ЛУЧШИЙ _
ЗАРУБЕЖНЫЙ
УЧЕБНИК
1
1
Б. ОКСЕНШЬ
1 '
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ И ПРИЛОЖЕНИЯ
атель о«
»

Стохастические дифференциальные уравнения
Введение в теорию и приложения

Веггй 0к8епс1а1
81осЬа811с
В1ЙГегеп1;1а1 Е^иа^;^оп8
Ап 1п1;гос1ис1;юп \^И;Ь АррЦсайопв
5*Ь ЕсШюп 1998, 2пс1, Соггес*еа Рпп1;т§ 2000
8рпп§ег-Уег1а§ Не1с1е1Ъег§ Ке^ Уогк
8рпп§ег
ВегИп • НеИе1Ъег§ • Ке\у Уогк • Ьопйоп • Рапз • Токуо
• Ноп§ Коп$ • Вагсе1опа • ВийарезЪ

ЛУЧШИЙ _
ЗАРУБЕЖНЫЙ
УЧЕБНИК
Б. Оксендаль
Стохастические
дифференциальные
уравнения
Введение в теорию и приложения
Перевод с 5-го исправленного английского издания
Н. И. Королёвой и А. И. Матасова
под редакцией В. Б. Колмановского
с*
АТЕЛЬСТВС
«Мир» «АСТ»
*С1
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Москва 2003

УДК 519.21
ББК 22.171
О 52
Оксендаль Б.
052 Стохастические дифференциальные уравнения. Введение
в теорию и приложения: Пер. с англ. — М.: Мир, 000
«Издательство АСТ», 2003. —408 с, ил.—(Лучший зарубежный
учебник).
15ВК 5-03-003477-3 («Мир»)
15ВК 5-17-019776-4 («АСТ»)
Учебник по теории и приложениям случайных процессов известного
норвежского математика, написанный простым, четким и ясным
языком. Для его усвоения достаточно сведений по теории вероятностей в
объеме вузовского курса. Автор опускает сложные для понимания
доказательства теорем и делает упор на объяснение основных идей и методов.
Достоинство книги — демонстрация тесной связи между теорией и
практическими приложениями в различных технических областях вплоть до
задач экологии и финансовой математики. Каждая глава содержит
значительное число тщательно подобранных задач и упражнений с
указаниями и решениями.
Для студентов математических и прикладных специальностей
университетов, технических и экономических вузов, для специалистов,
применяющих современную теорию случайных процессов.
УДК 519.21
ББК 22.171
13ВК 5-03-003477-3 («Мир»)
13ВК 3-540-63720-6 (англ.)
13ВК 5-17-019776-4 («АСТ»)
Тгапз1а1;юп Ггот Ъпе Еп^НзЬ
1ап5иа§е есШлоп:
8ЬосНаз1гс ВЩетепИаХ ЕдиаНопз
Ьу Вегш; 0кзепс1а1
Соруп&п1;©8рпп8ег-Уег1а8
ВегНп Не1с!е1ЪегБ 1985, 1989,
1992, 1995, 1998
8рг1п§ег-Уег1а5 18 а сотрапу т
Иле Вег1;е18тапп8рг1п§ег
риЪНзЫп^ §гоир
АН Кл^Мз Кезегуес!
© перевод на русский язык,
Издательство «Мир», 2003

Предисловие
редактора перевода
Существенной особенностью завершившегося столетия является
осознание статистического характера законов природы. Именно
этим обстоятельством объясняется, в частности, взрыв
исследовательского интереса к проблемам и методам теории вероятностей и
математической статистики, нашедший отражение в громадном
количестве монографической и учебной литературы, публикуемой по
указанным вопросам крупнейшими издательствами мира.
Стохастические дифференциальные уравнения — один из
красивейших разделов современной математики, и в то же время они
служат фундаментом для многих разделов прикладных наук,
например: механики, статистической теории связи, передачи
информации, теории управления и оценивания, статистической физики,
теории диффузии, космологии, финансовой математики, экономики
и др. Именно поэтому теория стохастических дифференциальных
уравнений в той или иной мере используется в учебном процессе
при построении многих курсов для студентов как
естественнонаучных, так и многих инженерных специальностей.
Следует, однако, отметить, что имеющаяся разнообразная
литература по указанному предмету, как отечественная, так и
зарубежная, представляет собой в основном сугубо математические
исследования с акцентом на строгость и законченность изложения
материала, что создает трудности для многих неспециалистов и,
в особенности, для прикладников. В учебнике на русском языке,
который был бы доступен студентам разных специализаций,
ощущается острая необходимость.
Книга Б. Оксендаля — это прежде всего учебник, содержащий
многие основные факты теории случайных процессов и написанный
исключительно простым, четким и ясным языком. Для понимания
изложенного материала достаточно общих сведений по теории
вероятностей в объеме обычного курса для студентов технических
вузов (причем большая их часть разъясняется по ходу изложения).
Автор опускает наиболее сложные для понимания доказательства и
делает упор на объяснение основных идей и методов. Достоинство

б Предисловие редактора перевода
книги — в демонстрации тесной связи между теоретическими
положениями и их применением, что восполняет некоторый пробел в
отечественной монографической и учебной литературе. Кроме того,
каждая глава книги содержит значительное количество тщательно
подобранных задач и упражнений. В этих упражнениях не только
иллюстрируются основные утверждения книги, но и разъясняются
качественные особенности стохастических уравнений, а также
методика использования изложенных результатов при исследовании
конкретных прикладных задач. Указанным приложениям в
учебнике уделено существенное внимание, причем специально для пятого
издания написана глава, посвященная новым актуальным
проблемам современной финансовой математики.
Предлагаемая книга профессора Б. Оксендаля является
наиболее популярным, лучшим западным учебником по стохастическим
дифференциальным уравнениям. Подтверждением этому служит и
тот факт, что книга многократно (в 1985, 1989, 1992, 1995, 1998,
2000 гг.) переиздавалась издательством «Шпрингер» общим
тиражом более 15000 экземпляров.
Переводчики книги —Н. И. Королёва и А. И.
Матасов—проделали большую работу, устранив целый ряд неточностей и приведя
содержание книги в соответствие с отечественными стандартами.
В то же время они старались по возможности выдерживать стиль
изложения автора. Кроме того, переводчики книги находились в
постоянном контакте с Б. Оксендалем, любезно приславшим ряд
исправлений, которые были включены в русское издание. Вся
рукопись книги была внимательно прочитана Т. А. Майзенберг,
потратившей много времени на ее усовершенствование. Нет сомнения,
что книга будет стимулировать научные исследования
специалистов и будет крайне полезна студентам, для которых она в первую
очередь и предназначается.
Москва, май 2002 г.
В. Б. Колмановский

Посвящается моей семье:
Эве, Элизе, Андерсу и Карине
* * *
Мы не преуспели в разрешении всех наших проблем. Ответы,
которые мы нашли, лишь побудили нас поставить целый ряд
новых задач. Мы чувстуем, что в некоторых отношениях мы в
таком же затруднении, как и всегда, но полагаем, что наши
раздумья стали глубже и они касаются более важных вещей.
Вывешено на дверях
математического читального зала
университета Тромсе

Предисловие
к исправленному пятому
изданию
Основные исправления и дополнения в исправленном издании
относятся к гл. 12. Мне помогли полезные замечания и советы многих
людей, включая (в алфавитном порядке) Фредрика Даля, Симону
Депари, Карла Петера Киркебе, Николая Колева, Такаши Кумагаи,
Шломо Левенталя, Гейра Магнуссена, Андерса Оксендаля, Юргена
Поттхофа, Колина Роуота, Стига Санднеса, Лоунса Смита, Сецуо
Танигучи, Бьорна Тунестведта, Ульриха Хауссманна, Южонга Ху,
Марианну Хюбнер.
Я хочу поблагодарить их всех за то, что они помогли мне сделать
эту книгу лучше. Я также хочу поблагодарить Дину Харальдссон
за мастерский набор.
* * *
На обложке изображены четыре реализации траекторий Хь(и\),
Хь(со2),Хь(шз) и Х^ша) геометрического броуновского движения Х*(о;),
т. е. решения (одномерного) стохастического дифференциального
уравнения вида
*??± = (г + а-т)Хь, *>0, Х0 = х,
где х, г и а — константы, а \Уь = И^(а;) — белый шум. Такой процесс
часто используется для моделирования «экспоненциального роста в
условиях неопределенности» (см. гл. 5, 10, 11 и 12).
Рисунок представляет собой результат компьютерного
моделирования для случая х = г = 1, а = 0.6. Там же изображено и среднее
значение величины Хь, т. е. -Е[Х*] = ехр(^). Любезно предоставлено Яном
Юбо из Сторд/Хаугезунд-колледжа.
Блиндерн, май 2000 г. Бернт Оксепдаль
факультет математики
университет Осло
п/я 1053, Блинден
0316 Осло, Норвегия
Е-таП: окзепс1а1©та1;]1.шо.по '

Предисловие
к пятому изданию
Главная особенность пятого издания состоит в добавлении новой
главы, главы 12 о приложениях к финансовой математике. Я
посчитал естественным включить этот материал как еще одно важное
применение стохастического анализа, имея в виду бурное развитие
данной области в течение последних 10-20 лет. Более того, тесное
взаимодействие между теоретическими достижениями и
приложениями в этой области поразительно. Например, сегодня очень
небольшое количество фирм (если такие и есть) производят торговлю
опционами, не принимая во внимание формулу Блэка—Шоулса!
Первые 11 глав книги не значительно изменились по сравнению
с предыдущим изданием, но я продолжил работу над
улучшением изложения всего материала и исправлением ошибок и опечаток.
Были добавлены несколько новых упражнений. Более того, чтобы
облегчить пользование книгой, каждая глава была разделена на
разделы. Если у лектора нет желания (или времени) охватить все
главы, можно составить курс, выбирая разделы из глав.
Приведенная ниже схема позволяет сориентироваться в структуре книги.
Например, чтобы изложить первые два раздела новой главы 12,
рекомендуется включить в курс (по крайней мере) гл. 1-5, гл. 7
и разд. 8.6. Глава 10 и, следовательно, разд. 9.1 содержат
необходимые дополнительные сведения для разд. 12.3, в частности для
раздела об американских опционах.
В работе над этим изданием мне помогли полезные
предложения многих людей, в частности (в алфавитном порядке) Кнута
Аасе, Луиса Альвареса, Гьермунда Воге, Саула Джака, Дана Зеса,
Кристиана Иргенса, Петера Кристенсена, Наото Кунитомо и его
сотрудников, Тронда Майра, Шуа Матарамвуру, Нилса Оврелида,
Андерса Оксендаля, Этла Сайерштадта, Нилса Кристиана Фрам-
стадта, Хелге Холдена, Уолтера Шахермайера, Бьярне Шилдеропа,
Каена Эстегамата и Яна Юбо. Я благодарю их за вклад в
улучшение книги. Дина Харальдссон вновь продемонстрировала свои
впечатляющие способности в наборе рукописи —и в преодолении

10 Предисловие к пятому изданию
Главы 1-5
Глава 6
Глава 8
Раздел
8.6
Глава 12
Глава 7
Глава 10
Раздел
12.3
джунглей ЬМ^Ха ! Я очень благодарен ей за помощь и за ее терпение
по отношению ко мне и всем моим исправлениям, новым вариантам
и исправленным исправлениям...
Блиндерн, январь 1998 г.
Бернт Оксендаль

Предисловие
к четвертому изданию
В этом издании я добавил некоторый материал, особенно
полезный для приложений, именно: теорему о представлении
мартингала (гл. IV), вариационные неравенства, соответствующие
задаче об оптимальной остановке (гл. X), и стохастическое управление
с терминальными условиями (гл. XI). Также включены решения и
дальнейшие указания к некоторым упражнениям. Более того,
доказательство и обсуждение теоремы Гирсанова были изменены с
целью сделать их более простыми для применения, например, к
экономике. И изложение в целом было исправлено на протяжении
всего текста, чтобы книга стала интереснее и полезнее для читателя.
Во время этой работы мне принесли большую пользу ценные
замечания многих людей, включая Кнута Аасе, Зигмунда Бернтсена,
Марка X. А. Дэвиса, Тушенга Занга, Виктора Даниеля Зурковски,
Тома Линдстрема, Тригве Нильсена, Пауло Руффино, Исаака Сай-
аса, Клинта Сковела, Сулеймана Устунела, Хельге Холдена, Южон-
га Ху, Кингуа Эанга и Яна Юбо. Всем им я благодарен за помощь.
Я отдельно благодарю Хокона Нихуса, который внимательно
прочитал значительную часть рукописи и предоставил мне
длинный список предложений по улучшению, а также много других
полезных замечаний.
И наконец, мне бы хотелось выразить благодарность Тове Мол-
лер и Дине Харальдссон за их высокий профессионализм при
наборе рукописи.
Осло, июнь 1995 г.
Бернт Оксендалъ

Предисловие
к третьему изданию
Это издание отличается от предыдущих прежде всего тем, что к
каждой из глав П-Х1 добавлены упражнения. Они служат для
того, чтобы помочь читателю лучше усвоить материал. Одни из
этих упражнений довольно стандартны и направлены на
иллюстрацию результатов, в то время как другие труднее и своеобразнее, а
некоторые служат и для углубления теории.
Я также продолжил работу над исправлением опечаток и
ошибок и улучшением изложения. Мне весьма помогли ценные
замечания и предложения Хокона Гьессинга, Марка X. А. Дэвиса, Торгни
Линдвалла и Хокона Нихуса. Всем им сердечное спасибо.
Весьма знаменательное нематематическое усовершенствование
состоит в том, что теперь книга набрана в ТеХе. Тове Лиеберг
проделала огромную работу по набору, и я очень благодарен ей за ее
усилия и безграничное терпение.
Осло, июнь 1991г.
Берпт Оксепдаль

Предисловие
ко второму изданию
Во втором издании я разбил главу о диффузионных процессах на
две новые главы VII и VIII. В главе VII изучаются только те
основные свойства диффузионных процессов, которые необходимы для
приложений в последних трех главах. Читатели, которые жаждут
как можно скорее приступить к изучению приложений, могут сразу
перейти от гл. VII к гл. IX, X и XI.
В главе VIII обсуждаются другие важные свойства
диффузионных процессов. Не являясь строго необходимыми для понимания
остальной части книги, эти свойства занимают центральное место
в современной теории стохастического анализа и существенны для
многих других приложений.
Я очень надеюсь, что эти изменения сделают книгу более
гибкой и удобной для разных целей. Я также постарался в некоторых
местах усовершенствовать изложение и исправил опечатки и
ошибки, о которых знал; надеюсь, что это произошло без появления
новых ошибок. Я благодарен за отзывы, которые получил о книге, и,
в частности, хотел бы поблагодарить Хенрика Мартенса за его
полезные замечания.
Тове Лиеберг потрясла меня тем, насколько быстро и
безошибочно был набран текст. Я хочу поблагодарить ее, а также Дину
Харальдссон и Тоне Расмуссен, иногда помогавших при наборе, за
их помощь и терпение.
Осло, август 1989 г.
Берпт Оксепдаль

Предисловие
к первому изданию
Эта книга основана на курсе лекций по стохастическим
дифференциальным уравнениям для аспирантов, который я читал в
Эдинбургском университете весной 1982 г. Никаких предварительных
знаний по этому предмету от слушателей не требовалось, но
изложение опиралось на некоторые факты из теории меры.
Существует несколько причин, по которым стоит больше
узнать о теории стохастических дифференциальных уравнений. Во-
первых, эти уравнения имеют широкий спектр приложений вне
математики. Во-вторых, существуют многие плодотворные связи
с другими математическими дисциплинами. И наконец, сам
предмет наполнен стремительно развивающейся собственной жизнью и
является увлекательной областью исследований со множеством
интересных неразрешенных вопросов.
К сожалению, в большинстве книг по стохастическим
дифференциальным уравнениям уделяется столько внимания строгости и
полноте изложения, что они отпугивают многих читателей, не
являющихся специалистами в этой области. Настоящие лекции
позволяют взглянуть на предмет с точки зрения неспециалиста,
задающего следующий вопрос: о чем нужно узнать прежде всего, начиная
изучать предмет и ничего не зная о нем заранее (кроме, быть может,
скудной обрывочной информации). Мой ответ был бы таков:
1) в каких ситуациях мы встречаемся с этим предметом;
2) каковы его основные отличительные черты;
^) каковы его приложения и связи с другими областями
математики.
Я бы не стал особенно интересоваться доказательствами
наиболее общих случаев, а скорее разобрал бы более простые
доказательства частных случаев, которые не менее полезны для понимания
идей. Я бы решился принять на веру некоторые основные
результаты (во всяком случае на первом этапе), чтобы оставить время
для более широкого круга приложений.

Предисловие к первому изданию 15
Эти лекции отражают именно такую точку зрения. Данный
подход позволяет подойти к основным моментам теории быстрее и
проще. Таким образом, можно надеяться, что эти лекции помогут
восполнить пробел в существующей литературе. Курс нацелен на то,
чтобы дать почувствовать вкус предмета исследований. Если
удастся пробудить первый интерес, то у читателя будет большой выбор
первоклассной литературы, позволяющей охватить всю теорию.
Некоторые работы перечислены в конце книги.
Во введении формулируется шесть задач, в решении которых
стохастические дифференциальные уравнения играют
существенную роль. В главе II вводятся основные математические сведения,
необходимые для строгого описания некоторых из этих задач и
позволяющие ввести понятие интеграла Ито в гл. III. В главе IV
развивается стохастический анализ (формула Ито), а в гл. V он
используется для решения некоторых стохастических дифференциальных
уравнений, в том числе и из первых двух задач введения. В
главе VI дается решение линейной задачи фильтрации (примером этой
теории служит задача 3 с использованием стохастического
анализа). Задача 4 — это задача Дирихле. Несмотря на то что это чисто
детерминированная задача, в гл. VII и VIII показывается, как
введение соответствующего диффузионного процесса Ито (т. е. решения
стохастического дифференциального уравнения) приводит к
простому, наглядному и полезному стохастическому решению,
являющемуся краеугольным камнем стохастической теории потенциала.
Задача 5 —это задача об оптимальной остановке. В главе IX при
помощи диффузионного процесса Ито описывается состояние игры
в момент времени I и решается соответствующая задача об
оптимальной остановке. Это решение использует такие понятия теории
потенциала, как обобщенное гармоническое продолжение,
порождаемое решением задачи Дирихле в гл. VIII. Задача б является
стохастическим вариантом классической задачи управления Ф. П. Рам-
сея, поставленной в 1928 г. В главе X формулируется общая задача
стохастического управления в терминах стохастических
дифференциальных уравнений и с помощью результатов гл. VII и VIII
ее решение сводится к решению (детерминированного) уравнения
Гамильтона—Якоби—Беллмана. В качестве иллюстрации решается
задача оптимального выбора портфеля.
После того как курс был впервые прочитан в Эдинбурге в 1982 г.,
его исправленные и расширенные версии были изложены в Агдер-
колледже в Кристиансанде и в университете Осло. Каждый раз
примерно половина слушателей состояла из «прикладников», а
другие были так называемыми «чистыми» математиками. Это плодо-

16 Предисловие к первому изданию
творное сочетание породило широкое разноообразие ценных
замечаний, за которые я очень благодарен. Я хотел бы выразить особую
благодарность К. К. Аасе, А. М. Дэви и Л. Чинку за
многочисленные полезные обсуждения.
Я хочу поблагодарить Совет по науке и технологиям
(Соединенное Королевство) и Норвежский совет по научным исследованиям
за финансовую поддержку. И я очень признателен Ингрид Скрам
из Агдер-колледжа и Ингер Престбаккен из университета Осло за
превосходный набор и за терпение к неисчислимым поправкам
рукописи в течение этих двух лет.
Осло, июнь 1985 г. Бернт Оксепдаль
Замечание. Главы VIII, IX, X первого издания стали главами IX,
X, XI второго издания.

Глава 1
Введение
Чтобы читатель мог убедиться в том, что стохастические
дифференциальные уравнения являются важным предметом
исследования, укажем задачи, в которых такие уравнения возникают и могут
быть использованы.
1.1. Стохастические аналоги классических
дифференциальных уравнений
Допуская, что некоторые коэффициенты дифференциальных
уравнений могут быть случайными величинами, мы можем зачастую
получить более реалистичекую математическую модель явления.
Задача 1. Рассмотрим простую модель роста популяции
= а(*)ЛГ(*), N(0) = Щ (константа), (1.1.1)
(И
где N{1) — размер популяции в момент времени ^, а а(1)—
относительная скорость роста в момент времени I. Может случиться, что
функция а{1) не известна полностью, а зависит от некоторых
случайных факторов среды, так что можно записать
а(1) = г{1) + «шум»,
где мы не знаем точного поведения члена, описывающего шум, а
знаем лишь его вероятностное распределение. Функция г(1)
предполагается неслучайной. Как решать уравнение (1.1.1) в этом случае?
Задача 2. Заряд С}(1) в момент времени I в фиксированной точке
электрической цепи удовлетворяет дифференциальному уравнению
Ь-(Э"{1)+К-С)'{1) + ^-Я{1)=Р{1),
<Э(0) = <2о, <2'(0) = /о, (1.1.2)

18 Глава 1. Введение
где Ь — индуктивность, Я — сопротивление, С —емкость, а Г(1) —
напряжение в момент I.
Здесь мы вновь можем столкнуться с ситуацией, когда
некоторые коэффициенты, скажем Р(1), не являются
детерминированными, а имеют вид
Р{1) = <?(*) +«нгум>. (1.1.3)
Как в этом случае решать уравнение (1.1.2)?
Вообще, уравнение, которое мы получаем, допуская, что
коэффициенты дифференциального уравнения могут быть
случайными величинами, называется стохастическим дифференциальным
уравнением. Более точно это понятие будет описано позже. Ясно,
что любое решение стохастического дифференциального уравнения
должно содержать элемент неопределенности, т. е. мы можем что-
то сказать лишь о вероятностных распределениях решений.
1.2. Задачи фильтрации
Задача 3. Предположим, что для того чтобы точнее оценить
решение, скажем, в задаче 2, мы проводим наблюдения 2(з) величины
(2($) в моменты времени з < I. Однако из-за неточностей в наших
измерениях мы не можем реально измерить (2(8), а получим лишь
возмущенный сигнал
2(з) = <2($) + «шум». (1.2.1)
Итак, в этом случае есть два источника шума, второй из которых
связан с ошибкой измерения.
Задача фильтрации состоит в следующем: определить,
какова наилучшая оценка величины (^(1), удовлетворяющей уравнению
(1.1.2), основанная на наблюдениях 2(з) из (1.2.1), где 5 < № На
интуитивном уровне проблема состоит в том, чтобы «отфильтровать»
шум из наблюдений оптимальным образом.
В 1960 г. Калман, а в 1961 г. Калман и Бьюси разработали
процедуру, которая теперь известна как фильтр Калмана—Бьюси. Эта
процедура позволяет оценивать состояние системы,
удовлетворяющей «зашумленному» линейному дифференциальному уравнению,
на основе использования ряда «зашумленных» наблюдений.
Почти сразу это открытие нашло применения в аэрокосмической
технике (полеты «Рейнджера», «Маринера», «Аполлона» и т. д.), и
теперь оно имеет широкий спектр приложений.

1.4. Оптимальная остановка 19
Таким образом, фильтр Калмана—Бьюси — пример недавнего
математического открытия, которое уже доказало свою
полезность,—и это не просто «потенциальная» полезность.
Это также и контрпример к утверждению, что «прикладные
математики — плохие математики», и к утверждению, что
«единственная реально полезная математика — это элементарная математика».
Фильтр Калмана—Бьюси — как и весь предмет стохастических
дифференциальных уравнений — базируется на современных и лучших
математических достижениях.
1.3. Стохастический подход
к детерминированным краевым задачам
Задача 4. Наиболее известный пример — это стохастическое
решение задачи Дирихле.
Дана (регулярная) область V в Кп, а также непрерывная
функция / на границе д\] области V'. Найти функцию /, непрерывную
на замыкании V области 17, такую, что
1) / = / на ас/,
И) / гармоническая в 17, т. е.
В 1944 г. Какутани доказал, что решение может быть
выражено в терминах броуновского движения (которое будет построено
в гл. 2): /(ж) есть математическое ожидание функции / в точке
первого выхода из II броуновского движения, начавшегося в точке
х еЕЛ
Так получилось, что это было лишь верхней частью айсберга:
для большого класса полуэллиптических уравнений с частными
производными второго порядка соответствующая краевая задача
Дирихле может быть решена с использованием случайного
процесса, который является решением некоторого стохастического
дифференциального уравнения.
1.4. Оптимальная остановка
Задача 5. Предположим, что некое лицо имеет активы или
ресурсы (например, здание, акции, нефть, ...), которые оно планирует

20 Глава 1. Введение
продать. Цена Хь его активов на рынке в момент времени I
меняется согласно стохастическому дифференциальному уравнению того
же типа, что и в задаче 1:
= г Х1 + аХ1 • «шум»,
сИ
где г, а — известные константы. Процентная ставка есть известная
постоянная д. В какой момент следует произвести продажу?
Мы предполагаем, что продавец знает поведение цены Х8 вплоть
до настоящего момента времени ^, но из-за шума в системе он,
конечно, никогда не может быть уверен в момент продажи, окажется
ли его выбор времени наилучшим. Итак, мы ищем стратегию
остановки, которая дает наилучший результат в будущем, т. е.
максимизирует ожидаемую выгоду продавца с учетом инфляции.
Это и есть задача об оптимальной остановке. Оказывается, ее
решение может быть выражено в терминах решения
соответствующей краевой задачи (задачи 4), в которой, однако, граница является
неизвестной (свободной); последнее обстоятельство
компенсируется удвоенным набором граничных условий. Решение также может
быть выражено с помощью вариационных неравенств.
1.5. Стохастическое управление
Задача 6 (задача оптимального выбора портфеля (об
оптимальном размещении ценных бумаг)). Предположим, что имеются две
следующие возможности для вложений.
(1) Рискованное инвестирование (например, акции), когда цена
Рх (I) за единицу активов в момент времени I удовлетворяет
стохастическому дифференциальному уравнению такого же типа, как в
задаче 1:
фх
= (а + а • «шум»)рх, (1.5.1)
сИ
где а > 0 и а — константы.
(и) Безрисковое инвестирование (например, боны), когда цена
Р2&) за единицу в момент времени I растет экспоненциально:
^-=ЬР2, (1.5.2)
аь
где Ь — константа, 0 < Ь < а.
В каждый момент I нужно делать выбор: какую часть щ средств
Хг поместить в рискованное инвестирование, а какую
(оставшуюся) часть {\--щ)Х1 — ъ безрисковое инвестирование. При заданных

1.6. Финансовая математика 21
функции полезности V и конечном времени Т проблема состоит в
определении портфеля щ Е [0,1], т. е. в нахождении распределения
инвестирований щ, 0 < I < Т, которое максимизирует ожидаемую
конечную выгоду Х^ :
ош%{Е[и(Х^)}}. (1.5.3)
1.6. Финансовая математика
Задача 7 (расчет опционов). Предположим, что в момент времени
I — 0 лицу из задачи б предоставляется право (но без обязательства)
купить одну единицу рискованных активов за фиксированную цену
К и в заданный будущий момент времени I — Т. Такая-возможность
называется европейским опционом. Как много следует ему
заплатить за такой опцион? Эта проблема была решена, когда Фишер
Блэк и Майрон Шоулс (1973) использовали стохастический анализ
и теорию равновесия, для того чтобы вычислить теоретическое
значение цены опциона (это знаменитая теперь формула Блэка—Шо-
улса). Данное теоретическое значение хорошо согласуется с
ценами, которые уже были установлены в качестве равновесных цен на
свободном рынке. Таким образом, этот результат представляет
собой триумф математического моделирования финансовой
деятельности. Он стал незаменимым инструментом в торговле опционами
и в других финансовых операциях. В 1997 г. Майрон Шоулс и
Роберт Мертон получили Нобелевскую премию в области экономики
за их работу, связанную с этой формулой. (Отметим, что Фишер
Блэк скончался в 1995 г.)
Мы вернемся к этим проблемам в последующих главах, после
того как разовьем необходимую математическую технику. Задачу 1
и задачу 2 мы решаем в гл. 5. Вопросы фильтрации (задача 3)
исследуются в гл. б, обобщенная задача Дирихле (задача 4) — в гл. 9.
Задача 5 решена в гл. 10, а задачи стохастического управления
(задача б) обсуждаются в гл. 11. В конце книги мы обсуждаем
приложения к финансовой математике.

Глава 2
Предварительные сведения
2.1. Вероятностные пространства,
случайные величины и случайные процессы
Сформулировав задачи, которые мы хотели бы решить, перейдем
теперь к определению разумных математических понятий,
соответствующих указанным величинам и математическим моделям задач.
Краткий первоначальный список понятий, нуждающихся в
математическом описании, таков:
1) случайная величина;
2) независимость;
3) параметризованные (дискретные или непрерывные) семейства
случайных величин;
4) «наилучшая» оценка в задаче фильтрации (задача 3);
5) оценка, «основанная» на наблюдениях (задача 3);
6) «шум»;
7) стохастическое дифференциальное уравнение.
В этой главе мы кратко обсудим понятия 1)-3). В следующей
главе будет рассмотрен вопрос б), который приведет нас к понятию
стохастического интеграла Ито 7). В главе б мы обсудим вопросы
4) и 5).
Математической моделью для случайного количества является
случайная величина. Перед тем как определить это понятие,
напомним некоторые общие понятия теории вероятностей. Дальнейшие
сведения читатель может найти, например, в книге ^УПНатз (1991).
Определение 2.1.1. Пусть П — заданное множество, тогда
а^алгебра на П есть семейство Т подмножеств множества П со
следующими свойствами:
(1) 0 € Т\
(и) Р € Т =4- Рс € Т, где Рс = П \ Р - дополнение множества
Р в П;
СЮ
(ш) АиА2,... е Т => А:= Ц Аг е Т.
1=1

2.1. Вероятностные пространства 23
Пара (П,^7) называется измеримым пространством.
Вероятностной мерой на измеримом пространстве (П, .Р) называется
функция Р: Т —> [0,1], такая, что
а) Р(0) = О, Р(П) - 1;
Ь) если Лх,^,... <Е Р и {Аг}^2.1 — непересекающаяся система
(т. е. А{ П А, = 0 при г ^ .;), /по
^ сю \ сю
\г=1 / г=1
Тройка (П, Р, Р) называется вероятностным пространством.
Вероятностное пространство называется полным, если Т
содержит все подмножества С множества Г} с Р-внешней мерой нуль,
т. е. такие подмножества, что
Р*(С) := 1пГ{Р(Р);Р € Т ,С С Р} - 0.
Каждое вероятностное пространство может быть сделано
полным добавлением к Р всех множеств внешней меры нуль и
продолжением меры Р соответствующим образом.
Подмножества Р множества VI, которые принадлежат семейству
Р, называются Т-измеримыми множествами. В вероятностной
терминологии эти множества называются событиями, и мы говорим,
что
Р(Р) = «вероятность того, что произойдет событие Р».
В частности, если Р{Р) = 1, мы говорим, что «Р произойдет
с вероятностью 1» или «почти наверное (п. н.)».
При любом заданном семействе Ы подмножеств множества Г}
существует наименьшая сг-алгебра Ни, содержащая К, а именно
Ни = Г){Н',Н есть сг-алгебра множества П, Ы С Н}
(см. упражнение 2.3).
Мы называем Ни о~-алгеброй, порожденной семейством Ы.
Например, если Ы есть набор всех открытых подмножеств
топологического пространства П (в частности, П = Кп), то В = Ни
называется борелевской а-алгеброй на VI, а элементы В Е В
называются борелевскими множествами. Алгебра В содержит все
открытые множества, все замкнутые множества, все счетные
объединения замкнутых множеств, все счетные пересечения таких счетных
объединений и т. д.

24 Глава 2. Предварительные сведения
Пусть (П,^7, Р) — заданное вероятностное пространство. Тогда
функция У: VI —> Ип называется Т-измеримой, если
у-\и) := {и е п-,У(и>) еЩеТ
для всех открытых множеств V (Е Кп (или, что эквивалентно, для
всех борелевских множеств V С Кп).
Если X: VI —> Кп — произвольная функция, то а-алгебра Их,
порожденная функцией X, есть наименьшая а-алгебра на VI,
содержащая все множества
Х~1(11), множества V С Кп открыты.
Нетрудно показать, что
пх = {Х-\В)-ВеВ},
где В — борелевская о-алгебра на Кп. Ясно, что функция X
является 7^х-измеримой, а %х есть наименьшая сг-алгебра, относительно
которой X измерима.
Приведем следующую полезную лемму, являющуюся частным
случаем результата, иногда называемого леммой Дуба—Дынкина
(см., например, М. М. Яао (1984), утверждение 3, с. 7).
Лемма 2.1.2. Если Х,У.& —> Кп — две заданные функции, то
функция У является Их -измеримой тогда и только тогда, когда
существует борелевская измеримая функция д: Кп —> Кп; такая,
что
У = 9(Х).
В дальнейшем будем считать, что (П, Т, Р) обозначает заданное
полное вероятностное пространство. Случайная величина X есть
^-измеримая функция X: VI —> Кп. Каждая случайная величина
порождает вероятностную меру цх на Кп, определяемую
равенством
цх{В)=Р{Х-\В)).
Мера 11х называется распределением величины X.
Если $ \Х(ш)\д,Р(и)) < оо, то число
п
Е[Х]:= (Х(ы)ЛР(ы)= ( хЛцх{х)
О. К"
называется математическим ожиданием величины X
(относительно Р).

2.1. Вероятностные пространства 25
Рассмотрим более общий случай: если функция /: Кп —> К
измерима по Борелю иЛ/(Х(и))\(1Р(и) < оо, то
п
Е[/(Х)] := I !(Х(и))йР{и) = | /(а^Ы*).
О К71
Математическая модель понятия независимости описывается
следующим образом.
Определение 2.1.3. Два подмножества А, В Е Т называются
независимыми, если
Р(ЛПБ) =Р(Л) -Р(В).
Набор Л = {7^г5 * € /} семейств Иг измеримых мпооюеств
называется независимым, если
Р{Щ1П---ПЩк)=Р{Щ1)---Р{Н1к)
для любого выбора Н^ Е И^, • • • , Нгк € 7^г^ с различными
индексами гь... ,г*А;.
Набор случайных величин {X^ г Е /} называется независимым,
если набор порождаемых ими а-алгебр Их{ является
независимым.
Если две случайные величины X,У: О —> К независимы, то
Е[ХУ] = Е[Х]ВД
при условии, что #[|Х|] < оо и #[|У|] < оо (см. упражнение 2.5).
Определение 2.1.4. Случайный процесс— это
параметризованный набор случайных величин
определенных на вероятностном пространстве (П,^7, Р) и
принимающих значения в Кп.
Множеством параметров Т обычно (как и в этой книге)
является полупрямая [0, оо), однако это также может быть и отрезок
[а, 6], множество неотрицательных целых чисел и даже
подмножества пространства Кп для п > 1. Отметим, что для каждого
фиксированного I Е Т мы получаем случайную величину
из —> Х1 (и), и Е О.
С другой стороны, фиксируя и Е Г}, мы можем рассмотреть
функцию
1->хь(и), гет,
которая называется траекторией процесса Хг.

26 Глава 2. Предварительные сведения
На интуитивном уровне может оказаться полезным
представлять себе I как «время», а каждую точку и — как индивидуальную
«частицу» или «эксперимент». При такой трактовке Х^ш)
описывает положение частицы (или результат эксперимента) и в момент
времени I. Иногда удобно писать Х(1,и) вместо Хг(и). Таким
образом, можно также рассматривать процесс как функцию двух
переменных
(г,и>)^Х(1,и>)
из Т х (] в Кп. Такой взгляд часто является естественным в
стохастическом анализе, потому что (как мы увидим) в нем существенна
измеримость Х(1,и) по совокупности переменных (1,и).
И наконец, отметим, что мы можем отождествить и с
функцией I —> Хь(и) из Т в Кп. Таким образом, можно трактовать П
как подмножество пространства П = (Кп)т всех функций из Т в
Кп. Тогда а-алгебра Т будет содержать а-алгебру В, порожденную
множествами вида
{ш\ ш(1\) € Р\,- • • ,и(1ъ) € Рк}> Рг С Кп — борелевские множества
(В — та же сг-алгебра, что и борелевская а-алгебра на Г} при Т =
[0,оо), если задать на й топологию произведения). Поэтому можно
принять точку зрения, что случайный процесс есть вероятностная
мера Р на измеримом пространстве ((КП)Т,В).
Конечномерные распределения процесса X = {Х^^-это
меры /^ь...,^, определенные на Кп/г, к — 1,2,..., формулами
/**!,...,** (*1 х^2 х---хРк) = Р[Х11 еРи--- ,х1к еРк], иет.
Здесь Р\,..., Ръ — борелевские множества в Кп.
Семейство всех конечномерных распределений определяет
многие (но не все) важные свойства процесса X.
Обратно, при заданном семействе {щи...,ьк\к Е 14,^ Е Т}
вероятностных мер на Кпк важно построить случайный процесс У =
{Уь}гет, имеющий ^ь...,**. своими конечномерными
распределениями. Одна из известных теорем Колмогорова утверждает, что это
можно сделать, если {^ь...,^} удовлетворяют двум естественным
условиям согласованности (см. ЬатрегИ (1977)).
Теорема 2.1.5 (теорема Колмогорова о продолжении). Пусть
Щи...,1к при всех *1,... ,2& Е Т, А; Е М, являются вероятностными
мерами на Кпк, такими, что
^(1Ь"-,^)(^1 Х'"Х^) = ^и-,ьЛК-Ц1) X -Х^-1(к)) (К1)

2.2. Важный пример: броуновское движение 27
для всех перестановок а на {1. 2,..., к} и
^,..,{,№х ••• х ••• х Рк)
= Ъи-Мъ+1,-,*ь+тп(Р\ х ••• х ?к х Кпх ••• хКп) (К2)
для всех га Е N. где (разумеется) прямое произведение в правой
части им,еет к -+- ?гг сомножителей.
Тогда существуют вероятностное пространство (П,^7, Р) и
случайный процесс {Х^} на П,Л^: П —> Кп; такие, что
щ,,...,*„ №х-хЩ = Р[Х(1 е ^, • • •, X,, е Щ
для всех {{ Е Т, к е N и всех борелевских множеств Р{.
2.2. Важный пример: броуновское движение
В 1828 г. шотландский ботаник Роберт Броун обнаружил, что
взвешенные в жидкости частицы пыльцы совершают нерегулярные
движения. Позднее эти движения были объяснены случайными
столкновениями с молекулами жидкости. Для того чтобы
математически формализовать это движение, естественно использовать
понятие случайного процесса Вь(ш), описывающего положение частицы
пыльцы и; в момент I. Мы несколько обобщим это явление и
рассмотрим его п-мерный аналог.
По теореме Колмогорова о продолжении для того чтобы
построить {Бг}г>о, достаточно задать семейство {^ь...,^} вероятностных
мер, удовлетворяющих условиям (К1) и (К2). Эти меры должны
быть выбраны так, чтобы они согласовывались с наблюдениями
поведения частиц пыльцы.
Зафиксируем х е Кп и определим
-п/2 ( \Х~У
р(г,х,у) = (2^)~п/~-ехР[ -1—^~ I для уекп,г>о.
Для 0 < 1\ < 1'2 < ■ • ■ < 1и определим меру ^ь...,^ на КпА:
соотношением
= / р(1их:х1)р(г2-^1,х^х2)---р^к-^к-1^хк^[,хк)(1х1 ■•■о1/хк,
(2.2.1)

28 Глава 2. Предварительные сведения
где мы используем обозначение о\у — в,у\ • • • 6,уь для лебеговой меры
и применяем условие р(0,х,у)о1у = 5х(у) (эта плотность
соответствует единичной точечной массе, сосредоточенной в точке х).
Распространим это определение на все конечные наборы
моментов ^, используя условие (К1). Так как / р(1,х,у)о1у — 1 для всех
К"
I > 0, условие (К2) выполняется, так что по теореме Колмогорова
о продолжении существуют вероятностное пространство (П,^7, Рх)
и случайный процесс {^}^>о на П, такие, что конечномерные
распределения величин 1$1 задаются условием (2.2.1), т. е.
РХ(В1, €Р1,-~,Вгы€Рк)
= / р(11,х,Х1)--р(1ь -1к-1,Хк-1,Хк)<1х1 ...<1хк. (2.2.2)
Определение 2.2.1. Процесс с конечномерными распределениями,
заданными условием (2.2.2), называется1 броуновским движением,
начинающимся в точке х (мы видим, что Рх(Во = х) = 1).
Броуновское движение, определенное таким образом, не
единственно, т. е. существуют несколько четверок (Б^П,^7, Рж), таких,
что выполняется условие (2.2.2). Однако для наших целей это не
важно; мы можем просто выбрать для работы любой вариант. Как
мы скоро увидим, траектории броуновского движения
непрерывны п. н. (или, более корректно, могут быть выбраны непрерывными
п. н.). Поэтому можно отождествить (почти каждый) элемент и е О*
с непрерывной функцией I —> Вь(и) из [0, оо) в Кп. Таким образом,
мы можем принять точку зрения, что броуновское движение есть
не что иное, как пространство С([0, оо), Кп), снабженное
некоторыми вероятностными мерами Рх (заданными соотношениями (2.2.1)
и (2.2.2)). Такой вариант называется каноническим броуновским
движением. Эта точка зрения не только более наглядна, но еще и
полезна для дальнейшего анализа мер на С([0, оо), Кп), так как
указанное пространство является польским (т. е. полным сепарабель-
ным метрическим пространством) (см. ЗЪгооск, УагайЬап (1979)).
Установим некоторые основные свойства броуновского
движения.
(1) Процесс В1 является гауссовским, т. е. для всех ^1,--- ,^, 0 <
*1 < "'• < *&» случайная величина 2 = (В^,... ,В1к) е Ипк
имеет (многомерное) нормальное распределение. Это означает,
1 Это один из вариантов определения броуновского движения.

2.2. Важный пример: броуновское движение 29
что существуют вектор М (Е Ипк и неотрицательно
определенная матрица С = [с^т] ^ Кпкхпк (цпкхпк есть множество всех
пк х пА;-матриц с действительными элементами), такие, что
Ех
ехр(г'^\^ ] =еxр^--^2и^с^ти^п + г^2и^М^ )
I ^ з=\ ' \ ^ з,т з '
(2.2.3)
для всех и — (щ,..., ипь) е Кп/г, где г = у/^Т есть мнимая
единица, а Ех обозначает математическое ожидание относительно
Рх. Более того, если выполняется условие (2.2.3), то
М = Ех[2] есть среднее значение величины 2, (2.2.4)
сзгп = ЕХ[(2Э- - М^)(2т - Мт)]
есть ковариационная матрица величины 2
(2.2.5)
(см. приложение А).
Чтобы убедиться, что равенство (2.2.3) выполняется для 2 —
(Б^,... ,Б^), вычислим явно левую часть, используя условие
(2.2.2) (см. приложение А), и получим соотношение (2.2.3), где
М = ЕХ[2] = (х,х,--- ,х) ЕЕ
пк
(2.2.6)
С
[1\1п 1\1п ••• ^^п")
1\1п 1^1 п *'• ^п
\1\1п ^п
1к1п)
Следовательно,
ЕХ[ВЬ] = х для всех I > О
(2.2.7)
(2.2.8)
(2.2.9)
Ех[(В1-х)2)=п1, Ех[(Вь-х)(В3-х)]=п-тт(з1).
Более того,
ЕХ[(ВЬ - В8)2] = п(г - з) при * > 5, (2.2.10)
так как
Ех[(Вг - В$)2] = Е*[(Вг - х)2 - 2(ВЬ - х)(В8 -х) + (Ва - х)2]
— п{1 — 2з + з) = п{1 — з), где I > з.

30 Глава 2. Предварительные сведения
(И) Процесс Вь имеет независимые приращения, т. е.
величины В^г, В12 — В^, • • • , Вьк — В{к_1 независимы
для всех *!,...,**, 0 < *1 < *2--- < **.(2.2.11)
Чтобы доказать это утверждение, используем тот факт, что
нормальные случайные величины независимы тогда и только
тогда, когда они некоррелированы (см. приложение А). Так что
достаточно доказать равенство
Ех[(Ви - Ви_х)(Вг. - Вг._х)] = 0, и < *,-, (2.2.12)
которое следует из вида матрицы С:
Ех[ВиВ^ — Ви_1ВЬ5 — Вь.ВЬ5_г + Ви_1В1^1]
= п(и - 1г~\ -и + и~\) = о.
Отсюда получаем, что величины В8 — Вь независимы
относительно Тг, если 5 > I.
(ш) Наконец, зададимся следующим вопросом: является ли
функция I —> Вь(и) непрерывной для почти всех и? В такой
формулировке вопрос не имеет смысла, потому что множество Н — {и;
функция I —> В^и) непрерывна} не измеримо относительно
борелевской сг-алгебры В на множестве (К")!0-00), упомянутом
выше (Н содержит в своем описании несчетное число
моментов I). Однако при небольшой модифицикации на поставленный
вопрос можно дать положительный ответ. Для этого нам
потребуется следующее важное понятие.
Определение 2.2.2. Пусть {Х^} и {У^} —случайные процессы на
($1, Т, Р). Мы говорим, что {Х1} есть версия (или модификация)
процесса {Уь}, если
Р({и;Х1(и) = У^и)}) = 1 для всех I.
Отметим, что если процесс Х% есть версия процесса Уь, то Х^
и Уь имеют одинаковые конечномерные распределения. Итак, если
принять точку зрения, что случайный процесс есть
вероятностный закон на
(В,п)[°.°°), два таких процесса одинаковы, хотя
свойства их траекторий могут быть разными (см. упражнение 2.9).
Вопрос о непрерывности броуновского движения может быть
разрешен с использованием другой известной теоремы
Колмогорова.
Теорема 2.2.3 (теорема Колмогорова о непрерывности).
Предположим, что процесс X = {Х^}^>о удовлетворяет следующему

Упражнения 31
условию: для всех Т > 0 существуют положительные константы
а,(3,Б, такие, что
Е[\Хг - Х3\а] <Б-\г- $|1+/3, 0 < 5, * < Т. (2.2.13)
Тогда существует непрерывная версия процесса X.
Доказательство содержится, например, в книге З&гооск,
УагайЬап (1979), с. 51.
Для броуновского движения Вь нетрудно доказать, что (см.
упражнение 2.8)
ЕХ[\ВЬ - В3\4} - п(п + 2)|* - з\2. (2.2.14)
Итак, броуновское движение удовлетворяет условию Колмогорова
(2.2.13) при а — 4, В — п(п + 2) и /3 = 1, и поэтому оно имеет
непрерывную версию. Всюду далее мы будем считать, что Вь и есть
такая непрерывная версия.
Наконец, заметим, что
если Вь = {В\ , • • • , В).71*) — п-мерное броуновское
движение, то одномерные процессы {.В^ }г>о, 1<
.;" <п, являются независимыми одномерными
броуновскими движениями. (2.2.15)
Упражнения
2.1. Пусть X: П —> К— функция, принимающая лишь счетное
число значений а\, а^,... <Е К.
а) Покажите, что X есть случайная величина тогда и только
тогда, когда
Х~\ак)еТ для всех к = 1,2,... (2.2.16)
Ь) Предположим, что справедливы включения (2.2.16).
Покажите, что
со
Е[\Х\] = ^2\ак\Р[Х = ак]. (2.2.17)
к=1
с) При выполнении включений (2.2.16) и при условии
1?[|Х|] < оо покажите, что
Е[Х\ = ^акР[Х=ак].
к=\

32 |7лава 2. Предварительные сведения
А) Покажите, что если имеют место включения (2.2.16), а
функция /: К —> К измерима и ограничена, то
Е[/(Х)] = ^Г/На,с)Р[Х=ак}.
к=1
2.2. Пусть X: П —> К —случайная величина. Функция
распределения Р величины X определяется формулой
Р(х) = Р[Х < х].
а) Докажите, что Р обладает следующими свойствами:
(О 0 < Р < 1, Нш Р(х) = 0, Нш Р(х) = 1;
х—>—со х—>со
(и) .Р является возрастающей (точнее, неубывающей);
(ш) Р непрерывна справа, т. е. Р(х) = Нтл^о Р(х + Л)-
Ь) Пусть функция #: К —> К измерима и ^[|^(Х)|] < оо.
Докажите, что
со
Е[д(Х)] = I д{х)ЛР{х),
где интеграл в правой части равенства понимается в
смысле Лебега—Стилтьеса.
с) Пусть р(х) > 0 —измеримая функция на К. Говорят, что
величина X имеет плотность р, если
X
Р(х) = / р(у)о1у для всех х.
— со
Таким образом, из соотношений (2.2.1)-(2.2.2) получаем,
что одномерное броуновское движение В1 в момент
времени I при Во = 0 имеет плотность
1 ( х2\
р(х) = —== ехр — — , хЕК.
у } ^ъГг \ 21)'
Найдите плотность величины В\.
2.3. Пусть {7^}^/— семейство сг-алгебр на П. Докажите, что
и = р|{^; *е ^
есть снова сг-алгебра.

Упражнения 33
2.4. а) Пусть X: О —> Кп —такая случайная величина, что
Е^[|Х|Р] < оо для некоторого р, 0 < р < оо.
Докажите следующее неравенство Чебышёва:
Р[\Х\ > А] < 1-Е[\Х\р] для всех А > 0.
(Указание. Воспользуйтесь неравенством §\Х\Р(1Р>
!\Х\р<1Р, где Л = {о;; |Х| > Л}.)
л
Ь) Предположим, что существует к > 0, такое, что
М - Е[ехр(*|Х|)] < оо.
Докажите, что Р[\Х\ > А] < Ме~кХ для всех А > 0.
2.5. Пусть X,У: О —> К —две независимые случайные величины.
Предположим для простоты, что X и У ограничены.
Докажите, что
Е[ХУ] = Е[Х]Е[У].
(Указание. Предположим, что \Х\ < М, \У\ < N. Аппрок-
т
СИМИруЙТе X И У ПРОСТЫМИ ФУНКЦИЯМИ (р(ш) = X] аг^Рг(и)^
г=1
п
Ф^) — ^2 Ъ^Ха^ш) соответственно, где Р{ — Х~х(\а{,а{+\)),
3 = 1
&з = У~1([Ъз,Ъз+1)), -М = а0 < <ц < ... < ат = М,
-ТУ = Ь0 < Ьг < ... < Ьп = N. Тогда
ВД » ЕМ - ^ а,Р(^), Д[У] » ЕЩ = ^ Ь,.р(С,-)
* з
и
Е[ХУ] к Е[у^] - 5; <цЬ,-Р(Р< П С,)... )
2.6. Пусть (П,^7, Р) — вероятностное пространство, и пусть
Лх, Л2,... — множества из Т, такие, что
со
^Р(Л*)<оо.
к=1
Докажите следующую лемму Бореля—Кантелли:
(со со \
П 1М* =<>'
га=1 к=т /

34 Глава 2. Предварительные сведения
т. е. вероятность того, что и принадлежит бесконечно многим
множествам А&, равна нулю.
2.7. а) Предположим, что С\, (7-2, -.., Сп — непересекающиеся
подмножества множества О, такие, что
п
О = У Сг.
г-\
Докажите, что семейство 0, состоящее из 0 и всех
объединений некоторых (или всех) С\,..., Сп, образуют
а-алгебру на П.
Ь) Докажите, что любая конечная сг-алгебра Т на О имеет
такую же структуру, что и сг-алгебра, описанная в п. а).
с) Пусть Т—конечная сг-алгебра на О, и пусть функция
X: О —> К является ^-измеримой. Докажите, что X
принимает лишь конечное число возможных значений, или,
более точно, что существуют семейство
непересекающихся подмножеств Р\,..., Рт Е Т и действительные числа
С1, •. • ,сш, такие, что
га
1=1
2.8. Пусть ^—броуновское движение на Е,Бо = 0. Положим
Е = Е°.
а) Докажите с помощью формулы (2.2.3), что
Е[е1иВг] = ехр ( --и21 ] для всех и е К.
Ь) С помощью разложения в степенной ряд экспонент из
обеих частей сравните члены с одинаковыми степенями
переменной и и докажите, что
Е{В$) = Ш2
и что вообще
Е № = 1пк' *€ "■
с) Если метод п. Ь) представляется недостаточно строгим, то
можно поступить следующим образом. Докажите, что из
условия (2.2.2) следует равенство
^[/(Б4)] = -^=//(а:)е-«Ас
К

Упражнения 35
для всех функций /, таких, что интеграл в правой
части сходится. Затем примените это равенство к функции
/(х) = х2к и используйте интегрирование по частям и
индукцию по к.
А) Докажите равенство (2.2.14), воспользовавшись,
например, п. Ь) и индукцией по п.
2.9. Для иллюстрации того факта, что одни (конечномерные)
распределения не дают всей информации о свойствах
непрерывности процесса, рассмотрим следующий пример.
Пусть (П,Т, Р) = ([0,оо),В,/х), где В обозначает борелев-
скую а-алгебру на [0,оо) и /х — вероятностная мера на [0, оо)
без масс в отдельных точках. Определим
/1, если г = и,
10 в противном случае
и
Уь{ш) = 0 для всех (1,и) Е [0, оо) х [0, оо).
Докажите, что {Х^} и {У^} имеют одинаковые распределения
и что Хь есть версия процесса У^. Тем не менее, функция I —>
Уь{оо) непрерывна для всех и, в то время как функция I —>
Хь{ц) разрывна для всех и).
2.10. Случайный процесс Хг называется стационарным, если {Хь}
имеет то же распределение, что и {Х^^} для любого к > 0.
Докажите, что броуновское движение Вь имеет стационарные
приращения, т. е. что процесс {2?н-л — #*}л>о имеет одно и
то же распределение для всех I.
2.11. Докажите утверждение (2.2.15).
2.12. Пусть Вь — броуновское движение. Зафиксируем ^о > 0-
Докажите, что процесс
Вь := ВЬо+ь ~ Вьо) * ^ 0>
является броуновским движением.
2.13. Пусть Вь— двумерное броуновское движение. Положим
Вр = {х е К2; \х\ < р) для р > 0.
Вычислите
Р°[Вг € Я,].

36 Глава 2. Предварительные сведения
2.14. Пусть Вь— п-мерное броуновское движение, и пусть
множество К С Кп имеет нулевую п-мерную лебегову меру.
Докажите, что ожидаемое полное время, которое Вь проводит
в К, равно нулю. (Из этого следует, что мера Грина,
соответствующая броуновскому движению Вь, является абсолютно
непрерывной относительно лебеговой меры (см. гл. 9).)
2.15. Пусть Вь есть п-мерное броуновское движение, начинающееся
в 0, и пусть VеКпхп — (постоянная) ортогональная матрица,
т. е. 1Л]Т — I. Докажите, что
Вь := 1/Вь
также является броуновским движением.
2.16. (Броуновское масштабирование.) Пусть Вь—одномерное
броуновское движение, а с > 0 — константа. Докажите, что
процесс
Вь := -ВС2Ь
с
также является броуновским движением.
2.17. Если Хь{-): О, —> К — непрерывный случайный процесс, то для
р > 0 процесс р-й вариации Х^, обозначаемый (X, Х)[р\
определяется формулой
(Х,Х)[р\ы) =дШпо ^ \Х1к+1(и)-Х1к(и)\р
(предел по вероятности),
где 0 = 1\ < 12 < . •. < 1п — * и А1к = 1к+\ - *ь В
частности, если р = 1, то этот процесс называется процессом
полной вариации, а если р = 2, то процесс называется процессом
квадратичной вариации (см. упражнение 4.7). Покажите, что
для броуновского движения Б( Е К процесс квадратичной
вариации есть просто
(В,В)1(и) = (В,В)?\ш)=Ъ п. н.
Для этого нужно поступить следующим образом,
а) Определите
АВк = ВЬк+1 - В1к
и положите
У(*,аО=Х>Д*М)2-
1к<1

Упражнения 37
Покажите, что
Е
(Е(дв*)2-')2
1к<1
= 2^(ДЫ2
Ьк<1
и У(1,-) -> * в Ь2(Р) при Агк -> оо.
Ь) С помощью п. а) докажите, что почти все траектории
броуновского движения не имеют ограниченной вариации на
[О,*], т. е. полная вариация броуновского движения
бесконечна п. н.

Глава 3
Интегралы Ито
3.1. Построение интеграла Ито
Перейдем теперь к вопросу о разумном математическом описании
«шума» в уравнении задачи 1 из введения:
— = (г(г) + «шум»)7У(*)
или, в более общем виде, в уравнениях вида
^ = ЬЦ,Х1)+а(1,Х{) ■ «шум», (3.1.1)
аъ
где Ъ и сг —некоторые заданные функции. Сначала остановимся на
случае, когда шум является одномерным. Естественно попытаться
найти какой-нибудь случайный процесс И^ для описания
возмущения, чтобы переписать уравнение в виде
^-=ЬЦ,Хь)+а(1,Х1)-т. (3.1.2)
аъ
Если исходить, например, из инженерного опыта, то одна из
возможностей выбора состоит в том, чтобы предположить, что И^,
в каком-то приближении, имеет такие свойства:
0) 1\ Ф 12 => ^1 и И^2 независимы;
(и) процесс {И^} является стационарным, т. е. (совместные)
распределения величин {И^+г,..., Ц^Ьь+ь) не зависят от 1\
(ш) Е[Щ] = 0 для всех I.
Однако оказывается, что «разумного» случайного процесса,
удовлетворяющего условиям (1) и (и), не существует, так как такой
процесс И^ не может иметь непрерывных траекторий (см.
упражнение 3.11). Если потребовать, чтобы выполнялось условие #[И^2] = 1,
то функция (1,ш) —> И^(сл;) не может быть даже измеримой
относительно сг-алгебры бх^7, где В есть борелевская сг-алгебра на [0, оо)
(см. КаШаприг (1980), с. 10).
Тем не менее, возможно представить И^ в виде некоторого
обобщенного случайного процесса, называемого процессом белого шума.

3.1. Построение интеграла Ито 39
Утверждение, что процесс является обобщенным, означает, что
он может быть построен как вероятностная мера на пространстве
5' обобщенных функций на [0, оо), а не как вероятностная мера
на существенно меньшем пространстве Ш0'00), подобно обычному
процессу (см., например, 1Ша (1980), АсИег (1981), Яогапоу (1982),
НЫа, Кио, РоиЬоЯР, ЗЪгеп; (1993) или НоЫеп, 0кзепс1а1,Ш>0е, 2Ьап§
(1996)).
Мы будем избегать подобных конструкций обобщенной
структуры и попытаемся переписать уравнение (3.1.2) в форме, в
которой И^ заменяется на некоторый регулярный случайный процесс.
Пусть 0 = #о < ^1 < • • • < $т = *• Рассмотрим дискретный вариант
уравнения (3.1.2):
Хк+1-Хк=Ь(гк,Хк)Агк+а(Ьк,Хк)1УкА*к, (3.1.3)
где
Х^ = Х(Ь,), ИЪ - Щк, А1к = 1к+1 - 1к.
Откажемся от обозначения \Ук и заменим \УкА1к на АУк = Угк+1 —
Уьк, где {У^ьуо — некоторый подходящий случайный процесс.
Допущения (1), (и) и (ш) о процессе И^ наводят на мысль, что процесс Уь
должен иметь стационарные независимые приращения с нулевым
средним. Оказывается, единственным таким процессом с
непрерывными траекториями является броуновское движение Вь (см. Кш^Ы;
(1981)). Так что мы полагаем V* = Вь и из (3.1.3) получаем, что
к-\ к-\
Хк = Х0 + 5>(^,Х,-)Д^ + 5>(*;> *;)**;■ (3.1.4)
.7=0 .7=0
Можно ли доказать, что предел правой части равенства (3.1.4) при
Д^ —> 0 существует в каком-либо смысле? Если да, то, применяя
обычные интегральные обозначения, мы получили бы равенство
I I
Хь = Х0+ [ъ(8,Х3)(18 + «[ о-(8,Х3)(Ш8» (3.1.5)
о о
и можно было бы считать, что уравнение (3.1.2) означает, что Хь —
Х1 (и) есть случайный процесс, удовлетворяющий условию (3.1.5).
Поэтому в оставшейся части этой главы мы докажем
существование в некотором смысле интеграла
I
« / /(з,и)<1В8(и)»,
о

40 Глава 3. Интегралы Ито
где В^и) — одномерное броуновское движение, начинающееся в
нуле, для широкого класса функций /: [0, оо) х П —> К. Затем, в гл. 5,
мы вернемся к решению уравнения (3.1.5).
Допустим, что 0 < 5 < Т и функция /(^,с^) задана. Нам нужно
определить
т
I /&и>)(1Вь(и>). (3.1.6)
5
Целесообразно начать с определения интеграла для простого
класса функций /, а затем расширить его посредством некоторой ап-
проксимационной процедуры. Итак, предположим сначала, что /
имеет вид
Ф&и) = 53е,-(и) ' %2-™,у+1)2-«)(*), (3-1.7)
где X обозначает характеристическую (индикаторную) функцию, а
п — натуральное число. Для таких функций естественно определить
интеграл следующим образом:
т
[ ф{ЬМ*В%{ч>) = 5>>)[В4.+1 -Вч]{ч>), (3.1.8)
где
(к2~п при 5<Ь2-П<Т,
1к = 4П) = < 5 при к • 2~п < 5,
[ Т при к • 2~п > Т.
Однако, как показывает следующий пример, без дальнейших
предположений о функциях е^(и) это определение приводит к
некоторым трудностям.
Здесь и в дальнейшем Е означает то же, что и Е°,
—математическое ожидание относительно вероятностного закона Р°
для броуновского двисисения, начинающегося в нуле, а Р означает
то же, что и р°.
Пример 3.1.1. Выберем две функции
фг(г,и) = ^2В^.2-П(и) • %2-«,«+1)2-«)(*)>
<Ы*,^) = 53В(Я-1)2-*Н -Лу.2-" ,Ц+1)2-« )(*)•
2>0

3.1. Построение интеграла Ито 41
Тогда
Е
I
о ] з>°
В1,(Вг.+1 - Вь.)
= 0,
так как процесс {В^ имеет независимые приращения. Но согласно
(2.2.10) мы имеем
т
Е
3>0
= Е*
3>0
Вь;+1 - (Вь.+1 - Ви)
(В^+1 - Вь.)
Т.
Итак, несмотря на то что обе функции ф\ и </>2 кажутся весьма
приемлемыми аппроксимациями для функции
/(*,и) = в4и,
интегралы этих функций, вычисленные по формуле (3.1.8), совсем
не близки друг к другу, независимо от того, сколь велико п.
Это различие отражает тот факт, что вариации траекторий
процесса В1 слишком велики для того, чтобы мы могли определить
интеграл (3.1.6) в смысле Римана—Стилтьеса. Действительно,
можно показать, что траектории I —> Вь броуновского движения нигде
не дифференцируемы почти наверное (п. н.) (см. Вгеттп (1968)).
В частности, полная вариация траектории бесконечна п. н.
Вообще естественно аппроксимировать заданную функцию
/(#,а;) выражением
ЕЯ*» •*[*„*,+,)('),
где точки I*- принадлежат отрезкам [^,^+1], и затем определить
т
интеграл //(2,о;)сШг(а;) как предел (в смысле, который будет объ-
5
яснен ниже) конечных сумм ]Г /(^,о;)[Б^.+1 — Вь^(и) при п —> оо.
з
Однако наш пример показывает, что, в отличие от интеграла
Римана—Стилтьеса, есть разница, какие точки № выбраны в
определении. Следующие два варианта выбора точек оказались наиболее
полезными:

42 Глава 3. Интегралы Ито
1) I* = ^ (левый конец отрезка); это приводит к интегралу Ито,
всюду далее обозначаемому
т
I Цг,и)йВь(и)-
8
2) I* гг (^ + ^+1)/2 (середина отрезка); это приводит к интегралу
Стратоновича, обозначаемому
т
8
(см. РгоМег (1990), теорема V. 5.30).
В конце этой главы мы объясним, почему указанные варианты
являются лучшими, и обсудим связи и различия между
соответствующими интегралами.
В любом случае, для того чтобы получить приемлемое
определение интеграла, нужно ограничиться специальным классом функций
/(1,ш) в (3.1.6), даже если они имеют частный вид (3.1.7). Здесь мы
рассмотрим вариант выбора ^ = ^-. Аппроксимационная
процедура, упомянутая выше, будет успешно реализована при условии, что
каждая из функций и -> /(1^,и) зависит лить от поведения
процесса В8(и) вплоть до момента времени 1^. Это свойство функции
/ приводит к следующему важному понятию.
Определение 3.1.2. Пусть В^(ьо) есть п-мерный броуновский
процесс. Определим Тг — Т\ как о -алгебру, порожденную
случайными величинами В8(-), 8 < I. Другими словами, Тг есть
наименьшая а-алгебра, содержащая все множества вида
где 1^ < I и Р^ С Кп — борелевские множества, ] < к = 1,2,...
(Предполагается, что все множества меры нуль включены в Ть.)
Систему множеств Тг часто представляют себе как «историю
процесса В8 вплоть до момента времени Ь>. Функция Н(и) является
^-измеримой тогда и только тогда, когда она может быть
представлена как поточечный предел почти всюду сумм функций вида
91{ВЬ1)д2{В12)...дк{ВЬк),
где д\,..., дь — ограниченные непрерывные функции и ^ < I при
2 < к, к = 1, 2,... (см. упражнение 3.14). На интуитивном уровне

3.1. Построение интеграла Ито 43
тот факт, что функция к является ^-измеримой, означает, что
значение величины Н(и), в принципе, может быть вычислено по
значениям процесса В8(и) при $ < I. Например, функция ^(и) = Вь/2(и;)
является ^-измеримой, в то время как /12(с*;) = В21{ьо) не является
таковой.
Отметим, что Т8 С Ть при 5 < I (т. е. {Ть} является
возрастающим семейством) и что Т% С Т для всех I.
Определение 3.1.3. Пусть {МЬ>о является возрастающим
семейством а-алгебр подмножеств множества П. Процесс
д(Ь,ш): [0,оо) х П —> Кп называется Л/*-согласованным, если для
каждого I > 0 функция
и -> д(1,и)
является ^-измеримой.
Таким образом, процесс П\(1,и) — Вь/2(и;) является
^-согласованным, в то время как Н2(2,^;) — В2Ь{и) не является таковым.
Теперь опишем класс функций, для которых интеграл Ито
определен.
Определение 3.1.4. Обозначим через V = У{5^Т) класс функций
1(1,и)\ [0,оо) х П -> К,
таких, что выполняются следующие условия:
(\) функция {Ь)Ш) —> /(#,^) является В х Т-измеримой, где В
обозначает борелевскую а-алгебру на [0,оо);
(п) функция /($,и) является ^-согласованной]
г
(ш) Е[Щг,и))2й1] < оо.
5
Интеграл Ито
Покажем, как для функций / Е V определить интеграл Ито
Т
5
где Вь — одномерное броуновское движение.
Будем следовать обычному способу рассуждений. Сначала
определим Х[ф] для простого класса функций ф. Затем покажем, что

44 Глава 3. Интегралы Ито
каждая функция / Е V может быть аппроксимирована (в
подходящем смысле) с помощью таких функций ф, и используем этот факт
для определения $ /с1В как предела / фд,В при ф —> /.
Теперь обсудим детали этого построения. Функция ф Е V
называется ступенчатой, если она имеет вид
ф(1,и) ^^е^и) • Х[ь;^+1)(1).
(3.1.9)
Отметим, что, так как ф Е V, каждая функция е^ должна быть
^-измеримой. Таким образом, в примере 3.1.1, приведенном выше,
функция ф\ является ступенчатой, а ф% — нет.
Для ступенчатой функции ф{1,и) определим интеграл по
формуле (3.1.8), т. е. положим
Т
ф(г,и)АВ%(и) = 5>М[В',-+1 ~ В'ЛИ- С3-1-10)
Отметим следующее важное свойство.
Лемма 3.1.5 (изометрия Ито). Если ступенчатая функция ф{1, и)
ограничена, то
Т т
I
/■
Е
2п
Е
■I
ф(г,и)2сН
ф(1,и)ЛВг(и)
8 ' 5
Доказательство. Положим АВ^ = ^+1 — В^. Тогда
(3.1.11)
Е[е^АВ^В^}
О
при г ф у,
ЕЩ]-(1з+1-Ь) при г = .?'
(здесь мы использовали тот факт, что е$е7-Д.В; и ДД, независимы
при г < ]). Таким образом,
Е
фЛВ
= ^Е^АВАВД = *Г1Е[е}} ■ (*,-+1 - *,-)
*,з
= Е
I
I
ф2аИ
П
Наша идея состоит в том, чтобы использовать изометрию (3.1.11)
для распространения определения со ступенчатых функций на
функции из множества V. Проделаем это в несколько этапов.

3.1. Построение интеграла Ито 45
Шаг 1. Пусть функция д Е V ограничена и функция д(-,и;)
непрерывна при каждом и. Тогда существуют ступенчатые функции
фп Е V, такие, что
Е
1
I (д-ФпУ
аИ
О при п —> оо.
Доказательство. Определим фп(1,и) — ]Г]<7(^,^) ' Х[ь^Ьз+1)(1)> То-
з
гда фп является ступенчатой функцией, так как д Е V, и
Т
(д — фп)2оИ —> 0 при п —> оо для каждого и,
5
так как функция д(-,(*)) непрерывна для каждого и. Следовательно,
Е[$(д — фп)2оИ] —> 0 при п —> оо в силу теоремы Лебега об ограни-
5
ченной сходимости. • □
Шаг 2. Пусть функция Н Е V ограничена. Тогда существуют
ограниченные функции дп Е V, такие, что функция дп(-,и)
непрерывна для всех и и п и
Т
Е
}(Ъ-9п):
аИ
->0.
Доказательство. Предположим, что |/г(^,а;)| < М для всех (1,ш).
Для каждого п определим неотрицательную непрерывную
функцию фп на К, такую, что
(1) фп(х) = 0 при х < -^ и х > О,
оо
(и) / фп(х)о1х - 1.
—оо
Определим
I
Тогда функция дп(-,и) непрерывна для каждого и и |<7П(*,^)| <
М. Так как Н Е V, можно показать, что функция дп(1,') является

46 Глава 3. Интегралы Ито
^-измеримой для всех I. (Это тонкое место; детальные разъяснения
можно найти, например, в книге КагаЪгаз, ЗЬгеуе (1991), с. 133.)
Более того,
т
/ (9п($,ш) — к(з,и1))2(1з —> О при п —» оо для каждого ш,
5
так как интегральное представление с ядром {фп} при п —> оо
является почти тождественным преобразованием (см., например,
НоЯтап (1962), с. 22). Итак, по теореме Лебега об ограниченной
сходимости
т
Е
[(к(1,и)-дп(1,и>))2<11
О при п —> оо,
что и требовалось доказать. □
Шаг 3. Пусть / 6 V. Тогда существует последовательность
{кп} С V, такая, что функция Нп ограничена для каждого п и
Т
Е
/(/-Лп)2
л
—> 0 при п —> оо.
Доказательство. Положим
Г —п, если /(Ь,ш) < —п,
кп(1,и) = < /(1,и), если — п < /(2,о;) < п,
I п, если /(2,^) > п.
Тогда утверждение следует из теоремы о монотонной
сходимости. □
Это рассуждение заканчивает аппроксимационную процедуру.
Теперь мы готовы завершить определение интеграла Ито
т
I /(Ь,и)<1Вь(и) для / <Е V.
5
Если / Е V, то с помощью шагов 1-3 мы выбираем ступенчатые
функции фп е V, такие, что
т
Е
||/-0п|
•щ
0.

3.1. Построение интеграла Ито 47
Затем определяем
1 1
1[/]М-"= 11&и)<1Вь{ш):= Ит [ фп(1,ш)йВь{и).
Этот предел существует как элемент пространства Ь2(Р), так как
т
в силу (3.1.11) функции {/</>п(^,о;)бШг(а;)} образуют последова-
5
тельность Коши в Ь2(Р).
Подытожим наши рассуждения следующим определением.
Определение 3.1.6 (интеграл Ито). Пусть / Е \?(5,Т). Тогда
интеграл Ито функции / (от 5 до Т) определяется равенством
Т т
I №,и)ЛВь(и) = Ит / фп{1,и)йВг(и) (предел в Ь2(Р)),
3 3
(3.1.12)
где {фп} есть последовательность ступенчатых функций, таких,
что
Е
1
О при п —> оо. (3.1.13)
Отметим, что в соответствии с описанными выше шагами 1-3
такая последовательность {фп}, удовлетворяющая условию (3.1.13),
существует. Более того, в силу (3.1.11) предел в (3.1.12) существует
и не зависит от конкретного выбора {фп}, если выполняется
условие (3.1.13). Далее, из (3.1.11) и (3.1.12) мы получаем такое важное
следствие.
Следствие 3.1.7 (изометрия Ито). Для всех / Е У(8,Т) имеет
место равенство
Е
1&и)*В1
21
Е
1
(3.1.14)

48 Глава 3. Интегралы Ито
Следствие 3.1.8. Если /(*,о;) € У(5,Г), /л(*,и) € У(5,Г) для п =
т
1,2,... и Е[^(/п(1,и) — /(1,и))2сИ] -» 0 при п -* оо, то
8
1 I
[/п(г,и)(1Вь(и)) -> [ 1(1,и)йВь(и) в Ь2{Р) при
8 8
Проиллюстрируем это утверждение примером.
Пример 3.1.9. Допустим, что Во = 0. Тогда
I
п —^ оо.
/
ВмВе = —ХЬ —^.
8 5 2 ' 2
Доказательство. Положим фп(з,и>) = 5Г^'(Ш) ' ^[«ь^+оС8)» гДе
В5=Вг.. Тогда
Я
У"(^„ - Б8)2сг5 = е\]Г I (в, - в$)Чз
3 ь
= ^ / (в - *;)<** - ^ ^(^+1 - I,)2 -> 0 при А*,- -> 0.
Отсюда согласно следствию 3.1.8 имеем
I I
В3(1В3= Иш фп(1В8= Иш У^В-АВ-
о о •?
(см. также упражнение 3.13). Далее,
А(В]) = В]+1 - В] = (В]+1 - В,)2 + 2В,-(В,-+1 - Я,-)
= (ДВ,-)2+2В,-ДВ,-,
и поэтому, так как ^?о — 0, мы получаем
В2 = ^А(В2) = ^(АБ,)2 + 2^Б,АБ„
^в^в.Лв2-1-^^)2
2 с 2
^ з
Поскольку ^(АБу)2 —» I в Ь2(Р) при А^- -» 0 (упражнение 2.17),
исходное равенство доказано. □

3.2. Некоторые свойства интеграла Ито 49
Дополнительный член — ^1 показывает, что стохастический
интеграл Ито не ведет себя как обычные интегралы. В следующей
главе мы выведем формулу Ито, которая объясняет результат,
полученный в этом примере, и облегчает вычисление многих
стохастических интегралов.
3.2. Некоторые свойства интеграла Ито
Сначала отметим следующие свойства.
Теорема 3.2.1. Пусть /,д <Е У(0,Г), и пусть 0 < 5 < V < Т.
Тогда справедливы такие утверждения:
Т и т
(\) / /сШг = / /сШг + //с?Д для почти всех и\
3 8 V
Т Т Т
(и) /(с/ -+- д)(1В1 — с - § /с1В1 + § дйВг (с — константа) для почти
3 3 3
всех ш\
(ш) Е[//т] = 0;
5
Т
(IV) интеграл $ /сШ^ является Тт-измеримым.
8
Доказательство. Ясно, что эти утверждения верны для
ступенчатых функций. Так что, переходя к пределу, получим, что они
справедливы для всех /, д Е У(0,Т). □
Важное свойство интеграла Ито состоит в том, что он является
мартингалом.
Определение 3.2.2. Поток (на (П,^7)) есть семейство М =
{•Мь}г>о а-алгебр Мг С Т, таких, что
0 < 5 < I => М3 С Мъ
(т. е. семейство {Л^} является возрастающим). Случайный
п-мерный процесс {М^}^>о на (П,^7, Р) называется мартингалом
относительно потока {М^ьуо (и относительно Р), если
выполнены следующие условия:
(\) М.1 является Мь-измеримым для всех I;
(и) Е[|Мг|] < оо для всех I;
(ш) Е[М8\Мь] — Мь для всех з > I.

50 Глава 3. Интегралы Ито
Здесь математическое ожидание в (И) и условное
математическое ожидание в (ш) берутся относительно Р = Р° (понятие
условного математического ожидания рассматривается в приложении В).
Пример 3.2.3. Броуновское движение Б^ в Кп есть мартингал
относительно сг-алгебр ^, порожденных семейством {В8;з < ^},
потому что
Е[\В1\]2<Е[\В1\2] = \В0\2+гИ
и если 5 > I, то
[Ва\Ъ) = Е[Ва-Вг+Вг\Ъ]
= Е[В8 - ВЬ\Ъ] + Е[ВЬ\Ъ] = 0 + Вь=Вь.
Здесь мы воспользовались тем, что Е[(В8 — В^Ть] = Е[В8 — В^ =
0, поскольку величины В8 — Б^ независимы от Ть (см. (2.2.11) и
теорему В.2 с!)), и учли то обстоятельство, что Е[Б^|^] = Б^, так
как величина Вь является ^-измеримой (см. теорему В.2 с)).
Для непрерывных мартингалов справедливо следующее важное
неравенство Дуба (см., например, З^гооск, УагасШап (1979),
теорема 1.2.3, или Кеуиг, Уог (1991), теорема II.1.7).
Теорема 3.2.4 (неравенство Дуба для мартингалов). Если М^ —
мартингал, такой, что функция I -* М^и) непрерывна п. н., то
для всехр > 1,Т > 0 и всех А > 0 выполняется неравенство
Р[ зир \МЬ\>Х]<^--Е[\МТ\Р].
0<1<Т ^
Теперь мы докажем с помощью этого неравенства, что интеграл
Ито
I
I ;(8,и)а1В3
о
может считаться непрерывным по I.
Теорема 3.2.5. Пусть /ЕУ(0,Т). Тогда существует
^-непрерывная версия интеграла
[ !{8,и)а1В8{и), 0 < * < Т,
о

3.2. Некоторые свойства интеграла Ито 51
т. е. существует 1-непрерывный случайный процесс Зь на
(П,^7, Р), такой, что
I
-I
/ав
— 1 для всех *, 0 < I < Т.
(3.2.1)
Доказательство. Пусть фп = фп(1,и) = ]Г)е^ (^)^г^п) *<п) ^(0 ~~
ступенчатая функция, такая, что
т
У (/ - Фп)2сН
о
—> 0 при п —> со.
Положим
/п(*,и) = / фп(з,и)<1Ва(и)
о
и
I
и = 1{1,и) = [ 1{8,и)о1В8{и), 0 < * < Т.
о
Тогда интеграл 1п(-,и) непрерывен для всех п. Более того, 1п(1,и)
является мартингалом относительно Т% для всех п:
Е[1п(з,и)\Ъ] = е\П фпо!В + I фпо1в)
Ъ
I
= [ фпо1В + е\ ^ е5П) АВАЪ]
о *<*5п)<4+)1^в
I
= У"0яЙВ + ^Е[Е[е5я)ДВ,-|^(п,]|^]
о з
I
о '
= [ фпйВ = /„(*, ш) (3.2.2)
при ^ < 5 (мы использовали теорему В.З и теорему В.2 (1).

