МАТЕМАТИНА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУНЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ: А.Н.КОЛМОГОРОВ. С.П.НОВИКОВ
М. САТО
М.ДЗИМБО
Т. МИВА
ГОЛОНОМНЫЕ
КВАНТОВЫЕ
ПОЛЯ _
Сборник статей
Перевод с английского
И. В. ВОЛОВИЧА
под редакцией
В. С. ВЛАДИМИРОВА
МОСКВА «МИР» 1983

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
От авторов 7
Деформация линейных дифференциальных уравнений, сохраняющая
монодромию и квантовая теория поля 10
Голономные квантовые поля 1 22
Голономные квантовые поля III 66
Голономные квантовые поля IV 118
Голономные квантовые поля V 219
Голономные квантовые поля. Неожиданная связь между теорией де-
деформации дифференциальных уравнений и квантовыми полями 276

ББК 2231
С 21
УДК 531.19 + 519.2
Сато М., Дзимбо М., Мива Т.
Голономные квантовые поля: Сб. статей. Пер. с
англ. — М.: Мир, 1983. — 304 с. ил.
Книга известных японских математиков, объединяющая различные матема-
математические теории, связанные с актуальной задачей современной математической
физике — нычислеиием корреляционных функций в точно, решаемых моделях
квантовой теории поля н статистической механики.
Для математиков различных специальностей, физиков-теоретякоа, механи-
механиков.
Редакция литературы по математическим наукам
М. Сато, М. Дзнмбо, Т. Мава
ГОЛОНОМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ
Контрольный редактор А. А. Бряндшнская
Редактор Э. Г. Иванова
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технические редакторы Л. П. Чуркина, Т. А. Алюлина
Корректор В. С. Соколов
ИБ'ЖЯП
Подписано к печати 21.03.83.
Формат 60 X 90 И«.
Бумага офсетная J* 1.
Гарнитура тайме. Печать офсетная. Объем 9,30 бум.л.,
Усл.печ.л. 19,00. Усл.кр.-отт. 19,26.
Уч.-изд.л. 15,86. Изд. J* 1/1452.
Тираж 5000 экз. Зак.235 Цена 2 р. 30 к.
Набрано на фотонаборном комплексе в издательстве «Мир»,
129820, Москва, И-ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Отпечатано в Тульской типографии Союзполнграфпрома
прн Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии н книжной торговли
г. Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109.
П 17О2О5ООО°-005 17 - 83, ,. 1 © «Мир», 1983
041@1) — 83

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник содержит, перевод серии статей* Микио Сато, Тецуи
Мива и Митио Дзимбо под общим названием «Голономные квантовые по-
поля», посвященных теории деформации линейных дифференциальных урав-
уравнений и ее приложениям в квантовой теории поля и статистической физике.
Известный японский математик М. Сато, создатель теории гиперфункций,
в настоящее время вместе со своими учениками Т. Мива и М. Дзимбо рабо-
работает в области математической физики. Открытая ими замечательная взаи-
взаимосвязь теории деформации с некоторыми моделями квантовой теории по-
поля легче всего может быть проиллюстрирована на примере классической
проблемы Римана — Гильберта.
Эта проблема, как известно, заключается в том, чтобы построить си-
систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида
y'(z)
( £ А /(г - aj \y{z), т.е. найти матрицы Av по заданной
группе монодромии. Эта задача была поставлена Риманом, входила в извест-
известный список проблем Гильберта и исследовалась Д. Гильбертом, И. Племс-
лем, Г. Биркгофом, И. А. Лашга-Данилевским, Н. И. Мусхелишвилиидр.
Новый метод, предложенный М. Сато, Т. Мива и М. Дзимбо, заключа-
заключается в следующем. Вводится некоторая бесконечномерная алгебра Клиф-
Клиффорда (образующие этой алгебры называются свободными фермионными
полями). Операторы, осуществляющие вращение в соответствующем орто-
ортогональном пространстве, образуют группу Клиффорда. Отметим, что это
вращение есть не что иное, как линейное каноническое преобразование, на-
называемое преобразованием Боголюбова. Оказывается, искомые матрицы
Аг связаны со средними по алгебре от операторов вращения. Если варьиро-
варьировать положение точек а^, сохраняя группу монодромии уравнения неизмен-
неизменной, то матрицы Av как функции а^ должны подчиняться некоторым нели-
нелинейным уравнениям, так называемым уравнениям деформации Шлезингера.
Следовательно, средние от операторов вращения также должны подчи-
подчиняться некоторым уравнениям деформации. Этот метод проливает свет на
алгебраические структуры, скрытые в аналитической теории дифференци-
дифференциальных уравнений.
Серия статей М. Сато, Т. Мива и М. Дзимбо посвящена развитию и
приложению подобных идей к более сложному н важному случаю модели

Предисловие
Изинга. Свободная энергия для этой модели, являющейся одной из наибо-
наиболее известных моделей статистической физики, была вычислена в знамени-
знаменитой работе Л. Онсагера в 1944 г. Что касается корреляционных функций,
то, несмотря на многочисленные попытки, только недавно Т. Т. By и др.
(см. [1] на стр. 9) сумели вычислить двухточечную корреляционную функ-
функцию в теоретико-полевом скейлинговом пределе. При этом оказалось, что
она выражается через решение уравнения sin-Гордон, или, эквивалентно,
уравнения Пенлеве. Основной результат М. Сато, Т. Мива и М. Дзимбо за-
заключается в том, что они, используя развитую ими красивую теорию де-
деформации двумерного уравнения Дирака и теорию вращений на алгебре
Клиффорда, получили выражения для л-точечных корреляционных функций
через решения некоторых нелинейных уравнений, обобщающих уравнения
Пенлеве. В качестве оператора вращения здесь выступает оператор спина.
Аналогичные результаты получены также для ряда других моделей.
Помимо очевидной важности для теоретической и математической фи-
физики эти работы имеют большое значение и для математики. Они оживили
интерес к вопросам изомонодромных деформаций и вообще к аналитичес-
аналитической теории дифференциальных уравнений. В частности, под влиянием этих
работ была построена теория деформации обыкновенных линейных диффе-
дифференциальных уравнений с произвольными иррегулярными особенностями.
Как обобщение тэта-функций Римана и корреляционных функций введено
понятие г-фуикций и изучены их аналитические свойства. Ведутся исследо-
исследования по обобщению этих результатов на уравнения в частных произво-
производных.
М. Сато, Т. Мива и М. Дзимбо установили интригующую связь между
своим методом и методом решения нелинейных уравнений при помощи об-
обратной задачи рассеяния, т.е. методом изоспектральных деформаций. В
частности, они'показали, как их подход дает ^-солитонные решения впол-
вполне интегрируемых уравнений. Эта взаимосвязь еще не до конца понята, но,
по-видимому, должна быть плодотворной для обоих подходов.
Отметим, что некоторые утверждения, сделанные в статьях сборника,
пока обоснованы только на эвристическом уровне. Их строгое
обоснование — дело будущих исследований.
Книга, говоря формально, замкнута в себе, н ее чтение не требует пред-
предварительных знаний из квантовой физики. Все необходимые понятия и све-
сведения даны в тексте.
При переводе исправлены замеченные опечатки, а также учтены поправ-
поправки, любезно присланные авторами.
Синтез методов комплексного анализа, алгебры, теории дифференци-
дифференциальных уравнений и квантовой физики, осуществленный в предлагаемом
вниманию читателя сборнике статей, является, на наш взгляд, впечатляю-
впечатляющим примером плодотворного взаимодействия математики и физики, ха-
характерного для современной математической физики.
В. С. Владимиров
И. В. Волович

ОТ АВТОРОВ
Эта книга содержит серию статей, озаглавленных «Голономные кванто-
квантовые поля» (ГКП), и две связанные с ними обзорные статьи. Основной те-
темой всей книги является ранее не предполагавшаяся связь между теорией
квантовых полей и теорией деформации линейных дифференциальных урав-
Для удобства читателей мы дадим здесь краткое описание всех резуль-
результатов, полученных в этой работе и в дальнейших исследованиях.
Рассматриваемые здесь квантовые поля имеют специальный вид, они
принадлежат группе Клиффорда (см. А на рис. 1). Это поля вида
<р = : ф*У>... y>(*V/2:, где ф^ (соответственно р) обозначает линейное (соот-
(соответственно квадратичное) выражение по свободным полям. Такие операто-
операторы также характеризуются коммутационными соотношениями со сво-
свободными полями вида <рф^ = £ ф^М^, где через Мц обозначены с-чис-
ла. Статья ГКП I посвящена изучению алгебраической структуры группы
Клиффорда.
Известно несколько физических моделей, которые попадают в эту кате-
категорию, наиболее типичная из них — это двумерная модель Изинга и ее
скейлинговый предел. В статье РКП V детально обсуждаются решетчатые
модели такого типа. Для этих моделей характерно, что их коореляционные
Функции < ^j(aj) ... <рп(а„) > , как функции параметров а,, допускают точ-
точные выражения через решения некоторых нелинейных дифференциальных
уравнений (В на рис. 1). Исторически первые результаты такого типа были
открыты By — Мак-Коем — Тренев — Барухом [1] для скейлинговой двух-
двухточечной корреляционной функции в модели Изинга. К настоящему време-
времени получены обобщения, включающие следующие примеры: схейлинговые
л-точечные корреляционные функции модели Изинга (статья ГКП ГУ), мо-
модель Федербуша, безмассовая модель Тирринга [2], матрица плотности для
бозе-газа с твердой сердцевиной [3] и двухточечная корреляционная функ-
функция модели Изинга без перехода к скейлинговому пределу [4]. В последнем
примере появились также нелинейные разностные уравнения, соответству-
соответствующие некоторым дискретным параметрам.
Почему это оказалось возможным? Дело заключается в следующем.
Вместо рассмотрения непосредственно функции < <Pi(a{) ... <рл(ап) > изуча-
изучаются средние значения
1
/<
V

8
От авторов
произведений полей <Р7(а„) со свободными полями Ф((.х). Тогда коммутаци-
коммутационное соотношение <р„(а„) и фЦх) с учетом структуры вакуума приводит к
некоторому свойству монодромии (н поэтому к линейным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям) для Y(x). Более того, структура этой монодромии оста-
остается неизменной при изменении параметров ау. Таким образом, мы прихо-
приходим к сохраняющей монодромию деформации линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений (см. С на рис. 1).
КбантоЬая теория паяя
группа Клиффорда
Монодрошя линейных
дифференциальных
уравнений
Нелинейные дифферен-
дифференциальные уравнения
типа /Тенлеве
Вполне интегрируемые
системы
Рис. 1.
Изучение этой проблемы уже стало классическим. Для обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений с регулярными особенностями об-
общая схема была разработана Шлезингером A912). Совсем недавно было
получено обобщение, допускающее любое число иррегулярных особенно-
особенностей произвольного ранга {5]. В статье ЕКП. III деформация двумерных
дифференциальных уравнений в частных производных (евклидовых уравне-
уравнений Дирака и Клейна — Гордона) обсуждается в связи со скейлинговым
пределом модели Изинга. Во всех этих случаях условие сохранения моно-
монодромии записывается как система линейных дифференциальных уравнений
относительно параметров деформации. Нелинейные дифференциальные
уравнения (В), отмеченные выше, — это не что иное, как их условие инте-
интегрируемости. Известно [б], что нелинейные уравнения, полученные таким
способом, обладают свойством Пенлеве: именно их общее решение не до-
должно иметь движущихся особых точек (помимо движущихся полюсов).
Корреляционная функция < <рх(а{) ... <рл(а„) > в свою очередь характери-
характеризуется при помощи решений иелинейных уравнений деформации (В). Соот-
Соотношение между < <?j(aj) ... <рл(а„)> и Y(x) полезно сравнить с соотношением
между определителем Фредгольма и ядром резольвенты.
Можно также обратить стрелку А — С. Для решения задачи о монодро-
монодромии можно построить полевые операторы <?,, принадлежащие группе
Клиффорда, так что описанная выше конструкция дает матрицу Y(x), име-
имеющую предписанное свойство монодромии. Такое решение (обобщенной)

От авторов 9
проблемы Римана — Гильберта было выполнено в статье ГКП II1' в слу-
случае регулярных особенностей, и в [7] в наиболее общем случае. Таким об-
образом, А, В и С отражают различные аспекты одной и той же структуры.
Во всем этом круге проблем ключевую роль играет понятие г-функции
[5, 8] математического синонима корреляционной функции. Во многих от-
отношениях понятие т-функции, по-видимому, является возможным' кандида-
кандидатом для «гиперабелева» обобщения тэта-функции.
Естественно, существует глубокая связь между деформациями, сохраня-
сохраняющими монодромию С и спектр D. С точки зрения рассматриваемых в по-
последнее время вполне интегрируемых нелинейных систем построение их
специальных решений (солитонов, квазипериодических решений, автомо-
автомодельных решений и т.д.) равнозначно рассмотрению сохраняющей моно-
монодромию деформации относительно спектрального параметра. Понятие г-
функции обобщается и на изоспектральный случай, причем с его помощью
нелинейные уравнения записываются как билинейные дифференциальные
уравнения Хироты [9].
Настоящая книга содержит большую часть материала, относящегося к
взаимосвязям между А, В и С. Резюме результатов и обсуждение некото-
некоторых смежных вопросов можно найти в серии коротких заметок [10]. Име-
Имеется также несколько более подробный обзор [11].
Наконец, последнее, но не менее важное: публикация этого русского из-
издания стала возможной благодаря инициативе редактора В. С. Владимиро-
Владимирова и благодаря тщательной работе переводчика И. В. Воловича. Мы хотим
выразить им нашу сердечную благодарность.
А/. Сапю, М. Дзимбо, Т. Мива
ЛИТЕРАТУРА
1.Т. Т. Wu, В. М. Me Coy, С. A. Tracy, E. Barouch. Phys. Rev., В13 A976) 316.
2.М. Jimbo, T. Miwa, M. Sato. Pub/. RIMS, Kyoto Univ. 17 A981), 137.
3.M. Jimbo, T. Miwa, У. Мвп, M. Sato. Physica, Dl A980) 80.
4.M. Jimbo, T. Miwa, Proc. Japan Acad. 56A A981), 137.
5.M. Jimbo, T. Miwa, K. Ueno. Physica 2D A981), 306. M. Jimbo, T. Miwa. Proc.
Japan Acad. 56A A980) 143.
6.T. Miwa. RIMS preprint 343, Kyoto Univ. A980).
7.T. Miwa. RIMS preprint 330, Kyoto Univ. A980).
8.M. Jimbo, T. Miwa. Physica 2D A981); 407. M. Jimbo, T. Miwa. Proc. Japan Acad.
56A A980) 149.
9.M. Jimbo, T. Miwa. Proc. Japan. Acad. 56A A980) 269.
10.M. Sato, T. Miwa, M. Jimbo. См. ссылку [2] в последней статье этой книги.
11.М. Sato, Т. Miwa, M. Jimbo. Proceedings of the international colloquium on Complex
Analysis, Microlocal Calculus and Quantum Field Theory, Springer Lecture Notes in
Physics, 126 A980) 429.
l) Из-за недостатка места работа ГКП II не вошла в настоящий сборник. Резуль-
Результаты работы ГКП II не используются в остальных статьях сборника. Краткое изло-
изложение результатов этой работы дано в статье «Деформация линейных дифференци-
дифференциальных уравнений, сохраняющая монодромию и квантовая теория поля». — Прим.
ред.

ДЕФОРМАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩАЯ МОНОДРОМИЮ
И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ0
М. Дзимбо, Т. Мива, М. Сато
ВВЕДЕНИЕ
Теория деформации возникает в различных отраслях математики и не-
нередко является их важной составной частью. Теория деформации линейных
дифференциальных уравнений представляется особо важной. В эту катего-
категорию попадает способ решения нелинейных проблем при помощи так назы-
называемого метода обратной задачи теории рассеяния, поскольку, согласно
Лаксу, этот метод интерпретируется как «изоспектральная» деформация
соответствующих линейных дифференциальных уравнений. Другой при-
пример — сохраняющая монодромию деформация фуксовой системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотренная Шлезингером (см.
§ 1 - 2).
Недавно было обнаружено [1 — 7], что существует глубокая связь меж-
между задачей о моиодромии и некоторым классом квантованных полевых
операторов. В этой статье мы даем обзор вышеуказанных работ. Мы по-
покажем на примерах, как полевые операторы эффективно применяются для
изучения теории деформации. Указанная выше связь используется также-в
обратном направлении, так что л-точечные функции полевых операторов
выражаются в замкнутом виде через решения нелинейных уравнений де-
деформации.
В § 1—2 мы даем краткий обзор задачи о монодромии для фуксовой
системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. В § 3 эта
задача сформулирована на языке квантовой теории поля. § 4 посвящен тео-
теории групп Клиффорда, которая проясняет алгебраический механизм, лежа-
лежащий в основе такой переформулировки. Далее, явное построение операто-
операторов завершается в § 5. В заключительном § 6 мы обсуждаем 2-мерную ана-
аналогию описанной выше теории. Особо выделено рассмотрение масштабно-
инвариантного предела спинового оператора 2-мерной модели Изинга, что
было отправным пунктом наших исследований.
') Micfaio Jimbo, Tetsuji Miwa and Mikio Sato, Monodromy Preserving Deformation
of Linear Differential Equations and Quantum Field Theory, RIMS preprint 246 A978),
1 — 18.
© RIMS, Kyoto University; Kyoto 1978
© Перевод на русский язык, «Мир» 1983

Деформация линейных дифференциальных уравнений 1И
§ 1. МОНОДРОМИЯ И ПРОБЛЕМА РИМАНА
Пусть на расширенной комплексной плоскости С U (») задана система
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
(О Й--(ЬД^).. !-'(,.. -,».)
у постоянные (да X т)-матрицы и>= 1, .... л. Решение.? = у(х)
системы уравнении A), вообще говоря, многозначная функция, и ее анали-
аналитическое продолжение вдоль некоторого замкнутого пути у в С \ [alt . . .,
. . ., ап} (рис. 1) выражается как линейная комбинация независимых реше-
базисная
точна
Рис. 1
ний. При помощи фундаментальной матрицы Y = Y(x) это запишется сле-
следующим образом:
B)
при продолжении вдоль у. Здесь М(у) обозначает обратимую (т х т)-
матрицу, зависящую только от гомотопического класса пути у.
Очевидно, имеем
C) М(г,Уг) = М( Г,) М{уг)
так что множество ЯП ~ {М(у)} образует группу, называемую группой мо-
иодромии системы A) 1} (или Y(x)). Если мы обозначим через уу путь во-
вокруг ау в направлении часовой стрелки, который не содержит внутри себя
других особых точек (рис. 2), мы увидим, что 2Л порождается матрицами
Рис. 2
п Само множество 3R зависит от выбора Y(x) и начальной точки путей у, но
его класс эквивалентности по отношению ЗП ~ Р ~*ЗПР(Р € GL(/n, С)) не зависит от
этого.

12 Деформация линейных дифференциальных уравнений
Му ш МG„) (?=1, .... л). Простейший пример — степенная функция
Y(x) = (х - aj)"^, для которой имеем Мх = e2riLK
Группа монодромии — это важное понятие, которое описывает харак-
характер ветвления многозначной функции. Однако ее явное вычисление возмож-
возможно только для весьма ограниченного класса уравнений (например, для ги-
гипергеометрического уравнения).
Проблема Римана формулируется следующим образом;
D) Заданы произвольные точки ветвления а,, . . ., ап € С и матрицы
A/j, . . ., Мп € GLC"> С). Требуется найти систему линейных диф-
дифференциальных уравнений вида A), группа монодромии которой со-
совпадает с группой, порожденной {Му}у= 1 „.
С тех пор как Риман поставил эту проблему, она привлекала внимание ря-
ряда математиков и была решена в полной общности, хотя только в форме
абстрактной теоремы существования. Ниже, в § 5 мы дадим некоторое
конструктивное решение, используя квантово-полевые операторы.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ШЛЕЗИНГЕРА
Пусть Y = Y(x0; х) — фундаментальная матрица системы A) с услови-
условием нормировки Y\x-Xo = 1. Шлезингер [8] рассмотрел задачу о варьирова-
варьировании а,, . . ., ап и х0 и соответственно матриц Ау таким образом, чтобы
группа монодромии решения Y оставалась неизменной. Он показал, что не-
необходимое и достаточное условие на Аг, рассматриваемые теперь как
функции параметров ах, . . ., ап н х0, заключается в том, что они удовлет-
удовлетворяют следующей вполне интегрируемой системе ]):
E) 6А = - Е - ^^
Записанная более явно, система (S) имеет вид
да
E)'
_гл л "I /_1 L
11 В статье [8] Шлезингер рассмотрел только случай х0 =

Деформация линейных дифференциальных уравнений 13
§ 3. ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВАЯ ФОРМУЛИРОВКА [4]
Временно предположим, что все точки ветвления ау лежат на веществен-
вещественной оси IR, <*j < . . . < ап. В таком случае, как читатель без труда может
проверить, граничные значения на вещественной оси Y(x) = Y(x ± /О)
матричного решения Y(x) системы A) должны быть связаны соотношени-
соотношением (рис. 3):
Y.{x) = Y+(x) Mix), Mix) = Mt(x) MH(x)
1 (av<x)
F) Mv{x) =
Mv (av> x)
му — мп мг — мп мп i
Ot аг an.t an
Phc. 3. Значения Щх)
Покажем теперь, что задача построения голоморфных матриц Y±(x),
удовлетворяющих (б), переводится на язык квантоп'-ч теории поля.
Пусть ф®(х), Ф*A)(х) (/ = 1 т; х € IR) — свободные фсрмиоииые
операторы в одномерном пространстве 1R1. Они удовлетворяют следую-
следующим каноническим антикоммутационным соотношениям:
Ах) /'(*')+Л*') /'(*> =0
*) = 0
x') +ф*Ф(х') фA\х) = <ГисГ(дг-х').
Пусть ч> — полевой оператор, удовлетворяющий соотношениям
$\ = £ ф*\х) <рти(х)
G) <рф**{х) = Ь^\х) <pmfj(x)
Ь
= М(х), (mf}(x) ) = *

14 Деформация линейных дифференциальных уравнений
Теорема. Матрицы
Y+(x) = -2ni(xo-x)
(8)
Yjx) = -2ni(xe-x) ч .r ,-,,
допускают аналитические продолжения в области Im xsO соответст-
соответственно и удовлетворяют соотношениям F).
Здесь <?> означает вакуумное среднее значение оператора <р.
Доказательство этой теоремы очень простое. В самом деле, возмож-
возможность аналитического продолжения вакуумного среднего значения <.ф(х).. .>
или <. . .ф{х)У в область ImxsO является совершенно общим свойством
локальных полевых операторов. С другой стороны, используя векторное
обозначение ф(х) = W-A)(*), • • -, Ф^Чх)), перепишем формулу G) в виде
<Рф(х) = #х) Ч>М(х) .
Умножив на 'ф~* (х0) слева и взяв вакуумное среднее значение, получим F).
Проблема теперь в следующем: как найти такой оператор <р?
§ 4. ТЕОРИЯ ГРУППЫ КЛИФФОРДА [3, 7}
Оператор <р, введенный в § 3, имеет следующее замечательное свойство.
Положив....---.-. .
[х) — Т{ Ф (ж) ) ц>, 4*ty (*) = Т^ Ф {х) ) я>
мы видим из G), что Т(фЦ)(х)), Т(ф*^(х)) — снова линейные комбинации
свободных фермионных операторов. Мы изучим операторы, обладающие
таким свойством, в случае конечного числа степеней свободы.
Пусть дано TV-мерное комплексное векторное пространство W, и пусть
<,> — невырожденное симметрическое скалярное произведение на W. (Это
означает, что для некоторого базиса wlt . . ., wN в W матрица, образован-
образованная скалярными произведениями J = (<*v,, »vy>)/>y= , ^ N симметрическая
и невырожденная.) Обозначим через A(fV) алгебру, порождаемую W с
определяющим соотношением
ww'+ w'w = < to, w'> €E С
для любых w, w' € W. Алгебра A(W) — это не что иное, как операторная
алгебра свободных фермионов. Мы определяем группу Клиффорда G(W)
следующим образом:
(9) G(W) = (g e A(W) I з g-\gwg-1'^ IVv и. e Wl.

Деформация линейных дифференциальных уравнений 15
Для g € G(M) положим
лг
'1 = E u>,i,j, j = 1 , , N.
Тогда Т = (tу) — ортогональная матрица. В этом смысле преобразование
w _ gwg~* индуцирует «вращение» в пространстве W. Утверждается, что
g определяется однозначно (с точностью до постоянного множителя) вра-
вращением Т . Прежде чем объяснить этот факт, мы введем понятие норм-
отображения.
Пусть W = V* ® V — разложение W в прямую сумму подпространств
V*, V, так что
< г*. v*> = 0, v*, v* е V
<г,, г/а> = 0, »,, к2 е V,
Элементы V* (соответственно V) называются операторами рождения
(уничтожения). Для каждого такого разложения существует линейный изо-
изоморфизм из A(W) во внешнюю алгебру M.W) над W, который называется
норм-отображением: Nr: A(W) at XAV). (В физической терминология
отображение, обратное к - Nr,1 называется нормальным упорядочением,
именно \ = Nr (а) € Л( W) означает а = :\:.) Алгебра Л( W) имеет структу-
структуру градуированной алгебры С © W © Л2( W) © .... Член степени О в
Nr (а) б Л( W) для а е А ( ^) называется вакуумным средним значением а и
обозначается <а>.
Приведем теперь формулу, с помощью которой * е G(W) восстанавли-
восстанавливается по Tg. Положим
/\ —— ^ ^^ С*/1 IV j ^ ) £Jm, ц •
Формула 1 [1, 3, 7]. Ясли det (К + 'АТ^) * О, то
(Ю) в" =
/> = £,
где
Я = (rJ = (Тв - 1) (К+ ХКТК) - .
Замечание. Приведенная формула отражает наиболее типичную ситуа-
ситуацию. В [7] показано, что произвольный элемент g € G(W) имеет вид g =
= с : Wj . . . и^е*/2:, где с е С, wt е й^ и р € A2(Ff0. Для этого случая так-
также имеются формулы, аналогичные A0).
Поскольку G(W) — группа, произведение двух элементов G(W) снова

16
Деформация линейных дифференциальны., уравнений
принадлежит G{W). Нормальный символ " произведения элементов вида
A0) дается следующей формулой:
Формула 2 [3, 7]. Еслия„ = <#„> : е"'/2:, то
где
<gt •*„> = <gl>-
det( 1 -
( л...
R =
A =
( о к-
try л *'■
V -К-
и матрица Л, соответствующая р, имеет вид
= Ж
• •••••* f£ \
•*-*К О
-АЛ)
§ 5. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ РИМАНА
Возвращаясь к первоначальной ситуации, мы теперь имеем аппарат для
'построения, оператора <р по вращению G), которое он индуцирует в про-
пространстве свободных фермионных операторов. Мы находим, что оператор
<p(a;L) =;e
j
<12)
dxdx' f(-x)
R(x,x':L) =2< sin
xhx'.-
2rt x-x'+iO
+
L
In x-x'-
обладает нужным свойством при л = 1:
<p(a;L) ifi(x) = ?(дг) <p(a,L) M(x)
<Р\п\ jL) ^*(х) = Ф*(х) cKa'iL) **■"■-Л ~'
1 (дг > а)
Л#(х) =
етеа (х<а).
1) То есть образ при норм-отооражении. — Прим. перев.
2) Xе = 0 (х > 0), = Ш*- (* < 0).

Деформация линейных дифференциальных уравнений 17
В общем случае произведение таких операторов
* <<p(a1;Ll)-<p(an;Ln)>
удовлетворяет G), поскольку мы имеем
Показано, что если норма \Ly\ (у = I, . . ., п) достаточно мала, A3) кор-
корректно определено, и Y± (x), даваемое формулой (8), действительно являет-
является решением проблемы Римана со свойством Y±.\X = X() = 1. Так как Ly (a
поэтому н матрицы монодромии Му = ехр {2*iLy} остается фиксирован-
фиксированной, коэффициенты Ау системы уравнений A), которой удовлетворяет
Y±(x), должны быть решением уравнений Шлезингера E).
Отметим, что вакуумное среднее значение операторов <р(а; L) связано с
Ау по формуле
d log < <p(a,:L.) ■••rpia \L ) > = ZZ trace (AUAJ d log(au— av) .
§ 6. ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ [1, 2, 6]
Изложенная выше теория деформации, сохраняющей монодромию,
имеет также двумерный аналог. (На самом деле мы, начав отсюда, при-
пришли затем к проблеме Римана.) Мы опишем здесь вкратце относящиеся
сюда факты.
а) Задача о монодромии
Обозначим z = (х1 + «^)/2, z = (х1 — ix2)/! комплексные координаты
евклидова пространства-времени IR2. Предположим, что заданы л точек
(<?„> <*») е r2> каждой из которых сопоставлено произвольное число /„,
- 1 < 1у < О (v = 1, .... л). Рассматривается пространство Wa^ ...,am, со-
состоящее нз двухкомпонентных функций w = '(w+ , w_), удовлетворяющих
следующим условиям:
1) (Евклидово уравнение Дирака) —±- = ww.
dz " dz
2) При обходе вокруг точки (ау, ау) против часовой стрелки w переходят
ве2тИуцг
3) и,-сB-а„)>(г_1ау) + - + сЧг-5у)'< (■£^-) + -(г -ау:с, с-е С)
I и» I = 0 (е-"»1) ( I z I - оо).

18 Деформация линейных дифференциальных уравнений
Здесь т > О — константа, называемая «массой».
Оказывается, размерность векторного пространства fVBl> ..., Ся равна п.
Кроме того, базис wy = '(wy+ , wy_) {у = 1, .... л) пространства Wa,,..., Ся
должен удовлетворять помимо 1) следующей системе дифференциальных
уравнений в частных производных:
A4)
где В, В*, Е — постоянные (л X л)-матрицы. Здесь считается, что матри-
матрица — ( J действует на каждую компоненту wr = '(wy+ , wy_ ).
б) ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Матрицы В, В* лЕ зависят от параметров (а,, а,) и /„(р = 1, .... л).
Из A4) следует, что собственные значения В (соответственно В*) совпада-
совпадают с ау(ау), v = 1, .... л. Положим
A5)
В* =
где А = (a^S^J.A = (a,,^). Тогда .Ри G как функции (а„, а„) (v = 1, . . .
■ • •> л) удовлетворяют следующей вполне интегрируемой системе:
A6)
dF =[9, F] + m'( [ dA, G" A G] + [ A, G'dAG])
J/™» / Л ^ Д/"»
uLv — — Or Cr— "\я
'F = GFG", '6 = G, диагональ F = -(l> + ~2"; , X )
» 2
Здесь через в обозначена матрица из 1-форм, определяемая из условий
[в. A] +[F, dA] = 0 , диагональ 0= О
Отметим, что монодромия е2т1'' функции w остается nqcTc-янной и в этом
случае.
в) Теория операторов
Пусть ф{х) = 1(ф+(х), ф_(х)), ф*(х) = '(Ф1(х), ф*_(х)) — комплексное
свободное фермионное поле в 2-мерном пространстве-времени Минковско-
го. Таким же образом, как н в 1-мерной теории, мы можем построить по-
полевые операторы <pF(a; /), удовлетворяющие следующим условиям:

Деформация линейных дифференциальных уравнений
19
для пространственноподобных друг относительно друга х и а (см. рис. 4).
F( <*;.
A7)
VF(a;£)
в»" ф*(х) <p.F(a;£)
г1 < а')
г1 > а')
г1 < а1)
В явном виде имеем
A8)
<Рт(а;£) = : ei/
Рис. 4
= 2«
'-iO
Здесь а± = (а0 ± а')/2, и ф{и), Ф* (и) обозначают операторы рождения
(и < О) и уничтожения (и > О), переносящие энергию-импульс (р°, р1) =
/ и + и и - м~'\
= I m , m I на массовой понерхностн.
\ 2 2 /

20 Деформация линейных дифференциальных уравнений
Положим далее 1J
A9) 9*\- ( а;£) = : ( j"rfa_( 0+ iuf *-"-—*-"» **(.
Тогда аналитическое продолжение «волновых функций»
B0)
(v= 1, ,n)
в евклидову область х° = — ix2 € /R дает л линейно независимых элементов
пространства W^ „ .
Более того, вакуумное среднее значение произведений <pF(a; l) имеет за-
замкнутое выражение через решение уравнений деформации A6):
dlog<<pF(at;£1)-<pF(an;£n)>
/1
= trace ^-yF0-
+ комплексно сопряженное.
г) Модель изинга [4, ю]
Физический интерес среди возможных выборов значений 1у представляет
выбор /„ = —1/2 (у = I, . . ., л). В этом случае можно построить теорию
операторов, основываясь на нейтральном свободном фермионном поле.
Показано, что соответствующие полевые операторы <pF(a) и ^(а), отвеча-
отвечающие A8) н A9), совпадают со скейлинговыми пределами спинового опера-
оператора 2-мерной модели Изинга при стремлении к критической температуре
снизу или сверху. Формула B1) представляет собой обобщение результата
By н др. [9], которые установили, что 2-точечная функция имеет замкнутое
выражение через трансцендентные Пенлеве III рода.
Наконец, отметим, что аналогичная конструкция операторов возможна
при замене ф(х), ф* (х) на свободное бозонное поле <р(х), <р* (х). В этом слу-
случае в отличие от ^(в), которое представляет собой сильно самодействую-
самодействующее бозонное поле, получается сильно взаимодействующее фермионное по-
поле <fP(a) = (<s^.(e), <рР_(а)).
ЛИТЕРАТУРА
1. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: Proc. Japan. Acad. 53 А, б — 10 A977).
2. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: ibid., 147 — 152, 153 — 158, 183 — 185 A977).
4 Здесь du = du/2x\ и I. — Прим. перев.

Деформация линейных дифференциальных уравнений 21^
3. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: ibid., 219 — 224 A977).
4. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: RIMS preprint 207 A976).
5. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: Proc. Japan. Acad. 54 A, 1 — 5 A978).
6. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: RIMS preprint 239 A977).
7. Sato M., Miwa Т., Jimbo M.: Holonomic Quantum Fields /., Publ. RIMS, 14, J* 1,
223 — 267 A977). (См. настоящий сборник, статья Г.К.П.1.)
8. Schlesinger L.: J. Reine u. Angew. Math. 141, 96 — 145 A912).
9. Wu Т. Т., McCoy B. M., Tracy С A., Barouch E.: Phys. Rev. B13, 316 — 374
A976).
10. Onsager L.: Phys. Rev. 65, 117 — 149 A944).

ГОЛОНОМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ I|}
М. Сато, Т. Мива, М. Дзимбо
В этой серии статей мы рассматриваем следующие вопросы: 1) теория
деформации для линейных (обыкновенных н в частных производных) диф-
дифференциальных уравнений; 2) квантовые поля с критическим поведением и
3) теория группы Клиффорда (теория «вращений»). В действительности на-
наша главная цель и в то же время идея заключается в том, чтобы выявить
глубокую связь, существующую между этими на первый взгляд независи-
независимыми концепциями.
Естественно, мы можем и на самом деле будем использовать эту связь
в обе стороны: с одной стороны, мы используем ее для изучения 1) и уви-
увидим, что теория деформации поддается конструктивному изучению при по-
помощи полевых операторов; с другой стороны, применяем ее для построе-
построения точного выражения л-точечных т-функций (причинных функций Грнна)
при исследовании второго вопроса в замкнутом виде через решения систе-
системы нелинейных дифференциальных уравнений (которые возникают как
уравнения деформации линейных дифференциальных уравнений).
Эта наша работа является развитием работы Л. Онсагера [9], который
фактически открыл, что полевые операторы на двумерной изинговской ре-
решетке являются элементами некоторой группы Клиффорда (связь между
вторым и третьим вопросом), и использовал этот факт для точного вычис-
ления свободной энергии модели Изннга, и развитием работы Т. Т. By и
др. [12], которые открыли, что 2-точечная т-функция модели Изинга допу-
допускает точное выражение через трансцендентную Пенлеве III рода. Краткое
изложение нашей теории дано в работах [2, 3, 4, 15].
Часть I посвящена теории вращений в ортогональном векторном про-
пространстве [1, 2, 3, 4], которая играет фундаментальную роль в последую-
последующих частях. После предварительного обзора алгебр Клиффорда мы вводим
понятие норм-отображення Nr и приводим явную формулу, выражающую
нормальный символ элемента g группы Клиффорда G(W) через оператор
вращения Т, которое он индуцирует в исходном ортогональном про-
'> Mikio Sato, Tetsuji Miwa and Michio Jimbo, Holonomic Quantum Fields I Publ
RIMS, Kyoto Univ., 14 A978), 223 — 267. '
© RIMS, Kyoto University, Kyoto 1978
© Перевод ва русский язык, «Мир» 1983

Голономные квантовые поля I 23
странстве W. Далее мы даем описание замыкания G{W) группы G{W) и
приводим формулу для нормального символа произведения £A) . . . g^ эле-
элементов £w, принадлежащих G(W). Наконец, мы определяем обобщенное
понятие норм (х-норм)-отображения Nrx н изучаем закон преобразования
при некотором изменении норм-отображений.
Построение операторов голономных квантовых полей осуществлено в
ч. IV. Пусть W — пространство решений уравнений Дирака с положитель-
положительной массой в двумерном пространстве-времени. Зададим на W
невырожденное скалярное произведение, превратив его тем самым в орто-
ортогональное векторное пространство. Задав некоторое вращение в W ® С,
мы строим оператор поля <р(а) в виде нормального произведения вспомога-
вспомогательных ферми-полей ф(х) таким образом, чтобы вращение, индуцирован-
индуцированное <р(а), совпадало с заданным. Аналогичное построение выполнено в слу-
случае, когда пространство-время имеет только одно измерение (т.е. время
отсутствует); в этом случае построение оператора <р(а) по вращению приво-
приводит нас к проблеме Рнмана — Гильберта [5]. Мы выводим также формулу
для операторного разложения произведения ф(х)<р(а) при малых х — а.
В части III рассматривается теория деформации голономнрй системы
дифференциальных уравнений [3, 15]. Мы рассматриваем пространство
W *^™' а , состоящее из двузначных решений двумерного евклидова уравне-
уравнения Дирака, удовлетворяющих соответствующим условиям роста в точках
ветвления ах, . . ., ап и на бесконечности. Установив конечномерность этого
пространства, мы выводим голономную систему линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка, которой удовлетворяет некоторый базис
W jS^Jf..^. Коэффициенты этой системы являются функциями от ах, . . ., а„,
и показано, что они удовлетворяют некоторой вполне интегрируемой си-
системе дифференциальных уравнений в полных дифференциалах (уравнениям
деформации). Эти результаты обобщены на случай пространства
W "rict а (А), которое состоит из многозначных решений с 'предписанным
свойством монодромии н теми же условиями на рост. Эти голономные си-
системы и уравнения деформации имеют одномерные аналоги, которые пред-
представляют собой фуксовы системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка н знаменитые уравнения Шлезингера [6] соответст-
соответственно.
В части IV мы строим решения этих голономных систем н уравнений
деформации в виде х-средних значений < >х> введенных в ч. I, произведений
наших полевых операторов <р и ф [3, 15]. Показано, что при подходящем
выборе Ох и различных комбинаций этих операторов мы получаем неко-
некоторый базис решений нужной голономной системы. Это дает искомое со-
соотношение между коэффициентами голономной системы, которые являют-
являются решениями уравнений деформации, н л-точечными функциями (<р(а{) . . .
. . . <р(а^»х операторов <р. Таким образом, мы получаем, с одной стороны,
п(п — 1)/2-параметрическое семейство решений наших двумерных уравне-
уравнений деформации (ср. [7]) н тем самым, с другой стороны, замкнутые выра-

24 Голономные квантовые поля I
жения для л-точечных функций операторов <р [3,8]. Более того, монодро-
мия построенного таким способом базиса с очевидностью проявляется в
предписанных заранее вращениях Т^,ау Таким образом, описанная схема
дает, в одномерном случае, конструктивное решение проблемы Римана на
комплексной сфере, а также уравнений деформации Шлезингера.
В последующих частях мы изучаем голономную структуру л-точечных
функций [2] и теорию поля на решетке1'. Мы приведем нормальные симво-
символы оператора спина двумерной модели Изннга ниже н выше критической
температуры и точные выражения для их л-точечных корреляционных
функций [9, 8,10, 11, 12]. Будет показано, что их скейлинговые пределы <pF
и <fF получаются как специальные случаи конструкции части I. Мы вычис-
вычислим также асимптотические поля н 5-матрицу для поля iff [2].
РЕЗЮМЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧАСТИ I
§1.1. Общие замечания об алгебре Клиффорда
Пусть W — векторное пространство над С, снабженное невырожден-
невырожденным скалярным произведением <w, w'>. Мы будем называть W ортого-
ортогональным векторным пространством. Обозначим через A(W) алгебру Клиф-
Клиффорда над W\ это порожденная W ассоциативная алгебра с определяющи-
определяющими соотношениями ww' + w'w = <w, w'>. Пусть е — автоморфизм A(W),
характеризуемый условием e(w) = —w для w e W. Обозначим через G{W)
группу Клиффорда {g eA(W)\3g~l eA(W), gWe(g)~l = W\. Элемент g
принадлежит G(W), если н только если g = wl . . . wp где wk e Wн w% Ф 0
(k = 1, . . ., 0- Спинорная норма nr(g) есть nr(g) = Ц (-иф. Преобразо-
Преобразование T : W — JVrw ■-• T w = gwe(g) ~ * принадлежит ортогональной груп-
группе O(W), и мы имеем точную последовательность ■ -- • - -•
A.1.3) 1-
Голономное разложение 2г-мерного ортогонального пространства W —
это разложение W = И1 © К на два голономных (т.е. максимально изо-
изотропных) подпространства V* н V. Существует изоморфизм
A.1.4) Ni:A(W) -» AiW)
левых А(И) и правых A.(V) бимодулей такой, что Nr(l) = 1. Здесь через
K(W) обозначена внешняя алгебра над IV. Значение Nr(e) называется нор-
нормальным символом a eA(W). В физической терминологии элемент нз V*
(соответственно V) называется оператором рождения (соответственно опе-
" Это проделано в статье «Головомные квантовые поля V» настоящего сборни-
сборника. — Прим. перев.

Голономные квантовые поля I
25
ратором уничтожения), а обратное к A.1.4) отображение Nr-1 называется
«нормальным упорядочиванием» Nr(e), и а называется «нормальным про-
произведением» Nr(e). Обозначается а = ■ Nr(e) :.
Класс вычетов 1 в A(W)/A (W)V (соответственно A(W)/V*A(W)) называ-
называется вакуумом и обозначается Ivac) (соответственно <vacl). Имеем
=iEncl «vac
Константа в Nr(e) e A(W) называется вакуумным средним значением а н
обозначается <vaclelvac> или коротко <в>.
§1.2. Нормальные символы и вращения
Пусть W = V* ® V — голономное разложение и (и[, . . ., v\, vv ...
... up — дуальный базис: <v*, vp = 0, <«^, и,>=Он <yt, vr> = 6^. Мы
положим
•, T,vl,
, Tfvr) = (v\, •■; vl, vu •••, vr)
предполагая, что матрица Г4 обратима. Тогда <^> н Nr(g) даются выраже-
выражениями
A.2.7)
A.2.8)
ср = (vl, . . ,,v% vA v^R%vf, . . ., vj, vv . . ., v}, где кососимметрн-
ческая матрица R равна
i-st s,
В общем случае нормальный символ элементаg из G(W) имеет вид cwx ...
. . . Wfie?'2 с с е С, wv . . ., wk e W и р е A?iW) (теорема 1.2.8), а соотноше-
соотношение между Nr(g) и Tg установлено в предложениях 1.2.6 и 1.2.7.
В качестве примера обсуждается равенство с^ = :е^с~1)Af:, где N — опе-
г
ратор числа частиц, определяемый выражением Nr(jV) = Vi)ti) . Нако-
нец, мы дадим соотношение между нормальным символом оператора а и
матричными элементами <*,, . . ., vn\a\ixv .... /иш> = <vacluI(, ...
. . . w_ e»J . . . v + lvac> (предложение 1.2.11).

ГолоноиМые квантовые поля I
§1.3. Замыкание G{W)
Пусть W — векторное пространство размервостн N. Мы докажем, что
N
G = U G*. где G* = tew., . . ., w^^lceC, w. wke W,
p e A\W)\ замкнуто в A(W) (теорема 1.3.2). Отсюда немедленно следует,
что замыкание С(И0 группы G( W) совпадает с (:cWj, . . ., wk x e*"^: Ic e С ,
w, wkeW, peA.\W) и * = 0, 1, 2, . . .| (теорема
1.3.1). Пусть (Dj, . . ., vN) — базис W н предположим, что
Явный вид рт(мр ...,/«„) через пфаффиан кососимметрической матрицы
приводится в предложении 1.3.8
§1.4. Произведение элементов из 0{W)
Обозначим через W^"\v = 1, . . ., л) дубликат ортогонального векторно-
векторного пространства W, и пусть А обозначает симметрическую п х л-матрицу
(^iu)ii,,= i,...,n с \у = ! (" = 1» . . ., л). Обозначим через ЩА) ортогональ-
ное векторное пространство ® WW с заданным на нем скалярным произ-
произведением *='
Пусть ^ — элемент из G{W^) С O(W[A)). Явная формула для нормаль-
нормального символа Nr(gA> . . . g(n)) дана в теоремах 1.4.3 и 1.4.4.
§1.5. х-нормальные символы и закон преобразования
Пусть W* обозначает дуальное к W пространство, и пусть
tfr = w © W — ортогональное векторное пространство с заданным на
нем скалярным произведением
<(и/, ту), (да', *')> - V(«O + 7' («О •
Пусть х: W — W* — линейный гомоморфизм, такой что x(w) (w') +
+ x{w') (w) = <w, w'>, и положим x: W~ W, w - (w, ^(w)). Тогда ж-
нормальный символ определяется при помощи последовательности отобра-
отображений:
A.5.1) Nr
Д- A(W).
Это отображение является обобщением норм-отображения №.

Голономные квантовые поля I 27
Формулы A.2.7) и A.2.8) сохраняют свой вид, будучи выраженными при
помощи ^-нормальных символов (теорема 1.S.3). Константа в Nr^(e) обо-
обозначается через <e>^. Существует единственный элемент gx e G{W) такой,
что trg* = 1 н <а}х = tig^a.
Закон преобразования ^-нормальных символов сформулирован в теоре-
теореме 1.S.7; с его помощью получено естественное доказательство формулы
произведения из §1.4.
ЧАСТЬ 1.
ТЕОРИЯ ВРАЩЕНИЙ В ОРТОГОНАЛЬНОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА
Пусть W— ортогональное векторное пространство над С, т.е. вектор-
векторное пространство над С с заданным на нем невырожденным симметриче-
симметрическим скалярным произведением <w, w'>. Обозначим размерность W через
N.
Пусть 7X1*0 — контравариантная тензорная алгебра над W и I(W) —
двусторонний идеал в Т\Щ, порожденный элементами вида [w,
w']+ - <vv, w'> (w, w' 6 W). Здесь через [w, w']+ мы обозначаем
антикоммутатор ww' + w'w. Факторалгебра A(W) ™ T\W)/I(W) называ-
называется алгеброй Клиффорда над W.
Существует единственный автоморфизм а -* е(д) алгебры A(W), ха-
характеризуемый условием e(w) — — w для любого w e W. Положим
A^iW) = [a eA(W)\e(a) = ±e}. Любой элемент из A+(W) (соответствен-
(соответственно A~{W)) называется четным (соответственно нечетным) элементом.
Существует единственный анти-автоморфизм g -* g* алгебры A(W),
характеризуемый условием w* = w для weW. ....
Мы определяем след tr: A(W) — С как линейное отображение, характе-
характеризуемое следующими условиями: для любых х, у eA(W)
(i) trxy = tryx, (ii) tre(x) = trx, (iii) trl = 2Nn.
Обозначим через G(W) группу Клиффорда [g eA(W)\3g eA(W),
gWe(g)~l = Щ- Для geG(W) мы обозначим Tg линейное преобразова-
преобразование !> W, индуцированное g:
A. 1. 1) ^ W
Тд-.w i * Terv = gws(g)-i
Отображение £ : g ~ T задает представление группы G{W) ъ W. По-
Поскольку (Г4w)J = -T£yv)e(Tg(wy) = -gwe(g)-xe(g) x (-w)g~i = gw^-1 =
= w2, то Т является вращением W, т.е. Т% принадлежит ортогональной
"В [2,13,14] представление G(W) определяется как и> •-» gwg'K При таком
определении ие выполняется свойство A.1.3) для нечетных N.

28 Голономные квантовые поля I
группе O{W) пространства W. Элемент w e W принадлежит G(W), если и
только если <w, w> Ф 0. В действительности eCw) = — w =
= 2(—w)/<w, w> н
A.1.2) T»w' = w'-2<*'>W?«'.
Преобразование Tw оставляет неподвижной гиперплоскость {.w' е Wl < w,
w'> = 0} н отображает w в -w, поэтому оно является отражением отно-
относительно указанной гиперплоскости.
Предложение 1.1.1. Имеется следующая точная последовательность
гомоморфизмов групп:
A.1.3) l-*GL(l,C)'-i-G(W)-^O(W)-*l.
Если мы положим G±(W) = G{W) П A^iW), то получим следующие ра-
равенства:
-SO(W).
Лемма. Если некоторый нечетный элемент а антикоммутирует с лю-
любым w 6 W, то а = 0.
Доказательство. Если N четно, то элемент A{W), который антнкомму-
тирует с любым w e W, должен быть равен константе, кратной vl . . . v^
где (fj, . . ., VjJ — ортонормальный базнс пространства W. Так как
а — нечетный элемент, отсюда следует, что а = 0. Если N нечетно, мы
вложим W в N + 1-мерное ортогональное пространство Wx = Cfj +> ...
. . . + CvNi^. Здесь .(«„..... ., wN) — базнс »^и <vN^v vj) = 0 (/' = 1, ■ ■ ..
Л0- Тогда элемент a eA(W) С A(W^) антикоммутирует с любым w 6 Wy
Поэтому esc»,... улг+г ^то возможно, если только с = 0. (Предполо-
(Предположение, что в — нечетный элемент, не является необходимым в случае, если
N нечетно. Если а антикоммутирует с любым w 6 W, четная часть в дол-
должна быть равна нулю.)
Доказательство предложения 1.1.1. Поскольку группа O(W) порождена
отражениями относительно гиперплоскостей, отображение X сюръектив-
но. Предположим теперь, что Т w = w для любого w eW. Тогда элемент
g + e(g) eA+(W) принадлежит центру A(W). Поэтому g + e(g) eC или,
эквивалентно, g = с + а, где с еС и a eA~(W). Более того, элемент а
должен антикоммутировать с любым w e W. Отсюда следует, что а = 0.
Таким образом, мы доказали, что ядро % есть GL A, С). Пусть теперь
g e G(W0. Так как Tg есть произведение отражений, само g является произ-
произведением элементов нз W. Таким образом, предложение доказано.
Пусть g = Wy . . . w, — элемент G(W). Тогда мы имеем:
ge{gy = ttgyg = П (-♦"/) 6GLA, С). Число nr(g) Ш ge(gy = e(gyg

Голономные квантовые поля I 29
называется спинорной нормой!) g, н отображение g -* nr(g) задает гомо-
гомоморфизм групп: GiW) — GLA, С). Отметим, что для ceGL(l,
С) С G{W) сшгаорная норма пг(с) = с2 и что e(g)-1 = g*/nr(g). Это опре-
определение спинорной нормы обобщается на замыкание G(fV) группы G(W); в
действительности для g e G(fV) \ G{W) имеем nr(g) = 0. Имеют место
также равенства nr(g) = nr(e(g)) и Tg = Ts(g).
Пусть A>\W) обозначает подпространство А(Щ, порожденное элемен-
тамивида £ cjv.jjvjl • • • wv raewi> • • •> *V e ^И9,..,/М e c
метричны (для ц > 2)noyj, . . ..у'^. Мы имеем Л( 1*0 = © A%W). Это ц-тт-
^ = о
дуцированное Г-разложение на неприводимые представления группы G(W)b
А(Щ,тя. ТЛа) = gag~x(fl eA+(W)),gae(g)~x(a eA~{fV)). Обозначим через
в* проекцию A{W) — A^W). В частности, tracee = 2N/1Ap) для a eA(W).
След trace(ee(e)*)(e eA(W)) — это квадратичная форма, инвариантная отно-
относительно указанного представления. Из леммы Шура следует, что
tr (ее («)*) =
(Отметим, что аЦа)* = (-) 2
Предложение 1.1.2. Пусть gv g2 — элементы группы G{W) такие, что
7*^7* = TTg .Тогда gxug2unu коммутируют или антикоммутируют.
Доказательство. Из A.1.3) следует, что gxg2 = cg^gy с некоторой кон-
конй В б
x2 ^y
стантой с. Взяв спинорную норму обеих частей равенства, мы имеем
nrtef^i) = с20*^^™^)- Поэтому с2 = 1 и или
2 Л 1*2 = -«2?1-
Подпространство V пространства W называется изотропным (соот-
(соответственно ортогональным), если <vv, w> =0 для w e V (соответственно,
если скалярное произведение не вырождено на V). Максимальное изотроп-
изотропное подпространство называется голономным.
Предположим теперь, что N четно, N = 2г. Пусть W = F+ © V— раз-
разложение на два голономных подпространства F+ и V. Алгебра A(W) явля-
является полупрямым произведением двух внешних алгебр Л( И) и Л( F). Точнее
порождена единицей как левый Л@) и правый Л(К) бимодуль.
Определение 1.1.3. Существует единственный изоморфизм
A.1.4) Nr:
0 Отметим, что наше определение здесь отличается от определений работ [2,
13, 14] знаком.

30Голономные квантовые поля I
), Л(У))-бимодулей, такой, что Nr(l) = 1. Мы назовем Nr(e) нор-
нормальным символом элемента aeA(W).
Подпространство И(И() порождает максимальный левый (правый) иде-
идеал A{W)V (KU(№)) алгебры A(W). Фактормодуль A{W)/A(W)V
(A(W)/V*A(fV)) порожден классом вычетов единицы, которая называется
вакуумом и обозначается lvac> «vacl). Мы имеем Hlvac) = 0 н
A(W)\vac) = А(ИI\гас> г А(К1), в частности, dinu4(FP)lvac> = 2Г. Пред-
Представление A(W) в A(W)\\acy индуцирует изоморфизм A{W) s
s EndC4(W)lvac». Аналогично имеем <vacl V* = О и <vacM(FP) =
= <vaclA(»0 sA(»0.
Алгебра А(И0 является прямой суммой подпространств A"(FP) (р = 0, 1,
. . ., 2г) : A(fP) = ф Л^(И0. Проекция Nr(e) б А(»0 на слагаемое
Л°(ИО = С называется вакуумным средним значением элемента в н обо-
обозначается < vacl el vac). Билинейная форма
<vac|A(W) xA(W)|vac> -* С
Ш Ш
«vac|a,, a,|vac» •-> <vac|ata2|vac>
корректно определена и невырождена. Таким образом, (vac\A(W) и
v4(ff0lvac> канонически дуальны друг другу. Мы часто будем < vacl e I vac)
сокращенно обозначать через <а).
Вообще, пусть задано TV-мерное (TV может быть четным или нечетным)
векторное пространство W н пусть (fj v^ vk+ j v^ — базис в
* N
W. Мы положим W, = У. Cv, и W, = Т. Cvr Обозначим через
в1„1== =%=0 образ веЛ(И0 при естественной проекции А(»0—
- A(W)/X{W)WX (y
Пусть (uf, . . ., i$ и (fj и^-взаимно двойственные базисы F+ н К
соответственно. Это означает, что < «Д, и„> = 5^. Так как V* н К голоном-
голономные, то <uj, и^> = 0 н <и^, и,,) = 0. Поэтому матрица / скалярных произ-
произведений элементов базиса (v\, . . ., v\, vv . . ., v} пространства W выгл5г-
дит следующим образом:
=@1V
\1 0 '
Пространство v4(ff0lvac>«vacl/l(ff0) натянуто на
да \v , . . ., v.) = ft . . . 1Д Ivac) ((fj, • • •> v_l ^
. множество элементов
вида

Голономные квантовые поля I 31
(л = 0, 1, 2, . . .), н этн элементы образуют взаимно двойственный базис:
/-, 1 1тч у I ( О, если тфп,
A.1.5) О,, •••, fiM\vn, •••, v,>= { '
( det (д„(,,\ если ?« = и .
Тождественное преобразование 1 6 EndC4(»0lvac» представляется следую-
следующим образом:
г 1 '
f 1 1 t*^ 1 I ль^V ^^ ль I I ^^^^^ *^ ^^^^ lit it ^^ ^^w ill
~ га &! »„•••.».-> ь '
где через \vx "Р<"* "i' обозначен элемент \vx vk"> ® (.р^
. . ., vjl в A(W)\vac} (8) <vacU(*F) s End(yl(»Olvac» as End«vacU(»0)-
§1.2. НОРМАЛЬНЫЕ СИМВОЛЫ И ВРАЩЕНИЯ
Явная формула, выражающая нормальный символ Nr (g) через вращение
Т, была получена первым из авторов [1]. Прежде чем выписать ее, нам
потребуется ввести понятие сопряженного преобразования.
Пусть W—векторное пространство, н пусть (К+, V_) — упорядочен-
упорядоченная пара его подпространств такая, что W = V+ © V_. Обозначим через
Е+Щ_) проектор на V+(V_).
Определение 1.2.1. Пусть Т eEnd(W), и предположим, что оператор
Е+ + ТЕ _ обратим. Мы определяем сопряженное преобразование S к Т
относительно (К+, V_) следующим образом!
A.2.1) 5=(£+
Замечание. Отметим, что если мы перепишем A.2.1) как
A.2.2) CE+4-7\EL)S=ES+TE+
то отсюда вытекает обратимость Е+ + ТЕ_. В действительности мы име-
имеем <Д+ + ТЕ_) (Д+ + SE_) = Е+ + (Е_ + ТЕ+)Е_ = 1. Более того, это
означает, что S сопряжено к Т тогда и только тогда, когда Т сопряжено к
S. Легко также видеть, что если ГнГ имеют сопряженные 5 и 5' соот-
соответственно, то S' = S~ *.
Положим Г= 1 -2Р н S=l - 2Q. Следующее предложение дает
другое описание сопряженных преобразований в специальном случае, когда
7*= 1.
Предложение 1.2.2. Положим Е = Е+ — Е_. Следующие утвержде-
утверждения эквивалентны:
(а) Т и S взаимно сопряженные и Т1 = \.
(б) Т и S взаимно сопряженные и S2 = 1.
{b)PQ = Qu PEQ = РЕ.
(г) QP= Pu QEP = QE.
Доказательство. Эквивалентность (а) * (б) следует из предыдущего за-

32 Голономные квантовые поля I
меч алия. Утверждение (в) при помощи Т и S выглядит как
или эквивалентно
(Е+ + TEJ) S = £_ + ТЕ+ , (£_ + ТЕ+) S = £+ + 7\Е_ .
Теперь легко видеть нз предыдущего замечания, что это эквивалентно F).
Поэтому мы имеем также (б) * (в). Аналогично мы имеем (а) * (г), по-
поэтому предложение доказано.
Предложение 1.2.3. Рассмотрим некоторый базис (и£ . . ., vfy (соот-
(соответственно (uj~ vj^i) подпространства V+(V_) и представим Т и S
как блок-матрицы:
G4»?, .-., Tvi,, TvT, ..-, Тгч") = Ы, -, vtt, vr. •-, v
Гогоч» Г и S сопряжены друг другу, если и только если
а.2.з,
или эквивалентно
_(Tt-T1TrtTi -T,Trl\
Доказательство. Равенство A.2.4) переписывается как
A.2.5) f1 ТЛ(**)-(Г« ).
Но это не что иное, как матричная запись A.2.2).
Замечание 1. Предположение, что оператор Е+ + ТЕ_ обратим, эквива-
эквивалентно тому, что матрица 7*4 обратима.
Замечание 2. Представление A.2.3) единственно и не зависит от выбора ба-
базиса, поэтому оно задает каноническое представление Г: Г = V Т" Г", где
Г, Т\ Т" соответствуют матрицам (^ ~^ , Q ДУ Г^ °Л

Голономные квантовые поля I 33
соответственно. В действительности 7" = 1 — E+SE_, T" = (Е+ +
+ E_SE_)~l(E_ + E+SE+), Tm = 1 + E_SE+.
Замечание 3. Из представления A.2.3) следует, что
det fTl Тг) = det T, det(T,- Г.ГГ'Т,)
Аналогичные формулы имеют место н тогда, когда обратимыми матрица-
матрицами являются Тх или Г2, или Г3.
Теперь мы возвращаемся к ортогональному векторному пространству
W н его голономному разложению W = Kf ф К. Будет использоваться со-
сопряженное преобразование относительно (И, У). Рассмотрим взаимно ду-
дуальный базис (i>|, . . ., vj, vl v} и представим линейное преобразова-
преобразование, как в предложении 1.2.3. Мы обозначим через Е+ (соответственно Е_)
проекцию на V*{V) и через w<+) (м^-)) образ E+w(E_w) для weW.
Предложение 1.2.4. Пусть Т и S — взаимно сопряженные линейные
преобразования пространства W. Тогда Т ортогонально в том и только
в том случае, когда
A. 2. 6) St = 'St, '5, = - St, '5a = - S>..
Доказательство. Обозначим через Г* оператор, сопряженный к Т отно-
относительно скалярного произведения на W. Оператор Т ортогональный тогда
и только тогда, когда (Г*) = Т. Из единственности представления A.2.3)
следует, что (Г*) = Г, если и только если (Г'*) = Т..(Г**) = Т"
н (Тм *) ~! = ,ТЮ. Так как в матричном представлении
V(T*), (T*W vT, %TJ
то предложение доказано.
Теорема 1.2.5. Пусть g — элемент группы G{W), и пусть
соответственно индуцированное ортогональное преобразование A.1.1) и
его матричное представление. Предположим, что матрица Т4 обратима.
(S S\
1 2) сопряженное преобразование к Т
S3 SJ 8
и его матричное представление соответственно. Тогда мы имеем
A.2.7)
A.2.8)

34 Голономные квантовые поля I
где
>= Ы, ••-,Vr, V,, ■■■>Vr)[~_'<; %s
Обратно, если g eA(W) задан выражением A.2.8) с Sv S2, S3 и S4, удов-
удовлетворяющими A.2.6), и если матрица S4 обратима, то g принадлежат
•группе G{W) и индуцированное им ортогональное преобразование Tg явля-
является сопряженным к Sg.
Лемма 1. Для a, beA(W) мы имеем
A.2.9)
Доказательство очевидно.
Лемма 2. Если fir (g^ = expf- j (-S2\vvlvt) c 'S2 ~ ~S2> mo
\2 m.'=i /
/1 -S,\
gj € С7СИ0 и матричное представление Tgl есть I z I.
Доказательство. Так как I- J] (~^^a,vvt> vt\ ~ 0
г -j г 
то утверждение леммы следует нз леммы 1.
Аналогично мы имеем следующую лемму.
/j г
Лемма 3. Если Nr(gj) = expl - J] (^n»"»"») c '^з = ~^з> шо ^з е
€ G(H0 и матричное представление ТЙ есть ( ) .
3 V 5з v
A г 1 '
- Е (si - 1)ш,^„ + - £ о -
2 м>1 , 2 ^,,= 1
— S^^u^uJ), где матрица lSx = S4 обратима, то g2 e G(W) и матричное
представление Т есть ( J j J . Scvtee того, nr(g2) = detS4 = detr^1.
Доказательство. Если мы докажем лемму для случая, когда матрица S1
диагонализуема, то случай, когдаэтонетак, будет следовать из непрерывности
отображения Nr. Предположим, что матрица P5jP-1 диагональна. Если

Голономные квантовые поля I 35
то получим также взаимно дуальный базис, н лемма сводится к случаю
г = 1. Теперь прямое вычисление доказывает лемму (см. предложение
1.2.9).
Доказательство теоремы 1.2.5. Если положить / = gjggy то
geG{W), Nr(g) = ехр(р/2), н матричное представление Т = Т Т Т
(Т Т\ « «1 «2 «3
1 2 I. Это доказывает вторую половину теоремы. Так как Т- =
Т3 TJ
= Г, то £ = eg с некоторой константой с. Взяв вакуумное среднее значе-
значение от обеих частей этого равенства, мы имеем <#) = с{£) = с. Взяв ши-
норную норму, имеем nr(g) = Artg) = <^>2detr4. Это доказывает пер-
первую половину теоремы.
Замечание. Вместо 5 мы будем часто применять кососимметрическую
матрицу
** *) = (-S* 5'~1)
nD/ VI с» о/
Предложение 1.2.6. Пусть g — элемент группы G(W), и пусть
A 2 ) —матричное представление 7*4. Предположим, чтоКа-Т. ф [0J.
Т3 Т4' ' . . '
Рассмотрим вектор w = \, «Лс* + £ ц^ 6 W, такой, что
w2 = £ сЪ:^ Ф 0 и с = '(Cj c,J ehaT^K Положим g' = wg и обо-
значим через I } 2) матричное представление Т' Тогда мы имеем
\тъ ту
КегГ4 О КегГ; и <ИтКегГ4/КегГ4 =J^ Существуют векторы v'e'V и
п^б^ такие, что Т v = —v* и (w, i>t> = 1. Тогда
d.2.10) ff-rV + e(/)r.
Лемма. £сл« матрица \ 1 21 ортогональна в том смысле, что
A.2 11) 7Т' T^f° !UT. Tt\/0 1\
W, tJ\i оДг, г/ vi о/'
то имеет место равенство
A.2.12) 1т Т4 = (Т, (Кег Т4) ) А .
!) с^ не означает комплексно-сопряженное к с .

