Author: Яворский Б.М. Детлаф А.А.
Tags: движение жидкостей гидродинамика оптика ядерная, атомная и молекулярная физика физика
Year: 1979
Text
А. А. ДЕТЛАФ, Б. М. ЯВОРСКИЙ
КУРС
ФИЗИНИ
(в трех томах)
ТОМ III
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ, ОПТИКА.
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Издание третье,
переработанное
и дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов втузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1979
ББК 22.34+22.38
Д38
УДК 532.59+535+539.1
Рецензент
докт физ.-мат. наук, проф. И. В. Савельев
Детлаф А. А., Яворский Б. М.
Д38 Курс физики (в трех томах): Учебное посо-
пособие.— 3-е изд., перераб. и доп.—М.: Высш.
школа, 1979, т. III: Волновые процессы. Оптика.
Атомная и ядерная физика.— 511 с, ил.
В пер.: 1 р. 20 к.
Настоящая книга является переработанным изданием
третьего тома учебного пособия по физике, которое широко
исгильлуется как основное во многих вузах страны.
При подготовке третьего издания авторы включили в книгу
параграф о голографии. Глава о космических Лучах и элементар-
элементарных частицах дополнена сведениями -Л последних открытиях
в этой области.
Предназначается для студентов втузов.
20401—408 530.4+535
40~79 1704000000
001@1 )-7« 40~79 1704000000 ББК 22.34+22.38
© Издательство «Высшая школа», 1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 7
ЧАСТЬ VI
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Глава I. Волновые процессы в упругой среде 8
§ ]. J. Введение 8
§ 1.2. Фазовая скорость упругих волн 10
§ 1.3. Уравнение волны. Энергия волны 12
§ 1.4. Принцип Гюйгенса 23
§ 1.5. Интерференция волн. Стоячие волны 24
Глава II. Основы акустики „ 33
§2.1. Основные характеристики звука 33
§ 2.2. Эффект Доплера 38
§ 2.3. Источники звука 39
§ 2.4. Ультразвук 42
§2.5. Ударные волны 47
Глава III. Электромагнитные волны. 50
§3.1. Некоторые свойства электромагнитных волн 50
§3.2. Излучение электромагнитных волн 57
§ 3.3. Физические основы радиосвязи, телевидения, радиолокации и радио-
радиоастрономии 62
§ 3.4. Опыты Лебедева. Шкала электромагнитных волн 68
§ 3.5. Способы измерения скорости света 70
Глава IV. Прохождение света через границу раздела двух диэлектриков 74
§4.1. Формулы Френеля 74
§ 4.2. Закон Брюстера. Коэффициент отражения света 76
§4.3. Рефракция света 80
Г л а в а V. Интерференция света 82
§5.1. Когерентность и монохроматичность световых волн 82
§ 5.2. Некоторые методы наблюдения интерференции света 85
§5.3. Интерференция света в тонких пленках 89
§5.4. Интерферометры 95
§ 5.5. Интерференция многих волн 98
Глава VI. Дифракция света ■ 103
§6.1. Принцип Гюйгенса — Френеля 103
§6.2. Дифракция в сходящихся лучах (дифракция Френеля) J07
§6.3. Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) . . 109
Стр.
§6.4. Дифракция на пространственных решетках. Дифракция рентгенов-
рентгеновского излучения 116
§6.5. Голография 121
Глава VII. Дисперсия, поглощение и рассеяние света ' . 124
§7.1. Дисперсия света 124
§ 7,2. Взаимодействие света с веществом. Классическая теория дисперсии
света . . 127
§7.3. Поглощение света 133
§ 7.4. Рассеяние света 135
§7.5. Излучение Вавилова — Череикова 138
Глава VIII. Поляризация света 142
§8.1. Элементы кристаллооптики. Двойное лучепреломление 142
§8.2. Получение и анализ поляризованного света 151
§8.3. Интерференция поляризованного света -154
§8.4. Искусственная оптическая анизотропия 159
§8.5. Вращение плоскости поляризации 162
Глава IX. Оптика движущихся тел и специальная теория относительности 166
§9.1. Механический принцип относительности Галилея 166
§ 9.2. Проблема существования эфира 167
§ 9.3. Постулаты специальной теории относительности, Преобразование
Лоренца 173
§9.4. Важнейшие следствия из формул преобразования Лоренца ... 181
§9.5. Эффект Доплера в оптике 188
§ 9.6. Понятие о релятивистской динамике 192
ЧАСТЬ VII
ОСНОВЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
Глава X. Тепловое излучение 200
§ 10.1. Тепловое излучение . . , ' 200
§ 10.2. Законы теплового излучения абсолютно черного тела 205
§ 10.3. Оптическая пирометрия. Тепловые источники света 213
Глава XI. Основы квантовой оптики 216
§111. Фотоэлектрический эффект 216
§ 11.2. Другие экспериментальные подтверждения квантовых свойств света 225
§ 11.3. Масса и импульс фотона , 228
§ 11.4. Эффект Комптона 230
§ 11.5. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света 234
Глава XII. Элементы квантовой механики 237
§12.1, Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества 237
§ 12.2. Некоторые свойства волн де Бройля 243
§ 12.3. Вероятностный смысл волн де Бройля 244
§ 12.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга 247
§ 12.5. Уравнение Шредингера 253
§ 12.6. Движение свободной частицы 256
§ 12.7. Электрон в потенциальном «ящике» 257
§ 12.8. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер 261
§ 12.9. Линейный гармонический осциллятор 264
Глава XIII. Строение и линейчатые спектры водородоподобных систем
по Бору 269
§13.1. Опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц веществом 269
§ 13.2. Ядерная модель атома Резерфорда 272
§ 13.3. Линейчатый спектр атома водорода 274
§ 13.4. Теория Бора для водородоподобных систем 276
— 4 —
Стр.
§ 13.5. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора. Успехи и
затруднения теории Бора 281
Глава XIV. Современные представления о строении и оптических свойствах
атомов 284
§14.1. Водородоподобная система в квантовой механике 284
§ 14.2. Основное состояние атома водорода 285
§ 14.3. Пространственное квантование. Спин электрона 287
§ 14.4. Принцип Паули 29.3
§ 14.5. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева 295
§ 14.6. Понятие о линейчатых спектрах атомов с одним валентным
электроном 299
§ 14.7. Тонкая структура спектральных линий. Векторная модель атома 301
§ 14.8. Излучение и поглощение света. Квантовомеханический смысл по-
постулатов Бора 302
§ 14.9. Эффект Зеемана 310
§ 14.10, Понятие о явлениях магнитного резонанса 314
§14.11. Рентгеновские лучи 317
Глава XV. Строение и оптические свойства молекул и твердых тел . . . 324
§ 15.1. Предварительные замечания и общая характеристика химических
связей 324
§ 15.2. Ионные молекулы 327
§ 15.3. Молекулы с ковалентиой химической связью 328
§ 15.4. Расщепление в молекулах энергетических уровней валентных элек-
электронов изолированных атомов 332
§ 15.5. Молекулярные спектры 334
§ 15.6. Закономерности в молекулярных спектрах простейших двухатомных
молекул 338
§ 15.7. Комбинационное рассеяние света 341
§ 15.8. Явление люминесценции 344
§ 15.9. Отрицательное поглощение и оптические квантовые генераторы . 349
ЧАСТЬ VIII
ОСНОВЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Глава XVI. Свойства и строение атомных ядер 358
§ 16.1. Заряд и масса атомных ядер 358
§ 16.2. Спин и магнитный момент ядра , 359
§ 16.3. Состав ядра 363
§ 16.4. Энергия связи ядра. Дефект массы 366
§ 16.5. Ядерные силы 371
§ 16.6. Размеры ядер 376
§ 16.7. Модели ядра 378
Глава XVII. Естественная радиоактивность 382
§ 17.1. Радиоактивные излучения , 382
§ 17.2. Закон радиоактивного распада 384
§ 17.3. Правила смещения. Последовательные радиоактивные превраще-
превращения ядер 386
§ 17.4. Экспериментальные методы наблюдения и регистрации частиц 389
§ 17.5. Закономерности радиоактивного а-распада 394
§ 17.6. Гамма-излучение 397
§ 17.7. Эффект Мёссбауэра 400
§ 17.8. Закономерности р-радиоактивности 403
Глава XVIII. Искусственные превращения ядер 409
§ 18.1. Первые ядерные реакции. Открытие нейтрона 409
§ 18.2. Искусственная радиоактивность. е-Захват ,,,,,,,,.,, 412
Стр.
§ 18.3. Возникновение и уничтожение электронно-позитронных пар . . 415
§ 18.4. Составное ядро. Общая характеристика и примеры ядерных реакций 418
§ 18.5. Прохождение нейтронов через вещество 422
§ 18.6. Ядерные реакции под действием нейтронов 425
§ 18.7. Деление ядер 427
§ 18.8. Энергия активации деления. Спонтанное деление ядер. Особенно-
Особенности деления изотопов урана 433
§ 18.9. Цепная реакция деления 436
§ 18.10. Ядерные реакторы 439
§ 18.11. Термоядерные реакции 442
§ 18.12. Применения радиоактивных изотопов в народном хозяйстве . . 449
Глава XIX. Космические лучи и элементарные частицы 452
§ 19.1. Предварительные замечания 452
§ 19.2. Космические лучн и их свойства 453
§ 19.3. ц-Мезоны (мюоны) и их свойства 457
§ 19.4. я-Мезоны (пионы) и их свойства 462
§ 19.5. Мягкая компонента космических лучей 469
§ 19.6. /С-мезоиы и гипероны. Странность и четность элементарных частиц 470
§ 19.7. Античастицы 476
§ 19.8. Понятие о структуре нуклона 487
Заключение 490
Приложение 494
§ 1. Международная система единиц 494
§ 2. Универсальные физические постоянные 500
Предметный указатель . , , 502
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третий том курса физики для высших технических учебных заве-
заведений написан в соответствии с программой по физике, утвержденной
Учебно-методическим управлением по вузам Министерства высшего и
среднего специального образования СССР. Третий том охватывает
разделы программы, посвященные волновым процессам, оптике, фи-
физике атомов и молекул и ядерной физике. В третьем издании книга
подверглась существенной переработке. Так, в главу VI «Дифракция
света» внесен параграф о голографии; в восьмой части курса «Основы
физики атомного ядра -и элементарных частиц» наибольшей пере-
переработке подверглась глава XIX «Космические лучи и элементарные
частицы».
Как и в предыдущих изданиях третьего тома, в раздел физики твер-
твердого тела включены лишь вопросы, связанные с обоснованием расщеп-
расщепления энергетических уровней валентных электронов и возникнове-
возникновения зонного энергетического спектра, а также оптические свойства
твердых тел, включая генерацию когерентного света на кристаллах
и эффект Мёссбауэра. Остальные вопросы раздела программы «Физика
твердого тела», посвященные изучению различных свойств твердых
тел, в том числе и полупроводников, рассмотрены в предыдущих
двух томах.
Изложение значительной части материала третьего тома связано
с большими методическими трудностями. Речь идет о тех разделах
физики атома и атомного ядра, которые, как указано в программе
курса физики, относятся к определяющим современный уровень раз-
развития науки и техники. Авторы в меру своих сил стремились, изла-
излагая основные идеи, их физический смысл, методы исследования и
результаты, полученные современной физикой, избегать сложного
математического аппарата квантовой механики и ядерной физики.
При этом было обращено достаточное внимание на преемственность
современной и классической физики, непреходящую ценность тех ре-
результатов «классики», без усвоения которых трудно проникнуться
идеями современной физики, понять ее методы и осмыслить достижения.
В третьем томе главы I—X написаны А. А. Детлафом, главы
XI—XIX — Б. М. Яворским.
Авторы отчетливо понимают, что большие трудности, стоявшие
перед ними при написании завершающего, третьего тома курса фи-
физики, не могли не привести к недостаткам книги, не устраненным
в третьем издании. Они заранее благодарны всем, кто сообщит им
в издательство «Высшая школа» советы и замечания по этой книге.
Авторы
Часть VI
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Глава I
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
§ 1.1 Введение
1. В первом томе курса были рассмотрены простейшие
случаи механических колебаний. При этом мы не интересовались
теми процессами, которые происходят в среде, окружающей колеба-
колебательную систему. Результирующее действие среды на систему учитыва-
учитывалось путем введения в уравнение движения системы силы сопротив-
сопротивления (см. т. I, §8.5). Эта сила отождествлялась с силой трения, так как
ее действие приводит к уменьшению механической энергии системы
и затуханию ее свободных колебаний. Однако такое толкование взаимо-
взаимодействия колебательной системы со средой не полностью отражает
истинную картину процессов, происходящих в самой среде. Действи-
Действительно, если бы это взаимодействие было целиком аналогично трению,
то оно должно было бы вызывать только нагревание окружающей
среды, т. е. усиление теплового движения ее молекул. На самом деле
вследствие передачи энергии колебательной системой среде послед-
последняя не только нагревается, но и приходит в механическое движение,
совершая вынужденные колебания. В этом легко убедиться, наблюдая
образование волн на поверхности жидкости при ударах о нее колеб-
колеблющегося тела или даже при ее однократном возмущении в результате
падения камня. Зритель в театре слышит речь и пение актеров, зву-
звучание музыкальных инструментов благодаря доходящим до него
колебаниям давления воздуха, создаваемым этими источниками звука.
2. При изучении закономерностей распространения механических
колебаний в газах, жидкостях и твердых телах мы будем отвлекаться
от молекулярного строения этих тел и рассматривать их как сплошную
среду, непрерывно распределенную в пространстве. Соответственно
под частицей среды будем понимать малый элемент ее объема, размеры
которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстоя-
расстояний. Даже в наименее плотной среде — газе—межмолекулярные рас-
расстояния очень малы (порядка 10~8 м при нормальных условиях).
Поэтому частицы среды можно приближенно считать точечными.
Упругие свойства среды зависят от ее агрегатного состояния. На-
Например, газы способны сопротивляться изменению их объема — об-
обладают объемной упругостью. Втоже время они беспре-
беспрепятственно изменяют свою форму, т. е. не обладают упругостью по
отношению к деформации сдвига (см. т. I, § 5.2). Аналогичными свой-
— 8 —
ствами обладают и жидкости. Твердым телам присуща как объемная
упругость, так и упругость формы. В первом приближении
все среды (за исключением разреженных газов) можно считать абсо-
абсолютно упругими, так как внутренние силы, возникающие в них при
достаточно малых деформациях, оказываются пропорциональными
величинам деформаций.
Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует
на прилегающие к нему частицы среды, выводя их из положений равно-
равновесия и заставляя совершать вынужденные колебания. При этом среда
вблизи тела деформируется и в ней возникают упругие силы. Эти силы
действуют как на прилегающие к телу частицы, стремясь возвратить
их в положение равновесия, так и на более удаленные от тела частицы,
выводя их из положений равновесия. Последние взаимодействуют со
следующими частицами и т. д. Таким образом, постепенно все более
и более удаленные от колеблющегося тела области среды вовлекаются
в колебательное движение.
3. Механические возмущения (деформации), распространяющиеся
в упругой среде, называются упругими волнами. Если эти возмущения,
т. е. амплитуды соответствующих им колебаний среды, невелики, то
такие упругие волны называются звуковыми или акустическими: при
частотах от 16 до 20 000 Гц эти волны, воздействуя на органы слуха
человека, вызывают звуковые ощущения (слышимые звуки).
Упругая волна называется продольной, если колебания частиц
среды происходят в направлении распространения волны. Если же
частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направ-
направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной.
Из рассмотренного выше механизма образования упругих волн
следует, что поперечные волны могут возникать только в такой среде,
которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться
деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать
лишь в твердых телах. Таковы, например, волны, распространяющиеся
вдоль струн музыкальных инструментов. Исключением являются
волны, образующиеся на свободной поверхности жидкости или на
поверхности раздела двух несмешнвающихся жидкостей, имеющих
различные плотности. Особые свойства поверхностных волн объяс-
объясняются тем, что в их распространении определяющую роль играют
силы тяжести и поверхностного натяжения в жидкости. При этом
частицы жидкости одновременно совершают продольные и попереч-
поперечные колебания, описывая эллиптические или более сложные траек-
траектории.
Продольные волны связаны с объемной деформацией среды. По-
Поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жид-
жидкостях или газах. Примером продольных волн являются звуковые
волны в жидкостях и газах. Они представляют собой колебания дав-
давления, распространяющиеся в этих средах.
Подчеркнем, что в отличие от других видов механического дви-
движения среды (например, ее течения) распространение уп-
упругих волн в среде не связано с переносом
Вещества.
^_ g г
§ 1.2. Фазовая скорость упругих волн
1. Найдем выражение для скорости v распространения
продольных упругих волн в однородной газообразной или жидкой
среде. Ради простоты будем считать, что среда находится внутри бес-
бесконечно длинного цилиндрического сосуда под невесомым поршнем,
движущимся в момент времени t со скоростью ot. Пусть за малое
время dt скорость поршня изменится на величину dvv. Соответственно
на dfi изменится и скорость той части среды, на которую распростра-
распространяется за время dt возмущающее действие поршня, т. е. прилегающего
к поршню слоя среды толщиной vdt и массой dm=pSvdt (p — плот-
плотность среды, S — площадь поршня). По второму закону Ньютона,
изменение импульса этой массы среды равно
pSvdtdvt=dpSdt. A.1)
Здесь dp — изменение давления поршня на среду, которое можно
найти по закону Гука для объемной деформации:
dp = -K^-, A.2)
где К — модуль объемной упругости среды, a dV/V — ее относитель-
относительная объемная деформация. Объем среды, подвергающейся деформа-
деформации за время dt, V—vSdt, а деформация этого объема dV=—dvtSdt
(знак минус показывает, что при увеличении скорости поршня среда
сжимается, а при уменьшении — расширяется). Таким образом, закон
Гука A.2) можно переписать:
dp = K^-. A.2')
Подставив это значение dp в A.1), найдем выражение для скорости
распространения продольных упругих волн:
ъ^УЩ. A.3)
Заметим, что при выводе формулы A.3) предполагалось, что плот-
плотность среды p=const. В случае упругих волн в газах это условие
соблюдается, если избыточное давление во много раз меньше равно-
равновесного давления невозмущенного газа.
Путем аналогичных рассуждений можно показать, что скорость
распространения поперечных упругих волн в неограничен-
неограниченной изотропной твердой среде равна
A.4)
где G — модуль сдвига среды, р — ее плотность.
Распространение продольных волн в достаточно тонком
стержне связано с его продольным растяжением и сжатием.
Поэтому скорость таких волн оказывается равной
v = VW, A.5)
где Е — модуль Юнга материала стержня.
— ю —
2. Упругие свойства и плотность твердых тел и жидкостей зави-
зависят от их химического состава и мало изменяются при различных
давлениях и температурах. Следовательно, в первом приближении
можно считать, что скорость упругих волн в каждой из этих сред по-
постоянна.
Иная картина наблюдается в газах. Рассмотрим в качестве примера
идеальный газ. Плотность идеального газа p=p\ilRT, где R — уни-
универсальная (молярная) газовая постоянная; р, Т и ц — соответст-
соответственно давление, абсолютная температура и молярная масса газа. Для
нахождения модуля объемной упругости К газа воспользуемся форму-
формулой A.2):
Значение производной dpIdV существенным образом зависит от
вида процесса объемной деформации газа. Рассмотрим два предель-
предельных случая: изотермический и адиабатический процессы. Первый
реализуется при очень медленной деформации газа, т. е. при очень
малой частоте колебаний среды, второй — при очень быстрой дефор-
деформации, т. е. при достаточно большой частоте колебаний среды. Частота
вынужденных колебаний произвольной системы равна частоте вы-
вынуждающей силы (см. т. I, § 8.6). Поэтому колебания среды при рас-
распространении в ней упругих волн совершаются с той же частотой,
называемой частотой волны, что и колебания источника волн.
Связь между давлением и объемом идеального газа в изотермиче-
изотермическом процессе выражается законом Бойля — Мариотта pF=const.
Дифференцируя это равенство, получаем
+ pV^O, или
Таким образом,
к „ н *СИз ВТ
Киз = р и — = —■
Подставив этот результат в формулу A.3), найдем скорость упру-
упругих волн в идеальном газе при изотермическом процессе деформации:
vH3=VW^. A.6)
В случае адиабатического процесса справедливо уравнение Пуас-
Пуассона [см. т. I, A0.17)] pVK =const, где %=cplcv — отношение удельных
(или молярных) теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме.
Дифференцируя уравнение Пуассона, получаем
±*,pV*-1dV = U, откуда (-^-1 == — -^-.
Поэтому
Скорость упругих волн в идеальном газе при адиабатическом
процессе деформации
A-7)
— 11 —
3. Из формул A.6) и A.7) следует, что скорость упругих волн
в идеальном газе пропорциональна корню квадратному из отношения
абсолютной температуры газа к его молярной массе. Однако числовое
значение этой скорости при прочих равных условиях зависит от ха-
характера процесса объемной деформации газа, т. е. от частоты упругих
волн. Это явление называется дисперсией волн.
Опыты показывают, что скорость распространения слышимых
звуковых волн в газах практически не зависит от частоты и соответст-
соответствует формуле A.7), если только плотность газов не слишком велика.
Рассмотренная нами скорость v распространения упругих волн
называется фазовой скоростью. Причина такого названия будет по-
пояснена в следующем параграфе.
§ 1.3. Уравнение волны. Энергия волны
1. Основной задачей изучения волн является выяснение
закона изменения во времени и пространстве физических величин,
однозначно характеризующих тот или иной тип волнового движения.
В случае упругих волн такой величиной может, например, служить
смещение s малых по объему участков среды («частиц среды») относи-
относительно их положений равновесия. Зависимость s от пространственных
координат и времени называется уравнением волны.
Простейшим типом волн являются так называемые синусоидаль-
синусоидальные (гармонические) волны, при которых величины s для всех точек
среды, охваченной волновым движением, совершают гармонические
колебания одинаковой частоты. Для существования упругих сину-
q у соидальных волн необходимо, чтобы ис-
т х ~] *~Х точник волн совершал незатухающие,
*"* •"> гармонические колебания.
Рис 1.1 2. Рассмотрим случай одномерной
волны, распространяющейся вдоль по-
положительного направления оси ОХ и возбуждаемой источником,
находящимся в точке О (рис. 1.1). Такая волна распространяется,
например, в бесконечной натянутой упругой нити, один из концов
которой приводится в колебательное движение. Пусть колебания
в точке О происходят по закону
где А о, со, а — соответственно амплитуда, циклическая частота и
начальная фаза колебаний. Тогда колебания s в произвольной точке М
оси ОХ отстают по фазе от s0:
s=A sin [&(t—ti)+a], A.8)
где U—xlv— время, необходимое для прохождения волной расстоя-
расстояния ОМ=х, и Л — амплитуда колебаний в точке М, называемая ам-
амплитудой волны. Если рассеяние энергии колебаний в среде отсутст-
отсутствует, то амплитуда А волны в точке М должна быть равна Ао. Фор-
Формулу A,8) можно переписать в таком виде:
s=A sin l(at~2nx/vT)+a], A.9)
— 12 —
где Т—2я/ю — период колебаний. Введем следующие обозначения:
K=vT=v/v, A.10)
к=2яЛ=ю/о, A.11)
где v—l/T — частота колебаний.
Тогда формулу A.9) можно переписать в таком виде:
s = Asin[(oit — 2nxA) + a] = /4sin[((o/—кх) + а]. A.9')
Выражения A.9) и A.9') — различные формы записи уравнения
одномерной волны. Аргумент синуса в формулах A.9) и A.9 ), пред-
представляющий фазу колебаний величины s в произвольной точке М, обо-
обозначается через Ф8 и называется фазой волны в этой точке. Из A.9')
следует, что колебания в произвольной точке М оси ОХ отстают по
фазе от колебаний в точке О на кх. Величина — кх-^а представляет
собой начальную фазу колебаний в точке М. Разность фаз волны
в двух различных точках Mi и Л13, координаты которых х± и х3, равна
разности начальных фаз колебаний в этих точках:
t—KXi)+a] — [(tot—кх2)+а]=к(х.2—xj .
Если эта разность кратна 2я:
(п=±1; ±2; ±3; ...), A.12)
sin [((pt—KXi)+a]=sin [(tot—кх2)+а]
cos [(at—/cxi)+a]=cos [(©£—o2)+a].
Иными словами, колебания величины s и всех ее производных по
времени в точках Mi иМ, будут происходить так же, как если бы
фазы колебаний в этих точках были в точности равны. Поэтому гово-
говорят, что колебания в точках Мг и М2, координаты которых удовлет-
удовлетворяют условию A.12), совершаются в одной фазе.
Расстояние между двумя ближайшими точками среды, для которых
разность начальных фаз колебаний равна 2я, называется длиной
волны. Длина волны является одной из основных характеристик си-
синусоидальных волн. Из A.12) и A.11) следует, что длина волны рав-
ла Я.
Заметим, что формулы A.9) и A.10) получены для случая волн,
возбуждаемых в упругой среде источником, совершающим гармони-
гармонические колебания около неизменного (по отношению к не-
возмущенной среде) положения равновесия. Вопрос о влиянии дви-
движения источника относительно среды на длину волн, возбуждаемых
им в этой среде, рассмотрен в § 2.3.
Введенная выше величина к=2л/Х, показывающая, сколько длин
волн укладывается на отрезке длиной 2я, называется волновым чис-
числом.
3. Геометрическое место точек среды, для которых в рассматривае-
рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, назы-
называется волновой поверхностью или фронтом волны. В случае одномер-
— 13 —
ной синусоидальной волны уравнение волновой поверхности имеет
следующий вид:
cat—кх+а=Ф3. A.13)
Этому условию в каждый момент времени удовлетворяет только
одна точка оси ОХ, координата которой
3)/к.
Различным значениям фазы волны Ф3 соответствуют различные
волновые поверхности, каждая из которых в одномерных волнах вы-
вырождается в точку. Из последней формулы видно, что волновые по-
поверхности с течением времени перемещаются в среде со скоростью
Х V п 1Ч">
В
Таким образом, для синусоидальных волн скорость движения
волновой поверхности совпадает со скоростью v распространения
волны. Этот результат и явился причиной того, что скорость v была
названа фазовой скоростью волны.
4. Предположим теперь, что источником волн в безграничной упру-
упругой среде является колеблющаяся вдоль оси ОХ и перпендикулярная
ей пластина А В (рис. 1.2), попереч-
поперечные размеры которой можно считать
бесконечно большими. Обозначим че-
через So смещение точек пластины АВ
« и прилегающих к ней частиц среды
из положения равновесия. Пусть
пластина А В совершает гармони-
гармонические колебания с циклической
частотой to, амплитудой Ао и началь-
начальной фазой а:
Рис. 1.2 s*
•*!
О
Iх
Тогда в среде распространяется продольная синусоидальная волна
той же частоты. Если среда однородна и изотропна, то из соображений
симметрии очевидно, что вынужденные колебания всех частиц среды,
удаленных от пластины АВ на одинаковые расстояния, должны быть
совершенно идентичными, т. е. амплитуды и начальные фазы колеба-
колебаний таких частиц одинаковы. Иными словами, волновые поверхности
имеют вид параллельных плоскостей, расположенных перпендику-
перпендикулярно оси ОХ — направлению распространения волны. Такие волны
называются плоскими.
Картина распространения плоских волн демонстрируется с помощью так называе-
называемой волновой ванны, представляющей собой длинный невысокий стеклянный сосуд
с основанием прямоугольной формы и пологими стенками 1 . В ванну наливают тон-
тонкий слой жидкости, в которую погружают длинную линейку, параллельную короткой
стороне основания ванны. Если линейку заставить совершать гармонические коле-
1 Пологие боковые стенки ванны позволяют практически полностью погасить
набегающие на них волны и тем самым исключают возникновение отраженных волн.
бания в вертикальном направлении, то по поверхности жидкости будет распростра-
распространяться волна — система гребней и впадин, параллельных плоскости линейки. Ванна
снизу освещается. Так как условия прохождения света через различные области
гребней и впадин неодинаковы, то в проходящем свете отбрасываемом с помощью зер-
зеркала на экран, наблюдается система движущихся светлых и темных полос, парал-
параллельных линейке. Мгновенный фотоснимок этой
картины изображен на рис. 1.3.
Колебания в точках среды, отстоящих
от плоскости АВ на расстоянии I, так же
как в случае одномерной волны, отстают по
фазе от колебаний источника волн на к1:
s=A sin((ot—к1-\-а),
причем если нет рассеяния энергии волны
в среде, то, как будет показано ниже,
А=До- Для точек пространства, лежащих
правее плоскости АВ, х>0 и 1=х, а для
точек, лежащих левее этой плоскости, х<С0
и /=—х. Поэтому уравнение плоской вол-
волны, распространяющейся от плоскости А В (х=0) вдоль положи-
положительного направления оси ОХ, имеет вид
s=<4 sin (co^—кх+а). A-14)
Уравнение плоской волны, распространяющейся в противополож-
противоположном направлении, отличается от A.14) только знаком второго члена
фазы:
s=A sin((at+KX+a). A-14')
В общем случае положение источника А В плоских волн может не
совпадать с координатной плоскостью х~0. Тогда уравнения волн,
распространяющихся вправо и влево от плоскости АВ, имеют вид
s = Asm\(Dt—к(х—хоL-
Рис- '-3
где ха— координата плоскости источника волн.
Основываясь на формуле Эйлера
где i = V — 1— мнимая единица, уравнение плоской волны часто за-
записывают в так называемой экспоненциальной (показательной) форме:
с— Ар' [кг-at] i\ л ел
В этом уравнении к — волновой вектор, численно равный волно-
волновому числу к=2яА и направленный в сторону распространения волны;
г — радиус-вектор рассматриваемой точки; А — комплексная ам-
амплитуда волны: Л=Ле~(б, где 8=а—я/2, а а — начальная фаза коле-
колебаний в начале координат, т. е. в точке г=0. Выражение A.15) удобно
для дифференцирования, однако физический смысл в нем имеет только
действительная (вещественная) часть, которую принято обозначать
— 15 —
символом Re, т. е. s=Re(s). Поэтому, пользуясь A.15) для нахож-
нахождения какой-либо характеристики волны, нужно после выполнения
всех математических операций отбросить мнимую часть полученного
комплексного выражения. Так, например, для плоской волны, рас-
распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, ска-
скалярное произведение кг=кх и
s = Аё <«*-«'> = Аё <«*-«><- 6), A.15')
т. е.
s = A [cos (кх—<at—б) + i sin (кх—at —б)]
и
s—Re(s) = Acos(kx—cut—б) — A sm(at—кх-\-я/2-\- 8) =
— A sin(w£—кх + а).
Последнее выражение действительно совпадает с формулой A.14).
5. Найдем изменение энергии малого объема dV упругой среды,
связанное с распространением в среде плоской волны, которая за-
задана уравнением A 14), где s — смещение частиц из положения равно-
равновесия. Ввиду малости объема dV можно считать, что все находящиеся
в нем частицы среды колеблются в одной фазе, так что их скорости
одинаковы и равны v1=ds/dt. Поэтому кинетическая энергия объема
dV среды, соответствующая колебательному движению, равна
где р — плотность среды. Из A.14) следует, что щ—А « cos(«£—
—кх+а). Поэтому
dWK = 7ap4*a>Wcosa (at—кх + а). A.16)
Подсчитывая работу деформации объема dV среды при волновом
движении (деформации сдвига в случае поперечной волны и дефор-
деформации объемного сжатия в случае продольной волны), можно пока-
показать, что потенциальная энергия dWa объема dV среды равна его
кинетической энергии:
dWn^dWK = V2p42w2 dVcos* (at—кх + а). A.17)
Полная механическая энергия dW элементарного объема dV упру-
упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:
dW = dWK + dWn = pAi()}2dVcosi((i>t~ кх + а). A.18)
Объемная плотность энергии волн в упругой среде
Из A.18) следует, что объемная плотность энергии плоских сину-
синусоидальных волн
ау==рЛ2ю2 cos2((of—кх+а). A.20)
6. Из формулы A.17) видно, что при плосковолновом движении
упругой среды кинетическая и потенциальная энергии каждого малого
— 16 -
участка среды являются одинаковыми периодическими
функциями фазы волны и пропорциональны произведению плотности
среды на квадрат амплитуды и квадрат циклической частоты колеба-
колебаний. Поэтому полная энергия колебаний произвольного элемента dV
упругой среды и объемная плотность этой энергии также пропорцио-
пропорциональны плотности среды, квадрату амплитуды и частоты колебаний и
зависят от фазы волны, т. е. являются периодическими функциями
Координаты х и времени. Эта закономерность справедлива для любых
упругих волн \ так как связана только с механизмом распространения
колебаний в упругой среде и не зависит ни от формы волновых поверх-
поверхностей, ни от типа деформации среды. Весьма существенно, что при
волновом движении полная энергия колебаний каждого малого участка
упругой среды периодически изменяется во времени. В этом состоит
принципиальное отличие волнового движения от рассмотренных
в гл. VIII первого тома свободных механических колебаний кон-
консервативной системы, полная энергия которой не зависит от
времени, так как значения ее кинетической и потенциальной
Энергии колеблются в противоположных фазах.
Распространение волн в неограниченной упругой среде представ-
представляет собой вовлечение в колебательное движение все более и более
удаленных от источника волн областей среды. На это необходимо
затрачивать энергию, доставляемую источником волн. Следовательно,
распространение волн в упругой среде неразрывно связано с процес-
процессом передачи энергии от одних участков среды к другим. Именно
поэтому при волновом движении объемная плотность энергии колеба-
колебаний в каждой точке среды изменяется во времени.
7. Скорость и распространения энергии волны равна скорости
перемещения в пространстве поверхности, соответствующей макси-
максимальному значению объемной плотности энергии w. В случае плоской
синусоидальной волны, как видно из формулы A.20), уравнение од-
одной из поверхностей ш=шмакс имеет вид
Ы — кх + а = 0,
а скорость ее перемещения
dx ю
« = -п-=— = У.
dt к
Таким образом, в случае плоской синусоидальной волны скорость
распространения энергии совпадает с фазовой скоростью волны.
В теории волн доказывается, что этот результат справедлив для любых
синусоидальных волн независимо от формы их волновых поверхно-
поверхностей.
8. Для характеристики процесса переноса энергии волнами вво-
вводится понятие о потоке энергии. Потоком энергии Ф^, сквозь ка-
какую-либо поверхность площадью S называют отношение энергии
dW, передаваемой через эту поверхность за малое время dt, к значению
1 Заметим, что в общем случае амплитуда и фаза волны являются функциими не
одной, а всех трех пространственных координат х, if и г.
— 17 —
этого промежутка времени:
(Т) -dW
Найдем поток энергии плоской синусоидальной волны, заданной
уравнением A.14), сквозь плоскую поверхность, перпендикулярную
направлению распространения волны. За время dt через эту поверх-
поверхность площадью S переносится энергия dW, заключенная в прилегаю-
прилегающем к ней слое среды толщиной udt: dW=wSu dt. Поэтому искомый
поток энергии
3>r = t2>S« A-22)
9. В общем случае поверхность может иметь произвольную форму
и ориентацию по отношению к направлению распространения волны.
При этом потоки энергии через различные участки поверхности, имею-
имеющие одинаковые площади, оказываются, вообще говоря, не равными.
Поэтому возникает необходимость введения новой физической вели-
величины — плотности потока энергии волны. Плотностью потока энер-
энергии волны называют вектор U, направленный в сторону распростра-
распространения волны и равный по модулю отношению потока энергии d<bw
сквозь малый элемент площади dS поверхности к площади dS± про-
проекции этого элемента на плоскость, пер-
перпендикулярную направлению распростра-
распространения волны
A.23)
Так как за время dt сквозь площадку
Рис 1 4 d,s переносится энергия, заключенная внут-
внутри заштрихованного на рис. 1.4 косого
цилиндра, объем которого равен udtdSx, то d<3)w =wudSx,
U = wu, U = w\x. A.23')
Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен про-
произведению вектора скорости распространения энергии волны и ее
объемной плотности. Для упругих волн этот вектор был впервые вве-
введен в 1874 г Н. А. Умовым и называется вектором Умова.
Так как поток энергии dOw сквозь элемент dS поверхности равен
= Un dS = wun dS,
где n — единичный вектор нормали к элементу dS поверхности S,
то полный поток энергии сквозь всю поверхность S равен
5 L = \ wundS. A22')
s s
Эта формула справедлива для потока энергии волн любого типа,
так как при ее выводе мы не делали никаких предположений относи-
относительно природы волны и формы ее волновых поверхностей.
10. Рассмотрим еще один простейший тип волн в упругой среде.
Пусть источником волн в однородной, изотропной и безграничной
— 18 —
среде является сфера радиуса R, все точки которой совершают син-
синхронные гармонические колебания вдоль прямых, соединяющих эти
точки с центром сферы. Тогда смещения s0 точек сферы из положения
равновесия изменяются по закону
su=Ausm((ut+a).
Если радиус R сферы неограниченно уменьшать, то в пределе
можно говорить о точечном источнике волн.
Из соображений симметрии очевидно, что в этом случае в среде
распространяется сферическая волна, так как волновые поверхности
должны иметь форму сфер, концентричных поверхности источника
волн. Ясно также, что амплитуды А колебаний во всех точках среды,
отстоящих от центра источника на расстоянии г, должны быть одина-
одинаковыми. Поэтому уравнение сферической волны имеет вид
s = A sinM — к(г — R) + a], A.24)
где амплитуда А, как мы увидим дальше, зависит от г.
Для случая точечного источника волн {R = 0)
s-Л sin((of —кг + а). A.24')
Уравнение A.24) может быть записано в форме A.24'):
s = A sin(o>i — кг + at), A.24")
где Gti=a+K#-
Примером сферических волн являются звуковые волны, возбуж-
возбуждаемые колеблющимися телами, размеры которых достаточно малы.
О характере распространения сферических волн можно до некоторой степени
судить, наблюдая с помощью описанной выше волновой ванны распространение кру-
круговой волны, возбуждаемой на поверхности жидкости
колебаниями небольшого шарика. Мгновенный фото-
фотоснимок этой волны показан на рис. 1.5.
11. При распространении плоской волны
за равные промежутки времени в колебатель-
колебательное движение вовлекаются равные объе-
объемы среды. Именно поэтому амплитуда плос-
плоской волны для всех точек одинакова, если
только в среде не происходит рассеяния энер-
энергии, т. е. преобразования энергии колебаний
в другие формы энергии. Иначе обстоит дело
в случае сферической волны — по мере удале-
удаления фронта волны от источника за равные
*< Pur* \ К
промежутки времени в колебательное движе- " •
ние вовлекаются все возрастающие объемы
среды. Следовательно, в отличие от плоских волн амплитуда сфе-
сферической волны должна уменьшаться при увеличении расстояния от
источника волны. Оказывается, что в случае отсутствия рассеяния
энергии в среде амплитуда А сферической волны изменяется по сле-
следующему закону:
Л = М=а£1, A.25)
— 19 —
где йо— величина, численно равная амплитуде волны в точках среды,
находящихся на расстоянии г-1 м от источника волны.
Поэтому уравнение незатухающей сферической волны имеет такой
вид:
s = ^-sin[(at — K(r — R)+a]. A.26)
По мере увеличения радиуса кривизна волновой поверхности сфе-
сферической волны уменьшается. Поэтому достаточно далеко от источ-
источника сферическую волну можно рассматривать как плоскую волну.
12. До сих пор мы изучали только синусоидальные волны, для
возбуждения которых необходимо, чтобы' источник волн совершал
незатухающие, гармонические колебания. В действительности все
реальные источники не удовлетворяют этому условию хотя бы потому,
что обладают конечным запасом энергии и, следовательно, колеб-
колеблются не бесконечно долго, а в течение ограниченного промежутка
времени. Следовательно, все реальные волны в той или иной степени
отличаются от синусоидальных. В связи с этим естественно возникает
вопрос: применимы ли к реальным волнам соотношения, справедли-
справедливые для синусоидальных волн? Подробное рассмотрение этого вопроса
достаточно сложно и выходит за рамки нашего курса. Поэтому мы
лишь приведем без доказательства некоторые основные результаты.
Оказывается, что любая несинусоидальная волна может быть за-
заменена эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Такое пред-
представление называется спектральным анализом несинусоидальной вол-
волны. Совокупность значений амплитуд, начальных фаз и частот эквива-
эквивалентной системы синусоидальных волн называется спектром соответ-
соответственно амплитуд, начальных фаз и частот рассматриваемой несинусои-
несинусоидальной волны. Спектр частот может быть как дискретным, или
линейчатым (конечным или бесконечным), т. е. представляющим мно-
множество отдельных различных значений, так и непрерывным, или сплош-
сплошным.
Опыты показывают, что волны распространяются в среде неза-
независимо друг от друга, так что результирующее смешение любой
частицы среды равно векторной сумме ее смещений, обусловленных
каждой из волн в отдельности. Этот закон справедлив для волн любой
природы и называется принципом суперпозиции волн 1.
13. Закономерности распространения несинусоидальных волн
в среде сравнительно просты только в тех случаях, когда либо нет
дисперсии волн, либо волна мало отличается от синусоидальной
(квазисинусоидальная волна). Квазисинусоидальная волна представ-
представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых
мало отличаются от некоторой основной частоты со. Такую несинусои-
несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом.
1 Принцип суперпозиции выполняется только для так называемых линейных
сред, распространение волн в которых не зависит от интенсивности этих волн При-
Применительно к упругим волнам среду можно считать линейной, если ее деформации в
процессе волнового движения подчиняются закону Гука,
— 20 s-
В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, об-
образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами,
распространяющимися вдоль оси ОХ. Пусть амплитуды этих волн
одинаковы, начальные фазы «1=а2=0, а частоты и волновые числа
несколько различны, но близки друг к другу:
Для результирующей волны
s=Si+s2=2AOcos (Aat—Акх) sin (art—кх),
где co=(coi+co2)/2, Дсо=(со2—<ох)/2, k=(Ki+K2)/2 и Ак=(к2—)
Таким образом, результирующая волна является плоской волной,
циклическая частота со и волновое число к которой равны полусумме
соответственно циклических частот и волновых чисел синусоидальных
волн, образующих пакет. Однако амплитуда А этой волны не постоян-
постоянна, а зависит от координаты х и времени:
А —2А Ocos (Асо^—Акх).
Полученное выражение для амплитуды волнового пакета само по себе
является уравнением плоской синусоидальной волны — волны ам-
амплитуды колебаний, фаза которой
*—Акх.
Выше было показано, что объемная плотность w энергии волны
пропорциональна квадрату амплитуды этой волны. Следовательно,
скорость и распространения энергии волнового пакета, которая, по
определению (см. п. 7), равна скорости перемещения поверхности
пу=дамакс, совпадает с фазовой скоростью волны амплитуды. Диффе-
Дифференцируя выражение для Фл в предположении, что 0^=const, полу-
получаем
_ dx Дш
и~ЧГ~"Ж '
или в пределе, когда Асо, а следовательно, и Дк стремятся к нулю,
Эту формулу преобразуем, учитывая, что к—2п!Х и йк=—2п
2n dX *
~ 2л 2яу ,
Так как со = -^- = ~х~ * гДе v — фазовая скорость волны, то
dm 2nv . 2n dv
~Ж I^ +
» = г— Х-*. A.28)
Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В слу-
случае отсутствия дисперсии волн в среде (т. е. когда dv/dk=0) их фазо-
— 21 —
вые скорости v одинаковы и не зависят от К. Поэтому в таких средах
групповая скорость волн совпадает с их фазовой скоростью.
14. В заключение этого параграфа необходимо сказать несколько слов о так
называемом волновом уравнении— дифференциальном уравнении волнового движе-
движения. Это уравнение имеет следующий вид:
~^~№ A>29)
Его можно вывести нз уравнения A.26) для синусоидальной сферической волны.
В самом деле, величина s зависит от времени t и, кроме того, является неявной функ-
функцией декартовых координат х, у, г, так как г = V *2-f «/2-f г2- Легко показать, что
где
(В
A.32)
— волновое число. Таким образом,
Отсюда непосредственно следует волновое уравнение A.29). Легко проверить,
что выражение A.14) для плоской волны также удовлетворяет этому уравнению.
Можно показать, что уравнение A.29) справедливо для любых волн, распространяю-
распространяющихся в однородной и изотропной среде, в которой отсутствуют рассеяние энергии
и дисперсия волн. Однако в общем случае для характеристики направлений
колебания частиц среды нужно пользоваться не скалярной, а векторной функцией s.
Поэтому вместо одного волнового уравнения A.29) приходится рассматривать ана-
аналогичные уравнения для каждой из трех проекций вектора s на координатные оси
OX, 0Y и 0Z.
Волновое уравнение A-29) обычно записывают в следующей символической форме:
д2 д2 д2
где Д=-^-у-|—=рг+трг~ так называемый оператор Лапласа [часто его обозна-
обозначают также через (v, V) или v2]-
В каждой конкретной задаче для нахождения однозначной зависимости s от коор-
координат и времени с помощью волнового уравнения A.29) необходимо еще задать
условия однозначности:
а) начальные условия, т. е. зависимость s от координат в начальный момент вре-
времени *=0;
б) граничные условия, т. е. закон колебаний частиц среды, прилегающих к
поверхности источника волн, а также закономерности отражения и поглощения волн
на границах среды.
Точное решение этой системы уравнений в большинстве случаев сопряжено со
значительными математическими трудностями. Поэтому в физике широко применя-
применяются различные приближенные методы решения таких задач.
_ 22 —
§ 1.4. Принцип Гюйгенса
1. Голландским физиком X. Гюйгенсом был предложен
A690) простой способ нахождения волновой поверхности S(t+At)
в момент времени t-{-At, если известно ее положение S (/) в момент
времени t. Этот способ называется принципом Гюйгенса. Он основан
на предположении о том, что в интервале времени от t до t-\-At каждую
точку фронта волны S (t) можно рассматривать как источник вторич-
вторичных волн. В однородной изотропной среде
волновые поверхности вторичных волн в
момент времени t+At имеют вид сфер ра-
радиуса vAt (рис. 1.6), центры которых лежат
на поверхности S(t). По принципу Гюй-
Гюйгенса, огибающая этих сфер указывает
положение в момент времени t+At фронта
S (t-\-At) действительно распространяющей-
распространяющейся волны. При этом огибающую нужно
строить только по ту сторону от волновой
поверхности S(t), в которую распростра-
распространяется рассматриваемая волна.
Принцип Гюйгенса является чисто гео-
геометрическим способом построения волно-
волновых поверхностей. Он никак не связан с
физической природой волн и в равной
мере применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам.
2. Пользуясь принципом Гюйгенса, можно получить законы отражения волн
от границы раздела двух сред и преломления волн при переходе из одной среды в
другую.
Пусть на плоскую границу MN раздела двух сред 1 к 2 падает плоская волна,
распространяющаяся вдоль направления КА (рис. 1.7). Угол i между К.А и перпен-
S(t4t) S(t4t)
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Рис. 1.8
дикуляром АЕ к плоскости MN называется углом падения. В изображенный на ри-
рисунке момент фронт АВ падающей волны достиг отражающей поверхности в точке А.
Следовательно, эта точка начинает излучать вторичную волну. За время At=\BC\/v
прохождения падающей волной расстояния ВС фронт вторичной волны, распростра-
распространяющейся в первой среде, достигает точек полусферы, радиус которой \AD\=v&t= \BC\.
Положение фронта отраженной волны в этот момент времени изобразится в соответ-
соответствии с принципом Гюйгенса плоскостью CD, а направление распространения этой
волны — лучом AD. Угол V между нормалью АЕ и лучом AD называется углом
— 23 —
отражения. Из равенства треугольников ABC и ADC следует закон отражения
волн: угол отражения Г равен углу падения i.
3. Аналогичным образом выводится и закон преломления воли при переходе
из одной среды в другую (рис. 1.8). Пусть скорость распространения волны в первой
среде x>i, а во второй »2. Тогда за время At прохождения падающей волной расстояния
ВС в первой среде (At= \BC\lv^ фронт вторичной волны, возбуждаемой во второй сре-
среде точкой А, достигнет точек полусферы, радиус которой \AD\=v2At= (V^i) \BC\.
В соответствии с принципом Гюйгеиса фронт результирующей преломленной вол-
волны, распространяющейся во второй среде, изображается плоскостью CD, а направ-
направление ее распространения — лучом AD. Угол г между лучом AD и продолжением
нормали АЕ называется углом преломления. Из прямоугольных треугольников
ABC и ADC следует, что \ВС\=\АС\ sin i и ИД|=|ЛС| sin г, или
sin г \AD\ v2 ' V'*v
Таким образом, справедлив закон преломления волн: отношение синуса угла
падения к синусу угла преломления равно отношению фазовых скоростей волны в пер-
первой и второй средах.
Величина n21—sin t/sin г называется относительным показателем преломления
второй среды по отношению к первой. Таким образом, из принципа Гюйгенса вытекает,
что
n2i = ci/t>2. A.35)
Подчеркнем, что все полученные закономерности справедливы только для изо-
изотропных сред, в которых скорости волн ие зависят от направления их распро-
распространения. В противном случае вторичные волиы не будут сферическими (см. §8.1).
§ 1.5. Интерференция волн. Стоячие волны
1. Рассмотрим более подробно вопрос о наложении
синусоидальных волн, возбуждаемых в однородной и изо-
изотропной среде точечными источниками Sxh Sa (рис. 1.9), циклические
частоты гармонических колебаний которых равны g>i и g>2, а началь-
Рис. 1.9 Рис. 1.10
ные фазы — соответственно cci и а2- Пусть вызываемые ими колебания
в произвольной точке М одинаково направлены и удовлетворяют
уравнению A.26):
s2 = -^ sin (<utt—кгг2 -f-a2) = A 2 sin<D2.
По принципу суперпозиции, результирующее колебание в точке М
описывается формулой s—St+s^A sind>. Для нахождения А и Ф
воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 1.10), рассмотрен-
-24 —
ным в § 8.3 первого тома. Из рис. 1.10 следует, что
Aa = Al + Al + 2AlAacos(<bt—Q>1), A.36)
f~ ф _ Ai bin ф1 + Аг S'" Фа /, Я7ч
2. Возможны два случая:
а) разность фаз волн Ф2—Фх в точке М изменяется с те-
течением времени; такие волны и возбуждающие их источ-
источники 5i и S2 называются некогерентными;
б) разность фаз волн Ф2—Фх не зависит от времени;
такие волны и возбуждающие их источники называются когерентными.
По формуле A.11), к—а/и, где v — фазовая скорость волны. По-
Поэтому
2^-со1^)+(а2-а1). A.38)
Второй и третий члены правой части этого равенства не зависят
от времени. Поэтому две синусоидальные волны когерентны, если их
частоты одинаковы, и некогерентны, если их частоты различны.
3. Из формулы A.36) следует, что при наложении некогерент-
некогерентных синусоидальных волн амплитуда А результирующих колеба-
колебаний в произвольной точке М среды зависит от времени, т. е. результи-
результирующие колебания негармонические. Амплитуда А изменяется в пре-
пределах от )Ai—At\ до Ai+A2, причем циклическая частота колебаний
амплитуды А совпадает с циклической частотой изменения Ф2—Фь
т. е. равна jo>2—coij. Если эта частота достаточно велика, то любой
регистрирующий прибор не будет успевать реагировать на изменения
величины А, т. е. будет показывать лишь некоторое ее среднее зна-
значение.
Найдем среднее значение <Л2> квадрата амплитуды за время,
равное периоду т ее изменения:
= А\ + А\ + 2-^ I cos (Ф.-ФО dt.
о
Так как за время т разность Ф2—Фх изменяется на 2я, то
Jcos(®2—Фх)^ = 0 и
о
<А*> = А\ + А\. A.39)
Таким образом, при наложении некогерентных волн среднее зна-
значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квад-
квадратов амплитуд исходных волн.
- 26 -
Можно показать, что в согласии с законом сохранения энергии
при наложении некогерентных волн происходит суммирование их
энергий.
4. Иначе обстоит дело при наложении когерентных волн.
Полагая в формуле A.38) (i>1=w2=£i> и учитывая, что при этом в од-
однородной и изотропной среде v1—v^=v, получаем
Ф2 —<Di = - -£■ {г, - г,) + (о, -сО = - к (г, - гх) + (о, -а,).
Поэтому формулу A.36) можно переписать в таком виде:
А2 ^ Al + A22 + 2A1A2cos[K{r2 — r1) — {a2—a1)]. A.36')
Так как <х2—ai=const и K=const, то амплитуда А не зависит от
времени. Косинус в правой части формулы A.36') равен единице и
амплитуда результирующего колебания максимальна (А =
=Ai-{-A2) во всех точках М, для которых аргумент косинуса равен
четному числу л:
к [г 2 — 'i) + ai—«2 = ±2/ия (т = 0, 1, 2, ...), A-40)
или, заменив к на 2лЛ,, получим
A.40')
Если а2—а!=0, то это условие принимает следующий вид:
r2—r1 = ±mk. A.40")
Очевидно, что амплитуда результирующего колебания мини-
минимальна (j4 = |j4i—А2\) во всех точках М, для которых
«(г, —r^ + ai—о, = ±B/п—1)я (т=1,2, ...), A.41)
или
Если a2—ai=0, to условие минимума амплитуды имеет такой вид:
г, —г1 = ±B/п—1)Я./2. A.41")
Величина г2—г^ называется геометрической разностью хода волн
от их источников Si и S2 до рассматриваемой точки.
5. При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия
результирующей волны, вообще говоря, отличны от суммы соответст-
соответственно квадратов амплитуд и энергий исходных волн. В самом деле,
в точках М, удовлетворяющих условию A.40'),
а в точках М, удовлетворяющих условию A.41'),
Интерференцией волн называют явление, осуществляющееся при
наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во
— 26 —
времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаб-
ослаблении — в других в зависимости от соотношения между фазами этих
волн. Из предыдущего ясно, что интерферировать могут только ко-
когерентные волны, если им соответствуют колебания, совершающиеся
вдоль одного и того же или близких направлений.
При интерференции воли отсутствует простое суммирование их
энергий. Иными словами, интерференция волны приводит к пере-
перераспределению энергии колебаний между соседними облас-
областями среды. Однако в среднем для достаточно большой области прост-
пространства энергия результирующей волны
равна сумме энергий интерферирующих
волн. Поэтому явление интерференции
ни в какой мере не противоречит закону
сохранения и превращения энергии.
Для демонстрации интерференции волн на
поверхности жидкости можно воспользоваться
описанной выше волновой ваииой. На рис. 1.11
показана картина интерференции круговых волн,
возбуждаемых двумя колеблющимися тонкими
стержнями, жестко связанными друг с другом
так, что амплитуды, частоты и начальные фазы
колебаний стержней одинаковы. Рис. 1.11
6. Частным случаем интерференции волн являются так называемые
стоячие волны. Стоячая волна образуется в результате интерференции
двух синусоидальных волн, обладающих одинаковыми амплитудами,
частотами, направлениями колебаний и распространяющихся во вза-
взаимно противоположных направлениях. Обе эти волны в отличие от
стоячей называют бегущими волнами.
Простейшую (одномерную) стоячую волну можно наблюдать на
натянутом упругом шнуре. Если левый конец О шнура (рис. 1.12)
привести в гармоническое колебатель-
{>. t р '• X ное Движение в направлении, перпен-
1* х A i у дикулярном оси ОХ шнура, то вдоль
I • ■ I шнура будет распространяться попе-
Рис. 1.12 речная бегущая волна— падающая
волна. Достигнув закрепленного пра-
правого конца шнура (точка х=1), волна отразится от него, т. е. воз-
возникнет вторая бегущая волна (отраженная), распространяющаяся в
обратном направлении. Если при распространении и отражении волн
нет рассеяния энергии, то амплитуды падающей и отраженной волн
должны быть одинаковыми.
Выведем уравнение одномерной стоячей волны, т. е. найдем зави-
зависимость от времени смещения s произвольной точки М (х) шнура.
Пусть закон колебаний точки М в падающей волне имеет вид
Si=/4 sin(atf—кх).
В отраженной волне смещение s2 точки М отстает по фазе от sx
на величину а=2к(/—х)+ф, где ср — дополнительное отставание по
фазе, которое может возникать при отражении (см. ниже). Следова-
— 27 —
тельно,
s2=A sin [со^+к (д:—2/)—ф].
По принципу суперпозиции волн результирующее смещение
s=s1+s2='4 sin(co£—кх)+А sm[(at-\-K(x—21)—ф].
Так как sinp+siny—2sin[(P+Y)/2Jcos[(P — v)/2], то уравнение
одномерной стоячей волны можно представить в форме
s=2A cos[k (l—x)+<p/2] sin (со/—к/—q>/2). A.42)
Написанные выше выражения для Si и s2 справедливы не только
для одномерных, но и для плоских волн, распространяющихся соот-
соответственно вдоль положительного и отрицательного направлений
оси ОХ. Поэтому выражение A.42) представляет также уравнение
плоской стоячей волны. Этот результат в равной мере справедлив
как для поперечных, так и для продольных волн.
7. Из формулы A.42) следует, что амплитуда одномерной (или
плоской) стоячей волны равна
A.43)
т. е. является периодической функцией координаты х и не зависит
от времени. В точках, координаты которых удовлетворяют условию
к(/—х)+ф/2 = ±тя (т = 0, 1,2, ...), A.44)
амплитуда колебаний максимальна и равна 2 А. Эти точки называются
пучностями стоячей волны. В точках, координаты которых удовлет-
удовлетворяют условию
к{1 —x) + q)/2 = ±Bm— 1)я/2 (т=1,2, ...), A.44')
амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки не колеблются и потому
называются узлами стоячей волны.
Мы нашли положения узлов и пучностей для смещения s частиц
упругой среды. Очевидно, таковы же положения узлов и пучностей
скорости v^ds/dt Колебательного движения частиц среды. Найдем
теперь положения узлов и пучностей для деформаций и напряжений.
Можно показать, что относительная деформация упругой среды при
распространении в ней плоских волн равна ds/dx. В бегущей синусои-
синусоидальной волне деформации и напряжения пропорциональны г^:
-J- = ——-gf— — — » гДе ь — фазовая скорость волны. В стоячей
волне ds/dx и ds/dt не пропорциональны друг другу. Из уравнения A.42)
и формул A.44) и A.44') видно, что узлы деформаций и напряжений
совпадают с пучностями смещения s и скорости vu а пучности дефор-
деформаций и напряжений — с узлами s и vx.
8. В теории упругих волн доказывается, что угол сдвига фаз q>
при отражении продольной волны от границы раздела двух сред зави-
зависит от отношения так называемых волновых сопротивлений этих
сред. Волновым сопротивлением среды называется произведение ее
плотности р на фазовую скорость v распространения в ней упругой
— 28 —
волны. Если продольная плоская волна, распространяющаяся в пер-
первой среде, отражается от границы раздела этой среды с какой-либо
второй средой, то при угле падения £=0
Ф = 0, если у <. 1, и ф = л;, если у > 1, где у — p2y2/Piyi-
В первом случае часто говорят, что волна отражается от «менее
плотной» среды, а во втором — от «более плотной».
Амплитуды Аи А[ и Аг падающей, отраженной и проходящей во
вторую среду плоских продольных упругих волн в случае нормаль-
нормального падения на границу раздела двух сред связаны соотношениями
1-V * - * 2
и А*=
Если 7=1, то отраженная волна отсутствует (Л^=0). Проходящая
волна отсутствует и A't—Ai, если 7 = °°. Последнее условие, как видно
из табл. 1.1, практически соблюдается при отражении упругих волн,
распространяющихся в газах, от поверхностей жидкостей или твер-
твердых тел.
Таблица 1.1
Среда
Волновое
сопротивле-
сопротивление,
кг/(м2-с)
Среда
Волновое
сопротивле-
сопротивление,
кг/(м"-с)
Воздух (при нормальных Вода (при 20°С) .... 14-105
условиях) 429 Сталь 46-10е
Кислород (при нормальных Свинец 27-Ю6
условиях) 450 Стекло 15-Ю6
9. Сдвиг по фазе на jt соответствует изменению фазы колебания за
промежуток времени 772, в течение которого волна распространяется
на расстояние, равное половине длины волны. Поэтому обычно гово-
говорят, что при отражении волны от границы с «более плотной» средой
имеет место «потеря полуволны».
Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями)
стоячей волны называется длиной стоячей волны Яст. Из A.44) и
A.44') следует, что
ХС1^п/к = Х/2, A.45)
т. е. длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны.
Расстояние между соседними узлом и пучностью стоячей волны равно
ХСТ/2=Ш.
10. Колебания во всех точках стоячей волны, находящихся между
двумя соседними узлами, происходят с различными амплитудами,
но одинаковыми фазами, так как аргумент синуса в урав-
уравнении стоячей волны A.42) не зависит от координаты х. При
переходе через узел фаза колебания изменяется на jt, так как
cos [кA—х)+ф/2] изменяет свой знак на противоположный. Смещения
частиц среды в одномерной или плоской стоячей волне в различные мо-
моменты времени показаны на рис. 1.13, где кружками обозначены узлы,
— 29 —
а время t0 выбрано так, чтобы sin(cof0—к1—q>/2)=0. Предполагается
также, что ф=л.
В отличие от бегущей волны в стоячей волне отсут-
отсутствует перенос энергии — полная энергия колебаний
каждого элемента объема среды, ограниченного соседним узлом и пуч-
пучностью, не зависит от времени. Она лишь периодически переходит
из кинетической энергии, локализованной в основном вблизи пуч-
пучности, в потенциальную энер-
энергию упруго деформированной
среды, локализованную в основ-
основном вблизи узла, а затем об-
обратно из потенциальной в кине-
кинетическую. Поэтому такие волны
и получили название стоячих.
Отсутствие переноса энергии
стоячей волной является
результатом того, что образую-
образующие ее падающая и отраженная
волны переносят равную по ве-
величине энергию, но в противо-
противоположных направлениях.
11. В случае свободных ко-
колебаний упругого стержня, зак-
закрепленного на одном конце, в
нем устанавливается стоячая вол-
волна, причем на свободном конце
стержня находится пучность сме-
смещения, а на закрепленном —
Рис. 1.13 узел (рис. 1.13). Поэтому между
длиной / стержня и длиной стоя-
стоячей волны в нем должно выполняться соотношение
l = Bm—l)kCJ/2 (m=l,2, 3, ...). A-46)
Если закреплены оба конца стержня (или упругой нити, например
натянутой струны), то на его концах образуются узлы смещения и
/ = /тЛ„. A.47)
При нечетных m это соотношение справедливо также для стержня,
закрепленного посередине, так что на его концах образуются пуч-
пучности.
По формуле A.45), A,CT=k/2=u/Bv), где v — скорость распростра-
распространения в стержне упругих волн, частота которых v. Поэтому в зависи-
зависимости от характера закреплений концов стержня частоты возможных
в нем стоячих волн должны удовлетворять одному из следующих ус-
условий:
v = Bm—l) о/(«), О-46')
v = 2mt;/D/). A.47'J
— 30 —
Эти частоты называются собственными частотами колебаний упру-
упругого стержня.
В § 1.3 было показано, что уравнения одномерной и плоской волн,
распространяющихся вдоль одного и того же направления (например,
вдоль оси ОХ), совершенно идентичны. Поэтому результаты, установ-
установленные нами для частот одномерных стоячих волн, в равной степени
справедливы и для плоских стоячих волн в однородной среде. Они
справедливы, например, для колебаний газа в цилиндрических тру-
трубах с плоскими днищами, перпендикулярными образующей цилиндра.
Из формул A.46') и A.47') следует, что для изменения собственных
частот колебаний струн или столбов газа необходимо изменять их
длину I. Этим методом широко пользуются при игре на струнных и
духовых музыкальных инструментах.
12. В заключение рассмотрим два интерференционных метода эксперименталь-
экспериментального определения длины звуковой волны. Схема экспериментальной установки, ос-
основанной на первом методе, показана на рис. 1.14. Звуковые волны возбуждаются ко-
С
Рис. 1.14
////77////////////////////////////////////А
Рис. 1.15
лебаниями мембраны телефонной трубки Т, включенной в электрическую цепь генера-
генератора колебаний звуковой частоты 3. Г., н распространяются в воздухе, заполняющем
две U-образные металлические трубки А к В. Результат интерференции этих волн
вблизи малого отверстия С регистрируется на слух с помощью слуховой трубки.
Обозначим через 1г и 1г расстояния, проходимые волнами от Т до С соответственно в
левом (А) и правом (В) коленах установки. Если 12—1^=0 или кратко целому числу
длин X исследуемой звуковой волны, то волны в точке С взаимно усиливаются, если
же l2 — ll = Bm-\-1) -s-, где m — любое целое число, то волны взаимно ослабляются.
Для изменения разности /2—1г хода волн в обоих коленах установки трубка В сделана
подвижной. Смещение трубки В регистрируется с помощью неподвижной шкалы D.
Смещение трубки В вправо на расстояние / соответствует увеличению 12 и k—h на 11.
Сначала трубку В устанавливают так, чтобы интенсивность звука в точке С была ми-
минимальной. Затем находят наименьшее смещение I трубки В из первоначального поло-
положения, при котором вновь наблюдается минимум интенсивности звука в точке С. Тогда
искомая длина звуковой волны Х=21. В самом деле, если вначале
у , то h+2l-!1=[2(m+\)+\]-j и
— 31 —
Второй метод основан на свойствах стоячей волны. Вблизи открытого конца
цилиндрической стеклянной трубки А (рис. 1.15), внутри которой находится подвиж-
подвижный поршень В, располагается исследуемый источник звука — телефонная трубка
Т (или камертон). В результате наложения падающей и отраженной от поршня В
звуковых воли в трубке возникает плоская стоячая волна. Амплитуда колебаний
давления воздуха вблизи узкого отверстия С, соединенного со слуховой трубкой, мак-
максимальна, если столб воздуха в трубе резонирует на волны, возбуждаемые источником
звука. Для возникновения резонанса необходимо, чтобы длина I столба воздуха удов-
удовлетворяла условию A.46). В опыте находят расстояние А1 между двумя ближайшими
положениями поршня, соответствующими наибольшей громкости звука в слуховой
трубке. Так как из A.46) следует, что Д/=ХСТ, то искомая длина звуковой волны
Л,=2 Ы.
Указанные выше методы пригодны также для определения фазовой скорости v
звуковых волн, если известна их частота v. Из A.10) следует, что v—Kv=2 Д/v,
Глава II
ОСНОВЫ АКУСТИКИ
§ 2.1. Основные характеристики звука
1. Акустикой называется учение о звуке. Причиной звуко-
звуковых ощущений людей и животных является воздействие на их органы
слуха упругих волн, распространяющихся в воздухе или другой упру-
упругой среде под влиянием механических колебаний какого-либо тела
(источника звука). Это подтверждается следующим опытом. Поместим
электрический звонок в замкнутый стеклянный сосуд и откачаем из
него воздух. По мере уменьшения плотности воздуха в сосуде звуча-
звучание звонка ослабевает, а при достаточно сильном разрежении мы ви-
видим колебания молоточка звонка и совершенно не слышим era звука.
Изменяя частоту колебаний источника звука, можно убедиться
в том, что человек с нормальным слухом способен воспринимать как
звук только такие упругие волны, частоты которых не меньше 16 Гц
и не больше 20 000 Гц. Кроме того, оказывается, что чувствительность
нашего уха к волнам различной частоты неодинакова — она макси-
максимальна для волн с частотами порядка 1,5—3 кГц. Эти закономерности
обусловлены особенностями строения наших органов слуха и ни
в какой мере не свидетельствуют о каком-либо принципиальном от-
лнчии «слышимых» упругих волн от «неслышимых». По своей природе
и физическим свойствам и те и другие волны ничем качественно не
отличаются друг от друга. В этом можно убедиться по их действию
на микрофоны, пьезоэлектрические приборы, регистрирующие коле-
колебания давления (см. т. II, § 6.5) и другие измерительные устройства.
Кроме того, установлено, что верхний и нижний пределы частот слы-
слышимых упругих волн у различных животных неодинаковы. Так, на-
например, у собак vMaKC достигает 38 кГц, а у летучих мышей и китов —
превосходит 100 кГц. Поэтому звуком в физике называют любые
упругие волны, причем в отличие от слышимых волны с частотами,
меньшими 16 Гц, называют инфразвуковыми, а волны с частотами,
большими 20 кГц,— ультразвуковыми. Ультразвуковые волны с час-
частотами порядка 10" Гц и выше иногда называют гиперзвуковыми.
Верхняя граница частот ультразвуковых волн (в кристаллах по-
порядка 1012—1013 Гц) соответствует частотам, при которых длина этих
волн становится соизмеримой с межмолекулярными расстояниями.
Термин «звук» применяется также для обозначения того ощуще-
ощущения, которое производит звуковая волна на наши органы слуха.
Таким образом, рассматривая любое акустическое явление, нужно
помнить, что, с одной стороны, звук — это физический процесс рас-
2 А. А. Детлаф, Б. М. Яворский — 33 —
пространения упругих волн в среде, а с другой — психофизиологиче-
психофизиологический процесс, обусловленный указанным выше физическим процес-
процессом. Первый круг вопросов является предметом исследования физиче-
физической акустики, а второй — физиологической акустики.
2. Физическая акустика по существу является учением об упру-
упругих волнах, основы которого были язложены в предыдущей главе.
Для характеристики звука в акустике используются частота v звуко-
звуковой волны (или спектр частот v в случае сложной несинусоидальной
звуковой волны) и интенсивность звука.
Интенсивностью или силой звука называется физическая величина
/, равная модулю среднего значения вектора плотности потока энер-
энергии звуковой волны (вектора Умова):
/ = |<U>|. B.1)
Из формулы A.23') следует, что
I = <w>u, B.1')
где и — групповая скорость волны, a (w} — среднее значение объем-
т
ной плотности энергии w: <до> = -=г \ wdt, где Т — период полного
о
колебания.
В случае синусоидальной волны скорость и совпадает с фазовой
скоростью v и w выражается формулой A.20). Поэтому (w}=
= 1/2рЛ2со2 и
/ = 1/И2«2рУ- B-2)
В Международной системе единиц (СИ) интенсивность звука вы-
выражается в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).
3. Распространение в упругой среде продольных звуковых волн
связано с объемной деформацией. Поэтому давление в каждой точке
среды непрерывно колеблется. Оно равно сумме равновесного значе-
значения давления среды и добавочного давления (или разрежения) рзв,
вызванного деформацией среды и называемого звуковым давлением.
Из A.2') и A.3) следует, что dp3B=pvdvu где v^—dsldt — скорость
колебаний частиц среды. Таким образом,
Pa. = P"Jf- B-3)
Найдем среднее значение квадрата звукового давления и его связь
с интенсивностью звука:
(§J B-3')
В случае плоских и сферических синусоидальных волн, как видно
из уравнений A.14) и A.26), s=A sin(t>, где амплитуда А не зависит
от времени, а в выражении для фазы Ф от времени зависит только член
at. Поэтому
|^-=: Лео cos Ф и (^
— 34 -
За время Т одного полного колебания фаза Ф в каждой точке среды
изменяется на 2п и <cos^>=V2. Таким образом,
Из сопоставления этого выражения с формулой B.2) следует
</>;,> =pw/. B.3")
Давление
V VZi B.4)
называется среднеквадратичным или эффективным звуковым давле-
давлением. Значения интенсивности и среднеквадратичного давления для
различных звуков в воздухе при нормальном давлении и 20°С (pv—
— 418 кг/(м2-с)) приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Расстоя- Уровень Срсднеквад-
ние от звукового Интенсивность ратичное
Звук источни- давле- звука, Вт/м' давление,
ка, м ния, дБ Па
Порог слышимости при v =
=--- 1 кГц — О Ю-12 2-10-3
Тихий разговор 1 40 10~8 2-10~3
Громкий разговор 1 70—80 10~5—Ю 0,06—0,2
Фортиссимо симфонического ор-
оркестра 10 100 Ю-2 2
Шум мотора самолета .... 5 120 1 20
4. В физиологической акустике для характеристики звуковых
ощущений применяются понятия высоты, тембра и громкости звука.
Высотой звука называется качество периодического или почти пери-
периодического звука, зависящее от частоты звука и оцениваемое на слух.
По мере уменьшения частоты звука его высота понижается.
В отличие от среднеквадратичного давления и интенсивности звука,
являющихся объективными характеристиками звуковой волны, гром-
громкость звука является субъективной оценкой силы слухового ощущения,
вызываемого этой волной. Громкость звука зависит не только от его
среднеквадратичного давления рэф, но и от чувствительности уха,
которая неодинакова для звуков разной интенсивности и частоты.
Так, например, если давление рэф меньше некоторой величины р0,
называемой порогом слышимости, то такой звук ухом не восприни-
воспринимается. Порог слышимости зависит от частоты звука, достигая мини-
минимального значения порядка 2-10~5 Па при частотах v=1500—3000 Гц.
Достаточно интенсивные звуки перестают восприниматься ухом как
звуки и вызывают болевое ощущение. Минимальное значение дав-
давления рэф, соответствующее появлению этого ощущения, называется
порогом болевого ощущения. Он также зависит от частоты звука, хотя
и в меньшей степени, чем порог слышимости. Порог болевого ощущения
максимален при частотах v=500—1000 Гц и составляет около 200 Па.
2* - 35 -
Область слышимых звуков, ограниченная двумя пороговыми кри-
кривыми, показана на рис. 2.1, где по осям координат отложены в лога-
логарифмическом масштабе частота и среднеквадратичное давление рэ4)
звука. Из этого рисунка видно, что в области частот, близких к 1000 Гц,
ухо способно воспринимать звуки, среднеквадратичные давления ко-
р па торых отличаются более чем
2JQ? в 107 раз. Поэтому для
1 ' i .пмп, *nnoRn,n l сравнения различных зву-
ков одной и той же часто-
частоты вводится уровень звуко-
звукового давления:
L_ = 2/clg(p34,/p0), B.5)
Ю
1
10ЦГц
где рэф— среднеквадратич-
ное давление исследуемого
звука, имеющего частоту v,
а р„=2- Ю-6 Па— условный
порог слышимости.
В зависимости от число-
числового значения коэффициента к в формуле B.5) величина L выра-
выражается в следующих двух единицах: при к=1 — в белах (Б), а при
к= 10 — в децибелах (дБ). Из B.5) следует, что уровень звукового дав-
давления, соответствующий условному порогу слышимости, равен нулю.
Опыты показывают, что две звуковые волны, уровни звукового
давления которых одинаковы, а частоты не совпадают, восприни-
воспринимаются ухом как звуки неодинаковой громкости. Это явление обуслов-
обусловлено зависимостью чувствительности наших органов слуха от частоты
звука. Поэтому уровень звукового давления не может служить исчер-
исчерпывающей характеристикой его громкости. Для сравнения громкости
звуков всевозможных частот вводится понятие об уровне громкости.
Уровнем громкости звука называется физическая величина, равная
уровню звукового давления равногромкого с ним «эталонного звука»,
частота которого v=l кГц. Уровень громкости звука выражается
в фонах. Уровень громкости звука равен 1 фону, если уровень звуко-
звукового давления равногромкого с ним «эталонного звука» (v=1000 Гц)
равен 1 дБ.
6. Простейшим примером периодических звуковых волн являются
синусоидальные волны. В акустике такие звуки называются
простыми или чистыми тонами. Однако упругие волны, возбуждаемые
реальными источниками звука, представляют собой совокупность
синусоидальных волн с различными частотами и амплитудами. В за-
зависимости от вида спектра частот и соответствующих им интенсив-
ностей все звуки можно разбить на две основные группы:
а) тональные, или музыкальные, звуки, обладающие линейчатым
спектром (см. § 1.3, п. 12); таковы, например, звуки различных музы-
музыкальных инструментов;
б) шумы — звуки, обладающие сплошным спектром; примерами
шумов могут служить шелест листьев, шум морского прибоя, улич-
уличный шум, звук взрыва и т. д.
— 36 —
и) Тональный звук
I
Примеры линейчатого и сплошного акустических спектров пока-
показаны на рис. 2.2, где по оси ординат отложены: на позиции а — зна-
значения / интенсивностей волн с дискретными частотами, на позиции б —
значения dlldv, где dl — интенсивность волн с частотами, заключен-
заключенными в узком интервале от v до v-\-dv.
Звуки с линейчатым спектром получили название тональных по-
потому, что при их слуховом восприятии возникает ощущение звука
более или менее определенного
тона, называемого основным то-
тоном. Частота v0 основного тона I
совпадает с наименьшей частотой,
имеющейся в линейчатом спектре
частот тонального звука (рис.
2.2, а). Тоны, соответствующие ос- О
тальным частотам спектра, назы-
называют обертонами. В случае перио-
периодического звука частоты обертонов rfj
кратны v0, а сами обертоны назы- ^
вают гармониками. В зависимости
от интенсивностей и частот обер-
обертонов музыкальные звуки одного
и того же основного тона, изда- о
ваемые, например, разными музы- рис. 2.2
кальными инструментами, могут
сильно отличаться по своей звуковой «окраске», называемой тембром
звука.
7. Простейший метод экспериментального определения спектра
частот слышимых звуков основан на явлении акустического резонанса,
т. е. резкого возрастания амплитуды колебаний каких-либо тел (струн,
мембран, столбов газа или жидкости и т. п.) при приближении частоты
звуковых волн, вызывающих эти колебания, к некоторым значениям,
характерным для колеблющихся тел и называемым
их резонансными частотами (см. т. I, § 8.6). В ка-
качестве таких тел применяют, например, полые ме-
металлические шары различного диаметра (акусти-
(акустические резонаторы Гельмгольца). Исследуемые зву-
звуковые волны поступают внутрь резонатора через
цилиндрическую трубку а (рис. 2.3), а трубка b
вставляется в ухо. Если одна из частот спектра
ввуковой волны совпадает с резонансной частотой vp колебаний воз-
воздуха, заполняющего полость шара, то амплитуда этих колебаний
становится столь большой, что громкость звука сильно возрастает,
причем звучание воздуха в резонаторе сохраняется в течение некото-
некоторого времени после прекращения действия источника исследуемого
звука. Расчеты показывают, что резонансная частота vp зависит от объе-
объема V полости, длины / трубки а и площади 5 ее поперечного сечения:
v =JL т/Т
р 2я V IV '
где v —- скорость звука в воздухе.
I
Рис. 2.3
— 37 —
Применяя резонаторы, характеризующиеся различными значе-
значениями vp, можно определить спектр частот сложного звука.
В настоящее время имеются значительно более совершенные и
точные электроакустические методы анализа звуков и получения
спектров их частот и амплитуд. Идея этих методов состоит в том, что
исследуемый звук действует на микрофон и вызывает появление со-
соответствующих колебаний силы электрического тока в цепи микро-
микрофона и напряжения на включенном в эту цепь резисторе постоянного
сопротивления. Колебания напряжения многократно усиливаются,
а затем анализируются либо по фотографиям вызываемых ими откло-
отклонений электронного луча в осциллографе, либо путем применения
системы специальных электрических фильтров, пропускающих коле-
колебания, частоты которых заключены в достаточно узких пределах,
характерных для каждого фильтра.
§ 2.2. Эффект Доплера
1. Опыты показывают, что измеряемая наблюдателем
частота v звуковых волн совпадает с частотой v0 колебаний источника
волн только в условиях, когда наблюдатель и источник либо непод-
неподвижны относительно упругой среды, в которой распространяются
эти волны, либо движутся с одинаковыми скоростями. Во всех ос-
остальных случаях v=5^v0. Так, например, известно, что при приближе-
приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электро-
электропоезда его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении
от наблюдателя — более низким, чем тон сигнала того же поезда,
стоящего на станции. Это явление впервые было теоретически обосно-
обосновано австрийским физиком К. Доплером A842) и называется эффектом
Доплера.
2. Найдем связь между v и v0 для простейшего случая равномер-
равномерного движения точечного источника звука И (рис. 2.4) и наблюда-
_^_ _^_ теля Н вдоль соединяющей их прямой линии.
t Vi у л.Уг ■ ш Будем считать, что для изображенных на
И н рис. 2.4 направлений движения источника и
Рис. 2.4 наблюдателя их скорости Vi и v2 относительно
неподвижной среды положительны.
В предыдущем параграфе было показано, что распространение
продольных звуковых волн в упругой среде связано с периодиче-
периодическими колебаниями давления в каждой точке среды. Эти колебания
давления, воздействуя на органы слуха, вызывают ощущение звука,
а их частота определяет высоту тона. Области среды, в которых зву-
звуковое давление в данный момент времени максимально, называются
сгущениями звуковой волны, а области среды, в которых оно мини-
минимально,— разрежениями.
С помощью выражения B.3) можно показать, что поверхности
равной фазы звукового давления синусоидальной волны переме-
перемещаются в направлении ее распространения с фазовой скоростью v
волны. Поэтому если источник звука неподвижен по отноше-
отношению к среде и в некоторый момент £=0 вблизи него находится сгуще-
— 38 —
ние, то к моменту t=T0, где То— период гармонических колебаний
источника звука, это сгущение переместится на расстояние vT0, a
вблизи источника образуется новое сгущение. Расстояние vTB между
сгущениями равно длине %0 звуковой волны, возбуждаемой в среде
неподвижным источником.
3. Иной результат получается в случае изображенного на рис. 2.4
движения источника волны. За время То сам источник перемещается
вправо на расстояние ViT0. Следовательно, расстояние вдоль прямой
ИН между двумя соседними сгущениями, т. е. длина волны Xi и час-
частота vi, регистрируемые неподвижным наблюдателем, равны
соответственно:
K=vTa—ViT0=(у—J/i)/vOf
Формула B.6) объясняет описанное выше различие высот тонов
звукового сигнала приближающегося к наблюдателю и удаляющегося
от него электропоезда. В первом случае yi>0 и V!>v0, а во втором —
yi<0 и V!<vo.
Если, кроме того, наблюдатель также движется со скоростью v2
навстречу источнику звука (рис. 2.4), то число сгущений звуковой
волны, регистрируемых наблюдателем за 1 с,
где Av = ■—- = — vt—дополнительное число сгущений, регистрируе-
регистрируемых наблюдателем в результате перемещения за 1 с на расстояние,
численно равное его скорости v2.
Таким образом, частоты v и v0 связаны соотношением
Можно показать, что в случае равномерного движения источника
и наблюдателя с произвольными по направлению скоростями Vi и v2
1-f— cos#2
V
B.8)
где ■&! и да— углы, образуемые векторами Vi и v2 с вектором R, прове-
проведенным от наблюдателя к источнику звука.
§ 2.3. Источники звука
1. Причиной возникновения звуковых волн в упругой
среде может являться всякое периодическое или ударное силовое
воздействие на эту среду со стороны внешних тел, называемых источ-
источниками звука. Мы ограничимся рассмотрением принципов действия
лишь некоторых типов источников тональных звуков, широко
применяемых в музыкальной и технической акустике.
— 39 —
Простейшим источником тонального звука служит камертон
(рис. 2.5, а), ножки которого, будучи выведенными из положения
равновесия, совершают свободные колебания в плоскости чертежа.
Камертоны применяют в качестве эталонов звуков чистых тонов (на-
(например, при настройке музыкальных инструментов). Это связано
с тем, что интенсивности обертонов в звуке камертона пренебрежимо
малы по сравнению с интенсивностью основного тона. Существенным
недостатком камертона как источника зщка является то, что интен-
интенсивность излучаемого им звука очень мала. Дело в том, что его ножки
колеблются в противоположной фазе — они периодически сближаются
и расходятся. Следовательно, в те моменты
времени, когда давление воздуха вблизи их
внешних поверхностей больше равновесного,
давление воздуха вблизи их внутренних по-
поверхностей меньше равновесного, и наоборот.
Поперечные размеры ножек малы, так что
Y\ry это различие в давлениях в значительной
[1 степени выравнивается за счет перетекания
у—ji- у, воздуха вокруг ножек. Поэтому амплитуда
колебаний давления воздуха и интенсивность
звука камертона весьма невелики. Для уси-
усиления способности камертона излучать его
укрепляют на деревянном ящике — резонато-
резонаторе (рис. 2.5, б), у которого отсутствуют одна
или две (противоположные) боковые стенки.
Если размеры ящика подобраны соответствующим образом, то под
влиянием колебаний камертона столб воздуха в ящике совершает
достаточно интенсивные колебания той же частоты, вызывая замет-
заметное усиление звука.
Еще более плохой излучательнои способностью обладают колеблю-
колеблющиеся струны, поперечные размеры которых значительно меньше
поперечных размеров ножек камертона. Поэтому во всех струнных
музыкальных инструментах применяют различные резонаторы. Так,
например, в рояле роль резонатора играет дека — деревянный щит,
склеенный из еловых или пихтовых дощечек.
Скорость v распространения поперечных упругих волн в струне
в отличие от скорости этих волн в неограниченной среде зависит не
от модуля сдвига G материала струны, а от отношения силы F натя-
натяжения струны к площади S ее поперечного сечения:
где р — плотность материала струны. Поэтому в согласии с форму-
формулой A.47') частота, соответствующая основному тону струны (т=1),
равна
Высоту основного тона струны можно менять путем изменения ее
натяжения (это делается при настройке музыкальных инструментов)
и длины /.
— 40 —
2. Частоты собственных колебаний цилиндрического столба газа
в трубе с закрытыми концами и в трубе, один конец которой открыт,
соответственно равны [см. формулы A.47") и A.46')]:
и v = Bm—l
где / — длина трубы, v — скорость звука в газе и т=1, 2, 3, ... Пер-
Первая формула оказывается также справедливой и для случая трубы,
открытой с обоих концов, с той лишь разницей, что при этом на кон-
концах трубы будут не узлы, а пучности для скорости колебаний и сме-
смещения частиц газа. Таким образом, характерной особенностью ци-
цилиндрических столбов газа является то, что в них могут распростра-
распространяться только такие звуковые волны, частоты которых удовлетворяют
написанным выше соотношениям. Волны иных частот быстро затухают,
не вызывая практически никаких колебаний газа в
тр^бе. Иными словами, столбы газа в трубах пред-
представляют собой колебательные системы, имеющие впол-
вполне определенные дискретные спектры частот.
Поэтому они, подобно струнам, могут служить источ-
источниками тональных звуков. Такими же свойствами об-
обладают воздушные полости, имеющие формы конуса,
плавно расширяющегося раструба и т. д.
Звучание духовых музыкальных инструментов яв-
является результатом автоколебаний воздушных столбов,
заключенных в специальных полостях — резонаторах.
Эти колебания возбуждаются струей воздуха, проду-
продуваемого через инструмент, а их частота определяется
размерами колеблющегося столба воздуха. Тембр звука
(т. е. частоты и интенсивности обертонов) зависит от
формы резонатора и способа его возбуждения.
В качестве примера рассмотрим подробнее действие
органной трубы (рис. 2.6). Сжатый воздух поступает в трубу через пат-
патрубок О. Проходя через узкую щель А, струя воздуха ударяет в ребро
клинообразной кромки В бокового отверстия С в нижней части стенки
трубы и вызывает колебания заключенного в ней столба воздуха —
в тр)бе образуется стоячая волна. Давление р воздуха в трубе вблизи
ребра В колеблется с частотой стоячей волны. Поэтому направление
струи воздуха, выходящей из щели А, также колеблется с такой же
частотой. Если р меньше давления р„ вне трубы, то струя отклоняется
вправо от ребра В, а при р>р0— влево от ребра В. Легко видеть, что
силовое действие такой струи на колеблющийся в трубе столб воздуха
автоматически поддерживает эти колебания. Поэтому органная труба
представляет собой автоколебательную систему (см.
т. II, §22.4).
3. Своеобразный духовой инструмент представляют органы речи человека.
Резонаторами в них служат полости глотки, рта и носа, через которые продувается
пульсирующий поток воздуха из легких. Эги пульсации возникают в результате
прохождения воздуха через щель между расположенными в гортани голосовыми
связками, совершающими автоколебания. Спектр частот пульсирующего потока воз-
воздуха достаточно разнообразен. Поэтому, изменяя размеры и форму указанных выше
— 41 —
резонаторов (за счет различного положения губ, языка и т. д.), мы можем произно-
произносить звуки, различающиеся по высоте тона и тембру.
4. Для получения звуков большой интенсивности используются сирены. Зву-
Звучание сирены является результатом периодического прерывания мощной струи сжа-
гого воздуха или пара при ее прохождении через отверстия в двух соосных дисках,
один из которых (статор) неподвижен, а другой (ротор) вращается. Если число от-
отверстий, равномерно распределенных по окружности каждого диска, равно N, а уг-
угловая скорость вращения ротора со, то частота звука сирены v=jVco/Bjt). Ротор
вращается при помощи электромотора либо под действием самой струи воздуха или
пара. Сирена второго типа, по существу, представляет собой небольшую турбину.
Сирены широко применяются для сигнализации в железнодорожном и морском тран-
транспорте, МПВО и т. д. Частоту звука сирены можно плавно изменять, меняя угловую
скорость вращения ротора. Быстроходные сирены применяются в качестве мощных
источников ультразвуков в воздухе.
5. Большую роль в современной технике играют электроакустиче-
электроакустические излучатели — телефоны и громкоговорители, в которых электри-
электрические колебания преобразуются в механические колебания тонких
металлических пластин (мембрана телефона) или бумажных диффу-
диффузоров.
Для высококачественного воспроизведения звуков во всем интер-
интервале частот, используемых в речи и музыке (приблизительно от 40
до 10 000 Гц), телефоны и громкоговорители не должны обладать
избирательной чувствительностью по отношению к колебаниям в
каком-либо диапазоне из указанных частот. Это достигается путем
максимального снижения частот свободных колебаний мембран теле-
телефонов и диффузоров громкоговорителей, а также увеличения коэффи-
коэффициента затухания этих колебаний. Особенно большие трудности
возникают в воспроизведении звуков низкой частоты: размеры диффу-
диффузоров малы по сравнению с длинами волн, соответствующих этим зву-
звукам. Поэтому при низкочастотных колебаниях диффузора значитель-
значительную роль играет процесс выравнивания давлений с обеих его сторон,
рассмотренный нами выше для камертона. Для увеличения мощности
излучения громкоговорителем звуков низкой частоты его устанавли-
устанавливают внутри закрытого ящика таким образом, чтобы широкий конец
диффузора совпал со сделанным по его форме вырезом в стенке ящика.
§ 2.4. Ультразвук
1. Для генерирования ультразвуковых волн используются
главным образом пьезоэлектрические и магнитострикционные излуча-
излучатели. Действие пьезоэлектрического излучателя основано на явлении
обратного пьезоэлектрического эффекта (см. т. II, §6.5): тонкая
пластинка, вырезанная из кристалла пьезоэлектрика так, что ее
плоскость перпендикулярна электрической оси кристалла, совершает
вынужденные колебания в переменном электрическом поле. Если
частота колебаний поля соответствует условию резонанса, а амплитуда
напряженности поля велика, то амплитуда колебаний пластинки
также велика и в прилегающей к ней упругой среде пластинка воз-
возбуждает мощные ультразвуковые волны. Так, например, при колеба-
колебаниях в трансформаторном масле кварцевой пластинки площадью
10 см2 мощность излучаемых ею ультразвуковых волн может дости-
— 42 —
гать 400—500 Вт. В пьезоэлектрических излучателях применяют
пластинки, изготовленные из кварца, сегнетовои соли, специально
приготовленного поликристаллического титаната бария, называемого
керамикой титаната бария, и других пьезоэлектриков. Обратный
пьезоэффект у сегнетовои соли и керамики титаната бария значительно
больше, чем у кварца. Кроме того, кварцевые пластинки больших
размеров очень дороги. Однако пьезоэффект кварца почти не зависит
от температуры, а у сегнетовои соли он резко изменяется с повышением
температуры и полностью исчезает при 54°С. Влияние температуры
сильно сказывается также на свойствах керамики титаната бария.
Пьезоэлектрические излучатели применяют для генерирования ультра-
ультразвуков с частотами до 50- 10е Гц E0 МГц).
2. Магннтострикционные излучатели применяют для получения
низкочастотных ультразвуков (до 200 кГц). Их действие основано
па явлении магнитострикции — изменении линейных размеров ферро-
ферромагнитных тел в магнитном поле. Простейший излучатель такого типа
представляет собой ферромагнитный стержень, являющийся сердеч-
сердечником соленоида. При пропускании через обмотку соленоида перемен-
переменного электрического тока длина стержня периодически изменяется
в соответствии с колебаниями индукции магнитного поля соленоида.
Для увеличения амплитуды этих колебаний, так же как в пьезоэлект-
пьезоэлектрических излучателях, используется явление механического резо-
резонанса.
3. Для регистрации и анализа ультразвуков применяются пьезо-
пьезоэлектрические и магнитострикционные датчики (преобразователи).
Действие первых основано на прямом пьезоэлектрическом эффекте:
если пластинку, вырезанную из кристалла пьезоэлектрика так, что
ее плоскость перпендикулярна электрической оси кристалла, сжимать
или растягивать вдоль этой оси, то пластинка поляризуется. На ее
гранях, нормальных к направлению деформации, возникают разно-
разноименные поляризационные заряды, числовые значения которых зави-
зависят от величины деформации, а знаки противоположны при деформа-
деформациях сжатия и растяжения (см. т. II, § 6.5). Таким образом, измеряя
колебания разности потенциалов между гранями пластинки, можно
судить о значениях частоты и амплитуды действующей на нее ультра-
ультразвуковой волны.
Магнитострикционные датчики основаны на обратимости явления
магншострикции: если ферромагнитный стержень деформировать,
то его намагниченность изменяется. Эти изменения зависят от вели-
величины деформации и ее вида (растяжение, сжатие). Поэтому перемен-
переменная деформация ферромагнитного стержня, подвергающегося действию
ультразвуковых волн, вызывает появление переменной э. д. с. элек-
электромагнитной индукции в обмотке катушки, надетой на стержень.
Для измерения среднеквадратичного звукового давления рзф и ин-
интенсивности / ультразвуковых волн применяют ряд методов. Один
из них — тепловой — основан на нагревании ультразвуком тел,
изготовленных/из звукопоглощающих материалов (вара, смолы).
4. Ультразвуковые волны обладают рядом специфических свойств.
Важнейшая их особенность состоит в том, что, подобно свету, Они
— 43 —
мог)'Т излучаться в виде узких направленных пучков, называемых
ультразвуковыми лучами. Это свойство является результатом малости
длины ультразвуковой волны (см. § 6.1, п. 3). Отражение и преломле-
преломление ультразвуковых лучей на границе раздела двух сред происходит
по законам геометрической оптики, установленным для световых лу-
лучей. Поэтому для изменения направления распространения и фокуси-
фокусирования ультразвуковых лучей применяют зеркала различной формы,
звуковые линзы, призмы и другие устройства, действие которых на
ультразвуковые лучи подобно действию на световые лучи одноименных
с ними оптических устройств. Звуковые линзы изготавливают из мате-
материалов, в которых скорость ультразвука отлична от его скорости
в той среде, для работы в которой они предназначены. Так, например,
звуковые линзы, предназначенные для жидких сред, изготавливают из
пластмасс. Так же как в оптике, к звуковым зеркалам и линзам предъ-
предъявляются прямо противоположные требования. Зеркала должны воз-
возможно полнее отражать ультразвуковые волны. Поэтому волновое
сопротивление p2fa материала зеркала должно быть во много раз
больше волнового сопротивления ptv± среды: у = —2 $>> 1 (см. §1.5,
РА
п. 8). Звуковые линзы, наоборот, должны быть возможно более «про-
«прозрачными» для ультразвука. Поэтому их нужно изготавливать из
веществ, волновые сопротивления которых близки к волновому сопро-
сопротивлению среды (y~1)- Двояковыпуклая или плосковыпуклая звуко-
звуковая линза является собирающей, если ее относительный показатель
преломления п21=~- > 1, и рассеивающей, если п2г<1. Двояковогну-
Двояковогнутая или плосковогнутая звуковая линза обладает противоположными
свойствами: при n2i>l она является рассеивающей, а при п21<1 —
собирающей.
5. На законе прямолинейного распространения ультразвуковых
волн основаны такие технически важные применения их, как ультра-
ультразвуковая локация и дефектоскопия. Принцип ультразвуковой локации
состоит в следующем. Источник ультразвука излучает короткий сиг-
сигнал, распространяющийся в определенном направлении до тех пор,
пока на его пути не встретится какое-либо препятствие, при отражении
от которого образуется эхо-сигнал, распространяющийся в обратном
направлении. Измеряя промежуток времени At между моментом по-
посылки сигнала источником и моментом возвращения эхо-сигнала,
можно определить расстояние / от источника сигнала до препятствия:
I =-а-»где v — скорость ультразвука в среде.
По изменению частоты эхо-сигнала, обусловленному эффектом
Доплера, можно определить значение и направление так называемой
лучевой скорости движущегося препятствия — составляю-
составляющей его скорости вдоль направления распространения сигнала.
Ультразвуковые гидролокаторы широко применяются для измерения
глубин моря, обнаружения подводных лодок, крупных косяков рыб
и т. д.
Ультразвуковая локация в воздухе практически невозможна из-за
_ 44 —
чрезвычайно сильного затухания ультразвуковых волн. Так, напри-
например, для волн с частотой 100 кГц амплитуда звукового давления в воз-
воздухе убывает в 100 раз на каждые 10 м расстояния от источника волн.
Применение ультразвука для обнаружения внутренних дефектов
(раковин, трещин, неоднородности структуры) в твердых телах впер-
впервые было осуществлено С. Я. Соколовым в 1928 г. В настоящее время
существует несколько различных типов ультразвуковых дефектоско-
дефектоскопов. Втеневом дефектоскопе источник и приемник ультразвуко-
ультразвукового луча располагаются напротив друг друга с противоположных
сторон исследуемого тела. Внутренние дефекты в теле вызывают рас-
рассеяние ультразвука и образуют «звуковую тень». Поэтому интенсив-
интенсивность луча, прошедшего через такое тело, меньше интенсивности луча,
прошедшего через аналогичное тело, не содержащее внутренних де-
дефектов. «Просвечивая» тело ультразвуком в различных местах и
направлениях, можно выяснить форму, размеры и расположение
этих дефектов. Однако мелкие раковины и трещины не дают резкой
тени, и их обнаружение таким способом затруднительно.
Более совершенен импульсный дефектоскоп, который по
принципу действия подобен ультразвуковому локатору: обнаружение
внутренних дефектов в теле производится по поступающим от них
эхо-сигналам. Расстояние от поверхности тела, на которой установлен
источник коротких ультразвуковых сигналов, до внутренней рако-
раковины, трещины и т. д. определяется по продолжительности проме-
промежутка времени между отправкой сигнала и приходом эхо-сигнала.
Ввиду невозможности регистрации очень коротких промежутков
времени между сигналом и эхо-сигналом импульсный дефектоскоп
непригоден для «просвечивания»-тонких деталей и обнаружения де-
дефектов, расположенных вблизи поверхности детали. В этих случаях
применяют резонансный дефектоскоп. Его действие основано
на образовании в исследуемом теле стоячих ультразвуковых волн.
Источник ультразвука, частота которого периодически изменяется,
плотно прижимается к поверхности исследуемого тела, например
к стенке трубы толщиной /. В тех случаях, когда на отрезке / уклады-
укладывается целое число половин длины волны ультразвука, в стенке трубы
образуется стоячая волна и возникает явление резонанса, приводящее
к изменению амплитуды колебаний источника ультразвука. Частоты
ультразвука, соответствующие условию резонанса, равны
v = ^-m (m=l, 2, 3, ...),
где v — скорость ультразвука в материале стенки. Если внутри стенки
трубы имеются раковины или трещины, то ультразвуковые волны
отражаются не только от внутренней поверхности трубы, но и от
поверхностей дефектов. Поэтому появляются добавочные резонансные
частоты.
Описанный выше принцип используется также в ультразвуковых
приборах, применяемых для измерения толщины стенок трубопрово-
трубопроводов (без их разборки), слоя накипи и т. д.
— 45 —
6. Амплитуды скорости и ускорения колебательного движения
частиц среды при распространении в ней ультразвуковых волн, а
также амплитуда звукового давления в среде во много раз больше,
чем в случае слышимых звуковых волн. В этом состоит вторая особен-
особенность ультразвуковых волн, также являющаяся результатом малости
их длины (большой частоты). Так, например, при интенсивности
ультразвука 40 Вт/см2, которую можно осуществить в воде с помощью
кварцевого излучателя, амплитуда звукового давления достигает
1 МПа A0 атм), а амплитуда ускорения частиц (при частоте v = l МГц)
равна 4,8-106 м/с2. Однако и эти цифры не являются пределом. Их
можно значительно увеличить, концентрируя ультразвуковые лучи
в небольших областях среды с помощью собирательных звуковых
линз.
Благодаря большой амплитуде звукового давления, создаваемого
мощными ультразвуками, в жидкости возникает кавитация —■ непре-
непрерывно образуются и исчезают внутренние разрывы. Исчезновение раз-
разрывов сплошности жидкости сопровождается кратковременным воз-
возрастанием давления до многих сотен атмосфер. Ультразвуки обладают
в связи с этим дробящим действием — они разрушают находящиеся
в жидкости твердые тела, микроорганизмы, сложные молекулы и
т. д. Дробящее действие ультразвуков широко применяют для осу-
осуществления и ускорения различных технологических процессов:
образования эмульсий и суспензий, снятия пленок окислов (напри-
(например, с поверхности алюминиевых деталей, благодаря чему возникает
возможность их пайки), для удаления нагара и обезжиривания по-
поверхностей деталей, размельчения зерен фотоэмульсии, стерили-
стерилизации жидкостей. Разрушающее действие ультразвука на поверх-
поверхность твердых тел заметно увеличивается при введении в жидкость
мелких абразивных частиц. Это явление используют для ультразву-
ультразвукового «сверления» отверстий различной формы в стекле, керамике,
сверхтвердых сплавах. Для этой цели применяют источники ультра-
ультразвука (ультразвуковые вибраторы), наконечники которых имеют ту же
форму, какую нужно придать отверстию в обрабатываемом изделии.
В легкой промышленности ультразвук применяют для ускорения
процесса крашения и улучшения прокрашиваемости ткани, для уско-
ускорения дубления и некоторых других процессов обработки кожи. Уль-
Ультразвуки вызывают коагуляцию аэрозолей. Поэтому они являются
весьма эффективным средством улавливания мельчайших частиц
дыма, проходящих через обычные фильтры.
7. Ультразвук широко используют также и в научных исследова-
исследованиях. Эксперименты по распространению и поглощению ультразву-
ультразвуковых волн в газах, жидкостях и твердых телах позволяют получить
ценную информацию относительно термодинамических свойств и
строения вещества, а также характера межмолекулярного взаимо-
взаимодействия и кинетики молекулярных процессов. Таким образом, могут
быть, например, определены теплоемкость вещества, константы, ха-
характеризующие упругость и вязкость вещества, и т. д. На этой основе
возник раздел физики, названный молекулярной акустикой.
— 46 —
§ 2.5. Ударные волны
1. Слышимые звуковые волны в воздухе, как видно
из табл. 2.1, связаны со сравнительно малыми колебаниями его дав-
давления: максимальное значение амплитуды звукового давления не
превышает нескольких тысячных долей атмосферы. Поэтому такие
волны являются примером распространения в воздухе слабых
возмущений. Однако в ряде практически важных случаев
приходится иметь дело с сильными возмущениями, распространяю-
распространяющимися в газах, жидкостях и твердых телах в виде так называемых
ударных волн. Сильные возмущения возникают, например, при взры-
взрывах; при детонационном сгорании, т. е. химическом пре-
превращении вещества или смеси веществ, которое сопровождается выде-
выделением теплоты, причем скорость распространения превращения
больше скорости звука в этой среде 1; при движении в воздухе тел
(снарядов, ракет, современных самолетов), обладающих сверхзвуко-
сверхзвуковой скоростью; при внезапном торможении движущейся в трубопро-
трубопроводе жидкости (гидравлический удар) и т. д.
2. Теория сильных возмущений и ударных волн, базирующаяся
на гидро- и газодинамике, термодинамике, кинетике химических
процессов и других разделах физики и химии, достаточно сложна
и выходит далеко за рамки нашего курса. Поэтому ограничимся рас-
рассмотрением только механизма образования и некоторых свойств
ударных волн в газах.
Возникновение ударной волны можно пояснить на примере дейст-
действия подвижного поршня на газ, заключенный внутри длинной ци-
цилиндрической трубы. Пусть вначале поршень и газ неподвижны,
причем давление, плотность и температура во всех частях газа оди-
одинаковы. Если затем равноускоренно вдвигать поршень внутрь трубы,
то равновесное состояние газа нарушается: давление перед поршнем
повышается, и в газе начинают распространяться волны сжатия.
Очевидно, что интенсивность этих волн вблизи поршня тем больше,
чем больше его ускорение. Однако ударная волна может возникать
даже при сравнительно небольших ускорениях поршня, когда каждая
из волн сжатия, последовательно возбуждаемых поршнем при увели-
увеличении его скорости, представляет собой слабое возмущение
давления, распространяющееся в газе со скоростью звука. Дело в том,
что возмущающее действие поршня на газ вызывает появление так
называемого спутного движения — упорядоченного движения моле-
молекул газа, направление которого совпадает с направлением распрост-
распространения волн сжатия, а скорость увеличивается при ускорении дви-
движения поршня. Кроме того, благодаря малой теплопроводности газа
с увеличением скорости поршня возрастает не только давление газа,
но и его температура и пропорциональная ей скорость звука. Вследст-
Вследствие этих причин каждая следующая волна сжатия, возбуждаемая
в газе поршнем, движется быстрее предыдущей. Поэтому, нагоняя
1 В теории сильных возмущений скоростью звука в какой-либо среде называют
скорость распространения в ней слабых возмущений.
— 47 —
друг друга, они взаимно усиливаются и образуют одну мощную ре-
результирующую волну, действие которой на невозмущенный газ по-
подобно удару — она вызывает почти мгновенное повышение давления
газа на конечную величину, вследствие чего эта волна и получила
название ударной волны или скачка уплотнения. Очевидно, что ин-
интенсивность ударной волны должна возрастать с увеличением уско-
ускорения поршня и уменьшением затухания упругих волн в газе, вызы-
вызываемого явлениями внутреннего трения и теплопроводности.
3. Иная картина наблюдается при движении поршня в противо-
противоположном направлении, соответствующем возбуждению в газе волн
разрежения. В этом случае направление спутного движения
газа противоположно направлению распространения волн, а скорость
звука в газе уменьшается по мере понижения его давления за поршнем.
Поэтому последовательные волны разрежения отстают друг от
друга, так что градиент давления в газе, возмущенном поршнем, по-
постепенно уменьшается. Иными словами, происходит постепенное
«размазывание» границы между возмущенным и невозмущенным газом.
4. Найдем выражения для скоростей плоской ударной волиы (иу) и спутного
движения газа (иг). Примем для определенности, что фронт АВ ударной волны рас-
распространяется в неподвижном невозмущенном газе слева направо (рис. 2.7, а). Обоз-
1 начим давление, плотность и темпера-
Щ д туру невозмущениого газа соответст-
соответственно через ръ рг и Tlt а значения
> n n т тех же параметров состояния воэму-
n>i1''i щенного газа — через р2, р2 и Тг. Рас-
о пределение давления вдоль оси ОХ, сов-
совпадающей с направлением распростра-
распространения ударной волны, показано на
рис. 2.7, б. Аналогичный вид имеют
распределения плотности газа и его
температуры. Удобнее воспользоваться
у системой отсчета, движущейся вместе
О с фронтом ударной волны. По отноше-
отношению к этой системе (рис. 2.7, в) невоз-
1 мущенный газ движется справа налево
I со скоростью Vj=—Vy, возмущенный
I Р, Pj Ъ газ Движется в том же направлении со
скоростью v2=— (Vy— vr)=vr—vy, a
2' g /' фронт АВ ударной волны представляет
собой неподвижный плоский скачок
^ис> 2-7 уплотнения. Числовые значения ско-
скоростей Vj и v2 равны:
»i=V v2 = vy — vr. B.9)
Проведем справа и слева от плоскости АВ параллельные ей плоскости 1—/' и
2—2'. В случае установившегося процесса масса газа в объеме между сечениями
/—Г и 2—2' не должна изменяться с течением времени. Поэтому масса газа yjp1;
поступающего в этот объем за единицу времени сквозь единщу площади сечения 1—/',
равна массе газа УаРг. уходящего из этого объема за то же время сквозь единицу пло-
площади сечения 2—2': t'iPi=i'2p2, или
OyPi=(t'y—i>r)Pi. B.10)
По второму закону Ньютона, изменение импульса любого тела (в том числе и
газообразного) равно импульсу действующей на него внешней силы. Изменение им-
импульса газа, проходящего сквозь единицу площади поверхности АВ за единицу вре-
времени, численно равно fiPi(f2—v^=—OypiCr. Оно обусловлеЕю различием сил дав-
— 48 —
ления по обе стороны плоскости АВ, причем результирующая сила давления, отне-
отнесенная к единице площади поверхности АВ, численно равна р\—р2, а импульс этой
силы за единицу времени численно равен ей самой. Таким образом, на основании
второго закона Ньютона можно написать следующее равенство:
pa —/?i. B.11)
Совместное решение уравнений B.10) и B.11) приводит к следующим выраже-
выражениям для скоростей плоской ударной волны и спутного движения газа, вызываемого
этой волной:
P2~Pl Pl
B.12)
i/(p,-Pi)(P»-Pi) BЛЗ)
Г Plp2
Для идеального газа эти формулы можно несколько преобразовать, если учесть,
что скорость .звука в невозмущенном газе
Тогда
B.12')
5. Наиболее мощными являются ударные волны, возникающие
в результате резкого возрастания давления при взрывах обычных
взрывчатых веществ и особенно при взрывах атомных и термоядерных
бомб. Достаточно сказать, что в момент взрыва термоядерной бомбы
давление в зоне ядерной реакции достигает десятков миллиардов ат-
атмосфер, а температура — десятков миллионов градусов! По мере
удаления ударной волны от центра взрыва ее интенсивность и скорость
распространения постепенно уменьшаются.
Неизмеримо более слабые ударные волны образуются в воздухе
при движении пуль, снарядов, ракет, сверхскоростных самолетов
и других тел, скорость которых больше скорости звука. Интенсивность
этих волн зависит от скорости и формы тела. Так, например, при про-
прочих равных условиях тела, имеющие форму конуса или клина, воз-
возбуждают более слабые ударные волны, чем тела с плавно скругленной
(тупой) лобовой поверхностью. При постоянной скорости движения
тела порождаемая им ударная волна перемещается с той же скоростью,
так что расположение ее фронта по отношению к телу не изменяется.
Для возбуждения ударных волн в воздухе нужно затрачивать энергию. Следо-
Следовательно, этот процесс должен сопровождаться возникновением дополнительного
сопротивления воздушной среды движению тела, называемого в аэродинамике вол-
волновым сопротивлением тела. При движении тел со сверхзвуковыми скоростями вол-
волновое сопротивление во много раз больше обычного сопротивления, обусловленного
вязкостью воздуха и называемого сопротивлением трения. Однако роль волнового
сопротивления весьма существенна и при больших дозвуковых скоростях. Это свя-
связано с тем, что местная скорость воздуха, обтекающего выпуклую поверхность, мо-
может значительно превышать скорость движения тела. Поэтому при достаточно боль-
большой дозвуковой скорости тела около его поверхности образуется область сверхзву-
сверхзвукового течения, в которой возникают слабые ударные волны, вызывающие заметное
увеличение сопротивления.
да
глава III
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 3.1. Некоторые свойства электромагнитных волн
1. В гл. XXI второго тома изложены основы теории
электромагнитных явлений, базирующейся на уравнениях Максвелла.
Там же показано, что переменное электрическое поле обуслов-
обусловливает возникновение магнитного поля, а переменное магнитное
поле — возникновение вихревого электрического поля. Таким об-
образом, переменные электрическое и магнитное поля тесно взаимосвя-
взаимосвязаны, они образуют единое электромагнитное поле. Это поле принято
характеризовать двумя векторами — электрической напряженности Е
и магнитной индукции В. Связь между Е и В, а также их зависимость
от координат и времени определяются системой дифференци-
дифференциальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Эти
уравнения можно получить из интегральных уравнений Максвелла,
рассмотренных во втором томе, если воспользоваться теоремами
Стокса и Остроградского — Гаусса о преобразовании интегралов по
замкнутому контуру L и замкнутой поверхности S в интегралы
соответственно по поверхности, ограниченной контуром L, и по объему,
ограниченному поверхностью S.
Для области электромагнитного поля, не содержащей свободных зарядов и ма-
макроскопических токов (проводимости и конвекционных), интегральные уравнения
Л1аксвелла имеют такой вид:
где D — вектор электрического смещения, Н — вектор напряженности магнитного
поля. В первых двух уравнениях интегрирование производится по произвольному
неподвижному замкнутому контуру L и по неподвижной поверхности S, «натянутой»
на контур L "(ограниченной этим контуром), а в третьем и четвертом уравнениях —
по произвольной неподвижной замкнутой поверхности S.
По теореме Стокса, циркуляция вектора а вдоль замкнутого контура L равна по-
потоку вектора rot а сквозь поверхность S, ограниченную этим контуром:
<£ a d\ = С rot a dS,
L S
(даг дау\ /да даЛ. . /<Ч да Л
где rota= -г——%- i + -т^— -т-2 J +1 -д г^ к
\ду дг J [ \ дг дх J \дх ду J
— ротор вектора ъ=ах\~{-ау)-\-агк. Таким образом, первые два уравнения Максвелла
можно переписать в форме
= 0 и
— 50 -
Так как контур L и ограниченная им поверхность S выбираются совершенно
произвольно, то равенство нулю этих интегралов возможно только при условии, что
rotE+^ = 0 и rotH-f-=0,
т, е.
rotE=—тг- , rotH=Tr-.
Это первые два дифференциальных уравнения Максвелла.
По теореме Остроградского — Гаусса, поток вектора а сквозь замкнутую по-
поверхность S равен интегралу от div а по всему объему V, ограниченному этой по-
поверхностью:
£
arfS =
s v
,. дах , "ау , да, „
где div а=-^-{~~д—г"^— дивергенция вектора а. Следовательно, третье и
четвертое уравнения Максвелла можно переписать в виде
Поверхность S и объем V, ею ограниченный, выбираются совершенно произволь-
произвольно. Поэтому равенство нулю этих интегралов возможно только при условии, что
divD=0 и divB = 0.
Для электромагнитного поля в однородной, изотропной и непроводящей среде,
не обладающей сегнетоэлектрическнми или ферромагнитными свойствами,
и В =
где So и \ла— электрическая и магнитная постоянные, а в и \к — относительные диэлек-
диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, не зависящие ни от координат, ни от
времени. В этом случае дифференциальные уравнения Максвелла имеют вид
j
divE = 0, divH = 0, J
или
дЕг SEy дН дн dHv дЕ
ду дг ~ №о т . ду дг — 8Е0 т
дЕх_дЕ^_ Щ, дНх QUZ дЕу
дг дх ~ Wo dt ' 1Г ~дГ~Ее° dt
IE у дЕх дНг Щ, дНх дЕг i3A)
ах ду ~~ Wo dt ' дх ду ° dt '
дЕх , дЕу дЕ дИ dtlv 5Яг „
dT^ ду ^ дг -"• дГ^ду^^дГ-"-
2. Из уравнений Максвелла следует, что напряженности Е и Н
переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому урав-
уравнению (см. §1.3, п. 14):
— 51 —
или
дя„
С2
С2 ^2 —"» "";/ С2 ^2 —"> ""г С2 5^2 —">
где с= 1/}/ео[хо = 3-108 м/с— электродинамическая постоянная, а £х,
Ev, Ег, Нх, Ну, Hz — проекции векторов Е и Н на оси прямоугольной
декартовой системы координат.
В самом деле, из первого уравнения второго столбца (З.Г) следует, что
сг/2£*= д ( днг дну\ д ( дНг
dt\dy dz J~dy\ di J dz\ dt
dHv
Подставив значения - и —~-— из второго и третьего уравнении первого столб-
столбца C.1'), получим
д (дЕя dEz\ dfdEv
f
dz дх I ду \ дх
дЕЛ1
ду J J ~
№ I dif ^ 5г2 дх\ ду ^ dz }
Из четвертого уравнения первого столбца C.1') видно, что-^ 1—-^= -т^
поэтому
ЗгЕ
т. е. Ех удовлетворяет волновому уравнению. Аналогично можно доказать, что вол-
волновому уравнению удовлетворяют также Еу, Ez, Нх, Ну и Hz.
Таким образом, переменное электромагнитное поле распростра-
распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны. Фазовая ско-
скорость электромагнитной волны
y = c/l/iJT, C.2)
где в и )i — относительные диэлектрическая и магнитная проницае-
проницаемости среды. Для вакуума е=^= 1 и v=c. Следовательно, электродина-
электродинамическая постоянная представляет собой скорость распространения
электромагнитных волн в вакууме. С другой стороны, она совпадает
со скоростью света в вакууме. Это навело Максвелла на мысль об
электромагнитной природе света.
Относительные магнитные проницаемости всех неферромагнит-
неферромагнитных сред, т. е. диа- и парамагнетиков, очень мало отличаются от еди-
единицы. Поэтому с большой степенью точности можно считать, что в та-
таких средах фазовая скорость электромагнитных волн
v = cIVb. C.2')
В гл. VII показано, что относительная диэлектрическая проницае-
проницаемость любой среды, находящейся в переменном электрическом поле,
зависит от частоты колебаний этого поля. Следовательно, во всех
средах должно наблюдаться явление дисперсии электромагнитных
волн, т. е. зависимости их фазовой скорости от частоты. Дисперсия
— 52 —
отсутствует только в вакууме, для которого е не зависит от частоты и
всегда равна единице.
3. Из уравнений Максвелла вытекает также вывод о том, что век-
векторы Е и Н электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны.
Кроме того, они лежат в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны, т. е. ^_ »
вектору v скорости волны. Сле-
Следовательно, электромагнитные
волны являются поперечными.
Взаимная ориентация тройки ^ а >- у v
векторов Е, Н и v удовлетво-
удовлетворяет следующему правилу: из ■
конца вектора v вращение от Е "
к Н по кратчайшему расстоянию Рис 3.1
видно происходящим против
часовой стрелки (рис. 3.1). Иными словами, вектор v по направ-
направлению совпадает с векторным произведением Е на Н:
v = ^[EH]. C.3)
Докажем поперечность электромагнитных волн и взаимную перпендикулярность
векторов Е и Н на примере плоской волны, распространяющейся вдоль положитель-
положительного направления оси ОХ. В этом случае векторы Е и Н н их проекции на оси коор-
координат зависят от координаты х и времени t, т. е.
/?Р f)F дЕ„ дЕ„ PiF rip
VCjY VE'Y У У V^z VE-Z ^
ду
дНх
дг
дНх
ду
дН,
дг '
дНу
ду
дН,
дг
дНг
ду дг ду дг ду дг
Поэтому из первых и четвертых уравнений обоих столбцов C.1') следует, что
дЕ* Л dtfv- „ дЕ~ п дНг
—■ П и с\' Л 11 и — (л
дх дх ' dt dt ~
Иными словами, Ех н Нх не зависят ни от координат, пи от времени. Такое ста-
стационарное однородное поле не имеет никакого отношения к электромагнитным вол-
волнам, поле которых заведомо нестационарно и неоднородно. Таким образом, для поля
плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, Ех—Нх—Ъ, т. е.
и н = ;
Колебания Е и Н в точках плоскости jc=const отстают по времени от колебаний
тех же векторов в точках плоскости х=0 на xlv, где v — скорость волны. Поэтому Е и
Н зависят от комбинации t и х вида (t—xlv):
Ey=fi(t—xlv), Ez = f2(t—x/v),
Hv=(fi(t-x/v),
Обозначим t—xlv=\, тогда
dt ~ dl ' дх
дНу ^фг dHv
1
V
1 1
V
dfi
dl
dEz
' dt "
дНг
' dt
63 —
dfv
dl '
41 '
dEz
дх
дх ~
1
V
1
V
dh
dl '
Подставив эти значения производных во второе и третье уравнения первого столб-
столбца C.1'), получим
1 df-i Api I dfi dq>2
U"dJ~~'Ml0'dT и Т~3% -Wl°"df '
I
или, учитывая, что V =-
ee0 d\
Интегрируя по Е, найдем1
2 „ /2=_
Из этих формул видно, что векторы Е и Н взаимно перпендикулярны:
ЕН =/1ф1+/2ф2= ]/^ (Ф1ф2-Ф!ф2) = 0.
Легко видеть, что v, E и И — правая тройка взаимно перпендикулярных векто-
векторов. Действительно, если E=EV], то Н=//гк, причем если Еу>0, то и
Итак, из дифференциальных уравнений Максвелла следует, что
для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного
направления оси ОХ,
ЕН 0
д Ez = f2{t-xjv),
причем
Я„ = — V^-Е, и Яг= \f^-Ev. C.4)
Так как Н = УЩ + Щ и Е = УЩ+Ё1, то
Vw~0H = V^aE. C.5)
Таким образом, взаимно перпендикулярные векторы Е и Н ко-
колеблются в одной фазе — они одновременно обращаются в нуль и
одновременно достигают максимальных значений. Соотношение C.5),
полученное для плоской волны, справедливо для любой бегущей, элект-
электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей.
4. Синусоидальная электромагнитная волна называется монохро-
монохроматической волной. В каждой точке электромагнитного поля монохро-
монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат инерци-
альной системы отсчета совершают гармонические колебания одина-
одинаковой частоты v, называемой частотой волны. Так, например, в поле
плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль поло-
1 Постоянные интегрирования следует положить равными нулю, так как векторы
Е и Н и их проекции на оси координат для переменного поля плоской волны
не могут содержать постоянных составляющих, не зависящих от l=t—x!v,
— 54 —
жительного направления оси ОХ 1см. уравнение A.14)],
Еп = А1 sin [at —кх + ах), C.6)
Ez = A2 sin ((ot—кх+а2),
где © — циклическая частота волны, к=со/и — волновое число. За-
Зависимости Ну и Нг от t и х, соответствующие уравнениям C.6), можно
определить с помощью формул C.4).
В общем случае конец вектора Е в каждой точке поля описывает
эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси ОХ. Уравнение
этого эллипса можно получить, исключив из системы C.6) величину
a>t—кх:
—•г. £2 2F Е
f + ft(,-a1) = sin«(o.-a1). C.6')
Конец вектора Н также описывает эллипс, лежащий в той же
плоскости, но повернутый вокруг оси ОХ на угол я/2. Такая плоская
электромагнитная волна называется эллиптически-поляризованной.
Если амплитуды Аг и Л2 одинаковы, а а2—а1==Bт + 1)у (т=0;
±1; ±2;...), то эллипсы для Е и Н превращаются в окружности. Та-
Такая волна называется циркулярно-поляризованной (поляризованной
по кругу). Наконец, если а2—ai=tnn(ni=0; ±1; ±2;...), то эллипсы
вырождаются в два взаимно перпендикулярных отрезка прямых.
Такая волна называется линейно-поляризованной (плоскополяризо-
ванная волна). В линейно-поляризованной волне векторы Е во всех
точках поля колеблются, оставаясь параллельными некоторому опре-
определенному направлению. Если ось OY прямоугольной декартовой сис-
системы координат проведена вдоль этого направления, то
F —о н — 0 и Я —
Следовательно, для линейно-поляризованной плоской монохрома-
монохроматической волны
Ey = Eus\x\{<x>t—/сх + а), C.7)
Hz — Яо sin (cot—кх + а),
где Еа — амплитуда напряженности электрического поля волны
(£0=|Е|макс) и Нй = У еео/(ц[хо) Ео — амплитуда напряженности маг-
магнитного поля волны (Но= |Н |макс), а — начальная фаза колебаний Еу
и Hz в точках координатной плоскости YOZ(x=0). Плоскость, про-
проведенная через вектор Е и вектор v скорости распространения волны в
данной точке поля, называется плоскостью колебаний волны (плос-
(плоскость X0Y на рис. 3.2). Плоскость, проведенная через векторы Н и v,
называется плоскостью поляризации волны (плоскость XOZ на
рис. 3.2)х. Очевидно, что эти понятия применимы только для линейно-
поляризованных волн.
1 Согласно последним рекомендациям Комитета научно-технической терминоло-
терминологии АН СССР, плоскость, проходящая через векторы Е и v, называется плоскостью
поляризации волны. Соответственно плоскость, проходящая через векторы Н и v,
не имеет специального наименования, а термин «плоскость колебаний» упразднен.
- 55 -
5. Электромагнитное поле обладает энергией. Поэтому распро-
распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии в
поле, подобно тому, как распространение упругих волн в веществе
связано с переносом механической энергии. Вектор Р плотности по-
потока энергии электромагнитных волн называется вектором Умова —
Пойнтинга. Для плоской или сфери-
сферической волны он выражается форму-
формулой, аналогичной A.23'):
Р = ши, C.8)
где w — объемная плотность энергии
электромагнитного поля волны, аи —
вектор групповой скорости волны.
Во втором томе было показано (см.
§ 7.1 и 19.6), что объемные плотности
энергии электрического w0 и магнит-
магнитного wm полей соответственно равны:
Рис. 3.2
we =
и wm =
Следовательно,
w = we -f wm =
C.9)
Для монохроматической волны групповая скорость и равна фазо-
фазовой скорости v волны (см. § 1.3, п. 7). Поэтому на основании равенств
C.5) и C.2)
w=y &гв]х\к0ЕН = —tli, Р = —v. C.9)
Подставив значение v из формулы C.3), окончательно получим
следующее выражение для вектора Умова — Пойнтинга:
Р = [ЕН]. C.10)
6. Интенсивностью электромагнитной волны называется величина
I, численно равная энергии, которую переносит волна за единицу
времени сквозь единицу площади поверхности, перпендикулярной
направлению распространения волны. Так же как в случае акустичес-
акустических волн (см. § 2.1), интенсивность электромагнитной волны равна
модулю среднего значения вектора Умова — Пойнтинга за промежуток
времени, равный периоду Т полного колебания:
г
C.11)
Для линейно-поляризованной плоской монохроматической волны
из C.11) и C.7) следует, что
■ _ ' е И - — л/^±. £2
C.12)
так как за промежуток времени \t—T <sins(co£—кх+а)> — 1/2*
— 56 —
Основываясь на законе сохранения энергии, можно показать, что
в отсутствие поглощения интенсивность сферической электромагнит-
электромагнитной волны обратно пропорциональна квадрату расстояния г от центра
волны: /-~г-2. Соответственно амплитуды Ео и Но сферической моно-
монохроматической волны обратно пропорциональны г. £0~г-г и Н^г-1.
7. Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны
должны производить давление на встречающиеся на их пути тела.
По расчетам Максвелла, давление плоской волны пропорционально
объемной плотности w энергии электромагнитного
поля волньТ:
р=и>A+Я) cos2*, C.13) f.
где jR — коэффициент отражения, т. е. отношение ин-
интенсивности волны, отражаемой телом, к интенсив- i
ности падающей волны; I — угол между направле-
направлением распространения падающей волны и внутренней
нормалью к поверхности тела (угол падения).
Существование этого давления проще всего пояс- рИс. 3.3
нить для случая нормального падения (t=0) плоско-
поляризованной волны на плоскую поверхность металла (рис. 3.3).
Под действием электрического поля волны электроны в металле пере-
перемещаются в сторону, противоположную вектору Е (значительно более
массивные положительные ионы практически не реагируют на поле
волны, изменяющееся с большой частотой). Со стороны магнитного
поля на каждый электрон, движущийся со скоростью ve, действует
сила Лоренца ¥я~—е [veB]. Эти силы направлены внутрь металла
перпендикулярно его поверхности. Таким образом, электромагнитная
волна действительно должна производить давление на поверхность
металла.
§ 3.2. Излучение электромагнитных волн
1. В электродинамике доказывается, что электромагнит-
электромагнитные волны возбуждаются изменяющимися во времени электричес-
электрическими токами, а также отдельными движущимися электрическими
зарядами, ускорения которых отличны от нуля х. Процесс возбужде-
возбуждения электромагнитных волн электрической системой называется излу-
излучением электромагнитных волн, а сама система — излучающей систе-
системой. Электромагнитное поле волны называется полем излучения.
В качестве примера простейшей излучающей системы рассмотрим
линейный гармонический осциллятор — электрический диполь, элект-
электрический момент ре которого изменяется во времени по гармоническому
закону
ре=р0 sinco*, C.14)
где р0 — амплитуда вектора ре.
1 В § 7.5 показано, что при некоторых условиях заряженная частица, движущая-
движущаяся в среде равномерно и прямолинейно, также излучает электромагнитные волны.
- 57 —
Электрический момент диполя (см. т. II, § 2.2)
где i — вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды
диполя (плечо диполя), a q — абсолютное значение этих зарядов. По-
Поэтому изменение рв во времени может быть обусловлено тем, что либо q,
либо 1 является функцией времени.
Мгновенная мощность изучения диполя, как можно показать, вы-
выражается формулой
C.15)
2*-
блс
df*
В соответствии с формулой C.14)
Поэтому
jv—r" sirrcot. \Р1ч
блс
За промежуток времени, равный периоду Т колебания, средняя
мощность излучения диполя
C.18)
Излучение энергии диполем не одинаково в различных направле-
направлениях. Интенсивность излучения диполя в так называемой волновой
зоне, т. е. в точках пространства, отстоящих от диполя на расстоя-
расстояниях г, которые во много раз боль-
ше РазмеРа диполя и длины излу-
излучаемых им волн,
. sin* О
1
где и — угол между осью диполя
и рассматриваемым направлением
Рис- 3-4 излучения. Зависимость / от & при
фиксированном значении г, изоб-
изображенную в полярных координатах /, & (рис. 3.4), называют полярной
диаграммой направленности излучения диполя. Из этой диаграммы
видно, что диполь всего сильнее излучает в направлениях -&=я/2,
т. е. в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно
его оси. Вдоль своей оси (-&=0; я) диполь не излучает совсем.
2. Формула C.15) справедлива также для излучения произвольной
системы точечных электрических зарядов qu q2t..., qn, движущихся
с малыми скоростями (v^c). Если положение i-ro заряда определяется
радиус-вектором г,-, то электрический (дипольный) момент системы
— 58 —
зарядов
п
где at = -^— ускорение i-ro заряда.
В частности, для одного заряда q мощность излучения пропорцио-
пропорциональна произведению квадрата модуля его ускорения а на q3:
JV = ^|al'. C.19)
3. Рассмотренные выше результаты были использованы в прибли-
приближенной классической теории излучения атомов, согласно которой
это излучение обусловлено колебаниями электронов около их положе-
положений равновесия в атомах. Если электрон колеблется с циклической
частотой © и амплитудой 10, то, по формуле C.18), средняя мощность
излучения атома
gV/?, C.20)
где е — абсолютное значение заряда электрона.
В действительности свободные колебания электрона явля-
являются не гармоническими, а затухающими, так как энергия колебаний
расходуется на излучение. За время dt энергия электрона уменьшается
на величину
^e4ldt. C.21)
Механическая энергия электрона, масса которого tne, W=1/2me(a'il'o,
причем амплитуда затухающих колебаний (см. т. I, § 8.5)
где е — основание натуральных логарифмов, /Оо — амплитуда в на-
начальный момент времени £=0, $ — коэффициент затухания, б=рГ=
=2лр/со — логарифмический декремент затухания. Из последних
двух формул следует, что
dW = — 2§Г dt — — ~ W dt.
Сопоставляя эти выражения с C.21), находим
Промежуток времени т, за который амплитуда колебаний электрона
уменьшается в е раз, равен
_ 1 _ \2лспге
За это время электрон совершает а полных колебаний, причем
п = — = 6""<'
6 (Ломе2
- 59 -
Для электромагнитного излучения с длиной волны в вакууме
5>10-7м, соответствующей зеленому свету (ea=3,77'10lb c-1),
12-3,14-3-Ю8-9,1-10-31 _„„» ш_8
т —4-3,14-10-7-3,772-103»-1,6М0-звС С>
п 6-3.103.9,Ы0-31 . 351Q7
В классической теории излучения время т иногда называют средним
временем жизни излучающего атома, а также временем высвечивания.
В современной теории излучения (см. § 14.8) этому времени соответ-
соответствует среднее время жизни атома в возбужденном состоянии.
4. Электрическая система, в которой существует переменный
ток, создает в окружающем пространстве переменное электромагнит-
электромагнитное поле и, следовательно, в той или иной степени излучает электро-
электромагнитные волны. Однако если размеры системы малы по сравнению с
длиной волны %=2пс/а (частота колебаний тока невелика), то излуче-
излучение ничтожно мало. Это связано с тем, что при указанных условиях
ток в системе можно считать квазистационарным — в каждый момент
времени значения силы тока во всех частях системы практически оди-
одинаковы. Электромагнитные поля, создаваемые отдельными участками
системы с противоположными по направлению и равными токами,
взаимно ослабляют друг друга. Поэтому результирующее переменное
электромагнитное поле быстро ослабевает при удалении от системы,
т. е. эта система практически не излучает электромагнитных волн.
Например, промышленному переменному току с частотой v=50 Гц
соответствует длина волны X=c/v=6-106 м. Следовательно, потери на
излучение в линии передачи такого тока должны быть ничтожно малы,
даже если расстояние между проводами составляет несколько метров.
Для передачи высокочастотных токов применяют коаксиальные
кабели, состоящие из центрального провода, расположенного по оси
цилиндрического проводника и отделенного от него слоем диэлектри-
диэлектрика. Переменное электромагнитное поле коаксиального кабеля полно-
полностью локализовано внутри диэлектрика. Вне кабеля поля нет, следо-
следовательно, и нет потерь энергии на излучение.
Колебательный контур, состоящий дз конденсатора и катушки
индуктивности, тоже практически не излучает электромагнитных
волн. Это связано с тем, что переменное электромагнитное поле такого
контура остается все время почти полностью локализованным только
в пространстве между обкладками конденсатора и внутри соленоида.
5. Простейшим примером излучающей электрической системы мо-
может служить вибратор Герца, с помощью которого Г. Герц впервые
практически осуществил A888) генерирование электромагнитных волн
и тем самым экспериментально подтвердил правильность теории Мак-
Максвелла.
Вибратор Герца представлял собой металлический стержень с
двумя одинаковыми шарами А и В на концах и небольшим искровым
промежутком С посередине (рис. 3.5). Электроемкость вибратора в
основном определялась электроемкостями шаров, а индуктивность —
индуктивностью обеих половин стержня. Возбудителем электромагнит-
-60-
ных колебаний в вибраторе являлась индукционная катушка ИК,
провода от вторичной обмотки которой были подключены к искрово-
искровому промежутку. Когда переменное напряжение во вторичной обмотке
катушки достигало значения пробивного напряжения, то в искровом
промежутке проскакивала искра и обе половины вибратора замы-
замыкались между собой. В вибраторе возникали затухающие колебания
высокой частоты, сопровождающиеся излучением электромагнитных
волн. Частота колебаний определялась емкостью и индуктивностью
вибратора и в опытах Герца имела значение порядка 10е Гц, т. е.
во много раз превышала частоту колебаний напря- »
жения во вторичной обмотке индукционной катуш-
катушки. Для регистрации электромагнитных волн Герц
использовал резонатор в виде проволочного кольца
с искровым промежутком. В кольце под действием
поля волны возникали вынужденные электромаг-
электромагнитные колебания. Благодаря тому что собствен-
собственные частоты вибратора и резонатора были одина-
одинаковы, возникал электрический резонанс. Амплитуда вынужденных
колебаний в резонаторе была настолько велика, что колебания можно
было обнаружить либо по проскакиванию искры в его искровом
промежутке, либо по свечению небольшой газоразрядной трубки,
подключенной к искровому промежутку.
Вибратор Герца, размеры которого малы по сравнению с длиной
волны его излучения, подобен рассмотренному выше колеблющемуся
диполю. Разница состоит лишь в том, что электрический момент виб-
вибратора изменяется вследствие колебаний величины^ разноимен-
разноименных зарядов шаров А и В, а не расстояния между ними. Од-
Однако это различие несущественно для излучения. Поэтому все соот-
соотношения, установленные для излучения колеблющегося диполя, при-
применимы к излучению вибратора Герца, а сам вибратор часто называют
диполем Герца.
Если уменьшать размеры шаров Л и В, то электроемкость вибра-
вибратора также уменьшается, а частота электромагнитных колебаний
увеличивается. Таким образом Герцу удалось получить наиболее
коротковолновое электромагнитное излучение (АдабО см).
В 1895 г. П. Н. Лебедев сконструировал вибратор, состоявший
из двух кусочков платиновой проволоки длиной по 1,5 мм каждый,
и осуществил генерирование электромагнитных волн с Х—6 мм. На-
Наконец, в 1923 г. А. А. Глаголева-Аркадьева получила электромаг-
электромагнитные волны с К от 82 мкм(8,2-10~3 см) до нескольких сантиметров.
Она использовала для этого изобретенный ею массовый излучатель,
в котором роль миниатюрных вибраторов играли мелкие металличес-
металлические опилки, взвешенные в вязком масле.
6. Опыты Герца, а затем и других ученых позволили эксперимен-
экспериментально проверить и подтвердить свойства электромагнитных волн,
предсказанные теорией Максвелла. В частности, Герц в своих опытах
показал, что электромагнитные волны являются поперечными. Ока-
Оказалось, что они, подобно свету, отражаются от поверхности раздела
двух диэлектриков и преломляются при переходе через эту поверх-
- 61 —
ность, а также отражаются от поверхности металлов. Последнее свой-
свойство Герц использовал для получения направленного коротковолно-
коротковолнового электромагнитного излучения с помощью вибратора, помещенного
в фокусе металлического зеркала параболической формы. Для повы-
повышения чувствительности резонатора Герц помещал его также в фокусе
другого параболического зеркала.
§ 3.3. Физические основы радиосвязи, телевидения,
радиолокации и радиоастрономии
1. Вскоре после опытов Герца электромагнитные волны
были использованы для осуществления беспроволочной связи, полу-
получившей название радиосвязи. Первый простейший радиоприемник,
регистрировавший электромагнитное излучение грозовых разрядов,
был создан А. С. Поповым и продемонстрирован им на заседании
физического отделения Русского физико-химического общества 7 мая
1895 г. В марте 1896 г. на заседании того же общества Попов осуще-
осуществил передачу с помощью телеграфных сигналов первой в мире ради-
радиограммы, состоявшей из двух слов: «Генрих Герц». Последующие годы
ознаменовались быстрым развитием радиофизики и радиотехники.
Помимо радиотелеграфии была осуществлена передача с помощью
электромагнитных волн речи и музыки (радиовещание), а также изо-
изображений (телевидение). Были разработаны радиотехнические методы
обнаружения и определения местоположения удаленных объектов
(радиолокация). В настоящее время радиосвязь является основным,
а во многих случаях и единственно возможным средством связи. Ме-
Методы радиофизики и различные радиотехнические устройства широко
применяются в самых разнообразных областях науки и техники (элект-
(электропика, вычислительная техника и т. д.).
Электромагнитные волны, используемые в радиотехнике, назы-
называют радиоволнами. Они охватывают очень широкую область частот
от 3-104 до 3- 10L1 Гц. Радиоволны принято делить на следующие
основные группы, приведенные в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Диапазон
тг Диапазон длин волн
Наименование волн частот, Гц (в вакууме),
м
Сверхдлинные < 3 10* > 10 000
Длинные З'Ю4—3106 10000—1000
Средние 3-Ю5—3-Ю6 1000—100
Короткие 3-108—3-Ю7 100—10
Ультракороткие:
метровые 3-Ю7—3-Ю8 10—1
дециметровые 3-Ю8—3-Ю9 1—0,1
сантиметровые 3-Ю9—3-Ю10 0,1—0,01
миллимегровые 3.10м—3-Ю11 0,01—0,001
— 62 —
2. Очевидно, что монохроматические волны, бесконечные во вре-
времени, непригодны для передачи по радио каких-либо сигналов. Радио-
Радиосвязь можно осуществлять лишь с помощью модулированных радио-
радиоволи, параметры которых (амплитуда, частота, начальная фаза) изме-
изменяются в соответствии с передаваемыми сигналами. В зависимости от
того, какой параметр волны изменяется, различают три типа модуля-
модуляции: амплитудную, частотную и фазовую. Частота исходной (немоду-
лированной) волны называется несущей частотой, а частота изменения
параметров волны при модуляции — частотой модуляции. Всякий
радиопередатчик состоит из генератора незатухающих электромаг-
электромагнитных колебаний несущей частоты; модулятора, преобразующего эти
колебания в модулированные; передающей антенны, осуществляющей
излучение радиоволн в нужном направлении.
Приемное устройство состоит из двух основных частей — прием-
приемной антенны, служащей для преобразования энергии радиоволн в
энергию электромагнитных колебаний, и радиоприемника. Используя
явление электрического резонанса, входной колебательный контур
приемника можно настраивать на прием радиоволн с различными не-
несущими частотами. В приемнике происходят усиление и демодуляция
электромагнитных колебаний, т. е. отделение модулирующих колеба-
колебаний от колебаний с несущей частотой. Модулирующие колебания пос-
после их усиления и выпрямления подаются на воспроизводящее устрой-
устройство (телефон, громкоговоритель и т. п.).
