содержал достаточное
число значений th и был достаточно мал по сравнению с общей про-
продолжительностью испытаний или наблюдений. Чтобы удовлетворить
этим противоречивым требованиям, необходимы выборки больших
объемов. Методы оценки показателей безотказности и долговечности
с анализом их эффективности, состоятельности и других требований
математической статистики (включая методы получения интерваль-
интервальных оценок) изложены в работе [31 ].
28
Формулы B.1)—B.10) показывают тесную связь между показа-
показателями безотказности и долговечности. Эти формулы отвечают про-
простейшему случаю, когда объект эксплуатируют только до первого
отказа. Обсуждение моделей для математического описания процес-
процессов эксплуатации восстанавливаемых объектов занимает видное
место в руководствах по теории надежности [2, 31, 41].
2.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИ
В настоящее время системная теория надежности стала составной
частью более общего раздела прикладных наук — теории больших
систем. На этой основе далее развивают методологию проектирова-
проектирования систем, обладающих высокими показателями надежности.
При постановке большинства задач показатели надежности эле-
элементов считают заданными. Технические системы радиоэлектроники,
автоматики и вычислительной техники состоят в основном из элемен-
элементов массового производства и работают в сравнительно однородных
условиях. Ресурсные испытания элементов этих систем относительно
просты, а условия эксплуатации допускают воспроизведение в лабо-
лабораторных условиях. Статистическая обработка результатов испыта-
испытаний позволяет выбрать подходящие аналитические зависимости для
изменения показателей во времени и оценить численные значения
необходимых параметров. Для невосстанавливаемых элементов
обычно ищут подходящие аналитические аппроксимации либо для
вероятности безотказной работы Р (t), либо для интенсивности отка-
отказов к (t).
Если интенсивность отказов задана, то формулу B.10) можно
рассматривать как дифференциальное уравнение относительно функ-
функции Р (/). Решение этого уравнения при начальном условии Р @) = 1
дает
Р(/) = ехр — \%{x)d% . B.11)
Если вероятность наступления отказа в начальный момент t = 0
отлична от нуля, то вместо B.11) имеем
[-J
/>¦(/) = Я(О)ехр -JX(x)dTl. B.12)
Ресурсные испытания и наблюдения над большими выборками
объектов показывают, что в большинстве случаев интенсивность
отказов изменяется во времени немоно- A(t)
тонно. После начального периода при-
приработки наступает относительно длитель-
длительный этап, когда интенсивность отказов
приблизительно постоянна (рис. 2.1). За-
Затем вследствие изнашивания, старения,
накопления повреждений и других про-
процессов интенсивность отказов возрастает. Рис. 2.1
29
Когда интенсивность отказов дости-
достигает некоторого уровня, дальнейшая
эксплуатация нецелесообразна. Если
за начало эксплуатации объектов при-
принять момент окончания приработки, а
за предельное состояние — начало за-
заметного возрастания интенсивности
отказов, то на отрезке эксплуатации
можно считать X = const. В резуль-
результате вместо B.11) получаем
Р (t) = ехр (— It). B.13)
Формула B.13) выражает экспонен-
экспоненциальный закон надежности, который
широко применяют в прикладных рас-
расчетах [41.1. Математическое ожидание
срока службы (ресурса) с учетом формулы B.7) равно 1/Я. Поэтому
формулу B.13) можно записать в виде
Р (t) = ехр (-Шс), B.14)
где U = Е [Т].
Часто применяют также модель, в основе которой лежит распре-
распределение Вейбулла. Вероятность безотказной работы определяют
как
Р (t) = ехр [— (ШС)Ч, B.15)
где tc и р — положительные параметры.
Функция B.15) позволяет описать довольно широкий класс
распределений, включая экспоненциальный закон надежности B.14)
при Р = 1. На рис. 2.2 приведены зависимости изменения интенсив-
ностей отказов, вычисленных с учетом формул B.10) и B.15) при
различных значениях р, во времени. При (J > 1 формула B.15)
описывает поведение «стареющих» объектов, у которых интенсивность
отказов со временем возрастает. В расчетах нередко используют
гамма-распределение, также пригодное для описания «стареющих»
объектов. Плотность гамма-распределения имеет вид
BЛ6)
где р > 1; Г (Р) —гамма-функция.
Вероятность безотказной работы Р (/) с учетом B.5) равна интег-
интегралу от рт (t) на отрезке U, <х). Этот интеграл можно выразить через
неполную гамма-функцию. Другие математические модели теории
надежности рассмотрены в работах [2, 31, 41 ].
Рассмотрим следующий процесс испытаний или эксплуатации:
объект эксплуатируют или испытывают до наступления отказа,
затем заменяют новым объектом из той же генеральной совокупности,
доводят его до отказа, заменяют третьим и т. д. Пусть продолжитель-
продолжительность времени на замену одного объекта другим пренебрежимо мала
по сравнению с продолжительностью работы между соседними отка-
30
зами. Опишем процесс с помощью последовательности tlt t2, ...
моментов наступления отказов. Поскольку время между отказами —
случайная величина, эта последовательность представляет собой
поток случайных событий. Дополнение до единицы функции распреде-
распределения времен между соседними событиями совпадает с вероятностью
безотказной работы Р (t). Если по условию эта вероятность не зависит
от номера события в потоке, то поток является стационарным, ре-
рекуррентным и марковским. Если функция надежности Р (t) имеет вид
B.13), то поток случайных событий —пуассоновский. Вероятность
наступления k отказов на отрезке [0, t] следует закону Пуассона
^-M) (? = 0,1,.. Л B.17)
При k = 0 получаем Qo (t) = P (t).
Модели случайных потоков находят широкое применение в теории
надежности. Наряду с потоками отказов вводят потоки восстановле-
восстановлений, операций технического обслуживания и т. д. Поскольку в си-
системной теории надежности принято, что число возможных состояний
элементов и систем конечно (пример — работоспособное и отказное
состояние элементов), то модели случайных процессов с конечным
множеством значений служат удобным аппаратом для описания
объектов в условиях технического обслуживания и восстановления.
Широкое применение находят модели дискретных марковских про-
процессов, в частности процесс «размножения и гибели». Подробности
можно найти в работах [31, 41 J.
2.3. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
В системной теории надежности принимают, что с точки зрения
работоспособности элементы взаимодействуют между собой по неко-
некоторым логическим схемам. Для наглядного представления взаимодей-
взаимодействия используют структурные схемы или графы. Примеры простей-
простейших структурных схем приведены на рис. 2.3. Во всех этих примерах
принято, что отказы элементов происходят независимо.
Пусть элементы взаимодействуют так, что отказ любого из них
приводит к отказу системы. Такое соединение элементов называют
последовательным (рис. 2.3, а). Безотказная работа системы есть
случайное событие, равное пересечению независимых событий —
безотказной работы каждого из элементов. Вероятность безотказной
работы системы Р получим по теореме умножения для независимых
событий
т
Р= П Ph. B.18)
Здесь Ръ ..., Рт —вероятность безотказной работы элементов (знак
Функциональной зависимости от времени t опущен).
Если Рх = ... = Рт = Ро, то вместо B.18) имеем
Р = Р'о1. B.19)
31
Для примера рассмотрим случай,
когда распределение надежности эле-
элементов — экспоненциальное, т. е. для
элементов справедлива формула B.13).
Тогда для вероятности безотказной ра-
работы на отрезке [0, t] с учетом фор-
формулы B.19) получаем
P{t) = exp (~mlt). B.20)
Математическое ожидание срока
службы системы определим по фор-
формуле B.7):
B.21)
то показатели надежности
где для математического ожидания
срока службы элемента использовано
обозначение tc = \1%.
Формулы B.18) и B.19) иллюстри-
иллюстрируют хорошо известный факт: если
элементы системы взаимодействуют по
схеме последовательного соединения,
системы ниже соответствующих пока-
показателей любого из ее элементов. С увеличением числа эле-
элементов показатели резко снижаются. Если число т велико, то прак-
практически невозможно образовать систему, обладающую высокой без-
безотказностью. Например, при т = 103, Ро = 0,99 по формуле B.19)
найдем Р < 10~4. Средний срок службы системы в 103 раз меньше
среднего срока элемента и т. п.
Число элементов в современных технических объектах весьма
велико. Так, в современном автомобиле порядка 104 деталей. Еще
больше деталей, электромеханических и электронных элементов
насчитывают современные системы машин, например автоматические
линии.
На основании результатов вычислений по формулам типа B.18)
и B.19) иногда высказывают сомнения в практической значимости
выводов теории надежности. Однако при этом не учитывают двух
обстоятельств. Во-первых, практически все объекты техники под-
подлежат системе планово-профилактических мероприятий и техниче-
технического обслуживания, назначение которых —предупредить возмож-
возможные отказы и снизить до минимума их неблагоприятные последствия.
Так, многие изделия бытовой техники отказывают во время, уста-
установленное для гарантийного обслуживания, однако их нельзя назвать
абсолютно ненадежными. Важна не столько безотказность, сколько
работоспособность и эффективность объекта, измеряемые, в част-
частности, коэффициентом готовности — показателем, характеризующим
долю времени, в течение которого объект находится в работоспособ-
работоспособном состоянии. Во-вторых, последовательное соединение наименее
32
благоприятно с точки зрения безотказности и долговечности. Задача
теории надежности состоит в том, чтобы указать наиболее эффектив-
эффективные и экономичные способы образования высоконадежных систем.
Один из способов повышения надежности объектов — введение
в систему избыточных элементов или подсистем. Этот метод называют
резервированием. Различают различные способы резервирования.
Схема простейшего способа показана на рис. 2.3, б. Вместо одного
элемента, достаточного для выполнения функций, в систему введено
п элементов. Отказы элементов —независимые события, а отказ
системы происходит лишь в случае отказа всех п элементов. Такое
соединение называют параллельным. Вероятность отказа системы Q
равна произведению вероятностей Qlt ..., Qm отказов ее элементов.
Отсюда вероятность безотказной работы системы
п
Р=1 - П A -Ph). B.22)
При одинаковых показателях надежности всех элементов вместо
B.22) получаем
Р = 1 — A —Л,L-. B.23)
Пример 2.1. Вычислим математическое ожидание срока службы системы, пред-
предположив, что все элементы принадлежат одной генеральной совокупности с функ-
функцией надежности B.13). Подстановка B.13) и B.23) в формулу B.7) дает
со
Е [Т] — [1 — 0 — е~~Л )n]dt.
о
Чтобы вычислить интеграл в правой части, используем подстановку 1 —е~?-'=
= х. Тогда
1 —хп
О
где /с = 1/^- Интеграл при целом п равен сумме ряда
F ¦ B-24)
Из формул B.22)—B.24) видно, как показатели надежности зависят от крат-
кратности резервирования п — 1. Так, уже при однократном резервировании (дублиро-
(дублировании), если показатель надежности элемента Ро = 0,99, для системы получаем Ро =
= 0,9999. Математическое ожидание срока службы системы согласно формуле B.24)
увеличивается в 1,5 раза.
На рис. 2.3, в показана схема общего резервирования, в которой
каждая подсистема продублирована п — 1 раз. Вероятность бетзоказ-
ной работы такой системы
Р=1-[1- П Ph) ¦ B.25)
2 Болотин В. В. 33
Схема, показанная на рис. 2.3, г, иллюстрирует способ раздель-
раздельного резервирования. По этой схеме каждый элемент дублируют
п — 1 раз, после чего подсистемы соединяют последовательно. Тогда
т
Р= П [1-A -Phy\. B.26)
Формулы B.22), B.25) и B.26) соответствуют нагруженному ре-
резервированию, при KOTopoiM все резервные элементы находятся в ра-
рабочем состоянии. Наряду с этим используют: схемы, в которых ре-
резервный элемент включают в работу только при отказе очередного
элемента; схемы, в которых резервные элементы работают в облег-
облегченном режиме; схемы, учитывающие время переключения и возмож-
возможность отказов переключателей, и др. Формулы для расчета различ-
различных вариантов, рекомендации по выбору рациональных схем резер-
резервирования и другой справочный материал приведены в работе [41 ].
2.4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ
Основные понятия теории надежности носят универсальный ха-
характер и в принципе применимы к объектам самой различной при-
природы и структуры. Эти объекты могут включать агрегаты, узлы,
блоки, которые в свою очередь могут быть механическими, электри-
электрическими, химическими, биологическими и другими системами. При-
Примером служит задача о надежности системы, состоящей из объекта
управления, системы управления и человека-оператора. Практиче-
Практическое применение методов системной теории надежности для расчета
ряда объектов связано с серьезными затруднениями. Сложный ха-
характер взаимодействия элементов и подсистем между собой, а также
с окружающей средой, трудность или невозможность получения до-
достаточной информации о показателях надежности элементов ти-
типичны для многих классов объектов, в том числе для большинства
машин и конструкций (см. 1.3). Единственный путь для преодоления
трудностей состоит в развитии направления теории надежности, ко-
которое естественным образом включает описание физических процес-
процессов взаимодействия объекта с окружающей средой, переход системы
в неработоспособное состояние как физический процесс. При этом
описание поведения объекта с точки зрения его работоспособности
становится органически связанным с описанием процесса функциони-
функционирования системы.
Расчеты машин и конструкций на прочность, — одна из старей-
старейших областей прикладных наук. Уже в прошлом веке были созданы
уникальные инженерные сооружения, например мосты больших про-
пролетов, которые продемонстрировали не только высокий уровень ин-
инженерных решений, но и хорошую точность расчетов. Последняя
была обеспечена благодаря успешному развитию сопротивления ма-
материалов, строительной механики и теории упругости. История
развития теории надежности проиллюстрирована диаграммой, при-
приведенной на рис. 2.4. Элементы теории надежности можно найти
34
Рис. 2.4
в расчетах по коэффициентам запаса: отношение п расчетной проч-
прочности г к расчетной нагрузке q в определенной степени характеризует
уровень надежности. Понимание статистической природы коэффи-
коэффициентов запаса пришло позднее — в первой трети нашего века. В ра-
работах М. Майера A926 г.), Н. Ф. Хоциалова A929 г.) и Н. С. Стре-
Стрелецкого A935 г.) введена характеристика надежности Р, измеряемая
как вероятность непревышения параметром нагрузки q параметра
прочности г. В послевоенный период этот подход получил дальней-
дальнейшее развитие. Он повлиял на структуру норм расчета строительных
конструкций, в которых была сделана попытка расчленить коэффи-
коэффициент запаса на составляющие, придав каждой из них некоторый ста-
статистический смысл. Таким путем инженеры-строители пришли к ме-
методике расчета по предельным состояния, которая до сих пор служит
основой для нормирования расчетов в строительстве.
Следующий шаг был сделан в конце 50-х годов, когда в теорию
надежности конструкций был в явном виде введен фактор времени.
Постепенно приобрела признание точка зрения, что отказы и предель-
предельные состояния конструкций следует трактовать как выбросы неко-
некоторых случайных процессов v (t) из допустимых областей Q. К этому
времени были созданы основы системной теории надежности, так
что возникла необходимость в согласовании основных понятий, тер-
терминологии и обозначений. Развиваемая в настоящее время параметри-
ская теория надежности, в сущности, представляет собой попытку
ввести в расчеты надежности больших систем анализ физико-меха-
физико-механических явлений, приводящих к отказам. При этом вероятность
безотказной работы Р (t) становится функционалом некоторого слу-
случайного процесса v (t), который характеризует изменения параметров
системы во времени. Таким образом, два различных подхода к расче-
расчетам на надежность пересекаются (см. рис. 2.4).
Современные методы механики материалов и конструкций с по-
помощью ЭВМ позволяют производить расчеты машин и конструкций
на основе сложных расчетных схем, максимально приближенных
к реальным условиям. Созданные к настоящему времени средства
2* . 35
эксперимента и переработки информации позволяют быстро получать
необходимые сведения о поведении конструкционных материалов и
о большинстве нагрузок, действующих на машины и конструкции.
Ни в одной области прикладных наук не достигнут такой высокий
уровень точности и надежности расчетов, как в механике. Чтобы
применить эти достижения к прогнозированию показателей надеж-
надежности, необходимо перейти от детерминистических расчетов к ве-
вероятностно-статистическим. Здесь новые возможности открывают
современные численные методы и вычислительные машины. В част-
частности, метод статистического моделирования (Монте-Карло) позво-
позволяет получать оценки параметров случайных процессов и явлений,
давая одновременно представление об их возможных и типичных
реализациях.
Следуя в основном работам [8, 17], сформулируем постановку
основных задач теории надежности машин и конструкций, опираясь
на основные понятия системной теории надежности и учитывая совре-
современное состояние механики материалов и конструкций.
Рассмотрим поведение объекта в условиях его функционирования
и взаимодействия с окружающей средой. Состояние объекта в каж-
каждый момент t описываем с помощью вектора и — элемента простран-
пространства состояний U. Под t подразумеваем не только физическое время,
но и любой монотонно возрастающий параметр, который является
независимой переменной при описании функционирования объекта
(например, это может быть наработка). В дальнейшем называем t
временем, считая, что оно принимает непрерывные значения на
отрезке [t0, оо). Часто полагаем t0 = 0. Каждой реализации процесса
u (t) соответствует некоторая траектория в пространстве состояний U.
Таким образом, U — фазовое пространство. Понятие состояния
здесь имеет более широкий и в общем случае иной смысл, чем понятие
технического состояния. Размерность и свойства пространства U —
зависят от выбранной расчетной схемы.
Внешние воздействия на объект характеризуем векторным про-
процессом q (t), где q — вектор воздействий из соответствующего про-
пространства воздействий Q. Уравнение состояния объекта запишем
в общем виде:
u = //[q], B.27)
где Н — некоторый оператор, реализующий выбранную расчетную
схему и метод расчета. При известном процессе нагружения q (f)
этот оператор дает значения процесса u (t) изменения состояний
объекта. Начальные условия входят в оператор Н.
Технические условия эксплуатации, требования эффективности,
экономичности и безопасности накладывают ограничения как на пара-
параметры состояния объекта, так и на некоторые другие параметры, не
входящие в число компонент вектора и, но выражаемые через него.
Совокупность этих параметров образует вектор качества v в простран-
пространстве качества V. Это пространство также является фазовым: каждой
траектории u (t) в пространстве U соответствует траектория v (t)
в пространстве V. Иногда эти пространства совпадают, иногда V есть
36
подпространство по отношению к U. Часто параметры, служащие для
описания поведения объекта, и параметры, характеризующие его
функциональные и эксплуатационные качества, существенно раз-
различны. Например, если расчетная схема объекта — колебательная
система с п степенями свободы, то параметрами состояния являются
фазовые переменные — обобщенные координаты и обобщенные ско-
скорости. Размерность пространства U равна 2л. При технических огра-
ограничениях на вибрационные перегрузки элементами пространства V
являются максимальные ускорения в определенных точках, при огра-
ограничениях на уровень усталостных повреждений — параметры повре-
повреждений в наиболее напряженных и ответственных узлах и т. п. В об-
общем случае связь между вектором состояний и вектором качества
имеет вид
v = M[u], B.28)
где оператор М, как и оператор Н в уравнении B.27), считаем задан-
заданным.
Множество значений вектора v, допустимых по техническим ус-
условиям эксплуатации, образует в пространстве качества V область
Я. Считаем, что это множество — открытое, т. е. его граница 3Q не
принадлежит допустимой области. Границе dQ соответствует по-
поверхность Г в пространстве качества V. Назовем ее предельной по-
поверхностью. Пусть по условию при t = t0 вектор v находится в допу-
допустимой области. Тогда первое пересечение процессом v (t) предель-
предельной поверхности Г во внешнюю область соответствует наступлению
отказа. Понятие отказа в данной теории имеет более широкий смысл,
чем в системной теории надежности. В общем случае разные точки
предельной поверхности соответствуют различным физическим со-
состояниям объектов, т. е. различным отказам.
Понятие качества имеет также весьма широкий смысл. Напри-
Например, для несущих элементов машин и конструкций, основное назначе-
назначение которых — воспринимать большие нагрузки без разрушения,
значительных деформаций и повреждений, качество зависит от соот-
соотношения между уровнем нагрузок и сопротивлением элемента этим
нагрузкам. В простейшем случае, когда нагрузка задана с точностью
до одного параметра q > 0, а прочность — с точностью до соответ-
соответствующего параметра г > О, пространство V одномерное. Его эле-
элементы — либо отношения rlq, либо разности г — q. В обоих случаях
признаком качества несущего элемента служит запас прочности.
В первом случае условие прочности имеет вид v — rlq > 1, во втором
v = г — q > 0. Если параметры нагрузки и прочности — функции
времени (рис. 2.5, а), то может оказаться удобным включить оба па-
параметра в вектор v. При этом пространство V — первый квадрант
плоскости г, q (рис. 2.5, б). Допустимая область задана соотношением
Q = \r, q : r—q >0\. B.29)
Для постановки задач индивидуального прогнозирования целе-
целесообразно ввести еще одно фазовое пространство [12]. Допустим,
в процессе эксплуатации некоторые параметры объекта измеряют,
37
qlt)
nt)
Рис. 2.5
чтобы оценить его текущее состоя-
состояние и степень приближения к нера-
неработоспособным и предельным со-
состояниям. Совокупность парамет-
параметров, измеряемых в каждый момент
времени, образует диагностиче-
диагностический вектор (вектор признаков) w.
Изучая его изменение во времени,
получаем векторный процесс w (t)
в диагностическом пространстве W.
Если измерения ведут непрерывно, то w (/) — процесс, зависящий от
непрерывного времени t; если значения вектора w измеряют в опреде-
определенные моменты t0, tlt ..., то процесс w (/) — дискретный (рис. 2.6).
Пространства Q, U, V и W на рис. 2.6 — трехмерные. Если диагно-
диагностика объекта обеспечивает точное измерение всех параметров каче-
качества, то отображения пространств V и W — взаимно однозначные.
В этом случае целесообразно отобразить допустимую область Q на
W и описывать приближение объекта к состоянию отказа, используя
процесс w (t).
На стадии проектирования располагаем лишь априорной стати-
статистической информацией о нагрузках и свойствах проектируемого
объекта (например, о механических свойствах материалов), поэтому
процессы q (t) и u (t) — случайные. Траектория v (t) в пространстве
качества V также случайная, а первое пересечение поверхности Г —
случайное событие. Функция надежности Р (t) — вероятность без-
безотказной работы объекта на отрезке [t0, t] равна вероятности пребы-
пребывания вектора v в допустимой области на этом отрезке:
P(/) = P{v(t) ? Q; %?[to,t]\. B.30)
Здесь Р ]¦} — вероятность случайного события, описание которого
дано в фигурных скобках. При прогнозировании показателей на ста-
стадии проектирования можно принять t0 = 0.
Выходы реализаций случайных процессов за пределы некоторых
областей (в особенности, когда такие выходы — редкие события)
называют выбросами [73]. Формула B.30) означает, что для вычис-
вычисления показателей надежности необходимо решать задачи теории
Ъ ц
Рис. 2.6
38
выбросов случайных процессов. Полная постановка задач теории
надежности включает выбор расчетных схем, математических моде-
моделей для описания случайных свойств нагрузок, воздействий, мате-
материалов, узлов, а также выбор пространства качества и допустимой
области в этом пространстве.
При таком расширенном толковании соотношения B.27) и B.28)
также входят в постановку задачи.
Аналогично поставим задачу об определении вероятности безот-
безотказной работы индивидуального объекта с учетом информации об
этом объекте и действующих на него нагрузках. Пусть 7\ — послед-
последний момент наблюдений, причем v (tk) ? п (tk). Тогда для вероят-
вероятности безотказной работы объекта на отрезке (tk, t\ имеем выраже-
выражение [12]
P{t\Th) = V\v{x\Th)?u(Th); Td(th,t]}. B.31)
Здесь Th обозначает объем диагностической информации о данном
объекте, накопленной на отрезке [t0, th]\ вертикальная черта —
знак условной зависимости.
Введенные понятия применимы как к отдельным компонентам,
блокам и агрегатам, так и к объектам в целом. Отказы сложных
объектов разнообразны по физической природе и степени значимости:
одни лишь затрудняют эксплуатацию объекта или вызывают ее вре-
временное прекращение, другие требуют замены отказавших элементов,
третьи соответствуют достижению предельных состояний, при кото-
которых объект подлежит капитальному ремонту или списанию. Наконец,
отказы четвертого типа связаны с угрозой для людей и окружающей
среды, с серьезным материальным и моральным ущербом. Эти обстоя-
обстоятельства, однако, нетрудно учесть в рамках излагаемой теории. Про-
Пространство качества объекта можно представить как прямое произве-
произведение аналогичных пространств для каждого типа отказов в отдель-
отдельности. Например, если объект допускает разбиение на подсистемы,
взаимодействующие по логическим схемам, достаточно ввести про-
пространства качества для каждой подсистемы, а показатели надежности
объекта вычислить, используя методы системной теории надеж-
надежности.
Наиболее общий, хотя и наименее экономичный путь состоит в уве-
увеличении размерности пространства качества. При этом состояниям,
допустимым по различным критериям, соответствуют различные
области в пространстве качества. Области могут входить одна в дру-
другую либо пересекаться. Пересечение всех допустимых областей соот-
соответствует области работоспособного состояния объекта. Выход за
пределы этого пересечения означает один из типов отказа. Вообще,
модели системной теории надежности можно трактовать как частный
случай предлагаемой здесь теории, если условиться о надлежащем
выборе области Q. Так, для последовательного соединения элементов
(см. рис. 2.3, a) Q = Qj П ••• П ®т> гДе &ь. — допустимая область
k-ro элемента; П — символ теоретико-множественного пересечения.
39
У? к
Рис. 2.7
Это приводит к формуле B.18), если
вероятность безотказной работы 'си-
'системы представить согласно B.30).
При параллельном соединении
(см. рис. 2.3, б)п = fix U ¦•• U Йп.
где U — символ теоретико-множе-
теоретико-множественного объединения. В резуль-
результате приходим к выражению B.21)
для вероятности безотказной работы
системы.
Особое место занимают области,
выход из которых означает либо
наступление предельного состоя-
состояния, либо нарушение условий безо-
безопасности. Границы этих областей
могут частично состоять из сегмен-
сегментов предельных поверхностей для отдельных видов отказов, частич-
частично — охватывать эти области. На рис. 2.7 приведена графическая
иллюстрация отношений между допустимыми областями и пре-
предельными поверхностями A\ и Г2 — границы допустимых областей
Qx и Q2 по отношению к двум типам отказов). Область безотказной
работы Qo для объекта в целом есть пересечение областей fix f| Q2.
Область, соответствующая предельным состояниям, заштрихована.
Ее граница Г.,.* охватывает области Qo, Qx и ?12.
Устранение неисправностей и ремонт также допускают описание
в рамках данной теории. Эти операции можно интерпретировать
как принудительное возвращение вектора качества в допустимую
область.
Вычисление функции надежности — вероятности безотказной
работы объекта на заданном отрезке времени, — составляет основную
задачу теории надежности. Большинство других показателей свя-
связано с функцией надежности простыми соотношениями типа B.3)—
B.10). Если заданы нормативные значения этих показателей, напри-
например значения вероятности безотказной работы, интенсивности отка-
отказов, то далее можно проверить надежность с точки зрения соответ-
соответствия объекта назначенным показателям. Если область Q в форму-
формулах B.30) и B.31) такова, что ее граница отвечает предельным состоя-
состояниям, то эти формулы позволяют найти функцию распределения ре-
ресурса, а по ней — математическое ожидание ресурса, значения гамма-
процентного ресурса и другие показатели долговечности. При назна-
назначенных показателях, например среднем или гарантированном ре-
ресурсе, можно проверить долговечность данного объекта. Аналогично
проверим показатели безопасности.
Решение основной задачи дает зависимость ресурса от конструк-
конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов и открывает
путь для решения других задач, в частности для выбора оптималь-
оптимальных параметров объекта, оптимальных режимов эксплуатации и техни-
технического обслуживания и т. п. Рассмотрим методы решения основной
задачи.
40
2.5. МЕТОД УСЛОВНЫХ ФУНКЦИЙ НАДЕЖНОСТИ
Решение поставленной задачи в конкретных прикладных ситуа-
ситуациях может составить серьезные трудности, Так, если допустимая
область Q обладает случайными свойствами, т. е. ее граница Г слу-
случайным образом изменяется при переходе от одного выборочного
объекта к другому, то для вычисления функции Р (t) необходимо
решить задачу о выбросах случайного процесса из области со слу-
случайными границами. Иногда эту трудность удается избежать путем
надлежащего выбора пространства V. Поясним это на примере,
проиллюстрированном на рис. 2.5. Если процессы г (t) и q (t) случай-
случайные и за параметр качества принята величина q с ограничением q < г,
то для вычисления вероятности Р (t) следует рассматривать выбросы
случайного процесса q (t) за случайный переменный уровень г (t).
Перейдя к параметру качества v = rlq или v = r — q, придем к задаче
о выбросах случайного процесса за детерминистический уровень.
Другой путь, предложенный автором A959 г.), — применение ме-
метода условных функций надежности, который основан на поэтапном
решении задачи.
Пусть свойства объекта заданы с точностью до вектора прочности
г, компоненты которого характеризуют не только механическую проч-
прочность, но и способность объекта сопротивляться другим внешним
воздействиям. Для каждого конкретного объекта вектор прочности
принимает определенные численные значения, характеризующие
начальные свойства объекта. Дальнейшие изменения свойств опи-
опишем, используя процессы u (t) и v (t). Для генеральной совокупности
объектов вектор г случайный. На стадии проектирования распреде-
распределение вектора г считаем заданным. На стадии эксплуатации его зна-
значения в принципе должны быть известны. Однако из-за того, что
средства диагностики несовершенны, а значительная часть диагности-
диагностической информации носит косвенный характер, и здесь остается эле-
элемент неопределенности. При прогнозировании индивидуального
остаточного ресурса также целесообразно считать г случайным век-
вектором, заменив априорные распределения его значений соответствую-
соответствующим апостериорным распределением..
Векторный процесс q (t) задаем, используя вспомогательный чис-
числовой вектор s, так что q = q (t\s). Распределение значений s счи-
считаем заданным. Таким образом, случайные нагрузки и воздействия
представляем в виде случайных процессов, свойства которых зависят
от случайных параметров. Укажем две причины, из-за которых це-
целесообразно ввести два уровня описания воздействий. Во-первых,
на стадии проектирования условия эксплуатации (например, регион
размещения объекта и природно-климатические условия) вообще
заранее не определены, хотя общий характер воздействий известен.
Во-вторых, многие нагрузки и воздействия требуют схематизации
в виде условных случайных процессов, например сейсмические на-
нагрузки (см. гл. 6).
Введение дополнительных случайных векторов для задания
свойств объектов и нагрузок иллюстрирует рис. 2.8. При этом
41
Рис. 2.8
рис. 2.8, а соответствует ситуации, когда процесс нагружения
q (/|s) задан вспомогательным вектором s, а свойства объекта при-
приняты случайными. Если условия эксплуатации объекта детермини-
детерминистические, то процесс q (t) — заданная функция t. Случайный харак-
характер поведения объекта обусловлен разбросом его свойств (рис. 2.8, б).
Если все свойства объекта известны и заданы детерминистическим
образом (например, при прогнозировании индивидуального ресурса
эксплуатируемого объекта), то его случайное поведение вызвано
лишь изменчивостью нагрузок (рис. 2.8, б).В дальнейшем рассмотрим
наиболее общую ситуацию, когда оба вектора г и s — случайные,
причем их значения статистически связаны. Совместную плотность
вероятности этих значений р (г, s) считаем заданной.
Решаем задачу в два этапа. На первом этапе полагаем значения
векторов г и s детерминистически заданными, т. е. считаем, что
вектор нагружения q (/|s) задан при фиксированном значении s —
а вектор прочности г принимает определенное значение. Операторы
Я и М в соотношениях B.27) и B.28) в общем случае также зависят
от этих значений, поэтому изменение состояний u (/| r, s) и изменение
качества v (t\r, s)— условные случайные процессы. Граница до-
допустимой области й также в общем случае зависит от г и s. Вероят-
Вероятность безотказной работы объекта на отрезке Uo, t\ при условии, что
векторы г и s детерминистически заданы, есть
\to,t]\.
B.32)
Назовем условную вероятность B.32), рассматриваемую как
функцию времени, условной функцией надежности. Применив фор-
формулу полной вероятности, найдем безусловную вероятность безотказ-
безотказной работы на множестве всех возможных значений г и s:
Р (/) = J J P (/ | г, s) p (r, s) drds.
D (r,s)
B.33)
42
Здесь интегрирование проводим по области определения D (г, s)
значений векторов г и s.
В частных случаях (см. рис. 2.8) процесс v (t) и условная функ-
функция надежности B.32) не зависят от s или от г. Интегрирование по
. области изменения каждого из этих векторов приводит к одной из
двух формул:
P(l)= )P(t\r)pr(r)dr; P(l)= \p(t\s)Ps(s)ds. B.34)
D(r) ?>(s)
Если векторы г и s имеют дискретное распределение, то вместо
формул B.33), B.34) следует использовать их аналоги, например
P(t)=%P(t\ sft) Ph,
к
где sh — возможные значения вектора s; Pk — вероятности их осу-
осуществления; суммирование по всем возможным значениям sh.
Метод условных функций надежности особенно удобен при оценке
показателей безопасности. Допустимый риск при этом весьма мал
по сравнению с единицей, что может вызвать затруднения при его
оценке. Однако сочетания нагрузок, приводящих к опасным состоя-
состояниям, являются редкими событиями по сравнению с нагрузками
в условиях нормальной эксплуатации. С другой стороны, условные
вероятности отказа по отношению к редким нагрузкам, т. е. функции
условного риска Н (t\r, s) = 1 — Р (t\r, s), вообще, не очень малы.
Пусть р (s; t) — плотность вероятности максимальных нагрузок s
на отрезке [/„, t]. Полный риск для объекта со случайными свойст-
свойствами определим по формуле типа B.33):
Я @ = j J Н (I | г, s) pr (г) Ps (s; 0 drds. B.35)
D(r. s)
2.6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МОДЕЛИ ОТКАЗОВ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
Вид расчетной схемы, способ описания свойств нагрузок, воз-
воздействий и материалов, характер назначаемых ограничений на со-
состояние объекта и другие факторы в существенной степени опреде-
определяют математическую структуру модели отказов. Кроме того, струк-
структура моделей связана с характером протекающих в объекте процессов.
В зависимости от множества значений аргумента различают модели
с дискретным временем (случайные последовательности) и модели
с непрерывным временем. В зависимости от размерности простран-
пространства качества различают модели одномерные, двухмерные и т. п.
Наряду с моделями, элементами которых служат некоторые случай-
случайные процессы, приходится рассматривать континуальные модели,
элементами которых служат случайные поля [8]. Еще один признак
для классификации моделей основан на свойстве зависимости (не-
(независимости) процесса от предыстории. Модель называют марков-
марковской, если ее поведение в будущие моменты времени может быть
43
предсказано на основании сведений о ее состоянии в некоторый задан-
заданный момент независимо от предыстории. Наряду с марковскими
моделями в теории надежности машин и конструкций применяют
модели, учитывающие свойства наследственности и последействия.
Рассмотрим специальные модели, наиболее подходящие для опи-
описания отказов в машинах и конструкциях. Пусть нагружение дискрет-
дискретное и однократное, а связь между векторами u, v и q выражена ко-
конечными функциональными соотношениями. Тогда v — случайный
вектор, распределение которого найдем, если заданы распределения
векторов г и q. Формула B.30) для вероятности безотказной работы
принимает вид
\(\)dv, B.36)
где р (v) — плотность вероятности вектора v; область интегриро-
интегрирования совпадает с допустимой областью Q.
По условию вектор v связан с векторами г и q функциональной
зависимостью, поэтому нетрудно выразить вероятность безотказной
работы непосредственно через плотность вероятности р (г, q) компо-
компонент этих векторов:
P=\\p(r,q)drdq. B.37)
Область интегрирования в B.37) задана соотношением Q' =
= {г, q : v (г, q) t Щ. В более общем случае, когда нагружение
происходит в дискретные моменты времени t0, tx, ..., а значения век-
вектора v после /г-го нагружения случайным образом связаны с его зна-
значениями после (k — 1)-го нагружения, имеем
Р (th) = J • • ¦ J P (vft; к [vft_i; /ftJ) ...p (vc; g d\k . . . dv0. B.38)
q a
Здесь p (v0, tt)) — плотность вероятности значений вектора v при
t = t0; p (vh; th | Vh-i> 4_i) — переходные плотности вероятности.
Если считать, что результат предыдущего нагружения не влияет
на состояние и качество в момент, предшествующий следующему
нагружению, то вместо B.38) получим Р (th) =- Ph D) Pk-i D_i) •¦•
...Po (/„). В правой части введены обозначения для показателей
типа B.36)
\fh F = 0,1,...).
каждый из которых равен вероятности безотказной работы при одном
из независимых нагружений.
Вычисления по формулам B.36)—B.38) не выходят за пределы
элементарной теории вероятностей. Назовем модели отказов, при-
приводящие к вычислениям этого типа, элементарными. Эти модели рас-
рассматривали в основном на стадии зарождения теории надежности
машин и конструкций. Среди них простейшая модель нагрузка —
44
прочность. Она аналогична модели,
приведенной на рис. 2.5, но здесь на-
нагрузка q и прочность г — не случай-
случайные процессы, а случайные величины.
При заданной плотности вероятности
р (г, q) вероятность безотказной работы
равна интегралу
Р= Jj p(r,q)drdq.
r—q>0
Пример 2.2. Часто считают (без должных
оснований) распределение величин г и ц нор-
нормальным. Тогда их разность г — дтоже распределена нормально. Пусть ruq —
независимые величины. Обозначим их математические ожидания соответственно ат
и а , а дисперсии а2г и а2. Используя свойства функций от случайных величин,
получим
Р ,.= ф
Здесь Ф (¦) — нормированная функция распределения Гаусса, т. е.
фB)=_^.
ехр
du.
B.39)
Эта модель простая и наглядная, поэтому ее часто применяют для обоснования
методики назначения коэффициентов запаса. Для интерпретации этой модели исполь-
используют зависимость, показанную на рис. 2.9. Если считать, что расчетные значения
прочности г и нагрузки q равны их математическим ожиданиям, то величины 1 — угшг
и 1 + 4qWq можно толковать как коэффициенты запаса по материалу и нагрузкам
соответственно. Здесь wT = ar/ar и wq = oqlaq— коэффициенты вариации; уг
и Y<7 — некоторые числовые коэффициенты, характеризующие требуемый уровень
надежности. Недостатки такого подхода очевидны [17].
Пример 2.3. Рассмотрим совместное нагружение вала кругового поперечного
сечения "изгибающим Мь и крутящим Mf моментами. Наложим на моменты ограниче-
ограничения, соответствующие критерию прочности вала по максимальным касательным
напряжениям (при условии работы материала в пределах упругости). Простран-
Пространство V — двухмерное, а допустимая область в нем — открытый круг Q = {Мь,
Mf : Mjj + М^ < М2}. Здесь М( — предельное значение эквивалентного момента.
Если М% — случайная величина, следует либо использовать формулу типа B.33),
либо включить М^. в число параметров качества. Во втором случае пространство ста-
станет трехмерным, а допустимая область открытым круговым конусом Q = [Mf,
М{, Mt : M\-V M\ < M\;
Согласно формуле B.36)
\\
р(Мь,
9 9 9
Mb+Mt<M*
dM»
B.40)
Выполним вычисления в правой части формулы B.40), предположив, что мо»
менты Мь, Mt и УИ„ независимы, причем значения моментов Мь и Mt распределены
нормально с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями о^ и
°f Их совместная плотность вероятности
р(Мъ, Mt) --¦
ехР -
М
2 \
45
Введем полярные координаты Мь = Mr cos 6; Mt — Mr sin 9 и произведем
интегрирование по полярному углу 6. В результате правая часть формулы B.40)
примет вид
ооЛ1«
К К + о?)
р = ^г\ ехр
ObOt
о о
X
Здесь использована известная формула
2 л
ехр ( — a cos <p) ^ф — 2л/„ (а),
о"
где /0 (а) — функция Бесселя мнимого аргумента.
Дальнейшие вычисления в общэм случае требуют численного интегрирования.
2.7. КУМУЛЯТИВНЫЕ МОДЕЛИ
Исчерпание ресурса машин и конструкций связано с постепенным
накоплением повреждений: пластических деформаций, усталостных
повреждений, износа и т. п. Математическим отражением этого
факта служат кумулятивные модели отказов, которые описывают ква-
квазимонотонное ухудшение параметров качества объекта, происходя-
происходящее в процессе его эксплуатации и взаимодействия с окружающей
средой [17].
Пусть значение вектора качества v в момент времени t есть функ-
функционал от процесса нагружения q (t) на предшествующем отрезке
[t0, /1:
v@= H [q(T)]. B.41)
Запись B.41) носит символический характер. Примером реали-
реализации функционала может служить решение векторного дифферен-
дифференциального уравнения
-3r = /(v,q) B.42)
с заданным начальным условием v (t0) = v0. В правой части стоит
вектор-фукнция от процесса v и процесса нагружения q (/) (зависи-
(зависимость от вектора прочности г пока не рассматриваем).
Чтобы уравнения B.41) и B.42) описывали накопление повреж-
повреждений, их правые части должны удовлетворять определенным усло-
условиям. Пусть по определению значения процесса v (t) заданы в первом
ортанте пространства V, так что допустимая область Q является
частью этого ортанта. Пусть внешняя нормаль п к предельной по-
поверхности Г положительна, точнее, ее проекции на все координатные
46
а)
v, 0
Рис. 2.10
оси неотрицательны (рис. 2.10, а).
Если компоненты процесса v (/)
удовлетворяют условию
Л = 1 /г). B.43)
го для вероятности безотказной
работы на отрезке [0, t] имеем
простую формулу
P(t) = P{v(t)?Q\. B.44)
Отметим существенную разницу между формулами B.30) и B.44).
В отличие от общего случая, когда вычисление функции надежности
Р (t) требует рассмотрения выбросов случайных процессов, здесь
достаточно вычислить вероятность нахождения вектора в заданной
области в рассматриваемый момент времени. Однако для возможности
такого упрощения процесс v (t) и область Q должны удовлетворять
определенным условиям, при выполнении которых вектор v, однажды
покинув область Q, далее в эту область возвратиться не может.
Именно это является отличительным признаком кумулятивных мо-
моделей.
Назовем рассмотренную кумулятивность процесса v (t) поком-
покомпонентной. Чтобы условие B.43) для процесса v (t), описываемого
уравнением B.42), было выполнено, необходима неотрицательность
всех компонент вектора / (v, q) в правой части уравнения.
Другой подход к построению кумулятивных моделей основан на
введении нормы ||v| вектора v в пространстве V. Для n-мерного про-
пространства естественно взять евклидову норму
Возможно применение других норм, например
|[v|j = max {|с'± , . . .,\vn\\.
B.45)
B.46)
Потребуем, чтобы граница Г области й не зависела от времени,
а область Q была выпуклой. Последнее условие означает, что пря-
прямая, соединяющая любые две точки в области Й, должна целиком ле-
лежать в этой области. Тогда норму в пространстве V целесообразно
согласовать с границей Г. Пусть точка v — 0 принадлежит области
й. Проведем из этой точки луч через рассматриваемую точку v про-
пространства V. Этот луч пересекает границу Г в точке vr. Отношение
l|v| = |v|/|vr| B.47)
обладает всеми свойствами нормы. На границе Г норма B.47) равна
единице. Таким образом,
<2=={v:Jvf<l}, B.48)
т. е. о принадлежности вектора v допустимой области можно судить
по величине его нормы.
47
Для выпуклых областей простой конфигурации вместо B.47)
удобнее взять норму, согласованную с уравнением границы Г.
Так, если Г — эллипсоид, центр которого совпадает с началом коор-
координат, а главные оси направлены вдоль координатных осей, то до-
достаточно принять за новые компоненты вектора качества отношения
v\/v*, ..., у„/уА и далее использовать норму B.45). Здесь у?, ..., v"n —
длины полуосей эллипсоида. Аналогично, если область Я — прямо-
прямоугольный параллелепипед с центром в начале координат и полудли-
полудлинами ребер v*[, ..., Vn, то после перехода к новым компонентам
v\h\, ..., vjvn требуемая норма примет вид B.46).
Пусть сформулированные ограничения на допустимую область
Я выполнены. Процесс v (t) будет кумулятивным по норме ||v| на
рассматриваемом отрезке времени, если всюду на этом отрезке
выполнено условие
|| v (t) II >> || v (/) II (/ >/) B.49)
Очевидно, отсюда вытекают ограничения на уравнения B.41) и
B.42). Поскольку по условию необратимости B.49) норма ||v (t)\\ —
неубывающая функция t, то вектор v, достигнув границы» Г, уже не
возвратится в допустимую область. Следовательно, вероятность без-
безотказной работы на отрезке [t0, t] есть вероятность события ||v (t)]\ <
< 1:
P(/) = P{|v(/)||< 1}. B.50)
При этом принято, что v (tQ) ? Я, т. е. по условию в начальный
момент t0 вектор v находится в допустимой области.
Необратимость процесса v (t) по норме еще не означает прибли-
приближение к предельному состоянию. Например, предельная поверхность
Г может изменяться во времени так, что несмотря на увеличение
значений вектора v (t) предельное состояние не наступает. Если об-
область Я невыпуклая, то увеличение нормы ||v|| также еще не обеспе-
обеспечивает приближения к предельной поверхности (рис. 2.10, б). Зна-
Значения процесса v (t) увеличиваются в этом примере как по норме
B.45), так и по норме B.46). Однако вектор v вначале покидает об-
область Я, затем возвращается и снова покидает ее. При этом вероят-
вероятность события v (t) ? Я не совпадает с вероятностью пребывания
вектора v в области Я на всем отрезке [t0, t].
2.8. МОДЕЛИ МАРКОВСКОГО ТИПА
Пусть эволюция вектора качества v (/) представляет собой диффу-
диффузионный марковский процесс в пространстве V. Тогда переходная
плотность вероятности р (v, t[v0, t0) значений этого процесса удов-
удовлетворяет уравнению Колмогорова A938 г.)
-5—я— ЫтР) B.51)
dvj ^JF> r 2 ^J
с начальным условием р = б (у — у0) при t = t0. Здесь y,i и xjh —
интенсивности процесса (х;- — коэффициенты сноса, xjh — коэффи-
коэффициенты диффузии).
48
Найдя решение уравнения B.51), вычислим различные характе-
характеристики надежности системы, в частности, вероятность безотказной
работы на заданном отрезке времени и математическое ожидание
времени достижения предельной поверхности при заданном распре-
распределении начальных значений вектора .качества.
Допустим, вектор качества удовлетворяет дифференциальному
уравнению B.42). Установим условия, при которых решение этого
уравнения является диффузионным марковским процессом. Оче-
Очевидно, для этого нужно наложить ограничения на правую часть урав-
уравнения B.42), в частности, принять, что вектор нагружения q (t) пред-
представляет собой дельта-коррелированный во времени процесс. Только
при этом условии значения процесса v (t) не зависят от предыстории.
Запишем уравнение B.42) в виде
L
B.52)
В правой части стоит вектор-функция f (v, t) от вектора v и яв-
явного времени, а также произведение матрицы-функции G (v, t) на
векторный процесс | (t), компоненты которого — независимые белые
шумы единичной интенсивности. Если размерность вектора v равна
п, то такую же размерность имеет вектор f (v, t). При m-мерном
векторе | (t) матрица G (v, t) имеет размерность пХт. Предположим,
что f (v, t)wG (v, t) — непрерывные функции всех аргументов, а эле-
элементы матрицы G (v, t) — дифференцируемые функции компонент
вектора v.
"ь Уравнение B.52) представляет собой формальную запись вектор-
векторного дифференциального уравнения Ито A951 г.), которое эквива-
эквивалентно некоторому стохастическому интегральному уравнению.
Интегралы в уравнении берем в симметризованной форме Стратоно-
вича A964 г.). Тогда для интенсивностей процесса получаем выраже-
выражения
где fj — элементы вектора / (v, t) в уравнении B.52); gjt —элементы
матрицы G (v, t) в том же уравнении.
Многие задачи надежности для колебательных систем приводят
к уравнениям типа B.52). Например, если колебательная система с я
степенями свободы находится под действием белых шумов, то изме-
изменение ее фазовых переменных (обобщенных координат и обобщенных
скоростей) представляет собой диффузионный марковский процесс.
Если внешнее воздействие есть результат прохождения белых шумов
через некоторый линейный фильтр, то для получения диффузионного
марковского процесса необходимо расширить фазовое пространство,
Добавив компоненты, которые описывают процессы, происходящие
в фильтре.
Рассмотрим дифференциальное уравнение относительно переход-
переходной плотности вероятности p(v, t\v0, t0). Как функция переменных
49
v, t это уравнение имеет вид B.51). Для вычисления показателей на-
надежности целесообразно в качестве независимых переменных выбрать
компоненты вектора v0. Тогда относительно переходной плотности
вероятности получим сопряженное (обратное) уравнение Колмого-
Колмогорова
-^— - — V v /v М др
i=i dv<i'
Если интенсивности процесса не зависят явно от t, то переходная
плотность вероятности р (v, t\ v0, t0) зависит от разности t — t0, а не
от t и /0 отдельно. Тогда вместо B.54) получим уравнение
п
др \\ , , др .
/=i "'
п п
I ' Х1 V4 v /,, \ д2р /п га
—о~ 7 / ^jh \Vo) 5 о > \/,.оо)
которое положим в основу дальнейших вычислений. Это уравнение
описывает распределение значений процесса v(t) в зависимости от
его начальных значений v0. Если начальное значение — детермини-
детерминистическое, то решение уравнения B.55) должно удовлетворять усло-
условию р = б (v — v0) при vn (^ Q, t = ta.
Вычислим условную функцию надежности Р (t\\0), равную ве-
вероятности события, которое состоит в том, что система, которая при
t = t0 находилась в точке v0 G ^> ни разу не покинет область Q на
отрезке (t0, t\:
P(*|vo)==P{v(t) 6 Q; f € (to.t] | v(/0) = v0 ? O}. B.56)
Обозначим pT (v, t\\0, t0) — переходную плотность вероятности
для реализаций процесса v (t), поглощаемых предельной поверх-
поверхностью Г. Эта плотность вероятности удовлетворяет уравнению B.55)
с начальным условием рг = б (v — v0) при v0 ^ й, t = t0 и гранич-
граничным условиям рг = 0 при v0 (J Г, ( > /0. Условная функция на-
надежности B.56) связана с плотностью вероятности рг (v, i|v0, /0)
соотношением
Р(*Ы-=\ Pr(v,t\v0Jtt)dv. B
Интегрируя уравнение B.55) по области Q и учитывая формулу
B.57), найдем, что условная функция надежности также удовлетво-
удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова B.55). При t = t0 должно
быть v0 ? Q, что дает начальное условие Р (to\\o) -= 1. Когда про-
процесс v (t) достигает границы Г, функция надежности B.56) должна
50
обращаться в нуль. Это дает граничное условие Р (t\v0) = 0 при
оо € Г; t > t0.
Плотность вероятности времени до достижения границы Г свя-
связана с условной функцией надежности B.56) следующим образом:
nr(T|v0) = —дР (Т\\0)/дТ. Моменты случайной величины Т
со
©a(Vo) = \ Рт (Т | V0) T*dT
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
It.
s
= ~a9a_1 (a =1,2,...) B.58)
с граничными условиями 6a (v0) = 0 при v0 ? Г. При этом следует
принять 0О = 1. При а = 1 уравнение B.58) совпадает с известным
уравнением Понтрягина A933 г.) для математического ожидания
времени достижения границы:
п п
щ (v0) -Щ-+4- S S%ik (Vo) ?'» = —j • B ¦59)
Некоторые эффективные методы решения уравнений типа B.58)
и B.59) изложены в работе [74].
До сих пор мы считали, что начальное значение вектора v0 задано
детерминистически. Если при t = t0 задано распределение р (v0, t0)
его значений, то для вычисления безусловных показателей надеж-
надежности следует применить формулу полной вероятности. Например,
для безусловной вероятности безотказной работы
/>(/) = JP(*|vo)p(vo,/o)dvo. B.60)
n
2.9. МОДЕЛИ ПУАССОН О ВС КО ГО ТИПА
Наиболее подходящей моделью для описания отказов высокона-
высоконадежных систем является модель пуассоновского потока отказов.
Если этот поток однородный, для вероятности наступления отказов
на отрезке времени [0, t] имеем формулу B.17). Вероятность безот-
безотказной работы на том же отрезке определим по формуле B.13). Если
поток неоднородный, то для вероятности безотказной работы имеем
формулы B.11) и B.12), из которых первая соответствует случаю
Р @) = 1, вторая — случаю Р @) < 1.
Если интерпретировать безотказную работу как пребывание век-
вектора качества в допустимой области Q, следует связать интенсивность
отказов с поведением векторного процесса v (t) по отношению 'к пре-
предельной поверхности Г. Пусть Р @) ¦¦— 1, т. е. с вероятностью, рав-
равной единице, вектор v в начальный момент времени t -- 0 находится
51
в допустимой области, а выбросы из этой области на рассматриваемом
отрезке времени [0, t] — весьма редкие события. Число выбросов на
отрезке [0, t] есть случайная величина N (t), зависящая от времени
t как от параметра. Имеем соотношение
t
E[N(t)\ ее Л@« \l(-z)dx, B.61)
о
связывающее математическое ожидание числа выбросов из допусти-
допустимой области с интенсивностью отказов. Отсюда получаем прибли-
приближенную формулу для вероятности безотказной работы
Р (t) да ехр [— A(t)l B.62)
Точность результатов, полученных по этой формуле, тем выше, чем
ближе к единице значения Р (t). Согласно формулам B.61) и B.62)
интенсивность отказов приблизительно равна производной по вре-
времени от математического ожидания числа выбросов процесса v (t) из
допустимой области Q:
М0~-^Е[#@]. B-63)
Для высоконадежных систем несколько упростим формулу B.62),
разложив экспоненту в степенной ряд и сохранив два члена ряда
Р (t) да 1 —A(t). B.64)
Формула B.64) дает для вероятности безотказной работы строгую
оценку снизу при условии, что Р @) = 1. Наряду с этим нетрудно
получить оценку сверху, заключив таким образом искомые значения
вероятности безотказной работы в вилку [8]
1 - Е [Л' @1 <P(t)< 1 - ^ Е [N @1 + "Г Е [N2 {t)l B-65)
Здесь Е LV2 (t) ] — средний квадрат числа выбросов процесса
из области Q на отрезке [0, t]. Поскольку для строго пуассоновского
потока Е [№¦ (t)) — Л (t) — Л2 (t), то выражение, стоящее в правой
части неравенства B.65), совпадает с первыми тремя членами разло-
разложения экспоненты в степенной ряд.
Общий способ для получения этих оценок основан на следующих
соображениях. Пусть Q1 (t), Q2 (t), ... — вероятности однократного,
двухкратного и т. д. выбросов процесса v (t) из области Q на отрезке
[0, t]. Тогда вероятность события, состоящего в том, что на этом
отрезке произойдет хотя бы один выброс (функция риска), составляет
со
Q@=SQ/.@- B-66)
Наряду с вероятностью Q (t) рассмотрим моменты от числа выбро-
выбросов N (t):
Е^@ (а- 1,2,...). B.67)
52
Задача состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение
для Q (t) в виде линейной функции первых п моментов от числа выбро-
выбросов и определить знак остаточного члена. Поскольку для редких от-
отказов элементы последовательности Qx (t), Q2 (t), ... быстро убывают,
то естественно потребовать, чтобы остаточный член не содержал
моментов, порядок которых ниже п + 1.
Итак, ищем приближенное значение для функции риска в виде
Qn(t)= 2 zaE[N"(t)], B.68)
a=l
где za — искомые коэффициенты.
Комбинируя B.66)—B.68), составим разность точного и прибли-
приближенного значений функции риска:
Q (t) - Qn (t) = S A - S k«za) Qk (t) -f Rn+l (t). B.69)
k=\ \ a=l /
По условию погрешность не должна зависеть от Q1 (t), ..., Qn (t).
Тогда система уравнений для вычисления коэффициентов гъ ..., zn
должна иметь, вид
S ^ага=1 (k=\,...,n). B.70)
a=l
Явное выражение для остаточного члена в B.69) имеет вид
] B.71)
+ a=l /
При п = 1 и п = 2 из уравнений B.70) соответственно получаем
гг — 1 и zx = 3/2, г2 = —V2. При этом знаки остаточных членов
R-i (t) < 0 и R3 (t) 5г 0, что соответствует двусторонним оценкам
B.65). Приняв в соотношениях B.68), B.70) и B.71) п = 3 и п = 4,
получим уточненные двусторонние оценки
_-g-E
B-72)
К сожалению, ценность уточненных оценок невелика из-за того,
что вычисления моментов Ё [Aa (t)], начиная с а = 2, слишком
громоздкие. Некоторые подробности, а также указания на ранние
работы приведены в книге [8].
2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ
ЧИСЛА ОТКАЗОВ
В моделях пуассоновского типа основным показателем надеж-
надежности является математическое ожидание A (t) = Е [Л' (t) ] числа
выбросов дифференцируемого процесса v (t) из допустимой области Q
53
на заданном отрезке [0, t\. Введем формулу
для вычисления этого показателя в предполо-
предположении, что Q — односвязная область в «-мер-
«-мерном пространстве, ограниченная неподвижной
гладкой поверхностью Г. Пусть процесс v (t) —
ординарный в том смысле, то вероятность
двукратных, трехкратных и т. п. выбросов на
достаточно малом отрезке времени достаточно
мала. При t = 0 вектор v находится в области
Q. Для решения задачи необходимо иметь со-
совместную плотность вероятности р (v, v; t) про-
процесса v (t) и его первой производной v (t) в сов-
совпадающие моменты времени на всем отрезке
[О, t]. Для математического ожидания числа
выбросов процесса v (t) в единицу времени используем обозначе-
обозначение К (t), т. е. такое же, как и для интенсивности отказов. В при-
приближенных расчетах не делаем различия между этими понятиями.
Рассмотрим достаточно малый отрезок времени At. Обозначим
Qi (At) вероятность того, что за отрезок А^ произойдет один выброс
из области Q; Q2 (At) — вероятность того, что произойдет два вы-
выброса, и т. д. По условию Qx (At) -— О (At), но Qh (At) = о (At) при
k = 2, 3, ..., поэтому для математического ожидания числа выбро-
выбросов в единицу времени имеем сотношение
д/
Рис. 2.11
Вероятность, входящая в эту формулу, относится к следующему
сложному событию; на отрезке времениА/ вектор v находится в неко-
некотором тонком слое AQ, окружающем поверхность Г, а вектор произ-
производной v имеет положительную проекцию Ьп > 0 на направление
внешней нормали п к поверхности Г. Отсюда
= |
dv\
>0 ДЙ
B.74)
Заменим в формуле B.74) интегрирование по слою AQ интегриро-
интегрированием по поверхности Г. Для этого предтавим слой AQ в виде
совокупности элементарных цилиндров с основанием dT и высотой
vn At (рис. 2.11). Тогда вместо формулы B.74) получим
Q: (АО ¦= At\dT \ p (vr, v; /) vndv '- о (At).
г ;„-о
Здесь vr — звачение вектора v на поверхности Г.
Подставив результат в формулу B.73), приходим к окончатель-
окончательной формуле
k(t)---\dT j p (vr, v; t) vndv.
B.75)
54
Пример 2.4. Пусть v (t) — одномерный случайный процесс, а область задана
посредством ограничения v < v^. Формула B.75) принимает вид
со
X(t)-r= j/ф*, v;t)vdv. B.76)
о
Если процесс v (/) — стационарный, то р (v, v; t) — Pi (v) Рч. (О). Вместо B.76)
получаем
со
МО --PiK) \p-2(v) vdv. B.77)
о
В частном случае, когда процесс стационарный и нормальный, имеем
1 Г (V - аJ 1
Pi (v) - —— ехр ' ' '
Здесь а — математическое ожидание процесса v (t); 0" — его дисперсия; о^ —диспер-
—дисперсия его первой производной.
Дисперсия a2v и о^ связаны со спектральной плотностью Sv (со) процесса v (t)
соотношениями
оо со
Оу —¦ St,(co)(ico; а| = j So (to) co2rfco.
—оо —оо
Учитывая, что
J ех
приведем формулу B.77) к виду (i1,, > a):
О"-',
ехр
(у* — аJ
B.79)
2 лег-,
Если ввести обозначение для эффективной частоты процесса
Г<ю -|1 2Г» "I—I 2
Sj, (ш) coVco fso(co)dco , B.80)
J Lo J
которая в случае узкополосного процесса практически совпадает с несущей частотой,
то формула B.79) примет вид
Формула Р (t) = ехр (—Щ в применении к стационарному про-
процессу v (t) содержит внутреннее противоречие. Очевидно, вероят-
вероятность выполнения неравенства v < ц.. в начальный момент t = 0
есть Р @) — 1 — Fv (р^) < 1. Здесь Fv (v) — функция распределе-
распределения значений процесса о (t). Тогда формула для Р (t) должна содер-
содержать предэкспоненциальный множитель 1 — Fv (vj). С другой сто-
стороны, если при t -- 0 отказ не наступил, то при t > 0 следует рас-
рассматривать нестационарный случайный пронес, начальные значения
55
которого удовлетворяют условию v < v^. Для высоконадежных си-
систем погрешности, связанные с тем, что мы полагаем Р @) » 1 или
принимаем, что процесс при t > 0 мало отличается от стационарного,
невелики [8].
Много примеров вычислений по формулам типа B.75) и B.76)
приведено в работах [8, 29, 81 ], в которых рассмотрены области
различной конфигурации, области с переменной (в том числе случай-
случайной) границей и т. п. Полезные приближенные оценки можно полу-
получить, если наряду с заданной областью Q рассматривать описанные
и вписанные в нее области, а также использовать формулы полосового
приближения. Подробности приведены в работе [8], где также рас-
рассмотрены методы оценки показателей надежности для распределен-
распределенных систем.
2.11. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
К РАСЧЕТУ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ
Большая часть расчетов машин и конструкций основана на нор-
нормативных документах, предназначенных для использования в широ-
широкой практике конструкторских бюро, проектных организаий, заво-
заводов. Эти документы не ориентированы на использование в явной
форме вероятностных моделей и ограничиваются лишь ссылками
на статистические источники для получения расчетных данных и пути
их уточнения. Однако в последнее время результаты теории надеж-
надежности все шире применяют при разработке, уточнении и обосновании
нормативных материалов. Начата работа по созданию норм второго и
третьего поколений, основанных непосредственно на вероятностно-
статистических методах. Эти методы начали широко использовать
при расчете особо ответственных объектов, при анализе крупных
аварий и т. п. В некоторых отраслях уже разработаны оправдавшие
себя на практике инженерные методики назначения показателей
безотказности, долговечности и безопасности [61 ]. Примером слу-
служит гражданская авиация, где в силу специфики отрасли нормиро-
нормирование безопасности составляет предмет обсуждений и соглашений на
международном уровне. Развернута программа аналогичных работ
в области атомной энергетики и освоения континентального шельфа.
В каждой отрасли проблему решают по-разному, однако методиче-
методические основы носят общий характер.
В прикладных расчетах целесообразно различать три категории
отказов. К. первой категории отнесем отказы, не приводящие к дли-
длительным или опасным перебоям в работе объекта. Это отказы второ-
второстепенных элементов, а также некоторых основных агрегатов, ко-
которые по своему характеру являются сменными. Надежность по от-
отношению к этой группе отказов назовем эксплуатационной. За основ-
основные показатели эксплуатационной надежности естественно принять
среднюю наработку на отказ или интенсивность отказов. Последний
показатель должен удовлетворять условию
M/)«V. /€ [0,7,1, B.82)
56
AW
¦T* t
Рис. 2.12
где ^ — предельно допустимая (назначенная) интенсивность отка-
отказов; Т# — назначенный ресурс или срок службы.
Если интенсивность К (t), по крайней мере, на заключительной
стадии экспуатации есть неубывающая функция времени, то вместо
B.82) можно взять условие X (Т#) < ^.. Поскольку увеличение ре-
ресурса неизбежно связано с удорожанием, то для второстепенных
элементов и сменных агрегатов нет необходимости назначать ресурс,
равный ресурсу объекта в целом. Эти элементы целесообразно разби-
разбивать на группы, назначив для каждой группы свои показатели ки,
%%%, ... и Ти, Т#ъ, ..., по возможности согласовав их с периодич-
периодичностью планово-профилактических мероприятий (рис. 2.12, а). В ряде
случаев целесообразнее назначать планово-предупредительные за-
замены элементов, отказы которых отнесены к категории эксплуата-
эксплуатационных. Важной составной частью эксплуатационной надежности
служит ремонтопригодность, в частности наличие и доступность за-
запасных частей и сменных агрегатов.
Вторая категория отказов — это предельные состояния основных
элементов оборудования. Эти отказы лимитируют ресурс объекта
в целом. Выработка ресурса происходит при нормальных условиях
эксплуатации и нормальных (расчетных) условиях окружающей
среды. Механические и физико-химические процессы, сопровождаю-
сопровождающие выработку ресурса, носят необратимый характер. Процессы
развиваются медленно, что делает их относительно легко предска-
предсказуемыми (в вероятностном смысле). Пусть Р (/) — вероятность того,
что предельное состояние не будет достигнуто на отрезке [0, t].
Условие для принятия решений имеет вид
Здесь Р^ — предельно допустимое (нормативное) значение вероят-
вероятности Р (t). Если значение Р^ соответствует некоторому оптималь-
оптимальному использованию ресурса, то необходимо стремиться к тому, чтобы
условие B.83) было выполнено со знаком равенства (рис. 2.12, б).
На стадии проектирования это означает приведение ожидаемого рас-
распределения фактического ресурса в соответствие с назначенным ре-
ресурсом. В частности, если необходимо обеспечить гарантированный
ресурс Tg < Г*, то вместо B.83) имеем Р (Tg) = 1.
К третьей категории отказов отнесем аварийные ситуации. Ава-
Аварии, как правило, есть результат редко встречающихся неблаго-
57
приятных сочетаний нагрузок и воздействий, стихийных явлений.
Пусть Н (t) — вероятность возникновения такой ситуации на отрезке
[О, t]. Эта вероятность должна удовлетворять условию (рис. 2.12, в)
ЯG)<Я,; /eiO.Tj, . B.84)
где Я* — предельно допустимое (нормативное) значение риска.
Каждое из словий типа B.82)—B.84) содержит две величины —
назначенный срок службы Т% (назначенный ресурс) и один из норма-
нормативных показателей безотказности. В сущности, величина Т%, удов-
удовлетворяющая условию B.83) при знаке равенства, есть назначенный
гамма-процентный ресурс при у = Р^-ЮО %. Таким образом, пока-
показатели Т^ и Р# взаимно обусловлены. Их значения следует искать
как решение совместной оптимизационной задачи, в которой как на-
назначенный ресурс, так и вероятность достижения предельного со-
состояния рассматривают как искомые величины. Но функция Р (t)
зависит от параметров объекта и параметров, которые характеризуют
условия его эксплуатации. Совокупность этих параметров также вхо-
входит в число переменных, по которым производят оптимизацию целе-
целевой функции (математического ожидания конечного экономического
эффекта или другого инегрального показателя эффективности и т. п.)
В результате мы приходим к весьма общей и сложной оптимизацион-
оптимизационной задаче,которая включает в себя модель объекта, модель условий
его эксплуатации, а также экономико-математическую модель. Усло-
Условие безопасности B.84), а также технические условия типа неравен-
неравенства B.82) входят при этом в число ограничений.
В настоящее время в основном применяют эвристические под-
подходы, основанные на поэтапном рассмотрении отдельных показателей
и их назначении на основании опыта проектирования и эксплуата-
эксплуатации аналогичных или родственных объектов. Так, при назначении
срока службы используют как экономические соображения, основан-
основанные, например, на сроке окупаемости или критерии максимальной
чистой прибыли, так и неэкономические критерии, основанные на
оценках темпов технического прогресса. Сложнее дать обоснованные
значения вероятностей Р^ и Я*. Так, нормативный риск Я* должен
быть весьма мал по сравнению с единицей. При этом его абсолютные
значения (например, порядка 10~6 и даже менее) обычно не поддаются
ни рациональному обоснованию, ни, тем более, опытной проверке.
Расчетам на надежность нетрудно придать форму, которая соот-
соответствует выбору параметров и конструктивных решений на стадии
проектирования. Введем вектор а, значения которого характеризуют
совокупность технических параметров, выбираемых на стадии
проектирования. Показатели долговечности и безопасности в общем
случае являются функциями а. Для нахождения вектора а получим
уравнения типа Р (Т*; а) —- Р.м, Я (Т„.; а) = Я* и т. д. Часть усло-
условий для показателей сохраняют форму ограничений. Размерность
вектора а обычно велика. За исключением элементарных модельных
примеров, эта задача является недоопределенной, т. е. число урав-
уравнений меньше числа неизвестных. Это отражает типичную ситуа-
ситуацию при прэгхгиээзачии, югдэ в распэч кг u i ко icrpy.<rэ м
58
имеется большее число параметров, чем уравнений и ограничений,
а решение задачи не является единственным. Математический путь
для устранения неединственности решений основан на использова-
использовании оптимизационных критериев, обобщающих конструктивные,
технологические, эксплуатационные и другие требования и ограни-
ограничения. Показатели надежности естественным образом входят либо
в целевые функции, либо в ограничения. Различные постановки опти-
оптимизационных задач в теории надежности конструкций рассмотрены
в работе [8].
Еще одна группа факторов, которые необходимо учитывать в при-
приложениях теории надежности к расчету конструкций и машин, от-
отражает неполноту и частичную неопределенность используемой
информации. Эта неопределенность имеет, по крайней мере, два источ-
источника. Первый источник связан с тем, что предметом теории надежно-
надежности служат случайные события, величины и процессы. Для выбора
вероятностных моделей и назначения их параметров имеется стати-
статистическая информация, объем которой всегда ограниченный, причем
часто недостаточный. Второй источник — отсутствие информации
о некоторых сторонах явлений или о параметрах моделей.
Параметрами неопределенности статистического происхождения
являются величины, с помощью которых в математической статистике
оценивают уровень доверия к результатам обработки опытных дан-
данных. Так, вероятностные модели, используемые в теории надежности,
являются не более чем моделями: их соответствие действительности
необходимо проверять как статистические гипотезы. Мерой этого
соответствия является уровень значимости и мощность критерия,
примененного для проверки гипотезы. При интервальной оценке
параметров появляется еще одна группа величин — коэффициенты
доверия, равные вероятности того, что истинное значение параметра
лежит в заданном интервале. Границы интервала существенно зави-
зависят как от коэффициента доверия, так и от объема выборки.
Пример 2.5. Нижняя интервальная оценка для математического ожидания нор-
нормальной величины с известной дисперсией о2 составляет а1 (\i) = а — г1ап~1 2,
верхняя оценка а2 (ц) — а + z2on~' 2. Здесь а — статистическое среднее; п — объем
выборки. Коэффициенты гг и z2, от которых зависит ширина интервала, связаны
с коэффициентом доверия ,и соотношением [х = Ф (г2) — Ф (—Zj), где Ф (z) — нор-
нормированная функция распределения Гаусса B.39). Чем больше коэффициент доверия,
тем шире доверительный интервал при заданном объеме выборки. При малых выбор-
выборках и высоком коэффициенте доверия ширина интервала достаточно велика. Напри-
Например, при |х = 0,95 имеем z1 = г2 «2. Таким образом, если даже считать, что гипо-
гипотеза о нормальном распределении полностью соответствует действительности, остается
высокий уровень неопределенности по отношению к численным значениям пара-
параметра. Это обстоятельство часто недооценивают в расчетах на надежность.
Пусть, например, задача состоит в вычислении вероятности безотказной работы
Р (О = Р {ц (Л s) < г), где скалярный параметр воздействия s имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием а и дисперсией а2. Заменив математиче-
математическое ожидание а его интервальной оценкой \а i(jx), а2 (|х) ] с коэффициентом доверия [х,
получим семейство распределений р (s; ц), зависящее от |х как от параметра. Ему
соответствует семейство зависимостей Р (t\ |x) для функции надежности. При грубой
оценке принимают а = а, что соответствует середине интервала. Однако более
осторожным является расчет с использованием верхней интервальной оценки
а% (Н)- При увеличении коэффициента доверия оценка станет все более консерватив-
59
ной, а прогнозируемые значения предельного ресурса станут меньше. Увеличивая
объем выборки, т. е. увеличивая достоверность информации, получаем более узкие
доверительные интервалы, что позволяет делать более оптимистические прогнозы
о надежности и долговечности.
Пример 2.6. Проиллюстрируем неопределенность, вызванную недостатком ин-
информации. Допустим, машину проектируют применительно к двум разным регионам.
Условия эксплуатации (например, природно-климатические) в этих регионах суще-
существенно различны и достаточно хорошо изучены. Возвращаясь к примеру 2.7, пред-
предположим, что в одном регионе параметр нагрузок s задан плотностью вероятности
pt (s), в другом — плотностью вероятности р-2 (s). Если машина массовая, причем
известна оценка [х вероятности того, что наугад взятая машина попадет в первый
регион, то естественно для расчета плотность вероятности принять р (s) = \ipt (s) +
+ A — |х) р2 (s). Однако если машина уникальная, а регион эксплуатации заранее
не известен, то параметр \i становится неопределенным. Выбор значения этого па-
параметра из отрезка [0, 1 ] есть предмет специального волевого решения. Аналогичная
ситуация возникает, если машина является массовой, однако будущее распределение
машин по регионам неизвестно.
Из приведенных примеров видно различие между двумя источ-
источниками неопределенности. Если неопределенность статистического
характера можно уменьшить, увеличив объем статистических выбо-
выборок, то неопределенность второго рода носит качественный характер.
При появлении новой информации качественная неопределенность
может стать статистической. Независимо от этого все параметры не-
неопределенности можно объединить в одну группу, характеризуемую
некоторым вектором jx. Рассматривая этот вектор как неизвестную
переменную величину, вычислим показатели типа Р (t; ц), Н (t; ц)
и т. д. На стадии проектирования необходимо принять решение от-
относительно значений вектора |и. Именно устранение неопределен-
неопределенности этого типа составляет одну из основных задач проектирования,
решаемых на высоком уровне. В инженерной практике эти решения
носят волевой характер, будучи основанными на опыте, интуиции
и внешних обстоятельствах. Между тем, эти решения допускают фор-
формализацию с применением теории статистичских решений и теории
оптимизации. В принципе возможно построение целевых функций,
включающих в качестве аргументов как технические параметры
объекта, так и параметры неопределенности.
Большинство норм расчета носят детерминистический характер.
Часто высказывают сомнения в принципиальной возможности при-
применения теории надежности к машинам и конструкциям, особенно
если они уникальные или малосерийные. Связанные с этим проблемы
рассмотрены в работах [17, 88]. Основное затруднение — неполнота
и недостоверность статистической информации для выбора вероят-
вероятностных моделей и оценки их параметров. Но это затруднение ти-
типично для многих других прикладных теорий, основанных на ве-
вероятностно-статистических методах. Назначение теории в таких слу-
случаях—дать общую схему расчета и указать направления,по которым
должно идти совершенствование нормативных материалов и накоп-
накопление статистической информации.
3. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
3.1. ПОНЯТИЕ О МЕРЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Выработка ресурса машин и конструкций связана главным обра-
образом с накоплением необратимых повреждений в их деталях, узлах и
элементах. Эти повреждения бывают как механического (усталость,
изнашивание, растрескивание, накопление пластических дефор-
деформаций), так и физико-химического происхождения (коррозия, эро-
эрозия, адсорбция). Многие виды повреждений носят смешанный ха-
характер. Так, процессы изнашивания трущихся деталей могут вклю-
включать явления механического, физического и химического происхож-
происхождения. Несмотря на многообразие перечисленных явлений, их можно
описать в рамках единой полуэмпирической теории, связывающей
скорость накопления повреждений с действующими нагрузками и
условиями окружающей среды. Ни одна из моделей этой теории не
ставит целью объяснить или детально описать явления. Полуэмпи-
Полуэмпирические модели служат для решения инженерных задач, связанных
с расчетом на долговечность и прогнозированием ресурса. Единствен-
Единственное назначение этих моделей — дать средства для расчета, обладаю-
обладающие максимальной простотой и использующие в качестве исходной
информации минимальное число опытных данных.
Обычно модели изнашивания, модели накопления усталостных
повреждений и другие рассматривают раздельно, хотя они имеют
много общего и для их описания используют одни и те же или очень
близкие математические соотношения. Много общего есть также
в технике применения полуэмпирических моделей для расчета и
прогнозирования ресурса. Одна из первых попыток общего под-
подхода к описанию процессов накопления повреждений была сде-
сделана автором (в 1959 г.). Библиографические ссылки приведены
в книге [17].
Самые простые модели основаны на введении скалярной меры
повреждений. Опишем повреждения, накопленные в детали, элементе
конструкции или узле, с помощью скалярной функции времени г|) (/).
Считаем, что функция г|э (t) принима«Гзначения из отрезка 10, 1 ].
При этом значение г|з = 0 соответствует случаю, когда повреждения
отсутствуют, значение г|) = 1 соответствует уровню повреждений, при
котором деталь, элемент или узел выработали свой ресурс. Выбор
физических состояний, отвечающих этим крайним значениям, доста-
достаточно произволен. Так, для пары трения в зависимости от постановки
задачи за начальное состояние можно принять состояние непосредст-
непосредственно после заводского изготовления либо состояние после окончания
Обкатки или приработки. При необходимости учета технологических
61
дефектов для начального состояния можно принять \\> @) = г|;0%
где 0 < Ц;о < 1.
Значение г|з = 1 также допускает многозначное толкование. Для
пары трения это значение соответствует предельно допустимому
износу. Для детали, в которой накапливаются усталостные повреж-
повреждения, значение \\> — 1 может соответствовать либо появлению первой
макроскопической трещины, либо этапу развития этой трещины, на
котором следует ожидать внезапного разрушения детали. Промежу-
Промежуточные значения \|з обладают еще большей неопределенностью. Если
для износа за меру \р можно принять отношение глубины износа к его
предельно допустимому значению, то для усталостных повреждений
столь простое толкование отсутствует. Сложные явления, сопровож-
сопровождающие накопление повреждений, также нельзя описать с помощью
одной скалярной характеристики. В связи с этим наряду со скаляр-
скалярной мерой повреждений рассмотрим векторные меры, для компонен-
компонентов которых проще найти физическое истолкование.
Несмотря на перечисленные недостатки, скалярные меры повреж-
повреждений широко используют в инженерных расчетах. Причина состоит
не только в простоте такого подхода. В задачах прогнозирования ре-
ресурса скалярная мера повреждений допускает интерпретацию, не
связанную непосредственно с физической картиной повреждений
материала, детали или элемента конструкции. При этом мера по-
повреждений играет роль параметра, который характеризует условия
нагружения и воздействия окружающей среды, позволяя прогнози-
прогнозировать показатели ресурса при сложных условиях на основании
опытных данных, относящихся к более простым условиям нагруже-
нагружения. В результате мы получаем возможность применять понятие
меры повреждений для таких ситуаций, когда ее физическое истолко-
истолкование утрачивает смысл.
Полагая вначале, что мера \р полностью характеризует уровень
повреждений объекта (детали, элемента или узла) в каждый момент
времени, обсудим общую форму уравнений, которые описывают из-
изменение меры \j) во времени. Пренебрегая последействием, примем,
что приращение функции \|з (t) на некотором малом отрезке времени
зависит лишь от значения \|з в начале отрезка и от нагрузок, действу-
действующих на этом отрезке. Следует различать непрерывное и дискретное
время. При непрерывном времени для меры повреждений имеем диф-
дифференциальное уравнение
$ ), C.1)
в правой части которого стоит функция / (\|э, q) меры повреждений \р
и вектора нагрузок q. Последний считаем заданной функцией вре-
времени q (t). Чтобы уравнение C.1) описывало кумулятивный процесс,
функция / (г)), q) должна быть неотрицательной. Кроме того, как
обычно, следует наложить ограничения, при которых решение урав-
уравнения C.1) существует и является единственным (достаточно потре-
потребовать интегрируемость по явно входящему времени t и непрерывную
зависимость от ty).
62
Процесс q (t) включает силовые, деформационные, температур-
температурные, химические и т. п. воздействия, влияющие на выработку ресурса.
В простейшем случае это скалярный процесс ц (t) изменения пара-
параметра, с точностью до которого заданы все внешние силы, действую-
действующие квазистатически. При длительном циклическом нагружении
с медленно изменяющимися амплитудами и частотами в качестве аргу-
аргумента t естественно принять «медленное» время; при этом амплитуда
И частота как функции «медленного» времени должны войти в число
составляющих векторного процесса q (t). В зависимости от содержа-
содержания инженерной задачи роль аргумента может играть наработка,
измеряемая как в единицах времени, так и в других подходящих еди-
единицах. Существенно лишь, чтобы этот аргумент, называемый в даль-
дальнейшем просто временем, можно было использовать при описании
процессов \|з (t) и q (t).
Пусть в начальный момент t = О мера повреждений имела значе-
значение i|j = 0. Время Т до исчерпания ресурса определим, решив обрат-
обратную краевую задачу для уравнения C.1) с граничными условиями
гКО) = 0; Ч>(Л = 1. C.2)
Рассмотрим случай, когда в качестве аргумента целесообразно
использовать дискретное время, например циклическое нагружение.
За цикл примем отрезок времени, заключенный между двумя после-
последовательными положительными пересечениями параметром нагрузки
некоторого среднего (в общем случае тоже переменного) уровня.
Каждый цикл охарактеризуем значениями следующих один за дру-
другим максимумов и минимумов параметра нагрузки. Образуем из
совокупности этих значений вектор q,,. К составляющим вектора qn
при необходимости добавим временные характеристики, например,
продолжительность цикла и параметры его спектрального состава.
Если по условиям эксплуатации процесс нагружения объекта
может быть разбит на блоки однотипной структуры, то его естест-
естественно представить в виде последовательности блоков. Примером
служит нагружение конструкции крыла самолета на протяжении
одного полета [61 1. Каждому полету соответствует блок нагружения
общей продолжительностью Atn. Блок включает нагрузки от движе-
движения по неровностям взлетно-посадочной полосы, медленно изменяю-
изменяющиеся нагрузки, связанные с набором высоты, крейсерским полетом
и снижением, а также нагрузки от атмосферной турбулентности и вы-
выполнения маневров во время полета. Если каждый из типов нагрузок
охарактеризовать набором числовых параметров, то совокупность
всех этих параметров образует вектор qn, соответствующий п-му
„полету.
Пусть п — номер цикла или блока, причем п = 0 соответствует
начальному состоянию. Значение меры повреждений непосредственно
после окончания п-го цикла или блока обозначим \рп. Вместо диффе-
дифференциального уравнения C.1) имеем его конечно-разностный аналог
^-^x-u'Cfn-L.q») (n-1,2,...) C.3)
63
с граничными условиями
Ф« = 0, i|)w - 1. C.4)
Здесь Л' — номер цикла или блока, соответствующий исчерпанию
ресурса.
В правой части уравнения C.3) стоит неотрицательная функция
^(Фп-ъ Чп) вектора нагрузок n-го блока и меры повреждений tyn_i,
соответствующей окончанию (п — 1)-го блока.
Пусть число п достаточно велико, a qn и \\>п — медленно изменяю-
изменяющиеся функции параметра п. Полагая приближенно \|з„ — tyn_L »
« Фр/dn, введем сглаженную аппроксимацию для уравнения C.3):
¦$Г = и>®,Ф- C-5)
Это уравнение аналогично уравнению C.1), но аргументом здесь
является число п. Чтобы перейти к естественному времени, достаточно
знать частоту dnldt. Поскольку принято, что частотные характери-
характеристики нагрузки входят в векторный процесс q (t), то сглаженные про-
процессы дискретного нагружения также удовлетворяют дифференциаль-
дифференциальному уравнению C.1).