36 Голономные квантовые поля I
(Т 7*\
1 21 невырождена, то
КегГ2 П КегГ4 = {0J. Из A.2.11) следует, что '7*2Г4 + 'Т4Т2 = 0, поэтому
Кег'Г4 = TJKaTJ. Отсюда следует, что 1тГ4 = (Кег'Г,,)-1- =
Доказательспшо предложения 1.2.6. Рассмотрим вектор с' = 1{с[
г
ср € С н положим v' = V v с' 6 V. Тогда:
Поэтому
Т\с' L_<W(Te
— ИГ
Так как ееЪпТ^, то Г4с' = 0 тогда н только тогда, когда Т+С = 0 и
'cTjs' = 0. Из леммы следует, что 'cT^KacTJ Ф 0. Таким образом, мы
доказали, что КегГ4 э КегГ4 и (ШпКегГ4/КегГ4 = 1. Соотношение
Т v = — ft означает, что gv = — u^tg). Поэтому если <w, иЪ = 1, то
6 (<?') w = е (w) s (ff) w = wv'gr = <w, wf>gf — v*wg = g — v'g'.
Предложение 1.2.7.nycmbbh(g') = Wj. . .wl^ir(g),ede\Vj= £ vfc] +
+ j* ы с е Щ/ = 1 к) и g eG(W). Тогда g' принадле-
** i V1 Jfi
'" /Г, Г,\
i/n О(И0. Пусть далее I J 21 —матричное представление Tg, и
жипг
положим Су = '(«у! ср и cj = '(cjj ср. Гогдв
A.2.13) nrFf')=det : | nr(g).
\~'clTict----tc]cTicJ
Предположим теперь, что nr(g') Ф 0. Тогда g' eG(fV), и если
— матричное представление T'g, то мы имеем
A.2 14) (Т; Т'А = (Т> Т,\ /-в1-Гл....,
- TKcJ
-vtT4cr--'c];T4c*/

Голономные квантовые поля I 37
В частности,
A. 2.15) TrwP = - «4+)
и
A 2 16) Ker T\ =S Сс,0Кег Т4 •
Лемма 1. Предположим, что Nr(g) = wNr(g), где g, g' eG(W) и
eW. Тогда 7y(w<->) = -w<+>.
Доказательство. Имеет место равенство.
Поэтому мы имеем
Лемма 2. Пусть даны элементы g, g', как в предложении, тогда
h = g'g~l — полином по wj+) + ТАуА~^) (J = 1 к).
Доказательство. Мы докажем эту лемму при помощи индукции по к.
Случай к = 0 тривиален. Предположим, что лемма доказана для к — 1.
Тогда мы имеем
e(: «v--w* Nr(gr): )гиГ5
где h' —полином от »v<+> + Tg{y^~^ (J — 2 A). ~ Поэтому
g'^ = w\+)h' + e(h')T£w<j~)) является полиномом от wj+> + ^ (wj-))
(/ = 1 *).
Доказательство предложения 1.2.7. Поскольку всегда можно вложить W ъ
пространство более высокой размерности, мы можем считать, что г ^ к.
Докажем предложение индукцией по к. Случай к = 0 тривиален. Предпо-
Предположим, что предложение доказано для к — 1. Без ограничения общности
мы можем предположить, что
/ с\ТАсг с|4* \ / - 'cIT4ct - • - 'с|Та \
det : : \фО и det : : U=0.
\ *{ - 'с1Т,ск/ \ - 'tT 'lTJ
■ Тогда мы имеем
: wt-wk

38
Голономные квантовые поля
l+\ Т......
= — nr (: Wi---iok Nr (gr):)
- 'clTiCi- -'
: :
-*с1Т<сг---'с1Т<ск
X {-»cI
( -lc\TiCl - 1с[ТАсг■■■-*с\
= det
l-'ctT4c, -'с
■nr(gf).
Докажем теперь соотношение A.2.14). Из леммы 1 следует, что A.2.14) вы-
выполняется,-когда оно сужено на С( „ ) + . . . С( ,? ). Положим
\ci/ \с*/
Wt={weW\W> + T.W),T.w> = 0 для j = l, ...,*>.
Тогда линейная оболочка Ц~> и^~> н Wx совпадает с W. Из леммы 2
следует, что соотношение A.2.14) выполняется на Wv Таким образом,
предложение доказано.
Собирая все вместе, мы имеем следующую теорему.
Теорема 1.2.8 Пусть g eG{W) и положим к= dimKerr4. Размер-
Размерность к четна (соответственно нечетна), когда четно (нечетно) g. Нор-
Нормальный символ Nr(g) имеет вид cWj . . . w^/2, где с б С, wv . ...,

Голономные квантовые поля I 39
6 W и р б fi?{W). Более того, мы имеем
к
A.2.17) E$>
и Т w<~> = -w<+>. Элемент cw. . . . wk определяется единственным об-
g J J IK к
разом по заданному g, а р — единственно по модулю Т. w,W. Обратно,
У-1
если Nr(g) имеет вид, указанный выше и если nr(g) ф 0, то g eG{W),
dimKerr4 = к и имеет место A.2.17).
Приведем несколько примеров.
Существует единственный оператор N eA(W), удовлетворяющий усло-
условиям
A.2.18) [N, гЛ]=г>г для vfeV^
[N, v~\ = — v для v& V
= 0.
Если мы выберем некоторый дуальный базис (v\ vj, vy v} про-
пространства W = Kf © V, то получим
A. 2.19)
Оператор N приводится к диагональному виду, и его србственные значения
суть 0, 1 г. Собственное подпространство N, отвечающее собственно-
собственному значению к, есть £ С1р, рку. Это значит, что
A. 2. 20)
В этом смысле мы называем N оператором числа частиц.
Оператор числа частиц зависит от выбора голономного разложения
W = F+ ф К, но оператор 7*(_jn не зависит от этого. В общем случае' мы
имеем следующее предложение.
Предложение 1.2.9. Nr(cN) = е^с~^н, и если с Ф 0, то матричное
/с 0 \
представление Тм есть I . , I.
с" \0 с-1/
Лемма 1. Обозначим оператор - N(N - 1) ... (N - т + 1) через
т\
Доказательство. Мы докажем эту лемму при помощи индукции по т:
Случай т = 0 тривиален. Предположим, что лемма доказана для т. Тогда

40 Голономные квантовые поля I
из A.2.18) следует цепочка равенств:
/ N \_ /N\ Н-т 1 :N-:(N-m)
\m + l' W т + 1 (т + 1)!
■1 Г
1)!
Лемма 2. Пусть a, b eA(W) удовлетворяют соотношению [a, b] = cb
с некоторым с 6 С, и пусть Р(а) — произвольный полином от а. Тогда
Р(а)Ь = Ы\а + с).
Доказательство очевидно.
Доказательство предложения 1.2.9. В силу леммы 1 мы имеем
Применяя лемму 2 для а = N, * = w е 1ГшР(Ы) = cN = JJ ( N J (с - l)m,
т=о\т/
мы получаем , „..
wcN+1,«am tve.V\
. . сУ-ш^ i
IcN-'.ecm weV.
Оператор ( —)N характеризуется с точностью до знака следующими ус-
условиями: Те = -1 nej,= 1. Мы назовем такой ew ориентацией W. (dim W
может быть*как четной, так и нечетной.) Пара (W, ew), состоящая из орто-
ортогонального пространства W и его ориентации е^, называется ориентиро-
ориентированным ортогональным пространством. Голономное разложение W — V* ®
© V называется положительным (соответственно отрицательным), если
(-)N = «W((-)N = -ej- Мы имеем nr(ew) = (-Y и trew = 0 (см. формулу
A.5.19) ниже).
Выбрав ортогональный базис vv . . ., v^ мы имеем ew = ±уj . . . v^
Предложение 1.2.10. Имеют место следующие равенства:
г
|vac><vac|=XI v/.v]l = 0N= : e~N; .
Доказательство. Первое равенство получаем, сравнив действие обеих
его частей на А(Н*)|уас>. Второе равенство следует из A.2.20), а послед-

Голономные квантовые поля
нее — из предложения 1.2.9.
Мы приведем здесь соотношение между нормальным символом и мат-
матричными элементами произвольного оператора а из A(W). Мы имеем в ви-
виду матричные элементы в матричном представлении в A(H)lvac). Пуста
#>mfJfG*i Рт'< . • • •» "„) обозначает матричный элемент <*,
vn\a\iiy /im>. Тогда а записывается следующим образом:
Г -I -I Г
ш.яш» ntl Я! Д|.~.Да.
X v\n• • • vttjvac><(vac|»fc'• ■ vPt.
Предложение 1.2.11. Пусть а е A(W) имеет две различные формы за-
записи:
A.2.21) а= S -i- -i- 2 Р»,»(/<ь ■■•,/<»; V,, •••, V»;
Л1. »«0 /# I й! *!, —. л..
A.2.22) а= S -—■ ^т S
1».»-0 ffl! Я1 Д|.—.Да.
»»1
X vj, ■ • ■ v\x | vac> <vac | v^- ■ • »л .
ду р
A.2.23)
Тогда между р и <рт п имеются следующие соотношения:
Е' sgne> sgn г рж_,„._,(/<,а), •■•, /<#(»-о; Vr(,+1), —, vr(»,)
где суммирование J^ ' идея» ло <r 6@m ите@и с условием
а, т
. . . > а(т - I + 1), т(/ + 1) < . . .
A. 2. 24) р.,.(А, ••■, jtt,,; у,, ■-, vn)
min(n>,n)
ZI ( — УН'sen<rsgnr«?»_,»_t(/<»а), ••■,(а»(т-ц;
iO ff.r

42 Голономные квантоаые поля I
где суммирование V ' производится, как выше.
Доказательство соотношения A.2.23). Применяя A.1.6), мы имеем
= У] —-L— у; (
X г^,• • • f^,v\t• ■ • v\t|vac><(vac\vil---vllvlim---v^t
Г 1 1 1 1 1 r
,.£., -щ-* т^т 77 т^тл 7^тк«1.5..,. S'sgn а sgn
i 1 И / )"- =1
X </4(mJ.lb ■••'•, A«(nl +,) rvrf,7, • • •, vrf»>*>!,.i- • • vi, I vac>
x^aclT;^..,---!;,,
■] -i rmln(n.<) г
■ г ■] -i r
«.>-<ra я! L
.,. -..„-1
Доказательство A.2.24) аналогично A.2.23). Только вместо A.1.6) мы
применяем предложение 1.2.10.

Голономные квантовые поля I 43
§1.3. ЗАМЫКАНИЕ G(W) у~~
Замыкание G(W) группы G(W) характеризуется следующей теоремой.
Теорема 1.3.1. G(W) совпадает с множеством элементов вида
I :cw1 . . . wke»/2:1 с е С, wv . . ., wk e W, р e A2(W); к = 0, 1, 2, . . .}.
Так как отображение Nr есть линейный изоморфизм, достаточно доказать
следующую теорему (см. § 1.5 относительно случая нечетного N).
Теорема 1.3.2. Пусть W — векторное пространство размерности N и
A(W) — внешняя алгебра пространства W. Обозначим через Gk множество
{cwj . . .wkep/2\ceC,w1 wke fV,peA2(W)} и положимG = \J Gk.
Тогда замыкание множества G в топологии Зарисского '* в A(W) сов-
совпадает е G, т.е. G » G. Положим A+(W) = ф Ak(W), A~ (W) -
ф ()G± = G Л A±(W). r<wdflr/»(G±)=(G± \
Аг-нечетные
является — N(l)f— \)-мерным проективным многообразием без особых точек
в Р(А± {W)). Набор {/'(G*)} (* = 0, 1 АО задает стратификацию P(G).
Многообразие P{G*) есть расслоенное пространство над MN k(C) со слоем
A2(CN~k). Мы обозначили здесь через MN k(C) грассманово многообразие,
состоящее из к-мерных подпространств в CN. В частности, мы имеем
dimP(G*) = -i N(N - 1)--к(к- 1).
Прежде чем переходить к доказательству, введем некоторые обозначения.
Пусть W* = Homc (W, С) = {i;li;:»f — С, w •- q(w)} будет простран-
пространство, двойственное к W. На W © W вводится ортогональная структура, так
что WnW* голономны н (w, ij> = ri(w) для we IVя v 6 W*.
Представление IV = W © W* дает голономное разложение. Мы ото-
отождествим A{W) с A(W)'vac>, где Jvac> означает вакуум алгебры
A(JV)/A(fV) W. Алгебра А(#) действует в этом смысле на A{W).
Доказательство теоремы 1.3.2. Пусть (у,, . . ., t;^ Zv ■ . ■
• ■ ■» £N) — некоторый дуальный базис пространства W. Произвольный эле-
элемент а алгебры A(W) записывается в виде
2] £ Q
гдерт(ц) Рп) кососимметричяы. Предположим, что рк{ух Рк) * О,
[) В топология Зарисского замкнутым множеством называется множество нулей
системы многочленов. — Прим. перев.

44 Голономные квантовые поля I
и пусть W = Wj © W\ — голономное разложение на подпространства Wy =
= Е CtV + Е С|,«»7= Е ^+ Е Ct;,. Пусть
Nrj.r.-j и <>t означают соответственно норм-отображение, нормальное про-
произведение и вакуумное среднее значение относительно этого разложения.
Мы положим (ср. третий абзац после формулы A.1.4))
def
»»• m! «i.■■-.*»-'
где
Iv,, если 1хф)>и ••,
■
£„ если а = >'», •".
Мы имеем р'о = (a^,, •••£,>! = P*("i "*) * 0* Обратно, мы имеем в =
= Nv(aivr . . .vp )l{'w = ..*. = %pk = 0. Из теоремы 1.5.7 ниже следует, что
если g e и, то
с pj e A2(»f j). Поэтому
0» если m нечетное,
Р- А, • •', А- -1 Ц_, Pfaffian (р{ (д, v))л..л..,-и «ли m четное
(cMrfl.3.7) ниже). Отсюдаследует, что в окрестности элемента geG^ такой,
чтор^»»! v,) Ф O(fj<. . .< v,), набор из— N(N - 1) величин {рт0*р . . .
' " ">т)'?1< • • -</*ти1**1 **т) = К' • • • »-*1 U IXj, X2| xj^, . . ., »к) Л
П (Xj, Х2} для некоторых X, и Х2} вместе с pk(»i "Р образует систему ло-
локальных координат на G.
Пусть теперь _
9=°1} : I] Р«(Аь •-, Д«) vPm---v^
будет элемент G, такой, что pk(Vl ^)#0и pm(^, /*„) = 0, если
т < к. Тогда мы имеем
где
»«»i.-.»t

Голономные квантовые поля I 45
Поэтому
где
Наборы
J
* vu . . ., f^ I образуют системы локальных координат базы М„ к(С) и слоя
A2(CN~*) соответственно.
Теорема 1.3.3. Пусть W — ортогональное пространство размерности
N. Для произвольного элемента geG(W) мы определим
A. 3.1) <Г. (д) = S A + г)'" A ~ «/V1 (g).
Тогда, если £ е G(»0, имеем
A.3.2) nr(<T,(g))det T, = nr(g)det(/ + T,).
Доказательство. Мы докажем теорему для случая, когда N = 2г четно и
g e G+(W)- Для других случаев доказательство аналогично.
Без ограничения общности мы можем предположить, что собственные
значения Xi Х^ оператора Tg различны. Занумеруем их так, чтобы
Х}Х2 = 1, . . ., Х^Х^ = 1. Пусть w * 0 — собственный вектор: Т^ —
= X w , н положим И^ = Civ^.j + Cw^. Тогда Избудет прямой суммой
этих ортогональных подпространств: W = Wx ® . . .© И^и W^ x Wr, если
Элемент g представляется в виде g = gx . . . g^ где g e G+(Jfy. Пусть
а*— собственьые значения g^ как элемента G+ (Иу s GLA, СJ С GLB, С),
такие, что Х^., = «+/«"
Заметим,чтоnrfe) = nrfe,) . . .nr(gr)*dct(t + Tg)=*dct(t+Tgi). . .det(t+
+ T j. с другой стороны, мы имеем
и( )-"A-*У Е
Л-0 ц-0ИЛИ2

46 Голономные квантовые поля I
Поэтому доказательство равенства A.3.2) сводится к случаю г = 1, для
которого оно очевидно.
Замечание 1. Здесь мы приводим результаты из § 1.5. Пусть
х0 — линейный гомоморфизм х0: W — W*, такой, что К = У/2. Тогда Nr^ =
N
= @ UP, где отображение id^-.A^iW) — A*4W) задано следующим обра-
,»=о
когда с ..,/ кососимметрично noy'j у'м(/и > 2). (Если мы выберем базис
(yj уд-) в пространстве W так, чтобы /= 1, то в формуле A.5.8) будем
иметь R = 2(Г - 1)/(Г + 1). Поэтому если Nr^ (g) = w, w^^ с
wl wke IV, ре A2(W), то имеем °
A.3.3) Nre.(«
Если g e G(»0 и det(l + Г^) эь О, то at(g) также принадлежит G(W). Точ-
Точнее, мы имеем
A.3.4) Т.^)-^:
Доказательство равенства A.3.4) также сводится к случаю N = I или 2, а тог-
тогда оно тривиально. В частности, мы имеем
^o(g)=g, ff.CflO = 2^G°(g)= trace g
если
Предложение 1.3.4. Равенство 7"|= 1 имеет место, если и только если ge
е у4*(»0, где * — кратность сооственного значения — 1 оператора Tg
Доказательтво. Из условия 7| = 1 следует, что собственные значения Г
равны ± 1. Тогда из A.3.4) вытекает, что Га (g) ие зависит от г, или, что экви-
эквивалентно, at(g) пропорционально g. Поэтому g принадлежит Ak(W) для неко-
некоторого А:.
Обратно, если g e G(W) Л Ak(W), то Nr^ (g) = cwv . . ., wk, где с е
е С \{0}, Wj, . . ., м^е »Г(см. предыдущее замечание). Мы можем предполо-
предположить, что (Wj wk, wk+1 WjJ образуют ортонормальный базис.

Голономные квантовые поля I 47
Тогда у/[,коммутирует или антикоммутирует с g соответственно тому, будет
ли (—)*е- положительным или отрицательным. Здесь Bj = 1, если ye' A, ...
. . ., к] я = —1, еслиу е A, . . ., к]. Поэтому предложение доказано.
Предложение 1.3.5. Коэффициенты полинома m(at(g)) принадлежат ко-
координатному кольцу ^g(F) замкнУтого множества G(W).
Пусть N = 2г четндТЕсли geG+(W), то t ~ rnr (at(g)) записывается в виде
rr nr(<r,(g)) =ло(дMгч i-er-i(gM + er(g)
zdes = t — 2 + t~l. В частности, ao(g) = nr(g) uar(g) = (tracegJ. Элементы
%(&)> • • ■,ar_1(g),Va~Jjg) являются алгебраически независимыми, и кольцо
многочленов C[ao(g), . . .,ar_l(g), Var(g)] совпадаете подкольцом lf(g) e
— t2) ~lnr(at(g)) записывается в виде
t'-rA -*2Гх пг (<
= / — 2 + /~' иво(г) = nr(g). Элементы ao(g), . . ., а,.^)алгебраиче-
а,.^)алгебраически независимы, и кольцо многочленов C[ao(g), . . ., ar_1(g)] совпадает с
l/) f{hhx) д Л G(»0}
ц [og r1g
подкольцом [fig) 6^54(WOl/fe) = f{hgh~x) для УЛ е G(»0}.
EcnuN = Ъг + 1 нечетно, то выражение t~r(\ ± /)-1 пг (о t(g)) имеет ана-
аналогичные свойства при условии, что g^W
Доказательство. Если W = Ъг и g e G+(W), то
пг
2 д«
Поэтому коэффициенты полинома nr(ot($j) принадлежат А^+,щ.
Применяя обозначения, как в доказательстве теоремы 1.3.3, мы имеем
det (f + Т,) =П
Таким образом, мы имеем равенство
t~r nr(<r,(g))
Д
В частности, «„(g) = m(g) и ar(g) = (trace»J.
Теперь мы докажем, что отображение G+(W) -~ Cr+l, g « (ao(g),
• • •. ar_1(g'), trace;) сюръективно. Отсюда будет следовать, что элементы
er-ife). tracer алгебраически независимы. Пусть (*,,, ... ., Лг_„ ьг)е

48 Голономные квантовые поля I
е С+1, и предположим, что д0 =... = ... = bs_l = О и bs Ф О. Взяв of=
. . . = e^l, = 0, мы имеем ao(g) = . . . = as-l(g) = 0. Поэтому мы можем
предположить что s = 0. Так как мы можем придать произвольные значения
(e++ ap2/aia-, то существует некоторый элемент g e G+(»0, такой, что
%(S) = bw . . ., ar_!fe) = *r_! и ^(g) = Л2 Тогда g или -g и есть тот эле-
элемент, который нам требуется.
Пусть теперь элемент f(g) e A^+lu/) удовлетворяет условию f(g) =
'1). noflHHOM/(tg) наС х G+ (W) записывается в виде/(*&)= J
где функция fjig), удовлетворяющая условию fjig) = fj(hgh '). однородна
степени у. тогда функция fj(g)/(txacegy определяется собственными
значениями Tg, и поэтому она является рациональной функцией
a,(g)/ao(g), . . ., ar(g)/a0(g). Таким образом,/(g) есть рациональная функция
от ao(g) «г-1(?) и trace*- Так «а* отображение G(W) -~ Cr+1, g «
(eofe) ar_ife), tracer) сюръективно, то f(g) e C[eo(g), . . ., аг_^),
trace;].
Другое случаи доказываются аналогично.
Предложение 1.3.6. Пусть пространства W, W, W и т.д. будут те же,
что в теореме 1.3.2. Выберем некоторый дуальный базис (vv . . ., v№
£j, . . ., %N) в №. Пусть R будет произвольная кососимметрическая N х N-
матрииа, и положим g = е»/2, где р = (их, .... vR'{
Пусты\у= Y. cj,£i№ = 1, .... А) будут элементы W, и положим
1сп ••■'-■
Тогда константа в iji • • • 'х*Равив Pfaffian(~'tRi).
Доказательство. Если»/, ...7/^=0 или /Г нечетно, приведенное утверж-
утверждение тривиально. Если иц ■ ■ ■ чкФ 0,то без ограничения общности мы мо-
можем предположить, что иц = €р • • •. <7^ = £#- Константа в J, . . .{^ равна
коэффициенту при v^. . . v, в разложении
( S (^)"*.«л) • ■ • ( Е с
Предложение доказано.
Пусть R будет кососимметрическая Bгх2г)-матрица и рассмотрим эле-
элемент g(R) алгебры A(tfO, определенный выражением
A.3.5)
гдер = («;,,. . ., v^R'fri vN).

Голономные квантовые поля I
49
Предложение 1.3.7. Пусть i обозначает канонический изоморфизм с
W - W", i(w ® vX*' ®п') = <*®П, *' ®п'>- Тогдадляъх wke W
мы имеем
A. 3. 6) w,—w» expiLa
2
Доказательство очевидно.
<(w«)exp (^-
^2
Предложение Х.ЪАПусть элемент g e A(W) имеет вид g = wv . . ., w
Положим , х
гое
vifj,ii' Пусть е обозначает N-компонентный вектор-
столбец
Если мы представим g в виде
mo коэффициент рт{цх /♦„) дается выражением
A. 3. 7) р.(а, .... д.) =Pfaffian('e
-(_)(«+*)/» Pfaffian
_г
^
•г
1
R.
/pfaffianUi j
Доказательство. Применим предложение 1.3.7, взяв в качестве W, ехр— р +
A.3.6).
/в О \
V € VJ и I ) соответственно W, g и г. Тогда A.3.7) следует из
§ 1.4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ G(W)
Поскольку G(W) — алгебраическая подгруппа в A(W), ее замыкание
G(W) — полугруппа. Мы дадим формулу для вычисления Nr (#A). . . g<n)) для
g(') gM eG(W) при заданных Nrtft1)) NrfeW). (Хотя мы рассмот-
рассмотрим только четномерный случай, результаты §1.5 позволяют нам дать ана-
аналогичные формулы и в нечетномерном случае.)

50
Голономные квантовые поля'1
Сначала мы рассмотрим простой случай. Пусть w
н w1(. .., wt — элементы W, и пусть
г г
SV^C + У V С
и и L it it
М.-. *..*•". *)(**)
/*i ЛД
\Л3 RJ
кососимметри-
— элемент А2( W). Предположим, что матрица R
ческая.
Теорема 1.4.1. Пусть Nr(g) = w1 wlf<>/2с элементами wv . . ., wkup,
указанными выше. Тогда мы имеем
A. 4. 1)
Л-1
A.4.2) Nr(gzt-) =
Г Г
где гс<2) = %v +'2'»^^*),+ J] г;м(i?*e ) м.
положили
Замечание. Так как
или
— это (* - 1)-формы от w,, . . ., Wj, они являются мономами. Мы имеем
4 3)
если существует Twi'>
, такой, что<и-о;^)> =
— 0 Для j=rl, •••,

Голономные квантовые поля I
51
Nr(gw) =*««*»♦ •*••»,
к
если существует о;£°е У] Civ,, такой, что<а;^а;> = 1,
— Q для j = lf...tk.
A. 4. 4)
Доказательство теоремы 1.4.1 дано в § 1.5.
Пусть W& — КК») ф **">(" s= 1, . . ., л) обозначают копии ортогонально-
ортогонального пространства Щ с голономным разложением W = V^ ® V. Пусть
А — симметрическая лхл-матрица
= 1 л).
=1 л с Xw =
Пусть W(A) — векторное пространство @ ^И*' с заданным на нем ска-
лярным произведением
Если detA # 0, то W(\) — ортогональное пространство. Представление
( ® И*»>)ф( © ^f) ) дает голономное разложение W(A). Мы
обозначим через < >л вакуумное среднее значение относительно этого голо-
номного разложения. Отметим, что естественное вложение t(<>): (И") — W(K)
сохраняет не только скалярное произведение, но также и голоиомное разло-
разложение.
Так как <tW(w) - Х^^ЧмО, iW(w')>A = 0 для любых w, w' e W, мы имеем
следующее предложение.
Предложение 1.4.2. Если &* е
A. 4. 5) Т,<„ («w (w) - Я^
, то для любого w e Wмы имеем
«« (w) - Я^«<« (w).
Поэтому, в частности, gM принадлежит группе G( W(A)).
Выберем дуальный базис (vj, . . ., у^ vl v} в W. Обозначим через
W w^, v\'\ . . ., t^1^ соответствующий дуальный базис в W&.
Пусть *W — элемент G(JH')) с нормальным символом Nr(gW) =
^ где
Мы предположим, что матрица Л*
кососимметрическая.

52
Голономные квантовые поля I
Пусть R я А (А) обозначают кососнмметрические 2лг х 2лг-матрииы
( о х12к1: 11пк, л
— 1 %fT
— Аи л.
0
,,-|Л| О
, где
■CD-
Теорема 1.4.3. При указанных выше предположениях мы имеем
A.4.6) <g<"...g<-)>,= <g<1>>.-<g
Если
A. 4. 7)
0, то
где матрица
дается выражением Л (Л) = /7A -
Доказательство этой теоремы даао в § 1.5.
Пусть wj') = £ "М')+ £ иЛ>=1
„=1 (.=1
элементы ^И"). Положим1'
Nr (g(">) = <gw
"J J
'> Задав тем самым элемент ?*' е G. — Прим. черев.

Голономные квантовые поля
S3
Пусть qtW и c<F) обозначают столбцы + (<$»> су3^ и ^j, i
. . ., с*"],) соответственно. Пусть г обозначает Bгп х *>матрицу
с,™ -eft)
Пусть (flj, . . .#,£, 0, #,„) обозначает базис (»р\ . . .
. . ., »«»> vf* v}"\ v{» if) v\"> t;W. Пусть
M» • • *»^r»*l r» • • *'er(n-l)+.l en» er(n
компонентные вектор-столбцы
» ern
\
L >
0
0
.(
»
@)
1
0
(
»
fO
0
1
0
.6,
соответственно.
Теорема 1.4.4. Если мы запишем
Nr <?
, 2 J_-J_ y\
m.m'шО ml m' ! *i. •••. *m.
/яо коэффициенты этого представления имеют вид
О-■ 4- 8) Ря«- (А., • • •, (лп; »и ■ ■ -, vm.)
W> pfaffian
— e
— г
-Л (Л) 1
-1 -Л
/Pfaffian

54
Голономные квантовые поля I
Если <^*>. . г(л) >АФО,мы имеем
A. 4. 9) pmm.(/i,, •••, /<„; v,, -, ущ.) =
xPfaffianl
В частности,
A.4.10) <g<"-
-1 A-Л (Л) Л) Л (Л)
)Г ,)•
<Я)> Pfaffian 'гA- Л (Л)Л) Л (Л) г.
Положим к — к' = rank'r(l - Л (А)/?)^ (А)г и выберем невырожденную
кхк-матрицу QCV X$ iX1 — это (кхк')-матрица и Х2 — это кх(к -к'У
ат) б
V $ 1
матрица) так, чтобы имело место равенство
0 0 . \
,0 lXt'r A - Л (Л) R)-1 А (Л) гХг)
Тогда мы имеем
A.4.11) Nr(gA> •■•£<">)
== <g(I)• • .«<»)>Pfaffian '-X"«'r0--A (Л)R)'1 А (Л)гХг
Т Г
где #j = £ <)Ы + " £ 0+ г^ задается при помощи матрицы
1 ' !
l. г»-••<?);-. г»
аР = (v?» 0«1), ^D *<i), . . .^„Iti) „«I), eji) fl(D, .
где ^=ЛA-Л(Л)Л)- A-ЛЛ(Л))-'гХ2['Х2'гA
X Л (Л) гХ.]-"Х2'г A - Л (Л) К)-1.

Голономные квантовые поля I
55
Доказательство дано в § 1.5.
Замечание 1. Если мы положим Х^ = 1 и отождествим все W& с про-
пространством W в теореме 1.4.4, то получим формулу для вычисления произве-
произведений элементов из G(W).
Замечание 2. Обозначим через 1Л1 норму mxm-матрицы Х\ именно
£ \хЛ. Если Ы(Л)Л« < 1, то формула A.4.10) переписывается
как
A. 4. 12)
Приведем пример. Пусть Nr(g)
Тогда мы имеем
wf > . . .
где
•Or
Nr (grc*) =
ге;?)г'")'1 при

56
Голономные квантовые поля I
I
л-1
д-1
где
'z/J
Vr
§ 1.5. х-НОРМАЛЬНЫЕ СИМВОЛЫ И ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть W, W и & будут, как в доказательстве теоремы 1.3.2. Пусть
x:W— W — линейный гомоморфизм, и обозначим через х индуцированный
инъектнвыый гомоморфизм х: W — W, ш •-» (w, x(w)). Мы предположим, что
скалярное произведение в W невырожденно, когда оно ограничено на ^"^
^), и отождествим We ортогональным пространством Wx.
Определение 1.5.1. х-нормальным символом называется следующий ли-
линейный изоморфизм:
A.5. 1) Nr,: %^%
Обозначим через : :ж отображение, обратное к Мгж, т.е. а =
Константа в №ж(в) называется х-средним значением и обозначается "через
Выберем некоторый базис (у. ОвЖ Обозначим через /Г матрицу
и положим / = К + 'К,Н = К - 'К.
Замечание 1. Пусть W = И © К — ортогональное пространство и его го-
лономное разложение. Определим отображение х как x(wX*') - <ww'}.
Тогда ортогональная структура на W, индуцированная х, совпадает с перво-
первоначальной ортогональной структурой и х-нормальный символ совпадает с
A.1.4). Если мы выберем дуальный базис (tA, v^r,v1 vj, мы имеем
/О 1\ /О (К
J =

Голономные квантовые поля I 57
Замечание 2. Пусть tx обозначает отображение, сопряженное к х, т.е.
'x(w)(w') = x(w')(w). Тогда следующий вариант определения совпадает с
A.5.1): _ ^
где через <vac*l обозначен класс вычетов 1
Предложение 1.5.2. Если we WuaeA(W), то
A.5.2) Nrt(wa) =tfNr[(e)+j(iu)NrI(a)
и
A.5.3) Nr,(e»)=Nr,(e)w + Nr,(e)'«(w).
Подразумевается, что x(w) (соответственно 'x(w)) действует на
A(tfr)\vac) (соответственно на < vac* 1 #
В частности, мы имеем
A 5 4) zvi---Wk
для wv . . ., wke W.
Если мы полоЛпш
fi
B
ede'R = -Ruc= '(c,, . . ., cN), /яополучим
A. 5. 5) N
A. 5. 6) Nr«(gw) =
+ a;, • "ге»») ef/t.
Здесь t^^g^ia-^cb, w«=-|j^
Доказательство очевидно.

58 Голономные квантовые поля I
Теорема 1.5.3. Рассмотрим элемент g группы G(W). Пусть Тобознача-
Тобозначает матричное представление Т относительно базиса (vv . . ., Уд). Тогда мы
имеем
A.5.7)
Если <g>x Ф О, мы имеем
A.5.8)
ср ш (vx vn) R ' (v, vn), где R = (Г - Щ'КТ + JO.
Замечание. Если <g)x *= О. мы имеем
A. 5. 9) <g>!.=nr (g) det A + KR)~\
A.5.10)
Лемма. Отображение х индуцирует естественное вложение х: G(W)
Доказательство. Мы имеем № — Wx ф Wt. Так как Wx x W_rx» то
x{g)we(xig))-1 = w для we W_,x. Отсюда следует, что ~x(g)№e(x{g))-1 - W.
Доказательство теоремы 1.5.3. Если мы выберем базис @,, . . ., 0^
VV)'гдеflM = (Vж("^и °^ = (V ~'x(tV» 0* = 1, •••» АО» томат-
V V)'M (V(^^ (V (V» 0 , » О»
/ Г 0\
ричное представление Г^,. € O(W) будет иметь вид I 1 . Дуальный базис
(Р1 v#, jfv . . ., if^) имеет вид ^ '
(©„ •••, ©у, ^f, •-, <D%) = (v,,.-. t;w, ъ, ■■;
Таким образом, матричное представление T~te) относительно базиса (у,
Vff, ijj i;^) имеет вид
/1 и/т wi 1YL(
(T-i)./-1
Так как nr(x(g)) = m(g), <g>x ~ <vacu(g)lvac> и Nrx(g) = Nr(S(g))ln=0, то
утверждение теоремы следует из формул A.2.7) и A.2.8).
Следующее предложение иногда полезно при вычислении R по Т.
Предложение 1.5.4. Предположим, что существуют обратимые мат-
матрицы Y+, которые удовлетворяют соотношениям
A.5.11) J-"K-Y+J-1K = 0, J-1K-Y_-J->tK = Q, У_ = У+Т.
Тогда мы имеем
A. 5. 12)
(У;1 -У!1) (J-'K-Y_ + J-"K-Y+)

Голономные квантовые поля I 59
Доказательство. Заметим, что условие J~UK- Y+-J~lK = Q (соответ-
(соответственно J~1KY_J-UK - 0) эквивалентно условию J-*K-Y.-J-UK -
= J-uKY+(.J-lKY_J-lK~ J~lKY_). Поэтому мы имеем
-J-1K-Y_+J-uK-Y+-J-ltK-T
Равенства A.5.12) следуют из этого соотношения и из A.5.8).
Фиксируем теперь некоторую ортогональную структуру на W. Пусть
(у, v^ будет базис в W, и положим / = «»м, f,»,,,, «• i дг Пусть
g0 — элемент G(W), такой, что tig0 * 0. Пусть То — матричное представле-
представление Т относительно (fj, . . ., v^. Положим
A.5.13)
Тогда Н — кососимметрическая матрица, и если мы положим К = (J +
+ //)/2, то будем иметь К + *К = /. Поэтому существует единственный го-
гомоморфизм х: W — W*t такой, что К = (x(vMpj) р ш 1 N.
Из A.5.7), A.5.8) и A.5.13) мы имеем
A. 5.14) <g,>2 (G.) det
1 + I о
Где
Предложение 1.5.5. При указанных выше предположениях, мы имеем
A.5.15) <fl>t=traceg°* .
trace g0
Замечание 1. Равенство A.5.3) переписывается следующим образом:
A.5.16) То=К-иК.
Замечание 2. В предложении 1.5.5 мы ограничились рассмотрением эле-
элементов g0, принадлежащих G(W). Если мы допустим, чтобы g0 был элемен-
элементом G(W), таким, что trace£0 *= 0, то равенство A.5.13) дает взаимно-

60 Голономные квантовые поля I
однозначное соответствие между х, удовлетворяющим условию x(w)(w') +
+ x(w' Xw) = < w, w' > и g0 с точностью до постоянного множителя. Действи-
Действительно, если мы определимх из условия x(wWyv') = trace(gowv') для данного
gq, то получим
K(iv) (tv') +k(zv') (и>) = trace (gtwco') + trace (g,w'it') =
= trace (g,(raa/ + zv'tv)) =<w, w'>.
Так как соотношение A.5.13) алгебраическое, оно справедливо, даже если goe
е G(W). Обратно, взяв замыкание множества таких элементов gw как в
A.5.12), получим, что существование элементаg0 ф 0, который удовлетворя-
удовлетворяет условию (e^raceg,, = trace^ для данного х, очевидно. Так как tracegga Ф
Ф 0, мы имеем traceg0 # 0. _
Мы будем обозначать через gx единственный элемент в G(W), такой, что
trace?x = 1 и <e>x = traceg^a.
Замечание 3. Если задано голономное разложение W = V* ф И, то £х =
= IvacXvacI:
A.5.17) <vac|a|vac> = trace(|vac><vac|e).
Лемма. Пусть g — элемент G(W). Тогда имеем
A.5.18") (trace g)' = nr (g)det(H-Tf-').
Это следует из теоремы 1.3.3,
Доказательство предложения 1.5.5. Достаточно доказать A.5.15) для
случая, когда; € G+(W) и nr(g) = 1. Мы предположим также, что nr(gg) =
= 1. Пусть Г будет матричное представление Tg. Матричное представление
Т.есть К~иК. Поэтому мы имеем
(trace Ptg)'_ det(l + К'1 ЧСТ) _detCKT + K) Act(*KT , д~ /-.
(trace f/,): deta + A:-"^) det{'K + K) ~ ( } '
Предложение следует теперь из равенства A.5.7).
Предложение 1.5.6. Если матрица Н обратима, мы имеем
A.5.19) Nr«(erg«)
Доказательство. Без ограничения общности мы можем предположить,
что gxe G(W). Тогда матричное представление e^x есть -К~иКи A.5.19)
следует из A.5.8).
Мы сформулируем теперь закон преобразования, позволяющий вычис-
вычислить ^'-нормальный символ элемента G(W) по его ^-нормальному символу.
Пусть К и К' обозначают матрицы «vvjj т , и «vvJA ш , N
соответственно. '"'

^ Голономные квантовые поля I 61
Теорема 1.5.7. Пусть элемент g e C(W) задается своим нормальным
символомNrx(g) = ig}xe"/2,edei> = (и,, . . .,vN) x R'(pl vn)ckococum-
метрической матрицей R. Тогда мы имеем
A.5.20)
= <g>KT>iam™( M/Pfaffianf
\ — 1 R/1 \ — 1
Если <£>ж< * 0, мы имеем
A.5.21) Nr,.(a)=
гдер' = (и,
Доказательство. Заметим, что К + 'К = А"' + 'К', поэтому мы имеем
= (т -1) сл:т+кг1 A -(A" -K)(T-i)CKT+K)-1)-1
Из A.5.9) следует, что <£>* = nr(g)det(l + АК) и <£>£, = nr(g)det(l
+ K'R')~l. Поэтому мы имеем
= det (I + K'R (I - {К' - К) R) -1)-1 A + KR)
= det(l-(K'-K)R).
Теорема 1.5.8 Обозначения, как в предложении 1.3.5. Мы положим
^(g) = <£>жи>, . . .w^>/2. Если мы запишем

62
Голономные квантовые поля I
то коэффициент pm(Mj> • • •• Мт) дается выражением
A.5.22) р„(А, -,Мш) = (-)
X Pfaffia
— e
— г
'e
-1
'г
С) 1
R
/Pfaffianf
\
Доказательство. Пусть i обозначает канонический изоморфизм i: W —
— W*; i(wXW) s= <w, w">. Введем ортогональную структуру иа W* форму-
формулой <i(w), i(w')> = (.w, w'}. Обозначим через Wt ортогональное простран-
пространство W ® W* с заданным на нем скалярным произведением
Выберем базис (£,, . . ., |^ в Н^*, такой, что { (v} = & р. Пустьхобозначает
линейный гомоморфизм х: W — W* такой, что (»»,)„ = <v vp)x, <vjpyx =
0<{>0
ft>v
,., О
Аналогично определим х'\ № —■ #"•.
~ Пусть g обозначает элемент G(№), заданный символом Nr^
A.3.5)). Применяя теорему 1.S.7, мы имеем
и если
0, то
\-1
гдер' = (и, «д, {,
, ^ {,
Тогда, применяя предложение 1.3.7 и предложение 1.3.8» мы
'-(К'-К) 1
^ ^ M^Pfaffianf

Голономные квантовые поля I
63
г: г
= ( -.) <ж+*)/г<д>« Pfaffian
— е
— г
-(К'-К) 1
-1
R)
Pfaffianf
Замечание 1. Теоремы 1.4.3 и 1.4.4 являются специальными случаями тео-
теорем 1.5.7 и 1.5.8, а именно мы выбираем
К-
к,
К,
О К, )
К'-
Замечание 2. Для теоремы 1.5.8 имеют место аналоги формул
A.4.9)-A.4.11).
Предложения 1.2.6 и 1.2.7 можно перефразировать при помощи
х-нормальных снмволов следующим образом. Мы опустим доказательства,
которые являются только повторением.
Обозначим через х_ линейное преобразование х_: W — W, определенное
следующим образом:
def
Заметим, что х_ + 'х_= 1. Справедливы соотношения
(\ S *?*\\ • IP f \ 14J ( \ f \ f \ { \
A. 5. 24) : Nr, (в)'« (zv) :к = alK {zv) - е (а) 'к (zv).
Таким образом, A.5.2) и A.5.3) выглядят теперь следующим образом:
A.5.25) : w №,(«):« = '«(w)e + e (а) к (zv),
A. 5. 26) : Nr, (a) zv :к = ак (zv) + '/с (zv) (a).

64 Гопономные квантовые поля I
В частности, если g' e G(W) и Nr^(g) = wNrx(g'), мы имеем
A.5.27) д=(.'&+Т,.к)(ги)д*.
Если £ также принадлежит G(W), то
Cts)(w).
Матричное представление х есть У1'.*. Если мы выберем базис так, что
J = 1, то матричное представление 'х + Г^х. будет А" + Т'К. Поэтому, если
det(K + Т'К) = det('AT + А) # 0, мы можем применить теорему 1.5.3 для
того, чтобы вычислить х-нормальный символ элемента g.
Предположим теперь, что Ker('x + Tjc) ф 0, и положим g' = wg, где
w — произвольный элемент W. Тогда следующие условия 0 и О) для Wj e W
эквивалентны:
эквивалентны
О
Более того, мы имеем Nr^fe) = WjNrx(g'). где и>, — любой элемент W, удов-
удовлетворяющий условиям ('х [ T^eXw{) = 0 и <н>, 'хн-,) = 1.
Выберем базис (и, w^ в W и предположим, что Nr^fe) =
N
= w, . . .и^/2с wy. = £ ^су>(/ = 1 *)ир = (и, vN)R'(.vv . . .
-•-<- •» vд^, еде .8 яг-лсососимметрическая матрипд. Г^оложим^г^,) =^ е^' .
Тогда мы имеем ,,
A.5.29) nr(y)=det«('/C+7<(,t/C)(w^, Т„(г«.)>^,в1.....* nr (g.) ,
c
Если nr(gj) Ф 0, то gy e G(W) и ggt x есть полином от ('х_ + Tg xXwj) (J =
= 1, . . ., к). Если nrfe) # 0, то g e G(W) и мы имеем
A. 5. 30) Кег ('« + Т,к) ^JzCwj.
Если обозначить матричное представление элемента g через Г, то
A.5.31) т=A-д«а:)->A-

Голономные квантовые поля I 65
ЛИТЕРАТУРА
1. Sato M. Lectures delivered at the University of Tokyo, July 1976.
2. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., 53A A977), б — 10.
3. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., 53A A977), 147 — 152,
153 — 158, 183 — 185.
4. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., 53A A977), 219 — 224.
5. Plemelj J. Problems in the sense of Riemann and Klein. Interscience, 1964.
6. Schlesinger L. J. Reine Angew Math., 141 A912), 96 — 145.
7. McCoy B. M., Tracy С A., Wu T. T.J. Mathematical Phys., 18A977),
1058 — 1092.
8. Wu Т. Т., McCoy B. M., Tracy С A., Barouch E. Phys. Rev., B13 A976),
316 — 374.
9. Onsager L. Phys. Rev., 65 A944) 117 — 149.
10. Bariev R. Z. Phys. Lett., 55A A976), 456 — 458.
11. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. RIMS preprint 207 A976)'.
12. McCoy B. M., Tracy С A., Wu Т. Т. Phys. Rev. Lett.,3* A977), 793 — 796.
13. Chevalley С The algebraic theory of spinors, Columbia Univ., 19S4.
14. Bourbaki N. Algebre, chap 9, Hermann, 1959. (Русский перевод: Бурбахи Н. Ал-
Алгебра. Модули, кольца, формы. — М.: «Наука», 1966, гл. 9).
15. Sato М., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., 54A A978), 1 — 5, 36 — 41.

ГОЛОНОМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ 111°
М. Сато, Т. Мива, М. Дзимбо
ВВЕДЕНИЕ
В этой- статье мы изучим аналог проблемы Римана — Гильберта и со-
сохраняющую монодромию деформацию для решений двумерных евклидо-
евклидовых уравнений Клейна — Гордона и Дирака.
Предмет, который здесь обсуждается, интересен и сам по себе с чисто
математической точки зрения; насколько известно авторам, это будет один
из немногих примеров теории деформации линейных дифференциальных
уравнений, в котором вычисление уравнений деформации выполнено в яв-
явной форме до конца. Однако наиболее замечательное свойство этой теории
заключается в ее тесной связи с квантовополевыми операторами. В дейст-
действительности, как это было объяснено на примере одномерной проблемы
Римана — Гильберта (ч. II [2]), мы увидим, что вся теория наиболее
естественно и эффективно описывается при помощи некоторого класса по-
полевых операторов, «принадлежащих к группе Клиффорда» ([1]). Это будет
сделано в следующей ч. IV. Цель настоящей ч. III — прояснить математи-
математические аспекты, подготовить необходимые составные части и заложить
прочную основу для операторной теории.
В §3.1 рассмотрены локальные (многозначные) решения евклидовых
'уравнений Клейна — Гордона и Дирака. Мы вводим здесь ряд решений
специального вида, которые будут играть роль степенных функций в одно-
одномерном случае.
Задача о монодромии рассматривается в следующем §3.2. Для заданных
точек ветвления t(gy."gyt)y «= i п и показателей lp e R{v = 1, ... , я) мы
рассматриваем пространство wja',ai,-'".ая (соответственно, w'p'.ax,'..'!*,«„)•
состоящее из решений v (соответственно w = '(w+, и>_)) евклидовых урав-
уравнений Клейна — Гордона (Дирака), удовлетворяющих условиям монодро-
монодромии
C. 0. 1) v (д„ + ег'{ (ж - в.), а, + е~г B - а,) ) = e~Ml' v (z, 2)
(н»±(л,+ «*-'(*-«.), а.+ «-1ИE-а.)) =-е-ип-т±(х,*
0 М. Sato, Т. Miwa, M. Jimbo. Holonomic Quantum Fields III. Publ. RIMS, Kyoto
Univ. IS A979), 577 — 629.
© RIMS, Kyoto University, Kyoto 1979
© Перевод на русский язык, «Мир» 1983

Гопономные квантовые поля III 67
и одновременно ограничениям на порядок роста:
C.0.2) М, \dv\=O(\z-a,\-tl-i-1)
(соответственно \го±\ =
C. О. 3) 1 (соответственно 1и>±1) = О(е~2т^), \z\ — во.
Предположив, что 0 < /,, ... , /„ < 1 (соответственно -1/2 < /1( .'..
... ,/„ < 1/2), мы установим, что пространство W^\a\'!?.,а„ имеет Раз-
Размерность л. Мы покажем также, что в общем случае l'r m 1p mod Z произ-
произвольный элемент из Wi't ai ' ", в„ получается при помощи действия диффе-
дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами на базис в
и^1', а\,'!?.,а„- Аналогичные результаты получаются при задании вместо
C.0.1) некоторого я-мерно го представления монодромии, параметризован-
параметризованного симметрической матрицей Л. Показано, что случай C.0.1) является
вырожденным пределом последнего.
В §3.3 мы выведем голономную систему линейных дифференциальных
уравнений по (г, i), которой удовлетворяет базис w'l' а" ''" а . Мы пока-
покажем далее, что канонический базис, построенный в §3.2, должен удовлет-
удовлетворять линейной системе пфаффовых уравнений по полному набору пере-
переменных (г, г, а,, а,, ... , ап, а„) и что коэффициентные матрицы, возникаю-
возникающие в этой системе, удовлетворяют нелинейной вполне интегрируемой си-
системе пфаффовых уравнений (уравнениям деформации). Относительно по-
последней мы отметим, что для я = 2 здесь возникают уравнения Пенлевс
V рода [7], которые в случае равных показателей /, = /2 сводятся к уравне-
уравнениям III рода специального вида (v = 0 в [8]). Наконец, мы вводим замкну-
замкнутую 1-форму, ассоциированную с уравнениями деформации. Она, как будет
показано позднее, в части IV, совпадает с логарифмической производной
г-функции.
Основные результаты этой части были анонсированы в [3, 6].
Часть III.
СОХРАНЯЮЩАЯ МОНОДРОМИЮ ДЕФОРМАЦИЯ
В ДВУМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§3.1. ЕВКЛИДОВЫ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА — ГОРДОНА И ДИРАКА
Пусть z = (х1 + ix2)/!, z = (xl — ix1)/! обозначают комплексные коор-
координаты в двумерном евклидовом пространстве^ ХВис = IR2. Мы положим
д = Эг = d/dz, д = д^= d/dz, Мв = zb - zd и MF = zd - z д +

68 Гопономные квантовые поля III
-\— ( I. Тогда мы имеем коммутационные соотношения
2\0-1/
C.1.1) [Э,5]=0, [ЛГ*,9].= -9, [М*,9]=9
(М* = МВ или Мг)
и {д,д, Л#» ) являются образующими алгебры Ли евклидовой группы дви-
движений £B).
Рассмотрим евклидово уравнение Клейна — Гордона
C.1.2") (jnl
и евклидово уравнение Дирака
C.1.3) (тя-Г)«> =
/"* —
- »=(::)
с положительной массой т > 0. В этом параграфе мы будем изучать ло-
локальные решения уравнений C.1.2) и C.1.3).
Вообще, пусть 3 — пучок дифференциальных операторов на веществен-
вещественном аналитическом многообразии X. Злоупотребляя обозначениями, пучок
(Л/ х Л/>матриц дифференциальных операторов также будем обозначать
через &. Пусть JK: Ри = 0, Р е^ будет система дифференциальных урав-
уравнений, где,/' обозначает когерентный левый идеал 3. Мы положим 30 =
= 3q,= {Ре 3 1/-/>б/]. Тогда 30 есть единственное максимальное
подкольцб ^, содержащее^/ sax двустороняий идеал и состоящесиз опера-
операторов со следующим свойством: для любого Ре 30 и любого решения и
системы ~# Ри есть снова решение системы JK.
Пусть в?в = & (т2 — дг Э^) (соответственно #fp = 3 (m - Г)) и поло-
положим 30 в » ^o,Jb (соответственно 3Of F = 3Ot^,). Тогда справедливо
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1.1.
(а) ^0( в = ,/в + С[д, д, Мв] и множество \Ръ 3 \\Р, т2 - ЭЗ] = 0)
совпадает с С[д, Ъ, Мв].
(б) Щ,г F = yf + С[Э, д, MF] и [Р е 3 I [P, /и - Г] = 0) = С[Э, д, MF] ®
®С[д,а,Мр}Г.
Доказательство. Обозначим множество /* + С[д, д, Мш ] через Щ^ ,.
Включение 3q , с 30 , очевидно. Мы докажем обратное.
Сначала докажем (а). Пусть Ре Зов, и положим
t

Голономные квантовые поля III
где (т~1 д)~1 означает т~х д. Для любого и * О Р exp[m(uz + и ' z)
есть решение уравнения C.1.2), так что имеет место равенство
O = e-M(»'+""t)(m*-dd)Pem<"'+"~li> = - 0д + ти^д + mud)P(z, z, и)
i
гдеР(г, z, и) = У" pj(z, г)и*. Положив pj = 0 для lyi > /, мы получаем
_ _■'*"' _ .
О = mdpj _ , + ddpj + mdpj + , для любого/ В частности, (/я ~1ЭI'72' +lpt_j =
= 0 и (т~1 ЭI'72' + ' р_, + у, поэтомуpj(z, z) — полиномы. Так как опера-
оператор дд + ти~1 д + тид коммутирует с оператором zd - -гЭ - иди, мож-
можно предположить, что функция P(z, z, и) однородна по (z, i, и), т.е.
P(z, z, и) = и*Р(иг, и г), где к eZ и Р^х, у) — полином. Мы можем
предположить далее, что * = 0, так как условие Р е Щ в эквивалентно ус-
условию Р(т~1 дг)~к е Щ в. Мы имеем тогда соотношение {дхду + тдх +
+ Эр/^Ос, у) = 0. Отсюда следует, в частности, что член наибольшего
порядка Рх , в Рх удовлетворяет уравнению (дх + ду)Рх , = 0и поэтому
Р\, /(*> У) = с,(х — у)' (с, е С). Собирая все вместе, мы показали, что
~1д) } mod Яи.
При помощи индукции по /, получаем, таким образом, Щ в = 30 в. Ис-
Используя этот факт, остальное в (а) легко проверяется при помощи' индук-
индукции по порядку оператора Р.
Далее, пусть Ре 30 р. Записав (/я2 - дд) = (т + Г)(т - Г), мы ви-
видим, что каждый матричный элемент Р{т + Г) принадлежит 30 я._Из (а)
следует, чтоЪпР ■ Р{т + Г) ■ Qтоб^для некоторого QeМ2(С[д,д,Мв]),
гдеЛ/2(С[Э, д, Л/д]) обозначает множество B х 2)-матриц с матричными эле-
элементами в С[д, д, Мв]. Поэтому Q единственным образом записывается в
виде V Q'j(d, d)Affa, или, переставляя слагаемыеАкак У Qj(.d, d)A/£, где
у = о _ у - о
Qy, Qy e М2(С[д, д]). С другой стороны, по определению J20> F существует
такой Re3,vro(m - T)Q = R{m - Г) е А/2(С[Э, Э, Мв\). Тогда Л комму-
/
тирует cm2- дд, так что R также имеет вид £ Rj(d, d)Mj?. Так как
У - о
А^. коммутирует с Г, мы видим, что (т - Г)бу = Rj(m - Г) в силу
единственности представления. Положим
«7» QJ
i

70 Гопономные квантовые поля III
Из равенства 0 = (т - ГN, ( )ехр{/я(иг + и?)} мы получаем
"'" ':Л - *"• лл'1 + @2(") - и^С")) = 0- Отсюда следует, что
Оставшаяся часть (б) доказывается при помощи аналогичных доводов.
Введем теперь набор многозначных решений специального вида уравне-
уравнений C.1.2) и C.1.3). Для / е С пусть 1,{х) и К,(х) обозначают модифициро-
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Мы положим
C. 1. 4) v, О, z) = ««•/, (mr), v? (г, г) = е~и>1г («г)
«г,0, 2) = »!, («, 2) = «Я(*~>Х
где z = ^-re", z = ^-re-« (r>0, бей), и
C.1.5) (,) ( ^)p wf(^,)(
V () Vг;,*_1/2 (ж, г)
«.(*.*)-«•,(*.*)-
х е*а
Для / ■ 0 modZ мы имеем tJ, = ——: (-и, + v^.,). Для / ■ 0 modZ
2ЯШт/
имеет место соотношение vt — v*_t и vt, 0t линейно независимы. Подобным
х te*a I
образом мы имеем w. = (-w.+ w*.) для /■— modZ, и
2 cosx/ 2
w, = wtj для / ■ A/2) modZ. Эти функции являются многозначными ре-
решениями (вне начала координат) уравнений C.1.2) и C.1.3) соответственно,
имеющими следующее локальное поведение при 1г1 — 0:
C.1.6)
C.1.7)

Голономные квантовые поля III 71
(mz)l+1" ( 1 + m'zz +
где /! - ГA + /)•
Для целых / = 0, 1, 2, ... мы имеем
C.1.8)
и для полуцелых / = 1/2, 3/2, ... справедливо:
C.1.9) Ф,(Ж,Ю=1(-I-1/4
'g (/-j-3/2)! ,
X|
-^ (m'zz) J + • ■
Ж/-1/2)!
L
+■
+ +
(I-1/2I A+1/2I
(.mzy+»( 1 + mzz +
V >; \ (/+1/2)! (/ + 3/2)!
(ж, г)
В частности, €0 и 1У±,/2 являются фундаментальными решениями уравне-
уравнений C.1.2) и C.1.3) соответственно:
C. 1. 10) (тг - дд) Я, (ж, z) = 2nd (х1) д (х1)
C. 1. 11) (т-Г) («1Л(*, 2), «»,(ж, г)) = i-7,■ 2ж8(о:1)<J(о:1)

72 Гопономные квантовые поля III
где z = (х1 + «V2, г = (х1 - ccV2 и /2 = (^Y
Замечание. Выражения C.1.4) или C.1.5) сводятся к элементарным
функциям, если / ■ — mod Z или / ■ 0 mod Z соответственно. Например,
2 'V от Vz
/JLcoshB«|*|)
1 I V Ж
wo (г, 2)—,
OT7r
/-=■ sinhBm|z|)
z -■
Предложение З.1.2. Имеют место следующие рекуррентные соотно-
соотношения:
C.1.12) dvl
Аналогичные соотношения имеют место, если мы заменим v, на Of и vfm
S*. Также мы имеем
C.1.13)

Голономные квантовые поля III 73
Аналогичные соотношения имеют место, если мы заменим wt на wt и w,
how;.
Доказательство. Применяя соотношения
дг гг дв
и Мв = -id/дв, мы немедленно получаем равенства C.1.12) — C.1.13) из
формул
г— , i г 1Т1 г
г —К, (г) ± lKt (r) =-rKw (r) .
аг
Предложение 3.1.3. Пусть v будет многозначное локальное решение
уравнения C.1.2), которое в точке (г, г) = (а, а) имеет следующее поведе-
поведение для некоторого /0 е С:
C. 1. 14) v (а + ем (г - а), а + <?-'*' B - 3) ) = e2*""» (г, г)
C. 1. 15) \v(z 2)|= •
( O(|log|*-a||) (/. = 0)
при 1г - а1 — О и IArg(z - аI < С для любого С > 0. Здесь левая часть
равенства C.1.14) означает аналитическое продолжение v(z, z) вдоль пути
z = а + — геР, г = а + — ге~ш{г > 0, в: 0 — 2т). Тогда и единственным
2 2
образом представляется в виде
C. 1. 16) v (г, г) =
E
1я-1. mod z
Re l2|Re I,
1st mod Z
с/> с*» ^/> ** е С u, и л«ы обозначили v,[a\ = v,(z - a,z- а) и т.д.
') Учитывая, что f„ = f^1 я vQ = v£, для того, чтобы обеспечить епинствен-
ность разложения, мы считаем, что с0 = с* £а = cl.