Как показывают опыт и теоретические расчеты, для высококаче-
высококачественного воспроизведения в приемнике сигналов, передаваемых
радиостанцией, необходимо, чтобы частота модуляции была по край-
крайней мере в 5—10 раз меньше несущей частоты. В случае передачи
речи и музыки модуляция осуществляется со звуковыми частотами,
которые обычно не превосходят 10—13 кГц. Поэтому для радиовеща-
радиовещания можно использовать все диапазоны радиоволн начиная с длинных.
Практически широковещательные радиостанции используют диапа-
диапазоны длинных, средних и коротких радиоволн.
3. На распространение радиоволн в атмосфере и дальность их
приема существенное влияние оказывает явление огибания этими
волнами (главным образом длинными радиоволнами) поверхности
Земли. Кроме того, большую роль играют поглощение радиоволн в
атмосфере и земной поверхности, отражение волн от последней, а
также поглощение и отражение волн в верхней, ионизованной, части
атмосферы, называемой ионосферой. Нижняя граница ионосферы на-
находится на расстоянии около 50 км от поверхности Земли. Основной
причиной ионизации земной атмосферы является ультрафиолетовое
и мягкое рентгеновское излучения Солнца. В нижней части ионосферы
имеется несколько областей (слоев), соответствующих максимумам
ионизации и определяющих закономерности распространения радио-
радиоволн. Самый нижний слой D (средняя высота максимума ионизации
около 70 км) практически существует только в дневные часы. Он
сильно поглощает средние и короткие радиоволны и отражает длинные
радиоволны. Следующий слой Е, максимум ионизации в котором
находится на высоте около ПО км, отражает средние радиоволны.
— 63 —
Наконец, еще более удаленная область F днем в летние месяцы состоит
из двух слоев /ч и F2, а в остальное время — из одного слоя F2. Слой
Ft (около 180 км) похож по своим свойствам на слой Е. Слой F2 лежит
выше слоя Ft и соответствует абсолютному максимуму ионизации в
ионосфере. Его положение заметно изменяется в течение суток и года.
Слой Fa — основной слой ионосферы, отражающий короткие радио-
радиоволны.
Наиболее устойчивая дальняя радиосвязь осуществляется на
длинных радиоволнах, которые огибают земную поверхность, почти
не проникают в ионосферу и поэтому мало поглощаются ею. Дальний
прием на средних волнах возможен ночью, когда отсутствует слой
D ионосферы. Дальняя радиосвязь на коротких волнах, широко ис-
используемая в радиовещании и р-адиотелеграфии, основана на много-
многократном отражении этих волн от слоя F2 ионосферы и поверхности Зем-
Земли. Используя специальные передающие антенны, которые создают
направленное излучение, можно осуществлять коротковолновую ра-
радиосвязь на больших расстояниях при сравнительно небольшой мощ-
мощности радиопередатчика. Однако в силу указанных выше особенно-
особенностей распространения коротких радиоволн их прием возможен лишь в
тех областях поверхности Земли, к которым они подходят после отра-
отражения от ионосферы. Таким образом, «зоны слышимости» данной
коротковолновой радиостанции перемежаются с достаточно протяжен-
протяженными «мертвыми зонами». Вследствие суточных и годичных колебаний
высоты слоя F2 ионосферы положения этих зон изменяются. Кроме
того, при приеме коротковолновых передач наблюдаются замирания —
значительные колебания интенсивности принимаемых сигналов. За-
Замирания вызываются интерференцией радиоволн, отражающихся от
различных соседних участков слоя Рг ионосферы, взаимное расположе-
расположение которых изменяется с течением времени.
4. В телевидении амплитуда несущей волны модулируется в соот-
соответствии с различной яркостью отдельных небольших элементов пе-
передаваемого изображения. В принятой в СССР системе телевидения
все изображение (кадр) разбивается на 625 строк по 833 элемента
в каждой строке. Для преобразования изображения в систему элект-
электрических сигналов, модулирующих несущую волну и называемых
видеосигналами, применяются специальные передающие электронно-
электроннолучевые трубки. Действие этих трубок основано на явлении фотоэффек-
фотоэффекта.
В одной из современных передающих трубок — суперортиконе — передаваемое
изображение проектируется на полупрозрачный фотокатод. Под действием света из
фотокатода выбиваются электроны, причем количество электронов, испускаемых за
единицу времени каким-либо участком фотокатода, пропорционально освещенности
этого участка. Фотоэлектроны ускоряются в сильном электрическом поле и, бомбар-
бомбардируя плоскую мишень, расположенную позади фотокатода параллельно ему, вы-
выбивают из нее вторичные электроны. Мишень изготавливается из полупроводника или
диэлектрика с большим коэффициентом вторичной эмиссии, равным отношению числа
вторичных электронов к числу первичных. В суперортиконе мишень сделана из
стеклянной пленки толщиной в 1—2 мкм. Вследствие вторичной электронной эмиссии
на поверхности мишени образуется «электрическое изображение» кадра в виде поло-
положительных зарядов переменной плотности (большая плотность соответствует более
освещенным элементам кадра). По другую сторону от мишени находится электрон-
— 64 —
ная пушка — устройство для получения узкого пучка злектрокои, который под дей-
действием специальной системы развертки последовательно пробегает по всей поверх-
поверхности мишени. Энергия электронов пучка в суперортиконе невелика, так что они не
вызывают вторичной эмиссии электронов из мишени. Электроны пучка частично пере-
переходят на мишень, компенсируя положительный заряд «электрического изображения»,
а частично отражаются. Таким образом, интенсивность отраженного пучка электро-
электронов оказывается модулированной в соответствии с неодинаковыми яркостями раз-
различных элементов кадра. Для усиления этих видеосигналов отраженный электрон-
электронный луч подается на электронный умножитель, благодаря чему чувствительность су-
перортикона удается сделать близкой к чувстительности человеческого глаза.
Каждый кадр передается последовательно по частям — малыми
элементами. Чтобы уменьшить мелькание принимаемого изображения,
применяют чересстрочную систему развертки — сначала передают все
элементы нечетных строк, а затем четных. За одну секунду передается
25 различных кадров, т. е. около 13 млн. элементов этих кадров!
Столь высокая частота модуляции возможна только при передачах на
ультракоротких волнах. Поэтому телевидение осуществляется на УКВ
метрового диапазона.
Для воспроизведения изображения в телевизионном приемнике
применяется электроннолучевая трубка, называемая кинескопом.
Экран кинескопа покрыт составом, который светится под действием
падающего на него пучка электронов. С помощью специального ус-
устройства производятся горизонтальная и вертикальная развертки
электронного луча на экране кинескопа, осуществляемые синхронно
с передачей телецентром соответствующих элементов кадра. Неоди-
Неодинаковая яркость свечения в различных точках экрана, необходимая
для получения изображения, достигается путем изменения интенсив-
интенсивности электронного луча в соответствии с модуляцией принимаемых
электромагнитных волн.
Ультракороткие радиоволны сильно поглощаются поверхностью
Земли и практически не отражаются от ионосферы, находящейся в
нормальном состоянии. Поэтому надежный прием телевизионных
передач обычно возможен только в пределах прямой видимости между
передающей и приемной антеннами, зависящей от высоты их располо-
расположения над поверхностью Земли, а также от рельефа местности и рас-
расположения отдельных крупных препятствий, поглощающих и рассеи-
рассеивающих метровые радиоволны. Наблюдаются случаи дальнего приема
телевизионных передач (до 2000 км), которые объясняются отражением
метровых радиоволн от возникающих иногда на высотах слоев D
и Е очень тонких слоев Es повышенной ионизации. Эти слои Es в ос-
основном состоят из положительных ионов металлов (магния, кальция,
железа и др.).
Телевизионные программы передаются на большие расстояния
с помощью радиорелейных линий, состоящих из цепочки ретрансля-
ретрансляционных станций. Ретрансляционная станция принимает сигналы от
предыдущей станции, усиливает их и вновь излучает в направлении
следующей станции. Для уменьшения мощности передатчиков с помо-
помощью антенн ретрансляционных станций обеспечивают остронаправ-
остронаправленное излучение. В последние годы для осуществления устойчивой
3 А. А. Детдаф, В. 14. Я»о»ск.вй — 66 —
телевизионной связи на большие расстояния используют искусствен-
искусственные спутники Земли.
Блестящим примером успехов советской радиотехники может слу-
служить передача на Землю высококачественных черно-белых и цветных
изображений поверхности Марса, полученных в 1974 г. с помощью
автоматических межпланетных станций (АМС) «Марс-4» и «Марс-5».
В 1975 г. впервые в истории науки были получены изображения по-
поверхности Венеры вблизи мест мягкой посадки на нее спускаемых
аппаратов советских АМС «Венера-9» и «Венера-10».
5. Радиолокация основана на явлении отражения ультракоротких
волн от встречающихся на их пути препятствий. В ней используются
волны с Я, от нескольких метров до нескольких миллиметров, так как
радиолокация наиболее эффективна, когда размеры лоцируемого
тела во много раз больше Я,. Радиолокатор представляет собой комбина-
комбинацию мощного ультракоротковолнового радиопередатчика и настроен-
настроенного на ту же частоту высокочувствительного радиоприемника, имею-
имеющих общую приемно-передающую антенну. Антенна радиолокатора
осуществляет остронаправленное излучение в виде слабо расходяще-
расходящегося пучка— радиолуча—отдельными периодически повторяющимися
импульсами продолжительностью около 10-" с каждый. В промежутке
времени между двумя последовательными импульсами излучения,
имеющем величину порядка 10~4 — 10~3 с, антенна радиолокатора
автоматически переключается на прием волн, отраженных от цели.
Расстояние до цели можно найти по промежутку времени между по-
посылкой импульса и приемом отраженного сигнала. Направление на
цель определяется ориентацией антенны в момент обнаружения цели.
Используя эффект Доплера (изменение частоты при отражении волн
от движущейся цели), можно установить скорость цели по отношению
к радиолокационной станции.
В настоящее время имеются радиолокационные станции с дально-
дальностью действия в сотни и даже тысячи километров. Радиолокаторы
надежно работают в любое время суток и при различных метеороло-
метеорологических условиях. Это делает их совершенно незаменимыми в ряде
отраслей народного хозяйства и в военном деле. Применение радиоло-
радиолокаторов резко повышает безопасность движения самолетов и кораблей
ночью, в тумане и в других неблагоприятных условиях. Радиолокация
используется в метеорологии для наблюдения за движением грозовых
облаков и предсказания погоды, в геодезии — при съемке местности,
для геологической разведки. Радиолокация используется для иссле-
исследования метеоров. Она позволяет с большой точностью измерить рас-
расстояние до метеора и его скорость. В 1946 г. впервые была осуществ-
осуществлена радиолокация Луны, позволившая подтвердить существование
либрации Луны, т. е. очень слабых колебаний ее диска вокруг оси,
проходящей через центр диска. Средняя угловая скорость этих коле-
колебаний составляет один-два градуса в сутки, так что обнаруженная с
помощью радиолокации лучевая скорость (см. с. 44) точек диска была
меньше скорости пешехода и составляла около 1 м/с.
Радиолокация ближайших к Земле планет — Венеры, Меркурия,
Марса и Юпитера — впервые была осуществлена в 1961—1963 гг. На
основе радиолокации Венеры и Меркурия удалось установить периоды
и направления вращения этих планет. Особенно велика роль радиоло-
радиолокации планет в определении размеров Солнечной системы путем уточ-
уточнения значения астрономической единицы длины (а. е. д.), равной
среднему расстоянию от Земли до Солнца. В результате радиолокации
Венеры и Марса, а также использования дополнительных данных
оптических измерений и уточненного значения скорости света было
найдено, что 1 а. е. д.=A49 597 870,5±1,6) км. Уточнение значения
а. е. д. было необходимо для дальнейшего развития космических
исследований, так как позволило направлять автоматические меж-
межпланетные станции не только к планетам, но и в точно заданные
участки поверхностей планет.
6. В 1931 г. впервые было установлено существование весьма
слабого космического радиоизлучения в области ультракоротких
волн (в диапазоне частот от 10 МГц до 15 ГГц), слабо поглощающихся
в ионосфере Земли. Однако систематические исследования этого ради-
радиоизлучения начались лишь во второй половине 40-х годов, когда в
результате больших успехов в области радиолокационной техники
были созданы высокочувствительные ультракоротковолновые прием- ••
ники и большие приемные антенны с остронаправленным действием.
Таким образом, родилась новая наука — радиоастрономия. Устройст-
Устройства, применяемые для приема и исследования космического радиоизлу-
радиоизлучения, называются радиотелескопами.
Радиоастрономия значительно расширяет возможности исследова-
исследования различных космических объектов. С ее помощью уже удалось
получить много новых сведений, недоступных при обычных оптических
наблюдениях. Например, на основе анализа радиоизлучения Луны
впервые удалось показать, что поверхностный слой Луны обладает
очень малой теплопроводностью.
Радиоизлучение Солнца, как было показано советскими учеными,
возникает в атмосфере Солнца и является ценным средством изучения
ее состояния. Радиоизлучение Солнца чрезвычайно сильно зависит от
его «активности», которая связана с размерами и количеством пятен на
его поверхности (фотосфере) и окружающими их факельными полями,
более яркими, чем остальные участки фотосферы. Резкое увеличение
солнечной активности вызывает на Земле возмущения магнитного
поля (магнитные бури) и нарушения радиосвязи на коротких вол-
волнах. Прогноз этих нарушений на основе систематического наблю-
наблюдения радиоизлучения Солнца представляет большой практический
интерес.
Обнаружено также радиоизлучение Галактики — звездной систе-
системы, к которой принадлежит Солнце, и других звездных систем (га-
(галактик), образующих так называемую Метагалактику.
Космическое радиоизлучение в основном имеет магнитотормозное
происхождение. Оно испускается быстрыми электронами, которые дви-
движутся в космических магнитных полях со скоростями, близкими к ско-
скорости света. Это излучение называют синхротронным,так как по своей
природе оно тождественно излучению быстрых электронов, движущих-
движущихся в синхротроне (см. т. II, § 18.5).
з* - 67 -
Мощными источниками радиоизлучений В Галактике являются
остатки сверхновых звезд и облака межзвездного газа, ионизованного
ультрафиолетовым излучением звезд.
На основании анализа радиоизлучения Галактики удалось опреде-
определить распределение и общую массу водорода в Галактике, выявить
структуру и напряженность межзвездных магнитных полей, энергию
и пространственное распределение электронов и т. д. В 1967 г. были
обнаружены пульсары — источники пульсирующего радиоизлучения,
которые, по-видимому, представляют собой быстро вращающиеся ней-
нейтронные звезды с очень сильными магнитными полями.
Методами радиоастрономии удается обнаруживать и изучать весьма
удаленные от Земли галактики, недоступные наблюдению даже в са-
самые совершенные оптические телескопы. Это связано, во-первых, с
Тем, что подавляющее большинство обнаруженных метагалактических
источников радиоизлучения обладают сравнительно большой радио-
радиосветимостью (так называемые радиогалактики): отношение мощности
радиоизлучения к мощности излучения видимого света составляет от
0,001 до 10. Во-вторых, благодаря большим эффективным площадям
антенн радиотелескопов чувствительность их значительно больше
чувствительности самых крупных современных оптических телескопов.
Радиоастрономическими методами удалось обнаружить в I960 г.
совершенно новые объекты Вселенной — квазизвездные радиоисточ-
радиоисточники, или квазары. Они имеют массу, превосходящую массу Солнца
в 10е—109 раз, и светимость, на несколько порядков большую, чем
светимость всей нашей Галактики!
§ 3.4. Опыты Лебедева.
Шкала электромагнитных волн
1. Мы уже говорили о гипотезе Максвелла относительно
электромагнитной природы света. Важную роль в признании справед-
справедливости этой гипотезы сыграли опыты Лебедева. Лебедев впервые эк-
экспериментально обнаружил и измерил давление света
на твердые тела A900) и газы A907—1910), показав,
что оно согласуется с формулой C.13) теории Мак-
Максвелла для электромагнитных волн.
Прибор Лебедева представлял собой весьма чув-
чувствительные крутильные весы, подвижная система
которых состояла из легкого каркаса с укрепленными
на нем тонкими кружками («крылышками»), распо-
расположенными симметрично относительно оси подвеса.
Одна из конструкций подвижной системы показана
на рис. 3.6. Некоторые крылышки были зачернены,
а поверхность других была зеркальной. Вся эта
система подвешивалась на тонкой упругой нити
Рис. 3.6 внутри закрытого стеклянного баллона, воздух из
которого быЛ откачан. Крылышки освещались све-
светом от вольтовой дуги, направляемым на них с помощью специальной
системы линз и зеркал. Световое давление на крылышки определи-
— 68 —
-П
Рис. 3.7
лось по углу закручивания нити подвеса, регистрировавшемуся с
помощью зеркального отсчета.
Давление света столь мало, что для его надежного измерения не-
необходимо было исключить влияние на крылышки всех других факто-
факторов. Влияние конвекционных токов воздуха было исключено Лебеде-
Лебедевым путем создания в баллоне достаточно глубокого вакуума. Однако
и в этом случае оставался неустраненным так называемый радио-
радиометрический эффект. Причина его состоит в том, что зачерненное кры-
крылышко нагревается в результате поглощения падающего на него света,
причем температуры освещенной и неосвещенной (задней) поверхно-
поверхностей крылышка не одинаковы. Это различие связано с передачей энер-
энергии внутри крылышка путем теплопро-
теплопроводности и зависит от толщины и мате-
материала крылышек. Молекулы разрежен-
разреженного воздуха в баллоне, ударяясь о
поверхности крылышек и отражаясь от
них, создают давление на крылышко.
При ударе о более нагретую светом пе-
переднюю поверхность крылышка молеку-
молекулы увеличивают свою энергию и отскаки-
отскакивают с большими скоростями, чем молекулы, отражающиеся от задней
поверхности. Поэтому молекулы воздуха создают результирующее дав-
давление на зачерненную поверхность крылышка, складывающееся с
давлением света. Радиометрический эффект может привести к тому, что
в опыте давление на зачерненное крылышко окажется больше давления
на зеркальное крылышко тех же размеров. Лебедев исключил влияние
радиометрического эффекта, использовав в своих опытах очень тонкие
крылышки различной толщины от 0,01 до 0,1 мм. Давление света иа
зеркальное крылышко (с коэффициентом отражения R = l) оказалось
вдвое большим, чем давление на зачерненное крылышко (R=0), что
соответствует теоретической формуле Максвелла C.13).
На рис. 3.7 изображена упрощенная схема установки Лебедева для
измерения давления света на газы. Свет, проходящий сквозь стеклян-
стеклянную стенку А, действует на газ, заключенный в цилиндрическом ка-
канале В. Под влиянием света газ перетекает из канала В в сообщающий-
сообщающийся с ним канал С. В канале С находится легкий подвижный поршень D,
подвешенный на тонкой упругой нити Е, перпендикулярной плоскости
чертежа. Угол закручивания нити, измеряемый с помощью зеркаль-
зеркального отсчета, пропорционален световому давлению на газ.
Опыты Лебедева завоевали ему мировую известность и вошли в
историю физики как классический пример тончайшего физического
эксперимента.
2. Отличие света, видимого глазом человека, от электромагнит-
электромагнитных волн, получаемых с помощью различных электрических колеба-
колебательных систем, состоит лишь в том, что видимые электромагнитные
волны имеют значительно меньшую длину волны (от 3,9- Ю-5 до 7,5 х
X Ю-5 см) 1.
1 В оптике длины волн принято выражать в нанометрах (нм), а также в ангстре-
ангстремах (А); 1 нм= Ю-9 м, 1А = 0,1 им=10-»м.
— 69 —
Атомы и молекулы излучают также и невидимые глазом электро-
электромагнитные волны. Электромагнитные волны с АО7,5-10-§ см, запол-
заполняющие промежуток между ультракороткими радиоволнами с X—
= 1—2 мм и видимым светом, называют инфракрасным излучением.
Электромагнитные волны, длины которых заключены в пределах
от 3,9-Ю-6 до 10-6 см, называют ультрафиолетовым излучением.
В 1895 г. В. Рентген обнаружил еще более коротковолновое электро-
электромагнитное излучение — рентгеновское (см. § 14.11). Наконец, вскоре
после открытия в 1896 г. явления естественной радиоактивности было
установлено, что в процессе радиоактивного распада часто возникает
уизлучение— электромагнитное излучение с длиной волны Х1А
5 8
I „ i
РадиоЬолны
8 9 10 If 12 13
i i"i" i ■ i
П 15 15 17
■I Ml 1 I -I
IS 19
It
20 2i
4 3 2 X О -1 -1 -3 -4 -S S *7 -8 -Э -10 -П -11
lgA(A8ff)
Рис. 3.8
Границы по частоте v (или длине волны в вакууме X=ch) между
различными видами электромагнитного излучения, которые выбраны
при построении так называемой шкалы электромагнитных волн,
изображенной на рис. 3.8, весьма условны. В действительности нет
никаких резких переходов от одного вида излучения к другому.
Однако, как мы увидим дальше, электромагнитные излучения, часто-
частоты которых отличаются на много порядков (например, радиоволны и
лучи Рентгена), обладают качественно различными свойствами.
§ 3.5. Способы измерения скорости света
1. Впервые измерение скорости света в вакууме было осу-
осуществлено О. Рёмером A676) на основе наблюдений затмения спутника
Юпитера Ио. Период Го обращения Ио вокруг Юпитера равен 42,47 ч.
Однако наблюдаемые с Земли промежутки времени Т( между двумя
последовательными затмениями Ио изменяются в процессе движения
Земли по орбите. В положении наибольшего сближения Земли и Юпи-
Юпитера E и Ю на рис. 3.9) Г, = Г0. По мере удаления Земли от Юпитера
величина Tt вначале постепенно возрастает, а затем убывает и стано-
становится вновь равной Го лишь в положении наибольшего удаления
Земли от Юпитера E' и Ю' на рис. 3.9). Это явление, как правильно
считал Рёмер, объясняется тем, что свет распространяется с конечной
скоростью с: за время между двумя последовательными затмениями
Ио Земля удаляется от Юпитера на некоторое расстояние, для про-
70
Рис. 3.9
хождения которого световому сигналу о наступлении затмения Ио
требуется дополнительное время, равное Tt—То. Разности Тс— Та
не превосходят 15 с, и их достаточно точное измерение во времена
Рёмера было невозможно. Однако за время движения Земли по орбите
из точки 3 в точку 3' в результате суммирования кажущихся запазды-
запаздываний всех N наблюдаемых при этом затмений
Ио кажущееся опоздание в наступлении N-ro
затмения составляет заметную величину:
N
АГ= 2 (Ti—ТЛ. Так как при этом увеличе-
ние расстояния от Земли до Юпитера равно
диаметру d орбиты Земли (d=2,99-1011 м), то
скорость света c=d/AT. По измерениям Рёме-
Рёмера, с=2,15-108 м/с. Согласно современным
уточненным данным, ДГ=16,5 мин и
ся»3-108 м/с.
2. Второй астрономический метод измере-
измерения скорости света был предложен Д. Брэдли
A727). Точные измерения показали, что в тече-
течение года все звезды описывают на небосводе эллиптические траектории.
Углы, под которыми видны с Земли большие полуоси этих эллипсов,
для всех звезд одинаковы и равны а=20,5". Эксцентриситет е каждого
эллипса зависит от угла ф между направлением из центра Земли на
соответствующую звезду и плоскостью орбиты Земли (плоскостью
эклиптики): по мере уменьшения ф от л/2 до 0 е возрастает от 0 (кру-
(круговая орбита звезды) до 1 (эллипс вырождается в отрезок прямой, рав-
равный большой оси «эллипса»). Описанное явление получило название
годичной аберрации света. Оно свидетельствует о
конечном значении скорости света и может быть
использовано для ее определения.
Поясним это на простейшем примере влияния
годичного обращения Земли вокруг Солнца на
наблюдение звезды, для которой угол ф=л/2. В
данном случае истинное направление ОА на звезду
(рис. 3.10) все время перпендикулярно вектору V
скорости движения Земли по орбите (У=29,8-103
м/с). Однако если ось телескопа направить вдоль
линии О А, то изображение звезды в телескопе
окажется смещенным по отношению к центру О его
поля зрения. В самом деле, за время At прохожде-
прохождения светом расстояния / внутри телескопа сам те-
телескоп и точка О вместе с Землей смещаются в направлении вектора V
на расстояние Ax = VAt = —l. Следовательно, для получения изоб-
изображения звезды в центре О поля зрения телескопа ось последнего
нужно отклонить от вертикали ОА в сторону движения Земли на угол
а, удовлетворяющий условию
^ = -f. C.23)
— 71 —
При этом наблюдателю, смотрящему в телескоп, будет казаться,
что звезда находится не на линии ОА, а на продолжении оси телескопа,
т. е. на линии ОА'. В процессе движения Земли по орбите вектор ее
скорости V и связанная с ним линия ОА' медленно вращаются вокруг
оси ОА. За год вектор V поворачивается на 360°, а линия ОА' описы-
описывает круговую коническую поверхность с осью ОА. Вращение кажу-
кажущейся линии наблюдения на звезду и является причиной годичной
аберрации света, потому что истолковывается наблюдателем как ре-
результат движения звезды по круговой орбите. Угловой размер а
радиуса этой орбиты, как уже указывалось выше, равен 20,5". С дру-
другой стороны, он должен удовлетворять соотношению C.23). Таким
образом,
_ V
°~~ tga"
29,8 103 ,
W М/С :
tg20,5"
:3-108М/С.
3. Для нахождения скорости света в земных условиях необходи-
необходимо точно измерять весьма малые промежутки времени, за которые
световой сигнал проходит сравнительно небольшие расстояния. Впер-
Рис. З.п
вые такие изменения были выполнены А. Физо A849) с помощью уста-
установки, принципиальная схема которой изображена на рис. 3.11. Ос-
Основной элемент установки — весьма точно изготовленное зубчатое
колесо /С, которое может вращаться вокруг оси 00'. При неподвиж-
неподвижном колесе свет от точечного источника 5 проходит через линзу Jit
и, отразившись от полупрозрачного плоского зеркала А, проходит
через промежуток между зубцами колеса К.- Далее с помощью системы
линз л и Л3 свет направляется на плоское зеркало 3 и после отра-
отражения от него направляется вновь на зубчатое колесо. Свет, прошед-
прошедший сквозь промежуток между зубцами колеса, полупрозрачное
зеркало А и окуляр, попадает в глаз наблюдателя Н. Для прохожде-
прохождения светом расстояния 21 от колеса до зеркала 3 и обратно затрачи-
затрачивается время Д£=2 11с. Поэтому, приводя во вращение колесо, можно
так подобрать его угловую скорость oj=co0, чтобы за время kt колесо
поворачивалось на половину зубца, т. е. чтобы на пути света, отра-
— 72 —
женного от зеркала 3, оказался непрозрачный зубец:
где Z — общее число зубцов на ободе колеса. Очевидно, что (о0 пред-
представляет собой ту наименьшую угловую скорость колеса, при которой
наблюдатель не видит света. Из формулы C.24), зная Z и / и измерив в
опыте величину ш0 , можно вычислить значение с.
4. В 1850 г. Л. Фуко применил для измерения скорости света в
воздухе и воде метод вращающегося зеркала. Ему впервые удалось
показать, что в согласии с волновой теорией скорость света в воде
меньше, чем в воздухе. Комбинацией методов Физо и Фуко является
метод вращающейся восьмигранной зеркальной призмы, предложен-
предложенный А. Майкельсоном и известный из курса физики средней школы.
В одном из наиболее точных лабораторных методов измерения ско-
скорости света в вакууме в качестве высокочастотного модулятора ин-
интенсивности света была использована ячейка Керра (см. § 8.4), а в
качестве устройства, регистрирующего свет,— специальный фотоэле-
фотоэлемент.
На основании обработки многочисленных экспериментальных дан-
данных в настоящее время принято считать, что скорость света в вакууме
с = 299 792 458A,2) м/с.
5. Всякий метод измерения скорости света неизбежно связан с от-
отправлением и приемом какого-либо светового сигнала, т. е. с исполь-
использованием не монохроматической, а модулированной волны, представ-
представляющей собой группу волн. Следовательно, во всех рассмотрен-
рассмотренных выше опытах в действительности измеряется групповая
скорость света. В § 1.3 было показано, что фазовая и групповая ско-
скорости совпадают только в случае отсутствия дисперсии волн в среде.
Для света это условие, строго говоря, выполняется только в вакууме.
Глава IV
ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ
РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ i
§ 4.1. Формулы Френеля
1. В § 1.4 установлены законы отражения и преломле-
преломления волн любой природы (в том числе и световых) на границе раздела
двух изотропных непоглощающих сред. На основании формул A.34),
A.35), и C.2') закон преломления света можно записать в форме
22 л (\ П
где пх = фх = У~Ч и п2 = ф, = У72 D.2)
— абсолютные показатели преломления первой и второй сред,
ei и е2 — их относительные диэлектрические проницаемости, v1 и
v2 — фазовые скорости света в обеих средах, с — скорость света в ва-
вакууме, а л21 — относи-
относительный показатель пре-
преломления второй среды
по отношению к первой.
Соотношение D.1) иног-
Рнс. 4.1 да называют законом
Снеллиуса.
Если rti > пг, то говорят, что первая среда оптически более плот-
плотная, чем вторая. В этом случае угол преломления г больше угла па-
падения i. Следовательно, существует такой угол падения inp, при кото-
котором г=90°. Этот угол называется предельным или критическим и
определяется из условия sininB — —. При £^гпр свет полностью отра-
отражается от второй среды. Такое явление называется полным внутрен-
внутренним отражением. Оно широко используется в оптике для изменения
направления распространения света. На рис. 4.1 показано несколько
типов призм полного внутреннего отражения (направления распро-
распространения света показаны стрелками).
2. Среда оптически однородна, если ее абсолютный показатель
преломления п (v) = У г (v) для света произвольной частоты v одинаков
во всех точках этой среды. В противном случае среда называется оп-
оптически неоднородной. Для характеристики направлений распростра-
распространения световой волны в различных точках среды пользуются понятием
луча. Лучом называется линия, касательная в каждой точке которой
совпадает с направлением вектора плотности потока энергии световой
волны в этой точке.
1 Предполагается, что диэлектрики не поглощают свет и оптически изотропы,
т. е. их оптические свойства не зависят от направления распространения и характера
поляризации световой волны,
— 74 —
В оптически однородной среде лучи прямолинейны. Если
среда изотропна, то лучи нормальны к волновым поверхностям.
В дальнейшем мы будем также употреблять слово «луч» (или «луч све-
света») в несколько ином смысле, понимая под этим узкий пучок света,
распространяющийся в определенном направлении.
3. Значительно более сложным является вопрос о соотношениях
между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной
волн на границе раздела. Эти соотношения для плоских монохромати-
монохроматических волн называют формулами Френеля. Они получаются из гра-
граничных условий для электромагнитного поля на поверхности раздела
двух изотропных диэлектриков (см. т. II, § 21.4):
Е1Х = Е2Т; е1Е1п = ЕгЕ2п; D.3)
, D.4)
где Si, ц,1 и еа, щ — относительные диэлектрические и магнитные
проницаемости соответственно первой и второй сред; Ei, Hi и Еа, На —
векторы напряженностей полей в обеих средах; Еп, Hix и Ein, Hin —
проекции этих векторов соответственно на касательную плоскость и
нормаль к границе раздела сред.
4. Всякую плоскую монохроматическую световую волну, как видно
из уравнений C.6), можно представить в виде совокупности двух
плоских монохроматических волн той же частоты, в которых векторы Е
колеблются вдоль двух взаимно перпен-
перпендикулярных направлений. Поэтому для
нахождения закономерностей отраже-
отражения и преломления плоских волн на гра-
границе раздела двух сред достаточно рас-
рассмотреть порознь плоскую волну, в ко-
которой вектор Е колеблется в плоскости
падения (р-волна), и плоскую волну, в g2
которой вектор Е колеблется перпенди-
перпендикулярно плоскости падения (s-волна).
В дальнейшем предполагается, что
обе среды полубесконечны, т. е. неог-
неограниченно простираются по обе стороны
от границы раздела. Поэтому можно не
учитывать многократного отражения и
считать, что у границы раздела сходятся только три волны — падаю-
падающая, отраженная и преломленная.
5. Рассмотрим сначала отражение и преломление р-волны. Обоз-
Обозначим векторы Е для падающей, отраженной и преломленной р-волн
в точках поверхности раздела через Е°, Е°тр, Ef. Будем считать
числовые значения этих векторов положительными, если их направле-
направления совпадают с теми, которые показаны на рис. 4.2, где векторы Нр,
Щ™, Нрр направлены из-за чертежа к нам. При таком правиле вы-
выбора знаков колебания Е^р и Ер1 совершаются в одной фазе, если
их числовые значения совпадают по знаку. В этом проще
всего убедиться на примере нормального падения света (i=r=0):
векторы Ер и Ерр совпадают по направлению. Наоборот, векторы Ер
— 75 —
и Е£тр колеблются в одной фазе, если их числовые значения
имеют противоположные знаки; колебания этих ве-
векторов сдвинуты по фазе на я, если их числовые значения имеют оди-
одинаковые знаки. В самом деле, во втором случае при нормальном паде-
падении света векторы Е° и Е£тр противоположны по направлению.
Выведем формулы Френеля для р-волны. В первой среде распро-
распространяются две волны — падающая и отраженная, а во второй —
только преломленная. Поэтому результирующие напряженности Et и
Е2 в первой и второй средах вблизи границы раздела соответственно
равны
ЕХ = Е»+ Е«* и Е2 = Е£Р.
Проекции векторов Ej и Е2 на касательную и нормаль (проведенную из первой
среды во вторую):
Еи = ЕI cos ; - £^тр cos i, £2Т = Ef cos r;
Еы = — £р sin i—E°Tp sin i, Ein - - £$p sin r,
где ('иг— углы падения и преломления.
Подставив этн значения в граничные условия D.3):
(-=£^с05г( \
sin 1 = е^ sin r. J
Ч D + 4ТР) sin 1 ^ i J
Так как
r
81 til
то при [=?^0 систему уравнений D.5) преобразуем к виду
£°TPcost + ^pcosr = £°pcost, \
Из этой системы находим £°тр и £рр:
£отр _ £0 sin t cost —sin г cos г __ ^0 tg(t —г)
P ~ p sin i cos t + sin r cos r ptg(i+r)'
pnp p0 2 sin r cos i p0 2 sin r cos t
P
Jp sin i cos i-j-sin г cos r p sin (j-f- r) cos {i — r) '
Соотношения D.6) называют формулами Френеля для р-волны.
Значения £ртр @) и £рр @) для случая нормального падения света
на границу раздела двух сред получим из уравнений D.5), переходя
в них к пределу при 1-й):
Следовательно, при t=r=O
^ ^£»Р. D-6')
6. Рассмотрим теперь отражение и преломление s-волны. Будем
считать, что числовые значения векторов Е°, Е°тр и Е"р положитель-
положительны, если эти векторы направлены в одну и ту же сторону по отношению
- 76
к плоскости падения (например, из-за чертежа, как показано на
рис. 4.3). На этом же рисунке показаны соответствующие положитель-
положительные направления магнитных векторов Н°, Н°тр и Н"р. Очевидно, что
векторы Efp и Е"р колеблются в одной фазе с EJ, если их
числовые значения ££тр и £"р имеют
тот же знак, что и El. Аналогично
тому, как это было для р-волны,
s-Волна
соответственно
и E2 =
и Н2 =
Так как ^i и ^а практически рав-
равны единице, то на основании C.5)
Рис. 4.3
Поэтому проекции Нх и Н2 на касательную и нормаль (проведенную из первой
среды во вторую) соответственно равны:
cos
Подставим этн значения в граничные условия D.4), положив во втором из них
УХ (- Б1+EFv) cos i=-~YT2 £?р cos г,
Уч (El+ Е°тр) sin i = VT2 E"p sin r.
Так как
(
=/г21 =
sin i
sin г
то прн (V=0 систему уравнений D.7) преобразуем к виду
(- £?+£30тр) sin г cos t = - £"р sin i cos r,
Из системы D.7') можно найти Efp и £^р:
рр sin r cos i— sin i cos г pOsin(i — r)
sin ( cos г + sin г cos i
pO
i s
sin(t+
po 2 sin г cos t p0 2 sin /• cos »'
s sin i cos r -f sin /■ cos i s sin (i + r) '
D.7')
D.8)
Соотношения D.8) называют формулами Френеля для s-волны.
Значения £°тр @) и Е*р@)для случая i=0 (нормальное падение света)
- 77 —
найдем из уравнений D.7), переходя в них к пределу при
-£• @) + ЕТР @) == - п2ХЕ™ @), \
Следовательно, при i=r=0
£(о)> D.8)
§ 4.2. Закон Брюетера.
Коэффициент отражения света
1. Из формул Френеля D.6) и D.8) можно найти фазовые
соотношения между отраженной или преломленной и падающей вол-
волнами. Углы i и г всегда заключены в пределах от 0 до я/2. Поэтому
при любых значениях i и г1, как видно из D.6) и D.8), ££р и £!?р
совпадают по знаку соответственно с Еар и £*, т. е. на границе раздела
сред фаза преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей
волны.
Для отраженной /?-волны Е°тр совпадает по знаку с Е°р, если tg(i+
+г) и tg(i—г) одновременно положительны или отрицательны. Это
возможно в двух случаях:
а) при i > г (п21 >• 1) и i + г < л/2;
б) при i < г («21 < 1) и t + г > л/2.
Такое отражение р-волны сопровождается сдвигом по фазе на я.
Отражение р-волны происходит без сдвига фаз в следующих двух
случаях:
в) при />г(л21>1) и / + /•;> л/2;
г) при i < r(rt2i < 1) и i+r < л/2.
Для отраженной s-волны Efv и Е\ совпадают по знаку и отраже-
отражение происходит без сдвига фаз, если i < г. При i > г отражение s-вол-
s-волны сопровождается сдвигом по фазе на л.
2. Угол падения i0, при котором сумма углов падения и преломле-
преломления равна л/2, называется углом Брюетера. Его можно найти из закона
преломления света:
,-.)="»' ИЛИ tg*o = «n- D-9)
Если t=i"o> то направления распространения отраженной и прелом-
преломленной плоских волн взаимно перпендикулярны. Очевидно, что i+r<
< л/2 при i <. i0 и i+r > л/2 при
Таблица 4.1 t > i0. Поэтому все полученные
> j лм < ,— выше результаты относительно раз-
" иости фаз отраженной и падающей
, ,. , , .^ , , волн можно свести в табл. 4.1.
3. В дальнейшем рассматривает-
ся отражение света при i < i0.
р-Волна я 0 о я Поэтому в соответствии с табл. 4.1
s-Волна я я о 0 мы должны считать, что независимо
Для случая i=0 нужно пользоваться формулами D.6') и D.8').
- 78 -
от характера поляризации падающего света отражение от границы с
оптически менее плотной средой (яа1 < 1) происходит без сдвига фаз,
а отражение от оптически более плотной среды (пл >» 1) связано с из-
изменением фазы на л, т. е. с «потерей полуволны» (см. § 1.5, п. 9).
При падении света под углом Брюстера (i=i0) tg(i+r)=oo и по
формуле D.6) £^р =0, т. е. в отраженном свете колебания вектора Е
могут совершаться только перпендикулярно плоскости падения.
Иными словами, отраженный свет является полностью линейно-по-
линейно-поляризованным. Этот результат называется законом Брюстера.
Следует заметить, что в случае пл < 1 полученные выше соотно-
соотношения для амплитуд и фаз отраженной и преломленной волн справед-
справедливы только при углах падения i < inp. При i > inp происходит пол-
полное внутреннее отражение и угол преломления г, входящий в формулы
Френеля и определяющий направление распространения преломлен-
преломленной волны, теряет смысл. Как показывают расчеты, при падении
линейно-поляризованной плоской волны под углом t'=inp отраженная
волна тоже линейно-поляризована. Если / > inp, то линейно-поляри-
линейно-поляризованный падающий свет после отражения становится эллиптически-
поля ризованиым.
4. Для энергетической характеристики отражения света вводится
коэффициент отражения R, равный отношению интенсивностей отра-
отраженного и падающего света:
D.10)
В соответствии с законом сохранения энергии /0 и /отр равны сум-
суммам интенсивностей соответственно падающих и отраженных р- и s-
волн:
/o = /p+'s° и /0TP = /°TP + /fP. D.10')
Выше было показано [см. C.12)], что интенсивность плоской линей-
линейно-поляризованной электромагнитной волны пропорциональна квад-
квадрату амплитуды колебаний напряженности ее электрического поля.
Следовательно,
Для случая нормального падения света, пользуясь формулами D.6')
и D.8'), получаем
Так, например, при нормальном падении света на границу раздела
воздуха со стеклом (п21=1,5) #=0,04. Поэтому в оптических прибо-
приборах, содержащих большое число линз и призм полного внутреннего
отражения, потери энергии при многократном отражении могут
привести к значительному ослаблению энергии света на выходе из
прибора. Для уменьшения этих потерь применяется специальная
«просветленная оптика», в которой используется явление интерферен-
интерференции света в тонких прозрачных пленках. Принципы «просветления»
оптики рассмотрены в следующей главе.
— 79 —
Законы преломления и отражения, вшеденнете для плоской грани-
границы раздела сред, приблизительно верны и для искривленной грани-
границы, если ее радиус кривизны значительно больше длины волны света.
5. До сих пор мы говорили о так называемом зеркальном отражении,
при котором угол отражения равен углу падения. В действительности
отражение плоских волн от шероховатых поверхностей раздела сред
далеко не всегда является зеркальным или даже близким к нему (на-
(например, отражение света от газетной бумаги, штукатурки и т. д.).
Шероховатые поверхности отражают падающий на них свет во всех
направлениях. Такое отражение называется диффузным или рассеян-
рассеянным. Поверхность, рассеивающая свет равномерно по всем направле-
направлениям, называется абсолютно матовой.
Как показывают теоретические расчеты и опыты, отражение от
шероховатой поверхности тем ближе к зеркальному, чем меньше высо-
высота h шероховатостей и больше угол падения i. В этом можно убедиться,
рассматривая, например, отражение света от бумаги с различной
гладкостью при углах падения, близких к 90°. Если h<^.k, где Я—
длина волны света, то при любых значениях i отражение является
зеркальным.
§ 4.3. Рефракция света
1. Преломление света наблюдается не только при пере-
переходе через границу раздела двух различных сред, но и в случае рас-
распространения света в одной и той же, но оптически неоднородной среде.
Типичным примером этого явления может служить рефракция света в
атмосфере Земли — искривление лучей света от удаленного источника
, в процессе их прохождения через атмосферу. В пер-
" вом приближении можно считать, что относительная
диэлектрическая проницаемость и абсолютный пока-
показатель преломления атмосферы, зависящие от ее
плотности, монотонно убывают по мере удаления от
поверхности Земли. Поэтому луч света от какой-ни-
какой-нибудь звезды S, проходя через всю толщу атмосферы,
изгибается так, что его выпуклость обращена в
сторону нормали MN к поверхности Земли в точке
наблюдения М (рис. 4.4). Угол 6 между кажущимся
для наблюдателя направлением MS' на звезду и ис-
истинным направлением MS называется углом астроно-
Рис. 4.4 мнческой рефракции. Этот угол равен нулю для звезды,
находящейся в зените, и максимален для звезд, на-
находящихся у горизонта (бмакс £s35,5'). Угловой размер Солнца равен
32'. Поэтому астрономическая рефракция приводит к увеличению про-
продолжительности дня: при восходе и заходе Солнца его диск виден
целиком даже тогда, когда верхний край диска находится ниже гори-
горизонта на 3,5'. В полярных странах астрономическая рефракция вызы-
вызывает значительное сокращение полярной ночи (до нескольких суток
вблизи полюсов).
Астрономическая рефракция б особенно быстро изменяется в об-
области малых углов подъема источника света над горизонтом. Поэтому
* 80 -
при восходе и заходе диски Солнца и Луны оказываются заметно
сплюснутыми в вертикальном направлении (угол рефракции б для
нижнего края диска больше, чем для верхнего). Кроме того, вследствие
дисперсии угол б возрастает с увеличением частоты v света. В резуль-
результате этого верхний край восходящего или заходящего Солнца окрашен
в сине-зеленый свет, а нижний — в красный.
2. В нижних слоях атмосферы Земли непрерывно происходят кон-
конвекционные токи воздуха, которые вызывают нерегулярные колебания
условий рефракции света, идущего от
звезд. Это явление обусловливает мерца-
мерцание звезд, т. е. нерегулярные изменения
их яркости и окраски. Особенно сильно
мерцают звезды, находящиеся вблизи *""
горизонта, так как свет от них проходит
значительно больший путь в нижних Рис- 4-5
слоях атмосферы, чем свет от звезд, на-
находящихся вблизи зенита. Планеты практически не мерцают, так как
в отличие от весьма удаленных звезд, воспринимаемых глазом как
точечные источники света, планеты имеют хотя и малый, но
все же видимый диаметр. Поэтому нерегулярные изменения условий
рефракции лучей, идущих от различных точек диска планеты, мало
сказываются на яркости и окраске всего диска в целом. Аналогич-
Аналогичное явление наблюдается и для земных источников света — по мере
удаления от уличного фонаря все явственнее обнаруживается мерца-
мерцание его света.
3. Целый ряд интересных оптических явлений вызывается рефрак-
рефракцией лучей света от удаленных земных источников, происходящей
в нижних слоях атмосферы и называемой земной рефракцией. В ка-
качестве примера рассмотрим причины и условия возникновения мира-
миражей, т. е. ложных изображений далеких предметов. В жаркие без-
безветренные дни в степях и пустынях наблюдается нижний мираж,
при котором кажется, что вдали от наблюдателя поверхность Земли,
подобно поверхности воды, отражает небо и далекие предметы. Это
же явление можно наблюдать на асфальтированной или бетонирован-
бетонированной дороге, удаленные участки которой блестят так, как если бы
они были покрыты водой. Нижний мираж объясняется аномальным
характером изменения с высотой плотности р и абсолютного показа-
показателя преломления п в слое воздуха, прилегающем к сильно нагретой
поверхности земли: р и п максимальны на некотором расстоянии от
поверхности и уменьшаются по мере приближения к ней. Поэтому лучи
света от удаленных предметов, падающие на этот слой воздуха под
достаточно малыми углами к его плоскости, испытывают в нем полное
внутреннее отражение (рис. 4.5).
Если в прилегающем к поверхности Земли слое воздуха темпера-
температура быстро возрастает с удалением от поверхности, то возможно пол-
полное внутреннее отражение света в верхних частях этого слоя, приво-
приводящее к возникновению верхнего миража. Он наблюдается
над морем и представляет прямое или перевернутое изображение уда-
удаленных предметов (например, кораблей), располагающееся над ними.
_ 81 -
Глава V
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
§ 5.1. Когерентность
и монохроматичность световых волн
1. Явление интерференции света состоит в отсутствии
суммирования интенсивностей световых волн при их наложении, т. е.
во взаимном усилении этих волн в одних точках пространства и ослаб-
ослаблении — в других. Необходимым условием интерференции волн яв-
является их когерентность (см. § 1.5). Этому условию удовлетворяют
монохроматические волны одинаковой частоты. Однако в силу попе-
речности электромагнитных волн условие их когерентности еще недо-
недостаточно для получения интерференционной картины. Необходимо,
кроме того, чтобы колебания векторов Е электромагнитных полей ин-
интерферирующих волн совершались вдоль одного и того же или близких
направлений.
Заметим, что совпадение направлений колебаний электрических
векторов Е двух плоскополяризованных волн вовсе не означает сов-
совпадения направлений колебаний их магнитных вектеров Н. Последние
также совпадают только в том частном случае, когда обе волны рас-
распространяются вдоль одной и той же прямой. Электромагнитное
поле волны определяется обоими векторами Е и Н. Поэтому выбор
вектора Е, а не Н, сделанный выше при формулировании условия
интерференции когерентных волн, нуждается в специальном обосно-
обосновании. Для решения этого вопроса необходимо выяснить, какой из
векторов (Е или Н) определяет действие света на органы зрения,
фотопластинки, фотоэлементы и другие приборы, предназначенные
для его обнаружения и измерения. С точки зрения электронной тео-
теории, все процессы, происходящие в этих приборах под влиянием света,
обусловлены действием электромагнитного поля световой волны на за-
заряженные частицы, образующие атомы и молекулы вещества. Частота
световых волн столь велика, что основную роль в указанных процессах
играют электроны. Сила F, действующая на электрон со стороны
электромагнитного поля, равна [см. уравнение A8.5) т. II]
где ve — скорость электрона,— е — его заряд, В=ц|л0Н — вектор
магнитной индукции. Из соотношения C.5) следует, что максимальное
возможное значение модуля второго слагаемого в фигурной скобке (при
\е J_ H) равно
где с= 1/]^еоцо и v — c/Y^— скорости света в вакууме и веществе.
Скорость v имеет значение порядка 108 м/с, а скорость электрона ve
значительно меньше (например, при вынужденных колебаниях эле-
электрона с амплитудой Л = 10-10 м, т.е. равной размеру атома, в поле
волны с частотой v =10^ Гц ve = 2яуЛ~-10б м/с). Следовательно,
— 82 —
F«—eE, т. е. действие света на электроны вещества в основном оп-
определяется электрическим вектором Е электромагнитного поля. По-
Поэтому вектор Е часто называют световым вектором.
Рассмотренные нами следствия из электронной теории полностью
согласуются с данными опытов О. Винера, П. Друде, В. Нернста и др.
В этих опытах исследовались различные действия стоячих световых
волн (см. § 1.5): химическое действие на фотоэмульсию, фотолюминес-
фотолюминесценция и др. При отражении от металлического зеркала плоской моно-
монохроматической световой волны, распространяющейся нормально к
поверхности зеркала, фаза вектора Е изменяется на я, а фаза вектора Н
не изменяется. Поэтому в стоячей волне пучности Е и Н сдвинуты друг
относительно друга на половину длины стоячей волны, или, что то же
самое, на четверть длины волны падающего света. У поверхности
зеркала располагаются узел Е и пучность Н. Как показали опыты
Винера A890), области почернения фотоэмульсии под действием све-
световой волны действительно совпадают с пучностями электрического
вектора Е.
2. Из повседневного опыта известно, что при наложении света
от двух независимых источников (например, двух электрических ламп
накаливания) никогда не удается наблюдать явление интерференции.
Увеличение числа горящих в комнате ламп всегда приводит к возра-
возрастанию освещенности во всех точках комнаты. Применение одинаковых
светофильтров для «монохроматизации» излучения ламп также не при-
приводит к появлению интерференции. Таким образом, волны, излучаемые
независимыми источниками света, всегда некогерентны.
Причины указанной закономерности заключены в самом механиз-
механизме испускания света атомами (молекулами, ионами) источника. В
§ 3.2 показано, что продолжительность процесса излучения света
атомом т ~ 10~8 с. За этот промежуток времени возбужденный атом,
растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в
нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекра-
прекращается. Затем спустя некоторый промежуток времени атом может
вновь возбудиться и начать излучать свет. Такое прерывистое излуче-
излучение света атомами в виде отдельных кратковременных импульсов —
цугов волн — характерно для любого источника света независимо от
специфических особенностей тех процессов, которые происходят в
источнике и вызывают возбуждение его атомов.
Каждый цуг волн имеет ограниченную протяженность в простран-
пространстве, связанную с конечной длительностью т его излучения. Например,
протяженность цуга волн, распространяющегося в вакууме вдоль
оси X, равна Ах=(гс, т. е. составляет 1—10 м. Вследствие этого, а
также уменьшения амплитуды из-за затухания колебаний электрона в
излучающем атоме цуг волн отличен от монохроматической волны,
которая, по определению, имеет неизменную амплитуду и не огра-
ограничена в пространстве. С помощью методов спектрального анализа
цуг волн можно представить в виде волнового пакета со сплошным
спектром частот: циклические частоты входящих в его состав моно-
монохроматических волн образуют непрерывную последовательность зна-
значений от й0—Дю/2 до (йо+Д(о/2, где аа — циклическая частота коле-
— 83 —
баний источника рассматриваемого цуга волн. Величина Лео, харак-
характеризующая ширину спектра, зависит от протяженности Ал: цуга и его
«формы», т. е. характера изменения амплитуды волны по длине цуга.
Можно показать, что
Аи ^ 1/т, или Д%Д<о ^ с. E.1)
Так как волновое число /с=ш/с, то Д(о=сЛ/с и неравенство E.1)
можно переписать в более употребительном виде:
Д%Л/с>1. E.2)
Из E.1) и E.2) следует, что цуг волн Тем ближе по своим свойствам
к монохроматической волне с циклической частотой <оо и волновым
числом кв=(л0/с (в вакууме), чем больше длительность т его излучения:
Ига Дй= Ига Д(о = 0.
Для видимого света ю0 ~ 101§ с~1 и отношение Д(й/й0 мало:
ш0 — Дясоо тшв
Однако в силу инерционности измерительных приборов, а также
органов зрения продолжительность регистрации света всегда во
много раз больше длительности т излучения одного цуга. Кроме
того, в каждый момент времени излучение света осуществляется не
одним, а весьма большим числом атомов светящегося тела. Поэтому
достаточно высокая степень монохроматичности каждого цуга порознь
вовсе еще не означает когерентности различных цугов между собой и
связанной с этим монохроматичности совокупного излучения источ-
источника света.
Атомы светящегося тела излучают свет независимо друг от
друга. Следовательно, начальные фазы соответствующих им цугов
волн никак не связаны между собой. Больше того, даже для одного
и того же атома значения начальных фаз разных цугов хаотически
изменяются от одного акта излучения этого атома к другому. Из всего
сказанного ясно, что свет, испускаемый любым макроскопическим
источником, немонохроматичен, так как состоит из множества быстро
сменяющих друг друга цугов, начальные фазы которых изменяются
совершенно хаотично. Кроме того, значения циклических частот (оо
для этих цугов также могут быть различными.
3. По-видимому, каждый цуг волн плоскополяризован. Однако
для различных цугов плоскости поляризации могут быть ориентиро-
ориентированы по-разному. Поэтому свет, излучаемый источником, представляет
собой набор плоскополяризованных волн со всевозможными направле-
направлениями векторов Е, удовлетворяющими только условию их перпендику-
перпендикулярности лучу. Если все указанные направления совершенно равно-
равноправны, т. е. ни одно из них не является преимущественным, то свет
называют естественным или неполяризованным. В естественном свете
результирующая напряженность Е в каждой точке поля волны совер-
совершает колебания, направление которых быстро и беспорядочно изме-
изменяется, оставаясь в плоскости, перпендикулярной лучу.
— 84 —
Если имеется некоторое преимущественное направление колебаний
вектора Е, то свет называют частично поляризованным в плоскости,
перпендикулярной этому направлению.
4. Все сказанное выше справедливо только для так называемого
спонтанного излучения атомов или молекул, осуществляющегося
независимо от действия какого-либо внешнего электромагнитного
поля (см. § 14.8). Однако возможен также другой тип излучения —
индуцированное, или вынужденное, излучение системы возбужденных
атомов или молекул, возникающее под действием переменного внеш-
внешнего электромагнитного поля (см. § 14.8). Индуцированное излучение
всех частиц системы когерентно с возбуждающим его монохрома-
монохроматическим излучением, оно обладает той же частотой, направлением
распространения и поляризацией. Эти особенности индуцированного
излучения используются в квантовых генераторах и усилителях (см.
§ 15.9).
§ 5.2. Некоторые методы наблюдения
интерференции света
1. Основная трудность в осуществлении явления интер-
интерференции света состоит в получении когерентных световых волн. В пре-
предыдущем параграфе было показано, что для этого непригодны излу-
излучения не только двух различных макроскопических источников света,
но и различных атомов одного и того же источника. Поэтому остается
только одна возможность — каким-либо способом разделить свет,
излучаемый каждым атомом источника, на две или большее число групп
волн, которые в силу общности происхождения должны быть когерент-
когерентными и при наложении будут интерферировать. В самом деле, для
каждого цуга волн в одной из этих групп, соответствующего какому-
нибудь акту излучения, имеются по одному сходственному цугу во
всех других группах. Эти цуги обладают одинаковыми значениями
циклических частот <о0 и начальных фаз, т. е. когерентны между собой.
Кроме того, они одинаково поляризованы и поэтому способны интерфе-
интерферировать при наложении.
Результат интерференции в случае наложения двух волн зависит от
разности фаз АФ, приобретенной ими при прохождении от источника
света до рассматриваемой точки интерференционной картины (см.
§ 1.5). Подчеркнем, что в силу ограниченности промежутка времени т
излучения каждого цуга наблюдение интерференции возможно лишь
при не слишком больших значениях ДФ и соответствующих им раз-
разностей хода волн. Например, если одна группа волн опережает другую
на время Д£ = — ^т, то каждый цуг из одной группы не сможет
встретиться с когерентным с ним сходственным цугом второй группы.
Поэтому никакой интерференции не будет.
2. Четкость интерференционной картины при неизменном отноше-
отношении интенсивностей обеих групп волн должна быть тем больше, чем
больше относительная продолжительность (т—Д£)/т интерференции
сходственных цугов волн, т. е. чем меньше величина Af/t. Если бы
-86-
каждый цуг волн был строго монохроматичным (т=оо), то устойчивая
интерференционная картина наблюдалась бы при любых разностях
хода. Поскольку максимальные значения т ~ Ю-8 с, наблюдение
интерференции света при разностях хода порядка 1 м уже принципи-
принципиально невозможно.
В действительности этот предел, как показывают опыты, значи-
значительно ниже для света, испускаемого всеми источниками, кроме
оптических квантовых генераторов (лазеров). Например, с помощью
таких сравнительно высокомонохроматичных источников, как газо-
газоразрядные лампы низкого давления,
излучение которых имеет линейчатый
спектр, не удается наблюдать интер-
ференцию света при оптических раз-
ностях хода, превосходящих величи-
величину порядка 0,1 м. Это связано с так
называемым «уширением спектраль-
спектральных линий» газоразрядного источника,
•J) которое обусловлено эффектом Доп-
Доплера и столкновениями излучающих
атомов с другими атомами газа (см.
§ 14.8).
Итак, реальный немонохромати-
немонохроматический свет можно рассматривать как
совокупность сменяющих друг друга
независимых гармонических цугов.
Однако средняя длительность одного
Рис 5.1
цу к01, р
герентности, отлична от среднего времени жизни атома в возбуж-
возбужденном состоянии (для спонтанного излучения ткоГ< 10~8 с). Зна-
Значение тког тем меньше, чем шире спектр частот рассматриваемого
немонохроматического света. Например, время когерентности види-
видимого солнечного света, имеющего сплошной спектр частот от 4-1014
до 8-1011 Гц, тког ~ 10~14 с! Иначе обстоит дело в случае вынужден-
вынужденного излучения, время когерентности которого тиог^> 10~8 с. Так,
для лазерного излучения тког достигает значений порядка 10~6 с.
Среднюю протяженность гармонического цуга /ког = этког, где
v — скорость света, называют длиной когерентности рассматриваемого
немонохроматического света. Из сказанного выше ясно, что наблюде-
наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях
хода, меньших длины когерентности используемого света.
3. В качестве первого метода получения когерентных световых
волн и осуществления их интерференции рассмотрим метод зеркал
Френеля. В нем используются два плоских зеркала АгО и А2О
(рис. 5.1), угол а между плоскостями которых очень мал. Свет, излу-
излучаемый точечным источником S, после отражения от обоих зеркал рас-
распространяется в виде двух пучков с центрами в Si и S2, являющимися
мнимыми изображениями источника S в зеркалах. Эти пучки когерен-
когерентны и при наложении дают на экране Э интерференционную картину
(область ВС). Результат интерференции в некоторой точке М экрана
— 86 —
зависит от длины волны света А. и геометрической разности хода г3—
—ri=\MSi\— |M5i| света от когерентных мнимых источников S2 и
Si до точки М (см. § 1.5). Начальные фазы колебаний источников Sx
и Sa одинаковы и отличаются от начальной фазы S на л вследствие
отражения света от зеркал. Поэтому условия интерференционных мак-
максимумов и минимумов в соответствии с формулами A.40") и A.41")
имеют вид
I—максимум (т = 0; 1; 2; ...),
г —г -< X E.3)
±{2т~,
минимум (т=1; 2; ...).
Величина т называется порядком интерференционного максимума
или минимума.
В качестве источника S можно также использовать узкую освещен-
освещенную щель, параллельную линии пересечения плоскостей зеркал.
В этом случае интерференционная
картина на экране будет иметь вид
полос, параллельных щели. Пусть
экран Э параллелен мнимым изоб-
изображениям Si и 5ащели S (рис. 5.2)
и находится от них на расстоянии
L ^> /, где /=|SiS3|. Обозначим
через у расстояние от произвольной
точки М экрана до плоскости OOi,
перпендикулярной экрану и про-
проходящей посередине между Si и
S2. Из прямоугольных треугольников
Риг
и MS^D2 следует:
Обычно достаточно четкая интерференционная картина наблюда-
наблюдается только вблизи середины экрана. Поэтому можно считать, что
y<kU rt + raiv2L и
rt — ri*iyllL. E.4)
Из E.3) и E.4) следует, что положение m-го интерференционного
максимума на экране удовлетворяет условию
ут = mLkll. E.5)
Аналогичное условие для m-го минимума имеет вид
«/„ = B/71-1)^/B/). E.5')
Расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами,
называемое шириной интерференционной полосы, равно
Ьу = Уя+х-У» = 1<%П- E-6)
Значения длин волн Я видимого света очень малы [порядка D-^7) х
X 10-*м], а увеличение L лимитируется быстрым ослаблением интенсив-
- 87 —
ности интерферирующих волн по мере удаления от Si и Sa. Поэтому
для получения достаточно широких интерференционных полос, раз-
различимых глазом, необходимо, чтобы расстояние I между Sx и Sa было
очень мало. Из рис. 5.1 видно, что 1—2R sin a » 2Ra, где # = |OS|.
Вот почему угол а в зеркалах Френеля выбирается очень близким к 0.
До сих пор мы предполагали, что зеркала Френеля освещаются
строго монохроматическим светом с длиной волны X. Если использу-
используется белый свет, представляющий набор волн с непрерывным спектром
частот и значений длины волн от 3900 А=3,9-10-' м (фиолетовая
граница спектра) до 7500 А=7,5-10-* м (красная граница), то интер-
интерференционные максимумы имеют вид радужных полос. Фиолетовый
край каждой полосы соответствует меньшему значению у, чем ее крас-
красный край.
В этом случае наблюдение интерференционной картины возможно только в об-
области полос с малыми т, так как начиная с некоторого значения т=те полосы пере-
перекрываются и интерференционная картина полностью смазывается. Величину т0 для
излучения в интервале длин волн от Л до Л,-ЬДХ>Я находят из условия, что максимум
т0-го порядка для света с длиной волн Я+ДХ. совпадает с максимумом (я10+1)-го по'
рядка для света с длиной волны X:
т. е.
F.7)
4. Во втором методе осуществления интерференции света исполь-
используется бипризма Френеля, состоящая из двух одинаковых стеклянных
призм, сложенных основаниями (рис. 5.3). В результате преломления в
призме света, испускаемого источ-
источником S, за призмой распространя-
распространяются две системы волн, соответст-
^ S, ^-—г*~-
S
С
Рис. 5.4
Рис. 5.3
вующие когерентным мнимым источникам Si и S2. Для уменьшения
расстояния /=15^21 преломляющие углы а бипризмы делают очень
малыми.
В методе Юнга (рис. 5.4) источниками когерентных световых волн
являются две узкие щели Si и S2 в непрозрачном экране Л. Первич-
Первичным источником света служит ярко освещенная щель S, которая парал-
параллельна щелям Si и Sa и находится от них на одинаковых расстояниях.
Расчет интерференционной картины на экране Э, получаемой
с помощью бипризмы Френеля или по методу Юнга, ничем не отли-
отличается от рассмотренного выше для зеркал Френеля.
-88-
§ 5.3. Интерференция света
в гонких пленках
ис- '
1. Не следует думать, что интерференцию света можно
наблюдать только в лабораторных условиях, применяя для этого спе-
специальные оптические установки (некоторые из них рассмотрены в
§ 5.2). Каждому неоднократно приходилось наблюдать радужную
окраску мыльных пленок, тонких пленок нефти или минерального
масла, плавающих на поверхности воды, цвета побежалости на по-
поверхности закаленных стальных деталей, покрытых тончайшим про-
прозрачным слоем окислив. Все эти явления
обусловлены интерференцией света в
тонких прозрачных пленках, которая
возникает в результате наложения ко-
когерентных волн, отражающихся от верх-
верхней и нижней поверхностей пленки.
2. Для установления общих законо-
мерностей интерференции света в тонких
пленках рассмотрим плоскопараллель-
ную прозрачную пленку толщиной d, на
которую падает под углом i плоская
монохроматическая волна (луч 1 на рис. 5.5). Будем предполагать,
что по обе стороны от пленки находится одна и та же среда (нап-
(например, воздух). Абсолютные показатели преломления этой среды и
пленки обозначим через гц и п2) причем для определенности будем
считать, что п2 > tii.
Падающая волна частично отражается от верхней поверхности
пленки (луч /'), а частично преломляется (луч AD). Преломленная
волна, достигнув нижней поверхности пленки, также частично отра-
отражается (луч DC), а частично преломляется (луч 2'). То же самое вновь
происходит на верхней поверхности пленки с волной, распространяю-
распространяющейся вдоль луча DC, причем преломленная волна (луч /") наклады-
накладывается на волну, непосредственно отраженную от верхней поверхности
(луч /'). Эти две волны когерентны. Результат их интерференции за-
зависит от разности фаз АФ колебаний, возбуждаемых этими волнами
соответственно в точках С и В плоскости ВС, проведенной перпендику-
кулярно лучам /' и /". Колебания, вызываемые в точке С волной, от-
отраженной от нижней поверхности пленки, отстают по фазе от колеба-
колебаний в точке Л на величину ДФ1=2яAЛ£[+|ОС|)/А!1, гдеЯ2 — длина вол-
волны света во второй среде х. Аналогично этому, отставание по фазе
колебаний в точке В, вызываемых волной, которая отражается от
верхней поверхности пленки» равно АФа=2я|ЛВ|/Хх+гг, где X* —
длина волны света в первой среде. Добавочный член л учитывает
сдвиг'фаз, возникающий при отражении света от оптически более
плотной среды (мы полагали, что п2 > пц если бы пг было меньше пи
то добавочный член я нужно было бы ввести в выражение для Дф1(
1 Напомним, что при прохождении волной расстояния, равного Я,, ее фаза изме-
аяетса на 2л,
а не для АФ2). Сдвиг по фазе на я при отражении эквивалентен допол-
дополнительному пути света в первой среде, равному XJ2. Таким образом,
искомая разность фаз интерферирующих волн
Длины волн К2 и Ai связаны с длиной волны X света той же частоты v,
распространяющегося в вакууме, следующими соотношениями,
вытекающими из формул A.10) и D.2):
Я =ri^- = — = — и Я = — = — = —
2 V Vrt2 П2 1 V Vrtf «1 '
где Vi и v2 — фазовые скорости света в обеих средах.
Таким образом,
или }■ E.8)
где U=\AD\-\-\DC\ и /i=|/lB|-fW2 — геометрические длины путей,
пройденных интерферирующими волнами во второй и первой средах
(с учетом возможных потерь полуволны при отражении). Произве-
Произведение геометрической длины пути / световой волны в среде на абсо-
абсолютный показатель преломления п последней называется оптической
длиной пути s: s=nl. Из формулы E.8) следует, что
ДФ = 2яб/Я, E.8')
где 8=s2—Si=n2l2—nJi — оптическая разность хода интерферирую-
интерферирующих волн.
Для интерференционных максимумов и минимумов должны соблю-
соблюдаться условия (см. § 1.5):
Дф = 2/мя — максимум, 1
<■ E 9)
ДФ = B/п—1)я—минимум, J к ' '
где т — любое целое число. Аналогичные условия можйо записать
для оптической разности хода двух интерферирующих волн:
6 = тХ—максимум, )
я /о 1ч *■ [ E-9')
о — Bт — 1)—минимум. v
3. Для плоскопараллельной пленки |Л£>|=|£>С| и, как видно из
рис. 5.5, \AD |=d/cos г и |ЛВ|= |ЛС|зш i=2d tg r sin i. Поэтому опти-
оптическая разность хода
с _ 2/i^d 2riid sin r sin I n-^Kx
cos r cos г 2
По закону преломления света, «iSin i=n2sin r, следовательно,
^\t E.10)
— 90 —
или
b = 2dVn\—n\smH — Я/2. E.10')
Результат интерференции в отраженном от пленки свете, как
видно из E.10) и E.9'), зависит от числовых значений d, r, п2 и X:
E.11)
при 2n2dcosг — trik—минимум отражения. J
при 2tt2dcosr = Bm+ 1W—максимум отражения,
При освещении пленки белым светом для некоторых длин волн
выполняется условие максимума отражения, а для некоторых дру-
других — минимума. Поэтому в отраженном свете пленка кажется окра-
окрашенной.
Интерференция наблюдается не только в отраженном, но и в про-
проходящем сквозь пленку свете. Можно легко показать (предоставляем
это сделать читателю), что оптическая разность хода для проходящего
света отличается от б для отраженного света на Я./2. Следовательно,
максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют мини-
минимумы интерференции в проходящем свете, и наоборот. Поэтому при
освещении пленки белым светом ее окраска в отраженном и проходя-
проходящем свете оказывается взаимно дополнительной.
4. Возможность ослабления отраженного света вследствие интер-
интерференции в тонких пленках широко используется в современных опти-
оптических приборах (фотоаппаратах, биноклях, перископах и др.). Для
этого на передние поверхности имеющихся в них линз и призм наносят
тонкие прозрачные пленки, абсолютный показатель преломления
которых пп меньше абсолютного показателя преломления п0 для ма-
материала линзы или призмы. Толщина пленки подбирается таким об-
образом, чтобы осуществлялся интерференционный минимум отражения
для света с длиной волны А. л* 5,5-10-' м E500 А), соответствующей
наибольшей чувствительности человеческого глаза (зеленый свет).
Такая оптика получила название просветленной оптики. В отражен-
отраженном свете просветленные линзы и призмы кажутся окрашенными в
фиолетовый цвет, так как они заметно отражают только красный и
сине-фиолетовый свет.
Наиболее полное взаимное гашение световых волн, отраженных
от верхней и нижней поверхностей пленки на просветленной линзе или
призме, происходит в случае равенства интенсивностей этих волн, т. е.
приблизительно при равенстве коэффициентов отражения от обеих
поверхностей: Rj =Rfr. При нормальном падении света из воздуха на
пленку и из пленки на линзу или призму значения Rt и Ru можно
определить по формуле D.1 Г):
(па!пп-\
так как абсолютный показатель преломления воздуха пв та 1.
Приравнивая друг другу эти выражения для Rj и Rn, найдем
оптимальное значение пп абсолютного показателя преломления мате-
— 91 —
риала пленки:
, откуда п„ s=
5. До сих пор мы предполагали, что на плоскопараллельную пленку
падает плоская волна (т. е. параллельный пучок лучей). Рассмотрим
теперь интерференцию света при паденин на пленку расходящегося
пучка лучей, соответствующего, например, сферической волне. На
рис. 5.6 показаны три луча 1, 2 и 3, падающие от источника S на
поверхность пленки под разными углами iu ia и is, а также соответ-
соответствующие им пары лучей /', 1";
21, 2" и 3'', 3", обусловленные от-
отражением света от верхней и ниж-
нижней поверхностей пленки. Оптичес-
Оптические разности хода между лучами
каждой пары выражаются форму-
формулами E.10). Они не одинаковы для
различных пар, так как h Ф it Ф i3.
Для наблюдения интерференции в
отраженном свете используются со-
собирающая линза Л и экран Э, рас-
расположенный в фокальной плоскости
линзы (на рис. 5.6 оптическая ось
OtO2 линзы параллельна лучам 2' и
2"). В каждой точке экрана, яв-
Рис. 5.6 ляющейся побочным фокусом лин-
линзы, собираются и интерферируют
все лучи, Которые после отражения от пленки оказываются парал-
параллельными прямой, соединяющей эту точку с оптическим центром О
линзы (например, лучи Г и Г — в точке а, лучи 2 и 2" — в глав-
главном фокусе F и т. д.).
Всякая линза обладает тем замечательным свойством, что она не
создает дополнительной разности фаз между лучами, собираемыми
линзой в одной и той же точке изображения. Иными словами, опти-
оптические длины пути для этих лучей одинаковы, или, как принято го-
говорить, таутохронны. Если бы указанное правило не соблюдалось,
то с помощью линз нельзя было бы получать изображения предметов
(источников света), подобные этим предметам: «изображения» всегда
имели бы вид чередующихся интерфенционных максимумов и миниму-
минимумов освещенности.
Таким образом, при освещении плоскопараллельной пленки моно-
монохроматическим светом результаты интерференции отраженного света
в различных точках экрана Э зависят только от углов i падения на
пленку или равных им углов отражения для лучей, собирающихся
в этих точках экрана. Интерференционная картина имеет вид чередую-
чередующихся криволинейных темных и светлых полос. Каждой из этих
полос соответствует определенное значение угла i. Поэтому они назы-
называются полосами или линиями равного наклона. При освещении пленки
белым светом на экране наблюдается система разноцветных полос
м- 92 —
равного йаклона. Легко видеть, что в том случае, когда оптическая ось
линзы Л перпендикулярна поверхности пленки, полосы равного на-
наклона должны иметь вид концентрических колец с центром в главном
фокусе F линзы. Это явление используется на практике для весьма
точного контроля степени плоскопараллельности тонких прозрачных
пластинок (например, стеклянных): изменение толщины пластинки на
величину порядка 10 нм (Ю-8 м) уже можно обнаружить по искаже-
искажению формы колец равного наклона.
В отсутствие линзы параллельные лучи Г и 1", 2' и 2" и т. д.
«пересекаются» только в бесконечности. Поэтому часто говорят, что
полосы равного наклона локализованы в беско- ,
нечности. Их можно непосредственно наблю-
дать глазом, если последний аккомодирован
на бесконечность, т. е. фокусирует на сетчатке
поступающие в него параллельные лучи света, ___
образующие всевозможные углы с оптической } ^Т .
осью глаза. L~£
6. Рассмотрим теперь еще один возможный D
случай — интерференцию света в тонких плен- Рис 5.7
ках, толщина которых не одинакова в раз-
ЯыХ местах. На рис. 5.7 изображена простейшая пленка такого типа,
имеющая форму плоского клина с малым углом а между боковыми
гранями. Пусть на клин падает плоская волна, направление распро-
распространения которой совпадает с лучом 1. Направления распространения
интерферирующих волн, возникающих в результате отражения света
от верхней и нижней поверхностей клина, показаны соответственно
лучами Г и 1". Оптическая разность хода между ними выражается
формулами E.10), где d— средняя толщина клина на участке АС.
Поскольку значения i, я3 и n-i постоянны, одинаковым значениям d
соответствуют одинаковые оптические разности хода, а следовательно,
и одинаковые результаты интерференции. Поэтому в отраженном
свете должны наблюдаться интерференционные полосы (линии) равной
толщины.
Верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, так
что лучи Г и /* имеют Несколько различные направления. Для наб-
наблюдателя, смотрящего навстречу этим лучам, они кажутся выходя-
выходящими из точки М, расположенной вблизи Поверхности клина. Поэтому
говорят, что полосы ровной толщины локализованы вблизи поверхности
тонкой пленки, в которой они наблюдаются.
В рассматриваемом случае полосы равной толщины параллельны
ребру клина. Для определения ширины Ду интерференционных полос
в случае монохроматического света с длиной волны К запишем условие
E.11) для двух соседних максимумов интерференции [m-го и (т+1)-го
порядков]:
2dmnt cos r = Bт + 1) у , 2dm+1n2 cos r = Bт + 3)-£,
откуда
2(dm+i—dm)n2cosr = k. E.12)
— 93 —
Если расстояния от ребра клина до рассматриваемых интерферен-
интерференционных полос равны ут и ym+1=ym+A«/, то
E.12')
dm+i—dm = Лг/ tg a « Дуа,
где а — малый угол между гранями клина (преломляющий угол кли-
клина). Из E.12) и E.12') следует
Ау = -— . E.13)
Ввиду малости X преломляющий угол а клина тоже должен быть
очень малым, так как в противном случае полосы равной толщины будут
столь тесно расположены, что их невозможно будет различить.
7. Частным мучаем полос равной толщины являются кольца
Ньютона, которые наблюдаются в схеме, изображенной на рис. 5.8.
Плосковыпуклая линза Л с большим радиу-
радиусом R кривизны выпуклой поверхности обра-
обращена этой поверхностью к плоской пластине
А и соприкасается с ней в точке О. Парал-
Параллельный пучок света падает нормально на
плоскую поверхность ВС линзы и частично
отражается от верхней и нижней поверхнос-
поверхностей воздушного промежутка между линзой и
пластиной. При наложении отраженных волн
возникают интерференционные кольца равной
толщины. Вид этих колец в случае монохро-
монохроматического света показан на том же рис. 5.8
внизу. В центре находится темное пятно (ми-
(минимум нулевого порядка). Оно окружено
системой чередующихся светлых и темных ко-
колец, ширина и интенсивность которых посте-
постепенно убывают по мере удаления от централь-
центрального пятна. В проходящем свете наблюдается
дополнительная картина — центральное пятно
светлое, следующее кольцо темное и т. д.
Оптическая разность хода между лучами,
отраженными от верхней и нижней поверхнос-
поверхностей воздушного зазора на произвольном рас-
Рис. 5.8
у
стоянии r=\DE\ от точки О, равна
где показатель преломления воздуха принят равным единице, а член
к/2 обусловлен сдвигом по фазе на л при отражении света от поверх-
поверхности пластины. Из подобия прямоугольных треугольников EOD и
EDM следует, что \DO\ : |D£|=[D£| : {DM\, где [DO[=\EF\,\DE\=r
и |£>М|=2#—|£F|w2fl, так как |£Т| = А_А<^2#. Таким об-
образом,
94
Из этого соотношения и условий E.9') следует, что радиусы т-х
светлого (т^) и темного (гт) колец Ньютона в отраженном свете равны:
= 1, 2, 3 ...), |
(m = 0, 1,2 ...)• J
Очевидно, что в проходящем свете
У = О, 1,2 ...),
(m=l,2, 3 ...)•
Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всяких,
даже незначительных, дефектах в обработке выпуклой поверхности
линзы и верхней поверхности пластины. Поэтому наблюдение формы
колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и весьма точный
контроль качества шлифовки плоских пластин и линз, а также бли-
близость поверхностей последних к сферической форме.
В заключение следует заметить, что в приведенных выше расчетах для колец
Ньютона мы не случайно пренебрегли влиянием света, отражающегося от верхней
(плоской) поверхности линзы и нижней поверхности пластины. Дело в том, что тол-
толщины центральной части линзы и пластинки на много порядков больше толщины
воздушного зазора вблизи точки О. Поэтому разности хода между световыми вол-
волнами, отражающимися от верхней и нижней поверхностей линзы и пластинки, столь
велики, что интерференция этих волн практически невозможна. Например, как вид-
видно из E.10), в случае нормального падения света 6^2 dn2 и минимальная толщина d\
линзы или пластинки, начиная с которой интерференционная картина полностью сма-
смазывается, в соответствии с форд(уламн E.7) и E.9') равна
_ т0Х _ Я,*
0 2п2 ~~2п2АК '
Для света с длиной волны Я=5000 А и высокой степенью монохроматичности
ДЛ=1 А значение d0 в стекле (яа=1,5) равно
2S- 10е
do=±L-pL- А = 8.10«А = 0,8 мм.
2 I
§ 5.4. Интерферометры
1. Явление интерференции света используется в ряде
весьма точных измерительных приборов, получивших название интер-
интерферометров. На рис. 5.9 изображена принципиальная схема интерфе-
интерферометра Жамена, применяемого для точных измерений показателей
преломления газов и их зависимости от температуры, давления и
влажности. Две совершенно одинаковые толстые плоскопараллельные
стеклянные пластины А и В установлены почти параллельно друг
другу. Лучи света от монохроматического источника S падают на по-
поверхность пластины А под различными углами /, близкими к 45°.
На рис. 5.9 показан только один падающий луч. В результате его
отражения от обеих поверхностей пластины из нее выходят два коге-
когерентных параллельных луча 1 и 2. Пройдя сквозь две совершенно
одинаковые закрытые стеклянные кюветы /Ci и /С2, эти лучи после
отражения от второй пластины В собираются линзой Л и интерфери-
— 95 —
руют. Интерференционные полосы равного наклона рассматриваются
с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одну из
кювет (Ki) заполнить газом, имеющим известный абсолютный показа-
показатель преломления пи а вторую — газом, показатель преломления п3
которого измеряется, то между интерферирующими лучами возник-
возникнет дополнительная оптическая разность хода, равная (я2 — n.i)l.
Соответственно произойдет смещение интерференционной картины на
А/n полос, причем
Ат = (~"'И, так что /ц^/ц + уД/п.
Например, при 1=5 см и А=5000 А смещению полос на 0,1 их ширины,
которое еще можно достаточно надежно зарегистрировать, соответст-
Рис. 5.9
S
Рис. 5.10
2>
вует ничтожно малая разность п2—«ъ
, . 0,1 5 Ю-5 1А_в
2. На рис. 5.10 показана упрощенная схема интерферометра Май-
кельсона. Вертикальный луч монохроматического света от источника
S падает под углом 45° на плоскопараллельную стеклянную пластинку
А, задняя поверхность которой покрыта тонким полупрозрачным слоем
серебра. Часть света отражается от этого слоя (горизонтальный луч 1),
а часть — проходит сквозь него (вертикальный луч 2). Луч 1 отража-
отражается от вертикального плоского зеркала Зг и частично проходит сквозь
пластинку А (луч /'). Луч 2 отражается от горизонтального плоского
зеркала 32 и возвращается к пластинке А, дважды проходя сквозь
стеклянную пластинку В, которая параллельна А и отличается от
нее только тем, что не покрыта слоем серебра. Этот луч частично отра-
отражается от посеребренной поверхности пластинки А (луч 2'). Лучи V
и 2' когерентны. Результат их интерференции зависит от оптической
разности хода луча 1 от точки О до зеркала Зх и луча 2 от точки О
до зеркала 32. Благодаря пластинке В их пути в стекле одинаковы,
поэтому В называют компенсатором. Таким образом, оптическая раз-
разность хода лучей Г и 2' 6=2ni (h—/2), где п% —■ абсолютный показа-
— 96 —
тель преломления воздуха, a h й t%— расстояния от точки О до зеркал
Зу и Зг- Если /i=/2, то наблюдается интерференционный максимум.
Смещение одного из зеркал на расстояние А./4 приводит к возникнове-
возникновению интерференционного минимума. Таким образом, по изменению
интерференционной картины можно судить о малых перемещениях
одного из зеркал и тем самым использовать интерферометр Майкель-
сона для точных измерений длины. Чувствительность этого прибора
можно значительно повысить, если пластинку А освещать параллель-
параллельным пучком света, а зеркала Зг и 32 расположить под двугранным
углом, меньшим или большим я/2 на малую величину а. В этом случае
интерференционная картина будет иметь вид прямолинейных полос
равной толщины, соответствующих воздушному клину между зерка-
зеркалом Зх и мнимым изображением зеркала 32 в «полузеркальном» слое
серебра на поверхности пластинки А. Очевидно, что преломляющий
угол такого клина равен а.
Погрешности при измерении длины с помощью интерферометра
Майкельсона весьма малы (порядка 10~7 м). Этот интерферометр, так
же как и интерферометр Жамена, использует-
используется для точных измерений показателей прелом-
преломления, т. е. в качестве интерференционного
рефрактометра. Его применяют для спект-
спектрального анализа света (интерференционный
спектрометр), т. е. для измерения распреде- Ё
М
7
ления энергии излучения по частотам. Ц-
3. Академик В. П. Линник использовал |
принцип действия интерферометра Майкель- j
сона для создания микроинтерферометра —
высокочувствительного прибора, служащего ?
для контроля чистоты обработки поверхнос- В с
тей металлических изделий. Основным эле- Рис- 51)
ментом микроинтерферометра Линника являет-
является стеклянный кубик А (рис. 5.11), состоящий из двух половин,
склеенных до диагональной плоскости. Одна из склеиваемых поверх-
поверхностей полу посеребрена. Ход лучей в интерферометре показан на
рис. 5.11, где ВС — исследуемая плоская поверхность, а 3 — плоское
зеркало. Двугранный угол между зеркалом и поверхностью ВС отли-
отличается от я/2 на малую величину а. На рис. 5.11 пунктиром DE по-
показано мнимое изображение отражающей поверхности зеркала 3 в
полупосеребренной диагональной плоскости кубика А. Интерферен-
Интерференционные полосы равной толщины для воздушного клина DE — ВС
наблюдаются с помощью микроскопа М. В тех местах поверхности
ВС, где имеются выступы или углубления, наблюдаются искривления
интерференционных полос. С помощью этого прибора можно обнару-
обнаружить штрихи на поверхности детали, глубина которых порядка
10-' м.
4. Интерференционные методы широко используются для сравне-
сравнения и проверки точности изготовления технических эталонов длины,
для точных измерений коэффициентов линейного расширения и про-
проверки качества линз, для исследования ударных волн в газах и т. д.
< А. А. Детлаф. Б. М. Яворский — 97 —
§ 5.5. Интерференция многих волн
1. В предыдущих параграфах мы рассматривали интер-
интерференцию только двух когерентных волн. Например, в случае интер-
интерференции в тонких пленках учитывались только волны, соответство-
соответствовавшие первому отражению от верхней и нижней поверхностей пленки.
В обычных условиях такое упрощение вполне правомерно, так как
при последующих отражениях возникают волны с очень быстро умень-
уменьшающейся интенсивностью. Например, если коэффициент отражения
#=0,05, то интенсивности
волн, соответствующих перво-
первому и второму отражениям от
нижней поверхности пленки,
относятся как 1 : R2, т. е.
отличаются в 400 раз!
При интерференции двух
волн интерференционная кар-
картина характеризуется посте-
постепенным изменением освещен-
освещенности экрана при переходе
от максимумов к минимумам.
Максимумы «размазаны» и по-
поэтому недостаточно четко вы-
выделяются на общем фоне. Освещенность в различных точках экрана
пропорциональна энергии результирующих колебаний, т. е. квадрату
их амплитуды А. Для случая интерференции двух волн с одинаковы-
одинаковыми амплитудами А„ значения А3 выражаются формулой [см. A.36I
Зя/TfJ
Рис. 5.12
где ДФ — разность фаз волн в рассматриваемой точке экрана. За-
Заменив ДФ на оптическую разность хода 6 по формуле E.8), окончатель-
окончательно получим
Л2 = 2Л^1+соз-^) = 4Л2соз2^-. E.15)
Зависимость А3 от яб/А. изображена на рис. 5.12.
2. Совершенно иной характер имеет интерференционная картина
в случае наложения большого числа когерентных волн. Для ее осуще-
осуществления применяются специальные интерференционные приборы:
эталон Фабри — Перо, пластинка Люммера — Герке, дифракционная
решетка.
Эталон Фабри — Перо представляет собой две плоскопараллель-
плоскопараллельные стеклянные (или кварцевые) пластинки В и С (рис. 5.13), располо-
расположенные строго параллельно на небольшом расстоянии одна от другой.
Поверхности пластин, обращенные друг к другу, покрыты тонкими
полупрозрачными слоями серебра и обладают коэффициентом отраже-
отражения света R ~ 0,9—0,95. На эталон Фабри — Перо падает расходя-
расходящийся пучок монохроматического света от источника S. На рис. 5.13
показан один луч, падающий под углом L В воздушном зазоре между
пластинами свет претерпевает многократные отражения от их посереб-
посеребренных поверхностей. Параллельные лучи 1, 2, 3 и т. д., выходящие
из пластины С, собираются линзой Л в одной точке М экрана, находя-
находящегося в фокальной плоскости линзы. Интенсивности этих лучей убы-
убывают в геометрической прогрессии с увеличением их номера. Оптическая
разность хода между каждой парой соседних лучей равна
где d — расстояние между пластинами, п — абсолютный показатель
преломления воздуха, X — длина волны света (второй член в правой
части уравнения учитывает дополнительное двукратное отражение
Л
М
Рис. 5.13
одного из лучей от слоев серебра). Разность фаз между соседними
лучами, соответствующая б0,
Дф 6
Поскольку изменение разности фаз интерферирующих волн на 2л
не влияет на результат интерференции, можно отбросить член 2л,
полагая в дальнейшем
Дфо=;
COS*.
3. На экране наблюдается система интерференционных колец
равного наклона, причем максимумы интенсивности соответствуют
условию
Аф„= я"^СО8' = 2ят, или 2nd cos i = mk (m = 0, 1, 2, ...),
т. е. взаимному усилению всех интерферирующих волн, приходящих
в рассматриваемые точки экрана в «одной фазе». Если амплитуда 1-й
волны At, то результирующая амплитуда в интерференционных мак-
максимумах
N
1= 1
где N — число интерферирующих волн.
4* _ 99 —
Интерференционные максимумы оказываются значительно более
узкими и яркими, чем в случае интерференции Двух волн. Это легко
объяснить на примере интерференции волн с одинаковыми амплиту-
амплитудами Ао:
& — N А и Ая — ЛЛ* л а
Таким образом, энергия результирующих колебаний и освещен-
освещенность экрана в области интерференционных максимумов пропорцио-
пропорциональны квадрату числа N интерферирующих волн. В то же время сум-
суммарная энергия колебаний во всех точках экрана пропорциональна
N, так как по закону сохранения и превращения энергии она должна
быть равна общей энергии всех N волн. Следовательно, возрастание
освещенности экрана в интерференционных максимумах с увеличением
N должно сопровождаться их одновременным сужением, т. е. соответ-
соответствующим расширением площади практически неосвещенных участков
экрана.
4. Найдем значение амплитуды А результирующих колебаний в
произвольной точке М интерференционной картины. Рассмотрим
сначала интерференцию N волн, амплитуды которых одинаковы и
равны Л о, а разности фаз в точке М для (£+1)-й и t-й волн не зависят
от i=l, 2,..., N и равны Д<р0- Для решения этой задачи удобно вос-
воспользоваться графическим методом сложения одинаково направленных
колебаний, основанным на возможности представления гармонического
колебания с помощью вращающегося вектора амплитуды (см. т. I,
§ 8.3). Этот метод векторных диаграмм мы уже несколько раз исполь-
использовали раньше (см. т. I, § 8.3 и 8.6; т. II, §22.2). Вектор амплитуды
результирующих колебаний
N
где А,- — вектор амплитуды 1-го колебания (|А,|=Л0). Векторная ди-
диаграмма сложения А,- показана на рис. 5.14, из которого следует Л==
= 2 \ООг | |sin (а/2)|, а=2я—WДф„ и ] ООг | = 2 Лд° 2). Таким образом,
sin(x-,?VAqW2)j_ - I siri (N Acpo/2) ,r
sin(A(po/2) Г °l sin(Acpe/2) ' K
Энергия (интенсивность) результирующих колебаний пропорциональ-
пропорциональна Аг. Поэтому интенсивность
. f sin^ (NАфо/2) ,г ]7,
где /о — интенсивность колебаний, соответствующих каждой из волн
порознь.
При выводе формул E.16) и E.17) неявно предполагалось, что
[Дфв|^0, л, 2л, Зл и т. д., так как при этих значениях Л<р0 все векторы
А,- направлены вдоль одной прямой и многоугольник векторов, пока-
показанный на рис. 5.14, теряет смысл. Условие
Афо=±2пя (п=0, 1; 2;...) F.18)
- 100-
соответствует одинаковому направлению всех векторов А,, т. е. ин-
интерференционным максимумам, о которых шла речь выше. Эти макси-
максимумы обычно называют главными максимумами. Если
Дфо=±B«+1)л (я=0, 1, 2...), E.19)
то векторы А,- и А/+1 направлены во взаимно противоположные сто-
стороны, т. е. их сумма равна нулю. В этом случае при N четном А =0,
а при N нечетном А=А0.
5. Из формулы E.17) определим «шири-
«ширину» главных максимумов, т. е. расстояние
между двумя ближайшими к ним минимумами
интенсивности. Для нулевого главного макси-
максимума (я=0), как видно из E.18), Д<ро=0.
Ближайшие к нулю значения Дф0, при кото-
которых интенсивность / становится равной ну-
нулю, удовлетворяют следующему условию, вы-
вытекающему из формулы E.17):
Л/Дфо/2=±я. E 20)
Таким образом, «ширина» интерференциоЕшо-
го максимума равна 4 nlN, т. е. обратно про-
пропорциональна числу интерферирующих волн.
Следующие значения Дф0, при которых
наблюдаются интерференционные минимумы,
определяются из условий
N Дф0
= ±2я; ±3я;
E.21)
Между каждой парой минимумов находится один максимум. Эти максимумы назы-
называются побочными. Их интенсивность при больших N ничтожно мала по сравнению с
интеисивностями главных максимумов. График зависимости интенсивности / от
Дфо по формуле E.17) показан на рис. 5.15.
2% Л%
Если амплитуды интерферирующих волн не одинаковы, то по-прежнему можно
пользоваться векторной диаграммой сложения амплитуд. Однако эта диаграмма бу-
будет отлична от изображенной на рис. 5.14. Если амплитуды Л,- монотонно уменьша-
уменьшаются с ростом i, то векторная диаграмма будет иметь вид скручивающейся «спирали»,
состоящей из отдельных прямолинейных участков.
6. Формулу E.16) легко обобщить на случай интерференции сколь угодно боль-
большого числа N плоских волн с малыми амплитудами АА и малыми разностями фаз
Афо=1^-. где Дф — разность фаз между крайними волнами (jV-й и 1-й). Заменив
— 101 —
в E.16) Ао на АА, получим
Л=ДЛ
sin (Дф/2)
sin (&w/2N)
А *
sin(Acp/2)[
(Дф/2) I'
E.22)
где /4макс= АА -N — максимальное значение амплитуды результирующих колебаний,
соответствующее условию Дф=Дфо=О> а 8т(Дф/2Л')=Дф/2Л' ввиду малости аргу-
аргумента синуса.
Очевидно, что формула E.22) абсолютно точна только для интерференции бес-
бесконечно большого числа элементарных плоских волн с бесконечно малыми амплиту-
амплитудами, сумма которых конечна и равна Лмакс. и начальными фазами, непрерывно за-
заполняющими конечный интервал значений, ширина которого равна Дер. Векторная
диаграмма сложения амплитуд этих волн отлична от диаграммы на рнс. 5.14: она
представляет собой дугу окружности, длина которой равна ЛМако а Радиус R=
Глава VI
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
§ 6.1. Принцип Гюйгенса — Френеля
1. В геометрической оптике широко пользуются поня-
понятием светового луча, т. е. узкого пучка света, распространяющегося
прямолинейно. Прямолинейность распространения света в однородной
среде настолько привычна, что кажется очевидной. Убедительным
подтверждением этого закона может служить образование тени позади
непрозрачного препятствия, находящегося на пути света, излучаемого
точечным источником. Границы тени определяются лучами света, кото-
которые проходят мимо препятствий, касаясь его поверхности.
Прямолинейность распространения света легко объяснялась теори-
теорией И. Ньютона A704), господствовавшей в физике XVIII в. Согласно
этой теории, свет представляет собой поток особых частиц (световых
корпускул), которые в однородной среде движутся равномерно и
прямолинейно. В то же время прямолинейность распространения света
вовсе не была столь очевидна с позиций волновой теории. Ведь по
принципу Гюйгенса каждую точку поля волны можно рассматривать
как источник вторичных волн, распространяющихся вперед по всем
направлениям, в том числе и в область геометрической тени препятст-
препятствия. Иначе говоря, волны должны огибать препятствия. Таким об-
образом, неясно, как вообще может возникать сколько-нибудь четкая
тень, если свет имеет волновую природу? Первоначальная волновая
теория света, предложенная Гюйгенсом A690), не могла дать ответа
на этот вопрос. Однако серьезные трудности имелись и у привержен-
приверженцев корпускулярной теории света, например в объяснении явления
интерференции. Кроме того, опыты показали, что закон прямолиней-
прямолинейного распространения света не является универсальным. Он особенно
заметно нарушается при прохождении света сквозь достаточно узкие
щели и отверстия, а также при освещении небольших непрозрачных
препятствий. В этих случаях на экране, установленном позади от-
отверстий или препятствий, вместо четко разграниченных областей света
и тени наблюдается система интерференционных максимумов и мини-
минимумов освещенности. Например, если на небольшой непрозрачный
диск падает свет от точечного источника S, расположенного напро-
напротив центра О диска, то на экране, установленном позади диска, наблю-
наблюдается система концентрических темных и светлых колец. Самым пара-
парадоксальным является то, что в центре колец, находящемся в точке пе-
пересечения прямой 50 с экраном, наблюдается светлое пятно! По мере
увеличения радиуса диска интенсивности этого пятна и других свет-
светлых колец постепенно уменьшаются и позади диска образуется область
геометрической тени. Однако даже для препятствий и отверстий, имею-
имеющих большие размеры, строго говоря, нет резкого перехода от тени к
свету. Всегда существует некоторая переходная область, в которой
можно обнаружить слабые интерференционные максимумы и мини-
минимумы.
- 103 —
Явления, возникающие при распространении света в среде с резко
выраженными неоднородностямн, получили название дифракции света.
2. Решающую роль в утверждение в начале XIX в. волновой тео-
теории света и ее дальнейшем развитии, позволившем, в частности, объяс-
объяснить дифракцию света и дать методы ее количественного расчета, сыграл
О. Френель. Ему удалось также показать, что закон прямолинейного
распространения света является приближенным. Оказалось, что этот
закон, а также и вся геометрическая оптика абсолютно точны лишь в
пределе — при длине волны света А,-»-0.
При рассмотрении дифракции света Френель исходил из несколь-
нескольких основных утверждений, принимаемых без доказательства и состав-
составляющих содержание так называемого принципа Гюйгенса — Френеля.
Во-первых, следуя Гюйгеноу, Френель считал, что для решения
задачи о распространении волн, возбуждаемых каким-либо источником
So, можно заменить источник Sa эквивалентной ему системой фиктив-
фиктивных (или виртуальных) вторичных источников и возбуждаемых ими
вторичных волн. В качестве этих источников можно выбрать малые
участки любой замкнутой поверхности S, охватывающей Sa.
Во-вторых, Френель существенно развил принцип Гюйгенса (см.
§ 1.4), предположив, что вторичные источники, эквивалентные одному
и тому же источнику Sv, когерентны между собой. Поэтому в любой точ-
точке вне вспомогательной замкнутой поверхности 5 волны, реально
распространяющиеся от источника So, должны являться результатом
интерференции всех вторичных волн. Выбор поверхности
S совершенно произволен и в каждой конкретной задаче производится
таким образом, чтобы максимально упростить ее решение. Чаще всего
предполагают, что поверхность S совпадает с положением в некоторый
момент времени одной из волновых поверхностей, соответствующих
источнику So. Очевидно, что при таком выборе S все вторичные источ--
ники колеблются в одной фазе.
Эти два исходных положения еще недостаточны для количествен-
количественного расчета дифракции света, так как они ничего не говорят об интен-
интенсивности и характере направленности излучения вторичных источни-
источников. Поэтому Френель высказал третье предположение о том, что
для поверхности S, совпадающей с волновой поверхностью, мощности
вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Кроме
того, он считал, что каждый вторичный источник излучает свет пре-
преимущественно в направлении внешней нормали п к волновой поверх-
поверхности в этой точке: амплитуда вторичных волн в направлении, состав-
составляющем с п угол а, тем меньше, чем больше угол а, и равна нулю при
а ^ it/2. Таким образом, Френель исключил возможность возникно-
возникновения «обратных вторичных волн», распространяющихся от вторичных
источников внутрь области, ограниченной поверхностью S. Наконец,
Френель предполагал, что в том случае, когда часть поверхности 5
прикрыта непрозрачными экранами, вторичные волны излучаются
только открытыми участками поверхности S. Излучение этих участков
Френель считал не зависящим от материала, формы и размеров экра-
экранов, т. е. осуществляющимся так же, как если бы экранов не
было.
— 104 —
3. Исходя из принципа Гюйгенса — Френеля, легко получить
эакон прямолинейного распространения света в свободной от препят-
препятствий однородной среде. Пусть So—точечный источник света (рис. 6.1),
М — произвольная точка, в которой нужно найти амплитуду коле-
колебаний А. Построим сферическую волновую поверхность S, радиус Я
которой меньше расстояния S0M на величину L, причем R^>X и
L^>X (X — длина волны света). Искомая амплитуда А зависит от
результата интерференции вторичных волн, излучаемых всеми уча-
участками dS поверхности S. Непосредственное решение этой задачи до-
достаточно сложно, так как амплитуды и начальные фазы вторичных
волн зависят от расположения соответствующих им источников dS
Рис. 6.1
Рис. 6.2
по отношению к точке М. Поэтому Френель предложил оригинальный
метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший силь-
сильно упростить решение (метод зон Френеля).
Способ построения зон Френеля показан на рис. 6.1. Границей пер-
первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящиеся
на расстоянии L+X/2 от точки М. Точки сферы S, находящиеся на рас-
расстояниях L+2K/2, L+3K/2 и т. д. от точки М, образуют границы 2-й,
3-й зон Френеля и т. д. Очевидно, что колебания, возбуждаемые в точ-
точке М двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как
разность хода от сходственных точек этих зон до точки М равна Я/2.
При наложении они попарно ослабляют друг друга. Следовательно,
если Л1( Л2 и т. д.— амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке М
порознь 1-й, 2-й зонами и т. д., то амплитуда результирующих коле-
колебаний
Л=Л1-Л3+Л3-Л4+... F.1)
Величина Ai зависит от площади сг(. 1-й зоны и угла а{ между внеш-
внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо ее точке и прямой,
направленной из этой точки в точку М. На рис. 6.2 точки В и В' соот-
соответствуют внешней границе г-йзоны; ]BC\=rt— внешний радиус t-й зо-
зоны, а |СО|=А,-—^высота шарового сегмента ВОВ'. Из прямоугольных тре-
треугольников SaBC и МВС следует, что г? =R^~ (R—kiK= (Ь+Ш2J~
— (L-\-hiY, откуда после несложных преобразований найдем
105 —
Так как % <^ L, то при не очень больших i вторым членом в правой
части уравнения можно пренебречь по сравнению с первым, так что
Боковая поверхность шарового сегмента ВОВ', представляющая
сумму площадей всех i зон начиная с первой, равна
Полагая t = l, 2, 3 и т. д., найдем, что все зоны Френеля равновелики
по площади:
В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол а,- и в соот-
соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля уменьшается интенсив-
интенсивность излучения зоны в направлении точки М, т. е. уменьшается
амплитуда Л,-. Она уменьшается с ростом i также и вследствие увели-
увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, А±> А2>
>Аа >... > А{>... Общее число N зон Френеля, умещающихся на
части сферы, обращенной к точке М, очень велико:
l+n\=V(L+ry-r\ n = ~[VU+2Lr-l].
Если i?=L=10 см и Х=5- 1СЬ5 см, то
N& 3-105.
Поэтому можно считать, что в пределах не слишком больших
изменений i зависимость At от t является линейной, т. е.
А{ = а—Ы, At_1 = a—b(i — l) и Ai+1 = a—b{l + l),
или
At = (At_x + Al+1)l2. F.2)
Перепишем теперь F.1) в следующем виде:
так как по F.2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Фор-
Формула F.3) показывает, что результирующее действие в точке М пол-
полностью открытого фронта световых волн, возбуждаемых источником
So, равно половине действия одной только центральной зоны Френеля,
радиус Гх которой сравнительно мал (при R=L—10 см и "к—5- l(hB см,
Г\ at 0,016 см). Следовательно, с достаточно большой точностью мож-
можно считать, что в свободном пространстве свет от источника So в точку
М распространяется прямолинейно.
— 106 —
§ 6.2. Дифракция в сходящихся лучах
(дифракция Френеля)
1. Рассмотрим дифракцию сферической волны на круг-
круглом отверстии ВС в непрозрачном экране (рис. 6.3). Дифракционная
картина наблюдается на экране Э, параллельном плоскости отверстия
и находящемся от него на расстоянии L. Вопрос о том, что будет наб-
наблюдаться в точке М, лежащей против центра отверстия, легко разре-
разрешается путем построения на открытой части ВС фронта волны зон
Френеля, соответствующих точке М. Если в отверстии ВС укладыва-
укладывается т зон Френеля, то в соответствии с формулами F.1) и F.2) амп-
амплитуда А результирующих колебаний в точке М зависит от четности
или нечетности т:
А = А,-А2 + А,- ... +(_1)-Мв=«
-£• + -£ (т—нечетное),
— — Ат (т — четное).
В первом случае (т — нечетное) в точке М наблюдается интерфе-
интерференционный максимум, во втором — минимум. Очевидно, что макси-
максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе
величина Ат к Ль При неизменном поло-
положении источника света число зон т зави-
зависит от диаметра отверстия и расстояния L.
Следовательно, при изменении диаметра
отверстия или удалении от него или приб-
приближении к нему экрана Э результат ин-
интерференции света в точке М должен
изменяться. Если диаметр отверстия велик,
так что Ат <zt Аи то никакой интерферен-
интерференционной картины на экране не будет — 3'
свет в этом случае распространяется практи-
практически также, как и в отсутствие непрозрач-
непрозрачного экрана с отверстием, т. е. прямолинейно.
Расчет амплитуды результирующих колебаний в других точках
экрана Э значительно более сложен, так как соответствующие им
зоны Френеля оказываются частично закрытыми непрозрачным экра-
экраном. Из соображений симметрии и закона сохранения энергии очевид-
очевидно, что интерференционная картина вблизи точки М экрана Э должна
иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке
Л1чПо мере удаления от М интенсивность максимумов света убывает.
Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом,
то кольца имеют многоцветную (радужную) окраску, так как число
зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от длины волны
света.
2. Из теории Френеля следует, что в том случае, когда в отверстии
укладывается только одна зона Френеля, в точке М амплитуда Л =
=Ai, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с
— 107 —
отверстием (соответственно интенсивность света вчетверо больше).
Величину А можно сделать очень большой с помощью так называемой
зонной пластинки — стеклянной пластинки, на поверхность которой
нанесено непрозрачное покрытие таким образом, что оно закрывает
все четные зоны Френеля и оставляет открытыми все нечетные зоны
(либо, наоборот, закрывает все нечетные зоны и оставляет открытыми
все четные зоны). Если общее число зон, умещающихся на пластинке,
равно 2k, то Л=Л1+Л3 + . ■ .-\-Аак_1. Если 2k не слишком велико, то
Ask-i ж Аг и А & kAu т. е. ос-
освещенность экрана в точке М в
BkJ раз больше, чем при беспре-
беспрепятственном распространении све-
света от источника в точку М.
3. В случае дифракции света
на круглом непрозрачном диске
ВС (рис. 6.4) закрытый им учас-
участок фронта волны нужно исключить
из рассмотрения и строить зоны
Френеля, начиная с краев диска.
На рис. 6.4 показано построение
этих зон для точки М экрана Э,
лежащей напротив центра диска (L — расстояние от точки М до краев
диска В и С). Амплитуда Л в точке М определяется совместным дей-
действием всех открытых зон, начиная с первой:
Таким образом, в точке М всегда наблюдается интерференционный
максимум (светлое пятно). Так же как и в случае дифракции на круг-
круглом отверстии, центральный максимум окружен концентричными с
ним чередующимися темными и светлыми интерференционными коль-
кольцами. С увеличением радиуса диска первая открытая зона удаляется
от точки М и, что особенно существенно, увеличивается угол а* между
нормалью к поверхности этой зоны в какой-либо ее точке и направле-
направлением излучения в сторону точки М. Поэтому интенсивность централь-
центрального максимума ослабевает при увеличении размеров диска. Если ра-
радиус диска во много раз больше радиуса закрытой им центральной
зоны Френеля, то позади диска наблюдается обычная тень, вблизи
границ которой имеется очень слабая интерференционная картина.
Очевидно, что в этом случае можно пренебречь дифракцией света и
пользоваться законом прямолинейного распространения света.
4. Из рассмотренных примеров видна плодотворность принципа
Гюйгенса — Френеля и основанного на нем метода зон, позволяющих
сравнительно просто рассчитывать интенсивность света для различ-
различных случаев дифракции. Однако, пользуясь этим принципом, нужно
всегда иметь в виду, что он является лишь приближенным расчетным
приемом, заменяющим строгое решение задачи о распространении
— 108 —
света. Точное решение волнового уравнения при заданных граничных
условиях сопряжено с большими математическими трудностями и
пока найдено лишь для некоторых простейших случаев дифракции.
В теории Френеля предполагается, что амплитуды и начальные
фазы колебаний в точках поверхности S, не закрытых непрозрачными
экранами, такие же, как и в отсутствие последних. На самом деле это
предположение неправильно, так как граничные условия в точках
поверхности экрана зависят от его материала. Например, в случае
металлического экрана с очень высокой электропроводностью вектор
Е на внешних границах экрана или на границах отверстий в нем
должен быть направлен по нормали к соответствующему участку
поверхности экрана. Однако влияние материала экрана на поле элек-
электромагнитной волны сказывается лишь на малых расстояниях от
экрана, имеющих величину порядка длины волны X. Поэтому теория
Френеля хорошо согласуется с опытом для дифракции света на от-
отверстиях и экранах, размеры которых значительно больше Я.
Второй недостаток теории Френеля состоит в том, что она дает
неправильные значения фазы результирующей волны. Так, например,
при графическом сложении векторов амплитуд колебаний, возбуждае-
возбуждаемых в рассматриваемой точке М весьма малыми элементами полностью
открытого фронта волны, оказывается, что фаза результирующего
вектора А отличается на л/2 от начальной фазы колебаний в точке М,
происходящих в действительности. Для устранения этой ошибки в
фазе нужно считать, что колебания всех вторичных источников,
расположенных вдоль некоторой поверхности S, совершаются с опе-
опережением по фазе на л/2 по сравнению с колебаниями в соответствую-
соответствующих точках поверхности S, вызываемых первичной волной.
Наконец, третий недостаток теории Френеля заключается в том, что
она базируется на чисто качественном допущении о зависи-
зависимости амплитуды вторичных волн от угла а между рассматриваемым
направлением излучения и нормалью к фронту первичной волны. Коли-
Количественный вид этой зависимости /(а) в теории Френеля остался не-
неизвестным.
Математическое обоснование и уточнение принципа Гюйгенса —
Френеля было даио Г. Кирхгофом A882) на основе анализа свойств
решения волнового уравнения. В частности, Кирхгоф показал, что
/(а) ~ A+cos а), т. е. амплитуда вторичных волн равна нулю не при
а ^ я/2, как считал Френель, а лишь при а=я. Однако во многих
случаях дифракции угол а близок к нулю и это уточнение несущест-
несущественно.
§ 6.3. Дифракция в параллельных лучах
(дифракция Фраунгофера)
1. Дифракция в параллельных лучах впервые была рас-
рассмотрена И. Фраунгофером A821—1822). Для получения пучка парал-
параллельных лучей света, падающих на препятствие (отверстие или непро-
непрозрачный экран), обычно пользуются небольшим источником света,
который помещается в фокусе собирающей линзы. Распределение по
— 109 —
различным направлениям интенсивности света за препятствием иссле-
исследуется с помощью второй собирающей линзы и экрана, расположенного
в фокальной плоскости линзы. При визуальном наблюдении вместо
линзы и экрана пользуются зрительной трубой, настроенной на бес-
бесконечность. Наибольший практический интерес представляют случаи
дифракции, наблюдающиеся при прохождении плоской волны сквозь
узкую щель или круглое отверстие в непрозрачном экране и дифрак-
дифракционную решетку.
2. Пусть параллельный пучок монохроматического света падает
нормально на непрозрачный экран Е (рис. 6.5), в котором прорезана
узкая щель ВС, имеющая постоянную
ширину Ь= \ВС\ и длину l^> b. Ъ соот-
соответствии с принципом Гюйгенса — Фре-
Френеля точки щели являются вторичными
источниками волн, колеблющимиря в
одной фазе, так как плоскость щели сов-
совпадает с фронтом падающей волны. Если
бы при прохождении света через щель
соблюдался закон прямолинейного рас-
распространения света, то на экране Э,
установленном в фокальной плоскости
собирающей линзы Л, получилось бы
изображение источника света. Вследст-
Вследствие дифракции на узкой щели картина
коренным образом изменяется: на экране
наблюдается система интерференцион-
интерференционных максимумов — размытых изображе-
изображений источника света, разделенных тем-
темными промежутками интерференционных минимумов.
В побочном фокусе линзы F^ собираются все параллельные лучи,
падающие на линзу под углом г|з к ее оптической оси OF0, перпендику-
перпендикулярной фронту падающей волны. Оптическая разность хода б между
крайними лучами CN и ВМ, идущими от щели в этом направлении,
равна
Рис. 6.5
6=
=fc sin
где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на
луч CN, а абсолютный показатель преломления воздуха приближенно
считается равным единице.
Разобьем щель ВС на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллель-
параллельных ребру В щели. Ширина каждой зоны равна i/Bsin^), так что
оптическая разность хода лучей, проведенных из краев зоны парал-
параллельно ВМ, равна У2. Все зоны в заданном направлении излучают свет
совершенно одинаково. При интерференции света от каждой пары со-
соседних зон амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так
как эти зоны вызывают колебания с одинаковыми амплитудами, но
противоположными фазами. Таким образом, результат интерференции
света в точке Рф определяется тем, сколько зон Френеля укладывается
— но —
в щели. Если число зон четное:
(m=l;2;
F.4)
то наблюдается дифракционный минимум (полная темнота). Знак минус
в правой части формулы F.4) соответствует лучам света, распростра-
распространяющимся от щели под углом — фи собирающимся в побочном фокусе
^_Ф линзы Л, симметричном с F^ относительно главного фокуса Fo.
Если число зон нечетное:
)| (т=1; 2; ...), F.5)
то наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию
одной зоны Френеля. Величина т называется порядком дифракцион-
дифракционного максимума.
В направлении ij)=0 наблюдается самый интенсивный центральный
максимум нулевого порядка: колебания, вызываемые в точке Fo всеми
участками щели, совершаются в одной фазе.
3. Расчет дифракционной картины, основанный на использовании метода зон
Френеля, является приближенным. Точное решение этой задачи осуществляется
путем разбиения щели на бесконечное число одинаковых бесконечно узких полос,
параллельных ребру В. Вторичные волны, излучаемые этими малыми элементами ще-
щели в направлении луча ВМ, имеют одинаковые бесконечно малые амплитуды, а их
начальные фазы заключены в интервале шириной Д<р=2 nb sirup/A,.
Результат интерференции этих волн дается формулой E.22):
. Дф
sln 2
Дф
~2~
я
. л Ъ sin ib
sin s—-
F.6)
где Лманс=А0— амплитуда колебаний в дифракционном максимуме нулевого поряд-
порядка, т. е. при 1р=0; Лф — амплитуда результирующих колебаний, соответствующих
произвольному углу дифракции \р.
Из формулы F.6) следует условие дифракционных минимумов
= 0 при
nb sin 'ф
=±2m~2 (m=l; 2; ...),
которое тождественно условию F.4), полученному с помощью приближенного метода
зон Френеля.
Точное условие дифракционных максимумов несколько отличается от прибли-
приближенного условия F.5). В согласии с формулой F.6) точное условие соответствует
sin (Дф/2) .„ _.
максимумам функции —^—^—-, в то время как условие F.5) соответствует макси-
максимумам только sin (Дф/2). Точное условие максимумов имеет вид
' nb sin i|)\ nb sin ф
или
F.7)
Значения Кт =
для максимумов нескольких порядков, вычисленные
по формулам F.5) и F.7), приведены в табл. 6.1.
— 111 —
Порядок
максимума
т
Таблица 6.1
Значения Km
по фор-
формуле
F.7)
по фор-
формуле
F.5)
'mil.
0
1
2
3
4
0
1,43
2,46
3,47
4,48
0
1
2
3
4
,50
,50
,50
,50
1
0
0
0
0
,045
,016
,008
,005
Из этой таблицы видно, что различия
между значениями Km* определенными по
формулам F.7) и F.5), очень невелики.
Поэтому в дальнейшем мы будем пользо-
пользоваться более простой формулой F.5).
Интенсивности света /ф в различных
точках экрана Э (рис. 6.5) пропорциональ-
пропорциональны квадратам амплитуды А$. Из форму-
формулы F.6) следует, что
. . I nb sin i]) \
SlHa I r—— 1
F.8)
где /„— интенсивность центрального максимума, соответствующего г|)=0. Зависи-
Зависимость /0 от (b sini|)/X) показана на рис. 6.6. Основная часть света приходится на цен-
центральную часть экрана, ограниченную двумя минимумами первого порядка F sitii|)=
==tA.). Из формул F.8) и F.5) можно найти относительные интенсивности остальных
максимумов:
S. F-9)
где щ—\; 2; 3; ... — порядок максимума. Значения /П1//о даны в табл. 6.1.
4. Дифракционная картина на экране Э (см. рис. 6.5) зависит от
отношения ширины щели Ь к длине волны света к. В самом деле, если
Ь=тк, где т — целое число,
то, как видно из соотношения
F.4), угол гр, соответствующий
минимуму т-го порядка, ра-
равен л/2. Следовательно, сколь
бы ни были велики размеры
линзы Л и экрана, на экране
нельзя наблюдать дифракцион-
дифракционные максимумы, порядок кото-
Jl Isinv
' -з -z -j
О 1 2
Рис. 6.6
рых больше т — 1.
Шириной дифракционного
максимума на экране Э назы-
называется расстояние между дву-
двумя ближайшими к нему диф-
дифракционными минимумами. Например, ширина максимума нулевого
порядка равна расстоянию между двумя минимумами первого поряд-
порядка. Если Ы"к невелико, т. е. щель очень узка, то все наблюдающиеся
максимумы очень широки и дифракционная картина малоконтрастна.
Кроме того, поток энергии через узкую щель крайне невелик, так что
интенсивность даже нулевого максимума очень мала. Наоборот,
если Ык велико (широкая щель), то центральный максимум очень
узкий и яркий. Он представляет собой не что иное, как изображение
источника света, образуемое на экране линзой Л в соответствии с за-
законами геометрической оптики.
5. До сих пор предполагалось, что щель освещается монохромати-
монохроматическим светом. Положения дифракционных минимумов и максимумов
зсех порядков, начиная с первого, зависят от длины волны света X,
— 112 —
Поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум
имеет радужную окраску по краям. Полное гашение света не происхо-
происходит ни в одной точке экрана, так как максимумы и минимумы света с
разными X перекрываются.
6. Большой практический интерес представляет дифракция плос-
плоской волны при прохождении через круглое отверстие. С этим типом
дифракции приходится иметь дело в различных оптических приборах,
в которых роль отверстия играют оправы объективов. Если падающий
пучок монохроматического света нормален к плоскости отверстия, то,
как показывают расчеты, которые мы не приводим ввиду их матема-
математической сложности, дифракционная картина в фокальной плоскости
линзы имеет вид центрального светлого пятна, расположенного в
главном фокусе линзы и окруженного системой чередующихся темных
и светлых колец х. Интенсивности светлых колец очень малы по срав-
сравнению с интенсивностью центрального максимума (например, /i=
=0,018 /о) и быстро убывают с увеличением порядка максимума. Угол
а|)ь соответствующий первому темному кольцу, определяется из уело-
F.10)
I Ы I М Ы h\ I
где D — диаметр отверстия.
Если свет падает на отверстие под небольшим углом а, то харак-
характер дифракционной картины не изменяется, но ее центр перемещается
в побочный фокус линзы, соот-
соответствующий углу i|j=a.
7. В заключение этого пара-
параграфа рассмотрим дифракцию
света, обусловленную действием
так называемой дифракционной
решетки. Этот* случай дифрак-
дифракции наиболее важен, так как
широко используется во многих
экспериментальных методах
спектрального анализа света.
Простейшая дифракционная ре-
решетка представляет собой сис-
систему из большого числа одина-
одинаковых по ширине и параллель-
параллельных друг другу щелей, лежащих
в одной плоскости и разделенных
непрозрачными промежутками,
равными по ширине. На "рис. 6.7 показаны только две соседние щели
ВС и DE. Ширину щелей обозначим через Ь, а ширину непрозрач-
непрозрачных промежутков — через а. Величина d=a+b называется периодом
дифракционной решетки.
При освещении решетки монохроматическим светом дифракцион-
дифракционная картина на экране Э значительно сложнее, чем в случае одной
щели, так как свет от разных щелей также интерферирует.
1 Предполагается, что источник света точечный.
Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падаю-
падающей нормально на поверхность решетки. Колебания во всех точках
щелей происходят в одной фазе, так как эти точки находятся на одной
и той же волновой поверхности. Найдем результирующую амплитуду
А колебаний в точке F^ экрана Э, в которой собираются лучи от всех
щелей решетки, падающие на линзу Л под углом ^ к ее оптической
оси 0Fe. Воспользуемся для этой цели векторной диаграммой сложе-
сложения амплитуд (см. рис. 5.14):
J
где А; — вектор амплитуды колебаний, вызываемых действием одной
i-й щели, N — число щелей в решетке. В одном и том же направлении
все щели решетки излучают свет совершенно одинаково. Поэтому
все векторы А,- равны по модулю |A,-|=j4^. Сдвиг фаз Аф0 между век-
векторами А,- и Аг-+1 определяется оптической разностью хода б от сход-
сходственных точек двух соседних щелей до точки F^. Например, для ще-
щелей ВС и DE на рис. 6.7 сходственными являются точки В и D, С и Е
и т. д. Поэтому
6 = |ШГ| = rising и Дфо = -я- = j^1» F.П)
где К —■ основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч
DN, X — длина волны света, а абсолютный показатель преломления
воздуха принят равным единице. Теперь можно воспользоваться ре-
результатами, полученными в § 5.5. Из формулы E.6), где Ай=-А^, и
выражения F.11) для Аф0 следует, что
(nNd sin
А = А
sin
V
sin
nd sin
Значение Аф для дифракции на одной щели было найдено выше [см. формулу
F.6)]. Поэтому для амплитуды А и интенсивности / колебаний в произвольной точке
£ф экрана справедливы формулы:
sin
( nb sin if \
nb sin -ф
( nb sin o|j \
{ К )
sin
sin2
( nNd sin -ф ^
V X )
( nd sin ijj \
V л J
/" яЛ'й sin ijj \
\ % )
nb sin
sin2
nd sin
F.12)
F.12')
где Ao и /0— соответственно амплитуда и интенсивность колебаний в точке Fo (соот-
(соответствующей углу \f=0), обусловленные действием одной щели.
Из формул E.18) и F.11) вытекает следующее условие для главных
максимумов:
dsint|)=±«k, F.13)
где п=0; 1; 2; ...— порядок главного максимума.
— 114 —
Главные минимумы соответствуют таким углам i|), для которых
Лф=0, т. е. свет от разных частей каждой щели полностью погаша-
погашается в результате интерференции. Условие главных минимумов выра-
выражается соотношением F.4):
Ъ sint|)= ± пй. (т=\; 2;...).
Главные максимумы, соответствующие тем углам ■ф, которые одно-
одновременно удовлетворяют условиям F.13) и F.4), не наблюдаются.
Например, если d=2b, то все четные максимумы (п=2; 4; 6 и т. д.)
отсутствуют.
Из формул F.12') и F.13) легко найти интенсивности /„ главных максимумов.
В главных максимумах ое= . = ± шх и вторая дробь в F.12') представляет
собой неопределенность вида -jr .'Для раскрытия этой неопределенности нужно вос-
воспользоваться правилом Лопиталя:
а->±ля sm2a а±
За*
Следовательно,
nnb
8. Кроме главных максимумов имеется, как показано в § 5.5,
большое число "очень слабых побочных максимумов, разделенных до-
дополнительными минимумами. Последние определяются условиями
E.20) и E.21), которые с помощью формулы F.11) представим в виде
d sin $= ± рШ, F.14)
где р принимает любые целые значения, кроме N, 2N, 3N и т. д.
Из F.14) и F.13) легко найти угловую ширину главного максимума
n-го порядка, т. е. разность А.^п=^2п—t|)in углов ■ф, соответствующих
двум ближайшим к нему дополнительным минимумам:
. , Nn+l . . , Nn — l - . , пХ
sm^2«= Nd l' sin■*!« = "iva—*•• sm^ = -j->
где ipn — угол ijj, соответствующий главному максимуму. Поэтому
2Я.
щ F.15)
Из тригонометрии известно, что
sin ф2„-sin ^„ = 2 cos ^«+^* sin ***-Ъп t
— 115 —
При больших N разность г|ззп — i|)in очень мала, так что
да 2ф„ и sin 1|?2"~ф'" «-^ . Поэтому
Для главных максимумов не слишком высоких порядков углы г|з„
невелики и cosi^» 1, так что угловая ширина этих максимумов
обратно пропорциональна длине решетки Nd. Например, при Nd—
= 1 см и 2»=5500 А Аг^л, да 10"* рад» 21". Таким образом, дифракци-
дифракционная картина, создаваемая решеткой, состоит из системы узких ярких;
полос, разделенных сравнительно широкими темными промежутками.
9. Если дифракционная решетка освещается белым светом, то
для разных значений Я положения всех главных максимумов, кроме
центрального (п—0), не совпадают друг с другом. Поэтому централь-
центральный максимум имеет вид белой полоски, а все остальные — радужных
полосок, называемых дифракционными спектрами первого, второго
и т. д. порядков. В пределах каждой полоски окраска изменяется от
фиолетовой у внутреннего края (ближайшего к максимуму нулевого
порядка) до красной у наружного края. Это свойство дифракционной
решетки широко используют для исследования спектрального состава
света, т. е. определения частот (или длин волн) и интенсивностей всех
его монохроматических компонент. Применяемые для этого приборы
называют дифракционными спектрографами, если исследуемый спектр
регистрируется с помощью фотопластинки, и дифракционными спект-
спектроскопами, если спектр наблюдается визуально.
Обычно используют более яркие спектры первых порядков, для
которых -з-^ 1 и sin tyn «; i|>n. Поэтому угол i|)n для я-го дифракцион-
дифракционного максимума света с длиной волны к прямо пропорционален К
т. е. дифракционной спектр является линейным.
§ 6.4. Дифракция на пространственных решетках.
Дифракция рентгеновского излучения
1. Условия прохождения света через обычную дифрак-
дифракционную решетку (см. § 6.3) периодически изменяются только в одном
направлении, перпендикулярном оси каждой щели. Поэтому такую
решетку называют одномерной. В этом параграфе мы продолжим
изучение дифракции плоских волн на более сложных решетках —
двумерной и трехмерной (или пространственной). Простейшая дву-
двумерная решетка представляет собой две одномерные решетки, сло-
сложенные так, что их щели взаимно перпендикулярны. Дифракцию
света на такой решетке можно рассматривать как результат совмест-
совместного действия двух одномерных решеток. Проведем ось Z перпендику-
перпендикулярно плоскости решетки, а оси X и У — перпендикулярно щелям
обеих решеток, периоды которых равны соответственно d\ и d2. Пусть
на решетку падает распространяющийся вдоль оси Z узкий пучок мо-
монохроматического света. Тогда в согласии с соотношением F.13) для
— 116 —
одномерной решетки главные максимумы двумерной решетки удовлет-
удовлетворяют условиям
di cos ax = ± П\ А. и d2 cos a2 = + /г2 Я, F.17)
где аг и а2 — углы между положительными направлениями осей
X и Y и направлением на главный максимум, a «i и п2 принимают
значения 0, 1, 2 и т. д. Угол а3 между положительным направле-
направлением оси Z и направлением на рассматриваемый максимум найдем
из условия для направляющих косинусов прямой:
cos2»! + cos2a2+cos2a3 = 1. F.18)
Дифракционная картина представляет систему светлых пятен,
расположенных в определенном порядке на плоскости экрана. Разме-
Размеры этих пятен уменьшаются при увеличении числа щелей Ni и N2
обеих одномерных решеток. Поэтому при
больших Nx и N2 интенсивность в интерфе- _, £ 1
ренционных максимумах весьма велика и
Уг\
Z
р у
постепенно убывает от центра дифракцион- -* Фъ
ной картины к ее периферии. / /
2. Простейшую трехмерную дифракцион-
дифракционную решетку можно представить в виде сис-
системы из JV8 совершенно одинаковых и оди-
одинаково ориентированных двумерных решеток Рис. 6.8
(рис. 6.8). Расстояние вдоль оси Z между
соседними решетками обозначим через ds. Оказывается, что главные
максимумы такой решетки должны помимо соотношений F.17) и
F.18) удовлетворять еще одному условию, определяющему взаимное
усиление света от всех двумерных решеток. Из рис. 6.8 видно, что
разность хода лучей света, выходящих из сходственных точек А и
В двух соседних решеток под углом а3 к оси Z, равна
\AB\~ HC| = ds(l — cosa3),
где С — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч
AD. Поэтому дополнительное условие для главных максимумов имеет
вид
rf,(l—cosa3)=rtsX (n,=0; 1; 2;...). F.19)
Это условие накладывает ограничения не на угол а3, который
полностью определяется из F.17) и F.18), а на длины волн Я, при кото-
которых возможно наблюдение дифракционной картины. Так как
cosax=±-^-X, cosa.^i-^X и cosa3=l — -^-K,
то из F.18) следует, что длина волны света должна удовлетворять
уравнению
т. е. принимать ряд дискретных значений, соответствующих всевоз-
всевозможным комбинациям целых чисел пи п3, пя.
— 117 —
В частности, при dl=di=da=d
J"t F-20')
Из этой формулы видно, что наблюдение дифракции от простран-
пространственной решетки возможно лишь в том случае, если длина волны Я.
по порядку величины не превышает периода d решетки. Все волны,
длины которых не удовлетворяют условию F.20), не дают никаких
интерференционных максиму-
максимумов, кроме нулевого (пг=Пъ—
=л3=0. так что а1=аа=*
=я/2, а а3=0).
3. Всякий монокристалл со-
состоит из упорядоченно располо-
расположенных частиц (атомов, ионов
или молекул), образующих про-
Рис< 6-9 странственную дифракционную
решетку.
Расстояния между этими частицами, т. е. периоды решетки dlt
d2 и d3, очень малы (порядка 10~8 см). Поэтому при прохождении через
монокристаллы видимого света (к ~ 5-10" I см) дифракцию наблю-
наблюдать нельзя. Зато для значительно более коротковолнового рентгенов-
рентгеновского излучения монокристаллы являются идеальными естественными
дифракционными решетками.
Русский физик Г. В. Вульф и англичанин У. Л. Брэгг предложили
простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения в кри-
кристаллах A913). Они исходили из предположения о том, что дифракцию
рентгеновского излучения можно рассматривать как результат его
отражения от системы параллельных сетчатых плоскостей кристалла
(т. е. плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки).
Это отражение в отличие от обычного осуществляется лишь при таких
условиях падения лучей на кристалл, которые соответствуют интер-
интерференционным максимумам для лучей, отраженных от разных
плоскостей. На рис. 6.9 показаны две соседние сетчатые плоскости
кристалла А А' и ВВ'. Абсолютный показатель преломления всех сред
для рентгеновского излучения близок к единице. Поэтому оптическая
разность хода б между двумя лучами 1' и 2', отражающими от плоско-
плоскостей АА' и ВВ', равна b=\DE\-\-\DF\=2d sin Ь, где d—межплоско-
d—межплоскостное расстояние, a Q — угол между падающими и отраженными Лу-
Лучами и плоскостью АА' (угол скольжения). Если длина волны рент-
рентгеновского излучения равна к, то интерференционные максимумы в
отраженных лучах должны удовлетворять условию Вульфа — Брэгга
2 dsinft=rik, F.21)
где п=1; 2; ... — порядок дифракционного максимума. Можно по-
показать, что условие Вульфа — Брэгга вытекает как следствие из об-
общих соотношений для дифракции плоских волн на пространственных
решетках. Эти соотношения являются обобщением условий F.17),
F.18) и F.19), которые получены для частного случая падения волны
— 118 —
вдоль оси Z решетки. Из рис. 6.9 видно, что угол дифракции if между
отраженными и падающими лучами равен 2 ■&.
4. Из формулы F.21) следует, что наблюдение дифракционных мак-
максимумов возможно только при определенных соотношениях между
длиной волны X и углом Ь или допол-
дополнительным ему углом падения i=n/2 —■&:
Этот результат лежит в основе раз-
различных методов спектрального анализа
рентгеновского излучения, т. е. опреде-
определения значений X по известным du пи
измеренным в опыте значениям ■& для дифракционных максимумов.
Наиболее распространен метод качающегося (или вращающегося)
кристалла. Узкий пучок исследуемого рентгеновского излуче-
излучения, прошедший через отверстия в диафрагмах Дх и Д2
(рис. 6.10), направляется на кристалл К, постоянные d которого
известны ]. В процессе покачивания (или вращения) кристалла вокруг
оси О, перпендикулярной плос-
плоскости чертежа, изменяется угол ■&,
благодаря чему обеспечивается
выполнение условия F.22) для всех
длин волн "К, содержащихся в спект-
спектре анализируемого рентгеновского
излучения. В качестве регистри-
регистрирующего устройства используется
фотопластинка Ф. После проявле-
проявления фотопластинки на ней наблю-
наблюдается система дифракционных мак-
максимумов, имеющих вид темных пя-
пятен. По положению этих пятен
можно найти соответствующие им
значения углов Ь, а из формулы
F.22) — значения I.
На основании формулы F.22)
можно также осуществлять рентге-
ноструктурный анализ кристаллов, т. е. исследовать строение кри-
кристаллических решеток и определять межплоскостные расстояния d.
Эта идея, впервые высказанная М. Лауэ A912), явилась существенным
вкладом в развитие физики твердого тела.
5. Особый интерес представляет дифракция рентгеновского излу-
излучения в поликристаллических образцах, состоящих из множества
мелких кристалликов, хаотически ориентированных друг относитель-
относительно друга. Пусть на такой образец А (рис. 6.11) падает узкий парал-
А
Рис. 6.11
1 В каждом кристалле можно провести через узлы решетки множество различ-
различных систем параллельных между собой сетчатых плоскостей с различными значениями
параметра d.
— 119 —
лельный пучок М монохроматического рентгеновского излучения с
длиной волны %. Среди множества кристалликов в образце всегда
есть целый ряд таких, сетчатые плоскости которых наклонены по от-
отношению к пучку М под углами Ф, удовлетворяющими условию Вуль-
фа — Брэгга F.21). Соответственно нормали п к этим плоскостям об-
образуют с пучком М углы i—n/2 — Ф.
На рис. 6.11 показано направление нормали п для одного из таких
кристалликов В. Отраженные от него лучи отклоняются вверх на
угол 2Ф. Мысленно повернем кристаллик В вокруг пучка М так,
чтобы угол I сохранялся неизменным. Тогда отраженные от В лучи
будут описывать коническую поверхность, осью которой служит пу-
пучок М, а угол раствора при вершине равен 4Ф. Очевидно, что такой же
результат дает множество различным образом ориентированных кри-
кристалликов, плоскости которых образуют один и тот же угол Ф с пуч-
пучком М. Поэтому на фотопластинке Ф, расположенной позади образца
перпендикулярно падающим на него рентгеновским лучам, области
потемнения фотоэмульсии, соответствующие дифракционным мак-
максимумам, имеют вид концентрических колец. Центр этих колец лежит
на пересечении пучка М с плоскостью фотопластинки. Радиусы колец
легко определить из рис. 6.11:
r=l tg 2$, F.23)
где I — расстояние от образца до фотопластинки, а угол •& определя-
определяется из формулы F.21). При малых углах sin Ф ж & и tg 2ft л* 20.
Поэтому
г«^. F.23')
Дифракционная картина, получаемая при прохождении монохро-
монохроматического рентгеновского излучения через поликристаллические
образцы, называется дебаеграммой. Метод структурного анализа мел-
мелкокристаллических образцов, основанный на снятии и расшифровке
их дебаеграмм, был впервые предложен в 1926 г. П. Дебаем и П. Шер-
рером (метод Дебая — Шеррера). Метод Дебая — Шеррера широко
применяется для исследования структуры высокомолекулярных сое-
соединений, волокон и других объектов, имеющих кристаллическую фазу.
6. Поскольку sin ft не может быть больше единицы, то, как видно
из условия Вульфа — Брэгга F.21), дифракция на пространственной
решетке возможна лишь при d > i/2. Если d < A./2, то все дифрак-
дифракционные максимумы, кроме нулевого, отсутствуют: плоская волна
проходит через решетку, не изменяя направления своего распростра-
распространения, т. е. так же, как в однородной среде. Следовательно, неравен-
неравенство Я, > 2d является условием оптической однородности кристалла
для света с длиной волны L Например, для видимого света (к ж 5х
X Ю"? см) все кристаллы (d ~ 10"' — 10~s см) должны быть оптически
однородны. Однако эти рассуждения справедливы лишь для идеальных
кристаллов, у которых расстояния между узлами строго одинаковы.
В действительности они различны и непрерывно хаотически изменя-
изменяются из-за теплового движения, так что даже для видимого света реа-
— 120 —
льные кристаллы нельзя считать полностью оптически однородными.
Этот вывод подтверждается опытами по рассеянию света в кристалли-
кристаллических телах (см. § 7.4).
§ 6.$. Голография
1. Обычный фотографический метод получения изобра-
изображений объектов основан на регистрации с помощью фотопластинки (или
фотопленки) различий винтенсивности света, рассеиваемого
разными малыми элементами поверхности объекта. Для этого при фо-
фотосъемке действительное изображение объекта в фотоаппарате проек-
проектируется на светочувствительную поверхность фотопластинки. По-
Полученный негатив и отпечатанная с него позитивная фотография
объекта — лишь приближенные, двумерные образы трехмерного объек-
объекта Об объемности объекта можно судить только по светотеням, име-
имеющимся на его фотографическом изображении. Более совершенным
является стереоскопический фотоснимок. Однако и в этом случае не
удается получить такого же полного ощущения объемности, как при
непосредственном наблюдении самого объекта. Дело в том, что, раз-
разглядывая стереоскопический фотоснимок с помощью стереоскопа, мы
не можем, например, изменить положение точки наблюдения и уви-
увидеть то, что было закрыто во время съемки предметом, находящимся
на переднем плане,— не можем «заглянуть за этот предмет».
2. Английский физик Д. Габор высказал идею A948) принципи-
принципиально нового метода получения объемных изображений объектов.
Он предложил регистрировать с помощью фотопластинки не только
амплитуды (или их квадраты, т. е. интенсивности, как при
обычном фотографировании), но и ф а з ы рассеянных объектом волн,
воспользовавшись для этого явлением интерференции волн. Таким
способом можно получить и зарегистрировать на фотопластинке
значительно более полную информацию об объекте, нежели путем
обычного фотографирования. Свой метод Габор назвал голографией х.
Суть этого метода пояснена на рис. 6.12. С помощью фотопластинки
F (рис. 6.12, а) регистрируется интерференционная кар-
картина, возникающая при наложении волны 1, рассеянной объектом А
и называемой сигнальной волной или предметным пучком, и когерент-
когерентной ей волны 2, имеющей фиксированные значения амплитуды и фазы.
Волна 2, называемая опорной волной или опорным пучком, испуска-
испускается тем же источником света, который освещает объект, и после
отражения от зеркала В падает непосредственно на фотопластинку F.
Интерференционную картину, зафиксированную на фотопластинке
после ее проявления, называют голограммой объекта. Голограмма в
отличие от фотографического изображения объекта совершенно не
похожа на него. Она представляет собой очень мелкий и замысловатый
узор из чередующихся малых областей различного почернения эмуль-
эмульсии.
Получение голограммы связано с осуществлением интерференции
света при больших разностях хода, т. е. требует весьма высокой сте-
1 От греческих слов «holos» — весь, полный и «gt&pho» — пишу, рисую,
- 121 -
пени когерентности света. Поэтому практическое осуществление идеи
Габора стало возможным лишь в начале 60-х годов после создания
лазеров. Они являются незаменимыми источниками света в голографии.
3. Восстановление изображения объекта по его голограмме пока-
показано на рис. 6.12, б. Голограмму С просвечивают как диапозитив той
же опорной волной 2, которая использовалась при получении голо-
голограммы, причем ориентация голограммы по отношению к опорной
волне также должна быть сохранена.
Эта световая волна дифрагирует на
голограмме. В результате дифракции
наблюдаются два объемных изобра-
изображения объекта: мнимое и действитель-
действительное. Мнимое изображение А' находит-
находится в том же месте по отношению к го-
голограмме, где помещался объект А
при съемке голограммы. Это изобра-
изображение видно при наблюдении сквозь
голограмму как через окно. Действи-
Действительное изображение А" расположено
по другую сторону голограммы. Оно
как бы висит в воздухе перед голо-
голограммой и является зеркальным изоб-
изображением объекта, что представляет
определенные неудобства.