В ряде задач прогнозирования ресурса необходимо одновременно
учитывать непрерывное и дискретное нагружения, например при
расчете сооружений с учетом сейсмических нагрузок. В масштабе
медленного времени, соответствующем сроку службы сооружения,
сейсмические воздействия — кратковременные события. В масштабе
быстрого времени сейсмическое воздействие характеризуют ускоре-
ускорениями грунта. Каждое такое воздействие — нестационарный случай-
случайный процесс. Его основные характеристики (максимальное ускорение,
продолжительность землетрясения, параметры его спектра) описы-
описывают землетрясение как случайное событие, происходящее в мас-
масштабе медленного времени. Поэтому последовательность землетря-
землетрясений — поток случайных событий. Помимо сейсмических нагру-
нагрузок на сооружение действуют также постоянные, эксплуатационные
и климатические нагрузки, которые вызывают накопление поврежде-
повреждений, развертывающееся в медленном времени. Для описания такого
смешанного процесса нагружения используем уравнение C.1) при
более широких предположениях о свойствах его правой части и про-
процесса нагружения q (t). В частности, считаем, что процесс q (t) содер-
содержит особенности типа дельта-функции.
3.2. ЛИНЕЙНОЕ ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ
ПОВРЕЖДЕНИЙ
Рассмотрим частный случай уравнения C.1), когда его правая
часть не зависит от меры повреждений i|;. При заданном процессе
нагружения q (t) правая часть уравнения — явная функция времени.
Решение уравнения с начальным условием гр @) = 0 имеет вид
т. C.6)
б
64
Время Т до достижения предельного состояния определим из ус-
условия \р (Г) = 1. Введя обозначение Ть (q) = 1// (q), где q = const,
придем к следующему уравнению для определения Т:
Если q = const, то Т = Тъ (q). Это означает, что величина Тъ (q)
равна ресурсу при стационарном режиме нагружения с заданным
значением вектора q.
Аналогичный результат получим для дискретного нагружения.
Пусть правая часть в уравнениях C.3) не зависит от ^n-i- Введем
обозначение Nb (q) = \lw (q), где q = const. При этом Nb (q) имеет
смысл числа циклов или блоков, соответствующих исчерпанию ре-
ресурса при q = const. Чтобы получить условие для определения пре-
предельного числа N при сложном режиме нагружения, достаточно про-
просуммировать уравнения C.3) при п = 1, 2, ..., N и приняты^ = 1-
В результате получим
¦I V
=1. C.8)
Уравнения C.7) и C.8) выражают известное линейное правило
суммирования повреждений соответственно для непрерывного и дис-
дискретного процессов нагружения. Это правило было предложено
Пальмгреном A924 г.) применительно к расчету подшипников на дол-
долговечность и затем было распространено на другие задачи, связан-
.ные с накоплением повреждений, в частности, в расчетах на уста-
усталость (Д. Н. Решетов, 1945 г.; Майнер, 1945 г.) и длительную проч-
прочность (Робинсон, 1952 г.).
Зависимости Тъ (q) при непрерывном нагружении и Nb (q) при
дискретном определяют из простейших испытаний. Назовем эти ис-
испытания, а также соответствующие зависимости Ть (q) и Nb(q) базо-
базовыми. Таким образом, линейное правило суммирования поврежде-
повреждений позволяет оценивать показатели долговечности при произволь-
произвольных (в том числе — случайных) режимах нагружения по результатам
базовых испытаний.
Физическое истолкование для линейного правила суммирования
повреждений основано на следующих простых соображениях. При
произвольном п решение уравнений C.3) с правой частью, не завися-
зависящей от tyn-i, имеет вид
Здесь Аг);,г == l/Nb (qft) — повреждение, вносимое k-ш циклом или
блоком.
Таким образом, левая часть в уравнении C.8) получена сумми-
суммированием повреждений от каждого цикла или блока в отдельности.
При непрерывном времени, когда ресурс Т удовлетворяет уравнению
3 Болотин В. В. 65
а)
C.7), получаем аналогичное толкование. При этом величина
dxlTb [q (т) ] равна повреждению, накапливаемому на отрезке
[т, т + dx].
Простейший способ экспериментальной проверки линейного пра-
правила суммирования состоит в следующем. Образец подвергают дей-
действию нагрузок с вектором qx в течение времени At2, а затем нагрузок
с вектором q2 вплоть до отказа. Если линейное правило верно, то
оставшееся время до отказа А^2 должно удовлетворять условию
w+tts)-1-- <310>
Аналогично при дискретном нагружении числа циклов или бло-
блоков щ и пг, соответствующие первой и второй стадиям нагружения,
должны быть связаны соотношением
__ 1
C.11)
Зависимость C.11) проиллюстрирована на рис. 3.1, а, где исполь-
использованы обозначения vx = nJNb (q^, a v2 = n2/Nb(q2). Если ли-
линейное правило суммирования верно, то все опытные точки, соот-
соответствующие различным комбинациям q±, q2 и п, должны ложиться
на одну прямую. В действительности этого не происходит ¦— наблю-
наблюдается весьма большой разброс опытных данных.
Проверка линейного правила суммирования повреждений ослож-
осложнена тем, что сопротивление образцов имеет статистический разброс.
При этом относительно небольшой разброс уровней нагружения
обычно сопровождается значительным разбросом показателей долго-
долговечности. Между тем именно показатели долговечности входят
в соотношение C.11). Величины я1( n2, Nb (qx) и Nb (q2) относятся
к одному образцу. Значение пх выбирает экспериментатор, а три
других величины должны быть найдены в результате испытаний.
Чтобы определить опытным путем n2, Nb (qj и Nb (Ч2) Для одного
и того же образца, нужно этот образец разрушить трижды. Таким
образом, соотношение C.11) можно проверить, сопоставив его с со-
соответствующим уравнением регрессии, найденным на основе боль-
большого числа испытаний. К сожалению, для проверки линейного пра-
правила суммирования повреждений обычно испытывают сравнительно
небольшую партию образцов, так что выводы из этих опытов с точки
66
зрения математической статистики не обладают достаточной досто-
достоверностью.
Согласно соотношениям C.8) и C.9) линейное правило суммиро-
суммирования включает в себя постулат о независимости суммарного повреж-
прикладываемых нагрузок. На этом
'йГ О
д р ру
основан другой способ прЬвер'йГТТравила. Образец"подвергают дей-
действию нагрузок различного уровня qb q2, ..., изменяя последова-
последовательность нагрузок. Если линейное правило суммирования верно,
то долговечность не должна зависеть от порядка приложения нагру-
нагрузок. Кроме того, при непрерывном нагружении к моменту исчерпа-
исчерпания ресурса интеграл
т
f , C.12)
о
[q
а при дискретном нагружении — сумма
N
k=l
Nb (qft)
C.13)
должны быть равны единице независимо от последовательности на-
гружения. Эти соотношения такжене подтверждаются в эксперимен-
экспериментах. Так, предельные значения $N, соответствующие исчерпанию
ресурса, принимают в испытаниях на усталость значения от 0,1
до 10. В отдельных случаях они изменяются в еще более широких
пределах.
В связи с этим способом проверки линейного правила суммиро-
суммирования справедливо замечание, сделанное ранее по отношению к пер-
первому способу. Так, чтобы проверить справедливость соотношения
C.8) для одного и того же образца при k различных режимах нагру-
жения, следовало бы один и тот же образец разрушить по крайней
мере k + 1 раз. Таким образом, и здесь для проверки линейного
правила необходимо использовать методы математической стати-
статистики. Эти методы применяли многие авторы. Наиболее известны
выводы Скийве A962 г.) который собрал из 19 отчетов результаты
усталостных испытаний около 4000 образ- v
цов из алюминиевых сплавов. Он получил
среднее предельное значение ^>N = 1,72 при
среднем квадратическом отклонении а$ =
= 1,68. Дальнейшие исследования пока-
показали, что результаты статистической обра-
обработки усталостных испытаний сильно зависят
от выбора базовой зависимости Nb (q) и
способа схематизации циклов. Доулинг
A972 г.), использовав для подсчета числа и
амплитуды повреждающих циклов «правило
падающего дождя», получил для алюминие-
алюминиевого сплава среднее значение tyN = 0,86. По-
Последний обстоятельный анализ опытных дан-
3* 67
0,99
0,90
0,5
V
0/1
//
1 ///
7 W
: jfof
05 1
Рис. 3.2
ных опубликован в работе [144]. На рис. 3.2 приведены результаты,
заимствованные из этой работы. Эмпирическая функция распределе-
распределения F (tyN) построена в логарифмически нормальных координатах.
Прямая / соответствует стальным образцам и стальным сварным
конструкциям, прямая 2 — алюминиевым сплавам, прямая 3 —
объединенным данным для 479 образцов. По объединенным данным
были получены следующие оценки: i|rv = 1,15; Стф == 0,68. :
3.3. ГИПОТЕЗА ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ ПРОЦЕССА
НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Одно из спорных следствий из линейного правила суммирования
повреждений состоит в том, что согласно этому правилу мера повреж-
повреждений при базовых испытаниях увеличивается по линейному закону.
Это не согласуется с непосредственными наблюдениями различных
процессов, таких как изнашивание, усталость, коррозия и т. п.
Основные соотношения C.7) и C.8) для оценки суммарного ресурса
можно получить при более широких предположениях о законе
изменения меры повреждений во времени [17].
Пусть мера повреждений i|) при базовых испытаниях зависит от
времени нелинейно (рис. 3.3, а). Предположим, что зависимости
41 = ^ь (t, q), где q = const, введением безразмерной переменной
t/Tb (q) при произвольном постоянном q можно привести к еди-
единому виду
ib = g[t/Tb(q)]. C.14)
Это означает, что число переменных при описании процесса на*
копления повреждений уменьшено до единицы (рис. 3,3, б). Оче*
видно, функция g (и) должна удовлетворять условиям g @) = 0,
g A) = 1. Кроме того, функция g (и) должна быть непрерывной и
при всех рассматриваемых значениях и должно выполняться уело*
вие#' (и) > 0. Например, при расчетах на усталость надо исключить
из рассмотрения напряжения меньше предела выносливости.
Продифференцируем соотношение C.14) по t и выразим правую
часть результата через ij)b. Для этого используем обратную функ-
функцию g'1 (фь), которая в соответствии*с предположением о монотон-
u-t/w
ности функции g (•) в рассматриваемой области значений q одно-
однозначна. В результате получим
dj>b _ g' [g (г|)ь)] /о 1 сч
Соотношение C.15) соответствует случаю, когда q = const. Но
поскольку оно связывает приращеиие меры if с его значением и уров-
уровнем нагрузки в рассматриваемый момент времени, то естественно
предположить, что соотношение C.15) справедливо и для общего
случая нагружения. Это соответствует принципу причинности в пред-
предположении, что наследственные эффекты пренебрежимо малы. В ре-
результате приходим к уравнению
dt ~ Гь(Ч) ' VA°>
где обозначено
fiW^g'lg-'Wl C.17)
Проинтегрируем уравнение C.16) при начальном условии г|з @) =
= 0. Переменные в уравнении разделяются, так что
г|з t
I 7ГЖ = 1 П [qV)] ' (ЗЛ8)
о о
Предполагаем, что функции /х (г|>) и Ть (q) таковы, что интегралы
в обеих частях существуют. Правая часть в уравнении C.18) зависит
только от процесса нагружения q (/). Введем для нее обозначение
jthW- <ЗЛ9>
Величина г|э (t) совпадает с мерой повреждений, определяемой
согласно линейному правилу суммирования. В данном случае эта
величина не является мерой повреждений — назовем ее псевдопо*
вреждением. Левая часть соотношения C.18) удовлетворяет тож-
тождеству
ч>
Окончательно получаем
Ч>@=?[*@]- C.20)
Формула C.20) представляет собой основное соотношение для
модели накопления повреждений, основанной на гипотезе об авто-
модельности этого процесса. Аргументом в правой части этого соот-
соотношения служит величина, которая в рамках линейного правила
суммирования имеет смысл повреждения, а в рамках гипотезы об
автомодельное™ — смысл некоторой характеристики процесса на-
нагружения на рассматриваемом отрезке времени. Поскольку g A) =
= 1, то условие для вычисления ресурса Т совпадает с C.7). Таким
образом, уравнения для вычисления ресурса имеют одинаковый вид
как в случае, когда справедливо линейное правило суммирования
повреждений, так и в случае, когда справедлива гипотеза об авто-
модельности. Однако в отличие от линейного правила, гипотеза об
автомодельности позволяет описать нелинейную зависимость меры
повреждений от наработки при базовых испытаниях, а также более
сложные зависимости при произвольном нагружении. Этот факт не
имеет особого значения для прогнозирования ресурса на стадии
проектирования, но становится весьма существенным в задачах
о прогнозировании остаточного ресурса.
Пример 3.1. Рассмотрим случай, когда г])ь (/) = [tlTb (q)]v, где у— положи-
положительный показатель степени. При у < 1 эта формула описывает замедляющийся
процесс накопления повреждений, а при7> 1 — ускоряющийся процесс. В обозна-
чениях формулы C.20) имеем g (if>) = т|>т, так что g (if)) = if> /v. С учетом формулы
C.17) получаем /i (if) = "yif)'v~1)'/v, т. е. основное уравнение C.1) имеет вид
ЧГ= ть(ц) • C>21)
С математической точки зрения гипотеза об автомодельности
процесса накопления повреждений эквивалентна предположению,
что правая часть уравнения C.1) есть произведение двух множи-
множителей, один из которых зависит только от г|з, а второй только от q:
-57- = /iA>)Mq). C-22)
Условия, накладываемые на функции /х (ф) и /2 (q), сводятся
к требованию существования интегралов в левой и правой частях
соотношения
1
т8г
о о
причем левая часть должна быть нормирована к единице:
Если интеграл в C.23) отличен от единицы, необходимо выпол-
выполнить перенормировку функций fx (^) и /а (q) в правой части урав-
уравнения C.22).
Пример 3.2. Рассмотрим частный случай уравнения C.22) dty/dt —
— A — $)~% (q), где (д. > 0. Поскольку
1
то для приведения уравнения к виду C.16) следует принять fj(ib) = A -{" (*¦)(' ~
Тогда ТЪ (q) = A + (i)//? (q), '
7Q
Интеграл б левой части условия C.23) может расходиться из-за неинтегрируемой
особенности у функции 1//х (т|)) на отрезке [0, 1]. Наличие такой особенности при
«ф = 0 указывает на то, что начальное условие -ф @) = 0 для уравнения C.1) некор-
некорректно. Чтобы устранить некорректность, начальное условие следует взять в виде
1|> @) = % > 0.
Пример 3.3. Рассмотрим уравнение типа C.22) dty/dt = г|)/2 (q). Интеграл, стоя-
стоящий в левой части соотношения C.23), для этого»уравнения расходится. При г|) @) =
= 1|;0 > 0 решение уравнения имеет вид
) @ = ^о exp I j/г [q (т)] dx .
lo J
Ресурс Т, определяемый из условия гр (Г) = 1, существенно зависит от началь-
начального значения г|;0. Это типично для случаев, когда выработка ресурса связана с ростом
трещин. Роль г|з0 играет начальный размер трещины или трещинообразного дефекта,
отнесенный к некоторому предельному размеру (см. также 3.14 и 3.15). Линейное
правило суммирования C.12) здесь непригодно.
Аналогичные результаты получим применительно к дискретному
процессу нагружения. Запишем конечную формулу для меры по-
повреждений в конце п-го цикла или блока:
*п = ?(Фп). C-24)
Здесь tn — псевдоповреждение, вычисляемое по формуле типа C.13)
C-25)
ч Соотношение для вычисления предельного числа циклов N
. noj-прежнему имеет вид C.8). Для этого необходимо, чтобы правая
часть конечно-разностного уравнения C.3) была представлена в виде
w Ol>ft-i> 4ft) = wi Ota-i) wi Dft). причем сумма ряда
A=l
должна быть конечной при любых п (в том числе при п = 1). Функ-
Функция g (•) в формулеC.24)должна удовлетворять условию g A) = 1,
для чего достаточно провести перенормировку функций w± (^fe-i)
и W2 (Чп) в выражении для w (i|>ft_lt qh).
3.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУММИРОВАНИЯ
ПОВРЕЖДЕНИЙ
По существу гипотеза об автомодельности процесса накопления
повреждений приводит к нелинейному закону суммирования (по
крайней мере, на промежуточных стадиях). Рассмотрим общий слу-
случай уравнения C.1), когда его правую часть нельзя представить
в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только
от г|), вторая — только от q (t). При этом меру повреждений не удается
представить в виде функции от интеграла типа C.19) или суммы
типа C.25), характеризующих только процесс нагружения. История
нагружения становится существенным фактором, влияющим не только
71
на промежуточные значения меры повреждении, но и на конечные
соотношения для определения полного ресурса.
Поясним это на примере уравнения типа C.21), отличающегося
тем, что параметр у зависит от уровня нагрузки q:
-?
C.26)
Применим уравнение C.26) к случаю двухступенчатого нагру-
жения. Пусть при 0 <: t<tt действует нагрузка, характеризуемая
значением qx, а при t > t± до исчерпания ресурса — нагрузка, ха-
характеризуемая значением q2. Интегрируя уравнение C.26) на пер-
первом отрезке, получаем ty (t) = [tlTb (qx) P Di). После интегриро-
интегрирования на втором отрезке при начальном условии, определя-
ляемом при t = tlt находим
Значение \p = 1 будет достигнуто при условии
Ah -}v(g.)/TD.) , Aft _ ,
+1
где А^ = tlt At2 = Т — fx.
Соотношение C.27), аналогичное формуле C.10), обращается
в нее при у (qx) = 7 (Чг)- Если у зависит от уровня! нагрузки, то
связь между значениями v2 = А^/Ть (qx) и v2 = AtJTb (q2), 'соот-
'соответствующими выработке ресурса, в общем случае нелинейная
(см. рис. 3.1, б). При этом в зависимости от вида функции у (q)
эта модель может включать как повреждающие, так и упрочняющие
эффекты предварительного нагружения. Например, если q — ска-
скалярный параметр и у {q-^ > у (q2) при qx > q2, то предварительное
нагружение с более высоким значением q будет вызывать уменьшение
ресурса. Если у (q^) < у (q2) при q1 > q2, то при тех же условиях
ресурс увеличивается.
Чтобы судить о степени отклонения от результатов, которые дает
линейное правило суммирования, найдем предельное значение
псевдоповреждения C.19) применительно к двухступенчатому на-
гружению:
^) = w + w- C-28)
Сравнение формул C.27) и C.28) показывает, что в зависимости
от отношения у (qx)/7 (<h) псевдоповреждение при А^ + At2 = Т,
т|з (Т) = 1 лежит в пределах
0 < -ф (Т) < 2. C.29)
Нижний предел получаем при у (qx)/Y (q2) -> 0, верхний предел
при у (qx)/v (q2) ->¦ °° (этому случаю соответствуют штриховые ли-
линии на рис. 3.1, б). Неравенство C.29) свидетельствует о том, что
нелинейная модель суммирования повреждений, которой соответ-
соответствует дифференциальное уравнение C.26), может давать существен-
72
ное отклонение от результата ф (Т) = 1. Для этого нужно, чтобы
параметр у (ч),в уравнении C.26) сильно зависел от уровня на-
нагрузки q.
Полученный вывод нетрудно обобщить на произвольное число
ступеней нагружения. Пусть нагрузка на образец изменяется сту-
ступенчато: qx, q2, ... . Обозначим моменты перехода с одной ступени
нагружения на другую /ь t2, ..., а продолжительность каждого
нагружения Д/х, At2, .... Число ступеней обозначим т. Для вычис-
вычисления меры ip имеем рекуррентное соотношение
C.30)
Вычислив по формуле C.19) псевдоповреждение при Д^ +
+ • • • + Atm = Т, \р (Т) = 1, получим, что оно лежит в пределах
0 <$ (Т) < т. C.31)
Нижний предел был бы достигнут, если бы при всех k = 1, ..., т
было выполнено условие у ((\h-dh (Чь) ~*~ 0- Верхний предел будет
достигнут, если при всех k выполнено условие у (qh_i)/v (qs) -*¦ °°.
Если q — скалярный параметр, у (q) — монотонная функция этого
параметра, то приближение к этим предельным условиям получим
только, когда эта функция изменяется очень быстро, а последова-
последовательность q±, ..., qm — монотонно возрастающая или монотонно убы-
убывающая. При большом числе ступеней трудно ожидать, чтобы усло-
условия, накладываемые на функцию у (q), были выполнены. При изме-
изменении порядка уровней нагружения эффект истории нагружения
сглаживается в еще большей степени, поэтому для изучения нели-
нелинейных эффектов суммирования повреждений необходимо в первую
очередь проводить опыты при возрастающих и убывающих нагрузках.
3.5. МНОГОСТАДИЙНАЯ МОДЕЛЬ
Особое место среди нелинейных моделей накопления поврежде-
повреждений занимают многостадийные модели, отражающие тот факт, что
многие процессы накопления повреждений состоят из двух или
большего числа стадий, каждая из которых протекает по своим за-
законам. Типичная зависимость, состоящая из трех стадий, показана
на рис. 3.4. Эту зависимость можно
интерпретировать, например, как изме-
изменение износа при постоянных нагруз-
нагрузках. Первая, начальная стадия —
приработка. При значении t = Tbl (q)
износ достигает значения \|) = г^,
после чего наступает вторая стадия,
в течение которой скорость изнаши-
изнашивания приблизительно постоянна.
Большинство деталей вырабатывает
свой ресурс именно на этой стадии.
73
0 Tbl(q) ТЬг(д)
Рис. 3.4
При t = Tb2 (q) и \|i = г|J начинается заключительная стадия —
интенсивное изнашивание. Предельное состояние наступает при
t — Tbs (q)- Для этого состояния г|) = г|)„. = 1. Если за предель-
предельное состояние принимают момент окончания стадии установившегося
изнашивания, процесс состоит из двух стадий. При этом следует
принять \|J = 1.
Аналогичные зависимости можно построить для многих других
видов накопления повреждений. Такой вид имеют, например, диа-
диаграммы ползучести углеродистых сталей. Величина г|) имеет смысл
деформации ползучести, а параметр q — уровня напряжений либо
температуры. Процесс деформирования состоит из стадии неуста-
неустановившейся ползучести, основной стадии, на которой скорость
ползучести остается практически постоянной, и этапа прогрессиру-
прогрессирующего повреждения, который завершается разрушением образца
или детали. Относительные продолжительности каждой стадии и
уровни нагрузок, при которых происходит переход от одной стадии
к другой, существенно зависят от уровня напряжений и темпера-
температуры испытания.
Автор A959 г.) предложил многостадийную модель в сочетании
с гипотезой об автомодельности для каждой стадии в отдельности.
Допустим, что, введя безразмерное время, отнесенное к продолжи-
продолжительности каждой стадии, зависимость \|)ь (t) можно привести к виду
Ь@ = ^ + № - «8k
[Tb,k-i(<\)<t<Tbh(q); k=l,...,m]. C.32)
Здесь v^ft^ и % — меры повреждений, соответствующие началу
и завершению k-н стадии; (\|з0 = 0; лрт = 1); Тъ,и_г (q) и Tb,h (q) —
моменты начала и завершения k-и стадии при q = const (Tbl0 = 0);
gk (u) — некоторые функции, описывающие закон накопления по-
повреждений для каждой стадии. На эти функции накладываем те же
условия, что и на функцию g (и) в соотношении C.14).
Выполнив преобразования, аналогичные тем, которые были
сделаны для соотношения C.14), получим дифференциальное урав-
уравнение относительно меры повреждений г|з:
ЪШ/Ты(ч) @ < ф < fc),
(Я) - ТЬ1 (q)] № < $ < Ь),
1Г
C.33)
- 4W) fm ШТъш (q) - Tb, m_x (q)]
В правую часть этого уравнения входят функции /*. (\|)) =
—g'k [^(ф)], аналогичные функции /х (\|з) в уравнении C.16). Здесь
Ф = 0|э — tyh-i)/(tyh — 4Vi)- В отличие от формул C.32), которые
относятся к базовым испытаниям, уравнение C.33) пригодно для
описания процесса накопления повреждений при произвольном
74
процессе нагружения q (t). Для каждой стадии в отдельности это
уравнение допускает решение путем разделения переменных. В ре-
результате приходим к последовательности уравнений
Th
r dT =1 (?=!,...,/я), C.34)
J Tbh [q (т)] - Ть, ft_i [q (т)]
rfe-i
решив которые, найдем значения Т, ..., Тт. Очевидно, полный
ресурс Т = Тт. В частности, для процесса накопления поврежде-
повреждений, состоящего из двух стадий, ресурс Т можно определить, решив
следующую систему уравнений:
dx , f dx
= 1; J
J Гй1[Ч(т)] ~1; J ТЬ2 [q (т)] - Гы [q (т)] "~1- C'35)
О Г,
Здесь 7\ — продолжительность первой стадии.
Применим уравнения C.35) к двухступенчатому нагружению.
Пусть при 0 < t < A^ действует нагрузка qx = const, а при f =s A^
нагрузка q2 = const. При Afx < Tbl (qx) уравнения C.35) прини-
принимают вид
ТыШ ' Гы(Ч2) ' 7-Ь2 (q2) - ГЬ1 (
при А^ > ТЬ1 (q) имеем
Т — Г ("п ¦) A<1 ~ Tl 1 Т — Ah __ ,
1 i61^4^' ГЬ2 (qx) - Ты (qi) ^ ГЬ2 (q2) - ГЬ1 (q2)
В эти уравнения, кроме полного ресурса Т, входит продолжи-
продолжительность первой стадии 7\. Исключив 7\, приходим к соотноше-
соотношениям, связывающим продолжительности этапов нагружения А^ и
М Т А^
1. Kt ^-Т
2Г=1' ^2 ^ 7-и (Ql). C.36)
Соотношения C.36) проиллюстрированы на рис. 3.1, в. Зависи-
Зависимость между безразмерными временами Vj = A^/7b2 (qx) и v2 =
= At2/Tb2 (q2) кусочно-линейная. Псевдоповреждение C.12) также
удовлетворяет неравенствам C.29). Штриховые линии на рис. 3.1,в
соответствуют предельному случаю ф (Т) — 2. Если число ступе-
ступеней равно ш, то приходим к неравенствам C.31). Как и для нели-
нелинейной модели, заданной уравнением C.26), предельные значения
¦ф (Т) могут быть достигнуты лишь при выполнении весьма жестких
75
условий. Перемешивание ступеней нагружения обычно приводит
к тому, что величина ф (Т) приближается к значению -ф (Т) = 1,
которое соответствует линейному правилу суммирования повреж-
повреждений.
3.6. ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
НА ПРОЦЕСС НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Явления повреждения и разрушения обнаруживают четкую
вероятностную природу, начиная с атомно-молекулярного уровня
и кончая уровнем машины, конструкции или сооружения, поэтому
результаты испытаний на долговечность имеют значительный ста-
статистический разброс. Так, циклическая долговечность при испыта-
испытаниях на усталость может изменяться при одной и той же амплитуде
напряжений на порядок и даже более. К числу факторов, влияющих
на разброс механических свойств, относятся различные дефекты
(например, трещины, включения и пустоты), а также несовершенство
или неустойчивость технологического процесса и контроля качества.
Механические свойства конструкционных металлических материа-
материалов неодинаковы для различных плавок, и тем более для продукции
различных заводов и поставщиков, поэтому при прогнозировании
ресурса на стадии проектирования необходимо учитывать и эту
составляющую разброса механических свойств.
Рассмотрим влияние статистического разброса свойств материа-
материалов, деталей и узлов на оценку ресурса с применением полуэмпири-
полуэмпирических моделей накопления повреждений. Для характеристики
свойств введем некоторый вектор прочности г, компоненты кото-
которого — случайные величины. При этом прочность понимаем в широ-
широком смысле, включая сюда сопротивление усталости, ползучести,
изнашиванию, коррозии и т. п. Для индивидуального образца или
элемента конструкции, для каждой детали вектор прочности при-
принимает определенное значение. Свойства генеральной совокупности
образцов, элементов или деталей описываем с помощью совместной
плотности вероятности рт (г) компонентов этого вектора. Выбор
генеральной совокупности зависит от постановки задачи, в частности
от того, рассматриваем мы программные лабораторные испытания,
ведем прогнозирование ресурса на стадии проектирования или оце-
оцениваем остаточный ресурс для конкретного эксплуатируемого объ-
объекта.
Чтобы подчеркнуть зависимость показателей долговечности от
свойств рассматриваемого образца или детали, используем обозна-
обозначения условной вероятности. Например, ресурс Tb (q) при базовых
испытаниях в непрерывном режиме нагружения обозначим Tb (q[r).
Для аналогичной величины при дискретном режиме нагружения
вместо Nb (q) используем обозначение Afb(q|r). Если прочность
характеризуется скалярным параметром г > 0, а уровень нагрузки—
соответствующим скалярным параметром q ^ 0, то простейшее соот-
соотношение для Ть (q | г) имеет вид
Tb(q\r) = tc(r/qy«. C.37)
76
Рис. 3.5
Здесь tc — постоянная, имеющая размер-
размерность времени или наработки; т — по-
положительный показатель.
Выбор величин г и tc взаимообуслов-
взаимообусловлен. Так, если г имеет смысл прочности
при стандартных кратковременных испы-
испытаниях, то tc следует интерпретировать
как характерную продолжительность этих
испытаний. Если г характеризует проч-
прочность при длительных испытаниях на не-
некоторой базе, то tc приобретает смысл про-
продолжительности базы испытаний.
При дискретном нагружении вместо
C.37) используем формулу
Nb(q\r) = Nc(r/q)m, C.38)
где Nc — характерное число циклов или блоков. Например, если
формула C.38) предназначена для обработки результатов испытаний
на усталость, то естественно интерпретировать г как предел вынос-
выносливости при базе испытаний, равной Nс. В формулах C.37) и C.38)
г — случайная величина, плотность вероятности которой рг (г)
считаем известной. Первая из этих формул проиллюстрирована на
рис. 3.5, где числа у прямых — показатели надежности.
При прогнозировании ресурса следует учитывать, что статисти-
статистический разброс показателей долговечности, как правило, значи-
значительно превышает статистический разброс соответствующих пока-
показателей прочности, трещиностойкости, износостойкости и т. п. Это
утверждение имеет принципиальное значение, поэтому обсудим его
более подробно [19]. Используем формулу C.37), полагая, что пара-
параметр прочности г имеет функцию распределения
Fr(r)=l-exp[-(r//-c)«]. C.39)
Здесь гс — характерное значение прочности (детерминистическая
величина), показатель а^ 1. Формула C.39) описывает двухпара-
метрическое распределение Вейбулла, которое часто используют для
обработки результатов механических испытаний.
Статистический разброс параметра прочности зависит от пока-
показателя а: чем больше а, тем компактнее распределение параметра г.
Для коэффициента вариации получим формулу
_ ГГA+2/а) j-Ji/2 0
г~~ Lr*(i + i/«) j • FЛ)
При больших значениях а имеем асимптотическую оценку [17]
wr = я/ (а/6) + 0A /а2). C.41)
Найдем функцию распределения ресурса при базовых испыта-
испытаниях, т. е. при q = const. Обозначим эту функцию FT (T). Учиты-
Учитывая, что
FT G1) = Р {г < </ (Г//с)'"»} - Fr
77
wT
1,0
0,5
0
/77=/2\^ /
IF
ЧИП /
1 ////.
//// у
1
0.1
0,1
получим для Т распределе-
распределение Вейбулла
FrG)==l-exp[-
~(q/re)«(T/te)»]. C.42)
Показатель степени C,
входящий в формулу C.42),
связан с показателем m в
формуле C.37) и показате-
показателем а, характеризующим
разброс параметра прочно-
прочности, соотношением
Р = а/т. C.43)
Для коэффициента ва-
вариации ресурса при базовых
испытаниях имеем формулу
wr типа C.40):
Рис. 3.6
wT
_ г ГA+2/Р)
""" Lr»(i + i/P)
C.44)
При т — 1 имеем а = р, так что коэффициенты вариации проч-
прочности и ресурса совпадают. Как правило, т > 1. Исключение со-
составляют некоторые модели, описывающие механическое изнашива-
изнашивание, скорость которого пропорциональна первой степени номиналь-
номинального давления и относительной скорости. При обработке испытаний
на ползучесть и усталость обычно получают значение т з& 4. При
этом показатель р, вычисленный по формуле C.43), значительно
меньше показателя а, а разброс ресурса — значительно больше,
чем разброс прочности. Этот факт иллюстрирует рис. 3.6, кривые
на котором построены по формулам C.40), C.43) и C.44). Напри-
Например, если а = т = 10, то при коэффициенте вариации прочности
wr — 0,05 имеем коэффициент вариации ресурса wT ж 0,4. Таким
образом, ^тот факт, что показатели прочности имеют малый стати-
статистический разброс, еще не означает, что этим разбросом при прогно-
прогнозировании ресурса можно пренебречь.
3.7. ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
НА РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ
Рассмотрим способ проверки линейного правила суммирования
повреждений путем испытаний по двухступенчатой программе [17,
20]. Для определенности рассмотрим непрерывное нагружение.
Допустим, что справедливо линейное правило, тогда суммарная про-
продолжительность испытания до отказа Т = Мг + Д/2 удовлетворяет
уравнению C.10). Чтобы подчеркнуть, что все параметры, входящие
в это уравнение, принадлежат одному образцу, запишем уравне-
уравнение C.10) в виде
*Ь(Ч1,ъ1г) , C45)
78
|г)
Tb (q21 г)
= 1.
При этом продолжительность первого этапа Л^ — задаваемая ве-
величина, а продолжительность второго этапа At2 зависит от уровней
нагружения qt и q2, а также от вектора г.
Непосредственно проверить уравнение C.45) невозможно, по-
поскольку для этого необходимо разрушить один и тот же образец
трижды. В действительности можно проверить лишь регрессионную
зависимость статистического среднего от At2, принимая в качестве
аргумента продолжительность первого этапа Д/х. Решив уравнение
C.45) относительно Д?> и взяв математическое ожидание от обеих
частей получаемого соотношения, приходим к линейной регрессион-
регрессионной зависимости
Е [Д*2] = Е [Тъ (qg)] - Е [Тъ (Ча)/Гь Ы] Д^. C.46)
Представим зависимость C.46) в виде, аналогичном соотноше-
соотношениям C.10) и C.45):
Е [ТЬ Ы
.
E[Tb(q2)] "Г Е[Гь(Ч»)]
Уравнение C.47) отличается от указанных соотношений тем, что
вместо случайных величин в него входят соответствующие матема-
математические ожидания. Если выполнено условие
Е [Тъ Ы1ТЬ Ы] = Е [Ть (qa)]/E [Ть (Чг)], C.48)
то зависимость C.47) принимает вид
Ah , Е [М2] _ , п4д)
Е[ГЙ(Ч1)] I E[7-b(q,)]
В сущности, экспериментаторы проверяют именно зависимость
C.49), полагая, что она есть прямое следствие линейного суммирова-
суммирования повреждений. В действительности же соотношение C.49) выте-
вытекает из линейного правила лишь при весьма специальном условии
C.48), которое будет выполнено, если например, функция Ть=Ть(ц |г)
имеет вид C.37) или, в более общем случае, может быть пред-
представлена в виде произведения двух функций, одна из которых
зависит только от q, вторая только от г.
Если условие C.48) не выполнено, то линия на плоскости пере-
переменных
v, = А/х/Е [Ть Ы]; v2 = Е [А/^/Е [Ть (q2)] C.50)
не пройдет через точку @, 1).
При обсуждении опытных данных необходимо учитывать также
и то, что соотношения типа C.46) и C.47) содержат математические
ожидания, в то время как из опытов можно найти лишь их стати-
статистические оценки. Доверительный уровень этих оценок зависит от
объема выборок. Эти объемы не одинаковы при оценке разных ве-
величин. Так, для оценки величин Е [Тъ (qj ] и Е [Tb (q2) ] как пра-
правило, существует больше опытных данных, чем для оценки величины
Е [А^21. Поскольку база испытаний ограничена некоторой величи-
величиной tc, то все образцы, предельное состояние которых не наступило
при Ktx + А/, <: tc, не входят в выборку. Кроме того, эксперимен-
79
таторы, как правило, не учитывают образцы, которые не выходят
на вторую ступень испытания. Чтобы дать точное описание этих
факторов, введем следующие обозначения для усеченных множеств
значений вектора г:
A0=\r:Tb(q\r)<.Q;
A = \r:Tb(q\r)^&tl; A/1^A/2<4}- C.51)
Для математических ожиданий, взятых по этим множествам,
используем обозначения Ел0 [• ] и Ел [• ]. При заданной плотности
вероятности значений вектора г для этих математических ожиданий
по усеченным множествам имеем формулы
j
Pr(r)dr
I pr (r) &т
(г) ск
Выведем зависимость типа C.47), в которую вместо переменных
C.50) войдут аналогичные переменные, выраженные через математи-
математические ожидания от 7"b(q|r) по усеченному множеству Ло. Решив
уравнение C.45) относительно Д/2 и взяв математическое ожидание
по множеству Ао, получим уравнение
VA (Чь q2. Vj) -f v2h2 (q.,, v^ -= 1, C.53)
v, = AtL!EAo [Tb (q,)]; v2 = EA [А/,]/Ел„ [Tb (q2)]; C.54)
К = Е^„ [Ть (qx)] EA [7Ь(Ч2)/Г6 Dl)]/EA [Tb (q.,)];
Н2=ЕДо[Ть(Ч2)}/ЕА[ТьЫ1. C.55)
Сравним зависимость C.53) с уравнением
vi + v2 =1, C.56)
которое соответствует предположению, что соотношения типа C.10)
и C.45) справедливы и для переменных C.54). Для этого решим
уравнения C.53) и C.56) относительно v2 и составим выражения для
разности Av2 значений v2:
Av2 = [1 - vA(Qi. q2. ^)]-'^(q2, vx) - A - vx). C.57)
Если Av2 > 0, то ординаты v2 кривой на плоскости \\, v2, уравнение
которой имеет вид C.53), лежат выше прямой C.56). При Av2 <0
ординаты расположены ниже этой прямой. Знак неравенства Av2 =g 0
зависит от соотношения между уровнями нагрузки на первой и вто-
второй ступенях. К сожалению, исследование знака Av2 можно про-
провести лишь для конкретных выражений функции Тъ (q | г) и плот-
плотности вероятности рг (г).
Пример 3.4. Считаем, что^ ил — скалярные величины, а зависимость Ть (<? | г)
имеет вил C.37). Для г примем трехпараметрическое распределение Вейбулла
fO (г<г„),
f(L 358)
8П
Здесь г0 ^г 0; rc — r() > 0; a ^ 1. Распределение
C.58) больше подходит для описания результатов
испытаний на усталость, чем, например, двухпара-
метрическое распределение C.39). Результаты, по-
полученные для непрерывного процесса нагружения,
можно применить к циклическому нагружению,
если под t понимать непрерывную аппроксимацию
числа циклов я, под 4 — аналог базы испытаний
и т. д. При этом г имеет смысл предела выносли-
выносливости как случайной величины, а г0 — порого-
порогового значения предела выносливости. Предел вы-
выносливости углеродистых сталей обычно имеет ко-
коэффициент вариации примерно 10 %. Чтобы полу-
получить такой коэффициент вариации для распреде-
распределения C.58), достаточно принять а = 4, го/(гс —
—г0) = 2. Для показателя кривых усталости при-
примем т = 8.
Результаты вычислений с учетом формул
C.54), C.55) и C.57) приведены на рис. 3.7. Ма- _
тематические ожидания C.52) были найдены чис-
численным интегрированием. Кривые /, 2 и 3 построены
для случая, когда qi,lro= 1,2. Значения qjru при-
приняты равными соответственно 1,4; 1,6 и 1,8. Кри-
Кривые Г, 2' и 3' построены для программ, в которых
принята обратная последовательность нагружения
ющими кривыми /, 2 и 3. В
/
6JS
0
015
- "Лиг ^ "
з/
/г
W
/
/
i
'r/J-
71'/
0,5
Рис. 3.7
по сравнению с соответству-
соответствур дальнейшем программы с возрастающими уровнями
нагрузки называем восходящими, с убывающими уровнями — нисходящими про-
программами.
Если qx < </_>, кривые при V] > 0 целиком лежат в области Av2> 0. Это значит,
что линии регрессии для продолжительности второй ступени нагружения располо-
. жены выше прямой C.10). Этот факт может быть истолкован экспериментатором
как упрочнение образцов вследствие тренировки при нагружении на более низком
уровне. При qx > q-< и не слишком больших \\ отрезки кривых на рис. 3.7 попадают
в область Ду2 < 0. Это соответствует эффекту кажущегося разупрочнения. В исход-
исходной модели, описываемой уравнениями C.45), возможность упрочнения или разупроч-
разупрочнения для индивидуального образца исключена.
Причина обнаруженного эффекта — усечение выборок при испытаниях. Исклю-
Исключение образцов, не удовлетворяющих условию Ть (?i | r) ^ A^i, приводит к образова-
образованию ансамбля образцов, которое в среднем прочнее, чем первоначальный ансамбль.
Исключение образцов, не удовлетворяющих условию А/х + А^2 =sc tc, приводит к об-
образованию ансамбля менее прочных образцов. При достаточно малых значениях
Д/х два механизма взаимодействуют, причем конечный результат зависит от соотно-
соотношения между уровнями нагрузки первой и второй ступеней.
Испытания, проведенные по произвольной программе нагруже-
нагружения, исследованы в работе [201. Рассмотрим результаты этой работы,
взяв для определенности случай непрерывного нагружения. Считаем
справедливым линейное правило суммирования и учитываем ста-
статистический разброс вектора прочности. Тогда формулу C.6) запи-
запишем в виде
dx
Ть \ц (т) 1 г]
C.59)
Поскольку базовая зависимость Ть (q ] г) для индивидуального
образна неизвестна, заменим эту зависимость ее математическим
XI
ожиданием, т. е. вместо меры повреждений C.59) рассмотрим харак-
характеристику
/ C'60)
К моменту исчерпания ресурса эта характеристика принимает
значение ф [Т (г)]. Это значение — случайное, в общем случае не
равное единице. Чтобы найти распределение величины ф [Г (г)],
следует применить формулу C.59) при t = Т (г), где Т (г) удовлет-
удовлетворяет уравнению
Г (г)
! ттнетдг-1- <3-61>
о
Решение поставленной задачи удается получить лишь при не-
некоторых предположениях относительно вида функции T6(q|r).
Пусть эта функция представляет собой произведение двух сомножи-
сомножителей, один из которых зависит только от q, второй только от г:
тъ (q | г) = /j (q) /2 (r). Тогда формула C.60) дает
Г (г)
1 г dx
J
E[/2(r)] J М,(т)]
о
Из уравнения C.61) найдем
Г (г)
Комбинируя эти результаты, получим
пщ-* C-62)
Из формулы C.62) следует, что
Е{Ф[Т(г)]} = 1, C.63)
т. е. математическое ожидание критического значения меры повреж-
повреждений, вычисленной по формуле C.60), равно единице. Чтобы найти
дисперсию этой величины, необходимо рассмотреть конкретные
распределения вектора г.
Для примера возьмем базовую зависимость в виде C.37), где q
иг — скалярные величины. Для г примем двухпараметрическое
распределение Вейбулла C.39). Для краткости обозначим случай-
случайную величину ф [Т (г)] просто ф. Ее функция распределения Д, (ф)
равна вероятности реализации неравенства г < фЕ [rm]. Непо-
Непосредственные вычисления дают E[rm] = r"lT A + 1/Р), где исполь-
использовано соотношение C.43). Отсюда
82
Конечная формула для функции распределения величины ф
имеет вид
F,p(<p) = 1 - ехр [ - (<рЛрс)Р]; C.64)
где Ф5г 0; Фс = [Г A + 1/р)].
Таким образом, величина ср подчиняется двухпараметрическому
распределению Вейбулла с показателем C, т. е. показателем распре-
распределения ресурса при базовых испытаниях. Для коэффициента ва-
вариации имеем формулу
ГA+2/Р) ]i/2 ,
правая часть которой совпадает с C.44).
Аналогичный результат получим, приняв вместо двухпараметри-
ческого распределения Вейбулла C.39) трехпараметрическое распре-
распределение C.58), но при этом вместо C.37) следует взять согласован-
согласованное с распределением C.58) выражение
Тогда формула C.64) верна с тем отличием, что параметр фс
выражен через неполную гамма-функцию.
Испытания на усталость и длительную прочность обычно дают
значения т и а одного порядка, так что C — величина порядка еди-
единицы. Следовательно, если справедливо линейное правило сумми-
суммирования, опытные значения ср (Т) должны группироваться около
значения <р = 1 с коэффициентом вариации порядка единицы. Этот
вывод согласуется со сводными опытными данными, приведенными
на рис. 3.2.
3.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
В 3.7 анализ влияния разброса механических свойств на резуль-
результаты ресурсных испытаний выполнен в рамках теории вероятностей.
В частности, переменные C.50) и C.54) введены как отношения про-
должительностей ступеней (или их математических ожиданий) к ма-
математическим ожиданиям ресурса при базовых испытаниях. В дей-
действительности объем выборок ограничен, так что для анализа и
сопоставления различных моделей экспериментаторы вынуждены
использовать не математические ожидания, а их статистические
оценки. Это вносит дополнительные трудности в расчет.
Модели накопления повреждений в общем случае следует прове-
проверять как некоторые статистические гипотезы со всеми вытекающими
отсюда требованиями к объемам выборок, способам получения ста-
статистических оценок и формулировкам статистических выводов.
Редкое из известных экспериментальных исследований накопления
повреждений выдерживает серьезную критику с точки зрения мате-
математической статистики. В частности, многие исследования выпол-
выполнены с использованием недостаточного числа образцов.
83
Обстоятельное изучение долговечности конструкционных мате-
материалов при циклическом и длительном нагружениях остается важ-
важной прикладной проблемой. Решение этой проблемы с учетом всех
требований математической статистики связано с трудоемкими и
длительными испытаниями. Некоторые результаты можно получить,
не прибегая к физическим экспериментам. В работе [20] для анализа
и сопоставления моделей накопления повреждений был применен
метод статистического моделирования (Монте-Карло). В принципе
такое моделирование может дать только то, что заложено в принятой
модели. По сравнению с физическим экспериментом математический
эксперимент позволяет без труда получать статистические выборки
сколь угодно больших объемов. Эти выборки можно использовать,
чтобы оценить влияние разброса на конечные выводы (точнее, чтобы
в результатах физических экспериментов отделить факторы, обуслов-
обусловленные разбросом, от факторов физического происхождения).
Пример 3.5. Рассмотрим результаты математического моделирования ресурс-
пых испытаний при двухступенчатом нагружении. Для базовых кривых возьмем
выражение C.37), а для параметра т примем распределение Вейбулла C.58). С по-
помощью подпрограммы, включающей датчик псевдослучайных чисел, получим вы-
выборочные значения параметра г. Затем для этих значений по формуле C.37) найдем
реализации величин Ть {Ц\ \ г) и Г(,(<?2|г). Поскольку продолжительность первой
ступени Д/х задана, то для нахождения Д/2 достаточно решить уравнение C.45)
при фиксированных значениях параметра г. Программа включает отбрасывание
всех реализаций, которые не удовлетворяют условиям для множеств А и Ло, введен-
введенных формулами C.51).
Зависимости, приведенные на рис. 3.8—3.10, построены для следующих числен-
численных значений параметров: m = 8; а = 4; rj{rc — г0) = 2. Зависимости на рис. 3.8, а;
3.9, б и 3.10, а соответствуют испытаниям при qjru = 1,2; qjru = 1,6; зависимости
на рис. 3.8, б; 3.9, б и 3.10, б—испытаниям по обращенной программе. Объем каждой
из выборок 50 образцов. Результаты единичных испытаний нанесены светлыми круж-
кружками, а статистические средние — темными кружками. Сплошные линии — это тео-
теоретические зависимости типа C.53), а штриховые — теоретические зависимости для
индивидуального образца. Тонкие сплошные линии обозначают границы 90 %-ного
доверительного интервала для статистических оценок математического ожидания.
Некоторые дополнительные подробности моделирования и обработки результатов,
в частности сведения о способах построения доверительных интервалов, даны
в статье [20].
Обсудим подробнее рис. 3.8, который построен в предположении, что справед-
справедливо линейное правило суммирования. Разброс точек, относящихся к отдельным
образцам, весьма значителен, особенно при нагружении по восходящей программе.
При этом велик и отсев образцов из-за нарушения условий C.51) при испытаниях
по нисходящей программе с наибольшей продолжительностью первой ступени:
из 50 образцов осталось П. Отсев образцов при испытаниях по нисходящей про-
программе значительно больше, чем при испытаниях по восходящей программе. Рис. 3.8
иллюстрирует эффект кажущегося упрочнения при нагружении по восходящей
программе и эффект кажущегося разупрочнения — при нагружении по нисходящей
программе. Результаты усреднения хорошо согласуются с теоретическими кривыми,
построенными по уравнению C.53). Доверительный интервал для статистических
средних достаточно широк, причем ни одна из опытных точек не выходит за пределы
этого интервала. На части длины в пределах этого интервала лежит также прямая,
построенная по уравнению C.56). В первом приближении можно считать, что ширина
доверительного интервала обратно пропорциональна квадратному корню из объема
выборки. При обычных испытаниях объем выборки не превышает 10—20 образцов
для каждой программы нагружения. Доверительный интервал при этом приблизи-
приблизительно вдвое шире, чем показанный на рис. 3.8.
Зависимости на рис. 3.9 построены в предположении, что справедлива нелиней-
нелинейная модель накопления повреждений с уравнением C.26). При этом принято
84
15
1.0
0,5
Рис. 3..
0,5
1,0
а)
у (l,2ro)/'Y A>6г0) = 2. Это означает, что возможность упрочнения при нагружении
по восходящей программе и разупрочнения при нагружении по нисходящей про-
программе заложена в исходную модель. Численный эксперимент обнаруживает до-
дополнительное влияние усечения выборок. Аналогичные результаты для кусочно-
линейной модели, учитывающей две стадии накопления повреждений, приведены
на рис. 3.10. Принято, что для индивидуальных образцов справедливы соотношения
C.35) с тем отличием, что значения ресурса при базовых испытаниях зависят от
случайного параметра г, причем
)mi; Tb2 (q\r) ---= Tbl (q\r) + tc2 (r/q)m>-
C.67)
При моделировании было принято тх = 10; т., = 8; ta = 0,1/с; 4г= 4-
Представляет интерес сравнение результатов, относящихся к раз-
различным моделям накопления повреждений, с точки зрения гипотезы
об их принадлежности к одной генеральной совокупности. Для
проверки этой гипотезы был использован критерий Вилкоксона.
Анализ показал, что для всех трех сравниваемых моделей нет осно-
оснований отвергать гипотезу о принадлежности всех выборок к одной
генеральной совокупности. При этом уровень значимости, т. е.
вероятность того, что гипотеза будет отвергнута, когда она верна,
был принят равным 0,05. Было обнаружено, что нет оснований
отвергать гипотезу и в том случае, когда сравнению подлежат ре-
результаты моделирования по восходящим и нисходящим программам.
85
ел
со
4/ 0<
о о о8 оо о
о о <Ро° ооо о со оооо
О О й 0000 О ООо О | О О О°)
ой
000 О °0°
° О ОО О О о
ooo°o oooSo0, оо о
/ ОО°° ООО ООО °О0 ООд, 00$
/со?, о ооо о оо о | %go8oo ° о о
86
о
со
СХс
о о
о оооо°
о оооо % о<?ооо ооо мо о
о °ооо 8 о о°ооо о о ооо о/о
о о9э оо . ° о§ с^Ь
Э30 ° о _о ( о о о0 о
оо оо
о о о<?occcc%>ocgo ооо о
о о ооооОзЧоо,?» оо о
о oo^fa оооо о о оо°, о оо g>°°
' оооо о о о оо оЮ ооо оо9р п<&
Ч к
т t
Рис. 3.
Следовательно, при уровне значимости 0,05 можно считать, что исто-
история нагружения не влияет на полный ресурс. Этот вывод спра-
справедлив лишь для вполне определенных математических моделей и
конкретных численных данных.
В работе [20] приведены результаты статистического моделиро-
моделирования для более общих программ нагружения. Как и в предыдущем
случае, моделирование включает выработку реализаций параметра г
и вычисление базовых значений Tb(q\r) по формулам типа C.37)
и C.67). Для каждой реализации параметра г и для каждой
программы нагружения вычисляют реализацию процесса г|;(/|г).
Вычисления прекращают при достижении условия ty (t\r) = 1.
При анализе программ испытаний на ограниченной базе tc произ-
производят отбраковку реализаций, для которых ty (tc\r) <1. Парал-
Параллельно для каждой реализации по формуле C.60) вычисляют зна-
значения ц> (t\r). Совокупности найденных значений ср далее подвер-
подвергают статистической обработке.
Пример 3.6. Обсудим результаты моделирования на основе линейного правила
суммирования повреждений, а также на основе нелинейного правила, которому
соответствует дифференциальное уравнение C.26). Для характеристик образцов
примем те же численные данные, что и при моделировании испытаний по двухсту-
двухступенчатой программе, взяв для нелинейной модели выражение у (q) = 1 +
+ 20 ехр (—2q!r0). Объем выборок для каждой программы нагружения возьмем
равным 50.
Программы нагружения А, В, С, D показаны па рис. 3.11, который дает пред-
представление об эмпирических распределениях параметра ф. Здесь показаны 95 %-ные
доверительные интервалы для этой величины, а также средние статистические зна-
значения. Кружками обозначены средние значения, полученные в предположении,
что справедливо линейное правило суммирования, а все образцы испытывают вплоть
до достижения предельного состояния. Квадраты соответствуют аналогичным исш.|-
п
Рис. 3.12
таниям^в предположении, что справедлива нелинейная модель накопления поврежде-
повреждений. Треугольниками обозначены средние значения для испытаний по программе,
продолжительность которой ограничена базой tr. Отклонение средних значений
параметра ср от единицы можно признать статистически значимым только в случаях,
когда оно происходит из-за ограничений, наложенных на продолжительность ис-
испытаний.
Более детальные сведения о результатах моделирования приведены на рис. 3.12.
Здесь даны эмпирические плотности (гистограммы) для параметра ср, а также теорети-
теоретические плотности вероятности. Гистограммы получены в предположении, что испы-
испытания проводят по программам А и В вплоть до достижения предельного состояния.
Сплошные линии соответствуют линейному правилу суммирования, штриховые —
нелинейной модели. Расхождение между двумя моделями, а также расхождение
между теоретическими результатами и результатами моделирования нельзя при-
признать статистически значимыми. Если продолжительность испытаний ограничена,
то эти расхождения существенные. Это видно из сопоставления рис. 3.12, а, который
построен для нагружения по программе А, и рис. 3.12, б, соответствующего про-
программе В. Программа А восходящая, так что при испытаниях по этой программе
почти не происходит отсева образцов. Программа В — нисходящая, причем она
начинается с относительно кратковременных перегрузок. В результате к концу
испытаний выбыло 64 % образцов.
Высокий отсев образцов наблюдают также и в физических экспериментах: есть
указания на то, что при испытаниях на усталость доля выбывших образцов может
составлять 50—80 %.
3.9. ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Все рассмотренные до сих пор модели основаны на дифферен-
дифференциальном уравнении C.1) относительно скалярной меры поврежде-
повреждений г|- (t), а также на граничных условиях C.2). Если в начальный
момент времени мера повреждений отлична от нуля, то достаточно
89
заменить граничные условия C.2) условием \|з @) = \|H, гр (Т) = 1,
где 0 <г|H < 1. Такая постановка типична для задач прогнозирова-
прогнозирования ресурса на стадии эксплуатации. Это обобщение не вносит прин-
принципиальных изменений в изложенные выше результаты. Например,
при \р0 > 0 вместо C.18) получаем U (\р) — U (г|з0) = ty(t). Здесь
U (\|з) — интеграл в левой части соотношения C.18); ф (t) —• псевдо-
псевдоповреждение C.19). При этом U (\|э) = g~l (ty). Приняв \|) = 1, t = Т,
придем к уравнению для определения ресурса ф (Т) = 1 — U (г|H).
Линейное правило C.7) следует отсюда только при условии U (ф0) =
= 0.
Рассмотрим модели, которые учитывают существенное влияние
истории нагружения. В уравнении C.1) производная d-tyldt меры
повреждений зависит от значения этой меры в рассматриваемый
момент времени. Таким образом, уравнение C.1) не учитывает эффек-
эффектов последействия и запаздывания при накоплении повреждений,
хотя эти эффекты сопровождают деформирование полимеров и пол-
ползучесть металлов. Значимость эффектов зависит от соотношения
между характерным временем нагружения (например, продолжи-
продолжительностью испытаний) и характерным временем протекания физико-
механических процессов в материале. Например, для полимеров
скорости протекания внутренних процессов характеризуют спек-
спектром времен релаксации или спектром времен запаздывания. Эти
спектры имеют широкий диапазон, поэтому при кратковременных
испытаниях или кратковременных нагружениях эффекты после-
последействия и запаздывания проявляют себя в достаточной мере.
Простейшая математическая модель, учитывающая эти эффекты,
имеет вид [52]
t
у @ = J h (t - т) / N (т), q(T)] dx, C.68)
о
где h (t — т) — функция, описывающая влияние нагрузки и меры
повреждений в момент времени т на скорость роста повреждений
в момент времени t. Для некоторых классов функций h (t — т)
интегральное уравнение C.68) эквивалентно обыкновенному диффе-
дифференциальному уравнению относительно г|) (t). Это уравнение не
всегда имеет первый порядок, т. е. в общем случае его нельзя при-
привести к виду C.1). Еще более общую модель можно представить в виде
C.69)
т=о
где в правой части стоит некоторый функционал от процесса нагру-
нагружения q (т) на всем предшествующем отрезке времени [0, t].
В граничных условиях C.2) критический уровень повреждений \р%
принят постоянным и равным единице. Между тем многие явления
накопления повреждений характерны тем, что критический уровень
повреждений зависит от значения нагрузки в момент достижения
предельного состояния. Наиболее типичный пример — рост макро-
90
скопической трещины. Критический раз-
размер трещины, при котором она становится
неустойчивой, зависит от номинальных
напряжений на фронте трещины. Если
эти напряжения переменны во времени,
то критический размер трещины также
будет переменным.
Учитывая сказанное,
накопления повреждений
альным уравнением C.1)
условиями
введем модель
с дифференци-
дифференции граничными
Рис. 3.13
C.70)
Первое условие при т|H > 0 учитывает
начальную поврежденность. Второе усло-
условие представляет собой уравнение для
определения ресурса Т (при этом ресурс
равен наименьшему положительному
корню уравнения).
Особенности введенной модели проил-
проиллюстрированы на рис. 3.13. Здесь рассмот-
рассмотрен немонотонный процесс н'агружения
q (/).!Если правая часть уравнения C.1) — положительная функция,
то мера повреждений г|з (t) — монотонно возрастающая функция вре-
времени. Критическое значение этой меры tj^ [q (t) ] в общем случае — не-
немонотонная функция времени. На рис. 3.13 приведены кривые для
случая, когда % (q) — убывающая функция q, поэтому график
имеет минимум, расположенный в окрестности максимума функции
q (t). Уравнение г|5 (t) = % [q (t)] имеет два корня, из которых
меньший представляет собой искомое значение ресурса.
Очевидно, дифференциальное уравнение C.1) с граничными
условиями C.70) нетрудно преобразовать к эквивалентному диф-
дифференциальному уравнению, граничные условия которого имеют
вид C.2). Для этого достаточно ввести новую переменную — норми-
нормированную меру повреждений <р (t) — [\|з (t) — ^ol/ty* lq @1- Диф-
Дифференциальное уравнение относительно <р (t) отличается от исход-
исходного тем, что в его правую часть входят производные dqjdt от ком-
компонент qh процесса q (t). С этим связано и другое отличие: если пра-
правая часть исходного уравнения принимает только положительные
значения, то правая часть преобразованного уравнения может быть
как положительной, так и отрицательной. С точки зрения теории
надежности модель накопления повреждений с граничными усло-
условиями C.70) в общем случае не относится к классу кумулятивных
моделей. Рассмотрим модель ползучести материалов и сплавов. Урав-
Уравнение для описания процесса ползучести в одномерном случае имеет
вид [63]
^.= /(8^,5,9). C.71)
91
Здесь гр (t) — пластическая составляющая относительной деформа-
деформации ползучести; s (t) — номинальное напряжение; 0 (t) — термоди-
термодинамическая температура.
Совокупность функций s (t) и 0 (t) характеризует векторный
процесс нагружения q(/). Правая часть уравнения C.71) зависит
от накопленной пластической деформации. Приведем уравнение C.71)
к виду C.1) относительно некоторой меры повреждений. Если за
предельное состояние принято достижение заданного значения
относительной деформации е..;, то естественная мера \р = ?р/г% с пре-
предельным значением ^ = 1. Если предельное состояние — разруше-
разрушение, достигаемое при относительной деформации ?„ (s, 6), то мера
повреждений ср = epie^ (s, 6). В последнем случае мы приходим
к граничным условиям типа C.70).
В целом переход к нормированной мере повреждений не дает
преимуществ. К тому же, при нормировании физический смысл меры
повреждений частично утрачивается. Например, размер трещины —
более понятная характеристика, чем отношение этого размера к кри-
критическому значению, которое зависит от уровня нагрузки в данный
момент времени. В дальнейшем во всех приложениях, где критиче-
критический уровень повреждений зависит от уровня нагрузки, используем
граничные условия типа C.70).
Рассмотрим обобщение полуэмпирических моделей, основанное
на введении двух и более мер повреждений. Необходимость в этом во-
возникает очень часто. Описанная в 3.5 многостадийная модель, в сущ-
сущности, принадлежит к моделям этого типа. Действительно, если
вместо одной скалярной функции г|з (/), удовлетворяющей уравне-
уравнению C.33), ввести т функций г|зй (t), каждая из которых описывает
одну из стадий, то придем к векторной модели. Другая причина для
введения таких моделей — необходимость учета нескольких взаимо-
взаимосвязанных и параллельно протекающих процессов. Так, для описа-
описания ползучести металлов и сплавов иногда используют модели, кото-
которые наряду с основной мерой повреждений — относительной дефор*
мацией ползучести, содержат характеристики степени микрорастре-
микрорастрескивания, плотности линий скольжения и т. п. Для описания про-
процессов повреждения и разрушения при наличии физико-химических
воздействий среды (например, при коррозии или водородном охруп-
чивании) необходимо добавлять уравнения диффузии и химической
кинетики, содержащие дополнительные функции. Эти уравнения
образуют вместе с основным уравнением накопления повреждений
общую систему относительно некоторой векторной мерыг|э (t). Вместо
скалярного уравнения C.1) получаем векторное уравнение
4r=M,q), C.72)
где ty (t) — вектор-функция, включающая все необходимые пара-
параметры процесса.
Для поврежденного объекта естественно принять а|з @) = 0. По
мере выработки ресурса вектор ij? приближается к границе Г обла-
области Q. Граница Г соответствует предельным состояниям. При огра-
ничениях, введенных в 2.7, мы приходим к кумулятивным моделям
теории надежности.
Детали машин и элементы конструкций — распределенные си-
системы, поля напряжений, деформаций и температур в которых, как
правило, неоднородны. Поэтому накопление повреждений протекает
в различных точках неодинаково, так что меры повреждений —
функции не только времени, но и координат. Это приводит к конти-
континуальным моделям повреждения, в которых наряду с полями напря-
напряжений и температуры рассматривают поля некоторых скалярных
и тензорных характеристик поврежденности материала. По существу
модели теории пластичности и теории ползучести представляют
собой континуальные модели накопления повреждений, в которых
степень повреждения материала определена через поля тензора
пластических деформаций или его инвариантов. В более общем слу-
случае можно ввести дополнительные поля, которые характеризуют
плотность дислокаций, линий скольжения, микротрещин и т. п.
Предложен ряд моделей, использующих тензоры второго и более
высокого ранга. Однако для использования этих моделей в приклад-
прикладных расчетах необходимо иметь весьма обширные опытные данные,
которые можно получить только из весьма тонких и обстоятельных
экспериментов (которые пока никто не проводил). Возможно, что
более практичным является другой путь: развивать не полуэмпири-
полуэмпирические, а структурные модели, которые явным образом описывают
явления, происходящие в структуре материала при его повреждении.
Влияние неоднородности полей напряжений и температур на про-
процессы повреждения целесообразнее учитывать, рассматривая доста-
достаточно большое число наиболее напряженных точек и узлов, т. е.
увеличивая размерность вектора г|э.
ЗЛО. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПО ДАННЫМ РЕСУРСНЫХ ИСПЫТАНИЙ
Рассмотрим основные явления накопления повреждений и разру-
разрушения с позиций их соответствия общим полуэмпирическим моделям,
которые были исследованы в предыдущих подразделах. Обсудим
также некоторые частные модели, предназначенные для решения за-
задач прогнозирования ресурса. Исходным материалом для построения
полуэмпирических моделей служат результаты ресурсных испыта-
испытаний при однородных режимах нагружения, например при постоян-
постоянной амплитуде циклических напряжений, постоянной температуре
и т. п. Эти результаты, как правило, обнаруживают значительный
статистический разброс, связанный со случайной природой явлений.
Традиционная форма представления результатов в виде кривых,
например усталости и длительной прочности, по существу не отра-
отражает этого разброса. В сущности, эти кривые представляют собой
линии регрессии между величинами, характеризующими уровень
нагруженности, и показателем ресурса, например числом циклов
(блоков) до разрушения или продолжительностью испытаний в еди-
единицах физического времени. Дополнением к кривым регрессии
служат эмпирические оценки для законов распределения ресурса
93
(при заданном уровне нагруженности) или для характеристик нагру-
женности (при заданном ресурсе).
Общий метод построения моделей, учитывающих статистический
разброс, состоит в следующем. На основании кривых регрессии под-
подбираем аналитические зависимости между характеристиками на-
нагруженности и характеристиками ресурса. Эти зависимости содержат
ряд параметров, часть которых мы относим ко всей генеральной
совокупности образцов, а остальные трактуем как индивидуальные
параметры образцов.Параметры второй группы полагаем случайными
величинами. Таким образом, вместо одной функциональной зависи-
зависимости, связывающей усредненные по выборке результаты испытаний,
мы получаем одно- или многопараметрическое семейство кривых.
Это семейство в сущности представляет собой случайную функцию —
зависимость между уровнем нагруженности и ресурсом для наугад
взятого образца. Следующий этап состоит в выборе подходящих
аналитических выражений для функций распределения случайных
параметров на основе результатов статистической обработки базовых
ресурсных испытаний.
К сожалению, объема выборок при ресурсных испытаниях обычно
недостаточно для получения обоснованных статистических выводов.
Например, стандартные испытания на усталость (ГОСТ 25.502—79)
предусматривают построение кривой усталости по результатам испы-
испытаний 10—15 образцов. Для анализа явлений, связанных со стати-
статистическим разбросом результатов, масштабным эффектом и другими
факторами необходимо испытывать сотни и тысячи образцов, что
возможно только при немногих специальных исследованиях. Кроме
того, длительность испытаний по ГОСТ 25.502—79 ограничена базой,
которую в зависимости от испытуемого материала и целей испытаний
принимают равной от 5-10° до 108 циклов. При этом не учитывают
повреждения, которые могут возникать при относительно малых
напряжениях, если число циклов достаточно велико. В результате
выбор функций распределения, характеризующих разброс при
базовых ресурсных испытаниях, в значительной степени носит
характер принятия статистических гипотез. Это приводит к необхо-
необходимости использовать дополнительные теоретические соображения,
например асимптотические свойства некоторых распределений,
а также выводы, вытекающие из соответствующих структурных мо-
моделей (см. гл. 4).
Один из критериев, которым должны удовлетворять функции
распределения случайных параметров, — это согласованность с ана-
аналитическими выражениями для зависимостей между характеристи-
характеристиками нагружения и ресурсом. Целесообразность введения такого кри-
критерия обусловлена тем, что, во-первых, согласованность функцио-
функциональных зависимостей есть признак внутренней непротиворечивости
модели, во-вторых, такая согласованность обеспечивает относитель-
относительную простоту аналитических вычислений и простой вид конечных
формул и, в-третьих, критерий согласованности следует из рассмо-
рассмотрения физико-механических явлений повреждения и разрущения
на уровне структуры материала.
94
Простейшим примером согласованной полуэмпирической модели
служат базовая зависимость C.37) для условного ресурса "Ть (t/ j r)
и выражение C.39) для функции распределения Fr (г) параметра г,
который характеризует прочность наугад взятого образца. Выбран-
Выбранная модель приводит к простым и естественным конечным формулам.
Формулы окажутся более громоздкими, если, сохранив зависимость
C.37), принять для параметра г, например, логарифмически нор-
нормальное распределение. Если функция распределения Fr (г) взята
в форме C.58), содержащей пороговое значение параметра прочности,
то согласованная форма для функции также должна включать это
пороговое значение. Данное положение вытекает из физических
соображений и упрощает аналитические вычисления. В качестве
зависимости для условного ресурса Tb(q\r) вместо C.37) можно
взять выражение C.66), где параметр г имеет тот же смысл, что
и в формуле C.58).
Каждая модель накопления повреждений, кроме аналитических
выражений для зависимости Ть (q\r) и закона распределения пара-
параметра г, характеризующего случайные свойства образца, детали или
конструктивного элемента, должна включать формулировку закона
суммирования повреждений. Если принять скалярную меру повреж-
повреждений и линейное правило суммирования, то вид функции Ть (q\r)
и плотности вероятности рг (г) полностью задает основное уравнение
Если есть основания различать физическую меру повреждений
г|) (t) и псевдоповреждение ф (t), вместо C.73) следует взять урав-
уравнение типа C.16):
~If~ Tb(q\r) • {6-'*}
Функция /j (г|з) в правой части C.74) должна обеспечивать тре-
требуемую связь C.20) между повреждением г|з (t) и псевдоповрежде-
псевдоповреждением ф (t).
3.11. КЛАССИЧЕСКАЯ (МНОГОЦИКЛОВАЯ)
УСТАЛОСТЬ
Усталость — наиболее частая причина отказов и предельных
состояний деталей машин. Если циклическое нагружение происходит
при умеренных пластических деформациях и заканчивается посте-
постепенным развитием трещины, то говорят о малоцикловой усталости.
Число циклов до разрушения при малоцикловой усталости имеет
порядок 102—5-104 (верхний предел дан по ГОСТ 25.502—79). При
большей долговечности говорят о классической (многоцикловой)
усталости.
Многоцикловая усталость происходит при напряжениях, не пре-
превышающих макроскопический (осредненный по объему образца)
предел упругости. Механизм многоцикловой усталости состоит в на-
накоплении рассеянных повреждений в наиболее слабых или наиболее
напряженных зернах; совокупности этих зерен образуют зародыш
95
?
0,6
0/,
07
\S «о
^—ос
-
t I t
1 i i
—— _
о
\
i t (
—
о
\
i 1 1
—о-*
о
с
с
с
с
8 10
20 40
Рис. 3.14
60
юо а, им
усталостной трещины, кото-
которая служит сильным кон-
концентратором и имеет тенден-
тенденцию к росту при продолже-
продолжении циклического нагру-
жения.
Если для данного мате-
материала существует амплитуда
напряжений, при которых
опасное повреждение или
разрушение от усталости не
может произойти даже при
сколь угодно большом числе
циклов, используют понятие предела выносливости. Существование
предела выносливости означает, что материал обладает свойством при-
приспособляемости к повторным пластическим деформациям на уровне
структуры материала. Гипотеза о существовании предела выносливо-
выносливости, по-видимому, соответствует преимущественно лишь тем опытным
данным, которые относятся к углеродистым сталям при нормальной
температуре и других нормальных условиях окружающей среды.
Для многих легированных сталей, цветных металлов и сплавов на
их основе предел выносливости является условной характеристикой:
усталостные повреждения могут возникать и при меньших напряже-
напряжениях, если только число циклов нагружения достаточно велико.
В этих случаях предел выносливости имеет смысл повреждающего или
разрушающего напряжения, соответствующего заданному числу
циклов.
Поскольку очагом зарождения усталостных трещин обычно слу-
служат концентраторы напряжений, в том числе микроконцентраторы
(микропоры, микровключения, дефект поверхности и т. п.), то ре-
результаты испытаний на усталость весьма чувствительны к этим
факторам и обнаруживают значительный статистический разброс
и масштабный эффект. На рис. 3.14 приведены полученные Б. Б. Че-
Чечулиным A963 г.) зависимости отношения пределов выносливости
образцов из углеродистой стали (светлые кружки) и легированной
стали (темные кружки) от диаметра образцов d. При этом d0 —
= 7,5 мм. Разброс значений долговечности намного больше: эти
значения могут отличаться на порядок.
Результаты базовых испытаний на устлость представляют в виде
регрессионных зависимостей между характерным напряжением
цикла s (амплитудой, размахом или максимальным напряжением
цикла) и числом циклов Nb (s\r) до видимого повреждения образца
или его полного разрушения. Если в двойных логарифмических
координатах регрессионная зависимость достаточно близка к ли-
линейной (см. рис. 3.5), то естественно принять связь между Nb и s
в виде C.38), т. е.
Nb(s[r) = Ne(r/s). C.75)
Здесь Nc — база испытаний.
96
Если линии равной вероятности на плоскости lg N, lg s прибли-
приблизительно параллельны, это дает основание считать показатель сте-
степени т характеристикой генеральной совокупности. Тогда предель-
предельное напряжение s при базе испытаний Nc остается единственной
случайной величиной, характеризующей разброс пределов выносли-
выносливости и долговечности.
Двухпараметрическое распределение Вейбулла C.39) служит
наиболее удобной вероятностной моделью для однопараметрического
семейства кривых усталости C.75). Степенная зависимость в C.75)
согласована с формой, в которой параметр прочности входит в рас-
распределение C.39). Само распределение C.39), будучи одним из асимп-
. тотических распределений крайних значений, соответствует обще-
общепринятым представлениям о механизме зарождения усталостных
трещин. Эмпирические функции распределения обычно допускают
удовлетворительную аппроксимацию прямыми линиями, если откла-
откладывать результаты на вероятностной бумаге Вейбулла.
При наличии четко выраженного предела выносливости вместо
C.75) следует принять
Здесь предел выносливости — случайная величина, совпадающая
с г. Для цветных металлов и сплавов регрессионные зависимости
часто обнаруживают изменение механизмов повреждения при пере-
переходе на низкие уровни напряжений. В этом случае удобна билиней-
билинейная аппроксимация на плоскости lg N, lg s:
При этом параметр г имеет смысл условного предела выносливо-
выносливости на базе Nc. Если необходимо включить в модель явление малоцик-
малоцикловой усталости, зависимость C.77) следует дополнить третьим
отрезком в области больших значений s. Распределение C.39), по-
видимому, остается наиболее подходящим для семейства кривых
усталости, заданных в форме C.76) и C.77).
В качестве примера аппроксимации кривых усталости с выражен-
выраженным пределом выносливости кривыми, гладкими всюду на пло-
плоскости N, s, приведем выражение
Nb (s\r) = No -!- (Nc - Ад (r - /-0)"V(s - ro)'«. C.78)
Здесь г > r0, s > г0. Наряду с пороговым значением предела вынос"
ливости г0 в формулу C.78) входит пороговое число циклов No'
начиная с которого в материале начинают накапливаться поврежде"
ния. При расчетах в области больших N можно принять No « О
Если единственный случайный параметр в формуле C.78) —• харак"
терная прочность г, то согласованное с этой формулой распределение
параметра г — трехпараметрическое распределение Вейбулла C.58).
4 Болотин В. В. 97
Наряду с двойными логарифмическими координатами при об-
обработке результатов часто применяют полулогарифмические коорди-
координаты s, lg .V. Когда регрессионная зависимость близка к линейной,
принимают s ;- г -- rc (lg Nc — lg N). Здесь гс — некоторая по-
постоянная. Полагая г случайной величиной, получаем семейство кри-
кривых усталости, соответствующих генеральной совокупности образ-
образцов. Обратная зависимость имеет вид
Nb(s\r) = Nc- 10(r-s)Vf- C.79)
Статистическую обработку результатов при аппроксимации кри-
кривых усталости в форме C.79) обычно выполняют, предполагая ло-
логарифмически нормальное распределение долговечности. Однако это
предположение, как следует из C.79), соответствует гипотезе о нор-
нормальном распределении параметра прочности г, что приводит к необ-
необходимости рассматривать значения г < 0. Если дисперсия разру-
разрушающих напряжений невелика, то практических затруднений не
возникает.
Перечисленные модели относятся не только к основному случаю
испытаний при симметричном цикле, но и к произвольному однород-
однородному однопараметрическому режиму циклического нагружения. Это
могут быть, в частности, испытания на усталость при сложном
напряженном состоянии. При этом s — эквивалентный параметр
цикла по одному из критериев прочности при сложном напряженном
состоянии.
Для замыкания моделей накопления усталостных повреждений
необходимо выбрать закон суммирования и по возможности дать ме-
механическое истолкование меры повреждений. Правило линейного
суммирования достаточно для расчета ресурса, если учесть, что воз-
возможные отклонения от этого правила статистически незначимы по
сравнению с разбросом ресурса вследствие изменчивости механиче-
механических свойств.
Для улучшения согласования с опытными данными было пред-
предложено скорректированное правило суммирования
N
V F,'. ,, = а. C.80)
k=\
В левую часть входит условное математическое ожидание C.52),
хотя это никогда не оговаривают, трактуя зависимость N (s) =
= Е LVb(s)] как уравнение кривой усталости. Величина, стоящая
в правой части, в общем случае отлична от единицы. Иногда пред-
предполагают, что величина а детерминистическая, но является функцио-
функционалом истории нагружения. Однако при этом утрачивает смысл за-
запись левой части в форме, не зависящей ни от истории нагружения,
ни от разброса механических свойств. Авторы статьи [145] предла-
предлагают считать а случайной величиной с математическим ожиданием,
равным единице. Такой подход учитывает разброс механических
свойств при специальном условии: базовая зависимость Nb(s\r)
равна произведению двух множителей, один из которых зависит
98
только от уровня нагружения s, а другой — только от вектора г.
Тогда а = Nb (s|r)/E [Nb (s)]. При таком истолковании величина а
совпадает с величиной ср, вводимой по формуле C.62), так что соот-
соотношение C.80) есть частный случай более общего условия
= 1. C.81)
Л'ь (sk I r)
Считая а неслучайной величиной меньше единицы, мы в сущности
вводим некоторый запас по долговечности, который можно оценить,
имея распределение вектора г и используя условие C.81).
Меру повреждений можно толковать по-разному в зависимости
от того, что понимать под предельным состоянием. Если за предель-
предельное состояние принять образование первой заметной макроскопи-
макроскопической трещины, то мера характеризует плотность рассеянных по-
повреждений. Если за предельное состояние принять полное разру-
разрушение образца (детали, конструктивного элемента) или достижение
трещиной некоторого предельно допустимого размера, то уравнение
типа C.81) должно быть дополнено соотношениями, описывающими
рост макроскопических трещин. Один из возможных подходов —
введение двухстадийной модели накопления повреждений по типу
модели C.33). Вторая стадия описывает развитие макроскопической
трещины, а вторая мера повреждений имеет смысл отношения харак-
характерного размера трещины к ее критическому размеру. Механика
трещин позволяет установить конкретный вид правых частей урав-
уравнений, описывающих рост трещин (см. 3.1,4).
Инженерные расчеты на долговечность при циклических нагруз-
нагрузках должны учитывать большое число эксплуатационных, конструк-
конструктивных и технологических факторов. Среди них — концентрация
напряжений, состояние поверхности и масштабный эффект, асимме-
асимметрия циклов и сложное напряженное состояние, частота нагружения,
температура и другие условия окружающей среды. Перечисленные
вопросы достаточно широко освещены в литературе применительно
как к многоцикловой, так и к малоцикловой усталости [40, 47, 76,
123, 127]. Анализ и сопоставление различных способов редукции
(максимумов, пересечений, размахов, полных циклов, «падающего
дождя») можно найти в работах [33, 40 J. В настоящее время считают,
что два последних способа дают наилучшее соответствие опытных
данных и результатов расчета по линейному правилу суммирования.
В работах [123, 127] подробно описаны алгоритмы и программы
расчета по этой схеме.
3.12. МАЛОЦИКЛОВАЯ УСТАЛОСТЬ
Механизм малоцикловой усталости в основном определяется
повторными пластическими деформациями, поэтому для его описания
используют деформационные критерии. Для экспериментальной
проверки критериев и оценки их параметров обычно проводят испы-
испытания при жестком нагружении, задавая амплитуды пластических
4* 99
или полных деформаций. Близкие условия имеют место в большин-
большинстве практических случаев, когда пластические деформации разви-
развиваются в относительно небольшом объеме, примыкающем к концен-
концентратору напряжений и зависят в основном от упругих деформаций
в остальном объеме детали.
Простейший деформационный критерий малоцикловой устало-
усталости— критерий Коффина A954 г.).
= С. C.82)
Здесь N — циклическая долговечность; Аер — размах пластической
деформации цикла; [х и С —эмпирические постоянные (для углеро-
углеродистых сталей ii л; 1/2). Постоянную С обычно выражают через
истинную предельную деформацию е^ при стандартных испытаниях
на растяжение. Полагая, что уравнение C.82) справедливо при мо-
монотонном нагружении и разрушение происходит в конце первой
четверти цикла, при ц — 1/2 получаем С = sj2. Истинная предель-
предельная деформация e:i. связана с относительным поперечным сужением г^,.
в шейке разорванного образца соотношением е* = !п A —Ф*)-
Формула C.82) принимает вид, аналогичный C.75), если пере-
переписать ее следующим образом: N = Nc (eJAspO1. Здесь Nc = V4,
показатель кривой усталости т = 1/j.i. Пренебрегая остаточными
напряжениями в окрестности пластической зоны, налеганием берегов
трещины и другими факторами, считаем пластическую деформацию гр
аддитивной функцией процесса нагружения. Примем за меру повреж-
повреждения отношение \|) = гр1г%. Правило суммирования применительно
к малоцикловой усталости принимает вид
¦=1. C.83)
Vb (AeP)
Формулу C.83) следует рассматривать как частный случай фор-
формулы C.8), в которой за параметр нагрузки q принят размах пласти-
пластической деформации цикла Аер. Формула C.83) находит подтвержде-
подтверждение при испытаниях образцов по схеме жесткого нагружения (при
заданных размахах Аер). Сумма в левой части формулы C.83) к мо-
моменту возникновения видимой трещины составляет 0,7—1,5 [47],
т. е. имеет меньший разброс, чем при многоцикловой усталости.
Отклонения от правила наблюдают, если в общий ресурс включают
стадию роста макроскопической трещины. Однако эта стадия требует
отдельного рассмотрения, поскольку здесь начинают действовать
другие механизмы.
Трудности возникают, когда нагружение не является жестким.
Чтобы по заданным нагрузкам найти размахи деформаций, нужно
использовать кривые циклического упрочнения, а также учитывать
явление концентрации деформаций. При этом размах деформаций
Аер зависит от пластической деформации ер, накопленной в данной
точке к началу данного цикла. Величина Nb (Aep) в формуле C.83)
становится функцией как Аер, так и ер и учитывает историю нагру-
нагружения и деформирования. В результате формула C.83) скорее пред-
100
ставляет собой аналог уравнения C.3) для случая, когда его решение
нельзя записать в виде C.8) при произвольных режимах нагружения.
В прикладных расчетах, когда условия жесткого нагружения не
выполнены, вместо вычисления относительных повреждений целесооб-
целесообразно проводить непосредственное суммирование пластических де-
деформаций и сравнивать вычисленные деформации с предельным
значением еф.
Деформационные критерии имеют существенное преимущество —¦
возможность описания в рамках одной математической модели как
малоцикловой, так и классической усталости. Типичный пример
объединенного деформационного критерия — уравнение Мэнсона
A965 г.)