74
Гопономные квантовые поля III
Доказательство. Положим z - а = re19/!, ~z — а = ге~№/2, г > 0 и
0 е R. По определению v — это функция от (г, в), определенная на @, в) х
х (R (е > 0) и_вещественно аналитическая там ввиду эллиптичности опера-
оператора тг - д д. Разлагая однозначную функцию e~''°ev в ряд Фурье по в,
мы имеем
тора
мы имеем
C.1.17)
причем ряд сходится абсолютно и равномерно на любом компактном под-
подмножестве в @, е) х [R. Подстановка C.1.17) в C.1.2) дает
eatft(r),
откуда следует
cj,(nir) + c*j7_,(»»r) G=60 mod Z)
C.1.18) /,(r) =
c'lIl(mr) + cJX, (»»r) (/=0 mod Z)
С другой стороны, предположение C.1.IS) приводит к оценке
C. 1. 19) |/,(r)|
< const.
при г — 0. Собирая вместе C.1.17), C.1.18) и C.1.19), мы получаем C.1.16).
Единственность разложения следует из единственности разложения в ряд
Фурье.
Как немедленное следствие предложения 3.1.3 мы получаем
Предложение 3.1.4. Многозначное локальное решение уравнения C.1.3),
удовлетворяющее в точке (а, а) условиям
C. 1.20) ■w
C.1.21) \w(z, г)!=О(|г-й|Ке1'/2) при |«-а|-»0,
| Arg (z — а) | <С для любого С> 0
единственным образом представляется в следующем виде:
, Z)

Голономные квантовые поля III 75
C. 1. 22) то (z, z) =
I. I/J)
где wt[a] = w,(z — a, z - а) и т.д.
В терминологии работы [3] говорят, что w имеет ферми-тип в точке
•(а, а), если /0 е Z в C.1.22), и строгий ферми-тип, если, кроме того, /0 > 0.
Из предложения 3.1.2 мы видим, что форма локального разложения
C.1.16) (соответственно C.1.22)) не изменяется после применения операто-
операторов из С[д, д,_Мв] (С[д, ~д, MF]), за исключением порядка роста в точке
ветвления (а, а). Следующее предложение показывает, что асимптотиче-
асимптотическое поведение при Izl — ов также остается неизменным.
Предложение 3.1.3. Пусть v(z,z)— многозначное решение уравнения
C.1.2) в окрестности \l\z\ > R), имеющее свойство монодромии
v(eZriz, e~2riz) = е2* v(z, 2) (т.е. e~tf°* v однозначна) с некоторым i
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(а) \e-^'v\^L1a2\z\>R})
(б) sup | e-il'"v | <оо
(ч / _ч х~* •— НО V /™ N / — *» i6 **~^>- Е>
Is!, mod «f V ^ '
(г) \e-tl-°{pv)<iz,z)\=O(.^^-) (|*|-oo)
для любого
Доказательство. Импликации (а) =» (б) и (г) =» (а) очевидны. Мы дока-
докажем импликации (б) =• (в) и (в) =• (г).
Рассмотрим разложение Фурье:
2 I isldZ
где ft(r) = с,Цтг) + CfK^mr) с некоторыми с,, с, е С. Теперь (б) приводит
к оценке sup Щг)\ < оо, поэтому с, = 0 при всех I. Это доказывает
(б) =• (в). Для того чтобы доказать (в) =• (г), достаточно доказать ^г) для
р = 1, так как ри удовлетворяет тому же условию (в), еслир еС[Э, д, Мв].

76 Голономные квантовые поля III
Из интегрального представления (/ > 1/2, г > 0)
= У~2~е~Тх монотонно убывающая функция г
следует, что
Следовательно, мы имеем
2 |л()| Е
1=1, mod Z iai.modJt
1x1, mod JB
HI>l2
Слагаемые с / < 1/2 оцениваются непосредственно, так как 1ДГД/пгI =
= O(e~"Vmr). Предложение 3.1.5 доказано.
§3.2. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
В этом параграфе мы рассмотрим двумерный аналог проблемы Рн-
мана — Гильберта 1} для решений евклидовых уравнений Клейна — Гордо-
Гордона и Дирака.
Пусть (pr, ar) (v = 1,— , л) — я различных точек в ХВис. Обозначим
через Я' = Я'аи... t пп универсальное накрывающее многообразие
X' = Х^ ая = A"Euc \ {(а,, ар))„ _ , „ с проекцией накрытия
х: X' — X''. Фиксируем базисные точки ЛоеХ', хоеХ' так, чтобы
т{х0) = х0, и обозначим через т,(А"; х0) фундаментальную группу много-
многообразия X'. Мы применяем следующее соглашение: замкнутый путь у =
= "КО @ < t < 1, т@) = тA) = -^о) не различается от его гомотопического
класса в -гх(Х'; х0). Произведение элементов у, у' е т,(ДГ'; Xq) определено
следующим образом: (yy')(t) = т'B/Х0 < t < 1/2), = тB/- 1) ГI < Г < 1V
Элемент у € *Х(Х'\ х£ отождествляется с накрывающим преобразованием,
которое ои индуцирует в X'. Для функции и, определенной на X', поло-
0 По технической причине в этой части Ш мы будем иметь дело исключитель-
исключительно со случаем унитарной монодромии.

Голономные квантовые поля III 77
Рис. 3.2.1
ясим G«Х*) = "G-1(^)) :)- Мы фиксируем, наконец, некоторый набор об-
образующих^, ... , у„ етх(Х'; х0), где ур — замкнутый путь, обходящий
точку (о„, а„) по часовой стрелке (рис. 3.2.1).
Рассмотрим сначала случай евклидового уравнения Клейна — Гордона
C.1.2). Для заданных /j /„eR пусть
C. 2. 1) р,,...,,,: ni(X'; *„) -*UA), r^e-""' (v = 1, • • •, я)
будет унитарное представление фундаментальной группы.
Определение 3.2.1. Для 1Р 4 Z (у » 1 я) лдеть Лд/ё,",'* а„ обозна-
обозначает пространство, состоящее из комплекснозначньгх вещественно анали-
аналитических функций v на X' со следующими свойствами:
C.2.2) (m*-dd)v=*O на Ж''.
C.2.3) rw=f-Pi,..-,i,(Г) для любого
т.е. (r.v)(z.z)=vO
C.2.4), М
при |ж-л„|-»О (v = l, ••-,»),
C.2.4)„ |f|=O (?-*ж|") при |*|-»оо.
Так как р(у) унитарно, условие C.2.3) гарантирует, что М — однознач-
однозначная функция на А". Из предложения C.1.3) мы видим, что в силу C.2.2) и
'> Мы изменили обозначения по сравнению с ч. П.
В обозначениях, применяемых здесь, аналитическое продолжение функции и вдоль у
обозначается 7"-
2) [/] для / 6 Я? обозначает целое число, удовлетворяющее условиям [/]«£'<
<[/] + !■

78 Голономные квантовые поля III
C.2.jj условие на порядок роста C.2.4), эквивалентно разложению вида
C. 2. 4)„' „ = f £
/-0
где c(<2lf + j (v), c*J^+j (v) e С и I* - I, - 2[lr]. Для определенности й
C.2.4); мы выбрали ветвь v на «первом листе», т.е. значение v\ _ на подня-
поднятии ур пути yf в базисной точке ЯоеХ'.
Аналогично Нгв"аи'.'И''а!!Л будет обозначать пространство функций v,
удовлетворяющих условиям C.2.2), C.2.3), C.2.4)ш и
C. 2. 4);trict v = ± c%+J (zO • *_,,+, [a J + E ^*й («) • v,%y [ЛJ
для v я» 1 я (для 0 < /j < < ln < 1 это пространство совпадает с
хж/h* ••• • 'д ч
Ё» й\ .** вя
Мы ' ПОЛОЖИМ также WB,a\,".."an - [V\ve WB',ai'.. , а„1>
цг**1 'я. strict _ {yjyg^'l 4i. strict,
Я, «i, ... , ал " В, ах, ... , а„
Временно мы будем оассматривать случай 0 < /„ < 1 (j- = 1, ... , л).
Пример (я = 1). Для 0 < / < 1 пространство WlB a является одномерным
пространством с образующей
»-•!>] ^ ^(f-.W ?[])
2 sm 7Tt
Ниже будет показано (теорема 3.2.4), что пространство ^в1 аи'.'", а„
(О < /| /„ < 1) в точности л-мерно. Отметим, что условие экспоненци-
экспоненциального убывания C.2.4)ш является решающим для конечномерности. На-
Например, функции v_, + j [а] и v*+ j [a] (j — 0, 1, 2, ...) удовлетворяют всем
условиям C.2.2.) — C.2.4) с я = 1, за исключением C.2.4)ш.
Теперь мы положим
C.2.5) IB(v, »')=— ГГ idz}\d~{pv-dv'Л-тпгют)) =IB(v', v).
2 J Jxe»c
Если функции v, v' обе удовлетворяют условию монодромии C.2.3), то
подынтегральное выражение однозначно на X', и поэтому C.2.5) имеет
смысл.
Предложение 3.2.2. Предположим, что 0 < /„ < 1 для v = 1 л.
Дои условиях C.2.2) к C.2.3) условие C.2.4) имеет место тогда и только
тогда, когда IB(v, v) < <х>. В этом случае мы имеем
C. 2. 6) IB(v, v') = -J2c%{v) •<<»>(>') -sin nl..
»—1

Голономные квантовые поля III 79
Доказательство. Ввиду предложений 3.1.3 и 3.1.S условия C.2.4), и
C.2.4)ш эквивалентны включениям
C.2. 4)Г \v\,\Sv\eL\D^
C.2.4I М, \dv\<=L\D«,B)
соответственно, где £>„ е = {(г, z) eXBlK\ \z - ar\ < е) (О < е «< 1)
и
Dm R— {(г, г) eJfEucl Ul ^ R] (R > 1). Поэтому C.2.4) выполняется, ес-
если и только если М, Idvl e£2(JfEuc), т.е. IB(v, v) < ов. Предположим те-
теперь, что v, v' удовлетворяют этому условию. Учитывая, что
0v -dv'+ m'vv') idz f\dz= - id(vdVdz)
для (г, г) Ф (ар, а„) {у - 1 я) мы имеем
Ib(v, v') =lim —
= lim— У\ 4 ivdv'dz.
.io 2 .-i T-
Подстановка разложения C.2.4)^ дает
ivdv'dz
J)
= f Цс.ш
Jl«-a,|-« \
t() ?:@
Это доказывает C.2.6).
Предложение 3.2.2 показывает, что пространства Wg'g"' ** и
^B.e'i,".'..',"ая взаимно дуальны относительно I-билинейного скалярного
произведения /в(»,»') (у € Ц$;~ •'» вд, „' е W^";\). Для
и е ^в.'вГ.'.'Г, а„ **" положим dv) ш (С(Д (и) cl")e (v)). Так как /в поло-
положительно определено, соотношение C.2.6) показывает, что линейное ото-
отображение
с:
инъективно для 0 < /, /л < 1. Поэтому мы имеем следующий резуль-
результат
тат.

80 Голономные квантовые поля III
Следствие 3.2.3. Имеют место соотношения Wg'aj '.'" а = 0.
/, /,<0и dimc Wl^a-^tan < п, если 0 < /, /„ < I. "
Замечание. Инъективность отображения с доказывается также при по-
помощи следующего рассуждения. Пусть функция v e W*B,a\,'.'",ап Ф < А> -у
... , /„ < 1) удовлетворяет условию c(v) — 0, н рассмотрим вещественно
аналитическую функцию/ = w > 0 на ^Гдь ..., „п.. Так как/ — 0 на границе
\z — ау\ — 0 {у — 1 л) или \z\ — <», то/ принимает свое максималь-
максимальное значение на А"'. С другой стороны, мы имеем
поэтому ввиду принципа максимума мы получаем неравенство max/ < 0.
Отсюда следует, что / « 0.
Мы покажем теперь справедливость равенства dim,- Wji', аи'!?, а„ ~ п
для 0 < /] /„ < 1, применяя некоторую технику из функционального
анализа. В следующей части IV мы явно построим базис в W^'^ ' '^ Оя при
помощи полевых операторов.
Теорема 3.2.4. Для 0 < /, /л < 1 существует единственный базис
«>i 1>„ пространства И^.'в,".'..^, а„, такой, что c(j?/r (и„) -
= V^*' " ~ ! л^- 5 частности, &тс WJb',а\,'.^,а„ ~ п-
Доказательство. Единственность следует из следствия 3.2.3. Нам нуж-
нужно доказать только существование.
Пусть <%f'p обозначает пространство С'-функций v на Я', таких, что v
удовлетворяет C.2.3) и suppM компактен в А". На <%f'p мы введем поло-
положительно определенное эрмитово скалярное произведение следующим об-
образом: -..-.,— , .,,.. .-. -. •.. .,-, — ..
2IB(v, г/)=— Г Г idz/\dz(dv-dv'
2 J JXB«=
• (— 99 + m1)®', v,v' ^SC'f.
Обозначим через Жв гильбертово пространство, полученное как пополнение
Я?'в относительно 21В. Заметим, что Jfp не что иное, как обычное соболев-
ское пространство, если его сузить на односвязное открытое подмножество
U с X' (более точно, если мы рассмотрим сужение v\qy на связную ком-
компоненту (?! в x~l (U) сХ'). Поэтому произвольный элемент v из J^
отождествляется с измеримой функцией на X', удовлетворяющей свойству
C.2.3) н условиям \v\, \dv\, \dv\ б£2(ДГЕис).
Пусть теперь ip^ — С™-функция на А"Еис, такая, что vfLm 1 A« — вд1 <
< е/2), ip^ ш о Aг - а^\ > е) с 0 < е ■< 1. Тогда возможно продолжить
функцию V^v-i^ [а^] до С'-функции V^v-i^ [вд] на X', удовлетворяющей

Голономные квантовые поля III
условию 3.2.3. Положив g^ = (я?2 - ЗЭК*»,, *>-/,, [a^]), мы видим, что
Рассмотрим антилинейное отображение
По неравенству Шварца Gp непрерывно в топологии пространства^. По-
Поэтому по теореме о представлении Рисса существует единственный элемент
v' е<^£, такой, что 2/B(i^, i>) = G^iv) для любого v е Л£. Отсюда следует
соотношение _ _
?„»_,, [а,])
справедливое в смысле теории гиперфункций. Мы положим »д = v' -
— <p,,v-i [а,Л. Ясно, что v удовлетворяет C.2.2) (и поэтому вещественно
(A ft ft /Л ^^
аналитично вал'), C.2.3) и C.2.4),,,. Так как функции Idt^l, Ifli^l обе при-
принадлежат L2(XEac), то локальное разложение vp в точке (в„, в„) имеет вид
C. 2. 7) u/. = 5/.vw_i,[a
Это доказывает теорему 3.2.4.
В дальнейшем мы будем иногда называть введенный выше базнс ка-
каноническим базисом пространства ^д'/вь ■■'", вя: Вообще, для любых /1§ ...
... , /„ е R\Z мы применяем обозначение !/д = i>M(Z.) = «м(г, г; Z.), для того
— \ /л/
чтобы указать зависимость от параметров Z, = ('•.. I функций,
удовлетворяющих условиям C.2.2), C.2.3), C.2.4)^ и C.2.7). Мы записыва-
записываем также коэффициенты как «^ = «^(Z,), jS^ = P^iL) н т.д. Теорема 3.2.4
гарантирует существованне функций v^L) в случае к < llt ... , 1п < к + Л с
некоторым к е Z, для чего нам нужно только положить vp(Z, + /fc) =
= (pi-1 tfv^VL) ((т-ЧГ1 = /я-1?). В частности, a^L + к) = a^(Z,),
/8^(L + *) = 0„,,(£).
В дальнейшем в §4.4 и 4.5 мы явно построим п независимых канониче-
канонических элементов в W1^ ei>'.'"'>s^ict для lv ... , /„ е C\Z при некоторых услови-
условиях сходимости. Мы сможем тогда доказать, что пространство
w'b, a[,'!".'.'a^ B to'ihocth л-мерно для произвольных /j, ... , /л е R\Z. В
действительности достаточно показать, что если v удовлетворяет помимо
C.2.2), C.2.3), C.2.4^ и C.2.4). условиям
с% (v) ■ с,*« (f) =0 (v = 1, • -•, п),
то v ■ 0. Пусть J,Uf2= II, ■•■ ,л) будет некоторое разбиение, такое,
что сМ/Д») = 0 для v е j>i и c/*w (w) = 0 для v e i»2. Предположим, что

jKJ Гопономные квантовые поля III
vQev2. Тогда существует элемент vyQ (соответственно v^) в Wj^a, '.'?', а""
(w'b, ai,'.'., a \'... ,'а"п' stnct), такой, что сФ/,0%) = О для v 6 Jj, c,*w (i;^) = О
для v(=£ i»q) е ^2 н с^!°/ ("ко) * 0 (^-^(''ко) = 0 Для " 6 ^i> ^/*^ (f ^>) = 0 для
K^i^e^ н с*,о"+ 1 ("го) * 0)- Вычитая некоторые кратные «„„ или
у*0, мы можем свести задачу к случаю показателей /j, ... , lVQ ± 1, ... , /„.
Повторяя это рассуждение, производится редукция к случаю 0 < llt ...
... , /л < 1, для которого наше утверждение доказано.
Теперь мы возвращаемся к случаю 0 <^, ...,/„< 1. Сравнивая ло-
локальное разложение dv^L) с разложением vy(-L + 1), мы находим, что
функция 3i^(Z.) - т ^ /8/M,(£.)wF(—I. + 1) принадлежит ядру отображе-
' = >
ния с. Поэтому мы имеем
C.2.8) 9v^L)=mt^0^L)Vt(,-L + l).
Предложение 3.2.5. Положим a(L) = («„,(!,))„ „ = . _, 0(L) =
(а) а<1УA,)-япт/г = апт/даД|,(-1, + 1) 0* * ");
(б) /J(L)-/3(-L + 1) = 1 и существует единственная матрица H(L)
= '//(£), такая, что 0(L) sinxZ, = -е2"^. В частности, если 1у =
= 1/2 (v = 1, ... , л), мы 1шеел« 'а = а и 0 = -е2**, Н = *Н = -Я.
Доказательство. Предполагая д # к, вычислим I^v^L), (vr{-L + 1))
двумя способами и получим
2
«id i-1
4,0 l-l JIDlc
или
2(a/,,{L) •s\nnly—a^( — L + l) -sin к1^) =0.
Это доказывает (а). Приравнивая коэффициенты при v_/r + i [ej в локаль-
локальных разложениях обеих частей равенства C.2.8), мы получаем
Наконец, пусть А: = (kv ... ,kn)eC, н положим v = ^ *д"/1- Тогда
с - 1
C.2.6) дает

Голономные квантовые поля III 83
Отсюда следует, что —&{Ь) sinxZ. является положительно определенной
эрмитовой матрицей н поэтому единственным образом записывается в ви-
виде е2Я(£), H(L) = 'H(L). Это доказьшает (б).
Замечание. Из C.2.8) следует, что локальное разложение v^(L) имеет вид
g (fitmvt [a J + a,, ( -1, -1) . Wft+1 [a.] + •••;.
На решениях уравнения J3.2.2) мыможем отождествить оператор дд с
/я2. Факторкольцо С[д, 3\/{т2 — дд). изоморфно кольцу полиномов
С[м, и] от_ одной переменной и = т~1 д, допускающему ее_ обращение
к = т~1 д. Таким образом, любой элемент кольца С[д, д]/(т2 — дд)
кг
есть класс вычетов единственного элемента видар(д, Э) = £ pk(m~ld)k,
гяе(я!~1Э) Подставляется вместо/я J Э. Мы положим (С[Э,Э]/(/я2 — ЭЭ))у =
= {р(Э, Э) = Y Pjc(m~1 3)*}. Следующая теорема описывает структуру
пространства W^lHi '.'" вл для произвольных /г б R\Z.
Теорема 3.2.6. Пусть 0 < /у < 1 (к = 1, ... , л). Тогда пространство
ао
U **^» в/ а" + J есть левый cta' й, Мв]-модуль. Более того, мы име-
ем изоморфизм
C.2.9)- ^
задаваемый отображением р{д, Э) (8) v « р(д, S)v.
Доказательство. Пусть w e W^'^ * у в'я + у, ре С[Э, Э, МД]. Так как
р принадлежит кольцу <%_ в (предложение 3.1.1), то pv удовлетворяет урав-
уравнению C.2.2). Ясно, что условие C.2.3) остается справедливым, н C.2.4)^
также имеет место в силу предложения 3.1.5. Наконец, если ordp = *, то
C.2.4)^ удовлетворяется, только /„ заменяется на ly + j + k. Поэтому мы
доказали включениеpW% +/-;;• -^ + j с ^+,/ + f'^" •'" + J + к.
Для того чтобы доказать C.2.9) обозначим через vv ... , vn канониче-
канонический базис в W1^'g' •'" Дл н рассмотрим произвольные
Тогда мы находим
C. 2. 10) g^>
CZ

84Голономные квантовые поля III
в точке (а„, ау) (к = 1, ... , л). Здесь 0 = ф^) — обратимая матрица в силу
предложения 3.2.5. Поэтому нз разложения 3.2.10 следует, что для любой
v e W1^! а + У существуют единственные константы р№, р^Х (^ =
= 1, ... , л), такие, что функция
1
д-1
принадлежит пространству ^в^аи ~ ?'«« •'" + J ~ *. Повторяя это рассуж-
рассуждение, мы видим, что
для единственной р<") е (С[Э, Э]/(/я2 — dd))j. Это завершает доказательство
теоремы 3.2.6.
Мы отметим здесь, что большая часть приведенных выше результатов
останется справедливой, если мы разрешим некоторым из 1у быть целыми.
В этом случае, для того чтобы определить пространство ^'jj'^j ,
вместо C.2.4)^, мы наложим условие
м =
О (lloglz-a.il) (/. = 0)
Или, что эквивалентно, предположим существование разложения следую-
следующего вида:
>(г>) -$f |>Л)
н
(?(») („) = г?» О), ер О) = ctw (w) )
Мы имеем тогда включение <в1/.41>вя С *£— Г^;^;^'» , вл + t н
равенство »^;;;-/Д % - »^>в1 (8) ... (8) »^л>вл, если /х /„eZ. Хотя
скалярное произведение 1В, вообще говоря, расходится, если /у = 0, 1, 2, ...
для некоторых », теоремы 3.2.4 !) и 3.2.6 остаются справедливыми для 0 <
< /, < 1 {v = 1 л). Пусть Wb\'\V,^;^ обозначает пространство,
состоящее из функций v, удовлетворяющих помимо условий для
^«.'•"'.«Г* ye™*110 lwl = O(llnk - г* 11) в точке (г*, г*). Оно натя-
натянуто на канонический базис vЛЬ) = vAz; L) ^ пространства W%'-" ' *• „ и
1} Мы заменяем с£} на <?§\ если /. = 0.
2> Для краткости мы записываем переменные (г, z) просто сак z.

Голономные квантовые поля III 85
еще один элемент vQ(L) = vQ(z*, z; L) с характеристическими свойствами
C.2.2), C.2.3), (Э.2.4)^ и
C. 2.11)
+ регулярная функция
при (z, z) = (z*, г*)
vo(z*,z;L)={
iz*; L) • w_,.+
при (г, Z) = (a,, 3.) (v = l, ••-, л).
Ввиду формулы C.1.10) эта vo(z*, z; L) является аналогом функции Грина.
Существование vo(L) доказывается аналогичным методом для 0 < lv ...
... , /л < 1 (для произвольных 1у 6 IR\Z см. ч. IV). Коэффициенты a^,, jS,,,, в
C.2.11) получаются при вычислении скалярных произведении
соответственно, с
учетом /B(i;, w') = /л(!/', w). Мы находим
C. 2.12) а„„ (г*;!-) = * р. (г*; 1 - Ь)
2 sin icl.
■:L)=- n
Р.(«; L).
2 sin 7Г/,
То есть канонический базис Wl£ ^ • *■■ ^^ возникает как ведущий коэффи-
коэффициент в локальном разложении для «функции Грина» fo(z*, z; L). Таким
же образом мы находим следующее свойство симметрии при вычислении
/B(i;e(z, г';Х), vo(z*, z'; L)) относительно г':
C. 2. 13) vB(z*,z;L)= vB(z, z*; L).
Теперь мы перейдем к случаю евклидова уравнения Дирака C.1.3).
Пусть /j, ... , /л е R такие, что /„ * 1/2 modZO' = 1, ... , л).
Определение 3.2.7. Обозначим через W^^'1^ an пространство, со-
состоящее из двухкомпонентных вещественно аналитических функций w =
= '(W+, w_) на Я', удовлетворяющих следующим условиям:
C.2.14) (т-Г)-ю = 0 на X'.
C.2.15) Г-«' = ге;-р:1-1л.....1.-1/2(г) дт Г е 7Ti (X'; х„),
т.е. (г.tv) («, г) = w (a, + еш'< (z - а,), а„ + е~м B - 5„) )
C.2.16), |w4|=O(|«-a.|-P'+V4-1) при |«-

86 Голономные квантовые поля III
C.2.16). \-cv±\=O(.e~tmW) при |«|-*оо.
Аналогично мы определяем ^г1^1'в\/'"\^Лг заменив C.2.16),, на
о. 2. i6) rict »=s *а.+* («о • w-»,+y [«.]+s *?.й («о • «*+> [«.]
для I» = 1, ... , л
Условие C.2.16), эквивалентно (при выполнении условий 3.2.14 и 3.2.15)
следующему:
C. 2.16): «i = f; cL1.+ ,O) -w-i,+y[ej +S tf#>(w> ■«£•+>[«.]
где /* = /„ — 21 lr H— I. По определению мы имеем следующий изомор-
изоморфизм": L 2J
C. 2.17)
Поэтому результаты, установленные для W^,^,)^.'"^' *"+ 1/2» непосредст-
непосредстносятся на ^/J,'^','.'",„„•
л = 1, -1/2 < / < 1/2.
венно переносятся на ^/J,'^','.'",„„•
Скалярное произведение
C. 2.18) I, (w, те;') = — Г Г idz/\dz (w+k>'+ + w.ffil)
2 J JXEac
Предполагая, что -1/2 < lv ... , ln < 1/2, мы находим для w, w' e
6 F,a\ а„
C. 2.18)' I, (w, «;') = - S c% (w) ■ cji»"(«?) • cos nl,.
Теорема 3.2.8. Мы имеем »^;^;:/">вA = 0 для iv ... , /л < -1/2 и
dimc Wjj.;;it\!"tап = л, если -1/2 < /j, ..'. , ln < 1/2. В последнем случае
существует единственный канонический базис w^L) (р = 1, ... , л), та-
такой, что
C. 2.19) и
-Х, + 1.) х

Голономные квантовые поля III 87
в точке (ау, ау) О», v = 1, ... , л). Здесь коэффициенты a
~Z )
lb + — ),
+ ~Z ) те же> что и в С3-2-7)' соответствующие показателям /j +
+ 1/2, ... , /л + 1/2.
Теорема 3.2.9. Предположим, что -1/2 < lv ... , in < 1/2. Тогда
U WF,+au".\'£ + J есть левый С[д,д, МГ]-модуль. Мы имеем следую-
1 = о
щий изоморфизм:
(з. 2.20) (C[d,
яры отображении р(д, d) (g> н> •-> р(д, д)н>.
Это немедленное следствие теорем 3.2.4 н 3.2.6.
Обобщение на случай полуцелых 1у также возможно. Мы только отме-
отметим здесь существование решений w^(L) = wtf'Hz*, z; L) уравнения
C.2.14), удовлетворяющих условиям C.2.15), C.2.16)^ и имеющих следую-
следующее локальное поведение:
[-®5.1>Ч
C. 2. 21) „(±) w0(±) (г*, z;L) = \ + регулярная функция
при (г, г) = (г*, 5*)
C. 2. 21) <*> w$*> («•, г; L) = oj*> (г*; L) • w_»,+1 [а.] +
при (г, г) = (а„, 5„) (v = 1, ■ •-, и),
где коэффициенты «„„ = '(а^, а^'), jSq,, = '(^^}, jS^) получаются при
вычислении скалярного произведения элементов w^{z*, z; L) н
w*(z; \ — L) или w^fe; Z,) следующим образом:
C. 2. 22) а*. О*; L) = —H-—-W, (z*; 1 - L)
2 COS 7Г/„
А.(«*; L) =
2 cos nl.
Мы также видим, что (ср. C.2.13))
C. 2. 23) zvi+~> (г*, ж; L) = wL-> (г, z*;L)
w5=*> («•,*«; L) = w^>(«,»*;L).

88 Голономные квантовые поля III
Выражение функций wJ^CL) = w^Hz*, г; L) через vo(L) = vo(z*, z; L)
имеет вид
C.2.24) (tvi
т-1д^ь(Ь -1/2) г, (£ + 1/2)
- v,(L -1/2) да-ф.г, (L +1/2)
Мы обозначим через Wjs^'e,"'.**l(j(|strict пространство, состоящее из эле-
элементов w, которые помимо условий для ^^1 в'и'.^'.'в^ допускают сингу-
сингулярности вида (З.г.г!)^*) в точке (*', г*).
Скажем несколько слов относительно специального случая /[ = 0, ...
... , /_ = 0. Для любого решения w — I + I евклидова уравнения Дирака
C.2.14) определим его *-сопряженное как н>* = ( _~ ). Тогда, предполо-
\w+/
жив —1/2 < /j /л < 1/2, мы имеем антилинейный изоморфизм *:
w'bW ''" п e ^p'i". " ■ ""»*■• Этн два пространства являются взаимно ду-
альными относительно С-билинейной формы Ip(w, w' *) (we ^'ej' '^ „ ,
w' 6 W^ej ".' ~£)' Теперь если /j = 0, ... , ln — 0, то пространство
WF',au '■?• ,an^= Wf^, ан в обозначениях [З]) самодуально, и мы имеем
IR — линейное подпространство ^Ди^'R вл> состоящее из «вещественных»
элементов w= w* e Wg™{ ^. Ясно, что Wjffi^ Дд = Wjffi* ъ ^ ®
вя и tim'tirgi*;* , вя= л. Элемент w e »7^f,..'. %' (или
соответственно f e W1^2^— • 1/% ) рассматривается как функция, определен-
определенная на двулистном накрывающем многообразии ХЕш:: Шах вд =
(z, z, Г, f )lf 2 = П (г - а„), Р = f[ (I -
j/j , _i/2> и Кв„. в^)„ = 1 w и Удовлетворяющая там
евклидову уравнению Дирака (Клейна — Гордона) с точечными источника-
источниками в точках ветвления (ау, aj; именно с использованием локального пара-
параметра fj, = Чг — ау = %l + i%l локальное разложение C.2.16)^ (соответст-
(соответственно C.2.4)^ приводит к уравнениям
C.2.25)

Голономные квантовые поля III
Здесь мы применили формулу (__\ = тОД-Ьод-2
kMJ
r y
Результаты, приведенные в этом параграфе, обобщаются на случай
л-мерного представления монодромии специального вида, как показано
ниже.
Пусть А = (Х^)^ гш j п будет положительно определенная вещест-
вещественная симметрическая матрица, такая, что \п = 1 (к = 1 л). Для
/j /„ e'R мы введем представление монодромии
C. 2. 26) р,,.....,..,: Ж, {X'; х0) -+GZ- (я, С)
Так как матрица Мр удовлетворяет соотношению Мр A u Л/^ = А *, то
р, , д является унитарным представлением в том смысле, что
Ph.L'.b.&№'**& С Щп' А) = l*eGL(W,C)l'«Ag = А). Вместо 3.2.3
рассмотрим теперь следующее свойство монодромии для л-вектора v =
(ц (> функций на £':
C.2.27)
Условие C.2.27) будет обосновано позднее в ч. IV. Условия C.2.26) и
C.2.27) приводят, в частности, к соотношениям
C. 2. 28) r»vw = e~utt-v<-"\ г.(»w - l^W) = vw - X^v™
Отметим также, что если v удовлетворяет C.2.27), то функция Мд =
(р\~1+ vI/2 ^ 0 однозначна на X'.
Определение 3.2.10. Для /j ^*z сил«вол<ш ^в.'вь'.^.вя^ бУдет
обозначаться пространство п-векторов v = (fA) |;(л)) вещественно
аналитических функций на X', удовлетворяющих C.2.2), C.2.27) и следую-
следующим условиям:
C. 2. 29), *<*> = *„.(£: clt+,O) •»_,.+,[а.]

90 Голономные квантовые поля
+ однозначная регулярная функция в (av, 5.)
C.2.29). М„ = О(е-1"'") при kl-oo.
Разложение C.2.29), совместно с C.2.28) (в частности, слагаемое — регу-
регулярная функция для i>w — исчезает в (в„, в„)).
Определение 3.2.11. Afw определяем ^'ej,'.'", в„(Л) для /„ ■ — modZ
(к = 1, ... , л) как пространство Ъл-векторов w = (и>A\ ... , w*")),
(р = 1, ... , л) вещественно аналитических функций на Я', та-
ких, что каждая н>(>>) удовлетворяет уравнению C.2.14) и следующим усло-
условиям:
C. 2. 30) г- Ыг\ -■, w.00) = О(,1}, •••, w?))Pi.-vi.~.«
C. 2. 31). ге;<"> = Я,, (fj сй.+у 0*0 • w-».+^ C« J
+ однозначная регулярная функция в- (л„, я„)
C.2.31).; |«?±|„ = О(е-'-) при
Пространство W^Vei.'.-'.i?*^) <* ~ в> *) определяется аналогитао.
Именно мы заменяем C.2.29), и C.2.31)у соответственно на
C. 2. 29) rict t><*> = А^(E^?l+^ (f) • »_ц+, [a.]
+ gtf.« («0 -fit+yCe.]) + Регулярная функция
C. 2. 31) -*» w<"> = Я,„ (f e?Ui (w) . то_г>+у [e j

Голономные квантовые поля III
+ ZI С*Л) (w) 'w*+y[«J) + Регулярная функция
для it, р = 1, ... , л. (Мы отметим, что определение пространства
W%, '" (А), данное в работе VII [5], совпадает с определением
••1 » •*■ » "Л
"кв\ ... ^Л(А)' Данным здесь.) Мы определим также нх дуальные
пространства как Г^Г^^Ю = [Wv е w\ ■-•''» ^«(А)} н
И^'»7" ' 4lislrfct(A) = I'w* \w е И^^.- -" • *»■ ^(А)). В этом случае мы также
имеем изоморфизм
C.2.32)
m
Замечание. В тривиальном случае А = 1, пространство Wl\' "'^ a (А)
(* = В или F) распадается в прямую сумму Wll ©...© W1; Ял (случай «от-
«отсутствия взаимодействия»). С другой стороны, пространство w'l' ^ ''" а ,
обсуждавшееся выше, понимается как вырожденный предел Х^ — 1 для
всех р, v = 1, ... , л. См. предложение 3.2.14 ниже.
Эрмитово скалярное произведение вводнтся следующим образом:
C.2.33) 1в,л(у, V) =— ГГ idz/\dz0v-A-1-t(pv')
2 J Jxb»c
для v, v' e <';- •*" ^(А) @ < /х /л < 1) и
C. 2. 34) /,,„ (W, «;')=— ГТ idz/\dz{xv+ ■ А" ■ 1п>* +
2 J Jx&us
для w,w'e W^- -к Дл(А) (-1/2 < /р ... , /л < 1/2). Для того чтобы
усмотреть сходимость интеграла при Izl — <», мы отметим следующее.
Лемма. Пусть v = (i;A> i;(/f)) — набор решений уравнения C.2.2) на
X' Л {2UI > R], такой, что vi^'z, e~2r'z) = v(z, z)-M для некоторой
матрицы Me U(n, А). Если sup MA < <х, то
для любого р е С[д, Э, Мд].
Доказательство. Так как М — унитарна, существует матрица р е
eGL(n, С), которая диагонализует М, т.е. Р~гМР = [ *• J, le I = 1

92 Голономные квантовые поля III
{v = 1, ... , л). Положив vP = (wA)F, ... , i>(/f)'), мы видим, что i>w' удов
летворяет предположению предложения 3.1.5. Отсюда следует наше ут-
утверждение.
При помощи аналогичного вычисления мы получаем
C. 2. 35) 1В>Л(*,»') = -£ с% (v) ■ с?™ (О • sin nl,
C. 2. 36) 1ГшЛ (W, и/) = - Б c2J, О) • ct®7&) ■ cos 7Г/,
где {ct)/p(i;), c('w(»)) н [c№ir{w), c*J"l(w)} обозначают те же величины, ко-
которые появились в C.2.29), и C.2.31), соответственно.
Теорема 3.2.4, предложение 3.2.5, теорема 3.2.6 (и соответствующие ре-
результаты для уравнения Дирака) также обобщаются на случай пространст-
пространства w'l' "'''" а (А) (* = В или F). Мы опускаем их доказательства, кото-
которые являются почти повторениями первоначальных.
Теорема 3.2.12. Для 0 < lv ... , /л < 1 существует единственный кано-
канонический базис ^ = v^L, A) = (p<-»(L, А), ... , «№(£,, А)) 0» = 1, ... , л)
пространства w'g"^ '/" вя(А)' такой, что
C. 2. 37) w»(L; Л) =Я,Л^^-«.К
; Л)
х-1
+ однозначная регулярная функция -е-^ <«»,^^а»)
. У. в = 1, ... , л.
Аналогично для —1/2 < /j, ... , /д < 1/2 существует единственный ка-
канонический базис w^ = w^L; A) = (w^>(Z,; A), ... , v^\L; A)) 0* = 1, ... , л)
пространства wjp/ej*'„^Л11(Л), такой, что
C. 2. 38) w«(L; Л) =Я„|^•«;_,.[aJ
+ однозначная регулярная функция в {а„ а,) .

Голономные квантовые поля III 93
Коэффициенты a^L; А) и B^iL; А) удовлетворяют соотношениям, по-
подобным (а), (б) предложения 3.2.5.
Теорема 3.2.13. Предположим, что О < /j /„ < 1 для * = В и
-1/2 < /р ... ,/„ < 1/2 для * = F. Тогда \J Wl\ +£;;; •'£ +J\\) являет-
j = о
ся левым С[д, д, М, ]-модулем. Мы имеем изоморфизм
(з. 2.39) (С[д, 9] / о* - 99)) ,® тп: •.;•/.:... (Д> ^ wi.+.(:=:'.-.+' D>
с
задаваемый отображением р(д, д) <g> w -> р(д, d)w.
При помощи таких же аргументов, какие использовались для доказа-
доказательства теоремы 3.2.4, скомбинированных с теоремой существования ба-
базиса, которая будет доказана в части' IV, мы можем показать, что
dimc ^i". ei.' .t' .S^°t(A> = л для * = В нли F.
Возьмем, далее, произвольные X = (Хр ... , Х„) б С и (г*, г*) еЛГЕис\
\1(в,,в„)}„=1 „• Мы обозначим через »^f*i"i;f^.^(A. X) (^ ...
... , /л е' Z) пространство л-векторов w = (wA), ... , v^), удовлетворяющих
условиям C.2.2), C.2.27), C.2.29)^, C.2.29),. и имеющих в точке (г*, г*)
дополнительную сингулярность вида
C. 2. 40) v(д) = Я/. • с%» (v) ■ гу„ [г*] + регулярная функция
При помощи такого же метода, как в случае vQiz*, z; L), мы можем дока-
доказать, по крайней мере для 0 < lv ... , /л < 1, существование единственной
функции vo(L, А, X) = «„(г*, г; £, А, X), такой, что c^»(Vf) = 1 и c$?/r(i;0) =
= 0 (v = 1, ... , л). Ясно, что vQ(L, А, X) линейна по X е С. Обозначим ц-й
вектор-строку матрицы А через Х^ н положим 1>„(г*, г; I., А)^ = vft\z*, z;
). Мы имеем тогда для р, v = 1 л:
C. 2. 41) г.(«*. г; L, А)„=-=-?—rW i**;l-L, А)г»_ц+1[а.]
2 sin тг/„
C. 2. 42) г;„ (г*, z; L, А) „ = »,(«,«•; L, il)v-
Аналогично для —1/2 < iv ... , /д < 1/2 существует единственный л-век-
тор Ц±)(£, А, X) = и^Чг*. г; Z., А, X) = (и^*»> н-^Х")), который
удовлетворяет условиям C.2.14), C.2.30), C.2.31), при сф/Ди^**) = 0 (к =

94 Голономные квантовые поля I
= 1 л), C.2.31)ш н в точке (г*, г*):
'" " + регулярная функция
Положив w^\L, A)^ = w^X^iL, A, Xfu)), мы находим
C. 2. 44) ОГ> (г*, =; L, Л),., ге»ГЧ«*, = ;.£. Л),.,
2 cos тг/у
*!>.] • {ге;*« (г*; I-,
C. 2. 45) w<++> (г*,.«; I-, А) „ = wL"' (*. г*; L. -Ю »/•
w^ (**, z; L, A) „=*>$» (z, z*; L, A),,
ДЛЯ /i, V = l, •••, П.
Для удобства в дальнейшем мы будем говорить о W^l®; llaf " • ln'a strict(A, X)
как о пространстве, натянутом на w^(L, А, X) н wv{L, A) (v = 1, ... , л). Мы
, g ^гО, /1, ... , /„, »»fct(A X) j
в. Z. B1 . ... . Им х * '"
Для удобства обозначений мы введем матрицы v = v(L; A) =
= <»«(L. A))ft , = ! ле»=*А)= (wW(L; A))^ „ = х „. Их ло-
локальные разложения тогда выглядят как
C.2.46) v(L;A)=ln-v-iX
+ регулярная функция
регулярная функция

Голономные квантовые поля III 95
Так как матрица А невырождена, ясно, что л вектор-столбцов ч^ХЬ; А) (со-
(соответственно wW(Z,; A)), v = 1 л, матрицы v(L; А) (соответственно
w(L; А)) являются линейно независимыми.
Их линейная независимость нарушается в пределе, когда А стремится к
вырожденной матрице А0 = 'А0 - А0 с Х^ = 1 A < v < л). Для определен-
определенности мы рассмотрим w(L; А). Положим rankA0 = л — г н пусть pv ...
... ,рг—базис в КегА0. Без ограничения общности мы можем предполо-
предположить, что первый (г х г)-блок матрицы Р = {рх рг) невырожден: Р =
= '('Р., 'Р,), detP, Ф 0. Положив w(JL; А0) = Tim w(JL; А), мы имеем
T,w (L;A<r)P=tv(L;A<>)-(l- (е~г*п> +1) Е,Л) Р
Поэтому в силу C.2.46) матрица w(L; A°)P однозначна и регулярна в каж-
каждой точке (ау, ау). Вспоминая C.2.31),,,, мы тогда заключаем, что
w(L; A°)P m 0. То есть первые г столбцов матрицы w(L; A°) являются ли-
линейными комбинациями w^ + *>(£,; А0), ;.. , w*">(Z,; A°) (линейная независи-
независимость последних следует из C.2.46)).
Для того чтобы рассмотреть оставшиеся случаи, мы поступим следую-
следующим образом. Выберем А' = 'А' = А', так что Х^, = 0(i» = 1 л) и
А0 + еЛ' положительно определена для 1 > е > 0 (В частности,
det'PA'P Ф 0.) Мы положим
C.2.47) we{L;A\A')=w(L;A*+sA')
го (L; А\ А') = lim we (L; A\ A').
■ - ■ - «J.0-- - -
Предложение 3.2.14. Предположим, что -1/2 < /, /„ < 1/2. Тог-
Тогда вектор-столбцы матрицы w(JL; A°, А') линейно независимы. Они удов-
удовлетворяют свойству монодромии:
C. 2. 48) г АО {L; Л\ Л') = w (L; Л°, А') ■ М, (L; Л°, Л')
Afv(L; Л*. Л') =1- (>-*""• +1)
<Л л?
-РЛ-1 i/ ЧЛз'л+л^'р, л,0/'
Доказательство. Из C.2.31) мы имеем
C.2.49) r,we(L;A\A')
= ic(L; ЛЧ-еЛ') • A- (e-"'

96 Голономные квантовые поля III
С другой стороны, условие ЩЬ; А°)Р = 0 приводит к тому, что w(JL; A0) =
Ч)
Подставляя это в C.2.49), мы получаем в пределе е — 0:
nwCL; Л°, Л') =«,(£,; Л», Л') • A- («--«• +
Это доказывает C.2.48).
Для того чтобы доказать линейную независимость столбцов матрицы
W(L; А0, А'), положим N = [с е С" Iw(L; A°, А')-с = 0). Так как векторы
wW(L; Л°, А') = wW(Z,; Л°) являются линейно независимыми для к = г +
+ 1 л, то N Л | I ^1 еС" | = [0J. Так что нам нужно только дока-
доказать, что если множество N Ф {0}, то оно могло бы содержать ненулевой
вектор только вида
Для с е TV мы имеем 0 = у,ЩЬ; А0, А')с = w(L; A0, A')A/,(Z,; A°, А')с,
так что Mp(L; A0, A')N с N, т.е. LyN С /V, так как e-2ril' + 1 Ф 0. Из ви-
да^ следует^ чтаесяи-Х^с ^О^для некоторого се /V н j>, то утверждение
доказано. Предположим, что £„с = 0, 0 Ф с е N для всех i>. Так как равен-
равенство А°Р = 0 эквивалентно записывается как А0 = А01 , I, то
\~рзрГ !/
мы имеем
где мы использовали равенство Х^ = 1(г = 1 л). Поэтому условие
Lyc = 0 для всех v приводит к соотношению

Голономные квантовые поля III
97
поскольку 'РА° = '(А°Р) = 0. Так как матрица 'РЛ'Р невырождена, мы по-
получаем, что с = ( ,)* 0. Это завершает доказательство предложе-
предложения 3.2.14.
Замечание. В приведенном выше доказательстве мы молчаливо предпо-
предполагали существование limwe(JL; A°, А'). Предположение будет оправдано,
если мы покажем, что семейство w(L; А) голоморфно зависит от А. Это
будет сделано в ч. IV.
Как пример к предложению 3.2.14 рассмотрим случай
^— 1 1/
В этом случае мы имеем, положив е„ = е~2*а' (у = 1, ... , я),
'( 1
0 = 1,
-e.J
-\ e» I»'"", — en— 1 —Sn>
и л-й столбец »Кл)A.; А0, А') = иДОЦ.; А0) совпадает с вектором '(w^L), ...
... , 'wn(L)), где w^L) обозначает канонический базис C.2.19) пространства
иг/1, ••• , In
|3.3. ГОЛОНОМНАЯ СИСТЕМА И УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Одно из наиболее важных следствий теорем 3.2.6, 3.2.9 н 3.2.13 — это
существование голономной *> системы линейных дифференциальных урав-
уравнений, которой удовлетворяет базис пространства ^i'ej''"'8^" или
Я*1'"а\/ *',^**СА) (* = В или F). Мы перейдем теперь к обсуждению этого
0 По поводу голояомных (максимально переопределенных) систем мы рекомен-
рекомендуем читателю [9, .10].

96 Голономные квантовые поля III
вопроса. Для определенности мы будем в основном иметь дело в дальней-
дальнейшем со случаем * = F. (Ввиду существования изоморфизма C.2.17) ила
C.2.32) это не является ограничением.)
Предложение 3.3.1. Пусть wl wn — произвольный базис про-
пространства »^;e;;'.t1. вя (соответственно И^'Д^СА)) с -1/2 < lv ...
... , ln < 1/2. Пусть w = t('w1 *wn) обозначает Bл х 1) (соответст-
(соответственно B х п))-матрицу. Тогда существуют единственные постоянные
(п X пуматрицы В, В* и Е, зависящие от L = F^1,), А = (б^а,) (соот-
(соответственно L, А и А), а также от выбора матрицы w, такие, что имеет
место следующее соотношение " :
C. 3.1) MFw = (Вд - В*д + Е)го
Доказательство. Из теоремы 3.2.9 (соответственно теоремы 3.2.13) мы
имеем Мру>^У^1рХ1:."\'<!п+1 (соответственно »^,+,lf..V.t«JI + Ч*)) Для
каждого /t = 1 п. Ввиду изоморфизма C.2.20) (соответственно
C.2.39)) существуют единственные постоянные Ь^, Ь^ие^еС, такие, что
имеет место соотношение
C.3.2)
Это доказывает предложение 3.3.1.
Пусть Cj = (с<4 + j (w^ , ш ! „, С; = (с^у (%))м, „ т ! „ -
матрицы коэффициентов локального разложения C.2.16)^ (соответственно
C.2.31),). Сравнивая локальные разложения обеих сторон равенства C.3.1),
мы получаем следующие рекуррентные соотношения для всех j € Z:
C.3.3)', l
C. 3. 3) 1 CJ+1mA - mB*C?+l+C5 (L + j)
-{-EC] — Cf_iWiA-\- fnBCs j„i^0 .
Заметим, что Cj = О, С* = 0 для у < 0. В частности, C.3.3)у. и C.3.3)у*для
j = — 1, 0, 1 имеют следующий вид:
C. 3. 4) В = C,ACZ\ В*=С? АС?
C.3.5) Е = [CiCe-\ С„™ АС;1] - CI-C,-1
= - [CfC.*-1, CtmACt-^-CSLCf-1
11 Точнее говоря, матрицы В, В*, Е понимаются как В ® /2 и т.д. Соотношение
C.3.1) означает краткую запись системы C.3.2).

Голономные квантовые поля III 99
■ч-l
C. 3. 6) [СС.-1. С,т АС,] + С, ( - L +1) С,
-ЯСС,-1 - CmlC, + CtmACf-1 = О
[С,*С?-1, СГш^С»*-1] + С? (I- +1) С,*'1
Для канонического базиса w = w(L) (соответственно w(L; А)), удовлетво-
удовлетворяющего условиям C.2.19) (соответственно C.2.38)), мы имеем
C.3.7) С. = 1. С* =/9, Сх=о, Cf=/9B'
£= [а, жА] -1-= -
где а = a\L +— 1, о' = of -L +— J и /3 = /3(L + — J (соответст-
V 2/ \ 2/ V 2/ \
венноа - a\L +1; aVo' = аГ-Z. + | ; Aj и/3 = &(l +-i ; AjJ .
-' В любом случае из предложения 3.2.5 следует, что /3 = -е2" (costZ.) с
/У «/iffL+—1 (соответственно //(Z. + — ; AM и [о', тА\ =
' 1
(созт1.)-['а, /n^J^cosxZ.). Это доказывает следующую теорему.
Теорема 3.3.2. Канонический базис W(L) (соответственно W(L, A))
удовлетворяет следующей голономной системе линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого порядка:
C.3.8) (т-Г)ю=0
MFw= (A-d-G^AG
где мы обозначили
C.3.9) F={a,mA'\-L, G=e~m
—) для mj=mj(L)
±;A) для w=w(.L;A)
Эти матрицы подчиняются следующим алгебраическим соотношениям:
C.3.10) *F = GFG-\ диагональ F=-L
G='& положительно определенная.

100 Голономные квантовые поля III
Замечание. Сравнивая диагональные части C.3.6) в случае C.3.7), мы ви-
видим, что диагональ а выражается через 0 и внедиагональную часть а сле-
следующим образом:
C.3.11) сс„=-т
Заметим,что а;>;„ = о^о^О» # >) и 0 (-L +1Л-А-0 (-L + ~Л =
= (costZ.) • (&(l + -JA -fifb +j\ V(costX)-1. Тогда (a(b +
+ - VcostZ. J = of -L + - VcostZ..
Иногда полезно переписать C.3.8) в виде пфаффовой системы с регуляр-
регулярными особенностями:
C. 3.12) d,,tw=Qfw, Qf = Pdz+P*dz
где
Здесь мы упорядочили блок-матрицы в соответствии с разбиением 'w
- + rrj. TTjfe Л 1. * я.* _^ _____
До настоящего момента мы фиксировали положение точек ветвления
(а,, а,). Теперь рассмотрим, как базис пространств WJ?'"'''" а или
^,'ei','..^,«,,(Л> зависит от (а,, а,). Обозначим через a", d" и d = d' + d'
внешние производные по переменным (г, г), D, .4) = (а,, а, ал, ал) и
(г, z,A,'A) соответственно.
Предложение 3.3.3. 2? обозначениях предложения 3.3.1 предположим,
что w дифференцируемо зависит от (А, А). Тогда существуют единст-
единственные матрицы Ф, Ф* и Ф, матричные элементы которых суть 1-формы
по (А, А) ]), независимые от (г, г), такие, что имеет место равенство
C.3.14) ^"«^((
Доказательство^ Ясно, что форма tf'w (т.е. каждый из ее коэффициен-
коэффициентов перед dap или dor,) удовлетворяет евклидову уравнению Дирака. Диффе-
'* В дальнейшем прописные латинские и греческие буквы применяются для обо-
обозначения матриц 0-форм и 1- (иногда 2-) форм соответственно.