Обычно пользуются мнимым голо-
графическим изображением, которое
по зрительному восприятию тождест-
тождественно самому объекту Оно является
объемным, а ею перспектива изме-
изменяется в зависимости от положения
глаз наблюдателя по отношению к го-
голограмме Например, перемещая го-
голову вдоль голограммы, наблюдатель
может «заглянуть за предмет», нахо-
находящийся на переднем плане гологра-
фического изображения. Точно такой
же эффект получается при изменении
наблюдения непосредственно самого
Ю
Рис 6 12
положения точки визуального
объекта.
4. Интерференционная картина в каждой точке голограммы опре-
определяется светом, рассеянным всеми точками объекта. Поэтому каж-
каждый участок голограммы содержит информацию обо всем объек-
т е. Следовательно, если голограмма случайно разбилась, то с помощью
даже малого сохранившегося ее осколка можно восстановить изобра-
изображение всего объекта. Разница состоит лишь в том, что чем меньше
размеры оставшейся части голограммы, тем меньше ее разрешающая
способность и тем меньше света на ней дифрагирует на стадии восста-
восстановления изображения, соответственно тем менее четким и ярким бу-
будет восстановленное с ее помощью изображение. Между тем каждый
— 122 —
элемент поверхности обычного фотоснимка содержит информацию
только о той части объекта, изображением которой он является. По-
Поэтому частичное повреждение фотоснимка неизбежно сопровождается
потерей некоторой части информации об изображенном на нем объекте.
Таким образом, с точки зрения надежности хранения записанной на
ней информации голограмма значительно превосходит обычный фото-
фотоснимок. Наконец, на одну и ту же фотопластинку можно последова-
последовательно записать несколько различных голограмм, изменяя каждый
раз, например, угол падения опорной волны.
5. Можно получить цветное голографическое изображение объекта.
Для этого при изготовлении голограммы пользуются монохромати-
монохроматическим светом трех основных цветов (например, красным, желтым и
синим), испускаемым тремя разными лазерами. На стадии восстанов-
восстановления изображения на голограмму нужно одновременно направить три
опорных пучка света от тех же трех лазеров.
Ю. Н. Денисюк впервые получил A962) объемные голограммы, ис-
используя для этого толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы
ведут себя подобно пространственным дифракционным решеткам. Они
способны выделять из белого света свет той длины волны или тех не-
нескольких длин волн, который был использован при получении голо-
голограммы. Поэтому для восстановления изображения, записанного в
виде объемной голограммы, последнюю достаточно осветить белым све-
светом. Если при изготбвлении объемной голограммы был использован
свет трех основных цветов, то при освещении этой голограммы белым
светом наблюдается цветное изображение объекта.
Применение голографии открывает принципиальную возможность
создания систем стереоскопического цветного голографического кино
и телевидения.
6. Используя расходящиеся пучки света на стадиях получения
голограммы и воспроизведения изображения, а также увеличивая
длину опорной волны на второй стадии, можно значительно увеличить
размеры изображения по сравнению с размерами самого объекта. На
этом принципе основано действие голографического микроскопа.
Голография может быть применена для получения видимых изобра-
изображений объектов, находящихся в непрозрачной твердой или жидкой
среде (например, внутренних органов человека). Этот метод основан на
записи голограммы исследуемого объекта с помощью звуковых или
ультразвуковых волн, для которых жидкие и твердые среды сравни-
сравнительно прозрачны. Полученная таким образом акустическая голограм-
голограмма объекта используется для восстановления изображения в видимом
свете.
Очень перспективно использование голографических методов для
создания новых, весьма надежных и очень емких систем памяти вычис-
вычислительных машин, систем поиска заданной информации и распознава-
распознавания образов, а также для кодирования информации.
Глв»а УН
ДИСПЕРСИЙ, ПОГЛОЩЕНИЕ
И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
§ 7.1. Дисперсия света
1. Известно, что при пропускании через стеклянную призму узкого
пучка белого света на экране, установленном позади призмы, наблю-
наблюдается радужная полоска (рис. 7.1), которая называется призматичес-
призматическим или дисперсионным спектром. Спектр наблюдается на экране и в
том случае, когда источник
света, призма и экран поме-
щены в замкнутый сосуд, из
БеяыИ
Квасный которого удален воздух, Сле-
" довательно, образование приз-
матического спектра является
наглядным свидетельством
существования зависимости
Рис- 7-1 абсолютного показателя пре-
преломления п стекла от частоты
v света: n—n(v). Как показали исследования, зависимость п от v при-
присуща всем веществам. Это явление получило название дисперсии
света.
По теории Максвелла, скорость света в вакууме с— 1/]/е„ц0 (еои
fi0 — электрическая и магнитная постоянные) не зависит от частоты.
Убедительные подтверждения этого вывода были получены в астрофи-
астрофизике при наблюдении излучения двойных звезд. Двойная звезда пред-
представляет собой систему, состоящую из двух звезд, которые связаны
силами тяготения и движутся вокруг общего центра инерции. Наблю-
Наблюдатель, находящийся в плоскости движения обеих звезд, должен видеть
периодически повторяющиеся взаимные затмения этих звезд, при
которых яркость двойной звезды заметно уменьшается. Если бы ско-
скорость света в вакууме зависела от частоты, то при затмениях должна
была бы Изменяться не только яркость, но и окраска двойной звезды.
Например, если бы скорость с для красного света была больше, чем для
фиолетового, то в начале затмения двойная звезда должна была бы
приобрести сине-фиолетовую окраску, а в конце — красно-желтую.
Однако опыты показали, что таких закономерностей в изменениях
окраски двойных звезд нет. Следовательно, скорость в вакууме для
света любой частоты v одна и та же. Поэтому дисперсия света в вещест-
веществе обусловлена зависимостью от v фазовой скорости света в этом ве-
веществе:
v = -y-7 = v(v).
Так как частота v обратно пропорциональна длине волны Я, в вакууме
(v=cA), то в равной мере можно говорить о зависимости п и v от X:
п=п(Ъ) и v=v{%).
— 124 —
2. Дисперсию света в среде называют нормальной, если с ростом
частоты v абсолютный показатель преломления п среды также возра-
возрастает: ^ >0 (соответственно т? <0] . Такой характер зависимости п
от v наблюдается в тех областях частот, для которых среда п р о з р а ч-
н а. Например, обычное стекло прозрачно для видимого света и в этом
интервале частот обладает нормальной диспер-
дисперсией (рис. 7.1).
Дисперсию света в среде называют аномаль-
аномальной, если с ростом частоты v абсолютный пока-
показатель преломления п среды уменьшается:
-—■ < 0 (соответственно -£- > 0 ) . Аномальная
дисперсия наблюдается в области частот, соот-
соответствующих полосам интенсивного поглощения
света веществом. Для стекла эти полосы нахо-
находятся в ультрафиолетовой и инфракрасной час-
частях спектра. На рис. 7.2 показан типичный ход
зависимости п от v. Аномальной дисперсии
соответствует интервал частот от Vi до v2.
В зависимости от характера дисперсии груп-
групповая скорость света в веществе (см. § 1.3) мо-
может быть как больше, так и меньше фазовой скорости
деле, o>=2ftv и к=2лп\>1с, так что du>=2ndv,
, 2я / , , dn
а/с = — ndv 4- v -г- с
Рис. 7.2
v. В самом
и групповая скорость
""da . dn_ . j v dn
dv ' n d\
При нормальной дисперсии -^ > о и u<,v. При аномальной дис-
дисперсии -j-<0, и и > v, в частности, если
rc-f-v-j— < 1, то и>с.
Между тем, согласно теории относительности и данным экспери-
экспериментов, скорость распространения светового сигнала (цуга волн,
ограниченного в пространстве) в любом веществе не может превос-
превосходить скорости света в вакууме. Поэтому полученный выше результат
свидетельствует лишь о том, что в области аномальной дисперсии
групповая скорость не совпадает со скоростью переноса энергии
группой волн, эквивалентной; рассматриваемому световому сигналу.
Возможность описания сигнала с помощью групповой скорости осно-
основывается на предположении о том, что в процессе распространения
сигнала в среде сохраняется «форма» сигнала, т. е. распределение
•амплитуды и энергии по его длине. Строго говоря, это условие вы-
— 125 —
полняется только для вакуума. Для всех других сред оно выполня-
выполняется лишь приближенно и тем точнее, чем уже спектр частот сигнала
и чем меньше дисперсия света в веществе при этих частотах. Вблизи
полос поглощения дисперсия света в веществе столь велика, что «форма»
сигнала быстро изменяется по мере его распространения в веществе.
3. На явлении нормальной дисперсии основано действие призмен-
ных спектрографов и спектроскопов. Принципиальная схема такого
спектроскопа изображена
на рис. 7.3. Он состоит из
трех основных частей: кол-
коллиматора К, призмы А и
зрительной трубы Т. Щель
S коллиматора находится
в фокусе линзы Ли Поэто-
Поэтому исследуемый свет после
прохождения через щель
S и коллиматорную трубу
падает на призму А парал-
параллельным пучком. Свет, про-
прошедший через призму, собирается объективом Лг зрительной трубы.
В фокальной плоскости линзы Л% образуется дисперсионный спектр.
Этот спектр рассматривается через окуляр Л9 зрительной трубы, иг-
играющий роль лупы. В призменном спектрографе линза Л3 отсутст-
отсутствует, а изучаемый спектр регистрируется с помощью фотоплас-
фотопластинки, помещаемой в фокальной плоскости линзы Лг.
Рис. 7.3
К
a) 6)
Рис. 7.4
Рис. 7.5
Существенное отличие дисперсионного спектра от дифракционного
состоит в нелинейности первого: угол отклонения призмой лучей мо-
монохроматического света не пропорционален ни длине волны этого света,
ни его частоте. Поэтому дисперсионные спектральные приборы необ-
необходимо предварительно градуировать с помощью эталонных источни-
источников с^ета, имеющих линейчатый спектр.
4. Для наблюдения нормальной и аномальной дисперсий можно
воспользоваться методом скрещенных призм, примененным еще Ньюто-
Ньютоном. Схема расположения призм и экрана показана на рис. 7.4. Приз-
Призма Л — стеклянная, а призма В изготовлена из вещества, дисперсия
света в котором исследуется. Плоскости оснований призм взаимно
перпендикулярны. Призма А освещается параллельным пучком белого
света. При прохождении через призмы А и В лучи света отклоняются
— 126
к основаниям призм, т. е. в двух взаимно перпендикулярных направ-
направлениях (вниз в призме Л и за чертеж в призме В). Углы отклонений
для света различных длин волн тем больше, чем больше соответствую-
соответствующие значения показателей преломления призм. Если бы призмы В
не было, то на экране Э наблюдался бы спектр, обусловленный нор-
нормальной дисперсией света в стекле. Он имел бы вид прямоуголь-
прямоугольной радужной полоски К — Ф, показанной на рис. 7.5, а. Вследствие
дисперсии света во второй призме спектр на экране искривляется.
Его форма (при наблюдении картины на экране со стороны призмы
В) в случае нормальной дисперсии в призме fl во всем
интервале длин волн видимого света изображена на
рис. 7.5, б. Наконец, вид спектра, показанный на рис. 7.5, в, соответ-
соответствует случаю, когда одна из полос поглощения света веществом приз-
призмы В находится в области видимого света. Сдвиг вправо нижней поло-
половины спектра по отношению к верхней обусловлен аномальной дис-
дисперсией в пределах полосы поглощения.
Метод скрещенных призм непригоден для изучения дисперсии света
в газах и парах, показатели преломления которых очень близки к еди-
единице. Весьма точный метод измерения дисперсии в таких средах вплоть
до границ линий поглощения был предложен Д. С. Рождественским.
§ 7.2. Взаимодействие света с веществом.
Классическая теория дисперсии света
1. Дисперсия света является результатом взаимодейст-
взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в со-
состав вещества. Поэтому макроскопическая электромагнитная теория
Максвелла не могла объяснить это явление. Классическая теория
дисперсии была разработана лишь после создания Г. Лоренцем элек-
электронной теории строения вещества.
Из теории Максвелла следует, что абсолютный показатель прелом-
преломления п среды выражается формулой D.2):
n=V7, G.1)
где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды. На
первый взгляд кажется, что формула G.1) противоречит данным опыта.
Так, например, для воды, как известно из электростатики, е=81. В то
же время для видимого света абсолютный показатель преломления
воды равен 1,33, а не 9. Однако это «противоречие» не связано с ка-
какими-либо принципиальными недостатками теории Максвелла. Оно
«появилось» вследствие пренебрежения явлением дисперсии, т. е.
неправильного применения формулы G.1). Величина е, так же как и п,
зависит от частоты v переменного электромагнитного поля: e=e(v).
В самом деле, большое значение относительной диэлектрической про-
проницаемости воды в стационарном (электростатическом) поле е@)=81
обусловлено ориентационной поляризацией, т. е. преимущественной
ориентацией в этом поле молекул воды, обладающих большими диполь-
ными моментами. В переменном электрическом поле молекулы не могут
мгновенно изменять свою ориентацию, так как их момент инерции от-
— 127 —
личен от нуля. Следовательно, в переменном поле значение е воды бу-
будет близко к е@) лишь до тех пор, пока частота колебаний поля не
слишком велика, так что молекулы воды успевают изменять свою
ориентацию в соответствии с изменениями направления поля. В пере-
переменных полях достаточно большой частоты ориентационная поляри-
поляризация воды или любого другого диэлектрика с полярными молекулами
должна практически отсутствовать. Поэтому для видимого света (v ~
~ 1015 Гц) значение относительной диэлектрической проницаемости
среды обусловливается только электронной поляризацией этой среды,
т. е. вынужденными колебаниями электронов в атомах, молекулах или
ионах среды под действием электромагнитного поля световой волны.
Соответственно e(v)<e@) и n(v) < п@).
2. В процессе вынужденных колебаний электронов с частотой v
падающего на вещество света периодически изменяются дипольные
электрические моменты атомов. Следовательно, как было показано
в § 3.2, атомы излучают вторичные электромагнитные волны,
частота которых также равна v. Средние расстояния между частицами
вещества во много раз меньше протяженности одного цуга волн. По-
Поэтому вторичные волны, излучаемые весьма большим числом соседних
атомов среды, когерентны как между собой, так и с первичной волной.
При наложении они интерферируют, причем результат интерференции
зависит от соотношения их амплитуд и начальных фаз.
Расчеты показывают, что в однородном изотропном
веществе в результате интерференции образуется проходящая
волна, фазовая скорость которой зависит от частоты, а направление
распространения совпадает с направлением распространения первич-
первичной волны.
В случае оптически неоднородной среды наложе-
наложение первичной и вторичных волн приводит к возникновению рассея-
рассеяния света, которое рассмотрено в § 7.4. Наконец, при падении света на
границу раздела двух различных средв результате интер-
интерференции возникает не только проходящая, но и отраженная волна.
Таким образом, отражение света происходит не от геометрической
поверхности раздела сред, а от более или менее значительного слоя
частиц среды, прилегающих к границе раздела.
В связи с этим особый интерес представляет явление полного внутрен-
внутреннего отражения света от оптически менее плотной среды, о котором мы уже
говорили в гл. IV.
Теоретический анализ, проведенный А. А. Эйхеивальдом, показал, что при пол-
полном внутреннем отражении электромагнитное поле световой волны не обрывается
на границе раздела, а частично проникает и во вторую (оптически менее плотную)
среду. Однако амплитуды Ео и Яо напряжениостей поля очень быстро уменьшаются
по мере углубления во вторую среду:
/ 2пг ,/sin* i \
£0~exp( 5— у —£-„1 J,
где z — расстояние от границы раздела, Я,2— длина волны света во второй среде,
»— угол падения (£>tHp) и «ai~~ относительный показатель преломления второй
среды. Глубина проникновения поля во вторую среду соизмерима с длиной волны "Кг.
Это явление можно обнаружить на опыте. Так, в опыте Г. Квинке, схема которого
показана на рнс, 7.6, плоскопараллельный слой воздуха толщиной d находился между
— 128 «-
стеклянным полуцилиндром А и стеклянной призмой В. При <фА (К — длина свето-
световых волн в воздухе) н углах падения i > inp свет в Йризму В не проходил. При ма-
малых толщинах d порядка \ и меньше энергия поля в воздухе на границе с призмой В
была еще достаточно велика н через призму проходил свет.
Если оптически менее_плотная среда способна под действием света флуоресциро-
флуоресцировать, то проникновение в нее электромагнитного поля при i>tnp можно обнаружить
По флуоресцентному свечению тонкого слоя среды, приле-
прилегающего к границе раздела. Этот метод был предложен А
Л. И. Мандельштамом и П. Зелени. ~~~
3. Рассмотрим подробнее классическую элект-
электронную теорию дисперсии света в однородном
диэлектрике. Из формулы Максвелла G.1) сле-
следует, что дисперсию света можно формально
рассматривать как следствие зависимости отно-
относительной диэлектрической проницаемости среды
z от частоты v световых волн. Из курса электри-
электричества известно [см, т. II, формулы F.18) и F.6K, что е=1+х=
= 1+Ре/(е9£), где х — диэлектрическая восприимчивость среды,
Ре — проекция вектора поляризации на направление вектора нап-
напряженности Е электрического поля. Таким образом,
Выше мы уже говорили о том, что в силу большой частоты световых
волн поляризация среды обусловлена только смещением электронов
(электронная поляризация). Следовательно, вектор поляризации
где п0 — число атомов в единице объема, ар( — наведенный электри-
электрический момент атома. В первом приближении можно считать, что ве-
величина ре определяется смещением только внешних, наиболее слабо
связанных с ядром электронов атома. Эти электроны называют опти-
оптическими электронами.
Будем предполагать^ что свет линейно-поляризован, причем вектор
Е поля волны параллелен оси ОХ:
E^EJ, E^-E^osat, G.3)
где i — орт оси ОХ, Ео — амплитуда напряженности, to=2nv — цик-
циклическая частота света. Под действием поля оптические электроны
атомов среды смещаются вдоль направлений, параллельных оси ОХ.
Если каждый атом имеет по одному оптическому электрону, то
Ре = — ех\ и Ре = — noejti, G.3')
где — е — заряд электрона, а х\ — смещение оптического электрона
под действием поля волны. Из G.3) и G.3') следует, что формулу G.2)
можно записать в виде
Таким образом, задача сводится к отысканию зависимости отно-
отношения х1Ех от частоты света.
S А. А. Детлаф, Б. М. Яворский — 129 -ч
4. Для прозрачных веществ в первом приближении можно счи-
считать, что на колеблющийся оптический электрон действуют следующие
две~силы:
а) возмущающая (вынуждающая) сила
F = — eE, Fx = — eE0cos(ot; G.4)
б) возвращающая ивазиупругая сила взаимодействия оптического
электрона с остальной частью атома
** возвр == К%'» F возвр х = 'ИХ,
где к — коэффициент квазиупругой силы; этот коэффициент связан с
массой т электрона и циклической частотой ю0 его свободных
незатухающих колебаний в атоме соотношением к=тв>% (см. т. I,
§ 8.2), так что
G.5)
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний электрона
имеет вид
откуда
eE9cQSQt __ еЕх ,~ ~,
т (со*—й>8) т (со?—со4)
Из G.2') и G.7) следует, что
П v\* v-°)
/726A ^(Do — (Daj
Таким образом, по мере увеличения о от 0 до <о0 абсолютный
показатель преломления среды монотонно возрастает от величины
статического показателя преломления n@) — ]/rl+n0e3/(me0(ol) до
+°о. При о)=<й(, значение яа скачко-
скачкообразно изменяется от +оо до —сю,
а по мере дальнейшего увеличения ю
от о)о До оо п3 вновь монотонно воз-
возрастает от —оо до 1. График зависи-
1 >-""" "" мости п от о) по формуле G.8) пока-
'q зан на рис. 7.7.
" ., CD 5. Неограниченное возрастание х
0 яп при и -*■ о)Л физически бессмыс-
Рис. 7.7 ленно и практически неосуществимо.
Этот результат получился потому,
что в приведенном выше выводе мы не принимали во внимание потери
энергии, обусловленные излучением вторичных электромагнитных
волн, соударениями между излучающими атомами и другими причи-
причинами. Приближенно все эти потери можно учесть, если предполо-
предположить, что на колеблющийся электрон действует дополнительная сила
— 130 —
сопротивления, пропорциональная его скорости v;
гсопр = ГУ, Гсопрх — — Г -т— t (' .9)
где г — коэффициент сопротивления. Поэтому более точным, чем
G.6), является следующее дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний оптического электрона:
5 — 2р *—<ф-*Ь cos cot, G.10)
где р=г/2/м — коэффициент затухания (см. т. I, § 8.5).
Можно показать, что решение этого уравнения приводит к следую-
следующему' выражению для показателя преломления газа 1:
Юр — ft)8
Из расчета, приведенного в § 3.2, видно, что коэффициент затуха-
затухания р во много раз меньше ю. Поэтому влияние затухания на зависи-
зависимость п от ю оказывается существенным лишь в области частот <а,
очень близких к ю0- За пределами этой области 4[52<й2 <^ (oojj— ю2J
и формулы G.11) и G.8) полностью эквивалентны. График зависи-
зависимости п от ю вблизи <»=й)о. соответствующий формуле G.11), показан
на рис. 7.7 пунктирной линией. Из G.11) видно, что п=\ при со=<йв-
6. До сих пор мы основывались на предположении о том, что у
каждого вещества имеется только одна характерная для него цикли-
циклическая частота о)в свободных колебаний оптических электронов. В дей-
действительности, как показывают опыты, при прохождении света сквозь
любое газообразное вещество наблюдается целый ряд характерных для
этого вещества линий поглощения. Следовательно, каждое вещество
характеризуется определенным набором разЛичных циклических ча-
частот ©он. Поэтому в классической теории дисперсии света вводится
предположение о том, что каждый атом (или молекулу) вещества можно
рассматривать как систему гармонических осцилляторов — заряжен-
заряженных частиц с различными эффективными зарядами qk и массами mh,
совершающих свободные незатухающие колебания с циклическими
частотами ooeft. Под действием электрического поля световой волны все
эти осцилляторы совершают вынужденные колебания и вносят свой
вклад в поляризацию вещества, а следовательно, и в выражение для
его показателя преломления. Если коэффициент затухания для осцил-
осциллятора &-го сорта, соответствующего циклической частоте ©оь, равен
рь, то для газа вместо формулы G.11) получается следующая зависи-
1 Решение уравнения вынужденных колебаний, аналогичного G.10), приведено
в § 8 6 т I Благодаря влиянию силы сопротивления G.9) колебания оптического
электрона не совпадают по фазе с колебаниями напряженности поля. Поэтому отно-
отношение xlEx не постоянно, а периодически изменяется с течением времени, так что при
вычислении л йо формуле G 2') нужно подставлять вместо переменной величины
х1Ех ее среднее за период значение<х/Ех>: п%=\—^ (-£-
5* — 131 -
мость показателя преломления от частоты:
k
или
где суммирование производится по всем значениям о)оь- Безразмерный
коэффициент
f = ( Ik \г т
'* \ е ) ttik
называется силой k-то осциллятора. Он характеризует интенсивность
поглощения веществом счета с циклической частотой a>oh и определя-
определяется из экспериментальных данных. График зависимости п от ю по
формуле G.12), показанный
на рис. 7.8, хорошо согла-
согласуется сданными опытов,
проведенных при обычных
условиях.
7. В приведенных выше
выводах считалось, что на
осциллятор действует
электрическое поле Е све-
световой волны в среде. На
самом деле колебания ос-
циллятора происходят под влиянием так называемого эффектив-
эффективного электрического поля Еэф. Отличие Езф от Е связано с тем,
что в создании поля Еаф заряд рассматриваемого осциллятора не
участвует, ав создании поля Е в среде участвует. При прочих
равных условиях различие между Еэ4, и Е тем значительнее, чем мень-
меньше средние расстояния между молекулами. В сильно сжатых газах, а
также жидкостях й твердых телах оно достаточно велико.
Оказалось, что в изотропной среде
i
(On tyz
Рис.
1
i
Чз
7.8
G 13)
Соответственно для зависнмостн котив случае среды с одной собственной ча-
частотой (% и коэффициентом затухания Р=0 Л. Лоренц и Г. Лоренц получили вместо
формулы G.8) следующее выражение:
"а-' »о*а L GШ
GШ
П2 + 2 ~ 3/ne0 cog-ma ' I' 14>
называемое формулой Лоренца — Лоренца. Для разреженных газов па«1, ЕЬ^Е н
формула G.14) совпадает с формулой G.8).
8. В современной физике доказано, что поведение таких микросистем, как атом
или молекула, нельзя описывать методами классической физики. Они подчиняются
законам квантовой механики, основы которой мы рассмотрим дальше. Следователь-
Следовательно, теория дисперсии света в веществе должна базироваться на квантовомеханическом
— 132 —
рассмотрении процессов излучения и поглощения света атомами н молекулами ве-
вещества. Как показали исследования, квантовая теория дисперсии приводит к такой
же зависимости абсолютного показателя преломления вещества от частода света, что
и классическая х. Однако квантовая теория в отличие от классической указала прин-
принципы теоретического нахождения набора циклических частот н сил осцилляторов.
§ 7,3. Поглощение света
1. Из опытов известно, что по мере распространения плос-
плоской световой волны в веществе ее интенсивность постепенно уменьша-
уменьшается. Это явление называется поглощением света в веществе (абсорб-
(абсорбцией света). Оно связано с преобразованием энергии электромагнит-
электромагнитного поля волны во внутреннюю энергию вещества или в энергию
вторичного (фотолюминесцентного, см. § 15.8) излучения, имеющего
другой спектральный состав и иные направления распространения.
Поглощение света может вызывать нагревание вещества, возбуждение
и ионизацию атомов или молекул, фотохимические реакции и другие
процессы в веществе.
Еще в XVIII в. П. Бугер и И. Ламберт установили, что интенсив-
интенсивность / плоской монохроматической волны после прохождения сквозь
слой поглощающего вещества толщиной х связана с интенсивностью
/0 этой волны на входе в слой следующим соотношением (закон Бугера —
Ламберта):
/ = /ве-«*, G.15)
где а — коэффициент поглощения (показатель поглощения). Значение
а зависит от длины волны света, химической природы и состояния
вещества. Существенно, что коэффициент поглощения не зависит от
интенсивности свега. Из G.15) видно, что коэффициент поглощения
численно равен единице, деленной на толщину слоя вещества, по про-
прохождении которого интенсивность света уменьшается в е=2,72 раза.
Как показали опыты, коэффициент поглощения монохроматическо-
то света в растворе поглощающего вещества в непоглощающем раство-
растворителе пропорционален объемно-массовой концентрации с раствора:
a-ctxC G.16)
где oti — постоянный коэффициент, зависящий от природы поглощаю-
поглощающего вещества и длины волны света.
Эта зависимость была проверена на опыте А. Бером и называете*
законом Вера. Закон Бера справедлив для разбавленных растворов.
В концентрированных растворах он нарушается из-за влияния взаимо-
взаимодействия между близко расположенными молекулами поглощающего
вещества.
2. В диэлектриках нет свободных электронов и поглощение света
обусловлено явлением резонанса при вынужденных колебаниях элект-
электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика. Поэтому диэлект-
диэлектрики поглощают свет более или менее избирательно (селективно) в
1 Строго говоря, это верно лишь для дисперсии, обусловленной электрическим
дщрльным излучением н поглощением молекул.
— 133 —
зависимости от частоты последнего. Поглощение велико лишь в об-
областях частот, близких к частотам собственных колебаний электронов
в атомах и атомов в молекулах. Для света всех остальных частот ди-
диэлектрик практически прозрачен, т. е. его коэффициент поглощения а
близок к нулю. Наиболее ярко это явление резонансного поглощения
обнаруживается у разреженных одноатомных газов, обладающих ли-
линейчатым спектром поглощения (рис. 7.9). Дискретные частоты интен-
интенсивного поглощения совпадают с частотами собственного излучения
возбужденных атомов этих газов.
У газов с многоатомными молекулами наблюдаются системы тесно
расположенных линий поглощения, образующих полосы поглощения.
Структура этих полос опреде-
определяется составом и строением
молекул. Поэтому изучение
спектров поглощения является
одним из основных методов экс-
Лпериментального исследования
д > строения молекул. Широко ис-
" " пользуется также спектральный
Рнс> 7-9 метод количественного и каче-
качественного анализа смесей газов,
основанный на измерении спектра частот и относительных интенсив-
ностей линий или полос поглощения смеси (абсорбционный спектраль-
спектральный анализ). У сложных органических молекул особенно харак-
характерный вид имеют спектры поглощения в области инфракрасного
излучения.
Жидкие и твердые диэлектрики имеют сплошные спектры погло-
поглощения, состоящие из сравнительно широких полос поглощения, в пре-
пределах которых коэффициент поглощения а изменяется плавно. За
пределами этих полос о да 0, т. е. диэлектрики прозрачны. Избира-
Избирательным поглощением объясняется окраска в проходящем свете, наб-
наблюдаемая у растворов красителей и многих минералов. Это явление
используется для изготовления светофильтров.
3. Классическая теория дисперсии и поглощения света в диэлект-
диэлектриках, изложенная выше, базируется на предположении о возможно-
возможности рассмотрения атомов и молекул диэлектрика как набора осцилля-
осцилляторов Удовлетворительное согласие этой теории с данными опытов
является подтверждением правомерности классической осцилляторной
модели атома. Однако более детальное изучение поглощения света в
диэлектриках, выполненное С. И. Вавиловым, позволило обнаружить
отступления от закона Бугера — Ламберта: при достаточно больших
интенсивностях света /Окоэффициент поглощения некоторых диэлектри-
диэлектриков начинает убывать с ростом /0. Это явление, не объяснимое с по-
помощью классической осцилляторной модели, легко истолковывается
на основе квантовой теории. При поглощении света часть молекул
диэлектрика переходит в возбужденное состояние и их «поглощатель-
ная способность» изменяется. Если доля этих молекул невелика, т. е.
средняя продолжительность <т> их жизки в возбужденном состоянии
очень мала (порядка 10~s с), то зависимость а от /0 отсутствует и соб-
— 134 —
людается закон Бугера — Ламберта. Для некоторых веществ (напри-
(например, солей урана, сернистого цинка и др ) <т>>10~* с. Поэтому
при значительных /0 доля возбужденных молекул столь велика, что
коэффициент поглощения уменьшается с ростом /0.
В А Фабрикант показал A940), что можно осуществить такое
неравновесное состояние вещества, при котором доля возбужденных
молекул будет велика и коэффициент поглощения вещества станет
отрицательным Это возможно, когда число актов поглощения света,
пропорциональное числу невозбужденных молекул, меньше числа
актов вынужденного излучения света возбужденными молекулами,
пропорционального числу последних Среды с отрицательными коэф-
коэффициентами поглощения используются для создания квантовых гене-
генераторов радиоволн и видимого света, называемых соответственно
мазерами и лазерами (см § 15 9).
4. В заключение рассмотрим вопрос об" отражении и поглощении
света металлами. В газообразном состоянии металлы являются ди-
диэлектриками и не обнаруживают каких-либо аномальных оптических
свойств. В конденсированном состоянии металлы содержат огромное
количество свободных электронов и потому обладают хорошей прово-
проводимостью. В электрическом поле световой волны свободные электроны
совершают упорядоченное переменное движение и излучают вторичные
волны. Благодаря наложению первичной и вторичной волн образуются
интенсивная отраженная волна и сравнительно слабая преломленная
волна. Коэффициент отражения в большой степени зависит от чистоты
поверхности металла и его электропроводности. У таких хороших
проводников, как серебро и натрий, максимальный коэффициент
отражения* достигает значений, соответственно равных 0,96 и 0,998.
Преломленная волна быстро поглощается по*мере распространения
в металле. Ее энергия расходуется на джоулеву теплоту, которая вы-
выделяется токами проводимости, возникающими при действии света на
свободные электроны. Поэтому отражение и поглощение света проис-
происходят в очень тонком слое металла, прилегающем к его поверхности.
В области видимого и особенно ультрафиолетового света у металлов
обнаруживается заметная зависимость коэффициентов отражения и
поглощения от частоты. Например, коэффициент отражения от чистой
поверхности серебра изменяется от 0,96 при Я=700 нм до 0,042 при
Я=316 нм Соответственно возрастает и прозрачность тонкой пленки
серебра. Аналогичные закономерности обнаруживаются у щелочных
металлов. Это свидетельствует о том, что при больших частотах суще-
существенную роль в оптических свойствах металлов начинают играть вы-
вынужденные колебания связанных электронов в ионах, образующих
кристаллическую решетку металла
§ 7.4. Рассеяние света
1. Рассеянием света называется процесс преобразования
света веществом, сопровождающийся изменением направления распро-
распространения света и проявляющийся как несобственное свечение веще-
вещества. Несобственное свечение обусловлено в ы н у ж д е ff-я ы м и
- 135 -
колебаниями электронов в атомах, молекулах или ионах рассеиваю-
рассеивающей среды под действием падающего света. Как показал Л. И. Ман-
Мандельштам A907), рассеяние может возникать только в оптически неод-
неоднородной среде, показатель преломления которой нерегулярно изме-
изменяется от точки к точке. Примерами таких сред могут служить так на-
называемые мутные среды — аэрозоли (дым, туман), эмульсии, коллоид-
коллоидные растворы, матовые стекла и т. п., содержащие мелкие частицы, по-
показатель преломления которых отличается от показателя преломления
окружающей среды.
В случае оптически однородной среды ее одинаковые малые (срав-
(сравнительно с кубом длины волны света) объемы, содержащие равное
и притом достаточно большое число молекул, можно рассматривать как
фиксированные в пространстве когерентные
источники вторичных волн. Следовательно, можно
отвлечься от теплового движения фактических источников вторичных
волн — атомов и молекул среды, если только это движение не нарушает
оптической однородности среды. В такой среде рассеяние света должно
отсутствовать, так как для всех направлений, отличных от направления
первичного пучка света, вторичные волны взаимно погашаются вслед-
вследствие интерференции.
Иначе обстоит дело в случае оптически неоднородной среды. Если
расстояния между малыми по размеру неоднородностями среды (на-
прнмер, между инородными частицами мутной среды) значительно
больше длины волны света, то эти неоднородности ведут себя как
независимые вторичные источники света, Излучаемые ими вол-
волны не когерентны между собой и при наложении не могут интер-
интерферировать. Поэтому оптически неоднородная среда рассеивает свет по
всем направлениям.
2. Рассеяние света в мутных средах с размерами неоднородностей
не свыше @,1—0,2) % называется явлением Тиндаля. Его можно наб-
наблюдать, например, при прохождении яркого пучка света через слой
воздуха, заполненный мелкими частичками дыма, или через сосуд с
водой, в которую добавлено немного молока, содержащего небольшие
капельки жира. Если мутная среда освещается пучком белого света,
то при наблюдении сбоку, т. е. в рассеянном свете, она кажется голу-
голубоватой. В свете, прошедшем сквозь достаточно толстый слой мутной
средЫг-обнаруживается преобладание длинноволнового света, так что
в проходящем свете среда кажется красноватой. Эта закономерность
была объяснена в теории рассеяния света на мелких сферических
частицах, разработанной Д. Рэлеем A899). Рэлей показал, что при
прочих равных условиях интенсивность I света, рассеиваемого части-
частицей, обратно пропорциональна четвертой степени длины волны К
(закон Рэлея):
/~Я~*. G.17)
В случае рассеяния естественного света интенсивность 1$ света,
рассеянного под углом & к направлению первичного пучка, зависит от
угла $ следующим образом:
/в »/я/* A+cos* д), G.18)
— 136 —
где /я/а — интенсивность света, рассеиваемого под углом й=л/2,
т. е. перпендикулярно направлению первичного пучка. Если молеку-
молекулы рассеивающего вещества электрически изотропны (неполяр-
(неполярные молекулы), то свет, рассеиваемый под углом ft=jt/2, полностью
поляризован в плоскости, проходящей через падающий и рассеянный
лучи.
Явление Тиндаля используется в ультрамикроскопе для обнаруже-
обнаружения мельчайших коллоидных частиц размером до 10"' м и наблюде-
наблюдения за их движением. В ультрамикроскопе ось трубы микроскопа уста-
установлена перпендикулярно направлению пучка света от осветителя.
Поэтому в микроскоп попадает только свет, рассеянный коллоидными
частицами, которые наблюдаются в виде блестящих звездочек, выде-
выделяющихся на общем черном фоне поля зрения микроскопа.
По мере увеличения размеров d неоднородносгей в мутной среде
указанные выше закономерности рассеяния света постепенно иска-
искажаются. При d > % зависимость /# от ■& имеет сложную форму, причем
интенсивность рассеяния вперед, т. е. в направлениях Ь ■< л/2, боль-
больше, чем назад. Это явление называется эффектом Ми. Свет, рассеивае-
рассеиваемый под углом $=л/2, поляризован лишь частично. Закон Рэлея G.17)
также нарушается. При d ^> к спектральный состав рассеянного света
практически совпадает со спектральным, составом падающего света.
Этим объясняется, например, белый цвет облаков.
3. Рассеяние света наблюдается также в чистых средах, не содер-
содержащих каких-либо частиц примесей (например, в чистых газах и жид-
жидкостях, истинных растворах). Оно называется молекулярным рассея-
рассеянием света и обусловлено, как впервые предположил М. Смолуховский
A908), флуктуациями плотности, возникающими в процессе хаотичес-
хаотического теплового движения молекул среды. Дополнительными причинами
возникновения оптической неоднородности в чистых средах с анизот-
анизотропными (полярными) молекулами являются флуктуации ориентации
молекул (флуктуации анизотропии), а в истинных растворах, кроме
того,— флуктуации концентрации. А. Эйнштейн, основываясь на идее
Смолуховского, создал теорию молекулярного рассеяния света A910).
Как показывают расчеты, размеры участков среды, соответствующих
более или менее значительным флуктуациям, при обычных условиях
значительно меньше длин волн видимого света. Поэтому теория Эйн-
Эйнштейна привела к тем же результатам в отношении зависимости интен-
интенсивности рассеянного света от % и О, а также характера поляризации
рассеянного света, что и теория Рэлея.
Молекулярным рассеянием в атмосфере коротковолновой части
видимого солнечного света объясняется голубой цв.ет неба. По тем
же причинам при восходе и закате прямой солнечный свет, прошед-
1пий сквозь значительную толщу атмосферы, должен быть красно-оран-
красно-оранжевым. Флуктуации плбтности и интенсивность рассеяния света воз-
возрастают с увеличением температуры. Этим объясняется более насы-
насыщенный цвет неба в ясный летний день по сравнению с таким же зим-
зимним днем.
Наиболее значительные флуктуации плотности в газах возникают в
критическом состоянии, т. е в состоянии, когда газ по своим свойствам
— 137 —
становится тождественным жидкости. При этом наблюдается столь
интенсивное рассеяние света, называемое критической опалесценцией,
что даже сравнительно тонкий слой вещества полностью рассеивает
весь падающий на него свет. Аналогичное явление наблюдается в
растворах при так называемой критической температуре смешения,
соответствующей максимальной или минимальной температуре рас-
расслоения раствора на две несмешивающиеся. жидкости.
Рассеяние света на флуктуациях анизотропии значительно слабее
рассеяния на флуктуациях плотности. Однако оно представляет боль-
большой научный интерес, так как из анализа спектрального состава и
поляризации рассеянного света можно получить ценные сведения от-
относительно электрических свойств и строения анизотропных молекул.
4. Молекулярное рассеяние света происходит также и в кристаллических твердых
телах. Это явление, значительно более слабое, чем рассеяние в жидкостях, впервые
было обнаружено экспериментально Г. С. Ландсбергом A926). Теория молекулярного
рассеяния света в кристаллах была разработана Л. И. Мандельштамом и его школой
(Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович и др.). Благодаря сильному взаимодействию между
частицами в кристаллах флуктуации плотности, обусловливающие рассеяние света,
тесно связаны с упругими свойствами всего кристалла. Случайно возникшие флук-
флуктуации давления и связанные с ними флуктуации плотности должны распространять-
распространяться в кристалле в виде упругих тепловых волн1. Исходя из этой основной идеи, Ман-
Мандельштам пришел к выводу, что рассеяние света в кристаллах можно рассматривать
как результат дифракции падающего света на упругих тепловых волнах гиперзвуко-
гиперзвуковых частот (~101оГц).
Теория Мандельштама оказалась применимой He* только к кристаллам, но и к
аморфным твердым телам и жидкостям. Из нее следовал важный вывод о том, что
при молекулярном рассеянии света в указанных средах должна существовать тонкая
структура спектра рассеянного света, обусловленная модуляцией света гиперзвуко-
гиперзвуковыми упругими волнами. Оказалось, что в свете, рассеянном под углом Ф, помимо
несмещенной компоненты с частотой v первичного света, должны наблюдаться «сме-
«смещенные» компоненты с частотами v+Av и v—А\, причем
Av = 2v(t>'A>)sin(#/2),
где t/ и v — скорости гиперзвука и света в рассеивающей среде.
В жидкостях возможны только продольные упругие волны, поэтому должны
наблюдаться две «смещенные» компоненты. В аморфном твердом теле возможны
как продольные, так и поперечные упругие волны, имеющие различные скорости
щ. и v\. Соответственно должно быть четыре «смещенных» компоненты рассеянного
света. При рассеянии света в анизотропных кристаллах в общем случае число «сме-
«смещенных» компонент должно бытЬ равно 24.
Существование этого явления, названного явлением Мандельштама — Бриллюэ-
яа, было впоследствии подтверждено экспериментами. Дальнейшее развитие теории
рассеяния света привело Мандельштама н Ландсберга к открытию явления комбина-
комбинационного рассеяния света (см. § 15.7).
§ 7.5. Излучение Вавилова — Черенкова
1. П. А. Черенков, изучая люминесценцию растворов
под действием радиоактивных излучений, обнаружил A934), что у- и
Р-излучения вызывают весьма слабое видимое свечение чистых жид-
жидкостей. Анализ свойств этого свечения показал, что оно вопреки суще-
1 Понятие об этих волнах впервые было введено в 1912 г. П Дебаем для объясне-
объяснения тепловых свойств кристаллических твердых тел (см. т. I, § 15.3 н 15.4),
— 138 —
ствовавшему в то время мнению не имеет ничего общего с люминесцен-
люминесценцией. Так, например, оно наблюдалось во всех чистых жидкостях не-
независимо от их химического состава, причем его интенсивность практи-
практически не зависела ни от температуры жидкости, ни от содержания в
ней примесей, которые должны были бы вызывать резкое ослабление
(«тушение») свечения, если бы оно являлось люминесцентным.
С. И. Вавилов высказал правильное предположение о том, что све-
свечение, обнаруженное Черенковым, связано с движением свободных
электронов через вещество. Однако попытка объяснить это излучение
торможением электронов в жидкостях оказалась неудачной. Расчеты
показали, что для всех жидкостей, исследованных Черенковым, интен-
интенсивность излучения, наблюдавшегося в опытах, хотя и была очень
невелика, но все же во много раз превосходила возможные значения
интенсивности тормозного излучения электронов. Объяснение при-
природы этого нового типа излучения свободных электрических зарядов
при движении их в веществе, названного излучением (эффектом)
Вавилова — ^еренкова, было дано советскими физиками И. Е. Там-
мом и И. М. Франком A937).
2. В § 3.2 говорилось о том, что заряженная частица (например,
электрон) излучает электромагнитные волны только тогда, когда она
движется с ускорением. Однако, как впервые показали Тамм и Франк,
доказательство этого утверждения отнюдь не безупречно. Оно основы-
основывается на предположении, что никакая заряженная частица не может
двигаться со скоростью, превосходящей скорость света. Это предполо-
предположение казалось всем настолько очевидным следствием специальной
теории относительности, что до Тамма и Франка никто даже не пытался
его анализировать. В действительности теория относительности позво-
позволяет лишь утверждать, что скорость v любой заряженной чаетицы
всегда меньше скорости с света ввакууме:о<с. Поэтому заряд,
движущийся равномерно и прямолинейно в вакууме, действительно не
излучает электромагнитных волн. Впрозрачном веществе
фазовая скорость видимого света меньше с. Она равна с/п, где п> I —
абсолютный показатель преломления вещества. Следовательно, в в е -
ществе заряд может двигаться со «с верхе вето-
вой» скоростью (с > и > с/п). Тамм и Франк показали, что
заряд, движущийся а веществе со сверхсветовой скоростью, должен
излучать электромагнитные волны. Таким образом, была объяснена
природа эффекта Вавилова — Черенкова и указаны условия его воз-
возникновения г.
Следует заметить, что в процессе излучения Вавилова — Черенко-
Черенкова энергия и скорость движения излучающей свободной частицы, ко-
конечно, уменьшаются, т. е. частица тормозится. Однако весьма суще-
существенно, что в отличие от тормозного излучения, являющегося след-
следствием изменения скорости частицы, уменьшение
скорости частицы при эффекте Вавилова — Черенкова само является
1 За открытие н объяснение эффекта Вавилова — Черенкова. С. И. Вавилов,
П. А. Черенков, И. Е. Тамм и И. М. Франк в 1947 г. были удостоены Государственной
S>eMHH, а в 1958 г. И. Е. Тамму, И. М. Франку и П, А. Черепкову была присуждена
обелевская премия по физике,
— 139 —
следствием излучения. Иными словами, если бы убыль энергии
частицы на излучение Вавилова — Черенкова каким-либо образом
восполнялась и частица двигалась бы с постоянной сверхсветовой
скоростью, то излучение Вавилова — Черенкова все равно имело бы
место, тогда как никакого тормозного излучения частицы не было бы.
3. Рассмотрим подробнее вопрос об излучении электромагнитных
волн заряженной частицей, движущейся в веществе вдоль оси X с
постоянной скоростью v (рис. 7.10). Заряженная частица вызывает
кратковременную поляризацию ве-
вещества в окрестностях тех точек,
через которые она проходит в про-
процессе движения. Поэтому молекулы
вещества, лежащие на пути частицы,
становятся кратковременно дейст-
действующими когерентными источника-
источниками элементарных электромагнит-
электромагнитных -волн. Излучение Вавилова —
Черенкова представляет собой ре-
результат интерференции этих элементарных волн.
Легко показать,'что при v<c/n заряд не излучает, так как эле-
элементарные волны полностью гасят друг друга в результате интерфе-
интерференции. Докажем справедливость этого утверждения для излучения
с какой-либо длиной волны Я, осуществляющегося в произвольном
направлении, которое характеризуется вектором п и составляет угол
а с направлением вектора v скорости частицы (рис. 7.10). Проще всего
это можно сделать, пользуясь методом, аналогичным методу зон Фре-
Френеля.
Разобьем траекторию частицы на равные отрезки \АВ |= \ВС\ = ...,
размер которых 1аХ укажем несколько позже. За время At—l^Jv
перемещения частицы из точки А в точку В электромагнитная волна,
испущенная из точки А в момент t нахождения в ней частицы, распро-
распространится в направлении п на расстояние
Рис. 7 J0
nv
Положение фронта этой волны в момент времени t+At, соответ-
соответствующий приходу частицы в точку В, совпадает с прямой EF, пер-
перпендикулярной АЕ. Пунктирная прямая DB, параллельная EF,
характеризует положение в тот же момент времени t+Atфронта волны,
излучаемой из точки В в направлении п. Разность хода этих волн
Так как, по условию, v < c/n, то
и (^_
Следовательно, величину lai, можно выбрать так, чтобы разность
хода рассматриваемых волн равнялась к/2 и они взаимно гасили друг
— 140 —
друга при- интерференции:
Очевидно, что при этом значении 1ах излучение в направлении п
любой точки отрезка АВ гасится при интерференции излучением сход-
сходственной ей точки соседнего отрезка ВС, отстоящей от нее на расстоя-
расстоянии lali. Следовательно, при равномерном и прямолинейном движе-
движении заряженной частицы в веществе с досветовой скоростью чаетица
не может излучать электромагнитные волны.
4. Если заряженная частица движется в веществе со сверхсветовой
скоростью, то cl{nv)<L\ и значение /«*,, удовлетворяющее условию
G.19), неограниченно возрастает по мере приближения угла а к зна-
значению, д, где
cos0=c/(w). G.20)
Для направления а=й разность хода \DE\ элементарных волн,
излучаемых из двух произвольных точек А и В траектории заряжен-
заряженной частицы (рис. 7.10), равна нулю:
\DE\=\AE\—\AB\cds ft=(dn—v cos ЩМ=0.
Следовательно, в указанном направлении должно происходить
взаимное усиление этих элементарных волн при их интерференции,
т. е. должно наблюдаться результирую-
результирующее излучение заряженной частицы —
излучение Вавилова — Черенкова. Из ска-
сказанного* видно, что характерная особен-
особенность излучения Вавилова — Черенкова
состоит в его направленности.
Свет, возникающий на каждом малом
участке траектории заряженной частицы,
распространяется вдоль образующих кону-
конуса, вершина О которого (рис. 7.11) распо-
расположена на этом участке, ось совпадает с
траекторией частицы, а образующие сое- Рис 7.и
тавляют с осью угол ■d=arccos clnv. Свет
поляризован так, что вектор Е направлен по нормали к поверхности
конуса, а вектор Н — по касательной к ней.
5. Эффект Вавилова — Черенкова нашел широкое практическое
применение в современной экспериментальной физике. На его основе
созданы так называемые черенковские счетчики заряженных частиц,
с помощью которых можно не только регистрировать эти частицы, но
и определять величину и направление скорости частицы.
Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 17.4.
Глава VIII
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
§ 8.1. Элементы кристаллооптики.
Двойное лучепреломление
1. В предыдущих главах, рассматривая закономерности
распространения света в различных средах, мы предполагали, что
среда оптически изотропна, т. е. скорость света в каждой точке среды
не зависит йи от направления распространения световой волны, ни
от характера поляризации волны. Исследования показали, что при
обычных условиях газообразные, жидкие и твердые аморфные диэлект-
диэлектрики оптически, изотропны. В то же время почти все кристаллические
диэлектрики оптически анизотропны. Оказалось также, что под влия-
влиянием внешних воздействий среда, бывшая оптически изотропной,
может стать оптически анизотропной. Это явление называется искусст-
искусственной оптической анизотропией.
Закономерности распространения света в любой среде (изотроп-
(изотропной или анизотропной) в конечном счете определяются интерференцией
первичной волны и вторичных волн, излучаемых молекулами, атомами
или ионами среды вследствие их электронной поляризации под дейст-
действием электрического поля Е световой волны. Поэтому оптические
свойства среды полностью обусловлены электрическими свойствами
этих элементарных излучателей, их взаимным расположением и
взаимодействием друг с другом. Молекулы или атомы среды в зави-
зависимости от их строения могут быть электрически изотропными или
анизотропными. В первом случае их поляризуемость не зависит от
направления, во втором — зависит. Однако электрические свойства
отдельных атомов или молекул среды еще не определяют полностью
оптические свойства этой среды. Так, например, как мы уже указы-
указывали выше, все газы, жидкости и аморфные твердые тела при обычных
условиях оптически изотропны, хотя молекулы многих из них элект-
электрически анизотропны. Причина этого заключается в полной хаотич-
хаотичности ориентации молекул в газах, жидкостях и аморфных телах.
Всякое упорядочение ориентации анизотропных молекул в этих сре-
средах под влиянием внешних воздействий приводит к возникновению
оптической анизотропии.
Если среда находится в кристаллическом состоянии, то ее частицы
(атомы, молекулы или ионы) располагаются в строгом порядке, об-
образуя кристаллическую решетку. Каждая частица находится в силь-
сильном взаимодействии с ближайшими соседями в решетке. Поэтому излу-
излучение вторичных волн частицами кристаллической среды зависит не
только от электрических свойств самих частиц, но и от силового воз-
воздействия со стороны других частиц. Из сказанного ясно, что оптиче-
оптическая анизотропия кристалла может быть обусловлена как электриче-
электрической анизотропией образующих его частиц, так и анизотропией поля
сил взаимодействия между частицами. Характер этого поля, т. е. его
изотропность или анизотропность, зависит от степени симметрии ре-
— 142 —
шетки кристалла. Как показали исследования, только кристаллы
кубической системы (например, каменная соль NaCl), обладающие
весьма высокой степенью симметрии решетки, являются оптически
изотропными. Все остальные кристаллы независимо от электрических
свойств образующих их частиц оптически анизотропны.
2. Расчет интерференции вторичных волн в анизотропных кристал-
кристаллах весьма сложен. Более простой метод изучения закономерностей
распространения света в таких средах основывается на применении
к ним теорий Максвелла для переменного электромагнитного поля.
При этом кристалл рассматривается как однородная среда,
диэлектрическая восприимчивость х и
относительная диэлектрическая про-
проницаемость е=1+и которой не оди-
одинаковы в различных направлениях1.
Таким образом, считается что опти-
оптическая анизотропия немагнитных
кристаллов является следствием ани-
анизотропии его относительной диэлект-
диэлектрической проницаемости.
Если однородная среда не погло-
поглощает электромагнитных волн и опти-
чески неактивна (см. § 8.5), то зави- с- °Л
симость ее относительной диэлект-
диэлектрической проницаемости от направления поддается сравнительно
простой графической интерпретации. Проведем из произвольной
точки О среды по различным направлениям радиус-векторы г,
модули которых равны корням квадратным из значений относительной
диэлектрической проницаемости е в соответствующих направлениях
|г| = УТ. Поверхность, проходящая через концы радиус-векторов г,
имеет форму эллипсоида (рис. 8 1) и называется оптической индикатри-
индикатрисой среды или эллипсоидом показателя преломления среды. Оси сим-
симметрии этого эллипсоида взаимно перпендикулярны и определяют три
главных направления в среде. В прямоугольной декартовой системе
координат, оси OX, OY и OZ которой проведены вдоль главных на-
направлений, уравнение оптической индикатрисы имеет вид
где гх, гу и ег — значения е вдоль главных направлений, называемые
главными значениями диэлектрической проницаемости среды.
Если гх=гу—гг, то оптическая индикатриса имеет форму сферы,
т. е. значения е по всем направлениям одинаковы и среда
оптически изотропна.
Анизотропный кристалл, у которого все три главных значения г
различны (чхфгуфгг), называется двуосным. Примерами двуосных
кристаллов являются ромбическая сера, гипс, слюда, топаз, араго-
1 Предполагается, что кристалл немагнитен, т е его относительная магнитная
проницаемость ц= 1.
- 143 —
нит и другие кристаллы, принадлежащие к кристаллографическим
системам с низкой симметрией.
Если два главных значения е одинаковы, например е.2—гуФе,х,
то оптическая индикатриса имеет форму эллипсоида враще-
вращения вокруг оси ОХ. Плоскость YOZ пересекает этот эллипсоид по
окружности. Следовательно, для любого направления, перпендику-
перпендикулярного оси ОХ, значения е одинаковы, а сами эти направления яв-
являются главными. Анизотропные кристаллы, обладающие таким
свойством, называются одноосными, а ось ОХ — оптической осью
одноосного кристалла в точке О. Для различных точек О кристалла
оптические оси параллельны между собой. Поэтому понятие оптиче-
оптической оси кристалла отличается от понятия оси, принятого в геомет-
геометрии. Оптическая ось кристалла не является одной какой-то особой
прямой в нем, подобной, например, оси симметрии тела, а характери-
характеризует лишь некоторое избранное направление в этом кристалле.
Одноосный кристалл называется оптически положительным, если
6я>>е!,=е2, т. е. если его оптическая ось направлена вдоль большой
оси эллипсоида оптической индикатрисы. В противном случае (еж<
<Сгу=гг) одноосный кристалл называется оптически отрицательным.
Оптически положительными являются^ например, кристаллы кварца
(SiO2), рутила (TiQ2), каломели (Hg/ЗЦ), киновари (HgS), а оптически
отрицательными — кристаллы кальцита, турмалина, апатита, азотно-
азотнокислого натрия.
3. В изотропных средах вектор D электрического смещения всегда
совпадает по направлению с вектором Е напряженности электриче-
электрического поля и связан с ним соотношением D=ee0E. В анизотропных
средах связь между D и Е имеет более сложный вид:
Рх = гхгвЕх, Dy = *„*£„, Яг = еге0Яг, (8.2)
где Dx, Dy, Dg и Ех, Еу, Ег— проекции векторов D и Е на главные
направления в среде. Из этих формул видно, что в анизотропной среде
вектор D совпадает по направлению с Е только в тех случаях, когда
вектор Е параллелен одному из главных направлений: О=еже0Е,
если £^=£.,=0; О=е^е„Е, если Ех~Ег=0, и О=еге0Е, если £Ж=
= Еу=0 (в одноосном кристалле, для которого еи=ег, О=гхг0Е, если
Ey~Ez—Q, и D=e?e0E, если Ех—0). Во всех остальных случаях
направления векторов D и Е различны. С этим связана одна из осо-
особенностей распространения электромагнитных волн в анизотропной
среде, на которой необходимо остановиться специально.
В § 4.1 было введено понятие луча, характеризующего направление
вектора плотности потока энергии волны (вектора Умова — Пойн-
тинга) в среде. Там же было показано, что для плоской монохромати-
монохроматической волны в однородной изотропной среде лучи нормальны к вол-
волновым поверхностям. Поэтому лучи одновременно характе-
характеризуют и направление переноса энергии волной, и направление рас-
распространения фронта волны, причем для монохроматических волн
скорость переноса энергии равна фазовой скорости перемещения вол-
волновой поверхности вдоль нормали к ней.
Иначе обстоит дело в анизотропной среде. Вследствие несовпаде-
несовпадения направлений векторов D и Е линейно-поляризованная плоская
монохроматическая волна в анизотропной среде характеризуется
двумя тройками взаимно перпендикулярных векторов: D, H, v и
Е, Н, v' (рис. 8.2). Векторы D, E, v и v' лежат в одной и той же плос-
плоскости, перпендикулярной к вектору Н. Вектор v представляет собой
скорость распространения волновой по-
поверхности вдоль нормали к ней, причем
роль электрического вектора, перпендику-
перпендикулярного v, играет вектор D, а не Е. Ско-
Скорость v называют нормальной скоростью
волны. Скорость v' называют лучевой ско-
скоростью волны, так как она совпадает по
направлению с вектором Умова — Пойн-
тинга Р=[ЕН] и равна скорости переноса
энергии волной. Нормальная и лучевая Рис 8 2
скорости связаны соотношением
V—o'cos a, (8.3)
где а — угол между векторами D и Е (а также v и v'). Нормальная
скорость зависит от относительной диэлектрической проницаемости
среды е в направлении, определяемом вектором D:
гдед = Т/'е—абсолютный показатель преломления среды для волны
с заданным направлением вектора D. Величину п можно найти с по-
помощью оптической индикатрисы (8.1). Если вектор D плоской волны
совпадает с одним из главных направлений, то луч совпадает с нор-
нормалью к фронту волны, а лучевая скорость волны равна ее фазовой
скорости:
где пх = У гх, пу — Уъу и пг = Уег—главные значения показателя
преломления анизотропной среды. В одноосном кристалле с оптиче-
оптической осью ОХ имеется два различных главных значения п, которые
принято обозначать следующим образом:
пх = пе0 и пу = пг = п0. (8.4)
Для оптически положительных кристаллов пе0>п0, а для опти-
оптически отрицательных пе0<.п0.
Необходимо заметить, что в анизотропных средах, так же как и в изотропных,
наблюдается дисперсия света. Зависимость п от частоты v света может быть различ-
различной для разных направлений, т. е. пх, пу и nz могут неодинаково зависеть от v. Поэто-
Поэтому соотношения _между размерами полуосей эллипсоида оптической индикатрисы,
равными пх = Vex, ny= V^y и nz— \/"г^, изменяются с изменением частоты света.
Например, кристаллы бензила (CsHsCO)a в. красной и желтой частях спектра являются
— 145 -
одноосными и оптически положительными, для света с частотой vo=7,2-1014 Гц —
оптически изотропными, а при v>v0— одноосными, но оптически отрицательными.
Дисперсия проявляется еще и в изменении угла между оптическими осями двуос-
ного кристалла при изменении частоты света.
4. С помощью уравнений Максвелла можно установить еще одну
очень важную особенность распространения света в анизотропных
средах. Оказывается, что в анизотропном кристалле всякая плоская
монохроматическая световая волна распадается на две плоские волны,
которые линейно-поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскос-
плоскостях и обладают различными нормальными и лучевыми скоростями.
Рассмотрим подробнее это явление на примере одноосного кристал-
кристалла, в котором одна из указанных выше волн называется обыкновенной,
а другая — необыкновенной. В обыкновенной волне вектор Do всегда
перпендикулярен оптической оси кристалла и направлению единич-
единичного вектора N нормали к фронту волны. Нормальная скорость этой
волны vo=t>oN. Ее числовое значение не зависит от направления N
и равно vo—c/no, где п0—показатель преломления кристалла для обык-
обыкновенной волны [см. формулы (8.4)]. Так как для одноосного кристалла
любое направление, перпендикулярное оптической оси, является
главным, то в обыкновенной волне
вектор Ео параллелен Do. Поэтому
обыкновенный луч совпадает с нор-
нормалью N к фронту волны, а лучевая
скорость v'0=vo=clno. Таким образом,
п0 является также показателем прелом-
преломления кристалла для обыкновенного
луча. Из сказанного видно, что обык-
обыкновенная волна распространяется в
анизотропном кристалле так же, как
распространяются волны в изотропной
среде. Именно поэтому она и была
названа обыкновенной.
В необыкновенной волне вектор De перпендикулярен N и ~D0,
т. е. лежит* в плоскости, проходящей через оптическую ось и нормаль
N. Нормальная скорость этой волны ve=veN. Ее числовое значение
ve=c/ne, где пе— показатель преломления кристалла для необыкно-
необыкновенной волны. Величина пе зависит от направления нормали N и
может быть определена с помощью оптической индикатрисы кристалла.
На рис. 8.3 покачано сечение оптической индикатрисы плоскостью XOY, в ко-
которой лежат векторы N и De, образующие с оптической осью кристалла ОХ углы <р и -ф.
Это сечение имеет форму эллипса с полуосями пео = У^ех и п0 = V^sv и удовле-
удовлетворяет уравнению:
N
Искомый показатель преломления пе равен длине отрезка ОА. Координаты точки
A: x = /iecost|)=/iecos I -=—<pl=«esin<p и у = пе sin г|з = — пе sin I -5-— <р 1 =
= —пе cos ф должны удовлетворять уравнению эллипса. Следовательно,
— 146 —
( —— ) sin2 ф -f ( -^- ) cos2 ф = 1, откуда
\ neo I \no I
n. =
(8 5)
(8.6)
n0
где veo— нормальная скорость необыкновенной волны в направлении, перпендику-
перпендикулярном оптической "оси (ф=я/2). Вдоль оптической оси (ф=0) ve=v0.
Вектор Ее необыкновенной волны также лежит в плоскости чер-
чертежа и, как можно доказать, направлен параллельно нормали к инди-
индикатрисе в точке А (наппавление этой нормали показано на рис. 8.3
пунктиром). Единичный вектор Se, перпендикулярный Ее и лежащий
в плоскости чертежа, показывает направление луча для необыкновен-
необыкновенной волны, называемого необыкновенным лучом.
Плоскость, проходящая через луч и пересекающую его оптическую
ось кристалла, называется главной плоскостью одноосного кристалла
для этого луча. Из сказанного выше следует, что обыкновенный луч
поляризован в главной плоскости (вектор Ео перпендикулярен этой
плоскости), а необыкновенный луч поляризован в плоскости, перпенди-
перпендикулярной главной плоскости (вектор Ее лежит в главной плоскости)
Лучевая скорость и показатель преломления кристалла для не-
необыкновенного луча в соответствии с формулой (8.3) равны:
(8.7)
где а — угол между векторами Ее и De (или Se и N). Так как пе=
= \ОА \, то из рис. 8.3 видно, что п'е= \АВ\, где В — основание перпен-
перпендикуляра, опущенного из точки А на направление необыкновенного
луча. Очевидно, что угол а=0 и необыкновенный луч совпадает с нор-
нормалью N к фронту необыкновенной волны только в двух случаях-
если вектор N направлен либо вдоль оптической оси (ф—О и п'е=п0),
либо перпендикулярно ей (ф=я/2 и п'е=пео).
Лучевые скорости v0 и \'е обыкновенной и необыкновенной волн
часто называют скоростями распространения обыкновенного и не-
необыкновенного лучей. Если из произвольной точки О одноосного
кристалла отложить векторы v0 и v^, соответствующие всевозможным
направлениям обыкновенного и необыкновенного лучей, то концы
этих векторов образуют две замкнутые поверхности, называемые лу-
лучевыми поверхностями обыкновенной и необыкновенной волн. Для
обыкновенной волны лучевая поверхность имеет форму сферы, радиус
которой v0. Можно показать, что лучевая поверхность необыкновен-
необыкновенной волны имеет форму эллипсоида вращения вокруг оптической оси
MN (рис. 8.4), проведенной через точку О. Вдоль оптической оси
скорости v0 и v'e. одинаковы. Поэтому лучевые поверхности касаются
друг друга в двух точках их пересечения прямой MN. В оптически
положительном кристалле v'e^v0 и эллипсоид вписан в сферу (рис.
8.4, а), а в оптически отрицательном кристалле v'e^v0 и эллипсоид
описан вокруг сферы (рис. 8.4, б).
— 147 —
5. Различие в величинах v0 и v'e для всех направлений, кроме на-
направления оптической оси, обусловливает явление двойного луче-
лучепреломления света в одноосных кристаллах. Оно .состоит в том, что
луч света, падающий на поверхность кристалла, раздваивается в нем
на два преломленных луча (обыкновенный и необыкновенный), которые
в общем случае имеют разлитые направления.
N М
Рис. 8.4
Двойное лучепреломление впервые было обнаружено во второй
половине XVII в. при прохождении света сквозь одноосные кристаллы
исландского шпата СаСОв. Эти кристаллы имеют форму ромбоэдра
(рис. 8.5), т. е. ограничены шестью ромбами с тупыми углами а=
= 101°52'. Направление оптической
оси совпадает с направлением диаго-
диагонали MeNe, соединяющей вершины
М„ и Л/о, в которых углы между реб-
ребрами на всех трех гранях равны а.
Если на кристалл падает достаточно
узкий пучок света, то в результате
двойного лучепреломления из крис-
кристалла выходят два пространственно
разделенных пучка света о и е, парал-
параллельных падающему пучку. Двойное лучепреломление отсутствует
только в том случае, когда свет падает нормально на плоскую по-
поверхность кристалла, вырезанную перпендикулярно его
оптической оси. Это связано с тем, что только вдоль оптической
оси обыкновенный и необыкновенный лучи" распространяются, с
одинаковыми скоростями.
Двойное лучепреломление было обнаружено и в двуосных кристал-
кристаллах, причем оказалось, что в этом случае скорости обоих лучей за-
зависят от направления их распространения в кристалле. Поэтому оба
преломленных луча являются необыкновенными.-Вдоль каждой
из двух оптических осей двуосного кристалла*скорости обоих лучей
одинаковы 'и двойное лучепреломление отсутствует.
6. Для наглядного объяснения двойного лучепреломления и пост-
построения обоих преломленных лучей в одноосном кристалле можно
воспользоваться графическим методом, предложенным Гюйгенсом и
являющимся обобщением принципа Гюйгенса (см. § 1.4) на анизотроп-
анизотропные среды. Пусть на плоскую границу аЬ (рис. 8.6) раздела между
вакуумом и одноосным оптически отрицательным кристаллом падает
монохроматическая плоская световая волна. Направление распрост-
- 148-
ранения волны в вакууме характеризуется параллельными лучами AM
и ВК,, лежащими в плоскости чертежа и -перпендикулярными фронту
волны МР. В рассматриваемый момент времени t фронт падающей
волны достиг течки М поверхности кристалла. Следовательно, она
становится источником двух линейно-поляризованных вторичных волн
в кристалле — обыкновенной и необыкновенной, которые распрост-
распространяются в кристалле по всем направлениям. Скорость обыкновенной
волны не зависит от направления и равна v0. Поэтому к моменту вре-
времени t+At, где At=\PK\/c—~ вре-
время, необходимое для прохождения
падающей волной расстояния РК,
фронт вторичной обыкновенной
волны будет представлять собой
полусферу с центром в точке М чг
радиусом, равным.У0Д^. Фронт пре-
преломленной обыкновенной волны
в кристалле изображается плоско-
плоскостью КС9, касающейся этой полу-
полусферы. Вектор, проведенный из точ-
точки М в точку касания, указывает
направлен-ие преломленного обык-
обыкновенного луча о. Этот луч лежит
в плоскости падения, проходящей
через падающий луч AM и нор-
нормаль Мп к плоскости ab. Если оптическая ось кристалла MN также
лежит в плоскости падения, то колебания вектора Ео в обыкновен-
обыкновенном луче совершаются перпендикулярно плоскости чертежа. Это ус-
условно показано на рис. 8.6 точками, нанесенными на обыкновен-
обыкновенный луч.
Сложнее определить направление преломленного необыкновенного
луча. Для этого прежде всего нужно выяснить, что следует понимать
под волновой поверхностью необыкновенной волны, излучаемой точеч-
точечным источником М, и какова ее форма. Силовое действие и перенос
энергии необыкновенной волной связаны с вектором Ее напряженности
ее электрического поля. Поэтому волновая поверхность необыкновен-
необыкновенной волны является геометрическим местом точек кристалла, в кото-
которых фазы колебаний вектора Ее в каждый момент времени одинаковы.
Скорость распространения в одноосном кристалле колебаний Ее
равна лучевой скорости v'e необыкновенной волны. Следовательно,
в момент времени t+At фронт вторичной необыкновенной волны описы-
описывается уравнением
г=у;д*,
тде г — радиус-вектор, проведенный из точки М в произвольную точку
фронта, а \'е— скорость необыкновенного луча в направлении вектора
Т. Эта поверхность геометрически подобна лучевой поверхности не-
необыкновенной волны, т. е. имеет форму эллипсоида вращения. Для
оптически отрицательного кристалла (например,"кристалла цсланд-
ского шпата) она имеет вид, изображенный на рис. 8.6. Плоскость
KCef касающаяся этой поверхности, представляет собой фронт пре-
преломленной необыкновенной волны в кристалле. Вектор, проведенный
из точки М в точку касания, указывает направление преломленного
необыкновенного луча е. Как видно из рис. 8.6, э;гот луч не совпадает
ни с обыкновенным лучом, ни с нормалью к фронту КСе.
Колебания вектора Ее происходят в плоскости чертежа, что условно
показано на рис. 8.6 поперечными черточками, нанесенными на не-
необыкновенный луч. Заметим, что необыкновенный луч в отличие от
обыкновенного лежит в плоскости падения только тогда, когда опти-
оптическая ось кристалла MN также лежит в плоскости падения.
На рис. 8.7 показано построение обыкновенного и необыкновенного
лучей в случае нормального падения света на поверхность ab оптически
отрицательного кристалла. Предполагается, что оптическая ось MN
ИГ
м
W\J) УУУ)
м,
а
Рис. 8.7
J-X
о,е
у
Рис. 8.8
лежит в плоскости падения и образует с плоскостью аЬ угол у, не рав-
равный 0 или я/2. Из этого построения видно, что обыкновенный луч
является продолжением падающего, а необыкновенный луч прелом-
преломляется (угол геф0). Этот результат служит убедительным подтвержде-
подтверждением неприменимости к необыкновенному лучу обычных законов
преломления света в изотропных средах. Волновые поверхности для
обыкновенной (СОС'О) и необыкновенной (СеС'е) волн параллельны друг
другу и плоскости ab, так что нормали к ним не преломляются — они
совпадают по направлению с нормалью к фронту падающей волны.
Наконец, на рис. 8.8 рассмотрен случай, когда свет падает нор-
нормально на поверхность ab оптически отрицательного кристалла, а оп-
оптическая ось MN кристалла лежит в плоскости ab (y=0). Ради про-
простоты' плоскость чертежа выбрана так, чтобы она проходила через
оптическую ось MN. Из построения видно, что в рассматриваемом
случае необыкновенный луч не преломляется на поверхности ab и
совпадает по направлению с обыкновенным и падающим лучами.
Однако в кристалле скорости обыкновенного и необыкновенного лучей
в этом направлении различны. Они соответственно равны vo=clno
и veo—c/neo (для оптически отрицательного кристалла пео<ло и weo>
>v0). Поэтому при прохождении обоими лучами одного и того же
расстояния d в кристалле между ними возникает оптическая разность
хода
= d(no-neo).
— 150 —
(8.8)
I
Рис. 8.9
§ 8.2. Получение и анализ
поляризованного света
1. Устройства, служащие для преобразования естест-
естественного или частично поляризованного света в линейно-поляризован-
линейно-поляризованный свет, называются поляризаторами. Их действие основывается на
использовании либо закона Брюстера для отражения и преломления
света на границе раздела двух прозрачных изотропных диэлектриков,
рассмотренного в гл. IV, либо явления двойного лучепреломления
в одноосных кристаллах.
Примером поляризатора первого типа может служить плоскопарал-
плоскопараллельная стеклянная пластинка. Если на эту пластинку (рис. 8.9)
падает под углом Брюстера i0, определяемого из условия D.9), пучок
естественного света, то отраженный свет должен
быть в соответствии с законом Брюстера полнос-
полностью линейно-поляризован в плоскости падения.
Вектор Е в отраженной волне, являющейся от-
отраженной s-волной (см. гл. IV), колеблется в нап-
направлении, перпендикулярном плоскости чертежа,
которая совпадает с плоскостью падения. Это
условно показано на рис. 8.9 точками, нанесен-
нанесенными на отраженный луч. В падающем на пластин-
пластинку естественном свете ни одно из направлений вектора Е не является
преобладающим. Поэтому в преломленном свете должны преобладать
колебания вектора Е, совершающиеся в плоскости падения, т. е.
соответствующие р-волне (см. гл. IV). Иными словами, преломлен-
преломленный свет должен быть частично поляризован.
Обычно вместо одной пластинки пользуются системой одинаковых
стеклянных пластинок, расположенных друг за другом так, что свет,
выходящий из первой плас-
пластинки, падает под углом
Брюстера на вторую, из вто-
второй — на третью и т. д. Такая
система пластин, называемая
стеклянной стопой, позволяет
путем многократных отраже-
отражений и преломлений добиться
того, чтобы свет, прошедший
сквозь стопу, был практически полностью поляризован.
2. В качестве примера поляризатора, в котором используется яв-
явление двойного лучепреломления света, рассмотрим призму В. Ни-
коля х. Она вырезается из кристалла исландского шпата и в попереч-
поперечном сечении имеет форму ромба. Продольное сечение призмы пока-»
зано на рис. 8.10. Передняя и задняя грани АВ и CD наклонены
к ребру AD под углом*68° и образуют с оптической осью MN кристалла
угол 48°. Диагональная плоскость BD наклонена к AD и ВС под уг-
1 Ее часто сокращенно называют просто ийколем.
— 151 —
лом 22°. По этой плоскости призма разрезана и склеена канадским ба-
бальзамом, который прозрачен для света и оптически изотропен. Абсо-
Абсолютный показатель преломления канадского бальзама п* 6. = 1,550
(для света с Я=589 нм).
На переднюю грань призмы АВ падает луч S естественного света,
параллельный ребру AD. В призме он раздваивается на два луча —
обыкновенный (ио=1,658) и необыкновенный (п'е = 1,515). Так как
neOi¥. 6.<no> To слой канадского бальзама оптически менее плотен,
чем исландский шпат, для обыкновенного- дуча и оптически более
плотен для необыкновенного луча. Обыкновенный луч падает на по-
поверхность канадского бальзама под
углом 76,5°, большим предель-
предельного, и, претерпев полное внутрен-
внутреннее отражение, поглощается в оп-
Jj7 раве призмы. Необыкновенный луч
свободно проходит через слой
Рис- 8-" канадского бальзама и после пре-
преломления на задней грани CD вы-
выходит из призмы параллельно падающему лучу S. Таким образом,
призма Николя преобразует естественный или частично поляризо-
поляризованный свет в линейно-поляризованный, плоскость колебаний которого
совпадает с главной плоскостью призмы, проходящей через луч и оп-
оптическую ось MN. При повороте призмы вокруг луча 5 на некоторый
угол на такой же угол поворачивается и плоскость колебаний света,
проходящего сквозь призму.
Вследствие преломления на наклонных гранях А В и CD луч света,
выходящий из николя, несколько смещен по отношению к падающему
лучу. Это явление удается устранить в поляризационной призме из
исландского шпата, грани АВ и CD которой перпендикулярны ребрам
AD я ВС и параллельны оптической оси MN (рис. 8.11).
3. Было обнаружено, что все двоякопреломляющие кристаллы в той
или иной степени поглощают свет. Поглощение в кристаллах анизот-
анизотропно: коэффициент поглощения зависит от ориентации электриче-
электрического Вектора световой волны, т. е. неодинаков для обыкновенного и
необыкновенного лучей и зависит от направления распространения
света в кристалле. Это явление называется дихроизмом. Примером
сильно дихроичного естественного кристалла является турмалин,
в котором коэффициент поглощения для обыкновенного луча во много
раз больше, чем для необыкновенного. Пластинка турмалина толщи-
толщиной всего лишь 1 мм практически полностью поглощает обыкновен-
обыкновенный луч, так что свет, проходящий сквозь rifee, оказывается линейно-
поляризованным. Коэффициент поглощения необыкновенного луча
в турмалине сильно зависит от частоты света. Поэтому при освещении
пластинки турмалина белым светом в проходящем свете преобладают
волны, частоты которых соответствуют желто-зеленой области спектра
видимого света.
Еще более ярко выраженным дихроизмом обладают кристаллы
герапатита (сернокислого иод-хинина), которые при толщине в 0,3 мм
полностью поглощают один из лучей. Размеры кристаллов герапатита
— 152 —
малы. Поэтому для получения поляризатора с большой площадью
поверхности применяют целлулоидные пленки, в которые введено
большое число одинаково ориентированных кристалликов герапатита.
Такие пленки получили название поляроидов.
4. Устройства, служащие для анализа степени поляризации света,
называются анализаторами. В качестве анализаторов используются
те же устройства, которые служат для получения линейно-поляризо-
линейно-поляризованного света (призма Николя, поляроиды и т. д.). Нсякий анализа-
анализатор (или поляризатор) можно условно изобразить в виде решетки,
«прутья» которой параллельны направлению колебаний вектора Еа
в проходящем сквозь нее свете. Если на такую решетку-анализатор
падает естественный свет (рис. 8.12), то интенсив- ni
ность /„ проходящего света не изменяется при вра-
у
а/
?
Рис. 8 13
щении анализатора вокруг направления падающего луча вследствие
того, что в естественном свете ни одно из направлений плоскости ко-
колебаний не является преобладающим. Очевидно, что
где /0 — интенсивность падающего естественного света, a ka — коэф-
коэффициент прозрачности анализатора для" пропускаемого им линейно-
поляризованного света.
Если падающий свет частично поляризован, то величина 1а при
вращении анализатора изменяется в зависимости от ориентации его
главной плоскости (т. е. направления «прутьев») по отношению к пре-
преимущественному направлению колебаний вектора Е в падающем
свете.
Наконец, если на анализатор падает линейно-поляризованный свет
интенсивностью /р, полученный с помощью поляризатора, то интен-
интенсивность /„ света, прошедшего через анализатор, пропорциональна. /р
и зависит от угла а между главными плоскостями анализатора (а — а)
и поляризатора (р — р) (рис. 8.13).
Пусть Ер — амплитуда электрического вектора линейно-поляри-
зованного света, прошедшего через поляризатор. На входе в анализа-
анализатор этот свет разложится на две волны, поляризованные соответст-
соответственно в главной плоскости анализатора и в перпендикулярной ей
плоскости. Амплитуды Ех и Е2 электрических векторов этих волн
равны соответствующим составляющим вектора Ер, так что
Ei=Ep sin а и Ег—Ер cos а.
— 163 —
Первая волна полностью поглотится в анализаторе, а вторая пройдет
через' него. Если анализатор абсолютно прозрачен для второй волны,
то амплитуда электрического вектора Еа для света, прошедшего через
-~- — анализатор, численно равна
®—¥
J
-г- света,
v«
Еа=Ер cos a,
пропорциональная
с 1Р и ос со-
соРис. 8.14
рены два предельных случая
ризатору р (а=0) и Ia=kalp (рис. 8.14, а); 2) анализатор
щен» с поляризатором р (а=я/2) и /о=0 (рис. 8.14, б).
а, связана
отношением
/а=/р cos'oc. (8.10)
В общем случае в пра-
правую часть этой формулы
нужно еще ввести коэффи-
коэффициент прозрачности ka ана-
анализатора:
l'a = kjpcos*a. (8.11)
Соотношения (8.10) и
(8.11) выражают закон Ма-
люса. На рис. 8.14 рассмот-
1) анализатор а «параллелен» поля-
а «скре-
§ 8.3. Интерференция поляризованного света
1. Естественный свет представляет собой набор линейно-
поляризованных волн со всевозможными ориентациями плоскостей их
колебаний относительно луча. Эти элементарные волны соответствуют
излучению различных независимых атомов источника света,
т. е. заведомо не когерентны друг с другом. При падении естественного
света на одноосный кристалл в последнем распространяются две
волны — обыкновенная и необыкновенная, которые линейно-поляри-
линейно-поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Каждая из эле-
элементарных волн, падающих ка кристалл, участвует в возбуждении
этих двух волн. Однако ее вклады в обыкновенную и необыкновенную
волны неодинаковы и зависят от угла а между ее плоскостью колеба-
колебаний и главной плоскостью кристалла. Так, например, элементарная
волна, поляризованная в главной плоскости кристалла (a=ir/2), воз-
возбуждает только обыкновенную волну, а элементарная волна, поля-
поляризованная в перпендикулярной" плоскости (а=0),— только не-
необыкновенную волну. Иными словами, обыкновенная и необыкновен-
необыкновенная волны в основном порождаются разными элементарными
волнами, входящими в состав естественного света, падающего на
кристалл. Следовательно, обыкновенная и необыкновенная волны, рас-
распространяющиеся в одноосном кристалле при падении на него естест-
естественного света, некогерентны.
- 154 —
2. Совершенно иначе обстоит дело, если на двоякопреломляющий
одноосный кристалл падает линейно-поляризованный
свет (например, полученный из естественного сг помощью поляриза-
поляризатора). В этом случае углы а,- для всех элементарных волн, входящих
в состав падающего на кристалл света, одинаковы и равны углу а
между плоскостью колебаний падающего света и главной плоскостью
кристалла. Следовательно, для всех падающих элементарных волн
соотношения между их вкладами в обыкновенную и необыкновенную
волны, возбуждаемые в кристалле, также одинаковы. Покажем это
на лримере нормального падения света на поверхность одноосного
кристалла, вырезанную параллельно его оптической оси MN (на
_^_ рис. 8.15 поверхность кристалла совпадает с
At плоскостью чертежа). Составляющие А,-е и А1о
ч •" вектора А,- амплитуды напряженности Е,- элект-
4 ': в-
Рис. 8.15 Рис." 8.16
рического поля £-й элементарной падающей волны, которые на-
направлены вдоль оптической оси кристалла и перпендикулярно ей,
равны амплитудам напряженности электрических полей необыкно-
необыкновенной и обыкновенной волн, порождаемых i-й волной. Из рис. 8.15
видно, что отношение
Ai0 Ai sin a
Aje Л; cos а
= tga
не зависит от А{, Т. е. одинаково для всех элементарных волн. Таким
образом, можно сделать следующий вывод: обыкновенная и необыкно-
необыкновенная волны, возникающие в одноосном кристалле при падении на
него линейно-поляризованного света, когерентны.
Иначе говоря, обыкновенный и необыкновенный лучи, возникающие
из луча линейно-поляризованного света при его двойном лучепрелом-
лучепреломлении, когерентны.
3. Пусть свет, линейно-поляризованный призмой Николя (рис. 8.16),
падает нормально на поверхность (Q—Q) плоскопараллельной плас-
пластинки К, вырезанной из одноосного кристалла таким образом, чтобы
плоскость (Q—Q) была параллельна оптической осн. На входе в плас-
пластинку К колебания взаимно перпендикулярных векторов Е,-о и Е;е
'в обыкновенном и небыкновенном лучах, соответствующих i-й состав-
составляющей падающего света с циклической частотой ©,•, совершаются
в одной фазе с колебаниями Е,- и описываются уравнениями
E,.e = A/ecos((o^ + 9,.), (8.12)
— 155 —
где tpf — начальная фаза колебаний Щ в точке падения. Если плос-
плоскость колебаний падающего света наклонена к главной плоскости
кристалла под углом а, то, как видно из рис. 8.15,
i4,-0 = i4;sina, Aie^AjCosa. (8.13)
Таким образом,
Eio = /ifSinacos^co^-ffi)'» Eie = A t cos a cos {a>it +q>,-). (8.12')
Вследствие различия скоростей распространения в кристалле
обыкновенного и необыкновенного лучей колебания векторов EL и
Е;« на выходе из пластинки будут сдвинуты по фазе. Разность фаз
Дф,- колебаний Б/е и Що можно определить, исходя из формулы (8.8)
для оптической разности хода обыкновенного и необыкновенного
лучей *;
где "ki—^ncl&i— длина волны в вакууме для света с циклической
частотой со,. Колебания векторов Е/о и Е'1е на выходе из пластинки К
описываются уравнениями
E;o = A;ecos(«^+.9{—Дф<) и Е^А'^соэ^ + ф;), (8.15)
где ф/—начальная фаза колебаний вектора Е-е. Если поглощение
света в пластинке К пренебрежимо мало, то амплитуды А\о и A'ie равны
соответственно Aio и А[е, так что
- (8.15')
Результирующая напряженность Е,' электрического поля для света,
выходящего из пластинки К, равна сумме ее взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных составляющих Е-о и YL'ie: Щ—Щ0-\-Ще. Из уравнений (8.15')
следует, что при а, отличном от 0 и л/2,
= 5таЛф,.. (8.16)
Это уравнение аналогично C.6'). Таким образом, в общем случае
линейно-поляризованный монохроматический свет после прохождения
через пластинку К становится эллиптичееки-поляризованным.
4. Рассмотрим важнейшие частные случаи:
а) если сс=О, то, как видно из (8.12) и (8.15% Е('о=Е;о=0, т. е.
в пластинке К распространяется только необыкновенный луч;
б) если а=я/2-, то Е^=Е/е=0, т. е. в пластинке распространяется
только обыкновенный луч. В обоих случаях дластинка не изменяет
характера поляризации света;
в) если a=it/4 и Аф,=Bт+1) л/2, где т=0; ±1; ±2; ..., то урав-
уравнение (8.16) приводится к виду
1 Зависимостью п0 и пео от со,-, т. е. дисперсией света в кристалле, мы пренебре-
пренебрегаем.
- 156-
т. е. конец вектора Е<' описывает окружность радиусом AtlY% и свет,
выходящий из пластинки, циркуля рно-поляризован. Та-
Такая пластинка называется пластинкой в четверть волны, YaK к^к мини-
минимальное значение абсолютной величины ее оптической тол-
толщины б в согласии с формулой (8.14) должно быть равно
Ш — 1Аср' ^яи К — *"' •
г) если Аф,=Bт+1)я, где т=0; ±1; ±2; .,., т. e..|6|Ml(I1=V2
(пластинка в полволны), то уравнение (8.16) приводится к виду
Таким образом, вектор Е\ колеблется вдоль прямой, образую-
образующей с оптической осью кристалла MN угол —а, в то время как на
входе в пластинку вектор Е,- колеблется вдоль прямой, образующей
с MN угол +а (рис. 8.17). Следовательно, при прохождении линейно-
поляризованного монохроматического света сквозь пластинку в пол-
полволны свет остается линейно-поляризованным, но его плоскости коле-
колебаний и поляризации поворачиваются на угол 2а;
д) если Дф,.==2/пя, где т~±\; ±2; ..., т. е. |в|мин=А,г (пластинка
в целую волну), то уравнение (8.16) приводится к виду
Следовательно, при прохождении линейно-поляризованного моно-
монохроматического света- сквозь пластинку в целую волну свет остается
линейно-поляризованным в прежней плоскости.
5. Когерентные волны, выходящие из кристаллической пластинки
К, не могут интерферировать, так как они поляризованы во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Добавим по-
' f[ этому к схеме, изображенной на рис. 8.16,.еще
одну призму Николя а в качестве анализатора
а
f \У
а.
К
Рис. 8.18
света, прошедшего через пластинку К (рис. 8.18). Анализатор, разла-
разлагая приходящие к нему когерентные волны, поляризованные во
взаимно перпендикулярных плоскостях и обладающие определенными
разностями фаз Дф;, выделяет из них составляющие, которые поля-
поляризованы в одной плоскости, и тем самым создает условия, необхо-
необходимые для интерференции этих волн.
Ограничимся рассмотрением интерференционной картины в моно-
монохроматическом и белом свете, наблюдаемой при двух положениях
анализатора: когда он либо параллелен поляризатору [угол E между
— 157 —
главными плоскостями анализатора (а — а) и поляризатора (р — р)
равен нулю], либо скрещен с ним (р"=я/2). Кроме того, ради простоты
предположим, что угол а между главной плоскостью поляризатора
и оптической осью кристаллической пластинки К равен я/4,'так что
амплитуды и интенсивности обыкновенногОчИ1 необыкновенного лучей
в 'пластинке одинаковы.
Пусть на пластинку К падает монохроматический
свете длиной волны в вакууме, равной к. Возможны следующие два
предельных случая:
{27 ±2; ...)• (8Л7)
В первом случае, соответствующем пластинке в целую волну,
на анализатор падает свет, линейно-поляризованный в плоскости
(р — р). Поэтому при р=0 интенсивность света, проходящего через
анализатор, максимальна, а при р=я/2 она равна нулю, т. е. при
Р=0 наблюдается интерференционный максимум, а при Р=я/2 —
интерференционный минимум.
Во втором случае, соответствующем пластинке в полволны, на
анализатор падает свет, линейно-поляризованный в плоскости, сос-
составляющей с плоскостью (р — р) угол 2а=я/2. Поэтому при E=0 на-
наблюдается интерференционный минимум, а при р=я/2 — интерферен-
интерференционный максимум.
В обоих рассмотренных случаях поворот поляризатора или ана-
анализатора на угол я/2 (т. е. переход от C=0 к Р=я/2 или наоборот)
вызывает изменение интерференционной картины на дополнительную.
Очевидно, что при произвольных значениях Аф, не удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям (8.17), интенсивность света, проходящего через анали-
анализатор, должна быть отличной от нулевой, но меньшей максимальной.
Если на пластинку К падает линейно-поляризованный белый
свет, то при наблюдении через анализатор пластинка видна окра-
окрашенной. При изменении угла р, т. е. при вращении анализатора или
поляризатора, окраска пластинки изменяется. Это явление объяс-
объясняется тем, что для различных монохроматических составляющих
белого света значения сдвига фаз Дф(-=-^(п0—пе0), определяющие
результат их интерференции, не одинаковы. При изменении р на я/2
интерференционная картина изменяется на дополнительную: если,
например, при р=0 пластинка была окрашена в красный цвет, то
при Р=п/2 она приобретает зеленую окраску.
В том случае, когда толщина d пластинки в разных местах не оди-
одинакова, а «о—neo=const, то и значения Лф,- также различны. Поэтому
при наблюдении через анализатор такой пластинки в монохроматиче-
монохроматическом свете на ее поверхности видна система темных и светлых интер-
интерференционных полос, соответствующих участкам пластинки, равной
толщины. В белом свете эта пластинка приобретает причудливую разно-
разноцветную окраску, причем каждая цветная интерференционная линия
(изохромата) проходит через те точки пластинки, где ее толщина d
одинакова. Аналогичная картина наблюдается в пластинке, толщина
— 158 —
которой всюду одинакова, но зато различны разности показателей
преломления по—пео. В этом случае изохроматы соединяют точки, для
которых разности п0—пв0 одинаковы.
Основные применения явления интерференции поляризованного
света в технике рассмотрены в следующем параграфе. Пока укажем
лишь, что весьма чувствительный способ обнаружения оптической
анизотропии в исследуемом образце состоит в изучении влияния этого
образца, помещенного между скрещенными поляризатором и анализа-
анализатором, на прохождение света через анализатор.
§ 8.4. Искусственная
оптическая анизотропия
1. Еще в начале прошлого столетия Т. Зеебек и Д. Брюс-
тер обнаружили, что оптически изотропное твердое тело под влиянием
механической деформации становится оптически анизотропным. На-
Например, при одностороннем сжатии или растяжении стеклянной плас-
пластинки она приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось
которого совпадает с направлением сжатия или растяжения. Разность
показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей
в направлении, перпендикулярном оптической оси, пропорциональна
нормальному напряжению о:
где k — коэффициент, зависящий от свойств вещества. Таким образом,
поместив деформированную стеклянную пластинку между поляриза-
поляризатором и анализатором вместо кристаллической пластинки К (рис. 8.18),
можно наблюдать интерференционную картину, аналогичную той,
которая была рассмотрена в предыдущем параграфе. По виду изохро-
"мат можно судить о распределении внутренних напряжений в стек-
стеклянной пластинке, так как каждая изохромата проходит через точка,
в которых величины а одинаковы.
Явление искусственной оптической анизотропии при деформациях
используется для.обнаружения остаточных внутренних напряжений,
которые могут возникать в изделиях из стекла и других прозрачных
изотропных материалов вследствие несоблюдения технологии их из-
изготовления. Оптический метод изучения на прозрачных моделях рас-
распределения внутренних напряжений в различных непрозрач-
непрозрачных частях машин и сооружений широко применяется в современ-
современной технике. Для этой цели используются модели, изготовленные из
целлулоида или другого прозрачного изотропного вещества.
2. Дж. Керр обнаружил A875), что жидкий или твердый изотроп-
изотропный диэлектрик, помещенный в достаточно сильное однородное элект-
электрическое поле, становится оптически анизотропным. Это явление полу-
получило название эффекта Керра.'Принципиальная схема его наблюдения
в жидкостях изображена на рис. 8.19,. где р и а — поляризатор и
скрещенный с ним анализатор, а К- я.—так называемая ячейка Керра:
кювета с исследуемой жидкостью, в которую погружены обкладки
плоского конденсатора. Опыты показали, что под действием однород-
- 159 -
ного электрического поля в плоском конденсаторе жидкость поляри-
поляризуется и приобретает свойства одноосного двоякопреломляющего
кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением век-
вектора Евн напряженности поля конденсатора. Разность показателей
преломления поляризованной жидкости для необыкновенного и
обыкновенного лучей монохроматического света в" направлении, пер-
перпендикулярном вектору Евн, пропорциональна Е|н:
пео-по = В№ю, (8.18)
где к — длина волны света в вакууме, а В — так называемая кон-
константа Керра. Константа Керра зависит от природы вещества, длины
волны к и температуры, как правило, быстро уменьшаясь с ее увели-
увеличением. Часто пользуются другой, константой Керра К, связанной
с В соотношением К=Вк/п, где п — абсолютный показатель прелом-
преломления вещества в отсутствие электрического поля. К определяет от-
относительную разность показателей преломления в поле единичной
напряженности. Для большинства веществ константа В>0, т. е. эти
вещества по своим оптическим свойствам в однородном электрическом
поле подобны оптически положительным одноосным кристаллам.
В 1930 г. было обнаружено существование эффекта Керра и в га-
газах. Трудность наблюдения этого явления связана с тем, что значе-
значения В для газов на несколько порядков меньше, чем для жидкостей.
-3. Ячейка Керра, находящаяся между скрещенными поля-
поляризатором и анализатором, действует на свет так же, как рассмотрен-
рассмотренная в § 8.3 плоскопараллельная кристаллическая пластинка. Она соз-
создает между необыкновенным и обыкновенным лучами сдвиг фаз
Дф = 2яй,{По_Пео) = £
где d — длина ячейки, равная длине пластин конденсатора, U—
=Еви а — напряжение, подаваемое на конденсатор, и а — расстоя-
расстояние между пластинами. При U==0 ячейка вполне изотропна (Дф=0)
й не изменяет характера поляризации падающего на нее света. По-
Поэтому свет сквозь анализатор не проходит. По мере увеличения U
возрастает Дф. При этом увеличивается интенсивность света, прохо-
проходящего через анализатор, достигая максимума при значении Uo,
соответствующем Дф=—зт:
— 160 —
Эффект Керра практически безынерционен: длительность процес-
процессов перехода вещества в электрическом поле из изотропного состоя-
состояния в анизотропное и обратного перехода после исчезновения поля не
-превосходит Ю"9—100 с. Поэтому, подавая на пластины конденса-
конденсатора ячейки Керра переменное напряжение U @<i/<i/0), можно
модулировать интенсивность света, проходящего через анализатор,
в соответствии с колебаниями U. Этот принцип был использован
П. Г. Тагером в первой сис-
системе советского звукового
кино для записи звука на
кинопленке. Ячейка Керра
в сочетании- со Скрещен-
Скрещенными поляризатором и ана-
U
О
1
.
■MB
.
г,
т0
лизатором применяется в
скоростной фотосъемке Рис. 8.20
быстро протекающих про-
процессов в качестве быстродействующего светового затвора. Для этого
на конденсатор ячейки Керра подаются периодически повторяющие-
повторяющиеся с частотой киносъемки v=1/(to+Ti) прямоугольные импульсы
напряжения (рис. 8.20). Длительность т0 каждого импульса равна
продолжительности экспозиции при съемке, которая может составлять
до 0,01 мкс.
4. Классическая теория эффекта Керра для веществ с неполярными анизотроп-
анизотропными молекулами была разработана П. Ланжевеном A910) и развита для веществ с
полярными молекулами М. Борном A918). Неполярные молекулы поляризуются во
внешнем электрическом поле Еви. У анизотропной молекулы ее поляризуемость не
одинакова в разных направлениях. Поэтому в результате совместного влияния ори-
ориентирующего действия электрического поля на наведенные нм электрические момен-
моменты молекул и соударений между молекулами в веществе должна нарушаться полная
хаотичность во взаимной ориентации частиц. Молекулы стремятся ориентироваться
таким образом, чтобы направления их максимальной поляризуемости совпадали с на-
направлением Евн. В связи с этим в электрическом поле относительная диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость е и показатель преломления п среды должны зависеть от на-
направления, т. е. среда должна быть оптически анизотропной. В обыкновенном и
необыкновенном лучах, распространяющихся перпендикулярно Евн, векторы на-
напряженности электрического поля волны колеблются соответственно перпендику-
перпендикулярно Евни вдоль него. В первом направлении 6 и п имеют минимальные значения, во
втором —максимальные. Следовательно, щ<п.ео и коистаита Керра В = е°~ °> 0.
При увеличении температуры усиливается хаотическое тепловое движение молекул,
препятствующее упорядочению их ориентации во внешнем электрическом поле.
Поэтому возрастание температуры при неизменном значении Еви сопровождается
уменьшением степени анизотропии вещества, т. е. уменьшением разности пео — п0
и константы Керра В.
Если вещество состоит из полярных молекул, обладающих постоянными
электрическими моментами, то во внешнем электрическом поле возникает пре-
преимущественная ориентация векторов электрических моментов молекул по на-
направлению Евн. Направление максимальной поляризуемости полярной молекулы
может не совпадать с направлением вектора ее постоянного дипольного момента.
Пусть угол между этими направлениями равен а. Тогда при а=0 картина аналогична
рассмотренной выше для веществ с неполярными молекулами: константа Керра
В>0. Если а=я/2, то значения е и п вещества должны быть минимальными в направ-
направлении вектора Евн и максимальными в перпендикулярном направлении, т. е.
лео<я0 и В<0. Таким образом, удалось связать величину и знак константы Керра
вещества со свойствами и строением его молекул.
6 А. А. Детлаф, В. М. Яворский — 161 —
Ориентационная теория Ланжевена — Борна хорошо согласуется с эксперимен-
экспериментальными данными для газов. Однако для жидкостей это согласие носит лишь ка-
качественный характер, так как'в теории Ланжевена — Борна не учитываются силы
межмолекулярного взаимодействия, играющие существенную роль в жидкостях.
5. Э. Коттон и А. Мутон исследовали A907) явление возникновения
оптической анизотропии у изотропного вещества под влиянием силь-
сильного магнитного поля (эффект Коттона— Мутона). Разность показа-
показателей преломления вещества для необыкновенного и обыкновенного
лучей, распространяющихся перпендикулярно направлению оптиче-
оптической оси, т. е. вектора Нвн однородного магнитного поля, выражается
формулой, аналогичной формуле (8.18) для эффекта Керра:
пео-по = СКЩв, (8.19)
где С — постоянная Коттона — Мутона, зависящая от природы ве-
вещества, длины волны света Я и температуры. Эффект Коттона —
Мутона наблюдался в жидкостях, стеклах и коллоидах, в газах его
пока обнаружить не удалось.
§ 8.5. Вращение плоскости поляризации
1. Д. Араго обнаружил A811), что при прохождении
линейно-поляризованного света сквозь кристалл кварца вдоль его
оптической оси плоскость поляризации света поворачивается вокруг
направления луча. Если плоскопараллельную пластинку кварца,
вырезанную перпендикулярно оптической оси, поместить между скре-
скрещенными поляризатором и анализатором, то поле зрения анализатора
просветляется. Для полного затемнения поля зрения анализатор
нужно повернуть вокруг луча на некоторый угол ф, равный углу пово-
поворота плоскости поляризации света в пластинке кварца. Дальнейшие
исследования показали, что такое же явление наблюдается во многих
других веществах, названных оптически активными. Оптически ак-
активны не только двоякопреломляющие кристаллы (киноварь и др.),
но и оптически изотропные кристаллы, а также чистые жидкости (на-
(например, скипидар, никотин и др.) и растворы (например, камфоры
в бензоле, водные растворы сахара, глюкозы и т. д.). Оказалось, что
все вещества, оптически активные в жидком состоянии (в том числе
и в растворах), обладают таким же свойством и в кристаллическом
состоянии. В то же время некоторые вещества, оптически активные
в кристаллическом состоянии, не активны в жидком (например, рас-
расплавленный кварц). Следовательно, оптическая активность опреде-
определяется как строением самих молекул вещества, так и расположением
частиц в кристаллической решетке.
Для большинства оптически активных кристаллов обнаружено
существование двух модификаций, осуществляющих вращение плос-
плоскости поляризации соответственно по часовой стрелке и против (для
наблюдателя, смотрящего навстречу лучу). Первая модифи-
модификация называется правовращающей или положительной (ф>0),
вторая — левовращающей или отрицательной (ф<0).
_ 162 —
2. В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол
Ф поворота плоскости поляризации света пропорционален толщине
/ слоя вещества, пройденного светом:
Ф=аЛ (8.20)
Коэффициент а, численно равный углу поворота плоскости поляриза-
поляризации света слоем оптически активного вещества единичйой толщины,
называется удельным вращением. Удельное вращение зависит от
природы вещества, температуры и длины волны к света в вакууме
(вращательная дисперсия). Вдали от полос поглощения света вещест-
веществом зависимость а от К удовлетворяет закону Био: а~1/АА Для лево-
и правовращающих модификаций одного и того же вещества значения
а отличаются только знаком.
В растворе, как показал Ж- Био,
<p=la\cl=la]DKl, (8.21)
где с — объемно-массовая концентрация оптически активного ве-
вещества в растворе, D — плотность раствора и K=c/D — долевая
концентрация по массе, т. е. отношение массы активного вещества
к массе всего раствора. Коэффициент пропорциональности [а], зави-
р А а
Рис. 8 21
сящий от природы оптически активного вещества и растворителя,
температуры и длины волны света, называется удельным вращением
раствора.
3. Формула (8.21) лежит в основе точного метода быстрого опреде-
определения концентрации с оптически активного вещества (например, са-
сахара в водном растворе). Применяемые для этого приборы называются
поляриметрами или сахариметрами. Оптическая схема поляриметра
изображена на рис. 8.21, где А — трубка известной длины / с иссле-
исследуемым раствором. Измерение угла ф путем установки анализатора
на полное затемнение поля зрения сначала без трубки А, а затем
с ней является недостаточно точным, так как человеческий глаз мало-
малочувствителен к небольшим изменениям абсолютной яркости
равномерно освещенного или затемненного поля зрения. Зато
глаз очень чувствителен к малейшему различию в яркостях
смежных частей поля зрения, окрашенных в один и тот же цвет, т. е.
освещенных монохроматическим светом. Это свойство глаза исполь-
используется в полутеневом поляриметре, отличающемся от обычного спе-
специальной конструкцией поляризатора или анализатора. Простейший
полутеневой анализатор изготавливают из призмы Николя следующим
образом. Ее разрезают вдоль плоскостей ВС и BD, симметричных от-
относительно главной плоскости аоа'о призмы и наклоненных к ней под
малыми углами C (рис. 8.22, а, на котором показано сечение призмы,
6* - 163 —
перпендикулярное лучам света). Затем клин CBD удаляется, а остав-
оставшиеся две части призмы склеиваются друг с другом вдоль плоскостей
ВС и BD (рис. 8.22, б). Теперь главные плоскости левой (CCi) и правой
(ОС?) половин полученной призмы уже не совпадают. Они симметричны
относительно плоскости склейки ВС и образуют между собой острый
угол 2р\ Если на такую призму (полутенёвой анализатор) падает
Рис. 8.22
линейно-поляризованный свет, то ни при какой ориентации призмы
Вокруг луча нельзя добиться того, чхобы все поле зрения было пол-
полностью затемнено. Освещенность левой и правой половин поля
зрения одинакова только в двух случаях: когда плоскость колебаний
света, падающего на призму, совпадает с плоскостью ВС или пер-
перпендикулярна ей. В первом случае все поле зрения равномерно осве-
освещено, а во втором — равномерно затемнено. Установка полутеневого
анализатора на равномерное затемнение позволяет весьма точно оп-
определять ориентацию плоскости поляризации света и угол ее поворота
в оптически активном веществе.
4. Френель предложил A823) следующее качественное объяснение явления вра-
вращения плоскости поляризации света. На входе в оптически активное вещество ли-
нейио-поляризованный монохроматический свет разлагается на две волны той же
частоты, но поляризованные по кругу во взаимно противоположных направлениях.
Электрические векторы этих волн связаны соотношением
а их взаимное расположение показано на рис. 8.23, о. Векторы Eg и Е^ численно рав-
равны половине амплитуды вектора Е и вращаются с угловой скоростью co=2jiv соот-
соответственно против и по часовой стрелке (еслн смотреть навстречу лучу света) так,
что в любой момент времени они симметричны относительно плоскости (р—р) коле-
колебаний падающего света. В оптически активном веществе скорости ag и va циркулярно-
поляризованных волн Eg и Е^ различны. Поэтому при прохождении этих волн через
слой вещества толщиной / между ними возникают оптическая разность хода д и
сдвиг фаз Aip, равные:
e-/(»r-B-)-fc(—-—J.At—3r = eI ( — - —
где с — скорость света в вакууме. Если vg<.v,i, то на выходе из вещества вектор Ej
опережает по фазе вектор Eg на Ai|)>0 и их взаимное расположение имеет вид, по-
показанный на рис. 8.23, б. Результирующий вектор Е' колеблется в плоскости (р'—р'),
повернутой по отношению к (р—р) по часовой стрелке на угол Щ/2, пропор-
пропорциональный /.
— 164 —
Таким образом, условие t>g<o<t соответствует правовращающему оптически ак-
активному веществу. Очевидно, что прн vs>v^ Д\)з<0 и вещество будет левовращаю-
щим. В оптически неактивном веществе vs=v^.
5. Фарадей обнаружил A846), что оптически неактивные вещества
под действием внешнего магнитного поля приобретают способность
вращать плоскость поляризации
света, распространяющегося
вдоль направления поля. Это
явление получило название эф-
эффекта Фарадея или магнитного
вращения плоскости поляриза-
поляризации. Угол поворота плоскости
поляризации
где Н — напряженность внеш-
внешнего однородного магнитного
поля, I — длина пути света в
поле, а V — постоянная Верде, Рис 8 2з
зависящая от природы вещества
и длины волны света.
Для большинства веществ постоянная Верде не зависит от- температуры и маг-
магнитное вращение плоскости поляризации обусловлено диамагнитным эффектом. Этот
эффект (см. т. II, §20.2) состоит, в том, что во внешнем магнитном поле электроны
атомов и молекул вещества прецессируют вокруг направления поля. Тем самым соз-
создается вращательная анизотропия вещества, т. е. различие во взаимодействии с ве-
веществом циркулярно-поляризованных волн Eg и Е^. вращение одного из этих век-
торов совпадает по направлению с прецессионным,
противоположном направлении.
вращение другого совершается в
Глава IX
ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 9.1. Механический принцип
относительности Галилея
1. В этом параграфе напомним коротко некоторые поло-
положения классической механики, изложенные в гл. II первого тома.
Инерциальной системой отсчета называется такая система, по отно-
отношению к которой скорость материальной точки, свободной от внешних
воздействий, сохраняется неизменной по величине и направлению.
Любые две инерциальные системы отсчета либо взаимно неподвижны,
либо движутся друг относи-
относительно друга равномерно и
прямолинейно, т. е. с постоян-
постоянной скоростью V. На рис. 9.1
показаны две инерциальные
системы отсчета' неподвижная
система К (декартовы коор-
координаты х, у, z) и система К'
(декартовы координаты х',
у', г'), движущаяся со ско-
скоростью V, направленной вдоль
Рнс 9.1 положительного направления
оси ОХ1. Ради простоты пред-
предполагается, что в начальный момент времени t=0 точки О и 0', а
также сходственные оси систем К и К' совпадали. В классической
механике принимается, что свойства пространства и ход времени во
всех инерциальных системах отсчета одинаковы. Поэтому координаты
материальной точки М и время в подвижной (х', у', z', t') и непод-
неподвижной (х, у, z, t) системах отсчета связаны преобразованием Галилея:
или _,' " ,Г/__ ,, , ) (9.1)
и t' =
Отсюда следует, что скорости v' и v и ускорения а' и а точки М
в обеих системах связаны соотношениями
v dt' dt dt v
d\'
dv
a dt' dt dt ~a"
(9.2)
(9.3)
Соотношение (9.2) выражает классический закон сложения скоро-
скоростей, а из (9.3) следует, что ускорения одной и той же движущейся
точки одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, т. е. уско-
1 Неподвижность системы К, конечно, условна С таким же успехом можно счи-
считать, что она движется со скоростью —V относительно неподвижной системы Д'.
— 166
рение точки инвариантно по отношению к преобразованию Гали-
Галилея (9.1).
2. Силы взаимодействия материальных точек зависят от взаимного
расположения и скоростей относительного движения этих точек.
Однако ия. уравнений (9.1) и (9.2) следует, что взаимное расположе-
расположение и относительная скорость движения материальных точек 1 и 2
не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета
к другой:
r'u = ri—T'a='(r1 — \t) — (rt — Vf) = rl — ra = rw
u;2 = v[—vi = (Vj — V) — (v2—V) = v1—v2 = u12.
Таким образом, сила F, действующая на материальную точку,
инвариантна по отношению к преобразованию Галилея:
F' = F. (9.4)
Наконец, в классической механике считается, что масса мате-
материальной точки не зависит от скорости ее движения, т. е. одинакова
во всех инерциальных системах отсчета:
т'=т. (9.5)
Соотношения (9.3) — (9.5) показывают, что уравнение второго^
закона Ньютона, лежащее в основе классической механики,
инвариантно относительно преобразования Галилея: оно описывает
движение материальной точки во всех инерциальных системах отсчета.
Этот вывод является математическим выражением механического
принципа относительности Галилея: в любых инерциальных системах
отсчета все механические явления при одних и тех же условиях проте-
протекают одинаково. Иначе говоря, равномерное прямолинейное движение
замкнутой системы не влияет на протекание в ней любых механиче-
механических явлений.
Механический принцип относительности свидетельствует о том,
что в рамках классической механики все инерциальные системы от-
отсчета совершенно равноправны. Среди них нет какой-то главной, раз
навсегда выделенной абсолютной системы отсчета, движение всех тел
относительно которой можно было бы назвать абсолютным движением.
§ 9.2. Проблема существования эфира
1. Как уже говорилось, в начале XIX в. после работ
Юнга и Френеля волновая теория света стала общепризнанной в фи-
физике. Считалось, что световые волны распространяются в эфире —
особой среде, заполняющей все пространство, включая тела и вакуум.
Первоначально световые волны в эфире уподобляли упругим попереч-
поперечным волнам, скорость которых v = VG/p, где G — модуль сдвига
эфира, ар — плотность эфира. Влияние вещества на скорость света
■объясняли тем, что в веществе эфир сгущается, т. е. его плотность р
- 167 -
зависит от природы вещества. Поэтому абсолютный показатель пре-
преломления света в веществе га = У'р/р0, гдер0— плотность эфира в ва-
вакууме.
Модель упругого эфира страдала рядом принципиальных недостат-
недостатков. Во-первых, было непонятно, почему вещество, сгущая эфир, не
влияет на упругие свойства эфира, характеризуемые модулем сдвига G.
Во-вторых, оставалось совершенно неясным, почему эфир, обладая
весьма большой упругостью, соответствующей огромным значениям
света в вакууме и всех веществах, свободно проникает во все тела и
не оказывает никакого влияния на движение этих тел. Наконец, для
объяснения явления оптической анизотропии, а также отсутствия
продольных световых волн необходимо было вводить дополнительные
допущения о свойствах упругого эфира.
2. Несостоятельность модели упругого эфира и попыток сведения
оптических явлений к механическим колебаниям эфира стала оче-
очевидной после создания Максвеллом теории электромагнитных волн и
выяснения электромагнитной природы света. Однако это не привело
к отказу от самого понятия эфира. Вместо упругого эфира в физике
стали рассматривать электромагнитный эфир, являющийся той все-
всепроникающей средой, в которой разыгрываются все электромагнит-
электромагнитные процессы и, в частности, распространяются электромагнитные
волны. Свойства эфира и влияние на них вещества описывались с по-
помощью уравнений Максвелла.
В предыдущих главах было показано, что макроскопическая теория
Максвелла позволила успешно объяснить целый ряд важнейших
оптических явлений — прохождение света через границу раздела
двух сред, интерференцию, дифракцию и поляризацию света. Даль-
Дальнейшее существенное развитие оптики связано с именем Г. Лоренца —
основоположника электронной теории. Теория Максвелла — Лоренца
позволила более детально рассмотреть процессы взаимодействия света
с веществом и объяснить, например, явления дисперсии и поглощения
света. Теория Лоренца, так же как и Максвелла, опиралась на гипо-
гипотезу о существовании электромагнитного эфира.
Поскольку в теории Максвелла рассматривается электромагнитное
поле в неподвижной среде, естественно возникает вопрос
о влиянии движения среды на протекание в ней электромагнитных
процессов и возможности описания этих процессов в движущихся
средах с помощью уравнений Максвелла.
3. Попытки развития теории Максвелла и создания электродина-
электродинамики движущихся сред, основанной на модели эфира, предпринима-
предпринимались Г. Герцем, Г. Лоренцем и др. При этом Герц и Лоренц исходили
из диаметрально противоположных предположений относительно по-
поведения эфира при движении тел и возможности распространения на
электродинамические процессы принципа относительности, т. е. ут-
утверждения о равноправности всех инерциальных систем отсчета.
Герц считал, что движущиеся тела полностью увлекают за собой
эфир. Поэтому в системе отсчета, жестко связанной с замкнутой
системой тел, движущихся как одно целое, эфир всегда неподвижен.
— 168 —
хБвда.
-Xе
Таким образом, в электродинамике Герца должен выполняться сле-
следующий принцип относительности: произвольное движение замкнутой
системы как целого не влияет на протекание в ней любых электро-
электромагнитных процессов. Легко видеть, что этот принцип является более
общим по сравнению с механическим принципом относительности
Галилея, тдв^как говорит о равноправности (в рамках электродина-
электродинамики) любых, а не только инерциальных, систем отсчета.
В отличие от Герца Лоренц исходил из предположения, что среда
и связанные с ней электрические заряды движутся во всепроникаю-
всепроникающем неподвижном, однородном и изотропном эфире. Поэтому
в неподвижной относительно эфира и движущейся системах тел
электромагнитные процессы должны протекать по-разному. Иными
словами, система отсчета, непод-
неподвижная относительно эфира,
должна отличаться от всех дру-
других инерциальных систем отсче-
отсчета, а движение тела по отноше-
отношению к этой избранной системе
отсчета естественно назвать аб-
абсолютным движением. Это озна-
означает, что в электродинамике
Лорейца принцип относитель-
относительности не соблюдается.
4. Теория Герца противоре-
противоречила данным опытов. Например, она не могла объяснить существова-
существование годичной аберрации света (см. §3.5). В самом деле, если эфир,
заполняющий трубу телескопа, полностью увлекается воздухом,
который движется вместе с Землей, то никакого различия между
истинным и кажущимся направлением на звезду не может быть.
Теория Герца противоречила также опыту Физо A851). Схема
этого опыта" показана на рис. 9.2. Луч 5 монохроматического света
падал под углом 45° на полупосеребренную плоскопараллельную стек-
стеклянную пластинку Я и в точке А разделялся на два когерентных
луча 1 и 2. На рис. 9.2 проходящий луч 1 изображен сплошной линией,
а луч 2, отраженный в точке А,— пунктирной. Далее эти лучи с по-
помощью зеркала В и призмы полного внутреннего отражения С направ-
направлялись в две одинаковые трубки Dt и D&, заполненные водой, движу-
движущейся со скоростью V. Сходясь вновь в точке А, эти лучи интерфери-
интерферировали. Опыт показал, что результат интерференции зависит от
скорости V, причем дополнительная оптическая разность хода, обус-
обусловленная движением воды, равна
с ilcV
Рис. 9.2
где / — длины трубок Dt и D2, с — скорость света в вакууме, п — аб-
абсолютный показатель преломления воды и v'—cln — скорость света
в неподвижной воде.
Этот опыт можно объяснить, если предположить, что эфир час-
частично увлекается движущейся водой, т. е. движется в том же направ-
— 169 —
лении со скоростью aV, где а — коэффициент увлечения эфира.
Тогда луч /, распространяющийся в трубках Di и D2 в направлении
движения воды и увлекаемого ею эфира, имеет по отношению к не-
неподвижным стенкам трубки скорость v'+aV, а луч 2, распространяю-
распространяющийся в противоположном направлении, имеет скорость и'—aV.
Поэтому один и тот же путь 2/ в трубках лучи 1 и 2 проходят за разное
время: t1 = j-^v и г^7~Ш' 0ТКУда
и оптическая разность хода между лучами
4lacV
Из сопоставления формул (9.6) и (9.6') следует, что коэффициент
увлечения эфира зависит только от абсолютного показателя прелом-
преломления движущейся среды:
а=1-1. (9.7)
Этот результат находился в явном противоречии с теорией Герца,
согласно которой для всех сред а=1 [за исключением вакуума, для
которого и=1 ив согласии с (9.7) а=01.
5. Лоренцу удалось успешно справиться с объяснением опыта
Физо. Он показал, что движение в неподвижном эфире любой
среды, молекулы которой представляют собой системы электрических
зарядов, приводит к тому, что скорость распространения света в среде,
измеренная по отношению к эфиру, равна
(9.8)
где и'— скорость света в случае неподвижной среды, знаки плюс и
минус соответствуют двум направлениям распространения света —
в направлении движения среды и в противоположном направлении,
а а= 1—1/я2 есть не что иное, как введенный выше «коэффициент увле-
увлечения эфира». Заметим, что в теории Лоренца формула (9.8) является
приближенной: она получена в предположении, что
Р= ( — ) <^ 1 и влиянием на v дополнительного члена, зависящего от
Р2, можно пренебречь.
Из формулы (9.8) следовало, что в замкнутой системе, движу-
движущейся относительно неподвижного эфира равномерно и прямолинейно
со скоростью V, все интерференционные опыты должны с точностью
до эффектов второго порядка, зависящих от (WeJ, протекать так же,
как и в неподвижной системе. Таким образом, согласно теории Ло-
Лоренца, для обнаружения этого движения системы и определения ее
абсолютной скорости V необходимо измерить на опыте какой-либо
интерференционный эффект второго порядка. Такого рода опыт впер-
впервые был проведен Майкелы^ном A881) и Майкельсоном и
- 170 —
Морлеем A887), а затем многократно повторен рядом исследователей,
осуществлявших измерения со все большей степенью точности.
б. Опыт Майкельсона был поставлен с целью обнаружения влияния
орбитального движения Земли на интерференционную картину, полу-
получаемую с помощью интерферометра Майкельсона. Принцип действия
этого интерферометра (см. рис. 5.10) рассмотрен в § 5.4. Интерферометр
располагался таким образом, чтобы одно из его плеч совпадало с на-
направлением вектора V скорости движения
Земли по орбите. Будем, например, счи-
считать, что вектор V совпадает с направле-
направлением распространения луча 1, идущего от
точки О к зеркалу 3t (рис. 9.3). Если бы
интерферометр покоился относительно эфн-
ра, то для прохождения лучами света 1
н 2 одинаковых расстояний / от точки О
до зеркал 3t и 32 и возвращения обратно
в точку О понадобилось бы одинаковое вре-
время ta=2t/c (различием скоростей света
в воздухе и в вакууме можно пренебречь,
так как они очень близки по величине).
Иначе будет обстоять дело в случае дви-
движения интерферометра. Скорость света
относительно неподвижного эфира по-прежнему равна с. Однако
за время t'x распространения света из О до первого зеркала последнее
сместится относительно эфира влево на расстояние Vt[. Поэтому
ct[ = l + Vt[ и t[ = H{c—V).
Время t'l, необходимое лучу /' света, отраженного от первого зер-
зеркала, для возвращения в точку О интерферометра, который движется
навстречу этому лучу, найдем из аналогичного уравнения
^ v_
1
T
i
3, >m
\
2
\
2'
0
\a
Рис 9 3
Таким образом, для прохождения света от точки О до первого
зеркала и обратно необходимо время
4 _ I' I 4" _ I I ' 2к t0
с2 — V*
(9.9)
где p=V/c.
За время t3 прохождения луча 2 от точки О до зеркала 32 и возвра-
возвращения обратно интерферометр смещается относительно эфира влево
на расстояние OO"=Vts (рис. 9.4). Поэтому относительно эфира второй
луч проходит путь ОЗ'ъО", причем отрезки О3'г и О'2 одинаковы:
С друсой стороны,
Следовательно,
(9.9')
Из формул (9.9) и (9.9') видно, что fi>fg. Поэтому между интер-
интерферирующими лучами имеется дополнительный сдвиг по фазе, зави-
зависящий от $=V!c:
2л
2пс
4л/
где % — длина волны света, а Т='к/с — период колебаний.
Так как скорость Земли УжЗО км/с и р=10~4<^1, то, пользуясь
формулой бинома Ньютона, можно с точностью до {J4 считать, что
__! —A R2\-l_] I R2 и 1 __ / | R24-l/a __ 1 I L в3.
1 [iJ \ I / 'Г у^ at \ г I 2 ~
Следовательно,
Очевидно, что при повороте интерферометра против часовой стрелки
на угол а=45° вокруг оси, перпендикулярной плоскости рис. 9.3,
условия распространения обоих лучей & интерферометре станут
одинаковыми, а Дфы будет равно нулю. Если интерферометр повер-
повернуть на угол а=90°, то его плечи поменяются местами и Atpii2 станет
равной г~Р2- Таким образом, при вращении интерферометра на
угол а=90° общее изменение Ац>1<2=4лф2/к и может быть обнаружено
, по соответствующему ему смещению ин-
интерференционных полос, видимых в ин-
интерферометре.
Опыт Майкельсона и многократные
его повторения на еще более совершен-
совершенных установках показали, что поворот
интерферометра не вызывает какого-
либо изменения интерференционной кар-
3f 1 1' ] \п тины, выходящего за пределы погреш-
погрешностей измерений.
7. Отрицательный результат опыта
Рис. 9.4 Майкельсона, казалось бы, неопровер-
неопровержимо доказывал, что эфир полностью
увлекается движущимися телами (например, Землей). Однако, как
было показано выше, такой вывод противоречит результатам опыта
Физо и явлению годичной аберрации света. Опыт Майкельсона можно
было бы объяснить с помощью так называемой баллистической гипо-
гипотезы В. Ритца, согласно которой скорость света относительно не-
неподвижного эфира равна векторной сумме скорости света от непод-
неподвижного источника и скорости движения источника света ъ. Однако
эта гипотеза противоречит закономерностям движения двойных звезд.
Гипотеза Ритца, как показал Л. И. Мандельштам, противоречит
1 Свое название эта гипотеза получила по аналогии с известным в баллистике
правилом определения скорости снаряда, выпускаемого из движущегося орудия.
— 172 —
также известным закономерностям отражения и преломления света.
В самом деле, отраженная телом и преломленная волны являются
результатом интерференции вторичных волн, испускаемых движу-
движущимися электронами, которые имеются в теле. Если же в соответ-
соответствии с гипотезой Ритца скорости вторичных волн зависят от дви-
движения электронов, то эти волны должны быть некогерентными и не
могут интерферировать.
8. Для объяснения результата опыта Майкельсона Д. Фитцдже-
Фитцджеральд A891) и независимо от него Г. Лоренц A892) высказали гипо-
гипотезу о том, что в результате движения линейный размер тела в на-
направлении движения должен изменяться в 1/ — р2 раз. Поэтому по
отношению к эфиру длина горизонтального плеча интерферометра в
опыте Майкельсона равна не /, a /|А—р2. Следовательно, значение
h также должно отличаться от выражения (9.9) множителем У\ — р*2.
to
так что U—12=0 и никакого смещения интерференционных полос
в опыте Майкельсона не должно быть. В этом случае интерференцион-
интерференционный эффект, обусловленный движением Земли, полностью компенси-
компенсируется эффектом сокращения размеров.
Гипотеза сокращения Лоренца — Фитцджеральда позволила со-
согласовать электродинамику Лоренца с безуспешными попытками об-
обнаружить в опыте Майкельсона и ряде других опытов, которые мы не
рассматриваем здесь, эффекты второго порядка, обусловленные дви-
движением Земли относительно эфира. Однако сама эта гипотеза была
крайне искусственной и чуждой всей теории Лоренца.
§ 9.3. Постулаты специальной
теории относительности.
Преобразование Лоренца
1. Принципиально новый подход к электродинамике
движущихся тел был предложен основоположником теории относи-
относительности Эйнштейном A905). Проанализировав огромный экспери-
экспериментальный материал, Эйнштейн выбрал два наиболее бесспорных
положения и построил на их основе свою теорию. Эти положения
называются постулатами специальной теории относительности. Они
формулируются следующим образом:
1) в любых инерциальных системах отсчета все физические явления
(механические, электромагнитные и др.) при одних и тех же условиях
протекают одинаково; иначе говоря, с помощью любых опытов, про-
проведенных в замкнутой системе тел, нельзя обнаружить, покоится
эта система или движется равномерно и прямолинейно г;
2) скорость света в вакууме не зависит от скорости движения ис-
источника света; она одинакова во всех направлениях и во всех инер-
1 Как всегда, подразумевается движение относительно какой-нибудь инврциаль-
ной системы отсчета, например системы «неподвижных звезд».
— 173 -
У,
/
0
к ,
У.
vt
\/
к'
N
О1
\
\тД
1
Х,Х'
Рис. 9.5
циальных системах отсчета, т. е. представляет собой универсальнук)
постоянную.
Первый постулат Эйнштейна выражает принцип относительности,
являющийся обобщением механического принципа относительности
Галилея на любые физические процессы. Его справедливость под-
подтверждается тем, что все разнообразные опыты, ставившиеся с целью
обнаружить влияние орбитального движения Земли на закономер-
закономерности электромагнитных явлений, постоянно приводили к отрица-
отрицательному результату. Второй постулат
также безусловно подтверждается
всеми экспериментами.
Формулируя свои постулаты, Эйн-
Эйнштейн полностью отказался от эфира.
Весь ход дальнейшего развития фи-
физики убедительно доказал правоту
Эйнштейна. Электромагнитное поле
само является особой формой мате-
материи и не нуждается в «придумыва-
«придумывании» для него материального носите-
носителя — эфира.
■2. На первый взгляд кажется, что
постулаты Эйнштейна взаимно проти-
противоречивы. В самом деле, рассмотрим находящиеся в вакууме
неподвижную инерциальную систему отсчета К (х, у, г) (рис. 9.5)
и систему отсчета К' (х', у', г'), движущуюся равномерно и прямо-
прямолинейно вдоль оси ОХ со скоростью V. Пусть в начальный момент
времени £=0, когда точки 0 и О' совпадали, в точке О была произве-
произведена световая вспышка. К моменту £>0 световое возмущение, рас-
распространяясь с одинаковой скоростью с по всем направлениям, до-
достигает в неподвижной системе отсчета К всех точек сферы с центром
в точке О и радиусом r=ct. Однако с таким же правом можно считать,
что вспышка была сделана в точке 0' в тот момент, когда она прохо-
проходила через точку О. При этом световое возмущение распространяется
относительно системы отсчета Д" точно так же, поскольку, по второму
постулату Эйнштейна, скорость света не должна зависеть от ско-
скорости V движения источника света — точки О'. По первому постулату
Эйнштейна, в движущейся системе отсчета К' свет должен распрост-
распространяться так же, как и в неподвижной. Следовательно, к моменту
времени t возмущение, обусловленное вспышкой в точке О', должно
достигнуть точек сферы с тем же радиусом ct. Однако центр этой
сферы все время должен совпадать с точкой О', которая к моменту
времени t удалится от О на расстояние Vt. Очевидно, что этот резуль-
результат противоречит здравому смыслу, так как независимо от выбора
системы отсчета световое возмущение должно к моменту времени t
достигать вполне определенных точек пространства, которые не могут
одновременно находиться на двух различных сферах. Именно
это противоречие заставило В. Ритца усомниться в справедливости
второго постулата Эйнштейна и высказать взамен него баллистиче-
баллистическую гипотезу, о которой уже говорилось в § 9.2.
— 174 -
3. Величайшая заслуга Эйнштейна состоит в том, что он сумел
найти причину кажущейся противоречивости пред-
предложенных им постулатов и устранить ее. Для этого Эйнштейну при-
пришлось подвергнуть радикальному пересмотру общепринятые и счи-
считавшиеся «само собою разумеющимися» представления о свойствах
пространства и времени. Эйнштейн показал, что в рассмотренном
выше примере противоречие возникает не из-за применения постула-
постулатов теории относительности, а вследствие использования пространст-
пространственно-временных соотношений, выражаемых преобразованием Га-
Галилея (9.1). На этом вопросе, лежащем в основе всей теории относи-
относительности, нужно остановиться подробнее.
Основополагающими понятиями всей физики служат понятия
длины и времени. Для того чтобы этими понятиями можно было поль-
пользоваться, необходимо указать способы однозначного измерения рас-
расстояний и промежутков времени. Измерение длины какого-нибудь
тела (например, стержня) производится путем ее сравнения с длиной
эталонного тела, которая, по определению, считается равной
одному метру (само собой разумеется, что при этом должны быть
точно оговорены внешние условия — значения температуры, дав-
давления и т. д.). В качестве такого эталонного тела можно использо-
использовать, например, масштабную линейку, которая, таким образом, яв-
является необходимой принадлежностью всякой системы отсчета. Ука-
Указанный способ измерения легко осуществить, прикладывая линейку
к изучаемому стержню, если последний неподвижен относи-
относительно системы отсчета К и ее масштабной линейки. А как определить
длину того же самого стержня, если он движется относительно сис-
системы вместе с системой К' (рис. 9.5)? Во-первых, длину стержня
можно измерить указанным выше способом, пользуясь такой же мас-
масштабной линейкой, движущейся вместе с системой К,'
и являющейся эталоном длины в этой системе. Легко видеть, что при
этом длина стержня 1'0 должна получиться такой же, как и при изме-
измерении ее в первом случае A0), когда стержень покоился относительно
системы отсчета К- В самом деле, пусть Гдф10, например 1'0>10. Можем
теперь принять, что система К' покоится, а система К движется отно-
относительно нее со скоростью —V. Тогда длина /0 стержня, неподвиж-
неподвижного относительно движущейся системы К, должна была бы быть
больше 1'в, что противоречит сделанному выше допущению. Следова-
Следовательно, /о=/о.
Длину стержня, движущегося вместе с системой К', можно также
измерить с помощью масштабной линейки, находящейся в неподвиж-
неподвижной системе К (ради простоты предполагается, что стержень располо-
расположен вдоль оси О'Х'). Для этого, очевидно, нужно измерить расстоя-
расстояние / между двумя точками оси (Ж, с которыми совпадают концы дви-
движущегося стержня в произвольный, но один и тот же момент
времени. Обозначим координаты этих точек через xt и х2, тогда /==
=Хц—Xi. В движущейся системе координаты концов стержня пусть
равны х[ и х'2, причем х\—Xi=la, так как в системе отсчета К' стержень
неподвижен.
Возникает вопрос: будет ли 1=10? Иначе говоря, будут ли совпадать
— 175 —
результаты измерений длина одного и того же стержня, когда он по-
покоится относительно масштабной линейки и когда движется относи-
относительно нее? «Да, так должно быть»,— отвечали все до Эйнштейна.
Это утверждение считалось настолько очевидным, что никто даже не
пытался его проверять. Оно нашло свое выражение в преобразовании
Галилея (9.1), из которого следует, что /=/0, так как х\—х[=х2—х±.
Эйнштейн впервые ответил на этот вопрос иначе — равны / и /0
или нет, должен показать опыт, до опыта (a priori) ничего по этому
поводу сказать нельзя. Однако мы уже знаем, что для объяснения
опыта Майкельсона Лоренцу и Фитцджеральду пришлось ввести ги-
гипотезу сокращения, согласно которой l<.l0: I — 1в VT^-jF-
4. Для измерения времени также необходим эталон, в качестве
которого используется какой-либо реальный периодический процесс
(например, движение Земли вокруг Солнца, качание маятника, дви-
движение стрелки часов и т. п.). Всякое измерение времени тесно свя-
связано с понятием одновременности двух событий 1. Действи-
Действительно, "что означает утверждение: в 12 часов движущаяся материаль-
материальная точка находилась в некоторой точке А пространства? Оно озна-
означает, что прохождение материальной точки через точку А пространства
и прохождение стрелки эталонных часов через деление их шкалы,
соответствующее, по определению, 12 часам, происходят
одновременно.
Эйнштейн впервые обратил внимание на то, что в классической
физике еще с времен Ньютона господствует убеждение о существо-
существовании некоего абсолютного времени, которое, по выражению Ньютона,
«течет одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Ньютон
писал: «Длительность, или возраст, существования вещей остается
одним и тем же независимо от того, быстры движения или медленны,
или их нет вообще...» Иначе говоря, все вслед за Ньютоном были
убеждены в том, что такие понятия, как «одновременность двух со-
событий», «раньше» или «позже», являются априорными, т. е. ясными
сами собой, безотносительно к какому-либо эксперименту.
Величайшая заслуга Эйнштейна заключается в том, что он отверг
это заблуждение. Он впервые показал, что понятие одновременности
вовсе-не самоочевидно и, так же как и понятие длины, нуждается
в четком определении, основанном на реальном физическом процессе,
с помощью которого можно было бы проверить, одновременны или
нет рассматриваемые события. Действительно, мы легко и однозначно
можем установить одновременность двух событий по их совпаде-
совпадению, если они происходят в одном и том же месте.
Однако, вообще говоря, совершенно не ясно, каким образом можно
с помощью часов, находящихся в точке А, обнаружить одновремен-
одновременность или неодновременность двух событий, одно из которых проис-
происходит й точке А, а другое — в удаленной от нее точке В.
1 Выше мы уже пользовались этим понятием, не уточняя его смысла, когда гово-
говорили об измерении длины движущегося стержня с помощью неподвижной масштаб-
масштабной линейки.
- 176 -
5. Важность решения этого вопроса для физики можно проиллюст-
проиллюстрировать на следующем примере. Для экспериментального измерения
скорости распространения некоторого сигнала, посылаемого из
точки Л в точку В, необходимо знать промежуток времени At между
моментами отправления и прихода этого сигнала. Измерение At
можно произвести с помощью двух одинаковых часов, одни из которых
находятся в точке Л, а вторые, после сверки синхронности их хода
с ходом первых часов, перевезены из точки Л в точку В. Пусть сигнал
отправляется из Л в момент времени U (по первым часам) и приходит
в В в момент времени t2 (по вторым часам). Тогда, казалось бы, ско-
скорость сигнала v = - г, где L — расстояние между точками А и В.
Однако'Это было бы так на самом деле, если бы мы могли с уверен-
уверенностью сказать, что после перевозки в точку В вторые часы продол-
продолжают идти синхронно с первыми часами, т. е. в момент отправ-
отправления сигнала из точки А также показывают время ti и идут одина-
одинаково быстро с часами в точке А. Одинаково ли быстро идут эти часы,
можно проверить на опыте, например посылая из А сигналы через
определенные равные промежутки времени по первым часам и
регистрируя по вторым часам промежутки времени между моментами
прихода сигналов в точку В. Проверить же одинаковость показаний
часов можно только с помощью сигнала, который распространялся бы
из Л в В мгновенно. Однако таких сигналов в природе не су-
существует. Следовательно, говорит Эйнштейн, вопрос о синхронности
часов в точках Л и В, т. е. об одновременности прохождения стрелок
этих часов через сходственные деления их шкал, можно решить только
путем однозначного соглашения (определения) о том, когда следует
считать эти часы синхронными.
За основу такого определения Эйнштейн берет реальный физиче-
физический процесс — распространение света в вакууме. Пусть по часам
в точке Л световой сигнал отправляется в момент времени tt и после
отражения в точке В возвращается в Л в момент времени t2. Тогда,
по определению, часы в точке В синхронны с часами в точке А,
если они идут одинаково быстро и в момент прихода сигнала в точку В
установленные в ней часы показывают время t=(t1+t2)/2.
Выбор светового сигнала в вакууме в качестве реального физи-
физического процесса для синхронизации часов сделан Эйнштейном не
случайно. Во-первых, как показывают опыты, скорость любого дру-
другого сигнала * не может превосходить скорости с света в вакууме.
Во-вторых, согласно постулатам теории относительности, величина с
одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах
отсчета.
Определение, данное Эйнштейном, устанавливает однозначный и,
что особенно важно, практически осуществимый способ синхрони-
синхронизации часов, находящихся в различных точках пространства и пере-
перемещающихся вместе с рассматриваемой с и-
1 Под словом «сигнал» мы всюду понимаем любой физический процесс, способ-
способный оказывать какое-либо воздействие на встречающиеся на его пути препятствия.
— 177 —
стемой отсчета. Тем самым осуществляется хронометриза-
ция системы отсчета, т. е. в ней каждому событию соответствует вполне
определенный момент времени х t независимо от места расположения
той точки, в которой это событие происходит.
До Эйнштейна все были убеждены в том, что промежуток времени
между одними и теми же двумя событиями не зависит от выбора си-
системы отсчета. Это нашло, в частности, свое отражение в преобразо-
преобразовании Галилея для времени: t'—t, из которого следует, что
где tt и tl— моменты времени совершения первого (h и t[) и второго
(t2 и Q событий, измеренные в неподвижной и движущейся инерци-
альных системах отсчета. Если At—At', то два события, одновремен-
одновременные в одной инерциальной системе отсчета (At=O), должны быть одно-
одновременными во всех других инерц-иальных системах отсчета (At'=O),
т. е. одновременность абсолютна. В дальнейшем мы увидим,
что в теории относительности -одновременность двух событий, проис-
происходящих в разных точках пространства, относительна:
события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, вовсе
не одновременны в других инерциальных системах, движущихся
относительно первой.
6. Эйнштейн показал, чтоб соответствии с двумя постулатами тео-
теории относительности связь между координатами и временем в двух
инерциальных системах отсчета К и К', изображенных на рис. 9.1
и 9.5, выражается не преобразованием Галилея (9.1), а более слож-
сложным образом:
t- — x
= у, z'=z, f'=,C' , (9.10)
X' + Vt' y = y', < = z', t= , ci , (9.10')
где p==Wc. Эти соотношения называются преобразованием Лоренца.
Формулы (9.10) можно получить следующим образом. Пусть в начальный момент
времени t=0 из точки О неподвижной системы отсчета К (см. рис. 9.1) испускается
весьма короткий (точечный) световой сигнал. В системе отсчета К координаты х, у, z
точек, до которых дойдет сигнал к моменту времени t, удовлетворяют условию
х2+у*-{-гг=с212. (9 11)
В момент t=Q начало О' подвижной системы отсчета К' совпадает с точкой О.
Часы в системе К' целесообразно установить так, чтобы в этот момент времени t'—0.
Из постулатов теории относительности следует, что в системе отсчета К' закон рас-
распространения светового сигнала имеет вид, аналогичный (9.11), т. е. к моменту вре-
времени /' сигнал достигнет точек, координаты которых х', у', г' удовлетворяют усло-
условию
1 Значение t, конечно, всегда определяется с точностью до постоянного слагае-
слагаемого, зависящего от выбора момента начала отсчета времени.
— 178 —
Таким образом, согласно постулатам специальной теории относительности коор-
координаты и время в системах отсчета К и К' должны удовлетворять соотношению
*'2+</'2 + 2'2-с2г'2=хг+02 + г2-^г. ' (9.12)
Преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной сис-
системы отсчета к другой должны быть линейными, так как только такие соот-
соотношения не противоречат полному равноправию любых двух инерциальиых систем
отсчета, каждую из которых с равным правом можно принять за неподвижную.