Ае = CN~v + 3,5N-voJE, C.84)
где Ае —размах полной деформации цикла; стн —предел проч-
прочности при растяжении; Е —модуль упругости.
Правая часть уравнения C.84) представляет собой сумму ординат
кривых усталости при пластическом деформировании и при класси-
классической (многоцикловой) усталости. Показатель степени v для угле-
углеродистых и большинства легированных сталей принимают равным
0,12, что приблизительно соответствует показателю кривой уста-
усталости с уравнением C.75) т = 8. 'Уравнения типа C.84) удобны
в практических приложениях: параметры кривой усталости выра-
выражены в них через механические характеристики материала при
стандартных испытаниях на растяжение. Уравнения пригодны также
при повышенных температурах, что обусловило их широкое приме-
применение в энергомашиностроении, в частности, в расчетах атомных
реакторов и другого оборудования атомных электростанций. Уравне-
Уравнение C.84) нельзя разрешить в явном виде относительно числа цик-
циклов N. С точки зрения прогнозирования ресурса удобнее кусочно-
гладкие аппроксимации типа формул C.77) с выделением участка
малоцикловой усталости, участка многоцикловой усталости и, воз-
возможно, переходной области. В сочетании с правилом суммирования
аппроксимация C.77) приводит к критериям типа [34, 76]
=1
)
Nbp (Abp) Z
Первая сумма в левой части учитывает повреждения от мало-
малоцикловой усталости с общим числом циклов Np, вторая — поврежде-
повреждения от многоцикловой усталости с общим числом циклов Ne. При
этом циклическая долговечность N = Np + Nе.
3.13. МЕХАНИЧЕСКОЕ ИЗНАШИВАНИЕ
Изнашивание деталей, узлов и сопряжений — одна из основных
причин исчерпания ресурса. Изнашивание трущихся поверхностей
представляет собой сложный процесс, который включает как чисто
механические (пластическое резание, усталостное повреждение ит. п.),
101
так и физико-химические явления (молекулярное схватывание,
окисление обнаженных участков поверхности и т. п.). На процесс
изнашивания, кроме физико-механических свойств материалов, су-
существенно влияют состояние поверхностей, давление, относительные
скорости трущихся тел и т. д. Механизмы изнашивания зависят
от наличия в области контакта дополнительных включений, от тем-
температуры и свойств окружающей среды. К настоящему времени
имеются лишь качественное описание и объяснение всех этих явле-
явлений, а также отдельные попытки теоретического описания наиболее
простых механизмов [44, 75].
Практические методы оценки долговечности трущихся деталей
и сопряжений основаны на эмпирических формулах. Примером такой
формулы служит соотношение для расчета подшипников качения
на долговечность
L = (C'P)m. C.85)
Здесь L — ресурс подшипника; Р — расчетная нагрузка на под-
подшипник; С —динамическая грузоподъемность подшипника.
Для вычисления расчетной нагрузки используют формулы, ко-
которые учитывают направление усилий, условия работы вращающегося
кольца, температуру и т. п. Если нагрузка изменяется во времени,
то в расчет вводят эквивалентную нагрузку, определяемую по фор-
формулам типа
P^,(PTh -r Pfl-]-...)i;m. C.86)
Здесь 1Ъ /2, ... —относительная наработка (число оборотов) при
значениях нагрузки, равных соответственно Pi, Pit .... Для ша-
шарикоподшипников принимают т = 3; для подшипников с линейным
контактом т = 10/3. За динамическую грузоподъемность подшип-
подшипника принимают нагрузку, которую партия подшипников данного
типоразмера выдерживает с показателем надежности 90 % без за-
заметных повреждений при испытаниях на базе 1 млн. оборотов.
Значения С приведены в каталогах; кроме того, предложены эмпи-
эмпирические формулы, позволяющие оценить динамическую грузоподъ-
грузоподъемность по известным параметрам конструкции подшипника [75].
Формула C.85) в сущности представляет собой разновидность
формулы C.37) для степенной зависимости ресурса от уровня на-
нагрузки, а способ вычисления эквивалентной нагрузки C.86) выра-
выражает линейное правило суммирования повреждений на основе фор-
формулы C.8) (правило суммирования было предложено Пальмгреном
еще в 1924г. в связи с расчетами подшипников на долговечность).
Основным механизмом изнашивания подшипников качения явля-
является контактная усталость. Этим можно объяснить простоту и от-
относительную надежность существующего способа расчета подшипни-
подшипников— способа, который в практике машиностроения применяют
более полувека. Если изнашивание сопровождается пластическим
резанием, окислительными процессами, обратным переносом матери-
материала с одной трущейся поверхности на другую'или другими подобными
явлениями, то расчет значительно усложняется. В процессе изна-
102
шивания сопряжений различают три стадии: приработки, на которой
происходит сглаживание сопряженных поверхностей, установив-
установившегося процесса при минимальной и практически постоянной ско-
скорости изнашивания и заключительную стадию интенсивного изна-
изнашивания, которое сопровождается увеличением шероховатости,
попаданием в область контакта частиц фрикционных материалов и
т. п. Приработка сопряжений, как правило, должна приходиться
на период обкатки или приемо-сдаточных испытаний машины, а вы-
выработка установленного ресурса — на стадию установившегося про-
процесса. Переход к заключительной стадии означает наступление пре-
предельного состояния (если оно не наступило ранее из-за того, что
глубина износа достигла предельно допустимого значения).
По перечисленным причинам ресурсные расчеты обычно основаны
на эмпирических зависимостях, полученных путем изучения уста-
установившихся процессов изнашивания. Эти зависимости связывают
интенсивность изнашивания /, равную объему материала, уносимого
с единицы площади трущихся поверхностей за единицу относи-
относительного пути, с нагрузкой на сопряжение, относительной скоростью,
механическими характеристиками материалов, параметрами шеро-
шероховатости и др. Типичная зависимость интенсивности изнашивания /
от номинального давления или характерного номинального уси-
усилия q имеет вид
/ = Kqm, C.87)
где Кит — эмпирические постоянные.
Интенсивность изнашивания может меняться в весьма широких
пределах: / = 1(Г12 ... 10~3. Для скорости изнашивания / = dlldt
используют формулу
/ = Kxqmvn C.88)
с эмпирическими константами К± и v11 (v — относительная скорость
трущихся пар).
Если скорость изнашивания пропорциональна длине относитель-
относительного пути, то в формуле C.88) п = 1, причем К,х = К. Если принять
что скорость изнашивания пропорциональна мощности сил трения,
которые в свою очередь пропорциональны номинальному давлению q,
то т = п = 1. Полагают [75], что близкие условия выполнены при
изнашивании направляющих, в которых происходит возвратно-
поступательное движение трущихся пар. При контактной усталости
показатель т в формуле C.88) можно выразить через соответствующий
показатель кривой усталости (см. пример 3.7). Считают, что пределы
изменения этого показателя в общем случае т = 1 ... 3. При высо-
высокой шероховатости, например, в процессе приработки, показатель
степени у скорости может оказаться больше единицы и т. д. В лите-
литературе [44] можно найти также соотношения типа C.87) и C.88),
в правые части которых входят параметры шероховатости, пределы
текучести и модули упругости материалов, коэффициент трения в со-
сопряжении и т. п. Эти формулы основаны на соображениях размер-
размерности и модельных представлениях о процессе изнашивания и поз-
103
жк
воляют оценить интенсивность изнашивания
/, если соответствующие опытные данные
отсутствуют. Вообще, ресурсные испытания
на изнашивание в техническом отношении не
сложнее, а по продолжительности не более
трудоемки, чем испытания на усталость.
Нетрудно привести основные соотноше-
соотношения для расчета износа к общему виду
уравнений накопления повреждений. Если
обозначить характерную глубину износа /г,
а ее начальное значение /г0, то за меру
повреждения i]; естественно принять
y = (h~h0)lh0. C.89)
Так как dhldt = /, где / — скорость изна-
изнашивания, что d^/dt = j/h0. При этом \|з @) =
= 0; 4Л* = (К —ho)/ho, где /г* —предельно
допустимая глубина износа. В общем случае
4"* ф\. В результате приходим к уравнению C.1), в котором
вектор q содержит параметры нагружения: номинальное давле-
давление q, скорость v, а также величины, которые могут входить в пра-
правую часть эмпирических формул типа C.87) и C.89). Правая
часть в общем случае содержит меру повреждений \р (например,
если номинальное давление изменяется по мере изнашивания со-
сопряжения).
Пример 3.7. Рассмотрим процесс изнашивания сопряжения втулка—вал [75].
Расчетная схема сопряжения показана на рис. 3.15. Считаем, что износостойкость
втулки значительно превышает износостойкость вала, так что можно принять вну-
внутренний радиус втулки Ri = const. Начальный диаметр вала обозначим R2, a на-
начальный радиальный зазор h0. Для соответствующих текущих значений используем
обозначения R и Л, считая, что износ вала равномерный, и его сечение остается кру-
круговым. Для интенсивности изнашивания / примем соотношение C.87).
Максимальное давление q0 на площадке контакта и длину 1а этой площадки
найдем по формулам Герца для случая двух вложенных упругих круговых цилин-
цилиндров:
О
Рис. 3.15
<7о =
Q Rj-
лт] RiR
I 4Qt[
1/2
C.90)
Здесь Q — усилие на единицу длины вала; ц— постоянная: г\ =- A —v^) ?"j~' +
-f- ( 1 —Vg) ?^~', где ?j, E9 — модули упругости; Vj, v2 — коэффициенты Пуассона
материалов втулки и вала. Поскольку давление q (x) распределено по площадке
контакта неравномерно (см. рис. 3.15), вычислим усредненное по длине 2nR при-
приращение износа Ah за один оборот:
dx.
Закон распределения давления в рамках теории Герца имеет следующий вид:
q (х) = <7о A —х2/аг)] 2. Подставив это выражение в формулу для Aft и проинтегри-
проинтегрировав, получим ДЯ - л"'2/ (т) Kq'ona; f (т) ^ Г \(т + 2)/2]/Г [(т + 3)/2]. Скорость
изнашивания dhldt равна приращению Л/г, деленному на продолжительность одного
10t
оборота 2я/со (w — относительная угловая скорость). Используя формулы C.90),
приходим к уравнению
dh _. Ku>f(m) [ Q ,(in-vl):2f 1 R1-R \(m-l) 2
dt я1'2 \л) \Ц RiR )
Зазор /i входит в правую часть через радиус вала R. Примем за меру поврежде"
ний 1|з отношение глубины износа к начальному радиальному зазору, т. е. возьмем
для ф формулу C.89). Обычно можно считать h <g; Rlt h <c Rz- Тогда уравнение
C.91), выраженное через меру повреждений C.89), примет вид
4f_ =.-- -^- Q {т + 1)/2 A + Ч')(/и~~ 1>/2' C-9?)
at а~л
где постоянная и зависит от параметров сопряжения и эмпирических постоянных
в формуле C.87):
x = 2A:/(m)[/io/(jtT1^1)](m-1) 2.
При т = 1 изнашивание происходит с постоянной скоростью, а при m > 1с увели-
увеличивающейся. Структура уравнения C.92) такова, что переменные в нем разделяются.
Таким образом, получаем модель накопления повреждений типа C.22).
3.14. РАСПРОСТРАНЕНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ
ТРЕЩИН
Основу механики тел, содержащих трещины, обычно образуют
два допущения: трещину представляют в виде математического раз-
разреза в однородной сплошной среде; среду полагают линейно упругой
вплоть до разрушения. Это направление теории называют также
линейной механикой разрушения (в отличие от нелинейной механики
разрушения, где учитывают нелинейные свойства материала, в част-
частности, пластические деформации у фронта трещин). Название ли-
линейная механика разрушения не вполне точно передает содержание
ее предмета, поскольку все задачи механики разрушения, по суще-
существу, нелинейные (нахождение полей упругих напряжений вблизи
трещин —предмет теории упругости, а не механики разрушения).
В связи с этим употребляем, как правило, термины «механика хруп-
хрупкого разрушения» и «механика квазихрупкого разрушения» в зависи-
зависимости от того, считаем материал линейно упругим вплоть до раз-
разрушения или нет.
Допущения механики хрупкого разрушения приводят к весьма
простым и наглядным результатам, которые можно обобщить, смяг-
смягчив введенные ограничения. Основополагающим фактом служит
то обстоятельство, что поле напряжений в окрестности фронта ма-
математического разреза в упругом теле имеет особенность типа/2
(г — расстояние от фронта разреза). Таким образом, для напряжений
ojk в окрестности трещины имеем оценку
oJh = KBnr)-V*fjhD>) + .~, C.93)
где К — некоторый коэффициент, зависящий от формы тела, формы
трещины и приложенных внешних сил; fjh (<p) — безразмерные функ-
функции полярного угла <р; многоточием обозначены регулярные члены.
Если размер трещины / мал по сравнению с характерными раз-
размерами тела, то этот размер —единственный параметр задачи,
!05
имеющий размерность длины. Из соображений размерности следует,
что
K~slx\ C.94)
где s — характерное номинальное напряжение в окрестности тре-
трещины; К — коэффициент интенсивности напряжений.
В простейшем случае плоской деформации — растяжения не-
неограниченного тела номинальными нормальными напряжениями а
в направлении, ортогональном сквозной прямолинейной трещине
длиной 2/, имеем
Kt = a(nlI'2. C.95)
Для внутренней трещины в неограниченном теле, имеющей форму
круга с радиусом / (дискообразной трещины) при растяжении в на-
направлении, ортогональном плоскости трещины, коэффициент ин-
интенсивности напряжений отличается от C.95) множителем 2/л.
Для двух других основных случаев — поперечного сдвига в неогра-
неограниченном теле и продольного сдвига (антиплоской деформации)
имеем Кц = Km = i (л/I 2. Здесь т —номинальное касательное на-
напряжение. Справочные данные для тел различной формы с трещи-
трещинами и различных типов нагружения приведены в работе [56].
Типичные зависимости для К отличаются от C.95) безразмерным
множителем, зависящим от характерных размеров тела и трещины.
Например, для растягиваемой полосы конечной ширины 2Ь, где
b > 0,8/, обычно применяют приближенную формулу
Кг ^ о (л/I 2 {sec [л//BЬ)]|1/2. C.96)
Здесь а —нормальное напряжение в поперечном сечении, вычислен-
вычисленное по площади брутто. Поправочный коэффициент к формуле C.95)
может также зависеть от коэффициента Пуассона, а для анизотроп-
анизотропного материала —от соотношений между упругими постоянными.
Поскольку в механике хрупкого разрушения коэффициент ин-
интенсивности напряжений служит единственным параметром, опреде-
определяющим напряженное состояние в окрестности фронта трещины,
то условие предельного равновесия тела с трещиной должно иметь
вид
К = КС. C.97)
Здесь Кс — критический коэффициент интенсивности напряжений.
При достижении условия C.97) равновесие становится неустой-
неустойчивым: трещина распространяется со скоростью, имеющей порядок
скорости волн Релея в данном материале. Условие C.97) обычно
получают из энергетического равенства высвобождаемой упругой
энергии и работы, идущей на образование новых поверхностей при
росте трещины. Строго говоря, это равенство означает лишь то, что
трещина равновесна по отношению к малым изменениям ее размеров.
В некоторых случаях (например, при нагружении трещины силами,
приложенными к ее берегам) равновесная трещина устойчива.
Равенство C.97) называют условием Гриффитса—Ирвина A920 г.,
1957 г.).
106
В экспериментальной механике разрушения критический коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений К\с обычно определяют из опы-
опытов на растяжение в условиях плоской деформации. Это одна из
основных характеристик механических свойств конструкционных
материалов. Коэффициент К\с называют также трещиностойкостью
материала. Данные о трещиностойкости различных металлов, спла-
сплавов, композитов и керамических материалов приведены, например,
в работе [56]. Типичные значения трещиностойкости для большин-
большинства углеродистых и легированных сталей составляют при нормаль-
нормальных условиях 60—150 МПа-м12. При снижении температуры
трещиностойкость, как правило, уменьшается. Это особенно заметно
в окрестности критической температуры хладоломкости. Действие
активных сред, излучения и других факторов также влияет на
трещиностойкость. Критический коэффициент интенсивности напря-
напряжений при растяжении в условиях плоского напряженного состояния
обозначают Кс- Значения этого коэффициента чувствительны к от-
относительной толщине образца и в общем случае имеют больший раз-
разброс, чем трещиностойкость К1с.
Поскольку в основе механики хрупкого разрушения лежит пред-
предположение о сохранении линейно-упругих Свойств материалов вплоть
до разрушения, ее выводы не учитывают пластические деформации
на фронте трещины. В действительности эти деформации возникают
практически всегда. Условие C.97) имеет смысл, если размер тре-
трещины / достаточно велик по сравнению с характерным размером рк
зоны пластических деформаций. Этот размер нетрудно оценить, ис-
используя формулу типа C.93). Из условия а (г) ~ оу получим
ру,~Я2Bла?). C.98)
Здесь оу — предел текучести материала при растяжении.
Механика хрупкого разрушения применима, если / ^> рк. Дру-
Другое ограничение связано с наличием, у реальных конструкционных
материалов структуры, размер элементов которой сопоставим с раз-
размером трещины. Для поликристаллических материалов характерный
размер структуры р имеет порядок размера зерна, для композитов
на основе волокон —порядок диаметра волокна и т. п. Область,
для которой выполнено условие / 5> р, но нарушено условие / ^>
> Рг, является предметом нелинейной механики разрушения.
Чтобы описать зависимость а (/) при небольших значениях /,
необходимо детально рассмотреть концевые зоны, в которых про-
происходит развитие пластических деформаций. Стремление сохранить
в качестве основной характеристики материала трещиностойкость
К\с приводит к различным полуэмпирическим соотношениям. Вместе
с тем*размеры устойчивых трещин обычно составляют десятки и даже
сотни миллиметров, а эксплуатационные номинальные напряжения,
как правило, невелики по сравнению с пределом текучести, поэтому
область применения механики хрупкого разрушения в практических
расчетах довольно широка.
107
Закономерности роста усталостных трещин также целесообразно
описывать в терминах механики хрупкого разрушения [83]. Пусть
процесс нагружения s (/) —циклический, т. е. состоит из последо-
последовательности реализаций, многократно пересекающих некоторый
средний (вообще, переменный) уровень напряжений. Для упроще-
упрощения примем, что каждый цикл —отрезок реализации между двумя
соседними положительными пересечениями среднего уровня — со-
содержит по одному максимуму smax и одному минимуму smin. Такие
циклы называют простыми (в отличие от сложных циклов, содержа-
содержащих внутренние экстремумы). Если пренебречь влиянием частоты
нагружения и считать температуру и другие условия окружающей
среды постоянными, то приращение, размера трещины А/ за один
цикл должно зависеть только от /, smax и smln. В рамках механики
хрупкого разрушения число определяющих параметров сокращается
до двух: ими служат максимальное и минимальное за цикл значения
коэффициента интенсивности напряжений. Считая приращение Л/
малым, общее число циклов весьма большим, размер трещины / —
непрерывно дифференцируемой функцией непрерывного аргумента —
числа циклов п, получим уравнение относительного скорости роста
усталостной трещины
^- = /(/Сшах,/Ст1п), C.99)
ГДе Атах '"^ ^тах^ > Amin ' ' ^mln^
Вид правой части устанавливают на основании эмпирических
данных, а также некоторых качественных соображений. Пэрис и
Эрдоган A963) предложили следующую зависимость:
¦§Г = с(АК)т. C.100)
Правая часть выражена через размах АЛ" = /(max — Ктщ коэф-
коэффициента интенсивности напряжений в пределах цикла. Для боль-
большинства конструкционных металлов и сплавов принимают т = 2 ...
... 6 (для углеродистых сталей при не слишком высоких напряжениях
т « 4). При т = 4 обычно принимают с = 10~16 ... 10~12 мм7-Н~4.
Некоторые авторы, исходя из модельных соображений, предлагают
формулы, связывающие постоянную с с механическими характери-
характеристиками материала. Так, при т = 4 полагают с ~ (crB/Cic)~2 или
с ~ (Ee^Kic)'2, где ав — предел прочности при растяжении; е.,. —
деформация, соответствующая разрушению; Е —модуль упругости.
При т = 2 предлагают оценки с ~ Е~2, что соответствует подра-
подрастанию трещины за один цикл на (АЛ7.ЕJ, и т. д.
Детальный обзор эмпирических уравнений для скорости роста
трещин дан в работе [56]. Достаточно общая форма уравнения
C.99) имеет вид
¦§ = Cl (А/С - ЛЛ'оГ' (Д'шах - КоГ- (Кс - Д-шах)" • C. 101)
Здесь съ mlt т2 и т3 —эмпирические постоянные; А/(о —поро-
—пороговое значение размаха; Ки — пороговое значение максимума коэф-
108
фициента интенсивности напряжений. Введение этих значений поз-
позволяет учесть возможность нераспространения трещины при доста-
достаточно малых размахах и малых уровнях напряжений. Некоторые
экспериментаторы дают оценки пороговых значений А/Со -~ Ко ~
~ @,05 ... 0,1) Кс. Если АК < А/Со или Ктах < Кп, то правую часть
уравнения следует приравнять нулю. В правую часть уравнения
C.101) входит также критическое значение Кс коэффициента интен-
интенсивности напряжений для данной формы тела и трещины и данного
вида нагружения. Выражение в знаменателе учитывает увеличение
скорости роста трещины при приближении ее размера к значению,
при котором достигается условие Гриффитса—Ирвина C.97).
Широко применяемое в настоящее время в прикладных расчетах
уравнение Формана A967 г.)
* МАКГ /3 102)
dn A- k)Kc~L\K
следует из C.101), если принять тх — т — 1, т2 — т3 — 1, Д/Со =
— Ко — 0 и ввести коэффициент асимметрии Я ~ snmjsmax =
= KmJKm^- В уравнения C.100)—C.102) в общем случае следует
учитывать зависимость параметров Кс, &К0, Ко, с и сг от температуры
и свойств среды.
Аналогичные уравнения получим, рассматривая процесс распро-
распространения трещин при постоянных или медленно меняющихся нагруз-
нагрузках. Это явление, называемое иногда статической усталостью,
также можно описать в терминах механики хрупкого разрушения.
Вместо C.99) имеем уравнение
7Г = /(*). (ЗЛ03>
где правая часть зависит от коэффициента интенсивности напряжений
в рассматриваемый момент времени.
3.15. МОДЕЛЬ ЗАРОЖДЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ
ТРЕЩИН
До сих пор различные стадии процесса разрушения мы рассматри-
рассматривали раздельно. Инкубационная стадия накопления рассеянных по-
повреждений может составлять значительную часть общего ресурса,
предшествуя стадии развития магистральной макроскопической тре-
трещины. Если в конструктивном элементе не было врожденных макро-
макроскопических трещин, то зарождение первой макроскопической тре-
трещины есть результат накопления рассеянных повреждений. Процесс
накопления повреждений продолжается и после того, как начался
рост трещины, причем эти процессы взаимодействуют между собой.
Механизмы этих стадий существенно различны и должны описы-
описываться существенно различными математическими моделями. Из-
109
ложим полуэмпирическую теорию зарождения макроскопических
трещин, возникающих при циклических или длительно действующих
статических нагрузках [4, 7]. Центральным элементом теории слу-
служит новая интерпретация меры повреждения для инкубационной
стации. Постулирована связь этой меры с числом зародышей макро-
макроскопических трещин, образовавшихся к рассматриваемому моменту
времени в некотором эталонном объеме. Такая интерпретация поз-
позволяет установить связь между историей нагружений и последова-
последовательностью возникновения макроскопических трещин. Дополнив
модель инкубационной стадии соотношениями, описывающими про-
процесс роста макроскопических трещин вплоть до достижения ими кри-
критических размеров, можно получить полное описание процесса раз-
разрушения и прогнозировать показатели долговечности при длительно
действующих и циклических нагрузках.
Пусть тело объемом V подвергнуто длительному действию внеш-
внешних нагрузок, например, постоянных или медленно изменяющихся
во времени, либо циклических нагрузок, максимальные значения
которых таковы, что разрушению предшествует весьма большое
число циклов или блоков нагружения. Рассмотрим совместно пере-
перечисленные типы нагрузок, считая, что параметры циклических на-
нагрузок изменяются достаточно медленно (по сравнению с продолжи-
продолжительностью каждого цикла или блока), так что процесс циклического
нагружения можно приближенно рассматривать как протекающий не-
непрерывно в «медленном» времени t. Если это условие не выполнено,
то процесс циклического нагружения следует рассматривать отдельно
в рамках разностной модели — аналога модели с непрерывным вре-
временем. Для упрощения дальнейшего изложения ограничимся моде-
моделями с непрерывным временем.
Под действием внешних нагрузок в теле возникает поле номиналь-
номинальных напряжений, которое опишем с помощью векторного процесса
s (x, t); х с ]/, t ? [0, оо). Здесь х —координатный вектор точек
тела. Поскольку t —«медленное» время, то в число компонент про-
процесса s (x, t) должны быть включены все характеристики цикла или
блока нагружения, влияющие на процессы накопления повреждений
и роста трещин: максимальные и минимальные напряжения цикла,
параметры внутренних экстремумов цикла, продолжительность каж-
каждого цикла, температура и т. п.
Разобъем тело на части, размеры каждой из которых достаточно
велики по сравнению с характерным размером микронеоднородности
материала — размером первичного элемента макроструктуры (на-
(например, зерна кристаллита или волокна), а также по сравнению
с характерным размером 4 зародышевой макроскопической трещины.
С другой стороны, эти размеры достаточно малы по сравнению с ха-
характерным размером X изменения функции s (x, t) по объему тела V,
а также с характерным размером макроскопической неоднородности
материала. Такое разбиение можно сделать почти всегда. Так, в круп-
крупногабаритных металлических конструкциях масштаб неоднородности
даже вблизи конструктивных концентраторов (например, заклепоч-
заклепочных отверстий) обычно не превышает к « 10 мм. В то же время ми-
по
нимальный размер обнаруживаемой макроскопической трещины имеет
порядок 1 мм, а характерный размер микронеоднородности метал-
металла — порядок 10 ... 100 мкм. Для упрощения дальнейших построе-
построений также предположим, что характерный размер / развитой макро-
макроскопической трещины таков, что трещина не выходит за пределы вы-
выделенного объема V вплоть до момента, когда этот размер достигает
предельно допустимого или критического значения 1.^. Если поло-
положение зародышей локализовано, то последнее ограничение легко
снимаем. Характерное (эталонное) значение выделенного объема
тела обозначим Vo.
Рассмотрим процесс накопления повреждений и развития макро-
макроскопических трещин в объеме Vo. С учетом ограничений на выбор
этого объема поле номинальных напряжений s (х, /) в Vo считаем
не зависящим от х и обозначаем s (t). На первой (инкубационной)
стадии в слабейших и наиболее напряженных группах элементов
структуры (зерен, кристаллитов, волокон и т. п.) возникают зародыши
макроскопических трещин с характерным размером 1%. Возникнове-
Возникновение зародышей представляет собой точечный случайный процесс,
порождаемый, с одной стороны, случайным размещением в объеме Vo
слабейших и наиболее напряженных первичных элементов, а с дру-
другой стороны —процессом нагружения s (t).
На второй стадии зародившиеся макроскопические трещины рас-
растут. При этом каждая трещина в процессе развития пересекает
весьма большое число элементов структуры, механические свойства
которых образуют сечение однородного и эргодического поля.
Поэтому средняя скорость роста трещины dl/dt, определяемая по
отношению к «медленному» времени t, зависит не от локальных
свойств первичных элементов, а от их усредненных значений. Таким
образом, если стохастические модели для описания первой стадии
в основном определяются крайними членами вариационного ряда,
характеризующего прочность и локальную напряженность первич-
первичных элементов, то скорость роста макроскопических трещин в основ-
основном (помимо параметров нагружения) зависит .от усредненных по
объему механических характеристик материала. Это обстоятельство
обнаружено во многих экспериментах. В частности, если локализо-
локализовать трещину с высокой степенью точности (что делается в экспери-
экспериментальных работах по механике разрушения), то разброс скорости
ее роста dl/dt оказывается умеренным даже по сравнению с разбро-
разбросом долговечности для образцов с концентраторами. Процесс обра-
образования зародышей продолжается и после того, как началось разви-
развитие первой магистральной трещины. Более того, процесс разрыхле-
разрыхления изменяет структуру материала в области, где должна пройти
трещина, что непосредственно влияет на скорость dl/dt.
Рассмотрим подробнее инкубационную стадию. Степень подго-
подготовки материала в объеме Vo к развитию макроскопической трещины
охарактеризуем с помощью скалярной меры повреждения 4- М5 = 0
для неповрежденного материала, т|- — 1 для момента окончания
инкубационной стадии и \|; > 1 для стадии развития макроскопи-
макроскопической трещины). Мера \р —неубывающая функция t и в каждый
II!
t,, t
5)
Рис. 3.16
момент времени t представляет собой функционал типа C.69) от
истории нагружения на отрезке [0, t\:
I=H'[S(T)].
г=0
C.104)
Узловое место развиваемой теории — интерпретация меры пов-
повреждения 1[; в терминах образования зародышей макроскопических
трещин. Число трещин в объеме Vo — целочисленная случайная ве-
величина, принимающая значения к = 0, 1, 2, .... В то же время
мера гр при заданном (детерминистическом) непрерывном процессе
нагружения s (t) является детерминистической непрерывной функ-
функцией времени. С другой стороны, экспериментатор, производящий
испытания на усталость или длительную прочность, констатирует
окончание инкубационной стадии в тот момент, когда обнаружит
в образце первую макроскопическую трещину- Чтобы согласовать
эти обстоятельства, выразим меру повреждения $ через математиче-
математическое ожидание ц=^Е \k\ числа макроскопических трещин k в объеме Vo-
Математическое ожидание Elk] вычисляем для статистического ан-
ансамбля аналогичных объемов, находящихся в одинаковых условиях.
Итак, пусть
Ek\ fW K[0] CЮ5)
При этом /(<)¦) —непрерывно дифференцируемая функция, удовле-
удовлетворяющая условиям /' (vp) > 0; / @) = 0; / A) =- 1. Смысл первых
двух условий очевиден, а последнее означает, что при удачно вы-
выбранной модели вычисленному значению ф = 1 должно соответство-
соответствовать в среднем по одной макроскопической трещине в каждом об-
образце из достаточно представительной выборки. Отсюда следует,
что эталонный объем Vo должен иметь порядок объема стандартных
образцов применительно к данному материалу и рассматриваемому
классу конструкций (и наоборот). Предлагаемая модель проиллю-
проиллюстрирована на рис. 3.16. На рис. 3.16, а показаны зависимости
изменения во времени меры повреждения $ (t), математического
ожидания [я (/) числа макроскопических трещин и одна из реализаций
П2
целочисленного случайного процесса k (t). При этом принято, что
\х, — \|А На рис. 3.16, б показано изменение размеров макроскопи-
макроскопических трещин / (t) от начального значения L-. до критического 1.^.
Дополним соотношения C.104) и C.105) вероятностной моделью,
дающей возможность связать вероятности возникновения в объеме
зародышей макроскопических трещин с математическим ожиданием
их числа в этом объеме. Возникновение зародышей —достаточно
редкое событие, причем их характерный размер /* обычно имеет по-
порядок десяти структурных элементов. Поэтому с близкой к единице
вероятностью можно считать, что зародыши друг на друга не влияют,
и что для k зародышей справедлива модель редких событий (распре-
(распределение Пуассона). Вероятность обнаружения k зародышей или раз-
развивающихся из них трещин в объеме Vo определим как Qh =
= (\iklk\) exp (—\i), где k = 0, 1, 2, ... Подставив в это выражение
C.105), найдем вероятность обнаружения k макроскопических тре-
трещин или их зародышей в момент времени t:
fk[l{i)])}\ (k = 0,1,...). C.106)
Вероятность события, состоящего в том, что к моменту времени t
в объеме Vo найдется хотя бы одна макроскопическая трещина или
ее зародыш, вычислим по формуле
Q@=l-exp{-/h|: (/)]}. C-Ю7)
Формулы C.106) и C.107) вместе с уравнениями C.104) позво-
позволяют найти распределение времени до появления первого, второго
и других зародышей, что дает возможность сформулировать началь-
начальные условия для процесса развития трещин. Однако для получения
достоверных результатов необходимо согласование частного вида
предлагаемых соотношений, а также входящих в них параметров с опы-
опытными данными. В литературе пока нет достаточных статистических
данных о распределении времени до появления первой макроскопи-
макроскопической трещины. Стадия развития магистральной трещины (если
начальная трещина не инициирована преднамеренно) составляет,
как правило, 10—40 % общего ресурса. Учитывая, что статистиче-
статистический разброс суммарной долговечности обычно составляет один по-
порядок и даже более, в первом приближении при выборе параметров
для инкубационной стадии используем данные, относящиеся к сум-
суммарному ресурсу.
При истолковании и статистической обработке результатов испы-
испытаний на усталость при постоянном уровне напряжений часто ис-
используют распределения, порождаемые функцией
Отношение V/Vu учитывает масштабный эффект. Функция C.108)
определена при нагружениях s и времени t, превышающих порого-
пороговые значения г0 и t0. Если s < г0 или t < t0, то следует принять
113
Рис. 3.17
F (s, t) :- 0. При t — const функция F (s, t) имеет смысл функции
распределения разрушающих напряжений при заданной базе испыта-
испытаний, а при s = const переходит в функцию распределения ресурса
при заданном уровне напряжений. Показатели а и |3 связаны с по-
показателем т кривых усталости или замедленного разрушения соот-
соотношением C.43).
Пример 3.8. Допустим, что s = const и функция C.108) отнесена к моменту t.t
окончания инкубационной стадии, т. е. к моменту появления первой макроскопиче-
макроскопической трещины. Тогда между вероятностью Q(f), определяемой по формуле C.107),
и функцией C.108) имеет место связь Q (t) и F (s, /), где s — постоянный параметр.
Запишем уравнение C.104) в виде
о
dt
1
(s< г0 или / <
(.•>¦>/•„; />/„).
Функшно / (vj-) в соотношении C.105) примем в виде
C.10Э)
C.110)
Вычисления приводят к формуле для Q (/), которая совпадает с правой частью
выражения C.108) при V ~- Vo. Если V Ф Vo, но уровень напряжений в объеме V
одинаков и материал статистически однороден, то математическое ожидание числа
зародышей в объеме V составляет \x.ViV0. В результате приходим к функции C.108),
учитывающей масштабный эффект.
Параметры, входящие в формулы C.109) и C.110), можно определить по резуль-
результатам усталостных и длительных испытаний. Например, параметр а, характеризую-
характеризующий разброс предельных напряжений и масштабный эффект прочности, связан со-
соотношением т = a/f} с показателем кривых усталости т и показателем р, характе-
характеризующим связь между мерой повреждения i|) и математическим ожиданием ц числа
макроскопических трещин (или их зародышей) в некотором эталонном объеме.
Кроме того, показатель f> связан с коэффициентом вариации ресурса [19]. В част-
частности, если /0 —- 0, то эта связь имеет вид C.44).
На рис. 3.17 показаны зависимости вероятности Q^ появления одного, двух и
трех зародышей от меры повреждения. Здесь использована формула C.110) при
р -- 1 (рис. 3.17, а) и р — 2 (рис, 3.17, б). Заметим, что обычно для конструкционных
алюминиевых сплавов показатель кривой усталости тк8, а показатель а изме-
изменяется от 16 до 20 [103]. При т -— 8 и а =-" 16 имеем р = 2 (см. рис. 3.17, б).
114
3.16. ОБЪЕДИНЕННАЯ ТЕОРИЯ ЗАМЕДЛЕННОГО
РАЗРУШЕНИЯ
Первая попытка совместного рассмотрения инкубационной ста-
стадии и процесса развития макроскопических трещин была предпри-
предпринята, по-видимому, автором A959 г.), который предложил двух-
стадийную модель усталостного разрушения. Эта модель основана
на введении двух мер повреждения, одна из которых характеризует
разрыхление (степень подготовки материала к образованию уста-
усталостной трещины), вторая —размер магистральной усталостной
трещины. Этот подход был предложен для объяснения и описания
отклонений от линейного закона суммирования повреждений при
изменении порядка приложения нагрузок различной интенсивности.
В статьях [7, 14 ] концепция двух стадий разрушения получила даль-
дальнейшее развитие и доведена до соотношений, позволяющих прогно-
прогнозировать показатели долговечности в условиях длительного и цик-
циклического нагружения. Основой для объединенной теории послу-
послужила модель зарождения макроскопических трещин, которая поз-
позволяет сформулировать начальные условия для второй стадии раз-
разрушения. Вторая стадия состоит в развитии макроскопической тре-
трещины либо до критического размера /:W, при котором трещина ста-
становится неустойчивой, -либо до предельно допустимого значения,
после достижения которого данный элемент конструкции или де-
деталь машины условно рассматриваются как разрушенные. Общее
соотношение для размера / (длины краевой трещины, полудлины
центральной трещины, радиуса дисковой трещины и т. п.) имеет вид
x=t
1A) = Н^СгШт)], C-111)
т. е. размер / в момент времени t есть функционал истории нагруже-
нагружения и процесса накопления повреждений на отрезке времени [tt_, t].
Начальное условие для уравнения C.111) имеет вид I (t%) = /*,
где 4 — характерный размер зародыша макроскопической трещины.
Момент времени t% возникновения первой трещины — случайная
величина с функцией распределения
Задача нахождения размера трещины при t > t.A, и времени /**
достижения критического значения 1.^ является вероятностной
даже в том случае, когда процесс нагружения детерминистический.
Если найден закон изменения I = L (t, t%) размера трещины при
заданном значении t%, то решение задачи —элементарное. Достато-
Достаточно решить уравнение / = L (t, /J относительно переменной ^
и использовать известное уже выражение C.112) для функции рас-
распределения t%. Обозначим обратную функцию t% = Т# (/, t). Эта
функция —монотонно убывающая, поэтому функция распределения
размера трещины / в произвольный момент времени t > /* имеет
вид
F,(l; /)=l-FjT*a. 01- C-НЗ)
115
При этом время t рассматриваем как параметр. За разрушение при-
принимаем достижение размером I некоторого критического или пре-
предельно допустимого значения 1Ш. Соответствующий момент времени
обозначим tw Для времени разрушения t.^ получаем функцию
распределения
^**) = ^*(/**Л*)]- C.114)
Если взаимодействием трещин допустимо пренебречь, то анало-
аналогично сформулируем задачу о росте второй, третьей и других тре-
трещин. Поскольку поле номинальных напряжений и механические
свойства материала в объеме Уо макроскопически однородны, можно
считать, что все трещины в объеме Уо геометрически подобны и
эквивалентно ориентированы, т. е. все трещины находятся в макро-
макроскопически одинаковых условиях. Трещина, зародившаяся первой,
обгонит по росту остальные трещины. Таким образом, ограничимся
рассмотрением задачи о росте единственной трещины.
В рамках механики хрупкого разрушения рассматриваем скорость
роста устойчивой трещины dlldt как функцию коэффициента интен-
интенсивности напряжений на фронте трещины, если нагрузка постоянная
или медленно меняющаяся, или как функцию характерных (напри-
(например, максимальных или минимальных) значений коэффициента ин-
интенсивности напряжений для каждого цикла, если нагрузка цикли-
циклическая. Введение коэффициента интенсивности напряжений как
основного определяющего параметра позволяет совместно учесть
уровень напряжений s и размер трещины / одним размерным комплек-
комплексом типа C.94). Это становится невозможным, если учитывать влия-
влияние разрыхления на скорость роста трещины dlldt: мера поврежде-
повреждения г|; зависит от истории нагружения и не зависит от размера тре-
трещины. Если же влияние разрыхления на скорость dlldt пренебрежимо
мало, то соотношения механики хрупкого разрушения применимы
в полной мере.
Пример 3.9. Простейшей модели роста усталостной трещины соответствует урав-
уравнение Пэриса—Эрдогана C.100). Чтобы использовать обозначения предыдущих
формул, перепишем его в виде
(\K) C.115)
dt To
где т0 — продолжительность цикла.
Рассмотрим случай т0 = const. Пусть все циклы симметричные с амплитудой s.
Тогда A/( = 2xs/12, где коэффициент %~ 1. Интегрирование уравнения C.115)
при s = const и начальном условии / (/„.) = /„. дает
Для инкубационной стадии возьмем модель, которая описана уравнениями
C.109) и C.110). Учитывая формулу C.112), получим следующее выражение для
функции распределения моментов зарождения первой трещины:
[(?3)(^)Ч
Н6
Применим далее формулу C.114). Для этого в соотношениях C.116) следует
принять I = /#„, t = t^ и решить их относительно ^ = Т„ (I, t). С учетом формулы
C.117) получаем
= 1—ехр -
где использовано обозначение
/_(to/c)Bxs)-2 In (l/U)
/ —(to/mjc) Bxs)"m(l7m
(m =
C.118)
C.119)
Формулы C.116)—C.119) имеют смысл при условии, 4Tos> л0, /> t0, <*> /о-
Некоторые результаты вычислений по этим формулам приведены на рис. 3.18
в виде графиков для плотности вероятности /),.„, (^„) = Fi» (^*). Вычисления вы-
выполнены при т — 8; г0 = 0; tQ = 0, (X/ZHjC) Byj\~~ml~mi = tc\ I II <C 1; a = 16;
P = 2. На рис. 3.19 показано семейство кривых усталости, причем проведено раз-
разграничение между инкубационной стадией и стадией роста макроскопической тре-
трещины. Прямые t == t% (s) и кривые t= /,.* (s) построены соответственно по уравне-
уравнениям Fq (tt) =1 — Я и F^^. (tf.^) = 1 — Р' гДе ^ — уровень надежности.
Уравнение C.101) более общее, чем C.100), позволяет учесть
нечувствительность-'трещины к циклам малой амплитуды, а также
быстрое увеличение скорости dl/dt с приближением размера трещины
к его критическому значению. Если разрыхление материала заметно
влияет на скорость dl/dt, то естественно принять, что характеристики
материала Л/Со, Ко и Кс зависят от меры повреждения i|>. Тогда при
симметричных циклах напряжений существенную роль играют две
величины, имеющие размерность напряжения: s0 = KJ(%1\2) и
sc = KJ{%1\2). Первая соответствует пороговому значению коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений и минимальному размеру 1%
макроскопической трещины. Величину s0 можно истолковать как
нижний предел выносливости материала при симметричных циклах
напряжений. Вторая величина соответствует уровню напряжений,
lg(s/rc)
г -
s/rr-U
L_fl_
|\
1
/ 2 i t,,/tc
Рис. 3.18
-1
-1 0 lg(t/ts)
Рис. 3.19
117
при котором зародышевая трещина оказывается критической. Та-
Таким образом, в рамках данной теории разброс долговечности при
детерминистическом нагружении целиком возникает на инкубацион-
инкубационной стадии, в то время как продолжительность стадии роста трещины
является величиной детерминистической. Однако эта величина су-
существенно зависит от уровня напряжений, изменяясь от нуля при
очень высоких напряжениях до сколь угодно больших значений при
напряжениях ниже порогового значения г„. Следовательно, отно-
отношение продолжительностей двух стадий есть случайная величина
с изменением в весьма широких пределах. В статьях [11, 141 объе-
объединенная теория разрушения распространена на неоднородные (но
медленно изменяющиеся) поля напряжений и механических свойств
материала, а также на случайные процессы нагружения.
4. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
4.1. ЗНАЧЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РЕСУРСА
Полуэмпирические модели накопления повреждений не включают
явного описания физических явлений, которые происходят в мате-
материале в процессе его повреждения. Область применения этих моделей
ограничена условиями, которые более или менее близки к условиям
базовых ресурсных испытаний. Из-за этого ограничения возникают
трудности при прогнозировании ресурса на время, значительно
превышающее базу испытаний, при переносе результатов испытаний
образцов на крупногабаритные изделия, а также при оценке вероят-
вероятностей появления редких событий. Перечисленные трудности в оп-
определенной степени отпадают, если вместо полуэмпирических моде-
моделей использовать модели накопления повреждений и разрушения,
основанные на структурных соображениях.
Элементы структуры конструкционных материалов весьма раз-
разнообразны и их размеры изменяются в широком диапазоне — от раз-
размеров атомов и молекул до размеров деталей или элементов кон-
конструкции. Характерные масштабы структуры приведены схематиче-
схематически на рис. 4.1 [961. Отвлекаясь от квантово-механических явлений,
начнем перечисление с уровня кристаллической решетки / с харак-
характерным масштабом порядка 1(Г10 ... 1(Г9 м. Более широкий диапа-
диапазон 2 занимает молекулярная структура полимеров. Характерный
масштаб дислокаций 3 имеет порядок 1(Г9 ... 1СГТ м, а среднее рас-
расстояние между дислокациями 4 лежит в широком диапазоне 10"s ...
... 1(Г4 м. Перечисленные элементы структуры служат предметом
рассмотрения физики твердого тела. При этом раздел физики твер-
твердого тела — континуальная теория дислокаций — является погра-
пограничной областью между физикой твердого тела и механикой сплош-
сплошной среды.
Следующие элементы структуры в зависимости от подхода к их ана-
анализу можно отнести как к физике твердого тела, так и к прикладному
материаловедению (металловедению). Среди них: линии скольжения 5
и полосы скольжения 6, микропоры и микровключения 7, зерна и
волокна 8, микротрещины 9. Сюда можно отнести такие элементы
структуры, характеризующие состояние поверхности: высоты рель-
рельефа микрошероховатости 10 и характерные длины этого рельефа П.
Перечисленные элементы имеют масштабы длины, лежащие при-
приблизительно в одном и том же диапазоне 10~° ... КГ2 м. Существенно,
что на этом уровне допустимо рассматривать материал с позиций ме-
механики сплошной среды (более того, методы теории упругости при-
применяют уже в теории дислокаций). Кроме того, предметом механики
119
M I
10'
10'
10'
lo-
to-
lo-
loH
материалов и конструкции слу-
служат элементы структуры: мак-
макроскопические трещины 12 и
концевые пластические зоны
этих трещин 13, макроскопиче-
макроскопические технологические дефекты
(не вошедшие в перечисленные
выше) 14, концентраторы на-
напряжений 15 и характерные
масштабы изменения номиналь-
номинальных напряжений 16.
В сущности все элементы
структуры участвуют в про-
процессе накопления повреждений
и разрушения. Однако было бы
нереалистично предлагать мо-
модели, включающие все элемен-
элементы. Поэтому структурные мо-
модели строят следующим обра-
образом: принимая один из уров-
уровней структуры за исходный,
постулируют свойства мате-
материала на этом уровне и спо-
способ взаимодействия элементов
структуры. С помощью по-
построенной модели предсказы-
предсказывают поведение материала на
более высоком уровне. Так переходят с уровня кристаллической ре-
решетки на уровень дислокаций, с уровня дислокаций на уровень
полос скольжения и т. п. Для прикладных задач расчета машин и
конструкций важен выход на уровень изделия в целом. Выбирая
начальный уровень структуры, нужно перемещаться от масштабов
изделия к меньшим масштабам. Чтобы остаться в рамках применения
механики сплошной среды, достаточно принять за исходный уровень
элементы структуры размером порядка 10~6 м. При этом модель
включает все элементы, которые рассматривают в прикладном ма-
материаловедении.
Основной недостаток структурных моделей состоит в том, что они
требуют значительно большего объема информации, чем полуэмпи-
полуэмпирические модели. Большую часть этой информации очень трудно
получить из прямых экспериментов, поскольку она относится к ма-
маломасштабным элементам структуры. Например, чтобы получить
опытные данные для структурной модели накопления усталостных
повреждений, следовало бы'провести многочисленные опыты по цик-
циклическому деформированию зерен и межзеренных границ с дефек-
дефектами различной природы, разных размеров и ориентации. Очевидно,
гораздо проще провести прямые стандартные испытания на уста-
усталость. Некоторое облегчение вносит то обстоятельство, что часть
параметров структурных моделей можно оценить косвенным путем,
120
Рис. 4.1
сравнивая результаты вычислении по структурным и соответствую-
ющим полуэмпирическим моделям.
Разработка структурных моделей особенно важна для современ-
современных композиционных материалов. По сравнению с традиционными
конструкционными материалами свойства композитов мало изучены.
Каждый год разрабатывают сотни новых композитов, очень часто
композит как материал создают вместе с конструкцией. Испытания
композитов на малых образцах недостаточно информативны. Из-за
побочных эффектов, к которым многие композиты более чувстви-
чувствительны, чем традиционные материалы, они ведут себя в образце иначе,
чем в конструкции. Перенос результатов испытаний образцов на на-
натурные конструкции затруднен из-за четко выраженного, но трудно
предсказуемого масштабного эффекта. Применительно к задачам
прогнозирования ресурса возникают дополнительные трудности
из-за необходимости экстраполяции результатов испытаний на ма-
малой базе.
Поскольку свойства композитов изучены недостаточно, трудно
говорить об обоснованных методиках ускоренных ресурсных ис-
испытаний. Образцы из композитов обычно очень дороги, так что раз-
разработчики предоставляют их в количестве, совершенно недостаточном
для обоснованных статистических выводов. Таким образом, для
современных композиционных материалов развитие структурных
подходов более актуально, чем для традиционных материалов.
К тому же, элементами структуры композиционных материалов слу-
служат волокна, прослойки матрицы, границы раздела матрица—во-
матрица—волокно, механические свойства которых могут быть исследованы от-
относительно легко. Предсказание свойств будущего композита по
свойствам компонентов и границ их раздела — основная задача
механики композитов.
Структурные модели важны также для обоснованного подхода
к объединенному описанию процессов повреждения и разрушения.
В сущности все эти процессы связаны с явлениями, происходящими
в одних и тех же элементах структуры. Например, накопление уста-
усталостных повреждений происходит в отдельных зернах и на отдельных
участках межзеренных границ. Зарождение макроскопической уста-
усталостной трещины есть результат слияния повреждений в местах
случайного скопления наиболее дефектных или наиболее напряжен-
напряженных элементов структуры. Рост макроскопической усталостной тре-
трещины есть процесс продвижения фронта разрушения через совокуп-
совокупность зерен и межзеренных границ, попадающих на фронт трещины.
Все эти явления можно описать с помощью одной структурной модели.
Есть еще одно преимущество объединенных структурных моделей:
они указывают способы перенесения опытных данных, полученных
для одного из классов нагружения и поведения материала, на дру-
другие классы, а также позволяют объединять опытные данные, отно-
относящиеся к различным классам. В целом разработка структурных
моделей повреждения и разрушения — одно из наиболее актуаль-
актуальных направлений механики материалов. Этим моделям, несомненно,
принадлежит будущее.
121
Из-за недостатка опытных данных и формальной математической
сложности только относительно простые структурные модели могут
получить в настоящее время практическое применение. От таких мо-
моделей нельзя требовать, чтобы они предсказывали численные ре-
результаты, обладающие высокой точностью. Многие результаты верны
лишь с точностью до порядка величин. Тем не менее и они представ-
представляют интерес для практики, поскольку позволяют оценить влияние
различных параметров на показатели надежности и ресурса. Обсу-
Обсуждая структурные модели, мы должны все время сопоставлять их
с соответствующими полуэмпирическими моделями и численными
значениями их параметров, поскольку в основе полуэмпирических
моделей лежат результаты обширных и достаточно достоверных экспе-
экспериментальных исследований.
4.2. МОДЕЛИ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
В механике деформируемого твердого тела предложено много
структурных моделей [17, 72, 79]. Трудно осуществить даже ус-
условную классификацию этих моделей, можно указать два крайних
класса [96]. Модели каждого класса имеют много общего между
собой как с физической, так и с математической точек зрения. В то
же время эти классы образуют вилку, включающую в себя как про-
промежуточные большинство остальных структурных моделей.
Первый класс образуют модели слабейшего звена. Характерным
примером служит модель хрупкого разрушения Вейбулла A939 г.).
Рассмотрим ее подробнее [17]. Возьмем вначале образец, в котором
действуют равномерно распределенные по объему V напряжения,
заданные с точностью до параметра s (для рассматриваемой модели
не имеет значения вид напряженного состояния — растяжение,
сдвиг или какое-либо другое). Все остальные параметры, характери-
характеризующие прочность и долговечность образца, отнесем к этому типу
напряженного состояния. Пусть образец состоит из структурных эле-
элементов, число которых в единице объема равно п. Все структурные
элементы принадлежат одной генеральной совокупности, так что их
сопротивление при рассматриваемом виде напряженного состояния
можно охарактеризовать одной случайной величиной г. Функцию
распределения Fr (r) этой величины считаем известной. Принимаем
концепцию слабейшего звена, т. е. полагаем, что разрушение обра-
образца произойдет, когда параметр s достигнет значения, равного наи-
наименьшей прочности г в объеме V. С точки зрения теории надежности
такая модель соответствует последовательному соединению одно-
однотипных элементов (см. рис. 2.3, а).
Учитывая, что образец содержит N = nV структурных элемен-
элементов, получим для разрушающего значения s* параметра s функцию
распределения
f*(s*)=l-[l-^(s*)r. D.1)
Таким образом, разрушающее напряжение s* распределено по
такому же закону, что и минимальные значения в выборке, состоя-
122
щей из N случайных величин г с распределением Fr (r). Число N
весьма велико по сравнению с единицей. Например, стандартный
образец из углеродистой стали содержит 10е ... 107 зерен. Поэтому
вместо точной функции распределения D.1) допустимо взять ее асимп-
асимптотическое представление, что естественным путем приводит к рас-
распределению Вейбулла.
Пусть г0 — минимальное значение прочности структурного эле-
элемента, а в окрестности этого значения г ^ г0 функция распределе-
распределения Fr (г) имеет вид Fr (г) яй с (г — го)°\ Здесь с > 0, а > 0 (как
правило, а ^ 1). При больших nV вместо D.1) получаем асимптоти-
асимптотическое распределение
F(s)=l ° E*<Го)> D 2)
*У*' \ iexp[oiV (s/•)«] (sr)
Объем одного структурного элемента обозначим V,,. Произведя
замену сп = [Vo (гс — ги)а)~1, представим функцию распределения
разрушающего напряжения в виде
F
*
0 (s* < г0),
1
D.3)
Вновь введенная постоянная гс > г0 имеет смысл характерной
прочности структурного элемента. В приложениях удобнее вместо Ко
вводить в распределение D.3) объем рабочей части стандартного об-
образца Vs. Формула D.3), а также дальнейшие соотношения сохра-
сохраняют тот же вид, но постоянная гс приобретает смысл характерной
прочности стандартного образца (и новое численное значение).
Распределение D.3) допускает различные обобщения. При выводе
этого распределения считали, что на прочность образца влияют все
структурные элементы независимо от того, где они расположены.
Некоторые испытания обнаруживают сильную зависимость проч-
прочности образцов от площади их рабочей поверхности. В этих случаях
естественнее считать, что разрушение образца происходит, когда
разрушается слабейший структурный элемент у его поверхности.
Чтобы описать это явление, достаточно в формуле D.3) заменить
объем V на площадь соответствующей поверхности S. Испытания
тонких волокон на разрыв показывают, что их прочность зависит
не столько от объема и площади их поверхности, сколько от длины I
испытуемого отрезка волокна. Тогда естественно заменить в фор-
формуле D.3) объем V на длину волокна /. В каждом случае объем Vo
следует заменить на соответствующее значение So или /0. Объединив
все три случая, получим
0 (sm<r0);
Здесь М — некоторая мера образца (длина, площадь или объем),
Мо — соответствующая мера структурного элемента.
123
Можно предположить, что на прочность образца влияют (в раз-
различной степени) как элементы, расположенные на поверхности, так
и элементы, распределенные по объему. Обобщение распределений
D.3) и D.4) на этот случай было дано автором A961 г.). Результаты
приведены в работе [17].
Рассмотрим случай, когда напряженное состояние и (или) ме-
механические свойства меняются в пределах образца, детали или
элемента конструкции. Пусть характерные масштабы этого изменения
малы по сравнению с характерным размером структурного элемента.
Разобьем область на подобласти так, чтобы в пределах каждой из
них напряженное состояние и механические свойства были близки
к постоянным, а при переходе от одной подобласти к другой изменя-
изменялись незначительно. Используем один из критериев прочности
при сложном напряженном состоянии, который позволяет выразить
условие неразрушения через единый скалярный параметр s. Тогда
условие прочности для каждой подобласти запишем в виде s/ (х) < s*.
Здесь / (х) — функция координат х одной из точек, принадлежащих
данной подобласти; s* — соответствующее разрушающее напряже-
напряжение. Применим концепцию слабого звена к совокупности подобластей
и выполним предельный переход, заменив суммирование интегри-
интегрированием по подмножеству:
М{ь) = \х:х?М; sj(x)^ro(x)\. . D.5)
В результате вместо D.4) получим
Формулы D.3), D.5) и D.6) описывают все характерные особен-
особенности моделей хрупкого разрушения. Эти формулы содержат либо
объем V, либо в более общем случае меру М, поэтому распределение
разрушающего напряжения зависит от абсолютного размера образца.
Такое явление называют масштабным эффектом прочности, подразу-
подразумевая под этим отступление от классических законов подобия, сог-
согласно которым разрушающее напряжение не должно зависеть от
абсолютных размеров образца или детали. В действительности это
отступление является кажущимся. Причина масштабного эффекта
прочности состоит в том, что модель Вейбулла содержит дополни-
дополнительный параметр, имеющий размерность длины (в классической
механике деформируемого твердого тела такого параметра нет).
Этот параметр — характерный размер р структурного элемента —
входит в формулу D.1) через число п структурных элементов в еди-
единице объема, а в формулы D.3) и другие — через объем структурного
элемента Vo- При этом р ~ п~1'3 ~ Vo'3. Если объем" Vo заменен
объемом стандартного образца Vs, то размер р входит в величину гс,
которая принимает смысл характерной прочности образца.
Вычислим математическое ожидание разрушающего напряжения
я*. Пусть функция распределения для s# имеет вид D.4), тогда
Е is,] = г0 -4- (гс - r0) (Mfl/M)i/« Г A + 1/сс). D.7)
124
Формула D.7) дает наглядное описание масштабного эффекта проч-
прочности: с увеличением размеров образца математическое ожидание
разрушающего напряжения уменьшается. Если нижний предел
прочности г0 = 0 (так часто принимают в расчетах), математи-
математические ожидания для двух образцов различных размеров связаны
соотношением
Е [srt]/E [sr2] = (MoJMyf. D.8)
Выражение для дисперсии случайной величины с распределением
D.4) имеет вид
D{sJ = (rc~rof(Mo/Mf« [ГA -}-2/а)-Г2A -f 1/а)]. D.9)
Из формулы D.9) следует, что дисперсия разрушающего напря-
напряжения убывает с увеличением размеров образца. Коэффициент
вариации разрушающего напряжения найдем, используя формулы
D.7) и D.9). В общем случае, этот коэффициент также описывает
масштабный эффект. Если г0 = 0, то коэффициент вариации разру-
разрушающего напряжения становится функцией только показателя а
[см. формулу C.40)].
Степень проявления масштабного эффекта и разброса прочности
при хрупком разрушении существенно зависит от показателя а
(в переводных работах его не очень удачно называют параметром
формы). Чем меньше а, тем сильнее выражен масштабный эффект
и тем больше разброс. За минимальное физически обоснованное зна-
значение показателя а следует принять а = 1. Если а <1, плотность
вероятности для распределения Вейбулла имеет особенность при
г-+ г0. По формуле D.7) Е Is*] = г0 + (гс — г„) (MJM). При
г0 = 0 математическое ожидание разрушающего напряжения об-
обратно пропорционально мере М. При том же условии коэффициент
вариации принимает значение ws, — 1.
Распределение Вейбулла использовано в гл. 3 для описания
влияния разброса механических свойств на процесс накопления
повреждений. Применение распределения Вейбулла еще не означает,
что справедливо модель хрупкого типа. Это распределение можно
трактовать просто как удобную аппроксимацию эмпирических
распределений.
4.3. МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТИПА
Рассмотрим модели, которые образуют класс, противоположный
в некотором смысле моделям хрупкого разрушения. Условно назо-
назовем их моделями пластического типа, хотя эти модели не обяза-
обязательно включают процессы пластического деформирования. Типич-
Типичный пример — модель разрушения, аналогичная схеме параллель-
параллельного соединения однотипных элементов в теории надежности (см.
рис. 2.3, б).
В системной теории надежности взаимодействие элементов опи-
описывают в рамках логической схемы. В механике разрушения этого
недостаточно. Чтобы найти распределение предельного напряжения,
125
необходимо задать законы деформирования и разрушения отдельных
элементов, а также ввести в рассмотрение способ взаимодействия
между элементами. Конечные результаты существенно зависят не
только от вероятностей отказов элементов, но и от их механических
свойств.
Допустим, что N структурных элементов расположено в одном
поперечном сечении образца, подвергаемого растяжению. Пусть
все элементы обладают упругопластическими свойствами. Точнее,
примем, что они деформируются упруго вплоть до достижения ло-
локального предела текучести г. Дальнейшее деформирование проис-
происходит при постоянном напряжении в данном структурном элементе.
Относительно локального предела текучести предположим, что он
является случайной величиной с функцией распределения Fr (r).
Текучесть образца в целом наступит, когда напряжения во всех
структурных элементах достигнут местного предела текучести.
Усредненный по сечению предел текучести
Л'
*=ж2'*- DЛ0)
Предположив, что число N весьма велико по сравнению с едини-
единицей, применим к случайной величине s* центральную предельную
теорему, согласно которой величина s% распределена асимптотически
нормально с математическим ожиданием Е [г] и дисперсией D [r]IN.
Таким образом, приходим к асимптотическому распределению
/••Ы~ф( (DW)!/2 )¦ (*.ii)
Здесь Ф (•) — функция нормального распределения в форме B.39).
Коэффициент вариации усредненного предела текучести обратно
пропорционален N1 2, т. е. при очень больших N мал по сравнению
с единицей. Тогда разброс случайной величины D.10) невелик.
Дальнейшая аппроксимация приводит к замене распределения D.11)
следующим:
^(s*)*«ti(s*-EH), D.12)
где 1] (•) — единичная функция Хевисайда.
Переход к распределению D.12) означает, что усредненный пре-
предел текучести считаем детерминированной величиной Е [г]. Выше
проведено усреднение по одному из сечений образца, результат
не изменится, если провести дополнительное усреднение по длине.
Рассмотренную модель назовем моделью пластического типа.
В отличие от моделей хрупкого разрушения, свойства которых
в первую очередь зависят от поведения слабейших структурных
элементов, свойства моделей пластического типа в основном зависят
от средних или близких к ним характеристик структурных элемен-
элементов. Модели хрупкого разрушения включают масштабный эффект
и существенный разброс механических свойств образцов. Для моде-
126
лей пластического типа масштабный эффект и разброс механических
свойств образцов не столь существенны. При определенных условиях
этими факторами можно даже пренебречь (имеется в виду разброс
в пределах выборки образцов, структурные элементы которых при-
принадлежит одной генеральной совокупности и хорошо перемешаны).
Чтобы учесть разброс технологического происхождения (например,
межплавочный разброс и тем более различие между материалами
одной марки, поставляемыми разными заводами), нужно принять,
что распределения свойств структурных элементов зависят от не-
некоторых дополнительных случайных параметров.
Следует отличить рассмотренную модель от модели Даниэлса
A945 г.), в основе которой также лежит схема параллельного соеди-
соединения. Пусть в поперечном сечении образца расположено N струк-
структурных элементов. Предположим, что до разрушения все элементы
упругие с одинаковыми характеристиками и что при равномерном
растяжении образца во всех неразрушенных элементах действует
одинаковое напряжение s. Элемент разрушится, когда это напряже-
напряжение достигает предельного значения г для данного элемента. Это
значение представляет собой случайную величину с заданной функ-
функцией распределения Fr (r). Разрушение отдельных элементов обра-
образует совокупность независимых случайных событий. Взаимодействие
элементов между собой состоит лишь в том, что после разрушения
части из них происходит перераспределение усилий между остав-
оставшимися элементами.
Число разрушенных элементов п — случайная величина, для
которой справедлива схема независимых испытаний Бернулли.
В этой схеме вероятность реализации п результатов из общего
числа N испытаний есть
PnN = CnNpnqN-\ D.13)
где C'li — биномиальные коэффициенты; р — вероятность данного
результата в наугад взятом испытании; q = 1 — р.
В данном случае p^Fr (s). Полное усилие, воспринимаемое об-
образцом, в рамках рассмотренной модели есть случайная величина
S = (N — п) s. Если s — независимый параметр нагружения, то
усилие S имеет распределение, аналогичное распределению числа п.
Математическое ожидание этого числа
s), D.14)
а коэффициент вариации
Из формулы D.15) следует, что при заданном s коэффициент ва-
вариации усилия S обратно пропорционален квадратному корню из
числа структурных элементов в рассматриваемом сечении. По пред-
предположению это число весьма велико по сравнению с единицей. Тогда
127
s/iNrc)
0,5
0,5
Рис. 4.2
r/rc
допустимо пренебречь разбросом вели-
величины п и, следовательно, величины S.
Заменим последнюю ее математиче-
математическим ожиданием. Тогда придем к по-
полудетерминистической формуле
S^Ns[l -Fr(s)]. D.16)
Формула D.16) аналогична зависи-
зависимости между усилием и деформацией
при испытаниях образца на растяже-
растяжение. Если dSids > 0, процесс нагру-
жения остается устойчивым, хотя и
сопровождается разрушением отдель-
отдельных элементов. Ветвь зависимости
D.16), для которой dS'ds < О, соответствует неустойчивому про-
процессу. Разрушающее напряжение s* определим из условия
Ns[\ —/y(s)]->max. D.17)
s
Модель Даниэлса была введена впервые для описания прочности
пучка волокон. Если волокна не закручены и трение между ними
пренебрежимо мало, то модель справедлива с большой степенью
точности. При необходимости можно учесть и то обстоятельство, что
в действительности п — случайная величина. Однако при достаточно
больших N это не внесет заметных изменений в результат. Хотя
в основе модели Даниэлса лежит предположение о хрупком характере
разрушения структурных элементов, ее следует отнести к моделям
пластического типа. В самом деле, прочность образца по этой модели,
как правило, имеет порядок средней прочности структурного эле-
элемента, а разброс прочности образца невелик.
Пример 4.1. Сравним модель пластического деформирования и модель Да-
Даниэлса на частном примере. Результаты такого сравнения, очевидно, должны за-
зависеть от вида функции распределения Fr (r). Возьмем распределение
О (г<г0);
(r-~ro)a,(rc-r0)a (ro<r<rc);
1 (г > гс),
D.18)
где гс > 0; гс — г0 > 0; а > 0.
Функция D.18) служит аппроксимацией для распределения механических
свойств кристаллитов и зерен различной ориентации по отношению к оси образца.
При этом в зависимости от рассматриваемой модели г0 — минимальный предел
текучести или минимальная прочность хрупкого разрушения. Это значение г0 от-
отвечает наименее благоприятным ориентациям. Максимальное значение величины г
равно гс.
По модели пластического деформирования в полудетерминистическом прибли-
приближении предел текучести образца s* равен математическому ожиданию от г. Резуль-
Результат, вычисляемый'по модели Даниэлса с учетом распределения D.18), зависит от
соотношения между г0 и гс. Величина s* равна действительному корню уравнения
dS/ds = 0, если последнее имеет такой корень на отрезке [/¦„, гс]. В противном случае
s* = г0. Например, при а = 1 условие D.17) дает^ = гс/2, если r0 sg rc/2 HSt= rB,
если г0 > г,./2. Этот результат проиллюстрирован на рис. 4.2. Модель пластического
деформирования дает при тех же условиях для усредненного предела текучести зна-
128
чение s.t = (/•„ + r{)l2. Таким образом, разрушающее напряжение по модели Да-
ниэлса не превышает предельного напряжения по модели пластического деформиро-
деформирования. Такое сопоставление имеет некоторый смысл, поскольку модель Даниэлса
можно трактовать как вырожденный случай модели пластического деформирования,
когда длина площадки текучести стремится к нулю.
Как модель Вейбулла, так и рассмотренные две модели пласти-
пластического типа служат простейшим приближением для описания де-
деформирования и разрушения реальных материалов со случайной
микроструктурой.
4.4. МОДЕЛЬ ЗАМЕДЛЕННОГО ХРУПКОГО
РАЗРУШЕНИЯ
Рассмотрим модели, в которых фактор времени является сущест-
существенным. Обобщение модели Вейбулла на случай замедленного разру-
разрушения построим следующим образом [17]. Как и ранее, предположим,
что образец объемом V состоит из весьма большого числа структур-
структурных элементов. Считая, что все элементы принадлежат одной гене-
генеральной совокупности, примем, что онц равномерно распределены
по объему V. Их число в этом объеме N ¦¦= nV. Поле номинальных,
т. е. сглаженных относительно местных флуктуации на длинах
порядка размера структурного элемента, напряжений и температур
пока считаем однородным в объеме V. Изменение этих параметров
во времени опишем с помощью процесса s (/).
Пусть повреждения структурных элементов происходят незави-
независимо. Введем меру повреждений ср для каждого из элементов, ана-
аналогичную мере г|> для образца, используя дифференциальное урав-
уравнение типа C.1)
5 s|r). D.19)
Его правая часть — функция меры повреждений ф, вектора
нагрузки s и соответствующего вектора прочности г. В отличие от
уравнения C.1), уравнение D.19) соответствует не образцу в целом,
а лишь одному из его структурных элементов. Свойства этих элемен-
элементов характеризуют вектор г, распределение значений которого, на-
например совместную плотность вероятности компонент рт (г), счи-
считаем заданной. Время до разрушения наугад взятого структурного
элемента т (г) определим, решив обратную краевую задачу для урав-
уравнения D.19) с граничными условиями
сР@) = 0; Ф[т(г)]=1. D.20)
Следуя концепции слабейшего звена, считаем, что разрушение
образца происходит, когда разрушается слабейший из его N эле-
элементов. Отсюда время до разрушения (ресурс)
71 = тшт(гь) (k= 1, . .., N). D.21)
k
Поскольку г — случайный вектор, то т (г) случайная величина.
Таким образом, имеем типичную задачу о распределении минималь-
минимальных значений.
5 Бслотин В. В. 129
Чтобы довести решение этой задачи до конца, необходимо при-
принять конкретные формы для правой части уравнения D.19) и плот-
плотности вероятности рт (г). Эти формы должны быть взаимно согласо-
согласованы в том смысле, чтобы при вычислениях не возникали ненужные
дополнительные осложнения, а в выражения для / (<р, s | г) и рг (г)
входили одни и те же параметры. Желательно, чтобы конечные ре-
результаты, получаемые с помощью структурной модели, имели ту же
форму, что и употребляемые в инженерных расчетах полуэмпириче-
полуэмпирические соотношения. Это позволит, в частности, оценить численные
значения некоторых (если не всех) параметров структурной модели по
результатам стандартных испытаний образцов. Все перечисленные
соображения применимы не только к обсуждаемой модели, но и,
вообще, ко всем структурным моделям накопления повреждений и
разрушения.
Рассмотрим случай, когда s и г — скалярные величины, а урав-
уравнение D.19) имеет вид
dt
D22)
Здесь tc — характерное время; г0 — минимальная прочность струк-
структурного элемента; показатель m > 0. Значения tc и г должны быть
взаимно согласованы. Если tc — продолжительность кратковремен-
кратковременных испытаний, то г — соответствующая прочность структурного
элемента. Если /с имеет смысл базы длительных испытаний, то г
характеризует длительную прочность на этой базе. Если s — ампли-
амплитуда циклических испытаний по симметричному циклу, / — сглажен-
сглаженное число циклов, 4 — база испытаний, то г — предел выносливости
структурного элемента на базе tc. В дальнейшем покажем, что для
оценки численных значений параметров, относящихся к структурным
элементам, можно обойтись без экспериментов на этом уровне струк-
структуры: необходимая информация содержится в результатах стандарт-
стандартных испытаний.
С правой частью уравнения D.22) согласовано трехпараметри-
ческое распределение Вейбулла
Fr(r) = \ ° {Г<Г0)' D.23)
' 1 1 - ехр [- (г - /¦„/»'(/•, - го)а] (г з* го).
Здесь гс — характерная прочность структурного элемента (гс >
>/¦<,)> показатель а зг 1 ¦ Формула D.23) аналогична, например,
формулам C.58) или D.3). В отличие от последних она соответствует
не образцу, а структурному элементу. Другое согласованное с урав-
уравнением D.22) распределение имеет вид D.18). В области малых по-
положительных значений г — г0 эти распределения близки, а конечные
результаты, зависящие лишь от свойств распределений вблизи г =
—- /¦„, одинаковы для D.18), и D.23).
Пример 4.2. Пусть s= const, причем s> r0. Уравнение D.22) с граничными
условиями D.20) дает
т И- /c('-"'-o)m/(s-'-o)m- D-24)
130
В области малых значений г — г0 > 0 распределения D.18) и D.23) аппрокси-
аппроксимируем выражением
Fr(r)&(r-r0)ai(rc-r0)a. D.25)
Объединив D.24) и D.25), найдем, что в области малых значений % функция распре-
распределения Fx (т) имеет вид
Ft (т) --= [(s -- га);(гс - ro)f' (т /С)Р. D.26)
Здесь введен показатель р* = а/т, аналогичный показателю C.43) в полуэмпириче-
полуэмпирических моделях.
Для вычисления времени Т до разрушения образца используем условие D.21).
Повторяя с небольшими изменениями выкладки, приводящие к формуле D.3), по-
получим для Т асимптотическое распределение (s~j> г0)
Ат(П=1-ехрГ--?(-^у*(_рЗ
L ' о \ ' с — ' о / \ ' с
D-27)
При этом проведена замена п = V',1, где Vo — объем структурного элемента.
В формуле D.27) напряжение s играет роль параметра. Если принять Т = tc, a s
трактовать как случайную величину, то она принимает смысл разрушающего на-
напряжения s# на базе tc. Формула D.27) по внешнему виду и по физическому содер-
содержанию повторяет формулу D.3).
Если s Ф const, то уравнение D.22) следует решать для каждой
конкретной функции s (t). Вместо формулы D.24) относительно т
имеем уравнение
Здесь интегрирование выполняем по части отрезка [0, т], на
которой s (/) > г,,. Другие пути для обобщения — замена объемов V
и Vo мерами М и Мо, а также учет неравномерного распределения
напряжений и (или) свойств материала по образцу, детали или эле-
элементу конструкции. Запишем окончательный результат для s =
= const:
F7(n=I-afl- Ц-Ш^^Г.Щ D.28,
I M (s) I
Формулы D.5) и D.28) имеют одинаковую структуру. Область
интегрирования в D.28) совпадает с областью D.5), если заменить s%
на s.
Полученные формулы для FT (Г) аналогичны формулам C.42)
и C.108), использованным для описания статистического разброса
ресурса в рамках полуэмпирических моделей. Различие состоит,
во-первых, в том, что формулы D.27) и D.28) явно включают мас-
масштабный эффект. Во-вторых, показатели а, |3 и ш, а также пара-
параметр /•„ получают новое толкование: они совпадают по величине с ана-
аналогичными параметрами, которые входят в уравнение накопления
повреждений в структурных элементах, а также в распределения
прочности структурных элементов. Характерная прочность об-
образца rs в случае распределения D.27) связана с характерной проч-
прочностью структурных элементов гс соотношением
(rs ~ го)/(гс - r0) = (V0/Vsy*. D.29)
5* 131
Здесь Vs — объем образца. Таким образом, если путем статистической
обработки результатов стандартных ресурсных испытаний найдено
распределение ресурса в форме D.27) и оценены численные значе-
значения его параметров, то это означает, что найдены все параметры струк-
структурной модели с уравнениями D.22) и D.23).
4.5. МОДЕЛЬ НАКОПЛЕНИЯ РАССЕЯННЫХ
ПОВРЕЖДЕНИЙ
Рассмотрим модель [16, 951, которая в определенном смысле
служит обобщением моделей пластического типа из 4.3. Сохраним
все гипотезы модели замедленного разрушения (см. 4.4) с тем отли-
отличием, что вместо концепции слабейшего звена используем схему
многократного резервирования. Точнее, предположим, что разру-
разрушение образца произойдет лишь, когда плотность повреждений —
относительное число разрушенных элементов — достигнет некото-
некоторого критического значения. Назовем такой тип разрушения по-
потерей целостности.
Ограничимся рассмотрением случая, когда критическая плотность
повреждений достаточно мала, чтобы можно было пренебречь вза-
взаимным влиянием разрушенных структурных элементов. Таким об-
образом, в данной модели исключаем из рассмотрения влияния кон-
концентрации напряжений в окрестности разрушенного элемента на по-
поведение соседних элементов, возможность возникновения макроско-
макроскопических трещин и т. п. Учитываем ослабление сечения образца
из-за разрушения отдельных элементов, т. е. считаем, что критиче-
критическая плотность повреждений в общем случае зависит от уровня но-
номинальных напряжений в рассматриваемый момент времени.
Число структурных элементов в объеме V обозначим N, число
разрушенных элементов п. Меру повреждений введем как
$ = n/N, D.30)
ее критическое значение обозначим \[V Поскольку N — весьма
большое число (стандартный образец из углеродистой стали содер-
содержит 106 ... 107 зерен), то даже при \|э = 10"а ... КГ1 число разру-
разрушенных элементов п = ipAf — весьма большое число. Итак, примем, _
что
#»1; 1>#»1; гК<1. D.31)
Вначале рассмотрим случай, когда поле номинальных напряже-
напряжений и механические свойства одинаковы в объеме V. Найдем рас-
распределение случайной функции ty(t). Эта функция принимает цело-
целочисленные значения, связанные с продолжительностью жизни струк-
структурных элементов xh соотношением
132
Здесь ц (•) — единичная функция Хевисайда. При фиксированном t
распределение числа п следует схеме Бернулли. При этом вероят-
вероятность р, входящая в формулу D.13), равна /ч (/). Функцию Р% (т)
распределения времени до разрушения структурного элемента
найдем из дифференциального уравнения типа D.19) с граничными
условиями D.20), если задана плотность вероятности рт (г). Вы-
Вычислим математическое ожидание и дисперсию числа п, откуда с уче-
учетом D.30) получим
Е[ц,@] = /ч@; D№(t)]=Fx(t)[\~Fx(t)]N-K D.33)
Из условий D.31) следует, что в данном случае применима пре-
предельная теорема Муавра—Лапласа. Асимптотическое выражение
для функции распределения меры повреждений имеет вид
где Ф (•) — нормированная функция распределения Гаусса; \р (t)
— сглаженная аппроксимация целочисленной функции D.32).
Соответствующее полудетерминистическое приближение получим,
пренебрегая разбросом величины \|\ Согласно этому приближению
мера \|) равна значению функции распределения времени до разру-
разрушения Ft (т) при т = /:
$(t)&Fx(t). D.35)
Предельное состояние (разрушение вследствие потери целост-
целостности) наступит, когда функция \р (t) впервые превысит критическое
значение \|з*, которое в общем случае зависит от величины s (t) в этот
момент времени. Таким образом, приходим к случаю, рассмотрен-
рассмотренному в 3.9 в применении к полуэмпирическим моделям. Как и ранее,
функцию распределения ресурса FT (T) следует определить из ре-
решения задачи о выбросах случайного процесса \|з (t) за уровень ф*.
При этом
FT(T)=\-P\^(i)<Mf*[s(t)]; t?[O,T\\. D.36)
Если нагружение таково, что г|з* [s (t) ] — неубывающая функ-
функция t на всем рассматриваемом отрезке времени, то
FT(T):=P\$(T)>4*[s(T)}\. D.37)
В последнем случае с учетом асимптотического приближения C.34)
получим [16]
У D-38)
Наконец, в полудетерминистическом приближении с учетом фор-
формулы D.35) определим ресурс Т как наименьший положительный
корень уравнения
Fx(T) = $*[s(T)]. D.39)
Напомним, что пока рассматриваем только детерминистические про-
процессы нагружения s (/).
133
ElT\/tc
0.5
1 7
—JU!
0,1
'^0,05
1
3 LgN
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Пример 4.3. Численная иллюстрация формулы D.38) приведена на рис. 4.3—4.5.
Для примера были взяты уравнение D.22) и распределение D.23) при г0 = 0, причем
было принято s = const. Функция распределения Fx (т) имеет вид
- 1 - ехр [-(s>c)a (тЛ)Р].
D.40)
Вычисления выполнены при следующих численных данных: а = 6; р - 1;
s= 0.5rc, if* — 0,1. На рис. 4.3 показана зависимость распределения FT (T) от
общего числа структурных элементов. На рис. 4.4 приведены зависимости мате-
математического ожидания ресурса от числа Л'. С увеличением /V кривые приближаются
к асимптотам, ординаты которых равны корням уравнения D.39). На рис. 4.5 пока-
показаны зависимости коэффициента вариации Wj от числа А'.
Рассмотрим способы вычисления критического значения г|з*.
Грубую оценку порядка этой величины получим из следующих
соображений. Потеря целостности наступит, когда рядом с каждым
разрушенным структурным элементом найдется хотя бы еще один
разрушенный элемент. При этом разрушенные элементы образуют
в образце множество, близкое к связному, а коэффициенты кон-
концентрации (не учитываемые в данной модели) резко увеличиваются,
что приводит к разрушению следующих элементов. Таким образом,
критическое значение г|г* зависит от числа структурных элементов
в группе, ответственной за начало разрушения вследствие потери
целостности. Обозначим это число
п*. Тогда
г|;* — \1п*
D.41)
где символ ~ обозначает равен-
равенство с точностью до порядка ве-
величины.
Число п* зависит от формы
и способа упаковки структурных
элементов. Если элементы имеют
сфероидальную форму, то при объ-
емноцентрированной кубической
упаковке п* = 9. Если структур-
структурные элементы имеют цилиндриче-
цилиндрическую форму, сильно удлиненную
134
в направлении оси растягиваемого образца (например, при испытании
образцов из однонаправленных композитов), а упаковка элементов
в поперечном сечении — гексагональная, то п* — 7. С учетом со-
соседних элементов, расположенных на той же оси, получим п* = 9,
а с учетом всех соседних элементов п* — 21. Во всех перечисленных
случаях формула D.41) дает оценку \р* ~ 10.
При более корректном подсчете критического значения г)з* об-
обнаружим его зависимость от уровня нагрузки. Пусть s и г — ска-
скалярные параметры. С увеличением меры повреждений \|." растет доля
нагрузки, приходящейся на неразрушенные элементы. Если s —
номинальное напряжение, то фактическое напряжение в этих эле-
элементах sx = g (s, \\-). Простейшая форма функции, стоящей в правой
части:
Ч")- D-42)
Пусть tc — характерная продолжительность кратковременных
испытаний, а г — характерная кратковременная прочность. Связь
между мерой г|; при кратковременном нагружении и номинальным
напряжением s имеет вид
4 = Fr[g(s, Ш D.43)
Решив уравнение D.43) относительно s, найдем зависимость
s (\|)) для кратковременного нагружения. Ветвь этой зависимости
устойчива при dsldty > 0 и неустойчива при dsldty < 0. Последняя
ветвь соответствует искомой зависимости 4* (s). Очевидно, этот под-
подход аналогичен тому, который лежит в основе модели кратковремен-
кратковременного разрушения Даниэлса. Основное различие состоит в том, что
здесь часть структурных элементов считается разрушенной под
действием длительных- нагрузок и ставится задача об отыскании
условий «доламывания» образца.
Пример 4.4. Примем распределение Fr (r) в виде D.23). Подставив его в урав-
уравнение D.43), получим
s - A - Ф) {го+{гс-го) I- In A -г[.)]1/а}. D.44)
При малых \|) правая часть в D.44) — возрастающая функция s (г|)). При неко-
некотором значении i|) имеем ds/rf\|) = 0. Далее функция s (i|)) убывает. Обратная функция,
соответствующая этой ветви, есть искомая зависимость г|з* (s) критической меры
повреждений от номинального напряжения s.