52 Глава 3. Интегралы Ито
Следовательно, 1п — 1т также является .7^-мартингалом, так что
в соответствии с мартингальным неравенством (теорема 3.2.4) мы
имеем
зир |/п(*,^) -7т(*,ь>)| > е
Ю<ь<т
1
= -^Е
1
Фтп)2 = <&
< ^ ■ Д[|/„(2» - /т(1»|2]
—> 0 при га,п —> оо.
Поэтому можно выбрать подпоследовательность п& | оо, такую, что
Р[ зир \1Пк+1Ц,и)-1Пк(1,и)\>2-к]<2-к.
0<1<Т
По лемме Бореля—-Кантелли
Р[ зир \1Пк+1(1,из)—1Пк(1,из)\ > 2~*для бесконечно многих А;] = 0.
0<1<Т
Итак, для почти всех из существует к\(из), такое, что
зир \1п (1,и>) - 1Пк(*,и>)\ < 2~* для к > кх(из).
0<1<Т
Поэтому последовательность 1Пк(1,из) является равномерно
сходящейся при I Е [0,Т] для почти всех о;, и, таким образом, предел,
обозначаемый Л(^), является ^-непрерывным для I Е [0,Т] почти
наверное. Поскольку 1Пк(1,-) -> 1(1, •) в Ь2[Р] для всех I, мы с
необходимостью получаем, что
II = 31 п. н. для всех I Е [0,Т].
Это завершает доказательство. □
I
Далее мы всегда будем предполагать, что / /(з,из)(1В8(из) озна-
о
чает ^-непрерывную версию интеграла.
Следствие 3.2.6. Пусть /{1,из) Е У(0,Т) для всех Т. Тогда
I
Мь(ы) = [ ;(з,из)с1В3
о
является мартингалом относительно Ть и
т
Р[ зир \МЬ\>\] <ъ'Е\ //(*,")2Ж
, А,Т>0. (3.2.3)

3.3. Обобщения интеграла Ито 53
Доказательство. Это утверждение следует из (3.2.2),
^-непрерывности процесса Мг п. н., мартингального неравенства
(теорема 3.2.4) и изометрии Ито (3.1.14). □
3.3. Обобщения интеграла Ито
Интеграл Ито / /сШ может быть определен для более широкого
класса интегрантов /, чем V. Прежде всего, условие измеримости
(и) из определения 3.1.4 может быть ослаблено следующим образом.
(и)' Существует возрастаюшее семейство а-алгебр Нь, I > 0,
такое, что
а) Вь является мартингалом относительно %,
Ь) процесс /г является 7^-согласованным.
Отметим, что из а) следует, что Ть С Нь. Суть нашего
обобщения состоит в том, что можно допустить зависимость $1 от большего
разнообразия событий, чем события из ^, если только Вь остается
мартингалом относительно «истории» процессов /5, 5 < I. Если
выполняется условие (и)', то Е[В8 — В^Нь] = 0 для всех 5 > I, и если
мы тщательно исследуем наши рассуждения, представленные
выше, то увидим, что этого достаточно, для того чтобы, как и ранее,
произвести построение интеграла Ито.
Приведем наиболее важный пример ситуации, в которой
применимо условие (и)' (а условие (и) не применимо).
Предположим, что Вь{и) — В^(1,и) есть к-я координата
72-мерного броуновского движения (В\,..., Вп). Пусть Т\ — о-алгебра,
порожденная #1(51, •),•••, Вп(зп, •), $& < I. Тогда Вк(1,оо) есть
мартингал относительно Т\; , потому что приращения Вк(з, •) — Б&(^, •)
не зависят от Т^ при з > I. Таким образом, мы определили
//(з,и)с1Вк(8,и) для Т^ -согласованных интегрантов /(2,^). Эта
о
конструкция включает в себя такие интегралы, как
/ В2а1В1 или / зт(Б12 + В22) <Ш2,
содержащие несколько компонент п-мерного броуновского
движения. (Здесь мы использовали обозначение йВ\ — в,В\{1^и) и т.д.)
Этот подход позволяет определить многомерный интеграл Ито
следующим образом.
Определение 3.3.1. Пусть В — (В\,В2,..., Вп) —п-мерное
броуновское движение. Обозначим через У^хп(5, Т) множество

54 Глава 3. Интегралы Ито
тп х п-матриц у = [у^(1^ио)\, в которых каждый элемент у^(1,и)
удовлетворяет условиям (\) и (ш) определения 3.1.4 и условию (и)'
относительно некоторого потока И = {7^}г>о-
.Если г; 6 У$хп(5,Т), то (используя матричные обозначения)
определим
Т Т ( Уц
/«„ = /
\Ут1
как тп х 1-матрицу (вектор-столбец), г-я компонента
которой есть следующая сумма (обобщенных) одномерных интегралов
Ито:
п Т
Если Я = Т{п) = {^(п)}*>о, то мы пишем УШХП(5,Т), а если
т = 1, /по пишем У<^(5, Т) (соответственно Уп(5,Т)) вместо
У^Хп(5, Т) (соответственно У1хп(5, Т)). Положим также
упхп = у™хя(0,оо) - р| Утхп(0,Т).
Т>0
Следующее обобщение интеграла Ито состоит в ослаблении
условия (ш) определения 3.1.4 и замене его на условие
т
(ш)' Р
/л.,
о;)2ск < оо
1.
Определение 3.3.2. Через У\?и($,Т) обозначим класс процессов
/(^,^) е К, удовлетворяющих условию (I) определения ЗЛА и
условиям (и)', (ту. Аналогично тому, как вводилось обозначение для
V, мы полагаем УУ-н = П УУ*н(0,Т) и пишем в матричном случае
Т>0
>У^ХП(5, Г) и т. д. Если Н = ^(п), /по пишем \Ц(5,Т) вместо
УУ:Г(п)(5, Г) и т. д. В случаях, когда размерность ясна из
контекста, мы иногда будем опускать верхний индекс и писать Т вместо
Т^ и т. д.
Пусть Вг обозначает одномерное броуновское движение. Если
/ Е УУи-) т0 можно показать, что для всех I существуют ступенча-
I
тые функции /п Е >У#, такие, что /|/п — /|2^$ -»■ 0 по вероятно-
о
сти, т. е. по мере относительно Р. Для такой последовательности

3.3. Обобщения интеграла Ито 55
I
/ /п($,сл)сШ5 сходится по вероятности к некоторой случайной ве-
о
личине и предел зависит только от /, а не от последовательности
{/п}- Таким образом, можно определить интеграл следующим
равенством:
I I
[/(з,ы)<1Ва(и))= Нт [/п(з,ш)(1Ва(и) (3.3.1)
О О
(предел по вероятности) для / Е У^п-
Как и ранее, существует ^-непрерывная версия этого интеграла
(детали изложены в монографии Рпескпап (1975), гл. 4, или в
книге МсКеап (1969), гл. 2). Отметим, что этот интеграл, вообще
говоря, не является мартингалом (см., например, теорему Дадли
(теорема 12.1.5)). Однако он является локальным мартингалом (см.
Кага1газ, ЗЬгеуе (1991), с. 146, а также упражнение 7.12).
Сравнение интегралов Ито и Стратоновича
Вернемся к исходному вопросу этой главы. В соответствии с
нашей формализацией математическая трактовка уравнения с белым
шумом
^ = Ь(1,Хг)+а(!,Хь)-Щ (3.3.2)
состоит в том, что Хь есть решение интегрального уравнения
I I
ХЬ = Х0+ [ Ъ(8,Х8)а18+«1а(з,Х8)ЛВа> (3.3.3)
о о
при некоторой подходящей интерпретации последнего интеграла
в (3.3.3). Однако, как указано выше, определение Ито интеграла
I
« /(з,и))<1Ва(и)> (*)
о
реализует всего лишь одну из разумных возможностей. Другой
возможностью является, например, определение интеграла в смысле
Стратоновича, ведущее (вообще) к иному результату. Итак, все
же остается вопрос: какая трактовка интеграла (*) в (3.3.3)
дает «правильную» математическую модель для (3.3.2)? Покажем,
что определение Стратоновича в некоторых случаях может быть

56 Глава 3. Интегралы Ито
наиболее удобным. Выберем ^-непрерывно дифференцируемые
процессы В\п\ такие, что
, оо) при п —> оо
для почти всех оо равномерно (по I) на ограниченных интервалах.
Пусть X} (оо) для каждого оо есть решение соответствующего
(детерминированного) дифференциального уравнения
^=Ь(1,Хг)+о(1,Хг)^. (3.3.4)
Тогда Х\п\оо) сходится к некоторой функции Х^оо) в том же
смысле: Х^(оо) —> Х^оо) при п —> оо равномерно (по I) на
ограниченных интервалах для почти всех оо.
Оказывается (см. \Уоп§, 2ака1 (1969) и Зиззтап (1978)), такое
решение Хь совпадает с решением уравнения (3.3.3), если определить
интеграл в смысле Стратоновича, т. е.
I I
ХЬ=Х0+ [ Ь(з, Ха)йз + [ а(з, Х8) о сШ5. (3.3.5)
о о
Отсюда следует, что Х^ является решением следующего
модифицированного уравнения Ито:
I
Хь = Хо+ [ь(8,Х8)(18
+ ^[<т'(з,Ха)(т(8,Ха)<18 + [а(8,Х8)<1Ва, (З.З.б)
о о
где а' обозначает производную функции о>(1,х) по х (см.
81га1опоу1сЬ (1966)).
Поэтому при указанном подходе представляется разумным
пользоваться уравнением (З.З.б) (т. е. трактовкой Стратоновича), а не
трактовкой Ито
I I
ХЬ = Х0+ [ Ь(8, Х3)(18 + ( а(8, Х8)ЛВ8 (3.3.7)
о о
для модели исходного уравнения с белым шумом (3.3.2).
С другой стороны, особое свойство модели Ито «не заглядывать
в будущее» (как объясняется после примера 3.1.1) является
основанием для выбора в пользу определения Ито во многих случаях,

Упражнения 57
например в биологии (см. ТигеШ (1977)). Различие между двумя
трактовками иллюстрируется в примере 5.1.1. Отметим, что
уравнения (3.3.6) и (3.3.7) совпадают, если а(1,х) не зависит от х. Так
происходит, например, в линейном случае, исследуемом в задаче
фильтрации в гл. б.
В любом случае из-за явной связи (3.3.б) между двумя моделями
(и аналогичной связи для случая многих переменных (см. (6.1.3)))
обычно достаточно провести общее математическое исследование
для одного из двух типов интегралов. Можно сказать, что
интеграл Стратоновича обладает тем преимуществом, что его выбор
ведет к обычному правилу дифференцирования сложных функций
при преобразованиях (замене переменных), т. е. в аналоге формулы
Ито для интеграла Стратоновича отсутствуют вторые производные
(см. теоремы 4.1.2 и 4.2.1). Это свойство делает естественным
применение интеграла Стратоновича, например, в связи со
стохастическими дифференциальными уравнениями на многообразиях (см.
Ег*юг1Ьу (1982) или Псейа, \Уа1апаЪе (1989)).
Однако интегралы Стратоновича не являются мартингалами, а,
как мы убедились, интегралы Ито являются таковыми. Это
обстоятельство дает интегралам Ито важное преимущество при
вычислениях, даже если эти интегралы ведут себя не так хорошо при
преобразованиях (как показывает пример 3.1.9). Для наших целей
интеграл Ито наиболее удобен, так что всюду далее мы будем
пользоваться именно им.
Упражнения
Всюду, где не оговорено противное, Вь обозначает броуновское
движение в К, а Во = 0.
3.1. Докажите непосредственно из определения интеграла Ито
(определение 3.1.6), что
I I
I 8(Ш3 = 1ВЬ- / В3(18.
о о
(Указание. Заметьте, что
3 3 3

58 Глава 3. Интегралы Ито
3.2. Докажите непосредственно из определения интеграла Ито,
что
I I
[В28(1В8 = ^В1 - (В8йз.
о о
3.3. Пусть Х1'. VI -> Кп — случайный процесс. Обозначим че-
рез %1 — щ ' сг-алгебру, порожденную семейством {Х8(-);
(х}
з < 1} (т. е. семейство {щ }ь>о является потоком процесса
№Ьо).
а) Покажите, что если Хь является мартингалом
относительно некоторого потока {М}г>о, то Хь также
является мартингалом относительно своего собственного потока
Ь) Покажите, что если Хь — мартингал относительно щ , то
Е[ХЬ] = Е[Х0] для всех I > 0. (*)
с) Приведите пример случайного процесса Хь,
удовлетворяющего условию (*), который не является мартингалом
относительно своего собственного потока.
3.4. Проверьте, являются ли процессы Хь мартингалами
относительно {Ть}'.
(1) Хь = Вь + 4*;
(п) Хь = В*;
I
(ш) Хь = г2Вь-2$8В8<18'
о
(IV) Хь = В1(г)В2{1), где (В1(*),В2(*))—двумерное
броуновское движение.
3.5. Докажите непосредственно (без использования
примера 3.1.9), что
Мь = В\-1
есть .7^-мартингал.
3.6. Докажите, что Л^ = В\ — Ъ1В\ есть мартингал.
3.7. Рассмотрим известный результат Ито (1951 г.) — следующую
формулу для п-кратного интеграла Ито:
•'/•(/( / лв-Ув")
0<и1<-<=ип<1
= йВип=^Нп[^\ (3.3.8)

Упражнения 59
где Нп — полином Эрмита степени п, определяемый
формулой
Нп(х) = (-1)пе^-^(е-^)1 п = 0,1,2,...
(так что Но(х) = 1,Н\(х) ~ х, /12 (^) = х2 — 1, /гз(#) = #3 —3#).
а) Убедитесь, что в каждом из этих п интегралов Ито инте-
грант удовлетворяет требованиям определения 3.1.4.
Ь) Обоснуйте формулу (3.3.8) для п = 1,2,3, объединяя
результаты примера 3.1.9 и упражнения 3.2.
с) С помощью п. Ь) получите новое доказательство
утверждения из упражнения 3.6.
3.8. а) Пусть У — случайная величина на (Л, Т, Р), принимающая
вещественные значения и такая, что
Е[\У\] < оо.
Определим
Мь = Е[У\Ть1 г > 0.
Покажите, что М^ есть ^-мартингал.
Ь) Обратно, пусть М^, I > 0, — ^-мартингал с
вещественными значениями, такой, что
зир^[|М^|р] < оо при некотором р > 1.
Покажите, что существует случайная величина У Е Ь1(Р),
такая, что
М1 = Е[У\Т1].
(Указание. Используйте следствие С.7.)
3.9. Предположим, что / Е У(0,Т) и что функция I -> /($,(*))
непрерывна для почти всех и. Тогда, как мы показали,
I
I
/(*,а;)<Ш4(ы) = Дт^Д^ДЯ,- в Ь2(Р).
Аналогично определим интеграл Стратоновича от функции
/ по формуле
Т
У"/(*,^)ойВ4И==Дто^/(*;,а;)ДВ,-, где *; = ~(^ + *,-+1),

60 Глава 3. Интегралы Ито
если предел существует в Ь2(Р)- Эти интегралы, вообще
говоря, различны. Вычислите, например,
т
I В1ойВ1
о
и сравните результат с примером 3.1.9.
3.10. Если функция / в упражнении 3.9 изменяется «гладко» по I,
то интегралы Ито и Стратоновича этой функции совпадают.
Более точно, допустим, что существуют числа К < оо и е > О,
такие, что
Д[|/(*, •) - /(*, 012] < К\з -Ц1+е, 0<з,1<Т.
Докажите, что тогда
т
[ 1&и)йВг = дНто^/(^,о;)Д^ (предел в Ь\Р))
о ' з
при любом выборе ^ Е [^,^+1]. В частности,
т т
[ /(*,ш)<1В1= [ №,ы)от.
о о
(Указание. Рассмотрите
Я[|^/(^)Д^-^/(*>)Д^|].)
3 3
3.11. Пусть И^—случайный процесс, удовлетворяющий условиям
(1), (И) и (ш), приведенным на с. 38. Докажите, что И^ не
может иметь непрерывных траекторий.
(Указание. Рассмотрите
где
И^> = (-ЛГ) Ч^Л Щ), N = 1,2,3,...)
3.12. Как и в упражнении 3.9, обозначим дифференциал
Стратоновича через осШ^.
(1) С помощью формулы (3.3.6) преобразуйте следующие
дифференциальные уравнения Стратоновича в
дифференциальные уравнения Ито:

Упражнения 61
а) ЛХЬ = чХьд.1 + аХь о (Шь;
Ъ) (IXI = зтХ1 со$ХЬ(И + (I2 + созХ*) о йВь.
(и) Преобразуйте следующие дифференциальные уравнения
Ито в дифференциальные уравнения Стратоновича:
а) (IX\ = гХьаИ + аХьАВь;
Ь) ЛХЬ = 2е~хЧ1 + Х%йВь.
3.13. Случайный процесс Х^-): П —> К является непрерывным в
среднеквадратичном, если Е[Х2] < оо для всех I и
Иш Е[(Х8 - Хь)2] = О для всех I > 0.
а) Докажите, что броуновское движение Вь непрерывно в
среднеквадратичном.
Ь) Пусть /: К —> К — непрерывная липшицева функция, т. е.
существует константа С < оо, такая, что
1/0*0 - /Ы| < С|ж - у\ для всех ж, у Е К.
Докажите, что процесс
Уг ■= /(В4)
непрерывен в среднеквадратичном.
с) Пусть Х1 — непрерывный в среднеквадратичном
случайный процесс. Предположим, что Хь Е У(3,Т), Т < оо.
Покажите, что
т т
[хьа!В1= Ит [фп(1,и)о1Вь(и) (предел в Ь2(Р)),
5
где
Фп(1,и) = У^Х(п)(о/)Д'г (п) ,(п),(^)
Т<оо.
(Указание. Рассмотрите
Т ** + !
^Хг-фпЦ))2^] =ЕГ$2 I (Хь-Х1(_п))2(И .)
3.14. Покажите, что функция Н(и) является ^-измеримой тогда
и только тогда, когда Н является поточечным пределом (для
почти всех и) сумм функций вида
91(Вь1)-д2(Вь2)--'дк(Вьк),

62 Глава 3. Интегралы Ито
где #1,..., ди,— ограниченные непрерывные функции и ^ < I
при 2 < к, к — 1,2,...
(Указание. Выполните следующие шаги.
а) Вначале можно допустить, что функция к ограничена.
Ь) Для п = 1,2,... и з — 1, 2,... положим ^ = гу — ] • 2~~п.
При фиксированном п обозначим через %п сг-алгебру,
порожденную семейством {#гД-)Ь;<*- Тогда согласно
следствию С.9 выполняется равенство
к = ЕЩТь] = Ит Е[Н\Пп]
п—>оо
(поточечный предел почти всюду),
с) Определим Нп := Е[Н\Нп]. Тогда по лемме Дуба—Дынкина
(лемма 2.1.2) мы получаем
К{и) = Сп(В1х(ы),...,ВЬк{и))
для некоторой борелевской функции Сп:Кк -> К, где к =
тах!^';^' • 2~п <^}. Воспользуйтесь теперь тем, что любая
боре л ев екая функция С: Кк —> К может быть поточечно
(почти всюду) аппроксимирована непрерывной функцией
Г: Кк —> К, и завершите доказательство, применив
теорему Стоуна—Вейерштрасса.)
3.15. Предположим, что /, д Е У(5, Т) и что существуют константы
С, Б, такие, что
т т
С+ [ №,ш)<1В1{и>) = 0+ ( д(1,и)ЛВг(и)
8 8
для почти всех ш Е О.
Покажите, что
С = Б
и
/(*,") = $(*,")
для почти всех (^,^) Е [5, Т] х О.
3.16. Пусть X: П -> К —случайная величина, такая, что Е[Х2] <
оо, и пусть % С Т есть сг-алгебра. Покажите, что
Е[{Е[Х\Я])2] <Е[Х2].
(См. лемму 6.1.1; см. также неравенство Йенсена для
условного математического ожидания (приложение В).)

Упражнения 63
3.17. Пусть (П, Т, Р) — вероятностное пространство, и пусть
X: О -> К — такая случайная величина, что 1?[|Х|] < оо. Если
О С Т — конечная сг-алгебра, то согласно упражнению 2.7 су-
п
ществует разбиение П = [] С{, такое, что 0 состоит из 0 и
г=1
объединений некоторых (или всех) С\,..., Сп.
а) Объясните, почему Е[Х\0](и) постоянно на каждом С г
(см. упражнение 2.7 с)).
Ь) Пусть Р[С{] > 0. Покажите, что
Е[Х\д\{и) = ^ для и €(?*.
с) Предположим, что X принимает только конечное число
значений а\,..., ат. Тогда из элементарной теории
вероятностей известно, что (см. упражнение 2.1)
т
Е[Х\С{] = ^акР[Х = ак\С{].
Сравните это равенство с утверждением п. Ь) и убедитесь,
что
Е[Х\С{] = Е[Х\д]{ш) для ш е Сг.
Таким образом, можно рассматривать условное
математическое ожидание (оно определено в приложении В) как
(существенное) обобщение условного математического
ожидания, изучаемого в элементарной теории вероятностей.

Глава 4
Формула Ито и теорема
о представлении мартингала
4.1. Формула Ито для одномерного случая
Пример 3.1.9 показывает, что введенное в гл. 3 определение
интеграла Ито не очень эффективно для вычисления конкретных
интегралов. Это похоже на ситуацию с обычным интегралом Римана, когда
для непосредственных вычислений мы не пользуемся формальным
определением, а вместо этого используем основную теорему
анализа и правило дифференцирования сложных функций.
В наших построениях мы, однако, не получили теории
дифференцирования, а располагаем лишь теорией интегрирования. Тем
не менее, оказывается возможным получить вариант Ито
правила дифференцирования сложной функции, называемый формулой
Ито. Как будет показано на примерах, формула Ито очень полезна
для вычисления интегралов Ито.
В примере 3.1.9 было показано, что
I I
I В8а!В8=~^В2-^ или 1-В2ь = 1-г + I В8(1В8, (4.1 Л)
о о
I
откуда видно, что образ интеграла Ито В% = / с1В8 при отображе-
о
нии д(х) = \х2 не является снова интегралом Ито вида
I
/(з,и)<1В8(и),
о
а представляет собой комбинацию в,В8- и ск-интегралов:
I I
\в2ь= 1±4а + I ВаЛВ8. (4.1.2)
О О
Оказывается, если мы определим процессы Ито (также называемые
стохастическими интегралами) как суммы о1В8- и с?$-интегралов,
I
I

4.1. Формула Ито для одномерного случая 65
то это семейство интегралов будет инвариантным при гладких
отображениях. Итак, дадим определение.
Определение 4.1.1 (одномерный процесс Ито). Пусть Вь —
одномерное броуновское движение на (0,^, Р). Процесс Ито
(одномерный) (или стохастический интеграл) — это случайный
процесс Хь на (0,,Т,Р) вида
I I
Хь — Х0 + / и(з,и)с18 + [ ь(з,и>)(1Ва, (4.1.3)
о о
где V Е УУн — такая функция, что
I
Р
/ у($,и)2
^3,8 < оо для всех I > О
о
= 1 (4.1.4)
(см. определение 3.3.2). Мы также предполагаем, что функция и
является Нь-согласованной (где Нь —такое же семейство, как и
в п. (и)' разд. 3.3) и что
I
Р
/ \и(з,и;)\(18 < оо для всех I > О
о
1. (4.1.5)
Если Хь — процесс Ито вида (4.1.3), то уравнение (4.1.3) иногда
записывают в более краткой форме —в форме дифференциалов:
д,Хь =шЙ + шШ4. (4.1.6)
Например, равенство (4.1.1) (или (4.1.2)) можно переписать в виде
>04
а[ ^в2 ) = ^(И + въд.вь.
Теперь мы можем сформулировать первый из основных результатов
этой главы.
Теорема 4.1.2 (одномерная формула Ито). Пусть Х^ — процесс
Ито, задаваемый дифференциалом
йХь — исИ -Ь ув,Вь,
и пусть д(1,х) Е С2([0,оо) х К) (т. е. функция д дважды
непрерывно дифференцируема на [0, оо) х К). Тогда
Уь=д{г,Хь)

бб Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
снова есть процесс Ито и
где (с^)2 = {(1X1) • (б%) вычисляется по следующим правилам:
сИ-сИ = (И- д,Въ = сШ4 • Л = 0, сШ4 • йВ4 = ей. (4.1.8)
Перед тем как доказать формулу Ито, разберем несколько
примеров.
Пример 4.1.3. Вернемся к интегралу
I
1= [ в8ав8
о
из гл. 3. Выберем Х^ = Вь и д{1,х) = |ж2. Тогда
и по формуле Ито мы имеем
Щ = ^Л+|^^ + 10(^)2 = Вь0Вг + 1(<1Вг)2 = ВцШг + ^Л.
Следовательно,
Другими словами,
как и в гл. 3.
Л ( ^вА = ВгйВг + 1<Й.
±В* = ]в.АВ. + \ь,
Пример 4.1.4. Чему равен интеграл
зйВя ?
о
Из классического анализа естественно предположить наличие
члена 1В1, так что положим
д{1,х) = ^ж

4.1. Формула Ито для одномерного случая 67
и
Г4=0(*,В4) = *В4.
Тогда по формуле Ито
йУь = ВЬ(И + ЫВЬ + О,
т. е.
й(1Вь) = ВЬ(И + ЫВЬ,
или
о о
что можно переписать как
1ВЬ = / В8йз + / зйВ8,
о о
ь как
I I
I зйВ8 =1ВЬ- В8Лз,
о о
а это равенство соответствует интегрированию по частям.
В более общем случае тот же подход приводит к следующей
теореме.
Теорема 4.1.5 (интегрирование по частям). Предположим, что
функция /(з,и) = /($) зависит лишь от з и что / непрерывна
и имеет ограниченную вариацию на [0,*]. Тогда
г г
I }{з)йв8^}{г)в1-1 в8й}8.
Отметим, что условие «/ не зависит от о;» здесь существенно.
(См. упражнение 4.3).
Схема доказательства формулы Ито. Сначала заметим, что если
подставить равенство
йХ1 — и<И + уйВь
в (4.1.7) и использовать (4.1.8), то мы получим эквивалентное
выражение
I
д(1,Х1) = д(0,Хо)+1(^(з,Х8)+и3^(з,Х8) + ^ь28-^(з,Х$)Уз
О
I
Iу$-^(з,Х3)<1В8, (4.1.9)
I
+
О

68 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
где и8 — и{з,ш), у8 — у{з,и). Отметим, что (4.1.9) есть процесс Ито
в смысле определения 4.1.1.
Можно допустить, что функции д, -т^, -^ и ~ф ограничены, так
как если доказать равенство (4.1.9) для этого случая, то общий
случай можно получить с помощью аппроксимации функции д
функциями дп класса С2, такими, что дп, -Цр, -^ и -^- ограничены для
каждого п и равномерно сходятся на компактных подмножествах
множества [0,оо) хЕк^,-^,^, ^§ соответственно (см.
упражнение 4.9). Более того, из формулы (3.3.1) видно, что функции и{1,и)
и у{1,ш) можно считать ступенчатыми. Используя разложение
Тейлора, получаем
3
3 3
3 3
3 3
где ||, |^ и т. д. вычисляются в точках {1^,Х15),
Д^- = ^+1 - ^-,
а Ну = о(|А^-|2 -Ь |АХ^|2) для всех ].
Если А^- -> 0, то
I
Е %^ = Е %Ь,Х5)Ы5 -> / ^{з,Х.)<Ь, (4.1.10)
3 3 О
I
Е %^ = Е ^Ь,Х,)*Х, -> / |(.Д.№. (4.1.11)

4.1. Формула Ито для одномерного случая 69
Более того, поскольку и и у являются ступенчатыми функциями,
мы получаем, что
3 3 3
где г^- = и{1^,и), у^ = у{1^,и). Здесь первые два члена стремятся
к 0 при Д^- —>• 0. Например,
Е|1«^(д*>)(д^)
<9:г
Е*[(1М
2л
(А^)3 -> 0 при А^- -> 0.
Мы утверждаем, что последний член стремится к
I
I
&9
Эх2
ь2(1з в Ь2(Р) при Дг,- -*• 0.
Для того чтобы доказать это утверждение, положим
я2
а{1) = ^§(г,Х4)гг(^,ш), о,- = а(^) и рассмотрим
Е
= 5>[а^((ДД)2 - Д*<)((Д^-)2 - Д*,-)]-
г,3
Если г < у, то величины а^а^АВ^2 - А^) и (АВ^)2 - А^-
независимы, так что соответствующие члены обращаются в нуль. То же

70 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
самое верно, если г > у. Таким образом, остается сумма
3
= ^ Е[а)) • Е[(АВ3)4 - 2(ДВ,-)2Д«; + (Д<,)2]
3
= ]Г>[а2] ■ (3(Д«,-)2 - 2(Д^)2 + (Д^)2)
3
= 2]ГЕ[а2]-(Д^)2^0
при А^- -> 0. Другими словами, мы установили, что
I
]Га,(А#,)2 -> / а($)Ж? в Ь2(Р) при А^- -> 0;
' о
часто это кратко выражается замечательной формулой
{(1ВЬ)2 = Л. (4.1.13)
Из приведенных выше рассуждений следует также, что Х^й? -> 0
при А^- —>• 0. Это завершает доказательство формулы Ито. П
Замечание. Отметим, что для справедливости теоремы
достаточно, чтобы функция д(1,х) принадлежала классу С2 на [0, оо) х 17,
где V С К —открытое множество, такое, что Хь(и) Е V для всех
I > 0, и Е П. Более того, достаточно, чтобы функция д(1,х)
принадлежала классу С1 по I и классу С2 по х.
4.2. Многомерная формула Ито
Теперь обратимся к случаю большей размерности. Пусть В{1^и) —
(Вх^^и),..., Вт(1,и)) обозначает т-мерное броуновское движение.
Если каждый из процессов щ{1,ш) и у^{1,ш) удовлетворяет
условиям, заданным в определении 4.1.1 (1 < г < п, 1 < ] < га), то можно
построить следующие п процессов Ито:
{йХх - их(И + УцйВх -\ 1- у1гп(1Вт,
: : : (4.2.1)
(1ХП = ипсИ + Упх^Вх -\ 1- уптд,Вт,
или, в матричной форме,
ах (г) = ийг + ™ш(*), (4.2.2)

4.2. Многомерная формула Ито 71
где
х(г)
\Хп(*))
/уп •••
и =
/«л
\ип/
Уъ
<Ш(Ь) =
(ЛВх{Ь)\
\йВт{1))
(4.2.3)
Такой процесс Х{1) называется п-мерным процессом Ито (или
просто процессом Ито).
Теперь зададимся вопросом, каков результат гладкого
преобразования процесса XI Ответ дается следующей теоремой.
Теорема 4.2.1 (формула Ито для общего случая). Пусть
(IX {I) = шЙ + ™Ш(*)
— п-мерный процесс Ито (определенный выше), и пусть д{1,х) —
(д1(1,х),... ,др(1,х)) — отображение класса С2 из [0, оо) х Кп вКр.
Тогда процесс
У{1,ш)=д{1,Х{1))
снова является процессом Ито, к-я компонента У& которого
задается формулой
дХг
г,3
где 6,В{6,В^ — 8^6,1, 6,В{6,1 = сИЗВ^ = 0.
Доказательство аналогично доказательству для одномерного
случая (теорема 4.1.2) и поэтому опускается.
Пример 4.2.2. Пусть В = [В\,..., Вп) —броуновское движение
в Кп, п > 2. Рассмотрим процесс
К(1,ш) = \В(1,си)\ = (В21(1,ш) + --- + В2п(г,си))К
т. е. расстояние от В{1,ш) до начала координат. Функция д{1,х) —
\х\ не принадлежит классу С2 в нуле, но, поскольку Вь никогда не
попадает в начало координат п. н. при п > 2 (см. упражнение 9.7),
формула Ито все же применима и мы получаем
Ж
г=1
ВгйВг П
+
1
Я
2Е
(И.

72 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
Процесс Я называется п-мерным процессом Бесселя, потому что
его производящий оператор (гл. 7) является дифференциальным
оператором Бесселя: А/(х) = \$"(х) + Ц^/'(х) (см. пример 8.4.1).
4.3. Теорема о представлении мартингала
Пусть В{1) — {В\{1),... ,Вп(1)) —п-мерное броуновское движение.
В главе 3 (следствии 3.2.6) мы доказали, что если у Е Уп, то
интеграл Ито
I
Хь = Х0 + / у(з,и)(1В(з), I > О,
о
всегда является мартингалом относительно потока Т± (и
относительно вероятностной меры Р). В этом разделе мы докажем, что
обратное тоже верно: любой Т\п -мартингал (относительно Р)
может быть представлен в виде интеграла Ито. Этот результат,
называемый теоремой о представлении мартингала, важен во многих
приложениях, например в финансовой математике (см. гл. 12). Для
простоты мы докажем его для случая, когда п = 1, однако читатель
может без труда убедиться, что по существу то же доказательство
проходит и для произвольного п.
Сначала установим некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 4.3.1. Зафиксируем Т > 0. Множество случайных
величин
{ф(в1г,...,в1пу: и е[о:т]:феС%°(кп),п = 1,2,...}
плотно в Ь2{Тт,Р)-
Доказательство. Пусть {^}^:1 — плотное подмножество отрезка
[0,Г], и пусть для каждого п = 1,2,... система подмножеств %п
является сг-алгеброй, порожденной Б^(-),... ,Б^п(-). Тогда
понятно, что
*Нп С Ип+1
и что Тт есть наименьшая сг-алгебра, содержащая все Нп. Выберем
д Е Ь2{Тт,Р)' Тогда по теореме о сходимости мартингалов
(следствие С.9 приложения С) получаем
д = Е[д\Тт\= Ит Е[д\Пп].

4.3. Теорема о представлении мартингала 73
Предел является поточечным (Р)-почти всюду в И2{Тт,Р)- В силу
леммы Дуба—Дынкина (лемма 2.1.2) можно записать, что для
каждого п существует такая измеримая по Борелю функция дп: Кп —>
К, что
Е[д\Нп)=дп(В111...1В1п).
Каждая такая функция ^П(Б^,... ,Вьп) может быть
аппроксимирована в Ь2{Тт,Р) функциями фп(В111..., Дп), где фп Е Со°(Кп).
Лемма доказана. □
Лемма 4.3.2. Линейная оболочка случайных величин вида
т т
ехр < / Н(1)д,В1{и) — —
о о
где /КЕЬ"[0,Т] [детерминированная функция), (4.3.1)
плотна в Ь2 (Г?, Р).
Доказательство. Предположим, что функция д Е Ъ2{Тт,Р)
ортогональна (в Ь2{Тт,Р)) всем функциям вида (4.3.1). Тогда, в
частности,
С(А) := [ехр{Х1В11(и;) + ••• + \пВ1п(ы)}д{ы)(1Р{и) = 0 (4.3.2)
п
для всех А = (Ах,..., Ап) Е Кп и всех 1\,... ,1п Е [0,Т]. Функция
С (А) является вещественной аналитической по А Е Кп, и,
следовательно, С имеет аналитическое продолжение на комплексное
пространство Сп, задаваемое выражением
0(г) = I ехр{гцВ41 ((*)) + ••- + гпВЬп{и)}д{и)(1Р(и) (4.3.3)
п
для всех г — {г\,..., гп) Е Сп (см. упражнение 2.8 Ь)). Так как С —О
на Кп и С — аналитическая функция, С = 0 на Сп. В частности,

74 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
С(гу1, гЧ/2, • • •, г'г/п) = ° Для всех У = (ш > • • • > 2/п) € Кд Но тогда для
0 Е Со°(Кп) мы получаем, что
1ф(В*1,...,В*п)д(и>)ЛР(и>)
п
= /(27г)-п/2[ /0Ыег^1Б<1+'+^Б^^у^Н^Р(а;)
= (2тг)-/2 I ф(у)С(гу)с1у = 0, (4.3.4)
где
ф(у) = (2тг)~п/2 [ ф(х)е-{хЧх
обозначает преобразование Фурье функции ф. (Мы воспользовались
теоремой об обратном преобразовании Фурье ^*^\
ф(х) = (2тг)-/2 I ф(у)е{хУс1у
(см. ГоИапа (1984)).)
В соответствии с равенством (4.3.4) и леммой 4.3.1 функция д
ортогональна плотному подмножеству в Ь2{Тт,Р), следовательно,
д = 0. Поэтому линейная оболочка функций в (4.3.1) должна быть
плотной в Ь2{Тт-> Р), что и требовалось доказать. □
Предположим, что В{1) = {В\ (I),..., Вп{1)) — п-мерное
броуновское движение. Если у(з,и) Е Уп(0,Т), то случайная величина
т
У(ш):= [ у{г,ш)(1В(г) (4.3.5)
о
является Ту -измеримой, и в силу изометрии Ито
т
Е[У2}= [ Е\ь(г,-)\2(И<оо, так что УеЬ2(^п\Р).
о
Следующий результат утверждает, что любая функция Ре
Ь2{Тт ,Р) может быть представлена таким образом.

4.3. Теорема о представлении мартингала 75
Теорема 4.3.3 (теорема о представлении Ито). Пусть Р Е
Ь2(Г^\Р). Тогда существует единственный случайный процесс
/(*,а;)еУп(0,Т); такой, что
Т
Р(и) = Е[Р] + [ Ц1,и)йВ{!). (4.3.6)
о
Доказательство. Снова рассмотрим лишь случай п = 1 (общий
случай доказывается аналогично). Допустим сначала, что Р имеет
вид (4.3.1), т. е.
т т
Р(и) = ехр | /\{1)<1Вь{и) - ]- ( Н2{1)аи\
о о
для некоторой функции к(1) Е Ь2[0,Т].
Определим
ь ь
УгН=ехр| IН{8)а1В8{и)-]- IЛ2(«)аЛ, 0 < I < Т.
о о
Тогда по формуле Ито получим
йУь = Уь{Н{1)а1Вь - ^Л2(*)Л) + 1уь(Ц1)<1Вь)2 = УьЩЛВи
так что
уь = 1+ [ум*)4В8, ге[о,т\.
о
Поэтому
т
Г = УТ = 1+ [У5Н(8)о!В51
о
и, следовательно, Е[Р] = 1. Итак, в этом случае представление
(4.3.6) имеет место. В силу линейности формула (4.3.6) также
справедлива для линейных комбинаций функций вида (4.3.1). Так что
если функция Р Е Ь2(Тт,Р) произвольна, то мы аппроксимируем
Р в Ь2(Тт,Р) линейными комбинациями Рп функций вида (4.3.1).
Тогда для каждого п получаем
т
Рп(и) = Е[Рп] + [ /п(з,и)<1В8(и>),

76 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
где /п Е У(0,Т). В силу изометрии Ито
т
Е[(РП ~ Рт)2] =е\{Е[Рп ~ Рт] + А/п - 1т)Щ2
О
Т
= (Е[РП - Рт})2 + I Е[(/п - {т)2](И -> О при п, т -> оо,
о
так что {/п} является последовательностью Коши в 1/2([0, Т] х П), и,
следовательно, она сходится к некоторой функции / Е Ь2([0, Т] х Л).
Так как /п Е У(0, Т), мы заключаем, что / Е У(0,Т).
(Подпоследовательность {/п(1,и)} сходится к /(^,с^) для почти всех (2,^) Е
[0,Т] х П. Поэтому функция /(^, •) является ^-измеримой для
почти всех I. Таким образом, изменяя функцию /(^,с^) на ^-множестве
меры 0, мы можем добиться, чтобы она стала ^-согласованной.)
Вновь используя изометрию Ито, мы видим, что
т т
р= Нт Рп = Ит (е[Рп] + [/п*в) = Е[Р] + [;<1В,
п—>оо п—>оо \ ] / )
О О
где предел берется в Ь2{Тт^Р)- Следовательно, представление
(4.3.6) имеет место для всех Р Е Ь2{Тт^Р)-
Единственность следует из изометрии Ито. Допустим, что
т т
Р{ш) = Е[Р] + У/1(*,")ЛВ*М - Е[Р] + У/2(*,и)ДВ4М
о о
для /Ь/2Е У(0,Т). Тогда
0 = Е
1
1
ЕШ*,ь>)-Ы*,и))2№,
и поэтому /1(^,0;) = /2(*,сл;) для почти всех (^,^) Е [0,Т] х П. □
Замечание. Процесс /(^,с^) может быть выражен в терминах
производной Фреше, а также в терминах производной Малевэна
функции Р(и) (см. С1агк (1970/71) и Осопе (1984)).

4.3. Теорема о представлении мартингала 77
Теорема 4.3.4 (теорема о представлении мартингала). Пусть
В{1) — (В\(1), • • • ,ВП(1)) является п-мерным броуновским
движением, М1 является Т\п -мартингалом [относительно Р) и
Мь Е Ь2(Р) для всех I > 0. Тогда существует единственный
случайный процесс д(з,и), такой, что д Е У^п^(0,^) для всех
I > 0 и
I
Мь(и>)=Е[М0]+ ( д{з,ио)а1В{,
з) п. н. для всех I > 0.
Доказательство. Рассмотрим лишь случай п — 1. Из теоремы 4.3.3,
примененной для случая Т — 1^ Р — М^, следует, что для каждого I
существует единственная функция /^(з,и;) Е Ь2(^,Р), такая, что
I I
Мь{и) = Е[МЬ] + ( !^{8,и)йВ8{и) = Е[М0] + [ /Ю(з,и)<1Ва(и>).
о о
Предположим теперь, что 0 < 1\ < 1*1- Тогда
Н
МЬ1 = Е[Мь2\Ъ1] = Е[М0]+Е
11Ы{8,и)йВа{и)\Ти
о
Е[М0}+ Г ;Ы(з,и)<1В8(и).
(4.3.7)
Но мы также имеем
1\
Ми =Е[М0]+ [ /Ы(з,и)<1В8(и). (4.3.8)
о
Следовательно, сравнивая (4.3.7) с (4.3.8), мы получаем, что
о = я[(/(/(4а) - /{и))лв) =[е[(/Ы - /™)2]<1з,
О О
и поэтому
/№(з,и) = /{12)(з,и) для почти всех (з,и) Е [0,^] х П.
Таким образом, мы можем определить /(з,и) для почти всех 5 Е
[0, оо) х П, полагая
/(*,«;) =/(">(*, и) для зе[0,Щ,

78 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
откуда следует, что
I
Мъ = Е[М0] + I' /Ю(з,и)(1В8(и>)
о
I
= Е[М0] + / $(з,и)д.В8{и) для всех I > 0. □
Упражнения
4.1. С помощью формулы Ито запишите следующие случайные
процессы Хь в стандартной форме
(1ХЬ = и(г,и)<11 + у(г,и)<1В1,
соответствующим образом выбрав и Е Кп, V Е кпхт и
размерности п,т:
а) Хь — В\, где Вь — одномерное броуновское движение;
Ь) Хь — 2 + I + еВг {Вь — одномерное броуновское движение);
с) Хь — В\{1) + В1{1), где (В\, В2) —двумерное броуновское
движение;
(1) Хь — (^о + ^, Вь) (Вь — одномерное броуновское движение);
е) Хь = (Вг(1) + В2{1) + В3(1),В%Ц) - ЗДЗД), где
(В1,В2,Вз) — трехмерное броуновское движение.
4.2. Докажите с помощью формулы Ито, что
I В28(1В8=1-В1- I В8с18.
о о
4.3. Пусть Хь^У} — процессы Ито в К. Докажите, что
ЦХьУь) = ХьйУь + УьйХь + ЛХЬ • дУь.
Выведите следующую общую формулу интегрирования по
частям:
ь ь ь
[ Х8(1У8 = ХЬУЬ - Х0У0 - / УвЛХ8 - \ йХ8 • <1У8.

Упражнения 79
4.4. (Экспоненциальные мартингалы.) Допустим, что в(1,йо) =
(01(*,и,...,0п(*,а;)) € Кп при 0к(1,ш) € У(0,Г) для А: -
1,... ,п, где Т < оо. Определим
24 = ехр{ / в(з,и)(1В(8) - - I в2{з,и)дЛ, 0 < I < Г,
о о
где В(«) Е Кп и #2 — в • в (скалярное произведение),
а) Докажите с помощью формулы Ито, что
02ь = 2ьв{1,и)а1В(1).
Ь) Докажите, что 2ц есть мартингал при I < Т, если
2ьвк(1,и) <Е У(0,Т), 1 < А; < п.
Замечание. Достаточным условием того, что процесс 2ь
является мартингалом, служит условие Казамаки
I
ЕГХР ( 2 [в(^и)(1В(8)
< оо для всех * < Т. (4.3.9)
Оно следует из (более сильного) условия Новикова
Е
г
0/<
< 00
(4.3.10)
еХР ( о / в (*^)^
О
(см., например, 1кес1а, \\ЫапаЪе (1989), разд. III.5 и ссылки
там же).
4.5. Пусть Вь Е К, Во = 0. Определим
&(*) = ВД*], 4 = 0,1,2,..., *>0.
Докажите с помощью формулы Ито, что
I
Ш = \К*-1) ] Рк-2{8)й8, к>2.
Покажите, что
и найдите
Е[В$) = Ы2 (см. (2.2.14)),
Е[В1\-

80 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
4.6. а) Пусть с, а — константы, а Д Е К. Определим
Докажите, что
л+ — е
йХь = (с+ -а2 |ХЬ(И + аХьЛВь.
Ь) Пусть с,а1,...,ап — константы, а Вь — (В\(1),..., Вп{1)) Е
Кп. Определим
X* = ехр ( с1 + ^2 азвз(г) ) ■
\ .7 = 1 '
Докажите, что
ах*=(с+1^ а0 ад+х* (? а*ав*) •
4.7. Пусть Х^ — интеграл Ито,
йХь = у{1,и)йВь(и), где г; € Уп(0,Т), Б^Кп, 0 < * < Т.
а) Покажите на примере, что X2, вообще говоря, не является
мартингалом.
Ь) Докажите, что если функция у ограничена, то процесс
I
Мг:=Х1- I \у3\Чз
42 - / К
О
I
является мартингалом. Процесс (X,Х)ь \— Лу3\2о!8 назы-
о
вается процессом квадратичной вариации мартингала Х^.
Для общих процессов Хь он определяется равенством
<х>хь=А>Е\х^-х*.
2
Ь I
1к<1
(предел по вероятности), (4.3.11)
где 0 = 1\ < ^2 • • • < 1п — I и А^ = ^+1 — 1&. Можно
показать, что этот предел существует для непрерывных
квадратично интегрируемых мартингалов Хь (см., например,
Кага^газ, ЗЬгеуе (1991)).

Упражнения 81
4.8. а) Пусть Вь обозначает п-мерное броуновское движение, и
пусть функция /: Кп —>• К принадлежит классу С2.
Докажите с помощью формулы Ито, что
I I
/(В4) = /(Во) + I V/(Я8)<Ш5 + ^1 А/(В3)(1з,
где А = ]П -т^ есть оператор Лапласа.
Ь) Допустим, что функция д : К —>• К всюду принадлежит
классу С1 и принадлежит классу С2 вне конечного числа
точек %!,... ,гдг, причем |д"(#)| < М для х $ {г\,... ,^дг}.
Пусть Вь — одномерное броуновское движение. Докажите,
что одномерный вариант формулы п. а) все же
справедлив, т. е.
I I
д(В1) = д(В0) + I д'(В3)а!В3 + ^ д"(В8)(1з.
о о
(Указание. Выберите функцию Д Е С2(К), такую, что
1к -* 9 равномерно, /'к —>• д' равномерно и |Д'| < М, Д' —>•
д" вне точек 21,..., ^дг. Примените результат п. а) к
функции Д и перейдите к пределу при к —> оо.)
4.9. Докажите, что при обосновании формулы Ито (теорема 4.1.2)
можно считать, что функция д и ее первые две производные
ограничены. При этом придерживайтесь следующей схемы
рассуждений. Для фиксированного I > 0 и п = 1,2,...
выберите функцию дп, удовлетворяющую указанным свойствам
и такую, что дп(з,х) — д(з,х) для всех 5 < I и всех \х\ < п.
Допустим, что мы доказали соотношение (4.1.9) для каждого
дп. Определите случайный момент времени
тп = тп(и) = М{з > 0; |Х5(о;)| > п)
(тп называется моментом остановки (см. гл. 7)) и
докажите, что
I
I у^(8,Х8)Х3<Тпв1В8
о
:= I у^(з,Х3)с1В3= I у^(з,Х6)<1В3
о о

82 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
Рис. 4.1.
для каждого п. Отсюда следует, что
р(*Лгп,А-4Лгп)=р(0,Хо) +
1Лтп
+
/(!+-1+*'0)*+/•!"■■
и, так как
Р[тп > ^] —> 1 при п —> оо,
можно заключить, что формула (4.1.9) верна (п. н.) для д.
4.10. (Формула Танаки и локальное время.) Что произойдет, если
мы попробуем применить формулу Ито к функции д{В1)1
когда броуновское движение Вь одномерно, а д(х) = \х\ ? В этом
случае д не принадлежит классу С2 при х = 0, так что
исправим функцию д(х) в окрестности точки х = 0, заменяя ее
на д€(х) следующим образом:
| |(б + ^-), если |ж| < б,
где б > 0.
а) Покажите с помощью упражнения 4.8 Ь), что
I
д((Вг) = д((В0)+1д[{Ва)<1В8 + ~\{8 € [О,*];В. € (-е,е)}|,
где \Р\ обозначает лебегову меру множества Р.

Упражнения 83
Ь) Докажите, что
г ъ
Iд[{В8) ■ ХВль(-е,е)ЛВа = I ^ • ХВМ-<,е)ЛВа -> О
вЬ2(Р) при с -» 0.
I Указание. Примените свойство изометрии Ито к
— • л.\
е
В3е{-е,е)^В3
с) Полагая с —> 0, докажите, что
\Вь
г
= |В0| + /* абп(В,)<Ш. + и(ы\ (4.3.12)
где
Ь4 = Пт — • |{« 6 [О,*];В. € (-с,б)}| (предел в Ь2{Р))
с->0 2б
818П(ж)
(-1, х
\1, х
<0,
>0.
Функция Ьь называется локальным временем
броуновского движения в 0, а формула (4.3.12) — формулой Тана-
ки (для броуновского движения) (см., например, Но^егз,
\УШ1атз (1987)).
4.11. Докажите с помощью формулы Ито (например, в форме,
приведенной в упражнении 4.3), что следующие случайные
процессы являются {^}-мартингалами:
а) Хь = е%ьсо$Вь (Вь е К);
Ь) Хь = е^зтВь (Вь е К);
с) хь = (вь + г)екр(-вь - \г) {вь е к).
4.12. Пусть йХь — и(1,и)дХ Л- у(1,и)а\Вь —процесс Ито в Кп, такой,
что
Е
I I
/ \и(г,и)\(1г\+Е\ / \уут(г,ш)\с1г
< оо для всех I > 0.

84 Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении
Предположим, что Хь есть {.7$ }-мартингал. Докажите, что
и{з,и) — 0 для почти всех (з,и) Е [0, оо) х О. (4.3.13)
Замечания. 1. Этот результат может рассматриваться как
частный случай теоремы о представлении мартингала.
2. Вывод (4.3.13) не верен, если поток Т^ заменить на
(Т-алгебры Мь, порожденные Х8(-), з < I, т. е. если
ограничиться предположением, что Хь является мартингалом
относительно своего собственного потока (см., например,
характеризацию броуновского движения в гл. 8).
(Указание для решения.
(п)
Покажите, что если Хь — Т\ -мартингал, то
5
е\1 ч(т,и)дт\т\пЛ
— О для всех 5 > I.
Продифференцировав это тождество по 5, получите
равенство
Е[и{з, и)\Ть } = О п. н. для почти всех з > I.
Затем положите ^|5 и примените следствие С.9.)
4.13. Пусть (1X1 — и(1,и)(И + (1В1 (и ЕК, Вь е К) является
процессом Ито. Допустим для простоты, что функция и ограничена.
Тогда из упражнения 4.12 известно, что при невыполнении
условия и = 0 процесс Хь не является ^-мартингалом.
Однако оказывается, что можно построить ^-мартингал по Хь,
умножая его на подходящий экспоненциальный мартингал.
Более точно, определим
Уь = ХьМи
где
ь ь
Мь = ехр ( - / и(г,и)д,Вг - - \ и2(г,и)в,г\.
о о
Покажите с помощью формулы Ито, что
Уь есть ^-мартингал.
Замечания. 1. Сравните наш вывод с утверждением
упражнения 4.11 с).

Упражнения 85
2. Этот результат является частным случаем важной
теоремы Гирсанова. Он может быть истолкован следующим
образом: {Х^^т является мартингалом относительно
меры С}, определенной на Тт формулой
Щ = Мта1Р (Т < оо)
(см. разд. 8.6).
4.14. В каждом из нижеследующих случаев найдите процесс
/(^,о;) Е У(0,Т), такой, что выполняется равенство (4.3.6),
т. е.
т
Р(и) = Е[Р] + [ 1{г,и)а1Въ{и)-
о
а) Р(и) = Вт(и);
т
Ъ)Р(и>)= I Вь{и)й1\
о
с) Р(и) = В%(и);
А) Р(и) = Ви^У,
е) Р(и)=еВт1ы);
Г) Р(и) = зтВт(и).
4.15. Пусть х > 0 —константа. Определим
хь=^ + ^\ *>о.
Покажите, что
йх1 = \х1/3<и + х1'г(1ви х0 = х.
О

Глава 5
Стохастические
дифференциальные уравнения
5.1. Примеры и некоторые методы решения
Вернемся теперь к рассмотрению возможных решений Х^и)
стохастического дифференциального уравнения
1 -у
—}- = Ь(1,Хг) + а(1,ХЬ)Щ, Ь(1,х) е К, а(1,х) € К, (5.1.1)
аг
в котором й^ означает одномерный «белый шум». Как мы уже
говорили в гл. 3, интерпретация Ито уравнения (5.1.1) состоит в том,
что процесс Хь должен удовлетворять стохастическому
интегральному уравнению
I I
ХЬ=Х0+ [ь(з,Ха)08 + [а(з,Ха)<1Ва,
о о
или, в форме дифференциалов,
йХг = Ь(г,Х1)(И + а(11Х1)(Ш1. (5.1.2)
Таким образом, чтобы перейти от (5.1.1) к (5.1.2), мы формально
заменили в (5.1.1) белый шум й^ на ^- и умножили полученное
уравнение на ей. Естественно задаться следующими вопросами.
(А) Можно ли получить теоремы существования и единственности
для таких уравнений? Каковы свойства их решений?
(В) Как решать уравнения такого типа?
Сначала рассмотрим вопрос (В), обратившись к простым
примерам, а затем в разд. 5.2 обсудим вопрос (А).
Формула Ито — вот что является ключом к решению многих
стохастических дифференциальных уравнений. Проиллюстрируем
наш подход следующими примерами.
Пример 5.1.1. Вернемся к модели роста популяции из гл. 1:
—у- = аьЫи N0 задано,
где а± = ъ + ай^5 й^ — белый шум, а =сопз1;.

5.1. Примеры и некоторые методы решения 87
Допустим, что Г1 = г =сопзЪ. В соответствии с интерпретацией
Ито (5.1.2) это уравнение эквивалентно уравнению в
дифференциалах (здесь а(1,х) = ах)
Шь = г ЩИ + аИгйВь, (5.1.3)
или
—— = та1 + ааВь
I
I
и
I
-^1 = Н + аВ1 (Д, = 0). (5.1.4)
о
Чтобы вычислить интеграл в левой части, используем формулу Ито
для функции
д^,х) = 1пж, х > О,
и получим, что
_Ж, 1 0 „0,. йЛГ* 1
Тогда
Л^ 2Л^2 * Л^ 2
и мы заключаем из (5.1.4), что
или
^ - ЛГ0ехр ((г- ^аА I + аВь) . (5.1.5)
Для сравнения (возвращаясь к рассуждениям в конце гл. 3)
отметим, что интерпретация Сгпрагпоновича уравнения (5.1.3)
Шъ = г7*ьсИ + аЛь о д.Ви
дала бы решение
~ЫЬ = N0 ехр(г* + аВь). (5.1.6)
Оба решения Л^,Л^ являются процессами вида
Хг = Хо ехр(/х^ + аВ^) (/х, а — константы).
Такие процессы называются геометрическими броуновскими дви-
женилим. Они важны, в частности, при описании случайных цен
в экономике (см. гл. 10, 11, 12).

88 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Замечание. Кажется естественным предположить, что если Вь не
зависит от 7У0 > то должно выполняться равенство
ВД = Е[Н0у\ (*)
как если бы не было никакого шума в а^. Чтобы увидеть, так ли это
на самом деле, положим
Уг = еаВь
и применим к этому процессу формулу Ито:
дУг = аеаВЧВг + ^а2еаБвЛ,
или
Уь = Ус
го +а [ еаВ'ЛВ8 + ]-а2 [ еаВ'йз.
о о
I
Так как Е[$еаВз(1В8\ = 0 (теорема 3.2.1 (ш)), мы получаем, что
о
I
Е[Уг\ = Е[У0]+1-а21Е[У3]с1з,
т. е.
Итак,
^ЕЩ = \а2Е[УгЪ Е[У0] = 1.
Е[УЬ] = е>а ',
и поэтому, как и ожидалось, мы имеем
Для решения Стратоповича те же вычисления, однако, дают
другое выражение:
Е[Щ = ВД,]е(г+*а2)*.
Теперь, после того как мы нашли явные решения Л^ и N1 в (5.1.5),
(5.1.6), можно использовать результаты о поведении процесса Вь,
чтобы получить информацию об этих решениях. Например, для
решения Ито N1 мы можем сделать следующие выводы:
(1) если г > ^а2, то Л^ —> оо при I —> оо п. н.;
(и) если г < |а2, то Л^ -> 0 при I -> оо п. н.;

5.1. Примеры и некоторые методы решения 89
(ш) если г = ^а2, то процесс Л^ будет флуктуировать между сколь
угодно большими и сколь угодно малыми значениями при I —>- оо
п. н.
Эти выводы являются прямыми следствиями формулы (5.1.5)
для N1 и следующего фундаментального результата об одномерном
броуновском движении Вь.
Теорема 5.1.2 (закон повторного логарифма). Для одномерного
броуновского движения В1 имеет место равенство
V ^ 1
ит зир = — 1 п. н.
1-><х> >/2*1ое1о8*
Доказательство этой теоремы читатель может найти в книге
ЬатрегИ (1977), § 22. _
Для решения Стратоновича N1 с помощью тех же рассуждений
мы получаем, что N1 —>- 0 п. н. при г < 0 и N1 —>- оо п. н. при г > 0.
Таким образом, два решения имеют принципиально разные
свойства, и интересный вопрос состоит в том, какое решение
дает наилучшее описание явления.
Пример 5.1.3. Вернемся к уравнению из задачи 2 гл. 1:
1
С
Введем вектор
Ш1 + Щ'г + 770* = Рь=Оь+ аЩ. (5.1.7)
'=*<«■")=©=(«)
(5.1.8)
и получим систему
{Х[ =Х2,
\ЬХ'2 = -КХ2 - ^Хг +СЬ+ оШи
или, в матричных обозначениях,
ОХ = ЛХ{1) = АХ{1)(И + Н(1)(Н + КйВи (5.1.9)
где
а Вь — одномерное броуновское движение.

90 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Таким образом, мы приходим к двумерному стохастическому
дифференциальному уравнению. Перепишем (5.1.9) в виде
ехр(-Лг)бЩг) - ехр(-А1)АХ(1)аИ
= ехр(-Л*)[Я(*)Л + КаВь], (5.1.11)
где для произвольной п х п-матрицы Р мы определяем ехр(.Р) как
со
п х п-матрицу, задаваемую рядом ехр(.Р) = ]П ^[^п- Формула
п=0
(5.1.11) наводит на мысль о том, что следует связать левую часть с
дифференциалом
й(ехр(-Л*)ВД).
Для этого воспользуемся двумерным вариантом формулы Ито
(теорема 4.2.1).
Применяя этот результат к двум координатным функциям д\, д%
функции д: [0, оо) х К2 -> К2, задаваемой равенством д(1,Х\,Х2) =
ехр(—АЬ) ( * I, получим, что
й(ехр(-Л*)Х(*)) = (-А)ехр(-Аг)ХЦ)аИ + ехр{-Аг)а1Х(г).
Подстановка этого равенства в (5.1.11) приводит к формуле
I I
ехр(-Аг)Х(г) - Х(0) = I ехр(-Л«)Я(в)Ал- [ехр(-Аз)К(1Ва,
о о
или, если проинтегрировать по частям (теорема 4.1.5), к результату
Х{1) = ехр(Л^)
Х(0) + ехр(-А1)КВь
I
+ [ ехр(-Аз)[Н{8) + АКВа]й&
. (5.1.12)
Пример 5.1.4. Пусть X — В (одномерное броуновское
движение), а
д(1,х) — егх = (созж, зтх) Е К2 для х е К.
Тогда по формуле Ито
У = д(1, X) = еШ = (СОЗ Б, 81П В)
снова есть процесс Ито.

5.2. Существование и единственность решения 91
Его координаты У\, У? удовлетворяют системе уравнений
йУ^г) = - з'т(В)(1В - ^ со8(В)<Й,
аУ2(г) = соз(Б)сШ - ^зт(В)аИ.
Таким образом, процесс У = (У^!^), который мы могли бы
назвать бронуновским движением на единичной окружности, есть
решение системы стохастических дифференциальных уравнений
(5.1.13)
или, в матричных обозначениях,
йУ = - )-У(И + АГУсШ, где АГ = ^ ~ *
Другие примеры и методы решения можно найти в упражнениях
к этой главе.
Подробное описание методов решения одномерных
стохастических дифференциальных уравнений см. в книге Саге! (1988), гл. 4.
5.2. Существование и единственность решения
Теперь обратимся к вопросу (А), сформулированному выше, о
существовании и единственности решения.
Теорема 5.2.1 (теорема о существовании и единственности
решения стохастических дифференциальных уравнений). Пусть Т > О
и Ь(-,-): [О,Г] х Кп -> Кп,а(-,-): [О,Г] хКп-) КпХт -измеримые
функции, удовлетворяющие условию
\Ъ{г,х)\ + \а{г,х)\ <С(1 + |я|), хеКп, *е[0,Г], (5.2.1)
где С — некоторая константа {здесь \а\~ — ]П |^|2), и такие, что
\Ь(1,х) - Ь(1,у)\ + \а(1,х) - а(*,у)\ < В\х - у|,
х,уеКп,*е[0,Т], (5.2.2)
где В — некоторая константа. Пусть 2 — случайная величина, не
зависящая от а-алгебры Тж , порожденной функциями В8(-), з >
О, и такая, что
Е[\2\2} < оо.

92 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение
йХ% = Ъ{г,Хь)(И + а{г,Хг)йВи 0<* <Т, Х0 = 2, (5.2.3)
имеет единственное 1-непрерывное решение Х^и), такое, что
Х1 (и) согласовано с потоком Т%,
порожденным X и В8(-), з < I, (5.2.4)
т
Е\ I [Х^сИ
о
< оо. (5.2.5)
Замечание. Условия (5.2.1) и (5.2.2) естественны, как видно из
следующих двух простых примеров детерминированных
дифференциальных уравнений (т. е. таких уравнений, что о — 0).
1. Уравнение
йХх
й*-=ХЪ Х0 = 1, (5-2.6)
соответствующее функции Ь(х) = х2 (которая не удовлетворяет
условию (5.2.1)), имеет (единственное) решение
**=1"Г7> 0<*<1.
Таким образом, в этом случае невозможно найти глобальное
решение (определенное для всех ^).
Итак, условие (5.2.1) гарантирует, что решение Х^ш)
уравнения (5.2.3) не «взрывается», т. е. что |Х^(о;)| не уходит на
бесконечность за конечное время.
2. Уравнение
^=ЗХ^, Х0 = 0, (5.2.7)
имеет более одного решения. Действительно, для любого а > О
функция
х (о, г<а,
1 \{1-а)ъ, 1>а,
удовлетворяет (5.2.7). В этом случае функция Ь(х) — 3#2/3 не
удовлетворяет условию Липшица (5.2.2) при х = 0.
Таким образом, условие (5.2.2) гарантирует, что уравнение
(5.2.3) имеет единственное решение. Здесь единственность означа-

5.2. Существование и единственность решения 93
ет, что если Х\{1,ш) и Х2^,ш) —два ^-непрерывных решения,
удовлетворяющих условиям (5.2.3), (5.2.4) и (5.2.5), то
Х\(1,и) = Х2(^,о;) для всех I < Т п. н.
(5.2.8)
Доказательство теоремы 5.2.1. Единственность следует из изо-
метрии Ито (следствие 3.1.7) и условия Липшица (5.2.2).
Действительно, пусть Х\{1,и) = Хь{и) и Хг^о;) = Х^и)— два решения с
начальными условиями 2,2 соответственно, т. е. Х\(0,и) = 2(и),
Х2(0,о;) = 2(и), и Е П. Здесь для наших целей потребуется лишь
случай 2 = 2, но позже, в связи с непрерывностью по Феллеру
(гл. 8), нам будет полезна следующая более общая оценка.
Положим а(з,и) = Ъ(з,Х8) — Ь(з,Х8) и 7(5>^) = ^(^^Х8) —
а(з,Х8). Тогда
Е[\ХЬ - Хь\2} = Е
< Щ\2 - 2\2} + ЗЕ
2-2 +
г г
1йВь
2л
[(/<"**) ] +зд|Уу7лвЛ 1
<ЪЕ[\2-2\2) + Ые\ I а2(1з\ +ЗЕ\ I\2(1з\
о о
I
< Щ\2 - 2\2} + 3(1 + 0#2 ( Е[\Х8 - Х8\2](1з.
о
Итак, функция
ь(1) = Е[\Х* - Хь\% 0<*<Т,
удовлетворяет неравенству
у(г) <Р + А
г
\ У(з)(181
(5.2.9)
где Г = Щ\2 - 2\2} и А = 3(1 + Т)Б2.
Из леммы Гронуолла—Беллмана (упражнение 5.17) мы
заключаем, что
1;(0 < Гехр(Аг). (5.2.10)

94 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Пусть теперь 2 = 2. Тогда Р = О и, таким образом, у(1) = О для
всех I > 0. Следовательно,
Р[\ХЬ - Хь\ = 0 для всех * <Е С* П [0, Г] ] = 1,
где (^ обозначает множество рациональных чисел.
Из непрерывности отображения I —> \ХЬ — Хь\ следует, что
Р[\Х1(г,и)-Х2(г,и)\ = 0 для всех * <Е [0,Т]] = 1, (5.2.11)
и тем самым единственность доказана.
Доказательство существования аналогично известному
доказательству существования для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Определим У/ ' = Хо и У/ ' = У/ '(и) по индукции
следующим образом:
I I
у/*+1) = Хо + 1ъ(а,уЮ)<Ь + I о{8,У^)йВ8. (5.2.
12)
Тогда вычисления, аналогичные выкладкам, проведенным выше
при доказательстве единственности, приводят к неравенствам
I
#[|у/*+1> -У/*}|2] < (1+Т)2 [Е[\У8^-У^\2](1з,
о
где А; > 1, I < Т, и
щуЫ _ у4(о)|2] < 2СН2(1 + Е[\Х0\2}) + 2СН(1 + Е[\Х0\2}) < Аг*,
где константа А\ зависит лишь от С,Т и 1?[|Хо|2]. Таким образом,
с помощью индукции по к мы получаем, что
в[|Уе(*+1)_у4(*)|2]<^_1_> А>0, *€[0,П (5.2.13)
где Л2 — константа, зависящая только от С,В,Т и 1?[|Хо|2]. Далее,
т
зир |у/*+1) - У4<*>| < / \Ъ(8,УМ) - Ь(з,у1к-»)\<Ь
0<КТ 3
о
I
+ вир |/(а(«)У,('))-<т(«,У,('-1)))<Ш.
0<а<Т У

5.2. Существование и единственность решения 95
+ Р
зир
о<кт
Из неравенства для мартингалов (теорема 3.2.4) получаем, что
А зир |у/*+1)-У/ч|>2-*
10<1<Т
Т
<р^1\ь(з,у^)-ь(з,г^)\^ >2-2к-2\
О
I
I\о{з,УЮ) - а{з,У^))йВ3
О
<22к+2Т [Е(\Ь{з,у№)-Ь{з,У}к-1))\2)<18
о
т
+ 22к+2 I Е[\а(з, У8М) - *(з, У}^)]2}^
О
т
< 22к+2Б2(Т + 1) [ ^|рЛ < ^^ , если Л2 > Я2(Т + 1).
Поэтому по лемме Бореля—Кантелли
Р\ зир |У/ - У/^ | > 2-/г для бесконечно многих к
= 0.
что
о<г<т
Таким образом, для почти всех и существует ко = ко (и), такое,
зир |У^+1) - У/*°| < 2~к для к > к0.
0<1<Т
Тогда последовательность
п-1
уЫ(ы) = ге(0>н + ^>/*+1)М - г/чН)
равномерно сходится на [0,Т] для почти всех о;.
Обозначим предел этой последовательности через Хь — Хг(ш).
Тогда процесс Хь является ^-непрерывным для почти всех и, так
как процессы У/ являются ^-непрерывными для всех п. Более
того, процесс Хь{-) является .Т7^-измеримым для всех ^, поскольку
процессы У/ (•) обладают этим свойством для всех п.

96 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Отметим теперь, что для га > п > 0 в соответствии с (5.2.13)
мы имеем
Е[\У<т)-У<У]1'* = \\У<т)-У}п)\\ЬЧР)
га —1
= |Е(у«(к+1)-^))
к=п
т — 1
ЬЦР)
< У^ \\у{к+1)-у{к)
I \\Ь2(Р)
к=п
<Ё[<^Г-о
к—п
и*+1)ч
(5.2.14)
при п —^ оо.
Следовательно, {Уь } сходится в Ь2(Р) к пределу, который мы
обозначим Уь. Тогда некоторая подпоследовательность
последовательности У^(и) будет сходиться к Уь(ш) для почти всех и, и
поэтому У1 = Хг п. н. В частности, Хг удовлетворяет условиям (5.2.4)
и (5.2.5).
Остается показать, что процесс Хг удовлетворяет уравнению
(5.2.3). Для всех п справедливо равенство
I I
у/п+1> =Х0+ [ь(8,УаЫ)<18+ [ а(з,уЫ)<1В8. (5.2.15)
о о
Далее, >уп ' —>• Хг при п —>• оо равномерно по I Е [О, Т] для почти
всех и. В силу (5.2.14) и леммы Фату получаем
Е
1
||Х4-У/П)|2
Л
< Нт зир Е
/«
Ы _у4(п)|2Л
О О
при п —^ оо. Из изометрии Ито вытекает, что
I I
->0
I а{8,У^)(1В3-+ I о~{8,Х3)<1В8,
о о
а из неравенства Гёльдера следует, что
I I
I*Ъ(з,У8(п))(18 -> [ь(з,Ха)(18
О \)

5.3. Слабые и сильные решения 97
в Ь2(Р). Поэтому, переходя к пределу при п-> оо в (5.2.15),
получаем уравнение (5.2.3) для Х^. □
5.3. Слабые и сильные решения
Решение Х^, найденное выше, называется сильным решением,
потому что версия Вь броуновского движения задана заранее и
решение Хг, построенное по ней, является ^"^-согласованным. Если
же нам даны лишь функции Ъ(1,х) и а(1,х) и нужно
построить пару процессов ((Хг,1?г),7^) на вероятностном пространстве
(П,7^,Р), такую, что справедливо равенство (5.2.3), то решение
Х1 (или, более точно, (Х^,Б^)) называется слабым решением.
Здесь 7^ — возрастающее семейство а-алгебр, таких, что процесс Х%
является Иг согласованным, а Вь есть Нгброуновское движение,
т. е. В1 есть броуновское движение и Вь есть мартингал
относительно 7^ (и, стало быть, Е[В^^ — В^Нг] — 0 для всех 1,Н > 0).
Напомним, что в соответствии с результатами гл. 3 такие
предположения позволяют нам определить интеграл Ито в правой части
уравнения (5.2.3) в точности так же, как и раньше, даже если
процесс Х.1 не обязательно является ^-согласованным.
Сильное решение, конечно, также является слабым решением,
но обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 5.3.2 ниже).
Единственность (5.2.8), которую мы получили выше, называется
сильной (в смысле совпадения траекторий с вероятностью 1)
единственностью, в то время как слабая единственность просто
означает, что любые два решения (слабые или сильные) тождественны
по вероятностному закону, т. е. имеют одинаковые конечномерные
распределения. Результаты о существовании и единственности
слабых решений см. в книге З^гооск, УагайЬап (1979). Общие сведения
о сильных и слабых решениях можно найти в работе Кгу1оу, 2уопкт
(1981).
Лемма 5.3.1. Если функции Ъ и а удовлетворяют условиям
теоремы 5.2.1, то решение (слабое или сильное) уравнения (5.2.3) слабо
единственно.
Набросок доказательства. Пусть ((Хг,^)>%) и ((Хг,^),%г)—
два слабых решения. Пусть Х^ и У^- сильные решения,
построенные, как и выше, по процессам В1 и Вь соответственно. Тогда,
применяя те же рассуждения, что и для приведенного выше
доказательства единственности, можно показать, что Х^ = Х^ и У^ = Хь
для всех I п. н. Поэтому достаточно показать, что Хь и У^ должны

98 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
иметь одинаковый вероятностный закон. Это доказывается по ин-
дукции в том смысле, что если XI , Уг являются процессами
итераций Пикара, определенными формулой (5.2.12), с броуновскими
движениями Вь и Вь, то пары
(Х\к\вг) и (Уг{к\в{)
имеют один вероятностный закон для всех к. □
Это наблюдение пригодится нам в гл. 7 и позже, когда мы
будем изучать дальнейшие свойства процессов, являющихся
решениями стохастических дифференциальных уравнений (диффузионных
процессов Ито).
С точки зрения моделирования понятие слабого решения
является естественным, потому что явное представление белого шума
не задается заранее. Более того, это понятие удобно по
математическим причинам, потому что существуют стохастические
дифференциальные уравнения, которые не имеют сильных решений,
однако обладают (слабо) единственными слабыми решениями. Вот
простой пример.
Пример 5.3.2 (уравнение Танаки). Рассмотрим одномерное
стохастическое дифференциальное уравнение
йХг = 818п(Х4)<Ш4, Х0 = 0, (5.3.1)
где
, ч Г +1, если х > 0.
ь у * \ -1, если х < 0.
Отметим, что здесь функция о~(1, х) — а(х) = зщп(х) не
удовлетворяет условию Липшица (5.2.2), так что теорема 5.2.1 не
применима. И действительно, уравнение (5.3.1) не имеет сильного решения.
Чтобы в этом убедиться, возьмем в качестве Вь броуновское
движение, порождающее поток Ть, и определим
I
У4= [ бщп(В$)(1В$.
о
По формуле Танаки (4.3.12) (см. упражнение 4.10) имеем
у4 = |в4|-|в0|-2*Н,
где 1ц(и) есть локальное время для процесса Вь(и) в 0. Тогда
процесс Уь является измеримым относительно а-алгебры С^1,
порожденной | В3(-)\, з < I. Ясно, что эта а-алгебра строго содержится в Ть.

Упражнения 99
Следовательно, а-алгебра Мь, порожденная У8(-), з < I, также
строго содержится в Ть.
Допустим теперь, что Хь есть сильное решение уравнения
(5.3.1). Тогда из теоремы 8.4.2 вытекает, что Хь является
броуновским движением относительно меры Р. (Если читателя беспокоит
вопрос, не могут ли рассуждения пойти по замкнутому кругу, мы
обращаем его внимание на то обстоятельство, что доказательство
теоеремы 8.4.2 не зависит от этого примера!) Пусть Мь — а-алгебра,
порожденная Х8(-), з < I. Поскольку (з1§п(ж))2 = 1, можно
переписать уравнение (5.3.1) в виде
йВь = 81вп(Х«№.
Применяя рассуждение, использованное выше, к Вь = Хь, Уь = Вь,
мы заключаем, что Ть строго содержится в Мь-
Но это противоречит тому, что Хь является сильным решением.
Следовательно, сильных решений уравнения (5.3.1) не существует.
Чтобы найти слабое решение уравнения (5.3.1), мы просто
выбираем в качестве Хь любое броуновское движение Вь и определяем
Вь по формуле
I I
Въ = [ Бща(Ва)<1Ва = Iбщп(Х3)(1Х81
о о
т. е.
авг = зщц(хь)ахь.
Тогда _
так что Хь есть слабое решение.
Наконец, слабая единственность следует из теоремы 8.4.2, из
которой, как отмечено выше, вытекает, что любое слабое решение
Хь должно быть броуновским движением относительно Р.
Упражнения
5.1. Проверьте, что данные процессы являются решениями
указанных стохастических дифференциальных уравнений
(Вь обозначает одномерное броуновское движение):
(1) Хь — еВг является решением уравнения (IX\ — \Хь&1 +
ХьЛВь;

100 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
(и) Хг — ^т, Во = 0, является решением уравнения
йХь = -^Хгй1+^йВи Хо = 0;
(ш) Хь — зт^, Во — а Е (—?,?■)» является решением
уравнения
ахь
Сь = ~ХыИ + у/1-Х*(1Вь
при * < Ы{з > 0-В$$ [- §,§]};
(1у) {Х\(1),Х2(1)) — (1,еьВ1) является решением уравнения
Й) = ШИ-Ь
(у) (Х\(1),Х2(1)) = (сЬ(Б^),зЬ(Б^)) является решением
уравнения
5.2. Естественно определить броуновское движение на эллипсе
2 2
{(ж,у); ^2 + |"2 = !}> где а > 0, 6 > 0,
как процесс Х^ = (Х\(1;),Х2(1)), описываемый равенствами
Х\ (р) = а соз Вь, Х2 (р) = & 51п Вь,
где ^ есть одномерное броуновское движение. Покажите, что
Хг является решением стохастического дифференциального
уравнения
йХг = ~Хгй1 + МХьйВи
'0
о
5.3. Пусть (В\,..., Вп) — броуновское движеие в Кп, а
а.\,..., ап — постоянные числа. Решите стохастическое
дифференциальное уравнение
п
йХь = гХьд,1 + ХЬ^ <*ъйВъ(*)), ^о > 0.
к=\
(Это модель экспоненциального роста с несколькими
независимыми возмущениями типа белого шума в относительной
скорости роста.)
где М = ( ъ пь

Упражнения 101
5.4. Решите следующие стохастические дифференциальные
уравнения:
<»(&) = (оМи)$:>
(и) йХь = ХгсИ + авь
(Указание. Умножьте обе части на
«интегрирующий множитель» е~ь и сравните полученное выражение
с й(е-*х4)0;
(ш) д,Хь = -Л"4ей + е-ЫВь.
5.5. а) Решите уравнение Орнштейна—Уленбека (или уравнение
Ланжевена)
йХь = 11Хьй1 + ойВи
где //, а— вещественные константы, ^ Е К.
Решение этого уравнения называется процессом Орн-
штейна— Уленбека.
(Указание. См. упражнение 5.4 (и).)
Ь) Найдите Е[ХЬ] и Уаг[Х4] := Д[(Х4 - ВД])2].
5.6. Решите стохастическое дифференциальное уравнение
ЛУЪ = гсИ + аУЬ(1Ви
где г, а — вещественные константы, В1 Е К.
(Указание. Умножьте уравнение на «интегрирующий
множитель»
Г1=ехр(-аВ1 + ^аН)Л
5.7. Средне-возвратным процессом Орнштейна—Уленбека
называется решение Хг стохастического дифференциального
уравнения
АХЬ - (т - Хь)й1 + айВи
где га, а — вещественные константы, В1 Е К.
а) Решите это уравнение тем же способом, что и уравнение
из упражнения 5.5 а).
Ь) Найдите Е[ХЬ] и Уах[Х4] := Е[(ХЬ - Е[ХЬ})2}.
5.8. Решите (двумерное) стохастическое дифференциальное
уравнение
ахг(г) = х2(г)<и + ыв^г),
ЙХ2(*) = -Х1(*)Л + /ЗЙВ2(*),
где (В 1(1), В 2(1)) —двумерное броуновское движение, а а,/3 —
константы.

102 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Это уравнение вибрирующей струны под действием
случайной силы (см. пример 5.1.3).
5.9. Покажите, что существует единственное сильное решение Хь
одномерного стохастического дифференциального уравнения
йХг = 1п(1 + Х2)(И + Х{х±>оуХьйВи 10 = аЕК.
5.10. Пусть функции 6,а удовлетворяют условиям (5.2.1), (5.2.2),
и пусть Хь есть единственное сильное решение уравнения
(5.2.3). Покажите, что
Е[\Хь\2} < Кх • ехр(АГ2*) для * < Г, (5.3.2)
где Кг = Щ\2\2} + 6С2Т(Т + 1) и К2 = 6(1 + Т)С2.
(Указание. Воспользуйесь рассуждением из
доказательства неравенства (5.2.10).)
Замечание. Если оценка роста функций Ь и а в (5.2.1) верна
для всех I > 0, то можно улучшить результат (5.3.2),
получив оценку величины ^[|Х^|2] на всей полуоси (см.
упражнение 7.5).
5.11. (Броуновский мостик.) Для фиксированных а, Ь Е К
рассмотрим следующее одномерное уравнение:
йУ4 = ?-^<Й + <Ш1, 0<*<1, У0 = а. (5.3.3)
Покажите, что процесс
I
Уь = а(1 - I) + Ы + (1 - *) [ ~-, 0 < * < 1, (5.3.4)
о
является решением этого уравнения, и докажите, что
Ит Уь = Ь п. н. Процесс У* называется броуновским мостиком
(из а в Ь). Другие свойства этого процесса описаны в книге
Ко^егз, АУЦЦатз (1987), с. 86-89.
5.12. Для описания движения маятника с малыми случайными
внешними возмущениями используется уравнение вида
у"(г) + (1 + еЩ)у = 0, у(0),у'(0) заданы,
где И^ = ^- есть одномерный белый шум, а е > 0
—константа.
а) Исследуйте это уравнение, рассуждая, например, как при
исследовании уравнения из примера 5.1.3.

Упражнения 103
Ь) Покажите, что функция у(1) удовлетворяет
стохастическому уравнению Вольтерра вида
»(*)
= 2/(0) + у'(0) ' * + /а{г,г)у{г)а1г + [ ч(1,г)у(г)ЛВТ,
где а(*,г) = г — 2, т(^г) = б(г ~ *)•
5.13. В качестве модели медленного горизонтального дрейфа
пришвартованной плавающей платформы (или корабля),
вызванного нерегулярными набегающими волнами, Джон Грю (Сгие
(1989)) рассмотрел уравнение
х" + а0х'ь + гю2хь = (Т0 - а0х'ь)г)Щ, (5.3.5)
в котором И^ есть одномерный белый шум, а ао,ги,То,а!о и
г] — константы.
(1) Положите Хг = I \ I и перепишите уравнение в виде
ЙХ4 = АХьаИ + КХгйВь + МйВ4,
где
(и) Покажите, что Хг удовлетворяет интегральному
уравнению
I I
Хь = [ еА<<1-^КХ3а1В3 + /еА^~8)Ма1В8, если Х0 - 0.
о о
(Ш) Убедитесь, что
-А*
„Л* е
где Л = ^-, ^ = (и)2 -^)2,ис помощью этой формулы
докажите, что
I
хь =г) (То- аоуа)91-8<1Ва, (5.3.6)
о
I
т] (То- а0Уз)Ы-з^В8, где уь := ж'4. (5.3.7)
Уь
о

104 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
Здесь
С=-Л + г^ (г-V/Г1).
Итак, мы сначала можем найти процесс г/1 из (5.3.7), а
затем подставить его в (5.3.6) для определения хь.
5.14. Если обозначить через (БЬБ2) двумерное броуновское
движение, то можно ввести комплексные обозначения и
положить
В(*) := В^г) + 1В2(1) (г = у/^1).
Такой процесс В(^) называется комплексным броуновским
движением.
(\) Пусть Р(г) = и(г) -+- гу(г) — аналитическая функция, т. е.
Р удовлетворяет уравнениям Коши—Римана
ди ду ди ду
дх ду1 ду дх1
Определим
2г = Г(В(1)).
Докажите, что
<121=Р'{В{1))<1В(1), (5.3.8)
где Р' есть (комплексная) производная функции Р.
(Отметим, что обычно присутствующие в (вещественной)
формуле Ито члены второго порядка отсутствуют в (5.3.8)!)
(и) Решите комплексное стохастическое дифференциальное
уравнение
сЩ = а^йВ(^) (а —константа).
Дальнейшие сведения о комплексном стохастическом
анализе, включая и аналитические функции, можно найти,
например, в статье 1Лэ0е (1987).
5.15. (Рост популяции в насыщенной стохастической среде.)
Нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение
йХг = гХь{К - Хг)И + рХгйВи Х0 = х > 0, (5.3.9)
часто используется в качестве модели для роста размера
популяции Хь в насыщенной стохастической среде. Константа
К > 0 называется несущей емкостью среды, константа гЕК

Упражнения 105
является мерой качества среды, а константа /3 (Е К есть мера
интенсивности шума в системе.
Проверьте, что
* = —-р«'*-^>'+/>*>—_ (г01 (5310)
х-1 + г }ехр{(гК - \(12)8 + /ЗД,}й«
о
есть единственное (сильное) решение уравнения (5.3.9). (Это
решение может быть найдено подстановкой (заменой
переменных), которая сводит (5.3.9) к линейному уравнению
(подробности см. в книге Сагй (1988), гл. 4).)
5.16. Техника, использованная в упражнении 5.6, может быть
применена к решению более общего нелинейного стохастического
дифференциального уравнения вида
лхь = 1{1,хь)й1 + с(г)хьйви х0 = х, (5.з.п)
где /:КхК—>Кис:К—> К —заданные непрерывные
(детерминированные) функции. Нужно поступить следующим
образом.
а) Введите «интегрирующий множитель»
I I
Рг = Рг(и) = ехр ( - ( с{з)йВ8 + ^ ( ' <?{з)й^\ (5.3.12)
о о
и покажите, что (5.3.11) можно записать в виде
й{РьХь) = Рг.Ц!,Хг)й1. (5.3.13)
Ь) Определите
Уг{ш) = Рь(ш)Хг(ш), (5.3.14)
так что
Хь = РГ'Уь. (5.3.15)
Покажите, что уравнение (5.3.13) приобретает вид
^^ = ^И./(«,^-1М^Н), Уо = х. (5.3.16)
Отметим, что это детерминированное дифференциальное
уравнение относительно функции I —> Уь(и) для каждого
шЕ О. Поэтому мы можем решить (5.3.16), считая и
параметром, и найти У^и), а затем получить Х^ш) из
(5.3.15).

106 Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения
с) Примените этот подход к решению стохастического
дифференциального уравнения
ЛХ% = 4"Л + <х.Х%йВи Х0 = х > 0, (5.3.17)
Хь
где а —константа.
(1) Примените этот метод к изучению решений
стохастического дифференциального уравнения
ЛХЬ = Х?сН + аХ1йВ1, Х0 = х > 0, (5.3.18)
где а и 7 —* константы.
При каких значениях 7 мы получим «взрывной»
эффект у решения?
5.17. (Лемма Гронуолла—Беллмана.) Пусть у(1)
—неотрицательная функция, такая, что
I
у(1) <С + А у(з)(1з при 0 < I < Т
о
для некоторых констант С, А. Докажите, что тогда
<;(*) < Сехр(Лг) приО<г<Т. (5.3.19)
(Указание. Можно считать, что А ф 0. Определим IV(р) =
I
^ у(з)в,8. Тогда ь)'{1) < С + Ауо{1). Покажите, что
о
«;(*) < ^(ехр(Л*) - 1), (5.3.20)
рассмотрев функцию /(*) := ги(1) ехр(—АЬ).
Воспользуйтесь неравенством (5.3.20) для получения
(5.3.19).)

Глава 6
Задача фильтрации
6.1. Введение
Задача 3 из введения есть частный случай следующей общей задачи
фильтрации.
Предположим, что состояние Хь Е Кп системы в момент
времени I задается стохастическим дифференциальным уравнением
^ = ъ(г,хь) + а{г,хь)т, <>о, (6.1.1)
где функции Ъ: Кп+1 —> Кп, а: Кп+1 —> Кпхр удовлетворяют
условиям (5.2.1), (5.2.2), а И^ есть р-мерный белый шум. Как уже
говорилось ранее, это уравнение, понимаемое в смысле Ито,
описывается следующим уравнением в дифференциалах:
(система) йХь = Ь(1, Хь)сН + а{1, Хь)<Ши (6.1.2)
где VI есть р-мерное броуновское движние. Мы также
предполагаем, что распределение величины Хо известно и не зависит от 17*.
Аналогично одномерной формуле (3.3.б) существует явная
формула для многомерного случая, выражающая трактовку уравнения
(6.1.1) в смысле Стратоновича:
ахь = ь(г,хь)(И + а(г,хь)ошь.
В терминах интеграла Ито эта формула принимает вид
ахь = ь(г,хь)(И + а(г,хг)(1щ,
где Ьг{1,х) = Ь#,х) + -^1^-^Г<гн, \<г<п (6.1.3)
(см. ЗЪгаЪопстсЬ (1966)). Всюду в дальнейшем мы будем понимать
стохастическое дифференциальное уравнение в смысле Ито,
пользуясь представлением (6.1.2).
В непрерывном варианте задачи фильтрации мы полагаем, что
наблюдения Щ Е Кт проводятся непрерывно и имеют вид
Н1=с(1,Хь)+1(1,Хь)-Щ, (6.1.4)

108 Глава 6. Задача фильтрации
где с: Кп+1 —> Кт, 7: Нп+1 —> Ктхг —функции, удовлетворяющие
условию (5.2.1), а И^ обозначает г-мерный белый шум, не
зависящий от Ц~1 и Хо.
Для того чтобы получить математически приемлемую
интерпретацию формулы (6.1.4), введем процесс
I
2Ь = [ Н8йз (6.1.5)
о
и получим, таким образом, стохастическое интегральное
представление
(наблюдения) 02 г = с(*,Х4)еЙ + ^{1,Хь)ёУь, 20 = 0, (6.1.6)
где Т4 есть г-мерное броуновское движение, не зависящее от 1]% и Хо-
Отметим, что если наблюдения Н8 известны для 5 Е [0,*], то
величины 28 также известны для 5 Е [0,*], и наоборот. Итак, если
рассмативать ^ в качестве наших «наблюдений» вместо Щ, то мы
не теряем и не приобретаем никакой информации. Но это позволяет
нам получить корректную математическую модель явления.
Задача фильтрации состоит в следующем.
Пусть даны наблюдения 28, удовлетворяющие уравнению (6.1.6)
для 5 Е [0,*]. Какова наилучшая оценка Х^ состояния Х^ системы
(6.1.2), основанная на этих наблюдениях?
Как мы уже указывали ранее, нужно найти точную
математическую формулировку этой задачи. Говоря, что оценка Х% основана
на наблюдениях {28;з < ^}, мы подразумеваем, что
функция Х^(-) является ^-измеримой,
где 01 есть сг-алгебра,
порожденная семейством {28(-); з < I}. (6.1.7)
Говоря, что Хг есть наилучшая такая оценка, мы имеем в виду, что
1\хь-х1\Чр = е\\хь-х1\2)
= Ы{Е[\ХЬ - У\2]; У е /С}. (6.1.8)
Здесь — и до коцца этой главы — (Л, Т, Р) есть вероятностное
пространство, соответствующее (р + г)-мерному броуновскому движе-

6.1. Введение 109
нию ((Т*,!^), начинающемуся в 0, Е обозначает математическое
ожидание относительно Р и /С:
/С := /С* := К(2,1) := {У: ^->КП;
УЕ1/2(Р) и У является ^-измеримой функцией}, (6.1.9)
где Ь2{Р) = Ь2(П,Р).
Определившись с математической формулировкой нашей
задачи, приступим теперь к изучению свойств решения Хь.
Сперва установим следующее полезное соответствие между
условным математическим ожиданием и проекцией.
Лемма 6.1.1. Пусть И С Т есть о-алгебра, а величина X Е
Ь2(Р) является Т-измеримой. Положим N — {У Е Ь2(Р)\ У
является И-измеримой функцией}, и пусть Тм обозначает
(ортогональную) проекцию из гильбертова пространства Ь2(Р) на
подпространство N. Тогда
Гм(Х) = Е[Х\П].
Доказательство. Напомним (см. приложение В), что ^[Х|7^] по
определению есть Р-единственная функция из Г} в К,
удовлетворяющая следующим условиям:
(1) функция Е[Х|%] является 7^-измеримой;
(и) $Е[Х\Н]йР = $ХйР для всех Л Е П.
Л Л
Далее, функция Тм(Х) является 7^-измеримой, и
/ У(Х - ГЛг(Х))о1Р = 0 для всех У еЛГ.
В частности,
ПХ - Т>х(Х))йР = 0 для всех Л Е Н,
л
т. е.
/ Гм(Х)а!Р = / ХйР для всех А е Н.
л л
Следовательно, в силу единственности Тм(Х) = Е[Х|%]. П
Из общей теории гильбертовых пространств известно, что
решение Хь задачи (6.1.8) задается проекцией Тк^Х^. Поэтому
лемма 6.1.1 приводит к следующему полезному результату.