Осн O'Y' и O'Z', а также попарно параллельные им оси ОУ и OZ лежат в пло-
плоскостях, перпендикулярных вектору V скорости движения подвижной системы К',
т. е. ориентированы по отношению к V совершенно одинаково. Поэтому ясно, что
связь между координатами у' и у должна быть такой же, как между г' н г. Иными
словами, искомые преобразования имеют такой вид:
x'=alx-\-^1t, у'=0^+08*. г' =a2z+ рУ, (9.13)
где а1( а2, ос3, р\, C2, Рз— постоянные коэффициенты, значения которых нужно оп-
определить.
Запишем координаты точки О' в системах отсчета К' и К:
*о, = ^' = гЬ'=°> iOr=Vt, (/о, = го,=0. (9.14)
Подставив эти значения в (9.13), получим a1Vt-\-fi1t=O и Р2^=О, т. е.
р1 = -о1К и р2 = 0. (9.15)
Следовательно, соотношения (9.13) можно переписать в виде
x'=a1(x—Vt), у'=а.гу, г'=а2г, (9.16)
Для определения значения коэффициента а2 воспользуемся условием полного
равноправия систем отсчета К н К'. В частности, это условие означает, что размер I
эталона длины l'o=l в системе К', измеренный из системы К, должен быть равен раз-
размеру V эталона длины /0= 1 в системе К, измеренному из системы К'- Из второго урав-
уравнения (9.16) следует, что расстояния между двумя точками, лежащими на пря-
прямой, параллельной осям 0Y и O'Y', измеренные в системах К' и К, связаны со-
соотношением
Ну' — а2Д(/.
Поэтому если эталоны длины расположены вдоль осей 0Y и 0Y', то при Д(/'=/о=1
Ау=1, а при &y=lQ=\ Ay'—l', причем
и Г =а2.
Таким образом, равенство I и /' возможно только при условии
а§=1, или a2 = l!. (9.17)
Значения коэффициентов а1( а3 и Рз найдем, подставляя выражения (9.16) для
х',у',г' и /' в (9.12) и учитывая, что а2=1:
или
(а2—-с2а|)х2 — 2lVaf-\-c*a |3 ) xt — (с^Щ—■ V2af\ P—x1—сН2.
Это равенство должно выполняться тождественно, т. е. при любых значениях х и t.
Поэтому
а2— с2а2=1, Уа2 + с2а В„=0, с2В2—V2aJ = c2. (9.18)
13 133 «1 Л/
1 Возможно также значение a2=—1. Однако оно в отличие от а^—\ означает
только, что у'=—у и г'=—г, т, е. что оси O'Y' и О'Ъ' антипараллельны осям 0Y и
0Z.
— 179 —
Из первого и третьего уравнений (9.18) следует, что
1/2 1/2
! 7! ^7 (9Л8')
Соответственно из первого и второго уравнений (9.18) имеем
Подставим это значение р3 в (9.18'):
После преобразования получим «|=. 2 а_т/а\~ ■ откуда*
We3
«з — ; (9 19)
н, согласно (9.18"),
^ТтЬчг- <9Л9'>
Наконец, из первого уравнения (9.18) следует, что
откуда *
(9 20)
Подставив выражения (9.17), (9.19), (9.19') и (9.20) для а2, а3, fS3 и ах в (9.16),
получим преобразование Лоренца (9.10). Формулы (9.10') получаются из (9.10) путем
несложных алгебраических преобразований.
Легко видеть, что при V<^c (строго - говоря, при с-»-со)
формулы (9.10) совпадают с формулами преобразования Галилея (9.1).
Таким образом, классическая механика, базирующаяся на преобразо-
преобразовании Галилея, пригодна лишь для рассмотрения движений тел, ско-
скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме.
В общем случае нужно пользоваться так называемой релятивистской
механикой, основанной на постулатах- теории относительности й вы-
вытекающем из них преобразовании Лоренца для координат и времени.
Vic*
1 Значение «з = Н — не годится, так как при этом C3 =
5= _ < 0 ir возрастанию времени t в системе отсчета К соответствует
убывание времени t' в системе отсчета К'.
8 Значение ол^--—■■ — относится к случаю, когда оси координат ОХ
и О'Х' направлены не в одну и ту же, а во взаимно противоположные стороны,
— 180 -
§ 9.4. Важнейшие следствия из формул
преобразования Лоренца
t 1. Координаты х', у',г' и время f в движущейся системе
отсчета К , так же как координаты х, у, г и время t в неподвижной
системе отсчета К, не могут быть мнимыми. Поэтому из первого и чет-
четвертого уравнений' (910) следует ч р К/<1 Т б
к y, к1
вертого уравнений" (9.10) следует, что C =
скорость V относительного
движения двух инерциальных
систем отсчета не может пре-
превосходить скорости света в
вакууме.
2. Пусть некоторое тело
(например, стержень) движет-
движется вместе с системой отсчета
К' и имеет в этой системе
длину do=x;—< (рис. 9.6, а).
'Для определения длины d
движущегося стержня в сис-
системе К необходимо найти ко-
координаты точек хг и Xi оси
ОХ, с которыми совпадают
концы этого стержня в один
и тот же моментвре-
м е н и /по часам в системе
К: d=x2(t)—x1(t). Из первого
уравнения (9.10) следует, что
р
Таким образом,
0 Q' x,(t)
-V
х'г
d
Л у,
о L
К'
X
1 [Ь1
х1
d
do
х№
h
Г
X
Рис. 9.6
МО—*i@ = (*I—j
hF, т. е.
-Ра. (9.2,1)
Соответственно если тот же стержень покоится в системе^ то его
длина в этой системе х2—Xl=d0 (рис. 9.6, б). Относительно системы К'
стержень движется со скоростью —V и имеет длину d=xXf)—х'М')
которая в соответствии с первым уравнением (9.10') и принципом от-
относительности также определяется выражением (9.21). Таким обра-
образом, линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной
системы отсчета, уменьшается в направлении движенияв]/ 1—В2 раз
Этот результат, автоматически следующий из преобразований теории
относительности, совпадает с предположением Лоренца — Фитцдже-
Фитцджеральда и позволяет понять, почему в опыте Майкельсона не удается
наблюдать смещение интерференционных полос (см. п. 7 § 9 2)
Из второго н третьего соотношений (9.10), не содержащих времени
следует, что y'2~y[=yt—yi и г^—z;=?a—z1( т. е. поперечные размеры
тела не зависят от скорости его двиокения и одинаковы во всех инер-
инерциальных системах отсчета. Обобщая все сказанное, можно утверж-
утверждать, что линейные размеры тела максимальны в той инерциальной
еистеме отсчета, относительно которой тело находится в покое.
<- 181 —
В течение длительного времени существовало ошибочное убеждение, что указан-
указанные выше закономерности должны приводить к изменению видимой формы тел при
их быстром движении относительно наблюдателя. Так, например, считали, что тело
шарообразной формы, движущееся со скоростью, близкой к скорости света в ва-
вакууме, должно наблюдаться в виде эллипсоида вращения, сплющенного в направ-
направлении его движения. Лишь в 1959 г. Дж. Террел впервые показал, что это сокраще-
сокращение быстро движущихся тел нельзя увидеть. Дело в том, что при наблюдении
или фотографировании какого-либо тела мы регистрируем свет, однтвременно
поступивший на сетчатку глаза или на фотопластинку от разных точек тела, т. е.
испущенный этими точками не одновременно. Чем дальше от наблюдателя
находится какая-либо точка тела, тем (в силу конечности скорости распространения
света) более раннему моменту времени соответствует ее изображение на сетчатке
глаза или фотопластинке. Следовательно, если тело движется, то его изображение
должно быть искаженным, так как тело занимало различные положения в те мо-
моменты, когда различные его точки послали свет, образовавший видимое изображение.
Это искажение, как показали расчеты, в точности компенсирует эффект сокращения
тела в направлении его движения, так что видимая форма тела не изменяется, но
тело кажется повернутым на некоторый угол.
3. Рассмотрим некоторый процесс, совершающийся в одной и
той же точке А, неподвижной относительно системы К'. Длительность
этого процесса обозначим по часам систем К? и К соответственно через
т0 и т. Очевидно, что то=^—*i и т=^г—U, где индексы 1 и 2 соответст-
соответствуют началу и концу процесса. Из четвертого уравнения (9.10) имеем
или
Здесь (xt—Хг) — смещение точки А вдоль оси ОХ системы К за
время длительности процесса. Поэтому х2—xy=Vi и
то = тУТч^, (9.22)
т. е. то<т. Таким образом, длительность процесса, происходящего
в некоторой точке А, минимальна в той инерциальной системе от-
отсчета, относительно которой точка А неподвижна.
Этот результат можно также сформулировать следующим образом:
часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета,
идут медленнее покоящихся часов. Как видно из (9.2*2), замедление
хода часов становится существенным лишь при скоростях V, близких
к скорости света в вакууме. Релятивистский эффект замедления хода
времени был блестяще подтвержден в опытах с мюонами — нестабиль-
нестабильными, самопроизвольно распадающимися элементарными частицами.
Среднее время жизни покоящегося мюона т0, т. е. «по часам, движу-
движущимся вместе с ним», как показали измерения, равно 2,20- 10~в с.
Если бы релятивистского эффекта не было, то мюоны, рождающиеся
в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лу-
лучей и движущиеся к Земле со скоростью V, близкой к с, должны
были бы проходить в атмосфере сравнительно небольшие расстояния
— 182 —
порядка сто=66О м. Поэтому они не могли бы достигать поверхности
Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула (9.22)
легко объясняет этот парадокс: для земного наблюдателя срок
жизни мюона т = то/]/—р2, а путь мюона в атмосфере равен
Vt = fax — ^^—лг ст°" Так как ^ близко к 1, то Ут5^>ст0.
Релятивистский эффект замедления хода времени позволяет в прин-
принципе осуществить «путешествие в будущее» (но не в прошлое!). В самом
деле, пусть космический корабль, движущийся со скоростью V=$c
относительно Земли, совершает перелет от Земли до некоторой звезды
и обратно. Если свет проходит путь /0 от звезды до Земли за время t0,
то lo=cto и для земного наблюдателя продолжительность перелета
равна т = "тг = -|г- Именно настолько постареют люди на Земле к мо-
моменту возвращения космонавтов. С другой стороны, по часам, уста-
установленным на космическом корабле, полет займет меньшее время тв„
О/
которое по формуле (9.22) равно to — -^-y 1—Р2.
В согласии с принципом относительности все процессы на косми-
космическом корабле (в том числе и процесс старения космонавтов) идут
так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установ-
установленным на корабле1. Таким образом, к моменту возвращения на
Землю космонавты постареют только на т0. Пусть, например, U=
=500 лет "и р=0,9999. Тогда т = ^§д- лет =1000,1 лет, а то =
= 9999 У 1—0,9999* лет= 14,1 года, т.е. космонавты возвратятся
на Землю спустя 10 веков после вылета (по земным часам), постарев
всего лишь на 14,1 года!
На первый взгляд этот результат кажется парадоксальным и
гибельным для теории относительности. В самом деле, казалось бы,
можно с таким же успехом доказать обратное: часы на Земле, движу-
движущейся относительно космического корабля со скоростью —V, должны
отставать от часов на корабле, так что" продолжительность полета
должна быть для космонавтов большей, чем для людей, остающихся
на Земле! Однако совершенно очевидно, что после приземления косми-
космического корабля корабельные часы не могут в одно и то же время от-
отставать от часов на космодроме и опережать их. Ведь результат срав-
сравнения показаний двух пар исправно идущих часов, находящихся
в одной и той же точке пространства и взаимно неподвижных, должен
быть вполне однозначным.
В действительности этот так называемый «парадокс часов» не
существует, потому что он возник вследствие неправильного приме-
1 Космонавты не замечают замедления хода времени на корабле, так как для них
уменьшение продолжительности полета х0 по сравнению с х объясняется релятивистс-
релятивистским сокращением расстояния от Земли до звезды, так как они движутся относитель-
относительно корабля со скоростью V=Pc:
нения нами принципа относительности. Принцип относительности
утверждает полную физическую равноправность не всяких систем
отсчета, а лишь инерциальных. Между тем если часы на
космодроме все время остаются в покое относительно одной и
той же инёрциальной системы отсчета, то кора-
корабельные часы покоятся относительно системы отсчета, связанной с кос-
космическим кораблем. Вторая система не все время яв-
является инёрциальной, так как при запуске, облете звезды
и приземлении скорость корабля изменяется, а всякая ускоренно дви-
движущаяся система неинерциальна. Таким образом, рассмотренная
выше задача принципиально несимметрична, а земная и корабельная
системы отсчета неравноценны в рамках специальной теории относи-
относительности. Поэтому если первый метод расчета продолжительностей
т и т0 космического перелета, выполненный на основе использования
инёрциальной (земной) системы отсчета, правилен, то второй — оши-
ошибочен.
4. Рассмотрим два события / и 2, которые в инёрциальной системе
отсчета К совершаются соответственно в точке А (хъ г/1( гг) в момент
времени U и в точке В(х2, у2, z2) в момент времени t2. В системе от-
отсчета К' эти события происходят в точке А (х{, у[, г[)~ъ момент вре-
времени tl и в точке B(xl, у'г, z'2) в момент времени ft. С помощью
формул (9.10') легко показать, что
/2 „2/2 /'2 „2/'2 /Q ПО\
где
<)+(£ ^)(;0
— квадраты расстояний между точками Л и Б в системах К и К',
a tu=t2—U я £2=^—£—промежутки времени между событиями
в этих системах. Величина
В1,=*УсЧ*и—$я (9.24)
называется интервалом между двумя событиями. Равенство (9.23)
показывает, что интервал между данными двумя событиями одинаков
во всех инерциальных системах отсчета: Si2=^2. Однако в отличие от
классической физики Ги и t'12 равны соответственно /1г и tu только
при V—0, т. е. для систем отсчета К', неподвижных относительно
системы К.
Будем ради простоты считать, что ось ОХ проведена через точки А и В. Тогда
Vi~y2=2i=z2—0 и по формулам (9.10) yi—y'i=z[=zl=Q. В этом случае-/i2=x2—*i» a
(ц—х'ъ—х[. Из первого и четвертого уравнений (9.10) видно, что
Интервал slz= V сЧ\г — l\z может быть действительным (sf2>0), мнимым
(*i2<0) и равным нулю.
Если Sia>0_, то !/i2l<cl/fgl> l/i2l>-2-l Vl12] и, как видно из второго уравнения
— 184 —
(9.25), ha всегда совпадает по знаку с t12. Поэтому действительный интервал называ-
называется времениподобным В этом случае событие 2 происходит во всех инерциальных
системах отсчета либо всегда раньше события Д/12<0, йз<0), либо всегда позже его
(^12>0 и /i2>0), т. е. понятия «раньше» и «позже» имеют абсолютное значение.
Так как, кроме того, \h%\<c\h^, то события 1 и 2 могут быть причинносвя-
з а н н ы м и. Например, при h2>0 событие 2 может вызываться событием / с помощью
сигнала, распространяющегося со скоростью г/ = —1^- < с. Числовые значения н
знак /i2=*2—x'i различны в зависимости от скорости V системы отсчета К'', т. е. по-
понятия «ближе» и «дальше» относи -тельны: в одних системах отсчета Хъ~>Х\, а
в других х'г<х\. В системе К', движущейся относительно К со скоростью V=/12/£12,
события 1 и 2 происходят в одной и той же точке (/ia=0).
Если si2<0, то ]/121>с|421 н, как видно из первого уравнения (9 25), 1ц всегда
совпадает по знаку с /12. Поэтому мнимый интервал называется пространственнопо-
добным. В этом случае понятия «раньше» и «позже» относительны, так как
численное значение и знак t\% зависят от скорости V системы отсчета К'- Если V=
—с\211и> т0 йа=О, т. е. в системе К' события 1 и 2 происходят одновременно. Из
сказанного ясно, что интервал между причянносвязанными событиями не может
быть пространственноподобным.
5. С помощью преобразования Лоренца (9Л0) и (9.10') можно
найти связь между значениями скоростей точки v и v' по отношению
к двум инерциальным системам отсчета К и К' (см. рис. 9.1). По оп-
определению,
Здесь г, j, к \гЛ', У, к'—орты осей координат, vx=-£~, vy~W
и т. д.— проекции векторов скорости на оси координат; х, у,г — коор-
координаты движущейся точки в системе отсчета К в момент времени /,
связанные преобразованием Лоренца с координатами х', у', г'^той же
точки в системе отсчета К' в соответствующий момент времени t':
, dx' dx' dt' , dy' dy^ # dt' , dz^ dz\dt'
Vx~W~"dT:lt' Vyzz=~dT~~dT'' dt И V*~~dt!~ dt' dt '
Из формул (9.10') и (9.10) следует, что
dx'
dt
— 185 ~
Поэтому получаем следующий закон сложения скоростей в специаль-
специально^ теории относительности:
■у »x-V V' ..._^/t-p2 ., ^/I-P'
1 cT W ~c*~
°* .+■£■■' ■+# '"' i-h?
(9.26)
В пределе при с-н>-<х> эти формулы приводят к обычному закону
сложения скоростей в классической механике:
vx = v'x + V, vy^v'y; vz = v'z и v = v' + V.
Пользуясь формулами (9-26), найдем связь между квадратами модулей векторов v
и v'.
Соответственно
о-
J" ( '
Из (9.27) и (9.27') следует, что если v'=c, то v=c, и наоборот. Таким образом,
если скорость движения точки относительно какой-либо инерциальной системы от-
отсчета равна скорости света в вакууме, то она должна быть такой же по отношению
к любой другой инерциальной системе отсчета.
С другой стороны, если и'<с, то v<.c, и, наоборот, если и<с, то х) <с, так как
при этих условиях
A— тг)A — Р2) > ° [соответственно ( 1 ——■ \ A — рг) > о1
и числовые значения выражений, стоящих в формулах (9.27) и (9.27') в квадратных
скобках, должны быть меньше единицы.
б. Для иллюстрации релятивистского закона сложения скоростей
(9.26) решим следующую задачу. Две материальные точки движутся
вдоль оси ОХ системы отсчета К навстречу друг другу со скоростями,
соответственно равными Vi=0,9 ci и va=—0,7 с\, где i — орт оси ОХ.
Требуется определить скорость u2i второй точки относительно первой.
Прежде всего очевидно, что относительная скорость «21 не равна
разности v2—Vi, так как |v2—Vi| = l,6c Искомая скорость
им = Vi = v'ix\'+ v'2lj' + v'2zk',
где v'2 — скорость второй точки относительно системы отсчета /(',
в которой первая точка неподвижна (v[=0). Система К' движется
относительно К вдоль положительного направления оси ОХ со ско-
скоростью V=0,9 с.
— 186 —
Так как иах=—0,7 с, a viy=v^=b, то из формул (9.26) следует, что
t)L = j^^3==—0,982 с, 1^ = 0^ = 0 и
иа1 = — 0,982 cl', т. е. [иг1[<с.
7. Формулы (9.26) позволяют легко объяснить опыт Физо,
рассмотренный в § 9.2. Пусть система отсчета К неподвижна относи-
относительно Земли (лабораторная система отсчета), а система К' движется
вместе с водой в трубке Dt (см. рис. 9.2). Пусть, кроме того, оси ОХ
и О'Х' обеих систем направлены вдоль вектора V скорости течения
воды. Скорость света в воде, неподвижной относительно системы К',
равна v'=c/n, где п — абсолютный показатель преломления воды.
Для луча / v'x—x/=cln, i£=t£=0, а для луча 2 v'x——и'=—clti,
v'y=vz=0. В лабораторной системе отсчета К абсолютные значения
скоростей распространения лучей света / и 2 в воде, движущейся по
трубке Di, равны
c!n±V 7ГУ1 ±7h~) ± V у1"
с , VA-1M«)
где плюсы соответствуют первому лучу, а минусы — второму. Если,
как это было в опыте Физо, V<^.c, то в знаменателе второго члена
можно пренебречь величиной ±V/(cn), малой по сравнению с едини-
единицей. Поэтому приближенные значения v
равны
Как было показано в § 9.2, эта формула,
совпадающая с формулой Лоренца (9.8), пол-
полностью объясняет экспериментальные дан-
данные, которые были получены Физо.
8. Рассмотрим истолкование явления
годичной аберрации света (см. § 3.5),
даваемое в теории относительности. Будем,
как и в § 3.5, предполагать, что в непод-
неподвижной системе отсчета К, скрепленной с звез-
звездой О (рис. 9.7), ось OZ, направленная к
Земле — точке О', перпендикулярна вектору
V скорости орбитального движения Земли. В системе /С свет от
звезды к Земле распространяется вдоль оси OZ со скоростью v~vz—c.
В системе К' скорость распространения этого луча света v'=v'x\'-\-
+i$'-t-i£k'. Значения v'x, v'y, v'z и v' найдем, воспользовавшись фор
мулами (9,26):
V'x=-v, »;=о, v;=cVi-(v/c)\
- 18? -
Таким образом, вектор v' лежит в плоскости Х'0'Z' и образует
с осью O'Z' угол а, удовлетворяющий, условию tga = V/VAc2 — F2.
Ввиду малости Vic н a sina«tga«Wc, т. е. релятивистская формула
совпадает с классической формулой C.27), использованной в § 3.5
для объяснения явления годичной аберрации света и нахождения
скорости света по методу Брэдли.
§ 9.5. Эффект Доплера в оптике
1, Из гипотезы о существовании эфира, принятой в
дорелятивистской классической физике, автоматически следовало,
что для световых волн должен наблюдаться эффект Доплера, анало-
аналогичный эффекту Доплера в акустике. Если \х и v2 — скорости источ-
источника света и наблюдателя по отношению к эфиру, то частота v света,
воспринимаемая наблюдателем, и
частота ve монохроматического
И света, излучаемого неподвижным
источником, должны быть связаны
формулой B.8):
*
Н
^4 т
= v0
Рис. 9 8
.^L cos Ъ\
(9.28)
где Oj иО, — углы, образуемые векторами vx и v2 с вектором R, сое-
соединяющим наблюдателя Я с источником света И (рис. 9 8).
Формулу (9.28) можно также записать в виде 1
или (при Uj
(9.28")
где V — модуль вектора V=vi—v2 скорости источника света по от-
отношению к наблюдателю, а ft— угол между векторами V и R. Вели-
1 По формуле бинома Ньютона,
Поэтому
V-V. ( 1+-^-«» О,) [l-^-(=09*!+^ COS #,)'-...]«
°| с
| 'flCOS^ —CaCOS02 f l\ \_
' с \ с l)
,, 1 #
Это выражение для v совпадает с (9 28), так как Ujcosdj—vz cos Фа=1/ cos #.
- 188 —
чина Vcosft представляет собой скорость удаления источника света
от наблюдателя или приближения к нему вдоль соединяющей их
прямой, т. е. вдоль луча зрения. Поэтому она называется лучевой
скоростью источника света.
2. Из формул (9.28') и (9.28") видно, что при обычных скоростях
У<^с отличие v от v0 должно быть очень небольшим. Поэтому долгое
время не удавалось экспериментально доказать существование эф-
эффекта Доплера в оптике. Впервые это было сделано в опытах русского
астронома А. А. Белопольского A905) и подтверждено с помощью
значительно более точных опытов Б. Б. Голицыным A907).
В своих опытах Белопольский пользовался установкой, основным элементом ко-
которой были два параллельных плоских зеркала а и Ь (рис. 9.9), двигавшихся вдоль
нормали к их поверхностям со скоростями \а и Vj, равными по модулю, но взаимно
противоположными по направлению (vj=—va). Луч монохроматического света от
azyf
неподвижного источника S падал под углом i на зеркало Ь и после 2и отражений от
зеркал попадал в спектрограф. Можно считать, что отраженные лучи 1,2, 3, . . ., 2п
выходят из соответствующих им фиктивных «источников» Sb 52, 53, . . ., 52п, из-
излучающих свет той же частоты v0, что и источник S. Из правила построения изобра-
изображения в плоском зеркале следует, что Si— мнимое изображение S в зеркале~Ь, S2—
мнимое изображение St в зеркале а и т. д. Точки S, Slt S2, Ss, . . ., S2n лежат на
одной оси ОХ, перпендикулярной отражающим поверхностям зеркал. Координаты
хъ хг, . . ., хгп то^ек Si, S2, . . ., S2n легко найти, зная координаты х0, ха и хь ис-
источника S и зеркал.
Нь — хо) = 2хь—х0.
—х2) = 4хь — 2ха—х0,
При движении зеркал вдоль оси ОХ в направлениях, показанных на рис. 9.9,
координаты ха и *6 изменяются: ~jf-'='0 и ~jhw*~v' где и=1уа1=1уь1' Поэтому
точки Si, S2, • • ■, 52п также перемещаются вдоль оси ОХ. «Источник» света, падаю-
падающего на спектрограф,— точка S2n — движется относительно спектрографа со ско-
скоростью V=v2n, которая совпадает по направлению с вектором va и равна по модулю
dxin о / dxa dxb '
v=—2n\~T—~T
— 189 -
Угол я—Ф между вектором V и лучом 2и равен углу I падения света на зеркала.
Благодаря большому числу отражений света от движущихся зеркал Белопольскому
удалось получить скорость V» 1 км/с и наблюдать эффект Доплера, согласующийся
с формулой (9.28"):
. V cos d 4nv cos i
&v=v—vo = — v0 = v0.
с с
3. В теории относительности получается следующая формула для
эффекта Доплера в оптике:
где Р=У/с, V — скорость источника света относительно
наблюдателя и ft — угол между V и направлением наблюде-
наблюдения, измеренный в системе отсчета, связанной с наблюда-
наблюдателем.
При небольших скоростях
и релятивистская формула (9.29) совпадает с классической формулой
(9.28"). Однако между точными формулами (9.28') и (9.29) классиче-
классической и релятивистской теории эффекта Доплера имеются принципи-
принципиальные различия. Во-первых, в классической теории в отличие от
релятивистской отношение v/v0 зависит не только от числового зна-
значения и направления скорости V источника света по отношению к
наблюдателю, но также от числового значения и направления ско-
скорости Vi источника света по отношению к эфиру.
Во-вторых, из формулы (9.28') следует, что при движении источ-
источника по отношению к наблюдателю в направлении, перпендикулярном
линии наблюдения (д=я/2), эффект Доплера должен отсутство-
отсутствовать: v=v0. Теория относительности приводит к иному выводу —
при ■О'=л;/2 должен наблюдаться так называемый поперечный эффект
Доплера:
v = v0Vl — P2«v0(l-p/2)<v0. (9.30)
Этот эффект является чисто релятивистским. Он обусловлен за-
замедлением хода времени в движущейся системе отсчета. В самом деле,
соотношение (9.30) непосредственно следует из формулы (9.22), если
под т и То понимать значения периода колебаний излучающих элект-
электронов в атомах источника света, измеренные в системе отсчета на-
наблюдателя (t=1/v) и в движущейся относительно нее системе отсчета
источника света (to=1/vo).
4. Как видно из формулы (9.30), поперечный эффект Доплера
зависит от Р2, т. е. при малых C является эффектом второго порядка
малости по сравнению с классическим эффектом, зависящим от р\
Поэтому экспериментальная проверка существования поперечного
эффекта Доплера связана с большими трудностями. Впервые такой
опыт был осуществлен в 1938 г. американскими физиками Г. Айвсом
и Д. Стилуэллом. Результаты опытов Айвса и Стилуэлла полностью
— 190 —
согласовались с релятивистской теорией эффекта Доплера и тем самым
явились еще одним экспериментальным подтверждением справед-
справедливости специальной теории относительности.
Непосредственно обнаружить поперечный эффект Доплера путем измерения ча-
частоты света, излучаемого в направлении 0=я/2 движущимся источником, практиче-
практически невозможно из-за неизбежных в любом опыте погрешностей ДФ в определении
угла ■&. Действительно, уже при д=я/2+A/2 cosft«—р72 и, по формуле (9.29),
У 1-В 1-Р/2 . iA
w = v0 11 о——д- ~ v0-. ог/2 =vo> т. е. поперечный эффект полностью маски-
маскируется классическим. Поэтому Айве и Стилуэлл поступили следующим образом. Они
исследовали с помощью спектрографа длины волн X излучения пучка атомов водо-
водорода, двигавшихся с одинаковыми скоростями V порядка 2- 10е м/с. Измерения про-
производились одновременно для двух взаимнопротнвополоЖных направлений наблю-
наблюдения — вдоль скорости пучка (и1=0) и .навстречу ей (&х=п).
Из формулы (9.29) следует, что теоретические значения %i и кг должны быть свя-
связаны с длиной волны \0 света, излучаемого неподвижными атомами, следующими соот-
соотношениями:
так что среднее значение
Легко видеть, что отличие Хср от к0, так же как и поперечный эффект Доплера,
обусловлено членом У —152 в релятивистской формуле (9.29). Измерения, выполнен-
выполненные Айвсом и Стилуэллом для зеленой линии видимого спектра водорода (Л^=5861 А),
показали, что при различных значениях р" величины ДЯ=Хср—к0, найденные из
опыта, согласуются с теоретическими, равными ^ ^оР2- Тем самым была экспери-
экспериментально подтверждена справедливость формулы (9.29) и доказано существование
поперечного эффекта Доплера.
5. Эффект Доплера широко используется в астрономии, радиоло-
радиолокации и других областях науки и техники. На основании доплеров-
ского смещения линий поглощения в спектрах звезд и туманностей,
т. е. отличия v от v0, можно определять лучевые скорости движения
звезд и туманностей по отношению к Земле. Точно так же по изме-
изменению частоты сигнала радиолокатора при отражении от какой-
либо цели можно найти лучевую скорость этой цели.
Вращение источника света вызывает доплеровское уширение
спектральных линий, так как разные точки такого источника обла-
обладают разными лучевыми скоростями. Следовательно, с помощью эф-
эффекта Доплера можно исследовать вращение небесных тел. Хаоти-
Хаотическое тепловое движение атомов светящегося газа также вызывает
уширение линий в его спектре, которое возрастает с увеличением
скорости теплового движения, т. е. с повышением температуры газа.
Это явление можно использовать для определения температуры рас-
раскаленных газов.
— 191 —
§ 9.6. Понятие о релятивистской динамике
1. Из принципа относительности следует, что матема-
математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во
всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что уравнения,
описывающие какое-либо явление в системе отсчета К,', получаются
из уравнений, описывающих то же самое явление в системе отсчета К
путем простой замены в последних всех нештрихованных величин,
т. е. измеренных в системе К, на штрихованные, т. е. измеренные в
системе К' ■ Указанное условие называется условием ковариантности
уравнений физических законов относительно преобразования Лоренца.
Основной закон классической динамики Ньютона для материаль-
материальной точки
m— — V, или -ТТ-(mv) = F,
в котором масса т точки считается постоянной и одинаковой во всех
инерциальных системах отсчета, оказывается нековариантным по
отношению к преобразованию Лоренца. Следовательно, он не может
служить основой релятивистской динамики.
2. Эйнштейн показал, что масса одного и того же тела не одина-
одинакова в двух инерциальных системах отсчета, движущихся
. ' " -друг относительно друга. Это
т1то связано с тем, что масса т
тела зависит от числового
значения v скорости движения
тела * относительно инерци-
альной системы отсчета:
6
S
4
3
2
1
1
штат
мм
шттт
1 (V в» Ь,
чтят
S &
—
т -
)
^ OS OS Ш № 0,9 1
т=
0,9
v/e
(9.31)
где /По— масса рассматривае-
рассматриваемого тела при v—0, т. е. из-
измеренная в инерциальной
системе отсчета, относительно
которой это тело неподвижно.
Ее называют массой покоя
тела, am — массой движу-
движущегося тела, или его реля-
релятивистской массой.
Ход зависимости т/т0 от vie по формуле (9.31) показан на рис. 9.10.
Отношение т/т0 заметно отличается от единицы только при скоро*
стях v, близких кс (при — <0,5 —< 1,15 ]. Формула (9.31) полно-
огью согласуется с экспериментальными данными для заряженных
частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света в
вакууме (см. т. II, § 18.4, 18.5).
Рис. 9.10
1 Здесь к всюду в дальнейшем предполагается, что тело движется поступа-
поступательно.
192 —
Зависимость (9.31) можно получить, исходя из предположения
о том, что в релятивистской механике выполня-
выполняется закон сохранения импульса: при любых процессах, происходя-
происходящих в замкнутой системе, ее полный импульс не изменяется. Одновре-
Одновременно можно доказать, что из закона сохранения импульса следует
закон сохранения релятивистской массы: при любых процессах, про-
происходящих в замкнутой системе, ее полная релятивистская масса не
изменяется.
Рассмотрим абсолютно неупругий прямой центральный удар двух совершенно
одинаковых тел, образующих замкнутую систему. Пусть в инерциальной системе от-
отсчета К тело / (рис. 9.11) движется вдоль оси ОХ со скоростью vt, а тело 2 покоится
(v2=0). После удара оба тела движутся со
скоростью и. В соответствии с законом сох-
сохранения импульса
К'
m(v1)v1 =
и, или
m(v1)v1 = M(u)u,
(a)
К
К"
Y"
О"
X' О
Рис. 9.11
где т A\) — релятивистская масса тела /,
движущегося со скоростью vlt a M (и) —
общая релятивистская масса тел / и 2,
движущихся после удара со скоростью и.
Скорость и направлена так же, как и vlt
т. е. вдоль положительного направления
оси ОХ. Следовательно,
«* = «. ну = «г=0. (б)
Рассмотрим процесс удара тех же тел в двух других инерцнальных системах от-
отсчета К' и К , которые, как показано на рис. 9.11, движутся относительно системы К
соответственно вдоль оси ОХ со скоростью v1 и вдоль оси OY со скоростью V.
В системе К' до удара тело 1 покоилось (vi=0), а тело 2 двигалось вдоль оси О'Х'
со скоростью Vj=—Vf [это значение скорости \% легко получить из формул (9.26), где
V=Vf, a v,x=x=V2y—V2s=0]. Таким образом, состояние движения тел перед ударом в
системе К отличается от состояния их движения в системе К только тем, что тела
поменялись скоростями и изменили направления своего движения на противополож-
противоположные. Поэтому очевидно, что скорость и тел после удара в системе К' должна быть
равна скорости и и противоположна ей по направлению: ц'=—и. Из формул (б) сле-
следует, что проекции и' на оси координат системы К' соответственно равны и'х=— и;
и'у=и'г—0. С другой стороны, из формул (б) и (9.26), где V=vlt вытекает, что
— uxvjc2 1 —
Таким образом, —« =
и—
1 —
£lj=T
2и
Подставив это значение Vf в уравнение (а) и сократив на и, получим
(в)
Для нахождения Связи М{и) с m(v{) и тф)—тй рассмотрим удар тел в системе
отсчета К"- По закону сохранения импульса,
т (vi) v"i-f- m (vl) \2 = М (и") и".
В проекции на ось O"Y" это уравнение имеет вид
т {щ) v'iy-]-m (t>g) v'sy — M (it") и"у. (д)
7 А. А. Детлаф, В. Ы. Яворский — 193 —
Для нахождения проекций скоростей vj[,vH и" на оси системы К" воспользуемся
релятивистскими формулами преобразования скоростей при переходе от системы
отсчета К к системе отсчета К":
х lVv/c* ' у \Vv/c* г
Эти формулы отличаются от (9.26) только перестановкой местами индексов
х и у. Необходимость такой перестановки связана с тем, что система отсчета К"
движется относительно К вдоль оси 0Y, а не оси ОХ, как это предполагалось
при выводе формул (9.26).
Поскольку vix = vu Vty^Viz — O, v2x = viy — v!iz = 0, их=и и иу = игг=0, то
из формул (е) следует, что
(V/c)\ v"y = -
После подстановки этих значений в уравнение (д) получим
т (V vi(\-V*/c*) + V*)+m (V) = М ( / a2 (l-
Это равенство является выражением закона сохранения реля-
релятивистской массы. При его выводе мы не делали никаких предположений
относительно величин входящих в него скоростей. Следовательно, оно должно
выполняться, в частности, и при V = 0:
/7i(y!) + mo=/W (и). (ж)
Это равенство показывает, что в системе отсчета Л" сумма релятивистских
масс соударяющихся тел до удара равна сумме их релятивистских масс после удара.
Подставив значение М (и) из (ж), в (г) и выполнив несложные преобразования,
получим
т
У
откуда на основании соотношения (в) следует искомая формула зависимости ре-
релятивистской массы тела от скорости его движения:
3. Основное уравнение релятивистской механики имеет вид
f = F, (9.32')
где
p=7T^v==mv (9'32")
— Импульс тела в релятивистской механике.
Можно показать, что уравнение (9.32) ковариантно относительно
преобразования Лоренца, если принять, что при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой компоненты силы F вдоль
осей координат преобразуются по определенному закону.
*~ 194 —
При малых скоростях движения тела (v<^p) m«/7i0=const и реля-
релятивистское уравнение (9.32) совпадает с основным законом ньютонов-
ньютоновской механики: m-^- = F, а импульс тела является линейной
функцией его скорости: p-=mov=mv.
У всех тел масса покоя /ио>О. Поэтому, как видно из формул (9.31)
и (9.32"), релятивистская масса и импульс тела должны неограни-
неограниченно возрастать при стремлении скорости тела к скорости света в
вакууме. Все реальные силы конечны яо величине, а их действие на
тело ограничено во времени. Они не могут сообщить телу бесконечно
большой импульс. Следовательно, скорость тела по отношению к
любой инерциальной системе отсчета не может равняться скорости
света в вакууме, а всегда должна быть меньше ее. Этот вывод справед-
справедлив также для атомов, молекул и всех элементарных частиц, за ис-
исключением фотонов, нейтрино и антинейтрино, у которых масса покоя
то=О, а скорость не может отличаться от с.
4. Найдем выражение для кинетической энергии материальной
точки в релятивистской механике. Приращение кинетической энергии
материальной точки на элементарном перемещении равно работе,
совершаемой на этом перемещении силой F, действующей на точку:
dWx — Fdr, или dWK = Fvdt, (9.33)
поскольку dr=vdt, где v — скорость точки.
Из основного уравнения релятивистской динамики (9.32) следует
р Ото dv_ , tn^v dv^
]Л_(y/c)S dt с2 [1— (u/cJ]3/2 dt
Так как vdv=vdv и vv=u2, то
movdv Г. . (f/cJ 1 __ movdv
С другой стороны, как видно из формулы (9.31),
, movdv
Таким образом, при изменении скорости материальной точки
изменения ее кинетической энергии и релятивистской массы пропор-
пропорциональны друг другу:
dWK=c4m. (9.33')
Кинетическая энергия покоящейся точки (и=0) равна нулю, а ее
релятивистская масса равна т0. Поэтому, проинтегрировав урав-
уравнение (9.33') по WK от 0 до WK и по т от т0 до т, получим
По формуле бинома Ньютона,
I Г, /о у]-1/1
— 195 —
Если v<^c, то можно ограничиться первыми двумя членами этого
ряда. В этом случае
Таким образом, при малых скоростях движения материальной
точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской фор-
формуле (9.34), совпадает с обычным выражением (9.34') этой энергии в
ньютоновской механике. Однако при больших скоростях движения
кинетическая энергия материальной точки WK=(m—mo) с2 отлична и
от т0и2/2, и от ти2/2. Очевидно, что формулы (9.33') и (9.34) спра-
справедливы также для системы материальных точек (например, твердого
тгла), движущихся как одно целое со скоростью v.
С помощью соотношений (9.33) и (9.33') можно преобразовать уравнение (9.32)
и найти в явном виде связь между ускорением материальной точки а = -зт- и вызы-
вызывающей его силой F:
_ d , . dm , dWK v Fv
F = U(mv)=ЧГ v + ma =~df F+ma=F v+ ma'
Таким образом,
_ F Fv
~~ m me2
Из этого уравнения видно, что ускорение а совпадает по направлению с вызываю-
вызывающей его силой F только в двух случаях: '
a) FJ_v (поперечная сила), так что Fv=0 и
3
tn m0
б) Р||у(продольная сила), так что
„ ^
m
Легко видеть, что поперечная сила сообщает материальной точке большее уско-
ускорение, чем продольная сила, равная ей по модулю. Эти релятивистские закономерно-
закономерности необходимо учитывать, например, при расчетах линейных и циклических ускори-
ускорителей заряженных частиц.
5. Из формулы (9.34) следует, что при сообщении телу кинетиче-
кой энергии WK его релятивистская масса возрастает на величину
Однако известно, что при различных процессах, происходящих в
природе, одни виды энергии тела могут преобразовываться в другие.
Например, кинетическая энергия тела преобразуется во внутреннюю
энергию. Поэтому естественно ожидать, что релятивистская масса
тела должна возрастать не только при сообщении ему кинетической
энергии, но и при любом увеличении его полной энергии
W независимо от того, за счет1 какого конкретного вида энергии тела
это увеличение произошло. В качестве примеров, подтверждающих
— 196 —
справедливость такого предположения, рассмотрим абсолютно не-
неупругий и абсолютно упругий прямой центральный удары двух со-
совершенно одинаковых тел, свободно движущихся навстречу друг
другу со скоростями v и —v. Пусть до удара масса покоя каждого
из тел равна т0. Тогда сумма их релятивистских масс перед ударом:
Vl-(v/cy- оП с2 '
где WK — кинетическая энергия каждого из тел.
После абсолютно неупругого удара тела останавливаются. При
этом их кинетическая энергия 2Wx=2(m—та)сг преобразуется во
внутреннюю энергию тел, причем в соответствии с законом сохранения
энергии приращение внутренней энергии каждого тела AU—WK.
Система соударяющихся тел является замкнутой, поэтому сумма
релятивистских масс тел, покоящихся после удара, должна быть
такой же, как и до удара, т. е. равной 2т. Следовательно, в ре-
результате удара масса покоя каждого из тел возрастает на величину
ато ~^ W '
Однако такое же увеличение внутренней энергии и массы покоя
тела можно осуществить путем непосредственного нагревания непод-
неподвижного тела.
При абсолютно упругом ударе рассматриваемых тел следует раз-
различать две стадии. На первой стадии, начинающейся с момента сопри-
соприкосновения тел и заканчивающейся в момент их полной остановки,
происходит преобразование кинетической энергии этих тел в потен-
потенциальную энергию их упругой деформации. На второй стадии потен-
потенциальная энергия вновь преобразуется в кинетическую энергию тел,
отскакивающих друг от друга после удара. Путем рассуждений,
аналогичных приведенным выше, легко показать, что в момент оста-
W
новки тел релятивистская масса каждого из них равна то-\-—£,
где Wa — потенциальная энергия упруго деформированного тела.
Подобные примеры можно было бы продолжить. Однако в этом
нет необходимости, так как во всех случаях получается один и тот
же результат: если полная энергия W тела (или системы тел) увели-
увеличивается на dW, то релятивистская масса т этого тела (или системы)
возрастает на величину
dm=dWfc\
Интегрируя это уравнение *, находим универсальное соотношение:
W=mc2. (9.35)
Уравнение (9.35) выражает один из важнейших законов приро-
природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии:
1 Постоянную интегрирования нужно положить равной нулю, так как уравнение
W=mc2Jrk при любом значении кфЬ не ковариантно относительно преобразования
Лоренца, т. е. не удовлетворяет первому постулату теории относительности (см. п. 1
этого параграфа).
-- 197 —
полная энергия системы равна произведению ее полной релятивистской
массы на квадрат скорости света в вакууме.
б. Из формул (9.35) и (9.32") легко найти релятивистскую зави-
зависимость между полной энергией тела (или частицы) и его импульсом:
т. e.
W = Vp*c2+ m\c\ (9.36)
где m0 — масса покоя тела (частицы). При переходе от одной инер-
циальной системы отсчета к другой скорость тела, его релятивист-
релятивистская масса, импульс и полная энергия изменяются. Однако, как
видно из уравнения (9.36), разность W2—р*сг=т1с* инвариантна
относительно преобразования Лоренца, т. е., подобно интервалу
между двумя событиями, одинакова во всех инерциальных системах
отсчета. Полная энергия
(9.37)
тела, неподвижного относительно системы отсчета, называется энер-
энергией покоя тела. Энергию покоя свободной частицы обычно на-
называют ее собственной энергией.
Легко видеть, что энергия покоя Wo свободного твердого тела или
любой другой системы взаимодействующих частиц (например, моле-
молекулы, атома, атомного ядра), обладающей некоторой прочностью,
не равна сумме собственных энергий та(сг всех частиц, входящих
в состав этой системы. Для расщепления такой системы на ее состав-
составные части (например, ядра — на свободные протоны и нейтроны,
атома — на электроны и ядро и т. д.) необходимо совершить опреде-
определенную работу А против сил сцепления между частицами. Поэтому
на основании закона сохранения энергии
Ym -c2 = W 4- А или W = 7, m -c* AW (9 37')
t=i i=\
где АИ7№=Л>-0 — энергия связи системы, определяющая степень
ее прочности.
Соответственно масса покоя системы т0 меньше суммы масс покоя
всех ее частиц в свободном состоянии:
Щ — JS moi = — ^£2 < 0. (9.37")
г=1 с
Закон взаимосвязи массы и энергии был надежно подтвержден
многочисленными экспериментами в ядерной физике. Предсказыва-
Предсказываемые на его основе энергетические эффекты различных ядерных ре-
реакций и превращений элементарных частиц находятся в точном со-
согласии с результатами экспериментов. На этом вопросе мы остано-
остановимся подробнее ниже.
7. В зарубежной физической и философской литературе соотно-
соотношение (9.37") часто рассматривается как доказательство возможности
— 198 —
«преобразования массы в энергию» и, наоборот, «энергии в массу»,
причем релятивистская масса тела отождествляется с количеством
содержащейся в нем материи. Таким путем «доказывается» «эквива-
«эквивалентность материи и энергии», т. е. возрождается одна из разновид-
разновидностей идеализма — энергетизм. Энергетизм отрывает движение от
материи. Сокрушительная критика энергетизма была дана В. И. Ле-
Лениным еще в 1908 г. в его книге «Материализм и эмпириокритицизм».
В. И. Ленин показал полную несостоятельность попыток обоснования
энергетизма путем ссылок на новейшие достижения естествознания.
Столь же несостоятельны ссылки и на теорию относительности. Во-
первых, нет никаких оснований для отождествления релятивистской
массы тела с количеством содержащегося в нем вещества: при уве-
увеличении скорости тела количество вещества в нем не изменяется,
а его релятивистская масса возрастает Во-вторых, ни соотношение
(9.37"), ни один из известных опытных фактов не подтверждают воз-
возможности «перехода массы в энергию». На самом деле возможность
такого «перехода» полностью исключается законом взаимосвязи массы
и энергии, из которого следует, что в замкнутой системе одновре-
одновременно должны выполняться и закон сохранения энергии, и закон
сохранения релятивистской массы. Превращения энергии системы
из одной формы в другую сопровождаются превращениями
ее массы. Однако при этом масса не «переходит в энергию», а преоб-
преобразуется из одной формы массы (например, массы покоя) в другую
форму массы (например, массу электромагнитного излучения).
Столь же беспочвенны попытки обоснования с помощью теории
относительности другой разновидности идеализма —философского
релятивизма, утверждающего, что все наши знания целиком условны
и субъективны, т. е. не отражают закономерности объективного мира —
«все зависит от выбора точки зрения наблюдателя». Тем самым реля-
релятивисты не только отрицают возможность познания объективных
законов природы, но и ставят под сомнение само их существование.
Теория относительности действительно показала, что многие
физические характеристики тел и процессов (например, линейные
размеры тела, его релятивистская масса, продолжительность процесса
и т. д.), считавшиеся прежде абсолютными, неизменными свойствами
самих тел и процессов, являются относительными. Их числовые
значения в двух инерциальных системах отсчета, движущихся друг
относительно друга, не одинаковы. Однако эти результаты, парадок-
парадоксальные с точки зрения классической физики, не имеют ничего общего
с релятивизмом. Они обусловлены объективными свойствами
окружающего нас мира. Главный вывод, к которому приводит теория
относительности, состоит в том, что пространство и время органи-
органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования мате-
материи — пространство-время. Именно поэтому пространственно-вре-
пространственно-временной интервал между двумя событиями абсолютен (одинаков во
всех инерциальных системах отсчета), тогда как взятые порознь про-
пространственный и временной промежутки между этими событиями от-
относительны.
199 -
Часть VII
ОСНОВЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ
Глава X
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 10.1. Тепловое излучение
1. Тела, нагретые до достаточно высокой температуры,
приобретают способность светиться. Например, раскаленные жидкие
или твердые тела испускают белый свет, обладающий сплошным
спектром частот. По мере понижения температуры тела не только
уменьшается интенсивность его излучения, но и изменяется спектраль-
спектральный состав излучения. В нем все сильнее обнаруживается преобла-
преобладание длинных волн (красных и инфракрасных). При дальнейшем
охлаждении тела излучение им видимого света вообще прекращается —
тело испускает лишь невидимые глазом инфракрасные лучи.
Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней
энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и оп-
оптических свойств этого тела, называется тепловым излучением. Если
энергия, расходуемая телом на тепловое излучение, не восполняется
за счет соответствующего количества теплоты, подведенного к телу,
то его температура постепенно понижается, а тепловое излучение
уменьшается.
Тепловое излучение — единственное, способное находиться в тер-
термодинамическом равновесии с веществом. Такое излучение, называемое
равновесным излучением, устанавливается в адиабатически замкнутой
(теплоизолированной) системе, все тела которой находятся при одной
и той же температуре. При равновесии энергия, расходуемая каждым
из тел системы на тепловое излучение, компенсируется путем погло-
поглощения этим телом такого же количества энергии падающего на него
излучения.
2. Спектральной характеристикой теплового излучения тела слу-
служит его испускательная способность, называемая также спектральной
плотностью энергетической светимости тела, которая равна
d^ A0.1)
где dWKa][ — энергия электромагнитного излучения, испускаемого
за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале
частот от v до v-fdv. Таким образом, испускательная способность
тела численно равна мощности излучения с единицы площади по-
поверхности этого тела в интервале частот единичной ширины. Из фор-
— 200 —
мулы A0.1) видно, что в СИ rv выражается в джоулях на квадратный
метр (Дж/м2).
Спектральной характеристикой поглощения электромагнитных
волн телом служит поглощательная способность тела (монохрома-
(монохроматический коэффициент поглощения тела)
показывающая, какая доля энергии dW, доставляемой за единицу
времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее
электромагнитными волнами с частотами от v до v+dv, поглощается
телом. Очевидно, что av — величина безразмерная.
Опыты показывают, что испускательная и поглощательная способ-
способности твердого тела зависят от частоты v соответственно излучаемых
и поглощаемых волн, температуры тела, его хи-
химического состава и состояния поверхности.
3. Тело называется абсолютно черным, если
оно при любой температуре полностью поглощает
всю энергию падающих на него электромагнитных
волн независимо от их частоты, поляризации и
направления распространения, ничего не отражая
и не пропуская. Следовательно, поглощательная
способность абсолютно черного тела тождественно
равна единице: а^ерн=1.
Испускательную способность абсолютно черного
тела будем обозначать через rv. Она зависит только от частоты у из-
излучения и абсолютной температуры Т тела.
Все реальные тела не являются абсолютно черными. Однако не-
некоторые из них в определенных интервалах частот близки по своим
свойствам к абсолютно черному телу. Например, в области частот
видимого света поглощательные способности сажи, платиновой черни
и черного бархата мало отличаются от единицы. Наиболее совершенной
моделью абсолютно черного тела может служить небольшое отверстие
О в непрозрачной стенке замкнутой полости (рис. 10.1). Луч света,
попадающий внутрь полости через отверстие О, претерпевает много-
многократные отражения от стенок полости, прежде чем он выйдет из по-
полости обратно. При каждом отражении происходит частичное погло-
поглощение энергии света стенками. Поэтому независимо от материала сте-
стенок интенсивность луча света, выходящего из полости через отверстие
О, во много раз меньше интенсивности падающего извне первичного
луча. Очевидно, что отверстие тем ближе по своим свойствам к абсо-
абсолютно черному телу, чем больше отношение площади поверхности
полости к площади отверстия.
Рассмотренная нами модель абсолютно черного тела позволяет
легко понять, почему узкий вход в пещеру или открытые окна домов
снаружи кажутся зияюще черными, хотя внутри пещеры около входа
или внутри комнат дома достаточно светло из-за отражения дневного
света от стен. По той же причине шероховатые ткани с большим ворсом
обладают большей поглощательной способностью, чем гладкие.
— 201 —
4. Испуская электромагнитные волны, а также частично поглощая
падающие на них волны, тела способны обмениваться энергией. Этот
самопроизвольный процесс передачи энергии в форме теплоты от более
нагретого тела к менее нагретому называется теплообменом путем
излучения или радиационным теплообменом. Теплообмен излучением
в отличие от теплообмена путем конвекции и теплопроводности может
осуществляться между телами, находящимися не только в какой-либо
ереде, но и в вакууме.
Рассмотрим теплоизолированную систему тел, находящихся в со-
состоянии термодинамического равновесия. Температуры всех тел такой
системы одинаковы и не изменяются с течением времени, а их излу-
излучение — равновесное. Следовательно, для любого тела энергия
WmJI, излучаемая за единицу времени с единицы площади поверх-
поверхности, должна быть равна энергии Wnoril, поглощаемой за то же время
этим участком поверхности тела за счет падающего на него излучения:
A0.3)
Нарушение условия A0.3) противоречит второму закону термодинамики (см.
т. I, § 12.3). В самом деле, если например, Wa33l> И^погл» то рассматриваемое тело ох-
охлаждается, а за счет этого какие-то другие тела системы нагреваются. Поскольку вна-
вначале температуры всех тел системы были одинаковы, температура охлаждающегося
тела должна стать меньше температуры нагревающихся тел системы. При \Уа1л<.
< й^погл соотношение температур будет обратным. Таким образом, при ^изл^^погл
удалось бы осуществить процесс (теплообмен излучением), единственным
результатом которого была бы передача энергии в форме теплоты от холодного тела
к более нагретому. Второй закон термодинамики исключает возможность такого про-
процесса.
Из A0.3) следует, что при равновесном излучении выполняется
правило Презо: если два тела поглощают разные количества энергии,
то и излучение у них тоже должно быть различным.
В уравнении A0.3) Wn3ll и \Уп0ТЛ характеризуют интеграль-
интегральное излучение и поглощение единицы площади поверхности тела,
т. е. осуществляемое в области всех возможных значений частот
электромагнитных волн от 0 до со. Окружим рассматриваемый элемент
поверхности тела фильтром, который абсолютно прозрачен для волн
с частотами от v до v+<iv и полностью отражает волны с частотами,
меньшими v и большими v-\-dv. Тогда с помощью рассуждений, ана-
аналогичных приведенным выше, мы получим следующее дифференци-
дифференциальное соотношение для теплового излучения:
dWm = dWnm» A0.4)
где dWa3Jl и dWmrit — энергия, соответственно излучаемая и погло-
поглощаемая единицей площади поверхности тела за единицу времени в
интервале частот от v до v-j-dv.
Примером равновесного излучения может служить излучение
замкнутой оболочки, окруженной снаружи абсолютно теплонепрони-
теплонепроницаемой изоляцией. Электромагнитное поле излучения оболочки пол-
полностью локализовано в объеме полости. Между оболочкой и полем ее
излучения устанавливается термодинамическое равновесие: энергия,
излучаемая каждым элементом поверхности оболочки за единицу
— 202 —
времени, равна энергии, передаваемой полем излучения этому
менту за то же время. Основываясь на втором законе термодинамики,
можно показать, что объемная плотность w энергии поля одинакова
во всех точках полости и полностью определяется температурой обо-
оболочки. Иначе говоря, при одной и той же температуре значения w
для замкнутых полостей с любыми оболочками и для полости с абсо-
абсолютно черной оболочкой должны быть одинаковыми. Поэтому равно-
равновесное излучение в замкнутой полости называют черным излучением.
Испускательная способность г* абсолютно черного тела и объемная
плотность энергии поля черного излучения связаны соотношением
с dw с , ^-,ч /in т'\
Здесь dw — энергия поля черного излучения в интервале частот
от v до v+dv, приходящаяся на единицу объема поля, а
P(v, Л =-37
— функция частоты и температуры, характеризующая распределение
энергии черного излучения по частотам и называемая спектральной
плотностью энергии черного излучения.
5. Испускательная и поглощательная способности непрозрачного
тела взаимосвязаны. Для отыскания этой связи рассмотрим тепло-
теплоизолированную систему, состоящую из двух беско-
бесконечно длинных пластин а и b (рис. 10.2), которые
могут обмениваться энергией в форме теплоты только
друг с другом, так как их внешние поверхности пок-
покрыты идеальной тепловой изоляцией. Пусть внутрен-
внутренняя поверхность пластины а абсолютно черная, а
испускательная и поглощательная способности внут-
внутренней поверхности пластины b равны rv и av. Если
в рассматриваемой системе установилось термоди-
термодинамическое равновесие, то температуры обеих пластин
одинаковы и равны Т, а излучение пластин —■ рав- Рис. 10.2
новесное. Поэтому можно воспользоваться соотноше-
соотношением A0.4), записанным для единицы площади поверхности плас-
пластины Ь. Из формул A0.1) и A0.2) следует, что
dWK3li = rvdv и dWnoril^avdW. A0.5)
Из условия симметрии очевидно, что энергия dW электромагнит-
электромагнитного излучения в интервале частот от v до v-\-dv, падающего за единицу
времени на единицу площади пластины Ь, равна энергии, излучаемой
за то же время и в том же интервале частот единицей площади абсо-
абсолютно черной поверхности пластины а. Собственное излучение пласти-
пластины b в dW учитывать не нужно, так как оно может вновь возвратиться
к пластине b только после отражения от пластины а. Однако абсолютно
черная поверхность а полностью поглощает падающее на нее излуче'-
ние, ничего не отражая. Таким образом,
r&v и dWnar!l = avrUv- A0.6)
— 203 —
'•■"'-"*-"■■
2
ъ
''.''.".'•'•'■
'.-'.'•'■У-
Подставив в A0.4) выражения A0.5) и A0.6) для dWu31I и dWn0T1I,
получим
rvdv~avr*dv, или
Таким образом, мы доказали, что отношение испускапгельной спо-
способности тела к его поглощательной способности не зависит от ма-
материала тела и равно испускапгельной способности абсолютно черного
тела, являющейся функцией только температуры и частоты.
Этот закон теплового излучения впервые был установлен Г. Кирх-
Кирхгофом A895) и носит название закона Кирхгофа в диффренециальной
форме, а зависимость г*ч от v и Т называется функцией Кирхгофа.
Из закона Кирхгофа следует, что тело, которое при данной температуре
Т не поглощает излучение в каком-либо интервале частот от v до v+dv
(Оу=0), не может при температуре Т и излучать в этом интервале частот
(rv—а^=0). В то же время если поглощательная способность тела
av близка к 1, то это вовсе еще не означает, что испускательная способ-
способность rv тела велика. Например, при комнатной температуре тело,
которое покрыто слоем красной краски, сильно поглощает зеленый
свет. Однако оно не излучает этот свет, так как при комнатной темпе-
температуре абсолютно черное тело его тоже практически не излучает:
<«0 и rv=<v*«0.
Подчеркнем, что поглощательная способность тела не может быть
больше единицы. Поэтому испускательная способность rv любого тела
не может превосходить испускательную способность г^ абсолютно
черного тела при тех же значениях абсолютной температуры
Т и частоты v.
В теории теплового излучения наряду с понятием абсолютно чер-
черного тела часто пользуются другой идеализированной моделью реаль-
реальных тел — серым телом. Тело называется серым, если его поглоща-
поглощательная способность одинакова для всех частот и зависит только от
температуры, материала и состояния поверхности:
6. Во многих случаях необходимо знать полную мощность теплово-
теплового излучения с единицы площади поверхности тела во всем интервале
частот от 0 до оо. Эта величина i?a, называемая энергетической свети-
светимостью тела или его интегральной испускательной способностью, свя-
связана с rv соотношением
R3 = S rvrfv, A0.8)
о
или на основании закона Кирхгофа A0.7)
Re = S «vr>. (Ю.9)
о
— 204 —
Для серого тела
да
/?8 = GceP Jr*dv = GceP/?:, A0.10)
о
где
со
S#v A0.11)
— интегральная нспускательная способность абсолютно черного тела,
зависящая только от его температуры Т.
Уравнение A0.10) выражает закон Кирхгофа в интегральной форме
для серых тел. Из него следует, что при данной температуре сильнее
излучают те серые тела, которые обладают большей поглощательной
способностью.
7. Реальное тело может быть близко по своим свойствам к серому телу лишь в
сравнительно небольших интервалах частот излучения. Однако и в этом случае ин-
интегральную испускательную способность тела Ra часто записывают в форме, аналогич-
аналогичной A0.10):
Яэ = аЯэ- A0.12)
Безразмерный коэффициент а называется коэффициентом черноты тела. В со
ответствия с формулами {10.9) и A0.11)
\ avrv
a=JL- (Ю 13)
V r^dy
о
и зависит от температуры тела, его материала и состояния поверхности. Поглоща-
тельная способность тел ov может изменяться в пределах от 0 до 1. Поэтому коэффи-
коэффициент черноты тела, как видно из A0.13), не может быть меньше нуля и больше едини-
единицы. Для абсолютно черного тела а= 1. Непрозрачные тела, у которых «=0, не излу-
излучают и не поглощают электромагнитных волн: они полностью отражают падающее
на них излучение. Если при этом отражение происходит по законам геометрической
оптики (угол падения равен углу отражения), то тело называется зеркальным.
§ 10.2. Законы теплового излучения
абсолютно черного тела
1. После установления закона Кирхгофа A0.7) стало
очевидным, что первоочередная задача теории теплового излучения
состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т. е. в выяснении
вида зависимости испускательной способности г£ абсолютно черного
тела от его температуры Т и частоты излучения v. Однако сначала
удалось решить более простую задачу — найти зависимость инте-
интегральной испускательной способности RI абсолютно черного тела от
его температуры. Л. Больцман, применив термодинамический метод
к исследованию черного излучения теоретически, показал A884),
что интегральная испускательная способность абсолютно черного те-
" 205 —
Рис. 10.3
ла пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры:
Rl = oT\ A0.14)
Этот закон получил название закона Стефана — Больцмана, так
как еще в 1879 г. Д. Стефан на основе анализа экспериментальных
данных пришел к аналогичному выводу. Однако Стефан ошибочно
считал, что интегральная испускательная способность любого
тела также пропорциональна четвертой степени его абсолютной тем-
температуры. Коэффициент
пропорциональности ст на-
называется постоянной Сте-
Стефана — Больцмана. В ре-
результате многочисленных
экспериментов найдено, что
а = 5,67032 G1) х
X 10-8Вт/(м2-К4).
2. Значительно более
сложной оказалась задача
отыскания вида функции
Кирхгофа г£, т. е. выясне-
выяснение спектрального состава
излучения абсолютно черного тела. Решение этой задачи вышло
далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную
роль во всем дальнейшем развитии физики, так как привело к уста-
установлению квантового характера излучения и поглощения энергии
атомами и молекулами.
Эксперименты показали, что зависимость г* от частоты v при раз-
разных температурах Т абсолютно черного тела имеет вид, изображенный
на рис. 10.3. При малых частотах r$~v2T, а в области больших частот
(правые ветви кривых вдали от максимумов) зависимость г^ от частоты
имеет вид
/•?~v3e-fliv/r, A0.15)
где ах — постоянная величина, выраженная в кельвинах-секундах
(К-с). Зависимость A0.15) была установлена В. Вином. Существо-
Существование на каждой кривой более или менее ярко выраженного макси-
максимума свидетельствует о том, что энергия излучения абсолютно черного
тела распределена по его спектру неравномерно: абсолютно
черное тело почти не излучает энергии в области очень малых и очень
больших частот. По мере повышения температуры тела максимум г%
смещается в область больших частот. Площадь, ограниченная кривой
зависимости r*v от v и осью абсцисс, пропорциональна интегральной
испускательной способности RI абсолютно черного тела. Поэтому в
соответствии с законом Стефана — Больцмана она возрастает про-
пропорционально Т4.
3. Первое теоретическое исследование вида функции Кирхгофа
было предпринято московским физиком В. А. Михельсоном A887).
В. Вин рассмотрел A893) задачу об адиабатическом сжатии черного
- 206
излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркальным порш-
поршнем и зеркальными стенками. Приняв во внимание, что вследствие
эффекта Доплера частота излучения изменяется при отражении от
движущегося поршня, он получил следующее выражение для функции
Кирхгофа:
r; = v»f(v/r), A0.15')
где f{vlT) — функция отношения частоты излучения абсолютно чер-
черного тела к его температуре. Хотя Вину не удалось теоретически
установить вид функции /(v/Г), формула Вина A0.15') позволила
получить ряд очень важных результатов. Например, из A0.15') вы-
вытекает закон Стефана — Больцмана:
где а = J x3f (x) dx—постоянный коэффициент (через х обозначено
о
отношение v/T).
Из закона Вина можно найти зависимость от температуры частоты
vTO, соответствующей максимальному значению испускательной^ спо-
способности г^ абсолютно черного тела. При v=vm частная производная
■ — [ \~) должна быть равна нулю:
~) =0, или
т ) г т
Из A0.16) следует1, что
Y-=blt A0.17)
где fri — постоянная величина, являющаяся корнем уравнения A0.16),
зависящая от вида функции f(v/T). Уравнение A0.17) выражает закон
смещения Вина: частота, соответствующая максимальному значению
испускательной способности г* абсолютно черного тела, прямо про-
пропорциональна его абсолютной температуре.
Значения частот vml, vm2, vm3, vmi, соответствующие четырем раз-
различным температурам Ти Г2, Т3, Г4, показаны на рис. 10.3.
Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме:
для максимума испускательной способности абсолютно черного тела
rl, отнесенной к интервалу а"К длин волн (в вакууме),
гк ж-, A0.18)
1 Соотношение A0.16) выполняется также при любых значениях v/T, если
f(v/T)—(v/T)-3. Однако в этом случае rv=v3(v/T)~3=7'3, т. е. ие зависит от ча-
частоты v, что противоречит данным опытов.
- 207-
где dWB3a—энергия электромагнитного излучения за единицу вре-
времени с единицы площади поверхности абсолютно черного тела в ин-
интервале длин волн от К до X+dX. Так как, по определению, г% и г*к
не могут быть отрицательными, то из A0.18) и A0.1) следует, что
dv
„ с dv с
Поскольку v = T и _г = —тг, то
A0.19)
Подставляя в A0.19) выражение для г* из формулы закона Вина
A0.15'), получаем
Пользуясь выражением A0.20) для функции г{, легко показать
что длина волны Хт, соответствующая максимальному значению ис-
пускательной способности г\ абсолютно черного тела, обратно про-
пропорциональна его абсолютной температуре:
К =jr. A0.17')
Это другая форма выражения закона смещения Вина, который
полностью согласуется с результатами экспериментов. По современным
данным, постоянная Вина Ь=2,89&-10~3 м-К. Из закона Вина A0.17')
видно, что при понижении температуры абсолютно черного тела мак-
максимум энергии его излучения смещается в область больших длин
волн. Становится понятным, почему при понижении температуры
светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое
излучение — белое каление переходит в красное, а затем вообще не
воспринимается глазом.
Из формул A0.20) и A0.17') следует, что максимальная испуска-
тельная способность г£ абсолютно черного тела пропорциональна
пятой степени его абсолютной температуры:
\ A0.21)
Заметим, что испускательные способности г* и г£, связанные со-
соотношением A0.19), не пропорциональны друг другу.
Поэтому их максимумы лежат в разных частях спектра, а соответст-
соответствующие им значения Кт я vm н е связаны соотношением
X=ch.
4. Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа методами
классической физики предпринималось рядом ученых. Мы остано-
остановимся только на результатах исследования Д. Рэлея и Д. Джинса.
Рэлей подошел A900) к изучению спектральных закономерностей
черного излучения с позиций статистической физики, а не термоди-
термодинамики, как это делали его предшественники. Он рассмотрел равно-
- ■ 208 —
весное (черное) излучение в замкнутой полости с зеркальными стен-
стенками как совокупность пространственных стоячих электромагнитных
волн. Частоты этих волн должны удовлетворять определенным усло-
условиям, подобным условиям для частот стоячих упругих волн в стержнях
[см. A-46') и A.47')]. Рэлей показал, что число dn таких собствен-
собственных частот, находящихся в интервале от v до v+<iv, пропорционально
объему полости V, квадрату частоты v и ширине интервала dv: dn~
V2d
Колебания с разными собственными частотами совершаются не-
независимо друг от друга. Поэтому каждой собственной частоте соот-
соответствует своя колебательная степень свободы черного излучения.
Далее, применив закон классической статистической физики о равном
распределении энергии по всем степеням свободы равновесной
системы, Рэлей показал, что энергия dW излучения в полости, соот-
соответствующая интервалу частот от v до \-\-dv,
dW ~ Vv%kT dv и p (v, T) = y -^-
где kT — средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную
степень свободы (см. т. I, § 15.4), k — постоянная Больцмана. Таким
образом, Рэлей получил, что
В дальнейшем Рэлей и Джине уточнили эту формулу, вычислив
значение коэффициента пропорциональности:
w. A0.22)
Формула Рэлея — Джинса A0.22) хорошо согласовалась с данными
опытов только в области малых частот излучения. Для больших ча-
частот она была явно неверна (рис. 10.4). Формула Рэлея — Джинса
противоречила также закону смещения Вина и закону Стефана—-Больц-
мана: по формуле A0.22) г% моно-
монотонно возрастает с ростом частоты, \
не имея максимума, а интегральная
испускательная способность абсолют-
абсолютно черного тела при любой темпера-
температуре обращается в бесконечность:
= oo.
По формуле
I/Ржя-джинса
Из опытпй и
па формуле
Вина,
A0.22')
Рис. 10.4
Работы Рэлея и Джинса ясно показали, что последовательное при-
применение классической физики к исследованию спектрального
состава черного излучения дает абсурдные результаты, находящиеся
в противоречии с законом сохранения энергии.
— 209
Невозможность отыскания методами классической теоретической
физики такого выражения для функции Кирхгофа, которое согласо-
согласовалось бы с данными экспериментов во всем интервале частот от О
до со, получило образное название «ультрафиолетовой катастрофы» 1.
5. Найти правильное выражение для функции Кирхгофа и дать
теоретическое обоснование спектральных закономерностей черного
излучения впервые удалось немецкому физику М. Планку. Выше уже
отмечалось, что объемная плотность энергии равновесного излучения
в замкнутой полости и распределение энергии эюго излучения по
частотам зависят только от температуры стенок полости. Материал
стенок, т. е. конкретные свойства системы, с которой связано равно-
равновесное излучение, не играет никакой роли. Поэтому в своих расчетах
Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок
полости) в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов
(электрических диполей) со всевозможными собственными частотами v.
Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия рас-
расход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой v
должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими
осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал
A899), что
p(v, T) = ^-<8V> и rv = -^<8v>, A0.23)
где <sv> — средняя энергия осциллятора с собственной частоюй v.
Если бы для ее определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался
законом классической статистической физики о равном распределении
энергии по всем степеням свободы равновесной системы, то он получил
бы, что <ev>=&7\ При этом его формула A0.23) совпала бы с A0.22).
Однако Планк пытался найти выражение для <ev>, исходя из тер-
термодинамических соотношений. Он был убежден, что между энтропией
S осциллятора и его средней энергией должна существовать сравни-
сравнительно простая связь.
В октябре 1900 г. Планку удалось подобрать такой вид зави-
зависимости S от <8V>, при котором
где й! и а2 — постоянные коэффициенты.
Оказалось, что формула A0.24) блестяще согласуется с резуль-
результатами экспериментов при всех частотах- и температурах. Поэтому
следующий основной этап исследования, завершенный Планком в де-
декабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретиче-
теоретическом обосновании столь удачно угаданного им соотношения между
энтропией и средней энергией осциллятора. Применив статистический
метод Больцмана, Планк вывел искомое соотношение. Однако для
этого ему пришлось ввести так называемую квантовую гипотезу, со-
1 Смысл названия заключается в том, что нарушение закона сохранения энер-
энергии происходит при подстановке в интеграл A0.22') бесконечности в качестве верхнего
предела частот.
— 210 —
вершенно чуждую классической физике. В классической физике
предполагается, что энергия любой системы может изменяться непре-
непрерывно, принимая любые сколь угодно близкие значения. Согласно
квантовой гипотезе Планка, энергия ev осциллятора может принимать
только определенные дискретные значения, равные целому
числу элементарных порций — квантов энергии ev0:
ev==«ev0 (n = 0; 1; 2; ...).
При этом условии средняя энергия осциллятора оказалась равной
Соответственно испускательная способность абсолютно черного тела
Из сопоставления A0.25) с формулой Вина A0.15') следует, что
выражение -?■—s—тгт-— должно зависеть от отношения vlT. Поэтому
С eeVO'R' j
квант энергии должен быть пропорционален частоте v:
ev0 = ftv, A0.26)
где h — универсальная постоянная1, получившая название постоян-
постоянной Планка. Окончательное выражение формулы Планка для испу-
скательной способности абсолютно черного тела имеет вид
hv lQ27)
В области малых частот, т. е. при условии, что квант энергии hv во много раз
меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея —
Джинса. Для доказательства этого разложим ehv^r в ряд:
~ + kT "+■ 21 \kT ) + 3! [TT
Если hv<^kT, то eftv'*r—l^hvlkT и из формулы Планка A0.27) следует формула
Рэлея — Джинса A0.22):
ftv _ 2jiv2
rv~ с2 " hv/kT
В области больших частот hv ^> kT и единицей в знаменателе формулы A0.27) мож-
можно пренебречь по сравнению с ehv^kT. Тогда получим формулу
которая совпадает с выражением Вина A0.15), причем a^=htk.
6. Из формулы Планка легко получить закон Стефана — Больц-
мана и закон смещения Вина. При этом постоянную Планка можно
1 Универсальность постоянной h следует из того, что функция Вина f(ylT) в
выражении A0.15') не зависит от материала, из которого изготовлено абсолютно
черное тело.
— 211 —
выразить через постоянные Стефана — Вольцмана (о) и Вина (Ь).
Из A0.11) и A0.27) видно, что интегральная испускательная способ-
способность абсолютно черного тела
hv
о
Произведем замену переменной. Обозначим x=h\lkT, так что
h kT
dx=-jjrdv и dv = —j—dx. Тогда
J е*-1
о
2я/г4 Г х3 rfx 2я»£* с х* dx я* _
3' так какд~ё*=Т="Т5- аким обРазом»
о о
Из соотношения A0.28) Планк впервые определил величину по-
постоянной h. По современным данным,
/1 = 6,626176 C6)- 10-а*Дж-с.
Для вывода закона смещения Вина найдем с помощью формул A0.19) и A0.27)
выражение для нспускательной способности г*\ абсолютно черного тела:
г*_ с .«_2яс*Л 1 (Ю29)
откуда
Г he _hr.i(kTi.\ ~
дг*х
Длину волны Хт, соответствующую максимальному значению rv, найдем, при-
приравняв нулю эту производную и введя обозначение x=hc/(kTXm):
хех—5е*-|-5 = 0.
Это трансцендентное уравнение имеет единственный корень, равный 4,965. Следова-
Следовательно, Кт удовлетворяет закону смещения Вина A0.17'):
UT= *^ = 6
h = 4,965 — . A0.30)
С
Формула A0.30) позволяет независимым от закона Стефана —
Больцмана способом определить постоянную Планка по известному
из опыта значению постоянной Вина. Значения h, определенные по
формулам A0.28) и A0.30), совпадают между собой и согласуются со
значениями h, полученными другими способами (см. § 11.1).
— 212 —
§ 10.3. Оптическая пирометрия.
Тепловые источники света
1. Для измерения температуры раскаленных тел, а также
самосветящихся тел, удаленных от наблюдатели (например, звезд),
нельзя пользоваться обычными методами, основанными на применении
термометров расширения, электрических термометров сопротивления
и термопар. В этих случаях о температуре тела можно судить только
по его излучению. Совокупность методов измерения высоких темпе-
температур, основанных на исполь-
использовании зависимости испуска- В
тельной способности исследуе-
исследуемого тела (или его интегральной
испускательной способности) от
температуры, называется опти-
оптической пирометрией. Приборы,
применяемые для этой цели, Рис. 10.5
называются пирометрами излу-
излучения. Пирометры излучения бывают двух типов — радиационные
и оптические. В первых регистрируется суммарное тепловое излучение
исследуемого нагретого тела во всем интервале частот от 0 до оо, во
вторых — его излучение в каком-либо одном или двух узких участках
спектра.
2. В радиационном пирометре (рис. 10.5) изображе-
изображение участка А В светящейся поверхности S удаленного тела проекти-
проектируется с помощью линзы О на крестообразную пластинку s', изготов-
изготовленную из платиновой фольги с зачерненной поверхностью. В пла-
пластинке заложены горячие спаи батареи последовательно соединенных
термопар. Холодные спаи термопар выведены во внешнюю часть при-
прибора и находятся при комнатной температуре. Можно доказать, что
энергия излучения поверхности 5, падающего на пластинку s' за
единицу времени, не зависит от расстояния /, если только поверхность
5 столь велика, что ее изображение в линзе О полностью покрывает
всю поверхность пластинки s'. В этом случае температура нагрева
пластинки и термоэлектродвижущая сила в цепи батареи термопар,
измеряемая милливольтметром тУ, зависят только от интегральной
испускательной способности R3 исследуемого тела.
Шкала милливольтметра градуируется по излучению абсолютно
черного тела прямо в °С (или К). Поэтому для произвольного излу-
излучателя пирометр позволяет определить так называемую радиационную
температуру Tv, т. е. такую температуру абсолютно черного тела,
при которой его интегральная испускательная способность R*3(TV)
равна интегральной испускательной способности R9 исследуемого
тела. Из формул A0.12) и A0.14) следует, что для нахождения истин-
истинной температуры Т исследуемого тела необходимо знать его коэффи-
коэффициент черноты a: R3=aGTi=aTp, или
Г = Гр/£/аТ A0.31)
Так как <х<1, то 7>ГР.
— 213 —
3. В качестве примера оптического пирометра рас-
рассмотрим пирометр с исчезающей нитью, принципиальная схема кото-
которого изображена на рис. 10.6. С помощью объектива О изображение
светящейся поверхности исследуемого тела совмещается с плоскостью
нити накала фотометрической лампы Л. Нить и изображение тела
рассматриваются через окуляр Ох и светофильтр Ф, пропускающий
красный свет с длиной волны в ва-
вакууме ^о=66О нм. Яркость накала
нити регулируется путем изменения
идущего по ней тока с помощью рео-
реостата R. При измерениях силу тока в
цепи нити подбирают таким образом,
чтобы нить не была видна на фоне по-
поверхности исследуемого тела, т. е.
чтобы испускательные способности г^
нити и поверхности были одинаковы
для монохроматического света Хо.
Миллиамперметр (тА) пирометра
предварительно градуируется в °С (или К) по излучению абсолютно
черного тела. Поэтому с помощью оптического пирометра можно оп-
определить так называемую яркостную температуру исследуемого
тела, т. е. такую температуру Тя абсолютно черного тела, при ко-
которой его испускательная способность г£ для монохроматического
света ~Ха равна испускательной способности гх исследуемого тела:
Гяо(Гя) = гяо(Т'), где Т—истинная температура тела. Из закона
Кирхгофа следует, что г%о{Т)~ак(Т) г*к(Т), где ак (Т) — поглоща-
тельная способность исследуемого тела для монохроматического света
Хо при температуре Т тела, a rlo(T) — испускательная способность
абсолютно черного тела для тех же значений длины волны и темпе-
температуры. Таким образом,
Рис. 10 6
г К
A0.32)
Для всех тел а^ (Т)^.\. Поэтому г1й(Тя)^.г\а(Т) и, как видно
из формулы Планка A0.27), ТЯ^.Т. Для" определения истинной тем-
температуры тела по его яркостной температуре необходимо знать по-
глощательную способность тела aio(T), так как из A0.32) и A0.27)
следует, что
> гДе ai=hc/kX0.
4. Распределение энергии в спектре излучения серого тела такое
же, как и в спектре абсолютно черного тела, имеющего ту же темпе-
температуру, так как отношение rx(T)/rl(T) не зависит от длины волны X.
Поэтому для серых тел справедлив закон смещения Вина A0.17') и,
зная Хт, можно определить температуру этих тел: Т—Ь/Хт.
К несерым телам закон Вина неприменим. Однако если исследу-
исследуемое тело мало отличается от серого, то его истинная температура
— 214 —
Т близка к так называемой цветовой температуре Гц, которая нахо-
находится из условия
j£A = [h^L, A0.33)
где ^ и 1г— два определенных значения длины волны света. Обычно
принимают Я,!=655 нм (красный свет) и Я2=470 нм (зеленый свет).
5. Свечение раскаленных тел широко используется для создания
источников света. Первые лампы накаливания были созданы А. Н." Ло-
Лодыгиным A873), а первые дуговые лампы — П. Н. Яблочковым A876).
Важнейшими характеристиками источника света являются спектраль-
спектральный состав его излучения и световая отдача, равная отношению све-
светового потока к мощности, потребляемой источником света. Светова>
отдача выражается в люменах на ватт (лм/Вт).
В настоящее время применяются лампы накаливания с вольфра-
вольфрамовой нитью. Применение вольфрама для изготовления нитей обус-
обусловлено двумя причинами. Во-первых, его тугоплавкостью и большой
стойкостью по отношению к распылению при высоких температурах
нагрева. Во-вторых, селективностью его теплового излучения: доля
энергии, приходящейся на излучение видимого света, у вольфрама
значительно больше, чем у абсолютно черного тела, нагретого до той
же температуры. Поэтому световая отдача у вольфрамовой нити зна-
значительно больше, чем у абсолютно черного тела.
В вакуумных лампах с вольфрамовой нитью температура нагрева
нити не должна превосходить 2500 К, так как иначе лампа быстро
выходит из строя из-за распыления нити. При этой температуре
максимум испускания соответствует длине волны в 1100 нм, т. е.
находится в области инфракрасного излучения. Поэтому для повы-
повышения световой отдачи лампы и приближения спектрального состава
ее света к спектральному составу дневного света (^„акс^бО нм)
необходимо увеличить температуру накала нити. Это удалось сделать
при заполнении лампы инертным газом (аргоном или смесью криптона
и ксенона с добавлением азота), присутствие которого уменьшает
скорость распыления вольфрама. В газополных лампах температура
нити может превосходить 3000 К. Однако световая отдача этих ламп
с прямолинейной нитью оказалась такой же, как у вакуумных ламп,
имеющих меньшую температуру накала, что связано с дополнитель-
дополнительными потерями энергии вследствие значительного теплообмена между
нитью и газом, циркулирующим в колбе лампы. Для уменьшения
этого эффекта и повышения световой отдачи газополных ламп в них
устанавливают нити, имеющие вид спирали или двойной спирали (би-
спирали) с небольшим значением шага. Вблизи такой спирали обра-
образуется слой газа, который почти не движется, так что теплообмен
между нитью и газом осуществляется только путем теплопроводности.
Энергетический коэффициент полезного действия современных
ламп накаливания не превосходит 5%, т. е. не более 5% энергии, за-
затрачиваемой в лампе, излучается ею в форме видимого света. Люми-
Люминесцентные источники света обладают в 2—3 раза большим к.п.д.
- 215 —
Глава XI
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ
§ 11.1. Фотоэлектрический эффект
1. В предыдущей главе было показано, что последова-
последовательное решение проблемы теплового излучения абсолютно черного
тела* оказалось возможным лишь после того, как М. Планк отказался
от классических представлений о непрерывном процессе излучения
энергии атомом — осциллятором. Квантовая гипотеза Планка при-
привела в дальнейшем к представлению о том, что свет испускается и
поглощается отдельными порциями — квантами, нашла свое под-
подтверждение и дальнейшее развитие в ряде других явлений: фотоэлект-
Рис. 11.1
рическом эффекте, химическом действии света, эффекте Комптона
и т. д.
Г. Герц обнаружил A887), что при освещении отрицательного
электрода искрового разрядника ультрафиолетовыми лучами разряд
происходит при меньшем напряжении между электродами, чем в от-
отсутствие такого освещения. Это явление, как показали опыты В. Галь-
вакса A888) и А. Г. Столетова A888—1890), обусловлено выбиванием
под действием света отрицательных зарядов из металлического катода
разрядника.
Схема опытов Столетова представлена на рис. 11.1. Плоский кон-
конденсатор, одной из обкладок которого служила медная сетка С, а в
качестве второй — цинковая пластина D, был включен через гальва-
гальванометр G в цепь аккумуляторной батареи Б. При освещении отрица-
отрицательно заряженной пластины D светом от источника 5 в цепи воз-
возникал электрический ток, называемый фототоком. Сила фототока была
пропорциональна освещенности пластины D. Освещение положи-
положительно заряженной обкладки С конденсатора не приводило к воз-
возникновению фототока. Тем самым было экспериментально доказано,
что под действием света металл теряет отрицательно заряжен-
216 —
ные частицы. Измерения удельного заряда этих частиц по их откло-
отклонению в магнитном поле показали, что они представляют собой элект-
электроны {elm—1,759-10й Кл/кг). Непосредственным доказательством
вырывания электронов из металла под действием света является опыт
Иоффе, изложенный в § 11.2 т. П.
Явление вырывания электронов из твердых и жидких веществ под
действием света получило название внешнего фотоэлектрического
эффекта (внешнего фотоэффекта).
Ионизация атомов или молекул газа под действием света называется
фотоионизацией.
2. Экспериментальные исследования внешнего фотоэффекта у
металлов показали, что это явление зависит не только от химической
природы металла, но и от состояния его поверхности. Даже ничтожные
загрязнения поверхности металла ,
существенно влияют на эмиссию
электронов под действием света. г
Поэтому для изучения фотоэффекта j
пользуются вакуумной трубкой, и
изображенной на рис. 11.2. Катод -Ц,
U
К, покрытый исследуемым метал- Тормозящее 0 Ускоряющее
лом, освещается монохроматичес- напряжение напряжение
ким светом, проходящим в трубку Рис цз
через okhoD. Напряжение {/между
анодом и катодом регулируется с помощью потенциометра R и изме-
измеряется вольтметром V. Две аккумуляторные батареи £х и 52, включен-
включенные «навстречу друг другу», позволяют с помощью потенциометра из-
изменять абсолютное значение и знак напряжения U. Фототок изме-
измеряется гальванометром G. На рис. 11.3 изображены кривые зависи-
зависимости силы фототока / от напряжения U, соответствующие двум раз-
различным энергетическим освещенностям катода: Ег (кривая а) и Е£>ЕХ
(кривая Ь). Частота света в обоих случаях одинакова. Существование
фототока в области отрицательных, напряжений от 0 до —Uo объяс-
объясняется тем, что фотоэлектроны, выбитые светом из катода, обладают
отличной от нуля начальной кинетической энергией. За счет умень-
уменьшения этой энергии электроны могут совершать работу против сил
задерживающего электрического поля в трубке и достигать анода.
Очевидно, что максимальная начальная скорость УиакС фотоэлектронов
связана с £/„ соотношением
mvlaKj2 = eU(), A1.1)
где е и т — абсолютное значение заряда и масса электрона. При
U^.—Uo фототок /==0. По мере увеличения U фототок / постепенно
возрастает, так как все большее число фотоэлектронов оказывается
способным достигнуть анода. Максимальное значение тока /н, назы-
называемое фототоком насыщения, соответствует таким значениям U, при
которых все электроны, выбиваемые из катода, достигают анода:
где п — число фотоэлектронов, вылетающих из катода за 1 с.
— 217 —
3. Опытным путем установлены следующие основные законы внеш-
внешнего фотоэффекта:
I. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определя-
определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.
П. Для каждого вещества существует красная граница фотоэф-
фотоэффекта, т. е. минимальная частота v0 света, при которой еще возможен
внешний фотоэффект. Величина v0 зависит от химической природы
вещества и состояния его поверхности.
III. Число фотоэлектронов п, вырываемых из катода за единицу
времени, пропорционально интенсивности света (фототок насыщения
пропорционален энергетической освещенности Е катода).
Опыты показывают, что фотоаффект практически безынерционен.
При объяснении первого и второго законов встретились серьезные
трудности. В самом деле, согласно электромагнитной теории, выры-
вырывание свободных электронов из металла должно являться результатом
их «раскачивания» в электрическом поле световой волны. Однако
в таком случае совершенно непонятно, почему максимальная началь-
начальная скорость и кинетическая энергия вылетающих фотоэлектронов
зависят от частоты света, а не от амплитуды колебаний вектора Е
напряженности электрического поля волны и связанной с ней интен-
интенсивности волны. Трудности в истолковании первого и второго за-
законов фотоэффекта вызвали сомнения в универсальной применимости
волновой теории света.
4. А. Эйнштейн развил квантовую гипотезу Планка. Анализируя
флуктуации энергии излучения абсолютно черного тела, Эйнштейн
доказал, что всю энергию излучения можно рассматривать сосредо-
сосредоточенной в отдельных порциях. Это позволило считать, что свет излу-
излучается, распространяется в пространстве и поглощается веществом в
виде отдельных порций энергии — квантов электромагнитного излу-
излучения. Следовательно, распространение электромагнитного излучения
нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как
поток локализованных в пространстве дискретных квантов, движу-
движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Эти кванты
электромагнитного излучения были впоследствии названы фотонами.
Для монохроматического излучения с частотой v все фотоны обладают
одинаковой энергией, равной hv. Процесс поглощения света вещест-
веществом сводится к тому, что фотоны передают всю свою энергию
частицам этого вещества. Очевидно, что процесс поглощения света
происходит прерывно как в пространстве, так и во вре-
времени.
Эти идеи Эйнштейна легли в основу квантовой теории света, ко-
которая позволила успешно объяснить законы фотоэффекта и многие
другие оптические явления.
5. Рассмотрим с квантовой точки зрения внешний фотоэффект в
металлах. Известно (см. т. II, § 10.1), что для выхода из металла элект-
рон должен совершить работу выхода А. В результате поглощения
фотона электрон приобретает энергию hv. Если hv^A, то электрон
может совершить работу выхода и вырваться из металла. В соответ-
соответствии с законом сохранения энергии максимальная кинетическая
— 218 —
энергия фотоэлектрона
m»JUc/2=ftv—Л. A1.2)
Это уравнение впервые было предложено Эйнштейном и называ-
называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Как видно
из предыдущего, уравнение A1.2) получено в предположении, что
электроны в металле движутся независимо друг от друга, т. е.
между ними отсутствуют силы взаимодействия. Поэтому передача
фотоном энергии одному из электронов не изменяет энергии всех
остальных электронов. Теория фотоэффекта, основанная на этом
предположении, называется одноэлектронной.
При весьма больших интенсивностях света, вызывающего фотоэф-
фотоэффект, например при освещении металла излучением, полученным в
генераторах когерентного света (см. § 15.9), законы внешнего фото-
фотоэффекта теряют силу. Предположим, что на электрон в металле падают
одновременно два совершенно одинаковых фотона с энергией hv каж-
каждый. Тогда суммарная энергия, переданная электрону, равна 2/iv=
=hBv), т. е. будет такой же, как если бы падал один фотон, но с
удвоенной частотой. Очевидно, что закон красной границы фотоэф-
фотоэффекта будет нарушен. В так называемой нелинейной оптике изучаются
процессы взаимодействия света высоких интенсивностей с веществом
и выясняются многие необычные особенности этого взаимодействия.
6. Уравнение A1.2) позволяет легко объяснить все основные за-
законы внешнего фотоэффекта для металлов. В самом деле, из A1.2)
следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона
зависит не от интенсивности, а от частоты света и работы выхода А.
Внешний фотоэффект возможен только в том случае, когда энергия
фотона h\ больше или в крайнем случае равна А. Следовательно,
соответствующая красной границе фотоэффекта частота
vo=Л/Л. A1.3)
Она зависит только от работы выхода электрона, т. е. от химической
природы металла и состояния его поверхности (см. т. II, § 10.1).
Наконец, из механизма протекания явления внешнего фотоэффекта
ясно, что общее число п фотоэлектронов, вылетающих за единицу
времени, пропорционально числу фотонов п', падающих за то же
время на поверхность вещества. Для плоского катода, равномерно
освещаемого монохроматическим светом с частотой v, n'=E/hv, где
Е — освещенность, пропорциональная интенсивности1 света. Таким
образом, в соответствии с третьим законом фотоэффекта число фото-
фотоэлектронов, вылетающих из катода за единицу времени, пропорцио-
пропорционально интенсивности света.
На основе соотношений A1.1) и A1.3) уравнение Эйнштейна можно
переписать следующим образом:
eUa=h(v—v0). A1.4)
7. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта неоднократно
подвергалось экспериментальной проверке.
— 219 —
тякь
Рис. И .4
Если значения v и v0 известны, то, определив из опыта величину
напряжения — Ua, соответствующую исчезновению фототока, можно
по формуле A1.4) вычислить постоянную Планка: h=eUJ(v—v0).
Совпадение этого значения h с результатами измерений h на основе
других явлений (например, теплового излучения черного тела) может
служить подтверждением правильности уравнения A1.4).
В многочисленных измерениях £/0, которые проводились различ-
различными учеными, использовалась вакуумная трубка с плоскими элект-
электродами и схема, изображенная на рис. 11.2. При этом получались
вольт-амперные характеристики с малой крутизной в области напря-
напряжений, близких к — Uu. Поэтому
точность измерения Uo была неве-
невелика. Это обусловлено тремя ос-
основными причинами. Во-первых,
фотоэлектроны имеют различные
начальные скорости. Электроны,
выбиваемые с поверхности катода,
обладают большей скоростью, чем
электроны, выбиваемые из его глу-
бины, так как последние до выхода
из металла теряют часть своей энер-
энергии из-за случайных неупругих
столкновений с другими частицами внутри металла. Во-вторых,
фотоэлектроны вылетают из катода по различным направлениям.
Если начальная скорость фотоэлектрона образует с направлением
нормали к плоскому катоду угол а, то с увеличением а в фототоке
участвует все меньшая часть фотоэлектронов и возрастание тока /
с ростом U происходит очень медленно. Третья причина состоит в том,
что часть фотоэлектронов, достигающих анода, может отражаться от
него и возвращаться обратно на катод.
Значительно более точный экспериментальный метод определения
Uu и проверки уравнения Эйнштейна был предложен П. И. Лукир-
ским и С. С. Прилежаевым A928). Вместо трубки с плоскими элект-
электродами они применили вакуумный сферический конденсатор. Общая
схема установки изображена на рис. 11.4. Стеклянный шар А радиу-
радиусом 11 см, посеребренный изнутри, являлся внешней обкладкой сфе-
сферического конденсатора и играл роль анода. Катод К. имел вид шарика
радиусом 1,5 см, изготовленного из исследуемого металла. Трубка С
служила для удаления воздуха из полости конденсатора с помощью
вакуумного насоса. Через небольшое отверстие D во внешней сфере,
закрытое кварцевой пластинкой, шарик К освещался монохромати-
монохроматическим светом, который выделялся из спектра ртутной дуги с помощью
фильтра F и кварцевого монохроматора М. Величина и знак напря-
напряжения U между анодом А и катодом К, регулировались с помощью
потенциометра R и коммутатора /B. Для измерения U применялся
прецизионный вольтметр V. Электрод соединялся с квадрантным
электрометром Е. Сила фототока измерялась по величине заряда,
накапливающегося на электрометре за 1,5—2 мин. Ключ Ki служил
для снятия этого заряда путем закорачивания квадрантов электро-
— 220 —
Си
А
f
1-0-0—:
метра на Землю. Средняя сила тока в опытах Лукирского и Приле-
Прилежаева составляла 10~13 А и измерялась с точностью до нескольких
десятых процента.
Применение сферического конденсатора со сравнительно малым
центральным электродом позволило значительно увеличить наклон
вольт-амперной характеристики для фототока в области напряжений,
близких к —£/0, и тем самым повысить точность определения £/0.
Действительно, в таком кон-
конденсаторе влияние на фототок
отражения электронов от ано-
анода не может быть значитель- ш -
ным, так как вероятность их
попадания обратно на неболь-
небольшую внутреннюю сферу К
очень мала. Кроме того, нап- j J^ZA1 ~ \\ I I \ntn
равление начальной скорости -05 0 1,0 2,0'
фотоэлектронов также несу- рис ц 5
щественно, так как внешняя
сфера полностью охва- еио,эВ
тывает катод. Поэтому
при напряжении£/<0 на анод по- 2,0
падают все электроны, началь-
начальная скорость v0 которых удовлет- до
воряет условию т1^12^е\и\.
На рис. 11.5 приведены кри- q
вые зависимости силы фототока
от напряжения, полученные в
опытах Лукирского и Приле-
Прилежаева для меди при освещении
ее монохроматическим светом с
длиной волны в вакууме А,0=240 нм (кривая /) и Я,0=253,7 нм (кри-
(кривая 2).
Опытами Лукирского и Прилежаева экспериментально подтверж-
подтверждена линейная зависимость максимальной кинетической энергии фо-
фотоэлектронов от частоты падающего света.
На рис. 11.6 изображены результаты измерения максимальной-
кинетической энергии фотоэлектронов как функции частоты облучаю-
облучающего металл света для алюминия, цинка и никеля. Существенно, что
в согласии с уравнением A1.4) все прямые параллельны друг другу,
причем производная -j—(el/0) не зависит от материала катода и
численно равна постоянной Планка h. Прямые указывают также на
существование граничной частоты v0 фотоэффекта для данного ме-
металла. Отрезки, отсекаемые прямыми на оси ординат (рис. 11.6),
численно равны работе А выхода электронов из соответствующих
металлов.
Среднее значение h, полученное из опытов Лукирского и Приле-
Прилежаева, оказалось равным 6,543-104 Дж-с. Точность опытов состав-
составляла 0,1—0,2%. Совпадение значения /г, полученного в опытах по
1
/Ж
Рис. 11.6
— 221 —
фотоэффекту, с результатами других методов определения (см. § 10.2)
подтвердило правильность уравнения A1.2) для фотоэффекта и вместе
с тем идеи Эйнштейна о квантовом характере взаимодействия света
с электронами при фотоэффекте.
8. Безынерционность фотоэффекта является доказательством кван-
квантовой природы взаимодействия света с веществом. Если рассматривать
это взаимодействие с волновой точки зрения, то можно показать, что
необходимо конечное и довольно значительное время для того, чтобы
при заданной интенсивности света электромагнитная волна передала
электрону энергию, необходимую для совершения им работы выхода.
Квантовые свойства излучения, т. е. сосредоточение энергии излуче-
излучения в отдельных частицах — фотонах, повышают ценность энергии
излучения. Сравним, например, энергию фотона видимого света (v«
«Ш1^ Гц) со средней кинетической энергией <№„„>, приходящейся
на одну степень свободы молекулы газа: <WK0>= VzkT, где k — по-
постоянная Больцмана и Т— абсолютная температура (см. т. I, § 11.5).
Из уравнения
следует, что молекула газа имеет такую же энергию, как и фотон
видимого света, при температуре порядка 105 К..
Из всего изложенного выше ясно, что корпускулярные свойства
света должны с особой отчетливостью сказываться во. всех явлениях,
где происходит взаимодействие коротковолнового излучения с вещест-
веществом. В § 11.2 мы рассмотрим некоторые из таких явлений.
9. В кристаллических полупроводниках и диэлектриках помимо
внешнего фотоэффекта наблюдается внутренний фотоэффект, состоя-
состоящий в том, что под действием облучения увеличивается электропро-
электропроводность этих веществ за счет возрастания в них числа свободных
носителей тока (электронов проводимости и дырок). Это явление часто
называют еще фотопроводимостью. Его можно легко объяснить на
основе зонной теории кристаллических твердых тел, которая была
рассмотрена в гл. XIII т. II. Напомним, что в диэлектрике и беспри-
беспримесном полупроводнике зона проводимости не содержит элект-
электронов, а лежащая ниже ее следующая (валентная) зона целиком
заполнена электронами (рис. 11.7, а). Разность Wa между энер-
энергиями на нижнем уровне зоны проводимости и верхнем уровне ва-
валентной зоны называется энергией активации проводимости вещества.
У полупроводников W3 значительно меньше, чем у диэлектриков.
Если энергия фотона hv^W^, то при поглощении фотона электрон
может быть переброшен из валентной зоны в зону проводимости.
Таким образом, под действием света в зоне проводимости появятся
электроны, а в валентной зоне — «положительные дырки». Эти пары
разноименных носителей заряда способны под действием внешнего
электрического поля приходить в упорядоченное движение, образуя
электрический ток. Очевидно, что концентрация электронов прово-
проводимости и дырок, а также зависящая от нее электропроводимость
вещества пропорциональны числу фотонов, падающих на единицу
поверхности вещества за единицу времени, т. е. интенсивности моно-
— 222 —
хроматического света. Красная граница для фотопроводимости vo=
= WJh.
В примесных полупроводниках с небольшим содержанием приме-
примесей вероятность поглощения фотонов электронами примесных атомов
мала. Поэтому изменение проводимости под действием света также
в основном связано с перебросом электронов из валентной зоны в
зону проводимости и образованием пар разноименных носителей
заряда — электронов проводимости и дырок. Однако характер про-
проводимости для электронных (n-типа) и дырочных (р-типа) примесных
полупроводников различен. В электронном полупроводнике имеются
W
Зона
проВодймости
ш
Рис. 11.7
примесные донорные уровни энергии а, которые находятся вблизи
«дна» зоны проводимости и заняты электронами (рис. 11.7,6).
В процессе образования под действием света электронно-дырочных
пар положительные дырки рекомбинируют с электронами донорной
примеси. Поэтому фотопроводимость n-полупроводника имеет чисто
электронный характер. В дырочном полупроводнике поглощение
фотонов вызывает переход части электронов из валентной зоны в зону
проводимости, а оттуда на вакантные акцепторные примесные
уровни б, расположенные вблизи верхнего края валентной зоны
(рис. 11.7, в). При этом в валентной зоне образуются «положительные
дырки», так что фотопроводимость р-полупроводника является чисто
дырочной.
10. Особый практический интерес представляет вентильный фото-
фотоэффект (фотоэффект в запирающем слое), состоящий в возникнове-
возникновении электродвижущей силы вследствие внутреннего фотоэффекта
вблизи поверхности контакта между металлом и полупроводником
или двумя полупроводниками р- и n-типа, обладающего односторонней
проводимостью. Причина односторонней проводимости таких кон-
контактов, как было показано в § 13.6 и 13.7 т. II, состоит в обеднении
слоев полупроводников, прилегающих к поверхности контакта, под-
подвижными носителями заряда (электронами проводимости и дырками).
Внутренний фотоэффект в полупроводниках вызывает нарушение
равновесного распределения носителей заряда в области контакта и
приводит к изменению контактной разности потенциалов по срав-
сравнению с равновесной, т. е. к возникновению фотоэлектродвижущей
силы. Фото-э. д. с, возникающая под действием монохроматического
— 223 —
света, пропорциональна его интенсивности, так как зависит от числа
фотонов, падающих за единицу времени на единицу площади поверх-
поверхности контактного слоя. Красная граница вентильного фотоэффекта
определяется величиной Wa энергетического «зазора» между валент-
валентной зоной и зоной проводимости полупроводника.
11. Фотоэффект широко используется в науке и технике для ре-
регистрации и измерения световых потоков, для непосредственного
преобразования энергии света в энергию электрического тока, для
преобразования световых сигналов в электрические. Приборы, дей-
действие которых основано на использовании фотоэлектрического эф-
эффекта, называются фотоэлементами. Вакуумный фотоэлемент пред-
представляет собой эвакуированный стеклянный баллон, часть внутренней
поверхности которого покрыта слоем металла, играющим роль фото-
фотокатода. В качестве анода используется металлическое кольцо или
редкая сетка, также находящиеся внутри баллона. Фотоэлемент
включается в цепь аккумуляторной батареи. При освещении катода
из него вследствие внешнего фотоэффекта выбиваются электроны
и в цепи возникает фотоэлектрический ток. Э. д. с. батареи выбирается
такой, чтобы фототок был равен току насыщения. В зависимости от
спектрального состава света используются фотоэлементы, катоды
которых изготовлены из различных материалов. Например, для ре-
регистрации видимого света и инфракрасного излучения применяют
фотоэлементы с кислородно-цезиевым катодом, для регистрации ко-
коротковолновой части видимого света и ультрафиолетового излуче-
излучения — фотоэлементы с сурьмяно-цезиевым катодом.
Фототок насыщения и интегральную чувствительность можно зна-
значительно увеличить путем заполнения баллона фотоэлемента разре-
разреженным инертным газом (обычно аргоном при давлениях от 0,01 до
0,1 мм рт. ст.). Такие фотоэлементы называются газонаполненными.
Большая чувствительность газонаполненного фотоэлемента, чем та-
такого же вакуумного, обусловлена увеличением числа носителей за-
заряда вследствие ударной ионизации молекул газа электронами. Га-
Газонаполненные фотоэлементы менее стабильны в работе и обладают
большей инерционностью, чем вакуумные.
Для увеличения тока внутри фотоэлемента используется также
явление вторичной электронной эмиссии. На этом принципе основано
действие электронных умножителей (см. т. II, § 10.4).
12. Полупроводниковые фотоэлементы с внутренним фотоэффек-
фотоэффектом, или фотосопротивления, обладают значительно большей чув-
чувствительностью, чем описанные выше фотоэлементы, в которых
используется внешний фотоэффект. Например, чувствительность фото-
фотосопротивления сульфида кадмия может достигать 1 А/лм. Фотосопро-
Фотосопротивления широко применяются для обнаружения и измерения инфра-
инфракрасного и других излучений. Основной недостаток фотосопротивле-
фотосопротивлений заключается в их большой инерционности, которая возрастает
с увеличением чувствительности.
Наибольшее и все возрастающее применение получили вентильные
фотоэлементы (фотоэлементы с запирающим слоем), действие которых
основано на вентильном фотоэффекте. К их числу относятся кремние-
— 224 —
вые, германиевые, сернисто-серебряные, селеновые и др. фотоэле-
фотоэлементы. Вентильные фотоэлементы позволяют осуществлять непосред-
непосредственное преобразование лучистой энергии в электрическую: под
действием освещения они возбуждают электрический ток во внешней
цепи без применения какого-либо дополнительного источника э. д. с.
Вентильные фотоэлементы широко используются в фотометрии для
измерения световых потоков. Кремниевые и некоторые другие вен-
вентильные фотоэлементы используются для изготовления «солнечных»
батарей, преобразующих энергию солнечного света в электрическую.
Кремниевые «солнечные» батареи применяются, например, для пита-
питания радиоаппаратуры на искусственных спутниках Земли и автома-
автоматических межпланетных станциях.
§ 11.2. Другие экспериментальные подтверждения
квантовых свойств света
1. Распространение света в виде потока отдельных фо-
фотонов и квантовый характер взаимодействия света с веществом были
экспериментально подтверждены в опыте, поставленном А. Ф. Иоффе
и Н. И. Добронравовым A922). Идея опыта состояла в следующем.
Микроскопическая заряженная пылинка из висмута радиусом около
3-1О~5 см была взвешена в электрическом поле плоского конденса-
конденсатора. Одна из пластин конденсатора была сделана из алюминиевой
фольги толщиной 5-10~3 мм и одновременно играла роль антикатода
миниатюрной рентгеновской трубки. Антикатод бомбардировался
электронами, которые вырывались из катода трубки — острия тонкой
алюминиевой проволоки — под влиянием освещения его ультрафио-
ультрафиолетовыми лучами. Напряжение между электродами трубки было равно
12 000 В. Освещенность катода была столь малой, что ежесекундно
из него вырывалось лишь около 1000 фотоэлектронов. Поэтому рент-
рентгеновское излучение антикатода состояло из отдельных импульсов,
каждый из которых соответствовал удару одного фотоэлектрона об
антикатод. Рентгеновское излучение свободно проникало сквозь
тонкую алюминиевую фольгу в полость конденсатора. В опыте иссле-
исследовалось действие этого излучения на пылинку, находившуюся на
расстоянии d=0,2 мм от антикатода, который можно было рассмат-
рассматривать как точечный источник рентгеновского излучения.
2. Опыт показал, что в среднем через каждые 30 мин уравнове-
уравновешенная пылинка «вздрагивала» и выходила из равновесия. Это про-
происходило благодаря тому, что рентгеновские лучи, попадая на пылинку,
освобождали из нее фотоэлектроны и, изменяя ее заряд, выводили
ее из равновесия. Пылинка представляла собой для рентгеновских
фотонов мишень с площадью яг2=яC-10~5J=9я-10~10 см2. Если
считать, что рентгеновские фотоны вылетали из точечного источника
по всем направлениям одинаково, то они равномерно распределялись
по сфере с поверхностью 4я42=4я@,02J см2=16я-10~* см2.
Таким образом, вероятность попадания фотона в «цель» состав-
составляла в опыте 9я-10~10/A6хс- 10~*)==10~в/1,8. Этоозначает, что в сред-
среднем один из 1 800 000 фотонов попадал в пылинку. Если учесть, что
8 а. А. Детдаф, В. Н. Яворский — 225 —
в одну секунду испускалось всего 1000 фотонов, то попадание фотона
в пылинку происходило весьма редко. В согласии с результатами опыта
один фотон попадал в цель в среднем каждые 30 мин. Таким образом,
с квантовой точки зрения опыт получает простое объяснение. Между
тем его истолкование с волновой точки зрения оказывается невоз-
невозможным.
Если считать, что рентгеновское излучение распространяется в
виде сферических волн, а не отдельных фотонов, то каждый рентге-
рентгеновский импульс передавал бы пылинке очень малую энергию. Эта
энергия, кроме того, должна была бы распределяться между огромным
числом электронов, содержащихся в пылинке. Поэтому практически
невероятно, чтобы один из электронов мог накопить энергию, доста-
достаточную для совершения работы выхода из пылинки, не только за
30 мин, но и за существенно больший срок облучения.
3. Из представлений о свете, как о потоке дискретных фотонов,
взаимодействующих с регистрирующим прибором (глазом, фотоэле-
фотоэлементом и т, п.) независимо друг от друга, следует, что при регистрации
очень слабых световых потоков должны обнаруживаться заметные
флуктуации их интенсивностей. Эти флуктуации обусловливаются
случайными отклонениями числа фотонов N, попадающих в прибор
за 1 с, от некоторого среднего значения. Из теории флуктуации (см.
т. I, § 12.6) следует, что относительная флуктуация интенсивности
света обратно пропорциональна VN. В обычных световых потоках N
столь велико, что обнаружить ничтожно малые относительные флук-
флуктуации их интенсивности практически невозможно.
Опыты по обнаружению флуктуации слабых потоков видимого
света впервые были осуществлены С. И. Вавиловым и его сотрудни-
сотрудниками. Наблюдения осуществлялись визуально и были основаны на
том, что после достаточно длительного пребывания в темноте челове-
человеческий глаз обладает резким порогом зрительного ощущения, т. е.
зрительно воспринимает свет, интенсивность которого не меньше
некоторого определенного значения. Для света с длиной волны 525 нм
порог зрительного ощущения у разных наблюдателей соответствует
падению на глаа за 1 с от 200 до 400 фотонов. В опытах Вавилова
наблюдались периодически повторяющиеся вспышки слабого ис-
источника, средняя интенсивность света которого совпадала с порогом
зрительного ощущения наблюдателя. Вследствие флуктуации интен-
интенсивности света, соответствующего различным вспышкам, наблюдатель
часть вспышек видел, а часть —■ не видел. Эти опыты явились убеди-
убедительным доказательством наличия у света квантовых свойств.
4. Действие света на поглощающие его вещества может вызывать
химические превращения веществ, называемые фотохимическими ре-
реакциями. Например, при освещении паров брома молекулы Вга дис-
диссоциируют на два атома; молекула бромистого серебра AgBr под
действием света разлагается на атомы серебра и брома. В некоторых
случаях освещение вызывает образование сложных молекул из более
простых.
Если при фотохимической реакции не происходит никаких вто-
вторичных процессов, связанных с химической активностью веществ,
— 226 —
которые возникают в результате фотохимической реакции, то спра-
справедлив следующий экспериментально установленный основной закон
фотохимии (закон Бунзена — Роско): масса т фотохимически прореа-
прореагировавшего вещества пропорциональна энергии W поглощенного света:
m=kW. A1.5)
Коэффициент пропорциональности k зависит от рода реакции и
частоты v света. Зависимость k от v, а также существование для каж-
каждой фотохимической реакции красной границы, т. е. некоторой мини-
минимальной частоты v0 химически активного света, было объяснено Эйн-
Эйнштейном на основе квантового характера поглощения света веществом.
Для фотохимического превращения одной молекулы вещества необ-
необходима некоторая энергия W3, называемая энергией активации этого
превращения. Следовательно, фотон способен вызвать это превращение
только в том случае, когда энергия фотона hv~^W3. Минимальная
частота химически активного света
vo = Wjh. A1.6)
Эйнштейн высказал также предположение о том, что каждый фо-
фотон, поглощенный веществом, может вызвать фотохимическое пре-
превращение только одной поглотившей его молекулы (фотохи-
(фотохимическое соотношение Эйнштейна). Поэтому число N молекул веще-
вещества, претерпевающих фотохимическое превращение при поглощении
энергии W=l, обратно пропорционально энергии hv одного фотона
(при v^v0):
N~-L=l-, A1.7)
hv lie v '
где K—c/v — длина волны света. Масса прореагировавшего вещества
m=N\i/NA, где ц — молярная масса. С другой стороны, из формулы
A1.5) следует, что m=k при W=\. Следовательно,
k~-'\i/ (hv).
Фотохимическое соотношение Эйнштейна весьма часто нарушается.
Иногда на один поглощенный фотон приходится множество молекул,
участвующих в химических превращениях. Примером может служить
цепная реакция образования на свету НС1 из Н2 и С12, происходящего
со взрывом. Освещение служит при этом толчком к началу химиче-
химического процесса, который затем развивается самостоятельно.
Необходимым условием протекания фотохимической реакции яв-
является поглощение света веществом. Если для данной частоты v света
вещество прозрачно, то не будет ни поглощения, ни фотохимического
процесса. Однако в этом случае можно осуществить фотохимическую
реакцию, если добавить к исследуемому веществу другое, которое
поглощает свет частоты v. Молекулы второго вещества, называемого
сенсибилизатором, поглощают фотоны hv и полученную таким образом
энергию передают при столкновениях молекулам исследуемого ве-
вещества. Очевидно, что такие сенсибилизированные фо-
фотохимические реакции могут происходить при доста-
8* _ 227 -
точно частых соударениях между молекулами сенсибилизатора и
изучаемого вещества, т. е. в твердых и жидких средах. В противном
случае молекула сенсибилизатора «высветится» — потеряет получен-
полученную ею энергию — раньше, чем она успеет передать ее молекуле,
которая должна подвергнуться фотохимическому превращению.
§ 11.3. Масса и импульс фотона
1. До сих пор при объяснении квантовых оптических
явлений мы использовали только одну характеристику фотона — его
энергию еф=/п>. Помимо энергии фотон обладает также массой и им-
импульсом (количеством движения).
Формула для массы фотона может быть непосредственно выведена
из формулы (9.35), выражающей взаимосвязь массы и энергии в тео-
теории относительности:
m=hvlc*. A1.8)
Масса фотона существенно отличается от массы макроскопических
тел и масс других «элементарных» частиц. Это отличие состоит в том,
что фотон не обладает массой покоя т0.
В самом деле, для фотона, движущегося в вакууме, v—c и приме-
применение формулы (9.31), выражающей зависимость массы от скорости,
приводит к абсурду (т=оо), если считать, что у фотона существует
отличная от нуля масса покоя. Таким образом, для фотона то=О,
т. е. покоящихся фотонов не существует. Но тогда очевидно, что фотон
всегда в любом веществе движется со скоростью v=c, так как
при уфс масса и энергия фотона были бы равны нулю, что противо-
противоречит формуле A1.8). Этот вывод не противоречит тому, что фазовая
и групповая скорости света в веществе отличны от с. Дело в том, что
распространение света в среде сопровождается процессами «переиз-
«переизлучения» — фотоны поглощаются и вновь испускаются частицами
среды. «Переизлученные» фотоны соответствуют тем вторичным волнам,
о которых шла речь в § 7.2. Уменьшение (или в случае аномальной
дисперсии увеличение) фазовой скорости v света в данной среде в
У~щ раз по сравнению с вакуумом связано с тем, что «переизлучение»
фотонов частицами среды происходит не синхронно с поглощением
этими частицами падающих на них фотонов.
Отметим, что изучение распространения фотонов в веществе при-
принадлежит к числу очень сложных задач, которые рассматриваются
в современной квантовой электродинамике.
Из сказанного видно, что современные квантовые представления
о свойствах света существенным образом отличаются от ньютоновской
корпускулярной теории света. Световые корпускулы рассматривались
Ньютоном как обычные механические частицы (с современной точки
зрения такие частицы должны были бы иметь массу покоя ШоФО).
Интересно отметить, что эту трудность корпускулярной теории по-
понимал М. В. Ломоносов. Критикуя корпускулярную теорию света,
Ломоносов говорил, что если бы она была справедлива, то должны
были бы обнаруживаться соударения световых корпускул: при пере-
— 228 —
сечении световых пучков происходило бы «в лучах замешательство».
При этом речь шла об обычном механическом ударе, подобном соуда-
соударению шаров.
2. Импульс фотона рф и его энергия еф в соответствии с общей
формулой (9.36) теории относительности связаны соотношением
Для фотона т0 — О и
Р*=^-~ = тс, A1.9)
где m — масса фотона. Если ввести волновое число k=2n/X, то выра-
выражение A1.9) можно переписать в форме
Л = АтвТ—ЕГ* = **' <П-9'>
где &=/г/2я=1,05-10-3* Дж-с1.
Импульс фотона является векторной величиной. Направление
импульса совпадает с направлением распространения света, харак-
характеризуемым волновым вектором к, который численно равен волновому
числу. Следовательно,
РФ = Йк. A1.9")
Таким образом, фотон, подобно любой движущейся частице или
телу, обладает энергией, массой и импульсом г. Все эти три корпу-
корпускулярные характеристики фотона связаны с волновой
характеристикой света—-его частотой v. В § 11.5 мы еще вернемся
к обсуждению этого очень важного вопроса.
3. Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фото-
фотонов импульса является существование светового давления, подробно
рассмотренного в § 3.4 с волновой точки зрения.
В самом деле, с квантовой точки зрения давление света на поверх-
поверхность какого-либо тела обусловлено тем, что при соударении с этой
поверхностью каждый фотон передает ей свой импульс. Выше мы уже
говорили о том, что фотон может двигаться только со скоростью света
в вакууме. Поэтому отражение света от поверхности тела, строго
говоря, следует рассматривать как сложный процесс «переизлучения»
фотонов — падающий фотон поглощается поверхностью, а затем вновь
излучается ею с противоположным направлением импульса. Однако
совершенно очевидно, что при этом давление света на отражающую
поверхность должно быть таким же, каким оно было бы в том случае,
если бы фотоны зеркал ьно отражались от поверхности
подобно абсолютно упругим шарикам. В дальнейшем мы будем ши-
широко пользоваться этим формальным приемом, условно рассматривая
процессы отражения и рассеяния света как процессы отражения и
рассеяния фотонов.
1 По современным данным, точное значение Й= 1,0545887 E7) • 10 — 3* Дж>с«
8 В гл. XIX дана еще одна характеристика фотона — спин,
— 229 —
4. Найдем давление, производимое на идеально отражающие стенки
замкнутой полости изотропным монохроматическим
излучением, заключенным в этой полости. Для простоты пред-
предположим, что полость имеет форму куба с ребром, равным /. Ввиду
изотропности излучения можно считать, что все направления движения
фотонов равновероятны, т. е. фотоны движутся подобно молекулам
идеального одноатомного газа. Давление идеального газа на стенки
полости найдем из основного уравнения кинетической теории газов:
pV = -o-^ffl,4l Но для фотонов m,—/zv,-/c2, vt=c и поэтому яг ,-u?=ftv;-.
Таким образом,
где W — полная энергия всех фотонов в полости, а давление на ее
стенки
p = Z. = ^. A1.10)
Здесь w — объемная плотность энергии излучения.
5. В качестве второго примера рассмотрим световое давление,
которое оказывает на поверхность тела поток монохроматического
излучения, падающего перпендикулярно поверхности. Су-
Существенное отличие этого примера от рассмотренного в п. 4 заклю-
заключается в не изотропности падающего излучения — все фо-
фотоны летят в одном направлении.
Пусть в единицу времени на единицу площади поверхности тела
падает п фотонов. Если коэффициент отражения света от поверхности
тела равен R, то Rn фотонов отражается, а A—R) п — поглощается.
Каждый отраженный фотон передает стенке импульс, равный 2рф =
=2hv/c (при отражении импульс фотона изменяется на —р$). Каждый
поглощенный фотон передает стенке свой импульс ptb=hv/c. Таким
образом, давление света на поверхность, равное импульсу, который
передают поверхности за 1 с все п фотонов, выражается следующей
формулой:
— 2hv p _l hv П Р\
С С
или
где I—-nhv — энергия всех фотонов, падающих на единицу поверх-
поверхности за единицу времени, т. е. интенсивность света, a w—llc — объ-
объемная плотность энергии падающего излучения. Формула A1.11)
подтверждается экспериментальными результатами Лебедева по
измерению светового давления (§ 3.4).
§ 11.4. Эффект Комптона
1. Квантовые свойства света проявляются в явлении,
которое обнаружил А. Комптон A923), наблюдая рассеяние монохро-
монохроматических рентгеновских лучей «ле! кими» веществами (графит, пара-
— 230 -
фин и др.). В § 14.11 мы подробнее остановимся на происхождении и
свойствах рентгеновских лучей, которые представляют собой электро-
электромагнитные волны с меньшей длиной волны, чем ультрафиолетовое
излучение. Схема опыта Комптона изображена на рис. 11.8. Узкий
диафрагмированный пучок монохроматических рентгеновских лучей
падает на «легкое» рассеивающее вещество К и после рассеяния на
угол ■& попадает в приемник — рентгеновский спектрограф D, где
измеряется длина волны рассеянного излучения.
Опыты Комптона показали, что длина волны А/ рассеянного из-
излучения больше длины волны к падающего излучения, причем раз-
разность %'—Л, зависит только от угла
рассеяния Ф:
ДА. = А/ — A, = 2A,Ksin2(d/2), A1.12)
к
где кК — так называемая комптоновская
длина волны. Это явление получило
название эффекта Комптона.
2. Классическая волновая теория Рис. 11.8
рассеяния света (см. § 7,4) оказалась
бессильной в объяснении эффекта Комптона. Согласно этой теории,
рассеяние света связано с возникновением в веществе под дейст-
действием падающего света вторичных электромагнитных волн той же
ч а с т о т ы (длины волны).
С квантовой точки зрения рассеяние света, как и фотоэффект,
является результатом взаимодействия фотонов падающего на вещество
излучения с электронами этого вещества. При этом взаимодействии
должны выполняться законы сохранения энергии и импульса в системе
вещество — излучение, которую можно считать изолированной. Если
предположить, что фотон падает на покоящийся 3 свободный
электрон вещества и поглощается им, то одновременно
</n-m.)C'=ftv, \
mv = hv/c. J
Первое уравнение выражает закон сохранения энергии, второе —
закон сохранения импульса. Здесь т и v — масса и скорость элект-
электрона после поглощения фотона, а тй — масса покоя электрона. Учи-
Учитывая зависимость т от v по формуле (9.31), эти уравнения можно
переписать в следующей форме:
\ A1.13')
Легко видеть, что эти два равенства не могут выполняться одновре-
одновременно при произвольных значениях v, отличных от 0 и оо. Таким
образом, фотоэлектрическое поглощение света свободными электронами
J Допущение, что электрон покоится, не ограничивает общности вывода.
— 231 —
невозможно: оно противоречит законам сохранения энергии и им-
импульса.
Фотоэффект может происходить только на «связанных» электро-
электронах, находящихся, например, в атоме газа, твердом теле и т. д. В этом
случае уравнения A1.13') принимают вид
■-A + W,
A1.13")
mov
где W — энергия связи электрона с системой, в которой он нахо-
находится, ар — импульс, передаваемый этой системе при фотоэффекте.
Легко видеть, что при hv—W, малых по сравнению с тос2, v<^.c и
, = 1 ] =—I—, т. е. первое уравнение A1.13") совпа-
У 1 —v'l/c2 j *■
дает с уравнением Эйнштейна A1.2) для внешнего фотоэффекта.
3. Для рассеяния света на электронах Вещества
условие «связанности» электронов не является обязательным, рас-
_, сеяние света может происходить и на свободных
электронах. Комптон впервые показал, что кван-
квантовый подход к задаче рассеяния рентгеновских
лучей на «почти» свободных электронах легких ве-
^"^Рф ществ приводит к результатам, существенно отли-
-*** чающимся от классических. Рассмотрим снова
взаимодействие падающего фотона, обладающего
импульсом p$=fi(£>/c='fik и энергией 8ф=^со
11-Э (co=2nv — циклическая частота света), со свобод-
свободным покоящимся электроном, имеющим энергию
покоя Wv—maC*. Предположим, что происходит рассеяние фотона
на электроне, в результате которого импульс и энергия фотона стано-
становятся равными рф и 8ф=срф. Электрон при этом приобретает импульс
ре и энергию W = с Vpl -\- mfe2. Векторная диаграмма импульсов при
рассеянии изображена на рис. 11.9. Запишем выражения для законов
сохранения энергии и импульса:
A1.14)
Выражение A1.14) подробнее записывается так:
"V2 +срФ = с У р\ + mY + ср'ф. A1.14")
Из выражений A1.14') и A1.14") найдем связь между р! и
При этом нужно учесть, что ^ = (рф—Рф)а = р|—2^4
Простые вычисления приводят к результату
232
Заменяя импульсы фотонов их значениями рф=Асо/с и р'^—%(а'1с,
получаем
со'^со 8 w°c2_ . A1.15)
Из формулы A1.15) видно, что циклическая частота рассеянного
света со' отлична от циклической частоты со падающего. Они совпа-
совпадают лишь в двух случаях. Во-первых, при 0=0, что соответствует
отсутствию рассеяния, во-вторых, когда падающее излучение имеет
настолько малую частоту, что пахфпоС2. В этом случае очень мягкого
рентгеновского излучения вторым членом в знаменателе формулы
A1.15) можно пренебречь и со'=со. Такое рассеяние рентгеновского
излучения называется когерентным. Из формулы A1.15) можно вы-
вычислить изменение длины волны, происходящее при комптоновском
рассеянии. Заменяя со по формуле <а=2яс/К, после несложных пре-
преобразований получим
ДЯ = Г — Х = 2-~ sin2 @/2). A1.16)
Из этой формулы следует в согласии с опытом, что увеличение
длины волны при эффекте Комптона зависит только от угла рассея-
рассеяния д. Наибольшее увеличение длины волны происходит при ®—п,
т. е. в случае, когда фотон рассеивается в сторону, противоположную
первоначальному направлению его движения.
Существенно, что Д^- не зависит от длины волны падающего света
и свойств рассеивающего вещества.
Из сопоставления формул A1.12) и A1.16) следует, что комптонов-
ская длина волны
К = — = 2,42621 F)- 10-i'M.
Иногда применяется также величина —■ =—• .
4. Электрон, который в эффекте Ксмптона приобретает импульс ре и энергию №,
называется электроном отдачи. Найдем кинетическую энергию WK, которую при-
приобретает электрон отдачи. Так как WK=W—Wo, то закон сохранения энергии A1.14)
можно написать в форме %т = лсо' -\- WK или 1= ]—j-^-. Используя формулу
A1.15), после несложных преобразований получим
тшк-
где б=^ш//%;а.
Наибольшую кинетическую энергию электрон отдачи приобретает при ф=я, т. е.
при рассеянии фотона «назад»:
Ц7К = £м 26/A+ 26). A1.17')
233 —
§ 11.5. Корпускулярно-волновая
двойственность свойств света
1. Все изложенное в предыдущих параграфах этой главы
служит, казалось бы, убедительным доказательством справедливости
квантовых (корпускулярных) представлений о свойствах света. Однако,
с другой стороны, большая группа оптических явлений, рассмотрен-
рассмотренных в гл. V, VI и VIII, неопровержимо свидетельствует о волновых
свойствах света.
Известный английский физик Д. Рэлей утверждал, что в «области
интерференции волновая теория одержала величайшие победы»,
В связи с этим возникает вопрос: что же такое свет? «Неужели мы долж-
должны считать свет состоящим из корпускул в понедельник, вторник и
среду, пока мы проделываем опыты с фотоэффектом и эффектом Ком-
птона, и представлять себе его волнами в четверг, пятницу и субботу,
когда мы работаем с явлениями дифракции и интерференции?» Этот
вопрос, поставленный в такой форме У. Брэггом, можно сформулиро-
сформулировать иначе: что представляет собой свет — непрерывные электромаг-
электромагнитные волны, излучаемые источником, или поток дискретных фото-
фотонов, беспорядочно испускаемых источником? Необходимость приписы-
приписывать свету, с одной стороны, квантовые, корпускулярные свойства, а с
другой стороны, волновые — может создать впечатление несовершен-
несовершенности наших знаний о свойствах света. Необходимость пользоваться
при объяснении экспериментальных фактов различными и как будто бы
исключающими друг друга представлениями кажется искусственной.
Хочется думать, что все многообразие оптических явлений можно
объяснить на основе одной из этих двух точек зрения на свойства света.
2. Одним из наиболее значительных достижений физики нашего
века является постепенное убеждение в ошибочности попытки про-
противопоставить друг другу волновые и квантовые свойства света. Свой-
Свойства непрерывности, характерные для электромагнитного поля свето-
световой волны, не исключают свойств дискретности, характерных для
световых квантов — фотонов. Свет одновременно обладает свойствами
непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фото-
фотонов. Он представляет собой диалектическое единство этих противо-
противоположных свойств. Однако в проявлении этих противоположных
свойств света имеется вполне определенная закономерность. С умень-
уменьшением длины волны (увеличением частоты) все более отчетливо про-
проявляются квантовые свойства света. С этим связано, например, су-
существование красной границы для фотоэффекта и фотохимических
реакций. Вместе с тем волновые свойства коротковолнового излучения
(например, рентгеновского) проявляются весьма слабо. Мы убедились
в этом, в частности, при изучении дифракции рентгеновских лучей
(см. § 6.4). Лишь после того, как в качестве дифракционной решетки
была использована кристаллическая решетка твердых тел, удалось
обнаружить волновые свойства (дифракцию) рентгеновских лучей.
Еще в большей степени это справедливо для ^-излучения. Наоборот, у
длинноволнового излучения квантовые свойства проявляются в малой
степени и основную роль играют его волновые свойства. Именно по-
— 234 —
этому большая группа оптических явлений (интерференция, дифрак-
дифракция, поляризация и др.) получает свое исчерпывающее объяснение в
волновой оптике. Таким образом, если «перемещаться» по шкале элек-
электромагнитных волн слева направо, от длинных волн в сторону более
коротких, то волновые свойства электромагнитного излучения будут
постепенно уступать место все более отчетливо проявляющимся кван-
квантовым свойствам.
3. Одновременное существование у света волновых и квантовых
свойств, естественно, ставит вопрос об их сочетании и взаимозависи-
взаимозависимости.
Взаимосвязь между двойственными корпускулярно-волновыми
свойствами света находит простое истолкование при статистическом
подходе к рассмотрению вопроса о распространении света. В самом
деле, все квантовые оптические явления убеждают нас в том, что свет —
это поток дискретных частиц-фотонов, в которых локализованы энер-
энергия, импульс и масса излучения. Взаимодействие фотонов с веществом
при прохождении света через какую-нибудь оптическую систему (на-
(например, дифракционную решетку) приводит к перераспреде-
перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной
картины на экране, расположенном на пути света, прошедшего сквозь
систему. Очевидно, что освещенности Е экрана в различных точках
прямо пропорциональны суммарным энергиям фотонов, попадающих
в эти точки за единицу времени. Для монохроматического света £=
=dn/dS, где dn/dS=n0 — число фотонов, падающих на площадку dS
поверхности экрана за единицу времени. Величины п0 и Е пропорцио-
пропорциональны вероятности попадания фотонов в рассматриваемую точку
экрана. С другой стороны, решение этой дифракционной задачи на
основе волновых представлений о свойствах света показывает, что
освещенность Е пропорциональна интенсивности / света в рассматри-
рассматриваемой точке экрана. Поскольку / ~ Л2, где Л — амплитуда свето-
световой волны, то Е ~ Л2.
Из сопоставления двух выражений для Е, полученных выше, мож-
можно сделать следующий вывод: квадрат амплитуды световой волны в
какой-либо точке пространства является мерой вероятности попада-
попадания фотонов в эту точку.
Таким образом, корпускулярные и волновые свойства света не
исключают, а наоборот, взаимно дополняют друг друга. Они отра-
отражают две различные, но в то же время тесно взаимосвязанные законо-
закономерности распространения электромагнитного излучения и его вза-
взаимодействия с веществом. Корпускулярные свойства обусловлены
тем, что энергия, импульс и масса излучения локализованы в дискрет-
дискретных «частицах» — фотонах, волновые — статистическими закономер-
закономерностями распределения фотонов в пространстве, т. е. закономерно-
закономерностями, определяющими вероятности нахождения фотонов в различных
точках пространства.
Из опытов по дифракции света известно, что при изменении ин-
интенсивности падающего светового потока характер дифракционной
картины, возникающей от данного препятствия, т. е. соотношение
между интенсивностями в одних и тех же точках экрана, не изменяется.
— 235 —
Это дает основание считать, чю волновые свойства присущи не только
совокупности большого числа одновременно движущихся фотонов,
но также каждому отдельному фотону. Волновые свойства фотона
проявляются в том, что для него нельзя указать точно, в какую именно
точку экрана он попадет после прохождения через рассматриваемую
оптическую систему. Можно говорить лишь о вероятностях попадания
каждого фотона в различные точки экрана. Таким образом, фотоны
качественно отличаются от световых корпускул Ньютона, движение
которых, как считал Ньютон, подобно движению макроскопических
тел, однозначно определяется вторым .законом динамики Ньютона и
начальными условиями. Из сказанного ясно, что создание квантовой
теории света отнюдь не означало возврата к механической корпуску-
корпускулярной теории Ньютона.
Глава XII
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 12.1. Корпускулярно-волновая двойственность
свойств частиц вещества
1. Французский физик Луи де Бройль пришел к выводу
A924), что корпускулярно-волновая двойственность свойств харак-
характерна не только для света. Если по мере возрастания частоты света
его волновые свойства все труднее обнаружить, то можно предпо-
предположить существование еще более коротких волн, чем у у-излучения,
связанных каким-то образом с частицами вещества — электронами,
нейтронами, атомами, молекулами и т. д.
Оставим пока в стороне вопрос о природе этих волн, хотя сразу же
подчеркнем, что волны эти, как будет показано, не электромагнитные.
Они имеют специфическую природу, для которой нельзя наши ана-
аналогии в классической физике.
2. Соотношение A1.9) для импульса фотона рф=/г/Я, де Бройль
обобщил, предположив, что оно имеет универсальный характер для
любых волновых процессов, связанных с частицами, обладающими
импульсом р:
X=h/pt. A2.1)
Формула A2.1) называется формулой де Бройля и является одним
ич соотношений, лежащих в основе современной физики. Для частицы
с массой т, движущейся со скоростью v <^ с,
%=hl{mv). A2 2)
Если частица имеет кинетическую энергию W, то, заменяя ее им-
импульс р энергией W по формуле p=V2mW, можно записать A2,2)
в форме
й, = h-^r- A2.2')
Bm W) /a v '
В частности, для электрона, ускоряющегося в электрическом поле
с разностью потенциалов Дф, имеем W=mv2/2=eAq>, где е — заряд
электрона. Подставив в формулу A2.2') это выражение для W и зна-
значения всех постоянных, получим формулу, обычно применяемую в
практических расчетах (Дф — в вольтах, К — в ангстремах):
£* A2.3)
3. Формула де Бройля экспериментально подтвердилась в опы-
опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера A927), наблюдавших рассеяние элект-
электронов монокристаллом никеля. Схема опытов изображена на рис. 12.1.
Пучок электронов направлялся из электронной пушки на поверхность
заземленного кристалла никеля и отражался от него. Устройство
пушки позволяло задавать электронам, вылетающим из нее, опреде-
— 237 —
ленную скорость. Электроны, рассеянные монокристаллом, улавли-
улавливали приемником — цилиндром Фарадея (см. т. II, § 4.1), который
перемещали в плоскости, проходящей через падающий и отраженный
пучки электронов, так что приемник мог фиксировать электроны,
рассеянные под различными углами. Ток в детекторе изменялся в
зависимости от изменения энергии электронов и углов их рассеяния.
Число электронов, попадавших в цилиндр Фарадея, регистрирова-
регистрировалось по силе тока в электрической цепи цилиндра (на рис. 12.1 не по-
показана). С классической точки зрения электроны, обладающие произ-
Ж))
^
р
ишёпя
/ I
Рис. 12.1
Рис. 12.2
вольной кинетической энергией, могут рассеиваться под всевозмож-
всевозможными углами в соответствии с законами отражения геометрической
оптики.
На рис. 12.2 изображена кристаллическая решетка никеля, на
котором производился опыт по рассеянию электронов под углом $=65°.
На рис. 12.3 приведена полученная для этого случая зависимость чис-
числа рассеянных электронов от их кинетической энергии. Мерой числа
электронов является сила тока / в приемнике. Видно, что при энергии
Ц7=54 эВ наблюдался максимум числа отраженных электронов, со-
совершенно неожиданный с классической точки зрения. Из результатов
опыта следует, что рассеяние электронов монокристаллом никеля
напоминает отражение таким кристаллом рентгеновских лучей. В
§ 6.4 мы видели, что отражение рентгеновских лучей происходит лишь
для определенных длин волн, удовлетворяющих условию Вульфа —
Брэгга
nJi=2d sin ft. A2.3')
На рис. 12.4 показаны полученные в опытах Дэвиссона и Джермера
максимумы интенсивности рассеянных электронов, соответствующие
определенным значениям их кинетических энергий.
Определенность энергии электронов, при которой наблюдается от-
отражение, обусловлена тем, что рассеяние электронов связано с их
волновыми свойствами и длина волны, связанной с движущимся элект-
электроном, зависит от его кинетической энергии. Из формулы A2.3) при
Дгр=54 В имеем Я=1,67 А. По формуле Вульфа — Брэгга, при п=\
(см. рис. 12.2) получаем
Ь = 2-0,91 sin 65° =1,65А.
— 238 —
Это совпадение подтвердилось при других значениях энергии
электронов и углов рассеяния. Некоторое расхождение между длинами
волн, вычисленными по формулам A2.3) и A2.3'), объясняется тем, что
волны, соответствующие движущимся электронам, испытывают пре-
преломление на границе кристалла. Расчеты, учитывающие этот эффект,
привели к полному согласию формулы де Бройля с эксперименталь-
экспериментальными данными.
Л-
40 5<i 68 W,3B
Рис. 12.3
Рис. 12.4
4. Вскоре после опытов Дэвиссона и Джермера волновые свойства
электронов были обнаружены в экспериментальных исследованиях
П. С. Тартаковского в Ленинградском и Г. Томсона в Эбердинском
университетах. Опыты эти состояли в прохождении пучков электронов
сквозь тонкие пленки (толщиной порядка 10~б см) поликристалли-
поликристаллической структуры. По своей постановке эти опыты были аналогичны
Рис. 12.5
осуществлению дифракции рентгеновских лучей по методу Дебая —
Шеррера, рассмотренному в § 6.4.
На рис. 12.5 представлены фотографии дифракционных картин,
полученных при рассеянии рентгеновских лучей пластинкой алюминия
и пучка электронов, прошедших сквозь тонкие пленки золота и меди.
Пользуясь подобными фотографиями, Г. Томсон проверил формулу де
Бройля A2.2) и определил по полученным значениям и формуле A2.3)
период кристаллической решетки металла, через который проходили
электроны. Результаты совпали с известными ранее данными рентге-
ноструктурного анализа.
В методе Дебая — Шеррера диаметр D дифракционного кольца
данного порядка прямо пропорционален длине волны, поэтому от-
отношение Dfk для данного материала при неизменном расстоянии от
образца до фотопластинки должно оставаться постоянным. Аналогич-
Аналогичные результаты были получены при дифракции электронов.
— 239 —
5. В 1949 г. в Москве Л. М. Биберманом, Н. С. Сушкиным и
В. А. Фабрикантом были осуществлены опыты по дифракции одиноч-
одиночных, поочередно летящих электронов. Интенсивность электронного
пучка в этих опытах была столь малой, что на тонкую пленку вещества
одновременно попадал только один электрон.
Из изложенного в§ 11.5 ясно, каковы были бы результаты опыта,
состоящего в последовательном «обстреле» фотонами некоторого
препятствия. Мы видели, что результаты наблюдения после многократ-
многократного «обстрела» соответствовал бы дифракционной картине, получен-
полученной на данном препятствии при облуче-
облучении его световым потоком, состоящим из
большого числа фотонов. Аналогичный ре-
результат получился в опытах по дифракции
поочередно летящих электронов. На рис.