Более обозримые результаты получим, приняв г]; <<( 1. В этом
случае вместо D.44) имеем s « A — 4") ^о + (гс — г0) г|;' а1- Эта
функция достигает максимума при г|;* —- A + ос), что дает оценку
для нижней грани критического значения. Итак, значения т|з* (s)
сильно зависят от показателя а распределения D.23), т. е. в конечном
счете от разброса прочности структурных элементов. При wr =
= 5 ... 10 % показатель а принимает значения в интервале 10 ... 20.
При этом порядок критических значений i|5*~10^1 и менее. Именно
эти значения реализуются при монотонном нагружении. Таким
образом, приходим к выводам, которые не противоречат предвари-
предварительной оценке D.41).
135
4.6. ОБЪЕДИНЕННАЯ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ
Модель, рассмотренная в 4.5, допускает дальнейшие обобщения.
Эти обобщения включают описание процесса зарождения макроскопи-
макроскопических трещин и их роста до критических размеров, которые также
можно оценить в рамках модели. Таким образом, получаем объеди-
объединенную структурную модель накопления повреждений и разрушения.
Применительно к композитным материалам эта модель была пред-
предложена автором [11]. Приложения модели к традиционным мате-
материалам поликристаллической и зернистой структуры даны в работе
[961. Там же проведено сопоставление с основными результатами
механики разрушения.
Зарождение и рост трещин — сложные явления, полное описание
которых с использованием вероятностных структурных моделей
представляет серьезные трудности. Чем больше детализирована
модель, тем больше требуется информации относительно входящих
в нее параметров и тем сложнее по форме конечные результаты.
С другой стороны, классические результаты механики разрушения
[условие Гриффитса—Ирвина C.104), уравнение Пэриса—Эрдогана
C.107) и др.] весьма просты по форме и содержат минимальное
число параметров, определяемых по данным эксперимента. Все это
заставляет искать наиболее простые модели, включающие все основ-
основные механизмы повреждения и разрушения.
В дальнейшем рассмотрим процесс замедленного или многоцикло-
многоциклового усталостного разрушения образца под действием растягивающих
напряжений с номинальным значением s. Это значение считаем одина-
одинаковым во всем объеме образца. Концентрацию напряжений на фронте
макроскопической трещины учитываем отдельно, а размер трещины
для упрощения считаем малым по сравнению с поперечным размером
образца. Свойства материала в объеме образца также считаем одина-
одинаковыми, полагая, что все структурные элементы принадлежат одной
генеральной совокупности. Под макроскопической трещиной пони-
понимаем агрегат из конечного числа соседних разрушенных элементов.
Вопрос о том, начиная с какого числа п% агрегат можно рассма-
рассматривать как зародыш макроскопической трещины, нельзя решить
однозначно. Если под действием заданных нагрузок число разрушен-
разрушенных элементов продолжает увеличиваться, агрегат разрушенных
структурных элементов можно рассматривать как зародыш трещины.
Наблюдения за зарождением усталостных трещин в поликристаллах
показывают, что уже при и* = 4 ... 6 трещины начинают расти. Если
структурные элементы в поперечном сечении образца имеют гексаго-
гексагональную упаковку, то естественным значением является п% = 7.
В этом случае один из элементов окружен шестью разрушенными эле-
элементами. Здесь и далее полагаем, что макроскопические трещины —
поперечные, т. е. состоят из разрушенных элементов, расположенных
в одном поперечном сечении образца. Ветвление трещин, а также их
взаимодействие не учитываем.
Несмотря на введенные ограничения и упрощения, предлагаемая
модель позволяет описать широкий круг явлений (рис. 4.6). При
136
•
7
ttt
\\\
1
ttt
¦ ¦
\ и
J
ttt
/.
lilt
8
ttt
• «
н *
11,
\ \ t
5
ttt
¦^ *W^
• ^» #~"
И *
ttt
i—i*
I \ \
6
ttt
. • *
i И 1
7
Рис. 4.6
начальном состоянии / с мерой повреждения ij;o в образце происходит
либо хрупкое разрушение 2, либо постепенное накопление рассеян-
рассеянных повреждений 3. Далее возможны три варианта. Во-первых,
процесс накопления повреждений может завершиться в момент
времени / = /*, когда мера повреждений достигнет значения \р* и
произойдет разрушение образца путем потери целостности 4. Во-вто-
Во-вторых, в окрестности одного или нескольких разрушенных элементов
в момент времени t = t* могут образоваться агрегаты, которые мы
рассматриваем как зародыши макроскопических трещин. Этому
соответствует состояние 5, где характерный размер зародыша тре-
трещины обозначен /#. Далее происходит постепенный рост трещины 6,
пока в момент t = t^ ее размер не достигнет критического значения
/*„.. Трещина становится неустойчивой. Время достижения трещиной
размера 1Ш обычно считают временем разрушения образца 7. И,
в-третьих, возможно хрупкое разрушение 8 как завершение процесса
накопления повреждений.
Хотя в основе объединенной модели лежит одна и та же схемати-
схематизация структуры материала и одни и те же уравнения, механизмы
отдельных стадий и их завершения имеют качественные различия,
как с физической, так и с математической точки зрения. Так, разру-
разрушение по типам 2 и 8 носит хрупкий характер. Ответственность за эти
виды разрушения несут слабейшие и (или) наиболее напряженные
элементы структуры. К явлениям хрупкого типа следует отнести
также зарождение макроскопической трещины 5. В самом деле,
зародыш возникает в точке образца, в которой имеется случайное
скопление разрушенных элементов. Таким образом, и здесь приме-
применима концепция слабейшего звена. Однако она использована в моди-
157
фицированном виде: не на уровне структурного элемента, а на уровне
агрегата структурных элементов, составляющих зародыш трещин.
Поэтому механизм зарождения трещин имеет ряд признаков, объеди-
объединяющих его с моделями хрупкого разрушения. Как и последние, он
обнаруживает четко выраженный масштабный эффект, относительно
высокий разброс разрушающих напряжений и времени до окончания
стадии (до зарождения трещины). Во всех моделях распределение
Вейбулла или его обобщения занимают существенное место.
Явления разрушения путем потери целостности 4 и развитие
макроскопической трещины 6 принадлежат к явлениям пластического
типа. Ранее было показано, что процесс накопления рассеянных
повреждений зависит в основном от усредненных свойств структур-
структурных элементов. Аналогичное заключение следует сделать о процессе
роста трещин. Когда размер трещины превышает размер структур-
структурного элемента, трещина начинает действовать как своего рода осред-
нитель, пересекая большое количество хорошо перемешанных струк-
структурных элементов. Таким образом, скорость роста макроскопической
трещины зависит от усредненных свойств материала. Даже переход
трещины в неустойчивое состояние 7 при достаточно больших значе-
значениях /^ можно рассматривать как явление, за наступление которого
несет ответственность большое число структурных элементов, ока-
оказавшихся на ее фронте.
Необходимо различать разрушение вследствие потери целост-
целостности 4 и хрупкое разрушение 8 как результат постепенного накопле-
накопления повреждений. Внешний вид образцов после разрушения может
быть сходным, однако анализ структуры разрушенных образцов
показывает, что во втором случае множество малых трещин пронизы-
пронизывает весь образец, а финальная трещина проходит через эти малые
трещины. Типичный пример — разрушение образца из высокопроч-
высокопрочного однонаправленного композита при растяжении в направлении
волокон (см. также 4.11—4.13). Эксперименты показывают, что
волокна разрушенного образца обычно бывают раздробленными на
небольшие отрезки, и финальная трещина проходит в основном через
места разрыва отдельных волокон. Другой пример — разрушение
некоторых горных пород и силикатных материалов при сжатии,
которое часто сопровождается множественным растрескиванием.
Механизмы хрупкого разрушения 2 и 8 следует трактовать как пре-
предельные случаи механизмов зарождения и роста макроскопической
трещины типа последовательности /—3—5—6—7. При этом /„. ~
~ ^** ~ Р, где р — характерный размер структурного элемента.
Продолжительности стадий устойчивого роста трещины и (или)
накопления рассеянных повреждений при хрупком разрушении
стремятся к нулю.
Запишем уравнение накопления повреждений D.19) для каждого
структурного элемента. Чтобы учесть влияние рассеянных поврежде-
повреждений на перераспределение усилий в оставшихся элементах, следует
считать, что правая часть уравнения также зависит от г|;. Для учета
влияния ослабления сечения макроскопическими трещинами, кроме
того, следует ввести в правую часть уравнений их размеры. В даль-
138
нейшем считаем, что трещина размером / — единственная. Уравнение
типа D.19) примет вид
-^ = /(<Р, *. s, /|г). D.45)
Условия для определения времени до разрушения т наугад взятого
элемента по-прежнему определяем из граничных условий D.20),
а меру повреждений вводим согласно формулам D.30) и D.32). Число
структурных элементов N в объеме образца V и мера повреждений \|з
удовлетворяют условиям D.31).
Уравнение D.45) пригодно как для описания замедленного разру-
разрушения при постоянных или медленно меняющихся нагрузках, так и
для описания разрушения от усталости. Вид функции в правой части
зависит от вида нагружения. В общем случае правая часть уравнения
D.45) должна зависеть также от температуры, однако здесь считаем
нагружение изотермическим. Некоторые обобщения на случай неизо-
неизотермического нагружения могут быть проведены аналогично тому,
как это сделано в полуэмпирических моделях (см. 3.9). Другой путь
для обобщений — учет изменения номинальных напряжений и (или)
свойств материала в пределах образца, а также замена объема V
более общей мерой М. Более существенное обобщение состоит во
введении характеристики поврежденности \!р. В дальнейшем увидим,
что даже весьма упрощенный подход в ряде случаев естественным
путем приводит к необходимости рассматривать вторую и даже третью
меры повреждений. Например, для однонаправленных композитов
необходимы хотя бы две меры: одна характеризует плотность разрыва
волокон, вторая — степень расслоения матрицы.
Точное и строгое осуществление предлагаемого подхода довольно
сложно и приводит к чрезвычайно громоздким уравнениям. С другой
стороны, основные результаты механики разрушения имеют весьма
простой вид. Чтобы достичь согласия, следует насколько возможно
упростить аналитическую часть вычислений, опустив множители
порядка единицы, а также малые дополнительные члены. Поэтому
многие соотношения, приводимые в дальнейшем; — приближенные,
а часть из них содержит знак равенства ~ порядка величин. При-
Примером служит оценка D.41) критического уровня повреждений.
В дальнейшем широко используем предельные теоремы теории
вероятностей и асимптотические оценки. Многие полудетерминисти-
полудетерминистические оценки даны «с вероятностью порядка единицы». Это значит,
что детерминистические величины, определяются из макроскопиче-
макроскопического эксперимента, отождествляемые с медианами распределений,
их квантилями порядка 1 — е « 0,632 и т. д. Примером служит
приближенное уравнение D.39) для вычисления ресурса, основанное
на отождествлении случайной величины Г с ее математическим
ожиданием.
Указанные особенности вычислений присущи скорее физическому
уровню строгости, чем разработке задач механики материалов и
конструкций. Тем не менее там, где применима классическая меха-
139
ника разрушения, конечные результаты не противоречат ее выводам.
Кроме этого, можно получить ряд результатов для материалов, для
которых классическая механика разрушения заведомо неприменима.
4.7. ЗАРОЖДЕНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТРЕЩИН
Наиболее простой подход к оценке вероятности зарождения тре-
трещины основан на допущении, что зародыш образуется вокруг одного
из разрушенных при т < /„.* структурных элементов и что остальные
и* — 1 элементов, входящих в зародыш, разрушаются при t = t#
одновременно. Такая ситуация — редкое событие и может осущест-
осуществиться лишь в окрестности одного из \|:vV разрушенных структурных
элементов. Следовательно, функция распределения времени t% до
образования зародыша равна вероятности обнаружить п% — 1 раз-
разрушенных элементов в окрестности хотя бы одного уже разрушенного
элемента:
F* (U) = 1 - [ 1 - Г*~1 О* (Ы N- D-46)
Формула D.46) аналогична формуле D.1) в модели хрупкого
разрушения. При выполнении условий D.31) заменим ее асимптоти-
асимптотическим приближением
/^(y^l-expt-A^'O- D-47)
Отличие обобщенного распределения Вейбулла D.47), например,
от распределения D.3) и D.27) состоит в том, что под знак экспоненты
входит функция \|э (у. В полудетерминистическом приближении для
этой функции мы имеем формулу D.35), правую часть которой можно
найти, решив краевую задачу для уравнения D.19) или D.45) с учетом
случайных свойств параметра г. Если s = const, уравнение D.45)
имеет вид D.22), а функция распределения Fr (r) в окрестности точки
г = г0 представлена в форме D.25), то с учетом формул D.26) и D.35)
при s > г0 имеем приближенное соотношение \р (t) « [(s — ro)/(rc —
— ro)a] (t/tc)Q. Подстановка в D.47) приводит к распределению
Вейбулла для времени t% до зарождения первой микроскопической
трещины:
[()-А"''] D.48)
Показатель р в формуле D.48) имеет тот же смысл и принимает
то же значение, что и в предыдущем анализе. Здесь он, однако,
входит с множителем п.%, равным числу элементов в зародыше макро-
макроскопической трещины. Показатели аир связаны соотношением
а/р = т. Таким образом, показатель Вейбулла в распределении
времени до образования зародыша трещины в п* раз больше, чем
аналогичный показатель в распределении времени до хрупкого
разрушения. Поэтому показатель базовых зависимостей для времени
до зарождения трещины в п% раз меньше, чем соответствующий
показатель для структурных элементов, а также для образцов при
хрупком разрушении. Если бы можно было провести опыты на хруп-
хрупкое разрушение образцов и на образование в них устойчивых макро-
140
скопических трещин, не изменяя вида распределения /ч (т) и пара-
параметры уравнения D.22), то появилась бы возможность оценить не
только показатели а, |3 и т, но и число п^. Наоборот, оценивая
число n.j, из наблюдений над зарождением трещины, можно получить
оценку показателей a, C и т.
Другой вывод из формулы D.48) связан с масштабным эффектом
зарождения трещин. Пусть r0 <<i rc. Тогда для отношения математи-
математических ожиданий этих времен для двух образцов, отличающихся
размерами, получаем приближенное равенство, сходное с D.8):
ЕЫ/ЕМ^^ад-ЧР'"). D.49)
Таким образом, масштабный эффект при зарождении трещины
проявляется слабее, чем при хрупком (в том числе и замедленном)
разрушении. Если трещина с одинаковой вероятностью может по-
появиться в любой точке объема V, то Ni/N1 = Уг!Ух, где Vx и V% —
объемы образцов. Если трещина зарождается только на поверхности,
то для геометрически подобных образцов N2/N1 = (V^/KjJ 3.
К аналогичному выводу приходим, рассматривая разброс времени
до зарождения трещины. Этот разброс всегда меньше, чем при хруп-
хрупком разрушении. В грубом приближении коэффициент вариации
случайной величины /* обратно пропорционален числу пл структур-
структурных элементов, образующих зародыш.
Поскольку и зарождение трещины, и разрушение образца вслед-
вследствие потери целостности обусловлены одними и теми же меха-
механизмами, то представляет интерес установить условия, при которых
более вероятен тот или иной тип разрушения. Полудетерминистиче-
Полудетерминистическая оценка для критического значения ф.,. меры повреждений, при
котором вероятность зарождения трещины не мала, вытекает из
формулы D.47). С точностью до соотношения 1 — е ~ 1 имеем
г|\,:~ N-x>"*. D.50)
Из формул D.46)—D.50) следует, что уровень повреждений,
определяющий момент зарождений макроскопической трещины,
весьма чувствителен к размерам образца. Например, если N = 10е,
п% -— 6, то по формуле D.50) 4:* ~ Ю *• При N = 1012 получаем
Разрушение образца происходит либо вследствие потери целост-
целостности, либо вследствие образования и развития макроскопической
трещины. Есть и третья возможность, когда в образце возникает
макроскопическая трещина, а финальное разрушение, все же, про-
происходит путем потери целостности. Тип разрушения зависит от
размера образца, а также от соотношения между критическими
уровнями 4"^ и т);*. При
JV»D-*)-;i- D.51)
более вероятно образование макроскопической трещины. Если число
N существенно меньше величины, стоящей в правой части соотноше-
соотношения D.51), то более вероятна потеря целостности. При г|з* = 10;
п* ^ 6; N -=--- 106 эти явления примерно равновероятны. Ситуация
осложнена тем, что время t% до образования макроскопической тре-
141
щины имеет значительный разброс по сравнению с временем t* до
момента потери целостности.
Допущения, положенные в основу вывода формулы D.47) и даль-
дальнейших результатов, достаточно сильные. Чтобы уточнить модель,
следует рассмотреть различные способы образования макроскопиче-
макроскопической трещины с учетом временных сдвигов между моментами разруше-
разрушения отдельных структурных элементов, различия в коэффициентах
концентрации напряжений и т. д. Для расчета необходимо знать
не только функцию распределения F% (т), но и условные функции
распределения /гт(т|?1), Ft(x\tL, t2) ..., которые характеризуют
вероятность разрушения структурных элементов при условии, что
разрушен один, два, ... соседних элементов. Например, функция
распределения времени до разрушения второго элемента равна
интегралу
t
Некоторые вычисления применительно к однонаправленным во-
локнитам можно найти в работе [71, 125 ].
4.8. УРАВНЕНИЯ РОСТА ТРЕЩИН
Для получения уравнений, описывающих рост трещин, необхо-
необходимо рассмотреть повреждения и разрушения структурных элемен-
элементов, попадающих на фронт трещины. Поскольку распространение
трещины происходит в поврежденном материале, причем накопление
повреждений продолжается и на стадии распространения трещины,
то эти процессы следует рассматривать совместно. В общем случае
задача осложнена необходимостью учитывать зону концентрации
напряжений и пластического деформирования, охватывающую боль-
большое число структурных элементов, которые расположены вблизи
фронта трещины. Здесь не учитываем пластические деформации,
полагая, что все элементы остаются упругими до разрушения. Это
приближение соответствует подходу, который принят в линейной
механике разрушения. Покажем, что структурная модель с таким
ограничением приводит к результатам, согласующимся с основными
результатами линейной механики разрушения.
Влиянием концентрации напряжений на все структурные эле-
элементы, кроме тех, которые в данный момент непосредственно лежат
на фронте трещины, пренебрегаем. Пусть правые части уравнений
типа D.19) и D.45) не зависят от ср и ij-
¦W = f№- D-52)
Если в момент времени t структурный элемент впервые попал на
фронт трещины, то мера его повреждения в момент t + At прибли-
приближенно составляет
i
ф (t - г А/) ~ j / [s (т)|г| ch f- / [x (/) s (Ojr] A/. D.53)
0
142
Здесь х (/) — коэффициент концентрации для элемента на фронте
трещины, зависящий от ее размера /. Интеграл в правой части соот-
соотношения D.53) учитывает повреждения элемента, накопленные до
момента времени t. Положив в D.53) cf (t -\- А/) -¦-- 1, найдем продол-
продолжительность Ат пребывания элемента на фронте трещины:
ИГ1 1 - J/fs(T)|r|rfT L
( о )
Дт (/) = {/[к (/ИОИГ1 1 - J/fs(T)|r|rfT L D.54)
( о )
Если правая часть меньше нуля, следует принять Ат (t) -- 0.
Для оценки средней скорости роста трещины учтем, что число
структурных элементов на ее фронте велико, и они образуют доста-
достаточно представительную выборку для того, чтобы трактовать процесс
распространения трещины как процесс естественного усреднения.
Пусть 2р — характерный размер структурного элемента (включая
границы). Пренебрегая изменением скорости dlldt за время, в течение
которого фронт трещины продвигается на k элементов, получим
соотношение для усредненной скорости
Ш __ 2/гр _ 2р
dt ATi + ¦ ¦ ¦ + Atfc Дт
Здесь черта сверху означает статистическое усреднение.
Для определения скорости роста трещины в целом следует до-
добавить усреднение по периметру трещины, что увеличит объем
выборки. Аналогичное соотношение для математических ожиданий
имеет вид [111
Е [Лт] v
В дальнейшем математическое ожидание Е [dl. dt ] обозначаем
dlldt. Принимаем во внимание, что распространение трещины —
явление пластического типа, зависящее главным образом от усред-
усредненных свойств структурных элементов, поэтому для скорости
dlldt принимаем полудетерминистическое приближение. Вычислив
математическое ожидание от правой части формулы D.54) с учетом
плотности вероятности рт (г), запишем уравнение D.55) в развер-
развернутом виде:
dl
t
¦pr(r)dr
—i
D.56)
f [К (I) S (t\T)]
D (~r)
Для сопоставления с результатами механики хрупкого разруше-
разрушения возьмем материал, состоящий из сфероидальных зерен, размер
которых имеет порядок р. Все зерна принадлежат одному статисти-
статистическому ансамблю, так что разброс их свойств вызван различной
ориентацией по отношению к номинальным напряжениям, а также
случайными дефектами зерен. Аналогичное предположение сделаем
относительно межзеренных границ. Если граница раздела между
143
Рис. 4.7
зернами обладает достаточно высокой прочностью, то за структурный
элемент следует принять зерно, если граница слабая, то за структур-
структурный элемент следует принять отрезок границы с примыкающими
к нему частями зерен. В первом случае (рис. 4.7, а) под разрушением
структурного элемента понимаем исчерпание способности зерна
к пластическому деформированию или появление в нем трещин,
пересекающих все зерно. Под макроскопической трещиной пони-
понимаем связное множество разрушенных зерен, просвет трещины счи-
считаем равным 2р, а радиус кривизны р1 на фронте трещины равным р.
Во втором случае (рис. 4.7, б) рх ~ /г, где 2h — характерная толщина
межзеренных прослоек. В общем случае присутствуют оба механизма,
причем h < рх < р.
В классической механике разрушения при рассмотрении процес-
процессов распространения трещин не учитывают рассеянных повреждений.
Чтобы получить результаты, согласующиеся с механикой разруше-
разрушения, следует отбросить в правой части формулы D.56) члены, которые
учитывают предварительные повреждения. Тогда получим более
простое уравнение
1
1
dt
Prir)dr
Г'
I ?>(/¦)
Г
)
D 57)
Вычислим правую часть уравнения D.57) для случая, когда s
иг — скалярные параметры, уравнение D.52) имеет вид D.22),
а функция распределения параметра г задана в форме D.18). Рас-
Рассмотрим поперечную дисковую трещину (к аналогичным результатам
приводит трещина в условиях плоской деформации, краевая тре-
трещина и т. п.). Представим трещину в виде сильно сплющенного эллип-
эллипсоида вращения с полуосями, длины которых равны /, / и pv Распре-
Распределение напряжений около эллипсоидальной полости найдем, исполь-
используя известное решение задачи теории упругости. Для приближенных
оценок можно принять коэффициент концентрации на фронте трещины
x~(//Pl)I/2. D.58)
Эта оценка справедлива также для трещин другой формы (здесь
рассматриваем образец при осевом растяжении с трещиной, плоскость
которой ортогональна оси образца).
141
Подставим функцию распределения D.18), функцию f(s\r) из
уравнения D.22) и выражение D.58) для коэффициента концентрации
в правую часть уравнения D.57). После интегрирования получим
(xs > г0)
dl 2р т-\- о.
~dt ~ ~Т, а
(/pi)' 2s-rn
г с —
D.59)
В правую часть уравнения D.59) входит сочетание sll 2, типичное
для механики хрупкого разрушения (см. 3.14). Как и в линейной
механике разрушения, введем коэффициент интенсивности напря-
напряжений
K---=s(niy*. D.60)
Представим уравнение D.59) в виде
± = [ ° <*<*»> Dб1)
d< \b{K-K0)m'(Kc-K0)m (K^Ko).
где
К = гс (прО1 2; Ко = г0 (лр!I.2; ft = 2р (ш + «) '(«-'с). D-62)
Параметр К.с. имеет смысл характерного значения коэффициента
интенсивности напряжений. В дальнейшем покажем, что он близок
к критическому значению, входящему в условие Гриффитса—Ирвина
C.104). Параметр Ко имеет смысл порогового значения коэффициента
интенсивности напряжений.
Уравнение D.61) аналогично полуэмпирическим уравнениям,
описывающим процесс распространения макроскопических трещин.
Поскольку в основу положено уравнение D.52), в котором роль
независимого переменного выполняет время t, то уравнение D.61)
следует сравнивать с уравнениями, описывающими явление замед-
замедленного разрушения (статической усталости). Для перехода к описа-
описанию роста трещин при циклических напряжениях с экстремальными
значениями sniax и smln достаточно заменить уравнение D.52) следую-
следующим:
-^- = /Cw, sraln|r). D.63)
Здесь п — число циклов, трактуемое как аргумент с непрерывным
множеством значений. В зависимости от вида правой части уравнения
D.63) и вида функции распределения Fr (r) получаем различные
правые части в уравнениях типа C.106).
Пусть, например, f (sniax, smln | r) — (As/2r)m, где As — размах
напряжения; m — показатель квантильных кривых, связывающих
размах напряжения с разрушающим числом циклов для наугад взя-
взятого структурного элемента. Для функции распределения параметра
прочности г возьмем формулу D.18) при г0 = 0. Вычисления, ана-
аналогичные тем, которые привели к уравнению D.61), дают
dl an ~c(l\K). D.64)
Здесь >\К ~ As/1 - размах коэффициента интенсивности.
145
Для коэффициента с получаем формулу типа третьей формулы
D.62):
c-=2iy(m-ra)/(aK'"). D.65)
Уравнение D.64) совпадает с уравнением Пэриса—Эрдогана
C.100), в которо.м показатель степени совпадает с показателем
степени кривых усталости для структурных элементов. Постоянная с,
которую в уравнении Пэриса—Эрдогана считают эмпирической,
получает согласно формуле D.65) определенный смысл. Она выра-
выражена через показатели т и а, характеризующие прочности структур-
структурных элементов, характерный размер зерна р и трещиностойкость Кс-
Аналогично получим другие варианты уравнений распростране-
распространения усталостных трещин. Так, если взять правую часть уравнения
D.63) в виде
/ (Smax, Snlln|') = (AS - Л"„)'". (<шах - Г0)т' {г — Smax)-m\ D.66)
где Дг0 и г0 — пороговые значения прочности структурных элементов,
то с учетом распределения D.18) придем к уравнению C.101).
4.9. УСТОЙЧИВОСТЬ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТРЕЩИН
Процесс роста трещины продолжается до момента t^, когда раз-
размер трещины /достигнет критического значения /^. Оценку величины
/^ также можно получить из структурных соображений. Проще
всего найти /фн. из условия, что почти каждый структурный элемент,
попавший на фронт трещины, разрушается почти немедленно с ве-
вероятностью порядка единицы. Поскольку распределение кратковре-
кратковременной прочности по условию задано с помощью функции Fr (г),
уравнение для оценки /^ имеет вид
Fr\x(l)s]~l. D.67)
При увеличении размера трещины / на один шаг 2р условие D.67)
вновь окажется выполнено, что приведет к дальнейшему росту
трещины. Таким образом, условие D.67) представляет собой соотно-
соотношение, отделяющее устойчивые трещины от неустойчивых.
Другой способ определения критического значения /^ основан
на использовании уравнения D.55). Если tt — характерное время
быстрого разрушения, то l.MSf находим из условия
Е[Лт]~/с. D.68)
Более тщательный анализ должен учитывать разброс прочности
между отдельными структурными элементами. Нижнюю оценку для
функции распределения вероятности критических длин 1%% при
заданном напряжении s определим из условия, что при потере устой-
устойчивости трещины все структурные элементы, попавшие на ее фронт,
разрушаются почти немедленно. Общее число элементов ~nl%Jp.
Отсюда
Ftl^, b)~{Fr[x(l**)s\\*i»P. D.69)
До сих пор влияние дисперсных повреждений на условие устой-
устойчивости макроскопической трещины не учитывали. Мера дисперсного
146
зг1/(Ксгс)г
Рис. 4.6
повреждения \J- приблизи-
приблизительно равна вероятности
события, состоящего в том,
что наугад взятый структур-
структурный элемент придет на фронт
трещины уже разрушенным.
Отсюда вместо D.67) полу-
получаем уравнение для опреде-
определения /*.(.:
Fr[x(l)s]-lf-\j;~ 1. D.70)
Примерно с тем же уровнем
точности для учета рассеян-
рассеянных повреждений в формуле
D.69) достаточно заменить
показатель степени выраже-
выражением я/^ A — г|;),'р.
Рассмотрим применение условий D.67)—D.70) к структурной
модели с уравнением накопления повреждений D.22), функцией
распределения Fr (г) в виде D.18) и оценкой для коэффициента кон-
концентрации на фронте трещины D.58). Из условия D.67) следует
соотношение l^'Pi ~ (rc s)\ которое соответствует критерию Гриф-
фитса—Ирвина C.97)
К*^КС, D.71)
где значение Кс следует определять по первой формуле D.62). Анало-
Аналогично соотношение D.68) дает
К* ~ ^о Н- [а/(т + а)I'"' (Кс - Ко). D.72)
Обычно т ~ а > 1, поэтому условие D.72) почти равносильно D.71).
Чтобы учесть влияние рассеянных повреждений, используем
приближенное уравнение D.70). В терминах коэффициентов интен-
интенсивности напряжений для рассматриваемой модели оно принимает
вид
D.73)
И а
Пусть s = const. Тогда для меры повреждений \[- имеем прибли-
приближенную формулу D.53). При кратковременных испытаниях t ~ tc.
Если ввести дополнительное допущение Ко <С Кс, то формула D.73)
примет вид
^С* --= /Сс [ 1 - (.s<Vf)V/a. D-74)
Формула D.74) имеет ту же структуру, что полуэмпирическое
соотношение для предела трещиностойкости [57]. Для полной
аналогии достаточно принять а = 2. Однако из анализа модели поли-
поликристаллического материала следует, что показатель а должен
принимать большие значения. Влияние показателя а на критическое
напряжение s иллюстрирует рис. 4.8. Графики построены с учетом
условия D.74) при K--s(nlI-. В сущности, условие D.74) —
экстраполяция условия Гриффитса -Ирвина D.71) в область малых
147
размеров трещины (область высоких напряжений). В механике
квазихрупкого разрушения отклонение от условия Гриффитса—Ир-
Гриффитса—Ирвина объясняют влиянием пластических деформаций на фронте тре-
трещин (см. 3.14). В рассматриваемой модели причина отклонения —
наличие рассеянных повреждений. Аналогичные результаты полу-
получим, если введем поправку на рассеянные повреждения в соотноше-
соотношения D.71) и D.72).
4.10. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Мы рассмотрели в рамках единой модели все основные стадии
повреждения и разрушения квазиоднородного и квазиизотропного
материала зернистой структуры. Получены основные соотношения
механики разрушения, в которых параметры связаны между собой.
Некоторые выводы можно проверить непосредственно на макроэкспе-
макроэкспериментах. Например, из теории следует, что показатель степени
квантильных кривых напряжение — время до образования макро-
макроскопической трещины отличается от показателя степени в уравнении
Пэриса—Эрдогана множителем п% (п% — число разрушенных струк-
структурных элементов, образующих зародыш макроскопической тре-
трещины). Сравнивая экспериментальные значения этих показателей,
получаем п% ------ 2 ... 3. Возможно, что для большего соответствия
необходимо ввести в рассмотрение конечную зону пластических
деформаций на фронте трещины и концентрацию напряжений в струк-
структурных элементах, расположенных на некотором удалении от фронта.
Согласно развиваемой теории критическое значение коэффициента
интенсивности К* близко к значению Кс, определяемому по первой
формуле D.62). В эту формулу входят величины гс и рь которые в об-
общем случае изменяются в весьма широких пределах. Известно [53],
что для кристаллических тел параметр Кс можно оценить, используя
в качестве гс и рг теоретическую прочность кристаллической решетки
и ее шаг соответственно. Для поликристаллов при разрушении по
межзеренной границе в качестве гс естественно принять сопротивле-
сопротивление отрыву по этой границе, а в качестве 2рх — характерную тол-
толщину межзеренной прослойки. Если трещина проходит по зернам, то
гс — максимальная прочность зерна, 2р — его характерный размер.
При правильном выборе этих параметров всегда получим разумное
(в смысле порядка величины) значение критического коэффициента
интенсивности.
Критическое значение К* — случайная величина. Однако ее
дисперсия весьма невелика. Для развитых трещин ее коэффициент
вариации мал по сравнению с единицей. Сделанное замечание отно-
относится к статистическому разбросу критического коэффициента интен-
интенсивности для материалов с макроскопически однородными свой-
свойствами. Разброс коэффициента интенсивности может быть связан
с различием этих свойств в разных партиях материала. Рассмотрение
этого разброса выходит за рамки настоящего анализа.
Дополнительную информацию о параметрах модели получим,
изучая скорость распространения трещины. Для циклического нагру-
148
жения связь между постоянной с в уравнении C.100) и структурными
параметрами описывают формулы D.62) и D.65). Если подставить
в формулу D.65) значения Кс ~ Ю3 Н-мм~3''2, р ~ 10 мм, то при
а ~ т — 4 получаем оценку для с ~ 10~14. Величина постоянной с
сильно зависит от показателя т. Если при прочих равных значениях
принять т = 2, то получаем с ~ 10~8.
4.11. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ НАКОПЛЕНИЯ
ПОВРЕЖДЕНИЙ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТОВ
Большинство современных высокопрочных композиционных мате-
материалов имеют волокнистую или слоисто-волокнистую структуру. Их
поведение в процессе разрушения существенно отличается от поведе-
поведения традиционных конструкционных материалов, применительно
к которым развита механика разрушения. Для композиционных мате-
материалов характерно наличие двух и большего числа структурных
параметров, имеющих размерность длины, а также двух и большего
числа качественно различных механизмов разрушения на уровне
структурных элементов, поэтому возможности применения класси-
классической (линейной) механики разрушения к этим материалам ограни-
ограничены. Это признают даже те экспериментаторы, которые получают на
опыте подтверждение зависимости Гриффитса—Ирвина и используют
понятие критического коэффициента интенсивности напряжений
в качестве меры трещиностойкости однонаправленных композитов.
Для преодоления указанных трудностей необходимо либо дать
формальное многопараметрическое обобщение линейной механики
разрушения, либо развить структурные модели, учитывающие осо-
особенности поведения композитов.
Рассмотрим подробнее однонаправленный композиционный ма-
материал в условиях растяжения в направлении волокон. Такие компо-
композиты чаще применяют для создания растянутых элементов. Тонко-
Тонкостенные конструкции из композитов обычно имеют слоистую струк-
структуру, каждый слой которой образован из однонаправленного компо-
композита. Если известны условия разрушения однонаправленного компо-
композита, прочность соответствующего слоистого композита можно
оценить расчетным путем.
Все волокна считаем первоначально непрерывными и имеющими
круговое сечение одинакового радиуса р. Объемное содержание во-
волокон Vj примем постоянным в V. Материал волокон считаем линейно
упругим с модулем упругости Ef вплоть до разрушения. Предполо-
Предположим, что материал матрицы — идеальный упругопластический с мо-
модулем упругости Ет, модулем сдвига G,n, разрушающим напряже-
напряжением при кратковременном растяжении о*„ и предельным напряже-
напряжением при кратковременном сдвиге х*т. Последнее толкуем либо как
предел текучести матрицы, либо как предельное напряжение трения
на поврежденной границе матрица—волокно, либо как некоторое
предельное напряжение, которое учитывает все неупругие явления
при повреждении матрицы. Временными эффектами при деформиро-
деформировании матрицы пренебрегаем, полагая, что время распространения
149
расслоения вдоль матрицы мало по сравнению с характерным вре-
временем жизни волокон.
Как и ранее, в основном рассматриваем качественную сторону
явления, используя соотношения со знаком равенства но порядку
величин и полудетерминистические оценки с вероятностью порядка
единицы. Примем, что объемное содержание волокон vf удовлетворяет
условиям vi ~ (vj " — lI 2 ~ 1. Жесткость и прочность матрицы
считаем малыми по сравнению с жесткостью и прочностью материала
волокон, так что Е,„ <g Ef, o*n <$; °f, где of —характерный предел
прочности волокон при растяжении. При этих условиях для номи-
номинальных растягивающих напряжений в композите s используем
оценки
ь да VjOf + A — vf) от ~ VfOf ~ Of. D.75)
Представим композит как совокупность большого числа струк-
структурных элементов —отрезков волокон с примыкающей матрицей и
длиной 2Хе. Здесь %е —характерная длина краевого эффекта в ком-
композите с упругой матрицей К,, — р (Efl2G.ey/2 g (vf). Функция g (v,-)
при обычных значениях vf имеет порядок единицы. Так, простейшая
модель самосогласованного поля дает g (Vf) = (vf1'2 — lI 2, поэтому
оценочная формула имеет вид
Жп)^. D.76)
Формула D.76) получена из рассмотрения условий передачи
усилий с разорванного волокна через матрицу на окружающую часть
композита. Назовем %е передаточной длиной.
При достаточно больших напряжениях матрица в окрестности
разрыва ведет себя неупруго. Характерная длина передачи усилия
с разорванного волокна
кр ~ рау/Bт;) D.77)
зависит от номинальных напряжений в волокнах о,-. Для простоты
считаем, что переход от оценки D.76) к оценке D.77) происходит при
о, --= оу, где напряжение оу находится из условия %г = кр:
Оу~2тгт(Ег'20тI2. D.78)
При рассмотрении процесса накопления повреждений при of =
= const ^ Оу более естественно принять длину структурного эле-
элемента равной 2Кр. При переменных напряжениях целесообразнее
считать общее число структурных элементов постоянным N ~
~ V/Ve, где Ve ~ 2пр\.
Различаем повреждения по крайней мере двух видов: единичные
разрывы волокон, характеризуемые отношением \рх числа разрывов
в рассматриваемом объеме V к общему числу структурных элементов
в этом объеме, и повреждения матрицы, характеризуемые отношением
суммы длин поврежденных участков границы матрица—волокно
к общей длине волокон в рассматриваемом объеме. Эту меру повреж-
повреждений обозначим г|:2. Таким образом, описываем накопление поврежде-
150
ZL
t
f { I I f
ний в композите с помощью векторного (не-
(неодномерного) процесса \|; (t) с составляющими f f I f f
ip! (t) и i|:2 (t). Если матрица ведет себя L_L I I—-J—
упруго, то приходим к рассмотренному
способу описания накопления рассеянных
повреждений с помощью одномерного про-
процесса.
В некоторый момент времени плотность
повреждений достигает критического уровня.
Характер процесса качественно изменяется.
Происходит либо разрушение вследствие
потери целостности, т. е. вследствие почти
одновременного образования множества тре-
трещин, либо возникает одна или несколько
устойчивых макроскопических трещин при
сохранении общей целостности композита.
Как правило, матрица достаточно податлива
по сравнению с волокнами, а прочность во-
волокон обладает ярко выраженным масштаб-
масштабным эффектом. В этих условиях распро-
распространение поперечной трещины сопровож-
сопровождается расслоением волокон. При этом суще-
существенно увеличивается передаточная длина,
что приводит к снижению коэффициента кон-
концентрации на фронте трещины и увеличению
рабочей длины волокон, попадающих на
фронт. Оба механизма приводят к тому,
что в отличие от обычных поликристалли-
поликристаллических материалов в однонаправленных
композитах концентрация напряжений на
фронте трещины играет не столь существен-
существенную роль. В данной модели рассматриваем
такой случай, когда концентрация напряжений на фронте тре-
трещины пренебрежимо мала, а ведущим фактором является расслое-
расслоение волокон.
Рассмотрим внутреннюю поперечную трещину в однонаправлен-
однонаправленном композите. Пусть поперечное сечение трещины круговое
с радиусом /. Следуя модели, предложенной в [11], интерпре-
интерпретируем трещину как трехмерное образование, протяженное в направ-
направлении волокон. Разрывы отдельных волокон случайным образом
размещаются в объеме, который схематически представим в виде
кругового цилиндра радиусом / и длиной 2к (рис. 4.9). Для идеально
упругой матрицы размер к определяем аналогично передаточной
длине D.76):
4Ef'2GJ^2. D.79)
Рис. 4.9
Хотя при упругой матрице действительного расслоения между волок-
волокнами не происходит, размер 2к допустимо трактовать как рабочую
длину волокон, попадающих на фронт трещины.
151
Если матрица деформируется пластически, а напряжения — не-
неубывающие функции времени, то вместо D.77) получаем
Я ~ si/Bт*т). , D.80)
Переход от формулы D.79) к формуле D.80) происходит при s =
== sy (/), где
sY(l)~2t'n(p/l)W(Ej/2GmI-2. D.81)
Формулы D.79)—D.81) аналогичны формулам D.76)—D.78) и
переходят в последние при / ^ р. В частности, ау — sY (/).
Из формул D.79) и D.80) следует, что с увеличением числа разор-
разорванных волокон размер трещины в направлении армирования увели-
увеличивается, что приводит к увеличению числа соседних структурных
элементов. Поэтому необходимо учитывать масштабный эффект
прочности волокон. Пусть г —параметр прочности волокна (предел
прочности при кратковременном нагружении или предел выносли-
выносливости при циклическом нагружении). Считаем, что г—случайная
величина с функцией распределения, зависящей от X. Примем для г
распределение Вейбулла
Fr(n>.) = \ ° (Г<Го);D.82)
' ( 1 -ехр[—(л/р) (г- го)а/(гс -г„)«] (/¦>/•„).
Здесь использованы те же обозначения, что и в формуле D.23),
а масштабный эффект введен посредством множителя к/р. При этом гс
имеет смысл характерной кратковременной прочности отрезка во-
волокна, длина которого равна 2р. Так как при испытаниях фактически
берут значительно большие длины волокон, то величину гс следует
оценивать путем экстраполяции.
Разрушения, происходящие вследствие естественным образом
появившихся трещин, следует отличать от разрушения образца с за-
заданным начальным надрезом. В последнем случае накопление по-
повреждений начинается в неповрежденном композите при наличии
острых концентраторов напряжений у конца надреза. После некото-
некоторого увеличения трещины на ее фронте появляются расслоения, кон-
концентрация напряжений снижается, в композите возникают рассеян-
рассеянные повреждения. Таким образом, условия работы образца с надрезом
приближаются к условиям работы образца с трещиной, образованной
в результате естественного накопления повреждений. Перечисленные
особенности характерны для любых материалов с неоднородной
структурой, в том числе и для традиционных конструкционных
сплавов, но в однонаправленных композитах ввиду их сильной
анизотропии и амбивалентности механических свойств они проявля-
проявляются сильнее.
Если приведенные соотношения дополнить уравнением типа
D.19)
(/A j. i i I \ / А О О \
—-i- = /((|j s, \\\, х[|г), D.83)
152
описывающим накопление повреждений в структурных элементах,
можно полностью применить методы, которые были изложены
в 4.5—4.9.
4.12. КОМПОЗИТ С УПРУГОЙ МАТРИЦЕЙ
Пусть матрица в окрестности разрывов волокон и поперечных
трещин деформируется упруго. Плотность рассеянных повреждений
в этом случае полностью задана с помощью меры \\\ — \|\ равной
отношению числа разорванных волокон к общему числу структурных
элементов. Пусть на стадии накопления рассеянных повреждений
выполнены условия D.31). Уравнение накопления повреждений
в структурных элементах возьмем в виде D.22) и примем s = const.
Тогда с учетом D.35) и D.82) получим
При малых значениях \р вместо D.84) возьмем более простую
формулу
Оценим разрушающее напряжение при кратковременных испыта-
испытаниях. Для этого положим в D.85) /~ tc, г|з~\|;*. В результате
придем к формуле
&* ~ Л> + (rc ~ го) №*I/о №т'Е,У 2«. D.86)
Чтобы получить теоретическую оценку для $*, используем
уравнение D.43). В первом приближении примем, что напряжения
в волокнах поврежденного композита имеют порядок s A — У)'1-
Тогда уравнение D.43) при распределении D.82) для кратковременной
прочности г примет вид
Пример 4.5. На рис. 4.10 показаны зависимости s (г|з) при /¦„ = 0, Хе/р - 102
и различных значениях показателя ее. Критическим значениям i];* соответствуют
нисходящие ветви графиков. Максимум функции s (т|э) приблизительно соответствует
прочности, определяемой согласно модели Даниэлса (см. 4.3). При достаточно боль-
больших а этот максимум лежит вблизи значения D.44). Аналогичные графики при
го= 0,1/-с приведены на рис. 4.11. Критические значения ij;* довольно сильно за-
зависят от пороговой прочности; в данном случае максимум функции s (if) расположен
вблизи я); = 0,1 при всех рассмотренных значениях а. При достаточно больших
значениях г|з приведенные графики неприменимы, поскольку при этом утрачивают
смысл допущения, при которых они получены.
Зависимости меры повреждений г|,- (/) при s = const от времени приведены на
рис. 4.12. При этом использованы следующие численные данные: т = 4; Хе/р = 10г;
го= 0: slr0 = 10. Штриховыми линиями показаны графики функции ty (/) при .? =
= const. Вычисления проведены по формуле (/>¦ rols)
которая следует из уравнений D.22), D.35) и D.82) при s = it. При построении гра-
графиков принято г0 = 0; s/tV,;= 10~3. Хотя графики построены до значений i|- « 1,
153
рассматриваемая модель непригодна уже при относительно малых значениях меры
повреждения. Это объясняется тем, что на данном этапе модель не учитывает взаимо-
взаимодействия между структурными элементами. Более того, критические значения ф*,
соответствующие разрушению образца вследствие потери целостности, довольно
малы (порядка 10"х). Штрихпунктирные линии на рис. 4.12 соответствуют значе-
значениям \|-*, которые вычислены из уравнения типа D.43).
Формулы D.87) и D.88) получены в предположении, что напряже-
напряжения в волокнах не зависят от уровня накопленных повреждений \|э.
Покажем, как учесть этот эффект и к каким следствиям он приводит.
Возьмем правую часть уравнения D.83) в виде
о
т (?
г0).
Если 7 = 0, то функция D.89) переходит в соответствующую
функцию из D.22). При у > 0 эта функция учитывает влияние плот-
плотности накопленных повреждений на скорость повреждения остав-
оставшихся структурных элементов. В приложении к расчету на надеж-
надежность сложных систем эта модель рассмотрена в работе [23].
3 lq(t/tc)
Рис. 4,12
154
Для приближенного вычисления функции распределения Fx (т)
подставим в правую часть D.89) вместо г[; (/) приближенное значение
*|э (/) « FT (t). При s ^ const уравнение D.83) с функцией распределе-
распределения Fr (r; к), определяемой согласно D.82), приводит к интегральному
уравнению
it) - 1 - exp
— j [1 --FT(T)]-"tdi\
D.90)
Здесь использовано обозначение /s =- tc ((><\)' р (гс—r(j)'"/(s —г0)'".
Интегральное уравнение D.90) эквивалентно дифференциаль-
дифференциальному уравнению, решение которого приводит к следующему соотно-
соотношению относительно функции и (t) г: 1 —/ч (t):
А
(— In u)-<
D.91)
При р — 1 соотношения D.35) и D.91) дают выражения для меры
повреждений:
1 - ехр (- tit,) (у ¦¦= 0);
\\- (/) — 1 - A - ту!/1ьУ''"»>
1
/s);
ts).
D.92)
(у > 0, myt
(T>0, myt
Последняя строка в D.92) означает, что при достаточно большом
времени любой взятый наугад элемент с вероятностью, равной
единице, будет разорван. Для этого, однако, необходимо, чтобы
остающиеся структурные элементы подгружались по мере выхода
из работы разорванных волокон. Время t — tjmy можно в этом
случае интерпретировать как момент нарушения целостности компо-
композита. Зависимости D.92) проиллюстрированы на рис. 4.13 при т —
= а = 4 и различных значениях у.
Перейдем к вопросу о зарождении и распространении поперечных
макроскопических трещин. Общая формула D.47) с учетом D.85)
принимает вид
FM ~ 1 - ехр Г- * (%Г(^:ГD-Г1 D-93)
Р
Гс ~ Го
и явно включает масштабный эффект. Для гексагональной упаковки
волокон естественная оценка числа разрывов, образующих зародыш
макроскопической трещины, состав-
ляет я* = 7.
Для скорости роста трещины
используем приближенное уравне-
уравнение D.57). С учетом соотношений
D.22) и D.82) получаем
dl
2р / /
у/23
xs — r0
x
Ef \l/2S
2Gm) "
0,5
р
Г-1
\|
А
/
чу
1
/
0,15/ Г-0^ ¦
1
D.94)
0,5 1,0
Рис. 4.13
t/ts
155
ig( i *»//>)
з
2 -
0.25
0J5 s/r,
Рис. 4.14
Здесь множитель порядка
единицы, содержащий непол-
неполную гамма-функцию, опущен.
В правую часть уравнения
D.94) введен эффективный
коэффициент концентрации х,
зависящий от поперечного
размера трещины / и ее про-
продольного размера К, которые
связаны соотношением D.79).
Есть основания ожидать, что
с ростом трещины коэффи-
коэффициент х уменьшается, приб-
приближаясь к единице. Оценим
критический размер /** для
поперечной трещины в одно-
однонаправленном композите. Из
условия D.67) и оценки D.79)
следует, что
При этом 1..
Fr (г; X) = 1 —
у \2(Х//я/с t* \2(Z (A Qr^\
отвечает квантили распределения D.82) при
~ 1. С учетом формул D.69) и D.82) получаем
ехр —
/*
1/2
l/2
м-,, уу../Р> D96)
Зависимость квантилей отношения l^Jp от уровня напряжений
s/rc, построенная по формуле D.96), приведена на рис. 4.14. При
построении графика принято: х = 1; г0 = 0; а = 5; Я,/р = 10.
График демонстрирует слабую зависимость критического напряже-
напряжения от размера трещины, т. е. высокую трещиностойкость одно-
однонаправленного композита. Однако следует заметить, что этот вывод
относится к поперечным трещинам, зародившимся естественным
путем и имеющим, следовательно, значительное расслоение на
фронте. Кроме того, при численных данных, для которых построен
рис. 4.14, разрушение вследствие потери целостности происходит
при значительно более низких напряжениях, чем разрушение из-за
неустойчивого роста трещины.
Механика хрупкого и квазихрупкого разрушения, развитая при-
применительно к квазиоднородным поликристаллическим материалам,
имеет ограниченное применение к ориентированным композитам.
Полученные оценки совпадают с соответствующими результатами
механики разрушения только при вполне определенных жестких
условиях. Например, уравнение Пэриса—Эрдогана C.100) следует
из уравнения D.94) лишь при условии а = 1. Это означает, что
распределение Вейбулла D.82) обращается в частный случай —
экспоненциальное распределение. Аналогичное требование необхо-
необходимо наложить и для того, чтобы соотношение D.95) совпадало
156
с критерием Гриффитса—Ирвина C.97). Дополнительное требование
(г0 « гс, х « 1) не столь жесткое.
Повреждение и разрушение однонаправленных композитов обус-
обусловлено по крайней мере двумя одновременно действующими меха-
механизмами — обрывом волокон и их расслоением, а свойства композита
зависят по крайней мере от двух характерных длин — радиуса
волокон р и длины передачи \,. Поэтому трудно ожидать, чтобы
механика хрупкого разрушения, основные результаты которой пред-
представляют собой следствие соотношений подобия и размерности, ока-
оказалась применимой в данном случае. В действительности разброс
прочности технических волокон не слишком велик, а показатель
а >; 5, поэтому случай а = 1 представляет лишь академический
интерес.
Поскольку параметры гс, г0, а и |3 допускают определение на
основе макроскопических экспериментов, то все коэффициенты,
входящие в соотношения D.84)—D.96) можно считать известными.
Указанные соотношения применимы для приближенной оценки
влияния параметров компонентов на прочность и долговечность
образованных из них композитов. Это особенно важно при разра-
разработке новых материалов, технологических процессов и типов изделий,
когда нет достаточных сведений о механических свойствах крупных
партий образцов, моделей и прототипов.
4.13. КОМПОЗИТ С ПЛАСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
Рассмотрим однонаправленный композит, подвергаемый растяже-
растяжению в направлении волокон. В отличие от предыдущей модели счи-
считаем матрицу идеально пластической. Точнее, считаем, что когда
напряжения сдвига в матрице хт достигают некоторого предела
%т, они остаются постоянными и равными х*„. Значение т*„ есть неко-
некоторое предельное напряжение, учитывающее все неупругие явления
в матрице в окрестности фронта трещины или обрыва единичного
волокна.
Очевидно, в случае пластической матрицы нельзя обойтись одной
мерой повреждения г|з. Обозначим меру, равную отношению разрушен-
разрушенных первичных элементов к их общему числу, г^. В качестве второй
меры повреждения v|J введем отношение суммы длин всех поврежден-
поврежденных волокон к общей длине волокон в образце. Учитывая оценку
D.77) для пластической длины, получим выражение для второй меры
повреждений
D.97)
Ядро в D.97) имеет вид
[ 0, s (t, т) < sY;
В(/,т)= „ w ' D.98)
V ' { S(t, T)/ST- I, S(t, TMsSy. V '
157
п\—-
4 Lgft/tc)
Здесь s (t, t) = sup s (хг) при хг d [x, t\; Sy — номинальный уровень
напряжений D.78), при котором матрица начинает испытывать
неупругие деформации.
Если s (t) —квазимонотонная возрастающая функция, то \|:2 = О
при s < sv и i| = l(s/sy) — 1] \['i при s Зэ Sy. Целесообразно ввести
третью меру повреждения 4-'з = ^i + Ч'г, равную отношению суммы
всех длин передачи к суммарной длине всех волокон. Условие \[*i = 1
означает разрушение всех структурных элементов, а условие гр3 = 1
соответствует полному расслоению образца. В действительности 4"i
и i|r3 достаточно малы по сравнению с единицей, поскольку при
сравнительно малых плотностях повреждений происходит либопотеря
целостности композита, либо зарождение макроскопической трещины.
Пример 4.6. Результаты вычислений по формулам D.88), D.97) и D.98) для
s = const приведены на рис. 4.15. Сплошные линии соответствуют ij^, штрихпунктир-
ные—г|-2, а штриховые — s (/). Использованы следующие численные данные: т=~-
— а = 4; Хе.'р = 102; г0 — 0; sY;rr = 0,2. Значения st,.i'rc для кривых /, 2 и 3 при-
приняты равными 1(Г3, 1СГ4 и Ю^5 соответственно.
Пусть s> Sy- Для оценки порядка разрушающего напряжения при кратковре-
кратковременных испытаниях используем условие i|:3 ~ П1*- При монотонно возрастающих
напряжениях \р3 = (s/sy) ij-j, где ij'i определяем по формуле D.87). Разрушающее
напряжением* найдем из приближенного уравнения (s/2-c*n) (s — ro)a/(rc — ro)az=^>*•
Если г0 як 0, то приходим к оценке
D.99)
Следовательно, s* зависит не только от характерной прочности
волокон и параметров их статистического разброса, но и от степени
пластичности матрицы. Формула D.99) значительно отличается от
формулы D.86), полученной для упругой матрицы.
Кратко рассмотрим условия роста и устойчивости поперечных
макроскопических трещин. Внутреннюю дискообразную поперечную
трещину рассматриваем как трехмерное образование, имеющее
форму кругового цилиндра. Характерную длину трещины в направ-
158
лении волокон определяем по формуле D.80). Используя общие урав-
уравнения D.55), дадим оценку скорости роста трещины
\ D.100)
dl tc \ p / V rc - r0 I \ 2t;
Порядок критического размера трещины оценим из условия
D.68):
/** ~ р Bt*Js) (rt - r^.'ixs - /¦„)«. D.101)
Для пластической матрицы уравнение Пэриса—Эрдогана и кри-
критерий Гриффитса—Ирвина следуют из уравнений D.100) и D.101)
лишь при а = 1, г0 — 0. Таким образом, только если прочность
волокон подчиняется экспоненциальному распределению, эти ре-
результаты классической механики разрушения применимы к компо-
композитам с пластической матрицей. Следует отметить также, что при
а = 1 и г0 = 0 показатель степени при s в правой части уравнения
D.100) оказывается равным т + 1/|3 — 2т (для упругой матрицы
этот показатель равен т).
Результаты, полученные для рассмотренных зернистого или
однонаправленного композита при растяжении вдоль волокон, можно
распространить на более общие случаи армирования, нагружения и
трещинообразования. Пусть в образце из однонаправленного компо-
композита имеется разрез, составляющий угол 8 с направлением волокон.
В первом приближении такой случай приведем к основному с харак-
характерным размером трещины /0 sin 0. После расслоения первых волокон
у фронта разреза ситуация уже мало отличается от рассмотренной
ранее (см. рис. 4.9). Переход от внутренней дисковой трещины
к краевым трещинам, сквозным трещинам в условиях номинального
плоского напряженного состояния или плоской деформации требует
лишь небольшой модификации формул, а многие оценки порядка
величин остаются без изменений.
Рассмотрим пути обобщения результатов на случай, когда номи-
номинальное поле напряжений отличается от растяжения вдоль волокон.
Пусть напряженное состояние —плоское с номинальными напряже-
напряжениями ах, оу и т (напряжения ох направлены вдоль волокон). При
этом Of ~ ах. Оценки напряжений в матрице: ат — ау, хт ~ х.
Примем, что в неповрежденном композите эти напряжения не превы-
превышают предельных напряжений в матрице. В качестве условия проч-
прочности матрицы возьмем критерий Мора
\х\-каи<т;„, D.102)
где k > 0 —эмпирическая постоянная.
Считаем, что условие D.102) включает также дефекты матрицы и
дефекты на границе матрица—волокно протяженностью А, <^ X,.
Таким образом, условие устойчивости малых трещин в матрице
содержится в условии прочности D.102).
Если матрица работает упруго, то длину передачи находим по
формуле D.76) и размер структурного элемента определяем, как и
ранее. Условия передачи усилий с разорванных волокон при неупру-
159
гой работе матрицы существенно изменяются. Неэффективные
отрезки Xj и %г по разные стороны разрыва найдем из условия
2зтрХ1]21 Дт1]21 =-- а,гтр2, причем определим приращения касательного
напряжения Дт^., из условия D.102), приняв |т + Ат1J| —kau --
= т*„. Отсюда для половины длины поврежденной зоны к,, —
= A/2) (Хх -j- кг) вместо формулы D.77) получим ^р = A/2) рах X
X (т.*„ -j- koy) [(т*„ — kayJ —т2]. С учетом равенства %с — Хр
найдем соотношение между номинальными напряжениями, при
которых матрица начинает работать неупруго: о\. (т,*„ 4- кау) —-
- 2 [(тГ„ + /ест,J -т2] (E,/2G,ny2.
Аналогичные изменения получат формулы D.79)—D.81), относя-
относящиеся к трещинам с характерным поперечным размером I. Дальней-
Дальнейшие изменения могут быть сделаны без затруднений.
Рассмотрим кратко разрушение однонаправленных композитов
при сжатии вдоль волокон [13]. В течение долгого времени основным
механизмом разрушения однонаправленных композитов при сжатии
вдоль волокон считали местную потерю устойчивости волокон, вслед
за которой происходят разрушение волокон и растрескивание ма-
матрицы. Различными способами было показано, что разрушающие
напряжения должны иметь порядок модуля сдвига матрицы или
(для достаточно податливой матрицы) порядок модуля сдвига компо-
композита. Этот вывод получил экспериментальное подтверждение на моде-
моделях однонаправленных композитов, а также на некоторых промыш-
промышленных композитах с толстыми волокнами и достаточно податливой
матрицей. К этим экспериментальным результатам следует отно-
относиться с осторожностью. Они получены на очень коротких образцах,
для которых критическая сила общей потери устойчивости имеет
порядок модуля сдвига композита. Кроме того, для получения на
опыте сдвиговой формы потери устойчивости необходимо, чтобы все
волокна были параллельными и идеально прямыми.
Промышленные волокна обладают относительно низкой проч-
прочностью при сжатии. Особенно плохо сопротивляются сжатию органи-
органические волокна фибриллярной структуры. Разрушение большинства
технических композитов при сжатии сопровождается изломом воло-
волокон, а конечная картина разрушения похожа на ту, которая получа-
получается при испытании деревянных кубиков на сжатие вдоль волокон.
Поверхность скалывания может составлять с направлением нагрузки
различные углы в зависимости от свойств композита. Часто наблюда-
наблюдается скалывание под углами.порядка 45°. Во многих случаях разру-
разрушение сопровождается сильным расслоением волокон и даже расщеп-
расщеплением образцов по вертикальным плоскостям. Следовательно,
основным механизмом разрушения является потеря целостности
вследствие излома волокон и расслоения матрицы.
Сжатые элементы конструкций имеют обычно достаточно большую
гибкость, так что для них вопрос о прочности композита при сжатии,
как правило, второстепенный. Этот вопрос более важен для изгибае-
изгибаемых элементов, поскольку низкое сопротивление в сжатой зоне лими-
лимитирует несущую способность элемента при изгибе. При этом в сжатой
зоне уже при достаточно низких уровнях нагрузки возникают нару-
160
шения сплошности, трещины и другие дефекты, приводящие к нару-
нарушениям герметичности, снижению жесткости при поперечном сдвиге
и прочим нежелательным явлениям. Основным источником этих
дефектов служат врожденные технологические дефекты, к числу
которых в первую очередь принадлежат отклонения волокон от
идеальной прямолинейной формы. По мере увеличения нагрузки эти
отклонения растут, вместе с ними увеличиваются напряжения сдвига
и отрыва в матрице, которые при достижении определенного уровня
приводят к разрушению материала или границы матрица—волокно.
Чтобы оценить уровень сплошности композита, необходимо знать,
какую часть общей длины волокон составляют участки волокон
с нарушенной границей. Необходимо также уметь оценивать макси-
максимально возможные при данном уровне нагрузки длины расслоений
для сравнения с некоторыми предельно допустимыми или крити-
критическими размерами. В работе [13] задача о росте расслоений рассмо-
рассмотрена с учетом малых начальных неправильностей волокон и взаимо-
взаимодействия различных типов повреждений.
6 Болотин В. 1: .
5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА
НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
5.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Исходной информацией при проектировании служат данные
о материалах, узлах, элементах и блоках, о нагрузках и других
условиях эксплуатации, требования к показателям эффективности,
безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости,
включая нормативные значения полного и межремонтного ресурса
(срока службы) и др. Цель прогнозирования — предсказать значения
полного и межремонтного ресурса (срока службы), установить зави-
зависимость этих показателей от исходных данных и указать наиболее
рациональные пути для согласования ожидаемых значений ресурса
с нормативными значениями. Таким образом, прогнозирование вклю-
включает также исследование способов управления ресурсом. Роль ог-
ограничений (кроме требований надежности и безопасности) выполняют
установленные предельные значения материальных и трудовых
затрат, сроков проектирования и отработки изделия, а также условия,
накладываемые на технические параметры проектируемой системы.
Большая часть исходной информации на этой стадии носит стати-
статистический или неполный характер. В дальнейшем придерживаемся
вероятностно-статистической концепции, имея в виду, что неполноту
информации можно описать в рамках вероятностных моделей. На-
Например, если для некоторого параметра нагрузки заданы лишь
нижний и верхний пределы изменения, то естественно принять гипо-
гипотезу о том, что на этом отрезке параметр нагрузки распределен
равномерно. Каждое уточнение сведений о нагрузках приводит
к уточнению этого распределения.
Итак, прогнозируемый ресурс Т —случайная величина. До-
Допустим, расчетным путем найдены функция распределения FT (T)
и плотность вероятности рт (Т) величины Т. Возникает вопрос
0 том, как согласовать между собой показатели, распределенные по
некоторым вероятностным законам, и детерминистические назначен-
назначенные. Назначенный ресурс Т^ должен соответствовать квантили
1 — Р* распределения FT (Т) так, чтобы вероятность обеспечения Т*
была равна заданному значению Р*. Следовательно, наиболее есте-
естественное толкование назначенного ресурса на стадии проектирова-
проектирования — это отождествление его с гамма-процентным ресурсом. Значе-
Значения Т* и Р% следует выбирать, чтобы назначенные показатели соот-
соответствовали оптимальным с технико-экономической точки зрения
решениям.
Математическое ожидание ресурса Е [74, взятое в отдельности,
не может служить достаточной характеристикой долговечности.
162
Рис 5.1
Следующий по значимости па- pTij>
раметр распределения —диспер-
—дисперсия ресурса DIT] характеризует
разброс значений ресурса относи-
относительно его математического ожи-
ожидания. Увеличение среднего ре-
ресурса не обязательно означает
повышение долговечности в усло-
условиях эксплуатации. На рис. 5.1
приведены зависимости плотно-
плотностей рт (Т) для двух технически
равноценных вариантов. В вари-
варианте / дисперсия ресурса значи-
значительно меньше, чем в варианте 2,
поэтому при достаточно высоких
значениях Р% вариант 1 имеет преимущество по ресурсу, хотя
математическое ожидание ресурса для этого варианта несколько
меньше, чем для варианта 2.
Требование малой дисперсии ресурса вытекает также из сообра-
соображений, связанных с техническим обслуживанием массовых объектов.
Большой разброс ресурса и, следовательно, срока службы этих
объектов создает трудности при организации ремонта, снабжении
запасными частями и т. п. К сожалению, разброс ресурса назван не
только разбросом физико-механических свойств материалов или
качества компонентов, деталей и узлов, но и изменчивостью условий
эксплуатации. Кроме того, переменными нагрузками и воздействиями
природного характера обычно невозможно управлять. Поэтому
разброс ресурса сохранится даже в том случае, когда удается создать
полностью идентичные объекты. Техническое обслуживание и списа-
списание объектов по их техническому состоянию на основе индивидуаль-
индивидуального прогнозирования остаточного ресурса —один из наиболее
эффективных способов использования дополнительных резервов
в условиях, когда фактический ресурс подвержен значительному
разбросу.
При проектировании объектов с гарантированным ресурсом Tg
возникают дополнительные затруднения. Если все распределения
физико-механических параметров материалов, узлов и деталей,
характеризующих сопротивление наступлению предельного состоя-
состояния, ограничены снизу положительными величинами, а все распреде-
распределения параметров ограничены сверху, то распределение ресурса
ограничено снизу (см. рис. 2.11). Если хотя бы одно из условий
нарушено, то следует ожидать, что значения ресурса будут распре-
распределены на всей положительной полуоси. Заказчики часто настаивают
на обеспечении гарантированного ресурса, не принимая вероят-
вероятностно-статистической точки зрения даже при наличии очевидного
разброса физико-механических свойств материалов и условий экс-
эксплуатации. В этом случае целесообразно приписать гарантирован-
гарантированному ресурсу Tg некоторое значение обеспеченности, достаточно
близкое к единице. Так, если наступление предельного состояния не
6* 163
связано с опасностью для людей и окружающей среды, а также
не влечет за собой существенного материального ущерба, то вероят-
вероятность Р% = 0,99 или 0,999 можно отождествить с единицей. Для
массовых машин эта вероятность должна зависеть также от размера
парка.
До сих пор обсуждали машины и конструкции, которые не под-
подлежат капитальному ремонту или восстановлению, находясь в про-
процессе эксплуатации вплоть до списания. Ресурс (срок службы) до
первого капитального ремонта, а также продолжительность межре-
межремонтных периодов (если предусмотрено более одного капитального
ремонта) также должны быть нормируемыми, назначаемыми в плано-
плановом порядке величинами, отвечающими оптимальным технико-эконо-
технико-экономическим решениям. Все сделанные замечания относятся и к межре-
межремонтному ресурсу. Однако в последнем случае имеются некоторые
дополнительные факторы, которые необходимо принимать во вни-
внимание.
Типичная ситуация для больших восстанавливаемых объектов —
наличие в них компонентов, узлов и блоков, подлежащих замене
или восстановлению при каждом капитальном ремонте. Основная
часть объекта должна служить, как правило, до исчерпания полного
ресурса объекта. Часть второстепенных, легко сменяемых и ремонто-
ремонтопригодных компонентов может иметь назначенный ресурс, соответ-
соответствующий межремонтному ресурсу объекта в целом. Причина этого
очевидна. Увеличение ресурса связано, как правило, с ростом
капитальных затрат.' Планирование сокращенного ресурса для части
компонентов с их заменой или восстановлением при плановых ремон-
ремонтах с экономической точки зрения может оказаться более целесо-
целесообразным, чем увеличение ресурса этих компонентов до значений,
близких к полному ресурсу объекта.
Увеличение ресурса как результат общего повышения качества
проектирования, расчета, конструкторской и технологической про-
проработки сопровождается улучшением других показателей надежности,
в частности повышением безотказности компонентов. Тем не менее
меры по обеспечению назначенного ресурса должны быть дополнены
обычными расчетами и испытаниями на эксплуатационную надеж-
надежность, чтобы создать требуемую безотказность для компонентов,
которые подлежат замене или восстановлению в процессе текущего
технического обслуживания. Один из возможных критериев — огра-
ограничение типа B.82) на интенсивность отказов % (t).
5.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О ПРОГНОЗИРОВАНИИ
РЕСУРСА
Ресурс объекта зависит от ресурсов его компонентов — элементов,
узлов, блоков и т. п. Поэтому задача о прогнозировании ресурса
сложных объектов распадается на ряд более частных задач, а реше-
решение задачи для объекта в целом состоит в синтезе полученных частных
результатов. Рассмотрим типичные постановки задач, которые
можно применить как к отдельным частям объекта, так и к объекту
164
в целом. Воздействия на объект в условиях его эксплуатации назовем
нагрузками, включая сюда как эксплуатационные, так и природные
нагрузки, возникающие при нормальных условиях работы. Вопрос
об особых и аварийных нагрузках рассмотрим в гл. 6 при обсуждении
методов расчета на безопасность.
Разобьем все компоненты на группы по порядку их ремонта,
замены или восстановления. В первую группу входят все компо-
компоненты, которые должны служить до планового списания объекта, т. е.
до исчерпания технико-экономически обоснованного срока службы.
Вторую группу образуют компоненты, которые должны служить
установленный срок до ближайшего капитального ремонта. Третью
группу составляют компоненты, подлежащие проверке и замене при
промежуточных планово-профилактических мероприятиях и, нако-
наконец, четвертую — компоненты, для которых допустимы эксплуата-
эксплуатационные отказы. Здесь рассмотрим преимущественно первую и
вторую группы. Цель ресурсных расчетов — добиться согласования
ожидаемых распределений показателей долговечности с оптималь-
оптимальными или рациональными назначенными величинами.
Опишем текущее состояние объекта в условиях постепенной выра-
выработки ресурса с помощью конечного числа неотрицательных пара-
параметров 4'ь •••> Ч?п> которые характеризуют степень повреждения и
износа основных узлов и деталей машины. Назовем параметры
tylt ..., у^п мерами повреждений, а составленный из них вектор i|) —
вектором повреждений (см. гл. 3). Меры повреждений являются
функциями времени (наработки и т. п.).
Для описания условий эксплуатации (силовые и тепловые на-
нагрузки, параметры окружающей среды, показатели интенсивности
технологических процессов и т. п.) введем векторный процесс q (t).
Пренебрегая последействием, допустим, что приращение мер повреж-
повреждений в единицу времени зависит лишь от состояния объекта и уровня
нагрузок в этот момент времени. Таким образом, вектор повреждений
ф удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению типа
B.42)
4г = /№. 4@1- E.1)
Аналогичное уравнение получим и для блочного или циклического
нагружения. Если функции дискретного аргумента можно заменить
соответствующими функциями непрерывного аргумента, то приходим
к уравнению E.1). Считаем, что процесс \|з (t) удовлетворяет условиям
кумулятивности B.43) или B.49).
Векторное пространство с элементами г|) в сущности представляет
собой пространство качества V. Для согласования с гл. 3 и 4 всюду,
где используем кумулятивные модели и вектор повреждений, обозна-
обозначаем вектор качества if. Область значений if> — первый (положитель-
(положительный) ортант этого пространства, а область допустимых значений Q
занимает часть первого ортанта, примыкающую к началу координат.
Внешняя граница Г области Q соответствует предельным состояниям.
Достижение векторным процессом г|з (t) границы Г означает наступ-
165
Ч/Ч)
А
/
/г
/ Vz
Рис. 5.2
ление предельного состояния. Продолжительность эксплуатации до
момента t = Т достижения границы есть ресурс объекта. Основная
задача состоит в нахождении функции распределения FT (T) и других
вероятностных характеристик этой случайной величины.
Пусть внешняя нормаль к границе Г во всех точках имеет неотри-
неотрицательные проекции на координатные оси и процесс г|э (t) удовлетво-
удовлетворяет условию B.43). Тогда вектор г|) (t), покинув в некоторый момент
времени t = Т область Я, затем в эту область возвратиться не может.
Следовательно, для вероятности пребывания вектора г|з в области Я
справедливо соотношение B.44). Отсюда для функции распределения
ресурса FT (Т) получим формулу
В вероятностном аспекте задача прогнозирования ресурса оказы-
оказывается проще, чем вычисление вероятности безотказной работы при
отсутствии ограничений на кумулятивность, поскольку нет необхо-
необходимости привлекать теорию выбросов.
Во многих случаях соотношение г|э ? Я можно выразить через
некоторую норму ||г|з||. Пусть область Я выпуклая и процесс if (t)
удовлетворяет условию B.49). С учетом соотношения B.50) получаем
>1|. ' E.3)
Типичное выражение для нормы имеет вид
l|tH = (i>7+---+$I/7(l<Y<°o). E-4)
Так, если предельное состояние хотя бы одного из компонентов
равносильно предельному состоянию системы в целом, то Q =
= {я|э : tyi < 1, ..., \|зп < 1}. Это соответствует норме E.4) при у -> оо.
Допустимая область для случая п = 3 показана на рис. 5.2, а. Во
многих случаях приближение к предельному состоянию некоторой
совокупности компонентов затрудняет эксплуатацию и снижает
показатели эффективности настолько, что состояние объекта в целом
должно быть признано предельным, хотя для каждого из компонен-
компонентов предельное состояние не наступило. Пусть предельная поверх-
поверхность — плоскость (рис. 5.2, б), так что Q = {г|> : г^ +• ... + 1|эл <
< 1}. Примеры такого рода встречаем в теории точности механизмов
[26], где погрешность на выходе механизмов обычно определяют как
сумму погрещностей в отдельных звеньях. Соответствующая норма
имеет вид E.4) при 7=1. Еще один пример —¦ допустимая область,
166
Рис. 5.3
которая задана соотношением Q = {\|> : х|з? + ... + \|4 < 1). При-
Принадлежность вектора я|з этой области (рис. 5.2, в) характеризуем
с помощью евклидовой нормы, полагая в E.4) y = 2.
¦ Весьма широкий класс допустимых областей задан соотношением
Q = {\р; ^Ji -}- ... -|- г|^п < 1), E.5)
где Yi> •••> Yn — положительные константы.
Для компонентов, предельное состояние которых равносильно
предельному состоянию объекта в целом, показатели yh должны
быть достаточно велики по сравнению с единицей (в предельном
случае yh -> оо). Для компонентов, несущих совместную ответствен-
ответственность за ресурс объекта, показатели могут принимать значения из
интервала @, оо). Это проиллюстрировано на рис. 5.2, г, где Yi —>¦ оо,
Yn = Y3 = 2. Когда показатели yh не равны между собой, одна из
аксиом нормированного пространства не выполнена. Поскольку
процесс^ (/) удовлетворяет по всем составляющим условиям B.44), то
о степени его приближения к границе Г можно судить по псевдо-
псевдонорме [г|з] = i^1 + ... + \\>упп. Вместо E.2) получаем формулу типа
E.3)
>1}. E.6)
До сих пор нагружение q (/) считали случайным процессом,
а свойства системы — детерминистически заданными. Если условия
нагружения и свойства системы заданы детерминистически, то расчет
проводят по схеме, показанной на рис. 5.3, а. При этом ресурс Т —•
детерминистическая величина. Если нагрузки детерминистические,
а свойства системы случайные, то ресурс будем рассчитывать по
схеме, показанной на рис. 5.3, б. При этом случайным свойствам
системы соответствует генеральная совокупность значений вектора г,
заданного с помощью плотности вероятности рГ (г) (на рис. 5.3, б
схематически показаны выборочные значения случайных величин).
167
Вначале ищем значения ресурса Т (г) при заданном векторе г. Плот-
Плотность вероятности ресурса вычисляем, как рт (Т) = F'T (T), где
p(r)dr. E.7)
Если процесс нагружения q (t\s) зависит от вектора s с плот-
плотностью вероятности ps (s), а параметры системы заданы детермини-
детерминистически с помощью вектора г, ресурс рассчитываем по схеме, изобра-
изображенной на рис. 5.3, в. Эта ситуация типична для задач прогнозиро-
прогнозирования ресурса на стадии эксплуатации, когда рассматривают кон-
конкретную систему, полагая, что методы неразрушающего контроля и
технической диагностики позволяют получить точечные оценки для
всех параметров системы (это не совсем соответствует действитель-
действительности, см. гл. 7). Случай, соответствующий схеме на рис. 5.3, в,
встречается и на стадии проектирования, если заказчик или постав-
поставщик комплектующего изделия настаивают на том, что все свойства
данной системы им известны и должны быть введены в расчеты как
детерминистические величины. Как и при применении метода услов-
условных функций надежности (см. гл. 2), эту схему можно осуществить
поэтапно. Вначале находим условную плотность вероятности
рг (T\s), для чего решаем задачу прогнозирования ресурса при
воздействии q (t \ s) с заданным значением вектора s. Затем применяем
формулы полной вероятности типа формул B.34). В результате
получаем
Рт(Т)= \ pT(T\s)P,(s)ds, E.8)
D(s)
где интегрирование выполняют по всем возможным значениям век-
вектора s.
Для наиболее общей схемы (рис. 5.3, г), когда параметры нагрузки
v свойства системы случайные, на первом этапе решения задачи ищем
распределение ресурса системы с заданным значением вектора г при
воздействиях с заданным значением вектора s. Соответствующая
условная плотность вероятности рГ (T\r, s). На втором этапе,
полагая совместную плотность р (г, s) заданной, находим безуслов-
безусловную плотность вероятности
рт(Т)= | | рт(Т\г, s)/?(r, s)drds. - E.9)
D (r, s)
Формулы E.8) и E.9) основаны на использовании двух этапов
вероятностного описания нагрузок и воздействий. Первый этап
вводим с помощью условного процесса q (t\s) при фиксированном
значении вектора s. Этот процесс описывает изменение нагрузок и
воздействий во времени. Второй этап задаем с помощью распределе-
распределения случайного вектора s, характеризующего разброс общих усло-
условий нагружения. Деление описания на две части позволяет применять
более широкий круг вероятностных моделей, например использовать
168
модели стационарных эргодических процессов на первом этапе,
учитывая отклонения от эргодических свойств с помощью плотности
вероятности ps (s).
5.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ЗАДАЧАХ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РЕСУРСА
С математической точки зрения задача прогнозирования ресурса
состоит в решении обратной краевой задачи для векторного диффе-
дифференциального уравнения E.1) с последующей обработкой результатов
по формулам E.7)—E.9). Эта задача трудна даже в случае, когда
размерности процессов q (t\s) и т|) (t), а также векторов г и s невелики
(в частности, равны единице). В общем случае аналитические и
вычислительные трудности могут оказаться непреодолимыми, поэтому
особое значение приобретают приближенные методы — асимптоти-
асимптотический и полудетерминистический. Изложим вначале основы асимпто-
асимптотического метода [12], поскольку полудетерминистический метод
можно трактовать как результат дальнейшего упрощения формул
асимптотического метода.
Рассмотрим частный случай уравнения E.1), когда правая часть
не зависит от вектора 1|з:
dJ=f[q(t)]. E.10)
Интегрирование этого уравнения при нулевых начальных усло-
условиях дает
t
Пусть процесс q (t) — хорошо перемешанный, т. е. характерное
время корреляции тс весьма мало по сравнению с отрезками времени,
представляющими интерес при прогнозировании ресурса (в част-
частности, по сравнению со сроком службы Т). Далее, пусть процесс
q (t) и функция / (•) таковы, что при любых конечных значениях t
первые и вторые моменты процесса q (t) конечны, а при t ->¦ оо
первые и вторые моменты от правой части в E.11) стремятся к беско-
бесконечности. Тогда значения процесса г|) (t) распределены по закону,
который с увеличением t асимптотически приближается к п-мерноу.у
нормальному распределению с математическим ожиданием
tp(/)= JEj/[q(T)]}dT E.12)
о
и матричной корреляционной функцией (матрицей взаимности кор-
корреляционных функций)
i'i t,
К*Ci. /2) = J j Kf (тъ т2)dT.,ciT,. E.13)
о о
169
Здесь Kj {t-i, t2) —матричная корреляционная функция для век-
вектора правой части в уравнении E.10).
Формула E.13) есть следствие зависимости К у (h, t2) =
= <Э2Дф (tu t2)/dt1dt2 между матричными корреляционными функ-
функциями процесса \р (t) и его производной ф (/) при начальных условиях
Кц (ti, 0) = /Сф @, tz) = 0. Эти условия вытекают из начального
условия г|э @) = 0 для процесса т|з (t).
Строгая формулировка этого результата следует из центральной
предельной теоремы для интегралов от случайных процессов (форму-
(формулировка теоремы содержит также условие типа Ляпунова—Линде -
берга [38]). Если трактовать интеграл в правой части формулы E.11)
как предел римановой суммы, то последняя будет содержать большое
число случайных слагаемых, которые станут практически незави-
независимыми при |/2—^i| ^> тс. Таким образом, здесь имеем аналог цен-
центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Для плотности вероятности значений векторного процесса i|) (t)
имеем асимптотическую формулу
p(t,t)* ( 2 V ' , E-И)
где ?)Ф (/) ее /Gj, (/, /)¦
При п = 1 формула E.14) принимает вид
-ехр)- №~Д@1, E.15)
где o% (t) = K$ (t, t); /C^ (tly гг) — корреляционная функция про-
процесса г|з (/), связанная с корреляционной функцией Kf (tu t2) про-
процесса / [q (/)] формулой типа E.13).
По общей формуле E.2) вычислим функцию распределения ре-
ресурса как
l E.16)
Если п — \, Q = {\|з : г|з <; 1}, вместо E.16) получаем
FT(T)& 1 -Ф{[1 -ф(Г)]/аф(Г)Ь E.17)
где Ф (•) —нормированная функция Гаусса B.39).
Если свойства системы заданы с точностью до случайного век-
вектора г, а свойства воздействия на систему с точностью до случай-
случайного вектора s, то в правую часть уравнения E.10) надо ввести ус-
условную зависимость
4г = Яч(Ф)|г]. E.18)
Эта зависимость войдет в выражения для г|з (t\r, s), q> (/|r, s)
и D$(t\r, s) и, следовательно, в выражения для плотности вероят-
вероятности /7 (if; t\r, s). В общем случае, допустимая область также зави-
зависит от свойств системы, так что й = Q (г).
170
Вычислим функцию распределения условного ресурса
Fr (Г | г. s) = 1 - j р (я|з; Т | г, s) d\[\ E.19)
й(г)
после чего, применим формулу E.9). В терминах функций распреде-
распределения формула E.9) принимает вид
FT (Т) = j j FT(T\ г, s) p (г, s) dx ds. E.20)
?>(r, s)
5.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО
ЗАКОНА НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ
До сих пор было использовано существенное ограничение: правая
часть уравнения E.1) была принята не зависящей от г|з. Рассмотрим
более общий случай, когда правая часть имеет структуру, допускаю-
допускающую интегрирование путем разделения переменных. Этот случай
уже был частично изучен в гл. 3 в связи с полуэмпирическими мо-
моделями накопления повреждений.
Пусть каждая составляющая векторного уравнения E.1) имеет
вид
AуЬь г ¦ / i \ с г /_i\i // 1 \ /Г Г» 1 \
1 "• j- /i- \+ П//1 /jb ¦ ¦ I n| i К / I l
~jZ I kl \T/'ife///l''14 I/I \ ' ' •••?''/) IUi^ 1 J
аналогичный уравнению C.22). Функции /hl (v|3ft) и /ft2 (q) во всей
области значений должны удовлетворять тем же условиям, что и
аналогичные функции в уравнении C.22). В частности, должны быть
выполнены условия нормировки
При этом /А2 (q) = \ITbh (q), где Tbk (q) —базовая зависимость
для k-й составляющей процесса of (t).