. Голономные квантовые поля III 101
ренцирование разложения C.2.16)^ или C.2.31),, показывает, что rf"w также
имеет локальное разложение того же типа, за исключением порядка роста.
Что касается предложения 3.1.5(в), мы видим, что свойство экспоненциаль-
экспоненциального убывания сохраняется. Поэтому мы имеем rf'we W1^ "t 1?'" '£ + ' или
е W% t.1' ■" 'а*1 + '(л>- Уравнение C.3.14) вытекает отсюда при помощи та-
ких же рассуждений, как в предложении 3.3.1.
Коэффициенты Ф, Ф* и ♦ связаны с Cj СJ(cp. C.3.3)у-, C.3.3)?) формулами
C. 3.15), CJ
C. 3.15) 1 Cf+lmdA + mu>*Cf+1-dC
.+ CJ-rmdA + mutCf-x = 0
для всех у eZ. При j = —КО, 1 они выглядят следующим образом:
C.3.16) 0=-CWAC.-\ Ф*=-С?с1А>С?-1
C.3.17) . У=^С.-С.-1+[С.от^А.С0-1,С1С0-1]
= dCt • С.* + \CfmdA ■ С,*, CTCf-1]
C. 3.18) LCtCt1, CtmdA ■ С?1] -dC, ■ CV1 + JTdC,-1
+ CmdA ■ С. - CfmdA ■ C? = 0 ,
+ CtmdA - Cf-^-CtrndA • CY1=0 .
Теперь мы применим предложение 3.3.3 к случаю и» = w(L) или w(L; Л).
Хотя их .кифференцируемость по (А, А) заранее не ясна, в конце концов
окажется, что она имеет место (следствие 3.3.11). Мы предположим это на
минуту, но это предположение логически не зависит от аргументации, дан-
данной ниже. Для w = w(L) или W(L; Л) мы имеем, как в C.3.7),
C.3.19) 0=-dA, u>*=-G-ldAG, W=-\a,mdA~\.
Собирая все вместе, получаем следующую систему линейных дифференци-
дифференциальных уравнений:
' (т-Г)и> = 0,
C. 3. 20)
MFu> = ( Ад - G-'AGd + F)w
d"u>= i-

102 Голономные квантовые поля III
где мы положили
C.3.21) в=-[а, mdA].
Замечание. Система C.3.20) содержит уравнения
C 3 22) (Э+|]9.>=о, (а+Ёа.>=о.
(Л/, + g М»,а, + L) го=0 (М*,„, = <г.Эв. - 5 Д„)
выражающее евклидову ковариантность w.
Система C.3.20) эквивалентно переписывается в виде
C.3.23) dw=Qw, m>=
W(-A) в J*
Таким образом, мы имеем _ ....... -
Теорема 3.3.4. Канонический базис w(L) или w(L; А) удовлетворяет
расширенной системе^ C.3.20) (или эквивалентной ей системе C.3.23)).
Теорема 3.3.S. Коэффициентные матрицы F, G, возникающие в C.3.20)
для чЦЬ) или w(£; А), удовлетворяют следующей системе дифференциаль-
дифференциальных уравнений в полных дифференциалах («уравнения деформации»):
C. 3. 24) dF = [в, F] + m\[dA, Gl AG] + [A, G~xdA ■ G])
dG=-GB-e*G.
Здесь в, О * обозначаютматрицы 1-форм, характеризуемые соотношениями
C.3.25) [в, A] + [F,^A]=0, диагональ в = 0.
[в*, A] + [GFG-\dA"]=Q, диагональ в* = <).
Доказательство. Мы положим 9 = —[a, mdA] ив' = 'в..Соотноше-
'в..Соотношения C.3.25) немедленно проверяются при помощи C.3.9), C.3.10). Заметим,

. Голономные квантовые поля III 103
что записанные для матричных элементов 0 = @^), 0* = @^,), соотно-
соотношения C.3.25) выглядят следующим образом:
C.3.26)
0 (A = v).
Теперь (З.З.б) и C.3.18) дают в случае C.3.7) следующие равенства:
C. 3. 27) [С,, тА] +а- (-Z. + 1) -Fa-mA + G-1mAG=O
[Ct, mdA~\ —da+ea+mdA — G~xmdA • G = 0 .
Так как dF *= d([a, /л4] - L) = [da, m^] - 0, мы имеем
'= UCt, mdA~\ + ва + mdA-G~xmdA G, mА] -в
= - [[шА, CJ, mdA-] + [в, «А]
= - [a- (-I. + 1) -Fa-
. + т[в, A]"a + e(F+ L)
= [в, F] + m\[dA, G-'AG] + [A, G-ЧА ■ G]).
Подобным образом C.3.17) и C.3.7) дают
\G-lmdAG, G'ucZG] = ~
Это доказывает C.3.24).
Рассмотрим теперь общий случай пфаффовой системы вида C.3.12) —
C.3.13), C.3.23) и C.3.24) без наложения алгебраических условий C.3.10).
Сначала мы рассмотрим линейную систему C.3.12) — C.3.13) в ком-
комплексной области. Легко проверяется условие интегрируемости
(з. з. 28) -дР+дР* - IP, р*] = о
Мы обозначим диагонали матриц F и GFG~l через -L = -(в 1г) и
-L* = -(I\ ф соответственно. В системе C.3.8) для W(L) или w(Z; A)
мы имеем L = V
мы имеем
(I\ ф со

104 Голономные квантовые поля III
Предложение З.З.б. Предположим, что /, * Уг, I'm lA modZCr =
- 1 я).
(а) В точках z = «„, г = z0 * а, 0» = 1 я) существуют 2п — \ не-
независимых голоморфных решений и решение вида
C.3.29) (г - «„)"'" ~ 1/2 х (голоморфная функция).
Аналогично в точках z = z0 * «„ (ji = 1, ... , я) и z = а, существуют
2л—1 независимых голоморфных решений и решение вида
C.3.30) (г - аУ* ~ хп х (голоморфная функция).
(б) 2* точках z — а^ и z = а, существуют 2л — 2 независимых голо-
голоморфных решений и два решения вида C.3.29) и C.3.30) соответственно.
Доказательство. Положим Р^ = Pjg) = Res Р, Р* = P^z) =
= Res_ P*. Простое вычисление показывает, что
Ясно также, что матрицы Р^, Р* имеют ранг 1. Поэтому Р^ и Р* — это
полупростые матрицы с собственными значениями — / , 0, ... ,0 и
/* , 0 0 соответственно. Более того, условие интегрируемости
* 2 _
C.3.28) приводит к равенству [Р^(аг), Р^а^)] — 0, так что матрицы PJfl,)
и РДв ) одновременно приводятся к диагональному виду. Если с =
й-
собственный вектор матрицы РЛаг), соответствующий соб-
ственному значению ~L~ 1/2 (и поэтому собственный вектор Р^а )), то
Pfayfc имеет вид ( , ). так что РЦа^ — 0. Поэтому в точке (z, z) =
— (<*„> в,> матрицы Рм и Р* одновременно приводятся к диагональному ви-
ду у'1"' Ш 0 Qj и Г° /;- 1/2 0^ соответственно.
С другой стороны, из предположения 1ж т —, /• т — modZ (г = 1, ...
... , я) мы заключаем следующее •>. В случае (а) система C.J.12) допускает
фундаментальное матричное решение вида Y(z, z) - U(z, z)-(z - a )?№
или U(z, z)(z- a,)*?010), a в случае F)—вида Y(z, z) = U(z, z)(z -
" О локальной теории линейной пфаффовой системы с регулярными особеннос-
особенностями см. [7], где получены полные результаты.

Голономные квантовые поля III105
(? — агУЯ"^. Здесь J/(z, z) обозначает обратимую голоморфную
матрицу в точках (а^, z0), (z0, а,) или (а^, aj соответственно. Утверждения
предложения З.З.б следуют из приведенных выше замечаний.
Затем рассмотрим уравнение C.3.23) и ассоциированную нелинейную си-
систему C.3.24).
Првдложение 3.3.7. Нелинейная система C.3.24) вполне интегрируема.
Доказательство. Определим матрицы 1- и 2-форм 0р 02, 03, и 03* (сле-
(следующим образом1J):
C. 3. 31) Q, = dF- [в, F] -m\\dA, G^AGJ + [Л, G~
Gf=d6* + в*
Мы имеем тогда
C.3.32) [Qt, A] + [J3b dA~] + = 0, диагональ J3,=0
[£,*, A] + [G4G-+ [JJ^-VGFG-1], ^A] +=0 .
диагональ £* = ().
Эти уравнения получаются при помощи дифференцирования определяющих
уравнений C.3.26) для в, О* и применения C.3.27) (в частности, [9, dA]+ -
« (У н [0*. dA}+ = 0). Учитывая тождество Якоби [\Х, *), *]+ +
+ Н*. *] + . X] - [[♦, X], Ф]+ = 0 (X: 0-форма, Ф, * : 1-формы), мы вы-
вычисляем <Я2, н dQ2. После короткого вычисления получаем
C. 3. 33) dQ, = [Д,, в] + + [F, J2J
С другой стороны, соотношения C.3.32) показывают, что матричные эле-
элементы 03 и 03* являются линейными комбинациями вида A-форма) Л (мат-
(матричные элементы О, или 02), следовательно, то же справедливо и для пра-
XY + YX.

106 Голономные квантовые поля III
вых частей равенств C.3.33). Поэтому по теореме Фробениуса система
Пфаффа вполне интегрнруема.
Предложение 3.3.8. Система уравнений C.3.24) имеет следующие
свойства: _ _ _ ' _
(а) Для любых решений F и G матрицы Fl = 'G ~ UF 'G и G' ==_ 'G
также являются решениями. Ё частности, мы имеем соотношения 'F -
= GFG~X и *G = G, если они выполняются в некоторой точке (А0, А0).
(б) L = — диагональ F, V — диагональ GFG ~1 и detG являются пер-
первыми интегралами системы C.3.24).
(в) Для любых решений F, G справедливы соотношения
C. 3. 34) F (е*'А + Ь, е~иА + 5) = e~iLtF (A, A) etLI
G (е*'А + Ь, е-иА + ?) = e~*L"G (A, A) etL> .
Доказательство. Положим в' = 'О* и 9* ' = 'в. Тогда в обозначени-
обозначениях C.3.31) мы имеем
C. 3. 35) G'-UB& + IF', G'~u3d
= dF' - [в', F']-m
[в', A] + [F',^A]=0, диагональ в'=0
~~Ze*r,Ay+ZG'F'G'-\d$]=0,... диагональ в*'=0.
Утверждение (а) следует из C.3.3S). Для того чтобы доказать (б), мы
заметим, что диагональ [в, F] = О в силу C.3.26). Поэтому C.3.24)_приво-
дит к равенству аЪ = О. Из (а) следует, что диагональ GFG'1 — 'F' так-
также постоянна. С другой стороны, мы имеем в силу C.3.24)
rflog det G = d trace log G = trace G~ldG = trace (-в -G~le*G) =0 .
Это^ доказывает (б). Наконец, пусть <п ЕB) х (ЛГЕис)я - (ДГЕис)я, ф, Ъ, в;
А, А) — (е^А + Ь,е~я А -у Ь) обозначает действие евклидовой группы
движений £B) на (ДГЕис)я. Положим F = a* (F), <5 = a*(G), б = а* (в) +
+ (Г+ L)o«, 0* = а*@*) - «5А5-1 + L*)id». Тогда перенос C.3.24),
C.3.26) на £B) х (ArEuc)" выглядит следующим образом:
(з. з. 36) <г£=[0, ^] - * [i
е-1 а6] + [а, е-

Голономные квантовые поля III 107
диагональ 0 = 0
=0t диагональ §*=fl.
В частности, формы в, О* не содержат слагаемых, пропорциональных
db, db и d9. Поэтому C.3.36) приводит к равенствам
"'
Это доказывает C.3.34), и доказательство предложения 3.3.8 закончено.
Отметим, что имеют место соотношения а* (в) « e~ae{Q — (F +
Р* "** 1 а*в
Замечание. В ч. IV мы построим семейство решений w,(z; !■) уравнений
C.3.8), которые голоморфно зависят от L и для вещественных L совпада-
совпадают с решениями, полученными в §3.2. Соответствующие матрицы F =
= [а, тА] — L и G = — (costL)^ тогда содержатся среди тех, кото-
которые подчиняются уравнениям C.3.24) н удовлетворяют условию «диаго-
«диагональ F — диагональ GFG~l», поскольку и те и другие голоморфны по L и
совпадают, если L вещественны.
Предложение 3.3.9. Линейная система уравнений C.3.20) {или эквива-
эквивалентная ей C.3.23)) вполне интегрируема, если F и G удовлетворяют не-
нелинейной системе C.3.24).
Доказательство. Положим 0 = 0' +0", где Q' дано в C.3.12), а
0* = -dA'P - G~ldA'GP* + 0. С учетом C.3.28) мы видим, что усло-
условия интегрируемости выглядят следующим образом: d'Q' + d'Q" +
+ d'Q* - [0', Q*]+ + 0' АО'. Выделяя коэффициенты при dz и dz, мы
получаем
d'P+d A • дР+G~ld A • GdP*
= [Р, dA]P+ [Р, G-ЧА -GP*] - [Р, в]
d'P* + dA-BP+G-'dA • GdP*
= IP*, dA • P] + [P*. G~ldA • G] P* - [P*. в]
dA/\d"P+G-1dA-G/\d"P*+lG-ldA-G,G-1dG]+P* + de

108 Голономныё квантовые поля III
+ в/\в + [dA-P, G~l
- id A • Р, д] + - IG-'dA ■ GP*, в] + .
После некоторых вычислений эти уравнения переписываются эквивалентно
следующим образом:
C. 3. 37) dF= [в, F] +
что является прямым следствием C.3.2S). Это доказывает предложение
3.3.9.
Замечание. Условия C.3.37) можно вывести более непосредственно сле-
следующим образом. Положим
, Q*=-dA-d-G-1dA-Gd + e.
Тогда уравнения C.3.20) записываются как
C.3.20)' (m-r)w=0, Qw=0, d"u>=8"u>.
Замечая, что Q и d" — Ь" коммутируют ся-Г, мы получаем как усло-
условия совместности для C.3.20)' уравнения 0 = (d'Q - [tt*, Q])w и 0 =
= (d"Q* — О" Л fi")w. Эти условия справедливы, если
C.3.37)' d*Q-[5*,Q]eO, d"Q"-U"/\Q***0 mod m*-db.
Легко проверить; что C.3.37)' эквивалентно C.3.37). Отметим, что в слу-
случае w = w(L) или w(L; А) условия C.3.37) являются также необходимыми,
так как обе формы d"Q - [О*, Q] и du" - й* ли" принадлежат
С[д, д] <S> ((л х л)-матрнцы дифференциальных форм по (^4,
Пусть теперь (A°, A0) = ((<ij, «J)J, = 1з „ будут различные я точек в
ArEuc. Выберем произвольные матрицы F^, G°. Так как праваячасть систе-
системы C.3.24) аналитнчна по F, G и (А, А) при условии (<^, в^) * (а,, а,)
Oi * у), то из полной интегрируемости следует существование единствен-
единственного решения F, G системы C.3.24) в достаточно малой (односвязной)
окрестности UA точки (А0, А°), такого, что F = F°, G = О0 в D°, /4°).
Далее, пусть W°(z, z) будет 2л х 2л фундаментальное матричное решение
системы C.3.12), соответствующее F°, G0 и (А0, А0). Тогда предложение
3.3.9 гарантирует существование единственного решения W(z, z; А, А) рас-
расширенной системы C.3.23)j_ такого, что оно принимает начальное значение
W(z, z) при (А,А) = (А0, А0). Ясно, что W аналитически продолжается на
универсальное накрывающее многообразие пространства {{z,z,A,A)e

Голономные квантовые поля III 109
e(A-Euc)« + 4^N иА, (z, z) * (ap, ar)(v = 1, ... , л)}. Для каждой фик-
фиксированной {At A) e UA пусть
C. 3. 38) рл,х: Ttx (A"ai.......; x.) -+GL (л, С)
r. w = W ■ рл,л (r), г е я, (X'ai..... „: x.)
будет ассоциированным представлением монодромии. Так как yd" W =
ш d"(yW) ш d-(WpAA(y)), мы имеем Q"WpAA (у) - Q'WpA-A(y) +
+ Wd"pA А (у), поэтому d"pAA (у) — О. Видно также, что при 1*1 — оо
имеет место оценка I W(z, z; A, A)\ < const-1 W\z, z)\, так как матричные
элементы О" ограничены в этой области по (z, z). Окончательно получаем
Предложение 3.3.10. В обозначениях, указанных выше, представление
монодромии C.3.38) постоянно вдоль каждого интегрального многообра-
многообразия системы C.3.24). Более того, свойство экспоненциального убывания
для столбцов матрицы W также сохраняется.
Следствие 3.3.11. Канонический базис w(L) (соответственно w(L; A))
пространства W1^'" •^ (соответственно w'p'g' \l" t ая(А)) аналитически
зависит от (А, А) при условии, что эти п-точки различны.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай w(L). Пусть
w°(L) и F°, G0 обозначают канонический базис в соответствующие матри-
матрицы в точке (А0, А0) соответственно. Пусть «г(г, z; А, А) обозначает единст-
единственное решение системы C.3.23), полученное из^ w°(L), F° и G° процедурой,
описанной выше. Мы докажем, что w(z, z; А, А) совпадает с каноническим
базисом пространства WU'"'''" „ для каждой фиксированной (А, А). Так
как аналитичность w(z, z; А, А) очевидна, отсюда будет следовать наше
утверждение.
Ясно, что из C.3.23) вытекает евклидово уравнение Дирака C.2.14).
Свойство монодромии C.2.15) и условие экспоненциального убывания
C.2.16)M следуют из предложения 3.3.10. Локальное поведение C.2.16), яв-
является следствием C.3.23) и предложения З.З.б. Остается доказать, что ну-
нулевая матрица-коэффициент Со тождественно равна 1. Из расширенной си-
системы C.3.23) мы имеем C.3.4) с В = А, так что матрица Со должна быть
диагональной. Сравнивая диагональ C.3.17) с ♦ = в, мы видим, что
dC0 — 0, поэтому Со = const = 1. Это доказывает следствие 3.3.11.
Поучительно переписать систему C.3.8), C.3.20), введя формальное пре-
преобразование Лапласа
C.3.39) «(*
Тогда C.3.8) преобразуется в систему обыкновенных линейных дифферен-
дифференциальных уравнений
C.3.40) L — S

110 Голономные квантовые поля III
имеющую иррегулярные особые точки ранга 1 при и = О и и =■ оо. Уравне-
Уравнения деформации C.3.24) тогда выступают как версия уравнений Шлезинге-
Шлезингера для регулярных особых точек (ср. часть II [2], B.3.38) — B.3.43)). Поло-
Положив F = [а, тЛ\ — L (L диагональна), расширенную систему C.3.20) запи-
записываем в виде
C.3.41) (d + 2)ii> = 0
a = d(umA)+G-1d(u-1mA)-G
+ [а, к"У(шА)] —Lu~xdu.
Пример. Запишем систему C.3.24) более явно в случае я = 2. Мы пред-
предполагаем выполнение алгебраических условий C.3.10). Пусть ( 1 1= —
диагональF(/j, /2elR), и пусть А = ( ' ) при а1 - а, = 4е'в/2т ,
\0 «г/
/ > 0. Используя евклидову ковариантность C.3.34) и эрмитовость G, мы
видим, что матрицы F и G представимы в виде
I-U е~и'/Л „ I к, cosh, ф e-"'esinh0\
C.3.42) F=[et,f_ _lt ). G = cUgsinh0 «-coshj
= lx-lt, с = (det G)l/1 = constant>0
где /±, x, ф и в являются функциями / > 0, не зависящими от в. Условие
'PG = CFприводит далее к равенствам . '..".'..-".
C. 3.43) (г/_ - е/_) sinh 0=0, (г/+ - е/+) sinh 0=0
(«/+ - «"'/-) cosh 0+Ze sinh 0=0 .
Если ф ш о, то система C.3.24) превращается в линейную систему, которая
немедленно интегрируется. Мы опустим этот случай. Из C.3.43) тогда
C. 3. 44) /+ = е*-1 (/-1 tanh 0) /2, /_ = е« (/+ Z tanh 0) /2
Подставляя C.3.42) и C.3.44) в C.3.24), после некоторых вычислений полу-
получаем
C.3.45) /=А f-|" 4Н
at at

Голономные квантовые поля III
111
C 3. 46) -£-
4 dt
dt\ dt
= —tanh
t
-L sinh 2ф
2
Для / = /,<- /2 = О уравнение C.3.46) совпадает с уравнением, изученным
Мак-Коем — Трейси — By [8], которое эквивалентно уравнению Пеялеве
III рода специального вида (г = °)- В общем случае C.3.46) превращается
при помощи подстановки j = t2, a = tanhfy в следующее уравнение Пенле-
ве V рода lh
Рассуждения в случае полуцелых /, совершенно аналогичны. Пусть
W(±)(L) — решения уравнения C.2.14), которые удовлетворяют условиям
C.2.15), C.2.16) с -1/2 < /, /„ < 1/2, C«/r(w&*>) - 0 (у - 1 я) и
имеют дополнительную особенность в точке (г*, г*). Мы положим
Cn^*)(L),.'w(L)). При помощи таких же рассуждений мы полу-
полующую голоиомную систему для w(±> = w(±)(£):
чаем следующую
= (Ад -
Здесь коэффициенты имеют следующий вид:
C. 3. 49)
I, А = \
(cos kL)G
>= 2
в
A 1 \ у'
— + I
2у У - 1/ *
, где ' означает d/dx.

112 Голономные квантовые поля III
В C.3.49) F, G, Q — это те матрицы, которые соответствуют W(L), a
'4*) = Df > «£>), %*) = 03^f) 0^>) указаны в C.2.21)**). Бо-
Более того, /<*) и <?<*) удовлетворяют уравнениям деформации такого же
типа, как и F и G, а именно:
C. 3. 50) dp™ = [9<*\ £№>] + m\\dA,
А] + [£<*>, Л4]=0, диагональ 0<±>=О.
, A] + [5<*>^<*>5<*>-«, dA] =0, диагональ ^*<*> = 0.
Выпишем уравнения C.3.48), включая w0 = (w{,+)(L), w^~\L)) и используя
формулы C.2.22):
(■л о ел \ /■_, у-. \ Л
C. 3. 52)
B,., + MF,,)wt = O
i—i
C. 3. 53) '
1 i-
I m~1darvt= rvf (z; 1 — 1Л • lrvf (z*:
I 2 cos 7г/„
L)
Здесь мы положили
fe*d?« - г* Aj»)^,, + wo7 ( 0 _i ) •
Л'в.в, = в, 9а, - «,^в,- Уравнения C.3.52) представляют собой следствие
евклидовой инвариантности w0. Возможно также вывести C.3.53) прямо,
сравнивая локальное поведение обеих частей равенства (отметим, что син-
сингулярности при z — Z* в m~ldaiiw0 и m~l ba,wo отсутствуют). Условие ин-
интегрируемости C.3.50) для C.3.48) распадается «а уравнения деформации
C.3.24) для F, G и линейную систему для а{,±) а 0^*>. Последняя есть ие

Голономные квантовые поля III
113
что иное, как линейная система в полных дифференциалах C.3.23) для
<(*•;£).
Уравнения для w**)(z*, z\ L, Л, X) получаются таким же способом. По-
Положим
w0 (**, z; L, Л)^ = о^+х») (zm, z; L, л, xw), *&->« (*•, z; L, A, Xw)),
где X = ц-й столбец А. Тогда w0 = wo(z*, z; L, Л) удовлетворяет уравне-
уравнениям C.3.51), C.3.52) и
C. 3. 54)
*—-W« (г; X, Л) • (ге;Г (г*;1 -L, Л)
2 cos к/.
?E__W«(«; 1-Х,
2 COS 7T/ff
;^«(г*; X, Л)
Замечание. Подобным образом «функции Грина» v0 — vo(z*, Z\ L) или
vo(z*, z; L, A)^ = vftHz*, z; L, А, Х^Л удовлетворяют следующим уравне-
уравнениям (помимо евклидова уравнения Клейна — Гордона C.1.2)):
C. 3. 55)
C. 3. 5<5)
,а, + Af,,,) w,=О
*, z; L) = - g P.(g*; 1-L) -v^z; L)
2 sin mu
*, z; L) = - П v,(z*;L)-v,(z;l-L)
2 sm nl,
z*, z;L, S) „.
* Ww (**; 1 -I,, 4) • f Г (*; i, 4)
2 Sin ,
(г*, г; I,, Л) „.
sin
ww(«*; X, 4) • t#» («; 1 -I,, 4) •

114 Голономные квантовые поля III
Мы введем теперь замкнутую 1-форму ш, ассоциированную с решением
нелинейной систе мы C.3.24). В части IV будет показано, что она совпадает
с логарифмической производной т-фуныши.
Предложение 3.3.12. Для решения F, G уравнений C.3.24) положим
C. 3. 57) ф= -i- trace(Fe + e*GFG-')
+ тг traced (A A) -G~lAGdA -GAG~xdA).
Тогда ш —замкнутая 1-форма.
Доказательство. Вычислим dw, применяя соотношения C.3.24) и
C.3.58) d6
d9* = -в* /\в* -m^
diGFG-1) = - [в*, GFG-1] -т\1А, GdA -G]
+ Id A, GAG'1!),
Цмеем
da, = 1 + 11 + III,
где
C. 3. 59) 1= -— trace {([в, F] +m!([^A, G-lAG\
= - — trace {Fid A, G~xdA • G] +
+ i\dA, G~lAG] + [A, G-'dA-G]) в}
C. 3. 60) 11= -^ trace{- F*/\в* + т'№А, GdA-G-^
- в* ( - \в*, GFG~X1 - m1 ( [A, GdA ■ G]
= - — trace { - \G~xdA • G, dA] +F
+ в*([А, GdA -G-1] + Id A, GAG'1'])}

Голономныв квантовые поля III 115
C. 3. 61) III =-m« trace([G AG, G~ldG]dA +
= т* trace (\G~lAG, &]dA + G\e, A~]G'ldA
+ [в*, GAG-^dA + G-^A, 6*-\GdA).
Здесь при выводе C.3.59) мы использовали равенство
C.3.62) trace SF9 = У] 9l/tfll./\9,x-Tl h
distinct
^(e.-«i) =0,
и аналогично для C,3.60). Поэтому мы имеем
~ trace (- [A, G~4AG\ в -в* [A,
2
Первое слагаемое исчезает ввиду соотношений [Q,dA]+ = 0,[Q*,dA]+ =
= 0. Второе слагаемое есть
^-trace(-G[F, dA^G^dA-G-^dA, GAG^JGdA)
= - — trace (FdA • G~ У A -G-dA-F- G~xdA • G
+ G-1dA-G-FdA-FG~1dA-G-dA) =0 .
Это доказывает предложение 3.3.12.
Замечание. В случае системы, соответствующей w = w(JL) или W(i; A),
1-форма ш есть о» = tr(a/m£4 + amdA), a = o!iZ.+ — ) или all. + — ;
)\ 2/ \ 2
(cp. C.3.11)).

116 Голономные квантовые поля III
Свойство преобразования ш под действием евклидовой группы движе-
движений выводится из предложения 3.3.8. Мы положим
C. 3. 63) б: Е B) X (XBbc) "->• (Xе") ",
(*, *, в; А, А) ~ (е"А + Ь, е~«А + Ъ).
Предложение 3.3.13. Имеет место
C. 3. 64) б*а> = со - — trace (L* - L**) idd.
Доказательство. Применяя C.3.34) -я замечание в конце доказательства
предложения C.3.8), получаем
C. 3. 65) <S* trace (F6 + e*GFG~l) = trace(F (в - (F + L) idG)
+ (в* + (GFG-1 + L*) idff) GFG-1)
= trace (F6 + 6*GFG~l)
- trace (FZ, - L*GFG~l) idQ ,
C. 3. 66) a* trace (^ (A A") - G~lAGdA - GAG^dA)
= trace (^ (e"A + *) (*""A + Ъ)
- G (euA + b) G~xd (e-uA + b) ).
Небольшое вычисление показывает, что C.3.66) сводится к
(d(AA) -G-lAGdA-GAG~ldA).
Учитывая, что L = — диагональ F и V — диагональ GFG~l, мы получа-
получаем C.3.64).
Замечание. Как отмечено в замечании, предшествующем предложению
3.3.9, в ч. IV мы будем иметь дело только со случаем L* = L. В этом слу-
случае 1-форма ш инвариантна относительно £B).
Примечание, добавленное при корректуре. После подготовки рукописи
авторам стало известно о существовании короткой заметки (Phys. Rev.
Lett., 31A973), 1409 — 1311) Е. Баруха, Б. М. Мак-Коя н Т. Т. By, в кото-
которой было уже анонсировано представление Пенлеве для двухточечной кор-
корреляционной функции в модели Изиига. Мы признательны проф. Е. Бару-
ху, обратившему наше внимание на эту статью, которая должна быть
включена в список литературы в наших предыдущих статьях [1, 2].

Голономные квантовые поля III 117
ЛИТЕРАТУРА
1. Sato M., MiwaT., Jimbo M. РиЫ. RIMS, Kyoto Univ., 44A978), 223 — 267 (см.
настоящий сб., статья Г. К. П. I).
2. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. РиЫ. RIMS, Kyoto Univ., 15A979), 201 — 278.
3. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan. Acad., 53AA977), 147 — 152.
4. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan. Acad., S3AA977), 183 — 185.
5. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan. Acad., 54AA978), 36 — 41.
6. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan. Acad., 54AA978), 221 — 225.
7. Jimbo M. Proc. Japan. Acad., 54AA978), 263 — 268.
8. Mc-Coy B. M., Tracy С A., Wu T. T. /. Math. Pkys., 18A977), 1058 — 1092.
9. Sato M., KawaiT., Kashiwara M. Lecture Notes in Math., 287, Springer A973),
265 — 529.
10. Kashiwara M. РиЫ. RIMS, Kyoto Univ., 10A975), 563 — 579.
11. Yoshida M.; Takano K. Funkc. Ekvac, 19A976), 175 — 189.

1)
ГОЛОНОМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ IV
М. Сато, Т. Мива, М. Дзимбо
Это четвертая часть в нашей серии статей о голономных квантовых по-
полях [1, 2 и 3].
В ч. I была разработана теория вращений в ортогональном векторном
пространстве, а в ч. II мы применили ее для решения проблемы Рима-
на — Гильберта. В ч. III мы развили теорию деформаций многозначных
решений двумерных евклидовых уравнений Клейна — Гордона и Дирака.
Настоящая часть посвящена операторной теории в двумерном про-
пространстве-времени.
В § 4.1 мы строим голономное квантовое поле <рв(а), удовлетворяющее
следующим коммутационным соотношениям с нейтральным свободным
бозе-полем ф(рс) ([4]):
D.0.1) 7.лч_у^ч_у ! J/f_4 _ , .
Так как ф(х) подчиняется статистике Бозе, нам требуется теория вращений
в симплектическом векторном пространстве, которая изложена в приложе-
приложении. Вычисление выполнено для случая л-мерного пространства-времени
при помощи разновидности метода Винера — Хопфа.
В § 4,2 мы строим операторное), удовлетворяющий следующим соот-
соотношениям (см. [1]):
D. 0. 2)
Здесь ^00 = (&+&), tf_(x)) — нейтральное свободное ферми-поле. В этом
месте мы используем результаты из I.
В § 4.3 вводятся комплексные свободные бозе-поля ф(х) и ф*(рс). Это
позволяет нам сформулировать более общие коммутационные соотноше-
соотношения ([7, 9]), именно для /еС \ Z:
D.0.3) <рв(а
4 М. Sato, Т. Miwa, M. Jimbo. Holonomic Quantum Fields. IV. Publ. RIMS, Kyoto
Univ., IS A979), 871 — 972.
© RIMS, Kyoto University, 1979.
© Перевод на русский язык, «Мир» 1983.

Голономные квантовые поля IV 119
Получено локальное операторное разложение произведения ф(х)<рв(а; I). В
качестве коэффициентов мы получаем ряд операторов <pf.(a; /)• Подобным
же образом рассмотрен ортогональный случай.
В § 4.4 мы используем локальное операторное разложение для изучения
аналитического поведения вакуумных средних значений произведений на-
наших операторов и заключаем, что
(фв^; А) ■■■<рв(ап;
2 sin jr/t<^(ab ^i) -<(д.; ^»)
<(Л
(р = 1,... , я) образуют канонический базис пространства
введенного в ч. III [3]. Это дает конструктивное доказательство существо-
существования указанного базиса, независимое от доказательства, данного в ч. III.
Попутно показано, что логарифмическая производная л-точечной корре-
корреляционной функции
d log <<рв(а,;1г)---(рв(ап; 1п) >
совпадает с замкнутой 1-формой — ш, определенной в ч. III. Таким обра-
образом, л-точечные корреляционные функции наших полевых операторов ха-
характеризуются решениями уравнений деформации, приведенных в Р и 5].
Все эти результаты с небольшими изменениями справедливы также и в ор-
ортогональном случае (см. [5, 7]). В частности, мы доказываем следующее
простое соотношение из [9]:
D. О. 4)
Обобщение на случай, включающий параметр Л (ср. [1, 7]), рассматривает-
рассматривается таким же образом. Это проясняет причину возникновения л(л — 1)/2-
мериого семейства глобальной моиодромии, введенного в ч. III.
В § 4.5 мы применяем формулу произведений из ч. I или из приложения
к этой части для доказательства сходимости произведений наших опе-
операторов. В частности, мы даем выражения в виде сходящихся бесконечных
рядов для вакуумных средних значений, полученных в § 4.4. Таким обра-
образом, алгебраические результаты из § 4.4 получают строгое обоснование.
Мы также доказываем микропричинность наших полевых операторов.
В последнем, § 4.6 мы детально обсуждаем первоначальный случай, ос-
основанный на нейтральных свободных полях. Наряду с операторами <рв(а)
(§ 4.1) и (fipia) (§ 4.2) мы будем также иметь дело с операторами

120 Голономные квантовые поля IV
tfp(a) = '(«>* (e)> *£(«) и <fF(d), которые возникают как ведущие коэффи-
коэффициенты в локальных разложениях для ф(х)<рв(а) и ф(х)<рр(а) соответственно
([5]). Последние являются физическими моделями ферми- и бозе-полей,
удовлетворяющих условиям лореяц-инвариантности, микропричинности и
асимптотической полноты. Мы отметим здесь замечательное свойство
взаимности между этими ферми- и бозе-полями ([9]). Поле >рв{а), построен-
построенное на основе свободного бозе-поля ф(х), является сильно взаимодействую-
взаимодействующим ферми-полем с асимптотическими свободными ферми-полями ^* (в), в
то время как поле <pF{a), построенное из свободного ферми-поля ф(х), яв-
является сильно взаимодействующим бозе-полем с асимптотическим свобод-
свободным бозе-полем фр±(х). Показано, что их S-матрицы равны (-/^-'У2 в
TV-частичном секторе ([4, 9]). Их л-точечные корреляционные функции вне
массовой поверхности имеют простое соотношение между собой, причем
обе допускают явное выражение, как в комплексном случае ([5, 9]). В част-
частности, в соответствии с D.0.4) справедливо следующее соотношение ([9]):
D. 0. 5) <<Рв(ад •■•(Рв(ап)><<рг(а1) •••^(дя)>= Vdet cosh H
Здесь матрица Я связана с решениями уравнений деформации.
Мы хотим поблагодарить доктора К. Р. Ито (К. R. Ito) за информацию
о статье Бариева [14]. Мы благодарим также профессора М. Сузуки
(М. Suzuki) за предоставленную возможность ознакомиться с препринтами
работ By и др [11, 12].
§ 4.1. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАТОРА <рв
Мы обозначим через jfMht л-мериое пространство Минховского со ска-
скалярным произведением *2..=_(*o3?.r:..(*iJ -.-л: ~(Е*л.-лJ_для х = ^о»*) =
= («о, ...,дг„_1)е.Хм. Мы положим д^ = B/Oxjjk = 0, 1,.... л -Л>. Мо-'!
значим через Р дуальное векторное пространство к А**. Мы выберем
координаты р = (р0, р) = (Pq,px Pn-i) так, что билинейная форма
между Х1*** и Р имеет вид
•х-р ~хфа —х• р = хпр, —xj>! xn-J>n~i-
Рассмотрим л-мерное уравнение Клейна — Гордона
D.1.1) (dl-dl 92n_i + wJ)f(*) =0-
Если v я v' удовлетворяют D.1.1), то
D.1. 2) JB(v,v') = О(х) -dov'(x) -dav(x) •г>'
E()^4w(x-) -d}v'(x) -dsv(x)-v'
является замкнутой (л - 1)-формой. Поэтому скалярное произведение

Голономныв квантовые поля IV121
D.1. 3) <t>, v"> =~i[ Jb(v, v')
у — пространственноподобна, не зависит от yV.
Мы определяем преобразование Фурье как
D.1.4) *(*)
D.1. 5) v (J>) = \
<Txv
eix->
Уравнение D.1.1) преобразуется в (р2 - т2) О (р) = 0. Поэтому 0(р) имеет
вид 4т6(р2 — т2) v(p), где v(p) определена на массовой поверхности
М = \р е Р\р2 - т2 = 0]. Мы будем обозначать лоренц-инвариантную ме-
меру и 5-функцию на М следующим образом:
D.1.6)
Теперь D.1.3) записывается следующим образом:
D.1.7) <v,v'>=
Мы называем v(x) (соответственно v(p}) ^-(соответственно р-) представле-
представлением v. Соответствие между этими двумя представлениями дается форму-
формулами
D.1. 8) - »(*)— f dpv<J>>e-4!-* t
D.1. 9) v (J>) = — f <T-l2 (|p,\ v (x) + ie (A) d,v (*)) e*—.
2 J i.-const.
Мы обозначим через IV% множество вещественных решений уравнения
D.1.1), удовлетворяющих условию \ dp\v(p)\2 < а> и положим
WB = W* (g)C. Пространство WB с заданным на нем кососимметрическим
скалярным произведением <v, v"> есть симплектическое векторное про-
пространство.
Пусть
D.1.10) Vi={v<=WB\v(j>)=Q при р<=М-},
0 с'-гиперповерхность у называется пространственноподобной, если для некото-
некоторого е > 0 пересечение у П [xeM^^ix^i > A - е)\х\} компактно.

122 Голономные квантовые поля IV
D.1.11) VB={v(=WB\v(p)^0 при
где М± = [реМ\р0 а 0). Разложение WB = V\ © VB есть голономное
разложение. В дальнейшем мы лонимаем под Nr или < > нормальный сим-
символ или вакуумное среднее значение относительно этого голономного раз-
разложения. См. приложение об общих сведениях о средних значениях, нор-
нормальных символах и т.д. в симплектическом случае.
Пусть (Х*6")* обозначает множество упорядоченных пар световых ги-
гиперплоскостей в -Xми1, которые не параллельны друг другу. Пространство
(Я*®")* имеет размерность 2(л - 1). Обозначим через <£, г> световую ги-
гиперплоскость [хеХ*л*п\х-£ = г), где {еЯ — положительный светоподоб-
ный1) вектор н re R. Отметим, что <с£, сг) = <{, г> для с > 0. Пусть
в* =» (<{+, г+>, <{_, г_»е (Х**11*) и положим
D.1.12) WU(a*) = {v<aWB\v(.x)=0 , если х-£+-г+<$0
Тогда мы имеем WB = W^{a*)®WB{a*). Определим снмплектическое
преобразование (т.е. линейное преобразование, которое сохраняет скаляр-
скалярное произведение) Та. следующим образом:
D.1.13) Ta.(v+ + v-)=v+-v~ при t^eWf (д*).
Рис. 4.1
Вычислим нормальный символ оператора #>в(а*), который индуцирует
симплектическое преобразование (см. рис. 4.1).
Замечание. Пересечение <{+,г+> П <{_,г_> есть пространственнопо-
добное линейное подмногообразие коразмерности 2. Обратно, существует
> 0, ? ш 0.

Голономные квантовые поля IV 123
единственная пара световых гиперплоскостей, которые проходят через дан-
данное пространственноподобное линейное подмногообразие коразмерности 2.
Если л = 2, то (Х**™*) не что иное, как дизъюнктное объединение двух эк-
экземпляров Х*^1.
Прежде чем вычислять нормальный символ, приведем некоторые общие
сведения о свободных полях. Обозначим через ф(у) (уеА**п) ранение
v(x;y) уравнения D.1.1), которое удовлетворяет следующим условиям:
D.1.14) v(x;y)\x,=y, = O, -2£-(х,у)и._,.= -/Т^C у).
Мы имеем
D.1.15) v (л; у) = -~J (ж'-"у; *иг),
V ^
где
D.1.16) A(x;m*)=i[dp e (Л) в*»
о
^-представление ф(у) имеет вид
D. 1.17) г; (^»; у) = -i-e (А) в1"".
V ^
Функция ф(х) удовлетворяет уравнению D.1.1) относительно х:
D.1.18) (dl-dl д1.1 + тг)ф(х)=0.
Положим
D.1.19) 7Г(Х)=^_0(Л:).
Формулы D.1.14) и D.1.19) приводят к соотношению
D.1.20) > v = -L- Г d^x (d,v (л:) -ф (л) - v (х) ■ ж (л) )
V 2 Jio-const.
для veW. Обратно, мы имеем
D.1.21) г,(±
Таблица скалярных произведений элементов ф(х) выглядит следующим об-

124 Голономные квантовые поля IV
разом:
D.1. 22) <Ф(х),ф(х')> = -iJ(x-x'; m*).
При равных временах она сводится к
D.1.23)
0 2idB-2')
-2id(x-x') 0
Далее, пусть ф(д)(,?еМ) обозначает решение v<x q) уравнения D.1.1)
вида
D.1.24) v(x;.
V &
^-представление ф(д) имеет вид
D.1. 25) v (р; д) =Ц^.д(р, -д).
Эти специальные функции ф(х), т{рс) и ф(д) связаны между собой при по-
помощи следующих формул:
D-1-26)
D.1. 27) ф(р) =L[ d*-l3c (\рв\ф(х) +ге Шп(х)) е<*-> .
[
Jx#»const.
Таблица скалярных произведений элементов ф(р) имеет вид
D.1.28) <Ф(Р),Ф(Р')> = £
Подобно D.1.20) и D.1.21), мы имеем
D.1.29)
D.1. 30) v (p) ■■
Как в § 2.1, будем рассматривать ф(х), ж(рс) и фф) как абстрактные эле-
элементы пространства WB и построим операторную теорию. Тогда
ф(рс) — это будет не что иное, как оператор свободного бозе-поля,

Голономные квантовые поля IV 125
ф(р) — оператор рождения (р° < 0) и уничтожения (р° > 0). В этом кон-
контексте D.1.22) и D.1.28) выглядят как следующие коммутационные соотно-
соотношения
D.1. 22) ' {ф (х), ф (х1) ] = - U (х-хг; тг),
D.1.28)' 1Ф(р),Ф(р')]=£(Р,)8(р,-р').
Таблица вакуумных средних значений имеет следующий вид:
D.1. 31) " <ф(Р)Ф(Р')>=в(Р,)£(Р, -Р'),
D.1. 32) <Ф(х)Ф(*')>= §dp 0(ра)«-"—"•'
где
D. 1. 33) dM (х; да1) = г \dp_ в (/>„) e~ix-p
Пусть ^ е SOrfil, л - 1) и а е R". Действие группы Пуанкаре
l, л - 1)х R" = [g = (g, ^l^eSO^l, л - 1), aelR") задается как
gx = g • х + а, а представление ы группы Пуанкаре в WB задается форму-
формулой
D.1.34) (Е
Тогда мы имеем
D.1.35) тв(д)ф(х)=ф(дх),
D.1. 36) шв (§f) grad ф (х) = (grad ф) (дх) • д
где grad ф = (Э^, дхф, ... , Вп_1ф) и
D.1. 37) WB ф) ф&)=ф (др) е-*™.
Вакуумное среднее значение и скалярное произведение инвариантны отно-
относительно этого действия группы Пуанкаре.
Теперь, применяя предложение П. 1 из приложения, мы будем вычис-
вычислять Nr(^>B(a*)) = ехр (рв(в*)/2), так что <рв(а*) индуцирует симплектиче-
ское преобразование D.1.13).
№ D.1.16) следует, что ф(х) принадлежит пространству Wg~(ar) (соот-
(соответственно Wg(a*)), если х- {+ — г+ > 0 и х- £_ — г_ < 0 (соответствен-

126 Голономные квантовые поля IV
но х-%+ — г+ < О и дг*£_ — г_ > 0). Поэтому из D.1.13) вытекают сле-
следующие коммутационные соотношения между <fB(a*) и ф(х):
'Ф(х)<рв(а*) если х-$+-г+>0
х-£ —г_<0
D.1.38) ' °
если ■£•#+ — г+<0
и х-#_-г_>0.
Ввиду пуашсаре-инвариантности нашей теорин можно предположить без
ограничения общности, что
D.1.39) £±=A, =Fl, 0, •••, 0), г± = 0.
Сиачала введем вспомогательный базис $(р ), т(р ):
D.1. 40)
D.1.41) тг (?) = J ^*"'-2 я @,5) е~
или, что эквивалентно,
D.1.42) 0(^)=_L^{0(a)(^))^)+0(.
©(/>)
D.1.43) Й(/
где мы положили
D.1. 44)
В дальнейшем будем отождествлять ядро
с соответствующим линейным преобразованием F:
Ядро, представляющее оператор A - Го.)/2, в базисе ^(р ) и т(р ) имеет
вид
D.1. 45) i
— Pi— гО

Голономные квантовые поля IV 127
где мы положили
D.1.46) p±=(pt,—,P*-i)-
Таблица вакуумных средних значений относительно базиса #(р), т(р)
имеет вид
D.1.47)
= | 0A0
\ —г
Поэтому операторы Н в (П. 8) и £ в (П. 17) имеют ядра
D.1. 48)
D.1.49) £(jj;)=t -1 Bк) »-'£ (.5-
Пусть
D.1.50)
Ядра преобразований А"± из предложения (П. 1) имеют вид
/у р, + г
D.1.51) Х(ЛГ)(
D.1.52) Х-(р,р")=г
Поэтому по (П. 19) мы имеем
D.1. 53)
X

128 Голономные квантовые поля IV
Положим
D.1.54) и±г
Тогда мы имеем \1рх ± щ(р) = I ^p (Vu ± i V«~l) (соответственно
/ E ^m)) для и > 0 (соответственно и < 0). Из D.1.41),
D.1.42) и D.1.53) мы имеем
D.1. 55) р. («•) =
Наконец, применяя пуанкаре-инвариантность, перепишем D.1.SS) в об-
общем виде.
Пусть Ра» будет подпространство Р, натянутое на £+ и {_, и пусть
Ра' — его ортогональное дополнение. Обозначим через ра. (соответственно
р£) ^„.-(соответственно Р£. = ) компоненту реР:
D.1.56) P = Pa*+Pt*, Pa'&Pa., pi.f=Pi,.
Пусть х(а*) будет вектор в А**", удовлетворяющий условию
D.1.57) х(д*)-#± = г±.
Теорема 4.1.1. £biu нормировать <рв(а*), так что <?я(а*)> = 1, то
имеет место
4.1.58)
где
В дальнейшем мы ограничимся случаем л = 2. Отождествим
компонентой (***")• следующим образом:
D.1. 59)
а= (До,й
Удобно использовать характеристические координаты
D.1.60) ^^(х^хО/г.
Формула D.1.S4) превращается в
D.1.61) u±1=(j>a±pl)/m (p(=M).

Голономные квантовые поля IV 129
Переменная и выступает как координата на М, и мы пишем ф(и) вместо
ф(р). Элемент инвариантного объема d£ равен
D.1.62) ^ = ^|-
Таблица вакуумных средних значений и скалярных произведений для ф(и)
выглядит следующим образом:
D.1. 63) <Ф(и)ф(и')>=2пи+д(и + и'),
D.1.64) ^ф(и),ф(и')У = 2лид(и + и').
Равенства D.1.26) и D.1.58) сводятся к
D.1. 65) ф (х) = Г^и ф (и) «-«-«*-•+—">,
D. 1. 66) Nr О* (а) ) = ехр (рв (а) /2),
,-2-Ju — iO Vu' — iO
'
§ 4.2. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАТОРА Vp
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением случаев dim Xм111 = 2
или 3. Сначала рассмотрим случай dim Xt/Bn = 3.
Рассмотрим трехмерное уравнение Дирака
/ т—дг д,—д,\ /k>+(j
D 2 1)
\ — д, — a, m+dj \w_(x)/
Если w = '(w+W, w_(ac)) и w' = '(wV(x)» wl(ac)) удовлетворяют уравнению
D.2.1), то
D. 2. 2) JF(w, w/) = (w+ (x) w'+ (x) + w_ (x) w'_ (x) ) dxt/\dxz
— (k>+ (x) w+ (x) — w_ (x) wl (x) ) dxQ/\dx2
— (w+ (x) w'_ (x) + w- (x) w'+ (x)
является замкнутой 2-формой. Поэтому скалярное произведение
D. 2. 3) <w, w'> =-j- Jr Jr (w, w')
7-пространственноподобна, не зависит от 7-

130
Голономные квантовые поля IV
Мы обозначим через й^ множество зедественнозначных решений урав-
нения D.2.1), удовлетворяющих условию <vc, vc> < та, и положим
WF = tVp ®C. Пространство WF с заданным на нем скалярным произведе-
произведением < > является ортогональным векторным пространством.
При помощи преобразования Фурье D.1.4) и D.1.5) уравнение D.2.1)
преобразуется в следующее:
Поэтому '(&+(Р)> w_(p)) имеет вид
D.2. 5)
tv{p)
т + гр2
где функция и>(р) определена на массовой поверхности.
Скалярное произведение D.2.3) записывается следующим образом:
D. 2. 6)
Мы назовем
ге» (^) м/ (-
(соответственно у»(р)) .^-{соответственно р.) пред-
представлением w. Соотношение между этими двумя представлениями дается
формулами
D.2. т) " Г+(х) У= Up (Vm'+p
\w_(x)/ J—V т
и__
'V т>7 -4- у*
■\го(р)е-*'-р,
D.2.8) ^(^^-f-
i-A)
Голономное разложение задается в следующем виде: W~ = V%® Yv,
где
D. 2. 9)
ари
D.2.10) VF={w^WF\w(p)^0 при p<=M.;\.
Ортогональное преобразование Т . определяется из условия

Голономные квантовые поля IV 131
D.2.11) Ta.(w++w~) =zv+ — tv~ для
где
D. 2. 12) W$ (a*) = {zoe W,\w+ (x) = w_
если х-$+ — r+
Вычислим нормальный символ оператора <pg(a*), который индуцирует
ортогональное преобразование D.2.11).
Обозначим через ф+(у) (соответственно #_О) решение '(w++(x; у),
w+ _0ь" J?)) (соответственно *(w_+-(x;у), w_ _(x;у)) уравнения D.2.1), кото-
которое удовлетворяет следующим условиям:
D.2.13) )[ =р
U(L «\ 0
__(x; у)
Мы имеем
D.2.14)
^-представление ^+(у) (соответственно ф_(у)) имеет вид
;_(#; у) = (—^—) V m-iPl ''*
^соответственно «;
Функции ^± W удовлетворяют соответственно уравнению D.2.1) по
D 2 16)
\ф-(
Из условия D.2.13) следует, что
D. 2.17) w=i§~ J^(w+(xH+(x) + да-(л)«ft-(л)).
Обратно, справедливо
D. 2.18) w± (л) = <0± (л), «>> .

132
Голономные квантовые поля IV
Обозначим через ф(д) (деМ) решение w±(pc; g) уравнения D.2.1), имеющее
V т + га.
D. 2.19)
т
гд,
/о +*(<?.-
V т — £>
~яд
т — igt
^-представление этого решения равно
D 2.20) -и>(р;д)=д(р,-д).
Аналогично D.2.17) и D.2.18) мы имеем
D.2.21) и>= \dp Tv(—p)ф(р),
J —
D. 2. 22) iv (р) = <((/» (р), w)>.
Соотношение между базисами ф±(х) ч ф(р) имеет следующий вид:
V т-И>. *
Г+Д*
/0-i(.P,-
'* /
-—tx-f
D. 2. 24)
Г л
Jx#=COn8t.
Таблица вакуумных средних значений и скалярных произведений выгля-
выглядит следующим образом:
D. 2. 25)
D. 2. 26)
д(р, -р'),
D.2.27) Q^l+^y ££M"£)>)
d,-dt
D.2. 28)
, Ф+ (х')> <^_ (л) , 0_ (л:') >

Голономные квантовые поля IV 133
\ 1Ф- О), Ф+ (*') ] + 1Ф- (*). 0- (*') ] J
1 / 0.-0,
я» \_m + 0
Представление группы Пуанкаре в WF задается по формуле
D. 2. 29) (<*
Здесь S — спинорное представление группы 5О0A, 2), инфинитезимаСпьная
форма которого дается соотношением
D.2.30) dS{.M")=S"
где ,0 0 0\ /0 0 lv /0 1 0v
м°=|о о 1 , М1= о о о, м*= 1 о о,
\о -1 о' \i оо' \о о о/
Теперь, применяя формулы (П. 18)F и (П. 19)F из приложения, будем вы-
вычислять №(#>^(а*)). Аналогично D.1.38) оператор <рр(.а*) должен удовлетво-
удовлетворять следующим коммутационным соотношениям с Ф±&У-
D.2.31) <рЕ(а*)ф(х)
ф(х)<рЕ(а*) .если х-£+— г+>0 и х-£.— г_<0
-U
.если
Сначала предположим, что а* дается формулой D.1.12), и обозначим ее че-
через ag.
Положим
D. 2. 32) 0± (j) = J^J^± @,5) е-'*-' .
В дальнейшем мы будем отождествлять ядро
с линейным преобразованием F, таким, что

134
Голономные квантовые поля IV
, Ф-
Тогда:
D.2.
«')> <ФЛР)ФЛР")>
D.2.34)
<ФЛр),Ф-(.?
<$Лр),фЛр')У
т
D.2.35)
В таком случае операторы
D.2.36) Х+(Р*,Р")
в (П. 18)' задаются ядрами
\
D.2.37) Х_(Р,Р')
1 / 1 1\ 1
Заметив, что
D.2.38)
V 2
мы имеем из D.1.45),'D.2.23), D.2.34) — D.2.36) и (n.l9)F:
D. 2. 39) Nr (^ (д0*) ) = ехр (рг (а.*) /2)

Голономные квантовые поля IV 135
pF{ai)= {{dp dp'-i(p°-p'o) -2т:д(рг+р1)ф(.РЖР')-
Пусть (i- + , £_) будет упорядоченная пара положительных светоподоб-
ных векторов в Р. Выберем элемент g группы SO^l, 2), который удовлет-
удовлетворяет соотношению и1* а= 1, 0) = ct-± с некоторой положительной кон-
константой с. Мы положим £х = g'vO, 0, 1). Обозначим через ф'(р) =
= | + | решение уравнения D.2.1) вида
Решение ф'(р) не зависит от выбора g. Оно единственным образом опреде-
определяется парой светоподобных направлений ({с£+1с > 0), {c{_lc > 0J).
Теорема 4.2.1. Если нормировать оператор <pp(fl*) так, что
(<Рр(а*)} = 1, то справедливо
D. 2. 41) № (р, (а*) ) = ехр (р, (а*) /2)
Перейдем теперь к случаю двумерного пространства-времени. Двумерное
уравнение Дирака имеет вид
т
/w Cc)\ /w' CcA
и для решений и»=!+1,и»' = 1 +^'1 уравнения D.2.42)
D. 2. 43) JV (w, zv') = (w+ (x) w\ (x) + w. (x) w'_ (x) ) <£r,
— (w+ (x) w'+ (л:) — w_ (x) zvL (x) ) <ix0
— замкнутая 1-форма. Начав с D.2.42) и D.2.43), мы можем построить
теорию, аналогичную 3-мерному случаю. Получатся в точности те же ре-
результаты, что и в 3-мерном случае, еслн положить координату р2 равной
нулю.
Используя координаты D.1.60) и D.1.61), мы пишем ^(и) вместо

136 Голономные квантовые поля IV
Тогда
D. 2. 44) <(/» (и) ф (и') > = 2ли+д (и + и'),
D.2.45) <ф(и),ф(и')> = 2п\и\д(и + и').
Формулы D.2.23) и D.2.41) имеют теперь вид
D. 2. 46) ф±(х) = [du а/О+ТЙ*V(и) <,-*»<*-•+—-'>,
D. 2. 47) Nr (р, (а) ) = ехр (рг (а) /2)
где Рг U) = Г [du du' ~г ^и~ и'} g-«»<«-<»+»*)-«-«*(»-4-«*-')H (и) ^ (и')
§ 4.3. ЛОКАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
В этом и последующих разделах мы ограничимся случаем dim X**** = 2.
Мы построили операторы <рв(а) или <рр(а), которые удовлетворяют ком-
коммутационным соотношениям D.1.38) или D.2.31) соответственно. В этом
параграфе мы построим подобные операторы, которые удовлетворяют бо-
более общим коммутационным соотношениям, и затем выведем локальные
операторные разложения.
Сначала мы изучим симплектический случай. Рассмотрим С2 = Се ® Се*
как ортогональное векторное пространство со скалярным произведением
<,)с2, заданным матрицей
(<е>е>С1 <е'е*>с'
Мы будем строить операторную теорию, отправляясь от симплектического
векторного пространства WB <g> С2, в котором скалярное произведение за-
задается следующим образом:
D.3.2) ( ' ' ) = ( <-Vf v '
В дальнейшем ф(и) <g» e и ф(и) <S> e* обозначаются просто через ф(и) и
ф*(к) соответственно. Они удовлетворяют следующим соотношениям:
D.3.3)

Голономные квантовые поля IV 137
0
0
С4-3-4) L,*,.^.,,..,^ <0*(и)**(«')>/
о
Положим для / е С
D. 3. 5) 0, (л:) = j ^и @ + /и) le~im
D.3.6) Л* (л) =
где @ + iui = exU/\u - /оУ = e^^lul', если и s 0.
Из формул1'
D. 3. 7) (°°du и'Ⱬ»<*-»+*-->
ж
Соля
мы имеем
D. 3. 8) <0, (д.) 0
-»,%(-(л;-Л;/)- + *0, (х-х'У-iO)) (для / + /'
'^Относительно определений у/( 1;;'и V, см. § 3.1.

138 Голономные квантовые поля IV
Из D.1.26) видно, что оператор фо(х) (соответственно ф$х)) есть не что
иное, как ф(х) <g> е (соответственно ф(х) ® е*), который мы обозначаем
просто как ф(х) (соответственно ф*(х)). Определим нормальный свха-лл
Рв(о,- /) как
D. 3.9) рв(а;1) =2 JJ^w du'RB(u, и'; V) фЫ) Ф* О-')
где
D.3.10) Л»(«,«';0—2Иа»«(|(/_.о) ы + и'-*0 '
и определим операторы «^о,- /), <pf.(а; I) и pf *(в; /) следующим образом:
D. 3.11) Nr UpB(a; V) ) = ехр (рл (а; 0 /2) ,
D. 3.12) Nr О? (а; Z) ) = &, (а) ехр (р, (а; Q /2) ,
D. 3.13) Nr (р? (а; Q ) = # (а) ехр 0ов (а; Z) /2).
Отметим, что
D. 3.14) RB(и, и'; Q = RB (г<', г<; 1 -1),
и что для / = 1/2 выражение D.3.10) превращается в ядро D.1.66).
Теперь мы предположим, что 7eZ. Применяя формулы (П. 10) —
П. 11), получаем следующие соотношения:
D. 3.15) • ' Nr Ц> (ж) «7л (а; Q ) = ?5Ц)№ О*(а; Z) ),
Г"
+ du'RB(utu'',l)ei"li*'1l'+***'-l\
J —а»
D. 3.16) Nr @* (я) ^в («; 0 ) = «г5а>*№ {срп (а; Z)),
!»,(ж- а; и)е-'-<«-»+«~-«>0* (и).
D. 3.17) Nr («7, (а; Z) ф (ж) ) = «;5B)Nr (p, (a; Q ),
?5B) = f d«f Р> (ж- а; и) «-*»<.-.+—«>^ (и) j
Jo "

Голономные квантовые поля IV 139
D. 3.18) Nr (д>а(а;Г)ф* (*)) = 0B>*Nr Qpa(a; I)),
фЮ* = Г J«££, (ж - а; и) в-*-с-«+«--)^* (и).
Предложение 4.3.1. Предположим, что I ё Z. Пусть
D. 3.19) ft (д.; И) =2 @ + *«) -|+1+iw.l
+ S @+ *«)-'
Функция {/ (х; и) удовлетворяет следующим соотношениям:
D. 3. 20) (лг-1^- + ш) ft (л;; и)
= - @ + 1И) -'^(w-, (-ж", л;+) -г* (-лГ, л;+) ),
D. 3. 21) (т-Ю*. + iu-1) ft (ж; и)
= - @ + ш) -' (т>_|+1 (-ж', д;+) -wf_, (-ж", л;+)).
Функции £jl)(x; и) и iP^' и) соответственно даются следующими гранич-
граничными значениями многозначной аналитической функции £/ (х;- и):
D. 3. 22) $" (:с; и) = ft (-х~ + гО, х+ -Ю),
D. 3. 23) £{» (х; и) = ft ( - х- - гО, х+ + гО).
В частности, мы имеем
D.3.24) &Р(х;и)=еР(х;и) , если д;+>0 и л;-<0,
D.3.25) $1Чх;и)=е-"и№(х;г1) , если л;+<0 и лГ>0.
Доказательство. Если н' < 0 и lour* < 0, то Reim(x~u' +
+х+и'~1) < 0. Поэтому $Р(х; и) является граничным значением голо-
голоморфной функции в области [хе С21 Гпгдс* < 0]. Аналогично fP(x; u) явля-
является граничным значением из области {дгеС211пиг* > 0).
Мы имеем
-~ 2л
w _|
Если х+ > 0 и дг~ < 0, то контур интегрирования можно замкнуть в верх-
верхней полуплоскости, и мы получим, что интеграл равен 0. Поэтому справед-
справедливо равенство D.3.24). Подобным же образом мы имеем равенство

140 'Голономные квантовые поля IV
D.3.25). Из D.3.24) следует, что iP&r u) и kP<X и) являются граничными
значениями одной аналитической функции, которую мы обозначим через
$/(*;«).
Легко проверить, что обе функции |, (х;* и) и %\ (рс; и) удовлетворяют
D.3.20) и D.3.21). (См. D.3:7).) Поэтому они могут отличаться только на
выражение вида С(и) ехр {—imQc~u + х+и~1)) .Так как они удовлетворяют
соотношениям моиодромии D.3.24) и D.3.2S), мы заключаем, что с(ы) = 0.
Теорема 4.3.2. Предполагая, что 191., мы имеем следующие разложе-
разложения:
D.3.26) ф(х)<рв(а;Ь
*4), (х - а) * - iO)
D.3.27) ф*{х)<рв(а;Г)
(«; 9 *i+, (- (*- а) " + гО, (х- а) + - *0)
Произведение <р^а; /)ф(х) {соответственно vrfp; /)ф*(х)) равно выражению
в правой части равенства D.3.26) (соответственно D.3.27), только вме-
ета т ^с — о)? d= /О должно стоять т (х — о)* т Ю.
В частности, справедливы следующие коммутационные соотношения
области, где х и а пространственно-подобны друг относительно друга:
D.3.28)
|#(:с)?>я(а;0 .если д;+>а+ и д;~<а~
UIlrGcH!B(a; Z), если д;+<а+ и х~>а~ .
D.3.29) v»(«;0**(«)
f0* (я:)^в (а; Г) , если д;+>а+ и я:~<а~
Доказательство. Это прямое следствие (П. 10) и предложения 4.3.1. Опре-
Определим далее следующие операторы:
D. 3. 30) №(?>*,,,,,(а; Г)) =&,(a)^,(<i)«'*<e:'>/*.