12.6 изображена фотография типичной диф-
дифракционной картины, полученной от по-
поочередно летящих электронов в результате
многократного «обстрела» вещества элект-
Рис. 12.6 ронами. Она не отличается от дифракцион-
дифракционных картин, получаемых сразу при обыч-
обычных интенсивностях электронных пучков.
6. Для исследования структуры вещества наряду с рентгенострук-
турным анализом в настоящее время широко используется метод
электронографии. Он основан на том, что дифракционные эффекты для
электронов наблюдаются лишь при условии, что длина волны, свя-
связанной с электронами, имеет порядок величины межатомного рас-
расстояния в веществе. В связи с тем что электроны имеют значительно
меньшую проникающую способность, чем рентгеновское излучение,
электронография чаще применяется для исследования структуры поверх-
поверхностей твердых тел, например при изучении коррозии и катализа. Для
молекул газов, адсорбированных на поверхности твердого тела, с помо-
помощью дифракции электронов могут быть найдены межатомные расстояния
и получены другие сведения, характеризующие структуру молекул.
7. В формуле де Бройля нет ничего специфического для электрона
как определенной частицы. Волновые свойства должны быть присущи
любой частице вещества, имеющей массу т и скорость v. В 1929 г.
опытами О. Штерна и его сотрудников была доказана применимость
формулы де Бройля A2.2) к пучкам атомов и молекул. Приняв, что
скорость частицы в пучке равна наивероятной скорости молекулы при
температуре Т: uB — V2RT/\i, где R— универсальная газовая по-
постоянная, (х —- молярная масса вещества (см. т. I, § 11.2), и вычислив
массу молекулы по формуле tn=\i/NA (NA — постоянная, или число,
Авогадро), можно соотношение A2.2) переписать в виде
'K = hNAlVWkir. A2.4)
Подставив в A2.4) значения h, NA и R, получим
'к выражается в ангстремах (А).
— ?40 -.
При температуре Т = 360 К это дает для водорода t (ц = 0,002
кг/моль) ^—1,3А и для гелия (ц=0,004 кг/моль) Л, як; 0,9 А, т. е. вели-
величины к, соизмеримые с периодами кристаллических решеток твердых
тел. При отражении пучков атомов и молекул от поверхностей твердых
тел должны наблюдаться дифракционные явления, описываемые теми
же соотношениями, которые справедливы для плоской (двумерной)
дифракционной решетки (см. § 6.3). В опытах Штерна измерялась
интенсивность пучков атомов гелия и молекул водорода, рассеянных
под различными углами поверхностями кристаллов щелочно-галоид-
ных солей. Наблюдались пучки, падающие и рассеянные в определен-
определенной плоскости. Результаты опытов показали, что помимо частиц, рас-
рассеянных под углом, равным углу падения, наблюдаются максимумы
числа отраженных частиц под другими углами, определяемыми форму-
формулами двумерной дифракционной решетки. Если длину волны, связан-
связанную с движущимися атомами (или молекулами), вычислить по формуле
A2.4'), то соотношения, определяющие направление интерференцион-
интерференционного усиления на двумерной решетке, точно выполняются.
Опыты с атомными и молекулярными пучками крайне затрудни-
затруднительны ввиду малой интенсивности применяемых пучков. Они цен-
ценны тем, что подтвердили справедливость формулы де Бройля в виде
A2.4) или A2.4') для нейтральных атомов и молекул.
8. Справедливость формулы де Бройля и наличие волновых свойств
у частиц убедительно были доказаны в опытах по дифракции нейтронов
на кристаллах. Опыты показывают, что отражение нейтронов от кри-
кристаллов твердых тел и их рассеяние в веществе происходят в соответ-
соответствии с условием Вульфа — Брэгга A2.3'), где А, — длина волны,
связанная с движущимся нейтроном и удовлетворяющая формуле де
Бройля A2.2). Скорость нейтронов в этих опытах определялась неза-
независимо из максвелловского распределения нейтронов по скоростям
при данной температуре.
В ряде случаев с помощью дифракции нейтронов можно успешнее,
чем с помощью рентгеновских лучей или электронов, исследовать
строение веществ. Этот метод носит название нейтронографии.
Дело в том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом
и не испытывают электрических сил взаимодействия с электронами и
ядрами. Рентгеновские же лучи рассеиваются на атомных электронах,
а пучки электронов, падающих на вещество, взаимодействуют как с
атомными электронами, так и с ядрами. Поэтому для исследования
структуры вещества, содержащего легкие атомы, рентгеновские
лучи и электроны оказываются малопригодными. Так, для веществ,
содержащих водород (например, органических кристаллов), дифракция
рентгеновских лучей и электронов не позволяет обнаружить располо-
расположение атомов водорода, ибо на них рассеяние рентгеновских лучей и
электронов незначительно. Наоборот, нейтроны весьма сильно вза-
взаимодействуют с ядрами атомов водорода посредством ядерных сил
(см. § 16.5) и благодаря наличию у нейтрона и ядра водорода магнит-
магнитных моментов (см. § 16.2). Это приводит к сильному рассеянию нейтро-
нейтронов на водороде, и дифракция нейтронов дает возможность исследо-
исследовать структуру веществ, содержащих водород.
— 241 —
9. Изложенное в этом параграфе приводит к выводу о том, что
наличие волновых свойств у движущихся частиц, обладающих массой
покоя, представляет собой универсальное явление, не связанное с ка-
какой-либо спецификой движущейся частицы. Естественно, возникает
вопрос о том, почему волновые свойства не обнаруживаются у макро-
макроскопических тел, например у летящей пули. Ответ на этот вопрос
связан с особенностью формулы де Бройля и всех других формул
квантовой физики, содержащих постоянную Планка. Если в формулах
квантовой физики нельзя пренебречь постоянной /i=-=6,62-10-3* Дж-с,
мы всегда будем получать неклассические результаты. Наоборот, если
в формулах можно считать, что h -*■ 0, то результаты квантовой физики
совпадают с классическими. В частности, для тел, масса которых
несоизмеримо велика по сравнению с массой атомов и молекул, можно
считать, что h-*- 0 и никаких волновых свойств у таких тел не обна-
обнаружится (А,->0). Например, в случае с пулей массой т=10~3 кг при
скорости о=10« м/с Я, = — = 6^2310,пГ м = 6,62-10-з;|м.
v mv 10—3 • 103 '
Легко сообразить, что такая длина волны никаким дифракционным
опытом не может быть обнаружена. Поэтому можно считать, что
волновые свойства у макроскопических тел практически отсутствуют.
10. Вторым независимым от формулы де Бройля соотношением,
углубляющим представление о корпускулярпо-волновой двойствен-
двойственности свойств частиц вещества, является перенесенная на эти частицы
связь между полной энергией W свободной х частицы и частотой v
волн де Бройля:
W = hv = fte>, A2.5)
где Й.=Л/Bя) и со — циклическая частота.
Она заимствуется из оптики, где в аналогичной форме связаны
энергия кванта и частота света. Таким образом, соотношение меж-
между частотой и энергией фотона приобретает в современной физике
характер универсального соотношения, справедливого для любых
объектов, изучаемых в так называемой квантовой или волновой меха-
механике — разделе современной физики, в котором изучаются законы
движения частиц в области микромира (в линейных масштабах 10~9—
10~15 м). Объектами изучения квантовой механики являются атомы,
молекулы, кристаллы, а также атомные ядра и «элементарные» ча-
частицы. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые элементы так
называемой нерелятивистской квантовой механики, в которой изу-
изучаются движения частиц со скоростями v <<c с. При скоростях, срав-
сравнимых со скоростью света в вакууме, эта механика заменяется реля-
релятивистской квантовой механикой, изложение которой выходит за
пределы данного курса.
Соотношение A2.5) в отличие от формулы де Бройля не являлось
объектом экспериментальной проверки. Его справедливость вытекает
из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые были
1 Под свободной понимается частица, движущаяся по инерции в отсутствие внеш-
внешнего силового поля;.
— 242 —
получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядерной
физике. Все дальнейшее изложение курса будет служить убедитель-
убедительным подтверждением этого.
§ 12.2. Некоторые свойства волн де Бройля
1. Рассмотрим движение свободного электрона,
которому согласно формуле де Бройля соответствует волна с длиной
к — — ~~
то ~ р
Для краткости назовем ее в дальнейшем электронной волной. Для
дальнейшего удобно ввести волновой вектор к(/е=2яА) и записать
формулу де Бройля в виде
р = &к. A2.6)
В § 1.3 мы видели, что при наличии дисперсии следует различать
две скорости волн — фазовую v^3 и групповую и, связанные между
собой соотношением A.28).
2. Для любой волны помимо ее длины к рассматривается частота v,
связанная с длиной волны соотношением k=v^a3h, где офаз — фазо-
фазовая скорость распространения волны. Очевидно, что фазовая и груп-
групповая скорости волны для частицы, свободно движущейся со скоростью
v, должны быть как-то связаны с v. Для вычисления фазовой и груп-
групповой скоростей электронной волны недостаточно формулы k=*h/p,
связывающей волновые свойства частицы (к) с ее корпускулярными
свойствами (импульсом р). Нужно использовать, кроме того, соотно-
соотношение A2.5), связывающее корпускулярную характеристику электро-
электрона — его полную энергию W — с частотой v электронной волны. Най-
Найдем фазовую скорость волн де Бройля, используя формулу A.13'):
Vfyaj=u>/k. Умножая числитель и знаменатель правой части на %
и используя формулы A2.5), A2.6) и A2.2), получаем
fvss W тс2 с2 с2 л /10-74
и4аз = -г—= — = =— = -г-тк. A2.7)
tik P mv v h
Так как с > v, то фазовая скорость волн де Бройля больше скоро-
скорости света в вакууме. Как известно, фазовая скорость волн может
быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн.
Электронные волны (и вообще волны де Бройля) должны испыты-
испытывать большую дисперсию. Это следует из того, что скорость v^a3 волн
де Бройля оказывается зависящей от длины волны: v,i)a3 ~ к.
3. Групповую скорость волны де Бройля можно найти по формуле
A.27):
dco _ d(tuo) _ dW
- dp ■
Для свободной частицы по формуле (9.36)
c2mv
243 —
Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости
частицы;
Этот результат имеет существенное значение и сыграл в сцре время
важную роль в развитии принципиальных основ квантовой механики.
Дело в том, что после обнаружения волновых свойств у частиц вещест-
вещества и установления корпускулярно-волновой двойственности свойств
частиц была сделана попытка рассматривать частицы как волновые
пакеты сколь угодно малой протяженности и таким образом «освобо-
«освободиться» от двойственности свойств частиц. Это как будто соответст-
соответствовало тому, что частица локализована в данный момент времени в
определенной малой области пространства. С другой стороны, эта ги-
гипотеза как будто подтверждалась тем, что групповая скорость рас-
распространения максимума амплитуды «узкого» пакета совпадает со
скоростью частицы. Однако эта гипотеза оказалась ошибочной. Дело
в том, что все составляющие пакет синусоидальные волны распростра-
распространяются независимо друг от друга (см. § 1.3). При наличии большой
дисперсии, свойственной электронным волнам (или другим волнам,
связанным с частицами вещества), фазовые скорости распространения
отдельных составляющих волнового пакета различны и волновой пакет
«расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона время
расплывания пакета оказывается ничтожно малым (порядка 10~2f> с!).
Таким образом, попытка «избавиться» от корпускулярно-волновой
двойственности свойств частиц вещества с помощью рассмотрения их
как волновых пакетов не удалась. Причина этого весьма глубокая —
двойственность свойств частиц является объективной закономер-
закономерностью, проявляющейся в многочисленных явлениях, изучаемых
физикой.
4. Связь между корпускулярными и волновыми свойствами сво-
свободных частиц, обладающих массой т и скоростью v, представлена в
табл. 12.1.
Таблица 12.1
Корпускулярные
свойства Волновые свойства
Скорость v Длина волны де Бройля \ = h/mv = h/p
Импульс p = mv Часюта волны де Бройля v = W/h=-mc2/h
Энергия W — mc2 Групповая скорость волн де Бройля u = v
Фазовая скорость волн де Бройля ифаз = с2/у
§ 12.3. Вероятностный смысл волн де Бройля
1. Мы не касались до сих пор вопроса о физическом
смысле волн, связанных с движущимися частицами. Было лишь под-
подчеркнуто, что волны де Бройля не электромагнитные. В самом деле,
электромагнитные волны, как показано в гл. III, представляют собой
— 244 —
распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное по-
поле. Распространение же волн де Бройля не связано с распространением
в пространстве какого-либо электромагнитного поля. Можно было бы
думать, что с движущимися в пространстве заряженными частицами
(электронами, протонами, ионами, а также с нейтральными молеку-
молекулами, обладающими дипольными и мультипольными электрическими
моментами), могущими в известных случаях (см. § 3.2) изучать элект-
электромагнитные волны, связан какой-то дополнительный особый волновой
электромагнитный процесс. Однако эксперименты опровергают это.
С равномерно и прямолинейно движущимися заряженными частицами,
как известно, не связано распространение электромагнитных волн 1.
Волновые же свойства электронов наблюдаются и в случае их равно-
равномерного движения. Таким образом, электромагнитная природа волн,
связанных с движущимися частицами вещества, полностью исключа-
исключается. Можно показать также, что исключается природа любых других
волн, известных в классической физике.
Волны де Бройля, связанные с движущимися частицами вещества,
имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогий
в классической физике.
2. Для понимания физического смысла волн де Бройля существен-
существенную помощь может оказать рассмотренное в § 11.5 взаимоотношение
между корпускулярными и волновыми свойствами света. Вопрос о
природе волн, связанных с частицами вещества, можно сформулиро-
сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо
амплитуды А удобнее рассматривать интенсивность волны, пропорцио-
пропорциональную |Л2| — квадрату модуля амплитуды 2.
Из опытов по дифракции электронов, рассмотренных в § 12.1,
следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое рас-
распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по раз-
различным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается боль-
большее число электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения
наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях
означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсив-
интенсивности волн де Бройля. Другими словами, интенсивность волн в данной
точке пространства определяет число электронов, попавших в эту
точку за 1 с. Это послужило основанием для своеобразного статисти-
статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля. Квадрат модуля
амплитуды волн де Бройля в данной точка является мерой вероятности
того, что частица обнаруживается в этой точке. Изложенное в § 11.5
указывает на аналогичную, по существу, интерпретацию взаимоотно-
взаимоотношения между корпускулярными и волновыми свойствами света.
3. Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения
частицы в данный момент времени в некоторой области пространства,
введем некоторую функцию W (х, у, z, t), называемую волновой функ-
функцией (или пси-функцией). Определим ее следующим образом: вероят-
1 Исключение составляет излучение Вавилова — Черенкова (см. § 9.7).
2 В § 1.3 указано, что амплитуда волны может быть комплексной величиной, но
ее квадрат, связанный с энергией, должен быть действительной величиной. Поэтому
берется | А |2=Л -А *.
— 245 —
ность dw того, что частица находится в элементе объема dV, пропор-
пропорциональна \W |2 и элементу объема dV:
dw = \xP\udV=\4\idxdydz. A2.10)
Физический смысл имеет не сама функция х¥> а квадрат ее модуля:
p4rl2==xFxF *, где lF* — функция, комплексно-сопряженная с Ч/. Ве-
Величина I^Fp имеет смысл плотности вероятности:
P^^-l^!2, A2.10')
т. е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке
пространства. Иными словами, величиной |Ч'|2 определяется интенсив-
интенсивность волн де Бройля. Такая интерпретация волновой функции ЧГ
объясняет, почему волны де Бройля иногда называют «волнами веро-
вероятности». Из определения волновой функции следует, что она должна
удовлетворять следующему условию,' называемому условием норми-
нормировки вероятностей:
СО СО СО
J J \V\*dxdydz=l, A2.11)
— да — со — со
где тройной интеграл вычисляется по всему бесконечному простран-
пространству, т. е. по координатам х, у и г от —оо до оо. В самом деле, это
условие означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть
достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице.
На других важных условиях, которым должна удовлетворять
V-функция, мы остановимся в § 12.5.
4. Волновая функция lF является основной характеристикой со-
состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул).
С ее помощью в квантовой механике могут быть вычислены средние
значения физических величин, которые характеризуют данный объект,
находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Ч?. Вычис-
Вычислим, например, среднее расстояние <г> от электрона до ядра в атоме.
Вероятность обнаружить электрон в атоме в элементе объема dV, со-
согласно A2.10), равна pF|W. Величина 5= J \ \ r\4>\*dxdydz,
— да — х — оо
очевидно, представляет собой сумму произведений всевозможных рас-
расстояний г от электрона до ядра на вероятность этих расстояний. Сред-
Среднее значение <г> расстояния электрона от ядра выразится отноше-
отношение величины S к полной вероятности обнаружить электрон в какой-
либо точке пространства:
00 00 00
J J J r\V\*dxdydz
</•> = ■
(X (X СО
^\4\*dxdydz
— 00 — СО — СО
— 246 —
Знаменатель этой дроби в силу A2.11) равен единице, поэтому
со со со со ос ю
<г>= J J J r\W\2dxdydz = [ J J rW^dxdydz, A2.11')
-СО —I» —00
ибо |lF|2=¥•¥*. Аналогичная формула получается для среднего зна-
значения квадрата расстояния:
CD ГО СО
<r2>= S S S r2|¥|2rfxtf//d2. A2.11")
— <ГО — ГО —
Формула A2.11") имеет большое значение для объяснения процес-
процессов излучения и поглощения света в квантовой механике (см. § 14.8).
§ 12.4. Соотношения
неопределенностей Гейзенберга
1. Корпускулярпо-волновая двойственность свойств ча-
частиц, изучаемых в квантовой механике, и статистическип смысл ¥-функ-
ции, заданием которой определяется состояние частицы в простран-
пространстве, приводят к весьма важному вопросу огранице приме-
применимости понятий классической физики в микромире. Сама по себе
постановка этого вопроса не должна вызывать удивления. Дело в том,
что и в классической физике некоторые привычные понятия в опреде-
определенных случаях имеют границы применимости. Например, понятие
температуры неприменимо к одной молекуле, понятие о точечной ло-
локализации (о пребывании в определенной точке) не может быть при-
применено к определению положения в пространстве электромагнитной
волны. Таких примеров можно было бы привести достаточно много.
Подобно этому, в квантовой механике оказывается невозможным одно-
одновременно характеризовать объект микромира его координатами (поло-
(положением в пространстве) и импульсом (в классическом смысле этих
понятий).
2. В § 5.1 обсуждался вопрос о том, что ограниченная простран-
пространственная протяженность Ах некоторого цуга волн связана с наличием у
него принципиальной немонохроматичности — неизбежного наличия
у такого цуга определенного интервала До) возможных частот или
интервала Ak волновых чисел монохроматических волн, составляющих
этот цуг. Как было указано [см. формулу E.2)], между Ах и Ak су-
существует связь
Д*Д*>1. A2.12)
Это соотношение справедливо для любых волновых процессов. Для
волны де Бройля частицы, движущейся вдоль оси X с импульсом
Рх—р1 (учитывая, что px—kh), имеем
1 В данном случае px=p, ибо других проекций импульса нет: р„—рг~0-
— 247 —
Соотношение A2.12) можно представить в таком виде:
^%. A2.12')
Рассматривая движения частицы вдоль осей Y и Z с проекциями
импульсов соответственно равными ру и pz, мы получили бы аналогич-
аналогичные соотношения:
АуАру^%, A2.13)
% A2.14)
Формулы A2.12') — A2.14) называются соотношениями неопре-
неопределенностей Гейзенберга. В этих формулах Ах, Ау и Az означают ин-
интервалы координат, в которых может быть локализована частица,
описываемая волной де Бройля; Арх, Ару и Apz — интервалы, в ко-
которых заключены проекции импульса частицы по осям X, Y и Z
соответственно. Соотношения A2.12') — A2.14) показывают, что
координаты частицы х, у, г и проекции рх, ру и pz ее импульса на
соответствующие оси не могут одновременно иметь значения, в т о ч-
ности равные соответственно х и рх, у и ру, z и pz. Они могут
иметь лишь значения, определенные с некоторой степенью неточности.
Значения Ах и Арх, Ау и Ару, Az и Apz, связанные соотношениями
A2.12') — A2.14), одновременно не могут быть равны нулю. Другими
словами, классические понятия координаты и импульса применимы к
микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношениями
Гейзенберга. Например, если электрон локализован в интервале
Ах оси х, то он не может быть описан бесконечно протяженной плоской
монохроматической волной де Бройля. Локализация электрона в
области Ах означает, что квадрат модуля |¥|2 волновой функции вне
интервала Ах должен быть тождественно равен нулю. Для локализации
электрона в области Ах его необходимо описать в квантовой механике
системой плоских монохроматических волн де Бройля, обеспечиваю-
обеспечивающих выполнение условия PF| а=0 везде, кроме интервала Ах оси X.
У такой системы волн уже не будет определенной частоты (или волно-
волнового числа). Соответственно у электрона не будет строго фиксирован-
фиксированного импульса рх. Импульс электрона может быть найден лишь с
точностью до величины Арх, определяемой соотношением A2.12'):
&Рх ^ ~т~ • Наоборот, если импульс электрона рх задан в интервале
Арх импульсов, то электрон может быть обнаружен с вероятностью,
равной единице, в области Ах, удовлетворяющей неравенству
4
3. Рассмотрим пример, иллюстрирующий соотношение A2.12').
Предположим, что положение электрона в пространстве определяется с
помощью микроскопа; электрон освещается монохроматическим светом
частоты v. Дифракционная теория разрешающей способности микро-
микроскопа устанавливает предел наименьших размеров Ах, которые могут
быть найдены с помощью микроскопа. Они определяются длиной вол-
волны Я и углом а (рис. 12,7): Ах — -. .При освещении электрона воз-
— 248 —
можно более коротковолновым светом можно уменьшить Ах. Однако
коротковолновый свет, как известно, проявляет в сильной степени
квантовые свойства. Рассеяние на электроне фотона с импульсом
hv/c приведет к передаче электрону от фотона некоторого импульса
Арх вдоль оси, перпендикулярной оси микроскопа. Величина этого
импульса &px — ^-s'ma. Перемножив Ах и Арх, в соответствии с соот-
соотношением A2.12') получим
AxApx=h.
4. Классические представления о движении частицы вдоль некото-
некоторой траектории должны в квантовой механике применяться с учетом
соотношений неопределенностей. В классической теории в каждой
точке траектории частица имеет определенные координаты х, у, z и
определенную скорость v (которой соответствуют про- ,
екции по координатным осям vx, vy и vz). Рассмотрим,
как обстоит дело в квантовой механике. Пусть, нап-
например, траектория электрона определяется по следу,
который он оставил на фотопластинке. Положение j
электрона может быть зафиксировано с точностью, i
определяемой линейными размерами зерна фотоэмуль-
сии, испытавшего воздействие электрона. Примем,
что эти размеры имеют порядок величины Ад; ~ 10~" м.
Тогда в соответствии с соотношением A2.12') -неточ- Рис- 12'7
ность в определении импульса электрона равна
Арх]> fi/Ax « 10~28 кг-м/с. Неточность, с которой может быть най-
найдена скорость электрона, равна Avx=Apx/m=\02 м/с. Обычно след
на фотопластинке оставляют быстрые электроны со скоростями
v ^=> Avx(v ~ 10е—107 м/с). В этом случае, очевидно, можно говорить
о движении электрона по некоторой траектории с точно заданной
в каждой точке скоростью.
5. Представим себе, что речь идет об электроне, движущемся в
атоме. Тогда положение его может быть определено с точностью до
размеров атома, т. е. Ах ~ 10~i0 м. В этом случае аналогичный расчет
показывает, что неопределенность скорости электрона окажется по-
порядка Avx& 106 м/с. Если считать электрон материальной точкой,
движущейся в кулоновском поле ядра по орбите с линейными разме-
размерами 10~10 м, то можно показать (см. подробнее об этом в § 13.2), что
его скорость должна быть величиной такого же порядка, т. е. v «
a* Avx. Таким образом, нельзя говорить о движении электрона в атоме
по определенной траектории с точно заданной в каждой точке скоро-
скоростью. Из приведенных примеров видно, что понятие о движении ча-
частицы по траектории должно применяться в современной физике с боль-
большой осторожностью. Оно имеет смысл лишь в тех случаях, когда не-
неопределенности Avx и Ах в значениях скорости в координаты частицы,
определяемые соотношениями Гейзенберга, во много раз меньше, чем
сама скорость vx и координата х1.
1 Это относится и к другим координатам у и г та проекциям скорости ve и vg,
- 249 -
6. Соотношения A2.12')—A2.14) показывают, что с увеличением
массы т ограничения, вносимые ими в возможность применения клас-
классических понятий координаты и скорости, уменьшаются. В самом деле,
ввиду малости h неопределенности в значениях координаты и скорости,
вытекающие из формулы
становятся пренебрежимо малыми у тел с массой т, во много раз боль-
большей масс частиц, находящихся в атоме (электронов, протонов, нейтро-
нейтронов). Например, для пылинки с массой 10~13 кг и линейным размером
в 10~6 м, координата которой определена с точностью до 1/100 ее раз-
размеров (т. е. Ах ~ 10~8 м), неопределенность в значении скорости
составит Avx~ 10~13 м/с. Эта неопределенность практически не будет
сказываться при всех скоростях, с которыми может двигаться такая
частица. Для макроскопических тел соотношения неопределенностей
не вносят ограничения в возможность применять понятия координаты
и скорости. Для таких тел постоянную Планка в формулах A2.12') —
A2.14) можно считать пренебрежимо малой (&->0). В этих случаях
говорят о точных значениях координаты и скорости и рассматривают
движение тела по траектории в соответствии с законами классической
механики. Как мы уже видели (см. § 12.1, п. 9), возможность считать
А->0 приводит к тому, что квантовые свойства изучаемых объектов
оказываются несущественными и возможен переход к классическому
описанию изучаемых объектов. Мы еще вернемся к этому вопросу в
§ 12.9.
7. Соотношения типа A2.12') — A2.14) существуют не только для
координат и импульсов. Можно доказать, например, что если частица
находится в нестационарном (например, возбужденном) состоянии в
течение времени At и обладает некоторой энергией W, то энергия может
быть задана с ограниченной степенью точности. Если обозначить через
AW неопределенность в задании W, то
AWAt^%. A2.15)
Нетрудно видеть, что это соотношение является записью для волн
де Бройля общего соотношения E.1), устанавливающего принципиаль-
принципиальную немонохроматичность ограниченного цуга волн. В самом деле,
подставив W в A2.15), из выражения A2.15)Л1Г=&Дш имеем AaAt^ 1,
т. е. формулу E.1).
Соотношение A2.15) играет большую роль в атомной и ядерной
физике.
8. Соотношения неопределенностей Гейзенберга иногда неверно
связывают с современным уровнем развития квантовой теории. Не-
Нередко встречаются утверждения, что эти соотношения не представ-
представляют собой ограничений в возможности применения к частицам микро-
микромира классических понятий о координатах и импульсах, а только
ограничивают ту степень точности, с которой на данном уровне раз-
еития физического эксперимента и теории могут быть одновременно
измерены координаты и импульсы. Это означает, что при дальнейшем
развитии квантовой физики может якобы возникнуть возможность
— 250 —
более точного одновременного определения координат и импульсов.
Подобные высказывания ошибочны. Соотношения неопределенностей
являются следствием объективно существующей двойственности ча-
частиц микромира — наличия у них корпускулярных и волновых свойств.
Эти соотношения свидетельствуют об объективно существующих огра-
ограничениях в возможности описания поведения микрообъектов с по-
помощью классических понятий координат и им-
импульсов. В ряде случаев (в каких именно, об этом подробно шла
речь выше) описывать движение микрообъекта так, как это делается в
классической механике — с помощью задания в каждый момент вре-
времени его координат и импульса, не имеет смысла, ибо сами эти понятия
не могутбыть одновременно применены к микрообъекту.
9. В связи с соотношениями неопределенностей возникает также
вопрос о том, почему нужно описывать поведение мнкрообъектов с
помощью классических понятий, таких, как координата, импульс и
др., если далеко не всегда они могут быть применены. Дело в том, что
всякий эксперимент, дающий некоторую информацию о поведении и
свойствах микрообъектов, является макроскопическим
(отклонение стрелки приборов, положение пятна на экране осцилло-
осциллографа, фотография трека частицы и т. д.). Действия любых приборов,
с помощью которых изучается поведение микрочастиц в пространстве и
во времени, подчиняются классической механике и электродинамике,
и даваемая ими информация носит макроскопический характер, т. е.
она должна истолковываться в понятиях классической физики. При
этом мы неизбежно должны применять к микрообъектам хотя бы час-
частично классическое описание с помощью классических понятий. По-
Поскольку эти понятия применимы к объектам, подчиняющимся кванто-
квантовой механике лишь в ограниченной степени, существуют пределы при-
применимости классических понятий, устанавливаемые соотношениями
неопределенностей Гейзенберга.
Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называ-
называется измерением. Этот процесс протекает в пространстве и во времени и
является объективным процессом. Существует, однако, важное разли-
различие между взаимодействием прибора с макро- и микрообъектами. Вза-
Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух
макрообъектов, описываемое с достаточной степенью точности зако-
законами классической физики. При этом можно считать, что прибор не
оказывает на измеряемый объект такого влияния, которое не могло бы
быть точно учтено в терминах (понятиях) классической физики, либо
сделано как угодно малым. При взаимодействии прибора с микрообъек-
микрообъектами возникает иная ситуация. Вследствие объективно существующей
двойственности свойств микрообъектов процесс измерения, например
фиксация определенного положения микрочастицы, вносит в ее импульс
изменение, которое не может быть сделано равным нулю и может быть
определено лишь в рамках соотношения неопределенностей &рх ^
^-г—. Поэтому воздействие прибора па микрочастицу нельзя считать
малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта.
Изменение это таково, что в результате измерения определенные
- 251 —
классические характеристики частицы, например ее импульс, оказы-
оказываются заданными лишь в рамках, ограниченных соотношениями
неопределенностей.
Результаты процесса измерения воспринимаются наблюдателем.
Эта ситуация дала повод к тому, что некоторые физики (в том числе, и в
первую очередь, сам В. Гейзенберг) стали приписывать наблюдателю
особую роль в квантовой механике. В философском смысле эта кон-
концепция является выражением субъективного идеализма. Гейзенберг
писал: «В то время как предмет классической физики составляли
объективные события в пространстве и во времени, для существования
которых их наблюдения не имеют значения, квантовая теория рассмат-
рассматривает такие процессы, которые, так сказать, вспыхивают в момент
наблюдения и о которых бессмысленны наглядные физические выска-
высказывания для интервала между наблюдениями». Для таких и подобных
этим идеалистических выводов, отрицающих объективное протекание
процессов в микромире, соотношения неопределенностей не дают
никаких оснований. На свойства и состояние микрообъек-
микрообъекта, изучаемые в процессе измерения, происходящего в пространстве
и во времени, наблюдатель не оказывает никакого влияния.
10. Одним из идеалистических выводов из соотношений неопре-
неопределенностей является утверждение о том, что якобы из этих соотно-
соотношений вытекает неприменимость к явлениям, протекающим в микро-
микромире, принципа причинности. На первый взгляд кажется, что это
утверждение имеет основания. Действительно, принцип причинности
означает возможность на основании известного в некоторый момент
времени состояния системы точно предсказать ее состояние в любой
следующий момент времени. Классическая механика Ньютона позво-
позволяет по известным в момент времени £0 координатам х0, уъ, z0 и проек-
проекциям скорости vXa, Vyo, vZo любой материальной точки определить с
помощью решения ур°авне°ний ее движения координаты и скорость
точки в момент времени t. Это положение называется механичес-
механическим детерминизмом. Поскольку координаты и скорости
микрообъектов одновременно могут быть определены лишь в рамках
соотношений неопределенностей, можно как будто сделать вывод о
том, что и в начальный момент U состояние системы не может быть точно
определено, а поэтому и последующие состояния не могут быть пред-
предсказаны, т. е. нарушается принцип причинности. В действительности
дело обстоит иначе. В квантовой механике само понятие о состоянии
системы приобретает иной смысл, чем в классической физике, — для
определения этого состояния нужен иной подход. Максимально точ-
точным заданием состояния микрообъекта в квантовой механике яв тяется
задание его ¥-функции, которая, как будет показано в § 12.5, удовлет-
удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, содержащему
первую производную функции W по времени. Это значит, что задание
Ч'-функции для момента времени £0 определяет ее значение для момен-
момента t > t<>. Другими словами, в квантовой механике в соответствии с
требованием принципа причинности состояние микрообъекта, опреде-
определенное в некоторый момент времени t<>, однозначно предопределяет его
дальнейшие состояния. К микрообъектам нельзя применять принципы
причинности в форме, заимствованной из классической механики и
основанной на применении понятий координат и импульсов, ибо осо-
особая природа микрообъектов этого не допускает.
§ 12.5. Уравнение Шредингера
1. В квантовой механике возникает важнейшая пробле-
проблема отыскания такого уравнения, которое явилось бы тем же, чем яв-
являются уравнения движения Ньютона для классической механики.
Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопических
тел решать основную задачу механики — по заданным силам, действую-
действующим на тело (или систему тел), и определенным начальным условиям
(начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого
момента времени координаты тела и его скорость, т. е. описать движе-
движение тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной
задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц
микромира характерна двойственность свойств, которая ограничивает
возможность применения к таким частицам классических понятий о
координате и скорости (или импульсе). Вероятностное (статистическое)
истолкование волн де Бройля и соотношения неопределенностей ука-
указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть
таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте ьолновые
свойства частиц. Поскольку состояние частицы з пространстве в дан-
данный момент времени определяется в квантовой механике заданием
волновой функции W (х, у, z, t), точнее величиной \Ч? J 3, определяющей
лишь вероятность нахождения частицы в точке х, у, г в момент t,
основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением
относительно функции Ч? (х, у, z, t). Далее, это уравнение должно
быть волновым уравнением, ибо из него должны получить свое объяс-
объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их
волновые свойства.
2. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было
найдено в 1926 г. Э. Шредингером. Как и уравнения движения Нью-
Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не выводи-
выводимые, уравнение Шредингера постулируется. Справедливость уравнения
Шредингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полу-
полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике,
находятся в хорошем согласии с опытом. Уравнение Шредингера имеет
следующий вид:
-тж^—ёт^+и^'У'*'*^' A2Л6)
Здесь Й.=/г'2л; = 1,05'10~31 Дж-с — постоянная Планка; m — масса
частицы; U (х, у, г, t) — потенциальная энергия частицы в силовом
поле, где частица движется; а = -^ + -^г + "^г—оператор Лап-
Лапласа, введенный в § 1.3 [см. формулу A.33)]; W—W (х, у, z, t) — иско-
искомая волновая функция частицы; i=V—1 — мнимая единица.
— 253 —
Уравнение A2.16) справедливо для любой частицы, движущейся
со скоростью v <<^ с (с — скорость света в вакууме1). Уравнение
Шредингера дополняется важными условиями, которые накладывают-
накладываются на функцию W (х, у, г, t). Этих условий три:
1) функция х¥ должна быть конечной, непрерывной и "|
однозначной;
3¥ дУ ЗУ ОТ' й
2) производные -~— , —т— , —?— , —щ- должны быть не- I
прерывны; I A2.17)
3) функция PF| г должна быть интегрируема, т. е. I
«даго
интеграл \ j ^ \W\2dxdydz должен быть конечным.
— со — со - оо )
В простейших случаях третье условие сводится к условию нор-
нормировки вероятностен A2.11). Первые два из указанных условий
не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования,
накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения.
Третье условие относительно интегрируемости \XY\ 2 связано с тем, что
физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция
Ч?, а квадрат ее модуля |¥2|. Важность условий A2.17) заключается в ■
том, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения
Шретингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно выска-
высказать ряд очень сущзственных заключений об энергии исследуемой ча-
стпцы и других физических величинах, ее характеризующих.
3. Уравнение A2.16) часто называют временным уравнением Шре-
Шредингера, ибо оно содержит производную от функции ¥ по времени.
Однако для большого числа физических явлений, происходящих в
микромире, например дпя описания поведения электрона в атоме, в
ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения
Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно
получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в ко-
котором исключена зависимость W от времени. Оно имеет смысл для тех
задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени:
U=U(x, у, г). Будем искать решение уравнения A2.16) в виде про-
произведения:
x¥(x,y,z,t)=^{x,ytz)^(f)t A2.18)
в котором разделены переменные: \\> является функцией только коор-
координат, ф — функцией только времени. Подставляя A2.18) в A2.16) и
производя дифференцирование, получаем
Разделим правую и левую части уравнения на произведение Щг.
*L^t±J* A2.19)
1 В релятивистской области у а с уравнение Шредингера заменяется более слож-
сложным релятивистским уравнением Дирака, рассмотрение которого выходит за рамки
нашего курса.
— 254 —
Поскольку левая часть уравнения есть функция только координат,
а правая — функция только времени, уравнение A2.19) удовлетворя-
удовлетворяется при единственном условии — обе части равны постоянной вели-
величине. Обозначим ее через —■ W:
77 = ^ A22°)
A2.21)
Уравнение A2.21) обычно записывают в форме
~-{W — 1/)ф=0 A2.22)
и называют стационарным уравнением Шредингера.
Уравнение A2.22) является важнейшим соотношением нереляти-
нерелятивистской квантовой механики, играющим основную роль в атомной фи-
физике. Функции ф, удовлетворяющие уравнению Шредингера при дан-
данном U, называются собственными функциями. Значения IF, при кото-
которых существуют решения уравнения Шредингера A2.22), называются
собственными значениями. Примеры отыскания собственных функ-
функций и собственных значений приведены в следующих параграфах.
Уравнение A2.20) можно сразу проинтегрировать:
lncp =^Ш
%
Перейдем от логарифмов к самим функциям:
Ф = <рое-'*'/*, A2.23)
где ф„ = фо@) — значение q>(t) в начальный момент времени * = 0.
4. Для того чтобы выяснить смысл величины W в стационарном
уравнении Шредингера, сравним A2.22) с волновым уравнением
A.29):
— фазовая скорость волн.
Для синусоидальной волны вида S=A (r) ехр \i2nv (t—rlv$a3)], где
v — частота волны, А (г) —• комплексный вектор амплитуды волны
(см. § 1.3); легко показать, дифференцируя дважды по /, что
4g. A2.24)
Поэтому волновое уравнение A.29) можно записать в форме
«фаз
Идея Шредингера состояла в том, что к волнам де Бройля, связан-
связанным с движущимися частицами, можно применить волновое уравнение
в форме A2.24). Из формулы де Бройля Я=Л/ (tnv) следует, что
1 v mv
Ь ~ Уфаз ~~ h '
— 255 —
где Цфаз — фазовая скорость волн де Бройля, a v — их частота. Под-
Подставив это значение v/ult,ia в уравнение A2.24) для волновой функции
ij>, получим
Аг|> + ^~-Ч = 0. A2.24')
Кинетическая энергия частицы mvi/2=W—U, где W — ее пол-
полная энергия в нерелятивистской теории. Коэффициент при ij)
в уравнении A2.24') можно переписать иначе:
{W U
~~W~ ~~hF ~2~~fc {W ~U>-
Таким образом, имеем
~(W — £/)ф = 0.
ft2
Следовательно, уравнение A2.24) тождественно со стационарным
уравнением Шредингера A2.22), если W есть полная энергия частицы,
движущейся в данном потенциальном поле и обладающей потенциаль-
потенциальной энергией U.
Такой подход к истолкованию уравнения Шредингера A2.22)
отнюдь не должен рассматриваться как его вывод, а лишь указывает
на волновой характер этого уравнения. Подчеркнем еще раз (см. п. 2
этого параграфа), что уравнение Шредингера не выводится. Более
того, возможность представления полной энергии W частицы в виде
суммы кинетической и потенциальной энергий имеет в квантовой
механике ограниченный характер (см. § 12.8, п. 5).
5. Из вида решения A2.23) для временной части волновой функции
A2.18) следует, что уравнение Шредингера A2.16) находится в согла-
согласии с предположением о связи полной энергии W частицы с частотой
волн де Бройля v=co/2n в форме A2.5).
В самом деле, если подставить выражение A2.23) в формулу A2.18),
то решение уравнения Шредингера приобретает следующий вид *:
W (х, у, z, t) = у (х, у, г,) e-tvt'K A2.18')
Таким образом, состояние частицы в данный момент времени опи-
описывается периодической функцией времени с циклической частотой
ob=W/h, определяемой полной энергией частицы. Как уже указы-
указывалось, эта связь энергии частицы W с частотой волны де Бройля яв-
является важнейшей основой квантовой механики.
§ 12.6, Движение свободной частицы
1. При свободном движении частицы ее полная энергия
совпадает с кинетической, а скорость v=const. Направим ось X вдоль
вектора v. Тогда стационарное уравнение Шредингера A2.22) можно
1 Постоянный множитель ф0 включен в функцию г[з (х, у, г), так как она опреде-
определяется из линейного дифференциального уравнения A2.24') с точностью до произ-
произвольного постоянного множителя.
— 256 —
записать в следующем виде:
f0' A2'25)
Уравнение A2.25) имеет решение
ф = Аехр /— j-}/1Шх\ + Вexp f— ^
где Л и В — некоторые постоянные.
Решение полного уравнения Шредннгера A2.16) получится тогда в
форме A2.18'):
(х, у, г, 0 = Л ехр [- i (у f_
)] A2.26)
Решение A2.26) представляет собой суперпозицию двух плоских
монохроматических волн одинаковой частоты &^=Wln, распространяю-
распространяющихся одна в положительном направлении оси X с амплитудой А,
другая — в противоположном направлении с амплитудой В. Сравни-
Сравнивая полученные решения с общим выражением плоской монохромати-
монохроматической волны A.15):
i (at—kx)],
видим, что для свободной частицы волновое число
k => V2nWl%.
2. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описы-
описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответ-
соответствует не зависящая от времени вероятность обнаружить частицу в
данной точке пространства. Действительно, выбирая для простоты
лишь одну из волн A2.26), например первую, распространяющуюся в
положительном направлении оси X, имеем
§ 12.7. Электрон в потенциальном «ящике»
1. Рассмотрим электрон, движущийся в потенциальном
поле, изображенном на рис. 12.8. Потенциальная энергия электрона
вне и внутри потенциального «ящика» имеет следующие значения:
(/ = 0 при 0^x<L, ^
U = oo при х<0 и x^L. J A2i27)
Примером движения электрона в потенциальном «ящике» является
рассмотренное во втором томе движение коллективизированных элект-
электронов внутри металла. Как известно, в классической электронной
теории считалось, что вне металла потенциальная энергия электрона
9 А. А, Детлаф, В, М. ЯворокиЛ — 257 —
равна нулю, а внутри металла она отрицательна и численно равна
работе выхода электрона из металла. Иными словами, считалось, что
движение электронов ограничено потенциальным барьером прямо-
прямоугольной формы с плоским дном. Рассматриваемый нами потенци-
потенциальный «ящик» с бесконечно высоким барьером на границах более
ч. . I прост, чем реальный случай электрона в
| I металле.
I i 2. Применим к электрону, движущемуся
в таком потенциальном поле, уравнение Шре-
дингера в форме A2.22) и учтем, что для одно-
одномерной задачи А=йУйх2
JO i Л
-t/)i|> = 0. A2.28)
X=Q x=L X уравнение A2.28) при условии A2.27) может
Рис. 12.8 иметь решение, удовлетворяющее требованиям
A2.17) лишь в том случае, если волновая
функция "ф (л;) будет обращаться в нуль на стенках «ящика»:
4>@)=i|>(L)=0. A2.29)
В самом деле, обозначив -^ через ф", перепишем A2.28) в виде
%' fr(W-£/).. A2.28')
В области 0 ^ х ^ L имеем £/=0 и отношение i|Oi|) имеет конечное
значение. При х -> 0 и х -*■ L потенциальная энергия стремится к
бесконечности. Для того чтобы условия A2.17) не были нарушены,
необходимо, чтобы ty(x)->0 при х-^-0 и x-*L. Таким образом,
для электрона в потенциальном «ящике» с бесконечно высокими
стенками решение уравнения Шредингера должно быть таким,
чтобы
-ф = 0 и |-ф|а = 0 вне области 0<л:<1. A2.30)
Другими словами, вероятность найти электрон вне «ящика» равна
нулю. В этот результат необходимо внести важное уточнение, о котором
мы скажем несколько позже (см. § 12.8).
3. Задача о движении электрона в прямоугольном потенциальном
«ящике» с бесконечно высокими стенками сводится к решению уравне-
уравнения
0+1^ = 0 A2.31)
при краевых условиях A2.29) i|>(O)=ij)(L)=O. Обозначим ^W = k2,
где k имеет смысл волнового числа волны де Бройля для электрона,
находящегося внутри потенциального «ящика», и запишем периоди-
периодическое решение уравнения A2.31) в виде
•ф (х)=А cos k x+B sin fee, A2.32)
— 258 —
где А а В — постоянные. Используя первое из краевых условий
A2.29), получим, что Л=0. Второе условие дает
0. A2.32')
Таким образом, мы приходим к окончательному результату:
ВфО, А = 0, siukL = 0. (I2.32")
Из A2.32") следует, что величина k должна принимать лишь определен-
определенные дискретные значения kn, удовлетворяющие условию: knL=nn,
где п=\\ 2;... Отсюда
kn=mtlL. A2.33)
4. Условие A2.33) имеет простой физический смысл. Так как
&„=2яА,„, где Кп — длина волны де Бройля для электрона в «ящике»,
то условие A2.33) означает, что
2я__ля . __1L
Ъ~Т' ИЛИ Л«-Т'
т. е. на длине потенциального «ящика» должно укладываться целое
число полуволн де Бройля.
Аналогичную картину мы имели при распространении упругих
волн вдоль струны, закрепленной на концах. Как известно из § 1.5,
в этом случае образуются стоячие волны, причем возможные длины
волн Кп образуют дискретный ряд значений: осуществляются при
sin£nL=0 лишь те значения Хп, которые соответствуют целому числу
длин волн, укладывающихся на длине струны.
5. Условие A2.33) приводит к очень важному результату:
т. е. энергия W электрона в потенциальном «ящике» не может быть
произвольной. Она принимает лишь ряд дискретных собст-
собственных значений Wn-
Другие значения W энергии электрона невозможны: вероятность
обнаружить" внутри «ящика» электрон с энергией, отличной от Wn,
равна нулю. Физические величины, которые могут принимать лишь
определенные дискретные значения, называются квантованными.
Таким образом, энергия электрона, находящегося в потенциальном
«ящике», является квантованной. В гл. X, рассматривая идеи Планка,
позволившие разрешить трудности в проблеме излучения абсолютно
черного тела, мы видели, что основу для его рассуждений составляло
предположение о том, что энергия атомного осциллятора может
принимать определенные, как мы скажем теперь, квантованные зна-
значения. Это предположение было совершенно чуждо классической
физике, где процессы излучения предполагались протекающими
непрерывно, а физические величины, характеризующие излучение,
могли принимать произвольные значения: В квантовой механике
квантованность энергий в системах, где W < 0, как можно строго
обосновать, является автоматическим следствием тех математических
9* в- 259 —
требований, которые накладываются на решения уравнения Шре»
дингера. Мы увидим, что этот результат имеет общее значение.
6. Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а
числа п, определяющие энергетические уровни электрона, называются
квантовыми числами. Таким образом, электрон в потенциальном «ящи-
«ящике» может находиться на определенном энергетическом уровне Wn.
Иногда говорят, что он находится в определенном квантовом состоя-
состоянии п.
Для потенциального «ящика» с размерами а, соизмеримыми с раз-
размерами атома Ь= 10А= 10~9 м, собственные значения энергии элект-
электрона образуют последовательность энергетических уровней, «расстоя-
«расстояние» между которыми AW = Wn+1 — Wn = Bn+l)-5,<l-100 Дж=з
= 0,34Bп+1)эВ.
В потенциальном «ящике» макроскопических размеров L= 10~а м
соседние энергетические уровни Wn+1 и Wn отличаются друг от друга
на величину
Энергетические уровни в этом случае расположены столь тесно,
что можно считать эти уровни как бы квазинепрерывными. Для такого
потенциального «ящика» квантование энергии дает результаты, не
столь существенно отличающиеся от результатов классической физики,
как в случае «ящика» атомного размера. Заметим, что ДН^ = 0т1ри
L—> оо, т.е. энергетический спектр будет непрерывным.
7. Рассмотрим влияние квантового числа п на характер располо-
расположения энергетических уровней электрона в потенциальном «ящике».
Для этого сопоставим величину
^t A2.35)
с энергией Wn электрона, находящегося на уровне п. Найдем отноше-
отношение &WjWn, используя формулу A2.34):
£-S£i. 02.36,
Из A2.36) видно, что при увеличении квантового числа п, когда
«2ft и 4г«-|. A2-37)
величина AW становится малой по сравнению с Wn, т.е. происходит
относительное сближение энергетических уровней. При больших
квантовых числах п квантование энергии дает результаты, близкие к
результатам классического рассмотрения. В этом находит свое выра-
выражение важный принцип соответствия, наиболее полно сформулиро-
сформулированный Бором A923): при больших квантовых числах выводы и резуль-
результаты квантовой механики должны соответствовать классическим
результатам. В более общей формулировке принцип соответствия
требует, чтобы между любой теорией, которая является развитием
—260—
классической, и первоначальной классической теорией существовала
закономерная связь — в определенных предельных случаях новая тео-
теория должна переходить в старую. В предыдущих главах мы имели
несколько случаев убедиться в справедливости этого принципа. На-
Например, в гл. IX показано, что формулы кинематики и динамики теории
относительности переходят в формулы классической механики Нью-
Ньютона при таких скоростях, что иг/сг->0. Между квантовой механи-
механикой и классической предельный переход связан с возможностью пре-
пренебречь конечностью величины % и считать % -> 0.
§ 12.8. Прохождение частицы
сквозь потенциальный барьер
1. В предыдущем решении мы считали, что на границах
«ящика» волновая функция становится равной нулю. В действитель-
сти дело обстоит сложнее. Движение электрона с постоянной скоро-
скоростью внутри «ящика» описывается плоской волной де Бройля. На гра-
границе (см. рис. 12.8), где происходит скачкообразное изменение потен-
потенциала, эта волна должна вести себя аналогично электромагнитной
волне на границе двух сред с различными показателями преломле-
преломления (см гл. IV). Как известно, такая волна на границе частично
отражается, а частично проходитхчерез границу. Даже в случае полного
внутреннего отражения имеет место частичное проникновение света во
вторую среду (см. § 7.2). Волна де Бройля на границе «ящика» также
испытывает отражение, но частично проходит в область вне «ящика».
Другими словами, имеется определенная вероятность обнаружить
электрон за пределами потенциального «ящика».
2. Этот результат существенно4 отличается от выводов класси-
классической физики. Частица, подчиняющаяся законам классической фи-
физики, может выйти из потенциального «ящика» при условии, что
ее полная энергия превышает «глубину» потенциального «ящика».
С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потен-
потенциального «ящика», «заперта» в нем. Стенки потенциального «ящика»
представляют для нее потенциальный барьер, который частица пре-
преодолеть не может. Для того чтобы частица могла выйти из потенциала
ного «ящика» или проникнуть в него, согласно классической физике
ей нужно сообщить энергию, равную или большую разности высоты
барьера и ее собственной энергии.
3. Квантовая механика приводит к принципиально новому выводу
о возможности прохождения («просачивания») частиц сквозь по-
потенциальные барьеры. Это явление называется туннельным эффектом.
Для описания туннельного эффекта вводится понятие прозрачности D
потенциального барьера. Если по аналогии с оптикой для волн де
Бройля подсчитать интенсивность /пад падающей на барьер волны и
интенсивность /прох волны, прошедшей сквозь барьер, то, по опре-
определению, прозрачностью (коэффициентом прозрачности) потенциаль-
потенциального барьера называется величина
£> = WW A2.38)
- 261 —
Эту величину можно рассматривать как вероятность прохождения
волн де Бройля сквозь потенциальный барьер, или, что то же самое,
как вероятность просачивания частицы, описываемой волной де Брой-
Бройля, сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой можно
ввести также коэффициент отражения R, так что D — \—R.
Расчеты, которые выходят за рамки данного курса, показывают,
что прозрачность барьера зависит от «формы» потенциального барьера
и его высоты.
В случае прямоугольного потенциального барьера с высотой £/0
и шириной L (рис. 12.9) прозрачность барьера выражается формулой
~
— W)L\
A2.39)
где m — масса частицы, a W — ее энергия. В случае, когда потенциа-
потенциальный барьер имеет сложную форму, прозрачность барьера подсчиты-
вается по формуле
= Doexp
( —
)—W]dx
A2.39')
где xt и хг — координаты начала и конца потенциального барьера
U(x) для данного значения полной энергии W (рис. 12.10). В этих
формулах Da — постоянный коэффициент, близкий к единице.
U
VI
.W
О х,
Рис. 12.9
Рис. 12.10
4. Туннельный эффект может играть заметную роль в тех случаях,
когда прозрачность барьера не слишком мала, т. е. когда коэффи-
коэффициент отражения мал. Это условие осуществляется только в тех слу-
случаях, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с
атомными размерами. Например, при £/0—W лг 10 эВ для электрона
т « Ю-30 кг, при L да Ю0 mD« 1/е. При тех же условиях для
L я? 10~2 м, т. е. в макроскопической области, имеем D«e~10'.
С увеличением массы частицы и разности Ua — W прозрачность
барьера уменьшается.
5. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер приводит к
возможности обнаружить ее в области, запрещенной с точки зрения
классической механики. В самом деле, если полная энергия W частицы
меньше высоты барьера Ua, то в области, где U(x) > W, кинетическая
— 262 —
энергия частицы рЧ {2т) отрицательна, ибо
W=U+UW и gj<0, если U(x)>W.
С классической точки зрения эта область недоступна для частицы, так
как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Квантовая
механика приводит к возможности обнаружить частицу в этой запре-
запрещенной области (так называемый парадокс туннельного
эффекта). На самом деле здесь нет парадокса и предыдущие рас-
рассуждения о мнимом импульсе частицы неверны. В самом деле, тун-
туннельный эффект есть чисто квантовое явление. Если попытаться перейти
к классической теории, положив, что %-*- 0, то согласно A2.39) D -> О
и о прозрачности барьера не имеет смысла говорить.
Описывая же туннельный эффект в квантовой механике, мы встре-
встречаемся с неожиданной с точки зрения классической физики труднос-
стью, связанной с самой возможностью представления полной
энергии W частицы в виде суммы ее кинетической р2/2т и потенциа-
потенциальной V (х) энергий: W =x--\-U {х). В классической физике такое
представление не вызывает сомнения, и оно предполагает, что одно-
одновременно известны с любой степенью точности и кинетическая
энергия рЧ2т, и потенциальная энергия U (х) частицы. "Иными сло-
словами, считается, что частице с любой степенью точности одновременно
приписываются определенные значения координаты х и импульса р.
Но, как известно из § 12.4, соотношение неопределенностей Гейзен-
берга исключает такую возможность в квантовой механике; само пред-
представление полной энергии в виде суммы точно определенных
частей — кинетической и потенциальной энергий — неправомер-
неправомерно. Поэтому и парадокса, основанного иа представлении W в виде
суммы |- -\- U(x), в квантовой механике не существует. Если мы зафик-
зафиксируем частицу в определенной области Ах \ измеряя ее координату,
т. е. определим с достаточной точностью ее потенциальную энергию
U (х), то при этом вносится неопределенность Ар в значении ее импуль-
импульса Ар ж %1Ах и, следовательно, нельзя будет говорить о точном зна-
значении кинетической энергии рЧ2т.
Таким образом, нельзя будет утверждать, что после того, как
фиксировано положение частицы, ее полная энергия по-прежнему
равна W.
Найдем изменение AWk кинетической энергии частицы, вы-
вызванное фиксированием ее в области Ах. Из формулы A2.39)
видно, что эффективная глубина проникновения частицы в класси-
классически запрещенную область внутри потенциального барьера равна
Ах — %lY2m (£/0—W). Соответствующее изменение импульса частицы
^(ио—W). Изменение кинетической энергии
1 Речь все время идет об одномерной задаче,
— 263 —
Другими словами, AWk превышает ту энергию, которой не достает
частице, находящейся внутри пбтенциальной ямы, для того чтобы
она могла «классическим способом» пройти над барьером.
6. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер получило
экспериментальное доказательство в явлении холодной эмиссии элект-
электронов нз металлов. Во втором томе курса указывалось, что вырывание
электронов из металлов электрическими полями происходит при
напряженностях электрического поля,-в сотни раз меньших, чем те,
которые необходимы для того, чтобы электрон в металле под действием
внешнего электрического поля преодолел поверхностный скачок потен-
потенциала на границе металл — вакуум и покинул металл. Объяснение
этого было дано в квантовой механике. Действие электрического
поля с напряженностью Е приводит к тому, что потенциальный барьер
для электронов на границе металл — вакуум будет узким и электрон,
обладающий энергией W, по абсолютному значению меньшей
высоты барьера Uo, может выйти из металла сквозь барьер с помощью
туннельного эффекта. Это приводит к уменьшению по сравнению с
классическими оценками напряженностей полей, необходимых для
возникновения холодной эмиссии.
7. Электрическое поле вырывает, электроны из отдельных атомов и
молекул благодаря туннельному эффекту. Это явление автоиони-
автоионизации также происходит при меньших напряженностях поля, чем
это следует из классической физики. Явление автоионизации получило
свое объяснение в квантовой теории с учетом прохождения электронов
сквозь потенциальный барьер.
Туннельный эффект играет основную роль в явлениях радиоактив-
радиоактивного а-распада, которое рассмотрено в § 17.5.
§ 12.9. Линейный гармонический осциллятор
1. Линейным гармоническим осциллятором называется
частица с массой т, которая движется вдоль некоторой оси под дей-
действием квазиупругой силы F, пропорциональной отклонению х части-
частицы от положения равновесия: F——kx.
Здесь k — коэффициент квазиупругой си-
силы, связанный с массой т частицы и собствен-
собственной циклической частотой соо ее колебаний
формулой &=mcDJj [см. т. I, уравнение (8.15')].
Потенциальная энергия гармонического
осциллятора имеет вид [см. т. I, уравнение
C.10)] U(x)=kx2/2, изображенный на рис.
12.11. Модель гармонического осциллятора
имеет большое значение в физике. Например,
при объяснении механизма дисперсии света и изучении законов
теплового излучения абсолютно1 черного тела мы уже пользовят
лись моделью гармонического осциллятора. Эта модель может при-
применяться в тех случаях, когда амплитуда колебаний частицы невелика.
В противном случае сила F и потенциальная энергия U (х) неограни-
неограниченно возрастают с ростом х, Во всех реальных физических задачах с
-264-
Рис. 12.12
ростом амплитуды колебаний возникают отклонения от гармоничности
колебаний и кривая на рис. 12.11 теряет физический смысл. Модель
гармонического осциллятора часто применяется в приложениях по-
потому, что с помощью надлежащим образом выбранных координат (так
называемых «нормальных координат») малые колебания произвольной
системы частиц могут быть представлены
как колебания совокупности гермонических
осцилляторов.
2. С классической точки зрения амп-
амплитуда малых колебаний гармонического
осциллятора определяется запасом его пол-
полной энергии W. В точках А и В кинетичес-
кинетическая энергия осциллятора становится рав-
равной нулю и вся энергия переходит в по-
потенциальную энергию осциллятора. Этим
точкам соответствуют значения координат
х—+а, где а — амплитуда колебаний клас-
классического осциллятора. За пределы области (—а, +а) классический
осциллятор выйти не может. Вероятность wKJl(x)dx того, что осцил-
осциллятор находится на отрезке от х до х + dx, по классической меха-
механике выразится отношением
. . , __ dt
где dt — промежуток времени, в течение которого осциллятор нахо-
находится между точками х и х + dx, Т=2п/ы0 — период колебаний ос-
осциллятора. Можно записать
, ч . 2dt mdx
Здесь v —■ скорость частицы, совершающей гармонические колебания,
например, по закону х=а sin coo^. Тогда
v = -г- = aoio cosco0 t = am0 (I —х2/а2у^,
если выразить cos (aot через х. Окончательно при т-а ^ х ^ а имеем
... I v\ Av — ——
Из рис. 12 12 видно, что плотность вероятности wK]l(x) неограничен-
неограниченно возрастает при приближении х к предельным точкам ±а, огра-
ограничивающим область, в которой может находиться классический ос-
осциллятор .
3. В квантовой механике задача о колебаниях линейного гармо-
гармонического осциллятора должна быть решена с помощью уравнения
Шредингера A2.22). Оно имеет для линейного гармонического осцил-
осциллятора следующий вид:
йот/™ --•■-«„« i... п A2.40)
d%i>
d
Введем обозначения:
£f+ff (*-?*■) *=»■
A2.41)
— 265 —
Тогда уравнение A2.40) можно записать так:
gf + (p-aV)t = 0. A2.40')
Если ввести новую переменную z=»Y^xt так что тт=ат1>
то уравнение A2.40') примет вид а-Л-\~ф—аг*)т|> = 0, или после
почленного деления на a
D)=°- A2-42)
Задача сводится к отысканию конечных, непрерывных и однознач-
однозначных решений этого уравнения в области —<х> <; г •< со. Замечатель-
Замечательным свойством уравнения A2.42) является то, что такие решения это
дифференциальное уравнение имеет лишь при определенных
значениях параметра р/&, а именно:
-| = 2п + 1 (п = 0; 1; 2; ...)• A2.43)
Мы ие будем приводить достаточно сложного Доказательства условия A2.43).
Однако можно простой подстановкой убедиться в существовании волновых функции,
удовлетворяющих уравнениям типа A2.42) при условии, что выполнено требование
A2.43). Например,
функция 1р<>(г) = е~г*'2 удовлетворяет уравнению -7-^+0—z2)ipo=O»
—— Z2} ib Q
Дифференциальное уравнение вида-t-j—(-(Я,—z2)iJ)=0 имеет конечные, непре-
непрерывные и однозначные решения во всем интервале г от —оо до +оо при условии, что
Я=2/г+1.
Условие A2.43) возникает из требования конечности решения уравнения A2.42)
во всем пространстве.
4. Подставляя в условие A2.43) отношение р/а из A2.41), получаем
2W
-=2п+1, откуда собственные значения энергии линейного гар-
монического осциллятора
^ U- A2.44)
Мы приписали энергии W индекс п, ибо из формулы A2.44) видно,
что энергия осциллятора Wn квантована и может иметь лишь диск-
дискретные значения, определяемые значениями квантового чис-
числа п. Дозволенные квантовой механикой значения »нергни линейного
— 266 —
гармонического осциллятора представляют собой систему равноот-
равноотстоящих друг от друга энергетических уровней, изображенных на
рис. 12.13. При п ^> 1 (n-fl/2 яг п) энергетические уровни осцилля-
осциллятора совпадают с теми значениями квантован-
квантованной энергии осциллятора W'n=nhuiu, которые ^
принимались Планком на заре возникнове-
возникновения квантовых представлений для истолкова- - * ___
ния законов излучения абсолютно черного
тела (см. § 10.2). п*0
5. Существенные отличия результата
A2.44) от выводов старой квантовой теории,
а также от результатов классического рас- Рис- 12.13
смотрения колебаний линейного гармоничес-
гармонического осциллятора сказываются при рассмотрении вопроса о наи-
наименьшей энергии, которой может обладать такой осциллятор.
По классической теории (а также по старой квантовой теории при
п=0), наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна
нулю. Это значит, что осциллятор не колеблется и находится в поло-
положении равновесия. Рассматривая атомы твердого тела в первом приб-
приближении как осцилляторы 1, классическая физика приводит к резуль-
результату, что при температуре абсолютного нуля (Т=0) такие атомы не
должны совершать колебаний. Современная квантовая механика при-
приводит к иному результату. Наименьшая энергия, которой может обла-
обладать линейный гармонический осциллятор, отлична от нуля и равна
Эта энергия называется нулевой энергией и не может быть отнята от
осциллятора никаким охлаждением вплоть до абсолютного нуля.
Она может быть отнята лишь изменением свойств самого осциллятора:
И^мин -*■ 0 ПРИ ю» -*■ 0- Но тогда сама постановка задачи о колебаниях
осциллятора теряет физический смысл. Наличие нулевой энергии и
"соответствующих ей «нулевых колебаний» осциллятора нашло свое
экспериментальное подтверждение в явлении рассеяния света кристал-
кристаллами при сверхнизких температурах. Эксперименты показали, что при
уменьшении температуры интенсивность света, рассеянного кристал-
кристаллами, стремится к некоторому значению, не зависящему от дальней-
дальнейшего охлаждения. С классической точки зрения интенсивность рассеян-
рассеянного света должна убывать до нуля по мере убывания температуры,
ибо должны прекращаться колебания атомов, на которых происходит
рассеяние света. Результаты опытов показывают, что и при Т -*■ 0 у
атомов сохраняются некоторые «нулевые колебания», на которых
и происходит рассеяние света. Этим «нулевым колебаниям» соответст-
соответствует нулевая энергия атомных осцилляторов.
Наличие нулевой энергии является характерным признаком лю-
любой системы частиц, рассматриваемых в квантовой механике. При
температурах, близких к абсолютному нулю, любое вещество нахо-
1 Они будут не одномерными, а трехмерными, ио это не имеет значения в данном
вопросе.
— 267 —
дится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы)
ведут себя, как некоторые колеблющиеся осцилляторы- Оказывается,
что нулевая энергия есть минимальная энергия, которой должен обла-
обладать квантовый атомный ос-
осциллятор в наинизшем энер-
энергетическом состоянии (при
я=0), для того чтобы соблю-
соблюдалось соотношение неопре-
неопределенностей. Нулевая энер-
энергия позволяет понять, поче-
почему гелий является единст-
i
/1
1
ш
\Ь
ь
i
Ifl
/
/|
Л!
/
ч
/1
1
1
f
1
1
11
н
т
и
1
1
1
л л
III!
II11II
111 11
llTTTr '
II 1 1
III 1
1 III 1
iIII i
1
1 I
I И
Д 1
II 1
1111
j j 1
' и"ГТГ
ill
1
J
1
Jr
Г
1
A
J li1
lu
If
i
[ 1 It И 11 '1
I |1 ||j 11
I II/1 u 1 If
fry
1
1
\
}
-а. О а A
Рис. 12.14
-6-5-4-3-2-1 в 1 Z 3 * S
Рис. 12.15
венным веществом, которое может существовать в жидком состоя-
состоянии при Т -> 0. Во-первых, это обусловлено тем, что у гелия
частота колебаний атомов юв сравнительно велика,, ибо она зависит от
массы т атома: соо ~ т.-1'*, а масса атома гелия мала. Поэтому у
гелия нулевая энергия /шо/2 имеет сравнительно большое числовое
значение. С другой стороны, силы притяжения атомов гелия малы,
ибо у них полностью застроены электронные оболочки с двумя элект-
электронами. В итоге атомы гелия и при Т ->- 0 находятся б интенсивном
движении, и гелий остается жидким вплоть до абсолютного нуля.
Жидкий гелий называется квантовой жидкостью, так как причиной
его жидкого состояния является квантовый эффект — наличие нулевой
энергии.
б. Вероятность обнаружить линейный гармонический осциллятор
на участке с координатами от х до х + dx в квантовой механике
равна
На рис. 12.14 изображены квантовая плотность вероятности для
состояния п-=\ и для сравнения —- классическая плотность вероятно-
вероятности сокл. Наиболее существенным отличием санв от сокл, является
возможность обнаружить частицу за пределами классически дозво-
дозволенной области |*| < а, т. е.. за точками Л и В на рис. 12.11. Это свя-
связано с тем, что благодаря волновым свойствам область за пределами
|*|< а, где полная энергия W меньше потенциальной, не запрещена
и там можно обнаружить частицу.
7. По мере увеличения квантового числа п кривая распределения
вероятностей |ф„ | 2, изображенная на рис. 12.15 для п=10, все больше
становится похожей на классическую кривую на рис. 12.12. В этом
находит свое выражение принцип соответствия Бора (см. §12.7, п. 7).
— 268 —
Глава XIII
СТРОЕНИЕ И ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ
ВОДОРОДОПОДОБНЫХ СИСТЕМ ПО БОРУ
§ 13.1. Опыты Резерфорда
по рассеянию а-частиц веществом
1. Э. Резерфорд исследовал рассеяние а-частиц при
прохождении их через тонкую металлическую фольгу A911). Альфа-
излучение образуется при естественном радиоактивном распаде атомов
некоторых тяжелых элементов и представляет собой положительно
заряженные частицы с зарядом 2 е и массой, приблизительно в четыре
раза большей, чем масса атома водорода (под- р
робнее от а-частицах см. в гл. XVII).
Энергии а-частиц, испускаемых различны-
различными радиоактивными элементами, имеют по-
порядок величины 106—107 эВ (от 4,05-106 эВ
для урана до 8,78- 1ОэВ для тория С). С
помощью таких частиц, обладающих достаточ-
достаточно большими энергиями, Резерфорд сссвоими
сотрудниками Гейгером и Марсденом зондиро-
зондировал вещество — «простреливал» металлические
фольги. Установка-для изучения рассеяния
а-частиц изображена на рис. 13.1. Металли-
Металлическая камера А, сверху закрытая стеклян-
стеклянной пластинкой Р, прикреплялась к подставке
В, на окружности которой были нанесены градусные деления. Вся под-
подставка вместе с камерой могла вращаться на шлифе С. Сбоку в камеру
А был вделан микроскоп М, перед объективом которого укреплялся эк-
экран, покрытый сернистым цинком. Источник а-частиц R помещался в
свинцовом футляре F, имеющем диафрагму D. На пути пучка а-частиц
помещалась рассеивающая металлическая фольга Е толщиной 10~7—
—10~6 м. Источник и фольга укреплялись неподвижно на трубке Т,
проходящей через основание прибора. Через эту трубку из камеры А
откачивался воздух, чтобы не происходило рассеяния а-частиц на мо-
молекулах воздуха. Попадание каждой а-частицы на экране S вызывало
вспышку — сцинтилляцию, обусловленную флуоресценцией экрана.
При повороте камеры на различные углы на экран попадали а-ча-
а-частицы, рассеянные под соответствующими углами. С помощью опи-
описанной установки можно было наблюдать а-частицы, рассеянные под
углами до 150°.
2. Опыты, проведенные в лаборатории Резерфорда, показали,
что наряду с подавляющим большинством а-частиц, отклоняющихся
весьма незначительно от своего первоначального направления, име-
имелись а-частицы, которые при прохождении через тонкие фольги резко
отклонялись на весьма большие углы, порядка 135—150°. Объяс-
Объяснить эти резкие отклонения накоплением малых отклонений оказалось
невозможным.
Рис. 13.1
— 269 —
Опыты Резерфорда и его сотрудников явились экспериментальным
подтверждением высказанной Резерфордом идеи о том, что весь поло-
положительный заряд атома сосредоточен в его ядре — области, занимаю-
занимающей весьма малый объем сравнительно со всем объемом атома. Рассея-
Рассеяние а-частицы на таком малом объеме маловероятно, поэтому большин-
большинство а-частиц испытывает незначительное рассеяние; а-частицы про-
проходящие вблизи от этой малой области, испытывают резкие отклоне-
отклонения, ибо на малых расстояниях силы отталкивания между положи-
положительно заряженными а-частицей и ядром должны быть очень велики.
Вероятность попаданий а-частиц в ядро и их отклонений на большие
углы сравнительно мала, но не равна нулю.
3. Резерфорд теоретически рассмотрел задачу о рассеянии а-частиц
в кулоновском электрическом поле ядра, содержащего Р положительно
заряженных частиц. Аналогичная задача рассмотрена в первом томе
курса (см. § 6.5) при изучении рассеяния частиц на неподвижном'
рассеивающем центре в предположении, что взаимодействие падающей
частицы и центра происходит по закону центральных сил с потенци-
потенциальной энергией взаимодействия Wn вида WB—$/r, гдер* — постоянная
величина, а г — расстояние от центра до частицы. Для взаимодейст-
взаимодействия а-частицы с ядром потенциальную энергию Wn запишем так:
й?п=|—-, где е=1,6-10-" Кл — элементарный электрический за-
заряд," 2е и Ре — заряды а-частицы и ядра, так что
а 2е-Ре
Р
Обозначим через п плотность потока а-частиц, налетающих на ядро
(п выражается в м^-с), а через dN~—число а-частиц, рассеянных в
единицу времени внутрь телесного угла dQ. Отношение dN/n=da
называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния а-
частиц в кулоновском поле ядра атома. Согласно формуле Резерфорда
F.59) (см. т. I, § 6.5),
W) sin4(<p/2) '
где <р=п—2ф0 — угол рассеяния а-частицы (рис. 13.2), W — ее энер-
энергия; da выражается в м2.
Из формулы Резерфорда следует, что число а-частиц, рассеянных
за единицу времени внутрь единичного телесного угла, равно
dN _ (Ре-Ре У П лзп
dQ -П\Але0.ш) sin*(ф/2)' <16Л>
Формула A3.1) показывает, что для данного рассеивающего веще-
вещества при определенной энергии W а-частиц и заданной плотности их
dN . ф ~
потока произведение -щ- sin4 у должно оставаться постоянным. Это
было экспериментально подтверждено в опытах Гейгера и Марсдена,
описанных выше для углов рассеяния ср, меняющихся в широких
— 270 —
пределах от 15 до 150е. Небольшой разброс в значениях произведения
А V
Зтг sin4 (ф/2) объяснялся экспериментальными трудностями при созда-
нии моноэнергетических пучков а-частиц постоянной плотности п.
4. Формула A3.1) дает возможность по измеренному числу'частиц,
рассеянных под некоторым углом ср, определить число Р элементарных
положительных зарядов, содержащихся в ядре атомов данной рассеи-
рассеивающей фольги. Опыты показали, что это число роено порядковому
номеру Z элемента в периодической системе Менделеева, т. е. P=Z.
Таким образом, идея Резерфорда о сосредоточении положительного
заряда в его ядре не только получила блестящее экспериментальное
подтверждение, но и позволила устано-
установить физический смысл порядкового но-
номера в периодической системе элементов
(см. § 14.5).
Очевидно, что в нейтральном атоме
должно содержаться также Z электро-
электронов. Поэтому проверкой справедливости
ядерной модели атома послужило изуче-
изучение тех явлений, в которых независимым
путем могло быть определено число элект- Рис- 13-2
ронов в атоме. Три группы явлений
особенно пригодны для этой цели, прежде всего измерение интенсив-
интенсивности рассеянного света в различных участках спектра. Как известно,
рассеяние света происходит на электронах атомов и носит резонанс-
резонансный характер — оно наиболее интенсивно при совпадении частот
рассеиваемого света и собственной частоты колебаний электронов.
Опыты показали, что в атомах имеется несколько групп электронов,
«резонирующих» на различные частоты падающего света. Теория яв-
явления рассеяния света позволяет по известной интенсивности рассеян-
рассеянного света в данной области частот определить число электронов,
участвующих в рассеянии. Таким образом, измеряя интенсивность
рассеянного света в широком диапазоне частот, можно найти полное
число электронов в атоме. Другим независимым методом определения
числа электронов в атома* является изучение потерь энергии а- и р-
частиц при прохождении их сквозь слой вещества некоторой толщины.
Оказывается, что потери энергии а- и р-частицами в веществе связаны
с числом электронов в атоме, которое может быть определено по этим
потерям. Наконец, измерение коэффициента рассеяния рентгеновских
лучей данным атомом также дает возможность найти общее число Z
его электронов (см. § 14.12). Существенно, что число электронов в а'то-
ме, определенное различными методами, совпало с числом элементар-
элементарных положительных зарядов в ядре, измеренным по рассеянию а-ча-
а-частиц.
5. По известному заряду ядра Ze можно установить верхний предел
размеров ядра. При рассеянии а-частицы ядром не происходит их
столкновения в механическом смысле этого слова, ибо в случае такого
столкновения закон взаимодействия Wn=$lr и вытекающая из него
формула Резерфорда не были бы справедливы. Сумма радиусов ядра и
— 271 —
а-частицы * меньше того минимального расстояния г0) на которое
сближаются их центры при столкновении (рис. 13.2). Для оценки г0
рассмотрим центральный удар а-частицы о ядро, соответствующей
углу рассеяния <р= 180°. Из закон» сохранения энергии следует, что
в момент наибольшего сближения а-частнцы с ядром ее кинетическая
энергия гаса/2 полностью перейдет в потенциальную энергию их взаи-
взаимодействия:
Здесь т — масса а-частицы, v — ее начальная скорость вдали от ядра.
Для а-частиц, испускаемых RaC, ч=1,9-107 м/с. Оценим г0 для золота
(Z=79). Подставив значения: е=1,6-10~1в Кл и wi=6,5-10-21 кг, полу-
получим
Таким образом, ядро атома золота имеет размеры, меньшие этой
величины. Если предположить, что электрон имеет сферическую фор-
форму, то, как можно показать (см. §14.3), его «классический радиус»
должен иметь такой же порядок величины. Это наряду с другими
важными обстоятельствами, которые мы обсудим подробнее в § 16.3,
привело к .выводу, что электроны не могут находиться в ядре. Совре-
Современные методы оценки размеров ядер показывают, что эти размеры
имеют порядок 10~15 м (см. § 16.6).
§ 13.2. Ядерная модель атома Резерфорда
1. На основании результатов опытов по рассеянию а-
частиц тонкими металлическими фольгами и следствий, к которым при-
привели эти опыты, Э Резерфордом была предложена ядерная модель
атома. Согласно этой модели, в ядре атома — малой по сравнению
с объемом всего атома области с линейными размерами 10~15 — Ю~14м—
сосредоточен весь его положительный заряд и практически вся масса
атома. Вокруг ядра в области с линейными размерами ~10~10 м дви-
движутся электроны, масса которых составляет лишь весьма малую долю
массы ядра 2. Статическая ядерная модель атома, в которой электроны
были бы неподвижны, физически бессмысленна. В результате действия
кулоновских сил притяжения электроны сразу же упали бы на ядро.
Чтобы этого не произошло, электроны должны двигаться около ядра по
орбитам, зависящим от энергии электронов Ядерная модель атома
Резерфорда внешне очень напоминает Солнечную систему: в центре
системы находится «солнце» — ядро, а вокруг него по орбитам движу-
движутся «планеты» — электроны Поэтому данную модель часто называют
планетарной Орбиты электронов в атоМе стационарны; атому свойст-
свойственна исключительная устойчивость, о чем, в частности, сви-
1 Если считать, что оба они имеют сферическую форму
2 Напомним, что масса электрона в 1836,5 раза меньше массы протона — ядра
атома водорода.
— 272 —
детельствуют оптические линейчатые спектры атомов, отличающиеся
определенным для всех атомов данного элемента расположением линий.
2. Устойчивость атома не может быть согласована с классическим
истолкованием ядерной модели. Рассмотрим, например, ядерную мо-
модель простейшего атома — атома водорода, содержащего один элект-
электрон и ядро — протон. Предположим ради простоты, что электрон дви-
движется вокруг протона по круговой орбите. В § 12.4 мы видели, что
классическое представление об орбите, как о траектории движения
электрона в атоме, не выдерживает критики с квантовомеханической
точки зрения. Однако, как мы увидим в § 14.2, имеет смысл говорить о
геометрическом месте точек, в которых с наибольшей вероятностью
может быть обнаружен электрон в атоме водорода. Это геометрическое
место заменяет в квантовой механике классическое представление об
орбите электрона. В дальнейшем, употребляя термин «орбита» элект-
электрона, мы будем иметь в виду этот его смысл. Скорость электрона на
круговой орбите с радиусом г « Ю0 м должна быть порядка v—
= 10в м/с (это сразу следует из формулы — =г~—з) • а центростре-
центростремительное ускорение a—vi/r должно иметь порядок величины 10а2 м/с2 *•
Такой ускоренно движущийся электрон должен вести себя как вибра-
вибратор, колеблющийся с большой частотой; он должен излучать электро-
электромагнитные волны (см. § 3 2).
По формуле C.19) можно рассчитать мощность излучения электро-
электрона, ускоренно движущегося в атоме. Согласно классическим пред-
представлениям, это излучение (и связанная с ним потеря электроном
его энергии) должнб происходить непрерывно. Поэтому электрон не
сможет удержаться на круговой орбите — он должен по спирали приб-
приближаться к ядру, и частота его обращения вокруг ядра (а следова-
следовательно, и частота излучаемых им электромагнитных волн) должна
непрерывно изменяться. Иными словами, электромагнитное
излучение атома должно иметь непрерывный, а не линейчатый спектр.
Можно было бы избежать трудности с потерей электроном энергии на
излучение, если допустить, что он движется с малыми скоростями и
ускорениями, т. е. считать, что его излучение пренебрежимо мало.
Однако в этом случае также неизбежно падение электрона на ядро,
потому что при малых скоростях электрон не сможет удержаться
на орбите такого радиуса, который соответствует реальным размерам
атома.
3. Таким образом, применение классической электродинамики к
ядерной модели атома привело к полному противоречию с экспери-
экспериментальными фактами. Согласно классической теории, должны иметь
место:
а) непрерывная потеря электроном энергии в виде излучения элект-
электромагнитных волн и неустойчивость атома;
б) существование только непрерывного спектра. Спектральных
'линий существовать не должно.
1 Поскольку речь идет о классической модели атома, такие классические оценки
могут быть сделаны.
— 273 —
В действительности оказывается, что: а) атом является устойчивой
системой; б) атом излучает энергию лишь при определенных условиях;
в) излучение атома имеет линейчатый спектр, связанный, как мы уви-
увидим дальше, со строением и свойствами его электронной оболочки.
Эти выводы относятся не только к атому водорода, но и к другим
атомам.
§ 13.3. Линейчатый спектр атома водорода
1. Светящиеся газы дают линейчатые спектры испуска-
испускания. В соответствии с законом Кирхгофа (см. § 10.2) спектры погло-
поглощения гааов также имеют линейчатую структуру. Изучая линейчатый
спектр водорода, швейцарский учитель физики И. Бальмер установил
A885 ), что длины волн известных в то время девяти линий спектра
могут быть вычислены по формуле
Я = ?уг2/(я2-4). A3-3)
где Я0=3646,13А, а п=3, 4, 5,..., 11—целые числа.
Формулу A3.3) обычно записывают в ином виде:
где #' = 10973731,77 м-1, п—3, 4, 5,...; v* = lA называется волновым
числом. Константа R' впервые была определена Р. Ридбергом и назы-
называется постоянной Ридберга. Формула Бальмера, впервые указавшая
на особое значение целых чисел в спектральных закономерностях,
сыграла выдающуюся роль в развитии учения о строении атомов.
В настоящее время известно большое число линий в спектре водо-
водорода, длины волн которых укладываются в формулу Бальмера. Если
учесть большую точность спектроскопических измерений, то следует
признать, что формула Бальмера принадлежит к числу наиболее точ-
точных закономерностей физики. Формулу A3.4) переписывают нередко
для частот v соответствующих линий. Так как v=cA, то формула
A3.4) для частот имеет аналогичный вид:
■*(?-;?).
Произведение /?=/?'-с=3,2931193-101* с-1 также называется по-
постоянной Ридберга \ но выраженной в с-1. Из формулы A3.4) видно,
что все линии, отличающиеся различными значениями п, образуют
группу, или серию, линий, называемую серией Бальмера. С уве-
увеличением п линии серии сближаются друг с другом. Значение п=оо
определяет границу серии Бальмера. Ей соответствует длина волны
А,гр=3645,068-10-1° м=3645,068А,
2. Ридберг показал, что в линейчатых спектрах не только водо-
водорода, но и других элементов наблюдаются спектральные серии, при-
1 Обычно в литературе оба значения постоянной Ридберга обозначаются-одной
буквой R и лишь указывается, в каких единицах ока выражена: с нли м-1.
— 274 -
чем частоты v всех линий данной серии удовлетворяют соотношению
v = 7>2)-7>1), A3.4")
где п2 и «1 — некоторые целые числа. Функции Т(п2) и Т (щ) назы-
называются спектральными термами. Для данной серии п2 имеет постоянное
значение. Изменение числа щ дает все линии данной серии. Например,
для серии Бальмера из A3.4") следует, что T(n2)=R/22 и TinJ^R/nl
При неограниченном возрастании nxT(n^)^>- 0 и частоты линий серии
Бальмера стремятся к пределу, которым является терм Т(п2), пред-
представляющий собой частоту границы серии.
В. Ритц установил A908) справедливость положения, называемого
комбинационным принципом Ритца: частоты спектральных линий
излучения любого атома могут быть представлены в виде разности
двух термов; составляя различные комбинации термов, можно найти
все возможные частоты спектральных линий этого атома.
Из комбинационного принципа Ритца следует, что в спектре водо-
водорода кроме бальмеровскои серии должны существовать другие серии,
которые могут быть получены из термов серии Бальмера. Например,
вычитая из частоты водородной линии Нр vHp = /? (^ ~¥)
частоту линии НаУна = Я (а»"!}*) ' ПОЛУЧИМ
Аналогичным путем можно найти и другие линии серии, обнаружен-
обнаруженной Ф. Пашеном в инфракрасной части спектра водорода и называе-
называемой серией Пашена:
v = #(p—-}р) , где п = 4, 5, 6, ...
3. Тщательные исследования спектра водорода показали, что в нем
наблюдаются еще четыре серии спектральных линий. В далекой ультра-
ультрафиолетовой области спектра была обнаружена серия Лаймана
v = tf(p—^) , где и = 2, 3,4, ...
В далекой инфракрасной области были также обнаружены:
серия Брэкета
серия Пфунда
v = R (Jt—Д») . где п = 6, 7,"...;
серия Хэмфри
(^г-^), где я = 7, 8, ...
— 275
Таким образом, все сериальные формулы спектра водорода могут
Зыть выражены единой формулой
A3.5')
где т и п — целые числа, причем для данной серии п=т+1, т+2,
т+3 и т, д. Для серии Лаймана т—\, для серии Бальмера т=2, для
серии Пашена /и=3 и т. д.
При неограниченном возрастании п частоты всех серий водородного
спектра сходятся к соответствующим границам. Граничные частоты
водородного спектра Т(т) равны Rim*.
Из формул A3.5), подтвержденных на опыте с огромной, «спектро-
«спектроскопической», точностью, ярко выступает особое значение целых чи-
чисел в спектроскопических закономерностях В гл. XIII мы видели,
что квантовомеханическое решение некоторых задач об энергии (на-
(например, у осциллятора, электрона в «ящике» и др.) также приводит к
особой роли целых чисел — квантовых чисел, определяющих дискрет-
дискретные значения энергии Забегая вперед, укажем сразу, ято числа тип
в формулах A3 5) также являются квантовыми числами, определяю-
определяющими энергетические уровни атома водорода. Однако от открытия
сериальных закономерностей в атоме водорода до квантовомеханичес-
кого решения задачи об атоме водорода физика прошла огромный путь,
исторически очень короткий, но полный драматизма и выдающихся
открытий. Этот путь, как и вся физика первой половины нашего4 века,
навсегда будет связан с именем великого физика-датчанина Нильса
Бора.
§ 13.4. Теория Бора
для водородоподобных систем
1. В предыдущем параграфе было показано, что дискрет-
дискретный линейчатый спектр атома водорода и закономерности A3 5) или
A3.5') находятся в прямом противоречии с классическим истолкова-
истолкованием модели атома Резерфорда
Первая попытка построения неклассической теории атома была
предпринята Бором A913) и составила важный этап в развитии совре-
современной физики. В основе этой теории лежала идея связать в единое
целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную
модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглоще-
поглощения света, подтвержденные обширным экспериментальным материа-
материалом. В теории Бора не содержалось принципиального отказа от описа-
описания поведения электрона в атоме при помощи законов классической
физики. Такое описание сохранялось. Однако для достижения тех
целей, которые поставил перед собой Бор, ему пришлось классическое
описание дополнить некоторыми ограничениями, накладываемыми на
возможные состояния электронов в атоме. Эти ограничения были
сформулированы в виде постулатов, физический смысл которых не
— 276 —
только не мог быть объяснен в рамках теории, но, более того, противоре-
противоречил сохраняющемуся в теории классическому описанию движения
электрона в^атоме. Тем не менее такой принципиально непоследова-
непоследовательный путь привел к правильным результатам в некоторых вопросах,
в частности к объяснению спектральных закономерностей атома водо-
водорода. Причина этого заключается в том, что в боровской теории, кото-
которую часто называют «старой» квантовой теорией, были правильно
указаны некоторые свойства атомных систем. Как мы увидим, эти
правильные результаты могут быть получены в квантовой механике из
гораздо более строгих и общих положений, не требующих постулатов.
Теория Бора применима не только к атому водорода, но и к так
называемой водородоподобной системе, состоящей из ядра с зарядом
Ze и одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Такую систему
называют также изоэлектронной водороду. Примерами таких систем
являются ионы Не+, Li++ и др.
2. Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)
заключается в следующем, существуют некоторые стационарные сос-
состояния атома, находясь в которых он не излучает энергии. Этим ста-
стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стацио-
(стационарные) орбиты, по которым движутся электроны. При движении
по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них уско-
ускорения, не излучают электромагнитных волн.
Второй постулат Бора (правило квантования орбит) утверждает,
что в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой
орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса,
удовлетворяющие условию
Ln = mvr = nfi, где п=1; 2; 3; ... A3 6)
Здесь т — масса электрона, v — скорость электрона, г — радиус его
орбиты, А=Л/2я.
Целое чясло п равно числу длин волн де Бройля для электрона,
укладывающихся на длине круговой орбиты. В самом деле, учитывая
формулу A2.2), найдем срношение длины окружности к длине волны де
Бройля:
2лг 2nrmv
Третий постулат Бора (правило частот) устанавливает, что
при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испус-
испускается или поглощается один фотон. Излучение происходит при пере-
переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей
энергией (при переходе электрона с орбиты, более удаленной от ядра
на более ближнюю к ядру орбиту). Поглощение фотона сопровождается
переходом атома в состояние с большей энергией. Этому соответствует
переход электрона на более удаленную от ядра орбиту. Изменение энер-
энергии атома, связанное с излучением или поглощением фотона, пропор-
пропорционально частоте v. Если AW— изменение энергии атома в резуль-
результате этих процессов, то
AW=hv. A3.7)
- 277 -
Правило частот Бора A3.7) может быть записано иначе. Если Wn
и Wm — энергия атома в двух стационарных состояниях, то
Wn-Wm = hvnm. A3.7')
При Wm < Wn происходит излучение фотона, при Wm > Wn — его
поглощение.
3. Анализируя содержание постулатов Бора, нельзя не заметить,
что первый и третий постулаты связаны с невозможностью классичес-
классического обоснования ядерной модели атома, а также со спектральными
закономерностями A3.5) в атоме водорода и квантовой структурой
излучения. В самом деле, сопоставление формул A3.7'), A3.5') и
A3.4") позволяет заключить, что энергия атома в некотором стационар-
стационарном состоянии
где п=1,2,..., A3.8)
а спектральный терм связан с энергией атома формулой
Таким образом, целые числа, входящие в сериальные формулы
A3.5) и A3.5'), определяют квантованные значения энергии атома *
(энергетические уровни атома водорода). Целое число п, определяющее
энергетические уровни водородного атома по формуле A3.8), называ-
называется главным квантовым числом.
Из формулы A3.8) следует, что энергетические состояния атома
водорода образуют последовательность энергетических уровней, из-
изменяющихся в зависимости от значения п. Энергетическое состояние,
соответствующее значению п=1, называется основным или нормаль-
нормальным (невозбужденным) состоянием. Все состояния с п > 1 называются
возбужденными. При возрастании п энергетические уровни сближаются
к границе, соответствующей значению п=оо. При этом значении п
W№=0. Знак минус в формуле A3.8) показывает, что электрон связан
в атоме силой притяжения к ядру. Поэтому «бсолютное значение Wn
в формуле A3.8) считают энергией связи электрона в атоме, находя-
находящемся в состоянии п. Тогда значение ^„=0 соответствует ионизации
атома, т. е. отрыву от него электрона. Энергия ионизации из данного
состояния равна по абсолютной величине энергии связи электрона в
атоме в этом состоянии. Энергия ионизации WaQH связана с потенциа-
потенциалом ионизации ф: №нои=еср, где е — абсолютная величина заряда
электрона. Таким образом,
Подставив в это соотношение значение R 2, получим для потенциала
ионизации атома водорода из нормального состояния (п=1) величину
1 Мы считаем, что ядро атома неподвижно и энергия одноэлектронной системы
равна энергии движущегося электрона. В случаях, когда необходимо учитывать дви-
движение ядра, будут сделаны специальные оговорки.
а Значение R должно быть взято с учетом движения ядра (см. об этом п. 4).
— 278 —
<р=13,53 В. На рис. 13.3 приведена схема энергетических уровней
атома водорода. Стрелками указаны переходы, соответствующие излу-
излучению различных серий спектральных линий.
4. Второй постулат Бора не мог быть навеян никакими эмпиричес-
эмпирическими формулами и явился его гениальной догадкой. Этот постулат
A3.6) в соединении с
формулой A3.7') поз-
позволил Бору рассчитать
спектр атома водорода
и других изоэлектрон-
ных водороду систем, а
также теоретически вы-
вычислить соответствую-
соответствующие им значения посто-
постоянной Ридберга, нахо-
находящиеся в хорошем сог-
согласии с опытом. Бор счи-
считал, что движение элект-
электрона в водородоподоб-
водородоподобной системе происходит
по круговой орбите ра-
радиуса г под действием
кулоновской силы при-
притяжения электрона к
ядру, обусловливающей
центростремительное ус-
ускорение, т. е. можем
mv2 Ze2
записать: — =
или, так как v=tor, где
со — угловая скорость
вращения,
A3.9)
' 4яео/псо2 "
Рис. 13.3
Возведем в квадрат
соотношение A3.6):
шайУ=пФ. Из двух последних формул получим
^), где и =1; 2; ... .
При л=1 для водорода Z=\ имеем
гх = ай = Й.Мпбо/(/пе2) = 0,529 • 100 м = 0,529 А.
A3.9')
A3.9я)
Эту величину называют радиусом первой орбиты электрона в атоме
водорода (первым воровским радиусом).
Из формулы A3.9') видно, что радиусы орбит растут пропорцио-
пропорционально квадратам целых чисел. Энергия электрона в водородоподобной
системе рашна сумме его кинетической WK и потенциальной WB энер-
279
гии в электростатическом поле ядра:
к п 2 4ле0г 2 4n8jf *
Подставив г в A3.9'") из A3.9'), получим
*■=-*•$£• <13Л0>
Сравним формулы A3.8) и A3.10). Для круговой орбиты числа п,
определяющее в теории Бора момент импульса электрона, совпадает
с главным квантовым числом х. Приравнивая коэффициенты при 1/па
для водорода, получим
A3.11)
Формула A3.11) дает значение постоянной Ридберга для водорода.
Учет движения ядра сводится к тому, что вместо массы т электрона в
формулу A3.11) следует ввести приведенную массу тприв двух частиц —
электрона и ядра, движущихся относительно центра масс системы
ядро — электрон: тпряв=^тМ/(т+М), где М — масса ядра атома.
Полученное таким образом значение R для водорода RH = 3,28805 х
X Ю15 с~1 находится в хорошем согласии с данными, полученными из
спектроскопических измерений. Постоянная Ридберга Rz для водоро-
водородоподобнои системы выразится в соответствии с A3.10), A3.11) и A3,8)
как
Энергетические уровни водородоподобнои системы можно записать
в следующем виде:
Wn^ — Z*Rh/n\ A3.8")
5. Для вычисления постоянной Ридберга можно воспользоваться принципом
соответствия Бора, сформулированным в § 12.7. Классическое выражение для радиуса
орбиты электрона в атоме водорода согласно A3.9) имеет вид
Эта формула приводит к выражению для энергии электрона по A3.9"')
1 («*)'/» m1" m1"
1
2
Рассмотрим теперь переход электрона между двумя соседними энергетическими
уровнями п и п—1 при гф>1. По принципу соответствия результаты квантовомеханиче-
ского и классического рассмотрения должны при этом совпадать. Частота", соответ-
1 Это может быть доказано, если правило квантования орбит A3.6) сформули-
сформулировать в более общем виде, пригодном для произвольного периодического движения
электрона, имеющего s степеней свободы. Из такой обобщенной формулировки сле-
следует, что для кругового движения электрона существует лишь одно квантовое чис-
число/г, определяющее энергию и момент импульса. В § 14.1 мы увидим, что в квантовой
механике квантование момента импульса производится существенно иначе, чем в
теории Бора, и что выводы теории Бора в отношении квантования момента импульса
неправильны.
— 280 —
ствующая этому переходу,
I 1 „ 2я—1 2R_
2~^J~ «2(«1JИ n3
и,бо гф>1. Таким образом, nb—2Rh и п= DnR)lf*a~1^. Энергия электрона по форму-
формуле A3.8) равна
W- Rh- "
-0
Приравнивая по принципу соответствия классическое и квантовое выражения
для энергии, после возведения в куб получаем
R=-
Этот результат совпадает с формулой A3.11).
§ 13'. 5. Экспериментальное подтверждение
постулатов Бора. Успехи и затруднения теории Бора
1. Постулат Бора о существовании стационарных' со-
состояний атомов и правило частот (третий постулат) нашли свое экспе-
экспериментальное подтверждение в опытах Д. Франка и Г. Герца, постав-
поставленных в 1913 г. В этих опытах изучались столкновения электронов с
атомами газов методом задерживающего по-
потенциала. Идея опытов заключалась в том, S А
что пучок электронов, ускоряемых в электри- |
ческом поле, проходил через газ и электроны £ 1
испытывали соударения с атомами газа. Пер- 5 {
вые опыты были поставлены на ртути. —' ^
Схема опытов изображена на рис. 13.4. I I
Накаленный катод К, испускающий электро- +nj£ 1$шля
ны, сетчатый электрод S и анод А, соединен-
соединенный с электрометром или гальванометром G, Рис. 13.4
помещались в стеклянный сосуд, в котором
находились ртутные пары при давлении около 0,1 мм рт. ст.
Между катодом и сеткой создавалось ускоряющее электрическое поле
с разностью потенциалов <pi, а между сеткой и анодом — слабое замед-
замедляющее поле с разностью потенциалов фа, не превышающей 0,5 В.
Электроны, встречающие на своем пути атомы ртути, могут испытывать
с ними соударения двоякого рода. Первый тип соударений — упру-
упругие столкновения, в результате которых энергия электронов
не изменяется, а изменяются лишь направления скоростей электронов.
Такие упругие столкновения, хотя и затрудняют попадание электро-
электронов на анод, не могут явиться причиной практически Полного отсут-
отсутствия анодного тока в трубке, который должен возрастать с увеличе-
увеличением ускоряющей разности потенциалов ф*. Второй тип возможных
соударений электронов с атомами — неупругие столкно-
столкновения — связан с потерей электронами их энергии и передачей этой
энергии атомам ртути. В соответствии с постулатами Бора каждый
из атомов ртути не может принять энергию в любом количестве. Атом
— аи -
IS ?VB
может воспринять лишь определенную энергию и перейти при этом в
одно из возбужденных энергетических состояний. Ближайшим к нор-
нормальному состоянию атома ртути является возбужденное состояние,
отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ.
До тех пор пока электроны, ускоряемые полем, не приобретут энер-
энергию eqI=4,86 эВ, они испытывают лишь упругие столкновения и
анодный ток возрастает. Как только кинетическая энергия электронов
достигает 4,86 эВ, начинают происходить неупругие - столкновения.
Электрон с таким значением энергии пол-
полностью отдает ее атому ртути, возбуждая
переход одного из электронов атома ртути
из нормального энергетического состояния
на возбужденный энергетический уровень.
Ясно, что такой электрон, потерявший
свою кинетическую энергию, не сможет
преодолеть задерживающее его поле и не
достигнет анода. Таким образом, при раз-
разности потенциалов между катодом и сет-
сеткой, равной 4,86 В, должно происходить
резкое падение анодного тока. Аналогич-
Аналогичное явление должно происходить при
еф1=2-4,86 эВ, 3-4,86 эЭ и, вообще говоря,
при еф1=/г-4,86эВ, когда электрбны могут испытать два, три и т. д.
неупругих соударения с атомами ртути, потерять при этом полнос-
полностью свою энергию и не достигнуть анода. На рис. 13.5 приведена
характерная кривая зависимости анодногб тока от разности потен-
потенциалов между катодом и сеткой в опытах Франка и Герца, подтверж-
подтверждающая справедливость первого постулата Бора.
2. Третий постулат Бора (правило частот) также эксперимен-
экспериментально подтвердился в опытах Франка и Герца. Ртутные пары, воз-
возбужденные электронном ударом, оказались источником ультрафиоле-
ультрафиолетового излучения с длиной волны 2537 А (первая резонансная
линия ртути). Это излучение происходит в тот момент, когда атом рту-
ртути, возбужденный электронным ударом на уровень с энергией W2,
возвращается в основное нормальное энергетическое состояние с энер-
энергией Wl Согласно правилу частот Бора A3.7), W2—Wi=hv, где
W2— W,=AW. По известному ДТ^=4,86 эВ=4,86 е Дж, где е=
= 1,6-10~1Э Кл — заряд электрона, можно вычислять длину волны
излучения: A,=/ic/AW=2,537-10-7 м=2537 А. Этот результат пол-
полностью согласуется с экспериментом.
3. Серьезным успехом теории Бора явилось теоретическое вычис-
вычисление постоянной Ридберга для водородоподобных систем и объясне-
объяснение структуры их линейчатых спектров. В частности, Бору удалось
правильно объяснить серии спектральных линий ионизованного гелия,
до этого приписываемые водороду (так называемые серии Пикеринга и
Фаулера для Не+). По значениям постоянной Ридберга R для Н и Не+
можно теоретически вычислить отношение массы протона к массе элект-
электрона тр/те и значение RH при неподвижном ядре. Вычисления при-
привели к значению тр1те=\Ы7, находящемуся в согласии с известным
— 282
из опыта. Это было очень важным подтверждением правильности ос-
основных идей, содержащихся в теории Бора. Не менее важным оказа-
оказалось нахождение удельного заряда электрона е/те из спектроскопи-
спектроскопических данных. Значение е/те определяется по известным постоянным
Ридберга для двух различных атомов, например водорода и дейтерия
(тяжелого водорода).
Теория Бора объяснила физическую природу характеристических
рентгеновских спектров (см. & 14.11), расщепление спектральных
линий в сильном магнитном поле (нормальный эффект Зеемана, § 14.9)
и другие явления. Дальнейшее обобщение правил квантования орбит
на системы с многими степенями свободы позволило установить, что
состояние электрона в водородоподобной системе не может быть опи-
описано одним квантовым числом. Квантовых чисел должно быть столько
же, каково число степеней свободы, например для эллиптической
орбиты электрона их должно быть два.
4. Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики.
В период ее развития A913—1925) были сделаны важные открытия,
навсегда вошедшие в сокровищницу физической науки.
Особенно велика ее роль в развитии атомной, а также частично и
молекулярной спектроскопии, где огромный экспериментальный ма-
материал с помощью теории Бора был систематизирован и сведен к опре-
определенным полуэмпирическим закономерностям.
Однако наряду с определенными успехами в теории Бора с самого
начала обнаружились существенные недостатки. Главнейшим из них
была внутренняя противоречивость теории. Основываясь на механи-
механическом соединении классической физики с квантовыми постулатами,
теория Бора в ряде проблем привела к существенным трудностям.
Сюда прежде всего относится вопрос об интенсивностях
спектральных линий. Для их вычисления в теории Бора приходилось
применять принцип соответствия не только для больших квантовых
чисел, но и для малых, т. е., по существу, использовать для расчета
интенсивностей классические представления. Наиболее серьзной не-
неудачей в теории Бора явилась абсолютная невозможность с ее помощью
создать теорию атома гелия, содержащего помимо ядра два электрона.
Постепенно становилось очевидным, что теория Бора, правильно
объяснившая одни факты и не способная истолковать целый ряд дру-
других, представляет собой лишь переходный этап на пути создания после-
последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последователь-
последовательной теорией явилась квантовая (волновая) механика. Применение ее к
атомным процессам позволило не только объяснить огромное многооб-
многообразие явлений атомной и ядерной физики, но и вскрыть физическое
содержание самих постулатов Бора.
Глава XIV
СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ
И ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ АТОМОВ
§ 14.1. Водородоподобная система
в квантовой механике
1. Результаты, достигнутые боршской теорией в решении
задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобной си-
системе, получены в квантовой механике без~ привлечения постулатов
Бора.
Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра Ze,
г. е. задачу об электроне, обладающем потенциальной энергией U(r)=
=—Zea/4ne0r, где г — расстояние между электроном и ядром. Состоя-
Состояние электрона в водородоподобном атоме описывается некоторой вол-
волновой функцией ip, удовлетворяющей стационарному уравнению Шре-
дингера:
A^ + J^W— t/)t|5 = O. A4.1)
л2
Здесь W — значения полной энергии электрона в атоме, которые
требуется отыскать при условии, что г|з удовлетворяет требованиям
конечности, однозначности и непрерывности (см. § 12.5). Центрально-
симметричный характер силового поля, в котором движется электрон,
естественно, требует использования сферических координат при реше-
решении уравнения A4.1).
2. Решение уравнения Шредингера для водородоподобной системы
в сферических координатах позволяет получить важные результаты.
Оказывается прежде всего, что момент импульса элект-
электрона в атоме квантуется по формуле
Ь(^УЦГ+1)П, A4.2)
где /=0; 1; 2;...; п — 1 — орбитальное квантовое число1. Далее, из
уравнения A4.1) следует, что при W < 0, т. е. в условиях, когда элект-
электрон «связан» в атоме, его движения должны быть периодическими, а
значения W — полной энергии — квантованными. Значения энергии,
которыми может обладать электрон в атоме, определяются выраже-
выражением
w .
где пг — так называемое радиальное квантовое число. Если ввести
обозначение
n=nr + /+l, A4.4)
то выражение A4.3) для энергетических уровней электрона в водоро-
водородоподобной системе можно записать в форме, аналогичной выражению
1 Пределы, вТюторых изменяется число /, рассмотрены в конце этого параграфа,
- 284 -
A3.10) в теории Бора:
Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера
для электрона в водородо подобной системе приводит к энергетическим
уровням типа Бальмера — Ридберга без использования каких-либо
постулатов. Квантовое число п, определенное по формуле A4.4), сов-
совпадает с главным квантовым числом, вводимым в теории Бора по фор-
формуле A3.8). Энергетические уровни электрона для водородоподобной
системы зависят только от главного квантового числа. Из формулы
A4.4) следует, что наибольшему значению /макс при данном п соответ-
соответствует nr=Q, т. е. 1макс.=п — I. Следовательно, при заданном п
орбитальное квантовое число может принимать следующие значения:
/=0, 1,2, .... (п—1). A4.5)
§ 14.2. Основное состояние атома водорода
1. Состояния электрона, обладающего различными зна-
значениями орбитального квантового числа, в атомной физике принято
обозначать и называть следующим образом;
/=0 — s-состояние,
1=\ —р-состояние,
/=2 —• ^-состояние,
/=3 — f-состояние и т. д. в порядке следования букв латинского
алфавита.
Рассмотрим более подробно s-состояние электрона в атоме водорода
при п—1. Такое- состояние электрона и атома в целом называется
основным состоянием. Волновая функция я|з электрона в этом состоянии
является функцией только г :ty=ty(r), т. е. s-состояние электрона в
атоме сферически симметрично; |ф|2 — вероятность обнаружить элект-
электрон в данной точке атома — будет зависеть только от г. Уравнение
Шредингера для основного состояния водородного атома имеет следую-
следующий вид:
rf'ift , 2 <fy , 2m (ш , е
Будем искать решение этого уравнения в форме
-ф = се-гМ>, A4.7)
где ай имеет размерность длины, с — некоторая постоянная, определяе-
определяемая из условия A2.11) нормировки вероятности.
Дифференцируя т|? и подставляя dty/dr и d^ldr2 в уравнение A4.6),
получим после сокращения на ce~r/a»
2m I ajj ran J
— 285 —
Последнее уравнение удовлетворяется для любых значений г при вы-
выполнении двух условий:
W = —
1 _L
2пг га0
Из последнего условия следует, что
те*
A4.8)
A4.9)
Из сравнения A4.9) с A3.9") видно, что выражение A4.9) совпадает
с первым боровским радиусом а0 для атома водорода. Подставив A4.9)
в выражение A4.8) для Wu получим
f A4.10)
Сравнение A4.10) с A4.3') показывает, что мы получили значение
энергии основного состояния атома водорода, соответствующее п=1.
2. Найдем вероятность того, что электрон в основном состоянии
атома водорода находится на расстоянии г от ядра, точнее в интервале
расстояний от г до r+dr, т. е. в шаровом слое с объемом dV—4nr2dr.
По формуле A2.10), вероятность обнаружить электрон в элементе
объема dV
VS№
Подставим в эту формулу выражение A4.7) для волновой функции
основного состояния:
dw — c*Q-irta> ■ inr*dr. A4.11)
Вычислим теперь те расстояния гыаке от ядра атома, на которых с на-
наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон. Для этого
исследуем выражение йф/dr на максимум. Дифференцируя функцию
ez2r/a° и приравнивая производную нулю,
получим гиакс—а0.
Этот результат является частный случаем
более общего вывода: воровские орбиты элект-
электрона представляют собой геометрические ме-
места точек, в которых с наибольшей вероят-
вероятностью может быть обнаружен электрон.
По теории Бора, вероятность обнаружить
электрон в состоянии с п=1 отлична от нуля
только для г=а0. Согласно же квантовой
механике, эта вероятность лишь достигает
•р максимума при г=а0, но она отлична от
нуля во всем пространстве. На рис. 14.1 со-
Рис. 14.1 поставлены вероятности обнаружить элект-
электрон на различных расстояниях от ядра по
теории Бора (доВор) и по квантовой механике (шкв).
3. Из формулы A4.2) следует, что электрон, находящийся в атоме
водорода в s-состоянии, т.е. в состоянии с /=0, имеет момент импульса,
— 286 —
равный нулю: L0=0. С точки зрения теории Бора такое состояние со-
соответствовало бы «маятниковообразной» орбите, проходящей через
ядро атома Квантовая механика приводит к возможности существова-
существования таких состояний электрона, в которых он не имеет момента им-
импульса, связанного с движением по орбите х.
§ 14.3. Пространственное квантование.
Спин электрона
1. Из курса электричества и магнетизма (см. т. II, § 20.1)
известно, что орбитальный момент импульса электрона L, и пропор-
пропорциональный ему магнитный момент рт ориентированы перпендику-
перпендикулярно плоскости орбиты электрона и направлены в противоположные
стороны. Между векторами рт и L, существует следующая связь-
Р- ftLt g^L*. (H.12)
где gi=\e\/2me называется орбитальным гиромагнитным отношением,
те— масса электрона3. Напомним, что аналогичная связь существует
между магнитным моментом и механическим моментом импульса атома
в целом Указанная связь векторов рт и Lt выводится в классической
физике и сохраняется в теории Бора. В квантовой механике, естест-
естественно, не может быть указана ориентация векторов L, и рт относи-
относительно плоскости электронной орбиты. Для указания ориентации
векторов L и рт должно быть выбрано некоторое направление в про-
пространстве, и расположение вектора L, фиксируется углом между век-
вектором L, и этим направлением, за которое выбирается направление
либо внешнего/магнитного поля, в котором находятся атом и его элек-
электроны, либо внутреннего магнитного поля, созданного всеми электро-
электронами (кроме рассматриваемого) и ядром атома. В классической физике
предполагалось само собой разумеющимся, что вектор Ьг (или рт)
может быть ориентирован относительно избранного направления
магнитного поля произвольным образом. На этом естест-
естественном предположении основывалась Классическая теория парамагне-
парамагнетизма П. Ланжевена, изложенная в § 20.4 т. II.
2. На языке теории Бора возможность любых ориентации вектора
L, означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентиро-
ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю
Однако такое предположение было ошибочным. Оказалось, что сущест-
существует так называемое пространственное квантование: вектор момента
импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в простран-
пространстве, при которых проекция Ь1г вектора Lt на направление Z внешнего
поля принимает квантованные значения, кратные К.
Этот результат впервые был получен как следствие обобщенных
А. Зоммерфельдом правил квантования боровских орбит. В кванто-
квантовой механике строго доказано, что проекция Llz вектора
1 Этот вывод относится не только к основному состоянию атома водорода, но и
к электрону в s— состоянии любого атома.
2 Далее в этой главе принято обозначение массы электрона через те.
— 287 —
г орбитального момента импульса электрона на направление 1 внеш-
магнитного поля принимает лишь целочисленные значения п:
Lu = mk, A4.13)
нрго
Ь —^
р-свешж
где т — так называемое магнитное квантовое число, имеющее значе-
значения: т—0, ±1, ±2, ±3 . . ., ±/; здесь / — орбитальное квантовое
число, определяющее модуль вектора Ьг [см. формулу A4.2)]. Таким
образом, вектор L, может принимать 2/+1 ориентации в пространстве.
На рис. 14.2 приведены возможные ориентации векторов Lx для элек-
электронов в р- и d-состояниях (/=1 и
1=2).
Пространственное квантование,
как будет подробнее рассмотрено в
§ 14.9, приводит к «расщеплению»
энергетического уровня электрона на
ряд подуровней.
3. О. Штерном и В. Герлахом были
поставлены опыты A921), цел ью кото-
которых являлось измерение магнитных
моментов рт атомов различных хими-
химических элементов.
Для определения моментов Lt и рт
одного электрона опыты должны быть
поставлены с атомами, у которых ор-
орбитальные механические (и магнитные) моменты всех электронов,
кроме одного, взаимно компенсируют друг друга. Такими атомами
являются атомы химических элементов, образующие первую группу
периодической системы Менделеева и имеющие один валентный
электрон на внешней оболочке" (см. § 14.5).
Идея опытов Штерна и Герлаха заключалась в измерении силы,
действующей на атом в неоднородном магнитном поле. В таком маг-
магнитном поле на атом должна действовать сила, числовое значение ко-
которой выражается формулой
F = P™§- 04.14)
Здесь В — индукция магнитного поля, направленного вдоль оси Z
и неоднородного только вдоль этой же оси.
Опыты Штерна и Герлаха обнаружили ошибочность классического
предположения о том, что магнитный момент рт и механический мо-
момент импульса Ll атома произвольно ориентируются относительно на-
направления внешнего поля, и подтвердили наличие пространственного
квантования. Схема первых опытов Штерна и Герлаха изображена на
рис. 14-.3. В трубке, где был создан вакуум порядка 10""£ мм рт. ст.,
помещался источник пучка атомов. В этих опытах это был нагревае-
нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик К. Атомы серебра
вылетали с его поверхности со средней тепловой скоростью порядка
100 м/с, соответствующей температуре испарения серебра. Из этих
атомов при помощи щелевых диафрагм В вырезался узкий пучок,
Рис. 14.3
проходящий через сильное и неоднородное магнитное поле, направ-
направленное перпендикулярно пучку. Основная трудность опыта состояла
в том, чтобы достигнуть настолько большой неоднородности магнит-
магнитного поля, чтобы она сказывалась на расстояниях порядка размеров
атома. При такой величине неоднородности поля, как показывает
формула A4.14), можно было рассчитывать полу-
получить заметную отклоняющую силу F, действующую
на атом в магнитном поле. Необходимая неодно-
неоднородность поля была достигнута за счет примене-
применения сильного электромагнита SN с полюсными
наконечниками специальной формы. Приемником
атомов серебра служила фотопластинка Л.
4. Если бы момент импульса LL атома (и его
магнитный момент рт) мог принимать произволь-
произвольные ориентации в магнитном поле, то можно было
бы ожидать непрерывного распределения попаданий
атомов на пластинку с большей плотностью попа-
попаданий в середине пластинки и уменьшением числа
попаданий к ее краям. Опыты, проведенные с серебром и атомами дру-
других элементов периодической системы, привели к совершенно иному
результату. На рис. 14.4 приведена фотография результата опыта
Штерна и Герлаха с литием. Из рисунка видно, что на фотопластинке
получились две резкие полосы — все атомы отклонялись в магнитном
поле двояким образом, соответствующим
лишь двум возможным ориентациям маг-
магнитного момента во внешнем поле. Момент
импульса атома (и его магнитный момент)
равен суммарным моментам электронов,
поскольку магнитные моменты ядер имеют
значительно меньшую величину, чем маг-
магнитные моменты электронов (см. § 16.2).
Последние совпадают с суммарными момен-
моментами валентных электронов, так как момен-
моменты электронов замкнутых оболочек компен-
компенсируются.
У лития и других атомов первой группы периодической системы
Менделеева имеется один валентный оптический электрон (см. § 14.5).
Таким образом, моменты импульса и магнитные моменты таких атомов
совпадают с моментами электрона.
5. Если подставить выражение A4.2) для L, в формулу A4.12), то
связь числовых значений моментов рт и Lt можно записать в виде
Рис. 14.4
-1). A4.15)
Величина [iB=efi/2me=9,274-l0~2i Дж/Тл называется магнетоном
Бора. Таким образом, магнитный момент может содержать некоторое
число Vl(l+ 1) магнетонов Бора.
По известной величине dB/dz неоднородности магнитного поля,
направленного по оси Z, и по определенной из отклонения атомов в
д. А. Детлаф, В. М. Яворский
— 289 —
магнитном поле силе F, действующей на атом, можно, пользуясь фор-
формулой A4.14), определить ртг. Для серебра Штерн и Герлах получили,
что проекция магнитного момента атома на направление поля чис-
численно равна магнетону Бора. По оценкам исследова-
исследователей, относительная погрешность в определении магнитного момента
не превышала 10%. Результаты этих опытов, впоследствии проверен-
проверенные на других атомах элементов первой группы периодической систе-
системы, не вызывают ни малейшего сомнения. Таким образом, опыты Штер-
Штерна и Герлаха не только подтвердили пространственное квантование
моментов импульса в магнитном поле, но, кроме того, дали экспери-
экспериментальное подтверждение выводу о том, что магнитные моменты элек-
электронов и атомов состоят из некоторого числа «элементарных момен-
моментов», т. е. имеют дискретную природу, связанную с квантованием мо-
момента импульса. Магнитные моменты электронов и атомов выражаются
в магнетонах Бора.
6. Важной особенностью атомов первой группы элементов таб-
таблицы Менделеева, с которыми ставились вначале опыты Штерна и
Герлаха, является то, что валентный электрон в основном состоянии
атома имеет орбитальное квантовое число, равное нулю, т. е. электрон
находится в s-состоянии. Атомный пучок в опытах содержал атомы, на-
находящиеся в основном состоянии 1. Однако в состоянии с /=0 элек-
электрон не имеет момента импульса, как это следует из формулы A4.2).
Поэтому возникает серьезный вопрос об истолковании результатов
опытов Штерна и Герлаха. Пространственное квантование какого
момента импульса обнаружилось в этих опытах и проекция какого
магнитного момента равна одному магнетону Бора? В §20.4 т. II
говорилось об опытах Эйнштейна и де Гааза, обнаруживших аномаль-
аномальное значение гиромагнитного отношения для ферромагнетиков. Для
объяснения этого результата нужно предположить, что у электрона
помимо орбитального момента импульса Lt и соответствующего ему
магнитного момента рт имеется собственный механиче-
механический момент импульса Ls, называемый спином электрона,
и соответствующий ему собственный магнитный момент pms. Пред-
Предположение о существовании спина было высказано A925) С. Гоудсми-
том и Г. Уленбеком в связи с целым рядом трудностей в атомной физике,
накопившихся к тому времени. Одной из них, и притом очень важной,
явилась трудность с истолкованием результатов опытов Штерна и
Герлаха.
Уленбек и Гоудсмит дали спину электрона наглядное модельное
истолкование, заключающееся в том, что спин рассматривался как
момент импульса, связанный с вращением электрона — заряженного
шарика — вокруг своей оси. Однако можно показать, что такое пред-
представление о спине приводит к противоречию с теорией относительно-
относительности. Оказывается, что для того, чтобы вращающийся вокруг своей
оси электрон-шарик приобрел магнитный момент, равный одному
1 Если даже предположить, что при нагревании источника пучка атомов послед-
последние переходили в возбужденные состояния, то следует учесть, что в возбужденном
состоянии атомы находятся в среднем 10~8с, а затем переходят в нормальное со-
состояние.
— 290 —
магнетону Бора, угловая скорость вращения должна быть такой, что
линейная скорость на поверхности сферы должна в 200 раз превосхо-
превосходить скорость света в вакууме.
В самом деле, предположим, что электрон представляет собой
шарик с некоторым радиусом г. Величину этого «классического» ради-
радиуса электрона можно оценить, приравняв потенциальную энергию
е2
заряженного шарика его собственной энергии: j =тес2. От-
Отсюда следует значение классического радиуса электрона:
г = е*/Dлгвтес2) ==2,81 • \0~^ м.
Если шарик радиусом г с моментом инерции ./=2/5 тег2 (см. т. I,
табл. 1 на с. 79) вращается с угловой скоростью ш=и/г, то, прирав-
приравнивая момент импульса Ju> спину электрона (см. п. 7), получим
где v — линейная скорость на экваторе шарика. Простая оценка по-
показывает, что при этом
а это находится в очевидном противоречии с постулатом теории относи-
относительности. Модельное представление о спине при всей его наглядности
не выдерживает критики и к нему не следует привыкать.
Спин электрона и других элементарных частиц рассматривают
как некоторое особое свойство этих частиц: подобно тому как частицы
имеют массу, а заряженные частицы — заряд, они имеют еще и спин.
Заметим, что в дальнейшем развитии квантовой механики Дираку уда-
удалось показать, что существование спина вытекает из полученного им
релятивистского волнового уравнения.
7. Если приписать электрону собственный момент импульса Ls
(сокращенно — спиновый момент, или просто спин), то с ним оказы-
оказывается связанным некоторый собственный магнитный момент рт,5
электрона. Из общих выводов квантовой механики следует, что спин
должен быть квантован по закону
Ls = Vs(s+\)t. A4.16)
где s —• квантовое число, называемое спиновым квантовым числом 1 .
Аналогично результату A4.13), проекция Lsz спина на ось Z, совпа-
совпадающую с направлением внешнего магнитного поля, должна быть
квантована и вектор Ls может иметь 2s+l различных ориентации в ма-
магнитном поле. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что для спина
электрона таких ориентации существует всего 2, так что 2s+1=2,
т. е. s— Уг.
Для атомов первой группы периодической системы, валентный
электрон которых находится в состоянии с /-=0, момент импульса всего
атома равен спину валентного электрона. Поэтому обнаруженное для
таких атомов пространственное квантование момента импульса атома
1 См. примечание 2 на с. 292.
10* — 291 —
в магнитном поле явилось доказательством наличия у спина лишь
двух ориентации во внешнем поле1.
Спиновое квантовое число в отличие от введенных ранее трех
квантовых чисел — главного (п), орбитального (/) и магнитного (т) —
не является целым числом. Численно значение спина электрона най-
найдем по формуле A4.16):
A4Л7)
По аналогии с пространственным квантованием орбитального мо-
момента импульса электрона Lh проекция Lsz вектора Ls на направле-
направление внешнего поля должна быть квантованной величиной и опреде-
определяться по формуле, аналогичной A4.13):
Lsz = ms%, A4.18)
где число ms может иметь всего два значения: т„=±}4 2. Таким обра-
образом, проекция спинового механического момента импульса на на-
направление поля может принимать два значения:
LSZ = ±.VA. A4.19)
Очень часто говорят, что спин электрона может быть ориентирован
либо вдоль направления напряженности магнитного поля, либо про-
противоположно вектору Н. Такое общепринятое словоупотребление
неточно: говоря о направлении спина, при этом в действительности
имеют в виду направление его составляющей Lsz.
8. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что проекция pmsz соб-
собственного магнитного момента электрона равна магнетону Бора \iB:
Часто говорят просто, что собственный магнитный момент электрона
равен магнетону Бора. Это тоже неточность: говоря о магнитном мо-
моменте, при этом в действительности имеют в виду абсолютную вели-
величину его проекции на направление магнитного поля.
Рассмотрим отношение Lsz и pmSz. Из формул A4.19) и A4.20) вид-
видно, что
Очевидно, что отношение числовых значений проекций векторов, на-
направленных во взаимно противоположные стороны, равно отношению
1 Дальнейшие опыты, проведенные с атомами, содержащими электроны в р-
н более высоких энергетических состояниях, подтвердили существование пространст-
пространственного квантования орбитальных моментов импульса в соответствии с формулой
A4.13).
2 Число ms по аналогии с т можно было бы назвать магнитным спиновым числом.
Однако такое название обычно редко применяется. Число ms отличается от s только
тем, что может принимать два значения: не только +V2> но и—1/а. Гораздо чаще,
говоря о спиновом квантовом числе, понимают под ним число ms, т. с. приписывают
спиновому квантовому числу значения ±11%. Следует, однако, помнить, что число s
имеет только одно значение: s=1/2.
— 292 —
числовых значений самих векторов:
В векторной записи имеем
Отношение gs—e/m,, —спиновое гиромагнитное отношение, как видно
из сравнения A4.21") с A4.12), вдвое превышает орбитальное ги-
гиромагнитное отношение gt. В опытах Эйнштейна и де Гааза (см. т. II,
§ 20.4) было определено именно спиновое гиромагнитное отношение
для ферромагнетиков. Это позволило выяснить спйновук) природу
магнитных свойств ферромагнетиков и создать современную теорию
ферромагнетизма.
§ 14.4. Принцип Паули
1. В. Паули установил A925) квантовомеханичёский за-
закон, называемый принципом Паули или принципом исключения.
В своей простейшей формулировке он гласит: в любом атоме не может
быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных
состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного
п, орбитального I, магнитного т и спинового ms 1.
Принцип Паули в его полном квантовомеханическом истолковании связан с
важным положением квантовой механики о неразличимости тождест-
тождественных частиц и вытекающими из него следствиями. В первом томе курса,
рассматривая вопрос о квантовых статистиках (см. т. I, § 11.5), Мы касались вопроса
О том, что в квантовых статистиках в отличие ог классической статистики учитывается
неразличимость тождественных частиц. Когда в квантовой статистике решается во-
вопрос о распределении частиц по ячейкам фазового пространства, то перемена места-
местами двух тождественных частиц, например двух электронов, ие приводит к новому
распределению.
Состояние системы, состоящей из п. тождественных частиц, описывается в кван-
квантовой механике некоторой полной волновой функцией, зависящей как от координат
всех частиц системы (координатные волновые функции), так и от ориентации их спи-
спинов (спиновые волновые функции). Из принципа неразличимости тождественных ча-
частиц вытекает, что существует два типа полных волновых функций, описывающих
состояние системы тождественных частиц: симметричные и антисимметричные вол-
волновые функции.
Различие симметричных и антисимметричных волновых функций состоит в том,
что первые не изменяют своего знака при перестановке любой пары а к Ь
частиц системы (т. е. при переходе к состоянию системы, в котором частица а
находится в прежнем квантовом состоянии частицы Ь, а частица Ь — в прежнем кван-
квантовом состоянии частицы а), тогда как вторые изменяют при этом свой знак на про-
противоположный. В квантовой механике доказывается, что тип полной волновой функ-
функции системы тождественных частиц (ее симметричность или антисимметричность)
зависит от величины Lsz проекции спинов этих частиц на направление внешнего маг-
магнитного поля и не изменяется при любых внешних воздействиях на систему частиц.
Электроны и другие частицы, у которых LSz равно нечетному числу ±п,12,
называются фермионами или частицами с полуцелым спииом. Система тождествен-
тождественных фермионов описывается антисимметричной полной волновой функцией
и подчиняется квантовой статистике Ферми — Дирака. Частицы, у которых Lsz
равно нулю или четному числу — п/2, называются бозонами или частицами с целым
1 См. примечание 2 на с. 292.
— 293 —
спином. Система тождественных бозонов описывается симметричной пол-
полной волновой функцией и подчиняется квантовой статистике Бозе — Эйнштейна.
Принцип Паули выражает особенность поведения системы тождественных фер-
фермионов: в данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одно-
одновременно находиться в одном и том же состоянии. Из этой общей формулировки прин-
принципа Паули вытекает как частный случай его простейшая формулировка, приве-
приведенная выше.
2. Применительно к системе электронов в атоме принцип Паули
можно записать следующим образом:
Zi(/i, /, m, ms)=0 или 1, A4.22)
где Zi (n, I, m, ms) есть число электронов, находящихся в состоянии,
описываемом набором квантовых чисел п, /, m и т$. Пользуясь прин-
принципом Паули, можно найти максимальное число электронов в атоме,
имеющих заданные значения трех (п, I, т), двух (п, I) и одного (п)
квантовых чисел. Найдем максимальное число Z2(n, /, m) электронов,
находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых
чисел (п, I и т), т. е. отличающихся лишь ориентацией спинов элек-
электронов. Поскольку число /и, может принимать лишь два значения:
+ 54 и —Уг, очевидно, имеем
Z,(n,l,m) = 2. A4.22')
Вычислим далее максимальное число электронов Z3 (n, /), нахо-
находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами:
пи/. Так как при заданном числовом значении Lt вектор момента
импульса Lj может иметь 2/+1 различных ориентации в пространстве,
то число электронов Za(n, l) выразится следующим образом:
Z,(rt, /)-2B/+1). A4.23)
Значения Zs(n, l) для разных / приведены в табл. 14.1.
Наконец, найдем, пользуясь принципом Паули, максимальное
число Z(n) электронов, находящихся в состояниях, определяемых
значением п главного квантового числа. Так как согласно A4.5) число
/ при заданном п изменяется от 0 до п—1, то, суммируя Z3(n, /) по /
от 0 до п—1, получим
Z(n)= 2 2B/+1) = [2(«— 1) + 2]/г = 2«3. A4.24)
Таблица 14.1
Значение орбитального квантового числа / 0 12 3 4
Символ соответствующею состояния элекг- s p d f g
ронов
Максимальное число электронов Z3 (n, I) 2 6 10 14 18
В табл. 14.2, составленной на основе формул A4.22) — A4.24),
— 294 —
Таблица 14.2
Заданные квантовые числа п, I, m, ms n, I, m n, I n
Максимальное число электронов 1 2 2B/^-1) 2пг
приведены максимальные числа электронов, обладающих в атоме
заданными значениями квантовых чисел.
л
Слой
s(/=0)
Количеств
ю электронов I
, -(! = »,
3 СОСТОЯНИЯХ
I1
а б л и ц а 14.3
Максимальное
число
) электронов
1
2
3
4
5
К
L
М
N
О
2
2
2
2
2
—
6
6
6
6
—
—
10
10
10
—
—
14
14
— 2
— 8
— 18
— 32
18 50
В табл. 14.3 приведены максимальные числа электронов, находя-
находящихся в состояниях, характеризуемых данными значениями главного
п и орбитального / квантовых чисел.
Принцип Паули сыграл выдающуюся роль в развитии современной
атомной и ядерной физики. Так, например, удалось теоретически
обосновать периодическую систему элементов Менделеева. Без прин-
принципа Паули невозможно было бы создать квантовые статистики и сов-
современную теорию твердых тел.
§ 14.5. Периодическая система элементов
Д. И.Менделеева
1. В 1869 г. Менделеев открыл периодический закон из-
изменения химических и физических свойств элементов в зависимости
от их атомных масс. Если расположить химические элементы в поряд-
порядке возрастания их атомных масс, то периодически, через правиль-
правильные промежутки, называемые периодами, элементы, оказавшиеся
в таблице Менделеева в одном вертикальном ряду (так называемой
группе элементов), обнаруживают сходные физико-химические свой-
свойства. Однако сам Менделеев, расположив известные в его время 64 хи-
химических элемента в таблицу, отражающую периодическое изменение
химических свойств элементов, был в ряде случаев вынужден отступить
от принципа возрастания атомных масс. Менделеев ввел понятие о
порядковом номере элемента и, расположив химические
элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодич-
периодичность в изменении химических свойств элементов. При этом часть
клеток периодической системы осталась свободной, так как соответ-
соответствующие им элементы тогда еще не были известны. Таким образом,
- 295 -
Менделееву удалось на основании открытого им закона предсказать
ряд новых химических элементов (галлий, скандий, германий и др.)
и описать их химические свойства. В дальнейшем все эти элементы
были открыты и предсказания Менделеева полностью подтвердились.
Менделееву удалось также внести уточнения в значения атомных масс
и некоторые свойства ряда элементов. Атомные массы бериллия, ти-
титана, церия и урана, вычисленные на основе закона Менделеева, ока-
оказались правильными, а экспериментальные данные о них, получен-
полученные до этого,— ошибочными. Это явилось подлинным триумфом за-
закона Менделеева. Являясь одним из важнейших законов природы,
периодический закон Менделеева составляет основу современной хи-
химии, атомной и ядерной физики.
2. Физический смысл порядкового номера Z элемента в периоди-
периодической системе элементов был установлен в ядерной модели атома
Резерфорда (см. § 13.2): Z совпадает с числом положительных эле-
элементарных зарядов в ядре, закономерно возрастающих на единицу при
переходе от предыдущего элемента к последующему. Химические свой-
свойства элементов и ряд их физических свойств объясняются поведением
внешних, так называемых валентных, электронов их атомрв. Поэтому
периодичность свойств химических элементов должна быть связана с
определенной периодичностью в расположении электронов в атомах
различных элементов. Важнейшей задачей физики явилось теоретиче-
теоретическое истолкование периодического закона Менделеева и объяснение
строения периодической системы. Основы теории периодической сис-
системы были разработаны в квантовой теории еще до появления совре-
современной квантовой механики. Теория периодической системы основы-
основывается на следующих положениях:
а) порядковый номер химического элемента равен общему числу
электронов в атоме данного элемента;
б) состояние электронов в атоме определяется набором их кван-
квантовых чисел п, /, т и ms. Распределение электронов в атоме по энерге-
энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума по-
потенциальной энергии: с возрастанием числа электронов каждый сле-
следующий электрон должен занять возможное энергетическое состояние
с наименьшей энергией;
в) заполнение электронами энергетических состояний в атоме
должно происходить в соответствии с принципом Паули.
3. Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с оди-
одинаковым значением главного квантового числа п, образуют
электронную оболочку, или электронный слои. В зависимости от зна-
значений п различают следующие оболочки: К при п=\, L при п=2, М
при п—3, N при п=4, О при п=Ъ и т. д. Из формулы A4.24) определя-
определяют максимальное число электронов, которые могут находиться в
оболочках: в /С-оболочке — 2 электрона, в оболочках L, М, N и О —
соответственно 8, 18, 32 и 50 электронов. Это видно также из табл. 14.3.
В каждой из оболочек электроны распределяются по подгруппам, или
подоболочкам, каждая из которых соответствует определенному зна-
значению орбитального квантового числа /. Максимальное число элект-
электронов,, которые могут находиться в состоянии, определяемом значе-
— 296 —
няем / орбитального квантового числа, дается формулой A4.23) и при-
приведено в табл. 14.1.
В атомной физике принято обозначать электронное состояние в
атоме символом nl, указывающим значения двух квантовых чисел.
Электроны, находящиеся в состояниях, характеризуемых одинако-
одинаковыми квантовыми числами п и /, называются эквивалентными. Число z
эквивалентных электронов указывается показателем степени в сим-
символе п1г. Если электроны находятся в некоторых состояниях с опре-
определенными значениями квантовых чисел п и /, то считается заданной
так называемая электронная конфигурация. Например, основное сос-
состояние атома кислорода можно выразить следующей символической
формулой г :
Is2, 2s2, 2p4.
Она показывает, что два электрона находятся в состояниях с ««=1
Й /=0, два электрона имеют квантовые числа я=2 и 1=0 и четыре
Электрона занимают состояния с я=2 и 2=1.
4. Изложенных выше сведений достаточно для обоснования строе-
строения периодической системы элементов Менделеева. Однако для п о л-
н о г о описания состояния атома этих сведений недостаточно
(см. § 14.6). Порядок заполнения электронных состояний в оболочках
атомов, а в пределах одной оболочки — в подгруппах (подоболочках)
должен соответствовать последовательности расположения энерге-
энергетических уровней с данными ли/. Сначала заполняются состояния с
наименьшей возможной энергией, а затем состояния со все более
высокой энергией. Для легких атомов этот порядок соответствует
тому, что сначала заполняется оболочка с меньшим п и лишь затем
Должна заполняться электронами следующая оболочка. В пределах
ОДНой оболочки сначала заполняются состояния с /=0, а затем состо-
состояния с большими /, вплоть до 1~п—1. Подобная идеальная система
элементов должна была бы иметь строение и длины периодов (т. е.
число элементов в одном периоде), соответствующие табл. 14.3. Ре-
Реальная периодическая система элементов Менделеева, представлен-
представленная в начале книги, отличается от идеальной системы.
5. Для того чтобы понять различия между табл. 14.3 и реальной
периодической системой элементов, следует учесть, что каждый элек-
электрон находится в поле ядра и в поле всех остальных электронов, вза-
взаимодействующих между собой. Задача об энергетическом' состоянии
электрона, движущегося в столь сложном поле, является очень труд-
трудной в квантовой механике.
Для того чтобы разобраться в распределении электронов в атомах
химических элементов по состояниям, атом каждого последующего
элемента можно приближенно представлять себе образованным из
атома предыдущего путем прибавления к ядру одного протона (и не-
необходимого числа нейтронов, см. § 16.3) и одного электрона, находя-
1 Обоснование такого заполнения электронами состояний в нормальном (невоз-
(невозбужденном) атоме кислорода см. в п. 4—6 этого параграфа.
^ 297 —
щегося на периферии атома. При этом, согласно Бору, распределение
электронов по состояниям, имеющееся в атоме данного элемента, долж-
должно соблюдаться и в атоме следующего элемента \ Однако учет взаимо-
взаимодействия между электронами приводит к нарушению этого положения.
Взаимодействие между электронами приводит к тому, что для доста-
достаточно больших главных квантовых чисел п состояния с большим п и
малым / могут иметь меньшую энергию, т. е. быть энергетически
более выгодными, чем состояния с меньшим п, но с большим /. В этом
состоит причина отступления в заполнении состояний в реальной пе-
периодической системе элементов от заполнения, соответствующего
табл. 14.3.
6. Рассмотрим кратко последовательность заполнения электронами состояний в
атомах некоторых химических элементов, находящихся в основном состоя-
состоянии. В атоме водорода единственный электрон находится в состоянии 1 s, харак-
характеризуемом квантовыми числами я=1, 1=0, /п=0. При этом проекция его спина на
направление внешнего поля характеризуется спиновыми числами ms—dz1/i. В атоме
гелия имеется два электрона. Второй электрон этого атома также может находиться
в состоянии Is, т. е. при п=1, /=0 и т=0, но спин второго электрона должен быть
ориентирован противоположно спину первого (для одного из них ms=1/2, для дру-
другого tns= — 1/2). Группа состояний с гс=1, /=0, т=0 и /ni=i1/2 образует заполнен-
заполненную /(-оболочку атома, соответствующую завершению первого периода периоди-
периодической системы Менделеева.
Следующий по порядку атом лития содержит три электрона. Но, по принципу
Паули, третий электрон атома лития уже не может разместиться в целиком запол-
заполненной /(-оболочке и занимает наинизшее энергетическое состояние в оболочке с
/1=2 (L-оболочке). Таким состоянием является состояние 2s(n=2, /=0, /п=0). Ли-
Литием начинается второй период периодической системы.
Четвертый электрон бериллия (Z=4) занимает также состояние 2s, а пятый элек-
электрон бора B=5) должен уже занять энергетически более высокое состояние 2р (п=2,
1=1).
Электроны всех атомов вплоть до неона (Z= 10) размещаются в подоболочке с
1= 1 и п—2. У неона таких электронов 6, т. е. число, максимально возможное для
такого состояния. Таким образом, L-оболочка неона оказывается полностью заст-
застроенной и на этом элементе завершается второй период периодической системы Мен-
Менделеева.
11-й электрон натрия (Z=ll) размещается уже в М-оболочке (п=3), занимая
низшее состояние 3s. Далее вплоть до аргона (Z= 18) идет последовательная застройка
М-оболочки. Она заканчивается заполнением всех состояний подоболочки Зр у ар-
аргона, завершающего третий период периодической системы.
7. 19-й электрон калия (Z= 19) должен был бы занять состояние 3d в Af-оболочке.
Однако химические и оптические свойства калия, как показывает опыт, анало-
аналогичны свойствам Li и Na, у которых валентный электрон находится в s-состоянии.
Поэтому и у К. его 19-й валентный электрон должен находиться в s-состоянии. Но
это может быть только s-состояние уже к следующей Л'-оболочке (я=4) — состояние
4s. Таким образом, начиная с калия при не заполненной 3d подгруппе М-оболочки
начинается застройка W-оболочки. Это означает, что вследствие взаимодействия меж-
между элекгронами энергия lF4,o электрона в состоянии 4s меньше, чем энергия Wg 2>
которую он имел бы в состоянии 3d. Спектроскопические и химические свойства
кальция (Z=20) показывают, что его 20-й электрон также размещается в состоянии
4s W-оболочки. Начиная со скандия (Z=21) возобновляется нормальное заполнение
подоболочки 3d, которое заканчивается у меди (Z=29). Далее, до криптона (Z=36)
происходит нормальное заполнение /V'-оболочки. Криптон завершает четвертый пе-
период периодической системы элементов. Элемент рубидий (Z—37), следующий за
1 В этом состоит важнейшая идея принципа построения системы, предложенного
Бором еще до появления принципа Паули.