Найдем решение уравнений E.21) при начальных условиях
1^@) = ... =гЫ0) = 0
ад*) = Ы0 (*=1,...,п), E.22)
где введено обозначение
t^V)- E-23)
Случайные функции tyk (t) аналогичны псевдоповреждению C.19),
т. е.
t
*ft@ = J /ft а [Я (тI dx. E.24)
о .
171
Образуем из функций Uh (tyh) и % (/) вектор-функцию UD") и
случайный векторный процесс if> (/). Из формулы E.24) следует, что
при введенных ограничениях значения процесса г|з @ подчиняются
асимптотически нормальному распределению. Тогда с учетом E.22)
приходим к асимптотической формуле для плотности вероятности
значений процесса г|) (/):
J [U №)] ехр (- -L [и (г|з) - ф (г)]1^1 (/) [U (г|>) - ф @])
E.25)
v
Здесь J [U (г|з) ] —якобиан преобразования г|) = U (г|з), т. е.
det (grad^U), где grad^ (U) —матрица производных dUjld^h. Функ-
Функции Uk (%), вид которых задан соотношением E.23), по определению
дифференцируемы во всей области значений. Поскольку каждая
функция Uh (\ph) зависит только от одного аргумента, то якобиан
/ [U D') ] равен произведению производных dUk (^i)ld^h. Функции
Uк D-"ft) неубывающие, поэтому в формуле E.25) знак модуля у яко-
якобиана опущен.
Вектор ф (t) и матрица D^ (I) связаны с вектором / [q@^ зави-
зависимостями типа E.12) и E.13); <р (t) = Е [г^ (t)]\ D$ (t) = К$ (t, t).
Формула E.25) переходит в E.14) при U DЛ) = 1|э, "ф (t) = Ч1- При
п = 1 вместо E.25) получаем
/I а ! rft/ (-ф) Г [t/ A|5) — ф(/)]2) /'-осч
о (\Ь; /) «—т= jt-^ ехр)—-—1Ч% v J I , (о.26)
И{*' ' V2na(t) dip Hj 2a^(t) )' V ;
о
где оф (?) = K^(t, t). Соответствующая функция распределения
имеет вид
{Щ=Ш}. E.27)
Зависимость правых частей в E.21) от случайных векторов г и s
учитываем, как и ранее, формулами E.19) и E.20).
Правые части уравнений E.21) имеют довольно специальную
форму. Однако эта форма типична для многих задач прогнозирования
ресурса. Скорость роста повреждений, износа, пластических дефор-
деформаций в каком-либо узле или компоненте зависит в первую очередь
(помимо внешних нагрузок и условий окружающей среды) от повреж-
повреждений именно этого узла, поэтому влиянием повреждений в других
узлах, как правило, допустимо пренебречь. Важное исключение —
выработка ресурса в условиях взаимодействия двух или нескольких
повреждающих механизмов, например случай, когда одновременно
происходит накопление рассеянных повреждений и рост магистраль-
магистральных трещин. Такие задачи можно решить полудетерминистическим
методом.
172
5.5. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭРГОДИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ
ПРОЦЕСС НАГРУЖЕНИЯ
Выясним возможные упрощения, которые возникают, когда про-
процесс q (/) стационарный и эргодический. Для уравнения E.10)
применение формулы E.12) дает
Ф @ = fit. E.28)
Здесь |и —постоянный детерминистический вектор, выражаемый
через плотность вероятности р (q);
/i- J f(q)p(q)dq. E.29)
D
Матричная корреляционная функция К/ {t\, 4) для стационар-
стационарного процесса q (t) зависит от разности 4—tlt а не от каждого аргу-
аргумента отдельно. Сохраним для этой матрицы прежнее обозначение,
изменив указание на аргумент. Полагая в формуле E.13) tx — t2 = t,
находим
At@ = J j Kfir.-r^dr.dr,.
о о
Введя новые переменные т — т2 — х1, 8 = т2 + ть преобразуем
интеграл в правой части следующим образом:
1 2t-x
б т
Отсюда
t
(t-i)K,(r)dT. E.30)
о
Ранее было использовано предположение о том, что процесс q (t),
а следовательно, и / (/) являются сильно перемешанными. При
достаточно больших t ^> тс, где тс —характерное время корре-
корреляции этих процессов, можно положить Ki (т) « 0. Следовательно,
при t > тс
/ оо
D^ @ « 2/ j /Cf (т) dT « 2/ j Kf (т) c(t.
о о
Введем обозначение для постоянной детерминистической матрицы
Л" -=2 J/Cf(T)dx. E.31)
о
Вместо E.29) получаем приближенную формулу
?ф @ « Nt, E.32)
которая дает существенную погрешность только при малых t, т. е.
когда асимптотический метод непригоден. Для вычисления мат-
матрицы N необходимо знать матричную корреляционную функцию
173
К (т), а для этого в свою очередь надо иметь совместную плотность
вероятности р qx, q2; т)) значений векторного процесса q(^) в два
различных момента времени со сдвигом т.
Итак, при нагружении в виде стационарного случайного процесса
асимптотическая формула E.14) принимает вид
ехр
[ -(^-
При п — 1
Ptt'J)
Bnvt)]/2
¦ехр —
2W
E.33)
E.34)
где ц и v — одномерные аналоги вектора |и и матрицы
Функция распределения ресурса с учетом E.17)
E.35)
Для соответствующей плотности вероятности имеем формулу
E.36)
Найдем моменты случайной величины Т. Обозначим начальные
моменты 6а — Е [Та]. Подставив плотность вероятности pr (T)
из E.36) в формулу
и вычислив интегралы, получим
вх = A -f v/2n)/n; Э2 = A + 2v/[i + 3v2/2^2)/h-2. E.37)
Найдем коэффициент вариации ресурса с распределением E.36)
wT .= (v/jiI^ (l Jr 5V/4I1I/2 A + v/2^). E.38)
При v/ц С 1 имеем wr « (v/(xI/2. Графики плотности вероят-
вероятности E.36) при различных отношениях v/ц приведены на рис. 5.4.
рг(Т)/м
174
Г-0Л5
Рис. 5.5
Распределение ресурса E.35) есть следствие асимптотического рас-
распределения E.34) для меры повреждений ip (t). Распределение E.35)
встречается при анализе ряда других вероятностных моделей,
например, в теории восстановления [24].
В более общем случае, когда исходное уравнение в составляю-
составляющих имеет вид E.21), вместо E.33) получаем
J [U (г|>)] ехр !- -L [U (г|)) - ц/]т (Л7) [U (^)
Bn)"/2(det
.E.39)
При этом вектор ц = Е [г(з (/) ] и матрицу N
ф E29) E30
^ (t) t
по-
р р ц ( () ру ^ ()
прежнему вычисляем по формулам E.29) и E.30). Если /г = 1,
формула E.39) принимает вид
\1/2
1
2vi
J
E.40)
При допустимой области Q = |\р : \р << 1} по определению имеем
U (\) — 1, так что вновь приходим к распределению E.35) для
ресурса Т. Однако вид плотности вероятности для меры поврежде-
повреждений гр в общем случае существенно отличается от E.34).
Пример 5.1. Возьмем функцию U (ij;) = 41' ^. Г-5е У — положительная постоян-
постоянная. Формула E.40) дает
2v/
Если у — 1. то получаем распределение E.34). При у > 1 плотность вероятности
0 имеет интегрируемую особенность в начале координат (рис. 5.5). Зависимости
построены для ц?= 1; v/jx = 0,1 - На рис. 5.5, а особенность практически не видна;
на рис. 5.5, б показано поведение функции р (i|r, /) при т> 1 и малых \j\ Вклад осо-
особенности, которая описывает возможность «застоя» процесса !)• (/) около значения
i|) = 0, невелик.
175
5.6. ПОЛУДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Разброс показателей долговечности есть результат взаимодей-
взаимодействия трех факторов. Во-первых, это случайные свойства реализа-
реализаций условного процесса q (/|s), т. е. разброс реализаций нагружен-
ности при условиях, что общие условия работы заданы фиксиро-
фиксированными значениями вектора s. Эта часть разброса входит в рас-
распределения E.14). Во-вторых, это разброс условий работы, учиты-
учитываемый в формулах типа E.8) с помощью плотности вероятности
ps (s). Третий фактор —изменчивость свойств системы и ее ком-
компонентов. На стадии проектирования эти свойства считаем случай-
случайными, описывая их с помощью плотности вероятности рг (г). Этот
фактор учитываем в формуле E.7), а два последних фактора сов-
совместно — в формуле E.9).
Влияние каждого фактора на разброс ресурса и срока службы
различен. Предположим, влиянием разброса реализаций процесса
q(/|s) можно пренебречь по сравнению с влиянием разброса общих
условий работы системы и ее внутренних свойств. Тогда ресурс
системы при заданных значениях г и s детерминистическая вели-
величина Т (г, s), а его условная плотность вероятности имеет вид дельта-
функции
pT(T\r. s) :_-= б [Т - Т (г, s)]. E.41)
Для безусловной функции распределения ресурса имеем [17]
Fr(T)--= \\ p(r,s)drts. E.42)
Формула E.42) по структуре аналогична формуле E.7), полу-
полученной в предположении, что разброс ресурса вызван только слу-
случайной изменчивостью свойств системы.
Чтобы найти условный ресурс Т (>", s), необходимо преобразовать
уравнения E.1), E.10) и E.18) так, чтобы в них входило только
математическое ожидание <р (t\r, s) s Е [if (t\r, s) ] условного про-
процесса г|)(/]г, s). Возьмем, например, уравнение E.1). Поскольку
разброс процесса г|) (t | r, s) принят пренебрежимо малым, заменим
в правой части этот процесс его математическим ожиданием, после
чего применим к обеим частям уравнения операцию усреднения.
В результате получим
г'гс\ //I г сЛ
• ¦= Е |/[<р (t | г, s), q(/|s)]j. E.43)
dt " " ^
Это дифференциальное уравнение —детерминистическое. Решая
его при заданных (например, нулевых) начальных условиях, найдем
процесс ф (t | г, s). Вид уравнения относительно условного ресурса
Т (г, s) зависит от того, в какой форме задано условие г|) ? Q, Так,
если это условие выражено через норму jjif |, приходим к уравнению
|| Ф (Г |г, s)||=- 1. E.44)
176
В более общем случае допустимой области, заданной в виде E.5),
вместо ||г|э|| следует использовать псевдонорму [г|;] и т. д. Условный
ресурс Т (г, s) удовлетворяет соотношению
Ф(Г|г, s) 6 Г (г), E.45;
где Г (г) —внешняя граница допустимой области Q.
Формулы E.41)—E.45) составляют основу полудетерминисти-
полудетерминистического метода. Название отражает тот факт, что метод является
детерминистическим лишь на первом этапе, когда рассматриваем
накопление повреждений в системе с заданными свойствами при
внешних воздействиях, заданных с точностью до вектора s. Даль-
Дальнейший расчет проводим по вероятностной модели с учетом случай-
случайных свойств векторов г и s.
Рассмотрим несколько иное истолкование полудетерминисти-
полудетерминистического метода [15]. Пренебрегая разбросом значений процесса
г|з(/|г, s), аппроксимируем условную плотность вероятности этого
процесса дельта-функцией
p<$;t\r, s) ^б[г|з-ф(/|г, s)]. E.46)
Объединив формулы E.16) и E.20), получим
FT (Т) = 1 - J j Г | р (ф; Т | г, s) d$ | р (г, s) dr ds.
?>(r,s) I й(г) J
Подстановка плотности вероятности E.46) в это выражение дает
Fj(T)-= 1- | [ p(r,s)drds, E.47)
к(т)
где область интегрирования
M(T)-=\r, s: tpG|r, s) С Q(r)}. E.48)
Кратко остановимся на обобщенной модели накопления повреж-
повреждений, приводящей к асимптотическому распределению E.26).
В полудетерминистическом приближении имеем
р (Ч"; 11 г, s) ъ б [U D") - ф (/1 г, s)j. E.49)
Здесь ф(/|г, s) —математическое ожидание условного процесса
псевдоповреждений:
Ф (t | г, s) -= j E \f [q (т| s), r]} dr. E-50)
о
Формулу E.49) можно записать в виде
<р(*|г, s) «U-Мф (/|r, s)l, E.51)
где U^1 (¦) —символ обратной функции.
Характер допущений, лежащих в основе метода, а также поря-
порядок его погрешности проще всего оценить, исходя из формулы E.46).
Формула тем точнее, чем меньше разброс значений процесса я|з(^|г, s).
177
Для распределения E.14) критерий малости разброса имеет вид
\\Dy (t\r, s)|j1/2 С ||ф (^|r, s)|| при всех t > тс. Здесь использованы
согласованные нормы для матрицы D^ (t\r, s) и вектора ф (/|r, s).
Если применимо распределение E.33), получаем условие
||/V(г, sJIp-^UHr, s)lz»/2 E.52)
при всех t s> тс, имеющих порядок ресурса Т.
Рассмотрим одномерную модель, приводящую к распределе-
распределениям E.34) и E.35). Для этой модели условие E.52) имеет вид v1/2 <^
¦С цГ1 2. Поскольку Т ~ 1/(х, окончательно получаем
l. E.53)
Здесь и далее аргументы г и s, указывающие на условную зависи-
зависимость, опущены. В левой части критерия E.53) стоит приближенная
оценка для коэффициента вариации E.38) условного ресурса wT.
В данном случае w^ (T) ~ wr. Для обобщенной модели накопления
повреждений, когда справедливо распределение E.40), соотноше-
соотношение ниц (Т) ~ wT не выполняется. Для wT по-прежнему справед-
справедлива оценка wT та (v/цI'2. Коэффициент вариации w$ (T) суще-
существенно зависит от вида функции U (\|;).
Выразим левую часть критерия E.53) через параметры процесса
нагружения q (t\s). Из формул E.30) и E.32) для п — 1 получим
vrc ~ D if {t)]. Критерий E.53) принимает вид
^l, E.54)
где Wf —коэффициент вариации функции / [g(^|s)] при фиксиро-
фиксированном s. Итак, погрешность полудетерминистического метода тем
меньше, чем сильнее перемешивание процесса нагружения, а при
%JT ->• 0 эта погрешность стремится к нулю. Погрешность суще-
существенно зависит от коэффициента вариации функции / [q(t\s)],
равной скорости роста повреждений. При df/dq "J>> 1 малый разброс
нагрузки q(t\s) вызывает значительный разброс функции / lq(t\s).
5.7. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
ДОЛГОВЕЧНОСТИ
Величина Т (г, s), которая входит в формулу E.41), занимает
центральное место в полудетерминистическом методе прогнозиро-
прогнозирования ресурса и срока службы. Для ее определения используем
уравнения E.43), E.44) и E.45). Поскольку соотношение E.41)
весьма приближенное, точный смысл величины Т (г, s) остается
неопределенным. Можно утверждать, что эта величина близка к ма-
математическому ожиданию или наиболее вероятному значению услов-
условного ресурса (срока службы), трактуемого как случайная величина.
В прикладных расчетах, как правило, не учитывают изменчивости
условий работы и внутренних свойств системы, т. е. считают век-
векторы г и s заданными детерминистически. Чтобы упростить терми-
терминологию и обозначения, назовем величину Т (г, s) при заданных
векторах г и s характеристическим ресурсом и обозначим Т.
178
При п — 1 уравнение E.43)
относительно математического
ожидания ср (t) меры повреж-
повреждений принимает вид
. ^L-Ej/MO, q(/)b E.55)
где процесс нагружения q (t)
в общем случае, является век-
векторным. Допустимую область
возьмем в виде Q = |<р : ф < 11.
Для вычисления характери-
характеристического ресурса Т следует
решить обратную краевую за-
задачу для уравнения E.55) с на-
начальным условием ф @) = 0 и
условием на конце ф (Т) = 1
(рис. 5.6). Это условие представляет
более общего соотношения E.44).
Выразим математическое ожидание - в правой части уравне-
уравнения E.55) через интеграл по области значений вектора q. Если про-
процесс нагружения нестационарный, то плотность вероятности про-
процесса q (t) зависит от времени. Вместо E.55) получаем интегродиф-
ференциальное уравнение
Ри 5.6
собой одномерный аналог
q]p(q\t)dq.
E.56)
?>(q)
При стационарном нагружении интеграл в правой части от вре-
времени не зависит. Уравнение E.56) обыкновенное дифференциальное,
интегрирование которого при заданных граничных условиях дает [17]
E.57)
Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть правая часть в E.55)
не зависит от ф. Тогда функция / [q (t)] связана с базовой функцией
ресурса Ть (q) соотношением
f[q@1=in[q@ir1 E-58)
(подробнее см. в 3.2). Подставив это выражение в E.56) и проинтегри-
проинтегрировав его, получим уравнение относительно характеристического
ресурса Т:
Г Г p(q; t)dqdT _ .
J J Tb(a)
0D(q)
При стационарном
нагружении приходим
_L - f P (ч) dq
T "¦ J Th (ч) '
к формуле
E.59)
E.60)
179
Формулы типа E.60), которые можно трактовать как следствие
линейного правила суммирования повреждений, широко применяют
в инженерных расчетах на долговечность [34, 40, 68].
Рассмотрим более общий случай, когда уравнение относительно
меры повреждений имеет вид E.21). Применим формулу E.51)
где g (•) =v U'1 (•); ф (/) —математическое ожидание от псевдопов-
псевдоповреждения if) (t).
Из уравнения E.56) с учетом E.58) имеем
¦<'>-J J
0 D(q)
Поскольку g A) —¦ 1, то условие ф (Т) = 1 равносильно соот-
соотношению ф (Т) = 1. Отсюда вновь приходим к уравнению E.59)
и формуле E.60) для характеристического ресурса. Если ф @) Ф 0,
то вид функции U D') может существенно влиять на величину Т,
что приводит к расхождению результатов, которые дают линейная
гипотеза суммирования и ее обобщения (см. гл. 7).
5.8. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО РЕСУРСА
Рассмотрим некоторые частные виды плотности р (q) и базовой
функции Ть (q). Пусть q (t) —одномерный процесс, причем q ?
(z [0, оо). Широкий класс распределений случайных величин на
положительной полуоси описывает х-РаспРеДеление Пирсона
E.63)
Здесь а за 1, qc > 0 —параметр распределения. Функцию W (а)
найдем из условия нормировки: W (а) =2(а~2' 2Г (ос/2). Если а —
нечетное целое число, то W (а) = (а —2)!! (л/2I 2, если а —чет-
—четное, то ? (а)=2<а-2» 2[(а — 2)/2]!. Формула E.63) принимает
вид
Полагая а = 1, получим из E.64) полунормальное (заданное
на положительной полуоси) распределение, плотность которого
равна удвоенной плотности нормального распределения:
180
Математическое ожидание в этом случае Е [q] = qc (л/2)~! -.
При а = 2 имеем распределения Рэлея
(? E.66)
с математическим ожиданием Е [q] = qc (л/2I 2, при а = 3 —рас-
—распределение Максвелла и т. д. Возможности аппроксимации эмпири-
эмпирических распределений с помощью функции E.64) будут расширены,
если рассматривать нецелые значения а.
Пример 5.2. Пусть базовая зависимость Т — Тъ (<? | г) имеет вид C.37), где
параметр г, характеризующий сопротивление данного узла, элемента или детали,
имеет тот же смысл, что и вектор г в общих формулах типа E.7). Подставим выраже-
выражения C.37) и E.64) в формулу E.60). Вычислив интеграл в правой части, получим
Т = tc (rlqc)m Г (а/2) \2т'2 Г \(т + а)Щ\-\ E.67)
При а = 2 эта формула была выведена Майлсом A954 г.) применительно к оценке
усталостной долговечности при напряжениях, представляемых в виде узкополосного
нормального процесса.
Пример 5.3. Более общая формула была получена автором A959 г.) для базовых
кривых Т = Тъ (q1 г), имеющих горизонтальный участок. Подставим в формулу
E.60) выражение C.66) при г0 = 0
{:>&\ E-68)
а также плотность вероятности E.64). Известна формула
ип exp (~^L\du = 2<"-')/2Г [(« + 1)/2, «о/2], E.69)
где Г (т, г) ¦— неполная гамма-функция, переходящая в полную гамма-функцию
Г (т) при г—у 0. С учетом E.69) получаем
Т = tc (r/qc)mT (a/2) \2m'2 Г [(m + а)/2, (r/^J^]}. E.70)
Вместо неполной гамма-функции иногда удобнее использовать функцию х2-
распределения Пирсона (таблицы для нее есть почти в любом руководстве по мате-
математической статистике)
Здесь п — число степеней свободы распределения, *F (n) — нормировочная постоян-
постоянная, имеющая тот же смысл, что и в формуле E.63). Формула для Т в виде
была впервые получена автором A959 г.). График отношения T/tc как функции от
qjr и m приведен на рис. 5.7. При этом принято а = 2, т. е. взято распределение
Рэлея E.66) для закона нагружения q (t).
При малых qjr, т. е. при низких уровнях нагрузки, интеграл в левой части
формулы E.71) допускает асимптотическое разложение
2 ^
и'1'1 ехр ( ^-\ du = ex\
+ (к - 2) (л - 4) uj-6+...].
181
т/и
10s
to"
W'1
Рис. 5.7
41=11
0,1 0,2 0,3 0^ 0,5
Отсюда вместо E.70) и E.72) получаем
Т ^ 'с (
1 -f (m + а — 2) {qclrJ -f (ra-j-а-2)(m-fa -4) {Qc-ir)i + ¦ ¦ ¦'
E.73)
Ряд в формуле E.73) в общем случае расходится (исключение составляет случай
целого положительного m -\- а, когда ряд содержит конечное число членов), поэтому
при использовании формулы E.73) необходимо соблюдать осторожность. При r2/q2 <
< 30 есть таблицы неполной гамма-функции и функции ^-распределения, а формулы
E.70) и E.72), содержащие эти функции, не сложнее для вычислений, чем формула
E.73). Если q^Jr2 <c 1, то для не слишком больших m имеем асимптотическую
формулу
T~tc (r,qcJ~a 2{а~2)/2 Г(сс/2) exp (r2/2q2).
При q2jr2 з> 1 неполную гамма-функцию в E.70) можно заменить на полную гамма-
функцию, а в E.72) принять Pm, a (/'2//?c) ~ '• Это приводит к формуле E.67).
Пример 5.4. Рассмотрим кусочно-линейные (в логарифмических координатах)
базовые кривые. При этом
Tn(q\r) -
E 74)
Постоянные tck, rk и mk удовлетворяют условию tckrk k = tc /f_^_lrk h+1 (к = 1,
..., n — 1). Обычно r0 ~ 0. Некоторые из показателей m/j могут принимать нулевые
значения, например тп = 0. Подстановка соотношений E.74) в формулу E.60) дает
p (q)
182
где р (q) — плотность вероятности процесса q (I). Если эта плотность взята в виде
E.64), то после вычислений получаем
Г(а/2)
1 _ I
2 ' 2 ** J I""' 2
Правую часть формулы можно выразить через функцию х2-Распределения:
E.75)
Пример 5.5. Рассмотрим еще один класс базовых кривых, заданных соотноше-
соотношением C.66). Подстановка функции C.66) и плотности вероятности E.63) в формулу
E.60) дает
оо
'— — \du,
. 2 I
"°
где щ = rjqc.
Интеграл в правой части вычисляем путем разложения бинома в степенной
ряд и почленного интегрирования. Результат можно выразить либо через неполные
гамма-функции, либо через функции х2-распределения Пирсона. В последнем случае
при целых т имеем
E.76)
Пример 5.6. Сходные по структуре формулы получим, приняв для значений про-
процесса q (t) гамма-распределение B.17). При этом q ? [0, оо),
где параметры а и qc имеют примерно тот же смысл, что и в распределении E.64).
Приняв в E.77) а = л/2, где п —• целое число, получим х2-распределение, а про-
производя подстановку q= q\l{2qc), придем к ^-распределению E.64).
Вычислим характеристический ресурс для базовой зависимости в форме E.68).
Подстановка дает
Т - tc {rlqc)m Г (а) [Г (m + a, r/q,)]'1. E.78)
Правую часть формулы E.78) можно также выразить через функцию Рп (%2)
распределения E.71). Аналогично получим формулы типа E.75) для кусочно-линей-
кусочно-линейной зависимости E.74) и т. д.
Пример 5.7. Если стационарный случайный процесс q (t) со средним значением
Е \q (t)] = qu имеет сравнительно небольшие флуктуации относительно этого зна-
183
чения. то его распределение удобно аппроксимировать с помощью нормального рас-
распределения
р (q) -¦¦ —^.— ехр —
(д — <7оJ
Здесь а" — дисперсия процесса q (/).
По условию коэффициент вариации iaq = c\q;q0 <g 1, что дает основание пре-
пренебречь частью распределения E.79), которая относится к отрицательной полуоси.
Подставив E.79) в формулу E.60) с учетом базовой зависимости в форме C.37),
представим бином под интегралом в виде степенного ряда. Тогда
к 2 Ф(*+1)/2ги*
/г=2,4,...
В первом приближении
5.9. УЧЕТ РАЗБРОСА СВОЙСТВ СИСТЕМЫ
И УСЛОВИЙ ЕЕ РАБОТЫ
Основная идея полудетерминистического метода состоит в том,
чтобы, пренебрегая случайной изменчивостью условного процесса
накопления повреждений и изменчивостью соответствующего ре-
ресурса, включить все случайные факторы в вектор г, учитывающий
свойства системы, и в вектор s, учитывающий условия нагружения.
Вычислив характеристический (условный) ресурс Т (г, s), найдем
функцию распределения ресурса FT (T) с учетом" перечисленных
факторов по формуле E.42). Поскольку векторы г и s на стадии
проектирования можно считать, как правило, независимыми, то
р ("¦, s) = р,. (г) ps (s). Рассмотрим два варианта реализации фор-
формулы E.42) для этого случая. По первому варианту вначале вычис-
вычисляем условную функцию распределения ресурса
FT(T\s)= | pr(r)dr, E.81)
7-(r,s)>7-
трактуя вектор s как параметр. Затем вычисляем интеграл
FT(T)= J FT(T\s)ps(s)ds E.82)
?>(s)
по всей области D (s) значений вектора s.
Второй вариант основан на обратной последовательности
вычислений. Вычислив условную функцию распределения ресурса
при заданном значении вектора г
Рт(Т\г)= j Ps(s)ds, E.83)
T(r,s)>T
производим осреднение по всему множеству систем. В результате
получаем
FT(T)= j F(T\r)pr(r)dr. E.84)
O(r)
184
Если вектор s детерминистический, точнее, если все случайные
свойства нагружения заданы через процесс q (t\ s), то FT (T\ s) =
s FT (T), так что формула E.81) дает окончательный ответ о рас-
распределении ресурса. Если свойства системы заданы детерминисти-
детерминистически, то FT (T\r) = FT(T), так что ответ дает формула E.83),
которая является частным случаем формулы E.8) применительно
к полудетерминистическому методу. При рг [Т (s) ] = Ь [Т — Т (г)]
формула E.8) переходит в E.83).
Рассмотрим п -- 1. Пусть г t Ю, оо), s ? [0, сю). Тогда вме-
вместо E.81) имеем
Fr(T\s) = Fr{r(T,s)}, E.85)
где Fr (г) —функция распределения параметра г; г — r(T,s) —
разрешенное относительно г уравнение Т (г, s) = Т. При этом уч-
учтено, что г—монотонно возрастающая функция Т. Применение
формулы E.82) дает
оо
FT(T)=\Fr\r{T,s)]pa(s)ds. E.86)
о
Пример 5.8. Возьмем выражение для характеристического ресурса в форме
Т (г, s) ---. Тс {(r — ro)l(s — ro))m; r>r0; s>r0. E.87)
Здесь Тс — постоянная, связанная с постоянной времени tc и некоторыми параме-
параметрами системы и процесса нагружения; г0 ~^ 0 — пороговое значение параметра
сопротивления.
Если зависимость для Т (г, s) имеет вид E.67), то ее легко преобразовать к виду
E.87), приняв за параметр нагружения s величину qc, которая характеризует рас-
распределение E.67) значений условного процесса q (t\s). При этом ло= 0. Постоянные
Тс и tc связаны соотношением
E.88)
К выражению E.87) приведем также формулу E.80) при л0 = 0, приняв в ка-
качестве параметра нагружения q0 и положив
Tc^tc l\+±-m(m- \)w2q+...]"'. E.89)
В формулы E.70), E.73) и E.78) параметры нагружепия и сопротивления входят
в более сложной форме. Если, например, в формуле E.70) считать г2jq'2c <c 1, то полу-
получим выражение для характеристического ресурса E.87).
Для параметра сопротивления примем трехпараметрическое распределение
Вейбулла D.23). Подстановка формул E.87) и D.23) в E.85) дает
где f> = aim.
Итак, получено распределение Вейбулла с показателем |3. Если параметр s
задан детерминистически, то распределение E.90) является безусловным. Оно ана-
аналогично распределениям D.27) для показателей долговечности в условиях детерми-
детерминистического нагружения (например, при циклическом нагружении с постоянной
амплитудой или постоянным размахом s). Формула E.90) содержит значение 7V,
зависящее от свойств системы и случайных условий пагружения. Так, свойства си-
185
стемы у.чтены в формулах E.88) и E.89) показателем т. Условия нагружения в пер-
первой формуле учитывает показатель а, во второй — коэффициент вариации wQ.
Аналогичные формулы получим, используя схему вычислений,
основанную на формулах E.83) и E.84). При п = 1 формула E.83)
принимает вид
FT(T\r) = l-Ft[s(T\r)], E.91)
где Fs (s) —функция распределения параметра s, s = s (T, r) —
разрешенное относительно s уравнение Т (г, s) = Т.
При выводе формулы E.91) учтено, что s —монотонно убываю-
убывающая функция ресурса Т. Вместо E.84) имеем
FT (T)=l- \ Fs [s (T, г)} pr (r) dr. E.92)
о
Возьмем выражение для плотности вероятности ps (s) в виде
S El. E..93)
*=i k—\
Этот способ задания можно истолковать следующим образом:
для наугад взятой системы реализуется один из п различных режи-
режимов, каждый из которых задан с помощью плотности вероятности
рк (s) и вероятности Pk осуществления этого режима. Подста-
Подстановка E.93) в E.86) дает
П оо
^г(Т) = ? Ph j Fr[r(T, s)] Ph(s)ds.
k=\ 0
В частности, если значения sh принимают дискретное множество
значений Sj, ...,sn с вероятностями Ръ ..., Рп, то следует принять
Ph(s) — 6(s — S;,.). Отсюда
5.10. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА СЛОЖНЫХ
СИСТЕМ
Рассмотрим объекты, представляющие собой совокупность под-
подсистем — агрегатов, блоков или компонентов, взаимодействие кото-
которых можно описать в рамках системной теории надежности. Эта
идеализация пригодна, если все процессы механического и физико-
химического взаимодействия локализованы в пределах каждой
подсистемы, так что с точки зрения надежности их взаимодействие
является чисто логическим. Допустим, что исчерпание ресурса
в подсистемах происходит независимо. Если это допущение не при-
применимо к полному (безусловному) ресурсу, то его можно принять
хотя бы для условного ресурса Т (г, s) с тем, чтобы затем учесть
186
наличие вероятностной зависимости с помощью общего для всех
подсистем распределения векторов г и s.
Функция распределения ресурса F,- (Т) связана с вероятностью
безотказной работы Р (t) соотношением B.4), если под отказом по-
понимать достижение предельного состояния, а вектор качества v
отождествлять с вектором повреждений ty. Если предельное состоя-
состояние объекта наступает, когда хотя бы один из его компонентов исчер-
исчерпывает ресурс, то функция распределения ресурса объекта связана
с аналогичными функциями Fn (T), .... FTn (T) для компонентов
формулой типа B.18):
FT(T) =l-U \l-FTh(T)]. E.94)
k=i
Например, если для всех компонентов парциальный ресурс
следует распределению Вейбулла
Fn(T)=\ _ехр[—G/ТА)р] (*= 1 п),
то для объекта в целом по формуле E.94) получаем
FT (Г) = 1 - ехр 1 - ? (TiTLh)h} ¦ E.95)
I. *=i J
Характеристическое значение ресурса, соответствующее кван-
квантили 1 — е~\ удовлетворяет уравнению
2G-/7^=1. E.96)
k=\
При равных показателях Pi = ... — Р„ вместо E.95) получаем
распределение Вейбулла с показателем C.
Рассмотренный случай взаимодействия отвечает норме ||г|э|| E.4)
При v->¦ °°- Приведем некоторые результаты для других способов
выбора нормы. Например, если у = 1, это означает, что исчерпание
ресурса объекта зависит исключительно от суммы i[:i + ••• + Ч"п
мер повреждений его компонентов. Рассмотрим асимптотическое
приближение для меры повреждений. Пусть для каждого из компо-
компонентов плотность вероятности меры 4"/г имеет вид E.34), т. е.
Сумма нормально распределенных величин распределена нормаль-
нормально. Отсюда приходим к распределению E.34) для нормы ||г|)|| и рас-
распределению E.35) для ресурса объекта. При этом ц = цх + ... +
+ цп, v = v1 + ... + vn (по предположению, процессы, протекаю-
протекающие в подсистемах, независимы, поэтому дисперсия суммы равна
сумме дисперсий слагаемых). Итак,
187
Обозначив ци = Tel, где Tck — характеристическое значение
парциального ресурса для й-й подсистемы, получим для медианного
ресурса объекта соотношение
п
+=2
E.99)
Относительно простые результаты получим также для нормы E.4)
с показателем у = 2. При этом для меры повреждений объекта в це^
лом приходим к распределению Уишарта. Конечные формулы для
функции распределения ресурса довольно громоздки, а доступные
таблицы распределений Уишарта отсутствуют, поэтому при 7 = 2
лучше непосредственно вычислять значения функции распределе-
распределения FT (T). Исключение составляет случай, когда параметры рас-
распределений E.97) одинаковы. Тогда для нормы |i|)| получаем нецен-
нецентральное "/-распределение.
Выведем также некоторые формулы для оценки ресурса слож-
сложных систем на основе полудетерминистического метода. Пусть для
каждого из компонентов имеем соотношение типа E.61), связываю-
связывающее меру повреждения срй с псевдоповреждением фЛ:
<М*) = Ы«М0] (k=l,...,n). E.100)
Допустимая область для объекта в целом задана в форме E.5).
Тогда для вычисления характеристического ресурса Т получаем
уравнение
tgV4Vk(T)]=l. E.101)
В частности, при стационарном режиме ф;г = цк t. Если все
функции в правых частях E.100) имеют вид gh = срД где bh —
некоторые положительные величины, то уравнение E.101) прини-
принимает вид
S()VW1. E.102)
fe=i
Уравнение E.102) по структуре сходно с E.96), хотя показа-
показатели pfe и yhbh имеют различное происхождение. Формула E.99)
также следует из уравнения E.102) при yfe6fe = 1. Ресурс, опреде-
определяемый из уравнений E.101) и E.102), является условным Т (г, s).
Эти уравнения задают область интегрирования в формулах E.42),
E.81) и E.83) для безусловной функции распределения FT (T).
5.11. ОБЪЕКТЫ, СОДЕРЖАЩИЕ БОЛЬШОЕ ЧИСЛО
ОДНОТИПНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Некоторые машины имеют агрегаты, насчитывающие боль-
большое число однотипных элементов. Это паровые и газовые турбины,
турбокомпрессоры и турбовентиляторы, диски которых оснащены
большим числом лопаток, атомные реакторы, содержащие большое
188
число тепловыделяющих и теплообменных элементов. В процессе
эксплуатации в отдельных элементах возникают повреждения, равно-
равносильные отказу данного элемента. Этот отказ, называемый в даль-
дальнейшем элементарным, не означает отказа объекта в целом. По мере
увеличения числа поврежденных или отказавших элементов эффек-
эффективность машины снижается и возрастает опасность возникновения
аварийной ситуации. При этом за' предельное состояние машины
принимают состояние, при котором определенная доля элементов
отказала или получила повреждения. Например, лопатки турбо-
машин получают поверхностные повреждения —«забоины» (глав-
(главным образом, от инородных частиц, попадающих в лопаточный
аппарат). Повреждение одной или нескольких лопаток не означает
отказа турбомашины, хотя снижает ее эффективность. Ресурс турбо-
машины считают исчерпанным, когда определенная часть (напри-
(например, 10 %) общего числа лопаток на одном из дисков получают такие
повреждения. Аналогично атомный реактор продолжают эксплуати-
эксплуатировать, пока не откажет примерно 1 % общего числа тепловыделяю-
тепловыделяющих элементов. Рассмотрим задачу прогнозирования ресурса машин
этого типа, полагая, что общее число однотипных элементов весьма
велико, в то время как к моменту исчерпания ресурса относительное
число отказавших элементов достаточно мало.
В общем случае элементарные отказы нельзя считать независи-
независимыми. С увеличением числа отказавших элементов нагрузка на остав-
оставшиеся элементы изменяется в зависимости от последовательности
отказов отдельных элементов. Все это приводит к необходимости
совместно рассматривать непрерывные случайные процессы накоп-,
ления повреждений в отдельных элементах и точечный случайный
процесс, описывающий поток элементарных отказов. При этом воз-
возникают некоторые новые для теории надежности вероятностные
модели.
Различаем два основных типа взаимодействия элементов: взаимо-
взаимодействие в среднем, при котором нагрузка на оставшиеся элементы
распределяется поровну, и локальное взаимодействие, при котором
элементы, находящиеся рядом с отказавшими, испытывают повы-
повышенную нагрузку. При этом в системе можно выделить некоторый
фронт отказов. Для первого типа взаимодействия размещение отка-
отказавших элементов несущественно, что позволяет применить схему
независимых испытаний и вытекающие из нее предельные теоремы.
Для второго типа взаимодействия важна последовательность отка-
отказов вполне определенных, локализованных элементов. Модели
отказов, учитывающие взаимодействие первого типа, назовем диф-
диффузными (рис. 5.8, а), а модели с локальным взаимодействием —
фронтальными (рис. 5.8, б).
Анализ фронтальных моделей труднее, чем диффузных: для
полного описания фронтальной модели на стадии проектирования
необходимо перебрать все возможные ситуации возникновения пер-
первых отказов и движения образовавшихся затем фронтов. Задача
упрощается, когда нужно прогнозировать показатели надежности
вполне определенной системы по результатам текущих наблюдений
189
а)
Рис. 5.8
в процессе эксплуатации. При каждой инспекции размещение фронта
отказов известно, так что задача состоит в прогнозировании продви-
продвижения этого фронта при заданном его положении в начальный момент
времени.
Модели обоих типов рассмотрены в гл. 4 в связи с задачами
механики разрушения. Отдельные зерна или волокна материала
выполняют роль элементов, число которых в образце может быть
весьма велико. Разрушение может происходить как по схеме диф-
диффузной модели [16], так и по схеме фронтальной модели —вслед-
—вследствие развития магистральной трещины [9]. Модели механики раз-
разрушения распространены на прогнозирование показателей надеж-
надежности машинных агрегатов, состоящих из большого числа однотип-
однотипных элементов [23]. При этом рассмотрены некоторые новые вопросы,
представляющие интерес с точки зрения проектирования и эксплуата-
эксплуатации таких машин: установление связи между показателями надеж-
надежности элементов, полученными на основе программных ресурсных
испытаний изолированных элементов, и соответствующими показа-
показателями при работе элементов в системе; прогнозирование остаточ-
остаточного ресурса машин с учетом показателей надежности элементов,
полученных при стендовых испытаниях, данных о предыстории
нагружения и последовательности отказов в данной машине; уста-
установление оптимальных сроков очередных профилактических меро-
мероприятий и снятия оборудования с эксплуатации на основании тех же
данных и т. п.
Рассмотрим объект, состоящий из большого числа однотипных
элементов. Примем вначале, что элементы не взаимодействуют между
собой —отказ одного из них не влияет на условия работы остав-
оставшихся элементов. Отказ системы в целом наступает, когда число
отказавших элементов достигает некоторого критического зна-
значения п%. Обозначим вероятность безотказной работы элемента Ро (/),
полное число элементов в системе N, число отказавших элементов п.
Вероятность Р% (t) события, состоящего в том, что к моменту вре-
190
мени t среди N элементов откажет не более /г элементов, приближенно
определим по схеме Бернулли. С учетом формулы D.13) имеем
P"n (t) =
,/e nN — b
k=\
(О-
Если число N достаточно велико, а число п не очень мало, то
на основании предельной теоремы Муавра—Лапласа распределе-
распределение числа отказавших элементов с достаточной точностью подчи-
подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием и диспер-
дисперсией, определяемыми по формулам
= N[l-P0(t)]; D[n(t)\ = N[l-P0{t)\P0(t). E.103)
Пусть п^ — критическое число элементарных отказов, после
достижения которого эксплуатация объекта должна быть прекра-
прекращена. Поскольку п (t) представляет собой кумулятивный процесс,
введем функцию распределения ресурса объекта FT (Т) = Р \п (Т)>
>«„.}. На основании центральной предельной теоремы для про-
процесса п (t) получаем
(Т) ъ, 1 - Ф
VN[\-Po{T)\Po(T)
E.104)
Формула E.104) связывает распределение ресурса со значениями
Ро (t) функции надежности элементов, полученными при стендовых
испытаниях. Формулы E.103) и E.104) аналогичны формулам D.33)
и D.38) из теории накопления рассеянных повреждений в материале.
Пример 5.9. Приведем результаты статистического моделирования из статьи [23].
Рассмотрены системы из N = 100 элементов, каждый из которых имеет вероятность
безотказной работы Pu (t) = ехр (—tltL). За наступление предельного состояния при-
принято достижение числом отказавших элементов критического значения п* = 25.
Взято 50 статистических выборок по 40 систем в каждой. На рис. 5.9 показаны две
типичные реализации процесса п (t), характеризующие отказы отдельных элемен-
элементов (на рис. 5.9 и далее интервалы по
осям координат укрупнены). Сплошная
кривая получена усреднением по 40 реа-
реализациям одной выборки, штриховая —
результат расчета по первой формуле
E.103).
На рис. 5.10 показаны типичные вы-
выборочные функции распределения ре-
ресурса Ff (T). Сплошная кривая полу-
получена усреднением по 50 реализациям, а
штриховая — по приближенной формуле
E.104).
В работе [23] рассмотрена также бо-
более общая модель, когда элементы взаимо-
взаимодействуют между собой: отказ части из
них вызывает увеличение нагрузки на
оставшиеся элементы. В основу поло-
положено уравнение
dt
tr.
191
O.I 0,2 0.3 0.4 t/tc
Рис. 5.10
0,1 0,4 0,6 0,8 t/tc
Рис. 5.11
аналогичное уравнение D.85) с правой частью D.91) в механике разрушения компо-
композитов. Здесь ij; (/) — мера повреждения элемента; q — полная нагрузка на элемент;
tc — постоянная времени; т и у — положительные показатели. Для параметра
сопротивления г было взято распределение Вейбул.та C.39).
Пример 5.10. На рис. 5.11—5.13 приведены резу ьтаты статистического моде-
моделирования на основе уравнения E.105) [23]. Здесь Ро (t) —вероятность безотказ-
безотказной работы элемента; Яо (t) — интенсивность элементарных отказов; F? (Г) — функ-
функция распределения ресурса для объекта. На каждом рисунке показаны две типичные
реализации, полученные в численном эксперименте для объекта, состоящего из
N = 100 элементов. Всего для численного эксперимента взято 40 выборочных объ-
объектов. Параметры приняты следующие: т = 2; у = 1; га, = 25; показатель в рас-
распределении C.39) а = 1. Штриховые кривые соответствуют расчетным значениям
Ро (t), Xo (t) и FT (T), сплошные — значениям, полученным обработкой численного
эксперимента. .
0,1 0,4- 0.6 0,8 t/tc
Рис. 5.12
0,05 0,1 0,1 S t/tc
Рис. 5.13
192
5.12. ВЫРАБОТКА РЕСУРСА КАК РЕЗУЛЬТАТ
РОСТА ТРЕЩИН
Развитие трещин под действием циклических или длительных
квазистатических нагрузок — одна из основных причин исчерпа-
исчерпания ресурса высоко напряженных элементов: сосудов давления,
трубопроводов и т. п. Различают два источника растущих трещин:
начальные трещиноподобные дефекты, которые почти неизбежны
при самых высоких требованиях к технологическому процессу и
системе контроля качества, и дефекты, возникающие в материале
в процессе эксплуатации. При определенных условиях в результате
объединения этих дефектов образуется зародыш трещины, которая
далее растет по тем же закономерностям, что и трещины техноло-
технологического происхождения. Ответ на вопрос о том, начиная с какого
размера начальный или приобретенный дефект можно рассматри-
рассматривать как макроскопическую трещину, неоднозначен. Естественно
отнести к трещинам и трещиноподобным дефектам все нарушения
непрерывности (пустоты, непровары и т. п.), которые можно обнару-
обнаружить с помощью обычных средств неразрушающего контроля.
Разрешающая способность приборов завися с от их характеристик,
степени доступности данного элемента для осмотра, расположения
и конфигурации трещины и других факторов. При прочих одинако-
одинаковых условиях чем крупнее трещина, тем выше вероятность ее обна-
обнаружения. Рассмотрим лишь трещины размеров больше /„. (/„. — ниж-
нижний порог обнаружения трещины или характерный размер заро-
зародышевой трещины).
Введем вероятностную модель размещения трещин в некоторой
детали или элементе конструкции. В зависимости от конфигурации
тела и расположения трещины различаем одномерные, двухмерные
и трехмерные модели. Так, трещины в сварных швах целесообразно
описывать, используя одномерную модель. Эта модель применима
также для трубопроводов, для которых важно знать распределение
¦трещин по длине. Для коротких тонкостенных трубопроводов больше
:подходит двухмерная модель с размещением трещин по отношению
.к срединной поверхности трубопровода. Аналогичный подход оправ-
оправдан для тонкостенных резервуаров давления. В толстостенных
.деталях и корпусных конструкциях необходимо знать размещение
трещин во всем объеме, а для этого нужна трехмерная модель.
Чтобы не связывать дальнейшие вычисления с размерностью
¦модели, используем обобщенную меру области М, которая в зави-
зависимости от приложений имеет размерность длины, площади или
•объема. Введем также эталонную область, аналогичную эталонному
объему (см. ЗЛ5). Мера этой области Мо, в частности, может быть
равна единице. Например, для сварных швов за эталон естественно
.принять длину Мо = 1 м. Тогда мера М имеет смысл суммарной
длины швов. Для сосудов давления можно принять Мо —- 1 м2.
При сравнении с результатами лабораторных испытаний иногда
целесообразно связывать меру Мо с размерами стандартного образца.
Чтобы не вводить лишние обозначения, символы М, Мо, AM приме-
7 Болотин В. В. 193
няем как для мер, так и для соответствующих областей. В дальней-
дальнейшем полагаем, что область М„ выбрана так, что в ее пределах номи-
номинальное напряженно-деформированное состояние материала можно
считать однородным. Вместе с тем размеры области должны быть
достаточно велики по сравнению с размерами трещин.
Относительно трещин примем предположение, что они в каждый
фиксированный момент времени образуют пуассоновские ансамбли
(многомерные пуассоновские потоки, размерность которых равна
размерности области М). Условия применения пуассоновской модели
хорошо известны. В терминах рассматриваемой задачи эти условия
сводятся к следующим: числа трещин в непересекающихся областях
взаимно независимы; вероятность размещения трещины в области
ЛМ С Л40 зависит только от меры этой области и не зависит от ее
формы; эта вероятность с точностью до малых высшего порядка
пропорциональна мере AM. При этих условиях вероятность раз-
размещения k трещин в области Мп в момент времени t
1-V(t)] (fe-0,1,...), E.106)
где ц (/) — математическое ожидание числа трещин в области Мо
в момент времени t.
Пуассоновские ансамбли обладают устойчивостью по отношению
к довольно широкому классу преобразований, т. е. после преобра-
преобразования ансамбль остается пуассоновским. К этим преобразованиям
принадлежат объединение независимых ансамблей, а также разре-
разреживание (удаление из ансамбля части элементов). Существенно,
что при преобразованиях не должны быть нарушены условия при-
применения пуассоновской модели, в частности условие независимости.
Поясним операцию разреживания на примере выделения из мно-
множества трещин тех, размер которых превышает /. Покажем, что
вероятность размещения в области Мо равно k трещин размером
больше / имеет вид
Qk (/;/)= ^j0 ехр[-ц(/;01 (? = 0,1,...). E.107)
Здесь и, (/; t) — математическое ожидание числа трещин размером
больше /, которое связано с функцией распределения размеров
трещин F (/; t) в момент времени t соотношением
ц (/; 0 = \i(t) [1 - F (I; t)\. E.108)
Учитывая, что по условию трещины взаимно независимы,
возьмем вероятность C'k [1 — F (/; t)]'Fk~'(I; t) обнаружения среди k
трещин / трещин размером больше/. Отсюда вероятность размеще-
размещения в области Мо j трещин размером больше /:
со
Q] (I; t)=%Ci\l-F (/; ttfF"-' (/; t) Qh (().
194
Подставим в это выражение вероятность Qh (t) согласно фор-
формуле E.106). Учитывая тождественное соотношение
iLiO p,_/ (/; t) = J^Lexp Hi(t)F(l; t)\.
придем к формулам E.107) и E.108).
Вычислим вероятность Р (I; t) события, состоящего в том, что
в области тИ нет ни одной трещины размером больше /. Если разме-
размещение трещин в этой области однородное, то математическое ожида-
ожидание числа трещин в ней равно (М/Мо) |.i (/; t). Согласно фор-
формуле E.107) при k — 0 имеем
P(l- t) = exp[—(M/M0)\i(l; t)\. E.109)
Если трещины размещены неоднородно, но свойства ансамбля
меняются достаточно медленно в области М, то вместо E.109) по-
получим
Р (/;/) = ехр Г- \цA; 0 ^] > E-110)
L м J
где \i (/; t) и в общем случае Мо зависят от координатного вектора х.
Чтобы перейти от формулы E.109) к E.110), область М следует
разбить на малые части ЛУИ, использовать формулу E.109) для
каждой подобласти и совершить предельный переход ЛУИ ~>0.
Аналогичные вычисления были приведены в 4В2. и далее примени-
применительно к стохастическим моделям разрушения.
Пусть по условиям эксплуатации предельное состояние насту-
наступает, когда размер хотя бы одной трещины в области УИ достигнет
предельного значения 1^%- Примем, что это значение не зависит
от уровня нагрузки в данный момент времени. Такая постановка
задачи типична для трубопроводов и сосудов давления, где во избе-
избежание течи предельная глубина трещины ограничена толщиной
стенок. Аналогичная ситуация имеет место при расчете силовых
элементов конструкций. Так, в подкрепленных обшивках обычно
допускают трещины, размер которых равен расстоянию между со-
соседними подкрепляющими элементами (при условии, что поврежден-
поврежденные конструкции обладают живучестью и не наложено требование
герметичности). Время Т до достижения предельного состояния этого
типа определяет ресурс данного элемента. Для функции распреде-
распределения ресурса имеем соотношение FT (Т) = 1 — Р A%*; Т), где
Р (I; t) определяем по формулам E.109) или E.110). Отсюда
Формулу E.111) нетрудно обобщить на случай, когда в области М
есть трещины нескольких типов i = 1, ..., /, например, на сварные
трубопроводы, имеющие как поперечные, так и продольные швы.
Эти швы работают в разных условиях, так что закономерности их
роста различны. Кроме того, возможно появление трещин в основ-
7* 195
ном металле. Введем математическое ожидание \it (/; t) числа трещин
в эталонной области Мо и функцию распределения Ft (/; t) длин
трещин (-го типа. Введем вероятность ненаступления предельного
состояния Р (t) = P \lt (f) < /Г; i = 1, ..., /;х( М\, где /¦* —
предельный размер трещины 1-го типа. Учитывая, что формула E.111)
применима для каждого типа трещин в отдельности, найдем функ-
функцию распределения ресурса
FT(T)=\-exp - ? J МГ; Л-дЧ . E.112)
L ,-=1 м ° J
Кроме предположения о пуассоновских свойствах ансамбля тре-
трещин при выводе формул E.111) и E.112) использован монотонный
характер процессов lt (t), а также независимость предельных раз-
размеров трещин от уровня нагрузки в рассматриваемый момент вре-
времени. Таким образом, развитие трещин описано в рамках кумуля-
кумулятивных моделей отказов, иначе пришлось бы рассматривать задачи
о выбросах случайных процессов (см. 5.-14).
5.13. ПРИМЕНЕНИЕ ОБЪЕДИНЕННОЙ ТЕОРИИ
ЗАМЕДЛЕННОГО РАЗРУШЕНИЯ
Применим объединенную теорию зарождения и развития трещин
для вычисления математического ожидания числа трещин и их
распределения по размерам в каждый момент времени. Эти вероят-
вероятностные характеристики полностью задают функцию распределения
ресурса при условии, что исчерпание последнего связано с достиже-
достижением предельно допустимых размеров трещин.
Чтобы не усложнять выкладки и их описание, вначале рассмот-
рассмотрим трещины одного типа, не делая специальных ссылок на размер
области. Номинальное напряженно-деформированное состояние в об-
области считаем однородным. Для описания стадии зарождения тре-
трещины возьмем уравнение типа E.1)
^ = ЫЧ>> Ч)- E-ПЗ)
Правая часть уравнения — неотрицательная функция меры пов
реждений \|з (t) и векторного процесса нагружения q (t). Примем,
что область значений меры повреждений есть [0, оо), т. е. продол-
продолжим общепринятую область значений [0, 1 ] на всю положительную
полуось. Из-за отсутствия четкого истолкования физического смысла
меры ф начальное условие для уравнения E.113) целесообразно взять
в виде г|; @) = \|э0, где г|H — детерминистическая величина. Обычно
принимают ^о = 0-
Рост трещин также опишем с помощью уравнения типа E.1):
l), E.114)
196
где в правой части стоит неотрицательная функция размера тре-
трещины / и процесса нагруженья q (t). Примем для I область значе-
значений U*, /** 1, где /^ — порог обнаружения трещины и (или) харак-
характерный размер зародышевой трещины; /„,„, — предельно допустимый
размер трещины. Если размер трещины в некоторый момент t0 задан,
то начальное условие берем в виде / (t0) = 'о- Если в начальный
момент t = 0 задана плотность вероятности р0 (I) для размеров тре-
трещины, то начальное условие стохастическое: р (/; 0) = р0 (/).
Наиболее существенным положением объединенной теории за-
замедленного разрушения служит гипотеза о наличии связи между
процессами г|з (t) и / (t). При детерминистическом нагружении эга
связь задана формулой C.105), согласно которой математическое
ожидание числа зародышей, а также развившихся из них трещин
есть функция от меры повреждений \р (t) в рассматриваемый момент
времени. Обобщим эту гипотезу применительно к случайным про-
процессам нагружения. Примем, что образование зародышевых трещин
представляет собой пуассоновский процесс. Этот процесс определен,
если задана его интенсивность, равная числу трещин, зарождаю-
зарождающихся в единицу времени. Обсудим два, в общем случае не совпа-
совпадающих, способа обобщения формулы C.105) на случайные условия
нагружения. Согласно первому способу величину \i (t), определяе-
определяемую по формуле C.105), трактуем как условное математическое
ожидание. Для безусловного математического ожидания имеем [14]
F*(t,t), E.115)
где Fty (\|з; t) — функция распределения меры повреждений if> в мо-
момент времени t.
Согласно второму способу образование зародышей размером /^
есть пуассоновский поток, интенсивность которого К (t) удовлетво-
удовлетворяет соотношению
t
J[<p(*)]. E.П6)
Здесь ф (t) — математическое ожидание процесса г|з (t). Функция
/ (ф) в формулах E.115) и E.116) удовлетворяет условиям / @) = 0;
/A) = 1; Пф)^о.
Оба способа имеют общее истолкование: условия \i (f) = 1 и
Ф (t) = 1 означают, что к окончанию испытаний на отрезке [0, t]
почти в каждом образце появится хотя бы одна макроскопическая
трещина. Если процесс \J5 (t) детерминистический, то формулы E.115)
и E.116) приводят к одинаковому результату. Это остается в силе
и при квазидетерминистическом подходе, когда случайный процесс
i|) (t) заменяют его математическим ожиданием. Поскольку операции
усреднения и преобразования с помощью функции / (•) некомму-
некоммутативны, то в общем случае результаты вычислений по форму-
формулам E.115) и E.116) различны (очевидное исключение — линейная
функция). Введем понятие интенсивности зарождения трещин % (t) =
197
= \i' (t). Эту величину можно определять по формуле E.115) или
E.116). Во втором случае из E.116) следует, что
k(t) = ±E\f№(t)\\. E.117)
Пусть q (t) — случайный процесс. Из уравнения E.114) найдем
переходную функцию распределения Ft(l, t\l0, t0). Эта функция
равна вероятности события, которое состоит в том, что трещина,
которая в момент tQ имела размер /„, в момент t > t0 будет иметь
размер не более / ^ /0. Производная от переходной функции распре-
распределения по I есть переходная плотность вероятности pt{l, t\l0, t0).
В общем случае / (t) не является диффузионным марковским про-
процессом, хотя в частных случаях, а также в асимптотическом прибли-
приближении значения процесса / (t) можно связать с некоторым диффу-
диффузионным марковским процессом.
Математическое ожидание числа трещин, размер которых в мо-
момент t больше /, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое равно
математическому ожиданию числа трещин, которые подросли из
начальных:
i
[h (/; t) = \io\ll-Fl (I, 11 /0, to)\ p (loydlo. E-!18)
i,
Здесь \i0 — общее число начальных трещин.
Второе слагаемое есть математическое ожидание числа трещин,
которые образовались из вновь возникших зародышей. Для его
вычисления учтем, что произведение К (t) dt представляет собой
вероятность возникновения одного зародыша на отрезке времени dt
и что начальный размер зародыша равен 1%. Отсюда
t
d^. E.119)
Применим формулы E.118) и E.119) к детерминистическому
процессу нагружения. При этом ф (t) = г(з (t), а общая запись реше-
решения уравнения E.114) с учетом начального условия I (t0) = 10 имеет
вид
/ = L(t\l0, t0). E.120)
В правой части стоит функция L (t\l0, t0), вид которой зависит
от свойств функции fi (I, q) и процесса q (t) в уравнении E.114).
Для переходной функции распределения получаем формулу
0, 1<Щ\10, t0),
Подставив E.121) в формулы E.118) и E.119), вычислим мате-
математическое ожидание полного числа трещин размером больше /:
I T,U.t)
| \
Lo(U) 0
E.122)
198
Здесь Lo (I, t) >¦ l% — функция, которая входит в соотношение
/0 = ^0 (/, t), эквивалентное формуле E.120) при t0 = 0, но разре-
разрешенное относительно начального размера трещины /0. Аналогично
Т% (I, t) есть правая часть соотношения t^ = Т,. (/, t), которое экви-
эквивалентно формуле E.120) при /0 = 1%, t0 = t.M.
Пример 5.11. Для примера возьмем простейшие уравнения
• 1L - с1"/2
' dt ~ tr
dt
E.12.3)
Первое уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения C.109),
а второе при надлежащем выборе параметров сил представляет собой в сущности
уравнение Пэриса—Эрдогана C.100). Пусть q = const. При этом мера повреждений
i|) (t) представляет собой линейную функцию t, так что интенсивность образования
зародышевых трещин — постоянная величина k = t~^(q!r)m. Интегрируя второе
уравнение E.123) при начальном условии / (/0) = /0, придем к соотношению типа
E.120). Запишем его в виде, аналогичном C.116):
Ш <///.) («=2);
- t0)
to
-I /,-,,
Г'4) (n=h 2, ni = n/2— 1).
Отсюда .чегко найдем пределы интегрирования в формуле E.121):
c(t-f0) ( q "¦
L0(L /) =
/ exp —
tc
n^jt — to)
tr
1 1— l/'h
(n--j=2, nx = л/2— 1);
f)" СГ1 -'""О
E.125)
= 2).
Если эти формулы дают L0(l, t) < /„ или Т^ (I, t) < 0, то следует принять
Lo (/, f) — 1„, и 7^ (/, 0 = 0 соответственно.
Рассмотрим подробнее второй интеграл в формуле E.122), равный математиче-
математическому ожиданию числа вновь зародившихся трещин. В данном примере имеем
Н-2 ('; t) = ЯГ^ (/, t). Выразив функцию распределения трещин по размерам через
Ц2 A\ 0, получим F2 (I; t) = 1 — |Х2 (/; /)/(i2 (/^; t). Здесь jx2 (^; <) = Kt — полное
число вновь зародившихся трещин. С учетом E.125) получаем
F2 (/; 0 =
ct
nxct
При достаточно больших значениях / эта формула дает F2 (/; f) > 1. Тогда следует
принять F2 (/; 0=1. Это означает, что существует максимальный размер /, завися-
зависящий от продолжительности процесса нагружения t.
5.14. РОСТ ТРЕЩИН ПРИ СЛУЧАЙНОМ НАГРУЖЕНИИ
До сих пор в основном учитывали два типа случайных факторов,
влияющих на развитие трещин: распределение начальных трещино-
подобных дефектов и распределение моментов зарождения новых
199
трещин. Изучим теперь влияние случайных свойств процесса
нагружения q (t) [14]. Для этого применим асимптотический метод
(см. 5,3—5.5). Пусть уравнения E.113) и E.114) имеют такую же
структуру, что и уравнения E.21):
-5r = AH>/*2[q@];
E.126)
Уравнения E.123) представляют собой частный случай уравне-
уравнений E.126), когда правые части имеют специальный вид.
Сведя уравнения E.126) к квадратурам, с учетом начальных
условий \|з (t0) = т|H и / (t0) = 10 получим
= и('|'о); W(l\lo) = w(t\to). E.127)
Здесь
W(l\lo) = \j~-y E.128)
i i
и (t | g j /*2 [Q (т)] dx; w (t | f0) = J f/2 [q (т)] dx. E.129)
Предполагаем, что все записанные интегралы существуют. Фор-
Формулы E.127)—E.129) представляют собой обобщение формул E.22)—
E.24) на случай ненулевых начальных условий. Не требуем выпол-
выполнения условий нормировки типа ?/A|0) = 1, поскольку в даль-
дальнейшем их не используем. Во втором интеграле E.128) / зэ /„. > О,
так что расходимость интеграла при /0 -> 0 также не служит огра-
ограничением.
Поскольку q (t) — случайный процесс, то функции u(t\t0) и
w(t\t0), определяемые согласно E.129), также случайные процессы.
Пусть к этим функциям применима центральная предельная тео-
теорема для интегралов от случайных процессов (см. 5.;3). Условия этой
теоремы содержат требование достаточно хорошей перемешанное™
процесса q (t). Характерное время тс корреляции этого процесса
должно быть достаточно мало по сравнению с отрезком времени,
на котором производим интегрирование. Поскольку применяем
теорему главным образом для оценки вероятностей, относящихся
к моментам времени tt_ и t^^, то требование перемешанности есте-
естественно представить в виде тс < min {^, ^ — t^]. Тогда для
переходных функций распределения F^ (г|з, t\i\>0, t0) и Ft (I, t\l0, tu)
200
имеют место асимптотические представления E.27). В обозначе-
обозначениях E.128) получаем
\TDimt\U)]
ШП} E.130)
VT>[w(t\tt)]
Дальнейшие вычисления производим по формулам E.115)—E.119),
которые позволяют найти математическое ожидание [х (/, t) числа
трещин размером более /. Затем применяем формулы E.111) или
E.112) для функции распределения ресурса FT (T).
Пример 5.12. Пусть процессы i|) (t) и / (t) описаны с помощью уравнений E.123).
Тогда по формулам E.128)
(/ ОН 4>о) = Ч> - Уо,
(п = 2);
Выражения для W A\ 10) совпадают с правой частью в формуле E.124).
Способ вычисления математических ожиданий Е lu(t\t0)],
Е lw (t\t0)] и дисперсий D lu(t\t0)], D [ш(^|^0)] зависит от свойств
случайного процесса q (t). Пусть этот процесс стационарный, тогда
для математического ожидания от функции и (t\ t0) получим формулу
E[u(t\to)] = (t-t0) | fa(q)p(q)dq, E.132)
где р (q) — плотность вероятности процесса q (/).
Дисперсию выразим по приближенным формулам типа E.31)
и E.32) через корреляционную функцию Kf, (т) процесса /ф2 [q (^)l:
оо
D [и (t\ to)} *.2(t-to)\ Kh (т) dx. E.133)
о
Для корреляционной функции имеем формулу
КU М = J j l/*2 (Qi) - Е [fa (q)]} {fa (qO - E [fa (^r)]} X
D(q) D(q)
X p (qb q2; t) dqx dq2, E.134)
где р (qir q2; т) — совместная плотность вероятности процесса q (t)
в два несовпадающих момента времени t и t + x. Аналогичные фор-
формулы для Е(ш(^|4I и D [ш(*|*0)] получим из E.132)—E.134)
заменой обозначений. Для сильно перемешанного процесса q (t)
можно принять
оо
j E.135)
201
гдет0 — характерное время корреляции процесса q (t). Вместо E.133)
получаем
D [и (t \ t0)] ~ 2 (/ - /0) x,D [fa (q)]. E.136)
Пример 5.13. Рассмотрим циклическое нагружениея (/), описываемое с помощью
стационарного узкополосного нормального процесса с равным нулю математическим
ожиданием и дисперсией о^. Огибающая этого процесса q (t) следует распределению
Рэлея E.66) с параметром qc = crs. Накопление повреждений и рост трещин опишем
с помощью уравнения E.123). При этом аргумент t трактуем как сглаженное число
циклов, а постоянную tz — как базу испытаний. С учетом формул E.66), E.123) и
E.132) найдем
E[u(t\io)} = -Ц=А (-^-)Ш2т''2Г A + т/2). E.137)
tc \ г /
Если принять в E.137) Е [и (t 110) ] = 1, t0 = 0 и / = Т, то получим формулу
E.67) для характеристического ресурса при а = 2.
Дисперсию D [и (t\ t0)] вычислим по формуле E.133). Выражение для совмест-
совместной плотности вероятности огибающей q (t) узкополосного нормального процесса
s (t) в два несовпадающих момента времени t и / -\- % имеет вид
птп-, Ч\-т Яо \ . { о (т) aid* )
Здесь р (т) — коэффициент корреляции между значениями огибающей q (t).
Разложим правую часть формулы в ряд по полиномам Лагерра Ljj (x):
,о/ 4 \
Подставив результат в формулу E.134) и проинтегрировав почленно, найдем
[37]
2
Отсюда окончательно
Постоянные т/, связаны с коэффициентом корреляции процесса q (t) соотношением
оо
Tk = 2 [ p2ft (I) dx. E.139)
б
Если р (т) = ехр (—а | т |), то формула E.139) дает Тд = (ka)'1. При р (т) =
= ехр (—т2/^) имеем %k = %с (я/2^I/2. Полагая, что в разложении E.138) все %k ~
~ тс, и учитывая, что
2 В* = 2'п [Г A + ш) - Г2 A + га/2)|,
4=1
202
Рис. 5.14
0 L-*
получим грубую оценку [15]
, <Ч1 (t~h)xc
D I
1m
-^Л 2т[ГA+т)
E.140)
Приведем некоторые результаты вычислений по формулам E.130), E.131)•
E.137) и E.140). Формулы для Е \w (t\t0)] и D [to (t\ /,,)] получим из E.137) и E.140)
заменой tc на tjc и т на п. Корреляционную функцию Ks (т) процесса s (t) возьмем
в виде Ks (т) = o2s ехр (—а | т |) [cos 9т + (а/0) sin 0 | т | ]. Соответственно коэф-
коэффициент корреляции огибающей р (т) = ехр (—а | т |) с характерным временем кор-
корреляции тс = а'1. Примем следующие численные значения: a tc = 10~2; т = п = 4;
с/| = 10~2. На рис. 5.14 приведены зависимости Fy (v|;; t) = F^ (\p, t \ 0,0), а на
рис. 5.15 — зависимости Fi {I, t\ /„, tt). При /—у оо и фиксированном значении t—1%
асимптотическое приближение функции F[ (I, t\ljs, tt) стремится к пределу в общем
случае, отличному от единицы. Поведение этой функции при /—>¦ со зависит от харак-
характера измененля скорости dlldt с увеличением размера трещины. Если п ^2, то
Fi (I, t\l%. t%)—> 1 при 1—> со и всех конечных значениях t—t^. Подробности
можно найти в работе [14].
Ранее принято, что предельный размер трещины /^ задан детер-
детерминистически. При этом функция распределения ресурса связана
с математическим ожиданием числа трещин формулами E.111)
и E.112). Если искать предельный размер трещины из условия
устойчивости C.97), то следует учитывать его зависимость от уровня
нагрузки q (f) в каждый момент времени. Условие кумулятивности
при этом не выполнено, так что необходимо применять теорию выбро-
выбросов случайных процессов. В такой постановке задача тесно связана
с проблемой остаточной несущей способности и остаточного ресурса
(см. гл. 7).
5.15. ПРОБЛЕМА НАЗНАЧЕНИЯ СРОКА СЛУЖБЫ
И РЕСУРСА
При выборе нормативных показателей долговечности следует
четко различать понятия срока службы Т и суммарной наработки 9.
Основные аспекты этой проблемы рассмотрены в подразд. 1.1, 1.6
и 2.11. Выбор назначенного срока службы 7^ зависит от ряда тех-
технико-экономических факторов: темпов научно-технического про-
прогресса, общего направления экономического и социального развития,
ограничений на трудовые, энергетические и сырьевые ресурсы,
места данной отрасли и данного класса технических объектов в на-
203
родном хозяйстве. В большинстве отраслей назначенные сроки
службы отражают нарастающий темп технического обновления —
наблюдается тенденция к уменьшению назначенных сроков службы.
В некоторых областях, например в инфраструктуре и энергетике,
напротив, наблюдается стремление к продлению сроков эксплуата-
эксплуатации. В связи с сокращением доступных источников жидкого топлива
и требованиями защиты окружающей среды следует по-новому
решать задачу о назначении сроков службы гидравлических и атом-
атомных электростанций, а также тепловых электростанций, располо-
расположенных вблизи крупных месторождений угля. С другой стороны,
наличие этих факторов заставляют осторожнее планировать пара-
параметры транспортных и сельскохозяйственных машин, потребляющих
много жидкого топлива.
Ресурс определяет запас возможной наработки объекта. Как
показатель долговечности ресурс связан со сроком службы через
наработку 9 в единицу календарного времени, характеризующую
техническую эффективность объекта. На стадии проектирования
наработка 9 должна быть задана. Если она постоянна в течение назна-
назначенного срока службы Т, то назначенный ресурс 9^ пропорциона-
пропорционален сроку службы: 8* = 97\.. Если наработка 0 изменяется во вре-
времени, то связь между 0^ и Т# имеет вид
г*
= \Q(t)dt. E.141)
Наконец, если на стадии проектирования наработка 9 — слу-
случайная величина (например, зависит от региона, в который будет
направлена та или иная машина), то при заданном Т% назначенный
ресурс также случайная величина. Его математическое ожидание
Т * оо
E[QJ= { \p(Q;t)QdQdt, E.142)
о о
где р @; t) — плотность вероятности наработки в единицу вре-
времени. Формула E.141) есть частный случай формулы E.142).
Для пересчета срока службы на ресурс (и обратно), кроме нара-
наработки в единицу времени, можно использовать плановую произво-
производительность объекта в совокупности с комплексными показателями
надежности, например коэффициентом технического использования
или планируемого применения, характеризующим долю времени,
в течение которого объект должен находиться в состоянии функцио-
функционирования. Ситуация осложнена тем, что на стадии проектирования,
испытания и доводки роль основного показателя выполняет ресурс.
С точки зрения потребителя срок службы является не менее, а во мно-
многих случаях более важной характеристикой, чем ресурс. Таким
образом, вопрос о назначении сроков службы, ресурса и произво-
производительности следует решать в комплексе; однако по технико-эконо-
технико-экономическому значению первичным показателем долговечности яв-
является срок службы Т.
204
Рассмотрим некоторые экономико-математические модели для
назначения сроков службы. Концепция приведенных затрат [49],
которые адекватно характеризуют эффективность капиталовложений
на первых этапах функционирования объекта, содержит недоста-
недостаточно информации, чтобы на ее основе давать рекомендации по
выбору оптимальных и даже рациональных сроках службы. Понятие
срока окупаемости в общем случае имеет мало общего с назначен-
назначенным сроком службы. Экономико-математическая модель, в основе
которой лежит суммарный экономический эффект, рассматриваемый
как функция срока службы, предложена в [12].
Возьмем целевую функцию
/ (Г) = —С (Т) + П (Г) - Л (Т). E.143)
Первое слагаемое равно взятой с обратным знаком сумме началь-
начальной стоимости объекта. В общем случае оно зависит от времени.
Так, капитальные затраты часто вводят в экономические расчеты
с поправкой, учитывающей отдаленность срока окупаемости. Вто-
Второе слагаемое в формуле E.143) равно разности между стоимостью
произведенной продукции и себестоимостью (в зависимости от целей
расчета — в ценах предприятия, отрасли или общехозяйственных
ценах с учетом амортизационных отчислений или без их учета).
Это слагаемое, называемое в дальнейшем чистой прибылью, вклю-
включает все эксплуатационные издержки, в том числе расходы на тех-
техническое обслуживание объекта. Последнее слагаемое в фор-
формуле E.143) представляет собой взятую с обратным знаком сумму
прямых и косвенных потерь из-за достижения объектом предельного
состояния. Эта величина может включать ликвидационную стои-
стоимость объекта или связанные с демонтажом ликвидационные расходы.
В этом случае обозначаем последнее слагаемое в формуле E.143)
Л (Г+).
С точки зрения рассматриваемой проблемы существенно, что
все три слагаемых в формуле E.143) зависят от параметров объекта.
Кроме того, необходимо учитывать, что прибыль и суммарные по-
потери — случайные функции времени, зависящие как от параметров
объекта, так и от других параметров, которые следует считать за-
заданными. В формулу E.143) входят не эти случайные функции,
а их математические ожидания (знак математического ожидания
опущен для упрощения записи). Для массовых объектов суммарный
экономический эффект / (Т) имеет смысл ожидаемого вклада в на-
национальный доход, приходящийся в среднем на один объект. Для
уникальных и малосерийных машин и сооружений статистическое
истолкование вероятности утрачивает смысл. Здесь вероятностные
характеристики следует отнести к некоторой генеральной совокуп-
совокупности, представителем которой служит данный объект. Математи-
Математическое ожидание и здесь сохраняет смысл меры технико-экономи-
технико-экономической эффективности. В дальнейшем проводим обсуждение при-
применительно к парку массовых объектов, но полученные вероятност-
вероятностные выводы применимы к уникальным и малосерийным объ-
объектам.
205
I
1
Tt Тл Г* Г
3 4 S
т* т
ff)
Рис. 5.16
Сформулируем три подхода к выбору оптимального срока службы
на основе целевой функции E.143). Согласно принципу максималь-
максимального суммарного экономического эффекта оптимальный срок службы
7\ соответствует максимуму этой функции. Отсюда получаем кри-
критерий
7 E.144)
В общем случае функция потерь Л (Т) при Т = Т^ имеет разрыв,
т. е. Л (Т+) Ф Л (Т~). Таким образом, срок службы Т^, определяе-
определяемый из условия
: +), E.145)
т+
в общем случае не совпадает со значением Т^, если критерий E.144)
применен к гладкой ветви кривой 1 = 1 (Т). Третий подход основан
на критерии минимально допустимой рентабельности. Пусть е —
предельный уровень рентабельности, равный максимальному годо-
годовому экономическому эффекту, после достижения которого эксплуата-
эксплуатация объекта нецелесообразна. Так как удобно измерять уровень
рентабельности в безразмерных единицах, отнесем его, например,
к достигнутому значению / (Т). Тогда рациональный срок службы Те
определим из уравнений dl (T)/dT = е/ (Т) или
jL[\nI(T)] = e. E.146)
Введенные понятия пояснены на рис. 5.16, а, где показаны
типичная зависимость / (Г) и значения Т^, Т\ и Те. Поскольку при
Т < Т.м имеем dl (T)ldT > 0, то всегда ГЕ < Т.^ (равенство получим
при 8 = 0). Соотношение между Т^ и Т[ зависит, помимо других
факторов, от величины и знака разности Л (Т+) — Л (Т~). При
достаточно малых значениях е и неполноте информации об этой
функции критерий E.144) предпочтителен.
Если техническое решение выбрано,, то критерии E.144)—E.146)
позволяют выбрать оптимальный или рациональный срок службы.
206
Но эти критерии имеют более широкую область применения. Срок
службы входит в них через функции, характеризующие основные
технико-экономические показатели, которые зависят от проект-
проектных параметров объекта. Таким образом, в общем случае / =
= / (Т, а), где а — вектор проектных технических параметров.
Отсюда приходим к принципу оптимального проектирования
/(Г, а)-»-max, E.147)
Г,а
из которого наряду с оптимальными значениями вектора аА опре-
определим оптимальный срок службы Т^. Уровень надежности Рм,
соответствующий выбранному сроку службы, после этого найдем
однозначно, выразив его через соответствующие значения функции
распределения ресурса FT (T; а) или вероятности сохранения
работоспособности Р (t; а). В последнем случае
Р„ = Р(Т*; а,). E.148)
Применение критерия E.147) проиллюстрировано на рис. 5.16, б.
Для сравниваемых проектов 1—5, которые отличаются начальной
стоимостью Со, приведенные годовые затраты приблизительно оди-
одинаковы. Срок окупаемости каждого последующего проекта больше,
чем у предыдущего. По критерию максимального суммарного эко-
экономического эффекта следует выбрать проект 3 со сроком службы Т^.
Приведенный пример типичен для тех отраслей, где при прочих
равных условиях необходимо стремиться к повышению показателей
долговечности. В отраслях с быстро сменяющимися поколениями
технических решений выбор сроков службы Т.л, Г*2, ... должен быть
согласован с прогнозируемым темпом смены поколений. Решение,
соответствующее критерию типа E.144), при этом может оказаться
далеким от оптимального (штриховая кривая на рис. 5.16, б).
5.16. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Покажем, как выразить целевую функцию E.143) через пока-
показатели долговечности и эффективности. Для определенности рас-
рассмотрим парк массовых объектов, используя связь между статисти-
статистическими оценками и соответствующими вероятностными харак-
характеристиками.
Пусть парк состоит из N объектов. Отнесем целевую функ-
функцию E.143) к одному объекту. Его начальную стоимость в первом
приближении можно считать постоянной: С (Т) = Со = const. Если
необходимо учитывать фактор разновременности затрат, следует
принять С (Т) = Со A + ео)г при Т < То. Здесь То — норматив-
нормативный срок окупаемости; г0 — нормативный коэффициент приведе-
приведения. При Т > Го имеем С (Т) --= С (То).
Рассмотрим второе слагаемое в формуле E.143). Пусть я (I) —
чистая прибыль, полученная в единицу времени (обычно за год)
от эксплуатации одного объекта. Вычислим приходящуюся на один
объект прибыль, полученную всем парком за срок службы Т. Часть
207
объектов имеет срок службы Th < Г, другая часть Тк :» Т. Прибыль
в расчете на один объект определим как
п {Т) = if S J л @ d/ + "ж S Jя @ dL E-149)
Запишем вероятностный аналог формулы E.149). Первый член
в правой части представляет собой статистическую оценку условного
математического ожидания суммарной прибыли на множестве сро-
сроков службы, не превышающих заданного значения Т. Второй член—
статистическая оценка математического ожидания суммарной при-
прибыли на множестве объектов, срок службы которых превышает Т.
Доля таких объектов в генеральной совокупности равна 1 — FT (Т),
где FT (Г) — функция распределения сроков службы. Итак,
вместо E.149) получаем
т
рт @ dt + [ 1 - FT (Г)} j л (/) dt,
о
где рт (Т) = F'T (T). После интегрирования по частям и замены
Fr G1) =1 — Р (Т) приходим к окончательной формуле
т
П (Г) = j л (О Р (/) dt. E.150)
о
Правая часть этой формулы имеет следующий смысл: величина
Р (t) характеризует долю объектов, не исчерпавших ресурс к моменту
времени t, а произведение л (t) dt равно приращению прибыли в рас-
расчете на один объект за отрезок времени [/, t + dt]. Формулу E.150)
можно получить также, используя общие представления теории
надежности (см. гл. 2). Пусть v (/) — процесс изменения вектора
качества с плотностью вероятности /; (v; t). Как объем продукции,
производимой в единицу времени, так и стоимость технического
обслуживания зависят от значения вектора v в данный момент вре-
времени t. Следовательно, л — л (v, t). Математическое ожидание сум-
суммарной прибыли за срок службы Т равно интегралу:
П(Г)= ( И n(v)p(v;t)dt\ dv, E.151)
где внешнее интегрирование производим по допустимой области Q,
т. е. учитываем вклад в суммарный объем продукции лишь тех объ-
объектов, вектор качества которых к моменту Т не покинул область Q
(мы рассматриваем те объекты, которые к моменту Т еще не
выработали своего ресурса). Если производительность не зависит
от вектора v, т. е. л -¦- л (t), то вместо E.151) получаем E.150).
При этом использовано соотношение B.36) с параметрической зави-
зависимостью от времени.
Аналогично оценим среднее значение потерь, связанных с выра-
выработкой ресурса. Пусть L (Th) — сумма прямых и косвенных потерь
208
из-за достижения объектом предельного состояния в момент вре-
времени Tk < T; L+ (T) — сумма потерь (или взятая с обратным знаком
ликвидационная стоимость) для тех объектов, которые проработали
до назначенного срока службы Т. Среднее значение потерь в расчете
ла один объект
А (Г+) = -I- ? L (Th) г 4- S L+ (Г>- E-152>
Th<T Tk>T
Вероятностный аналог формулы E.152) имеет вид
+(T). E.153)
При L (t) = L — const вместо E.153) получим
Л G+) = LQ (Т) + Р (Т) L+ (T). E.154)
В формулах E.152)—E.154) вторые слагаемые учитывают скачок
функции / (Т) при плановом списании оставшихся объектов (см.
рис. 5.16, а). При определении назначенного срока службы на
основе критериев E.144) или E.146) с использованием гладкого
участка функции / (Т) вторые слагаемые в указанных формулах
следует опустить.
Применим критерий E.144) для случая С = Со — const. Подста-
Подстановка E.150) и E.153) в формулу E.143) дает
т
I(T) = - Co -f J [я (/) Р (/) - L (/) рг (/)] dt.
о
Продифференцировав правую часть по Т и приравняв производ-
производную нулю, придем к уравнению л. (Г) Р (Т) -г L (Т) Р' (Т) = 0
для определения оптимального срока службы Т* и соответствующего
уровня надежности Р%. Это уравнение эквивалентно следующему:
f л (i).dt
1.A)
E.155)
При заданных функциях Р (t), л (t) и L (t) достаточно вычислить
интеграл в правой части и разрешить уравнение E.155), например,
графически. При я = const и L = const правая часть имеет простой
вид ехр (—лТ/L). Если Тс — характерный срок службы (например,
медиана распределения) и дТе ~ 1, то Т* ~ Тс, причем Р^ ~ 0,5.
С увеличением размера годовой прибыли я и (или) уменьшением
функции потерь L оптимальное значение Т* увеличится, а соответ-
соответствующее значение Р* уменьшится. Уменьшение л и (или) увели-
увеличение L приводит к противоположному эффекту.
Рассмотренная ситуация довольно редкая. Обычно вопрос об
оптимальном сроке службы и уровне надежности возникает вместе
с задачей о выборе других технико-экономических параметров.
В этом случае необходимо использовать более общий критерий
E.147).
209
ПП/ж
1 -
Рис. 5.18
Пример 5.14. Для модельного
примера рассмотрим случай, когда
все свойства системы включены
в один параметр — математиче-
математическое ожидание срока службы.