110 Глава 6. Задача фильтрации
Теорема 6.1.2. Для решения Х1 задачи (6.18) справедлива
формула
Х1=Ткг{Хь) = Е[Х1\д1).
Эта формула является основой для общего уравнения теории
фильтрации — уравнения Фуджисаки—Каллианпура—Куниты (см.,
например, Вепзоиззап (1992), Бау15 (1984) или КаШаприг (1980)).
6.2. Одномерная линейная задача фильтрации
Теперь рассмотрим линейный случай, который допускает явное
решение в терминах стохастических дифференциальных уравнений
для Хь {фильтр Калмана—Бьюси).
В линейной задаче фильтрации уравнения для системы и
наблюдений имеют вид
(линейная система) ЗХ1 = Р(1)Х1сИ -+- С{1)оШ11
Р(г) <екпхп, с {г) е кпхр, (6.2.1)
(линейные наблюдения) 3,2ц = С(1)Х1оИ + 1)(2)сП^,
С(г)ектхп, 2}(*)<екшхг. (6.2.2)
Чтобы уделить особое внимание основным идеям решения
задачи фильтрации, рассмотрим сначала только одномерный
случай:
(линейная система) ЗХ1 = Р(1)Х1(И + С(2)сй7г,
Р(г),С(г) ее, (6.2.3)
(линейные наблюдения) 3,2ц = С{р)Х1(И + 2)(^)сЛ4,
<?(*), Л (*) €К. (6.2.4)
Мы предположим {см. (5.2.1)), что функции Р^С^С^И
ограничены на ограниченных интервалах. Основываясь на нашем
определении (6.1.5) процесса 2ч, положим 2о — 0. Допустим также, что
величина Хо нормально распределена (и не зависит от {17*}, {V*})-

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 111
Наконец, будем считать, что функция В{1) отделена от 0 на
ограниченных интервалах.
Распространение одномерной теории на многомерный случай
(6.2.1), (6.2.2) технически громоздко, но не требует привлечения
каких-либо существенно новых идей. Поэтому мы только
сформулируем результат для многомерного случая (в следующем разделе),
после того как обсудим одномерный вариант. Читатель может сам
проделать необходимые для общего случая модификации или
найти полное исследование в работах Вепзоиззап (1992), Бау13 (1977)
или КаШаприг (1980).
Всюду в дальнейшем мы полагаем, что Х^, 2* — процессы,
удовлетворяющие уравнениям (6.2.3), (6.2.4). Вот план решения задачи
фильтрации для одномерного случая.
Шаг 1. Пусть С = С(2,1) —замыкание в Ь2(Р) множества
функций, которые являются линейными комбинациями вида
с0 + Сг281 (и) + --- + ск2$к(и), где 8^ < *, с, е К,
и пусть Тс обозначает проекцию из Ь2(Р) на С. Тогда, определяя
/С согласно (6.1.9), получим, что
Хг = ТК(Хг) = Е[Х,Щ = Тс{Х1).
Таким образом, наилучшая 2-измеримая оценка процесса Хг
совпадает с наилучшей 2-линейной оценкой того же процесса.
Шаг 2. Заменим 2Ь обновляющим процессом А^:
I
М{ = 2{- |(<?Х)>, где (СХ)$ = ТС(2,,){С{з)Х$) = С(з)Х$.
О
Тогда
(1) N1 имеет ортогональные приращения, т. е. ^[(Л^ — 7У51)(7\^2 —
Л^2)] = 0 для неперекрывающихся отрезков [$1,^1], [$2,^2];
(и) €(N,1) = Ц2,г), так что Хь = Тс{мМХ*)-
Шаг 3. Если положить

112 Глава 6. Задача фильтрации
то Кь есть одномерное броуновское движение. Более того, €(N,1) =
ЦК,1) и
I
Хь = Гс{мМХь) = %*)№) = ВД] + / ^ВДД,]<Ш,.
О
Шаг 4. Найдем выражение для Х^, решив (линейное)
стохастическое дифференциальное уравнение
йХг = Р(1)ХьЛг + С{Ъ)(Шь.
Шаг 5. Подставим формулу для Хь из шага 4 в Е[Х1Я$] и с
помощью шага 3 получим стохастическое дифференциальное уравнение
Для Хь:
I
2
ЛХг = ^Е[ХьН8]8=ы1Нь +П ^ВДДв]йдЛ Л и т. д.
о
Перед тем как перейти к детальному рассмотрению шагов 1-5,
разберем один простой, но проясняющий суть дела пример.
Пример 6.2.1. Пусть X, \У\, И^,... — независимые вещественные
случайные величины, Е[Х] = #[И^] = 0 для всех ], 1?[Х2] = а2,
#[ТУ_?] = га2 для всех ]. Положим 2^ — X + И^-.
Какова наилучшая линейная оценка X для X, основанная на
{%з\3 < ^} ? Более точно, пусть
С = С(2,к) = {с121 + -- + ск2к; сх,...,ск е К}.
Мы хотим найти
где Р& обозначает проекцию на >С(^, к).
Воспользуемся процедурой Грама—Шмидта и построим
случайные величин А\, Л2,..., такие, что
(1) Е[АгА,] = 0 для г ф у,
(и) С(А,к) = С(2,к) для всех &.
Тогда
^ = Е ЧтЖ^ Для А = 1,2,... (6.2.5)

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 113
Получим отсюда рекуррентное соотношение между Хк и Хк-1,
заметив, что имеет место равенство
А^2^Х^, (6.2.6)
которое следует из соотношения
Л, = 2$ - Ту-1(2у) = 2$ ~ Т>у-1(Х), поскольку ^^(И^) = 0.
Из (6.2.6) получаем, что
Е[ХАД = Е\Х{2) - Х,_!)] = Е[Х(Х - Х^)] = Е[(Х - Х^)2}
Е[А2} = Е[(Х + Щ- Х,_!)2] = Е[(Х - Х^)2} + гп2.
Следовательно,
Хк = Хк-г + ^(ХГ^;1)2] 2(2к - Хк_г). (6.2.7)
Е[(Х-^_!)2] + т2
Если ввести величину
- 1 к
2к = -^2 2з>
3 = 1
то нашу оценку можно записать в простом виде
Хк = —° -2к. (6.2.8)
а~ + ^ • тп1
(В этом можно убедиться следующим образом.
Положим
а2
&к = "Г Т ~, ^ = а*^Ь
Тогда
(1) с/, е Ц2,к);
(и) X - 11к±С(2,к), так как
Д[(Х - Щ)2{] = Е[Х2г] - акЕ\2к2{\
= Е[Х(Х + Щ] - акХ-^Е\2^г\
з
а2-^^Е[(Х + И^)(Х + И^
= а2 - -а*[А;а2 + га2] = 0.)
/с

114 Глава 6. Задача фильтрации
Обсудим некоторые свойства полученной оценки.
Для больших к мы получаем, что Хъ ^ ^, в то время как для
небольших к более важным становится соотношение между а2 и
га2. Если га2 ^> а", то вклад наблюдений в значительной степени
обесценивается (для небольших к) и оценка Х& полагается равной
своему среднему значению, т. е. нулю (см. также упражнение 6.11).
Этот пример иллюстрирует наш подход.
Мы заменяем процесс ^ на процесс с ортогональными
приращениями N1 (шаг 2), чтобы получить представление для Х^,
аналогичное (6.2.5). Такое представление реализовано на шаге 3, после
того как мы отождествили наилучшую линейную оценку с
наилучшей измеримой оценкой (шаг 1) и установили связь между Л^ и
броуновским движением.
Шаг 1. 2-линейные и Е'-измеримые оценки
Лемма 6.2.2. Пусть Х,28, з < I, —случайные величины в Ь2(Р),
и пусть вектор
(X, 281,282,..., 28п) Е К
имеет нормальное распределение для всех «1, «2, • ■ •, $п < ^ п > 1-
Тогда
Рс(Х)=Е[Х\д]=Гк(Х).
Другими словами, в этом случае наилучшая ^-линейная оценка
для X совпадает с наилучшей ^-измеримой оценкой.
Доказательство. Положим X = 7^с(Х), X = X — X. Тогда мы
утверждаем, что X не зависит от (?. Напомним, что случайная
величина (Ух,..., Уд) Е К* является нормальной тогда и только
тогда, когда величина с\У\-\ 1- с^Ук нормальна при любом выборе
С1,...,с^ Е К. Кроме того, 1/2-предел нормальных величин снова
является нормальной величиной (приложение А). Поэтому
вектор (X, 281,..., 23п) нормален для всех 8\,... ,зп <1.
Поскольку Е[Х28]] = 0, величины X и 28^ некоррелированы при
1 < 3 < п- Отсюда следует (приложение А), что
X и (281,..., 28п) независимы.
Итак, X не зависит от (5, что и утверждалось. Но тогда
Е[Ха(Х - X)] = Е[ХСХ} = Е[Х0] • Е[Х] = 0 для всех С Е О,

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 115
т. е. / Хв,Р — / Хв,Р. Так как величина X является ^-измеримой,
С1 С1
х = Е\х\д\. □
Имеется любопытная трактовка этого результата.
Предположим, что Х,{%1}1€Т являются 1/2(Р)-функциями с заданными ко-
вариациями. Среди всех возможных распределений вектора
(Х,2г1,...,21п)
с этими ковариациями нормальное распределение будет
«наихудшим» для оценивания в следующем смысле: для любого
распределения имеет место неравенство
Е[(Х - Е[Х\д})2} < Е[(Х - Гс(Х))2},
причем в силу леммы 6.2.2 равенство достигается на нормальном
распределении. (Отметим, что величина в правой части зависит
лишь от ковариаций, а не от распределения, которое можно
выбирать для получения этих же ковариаций.) Широкое обсуждение
подобных выводов, основанных на информационно-игровом
подходе, где «игра» идет между природой и исследователем, читатель
может найти в работе Торзое (1978).
И наконец, для того чтобы применить лемму 6.2.2 к нашей
задаче фильтрации, нам необходим следующий результат.
Лемма 6.2.3. Процесс
М.1 — I *\ Е К2 является гауссовским.
Доказательство. Можно рассматривать Мь как решение
двумерного линейного стохастического дифференциального уравнения вида
Шг = Н{1)МгЛ1 + К{1)ЛВи М0 = (ХА , (6.2.9)
где Н(1) е К2х2, К{1) е К2х2, а, Вь есть двумерное броуновское
движение.
Для решения уравнения (6.2.9) воспользуемся итерациями Пи-
кара, т. е. положим
I I
М^п+1)=М0+ (Н(з)МЫ<18+ ('К{з)йВ8, п = 0,1,2,... (6.2.10)

116 Глава 6. Задача фильтрации
Тогда процесс М± является гауссовским для всех п и М^ —> М^
в Ь2{Р) (см. доказательство теоремы 5.2.1), поэтому процесс М^
является гауссовским (теорема А.7). □
Шаг 2. Обновляющий процесс
Перед тем как ввести понятие обновляющего процесса, установим
одно полезное представление функций из пространства
С(2,Т) = < замыкание в Ь2(Р) множества всех линейных
комбинаций со + С\2чх + • • • + с&^; 0 < ^ < Т, су Е К >.
Отметим, что если / Е Ь2[0,Т], то
Е[(//(№) 1=Е[(/№°®х*аг)
2п
+ Е
т
К/
№Щ*)<Ш
+ 2Е
о о
Так как
Е
О
2 7
)] <^1-У/2(*)Л
(в силу неравенства Коши—Шварца),
т
[(//(*)Х>(*)Л4) ] = //2^2^Л
о о
(в силу изометрии Ито)
и {Х*},{14} независимы, мы заключаем, что
г г 2 т
Л0 /"/2(*)Л < ЯIV /"/(«) 1 < Л2 /,/2(*)Л, (6.2.11)
0 0 0
где Л0,Л 1,^2—некоторые константы, не зависящие от /. Теперь
можно показать, что справедлива следующая лемма.

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 117
Лемма 6.2.4. Пространство С(2,Т) можно описать равенством
С(2,Т) = {<*, + //(*№ / е ь2%П со е к}.
о
Доказательство. Обозначим правую часть равенства через
Я(2,Т). Достаточно показать, что
а) Щ2,Т) С С(2,Т);
Ь) Ы{2, Т) содержит все линейные комбинации вида
с0 + с\2Ьх + • • • + ск21к, 0 <и < Т;
с) ЛГ(2,Т) замкнуто в Ь2{Р).
Приступим к доказательству этих утверждений.
а) Утверждение этого пункта вытекает из того, что если функция
/ непрерывна, то
т
I№№* = Нш ^/и • 2-*) • (%ц)2- - 2^-п).
О '
Ь) Предположим, что 0 < 1\ < 12 < • • • < 1к < Т. Запишем
следующие равенства:
& &—1 Л—1 ^ + 1 "^ Л —1
5>я4| = ^>;.д^ = 2 / 4^ - / (Е4%л+о('))^
*=1 .7=0 7=0 ^ $ 7=0
где Д2,- - ^.+1 - ^..
с) Утверждение этого пункта следует из (6.2.11) и из того, что
пространство Ь2[0,Т] является полным. □
Теперь определим обновляющий процесс Л^ следующим
образом:
I
МЬ=2Ь-1\0Х)*йз, где (СХ^=Гс(2,$)(С(в)Х$)=С(з)Х3,
(6.2.12)
т. е.
<Щ = С(1)(Х1 - Хг)Л + П(1)<1Уг. (6.2.13)

118 Глава 6. Задача фильтрации
Лемма 6.2.5. (1) Процесс Л^ имеет ортогональные приращения;
(п) Е[М{] = /Я2(5)<Ь;
О
(ш) Д7У, *) = С(2,1) для всех I > 0;
(IV) N1 является гауссовским процессом.
Доказательство. (1) Если 8 < I и У е С(2,з), то
Е[(МЬ - М$)У] = Е
С(г)(Хг-Хг)а1г +
г
I
[(/
I I
[С{г)Е[{Хг - Хг)У]а!г + е\( (шИу]
-0,
поскольку Хг — Хг±С(2,г) Э С(2,з) для г > з и процесс V
имеет независимые приращения,
(и) Из формулы Ито для д(1,х) = х2 получаем, что
ад2) = 2А^А^ + ^ • 2(<Щ)2 - 27МЛ^ + В2а\1.
Итак,
ВД2] = е\ /*27У5ад + ГВ2(8)о18.
Далее,
г
так что, поскольку процесс ТУ имеет ортогональные
приращения,
Е
I
Лилг,
0,
и утверждение (и) доказано,
(ш) Ясно, что >С(7У, I) С С(2,1) для всех I > 0. Для того чтобы
установить противоположное включение, воспользуемся лем-

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 119
мой 6.2.4. Выберем / Е Ь2[0,^] и посмотрим, какие функции
могут быть получены в виде интегральных представлений
I I I
11ШМ8 = 11{з)Л2а - I }(г)С{г)Хг<1г
0 0 0
I I г I
= I Кз)<12, - I /(г) [ I д(г, 8)42,] Лг - | /(г)с(г)с1г
Л23 - 1/(г)с(г)*-.
о
= /[/(5)- /Пг)д{г,8)йт
0 5
Здесь мы воспользовались равенством
г
{СХ)*=с{г) + ] д{г,з)Л2а
о
для некоторых д(г, •) Е 1/2[0,г], с(г) Е К,
которое получено с помощью лемм 6.2.2 и 6.2.4. Из теории
интегральных уравнений Вольтерра известно (см., например, БаУ18
(1977), с. 125), что для любой функции /г Е 1/2[0,^] существует
функция / Е 1/2[0,2], такая, что
I
/(з)- I Нг)9(г,в)с1г = Н(з).
8
Так что, выбирая к = Л^о,^], где 0 < 1\ < ^, получаем равенство
I I I
I {{г)с[г)йг + I №<№, = I Х%ф)д2а = 2,19
0 0 0
которое показывает, что €(N,1) Э С(2,1).
(IV) Величина Х^ есть предел (в Ь2(Р)) линейных комбинаций вида
М = со + с\281 + • • • + ск28к, где я* < *.
Поэтому
(Х^,... ,Хгт)
есть предел т-мерных случайных величин (М^\ ..., М^т^),
компоненты которых являются линейными
комбинациями указанного вида. Вектор (М^1),... ,М(т)) имеет
нормальное распределение, так как процесс {2^ является гауссовским,

120 Глава 6. Задача фильтрации
а поэтому и его предел —тоже. Следовательно, процесс {Хь}
является гауссовским. А тогда и процесс
I
N^ = 21- [с{з)Х8с1з
о
является гауссовским по тем же причинам. □
Шаг 3. Обновляющий процесс и броуновское движение
Пусть N1 = 2ц— § С(з)Х8д,з — обновляющий процесс, определенный
о
на шаге 2. Напомним, что функция Б{1) отделена от 0 на
ограниченных интервалах. Определим процесс Яг (и) уравнением
йКь = щтМь(и>), I > 0, Я0 = 0. (6.2.14)
Лемма 6.2.6. Процесс Яг является одномерным броуновским
движением.
Доказательство. Заметим, что
(1) Кь имеет непрерывные траектории;
(и) Яь имеет ортогональные приращения (поскольку А^ имеет
ортогональные приращения);
(ш) Яь является гауссовским процессом (так как А^ — гауссовский
процесс);
(IV) Е[ПЬ] = 0 и Е[ВьЯ8] = тт(5,().
Для доказательства последнего утверждения в (IV) отметим, что
по формуле Ито
й(К2ь) = 2КьйКь + (Жь)2 = 2ЯъйЯъ + <И,
так что, поскольку Яь имеет ортогональные приращения,
Е[Щ] = Е
Поэтому если $ < ^ то
I
О
= I.
Е[ЯЬЯ8} = Е[(ЯЬ - Я3)Я3] + Е[Я28] = Е[Я23] = з.

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 121
Свойства (1), (ш) и (IV) составляют одну из многих характе-
ризаций одномерного броуновского движения (см. 8шюп (1979),
теорема 4.3). (Рассуждая иным путем, мы могли бы легко
показать, что процесс Д^ имеет стационарные независимые приращения,
и поэтому — в силу непрерывности — он должен быть броуновским
движением согласно результату, отмеченному в начале гл. 3.
Общая характеризация броуновского движения приведена в следствии
8.4.5.) О
Так как
€(N,1) = ЦК,1),
мы заключаем, что
Оказывается, что проектирование на пространство С(Я, I) может
быть описано очень изящно (сравните это с формулой (6.2.5)
в примере 6.2.1).
Лемма 6.2.7. Справедливо следующее равенство:
I
Хь = Е[ХЬ] + [ -^Е[ХьЯ3}(тз. (6.2.15)
Доказательство. Из леммы 6.2.4 известно, что
I
Хь = Со(г) + [ д(з)(1Яа
о
для некоторых функций д Е 1/2[0,2], Со(1) Е К.
Перейдя к математическим ожиданиям, замечаем, что с0(1) =
Е[ХЬ] - Е[ХЬ]. Мы имеем
I
{Хь - Хь)± / /(в)йДв для всех / е Ь2[0,1].

122 Глава 6. Задача фильтрации
Поэтому
Е
о
= Е
Е
I
■I
Хг / /(в)<Ш.
= #
[ д(з)<1К3 [ ;(з)с1Н3
о о
У9(в)/(в)А»] = У" д(а)М<Ь
для всех / Е 1/2[0,^]; здесь мы использовали изометрию Ито.
В частности, если выбрать / = Х[о,г] для некоторого г < I, то мы
получим
Е[ХЬКГ} = I д{з)<18,
или
5(г) = ^ВДДг],
что и утверждалось. Это завершает шаг 3.
□
Шаг 4. Явная формула для Х^
Эту формулу можно легко получить, используя формулу Ито, как
в примерах гл. 5. Результат имеет вид
Хь = ехр / Р(з)<1з
г з
Х0+ /ехр( - [Р(и)(1и\С(
(з)(Ш8
0 о
1 I
ехр ( [Р(з)(1з\Хо + /ехр ( [ Р(и)<1и\С(з)Ша.
Заметим, в частности, что ^[Х^] = Е[Хо]ехр(^ Р(з)с18).
о
В более общем виде, для 0 < г < I имеем (см. упражнение 6.12)
I I I
Хъ = ехр ( [ Р{з)йз\хг + /ехр ( /'^(и)йи)с7(в)йС/в. (6.2.16)

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 123
Шаг 5. Стохастическое дифференциальное уравнение
Объединим теперь результаты предыдущих шагов, чтобы получить
решение задачи фильтрации, т. е. стохастическое
дифференциальное уравнение для Хг. Начнем с формулы (см. лемму 6.2.7)
I
Хь = Е[Хь] + 1/(з,г)(1Я8,
о
где
/(М) = ^ВДД.]. (6.2.17)
Используем равенство
5
На= [ §т4(Хг - Хг)Лг + V, (из (6.2.13) и (6.2.14))
о
и получим
5
Е[ХгК3} = 1^Е[ХгХг}<1г
где
Хг = Хг - Хг. (6.2.18)
Используя формулу (6.2.16) для Хг, получим
I I
Е[Х{ХГ] = ехр ( (Р{у)ёю\Е[ХтХт] = ехр ( /"^(«)ЖЛ5(г),
Г Г
где
5(г) = Е[(ХГ)2}, (6.2.19)
т. е. 5(г) есть среднеквадратичная ошибка оценки в момент
времени г > 0. Таким образом,
5 I
Е[Х{Е3] = 1^ехрП Р(у)с1у\ 5{г)йг,
О г
так что
I
ЯМ) = ЩехР (I т^5{8). (6.2.20)

124 Глава 6. Задача фильтрации
Мы утверждаем, что 5(1) удовлетворяет (детерминированному)
дифференциальному уравнению
(уравнение Риккати). (6.2.21)
Для доказательства равенства (6.2.21) заметим, что по теореме
Пифагора с учетом (6.2.15) и по свойству изометрии Ито справедливо
следующее равенство:
5(1) = Е[{ХЬ - Хг)2] = Е[Х2) - 2Е[Х1Х1] + Е[Х2}
= Е[Х2]-Е[Х2}
I
= Г(*)- /"/(М)2Ж-ВД]2, (6.2.22)
где
Т(*) = Е[Х%]. (6.2.23)
Далее, согласно (6.2.16) и изометрии Ито имеем
I I I
Т(1) = ехр 12 [ Р{8)й8\Е[х1] + /ехр ?2 ( Р(и)(1и\с2(8)<18
О 0 5
(мы воспользовались тем, что Хо не зависит от {С/5}5>о)- Тогда
йТ = 2Р(1) • ехр ^2 / Р(з)(18>\ Е[Х2] + С2(г)
(И
I I
+ [2Р(г)ехр (2 [Р(и)(1и\С2(8)(18,
т. е.
^- - 2Р(г)Т(г) + с2(г). (6.2.24)

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 125
Дифференцируя равенство (6.2.22) и подставляя в него (6.2.24), с
использованием шага 4 получим, что
I
^ = ^ - /2(М) -12/(з,1) ■ ^/(М)<Ь " 2П№Хь}2
О
= 2РЦ)Т{1) + СЧ1)-^Щ^
I
- 2 [/2(з,1)Р(1)<18 - 2Р{1)Е[Х1]2
о
= 2Р(^)5(^) + сЧ^)-^Щр-,
а это и есть уравнение (6.2.21).
Теперь мы можем перейти к выводу стохастического
дифференциального уравнения для Х^.
Из формулы
I
Хь = со(г) + I/(з,*)(1Я8, где с0(*) = Е[Хг],
о
следует, что
I
ЛХг = с'0(г)(И + Ц1,1)т + ( I ^/(в,*)йдЛл, (6.2.25)
о
так как
и I и и
/ ( / ^/(5'г)ап') м = / ( / Ъг1{8' *){й) Шз
О 5
и
= у*(/(*,«)-/(*,*))<«.
о
= Хи - со (г*) - / /(з,з)(Шв.
оо о«
Тогда
I
лхь = с'0(г)си + С{ТР^г + П/Мап^РМЛ,

126 Глава 6. Задача фильтрации
или
лхг = С0(г)(И + Р(г) • (хь - <*>(*))* + ^Ш^^
= Р(1)ХгЛ1 + ^Щ^&МЪ, (6.2.26)
поскольку с'0(1) — Е(1)с^(1) (шаг 4).
Подставляя в (6.2.26) формулу
ш, что
ЛХЬ= 1
{по
Шг :
&
Я(*)1
!(<)5(*)
П2 ЛЛ
(12ь-
- офхцк],
)™+°-т
с12ь. (6.2.27)
Сформулируем итог наших рассуждений.
Теорема 6.2.8 (одномерный фильтр Калмана—Бьюси). Решение
Хь — Е\Х1\()1\ одномерной линейной задачи фильтрации,
описываемой уравнениями (6.2.3), (6.2.4):
{линейная система) йХь — Р^Хьдй + С(1)(Ш1, Р{1),С{1) Е К,
{линейные наблюдения) 6,2ц — С^Х^ -+- 1)(2)сП^, С(1),П(1) Е К
(с условиями, сформулированными ранее), удовлетворяет
стохастическому дифференциальному уравнению
Х0 = Е[Х0], (6.2.28)
где 3(1) — Е[(Хь — Х1)2] удовлетворяет (детерминированному)
уравнению Риккати
5(0) = Е[(Х0 - Е[Х0])2]. (6.2.29)
Пример 6.2.9 (наблюдения постоянного процесса на фоне шума).
Рассмотрим простой случай

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 127
(система) в,Хь — О, т. е. Хь = Х0, Е[Х0] = О, ^[А"^] = а2,
(наблюдения) с?^ = Х^Л -+- габД^, ^0 — О
(соответствующие уравнению Я^ = —- = Хь + гаИ^, И^-—белый
шум).
Сначала, решив соответствующее уравнение Риккати для 5(1) =
Е[№-Х4)2]:
получим, что
^5
1й"
-52, 5(0) = о2,
га2
5(*) =
2 2
агтг
I > 0.
ш2 + а2*'
Это дает следующее уравнение для Х^.
2 2
ЛХЬ = —^—^Х1(И + 0° с^, Х0 - Е[Х0] - 0,
га2 + а2^
т2 + а2*
или
й(Х4ехр( / 9 , 9,<Й) ) = ехр( / 9° 2,<й) 9°, 9,<^,
I > 0. (6.2.30)
откуда
Х> =
т2 + аН
Этот пример есть непрерывный аналог примера 6.2.1.
Пример 6.2.10 (наблюдения броуновского движения на фоне
шума). Если рассмотреть следующую незначительную модификацию
предыдущего примера:
(система) в,Хь — с(Шь, Е[Хо] = 0, -#[^о] = а2, с —константа;
(наблюдения) 6,2ц — Х^Ь -+- гасП^,
то уравнение Риккати примет вид
^ = --±-52+с2, 5(0)-а2,
6.1
или
т2в,5
т2с2 - 52
Из этого соотношения получаем
= ей (5^ тс).
тс -+- 5
тс — 5
Кехр№\ К
тс + сг
тс — а?

128 Глава 6. Задача фильтрации
или
(*) = <
' ЪГ (2СЬ\ 1
К ■ ехр — - 1
тс
К-ехр(—)+1
\ т
тс (константа),
К • ехр ( — \ + 1
тс ■
К •ехр —
\ т
если 5(0) < тс,
если 5(0) = тс,
, если 5(0) > тс.
1
Таким образом, во всех случаях среднеквадратичная ошибка 5(1)
стремится к тс при I —> оо.
Для простоты положим а = 0, т — с— 1. Тогда
• ехр(2.)-1^
^ ; ехр(2*) + 1 ^ ;
Уравнение для Хь имеет вид
йХг = -\\\{1)ХЬ<11 + И1(г)02ь, Х0 = 0,
или
й(сЬ(*)х4) = зЬ(*)йг4.
Итак,
X,
сЬ(«)
Возвращаясь к исходной интерпретации величин ^:
о
где #5 являются «исходными» наблюдениями (см. (6.1.4)), можно
записать, что
I
= ( Н,йз,
X,
I
сЬ(«)
С?5.
(6.2.31)
Таким образом, Х^ приближенно есть (для больших I) взвешенное
среднее наблюдений Н3 со все большим учетом наблюдений при
увеличения времени наблюдений.

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 129
Замечание. Интересно сравнить формулу (6.2.31) с
традиционными формулами в прогнозировании. Например,
экспоненциально взвешенное скользящее среднее Хп, предложенное Хольтом
в 1958 г., имеет вид
п
Хп = (1 - а)п20 + а ^(1 - а)п~к2к,
к=\
где а —некоторая константа, 0 < а < 1 (см. Тпе Ореп 11п1уегз^у
(1981), с. 16).
Выражение для Хп можно записать в форме
п
Хп = р~п20 + (/? - 1)/3"п-1 ^Рк2к,
где /3 = ^з^ (в предположении, что а < 1), которая является
дискретным аналогом формулы (6.2.31), или, более точно, формулы,
соответствующей (6.2.31) в общем случае, когда а ф 0, а га, с не
обязательно равны 1.
Пример 6.2.11 (оценивание параметра). Предположим, что мы
хотим оценить величину (постоянного) параметра #, основываясь
на наблюдениях 2Ь, удовлетворяющих модели
где М(^),7У(^) —известные функции. В этом случае стохастическое
дифференциальное уравнение для #, конечно, имеет вид
так что уравнение Риккати для 5(1) = Е[(в — б^2] можно записать
в виде
^5 _ /М(*)5(*)\2
оИ ~ \ N(1) ) '
откуда находим
5(()=(5„-1 + |м2(»)Г2(#| ,
о
а фильтр Калмана—Бьюси определяется уравнением

130 Глава 6. Задача фильтрации
Это уравнение можно записать следующим образом:
I
5ь1+ [м2($)лг2(5)^Ь^ + м2(г)н~2(г)въйг = м^и-'2^)^.
о
Представляя левую часть уравнения в виде
I
м{8)ги{8)-Ч8)е1),
О
получим, что
I
в05й1 + !М(8)М-2(з)(123
л о
5^1 + /М2(в)ЛГ-2(в)йв
о
Эта оценка совпадает с оценкой метода максимального
правдоподобия из классической теории оценивания при 5(^~1 = 0 (см. Липцер,
Ширяев (1974)).
Дальнейшие сведения об оценках параметров сноса в
диффузионных процессах и их обобщениях можно найти, например, в
работах Аазе (1982), Вго^п, ЯешИ (1975) и Тагазкш (1974).
Пример 6.2.12 (наблюдения роста популяции на фоне шума).
Рассмотрим простую модель роста (г — константа)
6Хг = тХгЛ%, Е[Х0] = Ь > 0, Е[(Х0 - Ь)2} = а2
и наблюдения
д,2ч — Х16,1 + гасП4, тп — константа.
Решением соответствующего уравнения Риккати
является логистическая кривая
2ггп2 „ 2гтп2
Таким образом, уравнение для Хь принимает вид
йХь =(г--^\ ХгЛг + Д-^> Х0 = Е[Х0] = Ъ.
\ ТП2) ТП2

6.2. Одномерная линейная задача фильтрации 131
Допустив для простоты, что а2 = 2гга2, получим
8(1) — 2гтп2 для всех I.
(В общем случае 5(1) —> 2гга2 при I —> оо, так что такая
аппроксимация для больших I не является бессмысленной.) Тогда
(1(ехр(г1)Хь) = ехр(г*)2гй24, Х0 = Ь,
или
X* = ехр(-г^)
/
2гехр(гз)(128 + Ь
Как и в примере 6.2.10, это решение можно записать в виде
Хь - ехр(-Н)
г
I
2гехр(гз)Н8с18 + Ь
при 2Ь = /Явйв. (6.2.32)
Предположим, например, что Н3 = /3 (где /3 — константа) при 0 <
5 < I, т. е. что наши наблюдения (по какой-то причине) дают одно
и то же значение /3 для всех моментов времени $ < I. Тогда
Хь = 20- (2/3 - Ь) ехр(-Н) -> 2/3 при I -> оо.
Если Н3 = /3 • ехр(аз), 5 > 0 (а — константа), то
2г/3
Хь - ехр(-г^)
2г/3
-(ехр(г + а)1- 1) + Ъ
г + а
ехра^ для больших I.
г + а
Таким образом, только в случае а = г (т. е. Н3 = /Зехр(гз), 5 > 0)
фильтр «доверяет» наблюдениям на больших интервалах времени.
И только в случае а = г и /3 = 6 (т. е. Н8 = бехр(гз), 5 > 0) фильтр
всегда «доверяет» наблюдениям.
Пример 6.2.13 (постоянные коэффициенты —общее обсуждение).
Рассмотрим теперь систему
(1X1 = РХ^ + СвИь, Р,С — ненулевые константы,
с наблюдениями
сК* = 0X^1 + ИдУь, С,И —ненулевые константы.
Соответствующее уравнение Риккати
5' = 2Р5-^52 + С2, 5(0)-а2,

132 Глава 6. Задача фильтрации
имеет решение
Ь{1) —
1-КеМв?)
в котором
сц = 0-2{РБ2 - Ол/Р2П2 + С2С2),
а2 = С-'2(Р02 + В^РгВ2 + С2С2)
9
Отсюда получаем следующее решение для Х^.
Хь = ехр ( [ Н(з)(18)Хо + ^ [ехр ( [Н{и)лЛз{8)д28,
где
Для больших 5 имеем 5($) « а^. Тогда
Х^Х0ехР((Р-Щг
I
о
I
Х0 ехр(-#) + -^ ехр(-/3«) / ехр(0з)<12а, (6.2.33)
о
где /3 = В 1у/Е2В2 + С2С2. Таким образом, мы получаем
примерно ту же тактику оценивания, что и в предыдущем примере.
6.3. Многомерная линейная задача фильтрации
Сформулируем, наконец, результат решения п-мерной линейной
задачи фильтрации (6.2.1), (6.2.2).
Теорема 6.3.1 (многомерный фильтр Калмана—Бьюси). Решение
Хь = .Е[Хг|(?г] многомерной линейной задачи фильтрации

6.3. Многомерная линейная задача фильтрации 133
(линейная система) (1X1 = .Р(^)Хг(Й + С(^)сН7г;
Г(1)екпхп, Сфеп11*?, (6.3.1)
(линейные наблюдения) 3,2ц = С(1)Х1о11 + В(1)о1У17
С(*)€Ктхп, #(г)ЕКтХ7\ (6.3.2)
удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
ахь = (Р- 5СТ(ВВТ)-1С)ХьаИ + 5СТ(ВВТ)-Ч2и
Х0=Е[Хо], (6.3.3)
где 5(*):=^[(Х^— Х^)(Х^— Х^)Т] Е Кпхп подчиняется матричному
уравнению Риккати
^-=Р8 + 5РТ - 5СТ(ВВТ)-1С5 + ССТ,
5(0) = Д[(Х0 - Е[Х0])(Х0 - Е[Х0])Т]. (6.3.4)
Условие, которому должна удовлетворять функция В(1) Е Ктхг;
состоит теперь в том, что функция В(1)В(1)Т обратима для
всех I, а (В(1)В(1)Т)~1 ограничена на каждом ограниченном
1-интервале.
Аналогичное решение может быть получено и для более общего
случая, когда наши уравнения имеют вид
(система) йХь = \Р^{1) + Р\{1)ХЬ + Р2(1)2Ь]<И
+С(*)Л/4, (6.3.5)
(наблюдения) 02ь = [<30(*) + 0\{1)ХЬ + С2(1)2ь](Н
+В(1)а1Уь, (6.3.6)
где Хь Е Кп, 2Ь Е Кт, а Р$1 = (С/*, V*) есть (п + га)-мерное
броуновское движение с соответствующими размерностями матричных
коэффициентов (см. работы Вепзоиззап (1992) и КаШаприг (1980), в
которых исследуется и нелинейный случай). Состояние теории
нелинейной фильтрации представлено также в работе РагсЬих (1979)
и в книге Бау15 (1984).
Вопросы решения линейной задачи фильтрации с более общими,
чем броуновское движение, порождающими процессами (процес-

134 Глава 6. Задача фильтрации
сами с ортогональными приращениями) рассматриваются в книге
Бау15 (1977).
Разнообразные приложения теории фильтрации изложены в
монографиях Вису, ЛозерЬ (1968), Ла2шпз1а (1970), Се1Ь (1974),
МауЬеск (1979); в этих же книгах даны ссылки на другие
полезные источники.
Упражнения
6.1. (Нестационарные наблюдения постоянного процесса.)
Докажите, что если одномерная система описывается
уравнением
ЙХ4 = 0, Е[Х0] = 0, Д[Х02]=а2,
а процесс наблюдений — уравнением
то функция 5(1) — Е[(Х1 — Х{)2] задается равенством
5(*) = ) . (6.3.7)
Говорят, что имеет место точное асимптотическое
оценивание, если 5(1) —> 0 при I —> оо, т. е. если
оо
С^(з)о18 = оо.
о
Таким образом, для функции
С(з) = — (р > 0 —константа)
V } (1 + з)р к }
точное асимптотическое оценивание имеет место тогда и
только тогда, когда р < |.
6.2. Рассмотрим линейную одномерную задачу фильтрации без
шума в системе:
(система) йХь = Р(г)Хь<И, (6.3.8)
(наблюдения) 02 ь = С(1)ХьаИ + 0(1)<1УЬ. (6.3.9)
Положим, как обычно, 5(1) = Е[(Хг — Х^2] и допустим,
что 5(0) > 0.

Упражнения 135
а) Покажите, что функция
1
П(г) :=
5(г)
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
В!{1) = -2Р{1)Щ) + ^||, Л(°) = Щ- (6-ЗЛ°)
Ь) Докажите с помощью (6.3.10), что для задачи фильтрации
(6.3.8), (6.3.9) справедливо равенство
1 1
ехр
„, ч - ^ч —*- » -21 Р(8)6.8
5(1) 5(0) ^ V У
о
+ |ехр ( - г^ВДАх) }Щ<**. (6.3.11)
О 5
6.3. В примере 6.2.12 мы показали, что
5(1) -> 2гт2 при I -> оо,
так что точное асимптотическое оценивание (см.
упражнение 6.1) величины Хь невозможно. Докажите, однако, что
можно получить точное асимптотическое оценивание
величины Хо в том смысле, что
Е[(Х0 - Е[Х0\дь})2} -> 0 при * -> оо.
(Указание. Отметим, что Хо = е~гЬХ1 и поэтому
Е[Х0\д*\ = е~г1Хи так что
Е[(Х0-Е[Х0\0ь})2}=е-2г15({).)
6.4. Рассмотрим многомерную линейную задачу фильтрации без
шума в системе:
(система) 6X1 — Р(1)Х1оИ,
хъ е кп , р(г) е кпхп, (6.3.12)
(наблюдения) д,2ч — С(1)Х1вИ + Л(2)сП^,
С(г) е кшхп, г>(*) е кшхг. (6.3.13)

136 Глава 6. Задача фильтрации
Предположим, что функция 5(1) невырожденна, и
определим Я(1) = 5(^)-1. Докажите, что Я(1) удовлетворяет
уравнению Ляпунова (сравните с упражнением 6.2)
я'(г) = -я(г)Р(г) - Р(г)тЯ(1)
+ С(1)7,(2?(*)2?(*)Т)-1С(*)- (6.3.14)
(Указание. Отметим, что, так как 5(^)5_1(^) = /, мы
имеем З'фЗ'1^) + 5(*)(5~1)/(*) = 0, откуда следует, что
(5-1)'(*) = -5-1(*)5,(*)5-1(*)0
6.5. (Прогноз.) В задаче прогноза нужно найти оценку состояния
системы X в будущий момент времени Т, основываясь на
наблюдениях 01 вплоть до настоящего момента времени I < Т.
Докажите, что в линейной постановке (6.2.3), (6.2.4)
прогнозируемая величина
Е[ХтЩ, Т>1,
задается формулой
т
Е[Хт\0ь] = ехр ( [ Р(з)йЛ • Хг. (6.3.15)
I
(Указание. Воспользуйтесь формулой (6.2.16).)
6.6. (Интерполяция/сглаживание.)
Задача интерполяции или сглаживания состоит в
оценивании состояния системы X в момент времени 5 < I по
наблюдениям 01, заданным вплоть до момента времени I.
Используя те же обозначения, что и в (6.2.1), (6.2.2),
можно показать, что величина М8 :=Е[Х8\01] удовлетворяет
дифференциальному уравнению
^М3 = Г(з)М3 + С(8)СТ(8)5-1(8)(М3 - X,), з < г,
мь = х
(6.3.16)
(см. Бау15 (1977), теорема 4.4.4.)
Воспользуйтесь этим результатом для нахождения
Е[Х5|(?г] в примере 6.2.9.
6.7. Рассмотрим систему

Упражнения 137
с наблюдениями
<122{1)) ~ {Х1+Х2)аг+ \<ПЬЦ))-
С помощью формулы (6.3.14) из упражнения 6.4 покажите,
что функция 5(1) := Е[(Х1 — Х^)(Х^ — Хь)т] задается
уравнением
при условии, что величина 5(0) обратима. Затем покажите,
что
4Х1 = -5Ц)(? ^хцн + зу)^ })<^.
6.8. Преобразуйте следующие уравнения Стратоновича
4Хг = Ь(1, Хь)д1 + а(1, Хг) ° ЛВЬ
в соответствующие уравнения Ито
ЛХг =Ь(1,Х1)сН + а{1,Х1)аВ1
с помощью формулы (6.1.3):
а) ((IX
ах
0 = и+е2^)Л+(е°0°^ ^'^
6.9. Преобразуйте следующие уравнения Ито
аХь = 6(4, Хг)<к + а{1, Хг)аВг
в соответствующие уравнения Стратоновича
ахг = Ь(*, Х4)Л + о{1, Хг) о <Ш4,
используя (обращение) (6.1.3):
а) ахь = -\хгаг + кхгави где
(т. е. Х^ есть броуновское движение на единичной
окружности (пример 5.1.4));

138 Глава б. Задача фильтрации
(ахл _ (х, -хл (лвл
0) \а1Х2) " ^Х2 Хх ) \а1В2)'
6.10. (О носителе диффузионного процесса Ито.) Носитель
диффузионного процесса Ито X в Кп, начинающегося в точке
хЕКп, есть наименьшее замкнутое множество Р,
обладающее тем свойством, что
Х^ш) Е Р для всех I > О, для почти всех и.
В примере 5.1.4 мы установили, что броуновское движение
Хг на единичной окружности удовлетворяет стохастическому
дифференциальному уравнению Ито
в-5©)Л+(?"о1)©К^")
Из вида этого уравнения совсем не очевидно, что всякое его
решение расположено на той же самой окружности, что и
начальная точка. Однако к этому выводу можно прийти,
рассуждая следующим образом. Преобразуем сначала это
уравнение в уравнение Стратоновича, которое, в соответствии
с упражнением 6.9, имеет вид
Затем (формально) заменим осШ* на ф' (1)оИ, где ф есть
некоторая гладкая (детерминированная) функция, 0(0) = 0. Тогда
получим детерминированное уравнение
При (Х[Ф)(0),Х^Ф\0)) = (1,0) решение уравнения (6.3.19)
имеет вид
(Х[Ф)Щ = (со*ф(1)\
\Х[Ф\1)) \8тфЦ))-
Таким образом, для любой гладкой функции ф
соответствующее решение Х^\ь) уравнения (6.3.19) имеет свой носитель
на нашей единичной окружности. В силу теоремы Струка—
Варадана о носителе можно сделать вывод, что исходное
решение Х(Ь, и) также сосредоточено на этой единичной
окружности. Указанная теорема говорит о том, что в довольно
общем случае носитель диффузионного процесса Ито Хь (и)
совпадает с замыканием в Кп множества значений {Х^(-); ф —

Упражнения 139
гладкая функция), где Х^(1) получено заменой осШ^ на
ф'(1)в,1 аналогично тому, как это было проделано выше (см.,
например, 1кес1а, ^аЪапаЪе (1989), теорема VI. 8.1). (В
нашем частном случае носитель можно найти непосредственно
из (6.3.18).)
С помощью описанной выше процедуры найдите носитель
процесса Хь Е К2, задаваемого уравнением
6.11. Рассмотрим пример 6.2.1, но теперь без предположения, что
Е[Х] = 0. Покажите, что
Л 777 О
(Сравните с (6.2.8).)
(Указание. Положите % = X — Е[Х], (& = %к - Е[Х].
Затем воспользуйтесь равенством (6.2.8) с заменой I на ( и ^
на Сь)
6.12. Докажите формулу (6.2.16).
(Указание. Заметьте, что ехр ( — § Р(и)д,и) есть интегри-
г
рующий множитель для стохастического дифференциального
уравнения (6.2.3).)
6.13. Рассмотрим одномерную линейную задачу фильтрации
(6.2.3), (6.2.4). Найдите
ВД и Е[(ХЬ)2].
(Указание. Воспользуйтесь теоремой 6.1.2 и определением
среднеквадратической ошибки 5(1).)
6.14. Пусть Вь —одномерное броуновское движение.
а) Приведите пример процесса 2ц, удовлетворяющего
уравнению
д,2ц — и(1,и)сИ + (Ш1
и такого, что 2Ь есть броуновское движение относительно
Р, а функция и(1,и) Е V не тождественно равна 0.
(Указание. Выберите в качестве 2ц обновляющий
процесс (6.2.13) в линейной задаче фильтрации, положив
Б{1) = 1.)

140 Глава 6. Задача фильтрации
Ь) Покажите, что поток {^}^>о, порожденный процессом 2Ь
из п. а), должен быть строго меньше, чем {^}^>о, т. е. что
2>ь ^ ^1 Для всех I и ^ ф Т% для некоторого I.
(Указание. Воспользуйтесь упражнением 4.12.)

Глава 7
Диффузионные процессы.
Основные свойства
7.1. Марковское свойство
Предположим, что мы хотим описать движение малой частицы,
взвешенной в движущейся жидкости и подверженной
систематическим случайным ударам со стороны молекул жидкости. Если
6(^, х) Е К3 — скорость жидкости в точке х в момент времени ^,
то разумной математической моделью для описания положения Хь
частицы в момент времени I является стохастическое
дифференциальное уравнение вида
^ = Ь(1,Хг) + а(1,Хг)т, (7.1.1)
где И^ Е К3 обозначает «белый шум», а а(1,х) Е К3х3.
Соответствующее уравнение Ито имеет вид
ЛХг = Ъ(г,Хь)<Н + а(*,Хь)<1Вь, (7.1.2)
где Вь — трехмерное броуновское движение. Аналогично можно
было бы выписать и уравнение Стратоновича (с корректирующим
членом, добавленным к функции 6); см. (6.1.3).
В стохастическом дифференциальном уравнении
о1Хь = Ь(г,Хг)(И + а(г,Хь)(1Ви (7.1.3)
где Хь Е Кп, Ъ(1,х) Е Кп, а(1,х) Е Кпхш, а В1 — т-мерное
броуновское движение, Ь можно назвать коэффициентом сноса, а сг —или
иногда \ааТ — коэффициентом диффузии (см. теорему 7.3.3).
Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение
можно трактовать как математическую модель движения малой
частицы в движущейся жидкости. Поэтому такие случайные процессы
называются диффузионными процессами {Ито).
В этой главе мы установим некоторые наиболее
фундаментальные свойства диффузионных процессов Ито и получим ряд
принципиальных результатов, касающихся этих процессов. Мы
остановимся на следующих вопросах.

142 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
7.1. Марковское свойство.
7.2. Строго марковское свойство.
7.3. Производящий оператор А процесса Хг, выраженный в
терминах Ь и а.
7.4. Формула Дынкина.
7.5. Характеристический оператор.
Это создаст необходимую основу для изучения приложений
в оставшихся главах.
Определение 7.1.1. Диффузионный процесс Ито (однородный по
времени) — это случайный процесс Х^ш) = Х(1,ш): [0,оо) х
П —>• Кп; удовлетворяющий стохастическому дифференциальному
уравнению вида
ЛХг = Ь(Х1)(И + а(Х1)(1Ви 1>з, Х8 = х, (7.1.4)
где Вь —т-мерное броуновское движение, а функции Ь: Кп —>• Кп
и а: Кп —>• кпХт подчиняются условиям теоремы 5.2.1, которые
в нашем случае упрощаются:
\Ь(х) - Ь(у)\ + \а(х) - а(у)\ < Б\х - у\, х,уЕКп (7.1.5)
(здесь \а\2 = ^2\а^\2).
Мы будем обозначать (единственное) решение уравнения (7.1.4)
через Хь = Х*'х, I > $. При 5 = 0 будем писать X* вместо Хь'х.
Отметим, что в (7.1.4) функции Ь и сг не зависят от ^, а зависят
только от х. Позже (в гл. 10, 11) мы увидим, что общий случай
может быть сведен к этой ситуации.
Такой процесс Х^и) обладает свойством однородности по
времени в следующем смысле.
Заметим, что
8 + Н 8+Ь,
Х%н = х + I Ъ(Х?)Аи + I о{Х^)йВи
8 8
Н Н
= х + I\{Х8&)Ау + I'<т(Х%у)<1Ву (и = з + ь), (7.1.6)
о о
где Ву = В8+у — В8, у > 0 (см. упражнение 2.12). С другой стороны,
очевидно,
н н
Х°>х = х +[ь(Х°>х)(1у + Iа(Х°>х)(1Ву.
о о

7.1. Марковское свойство 143
Так как процессы {Ву}у>0 и {Ву}у>о имеют одинаковые
/^-распределения, из слабой единственности (лемма 5.3.1) решения
стохастического дифференциального уравнения
лхг = ь(х1)(И + о(хь)ави х0 = х,
вытекает, что процессы
{Хз+н}к>о и {Хн'х}н>0
имеют одинаковые Р°-распределения, т. е. процесс {^}^>0
является однородным по времени.
Введем теперь вероятностные законы 0е процесса {Х^}^>о при
х Е Кп. По сути (2х задает распределение процесса {Хг}г>о в
предположении, что Хо = х. Выразим этот факт математически. Пусть
М оо — сг-алгебра (подмножеств множества Л), порожденная
случайными величинами и —>• Х^и) — Х^{и), где I > 0, у Е Кп.
Определим (^х на элементах из Л^оо равенством
0?[Хи еЕ1,---,Х1кЕЕк} = Р°[Х1 еЕи---,Х?к€ Ек], (7.1.7)
где Е\ С Кп являются борелевскими множествами, 1 < г < к.
Как и ранее, пусть Т\ — сг-алгебра, порожденная семейством
{Вг\г<Л}. Аналогично через М.ь обозначим сг-алгебру,
порожденную семейством {Хг\г<1}. Как мы установили раньше (см.
теорему 5.2.1), процесс Хь измерим относительно Тъ , так что Мь С
Докажем теперь, что Хь удовлетворяет важному марковскому
свойству: будущее поведение процесса, определяемое по тому, что
произошло вплоть до момента времени I, является таким же, что
и поведение процесса, начавшегося в точке Хь. Точная
математическая формулировка этого свойства описывается следующей
теоремой.
Теорема 7.1.2 (марковское свойство диффузионных процессов
Ито). Пусть / — борелевская функция из Кп в К. Тогда при ^, /г > О
имеет место равенство
Ех[/(Х1+11)\^т)и = ЯХ((Ш)[/(ВД (7-1.8)
(Основные свойства условного математического ожидания
приведены в приложении В.) Здесь и в дальнейшем Ех обозначает
математическое ожидание относительно вероятностной меры 0х.
Таким образом, Еу[/(Хъ)] означает Е[/(Х%)], где 1? — математическое
ожидание относительно меры Р°. В правой части записана
функция Еу[/(Хь)], вычисленная в точке у = Х^и).

144 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
Доказательство. Поскольку при г > I имеет место равенство
г г
Хг{и) = Хь{и) + [ Ь{Хи)йи + I\{Хи)ЛВи,
I I
в силу единственности
Хг(и)=Х*г'л'(и>).
Другими словами, если определить
Р(х, *, г, и) = Хьг>х (и) для г > *,
то
Хг(а;) = ^(Х4,*,г,а;), г>*. (7.1.9)
Заметим, что величина о; -» ^(ж, *, г, о;) не зависит от Т\т).
Используя (7.1.9), можно переписать (7.1.8) в виде
Е[}{Р{Хи1,1 + к,и1))\Т(Г)} = Е[1{Р{х,Ъ,к,ы))\х=Х1. (7.1.10)
Положим д(я, о;) = /оЕ(х,1,1+к,и). Тогда функция (ж, и) —> д(х,и)
измерима (см. упражнение 7.6). Следовательно, можно поточечно
аппроксимировать функцию д ограниченными функциями вида
^Фк{х)'фк{и).
к=\
Пользуясь свойствами условного математического ожидания (см.
приложение В), получим
Е[д(Хиш)\^т)] = Е\ъп^фк{Хь)фк(ш)\^т)\
= Ш^фк(Хь) ■ Е[фк(иЫт)]
= 11т^2Е[фк(у)фк(ш)\^т)}у=х(
= Е\д(У,ы)\У1т)]у=х, = Е[д(у,Ш)]у=Х1.
Поэтому, так как процесс {Х^} однороден по времени,
Е[/(Р(Хг,г, I + к, и,))\У*т)] = Е[/(Р(у, 1,1 +к, а,))]у=Х(
= Е[/(Р(у,0,Ь,ы))]у=х„
что и требовалось доказать (см. (7.1.10)). П

7.2. Строго марковское свойство 145
Замечание. Теорема 7.1.2 утверждает, что Хь есть марковский
процесс относительно семейства сг-алгебр {Т[}ь>о- Заметим, что, так
как М.1 С Т\, из этого вытекает, что Хь также есть
марковский процесс относительно а-алгебр {Л^^}^>о- Это следует из
теоремы В.З и теоремы В.2 с) (приложения В):
Д*[/(Х4+А)|М] = Ех[Ех[1(Х1+п)\^т)]\Мг]
= Е*[Ех'[/(Хк)]\Мг] = ЯХ< [/№)],
поскольку функция Ех*[/(Хь)] является Л^гизмеримой.
7.2. Строго марковское свойство
Коротко говоря, строго марковское свойство состоит в том, что
соотношение типа (7.1.8) продолжает оставаться справедливым, если
время I заменяется на случайное время т(и) более общего вида,
называемое моментом остановки (или марковским моментом).
Определение 7.2.1. Пусть {Л/^} есть возрастающее семейство
а-алгебр (из подмножеств множества О). Функция т: О —>• [0, оо]
называется (строгим) моментом остановки относительно [Мь],
если
{и\ т(и) < 1} е Мь для всех I > 0.
Другими словами, на основе знания Л/* можно определить,
выполняется ли неравенство т < I.
Пример 7.2.2. Пусть множество V С Кп открыто. Тогда первый
момент выхода
ти := 1пГ{* > 0; Хь $ Щ
является моментом остановки относительно {Мь}, так как
{и-ти < *} = р| У {и-Хг $ Кт) е Ми
т гея
где {Кт} — возрастающая последовательность замкнутых
множеств, таких, что V = \] Кт.
т
В более общем случае, если Н С Кп — произвольное множество,
мы определяем тн — первый момент выхода из Н — следующим
образом:
тя = 1пГ{*>0;Х4^Я}.
Если включать множества меры 0 в М.1 (что мы и делаем), то
семейство {Мь} является непрерывным справа, т. е. Мь = Мь+, где

146 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
Мь+ — П М8 (см. СЬип§ (1982), теорема 2.3.4, с. 61), и поэтому т#
есть момент остановки для любого борелевского множества Н (см.
Дынкин (1965), 4.5.С.е., с. 111). (Здесь и далее автор ссылается на
страницы английского издания. — Ред.)
Определение 7.2.3. Пусть г —момент остановки относительно
{Л/'г}, и пусть ЛГоо —наименьшая а-алгебра, содержащая Мь для
всех I > 0. Тогда а-алгебра МТ состоит из всех множеств N Е
Л^оо; таких, что
N[>\{т<^} еМь для всех I > 0.
В случае когда Мь = Мь, можно дать альтернативное и более
наглядное описание:
Мт — {сг-алгебра, порожденная семейством
{*пнп(.,т);*>0}} (7.2.1)
(см. Као (1977), п. 2.15, или З^гооск, УагайЬап (1979), лемма 1.3.3,
с. 33.) Аналогичным образом, если Мь — Т\, то имеем равенство
<р(гп) _ {^-алгебра, порожденная семейством{Б5Лт; 5 > 0}}.
Теорема 7.2.4 (строго марковское свойство для диффузионных
процессов Ито). Пусть / — ограниченная борелевская функция на
Ип, а г — момент остановки относительно Т\ , т < оо п. н.
Тогда
Ех[/(Хт+к)\^гт)] = ЕХг[/(Хн)] для всех Н>0. (7.2.2)
Доказательство. Будем рассуждать так же, как и при
доказательстве марковского свойства (теорема 7.1.2). Для почти всех и
величина Х^,х(и) удовлетворяет соотношению
К+н = х+ I «№*)<*«+ I о{ХТи'*)<1Ви.
г г
В силу строго марковского свойства для броуновского движения
(Гихман, Скороход (1973), с. 30) процесс
ВУ=ВТ+У-ВТ, у>0,
снова есть броуновское движение, не зависящее от Т+1 • Поэтому
н н
к%н = *+/ ккъ)*»+/ *та,№.
о о

7.2. Строго марковское свойство 147
Следовательно, процесс {^г+ь,}^>° Должен совпадать почти всюду
с сильно единственным (см. (5.2.8)) решением Уд уравнения
п п
Уь=х+ [ь(Уу)(1у + [а(Уу)(1Ву.
Так как {Ун}н>о не зависит от Тт , процесс {Х^к} также должен
быть независимым от Тт • Более того, в силу слабой
единственности (лемма 5.3.1) мы заключаем, что {Уь,}ь>о, и, следовательно,
{^"т+тЛ^о имеет такой же закон, что и {^/1'ж}/1>о- (7.2.3)
Положим
Р(х,1,г,и) = Х\:х(и) для г>1.
Тогда условие (7.2.2) может быть записано в виде
Е[/(Р(х,0,г + Н,ш))\^] = Е[/{Р(х,0,Ь,ы))]х=х°-.
Далее, при Х^ = Хь ,х мы имеем
Т + /1 Т + Ъ.
Р(х,0,т + Н,и) = Хт+к(и) =х+ [ Ъ{Х8)йз + \ а{Х8)йВ8
о о
т т
= х+ [ Ъ(Х8)йз+ Iа(Х$)с1В3
о о
+ I Ъ(Х3)<18 + I а(Х3)(1В3
Г Г
т+Ь, т+Ь,
= ХТ+ [ Ъ(Ха)йз + [ <т(Ха)йВа
г г
= Р(Хт,т,т + Н,ш).
Следовательно, условие (7.2.2) принимает вид
Е[/(Р(Хт,т, т + Н, ы))Ит>] = Е[/(Р(х, О, К, ш))]х=Хт •
Положим д(х,1,г,и) = /(Р(х,1,г,и)). Как и в доказательстве
теоремы 7.1.2, можно допустить, что д имеет вид
9(х,Ь,г,и) = ^2фк(х)фк(1,г,и).

148 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
Тогда, поскольку Х^н не зависит от Тг , мы получаем, используя
(7.2.3), что
Е\д{Хт,т<т + Н,и)\#Г>) = ^Е[фк{Хт)фк{т,т + К,ы)\Т^)
к
= ^фк{Хт)Е[фк{т,т+К,ы)\Т^}
к
= ^Е[фк(х)Мг,т+Н,ш)\^]х=Хт
к
= Е\д(х,т,т + Н,и)\^]х=Хт
= Е[д(х,т,т + к,и)]х=хт
= Е[ПХт4н))х=Хг
= Е[/(Х°^)}х=Хг
= Е[ПР(х,0,Н,и>))]х=Хг. П
Распространим теперь формулу (7.2.2) на следующий случай.
Пусть /х, • • • , Д — ограниченные борелевские функции на Кп, а г —
Ть -момент остановки, причем г < со п. н. Тогда
д*[Л(хт+/11)/2(хт+/12) • • • МХг+пк)\Нт))
^х1Л(4)-Л№к)] (7-2.4)
для всех 0 < Н\ < /12 < • • • < кк- Этот факт доказывается по
индукции. Чтобы пояснить указаный подход, докажем нашу формулу
для случая к = 2:
ЕЧМХг+нЖХт+н,)^]
= Е'[Ех[/1(Хт+н1)ЫХт+на)\Гт+н1]\Г1т)]
^Ех[11{Хт+к1)Еху2{Хт+к2)\Тт+и1]\Т{Г)]
= Ех[МХт+ь1)Ех^ [Ь(Хк2^))\Нт)]
= Ехг[/1(ХН1)Ех^[/2(ХН2^1)}]
= Ех'[11(Х1г1)Е*[12(Х112)\47)}]
= Ех'[11(Хк1)ЫХк2)},
что и утверждалось.
Теперь перейдем к формулировке общего варианта
утверждения, который нам потребуется. Пусть И — множество всех веще-

7.2. Строго марковское свойство 149
ственных Л^оо-измеримых функций. Для I > 0 определим
оператор сдвига
следующим образом.
Для г\ — дх(Х11) • • • дь(Х1к) (функция д\ измерима по Борелю,
1\ > 0) положим
Теперь распространим это определение естественным образом на
все функции в И, взяв пределы от сумм указанных функций. Тогда
из (7.2.4) следует, что
Ех[вТг1\^] = ЕХг[г1\ (7.2.5)
для всех моментов остановки г и всех ограниченных функций г\€М.,
где
(дтг\){и) - (0477)(о;), если т(и) = I.
Граничное распределение, гармоническая мера и
свойство среднего значения
Применим полученные результаты к следующей ситуации. Пусть
множество Н С Кп измеримо, и пусть Гц — первый момент выхода
из Н диффузионного процесса Ито Хь. Пусть а есть другой
момент остановки, а д — непрерывная ограниченная функция на Кп.
Положим
г] = д(ХТн)Х{тн<оо}, т% = Ы{1 > а-Хь $ Н).
Тогда мы имеем
ваТ! • Х{а<оо} - д(Хт«)Х{т«<00}. (7.2.6)
Для доказательства равенства (7.2.6) аппроксимируем г\
функциями т]^к\ к = 1,2,..., вида
V™ =529(Хь)Хц„г1+1)(тИ), Ч=Г^\ 3 =0,1,2,...
3
Далее,
= ^{Уге(о,«л-)^г+*ея&Зве[^,«,-+1)х,+4^я}

150 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
Таким образом, мы видим, что
3
а это и есть равенство (7.2.6).
В частности, если а = тс, где множество С С С Н измеримо, и
тн < оо (<2ж-п- н-)> то имеет место равенство т^ = тн и тогда
0гся(Хгн)=5(Хт„). (7.2.7)
Таким образом, если / — произвольная измеримая ограниченная
функция, то из (7.2.5) и (7.2.7) мы получаем следующие равенства:
Е*[1(хтн)] = ех[ех'с [;(хтн)}} = I еу[1(хтн)) ■ о*[хто е ау)
до
(7.2.8)
для х Е С (Определяем 1лхн(Е) — С}Х(ХГН Е Р) и аппроксимируем /
в Ь1(//^/) непрерывными функциями д, удовлетворяющими условию
(7.2.7).) Иными словами, ожидаемое значение функции / в точке
Хтн при начале траектории в точке х Е С может быть получено
интегрированием ожидаемого значения при начале траектории в
точке у Е дС по мере, определяемой граничным распределением
(«гармонической мере») процесса X на дС. Это утверждение можно
переформулировать следующим образом.
Определим гармоническую меру ^ процесса X па дС
равенством
1%(Р) = <2х[Хто е Р\ для р с дС, х еС.
Тогда для всех борелевских множеств С С С Н функция
ф{х) = Е*[НХТИ)\

7.3. Производящим оператор диффузионного процесса Нто 151
удовлетворяет свойству среднего значения:
ф(х) — I ф(у)^с(у) для всех х е С. (7.2.9)
ас-
Построение, приведенное выше, послужит важной
составляющей нашего решения обобщенной задачи Дирихле в гл. 9.
7.3. Производящий оператор диффузионного
процесса Ито
С диффузионным процессом Ито Хь можно связать некоторый
дифференциальный оператор А второго порядка (с частными
производными), который используется в ряде приложений.
Фундаментальная связь между Л и Х( состоит в том, что А является
производящим оператором1 процесса Х^.
Определение 7.3.1. Пусть {Х{\ —{однородный по времени)
диффузионный процесс Ито в Кп. Производящий (инфинитезималь-
ный) оператор А процесса Х% определяется соотношением
лт=ЬтЕХ[ПХ*)]-Пх\ хек».
110 I
Множество функций /: Кп —^ К; таких, что этот предел
существует в точке х, обозначается через Т>а(х), а Т>а обозначает
множество функций, для которых указанный предел существует
при всех х Е Кп.
Для того чтобы найти соотношение между А и коэффициентами
Ъ, а стохастического дифференциального уравнения (7.1.4),
определяющего XI, нам потребуется следующий результат, полезный во
многих отношениях.
Лемма 7.3.2. Пусть У^ = У* — процесс Ито в Кп вида
I I
У*(и) = х+ и(з,и)<18 + / у(з,и)<1В8(и),
о о
где В — т-мерное броуновское движение. Пусть / Е С^(Ип), т. е.
/ Е С2(КП) и / имеет компактный носитель, и пусть г является
1 В англоязычной литературе такой оператор называется еще «генератором»
(прим. перев.).

152 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
моментом остановки относительно {Т\ }, причем Ех[т] < оо.
Допустим, что функции и(1,и) и у(1,и) ограничены на
множестве таких пар (1,ш), что У(1,и) принадлежит носителю
функции /. Тогда
Ех[/(Ут)} = /(*) + Ех
[/(?
0 г
*.7
(У.)\<1з
где Ех — математическое ожидание относительно
естественного вероятностного закона Ях для процесса Уг, начинающегося в
точке х:
кх[УнеРи...,У1к еРк]
= Р0[У^ € ^ь • • • > У*к € ^л]» ^г — борелевские множества.
Доказательство. Положив ^ = /(К) и применив формулу Ито
(для упрощения обозначений мы опускаем индекс I и полагаем, что
У\,..., Уп и В\,..., Вт обозначают координаты процессов У и В
соответственно), получим
г г,з •*
= Е «^ +1Е ДтИ^И*); + Е |:И^-
г 1,3 •* г
Так как
из формулы Ито имеем
/«) = лщ+/(Е«|ЧЕЛ-5;)*
+ Е/^|^- (7-зл)
г,А: 0

7.3. Производящий оператор диффузионного процесса Ито 153
Отсюда
г
ЕХ[/(УТ)] = /(*) +еА [ (^щК(У)
о *
+
Е*-[/« э/
*,* 0
■«^-(Псш*
(7.3.2)
Если # — ограниченная борелевская функция, скажем, \д\ < М, то
для всех целых чисел к справедливо равенство
тЛк
Ех I д(У3)(Ш3
о
к
= Е*У Х{8<т}д(У8)(1В8]
о
-О,
г(т)
поскольку как д(У8), так и Х{8<т} являются Т8 -измеримыми.
Более того,
тЛк
Е'\Пд(У.)(1Ва - I д{У8)ЛВ&
о о
<М2Ех[т-тЛк]-Ю.
2п
= ЕХ
I 92{Уе)Л8
'тЛк
Поэтому
тЛк
О = Ит Ех
I д(У.)<1Ва] = ЕХИ д(У.)т
Объединяя это равенство с (7.3.2), получаем утверждение
леммы 7.3.2. □
Из этого результата немедленно вытекает следующая формула
для производящего оператора А диффузионного процесса Ито.
Теорема 7.3.3. Пусть Х^ — диффузионный процесс Ито:
4Хь = Ь(Хь)(И + (т(Хь)(1Вь.
Если / е С$(Кп), то / еТ>А и

154 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
Доказательство. Это следует из леммы 7.3.2 (при т — I) и
определения оператора А. □
Пример 7.3.4. Броуновское п-мерное движение, конечно, является
решением стохастического дифференциального уравнения
д,Х\ — д,Ви
т. е. в нашем примере Ь = 0, а о — /п, где 1П — п-мерная
единичная матрица. Таким образом, производящий оператор процесса В1
имеет вид
Л/=^Е0> / = /(*!,•■•,*») еС02(В.п),
т. е. А — ^А, где А есть оператор Лапласа.
Пример 7.3.5 (график броуновского движения). Пусть В
обозначает одномерное броуновское движение, и пусть процесс
является решением стохастического дифференциального уравнения
[д.Х1 =<Й, Х\(0) =*о,
\ах2 = лв, х2(р) = х0,
т. е.
(IX = Ъ(И + о(1В, Х(0)-^ ,,
где 6= (п) и сг = ( 1 ) • Другими словами, X можно
рассматривать как график броуновского движения. Производящий оператор
А процесса X задается формулой
Л< = % + Ш> / = /М^(к").
В дальнейшем, если не оговорено противное, А = Ах будет
обозначать производящий оператор диффузионного процесса Ито Хг,
аЬ = Ьх будет обозначать дифференциальный оператор,
задаваемый прав'ой частью равенства (7.3.3). Из теоремы 7.3.3 известно,
что Ах и Ьх совпадают на С§(КП).

7.4. Формула Дынкина 155
7.4. Формула Дынкина
Объединяя формулы (7.3.2) и (7.3.3), получим следующую теорему.
Теорема 7.4.1 (формула Дынкина). Пусть / Е С$(Ип), и пусть
г есть момент остановки, причем Ех[т\ < оо. Тогда
Е*[/(Хт)] = {(х) + Е*
Т
I
А/(Х$)<1з
(7.4.1)
Замечания. 1. Отметим, что если г —первый момент выхода из
ограниченного множества и Ех[т] < оо, то равенство (7.4.1)
имеет место для любой функции / Е С2.
2. Более общая формулировка теоремы 7.4.1 содержится в
монографии Дынкин (1965), с. 133.
Пример 7.4.2. Рассмотрим п-мерное броуновское движение В =
(2?1,..., 2?п), начинающееся в точке а = (а\,... ,ап) Е Кп(п > 1), и
допустим, что \а\ < Я. Каково ожидаемое значение момента тк —
первого момента выхода процесса В из шара
К = КН = {хЕКп;\х\ <Я}?
Выберем целое число к и применим формулу Дынкина при X = В,
г = сг& = тт(к,тк) и такой функции / Е С^, что /(ж) = \х\2 для
\х\ < Я:
Еа\1{Вак)]=1{а)+Еа
= \а\2+Еа
о
= \а\2+п-Еа[ак]
Следовательно, Еа{ак] < „(-К2 ~~ №) Для всех &• Тогда, переходя к
пределу при к —> оо, мы получаем, что тк — Пгпсгд. < оо п. н. и
б;0ы = -(Л2-Н2)-
(7.4.2)
Теперь допустим, что п > 2 и \Ь\ > Я. Какова вероятность того, что
процесс В, начинающийся в точке 6, когда-либо достигнет К?
Пусть а& есть первый момент выхода из кольца (сферического
слоя)
Ак = {х;Я< \х\ < 2*#}, А: = 1,2,...

156 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
Положим
Тк =тГ{г>0;Б, е К}.
Пусть / = /п^ есть функция класса С2 с компактным носителем,
которая при Я < \х\ < 2кЯ определяется формулой
*(х\ = /-"1об|я|, когДа п = 2,
ЛЖ; \|^|2~п, когда п> 2.
Тогда, так как А/ = 0 на множестве Л&, из формулы Дынкина
следует, что
ЕЬ\1{Вак)} = /(6) для всех к. (7.4.3)
Положим
рк = Рь[\Вак\ = Я), дк = Рь[\Вак\ = 2кЯ).
Рассмотрим теперь отдельно два случая: п = 2 и п > 2.
п = 2. В этом случае из (7.4.3) получаем, что
- 1оеЯ • рк - (1ое Я + А • Ье 2)дА = - 1ое |Ь| для всех А;. (7.4.4)
Отсюда вытекает, что д& —>• 0 при к —>• оо, так что
Р6[Т* < оо] - 1, (7.4.5)
т. е. броуновское движение является возвратным в К2 (см. Рог!,
Йопе (1979)).
п > 2. В этом случае равенство (7.4.3) приводит к соотношению
Рк ■ Я2'" + дк ■ (2кК)2~п = |6|2-".
Так как 0 < <?& < 1, переходя к пределу при к —> оо, получаем, что
»№ .„,_Л*1ча~п
Нш р* = Р"^ < оо] =
т. е. броуновское движение является невозвратным в Кп при п > 2.
7.5. Характеристический оператор
Введем теперь оператор, который тесно связан с производящим
оператором Л, но является более удобным во многих ситуациях,
например при решении задачи Дирихле.
Определение 7.5.1. Пусть {Х^ является диффузионным
процессом Ито. Характеристический оператор Л = Ах процесса {Хь}
определяется формулой
Л/(х) = Пт V г п , (7.5.1)

7.5. Характеристический оператор 157
где через V обозначаются открытые множества 11%,
стягивающиеся к точке х в том смысле, что 11ь+\ С 11к и П &к — {#}? а
к
ти — \п{{1 > 0; Хь ^ 11} — первый момент выхода из V процесса Х^.
Множество функций /, таких, что предел (7.5.1) существует для
всех х Е Кп (и всех {(У*}), обозначается Т>^. Если Ех[тц] = оо
для всех открытых множеств V', содержащих х, то мы
полагаем А/(х) = 0.
Оказывается, всегда выполняется включение Т>а С 2).д и
А/ = А/ для всех / е Т>л
(см. Дынкин (1963), с. 143).
Нам потребуется лишь тот факт, что Ах и Ьх совпадают на С2.
Чтобы доказать это утверждение, установим сначала одно свойство
моментов выхода.
Определение 7.5.2. Точка х Е Кп называется поглощающей
состояние процесса {Х1}, если
(2х({Хь = х для всех I}) = 1.
Другими словами, х является поглощающей тогда и только
тогда, когда Т{ху = оо ((2х-п. н.). Например, если Ь(хо) — о~(хо) = 0,
то точка хо является поглощающей состояние процесса Х% (что
следует из единственности процесса Хь).
Лемма 7.5.3. Если точка х не является поглощающей состояние
процесса Хь, то существует открытое множество V Э х, такое,
что
Ех[ти] < оо.
Доказательство. См. лемму 5.5 в книге Дынкин (1963), с. 139. й
Теорема 7.5.4. Пусть / Е С2. Тогда / € Рд и
г г,з •*
Доказательство. Как и ранее, будем обозначать через Ь оператор,
определенный правой частью равенства (7.5.2). Если точка х
является поглощающей состояние процесса {Х^}, то А/(х) = 0. Выберем
открытое ограниченное множество У, такое, что х € V. Вне
множества V заменим / на такую функцию /о, что /о Е С$(Кп). Тогда
/о Е Т>а(х) и0 = А/о(х) = Ь^о(х) = Ь/(х). Следовательно, в этом

158 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
случае Л/(х) = Ь/(х) = 0. Если точка х не является
поглощающей, то выберем открытое ограниченное множество V Э х, такое,
что Ех[тц] < оо. Тогда согласно формуле Дынкина (теорема 7.4.1)
(и последующему замечанию 1), используя запись ти — т, получаем,
что
Е*[/(Хт)]-/(х)
Ех[т]
Щх)
\Е*[1{(ЬЛ(Х3)-Ы(х)}с1з]\
О
Ех[т]
< зир \Ь/(х) - Ь/(у)\ -> 0 при V I х,
поскольку Ь/ является непрерывной функцией. □
Замечание. Мы сейчас показали, что диффузионный процесс
Ито является непрерывным строго марковским процессом,
таким, что область определения его характеристического оператора
включает в себя С2. Следовательно, диффузионный процесс Ито
является диффузионным процессом в смысле Дынкина (см. Дын-
кин (1963)).
Пример 7.5.5 (броуновское движение на единичной окружности).
Характеристический оператор процесса У = ( * 1 из примера 5.1.4,
удовлетворяющего стохастическому дифференциальному
уравнению (5.1.13), т. е. уравнению
ЛУг = ~УкИ-У2(1В,
имеет вид
Л/(уиу2) = -
2/2
4У2 = --У2<11 + У1<1В,
2<?2/ о.... д^ ,-.2<Э2/
2уш
2/1-
ду\ ^дУ1ду2 ' ^ду\ "'дуг
Это следует из того, что д,У — -^УсИ + КУд,В, где
ду2
У 2
К =
и поэтому
где
йУ = Ъ(У)<И + а(У)(Ш,
Ь(уг,у2) = ( 2 * ) , о~(уиу2)
~\У2
_ (-У2
У\

Упражнения 159
„ _ * Т _ 1 ( У'1 -У\У2\
а — —оа = — ( ■>
2 2 \—2/12/2 У Г )
Пример 7.5.6. Пусть Б — открытое множество из Кп, такое, что
то < оо ((2Ж-П- н.) для всех ж, и пусть ^ — ограниченная измеримая
функция на дИ. Определим
ф(х) = Ех[ф(ХТв)}
{ф называется Х-гармоническим продолжением функции ф). Тогда
если множество V открыто и х е V С С Д то по формуле (7.2.8)
мы имеем
Е*\ф(ХТц)] = Е?[Ех*и [ф(Хто)}} = Е*[ф(ХТо)} = ф(х).
Таким образом, ф Е Х>д и
Лф = 0 в Л,
несмотря на то что, вообще говоря, функция ф не обязана быть
даже непрерывной в Б (см. пример 9.2.1).
Упражнения
7.1. Найдите производящий оператор следующих диффузионных
процессов Ито:
а) йХь — [лХгсИ + аЛВь (процесс Орнштейна—Уленбека) {Вь Е
К, /л, а — константы);
Ь) (1X1 — гX 1(11 + аХьв,В1 (геометрическое броуновское
движение) {Вь Е К, г, а — константы);
с) д,Уь — г(И + аУь(1В1 {Вь Е К, г, а — константы);
с1) дУь — ( ,„ ), где Хь —процесс из п. а);
<>(«0-(о)л+(и)$:>
б) Х{1) = (Х1уХ2,---,Хп),где
П
(1Хк{1) = гьХк(И + Х& • У_\схкэ&В^, 1 < к < п
7 = 1

160 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
((2?ь • • • ,ВП) —броуновское движение в Кп, а г& и а^ —
константы).
7.2. Найдите диффузионные процессы Ито (т. е. запишите
соответствующие стохастические дифференциальные уравнения),
производящие операторы которых имеют вид
а) А/(х) = /'(*)+/"(*Ь/еС2(К);
Ь) Л/(*,х) = % + сх% + |Л20, / € С2(К2), где с,а-
константы;
с) А/(х1,х2) = 2х2§-1+ 1п(1 + х\ + х2)§^
+1(1+ *?)$+*! А Ч'^' /еС2(К2).
7.3. Пусть В1 —броуновское движение на К, Во = 0. Определим
ХЬ = Х? = х-есЬ+аВ\
где с, а — константы. Докажите, что из определения
непосредственно следует, что Х^ является марковским процессом.
7.4. Пусть В* — одномерное броуновское движение,
начинающееся в точке х е К+. Положим
т = тГ{*>0; В* = 0}.
а) Докажите, что т < оо (Рх-п. н.) для всех х > 0.
(Указание. См. вторую часть примера 7.4.2.)
Ь) Докажите, что Ех[т] = оо для всех х > 0.
(Указание. См. первую часть примера 7.4.2.)
7.5. Пусть функции 6, сг удовлетворяют условию (5.2.1)
теоремы 5.2.1 с константой С, не зависящей от I, т. е.
\Ъ(1,х)\ + \а(1,х)\ < С{\ + \х\) для всех хЕКпи всех I > 0,
и пусть Хг — решение уравнения
ЛХЬ = Ь(*,Хь)<Н + <т(*,Хь)(1Вь.
Покажите, что
Е[|Х4|2]<(1 + ^[|Х0|2])е^-1
для некоторой константы К, не зависящей от I.
(Указание. Воспользуйтесь формулой Дынкина, положив
/(х) = \х\2 и г = ^Лтя, где тя = тГ{^ > 0; |Х^| > Я}, а затем
перейдите к пределу при Я —>• оо и получите неравенство
I
Е[\ХЬ\2} < Е{\Х0\2} + К • |(1 + Е[\Х3\2])йз,
О
которое имеет такую же форму, что и (5.2.9).)

Упражнения 161
7.6. Пусть д(х,ш) = / ° &(х,1,1 -Ь к, и) — такая же функция, как
в доказательстве теоремы 7.1.2. Допустим, что функция /
непрерывна.
а) Докажите, что отображение х —>• д(х, •) из Кп в Ь2(Р)
непрерывно, используя (5.2.9).
Далее для простоты положите п — 1.
Ь) С помощью п. а) докажите, что функция (х,и) -> д(х,и)
измерима.
(Указание. Для каждого т = 1,2,... положите ^ =
^к =&'2~ш, А: = 1,2,... Тогда последовательность
к
сходится к д(х,-) в Ь2(Р) для каждого х. Докажите, что
д(т) -» д в Ь2((1тя х с?Р) для всех Я, где с/гад — лебегова
мера на шаре {\х\ < Я}. Таким образом, некоторая
подпоследовательность последовательности д(т\х,и) сходится к
д(х,и) для почти всех (х,и).)
7.7. Пусть В1 — броуновское движение на Кп, начинающееся в
точке х Е Кп, и пусть И С Кп — открытый шар с центром
в точке х.
а) Докажите с помощью упражнения 2.15, что гармоническая
мера \1ХВ процесса В% инвариантна относительно вращения
(вокруг х) на сфере дБ. Убедитесь, что цхп совпадает с
нормализованной поверхностной мерой а на дИ.
Ь) Пусть ф — ограниченная измеримая функция на
ограниченном открытом множестве V/ С Кп. Определим
и(х) = Ех[ф(ВТ1У)} для хеШ.
Докажите, что и удовлетворяет классическому свойству
среднего значения:
и(х) = / и{у)йа{у)
дБ
для всех шаров Б с центром в х, таких, что Б С ИЛ
7.8. Пусть {М} — непрерывное справа семейство сг-алгебр
подмножеств множества П, содержащее все множества меры
нуль.

162 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
а) Пусть т\, Т2 — моменты остановки (относительно Л/*).
Докажите, что т\ Лт>2 и т\ \/т-2 являются моментами остановки.
Ь) Пусть {тп} —убывающее семейство моментов остановки.
Докажите, что г := Пттп есть момент остановки.
п
с) Пусть Хь есть диффузионный процесс Ито в Кп, а
множество & С Кп замкнуто. Докажите, что тр есть момент
остановки относительно М.1.
(Указание. Рассмотрите открытые множества,
стягивающиеся к Г.)
7.9. Пусть Хь —геометрическое броуновское движение, т. е.
йХь = гХь<И + аХьЛВи Х0 = х > О,
где В^ Е К, г,а- константы.
а) Найдите производящий оператор А процесса Хь и
вычислите А/(х), если /(ж) = ж7, ж > 0, 7~~константа.
Ь) Если г < ^а2, то Х^ —» 0 при I —ъ оо ((5ж-п. н.)
(пример 5.1.1). Но какова вероятность р того, что процесс Хи
начавшись в точке х < Я, когда-либо достигнет уровня Я?
Положив в формуле Дынкина /(ж) = ж71, 71 = 1 ~ ^т>
докажите, что
с) Если г > \а2, то X* —» оо при * —» оо (С}х-п. н.). Пусть
т = 1пГ{*> 0;Х* > Д}.
Положив в формуле Дынкина /(ж) = 1пж, ж > 0,
докажите, что
1п —
Ех[т] = ^—.
г--а*
(Указание. Сначала рассмотрите моменты выхода из
интервала (р,Я), р > 0, а затем положите р —> 0. Далее
нужно построить оценки для величины
{1-р{р))\пр,
где р(р) = (2х [Х1 достигает уровня Я до достижения
уровня р]; эти оценки можно получить из вычислений в пп. а)
иЬ).)

Упр ажнения 163
7.10. Пусть Х1 является геометрическим броуновским движением:
(IX\ = гХгй1 + а.ХгйВь.
Найдите ЕХ[ХТ\Т^\ при I < Т
а) используя марковское свойство;
Ь) используя равенство Х^ = хег1Ми где
Мь — ехр I аВ1 — ~а21 I является мартингалом.
7.11. Пусть Хь — диффузионный процесс Ито в Кп, /: Кп —^ К —
такая функция, что
Ех
со
/|/№)1*
'0
< оо для всех х Е Кп,
а г —момент остановки. Докажите с помощью строго
марковского свойства, что
Ех
со
= Е*[д{Хт)},
где
9(У) = ЕУ
СО
/
/№)Л
7.12. (Локальные мартингалы.) Л/гсогласованный случайный
процесс 2(1) Е Кп называется локальным мартингалом
относительно заданного потока {Л/^}, если существует
возрастающая последовательность Л/г-моментов остановки т&, таких,
что
т& —>• оо п. н. при к —> оо
и
2(1 /\т^) есть Л/г мартингал для всех А:.
а) Покажите, что если 2(1) является локальным
мартингалом и существует константа Т < оо, такая, что семейство
{2(т)}т<т равномерно интегрируемо (приложение С), то
{2(1)}ь<т есть мартингал.
Ь) В частности, если 2(1) является локальным мартингалом
и существует константа К < оо, такая, что
Е[22(т)} <К

164 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
для всех моментов остановки т < Т, то {^(*)}*<т есть
мартингал,
с) Покажите, что если 2,(1) — ограниченный снизу локальный
мартингал, то 2(1) является супермартингалом
(приложение С).
7.13. а) Пусть Вь е К2, В0 = х ф 0. Зафиксируем 0 < е < Я < оо
и определим
Хь=]п\ВЬАт\, *>0,
где
г = тГ{* > 0; \ВЬ\ < с или \Вг\ > Я}.
Докажите, что Хь есть .Т^лт-мартингал.
(Указание. Воспользуйтесь упражнением 4.8.)
Покажите, что 1п \В^ является локальным мартингалом
(упражнение 7.12).
Ь) Пусть Вь Е Кп при п > 3, Во = х ф 0. Зафиксируем е > 0,
Я < оо и определим
Уь = \В1Ат\2-п, *>0,
где
г = т{{1 > 0; \ВЬ\ < е или \Вг\ > Я}.
Докажите, что Уь есть ^Лт-мартингал и что |Б^|2~П
является локальным мартингалом.
7.14. (/^-преобразование Дуба.) Пусть Вь —п-мерное броуновское
движение, В С Кп — ограниченное открытое множество, а
к > 0 — гармоническая функция на В (т. е. АН = 0 на
множестве В). Пусть Хь является решением стохастического
дифференциального уравнения
йХь^Ч(}пН){Хг)М + д.Вг.
Более точно, выберем возрастающую последовательность
{В^ открытых подмножеств множества В, таких, что В^ С
оо
В и {] В и = В. Тогда для каждого к указаное выше урав-
к=1
нение может быть решено (в сильном смысле) для I < Трк.
Это естественным образом определяет решение для I < г :=
Нт тПк.
к—>оо
а) Покажите, что производящий оператор А процесса Хь
удовлетворяет равенству
Л/ = ^7Г Дл*/^о2(Я)-
В частности, если / = ^, то А$ = 0.

Упражнения 165
Ь) Докажите с помощью п. а), что если существует точка хо (Е
сШ, такая, что
Ит /»(*) = (°' еСЛИУ^0'
х-^-уеди I оо, если у — хо
(т. е. к является ядром), тогда
Ит Х% — хо п. н.
(Указание. Рассмотрите Ех[/(Хт)] для подходящих
моментов остановки Т и при / = ^.)
Другими словами, мы производим такой снос процесса
В1, который вынуждает процесс выходить из множества И
только в точке хо. Это также можно сформулировать
следующим образом: процесс Х% получен принуждением Вь к
выходу из И в хо (см. БооЬ (1984)).
7.15. Пусть Вь — одномерный процесс. Определим
Р(и) = (Вт(ы) - К)+,
где К > О, Т > 0 —константы.
Из теоремы о представлении Ито (теорема 4.3.3) известно,
что существует функция ф Е У(0,Т), такая, что
т
Г(и)=Е[Г}+ [ ф&и)(1Вг.
о
Как найти ф в явной форме? Эта проблема
представляет интерес для финансовой математики, где ф может
рассматриваться как страхующий портфель для условного
иска Р (см. гл. 12). Пользуясь формулой Кларка— Окоуна (см.
Кага^аз, Осопе (1991) или 0кзепс1а1 (1996)), можно показать,
что
ф(1,ы) = Е[Х[к<оо)(Вт)\Ъ], КТ. (7.5.3)
Докажите с помощью формулы (7.5.3) и марковского
свойства броуновского движения, что при I < Т имеет место
равенство
оо
ф{1, и) = , Х [ ехр (- {Х:*{Ш?2) <Ь. (7.5.4)
П ' ' ^2тг(Т - *) 7 V 2(Г - *) ) V ;

166 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
7.16. Пусть 1$1 —одномерный процесс, а /: К —^ К — ограниченная
функция. Докажите, что если I < Т, то
(7.5.5)
(Сравните с (7.5.4).)
7.17. Пусть Вь— одномерный процесс. Положим
з
Хь = (Х1/3 + 1Вь) ' * " °'
Тогда, как мы видели в упражнении 4.15, Хь является
решением стохастического дифференциального уравнения
ахь = \х1/3м + х]1ъйви х0 = х. (7.5.6)
о
Определим
и положим
г = тф> 0-Хь = 0}
у _ \Хи если * < т->
1 0, если 1 > т.
Докажите, что Уь также является (сильным) решением
уравнения (7.5.6). Почему это не противоречит утверждению
теоремы 5.2.1 о единственности?
(Указание. Убедитесь, что
I I
о о
для всех I, разбивая интегралы следующим образом:
0 0 1/\т
7.18. а) Допустим, что одномерный диффузионный процесс Ито
Хь с характеристическим оператором А задается
уравнением
ЛХЬ = Ь{Х1)(И + а{Хь)(1Ви Х0 = х.