— 298 —
криптоном, по своим свойствам аналогичен атомам щелочных металлов Na и К.
Поэтому его валентный, 37-й электрон размещается ке в Л'-оболочке, которая еще не
достроена, а в следующей О-оболочке (л=5), т. е. находится в состоянии 5s. У атома
стронция (Т.—38), который по своим свойствам аналогичен кальцию, электрон также
занимает состояние 5s. Начиная с иттрия (Z=39) и до палладия (Z—46) заполняется
подгруппа 4d, при этом изменяется число электронов в состоянии 5s от двух у иттрия
до 0 у палладия. У серебра (Z=47) и кадмия (Z=48) вновь застраивается подгруппа 5s.
Начиная с индия (Z—49) и до ксенона (Z=54), завершающего пятый период, проис-
происходит застройка подгруппы 5р. С цезия (Z=55) начиняется заполнение Р-оболочки
(ге=6).
8. У элементов группы редких земель [от лантана (Z=57) до лютеция (Z=71)],
так называемых лантанидов, обнаруживается сходство химических и ряда физиче-
физических свойств. Это связано с особенностью порядка заполнения состояний электронами
атомов этих элементов. У лантана подгруппы 55, 5,0 и &s целиком заполнены и 57-й
электрон лантана находится в состоянии 5d, в то время как глубокая подгруппа 4/
не заполнена электронами. У атомов элементов от церия G,—58) до лютеция "(Z=71)
происходит заполнение этой оболочки, а внешняя подгруппа Чь остается без измене-
изменения. Этим и объясняется тождественность химических свойств лантанидов.
Начиная с гафния (Z=72) происходит застройка подгруппы Ы, завершающаяся
у одновалентного золота (Z—79). У ртути (Z=80) заканчивается заполнение под-
подгруппы 6s, а начиная с таллия (Z=8l) и до радона (Z=86), завершающего шестой
период периодической системы элементов, происходит заполнение подгруппы 6р.
У франция (Z—87) и радия (Z=88) заполняется подгруппа 7s Q-оболочки.
9. Второй группой редкоземельных элементов являются так называемые ак-
актиниды. Эта группа элементов, начинающаяся с актиния (Z=89), простирается до
элемента с атомным номером 105 и содержит заурановые элементы: нептуний (Z=93),
плутоний (Z=94), америций (Z—95), кюрий (Z=96) и др. В честь двух величайших
физиков нашего столетия два элемента этой группы названы: эйнштейний (Z=99)
и фермий (Z=100). 101-й элемент был назван менделевием в честь создателя перио-
периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Элемент с зарядом ядра Z=104, от-
открытый A964) в Дубне, назван курчатовием в честь выдающегося советского ученого
И. В. Курчатова (§ 18.8). Все актиниды отличаются заполнением подгруппы 5/, а
внешние их электроны находятся в состоянии, аналогичном состояниям лантинидов.
Из всего изложенного выше следует, что периодичность химиче-
химических свойств элементов объясняется повторяемостью электронных
конфигураций во внешних электронных подгруппах у атомов род-
родственных элементов.
Теоретическое объяснение периодического закона Менделеева —
одного из важнейших законов естествознания — явилось величай-
величайшим достижением современной физики.
§ 14.6. Понятие о линейчатых спектрах атомов
с одним валентным электроном
1. Линейчатые спектры атомов, содержащих более од-
одного электрона, имеют, вообще говоря, значительно более сложную
структуру, чем спектр водорода, рассмотренный в§ 13.3. Относительно
более простыми являются линейчатые спектры атомов так называе-
называемых щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Zs), находящихся в первой
группе менделеевской системы. Атомы этих элементов имеют, как
показано в § 14.5, один внешний электрон и заполненные внутренние
электронные оболочки. Оптические линейчатые спектры атомов ще-
щелочных металлов объясняются поведением внешнего электрона, дви-
— 299 —
жущегося в электрическом ноле атомного остатка — ядра и запол-
заполненных электронных оболочек. В атомном остатке содержится Z—1
электронов и общий заряд атомного остатка равен заряду одного про-
протона (+е). Если внешний электрон движется достаточно далеко от
атомного остатка, т. е. находится е состоянии, характеризуемом боль-
большими квантовыми числами п, то при условии сферической симметрии
поля атомного остатка можно считать, что внешний, валентный, элек-
электрон движется в центральном поле одного заряда, подобном полю ядра
атома водорода. Можно ожидать, что спектральные термы щелочных
атомов в этих случаях будут аналогичны термам водородоподобных
систем. Как мы увидим дальше, опыт подтверждает это предпо-
предположение.
Если же валентный электрон подходит близко к атомному остатку,
то сказывается «нежесткость» этой сложной системы — электрон
своим электрическим полем деформирует атомный остаток (поляризует
его) и движется уже в электрическом поле не только точечного заряда,
но и диполя или более сложной системы зарядов.
2. Эти качественные соображения позволяют найти энергетические
уровни щелочного атома. В первом приближении можно считать, что
атомный остаток действует на валентный электрон как система, состоя-
состоящая из точечного заряда и диполя, центр которого совпадает с точеч-
точечным зарядом, а ось проходит через валентный (оптический) электрон.
Спектральные термы щелочных атомов выражаются следующим об-
образом:
7\а,г = № + сJ, A4.2Ъ)
где R — постоянная Ридберга, п — главное квантовое число и о —
поправка, зависящая от орбитального квантового числа /.
3. В отличие от энергии электрона у водородоподобных систем
энергия валентного (оптического) электрона в атомах щелочных ме-
металлов зависит не только от главного квантового числа п, но и от ор-
орбитального квантового числа / (от которого зависит поправка с).
Поэтому энергетические уровни и соответственно спектральные тер-
термы при одном и том же значении главного квантового числа п будут
различны для s-, p-, d- и т. д. состояний оптического электрона. Этот
результат справедлив не только для атомов щелочных металлов, но и
для атомов с более сложной структурой. Опыт подтверждает изложен-
изложенные выше теоретические соображения. Анализ спектров сложных ато-
атомов привел Ридберга к выводу, что в первом приближении термы таких
атомов имеют вид A4.25). Наблюдаемые экспериментально серии спе-
спектральных линий могут быть объяснены по комбинационному прин-
принципу Ритца комбинациями термов вида A4.25), причем в отличие от
атома водорода в атомах щелочных металлов практически реализу-
реализуются лишь некоторые электронные переходы, называемые разрешен-
разрешенными. Разрешенные переходы удовлетворяют условиям Д/=±1, где
А/ — разности значений орбитальных квантовых чисел, соответству-
соответствующих двум состояниям валентного электрона. Эти условия называются
правилами отбора.
— зоо -
§ 14.7. Тонкая структура спектральных линий.
Векторная модель атома
1. При более тщательном изучении спектральных линий
водородоподобных систем, атомов щелочных элементов и других
сложных атомов была обнаружена так называемая тонкая структура
спектральных линий. Применение спектральных приборов с большей
дисперсией позволило установить, что линии спектров атомов часто
являются двойными. Например, для желтой D-линии натрия расщеп-
расщепление составляет примерно 6 А (она состоит из линий с длинами волн
5890,0 А и 5895,9 А). Естественно предположить, что расщепление
спектральных линий обусловлено тем, что расщепляются энергетиче-
энергетические уровни электрона, переход между которыми приводит к возник-
возникновению данной спектральной линии. Иными словами, тонкая струк-
структура спектральных линий должна быть связана с тонкой структурой
уровней энергии электрона. До сих пор, рассматривая энергию элек-
электрона в атоме, мы не принимали во внимание епин электрона и его
влияние на энергию электрона. Кроме того, выражения A4.3'), а
также A4.25) для энергетических уровней электрона получены с по-
помощью уравнения Шредингера, которое, как подчеркивалось в § 12.5,
является нерелятивистским. Иными словами, при выводе этих выра-
выражений не учитывается релятивистская зависимость массы от скорости.
Последовательное рассмотрение влияния этих двух факторов на энер-
энергетические уровни электрона в атоме было проведено П. Дираком с
помощью релятивистского волнового уравнения. Мы остановимся
лишь на качественной стороне вопроса и обсудим результаты, полу-
полученные в теории Дирака.
2. Рассмотрим прежде всего влияние спина электрона на его энер-
энергию в атоме с одним валентным электроном^ Благодаря собственному
магнитному моменту pms электрон ведет себя как «магнитный диполь»,
помещенный в магнитное поле, создаваемое движением этого же элек-
электрона по орбите. Поведение такого диполя в магнитном поле рассмо-
рассмотрено в § 17.1 т. II. В атомной физике взаимодействие магнитного спи-
спинового момента с орбитальным магнитным полем носит название
спин-орбитального взаимодействия. Благодаря этому магнитному вза-
взаимодействию электрон обладает дополнительной энергией, которая
не учитывалась в теории, рассмотренной выше. Для описания спин-
орбитального взаимодействия, а также для целей систематики спек-
спектров атомов применяется векторная модель атома. В этой модели мо-
момент импульса, соответствующий орбитальному движению электрона,
представляется вектором ], а его спин — вектором s l. Благодаря
спин-орбитальному взаимодействию орбитальный момент 1 электрона
складывается с его спином s. Результирующий вектор
3 = 1 -hs A4.26)
Называется вектором полного момента импульса электрона. Полный
момент является квантованной величиной. Его числовое значение
1 Мы применяем здесь общепринятые в спектроскопии обозначения, отличаю-
отличающиеся от обозначений Lj и Ls в § 14.3, но это не должно вызвать недоразумений.
— 301 —
определяется по формуле
Ш = /Л7+Т)Й, A4.27)
аналогичной формулам A2.46) и A4.16). Величина / называется вну-
внутренним кзантовым числом. В соответствии с формулой A4.26) вну-
внутреннее квантовое число / принимает полуцелые значения:
/ = /±1/2 при /> 1,
/=1/2 при / = 0
Таким образом, каждому значению орбитального квантового чис-
ла I (к р о м е /=0) соответствуют два значения внутреннего
квантового числа /'. Это является причиной раздвоения энергетиче-
энергетических уровней атома с одним валентным электроном во всех состоя-
состояниях, за исключением s-состояний, где /=0.
Пространственное квантование, рассмотренное в§ 14.3, существует
и для вектора полного момента j.
Проекция \г вектора j на направление внешнего магнитного поля
оказывается также квантованной по закону
/г = тД A4.29)
где trij называется полным магнитным квантовым числом. Число
rtij принимает все полуцелые значения от — /до /, т. е. 2/ +1 значений.
3. С учетом спина электрона состояние электрона в атоме вместо
набора квантовых чисел п, I, m и ms характеризуется набором кван-
квантовых чисел п, I, j и rtij. Однако число электронов Z3(n, l) в атоме
при заданных значениях/! и /по-прежнему равно 2B/ +1) и введение
полного момента j и внутреннего числа / не изменяет закономерно-
закономерностей заполнения электронами состояний в сложных атомах. Дей-
Действительно, при/=/+1/2 получается 2/+1=2/+2 состояний, а при
/=/—Уг будет 2/-f 1=2/ состояний. Всего, таким образом, получается
4/+2=2B/+1) состояний.
Для атомов с одним оптическим электроном орбитальный момент
электрона является орбитальным моментом атома в целом. С учетом
спина электрона каждому значению /, кроме /=0, соответствуют два
значения / и вместо одного уровня имеется два уровня — так назы-
называемый дублет. В атоме Na переход электрона с такого дублетного
уровня на одиночный уровень, соответствующий значению 1=0, и
приводит к раздвоению желтой D-линии на две составляющие, наб-
наблюдаемые на опыте.
§ 14.8. Излучение и поглощение света.
Квантовомеханический смысл постулатов Бора
1. В § 13.4 мы рассмотрели на основе постулатов Бора
вопрос об излучении спектральных линий атомом, находящимся
в возбужденном состоянии, а также поглощение излучения, кото-
которое падает на атом. Квантовая механика позволила объяснить эти
процессы в полном согласии с опытом и вскрыла смысл постулатов
— 302 —
Бора. Предположим, что электрон в водородоподобной системе 2 на-
находится в некотором энергетическом состоянии, характеризуемом
главным квантовым числом п. Волновая функция электрона в этом
состоянии согласно формулам A2.18) и A2.23) имеет вид
¥„ (х, у, г, /) = 1|7Й (х, у, г) e-<w«f/fc. A4.30)
Вероятность нахождения электрона в элементе объема dV внутри
атома выразится как №n|W и, если подставить предыдущее выраже-
выражение для tyn(x, у, z, t), равна №„(*, у, z)\2dV. Таким образом, в кван-
квантовом состоянии, характеризуемом главным квантовым числом п,
вероятность местоположения электрона в атоме не зависит от времени,
не изменяется с течением времени. Электрон в таком состоянии с клас-
классической точки зрения не совершает колебаний и не излучает энергию.
Его энергия Wn не изменяется. Энергетическое состояние электрона,
характеризуемое определенной энергией Wn, является стационарным.
Находясь в этом состоянии, электрон не излучает энергии. Это есть
не что иное, как первый постулат Бора о наличии у атома стационар-
стационарных состояний, находясь в которых электроны атома не излучают.
2. С точки зрения квантовой механики стационарное состояние
атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних при-
причин, вызывающих изменение энергии атома. Однако опыт показывает,
что атом, находящийся в возбужденном энергетическом состоянии,
сам собой переходит в нормальное, невозбужденное состояние, излу-
излучая свет. Такое излучение, происходящее в отсутствие внешних при-
причин, изменяющих энергию атома, называется самопроизвольным или
спонтанным излучением. Для строгого объяснения спонтанных пере-
переходов атома из высших энергетических состояний в низшие недостаточ-
недостаточно одних законов квантовой механики и приходится прибегать к кван-
квантовой электродинамике, в которой рассматриваются с общей точки
зрения законы возникновения и исчезновения электромагнитного
поля. Разумеется, в рамках нашего курса эти вопросы рассмотрены
быть не могут. Однако задолго до создания квантовой электродинами-
электродинамики 2 . Эйнштейн создал A916) теорию излучения, базирующуюся на
законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии кванто-
квантовых систем с электромагнитным полем. Рассмотрим, согласно Эйнштей-
Эйнштейну, спонтанное излучение атома. Если атом в некоторый момент вре-
времени t находится в квантовом состоянии п и обладает энергией Wn,
то под действием внутренних воздействий, механизм которых невоз-
невозможно детально проследить, атом может самопроизвольно перейти в
некоторое состояние т, характеризуемое меньшей энергией Wm 3.
Введем вероятность Апт того, что в течение 1 с осуществляется спон-
спонтанный переход атома из состояния п в состояние т. Величина Апт на-
1 Ограничение водородоподобной системой не уменьшит общности тех результа-
результатов, о которых идет речь в этом параграфе, и проводится лишь для простоты и сопо-
сопоставления с теорией Бора.
2 Последовательная теория излучения и поглощения света была развита впервые
П. Дираком A927).
3 Спонтанный переход, как правило, совершается в нормальное, невозбужден-
невозбужденное состояние, в котором атом имеет наименьшую энергию»
— 303 —
зывается коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Вве-
Введение ее обусловлено тем, что самопроизвольный переход из состояния
п в состояние т может и не произойти, так как в соответствии с выво-
выводами квантовой механики атом может оставаться еще некоторое время
в состоянии п. Если Nn есть число атомов 1 , находящихся на энер-
энергетическом уровне Wn в момент времени t, то число — dNn атомов,
перешедших за промежуток времени от t до t-\-dt в состояние т, про-
пропорционально вероятности Апт спонтанного перехода, числу атомов
и промежутку времени dt:
-dNn=AnmNndt.
Знак минус указывает на убыль числа атомов на уровне п.
После интегрирования получим
Л^-Л^е-W, A4.31)
где Nn0— число атомов на уровне п в начальный момент времени t=0.
Каждый переход из состояния п в состояние т сопровождается
излучением спектральной линии с циклической частотой о)пт, опре-
определяемой правилом частот Бора:
Энергия, испускаемая за время dt,
Интенсивность излучения, т. е. энергия, испускаемая за единицу
времени, выразится следующим образом:
/ =^ = fmnmNmAnme-A^ = /ое"л^ A4.32)
где Io—AnmhanmNna— начальная интенсивность излучения (при /=0).
Назовем средней продолжительностью т„ жизни атома в возбужден-
возбужденном состоянии время, в течение которого число атомов Nnt, первона-
первоначально находившихся на возбужденном уровне к, уменьшается в е раз:
Из формулы A4.31) видно, что Лг„„/е= NMe~AnmX". После со-
сокращения на Nn<> получим
ЛшЛ=1, т. е. 1а=1/Лаа. A4.33)
Таким образом, коэффициент Эйнштейна Апт имеет ясный физи-
физический смысл: это есть величина, обратная среднему времени жизни
атома в возбужденном состоянии. С учетом A4.33) формулу A4.32)
можно переписать в виде
/=/ое"^/т«. A4.34)
Проверка экспоненциального закона A4.34) убывания интенсив-
интенсивности излучения и измерение величины тп были осуществлены Вином
1 Предполагается, что взаимодействием между атомами можно пренебречь, т. е.
что речь идет не о конденсированной системе, а о достаточно разреженном газе,
— 304 —
в опытах со свечением каналовых лучей. Вин изучил свечение пучка
водородных каналовых лучей, распространяющихся в пространстве
со столь высоким вакуумом, что соударений между частицами не про-
происходило и возбужденные частицы высвечивались только за счет
конечности времени жизни возбужденного состояния. Вин измерял
для отдельной спектральной линии убывание интенсивности вдоль
пучка лучей, прошедших со скоростью v некоторый путь х> так что
t—xlv.
Величина т^ определялась из формулы A4.34) по известным значе-
значениям интенсивностей /0 и /.
Для линии водорода На A=6562 А) получилось, что гп = 1,5-10"8 с,
для линии ртути (Х=2537 А) тп=9,8-10~8 с. Порядок величины тп«
«10"в с является характерным для времени нахождения атомов в
возбужденном состоянии, после чего они спонтанно переходят в ни-
нижерасположенные энергетические состояния. Конечность времени
жизни т^ атома в возбужденном состоянии приводит к тому, что энер-
энергия Wn атома в возбужденном состоянии может быть определена лишь
с некоторой неопределенностью AWn, вытекающей из соотношения
неопределенностей Гейзенберга A2.15):
Величина AWn=fn называется естественной шириной энергетиче-
энергетического уровня Wn. Значение AWn или т„ определяет естественную
ширину Av7im спектральной линии, возникающей при переходе с
уровня п на уровень т; по правилу частот Бора,
что соответствует в шкале длин волн величине ДЛ~10~4 А.
Помимо естественной ширины спектральных линий существуют дру-
другие причины, приводящие к уширению спектральных линии. Напри-
Например, так называемое ударное уширение связано с тем, что в результате
соударений возбужденных атомов уменьшается время жизни атома
в возбужденном состоянии и спектральная линия уширяется. Второй
причиной дополнительного уширения является эффект Доплера (см.
§ 9.5). Вследствие того что излучающие возбужденные атомы движутся
в различных направлениях и с различными скоростями, возникает
доплеровское уширение спектральной линии.
3. Если атом находится в пространстве, где имеется электромаг-
электромагнитное поле, то, согласно Эйнштейну, между атомом и полем проис-
происходит взаимодействие, определяемое законами сохранения энергии
и импульса. В классической электродинамике доказывается, что ди-
диполь, находящийся в электромагнитном поле падающей на него волны,
может в зависимости от соотношения фаз между собственными коле-
колебаниями диполя и колебаниями поля в волне либо поглощать энергию
из поля, либо отдавать ее полю в виде вынужденного излучения. В по-
последнем случае говорят об отрицательной абсорбции света в отличие
от обычного поглощения (положительная абсорбция). Эйнштейн по-
показал, что атом, находящийся в электромагнитном поле, должен об-
_ 305 —
ладать свойствами, аналогичными свойствам классического диполя:
в присутствии поля должно происходить вынужденное излучение ато-
атома Это означает, что атом, находящийся на некотором возбужденном
энергетическом уровне п, может с некоторой вероятностью перейти
под действием поля в низшее состояние т, поле как бы «сваливает»
атом с возбужденного уровня вниз.
В § 15.9 мы увидим, что явление вынужденного излучения нашло
свое экспериментальное подтверждение в принципиально новых кван-
квантовых источниках и усилителях света, созданных в последние годы.
Вероятность вынужденного испускания под действием поля пропор-
пропорциональна спектральной плотности р (v) энергии поля J и некоторому
коэффициенту Впт, который называется коэффициентом Эйнштейна
для вынужденного (индуцированного) излучения. Эту вероятность,
следуя Эйнштейну, записывают в форме Вптр (v).
Полная вероятность того, что возбужденный атом, находящийся на
уровне п, за единицу времени перейдет на низший уровень т с испу-
испусканием фотона h\ спонтанно или вынужденно, выразится суммой
Апт+Вптр (v). Число dN'n атомов, которые из общего числа Nn ато-
атомов, находящихся на уровне п, перейдут в состояние т за время dt,
можно представить следующим образом.
4. С другой стороны, взаимодействие с электромагнитным полем
атомов, находящихся на уровне т, может привести к тому, что атом,
поглощая фотон с энергией hv — Wn—Wm, перейдет в более высокое
энергетическое состояние п. Вероятность того, что за 1с произойдет
акт поглощения, по аналогии с предыдущим можно записать так:
Втпр (v), здесь Втп— коэффициент Эйнштейна для поглощения света.
Число актов dN'm возбуждения атомов за время dt выразится следую-
следующим образом:
dN'm = Bmil9(y)Nmdl,
где Nm— число атомов, находящихся на уровне т в момент времени t.
В состоянии термодинамического равновесия вещества и электромаг-
электромагнитного поля должно быть равновесие между процессами испускания
и поглощения света, т. е. равенство полного числа актов испускания
света числу актов его поглощения.
Поскольку речь идет о переходах между дв> мя произвольно
выбранными уровнями п и т, иногда говорят, что имеет место де-
детальное равновесие, для которого, следовательно, можно написать
[Anm + BnmP(v)]Nn = BmnP(v)Nm. A4 35)
Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, темпера-
температура Т стенок которой поддерживается постоянной. Равновесие,
1 Полная объемная плотность ш энергии поля связана со спектральной плот-
ностью р (v) соотношением ш = \ p(v)dv. Здесь и дальше в этом параграфе под V
о
понимается частота vnm, соответствующая переходу из состояния п в состояние ш,
— 306 —
возникающее в результате излучения и поглощения электромагиитных
волн атомами стенки, приводит в этом случае, как показал Эйнштейн,
к формуле Планка (см. § 10.2).
5. Воспользуемся условием детального равновесия A4.35) для вывода, по Эйн-
Эйнштейну, формулы Планка A0.27). Для этого учтем, что число атомов, находящихся
в различных энергетических состояниях, описывается статистической формулой Боль-
цмана (см, т. I, формула A1.14").
где No— число атомов на некотором энергетическом уровне, принятом за начало от-
отсчета энергии. Тогда, решая уравнение A4.35) относительно p(v), имеем1
0(v т)= .
о -« mlkT _ft e W nlhi
Из условия, чтобы при Т-*-оо p(v, T)->oo, имеем
Вп,п = Втп, A4.36)
т. е. равенство коэффициентов Эйнштейна для вынужденного (индуцированного)
излучения и поглощения света. Тогда, если принять во внимание, что Wn~Wm=
=Av, получаем
л /ft
Dfv т)= ■ "m "?
Воспользуемся далее формулой Вина A0 15') для излучения абсолютно черного
тела, согласно которой и A0. Г) p(v, T)=v^(v/r), где ф(г/7')= — /(v/T) — универ-
универсальная функция отношения v/7\ Из сопоставления предыдущей формулы с законом
Вина следует, что AnmlBnm=^a.\s, где а — постоянная, не зависящая ни от v, ни
от Т.
а
от Т.
Таким образом,
При малых частотах v, таких, что hv<^kT, ehv/liT=l-\-hvJkT и поэтому p(v, T)~
=avikT h. В этом случае объемная плотность излучения абсолютно черного тела
должна удовлетворять закону Рэлея — Джинса: p(v, T) — —s-feT. Следовательно,
С
Окончательно формулу Планка можно записать в таком виде:
P(v,r)=8-^ *V
Однако чаще формулу Планка записывают не для объемной плотности излучения,
а для испускательной способности абсолютно черного тела г$, которая связана с
p(v, T) соотношением
4j-P(v. П
1 Из записи этой формулы видно, что спектральная плотность р (v) объемной
плотности энергии зависит кроме частоты перехода между уровнями пит еще от тем-
температуры. Поэтому ее часто записывают в видер (v, T) nnupVl г.
— 307 —
Тогда формулу Планка получим в виде A0.27):
* 2nv* hv
6. В квантовой механике переход атома из одного состояния в
другое, связанный с излучением или поглощением фотона %а>, должен
описываться с помощью общего уравнения Шредингера A2.16), в ко-
котором волновая функция электрона зависит не только от координат,
но и от времени Ч/=¥(л:1 у, г, t). Рассмотрим атом, оптические свой-
свойства которого определяются поведением одного оптического электрона.
Переход такого атома из одного состояния в другое означает переход
между этими состояниями его оптического электрона, описываемого
волновой функцией W.
Последовательное рассмотрение проблемы излучения выходит
за рамки нашего курса. Мы ограничимся лишь основными положения-
положениями, оставляя в стороне подробные вычисления. Переход электрона из
энергетического состояния /г в состояние m означает, что состояние
электрона не может быть стационарным, т. е. вероятность |¥|2 dV об-
обнаружить электрон в элементе объема dV должна зависеть от времени.
В п. 1 этого параграфа мы пришли к выводу: если состояние электрона
iW
описывается волновой функцией типа A2.18') Wn — tyn(x, у, z)e ь ,
то I^IW не зависит от времени. Состояние электрона будет стационар-
стационарным. Рассмотрим переход электрона из состояния п в состояние m
под действием электромагнитного поля 1 . Если в некоторый момент
времени t на него начинает действовать поле и электрон совершает
переход из одного состояния в другое, то с этого момента он может
находиться и в состоянии п, и в состоянии m — имеется как бы «смесь»
обоих состояний, существует определенная вероятность обнаружить
электрон как в одном, так и в другом состоянии. Выберем волновую
функцию ¥ такого «смешанного» состояния следующим образом:
где¥пи¥т—волновые функции электрона типа A2.18') в состояниях
п и т, а коэффициенты сг и с2 зависят от времени. В момент t=0, когда
поле было только создано, электрон находился в состоянии п, так что
Ci@)=l и с2@)=0. В некоторый момент f, когда переход закончился
и электрон перешел в состояние т, cl(i') = 0 и c2(t')=l. При таком
выборе l^pdl/ будет зависеть от времени. В самом деле,
Раскрывая эту сумму и подставляя х¥п~^п(х, у, z)e~'Wn</ и
^т — 'Ф/я(х, у, z)e~iWmt/ , мы будем иметь члены вида ciWnWn и
cWrn^m, которые не зависят от t, и перекрестные члены типа 4f¥
и CiC2¥m¥^, зависящие от времени.
1 Как указано в п. 2 этого параграфа, спонтанное излучение не может быть рас-
рассмотрено в рамках обычной квантовой механики,
- 308 —
В классической теории мощность излучения электрона, колеблю-
колеблющегося с циклической частотой со, выражается формулой C.19):
iV ~~ блс ' Р(?1 '
где 1ре| — модуль вектора второй производной по времени от ди-
польного момента колеблющегося заряда. Если г — расстояние элек-
электрона до ядра атома, то ре= —ег, где е — абсолютное значение заряда
электрона; тогда мощность излучения
Если
блс
Пользуясь принципом соответствия, сформулированным в § 12.9,
можно показать * , что в квантовой механике формула мощности из-
излучения отличается от классической только заменой гклас на гкв мех.
Если перейти к средней мощности <yV>, то для вычисления среднего
значения |г@1кв. мех нужно воспользоваться формулой
Iг @U.Mex = <У, |1 cos *"■"*> ^п\х\^mdV. A4.38)
Результат A4.38) имеет большое значение. Он показывает, что про-
происходят колебания среднего значения расстояния электрона от ядра —
это расстояние является периодической функцией времени с частотой
®пт~ (Wn—Wm)/k, соответствующей правилу частот Бора. С клас-
классической точки зрения, которая сохраняется в данном случае и в
квантовой механике, такие колебания приводят к излучению и по-
поглощению света.
Таким образом, возникновение линейчатых спектров и постулат
Бора о связи частоты излучения с разностью энергии уровнен, между
которыми происходит переход, получают в квантовой механике свое
обоснование: излучение и поглощение квантов света происходят лишь
с частотами, удовлетворяющими правилу частот Бора.
7. Результат A4.38) и формула C.19) указывают, что средняя
мощность должна быть пропорциональна величине
Выражение
r^ = $V«rtindV A4.38')
может обращаться в нуль, и тогда соответствующий переход нз состоя-
состояния п в состояние т оказывается «запрещенным» — спектральные
линии, соответствующие этому переходу, не наблюдаются. Так, в
1 Доказательство этого важного положения выходит за рамки нашего
- 309 -
квантовой механике возникают особые правила отбора, ограничива-
ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с ис-
испусканием или поглощением света. Если бы таких правил отбора не
существовало, то число линий в спектрах излучения и поглощения
атома было бы произвольно велико. Оказывается, например, что в
атомах, где существует две системы энергетических уровней — одиноч-
одиночные (синглетные) и тройные (триплетные) (гелий, ртуть),— практиче-
практически не наблюдается переходов между синглетными и триплетными уров-
уровнями. Далее, как показывает опыт, оптический электрон не переходит
с уровня s(l—0) на уровень d(l—2), но может переходить с уровня s
на уровень /?(/=!) (или наоборот). В спектроскопии эти правила от-
отбора были установлены эмпирически еще до развития квантовой меха-
механики. В квантовой механике правила отбора являются следствием
выражения A4.38'). Возможны лишь такие переходы, для которых
гпт не обращается в нуль. Состояние электрона в атоме определяется
набором квантовых чисел п, I, m и s. Волновые функции \|зп (х, у, г) и
"tin (x> У» г) зависят от этих чисел. Расчеты показывают, что для элек-
электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра (случай
водородоподобных систем), выражение A4.38') отлично от нуля лишь
в том случае, если происходит переход между состояниями,
для которых изменение орбитального квантового числа А/ удовлетво-
удовлетворяет условию А/ = + 1 * . Это означает, что электрон может переходить
из состояния s в р (или наоборот), из р- в d-состояние (или наоборот),
т. е. всегда так, чтобы орбитальное квантовое число увеличивалось
или уменьшалось на единицу. Помимо правила отбора по орбиталь-
орбитальному квантовому числу / существуют другие правила отбора, например
по магнитному квантовому числу т: возможные оптические переходы
должны удовлетворять условиям Am—0, ±1. Мы не будем подроб-
подробнее останавливаться на этих правилах. Отметим в заключение, что
в отличие от теории Бора, которая не позволила вычислить интенсив-
интенсивности спектральных линий, квантовомеханическое рассмотрение про-
проблемы излучения дало возможность в согласии с опытом решить за-
задачу об отыскании частот спектральных линий атомов и об их интен-
интенсивности х.
§ 14.9. Эффект Зеемана
1. П. Зееман обнаружил A896), что если поместить ис-
источник света между полюсами электромагнита, то спектральные линии
источника расщепляются на несколько компонент. В настоя-
настоящее время эффектом Зеемана называется расщепление спектральных
линий и уровней энергии во внешнем магнитном поле. В свое время, в
особенности в период после создания теории Бора, изучение эффекта
Зеемана на спектральных линиях атомов в видимой и ультрафиолето-
ультрафиолетовой областях спектра сыграло существенную роль в развитии учения
о строении атома. Однако и до сих пор эффект Зеемана является одним
1 Это справедливо лишь для легких водородоподобных систем, у которых спин-
орбитальное взаимодействие слабое и спиновое квантовое число при переходе не из-
изменяется (As=0).
— 310 —
из методов изучения энергетических уровней электронов в атомах и
облегчает истолкование спектров сложных атомов.
2. В простейшем случае эффект Зеемана заключается в том, что
при помещении источника света в достаточно сильное магнитное поле
спектральная линия с частотой v0 расщепляется на три или две ком-
компоненты. При наблюдении излучения, распространяющегося пер-
перпендикулярно направлению напряженности Н магнитного
поля, линия v0 симметрично расщепляется на три компонен-
компоненты с частотами v+1, v0 и v_t. При этом все три компоненты линейно-
поляризованы. У средней компоненты v0, называемой л-компонентой,
колебания электрического вектора Е направлены в д о л ь Н. У край-
Лопершие
наблюдение
J
У/
Js,
о ' о <=—f
Рис. 14.5 Рис. 14.6
них компонент v+1 и v_x (так называемых ст-компонент) колебания
электрического вектора Е перпендикулярны направлению Н.
При наблюдении излучения, распространяющегося вдоль на-
направления магнитного поля, линия v0 исчезает, а крайние линии
v+1 и v_! оказываются поляризованными по кругус
противоположными направлениями вращения (рис. 14.5). Указанный
тип расщепления спектральных линий называется нормальным или
простым эффектом Зеемана. В этом эффекте расстояние между сред-
средней и крайними линиями нормального триплета Avo=v+1—vo=vo—v_s
оказывается равным
где цд=Йе/Bте) — магнетон Бора.
Нормальный аффект Зеемана относительно легко наблюдается в
спектрах щелочноземельных элементов, а также в спектрах Zn, Cd
nHg.
3. Нормальный эффект Зеемана был объяснен еще Г. Лоренцем
A897) на основе классической электронной теории. Рассмотрим атом
с одним валентным излучающим электроном. С классической точки
зрения, излучение атомом электромагнитных волн с частотой v0 яв-
является результатом гармонических колебаний электрона с такой же
частотой. Если атом находится в магнитном поле, то произвольное
линейно-поляризованное колебание электрона s может быть разложе-
разложено на два колебания: одно (si) происходит вдоль магнитного поля, а
другое (s) — в плоскости, перпендикулярной направлению поля
- 311 —
(рис. 14.6). В свою очередь это последнее можно разложить на два
колебания х и у, поляризованные по кругу с противоположными на-
направлениями вращения. Как показано в §20.2 т. II, это вращение
должно происходить с частотой прецессии Лармора vL~\i^H/Dяте).
Для кругового колебания с направлением вращения, совпадающим с
направлением прецессии, частота колебаний электрона будет Vo+v^
а для колебания с противоположным направлением вращения полу-
получится частота v0—v^. Вдоль магнитного поля л и н е й н о-поляризо-
ванное колебание электрона Si не дает излучения, ибо, как известно
(см. § 3.2), линейный осциллятор вдоль своей оси не излучает. Поэто-
Поэтому в продольном эффекте Зеемана наблюдают два колебания, поля-
поляризованных по кругу с частотами колебаний, смещенными относительно
первоначальной частоты v0 на величину
При наблюдении излучения в направлении, перпендикулярном
направлению магнитного поля (поперечный эффект Зеемана), все
три колебания Si, x и у дадут лииейно-поляризованные излучения с
частотами v0 и ve±vt=v0±n0e#/Dnme). Изложенные рассуждения
находятся в полном согласии с опытом.
4. Квантовомеханическая теория эффекта Зеемана основана на
анализе расщепления энергетического уровня излучающего электрона
в атоме, помещенном в постоянное магнитное Поле с напряженностью
Н. Для нормального эффекта Зеемана предполагается, что
электрон обладает лишь орбитальным магнитным моментом рт. В маг-
магнитном поле с индукцией В электрон приобретает дополнительную
энергию AlFMarH, величина которой
Д^„агн= -л - -pm\i0Hcos (pJJ) = -VoPmzH,
где ртг — проекция магнитного момента на направление 2 магнит-
магнитного поля.
По формулам A4.12) и A4.13),
е Т е%
где т — магнитное квантовое число. Таким образом, дополнительная
энергия, приобретаемая электроном атома * в магнитном поле, равна
A4.39)
Если обозначить энергию электрона в атоме в некотором состоянии 1
без магнитного поля через Wi и соответственно через т^— магнитное
квантовое число, а индексом 2 снабдить соответствующие величины в
более низком энергетическом состоянии 2, то полную энергию элек-
1 Напомним, что рассматривается случай атома с одним излучающим электро-
электроном,
— 312 —
трона в состоянии / при наличии поля можно записать в виде
W^Wi + m&SBH.
Соответственно в состоянии 2 полная энергия выразится в виде
W'^W^ + m^^H.
Частота оптического перехода между состояниями 1 и 2
I
где v0 — частота спектральной линии в отсутствие магнитного поля.
По правилу отбора для магнитного квантового числа при переходах
между разрешенными уровнями Atn^rrii—т2— + \, 0, —1. Поэтому
частоты нормального триплета Зеемана имеют значения
совпадающие с опытом в случае сильных магнитных полей.
Критерий сильного и слабого магнитного
п о л я в эффекте Зеемана связан с величиной нормального расщеп-
расщепления (Ао[хй//. Если эта величина намного превышает разность между
энергиями двух энергетических уровней (г'-го и /-го) в отсутствие
магнитного поля:
то магнитное поле считается сильным (здесь, Wt и Wf — энергии двух
уровней в атоме). Магнитное поле, удовлетворяющее, противополож-
противоположному условию
№аН<^\Ф{- Wj\,
называется слабым.
5. В слабом магнитном поле наблюдается аномальный, или слож-
сложный, эффект Зеемана. В этом случае происходит расщепление спект-
спектральных линий на множество компонент, которые относятся по своей
поляризации либо к я-компонентам, либо к or-компонентам. Аномаль-
Аномальный эффект Зеемана получил свое истолкование после обнаружеиия
спина электрона и создания векторной модели атома. При объяснении
нормального эффекта Зеемана принимается во внимание лишь орбиталь-
орбитальный магнитный момент электрона. Наличие у электрона спина и соот-
соответствующего ему магнитного момента усложняет картину расщеп-
расщепления энергетических уровней и спектральных линий в магнитном поле.
При увеличении напряженности магнитного поля взаимодействие
между орбитальным и спиновым моментами становится все менее су-
существенным по сравнению с взаимодействием каждого из них по-
порознь с внешним полем, Расщепление спектральных линий при этом
растет и постепенно начинают сливаться компоненты мультиплетов
соседних спектральных линий. В сильном магнитном поле из всех
компонент мультиплетов остаются три линии (для поперечного) или
две линии (для продольного) нормального эффекта Зеемана. Переход
— 313 —
от аномального к нормальному эффекту Зеемана при увеличении на-
напряженности внешних магнитных полей называется эффектом Па-
шена — Бака.
§ 14.10. Понятие о явлениях
магнитного резонанса
1. С расщеплением энергетических уровней в магнитном поле, обу-
обусловленным наличием у электронов, а также у ядерных частиц магнитных моментов,
связано явление магнитного резонанса, играющего большую роль в современных ме-
методах исследования строения и свойств вещества.
Магнитным резонансом называется избирательное поглощение энергии пере-
переменного электромагнитного поля веществом, находящимся в постоянном магнитном
поле. Это явление связано с вынужденными переходами между подуровнями одного
итого же зеемановского мультиплета, появившегося в результате действия по-
постоянного магнитного поля. Опыт и теоретические расчеты показывают, что спон-
спонтанные переходы между такими подуровнями не происходят, так как они очень мало-
маловероятны. Эти переходы соответствовали бы для практически достижимых напряжен-
ностей магнитного поля излучению с частотами, лежащими в радиодиапазоне. На-
Например, расщеплению, связанному' с электронными магнитными моментами, соответ-
соответствует излучение в области сантиметровых волн. Однако кроме спонтанных переходов,
возможны вынужденные переходы между подуровнями W и W-}-AW зеема-
зеемановского расщепления, вызванные наложением на вещество дополнительного пере-
/W
менного магнитного поля с частотой v = —-— , совпадающей с частотой
перехода между данными двумя подуровнями. Эти вынужденные переходы и обус-
обусловливают явление магнитного резонанса.
2. Магнитный резонанс, связанный с наличием у электронов магнитных момен-
моментов, называется электронным магнитным резонансом (в § 16.2 будет рассмотрен ядер-
ядерный магнитный резонанс, обусловленный наличием магнитных моментов у ядерных
частиц — протонов и нейтронов). Как известно (см. т. II, §20.2), в постоянном маг-
магнитном иоле Н вектор р,л магнитного электрона совершает прецессионное движение
вокруг направления внешнего поля с некоторой частотой прецессии v0 (рис. 14.7, а).
Предположим, что кроме постоянного
магнитного поля действует еще пере-
переменное магнитное поле Н', направле-
направление которого перпендикулярно нап-
направлению Н, а частота меняется.
Переменное магнитное поле с индук-
индукцией В' создает вращающий момент М,
Н
Рис. 14.7
действующий на магнитный момент рт
[см. т. II, формула A7.5)]:
М = [р*В'].
Под действием этого момента сил
вектор рт должен прецесснровать вок-
вокруг направления переменного магнит-
магнитного поля, имеющего напряженность
Н'— В'/ (pn|i), так что ориентация вектора рт относительно поля Н должна измениться
(рис. 14.7, б). Эго означает, что изменится проекция ртн вектора рш на направление
Н. Если частота переменного поля совпадает с частотой прецессии v0 (магнитный
резона с), то изменение ориентации вектора р^ и его проекции ртц на направле-
направление поля Н будет очень сильным. Это приведет к изменению энергии магнитного
момента рт в поле Н, т. е. вызовет энергетические переходы между подуровнями
зеемановского расщепления.
Магнитный резонанс может быть использован для определения частоты v0 пре-
прецессии. По известной частоте v0 можно определить магнитные моменты электронов.
3. Существуют два различных метода наблюдения магнитного резонанса: изме-
измерение воздействия переменного радиочастотного магнитного поля на молекулярный
— 314 —
или атомный пучок (метод И. Раби) и измерение поглощения веществом электромаг -
нитных волн соответствующей частоты.
В первом методе пучок частиц, обладающих магнитным моментом, отклоняется в
постоянном неоднородном магнитном поле и приемник фиксирует
число частиц, испытавших в постоянном магнитном поле некоторое определенное от-
отклонение. Если этот пучок одновременно подвергнуть действию переменного радио-
радиочастотного магнитного поля, направленного перпендикулярно направлению посто-
постоянного магнитного поля, то оно вызовет переходы между подуровнями зеемановского
расщепления. Когда частота V переменного поля не совпадает с частотой переходов
(другими словами, с частотой v0 прецессии вокруг постоянного поля), в приемник
попадает то же число частиц, что и в отсутствие переменного поля. При совпадении
частоты переменного поля с частотой переходов (с частотой прецессии) все частицы,
для которых проекция магнитного момента на направление постоянного поля изме-
изменилась, будут иначе отклоняться в неоднородном иоле и не попадут в приемник. Эк-
Экспериментально этот метод может быть реализован в двух вариантах. Задавая опре-
определенное значение напряженности постоянного магнитного поля, исследуют зави-
зависимость интенсивности молекулярного (или атомного) пучка, попавшего в приемник,
от частоты v переменного магнитного поля и находят такую частоту vM1IH, при которой
интенсивность пучка оказывается наименьшей («резонансный минимум»). Эта ча-
частота совпадает с v0. Можно, наоборот, фиксировать частоту радиочастотного маг-
магнитного поля и изменять напряженность постоянного поля, т. е. изменять частоту v0,
добиваясь ее совпадения с частотой v. Резонансные минимумы, полученные таким об-
образом, имеют исключительную остроту и позволяют определять магнитные моменты
с относительной точностью 10~*—10~^. Важной особенностью магнитного резонанса
в молекулярных и атомных пучках является то, что он позволяет изучать действие
радиочастотного поля па свободные молекулы и атомы, не взаимодействующие
между собой. Вместе с тем экспериментальные трудности работы с молекулярными
пучками, необходимость специальной вакуумной техники очень усложняют измерения.
4. Вторым методом изучения магнитного резонанса, практически более удобным,
является исследование резонансного поглощения электромагнитных волн веществом,
помещенным в постоянное однородное магнитное поле. Если частота переменного маг-
магнитного поля совпадает с частотами, соответствующими переходам между подуров-
подуровнями зеемановского расщепления, то происходит интенсивное поглощение радиоволн
веществом. Благодаря высокой чувствительности современных радиотехнических
методов можно наблюдать поглощение волн, частоты которых соответствуют пере-
переходам между ближайшими подуровнями. Изучение поглощения в радиочастотной
области в принципе не отличается от изучения поглощения волн в области оптиче-
оптических частот (см. §7.3). Вся экспериментальная методика исследования магнитного
резонанса методом резонансного поглощения более проста, чем в методе молекуляр-
молекулярных пучков. Вместе с тем точность этого метода также очень высока.
Исследование поглощения веществом электромагнитного излучения радиодиапа-
радиодиапазона составляет содержание так называемой радиоспектроскопии, которая позволяет
раскрыть многие тонкие особенности строения вещества. Принципиальная схема ра-
радиоспектроскопических исследований состоит в следующем. От генератора электро-
электромагнитных волн излучение поступает в волновод, частично заполненный исследуемым
веществом. Волновод представляет собой канал для передачи энергии электромаг-
электромагнитного поля, ограниченный боковой поверхностью (или поверхностями) определен-
определенной формы. В простейшем случае волновод имеет вид металлической трубки круглого
или прямоугольного сечения. После прохождения сквозь поглощающую среду излу-
излучение поступает в детектор, вырабатывающий электрический сигнал, пропорциональ-
пропорциональный мощности электромагнитного излучения, падающего на детектор. После усиле-
усиления этот сигнал наблюдается на экране осциллографа или регистрируется измери-
измерительным прибором. Для радиоспектроскопических методов характерна весьма вы-
высокая разрешающая способность, в сотни тысяч раз превышающая разрешающую спо-
способность оптических методов. Методом поглощения исследуются вещества в газооб-
газообразном и в конденсированных (твердом или жидком) состояниях. При исследованиях
поглощения в газах генератор должен давать излучение в диапазоне миллиметровых
и сантиметровых волн, соответствующее избирательному поглощению газов при низ-
низких давлениях. В конденсированных средах метод радиоспектроскопии широко при-
применяется для определения характера химических связей в веществе. При этом, однако,
приходится учитывать, что определенные таким методом магнитные моменты взаимо-
— 315 —
действующих друг с другом частиц вещества могут существенно отличаться бт зна-
значений магнитных моментов для свободных частиц. Это сильно затрудняет интерпре-
интерпретацию резонансных пиков поглощения в конденсированных средах.
5. Важным случаем резонансного поглощения Является так называемый элек-
электронный парамагнитный резонанс (э. п. р.), открытый Е. К. Завойским A945) и часто
называемый просто парамагнитным резонансом.
Явление электронного парамагнитного резонанса состоит в поглощении пара-
парамагнитным веществом микроволнового радиоизлучения за счет переходов между по-
подуровнями зеемановского расщепления. Расщепление энергетических уровней обу-
обусловлено действием постоянного магнитного поля на магнитные моменты частиц ве-
вещества, определяющие его парамагнитные свойства. Во внешнем постоян-
постоянном магнитном поле магнитные моменты атомов J стремятся ориентироваться вдоль
поля. Одновременно с этим происходит зееманОвское расщепление энергетических
уровней и перераспределение по этим уровням атомов. Заселенность атомами поду
ровней зеемановского расщепления оказывается неодинаковой.
В состоянии термодинамического равновесия среднее число атомов, находя-
находящихся на данном подуровне, выразится формулой Больцмана [см. т. I, формула
A1.14")]:
где энергия А^мат пропорциональна тН. На подуровнях с меньшим значением
магнитного квантового числа т. находится большее число атомов, чем на др>гих по-
подуровнях с m'>m, так как состояния с меньшей потенциальной энергией энергетиче-
энергетически более выгодны. Иными словами, должна существовать преимуществен'
ная ориентация магнитных моментов атомов вдоль направления магнитного
поля, соответствующая намагниченному состоянию парамагнитного вещества (см.
т. II, §20.4). При наложении на вещество переменного магнитного поЛя с Частотами,
совпадающими с частотой перехода между подуровнями зеемановского расщепления
или кратными ей, будет происходить резонансное поглощение электромагнитных
воли. Оно обусловлено преобладанием числа переходов, связанных с увеличением
магнитного квантового числа на единицу (переходы типа m-vm-f-l), над числом
противоположных переходов (типа m+l-»-m). Другими словами, в результате ре*
зонансного поглощения энергии переменного магнитного поля атомы будут перехо-
переходить с более заселенных нижних энергетических уровней на менее заселенные верх-
верхние уровни. Поглощение пропорционально числу поглощающих атомов в единице
объема вещества. Чувствительные установки для изучения э. п. р. позволяют обна-
обнаруживать поглощение в образцах, имеющих концентрации поглощающих атомов
порядка 1011 см~3. Особенно эффективен э. п. р. в тех случаях, когда вещество состоит
из атомов с одним внешним электроном в s-состоянии, которые обладают суммарным
магнитным моментом, равным спиновому магнитному моменту s-электроиа. Химиче-
Химически устойчивые молекулы, как правило, имеют четное число электронов, образую-
образующих заполненные оболочки, так что полный механический и магнитный моменты мо-
лекуды равны нулю. При химических реакциях таких молекул в качестве промежу-
промежуточных продуктов могут образовываться так называемые свободные, химически не-
неустойчивые радикалы, обладающие одним электроном с некомпенсированным спи-
спином. Метод парамагнитного резонанса позволяет обнаружить эти радикалы и по про-
протеканию химических реакций сделать определенные выводы о характере химических
связей.
6. Особым случаем парамагнитного резонанса является резонансное поглощение
электромагнитных волн электронами проводимости в металлах, связанное со спином
электронов и спиновым парамагнетизмом электронного газа в металлах (см. т. II,
§ 20.4). В ферромагнитных веществах наблюдается ферромагнитный резонанс, свя-
связанный с изменением ориентации электронных моментов внутри доменов (см. т. II,
§ 20.6) или между доменами ферромагнетиков. Этот случай резонанса связан с ссо-
бым спиновым взаимодействием электронов в ферромагнетиках и используется для
изучения этих взаимодействий.
i Ради простоты мы по-прежнему будем считать, что речь идет об атомах с од-
одним оптическим валентным электроном.
— 316 —
§ 14.11. Рентгеновские лучи
1. Большую роль в исследованиях строения и свойств
электронных оболочек атомов сыграли лучи, открытые в 1895 г.
В. Рентгеном и названные в его честь рентгеновскими лучами.
Рентгеновские лучи возникают при торможении веществом быстрых
электронов. Для получения рентгеновских лучей служат специальные
электровакуумные приборы — рентгеновские трубки, состоящие из
вакуумированного стеклянного или металлического корпуса, в кото-
котором на некотором расстоянии друг от друга находятся катод и анод,
включенные в цепь высокого напряжения. В рентгеновских трубках
катод служит источником электронов, а анод (антикатод) — источни-
источником рентгеновских лучей1. Между катодом и анодом создается сильное
электрическое поле, разгоняющее электроны до энергий 10*—105 эВ.
Для получения электронов столь высоких энергий в рентгеновских
трубках создается вакуум ~10-в мм рт. ст. В современных ускори-
ускорительных установках (бетатронах и синхротронах) (см. т. II, § 18.5 и
21.2) рентгеновские лучи возникают при торможении электронов с
энергиями порядка 103 МэВ и более.
2. Рентгеновские лучи возникают в результате преобразования
кинетической энергии быстрых электронов в энергию электромагнит-
электромагнитного излучения и представляют собой электромагнитные волны с дли-
длиной волны порядка от 0,01 А до 800 А. (Напомним, что длина волн
наиболее короткого, из воспринимаемого глазом фиолетового излу-
излучения равна 4000 А.) Волновая электромагнитная пр'ирода рентге-
рентгеновских лучей полностью доказывается опытами по дифракции рент-
рентгеновских лучей (см. §6.4). Кроме того, с рентгеновскими лучами были
осуществлены интерференционные и дифракционные опыты, аналогич-
аналогичные опытам с зеркалами Френеля и дифракции на щели, хотя малая
длина волны рентгеновских лучей сильно затрудняла осуществление
этих экспериментов. Тем не менее эти опыты были осуществлены и
волновая электромагнитная природа рентгеновских лучей была твердо
установлена.
3. Для обнаружения рентгеновского излучения используются раз-
различные их действия. Рентгеновское излучение в сильной степени дей-
действует на фотопластинку, обладает высокой способностью ионизиро-
ионизировать газы, вызывает флуоресцентное свечение в так называемых лю-
люминофорах. (Явление флуоресценции рассмотрено в § 15.8.) Для из-
измерения интенсивности рентгеновских лучей используются главным
образом их фотохимическое и ионизирующее действия. В специальных
ионизационных камерах интенсивность рентгеновского излучения
измеряется по силе тока насыщения, возникшего в результате иониза-
ионизации газа, заключенного в камере. Сила этого тока пропорциональна
интенсивности рентгеновского излучения. Ионизационные камеры и
1 Наряду с описанными электронными рентгеновскими трубками существует и
другой тип рентгеновских трубок — ионные трубки, в которых свободные электроны
образуются при бомбардировке катода ионам разреженного газа, ускоренными элек-
электрическим полем.
— 317 —
другие методы обнаружения ионизирующих излучений рассмотрены
в ядерной физике (см. § 17.4).
4. Экспериментальные исследования показали, что существуют
два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не
превышающих некоторого критического, зависящего от материала ан-
антикатода, возникает рентгеновское излучение со сплошным спектром,
подобным спектру белого света. Такое рентгеновское излучение назы-
называется белым. Белое рентгеновское излучение, как показали подроб-
подробные исследования, вызывается торможением быстрых электронов при
их движении в веществе. Поэтому белое излучение называют также
тормозным. Таким образом, этот тип рент-
рентгеновского излучения испускается самими
электронами, движущимися в веществе.
Согласно классической теории излучения,
при торможении движущегося заряда долж-
должно действительно возникать излучение с
непрерывным спектром. Однако рентгенов-
рентгеновский сплошной спектр отличается важней-
важнейшей особенностью — он ограничен со сто-
стороны малых длин волн некоторой гра-
границей ^мин> называемой границей сплош-
сплошного спектра.
На рис. 14.8 изображены рентгенов-
рентгеновские сплошные спектры для вольфрама
при различной разности потенциалов меж-
между электродами рентгеновской трубки. На-
Наличие границы Хмнн не может быть истолко-
истолковано с классической волновой точки зрения на природу рентгеновского
электромагнитного излучения: непрерывный спектр тормозного излу-
излучения согласно этим представлениям не должен быть ограничен со
стороны малых длин волн (больших частот). Исследования показали,
что граничная длина волны Л,мин зависит от кинетической энергии
WK электронов, вызывающих тормозное рентгеновское излучение.
При увеличении WK длина волны ^мнН уменьшается. Существование
границы сплошного рентгеновского спектра можно объяснить на ос-
основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энер-
энергия hvHdKC рентгеновского фотона, возникшего за счет энергии элек-
электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда следует равенство
WK = e(pa = hvKaKC, A4.41)
Где ф0— разность потенциалов, за счет которой электрону сообщена
энергия WK. Переходя в A4.41) от частоты к длине волны, получим
ch A4.41')
0,1 0,3 BJt 0,5 0,6 Ц1 0,8 0,3 \0
Волны, А
Рис. 14.8
Л
"«ил
^макс
wK
Эта формула полностью соответствует экспериментальным данным
и лежит в основе одного из методов экспериментального определения
постоянной Планка h. Значение h, полученное из измерений коротко-
— 318 —
волновой границы рентгеновского сплошного спектра, является од-
одним из наиболее точных и достоверных.
Соотношение A4.41) совпадает с уравнением Эйнштейна A1.4)
для фотоэффекта, если в нем пренебречь работой выхода электрона из
металла1. Действительно, явление фотоэффекта и возникновение
рентгеновского тормозного излучения являются взаимно-обратными
явлениями: прочтенное справа налево уравнение A4.41) дает энергию
электрона при фотоэффекте, прочтенное слева направо, оно указывает
на существование граничной частоты (или длины волны) при полном
преобразовании энергии тормозящего электрона в энергию фотона.
5. Вторым типом рентгеновского излучения является так назы-
называемое характеристическое рентгеновское излучение. Свое название
оно получило вследствие того, что этот тип рентгеновских лучей ха-
характеризует вещество антикатода. Характеристическое рентгеновское
излучение имеет линейчатый спектр. Важная особенность этих спект-
спектров состоит в том, что атомы каждого химического элемента незави-
независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обла-
обладают своим, вполне определенным, линейчатым спектром характери-
характеристического рентгеновского излучения. В этом заключается отличие
линейчатых рентгеновских спектров от оптических линейчатых спек-
спектров, которые существенно различаются для атомов, находящихся
в свободном состоянии и в химических соединениях. Мы убедимся в этом
различии подробнее при изучении спектров молекул в гл. XV. Су-
Существование такого различия может быть понято из следующих об-
общих соображений. Мы уже видели, что оптические линейчатые спект-
спектры атомов связаны с поведением внешних валентных электронов.
При образовании химических соединений состояния этих электронов
изменяются, что не может не сказаться на оптическом спектре. Тот факт,
что рентгеновские линейчатые спектры являются индивидуаль-
индивидуальной характеристикой атома, не изменяющейся при вступлении его
в химические соединения, указывает на то, что возникновение харак-
характеристического рентгеновского излучения связано с процессами, про-
происходящими в глубинных, застроенных электронных оболочках ато-
атомов, которые не изменяются при химических реакциях атомов. Как
и оптические спектры, линейчатые рентгеновские спектры состоят из
линий, составляющих несколько серий. Однако в отличие от серий
оптических спектров, имеющих множество линий и обнаруживающих
большое разнообразие у атомов разных химических элементов, серии
рентгеновских линейчатых спектров имеют небольшое число линий.
Особенно важно, что у разных элементов обнаруживаются однотип-
однотипные серии линий, отличающиеся лишь тем, что у атомов более тяжелых
элементов сходные серии линий смещены в сторону более коротких
волн.
В порядке возрастания длин волн серии характеристического рент-
рентгеновского излучения называются соответственно К-, L-, М-, М-се-
1 Если фотоэффект вызывается рентгеновским излучением, то в уравнении A1.4)
работа выхода электрона из металла много меньше энергии h\ фотона и ею можно
пренебречь.
— 319 —
риями. Эти названия, как будет показано ниже, связаны с происхожде-
происхождением линий этих серий.
6. Физический смысл появления линейчатых характеристических
рентгеновских спектров был выяснен в боровской теории атома.
Как мы видели в § 14.5, в атомах с большим атомным номером Z вну-
внутренние электронные оболочки К, L, М и другие полностью заполнены
электронами. При удалении электрона с одной из внутренних оболо-
оболочек на освободившееся место переходит электрон из более удаленной
от ядра оболочки и излучается рентгеновский фотон. Если, например,
электрон удаляется из самой внутренней /(-оболочки атома под дей-
действием налетающего на атом электрона или первичного жесткого излу-
излучения, то на его место может перейти электрон с L-, М-, N- оболочек
и др. Такой переход связан с испусканием фотонов с определенной
энергией и возникновением линий рентгеновской /(-серии. Очевидно,
что для вырывания электрона из /(-оболочки, наиболее близкой к яд-
ядру, где электроны испытывают наибольшее к ядру притяжение, тре-
требуется затрата значительной энергии — работы вырывания электрона.
Энергия налетающего электрона или первичного налетающего фо-
фотона должна быть по крайней мере равна этой работе. Поэтому для
каждого атома существует определенная граница возбуждения /(-серии.
Например, для ртути (Z—8Q) она составляет около 82 кэВ. Переходу
электрона с L-оболочки на /(-оболочку соответствует самая длинновол-
длинноволновая линия Ка /(-серии рентгеновского характеристического излу-
излучения. Линия К$ соответствует переходу электрона из М-оболочки на
/(-оболочку, линия- Кч — переходу из yV-оболочки на /(-оболочку.
Совокупность линий Ка, К& и Ку образует /(-серию. Частоты линий
возрастают при переходе от линий Ка к /(р и /С7. Это связано с уве-
увеличением энергии, высвобождающейся при переходе электрона на
/(-оболочку со все более удаленных оболочек. Наоборот, интенсив-
интенсивности линий убывают при переходе от линии Ка к линиям К& и К7,
так как вероятность переходов на /(-оболочку
с/.-оболочки больше, чем с М-, N- оболочек и
других, более удаленных. Линии серий L, М
и т. д. характеристического рентгеновского из-
излучения испускаются при освобождении «ва-
«вакантного» для электрона места соответственно
на L-, М-, N- оболочках и т. д. Так, при пере-
переходе электрона на jL-оболочку из М-оболочки
возникает линия La, из JV-оболочки— линия
Lp и т. д. Все переходы, заканчивающиеся на
L-оболочке, соответствуют линиям L-серии ха-
характеристического рентгеновского излучения. Общие закономерности,
отмеченные для /(-серии, остаются справедливыми для L-серий и др.
Для серий характеристических спектров справедлив комбинаци-
комбинационный принцип Ритца, установленный для оптических спектров
(см. § 13.3).
На рис. 14.9 схематически представлено возникновение различных
серий характеристического рентгеновского излучения.
7. Г. Мозли, исследуя A913) зависимость длин волн линии /(«
— 320. ~
характеристического излучения от атомного номера Z различных
элементов, обнаружил справедливость следующего соотношения, на-
называемого законом Мозли:
jA^7F = j/3/4(Z—a), A4.42)
где v* = l/v — волновое число линии, R'—постоянная Ридберга,
м~\ о — постоянная экранирования. Соотношение A4.42) можно пе-
переписать в следующем виде:
или
A4.42')
В таком виде это соотношение напоминает сериальную формулу
для водородоподобного атома, точнее формулу для первой линии серии
Лаймана (см. § 13.3) с тем отличием, что величина Z уменьшена на а.
Смысл постоянной экранирования заключается в том, что в тяжелом
атоме, содержащем Z электронов, на электрон, совершающий, на-
например, переход, соответствующий линии Ка, действует не весь заряд
ядра Ze, а заряд {Z—o) e, ослабленный экранирующим действием од-
одного электрона, остающегося в /(-оболочке.
Для линий Ка постоянная экранирования о = 1. Формулы, ана-
аналогичные A4.42'), можно написать и для других сходственных линий
характеристических спектров различных элемен-
тов. Например, для линий La ш£г и
v* = R'(Z—оJ ^—jaj , где а = 7,5.
A4.42")
В общем виде закон Мозли часто записывают
следующим образом:
= a(Z-b),
A4.42"')
га 43 бо so z
Рис. 14.10
где v — частота, с; а — постоянная для
данной серии линий, с~'/>; Ь — постоянная
экранирования.
На рис. 14.10 приведена так называемая ди-
диаграмма Мозли, иллюстрирующая для линий
Ка линейную зависимость Уv*/R' от атом-
атомного номера Z. Последовательное применение формулы Мозли к эле-
элементам периодической системы Менделеева подтвердило в свое время
закономерное возрастание на единицу заряда ядра при переходе от
одного элемента к последующему. Это имело большое значение для
подтверждения справедливости ядерной модели атома и периодиче-
периодического закона Менделеева.
8. Малая длина волны рентгеновского излучения (их большая «жесткость»)
обусловливает высокую проникающую способность этих лучей сквозь вещество и свое-
11 А. А. Детлаф, В. М. Яворский
321 —
гбразные закономерности их поглощения. Характерным примером этого является
пильшое по! лощение рентгеновских л^чей свинцовым стеклом, прозрачным для види-
видимого света. Этим свойством свинцовых стекол пользуются для предохранения от
рентгеновского излучения при работе на рентгеновских установках. При прохожде-
прохождении рентгеновского излучения сквозь вещество его интенсивность уменьшается вслед-
вследствие истинного поглощения и рассеяния.
Ослабление интенсивности вследствие рассеяния связано с эффектом Комптона
(см. § 11.4). При этом часть энергии жесткого рентгеновского излучения передается
электронам вещества, а излучение, испытавшее рассеяние, становится более мягким,
т. е. приобретает большую длину волны.
Благодаря различному поглощению рентгеновского излучения при прохождении
их через неоднородные препятствия эти лучи нашли широкое применение в медицине
для просвечивания н в различных областях науки и техники для дефектоскопии. Эти
применения основаны главным образом на двух закономерностях поглощения.
а) молекулярный коэффициент истинного поглощения складывается из атом-
атомных коэффициентов поглощения для всех атомов, входящих в молекулу;
б) а томный коэффициент истинного поглощения та весьма сильно зависит от
атомного номера Z поглощающего вещества и длины волны Я рентгеновского излу-
излучения; эта зависимость выражается эмпирически установленной формулой
где k — некоторая постоянная величина.
В зависимости от энергии фотонов рентгеновского излучения они могут вызы-
рать внутренний фотоэффект в различных электронных оболочках атомов. По мере
рсста энергии фотонов, т. е. уменьшения длины волны, коэффициент истинного пог-
поглощения уменьшается. Однако при некоторых значениях частот происходит скач-
скачкообразное возрастание поглощения. Оно связано с появлением дополнительного по-
поглощения за счет вырывания фотоэлектронов из соответствующей внутренней обо-
оболочки атома. Значения этих частот (или длин волн) рентгеновского излучения поз-
позволяют судить об энергиях электронов в состояниях, соответствующих данной обо-
оболочке (точнее, различным подоболочкам).
9. Весьма важным является быстрый рост та с увеличением Z. Например, при
просвечивании человеческого тела молекулярный коэффициент истинного поглоще-
поглощения в костях, состоящих из фосфорнокислого кальция, оказывается приблизительно
в 150 раз большим того же коэффициента для мягких тканей тела, в которых погло-
поглощает главным образом вода. Поэтому при просвечивании резко выделяется тень от
костей. Зависимость та от Z позволяет обнаружить различного рода дефекты в опти-
оптически непрозрачных твердых телах методом рентгеновской дефектоскопии. В зави-
зависимости от атомного номера Z дефектов в теле при его просвечивании границы де-
дефектов будут обозначены на экране по-разному. Если дефекты имеют атомные но-
номера Z, меньшие, чем вещество тела, то область, занятая дефектами, окажется более
светлой, чем остальное поле зрения. В противоположном случае дефектная область
окажется затемненной. Рентгеновская дефектоскопия позволяет определять не только
площадь, занимаемую дефектом, но и его толщину. Последнее достигается путем из-
измерения ослабления интенсивности рентгеновского излучения при прохождении
сквозь тело.
10. В заключение рассмотрим некоторые особенности рассеяния рентгеновского
излучения в веществе. Существенным для закономерностей рассеяния является то,
что длина волны Я рассеивающегося рентгеновского излучения соизмерима с атом-
атомными размерами. Это приводит к тому, что в отличие от рассеяния в оптической
области (например, рэлеевского рассеяния, рассмотренного в § 7.4) рассеяние рентге-
рентгеновского излучения не зависит от длины волны. Рассеивающими цент-
центрами для рентгеновских лучей являются атомы или молекулы вещества. В этом смы-
смысле рассеяние рентгеновского излучения происходит так, что для него любая среда
является «мутной» 1.
1 Напомним, что обычное рассеяние света при его прохождении чер ез «мутную»
среду обусловлено взвешенными частицами с размерами, во много раз большими
атомных, и с показателем преломления, значительно отличающимся от показателя
преломления среды.
— 322 —
Согласно волновой теории рассеяния рентгеновского излучения г, развитой
Дж. Дж. Томсоном, атомный коэффициент рассеяния
с -^ е' Z
а~ з Ж*
где Z — общее число электронов в атоме, е — заряд электрона, те — его масса. С по-
помощью этой формулы Томсону удалось показать, что по крайней мере для легких
элементов в периодической системе справедливо соотношение ZIА я 1/2, т. е. атомная
масса таких элементов примерно вдвое превышает их атомный номер. Подлинный
смысл этого соотношения мы выясним дальше в ядерной физике. Остается лишь за-
заметить, что при рассеянии рентгеновского излучения легкими веществами в ббльшей
степени проявляется квантовая природа этого излучения (см. § 11.5).
1 В основе ее лежало рассмотрение вынужденных колебаний электронов под дей-
действием падающего рентгеновского излучения.
It*
Глава XV
СТРОЕНИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 15.1. Предварительные замечания
и общая характеристика химических связей
1. В предыдущей главе мы видели, что на основе кван-
квантовой механики были созданы современные представления о строении
и оптических свойствах атомов, в том числе и многоэлектронных.
Теперь мы перейдем к изучению строения и оптических свойств м о -
л е к у л — наименьших частиц данного вещества, обладающих его
основными химическими свойствами.
Молекулы состоят из одинаковых или различных атомов, соеди-
соединенных между собой в одно целое междуатомными связями, которые
иногда называют химическими связями. Само существование молекул
как устойчивых систем показывает, что химические связи атомов в мо-
молекулах должны быть обусловлены наличием между атомами некото-
некоторых сил взаимодействия, связывающих атомы в молекулах друг с
другом. Опыт показывает, что для того, чтобы разъединить молекулу
на составляющие ее атомы, необходимо совершить определенную ра-
■боту. Это означает, что образование молекулы сопровождается выде-
выделением энергии. Так, например, два атома водорода в свободном состоя-
состоянии обладают большей энергией, чем те же атомы, соединенные в двух-
двухатомную молекулу. Это является доказательством наличия сил, свя-
связывающих атомы в молекулах, причем энергия, выделяющаяся при
образовании молекулы, является мерой тех сил взаимодействия,
которые соединяют атомы в молекулах.
В этой главе мы остановимся главным образом на физическом со-
содержании современного учения о строении и оптических свойствах
молекул и твердых тел, оставляя в стороне весьма сложный матема-
математический аппарат, применяемый в современной теории для изучения
этих важных разделов физики х. Напомним, что в гл. XIII т. II в связи
с изучением электрических свойств твердых тел были рассмотрены
многие вопросы их строения.
2. Для разъяснения физического смысла важнейших закономерно-
закономерностей, объясняющих причины, по которым электрически нейтральные
атомы могут образовать устойчивую молекулу, ограничимся рассмо-
рассмотрением простейших двухатомных молекул, состоящих из двух одина-
одинаковых илн различных атомов.
Экспериментальные факты показывают, что силы междуатомного
взаимодействия в молекулах возникают между внешними, валентны-
валентными, электронами атомов. Об этом в первую очередь свидетельствует
отмеченное в §14.11 резкое изменение оптического спектра атомов
при вступлении их в химическое соединение и, наоборот, сохранение
неизменным рентгеновского характеристического спектра атомов не-
1 Это замечание в полной мере относится также к последней, восьмой, части
курса (гл. XVI—XIX).
— 324 —
зависимо от рода химических соединений, в которые входят эти атомы.
Напомним, что линейчатые спектры определяются состоянием внеш-
внешних, валентных электронов, а рентгеновские характеристические —
внутренних, глубинных, электронов атомов С другой стороны, оче-
очевидно, что в процессе химического взаимодействия в механизме обра-
образования химических связей должны принимать участие те электроны,
для изменения состояния которых требуется сравнительно небольшая
энергия. Ими являются внешние, валентные, электроны атомов, по-
потенциалы ионизации которых значительно меньше, чем у электронов,
находящихся на внутренних застроенных оболочках.
3. Независимо от природы тех сил, которые приводят к образова-
образованию устойчивой системы из двух атомов (двухатомной молекулы),
можно высказать некоторые общие сообра-
соображения о характере этих сил.
Атомы, разведенные на значительное
расстояние друг от др>га, не взаимо-
Рис 15 1
Рис 15 2
действуют друг с другом. По мере уменьшения расстояния г
между ядрами атомов возрастают силы взаимного притяже-
притяжения, действующие между атомами. Однако эти силы не являются
единственными На малых расстояниях между атомами проявляют
свое действие силы взаимного отталкивания, не поз-
позволяющие электронам данного атома слишком глубоко проникнуть
внутрь электронных оболочек другого атома. Как и в случае взаимо-
взаимодействия между молекулами (см. т. I., § 13.1), силы притяжения и от-
отталкивания различно зависят от расстояния г между атомами. Силы
отталкивания являются более короткодействующими, чем силы при-
притяжения. При увеличении расстояния между атомами силы отталки-
отталкивания убывают быстрее, чем силы притяжения. Благодаря одновре-
одновременному действию противоположно направленных сил — притяжения
и отталкивания — на некотором расстоянии г0 между атомами обе
силы уравновешивают друг друга и их геометрическая сумма равна
нулю. Этому расстоянию соответствует наименьшая взаимная потен-
потенциальная энергия Wp{r) атомов двухатомной молекулы. На рис. 15.1
приведены кривые зависимости от расстояния г проекций на г сил
притяжения F2, отталкивания Ft и результирующей силы F взаимодей-
взаимодействия атомов в такой молекуле, причем положительными считаются
— 325 —
силы отталкивания. На рис. 15.2 приведена кривая зависимости от г
потенциальной энергии Wр (г) взаимодействия двух атомов в молекуле.
Равновесное междуатомное расстояние г„ в молекуле называется
длиной связи и является важной характеристикой строения молекулы.
Величина D (на кривой рис. 15.2) от минимума потенциальной энергии
до оси абсцисс, к которой кривая Wр (г) асимптотически приближается
при неограниченном возрастании г, имеет большое значение. Она равна
работе, которую надо совершить для того, чтобы разорвать связи ато-
атомов в молекуле, разъединить молекулу на составляющие ее атомы *
и перевести атомы на бесконечное расстояние друг от друга. Эта ра-
работа D представляет собой так называемую энергию диссоциации мо-
молекулы или энергию связи. Очевидно, что энергия диссоциации чис-
численно равна энергии, выделяющейся при образовании молекулы, но
противоположна ей по знаку: энергия диссоциации отрицатель-
отрицательна, а энергия, выделяющаяся при образовании молекулы, положи-
положительна. Таким образом, независимо от природы сил, образующих
химическую связь атомов в молекуле, эта связь может быть количест-
количественно охарактеризована двумя величинами: энергией связи D и дли-
длиной связи г0.
4. Простейшее предположение о природе химической связи ато-
атомов в молекуле заключается в том, что между внешними электронами
атомов возникают электрические силы взаимодействия, удерживающие
атомы друг возле друга. Однако непременным условием устойчивости
молекулы в этом случае будет возникновение у двух взаимодействую-
взаимодействующих атомов противоположных по знаку электрических
зарядов, притяжение между которыми и обеспечит химическую связь.
Подобный тип химической связи действительно осуществляется в не-
некоторых молекулах. Взаимодействующие атомы при этом превраща-
превращаются в ионы. Один из атомов, присоединивший к себе один или не-
несколько электронов, приобретает отрицательный заряд и становится
отрицательным ионом. Другой атом, отдавший соответствующее коли-
количество электронов, превращается в положительный ион. Между раз-
разноименно заряженными ионами возникает электростатическое притя-
притяжение. Подобный тип связи называют ионной связью. Эту связь на-
называют также гетерополярной 2 (от греческого слова «гетеро» — раз-
разный). Молекулы, в которых осуществляется такой тип связи, назы-
называются ионными или гетерополярными молекулами.
5. В очень большом числе молекул, в том числе и в простейших
двухатомных молекулах (Н2, О2, N2, Cl2 и др.), не происходит пере-
переходов электронов от одного атома к другому и не создаются разноимен-
разноименно заряженные ионы. Простейшим доказательством этого является
то, что в парах веществ, состоящих из таких молекул, при сообщении
им достаточной энергии происходит диссоциация молекул на н е й-
тральные атомы. Ионные же молекулы диссоциируют на сво-
свободные противоположно заряженные ионы, что может быть установ-
установлено различными методами химического анализа и изучением дей-
1 Некоторые молекулы могут быть разъединены на ионы (о чем будет сказано под-
подробно в следующем параграфе), но смысл величины D сохраняется и в этом случае.
2 Иногда встречается в литературе название электровалентная связь.
— 326 —
ствия на эти ионы электрических и магнитных полей. Химическую
связь, осуществляющуюся между электрически нейтральными ато-
атомами в молекуле, называют ковалентной или гомеополярной связью
(от греческого слова «гомео» — одинаковый). Эта связь характерна
для молекул, состоящих из одинаковых атомов, откуда и про-
произошло ее название. Выяснение природы гомеополярной связи стало
возможным только на основе квантовой механики и явилось ее выда-
выдающимся успехом. Молекулы, в которых осуществляется такой тип
связи, называют гомеополярными или атомными молекулами.
6. Разделение химических связей на два типа — ионных и гомео-
полярных — в известной мере условно. В большом числе случаев
связь обладает характерными чертами обоих типов связей, и лишь
детальные теоретические и экспериментальные исследования позво-
позволяют установить в каждом случае соотношение между степенью «ион-
пости» и «гомеополярности» связи.
§ 15.2. Ионные молекулы
1. Типичными примерами ионных молекул, в которых
осуществляется гетерополярная связь, являются молекулы щелочно-
галоидных солей, образованных ионами атомов элементов I и VI групп
периодической системы Менделеева: NaCl(Na^Cl~), RbBr (Rb+Br-),
CsJ(Cs+J-) и др. Металлы первой группы обладают сравнительно не-
небольшими значениями потенциалов ф ионизации, например для атома
Na энергия, соответствующая потенциалу ионизации J =ец>, составляет
5,1 эВ. С другой стороны, атомы VI группы (металлоиды) характери-
характеризуются большой величиной так называемого электронного сродства.
Под этим термином понимается количество энергии, которое выделя-
выделяется при присоединении электрона к нейтральному атому металлоида.
Например, для хлора С1 эта величина составляет 3,8 эВ. Переход
электрона от атома Na к атому С1 приводит к образованию ионов Na+
и С1~, каждый из которых обладает устойчивой внешней восьмиэлек-
тронной (s+p) подгруппой, характерной для атомов благородных га-
газов, не вступающих в химическую связь. Электростатическое притя-
притяжение противоположно заряженных ионов на весьма малых расстоя-
расстояниях между ними сменяется силами отталкивания, препятствующими
дальнейшему сближению ионов. Ионы Na+ и С1~ оказываются на рав- •
новесном расстоянии друг от друга, соответствующем уравновешива-
уравновешиванию сил притяжения и отталкивания. Так возникает ионная молекула
NaCl. В связи с тем, что взаимодействие ионов носит в основном куло-
новский характер, ионная связь имеет ненаправленный характер.
Кроме того, в отличие от других видов химической связи ионная
связь не может быть насыщена.
2. Сравнение потенциалов ионизации металлов и электронного
сродства металлоидов показывает, что почти всегда энергия иониза-
ионизации еф несколько превышает электронное сродство. Для случая
NaCl превышение составляет 1,3 эВ. Таким образом, переход электрона
от атома Na к атому С1 не может происходить самопроизвольно и тре-
требует затраты некоторой энергии. С другой стороны, известно,
— 327 —
что при образовании молекул выделяется энергия. Чтобы по-
понять, откуда берется энергия, недостающая для ионизации атома ще-
щелочного металла, учтем, что при сближении ионов выделяется энер-
энергия их электростатического взаимодействия. Образование ионов и их
сближение представляют собой единый процесс, происходя-
происходящий одновременно и лишь после того, как атомы сблизятся
настолько, что вместе с образованием ионов выделяется необходимая
для этого энергия. Легко подсчитать, что потенциальная энергия
Wp(r) электростатического взаимодействия двух однозарядных ионов,
находящихся на расстоянии г, равная Wp(r)=e2/ Dпеог), восполнит
разность между энергией ионизации и электронным сродством в 1,3 эВ
при г=11-10~10 м=11 А. Здесь е — абсолютное значение элементар-
элементарного заряда, равного заряду электрона, 80— электрическая постоянная
в СИ. Таким образом, переход электрона от атома Na к атому С1 мо-
может начинаться лишь при г^П А. Однако, как показывают данные
рентгеноструктурного анализа и другие методы, равновесное рас-
расстояние г0 в молекуле NaCl составляет всего 1,4 А. При этом расстоя-
расстоянии энергия Wp—e2/ D пеог0) составляет 10,2 эВ и на 8,9 эВ превышает
энергию, необходимую для образования ионов Na+ и С1~ в одной моле-
молекуле. При пересчете на один моль это составляет энергию в
49 200 Дж, или 205 ккал, выделяющуюся при образовании
молекул. Опыт показывает, что эта величина несколько завышена,
ибо она не учитывает вклада в потенциальную энергию сил отталкива-
отталкивания, которые несколько уменьшают эту энергию.
§ 15.3. Молекулы с ковалентной
химической связью
1. Ковалентная химическая связь наблюдается между
нейтральными атомами. В классической физике был известен лишь
один тип сил, действующих между электрически нейтральными части-
частицами,— гравитационные силы. Однако эти силы оказываются слишком
слабыми, чтобы ими можно было объяснить взаимодействие между
атомами в гомеополярной молекуле. Кроме того, ковалентная связь
обладает свойством насыщения, которое выражается в наличии опре-
определенной валентности атомов. Атом водорода может быть связан только
с одним атомом водорода, атом углерода может связать четыре атома
водорода, но не более. Свойство насыщения совершенно чуждо клас-
классическим силам (гравитационным, электрическим и магнитным). Если
величина сил тяготения между атомами на весьма малых расстояниях
и могла бы быть большей и тем самым объяснила бы связь атомов, то,
как известно, силы тяготения допускают притяжение неограниченного
числа частиц одним центральным телом. Таким образом, насыщение
химических связей — этот существенно не классический эффект —
исключает возможность объяснения химических связей гравитацион-
гравитационными силами.
2. Ковалентная связь помимо двухатомных молекул типа Н2
наблюдается у большого числа молекул неорганических соединений и у
многих органических молекул (фтористый водород HF, окись азота
*- 328 —
N0, аммиак NH3, метан СН4 и др.). Простейшей молекулой с ковалент-
ной связью является молекула водорода Н2, состоящая из двух про-
протонов и двух электронов. Спектроскопические данные показали, что
у этой молекулы равновесное расстояние г0 между ядрами — протона-
протонами — равно 0,74 А. Энергия связи D (см. рис. 15.2) составляет для
молекулы водорода 4,718 эВ, или 103,24 ккал/моль.
3. Количественная теория гомеополярной связи применительно
к молекуле водорода была разработана В. Гайтлером и Ф. Лондоном
A927) на основе квантовой механики.
Рассмотрим два атома водорода, ядра которых находятся в точ-
точках а и Ь на расстоянии R друг от друга. Предположим, что оба атома
находятся в основных s-состояниях. Если R весьма велико, то атомы
не взаимодействуют и полная энергия системы W равна удвоенной
энергии основного состояния атома водорода:
где Wi вычисляется по формуле A4.10).
При сближении атомов между ними возникает взаимодействие,
характеризуемое некоторой энергией Wp (R), зависящей от расстоя-
расстояния между атомами, так что полная энергия W системы выразится
следующим образом:
W=2Wi+Wp(R). A5.1)
Если #->оо, то Wp(R)->~0. Из факта существования устойчивой моле-
молекулы водорода следует, что при сближении атомов Wp(R) вначале
уменьшается от 0 при R=oo до некоторых отрицательных значений
при конечных R, что соответствует притяжению атомов. Затем при
малых расстояниях R энергия Wp (R) увеличивается и становится по-
положительной, что соответствует отталкива-
отталкиванию атомов. Такой характер изменения
Wp(R) следует из общих соображений,
изложенных в § 15.2 и не зависящих от
природы химической связи. Задачей кванто-
вомеханического расчета являлось вычис-
вычисление Wp(R). Мы рассмотрим лишь суть
этого расчета, оставляя в стороне математи-
математические выкладки. Пусть электрон 1, принад- Рис. 15.3
лежащий атому, ядро которого находится
в точке а, расположен на расстоянии г1а от этого ядра (рис. 15.3).
Его расстояние от ядра b обозначим через г1ь. Аналогично, электрон 2,
принадлежащий ядру Ь, находится от ядер а и & на расстояниях r2a й
r2b. Через г^ обозначим взаимное расстояние между электронами.
На рис. 15.3 изображены электронные облака двух атомов водорода.
Как видно из рисунка, при конечном расстоянии R между ядрами
происходит частичное перекрытие электронных облаков обоих элек-
электронов х. Оба электрона в молекуле водорода являются тождествен-
1 На рис. 15.3 облака электронов считаются сферически симметричными, т. е.
соответствующими s-состояниям электронов. В действительности при ЯФаа это не
так.
— 329 —
ными, неразличимыми частицами. В соответствии со сказанным в
§ 14 4 о принципе Паули эти оба электрона можно поменять местами:
электрон 1 может принадлежать ядру Ь, а электрон 2 — ядру а, и
это приведет к той же системе — молекуле водорода, состоящей из
двух ядер и двух электронов. Состояние такой системы в квантовой
механике может определяться либо симметричной, либо антисиммет-
антисимметричной координатными волновыми функциями. При этом согласно
принципу Паули (см. § 14 4) полная волновая функция системы тож-
тождественных электронов, т. е. волновая функция, зависящая от коор-
координат электронов и от ориентации их спинов, должна быть обязатель-
обязательно антисимметричной.
4. Расчет энергии взаимодействия Wp (R) производится с учетом
обоих возможных состояний молекулы водорода и приводит к сле-
следующему ее значению:
где знак плюс относится к случаю описания состояния молекулы сим-
симметричной координатной волновой функцией, а минус — антисим-
антисимметричной координатной волновой функцией (см. § 14.4). Безразмер-
Безразмерный интеграл S (R) называется интегралом перекрытия и характеризует
перекрывание электронных облаков при сближении атомов друг с дру-
другом. При R-+oo, когда атомы не взаимодействуют, интеграл S (R),
как можно показать, обращается в нуль, что соответствует отсутствию
перекрывания электронных облаков. Наибольшего значения, рав-
равного 1, интеграл S (R) достигает при /?=0, когда оба атома водорода
как бы сливаются вместе. Этот случай, разумеется, не имеет смысла, и
поэтому интеграл S (R) имеет в молекуле Н2 положительное значение,
меньшее единицы. Для качественной оценки поведения энергий
W+p(R) и W^p(R) взаимодействия атомов в молекуле интеграл S (R)
существенной роли не играет.
Интеграл C(R), называемый кулоновским интегралом, характе-
характеризует кулоповское взаимодействие ядер и электронов в молекуле
Н2. Наибольший интерес и наибольшую трудность представляет ис-
истолкование интеграла A (R), который называется обменным интегра-
интегралом. Наличие A (R) связано с неразличимостью электронов в молекуле
и возможностью их обмена местами друг с другом. Интеграл A (R),
имеющий размерность энергии, характеризует особое квантовомехани-
ческое взаимодействие, возникающее между двумя тождественными
электронами, которое может быть условно названо «обменным взаимо-
взаимодействием». «Обменное взаимодействие» электронов в молекуле водо-
водорода можно понимать в том смысле, что электрон каждого из ее ато-
атомов проводит некоторою долю времени у ядра другого атома, осуще-
осуществляя тем самым связь обоих атомов, образующих молекулу.
5. Для решения вопроса о том, какой знак имеет энергия W± (R)
в выражении A5.2) и, следовательно, будет ли происходить притяже-
притяжение или отталкивание между атомами, должны быть проанализирова-
проанализированы знаки функций С(R) и A (R). Расчеты показывают, что на весьма
больших расстояниях R интегралы С (R) и A(R) имеют исчезагоще
— 330 —
малые значения. Это соответствует тому, что на больших расстояниях
R между атомами их взаимодействием можно пренебречь, ибо оно
весьма мало. На средних расстояниях R (соизмеримых с боровским
радиусом водородного атома), как показывают вычисления, оба ин-
интеграла С(R) и A (R) отрицательны, причем \А (R)\> \C(R)\. Тогда из
формулы A5.2) видно, что имеются следующие два значения энергии
взаимодействия атомов в молекуле водорода:
W+p(R) = C\R]+fJ.R)-<C- ™ ,n_C(R)-A(R)
.
l-S(R)
A5.3)
Первое из них W+p(R) соответствует притяжению и характери-
характеризует устойчивое состояние молекулы водорода, второе W_p(R) — от-
отталкиванию и определяет неустойчивое состояние молекулы.
Согласно принципу Паули, в устойчивом состоянии молекулы, когда
координатная волновая функция молекулы симметрична, спины элек-
электронов должны быть антипараллельны,
ибо только в этом случае полная волно-
волновая функция в соответствии с требования-
требованиями принципа Паули будет антисимметрич-
антисимметричной. Наоборот, в неустойчивом состоянии
молекулы водорода, когда координатная
волновая функция антисимметрична, спины
электронов должны быть параллельны для
обеспечения антисимметричности полной
волновой функции.
Как показывают расчеты, при сближе-
сближении двух водородных атомов с больших
расстояний между ними атомы начинают
притягиваться, если спины их электронов
антипараллельны и, следовательно, полный
спин обоих электронов равен нулю. На рас-
расстоянии, соизмеримом с боровским радиусом
атома водорода, энергия взаимодействия
W+p (R) имеет минимум, и это расстояние определяет устойчивое рас-
расположение ядер в молекуле водорода. На очень малых расстояниях
между атомами притяжение переходит в отталкивание в соответствии
с общим ходом зависимосш энергии взаимодействия от расстояния
(см. § 15.1). Существенным результатом квантовомеханического изуче-
изучения молекулы водорода является вывод о том, что при параллельных
спинах электронов невозможно образование устойчивого со-
состояния молекулы, так как энергия W_p(R) взаимодействия атомов
при этом положительна и атомы отталкиваются. Результаты кванто-
вомеханических расчетов энергий взаимодействия в молекуле водорода
приведены на рис. 15.4. По оси абсцисс отложено междуатомное рас-
стоения в атомных единицах длины (первых боровских радиусах во-
водорода а„), по оси ординат — энергии взаимодействия в эВ. На ри-
рисунке указаны также ориентации спинов в случаях W_p (R) и W+p (R),
а также приведены кривая кулоновскаого взаимодействия C{R) и
Рис. 15 4
331 —
экспериментально полученная кривая (пунктирная) для энергии вза-
взаимодействия. Минимум теоретической кривой aW+p(R) приходится
на расстояние R0=l,6 (в единицах а0), или 0,83 А, и дает для энергии
диссоциации молекулы значение D=3,2 эВ. Экспериментально полу-
полученные значения этих величин соответственно равны: R0=\,i a0,
т. е. 0,74 Л, и D=4,72 эВ. Как видно, расчеты Гайтлера и Лондона
находятся в удовлетворительном согласии с опытными данными.
С помощью улучшенных кванговомеханических расчетов теоретиче-
теоретические данные были приведены в лучшее согласие с опытом. Впоследствии
аналогичные расчеты были проделаны для других молекул с ковалент-
ной связью (N2, O2, CH и др.); они дали хорошее согласие с экспери-
экспериментом в отношении равновесных междуядерных расстояний и энер-
энергий диссоциации.
6. Таким образом, причиной, вызывающей образование молекулы
с гомеополярной связью, является квантовомеханический эффект,
связанный с неразличимостью электронов, причем основная часть
энергии связи определяется обменным интегралом A (R). Молекула
водорода, согласно вышеизложенному, имеет результирующий спин,
равный нулю; кроме того, она не имеет орбитального магнитного мо-
момента и поэтому должна быть диамагнитна, что соответствует опыт-
опытным данным.
При столкновении двух атомов водорода молекула может быть об-
образована лишь при условии, что спины обоих электронов будут анти-
параллельны, ибо в противном случае, при параллельных спинах,
атомы будут отталкиваться. В зависимости от того, связывает ли кова-
лентная связь два одинаковых атома (как в случае молекулы водорода)
или два различных атома, расположение электронного облака в моле-
молекуле будет симметричным или асимметричным. Молекула с асиммет-
асимметричным распределением электронного облака (вероятность нахождения
электронов у одного из атомов больше вероятности нахождения у
другого) имеет постоянный дипольный момент, она полярна. В пре-
предельном случае, когда подавляюще преобладает вероятность нахожде-
нахождения электрона у одного из атомов, гомеополярная связь переходит в
ионную. Таким образом, как мы уже указывали, непереходимой грани
между ионной и гомеополярной связями не существует.
§ 15.4. Расщепление в молекулах
энергетических уровней валентных электронов
изолированных атомов
1. На примере простейшей молекулы водорода убедимся
в том, что взаимодействие атомов в молекуле вызывает расщепление
энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов.
Если не учитывать энергии ядра, то энергия атома водорода является
энергией его единственного электрона, являющегося вместе с тем и
валентным электроном.
Из формул A5.1) и A5.3) следует, что в результате взаимодействия
между атомами в молекуле водорода полная энергия W молекулы мо-
— 332 —
жет принимать два возможных значения:
W + = 2Wt + W+р (R) = 2Wx + C fl+ (У} , A5.4)
+ C f^/J® , A5.4')
где 2 W7!— энергия системы, состоящей из двух невзаимодействующих
атомов, разведенных на весьма большое расстояние; значение W+
соответствует описанию состояния системы симметричной координат-
координатной волновой функцией, а значение W'_ — описанию системы антисим-
антисимметричной координатной волновой функцией. Таким образом, энер-
энергия 2Wi расщепляется на два возмож-
возможных значения: W+ и W-. Схематичес-
Схематически это показано на рис. 15.5. Из . ^
рисунка видно, что энергия W+ мень- —-— ->——- —;
ше, чем 2Wi, на величину (С+Л)/A-ь
+S), а энергия W~ больше 2 If j на
величину (С—Л)/A—S) (первому зна-
чению энергии соответствует антипа- Рис. 15 5
раллельное расположение спинов
электронов, второму — параллельное расположение спинов). Таким
образом, устойчивой молекула может быть лишь в том случае, когда
спины обоих электронов имеют противоположную ориентацию.
2. Поскольку в молекуле водорода взаимодействуют валентные
электроны атомов, можно сказать, что результатом взаимодействия
валентных электронов атомов в молекуле является расщепление их
энергетических уровней.
При сближении двух атомов водорода оба электрона, движущиеся
вокруг обоих ядер, можно рассматривать как некую единую систему
связанных электронов. В такой системе энергетический уровень 2Wi
расщепляется на уровни W+ и W-, соответствующие симметричной
и антисимметричной координатным волновым функциям системы
[см. формулы A5.4) и A5.4') и рис. 15.5]. Полученные результаты
имеют общий характер. Они справедливы и для более сложных моле-
молекул, чем молекула водорода, а также для взаимодействующих атомов,
не образующих молекул (например, для атомов в кристаллической
решетке твердого тела). Однако для атомов, содержащих Z электронов
и взаимодействующих между собой, заметное расщепление энерге-
энергетических уровней возникает лишь для внешних, валентных,
электронов. Для этих электронов существенными оказываются те же
квантовомеханические эффекты, о которых выше шла речь примени-
применительно к молекуле водорода.
3. В квантовой механике получает свое объяснение и образова-
образование зон разрешенных значений энергии электронов (зонный энер-
энергетический спектр) в кристаллах твердых тел, которые использовались
нами во втором томе курса при изучении современных представлений
об электрических свойствах твердых тел (см. § 13.2).
Образование зонного энергетического спектра электронов в кри-
кристалле может быть понято, если обратиться к соотношению неопре-
_ 333 —
деленностей A2.15') и использовать выражение A2.39) для прозрач-
прозрачности потенциального барьера. В изолированном атоме ввиду конеч-
конечности времени т жизни электрона в возбужденном состоянии (т»10-8 с)
естественная ширина AW энергетического уровня составляет
h/Ttt Ю-7 эВ
и определяет естественную ширину спектральных линий (см. § 14.8).
В кристалле валентные электроны атомов, слабее связанные с ядрами,
чем внутренние электроны, могут переходить от одного атома к дру-
другому с помощью туннельного эффекта просачивания сквозь потенци-
потенциальный барьер, разделяющий атомы в кристалле. Это приводит к
тому, что энергетические уровни таких электронов расширяются и
превращаются в зоны (полосы) дозволенных значений энергии элект-
электронов. Для оценки ширины AW интервала возможных значений
энергии валентного электрона в кристалле предположим ради про-
простоты, что потенциальный барьер, разделяющий атомы в кристалле,
имеет вид, изображенный на рис. 12.11, а его прозрачность выра-
выражается формулой A2.39):
где Uо—W — высота барьера, составляющая в нашем случае «10 эВ
(энергия ионизации атома), L — ширина барьера. В кристалле атомы
сближены и сильно взаимодействуют. Это приводит к перекрыванию
электронных облаков валентных электронов, и для L следует выбрать
величину, соизмеримую с периодом кристаллической решетки (L;=w
аЮ"8 см). Оценим время т, в течение которого валентный электрон
принадлежит данному атому, т. е. находится внутри прямоугольной
потенциальной ямы с линейными размерами d«10~8 см (линейный
размер атома). Если скорость v движения электрона в атоме — по-
потенциальной яме — принять равной 108 см/с, то за 1 с электрон v/d
раз подойдет к барьеру. Частота просачивания электрона сквозь
барьер выразится произведением
Среднее время жизни электрона у данного атома
Подставляя в эти выражения числовые значения всех величин, полу-
получим тдаЮ? с, откуда по соотношению неопределенностей найдем
Таким образом, вместо естественной ширины AW«10~7 эВ элект-
электронного энергетического уровня в изолированном атоме в кристалле
возникает зона дозволенных значений энергии
с шириной порядка электрон вольт, т. е. в 107 раз шире, чем у изоли-
изолированного атома.
— 334 —
Можно показать, что такая картина наблюдается только для ва-
валентных электронов. Внутренние электроны атомов имеют ничтожную
вероятность просачивания сквозь барьер и перехода к другому атому.
Для таких электронов резко растет высота барьера (Uo—№«103 эВ)
и сравнительно небольшое увеличение его ширины (L«3-10~8 см)
приводит при подстановке в предыдущую формулу к совершенно иному
результату: тдаЮ20 лет. Таким образом, уширение энергетических
уровней глубинных электронов атомов не может идти ни в какое
сравнение даже с естественным уширением уровня валентных элект-
электронов в изолированном атоме.
§ 15.5. Молекулярные спектры
1. Познакомившись с физическими основами образования
химических связей, обусловливающих существование молекул и их
строение, перейдем теперь к изучению оптических свойств молекул,
в первую очередь спектров, испускаемых молекулами.
В предыдущих главах были рассмотрены спектры атомов, состоя-
состоящие из отдельных линий, образующих серии. Внутри каждой серии
атомного спектра спектральные линии находятся на разных расстоя-
расстояниях друг от друга, к границе серии они сближаются. Молекулярные
спектры уже по внешнему виду сильно отличаются от атомных. Они
представляют собой совокупность более или менее широких полос,
образованных тесно расположенными спектральными линиями. Внутри
каждой полосы линии у одного из ее краев располагаются столь тесно,
что они сливаются. Молекулярные спектры за их характерный вид
называют полосатыми спектрами. Полосы в молекулярных спектрах
наблюдаются в инфракрасном, видимом и ультрафиолетовом диапа-
диапазонах частот электромагнитных волн. Достаточно близко располо-
расположенные полосы образуют группы полос. В спектрах двухатомных
молекул наблюдается несколько групп полос. С усложнением строения
молекул усложняются их спектры. Так, у многоатомных молекул
сложной конфигурации в ультрафиолетовой и видимой областях
спектра наблюдаются лишь сплошные широкие полосы поглощения
(испускания).
2. Из того, что нам известно о механизме возникновения спект-
спектральных линий, можно заключить, что и в молекулах отдельная спект-
спектральная линия возникает в результате изменения энергии молекулы.
Полную энергию W молекулы можно рассматривать как состоящую
из нескольких частей %: Wnc,cl. — энергии поступательного движения
ее центра инерции, №эл — энергии движения электронов в атомах
молекулы, WK0X — энергии колебательного движения ядер атомов,
входящих в молекулу, около их равновесных положений, №вр — энер-
энергии вращательного движения молекулы как целого и, наконец, энер-
энергии Wx ядер атомов в молекуле:
A5.5)
1 В первом приближении эти части можно считать независимыми.
— 335 —
Энергия №пост поступательного движения молекулы не кванто-
квантована, и ее изменения не могут привести к созданию молекулярного
спектра 1. Если не интересоваться сверхтонкой структурой спектраль-
спектральных линий и другими оптическими явлениями, обусловленными
ядерными частицами, то можно в выражении A5.5) не учитывать
и Wa. Тогда энергия молекулы, определяющая ее оптические свой-
свойства, будет состоять из суммы трех слагаемых:
. A5.6)
По правилу Бора A3.7), частота v фотона, испускаемого молеку-
молекулой при изменении ее энергетического состояния, равна
AW AWax АИ^л ДГЕР ,.--.
y-~h h b~H • л"» I10-''
где AW91l, А^коя и Д^вр — изменения соответствующих частей энер-
энергии молекулы. Так как каждое из слагаемых A5.6) принимает ряд
дискретных квантованных значений, то их изменения также
имеют дискретные значения и поэтому спектр молекулы состоит из
густо расположенных линий, образующих полосы. Изучение спектра
молекул должно основываться на рассмотрении каждого из слага-
слагаемых A5.7). Как показывают опыт и теоретические исследования, эти
слагаемые имеют различную величину:
чем и объясняется наличие частот молекулярных спектров в разных
диапазонах электромагнитных волн.
3. Для того чтобы выделить частоты, соответствующие изменениям
различных видов энергии в молекуле, удобнее рассмотреть ее спектр
поглощения. Как известно, спектры испускания и поглощения обра-
обратимы и связаны законом Кирхгофа. Предположим, что на вещество,
состоящее из не взаимодействующих между собой молекул 2, падает
длинноволновое излучение с малыми по величине квантами энергии,
и рассмотрим, что будет, если постепенно увеличивать частоту v (энер-
(энергию фотонов). До тех пор, пока квант энергии hv не станет равным
наименьшей возможной разности энергий между двумя бли-
ближайшими энергетическими уровнями молекулы, поглощения света
происходить не будет и линий спектра поглощения не возникнет. По-
Поглощение наступит при длинах волн порядка 0,1—1 мм, т. е. в далекой
инфракрасной области спектра, и соответствует изменению вращатель-
вращательной энергии молекулы. Кванты энергии таких волн могут перевести
молекулу с одного вращательного энергетического уровня
на другой, более высокий, и, следовательно, привести к возникновению
спектральной линии вращательного спектра поглощения. По мере
уменьшения длины волны в этой области смогут возникнуть все новые
линии вращательного спектра поглощения, которые в своей совокуп-
1 В этом смысле энергия №пост для молекул аналогична энергии поступатель-
поступательного движения изолированных атомов.
2 Такое предположение позволяет рассмотреть возникновение спектра у одной
изолированной молекулы, не осложненное взаимодействием между молекулами.
— 336 —
ности дадут нам представление о распределении вращательных энер-
энергетических состояний молекулы.
4. Поглощение света в инфракрасной области с длиной волны от
единиц до нескольких десятков микрон вызывает переходы между
колебательными энергетическими уровнями в молекуле и
приводит к возникновению колебательного спектра молекулы. Однако
при изменении колебательных энергетических уровней молекулы
одновременно изменяются и ее вращательные энергетические состоя-
состояния. Поэтому переходы между двумя колеба-
колебательными уровнями сопровождаются измене-
изменением вращательных энергетических состояний,
т. е. при изменении энергии колебаний молеку-
молекулы совершают колебательно-враща-
тельные переходы, так что возникает
Злектронные
уровни
Молебатенные
уробни
'ельньш
урайни.
Колебательные
уровни.
Рис. 15.6
Рис. 15.7
колебательно-вращательный спектр. Это схематически показано на
рис. 15.6. Спектр с частотами vKOj,.Bpam, соответствующими переходу
с одного колебательного уровня на другой, состоит из группы очень
близких линий, определяемых различными сопутствующими враща-
вращательными переходами. Если этн линии рассматривать в приборе, не
обладающем высокой разрешающей способностью, то линии сольются
в одну полосу, соответствующую данному колебательному переходу.
5. В видимой и ультрафиолетовой областях спектра энергии фо-
фотонов достаточно для осуществления переходов молекулы между
различными электронными энергетическими уровнями. Каж-
Каждому такому уровню соответствует определенное пространственное
распределение электронов, принадлежащих атомам, составляющим
молекулы, или, как говорят, определенная конфигурация
электронов, обладающая некоторой дискретной энергией. Каждой
электронной конфигурации, каждому электронному энергетическому
уровню молекулы будут соответствовать различные возможные коле-
колебания ядер в молекуле, т. е. целый набор колебательных энергети-
энергетических уровней. Переходы между такими электронно-коле-
электронно-колебательными уровнями приводят к возникновению электронно-
колебательного спектра молекулы (рис. 15.7), характеризуемого ча-
частотой v3J1.K0J1 отдельной линии. На каждое колебательное энерге-
энергетическое состояние накладывается, кроме того, система вращательных
уровней, показанная на рис. 15.6. Таким образом, каждому элект-
электронно-колебательному переходу будет соответствовать определенная
— 337 —
полоса, поэтому весь электронно-колебательный спектр в видимой
и близкой к ней области представляет собой систему из нескольких
групп полос, расположенных в этих участках спектра.
§ 15.6. Закономерности в молекулярных спектрах
простейших двухатомных молекул
1. Качественные соображения, изложенные в § 15.5,
находят свое развитие и подтверждение в закономерностях, установ-
установленных с помощью квантовой механики, которыми описываются
молекулярные спектры. Не вдаваясь в подробности вычислений, мы
рассмотрим эти закономерности на примере молекулярных спектров
простейших двухатомных молекул. Начнем с закономерностей
вращательных спектров. Экспериментальные исследования поглоще-
поглощения электромагнитных волн радиодиапазона позволяют с помощью
методов радиоспектроскопии (см. § 14.10) весьма точно исследовать
вращательные спектры двухатомных молекул. Поскольку совершенно
свободное вращение молекул возможно лишь в газах, изучение спект-
спектров газов позволяет получить надежные сведения о закономерностях
расположения вращательных энергетических уровней и переходах
между ними. Если считать двухатомную молекулу идеально жесткой,
то кинетическая энергия WBV вращательного движения такой моле-
молекулы имеет вид
где /0 — момент инерции молекулы, вычисленный по отношению
к оси, перпендикулярной линии, соединяющей атомы и проходящей
через центр инерции молекулы. Если nil и т2 — массы атомов в моле-
молекуле, а г, и г, — их расстояния до центра инерции, то
где m=mim2/(m1+m2) — приведенная масса молекулы, а г=г1-\-гг —
расстояние между ядрами в молекуле.
Таким образом, вращение двухатомной молекулы может быть
рассмотрено как вращение одной частицы с моментом инерции Jo,
обладающей массой, равной приведенной массе молекулы. Момент
импульса L такой частицы квантован и выражается формулой
где J=0, 1, 2, 3, ...— вращательное квантовое число, определяющее
вращательный энергетический уровень. Энергия (WBp)j данного
уровня вычисляется по формуле
Из выражения A5.8) следует, что энергии последовательных вра-
вращательных уровней начиная с уровня J — 1 возрастают пропорцио-
пропорционально произведению /(/+1). Формулу A5.8) удобно переписать в
— 338 —
другом виде:
(Wxp)J = BJ{J + \), A5.9)
где B=h2/8niJ (выражается в Дж) называется вращательной постоян-
постоянной молекулы.
2. В квантовой механике доказывается, что возможны лишь такие
переходы между вращательными энергетическими уровнями, которые
подчиняются следующему правилу отбора по вращательному кванто-
квантовому числу:
т. е. переходы возможны только между соседними вращатель-
вращательными энергетическими уровнями. Переходу при условии A/ = -fl
соответствует поглощение света, а переход, соответствующий изме-
изменению А/=—1, сопровождается излучением света.
Разность энергий двух соседних вращательных уровней согласно
A5.9) равна
(WBV)j+1~(WBV)j = B(J + \)(J + 2)-BJ(J + l) = 2B(J + \).
A5.10)
Как видно, эта разность пропорциональна вращательному кван-
квантовому числу / и обратно пропорциональна моменту инерции /0
молекулы. Формула A5.10) дает ряд равноотстоящих друг от друга
спектральных линий «чистого» вращательного спектра, расположен-
расположенных в далекой инфракрасной области с длиной волны порядка сотен
микрон.
Волновое число излучения для молекулы h2 при переходе между
первыми вращательными энергетическими уровнями, соответствую-
соответствующими значениям / = 1 и / = 0, определяется разностью
(^bp)i-(Wbp). и равно 120 см"*.
Это соответствует длине волны излучения, равной -щ см = 83 мкм,
и разности энергий соседних вращательных уровней в 0,015 эВ.
Практически более важным является решение обратной задачи.
По расстоянию между соседними линиями вращательного спектра
можно найти вращательную постоянную В молекулы, а по ней вы-
вычислить момент инерции молекулы Jo. Тогда по известным значениям
масс ядер можно вычислить равновесное расстояние Ro между ядрами
в двухатомной молекуле — важнейшую структурную характеристику
молекулы.
3. Ядра обоих атомов в двухатомной молекуле совершают коле-
колебательные движения относительно положений их равновесия, ко-
которые определяются взаимодействием между ядрами и электронами.
Из рис. 15.2 видно, что потенциальная энергия Wp(r) двухатомной
молекулы, рассматриваемая как функция междуядерного расстояния,
вблизи равновесного расстояния г=г0 имеет вид параболы. Это озна-
означает, что вблизи г0 потенциальную энергию Wp(r) молекулы можно
выразить формулой
Wp(r)=WP(rt)+k(r-r0)*/2,
— 339 —
так что при r=r0, Wp(r)=Wp(r0) = WPtKllH=D (см. рис. 15.2). Здесь
k — силовая постоянная, характеризующая квазиупругие силы, воз-
возникающие в молекуле при отклонениях ядер от положений их равно-
равновесия. Сила F, действующая на ядро при малых отклонениях ядер
из положений равновесия, может быть при этом записана следующим
образом х:
F=-k(r~r0).
Колебания под действием такой силы рассматривались в § 8Л
т. I, где показано, что циклическая частота этих колебаний
о>„ = I/ —
A5.11)
Масса т в случае колебаний двухатомной молекулы равна ее приве-
приведенной массе: m=mxmj'(mi+m2) (т^ и тг — массы атомов в моле-
молекуле). Малые колебания ядер в молекуле являются гармоническими
и могут рассматриваться как гармонические колебания линейного
осциллятора с массой, равной т. В § 12.9 показано, что энергия гар-
гармонического осциллятора принимает квантованные значения, равные
Гсм. формулу A2.44)]
( |)( |)|/X, A5-12)
где v — колебательное квантовое число, принимающее целочисленные
значения у=0, 1, 2, 3, 4; v0 — собственная частота колебаний осцил-
осциллятора, определяемая формулой
A5.11).
Формула A5.12) дает систему энер-
энергетических уровней, изображенных
на рис. 15.8. Для переходов между
энергетическими уровнями осцилля-
осциллятора справедливо правило отбора:
т. е. возможны лишь переходы между
соседними уровнями, причем переход
при Ау= + 1 происходит с поглоще-
поглощением, а переход при А»=—1 — с из-
лучением света.
Разность энергий двух последо-
последоРис. 15.8
вательных уровней A5.12) равна
и, следовательно, частота, соответствующая излучению при переходах
между этими уровнями, совпадает с классической собственной частотой
колебаний осциллятора. Важным результатом является наличие у
молекулы в основном колебательном состоянии с колебательным
1 Не следует смешивать эту квазиупругую силу F с силами взаимодействия меж-
между атомами в молекуле, изображенными на рис. 15.1.
— 340 —
квантовым числом v~0 определенной нулевой энергии: (WKO:iH—hv0/2.
Это значит, что при любых сколь угодно низких температурах, в
том числе и при T-+Q, ядра в молекулах колеблются с некоторой
нулевой амплитудой.
Волновые числа колебаний ядер в молекулах составляют от не-
нескольких сотен до нескольких тысяч см. Например, для молекулы
водорода Н2 в основном электронном состоянии волновое число v* =
— l/io=vo/c составляет 4400 см (длина волны Д.0^2,27 мкм). Нулевая
энергия молекулы водорода при этом равна приблизительно 0,25 эВ.
Если воспользоваться связью между энергией и амплитудой коле-
колебаний: AГкол)о=1/2^(^кол)о=1/2'«со^(ЛколH2, то легко подсчитать, что
для молекулы водорода нулевая амплитуда колебаний (ЛколH равна
0,12А и составляет приблизительно 0,16 равновесного расстояния
между ядрами в молекуле водорода, равного 0.74А.
4. Практически очень важным случаем молекулярных спектров
является излучение (и поглощение) света молекулами, имеющими
постоянный дипольный электрический момент ре, т. е. молекулами
с несимметричным расположением электронов относительно ядер.
При отсутствии в них электронных переходов такие молекулы дают
колебательно-вращательные спектры испускания и поглощения, ле-
лежащие в инфракрасной области. Способность таких молекул погло-
поглощать инфракрасное излучение (так называемая оптическая активность
асимметричных молекул) имеет большое значение для изучения строе-
строения и свойств таких молекул. С другой стороны, молекулы, не обла-
обладающие дипольным электрическим моментом ре> не поглощают инфра-
инфракрасного излучения, поэтому газы азот N2 и кислород О2, входящие
в состав атмосферы, являются прозрачными для проходящего
инфракрасного излучения. Наоборот, пары воды, входящие в состав
атмосферы, поглощают инфракрасное излучение, ибо молекула Н2О
имеет значительный дипольный момент ре. Однако при некоторых
длинах волн коэффициент поглощения инфракрасного излучения па-
парами воды оказывается небольшим и для этих участков спектра ат-
атмосфера является прозрачной. Это имеет большое значение для ра-
радиоастрономии и в военном деле для обнаружения объектов по их
тепловому, инфракрасному излучению.
§ 15.7. Комбинационное рассеяние света
1. При рассеянии света, происходящего либо на посто-
посторонних включениях в веществе, через которое проходит свет (рас-
(рассеяние в мутной среде), либо на флуктуациях плотности, связанных
с тепловым движением молекул среды, частота v света, испытывающего
рассеяние, не изменяется.
В случае рассеяния света атомами вещества переменное электри-
электрическое поле Е электромагнитной волны наводит в атомах электриче-
электрический дипольный момент ре=еоаЕ, где а — поляризуемость атома [см.
т. II, § 6.1, формула F.2)]. Поскольку напряженность Е электрическо-
электрического поля волны меняется с частотой v0 падающего света: E=E0cos2jtv0f,
индуцированный дипольный момент ре также изменяется с этой же
- 341 -
частотой. Поэтому излучение атомов под действием падающего света
имеет частоту v0 и рассеяние когерентно.
2. Существуют, однако, причины, которые могут вызвать измене-
изменение частоты монохроматического света, рассеиваемого веществом.
Представим себе, что рассеивающей свет частицей является колеблю-
колеблющаяся молекула. Ее поляризуемость а состоит из двух частей: а0 —
постоянной поляризуемости, не зависящей от колебаний молекулы,
и avcos2nv^—поляризуемости, периодически меняющейся с часто^й,
равной частоте v колебаний молекулы1:
A5.13)
Тогда дипольный момент такой частицы рс=епогЕ будет равен
ре = е0 {ос„Е0 cos 2лvot-J-ocvEo cos 2лvt cos2лv0^. A5.14)
Второй член A5.14) представляет собой периодически меняющийся
с частотой v0 дипольный момент, амплитуда которого изменяется с
частотой v. Мы имеем здесь случай амплитудной модуляции диполь-
ного момента. Под действием падающего света частоты v0 происходят
колебания диполыюго момента, модулированные собственными коле-
колебаниями молекулы, происходящими с частотой v, причем v<^v0> ибо
собственные частоты колебаний молекулы соответствуют инфракрас-
инфракрасной области спектра.
Произведение cos2nvtcos2nv0t можно представить следующим об-
образом:
(v0 — v) t-{-1/icos2n (vo + v) t.
Поэтому индуцированный дипольный момент молекулы
ре = е0ос0Е0 cos 2лvot + 1/aEoavEo cos 2л (v0—v) t +
+ V,eo«vEo cos 2л (v0 + v)t. A5.14')
Наряду с членом pe,Vo, изменяющимся с частотой v0 и обусловли-
обусловливающим когерентное рассеяние с неизменной частотой v0, дипольный
момент содержит члены pe,va-v и p«vo + v,, обусловливающие некоге-
некогерентное рассеяние с частотами v0—v и vo+v — так называемое комби-
комбинационное рассеяние света. Если имеется ряд собственных частот vb
v2, v3 колебаний молекул, то в спектре рассеянного света должны
появиться все «комбинационные» частоты: vo±vb vo±v2, vo±vs и т. д.
Комбинационное рассеяние света обнаружили A928) Л. И. Ман-
Мандельштам и Г. С. Ландсберг (при исследовании спектрального состава
излучения, рассеянного кристаллами кварца). Одновременно такое
же явление было обнаружено Ч. В. Раманом и К. С. Кришнаном при
рассеянии света жидкостями. Публикация об открытии Раманом
была сделана в журнале «Nature» несколько раньше, и поэтому спектры
комбинационного рассеяния иногда называются раман-спектрами.
3. Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами v0—vb
v0—v2 и т. д., меньшими частоты падающего света, называются крас-
красными (или стоксовыми) спутниками (сателлитами); линии с частотами
1 Строгое обоснование этого вывода выходит за рамки нашего курса,
— 342 —
Vi, Vo+v2 и т.д., большими vo,— фиолетовыми (или антистоксо-
антистоксовыми) спутниками (сателлитами), причем все частоты vb v2, v3 и т. д.
характерны для данного кристалла (или жидкости) и не зависят от
частоты v0 падающего света. Экспериментальное изучение комби-
комбинационного рассеяния показало, что интенсивность фиолетовых спут-
спутников меньше интенсивности красных и с повышением температуры
возрастает, в то время как у красных она практически не за-
зависит от температуры.
4. Полное объяснение явления комбинационного рассеяния света,
в частности соотношения интенсивностей красных и фиолетовых спут-
спутников, было дано на основе квантовых представлений. Пусть фотон
hvo падает на вещество, молекулы которого могут находиться в раз-
различных колебательных энергетических состояниях (№„„..,)<,, (№КОЛ)И1
и т. ц. Помимо упругого, когерентного рассеяния фотона (состоящего
в поглощении и последующем испускании фотона молекулой, при
котором частота v0 фотона не изменяется) возможно такое взаимодей-
ствч° фотона с молекулой, в результате которою молекула перейдет
из нормального колебательного состояния с энергией (WKOli)Vl в более
высокое энергетическое состояние с энергией (WKOa)tl, так что (№кОЛ)^>
> (№кол)г,,. Необходимая для этого перевода энергия Д№ = (№„„,).,,—
■—(^кол)"! заимствуется у фотона, энергия которого уменьшится на
AW и станет равной *■
hv=hvo—AW.
Таким образом, в рассеянном свете появится частота, равная
и соответствующая красному спутнику. Перевод молекулы в различ-
различные возбужденные колебательные состояния приведет к появлению
всей совокупности красных спутников. Появление фиолетовых спут-
спутников с квантовой точки зрения объясняется возможностью того, что
молекула, находящаяся в одном из возбужденных колеба-
колебательных состояний с энергией (WKOn)Sl под действием фотона с энер-
энергией Av0) перейдет в нормальное состояние с меньшей энергией (№К0ЛH1.
Тогда первоначальная энергия /iv0 фотона увеличится на AW =
= (^кол)»«—(^колЬ. и станет равной /iv=/ivo+AW 2. Это будет соот-
соответствовать появлению в рассеянном свете фиолетового спутника с
частотой
В обоих случаях сдвиг частоты v0 падающего света равен v1=AW/h,
т. е. частоте перехода между колебательными уровнями молекулы.
Поскольку число молекул, находящихся в возбужденных энергетиче-
1 Это не означает, что фот'он kv0 «уменьшает» свою энергию и становится фотоном
ftv. В действительности происходит уничтожение фотона hv0 и возникновение фотона
2 Происходит явление, аналогичное тому, которое указано в предыдущей сноске,
но возникший фотон ftv имеет большую энергию, чем исчезнувший фотон /iv0.
— 343 —
ских состояниях, обычно меньше, чем число молекул в нормальном
колебательном состоянии, очевидно, что вероятность рассеяния кванта
hvB с увеличением частоты на Vi меньше, чем вероятность обратного
перехода из нормального состояния в возбужденное. Поэтому интен-
интенсивность фиолетовых спутников должна быть меньше, чем красных.
С повышением температуры заселенность молекулами возбужденных
энергетических состояний возрастает. Поэтому возрастает и вероят-
вероятность рассеяния фотона с переводом молекулы из возбужденного
состояния в нормальное. Другими словами, с повышением темпера-
температуры возрастает интенсивность фиолетовых спутников. Число же
молекул, находящихся в нормальном колебательном энергетическом
состоянии, мало меняется с повышением температуры. Поэтому ин-
интенсивность красных спутников практически мало меняется при на-
нагревании.
5. Из сказанного выше следует, что сдвиг частот в спутниках при
комбинационном рассеянии совпадает с частотами колебаний в моле-
молекулах, лежащими в инфракрасной области спектра. Однако это сов-
совпадение наблюдается не всегда. В ряде случаев сдвиг частот, наблю-
наблюдаемых при комбинационном рассеянии, не совпадаете ча-
частотами в инфракрасном спектре молекулы. Возможен и такой случай,
когда частоты поглощения, наблюдаемые в инфракрасном спектре
молекулы, не проявляются в спектрах комбинационного рассеяния.
Дело здесь в том, что для излучения (и поглощения) молекулой элект-
электромагнитных волн необходимо, чтобы молекула, ведущая себя в этом
случае как диполь, изменяла бы дипольный момент ре. Для комби-
комбинационного рассеяния света, связанного с модулированием падающей
волны, это условие не обязательно. Необходимо лишь, чтобы в моле-
молекуле изменялось взаимное расположение ее частей и изменялась бы
ее поляризуемость. В некоторых случаях различие условий, необхо-
необходимых для появления инфракрасных частот и частот комбинацион-
комбинационного рассеяния, приводит к тому, что наблюдаются одни из них и не
наблюдаются другие.
Комбинационное рассеяние света позволяет отыскивать собствен-
собственные частоты колебаний сложных многоатомных молекул н тем самым
делать заключения о составе и строении таких молекул. С помощью
спектров комбинационного рассеяния проводят, например, количе-
количественный спектральный анализ состава сложных органических сме-
смесей.
§ 15.8. Явление люминесценции
1. Помимо теплового излучения, наблюдаемого у тел при
температуре Т, существует еще один вид излучения тел, избыточного
над тепловым. Оно называется люминесценцией.
Люминесценция может быть вызвана бомбардировкой тел электро-
электронами и другими заряженными частицами, пропусканием через веще-
вещество электрического тока или действием электрического поля, осве-
освещением видимым светом, рентгеновским и гамма-излучением, а также
некоторыми химическими реакциями в веществе. В зависимости от
— 344 —
способов возбуждения люминесцентного свечения различают к а т о-
долюминесценцию, электролюминесценцию,
фотолюминесценцию, хемилюминесценцию и
т. д.
2. В отличие от теплового излучения, которое, как установлено
в § 10.1, является равновесным, люминесцентное изл>чение не имеет
равновесного характера. Оно вызывается сравнительно небольшим
числом атомов, молекул или ионов (образующих центры люминес-
люминесценции), переходящих под действием какого-либо источника энергии
в возбужденное состояние. Центрами люминесценции в твердом теле
могут служить ионы, атомы или группы ионов, находящиеся около
того места кристаллической решетки, где правильность ее структуры
нарушена включением активатора — атома постороннего вещества —
или вакансией. Последующее возвращение возбужденного центра
люминесценции в нормальное или менее возбужденное состояние
сопровождается испусканием люминесцентного излучения. Длитель-
Длительность свечения обусловлена длительностью возбужденного состояния,
которое помимо свойств самих излучающих атомов, молекул или
ионов зависит от окружающей их среды. Если возбужденное состояние
метастабильно, то время пребывания в нем частицы может достигать
10~4 с (вместо обычного времени пребывания в возбужденном состоя-
состоянии 10~8 с). Соответственно увеличивается и длительность люминес-
люминесценции. Люминесценцию с временем затухания ~1(}-8~ 10-9 с назы-
называют обычно флуоресценцией. Такое время затухания характерно,
например, для фотолюминесценции многих веществ, главным образом
жидкостей и газов. Люминесценция, которая сохраняется длительное
время после прекращения действия возбудителя свечения, называется
фосфоресценцией. Такое длительное высвечивание наблюдается у
твердых тел, способных люминесцировать. Строго говоря, подразде-
подразделение люминесценции на флуоресценцию и фосфоресценцию условно,
так как установить точную временную границу между ними иногда
бывает затруднительно.
3. При возбуждении люминесценции электронным (катодным)
пучком кинетическая энергия бомбардирующих электронов переда-
передается электронам атомов (или молекул, ионов) и переводит их в воз-
возбужденное состояние. Передача энергии возможна лишь при условии
где WK — кинетическая энергия бомбардирующего электрона, WB
и Wa — полная энергия атома (или иной люминесцирующей частицы)
соответственно в возбужденном и нормальном состояниях *.
При достаточной энергии WK возбуждения возвращение атома
(молекулы или иона) в нормальное состояние может происходить в
несколько этапов через все менее возбужденные состояния. Этому
соответствует испускание нескольких фотонов люминесцентного из-
1 Обычно преобладает механизм непрямой передачи энергии центрам люминес-
люминесценции (через посредство других атомов, которым электроны непосредственно пере-
передают свою энергию). На долю прямого возбуждения приходится не более 1% всего
свечения.
__ 345 -
лучения различных частот, причем суммарная их энергия равна энер-
энергии WK начального возбуждения.
Электролюминесценция в газах вызывается электрическим раз-
разрядом. Энергия возбуждения в этом случае сообщается молекулам
газа с помощью электронного удара или удара ионов.
Хемилюминесценция вызывается экзотермическими химическими
процессами в веществе, т. е. процессами, протекающими с выделением
энергии. Люминесцентное излучение уносит избыток энергии, что
приводит к образованию химических соединений с более устойчивой
в данном окружении и при данных условиях электронной конфигу-
конфигурацией. Хемилюминесценция часто сопровождает, например, про-
процессы окисления с образованием более устойчивых продуктов сгора-
сгорания. Яркость хемилюминесценции может на несколько порядков
превышать яркость теплового излучения люминесцирующего веще-
вещества при температуре опыта. Частным случаем хемилюминесценции
является биолюминесценция (например, свечение гнилых деревьев
и светлячков).
4. Фотолюминесценция возбуждается электромагнитным излучением
видимого или ультрафиолетового диапазона. Фотолюминесценцию
изучал еще Д. Стоке, который установил, что фотолюминесцирующее
вещество излучает, как правило, свет, имеющий большую длину
волны, чем то излучение, которое вызывает люминесценцию. Это
правило Стокса получает свое естественное обоснование в квантовой
оптике.
В самом деле, фотон возбуждающего фотолюминесценцию света
имеет энергию hv, которая, по закону сохранения энергии, частично
расходуется на создание фотона с энергией /п>люм люминесцентного
излучения, а в остальном будет израсходована на различные неоп-
неоптические процессы 1:
где W — энергия, пошедшая на различные процессы, кроме фотолю-
фотолюминесценции. Обычно W>0 и v<vjlIOM, т. е. ^люм>^., что соответствует
правилу Стокса.
В некоторых случаях фотолюминесцентное излучение имеет длину
волны, меньшую, чем длина волны возбуждающего света (так назы-
называемое антистоксово излучение). Это явление объясняется тем, что
к энергии hv фотона возбуждающего излучения добавляется энергия
теплового движения атомов (молекул или ионов) люминесцирующего
вещества 2:
где а — коэффициент, зависящий от природы люминесцирующего
вещества, k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура.
Антистоксово излучение проявляется все отчетливее по мере повы-
повышения температуры.
1 См. первую сноску на с. 343.
2 См. ту же сноску на с. 343.
— 346 —
5. Отношение энергии, излучаемой при фотолюминесценции, к
поглощаемой энергии возбуждающего ее света называется энерге-
энергетическим выходом фотолюминесценции. Акад. С. И. Вавиловым ус-
установлен закон, согласно которому энергетический выход фотолюми-
фотолюминесценции возрастает прямо пропорционально длине волны к погло-
поглощаемого излучения, а затем, достигая максимального значения в
некотором интервале длин волн (%—Х,чакс), быстро спадает до нуля при
дальнейшем увеличении длины волны. Закон Вавилова легко объяс-
объясняется на основе представлений о квантовом выходе фотолюминес-
фотолюминесценции. Под этим термином понимается отношение числа фотонов
люминесцентного излучения к числу фотонов возбуждающего излу-
излучения при фиксированной энергии последнего. Очевидно, что с уве-
увеличением длины волны возбуждающего излучения (уменьшения его
частоты) увеличивается число фотонов с энергией hv, содержащихся
в данной энергии первичного излучения. Поскольку каждый фотон
может вызвать появление фотона /п>люм, то с увеличением длины волны
происходит возрастание энергетического выхода люминесценции.
Резкое спадание энергетического выхода при некоторой длине волны
объясняется тем, что фотоны hv света с такой длиной волны не в со-
состоянии возбудить электроны атомов (молекул или ионов) люмине-
сцирующего вещества.
Величина энергетического выхода люминесценции в сильной сте-
степени зависит от возможности в веществе безызлучательиых переходов
молекул из возбужденного состояния в нормальное. Если вероятность
таких переходов велика, происходит тушение люминесценции. Обычно
причиной тушения люминесценции являются либо безызлучательные
переходы в самих люминесцирующих молекулах, либо процесс пере-
передачи энергии молекулы присутствующим молекулам примеси. Основ-
Основную роль в последнем случае играют так называемые удары вто-
второго рода — столкновения, в результате которых энергия воз-
возбуждения переходит без излучения в энергию теплового движения
молекул. При чрезмерно большой концентрации люминесцирующего
вещества также наблюдается резкое уменьшение интенсивности флуо-
флуоресценции. Оно называется концентрационным тушением или самоту-
самотушением и объясняется тем, что в результате усиления связи между
молекулами происходит их ассоциация в нелюминесцирующие димеры
(сдвоенные молекулы),
Фотолюминесценция ряда жидкостей (растворы некоторых красок,
растворы хинина и др.) легко наблюдается визуально при пропуска-
пропускании через растворы таких жидкостей видимого света. При этом пра-
правило Стокса проявляется непосредственно: видно, что свечение флуо-
флуоресценции более длинноволновое, чем падающий свет.
6. Явление флуоресценции связано с переходами атомов, молекул
или ионов из обычных возбужденных состояний, длительность суще-
существования которых 10~8 с, в нормальное. Фосфоресценция, дающая
длительное свечение, обусловлена достаточно продолжительным на-
нахождением атомов в возбужденных состояниях. Возможной причиной
этого может быть наличие метастабильных возбужденных состояний,
переход из которых в нормальное состояние по тем или иным причинам
— 347 —
затруднен. В кристаллических фосфоресцирующих веществах, на-
например полупроводниках р-типа, это связано с оседанием возбужден-
возбужденных электронов на акцепторных примесных уровнях (см. т. II, § 13.5).
7. На явлении люминесценции основан люминесцентный анализ,
принцип которого заключается в следующем. Вещество, состав кото-
которого необходимо" исследовать, освещается ультрафиолетовыми лу-
лучами. Вещество либо само по себе, либо после обработки соответст-
соответствующими реактивами дает характерное люминесцентное свечение,
по характеру которого можно, определяя интенсивности линий в
спектре, определить не только качественное, но и количественное
содержание исследуемого вещества. Люминесцентный анализ в от-
отличие от обычного спектрального анализа не сопровождается разло-
разложением на элементы исследуемого вещества и применяется при весьма
малых количествах изучаемого вещества. С другой стороны, чрезвы-
чрезвычайно высокая чувствительность люминесцентного анализа позволяет
обнаружить наличие ничтожных примесей порядка 101 г в 1 г ис-
исследуемого вещества. Люминесцентный анализ успешно применяется
в различных отраслях промышленности, в биологии, медицине, агро-
агротехнике и т. п.
8. Явление люминесценции позволяет создать источники света,
которые обладают значительными преимуществами перед лампами
накаливания, излучающими в диапазоне видимого участка спектра
лишь около 3—5% расходуемой энергии и имеющими малую светоот-
светоотдачу. Люминесцентные источники света не требуют нагрева, дают
излучение в сравнительно узкой спектральной области и являются
весьма экономичными, например натриевые лампы, в которых пары
натрия светятся под действием электрического разряда. Натриевые
лампы дают излучение, почти полностью сосредоточенное в области
около желтой линии натрия с длиной волны 589 нм, что близко к длине
волны, соответствующей максимуму чувствительности глаза. Однако
натриевая лампа придает всем освещаемым объектам неприятную
желтую окраску.
Люминесцентными источниками света являются также ртутные
лампы, весьма разнообразные по устройству. В области видимого
света излучение этих ламп сосредоточено в основном в желтом, зеле-
зеленом, синем и фиолетовом участках спектра.
Помимо этого, спектр паров ртути значительно простирается в
область ультрафиолета. Интенсивное излучение в ультрафиолетовой
области ртутных ламп среднего и низкого давления обеспечивает им
широкое применение как бактерицидных источников излучения.
Для получения ламп с излучением, близким по составу к днев-
дневному свету, применяются ртутные лампы низкого давления в форме
трубок, внутренняя поверхность которых покрывается смесью люми-
несцирующих веществ. Поглощая ультрафиолетовое излучение ртут-
ртутных паров, эти вещества дают люминесцентное излучение в видимой
области, близкое по составу к дневному свету. Такие лампы дневного
света широко распространены для освещения в промышленности и
быту.
— 348
§ 15.9. Отрицательное поглощение
и оптические квантовые генераторы
1. В заключение этой главы рассмотрим вопрос о прин-
принципиально новых источниках излучения, обладающих необычными
свойствами.
В 1954 г. в СССР появились работы Н. Г. Басова и А. М. Прохо-
Прохорова, в которых был описан квантовый генератор ультракоротких
радиоволн в сантиметровом диапазоне, называемый мазером. Термин
«мазер» (maser) составлен из первых букв английского названия этого
устройства: microwave amplification by stimulated emission of radia-
radiation — усиление микроволн с помощью стимулированного излучения.
Генераторы и усилители света в видимой и ближней инфракрасной
областях, появившиеся в 1960 г., называются оптическими квантовыми
генераторами (ОКГ). Иначе эти устройства называют генераторами
когерентного света (ГКС). В настоящее время их сокращенно назы-
называют лазерами. Термин «лазер» имеет такое же происхождение, как
и термин «мазер». Оба типа устройств работают на основе эффекта
вынужденного (индицированного или стимулированного) излучения.
В § 14.8 указывалось, что этот эффект является результатом взаимо-
взаимодействия электромагнитной волны с атомами вещества, через которое
проходит волна. Так как поведение атомов описывается квантовыми
законами, в названиях обоих устройств имеется слово «квантовый»:
«квантовый генератор», «квантовый усилитель».
2. В § 14.8 выяснено, что явление индуцированного (стимулиро-
(стимулированного) излучения может приводить к отрицательном}' поглощению
света. Так как эти явления лежат в основе ОКГ, вернемся к этим
вопросам и рассмотрим их несколько более подробно.
Активной (усиливающей) называется такая среда, в которой ин-
интенсивность проходящего светового луча возрастает. Возможность
существования такой среды вытекает из явления вынужденного из-
излучения, рассмотренного Эйнштейном. Для дальнейшего необходи-
необходимо более подробно остановиться на свойствах вынужденного излу-
излучения.
Эйнштейн показал, что вынужденное излучение должно быть
по своим характеристикам совершенно тождественно с тем из-
излучением, которое, проходя через вещество, вызывает появление
инд} цированного излучения. Новый фотон, появившийся в резуль-
результате того, что атом (или молекула) вещества переходит с высшего
энергетического состояния на низшее под действием света, имеет ту
же энергию и летит строго в том же направлении, что и фотон, сти-
стимулировавший появление первого. На волновом языке эффект вынуж-
вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей
волны без изменения ее частоты, направления распространения, фазы
и поляризации. Другими словами, вынужденное излучение строго
когерентно с вынуждающим излучением.
3. Новый фотон, появившийся в результате индуцированного из-
излучения, усиливает свет, проходящий через среду. Однако следует
иметь в виду, что кроме индуцированного излучения происходит
— 349 —
Да ВзаишдеистШ Ппспе бзаимоЗеистШ-
а) Поглощение
Рис. 15.9
процесс поглощения света. В результате поглощения фотона атомом,
находящимся на энергетическом уровне Wu фотон исчезнет и атом
перейдет на энергетический уровень W2 (рис. 15.9, а). Этот процесс
уменьшает мощность света, проходящего через среду. Таким образом
происходят два конкурирующих друг с другом процесса. В результате
актов вынужденного излучения фотон с энергией hv «сваливает» атом
с уровня W2 на уровень Wx и вместо одного фотона дальше летят
два фотона (рис. 15.9, б). Акты же поглощения уменьшают число
фотонов, проходящих сквозь среду. Действие усиливающей среды
определяется тем, какой из двух процессов преобладает. Если пре-
преобладают акты поглощения фотонов, то среда будет не усиливающей,
а ослабляющей свет, который че-
через нее проходит. Если главную
роль играют акты вынужденного
излучения, то среда усиливает свет.
4. Поглощение света в вещест-
веществе подчиняется закону Бугера —
Ламберта (см. § 7.3):
/ = /ое-«*, A5.15)
где а — положительный показа-
показатель поглощения, х — толщина по-
6)Стимулиробсшнов ищчечив глощающего слоя, /„ — интенсив-
интенсивность света, входящего в среду, /—
интенсивность света, прошедшего
слой толщиной х.
В. А. Фабрикантом впервые были рассмотрены особенности среды
с отрицательным поглощением света. Им было показано, что для
такой среды закон A5.15) имеет другой вид:
/ = /ое"«К A5.15')
Здесь |а| —• положительная величина, что соответствует не ослабле-
ослаблению, а усилению света по мере прохождения его через вещество.
Иначе говоря, в усиливающей среде показатель поглощения среды
становится отрицательным. Этим объясняется то, что подобную среду
иногда называют средой с отрицательным показателем поглощения.
Формула A5.15') указывает на крутое возрастание интенсивности
света с увеличением толщины слоя усиливающей среды (рис. 15.10).
Это означает, что в такой среде лавинообразно нарастает число фо-
фотонов за счет преобладания актов вынужденного излучения. Два
фотона, образовавшихся в одном акте индуцированного излучения (см.
рис. 15.9, б), при встрече с двумя атомами, находящимися на воз-
возбужденном уровне, «свалят» их вниз и после этого будут лететь уже
четыре одинаковых фотона и т. д. (рис. 15.11). С волновой точки зре-
зрения, амплитуда электромагнитной волны и ее квадрат, пропорцио-
пропорциональный интенсивности света, будет нарастать за счет энергии, полу-
получаемой от возбужденных атомов.
5. Оценим коэффициент поглощения а некоторой среды, не пред-
предполагая специально, что она является усиливающей. Коэффициент
— 350 —
поглощения а в условиях, когда спонтанное излучение несущест-
несущественно, должен определяться, вообще говоря, двумя противополож-
противоположными процессами — поглощением и индуцированным излучением.
Рассмотрим два энергетических уровня Wi и W2 атомов (или
молекул) среды, между которыми, согласно Эйнштейну (см. § 14.8),
возможны три типа оптических процессов: спонтанное излучение,
поглощение и вынужденное (стимулированное)
J/JO
излучение (рис. 15.12). Предположим для просто-
простоты, что процессами спонтанного излучения,
Рис. 15.10
Рис. 15.11
О)
1
при которых возбужденные атомы самопроизвольно переходят в нор-
нормальное состояние, можно пренебречь. Ниже мы выясним, при каких
условиях это возможно. Число фотонов, поглощенных атомами, на-
находящимися на нижнем энергетическом уровне Wu пропорционально
концентрации атомов Nlt которые имеют энергию Wi. Число атомов
вынужденного (стимулированного) излучения пропорционально кон-
концентрации атомов N2 на верхнем энергетическом уровне W2. Можно
доказать, что коэффициент пропорциональности в обоих процессах
одинаков. Коэффициент поглощения а в законе Бугера — Ламберта —
Фабриканта A5.15') в свою очередь _ (/
пропорционален разности между
числом актов поглощения и вы-
вынужденного излучения:
a=k(N1—Ni), A5.16)
где fc>0 — коэффициент пропор- —
циональности.
6. Обычно в состоянии термо-
термодинамического равновесия системы
число атомов N2 на возбужденном уровне W2 меньше числа атомов JVX
на более низком уровне Wu т. е. NJNi<\. Поэтому в состоянии рав-
равновесия а>0. Это значит, что число актов обычного (положитель-
(положительного) поглощения превышает число переходов, сопровождающихся
отрицательным поглощением, т. е. индуцированным излучением.
Однако из A5.16) следует, что могут существовать такие среды, в
которых коэффициент поглощения а будет отрицательным (а<0).
Для получения среды с отрицательным поглощением необходимо
создать неравновесное состояние системы, при котором
число атомов N3 на возбужденном уровне было бы больше, чем число
атомов #i в нормальном состоянии, т. е. NJN£>1. Такие состояния
— 351 —
3?
1
1
1
1
1
i
Рис. 15.12
принято называть инверсными (обращенными) состояниями. Слово
«инверсия» означает переворачивание (от латинского слова «inversio»).