Пусть распределение срока службы
аппроксимировано нормальным рас-
распределением с математическим ожи-
ожиданием Тс и средним квадрати-
ческим значением ат < Тс, а на-
начальная стоимость и функция
потерь зависят только от Тс. За-
Задача состоит в том, чтобы найти
Т и Тс, при которых функция / (Т, Тг) имеет максимум. На
й С L 6 + 0,1^
Рис. 5.17
значения р р фу )
рис. 5.17 приведены результаты вычислений при С =¦= L= я /0,6
= 0,5. Кривые на рис. 5.17 и 5.16, б имеют одинаковый характер. Максимум функции
/ (Т, Тс) расположен вблизи Т — 4,75, Т,- = 5,0. В общем случае при фиксирован-
фиксированных Тс оптимальные значения ГЛ несколько меньше математических ожиданий
срока службы, а Р^ -¦- 0,65 ... 0,8 (рис. 5.18).
5.17. ФОРМИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ПАРКОВ
И СРОК СЛУЖБЫ МАССОВЫХ МАШИН
Вопросы, связанные с назначением срока службы массовых объек-
объектов (сельскохозяйственных, транспортных и дорожно-строительных
машин, типовых зданий и сооружений и т. д.), следует решать с уче-
учетом числа объектов, которые должны находиться в эксплуатации
в течение рассматриваемых отрезков времени, включая, если необ-
необходимо, и длительную перспективу. Для определенности рассмотрим
парк машин. При больших размерах парка интерес представляет про-
проблема его оптимизации, управления процессами пополнения новыми
машинами, ремонта и обеспечения запасными частями. Постановка
и пути решения этой проблемы зависят от многих технических,
экономических и организационных факторов и должны решаться
с учетом народнохозяйственных планов и специфики отрасли. Один
из факторов, который существенно влияет на формирование парка
210
и его оптимальные размеры, — долговечность машин, образующих
парк. При заданных размерах парка этот фактор играет определя-
определяющую роль при назначении требуемого числа новых машин, числа
машин, направляемых на ремонт и подлежащих списанию. Эти
вопросы можно рассматривать в достаточно общей форме без привле-
привлечения специфических особенностей отрасли.
Рассмотрим модели больших машинных парков. Математический
аппарат для решения поставленных задач тесно связан с одним из
разделов теории случайных процессов — теорией восстановления
[24, 31 ]. Родственные задачи рассматривают в теории надежности,
теории массового обслуживания и теоретической демографии. Однако
задачи формирования машинных парков, имеют и существенные
отличия от рассмотренных ранее прикладных задач теории восста-
восстановления.
В основном обсудим модели для дискретного времени, что соот-
соответствует общепринятой практике планирования, когда за период
принимают один год, отражающий сезонный характер процессов
эксплуатации и капитального ремонта ряда массовых машин. При-
Примером служит агросезон для сельскохозяйственной техники. Случай
непрерывного времени получим предельным переходом.
Рассмотрим вначале самую простую модель, когда машины
эксплуатируют до достижения предельного состояния, после чего
списывают. Размер машинного парка в k-m сезоне обозначим N (k),
число новых машин, поступающих к началу этого сезона, п (k);
число машин, списанных в конце сезона, \i (k). Текущее техническое
обслуживание не учитываем. Предположим, что в течение сезона
размер парка постоянный (чтобы учесть его изменение, следовало бы
ввести в пределах сезона дополнительный аргумент — непрерывное
время). Вероятность Р (k) сохранения работоспособности по крите-
критерию предельного состояния для произвольной машины полагаем
заданной. Параметры п (k) считаем детерминистическими (заданными
или искомыми) величинами. Параметры N (к) и u. (к) в общем случае
случайные. Если размеры парка достаточно велики, то дисперсия
этих величин относительно мала, что позволяет при решении при-
прикладных задач отождествлять случайные величины с их математи-
математическими ожиданиями. При необходимости можно вычислить их
дисперсии и другие параметры распределения.
Определим математическое ожидание размера парка при заданных
значениях п A), п B), ... . К началу первого сезона N A) = п A).
Математическое ожидание размера парка к началу второго сезона
Е [N B) ] = п A) Р A) 4- п B), к началу третьего сезона Е [.V C) ] =
= и A) Р B) 4- п B) Р A) + п C) и т. д. Для /г-ro сезона имеем
b[N(k)\=Iin{j)P{k-j) (^ = 1,2,...). E.156)
/i
Формулу E.156) можно трактовать как дискретный аналог ин-
интегрального уравнения теории восстановления. Для математического
211
ожидания числа машин, подлежащих списанию после k-vo сезона,
получаем
Е [[а (&)]= S я (у) [Р (к — у) — Р (k — у + 1)] (&=1,2,...). E.157)
Если размеры парка jV (I), Af B), ... заданы, то для нахождения
необходимого числа новых машин достаточно сделать в E.156) за-
замену Е [N (k)] = N (k) и решить систему уравнений относительно
п A), п B), .... В результате приходим к рекуррентным соотноше-
соотношениям
к—\
п (k) = N (k) - 2 п (/) ^ (й - /) (* = 2> 3,...), E.158)
В общем случае планируемый размер парка — переменная вели-
величина. Представляет интерес найти стационарное решение системы
E.156) при k ->oo, когда влиянием истории формирования парка
можно пренебречь. Приняв в E.156) Е \N (k)} — N = const; n (/) ¦=
= п —- const и k —>¦ оо. получим
оо
N-^n^P(j). E.159)
/=о
Бесконечная сумма в правой части равна математическому ожи-
ожиданию Е [/] срока службы машины в единицах дискретного времени.
Отсюда приходим к формуле для числа новых машин, необходимого
для пополнения парка в стационарном режиме,
n = N/E[l\. E.160)
Эта формула имеет очевидный смысл, а ее математическое содер-
содержание соответствует одной из основных теорем теории восстановле-
восстановления [24 ]. Если период пополнения парка т достаточно мал по сравне-
сравнению с математическим ожиданием Е [Т\ срока службы, измеряемого
в единицах непрерывного времени, то сумму E.160) аппроксимируем
интегралом
оо оо
V D • 'Г А Е [Т]
/=о о
Вместо формулы E.160) получаем
п = Мт/Е[Т\. E.161)
Пример 5.15. Возьмем экспоненциальный закон надежности Р (t) = ехр (—"ht),
где К= const. Непосредственное вычисление дает
/=о
Отсюда по формуле E,160) находим число машин для пополнения парка в стацио-
стационарном режиме:
п ~= N [1 —ехр (—Ад)]. E.162)
212
При Vt < 1 примем 1 — ехр (—Хт)м n(k)/N
та кх, что приводит к результату, кото-
который согласуется с формулой E.161).
Для изучения процесса выхода на
стационарный режим следует использо-
использовать соотношения E.158). При экспонен-
экспоненциальном законе надежности, назначив
размер пополнения парка согласно фор-
формуле E.162), выходим на стационарный
режим сразу же после первого сезона.
Это является следствием свойств про-
процесса восстановления, описываемого экс-
экспоненциальным законом. В общем случае
установление происходит тем быстрее,
чем меньше математическое ожидание
срока службы. На рис. 5.19 показан f Ю к-1
процесс установления величины п при
Р (t) = ехр [ <t/t)V]. Расчеты прове- Рис- 5.19
дены при у = 2 и трех значениях tc/x.
Штриховые линии соответствуют стационарному приближению E.161) для непре-
непрерывного случая.
В большинстве отраслей машины, выработавшие ресурс, под-
подлежат капитальному ремонту, т. е. возможно их возвращение в парк.
Однако эти машины, как правило, обладают более низкими показа-
показателями долговечности, чем машины заводского исполнения. Часть
машин подлежит списанию и, следовательно, в парк не возвра-
возвращается. Рассмотрим модель формирования парка, в которой учтена
возможность многократного возвращения машин после капиталь-
капитального ремонта. Для простоты примем, что списание и направление
в ремонт происходит после окончания предыдущего сезона, а состав
парка формируется к началу следующего сезона. В дополнение
к обозначениям, введенным ранее, обозначим: \i,n (k) — число машин,
отказавших в k-ы сезоне после m-кратного ремонта; ут (k) — число
машин, находящихся в составе парка в течение k-ro сезона и про-
прошедших m-кратное восстановление. Кроме того, введем параметр
ат (/), который равен доле машин от числа исчерпавших ресурс,
поступивших впервые в парк к началу /-го сезона и возвращаемых
в него после m-кратного восстановления.Для вероятности сохране-
сохранения работоспособности машины, прошедшей m-кратное восстановле-
восстановление, используем обозначение Рт (k — I \ /). При этом аргумент I
равен номеру сезона, когда машина последний раз была возвращена
в парк, а аргумент / указывает первый сезон ее работы, т. е. «воз-
«возраст» машины. Вычислим математическое ожидание размера машин-
машинного парка с учетом возвращения в парк после ремонта. К началу
эксплуатации имеем N A) = п A). Математическое ожидание размера
парка к началу второго сезона определим по формуле Е [N B) ] =
= п A) Р A) + «! A) п(\) [1 — Р A) ] + п B). Первый член в пра-
правой части учитывает машины, сохранившие работоспособность, вто-
второй — восстановленные машины, последний — машины второго по-
поколения. Общую формулу целесообразно записать в виде
E[N(k)\ = ? E[vm(k)] (k -2, 3,...). E.163)
m=0
213
Для математического ожидания числа машин заводского испол-
исполнения, сохранивших работоспособность до &-го сезона, включая
вновь поступившие машины, имеем формулу типа E.156):
k
E[vo(*)]=IJi(/)^(*-/) (?=1,2...). E.164)
/=i
В состав парка войдут машины, побывавшие в ремонте один раз.
Математическое ожидание их числа
а—1 k
Е К (к)} = ? а, Ц) п (/) 2 [РA- / - 1) - Я (/ - /)} />, (* - /1 /)
(/г = 2, 3, ...). E.165)
Для машин, побывавших в ремонте т раз, имеем рекуррентное
соотношение
k—m
Е [vm (k)} = 2 «« (/ + m - 1) E [v«_x (/ + m — 1)] X
(m= 1, 2, ...; k = m~\- 1, m + 2, ...). E.166)
При этом Po (I \ j) = P (I).
С помощью формул E.163)—E.166) можно решать различные
задачи формирования и управления парками. Например, пусть
размеры парка заданы, а требуется найти необходимый размер
пополнения. Заменим в формуле E.163) математическое ожидание
Е [N (k)} заданной функцией N (k), характеризующей изменение
размера парка во времени. Для размера пополнения получаем фор-
формулу
*—1
п (k) = N (k) - Ц Е [vm (/г)] F = 2,3, ...). E.167)
m=0
Математические ожидания, входящие в правую часть, вычислим
по формулам E.164)—E.166). Аналогично решим задачи о распре-
распределении машин внутри парка по «возрасту», о числе машин, подле-
подлежащих списанию и т. п.
Рассмотрим подробнее случай, когда предусматривают одно-
однократное восстановление, т. е. машины списывают после вторичного
исчерпания ресурса. Подстановка E.167) в формулы E.164) и E.165)
дает рекуррентные зависимости
А—1 ft^-1
п (k) ¦¦= tf (*) - 2 « (/) Р (k - i) - 2 «(/') n (/) X
X2 [P(i-i-i)-P(i-i)\Pi(k-i\j) (k = 2, 3,...), E.168)
где индекс у ах (/•) опущен.
Найдем решение, соответствующее стационарному режиму. Для
этого обратим направление отсчета времени путем введения новых
214
индексов суммирования /L = k — / и lY — k — /. Формула для
Е [Л' (k) ] принимает вид
А—1 *—1
Е [Л/ (jfe)| = S»(* - /i) p <Л) - Ь S «(* - А) "(* - /V) X
/.=1
x Ii \P(jx-h- i)-P(ii-ii)\
A - Д).
Приняв E\N (k)] --= N = const; n (k) = n = const; а (/г) =
= a = const и Pi (/i j k — /]) -> Pi (li), найдем связь между Мип
при k -> сю:
JV = ra ? jP(/)-raS \P(j-l)-P(!-l r OJPi(o) E-169)
/=0 I (=0 J
При т < Е[Т] имеем непрерывный аналог этого соотношения:
E.170)
Как и в случае, когда возвращение в парк восстановленных
машин не предусмотрено, выход на стационарный режим происходит
тем быстрее, чем скорее затухают функции Р (t) и Р, (t), т. е. чем
меньше показатели долговечности машин. Правая часть формулы
E\ 170) приобретает четкий вероятностный смысл, если учесть, что
аргументы t и tx представляют собой «обращенное» время. При Р (t) =
= exp (—Kt), P, (t) ¦= exp (—Kt) формула E.170) дает
п -= Мх (Т ]- ocTj). E.171)
Здесь Т ^ ПК и Тх --= IX, -— соответственно математические ожида-
ожидания сроков службы машин заводского исполнения и восстановленных
машин.
Формулу E.171) можно также получить, учитывая, что средний
срок службы машин с учетом их восстановления равен Т + а7\.
Однако простой и наглядный ре-
результат есть следствие того, что
мы приняли экспоненциальный
закон надежности. В других слу-
случаях результат может не допу-
допускать такого наглядного истол-
истолкования.
Пример 5.16. Рассмотрим формиро-
формирование машинного парка по плану
N — N (k), показанному на рис. 5.20.
Примем, что после первого исчерпания
ресурса все машины поступают в капи-
капитальный ремонт, т. е. a ---¦ 1. После
вторичного исчерпания ресурса машины
подлежат списанию. Для функций на-
надежности возьмем выражения Р (/) ¦--
215
го
0,5
1
1 п (к)
1 \
N(k)
М2 (К)
5
Рис. 5.20
10
= exp [—(tit,-J} и Р1 (/) = exp [—(tltciJ], где tc и /cl — постоянные. Вычисления,
результаты которых приведены на рис. 5.20, выполнены при tc -- 6т; tn = 4т.
При этом k = th; n (k) — размер пополнения парка; \i^ (k) — число машин, от-
отправленных в ремонт; ц2 (k) — число машин, подлежащих списанию (все величины
отнесены к одному сезону продолжительностью т). В установившемся режиме, ко-
который наступает приблизительно при k^> 10, имеем п (k) « fij (k) яа 0,Ш (ею),
Hij(fc) «0.2ЛГ (оо).
В рамках рассмотренных моделей сформулируем несколько эко-
экономико-математических задач. Одна из них состоит в следующем:
найти оптимальные значения срока службы, при которых ежегодные
затраты на возобновление парка в установившемся режиме мини-
минимальные. Обозначив стоимость одной машины с, запишем условие
оптимальности в виде пс -> min. Если машины подлежат восстано-
восстановлению и частичному возвращению в парк, то в критерий оптимиза-
оптимизации следует ввести стоимость восстановления. При однократном
восстановлении в качестве условия оптимальности принимаем п (с +
+ асх) -> min, где сх — стоимость восстановления одной машины.
В принципе оптимизацию следует проводить по широкому классу
параметров, включающих эксплуатационные и технические харак-
характеристики. Допустим, что все они допускают совместный учет путем
сведения к двум определяющим параметрам — математическим
ожиданиям сроков службы Т и 7\. Тогда с = с (Т) и сх = cY (T, 7\).
Для невосстанавливаемых машин критерий оптимизации с учетом
формулы E.161) принимает вид
с (Т)/Т^ min. E.172)
т
Для однократно восстанавливаемых машин, если в основу для
вычисления п положить формулу E.171), получаем критерий
[с (Т) + ас1 (Т, 7^I/G + а7\) -+ min. E.173)
г,г,
До сих пор считали производительность и другие технические
параметры всех машин одинаковыми и неизменными во времени.
Эти факторы можно учесть аналогично тому, как это было сделано
применительно к уникальным техническим объектам. Если парк
состоит из машин одинакового назначения, но различной произво-
производительности (мощности, грузоподъемности), то возникают задачи
о назначении оптимального формирования парка и сроков службы
с учетом разнородности парка. Покажем, как обобщить на этот
случай формулы типа E.156)—E.160). Пусть W (k) — планируемая
производительность парка; wt — производительность машин /-го
типа (/ = 1, ..., L), п1 (/) — число машин 1-го типа в /-м сезоне;
Pj (I) — их функция надежности по отношению к исчерпанию ре-
ресурса. Вместо E.156) получаем
Е ?«/(/) w,P,(k-j) (k=l. 2
216
В установившемся режиме при ElW (k)] = W = const, щ (/) =
= И; = const, ? -> оо приходим к формуле типа E.159):
00 Z,
W = Yi U HiWiPi(j)- E-174)
/---¦О Г1
Соотношение E.174) — дополнительное условие при оптимиза-
оптимизации парка по критерию минимальных ежегодных затрат. Например,
для невосстанавливаемых машин вместо E.172) получим
L
X¦rifl1Tl~*- min, E.175)
/^ i
где Тъ ...,Tt — математические ожидания сроков службы машин
/-го типа. Варьируемыми параметрами в E.175) служат величины
пъ ..., nL и Т,, ..., TL, которые входят также в соотношение E.174).
6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
БЕЗОПАСНОСТИ И РИСКА
6.1. БЕЗОПАСНОСТЬ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ
Обеспечение безопасности машин и конструкций — составная
часть проблемы надежности. Под безопасностью понимаем надеж-
надежность по отношению к жизни и здоровью людей, состоянию окружа-
окружающей среды. Создание крупных инженерных систем, а также по-
повышение мощностей, сосредоточенных в единице оборудования и
единице объема, делает проблему безопасности машин и конструкций
все более актуальной. Разрушение крупного гидроузла, авария на
атомной электростанции, сопряженная с крупными радиоактивными
выбросами, разрушение трансконтинентального газопровода или
нефтепровода по социальным, экономическим и экологическим по-
последствиям может стать бедствием не только национального, но
и международного масштаба.
Практически все крупные инженерные сооружения рассчитаны
на срок эксплуатации 25—50 лет, а иногда и более. Очевидно, фак-
факторы риска для таких систем связаны с продолжительностью эксплу-
эксплуатации: с одной стороны, аварийные нагрузки и воздействия яв-
являются функциями времени, с другой стороны, выработка ресурса,
которая сопровождается износом и старением, снижает сопротивля-
сопротивляемость по отношению к аварийным нагрузкам и воздействиям.
К этому следует добавить, что требования безопасности часто вы-
выступают в качестве ограничений на ресурс и срок службы. Это проис-
происходит, когда требуемый уровень безопасности нарушается до дости-
достижения предельного состояния вследствие физического или мораль-
морального старения. Ограничения из-за требований безопасности играют
особенно важную роль при оценке остаточного ресурса. Таким
образом, проблема безопасности машин и конструкций тесно связана
с проблемой ресурса и срока службы.
Методы, применяемые для оценки показателей безопасности
машин и конструкций, во многом аналогичны методам прогнозиро-
прогнозирования ресурса. Основное различие состоит в том, что аварийные
ситуации связаны с весьма редко встречающимися нагрузками
и воздействиями, а нормативные показатели безопасности по отно-
отношению к таким ситуациям должны быть весьма близки к единице.
По сравнению с задачами прогнозирования ресурса и срока службы
в расчетах на безопасность широко используем вероятностные модели
редких событий.
Разобьем причины возникновения аварийных ситуаций на три
группы.
1. Редкие стихийные воздействия, не предусмотренные в усло-
условиях нормальной эксплуатации (сильные землетрясения, ураганы
218
и штормы, наводнения, оползни, глуоокие просадки грунта, падения
метеоритов и т. д.). Относительную частоту воздействия можно
охарактеризовать средним периодом повторяемости, т. е. математи-
математическим ожиданием отрезка времени между двумя смежными собы-
событиями на рассматриваемой площадке. Воздействие считают редким,
если средний период повторяемости значительно превышает плано-
плановый срок службы. Этот критерий носит достаточно субъективный
характер. В некоторых нормативных документах события со средним
периодом повторяемости 100 лет относят к категориям редких при
назначенном сроке службы, составляющем 25 и даже 50 лет.
2. Редкие сочетания природных и (или) эксплуатационных на-
нагрузок и воздействий, а также редкие сочетания природных воздей-
воздействий с эксплуатационными отказами. Примером служит сочетание
сильных волновых и ветровых нагрузок на суда и морские сооруже-
сооружения при одновременном отказе системы электроснабжения, двига-
двигательных установок и т. п. Другой пример — действие сильной
ветровой нагрузки на высокое гражданское или промышленное зда-
здание в условиях пожара, когда несущая способность конструкции
понижена.
3. Грубые ошибки при проектировании, изготовлении, транс-
транспортировании, монтаже, эксплуатации и демонтаже конструкции
(неверный выбор расчетной схемы, грубое нарушение правил техни-
технической эксплуатации, грубые отклонения от проекта при изготовле-
изготовлении и строительстве и т. п.). К этой группе причин аварийных си-
ситуаций следует отнести также действия (как преднамеренные, так
и непреднамеренные) людей, которые не имеют непосредственного
отношения к рассматриваемой конструкции.
Статистика аварий показывает, что если исключить из рассмотре-
рассмотрения разрушения вследствие сильных землетрясений, то приблизи-
приблизительно 80 % аварий принадлежат к третьему типу. Для уменьшения
числа аварий, связанных с деятельностью людей, разработана широ-
широкая система мероприятий: многократная проверка проектной доку-
документации и расчетных материалов, контроль качества на всех стадиях
изготовления и возведения, инструктаж обслуживающего персо-
персонала по правилам техники эксплуатации и техники безопасности
и др. В принципе доля данной категории аварий должна быть све-
сведена до нуля. Природные воздействия и, отчасти, их сочетания
с эксплуатационными нагрузками не поддаются контролю, так что
достаточный уровень безопасности по отношению к этим воздей-
воздействиям должен быть обеспечен на стадии проектирования. В даль-
дальнейшем рассмотрим методы оценки показателей риска по отношению
к первым двум группам воздействия.
В последнее время появились работы [89, 118], посвященные
методологии учета грубых ошибок. Однако содержание этих работ
ограничено весьма простыми моделями. Спектр возможных челове-
человеческих ошибок столь многообразен и широк, что преждевременно
говорить о расчетных способах их количественного учета. Как пра-
правило, конструкция, обладающая высокими показателями безопас-
безопасности по отношению к природным воздействиям, обнаруживает
219
большую устойчивость и по отношению к ошибочным действиям
людей в процессе эксплуатации. Меры повышения безопасности по
отношению к природным воздействиям — повышение системной на-
надежности (дублирование и резервирование), выбор материалов,
обладающих более высокой пластичностью и трещиностойкостью,
выбор конструктивных схем, обладающих живучестью, т. е. способ-
способностью нести нагрузку при наличии отказавших элементов, — одно-
одновременно способствуют снижению риска, вызванного ошибками
людей.
6.2. ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОПАСНОСТИ И РИСКА
Основные количественные показатели безопасности аналогичны
в математическом отношении соответствующим показателям в теории
надежности. Назовем функцией безопасности S (t) вероятность слу-
случайного события, состоящего в том, что на отрезке времени [0, t]
ни разу не возникнет аварийная ситуация. Таким образом,
s(o = p{v(x)e qs; те [о, щ, F.1)
где вектор v (t) может совпадать с вектором качества, входящим
в определение B.1) для вероятности безотказной работы. Область
безопасности Qg в этом случае включает в себя допустимую область
Q по отношению к эксплуат?ционным отказам и предельным состо-
состояниям. Дополнение функции безопасности до единицы
Я @ = 1 - S (t) F.2)
назовем функцией риска. Аналогично интенсивности отказов B.10)
введем интенсивность риска (удельный риск)
h (t) = Я' (t)/[l - Я (/)] = —S' (t)/S (t). F.3)
Поскольку уровень безопасности должен быть весьма высок,
то с большой точностью в формуле F.3) можно принять 1 — Н (t) =
= S @ « 1. Тогда
h (t) « Я' (t) = —S' (t). F.4)
Обычно время t при оценке риска исчисляют в годах. В этом
случае h (t) имеет смысл годового риска. Введем также средний
годовой риск h (T) = Я (ТIТ. Пусть, например, h = const =
= Ю-5 1/год; Т = 50 лет. Тогда Я (Г)_= 0,5-10, S (Т) = 0,9995.
Показатели риска типа Я (t), h (t) и h (t) широко используют в гра-
гражданской авиации [61, 124]. В последние годы их начали применять
при нормировании безопасности оборудования атомных электро-
электростанций [85].
Введенные показатели отнесены к одной машине или конструк-
конструкции. Пусть N — численность парка машин или число однотипных
конструкций, находящихся в одновременной эксплуатации. Введем
показатели для парка машин. Функция безопасности для парка из N
машин, очевидно, SN (t) = SN (t). Отсюда
HN(f)=l-[l-H(t)]»*NH(t). F.5)
220
Приближенное равенство записано в предположении, что NH (/) <^ 1.
Аналогично hN (t) « Nh (t) и hN (t) « Nh (t). Если размер парка
уменьшается из-за исчерпания ресурса, то в момент времени / чис-
численность машин будет N [1 — FT (?)]. Здесь FT (t) — значение функ-
функции распределения ресурса Т при Т = t. Отсюда удельный риск
для парка машин hN (t) w N [1 — FT (t) ] h (t), а полный риск
~FT{x)\h(x)dx.
о
Формула F.6) иллюстрирует связь между показателями безопас-
безопасности и надежности, поскольку FT (Т) = 1 — Р (t), где Р (t) — функ-
функция надежности по отношению к предельным состояниям.
6.3. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
БЕЗОПАСНОСТИ
Статистическая теория для оценки показателей безопасности
и риска конструкции была предложена, по-видимому, впервые авто-
автором A959 г.) применительно к сейсмическому риску. Пусть потен-
потенциальным источником аварийной ситуации служат случайные со-
события, например сильные землетрясения, ураганы или штормы.
Разобьем эти события на классы Фх ... Фт, которые могут отличаться,
например, уровнем интенсивности воздействия. Так, при описании
сейсмических воздействий интенсивность обычно задают с точностью
до 0,5—1 балл. Нормы расчета сооружений и оборудования пред-
предусматривают расчет на два или три типа сейсмических воздействий
различной интенсивности (например, проектное землетрясение и ма-
максимальное расчетное землетрясение в нормах проектирования атом-
атомных электростанций). В зависимости от уровня воздействия по-
разному назначают область допустимых состояний и соответству-
соответствующие расчетные схемы, что служит дополнительным аргументом
в пользу разбиения событий на классы. Кроме того, события могут
иметь различные источники или различную физическую при-
природу.
Предположим, что события каждого класса образуют случайные
потоки с известными вероятностями осуществления события на
заданном отрезке времени. Обозначим Qo (Ф,-; t) вероятность того, что
событие Е ? Ф;- ни разу не осуществится на отрезке времени [0, t].
Вероятность осуществления события Е ? Ф^ на отрезке [0, t] k раз
обозначим Qh (Ф,-; t). Потоки событий, принадлежащих различным
классам, считаем статистически независимым (ниже рассмотрим
более общую вероятностную схему). Пусть 5(Ф;-) — вероятность
того, что авария не наступит при осуществлении события Е ? Ф;-.
Эта вероятность имеет смысл условного показателя безопасности.
Пренебрегая влиянием повреждений, вызываемых предшествующими
событиями, и учитывая независимость потоков события из различ-
различных классов, вычислим функцию безопасности S (t) как полную
221
вероятность того, что аварийная ситуация ни разу не возникнет на
отрезке [0, t]:
5 @ = П [Qo (фу, t) + ? 5* (Ф,) Qk (Фу /)]. F.7)
/=i k=\
Для очень редких событий формулу F.7) можно существенно
упростить. Предположим, что Qh (Фу, t) С Qi (Ф;; t), где k ^ 2.
Это значит, что возможностью двухкратного, трехкратного и других
повторений событий одного класса пренебрегаем. Формула F.7)
принимает вид
где индекс у Qx (Ф^; t) опущен.
В том же приближении Qo (Фу, t) « 1 — Q (Фу, t). Введя услов-
условный показатель риска Я (Ф;) « 1 — S (Ф7), вместо F.8) получим
формулу для функции риска
H(t)^f,H(Oj)Q{d>j;t). F.9)
В предложенной модели множество классов событий принято
счетным (необязательным конечным — необходимо, чтобы соответ-
соответствующие произведения и суммы сходились). Принадлежность со-
события к одному из классов может служить количественным показа-
показателем интенсивности события. Например, в расчетах на сейсмические
воздействия принята определенная практика округления интенсив-
ностей (например, с точностью до 0,5 балла). В более общем случае
целесообразно различать события по интенсивности в пределах
каждого класса. Охарактеризуем интенсивность событий случайным
вектором s с известной плотностью вероятности р (s). В общем слу-
случае на стадии проектирования сопротивление конструкции воздей-
воздействию также следует задавать с точностью до случайного вектора г.
Обозначим Н (Ф,- | г, s) показатель риска по отношению к событию
Е ? Ф7-, найденный при условии, что воздействие задано при фикси-
фиксированном значении вектора s, а конструкция имеет свойства с за-
заданным вектором г. Показатель безопасности S (Ф;-), входящий
в формулы F.7) и F.8), вычислим как
S (Ф,) = 1 - J J Я (d>j | г, s) P (г, s) &х ds, F.10)
D(r,s)
где р (г, s) — совместная плотность вероятности векторов г и s.
Интегрирование в формуле F.10) проводим по всей области
возможных значений г и s. В частном случае, когда все события
принадлежат одному классу (т = 1) и являются очень редкими,
вместо F.8) получим формулу
S(Q«Qo(O + Q(*)[l ~\\H(r,s)p(r, s)drds],
D (r, s)
в которой для упрощения записи указание на аргумент Ф^ опущено.
222
Вычислим показатели безопасности с учетом повреждений, на-
"копленных в процессе нормальной эксплуатации. Пусть известна
плотность вероятности р (v; t) для значений вектора качества v,
причем в рассматриваемый момент ресурс не выработан, т. е. v (/) ?
? Q. Введем условную функцию безопасности 5 (ср,- | v) по отно-
отношению к событиям класса Ф^ при заданном значении вектора v.
Интеграл
| S (Ф} | v) р (v; t)dv--=S (Фу, t)
равен вероятности безопасной работы при условии, что в момент
времени t наступит событие класса Ф;-. Пусть существует производ-
производная hj(t) = dQ(Oj\ t)ldt, имеющая смысл интенсивности потока
событий Е ? Ф;-. Тогда в приближении типа F.8) получим
5 @ « П
F.11)
6.4. ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ
Рассмотрим пуассоновский поток событий Е,, Е., ... с вероят-
вероятностью осуществления k событий на отрезке [0, t):
Ph(t) --^ехр(-М) (* = 0,1,...) F.12)
Здесь К = const — интенсивность потока событий; обратная вели-
величина 0 = 1/А имеет смысл среднего периода ожидания (среднего
времени возвращения события).
Для пуассоновского потока вероятность наступления ближай-
ближайшего события, начиная с некоторого момента времени t, не зависит
от того, в какой момент времени наступило предшествующее собы-
событие. Иначе, справедливо соотношение Р \Е; t | tk\ = Р \Е; t\,
если t > th. Это свойство противоречит физическим представлениям
о подавляющем числе природных явлений. Тем не менее эта веро-
вероятностная модель находит широкое применение вследствие крайней
простоты. Эта модель однопараметрическая, что особенно удобно при
обработке статистических данных небольшого объема.
Примем, что все т классов событий образуют независимые пуас-
соновские потоки, интенсивности которых Kj в общем случае раз-
различны. Формула F.12) дает
(kpl(-V) (/=1,-. т; k = 0, 1,...). F.13)
Подставим F.13) в F.7). Поскольку
= ехР IM
к-Л
223
введя условный риск Я(Ф;), получим [5]
S @ = ехр [ - ? ijtH (Ф,) ] F.14)
Если KjtH (Ф;) <?; 1 при всех / и всех рассматриваемых t, то из
формулы F.14) следует простая формула для функции риска:
Н @ « II Я/Я (Ф;-). F.15)
/=1
Формула F.15) полностью соответствует формуле F.9) при
Q (фу, t) & у.
До сих пор полагали все Kj = const, что соответствует однородным
пуассоновским потокам. Рассмотрим несколько более общий слу-
случай, когда интенсивности К}- зависят от времени. Введем накоплен-
накопленную интенсивность
t
Xj (t) = j %} (x) dx. F.16)
0
j
0
Вместо формул F.13) имеем
(/=1,..., m; k = 0. 1,...). F.17)
Подставив F.17) в F.7), получим обобщение формулы F.14)
на случай неоднородных пуассоновских потоков:
S (t) = ехр
т -I
- 2 -V0 н (Ф}) \. F.18)
6.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РАСЧЕТНЫХ
НАГРУЗОК И ВОЗДЕЙСТВИЙ
Инженерные расчеты конструкций на безопасность почти исклю-
исключительно основаны на концепции коэффициентов запаса. В простей-
простейшем случае, когда воздействие задано параметром s, а соответству-
соответствующее сопротивление — параметром г, расчетное условие берут в виде
s < г/п. F.19)
Здесь п — коэффициент, который в расчетах на экстремальные (ава-
(аварийные) ситуации называют также коэффициентом безопасности
(п > 1).
Расчеты строительных конструкций производят по дифферен-
дифференцированным коэффициентам запаса
)- F.20)
В левой части формулы стоит расчетное воздействие, получаемое
суммированием нормативных воздействий slt s.2, ..., умноженных
на коэффициенты запаса по воздействиям, в правой части — расчет-
224
ное сопротивление, которое вычисляют как функцию Ф (•) от нор-
нормативных сопротивлений компонентов ги г2, ..., умноженных на коэф-
коэффициенты запаса по сопротивлениям. Кроме того, вводят дополни-
дополнительный коэффициент безопасности п, учитывающий условия работы
конструкции, степень ее ответственности и характер последствий при
наступлении гипотетической аварии. Введение дифференцированных
коэффициентов в принципе позволяет более обоснованно подходить
к расчетам конструкций. Однако реализовать это преимущество
трудно из-за отсутствия достаточного количества статистических
данных о нагрузках, материалах и условиях работы конструкции,
а также из-за неумения применять адекватные модели и методы
вероятностного анализа. Поэтому практика назначения норматив-
нормативных величин в значительной степени основана на опыте эксплуата-
эксплуатации. Составители норм часто ориентируются на интегрированный
коэффициент запаса п в формуле F.19), поскольку эта величина
в значительной степени отражает этот опыт.
В последнее время наблюдается тенденция к снижению запасов
по материалам и компонентам конструкций. Причина состоит, по-
видимому, в общем повышении уровня технологии и контроля ка-
качества, что приводит к большей однородности конструкционных
материалов и почти полному исключению дефектов, которые могут
повлечь за собой последствия аварийного характера. Еще одна
причина — усовершенствование методов расчета: уточнение рас-
расчетных схем, рассмотрение большего числа расчетных случаев и т. п.
Это особенно заметно в расчетах на безопасность по отношению
к воздействиям, среднее время повторения которых имеет порядок
срока службы конструкции или существенно его превышает. Так,
нормы расчета оборудования и трубопроводов первого контура
атомных реакторов электростанций на сейсмические воздействия
предусматривают повышение допускаемых напряжений по сравне-
сравнению с номинальными допускаемыми напряжениями в расчетах на
нормальные условия эксплуатации. При этом допускаемые на-
напряжения приближаются к пределу текучести материала (точнее,
к браковочному минимуму, установленному стандартами и кон-
контролируемому заводами-производителями). Необходимый уровень
безопасности по отношению к сейсмическим воздействиям обес-
обеспечен надлежащим выбором экстремального расчетного землетрясе-
землетрясения, т. е. уровнем расчетных нагрузок.
Обсудим проблему назначения экстремальных расчетных воз-
воздействий и нагрузок на основе общей теории риска (см.
6,2—6.4). Пусть воздействия на конструкцию образуют в медлен-
медленном масштабе времени независимые потоки случайных собы-
событий Ejh, где первый индекс / = 1, ..., т обозначает номер класса
воздействий Ф7-, второй — номер события во временной после-
последовательности Eji, Ej.,, .... Внутри каждого класса Ф7- разли-
различаем воздействия по значениям вектора Sj. Размерности векторов s^
и плотности вероятности р} (Sj) для различных классов Фь ..., Фт
в общем случае неодинаковы. Задача состоит в том, чтобы найти
значения векторов s*, ..., s*,,, для которых вероятность покомпо-
*/г8 Болотин В. В. . 225
нентного превышения не должна превышать за срок службы Т
заданного значения. Эта величина аналогична полному риску Н (Т),
вводимому с помощью формул F.1) и F.2) при t = Т. Однако пол-
полный риск конструкции есть вероятность возникновения аварийной
ситуации, в то время как здесь мы рассматриваем вероятность того,
что параметры воздействий и нагрузок не превысят заданный уро-
уровень. Свойства материалов, узлов, соединений, реакцию конструкции
на воздействия при этом не рассматриваем. В дальнейшем, по воз-
возможности, не будем применять термин «риск» по отношению к экс-
экстремальным воздействиям и нагрузкам, вместо него введем термин
«обеспеченность», который широко используют при изучении волно-
волновых и ветровых нагрузок [30]. В прикладной сейсмологии упо-
употребляют термин «сейсмический риск», понимая под ним вероятность
землетрясения, сила которого превышает заданное достаточно высо-
высокое значение.
Пусть Qj — область в пространстве значений вектора Sj, выбран-
выбранная так, чтобы значения на границе Г, = dQj соответствовали
расчетным воздействиям. Введем обозначение
F.21)
для вероятности пребывания вектора s, в области й; для произ-
произвольного воздействия из класса Ф7-. Эта вероятность аналогична
условному показателю безопасности S (Ф,-) [см. формулу F.7) и др. ].
Для вероятности выполнения условий s;- ? Q;- для любого значения
E)k при t ? [0, if] применим формулу F.7):
1 F-22)
Здесь Qh (Фу; Т) — вероятности осуществления k воздействий из
класса Ф,- на отрезке [0, Г] (k = 0, 1, ...). Дополнение функции
F.22) до единицы равно обеспеченности для совокупности значений
s*, ..., s'm векторов Si, ..., sm. Обозначим нормативную обеспечен-
обеспеченность б*. Уравнение относительно расчетных нагрузок имеет вид
S(s;,...,s')=l-e.. F.23)
В частности, для редких воздействий формула F.7) допускает
упрощение F.9). Вместо общего уравнения F.23) получаем
?(,(;Г)==ея, F.24)
/=»
где вероятности Р (Q;-) находим по формуле F.21).
Если потоки воздействий — пуассоновские, то с учетом формулы
F.14) имеем
е.). F.25)
226
При этом функция риска в F.14) заменена дополнением до еди-
единицы вероятности F.21). Наконец, если все векторы s; — одномерные
со значениями Sj и функциями распределения Fj (Sj), то при Qj —
= \s/ : s/ < s*\ имеем Р (й/) = Fj (s*). Следовательно,
Роль неизвестных в уравнениях F.23)—F.26) выполняют компо-
компоненты векторов sf, ..., Sm- Число неизвестных, таким образом,
равно общему числу независимых компонент этих векторов. Урав-
Уравнение же каждый раз получаем одно. Этот факт является централь-
центральным во всей проблеме сочетания нагрузок, что уже отмечалось
в связи с прогнозированием ресурса на стадии проектирования
(см. гл. 5). Примером служат штормовые нагрузки на суда и морские
сооружения (например, на платформы для разработки континен-
континентального шельфа). Эти нагрузки характеризуют по меньшей мере
четыре параметра: расчетная высота волн, расчетный период или
расчетная длина волны, средняя расчетная скорость штормового
ветра, расчетная скорость порывов ветра. Фазы сильного ветра
и сильного волнения не обязательно совпадают во времени.
В общем случае не существует единственного решения задачи
о нахождении детерминистических нагрузок, расчет на которые обес-
обеспечивал бы заданные показатели надежности для конструкций,
находящихся под действием случайных нагрузок. Этим можно объяс-
объяснить существенные расхождения между рекомендациями норм раз-
различных стран и (или) различных ведомств к вопросу о выборе коэф-
коэффициентов сочетаний нагрузок. Для устранения неопределенности
нужно дополнить уравнения типа F.23)—F.26) соотношениями,
образующими вместе с этими уравнениями замкнутую систему.
Проблема сочетания нагрузок и воздействий составляет один из
наименее изученных разделов теории надежности машин и конструк-
конструкций. Вернемся к этой проблеме несколько позднее, а пока рассмо-
рассмотрим случай однопараметрического воздействия.
6.6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
НАГРУЗОК
Пусть все векторы s;- — одномерные с компонентами s, имеющими
одинаковый физический смысл и играющие роль единственного
параметра, с точностью до которого задано воздействие. Примером
служат максимальные ускорения на некоторой площадке от земле-
землетрясений, происходящих в различных очаговых областях. При этом
класс воздействия Ф;- характеризует очаговую область, в то время
как максимальное ускорение учитывается в расчете независимо от
его источника. Уравнение F.26) принимает вид
т
g kjT[\ - Fj (s.)] = -In A - eJ. F.27)
227
При заданных Kj и Т это уравнение имеет единственное решение
относительно расчетного параметра s*. Если m = 1, то решение
уравнения F.27) может быть выражено явно через обратную функ-
функцию F'1 (•), где индексы у ^ и функции распределения [F (s) опу-
опущены:
l/ F.28)
Для пуассоновского потока однопараметрических воздействий
имеем также простую формулу для функции распределения F^s*; T)
максимального за срок службы Т значения параметра s:
F,(st;T)^exp{-KT[l-F(sJ]}. F.29)
Функция F (s) характеризует распределение максимальных зна-
значений параметра s среди множества всех интенсивных воздействий.
Естественно ограничить область определения параметра s снизу
s is s0 и использовать для F (s) одно из асимптотических распределе-
распределений максимальных значений [32]. Центральное место среди асимпто-
асимптотических распределений занимает распределение Фреше — Фи-
Фишера — Типпета
F(u) = ехр (-«-«), и >0, F.30)
где a ss 1.
В размерной форме это распределение имеет вид
F(s) = exp[-s?/(s-so)a], s>s0 F.31)
с характерным значением sc > 0 параметра s. Подстановка F.31)
в формулу F.29) дает
Ft (s,; Т) = ехр(-%Т)\\- ехр [ -s?/(st - so)a]}). F.32)
При и~~а < 1 функцию распределения F.30) целесообразно аппро-
аппроксимировать первыми двумя членами разложения экспоненты в ряд
по и~а. Распространив результат разложения вплоть до значения
и =* 1, получаем распределение Парето
р(а) = 1—4-*, и>\. F.33)
Это распределение можно трактовать как самостоятельную веро-
вероятностную модель для случайных величин, ограниченных снизу.
Сравнение распределений F.30) и F.33) проведено на рис. 6.1.
Сплошные кривые построены по формуле F.30), штриховые — по
F.33). Чем больше а, тем при меньших значениях и > 1 расхождение
между двумя типами распределения можно считать пренебрежимо
малым. Целесообразно также сравнить квантили распределений.
Уравнение F (и) = у для распределения F.30) имеет решение м~а =
= —1П y, что при е = 1 — у С 1 отличается от соответствующего
решения для распределения F.33) на величину порядка е2. Относи-
Относительная погрешность по квантилям составляет, таким образом,
величину порядка г/а.
Перепишем распределение F.33) в размерной форме:
F (s) = 1 - s?/(s - so)a; s > s0 + sc. F.34)
228
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 5,0 5,5 4,0 и
Рис. 6.1
Подставив F.34) в формулу F.29), получаем функцию распре-
распределения максимальных значений параметра s за срок службы Т:
s*; Т) = ехр [-
- so
>'s0 + sc
F.35)
Таким образом, вновь пришли к распределению Фишера —
Типпета F.30), что свидетельствует о самосогласованности предла-
предлагаемых моделей. Для вычисления расчетной нагрузки, имеющей
заданную обеспеченность (вероятность превышения за заданный
срок Т), равную е*, имеем формулу типа F.28):
s* = s0 + sc I— ХТ/Щ\ - е,)]1'». F.36)
Значения нагрузки, соответствующие двум разным срокам
службы (или временам наблюдения) 7\ и Тъ а также двум разным
уровням обеспеченности ех и е2, связаны соотношением
S*2 —
— в2)
ln(l-Ei)
F.37)
При e«1 в формулах F.36) и F.37) можно сделать замену
In A — е) я« —е. Это приводит к зависимости «корень степени а»
для расчетных нагрузок как по отношению к сроку службы Г, так
и по отношению к обеспеченности е^.
Рассмотрим другое асимптотическое распределение максималь-
максимальных значений:
F (и) = ехр [— ехр (—иа)]; и > 1.
F.38)
Здесь по-прежнему показатель а^> 1, однако смысл и численные
значения а в формулах F.30) и F.38) в общем случае различны.
При а = 1 получаем из F.38) двойное экспоненциальное распре-
распределение (распределение Гнеденко — Гумбеля [32]). Назовем распре-
распределение F.38) обобщенным двойным экспоненциальным. Формула
F.38) — асимптотическая и имеет смысл, лишь при достаточно боль-
больших значениях и. Пусть иа ^> 1. Разложив внешнюю экспоненту
229
Болотин В. В.
в степенной ряд и удержав два члена, аппроксимируем распределе-
распределение F.36) в области больших и следующим образом:
F (и) « 1 - ехр (— и?. F.39)
Таким образом, пришли к распределению Вейбулла.
В общем случае распределение Вейбулла описывает асимптоти-
асимптотическое распределение минимальных значений случайной величины,
ограниченной снизу. В задачах механики разрушения это распре-
распределение использовано в прямом соответствии с его вероятностным
смыслом, т. е. в области достаточно малых значений и. Здесь исполь-
используем ветвь этого распределения, расположенную в области больших
значений и. Погрешность от замены обобщенного двойного экспо-
экспоненциального распределения распределением Вейбулла оценим, срав-
сравнивая квантили распределений F.38) и F.39). Решение уравнения
F (и) = у для первого случая дает иа = —In (—In у) = —In [e +
+ О (е2)]. Во втором случае иа = —In e. Следовательно, при малых
s погрешность от замены обобщенного двойного экспоненциального
распределения на распределение Вейбулла имеет порядок (по кван-
квантилям), равный е (a In e).
Запишем распределение F.39) в размерной форме:
F(s)=l- ехр [— (s - so)a/sf\; s > s0. F.40)
Здесь s0 ^ 0; sc >¦ 0.
Подстановка F.40) в F.29) дает
F* (s,; Г) = ехр {-^Техр [- (s, - so)a/s?]}. F.41)
Таким образом, получили двойное экспоненциальное распределе-
распределение типа F.38) для максимальных значений нагрузки за срок службы
Т. Для расчетной нагрузки с заданной обеспеченностью е* имеем
s* = So + sc {-In [- In A - eJ/(KT)]\V*. F.42)
Отсюда при е* С 1 найдем отношение нагрузок, соответству-
соответствующих различным значениям Т и б*:
s«i-s0
В отличие от формул F.36) и F.37), эти формулы выражают
«корень степени а — логарифмический» закон для расчетной на-
нагрузки. Формулы F.37) и F.43) позволяют пересчитывать нагрузки
с одного срока4 службы (времени наблюдения) на другой, а также
с одного уровня обеспеченности на другой. При е* С 1 расчетные
нагрузки остаются практически неизменными, если ТУе* = const.
В качестве более конкретной модели рассмотрим воздействие,
которое представлено в виде отрезков стационарного эргодического
нормального процесса продолжительностью хЕ. Обозначим значения
процесса g(t), 'его математическое ожидание s0, дисперсию a'q. Пусть
процесс q (t) дифференцируемый, тогда дисперсия а| его первой
230
производной q (t) существует. Совместная плотность вероятности
процесса q (t) и его производной имеет вид
F.44)
За параметр нагрузки s примем максимальное на отрезке тЕ
значение процесса q(t). Для математического ожидания К (s) числа
превышений процессом q (t) заданного уровня s в единицу времени
возьмем формулу B.79). В обозначениях F.44) получаем
где ае = Oq/aq — эффективная частота процесса q(t).
Предположим, что (аехЕ > 1 и характерное время корреляции
процесса q(t) мало по сравнению с хЕ. Для вероятности непревыше-
непревышения уровня s > s0 за отрезок времени %Е используем приближенную
формулу B.62). Эта вероятность равна функции распределения
максимальных значений процесса q (t) для наугад взятого воздей-
воздействия данного класса
F.46)
Получили обобщенное двойное экспоненциальное распределение
типа F.38) с показателем а = 2. При высоких уровнях s аппрокси-
аппроксимируем это распределение с помощью распределения Вейбулла
с тем же показателем:
F.47)
Для расчетного значения нагрузки, имеющей уровень обеспечен-
обеспеченности в*, на основе распределения F.46) получаем довольно гро-
громоздкую формулу
= So + с, [2 in {- |nll + ,^l№r,i} ]"!, F.48)
которая при е^. < 1, т. е. при переходе к распределению F.47),
допускает существенное упрощение [5]:
s* « s0 + Од \ 2 In [а>вт?ЛЛBяв„,)] 11'2. F.49)
В правую часть формулы F.49) входит безразмерный комплекс
(оетЕ^772яв*, включающий параметры различного происхождения:
продолжительность воздействия хЕ, его эффективную частоту юе
и характеристику повторяемости X, срок службы Т конструкции
и обеспеченность расчетной нагрузки s^. Формула F.49) выражает
«корень квадратный — логарифмическую» зависимость расчетной
нагрузки от перечисленных параметров, что представляет собой
частный случай более общего закона F.43).
До сих пор считали все параметры распределения F.44) задан-
заданными детерминистически. Принимая, что некоторые из них — слу-
8* 231
чайные величины, получим соотношения для расчетных нагрузок,
отличные от F.48) и F.49). Пусть, например, параметр aq процесса
q (t) имеет полунормальное распределение E.65) с плотностью вероят-
вероятности
где а0 > 0, <х„
Р(°с)={ —
>0.
2 \1/2
Эффективную частоту сое считаем детерминистической величиной.
Плотность вероятности F.44) и математическое ожидание числа
выбросов F.45) относятся к условным процессам при фиксированном
значении aq. Обозначив условное математическое ожидание числа
выбросов К (s
теристику
aq), вычислим соответствующую безусловную харак-
= ]X(s\oq)p(oq)dor
Подстановка сюда выражений для К (s | aq) и р (oq) приводит к ин-
интегралу, который можно найти в явном виде. Окончательно имеем
•So
Сто
F.50)
Таким образом, вместо F.46) получаем классическое двойное
экспоненциальное распределение, вместо F.47) — экспоненциальное
распределение, а вместо
«корень квадратный — ло-
логарифмической» зависимо-
зависимости расчетной нагрузки
от основных параметров
модели — логарифмиче-
логарифмическую зависимость. Отме-
Отметим мало известный факт:
математическое ожидание
числа редких выбросов
нормального процесса со
средним квадрэтическим
значением, следующим
закону полунормального
распределения, убывает
экспоненциально с увели-
увеличением уровня. Формулы
F.47) и F.49), справедли-
справедливые в области редких вы-
выбросов, не изменят своего
вида, если принять, что
продолжительность воз-
воздействия %Е есть случай-
случайная величина. При любом
законе распределения этой
232
о
In h In w
Ml
з
4 5 6
Рис. 6.2
I
В 10 11 IS 10 h,
величины, не зависящем от
остальных свойств воздей-
воздействия, достаточно заменить
величину Tg ее математиче-
математическим ожиданием.
Выбор вероятностной мо-
модели для конкретного типа
нагрузок основан как на
представлениях о физиче-
физической природе и свойствах
этих нагрузок, так и на ста-
статистическом анализе резуль-
результатов наблюдений. Простей-
Простейший способ обработки —
нанесение опытных точек на
вероятностную бумагу, функ-
функциональные шкалы которой
выбраны таким образом,
чтобы точки, отвечающие
выбранному типу модели,
ложились около некоторой
прямой. Два параметра рас-
распределения нетрудно оце-
оценить по параметрам прямой. °
Роль третьего параметра
обычно играет пороговое
значение s0. Его целесооб-
целесообразно с самого начала исклю-
исключить, нанося на вероятност-
вероятностную бумагу разности s — s0.
Пример 6.1. Обработаем данные работы [32], относящиеся к ветроволновому
режиму одного из районов Каспийского моря. На рис. 6.2 результаты наблюдений
нанесены кружками на вероятностную бумагу для распределения Фреше—
Фишера—Типпета F.30). По оси абсцисс отложены значения In Я и In w, где h —
высота волны, м; w — средняя скорость ветра, м/с. По оси ординат отложены зна-
значения— In (—In у), где у—значения функции распределения F.30). При доста-
достаточно больших значениях h к w опытные точки лежат вблизи прямых с угловыми ко-
коэффициентами ад = 8,5 иоя= 18. При малых h и w отклонения от прямолинейной
зависимости существенны, что и следовало ожидать, поскольку формула F.30)
описывает асимптотическое распределение максимальных значений. Кроме того,
мы обрабатываем в сущности не статистику сильных штормов, а результаты режим-
режимных наблюдений. Чтобы улучшить согласие с теоретическим распределением F.30),
перестроим графики, выбрав нулевые уровни h0 = 5 м и wa = 18м/с и пере-
перенормировав эмпирические частоты применительно к усеченному распределению.
Кружки, соответствующие этим результатам, расположены вблизи прямых с угло-
угловыми коэффициентами, близкими к а = 2.7. Экстраполяция этих прямых на уровень
обеспеченности &t = 1 —Т* = Ю~3 Дает расчетные значения А„ = 15 м и ш, =
= 32 м/с.
На рис. 6.3 приведены результаты обработки с использованием распределения
Вейбулла F.39). По оси ординат отложены значения In (—In е), где е= 1 —у.
Как и следовало ожидать, во всем диапазоне воздействий распределение Вейбулла
непригодно. В области больших h и w наиболее подходящей является аппроксимация
с помощью прямых с угловыми коэффициентами ah = 0,95 и аш = 1,9. Усечение
233
5 6 8 10 П 16 h,w
Рис. 6.3
выборки при нулевых уровнях h0 = 5 и w0 = 18 м/с не улучшает согласия
с распределением F.39). Аппроксимирующие прямые на вероятностной бумаге
почти параллельны и имеют угловые коэффициенты, довольно близкие к а = 1.
Это приводит к двойному экспоненциальному распределению для экстремальных
нагрузок. Экстраполируя прямые до уровня обеспеченности е,, = 10~3, получаем
расчетные значения ft* = 11 м и w, = 27 м/с, что существенно отличается от значе-
значений, полученных с использованием распределения Фреше—Фишера—Типпета. Это
показывает, что нужно соблюдать осторожность при экстраполяции результатов из-
измерений экстремальных нагрузок на малые е и (или) большие Т,
6.7. УЧЕТ РЕДКИХ СОЧЕТАНИЙ НАГРУЗОК
И ВОЗДЕЙСТВИЙ
Редкие сочетания природных и (или) эксплуатационных нагру-
нагрузок служат одним из источников аварийных ситуаций, что делает
проблему сочетаний составной частью теории риска. Рассмотрим
следующие основные аспекты этой проблемы: выбор расчетных
сочетаний для многопараметрических нагрузок и воздействий, оценка
риска одновременного осуществления двух или большего числа
редких воздействий, назначение расчетных эксплуатационных на-
нагрузок, действующих в сочетании с редкими экстремальными воздей-
воздействиями.
Задача определения расчетных детерминистических нагрузок,
эквивалентных с некоторой обеспеченностью многопараметрическим
случайным нагрузкам, не имеет однозначного решения (см. 6,5).
Для устранения неопределенности в соотношениях типа F.23) необ-
необходимо использовать дополнительные условия. Общий подход к ре-
решению проблемы сочетаний дан в работе [22]. В качестве дополни-
дополнительного условия предложен критерий оптимизации, дающий воз-
возможность из всего множества сочетаний нагрузок выбрать един-
единственное расчетное сочетание. Соответствующая конструкция будет
в определенном смысле оптимальной, например, обладать мини-
минимальной массой. Такой подход к проблеме сочетания нагрузок,
в сущности, сводит ее к другой проблеме — оптимизации конструк-
конструкции по некоторому признаку.
Другой метод, предложенный в работе [45 ] в связи с вероятно-
вероятностным заданием сейсмических воздействий, состоит в том, что среди
всех параметров воздействий выбирают ведущий, который в наи-
наибольшей степени определяет реакцию конструкции (в задачах сей-
сейсмостойкости это, как правило, максимальное ускорение грунта).
Расчетное значение ведущего параметра, соответствующее заданной
обеспеченности, можно найти однозначно. Расчетные значения
остальных параметров находят из принципа максимального правдо-
правдоподобия. Таким образом, расчетное сочетание нагрузок — это то,
в котором ведущий параметр обладает заданной обеспеченностью,
а остальные параметры равны наиболее вероятным значениям при
найденном значении ведущего параметра.
Более общий метод состоит в том, что из бесконечного множества
сочетаний параметров выбирают конечное, но достаточно представи-
представительное множество. Пусть векторы s1( ..., sm заданы с точностью
до п параметров sb ..., sn, которые^считаются независимыми функ-
234
ционально, но, вообще, связаны стохастически. Образуем из этих
параметров вектор s с я-мерной совместной плотностью вероятности
р (s). Введем также парциальные плотности вероятности ph (sh),
где k = 1, ..., п. Рассмотрим поочередно каждый из параметров sh
как ведущий, остальные как сопутствующие. Обозначим вектор,
составленный из сопутствующих параметров, sh. С учетом плотностей
ph (su) при k — 1, ..., п найдем значения ведущих параметров s*i, ...
... , Snn , имеющие заданную обеспеченность е*.
Значения сопутствующих параметров найдем из принципа макси-
максимального правдоподобия. Условная плотность вероятности для
сопутствующих параметров при заданном значении sk = s*kk веду-
ведущего параметра связана с плотностями р (s) и ph (Sk) соотношением
в числителе правой части которого стоит результат подстановки
в выражение для р (s) найденных значений sk. Отсюда приходим
к условиям для вычисления сопутствующих параметров s^:
p(s)\Sh=4k^max (k=l п). f6-51)
В результате получаем п независимых сочетаний \s*;, ...,
..., Sni], где / = 1, ..., п. Если сопутствующие параметры не свя-
связаны стохастически с ведущим параметром, то их расчетные значения
просто совпадают с наиболее вероятными парциальными значениями.
Поясним процедуру на примере двухпараметрического воздей-
воздействия. Расчетное значение s*\ найдем как корень уравнения
%Т [1 — F± (sx)] = —In A — е^). Для нахождения сопутствующего
параметра s^i, используем условие F.51), которое в данном случае
принимает вид p(s*i, S2) -*¦ max. Расчетное значение параметра sh
во втором сочетании найдем из уравнения кТ [1 — F2 (s2) I =
= —In A ¦— ej, а сопутствующее значение sh — из условия р (si,
S22) -> max. Итак, получили два расчетных сочетания jsfi, sJij
и {sh, S22J. Их фактическая обеспеченность связана с совместной
функцией распределения F (sb s2) формулой
е = 1 — ехр {— XT ll—F (sL, s2) ]}. F.52)
Учитывая, что F (s1, s2) < nun \FX (sj, F2 (s2)}, приходим к вы-
выводу, что е ^г е^.
Рассмотрим случай, когда параметры sx и s2 независимы. На
рис. 6.4 приведены кривые совместной плотности вероятности
р (su s2) = px (sj) p2 (s2), парциальных плотностей вероятностей ру (s^
и р.г (s.2), а также плотностей вероятности рг (sx; Т) и р2 (s2; T) экстре-
экстремальных значений параметров за срок службы Т. На двух последних
графиках заштрихованы области, соответствующие заданному
уровню обеспеченности е*. Способ получения расчетных сочетаний
{sfi, s|i| и \s*2, S22} понятен из чертежа. На плоскость su s.2 нанесена
кривая, соответствующая решению уравнения F.52) при заданном
е — е^, имеющая асимптоты si = s*i и S2 = s|2. О расхождении между
235
Рис. 6.5
заданным значением е^. и фактической обеспеченностью найденных
сочетаний судим по тому, насколько точки 1 я 2 для этих сочетаний
отклоняются от кривой е = е* на плоскости sb s2. Эти расхождения
довольно велики. Если между параметрами sx и s2 имеет место значи-
значительная корреляция, то парциальный подход позволяет найти со-
сочетания, обеспеченность которых достаточно близка к заданному
значению. Однако эти сочетания мало отличаются одно от другого
(см. рис. 6.5, где принята та же система обозначений, что и на
рис. 6.4).
С учетом сделанных выводов наиболее простой подход к про-
проблеме сочетаний — рассматривать некоторое достаточно представи-
представительное множество линейно независимых решений уравнения F.23),
т. е. за расчетные сочетания принять такие, которым соответствует
набор характерных точек на поверхности е = Б* в пространстве
параметров sb ..., sn. Это могут быть точки пересечения поверхности
с пучком полупрямых, выходящих из начала координат и пересека-
пересекающих область наиболее вероятных значений параметров. Таким
сочетаниям соответствуют точки 3 на рис. 6.4 и 6.5.
Перейдем к оценке вероятности одновременного возникновения
двух или нескольких событий. Для редких событий эта вероят-
вероятность — величина более высокого порядка малости, чем вероятность
одного события. Рассмотрим, например, два независимых пуассонов-
ских потока событий с интенсивностями %1 и %г и продолжитель-
ностями событий тх и т2. Вероятность Р \ЕХ |~| Е.2 | Еь Е2 ? Т\
хотя бы частичного пересечения событий Ех и Е2, принадлежащих
разным потокам, при условии, что на отрезке [О, Т] произошло
хотя бы по одному событию из каждого потока, найдем из геометри-
геометрических соображений. Эта вероятность численно равна отношению
площади сегмента диагональной полосы, содержащей все возможные,
хотя бы частичные, пересечения событий, к площади квадрата со сто-
236
ронами Т (рис. 6.6). Отсюда при х1
< Т Р \Е Е \ Е ? ?
р
Т имеем Р \ЕХ П
( + )/7\ Д
р
Еъ ?2 ? Т\ =
г tt
Рис. 6.6
«^ 2 (та + т2)/7\ Для пуассоновских пото-
потоков вероятность осуществления на отрезке
[О, Т] хотя бы по одному событию из
каждого потока Р \ЕЪ Е2 ? Т\ = 1 —
—ехр [—(kt + к2) Т]. Отсюда по формуле
полной вероятности
Р \ЕХ Г) Е2; Т} «
« [2 (тх + т2)/Т] 11 - ехр [- (к, + Ла) Г]}.
Эта формула выведена в предположении,
что вероятность двухкратных, трехкратных
и тому подобных пересечений пренебрежимо мала, т. е. при усло-
условии, что кхТ С 1, ХгТ С 1. Поэтому было бы правильнее записать
ее в виде
Р \ЕХ П Е2; Т\&2 (К + к2) (Tl + ts). F.53)
Таким образом, риск пересечения двух редких и кратковременных
событий практически не зависит от срока службы Т и составляет по
сравнению с риском осуществления каждого из событий величину
порядка (хх + То)/Г по сравнению с единицей. Поэтому в нормах
расчета и правилах проектирования обычно не рассматривают рас-
расчетных ситуаций, включающих независимые экстремальные воздей-
воздействия.
Более интересен вопрос о сочетании редких экстремальных
воздействий с эксплуатационными нагрузками, соответствующими
нормальным условиям эксплуатации. Рассмотрим простой пример,
иллюстрирующий общий метод решения проблемы сочетаний. Пусть
эксплуатационная нагрузка задана с точностью до значения q,
значение которой образуют в интервале [О, Т] реализации стаци-
стационарного дифференцируемого случайного процесса q (t). Совместную
плотность вероятности р (q, q) процесса q (t) и его первой производ-
производной q (t) считаем известной. Эксплуатационная нагрузка действует
в сочетании с редким экстремальным воздействием, интенсивность
потока которого к удовлетворяет условию кТ С 1. а продолжитель-
продолжительность интенсивной фазы — условию хЕ 4^ Т. Задача состоит в том,
чтобы назначить подходящее значение s* процесса q (t), которое
должно входить в расчет совместно с экстремальным воздействием.
Поскольку момент возникновения воздействия равномерно распре-
распределен в интервале [О, Т], то расчетное значение s^ определим как
экстремальное значение процесса на отрезке продолжительностью хЕ,
имеющее обеспеченность порядка единицы.
Для функции распределения экстремальных значений исполь-
используем формулу F (s+) «= 1 — ехр [—к (sM) xE], где к (s*) — математи-
математическое ожидание числа выбросов процесса в единицу времени:
4s*) = \ Pl
237
Соответствующее значение квантили такого распределения у =
= 1 — е = 0,632... Отсюда приходим к уравнению относительно
расчетного параметра s*:
Ч«*)тв=1. F.54)
Пример 6.2. Возьмем нормальный процесс q (t) с математическим ожиданием
s0, дисперсией о~ и эффективной частотой cof. Подставив в уравнение F.54) матема-
математическое ожидание числа выбросов, определяемое по формуле F.45), и решив урав-
уравнение, получим формулу
s, = so + од [2 In (соет?/2я)]1/2. (е.55)
Если coet? г?: 2я, т. е. если характерное время изменения эксплуатационной
нагрузки имеет порядок продолжительности экстремального воздействия или пре-
превышает его, то вместо F.55) следует принять s,. = s0. Только при условии_шеТ? >
> 2л расчетное значение st превышает математическое ожидание sa.
6.8. ПОНЯТИЕ СЕЙСМИЧЕСКОГО РИСКА
Среди природных источников риска основное место, без сомнения,
принадлежит землетрясениям. Значительная часть поверхности
Земли сейсмически активна. Наибольшая сейсмическая активность
сосредоточена в тихоокеанском поясе. На территории СССР этому
поясу принадлежат обширные области Дальнего Востока и Камчатки.
Другая зона высокой сейсмической активности ¦— альпийский
(средиземноморский) пояс, пересекающий Европу и продолжа-
продолжающийся в широтном направлении через весь евроазиатский материк.
Эта зона охватывает, в частности, Молдавию, юг Украины, Кавказ
и Закавказье, Среднюю Азию, юг Сибири и Забайкалье, включая
зону БАМа. Высокая сейсмическая активность наблюдается также
в северной Якутии. Карта сейсмического районирования территории
СССР по состоянию на 1978 г. приведена в работе [67]. На карте
показаны ориентировочные границы территорий, в пределах которых
расчетная интенсивность землетрясений / = 6, 7, 8 и 9 баллов. Там
же приведены оценки об ориентировочной повторяемости сильных
землетрясений со средним периодом возвращений 102, 103 и 10* лет.
Землетрясения в данной активной зоне образуют поток случай-
случайных событий, порождаемых более медленными тектоническими про-
процессами в неоднородной и неоднородно напряженной земной коре.
Каждое землетрясение характеризуется рядом случайных параме-
параметров, среди которых — координаты эпицентра, глубина залегания
фокуса, освобожденная энергия и т. п. Сейсмические сотрясения
на данной площадке представляют собой результат сейсмических
волн, приходящих на площадку из эпицентральной области. Эти
сотрясения также образуют поток случайных событий, характери-
характеризуемых макросейсмическими параметрами: интенсивностью, макси-
максимальным ускорением, продолжительностью сотрясения, параметрами
его спектрального состава. Все эти параметры—случайные вели-
величины.
Понятие сейсмического риска включает естественные факторы
геологического и тектонического характера, микрогеологические
238
и грунтовые условия на рассматривае- н(Н)
мой площадке, уровень сейсмостойкости
сооружений, конструкций и оборудова-
оборудования, размер ущерба от возможных зем-
землетрясений и их последствий, соци-
социально-экономические факторы. С точки
зрения сейсмологии представляет ин-
интерес оценить риск возникновения
в данном регионе землетрясения,
магнитуда которого превышает задан-
заданное значение М*. Это приводит к функ-
функции риска [131]
где М (t) —точечный процесс, соответствующий потоку землетря-
землетрясений в регионе. Здесь подлежат учету лишь достаточно сильные
землетрясения, магнитуда которых М ^ Мо (обычно принимают
Мо ^г 5). Значение амплитуды связано с энергией, освобождаемой
при землетрясении. Обычно принимают эмпирическое соотношение,
структура которого была предложена Гутенбергом и Рихтером,
A942 г.):
9 М
= 10a+Mf.
V6.57>
Здесь а и Ь — эмпирические константы; если освобожденную энер-
энергию измерять в джоулях, то согласно Гутенбергу и Рихтеру а = 4,0;
Ь = 1,8.
Предложены также регрессионные зависимости между магниту-
дой М, длиной разрыва L и средним напряжением s, снимаемым
в результате разрыва. Для дискообразной трещины имеем AU ~
~ s2L/E, где Е — характерный модуль упругости горных пород.
Учитывая F.57), приходим к зависимости М — aL + bt lg L с эмпи-
эмпирическими коэффициентами ах и Ьх. В общем случае значения этих
эмпирических коэффициентов зависят от геотектонических условий
региона и подвергаются пересмотру по мере накопления результатов.
Поскольку энергия, выделяемая при землетрясениях, ограничена,
то возможные значения магнитуд ограничены сверху. С учетом
новой сейсмометрической информации эти значения также пере-
пересматривают. Например, для Южной Калифорнии в настоящее время
ПРИНЯТО Мтах = 8,75.
Многочисленные статистические данные для различных регионов
показывают, что связь между средним числом землетрясений за
заданный промежуток времени и их магнитудой довольно точно сле-
следует экспоненциальному закону. Эмпирические зависимости между
средним числом землетрясений и их магнитудами могут быть удовлет-
удовлетворительно аппроксимированы прямыми линиями в логарифми-
логарифмических координатах. На рис. 6.7 приведены эти зависимости для
239
укрупненных сейсмических регионов [54]. Аналитические выраже-
выражения этих прямых запишем в виде
N (М) = N (Мо) ехр [—р (М — Мо) ], F.58)
где N (Мо) — общее число землетрясений, магнитуда которых пре-
превышает Мо; Р —эмпирический параметр.
Для прямой / на рис. 6.7, объединяющей данные для тихоокеан-
тихоокеанского пояса, получено значение Р = 2,16; для прямой 2 (альпийский
пояс) р = 1,70. Прямая 3 соответствует регионам с низкой сейсмич-
сейсмичностью; при этом р = 2,88. Согласно некоторым теоретическим
моделям сейсмической активности р =2 [121]. Часто используют
десятичное основание для степеней зависимости типа F.58):
JV (А!) = N (Мо) Ю-^м-м°>. F.59)
Очевидно, Р = Pi In 10. В японских строительных нормах при-
принимают рх = 1, что соответствует показателю р =2,303 в формуле
F.58).
Число N (Мо), которое входит в формулы F.58) и F.59), зависит
от положения региона, его размеров и продолжительности наблю-
наблюдений. Отнеся число землетрясений в данном регионе к одному году
наблюдений, вычислим интенсивность потока землетрясений, магни-
магнитуда которых превышает значение М:
К (М) = *,„ ехр [—р (М — Мо)]. F.60)
Величина ^0 = X (Мо) характеризует уровень сейсмической
активности в данном регионе. Функция распределения магнитуд
сильных землетрясений имеет вид
F (М) = 1 — ехр [— р (М — Мо)]. F.61)
Вычислим функцию риска F.56), считая, что совокупность всех
сильных землетрясений образует пуассоновский поток. С учетом
формул F.2) и F.14) найдем
*- Мо)]\. F.62)
Функция безопасности S(M^.; t) = 1 —Н(М%; t) имеет смысл
функции распределения максимальных амплитуд на отрезке времени
lt0, t].Таким образом, в рамках данной модели максимальные магни-
туды следуют двойному экспоненциальному распределению. Отме-
Отметим, что формулы F.58)—F.62) применимы в интервале магнитуд
[Мо, М.пахЬ Наряду с простыми экспоненциальными зависимостями
типа F.58) предложены более общие (экспоненциально-квадрати-
ческие, двойные экспоненциальные и т. п.) эмпирические формулы.
В этих случаях вместо F.62) следует взять более общую формулу
H(Mt,t)=l-exp\-K0(t-t0)[l-F(M,)]\r F.63)
где F (М) —функция распределения магнитуд, задаваемая в виде,
отличном от формулы F.61).
240
В формулах F.62) и F.63) годовой риск, определяемый по фор-
формуле F.4), не зависит от времени. Так, из формулы F.3) получаем
А(М») = Хо [1 — F (MJ1. F.64)
Силу землетрясения оценивают также непосредственно по высво-
высвобождаемой энергии At/ с помощью параметра К = lg At/, называ-
называемого энергетическим классом. С учетом формулы F.57) имеем, что
К = Ко + ЬМ, где Ко —постоянная. Поскольку b > 1, то шкала
сейсмичности, измеряемая в энергетических классах, несколько
растянута по сравнению со шкалой в магнитудах. Это дает некоторое
преимущество при группировке результатов наблюдений с целью
их статистической обработки [66]. Функцию риска в терминах энер-
энергетических классов введем по формуле
<\K*; х ? [t0, t}\,
где К (/) —точечный процесс, порождаемый потоком землетрясений.
Эффект от землетрясения на определенной площадке состоит в ко-
колебательном движении грунта и его последствиях — повреждениях
и разрушениях. Чтобы не смешивать понятие землетрясения с дви-
движением грунта на площадке, назовем это движение сотрясением [66].
Интенсивность сотрясенцй в настоящее время характеризуют, ис-
используя описательные шкалы, в основу которых положены качествен-
качественные оценки явлений, происходящих на площадке во время сотрясе-
сотрясения, а также их последствия. Принятая в СССР 12-балльная шкала
интенсивностей близка к международной шкале MS К (Медведева —
Шпонхойера — Карника). Поскольку шкала носит качественный
характер, то трудно оценить интенсивность / с точностью более
высокой, чем 0,5 балла. В этом отношении шкала интенсивностей
сотрясений отличается от инструментальной шкалы Рихтера, поз-
позволяющей давать оценку магнитуды землетрясения М с точностью
до 0,1 балла. Риск возникновения на данной площадке сотрясения
интенсивностью более /„, введем как
Я(/,;0=1-Р{/(т)</*; т? [to,t]}. F.65)
Поток сотрясений / (t) представляет собой совокупность событий,
порождаемых землетрясениями в прилегающих активных районах.
Интенсивность сотрясения зависит от магнитуды землетрясения,
расстояния между рассматриваемой площадкой и эпицентром, глу-
глубины залегания фокуса, геологических условий на пути прохожде-
прохождения волн от фокуса до площадки, грунтовых условий непосредственно
на площадке, типа и качества зданий и сооружений на площадке.
В общем случае
/ = /(М, p, z,L, ...), F.66)
где р —эпицентральное расстояние; г —глубина залегания фокуса;
L —длина разрыва или характерный размер очага; многоточием
обозначены другие параметры, не допускающие точного или ком-
компактного численного задания.
241
По перечисленным причинам зави-
зависимость F.66) обнаруживает весьма
большой разброс. Регрессионный ана-
анализ показывает, что в первом прибли-
приближении можно принять, что интенсив-
интенсивность сотрясения / линейно связана
с магнитудой_, М. Зависимость интен-
интенсивности от эпицентрального расстоя-
расстояния р носит более сложный характер.
На площадках, расположенных над
фокусом, движение грунта связано
с волнами расширения и сдвига, при-
приходящими непосредственно из очаго-
очаговой области, а также с волнами, отра-
отраженными от нижележащих слоев. Если
Рис. 6.8 ;площадка достаточно удалена от эпи-
щентра, т. е. р >/р0 ~ •?, то главным
источником сотрясений служат волны Рэлея. Простейшие регрес-
регрессионные зависимости для сотрясений второго типа учитывают зату-
затухание интенсивности с увеличением эпицентрального расстояния по
закону lg A/р). Соответствующая формула имеет вид
/ = а2 + Ь2М — с2 lg p, F.67)
где а2, 62 и с3 — постоянные, зависящие от геологических и грунто-
грунтовых условий. Приведем типичные значения аг =3,4; Ь2 = 1,5;
с2 = 3,8.
Рассмотрим способ оценки сейсмического риска по интенсивности
/. Пусть на площадку Фо приходят сильные сотрясения из очаговых
областей Ф1( Ф2, ..., расположенных в некоторой окрестности пло-
площадки Фо. На рис. 6.8 показаны очаговые области, расположенные
вдоль активных разломов / и // в круге радиуса ршах. Радиус вы-
выбран из условия, что при р < рпих и М < УИшах интенсивность
сотрясений на площадке / ^ /0, где /0 — минимальная интенсив-
интенсивность, принятая в данном расчете на сейсмостойкость. Считаем, что
землетрясения, происходящие в каждой очаговой области Фх, Ф2, ...,
можно рассматривать как независимые пуассоновские потоки с ин-
тенсивностями ки .2, ... . Формула для сейсмического риска при-
принимает вид
Я(/,;0=1-ехр {-«-/„) fi W-Рц (/*))}¦ <Ь-Щ
Здесь F[j (/) — функции распределения интенсивностей / от со-
сотрясений, приходящих из области Ф7-. Эти функции можно вычис-
вычислить, если известны соответствующие функции распределения FMj(M)
для магнитуд и макросейсмические формулы F.66). Учитывая, что
зависимость F.66) между / и М монотонно возрастающая, разрешим
ее относительно М. Остальные макросейсмические параметры в F.66)
считаем случайными с известной совместной плотностью вероят-
242 ...
ности р (р, z, L, ...). По правилу преобразования случайных величин
получим
F,j(I)= f-f Fmj[M{[, р, z, L,...)| />.(p, г, L,...)dpdz dL...
D(p,z,L,...)
F.69
Интегрирование в формуле F.69) в сущности означает усреднение
по очаговой области. При недостатке информации принимаем
F,j (/) « FiU[M (/, р,, zj, L,,...)], F.70)
где р;-, Zj, Lj — характерные (представительные) значения р, г,
L, ... из области Ф,.
Годовой риск, соответствующий функции риска F.68), вычислим
по формуле
4U)=%b,tt-Ftt(h)\. F.71)
В последние годы начат переход к оценке сейсмического риска
для площадок по инструментально измеряемым характеристикам.
Наиболее важная из них — максимальное ускорение грунта во время
сотрясения. Для этой характеристики путем регрессионного анализа
получены макросейсмические формулы типа формулы F.66), связы-
связывающие магнитуду с макросейсмическими параметрами. Для оценки
•сейсмического риска имеем соотношения, аналогичные формулам
F.68)—-F.71). Некоторые из этих формул рассмотрим далее при изло-
изложении статистической теории сейсмостойкости.
6.9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ
Статистическая теория сейсмостойкости представляет собой
синтез теории сейсмического риска, динамики конструкций и теории
надежности конструкций [17]. Возьмем площадку Фо, на которую
приходят сейсмические воздействия от землетрясений из прилега-
прилегающих очаговых областей Фх, ...,Фт (см., например, рис. 6.8).
Рассмотрим потоки землетрясений Ejh и соответствующие моменты
времени их осуществления (д. Первый индекс указывает номер
области / = 1, .... т, второй —номер события в последозательности
Eji, Ej.2, •¦• • Каждое землетрясение характеризуем вектором г
макросейсмических параметров землетрясения. Среди этих пара-
параметров: значение освобожденной энергии, энергетический класс
или магнитуда, координаты эпицентра и глубина залегания фокуса,
длина разрыва я смещение после разрыва и т. п. Для каждой очаго-
очаговой области Ф; введем плотность вероятности pj (z) значений этого
вектора.
Сотрясения на площадке Фо от землетрясений Ец, Ei%, ... обра-
образуют потоки случайных событий Е}1, Ej2, ..., где сохранена та же
система индексов, что и для потоков землетрясений. В медленном
мзсштабе времени, т. е. при временах порядка срока службы
243
конструкции или среднего времени ожидания ближайшего силь-
сильного землетрясения, можно не делать различия между момен-
моментами возникновения землетрясений tJL, tj2, ... в областях <bj (/ = 1,
..., т) и моментами начала сотрясений на площадке Ф„. Охарактери-
Охарактеризуем каждое сотрясение вектором s, который включает параметры
интенсивности сотрясения (например, максимальное ускорение или
максимальную скорость на площадке), спектральный состав сотря-
сотрясения (преобладающую частоту, форм-факторы спектральных плот-
плотностей), продолжительность интенсивной фазы сотрясения. Ком-
Компоненты вектора s зависят как от макросейсмических параметров,
так и от местных геологических и грунтовых условий. Распределение
составляющих вектора s неодинаково для сотрясений, приходящих
из разных очаговых областей, поэтому введем различные плотности
вероятности рх (s), ..., pm(s). События Ejh и Ejh связаны между
собой; считаем, что известны соотношения (детерминистические или
вероятностные), которые позволяют для каждой пары событий EJk
и Ejh по заданной реализации вектора z находить реализацию век-
вектора s.
Каждое сотрясение представляет собой нестационарный случай-
случайный процесс. Реакция конструкции на сотрясение также является
нестационарным случайным процессом. В конструкции накапли-
накапливаются повреждения, а при достаточно интенсивных воздействиях
и неудовлетворительной сейсмостойкости может возникнуть аварий-
аварийная ситуация: обрушение или опрокидывание конструкции, общая
потеря устойчивости, разрыв или нарушение целостности сосудов
высокого давления и т. п. Включение динамического поведения кон-
конструкции вплоть до достижения аварийного состояния в общую
схему оценки сейсмического риска конструкции составляет неотъем-
неотъемлемую часть статистической теории сейсмостойкости. Итак, рассма-
рассматриваем три группы потоков случайных событий, в каждый из ко-
которых входят нестационарные случайные процессы: потоки земле-
землетрясений в активной зоне, потоки сотрясений на площадке, потоки
повреждений и разрушений, вызываемых этими сотрясениями.
Строго говоря, движение грунта во время сотрясения есть много-
многомерный процесс. В расчетах на сейсмостойкость необходимо учи-
учитывать горизонтальные и вертикальные перемещения грунта. Для
высоких зданий и сооружений могут иметь значение также враща-
вращательные движения основания. Для сооружений, длина которых со-
сопоставима с характерной длиной сейсмических волн, кроме того,
становится существенным волновой характер сейсмического воздей-
воздействия, т. е. пространственно-временные свойства совокупности сей-
сейсмических волн. Поясним способы схематизации сотрясений на
примере одной из компонент ускорения а (/).
Представим ускорение на площадке в виде суммы произведений
функций времени двух типов [17]:
ь(Ф)- F-72)
244
k-l
Здесь Ak (t | s) — функции, изменяющиеся
достаточно медленно на отрезках порядка
преобладающих периодов сотрясения и рав-
равные нулю вне отрезка хЕ продолжитель-
продолжительности сотрясения. Функции Ak(t\s) харак-
характеризуют изменение амплитуд во времени;
назовем их псевдоогибающими. Эти функции
зависят от вектора s и, следовательно, явля-
являются случайными. Функции ц>к (t | s) опи-
описывают спектральный состав сотрясения.
Считаем их стационарными случайными
функциями времени с равным нулю мате-
математическим ожиданием и с единичной ди-
дисперсией:
E[q>fc('|s)] = O; D [<pfc (t\ s)] = 1. F.73)
Функции cpft (t\s) также зависят от вектора s или части его со-
составляющих.
Наличие в правой части формулы F.72) двух и большего числа
слагаемых позволяет учитывать изменение спектрального состава
на отрезке хЕ. Пусть, например, в начале и в конце этого отрезка
преобладают высокочастотные движения, а в средней части — отно-
относительно низкочастотные движения. Для описания этого эффекта
достаточно удержать в формуле F.72) два слагаемых, выбрав функ-
функции Ah (t | s) и спектральные плотности 5фй (со | s) процессов q>h(t | s)
примерно как показано на рис. 6.9.
Если не учитывать изменения спектрального состава во время
сотрясения, достаточно взять формулу F.72) в виде
Рис. 6.9
= A(t\syq>(t\s).
F.74)
Для псевдоогибающей предложен ряд выражений. Простейшие
из них задают функцию A (t | s) с точностью до двух параметров —
максимальной амплитуды Ас и характерной скорости с изменения
псевдоогибающей (рис. 6.10, а и б)
A (t) = Ас ехр (— rf); A (t) = Acct exp (—ct).