Упражнения 167
Предположим, что / Е С*2(К) является решением
дифференциального уравнения
АЦх) = Ъ(х)Г(х) + ^а2(х)Г(х) = 0, хек. (7.5.7)
Пусть (а, 6) С К —такой интервал, что ж Е (а, 6); положим
т = тГ{*>0;Х4 0(а,Ь)}.
Допустим, что т < оо ((Эж-п. н.), и определим
р = Р*[Хт = Ъ].
Докажите с помощью формулы Дынкина, что если /(Ь) ф
/(о), то
Р " /(Ь) - /(а) • (7'5'8)
Другими словами, гармоническая мера //? 6ч процесса X
на <9(а, 6) = {а, 6} задается соотношениями
А*(а,ь)(Ь) - /(Ь) _ /(о), ^(а,ь)(о) - /(Ь) _ /(а) • (7-5.9)
Ь) Рассмотрим теперь частный случай, когда процесс
задается равенством
Хь=х + Вь, *>0.
Докажите, что тогда
х — а ,
р=- . 7.5.10
о — а
с) Найдите р, если
Хь = х + 1л1 + аВь, *>0,
где //, а Е К — ненулевые константы.
7.19. Пусть В* —одномерное броуновское движение,
начинающееся в точке х > 0. Определим
г = т(х,и) = тГ{* > 0; В?(о;) - 0}.
Из упражнения 7.4 известно, что
т < оо Рж-п. н. и Ех[т] = оо.
Каково распределение случайной величины т(и)?

168 Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства
а) Чтобы ответить на этот вопрос, найдите сначала
преобразование Лапласа
д(\):=Ех[е-Хт]для\>0.
(Указание. Пусть Мь = ехр(-\/2ЛБ^ - А^). Тогда
{Мглт}г>о является ограниченным мартингалом.)
[Решение: д(Х) = ехр(—л/2\х).]
Ь) Для того чтобы найти плотность /(^) величины т,
достаточно найти такую функцию /(^) = /(^, ж), что
(X)
/
е~м/(1)(Н = ехр(-у2Аж) для всех Л > О,
о
т. е. найти обратное преобразование Лапласа функции
д(А). Убедитесь, что

Глава 8
Другие вопросы теории
диффузионных процессов
В этой главе мы изучим ряд других важных вопросов теории
диффузионных процессов и смежных областей. Некоторые из
обсуждаемых здесь проблем не являются строго необходимыми для
понимания оставшихся глав, однако все эти вопросы занимают центральное
место в стохастическом анализе и существенны для многих
приложений. Будут изучаться следующие темы.
8.1. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента.
8.2. Формула Фейнмана—Каца. «Убивание».
8.3. Задача о мартингале.
8.4. Когда процесс Ито является диффузионным процессом?
8.5. Случайная замена времени.
8.6. Формула Гирсанова.
8.1. Обратное уравнение Колмогорова.
Резольвента
Предположим, что Х^ —диффузионный процесс Ито в Кп с
производящим оператором А. Если в формуле Дынкина (7.4.1) выбрать
/ Е Со(Кп) и взять г = ^, то легко видеть, что функция
«(*,*) = я* [№)]
является дифференцируемой по I и
-=Е%М{Хг>]. (8.1.1)
Оказывается, правая часть равенства (8.1.1) также может быть
выражена через и.
Теорема 8.1.1 (обратное уравнение Колмогорова). Пусть / Е
С02(К").

170 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
а) Определим
и(1,х)=Е*[/(Х1)}. (8.1.2)
Тогда и(1,-) Е Т>д для каждого I и
ди
— =Аи, I > 0, х Е Кп, (8.1.3)
и(0,х) = /(х), ж ЕКП, (8.1.4)
где правая часть равенства (8.1.3) обозначает действие
оператора А на функцию х —>• и(1,х).
Ь) Более того, если \и(1,х) Е С1'2(К х Кп) —ограниченная
функция, удовлетворяющая уравнению (8.1.3) с граничным условием
(8.1.4), то ю(р, х) — и(1, х), где и(1, х) задается формулой (8.1.2).
Доказательство, а) Пусть д(х) = и(1,х). Тогда, так как функция
I —> и(1, х) дифференцируема, мы получаем, что
^Ь(*г)]-з(*) = I. Е*[ЕхЛ1{Х1)] _ ЕЧ/(Хь)]]
= 1 • ЕХ[ЕХ[}(Х1+Г)\ТГ) - Ех[1(Хг)\Гг]]
= уЕ*У{Х1+г)-}{Х1))
и{1 + г, х) — и(1, х) ди
= ► -т- при г 4- 0.
г 61
Следовательно,
.. Ех[д(Хг)}-д(х) ди .
Аи — иш существует и — = Аи,
что и требовалось доказать.
Ь) Обратно, для доказательства утверждения о единственности
допустим, что функция \и(1,х) Е С1'2 (К х Кп) удовлетворяет
уравнению (8.1.3) с начальным условием (8.1.4). Тогда
Ат: = --^- + Ат = 0 для I > 0, х Е Кп (8.1.5)
гу(0,ж) =/(х), хЕКп. (8.1.6)
Зафиксируем (5, ж) Е К х Кп. Определим процесс У* в Кп+1
равенством Уь = (^ — ^, Х^ 'ж), ^ > 0. Тогда У* имеет своим производящим

8.1. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента 171
оператором оператор Л, и, таким образом, из (8.1.5) и формулы
Дынкина следует, что для всех I > 0 имеет место равенство
Е''х[ю(УгЛтя)]=ю(з,х) + Е3'х
1Лтн
[ Аш(Уг)(1г
ю(з,х),
где тн = шГ{* > 0; \ХЬ\ > К}.
Переходя к пределу при К —> оо, получаем, что
ъи(з,х) = Е8'х[ю(У1)} Ш>0.
В частности, выбирая I = в, получаем
ю(з,х) = Д'-ХУ.)] = Е[ю{0,Х°,'х)] = Е[/(Х°8'х)} = ЕХ[/(Х3)}. П
Замечание. Если ввести оператор (2г: / —>• Е*[/(Х^)], тогда
и(1,х) — ((?*/)(х), и можно переписать (8.1.1) и (8.1.3) в
следующем виде:
~{Яь!)=ЯьШ), /€С02(К"), (8.1.1)'
^Ш)=АШ), /€С02(К"). (8.1.3)'
Таким образом, эквивалентность уравнений (8.1.1) и (8.1.3) в
некотором смысле равносильна коммутативности операторов (2г и А.
Формально говоря, хотелось бы утверждать, что решение
уравнений (8.1.1)' и (8.1.3)' имеет вид
Яь = еьл,
а стало быть, (З^Л = А(^1. Однако такое рассуждение нуждается
в дальнейших пояснениях, потому что оператор Л, вообще говоря,
неограничен.
Важным фактом является то, что если вычесть из А единичный
оператор, умноженный на положительное число, то получится
оператор, имеющий обратный. Этот обратный оператор может быть
явно выражен в терминах диффузионного процесса Хь.
Определение 8.1.2. Для а > 0 ид Е С&(КП) определил*
резольвенту Яа соотношением
Кад(х) = Ех
00
1е-аЬд(Х1)сИ
"о
(8.1.7)
Лемма 8.1.3. Функция Яад является ограниченной и
непрерывной.

172 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
оо
Доказательство. Поскольку Кад(х) — / е~а1Ех[д(Х1)]оИ, лем-
о
ма 8.1.3 является прямым следствием следующего результата.
Лемма 8.1.4. Пусть д(х) —ограниченная снизу измеримая
функция на Кп. Для фиксированного I > 0 определим функцию
и{х) = Е*[д{Хь)}.
а) Если функция д(х) полунепрерывна снизу, то и{х)
полунепрерывна снизу.
Ь) Если функция д{х) ограничена и непрерывна, то и{х)
непрерывна. Другими словами, любой диффузионный процесс Ито Хь
является феллеровским.
Доказательство. Согласно (5.2.10) справедливо неравенство
Е[\Х?-ХП2]<\у-х\2С(1),
где С(1) не зависит от ж и у. Пусть {уп} — некоторая
последовательность точек, сходящихся к х. Тогда
Хуьп -> Xх в Ь2(П,Р) при п -> оо,
так что, выбирая подпоследовательность {гп} из {уп}, получаем,
что
Х^п(и) -» Xх (и) для почти всех из е ^.
а) Если функция д ограничена снизу и полунепрерывна снизу, то
по лемме Фату имеем
и(х) = Е[д(Х?)} < Е[Ъш_д(Х^)] < ^^Е[д{Х^)}
п->оо п->оо
= Нт и(гп).
п->оо
Поэтому каждая последовательность {уп}, сходящаяся к ж,
содержит подпоследовательность {гп}, такую, что и(х) <
Нт и(гп). Отсюда следует, что функция и является полунепре-
п—>оо
рывной снизу.
Ь) Если функция д ограничена и непрерывна, то результат п. а)
может быть применен одновременно к д и к (—д). Следовательно,
обе функции и и (—г*) полунепрерывны снизу, и мы заключаем,
что функция и непрерывна. □

8.1. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента 173
Докажем теперь, что Яа и {а — А) являются взаимно обратными
операторами.
Теорема 8.1.5. а) Если / Е С^{Кп), то Яа(а - А)$ — / для всех
а > 0.
Ь) Если д Е С&(КП); то Кад Е Х>д ^ (а — А)Кад = д для всех а > 0.
Доказательство, а) Если / Е Со(Кп), то по формуле Дынкина мы
имеем
Яа(а - А)/(х) - (аДа/ - ЯаА/)(х)
оо оо
= а[е-агЕх[/(Хг)](И - [е-^Е^АЦХ^М
о
(
- -е-а'г;х[/№)]
оо
0
оо
= д*°[/(*о)] - /(*).
Ь) Если д Е Сб(Кп), то в силу строгого марковского свойства имеем
Ех[Кад(Хь)] = Е*
Ех
Ех
= Е
Е}
Ех
Ех
ОО
I е-«8д(Х3)й,
о
оо
П е-а"д{Х3)лХт1
о
оо
I е-авд(Х1+6)с1,з\Ъ
0ь
I е-а*д(Х1+3)Лз
о
со
= I е-а*Ех[д{Х1+8))Лз.

174 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Произведя интегрирование по частям, получаем
Ех[Па9(Х,)] = <*У е-*в | Ех\9{Ху)]^йз.
О I
Из этого тождества следует, что Яад Е Х>л и
А(Кад) = аЯа# -р. П
8.2. Формула Фейнмана—Каца. «Убивание»
Приложив еще немного усилий, можно получить следующее
полезное обобщение обратного уравнения Колмогорова.
Теорема 8.2.1 (формула Фейнмана—Каца). Пусть / Е С^(КП), а
д Е С(ИП), причем функция д ограничена снизу.
а) Положим
у(1,х) ^Ех
Тогда
I
ехр - / д(Х8)с1з)/(Х1)
(8.2.1)
9^
— = Ау - ду, I > 0, а: Е Кп, (8.2.2)
ь(0,х) =/(ж), х6Еп. (8.2.3)
Ь) Более того, если функция и)(1,х) Е С1,2(К х Кп) ограничена на
К х Кп для каждого компактного множества К С К и
является решением уравнения (8.2.2) с начальным условием (8.2.3),
тоги(1,х) —у(1,х), гдеу{1,х) задается равенством (8.2.1).
I
Доказательство, а) Пусть У^ = /(^), %ь — ехР(~ / д(Х8)д,8). То-
о
гда 6,У1 задается формулой (7.3.1), а
02ь = -2ьд(Хь)(И.
Поэтому
й(Уь2ь) = У^ + адУ*, так как ^ • йУь = 0.

8.2. Формула Фейнмана—Каца. «Убивание» 175
Заметим, что, поскольку У^^ является процессом Ито, из
леммы 7.3.2 следует, что функция у(1,х) — ^Ж[У^^] дифференцируема
по I.
Следовательно, для у(1,х) из (8.2.1) имеем соотношения
1
1
~{Е'[о(1,Хг)]-у(1,х)) - -Е*[ЕХ*[2>/(Х*)]-ЕХ[2>ПХ*)]]
г
= 1-ех \ех [/№+г) ыр(~1 ?№+г)^) \тг
- ЕХ[2*/(Х*)\ГГ]]
г
г
(/
^г+г•ехр
1
дх[/(х4+г)24+Р-/(:ад]
г
/(Х4+г)2<+г • ( ехр
О
а
0*
потому что
^(*,ж) + д(х)у(1,х) при г-> О,
1
/(Х1+г)21+г ехр / <?(Х5)^ - 1 -> /(Х,)2,д(Х0)
поточечно и при этом выражение в левой части равномерно
ограничено по г и и. Утверждение а) доказано.
Ь) Предположим, что функция т(1,х) 6 С1,2(К х Кп)
удовлетворяет уравнению (8.2.2) и начальному условию (8.2.3) и что ги(1,х)
ограничена на К х Кп для каждого компактного множества К С К.
Тогда
Аъ)(1, х) := --^- + Агю - дги = 0 для I > 0, х <Е Кп (8.2.4)
ги(0,ж) = /(ж), ж Е КП.
(8.2.5)
Зафиксируем (з,х,г) Е КхКп хКп и определим ^ — г+§ д(Х8)д,8 и
Н1 — (з — I, Х1 'ж, ^). Тогда ^ является диффузионным процессом

176 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Ито с производящим оператором
Анф(з,х, г) = -^ + Аф + я(х№, ф Е С02(К х Кп х К").
оз ог
Следовательно, в соответствии с (8.2.4) и формулой Дынкина мы
получаем, что для всех I > О, Я > 0 и при ф(з, ж, г) — ехр(—^)уо(з, х)
имеет место равенство
ЬЛтц
Е3^[ф(Н1Атн)} = ф(з1х1г)+Е3^[
( Анф{Нг)йг
где тя = Ы{1 > 0; \Щ\ >Я}.
Заметим, что при таком выборе ф из формулы (8.2.4) следует,
что
дгю . . . 1 Л
-Ь А\и — д(х)ш\ = 0.
дз
Анф(з,х,г) = ехр(-г)|
Отсюда
ш(з,х) =ф(з,х,0)=Е8'х'о[ф(Н1Атн)}
= Ех
-> Ех
1Лтц
ехР ( - / ч{Хг)йг )ю(з - 1ЛтЕ,Х1Атн)
ехр
при Я -> оо,
поскольку функция к;(г, ж) ограничена при (г, ж) Е К х Кп. В
частности, выбирая I — 5, получаем равенства
гу(5,ж) = Еж
5
ехр (^-Iд(Хг)аг^ю(0,Х°а^ = «(*,*),
что и требовалось доказать.
□
Замечание (Об «убивании» диффузионного процесса). Из
теоремы 7.3.3 следует, что производящий оператор диффузионного
процесса Ито Хг, задаваемого уравнением
аХг=Ъ{Хг)й1 + а{Хг)йВи
(8.2.6)
является дифференциальным оператором с частными
производными Ь вида
*/ = Е«*яЙт + Е^. (8-2-7)
дХ{дХ]
1дХг'

8.2. Формула Фейнмана—Каца. «Убивание» 177
где [а^] — \оот, Ъ = [Ъ{]. Естественно задаться вопросом: можно ли
также найти процесс, производящий оператор которого будет иметь
вид
где с(х) — ограниченная непрерывная функция?
При с(х) > 0 ответ положителен и процесс Х% с производящим
оператором (8.2.8) получается «убиванием» процесса Х^ в
некоторый момент («убивания») (. Под этим мы понимаем, что
существует случайный момент времени С, такой, что если положить
Хь =ХЬ при I < С (8.2.9)
и оставить Х1 недоопределенным для I > ( (или, другими
словами, положить Х1 — д для I > (, где д ^ Кп есть некоторое
«несобственное» состояние), то Х^ также является строго марковским
процессом и
Я* [/(**)] := ^[/(Х4)Д-*<СН] - Е*
ПХь)-е'^с(ХМз
(8.2.10)
для всех ограниченных непрерывных функций / на Кп.
Пусть у(1, х) обозначает правую часть равенства (8.2.10), причем
/ € Со(Кп). Тогда по формуле Фейнмана—Каца мы имеем
\\т - ~-у(1,х)1=0
= (Ау - си)ь=о = А/(х) - с(х)/(х).
Таким образом, производящий оператор процесса Хь
определяется формулой (8.2.8), как и требовалось. Функцию с(х) можно
трактовать как скорость «убивания»:
с(х) = Нт-(5ж[Хо«убивается» в интервале времени(0,1]].
Итак, применяя такую «убивающую» процедуру, можно перейти от
частного случая с = 0 в (8.2.7) к общему случаю (8.2.8), где с{х) >
0. Поэтому для многих целей достаточно рассматривать уравнение
(8.2.7).
Явное построение «убивающего» момента времени (, такого, что
имеет место формула (8.2.10), при заданной функции с(х) > 0
содержится в книге КагИп, Тау1ог (1981), с. 314. Более общее изучение
вопроса читатель может найти в книге В1итеп1Ьа1, СеЪоог (1968),
гл. III.

178 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
8.3. Задача о мартингале
Если диффузионный процесс Ито Хь в Кп с производящим
оператором А описывается уравнением 6?Х^ = 6(Х^)^ + сг(Х^)б?Б^ и если
/ е Со(Кп), то по формуле (7.3.1) мы имеем
I I
/№) - /(я) + [ А{(Х8)<1з + [ У1т(Х3)а{Хзу,В3. (8.3.1)
о о
Определим
М,
I I
/№) - I АПХг)с1г (= Их) + I У}т(Хг)а{Хг)ЛВг).
(8.3.2)
Тогда, поскольку интегралы Ито являются мартингалами
(относительно ст-алгебр {•?{}), для з > I получаем
Ех[М8\$т)]=Мь.
Отсюда следует, что
Ех[М8\Мь] = Ех[Ех[М3\т[т)]\Мь] = ЕЖ[М,|.М,] - М4,
так как процесс Мь является М г измеримым. Мы доказали
следующую теорему.
Теорема 8.3.1. Пусть Х^ является диффузионным процессом
Ито в Кп с производящим оператором А. Тогда для всех / €
Со(Кп) процесс
I
М; = /№)~ [а/(Хг)<1г
является мартингалом относительно {Л4ь}.
Если отождествить каждый элемент и € П с функцией
то вероятностное пространство (0,,М,(2Х) отождествится с тройкой
((кп)[°'°°),в,ож),
в которой В есть борелевская сг-алгебра на (К")'0'00) (см. гл. 2).
Таким образом, рассматривая вероятностный закон процесса Xх как

8.3. Задача о мартингале 179
вероятностную меру С^х на В, можно сформулировать теорему 8.3.1
следующим образом.
Теорема 8.3.1'. Пусть (}х —вероятностная мера на В,
индуцированная законом (2Ж диффузионного процесса Ито Хь. Тогда для
всех / € Со(Кп) процесс
М<
= /№)-|л/(Хг)йг
о
I
( = /Ы-|л/(ШгМг), ^ е (к")1°>°°\ (8.3.3)
является С}х -мартингалом относительно борелевских а-алгебр Вь
пространств (Кп)^°'^; I > 0. Другими словами, мера С}х решает
задачу о мартингале для дифференциального оператора А в
следующем смысле.
Определение 8.3.2. Пусть Ь — полу эллиптический
дифференциальный оператор вида
д V- д2
*-2>^ +
^
си
дХг ^ %3 дХгдх*'
г 1 ■'
г,3
где коэффициенты Ь{^а^ являются локально ограниченными боре-
левскими измеримыми функциями на Кп. Тогда мы говорим, что
вероятностная мера Рх на ((К/1)^0'00), В) решает задачу о
мартингале для оператора Ь [при начале процесса в точке х), если процесс
М,
I
= /Ы - [ ЬЦиг)йг, М0 = /(*) Рх-п. н.,
является Рх -мартингалом относительно Вь для всех / Е С$ (Кп).
Задача о мартингале называется корректной, если существует
единственная мера Рх, решающая задачу о мартингале.
Обсуждения теоремы 8.3.1 показывают, что 0х решает задачу о
мартингале для Л, если Хь является слабым решением
стохастического дифференциального уравнения
йХь = Ь{Х1)й1 + а{Х1)йВ1. (8.3.4)

180 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Обратно, можно доказать, что если Рх решает задачу о мартингале
для оператора
при начале процесса в точке х для всех х Е Кп, то существует слабое
решение X* стохастического дифференциального уравнения (8.3.4).
Более того, слабое решение Х^ является марковским процессом
тогда и только тогда, когда задача о мартингале для Ь корректна
(см. ЗЪгооск, УагайЬап (1979) или Ко^егз, АУПНатз (1987)). Поэтому
если коэффициенты Ь, о уравнения (8.3.4) удовлетворяют условиям
(5.2.1), (5.2.2) теоремы 5.2.1, то мы заключаем, что
0х есть единственное решение задачи о мартингале
для оператора Ь, задаваемого равенством (8.3.5). (8.3.6)
Непрерывность по Липшицу коэффициентов оператора Ь не
является обязательной для единственности в задаче о мартингале.
Например, один из ярких результатов Струка и Варадана (З^гооск,
УагайЬап (1979)) состоит в том, что оператор
^ г дх{ ^ ч дх{дх$
имеет единственное решение задачи о мартингале, если матрица
[а^] всюду положительно определена, функции а^ (х) непрерывны,
функция Ь(х) измерима и существует константа Б, такая, что
\Ь(х)\ + \а(х)\^ < Л(1 + \х\) для всех х е Кп.
8.4. Когда процесс Ито является диффузионным
процесом?
Из формулы Ито следует, что результат ф(Хь) применения
С2-функции ф: V С Кп -> Кп к процессу Ито Хь тоже
является процессом Ито. Естественный вопрос состоит в следующем:
если Х1 — диффузионный процесс Ито, то будет ли процесс ф(Х^
снова диффузионным процессом Ито? Вообще говоря, ответ
отрицателен, но в некоторых случаях он может быть и положителен.
Пример 8.4.1 (процесс Бесселя). Пусть п > 2. В примере 4.2.2 мы
показали, что процесс
В*(ы) = \В(1,ы)\ = Ш*М2 + ■■■ + Вп{1,и)2)^

8.4. Когда процесс Ито является диффузионным процесом? 181
удовлетворяет уравнению
ЛВ* = ^^г + -щ-Л- (84Л)
г=1
Однако в данной форме это не стохастическое дифференциальное
уравнение вида (5.2.3), так что из (8.4.1) не очевидно, что Я
является диффузионным процессом Ито. Но это будет так, если мы
сможем показать, что процесс
О г_1
совпадает по вероятностному закону с одномерным броуновским
движением Вь (т. е. имеет те же конечномерные распределения,
что и Вь). В этом случае уравнение (8.4.1) можно переписать
следующим образом:
,^ п — 1 , ,~
а это уравнение уже имеет вид (5.2.3); таким образом, в силу слабой
единственности (лемма 5.3.1) Кг является диффузионным
процессом Ито с производящим оператором
А№ = \Г'{х) + ^Г(х),
как утверждалось в примере 4.2.2. Один из способов доказательства
того факта, что процесс У* совпадает по вероятностному закону
с одномерным броуновским движением Д, состоит в применении
следующего результата.
Теорема 8.4.2. Процесс Ито
<1Уь=у<1Ви *о=0, у{1,и)еУ^"\
совпадает (по вероятностному закону) с п-мерным броуновским
движением тогда и только тогда, когда
уу (1,и) — 1п для почти всех (1,и)
относительно 6,1 х 6,Р, (8.4.2)
где 1п —п-мерная единичная матрица.
Отметим, что для указанного выше примера
I
уь = [уав,
о

182 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
где
а так как уут = 1, мы получаем, что Уь есть одномерное броуновское
движение, что и требовалось доказать.
Теорема 8.4.2 является частным случаем следующего
результата, который дает необходимое и достаточное условие того, чтобы
процесс Ито совпадал по вероятностному закону с данным
диффузионным процессом (мы будем использовать символ ~ для оборота
«совпадает по вероятностному закону с»).
Теорема 8.4.3. Пусть Л^ — диффузионный процесс Ито,
задаваемый уравнением
йХь = Ь{Хь)й1 + а{Хь)йВг, Ь е Кп, ае Кпхш, Х0 = х,
и пусть Уг — процесс Ито, задаваемый уравнением
ауь = и(г,и)<и + у(г,и)ави иекп, ^кпхт, у0 = х.
В этом случае Хг ~ У\ тогда и только тогда, когда
Ех[и(1,-)\Щ = Ь(УП и уут(1,со) = ааТ(У?) (8.4.3)
для почти всех (1,и) относительно аИ х йР, где Л/* —а-алгебра,
пороэюдепная процессом У8, 8 <1.
Доказательство. Допустим, что имеют место равенства (8.4.3).
Пусть
является производящим оператором процесса Хь. Для / Е С^(Кп)
определим
г г ъ,3 г 3

8.4. Когда процесс Ито является диффузионным процесом! 183
Тогда по формуле Ито (см. (7.3.1)) для з > I имеем
= /(Уь)+Ех
У*Я/(г,о;)йг|М
18
[ Ех[Н1{г,ьо)\Щ(1г\Я1
18
I А/(Уг)(1г\ЛГг
8
I
у/7шшГ11л/;
* (согласно (8.4.3)), (8.4.4)
где Ех обозначает математическое ожидание относительно
вероятностного закона Ях процесса У^ (см. лемму 7.3.2). Поэтому если
определить
I
М, = /(У,)-|л/(Уг)^г, (8.4.5)
о
то для 5 > I имеем
ЕХ[М8\Щ = /(У1) + ЕХ
= №) - Ех
5
I А/(Уг)аг\АГь
|л/(Уг)^г|М
Ех
= м,
8
У*Л/(Уг)йг|М
Следовательно, М^ является мартингалом относительно сг-алгебр
Мь и вероятностного закона Ях. В силу единственности решения
задачи о мартингале (см. (8.3.6)) мы заключаем, что Хь ~ Уь.
Обратно, допустим, что Хь ~ Уь. Выберем / Е С\. По формуле
Ито (7.3.1) мы получаем, что для почти всех (^, и) относительно
сИ х йР имеют место равенства
1ип^(^[/(К4+А)|М]-/(1«))
=аК/Е"[^"'(^)й(П)
:^2Ех[щЦ,ш)\Мь&У)
дx^
+ \^Е*[{уут)ф,и)Ш^^{У1). (8.4.7)

184 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
С другой стороны, поскольку Хь ~ Уь, как мы знаем, Уь является
марковским процессом. Поэтому (8.4.6) совпадает с равенством
Ит1(^[/(УЛ)]-^[/(Уо)])
г
+ 1ХХ'
щ(0,ш)^-(У0)
(™Т)«(0,")оЙ-(%)
дх{дх^
о;
г
(8.4.8)
(8.4.9)
(8.4.10)
Сравнивая (8.4.7) и (8.4.8), заключаем, что
Ех[и{г,ио)\Я1] = Еу*[и(0,и)} и
Ех[уут{1^)\М1) = Еу*[уут(0,и;)}
для почти всех (1,ш).
Вместе с тем, так как производящий оператор процесса У^
совпадает с производящим оператором А процесса Х^, из (8.4.8)
получаем, что
Еу<[и(0,и)] = Ъ(У1) и
Еу^[уут(0^)} = аат(У1)
для почти всех (2,ел).
Объединяя (8.4.9) и (8.4.10), заключаем, что
Е*[и\Щ = Ъ{Уг) и
Ех[уут\Щ = аат(У1)
для почти всех (1,ш).
Отсюда мы получаем равенства (8.4.3), используя то
обстоятельство, что в действительности функция уут{1, •) всегда Л/гизмерима
в следующем смысле.
Лемма 8.4.4. Пусть (1Уь = и{1,ш)д,1 + г?(^,о;)сШг, Уо = х, как
и в теореме 8.4.3. Тогда существует ^-согласованный процесс
IV (I, и), такой, что
уу {1,и) — IV(^, и) для почти всех ^,ш)-
(8.4.11)

8.4. Когда процесс Ито является диффузионным процесом? 185
Доказательство. По формуле Ито получаем
I I I
УгУ^и) = х{х^ + / УгдУ^з) + / У^йУ^з) + / (уут)^(з,и)<18
0 0 0
(Уг(1,и) обозначает г-ю компоненту процесса У(1,и)). Поэтому если
положить
I I
Щ,(1,Ш) = У^(г,ш) - ХгХ, - УгЩ- I У^У» 1<1,3<Щ
о о
то процесс Нц является Мь-согласованным и
I
Нгу(1,и) = / (уут)ц(з,и)<18.
Следовательно,
(уу1 )»(*,а;) = 1ип —
7 г|о г
для почти всех I. Это завершает обоснование леммы 8.4.4, а вместе
с тем и доказательство теоремы 8.4.3. □
Замечания. 1. Можно задаться вопросом, должен ли процесс
и{1, •) также быть Л^-измеримым? Следующий пример
показывает, что это не так даже в случае, когда у — п — 1.
Действительно, пусть В\, В2 —два независимых одномерных
броуновских движения. Определим
ЛУЬ =В1(1)<И + йВ2(1).
Тогда Уь можно рассматривать как зашумленные измерения
процесса В\{1). В соответствии с примером 6.2.10 мы имеем
Е[(В1Ц,и,)-В1Ц,ы))*] = ЬЪЦ),
где оценка В\{1,и) = Е[В\{1)\М1\ доставляется фильтром Кал-
мана—Бьюси. В частности, процесс В\(1,и) не может быть
Мь- измеримым.
2. Процесс у(1,ш) также не обязан быть Л/г согласованным.
Действительно, пусть Вг — одномерное броуновское движение.
Определим
(1У1=зщп{В1)(1ВЬ1 (8.4.12)

186 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
где
, ч II, если 2, > О,
1—1, если г < О.
Формула Танаки утверждает, что
I
\ВЬ\ = |В0| + [зщп(В3)(Ш3+Ьи (8.4.13)
о
где Ьь = Ь^и) — локальное время, проведенное процессом Вг
в 0; Ьь — неубывающий процесс, который только возрастает,
когда В1 = 0 (см. упражнение 4.10). Поэтому сг-алгебра Л/*,
порожденная семейством {У5;$ < ^}, содержится в сг-алгебре %,
порожденной семейством {|1?5|;$ < I}. Отсюда вытекает, что
процесс у(1,и) — 31§п(Б^) не может быть Л/гсогласованным.
Следствие 8.4.5 (как распознать броуновское движение). Пусть
процесс Ито У^ в Кп задается уравнением
дУъ = и(г,и)(И + у(г,и)(1Вь.
Тогда Уь является броуновским движением в том и только том
случае, когда
Ех[и(г,-)\ЛГ1}=0 и ууТ(^и) = 1п (8.4.14)
для почти всех (1,и;).
Замечание. Используя теорему 8.4.3, можно теперь перейти к
вопросу о том, когда образ Уг = ф{Хь) диффузионного процесса Ито
Хг, полученный посредством применения С2-функции ф,
совпадает по вероятностному закону с диффузионным процессом Ито 2ь.
Применяя критерий (8.4.3), можно получить следующий результат:
ф{Хь) ~ %1 тогда и только тогда, когда
А[1 о ф] = Л[/] о ф (8.4.15)
для всех полиномов второго порядка ${х\,... ,хп) = ^2^Х{ +
"}ГсцХгХ^ (и, следовательно, для всех / Е Со), где А и А
являются производящими операторами процессов Хь и 2ч соответственно.
(Здесь о обозначает суперпозицию функций: (/ о ф)(х) = /(ф(х)).)
Обобщение этого результата можно найти в работах Сзтк, 0кзепс1а1
(1983) и Сзтк, Рйгзшшюпз, 0кзеп(1а1 (1990).

8.5. Случайная замена времени 187
8.5. Случайная замена времени
Пусть с(1,ш) > 0- некоторый ^-согласованный процесс.
Определим
0Ь =Р(1,ш) = I ф,ш)<1з. (8.5.1)
о
Будем говорить, что (Зь является (случайной) заменой времени со
скоростью замены времени с(1,ио).
Отметим, что /?(2, и) также является ^-согласованым процессом
и для каждого и отображение I -> ($ь(ш) является неубывающим.
Определим сц = а(1,со) равенством
аь = Ы{з;р8 >*}• (8-5.2)
Тогда а? есть правая обратная функция к функции /?$ для
каждого си:
/3(а(1,и),и) = I для всех I > 0. (8.5.3)
Более того, отображение I -> аь(оо) непрерывно справа.
Если с(з,ш) > 0 для почти всех (з,ш), то отображение I -> Рг{оо)
строго возрастающее, отображение I -> а* (и;) непрерывно, а а^
является также и левой обратной функцией к Д:
а(/?(*,и;),и;) = I для всех * > 0. (8.5.4)
Вообще говоря, отображение и -> а(1,и) определяет {^г8}-момент
остановки для каждого ^, поскольку
{и;а(1,и) < з} = {и; К /3(з,и)} е Т8. (8.5.5)
Предположим, что Х^ — диффузионный процесс Ито, а У^ — процесс
Ито, определенный в теореме 8.4.3. Поставим следующий вопрос:
когда существует замена времени Д, такая, что Уа1 ~ Х^
(Заметим, что функция а.1 определена только до момента времени Д^.
Если /Зоо < оо, то обозначение Уаг ~ Хь понимается в том смысле,
что Уа± имеет такой же вероятностный закон, как и Х^ вплоть до
момента времени /?оо.)
Вот частичный ответ на поставленный вопрос (см. ОкзепсЫ
(1990)).
Теорема 8.5.1. Пусть процессы Х^,У^ определяются условиями
теоремы 8.4.3, а замена времени ^ и правая обратная, функция
он, определены соотношениями (8.5.1), (8.5.2). Предположим, что
и(1,и) = с(1,ио)Ъ(Уь) и ууТ(1,и) = ф,и) • <тсгт(Ъ) (8.5.6)

188 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
для почти всех (1,и). Тогда
Уось — ХЬ.
Этот результат позволяет нам распознавать процессы,
представляющие собой замены времени в броуновском движении.
Теорема 8.5.2. Пусть процесс Уь, задаваемый уравнением 6У1 =
у(1,и)(1В1, V Е Кпхт; Вь е Кт, является интегралом Ито в Кп,
Уо = 0. Допустим, что
ууТ(1,и) = с(1,и)1п (8.5.7)
для некоторого процесса с(1,ш) > 0. Пусть а*,/?* определяются
равенствами (8.5.1), (8.5.2). Тогда
Уаг есть п-мерное броуновское движение.
п
Следствие 8.5.3. Пусть вУь = ]П Уг(1,и})6,Вг(1,и), Уо = 0, где В —
1=1
(Вх,..., Вп) — броуновское движение в Кп. Тогда
Вь := Уа1 есть одномерное броуновское движение,
где а.1 определяется равенством (8.5.2), а
йг. (8.5.8)
Следствие 8.5.4. Пусть процессы Уь,/38 определены так же, как
в следствии 8.5.3. Допустим, что
п
У^г^(г,и) > 0 для почти всех (г,и). (8.5.9)
г=1
Тогда существует броуновское движение Вь, такое, что
Уь=Вь. (8.5.10)
Доказательство. Пусть
Вь = Уа1 (8.5.11)
— броуновское движение из следствия 8.5.3. Согласно (8.5.9)
функция @1 является строго возрастающей, и, следовательно, имеет
место равенство (8.5.4). Тогда, выбирая в (8.5.11) I = /38, получаем
(8.5.10). □

8.5. Случайная замена времени 189
Следствие 8.5.5. Пусть процесс с(1,ш) > О задан. Определим
ЛУь
г
I УФУ
и)йВ8,
где В8 —п-мерное броуновское движение. Тогда
Уаь таксисе является п-мерным броуновским движением.
Теперь с помощью полученных результатов докажем, что
замена времени в интеграле Ито снова приводит к интегралу Ито,
но образованному другим броуновским движением Д. Сначала
построим Вь.
Лемма 8.5.6. Пусть отображение $—>а(з,и) непрерывно и
а(0,и) = 0 для почти всех и. Зафиксируем I > О, такое, что (Зь < оо
п. н., и допустим, что Е[с*1] < оо. Для к = 1, 2,... положим
и =
I 2 ' 2 к, если ] • 2 к < оц,
I I, если ] • 2~к > оц,
и выберем г^, такое, что аГ5 — 1^. Предположим, что
функция /(з,о;) > 0 является ^-согласованной, ограниченной и
з-непрерывной для почти всех и. Тогда
ось
Нш ^Г/(щ,и\АВа. = / /(з,и)<1В8 п. п., (8.5.12)
з 3 {
где а^ = аг., АВа. = Ва.+1 — Ва., а предел берется в Ь2(Г1,Р).
Доказательство. Для всех к имеем
Г / 7 N21
Е ~
^2/(а^ш)АВа5 - ['/(з,и)(1В.
о
а5+г 2
а5 + 1
= ЕЕ I (Пч,и>)-1(з,ы))2<1з\ =Еии-1к)2Л8

190 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
где Д(5,и) = 5^/(^,0;)^ ^^ — ступенчатые функции, ап-
з
проксимирующие функцию / (см. следствие 3.1.8). Отсюда и
вытекает равенство (8.5.12). □
Теперь с помощью полученных результатов установим общую
формулу для замены времени в интегралах Ито. Другое
доказательство для случая п = га = 1 можно найти в книге МсКеап
(1969), §2.8.
Теорема 8.5.7 (замена времени в интегралах Ито). Предположим,
что функции с(з,и) и а(з,и) являются з-непрерывными, а(0,о;) =
О для почти всех и и Е[аь] < оо. Пусть В3 — т-мерное броуновское
движение, а функция у(з,и) Е У^хш ограничена и з-непрерывна.
Определим
Въ = Ит У]х/с(щ,и)АВа; = / у/с(з,и)(1В3. (8.5.13)
1 0
Тогда Вь есть {т-мерное) Таь -броуновское движение (т. е. В1 —
броуновское движение и В1 является мартингалом относительно
\ у(з,и)(1В8 = / у(аг,и)у/а'г(и)йВг Р-п. п., (8.5.14)
где о!г{и)) — производная функции а{г,ш) по г, так что
а' (и) = — для почти всех г > О и
с(аг,и)
почти всех и Е ^. (8.5.15)
Доказательство. Существование предела в (8.5.13) и второе
равенство в (8.5.13) следуют из леммы 8.5.6, примененной к функции
/(з,и) = у/с(з,и).
Далее, согласно следствию 8.5.5 мы получаем, что В% есть
Тб^ -броуновское движение. Остается доказать (8.5.14):

8.5. Случайная замена времени 191
ось
['■■■
О 3
(з,и)(1В8 — Нт У^у(а^,и)АВа.
г
= / у(аг,в)\1 п1^ <лб?Дг
с(аг,о;)*
о
Теорема доказана. □
Пример 8.5.8 (броуновское движение на единичной сфере в Кп;
п > 2). В примерах 5.1.4 и 7.5.5 было построено броуновское
движение на единичной окружности. Не сразу ясно, как обобщить
использованный там метод для построения броуновского движения на
единичной сфере 5 из Кп, п > 3. Можно, однако, поступить
следующим образом. Применим функцию ф: Кп\{0} -> 5, определенную
равенством
ф{х) =х-\х\~\ хеКп\{0},
к п-мерному броуновскому движению В = (Бь ..., Вп). В
результате получится стохастический интеграл У — (У1,.. .,Уп) = ф(В),
который в соответствии с формулой Ито задается выражением
\В\2-В? ^В5В< п-1 В,
Зфг
г = 1,2,..., п. (8.5.16)
Отсюда
где
а = [(Ту] Е Кпхп, • (Ту (У) - <% - ВД, 1 < *, ^ < п,
2
(ух,..., уп — координаты точки у е Кп).

192 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Произведем теперь следующую замену времени. Определим
2ь{ш) = Уа^ш)(и),
где
I
о-ь = РГ1> №М = / тшЛз-
о
Тогда 2 снова есть процесс Ито, и по теореме 8.5.7 мы получаем
62 = а(2)ЛВ + Ъ(2)(И.
Следовательно, 2 является диффузионным процессом с
характеристическим оператором
\у\ = 1. (8.5.17)
Таким образом, процесс ф(В) — щ совпадает — после
подходящей замены масштаба времени —с диффузионным процессом 2,
расположенным на единичной сфере 5 в Кп. Отметим, что
процесс 2 инвариантен относительно ортогональных преобразований
в Кп (поскольку таковым является В). Естественно назвать 2
броуновским движением на единичной сфере 5. Другие конструкции
изложены в книге Но, МсКеап (1965), с. 269 (§7.15), и в статье
Йгооск (1971).
В более общем случае, если задано риманово многообразие М
с метрическим тензором д — [д^], можно определить броуновское
движение на М как диффузионный процесс на М,
характеристический оператор Л которого в локальных координатах Х{ задается
оператором Лапласа—Бельтрами (здесь [дгэ] = [д^]"1)
д*' = 7Ш?^И*>?9''4) <8518)
(умноженным на |). Эти вопросы освещены, например, в
книгах Меуег (1966), с. 256-270, МсКеап (1969), §4.3. Стохастические
дифференциальные уравнения на многообразиях исследуются
также в книгах 1кес1а, \\ЫапаЪе (1989), Етегу (1989) и Е1\*гог{;пу
(1982).

8.5. Случайная замена времени 193
Пример 8.5.9 (гармонические и аналитические функции). Пусть
В — {В\,В2) —двумерное броуновское движение. Выясним, что
произойдет, если применить функцию
ф(хг,х2) = (и(х1,х2),у(хг,х2))
класса С2 к процессу В.
Положим У = (Ух,!^) = ф(В\,В2) и воспользуемся формулой
Ито:
ау1=и[(в1,в2)ав1+и'2(в1,в2)ав2 + ^[и''1(ви
и
ау2 = у[(вив2)ав1+у'2(вив2)ав2 + ^1(вив
где и[ = -§^ и т. д. Итак,
ЛУ = Ь(В1, В2)(И + а(Вг, В2)0В,
где 6 = ^ ( д ) ' а — [ } 1) — Вф (производная функции ф).
Таким образом, процесс У = ф(В\,В2) является мартингалом
тогда (и на самом деле только тогда), когда функция ф является
гармонической, т. е. Аф = 0. Если функция ф гармоническая, то из
следствия 8.5.3 получаем, что
Ф(В1,В2) = (В™,в]*>),
где В^ и В^ —две (не обязательно независимые) версии
одномерного броуновского движения, и
I I
&(*,") - I \Х7и\2(ВиВ2)Аз, /32(*,и) = | \^у\2(Ви В2)йз.
(\Чи\2 \7и • УгЛ
\7и • Чу \\7у\
мы видим, что если (в дополнение к условиям Аи = Ау = 0)
\\7и\2 - \^у\2 и Ун • \7у = 0, (8.5.19)
то
I
уь = у0+ Iаав,
о о
Так как

194 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
где
аат = \Чи\2(ВиВ2)12, У0 - ф(В1(0),В2(0)).
Поэтому если положить
I
& = /?(*,Ч) - I \Чи\\ВиВ2)<1з, аь = р~\
о
то по теореме 8.5.2 получаем, что Уа1 является двумерным
броуновским движением. Как легко видеть, условия (8.5.19) —в
дополнение к условиям Аи = Ау = 0 — эквивалентны требованию, чтобы
функция ф(х + гу) — ф(х,у), рассматриваемая как функция
комплексного переменного, была либо аналитпична, либо сопрясисенно
аналитпична.
Таким образом, мы доказали теорему П. Леви о том, что
процесс ф(В\,В2), полученный после замены масштаба времени,
снова является броуновским движением на плоскости тогда и только
тогда, когда функция ф либо аналитична, либо сопряженно анали-
тична. Обобщения этого результата изложены в работах Вегпагй,
СатрЬеИ, Бау1е (1979), Сзтк, 0кзепс1а1 (1983) и Сзтк, Р11231ттопз,
0кзепс1а1 (1990).
8.6. Теорема Гирсанова
В заключение этой главы рассмотрим теорему Гирсанова,
которая является фундаментальным результатом теории
стохастического анализа. Она также широко применяется во многих
приложениях, например в экономике (см. гл. 12).
Суть теоремы Гирсанова состоит в том, что если изменить
коэффициент сноса данного процесса Ито (с невырожденным
коэффициентом диффузии), то вероятностный закон процесса не
изменится радикальным образом. В действительности вероятностный закон
нового процесса будет абсолютно непрерывным относительно
вероятностного закона исходного процесса, и мы можем явно вычислить
соответствующую производную Радона—Никодима.
Теперь перейдем к точным формулировкам. Прежде всего
приведем (без доказательства) полезную характеризацию Леви
броуновского движения. Доказательство можно найти, например, в
книге 1кес1а, \\ЫапаЪе (1989), теорема П.6.1, или в книге Кага1газ,
ЗЬгеуе (1991), теорема 3.3.16.
Теорема 8.6.1 (характеризация Леви броуновского движения).
Пусть Х(1) = (XI (^),..., Хп{1)) — непрерывный случайный процесс

8.6. Теорема Гирсанова 195
на вероятностном пространстве (0,7^,(5) со значениями в Кп.
Тогда следующие два условия а) и Ь) эквивалентны.
а) Процесс Х{1) является броуновским движением относительно
<3, т. е. вероятностный закон процесса Х{1) относительно ф
совпадает с вероятностным законом п-мерного броуновского
движения.
Ь) (1) Процесс Х(1) — (Х\{1),... ,Хп(1)) является
мартингалом относительно ф (и относительно своего собственного
потока) и
(и) процесс Х{{1)Х^{1) — 8^1 является мартингалом
относительно С} (и относительно своего собственного потока) для
всех г,] е {1,2,... ,п}.
Замечание. В этой теореме можно заменить условие (и)
следующим условием.
(и)' Процесс кросс-вариации (Х{,Х^1 удовлетворяет тождеству
(Хг,Х^Ь(оо)=6г^ П. Н., 1 < I, ] < П, (8.6.1)
где
(ХьХз)ь = ±[(Хг + Хз,Х1 + Х1)ь-(Х{-Хз,Х1-ХАьЪ (8.6.2)
а (У, У)ь является процессом квадратичной вариации (см.
упражнение 4.7).
Далее нам потребуется один вспомогательный результат об
условном математическом ожидании.
Лемма 8.6.2. Пусть /л и и — две вероятностных меры на
измеримом пространстве (П,б), такие, что йи{ио) — /(о;)й/х(о;) для
некоторой функции / Е Ь1{^), и пусть X —случайная величина
на (П,0), такая, что
Е„[\Х\] = I |ВД1/ИФ*И < оо.
п
Если И является а-алгеброй, И С 0, то справедливо правило
Байеса
Е„[Х\Ч] • Ер[/\Н] = ЕЦ[/Х\П] п. н. (8.6.3)

196 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Доказательство. По определению условного математического
ожидания (см. приложение В) если Н е И, то
[ Еи[Х\П]/(1^= [ Е„[Х\Н](1и = [ ХЛи
н н н
= [х/<1р= [Ец[/Х\Н]<1р. (8.6.4)
н н
С другой стороны, по теореме В.З приложения В мы имеем
I Е„[Х\Н)!й11 = ЕДЕ^ХЩ! ■ ХН]
н = Е»[Е»[Е„[ХЩ1 - ХН\Щ
= Е»[ХНЕ4Х\Н}-ЕМ\Щ
= ] Е^ХЩ-Е^Щйр. (8.6.5)
н
Объединяя (8.6.4) и (8.6.5), получаем, что
IЕ„[Х\%] • ВД|Я]фх = IЕ»[;Х\Н]<11л.
N Н
Так как это верно для всех Н Е И, имеет место равенство (8.6.3). □
Теперь мы можем доказать первый вариант формулы
Гирсанова.
Теорема 8.6.3 (теорема Гирсанова I). Пусть У(1) Е Кп —процесс
Ито вида
(1У(1) = а(1,и)<11 + <1В(1), I < Г, У0 = О,
где Т < оо —заданная константа, а В{1) —п-мерное броуновское
движение. Положим
= ехР ( - / а(з,и)(1Ва - - а2(з,и)<18), I < Т. (8.6.6)
I I
О О
Допустим, что а(з,и) удовлетворяет условию Новикова
Т
Е
ехр,2
- / а2($,и)Л
< оо, (8.6.7)

8.6. Теорема Гирсанова 197
где Е = Ер —математическое ожидание относительно Р.
Определим меру соотношением
й<2Н = МТ{ы)(1Р{ы). (8.6.8)
Тогда У{1) является п-мерным броуновским движением
относительно вероятностного закона ф при I < Т.
Замечания. 1. Преобразование Р —> (^, задаваемое формулой
(8.6.8), называется преобразованием мер Гирсанова.
2. Как было указано в упражнении 4.4, условие Новикова (8.6.7)
достаточно, чтобы гарантировать, что {М^^т является
мартингалом (относительно Т^ и Р). На самом деле наш
результат остается справедливым и при единственном предположении,
что {Мг}г<т является мартингалом (см. КагаЪгаз, 8Ьгеуе (1991)).
3. Отметим, что, так как Мь — мартингал, мы имеем
МТйР = МгйР на Т[п\ I < Т. (8.6.9)
Чтобы убедиться в этом, будем считать, что / — ограниченная
(п)
Т\ -измеримая функция. Тогда из теоремы В.З следует, что
[ /(и)Мт(и>)<1Р(и>) = Е[/Мт]
п - Е[Е[{МТ\Н\
= Е[/Е[МТ\Ъ]]
= Е[/Мь] = [ /(и)Мь(и)<1Р(и).
Доказательство теоремы 8.6.3. Для простоты допустим, что
функция а(з,и) ограничена. Согласно теореме 8.6.1 нужно
проверить, что
(1) У{1) = (У! (*),..., Уп(1)) является мартингалом , п.
относительно (^ \ • • ;
и
(и) Уг{1)У^{1) — 8ц1 является мартингалом
относительно ф (8.6.11)
для всех г,] е {1,2,... ,п}.

198 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Чтобы доказать (1), положим К(1) — М1У{1) и, используя
формулу Ито, получим следующие соотношения (см. упражнения 4.3,
4.4):
ак{(1) = мгАУ{{1) + Уг(г)амь + лу{{г)лмг
( п
= мь(<ц(1)Л; + ЛВД) + Уг(г)мь { ^2 -ак{г)(1Вк{г)
= мь(авг(г) -Уг(г)^2ак(г)авк(г)) = м47(0(0<*Д(*),
(8.6.12)
где7(0(*) = (71(0(0,.--,7^(*)),
(0/^ = 1~у№)аЛ*) для .?' ф I,
3 \1 - У^а^г) для.7=г.
Следовательно, К{{1) является мартингалом относительно Р, так
что по лемме 8.6.2 получаем, что для I > з справедливо равенство
Е[МьУт^} Е[К&)\Г.]
**№№ = Е\М№ = М$
Мя
= Уг(з),
которое показывает, что Уг{1) является мартингалом относительно
(}. Утверждение (1) доказано. Доказательство утверждения (и)
аналогично и предоставляется читателю. □
Замечание. Теорема 8.6.3 утверждает, что для всех борелевских
множеств Р\,...,Рк С Кп и всех ^ь^,--,^ < Т, к = 1,2,...,
имеет место равенство
()\УЦ1)€Р1,...,УЦк)€Гк]=Р[В(11)€Р1,...М*к)еРк]- (8-6.13)
Эквивалентная формулировка условия (8.6.8) состоит в том, что
С) <§С Р (мера С} абсолютно непрерывна относительно Р), причем
19. - м„ „о т(»)
ЛР
= МТ паТ^\ (8.6.14)

8.6. Теорема Гирсанова 199
где
-^р —производная Радона—Никодима. Заметим, что Мт{и) > О
п. н., так что мы также получаем, что Р <ЗС ф- Следовательно, две
меры (^ и Р эквивалентны. Поэтому из (8.6.13) имеем
Р\У(*г) е Ри...,У(*к) е Рк]> О
<=* <2\У(*1) е Ри...,У(гк) е Рк]> о
<=> Р[В{и) еРи.. .,В(гк) еРк]>о, ги • • • ,** е [о, Г]. (8.6.15)
Теорема 8.6.4 (теорема Гирсанова И). ПустьУ{1) Е Кп является
процессом Ито вида
йУ(1) = 0(1, и)(И + в(1, и)<1В(1), I < Г,
(8.6.16)
где В (г) Е Кт; /3(*,о;) е Кп и в(1,и) Е Кпхт. Предположим, что
существуют процессы и(1,и) Е И^ и а(1,и) Е И%, такие, что
в(1,и)и(1,и) = ^(*,с^) - а(*,о;), (8.6.17)
и допустим, что и(1,и) удовлетворяет условию Новикова
Т
Е
ехр
- / и2(з,и)<1*
< оо.
(8.6.18)
Положим
Мь - ехр
I I
I — / и(з,и)с1В3 — ]- I и2(з,ш)(1з), 1<Т, (8.6.19)
(т)
Л<2(ш) = Мт{и))йР{ш) на Щ'4.
Тогда процесс
I
В{г)-1 и{8,
и)йз + В(1), 1<Т,
(8.6.20)
(8.6.21)
является броуновским движением относительно (}, и в терминах
процесса В{1) процесс У{1) имеет стохастическое интегральное
представление
дУ{1) = а(г,и)сН + 0(г,и)<1В(1).
(8.6.22)

200 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Доказательство. Из теоремы 8.6.3 следует, что В(1) является
броуновским движением относительно ф- Так что, подставляя (8.6.21)
в (8.6.16), согласно (8.6.17) получаем
(1У(1) = /?(*,ц)И + в(1,и){йВ(1) - и(1,ц)И)
= [/?(*, и) - 0(1, и)и(1, и)]И + в(1, и))йВ(Ь)
= а(г,и)<11 + 0(1,и)<1В(1). П
Отметим, что если п = га и матрица в е Кпхп обратима, то
процесс и(1,ш), удовлетворяющий условию (8.6.17), однозначно
задается формулой
и(1,и) = 0-1(1,и)[/3(1,и) - а(1,и)]. (8.6.23)
Наконец, сформулируем вариант теоремы Гирсанова для
диффузионных процессов.
Теорема 8.6.5 (теорема Гирсанова III). Пусть Х(1) — Xх(I) Е Кп
и У(1) = Ух(1) Е Кп — диффузионный процесс Ито и процесс Ито
соответственно, задаваемые уравнениями
ах (г) = ь(х(г))л + а(х(г))ав(г),
1<Т, Х(0)=х, (8.6.24)
ЛУ{1) = [<у(г,и>) + Ь(У(г))]Л + а(У (*))<№(*),
I < Г, У(0) = я, (8.6.25)
где функции Ь: Кп —> Кп и а: Кп —»■ кпхт удовлетворяют
условиям теоремы 5.2.1, 7(*>а;) ^ ^н> ж ^ *^П- Предполооюим, что
существует процесс и(1,и) е УУ™, такой, что
а(УЦ))и(1,ш)=1(1,ш), (8.6.26)
и допустим, что и(1,ио) удовлетворяет условию Новикова
т
Е
ехр
-у и2(в,ы)йП
< оо. (8.6.27)
Определим Мь, (} и В(1) равенствами (8.6.19), (8.6.20) и (8.6.21).
Тогда
йУ{Ь) = Ь(У(г))Л + а(У(1))йВ(г). (8.6.28)
Следовательно,
вероятностный закон процесса Ух(1)
относительно меры ф совпадает
с вероятностным законом процесса Xх (I)
относительно меры Р, I < Т. (8.6.29)

8.6. Теорема Гирсанова 201
Доказательство. Представление (8.6.28) следует из теоремы 8.6.4,
примененной к случаю, когда 6(1,и) — а(У(1)), Р(1^) — 7(^^) +
Ъ(У(1)), а(1,ио) = Ъ(У{1)), а вывод (8.6.29) следует из слабой
единственности решений стохастических дифференциальных уравнений
(лемма 5.3.1). □
Третий вариант теоремы Гирсанова можно использовать для
построения слабых решений стохастических дифференциальных
уравнений. Для иллюстрации этого замечания предположим, что
Уь — известное слабое или сильное решение уравнения
ау1 = ь(у1)(И + а(у1)ав(г)1
где Ь: Кп -> Кп, а: Кп -> КпХт и В (г) е Кт. Мы хотим найти
слабое решение Х(1) родственного уравнения
йХь = а{Хь)<И + а(Хг)аВ(г), (8.6.30)
где функция сноса заменена на а: Кп —> Кп. Предположим, что мы
нашли функцию щ: Кп —> Кт, такую, что
°(у)Му) = Ку) - а(у)> у с кп.
(Если п = ш, а матрица а обратима, то берем
г/о = о~~1 • (Ь — а).)
Тогда если процесс и(1,и) = ио(Уг(и))) удовлетворяет условию
Новикова, то, определив ф и &1 — В(1) в соответствии с формулами
(8.6.20) и (8.6.21), мы получаем, что
дУь = а{Уъ)(И + а{Уъ)(1В1. (8.6.31)
Таким образом, мы нашли броуновское движение (2?г, (2)5 такое, что
У* удовлетворяет уравнению (8.6.31). Поэтому (У^,В^) является
слабым решением уравнения (8.6.30).
Пример 8.6.6. Пусть а: Кп —>• Кп — ограниченная измеримая
функция. Тогда можно построить слабое решение X* = X*
стохастического дифференциального уравнения
аХь = а(Хь)(11 + <1Вь, Х0=хеКп. (8.6.32)
Будем действовать согласно процедуре, описанной выше, полагая
а = /, 6 = 0 и
йУг = ЛВЬ, У0=х.
Выберем
г/о = сг-1 • (Ь — а) = -а

202 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
и определим
I I
Мь = ехр I - I щ(уа)йВа - 11'и§(П)йЛ,
т. е.
I I
Мь = ехр{ [а(В3)с1В3-^ [ а2(Ва)аз\.
о о
Зафиксируем Т < оо и положим
0(Э = МТЛР на ^т).
Тогда процесс
В4:=- I а{В8)А8 + Вг
о
является броуновским движением относительно ф ПРИ I <Т и
ЛВь = сЩ = а(У4)<Й + <Ш4.
Следовательно, если положить Уо = ж, то пара (У^В*) есть слабое
решение уравнения (8.6.32) при I < Т. В силу слабой
единственности вероятностный закон процесса У^ = В^ относительно (5
совпадает с вероятностным законом процесса X* относительно Р, так
что
= Е[МгЛ(В41 ).-■/*№ Л (8.6.33)
для всех /ь..., Д € С0(КП), *!,...,** < Т.
Упражнения
8.1. Пусть А обозначает оператор Лапласа на Кп.
а) Выпишите (в терминах броуновского движения)
ограниченное решение д задачи Коши
I д9^-^Ахд(*,х) = 0 для * > 0, х е Кп,
I д(0,х) = ф(х),
где функция ф Е С$ задана. (Из общей теории известно,
что это решение единственно.)

Упражнения 203
Ь) Пусть ф Е Сь(Кп) и а > 0. Найдите ограниченное решение
и уравнения
(а - -Д )и = тр в Кп.
Докажите, что решение единственно.
8.2. Покажите, что решение и(1,х) задачи с начальным условием
ди 1 _2 2д2и ди п
т=^хд^ + ах^' <>°>*€*'
и(0,х) = /(ж) (функция / е Со (К) задана)
может быть выражено следующей формулой:
и{1,х) = Е
/^.ехрЬ^+^а-^2^!]
а
+
8.3. (Прямое уравнение Колмогорова.) Пусть Х^ —
диффузионный процесс Ито в Кп с производящим оператором
Предположим, что переходная вероятность процесса Х^ имеет
плотность Рь(х1у), т. е. что
ЕХ[1(ХЬ)} = 11{у)рь{х,у)йу, / € С02. (8.6.34)
Допустим, что отображение у —> рь{х^у) гладкое для
каждой пары 1,х. Докажите, что р^х^у) удовлетворяет
прямому уравнению Колмогорова
-ЦР1(Х>У) = А*уРь{х>У) Для всех х->У-> (8.6.35)

204 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
где А* действует по переменной у и задается формулой
1,3 3 г
(т. е. оператор А* является сопряженным к Ау).
(Указание. В силу (8.6.34) и согласно формуле Дынкина
имеем
I
/ Яу)Рь(х>у)<1у = /0*0+/ / Ау/(у)Ра(х,у)<1у<18, / Е С^.
К" О К"
Продифференцируйте это тождество по I и воспользуйтесь
равенством
(Аф,ф) = (ф,А*г1>) для феС1феС\
где (•,•) обозначает скалярное произведение в Ь2(6,у).)
8.4. Пусть Вь — п-мерное броуновское движение (п > 1), и пусть
Р — борелевское множество в Кп. Докажите, что
математическое ожидание суммарного времени ^, которое процесс Вь
проводит в множестве Р, равно нулю тогда и только тогда,
когда лебегова мера множества Р равна нулю.
(Указание. Рассмотрите резольвенту Яа для а > 0, а затем
перейдите к пределу при а —> 0.)
8.5. Покажите, что решение и(1,х) задачи с начальным условием
ди 1 А
—- =ри+ -Аг/, I > 0, х Е Кп,
и(0,х) = /(х) (функция / Е Со(Кп) задана)
(где р Е К — константа) может быть выражено формулой
и{1,х) = (27г*Гп/2ехр(р<) | /(у)ехр ( - ^=^)*/-
8.6. В связи с выводом формулы Блэка—Шоулса для цены
опциона (см. гл. 12) возникает следующее дифференциальное
уравнение с частными производными:
ди ди 1 ^9 9 д
и(0,х) = (ж- ЙГ)+, я Е К,
^=-^„ + 0*^ + ^^, О 0, х€К,

Упражнения 205
где р > 0, а, /3 и К > 0 — константы, а
(ж-К)+ = тах(ж-АГ,0).
Докажите с помощью формулы Фейнмана—Каца, что
решение и этого уравнения задается формулой
и(1,х) = 4= /(я-ехр{(а-^/?2)^+/?2/}-^)+е~^^, * > 0.
у 21x1 ) 2
к
(Это выражение может быть упрощено (см.
упражнение 12.13).)
8.7. Пусть XI является суммой интегралов Ито вида
Хг^^Г ук(з,и)<1Вк(з),
где (2?х,..., Бп) — п-мерное броуновское движение.
Допустим, что
$1 := / \^г;^(5,о;)Й5 —> оо при I —> оо п. н.
о *=1
Докажите, что
итзир =1 п. н.
(Указание. Воспользуйтесь законом повторного
логарифма.)
8.8. Пусть 7ч —одномерный процесс Ито, заданный уравнением
(12ь - и(Ь,и)сН + с1В1,
и пусть ^ — сг-алгебра, порожденная семейством {23{-)\
з < I}. Определим
Шг = (и(г,и) - Е[и\дь])(И + АВЬ.
Докажите с помощью следствия 8.4.5, что А^ является
броуновским движением. (Если трактовать 2Ь как процесс
наблюдения, то N1 является обновляющим процессом (см.
лемму 6.2.6).)

206 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
8.9. Определим а(1) = \ 1п(1 + |^3). Пусть Вь — броуновское
движение. Докажите, что существует другое броуновское
движение Вг, такое, что
[е8с1В8= Л
тАВт
о о
8.10. Пусть Въ — броуновское движение в К. Покажите, что процесс
является слабым решением стохастического
дифференциального уравнения
0Хг = <Й + 2у/ЩйВь. (8.6.37)
(Указание. С помощью формулы Ито представьте Хг как
стохастический интеграл. Сравните результат с (8.6.37),
используя следствие 8.4.5.)
8.11. а) Пусть У(1) = I + В(1), I > 0. Для каждого Т > 0
найдите вероятностную меру <2т на Тт-> такую, что фт ~ Р, а
{У{1)}г<т является броуновским движением относительно
<2т- Докажите с помощью (8.6.9), что существует
вероятностная мера <3 на Т^, такая, что
0\Тт = Ят для всех Т > 0.
Ь) Покажите, что
р(шпУ(*) = оо)=1>
в то время как
д(Шп^У(*) = сх)) =0.
Почему это не противоречит теореме Гирсанова?
8.12. Пусть
"<•>=©*+(Л Д)(2$> «**••
Найдите вероятностную меру (5 на .7^ , такую, что <2 ~ Р и

Упражнения 207
где
является броуновским движением относительно <2.
8.13. Пусть функция Ь: К ->• К является непрерывной по Липшицу.
Определим процесс Хь — X* € К уравнением
АХЬ = Ь{ХЬ)(И + ЛВи Х0 = ж 6 К.
а) Докажите с помощью теоремы Гирсанова, что для всех
М<оо, жбЯиОО имеет место неравенство
Р[Х? > М] > 0.
Ь) Возьмем Ь(ж) = -г, где г > 0 —константа. Докажите, что
для всех х выполняется условие
X* —> —оо при ^ —> оо п. н.
Сравните это с результатом п. а).
8.14. (Полярные множества для графика броуновского
движения.) Пусть Вг —одномерное броуновское движение,
начинающееся в точке х 6 К.
а) Докажите, что для каждого фиксированного момента
времени ^о > 0 имеет место равенство
Р*[В4о=0] = 0.
Ь) Докажите, что для каждого (нетривиального) отрезка 3 С
К+ имеет место неравенство
Рх[31 <Е </, такое, что Вь = 0] > 0.
(Указание. Пусть 3 = [^1,^]- Рассмотрите Р^В^ < О
и В12 > 0], а затем воспользуйтесь теоремой о
промежуточном значении.)
с) После рассмотрения задач из пп. а) и Ь) естественно
задаться следующим вопросом: какие замкнутые множества
Р С К+ обладают тем свойством, что
Рх[31 <Е Ру такое, что Вг = 0] = 0. (8.6.38)
Для более подробного исследования этого вопроса введем
график Хь броуновского движения, задаваемый
уравнением

208 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
Иными словами,
Хг = Х1°'Х0 = ('»+,') , где В*0° = х0 п. н.
В этом случае Р удовлетворяет условию (8.6.38) тогда и
только тогда, когда множество К := Р х {0} является
полярным для графика Х1 в том смысле, что
Р1°>х°[31 >0;ХгеК]=0 для всех *0,ж0. (8.6.39)
Ключом к нахождению полярных множеств для
диффузионного процесса является рассмотрение его оператора
Грина Л, который представляет собой просто резольвенту Ка
при а = 0:
#/(*о,яо) = Я'°'Жо
Покажите, что
со
для / 6 С0(К2).
«о
-К/(*о»жо)= / С(*о,ж0;*,ж)/(*,ж)Ас&е,
к2
где
С(*0>хо;^)==^>1о.(27г(*-*о))-*ехр(-^^) (8.6.40)
(С —функция Грина процесса X*).
с!) Емкостью множества К называется число
С(К) = Сс(#) = зирЫ^);м € Мс(К)},
где Мо(К) = {//;// — мера на К, такая, что /С?(^о,#о;^#)
йц(1,х) < 1 для всех ^ь^о}-
Один из общих результатов стохастической теории
потенциала состоит в том, что
Р'0»*0[Х4 попадает в К] = 0 4Ф С(К) = 0 (8.6.41)
(см., например, В1шпеп1па1, Се1оог (1968), предл. У1.4.3).
Докажите с помощью этого результата, что
Аг{Р) = 0 => Рх°[31 <Е Р, такое, что Вь = 0] = 0,
где Лх обозначает меру Хаусдорфа размерности |
множества Р (ГоИапа (1984), § 10.2).

Упражнения 209
8.15. Пусть / е С^(КП) и а(х) = (ах(ж),... ,ап(ж)), где а^ Е
Со(Кп), — заданные функции. Рассмотрим
дифференциальное уравнение с частными производными
(ди " , ^ ди 1 " д2и
[и(0,х) = /(ж),
х е кп.
а) Покажите с помощью теоремы Гирсанова, что
единственное ограниченное решение и(1,х) этого уравнения
выражается формулой
и(1,х) =ЕХ
I I
ехр (I а{В3)<1В3 -^ I а\В3)й^!(вЛ,
где Ех — математическое ожидание относительно Рх.
Ъ) Допустим теперь, что а является градиентом, т. е. что
существует функция 7 € С1(КП), такая, что
\?7 = с*.
Для простоты будем полагать, что 7 € С^ (Кп). С помощью
формулы Ито докажите, что (см. упражнение 4.8)
и(1,х) = ехр ( - ч(х)Ех
ехр
И/
^72№)
))<**}
+ Д7(В5) ЫЛехр(7(А))/(В()
с) Положим г?(^, ж) = ехр(7(ж))и(^,ж). Покажите с помощью
формулы Фейнмана—Каца, что г?(^,ж) удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению с частными
производными:
<;(0,ж) = ехр(7(ж))/(ж),
(см. также упражнение 8.16).
х е Кп

210 Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов
8.16. (Связь между броуновским движением со сносом и
«убитым» броуновским движением.) Пусть В1 обозначает
броуновское движение в Кп. Рассмотрим диффузионный процесс
Хг в Кп, определяемый уравнением
ЛХ% = УЛ(Х«)Л + бВи Х0 = хе Кп, (8.6.42)
где К € С<}(Н.П).
а) Есть важная связь между этим процессом и процессом У4,
полученным «убиванием» процесса Вь с некоторой
скоростью V. Докажите сначала, что для / 6 Со(Кп)
справедливо соотношение
= Ех
ехр (- I У(В3)<1з\ ■ ехф(Вг) - Н(х)) • /(Д)1,
о
(8.6.43)
где
У(х) = ^Н(х)\2 + ^АН(х). (8.6.44)
(Указание. С помощью теоремы Гирсанова выразите
левую часть равенства (8.6.43) в терминах Вь. Затем с
помощью формулы Ито для 2ц = Л(-В*) получите (8.6.44).)
Ь) Теперь с помощью формулы Фейнмана—Каца получите
следующую переформулировку равенства (8.6.43) (в
предположении, что V > 0):
Т,х(/,х)=ехр(-/1(х)).Т,у(/-ехр/1,х),
где Т*, Т? обозначают операторы сдвига для процессов X
и У соответственно, т. е. Т*(/, х) = ЕЖ[/(Х^)] и
аналогичное равенство имеет место для У.

Глава 9
Приложения
к краевым задачам
9.1. Смешанная задача Дирихле—Пуассона.
Единственность
Воспользуемся теперь результатами предшествующих глав для
решения следующего обобщения задачи Дирихле, поставленной во
введении.
Пусть В — область (открытое связное множество) в Кп, и пусть
Ь обозначает полуэллиптический оператор в частных производных
в С2(КП) вида
г=1 г,^=1
где Ь{(х) и а^(х) = а^г(х) -—непрерывные функции (см. ниже).
(Говоря, что оператор Ь является полуэллиптическим (соответственно
эллиптическим), мы подразумеваем, что все собственные значения
симметрической матрицы а(х) = [^(х)]^-1 неотрицательны
(соответственно положительны) для всех х.)
Смешанная задача Дирихле—Пуассона
Пусть ф 6 С(дБ) и д 6 С (И) — заданные функции. Требуется найти
функцию IV 6 С2(И), такую, что
(1) Ьь) = -д в Д (9.1.2)
(н) 1ш1 1ю(х) = 0(у) для всех у € 91). (9.1.3)
Идея решения состоит в следующем: во-первых, найдем
диффузионный процесс Ито {X*}, производящий оператор которого
совпадает с Ь в Со(Кп). Для этого просто выберем матрицу а(х) 6 Кпхп,
которая удовлетворяет условию
\а(х)оТ{х) = [0у(а;)]. (9.1.4)
Пусть функции <т(ж) и Ь(х) = [Ьг(а;)] удовлетворяют условиям (5.2.1)
и (5.2.2) теоремы 5.2.1. (Например, если каждый элемент а^ 6

212 Глава 9. Приложения к краевым задачам
С2 (И) ограничен и имеет ограниченные первую и вторую
частные производные, то такую матрицу а можно найти. См. Р1етт&
и Шзпе1 (1975).) Затем предположим, что Хь является решением
уравнения .
ЛХЬ = Ь(Хг)сИ + а(Хь)(1Ви (Я-1.5)
где Вь — п-мерное броуновское движение. Как обычно, пусть Ех
обозначает математическое ожидание относительно закона распре-
делния вероятностей <2Ж процесса Хь с начальным условием х €Кп.
Тогда предполагаемое решение ю задачи (9.1.2), (9.1.3) есть
ь)(х) = Е*[ф(Хъ)- Х{ъ<оо}] + Е* |д№
)А
(9.1.6)
при условии, что функция ф ограничена и
Ех
1\9(х1)\си
< оо для всех х.
(9.1.7)
Задача Дирихле—Пуассона состоит из двух частей:
(1) существование решения;
(и) единственность решения.
Поскольку проблема единственности оказывается проще, мы
обратимся сначала к ней. В этом разделе мы докажем два
простых и полезных результата, касающихся этой проблемы. Затем в
последующих разделах обсудим существование решения и другие
вопросы единственности.
Теорема 9.1.1 (теорема единственности (1)). Пусть функция ф
ограничена, д удовлетворяет (9.1.7), а уо € С2 {Б) является
ограниченной и удовлетворяет условиям
{\) Ьуо = —д в Б,
(п)' ШПто и)(Хь) = ф(ХТо) • Х{то<00}
(9.1.8)
((2х-п. н.) для всехх. (9.1.9)
Тогда
г т°
ы{х) = Е*[ф(Хтс) ■ Х{то<оо}] + Еху9(Х..
4)Л
(9.1.10)

9.1. Смешанная задача Дирихле—Пуассона. Единственность 213
Доказательство. Пусть {^д;}^11—возрастающая последователь-
оо
ность открытых множеств И^, для которых И к СС В и В — У В^.
А;=1
Определим
ак = к Лтг>к, к = 1,2,...
Тогда, пользуясь формулой Дынкина и условием (9.1.8), получим
ю{х)=Ех[ш{Х*к)]-Ех
= Ех[ю(Хак)] + Ех
IЬш()
ХЬ)Л1
о
а к
I
9(Х1)сИ
(9.1.11)
Согласно (9.1.9) ограниченная последовательность гю(Хак) сходится
к ф(Хт ) • Х{т <00} поточечно (С}х-п. н.). Следовательно,
Е'[ш(Хак)] -> Е?[ф(ХТв) ■ Х{То<оо]] при А -» оо.
Кроме того,
(9.1.12)
Еж
I д{ХМ ^ЕхИд(Х,
1)(И
при А: -> оо, (9.1.13)
так как
I д(Х1)сИ-> I д(Хг)сИ (п. н.)
о о
I д{Хь)(И
<
а |^(^)| — (^-интегрируемая функция в соответствии с условием
(9.1.7).
Объединяя (9.1.12) и (9.1.13) с (9.1.11), получаем (9.1.10). □
Прямым следствием является такой результат.
Следствие 9.1.2 (теорема единственности (2)). Пусть функция ф
ограничена ид удовлетворяет условию (9.1.7). Предположим, что
то < оо (С2х-п. н.) для всех х.
(9.1.14)

214 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Тогда если уо Е С2 (И) является ограниченным решением
смешанной задачи Дирихле—Пуассона (9.1.2), (9.1.3), то
ь>{х) = Ех[ф(Хъ)] + Ех И9(Х1)сИ
о
(9.1.15)
9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки
Рассмотрим теперь более сложный вопрос о существовании
решения. Удобно разделить смешанную задачу Дирихле—Пуассона на
две части: задачу Дирихле и задачу Пуассона.
Задача Дирихле
Пусть ф Е С (дБ) — заданная функция. Требуется найти такую
функцию и Е С2(1>), что
(I) Ьи = 0 в I), (9.2.1)
(И) Ит и{х) = ф(у) для всех у Е дБ. (9.2.2)
Задача Пуассона
Пусть д Е С (И) — заданная функция. Требуется найти такую
функцию V Е С2(И), что
(а) Ьу = -д в I), (9.2.3)
(Ь) Нт у(х) = 0 для всех у Е дБ, (9.2.4)
Заметим, что если и и г? — решения задачи Дирихле и задачи
Пуассона соответственно, то функция ю := и + V является решением
смешанной задачи Дирихле—Пуассона.
Вначале рассмотрим задачу Дирихле, а изучение задачи
Пуассона продолжим в следующем разделе.
Для простоты в этом разделе будем считать, что неравенство
(9.1.14) выполняется.
Принимая во внимание следствие 9.1.2, вопрос о существовании
решения задачи Дирихле (9.2.1), (9.2.2) можно переформулировать
следующим образом.

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 215
Когда функция
и(х) := Е*[ф(Хт)}
(9.2.5)
является решением?
К сожалению, в общем случае эта функция не обязательно
принадлежит классу С2 (II). Она не обязана быть даже непрерывной.
Кроме того, условие (9.2.2) также не обязательно выполняется.
Рассмотрим следующий пример.
Пример 9.2.1. Пусть Х(1) = (Хх(1),Х2(1)) —решение уравнений
(1X1(1) =сЙ,
4Х2(1)=0,
так что Х(1) = Х(0) + *(1,0) € К2, * > 0. Пусть
^ = ((0,1)х(0,1))и((0,2)х(0,^)),
и пусть </> —непрерывная на дВ функция, принимающая значения
0=1 на {1}х [|,1],
ф = 0 на {2} х [0,|],
ф = 0 на {0} х [0,1].
1/2
~ХЬ
Тогда
и(1,х) = Е"[ф{Хт)] = {1> еслия€^11)'
V ' ; 1^ г*л [0, если же (0,§),
поэтому г* не является даже непрерывной. Кроме того,
Нт и(1,х) — \ф ф(0,х), если - < х < 1,
г-»о+ 2
таким образом, условие (9.2.2) не выполняется.

216 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Тем не менее, функция и(х), определенная в соответствии с
(9.2.5), является решением задачи Дирихле в более слабом,
вероятностном смысле: граничное условие (9.2.2) заменяется на
стохастическое (траекторное) граничное условие (9.1.9), а условие (9.2.1)
(Ьи = 0) заменяется условием, родственным условию
Ли = 0,
где Л — характеристический оператор процесса X* (разд. 7.5).
Теперь поясним это более подробно.
Определение 9.2.2. Пусть /— локально ограниченная измеримая
функция, заданная на В. Тогда / называется X-гармонической
в области В', если
Ях) = Е*[/(ХТи))
для всех х Е В и всех ограниченных открытых множеств V', для
которых II С В.
Сделаем два важных замечания.
Лемма 9.2.3. а) Пусть /— X-гармоническая функция в В. Тогда
Л/ = 0 в В.
Ь) Обратно, предположим, что / Е С2{В) и Л/ = 0 в В. Тогда
функция / является X-гармонической.
Доказательство. Утверждение а) следует непосредственно из
формулы для Л.
Утверждение Ь) следует из формулы Дынкина. Действительно,
выберем \] в соответствии с определением 9.2.2. Тогда
ЕЧЯХти)} = ,ШП Ех[1{ХтиАк)}
тц Лк
1(х) + Ит Ех \ [ (1;)(Х3)(18
к—юо [ ]
= /(*),
О
поскольку Ь/ = Д/ = 0 в II. □
Самые важные примеры Х-гармонических функций описаны
в следующей лемме.
Лемма 9.2.4. Пусть ф — ограниченная измеримая функция на дВ.
Определим
и(х) = Е*[ф(ХТо)], хеБ.
Тогда функция и является X-гармонической. Таким образом,
в частности, Ли — 0.

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 217
Доказательство. Пользуясь свойством среднего значения (7.2.9),
мы получаем, что если V С В, то
и(х) = I пШх[Хту е йу] = Ех[и(ХТу)}. □
ЭУ
Теперь можно сформулировать слабый, стохастический вариант
задачи.
Стохастическая задача Дирихле
Задана ограниченная измеримая функция ф на дВ. Требуется
найти такую функцию и на В, что
(1)5 и является Х-гармонической, (9.2.6)
(11), 11т и(Хь) = ф(ХТп) (д*-п. н.), х е В. (9.2.7)
Решим сначала стохастическую задачу Дирихле (9.2.6), (9.2.7),
а затем установим ее связь с исходной задачей (9.2.1), (9.2.2).
Теорема 9.2.5 (решение стохастической задачи Дирихле). Пусть
ф — ограниченная измеримая функция на дВ.
а) (Существование.) Определим
и{х) = Ех[ф{ХТО)]. (9.2.8)
Тогда и является решением стохастической задачи Дирихле
(9.2.6), (9.2.7).
Ь) (Единственность.) Пусть д — ограниченная функция на В,
такая, что
(1) д является X-гармонической,
(2) Шд(Хг) = ф(ХТ) (0х-п. н.), хеВ.
Тогда д(х) = Ех[ф(ХТо)], х <Е В.
Доказательство, а) Справедливость условия (г)3 следует из
леммы 9.2.4. Зафиксируем х Е В. Пусть {В^} —возрастающая
последовательность таких открытых множеств, для которых В'& СС В и
В = {] В &. Положим ть = тпк, г = тв. Тогда в силу строго марков-
к
ского свойства
и{ХТк) = Ех^[ф(Хт)} = Ех{9Тк{ф{Хт))\ТТк}
= Е'[Ф(Хт)\ГТк]. (9.2.9)

218 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Далее, М& = Ех[ф(Хт)\ТТк] является ограниченным (дискретным
по времени) мартингалом, таким образом, по теореме о сходимости
мартингалов (следствие С.9, приложение С) получаем, что
Ит и(ХТк) = Ит Ех[ф(Хт)\ТТк] = ф(Хт) (9.2.10)
к—нх) к—нх)
как поточечно для почти всех и, так и в ЬР(С}Х) для всех р < оо.
Кроме того, из равенств (9.2.9) вытекает, что для каждого к процесс
Л^ = и(ХТкУ(<1АТк+1)) - и{ХТк), I > 0,
является мартингалом относительно С}г — ^Тку{ь/\тк+1)-
Таким образом, в силу неравенства для мартингалов
0х \ зир \и(Хг)-и(ХТк)\ > е] < \Е*[\ч(ХТк+1) - и{ХТк)\2]
1Тк<Г<Тк + 1 -1 С
-» 0 при к -» оо для всех с > 0. (9.2.11)
На основании (9.2.10) и (9.2.11) делаем вывод о справедливости
утверждения (и)5.
Ь) Определим Вк,Тк аналогично п. а). Тогда, поскольку д
является Х-гармонической функцией,
д(х)=Е*[д{ХТк)}
для всех к. Итак, в силу условия (2) и ограниченной сходимости
д(х) = Нт Е*[д(ХТк)} = Е'[ф{Хтв)],
как и утверждалось. П
В заключение вернемся к исходной задаче Дирихле (9.2.1),
(9.2.2). Мы уже видели, что решение не обязательно существует.
Тем не менее оказывается, что для широкого класса процессов Хь
мы получим решение (для всего множества I)), если ослабим
требование (9.2.2), считая, что соответствующее равенство
выполняется только на подмножестве граничных точек у Е дБ, называемых
регулярными граничными точками. Чтобы определить регулярные
точки и сформулировать точный результат, нам нужны следующие
вспомогательные леммы.
(Пусть, как и ранее, Мг и Л^оо обозначают сг-алгебры,
порожденные процессами Х8, з < I, Х3, з > 0, соответственно.)
Лемма 9.2.6 (закон "0-1"). Пусть Яе П Мг. Тогда или
<2Х(Н) = 0, илиС)х(Н) = 1.

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 219
Доказательство. В силу строго марковского свойства (7.2.5) имеем
Ех[в1г1\Мь]=Ех<[г1\
для всех ограниченных, Лчоо-измеримых функций г)\ П —> К. Из
этого следует, что
( 0ьг) • (10х = [ ЕХь [г]Щх для всех I.
н н
Сначала предположим, что г) — щ — д^Х^) • • • #&(Х^), где каждая
функция д{ ограничена и непрерывна. Затем, переходя к пределу
при I —> 0,получим
[ФЯХ = Нт [дьг]Щх = Нт [Ех^[т]}^х = ^X(Н)ЕX[^)}
н н н
в силу ограниченной сходимости и того обстоятельства, что Х^ —
феллеровский процесс (см. лемму 8.1.4). Аппроксимируя функцию
общего вида г] функциями щ, заданными выше, делаем вывод о
том, что
/
Ч<1С}х=С}х{Н)Ех[г1]
н
для всех ограниченных тЧоо-измеримых функций г). Если мы
положим г] — Хн, то получим С^Х(Н) — (С$Х(Н))2, что и требовалось
доказать. □
Следствие 9.2.7. Пусть у € Кп. Тогда
либо (Эу[тв = 0] = 0, либо <Эу[тв = 0] = 1.
Доказательство. Мы имеем Н = {ш]тп — 0} € П Мь. П
Другими словами, либо почти все траектории процесса Л^,
начинающиеся из у, остаются внутри Б в течение положительного
интервала времени, либо почти все траектории процесса X*,
начинающиеся из у, покидают В немедленно. В последнем случае точку
у называют регулярной, т. е. можно дать следующее определение.
Определение 9.2.8. Точка у € дБ называется регулярной для Б
[относительно процесса Х^, если
Яу[То = 0] = 1.
В противном случае точка у называется нерегулярной.