Смысл термина состоит в том, что в таком неравновесном состоянии
имеется «обращенное» распределение атомов по энергетическим со-
состояниям — на верхнем уровне концентрация атомов больше, чем
на нижнем.
7. Процесс перевода среды в инверсное состояние называется
накачкой усиливающей среды. Наиболее естественной представляется
оптическая накачка среды, при которой атомы переводятся с нижнего
уровня Wt на верхний возбужденный уровень W2 облучением светом
такой частоты v, что hv=W2—W±. Если усиливающая среда является
газообразной, то перевод атомов на верхний энергетический уровень
возможен при неупругих столкновениях атомов с электронами в га-
газовом разряде (электрическая накачка). Однако такие методы перевода
атомов с нижнего уровня на верхний не приводят к инверсной засе-
заселенности атомов по уровням. За счет спонтанного излучения атомов,
находящихся на возбужденных уровнях весьма малое время (см.
§ 14.8), а также за счет столкновений атомов с электронами, при
которых возбужденные атомы отдают электронам свою энергию и
переходят на нижние уровни, заселенность атомами верхних уровней
будет меньше, чем нижних. Этот общий результат показывает, что
использование двух уровней W± и W2 не эффективно для получения
инверсной заселенности.
Существо метода, предложенного В. А. Фабрикантом, состояло
в том, чтобы с помощью специальных молекулярных примесей изби-
избирательно разрушить некоторые нижние энергетические уровни и
таким образом осуществить более высокую заселенность атомами
верхних энергетических уровней по сравнению с нижними. В мазере,
созданном Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым и независимо от них
Ч. Таунсом, молекулы, находящиеся на нижнем энергетическом
уровне, удалялись с помощью специально созданного неоднородного
электрического поля. Другим методом получения инверсной засе-
заселенности является применение вспомогательного излучения, которое
создает избыточную по сравнению с равновесной концентрацию атомов
(или других частиц) на верхних энергетических уровнях.
8. Практическое осуществление инверсной заселенности уровней
в оптических квантовых генераторах производится по трехуровневой
схеме, предложенной Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым в 1955 г.
Один из первых генераторов когерентного света, работающих
по схеме трех уровней с твердым телом в качестве активной, усили-
усиливающей среды, был создан в 1960 г. Усиливающей средой в нем яв-
являлся кристалл рубина, представляющий собой по химическому
составу окись алюминия А12О8 с примесью окиси хрома Сг2О3 в коли-
количестве от 0,03 до 0,05%. При этом в кристаллической решетке окиси
алюминия определенная часть атомов А1 заменена ионами Сг3+. Ак-
Активным веществом, в котором осуществляются вынужденные пере-
переходы, являются в рубине ионы хрома Сг3+. Энергетическая схема
уровней Сг3+ содержит ближайшие к основному уровню С две широкие
энергетические полосы А и двойной метастабильный уровень В, пере-
— 352 —
ходы с которого на основной уровень С соответствуют длинам волн
красного света 6927 и 6943 А (рис. 15.13). Существенно наличие трех
уровней: А, В и С.
При интенсивном облучении рубина зеленым светом мощной им-
импульсной лампы, наполненной неоном и криптоном (лампы накачки),
происходит переход ионов хрома на уровни широкой полосы А, откуда
наиболее вероятным является безызлучательный переход ионов на
двойной уровень В с передачей избытка энергии кристаллической
решетке рубина. Таким образом, можно создать условия, при которых
населенность ионами двойного уровня В будет превышать населен-
Не
Ne
;#4
Лазерное
^излучение
Рис. 15.13
Рис. 15.14
ность основного уровня С. В соответствии с п. 7 концентрация ионов
на уровне А будет меньше, чем на уровне С. Но не это важно. Важно
то, что уровни В и С будут заселены инверсно. Это позволяет получить
оптический генератор на линиях 6927 и 6943 А. Возникновению ин-
инверсии уровней В я С способствует малая вероятность спонтанных
переходов ионов хрома с уровня В на уровень С.
В одном из газовых оптических квантовых генераторов усиливаю-
усиливающей средой служит плазма высокочастотного газового разряда, полу-
полученная в смеси гелия с неоном. За счет соударений с электронами
атомы гелия переходят в возбужденное состояние W3. При столкно-
столкновениях возбужденных атомов гелия с атомами неона последние также
возбуждаются и переходят на один из верхних уровней неона, близко
расположенных к соответствующему уровню гелия. Переход атомов
неона с этого уровня на один из нижних уровней W2 сопровождается
излучением лазера. На рис. 15.14 изображена упрощенная трехуров-
трехуровневая энергетическая диаграмма такого лазера.
Лавинообразное нарастание интенсивности света, в усиливающей,
активной среде означает, что такая среда действует какхусилитель
электромагнитных волн. Принцип подобного усиления был сформу-
сформулирован в 1951 г. В. А. Фабрикантом, М. М. Вудынским и Ф. А. Бу-
таевой.
9. Эффект усиления света, основанный на индуцированных пере-
переходах, можно увеличить путем многократного прохождения усили-
усиливаемого света через один и тот же слой «усиливающей» среды. На-
Например, это может быть достигнуто путем помещения слоя среды с
отрицательным поглощением (кювета с газом или кристалл) между
12 А. А. Детлаф, В. М. Яворский — 353 —
Рис. 15.15
двумя достаточно плоскими зеркалами, установленными параллельно
друг другу. Чаще зеркала делаются вогнутыми. Принципиальная
схема ОКГ изображена на рис. 15 15, где / — активная среда, 2 я 3—
сплошное и полупрозрачное зеркала. Любой фотон, возникший в
активной среде за счет спонтанного испускания возбужденных на-
накачкой атомов среды, является «затравкой» процесса генерации света.
Рассмотрим фотон, который движется параллельно оси кюветы
или кристалла. Он рождает лавину фотонов, летящих в том же на-
направлении (рис. 15.16, а). Часть этой
лавииы частично пройдет через полу-
полупрозрачное зеркало 3 наружу, а часть
отразится и будет нарастать в актив-
активной среде (рис. 15.16, б). Когда лави-
лавина фотонов дойдет до сплошного зер-
зеркала 2, она частично погло-
поглотится, но после отражения
от зеркала 2 усиленный поток
фотонов вновь будет двигать-
двигаться так же, как и первона-
первоначальный, «затравочный» фо-
фотон (рис. 15.16, в). Таким
образом, с помощью зеркал
в ОКГ реализуется положи-
положительная обратная связь, не-
необходимая во всяком гене-
генераторе для того, чтобы был
обеспечен режим генерации
(см. т. II, §2.4). Поток фо-
фотонов, многократно усилен-
усиленный и вышедший из генера-
генератора сквозь полупрозрачное
зеркало, создает строго нап-
направленный пучок лучей света огромной яркости.
10. Для того чтобы в ОКГ нарастала лавина фотонов (самовоз-
(самовозбуждение генератора), необходимо, чтобы усиление, которое созда-
создается на пути фотонов между двумя последовательными отражениями
от зеркала 2, по крайней мере компенсировало потери фотонов при
отражении от зеркал. Количественной мерой усиления света в ОКГ
на пути фотонов длиной L может быть выбрана величина, равная
/C=///o=eaI- 1по формуле A5.15)]. Здесь L — длина активной среды
между зеркалами. Между двумя отражениями фотоны проходят путь
2L, поэтому усиление определяется величиной e2<xL. Для того чтобы
учесть потери фотонов в зеркалах, обозначим через R2 и R3 коэффици-
коэффициенты отражения света от зеркал 2 и 3 (см. рис. 15.15). Общие потери
фотонов, отражающихся последовательно от обоих зеркал, пропорцио-
пропорциональны произведению #»#3- С учетом потерь в зеркалах усиление ОКГ
можно записать в более общем виде:
?,. A5.17)
Рис. 15.16
— 354 —
Из формулы A5.17) можно найти условие, при котором потери в зер-
зеркалах компенсируются усилением среды и поэтому J=J0, т. е. К' — 1-
е^Ч?2#8 = 1. A5.17')
Логарифмируя условие A5.17'), получим величину чкоэффициента
отрицательного поглощения а в лазере:
a = ~ln(#afl8). A5.18)
Формула A5.18) используется для определения минимальной (поро-
(пороговой) мощности накачки, которая необходима для усиления света
в генераторе. Очевидно, что если увеличить мощность накачки так,
чтобы процессы генерации света превышали потери в зеркалах, то в
ОКГ будут нарастать лавины фотонов и яркость луча, вышедшего из
генератора, будет увеличиваться. Однако в ОКГ невозможно беспре-
беспредельное возрастание усиления света. По мере роста усиления возра-
возрастают процессы спонтанного излучения атомов, находящихся на верх-
верхних «рабочих энергетических уровнях» генератора. Это приводит к
уменьшению инверсии в заселении верхних энергетических уровней
и уменьшению индуцированных переходов — усиление уменьшается
и замедляется нарастание лавины фотонов. Описанное явление назы-
называется насыщением в оптическом квантовом генераторе.
11. До сих пор при анализе условий усиления света в ОКГ мы
не учитывали, что индуцированное излучение в генераторе является
когерентным первоначальному, «затравочному» излучению. Волновые
свойства света приводят к некоторым дополнительным условиям,
при которых осуществляется режим генерации. На волновом языке
процесс усиления света в ОКГ означает непрерывное и значительное
возрастание амплитуды световой волны. Но для этого необходимо,
чтобы волна, возвратившаяся в некоторую точку активной среды
после отражения от зеркал, имела в этой точке фазу, совпадаю-
совпадающую с фазой первичной волны'при любом числе отражений от зер-
зеркал. Это накладывает определенное условие на зависимость между
длиной волны К и длиной L активной среды. Длина пути, который
проходит волна между двумя отражениями, должна составлять целое
число длин волн:
2L=nX, или
L=nX/2, где п=1, 2, ... A5.19)
Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн
будет резко возрастать амплитуда результирующей волиы. Если
выполнено условие A5.19), то волны, которые при каждом отражении
выходят из генератора через зеркало 3 (см. рис. 15.15), когерентны
между собой. Разность фаз двух последовательно вышедших волн
составляет ДФ=2я2/,М, и определяется разностью оптического хода
2L [формула E.8')]. Лучи, которые вырываются из ОКГ, являются
результатом интерференции многих когерентных волн, имеющих
разность фаз, кратную 2зт. Это обеспечивает наибольшую результи-
12* - 355 —
рующую амплитуду и интенсивность света, полученного в лазере.
Как известно (см. § 5.5), при интерференции многих когерентных
волн интерференционные максимумы интенсивности получаются очень
узкими, резкими. Если условие A5.19) будет нарушено, то амплитуды
волн не будут усиливаться.
12. Уравнение A5.19) является фазовым условием, выполнение
которого так же необходимо для процесса генерации света в ОКГ,
как и условие компенсации потерь A5.17'). Из уравнения A5.19)
следует, что если рассматривать пространство между двумя зеркалами
в ОКГ как некоторый зеркальный резонатор, то на длине L его должно
укладываться некоторое целое число п стоячих полуволн (см. § 1.5).
Таким образом, уравнение A5.19) есть одновременно условие резонанса
между электромагнитной волной и зеркальным резонатором. Из
уравнения A5.19) можно найти частоты, генерируемые в ОКГ. Ис-
Используя связь частоты с длиной волны X=c/v и уравнение A5.19),
получим
vn-nc/2L. A5.20)
Каждому значению п соответствует определенная частота. Кроме
того, частоты, "генерируемые в ОКГ, должны одновременно удовле-
удовлетворять воровскому правилу частот (см. § 13.4), связывающему ча-
частоту с разностью энергетических уровней атомов активной среды
генератора. Необходимость одновременного выполнения уравнения
A5.20) и условия частот Бора на первый взгляд очень усложняет
практическое создание ОКГ. В самом деле, это предъявляет очень
высокие требования к точности, с которой должно быть задано рас^
стояние L, чтобы сохранялась когерентность интерферирующих волнТ
Однако в действительности ситуация оказывается не такой безна-
безнадежной. Выручает то, что правило частот Бора выполняется с точ-
точностью до конечной ширины энергетических уровней атома (см. § 14.8),
а также то, что существует ряд причин уширения спектральных линий,
в первую очередь за счет эффекта Доплера.
13. Мы не можем входить в детальное обсуждение вопроса о ширине
спектральных линий, излучаемых ОКГ. Можно показать, что спектр,
излучаемый ОКГ, состоит из ряда очень узких линий, частоты кото-
которых, как это видно из A5.20), отстоят друг от друга на Av=c/2L.
Создание лазеров - позволило значительно продвинуться вперед
в решении задачи о получении строго монохроматического света.
Высокая степень монохроматичности света, получаемого в лазерах,
означает, что имеется значительно ббльшая (на несколько порядков),
чем обычно в оптике, длительность непрерывного цуга волн, испуска-
испускаемых ОКГ. Следовательно, пространственная протяженность, длина
непрерывного цуга воЛн, испускаемого лазером, также значительно
превосходит длину цуга в обычной оптике. Последнее обстоятельство
снимает то ограничение, которое накладшвается обычно в оптике на
проведение опытов по интерференции: требование малой разности
оптического хода лучей. С лучом лазера можно производить опыты по
интерференции при громадных разностях хода — порядка десятков
метров и более.
— 356 —
14. Одной из замечательных особенностей лучей, получаемых в
ОКГ, является их острая направленность, малое расхождение пучка
лучей по углам. Это связано с механизмом процессов индуцированного
излучения, лежащих в основе действия лазеров. Дело в том, что «за-
«затравочный» фотон, необходимый для генерации света в лазере, должен
лететь параллельно оси резонатора. Фотон, летящий «вбок», под
углом к оси резонатора, создаст лавину фотонов, которая после не-
небольшого числа отражений выйдет из активной среды и не будет участ-
участвовать в процессе усиления (см. рис. 15.16, а).-В генерации и уси-
усилении света участвуют только фотоны, летящие параллельно оси резо-
резонатора. Поэтому луч, вышедший из генератора, имеет острую на-
направленность. Однако волновые свойства света не позволяют полу-
полунить угол расхождения лучей, равный нулю. Явление дифракции
света (см. § 6.3) определяет нижний угловой предел ©мнн для расхож-
расхождения лучей ОКГ. Угол расхождения лучей не может быть меньше
угла дифракции на круглом экране, имеющем диаметр D:
ем„„>я/£>, A5.21)
где D — диаметр зеркала в оптическом квантовом генераторе, ЭмнН
имеет порядок величины 10~5—10~9 рад. В газовых лазерах угловое
расхождение лучей достигает такой величины.
15. В силу высркой когерентности и острой направленности лучей
ОКГ они могут быть с большой эффективностью использованы для
связи, локации, получения очень высоких температур в малых объе-
объемах и т. д. При ширине полосы излучения в 1 А на длине волны в
1 мкм теоретически можно осуществить передачу 10 000 радиопро-
радиопрограмм. С помощью современных ОКГ можно осуществить связь на
громадных расстояниях астрономического порядка. Излучением ОКГ
можно пробивать мельчайшие отверстия в самых твердых веществах,
например в алмазе, осуществлять сварку микродеталей. Лучи лазеров
нашли применение в хирургии при лечении отслаивания сетчатки
глаза. Луч лазера как бы «приваривает» отслоившуюся сетчатку к
тканям глазного дна.
Характеристики современных ОКГ пока еще далеки от принци-
принципиально возможных. Например, в принципе возможно, получение
световых пучков такой мощности, которой будут соответствовать
световые давления порядка миллионов атмосфер. Все это создает не-
необозримые перспективы для применения квантовых усилителей и гене-
генераторов когерентного света.
Часть VIII
ОСНОВЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Глава XVI
СВОЙСТВА И СТРОЕНИЕ АТОМНЫХ ЯДЕР
§ 16.1. Заряд и масса атомных ядер
1. Важнейшими характеристиками ядра являются его
заряд <7„ и масса М. Заряд ядра определяется числом положительных
элементарных зарядов, сосредоточенных в ядре. Носителем положи-
положительного элементарного заряда е== 1,6-10~19 Кл в ядре является про-
протон (см. § 16.3). Так как атом в целом нейтрален, то заряд ядра опре-
определяет одновременно число электронов в атоме, каждый из которых
обладает отрицательным элементарным зарядом. Распределение элект-
электронов в атоме по энергетическим оболочкам и подоболочкам сущест-
существенно зависит от их общего числа в атоме. Поэтому заряд ядра в зна-
значительной мере определяет распределение электронов по их состоя-
состояниям в атоме, в частности число электронов на внешней оболочке, от
которого зависят химические свойства атома. Иными словами, зарядом
ядра определяется специфика данного химического элемента. Заряд
ядра qe~Ze, где Z — зарядовое число ядра, равное порядковому
номеру элемента в системе Менделеева. Известные в настоящее время
107 химических элементов имеют зарядовые числа ядер, изменяющиеся
от Z=l (водород) до Z=107. ;
2. Масса атомного ядра практически совпадает с массой атома,
потому что масса электронов всех атомов, кроме водородного, состав-
составляет приблизительно лишь 2,5-10~* массы атома *. Массы атомов при-
принято выражать в атомных единицах массы (а. е. м.). За атомную еди-
единицу массы принята 1/12 массы атома кислорода "С (смысл обозна-
обозначения см. дальше в этом параграфе): 1 а. е. м. = 1,6605655(86)-10-" кг.
Современные методы масс-спектроскопии (см. т. II, § 18.4) позво-
позволяют определять массы атомов с большой точностью. При этих изме-
измерениях были обнаружены изотопы — разновидности атомов данного
химического элемента, обладающие одинаковым зарядом, но разли-
различающиеся массой. В настоящее время известно около 300 устойчивых
и свыше 1000 неустойчивых (радиоактивных) изотопов (см. § 18.12).
Измерения масс изотопов, произведенные с большой точностью, по-
показывают, что они всегда выражаются в а. е. м. почти целыми чис-
числами. Атомные массы изотопов называются изотопными массами*
1 Напомним, что масса электрона равна 1/1836 массы протона,
г- 358 —
Оказалось, что для каждого химического элемента имеется п о-
стоянное процентное содержание различных изотопов. Поэтому
каждый химический элемент имеет определенную атомную массу,
представляющую собой среднее значение агомных масс
всех его изотопов. Этим объясняется то, что атомные массы элементов
в ряде случаев заметно отклоняются от целых чисел.
Весьма важной для ядерной техники является разделение различ-
различных изотопов данного химического элемента. Существует несколько
методов разделения изотопов, но изложение их выходит за рамки на-
нашего курса. Отметим лишь, что с помощью этих методов успешно
решаются две задачи: получение чистых изотопов и обогащение смеси
изотопов одним из них.
3. Большое значение для развития ядерной физики сыграл тот
факт, что изотопные массы в атомных единицах массы выражаются
практически целыми числами. Из него следовало, что атомные ядра
всех химических элементов состоят из целого числа некоторых одно-
однородных составляющих.
Целое число, ближайшее к атомной массе, выраженной в а. е. м.,
называется массовым числом и обозначается буквой А. В настоящее
время общепринято обозначать различные изотопы химических эле-
элементов следующим образом: ^Х, где X — символ химического эле-
элемента в таблице Менделеева, соответствующего данному заряду
ядра Ze.
4. Существуют также ядра, которые при одинаковой массе обла-
обладают различными зарядами. Они называются изобарами. Изобары
большей частью встречаются среди тяжелых ядер, причем парами и
триадами. В настоящее время известно 59 устойчивых изобарных
пар и 5 изобарных триад. Примерами устойчивых изобарных пар
являются US и 1,Аг, ^JRu и "|Pd. Примером изобарной триады может
служить ««Zr, S|Mo и JSRu.
§ 16.2. Спин и магнитный момент ядра
1. В § 14\7 было показано, что наличие спина электрона
обусловливает тонкую структуру спектральных линий. В частности,
для атомов с одним валентным, оптическим электроном взаимная
ориентация орбитального и спинового моментов электрона приводит
к раздвоению всех энергетических уровней (кроме s-уровня) и соот-
соответственно к раздвоению спектральных линий. Увеличение разрешаю-
разрешающей способности спектральных приборов и применение источников
света особой конструкции, позволяющих получить весьма узкие
спектральные линии, дали возможность тщательнее исследовать
структуру раздвоенных линий.
А. Н. Терениным и Л. Н. Добрецовым было обнаружено A928),
что каждая из двух D-линий натрия (см. § 14.7) в свою очередь яв-
является двойной — состоит из двух близко расположенных линий.
Линия D 2 (Я,=5890 А) расщеплена на 0,021 А, а линия Di (Я,=5896 А) —
на 0,023 А *. Обнаруженное расщепление называется сверхтонкой
1 Тонкое расщепление линий Dt и D2 составляет 6А,
— 359 —
1
структурой спектральных линий. В. Паули первым высказал пред-
предположение, что сверхтонкая структура объясняется наличием спина
у ядра атома. Момент импульса ядра, называемый обычно спином
ядра, является наряду с зарядом и массой важнейшей его характери-
характеристикой.
В состав ядра входят, как мы увидим в § 16.3, протоны и нейтроны,
каждый из которых обладает спином %12. Спин ядра, вообще говоря,
обусловлен как спинами составляющих его частиц, так и моментами
импульса, связанными с движениями ядерных частиц в ядре (орби-
(орбитальные моменты). Спин ядра, состоящего из четного числа частиц,
является целым числом (в единицах Щ. Спин же ядра, состоящего из
нечетного числа частиц, является полуцелым (в единицах Ь).
Если предположить, что спин ядра в единицах % равен /, то полный
спин атома с одним валентным электроном может быть равен либо*
/+1/2, либо /—1/2 (поскольку спин электрона в единицах % равен
1/2)!, Оптический переход электрона в атоме натрия с верхнего уровня
___________ ___________ на нижний уровень, раздвоенный
вследствие учета спина ядра, при-
приводит к сверхтонкой структуре ли-
линии D2. На рис. 16.1 слева приведе-
. на схема, поясняющая «обычное»,
г тонкое, расщепление спектральных
' линий, а справа — схема возник-
I-j новения сверхтонкой структуры
линии Da.
с- ' •* Тонкая структураD-линий воз-
возникает при переходе электрона с
верхнего уровня, раздвоенного вследствие наличия спина у электрона,
на нижний уровень. Сверхтонкая структура связана с раздвоением
нижнего уровня ввиду наличия спина / у ядра. По наблюдаемому на
опыте соотношению интенсивностей компонент сверхтонкой структуры
можно определить ,спин / ядра. Для атома Na он оказался равным 3lji.
Как известно из § 14.3, спин электрона был измерен в опытах
Штерна и Герлаха. Спин протона был определен на основании на-
наблюдения интенсивностей вращательных спектров молекулы Н„.
Ядра с полуцелым спином (в единицах. %) подчиняются принципу
Паули. Можно показать, что в этом случае во вращательных спект-
спектрах молекулы наибольшую интенсивность имеют линии, соответст-
соответствующие переходам между уровнями с нечетным значением вращатель-
вращательного квантового числа J. Соотношение интенсивностей во вращатель-
вращательных спектрах водорода показало, что ядро водорода \Н имеет полуце-
полуцелый спин. Из измерения отношения интенсивностей линий вращатель-
вращательных спектров было найдено, что спин ядра водорода \Н, т. е. спин
протона, равен %12 а.
2. Атомные ядра помимо спина обладают магнитными моментами*
Следовательно, магнитными моментами обладают все компоненты
атома (ядро и электроны).
1 Спины остальных электронов, попарно складываясь, дают нуль.
' Об измерении спииа нейтрона см. §.16.5.
— 360 —
Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, кото-
которыми определяется магнитный момент ядра в целом. По аналогии с
магнетоном Бора для измерения магнитных моментов ядер вводится
так называемый ядерный магнетон:
и -Л A6.1)
*** - 2тр'
выражение для которого аналогично магнетону Бора, но масса элект-
электрона тв заменена массой протона /пр. Ядерный магнетон в тр1тв?&
«1836,5 раза меньше магнетона Бора.
Ядерный магнетон ця=5,050824 B0)-10-** Дж/Тл.
Между спином / ядра, выраженным в единицах %, и магнитным
моментом Ртя, выраженным в ядерных магнетонах, существует соот-
соотношение, аналогичное A4.21) и A4.2Г) для электронных моментов:
P«,=gJ, A6-2)
гДе gK — ядерное гиромагнитное отношение.
3. Для измерения магнитных моментов ядер в настоящее время широко приме-
применяются методы магнитного резонанса, рассмотренные в § 14.10. Магнитный резонанс,
обусловленный магнитными моментами ядер, исследуется как методом молекулярных
пучков, так н методом поглощения радиочастотного излучения. Этот метод называют
ядерным парамагнитным резонансом или просто ядерным магнитным резонансом
(ЯМР). Однако в отличие от метода электронного парамагнитного резонанса в слу-
случае ядерного парамагнитного резонанса избирательное поглощение электромагнитного
излучения веществом обусловлено переходами его ядер между различны-
различными энергетическими подуровнями. Дело в том, что магнитный момент ядра во внеш-
внешнем постоянном и однородном поле претерпевает пространственное квантование.
В § 14.9 при рассмотрении эффекта Зеемана мы показали, что результатом действия
магнитного поля на атом и связанного с этим пространственного квантования явля-
является расщепление энергетических уровней электронов. Совершенно аналогично про-
пространственное квантование ядерных моментов во внешнем магнитном поле приводит
к расщеплению энергетических уровней ядра на ряд подуровней х. Действие пере-
переменного радиочастотного магнитного поля (с частотами, соответствующими частотам
переходов между соответствующими подуровнями) приводит к возможности изби-
избирательного поглощения радиочастотного излучения, т. е. к ядерному парамагнитному
резонансу. Исследование резонансных частот позволяет определить структуру
энергетических уровней различных ядер. Частоты ядерного парамагнитного резо-
резонанса прн одном н том же значении напряженности Н постоянного магнитного поля
по порядку величины в цв/Цл^Ю4 Раз меньше частот электронного парамагнитного
резонанса и лежат в-области 10*—10- с-1 для обычно применяемых" полей. С по-
помощью ЯМР определяют также химический состав вещества. Основано это на том,
что частоты ЯМР очень чувствительны к малейшим изменениям магнитного поля.
В частности, магнитное поле, создаваемое электронной оболочкой атома, сдвигает
частоту ЯМР. В зависимости от химической связи между атомами, определяемой свой»
ствами и строением их электронных оболочек, этот химический сдвиг при ядерном
резонансе оказывается различным, что позволяет установить тнп химического соеди-
соединения.
4. Методами магнитного резонанса в его различных модифика-
модификациях с большой точностью измерены магнитные моменты различных
ядер, а также нейтрона и протона.
Магнитный момент нейтрона был определен методом, представ-
представляющим собой видоизмененный вариант метода магнитного резонанса.
1 Доказательство того, что ядра атомов, как и их электроны, находятся в опре-
определенных энергетических состояниях, приведено в § 17.6,
— 361 —
На рис. 16.2 изображена схема опыта. Пучок нейтронов пропускается
через два намагниченных до насыщения ферромагнетика: А и А'.
Если нейтроны обладают магнитным моментом, то при прохож-
прохождении их через ферромагнетики А и А' помимо обычного рассеяния
нейтронов в веществе, вызванного главным образом взаимодействием
нейтронов с ядрами, должны наблюдаться электромагнитные взаи-
взаимодействия магнитных моментов нейтронов с ориентирован!ф1ми
магнитными моментами областей спонтанной намагниченности ферро-
ферромагнетика (см. т. II, §20.6). Как известно, параллельные магнитные
моменты отталкиваются, а антипараллельные — притягиваются. Это
приводит к дополнительному рассеянию нейтронов или к уменьшению
их рассеяния при прохождении сквозь ферро-
ферромагнетик. Таким образом, при пропускании
нейтронов через первый ферромагнетик Л пос-
последний ведет себя как своеобразный поляри-
поляризатор, пропускающий нейтроны с преиму-
преимущественной ориентацией магнитных момен-
моментов. Второй ферромагнетик А' ведет себя
как анализатор. Он пропустит различное
число нейтронов в зависимости от взаим-
взаимной ориентации векторов намагничения фер-
ферромагнетиков А и Л'. Опыты подтвердили
наличие такого эффекта. Тем самым было до-
доказано, что нейтрон обладает магнитным мо-
моментом. Знак магнитного момента нейтрона
был определен с помощью слабого постоян-
постоянного продольного магнитного поля В, соз-
созданного между ферромагнетиками Л и Л' соленоидом С. В этом
магнитном поле возникает прецессия магнитных моментов нейтронов,
направление которой зависит от знака магнитного момента. Резуль-
Результатом прецессии должно явиться изменение числа нейтронов, прохо-
проходящих через анализатор Л'. Опыт позволил установить, что нейтрон
имеет отрицательный магнитный момент. Для измерения магнитного
момента нейтрона кроме продольного поля В между ферромагнетиками
Л и Л' было приложено поперечное высокочастотное резонансное
поле Вх, вызывающее переориентацию магнитных Моментов нейтронов
и вследствие этого изменение числа нейтронов, прошедших через
второй ферромагнетик. Результаты не очень точных измерений пока-
показали, что магнитный момент нейтрона равен —1,91314E0)ця.
5. Магнитный момент протона впервые был измерен методом от-
отклонения молекулярного пучка в неоднородном магнитном поле.
В принципе этот метод не отличался от опыта Штерна и Герлаха (см.
§ 14.3). Опыты производились с водородом. При этом необходимо
было компенсировать магнитный момент электрона, превосходящий
почти в 2000 раз ядерный магнетон \1Я. Для компенсации электронного
магнитного момента опыты производились не с атомным пучком, а с
пучком молекул водорода Н». В нормальном состоянии молекулы Н2
спины обоих электронов направлены противоположно друг другу и
суммарный орбитальный момент электронов молекулы равен нулю.
— 362 —
Рис. 16.2
Однако и при исключении электронных магнитных моментов магнит-
магнитный момент молекулы Н2 может создаваться не только за счет маг-
магнитных моментов ядер протонов, но и за счет вращательных движений
молекулы. При температуре жидкого воздуха практически все моле-
молекулы водорода с антипараллельными спинами ядер (молекулы пара-
водорода) находятся на нижнем вращательном энергетическом уровне,
для которого вращательное квантовое число равно нулю. Поэтому
такие молекулы не могут внести вклад в магнитный момент, обуслов-
обусловленный вращением молекулы. Молекулы ортоводорода (с параллель-
параллельными спинами ядер, которых в обычном водороде 75%) и при темпе-
температуре жидкого воздуха обладают вращательным моментом импульса
и связанным с ним магнитным моментом. Таким образом, при изучении
отклонения очень слабо магнитных молекул ортоводорода в сильно
неоднородном магнитном поле с целью определения магнитных момен-
моментов ядер-протонов приходилось специально делать поправки на маг-
магнитный момент, связанный с вращением молекул. Очень точные из-
измерения привели к весьма неожиданному результату для магнитного
момента протона. Он оказался равным 2,7928456A1)ця вместо ожи-
ожидаемого значения, равного одному ядерному магнетону. Положитель-
Положительный знак магнитного момента протона означает, что направления маг-
магнитного момента протона и его спина совпадают. С классической
модельной точки зрения это означает, что магнитный момент протона
как бы связан с вращением положительного заряда. Для нейтрона
направления его спина и магнитного момента противополож-
н ы. Аномальное значение магнитного момента протона и знак магнит-
магнитного момента нейтрона обусловлены сложной структурой этих частиц
(см. § 19.8).
§ 16.3. Состав ядра
1. С момента установления ядерной модели атома вопрос
о составе атомного ядра являлся одним из центральных в ядерной
физике. Правильный ответ на него физика ядра смогла дать по мере
накопления сведений о различных свойствах ядер. Важнейшими из
них явились данные о заряде, массе и спине ядра. Как известно (см.
§ 13.1), заряд ядра определяется суммарным зарядом находящихся
в нем элементарных положительных зарядов. Поскольку элементар-
элементарным положительным зарядом обладают протоны, то наличие в ядре
протонов с самого начала развития ядерной физики не вызывало
сомнений. С другой стороны, масс-спектроскопические измерения,
позволяющие измерять массу с большой точностью, обнаружили два
существенных факта:
а) массы изотопов всех атомов (выраженные в единицах массы,
равных массе протона), кроме обычного водорода, превышают чис-
численно заряды их ядер, выраженные в элементарных зарядах. По
мере увеличения Z это различие становится все большим. Для эле-
элементов средней части периодической системы Менделеева изотопные
массы (в а. е. м.) примерно в два раза превышают заряды ядер. Для
тяжелых ядер это соотношение становится еще большим. Из этого
- 363 —
следует, что при всех условиях протоны не могут быть единственными
частицами, составляющими ядро;
б) практическая целочисленность (в атомных единицах массы)
масс ядер изотопов всех химических элементов указывала на две
возможности — либо в ядре находятся частицы примерно (или точно)
одинаковых масс, либо в составе ядра имеются различные по массе
частицы и в этом случае масса одних из них весьма мала по сравнению
с массой других, так что масса этих легких частиц не вносит сколько-
нибудь заметного вклада в изотопную массу Ч
2. Последняя возможность представлялась особенно заманчивой,
ибо позволила создать гипотезу о протонно-электронном строении
ядра. Согласно этой гипотезе, массовое число А должно представлять
собой число протонов в ядре. Но, кроме того, в ядро необходимо было
«поместить» такое число электронов, чтобы разность между массовым
числом и числом электронов давала заряд ядра. Эта гипотеза нахо-
находилась также в согласии со значением изотопных масс, поскольку
масса электронов в ядре существенно меньше, чем масса протонов,
и не влияет на общее значение массы_ядра. Однако гипотеза оказалась
в противоречии с Другими важнейшими свойствами ядер, прежде всего
со значениями их спинов и магнитных моментов. Если бы в состав
ядра входили электроны, то магнитные моменты ядер имели бы по-
порядок магнетона Бора \iB, в то время как изложенные в предыдущем
параграфе методы измерения магнитных моментов ядер привели к
значениям этих моментов порядка ядерного магнетона, т. е. примерно
в 1865 раз меньшим. Существенная трудность возникла также со зна-
значениями спинов ядер.
Рассмотрим, например, ядро |Ве. Согласно этой гипотезе, оно долж-
должно было бы состоять из девяти протонов и пяти электронов. Спины
этих 14 частиц, складываясь, должны были бы дать целочисленный
спин (в единицах %). Между тем спин ядра £Ве полуцелый и равен 3/Ji.
В ядре калия f°K должно было бы содержаться 40 протонов и 21 элект-
электрон и общий спин 61 частицы должен был бы быть полуцелым. Между
тем спин ядра **К равен 4Й. Таких примеров можно было бы привести
множество.
3. Принципиально несовместима гипотеза о протонно-электронном
строении ядра с соотношением неопределенностей Гейзенберга. Если
предположить, что электрон локализован в области ядра, имеющего
линейные размеры порядка A0~14—10~15) м, то из соотношения АрАхж
жА, принимая Ах=10~^м, можно вычислить неточность Др, с которой
может быть определен импульс электрона в ядре. Очевидно, что зна-
значение самого импульса р электрона должно быть не меньше, чем зна-
значение Др, т. е. р^Ардай/Дх. Определив таким образом минимальное
значение импульса электрона в ядре, можно по формуле1 В^г=
1 Третья возможность, заключающаяся в том, что в составе ядра имеется набор
различных сортов частиц (по массам) так, чтобы сумма их масс давала целое число
а е. м представлялась с самого начала маловероятной.
1 Так как для скорости электрона в ядре получается значение, близкое к с, нуж-
нужно пользоваться формулой теории относительности,
е- 364 —
найти наименьшую энергию электрона в ядре. Она оказыва-
оказывается близкой к 70 МэВ, что никак не согласуется с теоретическими
и экспериментальными данными об энергиях связи в ядре (см. § 16.4).
Кроме того, эти значения значительно превосходят энергии электро-
электронов, выбрасываемых ядрами при р-радиоактивном распаде (см. § 17.8).
Если же считать, что электроны в ядре имеют энергию, соответствую-
соответствующую энергии выбрасываемых ^-частиц (обычно порядка нескольких
МэВ), то для размеров области, где электроны должны быть локали-
локализованы, т. е. для размеров ядра, из соотношения неопределенностей
получаются несоразмерно большие значения, противоречащие опыт-
опытным данным. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 16.4. Таким образом,
гипотеза о протонно-электронном строении ядра не выдержала экс-
экспериментальной проверки и была отброшена.
4. В 1932 г. была открыта новая частица — нейтрон, обладающая
массой, близкой к массе протона и не имеющая электрического заряда
(см. § 18.1). Дальнейшие исследования показали (см. § 16.5), что
нейтрон имеет спин, равный %12. Почти вслед за открытием нейтрона
Д. Д. Иваненко сформулировал гипотезу о протонно-нейтронном
строении ядра, подробно развитую В. Гейзенбергом. Эта гипотеза,
очень быстро получившая всеобщее признание, явилась основой для
создания современной теории атомного ядра. Согласно современным
представлениям, массовое число А ядра представляет собой общее
число частиц — протонов и нейтронов, находящихся в ядре. Заря-
Зарядовое число Z определяет число протонов в ядре, а следовательно раз-
разность А—-Z=N дает число нейтронов, содержащихся в ядре данного
изотопа. Если проследить за распределением числа протонов Z и
нейтронов А—Z в ядрах различных элементов периодической системы
Менделеева, то можно заметить, что для ядер элементов вплоть до
середины менделеевской системы число нейтронов, входящих в ядро,
примерно равно числу протонов, так что (А—Z)/Z»l. По мере утяже-
утяжеления ядер, с ростом массового числа, количество нейтронов возра-
возрастает сравнительно с числом протонов в ядре. В конце периодической
системы Менделеева отношение (А—Z)lZza 1,6.
5. Представление о протонно-нейтронном составе ядра согласуется
с данными об изотопных массах ядер и дает правильные значения их
магнитных моментов. В самом деле, магнитные моменты протона и
нейтрона по порядку величины соответствуют ядерному магнетону,
так что ядра, построенные из таких частиц, должны иметь магнитные
моменты такого же порядка величины. Это соответствует опытным
фактам.
Применение соотношения неопределенностей к тяжелым (сравни-
(сравнительно с электронами) протонам и нейтронам дает вполне разумные
оценки для возможных значений энергии этих частиц в ядре. Эти
оценки согласуются со значениями энергий, приходящихся на одну
частицу в ядре (см. § 16.4).
6. Четность или нечетность числа протонов и числа нейтронов
в ядре определяет четность или нечетность общего числа А его частиц.
В отношении четности возможные типы ядер удобно расположить в
следующую таблицу:
— 365 —
Таблица 16.1
Четность числа Четность числа
Название ядер протонов (Z) нейтронов (N) Четность А
Четно-четные
Четно-нечетные
Нечетно-четные 1
Нечетно-нечетные
Четное
Нечетное
»
Четное
Нечетное
Четное
Нечетное
Четное
Нечетное
»
Четное
Величина спина ядра — целочисленность его или полуцелое зна-
значение (в единицах %) — существенна для описания атомных ядер
одной из двух квантовых статистик (Ферми — Дирака или Бозе — Эйн-
Эйнштейна-см. т. I, § 11.5). Свободные протоны и нейтроны, обладающие
спином л/2, подчиняются статистике Ферми — Дирака. Что касается
ядер, то в случае четного числа частиц в ядре оно имеет целочисленный
спин (в единицах А) и подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна.
Если же ядро имеет нечетное число нуклонов и обладает полуцелым
гпином (в единицах %), то оно описывается статистикой Ферми — Ди-
Дирака.
7. Элементарные частицы — протоны и нейтроны, входящие в
состав ядра, получили общее название нуклонов. Считается, что
ядерная частица — нуклон может находиться в двух «зарядовых со-
состояниях»: протонном с зарядом +е и нейтронном с зарядом 0. Массы
покоя этих Двух состояний нуклона также несколько различны, что
имеет большое значение (см. § 17.8) для понимания процессов, про-
происходящих при радиоактивном р*-распаде ядер.
По современным данным, массы покоя протона тр и нейтрона. тп
соответственно равны:
тр= 1,6726485(86)-Ю-27 кг = 1,007276470A1) а. е. м;
т„= 1,6749543(86)-107 кг =1,008665012C7) а.е.м.
Нуклоны ядер находятся в состояниях, существенно отличающихся
от их свободных состояний. Это связано с тем, что во всех ядрах,
"кроме ядра обычного водорода, имеется по крайней мере не менее
двух нуклонов, между которыми осуществляется особое ядерное
взаимодействие.
§16.4. Энергия связи ядра. Дефект массы
1. Наличие между нуклонами особого ядерного взаимо-
взаимодействия, имеющего характер сил притяжения, вытекает из того, что
ядра, содержащие положительно заряженные протоны и нейтроны,
лишенные заряда, представляют собой устойчивые образо-
образования *.
Устойчивость атомных ядер означает, что между нуклонами в
ядрах существует определенная связь. Изучение этой связи может.
1 Условия, при которых атомные ядра испытывают превращения и не являются
устойчивыми, рассмотрены в гл. XVII, XVIII.
— 366 —
быть проведено в известных пределах энергетическими методами без
привлечения сведений о характере и свойствах ядерных сил. Такой
подход, основанный на законе сохранения энергии, позволяет сделать
ряд важных выводов о специфике связей, удерживающих нуклоны в
ядре друг возле друга. Введем понятие об энергии связи отдельного
нуклона в ядре. Энергией связи нуклона в ядре называется физическая
величина, равная той работе, которую нужно совершить для уда-
удаления данного нуклона из ядра без .сообщения ему кинетической
энергии. Полная энергия связи ядра соответственно определяется
той работой, которую нужно совершить для расщепления ядра на
составляющие его нуклоны без придания им кинетической энергии.
Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра из
составляющих его нуклонов должна выделяться та же энергия, ко-
которую необходимо затратить при расщеплении ядра на составляющие
его частицы. Очевидно, что энергией связи атомного ядра можно
назвать разность между суммарной энергией свободных нуклонов,
составляющих данное ядро, и их энергией в ядре.
2. Оценим энергию связи атомных ядер. Большую помощь здесь
оказывают весьма точные масс-спектроскопические измерения масс
ядер. Они показывают, что масса ядра меньше, чем сумма масс состав-
составляющих его нуклонов. Уменьшение суммарной массы нуклонов при ,
образовании из них ядра можно объяснить выделением энергии связи
при образовании ядра. В самом деле, в § 9.6 было показано, что между
энергией W и массой т имеется соотношение (9.35), вытекающее из
теории относительности: W=mc2, где с — скорость света в вакууме.
Если обозначить через AWCB энергию, выделяющуюся при образо-
образовании ядра, то соответствующая ей масса
Дт=Д№св/с2 A6.3)
характеризует уменьшение суммарной массы при образовании ядра
из составных частиц.
Если ядро с массой М образовано из Z протонов с массой тр и
из Л — Z нейтронов с массой тп, то
Am = Zmp + (A — Z)mB—M. {16.4)
Величина Am служит мерой энергии связи. В самом деле, из A6.3)
и A6.4) следует, что
AWCB = Amc2 = [Zmp + (A—Z) mn—M]c\ A6.5)
3. В ядерной физике для вычисления энергий применяется специ-
специальная единица — атомная единица энергии (а. е. э.), соответствую-
соответствующая одной атомной единице массы:
1 а. е.э. = с2-1 а. е. м. =931,5016 МэВ,
так как 1 МэВ=10в эВ = 1,602-10~13 Дж.
Таким образом, для получения энергии связи AWCB ядра в МэВ
необходимо разность суммарной массы частиц в ядре и массы ядра [по
формуле A6.4) в а. е. м.] умножить на 931,5016.
— 367 —
При практическом вычислении энергии связи ядра часто бывает
удобнее пользоваться формулой A6.4) в другом виде. Вместо массы М
ядра берут атомную массу Мл, выраженную в а. е. м., тогда вместо
массы протона тр следует брать массу водородного атома тн, выра-
выраженную в тех же единицах:
&m = ZmH + (A — Z)mn—Мл. A6.4')
Легко сообразить, что в A6.4') Z электронных масс, содержащихся
в Ма, взаимно сокращаются с тем же числом Z масс электронов, вхо-
входящих в член ZmK. Энергии связи в ядрах весьма велики (в среднем
~8 МэВ на один нуклон в ядре).
4. В практических расчетах часто применяется наряду с энергией
связи величина так называемого дефекта массы — разность между
изотопной массой Ма, выраженной в а. е. м., и массовым числом1 А:
Ьх = Ма~А, A6.6)
где X — символ элемента.
Для большинства ядер дефект массы оказывается отрицательным.
При- вычислении дефектов масс большое .значение имеет точность,
с которой измеряются изотопные массы. Для тяжелых ядер ошибки
в определении дефектов масс, даже при точных масс-спектроскопи-
ческих измерениях, оказываются изменяющимися в слишком широких
пределах 3. Поэтому обычно применяется коэффициент упаковки Р,
представляющий собой дефект массы, отнесённый к одному нуклону:
Р=^3^~У1 = ^1. A6.7)
A J\ Pi
Ошибка при вычислении коэффициента упаковки оказывается ве-
величиной одного порядка как для тяжелых, так и для легких ядер.
5. Используя понятие дефекта массы, можно в ином виде записать
формулу A6.5) для энергии связи ядра. Ввиду того что тн=Ан+1,
mn=An-fl и /Иа=ДхЦ-Л, после подстановки этих выражений в
A6.4') имеем
Умножив полученное выражение на 931,5016, найдем энергию
связи ядра в МэВ. Энергия связи A WCB ядра зависит главным образом
от общего числа частиц в ядре и в меньшей степени — от соотношения
в ядре числа протонов и нейтронов. Эти выводы соответствуют экспе-
экспериментальным данным, показывающим, что в первом приближении
энергия связи линейно возрастает с увеличением массового числа.
Физически это означает, что, грубо говоря, каждый нуклон, введенный
в ядро, приводит к выделению из ядра приблизительно одинаковой
энергии. Если вместо Ах ввести коэффициент упаковки, то, подставив
точные значения Дн и Ап для удельной энергии связи в ядре AW/A
1 Иногда дефект массы определяется как разность массы ядра (в а. е.м.) и массо-
массового числа. Однако это практически менее удобно.
7 Это обстоятельство существенно также и при оценке энергий связи в тяжелых
ядрах.
— 368 —
равной средней энергии связи, приходящейся на один нуклон, можно
записать расчетную формулу
^!) A6.8)
где С% и Са — известные численные константы, определенные с вы-
высокой точностью.
" Для применения этой формулы должны быть известны коэффици-
коэффициенты упаковки соответствующих ядер. Их значения вычислены для
всех ядер. На рис. 16.3 приведена кривая, выражающая зависимость
коэффициента упаковки от массовых чисел ядер. Наибольшие зна-
значения Р имеет для нейтрона и протона, совпадая с соответствующими
6
6
А
£
С
■2
I
1
\
V
\
\
мм
-
мм
мм
ssm
штт
ess
га ю 60 во toojzo т м т zoo т-л
МассоОое числа
Рис, 16.3
значениями дефектов масс этих частиц. С ростом А коэффициент-упа-
коэффициент-упаковки Р вначале быстро убывает и принимает отрицательные значе-
значения. Для ядер средней части периодической системы Менделеева коэф-
коэффициент упаковки приблизительно постоянен и близок к —10~3.
6. По формуле A6.8) можно вычислить удельную энергию связи
в ядре и проанализировать ее зависимость от числа нуклонов А в
различных ядрах. На рис. 16.4 приведена кривая зависимости удель-
удельной энергии связи от массового числа А. Кривая указывает на раз-
различие величины AwCB у разных ядер, т. е. на различие прочности
связей нуклонов в ядрах в зависимости от массового числа. Наиболее
прочно связанными являются нуклоны в ядрах средней части
периодической системы Менделеева, приблизительно при 28<Л<138,
т. е. от \\S\ до 1ЦВа. В этих ядрах удельная энергия связи близка к
8,7 МэВ. По мере дальнейшего увеличения числа нуклонов в ядре
удельная энергия связи убывает. Для ядер, расположенных в конце
периодической системы (например, для урана), Ддосвда7,6 МэВ.
Этот факт, как видно в § 18.8, объясняет выделение энергии при де-
делении' тяжелых ядер. Кривая Дшсв на рис. 16.4 показывает, что в
области небольших массовых чисел удельная энергия связи обнаружи-
обнаруживает характерные острые «пики» — максимумы и минимумы. Мини-
Минимумы для энергии связи на один нуклон наблюдаются р этой области
- 369 --
у ядер с нечетными числами протонов и нейтронов — |Lf, "В и **N.
Максимумы удельной энергии связи соответствуют ядрам с четными
числами протонов и нейтронов (например, |Не, ЧС, ^О). Наиболь-
Наибольшими значениями удельной энергии связи обладают четно-четные
ядра (см. табл. 16.1). Наименьшей энергией связи на один нуклон
обладают нечетно-нечетные ядра. Промежуточными значениями удель-
удельной энергии связи обладают четно-нечетные и нечетно-четные ядра.
Это обстоятельство имеет существенное значение для понимания
so
100 150
Массовое число
Рис. 16.4
Z00
различия в условиях деления тяжелых ядер изотопов урана 2Ш и
»;U (см. § 18.9).
7. Оценка средней энергии связи, приходящейся на одну ядерную
частицу и составляющей для средней части периодической системы
8,7 МэВ, является еще одним доказательством отсутствия в ядре
легких частиц.
Для частиц, находящихся" в ядре, «запертых» в области ядра,
последнее можно рассматривать как потенциальный «ящик» (см.
§ 12.7). Размеры этого «ящика» должны быть такими, чтобы на его
протяжении укладывалась хотя бы одна стоячая волна де Бройля.
Другими словами, размеры ядра должны быть соизмеримы с длиной
де бройлевской волны частицы, находящейся в ядре. Подсчитаем
дебройлевскую длину волны нейтрона или протона в ядре, принимая,
что их энергия W^a8 МэВ, т. е. имеет порядок величины средней удель-
— 370 —
ной энергии связи. По формуле A2.2') имеем
если в качестве т взять массу протона или нейтрона. Эта длина волны
оказывается соизмеримой с линейными размерами ядра.
Для электрона энергия в 8 МэВ является релятивистской и в основной формуле
де Бройля A2.1) X=hlp необходимо пользоваться релятивистской связью между
энергией и импульсом, выражаемой формулой (9.36). Из нее следует, что
Выражая в этих формулах полную энергию W через кинетическую №к и энергию
покоя (см §9.6) W=WK-\-m0c2, получим
Для тех случаев, когда И?к^>2/п0с2, а это как раз соответствовало бы пребыванию
электрона с энергией №«8 МэВ в ядре1, формула упрощается:
ргсг и WJL или ср я WK, те. р « WK/c.
Таким образом, длина волны де Бройля для релятивистской частицы
При WK«8 МэВ получаем Я,/2яж2,5-10~14 м. Эта длина волны
электрона слишком велика и не соответствует размерам ядра. Заме-
Заметим, что если бы в формуле A6.9) к/2л была сравнима с размерами
ядра: У2я«5- Ю-18 м (для средней части периодической системы Мен-
Менделеева), то для энергии электрона в ядре получилась бы непомерно
большая величина ^к»39,3 МэВ. Приведенные рассуждения нахо-
находятся в полном соответствии с доказательством отсутствия электронов
в ядре, вытекающим из соотношения неопределенностей Гейзенберга
(см. § 16.3).
§ 16.5. Ядерные силы
1. Прочная связь, существующая между нуклонами в
ядре, свидетельствует о наличии в атомных ядрах особых, так назы-
называемых ядерных сил. Легко убедиться в том, что эти силы не сводятся
ни к одному из типов сил, рассмотренных в предыдущих частях курса
физики. В самом деле, если предположить, например, что между
нуклонами в ядрах действуют гравитационные силы, то легко под-
подсчитать по известным массам протона и нейтрона, что энергия связи
на одну частицу окажется ничтожной — она будет в 10зв раз меньше
той, которая наблюдается экспериментально. Отпадает также и пред-
предположение об электрическом характере ядерных сил. Действительно,
в этом случае невозможно представить себе устойчивого ядра, состоя-
состоящего из одного заряженного протона и не имеющего заряда нейтрона.
Между тем такое ядро существует у тяжелого водорода — дейтерия
1 Для электрона 2 т0с2= 1,02 МэВ.
- 371 —
ID. Это ядро — дейтрон (или дейтерон) — устойчивая система, со-
состоящая из протона и нейтрона, с энергией связи около 2,2 МэВ.
Наконец, ядерные силы не могут быть и магнитного происхожде-
происхождения, несмотря на то что и протон и нейтрон имеют магнитные моменты.
Можно подсчитать, что энергия взаимодействия магнитных моментов
протона и нейтрона составляет всего около 105 эВ, что не идет ни в
какое сравнение с действительной энергией связи в дейтроне.
2. Теоретические расчеты и опыты по рассеянию протонов на про-
протонах показывают, что ядерные силы притяжения действуют лишь
на весьма малых расстояниях между нуклонами в ядре (~2,2* 10~15м).
Это дало основание называть ядерные силы короткодействующими.
Расстояние 2,2-10~15м называется радиусом действия ядерных
сил.
Особое значение для свойств ядерных сил имеет обнаруженная
в них зарядовая независимость: ядерные силы притяжения, действую-
действующие между двумя нуклонами, одинаковы независимо от того,
в каком зарядовом состоянии, протонном или нуклонном, находятся
взаимодействующие частицы. Этот вывод был сделан на основании
тщательного изучения рассеяния протонов на дейтронах и рассеяния
нейтронов на протонах. Мы не можем входить в детальное обсуждение
вопросов, связанных с исследованием этих типов рассеяния. Однако
отметим, что при изучении рассеяния нейтронов на протонах был решен
весьма важный вопрос о спине нейтрона. Мы уже много раз использо-
использовали тот факт, что спин нейтрона равен А/2, а между тем непосред-
непосредственное его измерение, подобное опытам Штерна — Герлаха (как
при измерении спина электрона), или измерение по наблюдению ин-
тенсивностей вращательных спектров (как при измерении спина про-
протона), невозможно. Определение спина нейтрона основано на изме-
измерении спина дейтрона fD — ядра тяжелого водорода. Спин дейтрона
в основном состоянии (т. е. в состоянии, когда орбитальные моменты
импульса протона и нейтрона отсутствуют) оказался равным %. По-
Поскольку спин протона равен %12, то спин нейтрона может быть равен
либо А/2, либо Зя/2. Последнее предположение привело к несоответст-
несоответствию теоретически рассчитанных и экспериментально наблюдаемых
эффективных поперечных сечений рассеяния нейтронов на протонах
и было отброшено, так что спин нейтрона равен %12.
3. Ограничимся сравнительно грубым доказательством зарядовой
независимости ядерных сил, основанным на измерениях энергии
связи в легких ядрах — дейтерии \D, тритии ?Н (иногда его обозна-
обозначают ?Т) и двух изотопах гелия: !Не и аНе Заметим, что в ядре трития
находится один протон и два нейтрона, а в ядре |Не, наоборот,— два
протона и один нейтрон. Такие ядра называются зеркальными. Энер-
Энергии связей перечисленных ядер, определенные с большой точностью,
равны соответственно у JD 2,226 МэВ, ?Т — 8,49 МэВ, ?Не — 7,72 МэВ,
*He — 28,3 МэВ. При пересчете на удельную энергию связи это со-
составит соответственно 1,113; 2,830; 2,573; 7,070 МэВ. Если предпо-
предположить, что имеется зарядовая независимость ядерных сил, то следует
считать, что различие в энергиях связей зеркальных ядер, составля-
составляющее 0,77 МэВ, связано с кулоновской энергией отталкивания двух
— 372 —
gt
протонов в ядре *Не. Полагая эту величину равной ^ , на-
находим, что среднее расстояние г между двумя протонами в ядре 'Не
составит 1,9-10~15 м. Это находится в хорошем согласии с величиной
«радиуса действия» ядерных сил — расстояния порядка 2-10~15м.
Если предположить, что взаимодействие между любыми парами нук-
нуклонов в ядре одинаково независимо от того, между какими нуклонами
оно происходит, то можно сделать еще одно заключение, соответству-
соответствующее опытным данным. В ядрах с малым числом нуклонов энергию
связи можно рассчитывать исходя из предположения, что в них про-
происходят парные взаимодействия частиц друг с другом
(двухчастичное взаимодействие). Тогда энергия связи должна быть
пропорциональна числу возможных взаимодействующих пар, т. е.
числу возможных связей-между парами частиц. Легко сообразить,
что в ядрах дейтерия, трития и гелия эти числа связей составляют
1, 3 и 6 соответственно. Приблизительно в таком же отношении 1:3:6
находятся удельные энергии связей в этих ядрахг
4. Большая величина ядерных сил притяжения между нуклонами
в ядре находится, на первый взгляд, в противоречии с тем, что у ядра
дейтерия удельная энергия связи — 1,113 МэВ — значительно мень-
меньше, чем у ядер более тяжелых, находящихся в средней части периоди-
периодической системы Менделеева, »8,7 МэВ. В действительности это свя-
связано с особым характером состояния нуклонов в дейтроне. Оказы-
Оказывается, что значительную долю времени нейтрон и протон пребывают
в дейтроне на расстояниях друг от друга «3-10~15 м, превышающих
радиус действия сил притяжения между ними. Дело в том, что если
бы они находились в пределах радиуса действия ядерных сил, то
длина дебройлевской волны каждого из нуклонов, имеющая порядок
величины радиуса ядра, соответствовала бы столь большим значениям
импульса и кинетической энергии частиц, что невозможно было бы
образование устойчивого ядра дейтерия. Поэтому устойчивым состо-
состоянием дейтрона оказывается состояние с малой энергией связи, но
с относительно большим расстоянием между частицами. В ядре гелия
|Не потенциальная энергия по сравнению с дейтроном увеличивается
в шесть раз, а кинетическая энергия — только в два раза, поскольку
вдвое увеличивается число нуклонов. Поэтому суммарное взаимодей-
взаимодействие всех нуклонов — ядерное и кулоновское — оказывается способ-
способным удержать все нуклоны в ядре гелия на расстояниях в пределах
радиуса действия ядерных сил.
Потенциальная энергия ядерного притяжения на расстояниях
порядка радиуса действия ядерных сил с избытком достаточна для
создания устойчивого ядра гелия, а-частицы, даже с учетом кинети-
кинетической энергии сблизившихся нуклонов и кулоновского отталкивания
протонов. Поэтому в ядре гелия наблюдается значительно большая
по сравнению с дейтроном энергия связи. Это различие в энергиях
связи ядер гелия и водорода имеет огромное практическое значение
для термоядерных реакций (см. § 18.11).
5. Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих
между собой нуклонов. С наибольшей ясностью это вытекает из опытов
— 373 ,-
по рассеянию нейтронов молекулами орто- и параводорода. В моле-
молекуле ортоводорода спины обоих протонов параллельны друг другу,
а в молекуле параводорода они антипараллельны. При рассеянии
нейтронов молекулой параводорода спин нейтрона может быть парал-
параллелен одному из противоположно направленных спинов протонов в
молекуле. При рассеянии же молекулой ортоводорода спин нейтрона
может оказаться либо параллельным спинам обоих првтонов, либо
антипараллельным им. Если бы взаимодействие нейтрона с протоном
не зависело от взаимной ориентации их спинов, то рассеяние ней-
нейтронов на молекулах орто- и параводорода происходило бы одина-
одинаково. В действительности опыты показали, что рассеяние нейтронов
на параводороде примерно в 30 раз превышает рассеяние на ортово-
дороде. Это доказывает зависимость ядерных сил от ориентации спинов
взаимодействующих нуклонов. Зависимость ядерных сил от спинов
нуклонов проявляется также в том, что ядра различной четности
обладают различной устойчивостью (см. § 16.7).
6. Для ядерных сил характерна насыщенность, проявляющаяся
в том, что каждый нуклон в ядре взаимодействует лишь с ограничен-
ограниченным числом ближайших к нему соседей-нуклонов. Это свойство ядер-
ядерных сил вытекает из зависимости энергий связи в ядрах от массового
числа А. Если бы каждый нуклон взаимодействовал одновременно
со всеми А—1 нуклонами, заключенными в ядре, то энергия связи
ядра была бы пропорциональна возможному числу взаимодействующих
пар х, т. е. числу сочетаний из А по два: А (Л—1)/2. Этой же величине
было бы пропорционально число связей в ядре, и энергия связи в
ядре была бы квадратичной функцией от массового числа. Однако
все данные об энергиях связи и дефектах масс в ядрах говорят в пользу
почти линейной их зависимости от числа нуклонов в ядре. Насыщен-
Насыщенность ядерных сил обнаруживает известное сходство этих сил с хими-
химическими силами, обладающими характерной для них особенностью —
каждый атом в зависимости от своей валентности способен вступать в
связь с ограниченным числом других атомов.
Практически полное насыщение ядерных сил достигается у а-ча-
стицы, представляющей собой устойчивое образование из двух про-
протонов и двух нейтронов. Насыщенность ядерных сил может быть увя-
увязана с короткодействующим характером этих сил, если предположить,
что за пределами радиуса действия ядерных сил притяжения между
нуклонами действуют силы отталкивания, препятствующие тому,
чтобы в область действия сил притяжения попало слишком много
нуклонов.
7. Наконец, необходимо отметить, что ядерные силы не являются
центральными силами, т. е. такими, которые можно представить дей-
действующими по линии, соединяющей центры взаимодействующих
нуклонов. Нецентральный характер ядерных сил вытекает, в част-
частности, из зависимости этих сил от ориентации спинов взаимодейст-
взаимодействующих нуклонов.
1 В предположении, что в ядрах осуществляется парное взаимодействие между
любыми двумя нуклонами.
- 374 —
8. Короткодействие ядерных сил удалось объяснить на основе
предположения об обменном характере этих сил. Идея о том, что взаи-
взаимодействие между двумя частицами может осуществлятьсй благодаря
обмену третьей частицей, была впервые высказана И. Е. Таммом
и Д. Д. Иваненко A934).
Для понимания этой идеи необходимо обратить внимание на то,
что в квантовой механике не только важнейшие характеристики мик-
микрочастиц, например энергия и импульс, оказываются при определен-
определенных условиях квантованными, но и поле, обусловливающее те или
иные взаимодействия, должно быть также квантовано. Квантованность
электромагнитного поля, ответственного за электромагнитные взаимо-
взаимодействия, характеризуется наличием квантов этого поля — фотонов,
которые рассматриваются как частицы. С квантовой точки зрения
создание поля некоторым электрическим зарядом означает испускание
им квантов поля — фотонов. Взаимодействие между данным зарядом
и некоторым другим означает, что фотоны, испущенные первым за-
зарядом, поглощаются вторым Иными словами, взаимодействие заря-
заряженных частиц осуществляется 'путем обмена фотонами.
Однако в это истолкование электромагнитного взаимодействия необходимо внести
уточнение. Легко сообразить, что если источником электрического поля является
неподвижный заряд, то ему неоткуда почерпнуть энергию, необходимую
для рождения фотона. Равным образом поглощение фотона свободным зарядом приво-
приводит к нарушению законов сохранения (см. § 11.4). Следовательно, в действительности
такой процесс обмена фотонами происходить не может. Подобные процессы называ-
называются виртуальными (воображаемыми) процессами. Виртуальные процессы (переходы)
являются в квантовой теории способом описания взаимодействий. Фотоны, которые
излучаются и поглощаются в виртуальных процессах, называются виртуальными.
Для того чтобы понять, какой физический смысл имеет описание электромагнитных
взаимодействий с помощью виртуальных фотонов, обратимся к соотношению нео-
неопределенностей A2.15)
AW
Оно истолковывается в виртуальных процессах как возможность отклонения от за-
закона сохранения энергии на величину AW в течение времени At~n/AW. Заряд как
бы занимает энергию на некоторое время для испускания фотона при условии ее бы-
быстрой отдачи за счет поглощения фотона другим зарядом.
Виртуальные процессы обмена фотонами с заимствованием н возвратом энергии
происходят за очень малое время-. Подчеркнем еще раз, что речь здесь идет о спосо-
способе описания реальных электромагнитных взаимодействий с помощью обмена
виртуальными фотонами.
9. Ядерные частицы — нуклоны — являются источниками особого
ядерного поля, характеризующего ядерные силы. Ядерное поле следует
определить как особую форму материи, обусловливающую ядерные
взаимодействия нуклонов. Как показал И. Е. Тамм, квантами ядер-
ядерного поля не могут быть легкие частицы — электроны. Расчеты, ко-
которые мы не приводим, показывают, что обмен электронами не может
объяснить одновременно малый радиус ядерных сил и большую энер-
энергию связи в ядрах. В современном варианте обменной теории ядер-
ядерных сил, впервые предложенной X. Юкавой A935), предполагается,
что взаимодействие между нуклонами в ядре осуществляется путем
обмена особыми частицами — я-мезонами (см. § 19.4). В названии этих
частиц подчеркивается, что масса их должна быть промежуточной
— 375 —
между массами электрона-и протона («мезо» — средний, промежуточ-
промежуточный).
Если предположить, что между нуклонами в ядре происходит об-
обмен виртуальными я-мезоиами, можно объяснить короткодействующий
характер ядерных сил. я-Мезон обладает не равной нулю массой покоя
тя (см. § 19.4). Время At, в течение которого может происходить об-
обмен нуклонов я-мезонами \ не должно превышать величины, опреде-
определяемой соотношением неопределенностей Гейзенберга At~^-^. Ве-
Величина AW неопределенности в значении энергии нуклона, очевид-
очевидно, должна быть связана с зарождением вблизи нуклона в области
радиуса действия ядерных сил новой частицы, обладающей энергией
покоя Wn=mnc2. Таким образом, AW> Wn. Считая, что AW=Wn,
имеем At да п1{т„сг). Если считать, что я-мезон удаляется от нуклона
со скоростью vn, близкой к скорости с света в вакууме, то он пройдет
за время At расстояние
Rn = v,At^c~^ — .
Таким образом, Кп равно комптоновской длине волны я-мезона
(см. § 11.4). Предполагая, что за время А^я-мезон проходит расстояние
RX=R, равное примерно радиусу действия ядерных сил (Rzz 1,5 • 10- Ч м),
можно подсчитать массу я-мезона: tnn—fi/iRnC). Расчет показывает,
что Шл та 250 те, где те — масса покоя электрона. Это находится в
согласии с измеренными массами я-мезонов (см. § 19.4).'
Заметим, что с этой точки зрения электромагнитное поле, в кото-
котором взаимодействие осуществляется с помощью обмена виртуальными
фотонами, имеет бесконечно большой радиус действия. В самом деле,
масса покоя фотона т0ф=0, поэтому расстояние, на которое может
распространяться фотон (если он не поглощен), равно по предыдущей
формуле бесконечности:
Описав важнейшие свойства ядерных сил, укажем в заключение,
что в современной ядерной физике продолжается изучение их природы.
§ 16.6. Размеры ядер
1. Из опытов Резерфорда по рассеянию а-частиц веще-
веществом были получены первые данные о размерах той области простран-
пространства, которую занимает ядро. Точнее, было установлено, что на рас-
расстояния, меньшие некоторой величины при данной энергии а-частицы,
эта частица не может приблизиться к ядру вследствие действия на нее
кулоновских сил отталкивания со стороны положительно заряженного
ядра. Однако теперь мы знаем, что в ядре действуют два типа сил —
1 Промежуток времени от испускания я-мезона одним нуклоном до поглощения
его другим.
— 376-—
ядерные силы притяжения между нуклонами и кулоновские силб1 от-
отталкивания между протонами. При этом кулоновские силы действуют
на значительно ббльших расстояниях между протонами, чем радиус
действия ядерных сил. Устойчивость ядер означает, что ядерные силы
притяжений превышают кулоновские силы отталкивания и в итоге их
совместного действия ядро занимает некоторую область пространства,
которую следует считать размерами ядра.
2. Размеры ядра можно определить как область пространства
в атоме, вне которой не действуют специфические ядерные силы притя-
притяжения между нуклонами. При определе- ff
нии размеров ядра нужно учесть, что
ядро является системой частиц, подчиняю-
подчиняющихся квантовой механике и, следователь-
следовательно, соотношению неопределенностей Гей-
зенберга. Вследствие этого размеры области,
в которой находятся ядерные частицы, мо-
могут быть заданы лишь с точностью, допус-
допускаемой этим соотношением. Другими сло-
словами, границы области, называемой разме-
размерами ядра, по необходимости «размыты» *.
3. Имеется ряд методов, позволяющих
оценить размеры ядра. Все они при
некотором различии численных коэффи-
коэффициентов дают один порядок величины для
линейных размеров области пространства,
занимаемого ядром.
Размеры ядра могут быть оценены из
данных по рассеянию ядрами быстрых
нейтронов. На рис. 16.5 приведена найденная этим методом зависи-
зависимость радиусов ядер R от А1^, где А — массовое число. Наиболее
тяжелые ядра, например Pb, U, имеют «поперечные» сечения около
3-Ю8 м2, а их радиусы приближаются по порядку величины к
10~14 м. Все методы оценки размеров ядер дали значения радиусов
ядер, хорошо описываемые эмпирической формулой
R^rA1'; A6Л0>
где Го=A,4-М,5)-1О-15 м.
5. Пользуясь формулой A6.10), можно подсчитать среднюю плот-
плотность р ядерного вещества. Предполагая, что ядро имеет форму сферы
с радиусом R, имеем
A6.11)
-
С1
о/н
. Вё/С
. А
Си*
У
к
У
/sn
у/
/рь
1
г з ф 5
Рис. 16.5
л»
Здесь Мя — масса ядра. Если принять массу ядра Мл=тпА, где тп —
1 Это в полной мере относится также и к оценке области пространства, занимае-
занимаемой электронами в атоме, т, е, к определению размеров атома в целом,
— 877 —
масса нейтрона, то
I К
р '
'4-11A,5 Ю-15K
кг/м3.
Результат показывает, что плотность ядерного вещества колоссаль-
колоссальна — она не идет ни в какое сравнение с плотностями обычных веществ,
состоящих из атомов химических элементов и их соединений.
§ 16.7. Модели ядра
1. Отсутствие точных знаний о характере ядерных сил
притяжения между нуклонами заставило идти в теоретических иссле-
исследованиях по пути отыскания таких моделей ядра, которые, правильно
отражая важнейшие его свойства, допускали бы возможность ко-
количественного расчета характеризующих ядро величин. Первой мо-
моделью ядра была капельная модель, предложенная Я. И. Френкелем
A936) и развитая Бором и др. В основе капельной модели ядра лежит
аналогия между свойствами ядра и каплей жидкости. Так, подобно
короткодействующим ядерным силам, силы взаимодействия молекул
жидкости имеют малый радиус действия. Ядерные силы, как и силы,
действующие между молекулами жидкости, обладают свойствами
насыщения. Далее, для капли жидкости характерна постоянная плот-
плотность ее вещества (при заданных внешних условиях — температуре и
давлении), не зависящая от числа частиц, входящих в каплю. Как из-
известно, ядро имеет приблизительно постоянную удельную энергию
связи и постоянную плотность, не зависящую от числа нуклонов в ядре.
Наконец, аналогия между ядром и жидкой каплей проявляется в том,
что в обоих случаях наблюдается определенная подвижность состав-
составляющих каплю молекул и входящих в ядро нуклонов. Последнее
свойство нуклонов проявляется в наличии у них орбитальных момен-
моментов импульса. Нужно, однако, сразу же заметить, что ядро-каплю
следует считать заряженнойи подчиняющейся законам кванто-
квантовой механики. Этим ядро существенно отличается от капли жидкости.
При разработке капельной модели ядра большое значение имели
закономерности в распространенности изотопов в зависимости от
четности массового числа, а также постепенное возрастание в перио-
периодической системе Менделеева отношения (А — Z)fZ от единицы до
1,6 к концу системы (см. § 16.3). Из этих закономерностей следует, что
наибольшая устойчивость должна наблюдаться у таких ядер, которые
характеризуются одинаковой «концентрацией» нейтронов и протонов.
Возрастание с увеличением А отношения (А — Z)IZ означает рост
концентрации нейтронов в «ядерной жидкости». За счет увеличения
кулоновской энергии отталкивания протонов, возрастающей пропор-
пропорционально Z2, убывает концентрация протонов и соответственно
растет концентрация нейтронов в ядре-капле.
2. Капельная модель ядра позволила установить полуэмпнрическую формулу
для энергии связи в ядре. Полная энергия ядра должна включать в себя, во-первых,
— 378 —
энергию, связанную с массой входящих в ядро свободных нуклонов, равную
W1 = c*[Zmp+(A-Z)mtt].
Далее, необходимо учесть выделение энергии W2 при образовании ядра. Выше
показано, что для большинства ядер на один нуклон приходится энергия, близкая к
8 МэВ. Во всяком случае, можио считать, что энергия W2, выделяемая при образо-
образовании ядра, пропорциональна массовому числу А : №2=— а^А, где а1— параметр,
который должен быть вычислен эмпирическим путем. Знак мииус означает, что при
образовании ядра выделяется энергия. В последнем выражении не учитывается тот
факт, что энергни отдельных нуклонов можно считать одинаковыми лишь в среднем.
В частности, энергия нуклона, находящегося внутри ядра и испытывающего вза-
взаимодействие со стороны ближайших соседей, окружающих его со всех сторон, от-
отличается от энергии нуклонов, находящихся на «поверхности» ядра. Здесь имеется
полная аналогия с энергией молекул в капле жидкости. Как известно (см. т. I, § 14.4),
молекулы жидкости, расположенные на ее поверхности (в частности, на поверхности
капли), испытывают одностороннее притяжение со стороны молекул, находящихся
внутри жидкости. По аналогии, нуклоны, расположенные на поверхности ядра-
капли, вносят меньший вклад в энергию ядра, чем внутренние нуклоны ядра. Поэто-
Поэтому к энергии W2 должен быть добавлен с противоположным знаком член W$ — поверх-
поверхностная энергия ядра. Если R — радиус ядра-капли, а а — «поверхностное натяже-
натяжение» ядра-капли, то
A6 12)
где R вычисляется по формуле A6.10). Тогда
W3 = a2A>/:>, A6 12')
где аг— коэффициент, содержащий сг и числовые значения постоянных величин. Сле-
Следует учесть еще данные о различной устойчивости ядер в зависимости от соотношения
в них числа протонов и нейтронов. Поскольку наиболее устойчивы ядра, в которых
числа протонов и нейтронов равны, т. е. (А—Z)IZ^\, в общий баланс энергии ядра-
капли должен быть внесен член Wt, учитывающий неравенство числа протонов и ней-
нейтронов. Знак этого члена должен быть противоположен знаку члена №2> определя-
определяющего выделение энергии при образовании ядра. На каждый из А нуклонов за счет
этого приходится некоторая энергия WJA, являющаяся функцией отношения
до» / £ 2Z\
(А—2Z)IZ, т. е.—ir = f [ 5— ) • В связи с незнанием точного характера зависи-
А \ z /
мости ядерных сил от неравенства в ядре числа протонов Z и нейтронов A—Z функцию
. (A— 2Z\ „ (А — 2ZJ
/ ( —j— 1 аппроксимируют квадратичной зависимостью аъ -— ■■:.. t т. е. по-
полагают
Zi-a (A — 2Z) нди w =a JA — 2ZY
где а8—коэффициент, который отыскивается эмпирическим путем1.
Далее в энергию ядра необходимо внести добавочный член Wb, учитывающий
электростатическое отталкивание протонов. Энергия №б может быть вычислена в
предположении, что заряд Ze ядра равномерно распределен по его объему с объемной
плотностью р, так что 2е=4/з прЯ3. где R — радиус ядра. Пользуясь формулами
C.32) н G.7) из второго тома курса, можно подсчитать
Wb'Tl^R- <16ЛЗ>
Заменив в этой формуле R по соотношению A6.10), получим Wb=aJ?IA1^, гдеа4~
коэффициент, который можно вычислить теоретически.
1 Квадратичная зависимость энергии 1Г4 от разности числа нейтронов и протонов
обусловлена тем, что величина Wt не должна зависеть от того, избыток каких имен-
именно частиц — протонов или нейтронов — содержится в ядре,
— 379 —
Наконец, последний добавочный член Wt вводится для учета того, что ядерные
силы зависят от спинов взаимодействующих нуклонов. Измерения энергий связи раз-
различных ядер показали, что для четио-четных ядер энергии связен имеют максималь-
максимальные, а для нечетно-нечетных ядер — минимальные значения- Эти различия указы-
указывают на то, что при зарядовой независимости ядерных сил ориентации спинов нук-
нуклонов оказывают определенное влияние на их взаимодействие. Это влияние учитыва-
учитывается введением специального члена We в выражение для энергии ядра, который подби-
подбирается таким образом, чтобы для нечетно-четных и четно-нечетных ядер этот член
отсутствовал1. Для члена We были предложены разные выражения.
Наиболее принятыми являются следующие:
Wfs = ±atA-3'i и We-±aU-l/a,
где a5 и а'ъ — эмпирически подобранные коэффициенты. Знаки плюс и минус соот-
соответствуют четно-четным и нечетно-нечетным ядрам. Полная энергия ядра есть сумма
всех слагаемых:
A6.13')
Очевидно, энергия связи ядра A.WCB в соответствии с ее определением по формуле
A6.5) равна AWCB=W71— №. Таким образом, энергия связи ядра в капельной модели
(Л22>2
^3 ± аьА~9/1. A6.14)
Были предложены различные значения для коэффициентов аи аг, а3 и аб, при
которых AWCB достаточно хорошо согласуется с опытными данными для не слишком
легких ядер (при Л>15).
3. До сих пор мы не вводили никакого определения, а тем более
критерия устойчивости атомного ядра. Назовем устойчивыми (ста-
(стабильными) такие атомные ядра, состав которых не изменяется с тече-
течением времени.
Полуэмпирическая формула A6.14) для энергии связи ядра позво-
позволяет установить соотношение между зарядом ядра Z и его массовым
числом Л, при которых ядра оказываются наиболее устойчивыми.
Рассмотрим ядра, обладающие данным A (,4=const), т. е. изобары,
отличающиеся зарядом ядра Z. Для таких ядер энергия связи &WCB,
определяемая формулой A6.14), будет функцией только Z.
Из общих соображений можно установить критерий устойчивости
(стабильности) ядер. Очевидно, что при данном Л наиболее устойчивы
ядра с такими значениями Z, которые соответствуют наименьшему
значению полной энергии W ядра. Можно найти эти значения Zyc^
из условия (dW/dZ)A-const = 0, выражающего минимум энергии ядра.
Расчет, который мы опускаем, приводит к формуле 2
V= —г- A6Л5)
1,98+0,015Л3
Формула A6.15) хорошо согласуется с экспериментальными дан-
данными. При использовании этой формулы необходимо брать целое зна-
значение ZyCT, ближайшее к значению Zyc-f, получаемому по ней. Из
1 Это принимается во внимание также при подборе коэффициентов а2 и а3.
2 При этом вычислении выбираются определенные конкретные значения коэф-
коэффициентов oi, a2, а3 и а4 в формуле A6.14).
— 380 —
формулы A6.15) следует, что для легких ядер ZyeT « A12. Этот ре-
результат согласуется с данными о том, что стабильными оказываются
легкие ядра с равным числом протонов и нейтронов в ядре.
4. Оболочечная модель ядра, в некотором смысле противоположная капельной
модели, была разработана М. Гепперт-Майер и И. Иенсеном. В капельной модели
движение нуклонов в ядре носит беспорядочный характер, нуклоны часто испыты-
испытывают столкновения н не могут длительно находиться в определенных энергетических
состояниях. По оболочечной модели нуклоны движутся почти независимо в поле,
создаваемом самими нуклонами.
При этом нуклоны в ядре находятся в определенных энергетических состояниях,
характеризуемых определенными волновыми функциями и индивидуальными кван-
квантовыми числами — главным и орбитальным. Иными словами, подобно электронам в
атоме, нуклоны в ядрах образуют определенные оболочки и подоболочки. Согласно
этой модели, в ядре существуют две системы нуклонных состояний: одна — для про-
протонов, другая — для нейтронов, которые заполняются независимо друг от друга.
Ядра, имеющие только заполненные нуклонные оболочки, должны обладать повы-
повышенной устойчивостью и быть более распространенными, а также должны иметь сфе-
сферически симметричное распределение заряда. Для объяснения распределения нук-
нуклонов по энергетическим состояниям (уровням) и группировки уровней в энергетиче-
энергетические оболочки в этой модели делается ряд предположений. Мы не имеем возможности
на этом останавливаться. Отметим лишь, что порядок заполнения нуклонных обо-
оболочек с ростом А сходен с порядком заполнения электронных оболочек к ростом 1.
Необходимо, однако, отметить, что аналогия нуклонных оболочек в ядре и элек-
электронных оболочек в атоме имеет внешний характер.
Электроны в атоме движутся в электрическом поле ядра и соседних электронов.
Это поле с хорошим приближением рассматривается как центральное кулоновское
поле. Нуклон в ядре движется в ядерном поле, не имеющем центрального характера.
Предсказания модели ядерных оболочек находятся в согласии с обнаруженными на
опыте фактами. Так, опыты показали, что наиболее устойчивыми являются ядра, у
которых числа нейтронов или протонов равны 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 и 152 (к такому
выводу приходит и теория).
Эти числа названы магическими. Такие ядра наиболее распространены, и их ква-
друпольные электрические моменты, характеризующие степень симметрии электри-
электрического заряда ядер, близки к нулю. Ядра, у которых магическими являются и число
протонов и число нейтронов, называются Дважды магическими. К их числу относятся,
например, tHe, 1*O, *oCa, 2g|Pb. Наиболее тяжелое из устойчивых ядер — свинец —
имеет число протонов 2=82 и число нейтронов Л—2=146. Ядра химических эле-
элементов, расположенных а периодической системе Менделеева за свинцом, уже не-
неустойчивы и подвержены радиоактивному распаду. Об устойчивости ядра гелия *Не
мы неоднократно говорили выше и еще встретимся с этим вопросом при рассмотрении
радиоактивного а-распада (см. § 17.1).
5. Наряду с ядерными моделями, созданными для объяснения
устойчивости ядер, насыщения ядерных сил (капельная модель),
величины спинов, магнитных и квадрупольных моментов основных
состояний ядер (например, оболочечная модель), существует ряд дру-
других моделей, предназначенных для объяснения взаимодействия ядер с
налетающими частицами, например оптическая модель ядра, модель
прямых ядерных реакций и др.
Глава XVII
ЕСТЕСТВЕННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ
§ 17.1. Радиоактивные излучения
1. Явлением естественной радиоактивности называется
самопроизвольное превращение, одних атомных ядер в другие, сопро-
сопровождающееся испусканием различных видов радиоактивных излуче-
излучений (а, р и у) и некоторых элементарных частиц. Явление это было
открыто А. Беккерелем A896). Он занимался изучением вопроса о том,
не сопровождается ли флуоресценция любой природы испусканием
рентгеновских лучей. Беккерель производил опыты
{ с солями урана; некоторые из них обладают свой-
свойством флуоресцировать и действуют на фотоплас-
,Т тинку.
Беккерель обнаружил, что соединения урана, в
течение нескольких лет находившиеся в полной
темноте, продолжают действовать на фотопластин-
ку, причем наиболее сильное действие оказывает
металлический уран. Из этого он заключил, что
уран испускает особые лучи. Первые же исследо-
исследования показали, что эти лучи проникают сквозь
тонкие металлические экраны и ионизируют газ,
Рис. 17.1 через который проходят. Замечательными особен-
особенностями обнаруженного излучения оказались его
самопроизвольность и постоянство, полная независи-
независимость от изменения внешних условий: освещения, давления и тем-
температуры. Пьер и Мария Кюри обнаружили, что урановая смоляная
руда обладает способностью давать излучение, в четыре раза превосхо-
превосходящее по интенсивности излучение урана. Это дало основание искать
более мощный источник излучения, чем уран. В 1898 г. Пьер и Мария
Кюри открыли два новых радиоактивных элемента — полоний (^Ро)
и радий B|®Ra). Вещества, испускающие новые излучения, были наз-
названы радиоактивными, а новое свойство вещества, связанное с наличи-
наличием особых излучений,— радиоактивностью.
2. Вслед за открытием радиоактивных элементов Ро и Ra была уста-
установлена неоднородность излучения, которое они испускают. Оказа-
Оказалось, что излучение состоит из трех видов: а, р и у. Анализ состава
излучения был произведен впервые М. Кюри по отклонению радиоак-
радиоактивных излучений в магнитном поле. На рис. 17.1 изображена схема
разделения а-, р- и 7-лучей в магнитном поле, направленном перпенди-
перпендикулярно плоскости рисунка (/ — толстостенный сосуд из свинца, 2 —
радиоактивный элемент Ra). Характер отклонения лучей в магнитном
поле показывает, что а-лучи несут положительный заряд, р-лучи —
отрицательный, а 7-лучи не заряжены.
Дальнейшие исследования показали, что а-лучи представляют
собой поток ядер гелия х. Эти лучи вызывают почернение фотопласти-
1 Заряда-частицы равен 2е, а масса совпадает с массой ядра изотопа гелия *Не,
— 382 —
нок, производят сильное ионизирующее действие при прохождении
через газы и обладают относительно малой проникающей способно-
способностью. Для выяснения природы а-лучей Э. Резерфордом был поставлен
следующий опыт. В стеклянную ампулу с тонкими стенками помещался
радиоактивный газ радон Bg|Rn). Ампула помещалась в стеклянный
сосуд, в котором создавался высокий вакуум. а-Частицы, испускае-
испускаемые радоном, поглощались стенками сосуда и при этом превращались в
атомы гелия, присоединяя к себе по два электрона каждая. Образо-
Образовавшиеся атомы гелия выделялись из стенок сосуда при их нагревании.
Через несколько дней скопившийся в сосуде газ — гелий — с помощью
специального ртутного затвора переводился в капиллярную трубку,
находящуюся в верхней части сосуда. С помощью двух электродов,
впаянных в капиллярную трубку, в ней создавался электрический
разряд. Анализ свечения этого разряда показал, что спектр разряда
действительно совпадает со спектром излучения гелия. Тем самым
подтвердилось, что а-частицы, испускаемые радоном, превращались в
гелий. Дальнейшие исследования отклонения а-лучей в магнитном и
электрическом полях позволили измерить удельный заряд q!ma
а-частицы (та — масса а-частицы) и подтвердили правильность пред-
представлений о ее природе.
3. По своей природе р-лучи оказались потоком быстро летящих
электронов, скорость которых превышает скорости обычных катодных
(электронных) лучей. Энергия Р-частиц может достигать 10 МэВ, что
соответствует их скорости, приближающейся к скорости света в вакуу-
вакууме. Измерения удельного заряда qlm§, где /Пр — масса р-частицы,
подтвердили выводы о природе р-лучей.
4. Гамма-лучи представляют собой жесткое электромагнитное
излучение, обладающее наибольшей из всех радиоактивных излуче-
излучений проникающей способностью.. Они вызывают относительно слабую
ионизацию вещества, через которое они проходят. Электромагнитная
природа изучения и его свойства были изучены теми же методами,
которые применялись при изучении природы и свойств рентгеновского
излучения (см. § 14.11). Основные сведения о свойствах ^-излучения
были получены главным образом при изучении их поглощения и рас-
рассеяния в веществе. Так было установлено, что они отличаются еще
большими частотами, чем рентгеновские излучение. Это означает, что
их квантовые свойства проявляются еще в большей степени, чем
у рентгеновского излучения.
5. Опытным путем было установлено, что все радиоактивные излу-
излучения:
а) в той или иной степени обладают химическими действиями, в
частности вызывают почернение фотопластинок;
б) вызывают ионизацию газов, а иногда и конденсированных тел,
сквозь которые они проходят;
в) возбуждают флуоресцентное свечение ряда'твердых тел и жид-
жидкостей.
Эти свойства лежат в основе экспериментальных методов обнару-
обнаружения и исследования свойств радиоактивных излучений (см. § 17.4).
Калориметрические исследования показали, что радиоактивные излу-
чения могут сопровождаться выделением энергии. Так, еще в первый
период изучения естественной радиоактивности супруги Кюри обна-
обнаружили, что 1 г радия выделяет в час около 102 Дж теплоты 1.
§ 17.2, Закон радиоактивного распада
1. Явление естественной радиоактивности было тщатель-
тщательно изучено еще в первом десятилетии XX в. Большую роль при этом
сыграло изучение протекания радиоактивных процессов во времени.
Резерфорд и его сотрудники наблюдали изменение во времени радиоак-
радиоактивного излучения солей радия. В запаянную ампулу они поместили
1,318 г RaCI2, в котором содержался 1 г чистого радия. По истечении
нескольких суток в ампуле обнаружили два газа. Один из них, как
показали спектроскопические данные, оказался гелием, а другой —
новый газ — обнаружил в свою очередь наличие у него сильной ра-
радиоактивности. По своим химическим свойствам этот газ, названный
впоследствии радоном, оказался похожим на инертные газы.
2. Оказалось, что протекание радиоактивных процессов во времени
совершенно не зависит от внешних условий, а также от концентрации
радиоактивных атомов. Наконец, было установлено, что распад радия
в солях RaCl2 и RaBr2 зависит лишь от числа атомов радия в этих
соединениях, т. е. скорость процесса не зависит от того, распадается
ли вещество в виде химически чистого элемента или соединения.
Перечисленные факты привели Резерфорда к выводу, лто радиоак-
радиоактивные превращения есть свойство атомных ядер, которые могут
самопроизвольно подвергаться таким превращениям.
3. В дальнейшем будем называть естественные радиоактивные пре-
превращения ядер, происходящие самопроизвольно, радиоактивным рас-
распадом или просто распадом. Атомное' ядро, претерпевающее радиоак-
радиоактивный распад, называется материнским. Ядро, возникшее в резуль-
результате распада, называется дочерним ядром. Ввиду самопроизвольности
этого процесса естественно предположить, что число ядер dN, распа-
распадающихся за интервал времени от t до t -f* dt, пропорционально проме-
промежутку времени dtM числу N наличных ядер, еще не распавшихся к мо-
моменту времени t:
—dN=Wdt. A7.1)
Здесь X — постоянная величина, которую называют постоянной рас-
распада или радиоактивной постоянной. Из соотношения A7.1) следует,
что постоянная распада представляет собой относительную убыль числа
ядер, подвергающихся распаду, за единицу времени:
07.1')
Иными словами, постоянная распада характеризует долю ядер,
распадающихся за единицу времени, т. е. определяет скорость
радиоактивного распада. Предположение о том, что ввиду самопроиз-
1 Такое количество теплоты выделяет в час 1 г радия без учета выделения теплоты
продуктами распада Ra.
— 884 —
вольного характера процесса распада К не зависит от внешних усло-
условий, а определяется лишь внутренними свойствами ядра, имеет, как мы
увидим, большое значение для понимания смыста радиоактивных пре-
превращений.
Разделяя в уравнении A7.1) переменные ~ — —Kdt и ыпте1рируя
это уравнение, получим
In JV=—W+ln С,
где С — постоянная интегрирования. Если в начальный момент £=0
первоначальное число ядер равно No, то In iV0=ln С, и окончательно
получим
N = N е~и И7 21
Выражение A7.2) называется законом радиоактивного распада.
На рис. 17.2 изображена зависимость \n(N/N0) от времени t. Она поз-
позволяет экспериментально по наклону
прямой определить постоянную рас- In-^
пада "к, ибо tg <х=К.К где К — соот-
соотношение размерных величин, приня- ^
тых за единицы масштабов по осям
координат.
3. Самопроизвольный характер
радиоактивного распада означает, что
различные атомные ядра, претерпе-
претерпевающие распад, имеют разную про-
продолжительность жизни. Согласно Рис.17 2
A7.1), число атомных ядер, распадаю-
распадающихся за время dt, равно dN. Пользуясь этим соотношением, подсчи-
подсчитаем среднюю продолжительность жизни данного радиоактивного
вещества. Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна t\dN\,
т. е. tXNdt. Отсюда средняя продолжительность жизни всех первона-
первоначально существовавших ядер выразится следующим образом:
■*• 0 tJ
о
= I f t&~udt = ~ .
Постоянная распада X, выражаемая согласно A7.2) в с"
обратной величиной средней продолжительности жизни т данного
радиоактивного элемента.
Формула A7.2) иногда записывается в виде
Л/ = Мое-^. A7 2')
Практически для характеристики устойчивости ядер относительно
распада, для оценки продолжительности жизни данного радиоактив-
радиоактивного изотопа вводится понятие о периоде полураспада Т. Так назы-
называется время, в течение которого первоначальное количество ядер
данного вещества распадается наполовину. Из определе-
13 А. А Детлаф, Б. Ш. Яворский — 385 —
ния Т и формулы A7.2) следует, что —-=Noe~XT. Отсюда по-
получаем
9
У естественно радиоактивных элементов периоды полураспада Г
изменяются в очень широких пределах.
4. Закон радиоактивного распада A7.2) является следствием
предположения о том, что распад происходит самопроизвольно. Ос-
Основное соотношение A7.1) было написано на основании двух предпо-
предположений: 1) постоянная распада не зависит от внешних условий;
2) число ядер, распадающихся за единицу времени, пропорционально
наличному количеству ядер. Эти предположения не позволяют сделать
заключение о том, какое именно ядро претерпевает распад за
данный промежуток времени dt. Речь может идти лишь о числе
ядер, претерпевающих распад в данном интервале времени от t до
t-\-dt. Такое представление о радиоактивном распаде означает, что
речь идет о статистическом процессе, т. е. распад данного ядра явля-
является случайным событием, имеющим ту или иную вероятность. Введем
понятие о вероятности распада описи о ядра за единицу времени. Если
за время dt из наличного числа N распалось dN ядер, то относительная
убыль -—jrr числа ядер, происходящая за единицу времени, т. е.
величина — dNI\N dt), представляет собой вероятность распада одного
ядра. Такое определение вероятности в точности совпадает со смыслом
постоянной распада К по формуле A7. Г). Таким образом, постоянная
распада, по определению, есть вероятность распада одного ядра за
единицу времени. Предположим далее, что эта величина не зависит
от времени. Физически это означает, что для радиоактивного распада
одного ядра несущественно, сколько времени «прожило» данное ядро,
и что X является константой, характеризующей все ядра данного сорта.
Можно показать, что такое определение постоянной распада приводит
к закону радиоактивного распада A7.2), который является, таким
образом, статистическим законом.
§ 17.3. Правила смещения.
Последовательные радиоактивные
превращения ядер
1. Естественная радиоактивность наблюдается у ядер
атомов тяжелых химических элементов, расположенных за свинцом
в периодической таблице Менделеева. Естественная радиоактивность
легких и средних ядер — сравнительно редкое явление, наблюдаемое
у ядер f°K. !?Rb, ЭДп, x!?La, ".JSm, x?iLu и l«?Re.
Опытным путем было установлено, что при радиоактивном распаде
ядер соблюдается закон сохранения электрических зарядов.
Если через Z,, обозначить заряд ядра, претерпевающего распад, а
через Zt — заряды ядер и частиц, возникших в результате радиоак-
— 386 —
тиьього распада, то этот закон может быть записан следующим обра-
образом:
2, = ZZ,. A7.4)
Кроме того, установлено, что при естественном радиоактивном рас-
распаде выполняется правило сохранения массовых чисел. Если при-
приписать нуклонам (протонам и нейтронам) массовые числа, равные
единице (это соответствует их массам в а. е. м.), а электрону — массо-
массовое число, равное нулю, то сохранение массовых чисел при радио-
радиоактивном распаде можно записать в виде
АЯ = ЪА„ A7.5)
где Ая —■ массовое число материнского ядра; A t — массовое число ядра
или частицы, получившейся в результате радиоактивного распада.
2. Соотношения A7.4) и A7.5) при радиоактивном распаде обычно
формулируются в виде так называемых правил смещения, позволяю-
позволяющих установить, какое ядро возникает в результате распада данного
материнского ядра. При этом различают правила смещения для случаев
возможного а- или р-распада.
Если <}Х есть материнское ядро, претерпевающее распад, то пра-
правила смещения записываются соответственно следующим образом:
при а-распаде |Х — j^Y-\-\We, \ fi
при р-распаде 2X.~+ZAY + \e. \ U '
Здесь Y — символ дочернего ядра, 1Не — ядро гелия, т. е. а-частица;
_°е— символическое обозначение электрона, имеющего заряд, равный
—1, и нулевое массовое число.
Из выражений A7.6) видно, что ядро, претерпевающее а-распад,
смещается на два места левее в периодической системе элементов Мен-
Менделеева в связи с вылетом двух положительных зарядов. Вылет а-
частицы сопровождается уменьшением массового числа па четыре еди-
единицы. При р-распаде положительный заряд ядра увеличивается на
одну единицу и ядро смещается на одно место правее в периодической
системе. При этом не происходит изменения массового числа ядра.
3. Из правил смещения следует, что в результате радиоактивною
а- или р-распада ядра атомов радиоактивных элементов превращаются
в ядра изотопов других химических элементов. В ряде случаев до-
дочернее ядро оказывается также радиоактивным и возникает цепочка
радиоактивных превращений. Естественнорадиоактивные ядра об-
образуют три радиоактивных семейства, называемых по родоначальнику
семейства — наиболее долгоживущему изотопу с наибольшим периодом
полураспада. Это семейства урана B,iU), тория BjjaTh) и актиния
B8э^с)- Существует, кроме того, еще одно радиоактивное семейство,
полученное искусственным путем и начинающееся от трансураносою
элемента нептуния (^Np). Переход от одного члена каждого из есте-
сгвеннорадиоактивных семейств к другому осуществляется цепочкой
а- и р-распадов и заканчивается на устойчивых ядрах изотопов свинца:
семейство тория — на ядре 2°JPb, селтейство урана — на 2ЦРЪ, се-
13* -387 —
мейство актиния — на 2glPb. Семейство нептуния заканчивается на
ядре висмута ag£Bi.
4. Если происходит цепочка радиоактивных превращений, то за-
закон радиоактивного распада в форме A7.2) позволяет судить лишь об
убыли с течением времени материнского вещества. Если же дочернее
вещество также является радиоактивным, то изменение его количества
с течением времени требует более детального анализа. Одновременно
происходят и накопление этого вещества, и его убыль вследствие рас-
распада. Обозначим через Кн и %я — постоянные распада соответственно
материнского и дочернего вещества. Рассмотрим изменения в числе их
ядер, происходящие за время dt. Согласно A7.1), за время dt распа-
распадется %KNKdt ядер атомов материнского вещества из общего числа
Л/м этих ядер, имевшихся к моменту времени dt. Если из каждого ядра
материнского вещества образуется одно ядро дочернего, то за время
dt число ядер дочернего вещества увеличится на KMNMdt. Вместе с тем
из числа ядер Ыя дочернего вещества, имевшихся к моменту времени
t, за промежуток dt распадется X^N^dt. Общее изменение йЫл числа
ядер дочернего вещества за единицу времени выразится следующим
образом:
^ = ^М-М/Д. A7.7)
В случае подвижного равновесия между материнским и дочерним
веществами dNR/dt=0, т. е.
XMyVM = VV A7.8)
Условие A7.8) называется условием радиоактивного равновесия-
В этом случае числа распадающихся в один и тот же промежуток вре-
времени ядер атомов обеих веществ одинаковы и распад дочернего веще-
вещества точно компенсируется его образованием из материнского. При
условии такого равновесия
Числа атомов обоих веществ пропорциональны периодам их полу-
полураспадов. Формулой A7.8) или A7.9) практически пользуются для
отыскания периодов полураспада веществ, распадающихся настолько
быстро (или, наоборот, столь медленно), что основной закон A7.2)
оказывается непригодным.
5. Произведение А—hN для данного радиоактивного вещества
имеет ясный физический смысл. Из формулы A7.1) следует, что оно
равно числу ядер атомов данного вещества, распадающихся в единицу
времени. Эта величина носит название активности радиоактивного
вещества.
Единицей активности в СИ является секунда в минус первой сте-
степени (с). Это активность такого вещества, в котором происходит один
распад в одну секунду. Эта единица называется беккерель (Бк).
Внесистемной единицей активности служит кюри (Ки). Кюри — это
активность 1 г радия, т. е. число распадов, которое происходит в 1 г
радия в 1 с.
— 388 —
Зная период полураспада радия (Т—1590 лет), можно найти актив-
активность 1 г радия. В 1 г радия число атомов будет N—N^M (M — масса
моля радия, jVa — постоянная Авогадро). Вычисляя, получим
6023in*W-i= ,
226 ", моль
Тогда активность 1 г радия
А = ш^^~ N^3,7- Ю^с = 3,7- Ю10 Бк.
Отсюда кюри определяется как активность такого радиоактивного
препарата, в котором ежесекундно происходит 3,7-1010 распадов.
Применяется также единица активности резерф( рд (Рд) — активность препара-
препарата, в котором ежесекундно происходит 10е распадов.
1Рд=108 с-1, 1Ки = 3,7-104 Рд.
§ 17.4. Экспериментальные методы наблюдения
и регистрации частиц
1. Для изучения различных свойств радиоактивных
излучений (а- и р-частиц, у-фотонов), а также для исследования других
частиц в современной ядерной физике применяются различные методы,
в основе которых лежат главным образом ионизирующее и фотохими-
фотохимическое действия излучения.
2. Еще в начале нашего столетия В. Круксом и другими учеными
было обнаружено, что при попадании а-частиц на флуоресцирующие
вещества они вызывают слабые, но видимые непосредственно глазом
световые вспышки —- так называемые сцинтилляции. Было установ-
1 С&етипрвИвд
i
| Пучок частиц
Электронный,
умнпжитель
Рис. 17.3
-*-
Усилитель
■*-
Счетчик,
импцпьсвв
лено, что каждая а-частица вызывает одну световую вспышку и это
может быть использовано для счета а-частиц. Однако непосредственный
подсчет глазом числа вспышек труден и утомителен. После создания в
конце 40-х годов электронных умножителей (см. т. II, § 10.4) были
построены сцинтилляционные счетчики частиц. В таком счетчике,
схема которого изображена на рис. 17.3, используется светящееся флуо-
флуоресцирующее вещество, в котором частицы, обладающие достаточно
большой энергией, вызывают сцинтилляционные вспышки. Каждая
вспышка действует на фотокатод электронного умножителя и выбивает
из него электроны. Последние, проходя п каскадов умножителя, дают
— 389 —
Пучок _
частиц
Рис. 17.4
на выходе импульс тока, который затем подается на вход усилителя и
приводит в действие электромеханический счетчик имп\льсов. На
осциллографе можно полечить регистрирующую кривую, показываю-
показывающую интенсивность отдельных импульсов. Эта интенсивность пропор-
пропорциональна энергии отдельной сосчитанной частицы. Таким образом
определяют не только число частиц, но и распределение их по энергиям.
Для того чтобы большая часть свега, возникшего в рез\ льтате вспышки,
доходила до фотокатода, межд} веществом и фотоэлектронным умно-
умножителем устанавливается «светопровод» — цилиндрический стержень
из органического стекла (люцита), внут-
внутри которого свет, испытывая непрерыв-
непрерывно полное внутреннее отражение, про-
проходит практически без потерь.
3. Излечение Вавилова — Черепкова
с 1951 г. стало применяться для счета
частиц и у-фогонов (в последнем случао
по вторичным электронам, которые соз-
создают у-фотоны). Такие счегчики Черен-
кова применяются для сче га частиц, дви
жущихся в веществе со скоростью, пре
вышающей фазовую скороеib света в данной среде. В этом случае,
как известно, при движении каждой заряженной частицы возникает
излучение Вавилова —• Черенкова. Фиксируя это излучение, можно
сосчитать пролетающие частицы. Схема счетчика Черенкова приведена
на рис. 17.4. Заряженные частицы проникают вдоль оси в блок из лю-
люцита с показателем преломления п — 1,5. Под характерным для эф-
эффекта Черепкова }глом (cos^>=l/f}/i) возникает излучение, фокусируе-
фокусируемое сферической поверхностью люцитового корпуса / и отражаемое
системой зеркал 2 на фотокатоды 3 дв>х умножителей, помещенных
вне траекторий движущихся частиц. Из-за специфических условий
возникновения излечения Вавилова — Черепкова такими счетчиками
могут быть сосчитаны (при /?■=!,5) электроны с энергией выше 0,18А\эВ,
протоны с энергией, превышающей 320 МэВ, и у-фотоны, создающие
вторичные электроны достаточно высоких энергий.
Поскольку счетчик Черенкова регистрирует направление изле-
излечения, он позволяет определить направление движения частицы,
вызывающей излучение. Наблюдение излечения Вавилова — Череп-
Черепкова под различными углами позволяет идентифицировать частицы по
их скоростям и энергиям. Счетчики Черенкова в настоящее время
устанавливаются на искусственных спутниках Земли и космических
кораблях для исследования космического излечения. Они сыграли
большую роль в открытии двух элементарных частиц — антипротона и
антинейтрона (см. § 19.7).
4. На ионизирующем действии частиц, обладающих достаточно
большой энергией, основано устройство ионизационных камер, слу-
служащих для наблюдения и регистрации частиц. Если энергия частиц,
проходящих через газ, превышает энергию ионизации молекул газа,
то такие частицы спосвбны создавать первичные или вторичные ионы
обоих знаков. Первичные ионы непосредственно создаются а- и р-
— 390 —
излучениями, вторичные — рентгеновским или у-излучением. В по-
последнем случае вначале под действием излучений возникают вторичные
электроны (фотоионизация), а они уже вызывают затем ионизацию
молекул или атомов газа.
Регистрация нейтронов основана на изучении процессов их взаимо-
взаимодействия с ядрами (см. § 17.4, 18.5).
Число пар ионов, образ\ющихся в газе в единицу времени, может
служить мерой интенсивности потока частиц или фотонов, вызвавших
ионизацию. Число пар ионов
может быть измерено, если об-
образующиеся ионы направить
электрическим полем к элект-
электродам и измерить возникший
при этом ток. При определен-
определенных условиях ионизационный
ток пропорционален числу
пар ионов, возникших в 1 с.
Другими словами, он пропор-
пропорционален интенсивности пото-
потока частиц, вызвавших иониза-
I
1
«3
Область пропорциональности.
%
1
Область
тока,
насыщена
ш
ill
Шмть огра-
ограниченной тз~
/
ОШть
равных
ЦМПЦЛЬ-
Ш
ер=у
Поток частиц
ши фотонов
О Щ
и2 и3
Рис. 17.5
Я усилителю
Рис. 17.6
цию. Такая пропорциональность наблюдается лишь в режиме тока
насыщения (см. т. II, § 12.2 и 12.3), когда все ионы достигают элект-
электродов, а не исчезают вследствие рекомбинации или диффузии к стен-
стенкам. Устройства, работающие на этом принципе врежиме тока
насыщения, называются ионизационными камерами.
На рис. 17.5 изображена кривая зависимости силы тока в газе ст
разности потенциалов между электродами. Ионизационные камеры
работают в режиме участка L/^г кривой до появления самостоятель-
самостоятельного газового разряда, вызванного ударной ионизацией. Принципиа-
Принципиальная схема ионизационной камеры изображена на рис. 17.6. В зави-
зависимости от формы электродов / и 2 различают плоские, цилиндричес-
цилиндрические и сферические камеры. К электроду / подается напряжение U
порядка нескольких сотен вольт. Электрод 2, называемый внутренним
или собирающим, присоединяется к усилителю. Ионизационный ток
измеряется по падению напряжения на высокоомном сопротивлении
R усилителем.
5. Устройства, работающие на участке U2Ub кривой ионизацион-
ионизационного тока (см. рис. 17.5), т. е. в области самостоятельного газового
— 391
разряда, вызванного ударной ионизацией, называются счетчиками.
Они являются наиболее распространенными измерительными прибо-
приборами, применяемыми в различных областях ядерной физики. При этом
различают две возможные области кривой (см. рис. 17.5), где исполь-
используются счетчики. На участке £/2£/3 число пар ионов, возникших в газе
в результате столкновений, а также разрядный импульс напряжения
пропорциональны числу пар ионов, первично образовавшихся от
ионизирующей частицы. Поэтому область UtU3 называется обла-
областью пропорциональной зависимости, а счет-
счетчики, работающие в режиме этой области, называются пропорциональ-
пропорциональными счетчиками. Они характеризуются
сравнительно невысоким (or 102 до 10ь) «ко-
«коэффициентом размножения» ионов, возникших
В II 1| в результате соударений, причем этот коэф-
U Я LJ § фициент является постоянным. Область U3U\
| |[ \ >.^> называется областью ограниченной пропор-
пропорциональности и в счетчиках практически не
используется. Наибольшее значение для счет-
17'7 чиков имеет область, называемая областью
равных импульсов или областью Гейгера 1
(по имени Г. Гейгера, который в 1928 г. вместе с В. Мюллером
впервые использовал эту область газового разряда для подсчета элект-
электронов). Область Гейгера характеризуется сильным разрядом, вызван-
вызванным столкновениями, большой ролью ультрафиолетового свечения
разряда, которое выбивает фотоэлектроны из молекул и атомов газа,
а также стенок разрядной трубки. В области Гейгера ионизационный
ток не зависит от числа первичных ионов, образованных каждой
ионизирующей частицей, первоначально попавшей в счетчик.
Схема счетчика Гейгера — Мюллера с нитью изображена на
рис. 17.7. Он представляет собой металлический цилиндр, наполненный
газом. По оси цилиндра натянута тонкая металлическая нить С, имею-
имеющая относительно стенок положительный потенциал U порядка 1000 В.
Попадание внутрь цилиндра ионизирующей частицы вызывает в счет-
счетчике появление ионов, которые, ускоряясь полем, существующим
между нитью и цилиндром, вызывают дальнейшую ионизацию. Весьма
высокий коэффициент размножения ионов (порядка 108 и более) не
является постоянным — нарастание числа ионов приводит к появлению
разряда. Последовательно нити счетчика включается резистор такого
сопротивления R, чтобы возникший в счетчике разряд вызывал на этом
резисторе падение напряжения, достаточное для прерывания разряда.
Для работы счетчика в области Гейгера существенно, что условия
возникновения, развития и гашения разряда зависят лишь от попада-
попадания в счетчик ионизирующей частицы и не зависят от числа пар ионов,
созданных ею на единице длины пути. Каждый раз при появлении в
счетчике разряда импульс тока, возникший в счетчике и усиленный до
необходимого значения, отмечает попадание в него одной частицы.
В так называемых торцовых счетчиках нить заменена иглой, а в перед-
1 Ее также называют областью счета.
— 392
ней стенке счетчика, обращенной к исследуемому потоку частиц, сде-
сделано отверстие, сквозь которое проходят частицы (отверстие закрыто
фольгой необходимой толщины). Счет у-фотонов в таких счетчиках
производится по действию электронов, которые вырываются благодаря
фотоэффекту и комптон-эффекту из стенок счетчика.
6. Большое значение для изучения природы и свойств радиоак-
радиоактивных излучений и для исследования элементарных частиц сыграла
камера Вильсона, разработанная Ч. Вильсоном в 1911—1912 гг. Виль-
Вильсон обнаружил, что пересыщенный водяной пар легко конденсируется
в капли на цепочке ионов, образующихся вдоль траектории ионизирую-
ионизирующей частицы. Для конденсации требуется быстрое пересыщение пара,
которое происходит, если некоторый объем
насыщенного пара подвергнуть адиабатичес- Фотокамера
кому расширению, сопровождающемуся ох-
охлаждением. Помимо водяных паров для этой
цели применяются пары спирта, четыреххло-
ристого углерода и других веществ. На рис.
17.8 приведена схема камеры расширения
Вильсона. В цилиндре Л, который имеет сверху
прозрачную крышку С, с помощью поршня
В создается нужный объем пара. Следы иони-
ионизирующих частиц, пересекающих камеру, в
нужный момент времени освещаются и фо-
фотографируются. Стенки камеры прозрачны в Рис 17.8
некоторых местах, что позволяет производить
фотографирование под различными углами и получать стереоскопичес-
стереоскопические снимки. Камера Вильсона дает возможность производить измерение
следов пролетающих частиц. В объеме камеры перед расширением
создается электрическое поле, которое удаляет все возникшие в объеме
ионы и выключается непосредственно перед расширением. Согласова-
Согласование моментов времени —- выключения электрического поля, расшире-
расширения, освещения и фотографирования — производится автоматически.
Камеры приводятся в действие пролетающей частицей, которая долж-
должна быть сфотографирована. С этой целью над камерой и под ней уста-'
навливаются счетчики Гейгера — Мюллера. В момент совпадения им-
импульсов от обоих счетчиков, что указывает на пролет частицы через
камеру, автоматически срабатывает механизм, приводящий камеру в
действие.
По предложению Д. В. Скобельцына, камеру Вильсона обычно
помещают в сильное однородное магнитное поле (метод Вильсона —•
Скобельцына). Заряженные частицы испытывают в таком поле действие
силы Лоренца и пх траектории искривляются (см. т. II, § 18.3). По
радиусу кривизны траектории и известной скорости частицы может
быть определен ее удельный заряд. Наоборот, при известном значении
удельного заряда по величине радиуса кривизны находят скорость и
энергию частицы.
7. След пролетающей ионизирующей частицы можно также сде-
сделать видимым в перегретой жидкости (см. т. I, § 13.3), закипающей
при резком уменьшении давления. Центрами интенсивного парообра-
— 393 —
зования, приводящего к появлению цепочки пузырьков пара, явля-
являются ионы, образующиеся вдоль траектории заряженной частицы. Этот
принцип осуществлен в пузырьковой камере, предложенной Д. А. Гле-
Глезером A952). В качестве рабочих жидкостей (наполнителей) в ней при-
применяют жидкий водород, пропан С3НЯ и другие легкокипящие жид-
жидкости (главным образом фреоны). Преимуществом пузырьковой каме-
камеры перед камерой Вильсона является значительно большая (примерно
в 103 раз) плотность вещества наполнителя Это позволяет применять
ее дли регистрации частиц очень больших энергий, которые тормозятся
в пузырьковой камере на отрезках, в тысячи раз меньших, чем в ка-
камере Вильсона. Если в камере Вильсона можно сфотографировать
лишь малый участок траектории очень быстрой частицы, то зафикси-
зафиксированный в пузырьковой камере след частицы соответствует в тысячи
раз большему участку траектории в камере Вильсона.
8. Последним из экспериментальных методов, на котором мы оста-
остановимся, является метод толстослойных, или ядерных, фотоэмульсий,
разработанный Л. В. Мысовским и А. П. Ждановым. Он основан на
использовании почернения фотографического слоя под действием
проходящих через фотоэмульсию быстрых заряженных частиц. Ядер-
Ядерные эмульсии применяются в виде ряда слоев. Это позволяет исследо-
исследовать траектории частиц высоких энергий. Для изучения следов частиц,
обладающих очень высокой энергией и дающих длинные следы, боль-
большое число пластинок складывается в стопу, помещаемую наклонно к
следу. Тогда последовательные участки следов траектории частицы
можно изучать по почернению эмульсии в пластинках стопы, следую-
следующих друг за другом. Существенным преимуществом метода фотоэмуль-
фотоэмульсий помимо простоты применения является то, что он дает неисче-
неисчезаю п; и й след частицы, который затем может быть тщательно
изучен. Это привело к широкому применению метода ядерных фото-
фотоэмульсий при изучении свойств новых элементарных частиц и исследо-
исследовании космического пространства (путем установления пластинок
с ядерными фотоэмульсиями на спутниках, ракетах и космических
кораблях). Этим же методом с добавлением к эмульсии соединений
бора или лития могут быть изучены следы нейтронов, которые в ре-
результате реакций с ядрами В и Li создают а-частицы, вызывающие
почернение в слое ядерной эмульсии. По следам сх-часгиц делаются
выводы о скоростях и энергиях нейтронов, вызвавших появление а-
частиц.
§ 17.5. Закономерности
радиоактивного «-распада
1. Радиоактивный сх-распад является свойством тяжелых
ядер с массовыми числами А > 200 и зарядовым числом Z > 82.
Внутри тяжелых ядер происходит образование а-частиц, состоящих
каждая их двух протонов и двух нейтронов. Обособлению этих четырех
нуклонов способствует свойство насыщения ядерных сил. По срав-
сравнению с отдельными нуклонами сформировавшаяся «-частица подвер-
подвержена меньшему действию ядерных сил притяжения и вместе с тем
— 394 -
Рис. 17.9
большему действию кулоновских сил отталкивания от протонов
ядра.
2. Ядра естественно-а-радиоактивных элементов, близко располо-
расположенных в периодической таблице Менделеева, весьма резко отличаются
по значениям периодов их полураспадов. Вместе с тем, как показали
исследования, скорости вылетающих а-частиц у радия A^jPo) и радия
С (neiPo) отличаются весьма незначительно—1,68-107 м/с и 1,92 х
X 107 м/с. Для выяснения механизма а-распада и его особенностей боль-
большое значение имели опыты
по рассеянию а-частиц тя-
тяжелыми радиоактивными
ядрами и одновременное,
измерение энергии а-час-
а-частиц, испускаемых этими
ядрами. На рис. 17.9 изоб-
изображена кривая щменциаль-
ной энергии системы ядро
урана — а-частица. На рас-
расстояниях, превышающих
радиус действия ядерных сил, кривая является частью гипер-
гиперболы, соответствующей взаимодействию а-частицы с положительно
заряженным ядром но закону Кулона. На расстояниях, где действуют
ядерные силы, кривая потенциальной энергии аппроксимирована
вертикальной прямой, соответствующей резкому изменению с расстоя-
расстоянием ядерных сил.
3. Из рис. 17.9 видно, что ядро представляет для а-частицы потен-
потенциальный барьер некоторой высоты Uo. Опыты Резерфорда по рассея-
рассеянию а-частиц, получаемых при распаде тория С, на ядрах урана пока-
показали, чю а-частицы, обладая энергией 8,8 МэВ, до расстояний
«3-10~14м рассеиваются ядром урана по закону Кулона. Отсюда
следует, что высота барьера £/0 для а-частицы больше чем 8,8 МэВ.
-В противном случае а-частица с такой энергией не была бы рассеяна
ядром, а была бы им захвачена, т. е. проникла бы внутрь ядра. Наряду
с этим обнаружилось, что а-частицы, испускаемые ядром урана, имеют
энергию, меньшую высоты барьера и равную лишь 4 МэВ. Из
кривой рис. 17.9 видно, что это соответствует выходу а-частицы из
ядра па расстояниях 6,7-10~14 м от его центра. Таким образом, а-
частица, не будучи в состоянии преодолеть барьер высоты Ua, выходит
из ядра, проходя сквозь запрещенную область АВ, где ее полная
энергия W значительно меньше потенциальной. Такое прохождение
частицы сквозь потенциальный барьер — туннельный эффект (см.
§ 12.8) — характеризуется прозрачностью D потенциального барьера,
вычисляемой по формуле A2.39').
4. Формула A2.39') указывает на большую чувствительность про-
прозрачности барьера к малейшим изменениям энергии а-частицы, нахо-
находящейся внутри потенциальной ямы 1. В самом деле, даже незначи-
незначительные изменения в значениях W приводят к тому, что величина
1 В данном случае для а-частицы внутри ядра.
— 395 —
/ 9 ' . \
exp( ~j\ ]/ma[U (x) — W] dx будет очень сильно изменяться. При
малейших изменениях энергии W а-частицы в ядре значительно изме-
изменяется и прозрачность D потенциального барьера. Этим объясняются
отмеченные выше большие различия в периодах полураспадов радиоак-
швных элементов при сравнительно близких значениях энергий выле-
вылетающих из их ядер а-частиц.
5. Постоянную распада Я можно легко связать с прозрачностью D
потенциального барьера для а-частицы. Простоты ради заменим ре-
реальный потенциальный барьер прямоугольным потенциальным барье-
барьером длины L, изображенным на рис. 12.11. Тогда вероятность того, что
за единицу времени произойдет а-распад,— постоянную распада к —
можно представить произведением
k = Dn, A7.10)
где п — число ударов а-частицы о стенку барьера за единицу времени.
Если v — V2W',та — скорость а-частицы в ядре, то n=v/ BL), ибо 2 L
есть расстояние, проходимое а-частицей от одного удара о стенку ба-
барьера до др\гого. Используя формулу A2.39) для прозрачности пря-
прямоугольного барьера и подставив значения D и п в выражение A7.10),
получим х
i/"(|) A7.11)
Формула A7.11) указывает на существование зависимости межд)
постоянной распада и начальной энергией а-частицы.
6. Наличие определенной связи между постоянной радиоактивного
распада и начальной энергией вылетающих из ядра а частиц было уста-
установлено экспериментальным путем
значительно раньше, чем была созда-
создана современная теория ос-распада. Ис-
Исследование кривых удельной иониза-
ионизации, производимой а-частицами в
различных газах, показало, чго зави-
зависимость числа а-частиц от длины пути
—г. -г 4-^» 1 R, который эти частицы проходят в
Длина прайеел кп данном веществе, изображается кри-
Рис. 17.10 вой, представленной на рис. 17.10.
Из кривой видно, что длины про-
пробегов а-частиц незначительно отличаются от некоторой величины
Ro, являющейся экстремальным значением пробега а-частиц. Иными
словами, длины пробегов а-частиц, испускаемых данным радиоактив-
радиоактивным веществом, варьируются в очень небольших пределах вблизи
Ro — некоторой постоянной длины пробега. Г. Гейгер и Дж. М. Нэт-
тол на основании анализа большого числа опытов установили соотно-
соотношение, носящее название закона Гейгера — Нэттола: чем меньше
1 При этом опущен коэффициент Do, близкий к единице.
— 396 —
период полураспада радиоактивного элемента, тем больше пробег ис-
испускаемых им а-частиц. Закон Гейгера — Нэттола выражается фор-
формулой
A7.12)
\nF A\
\nl=A+B\nR, A7.13)
где А', В', А и В — эмпирические константы.
7. Более точные исследования показали, что у каждого сс-излу-
чающего ядра могут существовать несколько групп «моноэнергети-
«моноэнергетических» а-частиц. Разброс энергий а-частиц внутри каждой группы
очень мал. Оценку степени неоднородности а-частиц по энергиям мож-
можно произвести с помощью соотношения неопределенностей A2.15).
Если обозначить через AW разброс энергий а-частиц, а через At —
время, в течение которого происходит их испускание, то согласно
A2.15) А^~~.
Для радиоактивных элементов с наименьшим периодом полурас-
полураспада At ж 10~4 с, откуда AW л> 10~м Дж. Эта величина значительно
меньше разности энергий а-частиц, принадлежащих различным «мо-
«моноэнергетическим» группам.
Экспериментальные данные о наличии у одного и того же а-радио-
активного элемента нескольких групп а-частиц с различными /?„ и
постоянство длин пробегов для каждой такой группы показывают, что
выбрасываемые из ядер а-частицы обладают определенным «спектром»
энергий и, следовательно, атомные ядра обладают дискретными энер-
энергетическими уровнями.
§ 17.6. Гамма-излучение
1. Гамма-излучение не вызывает изменения заряда и
массового числа ядер, а поэтому не описывается никакими правилами
смещения. Установлено, что ■у-лучи как самостоятельный вид естест-
естественной радиоактивности не встречаются и обычно сопровождают а- и
|3-распады. Опытным путем установлено, что у-лучи испуска-
испускаются не материнским, адочерним ядром, которое
в момент своего образования оказывается возбужденным и обладает
избыточной энергией по сравнению с обычным, нормальным энергети-
энергетическим состоянием ядра. За весьма малое время (порядка 10~13—
—10~14 с), значительно меньшее, чем время жизни возбужденного ато-
атома (~ 10"8 с), дочернее ядро переходит в нормальное или менее возбуж-
возбужденное состояние и при этом испускает у-излучение, имеющее дискрет-
дискретный, линейчатый спектр.
2. Указанные выше свойства у-излучения ядер были доказаны при
изучении явления внутренней конверсии 7"лУчей- Так называется
явление фотоэффекта на электронах внутренних оболочек атома под
действием 7-лучей, испускаемых его ядром. Электроны, которые обра-
образуются в результате такого внутриатомного фотоэффекта, называются
конверсированными или электронами конверсии. В ряде случаев вся
энергия ^-излучения расходуется на явление внутренней конверсии и
— 397 —
тогда вместо у-лучей могут наблюдаться лишь электроны конверсии.
Энергия еф фотоэлектрона конверсии связана с энершеи hv у-фотона
уравнением A1.2) Эйнштейна для фотоэффекта.
e<fn=hv—An,
где дп — работа выхода электрона с л-й электронной оболочки атома,
равная энергии электронов, находящихся на определенных энергети-
энергетических уровнях в атоме. Энергии электронов, находящихся на этих
уровнях/ известны из данных о характеристических рентгеновских
спектрах атомов. Гамма-фотон, обладающий большой энергией hv,
может удалить электрон из любой внутренней оболочки (К-, L-,
Л1-оболочки и т д.) Поэтому энергии еср,( электронов конверсии выра-
выразятся следующим образом:
etfL — hv — A-l; еум =hv — AM; eyN — hv— AN и т д., A7.14)
где AL, AM, AN — энергии рентгеновских уровней атома.
3. Очевидно, что атом, ядро которого испускает у-фотон, должен
благодаря внутренней конверсии испускать одновременно характери-
характеристические рентгеновские излучения Действительно, в результате кон-
конверсии атом теряет электроны из внутренних оболочек, на их место
переходят электроны с внешних оболочек, что сопровождается излу-
излучен ием линий рентгеновского х ар актер истического спектр а (см §14.11)
Измерения энергии конверсированных электронов и весьма точные дан-
данные об энергиях рентгеновских уровней в атомах позволяют, во-пер-
во-первых, убедиться в том, что ядро может испускать определенный
ряд монохроматических у-лучей, т. е что у-излучение обладает ли-
линейчатым спектром. Во-вторых, при рассмотрении соотношений A7 14),
если считать известными значения всех входящих в них величин, можно
убедиться в том, что у-лучи испускаются не материнским, а дочерним
ядром в момент его образования.
4 Наличие дискретного, линейчатого спектра у-излучения, как и
существование определенных энергий а-частиц, выбрасываемых яд-
ядрами, имеет принципиальное значение и является доказательством
того, что атомные ядра могут находиться в определенных дискрет-
дискретных энергетических состояниях.
Энергия у-фотона может быть записана следующим образом.
hvlk = W,~Wk, A7.15)
где vllt — частота у-фотона, соответствующего переходу ядра из состоя-
состояния с энергией Wt в состояние с энергией Wtl Измерения энергии
у-фотонов показывают, что разность Wl — Wk в большинстве случаев
имеет порядок величины 0,1 МэВ. Это означает, что у-лучи являются
весьма коротковолновым электромагнитным излучением с длиной вол-
волны, не превышающей 10~11 м, т е 0,1 А. С другой стороны, это пока-
показывает, что энергетические уровни в ядрах весьма раздвинуты друг
от друга. Разность энергий ближайших уровней в ядре значительно
превышает разность энергий ближайших электронных уровней
в атоме.
— 398 —
5. На большой проникающей способности у-излучения основана
гамма-дефектоскопия—-метод обнаружения дефектов в изделиях
путем просвечивания их у-лучами, широко применяемый в промышлен-
промышленности и строительстве (металлургия, судостроение и т. д ). Различные
местные повреждения в сварных швах, металлических отливках и
других объектах обнаруживаются по различной интенсивности
у-излучения, прошедшего через исследуемые тела. В зависимости or
состава, толщины, плотности и других свойств просвечиваемою изде-
изделия изменяется интенсивность у-излучения, достигшего приемника,
поставленного за объектом. Таким методом определяют местоположе-
местоположение, размеры и формы дефектов (трещины, раковины, непроваренные
швы и т. п ).
6. Действие па вещество у-излучения и других ридов ионичирхю-
щих излучений оценивается дозой излучения D. Так называется ве-
величина, равная отношению энергии излучения к массе обличаемого
вещества.
Единицей дозы является джоуль на килограмм (Дж кг) Это доза
излучения, при которой массе в 1 ki обличенного вещества передается
энергия ионизир\ющего излучения 1 Дж. Эта единица называется
грей (Го).
Внесистемная единица дозы— рад, 1 рад=10~2 Дж/кг=10~2 Гр.
Мощностью N дозы излучения называется доза D, отнесенная к
единице времени' N=D't
Единицей мощности дозы является ватт на килограмм (Вт'кг или
Гр/с).
7. Энергетической характеристикой излучения, оцениваемой по
ионизации сухого ашосферного воздуха, является экспозиционная
доза излучения D, Единицей ее служит кулон на килограмм (Кл'кг) —
экспозиционная доза рентгеновского или гамма-излучения, при кото-
которой сумма электрических зарядов ионов одного знака, созданных
электронами, освободившимися в облученном воздухе массой в 1 кг
при полном использовании ионизирующей способности, равна 1 Кл.
Внесистемной единицей экспозиционной дозы служит рентген (Р):
IP =2,58 10-* К л/кг
При экспозиционной дозе, равной 1 Р, в К)-'1 мч сухого воздуха при нормаль
ном атмосферном давлении возникает с}Мм<)рный заряд ионов одного знака
равный Ч3 Ю-9 Кл
Мощность экспозиционной дозы N^=Djt выражается в амперах
на килограмм (А'кг). Это мощность экспозиционной дозы электромаг-
электромагнитного излучения, при которой за время в 1 с экспозиционная доза
возрастает на 1 Кл/кг.
Внесистемные единицы мощности экспозиционной дозы 1 Р/с=2,58-10~* А/кг-
1 Р/мин=4,30-10-" А/кг, 1 Р/ч=7,17.10-8 А/ю.
8. Доза излучения может быть оценена по ее биологическому bos-
действию. Для этой цели вводится биологический эквивалент рентгена
— 399 —
(бэр). Так называется поглощенная энергия излучения, биологиче-
биологически эквивалентная одному рентгену:
1 бэр = Ю-2 Дж/кг.
Для человеческого организма считается безопасной мощность
дозы, примерно в 250 раз превосходящая мощность, которую создают
космический фон и радиоактивные излучения из недр Земли.
§ 17.7. Эффект Мёссбауэра
1. Выводы о существовании дискретных энергетических
уровней у атомного ядра с присущими им определенными значениями
энергии нуждаются в одном важном уточнении. Строго говоря, лишь
основное состояние стабильного ядра имеет определенную энергию.
Все возбужденные состояния ядра имеют значения энергии, опреде-
определенные лишь с точностью до величины Д W, вытекающей из соотноше-
соотношения неопределенностей A2.15):
где At — время жизни ядра в возбужденном состоянии. Лишь для
основного состояния стабильного ядра Д^=оо и AW=0. Чем меньше
величина Д*, тем большей становится неопределенность AW величины
энергии возбужденного состояния. Например, ядро иридия ("^Ir)
имеет возбужденное состояние с энергией 11^=129 кэВ. Переходя в
основное состояние, это ядро испускает у-фотон. Если принять, что
у иридия период полураспада Г=10~10 с равен времени At, то соотно-
соотношение неопределенностей дает возможность оценить величину AW.
Она оказывается приблизительно равной 5-10~"эВ. Конечное время
жизни возбужденных энергетических состояний ядра приводит к
немонохроматичности у-излучения, сопровождающего переход ядра из
возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность назы-
называется естественной шириной линии у-излучения, а неточность AW
величины энергии возбужденного состояния называется естественной
шириной энергетического уровня и обозначается буквой Г. В преды-
предыдущем примере Г=5- 10~е эВ, что составляет весьма малую часть энер-
энергии W уровня: r/W=i- 10~n. Очень важной задачей ядерной физики
являлось отыскание способов измерения весьма малых изменений энер-
энергии, сравнимых с естественной шириной уровня Г. Это давало бы воз-
возможность измерять энергию уровней в ядрах с весьма большой от-
относительной точностью FiW.
2. Методом измерения малых изменений энергии на величину,
сравнимую с шириной уровня Г, является резонансное поглощение
у-излучения ядрами. Если ядро облучается у-фотонами такой частоты
v, что энергия hv фотона равна разности энергий одного из возбужден-
возбужденных и основного энергетических состояний ядра, то может происходить
резонансное поглощение у-излучения — ядро поглощает у-фотон та-
такой же частоты, какую имеет излучаемый самим ядром у-фотон при пе-
переходе ядра из данного возбужденного энергетического состояния в
основное.
— 400 —
Однако практическое осуществление резонансного поглощения
у-излучения до последнего времени затруднялось весьма широкими
линиями излучения и поглощения. Это связано с тем, что в актах
излучения и поглощения ядром у-фотонов необходимо учитывать отдачу
ядра. При переходе ядра из возбужденного состояния с энергией W
в основное (энергия которого принята равной нулю) у-фотон приобре-
приобретает энергию Wy, меньшую, чем W, на величину Wa энергии от-
отдачи ядра:
Wy=W — W,<W.
Аналогично при возбуждении ядра и переходе его из основного
состояния в состояние с энергией W у-фотон должен обладать энергией
Wv, большей W на величину IFH той энергии отдачи, котор>ю
у-фотон должен передать поглощающему ядру:
w:, = w + wH> w.
Таким образом, частоты в максимумах линий излучения vH31 и погло-
поглощения vnorJI сдвинуты друг относительно друга на величину Av=
^ж,™ — ^изд такую, что /iAv=2Wfl.
Энергию Ws отдачи ядра можно подсчитать, воспользовавшись
законом сохранения импульса, согласно когорому в процессах излуче-
излучения и поглощения у-фотона им-
импульс его рф должен быть равен
импульсу ядра ря: рф=ря. Тогда
.А.
■ 2/Ия •
МЛ2 1
с J 2МЯ •
Для ядра ^Ir с энергией
возбужденного состояния W=
-=129 кэВ вычисления дают ре-
результат Ws ж 0,05 эВ. Таким об-
образом, максимумы линий излу-
излучения и поглощения сдвинуты
на величину Av=2Wjh. Легко
видеть, что hAv=0,laB значи-
значительно превышает естественную
ширину уровня Г. На рис. 17.11 изображено относительное располо-
расположение и форма линий излучения и поглощения у-лучей с энергией W
перехода 129 кэВ ядром иридия при Г=300 К- Из рисунка видно,что
резонансное поглощение и испускание у-лучей может происходить
лишь для небольшого числа у-фотонов в области перекрытия ли-
линий испускания и поглощения \ Для увеличения этой области и
тем самым улучшения условий наблюдения резонансного поглощения
применялось доплеровское смещение частоты линий испускания в
Рис. 17.11
1 Аналогичный расчет энергии огдачи в случае излучения и поглощения види-
видимого света с длиной волны %—5000А при массовом числе Л=-200 показывает, что
WH=l,36-10~n эВ,т. е. является весьма малой величиной. Это означает, что линии
испускания и поглощения полиостью перекрываются и поэтому в видимой области
могут осущесшляться процессы резонансного поглощения и излучения.
— 401 —
результате быстрого движения излучающего источника. Однако такие
опыты не могли быть использованы для измерения малых изменений
энергии, так как результаты опытов зависели от точности измерений
скорости движения источника.
3. Р. Мёссбауэр разработал метод A958), позволивший резко
уменьшить энергию отдачи №„ ядер в процессах испускания и пог-
поглощения у-лучей и тем самым создать условия, при которых эти про-
процессы происходят практически без потерь энергии на отдачу ядер.
Речь идет о явлении, получившем название эффекта Мёссбауэра. Ме-
Метод основан на том, чтобы наблюдать излучение и поглощение у-лучей
ядрами, находящимися в кристаллической решетке, т. е. в связан-
связанном состоянии. В этих условиях импульс и энергия отдачи переда-
передаются не одному ядру, излучающему у-фотон (или поглощающему его),
а в с е й кристаллической решетке в целом. Ввиду того что масса
кристалла значительно больше массы ядра, потери энергии Wa при
излучении и поглощении у-лучей становятся весьма малыми, т. е. эти
процессы происходят практически без потерь энергии, идеально упру-
упруго. Из предыдущего ясно, что в этом случае будет наблюдаться резо-
резонансное поглощение и испускание строго определенной частоты, а
линии поглощения и испускания будут весьма узкими, имеющими толь-
только естественную ширину.
4. Методом резонансного поглощения у-излучения без отдачи из-
измеряются весьма малые изменения энергии. Так, например, измерения
эффекта Мёссбауэра для у-перехода в ядрах "Fe с энергией перехода
1F=14,4 кэВ позволили определить изменение энергии с точностью
до величины FIW, равной 3-10~13, а для у-перехода в 67Zn с энергией
перехода W=93 кэВ величина Г/W оказалась равной 5-10~16. Возмож-
Возможность измерять очень малые изменения энергии и высокая точность
этих измерений позволили с успехом применяв эффект Мёссбауэра
для наблюдения очень тонких и важных эффектов в современной физи-
физике. Так, в 1960 г. этим методом в лабораторных условиях было изме-
измерено смещение частоты спектральных линий в гравитационном поле
(так называемое «красное смещение»).
При движении фотона в гравитационном поле между точками с гра-
гравитационными потенциалами epi и ср2 (см. т. 1, § 6.2) его энергия
изменяется на величину ДИ7=—/Иф(ср2—cpi)~—тф Дер. Знак минус
указывает на то, что увеличение энергии фотона в гравитационном
поле происходит за счет уменьшения его «собственной» энергии W~
=hv, т. е. /tAv=—тф Дер. Подставив массу фотона m^=h\!c2, получим
относительное изменение частоты при прохождении фотоном гравита-
гравитационной разности потенциалов Дер:
Av Дф
— ■=— -г ■
Потенциал поля тяготения Солнца увеличивается по мере удаления от
него. Это значит, что на поверхности Земли он больше, чем на поверх-
поверхности Солнца, т. е. Дс| > 0. Следовательно, Av'v отрицательно и все
спектральные линии Солнца и звезд, регистрируемые на 3tM к1, будут
иметь меньшие частоты, сдвинутые к красному участку спектра. Этот
— 402 —
эффект поэтому и получил название гравитационного красного
смещения.
Идея использования эффекта Мёссбауэра для измерения красного
смещения состояла в том, чтобы сравнить частоты у-фотона на полу
и потолке лаборатории и определить сдвиг частоты. При подъеме по
вертикали в поле тяготения Земли на высоту 10 м гравитационное
Av Дф ей
красное смещение равно
с*
10~15. Для того чтобы заре-
гистрировать такой сдвиг частоты, нужно было осуществить резонанс-
резонансное поглощение у-фотонов так, чтобы источники и приемники у-из-
лучения имели относительную ширину линий, меньшую или равную
Ю~15. При этих условиях поглощение надежно отсутствовало, если
частота у-фотона, падающего на ядро, отличалась от частоты фотона,
который ядро может поглотить, на величину Av--=10~15 v.
В опыте, о котором идет речь, два одинаковых кристаллических
источника у-излучеиия располагались на 20 м один выше другого.
Когда приемник у-излучения находился на одной высоте с источником
у-фотонов, происходило резонансное поглощение. При подъеме при-
приемника на 20 м поглощение прекращалось вследствие гравитацион-
гравитационного смещения частоты. Для восстановления поглощения использо-
использовался эффект Доплера (см. § 9.5). При определенной скорости сближе
ния приемника с источником излучения доплеровское увеличение
частоты компенсировало ее гравитационное уменьшение и резонансное
поглощение у-лучей восстанавливалось. Описанный опыт подтвердил
в земных условиях один из результатов общей теории относительности.
Эффект Мёссбауэра с успехом применен для наблюдения доплер-
эффекта второго порядка (см. § 9.5). В так называемой ядерной cnei<i-
роскопии эффект Мёссбауэра используется для точных измерений
энергетических уровней атомных ядер. В физике твердого тела эффект
Мёссбауэра открывает такие возможности для исследования, которые
по своей значимости можно сравнить с методом Лауэ наблюдения
дифракции рентгеновских лучей. Как известно, чтот метод в свое время
открыл целую эпоху в исследовании строения и свойств твердых тел.
Мы не имеем, к сожалению, возможности входить в более подробное
обсуждение уже имеющихся применений эффекта Мёссбауэра и пер-
перспектив его дальнейшего использования.
§ 17.S. Закономерности ^-радиоактивности
1. Явление естественной р_-радиоактивности \ как это
следует из правил смещения A7.5), не связано с изменением числа
наклонов в ядре, ибо массовое число А не- изменяется при вылете
электрона. Протонно-нейтронное строение ядра исключает возмож-
возможность вылета из ядра стабичьно существующих электронов — их в
ядре нет. Поэтому теоретическое истолкование [5_-радиоактивных
превращений ядер явилось весьма важной задачей ядерной физики.
1 Обозначение р_ для процесса естественной р-радиоактивности связано с тем,
что, как выяснится в § 18 2, возможен еще процесс р + искусственной р-радиоактив-
ности.
— 403 —
Си предсюяло ответить на вопрос: откуда берутся электроны, выбра-
выбрасываемые ядрами при радиоактивном fL-распаде? Сам термин «распад»
здесь должен употребляться в условном смысле. Речь идет, строго
говоря, не о распаде, а о превращении материнского ядра ^Х в дочер-
дочернее zfiY с одновременным испусканием электрона. Однако термин
<ф_-распад» обычно применяется, и мы будем им пользоваться. Пред-
Предположение о том, что электрон покидает электронную оболочку, ок-
окружающую ядро, отпадает, ибо это было бы связано либо с изменением
химических свойств атома
(ионизация с внешних
электронных подуровней),
либо с одновременным воз-
вы.