F.75)
Здесь и далее за момент начала сотрясения принято t = 0, а ука-
указание на зависимость от вектора s опущено. Согласно первой формуле
F.75) функция A (t) принимает максимальное значение при t — 0,
А
Ас
А
Ac
0 Ус
Рис.
f)
6.10
t
А ,
Ac
I
/. ,ч--1
7 т, -сг t
245
а согласно второй — при t = 1/г. Более общий характер носит
четырехпараметрическая модель, показанная на рис. 6.10, в,
Ac (Ti < ^< т2); F.76)
A,, exp [—\c (t — та)] (t > т2).
Эта модель включает фазу нарастания функции A (t) до макси-
максимального значения Ас, фазу продолжительностью т2 — ть на кото-
которой псевдоогибающая имеет постоянное значение, и фазу затуха-
затухания. Поскольку в формулу F.74) входит произведение двух функций,
то фактические огибающие ускорения a (t) отличаются от функций
A (t). Это отличие в основном количественное, если стационарный
случайный процесс ф (t) узкополосный, но оно может стать каче-
качественным, если спектр процесса ф (t) достаточно широк. В этом
причина введения термина «псевдоогибающая».
Стационарный процесс ф (t) считаем нормальным, что согласуется
с результатами статистической обработки реальных акселерограмм.
Нормальный стационарный процесс с нулевым математическим ожи-
ожиданием полностью определен, если задана его спектральная плот-
плотность Sq, (со). Простейшая модель процесса ф (t) должна включать,
по крайней мере, два параметра." преобладающую частоту сотрясе-
сотрясения и характеристику относительной ширины спектра. Этому усло-
условию удовлетворяет процесс со спектральной плотностью
5, (со) = Bа6а/л) [(со2 - б2J + 4а2со2]-\ F.77)
где 0 — преобладающая частота; а > 0 — параметр ширины спектра.
Отношение а/0 характеризует ширину спектра. График функции
F.77) имеет явно выраженный максимум, если а < 0. Для узко-
узкополосных процессов а/0 <^ 1. Функция Sv (со) нормирована таким
образом, чтобы было выполнено второе условие F.73).
Другая форма двухпараметрического задания|процесса ф (t)
основана на спектральной плотности
5, (со) = [а (со2 + 02)/я] [(со2 —102J + 4а2со2]. F.78)
Процесс, заданный в форме F.78), является недифференцируе-
мым, что может вызвать затруднения при оценке показателей риска
по математическому ожиданию числа редких выбросов. Кроме того,
первая форма задания процесса имеет то преимущество, что этот
процесс можно трактовать как результат прохождения нормального
белого шума через линейный фильтр второго порядка с постоянными
коэффициентами. Это облегчает построение реализаций искусствен-
искусственных акселерограмм путем моделирования на ЭВМ.
Параметры Ас, с, 0, а и другие в сущности представляют собой
компоненты вектора s, характеризующего одно из сотрясений на
рассматриваемой площадке. Задача состоит в том, чтобы на основа-
основании сейсмометрических данных получить оценку плотности вероят-
вероятности р (s) для этой площадки. Решение задачи приходится искать
246
в условиях хронического недо- а,мг_
статка информации, в частности, ^
отсутствия достаточного числа аксе-
акселерограмм и сейсмограмм силь-
сильных землетрясений. Первый шаг —
оценка параметров хотя бы одной
акселерограммы.
Предложенную в работе [17]
последовательность обработки аксе-
акселерограмм с незначительными мо-
модификациями широко применяют
в настоящее время. Опишем эту
последовательность. Разобьем за-
запись процесса a (t) на отрезки Атъ
Ат2, ... так, чтобы каждый из них
содержал достаточное число экстремумов. Желательно, чтобы
отрезки были достаточно большими по сравнению с характерным
временем корреляции процесса a (t), но в пределах каждого из них
свойства процесса изменялись бы несущественно. Оба условия обычно
удовлетворить не удается, особенно при кратковременных записях.
В пределах каждого из отрезков Лть Ат2, ... вычислим средние ква-
дратические значения процесса a (t); эти значения, отнесенные
к серединам отрезков, интерпретируем как оценки значений Аи
Л2, ... псевдоогибающей A (t). По найденным оценкам путем интер-
интерполяции или приближения по методу наименьших квадратов по-
построим оценку функции A (t) на всем отрезке записи. Разделив
ординаты записи процесса a (t) на соответствующие значения функ-
функции A (t), получим оценку ф (t) ^ a (t)IA (t). Далее следует про-
проверить, удовлетворяет ли функция ф (t) хотя бы в первом приближе-
приближении условиям стационарности. При положительном ответе проводят
спектральный анализ этой функции и получают оценку спектральной
плотности S,, (со). Затем проверяют выполнение второго условия
F.73). Если условие не выполнено, следует провести перенорми-
перенормировку процесса, отнеся нормировочный множитель к псевдоогиба-
псевдоогибающей. Если проверка на стационарность дает отрицательный ответ,
то необходимо для функции a (t) взять более общее представление
F.72). Пусть, например, есть основания ожидать, что двухчленное
приближение в F.72) даст удовлетворительные результаты. Разде-
Разделив основной диапазон частот процесса примерно пополам, с по-
помощью фильтра низких (высоких) частот разобьем процесс a (t)
на низкочастотную и высокочастотную составляющие. После этого
повторяем описанную выше процедуру для каждой из составляющих.
Очевидно, этот алгоритм не зависит от конкретной формы псевдо-
псевдоогибающей A (t) или вида спектральной плотности S,, (со).
Пример 6.3. Рассмотрим результаты обработки акселерограммы одного силь-
сильного землетрясения по методике Московского энергетического института. Запись
продолжительностью около 30 с была разбита на отрезки длиной 6 с каждый. Зна-
Значения Ai, ..., Ав нанесены на рис. 6.11 кружками. Кривая 1 получена приближением
по методу наименьших квадратов с использованием первой зависимости F.75),
247
Sf @1)
кривая 2 — с использованием второй зависимости. КриЕые 3 к 4 представляют
собой результат аппроксимации суммой п экспонент A (t) = Аг ехр (—ct) -f-
-f- А2 ехр (—2ct) + ... Для построения криЕой 3 принято л = 4. Кривая 4 получена
при п = 5 и дополнительном условии Ал -f- Л24~ • • ¦ — 0, требукщем, чтобы гра-
график функции A if) проходил через начало координат.
Результаты спектрального анализа функций <р if) приведены на рис. 6.12. Для
обработки реализаций использован экспресс-метод: реализации списаны путем за-
задания координат последовательных зкетремукев, а промежуточные значения вы-
вычислены с применением сплайн-аппроксимации. Значения сцекск спектральной
плотности Sv (со) найдены с применением быстрого преобразования Фурье при шаге
А/ = 1,75-10 с и общем числе отсчетов N = 1751. Частота среза лри этом состав-
составляла (О = 180 с. Цифры на кривых соответствуют трем возрастакщим ровням
сглаживания по частотам.
Анализ рис. 6.11 и 6.12 показывает, что вид псевдоогибающей
A (t) и спектральной плотности Sv (ю) существенно зависит от при-
принятого способа аппроксимации и обработки акселерограмм. Раз-
Разброс результатов — естественное явление, если учесть, что они
представляют собой в сущности статистические оценки. Эти оценки
к тому же получены при дополнительных, трудно проверяемых
гипотезах (мультипликативное представление нестационарного слу-
случайного процесса, эргодические свойства стационарной компоненты
и т. п.). В условиях крайнего недостатка записей сильных земле-
землетрясений, большой изменчивости их параметров, зависящих от раз-
различных, порой не поддающихся учету факторов, разброс резуль-
результатов обработки имеет второстепенное значение. Другие модели про-
процесса сотрясений рассмотрены в работах [54, 98, 111].
Обработка одной акселерограммы дает в сущности единственную
реализацию вектора s, в то время как для оценки сейсмического
риска конструкции необходимо иметь оценки плотности вероят-
вероятности р (s). Число записей сильных сотрясений для одного региона
и даже для группы сходных в геотектоническом отношении регионов
весьма невелико, поэтому результаты обработки этих записей при-
приходится дополнять макросейсмической информацией. Эта информа-
248
ция состоит в основном из двух частей: статистики повторяемости
сильных землетрясений и макросейсмических формул, связывающих
между собой различные параметры сильных землетрясений и их
последствий. Примером макросейсмических формул служат фор-
формулы F.57) и F.67). Внешне они носят детерминистический характер,
но получены путем статистической обработки сейсмологической
информации, представляя собой в сущности регрессионные зависи-
зависимости. Аргументом в этих зависимостях служит магнитуда земле-
землетрясения М. Поскольку сведений о законах распределения магнитуд
сильных землятрясений и повторяемости последних достаточно, то
макросейсмические формулы позволяют получить и некоторые рас-
распределения для параметров сотрясений.
Типичная формула для максимальных ускорений при больших
эпицентральных расстояниях (р ч^> р0 ~ z) имеет вид
F.79)
Показательную зависимость максимального ускорения от магни-
туды можно трактовать как следствие зависимости F.57) при усло-
условии, что кинематические параметры сотрясений (ускорения, ско-
скорости и смещения) в первом приближении пропорциональны ква-
квадратному корню из значения освобождаемой энергии. Если бы это
условие было точным, то с = Ь/2, где Ъ — коэффициент из формулы
F.57). Разные авторы дают значения с = 0,4 ... 0,8 (даже для одного
и того же региона). Функция f (p) в формуле F.79) характеризует
закон затухания максимальных ускорений с увеличением эпицен-
трального расстояния р. Для объемных и сдвиговых волн в однород-
однородной упругой среде следовало бы ожидать, что / (р) ~ (р„ + р),
а для волн Рзлея / (р) ~ р~1/2. Из-за сложного характера рассея-
рассеяния и диссипации волн в неоднородных слоистых средах эмпириче-
эмпирические зависимости отличаются от этих соотношений. Предложено
несколько десятков разных зависимостей [54, 121 ]. Для примера
приведем закон затухания Канаи A961 г.):
lg I/ (РI = -A,66 + 3,60/р) lg p — @,631 + 1,83/р), F.80)
полученный для условий Японских островов. Формула F.80) при-
пригодна для скальных оснований и достаточно больших эпицентраль-
эпицентральных расстояний. В последнее время чаще принимают за основную
кинематическую характеристику не ускорение, а скорость. Это
облегчает пересчет с одних характерисик на другие, а также учет
грунтовых условий введением в макросейсмические формулы харак-
характерной собственной частоты грунтового основания.
Пример 6.4. Возьмем зависимость для параметра сотрясения в виде
s= exp [y(M-M0)]f(p), F.81)
где для упрощения аналитических выкладок введено натуральное основание степени
и минимальное значение магнитуды Мо, начиная с которого учитываются сейсмиче-
сейсмические воздействия. Значение коэффициента у и закон затухания / (р) в общем случае
меняются при переходе от одного параметра сотрясения к другому. Вычислим услов-
условную функцию распределения Fs (s | p) для произвольного землетрясения с магниту -
9 Болотин В. В. 249
дой М ^ Мо и эпицентрального расстояния р ;> p0. Решив уравнение F.81) относи-
относительно М—Мо и подставив в формулу F.61), получим
F(s|p)=l-[S,/(P)FV; s>/(p), F.82)
где показатель степени v = Р/7.
При s < / (р) имеем F (s | р) в 0. Таким образом, при сделанных предположе-
предположениях макросейсмический параметр s следует распределению F.33).
Чтобы найти безусловную функцию распределения Fs(s), сле-
следует применить формулу полной вероятности. Пусть р (р) — плот-
плотность вероятности эпицентрального расстояния для данной очаго-
очаговой области ср,- и рассматриваемой площадки Фо. Тогда
Fs(s)= | F(s\p)p(p)dp.
D(p)
При недостатке информации приходится предполагать, что
р (р) = б(р — р;-), где б(р) — дельта-функция; р,- — характерное
эпицентральное расстояние. В результате получим
Fa(s)~ 1- [s/f (p}) Hv; s^f(9j).
Рассмотрим следующее обобщение формул F.79) и F.81):
s = s(M,z). F.83)
Здесь s (M, z) —некоторая функция магнитуды М и других макро-
сейсмических параметров, совокупность которых образует вектор г.
Составляющие этого вектора считаем не зависящими от М и за-
заданными с помощью плотности вероятности р (z). Если s —моно-
—монотонно возрастающая функция М, то
Fs(s)= J FM[M{s,~z)\p(z)di. F.84)
Здесь М = М (s, г) — уравнение F.83) в виде, разрешенном отно-
относительно М.
Если параметр s с увеличением М монотонно убывает, то вместо
F.84) получаем
Fs(s)=l- J FM[M(s,z)]~p(z)dz. F.85)
В общем случае параметры сотрясений статистически зависимые.
Так, при заданной магнитуде с увеличением эпицентрального рас-
расстояния максимальное ускорение убывает, а продолжительность
сильной фазы сотрясения увеличивается (из-за дисперсии волн).
Спектральные характеристики сотрясения зависят как от эпицен-
эпицентрального расстояния, так и от местных геологических и-грунтовых
условий. Чтобы учесть статистическую связь между различными
параметрами, необходимо иметь их совместную плотность вероят-
вероятности р (s). Для этого надо знать совместную плотность вероят-
вероятности р (z) вектора макросейсмических параметров z и функциональ-
функциональную зависимость между векторами s и z. С возрастанием требований
к точности прогноза, а также по мере накопления информации
250
размерности векторов s и z должны увеличиваться. Так, для учета
направленного характера воздействия эпицентральное расстояние
следует вводить как р = [(х ~xof + (у — г/0J]1/2> где х0 и у0 —
координаты эпицентра. Часто необходимо различать две горизон-
горизонтальные составляющие, а также вертикальную и три угловые состав-
составляющие движения грунта. Поскольку псевдоогибающие и спектраль-
спектральные функции различных составляющих движений стохастически свя-
связаны, то вектор s должен включать также параметры взаимных
корреляционных функций и спектральных плотностей.
Следующий этап в общей схеме статистической теории сейсмо-
сейсмостойкости состоит в оценке условных показателей риска Я (Ф,)
по отношению к сотрясениям, приходящим из области Фу. На этом
этапе рассматриваем движение конструкции, вызываемое сотрясе-
сотрясением ее основания, и возникающие при этом деформации, поврежде-
повреждения и разрушения. Если пренебречь волновыми эффектами и обрат-
обратным влиянием конструкции на движение грунтового основания, то
сейсмическое воздействие сводится к сложному движению его фун-
фундамента. Зададим его с помощью трех векторов: линейного ускорения
а0 (t) одной из точек (например, центра массы) фундамента, угловой
скорости фундамента to (t) и соответствующего углового ускоре-
ускорения е (t) [8, 17]. Приближенное уравнение относительно поля пе-
перемещений u (x, t) в конструкции имеет вид
и (х, /) + / [и (х, t), и (х, /)] = - а (х, t). F.86)
Второй член в левой части уравнения учитывает в общем слу-
случае нелинейные квазиупругие и диссипативные силы, а в правой
части стоит взятое с обратным знаком переносное ускорение в точке
конструкции с координатным вектором х. По заданным вероятностным
характеристикам сейсмического воздействия найдем вероятностные
характеристики поля перемещений u (x, t), после чего для заданной
области безопасности Qs вычислим функцию безопасности F.1) или
функцию риска F.2).
Применим, как и в общей теории надежности конструкций, метод
условных показателей надежности (см. 2*5). Вначале вычислим по-
показатели для конструкции, свойства которой заданы с точностью до
вектора г. Эти показатели обозначим S (Ф} | г, s) и Я (Ф, | г, s).
Для показателя риска, вычисленного по отношению к любому силь-
сильному сотрясению из класса Фу и для любой конструкции рассматри-
рассматриваемого типа, имеем формулу
Я (ф,) = J J Я (Ф, | г, s) p (г, s) dr ds, F.87)
D(r,s)
где р (г, s) — совместная плотность вероятности векторов г и s.
Обычно эти векторы независимы, так что р (г, s) = pr (r) ps (s).
Для функции безопасности S {t) с учетом формулы F.8) получаем
соотношение
s (/)« ГП<2о (% 0 + П - н (ф>I Q (фг> 01- F.88)
251
Здесь Qo (Фу, t) —вероятность того, что на отрезке времени (t0, t]
в области Ф, не произойдет ни одного сильного землетрясения;
Q (Ф.Г> t) — вероятность того, что за это время землетрясение про-
произойдет один раз. В рамках данного приближения Qo (Фу t) *=» 1 —
— Q {Фу, t), что соответствует формуле F.9).
6.10. ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
НА СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ
Современные инженерные методы расчета промышленных и граж-
гражданских сооружений, энергетического и промышленного оборудо-
оборудования основаны на квазистатическом подходе. Сейсмостойкость
обеспечивают расчетом на некоторые статические горизонтальные
и вертикальные нагрузки, получаемые умножением масс конструк-
конструкции на нормативные значения горизонтальных и вертикальных уско-
ускорений. Последние определяют по формулам типа
а0,
F.89)
где а0 — нормативные ускорения грунта, задаваемые на основе
карт сейсмического районирования; кг, k2, ... —коэффициенты,
учитывающие степень ответственности и срок службы сооружения,
его высоту, местные грунтовые условия, динамические и деформа-
тивные характеристики сооружения.
Среди коэффициентов наибольший интерес представляет динами-
динамический коэффициент k, характеризующий динамическую реакцию
сооружения на сотрясение его основания. Коэффициент k обычно
представляют в графической форме в функции от собственного пе-
периода То = 2л/соо сооружения. График из строительных норм
(СНиП II—А.12.69) приведен на рис. 6.13, а. Некоторые нормы
дают дифференцированные графики для динамического коэффи-
коэффициента в зависимости от геологических и грунтовых условий. На
рис. 6.13, б приведен график из проекта японских норм для областей
с высокой сейсмичностью [133]: кривая / соответствует скальному
основанию, кривая 4 — аллювию или насыпному основанию, кри-
кривые 2 и 3 — промежуточным грунтовым условиям.
Динамический коэффициент имеет смысл отношения максималь-
максимального абсолютного ускорения линейной системы с одной степенью
0,05 о; 0,1 0,5 1,0 2,0 5,ОТ0,с 0,05 0,1 0,1 0,5 1,0 2,0 5,0 Т^ с
а) 6)
Рис. 6.13
252
свободы при сильном (расчетном) сотрясении к максимальному
ускорению основания при этом сотрясении:
k = ±max \a(t) + u(t)\. F.90)
Здесь а (/) — ускорение основания с максимальным значением а0,
хЕ—интенсивная фаза сотрясения; и (t) —перемещение системы
относительно колеблющегося основания, т. е. решение дифферен-
дифференциального уравнения
й -f 2|3шом -f- ©?и = —a(t) F.91)
при нулевых начальных условиях. В уравнении F.91) со0 —соб-
—собственная частота; р—коэффициент демпфирования, связанный
с декрементом б соотношением р = 6/2я. Значения коэффициента k
устанавливают для некоторого определенного коэффициента [3,
например р0 = 0,05. Пересчет на другие значения р производят
с помощью коэффициента k^ типа одного из коэффициентов в фор-
формуле F.89). В грубом приближении можно принять k$ я« (Р0/РI;2-
Более точные зависимости обычно задают в табличном виде. Нели-
Нелинейные эффекты (пластические деформации, трение в узлах и соеди-
соединениях и т. п.), как правило, снижают динамический эффект. Для
учета этого снижения вводят специальный коэффициент пластич-
пластичности (ductility factor), обозначаемый обычно ц, < 1. Если в основной
спектральной области сотрясений (примерно от 1 до 100 с) распо-
расположены две и большее число собственных частот конструкции, то
применяют так называемый «модальный» метод. Перемещения кон-
конструкции разлагают по собственным формам колебаний, после чего,
пренебрегая связанностью форм, для каждой из них вычисляют
динамический коэффициент и обобщенное расчетное ускорение.
Результирующее поле ускорений, на которое в конечном счете про-
производят квазистатический расчет, определяют как среднее квадрати-
ческое значение от ускорений, отвечающих каждой из собственных
форм. Подробности можно найти в руководствах [54, 121].
В неявной форме квазистатический подход содержит некоторые
элементы оценки сейсмического риска. Это находит отражение
в способе выбора нормативного значения максимального ускорения а0,
а также расчетной акселерограммы для зависимости a (t) в правой
части уравнения F.91). Для анализа и уточнения норм расчета ис-
используют записи наиболее сильных сейсмических воздействий для
данного или сходного в геотектоническом отношении региона.
В последнее время широко используют искусственные акселеро-
акселерограммы, получаемые моделированием случайных процессов с задан-
заданными характеристиками на ЭВМ. Совокупность значений
я, -=max\a(t) + u(t)\, F.92)
рассматриваемых как функции собственной частоты соо (собственного
периода То = 2л/со0) и коэффициента демпфирования Р, называют
спектром ускорений для данной акселерограммы а (/). С этой точки
253
зрения графики динамического коэффициента представляют собой
сглаженные и нормированные спектры ускорений для расчетных
акселерограмм. Повторяемость воздействий данного класса на рас-
рассматриваемой площадке служит оценкой сейсмического риска.
В настоящее время интенсивно разрабатывают методы расчета
более высоких уровней. Современное состояние сейсмологии, меха-
механики материалов и конструкций, теории надежности, а также чис-
численных методов решения сложных инженерных задач позволяет
проводить расчеты на сейсмостойкость, в максимальной степени
отвечающие ожидаемым сейсмическим воздействиям и динамиче-
динамическому поведению конструкций. Эти методы начали применять для
расчета наиболее ответственных и потенциально опасных сооруже-
сооружений. Вместе с тем квазистатический подход надолго останется основ-
основным средством массовых расчетов на сейсмостойкость. Он отражает
многолетний опыт расчета, проектирования и эксплуатации промыш-
промышленных и гражданских сооружений традиционного типа. Для соору-
сооружений и оборудования нового типа такого опыта нет. Как показывает
отечественная и зарубежная практика, нормативные документы
ориентируют расчетчиков и конструкторов новой техники на приме-
применение более совершенных и адекватных методов расчета, требуя
в то же время проведения проверочных расчетов по общеграждан-
общегражданским нормам. С этой точки зрения представляет интерес более де-
детальный анализ методов расчета, основанных на формулах типа F.89)
и F.92). Изложим некоторые результаты, следуя в основном статьям
[5, 6, 22].
Обсудим вначале вопрос обоснования расчетного ускорения на
основе простейшей модели F.91) системы с одной степенью свободы.
Для назначения расчетных детерминистических нагрузок используем
следующий принцип [221: расчетные нагрузки должны быть таковы,
чтобы рассчитанная по ним конструкция удовлетворяла требованиям
надежности и безопасности по отношению ко всем нагрузкам и воз-
воздействиям, которые могут встретиться в течение установленного
срока службы, обеспечивая вместе с тем достаточно высокие показа-
показатели экономичности и эксплуатационной эффективности.
Обозначим расчетное ускорение, определяемое согласно F.89), ач.
Выполнение неравенства
max | а @-f-«(О I < *ш. F.93)
означает, что при сейсмическом воздействии a (t) максимальное
ускорение системы и, следовательно, пропорциональные ему макси-
максимальные усилия, моменты и напряжения не достигнут предельных
значений. Учет нелинейных эффектов позволяет снизить предельные
значения. Для этого введем коэффициент пластичности \i <: 1.
Обозначим Н (Фу, а*) — условный риск для конструкции, которая
запроектирована на расчетное ускорение а*. По условию F.93)
имеем
H(OJ;a#)=l-P{\a(f) + u(t)\<vait;t^x]S\, F-94)
где и (t) —решение уравнения F.91).
254
По формуле F.14) найдем полный риск за срок службы Т:
Н (Г; О = 1 - ехр [ - fj kjTH (Фу, а*I. F.95)
Пусть Я^ — предельно допустимое значение полного риска.
Приравнивая правую часть из F.95) этому значению, получим урав-
уравнение относительно расчетного ускорения а*. Решение этого уравне-
уравнения позволяет найти зависимость расчетного ускорения от срока
службы, предельно допустимого риска, интенсивности потоков
сотрясений и т. п.
Рассмотрим подробнее частный случай m = 1. Возьмем простей-
простейшую модель сотрясения, согласно которой a (t) есть отрезок реали-
реализации стационарного нормального случайного процесса с матема-
математическим ожиданием, равным нулю. Обозначим дисперсию этого
процесса ol, спектральную плотность 5Ф (со). Пусть собственный
период системы, преобладающий период сотрясения, а также харак-
характерное время корреляции процесса a (t) достаточно малы по сравне-
сравнению с продолжительностью хЕ интенсивной фазы сотрясения. Пусть
также демпфирование достаточно мало, так что р2 <С 1- Тогда можно
принять a (t) + й (t) ?=* —соо" @- Условный риск F.94) выразим
через математическое ожидание числа выбросов стационарного нор-
нормального процесса в единицу времени из полосы шириной 2\ш%.
Учитывая, что эффективная частота процесса и (t) приближенно
равна собственной частоте ©0, получим формулу типа F.46):
Я (а*) = 1 - ехр {— (соот?/л) ехр [- (^а^ш4^)]}. F.96)
Здесь Оц —дисперсия процесса и (t).
Условие для определения расчетного ускорения F.89) с учетом
F.95) и F.96) дает
а* =¦
Поскольку нормативный риск Я* < 1, то In A —Я*) л* —Я*.
Кроме того, КТ ~ 1 или более (среднее время ожидания расчетного
землетрясения по определению имеет порядок срока службы или
превышает его), поэтому HJkT <^ 1. Вместо F.97) получаем более
простую формулу
а* = KaB/|i) [2 In (сОоТгШяЯ*)!1/2, F.98)
которая пригодна практически начиная с HJKT < 0,1.
Формула F.98) представляет особый интерес, поскольку в ее пра-
правую часть входит комплекс, объединяющий различные параметры:
собственную частоту системы щ, продолжительность интенсивной
фазы землетрясения тЕ, параметр повторяемости %, срок службы Т
и нормативный показатель риска Я*. Формула F.98) выражает
«корень квадратный — логарифмическую зависимость» расчетных
нагрузок от срока службы и нормативного риска [5]. При прочих
равных значениях параметров расчетные ускорения а.л и а%2 для
255
двух различных сроков службы 7\ и Т2 связаны соотношением
a*i/a*2 = [(С + In 7\)/(С + In T2)V 2, где С — постоянная. Для
различных показателей риска Н^ и Я^г имеем a^i/a^a = [(D—
— In H^)I(D —\nHt.2)V2, где D —постоянная.
Формулы F.97) и F.98) по структуре и способу вывода весьма
сходны с формулами F.48) и F.49) для расчетной нагрузки s*, име-
имеющей заданную обеспеченность. Наиболее существенное различие
состоит в том, что расчетная нагрузка s* отражает свойства процесса
нагружения на заданном отрезке времени Т, а расчетное ускорение
в формулах F.97) и F.98) —свойства реакции конструкции (в дан-
данном случае ее простейшей модели — линейной системы с одной сте-
степенью свободы) на процесс нагружения. Понятия обеспеченности е*
и нормативного показателя риска Я* выполняют здесь аналогичную
роль. Обеспеченность е* равна вероятности превышения параме-
параметром нагрузки заданного значения s*, а показатель Я* —вероят-
—вероятности хотя бы одного нарушения неравенства F.93) в течение срока
службы Т.
В формулы F.97) и F.98) входит дисперсия о2и перемещения и (t)
При принятых допущениях имеем приближенную формулу [15, 42]
р ), F.99)
в которую входит значение спектральной плотности Sv (со) при
ю = соо. Таким образом,
«* = (оЛ) U^cAp ((OoVPJ In (щтЕ%Т1лНъ)У2. F.100)
Формула F.100), связывающая расчетное ускорение а% с харак-
характерным ускорением грунта а0 —аналог нормативной формулы F.89).
Но в формулу F.89) входит величина а0, равная максимальному
ускорению грунта, зафиксированному при расчетном землетрясении.
Чтобы сделать формулы F.100) и F.89) полностью эквивалентными,
следует выразить а0 через максимальное ускорение грунта. Послед-
Последнее, однако, в рассматриваемой математической модели представ-
представляет собой случайную величину. Чтобы преодолеть указанное за-
затруднение, возьмем вместо а0 некоторую квантиль максимального
по модулю ускорения amiix, соответствующую вероятности порядка
единицы. Аналогично выводу формулы F.55) получаем характерное
значение максимального ускорения
агаах»(То[21п@тв/яI1/2. F.101)
Эффективная частота процесса a (t) принята равной преоблада-
преобладающей частоте сотрясения 0. При 9тЕ = 50л формула F.101) дает
«шах ^ 2,80ст0, что согласуется с принятым в инженерных расчетах
пересчетом средних квадратических ускорений на максимальные
ускорения.
Пример 6.5 На рис. 6.14 приведены результаты вычислений динамического
коэффициента k = а^./атг1Х по формуле F.100) с учетом формулы F.101). Спектраль-
Спектральная плотность Sq. (со) взята в форме F.77) при 6 = 5я с и а = 2,5я с. Числа у кри-
кривых указывают значения приведенного годового риска HJKT для сооружения со
сроком службы Т. Штриховой линией нанесены значения динамического коэф-
коэффициента по СНиП II—А. 12.69.
256
Остановимся на статистическом
истолковании сейсмических спектров.
Рассмотрим спектр ускорений, за-
задаваемый соотношением F.92). Пусть
расчетное сотрясение a (t) пред-
представляет собой случайный процесс.
Тогда ординаты спектра ускорения
as — случайные величины с функ-
функцией распределения
+ u(t)\<as;teTE\. F.102)
Из формулы F.94) следует, что
эта функция распределения связана
с условным сейсмическим риском
соотношением F (as) = 1 — Н (Ф; as)
при [г = 1. Для рассмотренной про-
простейшей модели сотрясения в виде
отрезка стационарного нормального
процесса вместо F.102) получаем
формулу типа F.46):
F (as) = ехр (— (со0тЕ/л) ехр |
Рис. 6.14
— a
1я/ш0! с
F.103)
Дисперсию перемещений а2и определяем по формуле F.99). Таким
образом, сейсмические спектры можно представить либо в виде
кривых F (as), либо в виде графиков у-квантилей а}- = F'1 (у), где
F~x (¦) —обратная функция. В первом случае собственная частота со0
(или период) играют роль параметра, во втором случае—роль
аргумента.
Сейсмические спектры, построенные для записи реальных сотря-
сотрясений или искусственных акселерограмм, допускают аналогичное
толкование. Обычно предпочитают работать со спектрами скоростей,
| (t)\ E З (t)
которые вводят как vs = max
решение уравнения F.91) при.
р
v (t)\, где t (E тЕ. Здесь v (t) есть
< 1 и нулевых начальных условиях
v(t)
J ехр [— К (/ - т)] cos [co0 (t - г)] а (т) dr. F.104)
По спектру скоростей найдем приближенное значение спектра
относительных ускорений as ^ a>ovs и спектра перемещений us ^
«=> vj(uo. Вместо формулы F.104) часто применяют непосредственно
численное интегрирование уравнения F.91) на ЭВМ.
Пример 6.6- Обсудим результаты [69] вычислений для записи реального сотря-
сения, а также для математической модели, параметры которой получены путем
статистической обработки реальной акселерограммы. Огибающая взята в виде вто-
второй формулы F.75) с параметрами Лс=3,34 м-с; с= 0,18 с~\ спектральная плот-
плотность — в виде F.77) с параметрами 0 = 24,2 с, а = 13,3 с. Были построены
сейсмические спектры для 51 реализаций, включая акселерограмму-прототип.
Некоторые результаты приведены на рис. 6.15. Здесь 1 — спектр ускорений, соот-
соответствующий прототипу; 2 — результат усреднения по 50 искусственным акселеро-
257
Рис. 6.15
!п
15 ffS/ мс"'
258
Рис. 6.16
граммам; 3 — «самый плохой» спектр; 4 — «самый хороший» спектр ускорений из
50 реализаций. Спектры 3 и 4 наиболее отличаются от усредненного спектра значе-
значением пика абсолютного ускорения. Отметим, что на некоторых собственных частотах
«самый хороший» спектр дает большие значения расчетного ускорения, чем осталь-
остальные три спектра, приведенные на рис. 6.15. Рис. 6.16 дает представление о виде
эмпирических функций распределения F (as) при значениях собственного периода
0,5; 1,0 и 2,0 с. На рис. 6.17 показаны зависимости эмпирических квантилей, соот-
соответствующих вероятностям от у = 0,02 до у = 0,98.
Мы показали влияние разброса реализаций в пределах случай-
случайного процесса с фиксированными вероятностными характеристиками,
не учитывая при этом разброса вероятностных характеристик сотря-
сотрясений и их повторяемость. Допустим теперь, что расчетное сотря-
сотрясение повторяется со средним временем ожидания 1/Х. Тогда полный
риск за срок службы Т определим по формуле Н (Т; а%) = 1 —¦
— ехр {—%Т [1 —F (а*)]], где F (а„.) —функция распределения
спектра ускорений при as = а*. Ближайший шаг по усовершенство-
усовершенствованию способов нормирования сейсмических нагрузок состоит в том,
чтобы ввести несколько типов расчетных сотрясений, отличающихся
повторяемостью, максимальными ускорениями и спектральным
составом.
6.11. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РИСКА
Методы статистического моделирования, рассмотренные в гл. 5
применительно к оценке ресурса на стадии проектирования, могут
быть в полной мере использованы для оценки показателей риска
по отношению к редким экстремальным воздействиям. Схема расчета
включает многократную имитацию потоков событий — источников
экстремальных воздействий, вычисление реакции конструкции на
эти воздействия, учет случайных свойств материалов, узлов и со-
соединений, а также нагрузок от нормальных условий эсплуатации
и постепенно накапливаемых повреждений [18].
Практическое значение комплексного подхода к моделированию
зависит как от наличия статистической информации, объем и каче-
качество которой с каждым годом возрастают, так и от потребного ма-
машинного времени и памяти ЭВМ. Если нормативное значение риска
очень мало, то для принятия решений потребуются оценки весьма
малых (или весьма близких к единице) вероятностей. Тогда историю
жизни конструкции придется проигрывать слишком много раз,
так что комплексная схема окажется неосуществимой. Напротив, при
невысоких требованиях к безопасности можно ограничиться отно-
относительно небольшим набором реализаций.
При современном состоянии вычислительной техники для оценки
малых показателей риска наиболее удобен полуаналитический метод,
согласно которому статистическое моделирование применяют для
оценки показателей условного риска, т. е. вероятностей возникнове-
возникновения аварийной ситуации при заданном экстремальном воздействии.
Показатель полного риска вычисляем по формулам полной вероят-
вероятности с использованием аналитических моделей для потоков редких
259
событий. Так, при реализации формул F.7), F.8) и других исполь-
используем статистическое моделирование для оценки условного риска
Н (Фу) или условного показателя безопасности S (Ф;). Если про-
проводим расчет по формулам F.10) и F.11), которые учитывают раз-
разброс свойств экстремальных воздействий и свойств конструкции, то
метод статистического моделирования служит средством для оценки
условного риска Н (Ф7- j r, s) и т. п. Вероятности появления экстре-
экстремальных воздействий Qo (Ф;-; /), Qt (Ф^; /), ... задаем в аналитиче-
аналитической форме, а значения функций безопасности S (t) и риска Я (/)
вычисляем непосредственно по перечисленным выше формулам.
Если необходимо учесть влияние повреждений от эксплуатацион-
эксплуатационных и регулярных природных нагрузок, то эти факторы следует
включить в схему статистического моделирования. Результатом мо-
моделирования являются условные функции безопасности типа функ-
функций Н (Фу, t) из формулы F.11). Полный риск выражаем по этой
формуле через вероятность Qo (Ф/, 0 и интенсивность потока воздей-
воздействий Kj (t), заданные в аналитической форме.
Поскольку нельзя получить достаточно простые и универсальные
зависимости для показателей риска, то упрощающее предположение
о пуассоновских свойствах потоков воздействий перестает быть столь
привлекательным. Отказ от этого предположения позволяет исполь-
использовать более общие вероятностные модели, например модели полу-
полумарковских процессов для описания штормовых воздействий на
суда и морские сооружения. Применительно к сейсмическим воздей-
воздействиям модель пуассоновского потока обладает еще и тем существен-
существенным недостатком, что она принципиально исключает из рассмотре-
рассмотрения влияние сейсмической предыстории и учет предвестников зем-
землетрясений [64]. Более перспективными представляются модели
порогового типа, поскольку они отражают физическое представле-
представление о землетрясении как об акте высвобождения накопленной энергии.
В работе [18] предложен вариант такой модели, специально при-
приспособленной для расчетов на сейсмостойкость с учетом сейсмиче-
сейсмической предыстории. При некоторых частных допущениях эта модель
приводит к распределению интервалов т между двумя последующими
землетрясениями в виде
-(т/т^]. F.105)
Постоянная времени тс и показатель (х > 0 зависят от скорости
накопления энергии в очаговой области и от сопротивления развитию
тектонической трещины. Пусть th — момент последнего сильного
землетрясения. Тогда из .F.105) следует, формула для функции
распределения времени ожидания следующего землетрясения
Q(t\th)=l-exp[-(t -thfh?l F.106)
Аналогичные формулы получаем для оценки ожидаемых значений
макросейсмических параметров этого землетрясения, например для
магнитуды
М (t | 4) = Мо + (ц/р) In [(t - 4)/т01. F.107)
260
Здесь Мо — минимальная расчетная магнитуда; |3 и т0 — положи-
положительные постоянные. По формулам F.106) и F.107), а также макро-
сейсмическим формулам оценим условный риск Я (Ф/, t) для воздей-
воздействий, приходящих из очаговой области.
Пример 6.7. В работе [70] рассмотрена устойчивость конструкций башенного
типа при сейсмических воздействиях. При сильном горизонтальном сотрясении
может произойти обрушение башни, что представляет опасность для людей и окру-
окружающей среды. Если конструкция достаточно жесткая, то собственные частоты ее
изгибных колебаний лежат за пределами характерных частот сейсмических воздей-
воздействий. Выберем расчетную схему в виде твердого тела — обращенного маятника
с массой т и приведенной длиной /. Обобщенной координатой служит угол ф отклоне-
отклонения оси от вертикали (рис. 6.18). В начальный момент времени t = 0 тело имеет от-
отклонение ф0 в общем случае отличное от нуля. Уравнение колебаний тела при гори-
горизонтальном ускорении основания a (t) имеет вид
т/2ф + 2/п/2еф - mgl (sin ф — sin ф0) + М (ф, ф) = — mla (t) cos ф. F.108)
Здесь g — ускорение свободного падения; е — коэффициент внешнего сопротивле-
сопротивления; М (ф, ф) — восстанавливающий момент в основании. Для этого момента примем
соотношение гистерезисного типа с линейным упрочнением. Типичные диаграммы
деформирования приведены на рис. 6.19. Здесь My — предельное значение момента
для упругой стадии; Mg — предельное (из условий прочности в основании) значение
этого момента; фу и фд — соответствующие углы. Коэффициент жесткости для
упругой стадии обозначим с0, коэффициент для стадии упрочнения — ct. Для иде-
идеальной упругопластической модели Мв = My; с1 = 0.
Условие безопасности примем в виде ф** < фг < ф^, где фг — остаточное зна-
значение угла ф после сейсмического воздействия; ф* и ф„„ — предельные углы, опре-
определяемые из условий статической устойчивости. Эти углы равны корням урав-
уравнения
sin ф = + (eje,,) sin ф0 + [My + ct (ф — фу + фо) У (mgl)
в области — я/2 < ф < л/2. В правой части уравнения следует брать знаки, совпа-
совпадающие со знаком начального угла ф0. Для идеальной упругопластической модели
при фо = 0 критические значения угла ф* = —ф*,. = arcsin (Mylmgl). Введем
условный показатель риска по отношению к воздействиям из некоторого класса Ф:
Н (Ф) =1 — Р {ф** < фг < ф*}. Оценка безопасности по остаточным (а не по
максимальным) отклонениям учитывает то обстоятельство, что в процессе динами-
динамического воздействия нарушение усло-
условий статической устойчивости не обя-
обязательно приводит к обрушению башни.
На рис. 6.20 приведены выбороч-
выборочные реализации процесса ф (t), полу-
полученные для модели F.108) со следу-
ющими параметрами: соо =
у
1/2 _
a(t)
Рис. 6.18
Рис. 6.19
261
(op = (g/0I/2 = 1 с;
o = 0,05; фу = 5-10;
C]/co= 0,01. Начальный угол
отклонения принят ф0 = 0. При
этсм Ф* = 0,12. Для сотрясе-
сотрясения a (f) принята модель F.74)
г псевдоогибающей второго типа
i з F.75) и спектральной плот-
плотностью F.77). Параметры мо-
модели А,, = 4,5 м-с'2; с=0,18с;
6 = 24,2 с; а/6 = 0,55. Две
из реализаций на рис. 6.20 со-
соответствуют обрушению башни
при землетрясении. Оценка
условного показателя риска по
отношению к сотрясениям из
данного класса на основании
выборки из 50 реализаций со-
составляет Н (Ф) « 0,42.
Если требуемый уро-
уровень безопасности не
очень высок, то можно
применить метод стати-
статистического моделирования в полном масштабе, включив в его
схему не только экстремальные,но и относительно слабые воз-
воздействия, а также накопление повреждений в процессе нормаль-
нормальной эксплуатации. Примеры такого комплексного расчета даны
в работе [18], где рассмотрено поведение конструкции, пло-
площадка которой находится вблизи нескольких очаговых областей. Для
землетрясений в каждой области принята модель порогового типа,
а параметры сотрясений на площадке выражены через магнитуды
землетрясений по известным макросейсмическим формулам. На
рис. 6.21, а показана одна из реализаций потока сотрясений на
площадке, выраженная через характерное (квазимаксимальное) уско-
ускорение Ас. Принято, что сотрясения приходят из шести очаговых обла-
областей, характерные эпицентральные расстояния до которых равны
-0,05 ~
-0,10 -
-9*
Рис. 6.20
«с
-2
ОАО
ОМ 5
100
lOOt, пет
а/
-005
-0,10
Рис. 6.21
WO
L~J—1 П
i *—_
-
Г
zoo
1
f=—1 , t.nem
-И
¦s
L.
'1
1 .
*-
262
соотвественно 25, 50, 100,
100, 150 и 200 км. Для всех
областей принята модель
Вейбулла F.105) с показа-
показателем \х = 2 и характерным
временем ожидания * хс =
= 50 лет. Моменты времени 4
последних наблюдаемых зем-
землетрясений (с точностью до
знака минус) для очаговых
областей взяты равными со-
соответственно 1, 10, 3, 15, 2
и 4 годам. В формуле F:107)
принято Мо = 5; р = \х = 2;
то = тс- " S0 100 <С
Хотя потоки землетрясе-
землетрясений в каждой очаговой об- Рис. 6.22
ласти не являются пуассо-
новскими, они порождают по-
поток сотрясений, близкий к пуассоновскому. Это проиллюстриро-
проиллюстрировано на рис. 6.22, где приведены эмпирические распределения
Fx(x) для времени т между соседними сотрясениями. Кривая 1
относится к сотрясениям, приходящим из одной очаговой обла-
области, кривые 2 и 6 — к суперпозиции сотрясений соответственно
из двух и шести областей. На оси ординат использована функ-
функциональная шкала для экспоненциального распределения. С уве-
увеличением числа источников графики эмпирических распределений
приближаются к прямой, так что эмпирическое распределение
для сотрясений, приходящих из шести очагов, мало отличается
от экспоненциального.
Пример 6.8. В работе [70] приведены некоторые реализации процесса фг (t)
для конструкции башенного^типа (см. рис. 6.18). Для упрощения принято, что после
землетрясений, не приводящих к разрушению башни, ремонт не производят. Тачим
образом, происходит необратимое накопление повреждений вплоть до разрушения.
Скачки на рис. 6.21, б соответствуют
сильным землетрясениям, вертикаль-
вертикальными стрелками обозначены моменты
обрушения. Многократно моделируя
потоки сотрясений, получим доста-
достаточно полную картину поведения
конструкции в условиях высокой сей-
сейсмической активности. На рис. 6.23
приведены кривые для функции пол-
полного риска, вычисленной по 50 реа-
реализациям истории нагружения. Кри-
Кривая 1 получена для случая, когда за
опасное состояние принято нарушение
неравенства | срг | < <р„, где ф* — кри-
критический угол. Кривая 2 дает оценку
функции риска по отношению к на-
нарушению неравенства | фг [ < ф*/я
с запасом устойчивости п = 2. Чтобы
получить оценку риска для сроков
263
Н
о
t/iem
службы Т = 10 ... 50 лет, следует аппроксимировать эмпирические зависимости на
рис. 6.23 аналитическими выражениями, обладающими подходящей асимптотикой
в области малых вероятностей и экстраполировать результаты на область мень-
меньших значений t.
6.12. НАЗНАЧЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
БЕЗОПАСНОСТИ
Выбор нормативных значений для показателей безопасности и
риска — трудная задача, для решения которой в настоящее время
предложен ряд различных подходов. Перечислим некоторые из них.
1. Назначение показателей безопасности на основе уровней,
которые соответствуют статистическим данным об авариях в данной
отрасли и в настоящее время считаются приемлемыми. С социально-
психологической точки зрения в расчеты обычно закладывают зна-
значения риска, которые на пол-порядка или на порядок меньше до-
достигнутого к настоящему времени уровня. Так, в гражданской авиа-
авиации при среднем уровне катастроф h = 3-Ю'7 ... 5-10 7 на 1 ч по-
полета назначают показатель риска для конструкции h* — 10~7 и
даже /г* = 1(Г8 ч'1 [61, 124]. Однако при этом учитывают, что лишь
примерно 10 % общего числа авиационных катастроф вызваны раз-
разрушением конструкции в воздухе.
2. Назначение показателей безопасности на основе уровня,
существующего в смежных (в частности, конкурирующих) отраслях.
Этот способ широко используют при составлении норм надежности
оборудования атомных электростанций, поскольку они вызывают
озабоченность как потенциальный источник повышенной опасности.
Основой для сравнения обычно служат традиционные тепловые и
гидравлические электростанции [85]. Обычно назначают показатели
риска примерно на порядок меньше, чем в конкурирующих отраслях.
3. Назначение индивидуального риска, т. е. риска в расчете на
одного работающего или одного живущего вблизи потенциально
опасного объекта. Примером служит анализ катастроф при разра-
разработке континентального шельфа, включающий сопоставление ча-
частот несчастных случаев в различных отраслях, в частности на мор-
морском транспорте и в горной промышленности (см. табл. 1.4). За
основу для сравнения часто принимают показатель добровольно
принимаемого риска, например риск курильщика или водителя
личного автомобиля. Зарубежные исследователи широко используют
аргументы, основанные на понятии индивидуального риска [39].
Наряду с этим используют концепцию «платы за прогресс»: Так,
аргументируя фактом увеличения средней продолжительности жизни,
вычисляют математическое ожидание сокращения из-за использова-
использования определенного класса технических объектов. Сокращение средней
продолжительности жизни оказывается равным нескольким се-
секундам или минутам. Нельзя признать убедительной подобную
манипуляцию статистическими понятиями.
4. Экономические подходы к назначению показателей безопас-
безопасности. Этот способ применяют как в форме оптимизационных крите-
критериев, так и в форме оценки «платы за спасение одной человеческой
264
жизни». Независимо от того, использованы ли понятия стоимости
человеческой жизни явно или нет, экономические подходы трудно
признать научно обоснованными и тем более убедительными с со-
социально-психологической точки зрения.
Среди перечисленных наиболее убедительны первые два способа.
Возникает вопрос об истинной значимости столь малых вероятностей,
как h = 1СГ7 ч или h = 10~4 в год из расчета на один реактор [85].
Отчасти эти вероятности обеспечены путем выбора расчетных нагру-
нагрузок и воздействий (в виде назначенной обеспеченности), отчасти
введением коэффициентов запаса по материалам. Для особо ответ-
ответственных объектов высокий уровень безопасности получают в ре-
результате многократного резервирования. Примером служит система
защиты блока атомного реактора от плавления активной зоны и вы-
выброса радиоактивных продуктов. Высокий назначенный уровень
безопасности требует повышенного качества проектирования и рас-
расчета, контроля качества на всех этапах изготовления, обеспечения
систем контроля технического состояния и прогнозирования оста-
остаточного ресурса в процессе эксплуатации и т. д. Таким образом, вы-
высокие требования к безопасности в интегрированной форме состав-
составляют высокие требования к качеству объекта в целом.
Значительная часть факторов риска связана с неполнотой и не-
недостаточной достоверностью используемой информации, а также
с возможностью грубых ошибок человека. Эти факторы стали в по-
последнее время объектом пристального внимания. В статье [118]
приведены результаты анализа 800 аварий строительных конструк-
конструкций и сооружений, происшедших в Швейцарии. Лишь около 25 %
аварий можно объяснить в рамках факторов риска, предусмотренных
на стадии проектирования и расчета. Остальные аварии вызваны
ошибками людей. При этом аварии второго типа принесли около
90 % общего размера убытков. Ошибки, приведшие к авариям, рас-
распределены по причинам следующим образом: ошибки при проекти-
проектировании 39 %, при изготовлении, монтаже и возведении 37 %,
ошибки во всем комплексе проектирования и осуществления 49 %
и ошибки при эксплуатации 5 %. Приведем также распределение
ошибок на стадии проектирования. Ошибки в выборе расчетной
схемы составляют 36 %, ошибки в оформлении технической доку-
документации 19 %. Считают, что около32 % аварий можно было бы
избежать при существующей системе контроля. Однако для предотвра-
предотвращения примерно 55 % ошибок необходимо было ввести дополнитель-
дополнительный контроль. Остальные 13 % отнесены к категории ошибок, обна-
обнаружение и устранение которых затруднено из-за недостаточного
количества времени.
Преобладающая роль ошибок как фактора риска типична и
для других отраслей. Так, на основе обширного статистического ма-
материала о катастрофах в гражданской авиации США (данные можно
найти, например, в книге [61 ]) можно утверждать, что лишь при-
примерно 10 % общего числа авиационных катастроф происходит с раз-
разрушением конструкции в воздухе. Примерно половина этих аварий
вызвана превышением нагрузками несущей способности конструк-
265
ции. Большая часть остальных катастроф была результатом ошибок
пилотов и персонала наземного обслуживания.
Перечисленные обстоятельства привели к тому, что в теории на-
надежности возник новый термин — «человеческая ненадежность».
Количественный учет этого фактора весьма затруднен. В работе
[89 ] сделана попытка описать «человеческую ненадежность» наряду
с неполнотой информации, используя теорию размытых множеств
и элементы вероятностной логики. При этом подход, основанный на
теории размытых множеств, противопоставлен вероятностно-стати-
вероятностно-статистическому подходу. Однако основы теории размытых множеств
могут быть полностью описаны в рамках аксиом теории вероят-
вероятностей. С этой точки зрения теория размытых множеств представляет
собой лишь ветвь теории вероятностей с несколько необычной терми-
терминологией. Если есть возможность описать человеческие факторы
в рамках математических моделей, то естественным аппаратом для
этого служит теория вероятностей (включая теорию случайных про-
процессов), теория статистических решений и, возможно, некоторые
разделы теоретической кибернетики. Первоочередная задача состоит
все же в том, чтобы на основе научного анализа причин и послед-
последствий аварий разработать систему технических, организационных,
воспитательных и эргономических мероприятий, сводящих до ми-
минимума фактор человеческих ошибок.
Машина или конструкция, обладающая достаточным запасом
надежности по отношению к эксплуатационным, природным и особым
воздействиям, обычно более надежна по отношению к потенциаль-
потенциальным ошибкам. К повышению такой надежности, как правило, ведут
все меры, предназначенные для повышения живучести — способ-
способности объекта удовлетворять требованиям безопасности, несмотря
на появление отказов и (или) воздействий предаварийного характера.
Выбор конструкционных материалов с большим запасом пластич-
пластичности, большей энергоемкостью при разрушении, большей трещи-
ностойкостью, введение структурного резервирования путем повы-
повышения степени статической неопределимости и другие мероприятия
приводят к повышению надежности объекта по отношению к ошиб-
ошибкам человека.
7. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОСТАТОЧНОГО
РЕСУРСА
7.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Эксплуатация машин и сооружений по индивидуальному техни-
техническому состоянию открывает дополнительные резервы для повыше-
повышения ресурса и показателей безопасности. Этот метод впервые приме-
применили в гражданской авиации. Весьма перспективно применение
метода в энергетике, тяжелой и горнодобывающей промышленности,
в практике эксплуатации автомобилей, строительно-дорожных ма-
машин и сельскохозяйственной техники.
Методология прогнозирования индивидуального остаточного ре-
ресурса и других индивидуальных показателей надежности в прин-
принципе не отличается от методологии прогнозирования на стадии
проектирования. Самое существенное различие состоит в том, что
в дополнение к априорной информации о материалах, узлах, нагруз-
нагрузках следует использовать текущую информацию об объекте, полу-
полученную в результате наблюдений и измерений во время эксплуата-
эксплуатации. На основании совокупности информации об объекте необходимо
экстраполировать поведение объекта в будущем и установить опти-
оптимальный момент для прекращения эксплуатации данного объекта
и (или) проведения следующей инспекции, если контроль состояния
не ведут непрерывно.
Пусть задан некоторый технический объект, текущее состояние
которого контролируют на основании косвенных измерений. Состоя-
Состояние объекта — функция непрерывного или дискретного параметра t
(времени, наработки и т. п.). Совокупность результатов измерений
в момент времени t назовем диагностическим вектором или вектором
признаков и обозначим w. Вектор признаков есть элемент некото-
некоторого диагностического пространства W или пространства признаков
(см. гл. 2).
Пусть процесс w (t) измеряют в моменты времени tlt ..., 4 и
результаты измерений равны w1; ..., wft. Для краткости введем обо-
обозначения множеств Tk = \tx, ..., th\ и w (Th) = {wu ..., wh\.
Предположим, что на основании некоторого правила по результатам
наблюдений w (Th) проведена экстраполяция, т. е. дан прогноз
этого процесса на отрезке времени (th, t). Этот прогнозируемый про-
процесс обозначим w (t | Th).
Про:тейший подход к задаче прогнозирования индивидуальных
остаточных показателей надежности основан на концепциях техни-
технической диагностики [3]. Пусть в пространстве W выделена об-
область Qw, соответствующая работоспособным состояниям объекта
(рис. 7.1). Тогда естественно принять следующее правило: объект,
267
W!t\Tk)
Рис. 7.1
работоспособный при t < th, можно
эксплуатировать до момента времени
4+i > 4, если при всех t ? D, 4+J
выполнено условие w (/ | Th) ? Q№.
В рамках этой схемы возможен учет
случайного характера 'процесса w (t),
если в каждой точке пространства W
задать значение вероятности потери
работоспособности.
Недостаток описанного подхода
в том, что в нем, в сущности, исполь-
использованы лишь результаты наблюдений
за процессом в пространстве W и не при-
привлечены ни априорная информация, ни
данные расчета на стадии проектиро-
проектирования. Для непосредственного исполь-
использования этой схемы, особенно в вероятностной постановке, требуется
слишком много измерений по сравнению с числом измерений, которое
можно произвести на сложных малосерийных и уникальных объек-
объектах. Эти затруднения в значительной степени можно преодолеть,
если вести прогнозирование не в пространстве признаков, а в про-
пространстве состояний объекта. Пространство состояний U выберем
так, чтобы состояние объекта в каждый момент времени t можно
было задать вектором u (t). Запишем дифференциальное уравнение
изменения состояния во времени
— = /(u,q,a). G.1)
Здесь q (t) — вектор внешних воздействий, а — вектор параметров
объекта.
Связь между векторами и и w зададим в виде
w = G(u,n, b), G.2)
где n (t) — вектор помех в системе измерения; b — вектор, вклю-
включающий параметры системы измерения и, возможно, некоторые
параметры объекта, влияющие на связь между и и w.
Зададим область допустимых состояний Q в пространстве состоя-
состояний U. Используя уравнения G.1) и G.2), найдем значения
u (Th), соответствующие измеряемым величинам w (Th), и произведем
по ним экстраполирование процесса u (t) на отрезок D, 4+J- Для
определения прогнозируемой долговечности применим правило, ана-
аналогичное ранее указанному правилу для пространства W: объект
можно эксплуатировать до момента времени tk+1, если и (t) ? Q
при всех t ? D, 4+i I-
Реальные задачи прогнозирования долговечности, как правило,
вероятностные. Векторы внешних воздействий q (t) и помех n (t)
обычно представляют собой случайные функции t, а числовые век-
векторы а и b заданы априорными распределениями вероятностей.
При этом u (t) — случайный процесс, так что вопрос о принадлеж-
268
ности вектора и области Q может быть поставлен лишь в вероятност-
вероятностном смысле. Апостериорная вероятность безотказной работы в этой
ситуации
P{t\Tk) = P \и (т) ? Q; т 6 D, t] I w (Th)\ G.3)
введена в гл. 2 в терминах вектора качества v. В правой части фор-
формулы G.3) стоит вероятность Р (А | В) события А — нахождения
вектора и в области Q на отрезке времени D, t] при условии В,
состоящем в измерении значений w (Th) =-¦ \w1, ..., v/h\ в моменты
времени.
7.2. МЕТОДОЛОГИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Изложим общую методологию прогнозирования остаточного ре-
ресурса [12]. Связь между процессами w (/) и u (t) проиллюстрирована
на рис. 7.2, а. Если соотношение G.2) вероятностное, то каждому
измеряемому значению wft соответствует некоторое случайное (раз-
(размытое) множество значений и. Переход из пространства W в про-
пространство U выполним с помощью условной плотности вероятности
р [и (Th) | w(Tft]. Следующий шаг— поиск апостериорной функ-
функции надежности, соответствующей фиксированным значениям и G\)
процесса и (/) на множестве Th: .
P[t\u (Th)\ = P|u(t)^Q; t ? D, /] | и (Tk)\. G.4)
Поскольку рассматриваем прогнозирование ресурса, граница Г
области Q должна соответствовать предельным состояниям объекта.
Выразим функцию надежности G.3) через функцию G.4) и условную
плотность вероятности р [и (Th) | w (Г/()]:
u (Th)] p [u (Th) | w (Th)] du (Th
G.5)
Область интегрирования в этой формуле Qk представляет со-
собой ^-кратную степень допустимой области Q, где k — число момен-
моментов времени tlt ..., th, в которые измеряют значения процесса w (t).
Решающее правило для определения остаточного ресурса 6 (Th)
в терминах функций надежности сформулируем в виде неравен-
неравенства
P(tk + Q\Tk)^P*, G.6)
u(t\Tt)
269
где Р% — предельно допустимое значение вероятности безотказной
работы.
Взяв соотношение G.6) со знаком равенства, найдем значение
предельно допустимого остаточного ресурса 6* (Th). Широкий класс
решающих правил основан на использовании стоимостных функций.
Этот подход допускает представление в виде оптимизационного кри-
критерия, позволяющего установить наилучший момент прекращения
эксплуатации (некоторые оптимизационные критерии рассмотрим
далее).
Описанную схему можно сравнительно легко осуществить, если
все параметры системы, а также все необходимые вероятностные
характеристики случайных процессов, входящих в уравнения G.1)
и G.2), заданы. Однако обычно лишь часть этих параметров задана
априорными распределениями. Примером служат данные о случай-
случайных вибрационных нагрузках или о циклической прочности деталей
и соединений. Для прогнозирования индивидуального остаточного
ресурса необходимо знать реализации этих величин для данного
объекта. Вместо этого мы имеем априорные распределения и другие
априорные вероятностные характеристики, относящиеся ко всему
ансамблю (возможно, только мыслимому) аналогичных объектов,
работающих в аналогичных условиях. Некоторая информация, при-
пригодная для оценки параметров ^данной конкретной системы и пара-
параметров ее состояния, содержится в результатах наблюдений w (Th)
над объектом в процессе функционирования. Извлечение этой инфор-
информации составляет задачу идентификации.
В дальнейшем полагаем, что если среди характеристик случайных
процессов u (t) и w (t) есть такие, которые заданы априорными рас-
распределениями, то они отнесены к векторам а и b соответственно.
По значениям w (Tk) вектора w нужно найти подходящие оценки
вектора состояний u G\) = \щ, ..., uh\, а также оценки аи b век-
векторов а и Ь. Различные методы совместной оценки параметров си-
системы и ее состояния приведены, например, в работе [82].
Если произведена идентификация состояний, при прогнозиро-
прогнозировании показателей надежности естественно использовать в качестве
исходной информации множество значений и G\). Тогда вместо
формулы G.5) получим
P(t\Tk) = P[t\Vu(Tk)]. G.7)
Различие этих двух подходов подтверждает сравнение рис. 7.2, а
и б. Вычисления по формуле G.5) значительно сложнее, чем по фор-
формуле G.7). Обе формулы используют одну и ту же информацию,
однако в формуле G.7) она учтена в «затрубленной» форме. Если
условное распределение достаточно компактно и значения процесса
u (t) находятся достаточно далеко от предельной поверхности Г,
то результаты, полученные по этим формулам, различаются незна-
незначительно. С приближением к предельной поверхности более точные
результаты дает формула G.5).
270
Для функции распределения Fe (9 | Th) остаточного ресурса
9 (Th) имеем соотношение типа B.4):
Fe(Q\Tk)=l-P(tk + B\Tk). G.8)
Апостериорную функцию надежности Р (t \ Tk) найдем по фор-
формуле G.5) или G.7).
7.3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ
КУМУЛЯТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ
Покажем возможности различных моделей теории надежности
для прогнозирования остаточного ресурса. Наибольший интерес
представляют кумулятивные модели, которые позволяют описать
широкий класс явлений, приводящих к достижению предельных со-
состояний. Обозначим вектор повреждений г|).
Считаем, что допустимая область ?2 удовлетворяет условиям
кумулятивных моделей. Для одномерной модели с мерой поврежде-
повреждений \|з принимаем Q = \\р : О < \|э < 1}.
В задачах прогнозирования остаточного ресурса за начальный
момент времени принимаем момент tk последнего наблюдения.
В рамках кумулятивных моделей предыстория накопления поврежде-
повреждений не влияет на процесс г|з (t) при t > th. Однако строгая марко-
марковость отсутствует, поскольку процесс внешних воздействий q (t)
в общем случае обладает «памятью». В отличие от прогнозирования
на стадии проектирования начальное значение я|э D) = % # 0.
Это отличие существенно, если процесс накопления повреждений
не подчиняется линейному правилу суммирования.
Начальное значение г|зй находим методом идентификации. Пусть
связь между вектором повреждений г|) и диагностическим вектором w
задана в виде о|з = G (w, b), где плотность вероятности ръ (Ь) век-
вектора b известна. Тогда первый шаг состоит в вычислении условной
плотности вероятности р (ф | w). Например, для одномерной модели
при условии монотонной дифференцируемой зависимости тр от в
имеем
\ М-1 <**> \ G.9)
где введена обратная функция Ь = СГ1 (ty, w).
Начальное значение \\>k выберем из принципа максимального
правдоподобия, т. е. из условия р (ip | wh) -*- max или отождествим
его с условным математическим ожиданием Е [ф | wh].
Предположим, что выполнены все условия применения асимпто-
асимптотического метода, в частности, дифференциальные уравнения для
процесса г|) (t) имеют структуру E.21). При ненулевых начальных
условиях \|;j (th) = tyjk вместо E.22) получим
Uj (ipj) - Uj (гЫ = i (t) - % (th) (j == 1,...,«). G.10)
Здесь использованы обозначения E.23) и E.24). Из E.22) сле-
следует, что все
G-11)
271
Соотношения G.10) принимают вид
= fy @ (/=
G.12)
т. е. совпадают с E.22). С математической точки зрения эквивалент-
эквивалентность формул G.10)—G.12) очевидна. Однако толкование этих фор-
формул применительно к апостериорным процессам \pj (t | Th) m^j (t | Th)
может вызвать затруднения. Пусть, например, мера повреждений
% @ — измеряемая величина, значение которой tyjh определено
с достаточной точностью путем измерения в момент времени 4-
Точность оценки процесса ^ (t | Th) зависит от совокупности изме-
измерений в моменты tx, ..., 4> а также от общего числа этих измерений.
Если единственно доступный способ определения \pjk основан
на использовании связи между процессами \|з7- (t) и ij^ (t), то соотно-
соотношения G.11) и G.12) полностью применимы к апостериорным про-
процессам. В дальнейшем считаем
h). G.13)
Здесь введены обозначения для вектор-функций, образованных
из функций Uj (tyj) и ¦ipj (t | 7ft) при / = 1, ..., п.
Пусть выполнены все условия, при которых к процессу г|з (t \ Th)
применима центральная предельная теорема. Для этого, в частности,
необходимо, чтобы характерное время корреляции тс процесса q (t)
было мало по сравнению с характерным временем прогноза. Напри-
Например, если 4+i — момент следующего наблюдения, то потребуем,
чтобы тс С 4+i — 4- Для апостериорной плотности вероятности
процесса \|з (t | Тк) с учетом G.12) получаем формулу
J [U
exp j- -у
- Ф
1 Tk) [U (if) - ф (/1
GЛ4)
Здесь ф (/ I Tk) = E[i(t\ Tk)];
б
(t
Tk),
^ * (
где введено обозначение для матричной корреляционной функции
Kit (^> ^' I ^'0 апостериорного процесса ty (t | 7Й). Формула G.14)
отличается от формулы E.25) тем, что в нее вместо ср (t) входит век-
вектор-функция <р (t | Th), а вместо D$ (t) — матричная функция
Dy (t | Тй). Вычисление последней — довольно сложная задача,
поскольку матричная функция /Q, (t, t' | Th) в общем случае зависит
от всей совокупности значений процесса q (/) в моменты' наблюде-
наблюдений tlt ..., 4 (см. подразд. 7.7). При t — 4 У/ тс происходит сильное
перемешивание процесса q (t). В результате апостериорная матрич-
матричная корреляционная функция /dj, (t, V \ Th) приближается к соответ-
соответствующей априорной функции К$ (t, t'). Это свойство можно ис-
использовать для получения упрощенных оценок.
272
Дальнейшие вычисления проводим
так же, как при прогнозировании
априорных процессов. С учетом свой-
свойства кумулятивности вместо G.3) по-
получим
P(t\Tk) = P№(t)? Q\v>(Tk)\ G.15)
Используя формулы G.8) и G.15),
вычислим функцию распределения оста-
остаточного ресурса
H"t\Tk)
Рис. 7.3
G.16)
Апостериорная плотность вероятности задана формулой G.14),
а область интегрирования совпадает с допустимой областью Q по
отношению к предельным состояниям.
Рассмотрим подробнее случай п = 1 (рис. 7.3). Вместо G.14)
возьмем формулу для соответствующей функции распределения
U(Me)-q>(t\Tk)
где
(
Остаточный ресурс определим
Поскольку [/(!) = 1, то
Tk)
Th) — дисперсия ' апостериорного
условия if (th -{- f
из
Fe(Q\Th)=l-<D
+ 6 | Th
G.17)
процесса
Tk)--=l.
G.18)
В частности, если q (t) — стационарный процесс, то
ф (t \Tk) = if A + \ik (t — tk)\ a\ it | Tk) « vk (t - tk). G.19)
Постоянные \ik и vk определяем по формулам типа E.29) и E.31)
с использованием апостериорного распределения процесса q (t).
Второе из соотношений G.19) выполнено тем точнее, чем сильнее
неравенство t — tk^>xc. Формула G.18) принимает вид
Fq (9 | Tk) = 1 - Ф [A - if/{ - \УкЩ{у^)~Х1<2\- G.20)
Поскольку % = U(\ph), то вместо G.20) можно записать
Эквивалентность формул G.20) и G.21) есть прямое следствие
соотношения G.13), но результат вычислений по ним зависит от того,
какая из двух величин (if или if) подлежит измерению. Это отражает
недостаточную адекватность исходной математической модели, не-
неполноту и погрешность измерений. Дополнительный источник много-
многозначности возникает, если оценивать величину цк методом иденти-
идентификации, например по приращениям измеряемой величины. Резуль-
Результат в общем случае зависит от того, какая функция подлежит йзме-
273
У'р,(в\тк)
г -
рению: псевдоповреждение ij> (/) (из-
(известная функция процесса нагруже-
ния) или мера повреждения ф (/).
Правые части в формулах G.20)
и G.21) не содержат значения th по-
последнего времени наблюдения, а со-
содержат только значения % или %
в этот момент. Это следствие того,
что рассматриваем стационарный
процесс нагружения, пренебрегая
влиянием относительно малого от-
отрезка времени, на котором закон
изменения дисперсии отличен от
линейного закона. При th = 0,
9 = Т формулы G.20) и G.21) пе-
переходят в формулу E.35) для функции
распределения полного ресурса.
Пример 7.1. Возьмем уравнение накоп-
накопления повреждений
bG-.)/V , „ ч„ G_22)
Рис. 7.4
Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций: /i Сф),
которая имеет такой же вид, как в уравнении C.21), и /2 (</), совпадающая с правой
частью в уравнении E.123). По формулам E.23) и E.24) получаем
dx.
G.23)
Пусть процесс q (t) — стационарный. Для плотности вероятности р$ F |
с учетом G.21) и G.23) получим формулу
Рв (в I tk) =
>1/2
-exp -
G.24)
Некоторые результаты вычислений по формуле G.24) при vft/(xft — 0,1, Y — 2
приведены на рис. 7.4.
Значения ^ можно оценить по результатам измерений, напри-
например, как \ik = (Фй — $*-i)/(fe — tk-\) или \ik = ($l/y — 4-i)/D —
— 4_x) в зависимости от того, какой процесс подлежит измерению.
Величину vh по единичной реализации оценить практически не-
невозможно. В первом приближении примем, что vk ^ v, где v — соот-
соответствующее априорное значение. С учетом формулы E.31) полу-
получаем
G.25)
где Kf2 (т) — корреляционная функция от процесса /2 [q (t)] в урав-
уравнении 'накопления повреждений G.22).
274
До сих пор свойства объекта считали заданными детерминисти-
детерминистически или хотя бы идентифицированными с высокой степенью досто-
достоверности. В действительности информация всегда имеет элементы
неполноты и неопределенности. Как и при прогнозировании полного
ресурса, учитываем этот фактор с помощью вероятностных моделей.
Объединим всю вероятностную информацию с помощью случайного
вектора г с апостериорной плотностью вероятности рт (г | Tk).
Символ Tk означает, что по сравнению с априорной плотностью
р, (г) здесь учтена дополнительная информация, полученная в ходе
наблюдений за объектом. Функция распределения остаточного ре-
ресурса G.16) в сущности характеризует условное распределение
при заданном векторе г. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
используем обозначение Fe @ | Th | г), где введена двойная услов-
условная зависимость: первая — от результатов наблюдений, вторая —
от значений вектора г. Для безусловной апостериорной функции
распределения остаточного ресурса имеем формулу типа E.84):
Fe(Q\Th)= I Fe(e\Tk\r)pr(r\Tk)dr. G.26)
D(r)
Объединенный учет разброса нагрузочных реализаций и свойств
объекта, как и в задачах прогнозирования полного ресурса, значи-
значительно усложняет расчеты. Статистическое моделирование — прак-
практически единственный путь получения численных результатов.
Задачу можно упростить, если пренебречь влиянием разброса на-
нагрузочных реализаций.
7.4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКОГО
МЕТОДА
Пусть выполнены условия, при которых процессы г|з (t \ Tk | г) и
¦ф (t | Th | г) мало отличаются от их условных математических ожиданий
<р (t | Th | г) и ф (t | Tk | г), вычисленных усреднением по множеству реали-
реализаций процесса q (t). Эти условия аналогичны введенным ранее
ограничениям E.52)—E.54) на степень перемешанности процесса
q(')-
Итак, примем аппроксимацию E.46) для плотности вероятности
вектора г|? (t\ Th |r):
\|г)]. G.27)
Для определения условного характеристического ресурса
6c(Tft|r) имеем уравнение типа E.45):
Ф& + в"|7\|гКГ(г), G.28)
где граница допустимой области в общем случае зависит от значе-
значений вектора г. Если принадлежность вектора -ф области Q задана
с помощью нормы |г|)||, причем на границе области ft|)|| = l, то
вместо G.28) получаем уравнение
к|г)|=1. G.29)
275
Соответствующая аппроксимация для условной функции распре-
распределения остаточного ресурса имеет вид Fe (8 | Tk \ г) = ц [8 —
— 6С (Th\r)]. Подстановка этого выражения в формулу G.26) дает
= J pr(r\Th)dr. G.30)
е9(г|)
Совокупность формул G.27)—G.30) составляет содержание полу-
полудетерминистического метода применительно к прогнозированию
остаточного ресурса. Как и при прогнозировании на стадии проекти-
проектирования, основным показателем долговечности является характе-
характеристический ресурс б,;G\|г). Для его вычисления пригодны ме-
методы, описанные в 5.7, но при этом следует использовать апосте-
апостериорные распределения параметров нагружения. Кроме того, фор-
формула G.30) для безусловной функции распределения содержит
апостериорную плотность вероятности pr(r\Tk) вместо априорной
плотности рг (г). Вектор s при индивидуальном прогнозировании
должен быть известен. Если условия функционирования объекта
не вполне определены, оставшиеся факторы следует включить в век-
вектор г.
Пусть выполнены условия применения асимптотического метода,
включая требование автомодельности процесса накопления повре-
повреждений. Тогда целесообразно выразить значения процесса ср (*| 7\|г)
через процесс псевдоповреждений (f>(t\Th\r). В результате приходим
к формуле
V(t\Th\r) = U-i[4(t\Th\r)], G.31)
аналогичной формуле E.51). Здесь использовано обозначение для
обратной по отношению к G.13) функции.
Рассмотрим подробнее случай п = 1 с допустимой областью Q =
= {ф : 0 < \р < 1}. Уравнение G.29) принимает вид
ФD + 0|7\|г)=1. . G.32)
Запишем формулу G.31) в виде E.61):
V(t\Th\r) = g[l(t\Tk\T)]. G.33)
Поскольку g A) = 1, то условие G.32) дает
,|г)=1, G.34)
что отвечает правилу линейного суммирования повреждений, рас-
распространенному на прогнозирование остаточного ресурса. Поскольку
в левую часть уравнений G.32) и G.34) входит совокупность инфор-
информации о процессе накопления повреждений на отрезке [tt, th], то
результат в общем случае зависит от того, какой процесс подлежит
измерению: накопления повреждений или нагружения.
При стационарном нагружении
Ф (t \Th | г) = epft (r) + nfe (r) (t - th), G.35)
где q)fe (г) и \xh (г) оцениваем по результатам измерений.
276
Указание на зависимость cpfe и цк от вектора г сохранено в связи
с тем, что оценки могут содержать элемент неопределенности.
С другой стороны,
Ф№|г) = «Мг) + Ыг) (*-**)• G.36)
Значения <pfe (r), \ih (г), cpft (r) и jxh (г) могут оказаться несовме-
несовместимыми в том смысле, что подстановка выражений G.35) и G.36) не
удовлетворяет соотношению G.33). Используя G.32) и G.35), найдем
в G-ft | г) = 7- G-й | г) [1 — Фь (г)], G.37)
где TG\|r)= l/fx,t (г) — полный апостериорный характеристиче-
характеристический ресурс. С учетом G.34) и G.36) получим
Q(Th\r) = f(Th\r)[l-<th(r)]. G.38)
Здесь Т (Tft | г) = l/jift (r).
7.5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕСУРСА ПО ИЗМЕРЕНИЯМ
НАГРУЗОК
Поскольку диагностика текущего состояния конструкции часто
затруднена, то прогнозирование остаточного ресурса приходится
проводить по результатам измерения нагрузок. Единственным при-
признаком состояния объекта служит факт отсутствия предельных по-
повреждений при измеряемом режиме нагружения [4]. Рассмотрим
методы прогнозирования в этой ситуации, ограничиваясь случаем,
когда состояние описано с помощью скалярной функции ср (t), удовле-
удовлетворяющей уравнению
$ я(')М- G-39)
Пусть регистрация процесса нагружения на отрезке [0, th]
идет непрерывно. Псевдоповреждение в последний момент измере-
измерения 4
h
Ф* (г) = J ЫЯ (т) | г] dt. G.40)
о
Полный априорный ресурс определим из уравнения
Гс(г)
j E{Mq(T)|r]}dt=l. G.41)
о
Уравнение G.34) для определения остаточного ресурса прини-
принимает вид
j E{/s[q(T)|r]}dT=l. G.42)
В формулы G.40)—G.42) входит вектор г, значение которого
в общем случае неизвестно. Пусть задана априорная плотность
277
1.0
0,5 -
J
1
Рис. 7.5
1,0 r/rc
0,5 e/nrk)
Рис. 7.6
вероятности рт (г) этого вектора. Для апостериорной плотности
вероятности получаем формулу
\ \ ]\ G.43)
где Dk (г) — область значений вектора г, при которых выполнено
условие фи (г) < 1, означающее, что к моменту tk ресурс не вырабо-
выработан.
Совокупность соотношений G.40—G.43) дает решение задачи
при соответствующей информации об условиях нагружения и о
состоянии рассматриваемого объекта.
Пример 7.2. Используем данные примера 7.1, считая, что процесс q (t) стацио-
стационарный, а его значения следуют распределению Рэлея E.66) с параметром qc. Примем
также, что параметр прочности г имеет априорную функцию распределения
ff(/-) = l-exp[-(r/rc)a]. G.44)
С учетом формул G.23) и G.40) получим
Для априорного характеристического ресурса уравнение G.41) дает
Те (г) = U (r/qc)m [2т/2Г A + т/2)р.
G.45)
G.46)
Условный остаточный ресурс найдем из условий G.38) или G.42) с учетом фор-
мул G.45) и G.46):
B(Tk\r) = Te(rk)Ur/rk)m--l]. G-47)
Формулы G.45)—G.47) содержат параметр прочности г. Апостериорную функцию
распределения этого параметра найдем, используя формулы G.43) и G.44):
Fr (r\Th)=l- exp [- (ra - rf)lr«]. G.48)
При г < rk следует принять Fr (r | Th) = 0. График функции G.48) при а = 4
и различных отношениях rh/rc показан на рис. 7.5. При достаточно больших отно-
отношениях rfc/Vc максимум плотности вероятности рт (г | 7ft) соответствует г — rh.
278
/
1ОЧ
Ю'г
ю-*
л \
¦ o,q\
I
0,01
'С 0,1
\\v
Рис. 7.7
1
Рис. 7.8
rK/rc
Если это условие выполнено, то при идентификации параметра г по методу макси-
максимального правдоподобия получим оценку f = />.
Чтобы найти функцию распределения Fq F | Tft) остаточного ресурса, достаточно
учесть, что 6 (Th ] г) — монотонно возрастающая функция г. Поэтому /?у@ | Т\) =
= FT [г (в)], где г = г F) — соотношение 0 = 0 G7г |г), разрешенное относительно г.
Здесь r= rh [1 + 0/Гс (/"и)]1/m. Подставив это значение в формулу G.48), най-
найдем [4]
^б@|Гй) = 1-ехр|-Ыгс)а [A+0/ГсЫ)Р-ПЬ G-49)
где C = а//я.
График для функции Fg @ | Ть) приведен на рис. 7.6, где по оси абсцисс отло-
отложено отношение остаточного ресурса 0 (Tk) к полному ресурсу Тс (гн), вычислен-
вычисленному в предположении, что параметр прочности г принимает минимальное апосте-
апостериорное значение /¦&. При построении графика принято, что а = 16, m = 4, и, сле-
следовательно, Р = 4. Это соответствует данным для алюминиевых сплавов [103].
С увеличением меры повреждений <р, характеристикой которой в данном примере
служит величина />, распределение остаточного ресурса становится более компакт-
компактным при снижении среднего ресурса. Предельный переход в формуле G.49)
( (
rk->0
дает распределение априорного ресурса E.50) при s = гс.
На рис. 7.7 приведены графики для некоторых характерных значений остаточ-
остаточного ресурса. Цифры у кривых означают уровень надежности, с которым обеспечены
эти значения ресурса. Поскольку при т^—>-0 соответствующий априорный ресурс
Т (/>) стремится к нулю, то удобнее относить величину 0 к некоторому характерному
значению, не зависящему от /> (рис. 7.8). Здесь rm — априорное математическое
ожидание величины с распределением G.44), т. е. rm = ГСТ A-f 1/а).
7.6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МАРКОВСКИХ
МОДЕЛЕЙ
Общая характеристика моделей, основанных на представлении
процесса v (t) в виде диффузионного марковского процесса, была
дана в 2.8. Применительно к прогнозированию остаточного ресурса
существенным является тот факт, что в рамках этого класса моделей
прогноз v (t | Tk) зависит лишь от последнего состояния системы vh
279
ё момент времени th и не зависит от предыстории. Некоторые куму-
кумулятивные модели, обладающие тем же свойством, можно также
представить в терминах моделей марковского типа. В частности,
нетрудно записать уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова
B.55) так, чтобы его решение соответствовало функциям распреде-
распределения ресурса E.35) и G.20). Задачи прогнозирования остаточного
ресурса осложнены тем, что значения ц и v необходимо оценивать
с учетом предыдущих наблюдений (см. замечание к примеру 7.1).
Уравнение для условной функции надежности Р (t\ Tk) в общем
случае n-мерного диффузионного марковского процесса в стационар-
стационарной системе имеет вид
дР \Л , . дР , 1 \Л ХЛ , . д*Р „ -ЛЧ
—- = > х,- (vft) -3 V -к- / 7 Иц (Vb) -з—з • G.50)
/1 j\ i\
Здесь vjk — составляющие вектора vk = v (th). Коэффициенты Xj и
Xjk имеют тот же смысл, что и в уравнении B.55). При заданном со-
состоянии vk ^ Q начальное условие берем в виде Р D1 Tk) = 1.
Граничное условие
P(t\Th) = Q (t>th,vk?T) G.51)
соответствует достижению процессом v (t\Th) границы Г допусти-
допустимой области Q.
Приближенное решение краевых задач для уравнения G.50)
можно получить различными методами [74]. Если допустимая об-
область Q прямоугольная, т. е.
Q={\:ay<uj<aj; /=1,..., п)},
то легко построить полную систему базисных функций, удовлетво-
удовлетворяющих граничному условию G.51). Эти функции имеют вид
п
si"[ а]-ау \ К-=1-2,..), G.52)
где индекс р соответствует одной из комбинаций целых чисел
тп.
Разложим функцию Р (t\Th) в ряд по базису G.52) с неизвест-
неизвестными коэффициентами — искомыми функциями времени
%h()p&() G.53)
p=i
Подставив ряд G.53) в уравнение G.50) и применив вариацион-
вариационный метод Бубнова—Галеркина, придем к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно функций /р (t). Эти
уравнения можно решить, например, численным методом, после
чего результат подставить в формулу G.53).
280
Вариационный метод можно применить также к решению уравне-
уравнений Понтрягина B.59). В принятых здесь обозначениях эти уравне-
уравнения имеют вид
п п
д2ва
4vv
(а=1,2,...;во = 1). G.54)
Здесь ва (Th) — математические ожидания от времени достижения
условным процессом v (t\Th) границы Г:
оо
©a (Th) = j Р (к + 61 Тк) 9«-' de (а - 1, 2,...) G.55)
о
(по сравнению с аналогичной формулой из 2,8 здесь проведено инте-
интегрирование по частям). Граничное условие для уравнений G.54)
в«G\) = 0 К С Г; «=1,2...) G.56)
будут удовлетворены, если функцию ва (Тк) представить в виде
ряда по базису G.52):
N
вв(ГЛ)=2СвРфрЫ. G.57)
Подстановка ряда G.57) в каждое из уравнений G.54) и приме-
применение метода Бубнова—Галеркина дает систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений относительно коэффициентов этого ряда. По най-
найденным ва G\) нетрудно восстановить функцию Р (t\ Th). Например,
примем
м
P(tk + Q\Th)=T, Вуехр (-&V6), G.58)
v=i
где В7 и by — искомые числа.
Используя формулу G.55) с фиксированным значением а, придем
к системе алгебраических уравнений для определения этих чисел.
Еще одно уравнение получим из условия нормировки Р (tk \ Tk) = 1.
Таким образом, чтобы найти М членов разложения G.58), необхо-
необходимо иметь 2М — 1 первых моментов вь . . ., @2m-i [8].