220 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Пример 9.2.9. Следствие 9.2.7 с первого взгляда может
показаться трудным для восприятия. Например, если XI — 2-мерное
броуновское движение Вь и В — квадрат [0,1] х [0,1], можно
предположить, что, скажем, половина траекторий, начинающихся из
(^,0), будет оставаться в верхней половине плоскости, а
половина—в нижней в течение положительного интервала времени.
Однако следствие 9.2.7 говорит о том, что это не так. Либо все
траектории изначально остаются в В, либо они все покидают В
немедленно. Соображения симметрии подразумевают невозможность
первой альтернативы. Таким образом, интервал (^,0) и, подобно
этому, все другие точки границы дВ являются регулярными для В
относительно ^.
Пример 9.2.10. Пусть В = [0,1] х [0,1], и пусть Ь —
параболический дифференциальный оператор,
д /* 1 д2 /*
*/('•») = ^ +г"а?' Мек2
(см. пример 7.3.5)
Здесь
Таким образом, например, если мы выберем а = I 1 п 1, то
получим \оот = а. Это дает следующее стохастическое
дифференциальное уравнение для диффузионного процесса Ито Х4, связанного
с оператором Ь:
IV (Алл. I0 °\ МД
^=(о)л+(1 о) и
(1)%
Ь)
Другими словами,
Хг =
Ь + Ьо
Х0 =
*о

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 221
где В1 есть 1-мерное броуновское движение. Итак, завершая анализ
этого примера, приведем график броуновского движения, с
которого мы начали изложение в примере 7.3.5. В этом случае нетрудно
видеть, что нерегулярные точки границы дБ составляют открытое
множество {0} х (0,1), остальные граничные точки регулярны.
\вх
№~
1 .
1
Пример 9.2.11. Пусть А = {(ж,у); х2 + у2 < 1} С К2, и пусть
{Ап}— последовательность непересекающихся открытых кругов
в А с центрами в точках (2~~п, 0) соответственно, п = 1, 2,...
Положим
оо
д = д\(удп).
•оО
Тогда, используя те же рассуждения, что и в примере 9.2.9, легко
оо
показать, что все точки, принадлежащие множеству дА Ц1 \} 9ДП,
являются регулярными для В относительно 2-мерного
броуновского движения В1. Но что можно сказать о точке 0? Ответ зависит от

222 Глава 9. Приложения к краевым задачам
размеров кругов Ап. Более точно, если гп — радиус круга Ап, то О
является регулярной точкой для В тогда и только тогда, когда
оо
Е^— <9-2Л2>
п=1 о гп
Это следствие из знаменитого критерия Винера. См. Рог!;, 8Ъопе
(1979), с. 225.
Определив регулярные точки, теперь сформулируем
объявленный обобщенный вариант задачи Дирихле.
Обобщенная задача Дирихле
Пусть задана область Б С Кп, а также оператор Ь и функция </>,
обладающие указанными выше свойствами. Требуется найти
функцию и € С2(1)), такую, что
(1) Ьи = 0 в Д (9.2.13)
(и) Нт и{х) = ф(у) для всех регулярных точек у € дВ. (9.2.14)
х€Г>
Сначала докажем следующий результат. Пусть Хь
удовлетворяет условию Ханта
(Н) каждое пол у полярное множество для X*
является полярным для X*. (9.2.15)
Тогда если решение обобщенной задачи Дирихле существует, то оно
должно являться решением стохастической задачи Дирихле и
определяться в соответствии с теоремой 9.2.5.
Полуполярное множество представляет собой счетное
объединение топких множеств. Измеримое множество С С Кп
называется топким (для X*), если С2х[Тс = 0] = О для всех ж, где
Тс = ш{{1 > 0; Хь € С) есть момент первого попадания в С.
(Интуитивно это означает, что для всех начальных точек процесс не
достигает С немедленно (п. н.).) Измеримое множество Р С Кп
называется полярпым (для Хг), если С}х[Тр < оо] = 0 для всех х.
(Интуитивно это означает, что для всех начальных точек процесс
никогда не попадет в Р (п. н.).) Ясно, что всякое полярное
множество является полу полярным, но обратное утверждение не
обязательно справедливо (рассмотрите процесс в примере 9.2.1).
Однако условие (Н) выполняется для броуновского движения (см.
книгу В1итеш.па1, СеЪоог (1968)). Из теоремы Гирсанова следует, что

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 223
условие (Н) имеет место для всех диффузионных процессов Ито,
матрица коэффициентов диффузии которых имеет ограниченную
обратную матрицу и коэффициент сноса удовлетворяет условию
Новикова для всех Т < оо.
Нам также потребуется следующий результат, доказательство
которого можно найти в книге В1итеш,па1, СеЪоог (1968),
предложение П.3.3.
Лемма 9.2.12. Пусть II С В —открытое множество, и пусть
I — множество нерегулярных точек из II. Тогда I является
полуполярным множеством.
Теорема 9.2.13. Пусть Хг удовлетворяет условию Ханта (Н), и
пусть ф — ограниченная непрерывная функция на дВ.
Предположим, что существует такая ограниченная функция и € С2{В),
что
([) Ьи = 0 в В,
(п)3 Нт и(х) = ф(у) для всех регулярных точек у € дВ.
Тогда и(х) = Ех[ф(Хъ)].
Доказательство. Определим последовательность {В&} аналогично
тому, как это делалось в доказательстве теоремы 9.1.1. В
соответствии с леммой 9.2.3 (п. Ь)) функция и является Х-гармонической
и, следовательно,
и(х) = Ех[и(ХТк)] для всех х € В& и всех к.
Если к -+ оо, то ХТк -)• Хт и, таким образом, и(ХТк) -+ ф(Хт ),
если Хт —регулярная точка. Согласно лемме 9.2.12 множество /
нерегулярных точек границы дВ является полу полярным.
Поэтому из условия (Н) следует, что множество / является полярным и,
таким образом, Хт $ I ((2х-п. н.). Отсюда
и(х) = ШЕ'[и{ХТк)} = Е*[ф(ХТо)),
что и требовалось доказать. □
При каких условиях решение и стохастической задачи Дирихле
(9.2.6), (9.2.7) будет также и решением обобщенной задачи Дирихле
(9.2.13), (9.2.14)? Это трудный вопрос, и мы будем довольствоваться
следующим частичным ответом.

224 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Теорема 9.2.14. Пусть Ь— равномерно эллиптический оператор
в В, т. е. собственные значения матрицы [а^] отделены от
нуля в И, и пусть ф —ограниченная непрерывная функция на дИ.
Положим
и(х)=Е*[ф(ХТв)].
Тогда функция и принадлежит классу С2+а(1)) для всех а < 1 и
является решением задачи Дирихле (9.2.13), (9.2.14), т. е.
{[) Ьи = 0 в В,
(п)г Нт и{х) — ф(у) для всех регулярных точек у € дВ.
Замечание. Если А; —целое число, а > 0 и С —открытое
множество, то Ск+а(С) означает множество функций на С, частные
производные которых до к-го порядка непрерывны по Липшицу с
показателем а (условие Гёльдера).
Доказательство. Выберем такой открытый шар Д, что Д С 1),
и пусть / € С(дА). Тогда на основании общей теории уравнений
в частных производных для всех а < 1 существует непрерывная
функция и на Д, такая, что и\А € С2+а(А) и
Ьи = 0 в Д, (9.2.16)
и = / на аД (9.2.17)
(см., например, Дынкин (1963), с. 226). Поскольку г*|Д Е С2+а(Д),
выполняется следующее условие: если К — любое компактное
подмножество шара Д, то существует константа С, зависящая только
от К и Са-норм коэффициентов оператора Ь, такая, что
1М1с+«(К) < С(||Ьи||с-(Д) + 1М1с(Д)). (9-2-18)
(См. книгу Вегз, ЛоЬп и 8сЬесМег (1964), теорема 3, с. 232.)
Объединяя (9.2.16), (9.2.17) и (9.2.18), получим
1М1с'+«(К) < С\\Л\с(дА). (9.2.19)
В силу единственности (см. теорему 9.2.13)
и(х)= /"/(у)йМу), (9.2.20)
где й\хх — (^х [ХТА € <1у] — распределение точек первого выхода
процесса Хг из шара Д. Из неравенства (9.2.19) следует, что
[/фЯ1 - [/фЯ2| <С||/||С(ад)|ж1-я:2|а, хих2 в К. (9.2.21)

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 225
Равномерно аппроксимируя данную непрерывную функцию на дА
функциями из С°°(дА), видим, что (9.2.21) имеет место для всех
функций / € С(дА). Следовательно,
Н/**1 -/^2||<С|ж1-ж2|а, хих2 еК, (9.2.22)
где || || означает операторную норму, заданную на мерах
множества дА. Итак, если д — любая ограниченная измеримая функция,
определенная на множестве 9А, то функция
принадлежит классу Са(К). Так как и(х) = Ех[и(Хтц)] для всех
таких открытых множеств С/, что \] С В и х 6 V (см. лемму 9.2.4),
полагая д = и, мы заключаем, что и 6 Са(М) для любого
компактного подмножества М множества Б.
Поэтому мы можем воспользоваться решением задачи (9.2.16),
(9.2.17), теперь при / = и, и, таким образом, получим, что
и{х)=Е'[и{ХТо))€С2+а{М)
для любого компактного множества Мс1). Следовательно,
условие (1) выполняется в силу леммы 9.2.3, п. а).
Чтобы доказать (и)г, применим следующую теорему из теории
параболических дифференциальных уравнений: обратное
уравнение Колмогорова
имеет фундаментальное решение V = р(1,х,у), непрерывное по
совокупности переменных 1,х,у при I > 0 и ограниченное по ж, у для
каждого фиксированного I > 0 (см. Дынкин (1963), теорема 0.4,
с. 227). Отсюда следует (в силу ограниченной сходимости), что
процесс Хь является сильно феллеровским процессом в том смысле, что
функция
х^ех[/{хь)) = I /{У)р{г,х,у)ау
К"

226 Глава 9. Приложения к краевым задачам
непрерывна для всех I > 0 и для всех ограниченных измеримых
функций /. В общем случае выполняется следующее условие:
если Х1 — сильно феллеровский диффузионный процесс Ито и
Б С Кп — открытое множество, то
ШЕх[ф(ХТв)] = ф(у)
для всех регулярных точек у Е дВ и
ограниченных функций ф Е С (дБ). (9.2.23)
(См. теорему 13.3, с. 32-33, в книге Дынкин (1963).)
Следовательно, и удовлетворяет условию (и)г, что и требовалось
доказать. й
Пример 9.2.15. Мы уже видели (на примере 9.2.1), что условие
(9.1.3) в общем случае не выполняется. Этот пример показывает, что
оно не обязательно выполняется, даже когда оператор Ь является
эллиптическим. Действительно, рассмотрим снова пример 9.2.11,
в случае, когда точка 0 не является регулярной. Выберем такую
функцию ф € С(дО), что
0(0) = 1, 0<ф(у)<1 дляуедО\{0}.
Так как множество {0} является полярным для процесса Вь (см.
упражнение 9.7, п. а)), В® ^0 (п. н.) и, следовательно,
и(0) = Е°[ф(ВТо)] < 1.
Используя некоторое расширение свойства среднего значения
(7.2.9) (см. упражнение 9.4), получим
Е°[и(Хак)} = Е°[ф(ХТо)] = «(0) < 1, (9.2.24)

9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 227
где
(7Л=шгЬ>0;В^1>п||я;| < М1, к -1,2,...
Это означает невозможность выполнения условия гх(ж) -> 1 при
х —> 0. Следовательно, (9.1.3) в этом случае не выполняется.
Вообще говоря, можно показать, что регулярные точки для
броуновского движения являются в точности регулярными точками
в смысле классической теории потенциала, т. е. это такие точки у
на границе дВ, в которых предел обобщенного решения Перрона-
Винера—Брело совпадает с ф(у) для всех ф Е С (дБ). См. работы
БооЬ (1984), Рог!;, 31юпе (1979) или Као (1977).
Пример 9.2.16. Пусть В обозначает бесконечную полосу
В = {(1,х) е К2; ж < К}, где К е К,
и пусть Ь — дифференциальный оператор,
Диффузионный процесс Ито, производящий оператор которого
совпадает с Ь на Со (К,2) (см. пример 9.2.10), имеет вид
Х4 = (* + *,В4), *>0,
и все точки, принадлежащие дВ, являются регулярными для
этого процесса. Нетрудно видеть, что в этом случае условие (9.1.14)
выполняется, т. е.
Тр < 00 (П. Н.)
(см. упражнение 7.4).
Предположим, что ф — ограниченная непрерывная функция на
дВ = {(^Л);^ЕК}. Тогда по теореме 9.2.5 функция
и(з,х) = Е*'х[ф(Хто)]
является решением стохастической задачи Дирихле (9.2.6), (9.2.7),
где Е8'х означает математическое ожидание относительно закона
распределения вероятностей (28>х для процесса X с начальным
условием в точке (5,х). Является ли и также решением задачи (9.2.13),
(9.2.14)? Используя преобразование Лапласа, можно найти
распределение точки первого выхода, принадлежащей дВ, для
процесса X, т. е. первого момента I — г достижения процессом Вг
значения К. (См. книгу КагНп, Тау1ог (1975), с. 363. Также см.
упражнение 7.19.) Результат имеет вид
рх[? е (И] = д{х,г)(И,

228 Глава 9. Приложения к краевым задачам
где
дМ=кЯ-Х)(2^еМ-{-^), *>0, (9225)
Таким образом, решение и можно записать в виде
оо оо
и(з,х) — \ ф(з-\-1,К)д(х,1)оИ — / ф(г,К)д(х,г — з)с1г.
О 5
Из явной формулы для и очевидно, что функции ^ и Ц^
непрерывны, и на основании леммы 9.2.3 можно заключить, что Ьи — О
в В. Таким образом, и удовлетворяет условию (9.2.13). Что же
можно сказать относительно свойства (9.2.14)? Нетрудно видеть, что
если I > 0, то
Я<°'*[/№)] = (2тг*)-* |/('о + «,у)ехр (- ^2у^)<%
К
для всех ограниченных, (I, ж)-измеримых функций /. (См. формулу
(2.2.2).) Следовательно, Х1 не является сильно феллеровским
процессом, так что мы не можем воспользоваться результатом (9.2.23),
чтобы получить (9.2.14). Однако легко проверить непосредственно,
что если \у\ — К, 1\ > 0, то для всех с > 0 существует 5 > 0,
такое, что \х - у\ < 6, \г-гг\ < 6 => <Эг'х[ХТо € #] > 1 - €, где
ДГ — [$! - б,^1 + б] х {у}. А из этого, как легко видеть, следует
(9.2.14).
Замечание. Как показывает вышеприведенный пример (и
пример 9.2.1), диффузионный процесс Ито не обязательно является
сильно феллеровским процессом. Тем не менее, мы видели, что он
всегда является феллеровским процессом (см. лемму 8.1.4).
9.3. Задача Пуассона
Пусть, как и прежде, Ь — X] агз дхдх • "*~ ^ ^ ~§Г- ~
полуэллиптический оператор в частных производных в области В С Кп, и пусть
Хь — соответствующий диффузионный процесс Ито, описанный в
(9.1.4) и (9.1.5). В этом разделе изучается задача Пуассона (9.2.3),
(9.2.4). Исходя из тех же самых соображений, что и в разд. 9.2,
обобщим задачу следующим образом.

9.3. Задача Пуассона 229
Обобщенная задача Пуассона
Для заданной непрерывной функции д на В требуется найти
функцию V класса С2 в I), такую, что
а) Ьу = -д в I), (9.3.1)
Ь) Нт у(х) — 0 для всех регулярных точек у Е дБ. (9.3.2)
Как и раньше, вначале рассмотрим стохастический вариант задачи,
а затем исследуем зависимость между соответствующим
стохастическим решением и решением (если оно существует) задачи (9.3.1),
(9.3.2).
Теорема 9.3.1 (решение стохастической задачи Пуассона).
Допустим, что
■*[||Э(Х,)|Л
Е
о
< со для всех х е В. (9.3.3)
(Это неравенство выполняется, например, если функция д
ограничена и Ех[т0] < со для всех х Е В.) Определим
у(х) = ЕхН9(Х3)&
(9.3.4)
Тогда
Ау = -д в В (9.3.5)
и
Нт у(Хь) — 0 (С}х-п. н.) для всех х € В. (9.3.6)
Доказательство. Выберем теперь открытое множество V и точку
х е II СС В. Положим г]—^ д(Х3)с18, т — тц.
о
Тогда в силу строго марковского свойства (7.2.5)
;(Е'[ЕХ*[Г,]]-Е'[Г,])
Е*НХт)]-у{х) _ 1 шхшХ,
Ех[т] Ех[т\
= щ^тЕЧвгпРг)] - Е*Ы) = ЩгЦЕЧвгТ, - „]).
Аппроксимируем г] суммой вида

230 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Так как
0ьг){к) = ^9(Хи+1)Х{и+г<^}Аи для всех к
(см. рассуждение для (7.2.6)),
6тг) = I д(Х3)с18.
т
Следовательно,
г
I д{х8)л,
Е*[у(Хт)]-у(х) _ -1 ЕХ
Ех[т]
Ех[т]
(9.3.7)
-» —д(х) при V \. х,
так как функция д непрерывна. Это доказывает равенство (9.3.5).
ъ
Положим Н(х) — Ех[§ \д(Х3)\Аз\. Определим Вк^к аналогично
о
тому, как это делалось при доказательстве теоремы 9.2.5. Тогда,
используя те же рассуждения, что и выше, получим
Ъ
Ех[Н(ХТкМ)} = ЕХ[Е*[ I \д(Х8)\08\ТТкМ]]
-» 0 при I -» тв, к -» оо
= Д*[/ \д(Х8)\<Ь
ткМ
в силу мажорируемой сходимости. Это означает, что выполняется
условие (9.3.6). □
Замечание. Для функции д, удовлетворяющей условию (9.3.3),
определим оператор 71 по формуле
(Кд)(х) = д(х) = Е*
•и
I'д(х,)<и
Тогда равенство (9.3.5) можно переписать в виде
Л(Пд) = -д, (9.3.8)
т. е. оператор —72. является правым обратным по отношению к
оператору А. Подобным образом, если мы определим
Кад(х) = Ех
19(Х.У
для а > О,
(9.3.9)

9.3. Задача Пуассона 231
то те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 8.1.5,
приводят к равенству
(Л - а)Пад = -д, а > 0. (9.3.10)
(Если а > 0, то предположение (9.3.3) может быть заменено
предположением об ограниченности функции д (и о непрерывности, как
прежде).)
Таким образом, мы можем рассмотреть оператор 71а как
обобщение резольвенты Ка (об этом говорилось в гл. 8), а формулу
(9.3.10) —как аналог теоремы 8.1.5, п. Ь).
Далее мы покажем, что если решение у обобщенной задачи
(9.3.1), (9.3.2) существует, то у является решением (9.3.4)
стохастической задачи (9.3.5), (9.3.6).
Теорема 9.3.2 (теорема единственности для уравнения Пуассона).
Пусть процесс Хг удовлетворяет условию Ханта (Н) (9.2.15).
Предположим, что условие (9.3.3) выполнено и что существуют
функция V Е С2 (/}) и константа С, такие, что
Нх)\<с(а + ЕхЧ \9{Х8)\Л&
для всех х е В, (9.3.11)
Ьу = -д в В, (9.3.12)
Нт у(х) — 0 для всех регулярных точек у Е дБ. (9.3.13)
Тогда у(х) = Ех[1 д(Х3)(1з}.
о
Доказательство. Определим !)&, т& аналогично тому, как это
делалось в доказательстве теоремы 9.2.5. Тогда по формуле Дынкина
Гк , Гк
Ех[у(ХТк)]-у(х) = Ех
/(Ьу)(ХМ = -Ех\ [д{Х8)<1.
о о
Используя свойство мажорируемой сходимости, получим
Ех
"о
так как Хт является регулярной точкой (п. н.) в силу условия (Н)
Гк ТГ>
у(х) = ^ (Ех[у(ХТк)} + Ех\Iд(Х3)(1з\] = Ех\ Гд(Х3)(1з\
и леммы 9.2.12.
□

232 Глава 9. Приложения к краевым задачам
В заключение объединим задачи Дирихле и Пуассона и получим
следующий результат.
Теорема 9.3.3 (решение смешанной задачи Дирихле—Пуассона).
Предположим, что условие (9.1.14) выполнено. Пусть ф Е
С(дО) — ограниченная функция, и пусть д Е С(О)
удовлетворяет условию
Ех
Определим
}\9(Х.)\&
< оо для всех х ^ Б.
гю(х) = Ех[ф(ХТо)] + Ех 4д(Х8)&
х е в.
а) Тогда
Луо — -д в В
Ит уо{Х1) — ф(Хт ) ((2х-п. н.) для всех х Е В.
(9.3.14)
(9.3.15)
(9.3.16)
(9.3.17)
Ь) Кроме того, если существуют функция гю\ Е С2 (И) и
константа С, такие, что
\т{х)\<С [1+Е
г
У\д(Х3)\с1з^
х Е Д
(9.3.18)
и уо\ удовлетворяет условиям (9.3.16) и (9.3.17), то ю\ — IV.
Замечание. Используя примерно такой же подход, как при
доказательстве теоремы 9.2.14, можно показать, что если оператор Ь
является равномерно эллиптическим в В и функция д Е Са(р)
(для некоторого а > 0) ограничена, то функция ю, заданная
формулой (9.3.15), является решением задачи Дирихле — Пуассона, т. е.
Ьуо
-9 в В
(9.3.19)
Ит 'ш(х) — ф(у) для всех регулярных точек у Е дБ. (9.3.20)

9.3 Задача Пуассона 233
Мера Грина
Решение г?, заданное формулой (9.3.4), может быть переписано
следующим образом.
Определение 9.3.4. Мера Грина (процесса Xг относительно
множества В в точке х) С(х,-) определяется формулой
С{х,Н)=Ех
Т0
I Хн{Х3)йз
или
Н С Кп — борелевское множество,
I}(у)С(х,с1у)=Е*и'/(Х,)Л
функция / ограничена и непрерывна.
(9.3.21)
(9.3.22)
Другими словами, С(х,Н) есть ожидаемая продолжительность
времени пребывания процесса в множестве Я, до того как он
покинет множество Б. Если Хь — броуновское движение, то
С(х,Н)=1с(х,у)<1у,
н
где С(х,у) — классическая функция Грина относительно В и йу —
мера Лебега. См. книги БооЬ (1984), Рог!;, 81юпе (1979) или Као
(1977). См. также пример 9.3.6, приведенный ниже.
Заметим, что, пользуясь теоремой Фубини, можно получить
следующую взаимосвязь между мерой Грина С и переходной мерой
для Хь в Я, Я?(х,Н) = <Эх[Хг ЕЯ,К тП]:
оо оо
С(х,Н) =ЕХ\ [ХН{Х3) •Л[0>Г|?)(в)йв| = / С}?(х,Н)<И. (9.3.23)
о о
Из (9.3.22) получим
у(х) = Ех у9(ХМ = Iд{у)0[х,йу\ (9.3.24)
о в
а это хорошо известная формула для решения уравнения Пуассона
в классическом смысле.

234 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Заметим также, что, пользуясь функцией Грина, мы можем
рассматривать формулу Дынкина как обобщение классической
формулы Грина.
Следствие 9.3.5 (формула Грина). Пусть Ех[т0] < оо для всех
х е В, и пусть / е С$(Кп). Тогда
/(*) = Ех[ПХТо)} - 1(Ьх/)(у)0(х9аУ). (9.3.25)
в
В частности, если / Е С$(В), то
/(*) = - 1(Ьх/)(у)С(х, йу). (9.3.26)
В
(Как и прежде, Ьх = ЛЬг^т + \ Е^Т)^ дх%х., где
ЛХг = Ъ(Хг)Л1 + а(Хг)ЛВг.)
Доказательство. По формуле Дынкина и (9.3.24) имеем
Ъ
Ех[1(ХгП)] = /(*) + Ех Ц(Ь*/)(Х,)&|
о
= № + 1(ьх!){у)0{х,йу). и
в
Замечание. Объединяя (9.3.8) с (9.3.26), видим, что если Ех[тк] <
оо для всех компактных множеств К С В и всех х Е I), то —72.
является обратным оператором к Л на С^(О):
А(П/) = ЩА/) = -/ для всех / е С02(Я). (9.3.27)
В более общем случае, взяв произвольное а > 0, получим
следующий аналог теоремы 8.1.5:
(Л-а)(7га/)=7га(Л-а)/ = -/
для всех / е СКБ). (9.3.28)
Первая часть этого утверждения уже доказана в (9.3.10), а
вторая часть вытекает из следующего полезного расширения формулы
Дынкина:
г
Е*[е~ат/(ХТ)} = /(*) + Ех [/е-"(А - а)/(Х.)&
(9.3.29)

9.3. Задача Пуассона 235
Если а > О, то это равенство справедливо для всех моментов
остановки г < оо и всех / е Со(Кп). (См. упражнение 9.6.)
Пример 9.3.6. Если Хь = Вь — 1-мерное броуновское движение на
ограниченном интервале (а, Ъ) С К, то можно вычислить функцию
Грина С(х,у) явным образом. Для этого выберем ограниченную
непрерывную функцию д: (а, Ь) —> К и вычислим
у(х) := Ех
I д{Вг)(И
На основании следствия 9.1.2 заключаем, что V является решением
дифференциального уравнения
-у"(х) = -д(х), хе (а, 6),
у(а) = у(Ь) = 0.
Интегрируя дважды и используя граничные условия, получим
Ь у х у
а а а а
Меняя порядок интегрирования, можем переписать это
равенство в виде
о
Ф) = / 9(у)0(х,у)(1у,
где
С(х,у) = Ф-^-?/) _ 2{х _ у) и ц^фу (9.з.30)
Итак, функция Грина броуновского движения на интервале
(а, Ь) задается формулой (9.3.30).
При более высокой размерности п функция Грина у —> С(х,у)
броуновского движения с начальным условием в точке х не
является непрерывной по х. Имеет место логарифмическая особенность
(т. е. особенность порядка 1п , ]_ ■) при п = 2 и особенность порядка
\х - У\2~п ПРИ п> 2.

236 Глава 9. Приложения к краевым задачам
\0(х,у)
ах Ь
Упражнения
9.1. В каждом из случаев, приведенных ниже, найдите
диффузионный процесс Ито, производящий оператор которого
совпадает с I на С02:
а) Ь/(*,ж) = а|{ + |/?2§^> а,/? —константы;
Ь) Ь/(хих2) = аЩ-.+Ъ-^ + \Щ + |^), а, Ь -константы;
с) Ь/(х) = ах/'(х) + |/?2///(ж), а,/3 — константы;
с!) Ь/(х) = а/'(ж) + \(32х2$"(х), а,/? —константы;
е) Ь/(хьх2)=1п(1+х^^ + х2^+х^+2х1х2^ +
9.2. С помощью теоремы 9.3.3 найдите ограниченные решения
следующих краевых задач:
(1) /!г + !-& = е''0(*), 0<*<г, хек,
[ЦТ, ж) =г/>(х), х е К,
где ф,ф — заданные ограниченные непрерывные функции;
(") (ахи'(х) + ±/?2ж2и"(:с) =0, 0 < ж < ж0,
|гх(ж0) = ж§,
где а,/? —заданные константы, а > |/?2.
(ш) Если а < ^/?2, существует бесконечно много ограниченных
решений задачи (и) и необходимо дополнительное
граничное условие, например, в точке х = 0, чтобы обеспечить
единственность. Объясните это, принимая во внимание
теорему 9.3.3.
9.3. Запишите (используя броуновское движение) и сравните
решения и(1,х) следующих двух краевых задач:

Упражнения 237
а) Г || + I Ди = 0 для 0 < * < Т, ж <Е Кп,
1 и(Т, ж) = ф(х) для ж Е Кп;
ь) /1* ~ IДи = ° для о < ^ < т, же кп,
1 и(0, ж) = ^(ж) для х 6 Кп.
9.4. Пусть С и Я — ограниченные открытые подмножества
пространства Кп, С С Я, и пусть В* — п-мерное броуновское
движение. Докажите с помощью свойства (Н) для Я^, что
тГ{* >0;Вг$Н}= тГ{* > тс] Вг $ Я},
т. е., в соответствии с терминологией (7.2.6),
тн =1~н, гДе« = то.
Используя это равенство, докажите, что если Хь — Ви то
свойство среднего значения (7.2.9) выполняется для всех
ограниченных открытых множеств С С Я, т. е. требование С СС
Я в этом случае не является необходимым. Это подтверждает
справедливость утверждения (9.2.24).
9.5. (Собственные значения лапласиана.) Пусть множество В С
Кп открыто и ограничено, и пусть ЛЕК.
а) Предположим, что существует решение и Е С2(0)Г\С(В),
не тождественно равное нулю, такое, что
Г-|Ди = Ли в Г>
\ и = 0 на дБ. ч '
Покажите, что тогда должно выполняться неравенство
Л > 0.
(Указание. Заметьте, что если |Ди = —Хи в I), то
-Ди,П = (-Ли, и),
где
(и, у) = / и(х)у(х)с1х,
в
и воспользуйтесь интегрированием по частям.)
Ь) Можно показать, что если множество В гладкое, то
существует последовательность 0<Л0<Л1<---<ЛП<--,
где Лп —> оо, такая, что условие (9.3.31) выполняется для
Л = Лп, п = 0,1,2,..., и ни для каких других значений Л.

238 Глава 9. Приложения к краевым задачам
Числа {Ап} называются собственными значениями
оператора — |Д в области I), а соответствующие
(нетривиальные) решения ип системы (9.3.31) называются
собственными функциями. Существует интересная вероятностная
интерпретация наименьшего собственного значения Ло,
связанная со следующим результатом.
Положим т — тв — ш1\1 > 0;В* ^ I)}, выберем р > О
и определим
'Шр(х) = Еж[ехр(рт)], х е В.
Докажите, что если уор{х) < оо для всех х Е I), то р не
является собственным значением оператора — ^А.
(Указание. Пусть и — решение системы (9.3.31) при Л =
р. Применяя формулу Дынкина к процессу сЩ = (сИ, сШ^)
и функции /(^,ж) = ер1и(х), покажите, что и(х) = 0 для
х е И.)
с) Докажите, что
Ло > 5ир{р;Еж[ехр(рг)] < оо для всех х е И}.
(Фактически здесь имеет место равенство. См., например,
БштеМ (1984), гл. 8В.)
9.6. Докажите формулу (9.3.29), для примера применив формулу
Дынкина к процессу
т =
' (И
и функции д(у) = д(г,х) = е а1/(х).
9.7. а) Пусть В% — броуновское движение в К2. Докажите, что
Рх[31 > 0;Вь=у]=0 для всех ж,у е К2.
(Указание. Сначала предположите, что х ф у. Можно
выбрать у — 0. Один из возможных подходов состоит в
том, чтобы применить формулу Дынкина при /(и) = 1п |гх|
и г = Ы{1 > 0; \Вг\ < р или \ВЬ\ > К}, где 0 < р < К. Пусть
р —> 0 и К —» оо. Если х = у, рассмотрите Рх[31 > е;В1 = х]
и используйте марковское свойство.)
Ь) Пусть Вг = {В\ ,В\ ') — броуновское движение в К2.
Докажите, что Вь = {—В\ \В^) также является
броуновским движением.

Упражнения 239
с) Докажите, что О Е К2 является регулярной граничной
точкой (для броуновского движения) двумерной области
Я = {(хих2) е К2;*2. + х\ < 1} \ {(Ж1,0);я;1 > 0}.
(1) Докажите, что 0 Е К3 является нерегулярной граничной
точкой (для броуновского движения) трехмерной области
V = {(ж1,ж2,ж3) 6 К3,Ж1 +х\+х\ < 1}\{(жь0,0);ж1 > 0}.
0-
9.8. а) Найдите такой диффузионный процесс Ито Хг и такое
измеримое множество С?, что С является пол у полярным, но
не является полярным для Хь.
Ь) Найдите такой диффузионный процесс Ито Хг и такое
счетное семейство тонких множеств #&, к = 1,2,..., что
оо
У Нк не является тонким множеством для X*.
9.9. а) Пусть Х1 —диффузионный процесс Ито в Кп, и пусть д —
локально ограниченная действительная Х^-гармоническая
функция на связном открытом множестве С С Кп, не
являющаяся константой. Докажите, что д удовлетворяет
следующей слабой форме принципа максимума: д не имеет
(локального или глобального) максимума ни в какой точке
множества С. (Сходным образом д удовлетворяет
принципу минимума.)
Ъ) Приведите пример, показывающий, что не являющаяся
константой ограниченная Хггармоническая функция д
может иметь (нестрогий) глобальный максимум.
(Указание. Рассмотрите равномерное движение
вправо.)

240 Глава 9. Приложения к краевым задачам
9.10. Найдите (вероятностное) решение /(^,ж) краевой задачи
(к(х)е-" + %+ах^ + ±132х2^=0 для х>0,0<*<Г,
\/(Т,х)=е-ртф(х) для х > О,
где К,ф — заданные функции и Т, р, а, /3 — константы, р > О,
Т > 0. (Указание. Рассмотрите йУь = (ей, йХ*), где ^ —
геометрическое броуновское движение.)
9.11. а) Ядро Пуассона определяется по формуле
1-г2 _1-М2
Рг(*) =
1-2гсо80 + г2 |1-^|'2
где г > 0, 9 е [0,2тг], 2 = ге* € С (г = у/=Т).
Формула Пуассона утверждает, что если В — открытый
единичный круг на плоскости К2 = С и функция К Е С (И)
удовлетворяет уравнению А/г = 0 в /}, то
2тг
Л(ге^) = ^- /рг(* - в)Н{е11)(И.
о
Докажите, что броуновское движение с начальным
условием в точке г Е В впервые покинет I), достигнув множества
Р С дИ, с вероятностью, задаваемой формулой
— [ РГ(1-0)<И, гдег = ге1в.
27Г }
Ь) Функция
ю = ф(г) = г-
1 — 2
конформно отображает круг В = {\г\ < 1} на
полуплоскость Н = {ю = и + гу;у > 0}, ф(дБ) = К и ф(0) — г.
Используя пример 8.5.9, докажите, что если // —
гармоническая мера для броуновского движения в точке г — (0,1)
для полуплоскости Я, то
//«№({> - ±//(«.«»*. ^/М*Л.
Я 0 дВ

Упражнения 241
с) Подставив в предыдущий интеграл уо = ф(г) (т. е. г
ф^) := ф~1{уо) — -х^), покажите, что
со
/тмо =1- [ /н^ = - / /м-^-.
1>
н
6) Покажите, что гармоническая мера /х# для броуновского
движения в Н в точке IV = и + гг? € Н задается формулой
1 V
ОД (ж) = - - Ох.
7Г (ж - и)2 + гг
9.12. (Формула Фейнмана — Каца для краевых задач.)
Рассмотрим диффузионный процесс Ито Хь на Кп, производящий
оператор которого совпадает с заданным оператором в
частных производных Ь на С\ (Кп). Пусть Д </> и д обладают теми
же свойствами, что и в условии теоремы 9.3.3, и пусть д(ж) >
О — непрерывная функция на Кп. Рассмотрите следующую
краевую задачу: найти такую функцию Н € С2(1))ПС(1)), что
{Ыг{х) — д(х)Н(х) — -д{х) наБ,
Нш Н(х) = ф(у), у е дБ.
х-+у
Покажите, что если ограниченное решение Н существует, то
Н(х) = Ех
I е-Г0 «*.)*д{Хг)л + е~& я(хз)а3ф{Хт
(Сравните с формулой Фейнмана —Каца.)
(Указание. Действуйте в соответствии с доказательством
теоремы 8.2.1, п. Ь).)
Вероятностные решения краевых задач рассматриваются
более подробно в книге РгеШНп (1985).

242 Глава 9. Приложения к краевым задачам
9.13. Пусть В — (а, Ь) — ограниченный интервал,
а) Для х е К определим
Хь = X? = х + \А + оВи I > О,
где /х, а — константы, а ф 0. Пользуясь следствием 9.1.2,
вычислите
«КяО^ЕЧда^ + Е*
19{Х1)Л1
где 0: {а, 6} —> К и #: (а, 6) —> К —заданные функции,
причем функция д ограничена и непрерывна.
Ь) С помощью результата п. а) вычислите функцию Грина
С(х,у) процесса X*.
(Указание. Выберите ф — 0 и проведите такие же
рассуждения, как в примере 9.3.6.)
9.14. Пусть В — (а, Ь) С (0, оо) — ограниченный интервал, и
пусть уравнение
(1ХЬ - гХЬ(И + аХьйВи Х0 = х е (а, 6),
описывает геометрическое броуновское движение,
а) С помощью следствия 9.1.2 найдите
Ях[хТв=ь].
(Указание. Выберите д — 0, ф(а) — 0, ф(Ь) = 1.)
Ь) Используя следствие 9.1.2, вычислите
ю(х)=Ех[Ф(ХТв)] + Е*
1
д(Х№
для заданных функций ф: {а, Ь} —> К и д: (а, 6) —> К,
если функция # ограничена и непрерывна.
(Указание. Подстановка I — 1пж, ги(ж) = /г(1пж)
преобразует дифференциальное уравнение
-а2х2/ш"(х) + гхю'(х) — —д(х), х > 0,
в дифференциальное уравнение
1«2Л"(*) + (г - ^а2) Л'(«) = -»И, I € К.)

Упражнения 243
9.15. а) Пусть В = (а, Ь) С К — ограниченный интервал, и
пусть Х1 — Вг — 1-мерное броуновское движение.
Пользуясь следствием 9.1.2, вычислите
Н{х) = Е-[е рт°тР{Вт)} + Ех
(е~р1В2<И
для заданной функции ф: {а, Ь} -> К, где р > 0 —
константа.
(Указание. Рассмотрите диффузионный процесс
Ито, описываемый уравнением
йВи У0=у = ($,х).
щ =
№(1Ч
-
лвь
=
1"
0
<и+
0"
1
Мы имеем
к
(*) =
= 1
м(0,х
),
ч,{з,х) = и,{у) = ^[</>(^)] + Е*1 уЭ(Г0*
где
причем функции </> и # удовлетворяют условиям
ф(у) =ф(з,х) = е~рз<ф(х),
д{у)=д{з,х)=е-р8х2.
Заметьте, что
т0 = тГ{* > 0; Вь$ (а, Ь)} = Ы{1 > 0; У,(2) # (а, 6)}
= тГ{*>0; У^Кх (а,6)}.
Чтобы найти ю(з,х), решите краевую задачу
1 д21п дуо по 0
2^+а7 = -е""Ра;' а<х<ь>
кш(8, а) = е~р8ф(а), ю(з, Ь) = е~рзф(Ь).
Для этого используйте функцию ю(з,х) = е~р8Н(х).)
Ь) Используя метод, рассмотренный в п. а), найдите
Ех[е~рто].
(Ср. с упражнением 7.19.)

Глава 10
Приложение к задаче
об оптимальной остановке
ЮЛ. Случай однородных процессов
Задача 5 из введения представляет собой частный случай задачи
следующего типа.
Задача 10.1.1 (задача об оптимальной остановке). Пусть X* —
диффузионный процесс Ито в Кп, и пусть д (функция
вознаграждения) — заданная функция в Кп, удовлетворяющая условиям
а) д(0 > 0 для всех ^ 6 Кп, (10.1.1)
Ь) д непрерывна.
Требуется найти момент остановки т* = г*(ж, о;) (называемый
оптимальным моментом остановки) для {X*}, такой, что
Ех[д{ХТ*)] = зирЕх[д(Хт)] для всех х <Е Кп (10.1.2)
г
есть точная верхняя грань, взятая по всем моментам остановки г
для {Хг}. При этом дополнительно мы хотим найти
соответствующее оптимальное математическое ожидание вознаграждения
д'(х)=Ех\д{Хт.)]. (10.1.3)
Здесь д(Хт) полагается равным нулю в точках и € П при т(и) = оо,
и, как обычно, Ех означает математическое ожидание
относительно закона распределения вероятностей (2х для процесса X*, I > 0,
с начальным условием Хо = х € Кп.
Мы можем рассматривать X* в качестве состояния игры в момент
времени ^, где каждое и соответствует некоторой игровой выборке.
Для каждого момента времени I мы имеем право выбора: остановить
игру, тем самым получив вознаграждение #(Х*), или продолжить
игру в надежде, что, остановив ее в более позднее время, можно
получить большее вознаграждение. Проблема, конечно, состоит в том,
что мы не знаем, в каком состоянии игра находится в будущем,
известно только распределение вероятности «будущего».
Математически это означает, что возможные моменты «остановки», которые мы
рассматриваем, в действительности являются моментами остановки
в смысле определения 7.2.1: следует решить, должно ли г < I
зависеть только от поведения броуновского движения Вг (задающего

10.1. Случай однородных процессов 245
процесс X) до момента I или, возможно, только от самого
процесса Хг до момента I. Итак, мы задаемся вопросом о существовании
оптимального момента т* среди всевозможных моментов
остановки т, который дает наилучший результат «в конечном счете», т. е.
наибольшее ожидаемое вознаграждение в смысле критерия (10.1.2).
Впоследствии мы в общих чертах наметим алгоритм решения
этой задачи с использованием материала предшествующей главы.
Позднее в этой главе мы увидим, что наши рассуждения,
относящиеся к задаче (10.1.2)—(10.1.3), можно применить и к задачам,
очевидно, более общего вида
д'(з,х) = зир Е^[д(т,Хт)} = Е^[д{т\Хт.)} (10.1.4)
С*(з,х)= зирЕ<*,х>
Хь)(Ь + д(т,Хт)
д(з,х)
т
/ж
(10.1.5)
Здесь / — заданная функция нормы вознаграждения
(удовлетворяющая известным условиям).
Мы также обсудим возможность распространения задачи
(10.1.2)—(10.1.3) на случаи, в которых функция д не обязательно
является непрерывной или может принимать отрицательные
значения.
Введем основное понятие, необходимое для решения задачи
(10.1.2)-(10.1.3).
Определение 10.1.2. Измеримая функция /: Кп -> [0, оо]
называется суперсреднезначной {относительно Хг), если
№ > ех[1(хт)}
(10.1.6)
для всех моментов остановки т и всех х Е Кп.
Если, кроме того, функция / полунепрерывна снизу, то /
называется полунепрерывной снизу супергармонической или просто
супергармонической функцией [относительно Хь).
Заметим, что если функция /: Кп -> [0, оо] полунепрерывна
снизу, то по лемме Фату для любой последовательности {т^} моментов
остановки, такой, что т& -> 0 (Р-п. н.), справедливы неравенства
/(*) < Е*[Шп_/(ХгЛ < 1^Ех[/(ХТк)]. (10.1.7)
к—юо к—юо

246 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Совместное рассмотрение этих неравенств и (10.1.6) показывает,
что если / — (полунепрерывная снизу) супергармоническая
функция, то
/(ж) = Ит Ех[{(ХТк)] при всех х (10.1.8)
к—юо
для всех таких последовательностей т&.
Замечания. 1. В литературе (см., например, Дынкин (1963))
часто встречается более слабое понятие ^-супергармоничности,
определяемое как свойство суперсреднезначности (10.1.6) плюс
требование стохастической непрерывности (10.1.8). Это более
слабое понятие соответствует понятию ^-гармоничности,
определенному в гл. 9.
2. Если / Е С2(КП), то по формуле Дынкина / является
супергармонической относительно Х1 тогда и только тогда, когда
Л! < 0, .
где Л — характеристический оператор процесса Х^. Этот
критерий оказывается полезным во многих ситуациях (см.
пример 10.2.1).
3. Если XI = В* — броуновское движение в Кп, то
супергармонические функции для процесса X* совпадают с (неотрицательными)
супергармоническими функциями, определенными в
классической теории потенциала. См. БооЬ (1984) или Рог!;, ЗЪопе (1979).
Сформулируем некоторые полезные свойства
супергармонических и суперсреднезначных функций.
Лемма 10.1.3. а) Если / — супергармопическая (суперсреднезнач-
пая) фупкция и а > 0, то а/ — супергармопическая (суперсред-
пезпачпая) фупкция.
Ь) Если функции /х, /2 — супергармопические (суперсреднезнач-
пые), то /1 -Ь /2 — супергармопическая [суперсреднезначная)
фупкция.
с) Если {/у}^7 ~~ семейство суперсреднезначных функций, то
/(ж) := 1пГ{/^(х)} — суперсреднезначная функция, если она из-
мерима (7 — любое множество).
с!) Если Л,/2,- ••— супергармонические (суперсреднезначные)
функции и /& сходятся к / поточечно, то / —
супергармопическая [суперсреднезначная) функция.
е) Если / — суперсреднезначная функция и о~<т — моменты
остановки, то Ех[}(Ха)] > ЕХ[}(ХТ)].

10.1. Случаи однородных процессов 247
Г) Если функция / суперсреднезначная и Н — борелевское
множество, то функция /(#) := Ех[$(ХТн)] также является супер-
среднезначной.
Доказательство леммы 10.1.3.
а) и Ь) доказываются непосредственно.
с) Предположим, что функции $3- суперсреднезначные для всех
] е 3. Тогда
Ь(х) > ЕХ[^(ХТ)} > ЕХ[!(ХТ)\ для всех 3.
Значит, /(#) = тГ/Дж) > ЕХ[$(ХТ)], что и требовалось
доказать,
с!) Пусть $з — суперсреднезначные функции и /у | /. Тогда
/(ж) > ^(х) > ЕХ[^(ХТ)] для всех ].
Таким образом, в силу монотонной сходимости
/(*)> НтЕх[МХт)} = Е*{1(Хт)}.
3—юо
Следовательно, / — суперсреднезначная функция. Если каждая
функция /^ к тому же полунепрерывна снизу, то, выбрав
последовательность у к -> х при к -> оо, получаем
Л'(я) < Пт и{Ук) < Пт /(ук) для каждого ].
к—юо к-ч-оо
Отсюда, переходя к пределу при ] —> оо, получаем
Пх) < Пт ПУк).
к—юо
е) Если / — суперсреднезначная функция, то в силу марковского
свойства при I > з мы имеем
Ех[НХг)\Т3] = Ех-[НХЬ-$)} < /(*,). (10.1.9)
Значит, процесс
С* = /№)
является супермартингалом относительно сг-алгебр Ти
порожденных процессом {Вг]г < 1} (см. приложение С).
Следовательно, по теореме Дуба о свободном выборе (см. Гихман,
Скороход (1975), теорема б, с. 11) имеем
Е'ЩХ*)] > ЕхШт)}
для всех таких моментов .остановки сг, т, что а < т (фж-п. н.).

248 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Г) Пусть / — суперсреднезначная функция. В силу строго
марковского свойства (7.2.2) и формулы (7.2.6) для любого момента
остановки а имеем
Е*{1(Ха)} = Е*{ЕХ°{ЛХТН)}} = Е*[Е*{9а/(ХТн)\Та}}
= Ех[ва/(ХТН)] = Д* [№«)], (10.1.10)
где Тц = тГ{^ > а;Х^ ^ Н}. Поскольку т^ > тн, согласно п. е)
получаем
Е*1НХа)]<Е*{НХТн)} = 7(х).
Таким образом, / — суперсреднезначная функция. □
Следующие понятия являются фундаментальными.
Определение 10.1.4. Пусть к — действительная измеримая
функция в Кп. Если / — супергармоническая (суперсреднезначная)
функция и / > Н, то говорят, что / является супергармонической
(суперсреднезначной) мажорантой функции к (относительно X*).
Функция
Н(х) = 1пГ/(ж), х е Кп, (10.1.11)
для которой тГ берется по всем суперсреднезначным
мажорантам / функции Н, называется наименьшей суперсреднезначной
мажорантой функции к.
Подобным же образом, предположим, что существует
функция к, обладающая следующими свойствами:
(1) /г — супергармоническая мажоранта для к,
(и) если / — любая другая супергармоническая мажоранта для /г,
то /г < /.
Тогда к называется наименьшей супергармонической
мажорантой функции к.
Заметим, что в соответствии с леммой 10.1.3 с) функция к су-
персреднезначна, если она измерима. Кроме того, если к
полунепрерывна снизу, то к существует и к — /г. Позже мы докажем, что
если функция д является неотрицательной (или ограниченной
снизу) и полунепрерывной снизу, то р существует и'д = ~д (см.
теорему 10.1.7).
Пусть д > 0, и пусть / — суперсреднезначная мажоранта для д.
Тогда если г — момент остановки, то
/(*) > ЕХ[/(ХТ)] > Ех[д{Хт)}.

10.1. Случай однородных процессов 249
Таким образом,
/(*) >зирЕ*[д(Хт)] =$*(*)•
Г
Следовательно, справедливо неравенство
Жх) > 9*(х) Для всех х € Яп. (10.1.12)
На самом деле, хотя это и не столь очевидно, справедливо и
обратное неравенство, т. е. фактически имеет место равенство
9 = 9*. (10.1.13)
Мы докажем это утверждение, после того как установим полезную
итерационную процедуру для вычисления р. Прежде чем
предложить такую процедуру, введем понятие, которое связано с
супергармоническими функциями.
Определение 10.1.5. Полунепрерывная снизу функция /: Кп —>
[0, оо] называется эксцессивной (относительно Хь), если
/(ж) > ЕХ[/(Х3)] для всех з > 0, х е Кп. (10.1.14)
Ясно, что су пер гармоническая функция должна быть
эксцессивной. Не столь очевидно, что справедливо и обратное утверждение.
Теорема 10.1.6. Функция /: Кп —> [0, оо] является эксцессивной
относительно Хг тогда и только тогда, когда она является
супергармонической относительно X*.
Доказательство в частном случае. Пусть Ь — дифференциальный
оператор, соответствующий X (заданный правой частью
соотношения (7.3.3)), т. е. совпадающий с производящим оператором А для
Хв Сд. Докажем теорему для частного случая, когда / е С2(КП)
и оператор Ь/ ограничен. По формуле Дынкина имеем
г
I И(Хг)Аг
"о
Значит, если / — эксцессивная функция, то Ь/ < 0. Следовательно,
если г — момент остановки, то справедливо неравенство
ЕХ[/(Х1АТ)] < /(ж) при всех * > 0.
Переходя к пределу при I —> оо, видим, что / — супергармоническая
функция. □
Доказательство в общем случае можно найти в книге Дынкин
(1963), часть 5.
Первая итерационная процедура для наименьшей
супергармонической мажоранты <? функции д имеет следующий вид.
Ех[/(Х1)] = /(х) + Ех
для всех I > 0.

250 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Теорема 10.1.7 (построение наименьшей супергармонической
мажоранты). Пусть д = д0 — неотрицательная, полунепрерывная
снизу функция в Кп; и пусть определено рекуррентное
соотношение
9п(х) = зир Ех[дп^(Хь)], (10.1.15)
1в5п
где 5п = {к- 2"п;0 < к < 4П}, п = 1, 2,... Тогда #п Т ? ид-
наименьшая супергармоническая мажоранта функции д. Кроме того,
9 = 9-
Доказательство. Заметим, что {дп} — возрастающая
последовательность. Определим д(х) = Цт дп{х). Тогда
п—юо
9(х) > 9п(х) > Ех[дп-1{ХЬ)] для всех п и всех I € 5п.
Следовательно,
д(х) > Ит Е'Ьп-!^,)] = ДХ[$(Х4)] (10.1.16)
п—>оо
оо
для всех I € 5 = {] 8п.
п=1
Так как д есть предел возрастающей последовательности
функций, полунепрерывных снизу (см. лемму 8.1.4), д полунепрерывна
снизу. Зафиксируем I Е К и выберем последовательность ^ Е5,
такую, что 1& —> I. Тогда на основании неравенства (10.1.16), леммы
Фату и полунепрерывности снизу
д(х) > Кт_Ех[д(Х1к)} > Ех[Щ^д(ХЬк)] > Дх[я№)]-
к—юо &—юо
Таким образом, д — эксцессивная функция. Поэтому д является
супергармонической по теореме 10.1.6 и, следовательно, д —
супергармоническая мажоранта функции д. С другой стороны, если / —
любая суперсреднезначная мажоранта функции д, то по индукции
легко видеть, что
/(ж) > дп(х) для всех п,
и, следовательно, /(ж) > д(х). Это доказывает, что д есть
наименьшая суперсреднезначная мажоранта д функции д. Таким образом,
9 = 9- П
Из теоремы 10.1.7 следует, что мы можем заменить конечные
множества 5п на весь промежуток [0,оо].

10.1. Случай однородных процессов 251
Следствие 10.1.8. Определим Н$ — д и зададим Нп с помощью
рекуррентного соотношения
Нп(х) =зирЕх[Нп-1(Х1)], п = 1,2,...
1>о
Тогда Нп | д.
Доказательство. Пусть Н — ИтЛп. Тогда ясно, что к > д — р.
С другой стороны, поскольку <7 является эксцессивной функцией,
д(х)>зирЕх[д(Х1)}.
Таким образом, по индукции
# > Нп для всех п.
Итак, # — Л, что и требовалось доказать. □
Теперь мы можем доказать первый главный результат,
касающийся проблемы оптимальной остановки. Следующий вывод в
своей основе заимствован из книги Дынкин (1963) (а в части
мартингала из книги 8пе11 (1952)).
Теорема 10.1.9 (теорема существования для оптимальной
остановки). Пусть д* означает оптимальное вознаграждение и 'д есть
наименьшая супергармоническая мажоранта непрерывной
функции вознаграждения д > 0.
а) Тогда
д*{х)=д{х). (10.1.17)
Ь) Для е > 0 определим
Ое = {х;д(х)<д(х)-е}. (10.1.18)
Предположим, что функция д ограниченна. Тогда остановка в
первый момент те выхода из И€ близка к оптимальной в том
смысле, что
\д*(х)-Е*[д(ХТ1)}\<2е (10.1.19)
для всех х.
с) Для произвольной непрерывной функции д > 0 положим
V — \х\д(х) < д*(х)} (область продолжения). (10.1.20)
Для N — 1,2,... определим д1Я — д Л N', 1)дг = {х;д„(х) <
д^(х)} и ам = тПк. Тогда Бм С Ядг+ъ #лг С В П д~А ([0,#)),
V — у Им. Если сгдг < оо ((2х-п. н.) для всех ]У; то
N
д*{х) = Нт Е*\д{Ха„)\. (10.1.21)

252 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
6!) В частности, если то < оо (С2х-п. н.) и семейство {д(Х(Х1^)}^
является равномерно интегрируемым относительно С)х (см.
приложение С), то
д*(х)=Е*[д(ХТВ)}
и т* — то есть оптимальный момент остановки.
Доказательство. Сначала предположим, что функция д
ограничена. Определим
д€(х) = Ех[д(ХТе)} при с > 0. (10.1.22)
Тогда функция д€ является суперсреднезначной по лемме 10.1.3 Г).
Докажем, что
д(х) < де(х) + б для всех х. (10.1.23)
Предположим, что
/3 := зир{</(х) - де{х)} > е. (10.1.24)
X
Тогда для всех г) > 0 мы можем найти такое жо> при котором
справедливо неравенство
д(х0)-д€(х0)>13-т1. (10.1.25)
С другой стороны, поскольку д€ + /? является суперсреднезначной
мажорантой функции д, имеет место неравенство
9Ы<де(х0)+р. (10.1.26)
Объединяя (10.1.25) и (10.1.26), получим
9Ы<дЫ+г1. (10.1.27)
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: те > 0 ((Зж°-п. н.). Тогда в силу (10.1.27) и определения
множества Ие мы имеем
дЫ+11>д(хо)>Ех°[д(Х1АТе)}
> Ех°[{д{Хь) + е)Х{г<Т€}] для всех * > 0.
Отсюда, пользуясь леммой Фату и полунепрерывностью снизу
функции д, получаем
д(х0) + т? > \\шЕх%д{Х1)Л-е)Х{1<Те}]
> Ех^[\ип(д(Х1) + е)Х{г<Т€у] > д(х0) + е.
При г] < с это приводит к противоречию.

10.1. Случай однородных процессов 253
Случай 2: тб = 0 (фж°-п. н.). Тогда #б (жо) = д(хо)- Поэтому д(хо) <
де(хо), что противоречит неравенству (10.1.25) при г) < (3.
Следовательно, неравенство (10.1.24) приводит к противоречию.
Таким образом, соотношение (10.1.23) доказано, и мы делаем вывод
о том, что ^€ + е есть суперсреднезначная мажоранта функции д.
Поэтому
д<д€+е = Е[д(ХТе)] + е
< Е[(д + е)(ХТл)] + е < д* + 2е, (10.1.28)
а поскольку с произвольно, в силу (10.1.12) имеем
д = д •
Если функция д не является ограниченной, положим
д„ =пип(#,0), # = 1,2,...
Пусть, как и ранее, д^ — наименьшая су пер гармоническая
мажоранта функции д^. Тогда
д* > д*„ = д^ Т й при N -> оо, где /г > <?,
так как /г является супергармонической мажорантой функции р.
Таким образом, /г = р = д*, и тем самым доказана справедливость
равенства (10.1.17) для функций д общего вида. Из соотношений
(10.1.28) и (10.1.17) получим (10.1.19).
В заключение, чтобы доказать утверждения с) и (1), вновь
сначала предположим, что функция д ограничена. Тогда, поскольку
тб | то при 6^0
и тв < оо п. н., мы получаем
Е'ЫХг.)] -> Е*[д{Хтв)\ при е |0. (10.1.29)
Следовательно, на основании соотношений (10.1.28) и (10.1.17)
д*(х) — Ех[д(ХТЕ>)], если функция д ограничена. (10.1.30)
Наконец, если функция д не является ограниченной, то определим
Тогда функция к является супергармонической по лемме 10.1.3 (1) и,
так как д^ < р для всех ]У, справедливо неравенство к < 'д. С другой
стороны, дК < д^ < к для всех ]У, и поэтому д < к. Поскольку 'д
является наименьшей супергармонической мажорантой функции д,
мы заключаем, что
Н = д. (10.1.31)

254 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Отсюда, пользуясь (10.1.30), (10.1.31), получаем (10.1.21):
д*(х) = Цщ д^(х) = Нт Е*[дм{Ха„)} < Нт Ех[д(Х,„)} < д*(х).
ЛГ—юо А'—юо ЛГ—юо
Заметим, что д^<N всюду, поэтому если д„ (х) <д^(х), то д„ (х) <
N и, таким образом^ д(х) = д„(х) < д^(х) < д(х) и д„+1(х) =
д„(х) < д„(х) < д^(х). Следовательно, Им С В П {х;д(х) < ДГ}
и 1)дг С ^лч-1 Для всех N. Итак, учитывая равенство (10.1.31), мы
заключаем, что И является объединением возрастающей
последовательности множеств 1)дг, N = 1,2,... Поэтому
то = Нт о~]у.
ЛГ—юо
Таким образом, в силу (10.1.21) и равномерной интегрируемости
имеем
д(х) = Нт <%(х) = Нт Еж [</„ (Ха„)]
= Ех[Нт дЛХ<г»)]=Е'ЫХто)].
Теорема 10.1.9 доказана. □
Замечания. 1. Отметим, что 0,0€ и И^ — открытые множества,
так как функция 7] = д* является полунепрерывной снизу и д
непрерывна.
2. Анализируя доказательство п. а), мы видим, что равенство
(10.1.17) справедливо при более слабом предположении, что
функция д > 0 полунепрерывна снизу.
Приведенное ниже следствие теоремы 10.1.9 часто оказывается
весьма полезным.
Следствие 10.1.10. Пусть существует борелевское множество
Н, такое, что функция
дн(х):=Ех[д(ХТН)}
является суперсреднезначной мажорантой функции д. Тогда
д*(х) — дн(х), следовательно, момент т* = т# оптимален.
Доказательство. Если #я — суперсреднезначная мажоранта
функции д, то
9(х) <дн(х)-
С другой стороны, мы имеем
дн(х)<5ирЕх[д(ХТ)]=д*(х).
Т
Следовательно, д* = *дн в силу теорем 10.1.7 и 10.1.9 а). □

10.1. Случай однородных процессов 255
Следствие 10.1.11. Пусть
В = {х;д(х) <д(х)}.
Положим
д(х)=д0(х)=Ех[д(ХТ0)}.
Если д > д, то д — д*.
Доказательство. Так как ХТв ф /}, справедливо неравенство
д(Хт) > 9{Хто).^Поэтому д(ХТв) = д{Хто) (<Эх-п. н.). Таким
образом, функция д(х) — Ех\д{ХТо)] является суперсреднезначной,
поскольку таковой является #, и результат вытекает из следствия
10.1.10. □
Теорема 10.1.9 дает достаточное условие существования
оптимального момента остановки г*. К сожалению, т* не обязательно
существует в общем случае. Например, если
Хь — 1 при I > 0 (детерминированный процесс)
и
то д*(х) — 1, но не существует момента остановки т, такого, что
Е*[д{Хт)} = 1-
Тем не менее, можно доказать, что если оптимальный момент
остановки т* существует, то момент остановки, заданный в теореме
10.1.9, является оптимальным.
Теорема 10.1.12 (теорема единственности для оптимальной
остановки). Определим, как и ранее,
0 = {х;д(х)<д*(х)}сКп.
Предположим, что существует оптимальный момент
остановки т* — т*(х,и) для задачи (10.1.2) при всех х. Тогда
т* > тв для всех х е В (10.1.32)
и
д*(х) = Ех[д{ХТв)) для всех х е Кп. (10.1.33)
Следовательно, тр является оптимальным моментом остановки
для задачи (10.1.2).

256 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Доказательство. Выберем х Е В. Допустим, что т — ^-момент
остановки, и предположим, что С}х[т < то] > 0. Так как д{Хт) <
д*(Хт) при всех Хт, если выполнены неравенства г < то и д < д*,
мы видим, что
Ех[д(Хт)] = I д(Хт)^х + | д(Хт)^х
т<т0 т>тв
< I д*{Хт)^х + I д*(Хт)(1<2х=Ех[д*(Хт))<д*(х),
т<тг> т>то
поскольку функция д* является супергармонической. Тем самым
неравенство (10.1.32) доказано.
Чтобы получить равенство (10.1.33), выберем сначала х Е В.
Так как функция д является супергармонической, в силу (10.1.32)
и леммы 10.1.3 е) мы имеем соотношение
д*(х) = Ех[д(Хт*)} < Ех[д(Хт*)} < Е'\§(ХТв)]
= Е*[д(ХТв)]<д*(х),
из которого следует справедливость равенства (10.1.33) для х Е В.
Затем выберем в качестве х Е дВ нерегулярную граничную точку
множества В. Тогда то > 0 (С2х-п.п.). Пусть {а^} —такая
последовательность моментов остановки, что 0 < а& < то и а& —> 0
((2х-п.п.) при к —> оо. Тогда Хак Е В. Таким образом, в силу
(10.1.32), (7.2.6) и строго марковского свойства (7.2.2) мы получаем
Ех[д(ХТв)} = Ех{вакд(Хго)}
= Е*[Ех»ь[д(ХТв)}}
= Ех[д*(Хак)} для всех к.
Отсюда на основании полунепрерывности снизу и леммы Фату
д*(х) < ЕХ[Ы д*(Хак)} < Ит Ех[д*(Хак)} = Ех[д(Хто)}.
к—>оо к—юо
Наконец, если х Е дВ является регулярной граничной точкой
множества В или если х $ В, то то = 0 (С2х-п. н.) и, следовательно,
9*{х)=Ех[д{ХТо)]. П
Замечание. Иногда полезно следующее наблюдение.
Пусть Л — характеристический оператор процессах.
Предположим, что д Е С2(КП). Определим
V = {х;Ад(х) > 0}. (10.1.34)

10.1. Случай однородных процессов 257
Тогда для множества В, определенного в (10.1.20), справедливо
включение
V СВ. (10.1.35)
Следовательно, из неравенства (10.1.32) можно сделать вывод о
том, что оптимальная остановка процесса не осуществима до его
выхода из II. Однако возможны случаи, когда V ф В, так что
оптимальным является продолжение движения вне V перед остановкой.
(Это типичная ситуация.) См. пример 10.2.2.
Чтобы доказать (10.1.35), выберем х Е V и обозначим через
го момент первого выхода из ограниченного открытого множества
IV Э ж, IV С V. Тогда по формуле Дынкина для и > 0 получаем
то Ли
Е*[д(ХТоАи)]=д(х) + Ех
О
Таким образом, д(х) < д*(х), и, следовательно, х Е В.
Пример 10.1.13. Пусть Хг = Вг —броуновское движение в К2.
Используя то обстоятельство, что В1 является возвратным процессом
в К2 (см. пример 7.4.2), можно показать, что единственными
(неотрицательными) супергармоническими функциями в К2 являются
константы (см. упражнение 10.2).
Таким образом,
д*{х) = \\д\\оо :=зир{^(у);у е К2} для всех х.
Следовательно, если функция д неограничена, то д* = оо и
оптимального момента остановки не существует. Поэтому предположим,
что д ограничена. Область продолжения имеет вид
В = {х;д(х) < |Ы|оо}.
Таким образом, если дВ — полярное множество, т. е. сар(сШ) = 0,
где сар обозначает логарифмическую мощность (см. Рог!, 81опе
(1979)), то тв = оо (п. н.) и оптимальной остановки не существует.
С другой стороны, если с&р(дВ) > 0, то т < оо (п. н.) и
Ех[д(ВТо)] = \\д\\00 = д'(х),
следовательно, момент г* = то является оптимальным.
Пример 10.1.14. Для пространства Кп при п > 3 ситуация
меняется.
/
Лд{Х$)с1з
> д(х).

258 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
а) Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что Хг = В* есть
броуновское движение в К3, и введем функцию вознаграждения
КГ1 при |^| > 1,
1 при |^| < 1, $ е К3.
9(0=,, ,_з
Тогда д является супергармонической функцией (в
классическом смысле) в К3, поэтому д* — д всюду и наилучшей
стратегией является немедленная остановка, вне зависимости от того,
где находится начальная точка.
Ь) Заменим функцию д на
Г|*Г приИ>1,
У } \\ при \х\ < 1
для некоторого а > 1. Определим множество Н = {х;\х\ > 1}
и функцию
Цх)=Е*[к(ВТн)} = Рх[тн<°о}.
Тогда, пользуясь примером 7.4.2, получим
М*) - 1 ,_,_!
1, если \х\ < 1,
|ж|-1, если \х\ > 1,
т. е. к — д (функция д определена в п. а)), а д является
супергармонической мажорантой функции к. Поэтому на основании
следствия 10.1.10 мы заключаем, что
Н = В и т* = т# есть оптимальный момент остановки.
Функции вознаграждения, допускающие отрицательные
значения
Все результаты, касающиеся задачи (10.1.2)—(10.1.3), которые были
получены нами до настоящего момента, основаны на
предположениях (10.1.1). До некоторой степени эти предположения могут быть
ослаблены, хотя ни одно не может быть полностью исключено.
Например, мы отмечали, что утверждение теоремы 10.1.9 а)
остается справедливым, если предположить, что функция д > 0 только
полунепрерывна снизу.
Предположение относительно неотрицательности функции д
также можно ослабить. Прежде всего заметим, что если функция

10.2. Случай неоднородных процессов 259
д ограничена снизу, скажем д > —М, где М > 0 —константа, то
мы можем положить
дх = д + М > 0
и применить наши рассуждения к функции д\. Поскольку
Ех[д(Хт)] = Ех[д1(Хт)] - М, если г < оо (п. н.),
мы видим, что д*(х) — д{(х) — М. Таким образом, задачу
можно свести к задаче об оптимальной остановке для неотрицательной
функции д\. (См. упражнение 10.4.)
Если функция д не ограничена снизу, то задача (10.1.2)—(10.1.3)
не вполне определена, если не выполнено условие
Ех[д~(Хт)] < оо для всех г, (10.1.36)
где
д~(х) = -тт(^(ж),0).
Если предположить, что д удовлетворяет более сильному условию,
а именно
семейство {д~(Хт); г —момент остановки}
является равномерно интегрируемым, (10.1.37)
то по существу можно применить ту же теорию, что и для
неотрицательного случая. Более подробно об этом говорится в работе
Ширяев (1998). См. также теорему 10.4.1.
10.2. Случай неоднородных процессов
Теперь рассмотрим случай, когда функция вознаграждения д
зависит как от пространственной, так и от временной переменной, т. е.
д = д(1, х): К х Кп -> [0, оо), д непрерывна. (10.2.1)
Тогда задача состоит в том, чтобы найти такие до(х) и г*, для
которых
д0(х) =8ирЕ*[д(т,Хт)} = Е*[д(т* ,ХТ.)]. (10.2.2)
Г
Чтобы свести этот случай к исходной постановке (10.1.2)—(10.1.3),
поступим следующим образом.
Предположим, что диффузионный процесс Ито X* = Xх
описывается уравнением
(1ХЬ = Ь(Хь)сИ + о{Х1)йВи I > 0, Х0 = х,

260 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
где Ь: Кп —> Кп и о\ Кп —> К71*771—заданные функции,
удовлетворяющие условиям теоремы 5.2.1, а ^ — ш-мерное броуновское
движение. Определим диффузионный процесс Ито Уг — у^8,х> в
Кп+1 по формуле
У( = (8^)' *-0' (10'2'3)
Тогда
ЛГь = ШХ,)Г + [*{Хг))аВг = адЛ + 5(У4)йВ*, (Ю.2.4)
где
Ь(Ч) = Ь(^0= Ц)) €КЛ+1, 5(Ч) = 3(1,0 = ^»°) ЕК^1)-,
г] = (г,0 е к х кп.
Таким образом, У* является диффузионным процессом Ито с
начальным условием у = (з,х). Пусть Ку = К(8,х' означает закон
распределения вероятностей процесса {У*}, а Еу = Е^8,х^ —
математическое ожидание относительно Ку. В терминах процесса У4
задача (10.2.2) может быть записана для функции
#о
(*) = д*(09х) = 8ирЕ^[д(Ут)} = Е^[д(Ут*)}, (10.2.5)
являющейся частным случаем функции
дЦз,х) = вщ>Е<''%(Ут)] = &'^[д{Ут.)], (10.2.6)
Г
для которой задача представляет собой не что иное, как (10.1.2)-
(10.1.3), если заменить процесс Хь на У^.
Заметим, что характеристический оператор А процесса У4
задается формулой
Аф(з,х) = ?г(8,х) + Аф(з,х), феС2(Кх Кп), (10.2.7)
оз
где А — характеристический оператор процесса X* (действующий
по переменной х).
Пример 10.2.1. Пусть Хг = ^ — одномерное броуновское
движение, и пусть функция вознаграждения имеет вид

10.2. Случай неоднородных процессов 261
где а, (3 > 0 — константы. Характеристический оператор А процесса
уз,х _ ( 8+1 \ задается формулой
Таким образом,
Ад = (-а + \^ д.
Значит, если /З2 < 2а, то д* — д и наилучшей стратегией является
немедленная остановка. Если /З2 > 2а, то
V := {(5, ж); Ад(з, х) > 0} = К2.
Поэтому с учетом (10.1.35) получаем В = К2. Следовательно,
момента т* не существует. Если (З2 > 2а, то с помощью теоремы 10.1.7
можно доказать, что д* = оо:
8ир Е№[д(Уг)] = 8ир Е[е-а(в+*)+^Б'*]
*е5п 1езп
= 8ир[е-а(в+*)-е^+^2*]
(см. замечание после (5.1.6))
= 8иря(5,х)-е(-а+^2)*
1езп
= д(з,х)-ехр((-а + ^2п
Итак, дп(з,х) —> оо при п —> оо.
Следовательно, в этом случае не существует оптимальной
остановки.
Пример 10.2.2 (когда своевременно продавать акции).
Возвратимся теперь к уточненному варианту задачи 5 из введения.
Предположим, что цена Хь личных активов (например, дом,
акции, нефть и т. п.) в момент времени I изменяется в соответствии
со стохастическим дифференциальным уравнением вида
ахг = гХЬ(И + ахгави х0 = х>о,
где Вь — одномерное броуновское движение, а г, а — известные
константы. (Задача оценивания а и г по серии наблюдений может быть
сведена к задаче использования квадратичной вариации (Х,Х)1
процесса {Хг} (см. упражнение 4.7) и к теории фильтрации (см.

262 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
пример 6.2.11) соответственно.) Предположим, что существуют
установленная плата/налог или стоимость сделки а > 0, связанные
с продажей активов. Тогда если лицо принимает решение о продаже
в момент времени ^, то с учетом дисконта чистый доход от продажи
составит
е-р1(Хь-а),
где р > 0 — фактор дисконтирования. Задача состоит в поиске
момента остановки т, при котором достигает максимума функция
Е^[е-?т(Хт - а)) = Е^[д(т,Хт)},
где
Характеристический оператор А процесса У* = (5 + I, Х^ задается
формулой
Отсюда Лд(з,х) = -ре~р8(х — а) + гхе~рз = е~р8((г — р)х + ра).
Таким образом,
ч -г , ч ^ |КхК+, если г > р,
[/:={(з,х)]Лд(з,х > 0} = { г/ + ' ар л ~"
\{(5,х);х< ^}, если г < р.
Итак, если г > р, то С/ = I) = К х К+, поэтому момент г* не
существует. Если г > р, то #* = оо, а если г = р, то
д*(з,х) = хе~рз.
(Доказательства этих утверждений оставлены в качестве
упражнения 10.5.)
Остается исследовать случай г < р. (Если рассматривать р как
совокупность процентной ставки, инфляции, налога и т. д., то это
предположение является весьма разумным в приложениях.)
Сначала мы докажем, что область В должна быть инвариантна
относительно времени I в том смысле, что
В + (*о, 0) = В для всех *0. (10.2.8)
Чтобы доказать (10.2.8), рассмотрим соотношения
О + Оь 0) = {(* + *о, х)\ (*, х) еВ} = {($, ж); (з - *0, х) € В}
= {($,ж);0($-*о,я) < д*(з-10,х)}
= {(з,х);ер1°д(з,х) < ер1°д*(з,х)}
= {{з,х);д(з,х) < д*(з,х)} = В,

10.2. Случай неоднородных процессов 263
при получении которых мы использовали то обстоятельство, что
9*(8 -10,х) = 8прЕ^-1^[е-рт(Хт - а)}
т
= 8ирЕ[е-'<т+(8-4о))(Х? - о)]
Г
= ер1° 8ирЕ[е-р{т+з)(Х* - о)] = ер1°д*{з,х).
Т
Из этих соотношений следует, что связная компонента области I),
которая содержит [/, должна иметь вид
1)(ж0) — {(^, ж); 0 < х < хо} для некоторого хо > -^.
Заметим, что Б не может иметь каких-либо других компонент.
Действительно, если предположить, что V — компонента области /}, не
имеющая общих элементов с С/, то Ад < 0 в области V и, таким
образом, если у Е V, то
ЕУ[д(Ут)} = д(у) + ЕУ
Т
IЛд(Уг)сИ
<д{у)
о
для всех моментов выхода т, не превосходящих момента выхода
из ограниченной по х полосы в области V. Отсюда в силу
теоремы 10.1.9 с) можно заключить, что д*(у) = д(у), а это означает,
что V = 0.
Положим т(жо) = тО(х0) и вычислим
д(з,х) =дХо(з,х) = Е^[д(Ут{хо))}. (10.2.9)
Из главы 9 известно, что функция / = д является (ограниченным)
решением краевой задачи
а/ д/ 1 2 2а2/ п п 1
_+га_ + _ая__ = 0 приСХжяо, (10210)
/($,ж0) = е~рз(х0 -а). ]
(Заметим, что К х {0} не содержит регулярных граничных точек
из В относительно Уг = (з + 1,Хь).)
Если рассмотреть в качестве решения задачи (10.2.10) функцию
/(з,х) = е-г*ф(х),
то мы получим следующую одномерную задачу:
-рф + гхф'(х) + -а2х2ф"(х) =0 при 0 < х < ж0, .
</>(ж0) = жо — а.

264 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Общее решение ф задачи (10.2.11) определяется формулой
ф{х) = Схх^ +С2х72,
где С\, С2 — произвольные постоянные и
Ъ
= а~2[-а2-г±Мг--аА + 2ра2] (» = 1,2), 72 < 0 < 7ь
Так как решение ф(х) ограничено при х —> 0, должно выполняться
равенство С2 = 0, а граничное условие ф(хо) = хо — а позволяет нам
заключить, что С\ — х^11 (жо — а). Отсюда можно сделать вывод,
что ограниченное решение / задачи (10.2.10) имеет вид
9Хо{з,х) = /{з,х) = е-р8(хо-а)(^^\ . (10.2.12)
Если мы зафиксируем (5, ж), тогда, как легко видеть, значение жо,
которое максимизирует дХо(з,х), будет задаваться формулой
ОТ]
%о = жтах = (10.2.13)
71-1
(заметьте, что 71 > 1 тогда и только тогда, когда г < р).
Докажите, что полученную функцию дХт^ ($, х) можно выбрать
в качестве д*(з,х) — зир Е^8,х>)[е~рт(Хт — а)]. Чтобы убедиться в
г
справедливости равенства дХтлх — д*•> достаточно доказать, что
9хты является суперсреднезначной мажорантой функции д (см.
следствие 10.1.10). Такое доказательство можно провести, но мы не
даем здесь подробностей, поскольку эта задача может быть
решена значительно проще с использованием теоремы 10.4.1 (см.
пример 10.4.2).
Отсюда можно сделать вывод, что следует продавать свои
активы в тот момент, когда их цена впервые достигает значения
хтах = г^гр Ожидаемая дисконтированная прибыль, полученная
за счет этой стратегии, составит
9* (в,х) = дХтлж (з,х) = е-»' {^-) (^ -
Замечание. Читателю предлагается проверить, что значение
стоимости хо = жтах есть единственное значение хо, при котором
функция
х —> 7}Хо(з,х) (заданная по формуле (10.2.9))

10.3. Задача об оптимальной остановке, включающая интеграл 265
непрерывно дифференцируема по ж в точке х$. В действительности
возможно несовпадение левого и правого предела в этой точке. Это
общее явление отражено в принципе тесного касания (или гладкого
склеивания). См. работы 8атие18оп (1965), МсКеап (1965), ВаШег
(1970) и Ширяев (1998), т. 1. Этот принцип является основанием для
фундаментальной связи между задачей об оптимальной остановке
и вариационными неравенствами. Позже в этой главе мы обсудим
некоторые аспекты этой взаимосвязи. Подробнее об этом написано
в работах Вепзоиззап и Ыопз (1978), а также Епеётап (1976). См.
Вгекке и ОкзепсЫ (1991).
10.3. Задача об оптимальной остановке,
включающая интеграл
Пусть
йУь = ЫУЬ)(И + а{Уь)ЛВи У0 - 1/, (10.3.1)
есть уравнение диффузионного процесса Ито в Кк. Предположим,
что функция д: Кк —> [0,оо) непрерывна, и пусть /: К* -» [0,оо) —
непрерывная по Липшицу функция с не более чем линейным
ростом. (Это условие может быть ослаблено. См. условие (10.1.37)
и теорему 10.4.1.) Рассмотрим задачу об оптимальной остановке:
найти такие С*(у) и т*, что
г
0*(у)=8щ>ЕУу №)<И + д(УТ)
О
г*
= Е* У 1(^)61 +д(Ут.)
(10.3.2)
Эту задачу можно свести к нашей исходной задаче (10.1.2)—(10.1.3)
с помощью следующей операции. Определим диффузионный
процесс Ито 2ц в пространстве Кк х К = К*"1"1 уравнением
(10.3.3)
20 = 2 = (у, 1у).
Мы видим, что
С* (У) = ырЕ^[Шт +д(Ут)) = зирФ>°\С(2т)), (10.3.4)

266 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
причем
С(2) := С(у, и)) := д(у) + ю, г = (у, ы) е Кк х К. (10.3.5)
Это есть не что иное, как задача вида (10.1.2)—(10.1.3), в которой
процесс Хь заменен на ^ и р - на С. Заметим, что связь между
характеристическим оператором Лу процесса Уг и
характеристическим оператором Лг процесса ^ выражается формулой
ЛгФ(г) = А2ф{у,™)
= АУф(у,ю) + ;(у)^ фес2(кк+1). (10'3'б)
В частности, если С(у,ю) = д(у) + уо Е С2(К*+1), то
Л2С(у, и)) = Луд(у) + /(у). (10.3.7)
Пример 10.3.1. Рассмотрим задачу об оптимальной остановке
г
7(ж) = вир Ех I [ ве~р1Хг(И + е~ртХт
о
где
ЙХ4 = аХьсИ + рХъЛВи Х0 = х > 0,
есть геометрическое броуновское движение (а, /?, в — константы,
в > 0). Положим
<^ = (<&) = (ах) * + (рх) ***> Уо = <*' *>'
й2г =
Тогда при
\ш) = ( ?Х* )Л+ (^ч^*' ^°= («.^«О-
/(у) = /(5, х) = 6е-»*х, д(у) = е-»*х
С(з, х, ги) = д(з, х) +ги = е~р$х + и>
имеем
, _ ее ас 1. 2д2с а _.$ да . л. в$
Л2С = -з- + ах— + -@2х2 —5- + ве р$х— = (-р + а + 0)е р*х.
дз ах 2 ох* дь)

10.4. Связь с вариационными неравенствами 267
Следовательно,
V = {($,ж,и>); Л^С(5,ж,г^) > 0} —
К3, если р < а + #,
5, если р > а + 0.
Отсюда делаем следующий вывод (см. упражнение 10.6}:
если р > а + #, то т* = 0
и С*($,ж,ги) = С(з,х,ь)) = е~^ж + ги; (10.3.8)
если а < р < а + #, то т* не существует
иС*(з,х,ь)) = е~р8+щ (10.3.9)
р — а
если р < а, то г* не существует и С* = оо. (10.3.10)
10.4. Связь с вариационными неравенствами
Принцип тесного касания {гладкого склеивания) в общих чертах
гласит, что если д Е С2(КП), то при известных условиях решение д*
задачи (10.1.2)—(10.1.3) является функцией класса С1, заданной в
Кп. Это обстоятельство может помочь при определении д*.
Принцип тесного касания настолько полезен, что он часто используется
в литературе и в таких случаях, где его справедливость не
достаточно строго обоснована.
К счастью, оказывается, легко доказать достаточное условие
типа тесного касания (гладкого склеивания), т. е. своего рода
теорему проверки для оптимальной остановки. Эта теорема
позволяет легко проверить, является ли функция, найденная на
основе предположения или интуиции, оптимальным значением д*. Мы
приведем упрощенный вариант результата, представленного в
работе Вгекке и 0кзеп(1а1 (1991).
Зафиксируем область V в К^ и допустим, что уравнение
вУь = Ь(Уг)сИ + а{Уг)ЛВи Уо - 2/, (Ю.4.1)
описывает диффузионный процесс Ито в К*\ Определим
Т = Т(у,и) = Ы{1 > 0; Уь(и) $ V}. (10.4.2)
Пусть /: К* —> К, д: Кк —> К — непрерывные функции,
удовлетворяющие условиям
т
(а) ЕУ[[\/(Уг)\М] < оо при всех у е В*; (10.4.3)

268 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
(Ь) семейство {д~(Ут)]т — момент остановки, г < Т}
является равномерно интегрируемым относительно
Ку (закона распределения вероятностей процесса У*)
при всех у е К*\ (10.4.4)
Рассмотрим следующую задачу. Найти такие Ф(у) иг* < Т, для
которых
Ф(у) = зпрГ(у) = Г* (у), (10.4.5)
т<Т
где
Г{у) = ЕУ
I /(Гг)аг + д(Ут
при г < Т.
Заметим, что, так как ^(у) = д(у),
Ф(у) > д(у) ПРИ всех 2/ € V. (10.4.6)
Теперь мы можем сформулировать вариационные неравенства. Как
обычно, предположим, что
Ь = Ьу = 5>(у)я- + 1^2 (оот)ц
(у)-
.=1 % 2 .^ %%
— дифференциальный оператор в частных производных, который
совпадает с производящим оператором Ау процесса У* в
пространстве С02(К*).
Теорема 10.4.1 (вариационные неравенства для оптимальной
остановки). Пусть существует функция ф: V —> К, такая, что
0) ф е С1(У)ПС<У);
(") Ф > 9 в области V и ф = д на границе дУ.
Определим
0 = {хеУ;ф(х)>9(х)}.
Предположим, что время пребывания процесса У^ на границе
дВ равно 0 (п. п.), т. е.
что
(ш) Е*\1 Хдв{Уь)А1] = 0 при всех у € V, и
о
(IV) дВ есть поверхность Липшица, т. е. дВ локально является
геометрическим местом точек вида (х,Н(х)) для некоторой
функции Н: Кк~х —> К, для которой существует такая
константа К < оо; что справедливо неравенство
\Н(х) — Н(у)\ < К\х — у\ при всех ж, у.

10.4. Связь с вариационными неравенствами 269
Кроме того, пусть выполняются следующие условия:
(у) ф Е С2 {V \ дИ), и производные второго порядка функции ф
локально ограничены в окрестности границы <9Д;
(VI) Ьф + /<0вУ\1);
(уп) Ьф + / = 0 в Д;
(VIII) то := т${1 > 0; У* ф И} < оо (Ку-п. н.) при всех у Е V;
(1х) семейство {ф(УТ)]т < то} равномерно интегрируемо
относительно Ку при всех у Е V.
Тогда
Ф(у) = *Ы = зир Еу
т
I №)м + 9(Ут)
уеУ,
т =т0
есть оптимальный момент остановки для этой задачи.
(10.4.7)
(10.4.8)
Доказательство. В соответствии с (1), (гу) и (у) мы можем найти
последовательность функций ф^ Е С2(У)Г\С(У), ^ = 1,2,..., таких,
что
(а) ф^ —> ф равномерно на компактных подмножествах
множества V при з —> оо,
(Ь) Ьф] —> Ьф равномерно на компактных подмножествах
множества V \ дВ при ^ —» оо,
(с) последовательность {Ьф^<^=1 является локально
ограниченной в области V.
(См. приложение Б.)
Для К > 0 определим Тц — тт(Л,тГ {I > 0; \Уь\ > К}) и
предположим, что т <Т есть момент остановки. Пусть у Е V. Тогда по
формуле Дынкина
гЛТя
Еу[ФЛУтлтя)} = ФМ +ЕУу I Ьф№)<Н\. (10.4.9)
о
Следовательно, в силу (а), (Ь), (с), (111) и леммы Фату
гЛТк
ф(у)=1шЕА [ -Ьф№)4Ь + ф1(УгЛтя)
0-юо I }
0 ГЛТ„
I -Ьф{У1)й1 + ф{УтАТк)
(10.4.10)

270 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Поэтому на основании (и), (ш), (у1) и (уп) заключаем, что
гЛТя
Ф(у)>Еу\
о
Отсюда, пользуясь леммой Фату и (10.4.3), (10.4.4), получаем
гЛТя
Т/\1Я
I /(У«)Л + Р(Плг„)
Ф(у) > Цщ Еу
К—юо
I /(Уг)<11 + 9(УтлтЛ)] >ЕуЧ ЛУь)М + 9(Ут
Так как т <Т произвольно,
Ф(у) > ф(у) при всех у € У-
(10.4.11)
Если у ^ Д, то ф(у) = д(у) < Ф(у). Таким образом, в силу (10.4.11)
имеем
ф(у) = Ф(у) и момент г = т(у,ш) := 0
является оптимальным при у ^ В. (10.4.12)
Затем предположим, что у е В. Пусть {Д*:}^—такая
возрастающая последовательность открытых множеств Д&, что В к С Д,
со
где Вк — компакт и Д = У Д*.. Определим г^ = тГ{^>0; У^Д^},
к=1
к = 1,2,... По формуле Дынкина для у Е В к имеем
ф(у) = Нт ф^у)= .Цщ ЕУ
ткЛТн
I -Ьф:(У1)Л + фл(УГкЛТа)
= Еу
= Еу
гьЛТк
[/"
О
. ткЛТК
Ьф(У1)сИ + ф{УТкАТя)
I /(У1)сИ + ф(УГкЛТн)
Таким образом, воспользовавшись равномерной интегрируемостью
и условиями (и), (уП), (уш), получим
ф(у) = Шп Еу
ткЛТя
= Еу
I /(Уь)сИ + ф(УТкАТн)\
= Г°(у)<Ф(у). (10.4.13)
о

10.4. Связь с вариационными неравенствами 271
Объединяя (10.4.11) и (10.4.13), получаем
Ф{у)>Чу)>^Чу) = Ф{у)-
Итак,
ф(у) = Ф(з/), и момент т(у,со) := т#
является оптимальным при у Е Д. (10.4.14)
Из (10.4.12) и (10.4.14) следует, что
ф(у) = Ф(з/) при всех 2/ € V.
Кроме того, момент остановки г, определенный равенством
/О при у $ Д
[т# при^/ЕД,
является оптимальным. Пользуясь теоремой 10.1.12, заключаем,
что момент то также является оптимальным. □
Пример 10.4.2. Чтобы проиллюстрировать теорему 10.4.1,
применим ее к примеру 10.2.2, который рассмотрим повторно.
Вместо того чтобы доказывать (10.2.8) и последующие свойства
области Д просто допустим, что В имеет вид
В — {(5, ж); 0 < х < хо}
для некоторого хо > 0, что интуитивно является приемлемым. При
этом допущении решим задачу (10.2.11) для произвольного Хо и
получим следующую функцию </>, претендующую на роль
оптимальной:
\ 71
X Х
I е р8(х0 - а) [ — при 0 < х < х0,
ф(з,х) = < \х0;
(е~р8(х - а) при х > х0.
Требование ф Е С1 (теорема 10.4.1 (1)) позволяет заключить, что
значение Хо определяется в соответствии с формулой (10.2.13).
Ясно, что ф Е С2 вне дИ и по построению Ьф = 0 в области Д. Кроме
того, условия (ш), (гу), (уш) и (1х), очевидно, выполнены."Остается
проверить, что
(и) ф(з,х) > д(з,х) при 0 < х < жо, т. е. ф(з,х) > е~р8(х — а) при
0<ж<жо,
(у) Ьф(з,х) < 0 при х > ж0, т. е. Ьд(з,х) < 0 при х > ж0.
Это легко сделать непосредственным вычислением
(предположив, что г < р).
Итак, мы заключаем, что ф = д* и момент т* = т& является
оптимальным (со значением жо, определяемым формулой (10.2.13)).