Голономные квантовые поля IV 141
D. 3. 31) Nr fob* ,* (а; I) ) = ф?г (а) <j>f, (а) е'*<«:•>/».
D. 3. 32) Nr (?„„,* (а; I) ) =Nr (рЛ* £, (а; Г) )
= Фи (а) ЙЦ (а) е"^а-1^ = фГ, (а) 0,, (а) e'-W)/2.
Тогда из (П. 10), D.3.8) и теоремы 4.3.2 вытекает следующая теорема:
Теорема 4.3.3. В предположении, что I, V ф Z, справедливы соотноше-
соотношения
D.3.33) ф(х)<р?.(а;1)
D.3.34)
2 sm я/
2 sin nl
+ S irf'.-i-iXa; Г) w,*+i (- (ж-а) " + гО, (ж-а) + -£0),
D.3.35) ф*(х)<$?(а;1)
?j f- (а; 0 г>,+Д- (д; - а) ~ + г'0, (х - а) + - г'О)
Л i J-, ? (а; I) w*l+1+i( - (ж - а)- + *0, (ж - а)+ - гО),
D.3.36) ф*(х)9?.(а;1)
2 sin Ttl

142 Голономные квантовые поля IV
- —Ц,?* О; Г) vT> ( - (ж - а) ~ + гО, (х - а) + - *0)
2 Sin 7Г£
Произведения <pf,(a; 1)ф(х), <pf, *(а; 1)ф(х) и т.д. даются правыми частями
равенств D.3.33), D.3.34) и т.д. с т (х - о)* ч= /0 вместо
В частности, если /' ■ — /(mod Z), то имеют место соотношения
D.3.37) <р?.(а;1)ф(х)
@Oc)<pf'*(a; I) .если д;+>а+ и д;~<а~
, если д;+<[а+ и д;~>а"
-г
u
, если д;+>а+ и д;~<а
(«; 0 .«ли л;+<а+ и л
и если /' » /(mod Z), то имеем
D.3.38) <р?(а;1)ф(х)
{Г .если л;+>а+ и ^-
P(а; 0**(*) ~
>если д;+>а+ И д
;О , если л;+<а+ и л;->а- .
Замечание. Из соотношений D.3.28) и D.3.29) следует, что оператор
>рв(а; I) индуцирует симплектическое вращение в пространстве WB (g) С2.
Так как операторы <fP.l+j(a; I) (/eZ) возникают как коэффициенты в ло-
локальном разложении произведения ф(х)<рв(а; I) и так как [ф(х), ф(р')] = О,
если х я х' пространственно подобны друг относительно друга, то соотно-
соотношения D.3.37) являются прямым следствием соотношений. D.3.28) и
D.3.29). См. также стр. «942 — 943».
Предложение 4.3.4. Пусть d обозначает внешнее дифференцирование
по а. Тогда мы имеем
D. 3. 39) <1ф1{а) =(f>i+1(a)d(-ma-)
D. 3. 40) d4f{a) =<ft¥i(a)d(-ma-) + ф?.1 (a)d(ma+),

Голономныо квантовые поля IV 143
D.3.41) dcpa(a\l)
= -2 sin п1(<ра-1иЦ (a; l)d(-ina~) +<fs-i$-i(a;t)d(ma+)).
Доказательство. Равенства D.3.39) и D.3.40) проверяются легко. Так
как Nr — линейное отображение, то оно коммутирует с d. Именно
Nr(c?<og(ur; 0) = dbiT(fpB(fl; /)). Тогда D.3.41) следует прямо из определения
№(^(йг; /)), D.3.11).
В приведенном ниже следствии мы будем обозначать v_( (—(г - а)~ +
+ Ю, {х — йг)+ — /0) через v_,[a] н т.п.
Следствие4.3.5. В предположении, что 1фТ. справедливы соотношения
D. 3. 42) 2 sin 7Г/ • ф О) <р? (а; V)
<р„ (a;
■\-{<рв{а;Г) + 2 sin л/-^ _,,?(
D. 3. 43) 2 sin nl ■ ф* О) qfi-x (a; /)
^_,,f (д;
При рассмотрении первоначального оператора <рв(а) определим <«>f (а) и
<°г/,/ (ff) следующим образом:
D. 3. 44) •■•№(# С«) ) = Ф1 («)
Nr (p«ItI, («) ) = Л, (а) 0,, (а) ^»("/l,
где фДа) определен в D.3.5} с первоначальным оператором ф(й), удовлетво-
удовлетворяющим соотношению D.1.63). Тогда имеет место
D.3.26)' ф{х)(рв{а)
ч (a) vh] ( - (х - а) ~ + гО, (х - а) + - »0)
D.3.34)' ф{х)(рв1,{а)
= «—: ■,-#'в(д)v.x>(—(x—a) + г'О, (х — a) + — z'O)
2 sin nl' '

144Гопономные квантовые поля IV
£ <РВ 1-&,{а) **♦,(- (х-а)~ + *0, (х-а)*- *0)
II ^ I-.-I-, («) *£, ( - (* - а) - + *0, (ж - а) + - »0),
для /' « l/2(mod Z). Формулы D.3.41), D.3.42) и D.3.43) следует несколько
видоизменить. Обозначив <Р^у^.а) через vP*(a), мы имеем
D.3.45) d
D.3.46) ф
D.3.47)
+ ~Vb(a)^[a].- g ^ ^(a)VJ[a] + ••• .
Теперь сформулируем аналогичные результаты в ортогональном случае.
Мы опускаем доказательства, которые являются повторением предыду-
предыдущих.
Замечание. Ниже мы изменили определения операторов ч>Р (а; /), ^>f (a; I)
и <pf,*(a; l) по сравнению с [7].
Мы отправляемся от операторов ф(и) и ^*(и), удовлетворяющих следу-
следующим соотношениям:
D 3 48)
О 2ж\и\д(и+и')
Ж\и\д(и + и') О

Гопономные квантовые поля IV145
,л * a*s /<<К*ЖО> <Ф(Ц)Ф*(Ц')>
(Д. л 49)
^- • J 1"*'^"-^> <Ф*(ц)ф*(и'))
о
¥д(и + и') О
Положим для £еС
С4. 3. 50) фг (ж) = JV» @ + *«) «e-i-c«+—-H(«),
D. 3. 51) ФТ (х) = \du @ + £и) |е-""<"'1М
Среднее <^(х)^'(х')> = <Ф*(х)Фг<*')> равно выражению для
,(х)*>*(х')>. приведенному в D.3.8).
Мы определим р^{с; /) е s\WF) следующим образом:
D. 3. 52) р,О; 0 = 2 JJi*ie'2J,(e, и'; 1)ф(и)ф*(и')
где
D. 3. 53) RF(u, u';l) = -2i cosnl (Z^y
\и — гО/ гс + и' —
и определим операторы ^а; /)»<pf (в; /) и ^Г(а; 0 при помощи следующих
равенств:
D. 3. 54) Nr dpr (a; I) ) = ехр (р, (а; /) /2),
D. 3. 55) Nr (jpf. (a; t) ) = </<,. (а) ехр (р, (а; Г) /2),
D. 3. 56) Nr dp? (a; I) ) = # (а) ехр (р,(в; /) /2).
Отметим, что
D.3.57) Rr(u,u';t)=—Rr(u',u;\ — t)
и что кососимметрическая часть функции Rp(u, и'; 0) совпадает с ядром в
D.2.47). j
В дальнейшем будем предполагать, что !ф — + Z.
Теорема 4.3.6. Формулы локального операторного разложения имеют
следующий вид:
D.3.58) /*+<*)*'(«; 0

146 Голономные квантовые поля IV
со
= Zl ^-i+i+i (а; 0 • w-t+i+j ( — (л; —а) " + гО, (х — а) + — гО)
+ f] ^,_ Да; /) • w,* ,( - (со - а) ~ + *0, (ж - а) + - *0),
D.3.59) (
= f] ^ (а; 0 ' »i+i ( - (я - а) " + *0, (ж - а) + - zO)
а; 0 <*_ (ж) / И W («; 0 ^-
Произведения
равны правым частям соотношений D.3.58) и D.3.59) соответственно при
т (дс — а)т т Я) вместо т (х — а)т d= Я).
Введем следующие операторы:
D 3. 60) Nr Qpr ,ti,, (а; 0 ) = Л. («) Л. 00 е"<""^.
D. 3. 61)
D. 3. 62) NrO, ,,,J5(a; 0) = -
Теорема 4.3.7. Предполагая, что /,/'#— +2, имеем
D.3.63) (
/u
D. 3. 64)

Голономные квантовые поля IV 147
г 7,<Р* О; Г) к>_,, ( - О - а) ~ + гО, О - а) + - ,0)
2 cos ш
+ fl<Pr -i+i+i.Ka; 0w_,+1+X -(л; - а)' + гО, (х - а)+ - г)
2 cos id
+ 13 ^ -w
i*
?.?/ ,. (а; 0 w,+Д - (л; - а) ~ + гО, (л; - a) + - гО)
S
D.3.66)
2 COS 7Г/
- Tr-t-bVr {*; О to? (; - (л; - a) " + гО, (j: - a) + - гО
2 COS 7Г/
Произведения
$ {а; I) ф. О) /' Vf/ (а; I) ф. (х) I'
и т.д. /таены правым частям соотношений D.3.63), D.3.64) и т.д. с
ч= (яг - а)* т Ю «место т (г - а)Т ± Ю.
Следствие 4.3.8 Справедливы следующие коммутационные соотноше-

-f
148 Голономные квантовые поля IV
ния в области, где х и а взаимно пространственноподобны:
D.3.67) <рг(а;1)ф±(х)
;)^j,(<z;£) , если х+^>а* и а
[-е*""ф±(х)<рг(а;1) • **» х+<а+ и х~>а~.
D.3.68) срг(а;1)ф%(х)
1>*(х)<рг(а;1) ,если х+>а+ и х~<а~
{-е-г"{1ф1(х)<рг(а;1),если х+<а+ и х~>а~
Если V ■ — /(modZ), то имеем
Q4. о. ЬУ^ (pi' \а > I) г± \Х)
ф±(х)<р?'(а', 1~) у если х*~^>а и Р <~~а
г1к{1ф±(,х)<р(^а;Г) , если х+<а+ и х~>а~,
[Ф1(х)<р1(а\) ^ х+>а+ и х<а
= \е-г'{1ф1(х)<р(>(а;1) , если х+<а+ и х~>а~
Если V т /(modZ), то имеет место
D.3.70)...??>; О ?*(*)_
(—ф±(х)<р{,'Ха;1) , если х*>а+ и х^<.а~
\ег"{1ф±(х)<рГ.\а;1) , если х+<а+ и х~>а~,
а;1) , если х*>а+ и
е-г*11ф*(х)<р1\а;1) , если х+<а+ и х~>а~.
Предложение 4.3.9. Имеют место следующие равенства:
D. 3. 71) dфl (a) =<Zij+11
D. 3. 72) <Щ (а) = </?+1 (*) d( - та') + фТ-г (a) d (ma+) ,
D. 3. 73) dpr(Pi t) = -2i cos тг/^,_1+1*(а; Z)d(-ma')

Голономные квантовые поля IV 149
Теорема 4.3.10. Обозначив w_f(-(x - а)~ + Ю, (х - а)+ - Ю) через
w_/[a] и т.д., мы имеем
D. 3. 74) -2г
D.3.75) -«
= {<р,(а; Г) +2icosnl-<pP _i,,*(a; 0>Wi
; 0
При рассмотрении первоначального оператора ч>р(а) определим pf(<z) и
4>Fivi2{a) следующим образом:
D. 3. 76) Nr CspT («) ) = Л («) e"m/t,
Nr («<,,, (а) ) =фг, (а) 0ц («) «"«•»•,
где оператор ^(х) задан выражением D.3.50) с первоначальным ф(и), удов-
удовлетворяющим соотношению D.2.44). Обозначим <р%(а) через ^(в). Так как
функция Rjiu, W, 0) не является кососимметрической, формула локального
операторного разложения для ч>р{а) несколько отличается от формулы для
<р/а; 0). Получаются следующие результаты (см. также Г5]):
D.3.77) l^l^l )
D.3.78) (^С^
D. 3. 79) t/^(a) = —i(pFl,t{a)cLi — ma~') +i<pr-u<l(a)d(ma+).

150 Голономные квантовые поля IV
D. 3. 80) d(f(a) = <pf (a) d(-ma') +<pit (a) d(ma+)
§ 4.4. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ И т-ФУНКЦИИ
Мы перейдем теперь к рассмотрению различных вакуумных средних
значений, включающих операторы >р£а; /), *>/?(а; /) и <pf'(a; l) (или их орто-
ортогональные варианты) и свободные поля Ф(х), Ф*{х) (или ф(х), ф*(х)). Наша
цель состоит в том, чтобы связать их евклидовы продолжения с волновы-
волновыми функциями, имеющими специальные свойства монодромии, и тем са-
самым установить связь с теорией деформации, изложенной в предыдущей
части Ш.
Наш способ достижения этой цели делится на два этапа. Настоящий
§ 4.4 — это формальная часть, в которой мы выполним указанную про-
программу, используя свойства полевых операторов, принадлежащих группе
G. В этом контексте естественно возникают параметры Л = (Х^), введен-
введенные в § 3.2. Однако ни положительная определенность Л, ни веществен-
вещественность показателей /„ локальной монодромии не являются здесь необходи-
необходимыми, по меньшей мере формально. Следующий § 4.5 посвящен аналити-
аналитической части. Применяя формулу произведений, мы получим представления
для волновых и г-функций в виде бесконечных рядов и докажем их сходи-
сходимость в комплексной области (предложения 4.5.1 —4.5.3, теорема 4.5.4).
Таким образом, формулы, выведенные в этом § 4.4, получат строгое обо-
обоснование.
Пусть х, х*, av ... ,ап обозначают попарно пространственно-подобные
точки в ХМт. Рассмотрим следующие вакуумные средние значения, кото-
которые в дальнейшем мы будем называть бозонными волновыми функциями
(в пространстве Минковского):
D. 4.1) ■аов(х*,х\ Lj =<Ф* (.х*) VsOhl k)
■шв„{х; Ь) =(<рв(аи k) —<ff, (а,; 1„)
' zv&(x*; L) =<ф*(х*)<рв(аи k) —Л,(«,; I.)
Аналогично определим фермионные волновые функции (в пространстве
Минковского) Wfbc*, дг, L) = {wFeU(^c*, x\ L))e e.= ±, wFr(xi L) = '(wFj>+(r,
L), wFt_ix; L)) и wpJLx-, L) - '("&,+(x«, L), wFr_(x*\ L)):
D. 4. 2) ww(x*.x; L) =<^*(^*) Vriflii А) -<Рг(ап; 1п) фе(х)>
wF,x(x;L) =<^(e,; Z,) •••?f,*(a,; I.)
wt.±(x*i L) =< A

Гопономные квантовые поля IV 151
Мы будем иметь дело также с бозонными и фермионными г-фунюшями1),
определенными следующим образом:
D. 4. 3) rB(L) = тв(аи •■•,«*; L) = <рл(а,; к)
Te(au ■•-,an;L) =<^(o,; k)
Очевидно, D.4.1) или D.4.2), рассматриваемые как функция хях*. являют-
являются решениями двумерного уравнения Клейна,— Гордона D.1.1) (с л = 2)
или уравнения Дирака D.2.42) соответственно2). Их локальные свойства
выясняются немедленно при помощи теорем 4.3.2, 4.3.3, 4.3.6 и 4.3.7.
Предположим, например, что х+ > а*+1 > аг\г > ... > а+. Из D.3.8)
следует, что ф(х) коммутирует с ч>£аг; Г) (у + 1 < д < л) в этой области.
Поэтому в этой области имеем wrfx*, х-, L) = < ФЧдг*)*»^; 1г) ... ^а,;
IW&Piffi,^ lv+i) — <р^а„; /„)>• Применяя формулу D.3.26) для
*Жар11№$г получаем, далее, локальное разложение для wfa*. x; L) в точ-
точке а,. В дальнейшем при выписывании локальных разложений мы будем
предполагать, что х*+ > af > ... > а+ для Wg, wBr, wp wFy и х*+ <
aj1" < ... < а+для w%y, w$v. В противном случае разложения должны быть
модифицированы в соответствии с коммутационными соотношениями
D.3.28), D.3.29), D.3.37), D.3.38) или их ферми-вариантами.
D. 4. 4), пи О*, х; L) = —vB (L) • 9,l±*J
ж
У* ( с?°
= < -Ф* (х*) Ф,. (**) : ?>л (а4; А) • • -<рв (а.
D.4.4),
C/eZ)
f.%
"Ввиду отсутствия знака упорядочения по времени средине значения D.4.3),
возможно, правильнее было бы называть функциями Вайтмана. Учитывая условие
микропричинности для е-полея (см. § 4.5), можно не различать эти понятия, так как
мы работаем в области пространственно-подобных аргументов.
3 В случае w/x', x; L) ее транспонированная удовлетворяет D.2.42) по ж*.

152 Голономные квантовые поля IV
D. 4. 5)„,, xvBlt(x;L)
J47 »^i-+«.-
2 sin 7г/^
где т>,[а] =i7,(— (x — a) " — iO, (x — a)* + iO) и т.д.
D. 4. 5) * «;*, (я*; L) = g c,«+i (t»b) • v'M [a.] .
2 si
• t;*LiC«J.
где i/'Да] = vX - (x* - a)" + Ю, (x* - a)+ - /0) и т.д. При выводе
D.4.4) мы применяли формулы1'
D.4.6) в-|-<~+--'-1>= 2
Положим
D.4.7)

Гопономные квантовые поля IV 153
D. 4. 8) Y"-Euc = У*1*7 Л
Мы увидим в § 4.5, что волновые и т-функции аналитически продолжаются
в область вида D.4.7) (например, (х*. аг ап, х) е У+2- с для шд(к*, х;
L)) в частности, соответствующую евклидовой области D.4.8). Более того,
они ограничены в пределе Im(x* - а}* — - оо, Ьп(х - а)* — +
+ ооA < I. < л) и 1ш(ам - а,)* ооA < ц < v < л). В дальнейшем
мы будем часто записывать переменные ( - х~, х+), ( - х*~, х^+) я
( - а~ а„+) в евклидовом пространстве А"Еис как (г, г), (г*, г*) и (а,, аг) со-
соответственно. Евклидово продолжение w^x*, дт, L) также обозначается той
же буквой w^iz*, z: L) и аналогично для wBr, w%r или тв.
Пусть теперь
D. 4. 9) G)B(x*,x;L)= nzvB(x*,x; L)/тв
•О)лд (х; L) =2 sin nlM ■ гоа„ (х; L) /xB (L),
Й>|д (л;*; L) = 2 sin тгг, • то*, (ж*; L) /г
Из локальных разложений D.4.4H — D.4.5)^, следует тогда, что евкли-
евклидовы продолжения функций D.4.9) являются на X' - Л*1* - {(«,,
а1)}у=1 „ многозначными функциями с монодромией C.2.3). Это в дейст-
действительности является непосредственным следствием коммутационных со-
соотношений D.3.28), D.3.29), D.3.37) и D.3.38) для ^-полей и свободных^-полей
(ср. § 2.2).
Собирая все вместе, мы имеем
Предложение 4.4.1. Для 1Х /„ eC\Z евклидовы продолжения функ-
функций w£c', дг, I), 1*Вм(дг, Ш < у. < п) и w'gjx-, Щ1 < ц. < л) являются
линейно независимыми элементами пространств %llti^
bJ.^ соответственно. Они являются каноническими в том
смысле, что выполняются соотношения C$^(w^ — 1, С^].^ (w^) = О,
Сф-ы &в,) - К, и С*-^ (>*V - V В частости, если к <
< /j ln < к + 1 для"некоторого keZ, то они совпадают с функциями
ИоСг*. г; L), vM(z; L) и t?M(z*; L), построенными в ч. III.
Замечание. Строго говоря, мы должны наложить некоторые ограниче-
ограничения иа область изменения х*, х, at и /„. Точные утверждения см. в § 4.5.
В частности, из D.4.4H — D.4.5)^ мы получаем следующие выражения
для скоДг*; Ь) я т.д. из § 3.2 через полевые операторы (ср. C.2.12)):
D. 4.10) а„,(х*; Ь) =п<ф*(х*)<рв(а1; h) -Л,+х(в,; h)
-<Рв(ап;1п)У/гв(Ь),
2 sm ш.

154 Голономныв квантовые поля IV
а„ (L) = 2 sin п1ягв'„ (L; 1„, -l, + l) /г, (L),
где мы положили
D. 4. 11) гв-„(Ь; I, I') =<^(о,; h) -<pf* (a,; IJ
==<.9в{аг\ h) •••<Pini>(af.; 1„) •••<рв(ал;
Отметим также, что из D.3.41) следует
D. 4.12) _—I -log tB (L) = - c*Ut(fi>,.).
9
Формулы для фермионных волновых функций получаются аналогично.
Мы положим
и»^> (л;*, х; L) ='(w,±+ (л;*, *; L),
Предполагая, что /reZ + -(»=l л), имеем
D.4.13). »^*;*)
2 ^) %,!>] 2
D.4.13), и>9*(я*,х; L) =

Голономные квантовые поля IV 155
D.4.14)
(Pf*,-i.+J
D. 4.15),, zvt,(x*; L) = -
где *'Да] = w,( - (г* - а)" + Ю, (дс* - а)+ - Ю) и т.д.
Пусть
D. 4. 16) «#(:с*, ж; L) =ж*г
й>#.Л (я:; L) = 2г cos 7Г^ • г»,, (я;; L) /t>
Й)|, (я;*; X) = 2г cos 7rZ, • w?^ (x*; L) /xr (L).
Предложение 4.4.2. Для /, /„ e С \ (Z + -) евклидовы продолже-
продолжения функций w^V, дт, L), wFll(pr, I.X1 < м < л)^ Ц.С**. L) A < ^ < л)
являются каноническими независимыми элементами пространств
F^S1,:::^ u WF.a\,'.'.'. 'i"** соответственно. Если
к - Yi < 1г 1п<. к + Yi для некоторого keZ, то функции vfe\z*, z;
L), wFjl(z; L) и w*F(z*\ L) совпадают соответственно с функциями
^\* L) { L)
:*, z; L), wjtz; L) и wflz*; L) из части in.

156 Голономныв квантовые поля IV
Формулы D.4.13Х,- D.4.15)^ и D.3.73) дают теперь следующие соот-
соотношения (ср. C.2.22)):
D 4 17) а
2/ 2cos7rf,
-|) = 2* cos тг/, • г,* (L; г„, - г,+1) /г, (L)
1) = _ д„+2% cos тгг, • г,* (L; г„, -1.) /r
где
D 4.18) r,;,(b;/,O =
—?/(о»;40>
D. 4.19) ——- -log т, (L) = c%+i (й>,,)
—-logr#.(L) = ct?Xi(ji>F.) ■
Отметим, что D.4.11) и D.4.17) дают различные выражения для одних и
тех же величин a(L), /9(Z,). Вообще, ввиду изоморфизма C.2.1S) мы имеем
следующие соотношения между бозонными и фермионными волновыми
ФУНКЦИЯМИ!
D. 4. 20) <^* О*) ^ (в,; h + у) • • •?* (а,; Z» + -|-) ф (х) >jrB (b +1.)
D.4.
D. 4. 22)

Гопономные квантовые поля IV 457
± О*) <pr(ai; «-^«.O.; О
Связь с теорией деформации позволяет нам выразить г-функции в явном
виде через решения нелинейных дифференциальных уравнений в полных
дифференциалах C.3.24). Из D.4.11) и D.4.17) мы имеем
D. 4. 23) - d log гв (ь + А.) = d log r, (L) =
a)
где w = co(L) означает 1-форму C.3.57), соответствующую W = w(L). Как
мы увидим в § 4.5, г-функции удовлетворяют граничным условиям т^Ь),
TjUJU) — 1 при \aji - ау\ — со (ц Ф р). Поэтому из D.4.23) следует далее,
что
D.4.24) г
Замечание. Соотношение D.4.24) — интуитивно очевидное следствие
формул A.5.7) и (П.31). Заметим сначала, что симплехтическое векторное
пространство WB в § 4.1 и ортогональное пространство WP в
и-представленин совпадают, включая голоиомиое разложение V* ® V. Бо-
Более того, вращение Г, индуцированное оператором <рв - р^а; I + — ), со-
совпадает с вращением, индуцированным ч>Р = ч>р{а; I). Если мы обозначим
проекторы на V* или V через A ± £)/2, то из A.5.7) и (П.31) следует
Учитывая, что <«>в> = 1, <y>f> = 1 и £2 = 1, мы видим, что
1.
Поэтому соотношение D.4.24), примененное к произведениям «^вр
/1+-)...«>в(ал; '„+-) и ^aj; l{)...<pjtfin; /„), показывает, что их сред-
средние значения взаимно обратны.
Мы обобщим теперь приведенное выше обсуждение, для того чтобы
учесть п(п — 1)/2 параметров А. Как показано в ч. I (или в приложении к
этой части), при изучении вакуумных средних значений вида <£,... #„>
естественно рассматривать некоторое расширенное снмплектичесхое или
ортогональное пространство, параметризованное симметрической матри-
матрицей А = (Х^ с \п — 1 (i> = 1 и). Пусть «! еп будет базис в С".
Мы зададим в С симметрическое (возможно, вырожденное) скалярное

158 Голономные квантовые поля IV
произведение, положив <«м, е„> = Х^Дд, к = 1 л). Рассмотрим сим-
плектическое векторное пространство W£K) = (WB ® С2) ® С", в кото-
котором скалярное произведение <,>д и среднее значение < >л на базисных век-
векторах ф^\и) — ф(и) ® ем, Ф 'Чи) = Ф*(и) ® вм задаются следующим
образом:
-ч
Мы определим операторы *}*>(*), *;W(x) (D.3.5)—D.3.6)), ,£>(gr; /)
(D.3.30)—D.3.32)) при помощи указанных формул, используя *>(г)(м), **(
вместо ф(и), ф*(м> соответственно. Из определения D.4.2S) и условия
Xw = 1 следует, в частности, что средние значения (и поэтому скалярные
произведения) операторов фм(и) - X^<->(m) и *(''(м'), ф*(р)(и') равны
нулю:
(и) -Д><" (и) ) ,5й" (и') >,-<),
(«) -Х„ф™ (и))^*й)<и') >,=0,
<ФМ (»') (Ф1* (и) - Я>(" (и) ) >,=0,
<^*й" (и') (ф* (и) - Д><" (и) ) >,=0,
и аналогично для Ф*^\и) — \1и1Ф*^\и). Это наблюдение приводит нас к
следующим следствиям: @ формулы локального разложения D.3.26) —
()£>
D.3.27), D.3.33) — D.3.36) справедливы для произведений ф(р)(г)у>£>(а; I) и
т.д., имеющих одинаковый верхний индекс (соответственно правые части
этих формул должны иметь одинаковый индекс »), в то время как (И) про-
произведения (ф^^х) ■- ^(''(х)Цг)(в; 0 в т.д. с различными ц, v не приводят
к сингулярностям при х = а. Чтобы убедиться в (Я), мы отметим, напри-
например, равенство
D. 4. 26) Nr((ф<* (х) -Х„фы (ж))<&(a;t))
= (ф"» (х) -

Голономные квантовые поля IV 159
g
и тому подобные.
Таким образом, коммутационные соотношения между «мюлями и сво-
свободными полями ф^Сс). ф^Ч*) выглядят следующим образом. Для
удобства мы используем векторные обозначения ф(х) = (фA)(*)> ... ,ф(л4х)),
ОЧ()
D.4.27) <р${а;Г)ф{х)
_Шх)<рР(а;1) .если х+>а + и х~<а
~Ь (*)«*» («; О Л/, @ , если х+<а+ и х~
a;i) , если x+>a и j
а\Г)М,A)-1 , если x+O + и
Здесь мы обозначили
D. 4. 28) М, (I) ±х = 1 + (е±г-« -1) £,Л
v
Подобным же образом операторы ч> ^rh{a; I) и (rf'^'Ha; l)(J e Z) удовлетво-
удовлетворяют соотношениям D.4.27), где p£V;O заменены на «> 2$j(fr,l) и «^J^-
- (а; /) соответственно.
Теперь мы рассмотрим (л х л)-матрицы н-^дс*. дс; I., A), w^x; Z, X) и
w|(x*; £, А) волновых функций, 0*. е)-е матричные элементы которых да-
даются выражениями
D. 4. 29)
,х; L, Л)„ = <^*(" (д*)^ (в,; /,) -^ (в
; Ь, Л) ^ =<ffP (в,; А) ■ • •<« (а,; 1М) ■ ~tf* (а,; 4) tf(» (х) >, ,
*; L, А)я. = <ф*^(,х*)^(а1; h) -cptV. (a.; I.) -^\ап;

160 Голономные квантовые поля IV
Мы положим также
D. 4. 30) гв (L, Л) = гв (аи • • •, ая; L, Л) = <>вц (<*i; А) • ■ • ^i*' («»;
Из D.4.4)п — D.4.5)*„ мы можем без труда получить локальные разложе-
разложения для D.4.29). Предполагая, что 1Х, ... , /„ eZ, имеем
D. 4. 31)„ -wв(х*. х; L, Л) = Lta(L, л) ■ Л• ».[>*]
7Г
D.4.31), и;в(х*,х;Ь,Л)=1]С/
5,Л-и,*+,[>,]
где » означает «по модулю однозначных регулярных функций», a Cj A(wB)
и C*A(wB) обозначают матрицы с матричными элементами
C/SZ)
Аналогично мы имеем
D. 4. 32), ю, (х; L, Л)
(в.; /0
2 sin 7fi
D.4.32),* Ч«* (*•;!,, Л).
'

Голономные квантовые поля IV1<И
№, (а.;
Положим
D. 4. 33) fi>*(x*, x; Z,, Л) = 7TwB(a:*,x;L,A)/tB(L, A),
•S>B(x;L,A) =2smitL-wB(x; L,A)/tB(L,A),
'u>JT (x*; L, A) = 2 sin nL • 'wjT (x*; L,
и обозначим через м»а>1(х*, х-, L, А), м»в>1(дс; I,, А) и Ф^С**; I,, А) соответст-
соответствующие м-ые векторы-строки из D.4.33).
Предложение 4.4.3. Для /р ... , /„ е С \Z евклидовы продолжения
функций wBjLz\ v, L, A), wBlJLz; L, А) A < м < я) и &£„(«*; £, А)
являются каноническими независимыми элементами пространств
^$^й' ЧР (\») " хь хя») —\зто *-* строка матрицы А) и
| соответственно. Если к < /,,... ,/„<*+ 1 для некото-
рого keZ, то они совпадают с функциями vtfL; A), vp(L; А) и
VgCL; А) соответственно
В частности, мы получаем (см. C.2.D1))
D. 4.34) а.,(Ь, Л, Я,) =*<*•«« (
2 sin 7Г1,
а,,(Ь, Л) = 2 sin п1„• tB;.(L, А;1„ -1, +1)/tB(L, А),
Р„(L,A) = - д„ + 2 sin 7Г/, • VB;. (L, Л;1М, -1,) /rB (L, A),
где
D. 4.35) хв%(Ь, Л; J, /') = <«# («i; A) -^T^ («^; ^) -
■ ■ -^w (в.; /.)

162 Голономные квантовые поля IV
D 4. 36) —г- rbg fB (L, Л) = -
Ортогональный случай совершенно аналогичен. Мы положим
<*().*(» (и). **от («')>
D.4.37) ^
(кH^(«')
и определим операторы $\а; /) и др. подобно симплектическому случаю.
Фермионные волновые функции Wjfyc*, x\ L, А) » (wft.,,(x*, д^ I,, А))в ,. *
±, W/f(x; L) ш '('wp+Qr, L), 'wp_(pr, L)), wp(?c*; L) -
ж (y^F+ipc9, L), wp_(?c*, £» являются теперь 2л x 2л, 2л х л и я х 2л-
матрицами вида
D. 4. 38)
«;*±(x*; L, Л)^=<0*
т-функция равна
D. 4. 39) t,(I,, Л) - <^ (в,; « ...„Jf> (в.;
^едпола™,, т I, /„ez + и. мы нолу^ем ло»лышс р^ложения
D.4.40), i<LA
*, x;

Голономные квантовые поля IV 163
D. 4. 40)„ и#> (х*. х; L, Л)
D. 4. 41), и;,(х; i, Л) >m~itr(Z<;Л) £,Л• w_t>[д.]
2 COS 7Г*„
/я)>.
.; 10 •
D.4.42), Чю>(х*; Ь, Л) -f] С,.,(*«#
;f> Е.Л-
Следовательно, если положить
D. 4. 43) ©£.*> (x*. x; ^, Д) = jbwJ?> (x*, x; L, A)/tr(Lt A),

164 Голономныв квантовые поля IV
•S>F(x\L, Л) = 2* cos itL-wr{x;L,A) /tF(L, Л),
'&$ (*•; L, Л) = 2г cos тгЬ ■ 'и;* (z*; L,
то их /t-e вектор-строки (соответственно столбцы) w<jj) (**, дс; X, А),
н»^(дг; £, А) (соответственно w'/ix*; L, А)) явлпотся каноническими незави-
независимыми элементами пространства W i*i%!}i'".'!.*JFk* (А, Х^ (соответст-
(соответственно »Р"/|^:>|»|***(А)) в том смысле, что Cg»(w(*) ж о,
C*('2C»vJ.) ж « В соответствии с D.4.16) — D.4.18) мы имеем (ср.
C.2.44)Г
D. 4. 44) at«(i + l-, Л, X,) =3B'<0S«(j*)riP(ei: /0-^?+i(e»; О
2 / 2 cos я/,
D.4.45) a^(L + ^,
(b + -I, Л) = -<5„.+2i cosTtl.'-Cr* (Z,, Л; /„ -г.)/г,(L,
где
D.4.46)
(в.;«••■«»?» (в.; /.)
Все соотношения D.4.19) — D.4.23) также справедливы с очевидными изме-
Наши первоначальные величины D.4.1) — D4.3) получаются как специ-
специальный случай \, = 1 для всех ц, v = I, ... ,л (ср. предложение 3.2.14).
Рассмотрим теперь наиболее общие волновые функции
D. 4. 47) <^*«.к
D. 4. 48) Щ^

Голономные квантовые поля IV
165
В D.4.47) мы положили ф'<*# - ф'^ЬС t), чф
ф^в:^ (рср, и поля qP^d, которые обозначают либо f^L^ (a,k; 1VJ, либо
ff'<f>lKor i l,)> берутся при г .» i»j, ... ,•>„,. Подобное соглашение использо-
использовано в D.4.48), где е'р t} » + или - . Отметим, что D.4.47), D.4.48) рав-
равны 0, за исключением случая, когда к + т + 1 я число помеченных звез-
звездочкой операторов ф'Щ, ^*>*> (или f'W, iffbd оба четные. При помощи
таких же рассуждений, как выше, мы видим, что евклидово продолжение
D.4.47), рассматриваемое как* функция.(?,, Zj) » ( - Jcf, x+j), дает
элемент функции, цринадлггшипсй пространству
/-0
(кх =: xt — строка матрицы А), и поэтому является линейной комбинацией
Дунхций wfc} «,, [, A, XJ A < / < *),
Wj(Zi; L, A)w (I < м < я). Подобные рассуждения применимы в отдельно-
отдельности по каждой переменной дс/или дсу. В самом деле, мы имеем следующую
формулу, которая есть прямое следствие формулы (П.27):
D.4.49) й>4'»
Hafhian
0
• :
0 f*t*i ... £*i*n
0
0
D. 4 50)
обозначает D.4.47), и
jg . Wjf (z*; i, Л) «r/rB (Ь, Л),
*, л,; L, Л) ,^rB(Z,, Л),
-~ jZy в * 'Bufr ** v ~ V'ra^» л>» если ^ч>/ помечен звез-
* ч^- — нет. Для; симметрической матрицы (fl^i<iJ<k мы поло-

166
Голономные квантовые поля IV
жим Найшш(а^) = 0 (* — нечетное), = V ау ;2...вЛ1Л(*-четное) и ниж-
нижний треугольный блок в D.4.49) опущен при условии, что матрица внутри
симметрическая.
Подобным образом в ферми-случае мы имеем
D.4,51)
Pfaffian
Снова wp
D 4 52)
0
п>\ л*,
F»l Fit,
• •
• •
• •
Fhk Fhh
о f?* — ?;-*»
• •
0
• •
• •
• •
• •
• *
* •
• •
0
^ означает D.4.48) и
= -w% (x*; L, 4) JvF (L, Л),
g = fflf (x?,. л:,; L, A) „/xr (L, Л),
xvr{х„; L, Л)„Jir~(X>, A),
В D.4.51) и D.4.52) мы для простоты записи опустили индексы е*, tj. Для
кососимметричесхой матрицы (oijI<lj^k мы положим Pfaffian(a,^) = 0 (it-
нечетное), = £. sgn (\ l '"J) ajyh... «^_^(* - четноеI) и нижний
треугольный блок в D.4.51) опушен при условии, что матрица внут-
внутри — кососимметрическая.
Формулы D.4.49) — D.4.52) показывают, что величины и>д(х*, х; L, А),
и>д(х; L, A), wj(x*; L, А), г%^{Ь, А; /^, -уиих ферми-варианты элемен-
элементарны. С другой стороны, они характеризуются линейными и нелинейны-
1} Как хорошо известно, (Pfaffian^J = det4, но гафниан Hafiuan А не свя-
связан с определителем А.

Голономные квантовые поля IV
167
■ффер.
альнымн уравнениями в полных дифференциалах в соот-
ми
ветствии с результатами части III. Таким образом, мы имеем полное опи-
описание произвольных волновых и г -функций.
S 4.5. СХОДИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
■i этом параграфе мы используем формулу произведения для того, что-
чтобы строго определить произведение наших полевых операторов. В частно-
частности мы получим выражения для г-функций и волновых функций в виде бе-
бесконечных рядов. Наша идея доказательства сходимости та же, что и в
S 2.3. В противоположность расходимости выражения B.2.28) в одномер-
одномерном случае здесь сама r-функция имеет представление в виде сходящегося
ряда. Мы будем в основном иметь дело с симплектическим случаем. Орто-
Ортогональный случай рассматривается аналогично.
Следуя обозначениям, применявшимся в предыдущем параграфе, мы по-
положим
и+и'Ю
где R%Ku, W) m Rg(u, и'; /,)ехр{ - юи(аДи + и') + а^У + и')))
Ая(и.и')
Аг,в(-и)
2*\и\8{и+и
А):
Из (П.24) мы имеем следующий бесконечный ряд для
D.5.3) logrB = 2^i Г--- [duv-duu trace AB(uu «Q-RB(«,, и,)
Мы положим е^ ж ± i, если p s i>, ж 0, если ц ж v, и определим
D. 5. 4) е„ (и) = Х^е^в (- е„„и) х г—

168 Голономные квантовые поля IV
D. 5. 5) , Ев (к) = (рт (к) ) ,.,_,.„.„,
/2 sin 7r/i
D.5.б)в )|
8Ш7Г/П/ «-
Тогда D.5.3) перепнсывается следующим образом:
D.5.7)
X trace Ев (и,) Рв («i, «t) • • • Ев («z) Р* («z. «i) •
Пусть Щ — относительно компактное открытое подмножество в У>сх
х С х с'*|~1)/2, где мы отождествили С и С"<||")/2 с пространством
параметров [L » (в^,)^,«1 л) и {А « (Х^,. 1§..ifl, I X^-X^, Xw = 1
О», у » It •■• ^»)) соответственно.
Мы обозначим через £^ и Р, ограниченные линейные операторы в
L2^ х R) = L^ x R; (</м/2т) х (<*к'/2т)), определенные следующим об-
образом:
= Г
J—
и —и
Мы положим также
Ci= max sup
C»= max
(«'. «О
где 111 • II li2(R x R) обозначает операторную норму.
Предложение 4.5.1. Предположим, что СХС2 < 1/л. Тогда ряд в пра-
правой части равенства D.5.7) сходится равномерно в Uo.
Доказательство. Подынтегральное выражение в 1-м слагаемом в D.5.7)
состоит из п1 функций вида
D. 5. 8) *•„«„ («„-,«,)= е»,, («О
Xgw.(«Q 2^Ж^ -е^Ы .2si.n?rf^ •
Нам достаточно доказать неравенство
D.5.9)

Голономные квантовые поля IV 169
для некоторого е, такого, что 0 < е < 1 и О 0. Без ограничения общно-
общности предположим, что в • в = — 1. Пусть т будет целое, такое, что
е • е — = е е = 1 и е ■ е =—1.
Тогда мы имеем т < I. Предположим, что « = -1. (Другие случаи
рассматриваются аналогично.)
Мы положим
D. 5.10) /i(»lt к»+1) =
«..,-«.
х () 2sin7r^<? ( 0
D.5.11) G.(и»+ь «О = «*...*...(«»+!) | -^=±L- Г-^Г
1 - 27Г J-» 2ТГ
Для (в,, ... , <*„) e У"' с функция г^и) экспоненциально убывает при lul
— 0 или оо. Поэтому функции
Ми, и') = е(«) 2
и —и
принадлежат L2(R x R). Положим
где I • 1^,2A; х R) обозначает норму в L^R x R). Так как/! = Р^Е
- Л./о и *i - Еы + 1Ы + гры + 2 - ^ *о принадлежат L2(R x IR), спра-
справедливы следующие оценки:
Г
J
2тг 2тг

170 Голономные квантовые поля IV
■|Я
Таким образом, оценка D.5.9) доказана.
Выберем i», ... , »к так, что 1 < i», < i»2 < ... < vk < л. Рассмотрим
logT-д в пределе
D. 5.12) imin Im (a,l+1 - а„,) *-*оо .
Мы обозначим через А/+1(/ » 0, ...,*- 1) блок-матрицу
fi mQ к _ ц
\
»У+ I'J + 1 " "У + I'J + 1
блок матрицу (&,,JXj + i < ц,»< >j + 1-Тахжахв пределе D.5.12) функция
е (ft) стремится к 0, за исключением случая, когда vj < ц, v < Vj + , для
некоторого у, из предложения 4.5.1 и его ортогонального вариавта вытека-
вытекает следующее кластерное свойство.
Предложение 4.5.2. В пределе D.5.12) имеет место следующее соотно-
соотношение (* = В или F):
D. 5.13) * lim log г* (au ■ ••, о»; L, А)
Обозначая через d внешнее дифференцирование по (аг ... , а„), мы имеем
D.5.14) <f logrB=f] ["• \dui—dui
X-trace 4j(»!, и»)Лв (и», и,) •• • Ав (ии_ь и»,) dRB (uu, и,)
-» 2тг 2тг
2* sin ffW ( — т af)
trace JEbCmOPbCk,, ut)-EB{uM
+ trace иГ1Ев («О Рв (иь ut)--EB (и,) и,
(— 2« sinff/^{mat)
-2i sin 7Clnd (maf)

Голономные квантовые поля IV 174
Поскольку сходимость log 1-0 в некоторой области доказана, \о%тв можно
продолжить в большую область при условии, что сходится dlogrB. Поэто-
Поэтому следующее предложение улучшает оценку области сходимости ряда
D.5.7).
Предложение 4.5.3. Пусть Uo будет, как в предложении D.5.1), и поло-
яшм
С,= max sup ||в^,(и) ^sinff/HU-cB)
Если С, < 1/л, то ряд D.5.14) сходится равномерно в Uo.
Доказательство. Мы обозначим через Ев (соответственно Рв) ограни-
ограниченный линейный оператор в LH&Y вида (Ев»Ки) = Е^иЦЦи) (соотцетст-
О»
венно (РВ1Х«) = j dn'Pgiu, «')*(«') для 1(и) = '(/i(«0. ... , /„(«)) е
—ев
€ L\Rf). Из. нашего предположения следует, что 11 \EgPB\ I I^Ry. X 1.
Обозначим через 'к^ (соответственно J.J д-ю вектор-строку (соответственно
р-й вектор-столбец) матрицы Е^и). Обозначив через (,) скалярное произве-
произведение в L2^f, мы имеем
Г... Г^.
J-« J-« 2тг
| 2тг
= | {к,, Рв (£ВРВ) '
где С6 = Ik^^yl^l/^RylJAw- Поэтому dlog Vd(-ma,-) (v - 1. ...
... , л) равномерно сходится. Подобным образом мы можем доказать схо-
сходимость и в оставшемся случае.
Пусть Ux (соответственно UJ будет относительно компактное откры-
открытое подмножество в С" (соответственно в С1*1 ~ 1)/2). Мы предположим,
что
D.5.15) max sup|Re(Z -/„)
+ min Re /„). Тогда из D.5.15) следует, что IRe Г„\ < 1/2. Положим
р = 1, ... , Я **у
D. 5.16) е'„ (к) = е„ (к) \и\1-~1>,
D.5.17)* Щ,(
/2 sit
D.5.18)в

172 Голономные квантовые поля IV
Обозначим через Е'в и Р'в ограниченные линейные оператбры в Z,2(R)" вида
(К)= Г-^1р^(к>к')G(к'),
соответственно. Ограниченность оператора Р'в доказана в S 2.3. Положим
С« — max sup
Теперь мы имеем
Г... \" ^ •■■ *£-(Ma(udPB{uuut)--EB{ud) ,.
где
|и|\ -,Ч»(и) lei1').
Поэтому мы получаем следующее предложение.
Предложение 4.5.4. Предположим, что C-jCs < \/n. Тогда ряд D.5.14)
равномерно сходится на любом относительно компактном открытом
подмножестве в У"' с х I/, x U2.
Замечание. Комплексифидированная группа Пуанкаре действует на (А4 У
следующим образом: (ajf, ej; ... , а% а^ - (oe,+ + 6+, c~laf + b~, ...
со^"+ b+, c~la~+ b~), где с * 0, й* € С. Функция In r^ax а„; L, А)
относительно этого действия инвариантна. Это очевидно для сдвигов (с =
1). Если с Ф 1, мы можем одновременно деформировать контуры интегри-
интегрирования. Тогда однородность ядра Rg(u, и'; I), т.е. R^cu, си'; /) = Rg(u,
и'; /), обеспечивает инвариантность. Другими словами, для достаточно
малых Хр, и /„ функция log тв аналитична в точке (а, а„) при услов
что для некоторого в выполняется следующее условие:
Im (e±uaf) <Im (e±{'a?) < •
В частности, если ах, ... , ап вещественны и удовлетворяют неравенст-
неравенствам а?< ... < a*, ef > ... > вл"шшв[+> ... > a*, ef < ... < а~, то log тв
аналитична в (а, ап). Отметим также, что In тв аналитична, если
за исключением а*_ , = в+ или в~_ , = в".

Голономные квантовые поля IV
173
Разложение в бесконечный ряд для волновой функции wB(x»,
х) ш Wg(xm, х; в, а„; L, А) получается из (П.28). Положив
D. 5.19) в* (х) = - е'и'\и|~1'в(и) «-*-«•-•.>-•+(—.г--»^
е*
*' (х) =
= | и | -'«в (- и) «-«-«—.)-•+<—л--»^
г: (х) =
мы имеем
5 20} w (a* £\ -
- и) «<-«—^г-+
" (а,;
Зафиксируем точку (в, в„) в У"-Еис = У">с П (A*ucf и выберем (Z,,
ев
А) так, что ряд JJ PtfP^jf сходится. Если Im(x» - вх)* < 0 (соот-
/ -о
ветственно Im (ex - х)* < 0), то вх(зс') (соответственно ех(х:)) принадле-
принадлежит L2(R) как функция и. Поэтому если Im хл* < Im а,+и Ima*< Im х*,
то ряд D.5.20) сходится. Мы рассмотрим аналитическое поведение матри-
цы wrfx'.x}, когж<РС',х)еХВа* х А*»0.
Теорема 4.5.5. Положим Х„ = (Х^, Х^) и Xw » (X,, X,J. Гогдсг
fi-л вектор-строка матрицы wB(x*, x) принадлежит как функция х про-
пространству WftjijVj; f* t ан (А; Х^р, a i>-u вектор-столбец Wg(x*, х) принадле-
Доказательство. Мы фиксируем точку дс* в А*ис так, чтобы
Imx'* < Im af. Обозначив ч>%\а\> ly) через ^(Х = 1 л), мы полол
„( . _

174
Голономные квантовые поля IV
Функция wjtfx) имеет два аналитических выражения, соответствующих
формулам (П.28) и (П.29). Первое выражение, соответствующее формуле
(П,28), имеет следующий вид:
D.5.21)
«1 (х)
При помощи таких же рассуждений, как для D.5.20), мы устанавливаем,
что функция D.5.21) аналитична, если Ime*. , < Im x* < Im а*. Более
того, евклидова инвариантность обеспечивает аналитичность D.5.21), если
а¥ _ , или х = а„. (См. за-
заIm а*_ , < Im x* ^ Im a * за исключением х
мечание после предложения 4.5.4.)
Второе выражение для
<'}(х
которое соответствует формуле (П.29), имеет следующий вид:
D. 5. 22) Я„ Г^к <,-<»«*•-«.>-«+<*•-«.>-->£х>(х- а,; - к)
$-(я^1* (*•).
*»)/!,£,„ (х — а,; —и)
0
e» (a.j Я„,£,, (х- а,; - и)
Доказательство совпадения этих двух выражений, данное в приложении,
работает и здесь, так как оно заключается просто в алгебраических мани-
манипуляциях с ограниченными операторами. Поэтому выражения D.5.21) и
D.5.22) дают одинаковые аналитические функции. Из второго мы видим,
что локальное поведение функции w^x)^ при х *■ аг имеет вид
?(- (х-а.) ~ +г0, (х-а„) + -iO)

Голономныа квантовые поля IV 175
Аналогичное рассуждение для wffx)^ показывает, что функции wj^fx)^ и
мДООрг совпадают, если Im x* ■» Im в*и Re(±jc*) > Re(±e*).
Рассмотрим теперь разности
<У1)у>>"'
где отношения средних значений определяются при помощи формул (П.29),
или, что эквивалентно, (П.ЗО).
Так как мы имеем
Nr (@<"> (х) - КЛ» (х) ) <pf) = Nr (^ (ф™ (х) - Я..^1" (х) ) )
то заключаем, что функции Wgfpc)^. „, и *£(*),,. „. совпадают и регулярны
при х = ар. Поэтому все волновые' функции вида
Рв-1^ (х) <№
(у = 1 л + 1) являются аналитическими продолжениями функции
wB(x*, х)^р,. Локальное поведение wB(pc*, x)^ при х = х* видно из разложе-
разложения
Так как функция w^tx) регулярна при х ■» х*, то м»д(дгф, х)^ обладает нуж-
нужным свойством в этой точке, а следовательно, и во всей конечной плоско-
плоскости.
Очевидно, что Wgfx*, x) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона.
I (
Легко также видеть, что ХЛнорма функции вх(х) ограничена, если Im (г -
- вх)* > е > О (X = 1 л). Поэтому wrfjc*, x)^ ограничена в этой об-
области. Подобным образом из свойств моиодромии и евклидовой инвари-
инвариантности следует ограниченность w^x*, х)^ при 1x1 — оо. Таким образом,
мы доказали первую половину теоремы 4.5.5. Вторая половина доказыва-
доказывается аналогично.
Замечание I. Если мы выберем пару (/, А) так,чтобы^ max JRe (/„ -

176 Голономные квантовые поля IV
- IJ\ < 1 и чтобы ряд JJ Р'вФвРвУ сходился, то ряд D.5.20) сходится
равномерно на любом относительно компактном открытом подмножестве
множества
{(х*. х, аи ••', ая) е (^?сг)я+*|1т х**^!!! af<
(у-1, -, я), 1т а?^1т в* A^<V^«)} X Ui X U,.
Так как мы доказали теорему существования волновых функций в $ 3.2, то
г-функции и волновые функции являются вещественно аналитическими от-
относительно произвольных различных переменных х*, х и ах а„ при ус-
условии, что А — вещественная и положительно определенная матрица и
0 < /„ < \{у = 1 я). Например, для л = 2 это условие означает, что
IX
— 1 < X < 1, где Л = (— — ). Отметим, что доказательство сходимости в
данном параграфе не может быть распространено на этот интервал, если
1в, - аг\ - 0.
Замечание 2. Как отмечено выше в доказательстве, как только мы устано-
установили сходимость бесконечных рядов, формальные рассуждения в б 4.3 и 4.4
становятся строгими. В частности, свойства ассоциативности
D. 5. 23) <pi—$O=»<$V
D.5.24) »-*-»■
<<P<p>
справедливы только если ряды сходятся, так как равенства D.5.23) и
D.5.24) вытекают из возможности перестановки порядка суммирования в
П traceИдЯдУ и в £ [R^A^Bi\^r соответственно.
/-0 л»'-1
Мы выпишем представления в виде бесконечных рядов для нескольких
л-точечных функций из $ 4.4. В дальнейшем мы предполагаем, что
D 5 25)

Голономные квантовые поля IV
177
/«»(*) Я,.
D 5 27)а
X
- а») +)
D 5

178
Голономные квантовые поля IV
f
J
£^(A.,«r (а.) @ + xa)"+', .-, О, Я. ,+1«* ,(а„
x.)(O-xa)-''+*>li.
6
Теперь мы обозначим vjp(av; /,) через ^(с = 1 "). Положим
D. 5. 5), Е,(и) = (-е^в^(и))„„.,.....»,
/2х cos nli . \ 1
D.5.6), P,(«.O-
2х" cos ff/«,
!и—и'+хО'
Обозначив через е или е* знак + или —, мы имеем
D.5.25),
@+ *"
) I •
пл " г — e'y* (x) @ — iu
D.5.26), <<0>---<О9О»,;Ц"-УГ-|)!
^(-^?'(^) @ + х«I'^, -.О,

Голономные квантовые поля IV
179
X
7Г
(x) @-г
.-/_*(- (а^- а.) -, (а^- а.)
.) (о-«о-••+»*,
Г4 5 291
1ИI'*'. -.0,

180
Голономные квантовые поля IV
X
Замечание А. Равенства D.4.18) — D.4.20) проверяются непосредственно
при помощи приведенных выше формул.
Замечание 2. Если мы положим Х^ = 10*, » ж 1 л), то приведен-
приведенные выше формулы дают соответствующие выражения для Тд(£), wB(x*, x;
L) и т.д.
Пример (двухточечная функция). Проведем вычисления для двухточеч-
двухточечной функции более подробно. Мы положим •
и t = 2mV-(af
мы имеем
D.5.30)
>j —02). Выписывая в этом случае формулу D.5.7),
D.5.31)
2тс
1
. X
_«*'
и параметр X равен
D.5.32) I,
В D.531) переменная м^' обозначает и^1 для четных к яи'к для нечетных Аг.
Выражения для средних значений И-полей получаются с помощью формул
D.5.23), D.5.24). Для Аг = 0,1,2, ... мы положим
D.5.33) /,<"(')= Г
J
X ехр - —
+ и*
X

Голономные квантовые поля IV 181
J , J 2л 2*
X—- - 1 1-uIu?hI-uV .
+ + +
a*
Лепсо видеть, что gjj* + Чр) = *}* + ^r), /Pi , W = «P
Положим далее
D. 5. 34) /, (f, I) = g B2) *»+»/?*+») @,
g ()
Заметим, что /;, h, — 0, gt — 1 при г — w. Мы имеем тогда
D.5.35) <Vria\a1;l1)<pB-^+1(at;lt)yA/tB(L,A)
<'«-''+чД.|,(*; 2)/2,
D. 5. 36) «<»,, (a,; /,) <#> (a,; /,) > JxB (L, A)
= A - 9h-i. (fi; Я) ) /2 sin ff/t,
<^u (a,; /,) ^<5,. (a,; /,) >,/r. (L, Л)
= A -gu,+1,(«; I))/2 sin ff/,,
D. 5. 37) «<» (a,; /,) ^JJ (a,; /,) >^r, (X, Л)
-<*•-"*»-'•>*,,_,,(*; I)/2,

182
Голономные квантовые поля IV
где левые стороны равенств отождествляются с их евклидовыми про-
продолжениями к -(af - aj) = ttf® + T/2>/2m,а,+ - а^ = /е~/(в + т/2>/2тие=
_ е(«/2х/, + 'г)э c-i =Vsini/j ■ sinx/2. Из D.4.35) следует, что коэффициен-
коэффициенты голономной системы C.3.20) для w(L ; Л) равны
D.5.38) F=F(li-^,lt-Y'X)
Сравнивая D.5.38) с C.3.42) мы имеем
D. 5.39) ._f±l(f;b .«L-.iCt'x,(«;•!).>"
= (c'Kt(t;l))" cosh
где с' = Vsin itl^/sin nlt.
Tl tanh
где функции х = xt (t; X), ^; = ^; (r; X) удовлетворяют уравнениям
D. 5. 40) t-4-log к =1 tanhl0
at
[t -^) = —tanh ф A - tanhty) + —sinh
dt
В частности, если / = /j - /2 = 0, то
нию
; X) удовлетворяет уравне-

уравнеГолономные квантовые поля IV 183
Учитывая асимптотическое поведение ф$; X) ОДОС ~* °°)> мы заклю-
заключаем, что наша функция ф$; X) совпадает с ф(г, О, Х/х) из работы [12].
Формула C.3.57) для dlogTB совместно с D.5.38) дает
D. 5. 42) dlog xB= -^(t ((Щ'-зШф) --^tanhV)A ,
или, при учете граничных условий тв -~ I, ф -~ 0 (t — <х>)
D. 5. 43) хв=ехр | —|- Г'А (* ( Ш^ * - sinh^) - — tanhv) }
где ф = *, {г, X).
Наконец, мы отметим, что в случае равных показателей 11 = /2 матри-
цы Д/, - I; X) = F(/, - I, /, - 1; X) и G(/, - I; X) = О(/, - I, /, -
2 2 2 2 2
; X) по существу зависят только от комбинации X = X sin x /}:
-|; Я) - £в^ь^
D. 5. 44) 2г(л-|; Я) - £в^ь^У«>: Я sin */,
где ..........
D.5.45) ^@;Я) = -(. -x)i-«-^L(«; Я),
G@; Я) -•-«<»« 2*@;*) = (f. "*)-|-Л(*; Я).
До настоящего момента мы рассматривали вакуумные средние значе-
значения. Теперь изучим само произведение <pB(fiv /j) ... <Рв(ап; /„)• Из (П.25) мы
имеем
D. 5. 46) Nr^ (««> (в1; /,) • • -уР (а.; /.))
^,=2 f [dudu'it Ё.^{и,и')ф^{и)ф*^{и')
^(и, и') = E<">(и, и')) =

184 Голономные квантовые поля IV
XRB(а, а,) Ав(а,, a,)Rb (а,, as) • •• А, (и,!-,, а„)RB(а„, и') .
Если положить
D.5.47) Да,,(а,а')
= (^.-cW--) (а - хО) -'■♦
а + а — хО / *.»-i,--.«
D.5.48) Р,,,(а, а')
lv-1)(«'-хОI'
то мы имеем
D. 5. 49) *,(„, а') -Л,(«, a') +g f
,i{u1, a').
Подобным образом, предполагая выполненным условие D.5.15), мы поло-
положим
D.5.50) RbA(u,u'-)
\ " а + а'—хО /*,»-i,-.,«,
D.5.51) ДадСи.О
= E „|а |-'t 2sinffZ, c.<m(arM>wt>M>-t, ^в/ _х-0)i,\
V '" и — а'+х'О ' /ар-1,-,и
где /Дг = 1, ... , л) даны в доказательстве предложения 4.5.4. Тогда мы
имеем
D.5.52) Я,(.,.О-Д.<...'>
хЛдСи, a,)£i(«i)i%(«i. иО-'-ЙСиОДадСи!, а').
Предложение 4.5.3'. Дри том же условии, как в предложении D.5.3),
ряд D.5.49) сходится равномерно на любом относительно компактном
открытом подмножестве множества Uo х {(и, м')еС211т и > 0,
1т и' > 0).
Пусть У'с обозначает замыкание У"« с, т.е. ул-с= ((в., . . ,
а„) е (Jfc)"IIina*<
< Ima* для 1 < /t < v < и).