Пример 7.3. Рассмотрим линейную колебательную систему
u + 2eu + <?>lu = q(t), G.59)
где е> 0; соо> 0; q (f) — стационарный нормальный экспоненциально коррелиро-
коррелированный процесс с математическим ожиданием, равным нулю. Допустимую область
возьмем в виде полосы Q = {м:| г/1 < и„}. Процесс и (t) не является марковским.
Чтобы система обладала марковским свойством, необходимо взять трехмерное фа-
фазовое пространство, добавив к G.59) уравнение формирующего фильтра [15]. Но
для расширенного фазового пространства допустимая область представляет собой
неограниченный слой Q= {и, й, q:\u\ <«„}. Чтобы представить решение в виде
рядов G.53) или G.57), заменим неограниченный слой на конечный параллелепипед.
При этом выберем размеры последнего так, чтобы замена не приводила к существен-
существенным погрешностям. Некоторые численные примеры приведены в работе [28].
10 Болотин В. В. 281
7.7. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ
ПУАССОНОВСКОГО ТИПА
Методы оценки показателей надежности, изложенные в 2.9,
нетрудно обобщить на условные процессы. В частности, основная
формула B.62) применительно к прогнозированию на стадии эксплуа-
эксплуатации принимает вид
г t 1
~\k(x\Th)dx . G.60)
I- Ч J
Здесь к (t | Tk) — математическое ожидание числа выбросов услов-
условного процесса v {t\Th) из области Q в единицу времени. Примене-
Применение формулы B.75) дает
k(t\Th) = \dT J p(vr-, v; t\Th) hadv- ¦ G.61)
Г 6n>0
Здесь р (v, v; t\Tk) —совместная плотность вероятности значений
процесса v (t \ Tk) и его первой производной v (t \ Th) в совпадающие
моменты времени.
Пусть v (t) — нормальный процесс и совокупность наблюдений
при Tk — {t±, . . ., th\ не нарушает этого свойства. Нормальный
процесс v (^полностью определен математическим ожиданием m (t)
и корреляционной матрицей B(K,t):
ехр {- -L [v - ш @]т /С (Л t) [v - m (t)]\
[
Элементы матричной корреляционной функции производной
v (t), а также взаимной матричной корреляционной функции про-
процесса v (t) и его производной найдем дифференцированием матрицы
К (t, t') по одной или обеим переменным [62].
Следующая задача состоит в том, чтобы вычислить математиче-
математическое ожидание и матричную корреляционную функцию условного
процесса v(^| Th). Аргумент 7\ указывает на учет совокупности vx
vk результатов измерения процесса в моменты времени tlt . . ., 4-
Пусть р (х, у) — совместная плотность вероятности числовых век-
векторов х ? Rm и у ? Rn. Для условной плотности вероятности
имеем
р(х\у) = р(х,у)/ру(у). G.63)
Дальнейшие вычисления проводим, используя аппарат харак-
характеристических функций — преобразований Фурье от плотностей
вероятности:
ф(&, П) = J j ехр1?(|тх-{-т]тУ)]р(х, y)dxdy;
Ф A1 Л) = J ехр (i|Tx) p (x | у) dx. G.64)
Rm
282
Векторы преобразований 1 ? Rm, ц ^ Rn имеют ту же размер-
размерность, что и соответствующие случайные величины. С учетом G.63) и
G.64) найдем связь между характеристическими функциями
(- *утч) ф (S. ч) % G'65)
(^Л) Ру (У)
К"
Характеристические функции для нормальных величин, как и
плотности вероятности, зависят лишь от математических ожиданий
и корреляционных матриц. Плотность вероятности р (х, у) соответ-
соответствует характеристической функции
Ф (|, ц) = exp [i (mJl + m^) - -L (^T^ + 21Т/СЗД11 +
+ ?)TKyr\)l G.66)
Здесь mx = E[x], m^ = E [у]; Кх, Ку и Кху — блоки корреля-
корреляционной матрицы (m + п)-мерного вектора, составленного из век-
векторов х и у:
(Кх Кх„
к
Размерности блоков /Сх, /Cj,, /Сзд и /С^ равны соответственно
пгхпг, пхп, шХпяпХт. Подставив выражение G.66) в фор-
формулу G.65) и произведя интегрирование, получим
Ф A1 У) = [Ру (У - ЖуЛУРу (УI exp (imll - -f
Подставив сюда выражение типа G.62)
ехр Г j* (У — Щ^Ку1 (у — 1%) J
после преобразований получим
4Т] G.67)
Здесь тх (у) — условное математическое ожидание вектора х при
заданном значении у:
тх(у) = тх-КхуК-у1(У-ту); G.68)
Кх (у) — условная корреляционная матрица, зависящая от зна-
значений, принимаемых вектором у:
Кх{у) = Кх-КхуК-у1Кьх. G.69)
Возвращаясь от условной характеристической функции G.67)
к соответствующей условной плотности вероятности, получим
ехр { L[X-mx (у^К'х1 (у) [х -тх (у)]}
= ^ wr G70)
10* 283
Рис. 7.9
Запишем формулы G.68) и G.69) в терминах задачи о прогнози-
прогнозировании ресурса
m(t\Th) = m@ -K(t,
k, Tk) [v(Th) -m{Th)]. G.71)
Векторы v (Ть) и m (Th) имеют размерность 1 X kn, где k —
число измерений на отрезке [0, th]. Матрицы К (t, Th) и К (Th, Th)
имеют размерности п X kn и kn X kn соответственно. Для условной
матричной корреляционной функции вместо G.69) получим выраже-
выражение
К(t, f \ Th) = Kit, Г) ~ К (t, Th) К'1 (Th, Th) К {Th, t'). G.72)
Для случая п =» 1 формулы G.71) и G.72) получены Р. Л. Стра-
тоновичем A961 г.).
Вычисления по формулам G.60), G.61) и G.70) — G.72) весьма
громоздки. Некоторые результаты, полученные по ним, приведены
в работе [27].
Пример 7.4. Рассмотрим колебательную систему с двумя степенями свободы
й} + 2г}й} + ш^«; = qt (t) (<" =1,*), G. 73)
где 8^ > 0, wj > 0, qj (t) — стационарные нормальные белые шумы с интенсив-
ностями sjh- Связь между степенями свободы осуществляется через корреляцию
внешнего воздействия (sl2 Ф 0). Для априорной матричной функции К (t, t') не-
нетрудно получить явное выражение. Дальнейшие вычисления следует проводить
на ЭВМ. На рис. 7.9—7.10 приведены графики для условного математического ожи-
ожидания mx (t | Tk) = Е [ux (/1 Tk) ] и условной дисперсии Dx (t \ Tk) = Кц (t, t \ Tk)
при следующих числовых данных: 8!= 0,1; е2 = 0,25; a>i= ш2 = 1; sn = 0,8;
S22 = 1.5; sla = 0,2; tk= 0. Числа у кривых означают число измерений при ^г=:0.
Последний результат измерений ut @) = «2 @) = 0. Априорные значения в данном,
случае составляют Шх {t) = 0 и Dt (t) = 2. С увеличением числа измерений k функ-
функции тгЦ\ Tk) и D^t] Tk) приближаются к априорным значениям. С другой стороны,
увеличение числа измерений от 3 до 6 почти не влияет на апостериорные харак-
характеристики.
284
7.8. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ НЕРАЗРУШ\ЮЩЕГО
КОНТРОЛЯ
Рассмотрим задачи прогнозирования остаточного ресурса в усло-
условиях, когда достижение предельного состояния связано с развитием
трещин и трещиноподобных дефектов. При прогнозировании на
стадии проектирования различаем начальные технологические де-
дефекты и трещины, зародившиеся при действии циклических или
длительных нагрузок. Техническое обслуживание ответственных
высоконапряженных объектов (сосудов и трубопроводов высокого
давления, металлических мостов и т. п.), как правило, включает
контроль появления и развития трещин. Поэтому при прогнозирова-
прогнозировании остаточного ресурса по критерию развития трещин следует
различать три типа трещин: обнаруженные и пропущенные в резуль-
результате контроля и трещины, которые могут возникнуть в интервале
между двумя инспекциями. Один из узловых вопросов состоит
в количественной оценке надежности методов обнаружения трещин и
трещиноподобных дефектов.
Для обнаружения используют все возможности, которые предо-
предоставляют техника физического эксперимента и измерительная тех-
техника. Почти любой метод неразрушающего контроля можно при-
приспособить для диагностирования текущего состояния конструкции и
оценки ее надежности. Среди них — визуальный метод, позволяющий
надежно обнаруживать выходящие на поверхность трещины длиной
около 50 мм. Возможности этого метода существенно расширяет
применение волоконной оптики в соединении с микроскопией. Метод
проникающих окрашенных или флуоресцирующих жидкостей позво-
позволяет уверенно обнаруживать трещины размером около 5 мм. Ультра^
звуковые, радиографические (в частности, рентгеновский), магнит-
магнитные и электромагнитные методы позволяют обнаруживать также
внутренние дефекты. Разрешающая способность этих методов за-
зависит от большого числа факторов, В настоящее время считают,
что ультразвуковые методы надежны при размерах дефектов около
Б мм, а рентгеновский метод — при размерах 40 мм и более.
Обсудим вопрос о выборе показателей надежности средств кон-
контроля и установим точный вероятностный смысл этих показателей и
связь между ними. Покажем, как включить оценки надежности
систем контроля в схему прогнозирования остаточного ресурса и
остаточных показателей безопасности. Излагаемые здесь резуль-
результаты можно рассматривать как уточнение и существенное обобщение
многочисленных работ по методологии обнаружения трещин [105,
106, ПО, 113]. Отличительная черта данного анализа состоит в по-
последовательном применении модели пуассоновского ансамбля с реа-
реализацией всех преимуществ, которые дает эта модель.
Пусть в области Ма, размеры которой велики по сравнению
с максимальными размерами трещин, подлежащих рассмотрению,
имеем однородное номинальное напряженно-деформированное со-
состояние. Все трещины принадлежат одному типу, отличаясь харак-
характерным размером /, Расположение трещин в области — случайное,
285
причем вероятность размещения трещины в подобласти Д/И не за-
зависит от формы, а зависит от значения меры подобласти. При до-
достаточно малых Д/И эта вероятность пропорциональна Д/И. Все
трещины взаимно независимы.
Исходным показателем надежности системы обнаружения тре-
трещин служит условная вероятность Р (D | /) обнаружения трещины
заданного размера /, локализованной в месте измерения. Эту вероят-
вероятность нетрудно оценить путем тестовых испытаний прибора на
эталонных образцах с трещинами. Статистическая оценка этой ве-
вероятности равна отношению числа успехов к общему числу тестов.
Вероятность Р (D | /), очевидно, характеризует не только технические
свойства прибора, но и способности оператора. Для каждого метода
имеем свой порог обнаружения /0 и максимальный размер трещины /х,
начиная с которого метод можно считать абсолютно надежным.
Вероятность обнаружения трещин в деталях зависит от их числа,
размера, формы, размещения по глубине, степени доступности
данного места и т. п. Если все трещины одного типа и размещены
в данной области статистически равномерно, то вероятность обнару-
обнаружения есть функция показателя Р (D \ I), математического ожидания
числа трещин ц и функции распределения F (/) трещин по размерам.
Для вычисления вероятности обнаружить трещину размером больше /
при условии, что эта трещина локализована, примем формулу Байеса,
обобщенную на случай непрерывно распределенных величин. В ре-
результате получим
(*) =
P(D\l)p(l)dl
i
[\~F{l)\-\ G.74)
где р A) — F' (I) — плотность вероятности для размера тре-
трещины /.
Очевидно, всегда PD (/) < Р (D \ /), причем для трещин, которые
данный метод позволяет уверенно обнаруживать, имеем соотноше-
соотношение PD (/) «* Р (D | /). В общем случае, различие между показате-
показателями Р (D | /) и PD (/) зависит от вида плотности вероятности р (I).
Пусть процесс обнаружения трещин состоит из независимых
событий, т. е. обнаружение какой-либо трещины не влияет на про-
процедуру обнаружения остальных трещин. Приведем противополож-
противоположный пример: при обнаружении дефекта опасных размеров увеличи-
увеличивают тщательность контроля, меняют оператора и даже метод кон-
контроля. Если условия независимости выполнены, то множество обна-
обнаруженных трещин остается пуассоновским ансамблем. Для вычисле-
вычисления вероятности обнаружить k трещин в области Мо при условии,
что известно математическое ожидание их числа [i, функция распре-
распределения размеров F (/) и условная вероятность обнаружения Р (D \ /),
применим формулу E.107) и E.108). Вероятность пропуска в рассма-
рассматриваемой области k трещин размером больше / равна
= 0,1,..). G.75)
286
Рис. 7.11
Здесь v (/) — математическое ожидание числа пропущенных тре-
трещин, связанное с математическим ожиданием \х (/) общего числа
трещин, размер которых превышает /, зависимостью
v(/) = ^(/) [I — PD([)]. G.76)
Формула G.76) показывает способ получения статистической
оценки для PD (/): эта оценка равна отношению числа обнаруженных
трещин размером больше / к общему числу трещин размером больше /.
Из G.74) и G.76) следует также, что
I. G.77)
Вероятность Я (/) пропуска в области Мо хотя бы одной трещины
размером больше / (функция риска) равна дополнению до единицы
вероятности Qo (l) события, состоящего в том, что ни одна из трещин
пропущена не будет. С учетом G.75) получаем
Я @ = 1 -exp [-v@1. G-78)
Пример 7.5. Применим формулы G.75), G.76) и G.78) для случая, когда вероят-
вероятность обнаружения следует закону Парето F.33):
Здесь /0 — порог обнаружения; Т>°-
Приведем результаты вычислений вероятности пропуска k дефектов при Е [k\ —
= [г = 3 для двух значений показателя степени в формуле G.79): у = 1
(рис. 7.11, а) и Y = 4 (рис. 7.11, б). При относительно больших значениях /—10
наиболее вероятен пропуск одного дефекта. Но при I « /0 максимальные значения
принимают вероятности Qk (/), Для которых k близко к ц. Кривая Qo (/) характери-
характеризует надежность обнаружения.
Обобщим перечисленные формулы на случай неоднородного, но
медленно меняющегося поля номинальных напряжений и деформа-
287
ции, а также медленно меняющихся вероятностных характеристик
трещиноватости и надежности обнаружения. Как и в 5.12, разобьем
область /И на подобласти А/И, достаточно малые, чтобы в их преде-
пределах все поля можно было считать однородными, но достаточно боль-
большие, чтобы для подобластей AM были выполнены сформулированные
требования к области Мо. Показатели \i (I), P (D\l) и р (/) носят
локальный характер и зависят теперь от координатного вектора х
в области М. Показатель Н (I) относится к области в целом. Мате-
Математическое ожидание числа пропущенных трещин в области М
найдем как сумму математических ожиданий для каждой из подобла-
подобластей. Распределение Пуассона сохраняет силу для объединения
подобластей. Заменим сумму соответствующим интегралом по
мере М. Это отвечает предельному переходу при А/И ->- 0. В резуль-
результате получим функцию риска
Я(/)=1-ехр|-'
где v (/, х) вычисляем по формулам G.76) или G.77), учитывая, что
все функции зависят от координатного вектора х.
С учетом G.77) перепишем формулу G.80) в развернутом виде
]]ы/,х)[1
Величина \i (/, х) отнесена к области эталонной меры MQ. При
выборочном контроле в формуле G.81) следует принять Р (D\l,\) =
= 0 для всех х, принадлежащих области, которая оставлена без
контроля. В однородной задаче это приводит к формуле для мате-
математического ожидания числа пропущенных дефектов
v(Q = MQ U - (MJM) PD (t)], G.82)
где Мс — мера контролируемой области. При М = Мс формула
G.82) переходит в G.76).
Еще один путь обобщения — учет трещин различных типов.
Например, в сварных трубопроводах различают трещины в про-
продольных и поперечных швах, в основном металле, в массивных
деталях — поверхностные и внутренние дефекты и т. п. Пусть все
дефекты следуют распределению Пуассона с математическими ожи-
ожиданиями [х;, функциями распределения по характерным размерам
Fi(l) и условными вероятностями обнаружения P}(D\l) (j'=l /).
Все дефекты, а также процедуру их обнаружения считаем неза-
независимыми. Оценим надежность контроля следующим способом.
Для дефектов каждого типа зададим предельные размеры /*', при
которых пропуск дефектов, превышающих эти размеры, означает
ненадежность метода. Таким образом, вместо функции риска Н (I)
введем аналогичный показатель
H = l -P{max/i</;*; »= 1.....Л * € М).
288
Для этого показателя получаем формулу типа E.112):
Н= 1 -ехр |- V J vt(ir, x)-^-], G.83)
где суммирование проводим по всем типам дефектов.
Нетрудно записать аналогичную формулу для дефектов с кон-
континуальными признаками (например, для трещин с непрерывно
распределенной угловой ориентацией).
7.9. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА
ПО КРИТЕРИЮ РОСТА ТРЕЩИН
Вероятность безотказной работы по критерию предельных раз-
размеров трещин представим в виде
Р (t | Th) = Pd(t\ Th) Pni (t | Th) Pn it I Th).' G.84)
Здесь Pd (t\ Th) соответствует обнаруженным трещинам, Рп4 (t\ Tk) —
пропущенным трещинам, P^ (t | Tk) — трещинам, возникшим после
последней инспекции.
Предполагаем, что трещины перечисленных классов незави-
независимы, причем предельное состояние наступает, когда хотя бы одна
из трещин достигнет предельного размера. Для функции распре-
распределения остаточного ресурса 0 G\) с учетом G.84) получим фор-
формулу
Fe(91 Tk) = 1 - PdD 4-91 Th) Pni(th + B\ Jh) Pn(tk + 9[ Th). G.85)
Рассмотрим способы вычисления вероятностей, входящих в фор-
формулы G.84) и G.85). Размеры, конфигурация и размещение обна-
обнаруженных трещин известны. Если процесс нагружения на отрезке
D, t) детерминистический, то рост трещин на этом отрезке тоже
процесс детерминистический. Вероятность Pd(t\Th) равна либо
единице, либо нулю. В общем случае для вычисления вероятности
Pd (^|l Tk) следует использовать переходную функцию распределе-
распределения Fi{l, t\lh, th) (см. 5.13 и 5.14). Если вычисленная вероятность
Pd (t\ Tk) к моменту следующей инспекции меньше предельно допу-
допустимого значения, то либо должны быть устранены обнаруженные
трещины, либо следует принять меры для остановки их дальнейшего
роста, либо' заменить компоненты, содержащие опасные трещины.
В перечисленных случаях вероятность Pd (t\Th) увеличивается
до единицы.
Вероятность Pnd(t\Tk) того, что предельное состояние в ре-
результате роста пропущенных трещин не будет достигнуто, определяем
так же, как и вероятность развития трещин из технологических
дефектов. Если процедура обнаружения сохраняет пуассоновские
свойства ансамбля пропущенных трещин, то вероятность РпЛ (t\Th)
зависит только от математического ожидания числа пропущенных
289
трещин, их распределения по размерам и переходной функции рас-
распределения Ft (/, t\lh, th).
Наконец, вероятность Рп (t\Tk) равна дополнению до единицы
вероятности достижения предельного состояния из-за роста трещин,
которые зародились после момента tk последней инспекции. Эти
трещины тоже образуют пуассоновский ансамбль. Их математическое
ожидание найдем с помощью переходной функции распределения
F$ (\p, t\tyk, 4) для меры повреждения \р, формул E.115) или E.117)
для интенсивности потока зарождения трещин и формулы E.119),
приняв за начальный момент th и рассматривая нагружение при
t > tk как апостериорный процесс.
Вычислим вероятность Pnd(t\Th), используя формулу типа
E.112) или G.83):
Pnd(t\Th) = exp - У v4 (/;*;* 17й)-тг- • G-86)
L Ь1 i Mo J
Здесь Vj (lt; t\Th) — математическое ожидание числа пропущен-
пропущенных трещин t-ro типа в области Мо в момент времени t при условии,
что известна соответствующая характеристика при t = tk\ I** —
предельные размеры трещин 1-го типа. Для математических ожида-
ожиданий V; (/;; t\ Th) получаем соотношение, аналогичное формуле G.77):
оо
v, (/; t\Tk) = ^ (Th) \ Ft {I, 11 /ft, th)[l- Pi (D 14)J Pi D | Th) dlk
о
(?=1,2...). G.87)
Здесь (i; (Th) — математическое ожидание числа необнаруженных
трещин в момент t = 4 с учетом вновь зародившихся трещин;
Pi {l\Th) — плотность вероятности размеров этих трещин; Ft (/,
t\tk> 4) — переходная функция распределения; Pt (D \ I) — вероят-
вероятность обнаружения трещин t-ro типа. После каждой инспекции
информация о трещинах подлежит обновлению.
Поясним применение формул G.84)—G.87) для однородного
поля во всей области М и трещин одного типа (индекс i опустим).
Пусть максимальный размер трещины, обнаруженной при t = th,
равен ld, причем этот размер не опасен, т. е. Pd D+i | Tk) = 1.
Пусть интервал между инспекциями th+1 — th достаточно мал для
того, чтобы можно было не опасаться развития вновь зародившихся
на этом интервале трещин до предельного размера 1%%. Тогда
^*nD+i|7\) = 1- Это означает, что распределение ресурса зависит
исключительно от процесса развития пропущенных трещин. Фор-
Формула G.85) с учетом G.86) принимает вид
Fe (91 Th) ~ 1 - ехр [-(М!М0) v (/„; tk + Q\ Th)]. G.88)
Поскольку рассматриваем однородную модель, то достаточно
ограничиться пропущенными трещинами размером больше ld.
Остальные трещины при t = 4 имеют размер / < ld, так что они
290
не «догонят» трещины этого типа по размеру. При этом по формуле
G.87)
со
v (/; t \ Th) == ц (Тк) | F, (l,t | lk, th) [l-P(D\ lh)] p (/„ | Th) dlh, G.89)
где ц (Гд) — математическое ожидание всех трещин при t = tk.
При детерминистическом нагружении переходная функция
F[ (I, t\lh, tk) имеет вид E.121). Подстановка в G.89) дает
оо
4{l\t\Th)=\r\[l-L{t\kJh)][\-P{D\lk)\p(lh\Th)dlh,
откуда окончательно получаем
оо
v(U|7\,).= J [l-P(D\lh)]p(lh\Th)dth. G.90)
Здесь lo(t\Th) = max \ld, Lo (/, /|4)}.
Функция Lo (I, t\th), как и в формуле E.122), равна правой
части разрешенного относительно /0 соотношения [I =^ L(t\l0, t0),
полученного из дифференциального уравнения E.114) с детерми-
детерминистическим начальным условием / (t0) = /0. При наличии концен-
концентраторов, мест, доступ к которым затруднен, и т. п. следует учиты-
учитывать риск, связанный с ростом всех трещин.
7.10. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОЙ НЕСУЩЕЙ
СПОСОБНОСТИ
Анализ несущей способности поврежденных конструкций не-
необходим, чтобы оценить запас живучести, т. е. способность безопасно
функционировать (возможно, в облегченных условиях) при повре-
повреждениях, которые с точки зрения нормальной эксплуатации следует
отнести к предельным. Так, в практике проектирования авиацион-
авиационных конструкций [61 ] допускают местные повреждения, при которых
несущая способность конструкции снижена не более чем на 10 %.
Расчеты на живучесть включают рассмотрение различных вариантов
повреждений с оценкой предельных нагрузок для каждого из вариан-
вариантов. Если под повреждениями понимать трещины, то возникает во-
вопрос о предельно допустимых размерах и размещении трещин, при
которых обеспечен требуемый запас живучести.
Предельные размеры трещин выполняют роль ограничений при
прогнозировании остаточного ресурса. Если условия эксплуатации
таковы, что возможны редкие выбросы нагрузки за высокий уровень,
то возникает вопрос о безопасности объекта по отношению к вне-
внезапному разрушению из-за неустойчивого роста трещин. Оценка
показателей безопасности требует решения задач о пересечении
процесса q (t) нагружения и процесса г (t) изменения остаточной
прочности из-за докритического роста трещин. В общем случае
291
стоит задача о выбросах векторного процесса нагружения q (t) из
допустимой области ,Q [г (t)], зависящей от остаточной несущей
способности поврежденного объекта. Докритический рост трещин —
медленный и квазимонотонный процесс, а нагружение, которое
может вызвать внезапное разрушение, как правило, быстро меняется
во времени. При этом постановка и решение задач допускают упро-
упрощения, основанные на том, что остаточная несущая способность г (t)
изменяется достаточно медленно по сравнению с процессом q (t).
Рассмотрим область М, в которой'имеются трещины и трещино-
подобные дефекты различных типов. Обозначим математическое
ожидание числа дефектов t-ro типа в области Мо через |д,г, а функции
их распределения по размерам Ft (I) (i = 1, . . ., /). Для трещин
каждого типа примем условие устойчивости Гриффитса—Ирвина
(см. 3.14)
Здесь s — номинальное напряжение; Кс — критическое значение
коэффициента интенсивности; % — некоторый коэффициент порядка
единицы.
Зададим поле номинальных напряжений s (х) с точностью до
одного параметра нагружения q. Тогда xs (x) = Qf (х)> где /(х) —
некоторая функция координатного вектора. Введем обозначение
для характерной прочности г^ (х) по отношению к трещинам t-ro
типа, расположенным в малой области с координатным вектором х:
/¦*<(*) = MMx)/l/2], G.92)
где /* — размер зародышевой трещины.
Учитывая G.92), запишем условие устойчивости G.91) в терми-
терминах размеров трещин:
^<//,.-(х)/с/2 (i=l, ...,/). G.93)
Введем остаточную несущую способность г как. значение пара-
параметра q, при котором хотя бы для одной из трещин в области М
нарушено неравенство G.93). Используя свойства пуассоновского
ансамбля, выраженные формулами E.107), E.108) и E.110), получим
F,(r) = 1 - ехр (- 2 J щ [1 - Ft (I/Jr2)] ^l G.94;
В общем случае цг- и Ft (l) зависят от х. Однако, если поле в обла-
области М однородно, а все трещины принадлежат одному типу, то фор-
формула G.94) принимает вид
Fr (г) = 1 - ехр {- (|ШШ„) [1 - Ft (tsVr*)]}. G.95)
Распределения G.94) и G.95) имеют смысл при г < г,.. Значение г*
соответствует минимальному размеру /* трещин, при которых их
считают макроскопическими. Таким образом, значения г* должны
быть весьма большими даже по сравнению с характерной прочно-
прочностью неповрежденных образцов. Поскольку зародышевых трещин
292
в таком образце очень много, то \iM!M0 > 1. Следовательно, зна-
значения Fr (/¦„.) обычно близки к единице.
Пример 7.6. Возьмем для функции распределения трещин по размерам рас-
распределение Парето F.33):
1-(/,//)* (/>J:'v>0). G'96)
Подстановка G.96) в G.95) дает
Fr @ = 1- ехр [ - (цМ/М) (г//-,J?]. G.97)
Таким образом, пришли к распределению Вейбулла D.3) для остаточной проч-
прочности при пороговом значении га = 0 (нетрудно изменить исходные данные так, чтобы
получить /о > 0). Сравнивая G.97) и D.3), находим связь между показателями
а = 2"\>. Следовательно, для материалов, к которым данная модель пригодна, можно
по разбросу результатов испытаний на прочность оценить разброс размеров трещин
(и наоборот). Для хрупких конструкционных материалов обычно а = 4 ... 8, откуда
у = 2 ... 4. Качественные высокопластические металлы и сплавы имеют очень малый
разброс прочности (например, а = 16 [103]). Соответственно показатель у в рас-
распределении G.96) принимает большие значения. Отметим, что эти выводы относятся
к неповрежденным образцам с естественными (технологическими) дефектами и не
учитывают трещин, возникших в процессе длительной эксплуатации.
Распределение G.97) получено Фрейденталем [79] из несколько иных соображе-
соображений — на основе использования распределения Фреше—Фишера—Типпета F.30)
и замены пуассоновского ансамбля моделью хрупкого разрушения Вейбулла.
7.11. ОЦЕНКА БЕЗОПАСНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ
УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕЩИН
Приведем основные результаты решения задачи о безопасных
размерах трещин при случайном нагружении [10]. Поскольку
неустойчивый рост трещин для напряженных и ответственных
объектов, как правило, означает возникновение аварийного состоя-
состояния, то вероятность этого явления в условиях эксплуатации должна
быть весьма мала. Используем термины и обозначения гл. 6. В част-
частности, введем функцию безопасности F.1) по отношению к появле-
появлению неустойчивых трещин. Пусть /** — предельные размеры тре-
трещин по критерию устойчивости. Тогда для апостериорной функции
безопасности S (t \ Тк) имеем общее выражение
S(t\Tk) = P \lt (х, гG\)</(** (х, т| Tft); i= 1,...,/; х ? М; т ? (th, t)\.
G.98)
Размерность пространства качества зависит от общего числа
рассматриваемых трещин, включая все потенциальные источники
трещин (например, все концентраторы). Сократим размерность про-
пространства, заменив критерий устойчивости по размерам трещин
эквивалентным критерием непревышения расчетными нагрузками
остаточной несущей способности. В частности, при однопараметри-
ческом задании процесса нагружения q (t) вместо G.98) получаем
\ 1 h) —¦ * 1Ц \^ I * h) <^> ^ \^ I ft/I ^ t \ h> J j • \ .УУ^
Здесь q (t\Th) — апостериорный процесс нагружения; r(t\Tk) —
апостериорная несущая способность, которая зависит от размера,
293
формы и размещения всех трещин
в рассматриваемый момент времени
t >th.
Поясним связь между определе-
определениями функции безопасности G.98)
и G.99) на примере, когда имеется
только одна трещина или несущая спо-
способность зависит от размера одной
наиболее опасной трещины. При этом
условии формула G.98) дает
т € D, t]\. G.100)
L**(t\T*> Переход от одного способа задания
к другому выполним с помощью фор-
формулы
1*Ля) = 1Лг*'ч)г, G.101)
следующей из G.93). Формулы G.99) и
G.100) пояснены на рис. 7.12. Неустой-
Неустойчивость трещины наступит при пер-
Рис. 7.12 вом выбросе процесса q (t) за уро-
уровень г (t), что отвечает заданию функ-
функции безопасности в форме G.99). Вместе с тем это явление можно
описать как первое пересечение сверху вниз процессом 1Ш (t) уровня
I (t). В общем случае каждый из четырех процессов случайный.
Пример 7.7. Приведем результаты численного моделирования роста усталост-
усталостной трещины при случайном циклическом нагружении в виде стационарного узко-
узкополосного нормального процесса с равным нулю математическим ожиданием [10].
Развитие трещины описано с помощью уравнения Пэриса—Эрдогана C.100), а усло-
условие устойчивости взято в форме G.91). На рис. 7.13 показаны некоторые реализации
процесса / (t \ Т#) при 1ь = 0,5 мм. Обращает на себя внимание не только большой
разброс размеров трещин в каждый фиксированный момент времени, но и существен-
существенный разброс размеров, отвечающих моменту потери устойчивости. Некоторые крити-
критические размеры трещин указаны у кривых. Из-за разброса нагрузочных реализаций
в одном случае разрушение произошло после 470 циклов при критическом размере
/*„, = 86,2 мм, а в другом — после 1030 циклов при критическом размере /„,* =
= 19,2 мм.
Поскольку неустойчивость трещин — редкое событие, естественно
использовать пуассоновскую модель отказов (см. 2.9). Формула
G.60) в терминах функций безопасности принимает вид
5 (t | Th) = exp — j X (т \Th) dx . A.102)
Здесь X(t\Th) — апостериорное математическое ожидание числа
нарушений условий устойчивости в единицу времени.
При задании функции безопасности в форме G.99) явление не-
неустойчивости связано с нарушением неравенства q (t) < r (t). Если
q (t) — процесс, значения которого изменяются быстро по сравне-
294
I, MM
3<t,8 86,1
15 -
10 -
S -
ZOO 400 600 800 1000 1100 {t-tk)/ra
Рис. 7.13
нию со значениями процесса г (t), то математическое ожидание числа
выбросов X (t | Th) приближенно оценим следующим образом. Вы-
Вычислим математическое ожидание А,(^|7\|г) числа выбросов про-
процесса q (t) за неслучайный уровень г = const. Учтем, что г (t) —
медленно меняющаяся случайная функция. По формуле полной
вероятности
' *
= \x(t\Th\r)pr(r\Th)dr.
G.103)
Здесь pr(r\Th) — плотность вероятности остаточной несущей
способности, соответствующая функции распределения Fr(r\Th)
(см. 7.; 10).
Используя определение функции безопасности в форме G.100),
поступаем аналогично. Вначале вычисляем математическое ожида-
ожидание числа пересечений сверху вниз медленно меняющегося уровня
I (t\Th) быстрым процессом l^(t\Th). Найденную характеристику
обозначаем Я (t\Th\l). Затем используем формулу полной вероятности
= ]l(t\Tk\l)Pl(l\Tk)dl,
i»
G.104)
усредняя число пересечений по Есем возможным значениям /. На
этом этапе время t рассматриваем как параметр. Очевидно, что
295
формулы G.103) и G.104) не справедливы, если характерные значе-
значения времени изменения сравниваемых функций сопоставимы [81 ].
Для объектов высокой надежности S (t\Th) ^ \, так что по
формуле F.4) h (t\Th) & —S' (t\Th). Отсюда
h(t\Th)^X(t\Th), G.105)
т. е. для высоконадежных систем интенсивность риска практически
совпадает с математическим ожиданием числа выбросов из допустимой
области в единицу времени.
Пример 7.8. Пусть q (t) — нормальный процесс. Обозначим математическое
ожидание этого процесса qc (t), дисперсию cr? (t) и эффективную частоту B.80) «._ (t).
Считаем, что перечисленные функции изменяются во времени медленно по сравнению
с процессом q (f). Таким образом, достаточно короткие отрезки процесса можно
рассматривать как реализации некоторого стационарного процесса. Считаем также,
что характерное время изменения остаточной несущей способности г (t) весьма
велико по сравнению с характерным временем изменения процесса q (t), например,
эффективным периодом 2п1ше. Применим формулу G.103), для чего найдем сначала
математическое ожидание числа выбросов стационарного процесса q (t) за постоян-
постоянный уровень г. По формуле B.81)
>. (t | ,) «
Время t при этом рассматриваем как параметр. Подставив результат в формулу
G.103), получим
:^;. 2я
Другой способ решения основан на формуле G.104) при допущении, что вы-
выделена одна трещина, которая наиболее опасна. Распределение размера / этой тре-
трещины как функции времени найдем, применив асимптотический метод. Некоторые
результаты вычислений с помощью этого метода приведены в работе [14].
7.12. ДАТЧИКИ ПОВРЕЖДЕНИЙ И СЧЕТЧИКИ
РЕСУРСА
В последние годы наряду со средствами неразрушающего кон-
контроля применяют приборы, предназначенные для непосредственной
оценки остаточного ресурса. Это счетчики ресурса, индикаторы
нагруженности, датчики повреждений и т. п. Несмотря на большое
разнообразие принципов действия, конструктивных решений и
способов интерпретации результатов перечисленные приборы имеют
много общего в методологическом отношении.
Различают счетчики ресурса цифрового и аналогового типа [4].
К первому типу относятся устройства, основу которых составляют
микропроцессоры, бортовые ЭВМ и т. п. Они фиксируют в цифровой
форме историю нагружения данного конструктивного элемента,
например последовательность экстремумов ускорений или деформа-
деформаций при циклическом нагружении. Далее эту информацию обрабаты-
обрабатывают, чтобы оценить накопленные повреждения и остаточный ре-
ресурс. Обработка может происходить как в пределах прибора, так
2%
и вне его. Например, некоторые счетчики ресурса имеют запомина-
запоминающие устройства и интерфейсы, позволяющие снимать накопленную
информацию во время профилактических мероприятий и обрабаты-
обрабатывать на ЭВМ. Примером служит прибор Datamite, применяемый
с 60-х годов для контроля технического состояния и оценки безопас-
безопасного ресурса в гражданской авиации. С методологической точки
зрения вопрос о том, где и как ведут обработку этой информации
является второстепенным.
Основу счетчиков аналогового типа составляют чувствительные
элементы-датчики, установленные на объекте и подвергаемые тем же
воздействием, что и исследуемый объект. Из-за возникающих в дат-
датчике необратимых повреждений его параметры изменяются. Изме-
Измеряя эти параметры, можно сделать некоторые выводы о степени по-
повреждения соответствующего узла, агрегата или детали.
В качестве чувствительных элементов используют проволочные,
фольговые или полупроводниковые тензорезисторы. В процессе
циклического или длительного нагружения омическое сопротивле-
сопротивление R датчиков изменяется в значительных пределах (AR/RQ =
= 10~4 . . . 10). Такие изменения можно регистрировать с по-
помощью серийной измерительной аппаратуры. Наряду с этим исполь-
используют датчики — полоски из металла или полимера с инициированной
начальной трещиной (надрезом). Мерой повреждения служит глу-
глубина трещины, измеряемая, например, по'числу тонких проволочек,
размещенных поперек~надреза. В основу датчиков аналогового типа
может быть положен весьма широкий круг механических, физико-
механических и химико-механических явлений, сопровождающих
процесс накопления повреждений.
Преимущества счетчиков цифрового типа очевидны. Совместно
с ЭВМ специализированного или общего назначения эти приборы
позволяют решать любые задачи, связанные с проблемой остаточ-
остаточного ресурса. Наряду с этим создают более дешевые и простые
в эксплуатации аналоговые счетчики. Однако столкновение резуль-
результатов измерения с помощью этих счетчиков затруднительно. Хотя
между'повреждением датчика и повреждением "конструкции суще-
существует положительная корреляция, непосредственный пересчет по-
повреждений не всегда возможен. Для пересчета каждый раз необходимо
решать задачи о накоплении повреждений в датчике и элементе кон-
конструкции, устанавливать количественную связь между решениями
этих задач и затем оценивать остаточный ресурс. Дополнительные
трудности возникают в условиях случайного, многокомпонентного
и нестационарного нагружения, а также при наличии значительного
разброса свойств датчиков и конструкции. Интерпретация счетчиков
аналогового типа как своеобразных регистраторов истории нагру-
нагружения (а не повреждения) помогает частичному преодолению ука-
указанных трудностей. Предложена методология применения счетчиков
аналогового типа, включающая способы их градуировки и установ-
установления основных расчетных зависимостей [21].
Рассмотрим объект, подвергаемый действию неизвестных на-
нагрузок (] (t). Эти нагрузки датчик воспринимает с некоторым масштаб-
297
ным коэффициентом h, так что воздействие на датчик е (t) (например,
его деформация) пропорционально текущему уровню нагрузки*"^ (t).
Таким образом, s (t) = hq (t). Под действием нагрузки q (t) в объекте
возникает повреждение ф (t), а в датчике повреждение <р (t). По-
Поскольку реакция датчиков на воздействие имеет разброс, а характе-
характеристики установленных датчиков, как правило, точно не определены,
то повреждение датчика — условный процесс <р (^|р). Его значения
зависят от процесса г (t) и вектора р свойств датчика. Градуировка
датчиков позволяет оценить плотность вероятности р (р). После
этого решаем обратную задачу: по измеренному процессу ф(?|р)
оцениваем значения ё (t) процесса е (t), а по ним значения q (t)
процесса q (t). Далее определяем процесс накоплений повреждений
в объекте, используя данные о процессе нагружения, а также апо-
апостериорные данные о свойствах объекта. Результатом расчета служит
оценка ty (tk \ Th) повреждения объекта. Если эта величина согла-
согласуется с данными, полученными другим путем, например неразру-
шающими методами, то по оценке ij> (th\ 7\) вычисляем соответству-
соответствующую оценку остаточного ресурса объекта & (Tk). Последние этапы
по существу совпадают с теоретическим подходом к оценке остаточ-
остаточного ресурса, поэтому рассмотрим подробнее задачи о восстановле-
восстановлении процесса нагружения q (t) по измеренному повреждению дат-
датчика ф (i).
7.13. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИСТОРИИ НАГРУЖЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Пусть мера повреждения датчика ф(^|р) полностью характери-
характеризует его состояние, а наследственные эффекты отсутствуют. Тогда
естественно постулировать существование кинетического уравнения
типа C.1) или D.19) для меры
—тг = -г- /(ф, е | р). G.106)
at Тс
В правой части стоит неотрицательная функция накопленного по-
повреждения ф(?|р), текущего параметра воздействия на датчик е (t)
и параметра р, характеризующего свойства датчика. Для упроще-
упрощения величины е и р считаем скалярными, а функцию распределения
F (р) заданной. В уравнение G.106) входит постоянная времени tc.
Если характерные моменты времени изменения процессов е (t) и
Ф (t) сопоставимы, то уравнение G.106) можно формально разрешить
относительно медленно изменяющейся функции е (t) = h q(f), рас-
рассматривая время как параметр. В результате получим
G.107)
где g (•)—-некоторая функция.
Формула G.107) дает принципиальное решение задачи для оценки
уровня нагрузки с помощью счетчиков аналогового типа. Если
298
возможна градуировка каждого установленного датчика (например,
путем пробных нагружений), то р — известная величина. При не-
небольшом разбросе свойств датчиков вместо р достаточно подставить
статистическое среднее значение р. При большом разбросе оценку
уровня нагрузки следует проводить в вероятностном смысле. За-
Заданной квантили pv распределения F (р), т. е. корню уравнения
F (pY) = у, соответствует оценка q (t\ у) уровня нагрузки, вероят-
вероятность превышения которого из-за разброса свойств датчика равна 7-
Обработка результатов по формуле G.107) включает сглажива-
сглаживание процессов ф \t) и dtp (t)/dt. Возникает риск пропуска редких
выбросов нагрузки, которые относительно мало влияют на повре-
повреждение датчика, но могут вызвать весьма значительные повреждения
конструкции. Если выбросы нагрузки вызывают измеримые скачки
меры ф, то уравнение (/.106) и формулу G.107) следует дополнить
аналогичным соотношением, связывающим разрывы функции с вы-
выбросами нагрузки.
При циклическом нагружений с медленно изменяющимися ам-
амплитудами время t можно сохранить в качестве аргумента. Прида-
Придавая \/tc смысл среднего числа циклов в единицу времени, интерпре-
интерпретируем функцию / (ф, е | р) как повреждение, вносимое каждым цик-
циклом. При этом в уравнении G.106) величина е имеет смысл ампли-
амплитуды или размаха деформации датчика, a q есть амплитуда или
размах нагрузки, напряжения или характерной деформации (по-
(последнее — в условиях жесткого нагружения).
Если число выбросов при эксплуатации объекта велико, то воз-
возникают трудности при интерпретации накопленных повреждений.
Один из способов преодоления — применение кассетных счетчиков.
Счетчик ресурса называют кассетным, если его основу составляет
определенное число однотипных датчиков, реагирующих на один
и тот же процесс нагружения. Если все датчики включены с одина-
одинаковым масштабным коэффициентом h, то кассетный счетчик имеет
единственное преимущество перед простым счетчиком: усреднение
его показаний позволит уменьшить возможные ошибки из-за раз-
разброса свойств датчиков. Если масштабные коэффициенты различны,
возникает ряд дополнительных преимуществ. Во-первых, выбрав
подходящие масштабные коэффициенты hu . . ., hn, можно создать
счетчик на основе относительно недолговечных чувствительных
элементов. Вначале выйдут из строя элементы с большими коэффи-
коэффициентами, затем менее нагруженные. Это позволит получать при-
приборы, предназначенные для длительной эксплуатации. Во-вторых,
кассетные счетчики решают проблему дискриминации редких вы-
выбросов нагрузки. Некоторые типы чувствительных элементов имеют
четко выраженный порог повреждаемости, аналогичный пределу
выносливости. Таким образом, чувствительные элементы с невысо-
невысокими значениями hh фиксируют лишь относительно высокие пере-
перегрузки. Порог повреждаемости можно создать конструктивным
путем, например введением холостого хода деформации. Третья
область применения кассетных счетчиков — грубая оценка распре-
распределения нагрузки q(t) по уровням, а также оценка (в некотором классе
299
распределения) неизвестных параметров распределения (см. под-
разд. 7.14).
Для совокупности п чувствительных элементов при воздействии
q (t), передаваемого на них с масштабными коэффициентами hu . . .,
hn> вместо одного уравнения G,106) имеем
dt
G.108)
Здесь 9fe (t) — показание к-ro датчика.
При измеренных значениях cpft и dyjdt соотношения G.108)
представляют собой уравнения относительно процесса нагружения
q (/). Для выделения редких выбросов нагрузки на общем невысоком
фоне надо взять подходящий набор коэффициентов /ib . . ., hn и
использовать датчики с порогом повреждаемости. Пусть е0 — порог
повреждаемости, при котором для всех значений срй и р при условии
Ч < 8о имеем / (q>ft, efe | р) = 0. Все датчики, для которых выполнено
это условие, не реагируют на фон нагрузки q < eo//zft. Обработка
показаний этих датчиков по формулам типа G.107) позволит под-
подсчитать интенсивность и продолжительность редких перегрузок.
Градуировка датчиков повреждений состоит в нахождении вида
функции / (ф, е | р) в уравнении G.106) и оценке^функции распреде-
распределения Fp (p). Здесь не учитываем разброс свойств датчиков, полагая,
что его всегда можно сделать достаточно малым, поэтому рассмотрим
установление вида функции / (ф, в | р), обозначив ее / (<р, в). Согласно
обычной процедуре величину ф (например, относительное изменение
омического сопротивления тензодатчика) откладывают в функции
времени t или числа циклов п, используя уровень нагрузки (напри-
(например, размах деформации Ае) как параметр. Примером служат за-
зависимости AR/R, = 0,025 (ЛеJ.28/г°.7 и AR/R0 = 0,005 (АеK«, 11 J.
Обработка результатов градуировки датчиков по формулам AR/R0 =
= апь дает сильную зависимость коэффициентов а и Ъ от амплитуды
деформации еа 177]. В основу предлагаемой процедуры положим
дифференциальное уравнение G.106). В качестве исходной инфор-
информации используем семейство зависимостей ф = ф6 (е, t) при е =
— const, представленное в численной или графической форме.
Дифференцируя фь (е, /) по t, найдем семейство зависимостей
<Эфь (е, t)ldt. Чтобы исключить явное время t, выразим его через ф и
е, решив уравнение ф = фь (е, t) относительно t. Обозначим резуль-
результат t = Т (ф, е). Поскольку урав-
уравнение G.106), по предположению,
справедливо не только при е =
= const, но и при произвольных
медленно меняющихся t, оконча-
окончательно получим следующее выра-
выражение для правой части в урав-
уравнении G.106):
is a
dt
G.109)
300
lg(dip/dn)
О
-3,5 - -} lg(ea-0,9-10-3).
Рис. 7.15
Широкий класс экспериментальных данных можно описать с по-
помощью уравнения
G.110)
где е0 — пороговое значение чувствительности датчиков; у (ф) и
ф (ф) — функция меры повреждений. Чтобы найти эти функции,
необходимо построить зависимость dq/dt от е—к0 в логарифмических
-координатах, трактуя ф как параметр. Если эти зависимости близки
к линейным, то приближение G.110) считаем удовлетворительным.
Пример 7.9. На рис. 7.14—7.16 приведены результаты обработки данных из
статьи [132]. Отличительная сторона этих данных —широкий диапазон амплитуд
деформаций,^= A ..._7,5) 10~3 и_чисел циклов я^= 1_..ч106., Испытанные датчики
имели^мальГй разброс "характеристик. Так, разброс начального омического сопро-
тивления_составлял величину порядка 1 %. Замеру повреждения датчиков_примем
величину* ф =Jg^(&.R/R0), где Ro—^начальное омическое^сопротивление; AR—
его приращение. Первичные зависимости между ARlR0, n и га приведены на рис.7.14.
Поскольку эти графики показывают наличие порога чувствительности вблизи иа »
« 0,9-10~3, то по оси абсцисс на рис. 7.15 отложены значения lg (ея — 0,9-10).
Через полученные точки проведены прямые. Угол наклона этих прямых перемен-
переменный, что свидетельствует о зависимости показателя степени в соотношении между
dqldn и е—га от ср. Обрабатывая рис. 7.15, получим значения функций 7 (ф)^и Ф (ф)
(рис. 7.16). Подходящая аппроксимация для^ функции у (ф) имеет вид у (ф) =
= 3,15 (|ф| — 1,1)~0'26(заметим, что ф< 0). Для функции Ф (ф) аналогично полу-
получаем Ф (ф) =,11,2 — 4,51ф+ 0,8ф2+ 0,008ф3. Вид правой части уравнения G.110)
довольно громоздкий, возможно, потому, что результаты испытаний охватывают
весьма широкий диапазон чисел циклов. Быстрый рост правой части уравнения
при достаточно больших ф связан с приближением всех кривых на рис. 7.14 к порогу
насыщения вблизи AR/R0 = 10. Другие примеры градуировки можно найти в ра-
работе [21].
7.14. ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НАГРУЗОК
С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Начальную идею излагаемого метода можно найти в работе [132],
где впервые система двух-трех датчиков была применена для оценки
редких перегрузок на основе двухпараметрического распределения
301
Фреше—Фишера—Типпета. Предположим, что на некотором отрезке
времени AT процесс q (t) можно трактовать как представительную
реализацию стационарного эргодического случайного процесса.
Обозначим р (q) — плотность вероятности значений этого процесса,
заданную с точностью п параметров р\, . . ., Р„. Если вид плотно-
плотности р (q) заранее неизвестен, то ее целесообразно искать в классе
кусочно-постоянных функций:
i = l,..,n). G.111)
При этом параметр $h пропорционален вероятности события q ?
Пусть на отрезке времени ЛТ величины cpfe изменяются достаточно
мало. Заменим в правых частях уравнений G.108) все cpft их харак-
характерными значениями фй, после чего проведем усреднение правых
частей с помощью плотности вероятности р (q):
° D{q)
После интегрирования приходим к системам уравнений относи-
относительно величин ръ . . ., р„, с точностью до которых задано искомое
распределение р (q). Очевидно, число датчиков должно быть равно
числу искомых параметров распределения.
Запишем уравнения G.112) в виде
/; k=l,...,n). G.113)
Чтобы эти уравнения имели единственное решение относительно
|3Ь . . ., ?>п, якобиан от левых частей по этим параметрам должен
быть отличен от нуля во всей области искомых значений р^, .... р„.
Более того, желательно, чтобы измерительно-вычислительная схема
была достаточно устойчива: малые погрешности измерений и градуи-
градуировки не должны приводить к существенному изменению искомого
распределения р (q). Для этого система уравнений G.113) должна
быть хорошо обусловлена [15].
Пример 7.10. Возьмем функцию / (ф, е | р) в виде / = (s/pI*, где (Л > 0. Если
ищем распределение р (q) в классе G.111), то вместо G.113) получаем систему ли-
линейных алгебраических уравнений относительно р\ Р»:
2 №Qj(hkqj/pk)» = bh (ft=l,...,n). G.114)
/ = i
Определитель этой системы равен нулю, так что система G.114) линейно зави-
зависимая.
Чтобы получить систему независимых уравнений, необходимо выбрать датчики
с соответствующей функцией / (ф, е|р). В частности, для этого подходят датчики
с четко выраженным порогом чувствительности порядка медианы измеряемых уров-
уровней нагружения. Рассмотрим, например, функцию / = 0 при е<р и /= (в/рI*
при е ^> р. Эта функция описывает наличие порога чувствительности. Роль этого
порога выполняет характеристика датчика р. Нетрудно выбрать значения h^ так,
чтобы система уравнений типа G.114) стала обусловленной. Пусть h^<^ . Ch
при^!-< ... <ijjn- Выберем значения h^ и qu так, чтобыh^qu > Pft, а при / =
302
, к — 1 все hkqj <J p^. Тогда матрица уравнений относительно искомых параметров
..., Р„ станет треугольной. Уравнения
нетрудно решить рекуррентным способом, выразив
примеры приведены в работе [21 ].
через
..., pV Другие
7.15. НАЗНАЧЕНИЕ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА
И ПЛАНИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Вопрос об оптимальном планировании ресурса возник в связи
с техническим обслуживанием авиационной техники. Некоторые
подходы к обоснованию планов обслуживания с учетом надежности
и безопасности рассмотрены в работах [35, 108, 146]. Основной прин-
принцип для назначения срока 4+i следующей инспекции (ремонта, вос-
восстановления, замены блоков или другого вида технического обслу-
обслуживания) в терминах функции апостериорного риска H'(t\Tk)
имеет вид
H(th + Bh\Th) = H*. G.115)
Здесь 0fe =-• 4+i —¦ h — назначенный остаточный ресурс; Я* —
предельно допустимое значение риска.
Несмотря на то, что после технического обслуживания общий
уровень надежности объекта несколько возрастает, интервалы 9ft
по мере накопления повреждений в основных компонентах'объекта
убывают (рис. 7.17, а).
Наряду с критерием предельно допустимого риска применяют
оптимизационные критерии, основанные на экономико-математиче-
экономико-математических моделях. При этом требования надежности и безопасности вы-
выполняют роль ограничений. Один из подходов, основанный на кри-
критерии максимального суммарного экономического эффекта, предло-
предложен в работе [12]. Этот критерий можно трактовать как обобщение
критерия на проблему прогнозирования остаточного ресурса (см.
5.15). По аналогии с целевой функцией / (t), задаваемой в форме
E.143), введем апостериорную целевую функцию / (/| Th), равную
математическому ожиданию чистого вклада данного объекта в на-
H(t\TK)
и,
1
у
/
0 l
n
n
l(t\TK)
1
/
1
1
I
1
1 ~- u
ft t
a)
f
/
/
/ t
1
/
Ji,
\
f
I
Л
ч
/
1 h *S
M
Рис. 7.17
303
циональный продукт при эксплуатации объекта на отрезке (th, t].
Начиная с первого технического обслуживания при t = th, можно
принять / D. | Т,,) = 0. Явные выражения лля I (t\Th) получим
с учетом формул E.150) и E.153) заменой априорных характеристик
Р (t), FT (Т) и рг (Т) соответствующими апостериорными характе-
характеристиками.
Для выбора оптимального момента tk -\- 0ft проведения следу-
следующей инспекции имеем решающее правило типа E.144):
G.116)
По мере накопления повреждений и снижения технической эффек-
эффективности назначенный остаточный ресурс, как и по критерию G.115),
уменьшается (рис. 7.17, б). При некотором значении t >> 4 эксплуа-
эксплуатация должна быть прекращена из-за нарушения ограничения на
показатель безопасности Н (t\Tk) < Н*.
Рассмотрим также критерий, аналогичный E.146),
^[ln/(*ft + eft|Tft)] = e. G.117)
Согласно критерию G.117) эксплуатацию прекращают для очеред-
очередного технического обслуживания, когда уровень рентабельности
достигнет предельно допустимого значения г. При р. С 1 критерии
G.116) и G.117) дают близкие значения остаточного ресурса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бандин О. А., Гусенков А. П., Шаршунов Г. К. Основы метода оценки
усталостного и квазистатического малоциклового повреждения конструкций с ис-
использованием тензорезисторов. — Машиноведение, 1977, № 5, с. 94—100.
2. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности: Пер. с англ.
М.: Советское радио, 1969. 488 с.
3. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978, 240 с.
4. Болотин В. В. К прогнозированию остаточного ресурса. — Машиноведение,
1980, № 5, с. 58—64.
5. Болотин В. В. К расчету строительных конструкций на сейсмические воз-
воздействия. — Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 1, с. 9—14.
6. Болотин В. В. К статистической интерпретации норм расчета строительных
конструкций. — Строительная механика и расчет сооружений. 1977, № 1, с. 8—11.
7. Болотин В. В. К теории замедленного разрушения. — Изв. АН СССР.
МТТ, 1981, № 1, с. 137—146.
8. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах
сооружений. 2-е изд., перераб; и доп. М.: Стройиздат, 1982. 351 с.
9. Болотин В. В. Некоторые математические и экспериментальные модели
разрушения. — Проблемы прочности, 1971, №2, с. 13—20.
10. Болотин В. В. О безопасных размерах трещин при случайном нагружении.—
Изв. АН СССР. МТТ, 1980, № 1, с. 124—130.
11. Болотин В. В. Объединенная модель разрушения композитных материалов
при длительно действующих нагрузках. — Механика композитных материалов,
1981, № 3, с. 405—420.
12. Болотин В. В. О прогнозировании надежности и долговечности машин. —
Машиноведение, 1977, № 5, с. 86—93.
13. Болотин В. В. Повреждение и потеря целостности однонаправленных ком-
композитов при сжатии. — Механика композитных материалов, 1982, № 4, с. 608—617,
14. Болотин В. В. Распределение времен до разрушения при случайных нагруз-
нагрузках. — Журнал прикладной механики и технической физики, 1980, № 5, с. 149—158.
15. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 335 с.
16. Болотин В. В. Статистическая теория накопления повреждений в компози-
композиционных материалах и масштабный эффект надежности. — Механика полимеров,
1976, № 2, с. 247—255.
17. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. 2-е изд.,
перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1965. 279 с.
18. Болотин В. В. Статистическое моделирование в расчетах на сейсмостой-
сейсмостойкость. — Строительная механика и расчет сооружений. 1981, № 1, с. 60—64.
19. Болотин В. В. Стохастические модели разрушения: проверка гипотез и
оценка параметров. — В кн.: Разрушение композитных материалов. Рига: Зинатне,
1979, с. 49-56.
20. Болотин В. В., Ермоленко А. Ф. Исследование моделей накопления уста-
усталостных повреждений. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1979,
вып. 20, с. 3—29.
21. Болотин В. В., Набойщиков С. М. Теория датчиков повреждений и счетчи-
счетчиков ресурса. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1983, вып. 24,
с. 79-94.
22. Болотин В. В., Отставное В. А. О принципах назначения расчетных нагру-
нагрузок на сооружения. — Строительная механика и расчет сооружений, 1979, № 5,
с. 3—5.
305
23. Болотин В. В., Чернов В. К. Расчеты на надежность и долговечность машин,
содержащих большое число однотипных элементов. — В кн.: Расчеты на прочность.
М.: Машиностроение, 1980, вып. 21, с. 78—96.
24. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслужива-
обслуживания. М.: Наука, 1972. 367 с.
25. Бруевич Н. Г. К вопросу о количественных оценках надежности изделия. —
Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1971, № 3, с. 76—85.
26. Бруевич Н. Г., Сергеев В. И. Основы нелинейной теории точности устройств.
Л1.: Наука, 1976. 136 с.
27. Васенин В. Л. О прогнозировании надежности систем пуассоновского
типа. — В кн.: Механика деформируемого твердого тела и теория надежности.
Труды МЭИ, 1978, вып. 353, с. 62—66.
28. Васенин В. Л., Днепров И. В., СинящекМ. Н. Прогнозирование надежности
систем марковского типа. — Изв. вузов. Машиностроение, 1977, № 9, с. 16—20.
29. Волоховский В. Ю., Чирков В. П. Выбросы стационарного гауссовского
процесса из непрямоугольных областей. — В кн.: Вопросы устойчивости и колеба-
колебаний. Труды МЭИ, 19/4, вып. 185, с. 86—90.
30. Галахов И. Н., Литонов О. Е., Алисейчик А. А. Плавучие буровые плат-
платформы. Конструкция и прочность. Л.: Судостроение, 1981. 224 с.
31. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К.-, Соловьев А. Д. Математические методы
в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.
32. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений: Пер. с англ. М.: Мир,
1965. 450 с.
33. Гусев А. С. О распределении амплитуд в широкополосных случайных про-
процессах при схематизации их по методу полных циклов. — Машиноведение, 1974,
№ 1, с. 65—71.
34. Гусенков А. П. Прочность при изотермическом и неизотермическом мало-
малоцикловом нагружении. М.: Наука, 1979. 295 с.
35. Дедков В. К., Северцев Н. А. Основные вопросы эксплуатации сложных
систем. М.: Высшая школа, 1976. 406 с.
36. Добромыслов Н. Н., Васенин В. Л. Применение стохастических разностных
уравнений для прогнозирования надежности конструкций. — В кн.: Механика
деформируемого твердого тела и теория надежности. Труды МЭИ, 1978, вып. 353,
с. 57—62.
37. Ермоленко А. Ф. Корреляционная функция и дисперсия меры повреждения
при стационарном случайном воздействии. — В кн.: Динамика и прочность машин.
Труды МЭИ, 1974, вып. 184, с. 153—159.
38. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные
величины. М.: Наука, 1965. 524 с.
39. Клетц Т. А. Выгоды и риск: сравнительная оценка в связи с потребностями
человека. — Бюллетень МАГАТЭ, 1980, кн. 22, № 516, с. 2—14.
40. Когаев В. П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во вре-
времени. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.
41. Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности аппара-
аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Советское радио, 1975. 472 с.
42. Крендел С. Случайные колебания: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 356 с.
43. Крагельский И. В., Добычин М. Н., Камбалов В. С. Основы расчетов на
трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.
44. Кузнецов Н. Д. Обеспечение надежности двигателей для гражданской
авиации. — В кн.: Основные вопросы теории и практики надежности. М.: Советское
радио, 1975, с. 27—42.
45. Лятхер В. М., Фролова Н. И. Вероятностное задание сейсмических воздей-
воздействий. — Изв. АН СССР, Физика Земли, 1980, № 7, с. 35—46.
46. Максимов Р. Д., Пономарев В. М. Диагностирование повреждаемости
гибридного композита под действием механических нагрузок. — Механика компо-
композитных материалов, 1982, № 1, с. 123—128.
47. Махутов Н. А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов
конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. 272 с.
48. Махутов Н. А., Каплунов С. М., Стекольников В. В. Вибронадежность
элементов оборудования в энергомашиностроении. — Машиноведение, 1982, № 2,
с. 68—78.
306
49. Методика (основные положения) определения экономической эффективности
использования в народном хозяйстве новой техники, изобретений и рационализа-
рационализаторских предложений. М.: Эконогикч. 1977. 52 с.
50. Механика разрушения. Разрушение конструкций/Пер, с англ.; Под ред.
Д. Тэплин. М.: Мир, 1980. 256 с.
51. Москаленко В. Н., Харионовский В. В. Прочность теплообменных уст-
устройств в условиях случайных пульсаций температур. М.: Атомиздат, 1979. 168 с.
52. Москвитин В. В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.:
Наука, 1981. 344 с.
53. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном условии хрупкой проч-
прочности. — ПММ, 1969, т. 33, вып. 2, с. 212—222.
54. Ньюмарк Н., Розенблюэт Э. Основы сейсмостойкого строительства: Пер.
с англ. М.: Стройиздат, 1980. 344 с.
55. Образцов И. Ф., Васильев В. В. Оптимальная структура и прочность слои-
слоистых композитов при плоском напряженном состоянии. — В кн.: Разрушение ком-
композитных материалов. Рига: Зинатне, 1979, с. 142—148.
56. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Методы оценки трещино-
стойкости конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1977. 277 с.
57. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического разрушения.
М.: Наука, 1974. 416 с.
58. Песенко А. В. Технический ресурс двигателей М-24Д. — В кн.: Надежность
и долговечность строительных и транспортных машин. Труды Ростовского ин-та
инж. ж.-д. транспорта. 1977, вып. 37, с. 3—9.
59. Приборы неразрушающего контроля материалов и изделий/Под ред.
В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 1976, Кн. 1, 391 с; кн. 2, 326 с.
60. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных условиях.
В 2-х т./Под ред. Г. С. Писаренко. Киев: Наукова думка, 1980, т. 1. 535 с; т. 2. 771 с.
61. Прочность самолета (методы нормирования расчетных условий прочности
самолета)/Под ред. А. И. Макаревского. М.: Машиностроение, 1975. 280 с.
62. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам авто-
автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 883 с.
63. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука,
1979. 744 с.
64. РикитакеТ. Предсказание землетрясений: Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 388 с.
65. Рождественский В. В. Формирование конструктивной надежности маги-
магистрального трубопровода. — В кн.: Надежность и качество сооружения магистраль-
магистральных трубопроводов. М.: ВНИИСТ, 1981, с. 3—12.
66. Сейсмическая сотрясаемость территории СССР/Под ред. Ю. В. Ризниченко.
М.: Наука, 1979. 192 с.
67. Сейсмическое районирование территории СССР. Методические основы и
региональное описание карты 1978 г. М.: Наука, 1980. 307 с.
68. Сервисен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность и
расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
69. Синя щек М. Н. К статистической теории сейсмических спектров. — Строи-
Строительная механика и расчет сооружений, 1982, № 2, с. 62—65.
70. Синящек М. Н., Чирков В. П. Устойчивость агрегатов башенного типа при
сильных землетрясениях. — Машиноведение, 1981, № 6, с. 24—27.
71. Тамуж В. П. Объемное разрушение однонаправленных композитов. — В кн.:
Разрушение композитных материалов. Рига: Зинатне, 1979, с. 17—24.
72. Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных
материалов. Рига: Зинатне, 1978. 294 с.
73. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. 392Тс
74. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Советское'радио,
1977. 488 с.
75. Трение, изнашивание и смазка: Справочник. В 2-х кн./Под ред. И. В. Кра-
гельского, В. В. Алисина. М.: Машиностроение. Кн. 1, 1978. 400 с. Кн. 2, 1979.
358 с.
76. Трощенко В. Т. Деформирование и разрушение металлов при многоцикло-
многоцикловом нагружении. Киев: Наукова думка, 1981. 344 с.
77. Трощенко В. Т., Коваль Ю. Н., Бойко В. И. К вопросу о создании датчиков
усталостного повреждения. —Проблемы прочности, 1931, № 10, с. 43—47.
307
78. Федик И. И. Об одном методе вероятностной оценки прочности стержневых
конструкций из хрупких материалов. — В кн.: Вопросы атомной науки и техники.
Сер.: Атомное материаловедение. М.: ВНИИНМ, 1982, вып. 5A6), с. 5—11.
79. Фрейденталь А. М. Статистический подход к хрупкому разрушению. —
В кн.: Разрушение, т. 2/Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975, с. 616—645.
80. Чирков В. П. Вопросы надежности механических систем. М.: Знание, 1981.
121 с.
81. Чирков В. П. Выбросы случайного процесса из области со стохастической
границей. — В кн.: Механика материалов и конструкций. Труды МЭИ, 1980, вып. 459,
с. 29—33.
82. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: Пер. с англ. М.:
Мир, 1975. 663 с.
83. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. — В кн.: Разрушение: Пер.
с англ./Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975, т. 2, с. 521—615.
84. «Alexander L. Kielland» ulykken. Norges offentiige utredninger. Oslo, Ber-
Bergen, Troms0: Universitetforlaget, 1981. 360 p.
85. An approach to quantitative safety goals to nuclear power plants. Report
NUREG — 0739. Washington: U. S. Nuclear Regulatory Commission, 1980. 151 p.
86. Arone E. A statistical strength criterion for low temperature brittle fracture
of metals. — Engineering Fracture Mechanics, 1977, vol. 9, N 2, pp. 241—249.
87. Augusti G. Some considerations on the assessment of structural reliability. —
Nuclear Engineering and Design, 1980, vol. 60, N 1, pp. 139—144.
88. Benjamin J. R., Cornell С A. Probability, statistics and decision for civil
engineers. New York: Me Graw-Hill Book Co, 1970. 684 p.
89. Blockley D. I. Reliability theory — incorporating gross errors. — In: Struc-
Structural Safety and Reliability/Eds. T. Moan, M. Shinozuka. Amsterdam, Oxford, New
York: Elsevier, 1981, pp. 259—282.
90. Bogdanoff J. L., Shift A. Earthquake effects in the safety and reliability
analysis of engineering structures. — In: International Conference of Structural Safety
and Reliability/Ed. A. M. Freudenthal. Oxford: Pergamon Press, 1972, pp. 147—178.
91. Bchme K.—H. Statistische Auswertung regellosen Zeitfunktionen fur die
Belange der Betriebsfestichkeit mit Hilfe eines Prozessrechners. — Mitteilungen aus
dem Institut fur Leichtbau. Dresden: IFL, 1980, Bd. 19, H. 5, S. 184—192.
92. Bolotin V. V. Life prediction of randomly loaded structures. — Nuclear
Engineering and Design, 1982, vol. 69, N 3, pp. 399—402.
93. Bolotin V. V. Reliability of structures. — In: Trends in solid mechanics.
Delft: University Press/Alphen aan den Rijn: Sij'thoff and Noordhoff, 1979, pp. 57—72.
94. Bolotin V. V. Reliability theory and stochastic stability. — In: Study on
stability. Waterloo: University of Waterloo Press, 1971, pp. 385—422.
95. Bolotin V. V. Stochastic models of cumulative damage in composite mate-
materials. — In: Progress in fatigue and fracture/Ed. H. Liebowitz. Oxford: Pergamon
Press, 1976, pp. 103-111.
96. Bolotin V. V. Stochastic models of fracture with applications to the reliabi-
reliability theory. — In: Structural safety and reliability/Eds. T. Moan, M. Shinozuka.
Amsterdam, Oxford, New York: Elsevier, 1981, pp. 31—56.
97. Casclati F. Permanent deformations of rigid-plastic structures subjected to
random dynamic loads. — Engineering Structures, 1979, vol. 1, N 3, pp. 139—144.
98. Cornell С A. Design seismic inputs. — In: Seismic design for nuclear power
plants/Ed. R. J. Hansen. Cambridge: MIT Press, 1970, pp. 114—138.
99. Davenport A. G. Wind engineering—the relationship of wind engineering
research to design. — In: Proc. of VI Canadian Congress of Applied Mechanics, 1977.
Vancouver: The University of British Columbia, pp. 487—502.
100. Ditlevsen O. Reliability against defect generated fracture. — Journal of
Structural Mechanics, 1981, vol. 9, N 2, pp. 115—137.
101. Dover W. D., Hibberd R. D. The influence of mean stress and amplitude
distribution on rand'om load fatigue crack growth. — Engineering Fracture Mechanics,
1977, vol. 9, N 2, pp. 251—263.
102. Ferry Borges J., Castanheta M. Structural safety. Lisboa: Laboratorio Nacio-
nal de Engenharia Civil, 1971. 326 p.
103. Freudenthal A. M. The scatter factor in the reliability assessment of aircraft
structures. —Journal of Aircraft, 1977, vol. 14, N 2, pp. 202—209.
308
104. Fryba L. Estimation of fatigue of railway bridges under trafic loads. —
Journal of Sound and Vibration, 1980, vol. 70, N 4," pp. 527—541.
105. Gallagher J. P., Grandt A. F. Jr., Crane R. L. Tracking potential crack
growth damage. — Journal of Aircraft, 1978, vol. 15, N 7, pp. 435—442.
106. Graham T. W., Tetelman A. S. The use of crack size distribution and crack
detection for determining the probability of fatigue failure. — In: AIAA/ASME/SAE
15th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, AIAA Paper, 1974,
N 74—394. 13 p.
107. Grandori G., Benedetti D. On the choice of the acceptable seismic risk. —
International Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1973,
vol. 2, N 1, pp. 3-9.
108. Hanagud S., Uppaluri B. Reliability-based optimum inspection and main-
maintenance procedures. — Journal of Aircraft, 1975, vol. 12, N 4, pp. 403—410.
109. Heller R. A., Lin С. Т., Swift G. W. Fatigue damage analysis and life pre-
prediction of laminated metal plates. — AIAA Journal, 1976, vol.14, N 8, pp.1031—
1037.
110. Heller R. A., Stevens G. H. Bayesian estimation of crack initiation times
form service data. —Journal of Aircraft, 1978, vol. 15, N 11, pp. 794—798.
111. Hsu T.-I., Bernard M. С A random process for earthquake simulation. —
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1978, vol. 6, N 4, pp. 347—362.
112. Ijengar R. N., Ijengar K- T. S. R. A nonstationary process model for earth-
earthquake accelerograms. — Bulletin of Seismological Society of America, 1969, vol. 59,
N 3, pp. 1163—1188.
113. Jouris G. M., Shaffer D. H. A procedure for estimating the probability of
flaw nondetection. — Nuclear Engineering and Design, 1978, vol. 48, N 2—3,
pp. 517—521.
114. Kaul M. K-, Penzien J. Stochastic seismic analysis of yielding offshore to-
towers. — Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, 1974, vol. 100, N EM-5,
pp. 1025—1037.
115. Konishi I. Safety and reliability of suspension bridges. — In: International
Conference on Structural Safety and Reliability/Ed. A. M. Freudenthal. Oxford: Per-
gamon Press, 1972, pp. 267—298.
116. Lin Y. K-, Shih T.-Y. Column response to horizontal and vertical earthqua-
earthquakes. — Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, 1980, vol. 106, N EM-6,
pp. 1099—1109.
117. Lind N. С Reliability-based structural codes. Optimization theory. — In:
Safety of structures under dynamic loading/Eds. I. Holand et al. Trondheim: Tapir,
1978, vol. 1, pp. 135—148.
118. Matousek M. A system for a detailed analysis of structural failures. — In:
Structural safety and reliability/Eds. T. Moan, M. Shinozuka. Amsterdam, Oxford,
New York: Elsevier, 1981, pp. 535-544.
119. Me Cartney L. M., Cooper R. M. A new method of analysing fatigue crack
propagation data. —- Engineering Fracture Mechanics, 1979, vol. 9, N 2, pp. 273—290.
120. Moan Т., Holand I. Risk assessment of offshore structures: experience and
principles. — In: Structural safety and reliability/Eds. T. Moan, M. Shinozuka, Ams-
Amsterdam, Oxford, New York: Elsevier, 1981, pp. 803—820.
121. Okamoto S. Introduction to earthquake engineering, Tokyo: University
of Tokyo Press, 1973. 571 p.
122. Ohsaki Y. New approaches to aseismic design and testing in Japan. — Nuclear
Engineering International, 1980, vol. 25, N 294, pp. 47—49.
123. Part-through crack fatigue life prediction/Ed. J. B. Chang. ASTM STP 687.
Philadelphia: ASTM, 1979, 216 p.
124. Payne A. O. The fatigue of aircraft structures. — In: Progress in fatigue and
fracture/Ed. H. Liebowitz. Oxford: Pergamon Press, 1976, pp. 157—203.
125. Phenix S. L. The asymptotic distribution for the time to failure of a fiber
bundle. — Advances in Applied Probability, 1979, vol. 11, N 1, pp. 153—187.
126. Rascon O. A., Cornell С A. Strong motion earthquake simulation. Cambridge:
MIT Press, 1968. 155 pp.
127. Risk and failure analysis for improved performance and reliability/Eds.
J. J. Burke, V. Weiss. New York, London: Plenum Press, 1980. 355 p.
128. Sato H. A. A study of response characteristics of building-appendage structure
309
for earthquake motions with two ground predominant periods. — Report of the Insti-
Institute of Industrial Science. The University of Tokvo, 1981, vol. 26, N 26. 33 p.
129. SchuellerG. I. On the structural reliability of reactor safety containments.—
Nuclear Engineering and Desien, 1974, vol. 3, pp. 426—433.
130. Schultrich В., Posselt M. Statistische Rissausbreitung in eindimensionalen
Systemen ohne Wechselwirkung. — Zeitschrift fur angewandte Mathematik und
Mechanik, 1980, Bd. 60, H. 11, S. 557—567.
131. Seismic risk analysis: up-to-date state and trends/V. V. Bolotin, G. Grandori,
V. Karnik, et al,—In: State-of-the-Art in Earthquake Engineering. Proc. of VII WCEE.
Ankara: Kelavnak, 1981, pp. 71—90.
132. Sheith N. J., Bussa S. L., Mercer N. M. Determination of accumulated
structural loads from S^N gage resistance measurements. — In: Proc. of Automotive
Engineering Congress. 1973, pp. 1—35.
133. Shibata H. Draft of «Anti-earthquake design code for high-pressure gas ma-
manufacturing facilities». — Earthquake Research Center. University of Tokyo, 1981.
30 p.
134. Shibata H. On the basic research of design analysis and testing based on the
failure rate for piping and equipment under earthquake conditions. — Nuclear Engine-
Engineering and Design, 1980, vol. 60, N 1, pp. 79—84.
135. Shinozuka M. Methods of safety and reliability analysis. — In: International
Conference on Structural Safety and Reliability/Ed. A. M. Freudenthal. Oxford: Perga-
mon Press, 1972, pp. 11—46.
136. Singh S. K., Bazan E., Esteva L. Expected earthquake magnitude from
a fault. — Bulletin of Seismological Society of America, 1980, vol. 70, N 3, pp. 903—914.
137. Smith T. A., Warwick R. G. Summary of reported vessel defects for the period
1962—1978 and their relevance to nuclear primary circuits. — In: Structural Safety
and Reliabilitv/Eds. T. Moan, M. Shinozuka. Amsterdam, Oxford, New York: Elsevier,
1981. op. 451—465.
138. Solnes J. Interpretation and simulation of earthquake ground motions as
nonstationary stoshastic processes. In: Safety of structures under dynamic loading/Eds.
I. Holand et al. Trondheim: Tapir, 1978, vol. 1, pp. 99—132.
139. Spanos P.-T. D. Probabilistic energy spectra equations. — Journal of Engi-
Engineering Mechanics Division, ASCE, 1980, vol. 106, N EM-1, pp. 147—159.
140. Stancampiano P. A. Future of probabilistic structural design of nuclear com-
components. — Nuclear Engineering and Design, 1978, vol. 50, N 2, pp. 207—211.
141. Takaoka N., Shiraki W. Reliability analysis of reinforced concrete beams
using theory of stochastic processes. — Reports of the Faculty of Engineering, Tottory
University, 1981, vol. 12, N 1, pp. 154—166.
142. Trifunac M. D. A method for synthesizing realistic strong ground motion. —
Bulletin of Seismological Society of America, 1971, vol. 61, N 6, pp. 1739—1753.
143. Venezlano D. Envelopes of vector random processes and their crossing ra-
rates. — Annals of Probability, 1979, vol. 7, N 1, pp. 62—74.
144. Winching P. H. Fatigue reliability in welded joints of offshore structures. —
In: Proc. of 11-th Offshore Technology Conference, Houston, 1979, pp. 197—204.
145. Wirschlng P. H.( Haugen E. B. General statistic model for random fatigue. —
Journal of Engineering Materials and Technology, 1974, vol. 96, N 1, pp. 34—40.
146. Yang J.-N., Trapp W. J. Inspection frequency optimization for aircraft
structures based on reliability analysis. — Journal of Aircraft, 1975, vol. 12, N 5,
pp. 494—496.
147. Yang J.-N., Trapp W. J. Joint aircraft loading/structure response statistics
of time to service crack initiation. — Journal of Aircraft, 1976, vol. 13, N 4, pp. 270—
278.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
1. Постановка задачи 5
1.1. Понятие ресурса 5
1.2. Экономическое значение проблемы ресурса 7
1.3. Прогнозирование ресурса и теория надежности И
1.4. Прогнозирование ресурса и механика разрушения 13
1.5. Проблема безопасности машин и конструкций 17
1.6. Постановка задачи о прогнозировании ресурса на стадии проекти-
проектирования 22
1.7. Постановка задачи о прогнозировании ресурса на стадии эксплуа-
эксплуатации 24
2. Теория надежности машин и конструкций 26
2.1. Основные понятия^ 26
2.2. Математические модели теории надежности 29
2.3. Простейшие задачи теории надежности 31
2.4. Постановка задач теории надежности машин и конструкций ... 34
2.5. Метод условных функций надежности 41
2.6. Элементарные модели отказов машин и конструкций 43
2.7. Кумулятивные модели 46
2.8. Модели марковского типа 48
2.9. Модели пуассоновского типа 51
2.10. Вычисление математических ожиданий числа отказов 53
2.11. Приложение теории надежности к расчету машин и конструкций 56
3. Полуэмпирические модели накопления повреждений 61
3.1. Понятие о мере повреждений 61
3.2. Линейное правило суммирования повреждений 64
3.3. Гипотеза об автомодельности процесса накопления повреждений 68
3.4. Нелинейные законы суммирования повреждений 71
3.5. Многостадийная модель 73
3.6. Влияние разброса механических свойств на процесс накопления
повреждений '• • 76
3.7. Влияние разброса механических свойств на результаты испытаний 78
3.8. Применение статистического моделирования °3
3.9. Дальнейшие обобщения моделей накопления повреждений ... °9
3.10. Построение полуэмпирических моделей по данным ресурсных
испытаний
3.11. Классическая (многоцикловая) усталость 95
3.12. Малоцикловая усталость 99
3.13. Механическое изнашивание Ю1
3.14. Распространение макроскопических трещин J05
3.15. Модель зарождения макроскопических трещин 'у*
3.16. Объединенная теория замедленного разрушения 'J5
4. Структурные модели накопления повреждений 49
4.1. Значение структурных моделей для прогнозирования ресурса . . . "9
4.2. Модели хрупкого разрушения 12jj
' ,^одели пластического типа }25
4-4 Модель замедленного хрупкого разрушения '29
4-5- Модель накопления рассеянных повреждений J32
4.6. Объединенная структурная модель 136
311
4.7. Зарождение макроскопических трещим 140
4.8. Уравнения роста трещин 142
4.9. Устойчивость макроскопических трещин 146
4.10. Анализ результатов 148
4.11. Структурные модели накопления повреждений и разрушения
композитов 149
4.12. Композит с упругой матрицей 153
4.13. Композит с пластической матрицей 157
5. Прогнозирование ресурса на стадии проектирования 162
ЬЛ. Общие соображения 162
5.2. Постановка задач о прогнозировании ресурса 164
5.3. Асимптотический метод в задачах прогнозирования ресурса . . . 169
5.4. Асимптотические формулы для обобщенного закона накопления
повреждений 171
5.5. Стационарный эргодический случайный процесс нагружения . . . 173
5.6. Полудетерминистический метод 176
5.7. Характеристические показатели долговечности . . . 178
5.8. Формулы для вычисления характеристического ресурса 180
5.9. Учет разброса свойств системы и условий ее работы 184
5.10. Прогнозирование ресурса сложных систем 186
5.11. Объекты, содержащие большое число однотипных элементов . . . 188
5.12. Выработка ресурса как результат роста трещин 193
5.13. Применение объединенной теории замедленного разрушения . . . 196
5.14. Рост трещин при случайном нагружении ". 199
5.15. Проблема назначения срока службы и ресурса 203
5.16. Построение целевой функции 207
5.17. Формирование машинных парков и срок службы массовых машин 210
6. Прогнозирование показателей безопасности и риска 218
6.1. Безопасность машин и конструкций 218
6.2. Показатели безопасности и риска 220
6.3. Общие соотношения для функций безопасности 221
6.4. Пуассоновский поток событий 223
6.5. Определение экстремальных расчетных нагрузок и воздействий 224
6.6. Вероятностные модели экстремальных нагрузок 227
6.7. Учет редких сочетаний нагрузок и воздействий 234
6.8. Понятие сейсмического риска 238
6.9. Статистическая теория сейсмостойкости 243
6.10. Инженерные методы расчета на сейсмостойкость 252
6.11. Статистическое моделирование для оценки показателей риска . . . 259
6.12. Назначение показателей безопасности 264
7. Прогнозирование остаточного ресурса 267
7.1. Постановка задачи 267
7.2. Методология вероятностного прогнозирования 269
7.3. Прогнозирование на основе кумулятивных моделей 271
7.4. Применение полудетерминистического метода 275
7.5. Прогнозирование ресурса по измерениям нагрузок . 277
7.6. Прогнозирование на основе марковских моделей 279
7.7. Прогнозирование на основе моделей пуассоновского типа .... 282
7.8. Надежность системы неразрушающего контроля 285
7.9. Прогнозирование остаточного ресурса по критерию роста трещин 289
7.10. Оценка остаточной несущей способности 29]
7.11. Оценка безопасности по критерию устойчивости трещин 293
7.12. Датчики повреждений и счетчики ресурса 296
7.13. Восстановление истории нагружения с помощью датчиков повре-
повреждений 298
7.14. Оценка распределений нагрузок с помощью датчиков повреждений 301
7.15. Назначение остаточного ресурса и планирование технического
обслуживания 303
Список литературы 305