272 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Упражнения
10.1. В каждой из приведенных ниже задач об оптимальной
остановке найдите точную верхнюю грань д* и, если она
существует, оптимальный момент остановки т* (здесь В1 означает
одномерное броуновское движение):
а) д*(х) = 8Щ>Е'[В*],
Ъ) д*{х) = зирЯ*[|Вг|*],
Г
где р > О,
с) д*(х) = 8ирЕх[е~вг],
А) д*(з,х) = 8ир^в'я)[е-^в+г)сЬВг],
г
где р > 0 и спх = |(ех + е~~х).
10.2. а) Докажите, что единственными неотрицательными
(^)-супергармоническими функциями в К2 являются
константы.
(Указание. Предположите, что и — неотрицательная
супергармоническая функция и что существуют такие
ж,у Е К2, при которых
и(х) < и(у).
Рассмотрите
Ех[и(Вт)],
где г — момент первого попадания процесса Вг в малый
круг с центром у.)
Ь) Докажите, что единственными неотрицательными
супергармоническими функциями в К являются константы, и
с помощью этого результата найдите д*(х), если
, . I хе~х при х > О,
а(х) = <
^ ; [0 при х < 0.
с) Пусть 7 6 К, п > 3 и для х Е Кп определена функция
|ж|7 при \х\ > 1,
ш =
1 при \х\ < 1.
При каких значениях 7 функция /7(-) является
(В^)-гармонической для \х\ > 1? Докажите, что /7
является супергармонической в Кп тогда и только тогда, когда
7 € [2-п,0].

Упражнения 273
10.3. Найдите такие #*,т*, при которых
д*(з,х) = зирЕ^х\е-р^т^В2т} = Е^е'^'+^В^],
т
где Вг — одномерное броуновское движение, р > 0 —
константа.
(Указание. Сначала предположите, что область
продолжения имеет вид
В — {($, ж); -ж0 < х < хо}
для некоторого Жо, а затем попытайтесь определить жо-
После этого примените теорему 10.4.1.)
10.4. Пусть Хг — диффузионный процесс Ито в Кп и
д: Кп —> К+ — непрерывная функция вознаграждения.
Определим
д°(х) = зщ>{Ех[д(Хт)];т — момент остановки,Ех[т] < оо}.
Покажите, что д° = д*.
(Указание. Если г — момент остановки, задайте т^ = тЛк
при к = 1,2,... и рассмотрите
Е*[д(Хт) ■ Хт<00) < Ех\ Цщ д(ХгМ)
к—>оо
10.5. Определив #,г, р, как это было сделано в примере 10.2.2,
докажите, что
а) если г > р, то д* = оо,
Ь) если г — р, то д*{з,х) — хе~рз.
10.6. Докажите утверждения (10.3.8), (10.3.9), (10.3.10) из
примера 10.3.1.
10.7. В дополнение к упражнению 10.4 стоит заметить, что если
функция д не ограничена снизу, то задачи
д*{х) — зитр{Ех[д(Хт)];т — момент остановки}
и
д°{х) = зитр{Ех[д(Хт)];т — момент остановки,Ех[т] < оо}
не обязательно должны иметь совпадающие решения.
Например, докажите, что если д{х) = ж, X* = ^ Е К, то
д*(х) = оо при всех ж Е К,

274 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
тогда как
д°(х) = х при всех х Е К.
(См. упражнение 7.4.)
10.8. Приведите пример функции д, неограниченной снизу, для
которой теорема 10.1.9 а) не верна.
(Указание. См. упражнение 10.7.)
10.9. Решите задачу оптимальной остановки
7 (я) = зирЕ*
г
(е-ргВ*<И + е-ртВ2т
о
10.10. Докажите следующее простое, но полезное утверждение,
которое можно трактовать как расширение утверждения
(10.1.35).
Пусть \У = {(*,*); Зт; д(з,х) < Е^[д(з + т,Хт)]}.
Тогда Ш С Д.
10.11. Рассмотрим задачу об оптимальной остановке
д*(з,х) = зирЕ(*'а%-'?(5+г)В+],
г
где Вь Е К и ж+ = тах{ж,0}.
а) Используя такие же рассуждения, как при
доказательстве формулы (10.2.8), и упражнение 10.10, докажите, что
область продолжения В имеет вид
В = {($, ж); х < х0}
при некотором хо > 0.
Ь) Определите хо и найдите д*.
с) Проверьте принцип тесного касания {гладкого
склеивания):
дд* дд
— = —, если (5,х) = ($,ж0),
где д(1,х) = е~р1х+.
10.12. Впервые принцип тесного касания (гладкого склеивания),
по-видимому, был сформулирован в статье Самуэльсона
(8апше1зоп (1965)), который изучал оптимальное время для
продажи имущества при условии, что полученное
вознаграждение от продажи в момент времени I при цене ^ задается
формулой

Упражнения 275
Мы предполагаем, что ценовой процесс Хь является
геометрическим броуновским движением и задается уравнением
АХЬ = гХг(Н + аХгАВь, Х0 = ж > О,
где г < р.
Другими словами, задача состоит в том, чтобы найти
такие #*,т*, для которых
д*{з,х) = 5ир^5'^[е-^5+г)(Хг - 1)+]
г
= Е(8'х)[е-р(3+т*Цхт. -1)+].
а) Используя такие же рассуждения, как при
доказательстве формулы (10.2.8), и упражнение 10.10, докажите, что
область продолжения Д имеет вид
В — {($,ж);0 < х < х0}
при некотором ж0 > т^:-
Ь) При заданном хо > -^ найдите решение краевой задачи
Г ^+гхЁ + 12а2х2Ш=° ПРИ 0<ж<жо,
/(*,0) = 0,
/(5,хо) = е-^(х0-1)+;
попробуйте в качестве решения рассмотреть функцию
/(*,*) = е-»ф(х).
с) Определите жо, пользуясь принципом тесного касания
(гладкого склеивания), т. е. уравнением
01 Эд
— = — при х = ж0.
аж аж
(1) Определим /, жо, как это делалось в пп. Ь), с), и положим
{/($, ж), ж<ж0,
7 5,ж = ^ _
1 е р5(ж - 1)+, ж > ж0.
С помощью теоремы 10.4.1 проверьте, что 7 = 9* и что
момент г* = т# является оптимальным.
10.13. (Задача добычи природных ресурсов.) Предположим, что
цена Рг некоторой единицы ресурсов (таких, например, как
газ, нефть) меняется со временем I подобно геометрическому
броуновскому движению, т. е. определяется уравнением
АРЬ = аРьЛЬ + рРьАВи Р0 = р,

276 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
где ^ — одномерное броуновское движение, а,/?
—константы.
Пусть <3г обозначает количество остающихся ресурсов
в момент времени I. Допустим, что норма добычи ресурсов
пропорциональна количеству остающихся ресурсов, т. е.
где Л > 0 —константа.
Если текущая ставка накладных расходов составляет
К > 0 и мы останавливаем добычу в момент времени г =
г (о;), то ожидаемая общая дисконтированная прибыль
определяется равенством
7г(5,р,д)
т
где р > 0—дисконтный показатель и #(р, д) — заданная
функция унаследованных средств, определяющая стоимость
остающихся ресурсов д при цене р.
а) Запишите характеристический оператор Л
диффузионного процесса, определенного уравнением
0X1= [т \, Х0 = (з,р,д),
и выразите в виде формулы вариационные неравенства из
теоремы 10.4.1, соответствующие задаче об оптимальной
остановке
0*(з,Р,я) = зир 7г(з,р,д) = «7т*(*,р,д).
г
Ь) Предположив, что #(р, д) = рд, найдите область С/,
соответствующую (10.1.34), (10.3.7), т. е.
V = {(в,р,(/)М(е-^(р,(7)) + /(*,р,д) > 0},
где
Покажите, что
(1) если р > а, то т* = 0 и С?*(5,р, д) = рде~рз,
(и) если р < а, то Д I) {($,р,д);р<? > ^}.

Упражнения 277
с) Рассмотрите в качестве С* при р < а функцию вида
[е р8ф№), ря > г/о,
для некоторой функции ф: К —> К и для некоторого 1/о-
С помощью теоремы 10.4.1 определите ф,уо и докажите,
что при таком выборе ф,уо мы получим ф = (3* и т* =
шГ{/; > 0; Рг<2* < уо}, если р < а < р + Л.
(1) Что произойдет, если р + Л < а?
10.14. (Нахождение оптимального времени инвестирования
(I).) Решите задачу об оптимальной остановке
г |_./т
где
т = аРьЛ1 + рРьйВи Р0 = р,
Вь — одномерное броуновское движение а, /?, р, С —
константы, 0<а<риС>0. (Мы можем интерпретировать эту
задачу как задачу нахождения оптимального момента времени
г для инвестирования в проект. Норма прибыли после
инвестирования составляет Р*, а издержки инвестирования — С.
Таким образом, С* определяет максимальную ожидаемую
дисконтированную чистую прибыль.)
со
(Указание. Запишите равенство / е~~р(5+^Р^ =
г
со г со
е~р811 е~р1Рь(И -/ е-р1РЬ(И]. Вычислите Е[$е~р1РЬ(И], поль-
0 0 0
зуясь формулой решения для процесса Р* (см. гл. 5), и затем
примените теорему 10.4.1 к задаче
Ф($,р)=зирЕ(5'р)
т
/
е-р(*+*)р^_Се-р(*+т)
I
0
•)
10.15. Пусть ^—одномерное броуновское движение, и пусть
р > 0 — константа.
а) Покажите, что семейство
{е~ртВт; г —момент остановки}
равномерно интегрируемо относительно Рх.

278 Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке
Ь) Найдите решение задачи об оптимальной остановке
д* (*, х) = зир Е^ [е~^8+^ (Вт - а)},
г
где а > 0 — константа. Эту задачу можно рассматривать
как разновидность примеров 10.2.2-10.4.2 с ценовым
процессом Вг.
10.16. (Нахождение оптимального времени инвестирования
(II).) Решите задачу об оптимальной остановке
С*($,р)=зирЕ^
оо
где
йРь — 1Л(Ц + айВи Р0 = Р,
^, а — ненулевые константы. (Сравните с
упражнением 10.14.)

Глава 11
Приложение к задаче
стохастического управления
11.1. Постановка задачи
Предположим, что состояние системы в момент времени I
описывается стохастическим процессом Ито Хг, который задается
уравнением
ЛХЬ = ЛХ? = Ъ(1,Хищ)(И + о(1,Хищ)(1Ви (11.1.1)
где Хь Е Кп, Ь: К х Кп х V -> Кп, а\ К х Кп х V -> Кпхт и
Вг — га-мерное броуновское движение. Здесь щ Е V С К* —
параметр, выбирая значение которого из заданного борелевского
множества II в любой момент времени I мы можем управлять
процессом XI. Таким образом, щ — и(1, и) — стохастический процесс.
Поскольку наше решение в момент времени I должно основываться
на том, что произошло до момента I, функция и —> и(1,и) должна
быть (по крайней мере) измерима относительно Т\ , т. е. процесс
щ должен быть Т^ -согласованным. Таким образом, правая часть
уравнения (11.1.1) корректно определена как стохастический
интеграл при соответствующих предположениях относительно функций
Ь и а. В данный момент мы не будем уточнять условия, которые
должны быть выполнены для функций Ь и сг, а просто
предположим, что процесс Хг, удовлетворяющий уравнению (11.1.1),
существует. Дальнейшие комментарии см. в конце этой главы.
Пусть {^'ж}/1>5 — решение уравнения (11.1.1), такое, чтоХ|'ж =
ж, т. е.
н н
Х^х =х+ [ь(г,Х8г'х,иг)(1г+ Iо(г,Х8г'х,иг)(1Вг, к>8,
8 8
и пусть ф5'* —закон распределения вероятностей для Хг с
начальным условием х при I — $, т. е.
д''*[х41е^,...,^^ (п.1.2)
где 5 < и, Рг С Кп, 1 < г < к, к = 1, 2,...
Пусть Г: К х Кп х II —» К (функция «нормы полезности») и
К\ К х Кп —> К (функция «наследства»)— заданные непрерывные

280 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
функции, С —заданная область в К х Кп, а Т — момент первого
после 5 выхода процесса {Х^х}г>8 из С, т. е.
Т = Т8>х(со) = М{г > з\ (г,Хг5'жН) $ С} < оо.
Предположим, что
(11.1.3)
Е8,Х
1
1\Р^(г,Хг)\с1г + \К(Т,Х?Щт<оо}
< ОО
для всех 5, ж, и, (11.1.4)
где Ри(г,г) = Р(г,г,и), и определим функцию качества 7п(5,ж)
равенством
Г(з,х) -Е5'ж
1
I'р"*(г,Хг)0г + К(Т,ХТЩ?<оо}
(11.1.5)
Введем более простое обозначение
Уь = (з + 1,Х1'*г) для * > 0, У0 = (з,х)
и.заметим, что при подстановке этого выражения в (11.1.1) мы
получим уравнение
ЛУЬ = (1Уьи = Ъ[Уищ)(Ил-а{Уищ)(1Ви (11.1.6)
(Отметим, что функции и, Ь и а в уравнении (11.1.6) незначительно
отличаются от и,Ь и сг из (11.1.1).) Закон распределения
вероятностей для У* с начальным условием у — (5, ж) при I = 0 (немного
злоупотребив системой обозначений) также обозначим (55,а: = (}у'.
Заметим, что
т т-« т
/* ^ (г, хг)с*г = /* ^и-+' (5 + *, х8+1)<и = [ ри°+<
(У*)<й,
где
Кроме того,
Г := тф > 0; Уь $ С) = Т - з.
(11.1.7)
К{Т,Х?) = К(У?_а) = К(Ут).
Поэтому функция качества может быть записана в терминах У при
у = {з,х) следующим образом:
Г {у) = ЕУ
1
1г«'(Уг)сН + К(ГтЩт<оо}
(11.1.8)

11.1. Постановка задачи 281
(Короче говоря, щ в данной ситуации представляет собой сдвиг по
времени управления из (11.1.6).)
Задача состоит в том, чтобы для каждого у Е С найти такое
число Ф(у) и управление и* = и*(1,и) = и*(у, 2, и;), что
Цу) := вир Г(у) = Л (у), (11.1.9)
где точная верхняя грань берется по всем Т^1 -согласованным
процессам {щ} со значениями в V. Такое управление г**, если оно
существует, называется оптимальным управлением, а Ф —
оптимальной функцией качества или ценой. Приведем примеры возможных
функций управления.
1. Функции вида и(Ь,ш) = и(1), т. е. не зависящие от и. Эти
управления иногда называют детерминированными или
программными управлениями, а также управлениями по разомкнутому
циклу.
2. .М г согласованные процессы {щ}, т. е. такие процессы, что для
каждого I функция и —> и(1,оо) является Л^-измеримой, где
Мг — сг-алгебра, порожденная семейством {Х^;г < I}. Эти
управления называются синтезом, управлениями по
замкнутому циклу или управлениями, построенными по принципу
обратной связи.
3. Регулятор с неполной информацией о состоянии системы.
Говоря более строго, при использовании устройства управления
принимаются во внимание только наблюдения (с помехами) Д4
состояния Х^ заданные процессом Ито, который определяется
уравнением вида
дЛь = а(1, ХЬ)(И + 7(*, Хь)дВи
где В есть броуновское движение (не обязательно имеющее
отношение к В). Следовательно, процесс управления {г^}
должен быть Л/*-согласован, где Мг — сг-алгебра, порожденная
семейством {К8\8 < I}. В этой ситуации задача стохастического
управления связана с задачей фильтрации (гл. 6). Если
уравнение (11.1.1) линейно и функция качества —квадратичный
функционал (т. е. Р и К являются квадратичными функциями), то
задача стохастического управления распадается на задачу
линейной фильтрации и соответствующую задачу
детерминированного управления. Это свойство называется принципом
разделения. См. пример 11.2.4.

282 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
4. Функции и(1,ш), имеющие вид и(1,ш) = ио(1,Х1(ш)) для
некоторой функции г^о: Кп+1 -> Л С К*. В этом случае мы
предполагаем, что и не зависит от начального значения у = ($, х).
Значение, которое мы выбираем в момент времени ^, зависит
только от состояния системы в этот момент. Эти управления
названы марковскими управлениями, потому что если функция
и имеет такой вид, то соответствующий процесс Хь становится
диффузионным процессом Ито, в частности марковским
процессом. В дальнейшем мы не будем делать различия между и и
г^о, т. е. будем отождествлять функцию и: Кп+1 —> II с
марковским управлением и(У) — и^^Хг) и называть такие функции
марковскими управлениями.
11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана
Рассмотрим вначале только марковские управления
и = и(1,Хг(и)).
Если ввести процесс У4 = ($ + 1,Х8+г) (как объяснялось ранее), то
уравнение системы принимает вид
йУ1^Ь{Уии{У1))(ИЛ-а{Уии{У1))(1В1. (11.2.1)
Для г?еС/и/еСо(Кх Кп) определим
(Ь«П(У) = %(У) + ±ЬМ§1.+ ±а,М^- (11.2.2)
где а,ц — \(о~от)^, у = (з,х) и х — (#1,... ,жп). Тогда при
любом марковском управлении и решение У4 = Уьи является
диффузионным процессом Ито с производящим оператором А, заданным
равенством
{А/)(у) = (Ьи{у)Л(у) Для / Е С02(К х Кп) (см. теорему 7.3.3).
Для V Е Л определим Рг){у) = Р(у,у). Первым фундаментальным
результатом в теории стохастического управления является
следующая теорема.
Теорема 11.2.1 (уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана (ШВ)
(I)). Определим
Ф(у) = зир{7и(|/), где и = и(У) — марковское управление].

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 283
Пусть Ф Е С2 (С) П С (С) удовлетворяет условию
Еу
а
|Ф(У«)| + ||Ь"Ф(У()|Л
< 00
для всех ограниченных моментов остановки а < Т', всех у & С
и всех V € II. Кроме того, предположим, что Т < оо (С2у-п. н.)
для всех у & С и что оптимальное марковское управление и*
существует. Пусть дС —регулярная граница для Уьи (см.
определение 9.2.8). Тогда
$ир{Ру(у) + (ЬуФ)(у)} = 0 для всех уеС (11.2.3)
Ф(у) = К(у) для всех у е дС.
(11.2.4)
Точная верхняя грань в (11.2.3) достигается если у = и*(у), где
и*(у) —оптимальное управление. Другими словами,
Р(у,и*(у)) + {Ьи*{у)Ф){у) = 0 для всех у е С. (11.2.5)
Доказательство. Последние два утверждения легко доказать.
Поскольку управление г** = и* (у) оптимально, мы имеем
Цу) = Г'(у) = ЕУ
1
(У3))а1з + К(УТ)
Если у Е дС, то Т — 0 (<2у-п. н.), так как граница дС
регулярна. Отсюда следует равенство (11.2.4). В соответствии с решением
задачи Дирихле—Пуассона (теорема 9.3.3)
(Ьи*^Ф)(у) = -Р{у,и*(у)) для всех уеС,
а это и есть условие (11.2.5). Приступим к доказательству
равенства (11.2.3). Зафиксируем у = (з,х) Е С и выберем марковское
управление и. Пусть а < Т — момент остановки.
Так как
т
Г(у) = Еу \ [ Ги(Уг)а1г + К(ут)

284 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
согласно строго марковскому свойству (7.2.5), а также (7.2.6) и
(9.3.7) мы получаем
ЕУ[Г(Уа)] = ЕУ [еу« [ ( Ри{Уг)<1г + К{УТ)
о
т
= ЕУ[ЕУ[ваП Ри(Уг)(1гЛ-К(Ут^\та^
о
т
= ЕУ [еу I Ри{Уг)йг + АГ(Уг)|^а|]
а
Т а
[Ри(Уг)<1г + К(Ут)- [Ри(Уг)<1г\
"о о
а
[ Ри{Уг)<1г
= Еу
= Г (у) - ЕУ
Таким образом,
Г (у) = ЕУ
а
(Уг)<1г
+ ЕУ[Г{Уа)}. (11.2.6)
Допустим теперь, что множество \У С С имеет вид IV = {(г, г) Е
С; г < ^}, где 5 < 1\. Положим а = тГ{/; > 0; Уь ^ И7}.
Предположим, что оптимальное управление и* (у) = и* (г, г) существует, и
выберем
{V, если (г, г) Е И7,
и*(г, г), если (г, г) е С \ Щ
где управление V Е V произвольно. Тогда
ЦГа) = Г'(Уа) = ^(Уа)
(11.2.7)

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 285
и, следовательно, используя (11.2.6) и (11.2.7), мы получаем
Ф(у)>Л(у) = ЕУ
а
)0г
+ Е»[Ф(Уа)]. (11.2.8)
Так как Ф € С2(С), в соответствии с формулой Дынкина мы имеем
Е»[Ф(Уа)] = Ф(у) + Е»
а
I\ь«ЩУт)йг
Подставляя это выражение в (11.2.8), получаем
Ну) > ЕУ
а
IРЧУг
)0г
+ Ф(у) + ЕУ
а
У(Ь»Ф)(УГ)Л
или
Еу
IX
|(^(УГ) + (1»Ф)(Уг))йг
<0.
Таким образом,
ЕУ[1{Р"{Уг) + {Ь"Ф){Уг))<1г]
Еу[о\
<0
для всех таких множеств IV. Поскольку функции Р*(-) и (ЬУФ)(-)
непрерывны по у, переходя к пределу при 1\ I з, мы получим, что
Гу(у) + {ЬуФ)(у) < 0, а из этого неравенства и из (11.2.5) следует
(11.2.3). Теорема доказана. □

286 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Замечание. Уравнение НЛВ (I) показывает, что если оптимальное
управление и* существует, то его значение в точке у есть точка V,
в которой функция
у -> Р»(у) + (27Ф)(у), V&^,
достигает своего максимума (и этот максимум равен нулю).
Таким образом, исходная задача стохастического управления сводится
к более простой задаче поиска максимума действительной
функции в V С кЛ Однако уравнение НЛВ (I) устанавливает только с
необходимостью, что V = и*(у) доставляет максимум этой
функции. Важно знать, является ли НЛВ (I) также и достаточным:
если в каждой точке у мы нашли V — щ(у), такое, что значение
Р*(у) + №УФ)(у) максимально и этот максимум равен нулю, будет
ли ио(У) оптимальным управлением? Следующий результат
утверждает, что (при некоторых условиях) это действительно так.
Теорема 11.2.2 (уравнение НЛВ (II) — обратное уравнение НЛВ
(I)). Пусть ф — функция в С2(С) П С(С), при всех V Е II
удовлетворяющая неравенству
Г"(у) + (Ь*ф){у)<0, уеС, (11.2.9)
с граничными значениями
Шф(Ъ) = К(УТ) ■ Х{т<оо} 0»-п. п., (11.2.10)
такая, что семейство
{Ф(Ут)}т<т равномерно С^у-интегрируемо для всех
и-марковских управлений и всех у ЕС. (11.^.11)
Тогда
Ф(у) > Ли(у) для всех и-марковских управлений и всех
Кроме того, если для каждого у & С определено управление
и>о = щ{у), при котором
р»о{у)(у) + (Ь^У)ф){у) = 0, (11.2.13)
то щ является марковским управлением, таким, что
и, следовательно, это управление должно быть оптимальным и
Ф(у) = Ф(г/).

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 287
Доказательство. Предположим, что функция ф удовлетворяет
условиям (11.2.9) и (11.2.10). Пусть и — марковское управление.
Поскольку Ьиф < — Ри в С, по формуле Дынкина мы имеем
ЩФ(Утя)] = Ф{у) + ЕУ
< Ф(у) - ЕУ
I\ьиф){Уг)й:
о
Тн
IРи{УМ
где
(11.2.14)
Тн = тт{й,Т,т{{* > 0; \Уг\ > К}}
для всех К < оо. В соответствии с (11.1.4), (11.2.10) и (11.2.11)
получим
Тн
= Пу)
Ф(у)>ЕуПри(уг)аг + ф(уТя)
0
Т
->ЕУ
УЕ"
(у,)*+ед-).*{т<оо>
при К —> оо, что доказывает неравенство (11.2.12). Если для щ
имеет место соотношение (11.2.13), тогда приведенные выше выкладки
доставляют равенство и теорема доказана. □
Уравнения ШВ (I), НЛВ (II) позволяют получить красивое
решение задачи стохастического управления только в случае марковских
управлений. Это довольно сильное ограничение, но, к счастью,
решение может быть использовано как в случае марковского
управления, так и в случае произвольного Т\т -согласованного управления,
если выполнено несколько дополнительных условий.
Теорема 11.2.3. Пусть
Фм(у) = зир{7п(?/); г* = и(У) — марковское управление}
Фа(у) = зир{^(у)]и = и(1,и) — Т\ш'-согласованное управление).
Предположим, что существует оптимальное марковское
управление щ = щ(У) для задачи марковского управления (т. е.

288 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Фм{у) — Ли°(у) для всех у Е С), такое, что все граничные
точки мноэюества С являются регулярными относительно У^° иФм
есть функция класса С2(С)Г\С(0), удовлетворяющая неравенству
Еу
\Фм(Уа)\ + 1\ЬиФм(Уг)\сИ
< оо
(11.2.15)
для всех ограниченных моментов остановки а < Т при всех
согласованных управлениях и всех у Е С. Тогда
$м{у) = $а{у) для всех у е С.
Доказательство. Пусть ф — функция класса С2 (С) П С (О),
удовлетворяющая условию (11.2.15) и такая, что
Ру(у) + (Ьуф)(у)<0 для всех у е С, V е С/, (11.2.16)
ф(у) = К (у) для всех у е дС. (11.2.17)
Пусть щ(ш) = и(1,и) — Т).™ -согласованное управление. Тогда Уг
есть процесс Ито, удовлетворяющий уравнению
дУг = Ъ(Уи щ)аИ + а(Уищ)(1Ви
поэтому согласно лемме 7.3.2, если выбрать Тц в соответствии
с (11.2.14), мы получим
Тк
Еу[Ф(Утк)] = Ф(У) + ЕУ У(Ьи^ф)(Уг)сИ
где
(ь^ФШ = %{у)
дф
+ 53^(0. «(*.ы))лГ-(у)
«=1
дХ1
+ ^ а^'(2/'и(*'ш))
г, ,7=1
д2ф
(У),
а^ = 7}(сгсгт)ч- Таким образом, с учетом (11.2.16) и (11.2.17) мы
имеем
ЕУ[ф(УТя)} < ф(у) - ЕУ
Та
(11.2.18)

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 289
Переходя к пределу при К —> оо, получим
Ф(У) > Л{У). (11.2.19)
Но по теореме 11.2.1 функция ф(у) = Фм{у) удовлетворяет
условиям (11.2.16) и (11.2.17). Следовательно, в соответствии с (11.2.19)
мы имеем Фм(у) > Фа(у), откуда следует утверждение
теоремы 11.2.3. □
Замечание. Изложенная выше теория применима также к
соответствующей задаче отыскания минимума
Ъ(у)=ЫЛ(у) = Г(у). (11.2.20)
и
Чтобы увидеть связь между задачами, заметим, что
г т
Ф(у) = - *ир{-Г(у)} = - зир \еу\ [ -Ри(Уг)сИ - К(УЬ)
К О
поэтому функция -Ф совпадает с решением Ф задачи (11.1.9), если
заменить Р на —Р, а К на —К. Отсюда следует, что уравнения
ШВ справедливы также и для Ф, но с обратным неравенством.
Например, уравнение (11.2.3) для функции Ф приобретает вид
(11.2.21)
Проиллюстрируем теперь результаты на некоторых примерах.
Пример 11.2.4 (задача линейного стохастического регулятора).
Пусть состояние Х^ системы в момент времени I задано линейным
стохастическим дифференциальным уравнением
д,Хь = {НЬХЬ + Мьиь)<11 + оь<1Ви * > *, Х3 = х, (11.2.22)
а стоимость имеет вид
1пГ {Ру{у) + (ЬуЩу)} = 0 для всех уеС.
Л(з,х)=Е8
ч
5<*ь (11.2.23)
где все коэффициенты Я* Е КпХп, М< € И
пхк
с?ь е ип
Сг Е КпХп, В1 Е Ккхк и К Е КпХп являются непрерывными по
I и детерминированными. Предположим, что матрицы Сь и К
симметричны, неотрицательно определены, а И^ симметрична и
положительно определена для всех I. Также предположим, что
^—детерминированный момент времени.

290 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Тогда задача состоит в том, чтобы выбрать управление и =
и^,Хг) Е Кк, минимизирующее 7п(5,ж). Мы можем
интерпретировать эту задачу как задачу нахождения управления и, которое
быстро сделает |Х*| малым при малых энергетических затратах
(~ итВи). Величины С* и К отражают стоимость больших
значений \Хг\, а величина Г^ представляет собой затраты (энергию)
на использование больших значений \щ\.
В этом случае уравнение ШВ для Ф($,ж) = тГ7п(5,ж)
принимает вид
0= т{{Ру(з,х) + (ЬуФ)(з,х)}
V
= -т- + тМ х1 С3х + V1 Б$у + 2^(Н3х + М3у)г —
г=1
1 п <92Ф 1
2Е("ЛВД ПРИ8<*Ь (П-2-24)
г,.7 = 1 "* у
+
Ф(*1,ж) =хтКх. (11.2.25)
Попытаемся найти решение ф задачи (11.2.24)—(11.2.25) в виде
гр{г, х) = хт8ьх + аи (11.2.26)
где 8(1) = Зг Е Кпхп —симметричная, неотрицательно
определенная матрица, а^ Е К, ^ и 5^ непрерывно дифференцируемы по I (и
детерминированы). Чтобы воспользоваться теоремой 11.2.2, нужно
определить 5* и а^ таким образом, чтобы выполнялись условия
Ы{Ру(г,х) + (1,»(*,ж)} =0, * < *ь (11.2.27)
И
^(<1,а;)=а;тЛх. (11.2.28)
Чтобы получить (11.2.28), положим
Я - К, (11.2.29)
а,, = 0. (11.2.30)
Используя (11.2.26), получим
Р"Ц, х) + (!,»(*, х) = хт8'1х + а'ь+ хтСгх + утБ1у
+ {Щх + М1у)т{51х + 5?х) + 5^(а«а?')у5ц, (11.2.31)

11.2. Уравнение Гамильтона—Якобм—Беллмана 291
где З'г = ^Зг, а'ь = -^сц- Это выражение достигает минимального
значения, когда
-^(р»(г,х) + (ь»ф)(г,х)) = о, г = 1,...,к,
т. е. когда
2 Аг; + 2М18гх = О,
или
у = -П^1М181х. (11.2.32)
Подставив это значение V в (11.2.31), получим
= хт8'ьх + а[ + хтСгх + хт81МьВ^1В1В^1Мг[81х
+ (Нгх - М1П;1М131х)т281х + 1г(оот8)ь
= хт(5; + Сь - ЗьМ^М^Зь + 2Н18ь)х + ^ + ^г(аат5),,
где 1т обозначает след матрицы. Это выражение обратится в нуль,
если выбрать такую матрицу 5*, что
8\ = -2Н13Ь + ЗьМ^М^Зь -Си 1<%и (11.2.33)
и такое а*, что
а'ь = -1г(оот8)и I < *ь (11.2.34)
Отметим, что (11.2.33) есть уравнение типа Риккати из теории
линейной фильтрации (см. (6.3.4)). Уравнение (11.2.33) с
граничным условием (11.2.29) определяет 5* единственным образом. Из
(11.2.34) и граничного условия (11.2.30) следует, что
и
аг= I1г{аат3)8йз. (11.2.35)
I
При таком выборе 5* и а^ условия (11.2.27) и (11.2.28) выполнены,
следовательно, по теореме 11.2.2 мы заключаем, что
и*(1,х) = -О^М^Зьх, I < *ь (11.2.36)
есть оптимальное управление и минимальное значение цены
определяется равенством
Ф($,ж) = хт38х + / 1г(оот8)Ь(И, з < *ь (11.2.37)

292 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Эта формула показывает, что дополнительная цена за шум в
системе задается выражением
о>з = / 1г(аат 8)1(11.
8
Принцип разделения (см. Бау15 (1977), БаУ15, УтЪег (1985) или
Петт§, ШзЬе1 (1975)) гласит, что если мы обладаем неполной
информацией о состянии Х1 системы, т. е. имеем в распоряжении
только наблюдения с шумами
02г = дьХьй1 + 7*<Ш*, (11.2.38)
то оптимальное управление и*(1,ш) (будучи ^-согласованным, где
($1 есть сг-алгебра, порожденная семейством {2г]г < I}) задается
равенством
и*(1,и) = -П^М^ЗМи), (11.2.39)
где Х1 — оценка состояния процесса Х$, построенная по
наблюдениям {2Г\ г < ^}, которая задается фильтром Калмана—Бьюси (6.3.3).
Сравнивая это равенство с (11.2.36), мы видим, что задача
стохастического управления в этом случае распадается на задачу линейной
фильтрации и задачу детерминированного управления.
Важной областью применения теории стохастического
управления являются экономика и финансы. Поэтому мы
проиллюстрируем полученные выше результаты на простом примере оптимальной
диверсификации портфеля ценных бумаг1. Эта задача была
рассмотрена в более общей постановке многими авторами; см., например,
МагкотеНж (1976), Мег1оп (1971), Нагпзоп, РИзка (1981), Аазе (1984),
КагаЪгаз, ЬеЬосгку, ЗЬгеуе (1987) и обзорную статью Биййе (1994)
со ссылками в ней.
Пример 11.2.5 (задача оптимального выбора портфеля). Пусть
Х1 обозначает капитал некоторого человека в момент времени I.
Предположим, что этот человек может выбрать одно из двух
различных вложений средств. Будем считать, что цена Р\{1) одного из
активов в момент времени I удовлетворяет уравнению
^=Р1(а + ат), (11.2.40)
1 Диверсификация портфеля ценных бумаг — это распределение средств
между акциями разных компаний с целью снижения риска потерь. — Прим.
перее.

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 293
где И7* означает стандартный белый шум, а а, а > 0 — константы,
выражающие среднюю относительную скорость изменения цены р\
и уровень помех соответственно. Как уже говорилось ранее,
уравнение (11.2.40) можно интерпретировать как стохастическое
дифференциальное уравнение Ито
фх = Р1асИ + р\схйВь. (11.2.41)
Такое инвестирование назвается рисковым, поскольку а > 0.
Предположим, что цена р^ другого актива удовлетворяет аналогичному
уравнению, но без помех:
ф2 = Р2ЬсН. (11.2.42)
Это инвестирование назвается безрисковым. Таким образом,
естественно предположить, что Ъ < а. В каждый момент времени
вкладчик может выбирать величину доли и своего капитала, которую он
будет вкладывать в рисковые активы, следовательно, доля
вложений в надежные авуары составит 1-й. Это приводит к
следующему стохастическому дифференциальному уравнению для капитала
Хг = X?:
а\Хг = иХгаоИ + иХьао1В1 + (1 - и)ХгЬоИ
= Хг(аи + 6(1 - и))аИ + аиХ^Вг. (11.2.43)
Предположим, что, начав с капитала Хь — х > 0 в момент времени ^,
вкладчик хочет максимизировать ожидаемую выгоду от капитала в
некоторый последующий момент времени 1$ > ^- Если запретить
заимствование (т. е. потребовать выполнения условия X > 0) и задать
функцию полезности N \ [0, оо) —» [0,оо), Д^(0) = 0 (которая
обычно предполагается возрастающей и вогнутой), то задача сведется к
поиску функции Ф($,ж) и марковского управления и* = г**(^,Хг),
0 < и* < 1, таких, что
Ф($,ж) = 8ир{«/п($, ж); и— марковское управление,
0 < и < 1} = Г*(з,ж), где ^{з,х) = Е8'Х[И(Х%)], (11.2.44)
а Т — момент первого выхода из области С — {(г, г)\ г < 1о, % > 0}.
Это критерий качества вида (11.1.6)-(11.1.8), если в этих
равенствах положить Р = 0 и К — N. Дифференциальный оператор V
определяется равенством (см. (11.2.2))
(Ь»т,х) = %+ х{ау + 6(1 -у))9^ + ^2*20- (П-2-45)

294 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Уравнение НЛВ принимает вид
8ир{(1/Ф)(г,ж)}=0 для(1,х)еС (11.2.46)
V
И
Ф(1,х) = М(х) для^ = ^0, Ф{^,0) = N(0) для*<а0- (11.2.47)
Следовательно, для каждой пары (^,ж) требуется найти значение
V — и(Ь,х), которое максимизирует функцию
ЧМ = 2/>Ф = ^ + х(Ъ + (а - Ь)у)^ + \а\2х^. (11.2.48)
а* ч ч ' ' Эх 2 ах2
<9ж2
Если Фж := |^ > 0 и Фхх := §Д < 0, то решение имеет вид
у = и(1,х) = -{а *)Фд. (11.2.49)
Если мы подставим это выражение в уравнение НЛВ (11.2.48), то
получим следующую нелинейную краевую задачу для Ф:
Ф4 + ЬхФх - (а~Л~Ф" - 0 при I < 10, х > 0, (11.2.50)
Ф(*, х) = ДГ(ж) при I = *0 или х = 0. (11.2.51)
Задачу (11.2.50), (11.2.51) весьма трудно решить для функций ТУ
произвольного вида. Важными примерами возрастающих и
вогнутых функций служат степенные функции
N(x) = хг, где 0 < г < 1. (11.2.52)
Выберем такую функцию полезности (выгоды) ТУ и попытаемся
найти решение (11.2.50), (11.2.51) в виде
ф{1,х)=Ц1)хг.
Подставив его в уравнение, мы получим
ф(1,х)=е^1°-1)хг, (11.2.53)
гдеЛ = Ьг+2(°3"(^)-
Используя (11.2.49), получим оптимальное управление
и*(*'х) = ^ГГо- (11'2-54)
Если ай\^г\ € (0,1), то решение задачи существует на основании
теоремы 11.2.2. Заметим, что и* —постоянная величина.

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 295
Другой интересный пример функции полезности — функция
N(x) — 1о§ж, названная критерием Келли. Как заметил Аазе
(Аазе (1984)) (в более общей постановке), мы можем в этом
случае получить оптимальное управление непосредственно
вычислением Е8'х[\о&(Хт)] по формуле Дынкина:
Е^[\о&(Хт)]=\о&х
+ Е'
8,Х
т
I {аи{1,Хь) + 6(1 - и(Ь,Хг)) - ±а2и2(*,Хг)\
<И
так как Ьу(\о$х) = ау + 6(1 — у) — \а2у2.
Итак, ясно, что значение Зи{з,х) — Е8,х[\о$(Хт)] является
максимальным, если при всех г, г выбирать и(з, г) таким образом,
чтобы значение у максимизировало функцию
ау + Ъ(1 — у) — \а?у2,
т. е. положить
у = и(Ь,Х1) = —г— для всех 2, и. (11.2.55)
Так находится оптимальное управление, если используется
критерий Келли. Подобным образом, этот прямой метод позволяет
получить оптимальное управление, когда N(x) — хг (см.
упражнение 11.8).
Пример 11.2.6. В заключение мы рассмотрим пример, который
покажет, что даже совсем простые и, по-видимому, бесхитростные
задачи стохастического управления могут увести нас за рамки
теории, разработанной в этой главе. Предположим, что система
описана одномерным интегралом Ито
йХг = ЙА? = и{1,и)а1Ви 1>з, Х8 = х > 0. (11.2.56)
Рассмотрим задачу стохастического управления
Ф(*,ж) =$ирЕг'х[К(Х?)}, (11.2.57)
и
где т —момент первого выхода из множества С=\{(г,г)\
г8,Х \
г < 1\, г > 0} для Уг = (з + 2, Х83+ь), а К — заданная ограниченная
непрерывная функция.

296 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Интуитивно можно представить себе систему как состояние
игры, которая ведет себя подобно «возмущенному» броуновскому
движению, где мы можем контролировать величину возмущения и
в каждый момент времени. Цель управления состоит в
максимизации ожидаемого вознаграждения К{Х1Х) за игру в фиксированный
будущий момент времени 1\.
Предположив, что Ф Е С2 и и* существует, согласно уравнению
ШВ (I) мы получим
( ЭФ 1 *д2Ф}
8ия№ + 2^^М= ° П*И*<Ь> *(*!,*) =К(х). (11.2.58)
Отсюда видно, что с необходимостью должны выполняться условия
,ач
дх1
= 0
** 0
д1
при I < 1и (11.2.59)
где V* —значение функции V Е К, которое доставляет точную
верхнюю грань в (11.2.58). Но если ^ = 0, то Ф(1,х) = Ф(^,ж) = К(х).
Однако эта функция в общем случае не может быть решением, пото-
му что мы не предполагали, что ^т < 0, более того, относительно
К не было даже предположений о дифференцируемости.
В чем же заключается ошибка? Поскольку вывод уравнения
ШВ (I) был ошибочным, предположения теоремы не могут быть
приемлемыми. Таким образом, либо функция Ф не принадлежит
классу С2, либо управления г^* не существует, либо то и другое
вместе.

11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 297
Чтобы упростить задачу, положим
(V, 0<ж<1,
К(х) = {
[1, х>1.
Тогда, пользуясь приведенным выше рисунком и некоторой
интуицией, мы можем заключить, что если Х1 принадлежит
полосе 0 < х < 1, то, так как мы хотим избежать выхода из
С на промежутке {^} х (0,1), оптимальным является
наибольшее воздействие. Учитывая то обстоятельство, что Хь
является броуновским движением с измененным временем (см. гл. 8),
мы делаем вывод, что к процессу X* приводит то оптимальное
управление, которое мгновенно делает скачок к значению 1 с
вероятностью ж и к значению 0 с вероятностью 1 — ж, если
начальное значение х принадлежит интервалу (0,1). Если
начальное значение х Е [1,оо), мы просто выбираем наше
управление нулевым. Другими словами, эвристически мы должны
получить
{оо, если х Е (0,1),
(11.2.60)
О, если х Е [1, оо),
а соответствующее ожидаемое вознаграждение имеет вид
{ж, если 0 < х < 1,
(11.2.61)
1, если х > 1.
Таким образом, мы видим, что управление гл* претендующее
на оптимальное, не является непрерывным (оно даже не
конечно!) и соответствующий оптимальный процесс Х% не
является диффузионным процессом Ито (он не является даже
непрерывным). Чтобы преодолеть это затруднение, необходимо
расширить класс допустимых управлений (и семейство
соответствующих процессов). Например, можно доказать расширенный
вариант теоремы 11.2.2, который позволит нам заключить, что
управление г**, выбранное в соответствии с (11.2.60), даст такое
же хорошее качество, как любое другое марковское управление
и, и что функция </>*, заданная формулой (11.2.61), совпадает
с максимальным ожидаемым вознаграждением Ф, определенным
в (11.2.57).
Последний пример показывает важность вопроса
существования вообще, как для оптимального управления и*, так и для
соответствующего решения Хг стохастического дифференциального

298 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
уравнения (11.1.1). Мы коротко отметим некоторые результаты
в этом направлении исследований.
Используя общие результаты теории нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных, можно показать, что
при некоторых условиях на 6, сг, Р, дС и предположении о том, что
множество значений управления компактно, существует гладкая
функция ф, такая, что
зир{Г"(у) + (Ь"ф)(у)}=0 дляуеС
V
И
ф(у) = К (у) для у е дС.
Тогда в соответствии с теоремой об измеримом выборе можно
найти (измеримую) функцию и*(у), такую, что
Ри'(у) + (Ь»'ф)(у)=0 (11.2.62)
для почти всех у € С по мере Лебега в Кп+1. Даже если
предполагается, что функция и* только измерима, можно показать, что
соответствующее решение Хь = X™ уравнения (11.1.1) существует
(общие результаты в этом направлении исследований читатель
может найти в книге ЗЪгооск, УагасШап (1979)). Из доказательства
теоремы 11.2.2 можно установить, что справедливо соотношение
(11.2.62), которое вне подмножества С выполняется с мерой Грина,
равной нулю (см. определение 9.3.4). При соответствующих
условиях на Ь и а можно доказать, что мера Грина абсолютно непрерывна
по отношению к мере Лебега. Таким образом, на основании (11.2.62)
(и усиленной теоремы 11.2.2) и* является оптимальным
управлением. Предлагаем читателю для дальнейшего более подробного
изучения обратиться к книгам Р1епип&, ШзЬе1 (1975), Вепзоиззап, Ыопз
(1978), Бупкт, УизЬкеукЬ (1979) и Крылов (1977).
11.3. Задачи стохастического управления
с терминальными условиями
Во многих приложениях имеют место ограничения на вид
рассматриваемых марковских управлений, например, в терминах
вероятностного поведения Уьи в конечный момент времени I = Т. Такие
задачи часто могут быть решены с использованием метода типа
«множителей Лагранжа». Опишем этот метод.

11.3. Задачи стохастического управления 299
Рассмотрим задачу поиска таких функций Ф(у) и и*(у), чтобы
выполнялись равенства
где
1
г(у) = еу\ [ ри{уьи)(И + щур)
(11.3.1)
(11.3.2)
а точная верхняя грань достигалась на пространстве /С всех
марковских управлений и: Кп+1 —> С/ С К^, для которых
Е*[Мда)] =0, 1 = 1,2,...,/, (11.3.3)
где М = (М\,..., М/): Кп+1 —> к/ —заданная непрерывная
функция, удовлетворяющая неравенству
ЕУ[\М(У$)\] < оо для всех у,и. (11.3.4)
Теперь рассмотрим задачу, имеющую отношение к приведенной
выше, но не содержащую ограничений.
Для каждого Л Е К/ и каждого марковского управления и
определим
т
Л"Ы = Е»
I ри{уи
)М + К(У$) + А • М(У$)
(11.3.5)
где • означает скалярное произведение в пространстве К.'.
Требуется найти такие функции Ф\(у) и и*х(у), для которых
ФЛЫ=8ир^Ы = ^Ы,
(11.3.6)
при отсутствии терминальных условий.
Теорема 11.3.1. Предполосисим, что для всех А Е Л С Е1 найдены
функции Ф\(у) и и\, являющиеся решением задачи
стохастического управления (11.3.5)-(11.3.6) {без ограничений). Кроме того,
предполосисим, что существует такое Ао Е Л; при котором
Еу[М(УТих°)}=0.
(11.3.7)
Тогда Ф(у) := Ф\0(у) и и* -=и*Хо являются решением задачи
стохастического управления (11.3.1)-(11.3.3) с ограничениями.

300 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
Доказательство. Пусть « — марковское управление, А € Л. Тогда
по определению функции и^ имеем
т
Еу
Ур»цу<
)<и + щур) + а • м(кр)
= ХЧу)
> Л"Ы = &
1
[ ри(у1и)(ц + к(у?) + л • м(у^)
(11.3.8)
В частности, если Л = Ло и и Е /С, то
Еу[М(Ут<0)] =0 = Еу[М(У?)]
и, следовательно, на основании (11.3.8) мы получаем
«/ Л° (у) > Ли{у) Для всех и е 1С.
Поскольку и\ Е /С, теорема доказана.
Приложение этого результата см. в упражнении 11.11.
Упражнения
11.1. Напишите уравнение НЛВ для задачи
□
Ф(*,ж) =ЫЕ3>Х
оо
|е-Л*(в№)+^)А
где
йХь = г^сй + йВи Хи ии Вь е К,
а > 0 — константа, а #: К —> К — заданная ограниченная
непрерывная функция. Покажите, что если Ф удовлетворяет
условиям теоремы 11.2.1 и и* существует, то
11.2. Рассмотрите задачу стохастического управления
Ф0(5,х)=тГЕ5
ОО
Уе-"/КХ*)А
где
ЛХг = «Ы^ = Ъ(щ, Хг)А + а{щ, Х%)<Ши
хь е к", щ е к*, вь е кт,

Упражнения 301
/ — заданная ограниченная непрерывная действительная
функция, р > 0 и точная нижняя грань определяется на
множестве всех непрерывных по времени марковских
управлений, т. е. управлений вида и = и(Хг). Докажите, что
ФоМ = е-»&х), где $(*) = Ф0(0,а:).
(Указание. По определению функции Е$'х имеем
Е$
оо оо
1е-*!{и{Х1),Х1)А\ = Е[{ е-№/{и(Х%г),Х8а&
)А1
где Е означает математическое ожидание относительно
вероятностной меры Р.)
11.3. Определим
йХь - гщХь(И + ащХьйВи ХиииВье К,
Ф(з,х) =зирЕ3>х
оо
)Л
где г, а, р — константы, р > 0 и / — ограниченная
непрерывная действительная функция.
Предположим, что Ф удовлетворяет условиям
теоремы 11.2.1 и что оптимальное марковское управление и*
существует.
а) Покажите, что
Г _о1г, ч ЭФ ОФ 1 2 2 232Ф^
С помощью этого результата докажите, что
Ь) Предположив, что ^у < 0, докажите, что
„дФ
0.
и* (I, х) —
дх
о д2Ф
п 2С он дФ\дЧ 2/зф\2 п

302 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
с) Предположив, что ^$ = 0, докажите, что || =0и
ЭФ
(1) Предположив, что и* = и*{Хь) и что имеет место
утверждение п. Ь), докажите, что Ф(^,ж) = е~р1%(х) и
2а2(/-рОГ-г2(Г)2=0.
(См. упражнение 11.2.)
11.4. Во многих ситуациях предположений теоремы 11.2.1
оказывается недостаточно (см., например, упражнение 11.10),
поэтому полезно иметь результаты и для этих случаев.
Например, определив Фа в соответствии с теоремой 11.2.3, без
предположения о существовании и* и без условий гладкости на Ф,
мы получим принцип Беллмана (сравните с (11.2.6)—(11.2.7)):
Фа(у) =зирЕу
о
для всех у Е С и всех моментов остановки а < Т, где
точная верхняя грань определяется на множестве всех Т\ш
-согласованных управлений и. (См. Крылов (1977), теорема 6,
с. 150.)
Докажите, что если Фа Е С2(С), то
Ру(у) + ЬУФа(у) < 0 для всех у еС.уеИ.
11.5. Предположив, что в (11.1.8) ^ = 0и что оптимальное
марковское управление и* существует, докажите, что Ф
является супергармонической функцией в С относительно процесса
Уги для любого марковского управления и.
(Указание. См. (11.2.6)-(11.2.7).)
11.6. Пусть Хг означает наш капитал в момент времени I.
Предположим, что в любой момент времени I мы имеем выбор
между двумя вложениями капитала:
1) рисковое капиталовложение, где цена за единицу товара
Р\ = Р1(1,ш) удовлетворяет уравнению
Ф1 = ахрхсИ + а\р\АВь\
2) безопасное (безрисковое) вложение капитала, при котором
цена за единицу товара р2 = Р2^^) удовлетворяет
уравнению _
ф2 = а2р2<Й + о~2Р2с1В1,

Упражнения 303
где а,{,0{ — константы,
а\ > Й2, СГх > СГ-2,
а ^,^— независимые одномерные броуновские
движения,
а) Пусть и(1,оо) означает долю состояния (капитала) Х^и),
которая вкладывается в рисковое инвестирование в
момент времени I. Покажите, что
йХь = ЛХ[и) = Хг(аги + а2(1 - и))Л
+ Х^ахийВг + а2(1 - и)сШ4).
Ь) Предположив, что м-марковское управление, г* =
г«(*,Х4), найдите производящий оператор А*1 процесса
с) Выпишите уравнение НЛВ для задачи стохастического
управления
Ф(5)*)=3ирД^[(4и))т],
где Т — тт(^1,г0), т0 = тГ{* > 5;Х^ = 0} и 1\
—заданный будущий момент времени (константа), 7 € (0,1) —
константа,
с!) Найдите оптимальное управление и* для задачи из п. с).
11.7. Рассмотрите задачу стохастического управления
(система) йХг — аидА, + исШ*, Хо = х > 0,
где ^ Е К, г* Е К, а а Е К — заданная постоянная величина, и
(критерий качества) Ф($,ж) = зирЕ8'х[(Хт)г],
и
где г, 0 < г < 1, — константа и
Т = т({г > з\Хг = 0}Л*ь
1\ —заданный будущий момент времени (константа).
Покажите, что в этой задаче существует оптимальное
управление
и*(1,х) = ^-
I — г
с соответствующим оптимальным критерием качества

304 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
11.8. Докажите непосредственно с помощью формулы Дынкина,
что
^^^^(^Г^)'1)
является оптимальным управлением для задачи из
примера 11.2.5 с функцией полезности 7У(ж) = хг.
(Указание. Используйте рассуждения, с помощью
которых мы получили формулу (11.2.55).)
11.9. В книге Вепез (1974) рассматривается следующая задача
стохастического управления:
Ф($,ж) =ЫЕ8
оо
где
йХь = йх[и) = ащ(И + йВи ХиВге К,
1пГ {
«€[-1,1] [
<9Ф 1 92Ф1 Л
-Р« «.2
а а, р — (известные) константы, р > 0. Здесь управление и
принимает значения только из отрезка V — [—1,1].
а) Покажите, что уравнение НЛВ для этой задачи имеет вид
Ь) Покажите, что если Ф Е С2 и и* существует, то
и* (х) = -зщп(ах),
где
1, если 2 > 0,
— 1, если г < 0.
(Указание. Объясните, почему если х > 0, то ^ > 0,
51§П;г
и если х < 0, то §? < 0.)
<9ж
11.10. Пусть
Положим
/(*) =
ж2 для 0 < х < 1,
^/ж для ж > 1.
7п($,ж) = Е5
Ф($,ж) = зир 7и($,ж),
где
йХ? = щЛВи 1>з,

Упражнения 305
щ е к, вг е к и
т = ш{{г>8;Х?<о}.
а) Определим
ф(з,х) = -е~р8](х) для х > 0, 5 е К,
Р
где
7/ \ I ж Для 0 < ж < 1,
/0е) = < г- ^л
\у/Х ДЛЯ X > 1.
Докажите, что
7п($,ж) <</>($, ж)
для всех 5, х и всех (ограниченных) марковских
управлений гх.
(Указание. Положите ф\(з,х) = ^е~~р5ж для всех 5,ж и
02(5, ж) = -е~р8у/х для всех 5, ж. Тогда по теореме 11.2.2
7п(з,ж) < фг(з,х) для г = 1,2.)
Ь) Покажите, что
Ф($,ж) = ф(з,х).
(Указание. Рассмотрите Зик(з,х), где
, ч I А; для 0 < ж < 1,
г/Цж) = <
10 для ж > 1,
к —> оо.)
Таким образом, управления и* не существует и Ф не
является С2-функцией. Следовательно, в данном случае
оба условия, при которых справедливо уравнение ШВ (I),
не выполнены.
11.11. Рассмотрите скалярный вариант задачи линейного
стохастического регулятора из примера 11.2.4:
Ф($,ж) = 1пГ Е8'х
(11.3.9)
|((Хг")2+0и?)*
где
йХ™ = щсИ + ойВ1 для ^ > 5, Х8 — ж,

306 Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления
щ,В1 Е К, а,в — константы, в > 0, точная нижняя грань
определяется на пространстве /С всех марковских управлений
и, удовлетворяющих условию
Я^ВД2] = ш2, ш-константа. (11.3.10)
Решите эту задачу, пользуясь теоремой 11.3.1.
(Указание. Решите при каждом Л Е К задачу без
ограничений
ФЛ(в,ж) =т?Е3>х
1((Х?)2+0и1)*- + \{Х?1)2
с оптимальным управлением и*х. Затем попытайтесь найти
Ло, такое, что
Д*-*[(Х(1и:°)2]=т2.)
11.12. Решите задачу стохастического управления
Ф(в, х) = Ш1 Г(3, х) = «/"* (5, X),
и
где
Г(з,х) =Е3'Х
[е-рг(Х2г+6и1)(1г
(1ХЬ = щсИ + сгсШ*,
щ.Вг е К, а е К, а р > 0, 9 > 0 —константы.
(Указание. Попробуйте взять в качестве решения
функцию 1р(з,х) — е~р8(ах2 + Ь) с подходящими константами а, Ь
и воспользуйтесь теоремой 11.2.2.)
11.13. Рассмотрите задачу стохастического управления
Ф(5,ж) = $ирЕ8>х
/.-
щсИ
где (скалярная) система X* задана уравнением
бХь = ах? = (1 - и4)л + лвь.
Управление щ = щ(и) может принимать любое значение из
V = [0,1], и
Т = тГ{* > з; X" < 0} (время банкротства).

Упражнения 307
Покажите, что если р > 2, то оптимальное управление
имеет вид
и^ = 1 для всех I
и соответствующее значение функции Ф есть
Ф(з,х) = е~рз- (\ - е~^х) , х > 0.

Глава 12
Приложение к задачам
финансовой математики
12Л. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж
В этой главе мы показываем, каким образом концепции, методы и
результаты предыдущих глав могут быть использованы для
получения строгой математической модели в финансовой области. Мы
изучаем самые основные результаты и актуальные вопросы, которые
наиболее тесно связаны с теорией, рассматримаемой в этой
книге. Подчеркнем, что здесь дается только краткое введение в эту
увлекательную тему, интерес к которой за последнее время
расширился и не ослабевает до сих пор. Читатель, желающий
познакомиться с этим вопросом более подробно, может обратить внимание,
например, на книги Вт^Ьат, К1езе1 (1998), ЕШоМ, Корр (1999),
ВиШе (1996), КагаЪгаз (1997), КагаЪгаз, ЗЬгеуе (1998), ЬатЪегЪоп,
Ьареуге (1996), Миз1е1а, КиЪкочузИ (1997), КаШаприг, КагапсИкаг
(2000), МегЪоп (1990), Ширяев (1998), т. 2, и на ссылки в них.
Вначале мы дадим математические определения некоторых
основных понятий финансовой науки. Отметим, что возможно
рассмотрение иных математических моделей и они активно
исследуются. Так, рассматриваются более общие (возможно, разрывные)
модели семимартингалов (см., например, Вагпс1огпс-№е15еп (1998))
и даже модели на основе стохастических процессов, не являющихся
семимартингалами, такие как дробное броуновское движение. См.,
например, книги СиЫапс!, Корр, \УШт§ег (1995), 1лп (1995), Ни,
0кзепс1а1 (1999).
Определение 12.1.1. а) Рынком называется Т\ -согласованный
(п + 1)-мерный процесс Ито Х(1) = (Хо(1),Х1(1),... ,Хп(1)), 0 <
Ь <Т, имеющий вид
(1Х0(1) = р(1,и)Х0(1)сИ, Хо(0) = 1, (12.1.1)
и
тп
(1Хг{1) = т(1,и)(11 + ^а^^ЯД*) (12.1.2)
= ^г(1,и)(И + (п{г,и)(1В(г), Х{(0) = хи

12.1. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж 309
где о{ — строка с номером г в матрице [о~^] порядка пхт, 1 < г <
пен.
Ь) Рынок {Х(1)}1^[о т] называется нормализованным, если
Х0(1) = 1.
с) Портфелем на рынке ценных бумаг {Х(^)}^[о,т] называется
(п + 1)-мерный (Ь, и)-измеримый и р\т -согласованный
случайный процесс
в(1,и>) = (00(1,и>),01(1,ш),...,0п(1,ш)), 0<1<Т. (12.1.3)
с!) Стоимость портфеля ценных бумаг 9(1) в момент времени I
определяется формулой
п
У(1,и>) = Ув(1,и) = 0(1) - Х(1) = ]Г>(*)ВД, (12.1.4)
где • означает скалярное произведение в пространстве Кп+1.
е) Портфель 0(1) называется самофинансирующимся, если
т
ЯП
|б>о(вМв)ад+1>о>М')1
О *=1
тп п 2
+ ^2 [1]ОДМ5)] }^8 < °° (*• п-) (12-1-5)
3 = 1 1=1
и
йУ(1)=0(1)-йХ(1), (12.1.6)
га. е.
7(*) = ^(0)+ [ 0{з)-йХ{з) при*€[0,Г]. (12.1.7)
о
Пояснения к определению 12.1.1.
а) Представим себе, что Х{(1) = Х{(1,и) — это курс ценной бумаги
или цена актива с номером г в момент времени I. Активы с
номерами 1,..., п называются рисковыми из-за присутствия членов
с диффузией. Они могут, например, представлять инвестиции
основного капитала, в том числе акций. Актив с номером 0
называется безрисковым из-за отсутствия диффузионной
составляющей (хотя р(1,оо) может зависеть от и). Этот актив, например,
может представлять банковские инвестиции. Для простоты
будем предполагать, что функция р(1,и>) ограничена.

310 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Ъ) Обратите внимание на то, что мы всегда можем сделать рынок
нормализованным, определив Х{{1) следующим образом:
~Х{{1) = Хо{1)~1 Х{{1), 1 < г < п. (12.1.8)
Рынок
Х(*) = (1,^1 (*),-.. Д„(*))
называется нормализацией рынка Х(1).
Таким образом, нормализация означает, что мы
рассматриваем цену Х${1) безрисковых инвестиций как единицу
{исчисления) цены и вычисляем другие цены в терминах этой единицы.
Так как
I
Хо(1) - ехр ( / р(в, и)йз ),
о
мы имеем
«*)~ *о-1(0
= ехр ( - / р(з,и)аз) > 0 для всех I е [0,Г] (12.1.9)
= $Ш»г ~ рХг)М + <ТгЛВ{1)\, 1 < I < П, (12.1.10)
или
ах (г) = $(*)[<щ*) - р(*)х(*)л], (12.1.11)
с) Компоненты 0о(1,и),..., 6п(Ь, оо) представляют собой количество
ценных бумаг с номерами 0,..., п соответственно, которыми
инвестор владеет в момент времени I.
(1) Это просто полная стоимость всех инвестиций, имеющихся в
момент времени I.
е) Заметим, что условие (12.1.5) необходимо для того, чтобы
определение (12.1.7) было корректным. См. определение 3.3.2.
Часть е) определения 12.1.1 представляет собой тонкое место в
математической модели. В соответствии с формулой Ито
уравнение (12.1.4) приводит к уравнению
ау(г) = в{г) - ах (г) + х(г) • ав(г) + ав(г) • ах (г),
если 9(1) также является процессом Ито. Однако с другой
стороны возникает условие (12.1.6) из соответствующей
дискретной модели: если бы инвестиции 6(1и) были осуществлены в от-

12.1. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж 311
дельные моменты времени I — ^, то приращение капитала
ДУ(^) = У(1к+1) ~ У{^к) задавалось бы соотношением
АУ(1к)=0(1к)-АХ(1к), (12.1.12)
где АХ(1к) — Х(1к+\) — Х(1к) есть изменение цен в том случае,
если никакие деньги не вводятся в систему и не выводятся из
нее, т. е. если портфель является самофинансирующимся. Если
мы рассмотрим нашу непрерывную модель как предел
соответствующей дискретной модели, устремив А1к — 1к+\ — 1к к нулю,
то равенство (12.1.6) (где интеграл интерпретируется как
интеграл Ито) следует из (12.1.12).
Г) Заметим, что если портфель в является самофинансирующимся
для Х{1) и
Vе(I) = 0(1) • ~Х{1) = €(1)Ув(1) (12.1.13)
является стоимостным процессом для нормализованного рынка,
то в соответствии с формулой Ито и (12.1.11) мы имеем
07° (I) = €(1)<1Ув(1) + Ув(1)<%(1)
= €(1)0(1)(1Х(1) - р{Ш1)Ув{1)аИ
= №)0(г)[ах(1) - р(1)х(гЩ
= в(1)0Х(1). (12.1.14)
Следовательно, портфель в является самофинансирующимся и
для нормализованного рынка.
Замечание. Заметим, что, объединяя (12.1.4) и (12.1.6), мы
получим
I I
п „ п „
г=1 { г=1 {
Следовательно, если положить
Го(«) = 0о (0*о (О,
то
ау0(г) = Р(1)у0 (*)Л + Л4(«),
где
А(1) = ^Г П' вМйХ^з) - 0<№(*)) • (12.1.15)
г=1 п

312 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Это уравнение имеет решение
$(*)ВД = 0о(О) + у"г(«)Л4(«)>
О
или
I
0о(г) = 0о(О) + 1{(8)<1А(8).
о
Пользуясь интегрированием по частям, можно переписать это
равенство в виде
I
0о(*) - «о(0) + №М*) ~ МО) - I А(з)<%(8),
или
о
в0(г) = У(0) + €(1)А(1) + [ р(з)А(з)$(з)йз. (12.1.16)
о
В частности, если р — 0, то
60(Ь) = У(0) + А(1). (12.1.17)
Поэтому если 0\(1),... ,6п(Ь) выбраны, мы всегда можем сделать
портфель 6(1) — (6о(1),6\(Ь), • • • >0п(О) самофинансирующимся за
счет выбора 6$(1) в соответствии с (12.1.16).
Теперь дадим еще одно определение.
Определение 12.1.2. Портфель 6(1), который удовлетворяет
условию (12.1.5) и является самофинансирующимся,
называется допустимым, если соответствующий стоимостной процесс
Vе(I) является (1,и)-п.н. ограниченным снизу, т. е. существует
такое К = К(6) < оо, при котором выполнено неравенство
Ув(Ь,и)>-К для почти всех (1,оо) Е [0,Т] х П. (12.1.18)
Это аналог пассивного портфеля в контексте работы КагаЪгаз
(1996). Ограничение (12.1.18) отражает естественное условие
реальной финансовой жизни: должен существовать предел для размера
долга, который могут допустить кредиторы. См. пример 12.1.4.
Определение 12.1.3. Допустимый портфель 6(1) называется
арбитражем (на рынке {Х^^о^т]), если соответствующий
стоимостной процесс Vе (I) удовлетворяет условиям Vе (0) = 0,
а таксисе
Ув(Т)>0 (п. н.) и Р[У9(Т) >0]>0.

12.1. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж 313
Другими словами, портфель 6(1) есть арбитраж, если он
приводит к росту стоимости с момента времени I — 0 до момента I — Т
(п. н.), причем к строго положительному росту с положительной
вероятностью. Таким образом, 6(1) порождает прибыль без какого-
либо риска денежных потерь.
Интуитивно существование арбитража есть признак отсутствия
равновесия на рынке: там, где есть арбитраж, не может
существовать реального рыночного равновесия в течение длительного
времени. Поэтому важно научиться определять, допускает данный
рынок арбитраж или нет. Неудивительно, что этот вопрос
оказывается тесно связанным с тем, какие условия мы формулируем для
портфелей, допустимых при использовании. Понятие допустимого
портфеля вводится в определении 12.1.2, причем условие (12.1.18)
оправдано с точки зрения моделирования. Можно было бы также
получить математически оправданную теорию, заменив это условие
на какие-либо другие, например на Ь2-условия, означающие, что
Е[У2(1)\ < оо для всех I е [О, Г]. (12.1.19)
В любом случае для самофинансирующихся портфелей необходимы
некоторые дополнительные условия: если предъявлять к портфелю
только требование быть самофинансирующимся (и
удовлетворяющим условию (12.1.5)), то можно добиться любой итоговой
стоимости У(Т), что и поясняет следующий пример.
Пример 12.1.4. Рассмотрим рынок
4Х0(1) = О, 0X1(1) = ЛВ(1\ 0 < * < Г = 1,
Пусть
у(0=/ад ПриО<*<1.
] л/1- 8
о
Согласно следствию 8.5.5 существует броуновское движение В(1),
такое, что
где
I
О
Пусть а Е К —заданная константа. Определим
г := та := тГ{* > 0; В(1) = а)
и
а := аа := Ы{1 > 0; У(1) = а}.

314 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Тогда
= 1п
г < оо (п. н.) (упражнение 7.4 а))
1
1-а
, следовательно, а < 1 (п. н.).
Предположим, что 6(1) — (6^(1),6\(1)) есть самофинансирующийся
портфель, причем
( 1
при 0 < I < а,
О при а < I < 1.
Тогда соответствующий стоимостной процесс задается
соотношением
"<" - /
ЛВ(з)
= У (I А а) для 0 < * < 1,
если предположить, что У(0) — 0. В частности,
У(1) = У(а) =а (п. н.).
В этом случае условие (12.1.5) сводится к неравенству
1
/ б1(з)с18 < со (п. н.).
о
Далее,
1 а
У*^(5)^-У*^-1пГг^-')-г<сх) (п. н.),
о о
следовательно, условие (12.1.5) выполнено. Но портфель 6(1) не
допустим, поскольку процесс У(1) — У(1 Л а) — В(\п(1_11Аа)) не
является (1,оо)-п. н. ограниченным снизу для (1,оо) Е [0,Т] х П. Заметим,
что 6(1) также не удовлетворяет условию (12.1.19), потому что
Е[У2(г)]=Е[У2(гЛа)] = Е
1
1Ла
1ё
с1з
Е
1п
1 -гла
-> Е[т] = оо
при I -> Т (упражнение 7.4 Ь)).

12.1. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж 315
Этот пример иллюстрирует тот факт, что при требовании к
портфелю быть только самофинансирующимся и удовлетворять
условию (12.1.5) он может породить любую стоимость У(Т, и) к
конечному моменту времени при Т/о = 0, даже когда процесс
рисковых цен Хх(1) является броуновским движением. Это явно
противоречит реальной жизненной ситуации в области финансов,
поэтому реалистичные математические модели должны учитывать более
сильные ограничения на допустимые портфели, чем (12.1.5).
Одним из таких естественных ограничений является принятое нами
условие (12.1.18).
Явление, рассмотренное в этом примере, можно также
проиллюстрировать с помощью следующего удивительного результата,
полученного Дадли (БисПеу (1977)).
Теорема 12.1.5. Пусть Р — Т^ -измеримая случайная величина,
и пусть В{1) —т-мерное броуновское движение. Тогда
существует такой портфель ф Е У^т, что
т
Р(и) = Г ф(1,и)аВ(г). (12.1.20)
о
Заметим, что портфель ф не единственный. См.
упражнение 3.4.22 в книге КагаЪгаз, Зпгеуе (1991). Также обратите внимание
на упражнение 12.4.
Это означает, что для любой константы г существует такой
портфель ф е УУШ, что
т
Р(и) = *+ Ф(1,и)<1В(1).
о
Таким образом, если допустить равенство т — п и
интерпретировать В\{1) = Х\(Ь),..., Вп{1) — Хп{1) как цены, а также положить
Х${1) = 1, это будет означать, что мы можем при любом начальном
капитале г получить любую Т^ -измеримую итоговую стоимость
р = У(Т), пока нам предоставляют свободный выбор портфеля
ф из УУШ. Это снова подчеркивает необходимость некоторого
дополнительного ограничения на семейство допустимых портфелей,
подобного условию (12.1.18).
Как же можно решить, допускает данный рынок {^"(0Ье[о,т]
арбитраж или нет? Весьма полезен следующий простой результат.

316 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Лемма 12.1.6. Предположим, что существует мера <2 на Т^ >
такая, что Р ~<2 и нормализованный ценовой процесс {Х(^)}^[о,т]
является локальным мартингалом относительно <2. Тогда рынок
{Х(^)}^[о,т] не имеет арбитража.
Доказательство. Предположим, что 6(1) есть арбитраж для
{Х(1)}1ф^т]- Пусть V (I) — соответствующий стоимостный процесс
для нормализованного рынка с начальным значением V (0) = 0.
Тогда в соответствии с равенством (12.1.14) процесс V (^)
является ограниченным снизу локальным мартингалом относительно <3.
Следовательно, V (I) является супермартингалом относительно
<3 на основании упражнения 7.12. Отсюда
Ед[Ув(Т)] < Ув(0) = 0. (12.1.21)
Но, поскольку Vе (Г, и) > 0 (Р-п. н.), мы имеем Vе (Г, и) > 0
(<2-п. н.) (потому что <3 <$С Р), и, так как Р[Ув(Т) > 0] > 0,
справедливо неравенство ()[Ув(Т) > 0] > 0 (потому что Р <& (2). Отсюда
следует, что
Ея[Ув(Т)) > 0,
а это неравенство противоречит (12.1.21). Следовательно, для
нормализованного ценового процесса {Х(1)} арбитража не существует.
Это означает, что процесс {Х(1)} не имеет арбитража
(упражнение 12.1). □
Определение 12.1.7. Мера <2 ~ Р', относительно которой
нормализованный процесс {Х(1)}1е[о^т] является (локальным)
мартингалом, называется эквивалентной (локальной) мартингальной
мерой.
Таким образом, лемма 12.1.6 утверждает, что если существует
эквивалентная локальная мартингальная мера, то рынок не имеет
арбитража. В этом случае рынок также удовлетворяет более
сильному условию "по йгее 1ипсЬ дуЦ;п уашзЫп§ пзк" (КГЬУК) ("
никакого бесплатного завтрака в отсутствии риска"). Обратно, если рынок
удовлетворяет условию КГЬУК, то существует эквивалентная
мартингальная мера. См. книги БеШаеп, ЗсЬаспегтауег (1994), (1995),
(1997), ЬеуепЪа!, ЗкогоЬос! (1995) и ссылки в них. Здесь мы
рассмотрим более слабый результат, который, однако, достаточно хорош
для многих приложений.

12.1. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж 317
Теорема 12.1.8. а) Предположим, что существует процесс
и{1,и) Е Ут(0,Т), такой, что для Х(1,и) = (Хг(г,ы),..ч
Хп(1,и)) выполняется равенство
а(1,и)и(1,и) = р,(1,и) - р(1,и)Х(1,и)
для почти всех (1,ш) (12.1.22)
Е
ехр
т
^|и2(*,Ч)сй)
< оо. (12.1.23)
Тогда рынок {-Х"(*)}*€[о,т] не имеет арбитража.
Ь) {См. КагаЬгаз (1996), теорема 0.2.4.) Обратно, если рынок
{Х(г)}г€[0.т] ие имеет арбитража, то существует
Т^-согласованный (2, и)-измеримый процесс и{1,и), такой, что
а{1,и)и{1,и) = /л{1,ш) — р(1,ш)Х(1,ш)
для почти всех (^,о;).
Доказательство, а) Мы можем допустить, что процесс {Х{1)}
является нормализованным, т. е. что р = 0 (упражнение 12.1).
Определим меру <2 = (2и на Т? по формуле
т т
(КЦш) = ехр ( - [и{1,и)йВ{1) - - / и2{г,и)йг\(1Р{и). (12.1.24)
о о
Тогда <2 ~ Р и по теореме Гирсанова II (см. теорему 8.6.4) процесс
ь
В{1) := [ и{з, ш)0з + В {г) (12.1.25)
о
является ф-броуновским движением. В терминах В{1) имеем
йХг{г) = \цА1 + а{йВ{1) = о{АВ{1), 1 < г < п.
Следовательно, Х{1) является локальным ф-мартингалом, и
заключение теоремы следует из леммы 12.1.6.

318 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Ь) Обратно, предположим, что рынок не имеет арбитража и
является нормализованным. Для I € [0,Т], ш € Я определим
рг = {о;; уравнение (12.1.22) не имеет решений}
= {и}цл(1,и) не принадлежит линейной оболочке векторов
у(1,и)-1А{г,и)фО}.
Положим
Г 818п(1;(*,а;) -^(*,о;))^(*,а;) для о; 6 Ри
*<*'"> = \ 0 для и* Л
при 1 < г < п и определим 6о(1,и) в соответствии с (12.1.17). По-
скольку процессы ст(^,о;), /х(2,и;) являются Т\ -согласованными и
(I, о;)-измеримыми, отсюда следует, что портфель 0(1, и) также мож-
но выбрать Т\ -согласованным и (^, ^-измеримым. Кроме того,
0(1, и) является самофинансирующимся и порождает следующий
прирост (доход) функции стоимости:
Г п
Ув(!9ы)-У9(0) = / ^9^8^)0X^8)
о *=1
= Хра(и)\у(8,и)-1л(8,и)\<18 + ^[^вг(8,и)°ч(8,и))<1вз(8)
= / Хра(и)\у(8,и) • ц(з,и))\<18
+ / 81§п(г;(5,а;) • ц(з,и))Хрз(и)ат(8,и)у(з,и)(1В(з)
о
= / Хра(и)\у(з,и) •/!($, о;) |ск > 0 для всех г 6 [О, Т].
о
Так как рынок не имеет арбитража, мы получаем (согласно
упражнению 12.1 Ь) равенство
Хрг(и) = 0 для почти всех (1,ш),
т. е. уравнение (12.1.22) имеет решение для почти всех (1,и). □

12.2. Достижимость и полнота 319
Пример 12.1.9. а) Рассмотрим процесс цены Х(1), заданный
уравнениями
ах0(г) = о, лхх{г) = 2И+лв1(1), ах2(г) = -(И+ав^+ав^).
В этом случае
и система аи — \х имеет единственное решение
-(=)-(-?)■
Из теоремы 12.1.8 а) делаем вывод, что Х{1) не имеет арбитража.
Ь) Затем рассмотрим процесс цены У(1), заданный уравнениями
аг0(1) = о, агг(г) = 2<& + сш^) + <ш2(*),
ау2(1) = -л - сш^) - <ш2(*).
Здесь система уравнений аи — /л приобретает вид
и не имеет решений. Итак, рынок имеет арбитраж в соответствии
с теоремой 12.1.8 Ь). Действительно, если мы выберем
0(0 = (0о, 1,1),
то получим
т
Vе(Т) = Vе(0) + [2Л1 + ЛВХ{1) + <Ш2(*) - Л - ЛВХ{1) - йВ2{1)
о
= У'(0) + Г.
В частности, если выбрать такое постоянное значение #сь при
котором
Vе(0) = воУо(0) + Уг(0) + У2(0) - 0,
то в будет арбитражем (см. упражнение 12.2).
12.2. Достижимость и полнота
Начнем этот раздел с изложения (без доказательства)
следующего полезного результата, который является специальным случаем
утверждения 17.1 из книги Уог (1997).

320 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Лемма 12.2.1. Предположим, что процесс и(1,ш) Е Уш(0,Т)
удовлетворяет условию
Т
ехр
У*ч*.
и)д,з
< 00.
(12.2.1)
Определим меру <2 = (}и на Р^ равенством
т т
(1(2(ы) = ехр ( - [ и{1,и)(1В{1) - ]- I и2{1^)йЛйР{и). (12.2.2)
о о
Тогда процесс
ь
В(1) := [ и(з, ы)йз + В{1) (12.2.3)
о
является Т^ -мартингалом (и, следовательно, Тг
-броуновским движением) относительно (} и любая функция
Р Е 1?(Тт , О) имеет единственное представление
т
Р(ш) = ЕЯ[Р) + I ф{1,и)йВ{1), (12.2.4)
О
где ф(1,ш) есть Т1 -согласованный, (^, и)-измеримый, Ит-знач-
ный процесс, такой, что
т
ЕЯ
/ ф2{1,и)(11
< оо.
(12.2.5)
Замечание, а) Заметим, что поток {Т[}, порожденный
процессом {В(1)}, содержится в {Т[ } (по (12.2.3)), но
необязательно эквивалентен {Т[ }• Таким образом, представление (12.2.4)
не является следствием теоремы о представлении Ито (см.
теорему 4.2.3) или теоремы Дадли (см. теорему 12.1.5), для выполнения
утверждения которой в этой постановке требовалась бы Т^,
-измеримость функции Р.
Ь) Чтобы доказать, что В{1) является ^т-мартингалом
относительно С}, применим формулу Ито к процессу
У(1) := 2{1)В{1),

12.2. Достижимость и полнота 321
где
I I
2(1) — ехр ( - / и(8,и)д,В(з) - - \ и2(з,со)(18 ),
о о
воспользуемся формулой Байеса и леммой 8.6.2. Детали
оставляются читателю. (См. упражнение 12.5.)
Далее сделаем следующее простое, но полезное наблюдение.
Лемма 12.2.2. Пусть Х(1) — ^(1)Х(1) —такой же
нормализованный ценовой процесс, как в (12.1.8)—(12.1.11). Предположим, что
6(1) —допустимый портфель на рынке {Х(1)} со стоимостным
процессом
Ув(1) = 6(1)-Х(1). (12.2.6)
Тогда 6(1) таксисе является допустимым портфелем и для
нормализованного рынка {Х(1)} со стоимостным процессом
Ув{1):=в{1)-Х{1)=Ц1)Ув{1), (12.2.7)
и наоборот.
Другими словами,
I
Ув(1) = Ув(0) + [ в(з)(1Х(8), 0 < * < Т, (12.2.8)
о
ф)Ув(г) = Vе'(О) + [ в{з)йХ{з), 0<1<Т. (12.2.9)
п
Доказательство. Заметим, что процесс V (I) ограничен снизу
тогда и только тогда, когда Vе (I) ограничен снизу (так как функция
р(1) ограничена). Рассмотрим сначала рынок, состоящий из
ценового процесса Х(1). Предположим, что 6(1) —допустимый портфель
для этого рынка со стоимостным процессом Vе (I). Тогда
7в(1)=в(1)-Х(1) = тУвЮ, (12.2.Ю)
и, так как портфель 6(1) является самофинансирующимся для
рынка {Х(1)}, на основании (12.1.14) получаем
йУв(1)=6(1)йХ(1). (12.2.11)

322 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Следовательно, портфель 6(1) также является допустимым для
_ — 9 Ь —
{Х(1)} и V (г) = Vе(0) + ^0(з)(1Х(з), а это показывает, что из
о
(12.2.8) следует (12.2.9).
Рассуждение можно провести в обе стороны, таким образом,
лемма доказана. □
Прежде чем продолжить изложение, отметим следующий
полезный результат.
Лемма 12.2.3. Пусть существует т-мерный процесс и(1,и) Е
Уш(0,Т), такой, что для Х(1,и) — (Х\(1,и),... ,Хп(1,и))
справедливо равенство
а(1,и)и(1,и) — //(*,и>) - р(1,и)Х(1,и)
для почти всех (1,ш) (12.2.12)
Е
т
ехр (- Iи2(з,и)(18 )] < оо. (12.2.13)
Определим меру С} — (^и и процесс В(1) в соответствии с
формулами (12.2.2), (12.2.3). Тогда В есть броуновское движение
относительно С} и в терминах В можно записать следующее
представление нормализованного рынка Х(1) — ^(1)Х(1):
(1Хо(г) = О, (12.2.14)
йХ{(1) = {(1)<п(1)(1В(г), 1 < г < п. (12.2.15)
т
В частности, если /Ео[^2(1)о~1(1)\оИ < оо; то ф является эквива-
о
лентной мартингальной мерой (см. определение 12.1.7).
п
В любом случае нормализованный стоимостной процесс V (I)
для допустимого портфеля в является локальным
(^-мартингалом и задается формулой
п
с1Ув (I) = Ц1)^01{1)(п{1)(1В{1). (12.2.16)
1=1

12.2. Достижимость и полнота 323
Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы Гирса-
нова. Для обоснования представления (12.2.15) запишем равенства
= *(*)[(/**(*) ~ р(*)Хг(1))<11 + а{(1)((1В(1) - щ(1)(И)}
т
В частности, если $ Ес}[%2(1)о?1(1)\д,1 < оо, то Х{(1) является мар-
о
тингалом относительно (} на основании следствия 3.2.6.
Представление (12.2.16) вытекает из (12.2.11) и (12.2.15). □
Замечание. Начиная с этого момента мы предполагаем, что
существует процесс и{1,и) Е Ут(0,Т), удовлетворяющий условиям
(12.2.12) и (12.2.13), и считаем, как и в лемме 12.2.3, что С2 и В
определены в соответствии с (12.2.2), (12.2.3).
Определение 12.2.4. а) (Европейским) условным Т-иском {или
просто Т-иском, или иском) называется ограниченная снизу
Т^ -измеримая случайная величина Р(и)1.
Ь) Говорят, что иск Г {и) достижим {на рынке {-Х"(0Ь€[о,т])> если
существует допустимый портфель 0(1) и действительное
число г, такие, что
т
Р(и) = У/(Т) :=?+ [ 0(1)(1Х(1) (п. н.)
о
и процесс
Г
Ув(1)=г+ {(з) ^ 0г(8)(п(8)с1В(8), 0 < * < Т,
о *=1
является <2-мартингалом.
Если такой портфель 0(1) существует, назовем его реплика-
тивным или хеджирующим портфелем для Р.
с) Рынок {Х(^)}г€[0,т] называется полным, если каоюдый
ограниченный Т-иск является достиэюимым.
1 Иск —иск по платежам, иск о возмещении убытков, платежное требование,
обязательство по обеспечению гарантий. — Прим. перев.