Голономные квайтовые поля IV
Предложение 4.5.4'. При том же условии, как в предложении 4.5.4,
ряд D.5.52) равномерно сходится на любом относительно компактном
открытом подмножестве множества Y"' c x Ui х Щ х ((и, и') е
е С21 1ш и > О, 1ш и' > 0). Более того, &^и, и') имеет полиномиальный
рост при IReul, IReu'l — as для фиксированных Ьпи и 1ти'.
Доказательства аналогичны доказательствам предложений 4.5.3 и 4.5.4.
Замечание. В предложениях 4.5.4 и 4.5.4' верхняя грань для С10 может
быть выбрана произвольно большой, если мы выберем Ux так, чтобы
D. 5. 53) С,,= max sup | sin itl,\
»_l,....n Vx
было достаточно малым. Поэтому если мы положим Хр, = 10t, v = 1, ...
... , л), то первоначальный случай Ит(<р^а^ /j) ... <рв(ап; /„)) покрывается
развитой выше теорией при условии, что Сп достаточно мало. Мы хотим
также обратить внимание читателей на различие областей сходимости в
предложениях 4.5.4 и 4.5.4' по отношению к (av ... , ап). Функция Й^(и, и')
непрерывна, когда а^ — а^ _ j стремится к 0, но тв расходится. Здесь такая
же ситуация, как в одномерной теории в § 2.
Теорема 4.5.6. Предположим, что точки av ... , aneXMia попарно
пространственно-подобны и имеют место условия сходимости предложе-
предложения 4.5.4' с Хр, = 1A < р, v < л). Тогда произведение ч>в(ао(\у
'о<1)) •■- ^в(афу '<т(л)Хст е®п)не зависит от перестановки а. В частности,
евклидово продолжение среднего (.fgia^ /j)... <Pg(an; /„)) есть однозначная
вещественно аналитическая функция переменных (at, ... , а„) везде, за ис-
исключением точек а^ = а,A < ц < v < л).
Доказательство. Пусть
<Р<, = <Рв (а*и>; 1,ш) •■■<рв («*о.>; ^fn>)
= <^.> exp J J Re (и, и') ф (и) ф* (и').
Утверждение теоремы — это не что иное, как следующие равенства:
D.5.54) <9.> = <<Р*>.
D. 5. 55) R, (и, и') = R.. (и, к').
для а, а'е ©„. Так как обе <#»„> иR/u, W) зависят аналитически от матри-
матрицы L, можно предположить, что L — вещественна.
Предположим сначала, что л = 2. Равенство D.5.54) следует прямо из
D.5.30). Для того чтобы доказать D.5.55), можно ввиду лоренц-
инвариантности предположить, что ах, a2eJ^m Л А*. Для х*, х, удов-
удовлетворяющих неравенствам Imx** < 0, Imx± > 0, мы имеем
D.5.56) <*•(*•)?.* (ж) >/<?.>-

186Голономные квантовые поля IV
= Г
Из замечания после теоремы 4.5.5 мы видам, что ^'(jc'
представляет собой канонический элемент — vo(L) из пространства
W°B 'х- 'a *^Ct- ПоэтомУ D-5.56) не зависит от а.
Положив
,»±- ~гх*г±х*1 ± ~ixz±x1
X , X
т
мы имеем
где
0= Г AeLdf-^e-wR,,,^, р»)г
Заметим, что^,^1, р1 ) экспоненциально убывает при Ip1!, \р1'\ — оо.
Поэтому мы имеем ujip1, р1 ) = &аЛр1, р1 ) или, эквивалентно, Ла(м,
и'Щ-иЩи') = Ra.(u, и'Щ^иЩи'). Подобным образом мы можем дока-
доказать равенство Ra(u, и'ЩеиЩе'и') = Ra.{u, и'ЩеиЩе'и'), где е, е' = ±.
Поэтому для случая л = 2 теорема доказана.
Теперь мы используем равенства D.5.23) и D.5.24) для того, чтобы до-
доказать D.5.54) и D.5.55) соответственно. Так как сходимость ряда для Ra(u,
и') ввиду предложения 4.5.4 обеспечена, то соотношение D.5.55) для и ^ 3
следует из случая и = 2. Что касается D.5.54), то мы еще не доказали схо-
сходимость ряда для <?„>, когда av ... , а„ вещественны. Область сходимости
ряда для <<?„> зависит от ст. Из замечания после предложения 4.5.4 мы зна-
знаем, что функция <.<р£ал\ !а1)... <Р^афу 1^) аналитична, когда
аФ) > — > аФ) и а^\) < ■•• <аФ)> и что области сходимости рядов для
+ 1)&в&о<п> W - *i&oiuv /о(«))> име1011 непустое пересечение. Так как там
они совпадают, теорема доказана.
Мы выпишем коммутационные соотношения между нашими полевыми
операторами. Предположим, что ах и а2 взаимно пространственно-

Голономные квантовые поля IV 187
подобны. Ниже буквы j, к будут обозначать целые чнсла.
D. 5. 57) в <рв («i; О <Рв (at; /,) =«?* 0*i; 4) <рв («i; А).
D. 5. 58) , ?, («„• /,) «£Il+* (a,; /,)
i,+*(«t; 1г)<рв(*и Л), a
D.5.59), «»,(«,; «ff
D. 5. 59), «,,(ai; h)tf,X,(л,; h)
>.;Л),
D. 5. 60) , <pr (a,; lt)<pr i,?y,-i1+*(,at; I,)
= <Pr i,!j!y,-i1+*(at; li)<Pr(au Л)
D. 5. 61) , <*y (ei; /,) ^h+k (at; /,)
D. 5. 60) , <pB (a,; /i)«»,,,.?,, _,0+» (a,; Zt)
D. 5. 61),
ft,(л,; /,),
D. 5. 57)/- ^(л,; /,)<рг(а*\ 4) =«»^(<i«; U)V>r(<h; Л)«
D.5.58), «»,(«,;/i)^-i,+*(at;Zt)
!&,+*(л,; lt)<Pr(auh), at<at

188 Голономные квантовые поля IV
Для того чтобы доказать D.5.58)в, мы напомним читателю соотношение
D.3.29). Комбинируя его с D.5.57)в, мы имеем
Ф С*) <Рв (аг; Z,) д>в (а,; Z,),
е*'а'ф (х)?, (а,; Z,) д>в («,; Л),
для х, расположенного вблизи а2. Тогда локальное разложение при х = а2
дает D.5.58)в. Другие случаи доказываются аналогично.
Из D.5.57)в мы заключаем, что евклидово продолжение среднего
<<Рв(а1> Ч> — *>dan> О> однозначно. Приведенные выше коммутационные
соотношения дают нам полную информацию о структуре листов евклидо-
евклидовых продолжений отдельных г-функции и волновых функций из § 4.4. На-
Например, мы имеем
D. 5. 62) <•••?*(*„ аи А)Л.+*(й1, аг; 4) •••>
для 1а, - аг\ < 1. Так как функция <... <р£ах, а,; 1{)<(Р_1г + £а2, а2; IJ ... >
(соответственно < ... fP_, + ^а2, а2; Ijip^a^ аг; 1г) ... > вещественно ана-
аналитическая при 1т(а1 — aj) > 0 (соответственно при 1т(а{ — а2) < 0), то
D.5.62) непосредственно следует из D.5.5.8)в при помощи аналитического
продолжения.
§ 4.6. НЕЙТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
В этом параграфе мы более детально обсудим первоначальный случай
полей <р£а), <?р(а) н связанных с ними операторов, которые построены на
основе аейтральных свободных полей. Как мы увидим, в этом случае опе-
операторная теория имеет физическое содержание.
Поля <р^а) н ffia) введены в D.1.66) н D.2.47) соответственно. Для нас
представляют интерес также поля ^(а) = '(*^(в). <Р?.(о)) и ^(а), нормаль-
нормальные символы которых соответственно равны (ср. D.3.44), D.3.55))
D.6.1) '
D. 6.2) Nr (У (л) ) = 0, (л)
Как показано в D.3.26)' и D.3.67), эти поля возникают как ведущие коэф-
коэффициенты в локальных разложениях для <Кхур£а) или ф(х)<р/,а). Ясно, что
#>д(<*)> <Pfia) н i/fid) — лоренц-скаляры, в то время как <рВ(а) преобразуется
как спинор.

Голономные квантовые поля IV 188
Эти поля вместе с вспомогательными свободными полями удовлетворя-
удовлетворяют простым коммутационным соотношениям в пространственно-подобней
области аргументов; именно они либо коммутируют, либо антикоммути-
руют. Мы имеем (ср. D.3.2.8), D.3.37) при / = 1/2, /' = ± 1/2)
D.6.3)
Более того, <рв и <р^_ удовлетворяют соотношениям
D 6. 4) <Рв («) <рв («') = <рв («') <рв (а) ( (а+ - а'+) (а" - а") <0),
^f (а) <р?> (а') = — <pf, (а') ^f (а)
Аналогично мы имеем (ср. D.3.67), D.3.69) при / = 0, /' = 0)
га тл t\
D. 6. 6) фг (а)
ср
Коммутационные соотношения между полями <рри ^ имеют вид
D 6.7)
D. 6. 8, „«•(.О - ГУ'™ , ("'*>'"*> "'"<'1")
1«»'(')() (' + <+ '>)
Соотношения D.6.4), D.6.5), D.6.7) иD.6.8) доказываются при помощи
метода, подобного примененному в предыдущем параграфе. В существен-
существенном они редуцируются к условию локальной коммутативности полей <р^а)
(соответственно <р/а)) и к локальным разложениям D.3.26)' (соответствен-
(соответственно D.3.77)). Возможно также дать простое доказательство этих соотноше-
соотношений, сводящееся к вычислению. Так как рассуждения во всех случаях почти

190
Голономные квантовые поля IV
одинаковы, мы рассмотрим здесь случай поля
Нормальный символ произведения •р^а^^а^ получается при помощи
применения формулы произведения (П.25). Мы имеем
D.6.9)
(а,) (рв
р(а,, а,) = J ^du du'R(u, и'; аи аг)ф(и)ф(и')
где ядро R(u, и'; av e2) дается следующим бесконечным рядом:
D. 6.10) R(u, и'; аи «О - S S ^S (и. и'; «,. а,),
D.6.11),, 2Ф(и. <;«,. «,)
Jf"^ j —2л/и—<0л/
t-^aui-du* u + Ul-i0
X exp { -*m ((ef -
Ul+ut
D.6.11)и JRff (и. «';«„%)
-2чЧГ-Ь
f ••• !>
ut
♦ti+i
-2V -a,i+i-t0V и' -iO
X exp { — *«( (ef
D.6.11),!. R$(u,u';a
Jo Jo
—2Va,,+I Va' — *0 ,
"Г ,_ .Q—Xexp{— *ли
+ («t+ - at) U'u+1) - *m (of» + oj
D.6.11),, Д§'(«.а';«ь«0
— 2Va—t'OV —aj — iO — 2-J'u'i'fut
2Va—z'OV —и, —iO —
— a»"
C" C" — 2ч и— tOV— иг
= Jo ■" Jo -ii1"-?-11 a-a,-»O

Голономные квантовые поля IV 191
((f - аг) Uu + {at - at) С/,,)
-im («f (и + и') + a,+ («"'+ и'))}
где Uk = и, + ... + Up U'k = t/f1 + ... + м^ *. Деформация контуров1)
Uj - Л;- показывает, что ряд D.6.10) сходится для вещественных av
a2eXMin при условии, что — (af— а^Х***— "i") достаточно велико. Под-
Подчеркнем здесь, что этот ряд аналитически продолжается во всю область,
где а, — а2 пространственно-подобен. Действительно, как показано в пре-
предыдущем параграфе (ср. доказательство теоремы- 4.5.6), волновые функ-
функции, -соответствующие ядру D.6.10), дают канонический базис v^z*, z) про-
пространства Ж^-.Д в2 по меньшей мере при ах, аг е Х*^ Л А*ис и
la, — а%\ > 1. С другой стороны, существование н аналитичность послед-
последнего уже были доказаны в ч. III для произвольных различных av a2 £ ЛЕис.
Из лоренц-инвариантности легко следует, что (.v^fl^p^a^ =
= (.<р^а^^а^. Это можно проверить непосредственно при помощи ана-
аналогичного представления в виде бесконечного ряда (ср. D.6.67)).
Поэтому наша задача заключается в доказательстве
Предложения 4.6.1. Если faf- a^Mft^ - а}) < 0, то справедливо
D.6.12) R (и, u';aucb)=R (и, и'; а,, л,).
Доказательство. По замечанию, сделанному выше, достаточно дока-
доказать D.6.12), предполагая, что la, - a2l >■ 1. Положим R®t = R®r(u, и';
a,, a2), R®= ЯШи> W; av a,). Без ограничения общности мы. предполо-
предположим; что aj"—■ ог2"< 0, «*1~— &2> 0; и покажем, что
D. 6.13),
D.6.14),
D. 6.15), R$> + R^ - -2RS>,
D.6.16), jRff-jRL<n-O.
Этого достаточно для нашей цели, так как тогда мы будем иметь
R(u, ur; au a,) ~R(u, и'; а,, а,)
■> Контуры для и,, «j, или «2, j в D.6.11) должны быть нужным образом
модифицированы в соответствии с правилом и -Г и, - Ю и т.д.

192
Голономные квантовые поля IV
8> - RIP+R® - Ri
что н требуется.
Для того чтобы доказать D.6.13), мы перепшпем левую часть в виде
D.6.17), R$-Rnw
= Г ... Г dur-duM Г+в^- Г-
J-c» J-- J-~ 2ffat Jo Jo
j-i + Uj—г
где и0 = м и иа + j = и'. По предположению tff — a^"< 0 и aj1"— a£> О,
поэтому мы можем замкнуть контур интегрирования по ик в верхней по-
полуплоскости. Вычисляя вычеты, мы получаем /J? = ./J? _. х — J$, где
D.6.18),» Л°=2х - П<*«;|-| П ^«у
J-«o J-« /.I Jo Jo J-t + 1
X в-
o — «t
X П
, i —х'О/и,—
Из D.6.17O и D.6.8)№ мы имеем

Голономные квантовые поля IV 193
Мы видим также, что если af — а^> 0 и af— а£< О, то все 7J9 = 0. Ме-
Меняя местами а1 в а2, мы имеем D.6.16)/. Равенства D.6.14)^ и D.6.15){ дока-
доказываются при помощи аналогичного вычисления. Мы оставляем детали чи-
читателю.
Поля >рв(а) и <(F(a) особенно интересны, поскольку они обладают асимп-
асимптотическими полями. Пусть
D. 6.19)
(е = + или —)
D. 6. 20) Ф1 (и) = lim U (и) Г da? (e*^*"*"*1^' (х)
i-.±~ 2 Jx*-t
Здесь предел взят в слабом смысле. Именно в D.6.19) предел вида
понимается как
J1-T7 Г— Г^И1--^и*(Нтр»(и„ •••, и»; *)):
и аналогично для D.6.20).
Предложение 4.6.2. Мы имеем
D 6. 21) 0f± (и) = @ + ги) *ф*± (и) (в = ±)
где
D 6.22)
Подобным образом мы имеем
D 6.23) S
Здесь мы положили ф\и) = *(—и), ^(к) = ^(—и).

194 Голономные квантовые поля IV
Доказательство. Мы докажем D.6.21) и D.6.22). Вычисление D.6.23)
совершенно аналогично. Мы имеем по определению
D. 6. 24) Nr @f± (а)) -Д i#« (a)
tfi*» (и) - lim 2i£0_ f Jx. { (pi (jt) /2) *
4- k (pM (ж) /2) *-'0. (
Здесь коэффициент ри + j(«; «„, ... , и^ г), появившийся после интегриро-
интегрирования по xv равен
D.6.25) Р»+,(и;ио, •••,«»;*)
A -
X exp B2* (и - a,) (l L_) ) . 2nd ( (a - a.) (l +-L.)
При 1 + — = 0 коэффициенты перед экспонентами — вещественные ана-
««о 1
литичесхие функции (за исключением 6-функции), так что точка 1 + — =
ии0
= 0 не дает вклада в предел / — ± » по лемме Римана — Лебега. Вне этой
точки экспоненциальные множители записываются как
П

Голономные квантовые поля IV 195
Применяя формулу
lim ~* е-«"" = в ( =F а) 2г.8 (х)
е-.±» х —х'О
мы тогда получаем
D. 6. 26) lim р,»+,(и; и,, •••, и,»; t)=
Это показывает, что
D. 6. 27) ?5f±w («) = @ + хи) '*<Я<*> (и),
«) ~*(и) (-2 §~Ы
и мы получаем D.6.22), что завершает доказательство предложения 4.6.2.
Для и > 0 положим
D.6.28)
D. 6. 29) N* (и) = J^^a.'^ ( ± (и -г и') ) Р (и') ^ (и').
Тогда D.6.22) и D.6.23) соответственно записываются как (ср.
B.1.32) — B.1.33))
D.6. щ "#(«)W(io -г--)N|(t0, «(«>=(-)N|(t0 '•
D. 6. 31)
где и > 0 н ^(и) = ^(—и), ф^(и) = <}?&—и). В частности, справедливы
соотношения ф**(иМ*{и) = ф\иЖи)г ф^(иуф) = фЧиШи). Относитель-
Относительно D.6.28) — D.6.29) мы видим, что отображения ф(и) *-> i/f (м) и
^(м) ►- <^м) (е = ±) — взаимно обратны. Используя равенства
D.6.30) — D.6.31), мы можем проверить следующие антикоммутационные
(соответственно коммутационные) соотношения для Ф^и) (соответственно
Ф%))
D. 6. 32) [#(«), ф! (и') ] + = 2лШ (и+и'),
D. 6. 33) 1ф((и) , ф*(и')] = 2тги6(и+и'),
где е = + или —. Соотношения между асимптотическими и вспомогатель-
вспомогательными векторами состояний также выводятся из D.6.30) — D.6.31).

196 Голономные квантовые поля IV
Предложение 4.6.3-. Справедливы соотношения
D. 6. 34) <тис|0" («О -фКщ) =П « (ъ-щ) -&ас\ф(щ) -ф(щ)
0?frO ••■^г(и») |тии?> = П в ("<-«>) -ФГ(Щ) -ФЧщ) \vac> .
Такие же соотношения справедливы, если мы заменим ф^и), ф(и) на ф%.и),
ф(и) соответственно.
Следствие 4.6.4. S-матрииа для поля <р?(а) (соответственно <pF(a)) рав-
равна
D.6.35) 5=(-)N<N~"/*
где N = NJ(oo) (соответственно Nj£(oo)) обозначает оператор полного
числа частиц.
Доказательство мы опускаем.
Итак, мы показали следующее. С одной стороны, поле <рв(а), построен-
построенное из свободных бозонов, представляет собой взаимодействующее ферми-
ониое поле,- удовлетворяющее условиям лоренц-ковариантности, микропри-
микропричинности и асимптотической полноты. Поле ч?{а), с другой стороны, по-
построено из свободных фермионов и ведет себя как взаимодействующее бо-
зонное поле с вышеуказанными свойствами. Более того, их асимптотиче-
асимптотические поля удовлетворяют соотношениям взаимности, а их 5-матрицы со-
совпадают.
Замечание. Поучительно отметить соотношение взаимности на уровне
соответствия между операторами вращения Г и ядром R. Вообще, пусть
Wp будет ортогональным векторным пространством и пусть < > обознача-
обозначает среднее значение, соответствующее некоторому голономиому разложе-
разложению WF - V ® V. Положив <м>, у">в = <mv'> — <м>'м>), мы видим, что
исходное векторное пространство снабжено также структурой симплекти-
ческого пространства, которое мы обозначим WB.Kax. обычно, К,
J = K+'KnH = K— 'К будут обозначать матрицы средних значений,
ортогональных и симплектических скалярных произведений соответствен-
соответственно. Пусть теперь Г = Тр будет некоторое вращение в Wp, и пусть 5 — со-
сопряженное к нему преобразование (§ 1.2). Тогда S = Тв — симплектическое
вращение, т.е. 'ТдНТд = Н, если и только если Т2 = 1 (или эквивалентно
S2 = 1 по предложению 1.2.2). В этом случае матрицы RF = (TF — 1ХЙГ +
+ 'KTF)~1 и RB = (Тв - 1ХЙГ - ЧСГ^Т1 связаны друг с другом при помо-
помощи соотношений
R,H=TB-1, RBJ=Tr-l.
Как замечено на стр. 1S7, симплектическое пространство WB из §4.1
и ортогональное WF из §4.2 — это одинаковые объекты, на которых опре-
определены симплектическое и ортогональное вращения Тв = T,Q) = 1 -

Голономные квантовые поля IV 197
— 2РВ, TF — Ту ту =» 1 — 2Рр, так что они удовлетворяют равенствам
Т\— \,Тр= 1. В действительности они взаимно сопряжены н легко про-
проверять непосредственно, что
2 и— и — гО
r-функции для этих полей как раз и получаются из их связи с евклидовой
теорией деформации, в точности как в комплексном случае, обсуждавшем-
обсуждавшемся в §4.4.
Рассмотрим теперь свойства волновых функций. Положим
D. 6. 36) WB (у, Х)=<.ф(у)<рв 0*i) • • • <Ра (<*») ф (х) > ,
г»л± (л) = (<рв (aj—ipl (a,) —<pB (an) ф (х) > ,
D. 6. 37) w, (у, х) „. = (фг (у) <рг (а,) -<Рт (д„) <рш (х) > (е, е' = ± ),
D. 6. 38) ГЛ1
г>» = г>я(а1, •••, ая) =<^,(а,) ■■■<pF(an) > .
Здесь мы также для определенности предполагаем, что
у.+ > а? > . . > а+. Локальные разложения для D.6.36) и D.6.37) получа-
получаются при помощи D.3.26) — D.3.27), D.3.S8) — D.3.S9) соответственно.
Как там отмечено, формулы для wB имеют такой же вид, как в комплекс-
комплексном случае, в то время как формулы для wF нужно несколько изменить.
Получаются следующие результаты:
D. 6. 39), wB (у, х) =
D.6.39).
™В (у, *) = g <0 (у),,, (Л1).• .^+/(д„) ...<рв
<^ (У) «»* («О • • -^_, (а.) • • -<рв (а.) >w^[а.].

196
Голономные квантовые поля IV
D.6.40)
fj О* (*i) • • -^ (л,) • • -^_, (>„) • • •?* (л„) >t/|+, [л,],
1
—
—г Я^?4
Мы отметим, что из D.3.4S) следует
D. 6. 41) <<рв («О • • Ч* О'
<^я («О • • -^,.4(О • • • <Рш
Подобным образом мы имеем
D.6.42), »^>(у,х)-Я
- ■isi [у]
D. 6. 42). »i?> (у, х) = ~<ф± (у) ?, (оО • • Y (л.) »ч», (а.) >
X (и»,[л,]+г«0*[а,])
<&± (У) «'у («О • • -^ (л,) • • -<рг (ля) > • г«у [а,]
<&± (У) 0V (лО • • -<f-i (л.) • • '«»*• (<*») > *w* I> J •

Голономные квантовые поля IV 199
Здесь мы положили wfity, х) = Xw/y, x)± +, w/y, х)±>_), как раньше
D. 6. 43) „ ± »,,(х) = -^<?, (л,) • • Y (О • • Y («.) • • -<Pf О») >
f ^i- («О • • •?* («,) • • -<р' (л.) • ••«!>, (ля) > • w, [л,]
<Р* (а,)
-, (при
(при ft-=»).
D. 6. 44) О, (а,) » ч»,м (л,) • • -<Рт (л„) > = im~x — ^
Из D.6.39H — D.6.40)м, мы видим, что евклидовы продолжсяия функций
D. 6. 45) й>я (у, х) = nwB (у, х) /Твп,
образуют канонические базисы (w^, х), *В/1+W A < м < л)) пространст-
VJi\::^ а !♦*-» A < М < яI ^/2
ответственно. В частности, из D.6.40)м, и C.3.11) мы получаем выражения
для т-фушщий, включающих ^)
D 6. 46)
<^я fe) —«^ (л,) • • •?£ (л,) • • -f в (л„) >/Га„ = -/„./2т (Зл - 3,)
D. 6. 47) <р»(<0 -Л («д) -«* (в.) -«»*(«-) >/г*,= -д"/2

200
Голономные квантовые поля IV
где F = (Лг), С = feT1 обозначают решения уравнений C.3.24), соот-
соответствующие w = w@), и левые части равенств D.6.46) — D.6.47) ото-
отождествляются с их евклидовыми продолжениями.
Ситуация для ферми-случая несколько отлична. Положим ^
D. 6. 48)
H>F(y, х) = nitvr (у, х) /г>„,
ivr, (х) = 2izvF (x) /г>„ .
Тогда евклидовы продолжения функций &FtiQc) принадлежат пространству
цГо?...,о _ jy«ri« . Их нулевые коэффициентные матрицы локальных
разложений Со = D'>(*^)м,,=1 „, CJ = (<#'>(%)),,,,»!,...,„ имеют вид
а = 1-Т, С?=-1-Т,
D. 6. 49)
где
D.6. 50)
о
-«И
О
Пусть w = w@) = 'f w,<0), .... '*»„(())) будет канонический базис про-
пространства- W^f,...^,,. для которого -мы имеем--Cq(w> » 1--и С$м) =
= -в2" = -О с Н = 'Я « -'Н (см. C,.3.7) предложение 3.2.5). Так как
wF/l есть линейная комбинация w,@), мы имеем ilF — Ч'*л '*Fn) =
= Cw(O) с некоторой С. Сравнивая нулевые коэффициенты матрицы, мы
получаем 1 - Т = С, -1-Г= Q-e2*). Так как матрица 1 + е2* обра-
обратима, отсюда следует
D. 6. 51) Г= tanh .Н"= A - G) A + G) ~\
В частности, матрица С = е""я(сп//)-' = 2GA + G) обратима, так что
функции wF(l < |t < л) также образуют базис пространства FPj!^* .
Предложение 4.6.5. Логарифмические производные т-функций имеют
вид
D. 6. 52) d log rBn = а),
1} Определения для wF(, и *л, данные здесь, отличаются от [S] множителями -1
и — 2» соответственно.

Голономные квантовые поля IV 201
d log г,я = —trace (Тв + в*Т) + —а)
4 £
где w — это 1-форма C.3.57), ассоциированная с системой C.3.24), соот-
соответствующей w = w@), и матрица Т задана в A.4.51). Более того,
выполняется
D. 6. 53) г*, • г>„ = Vdet cosh H.
Доказательство. Выражение для dlogrBn следует из D.6.41).
Рассмотрим dlogrFn. Обознвчив первые коэффициентные матрицы ло-
локальных разложений через Cj(i>F) и CJ(wF), мы имеем из D.6.44)
D. 6.54) d log г,я = \trace (d (tf>,) dА - Cf (tf>,) dA)
в евклидовой области. С другой стороны, из соотношения 4/р =
= A - 7>w@) следует, что Cj(*F) = A - 7> и CJ(tfF) = A - 7>Sa =
= -A + 7> в силу C.3.7) с о = оA/2) = 'о. Комбинируя это с D.6.54) и
замечая, что
trace Tad A = trace dA'a'T = —trace TdA ■ a =
-i-trace T[a, dA] = -— trace T®,
2 2
мы получаем D.6.52)
Для того чтобы доказать равенство D.6.53), мы вычислим логарифми-
логарифмическую производную от его правой части:
D. 6.55) d log Vdit cosh H = —d trace (log coshJf)
„. . - ■ - .... ^. • - ....
= —trace (tanhJf • dH) = ^trace ( T • ( - -i-) G'^G ).
2 2 \ ч Z/ /
Используя дифференциальные уравнения C.3.24), мы имеем
D. 6. 56) trace [т (- ^G^dG) = -|-trace (Тв + TG~1e*G)
= — trace (Тв + 6*Т)
так как Г коммутирует с G. Теперь из D.6.55), D.6.56) и D.6.52) следует
d log Твп + d log г>„ = d logVdet cosh H.
Так как тВп, т^, — 1 и Н — 0 при la^ — аг\ — ее для всех jt # i», то отсю-
отсюда мы получаем D.6.53). Это доказывает предложение 4.6.5.

202 Голономные квантовые поля IV
т-функцни, включающие операторы <fPj.a) или «/(а), вычисляются при
помощи применения формулы (П.27) или ее ортогональной версии. Поло-
ям
1.6.57) efcr;;r",«-=<^O0—«£00 •••<,(О•
?};-••* = О, (л,) • ••/'('О •
Здесь <f%f.ar) (соответственно ч?(аг}) помещается на ргм месте для #
«1 т. Из D.6.46), D.6.47), D.6.50) и D.6.51) мы тогда имеем
D. 6. 58)
D. 6. 59) ?'J»W
В частности, двухточечные функции выражаются при помощи ^(Г) =
= Ф$; 1) из D.5.36) (с £ = 1) следующим образом. Мы положим
aj - a2 = te*/2m, Г > 0.
D.6.60) <f,(e0f
i*0. ^ _ ,• sin
at
D.6.61) • <«»#-"(«i) «»*(««)>

Гопономные квантовые поля IV 203
Объединяя это с результатом из [12], мы получаем следующее поведение
на малых расстояниях:
D. 6. 62) О„ (а,)<рв (Дг)>~const. Г*(log !■) "*
О? (*0 ^ Os) >~const. *"*(log j "*
const. Г*(log — \ "*.
Сравните это с результатом из работы [11], который утверждает, что
D. 6. 63) <уг(ад Я>,(а2 >, <^(о.) ^Ы >~const. г™.
Представления для этих г-функций в виде бесконечных рядов также мо-
могут быть получены. В бозонном случае они почти те же, что и в предыду-
предыдущем параграфе. Положим
D. 6. 64) Ел, (и) - («Л, (и)) „,., ,
^.,о (и) = -1в„| • 9 С- 9,ju) e-'-««--«.)--+(.»-^)*«->.
Тогда
D.6.65) logr^-fjA Г
i-s2/J
In 2n Ui~ut + i0 ut—Ut+iO
2z
—■ trace (ЕЯ@ (и,) £а,0 (и,) •• •£,,, (и,) ).
"~a,—'a, + x'O
Формула D.6.65) — это в точности половина формулы^ D.5.7) с X= 1 и
/ = 1/2 (р, р = 1 л), мы имеем далее
D.6.66) Л" "Г CdUi dUM 2i 2i
иг-щ
-Ев,
Щ—
2% 2п
2х 1 г
где [. . .]м, означает О*, г)-я матричный элемент. Для л = 2 эти формулы

204
Голономные квантовые поля IV
выглядят в евклидовой области следующим образом:
D.6.67) Ьв г„-£:-§£«?*>@,
= *>-"
*>-"/. (t; 1) /2 ,
D.6. 68)
где -(af - aj) = tt*/2m,at - af = te~a/2m и функции e0*^), /,#; 1),
Л0(г; 1) указаны в D.5.31), D.S.33) — D.5.34) соответственно.
В фермионном случае положим
D. 6. 69) EF,t(u) = (-v«,«(a))*-i.-•
Тогда имеем
D.6.70) loer,. —£1 f- [du.-dut *<*+** '(«. + «0 ...
... '(««+«0 trace(JE (tt) ...я,..(«0),
и» — и» + *0
D.6.71) ztanhif=-E Г- f^,-^t+1 *("' + *> *C«. + «0 ..
i-ij J— — «j —«j + zO к,—и,+х0
где d« = </и/2*1и1. Дня л = 2 эти формулы сводятся к
D. 6. 72) log г„- -tk Г •• f Лг-Л^^
D. 6. 73)
• f J«,
J
соответственно,гдеf « 2wV—(af - tffXej1" — a})uU,
Щ:
+ ... + и
/
+ . . . + и,,

Гопономные квантовые поля IV 205
Выражения D.6.70) — D.6.73) согласуются с теми, которые получены
для л-точечных скейлинговых корреляционных функций в двумерной моде-
модели Изинга [11, 13].
ПРИЛОЖЕНИЕ
Здесь собраны общие сведения о нормальных символах н вращениях в
снмплектическом векторном пространстве.
Симплектичесхое векторное пространство W — это по определению век-
векторное пространство над С с заданной на нем кососимметрической били-
билинейной формой <>>. В этом приложении мы будем предполагать, что
N — dim^W конечно!). Бесконечномерный вариант, как н в ортогональном
случае,рассматривается аналогично (см. § 2.1).
Пусть J\W) будет контравариантная тензорная алгебра над W, и пусть
/(FF) — биидеал алгебры T{W), порожденный элементами вида w <g) w' -
- w' <g> w - <w, w'> (w, w' eW). Мы положим A(W) - 1\W)/I{W). В
противоположность ортогональному случаю dimcA(W) = оо, даже если W
конечномерно. Обозначим через S(W) симметрическую тензорную алгебру
над W. Пусть х — некоторый элемент из Homc(Hr, W). Билинейная фор-
форма W х W — С, (w, w') ** x(wXW) называется средним значением, если
равенство *(wXW) — x(w'Xw) = <w, w'> справедливо для всех w, w' € W.
Если задано некоторое среднее значение, то соответствующее норм-
отображение Nrx определяется, как в ортогональном случае.
Обозначим через 5 линейное отображение W — Endc^FP)). такое, что
каждое 5(W) является дифференцированием 5(w*Xl) = 0,' 5(w*Xw ■ а) =
= w*(w) • а + w • 5(w*Xa) (w* e W, we W, aeS(W)). Тогда существует
единственный линейный изоморфизм
(П.1) №«: AXW)-*S(W), Nr«(l)=l
характеризуемый любым из следующих свойств:
(П.2) (i) Nr« (zoa) = tv Nr« (a) + 8U (Nr« (л) ) (w €E W, a e A (W) )
(K) Nre (aw) = Nre (a) • zv + ffi (Nr« (a) ) (we W, лe A (W) )
где 5W г 5(x(w)), 5; = 5(+x(w)) (w € W). Член нулевой степени №x(a) в
градуированной алгебре S(W) = С ® W ® S\W) © ... также называется
средним значением элемента а н обозначается <а>х. Отметим, что <w x
х w')x = x(wXw') (w, w' € IF). Для краткости мы часто опускаем символ
х. Элемент алгебры A(W) (соответственно S(W)) называется оператором
(соответственно нормальным символом). Обозначив обратное отображе-
4 Мы не предполагаем, что билинейная форма невырождена, если не оговорено
противное.

206 Гопономные квантовые поля IV
ннс №~' через : :, мы имеем следующие формулы:
(П.З)- :vvywt:: w[■■■w't :
Здесь сумма взята по всем разбиениям [ц1 цт\ U {ц[, . . ., м*_т) =
* И Аг) • О*, < . . . < мт. Hi < • • • < м*-т). {'1 *т) U
U И r/_J = Я, .... П (Pt< ... <рт, р[< ... < р',_т) н
(П.4) : «;1..-г4.»:
(П.5) NrCzwr-w») =2] <«>,,«/,>
где сумма взята по всем разбиениям {pv . . ., М2от) {*„ . . ., i^.^,) =
= 11 *) 0*1 < Мз < • • • < /»2ш-1> Mi < М2 М2ш-1 < M2m. "l <
• • • < "*-2т)-
Важный пример среднего значения < >х дает голономное разложение
W = К* © К. Здесь V*, V обозначают голономные подпространства W в
том смысле, что <t/, v"> = О для любых i>, v' € К, (v*, v*"> = О для лю-
любых t/*, t;" e V. Мы имеем тогда Л(»Э = S(V) ■ S(V) н S{W) =
= 5(К*) • S(V). Мы определяем среднее значение как <(v + »*) х
х (t/' + t/")> = <t>, V"> (v, v' е V, v*, v" 6Г). Соответствующее норм-
отображение (П.1) является тогда (S(V*), 5(К))-нзоморфизмом. Выберем
базис vf € F*. t/y е V (f « 1 г, N = 2г), такой, что
Тогда алгебра yl(FF) изоморфна алгебре дифференциальных операторов с
полиномиальными коэффициентами С \х1 хг, д/дх1 Ь/Ьхг] при
отождествлении vj = xp Vj = Ь/Ьху Нормальный символ оператора PQc,
Э/Эх) обычно называется полным (total) символом Р. Вакуумы lvac>, <vacl
определяются точно так же, как в ортогональном случае.
Пусть С [[t]], A{W)[[f\] и S(W)Ht]] обозначают алгебры формальных сте-
степенных рядов по t с коэффициентами в С, A{W) н S(W) соответственно.
Мы будем называть элемент из A(W)[[t\[ (соответственно S(W)[[t]]) также
оператором (соответственно нормальным символом). В тех случаях, когда
мы фиксируем некоторое среднее значение на W, С-линейные изоморфизмы
Nr и : : единственным образом продолжаются до С [Щ] линейных изомор-
изоморфизмов между ЛAР)№]] и S(W)Ht]], которые мы также обозначаем через
4 Мы предполагаем, что билинейная форма невырождена, поэтому простран-
• W четномерно.
р
ство W четномерно.

Гопономные квантовые поля IV 207
№н:: соответственно. ПоложимS(W)[M/ = {«€S(W)Ut]]\ae ® S>(W)c<g>
®C[W] для некоторого кеЛ). ТогдаA(W)[[t]Y = {аеЛ(»Р)№]]1№(в)е
/ S(W)[[t]Y) не зависит от выбора среднего значения.
Обозначив через Ш максимальный идеал С[[Г]]Г, мы положим
(П.б) GiW, t) = {ge=A (W) [ [*] ] | Nr (g) =
(П.7) 5 (W, t) - {д е А (W) [ [г] ] !• № (д) =
Ниже показано» что G(W, t) (соответственно C(fF, r)) является группой (со-
(соответственно полугруппой) независимо от выбора средних значений.
Пусть t/j vN — базис в W и положим
(П.8) Х
Н=К-'К, J=K+'K.
Произведение элементов geGiW, О н aeA(W)[[t]Y задается следую-
следующим образом. Без ограничения общности мы предположим, что g имеет
вид
(П.9) Nr(gr) =
где CfeCUt]] A=1 s; j - 1 ЛО и rjke Ш, rJk * r^, и что
а - l*vfj - w> где cj e CIM]. Применяя (П.З), мы имеем
где
) = (У]
где zw^^

208 Голономные квантовые поля IV
Предположим теперь, что 5 = 0, так что мы имеем с = <#>. Замечая,
что матрица 1 + R'K обратима, мы определим Г = (*/*)/,*= i...,jv ПРН помо-
помощи соотношения
Тогда из (П.10) н (П.11) следует, что
N
(П.13) gvk = T
Соотношение (П.12) переписывается как
(П.14) R (К-ЧСГ) = Т-1.
Предложение П.1. Если R = (^)/л= i... JV — симметрическая матри-
ца, такая, что rJke Ш, то Т = A + Д'А)~ч1 + ЛК) — симплектическая
матрица в том смысле, что
(П.15) 'ТНТ=Н,
и более того,
Предположим теперь, что матрица Н обратима. Если Т =
= (tjjj^^jj удовлетворяет соотношениям (П.15) и (П.16), то К — 'AT
обратима,' R = (Г — 1)(АГ — 'AT) — симметрическая матрица и
rjkem.
Доказательство не слишком трудное.
Мы заметим здесь, что в противоположность ортогональному случаю
никакой элемент w € де-не-андуцирует нетривиального вращения в W. Для
того чтобы увидеть это, заметим, что если Wjw2 = с для w\, н»2-е FF.ce
€ С, то тогда с = 0 и либо Wj = 0, либо w2 = 0. Пусть теперь w0 e W,
reEnd(f*O удовлетворяют соотношению wow = (Tw)w0 для всех weW.
Мы имеем тогда (Ти> — w)w0 = [w0, w], так что н»0 « 0 или Tw = w,
[wow] = 0 "для всех w e W, т. е. Г = 1.
Следующее предложение иногда полезно прн вычислении R по Т.
Предложение П.2. Предположим, что матрица'Н обратима, и поло-
положим
(П.17) E'^H^J, P=(l-T)/2.
Пусть существуют обратимые матрицы Х±, которые удовлетворя-
удовлетворяют соотношениям
(П.18)в РХ+A-Р)=0, A-Р)Х_Р=0, Х-=Х+Е~\
Тогда
(П.19)в J?= -2Xz1PX+H-\

Голономные каантовые поля IV
удовлетворяет (П. 14).
Доказательство. Имеют место равенства
R (К - 'КТ) = - 2Xz1PX+ (Н-ХК - Н-х 'КТ)
= - 2XzlPX+ Q.-P+E~lP)
В ортогональном случае, если мы изменим (П.18) так, чтобы ■■■■■:■
(П.18)р РХ+О—Р)=О, A-Р)Х_Р=0, Х.=Х+Е,
матрица R равна
(П.19)р R=-2Xz1PX+J'\
Замечание. Условия (П.18)д обеспечивают существование левой обрат-
обратной к К — *КТ. В самом деле, аналогичное вычисление показывает, что
(Xz'il-P) +XziP)X+H~1- (K
Если мы предположим далее выполнение условий
то матрица (Х~ 41 - Р) + XZ 1Р)Х+Н~1 является также правой обратной
к К- — 'КТ. Аналогично в ортогональном случае из (TI.18)F следует, что
(Х?A-Р) +Xz1P)X+J-1- (К+ЧСГ) =1,
в то время как условия
(n.l8)'F PX?Q.-P)=*O, A
обеспечивают равенство
Теперь мы рассмотрим симплектические аналоги правила преобразова-
преобразования A.5.20) — A.5.21) н формулы произведения A.4.6) — A.4.7) для орто-
ортогонального случая. Большая часть формул получается посредством замены
'К, Н, J и det на - 'К, J.Hn det~' соответственно в ортогональной версии.
Пусть < >' будет другое среднее значение, и пусть №', : :' и т.д. обо-
обозначают соответствующие объекты. Мы имеем тогда
(П 20) <ЯУ = <9>det A -(К'-К) R) -* -

210 Голономные квантовые поля IV
-I op
2/§
Nr'(9)=<9>'exp((o72)
где
Доказательство. Мы докажем соотношение (П.20). Формула (П.21) до-
доказывается аналогично. Применяя (П.5), мы. имеем
A Jtb
Тогда из (П.б) получаем
+
Положив ^^ = <г,г;»>' —<tv»*> = ^f»^>, мы имеем
1 1 "
Если мы положим /, = - tr {(JT — K)R)'t небольшое комбинаторное вы-
вычисление показывает, что

Голономные квантовые поля IV
211
= exp g /«= det {I - (К' - К) R} *.
Объединяя (П.20) н (П.21) с (П. 10), мы заключаем, что определения
G(W, f) и G(W, t) не зависят от выбора средних значений.
Существует единственный С[[Г]] — линейный антиизоморфизм
•: A(W)[[t]] — Л(»01М]. характеризуемый условием w* = V^Tw для
wew.
Мы обозначим через Ытк (соответствеино Nr_/Jt) норм-отображснис от-
носительио среднего значения К (соответственно —*К). Бели
1
<*>ехр- £
* где
и Гд = rjy e 9R, то мы имеем
(П.22)
-1 A
Поэтому, применяя (П.20) н (П.21), получаем
(П.23) №*(дг*)=<дг>ае1A + .7Л)~*ехрА- X^rJ^v*,
где Л* = -ЛA + /Л).
Замечание. В ортогональном случае мы имеем
(П.23)' Nr(gr*) =<g>det(l + Hii)*exp— 2 rftvjvk
где Л* = -ЛA + ЯК).
Формула произведения для операторов из G(W, t) также является
следствием формул преобразования (П.20) и (П.21).
... . Пусть А ~-(^)р,,я i . ^ бУДвт симметрической .матрицей с X,, = 1
О» = 1, . . ., и). Пусть W^ (p =s Г, .". ., л) (соответственно t/W) — копия W
(соответствеино vj). Мы рассматриваем симплектическое пространство
С Л
©>И'>сосреднимзначением<1^'L')> = Х/и,<^>.Пусть*(') е A(JV)[lt]] с
(р = 1, . . ., л) — оператор, заданный выражением
Х-1
где
е С(М] и
= fj}? € 9R. Положим
О Ай^
и А (Л) =
•Азд.,^ ' 0 „

212 Голономные квантовые поля IV
Тогда:
(П.24) <gM-gM>=<gw>-<g(ny> det(i
(П.25) Nr(gg)<??>exp
2
где
Замечание. Выше, если положить Х^„ = 1 н отождествить л копий век-
векторов vW (р = 1, . . ., л) с первоначальным вектором, получим формулы в
исходном пространстве W. Так как мы не предполагаем невырожденности
билинейной формы, конкретизация Х^ = 1 не нарушает нашу аргумента-
аргументацию. Заметим также, что аналогичные результаты в [1] в ортогональном
случае справедливы без предположения о .невырожденности скалярного
произведения. (Ср. замечание 1 на стр. 55, часть I н замечание на стр. 16
Если w,, . .■., wk e W, то из (П.5) следует, что
-, „~ / \ (^ , если £: нечетное,
(П.26) <гг>1---гг>*> = \ '
I 2J \u>il'wid'"(wit.iwil> . если к: четное,
где £' означает суммирование по (к — 1)М спариваниям, удовлетворяю-
удовлетворяющим условиям jj < у'з < . . . < jk_ j н y'j < /2, . . ., jk_ j < jk. В ортого-
ортогональном случае мы имеем
(П.26)'
О, если к: нечетно,
'еат к
j
Эти формулы обобщаются следующим образом. Рассмотрим симплектиче-
ский случай и опустим также значок А, так как это не что иное, как обозна-
обозначение специального класса средних значений. Пусть gr {р = 1, . . ., л)
оператор, заданный нормальным символом №(g ) = <£ )е"'п где <**> е
еС[[Г]] ир, eS\W) ® Ш. ' '
Пусть g'r{p = 1, .... и) — оператор, заданный нормальным символом
Nr(gp = w^rCg^, гдеwp € w® С[[/]]. Пусть {•>!,. . .,pk)(l < pv . . < рт ^
< л) — некоторое подмножество A, . . ., п]. Мы положим
«с, ы z=<fif-hny/(.g1—gny
где
!д„, если v^ {уь ■■-, vt}

Голономные квантовые поля IV
213
Обозначим также элементарные величины <»(„,,,., )A < У < У < *) через
Ojj.. Тогда имеем
(П.27)
О, если * нечетное,
Zj'aiiу,"'яу»-1/* > если * четное.
Аналогичная формула для ортогонального случая следует из A.4.10). В
/1 ... к\
этом случае нужно добавить sgn I . . I, и мы получаем выражение
\У1 • ■ • )к/
0 если к нечетное,
/ч г. .
1.1.--& 1,.. п если к четное.
вида
Эта величина называется пфаффианом (Pfaffian) кососимметрической мат-
матрицы
■ 0 аа
-а,.
-Ок-1к 0 /
С другой стороны, выражение (П.27) называется гафнианом (Hafnian) сим-
симметрической матрицы
Он-\к
Я*
где диагональные матричные элементы произвольны.
Мы приведем простое доказательство формулы (П.27). Идея доказа-
доказательства та же, что при доказательстве теоремы 1.5.8.
Обозначим через W векторное пространство, дуальное к W, и через
tN — базнс, дуальный к v,, . . ., vN. Пусть W*W (соответственно
j (f ж 1. .... л) — копия пространства W (соответственно fy). Поло-
Положим W = W © W*W © ... © WW. Продолжим среднее значение (поэ-
(поэтому и билинейную форму также) из W на W естественным образом.
Пусть <v$b - <фпр = <&>$Ъ = 0. Обозначим через Н#> дуальное век-
векторное пространство к W*^ и через № естественный изоморфизм
t(»): w ~ W^. Определим оператор gve A(W)[[i\] прн помощи выражения

214Голономные квантовые поля IV
№<#,) = <g,> X ехр^ + mv^'b- Положив
M£;
если v&{»u -,v*}
если i>e {vu ■■-, »*Ь
мы имеем
Здесь t/ = 5 = 0 означает естественную проекцию S(W)[M] ~*
— S°(W) х C((f]]. Таким образом, ваша задача сводится к задаче в
5(Й01Й1. Заметим, что формула (П.25) утверждает, что произведение
gl. . .gn имеет вид <g, ... /я>ехр(р/2) с р е 5(»0№]]- Поэтому следующая
лемма завершает наше доказательство. Доказательство самой леммы мы
предоставляем читателю.
Лемма. Если g - <g>e»n с реS(W)[M] и r,re W (р = 1 *),
имеем
, если k = 2m+l
, если k — 2m .
Обобщение на случай, когда Nr(g^) = wyl . .. >♦-„^Nr(g,,). производится
непосредственно. В этом случае нам понадобятся величины вида
в гафниане или пфаффване.
Укачанный выше результат утверждает, что величины вида
<*,: wj х «V2 : . . . : w^2 : gn>/<gy . . . gn> и < g , : w , w2e"n : . . .
. . . gn)/(gi ■••;„> элементарны. Приведем теперь формулы для таких ве-
величин, возвращаясь к формулировке, включающей А.
я N
Положим Nr(g' W) = wjNrte<'/>), где w/* П П wJ^V/>> (/=1, 2), с
c/j^> ее [[ГЦ. Тогда для 1 < г,, г} < я ыы имеем1)
(П28) •
°Если »j = »2, положим

Голономные квантовые поля IV
215
!«
Ml Л- А1К1_1 Л. u Aj»1+iA. •••Л.1ПЛ. \
Я 'С J " «S" Л 3 I?" }* VI
я1 Л. • •'AB»l_j Л. U А„,1+jA. • • ■ /„„Л./
О ••• О
г'<")
2 ЧГ 1 ЧГ
гпе '/•' С) Л/-' <л) . /.' («Л Л/ 1 9 ■ « —. 1 . »^^ ж>
I ~"* v 11 > tin J \. ~"* t > f~ ш"~ з з **J-9 ^"
(Х , если 1>,О,
О , если v,=Vj
'К , если v,>i>j .
Из (П. 10) и (П.25) мы получаем формулу для <w1wap<1) . . . £w>, где
w,= |]i>?Mj? (/=1,2), ср;еС[М].
/я?я
Вообще, обозначив через cj'\l а 1, 2; * = 1 л) вектор-столбец
с(г)'_
мы имеем для 1 < t>j < р2 < л
(П.29)
\A»i i

216
Голономные квантовые поля IV
(П.30)
\ / /-O) \
л„ i К ••• Я„ „ К
1_1 К
О ••• О
Я»1+п 2
1 ЧС
.'(»)
К , если
'if .если
Аналогичные формулы справедливы и в ортогональном случае, если заме-
заменим 'К на -'К.
Бели положить g'^ = wg№ = rwjNrCgfa*):, то получим
=
' 0 '
с
. 6 ,
где с = П utrtk^Kdp. Тогда формулы (П.29) и (П.ЗО) дают два различ-
различных выражения для одной и той же величины. Мы дадим прямое доказа-

Голономные квантовые поля IV
217
тсльство их совпадения 1\
Для простоты предположим, что у1 < vv
Пусть
(Да ••• ^i»,-i\
: : > А
Дь,
(In - li. \
[\ : . Ai= :
Тогда имеем
(П. 29)='с,-
О О
-RQ— A(A)R)-lA
^0f
•с.
+ 'c1(A1<g)tK,Ai<g)K)
(П. 30)
Наконец, применяя формулы (П.23) — (П.25), мы имеем
(П. 31) дд* = g*g = <g>* det A + is^) ~\
Поэтому мы заключаем, что G(W, t) — группа.
•> Случай, когда g'(Fj) = u*1^»,, рассматривается аналогично.

218 Голономные квантовые поля IV
Наряду с предложением П.1 мы, таким образом, доказали следующую
формулу:
(П.32)
R=(T-1) (K-'
>' = nr (д) det (Н^К-Н^'
где ir(gr) = д*д = дд*
ЛИТЕРАТУРА
1. Sato M., Miwa T. Jimbo M. Publ. RIMS, Kyoto Univ., 14 A978), 223 — 267 (см.
настоящий сб., Статья Г.К.П I).
2. Sato М„ Miwa Т., Jimbo M. Publ. RIMS, Kyoto Univ. 15 A979), 201 — 278.
3. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Publ. RIMS, Kyoto Univ., 15 A979), 577 — 629 (см.
настоящий сб., Г.К.П. HI).
4. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., 53A A977), б — 10.
5. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc.-Japan Acad., S3A A977), 147 — 152, 153 — 158,
183 — 185.
6. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., 53A A977), 219 — 224.
7. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., S4A A978), 1 — 5, 36 — 41.
8. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Proc. Japan Acad., S4A A978), 221 — 22S.
9. Jimbo M. Proc. Japan Acad., S4A A978), 263—268.
10. Sato Mt, Miwa Т., Jimbo M. Field theory of the 2-dimensional Ising model in the
scailing limit.. RIMS preprint 207 A976).
11. Wu Т. Т., McCoy B. M., Tracy С A., Barouch E. Phys. Rev., B13 A976),
316 — 374. .
12. McCoy B. M., Tracy С A., Wu Т. Т. J. Math. Phys., 18 A977), 1058 — 1092.
13. McCoy B. M., Tracy С A., Wu Т. Т. Phys. Rev. Lett., 38 A977), 793 — 796.
14. Bariev R. Z. Phys. Lett., SSA A976), 456 — 458.

ГОЛОНОМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ V
М. Сато, Т. Мива, М. Дзимбо
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая часть V нашей серии статей посвящена применению теории
вращений [I] к решетчатым моделям. Сюда включены двумерная модель
Изинга [5, 6J, ее бозонный вариант, одномерная АТ-модель [12] и свободная
фермионная модель [14 — 16]. В каждом случае мы явно вычислим нормаль-
вые символы спиновых операторов и, следовательно, их л-точечные корреля-
корреляционные функции. Результаты этой статьи «упорядочены по времени» их по-
получения, но мы могли бы унифицировать изложение при помощи формализ-
формализма континуального интегрирования, изложенного в § 5.4 (симплектический
случай) и в § 5.7 (ортогональный случай). Со времени первого сообщения о
наших результатах по модели Изинга [2,4] появилось несколько независимых
статей [9 — 11], касающихся точного вычисления л-точеяных функций. Мы
хотим подчеркнуть, что эти результаты становятся наиболее прозрачными
при непосредственном рассмотрении явной формы спиновых операторов.
(Например, произвол в представлении л-точечных функций при Т > Тс в виде
бесконечных рядов ясно описывается при таком рассмотрении).
(См. стр. 236.)
План этой статьи следующий. Первые три параграфа, § 5.1 — 5.3, посвя-
посвящены модели Изинга. Мы увидим, что систематическое применение первона-
первоначального метода Онсагера [5] позволяет идентифицировать не только, сво-
свободную энергию, но также и сам спиновый оператор. Сначала в § 5.1 мы да-
даем обзор процедуры диагонализации гамильтониана [5,7], а затем в § S.2 вы-
вычисляем нормальные символы спиновых операторов. Используя эти резуль-
результаты, мы выводим в § 5.3 представления для л-точечных корреляционных
функций в виде бесконечных рядов (применение формулы произведения [1]).
Мы устанавливаем также их сходимость и некоторые свойства симметрии. В
§ 5.4 рассматривается двумерная решетчатая модель, которая представляет
собой симплектический вариант модели Изинга. Читатель легко увидит, что
формулировка при помощи континуального интегрирования, использованная
здесь, допускает немедленное обобщение на аналогичные многомерные моде-
модели. В следующем § 5.5 мы выполняем переход к скейлинговому пределу и по-
l)M. Sato, Т. Miwa, M. Jimbo. Holonomic Quantum Fields V. — РиЫ. RIMS,
Kyoto Univ. 16 A980), 531 — 584.
© RIMS, Kyoto University, Kyoto 1980
© Перевод на русский язык «Мир», 1983

220 Голономные квантовые поля V
каэываем, что спиновые операторы из § 5.2 и 5.4 переходят в операторы
<Рр(х), f^ix) и <р^х), введенные в [2, 3]. В § 5.6 мы рассматриваем одномерную
АТ-модель [13]. На этот раз спиновые операторы дают в различных скейлин-
говых областях операторы <Р/&с), <fF{x), их производные по времени, а также
тензорные произведения их копий. Наконец, в § 5.7 мы рассматриваем сво-
свободную фермионную модель, которую называем ортогональной моделью в
отличие от рассмотренной в § 5.4. Наше изложение при помощи метода кон-
континуального интегрирования отличается от методов, использовавшихся в ли-
литературе [14 — 16], и представляется более простым. Эта модель включает
как специальный случай различные изингоподобные модели, такие, как моде-
модели на треугольной [18] или обобщенной квадратной решетках, так что л-
точечные функции для этих моделей вычисляются в явном виде. (Для послед-
последней модели можно рассматривать только вершины одного типа.)
Авторы хотели бы выразить благодарность профессору М. Сузуки за ин-
информацию о соответствующей литературе.
ЧАСТЬ V.
СПИНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ В РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ МОДЕЛЯХ
§ 5.1. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНИАНА
Мы дадим здесь обзор процедуры диагонализации гамильтониана модели
Изинга на двумерной прямоугольной решетке. Содержание этого параграфа
хорошо известно, но мы включили его здесь как для того, чтобы сделать эту
статью доступной для неспециалистов, так и для того, чтобы фиксировать
Обозначения. ._ '■'■'. .'..."..„" . .
Рассмотрим прямоугольную решетку величины М х N, где спиновая пе-
переменная атп = ± 1 сопоставлена каждому узлу (т, я) @ < т < М — 1, 0 <
< л < N — 1). Полная энергия этой системы есть
М-1 Н-1 Af-1 JV-1
E.1.1) Дст)=-£Г1 £ £ (Ттяат+1Я-Е2 £ £ о„ати+.
т=0 я=0 т=0 »=0
где Ех, Е2 > 0 — константы взаимодействия. Мы выбрали циклические гра-
граничные условия от + ^^ и + м = am|i, к, I eZ (т.е. решетка свернута в тор).
Наши основные предметы исследования — это большая статистическая сум-
сумма
и корреляционные функции для произвольных точек решетки (т„ л,) (/ =
= 1 *): J J
/С 1 W f\ ((Wt и \ _/nt ft ЛЛ — 7~^ \^ fT
1. I-»-— *' k) - MJVZ. «,.,— mt.fc(

Голономные квантовые поля V
В E.1.2) и E.1.3) сумма взята по всем 2**N возможным спиновым конфигура-
конфигурациям ад, = ± 1, ... , ом _ j N _ j = ± 1, и /3 = 1/кТ > О (к — больцмановская
константа, Т — температура).
Будем следовать методу матрицы перехода. Для произвольного Ди-
Дивектора а = (о0, ах,... , ом _ ,) с компонентами а, = ±1 мы положим
E.1.4) ев = ев0®-®еви.1, e+1
Эти г^векторов {eaj образуют базис в (С2)®**. Введем матрицы Vx, Vt, у ко-
которых (еа, е„.)-матричные элементы равны
E-1.5) (y^^^^PiK^J: amam+1)
m=0
где &„- =
E.1.6) Kt = pElf
Определение E.1.2) тогда выглядит как
Zt£N = ?L"' £ C^l)<ro<ro('/2)iM
•о »м -1
= trace (J^Fj)*
где а,=(сто„..., стм-1,) (n=0, I,..., JV-1). Если положить
E.1.7)
(«=0, 1.....Л/-1)
то К,, К2 записываются как
E.1.8) V1=cxp(K1(s0s1+sls2+-+sM-1s0))
Здесь для заданного К > 0 величина ЛГ* = ЛГ*(ЛО > 0 определяется при помо-
помощи формулы
E.1.9)
е *•

222 Голономные квантовые поля V
Операторы [sm, Cm] удовлетворяют следующим соотношениям:
E.1.10) smsm.=sm.sm, s2 = l
СтС* = С*Ст, С*=1
smCm. = Cm.sm {тфт'), smCm=-Cmsm
(m, m' = 0, 1,...,M-1).
С использованием снмметризованной матрицы перехода
E.1.11) V=V\I2V2V\I2 = VT1'2(V1V2)V11I2
статистическая сумма определяется по формуле
E.1.12) ZUN=txa.ceVN.
Аналогичное рассуждение приводит к следующему выражению для корреля-
корреляционных функций. (Учитывая симметрию рк по ее аргументам, мы можем
предположить, что л, < ... < пк.)
E.1.13) Рк((ти пд,..., (тк, пк))
где
E.1.14)
йМ- 1, OunuN- 1).
Ключевой момент остроумного метода Онсагера — это наблюдение, что
матрица перехода Vn спиновый оператор smn оба принадлежат группе Клиф-
Клиффорда G(W) над ортогональным векторным пространством W, которое мы
сейчас опишем.
Введем" операторы рт, qm следующим образом:
E.1.15) pm = C0C1-Cm^1sm, Po = so
qm=C0C1-Cmsm=Cmpm
(m=0, 1 M-l).
Ввиду E.1.10) мы имеем, длят, т' = 0, 1, ... ,М - 1,
E.1.16)
ЧтЯт' + Чт-Ят — ~ "^ттГ •

Голономные квантовые поля V 223
При помощи операторов рт qm операторы sm и Ст выражаются следующим
образом:
E.1.17) sm = pmtm,
Cm=qmpm-
М- 1
Формулы E.1.16) показывают, что пространство W =
т -О
снабжено ортогональной структурой, по отношению к которой базис [рт;
iqm\m = о, 1 м - 1 является ортонормальным. Так как ta(pm), ta(qm) Ф О,
то из соотношений E.1.17) следует, что sw tm e G(W). Более того, из E.1.8) и
E.1.17)
E.1.18) V1
V2 =B sinh 2X2)«/2 exp (XJ(9oPo+9iPi + • -+9m-iPm- i))
где tw = qM _ j pM _ , ... q0 p0 обозначает ориентацию пространства W
(часть I, стр. 40).
В дальнейшем мы модифицируем определение матрицы Vx следующим
образом:
E.1.18)' F1=eXp(JCiO>i9o + P29l + *" + i'Af-l9Af-2 + Po9Af-l))
для того чтобы избежать усложнений без изменения существа вычислений.
Это делает матрицу перехода инвариантной относительно горизонтального
сдвига j?m « рт + „ qm « qm + ,. Из E.1.18) и E.1.18)' ясно, что VeOjW)-
Мы фиксируем среднее значение h&A(W) вида <а> = Z^traceCaK ) =
= trace(agxya eA(W)), raegx = l^/traceH^e O(W) (часть I, стр. 59).
Для того чтобы получить нормальные символы операторов sm, tm и V,
вычислим индуцированные ими вращения (ср. [8]). Мы имеем _
E.1.19) -г - -\ ~Р*
■q
qm.
E.1.20) rK'/*/>m=/>
={
E.1.21) Tr2pm**pmcoah2KZ+qm-smh2KZ
Triqm=pm8iah2
где q_x = qM _ , ирм = p0 в E.1.20).
Е
е q_x = qM _ , ирм = p0 в E.1.20).
Если мы введем фурье-преобразованный базис
EЛ.22) Y

224 Голономные квантовые поля V
, ц=0, 1 M-lmodM)
то таблица скалярных произведений будет иметь вид
E.1.23) <Щ0, Жб,)>
4@0 > =0
-vmodAf),= l(ji - -рто<Ш),иизE.1.20)иE.1.21)имеем
E.1.24) Гк|/*£(в,,) = Жб,.)-cosh ЛГ,-0@,,)•*"'•<• sinh*,
cosh Kt
E.1.25) TyJ(ej = р(в„) cosh 2*| + 4@„) sinh 2/sT?
= р{в„) sinh 2tf J + 4 @„) cosh 2/sTf
E.1.26) TKK^=№ • cos
sin
Здесь функции т@) = y(—9) ^ 0 и а@) определяются из соотношений
E.1.27) cosh у(в)=cosh 2Kt cosh 2Kf - sinh 2X t sinh 2XJ cos 0
=cosh 2(Ki -Xf)+2 sinh 2Kt sinh 2/CJ sin2 @/2)
E.1.28) 4@?** sinh y@) = 2(coshJCi cosh iTf -e*'« sinh ЛГ, sinh
x (cosh ^! sinh Kt - e±te sinh /iT, cosh K$)
=cosh2 J?! si
где
E.1.29) ^i^
a2=(tanhX1)-1tanhXf.
Критическая температура Г = Гс определяется из условия
<5Л-30) а2|ЮГ|Гс.
Отметим, что 7@) = 21ЛГ, - Щ\ и а@) = ± 1(Г % Гс) при 9 = 0. Для Т > Тс
E.1.31)г>Го

Голономные квантовые поля V 225
однозначная фушщия z = в* на единичной окружности S = { UI = 1J» в то
время как для Т < Тс
E.1.31W, «г<тДв)= - е-'ва(в) = *т<г.,(е)/*т<те( -в)
Ьт<т£6) = ^(l-a.e'^/d^
обладает указанным выше свойством
Здесь ветвь квадратного корня выбрана так, что Ът s т @) > 0.
Вращение Ту из E.1.26) диагонализуется в следующемсбазисе для Т S Гс
соответственно.
"г>Гс 12фт> тМ=ixe.
E132)
В любом случае операторы typj = И * г Ю> fa J = ^г s г (eJ Удовлетво-
ряют каноническим антикоммутадионнымс соотношениям с
E.1.33) С^г(в
Af (u = v mod М)
и мы имеем, применяя соотношение 7@) = у(-0), следующие равенства:
E.1.34) Tv
(ц=0, 1,..., M — 1 modAf).
Матрица К средних значений в этом базисе вычисляется при помощи форму-
формулы A.5.13), т.е. К = G + Н)/2, Н = 7A - 7» х A + 7»~'. Далее,
' ° --
E.1.35) ' N" VV""' ' V^X" ""/"V W/ V

226 Голономные квантовые поля V
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1.1. Справедливы соотношения:
E.1.36) Bsinh2K2)-M'2V=exp(-X')
Если положить V = exp (-<#?), то его нормальный символ есть
E.1.37) Nr(F') = <O«''/2
<F>>2 = Д cosh
Д
M-l (I _ e-J<»»))(\+e-Nr<»»)\ -
P72= -^ Д i+gk)
Доказательство. В силу антикоммутационных соотношений E.1.33) опе-
оператор V индуцирует такое же вращение, как в E.1.34). Ясно также, что
пг(И') = V'V = 1. С другой стороны, при помощи E.1.18) и E.1.18)' спи-
норные нормы операторов К^ и Bsmh2AT2)~A'/2K2 легко вычисляются и ока-
оказываются равными 1. Поэтому выполняется равенство Bsinh2AT2)~A'/2K =
= ± У. Для того чтобы определить знак, рассмотрим крайний случай
К^ = 0. В этом случае К, = 1, а(в) = 1, и легко видеть, что правильный
выбор — это знак плюс. Это доказывает E.1.36). Нормальный символ опе-
оператора V вычисляется непосредственно из формул A.5.7), A.5.8).
Следствие 5.1.2. Имеет место равенство
E.1.385 Z2rw=Bsmh2.«:2)J™.Jri 2A+cosh ^@.)).
— ..-.. _. _ _ »-о
Доказательство. Это прямо следует из формулы A.5.18).
В пределеМ, N — оо равенство E.1.18) воспроизводит знаменитую форму-
формулу Онсагера для удельной свободной энергии
E.1.39) '
Как было отмечено Онсагером, эта формула может быть переписана в сим-
симметричном виде
log ZKJ,$$
log (С^Съ- SiCO&e- S2 cos в')
при помощи тождества
у=\ ~-logB(coshy-cosl
B* d6
» = l ...
Jo 2я

Голономные квантовые поля V 227
Здесь мы обозначили
E.1.40) C,=cosh2/i:,, St=sinh2A:l
Sji (/=1,2).
Вычисление нормальных символов Nr(fm), Nr(sm) будет выполнено в сле-
следующем параграфе.
§ 5.2. СПИНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Фактически точное вычисление нормального символа Nr(smn) можно вы-
выполнить только в пределе бесконечной решетки M.N— оо. Для удобства мы
заменим размеры решетки М, N на 24/ + 1, 7N + 1 соответственно. Произ-
Произвольный узел решетки будет теперь обозначаться (т, л) при — М < т < М,
(. Спиновые операторы определяются как tm = qm_lpm_l ■•■
й — п t -шя t — V/ Л/—" р -■ Vp х/—п
Г* rft r fwl twl twin fwl ' Inn fwl
В пределе М, N — оо конечная решетка и ее преобразование Фурье Z/BM
+ 1)Z X Z/BW + 1) Z превращаются в Z2 и в тор (R/2XZJ соот-
соответственно. Сначала фиксируем М, Т(ф Тс), и пусть ЛГ — оо. Матрица
средних значений E.1.35) будет иметь вид1)
/<#Ч0«)#Г@,)><#Г@*)#@,)>\ / °\
E.2.1) I ).= { jBAf+l)^v.
Другими словами, среднее значение <> теперь индуцируется голономным
м л м л
разложением W = Ft 0 К, К+= 0 C^t(tfj,K= 0 QKO-
Ввиду простоты представления вращения Г, в E.1.19) удобным базисом
для вычисления Nr(fm) является [pm, qm\ или его фурье-преобразование
(р(вд; 4'@/|)) • Из E.2.1) и E.1.32) мы имеем
E.2.2)т>т„
') В дальнейшем мы часто опускаем индекс Т г 7"^ если это не приводит к
доразумению.

228 Голономные квантовые поля V
@,)> \
,)> /
( <РтРт' > <Л«?»' > \ J ' ' 5—' a^Vc.-»+».'-l
где <%% Тс% m = BAf + I)"»
Теперь перейдем к пределу Л/ — оо. Если положить
E.2.3) Р°
то вспомогательные операторы рпт = ехр (-иР° - тР1^^ ехр (лР° +
+ imp1), qmn = ехр (—лР° - ипР1^^ ехр (лР* + ImP1) записываются в виде
E.2.4)г>Гс ртп
E.2.4)г<г„
В этом пределе E.2.1) и E.2.2)r a r превращаются соответствевно в
E.2.5)

Голономные квантовые поля V 229
E
2 6) (
т>Тс \
/ <РшРт
- > <Л* п.- > W Sm. -вг>Г..—♦-• \
- ><1шЯ,'> I \«Г>Г..—m' ~<W I
E 2 6) ( <«"*W«"W)> <*иРШЮ> V
Г<Гс I <4(в)е'в'^(в')> <4(бL(в')> /
l ar<rf-
= П «"*-вг»ге.«-
m » —ш
Мы различаем два случая: Т > ТсиТ < Тс.
(а) Случай Т> Тс.
Рассмотрим сначала четный элемент tm0 = t$} на решетке размера
BА/ + 1) X оо. Из формулы A.5.7) (или прямо из (П.26)' в [3]) имеем
E.2.7)
где а1^ = а^. Гс, т. Теперь мы устремим М — оо (т — фиксировано) и
получим для бесконечной решетки
(а0 •••а_
E.2.8) d
Наконец, перейдем к пределу т — оо. Правая часть равенства E.2.8) в этом
пределе вычисляется при помощи теоремы Сете [17]. Используя тот факт,
что ('оо'то) — <'оо>2 ПР11 "> — оо, мы получаем для бесконечной решетки
E.2.9) <f
где Slt S2 даны в E.1.40).

230 Голономные квантовые поля V
В частности, tffl Ф 0 для достаточно большого М. Отсюда следует, что
нормальный символ оператора t$P имеет вид
E.2.10) №<<»>)-<<»>>
где оператор «^ e Eadc(W), соответствующий ядру (WHfi ,
*,)) v = -м... д/связан с /*М), Е^ при помощи соотношений (ср. A.5.8))
E.2.11)
В пределе М — оо операторы Р4*^, f^ переходят в
E.2.12) (W), ^4(в')) = 5*я^-A)(в), 4(в))Р(в, в')
'\т v
E.2.13)
Рассмотрим факторизацию матрицы £@) вида
E.2.14) Х-(в) =
Ясно, что Х^($) голоморфна и обратима при \г\ *1 < 1 (г = е*). Отсюда сле-
следует, что
E.2.15)
Поэтому, применяя формулы (П.18)^. — (П.19)/? из части IV, мы получаем R
= -2XZ1PX+J~l;соответствующееядро/?'(9.*')вбазисе1Ж9).4(9)) имеет
ВИД * j. / __а'\ •.
E.2.16) &'(в,

Голономные квантовые поля V 231
Замечание. Легко проверить, чтоР, ЕжХ± являются ограниченными ли-
линейными операторами в LHS1)?. Поэтому оператор К + *КТ = 7A - Р + ЕР)
имеет единственный обратный (Х~ \l - Р) + XZ lP)X+J-l bL2 согласно за-
замечанию после предложения П.2, часть IV.
Оператор вращения Tt = 1 - 2Pmn, индуцированного элементом tmn
при произвольных (m, л}, получается при замене Р(в, в') «Р„„(?,
9')= UnJPQ, 9')Umn{9'Г1, rat Umn(9) = «^(cosh ny($) - Е(в) sinh ny($)).
Так как Umn коммутирует с Ё, соотношения E.2.14) и E.2.15) остаются спра-
справедливыми, если заменить Х± на V^X^ C/~,J. Легко видеть, что среднее зна-
значение <'„„> не взменяется. Возвращаясь к базису ^@), %{в), мы имеем, таким
образом, следующий результат:
E.2.17)
где^^,) = «^дается формулой E.2.9),,, и
E.2.18)
Вычисление нормального символа Nr(ymiI) является теперь относительно
легкой задачей. Так как s^ = pmn • t^,, то из E.2.17) и A.4.1) следует
E.2.19) ^
Здесь мы использовали соотношение
С* 4^£*.-(в. v
J-x 2Jt
(б) Случай г < гс.
В этом случае мы будем иметь дело с оператором s^, = Vя smV~", sm =
= s~-usm = P*flm -x Pm - i - P-M + i</-w»«cto самого оператораsmn.
Это равносильно наложению граничного условия s_M = 1 до перехода к
пределу Af-* <*>.

232 Голономные квантовые поля V
Точнее, мы начинаем со следующего:
E.1.2)' Zi,w= £'*->*<'>
<»)
E.1.3)' pi((mlf nO (m» n^)^Z'MN-1 £' er.,..-
где V ' означает суммирование с условием в^, = 1@ < л < N — 1). Следуя
процедуре §5.1, мы находим
E.1.12)' ZWw=2
E.1.13)' ^((mi, nt) (m* П|к))
где
E.1.11)' V = V'$V'2V\b
V\=exp (Х^^о+рз^! + •••+Р0«г9м-i))
E.1.14)' l.-
ирт, 9т удовлетворяют E.1.16). Если заменить операторы V,, К' 2 на те, ко-
которые приводятся в E.1.18), E.1.18)' соответственно, мы вернемся к ситуа-
ситуации, описанной выше. Не трудно проверить, что эта замена не влияет на ре-
результат в пределе М, N — оо. _
Вычисление нормального символа Nr(s ) производится совершенно па-
параллельно случаю tmn при помощи базиса {6"Р(9), 4@)] ■ Подробнее вращение
7~ = 1 — 2Р- выглядит как -
■*оо
E,2.20)
Поэтому равенства E.2.13), E.2.14) и E.2.16) заменяются на
E.2.21) Ке,0)=( , Д1
E.2.22) Х+(в)
г я^— 1
E.2.23)
_Ьт<Тс(-в')\

Гопономные квантовые поля V 233
соответственно.
В результате
E.2.24) Nr(SM.) = <*„„
ф
) = Цк Тс(в), № = фт< т
E.2.25) <*„,„> =A-S72
J g— Цвв+в'в'—JO)
В части IV мы постронли оператор <р^а), отправляясь от двумерного уравне-
уравнения Дирака. Также можно начать со следующего разностного уравнения для
» = «>mn)m. п в 2. '^ ^ 2
E.2.27) Pttl
ду
. ^) 6 С2:
Обозначим через W множество решений уравнения E.2.27), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию
для фиксированного п. Скалярное произведение на И" определяется как
E.2.28) <„, „'> =2
Небольшое вычисление показывает, что правая часть не зависит от л.
Из E.1.16) и E.2.28) мы видим, что если отождествитьр_ (соответствен-
(соответственно <?_) е We решением v уравнения E.2.27), удовлетворяющим условию v
= r(am«o« °) (соответствеяно v^ - '(О, -6mmj), то Wn W будут изоморфны

234 Голономные квантовые поля V
как ортогональные векторные пространства. Более того, в силу E.1.24) и
E.1.25) элемент/ц^ (соответственно ят</1^ представляет решение v, такое,
ч™ "тп,, = '&тто> °> (соответственно и|ППо = г@, - S^J).
Введем «массовую поверхность» для разностного уравнения E.2.27). Обо-
Обозначив через z и w операторы сдвигов
соответственно, можно переписать E.2.27) в виде
E.2.27)' Г»-0
где
w
Заметив, что CJS2=C2 и SJS2 = 1, мы имеем det Г = w1 - ЦС}С} - S&
X Z+2Z j w + 1 = -2$>Д(ь w), где
E.2.29) ^i
Мы обозначим через М° комплексную массовую поверхность1)
E,2.30)--
А/0 — это эллиптическая кривая без особых точек. Проекция т,: М° — Р1(С),
*№& fi» T2) = (io> fi^ ппяется двулистным накрытием с точками ветвления
а*1, а*1 (см. E.1.25) и E.1.26)). Мы положим
E.2.31) A/-{(z, w)eMe||z|-l},
E.2.32) А/± - {(z, w) 6 А/1 И ^ 1}.
Рассмотрим на М° абелев дифференциал I рода вида
E 2 33) dz r- dz
О Мы используем г - fj/f0 i»= fj/f,, как неоднородные координаты.

__ Голономные квантовые поля V 2§5
Мы выбираем униформизующий параметр U на М° так, чтобы dU =
= dz/rtiHyv - w~l). Отождествим Л/± с R/2tZ прн помощи соотношеаий
z=e", w—e»<»> , если (z, w)e3f+,
z—в"", w—e~»<*> .если (z, w)eAf_,
соответственно. Тогда на вещественной массовой поверхности М эта 1-
форма dU записывается как
E.2.34)
Для произвольной функции Л ^0» определенной на М, мы имеем следующее
тождество:
где U±{9) = (е**, в*ч^>) для 9 е
Положим для Т > Тс
E.2.35) ^=v/S5E7TOr>re@) Ue At,
н для Г < Гс
E.2.36)
Тогда
а,™ (<Г(в)ФЧв')> <ФЧв)ФЮУ\ I о,
E'2-37) [<Ф(в)ГЮ> <ИвЖв>)> Hi )meh
где 6(в, в') = sinhy@) ■ 2r6($ - $'). Мы положим также
E.2.38)
UeM+.
Из E.1.31) мы имеем следующие тождества:
E.2.39) \ЬТ> Ге(в)|2=sinh у{в) sinh 22Ca/cosh2 K^,
1*г<тв(в)|2=tanh Ki/
Используя E.2.39), получаем окончательный вид спиновых операторов.
Теорема 5.2.1. При Т > Тс
E.2.40)

236 Голономные квантовые поля V
E.2.4.) ^
1ФЧВ')\ ГС
ию HL«*dUdU'R~iu'
(ff)
E.2.42) ^.*j ^
Теорема 5.2.2. При Т < Тс
E.2.43) Nr EЯ.)- <5Я1|> в»-'2,
E.2.44)
'»(•")) (ff, в' » ±)
При Г > Гс можно заменить Ртл на Ртп + ф „J, дл< любого
+L тп е W (см. теорему 1.2.8). Специальный выбор
32
приводит к следующей теореме:
Теорема 5.2.3. При Т > Тс
E.2.45)

Голономные квантовые поля V 237
( f ^?) " tt dUdU'R'm(U, и'
\ ф(в) I JJMXM
Т, ff'= ±)
Доказательство. Заметим, что для fc w), (z', w') e M° мы имеем
E.2.47) ^7-^L^
Без ограничения общности можно предположить, что m = О и л = 1. При-
Применяя E.2.47), мы имеем
l-z lz'-' 2
z'(w - w')\ilf(U)\ff(U')
"
1 -zV-l
Замечание. При другом выборе элемента ^ „„ следующие ядра являют-
являются также допустимыми в качестве R'nJLU, U'):
E.2.46),
E.2.46J

238 Голономные квантовые поля V
Наконец, мы выразим через ф(Ц) вспомогательные операторы ртп и qmn
т>тс
E.2.48) pJi^ Wtli^-
где в(С/) т ± 1 для С/ е М±.
Г < Тс
E-2.49) Ai.
t S.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
В этом параграфе, применяя формулы произведений (теоремы 1.4.3 и
1.4.4), мы выведем выражения для ^-точечных корреляционных функций в
виде бесконечных рядов (9, 10, 11] прямо из представлений для нормальных
символов спиновых операторов.
Пусть С±, С^ обозначают 1-циклы на М° следующего вида:
E.3.1) C±={(z, w)eMc|z=e", |w|fel, eeR/2nZ},.
E.3.2) C'± ={(z, w)eMc| w=«M, |z|^ 1, 6eRl2nZ).
Их расположение показано на рис. S.3.1 и S.3.2.
Определим /-форму 0, на °
E.3.3, . в,
где мы положили г, + j = Zj ■», + ! = »i- Если ввести на At0 другой уни-
формизующий параметр О при помощи равенства
то О, переписывается как
E 3 ЗУ О.
Здесь мы использовали E.2.47) и следующее соотношение:
E.3.4) S dZ *"

Голономныв квантовые поля V
239
=-\
(т<тс),
■2 (Т>ТС).
Рис. 5.3.2. М°
Форма О/ голоморфна везде, за исключением простых полюсов на мно-
многообразиях
E.3.5) А\» = {{U, Ut) е ЩcY\Uj - UJ+1] ,
(j ш 1, ... , 0, где t/, + , ш uv Вычет в д}» равен
E.3.6) гев,|{яО1 = (
где мы отождествили Д^ с (А/0)' ~ !!).
Пусть (mj, nj), ... , (mt, л^) будут * различных точек на решетке. Мы
выберем перестановки акт, так что т^ < ... < т^) н л^, < ... < л^)
!) Для замкнутой формы ш с простым полюсом на Д ■» (/ «= 0) вычет ге»ды
определяется как ш/d log/1 д = 91Д, где ш = d log/ л в + <р (в, у» — голономные
формы).

240 Голономные квантовые поля V
соответственно. Обозначим знаком <упорядочение при помощи о, а имен-
именно ДЛИ 1 < v, v' < *: v <v' * o~\v) < o~\v').
Аналогично определяется упорядочение <. Положим
и через Сп. обозначим 1-цнкл, определенный следующим образом:
It,+ ССЛН V и ' '
О если v = v\
С_ если v<v'.
Пусть, далее,
(С; если v>v'<
О если v-v',
CL если v<v'-
Мы предположим сначала, что Г < Тс. Из A.4.12), (S.2.43) и (S.2.44) мы
имеем следующую теорему ([9]):
Теорема 5.3.1. Дри Т < Тс
В E.3.10), если Сг « С ( для некоторого J, то мы деформируем
эти циклы mm, чтобы
Пусть D4 — диэдральная группа порядка 8, т.е. D4 имеет две образую-
образующих А1 и А2, удовлетворяющих соотношениям А\ — А\= H^iL = 1-
По определению корфеляоюнвая функция обладает ннвариантностью
следующего вида отноаптелыю D4:

Голономные квантовые поля V 2АЛ_
*> тк)> Кг> -Ki)«
Для бесконечных рядов E.3.9) соотношение E.3.12)л легко проверяется,
если использовать инвариантность формы О, относительно автоморфизма
fe w) « fe, tf'1) кривой Л*Ч Проверка соотношения E.3.12)^ эквивалент-
эквивалентна доказательству равенства E.3.9)'
E.3.9)' P*((wii, п,),..., (тк, л»)) = A -^Т2^22) «xp^-^-^-j.
_ _t
где
E.3.10)'
Здесь мы использовали E.3.4). В E.3.10)', если С'г „. - С для неко-
некоторого у, то мы деформируем эти циклы так, чтобы
E.3.12)' \wj-i\>\wj\.
Как отмечено в {9], функции FjP, вообще говоря, не равны F'JP. Когда
мы деформируем циклы С± вС'± для того, чтобы получить из F$ „
функции F'jQ г, из E.3.6) возникают члены-вычеты. Мы дадим набро-
сок прямого доказательства их сокращения в полной сумме Д F'^/2/.
Вычет в Fl£ появляется из ЛИ' в следующих шести случаях:
' "У „ У + 1 „ У + 2 н "У "У + 2 ^"у + 1
2) Vy >*у- + j >¥j + 2 И Vj, Vj + 2 <"у + 1
3)"у„Оу+1вОу+2 » "у <"у + 2 <"У + 2
4) "У .^У + 1 T*J + 2> ■ "У >"У + 1 >"У + 2
5) "У "У + 2 „Оу + 1 ■ "у <"У + 1 <"у + 2
*> "У "У + 2 ,<>У + 1 ■ "У >"У + 1 >"У + 2-
В случае 1 сначала Cv, t помещается справа (на рис. 5.3.2) от
S+1 'J+г """^ У0»™ E.3. Г2). Так как С +, (соответственно С, +, „ + }
в этом случае деформируется в С'_ (соответственно С'+ ), то мы должны их
переставить местами. Таким образом, мы получаем вычет, равный

242 Голонрмные квантовые поля V
— 2F%,~}],.,. ,...„.• Следует так-же переставить циклы в указанных шести
случаях. JJ+ »
После перестановки, соответствующей случаям 1 и 2, сумма £
» 1-2
переходит в V 1FJp/2l, где
(»'!,..., v,) = кардинальное число множества
{v\vj<v<vJ+1, Vj, vJ+1 <v для некоторого j\,
U {v\Vj>v>vJ+1, Vj, vJ+l<v для некоторого /}•
Здесь lF^ „; дается выражением (S.3.10) со следующим предписанием
для пары циклов, удовлетворяющих соотношению С. = С
E.3.1 i)i |z,_,i<|z,i .если с;,_1У,=с: и c;,y,+t=c;,
\zj-.l\>\zj\ в противном случае
Далее, выполним перестановку для случаев 3 н 4. Результат равен
Ой
£ 2F^/2l, где
2р»°= £ e,(v,,..., v,)e2(vi—-. v,J^, v.
j,..., v{) = кардинальное число множества
««оторогоуЬ
(i {v\vj>v>vJ+1, Vj>v>vJ+1 для некоторого j}■
Здесь 2F)Pri ,, определяется выражением (S.3.10) со следующим предписа-
предписанием для пары циклов, удовлетворяющих соотношению С,. ,. =■ С,
E.3.11J \Zj-t\<\zj\ «если C;,_,yj = C_,
\Zj-t\>\Zj\ .если C;,_lV,=C+.
а.
Теперь мы деформируем С± в С'± и получим ]£ 3f)p/2l, где
I,-, v,)e2<>i.-. v,)83(vi,..., v,;

Голономные квантовые поля V 243
v,)= кардинальное число множества
Здесь Р"щ, ..., ,к дается выражением E.3.10)' со следующим предписанием
для пары циклов, удовлетворяющих условию С'у. = С' .+]:
E.3.11)', \Wj_.\k\wj\ если C9J_IV-C. н Су„+1-С+,
lwj-11 > I wj\ B противном случае
можно показать, что
#;(vlt..., Vj)= кардинальное число множества
{v|vy<v<Vy+i, Vj, vJ+1<v для некоторого у}>
U {v|vj>u^-Vy+I, Vj, Vy+1 <v для некоторого у}«
Поэтому после перестановки циклов для случаев 5 и 6 мы получаем не-
Ой
комую сумму V Ff'W.
Если I лк — лг-1 > 1 для любой пары 0», »'), то сходимость суммы
OS
У F}p/21 очевидна в силу таких же рассуждений, как в предложении 4.5. В
самом деле, I Wj\~"'j'j+1 много меньше 1 на С,.,. t и играет роль режуще-
режущего фактора. Теперь мы покажем, что ряд в E.И9) сходится, если для лю-
любой пары (v, v') либо 1пг — пг,\ >■ 1, либо \тг — mr. I ► 1. В действи-
действительности, если \тг — тг,\ > 1, мы деформируем Сп. в С'гг,. Тогда
Izl ~m"' много меньше 1 на С'п,. Разумеется, нужно оценить остаточные
члены. Пусть
будут слагаемые, полученные из 1%^ „;. Тогда легко усмотреть справед-
справедливость следующих условий, которые достаточны для доказательства схо-
сходимости:
Кардинальные числа множеств

244 Голономные квантовые поля V
мест ше, чем 2' для достаточно больших /. Поэтому
С1Ч fm=SCIH М,=0, еСЛИ J< —j—
для достаточно больших /.
Теперь мы рассмотрим случай Г > Тс. Введем /-форму Ь, на
E.3..3) О.-
Форма 0, голоморфна везде,- за исключением простых полюсов на многоо-
многообразиях Д^> 0'в 1, ...,/- 1) и в fO4Kax (z,, w,) = (оо, оо) н (z,, w,) ■ @,
0). Соответствующие вычеты равны
E.3.14) яв4«я Д,-(
E.3.15) ««„.^Й^
E.3.16) ге8Ж1.0Й1=(-)'Й|_1/я/.
wi"O
№ A.4.12) и теоремы S.2.3 мы получаем следующую теорему
Теорема 5.3.2. Яри Т > Тс
E.3.17) P*((«i, »i),..., (»»*, л»))
f
- f
12
где функции F^ me лее, что в теореме 5.2.1 и Gk = V G^> — кососим-
метрическая (к х куматрица вида ы\
E.3.18) . ОД'~ Е
где
E.3.19)
* Выражение E.3.19) выводится из E.2.46). Мы можем использовать лю-
любое из ядер E.2.46)j — E.2.4бK. Тогда вместо С&,...,,_ ,„• подставляются
следующие выражения:

- Голономные квантовые поля V 245
Это выбор, сделанный в работе [9]:
E.3.19J ^'Л,-.,,.,,-
= \ z7"vv»wr"vv»-"zr"v'-«v'w7"vi-«1" •( ■^J- )-^|.
JCvv.x-xC»,.,»- 4W,/
E.3.19)з 3СК„"^,..»-
— \ zr"vviwr"vv«-"^7"V|-lV'wr"Vl-|V'4^i^i)"^» •
й»-^-"'преобразуегся в -**..-"-«'•под
E.3.20) ^.-„.„-((«i. -»i)..-. (т.. -«О I «1
Так как л-упорядочение полностью обращается преобразованием Av то нз
равенства E.3.20) следует инвариантность функции рк.
Для того чтобы показать инвариантность рк относительно действия
преобразования А2, мы должны, деформируя циклы С± в С'±, доказать,
что
E.3.21) PfaffianG»=PfaffianG;
о»
где матрица G'k = V Gj.w имеет вид
(.j.J.Xej «*V»'== 2- «Jv-i(»)»,...»,_|t-i(»'),
— \
JC
При помощи таких же рассуждений, как для Fjp, мы можем показать, что
Gto>>, равно -Щ?, v') • Ск„,, где
г(у, v') = (—)*!(».»')+*»(».»')+*j(»i»')+*i(».»'>.
Легко видеть также, что для любого разбиения {v1v2} U f^^l U . . . U
U [vk_ tvk) множества (l, . . ., к J имеет место равенство
Поэтому справедливо соотношение (S.3.21).

246
Голономные квантовые поля V
Сходимость ряда для Gk доказывается аналогично случаю (S.3.9).
8 5.4. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Перейдем к построению решетчатой модели, которая является симплек-
тичесхим аналогом модели Излита.
Теперь мы отправляемся от прямоугольной решетки L размером
М х N с циклическими граничными уловиями, на которой каждому узлу
(т, л) @ < т < М - 1, 0 < л < N - 1) поставлена в соответствие непре-
непрерывная переменная хпт е R. Полная энергия равна
E.4.1) Е(х)
£ ±
я-0 я-0
где Ct, S{ — те же, что в E.1.40). Большая статистическая сумма определя-
определяется интегралом
E.4.2) ZMll
П tl
Пусть Г конечное объединение открытых многоугольников на дуаль-
дуальной решетке £*; рассмотрим его как симплициальную 1-цспь с коэф^ци-
еитами в Z2 (рис. 5.4.1). Для заданного Г индекс некоторого ребра Ъ на L
по определению равен -1, если Г пересекает Ъ, и равен -1 в противном
случае. Мы обозначим через е$н(Г) (соответственно в®,(Г)) индекс горизон-
горизонтального (соответственно вертикального) ребра, соединяющего узлы (т, л)
и (т + 1, п) (соответственно (т,." л) в («Гл 1- 1))".
В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими Г, которые лежат
1
1
1
Рис. S. 4.1

Голономные квантовые поля V 247
целиком внутри решетки L. В этом случае гомологический класс Г зависит
только от границы ЭГ (= множеству концевых точек Г). Положим теперь
E.4.3) Ег(х) - ± ±
ib~O я™0
н определим аналог корреляционой функции E.1.3) слшующим образом:
E.4.4) р(дГ) = 2Т1ы\лЫК dx e~EHxi ■
Обозначение р(ЭГ) оправдывается следующим предложением.
Предложение 5.4.1. Выражение E.4.4) зависит только от дГ.
Доказательство. Обозначим через рг правую часть равенства E.4.4).
Мы должны доказать, что если цепи Г н Г' гомологичны, то рг = рг,. До-
Достаточно рассмотреть случай Г' = Г + дО, где D обозначает минималь-
минимальный квадрат на дуальной решетке L * с центром в некоторой точке (/л0,
л0) е L. Положим
( ХШп ((«, Л) # («о. "о))
E.4.5) хтя = | _ ^m^ ^ _ ^OToj ^
Тогда легко проверить, что ЕТ.(х) = £г(х'). Поэтому замена переменных
интегрирования E.4.5) доказывает наше утверждение.
Вычисление статистической суммы E.4.2) проводится непосредственно.
Мы рассмотрим более общий случай производящей функции
E.4.6) Zut,ir\f{. dxeJ-*e
-l .
При помощи преобразования Фурье
E.4.7) *„-"£ "t1 «-«---«■•'. хяв
я=0 я—О
мы имеем
1 U-l W-1
E.4.8) Е(х) ~ ~
v=0, l,...,Ar-lmodiv)

248 Голономныв квантовые поля V
где А(в , O'J = С\С2 — S1 cos 9^ — S2 cos в'г > 0. Так как преобразование
(дгт#|) — (AfiV)~'/i(xmif) унитарно, то E.4.8) показывает, что собственные
значения квадратичной формы Е(х) суть А(вц, в'у) @ < ц < М - 1,
0 < v < N — 1). Используя формулу
E.4.9) ((
J Jit"
('х = (Xj, . . ., xN), A =z CA, Re А положительно определена), получаем
E.4.10) ZMW= ««»/»•( Д Д
E.4.11)
Здесь мы использовали соотношения Д@, в') а Д(-в, в') = Д(в, в'). В
частности, нз E.4.6) н E.4.11) следует
E.4.12)
Для того чтобы получить «корреляционные функции» р(дГ), применим
формализм матрицы перехода. В дальнейшем мы отождествляем инте-
интегральный оператор F: Дх)'— J dx'Fipc, дг'ХДх') (х = (х0, дг,» ....
R
дгм_ j) 6 R**, rfx «= dxQdxv . .dxM_ j на RM с ядром i^x, x'))- Пусть опера-
операторы Vv V2 имеют вид
E.4.13) ■ Vt(x, x') =exp ( - "e (QC2*£
0
и пусть V = К, К2. Тогда.
E.4.14) П*. х')=ехр (-
E.4.15) ZMW=^Ле<0)»^
=trace Vs

Гояономные квантовые поля V 249
где мы положили tr F = ( dxF(x, x). Мы введем также «свободные
R"
бозонные поля» фт, гт (О < т < М — 1) следующим образом:
Легко проверяются канонические коммутационные соотношения
E.4.17)
(т, я|'=0, 1.....М-1)
Поэтому пространство WB - @ (От©Стт) обладает симплектячес-
т = 0
кой структурой. При помощи этих свободных полей операторы V1 н У2
выражаются следующим образом:
E.4.18) xp(i;
V2 - V25^J exp (-J *£
Для того чтобы усмотреть второе равенство, мы отметим следующую
лемму:
Лемма. Положим
E.4.19) ^.
для с > 0. Тогда
E.4.20) (
\и+а(х,х')=5(х-х').
Доказательство мы опустим.
Положив t — т/2 в (S.4.19), мы получим ядро оператора ехр (—•
/,, 1 Э2\\ V4
•I с2* +-2_—11, откуда следует E.4.18). Пусть далее фтп * Ки0тК-",
E.4.21) ^ ^

250 Голономные квантовые поля V
Как в § 5.1, мы фиксируем среднее значение < > следующим образом:
E-4.22) ^-ZiWtraceCaF"), aeA(fVB) .
Предложение 5.4.2. Матрица средних значений для операторов E.4.21)
выглядит следующим образом:
E.4.23) J <А(вМ^)><МвЖв)> Г А ~
где
E-4.24) «,=^Z
Доказательство. Мы вычислим для примера <Ф@ L{0 »)>• В остальных
случаях вычисление проводится аналогично. Мы имеем по определению
dx e-Hi^
x.o) + S2xml)
Подстановка E.4.12) показывает, что правая часть равна
. j?l _i_
2 MiV j Щ
Взяв фурье-преобразование, мы получаем „^
Замечание. В пределе при N ~ <» величины E.4.24) стремятся соот-
соот(V/* ») E423)
р р () р
ветственно а — 1/di т@ ) и 6 — e(V/* -у»), так что E.4.23) упроща-
упрощается и переходит в * *

Голономные квантовые поля V251
\ ЛД,._,
J
2 \ _<.-*(•,.) 1 Jsinhy@,,)"
Вид вращений, индуцированных операторами К. и К,, немедленно вы-
выводится из (S.4.18):
E.4.25) ТГ1фя»фя, Тк,яя=я1Я+2С1С?ф1Я-515?(^1Я_, + фя+1)
ТУ}фт=пт, ТУ1пш-—фт
E.4.26)
Вращение Tv диагонализуется в следующем оазисе:
P4Z7) |
f
Мы имеем
E.4.28)
Более того, из E.4.23) и E.4.27) следует, что щ>н N — оо
Поэтому среднее значение < > в этом пределе совпадает со средним значе-
значением, индуцированным голономным разложением WB = V*@V. V* =

2S2 Голономныв квантовые поля V
М-1 JW-1
= © СфНвц), V ш © J
,,=0 М = 0
Теперь мы вернемся к корреляционной функции р(дГ) и определим
«спиновый оператор» SB mn как
E.4.31) sB,m(x,x')
Тогда sBm удовлетворяет следующим характеристическим коммутаци-
коммутационным соотношениям со свободными полами:
E.4.32)
5 п
Предполагая, что nt < . . . < пк, мы имеем
trace
где x<": "О » (-4й) -^>_,, х%>, . . ., *$>:.,), и Г обозначает много-
многоугольник, показанный на рис. S.4.2.
Теперь вычислим нормальный символ оператора sB mn на бесконечной
решетке. Свободные поля выражаются через операторы рождения-
уничтожения ^{0), ф(в) следующим образом:
E.4.33) ^««
где £» в аЮ/2т sinh тг(в). Они удовлетворяют разностным уравнениям
E.4.34)

Голономные квантовые поля V
253
i
77,, П
т„,п
Рис 5.4.2
н в частности
E.4.35)
Ясно, что
В базисе
также удовлетворяет E.4.35).
£ е-шф^ щ ^ £ e"*»*Tm вращевве Г^ ,
mtZ тег
= 1 - IP ж оператор Е~1 = H~lJ (в обозначениях (Н.17), часть IV) вы-
глядят следующим образом:
E.4.36)
E.4.37)
, 9')
\ю
coshy@) +
-^( \
1
lCoshy@)-l /sinhyT<9)'
Q~l. Ввиду справедливости формулы
E.4.38)

254
Голономные квантовые поля V
факторизация A1.18) достигается при выборе
с(в)
E.4.39^
с(-в)
Здесь мы для определенности предполагали, что Г > Тс, но все формулы
остаются справедливыми и при Т < Тс после замены аг — otf1. Ядро к(в,
в') получается при помощи формулы A1.19):
fc(-6)c{-6')
E.4.40)
, -б')-
Вакуумное среднее значение <sB mn> вычисляется тем же методом, как в
9 5.2, стр. 229^ Используя формулу A1.31) и замечая, что на конечной ре-
решетке 4, „и = 1> <5тп> > 0, мы получаем
E.4.41) <«»,««> =0
при )£,
при Т<Те.
Наконец, перепишем этот результат, применяя операторы рождения-
уничтожения, и получим следующую теорему:
Теорема S.4.3. Нормальный символ оператора sB mn имеет вид
E.4.42) ■
где ядра
E.4.43)
в') определяются из соотношений

Голономные квантовые поля V 2К>
О -«2' e-'"e)(l +в"««))A -«г1 е-'"'в')A + «•'«•'>)}
14 <'с»-1И«>+«-*-н
_е-н*1+,-4-ш>
£'
при Г > Гс. /7ри Т < Тс мы заменяем а2 на а£
8 S.S. СКЕЙЛИНГОВЫЙ ПРЕДЕЛ
В этом параграфе вычисляется скейлинговый предел спиновых операто-
операторов модели Изинга, так же как и ее бозонного аналога. Мы увидим, что
при этом получатся поля <pF, <(F и <рв, построенные в предыдущей части
[3]-
Рассмотрим квадратную решетку с шагом длины в. Под скейлинговым
пределом мы понимаем одновременный предел
E.5.1) Т-*Те е-*0; тп, л-юо
где те в пе остаются фиксированными и конечными.
Сначала рассмотрим модель Изинга при температуре выше критической
Г > Тс. Пусть
/552) х'—гав, х^
Здесь множитель V —1 поставлен так, чтобы в пределе при 8 — 0 величины
(х°, х1) е R2 являлись координатами двумерного пространства-времени
Минковского. Положительная константа х будет фиксировна позднее. Вы-
Выберем константы а, ц, ц' так, чтобы 0 < а < 1, ц > 0. Пусть константы
взаимодействия заданы при помощи равенств
E.5.3) а^ос+вр', ос2=1+e/i
где а, а2 определены в E.1.29) — E.1.30). Положим также
E.5.4) pi = 0/e.
В пределе при в — 0 тогда имеем
E.5.5) 51

256 Голономные квантовые поля V
E.5.6) afl»)*1 sinh у(в) ^e^^inTip1) + 0(«2),
sinh
Положим
E.5.7) кЩ
Мы введем параметр и и оператор ф(и) следующим образом:
E.5.8) и*1--3 , ^(и)«^- при и>0,
<±1 =
Тогда в пределе при в — 0 мы имеем
E.5.9) <Ж«). ^(«')> =
E.5.10) е~"л
E.5.11) i
где йи =* аи/2т\ и I и р° = ±V/i2 + (р1J, если и ^ 0.
Из теоремы S.2.3 получаем следующую теорему:
Теорема 5.5.1. В пределе при в — 0 справедливо
E.5.12) Nr (jmil)
где оператор Vе{х) дан в D.6.2) [3]. Именно
E.5.13) Nr(^(x))
Следствие 5.5.2. В пределе при е — 0 мы имеем
E.5.14)г>г. Р*((я11, «О,..., (m», и»))
B |±

Голономныв квантовые лоля V 257
гдехР = (т£, -f^lxn/) (J = 1, .... *) и среднее {<(f(xP>). . .*>F(*(*))> да-
дано в D.6.57), D.6.59), D.6.70) и D.6.71).
Не только спиновый оператор, но также и вспомогательные операторы
ртп и qmn имеют скейлинговые пределы.
Терема 5.3.3. В пределе при в —• 0 справедливы соотношения
E.5.15>г>Гв
где
E.5.16)
Замечание. В этом пределе разностное уравнение E.2.27) переходит в
двумерное уравнение Дирака. Действительно, положив
р.5.17)
вк
мы имеем
E.5.18)r>r,
Учитывая E.5.15), положим
E.5.19)г>г,
Уравнение E.5.18)r>r преобразуется в D.2.42) для w±.
Случай Т < Тс рассматривается аналогично. Пусть
E.5.3)' <Xi
В E.5.5) и E.5.6) константу р следует заменить на -д, но E.5.8) остается
без изменений.
Теорема 5.5.4. В пределе при е — 0 мы имеем
E.5.20) Nr (*„) =Bi±|-A«!I/8 Nr (V,
где оператор <Рр(х) задан в D.2.45), а именно
E.5.21) N

258 Голономные кввнтовые поля V
U + U —JO
Следствие 5.5.5. В пределе при е —• О справедлива
E.5.14)г<Тс Рк((ти «i),..-, (от*, «»))
= (да . J=Txn,е)
но в D.6.70).
Теорема5.5.6. В пределе при е-0«ы имеем
E.5.15)т<Гс ьт-у1ТЩ{1г4*)-1'-&У>*
<1пт=- *V/^72 (^ +(Х) + ^-00) •
Замечание. Предел разностного уравнения выглядит следующим обра-
образом:
E.5.18)г<Гс
Если мы положим
E.5.19)г<г. w±
то E.5.18)г< ^преобразуется в D.2.42) -_....
Теперь обратимся к бозонной модели. Применяя параметризацию
E.5.3) при Г > Тс или E.5.3)' при Г < Тс, мы видим из E.4.43), что в
этом случае
io'p1'} + O(e) .
Переписывая это при помощи параметра и в E.5.8) и оператора:
мы, таким образом, получаем
Теорема 5.5.7. В пределе при е — 0

Голономныв квантовые поля V 259
E.5.23) Nr (*,...) «Bi±^eI/e Nr
где оператор <рв(х) (в силу D.1.66) из ч. IV [3]) имеет вид
E.5.24) Nr (<?*(*))= е'-<*>/2
u + u'-iO
х е-^(ж-(«+«')+ж+(и-1+«'-1)) ф(и)ф(и').
Поэтому ^-точечные корреляционные функции оператора sB mn в скей-
линговом пределе переходят в соответствующие функции оператора <рв(х).
Теорема 5.5.8. Справедливы следующие соотношения:
E.5.25) s Фтя=
где "^
E.5.26)
Доказательство следует непосредственно из E.4.33).
8 5.6. ОДНОМЕРНАЯ ЛГ-МОДЕЛЬ
Одномерная АТ-модель описьшаетсх гамильтонианом
E.6.1) Ж'и= -\U^ {d+7)eSe£*.i + (l~7)»J»i
т
где а^ = /2®. . .® «г* ®. . .®/2 (» = дг, j», г). Здесь а31, оУ, о* — матри-
матрицы Паули
(. ПЛ[1 -г).
соответственно. Мы положим
E.6.2)
и определим ^(^) и £@ ), как в E.1.22). Применяем модифицированный
гамильтониан
E.6.3) *М=±М£
^ т<

260
Голономные квантовые поля V
M~l
с""—A -
Оператор Жм индуцирует инфинитезимальное ортогональное преобразова-
преобразовала-1 м-\
ние на пространстве WM = £ С£(^) + £
E.6.4)
sin в.
Пусть
E.6.5)
E.6.6)
«*
Тогда мы нмеем
E.6.7) Л
Мы различаем следующие три фазы (рис. 5.6.1):
E.6.8) .. . ^0i.i:.l>O^k>t ...где |а+Ч, |а_|
йг2: ■у>0, -1<й<1 - где |а;Ч, |oeZM
<-1 где |а+!, \<С1\<\.
h =
-1
Я2
(И)
A =
•1
л,
Рис. 5.6.1
Мы будем диагонализовывать JSfM в каждой фазе. Получаются следующие
результаты:
C.6.9).»,

Голономные квантовые поля V
261
E.6.9)
.,,
Здесь с%^ геп означает перенормированный гамильтониан, полученный из
с%^, вычитанием энергии вакуума.
Теперь мы перейдем к пределу А/ — оо и вычислим среднее'по основно-
основному состоянию от произведений спиновых операторов. Другими словами,
мы вычислим корреляционные функции для операторов tJ.^ioJ, отно-
относительно вакуумного среднего, даваемого E.2.5) с ty{9) = Ц{в), ^(в) =
= $/W) U = 1, 2, 3) в каждой фазе ^ ~ &3. Поскольку у нас есть форму-
формулы произведений (§ 1.4 [1]), достаточно вычислить нормальные символы
операторов о^н^(^ тривиально, так как а*, = ?„/>„,). Вообще, мы бу-
будем вычислять
E.6.10) **,-*""•
для т е Z и п е IR. Здесь положили
E.6.11)
L ~
Получаются следующие результаты:

282 Голономные квантовые поля V
E.6.12),,
Nr (i«rj.) = Nr (fcA,B) . *?,„ Nr (/«.) ,
Здесь рл m/I (/ = 1» 2, 3) задаются формулами E.2.17) и E.2.18) с Р@), )
b(ff)a у\в), замененными на Щ(в), *^в), bj{ff) и —iE(8f) соответственно. Опе-
Операторы Vu т„ и ^ тн определены аналогично *?, «„■*?. «в с *iW» ^IW и
^,(в), замененными на Ьу(в), <И(в) и ^,(в) соответственно. Отметим, что
элемент tmo индуцирует вращение
E.6.13)
1 -fa
и удовлетворяет соотношению tmiOtm# = qmj>mi. . .qm^ ^„,2_, (m , <
< /и2).
Как и в случаеГ < Тс изанговской решетки, в фазе ^?2 мы рассматрива-
рассматриваем д^ = agaj, и <^m = OqO^, для конечной решетки и затем переходим к
пределу ...
E.6.12).*, Nr(ffS,,) = <ff
Nr (iffL) - Nr (?мАив*,) - *!.»flU-i.. Nr (в*.) .
E.6.13),, Nr (<r-.)
Nr (iffj,,,) = Nr («Я(/тв) - ~ ft.» Nr D„) ,
-1 V/8
1 V
-1У
Множитель (—У возникает благодяря тому, что предел lim <9o^o- ■ ■
/Я -» 00
• •9/я_1Р/я-1> не существует, а существует lim <?о*>о- • -«/я- i^m- i> x

Голономные квантовые поля V 263
/ А2 - 1 \1/4
* (-/" = I-Tj г ) • Отметим» чт° элемент t'^ индуцирует такое
же вращение, как в E.6.13), и удовлетворяет соотношению
Выражения для корреляционных функций в виде бесконечных рядов по-
получаются при помощи прямого применения формулы произведения (§ 1.4
[1] и приложение к части IV [3]). Для нашей цели достаточно рассмотреть
операторы следующего вида:
E.6.14) Nrfo.J-O.. >**--/*,
E.6.15) gmn>% \
в) (/-1,2)
где операторы ф_ф) = ФЧ«), Ф+(.в) = № удовлетворяют соотношению
ЖЩ, ФЧО')]+ = 2*5@ - в'). Мы имеем тогда
E.6.16) ((!*..» "-О— _ } = ^G_ ^ ••• (а ^ етсп f
2
* ,. '=2
где Ej = ^(ву) и в^ = 1 0» > с), = 0 0» = ?), = -1 0» < ").
E.6.17) <^1.1»^Й>Л1-"*Й?а«а"-^
i
VJ VI =
'Aa»,-»,-J-J Ц (^ «-"

264Голономные квантовые поля V
!, 02) х ••• х ( -e,,_1,,)/i*»i-i»i.~*1
(vo = A:i, v,+1=A:2)
где At, < к2, и если кх = Аг2, то левая сторона равенства означает
<*/nin,- ••&mklnkx---8mknt>- Вообще говоря произвольная ^-точечная
функция, включающая gmn, g$n и g"mn, выражается прн помощи пфаффиана
с матричными элементами E.6.17) см. формулу A.4.10) в [1]). Например,
мы имеем
(9м1Я1'"Змк1п1,1'"9мкгп1,г'"9мкП1,У ' \9mini'"9mi,nk/
Вычислим теперь скейлинговый предел спиновых операторов вблизи
критических точек, т.е. сингулярностей энергии Е @). Имеются три воз-
возможности:
(i )± в->0, й->1 ±0, у>0 фиксировано.
(Н) 7->0, в->±в0, raeA=ccos0o, |A|<1.
(ш)± 9-*л, h-* — 1 ТО, 7>0 фиксирована
Случай (а)+. Мы положим
E,6.18). . - .- . . h
и перейдем к пределу е — 0, т, п — оо при фиксированных у, р1, лг° и лг'.
Здесь р > о — произвольно выбранная константа. Тогда
Как и в E.5.8), вводим ф(и) =
(и < 0), где и*1 = («(и) w ф1) ±
образом:
E.6.20) Nr (ffj,) - Vjf^(^-I/8 Nr (<p
Как и в E.5.8), вводим ф(и) = ^еыф1) фг(в) (и > 0), = уГШЦзЦ ф\(-0)
(и < 0), где и*1 = («(и) w ф1) ± р1)/?. Результат выглядит следующим
образом:
Nr (i<r>m

Голономные квантовые поля V 265
Здесь операторы фо(х), рр(х) и <рР(х) даны в E.5.13).
Третье равенство в E.6.20) следует из того факта, что ф(/х) -^- (х) = 0
(см. D.3.79), D.3.80)).
Случай (а)_. Положим А = 1 - цуе и определим р1, х°, х1, как в
E.6.18). Ведущая асимптотика величин Е@) и а+ дана в E.6.19)+, в то вре-
мя как а;1 = 1-д£+ .... a *,@) заменяется на
E.6.19). Ь2(Э)
В этом случае мы модифицируем определение оператора ф(и) следующим
образом: ф(й) = - i Vewfc1) $2@) (и > 0), = Неаф^^-в) (и < 0). Заме-
Замечая. £™, £*,!,« i
x —г (яг) + .... мы получаем
дх1
E.6.21) Nr (SSJ - "Щ?г
где оператор *»F (x) дан в E.5.21).
Случай (б). Здесь мы положим
E.6.22) У**Ц*, x°-ne\smeo\, xl-me.
ж в = ± в0 + ер1 в области в ~ ±в0. Имеем
E.6.23)
соответственно при в — ± в0. Рассмотрим сначала р2аЛ,л> появляющееся в
E.6.12)^. В пределе mji — оо, е — 0 вклады дают только области
о« + а'в' = 0 (а, а' = гь), в, в' = в0 или -0О вследствие быстрой осцилля-
осцилляции экспоненциальных множителей в E.2.18) (где Ь(в) и у (в) заменены на

266 Голономные квантовые поля V
Ь2@) и -iE@) соответственно).
Записав
мы получаем
*'+ Ю
gJxe(m+«>')-<*• (**+*'')
+ файpi\$Bv„v\ -1'( - а> + о') -i
^t Х gc)o,«-,f)I +...
с w = ш(р'), ш' = <Мру). Производя каноническое преобразование
E.6.24)
и положив ^'Чи) = ^(/)<р1) (и > 0), = ^Ч-р1) (и < 0), мы имеем
E.6.25) - Aa.--P
Здесь рУ'Сх) получается из (S.S.21) заменой +(и) на взаимно независимые
свободные фермионные операторы ф^\и) (/ = 1,2). Скейлинговый предел
для ^т„ №г,т-\я вычисляется аналогично. Таким образом, мы находим
E.6.26) Nr («5.)
Nr (/ffL) - -
Так как скейлинговые спиновые операторы являются тензорными произве-
произведениями <fi^(x) (g) ^'(x) или ^''W ® v^B)W копий одинаковых операто-
операторов, то их л-точечные корреляционные функции совпадают с квадратами
этих функций для модели Изиыга. (Для двухточечной функции этот резуль-
результат был получен в [13].)
Случай (ft)j.. Положив А = — 1 — цуе, в = т + ер1, мы видим, что
имеет место E.6.19) + , где ащ должна быть заменена на -ат. Поэтому из
E.6.13)^ следует

Голономные квантовые поля V267
E.6.27) Nr (( - )-*».) - V^(^f-I/8 Nr (*
Nr ((-)
Отучай (ft)_. В этом случае А = -1 + M7«, 0 s т + ф1
-«+ = 1 - **е + ... и -а_ = A + у)/{\ - у). Асимптотика E.6.19)
справедлива без всяких изменения. Поэтому мы имеем
e(fW1)
E.6.28) Nr ((-)VJ -
S 5.7. ОРТОГОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
В этом параграфе мы сформулируем общую ортогональную версию ре-
решетчатой модели ([13, 14, 15]), применяя интеграл Грассмана, и решим ее
аналогично § 5.4.
Сначала приведем некоторые общие сведения об интеграле Грассмана.
Пусть W будет N-мерным векторным пространством, и пусть
ы — ненулевой элемент пространства AN(W). Интеграл Грассмана относи-
относительно ы — это линейная форма на Л(ИО,
<5ЛЛ)
такая, что отображение а - ы{\ы~1а) совпадает с проекцией на AN(JV).
Если w = сы' для некоторого се С, то справедливо
E.7.2)
Пусть W — другое векторное пространство размерности N'. Для
deA(W® W) мы определим \u~xasA{W), так что отображение
а « ыЛ (Jw~'df) совпадает с проекцией A(W@ W)~ AN(W)^A(fV'). Если
ы' eAN'(Wr), то мы имеем
E.7.3)
Пусть vt vN — некоторый базис пространства W, и пусть
а> = У[ ... vN. Для произвольной кососимметрической матрицы

268 Голономные квантовые поля V
F = (//*)./,*- > N положим
' Тогда справедливы соотношения
E.7.4)
E.7.5)
Вообще, для w, ws е W мы имеем *
E.7.6) (в» e5yf1--wj\<a~1 es»Pfaffian
где hjk = | u'Ww
Рассмотрим прямоугольную решетку L размера М х N с циклическими
граничными условиями и с четными М и N. Каждому узлу (/и, я) сопоста-
сопоставим 4-мерное векторное пространство Ж^ = С и^ @С»ш@Си^©
© С v 1„ и пусть У = £ £ W^. Положим в
■ •С A = 0
E.7.7) £0^ П П
т=0 п=0
E.7.8) ^(°> - "Я ""£
m=0 я»0
Bi-0 я=0
Af—\ V.. i
Большая статистическая сумма определяется интегралом (см.E.4.2))
E.7.9) ZM
Для того чтобы вычислить ZMN, мы определим фурье-преобразование

Голономные квантовые поля V 269
2nv ■ „ -M+l M-1
-1Г' * 2~ ~2~
Тогда
E.7.11)
1 (M-D/2 (JV-D/2
Из
E.7
E.7.2)
.12)
и E.7.4
1 получаем
ZbtH— П
det
'0
-Лз-е'
1-/14
([14,
15])
)/2
+D/2
/2
-/23
-/24-е
/i3+e~"
/23
0
*; -/34
в /14
/2*+^
о
где А{в, 00=1 +/?2з4 +/!з +/14-2 cos 0(/1234/24-Лз) -2 cos в'
(/l234/l3 -/24)-2 COS (в-в')(Л2/34-Лз/24)-2 COS (в + 0')
(/14/23—Лз/24) , причем
/l234—/12/34—Лз/24 +/14/2З •
Для 1-цепи Г мы положим (ср. стр. 247)
E.7.13) ^»(Г)"Ё1 N£
Корреляционная функция для ЭГ определяется следующим образом:

270 Голономные квантовые поля V
E.7.14) р(дГ) =
Функция р (ЭГ) зависит только от дТ (см. предложение 5.4.1). Для вычисле-
вычисления р (ЭГ) мы применим формализм матрицы перехода.
Рассмотрим 2М-мерные векторные пространства
W - Y С «& © S' С "* и W> - Y Cuk + Е'с«Я- Положим
m = 0 m = 0 m = 0 m = 0
в А(Ж© Ж')
E.7.15) irfift-. 1гП
И!=0 И1—0
E.7.16) So ш "£ (f12umvm+f13umut +fxiUnvl +f23vmul
0
Зададим на W ортогональную структуру при помощи скалярного произве-
произведения <,>, так что Ып, vl.y = 0, <vm, vm.> = Он Ыт, vm.> . 6тт.. Обоз-
Обозначим через <vacl и lvac> вакуумы относительно голономного разложения
W ш wm © W^, mcWm= J) С vl и Ж,^ . £ С tv Обозначим
м «s 0 т « 0
также через <mt ... /wtl (соответственно \тх ... тк)) вектор состояния
<vaclu/n ••.«„, (соответственно «J, ... t>J, lvoc>).
Определим, далее, некоторый элемент К из алгебры A (W), задав его мат-
матричные элементы следующим образом:
E.7.17) .
Тогда
E.7.18) ZMJV=traced.
Таким образом, V — это матрица перехода нашей системы.
Предложение 3.7.1. Элемент V принадлежит группе Клиффорда G (JV).
Доказательство. По теореме 1.4.4 произвольный элемент geA(W).
такой, что <#> = 1, принадлежит G(W), если и только если матрич-
матричные элементы <т1... mj\g\m'k... mj> удовлетворяют условию

Голономные квантовые поля IV 271
Pfaffian
о
о
— (vac\g\m'km\y-- О
Поэтому справедливость предложения следует из E.7.6).
Теперь мы определим спиновый оператор sm как
E.7.19) *»=Ш1
Если положить
E.7.20) Pm-»L + °n
то отсюда
E.7.21) 4.-4.-ifl
Оператор sm принадлежит группе G(W), и индуцированное им вращение
имеет вид
E.7.22) TsJ>)**\ t
Предложение 5.7.2. Имеет место равенство
E.7.23) ^((m!, nO,..., (mk, л^))
= ZmW trace V"sm, VJ~"'jma•• • F"*-"«-'j
Доказательство. Заметим, что
Взяв в качестве Г многоугольник, изображенный на рис. 5.7.1, мы можем
доказать предложение.
Теперь мы перейдем к диагонализации V. Определим фуры
преобразование

272
Голономные квантовые поля V
(О,"*)
@, л,)
(т„п,)
Рис. 5.7.1
E.7.24)
Тогда имеем
E.7.25) е*
\Цв„))
=( ~/i3 - •-'• +^
-/34Щ - 9))(/12Ц -
Предположим для простоты ,_что/,2 * /з+и/м = ?та- Так ш Р0Г) за-
зависит от/,2 и/34 (соответственно/,4 и/23) только через произведение/,jf34
(соответственно /14/2з)> это не является ограничением. Пусть
E.7.26) /м-/э*-с«
Предложение S.7.3. Индуцированное вращение Ту имеет вид
E.7.27) (ГкйЧ-^). :
где
I**) o\-4i *(в) \
\s(9) 1) U r(-0))'
d2
— *-,

Голономные квантовые поля V 273
Доказательство. Из E.7.25) и предложения S.7.1 мы знаем, что
*0Д) и К0(-0д) являются линейными комбинациями выражений
V V и fl(-VK- Соответствующие коэффициенты
определяются при помощи вычисления матричных элементов вида
Применяя E.7.20), мы можем переписать E.7.27) как
E.7.28)
ГД i W~J(fl)+iC(fl) U^-@) A{6) )'
Здесь у4±(в) (соответственно Е (в) ниже) дается формулой E.6.4) (соот-
(соответственно E.6.5)) при
E.7.29) h
Мы положим также
E.7.30)
V ДвJ + С@J + е2^J ,
Ь Ь - Ь+Ь_) cos 0
Равенство E.7.28) показывает, что задача диагонализации оператора V
сводится к соответствующей задаче для ЛГУ-модели из § 5.6. Перенормиро-
Перенормированная матрица перехода Vna = exp(-J2?Mren) дается формулами E.6.9),
если Е(в^) в <%?Мпа заменена на
E.7.31)
Рассмотрим среднее значение <а> = Zj^tr (aF^). В пределе при
М, N — оо оператор ФЧв) (соответственно $(в)) становится оператором
рождения (соответственно уничтожения). Вычислим в этом пределе нор-
нормальный символ оператора smn. В силу E.7.21) и E.7.28) это вычисление
также сводится к соответствующему вычислению для ЛГУ-модели. Именно

274
Го лоном ные квантовые поля V
Nr(smn) для ортогональной модели в фазе &х (соответственно &ъ) равен
(Nr(rmn)) (соответственно Nr(t'mn)) при ЕF), замененной на Ё@). В фазе 31г
мы должны рассмотреть §т = я„ра для конечной решетки и затем перейти
к пределу. Тогда
E.7.32) Nr(s,,J«$U-1* №(*£„)
при £W, замененной в E.6.12)^» на Ё(в).
Замечание. Корреляционная функция E.7.14)') совпадает с корреляцион-
корреляционной функцией для изинговских спинов на дуальной решетке. См. в [14] бо-
более детальное обсуждение этого утверждения. Мы только приведем значе-
значения параметров E.7:26) для а) треугольной и б) обобщенной квадратной
решетки (соотв. рис. 5.7.2 и 5.7.3).
/
6+
Рис. S.7.2. Треугольная решетка
X
К
rh
Рис. S.7.3. Обобщенная квадратная решетка
]) Выражения в виде бесконечных рядов получаются при подстановке приведен-
приведенных выше результатов в E.6.14) — E.6.17.)