324 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Другими словами, иск Р{и) достижим, если существует такое
действительное число 2, что, выбрав его в качестве нашего
начального капитала, можно найти допустимый портфель 6(1), который
к моменту времени Т породит стоимость У/(Т), эквивалентную Е
(п. н.):
У^(Г, со) — Р{ш) для почти всех со.
Кроме того, мы требуем, чтобы соответствующий нормализованный
стоимостной процесс V (I), который имеет представление (12.2.16),
являлся мартингалом, а не локальным мартингалом
относительно ф.
Замечания. 1. Условие ограниченности в п. с) определения 12.2.1
является технически удобным, но возможны и другие подобные
определения. Заметим, что если рынок является полным в
смысле п. с), то отсюда во многих ситуациях следует, что и
неограниченные иски являются достижимыми. См. упражнение 12.3.
2. Если мы опустим мартингальное условие в определении 12.2.4 Ь),
то хеджирующий портфель не обязательно будет единственным.
См. упражнение 12.4.
Какие же иски являются достижимыми? Какие рынки являются
полными? Это — важные, но, вообще говоря, трудные вопросы. Мы
дадим на них некоторые частичные ответы.
Приступим к главному результату этого раздела.
Теорема 12.2.5. Рынок {Х(1)} является полным тогда и только
тогода, когда а(1,оо) имеет левую обратную матрицу А(1,со) для
почти всех (Ь,ш), т. е. существует Т±1г) -согласованный матрич-
нозначный процесс А(1,и) Е Ктхп; такой, что
А{1,оо)о(1,оо) — 1т для почти всех {1,оо). (12.2.17)
Замечание. Заметим, что свойство (12.2.17) эквивалентно свойству
гапксг(^,о;) = га для почти всех (1,ш). (12.2.18)
Доказательство теоремы 12.2.5. (1) Предположим, что условие
(12.2.17) выполнено. Допустим, что ф и В определены в
соответствии с (12.2.2), (12.2.3). Пусть ^ — ограниченный Т-иск.
Мы хотим доказать, что существует допустимый портфель в{1) —
(во(1),..., вп{1)) и действительное число 2, такие, что если положить
I
УЦ(1) =г+ [в(з)0Х(з), 0<*<Т,
о

12.2. Достижимость и полнота 325
то V г(1) является (^-мартингалом и
У/(Т) = Р(Ш) (п. н.).
Согласно (12.2.16) это условие эквивалентно соотношению
т
ат)р(и) = ув(т) = г+ /"$(*) х>ем*)<*в(')-
о *=1
По лемме 12.2.1 существует единственное представление
т
ат)Р(Ш) = Ед[ат)р]+1 ф(ь,Ш)<шц)
о
т
/171
о *=*■
для некоторого ф(1,ш) = (ф\(1,ш),... ,фт(1,ш)) 6 Кт. Положим
г = Ед[{(Т)Р]
и выберем 9(1) — (9\(1),... ,9П(1)) так, чтобы выполнялись
равенства
п
т^2^(1)а^(1) = ф;(1), \<]<тп,
1=1
Ц{1)0{1)о{Ь) = ф{1).
В соответствии с (12.2.17) это уравнение относительно 9(1) имеет
решение
9(1,и) = Хо(1)ф(1,и)\(1,и).
На основании выбора 90 согласно (12.1.16) портфель становится
самофинансирующимся. Кроме того, поскольку (,{1)У^(1) = г +
I I _
§ 9(8)д,Х(з) — г -\- /</>($)сШ($), мы получаем полезную формулу
о о
И№!{1) = Ео\&Т)У°(Т)\Ъ] = Ед№Т)Р\Ъ]. (12.2.19)
В частности, процесс У®(1) является ограниченным снизу.
Следовательно, рынок {Х(1)} полный.
(п) Обратно, предположим, что рынок {Х(1)} является полным.
Тогда {Х(1)} является полным, таким образом, мы можем
предположить, что р = 0. Вычисление в п. (1) показывает, что стоимост-

326 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
ной процесс У^(1), порожденный допустимым портфелем 9(1) —
(#о(*),01(*),---Лг(О)> имеет вид
I I
Угв(1) = г+ 1^(^Ох0хАаВ5=г+ (войВ, (12.2.20)
о *=1 *=1 о
тж0{1) = (01 (*),... А(0).
Так как рынок {Х(1)} полный, мы можем хеджировать1
любой ограниченный Т-иск. Выберем ^"^-согласованный процесс
т
ф(Ь,ш) Е Кш, такой, что Ес}[^ф2(1,ш)<И] < оо, и определим Р(ш) :=
о
т
/ ф(1,ш)(1В(1). Тогда Ес}[Р2] < оо, следовательно, можно найти та-
о
кую последовательность ограниченных Т-исков Рк(ш), что
Рк->Р в Ь2((3) и Ед[Рк] = 0.
Так как рынок полный, для любого к существует допустимый
портфель 0<*) = (0^\#*>), при котором процесс Vе™{I) = }в^а<1В
о
является <2-маРтингал0М и
т
рк(со) = Vе™ (Г) = [в^ас1В.
о
Тогда в соответствии с изометрией Ито последовательность
{0^сг}^=1 является последовательностью Коши в Ь2(Х х ф), где
А означает меру Лебега на [0, Г]. Следовательно, существует такое
ф(Ь,и) =Хф\{1,и),... ,фт{1,и)) е Ь2(Х х О), при котором
д^а-ьф вЬ2(Ахд).
Но тогда
(фдВ= Нт ($ЯаАВ= 11т Е[Рк\т[т)] = Е[Р\т[т)]= (фЛВ
0 0 0
(п. н.) для всех I Е [0,Т], где Т^ есть сг-алгебра, порожденная
В(з), з < I.
1 Страховать от возможных потерь. — Прим. перев.

12.2. Достижимость и полнота 327
Следовательно, на основании единственности мы имеем
ф(1,оо) = ф(1,ш) для почти всех (^,са). Выберем для
почти всех (^, Сс;) такую подпоследовательность х^к\1,со) =
(х1*\г,и),...,х$(1,и)) е К™, что
х^к\ь,и)а(Ь,ш) -» ф(1,и) при А: -» оо.
Это означает, что ф{1,ш) принадлежит линейной оболочке строк
{(7г(^,сс;)}^=1 матрицы о~(1, оо). Так как ф Е Ь2(\хС2) произвольно,
делаем вывод, что линейная оболочка {сгД^,сс;)}^==1 есть все
пространство Кт для почти всех (1,ш). Таким образом, тзх\ка(1,и) = га и
существует такая матрица А(1,ш) Е КтХп, что
А(1,и)а(1,и) = 1т. □
Следствие 12.2.6. а) Если п — т, то рынок полный тогда и
только тогда, когда матрица о~{1,ш) обратима для почти всех
Ь) Если рынок является полным, то
гапксг(^,сс;) = га для почти всех (1,и).
В частности, п > т.
Кроме того, процесс и{1,ш), удовлетворяющий условию
(12.2.12), является единственным.
Доказательство. Утверждение а) есть прямое следствие
теоремы 12.2.5, поскольку при п — т существование левой обратной
матрицы означает обратимость. Существование левой обратной
матрицы для п х т-матрицы возможно только тогда, когда ее ранг
равен га, что опять означает п > га. Кроме того, решение и(1,и)
уравнения (12.2.12) задается по формуле
и(Ь,и) = А(1,и)[1л(1,и) - р{1,и)Х{1,оо)\
Это и показывает справедливость утверждения Ь). □
Пример 12.2.7. Определим Х$(1) е1и
(ИН'МННк)
Тогда р = 0 и уравнение (12.2.12) приобретает вид

328 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
и имеет единственное решение и\ = 1, и^ — 2. Так как и - константа,
ясно, что условия (12.2.12) и (12.2.13) выполнены. Из этого
немедленно следует, что гапксг = 2, поэтому условие (12.2.18)
выполнено, и рынок является полным в соответствиии с теоремой 12.2.5.
Так как
мы видим, что в этом случае
л I х О 0 \
Л=(0 1 0^
является левой обратной матрицей для
Пример 12.2.8. Пусть Х^{1) е1и
ахг(г) = 2(И + ав^г) + ав2(1).
Тогда /1 = 2, а = (1,1) е К1х2, следовательно, п = 1 < 2 = га.
Поэтому такой рынок не может быть полным на основании
следствия 12.2.6. Итак, существуют ограниченные Т-иски, которые не
могут быть хеджируемыми. Можно ли найти такой Т-иск?
Предположим, что 6{1) = (#0(^)5^1 (0) —допустимый портфель. Тогда
соответствующий стоимостной процесс У®{1) задается
соотношением (см. (12.2.20))
у2е(г) = г+ I в^АВ^+ЛВ^)).
о
Итак, если в хеджирует Т-иск Р(ш), то
т
Г(и) = г+ I в1(з)(АВ1(з)+АВ(8)). (12.2.21)
о
Выберем Р(и) = д(В\(Т)), где функция д: К -> К ограничена.
Тогда, применяя теорему о представлении Ито к двумерному броунов-

12.3. Расчет опциона 329
скому движению В(1) = фх(1), Л32(^)), мы видим, что существует
единственная функция ф(1,ш) — (ф1(1,ш),ф2(1,ш)), такая, что
т
д(В1(Т)) = ЕдкфгЦГ))] + | <Ы*№(5) + ф2(з)<1В2(8),
о
а применяя ту же теорему к В\(1), мы получаем ф2 — 0, т. е.
т
дфг(Т)) = Ея\дф1(Ш + I ФгШВЛ*)-
о
Сравнивая этот результат с (12.2.21), мы видим, что такого
портфеля #1 не существует. Итак, иск Е(со) = д(Вх(Т)) не может быть
хеджирован.
Замечание. Следующая замечательная характеристика полноты
в терминах эквивалентных мартингальных мер была получена в
работах Нагпзоп, РНзка (1983) и Ласос! (1979).
Необходимым и достаточным условием существования
полного рынка {Х(Ь)} является существование одной и только одной
эквивалентной мартингальной меры для нормализованного рынка
(Х(1)}.
(Сопоставьте этот результат с характеристикой эквивалентной
мартингальной меры для рынков без арбитража и рынков с
условием NР^VК, о котором говорилось после определения 12.1.7!)
12.3. Расчет опциона
Европейские опционы
Предположим, что Е(ш) есть Т-иск. Европейский опцион на иск
Е — это гарантия того, что сумма Е(со) будет выплачена в момент
времени I — Т > 0. Сколько бы вы согласились заплатить в момент
времени I — 0 за такую гарантию? Вы могли бы рассуждать
следующим образом. Если Я —покупатель опциона — плачу цену у за
эту гарантию, тогда Я имею начальный капитал —у в моей
инвестиционной стратегии. Должна существовать возможность с помощью
этого начального капитала (долга) хеджировать к моменту времени
Т стоимость У^у(Т,ш), которая даст мне неотрицательный
результат, если внесена гарантируемая плата:
У°у(Т,и) + Р(ы)>0 (п.н.).

330 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Таким образом, максимальная цена р = р(Р), которую готов
платить покупатель, есть
(цепа (европейского) условного иска Р для покупателя)
р(Р) — 8ир{з/; существует допустимый портфель 0, такой, что
т
У1у{Т,ы) := -у + 1в(з)АХ(з) > -Р(и) (п. н.)}. (12.3.1)
о
Со стороны продавца этой гарантии рассуждения могли бы быть
следующими. Если Я — продавец — получаю цену г за эту гарантию,
тогда Я могу воспользоваться ею в качестве начального капитала
в инвестиционной стратегии. Должна быть возможность с помощью
этого начального капитала хеджировать к моменту времени Т
стоимость У/(Т,си), не меньшую чем сумма Р(ш), которую Я обещал
заплатить покупателю:
У!{Т,ы)>Р(и>) (п.н.).
Таким образом, минимальная цена д = д(Р), на которую желает
согласиться продавец, есть
(цепа (европейского) условного иска Р для продавца)
д(Р) = т{{г; существует допустимый портфель 0, такой, что
т
Уге(Т,и):=г+ [0(з)ОХ(з) > Р(и>) (п. н.)}. (12.3.2)
о
Определение 12.3.1. Если р(Р) — д(Р), назовем эту общую
стоимость ценой (в момент времени I — 0) (европ
йского) условного Т-иска Р(ш).
Приведем два важных примера европейских условных исков.
а) Европейский опцион-са11, при котором
Р(ш) = {Х4{Т,ш) - К)+
для некоторого г Е {1,2,...,п} и некоторого К > 0. Этот
опцион дает владельцу право (но не обязательство) купить одну
гарантию с номером г по установленной цене К (цене
исполнения) гарантии в момент времени Т. Итак, если Хг(Т,ш) > К, то
владелец опциона хочет добиться выплаты Х{(Т,и) — К в
момент времени Т, в то время как если Х{(Т,и) < К, то владелец
не будет выставлять свой опцион и выплата будет нулевой.

12.3. Расчет опциона 331
Ь) Подобным образом, европейский опцион-ри1 дает владельцу
право (но не обязательство) продать одну гарантию с номером г по
установленной цене К в момент времени Т. Этот опцион дает
владельцу выплату
Р(и) = (К-Х1(Т,и))+.
Теорема 12.3.2. а) Предположим, что условия (12.2.12) и
(12.2.13) выполнены, и пусть <2 определяется в
соответствии с (12.2.2). Пусть Г — (европейский) Т-иск, такой, что
Есэ[$(Т)Р} < оо. Тогда
ез8ЫГ(и))<р(Г) < Ео[${Т)Г] < д{Г) < оо. (12.3.3)
Ь) Предположим, в дополнение к условиям п. а), что рынок {Х(1)}
является полным. Тогда цена (европейского) Т-иска Г есть
р(Р) = Ер[аТ)Р] = д(Р). (12.3.4)
Доказательство, а) Предположим, что у Е К и существует
допустимый портфель #, такой, что
т
У1у{Т,ы) = -у + 19{8)аХ{8) > -Р(ы) (п. н.).
о
Пользуясь равенством (12.2.7) и леммой 12.2.4, можем
переписать это неравенство в виде
т
г п
-У + У Е вгШ(8)аг(з)(1В(8) > -&Т)Р(и) (п. н.), (12.3.5)
о 1=1
где процесс В определен в (12.2.3).
* п
Так как процесс / ^ 0»(5)^(5)0^(5)<Ш(5) является ограни-
0 г=1
ченным снизу локальным (^-мартингалом, он является и
супермартингалом на основании упражнения 7.12.
Следовательно Я<э[/ X; 6{(8)€(8)а{(з)<1В(8)] < 0 для всех I е [О,Г]. Поэто-
0 г=1
му, применяя к неравенству (12.3.5) операцию математического
ожидания относительно <2, мы получим
у < Ед[{(Т)Р].
Отсюда
р(Р) < Ед[^Т)Р],

332 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
если такой портфель в существует для некоторого у Е К. Это
доказывает второе неравенство в (12.3.3). Ясно, что если у <
Р(ш) для почти всех о;, то мы можем выбрать в = 0. Отсюда
следует, что и первое неравенство в (12.3.3) справедливо.
Подобным образом, если существуют г Е К и допустимый
портфель #, такие, что
т
г+ [ в(з)ЛХ(з) >Р{и) (п. н.),
о
то, как и в неравенстве (12.3.5), мы получаем
т
Г п
г Л- у ^в{{з)^з)а^з)йВ{з)>^Т)Р{ш) (п. н.).
о *=1
Применяя операцию математического ожидания относительно
(2, получим
* > Е<э[{(Т)П
если такие г и в существуют.
Если таких г,в не существует, то д(Р)> = оо > Е(з[%(Т)Р].
Ь) Далее, предположим в дополнение, что рынок является полным.
Определим
[&, если^Н >к,
к{ } \Р{ы), если Р{ы) <к.
Значит, величина Р& является ограниченным Т-иском. Таким
образом, на основании полноты мы можем найти (единственные)
ук е К и 0(*>, такие, что
т
-Ук + 1в^(з)с1Х(з) = -Рк(ы) (п. н.),
о
т. е. (по формуле (12.2.7) и лемме 12.2.4)
т
-Ук + [52в\к)(зШ8)<п(з)<1В(з) = -&Т)Рк(ы) (п. н.).
о *=1
* П (к) ~
Так как $ ^2 ®\ \8)^{8)аг(8)^(8) является (^-мартингалом (см.
О г=1
определение 12.2.4 с)), это равенство приводит к тому, что
ук = ЕдШ)Рк).

12.3. Расчет опциона 333
Отсюда
р(Р) > р(Рк) > Ед[аТ)Рк] -> Ед[аТ)Р]
при к -> оо в силу монотонной сходимости. С учетом п. а)
получаем равенство
Р(Р) = Еа[&Т)Р].
Подобное же рассуждение позволяет доказать, что
д(Г) = Ед[аТ)П □
Как застраховать достижимый иск
Мы видели, что если У®(1) является стоимостным процессом при
л
допустимом портфеле 0(1) для рынка {Х(1)}, то У'г{1) := (,(1)У!!(1)
является стоимостным процессом при 0(1) для нормализованного
рынка {Х(1)} (см. лемму 12.2.3). Отсюда мы имеем
ь
$(1)Уг9(1) =г+ [ 0(з)йХ(з). (12.3.6)
о _
Если условия (12.2.12) и (12.2.13) выполнены, то, определив (^), В в
соответствии с (12.2.2) и (12.2.3), мы можем переписать это
равенство (см. лемму 12.2.4) в виде
г п га
Ф)У!{1) =*+ ^Шз)^2°Ф)Щ(з). (12.3.7)
{ <=1 ;=1
Поэтому портфель 6{1) = {ва{1),..., вп{1)), необходимый для
хеджирования данного Т-иска Р, задается соотношением
$(4,00(0!(*), • • • А(*)М*.") = <М',Ч>, (12-3.8)
где ф(1,ш) Е Кт таково, что
т
${Т)Р{ш) = г + ( ф(1, ы)<1В(1) (12.3.9)
о
(а 0о(1) задается в соответствии с (12.1.14)).
Представляет интерес задача явного нахождения
подынтегральной функции ф{1,ш) при заданном Р. Один из способов
решения данной задачи состоит в использовании обобщенного варианта

334 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
теоремы Кларка—Окоуна из исчисления Малевэна. См. КагаЪгаз,
Осопе (1991). Обзор, который содержит их результат, можно найти
в книге 0кзепсЫ (1996). В марковском случае, однако, существует
более простой метод, который мы сейчас опишем. Это модификация
метода, использованного Ху (Ни (1995)).
Пусть У(I) —диффузионный процесс Ито в Кп, который
задается уравнением
лу(ь) = ь(У(г))м + сг(У(*))<ш(*), у(о) = у, (12.3.10)
где Ь: Кп -» Кп и а: Кп -> Кпхт—заданные непрерывные по
Липшицу функции. Предположим, что процесс У(1) является
равномерно эллиптическим, т. е. что существует константа с > 0,
такая, что
$Та(х)аТ(х)$ > с\$\2 (12.3.11)
для всех ^ Е Кп, х Е Кп.
Пусть р: Кп —> К — ограниченная непрерывная по Липшицу
функция, и пусть 2(1) —диффузионный процесс Ито в Кп,
заданный уравнением
02(1) = р(2(1)) 2(1)41 + а(2(1))<1В(1), 2(0) = г. (12.3.12)
Допустим, что Д: Кп —> К — непрерывная функция, такая, что
Е2[|Д(^(^))|] < оо для всех г и всех I Е [0,Т], и положим
ш(1,г) =Е2[Н(2(1))] (12.3.13)
и
д(1,г) = и>(Т-1,г).
Известно, что в силу равномерной эллиптичности ю(1, г) Е
С1,2((0, оо) х Кп) (см. Дынкин (1963), теорема 13.18 и теорема 5.11),
и, следовательно (см. теорему 8.1.1), выполняется обратное
уравнение Колмогорова
д'ш , ч ^ д'ш 1 ^ , т , ч д2уо
г—\ г, _; = 1 •>
Поэтому если мы воспользуемся формулой Ито для процесса
ф) := д(1, У(Ь)) = ю(Т - I, У(I)), (12.3.14)

12.3. Расчет опциона 335
то получим
^(*,г(«))+х;^(*,г(*))ь*(п*))
г—\ г
г,з — 1 -1
+Еяг(*'г(*))Е(7у(п*))^(*)
*
г=1
*=1
г=1
(Ь,(У(0)-р(У(0)У,(0)^
,=1
(12.3.15)
Предположим, что для всех у Е Кп существует и(у) Е Кт, такое,
что
т
<*(уМу) = Ь(у)-р(у)у иЕ
а/*
< оо. (12.3.16)
ехр [ - / и2(У(з))(18
о
Если, как обычно, определить меру (^ = (2и на, Тт по формуле
т т
(КЭ(ы)=ехр(- [и{У(1))(1В{1)-]~ ( и2(У(1))аг\(1Р{и), (12.3.17)
о о
то процесс
г
В(1) = ( и{У{з))Лз + В(1) (12.3.18)
о
будет броуновским движением относительно <2, и из (12.3.15) мы
получим
п л т
г=1 г ^=1
(12.3.19)
Теперь по формуле (12.3.14) мы имеем
т,(Т) = ь,(0,У(Т))
= Е2[Л(2(0))]г=у(т) = Л(*)*=У(Т) = Л(Г(Г)) (12.3.20)

336 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Ч(0) = ю(Т, У(0)) = Е»[Н(2(Т))}. (12.3.21)
Пользуясь соотношениями (12.3.19)—(12.3.21), получаем
т
Л(У(Г)) = ЕУ[Н(2(Т))} + 1(У9)Т(1, У{1))о{У(1))<1В{1). (12.3.22)
О
На основании (12.3.10) и (12.3.18) можно заключить, что У(1)
является слабым решением уравнения
йУ{1) = р(У(1))У(1)(И + сг{У(1))<Ш{1).
Следовательно, на основании слабой единственности (см.
лемму 5.3.1) мы имеем
ш(1,у) = ЕУ[Н(2(1))] = Е^[Н(У(1))] для всех I. (12.3.23)
Подставляя это соотношение в (12.3.22), получим следующий
результат.
Теорема 12.3.3. Пусть процессы У(I) и 2(1) определены
уравнениями (12.3.10) и (12.3.12) соответственно, и пусть к: Кп -> К—
функция, определенная для формулы (12.3.13). Предполоснсим, что
выполнены условия (12.3.11) и (12.3.1б); и определим ф и В(1) в
соответствии с (12.3.17) и (12.3.18). Тогда
т
Н(У(Т)) = ЕУр[Н(У(Т))} + I' ф(Ь,ш)<Ш(Ь),
О
где ф - (01,... ,фт),
п я
Ф&М = Е ^-(еу[н{2(т - г))])у=уц)^(У(г)),
1=1 °Ш
1<3 <тп. (12.3.24)
В частности, если р — Ь — 0 и а = 1т, тогда и = 0, Р = С2 и
У(1) = 2(1) — В(1). Отсюда мы получим представление
ЦВ(Т)) = Е»[Н(В(Т))]
Т
+
о з
т
/т я
]Г ^Е>[Н(В(Т - 1))}г=в(1)Щ{Ь). (12.3.25)

12.3. Расчет опциона 337
Суммируем наши результаты о расчете и хеджировании
европейских Т-исков следующим образом.
Теорема 12.3.4. Пусть {^(0}ге[о,т] ~~ полный рынок.
Предположим, что выполнены условия (12.2.12) и (12.2.13), и пусть С^,В
определены в соответствии с (12.2.2), (12.2.3). Пусть Р
—европейский Т-иск, такой, что Ед[^(Т)Р] < оо. Тогда цена иска Р
определяется равенством
р(Р) = Е<э[{(Т)Р]. (12.3.26)
Кроме того, чтобы найти репликативный (хеджирующий)
портфель 9(1) = (#о(0> • • • ?^п(0) для иска Р, вначале найдем
(например, используя, если возможно, теорему 12.3.3) такой
вектор ф е УУт, что
т
аТ)Р = Ея[аТ)Р] + I ф{1,ы)<Ш{1). (12.3.27)
о
Затем возьмем такой набор 6(1) = (6\(1),... ,вп(1)), что
0(1, и){(1, и)а(1, и) = ф(1, и), (12.3.28)
и выберем 9$(1), как функцию, определенную для формулы (12.1.14).
Доказательство. Равенство (12.3.26)— это в точности
утверждение п. Ь) теоремы 12.3.2. Соотношение (12.3.28) следует из (12.3.8).
Заметим, что уравнение (12.3.28) имеет решение
9(1, и) = Х0(1)ф(1, и)А(1, и), (12.3.29)
где А(1, и) — левая обратная матрица для матрицы о~(1,и) (см.
теорему 12.2.5). □
Пример 12.3.5. Предположим, что рынок имеет вид Хо(1) = ерь,
Х\(1) = У(Ь), где р > 0 —константа и У(1) — процесс Орнштейна—
Уленбека:
йУ{1) = аУ(1)(И + о~(1В(1), У(0) = у,
а, а — константы, а ф 0. Как следует хеджировать иск
Р(ш) = ехр(Г(Г))?
Портфель 0(1) = (#о(0>^1(0)> который мы ищем, задается
формулой (12.3.29), т. е.
в1{1,ы) = е',ьа-1ф(1,и),

338 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
где ф(1,ш) и У(0) единственным образом получены из (12.3.9), т. е.
т
^(Т)Г(и) = г + [ ф(1,ы)<1В(1).
о
Чтобы найти ф(1,оо) явно, воспользуемся теоремой 12.3.3. В этом
случае мы выберем Н(у) = ехр(у)е~рТ и 62(1) = р2(1)сИ + 6В(1).
Тогда (см. упражнение 5.5)
I
2(1) = 2(0)ерЬ+а [ ер^~з)6В(з).
о
Следовательно,
ертЕ1\Н(У(Т - 1))\ = ертЕу[Н(2(Т - г))]
т-ь
= ЕУ[ехр(уер^т~^+а I е'<г-'-в><Ш(*))]
о
= ехр (уе'<'г-4> + ~(е2"^^ - 1)), если р ф 0.
Поэтому
*..„) = |-(ехр (»«»<-> + ^(в«-> -1))) ,.
= »е-" ехр {у(1)е'<т-'> + ~(е2'<т~» - 1)}
и отсюда, если р ф 0, мы получаем
0х(*) = ехр {У(0е^т"*) + ^(е2^г-*> - 1)}.
Если р = 0, то 0х(*) = ехр {У(*) + ^(Т - *)}.
Обобщенная модель Блэка—Шоулса
Теперь мы ограничимся ситуацией, когда рынок имеет только две
ценные бумаги Хо(1),Х\(1), причем Х0, Х\ — процессы Ито,
которые описываются уравнениями
<1Хо(1) = р(1,и)Хо(г)сИ (как и прежде), (12.3.30)
ЛХх (I) = а(Ь, и)Хх {1)6,1 + /?(*, и)Хх (1)<1В(1), (12.3.31)

12.3. Расчет опциона 339
где процесс В(1) одномерный и а(1,ш),/3(1,и) —одномерные
процессы в Ж
Заметим, что решением уравнения (12.3.31) является процесс
I
Хг(1) = Х1(0)ехр ( [Р(з,и)<1В(8)
I
+ У"(а(в,ш) - ^/32(з,Ш))(1з\ . (12.3.32)
О
Уравнение (12.2.12) имеет вид
Хг (1Щ1, и)и(1, и) = Хг (1)а(1, и) - Хх (1)р(1, и)
и обладает решением
и(1,и) = Р~1(1,и)[а(1,и) - р(1,и)], если /3(1,и)ф0. (12.3.33)
Итак, условие (12.2.13) выполнено тогда и только тогда, когда
т
Е
< оо. (12.3.34)
ехр и уч ч^79/„г.г"7/ <**
о
В этом случае мы имеем эквивалентную мартингальную меру (^,
заданную по формуле (12.2.2), и по теореме 12.1.8 рынок не
имеет арбитража. Кроме того, рынок является полным на основании
следствия 12.2.5. Поэтому согласно теореме 12.3.2 цена
европейского опциона в момент времени I — 0 с выплатой, предоставленной по
условному Т-иску Р, определяется равенством
р(Р) = д(Р) = Ед[аТ)Р\, (12.3.35)
если эта величина конечна.
Теперь предположим, что функции р(1^) — р(1) и /3(1,и) — /3(1)
являются детерминированными и выплата Р(ш) имеет вид
Р(и) = ПХг(Т,Ш)),
где /: К —> К —такая ограниченная снизу функция, что
едргхсг))] < оо.
Тогда по формуле (12.3.35) цена р = р(Р) — д(Р) при условии х\ =
Х\ (0) определяется равенством
т т
р = Ц{Т)Ея\
О О
т т
/(ххехр (I р{з)йВ{з) + 1ш - ^02 («))<**))

340 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Случайная величина У = $ /3(з)с1В(8) является нормально распре-
о
деленной относительно меры ф с нулевым среднем и дисперсией
т
§2 := § @2(1)сИ, поэтому мы можем написать более подробную фор-
о
МУЛУ Для Р и получить следующий результат.
Теорема 12.3.6 (обобщенная формула Блэка—Шоулса).
Предположим, что процесс Х(1) = (Хо(1),Х\(1)) задан уравнениями
ах0{1) = р(1)Х0(1)<11, Хо(0) = 1, (12.3.36)
ахг(*) = а{г,и)х1{г)аг + р{г)х1{г)ав{г), хх(о) = хг > о, (12.3.37)
где функции р(1), /3(1) детерминированные и
т
Е
ехр
а/
(а(1,и) - р(1)У
оИ
< оо.
а) Тогда рынок {Х(1)} является полным и в момент времени
1 = 0 цена европейского Т-иска Е(ш) = /(Х\(Т,оо)) при
условии Ед[/(Х\(Т,и))] < оо определяется равенством
Р =
I
К
/ ( хг ехр
т
1
У+ I [Р(8)--Р(8))<18
• ехр
2<52
<1у, (12.3.38)
т т
где $(Г) = ехр(-//>(*)<&) и б2 = { р2(з)а1з.
о о
Ь) Если р,а,/3 ф 0—константы и / Е С1 (К), тогда
самофинансирующийся портфель 9(1) = (9о(1),9\(1)), необходимый для
хеджирования Т-иска Е(и) = /(Х\(Т,ш)), задается по формуле
в!(1,Ш) = ,21Г_1) |/,№«^)ехр{^+ (р- \р2){Т-1)})
•ехр(/?я-—^у-^2 (Г-*))<**, (12.3.39)
а 9о(1,со) определяется в соответствии с (12.1.14).

12.3. Расчет опциона 341
Доказательство. Утверждение п. а) уже доказано, а утверждение
п. Ь) следует из теоремы 12.3.3 и теоремы 12.3.4 (строго говоря,
условие (12.3.11) для процесса Х\ не удовлетворяется, если точка х
не отделена от 0, но в этом случае можно непосредственно
проверить, что функция и(1,г), заданная по формуле (12.3.13),
принадлежит классу С1'2((0, оо) х К), поэтому теорема 12.3.3 все еще
справедлива). Портфель, который мы ищем, задается в соответствии с
(12.3.28) формулой
где ф{Ь,ш) определяется равенством (12.3.24), если в нем положить
Ну) = е~ртНу),
У{1) = ЗД) = т ехр [рВ{1) + (а- ^/?2)*}
и
Следовательно,
в1(^) = е^\13Х1(1,Ш)Г^[ЕУ{е^т/(2(Т-1)))]у=у{1)-РХ1(^)
= е^)АЕ[/(2/ехр{тг_,) + (,_^)(Г_0})]^
= ^-т)Е[г(уеХР{тт-г) + (р-\^)(т-г)})
■ е^{тт-г) + (Р-^)(т-г)}}у=п1)
К
.е^{рх+[р-1-Р2){Т-1)}е~^-'Чх,
что эквивалентно соотношению (12.3.39). □
Американские опционы
Различие между европейскими и американскими опционами
состоит в том, что в последнем случае покупатель опциона свободен в
выборе любого момента выполнения гарантии г — в заданный
момент истечения срока Т или ранее (и гарантируемая выплата может
зависеть как от т, так и от си). Это время выполнения обязательств

342 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
(гарантии) г может быть случайным (зависеть от о;), но только
таким образом, что решение об исполнении опциона в момент времени
I или до него зависит только от предыстории до момента I. Более
точно, потребуем, чтобы для всех I выполнялось условие
{Ш; т{ы) < 1} 6 Т\т).
Другими словами, г должно быть .Т^1'-моментом остановки (см.
определение 7.2.1).
Определение 12.3.7. Американский условный Т-иск есть
Ть -согласованный, (I,и)-измеримый и (п. н.) ограниченный
снизу непрерывный стохастический процесс Р(1) = Р(1,ш), I Е [0,Т],
и Е О. Американский опцион на такой иск Р(1,и) дает владельцу
право (но не обязательство) выбрать любой момент остановки
т(и) < Т в качестве времени исполнения опциона,
завершающегося выплатой Р(т(ш),ш) владельцу.
Пусть Р{1) — Р(1, со) — американский условный иск.
Предположим, что Вам предоставили некоторую гарантию выплаты суммы
Р(т(и),и) в момент (остановки) т(ш) < Т, который Вы вольны
выбрать. Сколько бы Вы пожелали заплатить за такую гарантию?
Повторим доводы, предшествовавшие определению 12.3.1.
Если Я — покупатель — плачу цену у за эту гарантию, тогда Я
буду иметь начальный капитал (долг) —у для моей инвестиционной
стратегии. При этом начальном капитале —у должна существовать
возможность найти момент остановки г < Т и допустимый
портфель #, такие, что
У?у(т(ы),и>) + Р(т{и,),и,)>0 (п. н.).
Таким образом, максимальная ценар = ра{Р), которую покупатель
желает оплачивать, есть
(цена американского условного иска Р для покупателя)
Ра(Р) — зир{|/; существуют момент остановки т <Т
и допустимый портфель в, такие, что
т(ш)
У1у(т(и),и) := -у + У 0(з)(1Х(з) > -Р{т{и),и) (п. н.)}.
о
(12.3.40)
С другой стороны, продавец мог бы рассуждать следующим
образом: если Я —продавец—получаю цену г за такую гарантию, то

12.3. Расчет опциона 343
должна быть возможность с помощью этого начального капитала
г найти допустимый портфель 9, порождающий стоимостной
процесс, значение которого в любой момент времени будет не меньше,
чем сумма, обещанная в качестве оплаты покупателю:
У?(1,и) > Р(*,и) (п. н.) для всех I е [0,Т].
Таким образом, минимальная цена д — #а(Л> на которую согласен
продавец, есть
{цена американского условного иска Р для продавца)
Яа(Р) — тГ{г; существует допустимый портфель #,
такой, что для всех I Е [0,Т] выполняется неравенство
ь
У?(1,ы) :=г+ (в{з)а1Х{8) > Р{1,ы){п. я.)}. (12.3.41)
о
Теперь мы можем доказать результат, аналогичный теореме 12.3.2,
который был получен в работах Вепзоиззап (1984) и Кагайгаз (1988).
Теорема 12.3.8 (формула расчета цены американского опциона).
а) Предполоэюим, что выполнены условия (12.2.12) и (12.2.13), а
(^ определено в соответствии с (12.2.2). Пусть Р(1) — Р(Ь,ш);
I Е [0,Т] —американский условный Т-иск, такой, что
трЕя[^т)Р(т)} <оо. (12.3.42)
т<Т
Тогда
Ра(Р) < 8ир Ед[ат)Р(т)} < дА(Р) < оо. (12.3.43)
Ь) Предполоэюим в дополнение к условиям п. а), что рынок {Х(1)}
полный. Тогда
рА(Л = зир Ед[{(т)Р(т)] = дА(Р). (12.3.44)
Доказательство, а) Исходим из доказательства теоремы 12.3.2:
предположим, что у Е К и существуют момент остановки г < Т
и допустимый портфель 9, такие, что
г
У1у(т,ы) = -у + 1в(з)аХ(з) > -Р(т) (п. н.).
о

344 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
Тогда, как и ранее, получим
} п
-у + / Е ша*ы*)лв(8) > -&т)р(т) (п. н.).
О -1
Переходя к математическим ожиданиям относительно <2, мы
получаем
У < Ео^тЩт)] < 8ир Ея[^т)Р{т)].
т<Т
Поскольку это неравенство имеет место для всех у Е К, делаем
вывод о том, что
Ра{Р) < зир ЕдШР(т)]. (12.3.45)
т<Т
Подобным же образом, предположим, что г Е Ни существует такой
допустимый портфель #, что
У°(1,и) = г+ в(з)(1Х(з) > Г(1) (п. н.) для всех I е [О,Г],
о
Тогда, как и выше, если г < Т — момент остановки, то
}п
* + У ) . е{{8Ш8)<п(з)<1В{8) > &Т)Р(Т) (П. Н.).
О
Вновь применяя операцию математического ожидания
относительно (^ и вычисляя затем точную верхнюю грань по т < Т, получим
г > *мр Ед[{(т)Р(т)].
т<Т
Так как это неравенство выполнено для всех 2ЕК, мы имеем
Яа{Р) > **!> Ея[#т)Р{т)]. (12.3.46)
т<Т
Ь) Теперь дополнительно предположим, что рынок полный.
Выберем момент остановки т < Т. Определим
г (+\ - т? и < л - /*> если р(г>и) ^ *>
1 Р(1,и), если Р{1,со) < к,
И ПОЛОЖИМ
Ск(и) = Х0(ТШт)Рк(т).

12.3. Расчет опциона 345
Тогда С к является ограниченным Т-иском, поэтому, пользуясь
полнотой, мы можем найти ук Е К и портфель 9^к\ такие, что
т
-Ук + I 9^(з)с1Х(з) = -Ск(и) (п. н.)
о
и процесс
I
[в{к)(з)с1Х(з)
-Ук +
о
является (^-мартингалом. На основании (12.2.8)—(12.2.9) мы
заключаем, что
т
-Ук + ]0Ю{8)йХ{8) = ~{{Т)Ск{и) = -«(г)Л(г)
о
и, следовательно,
Г 1
-Ук + 1 в{к)(*)Щ*) =Ея[-ук + 10Ю(з)с1Х(з) | Т™
о о
= Ед[-&т)Рк{т) | Т^} = -атЩ(т).
Отсюда, снова пользуясь соотношениями (12.2.8)—(12.2.9), получим
г
-Ук + 10Ю{8)ЛХ{8) = -Рк(т) (п.н.)
о
ук=Ес№{т)Рк(т)\.
Это показывает, что любая цена вида Ед[^(т)Ек(т)] для
некоторого момента остановки т < Т была бы приемлема для покупателя
американского опциона на иск Ек(1,со). Следовательно,
РА(Р) > Рл(Рк) > БПр Ед[ат)Рк(т)}.
т<Т
Переходя к пределу при к —> оо и пользуясь монотонной
сходимостью, мы получаем
РА(Р)>ЫрЕдШГ(т)}.
т<Т
Остается показать, что если положить
г= 81ф Ед[{(т)Р(т)], (12.3.47)
0<т<Т

346 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
то должен существовать допустимый портфель 6(з,и), который су-
перхеджирует Г^^со)1 в том смысле, что
I
2 +
О
для почти всех (1,и) е [О, Г] х П. (12.3.48)
г
[ 9(з,и)йХ(з) >Р(1,и>)
Детальное доказательство этого факта можно найти в работе
КагаЪгаз (1997), теорема 1.4.3. Здесь мы приведем только эскиз
доказательства.
Определим оболочку Спелла по формуле
5(0 = зир Ея№т)Р{т)\Г$т)]9 0<г<Т.
1<т<Т
Тогда 5(0 есть супермартингалотносительно ф и {Т\}, поэтому,
пользуясь разложением Дуба—Мейера, мы можем написать
5(0 = м(г)-А{г), 0<*<т,
где М{1) — (}, {.Т7^}-мартингал с условиями М(0) = 5(0) = г и
А(1) — неубывающий процесс, причем А(0) = 0. На основании
леммы 12.2.1 мы можем представить мартингал М как интеграл Ито
относительно В. Следовательно,
I
г
о
I
+ [ ф(з,и)ав(з) = м{г)
= 5(0 + А(1) > 5(0, 0 < I < Т, (12.3.49)
где </>($,и) —некоторый ^ -согласованный процесс. Так как
рынок является полным, из теоремы 12.2.5 следует, что о(1,ш) имеет
левую обратную матрицу А(1,и). Таким образом, если мы
определим 0 = (01,..., 0П) по формуле
6(1, и) = Х0(1)ф(1,и)А(1,и),
то с помощью соотношения (12.3.49) и леммы 12.2.4 получим
I I п I
2+ [в(1Х = 2 + [^$6гаг(1В = 2+ I ф <№ > 5(0, 0 < I < Т.
1 Осуществляет сверхгарантии. — Прим. перев.

12.3. Расчет опциона 347
Отсюда на основании леммы 12.2.3 имеем
У'0(з,ы)<1Х(8) > Х0(1)8(1) > Х0(Ш)П*) = *Х0,
о
0 < I < Т. П
Случай диффузии Ито: связь с оптимальной остановкой
Теорема 12.3.8 показывает, что расчет цены американского опциона
представляет собой задачу об оптимальной остановке. В общем
случае решение этой задачи может быть выражено в терминах
оболочки Снелла. См., например, Е1 Кагош (1981) и Ракееу (1970). В
случае диффузии Ито мы получаем задачу оптимальной остановки,
подобную обсуждаемой в гл. 10. Рассмотрим теперь этот случай
более детально.
Предположим, что рынок представляет собой (п + 1)-мерный
диффузионный процесс Ито Х(1) = (Хо(1), Хх(1),..., Хп(1)), I > 0,
определяемый уравнениями (см. (12.1.1)—(12.1.2))
4Хо{1) = р(1,Х(1))Х0(1)(И, Хо(0) = 1, (12.3.50)
и
771
о1Хг(г) = &(1,Х(Ь))а1 + ^сгф,Х(Ъ))<1Вз(1) (12.3.51)
= ш(1, Х(1))<И + <т»(*, Х(1))(1В(1), Х*(0) = хи
где р, [Х{ и сг^—заданные функции, удовлетворяющие условиям
теоремы 5.2.1. Кроме того, предположим, что условия,
соответствующие (12.2.12)—(12.2.13), выполнены, т. е. существует функция
и(1,х) Е Ктх1, такая, что для всех I, х — (ж0,Ж1, • • • ,хп) мы имеем
<Тг(г, х)и(Ь, х) = т(1, х) — р(1, х)х{, г = 1,..., п, (12.3.52)
т
Ех\ехр(^ [и2(г,Х{г))ои\] <оо, (12.3.53)

348 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
где, как обычно, Ех обозначает математическое ожидание
относительно закона распределения процесса Х1 при начальном условии
х = (1,^1,... ,жп). При 0 < I < Т положим
= ехр( - [и{з,Х(з))(1В{8)-^ /и2($,ВД)<Ы (12.3.54)
о о
и определим, как и в (12.2.2), вероятностную меру <2 на Т^1 по
формуле
(1(2(ы) = М(Т,ы)(1Р(ы). (12.3.55)
Теперь предположим, что Р(Ь,ш) является американским условным
Т-иском марковского типа, т. е.
Р(*,ы)=д&Х(*,и>)), (12.3.56)
где д: КхКп+1 —> К— некоторая непрерывная, ограниченная снизу
функция. Тогда если рынок {Х(^)}^[0,т] является полным, то по
теореме 12.3.8 ценард(^) этого иска задается следующим образом:
рА{Р) = зирЕдК(т)Э(т,ВД)] = зирЕ[М(ТШт)д(т,Х(т))}
т<Т т<Т
= зирЕ[Е[М(ТШт)д(т,Х(т))\Тт}}
т<Т
= зпр Е[ат)д(т,Х(т))Е[М(Т)\Тт}}
т<Т
= 8ир Е[М(тШт)д(т, Х(т))}. (12.3.57)
т<Т
Мы воспользовались тем, что М{1) является Р-мартингал ом, и
применили теорему Дуба о свободном выборе (см. Гихман, Скороход
(1975), т. 3 теорема б, с. 11)). Определим
I
К (г) = М(0$(0 = ехр ( - [и(з,Х(з)с1В(8)
о
I
- I [ ^2(5,Х(з)) + р(з,Х{з))]<Ь). (12.3.58)
О
Тогда
АК{г) = -Р(г,х(г))К(г)сИ-и{г,х{г))К{г)с1В(г).

12.3. Расчет опциона, 349
Отсюда следует, что если мы определим (п + 3)-мерный
диффузионный процесс Ито У{1) по формулам
йУ{1) = | йК{1)
йХ{1)
( Л1 \
ЛХ0(1)
(1X^1)
V ЛХП{1) )
рХ0 I 10
М1 | "*" | ст1
V
Мп
/
V
йВ{1), У(0) = у, (12.3.59)
/
то получим
где
РА(Р) = зирЕ[С(У(т))},
т<Т
(12.3.60)
С (у) = С(в, А:, ж) = кд(з, ж), ?/
Мы доказали следующую теорему.
(з,к,х) € К х К х К'
п+1
Теорема 12.3.9. Цена ра(^) американского условного Т-иска Р
марковского типа (12.3.56) является решением задачи об
оптимальной остановке (12.3.60) для диффузионного процесса Ито У(1),
заданного согласно (12.3.59).
Мы рассматриваем (12.3.60) как частный случай задачи об
оптимальной остановке, исследованный в'теореме 10.4.1. Поэтому мы
можем пользоваться приведенным в этой теореме методом для
вычисления ра(^) в конкретных примерах.
Пример 12.3.10. Рассмотрим рынок Блэка—Шоулса
ОХоУ) = рХ0(г)М, Хо(0) = 1,
йХ^г) = аХгфЖ + /ВД*)<Ш(*), ^(0) = хг > 0,
где р, а, /? — константы, /3 ф 0. Тогда уравнение (12.3.52) принимает
вид
$х\и{х\) = ажх — рж1,

350 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
т. е.
и{х\) — и — —-— для всех х\.
Следовательно,
™-*(-^«>-{Кт)Ч'У
Предположим, что американский иск задается формулой
Р(Ь,ы)=д(Ь,Х1{1)),
где д(1,х\) — некоторая непрерывная, ограниченная снизу
функция. Тогда цена американского опциона определяется равенством
рА(Л = 5ирЕ[/Г(т)5(т,Х1(г))].
т<Т
Если рассматривать эту цену Ра{Р) как функцию Ф(з,к,х)
начальной точки у — (з,к,х) процесса ЛУ{1) — ((11,(1К(1),<1Х(1)), то для
того чтобы найти Ф, достаточно найти функцию ф(з,к,х), которая
удовлетворяет условиям теоремы 10.4.1. В этом случае / = 0 и
_ ., . ч дф .дф дф дф
2
1(а-р\ 2д2ф д2ф 1 2 2д2ф
2 V /3 У ЭА;2 у р; х9А:9х1 2Н 1 дх\'
Если Т < оо, то мы не можем вынести за скобки общий множитель,
зависящий от времени 5, как мы это часто делали в гл. 10.
Поэтому задача нахождения функции ф в этом случае гораздо труднее.
Мы убедимся в сложности этой задачи, даже несколько упростив
дальнейшие выкладки, а именно предположив, что
а — р (чтобы получить Р — <3)
д(1,х\) = (а — х\)+, где а > 0 —константа.
Тогда задача становится задачей поиска цепы американского
опциопа-риЬ
рА(Р) = зир Е[е-?г(а - Л\(т))+], (12.3.61)
т<Т
которая относится к примеру 10.2.2 (и примеру 10.4.2) о конечном
горизонте. Описание американского опциона-риЪ таково: владелец

12.3. Расчет опциона 351
этого опциона имеет право (но не обязательство) продать
некоторые акции по точно установленной цене а в любой момент
времени т, который он выбирает не позднее конечного момента
времени Т. Если он продает акции в момент т < Т, когда рыночная
цена Х\{т) меньше, чем а, он увеличивает свой капитал с прибылью
а — Х\(т). Таким образом, выражение (12.3.61) представляет собой
максимальную ожидаемую дисконтированную выплату владельцу
опциона.
В этом случае мы можем пренебречь переменными к и Хо и,
таким образом, искать функцию ф от переменных 5 и х\, ф(з,Х1) Е
С1 (К2), удовлетворяющую вариационным неравенствам (см.
теорему 10.4.1)
Ф($,х\) > е~р8(а — Жх)+ для всех 5,жь (12.3.62)
дф дф 1л9 0д2ф — ,
^ + ^ + 2«4-° ЪтП (12Л63)
И
где
0 = {(з,х1)\ф(з,х1) >е~рз(а-х1)+} (12.3.65)
есть область продолжения.
Если такая функция ф найдена и дополнительные
предположения теоремы 10.4.1 выполнены, то мы можем сделать вывод о том,
что
ф{8,Хг) = Ф(5,Жх).
Отсюда следует, что ра(^) = ф{0,х\) есть цена опциона в момент
времени I — 0. Кроме того,
г* = тя = Ы{1 > 0; ($ + *, Л\ (*)) 2 Я}
является соответствующим оптимальным моментом остановки, т. е.
оптимальным временем исполнения американского опциона. К
сожалению, даже в этом случае очень трудно (а может быть, и
невозможно) найти явное аналитическое решение. Тем не менее,
существуют интересные частные результаты и хорошие процедуры
приближения. См., например, Ваг1ез и др. (1995), ВаЪЬег (1997), Ласка
(1991), КагаЪгаз (1997), Ми81е1а, КЫко^зЫ (1997) и ссылки там же.
Например, известно (см. Ласка (1991)), что область продолжения И
имеет вид
23 = {(*,Ж1) е(0,Т)хК;х! >/(*)},

352 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
т. е. В есть область над графиком некоторой непрерывной
возрастающей функции /: (0,Т) —> К. Таким образом, проблема состоит
в поиске функции /. В работе Ваг1ез и др. (1995) показано, что
/Ц) ~а- ра^(Т -г)\\п(Т -г)\ при I -> Т"
в том смысле, что
/(*) ~ а
За^/(Т-1)\\п(Т-1)\
-> 1 при * -> Т"
Это указывает на то, что область продолжения имеет форму,
подобную показанной на рисунке. Но ее точная форма все же неизвестна.
1
[Х\
хг = /(*)
В
1
1 = Т
1
^
* = 0
Для соответствующего американского опциона-са11 ситуация
гораздо проще. См. упражнение 12.14.
Упражнения
12.1. а) Докажите, что ценовой процесс {Х(1)}ге[0:т] имеет
арбитраж тогда и только тогда, когда нормализованный
ценовой процесс {Х(^)}^[о,т] имеет арбитраж.
Ь) Предположим, что процесс {^(0}*е[о,т]
нормализованный. Докажите, что {Х(1)}1е[0^т] имеет арбитраж тогда
и только тогда, когда существует допустимый портфель
О, такой, что
Ув{0) < Ув(Т) ( п. н.) и Р[Ув(Т) > Уе(0)} > 0. (12.3.66)

Упражнения 353
Другими словами, при наличии нормализованных
рынков требование Vе (0) = 0 не существенно для того, чтобы
портфель в был арбитражем, важно только, чтобы
прибыль Vе (Т) — Vе (0) являлась неотрицательной (п. н.) и
положительной с положительной вероятностью.
(Указание. Если в удовлетворяет условиям (12.3.66),
определите в(1) — (#о(0>..., 9п(1)) следующим образом.
Пусть в{(1) - в{1) для г = 1,... ,п, I Е [0,Т]. Выберите
такое #о(0)5 чтобы выполнялось равенство Vе (0) — 0, и
определите в$(1) в соответствии с (12.1.15), чтобы сделать
портфель в самофинансирующимся. Тогда
I
-I'
Vе(I) = 9(1) • Х(1) = / в(з)(1Х(з)
о
= 1в(з)с1Х(з) = УеЦ)-Уе(0).)
О
12.2. Предположим, что 9(1) — (#о,..., #п) — постоянный
портфель. Докажите, что он самофинансирующийся.
12.3. Предположим, что {Х(1)} является полным
нормализованным рынком и что условия (12.2.12) и (12.2.13) выполнены.
Пусть п = га, а матрица а обратима и имеет ограниченную
обратную матрицу. Тогда любой ограниченный снизу иск Р,
такой, что
Ед[Р2] < (X),
является достижимым.
(Указание. Воспользуйтесь рассуждениями из
доказательства теоремы 12.2.5: выберите ограниченные Т-иски ^,
такие, что
Рк-^Р в Ь2(С!) и Е[Рк] = Е[Р\.
На основании полноты существуют допустимые портфели
9^ — (#о \ • • • > Оп ) и константы 14(0), такие, что
т т
РкЧ = Ук(0) + 10<*>(*)<*ВД - 14(0) + |9^(з)а(з)с1В(з),
о о
где $*) = {в[к\...,о№). Отсюда следует, что 14(0) =
Ед[Рк] -> Ед[,Р] при к -> 00,

354 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
В силу изометрии Ито последовательность {в^а}^
является последовательностью Коши в пространстве Ь2(Х х С$)
и, следовательно, сходится в этом пространстве. Учитывая
это обстоятельство, докажите, что существует допустимый
портфель 0, такой, что
Р(и) = Ед[Р]+ [ 0{8)ОХ{8).)
12.4. Пусть В(1) —одномерное броуновское движение. Покажите,
что существуют такие портфели 9\(1,ш), 62(1,00) Е УУ, что
если мы определим
Ы0-1+ / 01(з,и)с1В(8),
у2(1)=2+ [ 02(8,Ь)(1В, *€[0, 1],
то
И
Ы*)>о, у2(г)>о
для почти всех (1,ш).
Следовательно, 0\(1,и)) и 02 (*>^) являются допустимыми
портфелями для иска Р{ш) = 0 в условиях
нормализованного рынка при п = 1 и Х\(1) = В(1). В частности, если
опустить мартингальное условие в определении 12.2.4 Ь), то
мы получим неединственность хеджирующего портфеля,
даже если потребуем, чтобы портфель был допустимым.
(Заметьте, тем не менее, что согласно теореме 4.3.3
единственность имеет место, если потребовать выполнения условия
О € У(0,1).)
(Указание. Используйте пример 12.1.4 при а = —1 и при
а = — 2. Определите функции
^— для 0 < I < а-*,
О для а-г < I < 1
и
I
Уг(1) = I + / вг(з)(1В{8) = I + V{I Л <*_,), 0 < * < 1, 2 = 1, 2.)
о
9г(1)

Упражнения 355
12.5. Докажите первый пункт леммы 12.2.2, т. е. покажите, что
процесс В(1), заданный в (12.2.3), является
^"^-мартингалом (см. замечание Ь) после этой леммы).
12.6. Определите, допускают ли следующие нормализованные
рынки {Х(1)}1е[о^т] арбитраж. Если да, то найдите его:
а) (п = га — 2)
ах 1(1) = ыг + авг(1) + бв2(г),
бх2(г) = -бг + авх(г) - бв2(г),
Ь) (п = 2, га = 3)
бхх(г) = мл-аВх(1) + бв2(г) -бв3(г),
ах2(г) = ълг - бвг(г) + бв2(г) + бв3(г),
с) (п = 2, га = 3)
(1X1(1) = 61 + 6ВХ(1) + 6В2(1) - 6В3(1),
ах2(г) = ъбг - авг(г) - лв2(г) + ав3(г),
А) (п = 2, га = 3)
6X1(1) = 61 + 6Вг(1) + 6В2(1) - 6В3(г),
бх2(г) = -ж - ЗбВх(г) - ыв2(ъ) + мв3(г),
е) (п = 3, га = 2)
6X1(1) = 61 + 6Вг(1) + 6В2(г),
6Х2(1) = 261 + 6Вг(1) - 6В2(1),
6Х3(1) = 361 - 6Вг(1) + 6В2(1),
Г) (п = 3, га = 2)
ЙХ1(«) = 61 + 6ВХ(1) + 6В2(г),
6Х2(1) = 261 + 6Вг(1) - 6В2(1),
6Х3(*) = -261- 6ВХ(1) + 6В2(1).
12.7. Определите, какие из неарбитражных рынков {Х(^)}^е[0,т]
в упражнении 12.6 а)-Г) являются полными. Для тех из
них, которые полными не являются, найдите недостижимый
Т-иск.
12.8. Пусть Вг — одномерное броуновское движение. С помощью
теоремы 12.3.3 найдите г Е К и ф(1,и) Е У(0,Т), такие, что
т
Р(и) =г+ I ф(1,и)6В(1),
о
в следующих случаях:
(1) Р(и) = Б2(7»,
(и) Р(и) = Б3(7»,
(ш) Р(и) = ехрВ(Т,и).
(Сравните с методами, которые вы использовали
в упражнении 4.14.)

356 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
12.9. Пусть Вг — п-мерное броуновское движение. С помощью
теоремы 12.3.3 найдите г еКи ф(1,ш) Е Уп(0,Т), такие, что
т
Р(ш) =?+ ф(1,ш)(1В(1),
о
в следующих случаях:
(1) Р(ш) = В2(7» (= В?(Г,о;) + ■ ■ ■ + В2(7»),
(11) Р(ш) = ехр^Т» + ••• + Вп(Т,ч>)).
12.10. Пусть Х(1) — геометрическое броуновское движение,
заданное уравнением
ах {г) = аХ{1)(И + рх(г)(1В(г),
где а и /? —константы. С помощью теоремы 12.3.3 найдите
г € К и ф(1,ш) € У(0,Т), такие, что
т
Х(Т,ш) = г+ ф(1,ш)с1В(1).
о
12.11. Предположим, что рынок задается уравнениями
ах0{г) = рХо(г)аг, хо{0) = 1,
(1X1(1) = (гп- ХХ(1))(И + а<1В(1), Хг(0) = хх > О
(процесс Орнштейна-Уленбека), где р>0, ш>0исг^0 —
константы.
а) Найдите цену Ес}[%(Т)Р] европейского Т-иска
Р(ш) = Хг(Т,ш).
Ь) Найдите хеджирующий портфель 0(1) = (0о(1),0\(1)) для
этого иска.
(Указание. Используйте теорему 12.3.4, как в
примере 12.3.5.)
12.12. Рассмотрите рынок (Х^(1)^Х\(1)) 6 К2, где
с1Хо(1) = рХо(1)(И, ^о(О) = 1, р > 0 —константа.
Найдите цену Ер[^(Т)Р] европейского Т-иска
Р(ш) = В(Т,ы)
и соответствующий хеджирующий портфель 0(1) = (#о(*)>
^1 (*)) в следующих случаях:

Упражнения 357
а) ЛХ\(1) = аХ^оИ + /?Х1(*)сШ(*), а, /3 — константы,
Р Ф О,
Ь) йХ\{1) = сс1В(1), сф 0 —константа,
с) йХ\(1) = аХ\(1)д,1 + а<1В(1), а,а — константы, а ф 0.
12.13. (Классическая формула Блэка—Шоулса.) Предположим,
что рынок Х(1) — (Хо(1),Х1(1)) задается уравнениями
0Х0{г) = рХ0{*)(Н, Хо(0) = 1,
0Х1(1) = аХ1(г)& + рХ1(1)(1В(г), Х1(0)=х1 >0,
где р, а,/? —константы, /3 ф 0. Кроме того, предположим,
что европейский Т-иск является европейским опционом-са11,
определяемым по формуле
Р{Ы)-{Хг(Т,Ы)-К) -|0> если Х^Т^КК,
где К > 0 —заданная константа (цена исполнения
опциона). Докажите, что в этом случае формулу расчета опциона
(12.3.38) из теоремы 12.3.6 можно записать в виде
р = ххФ{и) - е~рТКФ(и - /?д/Г), (12.3.67)
где
и
Ф(и) = -^= ( е'^Лх (12.3.68)
— ОО
— функция распределения стандартной нормальной
плотности и
и = —^ к* 2Н } . 12.3.69
Ру/т
Это знаменитая формула Блэка—Шоулса (В1аск, 8спо1ез
(1973)), которая в настоящее время служит основой
финансовых операций.
12.14. (Американский опцион-са11.) Пусть Х{1) = (Хо(Ё),Х1(1)) —
рынок, определенный в упражнении 12.13. Если
американский Т-иск задается по формуле
Р(1,и>) = №(*,ы) - К)+, 0 < * < Т,
то соответствующий опцион называется американским
опционом-са11.

358 Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики
В соответствии с теоремой 12.3.8 цена американского
опциона-саН задается по формуле
РА(Р) = вир Ея[е~^(Х1(т) - К)+].
Докажите, что
рА(Р) = е-"тЕя{(Х1(Т)-К)+],
т. е. что если всюду выполнять американский опцион-саИ, то
всегда оптимально это делать в конечный момент времени Т.
Следовательно, цена американского опциона-саН совпадает с
ценой европейского опциона-саН.
(Указание. Определите
У (*) = е-'*(*1 (*)-*)■
а) Докажите, что У{1) является ф-субмартингалом
(приложение С), т. е.
У(г)<Ед[У(з)\Ъ] для з>1.
Ь) С помощью неравенства Йенсена (приложение В)
докажите, что
2(1):=е-"1(Х1(1)-К)+
также является ф-субмартингалом.
с) Завершите доказательство, используя теорему Дуба о
свободном выборе (см. доказательство леммы 10.1.3 е).)
12.15. (Бессрочный американский опцион-ри1.)
Решите задачу оптимальной остановки
Ф($,ж) = зирЕж[е-р(5+г)(а - Х(т))+],
т>0
где
АХ{I) = аХ(1)Л + рХ(1)йВ(1), Х(0) = х > 0.
Здесь р > 0, а > 0, аи/?/0- константы.
Если а — р, то Ф(з,х) определяет цену американского
опциона-ри!; с бесконечным горизонтом (Т — оо).
(Указание. Проведите те же рассуждения, что и в
примере 10.4.2.)

Приложение А
Нормально распределенные
случайные величины
Напомним некоторые основные факты, используемые в тексте
книги.
Определение АЛ. Пусть (П, Т, Р) — вероятностное
пространство. Говорят, что случайная величина X: П —> К нормально
распределена, если ее плотность распределения имеет вид
рх{-х) = ^т'ех9\--^-у (А1)
где а > 0 и т — константы. Другими словами,
Р[Х Е С] — / рх{х)о!х для всех борелевских множеств С С К.
а
Для такой величины
Е[Х] = [ ХйР = [ хРх (х)0х = т (А.2)
п п
и
уаг[Х] = Е[(Х - ш)2] = [(х - т)2рх(х)(1х = а2. (А.З)
п
В более общем случае переменная X: П —> Кп называется
(многомерной) нормально распределенной А/"(т, С) случайной величиной,
если ее плотность распределения имеет вид
, ч л/И1
РХ[Х1,--- ,Хп) -
(2тг)"/2
• ехр ( - - • ^2(Х] - т^к(хк -тк)), (А.4)
где т = (ш1,--- ,тп) Е Кп и С-1 = А = [а^] € Кпхп
—симметричная положительно определенная матрица.

360 Приложение А. Нормально распределенные величины
Для такой величины
Е[Х] = т (А.5)
и
А~1 — С — [с^к] является ковариационной матрицей вектора X,
т. е. с]к - Е[(Х, - т^)(Хк - тк)]. (А.б)
Определение А.2. Характеристическая функция случайной
величины X: П —> Кп — это функция фх • К,п —> С (С означает
множество комплексных чисел), определенная по формуле
фхЫ,--- ,ип) = Е[ехр(г(и1Х1 + • • • + ипХп))]
= [е{{и'х) -Р[Хес1х], (А.7)
К"
где (и,ж) = и\Х\ + • • • + ипхп (г Е С —мнимая единица).
Другими словами, </>х есть преобразование Фурье случайной
величины X (или, более точно, меры Р[Х Е йх\). Из этого следует,
что справедлива следующая теорема.
Теорема А.З. Характеристическая функция случайной величины
X однозначно определяет распределение вероятностей этой
величины.
Нетрудно проверить следующее утверждение.
Теорема А.4. Если величина X: П —> Кп нормально распределена
М(т, С), то
Фх(ци--- ,ип) = ехр I - ~^и^сзкик +г^^тД (А.8)
^ з* з '
Теорема А.4 часто используется как основание для введения
обобщенного понятия нормально распределенной случайной
величины: определим X: П —> Кп как нормально распределенную (в
обобщенном смысле) случайную величину, если фх удовлетворяет
условию (А.8) для некоторой симметричной неотрицательно
определенной матрицы С — [с^к] € кпхп и некоторого т Е Кп.
Таким образом, это определение не требует обратимости матрицы С.
С этого момента мы будем пользоваться обобщенным определением
нормальности. В книге часто используется следующий результат.

Приложение А. Нормально распределенные величины 361
Теорема А.5. Пусть Х^ : П —> К — случайные величины, 1 <
2 < п. Тогда величина X = (XI,--- ,ХП) имеет нормальное
распределение в том и только в том случае, когда У = \\Х\ + • • • +
ЛПХП имеет нормальное распределение для любых Ах,..., Лп Е К.
Доказательство. Если X—нормально распределенная величина,
то
25[ехр(т(А1Хн ЬАПХП))] =ехр I - -^^и\3с^ки\кЛ-г^2,и\3гп3 )
= ехр( --г^^А^с^Ай+т^А^тп, |,
.7,я .7
следовательно, величина У нормально распределена с параметрами
Е[У] = ]>^А^т^, уаг[У] = ^А^с^А^. Обратно, если величина У —
АхXIН ЬАПХП нормально распределена с параметрами Е[У] = т
и уаг[У] = ст2, то
Е[ехр(т(АхХ1 + Ь АПХП))] = ехр(-|г*2сг2 + гит),
где
т=^\,.Е[Х;]9 о*=е\^\;Х;-^\;Е[Х1]\ ]
з *• ^ з з ' ■'
= Е[(ЕА>№-ш>)) 1 = ^з^Е[{Х3-т3){Хк-тк)Ъ
т3 = ^[Х^]. Следовательно, величина X нормально
распределена. □
Теорема А.6. Пусть Уо, Уь ..., Уп — действительные случайные
величины, определенные на П. Предположим, что величина X =
(Уо, Уь • • • 5 Уп) имеет нормальное распределение, а Уо и У3 некор-
релированы при каждом ] > 1, т. е.
Е[(У0 - Е[У0])(У3 - Е[У3})] = 0, \<з<п.
Тогда случайная величина Уо ме зависит от {Ух, • • • , Уп}.
Доказательство. Нам необходимо доказать, что
Р[у0еС0,У1еС1,...,УпеСп]
= Р[Уо€Со]-Р[У1€С1,,..,Уп€Сп] (А.9)
для всех борелевских множеств Со, С\,..., Сп С К.

362 Приложение А. Нормально распределенные величины
Известно, что в первой строке (и в первом столбце)
ковариационной матрицы с^ь — Е[{У^—Е\У^]){Ук — Е\Уи])] только первый элемент
соо — уаг[Уо] отличен от нуля. Следовательно, характеристическая
функция случайной величины X удовлетворяет соотношению
0х(ио,иь-..,Ип) = фу0(ио) •0(уь...,уп)(и1,...,ип),
что эквивалентно (А.9). □
В заключение докажем следующее утверждение.
Теорема А.7. Пусть величины Хк: П —> Кп нормально
распределены для всех к и Хк —» X в Ь2{&), га. е.
Е[\Хк - Х\2} -> 0 при к ->оо.
Тогда величина X нормально распределена.
Доказательство. Так как \ег(и,х) — ег^и,у^\ < \и\ • \х — у\, мы имеем
Е[{ехр(г(щ Хк)) - ехр(г(щ X))}2} < \и\2 • Е[\Хк - Х\2] -> О
при к —> оо. Следовательно,
Е[ехр(г(и,Хк))] -» Е[ехр(г(и,Х))] при к -» оо.
Таким образом, величина X имеет нормальное распределение со
средним Е[Х] = \[тЕ[Хк] и ковариационной матрицей С — НтС&,
где Ск — ковариационная матрица величины Хк. □

Приложение В
Условное математическое
ожидание
Пусть (П,^7,Р) —вероятностное пространство и X: П —> Кп—
случайная величина, такая, что #[|Х|] < оо. Если % С Т есть
сг-алгебра, то условное математическое ожидание величины X
относительно И, обозначаемое Е[Х|Н], определяется следующим
образом.
Определение В.1. Условное математическое ожидание
Е[Х\%] — (единственная почти всюду) функция, действующая
из О, в Кп и удовлетворяющая следующим условиям:
(1) Е'р^'Н] является %-измеримой,
(2) 1Е[Х\П](1Р = 1Х(1Р для всех Н е Я.
н н
Существование и единственность функции Е[Х|Н] вытекают из
теоремы Радона—Никодима: пусть /л — мера на И, определенная
по формуле
/*(Я)= I ХйР, Не П.
н
Тогда \х абсолютно непрерывна относительно Р\И, следовательно,
существует Р|Н-единственная Н-измеримая функция Р,
определенная на П, такая, что
1л(Н) = / РйР для всех Н еЯ.
н
Итак, функция #[Х|7^] := Р определена и является единственной
(п. н.) относительно меры Р\Н.

364 Приложение В. Условное математическое ожидание
Заметим, что условие (2) эквивалентно равенству
(2)' / 2 • Е[Х\Я]<1Р = $2- ХАР
для всех %-измеримых величин 2.
Перечислим некоторые основные свойства условного
математического ожидания.
Теорема В.2. Пусть У: П —> Кп —другая случайная величина с
математичским ожиданием ^[|У |] < оо; и пусть а, Ь € К. Тогда
а) Е[аХ + ЬУ\Н] = аЕ[Х\Н] + ЬЕ[У\Н],
Ь) Е[Е[Х\Щ = Е[Х],
с) ^[Х|Н] = X, если X — %-измеримая случайная величина,
б) Е[Х\%] = -ЕрП, если X не зависит от %,
е) Е[У • Х\%\ = У • Е[Х|Н]; если У —%-измеримая случайная
величина, а • означает обычное скалярное произведение в Кп.
Доказательство. (1) Если X не зависит от И, то для Н 6 % мы
получаем
[хар= [х-хно1Р= Iхар- [хнар = Е[х]-р(н),
на а а
следовательно, постоянное значение Е[Х] удовлетворяет
условиям (1) и (2).
е) Сначала докажем результат для случая, когда У = Л# (где X
означает индикаторную функцию) для некоторого Н 6 И.
Тогда для всех С 6 И мы имеем
[у • е[х\н]лр = [ е[х\н]лр= I хар= [ухар,
О ОпН ОПН О
следовательно, У-Е[Х|Н] удовлетворяет условиям (1) и (2).
Аналогично доказывается, что утверждение справедливо, если У —
простая функция:
т
у = ^сзхнГ где Я, €7*.
В общем случае утверждение следует из аппроксимации
величины У такими простыми функциями. □
Теорема В.З. Пусть О,И —о-алгебры, такие, что О С И. Тогда
Е[Х\9] = Е[Е[Х\Н]\д\.

Приложение В. Условное математическое ожидание 365
Доказательство. Если С Е (?, то С Е % и, следовательно,
[ е[х\н](1р= Iхар.
с с
Отсюда в силу единственности Е[Е[Х|%]|(5] = Е[Х|(5]. □
Следующий полезный результат можно найти в книге Спип&
(1974), теорема 9.1.4.
Теорема В.4 (неравенство Иенсена). Если ф: К —»• К — выпуклая
функция и Е[\ф(Х)\] < оо; то
ф(Е[Х\Н}) < Е[ф(Х)\Н].
Следствие В.5. Справедливы следующие неравенства:
(О \Е[Х\Щ <Е[\Х\\Щ
(и) \Е[Х\Ч}\* < Е[\Х\2\\П].
Следствие В.5. Если Хп ->■ X в Ь2, то Е[Хп\П] ->■ Е[Х \П]

Приложение С
Равномерная интегрируемость и
сходимость мартингалов
Дадим краткий перечень определений и результатов, которые
служат основой для освещения прикладных вопросов в этой книге.
Более подробное изложение, включающее доказательства, читатель
может найти в работах БооЬ (1984), Липцер, Ширяев (1974), Мей-
ер (1973) или АУПНатз (1979).
Определение С.1. Пусть (П, Т, Р) — вероятностное
пространство. Семейство {^:^}^е^ действительных измеримых функций на
П называется равномерно интегрируемым, если
л?-Ы / "''"р})=0-
Ш>м}
Следующее понятие позволяет получить один из наиболее
полезных признаков равномерной интегрируемости.
Определение С.2. Функция ф: [0, оо) —> [0, оо) называется (р. и.)
(равномерно интегрируемой) функцией критерия, если она
неубывающая, выпуклая (т. е. 1р(Хх + (1 — Х)у) < Хф(х) + (1 — Х)ф(у) для
всех ж, у е [0, оо); Л € [0,1]) и
кт —-— = оо.
ж-юо X
Таким образом, например, ф(х) = хр есть (р. и.) функция
критерия, еслир > 1, но при р = 1 она не является функцией критерия.
Название, данное в определении С.2, объясняется следующей
теоремой.
Теорема С.З. Семейство {1^^^з равномерно интегрируемо
тогда и только тогда, когда существует (р. и.) функция критерия гр,
такая, что
8ир{|у,(|дер}
< 00.

Приложение С. Равномерная интегрируемость и сходимость 367
Следующий результат, который можно трактовать как
окончательное обобщение различных теорем сходимости в теории
интегрального исчисления, служит одним из наиболее важных доводов
в пользу понятия равномерной интегрируемости.
Теорема С.4. Пусть {Л}^1 — последовательность
действительных измеримых функций па О,, такая, что
Нт /&(с<;) = /(^) для почти всех со.
к—>оо
Тогда следующие два утверждения эквивалентны:
1) семейство {/&} равномерно интегрируемо,
2) / е Ь\Р) и Д -» / в Ь1{Р), т. е. /|Д. - /|ЙР -> 0 при
к —> оо.
Равномерная интегрируемость находит важное применение в
теоремах о сходимости мартингалов.
Пусть (П, Л/', Р) — вероятностное пространство, и пусть
{М}г>о — возрастающее семейство сг-алгебр, Мь С N для всех I.
Стохастический процесс Д^: П -» К называется
супермартингалом (относительно {Л/*}), если Д^ является Л/гсогласованным,
■Б[|^|] < °° Для всех * и
^ > Я[ЛГв|М] Для всех з>1. (С.1)
Если при всех з > I выполнено обратное неравенство Иь < ^[АГ8|АГЛ],
то Л^ называется субмартингалом. Если же выполнено равенство
Л^ = #[7У5|Л^], то Л^ называется мартингалом.
Обычно мы будем предполагать, что каждое семейство Л/*
содержит все множества нулевой меры Л/', отображение I -» М1(и)
непрерывно справа для почти всех и и {Л/*} непрерывно справа
в том смысле, что Л/* = П Л/8 для всех I > 0.
Теорема С.5 (теорема Дуба о сходимости мартингалов I). Пусть
N1 — непрерывный справа супермартингал, удовлетворяющий
условию
8ирЕ[УУ~] < оо,
где Л^~ = тах(—Л^,0). Тогда поточечный предел
М{и) = Нт Л^)
существует для почти всех оо и #[УУ~] < оо.
Заметим, однако, что процесс не обязательно сходится в Ь1(Р).
Для того чтобы получить такую сходимость, необходима
равномерная интегрируемость.

368 Приложение С. Равномерная интегрируемость и сходимость
Теорема С.6 (теорема Дуба о сходимости мартингалов II). Пусть
N1 — непрерывный справа супермартингал. Тогда следующие два
утверждения эквивалентны:
1) семейство {Л^}г>о равномерно интегрируемо,
2) существует такая функция N Е Ь1(Р), что Л^ —» N
(Р)-почти всюду и Щ -* N в Ьг{Р), т. е. / |Л^ - Л^с/Р -» О
при I —> оо.
Объединяя теоремы С.6 и С.З (при ф(х) = жр), получим следующий
результат.
Следствие С.7. Пусть Мг — непрерывный мартингал, такой,
что
зир Е[|М*|Р] < оо для некоторого р > 1.
Тогда существует такая функция М Е Ь1(Р), что Мг —» М
(Р)-почти всюду и
/ \МЬ - М\йР -» 0 при I -» оо.
В заключение следует упомянуть, что сходные
результаты могут быть получены для аналогичных дискретных
супер/субмартингалов {Л^,Л4}, к = 1,2,... Конечно, в этом случае
не требуются предположения о непрерывности. Например, имеется
следующий результат, который используется в гл. 9.
Следствие С.8. Пусть М&, к = 1,2,..., — дискретный
мартингал, и пусть
§ирЕ[\Мь\р] < оо для некоторого р > 1.
к
Тогда существует такая функция М Е Ь1(Р), что М& —> М
(Р)-почти всюду и
/ \Мк - М\йР ->• 0 при к -* оо.
Следствие С.9. Пусть X Е Ь1(Р), и пусть {Л4}^=1
—возрастающее семейство а-алгебр, Л4 С Т, причем определена а-алгебра
Л/оо; порожденная семейством {Л4}^1- Тогда
Е[Х\Щ -» Е[Х|Л^о] при А: -» оо
(Р) -почти всюду и в Ь1(Р).

Приложение С. Равномерная интегрируемость и сходимость 369
Доказательство. Последовательность Мк:=Е[Х\Л/к]
представляет собой (р. и.) мартингал, следовательно, существует такая
функция М е Ь*(Р), что Мк -» М (Р)-почти всюду и в Ь1{Р) при к -> оо.
Остается доказать, что М = 2?[Х|.Л/'оо]- Заметим, что
\\Мк - Е[М\ЛГк]\\Ь1{Р) = \\Е[Мк\Щ - Е[М\Мк]\\ЬЧР)
< \\Мк - М\\ЬцР) -> 0 при к -> оо.
Следовательно, если Р Е Л40 и А; > &о, то
[{X - М)ЛР= [е[Х - М\Мк]с1Р= [(Мк - Е[М\ЛГк])(1Р -> О
при к -> оо.
Поэтому
и, следовательно,
/со
{X - М)йР = О для всех Р € 0 ЛГк
к=1
ЕЩАГое] = Е[М\Моо} = М. п

Приложение Б
Результат аппроксимации
В этом приложении мы докажем результат, который был
использован в теореме 10.4.1. Воспользуемся обозначениями этой теоремы.
Теорема Б.1. Пусть В С V С Кп —такие открытые
множества, что
дБ — липшицева поверхность, (0-1)
и пусть ф: V —> К — функция, удовлетворяющая следующим
условиям:
феС1(у)пС(у), (Б.2)
ф Е С2(У\дО) и производные второго порядка
функции ф локально ограничены
в окрестности границы дБ. (0-3)
Тогда существует последовательность {Фз}^\ функций
фэ- € С2(У)ПС(У), такая, что
Фз -^ Ф равномерно на компактных
подмножествах множества V при з —> оо; (0-4)
Ъф3 —> Ьф равномерно на компактных
подмножествах множества V \ дБ при ] —> оо; (0-5)
последовательность {Ьф^}(^=1 локально ограничена в V. (0-6)
Доказательство. Можно предположить, что ф продолжена
как непрерывная функция на все пространство Кп. Выберем
С°°-функцию г): Кп —> [0, со) с компактным носителем, такую,
что
177(У)<*У = 1, (0-7)
К"
и положим
г]е(х) = е~пг][ - ) при б > 0, х е Кп. (Б.8)

Приложение И. Результат аппроксимации 371
Зафиксируем последовательность е^ I 0 и определим
Фз(х) = (ф*г)ч)(х) = / ф(х-г)т]ч(г)(1г / ф(г))г)ч{х - у)с?у. (Б.9)
К" К"
Мы видим, что ф^ есть свертка функций ф и г)е^ поэтому, как
известно, ф^(х) —> ф{х) равномерно на компактных подмножествах
любого множества в У, на котором функция ф непрерывна. См.,
например, РоИапс! (1984), теорема 8.14 (с). Заметим, что, так как
г) имеет компактный носитель, нам не нужно предполагать, что ф
всюду ограничена, достаточно локальной ограниченности (которая
следует из непрерывности).
Вернемся к проверке свойств (В.4)-(Б.6). Пусть IV С V —
открытое множество, ограниченное по Липшицу. Определим У\ —
IV П I), У2 = \У \ Ъ.
Тогда У\, У-2 являются липшицевыми областями, и при г — 1,2 для
х € \У \ сШ интегрирование по частям приводит к равенству
Ф(у)д-Ъ3(х-у)пгкМу)- / д—{у)д-^{х-у)(1у, (Б.10)
ЭУ{ У{
где щь — к-я компонента внешней единичной нормали щ к У\ в
точках границы дУ{. (Эта внешняя нормаль существует почти всюду
относительно меры у на поверхности дУ{, поскольку дУ{ — липши-
цева поверхность.)

372 Приложение Б. Результат аппроксимации
Повторное интегрирование по частям позволяет получить
равенство
Уг
д^-(У)ъЛх - у)пиМу) ~ I д д (У)^(ж " у)Лу- (0-П)
дУ{ Уг
Объединяя (Б. 10) и (Б. 11), получим
д2
в,у{у)
Уг
+ 1^'е{у)%Лх~У)(1у' * = 1,2- (В-12)
Суммируя равенства (Б. 12) при г = 1,2 и помня о том, что
внешняя единичная нормаль к V* является внутренней единичной
нормалью к У\-ъ в точках пересечения дУ\ П 91^, получим
/ {^^М* "^ " о^(у)ъЛх ~у)ъ\Му)
♦/«йг^м.-»». (а13)
где ЛГд., ЛГ^ — /с, ^-е компоненты внешней единичной нормали N к ТУ
в точках границы ЗИЛ
Если зафиксировать х Е ТУ \ 91), то при достаточно больших ]
мы получим 77^. (х - у) = 0 для всех 2/ вне множества ТУ. Из (Б.13)
следует, что при таких у выполняется равенство
/Л2 г Л2 л. '
^шя**" -у)йу=I д^;{у)г]^х -у)йу- (в-14)

Приложение И. Результат аппроксимации 373
Другими словами, мы доказали, что
Л2
дхкдх
-Ф№) = (а^ * ^) ^ при х е V \ ЬВ. (В.15)
Подобным образом, если ] достаточно велико, интегрирование
по частям по множеству МУ приводит к равенству
I Ф(у)-д—г)е^х-у)(1у = - I -^-(у)г]ч{х-у)йу,
из которого мы делаем вывод о том, что
а^^'(ж) = (1т * ^)(ж) при хеУ' (в,16)
Соотношения (В.15) и (В.16) и теорема 8.14 (с) из книги Ро11апс1
(1984) показывают, что
дфп дф
т—^ —> тг~ равномерно на компактных подмноже-
дхк ох
ствах множества V при ] —> оо (0-17)
и
д2ф< д2ф
——^ > ——-— равномерно на компактных под-
дхкдхе дхкдхе
множествах множества V \ дБ
при 2 ~> оо. (В.18)
{дб- Л °° Г д26- Л°°
аж г и 1 дх дх Г локально
ограничены на V согласно соотношениям (В.15), (В.16) и
предположениям (В.2), (В.З).
Итак, мы приходим к выводу, что условия (В.4)-(В.6)
выполнены. □

Решения и
дополнительные указания
к некоторым упражнениям
2.13. Р°[В1 е Ир] = 1-е 2<.
оо оо
2.14. Ех [] хк(вьЩ = / рх[вь е к]Л
о
оо
(»-уГ
= 1(2^)-п/Ще-к-^1-с1у)сИ = 0
о к
при всех х Е Кп, если К С Кп имеет п-мерную меру Лебега,
равную 0.
2.15. р[вЬ1 е Ри...,в1к е Рк]
= / р(*1,0,Ж1)р(*2-*1,Ж1,Я;2)
•'-р{1к - 1к-1,Хк-1,хк)(1х1 '-йхк
= / Р(*1,0,2/1 )р(*2 — *1,2/1,2/2 )
РгХ-хРк
• • -р(1к - ^_1,2/*-1,2/*)Лу\ • • • б?2/*
= Р[В41€Я,...,В4к€*Ъ]
в силу (2.2.1); мы использовали подстановки у$ = \]х^ и то
обстоятельство, что
\Ох$ — 11х^-\\2 = \х^ — ж^_112.

Решения и указания к некоторым упражнениям 375
2.17. а)Е[{Уп{1,-)-Ь)2} = Е
(^(Дад-Е^-»*)
2п
2п-1
= е\[ ^((ДВ,)2-2-"<)|
I- ^ к=0 '
г2ч-1
= Е\ ]Г((ДВ,-)2-2-"<)((Д^)2-2-"<)
2п-1
= ^Е[((ДВ,)2-2-"*)2]
к=0
2п-1
= ]Г #[(ДВ*)4 - 2 • 2~2пг2 - 2~2п*2]
/г=0
2п-1
= ]Г 2 • 2~2пг2 = 2 • 2~пг2 -> 0 при п -» оо.
ь=о
Ь) Это вытекает из следующего общего результата: если
квадратичная вариация вещественной функции на интервале
положительна, то полная вариация функции на этом
интервале бесконечна.
з.1. тг = е;го д(*,-д,о = е;=о *№+ей вш дв>
—> $ зд,В3 + § В3д,з при п —> оо.
о о
3.4. Процессы в пп. (ш) и (гу) являются мартингалами, а в (1) и
(п) — нет.
т
3.9. /До ОД = \В\, если Б0 = 0.
о
3.12. (1) а) йХь = (7 + |а2)Х4Л + аХьаВь.
Ь) ЙХ4 = IзшХ^созХ^ - 12]Л1 + (*2 + со8Хь)(1Вь.
(и) а) ЙХ4 = (г - ^а2)^* + аХ, о авь.
Ь) ЙХ4 - (2е~*' - Х%)д,1 + X2 о авь.
4.1. а) ИХ* = 2ВьаВь + Л.
Ь) ИХ* - (1 + ±еВь)<Н + ев*<1В1.
с) ^Х^ = 2<Й + 2ВХ(1В1{1) + 2В2ЙВ2(0-
а>&« = (Д) = 0л+(?)**'■

376 Решения и указания к некоторым упражнениям
е) ахг(1) = авг(г) + ав2{г) + <ш3(*),
ах2(г) = л - в3(*)йВх(0 + 2В2(*)йВД) - В1(*)<ш3(*),
ИЛИ
^(^
ЙХ( - • йх2(«)
!)л+(_ад 2^(«) -адЛ*^0
4.5. Я[В(6] = Ш3, если В0 = 0.
5.3. Хг = Х0 ■ ехр ( (г - \ X) <** ) * + Ё а*5к(*))
(если В(0) = 0).
5.4. (1) ХгЦ) = Хг(0) + * + В1Ц),
I I
Х2(1) = Х2(0) + Х1(0)В2Ц) + 1зс1В2{з) + 1В1(з)с1В2(зУ,
о о
мы предполагаем (как обычно), что В(0) = 0.
(и) Хг = е'Хо + /е(-^Ве.
о
(ш) Х1 = е~1Хо + е~1В1 (мы предполагаем, что Во = 0).
I
5.6. У( = ехр(аВ4-|а2*)[У0+г/ехр(-аВв + |а28)Й8] (В0 = 0).
о
5.7. а) Хг - т + (Х0 - т)е~1 + о^ е$~ьЛВ3.
Ь) Е[Хг] = т + (Х0 - ш)е-',
Уа« = ^[1 - е-«].
5.8. Х(1)= (^/9) =ехр(*7)Х(0)+ехр(«7)/ехр(-в7)М«Ш(в),
ехр(*7) = / + «7 + %Р + • • • + ^7" + • • • € К2х2.
Пользуясь тем, что </2 = —/, предыдущее равенство
можно переписать в виде
где

Решения и указания к некоторым упражнениям 377
Хг(г) = Х1(0)со8(*) +Х2(0)81п(*) + 1асоз{1~8)(1В1{8)
о
ь
+ //?81П(* - $)бШ2($),
о
Х2{1) = -Хг{0) зт(г) + Х2{0) соб(1) - 1аБ'т{1~з)(1В1{8)
о
ь
+/?/соз(* - з)ав2{8).
О
I
5.11. Указание. Чтобы доказать, что Нт(1 — I) $ ^^ — 0 (п. н.),
*->1 0
I
положите М.1 — / рз^ ПРИ 0< К 1 ис помощью мартин-
о
гального неравенства проверьте, что
Р[зир{(1 - 1)\МЬ\\Ь е [1 - 2~п, 1 - 2~п-1]} > е] < 2е~2 • 2~п.
На основании леммы Бореля—Кантелли отсюда следует, что
для почти всех со существует такое п(со) < оо, что
п > п(со) => со ф Ап,
где
Ап = {а;;зир{(1 - 1)\МЬ\\1 6 [1 - 2~п,1 - 2~п-1]} > 2~?}.
Г * 1Х/2
5.16. с) Хъ = ехр{аВь - \а2Щх2 + 2/ехр(-2аБ5 + а2$)йЫ .
7.1. а) А{{х) = цхГ(х) + §<т2/"(*), / 6 С2(К).
Ь) А/(ж) - гж/'Ог) + ±а2*2/"(*), / е С2(К).
с) л/(у) - г/'Ы + |аУ/"Ы, / е с2(к).
2^
с!) Л/(^,х)-|{+//х^ + |а20, /еС2(К2).
е) А!{хих2) = ^ + х2^ + |в2-д, / Е С2(К2).
п я * п п д2
б) Л/(ж1,...,жп)= Т,гкХка±; + ъ Е я^(Е а^^-л)а^т,
& = 1 г,^=1 к=1 * 3
/ € С02(К").
7.2. а) ^Х, = (11 + у/2д.Вь.

378 Решения и указания к некоторым упражнениям
1 0) \(1В2(1)/
(Возможны некоторые другие коэффициенты
диффузии.)
7.4. а), Ь) Положим т& = тГ{* > 0;В(Х = 0 или В* = к}, к >
1 >0и
Рк = Р*[ВГк=*].
Тогда, применяя формулу Дынкина к функции /(у) — у2
при 0 < у < А;, получим
Дх[г*] = А;2р* -х2. (31)
С другой стороны, применение формулы Дынкина к
функции /(у) — у при 0 < у < к приводит к соотношению
крк = х. (32)
Объединяя эти два тождества, получим
Ех[т] = Нт Ех[ть] = Нт я;(Л - ж)) = оо. (33)
Л—>оо &—>оо
Кроме того, из (32) следует, что
Рх[31 < оопри Вь = 0]= Нт Рх[ВТк = 0] = Нт (1-р*) - 1;
Л—юо А;—>оо
(34)
таким образом, т < оо Рх (п. н.).
, 2Ъхх , 2аЬч
ехр( г) -ехр( -)
7.18. с) р = ^ ^-.
,26- 2а6
ехр( -)-ехр( Т)
(У О"
8.1. а) д(1,х) = Е*[0(Ве)].
ОО
Ь) «(ж) = Ех[1 е-°'ьф{В1)(И}.
8.12. й(5(ш) = ехр(ЗВ1(Т) - В2(Т) - 5Т)<1Р(ы).
9.1. а) ИХ, = (о)<Й+ (2)^«-
Ь) 0Х1 = (1\сИ+ Г0 5)<Ш4.
с) йХ* = аХ(<й + /0<Ш4.

Решения и указания к некоторым упражнениям 379
с!) с1Хь = аЛ1 + рХьАВь.
+удШ1) О \(<1В1Ц)
9.3. а) и{1,х) = ЕХ[^(БТ_()].
Ь) «(*,*) = Е'[ф(Вь)].
9.8. а) Пусть Хь Е К2 — равномерное прямолинейное движение
вправо, описанное в примере 9.2.1. Тогда каждое
одноточечное множество {(ж1,Ж2)} является тонким (и,
следовательно, полуполярным), но не полярным.
Ь) Пусть XI — такой же процесс, как в а), и пусть Н^ —
{(а^,1)}, к — 1,2,..., где {ак}^=1 ~ множество
рациональных чисел. Тогда каждое множество Н&, кроме
ф'Ж1,1)[Т# = 0] = 1 при всех х\ Е К, является тонким.
9.10. Пусть Уь = Уь8'х = (з + 1,Х%) при I > 0, причем Хь = Х%
удовлетворяет уравнению
аХь = аХь<И + рХьдВи I > О, Х0 = х > 0.
Тогда производящий оператор А процесса У^ задается
формулой
АПз,х) = ^+ах^ + ±р2х2^, /6<^(К2).
Кроме того, для для области В — {(1,х);х > 0 и I < Т} мы
имеем
тп := Ы[Ь > 0; Уь $ Б) = Ы{1 > 0; 5 + 1 > Т) = Т - з.
Тогда
Уто = (Т,ХТ-3).
Следовательно, по теореме 9.3.3 решение имеет вид
Т-8
/(«, х)
е-?т
Ф{Х%_8) + [ е-р{8+^К(Х*)(11
10.1. а) д*{х) = оо, г* не существует.
Ъ) д*(х) — оо, т* не существует.
с) д*{х) = 1, г* = тГ{* > 0; Вь = 0}.
с!) Если р < |, то д*{з,х) — оо и г* не существует.
Если р > |, то #*($,ж) = д(з,х) — е~р8 спж и т* =0.

380 Решения и указания к некоторым упражнениям
10.3. Точка хо > 0 задается неявно уравнением
хо
/2 е2^*°+1
Р е
2^х0
и д*(з,х) = е р^огСьЬ/^тЧ при -ж0 < ж < ж0, где сЬ^ =
Ш+е-*).
) с\\(у/2р хо)
10.9. Если 0 < р < 1, то 7(ж) — ж + Л"? н0 г* не существует.
Если р > 1, то
1 о 1
7(ж)
-ж2 + -^- + СсЬ(Л/2рж) при |ж| < ж*,
при \х\ > ж*,
где С > 0, ж* > 0 являются единственными решениями
уравнений
СсЦ^2~рх')= (1-Г)(я*)2-1,
Су^ зЦ^а:*) = 2 ^1 - - Ь'.
10.12. Если р > г, то 9*(5,ж) = е-рз(х0 - 1)+(^)т и
г* = т?{1 > 0;Х( > хо}, где
7 = а
^а2 — г + у I -а2 —г) + 2а2 р
ж0
7
7-1
10.13. Если а < р, то г* = 0.
Если р < а < р + А, то
(7 > 1 <^> р > г).
{е~~р5рд при 0 < рд < уо,
где
71
1^2+А-а-4/(^2+А-а) + 2р/?2
<0,
(~ъ)К(р + Х-а)
1/о = ~71 г"7 Г" > °
(1 -71)р(а-р)

Решения и указания к некоторым упражнениям 381
с (а- р)у0 71
(-71)(р + А-а)"
Область продолжения имеет вид
# = {(^Р,?);р<7 > уо}.
Если р + Л < а, то С* — оо.
а\ - а2 - 0-9(1 - 7) / ч
11.6. гг = —гъ отт; г- (константа),
(о-?+0-|)(1-7)
Ф(5,ж) = еЛ(*"41)а;7 при * < *ь ж > О,
где
Л - |7(1 - 7)^12Ю2 + о\(\ - и')2] - >у[а1и* + а2(1 - и*)].
11.11. Дополнительные указания.
Для решения задачи без ограничений воспользуйтесь
функцией ф\(з,х) вида
ф\(з,х) = ах(з)х2 +Ь\(з)
при соответствующих функциях а\(з),Ь\(з) с
фиксированным ЛЕК. Подставив ф в уравнение НЛВ, приходим к
уравнениям
а'\(8) = да1(8) -1 При 5 < *Ь
ал(*1) = А
&л(5) = _а"2ал(5) При 5 < 1\,
Ьл(*1) = 0
с оптимальным управлением ?/*($,ж) = — ^а\(з)х.
Теперь подставьте эти равенства в уравнение для X™ и
определите Ло с помощью терминального условия.
Если для простоты положить 5 = 0, то в качестве Л = Ло
можно выбрать любое решение уравнения
АХ3 + ВХ2 + СХ + В = О,
где
Л = т2(в41-е-41)2,
В = т V1 + 2 - Зе"2*1) - а2^1 - е"*1)2,
С - т2(-е241 + 2 + Зе"2*1) - 4х2 - 2<г2(1 - е"2*1)
В = _ т2(е'1 + е-*1)2 + 4х2 + а2(е241 - е"2*1).

382 Решения и указания к некоторым упражнениям
12.6. а) Нет арбитража.
Ъ) Нет арбитража.
с) 9(1) — (0,1,1)—арбитраж.
(I) Нет арбитража.
е) Арбитражи существуют.
Г) Нет арбитража.
12.7. а) Полный.
Ъ) Неполный. Например, иск
1
р(ш) = I"я, (*№(*) = \в23(Т) - 1-т
не может быть хеджируемым.
с) Арбитражи существуют.
(I) Неполный.
е) Арбитражи существуют.
Г) Полный.
12.12. с) Еа\1{Т)Р\ = о-1хх{\ - 2)(1 -е-рГ); в(1) = (0О(ОА(*))
хеджирующий портфель, где
в1{1) = а-1
1
-(1-в^-т)
Р
и 9о(1) определяется по формуле (12.1.14).
12.15. Решение имеет вид
Ф(з,х) =
-рз
(а — х)
при х < ж*,
е~Р8(а-х*)(-^У при ж > ж*,
где
7 - Г2
У2
\Л
|^
а) +2р/?2
<0
а7
6 (0, о).
Следовательно, оптимальный момент остановки — это
первый момент, для которого Х(1) < х*.
Условие а = р упрощает результат:
7= ~
2р
И X —
а2р
2Л-2р

Литература
1. Аазе К. К. (1982): 3{юсЬаз{лс соп{лпиоиз-{лте тос1е1 геГегепсе ас!ар{луе
зуз^етз л^11Ь ёесгеазт^ §ат. А^уапсез т Арр1. Ргор. 14, 763-788.
2. Аазе К. К. (1984): Ор^тит рогЪГоНо сНуегзШсаиоп т а §епега1 соп^тиоиз
ите тос!е1. ЗЪосЪ. Ргос. апс! ^Ье!г АррНса^юпз 18, 81-98.
3. Ас11ег К. Л. (1981): ТЬе СеотеЪгу оГ Капс!от ПеМз. \УИеу & Зопз.
4. Апёегзеп Е. 3., Леззеп В. (1948): Зоте МтИ Ъпеогетз оп зе^-Гипсиопз. Бапзке
УМ. Зе1зк. Ма*.-Руз. Ме<1<1. 25, #5, 1-8.
5. Агпо1с! Ь. (1973): З^осЬазНзсЬе Б^егеп^а^екЬип^еп. ТЬеопе ипс!
Ап\уепс!ип§. 01с!епЪоиг§Ь Уег1а§.
6. Ваг1ез С, Вигс!еаи Л., Котапо М., Затзоеп N. (1995): Сп1лса1 з^оск рпсе
пеаг ехр1га{;юп. Ма1;Ь. Ртапсе 5, 77-95.
7. Вагп^огЙГ-МеКзеп О. Е. (1998): Ргосеззез оГ погта1 туегзе Саизз1ап Ъуре.
Ртапсе апс! З^осЬаз^лсз 2, 41-68.
8. Ва1;Ьег Л. А. (1970): Ор1лта1 з{;оррт§ ргоЫетз Гог Вгсшшап то^юп.
АДуапсез т Арр1. РгоЬ. 2, 259-286.
9. Ва1;Ьег Л. А. (1997): Воипёз оп ор!лта1 з1;оррт§ {лтез Гог И\е Атепсап риЪ.
Ргерпп!;, ишуегз^у оГ Зиззех.
10. Вепез V. Е. (1974): С1гзапоу Гипс{лопа1з апс! ор{лта1 Ъап§-Ъап§ 1а\уз Гог Йпа1-
уа1ие 5{юсЬаз{лс соп!;го1. 3{;осЬ. Ргос. апс! ТЬе1г Арр1. 2, 127-140.
11. Вепзоиззап А. (1984): Оп 1Ъ.е ЪЬеогу оГ ор1;1оп рпст§. АсЪа Арр1. Ма1;Ь. 2,
139-158.
12. Вепзоиззап А. (1992): 3{юсЬаз1лс Соп1;го1 оГ РаШаПу ОЬзегуаЫе Зуз^етз.
СатЬпс1§е 11шу. Ргезз.
13. Вепзоиззап А., Ыопз Л. Ь. (1978): АррПса^юпз с!ез 1г^иа{лопз уапа^юпеПез
еп соп!;го1е з^осЬаз^ие. Бипос!. (АррПсаиопз оГ Уапа1;юпа1 1г^иа1Шез т
3{юсЬа5{лс Соп1;го1. ]Чог{;Ь-Но11апс!).
14. Вегпагс! А., СатрЬеИ Е. А., Бау1е А. М. (1979): Вго\ушап тоЪюп апо!
^епегаНгес! апа1у{лс апс! тпег Гипс{лопз. Апп. 1пз{;. Роипег 729, 207-228.
15. Вегз Ь., ЛоЬп Р., ЗсЬесМег М. (1964): Раг1ла1 Б^егеШла! Е^иа^;^оп5.
1п1;егзс1епсе.
16. В1а1з В., В]0гк Т., Сукашс Л., Е1 Кагош К., Лошт Е., КосЬе!; Л. С. (1997):
Ртапс1а1 Ма{;Ьета{лсз. ЬесЪиге N0^3 т Ма^Ьета^лсз, Уо1. 1656. Зрпп§ег—
Уег1а§.
17. Вт§Ьат N. Н., К1езе1 К. (1998): Шзк-Кеи{;га1 Уа1иа1лоп. Зрпп§ег—Уег1а§.
18. В1аск Р., ЗсЬо1ез М. (1973): ТЬе рпст§ оГ ор{лопз апс! согрогаЪе НаЫНиез.
Л. Ро1Шса1 Есопоту 81, 637-654.
19. В1итеп1;Ьа1 К. М., Се1юог К. К. (1968): Магкоу Ргосеззез апс! Ро{;еп{ла1
ТЬеогу. Асаёегшс Ргезз.
20. ВогосНп А. N.5 5а1ттеп Р. (1996): Напс!Ьоок оГ Вго\ушап Мо1;1оп — Рас{;з
апс! Рогти1ае. В1гкЬаизег.
21. Вгекке К. А., 0кзепс!а1 В. (1991): ТЬе Ы§Ь соп1;ас{; рппс1р1е аз а зиШаепсу
сопсН^оп Гог ор!лта1 з{;оррт§. То арреаг т Б. Ьипс! апс! В. 0кзепс!а1
(есЫюгз): З^осЬаз^с Мос!е1з апс! Ор{;юп Уа1иез. ]Чог1;Ь-Но11апс!.

384 Литература
22. Вго\уп В. М., Не\у1а Л. I. (1975): Азутр{;о{лс ПкеНЬоос! ТЬеогу Гог сНЙГизюп
ргосеззез. Л. Арр1. РгоЬ. 12, 228-238.
23. Вису К. 3., ЛозерЬ Р. Б. (1968): Р1Непп§ Гог З^осЬаз^лс Ргосеззез \укЬ
АррПсаиопз \,о Сшс1апсе. Шегзаепсе.
24. СЬо\у V. 3., КоЬЫпз Н., 31е§типс1 Б. (1971): Сгеа!; Ехресииопз: ТЬе ТЬеогу
оГ ОрИтаА 3{юррш§. Нои§Моп МЖп Со.
25. СЬип§ К. Ь. (1974): А Соигзе т РгоЪаЫШу ТЬеогу. АсаЛегшс Ргезз.
26. СЬип§ К. Ь. (1982): ЬесШгез Ггот Магкоу Ргосеззез \,о Вгстшап МоЪюп.
Зргт§ег—Уег1а§.
27. СЬип§ К. Ь., ХЛШПатз К. (1990): 1п1;го(1исиоп Ьо 5{юсЬаз{лс 1п1;е§га1;1оп.
Зесопс! ЕсШюп. В1гкЬаизег.
28. С1агк Л. М. (1970, 1971): ТЬе гергезепШюп оГГипс{лопа1з оГ Вго\утап тоНоп
Ьу з{юсЬаз{лс т^гаЬз. Апп. Ма1;п. 5Ш. 41, 1282-1291 апс! 42, 1778.
29. Сзтк Ь., 0кзепс1а1 В. (1983): 3{юсЬаз{лс Ьагтошс тогрЫзтз: Рипсиопз
таррт§ И\е ра^Ьз оГопе сНЙГизюп т1;о ЪЬе ра^Ьз оГапо!;Ьег. Апп. 1пз{;. Роипег
330, 219-240.
30. Сзтк Ь., Рк251ттоп5 Р., 0кзепс1а1 В. (1990): А з^осЬаз^с сЬагас^епгаиоп
оГ Ьагтошс тогрЫзтз. Ма1;Ь. Апп. 287, 1-18.
31. Синапс! N. Л., Корр Р. Е., ТОШп§ег XV. (1995): ЗЪоск рпсе ге!;игп8 апс! Ше
ЛозерЬ еЙРес!;: А Ггас1лопа1 уегзюп оГ И\е В1аск-ЗсЬо1ез тос1е1. 1п ВокЬаизеп,
Б0221 апс! Киззо (есИ^огз): Зеттаг оп 3{юсЬаз{лс Апа1уз1з, Капс1от РхеШз
апс! АррПса{лопз. В1гкЬаизег, 327-351.
32. Бау13 М. Н. А. (1977): Ьтеаг Езита^оп апс! 31юсЬа5{лс СошгоЬ СЬартап
апс! НаИ.
33. Бау13 М. Н. А. (1984): Ьес^игез оп 3{юсЬаз{лс Соп1;го1 апс! КопПпеаг РИ{;епп§.
ТаЪа 1пз^1^и^е оГ Рипс1атеп{;а1 КезеагсЬ 75. Зрпп§ег—Уег1а§.
34. БаУ13 М. Н. А. (1993): Магкоу МосЫз апс! Ор{лгш2а{лоп. Спартап & НаИ,
Ьопс1оп.
35. БаУ13 М. Н. А., Ут1;ег К.В. (1985): З^осЬазис Мос1еШп§ апс! СогПгоЬ
СЬартап апс! НаИ.
36. Бе1Ъаеп Р., ЗсЬасЬегтауег XV. (1994): А §епега1 уегзюп оГ ЬЪе шпёатепЫ
{;Ьеогет оГ аззе!; рпст§. МаШ. Апп. 300, 463-520.
37. Бе1Ъаеп Р., ЗсЬасЬегтауег XV. (1995): ТЬе ех1з1;епсе оГ аЪзо1и{;е1у сошлпиоиз
1оса1 тагип§а1е теазигез. Аппа1з оГ АррПес! РгоЪаЫП^у 5, 926-945.
38. Бе1Ъаеп Р., ЗсЬасЬегтауег XV. (1997): Тпе Гипс1атеп1;а1 ЪЬеогет оГ аззеЪ
рпст§ гог ипЬоипс1ес1 з^осЬазис ргосеззез (в печати).
39. В1хИ А. К., Ртс!уск К. 3. (1994): 1пуез1;теп1; ипс1ег Ипсег{;ат{;у. Рппсе^оп
ишуегз^у Ргезз.
40. БооЪ Л. Ь. (1984): С1азз1са1 Ро1;епНа1 Тпеогу апс! Из РгоЪаЪШз{лс
Соип^еграгЧ. Зрпп§ег—Уег1а§.
41. БисПеу К. М. (1977): \уЧепег шпс{лопа1з аз Кб тЪе^гаЬз. Апп. РгоЪаЪШ^у 5,
140-141.
42. БиШе Б. (1994): Маг{лп§а1ез, агЫ{;га§е, апс! рогЪГоНо сЬоке. Р1гз{; Еигореап
Соп§гезз оГ МаШетаисз, уо1. II, В1гкпаизег, 3-21.
43. БиШе Б. (1996): Бупагшс Аззе!; Рг1С1п§ ТЬеогу. Зесопс! Ес1Шоп. Рг1псе1;оп
ип1уег311;у Ргезз.
44. Биггеи К. (1984): Вго\уп1ап Мо^оп апс! Магип§а1ез 1п Апа1уз13. \Уас1з\уог1;Ь
1пс.
45. Бупк1п Е. В. (1963): ТЬе ор^тит сЬо1се оГ ЪЬе 1пз1:ап1: Гог з!;орр1п§ а Магкоу
ргосезз. Зоу1е1; Ма1;Ьета1;1сз 4, 627-629.
46. Бупкт Е. В. (1965 I): Магкоу Ргосеззез, уо1. I. 5рпп§ег—Уег1а§.

Литература 385
47. Бупкш Е. В. (1965 II): Магкоу Ргосеззез, уо1. П. Зрпп^ег—Уег1а§. [В
оригинале: Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — М.: Физматгиз, 1963.]
48. Бупкш Е. В., УизЬкеуюЬ А.А. (1979): СогптоИес! Магкоу Ргосеззез.
5рпп§ег—Уег1а§.
49. Е1 Кагош (1981): Ьез азрес^з ргоЪаЪШз^ез с1и соп!;г61 з^осЬази^ие. Ьес^иге
Ко1ез 1п Ма1Ь. 876, 73-238. 5рпп§ег—Уег1а§.
50. ЕШои К. Л. (1982): З^осЬазИс Са1си1из апс! АррПсаНопз. 5рпп§ег—Уег1а§.
[Имеется перевод: Р. Эллиот. Стохастический анализ и его приложения.—
М.: Мир, 1986.]
51. ЕШои К. Л., Корр Р. Е. (1999): Ма1Ьета{лсз оГРтапс1а1 МагкеЪз. 5рпп§ег—
Уег1а§.
52. Е1\уог1Ьу К. Б. (1982): З^осЬази'с Б^егегШа! Е^^1а1:^опз оп ташГоЫз.
СатЪпс!§е ишуегзНу Ргезз.
53. Етегу М. (1989): ЗЪосЬазИс Са1си1из т МашГоМз. 5ргт§ег—Уег1а§.
54. Ракееу А. С. (1970): Ор{лта1 з1;оррт§ ги1ез Гог ргосеззез \уИ;Ь согШпиоиз
рагате!;ег. ТЬеогу РгоЬаЬ. Арр1. 15, 324-331.
55. Р1егшп§ XV. Н., ШзЬе1 К. XV. (1975): Вейептпшзи'с апс! З^осЬаз^с Ор1лта1
Соп1го1. 5рпп§ег—Уег1а§. [Имеется перевод: У. Флеминг Р. Ришел.
Оптимальное управление детерминированными и стохастическими
системами. — М.: Мир, 1978.]
56. Р1егшп§ \У. Н., Зопег Н. М. (1993): СопЪгоПес! Магкоу Ргосеззез апс! У18СозИ;у
ЗоЫЫопз. 5рпп§ег—Уег1а§.
57. РоИапс! С. В. (1984): Кеа1 Апа1уз1з. Л. \УПеу & Зопз.
58. РтсШп М. (1985): Рипс{лопа1 1п1;е§га{;юп апс! РагМа1 В1гГегепиа1 Е^иа{;^оп8.
Рппсе^оп ишуегзку Ргезз.
59. Рпеётап А. (1975): З^осЬазНс Б^егепиа! Е^иа{;^оп8 апс! АррНса^юпз, уо1.
I. Асаёегшс Ргезз.
60. Рпеётап А. (1976): 5{юсЬаз1лс БШегепи'а! Е^иа^;^оп8 апс! АррНсаНопз, уо1.
II. Асаёегшс Ргезз.
61. РикизЫта М. (1980): БтсЫе!; Рогтз апс! Магкоу Ргосеззез. N0^-
НоПапё/КоёапзЬа.
62. Саге! Т. С. (1988): 1п1;гос!ис1;юп 1о 51;оспа81лс Б^егегШа! Е^иа{;^оп8. Беккег.
63. Се1Ь А. (1974): АррПес! Ор<лта1 Ез{лта1лоп. М1Т.
64. С1Ьтап I. I., ЗкогоЪос! А. V. (1974а): 5{юсЬаз{лс В1Я"егепи'а1 Е^иа{;^оп8.
Зргт§ег—Уег1а§. [В оригинале: Гихман И. И., Скороход А. В. Теория
случайных процессов. — М.: Наука, 1973.—Т.2.]
65. СШтап I. I., ЗкогоЬос! А. V. (1974Ь): ТЬе ТЬеогу оГ ^осЬазвс Ргосеззез,
уо1. I. 5рпп§ег—Уег1а§. [В оригинале: Гихман И. И., Скороход А. В. Теория
случайных процессов. — М.: Наука, 1971.—Т.1.]
66. СШтап I. I., ЗкогоЬос! А. V. (1975): ТЬе ТЬеогу оГ З^осЬазЫс Ргосеззез, уо1.
II. 5ргт§ег—Уег1а§. [В оригинале: Гихман И. И., Скороход А. В. Теория
случайных процессов. — М.: Наука, 1975. —Т.З.]
67. СШтап I. I., ЗкогоЬос! А.У. (1979): СогпхоИес! З^осЬазЫс Ргосеззез.
5ргт§ег—Уег1а§.
68. Сгие Л. (1989): \Уауе ёпй с1атрт§ оГ 1Ье тоиопз оГ тоогеё р1а1Гогтз Ьу 1Ье
те^Ьос! оГ з^осЬаз^с сНЙГегепиа! е^иа{;^оп8. Мапизспр!;, ишуегзку оГ Оз1о.
69. Нагпзоп Л. М., Кгерз Б. (1979): Маплп§а1ез апс! агЪНга^е т тиШрепос!
зесигШез тагке^з. Л. Есопотк ТЬеогу 20, 381-408.
70. Нагпзоп Л. М., РПзка 5. (1981): Маг{лп§а1ез апс! з^осЬазЫс 1гп,е§га1з т 1Ье
ТЬеогу оГсогШпиоиз 1гасЬп§. 51;осЬ. Ргос. апс! ТЬе1г АррНсаНопз 11, 215-260.

386 Литература
71. Нагпзоп 3. М., РНзка 8. (1983): А з^осЬазНс са1си1из тос!е1 оГ соп^тиоиз
{;гас!т§: Сотр1е{;е тагке^з. 51;осЬ. Ргос. Арр1. 15, 313-316.
72. Не 8., \Уап§ Л., Уап 3. (1992): 5егттаплп§а1е ТЬеогу апс! 5{юсЬаз{лс Са1си1из.
8с1епсе Ргезз апс! СКС Ргезз.
73. Шс!а Т. (1980): Вго\ушап МоНоп. 5рпп§ег—Уег1а§.
74. НМа Т., Кио Н.-Н., РоиЬоЙГ Л., З^геИ Ь. (1993): ШЬНе N0136. Ап 1пЯш<;е
Б1тепзюпа1 АрргоасЬ. К1и\уег.
75. Ное1 Р. С, РоП 8. С, Зкте С. 3. (1972): 1п1;го(1ис1;юп \,о ЗЪосЬазНс Ргосеззез.
ДУауе1апс1 Ргезз, ИПгкнз 60070.
76. НоЙРтапп К. (1962): ВапасЬ 8расез оГ Апа1у{лс Рипс{лопз. Ргеписе На11.
77. НоЫеп Н., 0кзепс!а1 В., \]Ъ0е Л., 2Ьап§ Т. (1996): З^осЬазНс РагНа1
БШегегШа! Е^иаиопз. ВккЬаизег.
78. Ни V. (1995): Ию-ТОепег сЬаоз ехрапзюп \укЬ ехасЪ гез1с!иа1 апс! согге1а!;юп,
уапапсе тециаНЫез (в печати).
79. Ни V., 0кзепс1а1 В. (1999): РгасНопа1 \уЬке по1зе са1си1из апс! аррНсаиЪпз 1о
йпапсе. Ргерпп!;, Ишуегзку оГ Оз1о 1999.
80. 1кес1а К., Ша^апаЪе 3. (1989): ЗШсЬазНс Б1п"егепНа1 ЕяиаЪюпз апс! БШизюп
Ргосеззез. Зесопс! Ес1Шоп. Коп:Ь-Но11апс!/Кос!ап5Ьа.
81. По К. (1951): МиШр1е \ДПепег 1п1;е§га1. 3. Ма1;п. Зое. Ларап 3, 157-169.
82. Ко К., МсКеап Н. Р. (1965): Б1ЙРиз10п Ргосеззез апс! ТЬек Затр1е РаЪЬз.
8рпп§ег—Уег1а§. [Имеется перевод: К. Ито и Г. Маккин. Диффузионные
процессы и их траектории. — М.: Мир, 1968.]
83. Ласка 3. (1991): Ор{лта1 5{юррт§ апс! ЪЬе Атепсап риЪ. Ма{;Ьетаи\:а1
Ртапсе 1, 1-14.
84. Ласос! Л. (1979): Са1си1 ЗЪосЬазНяие е\, РгоЫетез с!е МагЫп§а1е5. 5рпп§ег
ЬесЪиге N0^3 т Ма1;Ь. 714.
85. Ласос! Л., ЗЫгуаеу А. N. (1987): Ытк ТЬеогетз Гог ЗШсЬазНс Ргосеззез.
8рпп§ег— Уег1а§.
86. Лаз\У1пзк1 А. Н. (1970): З^осЬазНс Ргосеззез апс! РШепп§ ТЬеогу. Асас!егшс
Ргезз.
87. КаШаприг С. (1980): 5{юсЬаз1лс РШеппе ТЬеогу. 5рпп§ег—Уег1а§.
88. КаШаприг С, КагапсНкаг К.Ь. (2000): 1п{;гос!исНоп \,о ОрНоп Рпст§ ТЬеогу.
В1гкЬаизег.
89. КагаЪгаз I. (1988): Оп ЪЬе рпст§ оГ Атепсап орНопз. Арр1. МаЪЬ.
Ор{лгш2а{лоп 17, 37-60.
90. Кага^газ I. (1997): Ьес{;игез оп ЪЬе Ма^ЬетаЫсз оГ Ртапсе. Атепсап
Ма1;Ьета{лса1 ЗоаеЪу.
91. Кага^газ I., ЬеЬосгку Л., ЗЬгеуе 3. Е. (1987): Ор1лта1 рогЪГоНо апс!
сопзитрЪюп с!ес1310пз Гог а '8та11 1пуез{;ог' оп а ЯпКе Ьопгоп. 81АМ Л.
Соп1;го1 апс! Ор1лгш2а1;юп 25, 1157-1186.
92. Кага^газ I., Осопе Б. (1991): А §епегаНгес! С1агк гергезепЪаиоп Гогти1а, \укЬ
аррПсаНоп Ъо ор{лта1 роПГоПоз. З^осЬаз^сз апс! 5{юсЬаз{лсз Керогаз 34, 187-
220.
93. Кагаиаз I., ЗЬгеуе 3. Е. (1991): Вго\утап МоЫоп апс! З^осЬазЫс Са1си1из.
Зесопс! Ес!Шоп. Зрпп§ег—Уег1а§.
94. КагаЪгаз I., ЗЬгеуе 3. Е. (1998): МеЪЬоёз оГ Ма1;ЬетаНса1 Ртапсе. Зрпп§ег—
Уег1а§.
95. КагНп 3., Тау1ог Н. (1975): А Р1гз1; Соигзе т З^осЬазЫс Ргосеззез. Зесопс!
ЕсШюп. Асаёегтс Ргезз.
96. КагНп 3., Тау1ог Н. (1981): А Зесопс! Соигзе т З^осЬаз^с Ргосеззез. Асаёегтс
Ргезз.

Литература 387
97. К1оес1еп Р. Е., Р1а1;еп Е. (1992): Китепса1 Зо1и1лоп оГ З^осЬазИс 1Жегеп1ла1
Е^иа1;^опз. Зрпп§ег—Уег1а§.
98. Кт§Ы; Е. В. (1981): Е88егШа18 оГ Вго\ушап Мо^оп. Атепсап МаШ. Зое.
99. Корр Р. (1984): Маг1лп§а1е8 агк! 31юспа8{лс 1п^е§га18. СатЪпс1§е ТЛшуегзку
Рге88.
100. Кпзппап V. (1984): КопНпеаг ЕШепп^ апс! ЗтооШт§: Ап 1п1;го(1ис{;юп Ьо
Маг{;т§а1е8, 31юспа8{лс 1п1;е§га18 апс! Е8{лта1;юп. Л. \УПеу & Зопз.
101. Кгу1оу К.У. (1980): Соп1;го11ес1 ВШизюп Ргосеззез. Зрпп^ег—Уег1а§. [В
оригинале: Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. — М.:
Наука, 1977.]
102. Кгу1оу N. V., 2уопкт А. К. (1981): Оп 8*;гоп§ 8о1и1;юп8 оГ 8*;оспаз{лс
сПЯ"егеп{ла1 е^иа{;^оп8. 8е1. МаШ. Зоу. I, 19-61.
103. КизЬпег Н. Л. (1967): З^оспаз^с ЗЪаЫШу апс! Соп1;го1. Асаёегтс Ргезз.
104. Ьатрег1л Л. (1977): 3{юспа81лс Ргосеззез. Зрпп§ег—Уег1а§.
105. ЬатЪеНюп В., Ьареуге В. (1996): 1п1;гос1ис{;юп \,о ЗЬосЪазИс Са1си1и8 АррПес!
{;о Етапсе. СЬартап & На11.
106. Ьеуеп{;а1 3., ЗкогоЬос! А. V. (1995): А песеззагу апс! зигпаеп!; сопсПИоп Гог
аЬзепсе оГ агЪкга^е \уИ;п Ъате рогъГоПоз. Апп. Арр1. РгоЪаЫШу 5, 906-925.
107. 1лп 3. Л. (1995): ЗЪосЬаз^с апа1у818 01"ггас{лопа1 Вготошап тополе. 31;оспа8{лс8
55, 121-140.
108. ЫрЪзег К. 3., ЗЫгуаеу А. N. (1977): 81а11з^1С8 оГ Яапс1от Ргосеззез, уо1. I.
5рпп§ег—Уег1а§.
109. Ыр{;зег К. 3., ЗЫгуаеу А. N. (1978): З^аизИсб оГ Капёот Ргосеззез, уо1. П.
Зргт&ег—Уег1а§. [В оригинале: Липцер Р. III., Ширяев А. Н. Статистика
случайных процессов. — М.: Наука, 1974.]
110. МсВопаМ К., 31е§е1 В. (1986): ТЬе уа1иеоГ \уаШп§ 1о туез!;. С^иагЪеНу Л. оГ
Есопогшсз 101, 707-727.
111. МсСаг1у Т. Р. (1974): 31оспа8{лс ЗузЪетз апс! ЗШе ЕзИтаЪюп. Л. \УПеу
& Зоп8.
112. МсКеап Н. Р. (1965): А Ггее Ьоипёагу ргоЫет Гог Ше Ьеа! е^иа!;юп ап8т§
Ггот а ргоЫет оГ та{;пета1лса1 есопогтез. 1пс1и81па1 тапа^ет. геу1е\у 60,
32-39.
113. МсКеап II. Р. (1969): З^осЬазЫс 1п1;е§га18. Асас1егшс Рге88.
114. МаШапз А. С. (1983): Иб'з са1си1из т ппапаа1 с1ес18юп такт^. 31АМ Кеу1е\у
25, 481-496.
115. МаШапз А. С, Вгоск XV. А. (1982): ЗЪоспавИс Ме1;пос18 т Есопопнсз апс!
Етапсе. Ког1;п-Но11апс1.
116. Магколу^г Н. М. (1976): РоПЫю Зе1ес1;юп. ЕШаеп*; В1уег81пса1лоп оГ
1пуез1теп{;8. Уа1е 1)шуегзНу Ргезз.
117. МауЬеск Р. 3. (1979): 31;осЬа811С Мос1е18, Езита^оп, апс! СогктоЬ УоЬз. 1-3.
Асас1егшс Ргезз.
118. МегЪоп К. С. (1971): Ор^тит сошитр^оп апс! рог1гоПо ги1е8 т а
сопИпиоиз-Ите тос1е1. Лоигпа1 оГ Есопогтс ТЬеогу 3, 373-413.
119. МегЪоп К. С. (1990): СотМпиоиз-Тлте Етапсе. В1аск\уе11 РиЬНзЬегз.
120. МеЪтег М., РеПаитаП Л. (1980): 3{;оспа8{лс 1п{;е§га{;юп. Асаёегтс Рге88.
121. Меуег Р. А. (1966): РгоЪаЫШу апс! Ро1;еп{ла18. В1а18с1е11. [Имеется перевод:
Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. — М.: Мир, 1973.]
122. Меуег Р. А. (1976): 11п соигз 8иг 1е8 1п1;ё§га1е8 8{юсЬа8{^ие8. Зет. с!е РгоЬ.
X. Ьес^иге N0^8 т МаШета{лс8, уо1. 511. Зрпп§ег—Уег1а§, 245-400.
123. Ми81е1а М., Ки{;ко\У8к1 М. (1997): МаНлп§а1е МеШос18 т Етапаа1 Мос1еШп§.
Зрг1п§ег—Уег1а§.

388 Литература
124. Осопе В. (1984): МаШауш'з са1си1из апс! з{юспаз{лс т!;е§га1: гергезегйаиоп оГ
Гипс{лопа1з оГ сПпЪзюп ргосеззез. 8{юспаз{лсз 12, 161-185.
125. 0кзепс1а1 В. (1984): Рте1у пагтошс тогрЫзтз, Вго\утап раШ ргезегут§
гипс^юпз апс! сопГогта1 таг{лп§а1ез. 1пуеп{лопез та1;п. 750, 179-187.
126. 0кзепс1а1 В. (1990): \Л/Ъеп 18 а з^оспаз^с 1п1;е§га1 а Ите спап§е оГ а сИЙГизюп?
Лоигпа1 оГ ТЬеоге<лса1 РгоЪаЪПку 3, 207-226.
127. 0кзепс1а1 В. (1996): Ап 1п1;гос!ис{;юп \,о МаШаут Са1си1из \уИ;п АррНсаЪюп
\,о Есопогшсз. РгерппЪ, ^г\уе§1ап 8споо1 оГ Есопогшсз апс! Визтезз
АёгтшзЪгаЪюп.
128. 01зеп Т. Е., 8{;епз1апс! С. (1987): А поЪе оп Ъпе уа1ие оГ \уаШп§ Ъо туезЪ.
Мапизспр!; СМ1, N-5036 РапЪоЙ, ]Чоп/уау.
129. Рагёоих Е. (1979): З^осЬазис рагЪ1а1 сПп"егеп{ла1 еяиа^юпз апс! Яиепп§ оГ
сНЙГизюп ргосеззез. ЗЪосЬаз^сз 3, 127-167.
130. РоН; 8., 81юпе С. (1979): Вго\ушап Мо^оп апс! С1азз1са1 РоЪеп{ла1 ТЬеогу.
Асаёегшс Ргезз.
131. Ргоиег Р. (1990): З^осЬазЫс 1п1;е§га{;юп апс! В1п"егеп{ла1 Еяиа^юпз. 8рпп§ег—
Уег1а§.
132. Катзеу Р. Р. (1928): А та1;Ьета1;1са1 Шеогу оГ заут§. Есопогтс Л. 38, 543-
549.
133. Као М. (1977): Вго\ушап Мо^оп апс! С1азз1са1 Ро1;епиа1 Тпеогу. АагЬиз 11шу.
ЬесЪиге N0^3 т МаШета^сз 47.
134. Као М. М. (1984): РгоЪаЫШу ТЬеогу хуНЪ АррПсаиопз. Асаёегшс Ргезз.
135. Кеуиг В., Уог М. (1991): СогШпиоиз Маг{лп§а1ез апс! Вго\ушап МоЪюп.
8рпп§ег—Уег1а§.
136. Ко§егз Ь. С. С, ДУПНатз В. (1994): ВШизюпз, Магкоу Ргосеззез, апс!
Маг{лп§а1ез. Уо1. 1, 2пс! ес!Шоп. Л. \\1'йеу & 8опз.
137. Ко§егз Ь. С. С, ДУПНатз В. (1987): В1ЙРиз1опз, Магкоу Ргосеззез, апс!
Маг{лп§а1ез. Уо1. 2. Л. \УПеу & 8опз.
138. Когапоу Уи. А. (1982): Магкоу Капс!от ПеМз. 8рпп§ег—Уег1а§. [В
оригинале: Розанов Ю. А. Марковские случайные поля. — М.: Наука, 1981.]
139. 8атие1зоп Р. А. (1965): Ка{лопа1 Шеогу оГ \уаггап1; рпст§. 1пс!и5{;па1
тапа§ет. геу1е\у 6, 13-32.
140. 8Ыгуаеу А. N. (1978): Орита1 ЗЪоррт^ Ки1ез. 8рпп§ег—Уег1а§. [В
оригинале: Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1.
Факты. Модели.— М.: ФАЗИС, 1998.]
141. 8Ыгуаеу А. N. (1999): ЕззегШа1з оГ 8{юсЬаз{лс Ртапсе. ШогЫ ЗаегШйс.
[В оригинале: Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой
математики. Т.2. Теория.-М.: ФАЗИС, 1998.]
142. 81ШОП В. (1979): Рипс{лопа1 1п1;е§га1;10п апс! (ЗиапШт Рпузюз. Асаёегтс
Ргезз.
143. 8пе11 Л. Ь. (1952): АррПсаиопз оГ тагип§а1е зуз^ет Шеогетз. Тгапз. Атег.
МаШ. 8ос. 73, 293-312.
144. 81;га1;опоу1Сп К. Ь. (1966): А пе\у гергезеп{;а{;юп Гог з^осЬаз^с 1п1;е§га1з апс!
еяиаЫопз. Л. 81ат Соп1;го1 4, 362-371.
145. 8Ъгооск В. XV. (1971): Оп Ъпе §го\у!;11 оГ з^осЬаз^с 1п1;е§га1з. 2. ХД/аЬг. уепу.
СеЬ. 18, 340-344.
146. З^гооск В. XV. (1981): Торюз т 8ЪосЬа5{лс В1Й"егеп{ла1 ЕяиаЪюпз. ТаЪа
1пз{л{;и{;е оГ Рипс!атеп{;а1 КезеагсЬ. 8рпп§ег—Уег1а§.
147. 31;гооск В. XV. (1993): РшЪаЪПку ТЬеогу, Ап Апа1у{лс У1е\у. СатЬпс!е
11шуег5ку Ргезз.

Литература 389
148. ЗЪгооск В. \ЛЛ, Уагас1Ъап З.К. 3. (1979): МиШсНтепзюпа! ВШизюп Ргосеззез.
Зрпп§ег—Уег1а§.
149. Зиззтапп Н. Л. (1978): Оп т:Ье §ар Ъе1;\уееп скЪеггштзис апс! зтюсЬазтлс
огсНпагу сШТегегШа! еяиаНопз. ТЬе Аппа1з оГ РгоЬ. 60, 19-41.
150. Тагазкт А. (1974): Оп И\е азутр^о^с погтаП^у оГ уес!;огуа1иес1 зтюсЬазтлс
1п1;е§га1з апс! езтлта^ез оГ с1пГ{; рагате^егз оГ а тиШсНтепзюпа! сШТизюп
ргосезз. ТЬеогу РгоЬ. Ма1;Ь. ЗиНзт:. 2, 209-224.
151. ТЬе Ореп ишуегзНу (1981): Ма{;Ъета{лса1 тос1е18 апс! те^Ъоёз, ипП; 11. ТЬе
Ореп Утуегзку Ргезз.
152. Торз0е Р. (1978): Ап тГогтаиоп {;Ъеоге{лса1 §ате т соппес^юп уу1т:Ь т:Ье
тах1тит еп^гору рппарк (ВашзЪ). МогсНзк Ма^етаНзк Т1с1з8кг1Гт: 25/26,
157-172.
153. ТигеШ М. (1977): Капёот епУ1гоптеп1;з апс! зЪосЬазтлс са1си1из. ТЬеог. Рор.
Вю1о§у 12, 140-178.
154. \]Ъ0е Л. (1987): СопГогта1 таг{лп§а1ез апс! апа1у{лс ГипсЫопз. МаЪЪ. 8сапс1.
60, 292-309.
155. Уап МоегЬеке Р. (1974): Ап ор{лта1 з1;оррт§ ргоЫет \уИ;Ь Ппеаг ге\уагс1.
Аси МаЪЬетаиса 132, 111-151.
156. ДУПНатз В. (1979): В1гТизюпз, Магкоу Ргосеззез апс! МаНлп§а1е5. Л. ТО1еу
& 8опз.
157. ХгаПатз В. (1981) (есП^ог): ЗЪосЬазтлс 1п1;е§га1з. ЬесШге N0^3 т
Ма{;Ъета{лсз, уо1. 851. 8ргт§ег—Уег1а§.
158. ХтаНатз В. (1991): РгоЪаЫШу \уИ;Ъ Маг{лп§а1ез. СатЬпс!§е Итуегзку Ргезз.
159. Шоп^ Е. (1971): З^осЪазНс Ргосеззез т 1пГогта{;юп апс! Вупагшса1 Зуз^етз.
МсСга\у-НШ.
160. Шоп^ Е., 2ака1 М. (1969): Шетапп-ЗиеН^ез арргох1таЫопз оГ з^осЪазЫс
1п1;е§га1з. 2. ШаЬг. уег\у. СеЬ. 120, 87-97.
161. УеЬ Л. (1995): Маг{лп§а1ез апс! ЗтюсЬазтлс Апа1у313. ШогШ Заептлйс.
162. Уоп§ Л., 2Ъои X. У. (1999): З^осЪазис Соп1;го1з: НагшИюшап Зуз^етз апс!
НЛВ Еяиа^опз. 8рпп§ег—Уег1а§.
163. Уог М. (1992): Зоте АзресЪз оГ Вго\утап МоНоп, РаП I. ЕТН ЬесЪигез т
МаЪЪ. В1гкЬаизег.
164. Уог М. (1997): Зоте АзресЪз оГ Вго\утап Мо^оп, Раг!; II. ЕТН Ьес1;игез т
Ма1;Ь. ВтгкЪаизег.

Список дополнительной
литературы1
1*. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996.
2*. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. —
М.: Наука, 1977.
3*. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные
уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1982.
4*. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. — М.: Наука, 1986.
5*. Миллер Б. М., Панов А. Р. Теория случайных процессов. М.: — Физматлит,
2002.
6*. Мильштейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических
дифференциальных уравнений. — Свердловск: Изд-во Свердловского государственного
университета, 1988.
7*. Пугачев В. С, Синицин И. Н. Теория случайных процессов. — М.: Наука,
1999.
8*. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая
статистика. — М.: Наука, 1985.
9*. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С.
Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин. — М.: Наука, 1985.
10*. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при
случайных возмущениях. — М.: Наука, 1978.
11*. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.
Этот список не претендует на полноту и предназначен для читателей,
желающих углубить свои знания по тематике книги. — Прим. пер.

Список принятых обозначений
Кп п-мерное евклидово пространство
К+ множество неотрицательных действительных чисел
С$ множество рациональных чисел
Ъ множество целых чисел
2+ = N множество натуральных чисел
С комплексная плоскость
Кп Хгп п х га-матрицы (с действительными элементами)
Ат транспонированная матрица А
\С\ определитель п х п-матрицы С
Кп ~ Кпх1 векторы в Кп соответствуют п х 1-матрицам
Сп = п-мерное комплексное пространство
Сх ••• хС
п
\х\2=х2 ]Г} ж? при ж = (#1,... ,жп) € Кп
п
х ■ у скалярное произведение ]Г} Х{у{ при х = (х\,..., жп), у -
1=1
(УЬ---»Уп)
ж+ тах(ж, 0) при ж € К
х~ тах(—ж,0) при х Е К
зщпх -
1 при х > 0,
— 1 при х < 0
С(II, V) пространство непрерывных функций из II в V
С(11) то же самое, что и С([/, К)
С о (II) множество функций из пространства С (II) с компактным
носителем
Ск =Ск(11) множество функций из пространства С(11, К), имеющих
непрерывные производные до порядка к включительно

392 Список принятых обозначений
Со =Со(11) множество функций из пространства Ск(11) с
компактным носителем в V
Ск+а множество функций из пространства Ск с производными
к-то порядка, непрерывными по Липшицу с показателем
а
С1,2(КхКп) множество функций /(^,ж): К х Кп —» К,
принадлежащих пространству С1 относительно переменной I Е К и
пространству С2 относительно переменной х Е Кп
Съ(и) пространство ограниченных непрерывных функций,
заданных на II
{\К сужение функции / на множество К
А — Ах производящий оператор диффузионного процесса Ито X
Л — Ах характеристический оператор диффузионного процесса
ИтоХ
Ь = Ьх оператор в частных производных второго порядка,
совпадающий с Ах на Со и с Ах на С2
Вь (или броуновское движение
{ВЬ,Т,П,РХ))
Т>а область определения оператора А
V градиент: V/= (|^,..., ^
А оператор Лапласа: А/ = ^ ^-|
г г
Ь полуэллиптический оператор в частных производных
второго порядка вида Ь - ^ Ь{ ^- + X) ач дх%х ■
г г,3 3
Ка резольвента
п. в. почти все, почти всюду
п. н. почти наверное
~ совпадение по отношению к закону распределения (см.
разд. 8.5)
Е[У] — математическое ожидание случайной величины У отно-
сительно меры }л
Е\У\М\ условное математическое ожидание случайной величины
У относительно N
Тоо сг-алгебра, порожденная \] Ть
г>о
Б борелевская сг-алгебра
Ть^Т^ сг-алгебры, порожденные процессом {В8\8 <^}, где В8 —
7П-мерное броуновское движение
Тт сг-алгебра, порожденная процессом {В8/\т\ 8 > 0} (г —
момент остановки)

Список принятых обозначений 393
_]_ ортогональность (в гильбертовом пространстве)
М.ь сг-алгебра, порожденная процессом {Х8\з<1\ (Хь —
диффузионный процесс Ито)
М.т сг-алгебра, порожденная процессом {ХзАт; з > 0} (г —
момент остановки)
дО граница множества О
О замыкание множества С
О ССН О — компакт и О С Н
с1(у,К) расстояние от точки убКп до множества КсИп
тс момент первого выхода из множества О процесса
У(5,Т), см. определение 3.3.1
УП(5,Т)
IV, У\?п см. определение 3.3.2
(Н) условие Ханта (гл. 9)
НЛВ уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана (гл. 11)
1П п х п-единичная матрица
Хс индикатор множества О, т. е. функция, определяемая
равенством Хс(х) — 1, если х Е С, Хс {х) = 0, если х ^ О
Рх закон распределения вероятностей броуновского
движения Вг с начальным условием в точке х
Р — Р° закон распределения вероятностей броуновского
движения Вг с начальным условием в точке 0
0х закон распределения вероятностей процесса Хг с
начальным условием в точке х (Хо =х)
К^8,х^ закон распределения вероятностей процесса Уг = (з + Ь,
Х?)*<о,Уо = (з,х) (гл. 10)
<25'ж закон распределения вероятностей процесса У1 = (з + 1,
Х*в&)г>о,У0 = (8,х)(гл.11)
Р <^С <2 мера Р абсолютно непрерывна относительно меры <2
Р' ~ <2 мера Р эквивалентна мере С, т. е. Р <С 0 и ф <С Р
Ех,Е^8,х\Е8,х операторы математического ожидания относительно мер
0х:, Я(5'ж) и С}8'х соответственно
Ее} математическое ожидание относительно меры С?
Е математическое ожидание относительно меры, которая
ясна из контекста (обычно Р°)
зА1 минимальное значение из 5 и 2(=тт(з, 2))
з\/1 максимальное значение из 5 и ^(=тах(5,^))
а транспонированная матрица а
5Х единичная точечная масса в х

394 Список принятых обозначений
о\у 5ц = 1 при г = у, 6ц = 0 при г ф]
вг оператор сдвига: вь({(Х8)) - {(Х1+8) (гл. 7)
в{1) портфель (см. (12.1.3))
Vе (1) = процесс цены, стоимости (см. (12.1.4))
в{1)-Х(1),
У2 (Ь) = г + стоимость, образующаяся в момент времени I соглас-
Гй( \ЛХ( \ но самоФинансиРУюЩемУся портфелю в при начальном
{ [8) [8) условии г (см. (12.1.7))
Х{1) вектор нормализованной цены (см. (12.1.8)—(12.1.11))
^(2) фактор дисконтирования (см. (12.1.9))
.— «по определению»
Ит,Нт то же самое, что и НттГ, Нтзир
езз тГ/ зир{М 6 К; / > М (п. н.)}
езз зир / тГ {ТУ е К; / < N (п. н.)}
П конец доказательства
Термин «возрастающий» используется в том же самом смысле, что и
«неубывающий», «убывающий» - в том же самом смысле, что и «невозраста-
ющий». В строгих случаях используется «строго возрастающий/строго
убывающий».

Предметный указатель
Актив безрисковый (заГе аззеЪ)
309
— рисковый (пзку ~) 309
Алгебра Т% (а1§еЬга Т%) 42
Арбитраж (агЪНга^е) 312
Байеса правило (Вауез' ги1е) 195
Беллмана принцип (Ве11тап
рппс1р1е) 302
Бесселя процесс (Веззе1 ргосезз) 72,
180
Блэка—Шоулса модель обобщенная
(^епегаНгес! В1аск апс! 8по1ез
тос!е1) 338
— рынок (~~ тагкеЪ) 349
— формула (~~ Гогти1а) 21
классическая (с1азз1са1 ~~~)
357
обобщенная (^епегаПгес! ~~~)
340
Бореля—Кантелли лемма
(Воге1—Сап1еШ 1етта)
33
Броуновский мостик (Вгслутап
Ъпс!§е) 102
Броуновского движения график
(§гарЬ оГ Вгслушап тоНоп)
154
Броуновское движение в Кп
(Вгслутап тоНоп т Яп) 19,
28
— возвратное (гесиггепЪ ~~)
156
— геометрическое (§еоте!;пс ~~)
87, 159
— двумерное (2-сНтепзюпа1 ~~)
194
— каноническое (сапошса! ~г^)
28
— комплексное (сотр1ех ~~)
104
— на единичной окружности
(~~ оп Ъпе ипП С1гс1е) 91,
158
сфере (~~~~ зрпеге) 191,
192
римановом многообразии
(г*.^^ а Шетапшап
ташГоЫ) 192
эллипсе (~гч>гч> ц^е еШрзе)
100
— невозвратное (1гапз1еп1; ~~)
156
— одномерное (1-сНтепзюпа1 ~~)
90, 120
— принуждаемое (сопс!Шопес1 ~~)
165
— масштабирование (~ зсаПп§)
36
Вариационные неравенства
(уапа(юпа1 шеяпа1Шез) 20,
265, 268
Версия процесса (уегзюп оГ а ргосезз)
30
Взрыв решения (ехр1озюп оГ ЪЪе
8о1иИоп) 92
Винера критерий (\У1епег сгИепоп)
222
Возрастающее семейство ст-алгебр
(тсгеазт§ ГатНу оГ
сг-а1§еЬгаз) 43, 49
Волътерра стохастическое
уравнение (зЪоспазис
УоИегга ециаНоп) 103
Г амилыпона—Якоби—Беллмана
уравнение (НЛВ)
(НаппИоп—ЛасоЫ—ВеПтап

396 Предметный указатель
ециаЬюп (ШВ))
282, 286
Гёлъдера условие 224
Гирсанова преобразование мер
(СЛгзапоу йгапзГогтайюп оГ
теазигез) 197
- теорема (~ Шеогет) 85, 194, 196,
199, 200
Граничное распределение (ЫМт§
сПзЫЫиюп) 150
Грина мера (Сгееп теазиге) 36,
233
- оператор (~ орега!юг) 208
- формула (~ Гогти1а) 234
- функция (~ гипс!;юп) 208
- классическая (с1азз1са1 ~~)
233
Гронуолла—Беллмана лемма
(Сгоп\уа11 теяиаН1;у) 93,
106
Дадли теорема (БисПеу'з 1;пеогет)
315
Диверсификация портфеля ценных
бумаг (ор!лта1 рог!;Го1ю
сПуегзШса^юп) 292
Дирихле задача (БтсЫе!; ргоЫет)
15, 19, 214
- обобщенная (^епегаПгес! ~~)
222
- стохастическая (з^оспазис ~~)
217
Дирихле—Пуассона задача
смешанная (сотЫпес!
БтсЫе^-Рсиззоп ргоЫет)
211, 232
Дуба неравенство для мартингалов
(БооЬ'з таг!;т&а1е
шециаН^у) 50
- теорема о сходимости мартингалов
(~ таг1;т-
§а1е сопуег^епсе Шеогет)
367, 368
- Н-преобразование (~ ЛЧгапз-
Гогт) 164
Дуба—Дынкина лемма
(БооЪ—Бупкт 1етта)
24
Дуба—Мейера разложение
(БооЬ—Меуег йесотро-
зШоп) 346
Дынкина процесс диффузионный
(Бупкт сНЯизюп) 158
- формула (~'з Гогти1а) 155, 234
Емкость (сараску) 208
- несущая (саггут§ сараску)
104
Задача добычи природных ресурсов
(гезоигсе ех1гас1юп ргоЫет)
275
- интерполяции (ш1егро1а1;юп ~)
136
- линейного стохастического
регулятора (Нпеаг з!;оспаз1;1С
ге^иЫог ~) 289
- о мартингале (таг!;т§а1е ~) 178,
179
корректная (\уе11-розес1 ~~)
179
- об оптимальной остановке (ор1лта1
8*орр1пб ~) 15, 20, 244,
266
- об оптимальном размещении
ценных бумаг (ор1;1та1
роПЬПо ~) 20
- оптимального выбора портфеля
(ор!лта1 роПГоПо ~) 20,
292
- прогноза (рге<Нс1;юп ~) 136
- сглаживания (зтоо1;Ып§ ~)
136
- стохастического управления
(з^оспазЫс соп1;го1 ~) 15,
279
- фильтрации (йНепп§ ~) 18, 107,
108
линейная (Нпеаг ~~) 15, 110
многомерная (тиШсПтеп8юпа1
—) 132
одномерная (1-сНтеп8юпа1
~~~) 110
Закон повторного логарифма (1а\у оГ
кега!;ес1 1о§ап1;пт) 89
- "0-1"(0-1 ~) 218
Замена времени в интегралах Ито
(Ите спап^е Гогти1а Гог Но
1п1;е§га18) 190
- случайная (гапс!от ~~) 187

Предметный указатель 397
Инвестирование безрисковое (заГе
1пуе8*теп1;) 20, 293
- рисковое (пзку ~) 20, 293
Интегрирование по частям
(ш1е§га1юп Ьу раг*;з) 67,
78
Иск (сЫт) 323
- достижимый (аиашаЫе ~)
323
- условный (соп!;т§еп1; ~) 323
Исчисление цены (гштега1ге)
310
Итпо изометрия (Ко 18оте1;гу) 44,
47
- интеграл (~ т!;е§га1) 38, 42, 43,
47
кратный (ш1ега1;ес1 ~~) 58
- многомерный (ггшШ-сНтеп8юпа1
—) 53
- интеграла обобщения (ех^епзюпз оГ
1Ъ.е ~ т!;е§га1) 53, 54
- интерпретация стохастического
дифференциального
уравнения (~ т!;егрге1;а1;юп
оГ а з1юспа81;1с (Нп"егеп1;1а1
еяиа(юп) 55, 86
- процесс (~ ргосезз) 64
диффузионный (~ <ИЙГи810п) 141,
142, 347
- одномерный (1-сНтеп8юпа1 ~
ргосезз) 65
- п-мерный (п-сНтеп8юпа1 ~~)
71
- уравнение модифицированное
(тосНйес! ~ е^иа1;^оп)
56
- формула (~ Гогти1а) 49
- многомерная (тиШ-сПтеп8юпа1
~~) 70
- одномерная (1-сИтеп8юпа1 ~~)
65
Йенсена неравенство (Лепзеп
шеяиаМу) 62, 358, 365
Казамаки условие (Кагатак1
сопс!Шоп) 79
Калмана—Бъюси фильтр
(Ка1тап—Вису Я11;ег) 18,
110
многомерный
(тиШ-сИтеп810па1 ~~~)
132
одномерный (1-сНтеп8юпа1
гч>гч>гч-Л 126
Келли критерий (КеПу сгИепоп)
295
Кларка—Окоуна теорема
(С1агк—Осопе Шеогет)
334
формула (~~ Гогти1а) 165
Ковариационная матрица (соуапапсе^
та!;пх) 29
Колмогорова теорема о
непрерывности
(Ко1то§огоу'з сопйпику
Шеогет) 30
о продолжении (~ ех!;еп8юп ~)
26
- уравнение обратное (~ Ьаск\уагс1
еяиаЫоп) 169
- прямое (~ Гог\уагс1 ~) 203
Коши—Римана уравнения
(Саиспу—Шетапп
еяиайюпз) 104
Коэффициент диффузии (сНпЪзюп
соеййаеп!;) 141
- сноса (с!пГ<; ~) 141, 194
Ланжевена уравнение (Ьап^еут
еяиаЫоп) 101
Лапласа оператор (Ьар1асе орега!;ог)
81
- преобразование (~ ЪгапзГогт)
168
- обратное (туегзе ~~) 168
Лапласа—Бельтпрами оператор
(Ьар1асе—Векгагш орега!;ог)
192
Леей теорема (Ьёуу Шеогет)
194
- характеризация броуновского
движения
(~ сЬагасгепгаИоп оГ
Вгсиушап товоп) 194
Липшица поверхность (Ырзсп^г
зигГасе) 268, 370
Логарифмическая мощность
(Ь^апШгшс сараску)
257

398 Предметный указатель
Локальное время (1оса1 Ите) 83,
186
Ляпунова уравнение (Ьуарипоу
е^иа^;^оп) 136
Мажоранта супергармоническая
(зирегпагтошс та]огап1;) 248
- наименьшая (1еаз1; ~~) 248
- суперсреднезначная
(зирегтеапуа1иес1 ~)
248
- наименьшая (1еаз1 ~~) 248
Малевэна исчисление (МаШаут
са1си1из) 334
- производная (~ ёепуаНуе) 76
Марковское свойство (Магкоу
ргорег!;у) 143
Мартингал (таг!;т§а1е) 49, 367
- локальный (1оса1 ~) 163
- экспоненциальный (ехропепЫа1 ~)
79
Математическое ожидание
(ехресШюп) 24
- условное (сопсШ;юпа1 ~) 195,
363
Мера вероятностная (ргоЪаЪПку
теазиге) 23
- гармоническая (пагтошс ~) 150,
161, 167
- мартингальная эквивалентная
локальная (е^ШVа1еп^; 1оса1
таг!лп§а1е ~) 316
- переходная (йгапзГогт ~) 233
Метод максимального
правдоподобия (тах1тит
Пкепоос!) 130
Множество борелевское (Воге1 зе!;)
23
- полуполярное (зегш-ро1аг ~)
222
- полярное (ро1аг ~) 207, 208, 222,
257
- тонкое (Шт ~) 222
- ^-измеримое (^-гпеазигаЫе ~)
23
Модификация процесса (тооИйса^оп
оГ а ргосезз) 30
Момент марковский (Магкоу Ите)
145
- остановки (з1оррт§ ~) 81, 145
- оптимальный (ор1лта1 ~~)
244
строгий (з^г1с1 ~~) 145
- «убивания» (кПНп§ ~) 177
Наблюдение (оЬзегуа^оп) 108,
205
Насыщенная среда (сго\Ус!ес1
епУ1гоптеп1;) 104
Независимость набора семейств
измеримых множеств
(тс1ерепс1епсе оГ а со11ес!;юп
оГ ГатШез оГ теазигаЫе
8е*з) 25
- случайных величин (~~ оГ
гапёот уапаЫез) 25
- подмножеств (~ оГ зиЪзе^з) 25
Новикова условие (]ЧоУ1коу сошШюп)
79, 197, 199, 200
Нормализация процесса рынка
(погтаПгаЫоп оГ а тагке!;
ргосезз) 310
Носитель диффузионного процесса
Ито (зиррог!; оГ а сИЙГизюп)
138
Область продолжения (согилпиаиоп
ге§юп) 251
Оператор инфинитезимальный
(тпш!;е51та1 §епега!;ог)
151
- полуэллиптический в частных
производных (зегш-еШрЫс
раг11а1 олйГегепЫа! орега!;ог)
211
- производящий диффузионного
процесса Ито (§епега!;ог оГ
ап И6 сИЙГизюп) 151
- равномерно эллиптический в
частных производных
(ишнэгт1у еШрИс рагЫа1
(Ип"егеп1;1а1 орега!;ог)
224
- сдвига (зЫЙ орега!ог, 1;гапзШоп
орега*ог) 149, 210
- сопряженный (асЦот!; орега!;ог)
204
- характеристический (сЬагас!;епз1;1С
орега!;ог) 156
- эллиптический в частных
производствах (еШрЫс

Предметный указатель 399
рапла1 сНгГегешла1 орегаЪог)
211
Оптимальная остановка (ор!;1та1
зЪоррт^) 19
- функция качества (~ регГогтапсе)
281
Оптимальное время инвестирования
(орита1 туез1теп1; ите)
277, 278
Опцион американский (Атепсап
орЪюп) 342
- европейский (Еигореап ~) 21,
329
Опцион-са11 американский (Атепсап
са11 ор<лоп) 352, 357
- европейский (Еигореап ~~) 330,
357
Опцион-риЪ американский (Атепсап
риЪ ор1юп) 350
- бессрочный (регреЪиа1 ~~~)
358
- европейский (Еигореап риЪ)
331
Орнштейна — Уленбека процесс
(ОгпзЪет—ЦЫепЪеск
ргосезз) 101, 159
средне-возвратный
(теап-геуеплп§ ~~~)
101
- уравнение (~~ е^иа^;^оп) 101
Оценивание асимптотическое точное
(ехасЪ азутр!;о11с
езИта^юп) 134
- параметра (~ оГ а рагате!;ег)
129
Оценка измеримая (теазигаЫе
ез^та^е) 114
- линейная (Ппеаг ~) 112
- , основанная на наблюдениях (~
Ьазес! оп Ше оЪзегуаЪюпз)
108
, наилучшая (ЪезЪ ~~~~~)
108
- ^-измеримая (^-теазигаЫе ~) 111,
114
- ^-линейная (^-Ппеаг ~) 111,
114
Первый момент выхода (йгзЪ ех11;
Ите) 145
Перрона—Винера—Брело решение
обобщенное (^епегаНгес!
Реггоп—УуЧепег—Вге1о1;
зо1ииоп) 227
Пикара итерации (Псагс! ИегаНоп)
115
Плотность переходной вероятности
процесса (ёепзНу оГ Ъпе
ЪгапзШоп теазиге) 203
- распределения случайной
величины (~ оГ а гапс!от
уапаЫе) 32
Портфель (рог1ГоНо) 21, 309
- допустимый (ас!т1881Ые ~) 312
- пассивный (Ъате ~) 312
- постоянный (сопзЪапЪ ~) 353
- репликативный (герПсаЪт^ ~)
323
- самофинансирующийся
(зе1Г-йпапс1п§ ~) 309
- хеджирующий (Ьес1§т§ ~) 323
Поток (п11га1юп) 49
- процесса (~ оГ Ъпе ргосезз) 58
Прибыль (§атз) 353
Принцип гладкого склеивания
(зтооЪп ЙЪ рппс1р1е) 265,
267, 274
- максимума (тах1тит ~) 239
- минимума (гшштит ~) 239
- разделения (зерагаЪюп ~) 292
- тесного касания (Ыф. сопЪасЪ ~)
265, 267, 274
Приращения независимые
(тс!ерепс1еш; тсгетепЪз)
30
- ортогональные (ог1по§опа1 ~)
111
Пространство вероятностное
(ргоЬаЫН1у зрасе) 23
- полное (сотр1е1е ~~) 23
- измеримое (теазигаЫе ~) 23
- польское (РоПзп ~) 28
Процесс белого шума (\упп.е по1зе
ргосезз) 38
- гауссовский (Саизз1ап ~) 28,
115
- квадратичной вариации ^иас!га1;1с
уапаЫоп ~) 36, 80
- кросс-вариации (сгозз-уапа^оп ~)
195
- марковский (Магкоу ~) 145

400 Предметный указатель
- непрерывный в
среднеквадратичном
(~ соп^пиоиз т теап
8^иа^е) 61
- обновляющий (тпоуаНоп ~) 111,
117, 205
- обобщенный (^епегаНгес! ~) 39
- однородный по времени (Ыте-
пото^епеоиз ~) 143
- полной вариации (1о1а1 уапаНоп ~)
36
- равномерно эллиптический
(ишГогтгу еШрИс ~)
334
- сильно феллеровский (зЪгоп^ Ре11ег
~) 225
- случайный (зЪоспаз^с ~) 25
- стационарный (зЪаЫопагу ~)
35
- феллеровский (РеПег-сопипиоиз ~)
172
- Л/*-согласованный (Л/г-ас-арЪес! ~)
43
- р-й вариации (рЧЬ уапаЫоп ~)
36
Пуассона задача (Ро18зоп ргоЫет)
214, 228
- обобщенная (^епегаНгес! ~~)
229
- стохастическая (зЪоспазИс ~~)
229
- формула (~ Гогти1а) 240
- ядро (~ кегпе1) 240
Равномерно интегрируемое
семейство функций (ишГогтгу
т1е§гаЫе ГатНу) 366
Радона—Никодима теорема
(Кас!оп-№кос1ут Ъпеогет)
363
Распределение случайной величины
(спзЪпЪиЪюп оГ а гапс!от
уапаЫе) 24
нормальное (погта1 ~~~) 28,
359
- Распределения процесса
конечномерные
(ппИе-ситеп8Юпа1
спз^пЪиИопз оГ Ъпе ргосезз)
26
Расчет опциона (ор^оп рпст§) 21,
329
Регулятор с неполной информацией
(соп!;го11ег У1\\,\\ рапла1
кпо\у1ео!§е) 281
Резольвента (гезо1уеп1; орега!;ог)
171
Решение стохастического
дифференциального
уравнения сильное (зЪгоп^
8о1и1юп оГ а зЪоспаз^с
сИп"егепиа1 е^иа^;^оп) 97
слабое (\уеак ~~~~~)
97
Риккагпи уравнение (Шсса1л
е^иа^;^оп) 124, 126
— матричное (та1пх ^~) 133
Рост популяции (рори1а!;юп §го\у1п)
17, 86, 104
Рынок (тагкеЪ) 308
- нормализованный (погтаНгес! ~)
309
- полный (сотр1е!;е ~) 323
Свертка (сопуо1и!;юп) 371
Свойство среднего значения (теап
уа1ие ргорепту) 151
классическое (с1азз1са1 ~~~)
161
Сильная единственность решения
стохастического
дифференциального
уравнения (зЪгоп^
ишяиепезз оГ а 8о1и1юп оГ а
зЪоспаз^с (11пегеп11а1
е^иа^;^оп) 97
Синтез 281
Скорость «убивания» (кШш§ гаЪе)
177
Слабая единственность решения
стохастического
дифференциального
уравнения (\уеак ишяиепезз
оГ а зокллоп оГ а з^оспазИс
сипегепИа1 ециаНоп) 97
Случайная величина (гапс!от
уапаЫе) 22, 24
— нормально распределенная
(погта1 уапаЫе) 114,
359

Предметный указатель 401
обобщенная (~~ т Ъпе
ех1епс1ес1 зепзе) 360
Снелла оболочка (8пе11 епуе1оре)
346
Собственные значения оператора
Лапласа (е1§епуа1иез оГ Ъпе
Ьар1ас1ап) 238
- функции оператора Лапласа
(е^епГипсЪюпз оГ Ъпе
Ьар1ас1ап) 238
Событие (еуепЪ) 23
Совпадение по вероятностному
закону (сотс1с1т§ т 1а\у)
181
Среднеквадратическая ошибка
оценки (теап зяиаге еггог оГ
Ъпе ез{лта{;е) 123
Стоимость портфеля ценных бумаг
(уа1ие оГ а рогЪГоПо) 309
Стохастический интеграл (зЪоспазИс
1п1;е§га1) 64, 65
Стохастическое дифференциальное
уравнение (зЪоспазИс
сИп"егеп11а1 е^иаиоп) 18,
86
двумерное (2-сНтепзюпа1 ~~~)
90
Стпратоновича дифференциал
(81га1;опоу1сп сИЯегепИа!)
60
- интеграл (~ т!;е§га1) 42, 56, 60
- интерпретация стохастического
дифференциального
уравнения (~ тЪегргеЪаЪюп
оГ а з^оспаз^с сИп"егепиа1
еяиаНоп) 56, 87, 107
Строго марковское свойство (зЪгоп^
Магкоу ргорегЪу) 146
Струка—Варадана теорема о
носителе
(81гооск—УагасШап зиррогЪ
Ъпеогет) 138
Субмартингал (зиЬтагип§а1е)
367
Супермартингал (зирегтагип§а1е)
247, 316, 367
Суперхеджирование
(зиреггерНсаип§) 346
Танаки уравнение (Тапака е^иа^;^оп)
98
- формула (~'з Гогти1а) 83, 186
Теорема единственности для
оптимальной остановки
(ишяиепезз Ъпеогет Гог
ор1лта1 зЪоррт^) 255
- для смешанной задачи
Дирихле—Пуассона (~~ Гог
Ъпе сотЫпес!
БтсЫе!;—Ро1ззоп ргоЫет)
212, 213
- для уравнения Пуассона (~~ Гог
Ъпе Р01880П е^иа^;^оп)
231
- о представлении Ито (Но
гергезепШюп ~) 75
мартингала (таг1;т§а1е ~~) 72,
77
- о существовании и единственности
решения стохастических
дифференциальных
уравнений (ех1з1;епсе апс!
ишяиепезз ~ Гог з^оспазИс
сНйегегШа! е^иа^;^оп) 91
существования для оптимальной
остановки (ех1з1;епсе ~ Гог
ор1лта1 з*;оррт§) 251
Терминальные условия (1;егтта1
сопёШопз) 298
Точка нерегулярная (1гге§и1аг рот!)
219, 239
- регулярная (ге§и1аг ~) 218, 219,
239
- поглощающая (Ъгар) 157
Траектория процесса (раЪп оГ а
ргосезз) 25
«Убивание» диффузионного
процесса (кШт§ а сНпЪзюп)
176, 177, 210
Управление детерминированное
(ёеЪепшшзис соп!;го1)
281
- марковское (Магкоу ~) 282
- непрерывное по времени
(ите-пото§епеоиз ~~)
301
- оптимальное (ор1лта1 ~) 281
- по замкнутому циклу (с1озес1 1оор
~) 281
- по принципу обратной связи
(ГеесШаск ~) 281

402 Предметный указатель
по разомкнутому циклу (ореп 1оор
~) 281
программное 281
стохастическое (з^оспазИс ~) 20,
279
Фейнмана—Каца формула
(Ееуптап—Кае Гогти1а)
174
для краевых задач (~~~ Гог
Ьоипс1агу уа1ие ргоЫетз)
241
Финансовая математика
(та!;пета1;1са1 йпапсе) 21,
308
Фуджисаки—Каллианпура—Куниты
уравнение (РирзаЫ—
КаШаприг—КипНа еяиаЪюп)
110
Функция аналитическая (апагуИс
ГипсЪюп) 104, 193
- вознаграждения (ге\уагс! ~) 244,
258
- гармоническая (пагтошс ~)
193
- качества (регГогтапсе ~) 280
- оптимальная (ор11та1
регГогтапсе) 281
- критерия (1ез1 ~) Збб
- левая обратная (1ей-туегзе)
187
- «наследства» (ЪеяиезЪ ~) 279
- нормы вознаграждения (ге\уагс!
гаЪе ~) 245
- нормы полезности (иШИу гаЪе ~)
279
- полезности (иШНу ~) 21, 293
- правая обратная (п^М-туегзе)
187
- распределения случайной
величины (сНзЪпЪииоп ~ оГ
гапс!от уапаЫе) 32
- сопряженно аналитическая
(сош'и^аЪе апагу^с ~)
194
- ступенчатая (е1етеп!;агу ~) 44
- супергармоническая
(зирегпагтошс ~) 245,
302
- суперсреднезначная
(зирегтеапуа1иес! ~)
245
- характеристическая (сЬагас^епзИс
~) 360
- эксцессивная (ехсезз1уе ~) 249
- ^-измеримая (^-теазигаЫе ~)
24
- Х-гармоническая (Х-пагтошс ~)
216
- Х%-супергармоническая
(Хг-зирегпагтошс ~)
246
Хаита условие (Н) (НипЪ'з сопсШоп
(Н)) 222
Хаусдорфа мера размерности 1/2
(1/2-сНтепзюпа1 Наизёогп"
теазиге) 208
Цена (уа1ие ГипсИоп) 281
- американского опциона (Атепсап
орИоп рпсе) 343
- опциона-са11 (рпсе оГ ап Атепсап
саП) 357
- опциона-риЪ (Атепсап риЪ ор1юп
рпсе) 350
условного иска для покупателя
(Ьиуег'з рпсе оГ Ъпе
Атепсап соп!;т§еп1; сЫт)
342
продавца (зеПег'з ~~~~~)
343
Т-иска (рпсе оГ ап Атепсап
сопип§еп1 Т-сЫт) 349
- европейского условного иска для
покупателя (Ьиуег'з рпсе оГ
Ъпе Еигореап сопЪт^еп!;
сЫт) 330
продавца (зеПег'з ~~~~г^)
330
Т-иска (рпсе оГ Ъпе Еигореап
сопЪт^еп*; сЫт) 330
- исполнения опциона (ехегазе рпсе)
357
Чебышёва неравенство (СпеЬуспеу'з
тециаШу) 33
Шум (пемзе) 17
Экспоненциально взвешенное
скользящее среднее

Предметный указатель 403
(ехропегШаПу \уе1&Ы;ес1
тоу1п§ ауега§е) 129
Эрмитпа полином (НеггшЪе
ро1упогша1) 59
Ядро (кегпе1 ГипсЪюп) 165
Т^Т'-броуновское движение
('Нг-Вго^шап тоЪюп)
97
Т-иск (Т-с1а1т) 323
- условный (сопЪт^еп!; ~) 323
— американский (Атепсап ~~)
342
- европейский (Еигореап ~~)
323
Х-гармоническое продолжение
(Х-Ъагтошс ехЪепзюп)
159
сг-алгебра (сг-а1§еЪга) 22
- борелевская (Воге1 ~) 23
- конечная (ЯпИе ~) 34, 63
- , порожденная семейством
множеств (~ §епега1ес1 Ьу а
ГапШу оГ зеЪз) 23
- , порожденная функцией (~
§епега1ес1 Ьу а Гипсиоп)
24

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к исправленному пятому изданию 8
Предисловие к пятому изданию 9
Предисловие к четвертому изданию 11
Предисловие к третьему изданию 12
Предисловие ко второму изданию 13
Предисловие к первому изданию 14
Глава 1. Введение 17
1.1. Стохастические аналоги классических дифференциальных
уравнений 17
1.2. Задачи фильтрации 18
1.3. Стохастический подход к детерминированным краевым
задачам 19
1.4. Оптимальная остановка 19
1.5. Стохастическое управление 20
1.6. Финансовая математика 21
Глава 2. Предварительные сведения 22
2.1. Вероятностные пространства, случайные величины и
случайные процессы 22
2.2. Важный пример: броуновское движение 27
Упражнения 31
Глава 3. Интегралы Ито 38
3.1. Построение интеграла Ито 38
Интеграл Ито 43
3.2. Некоторые свойства интеграла Ито 49
3.3. Обобщения интеграла Ито 53
Сравнение интегралов Ито и Стратоновича 55
Упражнения 57
Глава 4. Формула Ито и теорема о представлении мартингала 64
4.1. Формула Ито для одномерного случая 64
4.2. Многомерная формула Ито 70
1 Предисловия, главы 1-8 перевел А. И. Матасов, остальное —
Н. И. Королёва. — Прим. ред.

Оглавление
4.3. Теорема о представлении мартингала 72
Упражнения 78
Глава 5. Стохастические дифференциальные уравнения 86
5.1. Примеры и некоторые методы решения 86
5.2. Существование и единственность решения 91
5.3. Слабые и сильные решения 97
Упражнения 99
Глава 6. Задача фильтрации 107
6.1. Введение 107
6.2. Одномерная линейная задача фильтрации \ ПО
Шаг 1. ^-линейные и ^-измеримые оценки 114
Шаг 2. Обновляющий процесс 116
Шаг 3. Обновляющий процесс и броуновское движение ... 120
Шаг 4. Явная формула для Х% 122
Шаг 5. Стохастическое дифференциальное уравнение 123
6.3. Многомерная линейная задача фильтрации 132
Упражнения 134
Глава 7. Диффузионные процессы. Основные свойства 141
7.1. Марковское свойство 141
7.2. Строго марковское свойство 145
Граничное распределение, гармоническая мера и свойство
среднего значения 149
7.3. Производящий оператор диффузионного процесса Ито ... 151
7.4. Формула Дынкина 155
7.5. Характеристический оператор 156
Упражнения 159
Глава 8. Другие вопросы теории диффузионных процессов 169
8.1. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента 169
$.2. Формула Фейнмана—Каца. «Убивание» 174
8.3. Задача о мартингале 178
8.4. Когда процесс Ито является диффузионным процесом? .. 180
8.5. Случайная замена времени 187
8.6. Теорема Гирсанова 194
Упражнения 202
Глава 9. Приложения к краевым задачам 211
9.1. Смешанная задача Дирихле—Пуассона. Единственность . 211
Смешанная задача Дирихле—Пуассона 211
9.2. Задача Дирихле. Регулярные точки 214
Задача Дирихле 214
Задача Пуассона 214
Стохастическая задача Дирихле 217
Обобщенная задача Дирихле 222
9.3. Задача Пуассона 228
Обобщенная задача Пуассона 229

406 Оглавление
Мера Грина 233
Упражнения 236
Глава 10. Приложение к задаче об оптимальной остановке 244
10.1. Случай однородных процессов 244
Функции вознаграждения, допускающие отрицательные
значения 258
10.2. Случай неоднородных процессов 259
10.3. Задача об оптимальной остановке, включающая интеграл 265
10.4. Связь с вариационными неравенствами 267
Упражнения 272
Глава 11. Приложение к задаче стохастического управления 279
11.1. Постановка задачи 279
11.2. Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана 282
11.3. Задачи стохастического управления с терминальными
условиями 298
Упражнения 300
Глава 12. Приложение к задачам финансовой математики 308
12.1. Рынок, портфель ценных бумаг и арбитраж 308
12.2. Достижимость и полнота 319
12.3. Расчет опциона 329
Европейские опционы 329
Как застраховать достижимый иск 333
Обобщенная модель Блэка—Шоулса 338
Американские опционы 341
Случай диффузии Ито: связь с оптимальной остановкой . 347
Упражнения 352
Приложение А. Нормально распределенные случайные величины .. 359
Приложение В. Условное математическое ожидание 363
Приложение С. Равномерная интегрируемость и сходимость
мартингалов 366
Приложение Б. Результат аппроксимации 370
Решения и дополнительные указания к некоторым упражнениям ... 374
Литература 383
Список дополнительной литературы 391
Список принятых обозначений 392
Предметный указатель 396

Учебное издание
Бернт Оксендаль
Стохастические дифференциальные уравнения.
Введение в теорию и приложения
Зав. редакцией академик В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ведущий редактор О. А. Васильева
Художник М. М. Иванов
Художественный редактор В. А. Чуракова
Технический редактор Е. В. Денюкова
Оригинал-макет подготовлен Н. Б. Андреевой
в пакете 1#ЦЕХ2г с использованием семейства шрифтов
СотриЪег Мос1егп с кириллическим расширением ЬН
Общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.008286.12.02 от 09.12.2002 г.
Лицензия ЛР № 010174 от 20.05.97 г.
Подписано к печати 31.01.2003 г. Формат 60 х 88' / ]6.
Печать офсетная. Объем 12,75 бум. л. Усл. печ. л. 25,5.
Уч.-изд. л. 22,68. Изд. № 1/9809.
Тираж 5 000 (1 завод 1—3 000 экз.) Заказ № 118.
Издательство «Мир»
Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
ООО «Издательство АСТЧ
667000, Республика Тыва, г. Кызыл, ул. Кочетова, д. 28
Наши электронные адреса: ШШШ.А8Т.Ш
Е-таП: а5*риЪ@апа.ги
Диапозитивы изготовлены в издательстве «Мир»
Отпечатано с готовых диапозитивов в
ОАО «Санкт-Петербургская типография № 6».
191144, Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, 10.
Телефон отдела маркетинга 271-35-42.

зон
*»№.5оНПпе . ги
119991 г. Москва,
ул. Губкина, д. 8
тел.: (095) 232-0023
е-таП: тто@зоШте.ги
Все дл я науки
Научное ПО
для исследований и расчетов
Почему студенты, преподаватели и научные работники
приобретают нужные им программы в компании 5отШпе?
• Низкие цены - компания работает напрямую с вендорами и
является привилегированным партнером по образовательным
программам для многих производителей ПО
• Возможность получения демо-версий и обновлений для широкого
спектра программ
• Возможность удобного выбора программ по каталогу $от*ипе-
виесх или на сайте и/и/и/50#//ле ги.
• Поддержка сообщества пользователей на сайте туи/ехропета ги
Какое научное программное обеспечение поставляется $оШпе?
• Языки программирования математических задач (МатпМогкз)
• Моделирование электронных схем и устройств (Е1есгготс$
МогкЬепсИ, РСАР)
• Универсальные математические пакеты, обмен данными с
АиЮСАО (МоКгат Кезеагсп, \Л/ат.ег1оо Мар1е, МзтгбоЮ
• ПО для химиков (СатЬп6де$ог0
• Статистические пакеты (Матп$отт, $*ат$от0
• Редакторы формул (Эеыдп Заепсе, Ми1т.) ЕсМ)
• Пакеты бизнес-анализа (Ра1|$эс1е)
• Математические надстройки к М5 Оглсе (РгопИше $у$т.егт)
5оН1лпе - это свобода выбора
Обратившись в $отШпе, вы в кратчайшие сроки решите проблемы
с программным обеспечением Получив консультации менеджеров,
вы подберете все необходимые инструменты для работы в вашей
области. Компания 5огИте поможет вам также в выборе обучающих
курсов и пригласит на регулярно проводимые семинары по
математическим и статистическим пакетам
ТЬе
МАТН
ШЖК5
1пс.
Ма1НЗоН
у _ V - = / + в
81а*8о*Г
КУРИЛКАМ
кЕЗЕАкСН
МШШШШж
Е1ес1готс$
СатЪпбцеЗоН
ЫЬетеЬ СНетШгу Зо^аге Ьеййег

ЛУЧШИЙ _
ЗАРУБЕЖНЫЙ
УЧЕБНИК
Б. ОКСВЩАЛЬ
СТО СТИЧЕСКИЕ
ДИФФЕ*ЕНЦИДЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ВВВДЕЖ ВТЕОРИЮ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Книга известного норвежского математика Б.Оксендаля
принадлежит к числу лучших западных учебников по
стохастическим дифференциальным уравнениям; она
выдержала в оригинале пять переизданий за короткое время.
Автор опускает наиболее сложные для понимания
доказательства и делает упор на объяснение основных идей
и методов. Он показывает тесную связь между
теоретическими разработками и их приложениями в
различных технических областях, включая задачи экологии и
финансовой математики. Изложение сопровождается
тщательно подобранными задачами и упражнениями с
указаниями и решениями.
Книга заинтересует студентов и аспирантов технических
вузов математиков-прикладников и инженеров.