Голономные квантовые поля IV 275
Примечание, добавленное при корректуре. Авторы признательны про-
профессору К. А. Трейси, обратившему их внимание на следующую статью:
С. A. Tracy and В. М. Me Coy, Phys. Rev. Lett., 31 A973), 1500 — 1504, ко-
которая должна быть добавлена к литературе в этой серии статей о голоном-
ных квантовых полях. После завершения рукописи авторы узнали также,
что контурная формулировка переменных порядок — беспорядок в § 5.4 и
5.7 впервые была дана в работе L. P. Kadanoff and H. Ceva, Phys. Rev., B3
A971), 3918 — 3939.
ЛИТЕРАТУРА
1. SatoM., MiwaT., Jimbo M., Publ. RIMS, Kyoto Univ., 14 A978), 223 — 267
(см. настоящую книгу: ГКП I).
2. Sato M., Miwa Т., Jimbo M., Proc. Japan Acad., 53A A977), 6 — 10.
3. Sato M., Miwa Т., Jimbo M., Publ. RIMS, Kyoto Univ., 15 A979), 871 — 972
(см. настоящую книгу: ГКП IV).
Publ. RIMS, Kyoto Univ., 15 A979), 201 — 278; 577 — 629 (см. настоящую книгу:
ГКП III).
4. Sato M., Miwa Т.., Jimbo M., Field theory of the two-dimensional Ising model in the
scaling limit, RIMS preprint 207 A976).
5. Onsager L., Phys. Rev., 65 A944), 117 — 149.
6. Me Coy B. M., Wu Т. Т., The two-dimensional Ising model, Harvard University
Press, 1973.
7. Schultz T. D., Mattis D. C, Iieb E. H., Rev. Mod. Phys., 36 A964), 856 — 871.
8. Kaufman В., Phys. Rev., 76 A949), 1232 — 1243.
3. Me Coy B. M., Tracy С A., Wu Т. Т., Phys. Rev. Lett., 38 A977), 793 — 796.
д0. Bariev R. Z., Phys. Lett., 64A A977), 169 — 171.
11. Abraham D. В., Соттип. Math. Phys. 59 A978), 17 — 34.
12. См.., например, книгу Domb and Green., Phase transitions and critical phenomena
... I, Academic Press, 1972. .,.,---.
13. Vaidya H. G., Tracy С A., Physica, 92A A978), 1 — 41.
14. Green H. S. and Hurst C.A., Order-disorder phenomena, Intersience, 1964.
15. Fan C, Wu F. Y., Phys. Rev., 179 A969), 560 — 570.
16. FeMerhof B. U. Physica, 65 A973), 421 — 451; 66 A973), 279 — 297, 509 — 526.
17. Szego G., Commun. Seminar Math. Univ. Lund, suppl. dedie a Marcel Riesz, 228
A952). Изложение этого предмета дано также в квите [6].
18. Vaidya H. G., Phys. Lett. 57A A976), 1 — 4.

ГОЛОНОМНЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОЛЯ.
НЕОЖИДАННАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ДЕФОРМАЦИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И КВАНТОВЫМИ ПОЛЯМИ
М. Дзимбо, Т. Мива, М. Салю
при частичном участии Я. Мори
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Недавно в процессе изучения проблем математической физики была
установлена глубокая неожиданная связь — связь между теорией деформа-
деформации, сохраняющей монодромию для линейных (обыкновенных и в частных
производных) дифференциальных уравнений и некоторым классом кванто-
вополевых операторов ([1, 2, 3]). Цель данной статьи — дать обзои совре-
современной стадии развития этой теории (см. также [4]).
Польза от указанной связи многосторонняя. С одной стороны, она по-
позволяет точно вычислить л-точечные корреляционные функции рассматри-
рассматриваемого поля в замкнутом виде с применением решения некоторых нели-
нелинейных дифференциальных уравнений специального типа (такие, как урав-
уравнения Пенлеве). С другой стороны, она дает эффективный новый инстру-
инструмент для описания теории при помощи квантовополевых операторов. Та-
Таким образом, эта связь еще раз иллюстрирует ту истину, что не только чи-
чистая математика приложима к физическим проблемам, но также верно и
обратное.
Следующие примеры покажут, как эта теория фактически работает.
Пример 1. Скейлинговый предел двумерной модели Изинга.
Первый пример касается вычисления поточечных спиновых корреляци-
корреляционных функций (<г/|*г ■ ■^rJnkn^ ^я^ДВУМ<5РНО* модели Изинга, точнее гово-
говоря, их скейлингового предела г* при критической температуре Г — Тс ±
± 0. By и др. [5] нашли, что двухточечная функция г^допускает замкнутое
выражение
A.1) тШ) = const
"))■
где 20 = const-1 Г - rclV(/, - j2iL + (A:, - k2J — скейлнвговое расстоя-
расстояние, а ф = ф(в) — некоторое решение следующего нелинейного дифферен-
" М. Jimbo, Т. Miwa, M. Sato and partly Y. Мбгу. Holonomic Quantum Fields.
The unanticipated link between deformation theory of differential equations and quantum
fields. LN in Physics, N116, 1980, 119— 142 pp., Springer-Verlag.
© Springer-Verlag, 1980
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 277
циального уравнения второго порядка (эквивалент уравнения Пенлеве III
рода ([61)):
Их результат обобщается следующим образом ([Г III, IV, И II-IV]). л-
ечная корреляционная функция г* как функция 2л скейлинговых пере-
пере„ = (al + йф/2, а* = (а\ - йф/2, {а\, а$) = const • I Г - Тс\ ■
(v = 1 л) выражается следующим образом:
точечная
менных в
„ = (al + йф/2, а = (а\ йф/2, {а\, а$) = co
v = 1 л) выражается следующим образом:
A.3) тЦах, в1 а„а;) = const • jydetchjyj exp ^- J
где { ш — первообразная замкнутой 1-формы:
A.4)
+ комплексно-сопряженное,
а матрицы F = (/",„,), G = (g^) = e" являются решениями нелинейной
системы дифференциальных уравнений в частных производных
- а ах - a,
«;-
подчиненными условиями симметрии 'G = G* = G~l, 'F = -F, F*
1
Пример 2. Приведенная матрица плотности для одномерного бозе-газа
с твердой сердцевиной.
Во втором примере мы имеем дело с нерелятивистским бозе-газом, опи-
описываемым задачей N тел в ящике с периодическими граничными условия-

278 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
ми, 0 $ х < L:
'"'
или, эквивалентно, квантовым нелинейным уравнением Шредингерв
[фф, х), ф*@, х')] = 8(х - х'),
с условием твердой сердцевины с = оо. Волновая функция основного состо-
состояния для задачи A.6) при с = оо имеет простой вид ([7])
_ 1
A.8)
lriXj/L _ 2
Здесь представляет интерес л-частичная приведенная матрица плотности
A.9) р„(дс(, . . ., х'а; х[ х'„) = <♦„ L |ф* (х{). . .ф*(х'пУКх[). . .
• ■ ■«*;>|*а,. l> = (^ТЯ)! J • • • J dy»+1- • •
J'n+l
В термодинамическом- пределе N-, L — оо-с фиксированной плотностью чис-
числа частиц р0 = N/L. Этот пример 2 полностью параллелен примеру 1. Од-
ночастичная приведенная матрица плотности рг(х[, дер = р(\х[ — х'\) до-
допускает следующее замкнутое выражение ([И XVI] , [3]; мы выбираем
A.10)
где а = а(х) удовлетворяет нелинейному уравнению второго порядка
которое эквивалентно уравнению Пенлеве V рода. Для произвольных л
приведенная л-частичная матрица плотности рп{х[ х'п, х" х*)
при х\< . . . < х'п, х* < . . . < дс* выражается в следующем виде ([3]):
A.12) Р„(х{ х'п;х[ х"п) = const ■ dct(RI(x},x^)jk
t „
х ехр($«).

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 279
Здесь, обозначив через xt < . . . < х^ переупорядочение х[ х'п, х",
. . ., х*, мы имеем
'Щх,1-хк) <'+;'-* - r-/+k) С/ * к),
A.13) Rf(Xj,xk)= * J K>
У
1 V ,
и /*±у(/ = 1 2л) удовлетворяют следующей системе нелинейных диф-
дифференциальных уравнений в частных производных:
(k = j).
J J'
В обоих этих примерах нелинейные дифференциальные уравнения A.2),
A.5), A.11), A.14) имеют общее характеристическое свойство: они возника-
возникают как уравнения сохраняющей монодромию деформации соответствую-
соответствующих дифференциальных уравнений (§§ 2, S).
Грубо говоря, монодромия — это понятие, которое измеряет характер
ветвления многозначной функции. Рассмотрим как пример следующую си-
систему линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффици-
коэффициентами:
A.15) ~ = /1(дс)У,
dx
А (х) — (/и х /я)-матрица рациональных функций. Ее матрица фундамен-
фундаментального решения Y = Y(x) многозначна и имеет в качестве точек ветвле-
ветвления полюса а, ап матрицы А (лг) и точку о». Таким образом, при ана-
аналитическом продолжении вдоль замкнутого пути (рис. 1) она подвергается
линейному преобразованию
A.1E) Y(x) - Y(x)My.
Постоянная матрица Му зависит только от гомотопического класса пути у
и называется матрицей монодромии решения Y{x), соответствующей у.
Отображение
A.17) ж1(р\{а1 ал})- GL(m, С),
У -My

280 Связь с теорией деформации дисрференциальных уравнений
базисная точна
Рис. 1
задает представление фундаментальной группы т,(С \ (а, ап}),
представление монодромии.
Пример 3. Задача о монодромии Романа — Гильберта.
В отличие от предыдущих двух примеров третий носит чисто математи-
математический характер. Задача состоит в следующем: найти дифференциальное
п
уравнение A.15) с простыми полюсами, А(х) = V Аг/(х — ау), решение
которого Y(x) имеет предписанное представление монодромии. Ответ да-
дается в особенно простом виде на языке квантовой теории поля ([Г II,
И VI]). Вводя одномерные свободные фермионные поля ^(/)(х), ф*^(х) и
некоторый набор полевых операторов <р(а; L), мы строим такую матрицу
как аналитическое продолжение вакуумного среднего значения
? io - ,0) ж
с нормировкой Y(x0) = 1. Когда мы варьируем точки ветвления аг, пред-
представление монодромии Y(x) остается инвариантным по построению. Клас-
Классическая работа Л. Шлезингера [8] показывает, что в этом случае матрицы
коэффициентов Ау должны удовлетворять следующей системе нелинейных
дифференциальных уравнений (здесь мы выбираем х0 = о»):
A.19) ^ - HeI^J. (д Ф v),
да, I* ar - ar,
л-точечвые функции попей <р(а; L) снова выражаются при помощи матриц
Ау следующим образом:
A.20) <tp(at; Lt). . .<p(an;Ln)> = const • exp (J «),

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 281
а - а.
отметить, что эти корреляционные функции A.3), A.12), A.20) в
свою очередь играют существенную роль в нелинейных дифференциальных
уравнениях в частных производных A.5), A.14), A.19) соответственно.
Именно последние переписываются как неавтономные классические гамиль-
тоновы системы ([9, 10, 3]), включающие несколько «временных» перемен-
переменных, гамильтонианы которых задаются замкнутой 1-формой ш ([10, 3]),
т.е., в сущности, логарифмическими производными корреляционных функ-
Математическая теория изомонодромных деформаций восходит к клас-
классическим работам [8, 11, 12] начала века. В последние годы другой тип тео-
теории деформации линейных дифференциальных уравнений привлек широкое
внимание специалистов в одном из разделов теории нелинейных волн —
изоспектральные деформации, или теория солнтонов. Глубокая взаимо-
взаимосвязь между этими двумя теориями теперь стала очевидной ([13, 14, 15]).
Наш второй пример выглядит как указание на эту связь на квантовом
уровне ([3], ср. [16, 17, 18]). Мы ожидаем, что такие нелинейные вполне ин-
интегрируемые системы при некоторых критических значениях констант взаи-
взаимодействия (с = +оо в настоящем случае) должны попадать в область
применимости нашей теории.
Все эти модели, описанные выше, рассматриваются только в одном
пространственном (+ одно временное) измерении. Для того чтобы обо-
обобщить нашу схему на большее число измерений, представляется неизбеж-
неизбежным введение полей, которые зависят от протяженных объектов (§ б). По-
Построение модели основано на специальном коммутационном соотношении,
подобном тому, которое обсуждалось в литературе [19], хотя ее анализ
еще не выполнен, за исключением некоторого специального случая. Урав-
Уравнения деформации теперь имеют место в силу некоторой вариационной
формулы типа Адамара ([20, И XIII, XIV]).
Эта статья организована следующим образом. В § 2 рассмотрен первый
из указанных выше примеров, скейлинговый предел двумерной модели Из-
инга. Математическая теория деформации, сохраняющей монодромию,
формулируется в § 3, где обсуждается система, допускающая иррегулярные
особенности ранга 1. В § 4 дано теоретико-полевое описание проблемы
Римана — Гильберта (пример 3 выше). Второй пример, бозе-газа с твердой
сердцевиной, обсуждается в следующем § 5. Наконец, в § 6 мы обсуждаем
аналогичные конструкции в пространстве-времени размерности, большей
двух.
Алгебраический строительный блок всей нашей постройки — это теория
группы Клиффорда, которая в тексте не объясняется. (См. [Г I], [3] прило-
приложение.)
Авторы хотели бы выразить искреннюю признательность профессору
Е. Брезану СВ. Brezin), который предоставил им возможность присутство-
присутствовать и выступить с докладом на конференции в Лозанне.

282 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
§ 2. СКЕЙЛИНГОВЫЙ ПРЕДЕЛ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
2.1. История. Со времени монументальной работы Онсагера [21] по
двумерной модели Изинга вычисление спиновых корреляционных функций
стало классической проблемой. После точного вычисления свободной энер-
энергии ([21]) и спонтанной намагниченности ([22]) появилась обширная литера-
литература, в которой эта модель рассматривалась с различных точек зрения (см.
[23]), но только совсем недавно были получены точные выражения в виде
бесконечных рядов для двух и многокомпонентных спиновых корреляцион-
корреляционных функций как на решетке, так и в непрерывном пределе ([5, 24, 25, 26,
И I, Г V, 27]). Среди них, однако, Т. Т. By, Б. М. Мак-Кой, К. А. Трейси и
Е. Барух [5] получили следующий наиболее замечательный результат: скей-
линговый предел двухточечной корреляционной функции
B.1) 1'4
20 = WM2 + N2; е = I Г - Тс\ - О, ЧМ2 + N2 - оо
допускает замкнутое выражение
через классическую трансцендентную функцию ij — г\(в), известную как
трансцендентную Пенлеве III рода. Она определена при помощи следующе-
следующего нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго по-
порядка (ср. C.4)):
B) .. - ~aW = Ц (л/~~" 7*"''-+ •*-'
Функция ф(в) в A.2) связана с jj@) следующим образом: ij@) = ехр (-ф(в)).
Метод этих авторов состоял в том, чтобы связать вычисление rf@) с ли-
линейным интегральным уравнением
„4) \
-1
где К0(х) — модифицированная функция Бесселя. Интегральное уравнение
такого типа было ранее изучено Дж. Латтом [28], который преобразовал
B.4) в систему линейных интегральных уравнений
B.5) A - я2) £

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 283
с константами ij, р, которые следует определить. Зависимость величин ij, Р
от в была в дальнейшем выяснена Дж. Майерсом [29], который нашел, что
и что ij = ij((9) должна удовлетворять уравнению Пенлеве B.3).
Справедливо следующее — известно, что все уравнения Пенлеве I — VI
являются уравнениями сохраняющей монодромию деформации (в надлежа-
надлежащем смысле) ассоциированных линейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка (см. § 3). Цитированная выше работа By и
др. является сильным указанием на то, что в некотором смысле монодро-
мия должна содержаться в структуре самой модели. Мы увидим ниже, что
это действительно так.
2.2. Полевая теория модели Изинга в скейлинговом пределе ([26, И I, Г
IV, V]). Ключевой шаг первоначального онсагеровского вычисления,свобод-
вычисления,свободной энергии ([21]) состоял во введении свободных фермионных операторов
Ртп* Qmn (m> " ег)' по отношению к которым спиновый оператор smn
удовлетворяет следующим характеристическим коммутационным соотно-
соотношениям:
B.7) smnpm,n = ±Pm'nsmn im' 5 m), smnqm,n = ^„'„s^ (m' * m).
Теория группы Клиффорда ([Г I, И V]) показывает, что коммутационное
соотношение типа B.7) со свободными полями определяет smn единствен-
единственным образом с точностью до постоянного множителя. В непрерывном
пределе B.1) эти свободные фермионные поля дают двумерные свободные
релятивистские поля Майораны ф(х) = '(ф+ (лг), ф_ (лг)) (х = (х°, xl)e IR2)
B.8 ) йте-Ярп,, « ++(х) ± +_(.х),
]ime-"iqma = ф+(х) =f ф_(х) (Г - Тс ± 0),
тогда как спиновый оператор const ■ e~y'smn (с небольшой модификацией
при Г < Тс) дает
B.9) *Г(х) = :фо(х)е°1А!С)п:{Т - Тс + 0), <рр{х) = -.е0^11: (Т - Тс - 0),
при
B.10)
f f du du' -i(u -и') , .
p..(x) = I I ^-exp [-im(x (и + и')
Здесь дс* = (дс° ± х')/2, и ^(м) обозначает оператор рождения (и < 0) или
уничтожения (й > 0) свободного поля Майорана, переносящий энергию-

284 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
n i / и + и и — «"'Ч _.
импульс (р°, р1) = I/и , т I. В силу дуальности
Крамерса — Ванье эти поля <fF(x), <pF(x) рассматриваются так же, как не-
непрерывная версия переменных порядка и беспорядка, введенных Кадано-
вым и Сева [32]. Специфическое коммутационное соотношение B.7) насле-
наследуется в непрерывном пределе, так что для хна, пространственно-
подобных друг относительно друга, имеют место равенства (рис. 2)
B.11) #>F(«W± Ос) = е(х1 - e1)^
Рис.2
Нормальное произведение B.9) от ехр (квадратичная форма по Ф) явля-
является характеристическим для полей в группе Клиффорда ([Г I]). Дело в
том, что эти поля, или в более общем случае их произведения, характери-
характеризуются функцией — ядром от двух переменных. Другими словами, среднее
значение
B.12) w±±,(x,x') = <*±(*)*±'(*'>Ма1)- • -^Ю>/<Ма1)- • •*>*•(«„»
несет всю информацию относительно произведения p(at). . •*>(«„). Рас-
Рассматриваемая как функция от х или х' функция B.12) удовлетворяет сво-
свободному уравнению Дирака и имеет сингулярность при х — х', такую же,
как свободный пропагатор - <^±(х)^±,(дс')>. Коммутационное соотноше-
соотношение B.11) имеет теперь следующее следствие: евклидово' продолжение
w^' (x, х') функции B.12) двузначно, причем его знак меняется всякий
раз, когда х или х' обходят по кругу вокруг некоторой из точек а^ - 1,...
. . ., л). В этом смысле проблема монодромии остается в теории, и
коммутационное соотношение B.11) определяет структуру монодромиц
функции w^,.
2.3. Проблема монодромии ([Г III, И II]). Пусть z = (х1 + ix2)/! обо-
обозначает комплексную координату в евклидовом пространстве-времени R2.
Для заданных л произвольных точек а,, . . ., а„ мы рассматриваем следую-
следующую проблему. Требуется охарактеризовать функции и- = '(w+, w_) со
следующими свойствами:

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 285
B.13) (а) Имеет место евклидово уравнение Дирака
a
dz
= mw. ,
a
———
dz*
= mw
за исключением точек z — а1 ап,
(б) и- — двузначная функция; она изменяет знак всякий раз, когда про-
продолжается вокруг каждой из точек ау, и
Iwl = O(l/Vlz - а„1) (z - а„),
(в) 1и-1 = O(emUI) при1г1-оо.
Обозначим через Wa^ „я линейное пространство, образованное такими
функциями. Тогда оказывается, что dim Wa^ ап = п- Более того, показа-
показано, что некоторый базис wt wn пространства Way вд удовлетворяет
наряду с (а) системе линейных дифференциальных уравнений вида
B.14) I I l I =
где В, В' и F — постоянные (л х л)-матрицы, не зависящие от г.
Например, можно выбрать такой базис wCr, что
B.15) В = А, B=G~lA*G при А = ( \а' = (°* V
'G = G* = G~\ *F = -F, F* = -GFG.
2.4. Теория деформации ([Г III, И II]). Теперь рассмотрим зависимость
от ау, а* указанного выше нормированного базиса wCf и матриц G, F. Для
простоты в обозначениях мы используем внешнее дифференцирование d от-
относительно переменных а, ап>а\ ад• (Вообще, для функции и от
л
хг хп равенство du ~ ^ //^ означает du/dXj — fj, j — I, • ■ ■
. . ., л.) Мы находим следующую линейную систему:
где в = @^) — матрица 1-форм, связанная с F — (f ) следующим обра-
образом: д^ = -f^dbz (ац - а„) 0* * v), = 0 0* = "). Уравнения B.1E) выра-
выражают необходимое и достаточное условие того, чтобы система
B.13На) + B.14) деформировалась относительно ау, а*, сохраняя при
этом структуру монодромии (в нашем случае B.13)-(б)). Условие интегри-
интегрируемости для B.13)-(а), B.14) и B.16) приводит тогда к нелинейным диффе-

?§§ Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
ренциальным уравнениям в полных дифференциалах, «уравнениям дефор-
деформации»
B.17) dF= [в,Л + mz[dA,G-lA*G\ + m2[A,G-ldA* ■ О],
dG = -GQ - 'G*G.
В случае л = 2 это сводится к уравнению Пенлеве B.3). После растяжки
хв — х линейная система B.S) совпадает с ограничением системы B.13)-
(а) + B.14) с л = 2 на случай, когда имеется разрез между точками а, =
= -в и а2 = 0.
2.5. Корреляционные функции ([Г III, IV, И IV]).
Положим
B.18 ) wFr(x) = <^(xVF(a,). . .<f(a,). . .tpF{an)y/(<pF(a{). . .*>F(an)>.
Эти функции возникают как коэффициенты локального разложения w(x,x')
при х' — а,, так что их евклидовы продолжения wpjfc обладают свойст-
свойством монодромни B.13Мб); на самом деле они связаны с W&, соотношения-
соотношениями
B.19)
и поэтому они также образуют базис пространства W. „ . Значение
в,, ..^ ап
функций B.18) в том, что логарифмические производные 7 —Jn <*>r<a,)..
da,
. . -<рр(ап)> возникают как вторые коэффициенты в разложении этих функ-
функций wF/x) в окрестностях точек х = а„. Это видно из следующего разло-
разложения на малых расстояниях:
* i *
B.20) * (**>)
/и da" A т 1/2)! 2
(т(х+ - д+))±1/2 f дур (т(х+ - д+)
Х ( ± 1 /2)! тда+ A ± 1/2)!
В силу B.19) требуется только немного алгебры, чтобы связать эти коэф-
коэффициенты с коэффициентами F, G дифференциальных уравнений. Таким об-
образом мы получаем замкнутое выражение для евклидова продолжения
трп(=трВ A.3)) л-точечной функции
B.21) d In тр„ = d In Vdetchtf + - ы,
где G = е-2Я и
B.22) и = - ~tr(Fe + e*GFG~l) + m2 tr
- G~lA*GdA -

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 287
Смешанные корреляционные функции
имеют вид
B.23) г£"'- = тРп х Pfaffian = , .
I * • /Я
2.5. Комментарии. Приведенная выше конструкция допускает обобще-
обобщения в различных направлениях.
Легко обобщить монодромию —1 на произвольный фазовый множи-
множитель е2*" ([Г IV, И VII]) или даже матрицу elriL ([И XIV]), если начать со
свободных полей Дирака (вместо Майорана). Теория деформации, упомя-
упомянутая в разд. 2.3, 2.4, справедлива без изменения, разница возникает толь-
только в алгебраических условиях на G и F. Соответствующие поля связаны с
моделью Федербуша ([Г IV, дополнение], [33]), лагранжиан взаимодействия
которой есть
B.24) _4,t = -ше^ЩхЩ^х)
(ток — псевдотоковое взаимодействие между двумя видами фермионов).
Константа взаимодействия совпадает с показателем монодромии: g = 2т/.
В безмассовом случае наше построение прямо связано с первоначальной
проблемой Римана (§ 4). Соответствующая лагранжева теория поля — это
безмассовая модель Тирринга ([Г IV, дополнение]).
Другая возможность заключается в том, чтобы вместо фермионов на-
начать со свободных боэе-полей (нейтральных или комплексных) ([Г IV, И
IX]). В нейтральном случае это приводит к взаимодействующему ферми-
полю <fP(a) = '(у>* (а), ^.(а)), которое следует сравнить с бозе-полем
iff (а), полученным на основе свободных фермионов. Эти два поля Vе (а),
ifF(fl) имеют одинаковую S-матрицу (— )W~ 1У2 в /^-частичном секторе ([Г
IV, И I, IX], [2б])г и их л-точечные корреляционные функции взаимно об-
ратны с точностью до простого множителя ([Г IV, И IX]).
§ 3. СОХРАНЯЮЩАЯ МОНОДРОМИЮ ДЕФОРМАЦИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. История. Самый типичный пример обыкновенного линейного диф-
дифференциального уравнения — это гипергеометрическое уравнение Гаусса
C.1) х{\ - х)у- + (у - (а + /3 + 1)х)у' - ару = 0.
Коэффициенты уравнения C.1) полностью определяются характеристиче-
характеристическими индексами при регулярных особенностях в точках 0, 1 и <х. Однако
это не так для более общего уравнения. Даже если все особенности регу-
регулярные, для того, чтобы задать уравнение, требуются не только локаль-
локальные индексы, но также и структура глобальной монодромии. Здесь естест-
естественно возникает следующий вопрос, впервые поставленный Рнманом [34]:
найти дифференциальное уравнение с регулярными особенностями, имею-

288 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
шее предписанное представление монодромии.
Шлезингер [8] рассмотрел систему первого порядка A.15) при
C.2) А(х)
- У А>
Li х - а,
и положил начало следующему подходу к проблеме Римана: найти условия
на матрицы At Ап так, чтобы представление монодромии оставалось
неизменным при изменении положения точек ветвления а, а„. Он по-
получил следующую систему линейных дифференциальных уравнений для
Y(x) при соответствующей нормировке решения Y(x) при х — оо:
C3)(У] )у. |у (, i ),
дх \L* х - а„/ Эаг х - а,
Гв 1
а затем, как условия интегрируемости для C.3), систему нелинейных диф-
дифференциальных уравнений A.19) для Аг (? = 1 л).
Простейший нетривиальный случай уравнений A.19), /и = 2 и л = 4, эк-
эквивалентен нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению,
известному как уравнение Пенлеве VI рода ([11]).
Первоначально уравнения Пенлеве возникли в другом контексте. Пенле-
Пенлеве получил следующие шесть канонических типов уравнений, классифици-
классифицируя нелинейные алгебраические дифференциальные уравнения, общие реше-
решения которых не имеют движущихся точек ветвления:
C.4) (I) у- = бу2 + х,
{II) у' = 2у3 + xv + хх,
(III)
(IV) у- = *1 + ^ + 4ху2
(V)
у -
у _ > ч
X I ~« J- Т 1 -1- " _,_ -^ v + 1)
/ 01\ уу
[«у + - ) + -ii.
V j1 / дс
/l I I \j»'2
j,* = (-, + + —*—\У_
\У у - 1 у - х/ 2
у - 1
/i I I \ ../2
(VI)
/11 1 \
- (- + + )у'
\х х - 1 у - хГ

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
EL
- IJ V у2 {у - IJ {у
к - 1)\
В дальнейшем Гарнье [12] показал, что уравнения Пенлеве I — V получа-
получаются так же, как уравнения сохраняющей монодромию деформации для не-
некоторых обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с регулярными и иррегулярными особенностями.
.В данном параграфе мы опишем этот подход Шлезингера и Гарнье (см.
[14, 36] относительно недавних результатов), подчеркивая гамнльтонову
структуру уравнений деформации ({9, 10, 3]). Эта точка зрения показывает
математическую роль «физически» введенных корреляционных функций,
возникших в нашей теории голономных квантовых полей.
3.2. Сведения о монодромии ([14, 36]). Рассмотрим уравнение A15) при
C.5) А(х) =
=(" J
Оно имеет нормированное решение, которое допускает следующее асимп-
асимптотическое разложение в некотором секторе в окрестности точки х = <*>:
C.6)
D — диагональная матрица, Y^ix) — 1 + £ Ymlx~'.
/= i
Мы можем выбрать следующие один за другим секторы Sv -*?г, . . . (см.
рис. 3) и соответственно нормированные решения Yt(x), У2(дс), ... в каж-
каждом секторе. Однако аналитическое продолжение решения Y,(x) в сектор
-*y+ 1 не обязательно совпадает с У/+ ,(дг), но отличается на постоянную
Рис. 3. Сектора при х = оо

290 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
матрицу С,, называемую множителем Стокса:
C.7)
Эти матрицы D, С,
Yl+ t(x) = Y/WC, (/ = 1, . . ., *).
Ск составляют усовершенствованное понятие
р , , . к
матрицы монодромии в иррегулярной особенности х = <». В действитель-
действительности матрица монодромии Мт, соответствующая пути, обходящему
х = оо по часовой стрелке, имеет вид
C.8) M0o = e2'a)Cit-1...G1-1.
Мы выберем некоторый путь, соединяющий точки оо и ар, и рассмот-
рассмотрим аналитическое продолжение вдоль этого пути нормированного реше-
решения Y^x) в первом секторе. Предполагая, что собственные значения мат-
матрицы' А „ различны, мы заключаем, что Y(x) имеет следующее локальное
выражение при х = а/.
C.9)
- av)L; ?,(
det У» Ф О,
/«о
m
C.10)
Матрица монодромии Мг в точке х = аг имеет вид
КАЛУ) мг — ег
Обратно, пусть Y(x) будет (т х т)-матрица, голоморфная и обрати-
а , оо. Предположим, далее,
мая везде, за исключением точек х = а
1г
1 п
что Y{x) имеет локальные выражения C.9) и (З.б) в точках х = a, (v = 1,. . .
. . ., л) и х ~ оо соответственно. Показано, что тогда Y(x) удовлетворяет
системе уравнений типа (К 15) 4- C:5): В этом смысле имеет место следую-
следующая эквивалентность:
Линейное уравнение
dY(x)
dx
= A(x)Y{x)
с заданными особенностями
Многозначная функпия
У(лг)
с заданной моиодромией
а,, . . ., «„, »
-, Ln, AC,,.., Cfr
3.3. Уравнение деформации ([36]). Давайте теперь деформировать пара-
параметры a
ап и
v п j
дромии I.,, . . ., i, в Д Ср
дифференцирование по х, а,,
, удерживая фиксированными данные моно-
моно. ., Ct. Если мы обозначим через с/ внешнее
. ., ап и fp . . ., :т, то К удовлетворяет сле-
сле, п p т
дующей системе линейных дифференциальных уравнений:

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 291
C.12) dY = QY, О = £ Ard In (х - а„) + dixA^) + G,
л
C.13) Qn = о, eJk = £ (л,),*</1п (*у - '*).
Условие интегрируемости <Я2 = О х О для C.13) приводит к следующей
нелинейной системе дифференциальных уравнений в полных дифференциа-
дифференциалах:
C.14) dAy = - £ 1Л„ Ay.]d In (a, - а,,) - И,, «/(«^4») + в].
5.4. Гамилыпонова структура. Система уравнений C.14) может быть
записана как гамнльтонова система. Определим гамильтонову 1-форму ш с
временными переменными а,, ..., ал> /,, .. ., tm:
C.15)
«-|D иА^,><Ип(аг-аг.)+ £ аЛ^а^.) + i tr в £ Л,.
Тогда. C.14) переписывается как
C.1«) dAf = М,«).
Здесь скобка Пуассона определена следующим образо'м:
C.17) {(Ay)Jk, (Ау, )гк,) = Ь„. (bjk, iA,)rk - 5rk(Ay)Jk.).
3.5. Уравнение Пенлеве V рода. В частном случае, когда л = т = 2, га-
мильтонова система C.16) редуцируется к следующей системе:
C.18) H(t,y,zy= z + i-yzin - z)+ y-l0>2 ~ *Х"з - z) - 2Z2
C.19) iz,y)=y,
C.20)
^ = (У, НО, У, z)) = -ty - 2z(y - IJ - (y - lX-rty + v2 + v3),
^ = [z, H{t, y, z)) = -j-z^! - z) - .у-Ч'г - zKv3 - z).
ev
Исключая z из C.20), мы получаем пятое уравнение Пенлеве C.4) — (V)
с параметрами
C.21)
«=-v2, 0 = ~-(v2 - J, 7 =* -1 +  - »2- *Э« 5=~^-

292 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
Если положить o(f) = tH(t, y(t), z(f ))> то функция o(f) сама удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению второго порядка:
C.22)
/ d2a\2 ( do Jda\2 , /do\\2 л da
I Г ——=- 1 = Iff - t— +21 — I - (v, + j>, + v,)[—I I +4— X
\ dt2) V dt \dt/ * 2 3 \dtj/ dt
3.6. Модель Изинга. Покажем, что теория деформации модели Изинга
(§ 2) оказывается здесь уместной. Путем введения обобщенного преобразо-
преобразования Лапласа
C.23) w,(z,.z*)= [~-
система B.14), B.15) превращается в систему уравнений
C.24) J_
">© ■
имеющую две иррегулярные особенности ранга 1 при и = 0 и м = оо.
Уравнение деформации, сохраняющей монодромию, для C.24) в точности
такое же, как для B.14) ({36]). Это наводит на мысль о стабильности
свойства изомонодромии относительно обобщенного преобразования Лап-
Лапласа ({37]).
Алгебраическое выражение ш B.22) через матрицы F и G дает гамильто-
нову -1-форму для уравнений B.17>, где скобка Пуассона определяется сле-
следующим образом:
C.25) {GJk, Gyk.) = 0, {(FG -l)jk, (FG-\к,) = О,
§ 4. ПРОБЛЕМА МОНОДРОМИИ РИМАНА
4.1. Проблема. Пусть ах < а2 < . . . < ап — вещественные числа. Мы
строим (/я х т)-матрицу Y(x) с данными монодромии (а,, £,), . . ., (а„,
Ln) в смысле C.9), предполагая, что матрицы Llt . . ., Ln достаточно «ма-
«малы» (т.е. близки к 0) и налагая следующие дополнительные условия D.1)
при х = оо и D.3)^ (или D.3)^):
D.1) Y{x) = Га{х)х°, Ym(x) = £ Y^lx-', det Y^ * 0.
/-о
Здесь D — «малая» матрица, единственным образом определяемая из еле-

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 293
дующего условия:
D.2) в2*"-» . . . ehtiL" = г2*"*-
Смысл соотношения D.2) ясен: путь, обходящий последовательно вокруг
точек ап, . . ., а,, гомотопен пути, обходящему точку а». Второе дополни-
дополнительное условие — это нормировка:
D-3)^ Г(*о) = 1 Для х0 * а, ап, »,
или
D.3)в, По»1.
При помощи соответствующего линейного преобразования мы получаем
решение, удовлетворяющее нормировке Шлезингера:
4.2. Операторное решение (Г II). Пусть *и)(х), Ф*и)(х) (/ = 1, . . ., /и)
обозначают свободные фермионные операторы на R. Они удовлетворяют
следующим антикоммутационным соотношениям:
D.4) {*<Л(л:), *(/Hс')]+ - 0, rwW ^•(/)(x')]+ = О,
Вакуум I vac) определяется из условий
D.5) *</>(p)lvac> = fV)(-py\ vac> = 0 дляр > О,
где
+ 00
D.6) *</>(р)= J
J йв**'*1»
Тогда мы имеем следующие вакуумные средние значения:
1 i
2т х - х' + Ю
Для (/и х /я)-матрицы L определим полевой оператор </>(а; L) следующим
образом 1J:
D.8) ^(а; L) = : ехр р(а; L) ■■,
0 <лс > 0), = Ы1 (« < 0).

294 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
+ +
p{a;L) = Y. \ \ dxdx'^\x)R{x - а, х' - a; L)jk x
j, к- 1 -« -о.
D.9) R(x,x';L) = -2/sinTl, • xZLx±
1
(-1
\2x
2x x - x' + iO 2v x - x' - /0
Оператор i?(a; L) удовлетворяет следующим коммутационным соотно-
соотношениям со свободными полями:
т
с - a)jk,
где
С, если х > О,
-». «■*<<>.
Рассмотрим следующую матрицу вакуумных средних значений:
(г - х.)
'—[хо,х;—■■-- I
\ Li,...,Ln/Jk
- х ) <*
0
Из D.7) следует, что как функция х матрица Y+ (x) (соответственно У_ (х))
является граничным значением голоморфной функции в верхней (соответст-
(соответственно нижней) полуплоскости. Коммутационные соотношения D.10) приво-
приводят к тому, что Y±(x) удовлетворяют следующему соотношению на ве-
вещественной оси:
D.12) У_(х)= Y+(x)M(x),
М(х) = А/„. . .Mn(av_, < х < а„), М„ = в*'.
Из D.12) и D.7) мы легко аидим, что аналитические продолжения матриц
^(х) удовлетворяют нужному свойству монодромии с условием норми-
нормировки D.3)Х(). Для того чтобы проверить более сильное условие C.9) для

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 295
Рис. 4
показателя Ly, мы должны рассмотреть локальное поведение более внима-
внимательно.
4.3. Выражения в виде бесконечных рядов. Применение теоремы Вика к
явным формулам D.8), D.9) и D.11) приводит к следующему выражению
для Y(x0, x) в виде бесконечного ряда:
л
D.13) Y(xo,x) = 1 - 2х/(лг0 - х) £ Z^(xo,x),
где Z (х0, х) — голоморфная функция, определенная для (х0, х) е
е (С\Г^) х (С\Г„) следующим образом (см. рис. 4, на котором изобра-
изображен разрез Г^):
D.14) 2„(хо.*) = «„ j J dxtdx2 ±- J
« л О
x,,j:2;I)-i + } У \ ...
' 2xx2+a,-x Li L* J
Л1- • dx2l+2^x _*х _а R&^x^LJA^^, хъ). . .
1 /
' 2хх2/+1 + а„-х
Здесь мы положили
— A - 8 )^:
2x * x + a^ - x' - ar - te
A (x, x') = — A - 8 ) ^ :—- , e = sgn 0» - v).
2x * x + a - x' - a - teO ^
Предполагая, что Im а, > . . . > Im а„, мы можем переписать D.13) в
виде, удобном для исследования локального поведения:
D.15) YQc0, х) = (х0 - а Г** t Дх0, хКх - а/',

296 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
D.16) ?^х0, х) = 5^ + 2т/(х0 - х) J dxx J dx2 — ^ ^
е(* о) «К* ')
Здесь контур интегрирования С^ приведен на рис. 4, а точки х0 я х предаю"
латаются помешенными внутрь контуров С^ и Сг соответственно.
Мы заметим, что C.9) следует из D.15). Более того, условие нормиров-
нормировки D.3) ау достигается, если мы возьмем
D.17) Yr(x) = lim (х0 - ay)L>Y(x0, x).
хо~а.
Функция Yy(x) также выражается при помощи полевых операторов. Мы
положим
л а
D.18 ) <p*W(a;L)= : ^
1) exp p(a; L)
jk
Тогда Yy(x) записывается как
{4Л%(х) - 2т/(ж ~ a"
Мы уже упоминали о корреляционной функции <?(<?,; Lj). . .*4an; Ln)> в
§ 1 A.20). Отметим, что d In <«e(a1; Lj). . .^(an; Ln)> может быть выраже-
выражена в виде бесконечного ряда подобно D.13) [Г II].
§ 5. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
ДЛЯ БОЗЕ-ГАЗА С ТВЕРДОЙ СЕРДЦЕВИНОЙ
5.1. Теория Фредгольма ([38, 39]). Как было отмечено Шульцом [38],
дискретная версия системы A.7) при с = +<х> н конечной плотности частиц
ро представляет собой одномерную ЛТ-модель, определяемую гамильтони-
гамильтонианом
E.1) ЯГХу(а, h) = -1 £ (A + 7)оМ + , + A - у)оУто?т + , + «««,)
/Я
с 7 = 0, А = cos хр„г (г — параметр решетки). Это одна из типичных мо-
моделей, решаемых при помощи метода группы Клиффорда ([Г V]). Структу-

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 297
ра модели E.1) совершенно подобна структуре модели Изинга (§ 2, 2.2). На
этот раз, возвращаясь к непрерывным переменным р(х) = lim е~'лрт,
q(x) = \ime~'Aqm, мы получаем одночастичную приведенную матрицу
плотности ррр(х) для свободных фермионов (мы выбираем р0 = х~') в ви-
виде
E.2) <д(х)р(х')> - б(х - х') = -l"^"^ =
в то время как скейлинговые пределы, соответствующие FIp^
и <^±(Jf)^±.(x')*>7r(a1). . -Vpia^)) в B.12), дают определитель Фредгольма
и первый минор Фредгольма, соответствующий ядру E.2), рассматривае-
рассматриваемому на объединении конечных интервалов с концевыми точками av . . .,
ап. Приведенная л-частичная матрица плотности A.9) сама является л-м
минором определителя Фредгольма ([39]). Мы должны охарактеризовать
эти величины при помощи теории деформации.
Другой подход, принадлежащей Вадья — Трейси [40], заключается в
том, чтобы изучить двойной скейлинговый предел АТ-модели E.1). По
этому поводу можно посмотреть [40] и [И XV, XVI], [3].
5.2. Теория деформации. Пусть ах < а2 < . . . < а2п будут веществен-
вещественные числа и положим / = [a,, a2] U [аэ, а4] U . . . U [й2л_1, а^]. Мы
обозначим через Д/Х), Д,( V " " "' xf, X I и RAx, x'\ X) определитель
V*p ••••■*/• /
Фредгольма, r-ый минор Фредгольма и ядро резольвенты для интегрально-
интегрального ядра sin (х - х')/(х - х') на / соответственно. Так как имеет место
E.3) а/х\ *к \) = (-ХГД/Х) det (Л7(х, х'к; Щ к^х ,,
E.4) д In A£\)/daj = (-)-' + .1ХЛ|(а/, а,; X),
E.5) З2 In A£\ydajdak = (->/ + *+ 'Х2/?/^, a^; XJ (у * А:),
то достаточно охарактеризовать d In
Пусть
E.6) Г-(Х)
X'J ...J
/ о / /
Матричнозначная функция У/ш(х) голоморфна и обратима везде, за исклю-
исключением точек х = оо, aj, . . ., а^. Она имеет следующее локальное поведе-

298 Связь с теорией деформации дифференциальных ураанений
ние при х = оо и х = uj (j = 1, .... 2л):
E.8) r/e.(*)
х - а2). . .(х -
Здесь fji.x) голоморфна и обратима везде, за исключением точки х = оо.
Отметим, что множителя Стокса в этом случае тривиальны.
Эти свойства монодромии для YIm(x) приводят нас к следующей линей-
линейной системе:
E.10)
E.11)
В качестве условия интегрируемости для E.10) мы получаем уравнение Га-
Гамильтона, эквивалентное уравнению A.14):
E.12) <*r*j-lrbj,*t]
с гамильтонианом ш A.13) и скобкой Пуассона:
E.13) {г±,., г±у.,) = 0, {r_j, гч.} = О,
(r+J, r_r) = h^
5.3. Одночастичная приведенная матрица плотности. Одночастичная
приведенная матрица плотности р(х) для бозе-газа с твердой сердцевиной и
плотность распределения вероятности расположения уровней Eu(t) в [41]
совпадают с — Д@ ^ ( ; — J и Д@ тГ] (— J . Если положить
f = t± In
то эти функции удовлетворяют нелинейному уравнению C.22) при (?], г2,
"з) ~ @> 0, 0) и @, 1, 1) (т.е. A.11)) соответственно. Отметим, что одноча-
одночастичная приведенная матрица плотности p^1pFF(x) = япх/х для свобод-
свободных фермиоиов также удовлетворяет соотношениям A.10), A.11).

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений 299
Наконец, мы приведем разложение р(х) при малых и больших х
(с = 1/2х в E.15)):
E.15) p.
1 , 61С /1 С2
"1 +22.33.52.72Х+ ^ +
E.16)
pfipW = £ (l + ^ (cos 2x - -1)
Константа рт была определена в [40] и оказалась равной теА2~*лА~6
(А — постоянная Глейшера). См. в ([И XVI 3]) дальнейшие разложения до
хю и до х~8 .
5.4. Разложения при низких температурах и больших константах взаи-
взаимодействия. Описанный выше анализ относился к случаю нулевой темпе-
температуры кТ = /З = 0 и бесконечной константы взаимодействия с = <х.
Матрица плотности для конечных /3 и с выписывается в виде разложений
по /З и с. Каждый коэффициент содержит конечное число интегралов
от матрицы плотности при /3 = с = <» и простых элементарных функций.
§ 6. ВЫСШИЕ РАЗМЕРНОСТИ
6.1. Общая ситуация. Когда размерность пространства-времени больше
чем 2, аналоги построений из § 2 неизбежно требуют введения полей, кото-
которые зависят от протяженных объектов. Начнем с двух типов полей, основ-
основного поля <р[С] и вспомогательного ф[С ], зависящих от замкнутого простран-
ственно-подобиого подмногообразия С (соответственно С) размерно-
размерности г (соответственно г'). Здесь г, г' — неотрицательные целые, подчинен-
подчиненные условию г + г' = п — 2. Когда С я С расположены пространствен-
ио-подобио друг относительно друга так, что они лежат на обшей простран-
пространственно-подобной гиперповерхности, возникает понятие индекса зацеп-
зацепления Кс, с'). Зададим следующее коммутационное соотношение между ос-
основным и вспомогательным полями для взаимно пространственно-подобных
С я С (рис.5):
F.1) ч>[СШС] = {-)*с-с'Ч1С'МС\.
До этого момента соотношение F.1) выглядит совершенно аналогично ал-
алгебре Хофта ([19]). Однако для того, чтобы применить наш метод, мы тре-
требуем выполнения добавочного условия: вспомогательное поле ф[С] должно
оыть в том или ином смысле свободным, так что F.1) будет полностью
характеризовать основное поле <р[С] (теория группы Клиффорда [Г I]).

300 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
Н
Рис. 5. я =* 3, г = 1, г' = 0. Н — пространственноподобная гиперповерхность, со-
содержащая С и С.
6.2. Конструкция из локальных свободных полей ([И XII]). К сожале-
сожалению, «свободные поля, зависящие от протяженных объектов», —это не
осмысленное в настоящее время понятие.* Мы ограничимся случаем г' = 0,
когда вспомогательное поле локально, например обычное свободное'поле
Дирака ф(х). В этом случае основное поле <р[С] дается выражением: ехр
(квадратичная форма по ф), имеющим
F.2) w(x,x') = <tW(x'MC]>/<v[C]>
в качестве ядра квадратичной формы. Коммутационное соотношение F.1)
теперь показывает, что евклидово продолжение ^ж(х, х') функции F.2)
имеет ветвление в окрестности (л — 2)-мериого подмногообразия С с соот-
соответствующей монодромией — 1. В более общем случае несложно включить
фазовые множители (или матрицы) е2"' вместо — 1. Проблема теперь в
том, чтобы построить теорию деформации для wBvc.
6.3. Теория деформации ([И XIII]). Рассмотрим проблему Римана —
Гильберта о монодромии для евклидова уравнения Дирака (—* + m)w = °-
Пусть Г будет (л — 1)-мерным замкнутым подмногообразием евклидова
пространства IR". Пусть А/({) будет вещественно аналитической (N х Л0-
матрицей на Г, предполагаемой близкой к единичной. Мы ставим следую-
следующую проблему: найти w(x, x') такую, что
F.3) (а) (~ЬХ + m)w(x, х') = 5"(х - х') (х, х' е П?"\Г),
(б) \w(x, х')\ = (Це-тЫ) Ax1 - оо, х' фиксировано)
(в) w«+, х') = M(&w(r, x) « е Г).
Здесь wd*. x') означает граничное значение изнутри или снаружи Г
(рис. 6). Условия F.3) единственным образом определяют w(x, х') = w(x,
х'; Г, М) как функционал от Г и М. Рассмотрим малую вариацию Г' =
= 11 + йр({) I I еГ) подмногообразия Г, задав векторное поле 5р({) =
= (й>'({). • • •. 5рл({)) на Г. Мы предполагаем, что «монодромия» Af'({')
на Г* должна сохраняться в том смысле, что М'({ + йр({)) = А/({) ({ е Г).

Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
301
r+sr
Рис. 6
Тогда справедлива следующая вариационная формула:
F.4)
Sw(x
, х') = f
Sw(x, x')
,x')
где *»({) — элемент поверхности и л({) = (л^!), .... лл({)) — единичная
нормаль, направленная наружу.
Наша первоначальная ситуация реализуется как предельный случай, ког-
когда Г содержит (л — 2)-мериое подмногообразие С и MQ) — кусочно-
постоянная функция на Г (рис. 7). Так как F.4) содержит касательную про-
производную М(£), то dw/SpnQ) = 0 всякий раз, когда А/(£) = const. Это га-
гарантирует, что вариационное уравнение не зависит от выбора подмного-
подмногообразия Г. Уравнения деформации в размерности 2 (§ 2, § 4) восстанавлива-
восстанавливаются из F.4) при учете (б.ЗХа) и евклидовой ковариантности, ([И XIV]).
Рис. 7

302 Связь с теорией деформации дифференциальных уравнений
ЛИТЕРАТУРА
1. SatoM., MiwaT., Jimbo M. "Holonomic quantum fields". I: Publ. RIMS, Kyoto
Univ. 14 A978), 223 — 267; II: ibid., 15 A979), 201 — 278; III: ibid., 15 A979),
577 — 629; IV: ibid., 15 A979), 871 — 972; V: ibid., 16 A980), 531 — 584; IV supp-
supplement: RIMS preprint 304 A979). Ссылки на эти статьи в тексте указываются как
[Г I] и т.д. (Статьи I, III, IV, V содержатся в настоящем сборнике.)
2. Sato M., Miwa Т., Jimbo М. Серия коротких заметок, озаглавленных "Studies on
holonimic quantum fields". Proc. Japan Acad. 53A A977), 6 — 10 (I); 147 — 152
(П); 153 — 158 (Ш); 183 — 185 (IV); 219 — 224 (V); 54A A978), 1—5 (VI);
36 — 41 (VII); 221—225 (VIII); 263 — 268 (IX); 309 — 313 (X); 55A A979), 6 — 9
(XI); 73 — 77 (XII); 115—120 (XIII); 157—162 (XIV); 267^272 (XV);
317 — 322 (XVI).
Некоторые из них имеют других авторов:
(IX — М. Jimbo; XIII, XIV — М. ЛтЬо and Т. Miwa; XV — М. Jimbo, Т. Miwa
and М. Sato, XVI — М. Jimbo, Т. Miwa, Y. Mori and M. Sato). Ссылки на эти
статьи в тексте указываются как [И I] и т.д.
3. Jimbo M., Miwa Т., Mori Y., Sato M. Density matrix of impenetrable bose gas and
the fifth Painleve transcendent. Physica Ol A980), 80.
4. Jimbo M., Miwa Т., Sato M. Kakuyugd Kenkyu, Inst. Plasma Phys. Nagoya Univ.,
40 Suppl. A978), 45; Proc. of the "International Golloquium on Complex Analysis,
Microlocal Calculus and Kdativistk Quantum Theory" Les Houches, France A979),
Springer Lecture Notes m Physics, 126 A980), 429.
5. Barouch E., Me Coy В. М., Wu Т. Т. Phys. Rev. Lett, 31 A973), 1409. Wu Т. Т.
Mc-Coy B. M., Tracy С A., Barouch E. Phys. Rev. B13 A976). 316.
6. Me Coy B. M., Tracy C. A., Wu Т. Т. J. Math. Phys. 18 A977), 1058.
7. Girardeau M. /. Math. Phys. 1 (I960), 516.
8. Schlesinger L. Reine u. Angew. Math. 141 A912), 96.
9. Malmquist J. Arkiv Math. Astro. Phys. 17, № 18 A922), 1.
10. Okamoto K. Polinomial Hamiltonians associated to the Painleve equations. Preprint
Tokyo Univ. A979).
11. FuchsR. Math. Ann. 63 A907), 301.
1Z Gamier R. Ann. Ecol. Norm. Sup. 29 A912), 1.
13. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution eq-
equations and ordinary differential equations of type I, П, preprints A979).
14. Elaschka-H., Newell A. C. Monodromy and spectrum preserving deformations I.
Comm. Math. Phys. 76, N 1, A980), 67 — 116.
15. Ueno K. Monodromy preserving deformations and its application to soliton theory.
RIMS preprint 302, Kyoto Univ. A979).
16. Faddeev L. D. Modeles completement integrables de la theorie quantique des champs.
Preprint (French translation by Cambefort in Dijion) П979).
17. Honerkamp J., Weber P., Wiesler A. Mid. Phys. B152 A979), 266.
18. Thacker H. В., Wilkinson D. Phys. Rev. О19 A979), 3660.
19. G.'tHooftG. Nud. Phys. B13S A978), 1.
20. Hadamard J. Oeuvre, II.
Levy P. Problems concrets d'analyse fonctioneUe, Gauthier-Villars, Paris A951). (Рус-
(Русский перевод: Лени П. Конкретные проблемы функционального анализа. М„
ИЛ. I960.)
21. Onsager L. Phys. Rev. 65 A944), 117.
22. Yang С. N. Phys. Rev. 85 A952), 808.

Голономные квантовые поля V 303
23. Мс-Соу В. М., Wu Т. Т. The two dimensional Ising model, Harvard University
Press, Cambridge, Mass. A973).
24. Mc-Coy B. M., Tracy С A., Wii Т. Т. Phys. Rev., Lett., 38 A977) 793.
25. Bariev R. Z. Phys. Lett. 55A A976) 456; 64A A977) 169.
26. Sato M., Miwa Т., Jimbo M. Field theory of the two dimensional Ising model in the
scaling limit. RIMS preprint, Kyoto Univ. 207 A976).
27. Abraham D. B. Comm. Math. Phys. 59 A978), 17.
28. Latta G. E. J. Rational Mech. Anal 5 A956), 821.
29. Myers J. M. J. Math. Phys. 6 A965), 1839.
30. Kaufman B. Phys. Rev. 76 A949), 1232.
31. Schultz T. D., Mattis D. C, Lieb E. H. Rev. Mod. Phys. 36 A964), 856.
32. Kadanoff L. P., Ceva H. Phys. Rev. B3 A971), 3918.
33. Schroer В., Truong Т. Т., Weisz P. Ann. Phys. 102 A976), 156.
34. Riemann B. Werke, p. 379.
35. Painlevi P. Oeuvre, III, p. 187.
36. Ueno K. Monodromy preserving deformation of linear differential equations with
irregular singular points. RIMS preprint, Kyoto Univ. 301 A979).
37. Birkhoff G. D. Trans. Amer. Math. Soc. 10 A909), 436
38. Schults T. D. J. Math. Phys. 4 A963), 666.
39. Lenard A. J. Math. Phys. 7 A966), 1268.
40. Vaidya H. G., Tracy С A. Phys. Lett. 68A A978), 378; Phys. Rev. Lett. 42 A979),
3.
41. Mehta M. L. Random Matrices, Academic Press, New York A967).