Гранииа. никновением кроме "р-излу-
спер чения рентгеновских фото-
J нов, если бы электрон уда-
Q~~2BQ~~W 600 800 WOO 1200 W. m$ лялся с одной из внутрен-
внутренних оболочек. Эксперимен-
ML- ты не подтвердили ни того,
ни другого.
2. Серьезную роль в развитии современных представлений о при-
природе р..-распада сыграло изучение энергетического спектра испускае-
испускаемых электронов.
На рис. 17.12 представлена кривая распределения р_-частиц по
энергиям для изотопа fjJK- Она характерна для распределения по
энергиям электронов у всех радиоактивных источников. Важной осо-
особенностью всех энергетических C_-спектров является их н е п р е р ы в-
и о с т ь. Во всех случаях кривая начинается с нуля и ограничена со
стороны больших энергий. Наибольшая энергия lFgtMaKC, которой
могут обладать испущенные электроны, называется верхней границей
энергии E_-спектра и является характеристикой источника [^-излу-
[^-излучения *.
3. Непрерывность энергетического спектра испускаемых электро-
электронов при fL-распаде явилась большой трудностью в ядерной физике.
В самом деле, из изложенного в предыдущих параграфах с необходи-
необходимостью вытекает, что атомные ядра как квантуемые системы могут
находиться в определенных энергетических состояниях. В таком
случае, почему же р_-активные ядра, которые до и после |3_-распадл
имеют вполне определенные энергии, могут выбрасывать электроны со
всевозможными энергиями? Можно подумать, что электрон выбрасы-
выбрасывается с определенной энергией (равной разности энергий материнско-
материнского и дочернего ядра), а затем электрон каким-то образом растрачивает
некоторую часть своей энергии, причем эта часть может быть различ-
различной 2. Однако это предположение было опровергнуто прямыми ка-
1 В действительности, как видно из кривой рис. 17.12, энергией W$t макс не об-
обладает ни один электрон, испущенный данным источником. Однако существенно, что
кривые типа изображенных на рис. 17.12 не приближаются асимптотически к оси абс-
абсцисс, а пересекают ее при Wp, макс. Это означает, что для данного источника р_-из-
р_-излучения невозможны энергии электронов, превышающие Wp, макс.
2 Например, можно предположить, что энергия электрона растрачивается внутри
электронных оболочек атомов радиоактивного препарата, испускающего C_-лучи.
- 404 -
лориметрическими опытами. Если |3 „-активный препарат находится в
свинцовой ампуле, непроницаемой для |3_-лучей, то вся энергия, вы-
выделяемая при C_-распаде, заключена внутри ампулы. Поместив ампулу
в калориметр, можно измерить энергию, выделившуюся за определен-
определенное время, и подсчитать энергию, приходящуюся на один электрон,
испускаемый ядром. Если бы гипотеза о том, что выбрасываемая |3_-
частица имеет постоянную энергию, оказалась верна, то измеренная
калориметрически энергия на один распад совпадала бы с WPi макс —
верхней границей энергии в спектре ^.-излучения. Многочисленные
опыты такого типа, поставленные с большой точностью, показали, что
указанная энергия совпадает не с Wgi макс, а со средней энергией
частицы, которая составляет лишь четверть от W$i макс.
4. Затруднение с непрерывностью энергий, испускаемых ядрами
Р_-лучей, имело принципиальный характер. Речь шла о нарушении
закона сохранения энергии при C_-распаде. Н. Бор пытался даже
обосновать теоретически возможность нарушения закона сохранения
энергии в отдельных элементарных процессах, происходящих в мик-
микромире, в том числе и во внутриядерных явлениях. Согласно этим
идеям Бора, справедливость закона сохранения энергии должна про-
проявляться в микромире лишь статистически для большого числа элемен-
элементарных процессов. Однако поскольку многочисленные достижения
квантовой теории в области атомной и ядерной физики не пришли в
противоречие ни с одним из основных законов природы (в частности,
для элементарных процессов закон сохранения энергии подтверждал-
подтверждался всякий раз с поразительной точностью), не было оснований выделять
процесс р_-распада среди других процессов.
Помимо кардинальной трудности с законом сохранения энергии
с ^--распадом была связана еще одна трудность. Как известно, при
fL-распаде ядра не изменяется число нуклонов в ядре. Поэтому не
должен изменяться и спин ядра, равный целому числу л при четном
массовом числе А и полуцелому числу л при нечетном числе Л. Но
вылет электрона, имеющего спин fil2, должен изменить спин ядра на
величину л/2, т. е. ядро, имеющее, например, четное число нуклонов,
должно было бы после р_-распада иметь полуцелый спин и подчиняться
другой квантовой статистике, продолжая сохранять в своем составе
четное число нуклонов. Это противоречило экспериментальным и
теоретическим данным о строении и свойствах атомных ядер.
5. Таким образом, явление ^--радиоактивности поставило перед
ядерной физикой три трудные проблемы: откуда берутся вылетающие
электроны, почему их энергии могут принимать всевозможные значе-
значения от 0 до Wp, макс и как совместить сохранение при |3_-распаде спина
ядра с тем, что электрон уносит из ядра спин, равный л/2? Решение
этих проблем было предложено В. Паули A931). Он предположил, что
при Р_-распаде помимо электрона вылетает еще одна частица, обла-
обладающая нулевым зарядом, ничтожно малой массой и спином, равным
л/2. Э. Ферми, разработавший на основе гипотезы Паули теорию
Р_-распада, назвал эту частицу нейтрино, что означает «маленький
нейтрон». Нейтрино принято теперь обозначать символом Jve. Соглас-
Согласно современным данным, частицей, испускаемой при электронном р_-
— 405 —
распаде, является не электронное нейтрино [jvp, а так называемое элек-
электронное антинейтрино, обозначаемое °0\-е и обладающее, как и электрон-
электронное нейтрино, спином А/2, нулевым зарядом, нулевой массой1 и маг-
магнитным моментом, не превышающим 10~9 магнетона Бора. Вопрос о
различии «античастиц» — нейтрино и антинейтрино — более подробно
рассмотрен в § 19.7.
Введение нейтрино (а впоследствии и антинейтрино) позволило
сразу объяснить наличие сплошного энергетического спектра у |}_-
радиоактивных излучателей. Полная энергия, теряемая ядром при
испускании электрона, действительно равна Wtu макс — верхней
границе fL-спектра. Но она может различным образом распреде-
распределяться между электроном и антинейтрино в соответствии с кривой па
рис. 17.12. В частности, нулевое значение энергии электрона на кривой
означает, что вся энергия ^„-распада уносится антинейтрино. В гра-
граничной точке кривой рис. 17.12, где энергия электрона равна W$t макс,
вся энергия распада уносится электроном, а энергия антинейтрино
равна нулю. Во.всех промежуточных точках кривой рис. 17.12 энер-
энергия распада распределяется между электроном п антинейтрино таким
образом, что сумма энергий этих частиц все время равна №g, макс.
Естественным образом объяснилось и сохранение спина ядра при
р\_-распаде. Поскольку вместе с электроном уносится н антинейтрино,
обладающее, как и электрон, спином А/2, суммарный спин обеих частиц
при взаимно противоположной ориентации их спинов может быть ра-
равен нулю.
6. Вопрос о возникновении электронов при C_-распаде мы рассмот-
рассмотрим несколько дальше, а сейчас кратко остановимся на вопросе об
экспериментальном обосновании гипотезы о нейтрино. Эксперимент
по обнаружению антинейтрино рассмотрен в § 19.7. Обнаружение
нейтрино (и антинейтрино) сопряжено с большими трудностями, свя-
связанными с отсутствием у этих частиц электрического заряда и массы.
Дело в том, что нейтринные частицы практически почти не взаимодей-
взаимодействуют с веществом. Если «улучи высоких энергий порядка 10" —
10s эВ, сравнительно слабо взаимодействующие с ядрами, должны
пройти в среднем 2,5—3 м в свинце, прежде чем у-фотон будет захвачен
ядром, то, как можно подсчитать, нейтрино должно пройти через сви-
свинец расстояние в ... 50 световых лет, прежде чем произойдет ее вза-
взаимодействие с ядром *-. Идея одного из экспериментов но обнаружению
нейтрино состоит в изучении отдачи атомных ядер при р^-распаде.
Если бы вылетающий при fL-распаде электрон был единствен-
единственной частицей, то, по закону сохранения импульсов, ядро приобре-
приобретало бы при этом импульс, равный и противоположный импульсу элек-
электрона 3. Если же при ^.-распаде ядра вместе с электроном выбрасы-
выбрасывается и антинейтрино, то векторная сумма трех импульсов — элект-
электрона, антинейтрино и ядра отдачи — должна быть равна нулю. Это
1 В современной теории массы покоя нейтрино и антинейтрино принимаются
равными нулю. О различии электронного и мезониого нейтрино см. §.20.7.
2 Взаимодействие нейтрино с электронной оболочкой атомов практически также
не может быть обнаружено.
3 Считается, что ядро, испытывающее р_-распад, неподвижно.
- 406 -
показано на рис. 17.13. Во всяком случае, импульсы электрона и ядра
отдачи не могут быть в случае наличия антинейтрино направлены в
противоположные стороны. Опыт подтвердил эти соображения.
7. Для решения вопроса о возникновении электронов при распаде
следует еще раз напомнить, что при этом распаде согласно правилу
смещения A7.5) число нуклонов в ядре не изменяется и заряд ядра
увеличивается на одну единицу. Единственной возможностью одно-
одновременного осуществления этих условий является превращение в ядре
нейтрона \п в протон \р с одновременным образованием электрона
_Хе и вылетом антинейтрино "ve:
Ъп-+}р + Ле + &е. A7.16)
При этом превращении выполняются закон сохранения электрического
заряда, а также, как видно из идеи рассмотренных выше опытов,
закон сохранения импульса. Сохраняется также баланс массовых чи-
чисел. Остается выяснить энергетическую
возможность такого превращения. Оно
должно сопровождаться выделением
энергии, необходимой для образования
электрона и антинейтрино при самопро-
самопроизвольном протекании естественной f}_-
радиоактивности. Превращение нейтро-
нейтрона в протон оказывается возможным
ввиду различия масс и энергий покоя
этих частиц. Масса покоя нейтрона пре- Рис. 17.13
вышает массу атома водорода (т. е. про-
протона и электрона, вместе взятых) на 0,837-10~3 а.е.м. Этой массе соот-
соответствует энергия, равная 782 кэВ. За счет этой энергии может про-
происходить самопроизвольное превращение нейтрона в протон. Энер-
Энергия 782 кэВ при этом должна распределяться между вылетающими
электроном и антинейтрино.
8. Для подтверждения изложенной выше теории fL-распада суще-
существенное значение имело обнаружение A950) радиоактивного распада
свободных нейтронов. В связи с созданием ядерных реакторов,
генерирующих потоки нейтронов большой интенсивности, удалось
наблюдать радиоактивный распад свободного нейтрона. Оказалось,
что этот процесс происходит с периодом полураспада, равным A,01 ±
± 0,03)-103 с. Электроны, возникающие при распаде нейтрона, имеют,
как выяснилось, непрерывный энергетический спектр того же типа, что
и приведенный на рис. 17.12. Верхняя граница W^ накс энергии элект-
электронов, образовавшихся при распаде нейтрона,' оказалась равной
782 кэВ, что соответствует приведенным выше расчетам.
9. При движении в веществе ^--электронов и других заряженных
частиц они теряют энергию. Мерой потери энергии заряженной части-
частицей является величина —dW/dx, т. е. убыль энергии dW частицы на
единице длины пути dx. Различают потери энергии ионизационные и
радиационные. Первый тип потерь обусловлен взаимодействием заря-
заряженных частиц с электронными оболочками атомов, а второй — вза-
взаимодействием с ядрами. Детальный анализ показывает, что иониза-
— 407 —
ционные потери зависят от скорости v заряда по закону—\-^~) ~
~ ^-вплотьдо энергий частиц порядка нескольких мегаэлектронвольт.
При дальнейшем возрастании скорости и энергии частицы убыль
энергии прекращается. Радиационные потери связаны с тормозным
излучением, т. е. испусканием фотонов при торможении частицы
кулоновским полем ядер атомов вещества. Как известно (см. § 14.11),
результатом такого торможения является появление рентгеновского
излучения с непрерывным спектром частот. Особенно велики тормозные
потери энергии в конденсированных средах, где велика плотность ядер
и, следовательно, вероятность торможения ядрами заряженных ча-
частиц. Исследование радиационных (тормозных) потерь позволило
установить следующие закономерности этого явления:
а) радиационные потери возрастают с увеличением заряда ядра
атомов вещества прямо пропорционально Z2;
б) тормозное излучение прямо пропорционально квадрату уско-
ускорения частицы и, следовательно, при одном и том же заряде частиц
(одинаковой силе взаимодействия с ядрами вещества) обратно пропор-
пропорционально квадрату массы частицы.
Отсюда следует, что тормозное излучение является основным
источником потерь энергии для быстрых электронов, в то
время как для протонов и более тяжелых заряженных ядер тор-
тормозные потери несущественны. При малых энергиях
электронов основным источником потерь энергии являются и о н и -
тационные потери. Отсюда следует, что существует некоторая
критическая энергия электронов, при которой
тормозные потери становятся равными ионизационным. Для воды она
ра^на около 100 МэВ, для свинца — около 10 МэВ, для воздуха —
нескольким десяткам МэВ.
Глава XVIII
ИСКУССТВЕННЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЯДЕР
§ 18.1. Первые ядерные реакции.
Открытие нейтрона
1. Открытие естественной радиоактивности сыграло
большую роль в изучении строения и свойств атомных ядер. Оно давало
возможность зондировать ядра с помощью а-частиц, обладающих
достаточно большими энергиями и способных, преодолев потенциаль-
потенциальный барьер, проникнуть внутрь ядра.
Так было положено начало изучению ядерных реакций — искус-
искусственных превращений атомных ядер, вызванных их взаимодействием
с частицами или друг с другом. Впервые ядерная реакция была осу-
осуществлена в 1919 г. Э. Резерфордом с
помощью а-частиц, испускаемых поло-
полонием 2g*Po и имеющих энергию около
7,5 МэВ. Схема опыта Резерфорда изоб- ;*—" "~^ И
ражена на рис. 18.1. В камере К, на-
наполненной различными газами, поме-
помещался радиоактивный полониевый ис-
источник С. Сцинтилляции, вызванные
попаданием каких-либо частиц на экран Рис. 18.1
5, наблюдались в микроскоп М. Альфа-
частицы с энергией, близкой к 7,5 МэВ, имели при давлениях газов,
которые создавались в камере, такие длины пробегов, что алюминиевая
фольга F, поставленная перед экраном S, полностью поглощала все
а-частицы, испущенные полонием. Таким образом, в микроскопе не
должны были наблюдаться сцинтилляции, вызванные а-частицами.
Между тем опыт показал, что при наполнении камеры азотом сцин-
сцинтилляции наблюдались. При заполнении камеры другими газами,
например кислородом или углекислым газом, сцинтилляций не было.
2. Появление сцинтилляций означало, что при наполнении камеры
азотом действие а-частиц на атомы азота приводило к возникновению
новых частиц, обладающих достаточной проникающей способностью и
достигающих экрана S. По отклонению этих частиц в магнитном поле
удалось установить, что это были протоны, и измерить их скорость.
Резерфорд объяснил результаты своего опыта так: при столкновении с
ядром азота быстрая а-частица проникает в него и вызывает ядерную
реакцию превращения азота в ядро кислорода с выбрасыванием
протона.
Ядерные реакции происходят в соответствии с законами сохранения
суммарного массового числа частиц, обладающих массой покоя, и
суммарного электрического заряда всех ядер и частиц, участвующих
в реакции. Поэтому указанную реакцию можно записать следующим
образом:
4tf + iHe-*».O + ijt>. A8.1)
_ 409 —
Действительно, из A8.1) видно, что сумма нижних индексов —
зарядов всех ядер и частиц, а также сумма верхних индексов — их
массовых чисел — неизменны как до, так и после реакции.
3. В дальнейшем детальное описание ядерной реакции A8.1)
было проведено с помощью автоматизированной камеры Вильсона,
позволяющей получать стереоскопические снимки и производить из-
измерение пробегов пролетающих частиц. Фотографии следов показали,
что весьма редко след а-частицы заканчивался вилкой, изображенной
на рис. 18.2. В точке О исчезает след частицы, поглощенной ядром азо-
п та, и вместо него образуются два следа: короткий
жирный след ядра кислорода "О, испытавшего от-
отдачу, и длинный топкий след, явно не принадле-
принадлежащий а-частице,— след протона, образовавшегося
при ядерной реакции.
По закону сохранения импульса в реакции A8.1)
можно определить отношение масс ядра отдачи и
Рис. 18.2 образовавшейся частицы. Для этого по фотографии
следов нужно измерить угол между следами ОА
и Ор продуктов реакции и по измеренным длинам пробегов вычислить
скорости ядра кислорода, а-частицы и протона. Расчеты показали,
что искомое отношение масс равно 1 : 17, что соответствует образова-
образованию в реакции изотопа кислорода ^0 и протона [р.
4. Реакция A8.1) происходила с поглощением энергии, т. е. была
эндотермической реакцией 1. Энергию &W, поглощенную в реакции,
легко определить по разности масс частиц, вступивших в реакцию
и получившихся в результате нее, аналогично тому, как в § 16.4 вы-
вычислялась энергия связи частиц в ядре:
Д№ = 931,5 (Afi«N +MiUe—Mno—Mi ) МэВ.
По известным значениям всех масс можно подсчитать, что AW=
=—1,16 МэВ. С другой стороны, энергетический выход реакции может
бьпь подсчитан, если применить к реакции одновременно законы сох-
сохранения импульса и энергии. Оба метода вычисления оказалась в хо-
хорошем согласии друг с другом и полностью подтвердили правильность
записи реакции A8.1). Одновременно теоретическое и эксперименталь-
экспериментальное изучение реакции A8.1) показало, что законы сохранения энергии
и импульса и соотношение W=mc'1 могут с успехом применяться к
элементарным актам ядерных превращений.
5. После осуществления первой ядерной реакции были предпри-
предприняты обширные исследования превращений ядер атомов бора, алюми-
алюминия, фтора, калия и других элементов по действиям ос-частиц. В об-
общем виде все эти реакции можно записать следующим образом 2:
A8.2)
1 Эндотермическая реакция может происходить лишь начиная с определенной ми-
минимальной энергии налетающей а-частицы, называемой энергетическим порогом ре-
реакции.
2 В подобной записи, обычно применяемой в ядерной физике, величина &W до-
добавляется для суждения об энергетическом характере реакции.
— 410 —
где ^Х — исходное ядро, облучаемое а-частицей, JX\Y — ядро,
получившееся в результате реакции. Величина AW может быть как
отрицательной для эндотермических реакций, так и положительной
для экзотермических реакций (происходящих с выделением энергии1).
Экзотермические реакции не имеют энергетического порога и могут
происходить при любых значениях энергии налетающей частицы.
Однако при незначительных энергиях такие реакции мало вероят-
вероятны. Примером экзотермической реакции служит ядерная реакция
превращения ядра алюминия '^А\ в ядро кремния f£Si:
UAl+|He —IjSi+lp+AlF.
В этой реакции были обнаружены протоны с длиной пробега около
0,9 м. Такой большой пробег протонов объясняется тем, что в этой
реакции выделяется энергия AW, равная 2,26 МэВ.
6. Ядерные реакции под действием а-частиц привели к открытию
нейтронов, которые, как известно из предыдущего, входят в состав
атомных ядер. В 1930 г. при облучении ядра бериллия |Веа-частнцами
было обнаружено возникновение весьма сильно проникающего излу-
излучения. Предположили, что ядро бериллия, захватив а-частицу, пре-
превращается в возбужденное ядро изотопа углерода ^С, переход кото-
которого в нормальное состояние сопровождается испусканием фотонов
жестких у-лучей. Оценки энергии предполагаемых у-лучей по их погло-
поглощению привели к тому, что у-фотон должен иметь энергию, близкую к
7 МэВ.
В 1931 г. Ф. Жолио-Кюри и И. Кюри-Жолио обнаружили, что «бе-
риллиевое излучение», проходя через водородсодержащие соединения,
например парафин, производит интенсивнее выбивание протонов, об-
обладающих длиной пробега до 26 см. Для получения протонов с такими
пробегами у-фотоны должны были бы иметь энергию не 7, а 55 Л^эВ.
Дальнейшие исследования показали, что излучение, которому вначале
приписывали электромагнитный характер, вызывает появление ядер
отдачи в таких газах, как азот, аргон и даже сравнительно тяжелый
криптон. Причем при наблюдаемых в аргоне пробегах ядер отдачи
у-фотоны должны были иметь энергию, которая почти на порядок
величины больше, чем та, которую фактически имели частицы прони-
проникающего излучения, возникшего в бериллии. Выход из этого затрудне-
затруднения был указан в 1932 г. Д. Чэдвиком. Он доказал, что наблюдаемые
в различных газах пробеги и скорости ядер отдачи могут возникнуть
при соударении этих ядер не с у-фотонами, а с частицами, масса кото-
которых близка к массе протона. Эти частицы и были названы нейтронами
Цп). В самом деле, нейтрон с массой покоя тп и скоростью v0 до упру-
упругого центрального соударения с неподвижным ядром, имеющим массу
М, сообщит этому ядру скорость v, которая находится из законов сохра-
сохранения импульса и энергии:
1 В экзоюрмической реакции cj-мма кпнешчиских энергий ее продуктов преЕЫ-
шает энергию падающей частицы на величину выделяющейся энергии Д W.
— 411 —
Для случаев прохождения нейтронов через азот (М = 14) и водород
(М==\) отношение скоростей ядер отдачи равно
uN: Ун == (т„ + 1): (т„ + 14).
Из экспериментальных данных о скоростях ядер отдачи отноше-
отношение Un/^h оказалось равным приблизительно 0,13. Это дает для тп
значение, близкое к единице. Нейтроны, не обладающие электрическим
зарядом, не взаимодействуют с электронами атомов и не имеют ку-
лоновского взаимодействия с ядрами. Однако благодаря ядерным си-
силам и наличию у нейтронов магнитных моментов существует взаимо-
взаимодействие нейтронов с ядрами, которое и приводит к появлению ядер
отдачи, наблюдаемых экспериментально.
Ядерная реакция, в которой впервые были получены нейтроны,
имеет следующий вид:
A8-3)
В дальнейшем нейтроны сыграли выдающуюся роль в качестве
частиц, вызывающих ядерные реакции.
§ 18.2. Искусственная радиоактивность. е-Захват
1. И. Кюри-Жолио и Ф. Жолио-Кюри обнаружили
A934), что в некоторых ядерных реакциях под действием а-лучей об-
облучаемые ядра испытывают радиоактивный распад после того, как
действие на них а-лучей прекращается. Опыты проводились с ядрами
алюминия, бора, магния. Это означало, что в результате воздействия
а-частиц на ядра последние становились радиоактивными. Опыты по-
показали, что изменение активности этого собственного радиоактивного
излучения удовлетворяет основному закону радиоактивного распада
A7.2), т. е. экспоненциально зависит от времени, как и в случае есте-
естественной радиоактивности. Периоды полураспада для бора, алюминия
и магния оказались равными соответственно 14, 3,25 и 2,5 мин.
Так было открыто явление искусственной (наведенной) радиоактив-
радиоактивности, заключающееся в том, что под действием а-частии, а также нейт-
нейтронов и других частиц могут возникать искусственнорадиоактивные
ядра, дающие собственные радиоактивные излучения.
2. Возможность существования искусственной радиоактивности
вытекает из следующих соображений. Согласно формуле A6.15), устой-
устойчивыми, обладающими наименьшей энергией, являются ядра с числом
протонов ZyCT;
Z А
усг 1,98+0,015Л2/3
и соответствующим числом нейтронов (А— Zycr). При меньшем числе
протонов, чем это предписывается формулой A6.15), ядро обладает
повышенной энергией и оказывается неустойчивым. Наличие в ядре
меньшего, чем следует по A6.15), числа протонов и, следовательно,
избыток в нем нейтронов приводят к тому, что ядро стремится умень-
уменьшить свою энергию путем превращения нейтрона в протон, рас-
- 412 —
смотренного в § 17.8. Как известно, это приводит к радиоактивному
Р_-распаду, сопровождающемуся выбрасыванием из ядра электрона
и антинейтрино.
Существенно, что условием такого процесса является избыток в
ядре числа нейтронов по сравнению с их числом, требуемым формулой
A6.15). Следовательно, радиоактивными мог>т быть не только тяже-
тяжелые ядра, для которых наблюдается явление естественной радиоак-
радиоактивности.
Легкие ядра, в которых искусственно создано избыточное число
нейтронов по сравнению с протонами, т. е. такие ядра, где нарушено
условие их стабильности A6.15), также могут быть (^-радиоактив-
(^-радиоактивными. Изотопы, обладающие таким свойством, называкнся искуссг-
веннорадиоактивными. Типичным примером является превращение
стабильного изотопа натрия JJNa под действием нейтронов в радиоак-
радиоактивный изотоп цКа. Этот изотоп является (^-радиоактивным и пре-
превращается в стабильный изотоп магния ?|Mg, причем процесс сопровож-
сопровождается выбросом электрона и 7"фот<эна:
Радиоактивный изотоп углерода ^С, возникающий из стабильного
ядра азота "N под действием нейтронов (с выделением протонов),
распадаясь, вновь превращается в устойчивый изотоп азота:
Радиоактивный изотоп кобальта а°Со, испуская электроны, превра-
превращается в стабильный изотоп никеля |°Ni \
Примеров искусственной р"_-радиоактивности можно привести
очень много.
В настоящее время искусственнорадиоактивные изотопы, возни-
возникающие под действием нейтронов, получаются в результате деления
тяжелых ядер (см. § 18.7) и их создание является одним из процессов,
происходящих в ядерных реакторах (см. § 18.10).
4. Условие A6.15) устойчивости ядер может быть нарушено также
путем введения в ядро избыточных протонов. Это приведет к возраста-
возрастанию энергии ядра по сравнению с ее минимальным значением, опре-
определяемым условием A6.15), и к появлению у ядра радиоактивных
свойств. Такие ядра будут претерпевать радиоактивный распад, соот-
соответствующий превращению избыточного протона в нейтрон по схеме
e. A8.4)
Возникающая при этом частица +\е с положительным единичным
зарядом имеет массу, равную массе электрона, спин, равный %12, и
называется позитроном. Реакция сопровождается, как мы видим,
выбрасыванием нейтрино °ove— незаряженной частицы с массой покоя,
равной нулю, что вытекает из тех же соображений, которые изло-
изложены в § 17.8 при обсуждении р_-распада.
1 В приведенных выше реакциях не указано, что они сопровождаются выбрасы-
выбрасыванием антинейтрино.
- 413 -
В связи с тем что масса покоя (а следовательно, и энергия покоя)
протона меньше, чем у нейтрона, реакция A8.4) не может происхо-
происходить для свободного протона, как это наблюдается для нейтрона.
Однако для протона, связанного в атомном ядре благодаря ядерному
взаимодействию частиц, эта реакция оказывается энергетически воз-
возможной. Превращение A8.4) при наличии избыточного протона пере-
переводит ядро в состояние с минимумом энергии ч сопровождается ее
выделением. Искуссгвеннорадиоактивное превращение, приводящее
к появлению позитронов, называется радиоактивным р|-распадом
в отличие от обычного электронного распада. Искусственную рг-
радиоактивносгь впервые наблюдали супруги Жолио-Кюри прн облу-
облучении а-частнцами бора, алюминия и магния. Как показало деталь-
детальное изучение этих ядерных реакций, они происходят по следующей
схеме:
а) "В biHe—>U7N — * "N + Jm,
б) fiAl+iHe
в) ЙМё + !Не
A8.5)
I
Искусствсннорадиоактивные изотопы ^N и f]Si имеют в своих
ядрах по одному избыточному протону, чем и объясняется позитрон-
ньг.1 характер их радиоактивности. Появление в ядерных реакци-
реакциях A8.5) позитронов было доказано наблюдением треков этих частиц
в камере Вильсона, находящейся в магнитном поле. Характер откло-
отклонений частиц указывал на наличие у них положительного заряда.
Опыты показали, что масса покоя позитрона в точности равна массе
покоя электрона, а его спин равен %/2. Все сказанное в § 17.8 о непре-
непрерывном энергетическом спектре электронов, образуемых в процессе
(:Сгественной р_-радиоактивности, относится и к спектру энергий по-
позитронов, возникающих при искусственной р+-радиоактивности.
5. Превращение протона в нейтрон в ядре может происходи!ь
кроме процесса (^-радиоактивности с помощью так называемою
е-захвата, обнаруженного Л. Альварецем A937). Этот вид искусствен-
искусственной радиоактивности заключается в том, что превращение i/7-Ц/г
сопровождается исчезновением одного из электронов на ближайшей
к ядру /(-оболочке атома. Протон \р, превращаясь в нейтрон, как бы
«захватывает» электрон _?<? с /(-оболочки; отсюда и термин электрон-
электронный захват, или е-захват1. Часто е-захват называют третьим типом
[5-радиоактивности. При этом из законов сохранения вытекает необ-
необходимость появления нейтрино. е-Захват может быть описан следую-
следующей схемой:
\р + Ле-+\п + >е- A8.6)
На самом деле захвата электрона ядром, разумеется, не происхо-
происходит. Превращение протона в нейтрон в ядре сопровождается одновре-
1 Применяется также термин К-захват.
— 414 —
менным исчезновением электрона на /(-оболочке. Прпмеоом е-захвата
является превращение радиоактивного ядра бериллия ]Ве в устойчи-
устойчивое ядро лития ^Li. Период полураспада этого процесса составляет
53,6 дня. Другим примером является превращение радиоактивною
изотопа ванадия |JV в стабильный изотоп титана ЦТ с периодом полу-
полураспада 600 дней.
Опыты показали, что при е-захвате наблюдается характеристиче-
характеристическое рентгеновское излучение, принадлежащее Л'-линии элемента.
Последнее очень существенно для обнаружения е-захвата. При е-
захвате, кроме нейтрино, никакие частицы не вылетают. В этом
состоит существенное отличие е-захвата от процессов р j -радиоактив-
-радиоактивности, при которых вылетают две частицы, между которыми распреде-
распределяется энергия распада. В случае е-захвата нейтрино уносит всю энер-
энергию распада. Это означает, что нейтрино, вылетающие при е-захвате,
должны обладать определенной энергией. Это обстоятельство
использовалось в одной из попыток экспериментального обнаружения
нейтрино (см. § 19.7).
В результате превращения \p-t-\n в ядре его атомный номер Z
становится равным Z—1, т.е. в результате ядерного превращения
возникает ядро атома химического элемента, расположенного на одно
место левее в периодической системе элементов Менделеева. Одновре-
Одновременно на ближайшей к ядру /(-оболочке образовавшегося атома ока-
оказывается лишь один электрон вместо двух. Как известно из § 14.11,
в этом случае должно возникать характеристическое рентгеновское
излучение. Таким образом, экспериментальным методом обнаруже-
обнаружения е-захвата является возникновение рентгеновского характеристи-
характеристического излучения у продукта этого радиоактивного процесса.
В подавляющем большинстве случаев ядра, возникшие в резуль-
результате е-захвата, оказываются возбужденными и переходят в нормаль-
нормальное состояние с испусканием 7"излУчения-
§ 18.3. Возникновение и уничтожение
электронно-позитронных пар
1. В 1928 г. П. Дирак из релятивистского волнового
уравнения для электрона вывел, как следствие, существование час-
частицы (позитрона), которая должна проявлять себя как положитель-
положительный электрон (см. § 19.7).
В 1932 г., за два года до открытия супругами Жолио-Кюри искус-
искусственной радиоактивности, X. Андерсон обнаружил позитроны среди
частиц, входящих в состав космических лучей (см § 19.2). Вскоре вы-
выяснилось, что позитроны возникают в процессе образования пар.
Так называется процесс превращения Y ~ Ф ° т о н а боль-
большой энергии в пару частиц — электрон и позитрон.
Этот процесс, происходящий по схеме у-»-_?е-|-+?е, вызывается столкно-
столкновением 7-фотона с какой-либо заряженной частицей, например атом-
атомным ядром, в поле которого и образуется электронно-позитронная
пара. Возникновение пары экспериментально может быть обнаружено,
например, в камере Вильсона, находящейся в магнитном поле. Под
— 415 —
действием силы Лоренца, действующей на движущийся заряд в по-
постоянном магнитном поле, происходит отклонение заряда. Электрон и
позитрон, имеющие противоположные по знаку заряды, отклоняются
в противоположные стороны. На рис. 18 3 приведена фотография пары,
образовавшейся в слое свинца толщиной 5 ■ 10~з м под действием
7-фотонов с энергией в 5,7 МэВ.
2. Образование пары электрон + позитрон должно происходить
в соответствии с законами сохранения энергии и импульса. Из закона
сохранения энергии следует, что для создания пары -у-фотон должен
иметь энергию, не меньшую чем 2 т0с2, т. е.
Ь>2т0с2=1,022 МэВ, где т0с2=0,511 МэВ
есть энергия покоя каждой из образовавших-
образовавшихся частиц. Поэтому, например, у-излучение
полония с энергией 0,8 МэВ не создает пары,
вто время как 7-излучениес энергией 1,8МэВ
образует пары.
Закон сохранения импульса накладывает
дополнительные ограничения на процесс об-
образования пары. Дело в том, что при образо-
образовании из фотона двух частиц с массой покоя
т<гт^0 суммарный импульс обеих частиц мень-
меньше, чем импульс фотона hv/c \ Поэтому в сис-
системе фотон — электронно-позитронная пара
закон сохранения импульса оказывается нару-
нарушенным. Это означает, что для образования
пары нужно участие еще одной частицы, при-
принимающей на себя часть импульса фотона,
превышающую суммарный импульс обеих частиц. Такой частицей
обычно является атомное ядро, но может служить и один из электро-
электронов электронной оболочки атома вещества, в котором происходит
торможение жесткого ^-излучения. В этом последнем случае электрон
отдачи получает импульс, который может быть обнаружен по следу
этого электрона в камере Вильсона "-. Возникновение пары частиц
(электрона и позитрона), обладающих каждая спином, равным %12,
из ^-фотона требует помимо выполнения законов сохранения энергии
и импульса, чтобы фотон обладал целым спином (в единицах Й), рав-
равным 0 или 1. Ряд веских соображений, в обсуждение которых мы не
входим 3, привел к выводу, что фотон не может быть бесспиновой час-
частицей и что, следовательно, спин фотона равен й. Это означает, что
«газ фотонов» — электромагнитное поле — должен подчиняться стати-
статистике Бозе—-Эйнштейна. Действительно, применение статистики
Бозе — Эйнштейна к полю излучения абсолютно черного тела приво-
приводит к формуле Планка.
Рис 18 3
1 Предлагаем читателю доказать это несложным расчетом
2 Импульс ядра отдачи при образовании пары также может быть зарегистриро-
зарегистрирован экспериментально
3 Они требуют применения методов современной квантовой теории поля — так
называемой квантовой электродинамики.
— 416
3. Кроме процесса возникновения электронно-позитронной пары
возможен обратный процесс соединения этих частиц, при ко-
котором пара уничтожается и возникает в подавляющем боль-
большинстве случаев два у-фотона. Этот процесс может быть описан сле-
следующим образом:
Ле + Ле-> 2у. A8.7)
Появление при таком процессе двух у-фотонов вытекает из закона
сохранения импульса. В самом деле, если до воссоединения частиц
_°е и +°е суммарный импульс обеих частиц в системе координат, свя-
связанной с центром масс системы электрон — позитрон, был равен нулю,
то для сохранения импульса неизменным после уничтожения пары
должны образоваться два у-фотона, импульсы которых направлены
в противоположные стороны Каждый из у-фотонов уносит энергию,
равную /iv=/n0c2=0,511 МэВ х.
Возникновение и уничтожение электронно-позитронных пар отра-
отражает важный принцип обратимости процессов микромира, известный
в квантовой физике. Если существует какой-то прямой процесс, то
существует и обратный процесс. Поэтому в уравнении A8.7) стрелки
должны быть направлены в обе стороны.
Ле + Ле^2у. A8 7')
Прямым экспериментальным доказательством существования эф-
эффекта уничтожения пары являются опыты Л. А Арцимовича,
А. И Алиханова и А. И. Алиханяна. Они воспользовались тем, что
в свободном состоянии позитрон может существовать весьма недолго.
Проходя через вещество, он воссоединяется с одним из электронов
атома вещества и при этом возникают два у-фотона. В описываемых
опытах источник позитронов помещался внутри свинцовой оболочки,
которая располагалась между двумя счетчиками. Толщина оболочки
выбиралась такой, чтобы все позитроны внутри нее соединялись с элект-
электронами, а образовавшиеся у-фотоны проходили наружу и фиксирова-
фиксировались счетчиками. Опыты показали, что в каждом акте воссоединения
позитрона с электроном возникали два у-фотона, летящих в противо-
противоположные стороны. Измерения интенсивности у-излучения позволили
измерить энергию hv фотонов, оказавшуюся близкой к 0,5 МэВ.
4. Явления возникновения и уничтожения электронно-позитронной
пары представляют интерес как пример взаимосвязи различных форм
материи. Мы встречаемся здесь с превращением материи в форме ве-
вещества в материю в форме электромагнитного поля и с обратным
превращением. Разумеется, при этих превращениях выполняются все
законы сохранения. Так, масса у-фотона, из которого образуется
пара, оказывается в точности равной массе образовавшихся частиц.
Поэтому не может быть речи ни о каком «уничтожении» или «рожде-
«рождении» массы, а тем более материи в этих процессах. Именно поэтому
следует избегать термина «аннигиляция» («превращение в ничто»)
пары при описании процесса превращения пары в у-фотоны.
1 Последнее справедливо в том случае, если можно пренебречь кинетическими
энергиями Wb и №п электрона и позитрона до их воссоединения Вообще говоря,
энергия обоих ^-фотонов равна tt72y=:22+W+H?'
14 а. А. Детлаф, Б. М. Яворский — 417 —
§ 18.4. Составное ядро. Общая характеристика
и примеры ядерных реакций
1. В основе подавляющего числа ядерных реакций лежит
столкновение атомных ядер с частицами (нейтронами, а-частицами,
протонами, дейтронами) или между собой 1. Эти столкновения су-
существенно отличаются не только от соударений тел или частиц, рас-
рассматриваемых в классической механике (см., например, т. I, § 6.5),
но и от механизма столкновений налетающих частиц с электронной
оболочкой атомов или молекул, рассматриваемых в квантовой ме-
механике.
В классической физике и в большинстве квантовомеханических за-
задач о столкновениях рассматривается передача импульса (а при не-
неупругих соударениях — и энергии) от налетающей частицы к какой-
либо одной частице мишени, с которой происходит столкновение.
Например, при возбуждении или ионизации атома соударением его
с ионом происходит передача энергии от иона к какому-либо элект-
электрону атома. В результате этот электрон либо переводится в возбуж-
возбужденное энергетическое состояние, либо в случае ионизации удаляется
из атома.
2. В ядерных столкновениях мы встречаемся с принципиально
иной ситуацией. Короткодействие ядерных сил приводит, как из-
известно из § 16.6, к тому, что плотность ядерного вещества очень ве-
велика. Ядро представляет собой настолько плотное образование, что
когда в него попадает налетающая частица, она не взаимодействует
с каким-либо одним нуклоном. Проникая в ядро, частица не простре-
простреливает ядро, а «застревает» в нем, причем энергия частицы передается
не одному, а многим нуклонам. Таким образом, захват ядром попав-
попавшей в него частицы приводит к образованию промежуточного так на-
называемого составного ядра ( «компаунд» -ядра). В этом состоит пер-
первый этап ядерной реакции.
3. Н. Бор, Я. И. Френкель и Л. Д. Ландау, развившие теорию со-
составного ядра, показали, что энергия W, которую приносит с собой
частица, за весьма малое время равномерно распределяется
между всеми частицами составного ядра, т. е. не только нуклонами
ядра-мишени, но и частицами, из которых состоит захваченный яд-
ядром «снаряд» 2, Согласно теории составного ядра, оно, как и любое
возбужденное тяжелое ядро (с большим массовым числом),
может рассматриваться как статистическая система частиц, совершаю-
совершающих неупорядоченные движения, подобные движению частиц в капле
жидкости. По своим свойствам составное ядро должно быть аналогично
капле жидкости (см. § 16.7), поскольку быстрое перераспре-
перераспределение энергии между частицами в ядре возможно лишь при частых
столкновениях частиц, что характерно для перераспределения энер-
1Ии между частицами жидкости. В частности, распределение энергии
1 В качестве исключения, когда столкновения не происходит, укажем на спонтан-
спонтанное деление ядер (см. § 18 7)
2 Налетающая частица (например, дейтрон или а-частица) может в свою очередь
состоять из нескольких элементарных частиц.
— 418 -
W возбуждения составного ядра между всеми его частицами должно
подчиняться статистическим законам, в первом приближении — за-
закону равномерного распределения энергии по степеням свободы
(см. т. I, § 11.5). Если составному ядру с массовым числом А сообщена
энергия №, то средней энергии возбуждения на одну частицу W/A
должна соответствовать некоторая «ядерная температура» Т, опреде-
определяемая из условия
W/A = 3/*kT.
Мерой ядерной температуры является средняя кинетическая энергия,
приходящаяся на одну частицу составного ядра.
Например, при Л = 100 и №=100 МэВ «ядерная температура» ока-
оказывается по порядку величины равной 109 градусам.
Огромное значение Т показывает условность этого понятия.
4. Статистическое рассмотрение составного ядра-капли оказалось
очень плодотворным для описания общих закономерностей протека-
протекания ядерных реакций, в частности для понимания второго
этапа ядерной реакции — вылета из составного ядра
тех или иных частиц. В результате случайных отклонений от равно-
равномерного распределения энергии возбуждения между частицами сос-
составного ядра на одной из них может сконцентрироваться энергия,
достаточная для вылета этой частицы из ядра. Этот процесс можно
рассматривать как «испарение» частицы из составного ядра-капли.
Между первым этапом ядерной реакции и вылетом из составного ядра
тех или иных частиц проходит время, много большее так называемого
ядерного времени, за которое принимается время, необходимое для
того, чтобы частица с энергией порядка 1 МэВ и скоростью ~10' м/с
прошла расстояние, по порядку величины равное диаметру ядра
\0~Ч м, т. е. время, равное тя = —г^—-—=10~м с1. Время жизни
составного ядра достигает A0е—10')тя. Это означает, что превращения
составного ядра — второй этап ядерной реакции — происходят н е-
зависимо от захвата падающей частицы ядром-мишенью, т. е. от
первого этапа реакции. Оба этапа ядерной реакции могут быть изоб-
изображены следующей схемой:
£Х+а —£Y-^C + 6, A8.8)
где z,'X — исходное ядро-мишень, а — налетающая частица, zfY —
составное ядро, г3'С— ядро-продукт ядерной реакции, Ъ — частица,
вылетевшая из ядра в результате реакции.
В том случае, если испущенная ядром частица тождественна с па-
падающей {а—Ь), формула A8.8) описывает рассеяние частицы
(неупругое или упругое в зависимости от того, одинаковы или нет
энергии частицы до и после рассеяния). Если же частица Ъ не тож-
тождественна а, то происходит ядерная реакция в прямом смысле слова.
5. Эффективность любой ядерной реакции определяется величи-
величиной эффективного поперечного сечения а данной реакции, характе-
1 Более точная оценка ядерного времени дана в § 19.4,
U* — 419 —
ризующего ее «выход» на одну облучающую ядро частицу. Предпо-
Предположим, что за единицу времени на единицу площади поперечного се-
сечения слоя вещества, содержащего No ядер в единице объема, падает
плоскопараллельный поток, в котором содержится п0 частиц. Тогда
число частиц dna, претерпевающих ядерную реакцию в слое толщиной
dx, можно выразить следующим образом:
dn0—on0N<4x. A8 9)
Величина а, выражаемая в квадратных метрах (м2), называется
эффективным поперечным сечением данной ядерной реакции х.
6. Составное ядро 1гД может, как правило, испустить одну из сле-
следующих частиц- нейтрон, протон, а-частицу и у-фотон. Каждый из
этих процессов может быть охарактеризован вероятностью Хг того,
что составное ядро выбросит i-ю из перечисленных выше частиц и
перейдет из своего возбужденного состояния в нормальное состояние
ядра-продукта *',С.
Полная вероятность X того, что произойдет любое из этих превра-
превращений составного ядра, равна сумме вероятностей всех возможных
процессов 2:
A8.10)
Вместо вероятности К процесса распада составного ядра обычно
рассматривается время жизни т его возбужденного состояния, причем
т=\/Х. По соотношению неопределенностей Гейзенберга A2 15) время
жизни т связано с величиной неопределенности энергии &W состав-
составного ядра формулой
Величина AW называется шириной уровня Г. Таким образом,
Г« tk
A8 11)
где Гп, Гр, Га и Гу — ширина уровней, соответствующая указанным
превращениям ядра Величину ri—kkl='h/xl называют парциальной
шириной уровня. Таким образом, полная ширина уровня составного
ядра равна сумме парциальных ширин, соответствующих всем воз-
возможным процессам распада составного ядра.
7. Ядерные реакции могут быть классифицированы по различным
признакам: по энергиям вызывающих их частиц, по роду участвую-
участвующих в них частиц и, наконец, по характеру происходящих ядерных
превращений. Различают ядерные реакции при малых, средних и
высоких энергиях. Реакции при малых энергиях (порядка 1 эВ) про-
1 В ядерной физике единицей эффективного поперечного сечения является
1 барн—10~28 м2.
2 При этом предполагается, что все перечисленные процессы превращения сос-
составного ядра происходят независимо друг от друга По своему физическому смыслу
вероятное™ Лг аналогичны постоянной радиоактивнэго распада, введенной в § 17.2.
— 420 —
исходят в основном с участием нейтронов. Реакции при средних энер-
энергиях (до нескольких МэВ) вызываются, кроме того, заряженными час-
частицами (протонами, а-частицами) и у-фотонами. Реакции при высо-
высоких энергиях (сотни и тысячи МэВ) приводят к рождению отсутствую-
отсутствующих в свободном состоянии элементарных частиц и имеют большое
значение для изучения свойств и структуры элементарных частиц.
8. По роду участвующих в ядерных реакциях частиц различают
реакции под действием нейтронов и под действием заряженных частиц
(кроме перечисленных выше ими могут быть дейтроны и многозарядные
ионы тяжелых химических элементов) Источниками заряженных
частиц помимо естественнорадиоактивных элементов являются уско-
ускорители, рассмотренные во втором гоме (см. т. II, § 18 5 и 21.2). Ядер-
Ядерные реакции могут производить также у-фотоны и космические лучи.
Для краткого обозначения характера ядерной реакции принята
следующая символика, (а, Ь), где а — обозначение частицы, вызываю-
вызывающей реакцию, b — возникшей в результате реакции. Например, реак-
реакции (а, р) и (а, п) происходят под действием а-частиц и приводят к вы-
вылету из ядра протонов \р и нейтронов \п
Протоны, обладающие по сравнению с а-часшцами меньшими за-
зарядом и массой, могут при наличии у них достаточной энергии про-
проникать в ядра и вызывать различные реакции (р, а), (р, п) и др.
Например, под действием искусственно ускоренных протонов проис-
происходят реакции (р, а):
В этой реакции помимо а-частицы (|Не) получается легкий изотоп
гелия jjHe. Другой пример реакции (р, а)
В ряде случаев при реакциях (р, а) образуется не одна, а две а-час-
а-частицы и возникает у-излучение большой энергии. Например,
73Li +{p-+ (JBe)* -*IB
В этой реакции возбужденное ядро бериллия (|Ве) * переходит в ос-
основное состояние ядра |Ве с испусканием у-фотонов высокой энергии.
Ядро |Ве является неустойчивым и распадается на две а-частицы.
В реакциях типа (р, п) под действием протонов возникают нейт-
нейтроны. Реакция сводится к тому, что в ядре происходит замена нейт-
нейтрона на протон. Примером может служить реакция
Ядра, возникающие в подобных реакциях, обычно бывают искусст-
веннорадиоактивными. В качестве источников ядерных реакций при-
применяются дейтроны fD — ядра тяжелого водорода-дейтерия. С их
помощью осуществляются, например, реакции типа (d, p) и (d, n).
Особый интерес имеет реакция, возникающая при облучении тяжелой
воды дейтронами. Она может протекать по каждому из указанных
типов:
*D + fD -> |Н + \р, ID + ID — |Не + \п.
- 421 —
В обоих случаях происходит синтез тяжелых ядер — трития ?Н
или легкого изотопа гелия Ще из более легких (дейтерия) с одновре-
одновременным образованием протона или нейтрона. Значение последних
реакций и их осуществление подробно рассмотрены в § 18.11.
9. По характеру происходящих при реакциях ядерных превраще-
превращений важнейшими являются ядерные реакции с испусканием нейтро-
нейтронов, заряженных частиц, а также реакции захвата. Последние харак-
характерны тем, что в этом случае составное ядро не испускает никаких
частиц, а переходит в нормальное энергетическое состояние, излучая
у-фотоны (радиационный захват). Для ядерных реакций с вылетом
заряженных частиц, а также реакций, происходящих под действием
таких частиц, необходимо учитывать наличие у ядра кулоновского
потенциального барьера, который заряженные частицы должны пре-
преодолеть для попадания в ядро или для выхода из него. Благодаря
туннельному эффекту реакции под действием заряженных частиц
начинаются при энергиях налетающих частиц, меньших, чем высота
потенциального барьера. Однако в связи с малой величиной прозрач-
прозрачности барьера вероятность такого проникновения в ядро мала. Для
вылета из ядра заряженной частицы на ней в составном ядре должна
сосредоточиться энергия возбуждения, необходимая для преодоле-
преодоления потенциального барьера х. Для нейтронов отсутствует кулонов-
ский потенциальный барьер, поэтому выход из ядра нейтрона не тре-
требует такой энергии, как для испускания ядром заряженных частиц.
Поэтому для ядер со средним значением массовых чисел E0<;Д-<100)
наиболее вероятными ядерными превращениями под действием заря-
заряженных частиц являются вылет нейтрона и излучение у-фотона.
§ 18.5. Прохождение нейтронов
через вещество
1. Пучок нейтронов, проходящий через вещество, прак-
практически не взаимодействует с электронными оболочками атомов и
молекул, поскольку нейтроны не обладают электрическим зарядом.
Взаимодействие нейтронов происходит лишь с ядрами, чем и объяс-
объясняется большая (по сравнению с заряженными частицами) проникаю-
проникающая способность нейтронов.
Характер взаимодействия нейтронов с ядрами различен для слу-
случаев быстрых и медленных частиц. Нейтроны называются быстрыми,
если их скорость v так велика, что соответствующая ей длина деброй-
левской волны к = — намного меньше, чем радиус R ядра, т.е.
— <^ R или v ^> —^ . Энергии быстрых нейтронов заключены в преде-
пределах от 0,1 до 50 МэВ. Если ^ >Я, т.е. v < ^ , то нейтроны назы-
называются медленными. Их энергии не превышают 100 кэВ. В первом
случае эффективное поперечное сечение взаимодействия нейтрона
1 Вероятность туннельного выхода из возбужденного составного ядра заряжен-
заряженной частицы оказывается много меньшей вероятности других процессов.
— 422 —
с ядром можно принять равным его геометрическому сечению, т. е.
считать, что ядро представляет для нейтрона некоторую «мишень»,
с которой он соударяется v. Для медленных нейтронов с энергиями
до 0,5 эВ (их называют еще тепловыми) эффективное поперечное се-
сечение их взаимодействия с ядрами оказывается в 102—103 раз боль-
большим геометрического сечения ядра.
Здесь уместно привести следующую оптическую аналогию. Если линейные раз-
размеры рассеивающего свет центра значительно превышают длину X световой волны,
то рассеяние света происходит по законам геометрической оптики и усложняющие
явление дифракционные эффекты не учитываются. Это соответствует случаю быстрых
нейтронов. Рассеяние света на объектах с линейными размерами d~X происходит по
законам волновой оптики, где интерференционные и дифракционные явления играют
основную роль. Это соответствует случаю медленных нейтронов.
2. При взаимодействии нейтронов с веществом происходят про-
процессы упругого и неупругого их рассеяния на ядрах, а также захват
нейтронов ядрами и деление тяжелых ядер (см. § 18.7). Быстрые
нейтроны испытывают главным образом рассеяние на ядрах. Если
плоскопараллельный пучок нейтронов проходит вдоль некоторой
оси X, то число нейтронов в пучке вследствие взаимодействия с яд-
ядрами убывает по экспоненциальному закону
N = Nuz-*'1, A8.12)
аналогичному закону распределения свободных пробегов молекул,
рассмотренному в первом томе настоящего курса [формула A1.20)].
В выражении A8.12) No— начальное число нейтронов в пучке при
х=0, N — число нейтронов, прошедших без рассеяния расстояние х,
I — средняя длина свободного пробега нейтрона в веществе. Величина
/ может быть выражена через эффективное поперечное сечение о вза-
взаимодействия нейтронов с ядрами2 [см. т. I, формула A1.19)]:
1=Щпйа), A8.13)
где По— концентрация неподвижных ядер в веществе.
3. В веществах, которые называются замедлителями, эффектив-
эффективное поперечное сечение рассеяния нейтронов превышает сечение за-
захвата. В качестве замедлителей нейтронов применяют графит, тяже-
тяжелую воду и соединения бериллия. Проходя через такие вещества,
быстрые нейтроны испытывают рассеяние на ядрах и замедляются
до тех пор, пока их энергия W не станет равной энергии теплового
движения атомов вещества-замедлителя, т. е. WxkT. Энергия этих
тепловых нейтронов переходит в основном в энергию отдачи ядер (при
комнатной температуре энергия тепловых нейтронов равна 0,025 эВ).
Дальнейшие столкновения тепловых нейтронов с ядрами вещества-
замедлителя не могут привести к уменьшению энергии нейтронов,
так как наступает тепловое равновесие между нейтронами и окру-
окружающей средой: нейтроны с одинаковой вероятностью могут приоб-
1 Под геометрическим сечением ядра понимается площадь сечения сферического
ядра по большому кругу.
2 Если число нейтронов в пучке убывает только в результате рассеяния, то а
является эффективным поперечным сечением рассеяния нейтронов на ядрах.
— 423 —
рести и потерять энергию порядка kT. Дальнейшие столкновения теп-
тепловых нейтронов с ядрами могут привести лишь к диффузии нейтро-
нейтронов в веществе без потери ими энергии до тех пор, пока нейтрон либо
не будет захвачен ядром, либо не выйдет за пределы замедлителя.
В состоянии теплового равновесия осуществляется максвелловское
распределение нейтронов по скоростям.
4. Исследуя явление искусственной радиоактивности, Э. Ферми
A934) заметил, что вещества, приобретающие искусственную радио-
радиоактивность при действии нейтронов на их ядра, обнаруживают зна-
значительно большую активность, если нейтроны предварительно про-
пропустить через замедлитель — водородсодержащее вещество типа пара-
парафина.
Медленные нейтроны испытывают, проходя через вещество, не
только рассеяние, но и так называемый захват — поглощение нейтро-
нейтронов ядрами. Захват нейтронов приводит к искусственной радиоактив-
радиоактивности ядер вещества. Опыты показали, что при определенных энер-
энергиях медленных нейтронов их захват ядрами происходит наиболее
интенсивно. Это явление, называемое резонансным поглощением
нейтронов, происходит при совпадении энергии нейтрона с энергией
составного ядра.
Регистрация нейтронов, проходящих через вещество, основана
на тех эффектах, которые возникают при взаимодействии нейтронов
с ядрами, и осуществляется счетчиками или ионизационными каме-
камерами. Так, при рассеянии нейтрона ядро отдачи получает от нейтрона
часть или всю его энергию. Наблюдая ядро отдачи любым из методов,
применяемых для регистрации заряженных частиц, можно подсчи-
подсчитать число провзаимодействовавших с ядрами нейтронов, пропорцио-
пропорциональное числу ядер отдачи, и найти энергию нейтронов. Оказалось,
что измеренная на опыте энергия ядер отдачи является простой функ-
функцией энергии нейтрона. Таким способом регистрируются быстрые
нейтроны.
Медленные нейтроны, испытывающие захват ядром, регистри-
регистрируются по процессам, сопровождающим распад составного ядра,—
испусканию заряженной частицы или у-фотона или, наконец, осколков
ядра при его делении (см. § 18.7). Во всех этих случаях для регист-
регистрации числа первичных нейтронов, вызвавших ядерную реакцию,
могут применяться методы регистрации заряженных частиц и у-
фотонов. Наконец, для регистрации нейтронов используется то об-
обстоятельство, что в результате захвата нейтронов ядра очень часто
становятся искусственнорадиоактивными. Этот метод практически
очень удобен, так как позволяет устранить мешающие излучения,
обычно испускаемые нейтронными источниками или окружающей
средой, захватывающей нейтроны. Вещества, применяемые для ре-
регистрации нейтронов, в которых радиоактивность наводится нейтро-
нейтронами, называются радиоактивными нейтронными индикаторами.
5. Тепловые нейтроны при комнатной температуре (Г«300 К)
имеют дебройлевскую длину волны, равную 1,8 А, что легко подсчи-
подсчитать по формуле к = h/]/r2mnW, где WzzkT — энергия теплового нейт-
- 424 -
рона. Вообще все медленные нейтроны имеют длину волны порядка
нескольких ангстрем. Это означает, что нейтроны должны давать от-
отчетливую дифракционную картину на монокристаллах или поли-
поликристаллических порошках, подобную картине, которою получают
при дифракции рентгеновских лучей и электронов. Этого вопроса мы
уже частично касались в § 12.1.
Схема опыта по отражению нейтронов от различных кристаллов
изображена на рис. 18.4. Пучок тепловых нейтронов, выходящих
через узкое отверстие из источника / (ядерного реактора, см. § 18.10),
попадает на кристалл-монохроматор 2
под определенным углом скольжения
■&. Кристалл достаточно интенсивно
отражает в первом порядке (п—1)
нейтроны с определенной длиной вол-
волны^ согласно уравнению F.21). Таким
образом происходит монохроматиза-
ция нейтронов по энергиям. Напри- Рис- 18-4
мер, при угле скольжения # = 16°
длина волны де Бройля у нейтронов, отраженных от монохрома-
тора, составляет около 1,5 А. На пути пучка, отраженного монохро-
матором, устанавливается исследуемый кристалл 3. Можно устано-
установить его под различными углами Ь к пучку, соответствующими
разным порядкам п дифракционных максимумов отражения. Одно-
Одновременно с поворотом исследуемого кристалла специальное меха-
механическое устройство осуществляет поворот детектора (приемника)
нейтронов 4 — обычно счетчика, наполненного фтористым бором BF3.
Нейтроны вызывают в боре реакции превращения бора *|В в литий
ILi с образованием а-частиц и ядер отдачи, регистрируемых счет-
счетчиком.
Дифракцию нейтронов можно наблюдать как по методу Лауэ,
так и на поликристаллических порошках по методу Дебая. В первом
случае, как известно, дифракцию наблюдают при немонохроматиче-
немонохроматических волнах, что особенно удобно для нейтронов, возникающих в ядер-
ядерных реакторах, ибо такие нейтроны имеют сплошной спектр скоростей
и длин волн де Бройля.
Дифракция нейтронов с успехом применяется для исследования
строения кристаллов.
§ 18.6. Ядерные реакции
под действием нейтронов
1. Среди всех частиц, способных вызывать ядерные реак-
реакции, наиболее эффективными являются нейтроны. Ввиду отсутствия
для них кулоновского потенциального барьера нейтроны, имеющие
даже малую энергию, могут проникать в ядра атомов всех элементов,
включая наиболее тяжелые, такие, например, как уран. Возбужден-
Возбужденное составное ядро, возникшее в результате захвата нейтрона, рас-
распадается с различными ядерными превращениями. Важнейшими из
них являются реакции (п, а), (п, р) и (га, 2га). В наиболее тяжелых
- 425 —
ядрах под действием нейтронов возможна также реакция деления
(см. § 18.7).
2. Ядерные реакции под действием нейтронов приводят к образованию искусст-
вешгорадиоактнвных изотопов. Впервые это было обнаружено Ферми с сотрудниками.
Для веществ, облученных нейтронами, с помощью счетчика Гейгера — Мюллера ими
был установлен экспоненциальный спад числа импульсов, характерный для распада
искусственнорадиоахтивных изотопов. Искусственная радиоактивность, вызванная
нейтронами, как правило, состоит в р _-распаде, что естественно при появлении в ядре
избыточного нейтрона. Так, например, реакция превращения азота в углерод при-
приводит к появлению радиоуглерода!1^, отличающегося очень большим периодом полу-
полураспада, превышающим 5000 лет:
7N -\- оп—>■ 6С -f- ip.
Определение содержания долгоживущего изотопа Х\С в деревянных предметах и дру-
других углеродсодержащих телах широко применяется в археологических исследованиях
для установления «возраста» событий, происходивших в глубокой древности. Радио-
Радиоуглеродный метод датировки в археологии основан на том, что реакция превращения
азота в углерод интенсивно происходит в природе на атмосферном азоте под дей-
действием медленных нейтронов, образуемых в атмосфере космическими лучами. Воз-
Возникший радиоактивный углерод усваивается живыми организмами (например, расте-
растениями при фотосинтезе) и таким образом участвует в круговороте веществ в живой
природе1.
Погибший живой организм (например, срубленное дерево) перестает накапливать
изотоп 1*С, и постепенно теряет его в результате радиоактивного распада. Определив
относительное количество нераспавшегося радиоактивного углерода, можно уста,
новить момент, когда организм перестал поглощать из атмосферы изотоп J4C, т. е.
дату гибели организма.
3. Наряду с реакциями на нейтронах, приводящими к появлению заряженных
частиц и размножению нейтронов, большое значение имеют процессы захвата и не-
неупругого рассеяния, результатом которого является сохранение того же ядра и обра-
образование одного нейтрона, т. е. реакции вида
В реакциях этого типа существенное значение имеет обмен нейтронами: из ядра
рылетает не тот нейтрон, который захвачен ядром. Энергия вылетевшего нейтрона
отличается от энергии падающего, вследствие чего ядро-продукт zY* оказывается
возбужденным (это отмечено звездочкой) и переходит в нормальное состояние с излу-
излучением •уфн
4. Ядерные реакции ядер урана с нейтронами сыграли особую
роль в ядерной физике. Благодаря этим реакциям было обнаружено
деление ядер, о котором пойдет речь в следующем параграфе, а также
была обнаружена возможность создания химических элементов, атомы
которых имеют заряд ядра, превышающий 92 е. Такие химические эле-
элементы называются трансурановыми (т. е. заурановыми). Остановимся
кратко на получении некоторых из них, которое стало возможно бла-
благодаря процессам, происходящим в ядерных реакторах (см. § 18.11),
Резонансный захват медленных нейтронов наиболее распростра-
распространенным изотопом урана 2||U приводит к образованию радиоактивного
изотопа 2,1U, который, испытывая р_-радиоактивное превращение
с периодом полураспада 23 мин, превращается в изотоп трансурано-
1 Впрочем, как показывают расчеты, доля радиоактивного углерода в атмосфере
составляет ничтожную долю от углерода, имеющегося на Земле в живых веществах
(биосфере).
— 426 —
вого элемента нептуния 2J?Np:
Р-
23 мин
В свою очередь ядро изотопа нептуния 2|iNp, являясь р.-радио-
р.-радиоактивным с периодом полураспада 2,3 дня, превращается в плуто-
плутоний 2=fPu:
2,3 дня
Плутоний %1Ри — важнейший трансурановый элемент. Благодаря
эффективному делению под действием тепловых нейтронов (см. § 18.7)
он играет выдающуюся роль в получении ядерной энергии. Плуто-
Плутоний 2^Ри является а-радиоактивным с весьма большим периодом
полураспада B4 000 лет), он превращается в устойчивый изотоп
урана »»U:
239Oi| . 235Т Т
94 2,4-10* лет 92
Ядерная реакция типа (п, 2п) превращает изотоп урана !|1U в ис-
кусственнорадиоактивный изотоп 2^U> который, будучи ^..-активным,
превращается в изотоп нептуния 2elNp> являющийся сх-радиоактивным
с огромным периодом полураспада — 2,2- 10е лет:
1U + \п -* Щи + 2\п, *»
Изотоп нептуния 2^Np дает начало одному из радиоактивных
семейств ядерных превращений (см. § 17.2).
Помимо трансурановых элементов существуют и другие, получае-
получаемые бомбардировкой устойчивых изотопов тяжелых элементов. До
последнего времени периодическая система элементов была раздви-
раздвинута до химического элемента с Z=103. В настоящее время она про-
продвинулась до химического элемента с номером Z=107. Химический
элемент с номером Z= 105 назван нильсборием (Ns).
§ 18.7. Деление ядер
1. Среди ядерных превращений особое место занимает
деление тяжелых ядер на осколки приблизительно равной массы,
имеющее огромное значение в современной науке и технике. История
открытия этого важнейшего явления относится к 1934 г., когда Ферми,
изучая искусственную радиоактивность, обнаружил, что уран, облу-
облученный нейтронами, дает радиоактивные продукты, обладающие не-
несколькими периодами полураспада. Было обнаружено несколько це-
цепочек последовательных радиоактивных превращений, напоминаю-
напоминающих ряд семейств при естественной радиоактивности.
Вначале было предположено, что происходит образование заура-
новых элементов: ядро урана, захватившее нейтрон, образует более
тяжелый его изотоп, который в свою очередь, будучи fL-радиоактив-
ным, превращается в химический элемент с Z=93. В свою очередь
- 427 —
ядро атома этого элемента с помощью E_-распада превращается в ядро
атома элемента с Z==94. Поскольку уран имеет несколько изотопов,
то существование нескольких радиоактивных цепочек представлялось
естественным. Именно так впервые возникло предположение о су-
существовании трансурановых химических элементов, рассмотрен-
рассмотренных в § 18.6.
2. Для проверки этого предположения были предприняты энер-
энергичные исследования A936—1937) ядерных реакций, происходящих
при облучении урана нейтронами различных энергий. К удивлению
ученых, исследование химических свойств продуктов этих реакций
показало, что они подобны свойствам элементов, расположенных
в средней части периодической системы. Так, И. Кюри и
П. Савич обнаружили среди продуктов облучения вещество с перио-
периодом полураспада 3,5 ч, которое по своим свойствам является ланта-
лантаном (La). Как он возникает из урана, оставалось загадкой. О, Гаи
и Ф. Штрассман весьма точным радиохимическим анализом доказали
A938), что облучение урана нейтронами приводит к появлению хими-
химического элемента из середины менделеевской таблицы — бария 5вВа,
являющегося химическим аналогом радия 8<tRa.
Аналогичный результат был ими получен при облучении нейтро-
нейтронами изотопа тория 2Ц7Ъ.
3. Эти удивительные результаты впервые были объяснены О. Фри-
Фришем и Л. Мейтнер, которые предположили, что тяжелые ядра яв-
являются неустойчивыми. Возбужденное при захвате нейтрона тяжелое
ядро (например, урана) может разделиться на две приблизи-
приблизительно равные части, называемые осколками деления. При этом нук-
нуклоны исходного составного ядра должны распределиться между ос-
осколками деления с выполнением законов сохранения зарядов и мас-
массовых чисел х:
А\}+\ъАи = А1 + А„ A8.14)
где индексы 1 и 2 относятся к осколкам деления, Zu и Аи — зарядовое
и массовое числа исходного ядра урана.
Эксперимент подтвердил это предположение: среди продуктов об-
облучения урана нейтронами были обнаружены помимо бария радиоак-
радиоактивные изотопы стронция MSr и иттрия 39Y, а кроме того, радиоактив-
радиоактивный изотоп химически инертного газа (криптона или ксенона).
4. Простые соображения показывают, что деление ядра урана на
два осколка должно сопровождаться выделением огромной энергии.
В самом деле, из § 16.4 известно, что удельная энергия связи в ядрах
атомов элементов, расположенных в средней части периодической
таблицы, составляет примерно 8,7 МэВ, в то время как для тяжелых
ядер она равна 7,6 МэВ. Этот факт приобретает теперь первостепенное
значение: при делении неустойчивого «рыхлого» ядра урана на два
устойчивых «упакованных» осколка должна освобождаться энергия,
равная 1,1 МэВ на один нуклон. Всего для ядра урана 2,tU, содержа-
1 При этом мы не учитываем процессов, происходящих в дальнейшем с оскол-
осколками деления. Об этом речь пойдет в п. б данного параграфа,
— 428 —
щего 238 нуклонов, должна выделяться энергия порядка 200 МэВ.
При делении ядер, содержащихся в 1 г урана гЦ\], выделится энер-
энергия 8-Ю10 Дж, или 22000 кВт-ч.
5. Основная часть энергии W деления выделяется в виде кинетиче-
кинетической энергии осколков деления. Действительно, если акт деления
произошел и осколки находятся друг от друга на расстоянии г, при
котором ядерные силы притяжения уже не действуют, то проявляется
электростатическая кулоновская энергия отталкивания заряженных
ядер — осколков деления. По формуле C.11) второго тома, потенциаль-
потенциальная энергия взаимодействия зарядов Zxe и Z2e равна Wп=~~.
Расстояние г между осколками в момент завершения деления, оче-
очевидно, будет r=RxJrR2, где Ri и R2— радиусы ядер осколков деления,
которые можно вычислить по формуле A6.10): /? = 1,4- Ю6- Л'/з
(R выражено в метрах). Считая, что Zi=Z2=92 : 2=46, R1=R2 и
Ах—А2=238 : 2=119, получим но формуле для Wa значение, близ-
близкое к 200 МэВ.
Очевидно, что потенциальная энергия Wa отталкивания ядер
должна перейти в их кинетическую энергию WK и осколки деления
должны разлетаться с большими скоростями. Опыты подтвердили эти
соображения и оценки. В одной серии опытов, проведенных О. Фри-
Фришем и Л. Мейтнер, внутренние стенки ионизационной камеры покры-
покрывались изнутри окисью урана. В отсутствие источника нейтронов
в камере наблюдались незначительные ионизационные импульсы от
сх-частиц урана. При действии на камеру нейтронов наблюдались силь-
сильные ионизационные импульсы, вызванные осколками деления, обла-
обладающими большой энергией. Когда источник нейтронов поместили
в замедлитель (слой парафина), то число импульсов в случае урана
возрастало, однако при покрытии стенок камеры торием или протак-
протактинием оставалось неизменным. Это показывало, что деление урана
происходит при облучении его как быстрыми, так и медленными
нейтронами, причем действие последних более эффективно.
Масс-спектрометр ические измерения, проведенные в 1940 г.,
позволили установить, что тепловые нейтроны производят деление
ядер изотопа 2Ц\), а энергия активации, т. е. минимальная энергия,
необходимая для осуществления реакции деления ядра изотопа 2^82U,
а также ядер изотопов тория и протактиния, существующих в при-
природе, составляет приблизительно 1 МэВ. Наличие осколков деления
ядер урана было зафиксировано в камере Вильсона, в которую вво-
вводилась окись урана, нанесенная на тонкую пленку. Стереоскопиче-
Стереоскопические фотографии ясно обнаруживали следы тяжелых осколков, раз-
разлетающихся при делении в противоположных направлениях. Этот
же результат был получен с помощью метода толстослойных фото-
фотоэмульсий.
6. Осколки, которые образуются при делении тяжелых ядер,
должны быть |5_ -радиоактивны и могут испускать нейтроны. Этот вывод
непосредственно вытекает из рассмотрения состава исходного тяже-
тяжелого ядра и ядер-осколков деления. Как известно (см. § 16.3), в ядрах
атомов химических элементов, расположенных в середине менделеев-
— 429 —
ской таблицы, число нейтронов N примерно равно числу протонов,
так что NlZfvX. Для тяжёлых ядер, перегруженных нейтронами, от-
отношение NIZ возрастает до 1,6. Из этого факта следует два вывода.
Во-первых, осколки деления в момент своего образования должны
обладать избытком нейтронов над протонами. В § 18.2 показано, что
при этом наблюдается р_-радиоактивность. Большая перегружен-
перегруженность ядер-осколков нейтронами должна привести к тому, что про-
продукты fL-распада ядер-осколков также будут р_-радиоактивны. Так
возникнут цепочки радиоактивных распадов, наблюдавшиеся в иссле-
исследованиях, проведенных Ферми и его сотрудниками.
Определенная часть энергии W деления тяжелого ядра должна уно-
уноситься в виде энергии №р., маКсР--распада. Во-вторых, очень сущест-
существенно, что часть избыточных нейтронов, представляющих собой раз-
разность между числом нейтронов в исходном ядре и их числом в ядрах-
осколках, будет испускаться осколками деления в виде так называе-
называемых нейтронов деления. На долю нейтронов деления также прихо-
приходится некоторая часть Wn энергии деления.
Из закона сохранения энергии следует, что х
a. A8.15)
Опыты, проведенные Ф. Жолио-Кюри, обнаружили |3_-радиоак-
тивность осколков деления и испускание вторичных нейтронов,
возникающих в процессе деления. Число нейтронов, образовавшихся
в актах деления, может быть несколько различным. Поэтому вводится
понятие о среднем числе <п> возникших нейтронов, прихо-
приходящихся на один акт деления. Так, для ядер плутония 2j$Pu и урана
^|U, которые делятся под действием тепловых нейтронов (см. § 18.9),
число <«> равно соответственно 3,0 и 2,5. Таким образом, процесс
деления ядер сопровождается размножением нейтронов.
7. Детальные исследования показали, что среди нейтронов деле-
деления нужно различать две группы частиц: мгновенные (или вторичные)
и запаздывающие нейтроны. Мгновенные нейтроны испускаются не-
непосредственно при делении ядра за время порядка 10~14 с. Их проис-
происхождение обусловлено двумя причинами. Во-первых, часть избыточных
нейтронов деления не успевает присоединиться к осколкам деления
и испускается самостоятельно. Во-вторых, осколки деления в пер-
первый момент находятся в возбужденном состоянии и энергия их воз-
возбуждения может отдаваться как в виде у-фотонов, так и в форме энер-
энергии освобождающихся быстрых нейтронов. Запаздывающие нейтроны
испускаются продуктами деления спустя некоторое время после де-
деления.
Происхождение запаздывающих нейтронов связано с радиоактив-
радиоактивными свойствами осколков деления. Выше было указано, что в ре-
результате перегрузки осколков деления нейтронами они являются
^--радиоактивными и испытывают ряд последовательных превраще-
1 Приведенный баланс энергии при делении ядер является неточным. Он не учи-
учитывает энергии образующихся при делении •у-фотонов и нейтрино, а также 7-излуче-
ния осколков деления. Однако, как показывают опыты, все эти части энергии, а
также два последних члена в формуле A8.15) меньше, чем энергия WH.
— 430 —
ний. Дочерние ядра при этих превращениях оказываются возбужден-
возбужденными, и если энергия возбуждения соответствующего ядра-продукта
превышает энергию связи нейтрона в данном ядре, то происходит
испускание нейтрона.
8. Теория деления тяжелых ядер была разработана A939)
Я. И. Френкелем, а также Н. Бором и Дж. Уиллером на основе гипо-
гипотезы о неустойчивости тяжелых ядер. В основе теории лежала ка-
капельная модель ядра. Рассмотрим кратко основы этой теории, огра-
ограничившись подсчетом энергетического баланса процесса деления и
некоторыми другими связанными с этим вопросами. Нас будет инте-
интересовать лишь первая стадия деления — образование ядер-осколков,
и мы не будем рассматривать их радиоактивных превращений. Тогда
выполняются условия A8.14) и можно не рассматривать в выра-
выражении A8.15) энергию Wp., MaKc радиоактивных fL-распадов. Кроме
того, примем сразу во внимание, что, как показывает опыт, энер-
энергия Wn вторичных нейтронов мала по сравнению с энергиями WK
ядер-осколков 1. Как известно из § 16.7, капельная модель ядра по-
позволяет получить полуэмпирическую формулу A6.14) для энергии
связи ядра-капли. В этой формуле содержится ряд членов, из которых
два члена представляют наибольший интерес для рассмотрения первой
стадии деления ядра. Это, во-первых, поверхностная энергия Ws
ядра-капли, равная, по формуле A6.12), Ws=inR2e, где а — «по-
«поверхностное натяжение»; во-вторых, энергия Wb электростатичес-
электростатического взаимодействия протонов, определяемая формулой A6.13):
W5=j7—о-, где Ze — заряд ядра, R — его радиус. Все остальные
члены в формуле A6.14), выражающие различные свойства ядерных
сил, зависят от общего числа А нуклонов в ядре. Для подсчета энер-
энергетического баланса деления ядра в тех предположениях, о которых
оговорено выше, все эти члены не будут иметь значения, ибо общее
число частиц сохраняется неизменным при выполнении усло-
условия A8.14).
9. Подсчитаем энергию, которая освобождается при делении исходного ядра с
зарядом Ze и массовым числом А на два одинаковых дочерних ядра-осколка 2, так что
Л,=Л2=Л/2 и Z1—Zi=Z/2.
Формулу для энергии связи в ядре до деления перепишем, удерживая лишь су-
существенно важные члены, в таком виде:
4 <18Л6>
По сравнению с A6.14) мы изменили знаки у членов Ws и №5, но это не имеет,
как будет видно, никакого значения. Кроме того, для удобства вместо Д№св принято
обозначе ние W.
При делении ядра должно выполняться условие неизменности объема капли,
4- 4 ч / ч s~~
т.е. -г- л#э = 2-д- я/?1, где Rt — радиус ядра-осколка. Отсюда R1 = RJy'2'
Энергия связи в двух ядрах-осколках по формуле A8.16) запишется следующим
1 См. сноску на с. 430.
2 Как показывают опытные данные, осколки деления отличны друг от друга, но
это несущественно изменяет результаты расчета.
— 431 —
образом:
\ ^ 5
Подставив вместо Ri его выражение и учитывая, что Z-^Z'1, получим
У 4 5 16гсе„/?
Разность &W выражений A8.16) и A8.17) представляет собой энергию, которая
освобождается при симметричном делении тяжелого ядра в виде кинетической энер-
энергии его осколков:
(HNS£L( tCl) A8.18)
Первый член в формуле A8.18) имеет отрицательный знак, ибо 1—щу 4 =
= 1— ^/ 2 « —0,26. Это соответствует тому, что при сохранении объема деление
ядра-капли приводит к увеличению суммарной поверхности капель-осколков деле-
деления *. Физически это означает, что баланс одной только поверхностной энергии при-
приводит к энергетической нецелесообразности процесса деления — энергетически выгод-
выгодно, наоборот, слияние мелких капель с уменьшением 'свободной поверхности и умень-
уменьшением свободной энергии (см. т. I, § 12.4). Второй член выражения A8.18) положи-
положителен. Энергетический баланс деления определяется знаком &.W. При Д№>0 энергия
выделяется, при AW7<0 она поглощается. Все зависит от соотношения между поверх-
поверхностной энергией, затрачиваемой при разделении капли, и электростатической энер-
энергией, выделяемой в процессе деления.
10. Существуют некоторые критические параметры Z, R и о ядра-капли, при
которых процесс деления происходит изоэнергетически, без изменения энергии сис-
системы: Ди^=0,или является энергетически выгодным, т. е. ДН7>0. Запишем это ус-
условие в форме Att^^O. Тогда по формуле A8.18) получаем
3
4^ /2-1 A819)
_ ^ /2-1
4яЯ2а "~~ 2— У~2
Левая часть неравенства A8.19) представляет собой отношение энергии кулонов-
ского отталкивания протонов, стремящегося разорвать ядро-каплю, к поверхностной
энергии, стремящейся противодействовать растеканию капли. Полагая согласно
A6.10) R=r0A1^3, где /о=1,4<10"-15 м, можно A8.19) переписать со знаком равенства
следующим образом:
—"\=0,70. A8.20)
5 DяJ еоф \ А
Единственной переменной величиной в равенстве A8.20) является так называемый
параметр деления Z2lA. Для того чтобы установить, для каких значений параметра
деления процесс деления будет энергетически выгоден, т. е. будет выполнено условие
Д№>0, подставим в предыдущее выражение числовые значения всех констант. Тогда
получим следующее неравенство, определяющее необходимые значения параметра де-
деления:
(Z2/A)> 17. A8.21)
Это условие выполняется для всех ядер, начиная с серебра ^Ag, для которого
параметр деления ~20. Чем больше параметр деления, тем легче должно делиться
ядро.
1 Легко подсчитать, что 2-inRi—4я/?2—0,26-4я#2.
— 432 —
§ 18.8. Энергия активации деления.
Спонтанное деление ядер.
Особенности деления изотопов урана
1. Полученный в предыдущем параграфе результат сви-
свидетельствует о том, что все ядра атомов химических элементов вто-
второй половины периодической системы Менделеева (при Z>47) должны
быть неустойчивы по отношению к процессу деления. Между тем опыт
показывает, что подавляющее большинство изотопов с массовыми
числами А, большими 108, являются устойчивыми, за исключением
наиболее тяжелых, которые могут претерпевать так называемое
самопроизвольное (спонтанное) деление, о котором речь пойдет дальше.
Это кажущееся противоречие объясняется тем, что выполнение усло-
условия экзотермичности, положительного энергетического баланса реак-
реакции деления, еще недостаточно для того, чтобы реакция деления про-
'изошла. Для осуществления реакции необходима некоторая мини-
минимальная энергия, называемая энергией активации деления ядра (по-
(порогом деления). В § 16.7 проанализировано условие устойчивости
ядра-капли, сводящееся к требованию минимума его полной энергии
и приводящее к соотношению A6.15) между числом протонов ZycT
и общим числом нуклонов А в устойчивом ядре. С учетом главных чле-
членов в выражении A6.14) для энергии ядра-капли можно утверждать,
что ядро наиболее устойчиво в том случае, когда сумма поверхностной
и электростатической энергий сферического ядра-капли будет наи-
наименьшей. Пусть при этом ядро имеет радиус R. Отклонение от сфери-
сферической формы ядра приведет к увеличению его поверхности и соот-
соответствующему возрастанию поверхностной энергии W.s. Од-
Одновременно с этим происходит уменьшение электростатиче-
электростатической энергии W-o, ибо при сфери-
сферической форме ядра протоны мак-
максимально сближены друг с другом
и энергия их отталкивания будет
наибольшей.
Таким образом, при малых де-
деформациях ядра-капли условие его
устойчивости будет нарушено. Од-
Однако даже для малой деформации
ядра необходимо затратить опре-
определенную энергию. Если отложить
на оси ординат потенциальную
энергию Wa делящегося ядра, а на
оси абсцисс — некоторый параметр а, который вначале характери-
характеризует деформацию ядра, а затем после его деления — расстояние
между осколками, то получим кривую, изображенную на рис. 18.5.
Вначале при нулевой деформации ядро находится в устойчивом со-
состоянии (точка А). При малых деформациях ядро — заряженная
капля — приходит в колебание: попеременно то вытягивается, то
сжимается. Когда деформация ядра достигнет некоторого критиче-
критического значения схк, при котором потенциальная энергия капли будет
' Даров- осх Расстояние между
мания осколками
ядра.
Рис. 18.5
— 433 —
соответствовать точке В на кривой рис. 18.5, колебания ядра-капли
приведут ею к делению. Последовательные стадии деления ядерной
капли изображены на рис. 18.6, а — д. Промежуточные состояния
связаны с образованием и удлинением «перетяжки» в кап-
капле (рис. 18.6, в). Разность WnB—WnA-=WA на рис. 18.5 является энер-
энергией активации деления. Если энергия возбуждения ядра окажется
меньшей, чем энергия активации, то деформация возбужденного ядра-
_^ ^_^^ капли не дойдет до критической
О CD ОО ОО О О ак- ядро не разделится и вер-
ai /f\ g) г) д) нется в основное состояние, ис-
испустив у-фотон.
Рис' 18-б 2. Энергия активации пред-
представляет собой, таким образом,
высоту потенциального барьера Wa, который должен быть преодолен
для создания критической деформации ядра-капли и его деления. Уста-
Установление зависимости между энергией активации Wa деления и пара-
параметром деления Z2!A представляет собой весьма сложную задачу.
Решение ее было впервые дано Я. И. Френкелем, а также Н. Бором
и Дж. Уиллером для предельного случая, когда энергия активации
обращается в нуль.
Для определенных значений Z?IA высота потенциального барьера (см. рис. 18.5)
равна нулю, в этом случае ядро неустойчиво — происходит самопроизвольное деле-
деление ядра. Как показали расчеты, условие U^fl=0 выполняется, если электростатиче-
электростатическая энергия отталкивания протонов вдвое превышает поверхностную энергию ядра-
капли. Поэтому критерий самопроизвольного деления ядра можно по аналогии с
A8.20) записать в следующей форме:
A1) = 2. <18.2П
5 Dя)« ео/"о0 V А
Если подставить в A8.21') числовые значения всех постоянных, то получим
(Z4A)K и 49. A8 21")
3. При Z2/A=(Z2/A)K ядро становится совершенно неустойчивым1. При Z2 /А<
<(Z2/A)K требуется затрата энергии активации Wa для того, чтобы была достигнута
критическая деформация ядра-капли, приводящая к делению. Для тяжелых ядер
И^д составляет 5—7 МэВ, т. с. имеет тот же порядок величины, что и энергия связи
нейтрона в тяжелом ядре, или, что то же самое, удельная энергия связи.
При Z2IA>(Z2lA)K невозможно существование ядра. Деление такого сверхтяже-
сверхтяжелого ядра должно происходить самопроизвольно за время, сравнимое с ядерным вре-
временем тя=10~22 с (см. § 18.4). Условие A8-21") ограничивает возможноаи устойчи-
устойчивого существования сверхтяжелых ядер.
Наиболее тяжелыми являются трансурановые ядра, получаемые
искусственным путем. Они имеют наибольшие значения параметра
деления. Для изотопа урана 2Ци параметр деления равен 35,6, для
америция 2^Ат—37,3.
В 1964 г. в лаборатории ядерных реакций Объединенного института
ядерных исследований в Дубне под руководством Г. Н. Флерова по-
получен изотоп нового трансуранового элемента с Z=104 и массовым
1 Различные способы расчета параметра {Z2lA) приводят к несколько разли-
различающимся его значениям, заключенным в пределах 44,5—49.
— 434 —
числом 260 (курчатовий). Для получения этого элемента изотоп плу-
плутония а*Ри облучался ядрами неона "Ne. После захвата ядра неона
образовывалось составное ядро ЩКи и в одном случае на 10 млрд.
составных ядер после испускания четырех нейтронов возникало ядро
элемента ЩКи:
JJNe — il\Ku -> «gjKu + 4]n.
В самых мощных пучках ускоренных ядер неона одно ядро курчато-
вия рождается за несколько часов. У нового, 104-го, элемента перио-
периодической системы элементов параметр деления Z2A4«41, т. е. имеет
значение, уже приближающееся к критическому. Время жизни ядер
этого элемента ЖКи, как показали опыты, составляет около 0,3 с.
Реакцией слияния ядер урана с ядрами неона в Дубне впервые
были получены атомы элемента нобелия (No) с Z= 102. Реакция со-
сопровождалась образованием возбужденного составного ядра UlNo*
с последующим вылетом из него четырех нейтронов:
239|U + fJNe --> UlNo*
Одно ядро изотопа i^No рождалось на 100 млн. составных ядер.
В остальных случаях составные ядра делились на ядра-осколки и
нейтроны. В реакциях слияния впервые были получены изотопы за-
урановых элементов кюрия Cm, берклия Вк, калифорния Cf, менделе-
менделевия Md, а также изотопы элементов с зарядами ядер 103, 105, 106, 107.
4. При значениях Z2/A<.(Z2/A)K возможно самопроизвольное деле-
деление ядер, происходящее аналогично а-распаду (см. § 17.5), т. е. путем
туннельного эффекта. В 1939—1940 гг. Г. Н. Флеров и К. А. Петржак
впервые наблюдали самопроизвольное деление урана U-238. С по-
помощью весьма чувствительной методики они обнаружили в иониза-
ионизационной камере импульсы, создаваемые осколками деления урана,
не подвергнутого действию нейтронов, вызывающих деление. Период
полураспада спонтанного деления составляет, по оценкам Флерова
и Петржака, 1010—10" лет. Напомним, что для естественной сх-радио-
активности урана U-238 период полураспада составляет 109 лет, т. е.
на семь порядков меньше. Большой период полураспада для спон-
спонтанного деления связан с весьма малой величиной прозрачности барье-
барьера для этого процесса.
5. Энергия активации, которую необходимо сообщить тяжелому
ядру для деления при значениях параметра Z2/A, меньших критиче-
критического, может быть придана ему нейтроном, захваченным ядром. При
этом образуется составное ядро с массовым числом, на единицу боль-
большим, чем у исходного ядра. Нейтрон, захваченный ядром, приносит
в ядро энергию, равную сумме своей энергии связи и кинетической
энергии. Если эта энергия превышает энергию активации деления, то
происходит деление ядра. Заметим, что если энергия активации деле-
деления превышает энергию связи нейтрона, то деление может быть осу-
осуществлено лишь нейтронами, кинетическая энергия которых не меньше
разности энергии активации и энергии связи нейтрона. Составное
ядро-капля, получившее необходимую энергию, претерпевает крити-
критическую деформацию и делится. На опыте обнаружена существенная
— 435 —
разница в делении ядер двух изотопов урана — U-238 и U-235. Как
уже отмечалось в § 18.7, ядра >рана U-238 делятся под действием
нейтронов с кинетической энергией не менее 1 МэВ, в то время как
ядра U-235 делятся при захвате самых медленных, тепловых нейтро-
нейтронов, причем эффективные поперечные сечения деления ядер U-235
достигают сотен барн A барн = 10~24 смг). Объяснение этих различий
заключается в следующем Составное ядро U-239, возникшее при за-
захвате нейтрона ядром U-238, имеет параметр деления Z2/А =35,46
и энергию активации деления №л=7 МэВ. Энергия связи нейтрона,
захваченного ядром "fU, составляет около 6 МэВ. Таким образом,
деление ядер U-238 может быть вызвано нейтронами с кинетической
энергией не менее 1 МэВ. Для составного ядра U-236, получившегося
при захвате нейтрона ядром U-235, параметр деления и энергия акти-
активации деления равны соответственно 35,9 и 6,6 МэВ. Эти значения
указывают, что условия для деления ядерТЛ-235 под действием нейтро-
нейтронов более благоприятны, чем для ядер U-238. Кроме того, энергия
возбуждения, сообщаемая ядру U-235 при захвате нейтрона, состав-
составляет около 6,8 МэВ Различие в энергиях связи нейтронов в ядрах
U-236 и U-239 обусловлено зависимостью величины энергии связи
нуклона в ядре от четности или нечетности числа нейтронов и прото-
протонов в ядре. В случае U-236 захваченный нейтрон является четным и
его энергия связи больше, чем энергия связи нейтрона, захваченного
ядром U-239 и являющегося нечетным Тепловые нейтроны вызывают
также деление ядер изотопа урана U-233 и трансуранового элемента
плутония Ри-239.
§ 18.9. Цепная реакция деления
1. Для практического применения деления тяжелых
ядер важнейшее значение имеет выделение большой энергии при каж-
каждом акте деления и появление при этом нескольких (двух-трех) мгно-
мгновенных нейтронов. Если каждый из этих нейтронов, взаимодействуя
с соседними ядрами делящегося вещества, в свою очередь вызывает
в них реакцию деления, то происходит лавинообразное
нарастание числа актов деления. Такая реакция деления называется
цепной. Свое название эта реакция получила по аналогии с цепными
химическими реакциями, т. е. реакциями, продукты которых могут
вновь вступать в соединения с исходными веществами.
Основы теории цепных химических реакций были созданы Н. Н. Се-
Семеновым A928—1934) Цепная химическая реакция осуществляется
при участии так называемых активных центров, которыми являются
свободные атомы и радикалы. Основной особенностью цепной реакции
является непрерывное восстановление активных центров, в резуль-
результате чего появление каждого нового центра сопровождается большим
числом повторяющихся звеньев (цепей) реакции. Я. Б. Зельдович и
Ю- Б. Харитон впервые указали A939) на возможность существования
цепной ядерной реакции деления, в которой роль активных центров
играют нейтроны деления. В этом случае каждый из нейтронов, об-
образовавшихся при одном акте деления, «восстанавливается»: если он
— 436 —
«будет захвачен ядром, то это вызовет появление новых нейтронов де-
деления, в свою очередь способных вызывать реакции деления, т. е.
новые цепи реакции и т д.
2. Рассмотрим несколько подробнее возможность осуществления
цепной реакции. Предположение о том, чго каждый из нейтронов за-
захватывается соседними ядрами, в действительности не реализуется.
Часть вторичных нейтронов попадает в ядра атомов тех веществ, ко-
которые непременно присутствуют в той области, где реализуется цеп-
цепная реакция, но не являются делящимися — замедлители нейтронов,
теплоносители, уносящие теплоту из зоны реакции, и др. Часть нейт-
нейтронов может просто выйти за пределы активной зоны — того прост-
пространства, где происходит цепная реакция.
Далее мы подробнее остановимся на причинах, которые приводят
к тому, что не все нейтроны захватываются ядрами делящегося ве-
вещества и не все нейтроны, захваченные ядрами, вызывают процесс
деления. Существуют процессы радиационного захвата и неупругого
рассеяния нейтронов ядрами, не приводящие к делению ядер Таким
образом, существуют факторы, способные оборвать развитие цепей
в цепной реакции.
Очевидно, что непременным условием возникновения цепной реак-
реакции является наличие размножающихся нейтронов. Введем понятие
о коэффициенте k размножения нейтронов. Коэффициентом размно-
размножения нейтронов называют отношение числа нейтронов, возникаю-
возникающих в некотором звене реакции, к числу таких нейтронов в предшест-
предшествующем ему звене. Необходимым условием для развития цеп-
цепной реакции является требование fc^l. Величина k определяется,
во-первых, значением <v>, во-вторых, вероятностями различных
процессов взаимодействия нейтронов с ядрами делящегося вещества
и примесей в нем, а также размерами системы. Роль последнего фак-
фактора существенна потому, что с уменьшением размеров активной зоны
увеличивается доля нейтронов, выходящих за ее пределы, и умень-
уменьшается возможность дальнейшего развития цепной реакции. Потери
нейтронов пропорциональны площади поверхности, а генерация
нейтронов пропорциональна массе и, следовательно, объему деляще-
делящегося вещества Например, для делящегося вещества, имеющего сфе-
S 1 \
рическуюформу (объем V~i?3, поверхность S~R2, -гт- б~ ) >с умень-
V К /
шением R, т. е. с уменьшением объема и массы делящегося вещества,
растет доля потерь нейтронов, вылетающих из активной зоны Мини-
Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществле-
осуществление цепной реакции, называют критическими размерами, а минималь-
минимальную массу делящихся веществ, находящихся в системе критических
размеров,— критической массой. Для уменьшения потерь нейтронов
и уменьшения критических параметров делящегося вещества его ок-
окружают отражателем — слоем неделящегося вещества, обладающего
малым эффективным поперечным сечением для захвата нейтронов и
большим сечением их рассеяния Отражатель возвращает в активную
зону большую часть вылетевших из нее нейтронов. В качестве отража-
— 437 —
телей используются те же вещества, которые применяются для за-
замедления нейтронов (см. § 18.5),— графит, тяжелая вода, соединения
бериллия.
3. Одной из наиболее важных характеристик цепной реакции яв-
является скорость ее развития, зависящая помимо коэффициента k
размножения нейтронов от среднего времени т между двумя последо-
последовательными актами деления. Очевидно, что т определяет среднее время
жизни одного «поколения» нейтронов, т. е. среднее время от момента
деления до захвата нейтрона ядром атома делящегося вещества. Точ-
Точнее, время т складывается из времени деления ядра, времени запазды-
запаздывания вылета нейтрона из ядра относительно момента деления и вре-
времени, прошедшего до следующего захвата. Если N есть число нейтро-
нейтронов в данном звене цепной реакции (данном «поколении»), то в следую-
следующем звене их будет Nk. Прирост числа нейтронов за одно «поколе-
«поколение» равен
Прирост числа нейтронов за единицу времени, т. е. скорость раз-
развития цепной реакции,
, = 4f=^^. 08.22)
Интегрируя A8 22), получим
Ы = Ый^к-1^1\ A8.22')
где No— число нейтронов в момент t=0 начала реакции, N — число
нейтронов к моменту времени t; N зависит от знака (k—1), поскольку т
существенно положительно @*0). При (k—1)>0, т. е. k>\,N растет
с течением времени, н цепная реакция называется ускоряющейся
(развивающейся). При£—1=0,т. е. k=l, N = N0, число нейтронов не
изменяется с течением времени и реакция называется самоподдержи-
самоподдерживающейся. Если (k—1)<0, то происходит затухающая цепная реак-
реакция, при которой N<N0,— число нейтронов и актов деления с тече-
течением времени убывает.
Условие fc=l определяет критический режим реакции. При k<.\
режим называется подкритическим, а при &>1 — надкритическим.
4. В случае развивающейся цепной реакции для резкого умень-
уменьшения времени т, т. е. для получения весьма быстрой цепной реакции
взрывного типа, необходимо осуществить процесс размножения на
быстрых нейтронах; для получения управляемой цепной реакции
необходимо увеличивать время т, т. е. нужно стремиться к тому,
чтобы время запаздывания вылета нейтронов относительно момента
деления и время перемещения нейтронов до следующего захвата по
возможности были большими. Первое зависит от механизма возникно-
возникновения вторичных нейтронов и меньше поддается воздействию, вто-
второе — от взаимодействия вылетевших из ядра нейтронов с окружаю-
окружающими ядрами, т. е. от замедления нейтронов, их движения в веществе
и, наконец, от их захвата. Управление цепной реакцией сводится
в основном к воздействию на эти процессы.
— 438 —
§ 18.10. Ядерные реакторы
1. Устройства, в которых осуществляется управляемая
цепная реакция деления, называют ядерными реакторами (или атом-
атомными котлами). Первый ядерный реактор, созданный под руковод-
руководством Ферми, был запущен в 1942 г. В качестве сырьевых и делящихся
веществ в реакторах используются U-235, Pu-239, U-238, а также
Th-232. В естественной смеси изотопов урана изотопа U-238 содер-
содержится в 140 раз больше, чем изотопа U-235. Для понимания процес-
процессов, происходящих в реакторе с природной смесью изотопов, необхо-
необходимо учитывать отмеченные в § 18.8 различия в условиях, при которых
происходит деление ядер обоих изотопов урана. Исследование энер-
энергетического спектра нейтронов, испускаемых при делении, показы-
показывает, что их энергии составляют в основном около 0,7 МэВ. Эти нейт-
нейтроны способны вызвать деление лишь ядер U-235. Те немногие мгно-
мгновенные нейтроны, энергия которых превышает энергию активации
деления ядра U-238, с большей вероятностью претерпевают неупругое
рассеяние, и их энергия оказывается, как правило, ниже порога де-
деления ядра U-238. В результате ряда столкновений с ядрами урана
нейтроны теряют энергию малыми порциями, замедляются и
испытывают радиационный захват ядрами U-238 или поглощаются яд-
ядрами U-235. Поглощение нейтронов ядрами U-235 способствует раз-
развитию цепной реакции, поглощение же их ядрами U-238 выводит
нейтроны из цепной реакции и ведет к обрыву цепей реакции Расчеты
показывают, что в естественной смеси изотопов урана
вероятность обрыва цепей превышает вероятность разветвле-
разветвления реакции и цепная реакция деления не может развива-
развиваться ни на быстрых, ни на медленных нейтронах.
2. В ядерных реакторах на медленных нейтронах условием, обес-
обеспечивающим развитие цепной реакции, является применение замед-
замедлителя для уменьшения резонансного захвата нейтронов ядрами
U-238. При каждом столкновении с ядрами замедлителя нейтрон теряет
энергию большими порциями и это благоприятствует «проска-
киванию» энергии нейтрона через ту область резонансных энергий, при
которых сечение захвата нейтрона ядрами U-238 имеет наибольшие
значения. Водород, который является наилучшим замедлителем,
в то же время имеет большое сечение захвата тепловых нейтронов,
а это ведет к обрыву цепей реакции. Поэтому в качестве замедлителей
применяют углерод (в виде графита), дейтерий (в виде тяжелой воды),
бериллий и окись бериллия, ядра которых обладают небольшим сече-
сечением захвата тепловых нейтронов.
3. Различают два типа реакторов на медленных нейтронах — гомогенные и гете-
гетерогенные. В гомогенных реакторах делящееся вещество равномерно распределяется
по объему замедлителя (например, растворяется в воде). В гетерогенных реакторах
уран расположен отдельными блоками по объему замедлителя — тяжелой воды или
графита. В гомогенных реакторах нейтроны в ходе замедления все время находятся
поблизости от ядер атомов урана, распределенных по всему объему. Это приводит к
большей вероятности поглощения нейтронов ядрами атомов урана, а не замедлите-
замедлителей, но это же снижает вероятность избежать захвата нейтронов ядрами U-238. В ге-
гетерогенных реакторах, наоборот, сравнительно мала вероятность поглощения теп-
— 439 —
ловых нейтронов ядрами урана, но зато повышается вероятность избежать резонан-
резонансного захвата ядрами U-238, ибо значительную часть времени замедляемые нейтроны с
энергиями, «опасными» для резонансного захвата, проводят за пределами блоков де-
делящегося урана. Работе реактора способствует также снижение утечки нейтронов,
достигаемое за счет увеличения критических размеров и применения отражателей
нейтронов. Гетерогенные уран-графитовые реакторы, в которых впервые была осу-
осуществлена самоподдерживающаяся ядерная реакция, содержали примерно 45 т урана
и 450 т графита, служившего замедлителем и отражателем. Примером гетерогенного
ядерного реактора на медленных нейтронах является реактор первой в мире совет-
советской атомной электростанции, введенной в эксплуатацию в 1954 г.
4. Быстрое развитие цепной реакции сопровождается выделением
значительной энергии, что может вызывать излишний перегрев реак-
реактора. При достижении реактором требуемой мощности необходимо
надкритический режим развивающейся реакции свести к критиче-
критическому режиму со значением k=l и затем поддерживать этот режим.
Для уменьшения коэффициента размножения нейтронов в активную
зону реактора вводятся стержни из материалов, сильно поглощающих
тепловые нейтроны, например из бора или кадмия. Такие управляю-
управляющие стержни уменьшают значение k и предотвращают нарастание
скорости цепной реакции, поддерживая ее в необходимом стационар-
стационарном режиме.
5. Деление ядер урана, осуществляемое в реакторах, сопровождается образо-
образованием большого числа различных радиоактивных осколков. Расчеты показывают, что
на 22 000 кВт-ч энергии образуется примерно 1 г осколков. При этом испускаются
Р-_ и у-излучения. Кроме того, реакторы, работающие с замедлителями, испускают
мощные потоки тепловых нейтронов, которые используют для получения различных
искусственнорадиоактивных изотопов. Эти изотопы применяют для исследований в
различных областях народного хозяйства.
Нейтронные потоки и •у-излучение, возникающие в ядерных реакторах, имеют
большую интенсивность, обладают высокой проникающей способностью и губитель-
губительно действуют на организм человека. Поэтому для защиты персонала, обслуживаю-
обслуживающего ядерные реакторы, принимают специальные меры. Одна из наиболее эффектив-
эффективных мер — автоматизация процессов управления реактором.
6. Для управления реактором существенную роль играют запаздывающие ней-
нейтроны деления (см. § 18.7). Дело в том, что время жизни мгновенных нейтронов, т. е.
время от появления такого нейтрона до его поглощения ядром, составляет всего
10~3 с и управление реактором в столь малые времена затруднительно. Однако за
счет небольшого числа запаздывающих нейтронов с большим временем жизни (по-
(порядка 10 с) число нейтронов можно заставить возрастать более медленно, чем и до-
достигается возможность управления реактором. Вода, охлаждающая реактор атомной
электростанции, становится радиоактивной и не используется для преобразования
энергии пара в электрическую энергию. Нагретая вода поступает в парогенератор
и там передает теплоту воде, циркулирующей во втором замкнутом контуре, в кото-
котором образуется пар, подводимый затем к турбине.
7. Урановые реакторы на тепловых нейтронах могут решить задачу энергоснаб-
энергоснабжения в ограниченном масштабе, который определяется количеством урана U-235.
При использовании всего природного запаса урана U-235 можно получить энергию,
приблизительно эквивалентную запасам обычного топлива на Земле.
Для увеличения ядерных энергетических ресурсов используются процессы, про-
происходящие при захвате нейтронов ядрами урана U-238 и тория Th-232. Они приводят
к появлению эффективно делящихся плутония Ри-239 и изотопа урана U-233. Схема
получения плутония Ри-239 рассмотрена в п. 5 § 18.6:
92U (II, у) »- 92U У 93 Мр
23 МИН 2,3 ДНЯ
— 410 —
Реакция на тории происходит по следующей схеме:
9i
23 МИН 27,4 ДНЯ
Захват нейтронов ядрами U-238 сопровождается созданием ядерного горючего,
которое может быть химическим путем отделено от U-238. Этот процесс назы-
называется воспроизводством ядерного горючего. При делении одного ядра U-235 обра-
образуется в среднем 2,5 нейтрона, из которых лишь один необходим для поддержания
цепной реакции. Остальные 1,5 нейтрона могут быть захвачены ядрами U-238 и из
них могут быть образованы 1,5 ядра Ри-239. В специальных бридерных (воспроиз-
(воспроизводящих) реакторах коэффициент воспроизводства ядерного горючего превышает
единицу. В урановых реакторах, работающих на медленных нейтронах, этого осу-
осуществить нельзя. Действительно, в таком реакторе деление происходит в 84,5 слу-
случая из 100 поглощений тепловых нейтронов ядрами U-235. Теоретически возможный
максимальный Коэффициент воспроизводства ядерного горючего составит 2,5 х
Х0,845—1=1,11 вместо 1,5. В результате поглощения нейтронов замедлителем и их
вылета за пределы реактора он еще уменьшится. В реакторах с замедлителем ко-
коэффициент воспроизводства ядерного горючего, как правило, меньше единицы. На-
Например, в реакторе первой АЭС он составляет всего 0,32. Бридерные реакторы рабо-
работают на б ы с т р ьг х нейтронах. Активной зоной является сплав урана, обогащен-
обогащенного изотопом U-235, с тяжелым металлом (висмут, свинец), мало поглощающим ней-
нейтроны. В бридерных реакторах отсутствует замедлитель. Управление таким реактором
производится перемещением отражателя или дополнительной массы делящегося ве-
вещества. Управляющие стержни, поглощающие нейтроны, здесь бесполезны ввиду
малости сечения поглощения быстрых нейтронов по сравнению с медленными.
8. В Советском Союзе — пионере ядерной энергетики — ведется огромная работа
по ядерному реакторостроению и мирному использованию энергии делящихся ядер.
Созданы реакторы на быстрых нейтронах, дающие нейтронные потоки огромной ин-
интенсивности.
Последовательная борьба Советского Союза за мирное использование внутриядер-
внутриядерной энергии нашла свое отражение в достигнутых соглашениях между СССР и США
о направлении большего количества расщепляющихся материалов для использования
в мирных целях, в том числе для опреснения морской воды. Расчеты показывают, чго
реактор на быстрых нейтронах мощностью 2,2 -Ю6 кВт может обеспечить работу элек-
электростанции мощностью 5,1-Ю5 кВт и дистилляционной опреснительной установки
производительностью 180 тыс. ш3 пресной воды в сутки при стоимости воды 2—3 коп.
за 1 м8.. При достижении реакторами мощности в A0—20)-Ю6 кВт стоимость опрес-
опресненной воды настолько снизится, что можно будет ставить вопрос о применении ее
для орошения засушливых земель.
Одновременно с решением проблем большой ядерной энергетики и увеличением
мощности реакторов в СССР успешно решаются проблемы малой ядерной энергетики.
Уменьшение размеров реакторов крайне важно для использования ядерного горю-
горючего в двигателях, где лимитирован вес горючего. Такие двигатели устанавливаются
на подводных лодках и ледоколах дальнего плавания.
9. Особым реактором на быстрых нейтронах, в котором осуществляется быстрая,
неуправляемая цепная реакция взрывного типа, является атомная бомба. Ядеоным
взрывчатым веществом в ней служат чистые делящиеся вещества U-235, Ри-239 и
U-233; в период до взрыва развитию цепной реакции препятствует вылет нейтронов
за пределы делящегося вещества. Быстрая цепная реакция взрывного типа оказы-
оказывается возможной при определенных критических параметрах (размере и массе) уст-
устройства. Отсутствие замедлителя приводит к значительному снижению критических
размеров системы. Для изотопов U-235, Ри-239 и U-233 критическая масса составляет,
по-видимому, 10—20 кг. При плотности вещества р=18,7 г/см3 его критическая масса
занимает объем шара радиусом 4—6 см. Некоторое уменьшение критической массы
взрывчатого вещества бомбы может быть достигнуто за счет помещения заряда в обо-
оболочку из металлов, имеющих большую плотность и мало поглощающих нейтроны.
Для осуществления взрывной реакции взрывчатое вещество необходимо пере-
перевести в надкритическое состояние. После этого за счет имеющихся нейтронов кос-
космических лучей и спонтанного деления начнется взрывная реакция. Перевод веще-
вещества бомбы из подкритического в надкритическое состояние производится максималь-
— 441 —
но быстро. Для этой цели ядершй заряд бомбы делится, например, на две части,
каждая из которых находится еще в подкритнческих условиях (имеет докритические
размеры). В момент ос>ществления взрыва одна из половин заряда выстреливается
в другую и при их соединении почти мгновенно достигается надкритическое состояние
всей системы. Взрывная реакция приводит к выделению колоссальной энергии. Тем-
Температура, развивающаяся при этом, достигает 107 градусов. Разрушительная сила
бомбы, сброшенной на Хиросиму, была эквивалентна взрыву 20 тыс. т тринитрото-
тринитротолуола. В поздних образцах атомного оружия разрушительная сила доведена до эк-
эквивалента в сотни тысяч тони и более. Если к этому добавить, что при атомном взры-
взрыве возникает огромное количество радиоактивных осколков деления, в том числе и
весьма долгоживущих, то станет очевидным, что ядерный взрыв представляет собой
ужасную катастрофу. Тем большее значение приобретает та борьба, которую после-
последовательно проводит Советский Союз за запрещение использования ядерного оружия.
Существенным этапом этой борьбы явилось соглашение о запрещении эксперименталь-
экспериментальных ядерных взрывов в трех средах (в воздухе, на земле и под водой).
§ 18.11. Термоядерные реакции
1. Наряду с процессом деления тяжелых ядер, являю-
являющимся мощным источником энергии, существует второй путь выделе-
выделения внутриядерной энергии — синтез более тяжелых ядер (гелия)
из наиболее легких (изотопов водорода). В § 16.4 и 16.5 было отме-
отмечено, что энергия связи в ядре гелия значительно превышает энергию
связи в ядрах тяжелого водорода — дейтерия |D, а также и три-
трития \Н — еще более тяжелого изотопа водорода. Удельная энергия
связи в дейтроне составляет 1,113 МэВ, и удельные энергии связей
в трех ядрах — ?D, JH и|Не — огносятся приблизительно, как 1:3:6.
Это означает, что ядерные реакции соединения двух дейтронов, рас-
рассмотренные в п. 8 § 18.4:
*D + iD —JH+1P, fD+fD — iHe + Хя, A8.23)
должны сопровождаться выделением больших энергий. Действи-
Действительно, как показывают расчеты, в первой из них выделяется энер-
энергия W, равная 4,04 МэВ, а во второй — 3,27 МэВ. Еще большая энер-
энергия — 17,58 МэВ — выделяется при соединении водорода с тритием
с образованием ядра гелия и нейтрона:
JD + iH-*JHe + 5n. A8.23')
Подчеркнем, что в этих реакциях выделение энергии, рассчитанное
на один нуклон, в несколько раз превышает выделение энер-
энергии на одну частицу при реакциях деления тяжелых ядер. В самом
деле, при делении ядра U-238 выделяется энергия порядка 200 МэВ,
что составляет на одну частицу -^г МэВ, т. е. приблизительно 0,85
zoo
W/ 17 Г
МэВ. В реакции A8.23') эта величина равна-j- «— ~— = 3,5 МэВ, т. е.
примерно в четыре раза больше. Еще более эффективной в смысле
удельного выделения энергии является реакция синтеза ядра гелия
аНе из четырех протонов \р. Выделенная при этом энергия равна
26,8 МэВ, что составляет 6,70 МэВ на одну частицу.
2. Рассмотрим условия, при которых могут протекать реакции
синтеза легких ядер. В п. 9 § 18.4 мы подчеркивали, что в ядерных
реакциях под действием заряженных частиц существенную роль иг-
— 442 —
рает кулоновский потенциальный барьер, препятствующий сближе-
сближению ядер. Если кинетическая энергия бомбардирующей ядро заря-
заряженной частицы невелика, то реакции на заряженных частицах не
могут происходить. У легких ядер кулоновский барьер относительно
невысок, но все же для осуществления реакции слияния двух соуда-
соударяющихся дейтронов необходимо, чтобы они имели энергию порядка
0,1 МэВ.
В самом деле, для соединения двух ядер дейтерия их надо сблизить
до расстояния г=3-10^м (см. § 16.5) и преодолеть при этом потен-
потенциальную энергию отталкивания Ц7п=е2/Dяеог). Легко подсчитать,
что средняя кинетическая энергия 3/2kT сталкивающихся дейтронов
будет достаточна для этого при температуре Г«2-109 К. При этом
средняя энергия дейтрона как раз и составит 0,1 МэВ. Таким образом,
реакция слияния двух дейтронов может происходить при температуре,
значительно превышающей температуру центральных областей Солн-
Солнца, оцениваемую в 1,3-107 К. Такие реакции называют термоядер-
термоядерными.
3. Как показали более детальные исследования, температурный
режим для осуществления реакций синтеза может быть несколько
«облегчен» и снижен до 107 К. Дело в том, что при сверхвысоких тем-
температурах порядка десятков миллионов градусов атомы легких эле-
элементов находятся в состоянии плазмы — электронноядерного газа,
состоящего из полностью ионизованных атомов, т. е. свободных
электронов и оголенных ядер. Распределение частиц плазмы по ско-
скоростям и энергиям при данной температуре подчиняется закону Макс-
Максвелла (см. т. I, § 11.2). Это означает, что при некоторой температуре Т
существует определенное число ядер, находящихся на «хвосте» макс-
велловской кривой распределения (см. т. I, рис. 11.5) и имеющих
большую энергию. Частицы, находящиеся в «хвосте» максвелловского
распределения при Г«10' К, имеют энергии порядка десятков кило-
килоэлектронвольт, что еще, однако, значительно ниже кулоновского
барьера. Для ядер изотопа водорода этот барьер составляет 350—
500 кэВ. Известно, что в ядерных реакциях заряженных частиц при
обычных температурах вероятность туннельного про-
проникновения сквозь кулоновский барьер при столкновении ядер не-
невелика (см. § 18.4). Однако она очень быстро увеличивается с ростом
энергии сталкивающихся частиц. Например, для двух ядер дейтерия
эта вероятность при средней энергии частиц в 1,7 кэВ (соответствую-
(соответствующей температуре в 2-107 К) превышает в 1047 раз вероятность туннель-
туннельного слияния двух ядер дейтерия, обладающих средней энергией
в 17 эВ (Г=2-105 К). Температура в 107 К оказывается достаточной
для того, чтобы начала протекать термоядерная реакция за счет тун-
туннельного слияния ядер, находящихся в «хвосте» максвелловского
распределения. Кроме того, благоприятную роль для протекания
термоядерных реакций играет то обстоятельство, что с повышением
температуры интенсивнее происходят столкновения ядер, находя-
находящихся на «хвосте» максвелловского распределения, что способст-
способствует проникновению ядер друг в др>га сквозь кулоновский потен-
потенциальный барьер.
— 443 —
4. Температура порядка 10' К характерна для центральной части
Солнца. С другой стороны, спектральный анализ излучения Солнца
позволяет установить, что в его составе, как и в составе многих дру-
других звезд, имеется значительная часть водорода (около 80%) и гелия
(до 20%). Углерод, азот и кислород составляют не более 1% массы
звезд. Впрочем, если учесть, что масса Солнца колоссальна A,99 х
X Ю30 кг), то на Солнце имеется достаточное количество этих газов.
Сопоставление всех этих данных с условиями протекания термоядер-
термоядерных реакций привело к выводу, что термоядерные реак-
реакции должны происходить на Солнце и звездах и
являться источником энергии, компенсирующим их излучение. Еже-
Ежесекундно Солнце излучает энергию 3,8-1026 Дж, что соответствует
уменьшению его массы покоя на 4,3 млн. т. Полезно отметить, что ско-
скорость удельного выделения энергии Солнца, т. е. выделение,
приходящееся на единицу массы в1с, оказывается при этом
весьма малым, всего 1,88-Ю-4 Дж/(с-кг). Оно составляет лишь 1%
от удельного выделения энергии в живом организме в процессе об-
обмена веществ.
Малое удельное выделение Солнцем энергии за I с объясняет,
почему мощность излучения энергии нашим светилом практически не
изменилась за несколько миллиардов лет существования Солнечной
системы.
5. В 1938 г. было высказано предположение о возможном про-
протекании термоядерных реакций на Солнце в форме так называемого
протонно-протонного цикла. В одном из вариантов прогонно-протон-
ного- цикла происходят, как считают, следующие реакции. Цикл на-
начинается с соединения двух протонов с образованием дейтрона и ис-
испусканием позитрона и нейтрино: ip+ip->-?D++Je+|}ve. Далее, дейт-
дейтрон реагирует с протоном, образуя ядро легкого изотопа гелия |Не,
а избыток энергии выделяется в виде у-излучения: fD+lp-HjHe+y.
Заметим, что позитрон, образовавшийся на первом этапе цикла, сое-
соединяясь с электроном плазмы, также дает у-излучение.
С 1951 г. считают, что наиболее вероятным продолжением цикла
является соединение ядер гелия ЦНе с образованием ядра *Не (ос-
частицы) и двух протонов: fHe+'He-^He-^p. Результатом цикла
является синтез водородных ядер в ядро гелия, сопровождающийся
выделением энергии.
В 1939 г. Г. Бете предложил цикл термоядерных реакций, на-
называемый углеродно-азотным циклом или циклом Бете. В этом цикле
соединение ядер водорода в ядро гелия облегчается при помощи ядер
углерода ^С, играющих роль «катализаторов» термоядерной реакции.
Началом цикла является проникновение быстрого протона в ядро
углерода с образованием ядра неустойчивого радиоактивного изотопг.
азота 137N и излучением у-фотона:
С периодом полураспада 14 мин в ядре п7К происходит превраще
ние A8.4) \р-+\п-\- v\e-\-lve и образуется ядро изотопа углерода ]в3С:
"CJe+gve. Приблизительно через каждые 2,7 млн. лет ядро
— 444 —
^С, захватив протон, образует ядро устойчивого изотопа азота "N:
"C+lp-^N+Y- Спустя в среднем 32 млн. лет ядро X*N захватывает
протон и превращается в ядро кислорода 1ЪЯО: "N+Jp-^O+y. Не-
Неустойчивое ядро 1|О с периодом полураспада 3 мин испускает позит-
позитрон и нейтрино и превращается в ядро ^N: 1R-O^15N-j-+Je+gve. За-
Завершается цикл реакцией поглощения ядром ^N протона и распадом
его на ядро углерода 12,С и а-частицу, происходящими приблизительно
через 100 тыс. лет:
Новый цикл начинается вновь с поглощения углеродом Х*С протона,
происходящего в среднем через 13 млн. лет1. Результатом одного
цикла является превращение четырех протонов в ядро гелия с появле-
появлением двух позитронов и у-излучения, к которому следует добавить
излучение, возникающее при слиянии позитронов с электронами
плазмы. Энергия, выделяющаяся на одно ядро гелия, составляет
26,8 МэВ. В пересчете на грамм-атом гелия это составляет 700 тыс.
кВт-ч энергии. Этой энергии достаточно для компенсации энергии,
излучаемой Солнцем. Хотя термоядерные реакции на Солнце и при-
приводят к уменьшению на нем водорода, расчеты показывают, что коли-
количества водорода, имеющегося на Солнце, хватит для поддержания
термоядерных реакций и излучения Солнца на миллиарды лет.
6. Из предыдущего ясно, какое большое значение имеет осуществле-
осуществление в земных условиях термоядерных реакций для получения энергии.
Достаточно сказать, что при использовании дейтерия, содержащегося
в 1 л обычной воды, в реакции термоядерного синтеза выделится
столько же энергии, сколько выделяется при сгорании около 350 л
бензина.
Условия, близкие к тем, какие реализуются в недрах Солнца,
были впервые осуществлены в СССР, а несколько позднее в США,
в водородной бомбе, где происходит самоподдерживающаяся термо-
термоядерная реакция взрывного характера. Взрывчатым веществом, в ко-
котором происходила термоядерная реакция A8.23'), являлась смесь
дейтерия {D и трития ?Н. Необходимая для протекания реакции вы-
высокая температура была получена за счет взрыва «обычной» атомной
бомбы.
7. Теоретической основой для получения искусственных у п-
равляемых термоядерных реакций являются реакции типа
A8.23'), происходящие в дейтериевой высокотемпературной плазме2.
Как показали тщательные исследования, условия, при которых
могут протекать управляемые термоядерные реакции типа A8.23) и
A8.23'), несколько различаются, но сводятся к двум требованиям:
1 Между отдельными реакциями цикла проходит время, которое с точки зрения
земных масштабов времени непомерно велико. Однако нужно учесть, что этот цикл
является замкнутым и непрерывно происходящим. Поэтому раз-
различные реакции цикла происходят на Солнце одновременно, начавшись в
разные моменты времени.
2 В отличие от газоразрядной плазмы, имеющей температуру 10*— 105 граду-
градусов (см. т. II, § 12.5) и называемой низкотемпературной, плазма, температура которой
107- градусов и более, называется высокотемпературной.
— 445 —
наличие некоторой минимальной температуры и определенного огра-
ограничения для произведения га, где п — концентрация вещества в плаз-
плазме, т — время удержания частиц в плазме.
Для осуществления термоядерной реакции типа A8.23) необхо-
необходимо, чтобы выполнялись" условия
пг> Ю1в; Т> 109 К. A8.24)
Для реакции типа A8.23') эти условия несколько «облегчены»:
1014; Г> 108К. A8.24')
Ограничения для произведения пх имеют определенный физиче-
физический смысл: число прореагировавших ядер должно быть пропорцио-
пропорционально концентрации вещества и времени существования ядра.
Задача заключается, однако, не только в создании условий, необ-
необходимых для интенсивного выделения энергии в термоядерных про-
процессах, но главным образом в поддержании этих условий. Для осу-
осуществления самоподдерживающейся термоядерной ре-
реакции нужно, чтобы скорость выделения энергии в системе, где про-
происходит реакция, была не меньше, чем скорость отвода энергии от
системы.
8. Основной причиной потерь энергии высокотемпературной плаз-
плазмой является ее огромная теплопроводность, быстро
растущая (пропорционально 7"/») при рассматриваемых высоких
температурах. Отвод энергии из плазмы может происходить благодаря
диффузии горячих частиц из области, где происходит реакция, на
стенки аппарата, в котором находится плазма. Если плазму не тепло-
теплоизолировать от контакта с любыми окружающими веществами, то ее
нельзя нагреть даже до нескольких сотен тысяч градусов, так как
вся энергия, выделяющаяся в результате реакций синтеза, будет
передаваться стенкам. Иными словами, необходимо удержать
плазму в заданном объеме, не допуская ее расширения. Идея
эффективной магнитной термоизоляции илазмы применительно к проб-
проблеме управляемого термоядерного синтеза была предложена в СССР
в 1950 г. Если пропустить через плазму в форме столба вдоль его оси
сильный электрический ток, то магнитное поле этого тока, имеющее
форму, обычную для прямолинейного проводника (см. т. II, § 15.2),
создает электродинамические силы, которые будут стремиться сжать
плазменный столб (см. т. II, § 18.1). Таким образом, столб плазмы
окажется оторванным от стенок и стянутым в плазменный шнур.
Очевидно, что сжатие плазмы может происходить до тех пор, пока
давление, вызванное электродинамическими силами, не уравновесится
газокинетическим давлением частиц самой плазмы. На рис. 18.7 шнур
2 изолирован от стенок / магнитным полем Н. Электрический ток /,
пропущенный через газ, выполняет несколько функций: а) в началь-
начальной стадии создает плазму благодаря интенсивной ионизации; б)
стягивает плазму в шнур; в) за счет выделения джоулевого коли-
количества теплоты нагревает плазму до высокой температуры.
В первоначальных опытах, проводившихся в СССР Л. А. Арцимо-
вичем и его сотрудниками, в дейтерии, находящемся под давлением
— 446 —
0,01—0,11 мм рт.ст.,с помощью батареи конденсаторов большой
емкости создавался мощный импульсный разряд. Максимальная сила
тока в момент разрядного импульса достигала 105—10е А при длитель-
длительности нарастания тока от нуля до максимума 5—10 мкс. Возникшая
плазма сначала быстро стягивалась в шнур к оси разрядной трубки.
В конце сжатия температура шнура достигала 10ь градусов и даже
нескольких миллионов градусов. Однако удержать плазменный шнур
в таком состоянии не удается: происходят быстрые радиальные его
колебания — он то расширяется, то снова сжимается. Вследствие
нестабильности, неустойчивости плазмы в плазменном шнуре воз-
плазмы
Электродинами-
Электродинамическое давление
Рис. 18.7
Рис. 18.8
никают деформации, которые изменяют геометрическую форму шнура.
Результатом этого является нарушение термоизоляции, интенсивное
взаимодействие плазмы со стенками, приводящее к загрязнению
дейтерия веществом стенок и быстрому охлаждению плазмы. Все это
происходит за время в несколько микросекунд, сравнимое с временем
разрядного импульса. К моменту, когда достигнут максимум тока,
температура плазмы уже снижается по сравнению с той, которая у нее
была в момент окончания первого сжатия в шнур.
На рис. 18.8 представлены две простейшие деформации плазмен-
плазменного шнура; его местное сужение (а) и изгиб (б).
9. Основным вопросом, с решением которого связано осуществление
управляемых термоядерных реакций, является выяснение условий,
при которых высокотемпературная плазма, помещенная в магнитном
поле надлежащей конфигурации, может сохранять устойчи-
устойчивость. Решение этого вопроса наряду с поисками путей повышения
температуры плазмы до необходимой для самоподдерживающейся
реакции синтеза является главным направлением, в котором разви-
развиваются исследования по управляемым термоядерным реакциям. Ре-
Решение проблемы устойчивости плазмы потребовало прежде всего тща-
тщательного изучения деформаций, которые могут возникнуть в плазмен-
плазменном шнуре. Не вдаваясь в детали, укажем, что в случае деформации,
изображенной на рис. 18.8, а, в области сужения (перетяжки) плазмы
возрастет напряженность магнитного поля, а вместе с ней и электро-
электродинамические силы, стягивающие imijp в этой области по сравнению
с соседними участками. Между тем давление самой плазмы во всех ее
447 —
сечениях одинаково и плазма может свободно перетекать вдоль ее
сюлба. Следовательно, в месте сужения возросшее электродинамиче-
электродинамическое давление не будет уравновешиваться давлением плазмы и суже-
сужение будет продолжаться вплоть до разрыва шнура в области первона-
первоначального сужения. Аналогично можно показать, что возникшая в плаз-
плазменном шнуре деформация изгиба будет развиваться и приведет к
дальнейшему изгибанию шнура. В настоящее время детально изучены
возможные виды неустойчивости плазмы. Для стабилизации плазмы
применяют различные варианты использования дополнительных внеш-
внешних магнитных полей, не связанных с током, проходящим через плазму.
В связи с трудностями удержания плазмы в магнитном поле в по-
последние годы широко используются сфокусированные лазерные лучи
и электронные п^чки для сверхбыстрого нагревания термоядерного
вещества до необходимых температур. Основная идея состоит в том,
чтобы осуществить термоядерную реакцию за столь короткое время,
чтобы не успела проявиться неустойчивость плазмы.
Для того чтобы реализовать условия A8.24'), необходимо в объеме
плотной смеси дейтерия и трития (порядка нескольких мм1) за не-
несколько наносекунд выделить энергию, не меньшую 107 Дж. Импульс-
Импульсное нагревание плазмы лазерным лучом позволит добиться этого от
источников с импульсной мощностью порядка 5- 10й Вт, которая еще
не достигнута. Кроме того, для достижения необходимой импульсной
мощности нужно повысить к. п. д. лазерных установок, который пока
еще не позволяет получить требуемый энергетический баланс.
Импульсное нагревание термоядерного вещества электронным
пучком основано на том, что на короткое время можно создать токи
порядка 104—106 А при энергии электронов в пучке порядка несколь-
нескольких МэВ. Этим способом достигнута мощность 1012 Вт при энергии
пучка в несколько тысяч джоулей. Однако принципиальных ограни-
ограничений на рост тока и энергии электронов в пучке, по-видимому, пока
не существует.
Мы не б\дем подробно обсуждать те пути, по которым практически
осуществляется управляемый термоядерный синтез. Остановимся
лишь кратко на реализации программы «Токамак» \ наиболее пер-
перспективно развивающейся в СССР, США и других странах. Основная
идея установок типа «Токамак» заключается в том, чтобы использо-
использовать достаточно сильное магнитное поле, параллельное электриче-
электрическому току, для того чтобы это поле препятствовало поперечным
движениям плазменного шнура. Чтобы плазма не выходила через
концы плазменного шнура, его свернули в тор.
Установка «Токамак» схематически представлена на рис. 18.9:
/ — внутренняя камера; 2 — внешняя медная камера; 3 — обмотка,
создающая магнитное поле вдоль тора; 4 — первичная обмотка транс-
трансформатора; 5 — железный сердечник; 6 —• плазменный виток. Внутрь
тороидальной камеры впускается газообразный дейтерий. С помощью
трансформатора в камере индуктируется кольцевой ток, который,
1 Сокращение от слов: Тороидальная Камера со стабилизирующим Магнитным
полем: последняя буква «г» для благозвучности заменена на «к».
— 448 —
ионизируя газ, образует плазму. Магнитное поле этого тока удержи-
удерживает плазму в виде плазменного шнура или витка. Кроме того, ток,
протекающий по плазме, нагревает ее. Для обеспечения устойчивости
плазменного шнура на поверхность камеры надеваются катушки,
генерирующие продольное магнитное поле с напряженностью, в 5—
10 раз превышающей напряженность поля, создаваемого током. Уста-
Установки «Токамак-3» многих поколений, включая «Токамак-10», яв-
являются реальным путем к созданию таких устройств, которые приве-
приведут к развитию ядерной энергетики.
§ 18.12. Применения радиоактивных изотопов
в народном хозяйстве
1. Развитие реакторостроения и все увеличивающаяся мощчость
ядерных реакторов позволили значительно расширить производство радиоактивных
изотопов, широко применяемых в самых различных областях народного хозяйства.
Производство и применение радиоактивных изотопов составляют важную от-
отрасль прикладной ядерной физики. Основой практического применения радиоак-
радиоактивных изотопов служат следующие их свойства:
а) большая энергия радиоактивных излучений, позволяющая регистрировать
акты появления отдельных а-, Р-частиц и 7-ф°тон°в и таким образом обнару-
обнаруживать весьма малые количества радиоактивных веществ;
б) независимость активности данного радиоактивного изотопа от условий, в ко-
которых находятся радиоактивые атомы (характер химического соединения, внешние
условия, агрегатное состояние и т. д.);
в) одинаковые химические свойства стабильных и радиоактивных изотопов дан-
данного химического элемента;
г) различная проникающая способность разных типов радиоактивных излуче-
излучений (a, f> и у) и специфический характер их взаимодействия с веществом.
2. Радиоактивные изотопы применяются главным образом в качестве источников
излучения высоких энергий и радиоактивных индикаторов. Наибольшее практиче-
практическое значение имеет сейчас второе направление, где круг возможных применений
весьма разнообразен. Основу его составляет тот факт, что радиоактивные излучения
атомов радиоактивного изотопа отличают их от стабильных неизлучающих
атомов, являются своеобразной меткой, позволяющей следить за поведением излу-
излучающих атомов. Использование «отмеченных» радиоактивностью атомов получило
название метода «меченых» атомов. Разнообразные применения радиоактивных ин-
индикаторов можно разделить по типу решаемых задач на следующие четыре группы:
15 Д. А. Детлаф, Б. М. Яворский г» 449 —
I. Изучение пространственного распределения в объекте некоторого вещества
(или веществ), вводимого в него извне. Если в данный объект ввести вещество с при-
примесью радиоактивного индикатора, то по активности в различных участках объекта
можно установить распределение введенного вещества по объекту. К такого типа за-
задачам относятся различные диффузионные исследования (самодиффузия металлов,
диффузия постороннего вещества в данное, термодиффузия и т. д.).
II. Определение содержания в данном веществе различных его компонентов, в
том числе и таких, которые имеются в весьма малых количествах.
Для этого необходимо ввести в вещество радиоактивный индикатор с физико-химиче-
физико-химическими свойствами, тождественными или очень близкими к свойствам иссле-
исследуемого компонента, причем удельная активность и количество введенного индика-
индикатора известны. После полного перемешивания введенного индикатора с изучаемым
компонентом измеряют удельную активность проб этого компонента и определяют его
начальное количество. Примером этого типа задач служит химический анализ по
методу изотопного разбавления для определения количества веществ, находящихся в
растворе, а также так называемый активационный анализ. В последнем случае при
облучении вещества нейтронами некоторые стабильные атомы в результате реак-
реакций захвата становятся радиоактивными. По характеру излучения изотопов судят
об образовании изотопов атомов тех или иных элементов. Активационный анализ поз-
позволяет обнаруживать весьма малые концентрации элементов — до 10~6 %.
III. Установление промежутка времени между моментом введения некоторого
вещества в определенное место изучаемого объекта и моментом появления этого ве-
вещества в некотором другом месте объекта. Этим методом решаегся большое число
практически важных задач, например установление направления воздушных потоков
в вентилируемых помещениях пыльных цехов, определение времени прохождения
газа через доменную печь и др.
IV. Решение методом радиоактивных индикаторов задач, связанных с опреде-
определением (оценкой) активности некоторого источника в первоначальный момент вре-
времени по его активности в данный момент. Этим методом определяется возраст геоло-
геологических объектов и археологических находок, в последнем случае — по концент-
концентрации в них долгоживущего изотопа углерода С-14, который образуется в воздухе
под действием космических лучей (см. § 18.5).
3. Большое значение имеет контроль различных технологических процессов с
помощью радиоактивных индикаторов. Этот контроль основан на измерении различ-
различных параметров, характеризующих процесс (уровень жидкости, толщина образца н
т. д.), по прохождению через вещество регистрируемого радиоактивного излучения с
определенным законом поглощения (или отражения) его веществом. При автоматизи-
автоматизированном соединении счетчиков (или других устройств) с аппаратами, управляющими
технологическими процессами, метод радиоактивны* индикаторов позволяет обна-
обнаружить отклонения от правильного режима протекания процесса и автоматически
производить его корректирование. В этих случаях радиоактивные изотопы являются
датчиками различных физических величин и параметров процессов. Например, в тек-
текстильной промышленности таким методом изучается процесс вытягивания шерсти на
вытяжных аппаратах. К чесаной шерсти, поступаюдей на ленточную машину для
вытягивания, добавляются радиоактивные волокна. Протекание процесса вытяги-
вытягивания фиксируется счетчиками Гейгера. Полученные данные используются при кон-
конструировании усовершенствованных вытяжных аппаратов и позволяют лучше по-
понять, как лента утончается в ровницу и затем в прчжу.
Метод радиоактивных индикаторов широко применяется при изучении износа
инструмента или материалов при трении. С этой целью одна из трущихся поверхно-
поверхностей предварительно активируется радиоактивным изотопом, а затем либо опреде-
определяется активность смазочного масла, либо измеряется перенос вещества с активиро-
активированной поверхности на неактивироваиную. При изучении износа инструмента в его
состав вводится радиоактивный изотоп и по измерению активности стружки, а кото-
которой имеются частицы — следы износа, судят о его скорости в зависимости от разных
причин.
В металлургии, машиностроении и других отраслях промышленности радиоак-
радиоактивные изотопы применяются в радиоактивных урэвнемерах, толщиномерах, уст-
устройствах для измерения концентраций, влажностей и других величин.
В медицине с помощью радиоактивных индикаторов определяют места скопле-
скопления в организме элементов, входящих в лекарственные препараты, сведения о пере-
— 450 —
мещениях в организмах тех или иных веществ и об органах, где концентрируется то
или иное вещество. На методе меченых атомов основана диагностика некоторых за-
заболеваний.
В сельском хозяйстве метод радиоактивных индикаторов применяется для кон-
контроля за равномерным внесением удобрений в почву, равномерным распределением
малых доз витаминов по всей массе кормов, а также для решения многих других ана-
аналогичных задач.
4. Радиоактивные изотопы в качестве источников частиц высокой энергии 1
применяются для дозированного облучения различных веществ с целью вызвать за-
заранее планируемые изменения в их структуре, а также в состояниях их молекул и
атомов. Облучение вызывает существенные качественные изменения
в протекании физико-химических процессов в веществе. Основанные на этом методы
радиационной химии и радиациоииой биологии в настоящее время все шире внедря-
внедряются в практику.
Радиационная химия решает следующие основные проблемы: 1) создание веществ
с максимальной сопротивляемостью разрушению, вызываемому радиоактивными из-
излучениями (защита стенок реактора, теплоносителей и смазочных материалов, ра-
работающих в поле излучений, радиобиологическая защита и т. д.); 2) создание новых
материалов с ценными свойствами (например, новых полимерных материалов).
Радиационная биология изучает изменения в живых организмах, вызванных дей-
действием радиоактивных излучений. Наибольший интерес представляет исследование
изменения наследственных качеств животных и растений. Большое число новых пер-
перспективных сортов сельскохозяйственных культур получено в результате изменения
наследственности растительных организмов под действием радиоактивных излучеиий.
1 Не следует, конечно, считать, что энергии этих частиц сравнимы с энергиями
частиц в космических лучах или даже с энергиями частиц, разгоняемых в ускорите-
ускорителях.
15*
Глава XIX
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
§ 19.1. Предварительные замечания
1. Проблемы физики частиц микромира — их природы,
свойств и взаимных превращений — являются важнейшими в физике
наших дней. Все наши сведения о строении атома не могут считаться
исчерпывающими до тех пор, пока не будут решены проблемы, свя-
связанные со структурой частиц микромира (нуклонов, электронов и т. д.).
Вопрос о структуре электрона и протона — частиц, известных еще
до появления современной квантовой механики,— решался, по су-
существу, двояким образом. С одной стороны, в целом ряде задач их
можно было рассматривать как бесструктурные частицы —
материальные точки, обладающие рядом свойств, например зарядом и
массой. Представление о точечной элементарной частице находится
в согласии с теорией относительности. Дело в том, что если элемен-
элементарная частица имеет конечные размеры, является протяженной, то
она, будучи единым целым, не должна деформироваться, так как де-
деформация по смыслу этого понятия связана с возможностью незави-
независимых движений отдельных частей целого. Но в применении к элемен-
элементарной частице это означает, что внешнее воздействие на нее должно
было бы мгновенно передаваться от одних ее частей к другим.
Это противоречит основному положению теории относительности об
отсутствии в природе скоростей передачи взаимодействий, больших
скорости с света в вакууме. С другой стороны, уже в классической
электродинамике было введено понятие о классическом радиусе
электрона, которое неизбежно означает наличие некоторой протя-
протяженности частицы в пространстве и существование у нее опре-
определенной структуры.
2. Из классической электродинамики известно (см. т. II, § 3.2),
что неподвижная заряженная частица с зарядом е создает электро-
электростатическое поле с потенциалом ср=<?/Dяеог), где г — расстояние от
частицы. Для бесструктурной точечной частицы это означает, что
созданное ею поле в точке ее нахождения (при г->0) обладает беско-
бесконечным потенциалом, а следовательно, и бесконечной потен-
потенциальной энергией. Так, в физику бесструктурных частиц вошли
«бесконечности», потребовавшие введения каких-то неточечных взаимо-
взаимодействий. Развитие всей квантовой механики в ее применении к эле-
элементарным частицам представляло собой непрерывное создание раз-
различных методов введения неточечных взаимодействий, попыток устра-
устранить «бесконечность», ввести определенную структуру элементарных
частиц, которая не противоречила бы теории относительности.
Для выяснения структуры частиц микромира необходимо иметь
частицы весьма больших энергий. Легко показать, что с увеличением
энергии сталкивающихся частиц можно получить информацию о яв-
явлениях, происходящих на все более малых расстояниях между час-
— 452 -
тицами. В самом деле, предположим, что требуется выяснить, что
происходит при соударении двух элементарных частиц на весьма ма-
малом расстоянии Лг между этими частицами. Если координата частицы
определена с точностью до Лг, то неопределенность в ее импульсе бу-
будет Др^-т—и, следовательно, неопределенность в энергии частицы
будет не меньше, чем некоторая величина AW. Чем меньше изучаемые
расстояния Аг, связанные со структурой элементарных частиц, тем
больше должны быть импульс р и энергия W частиц, ибо они не могут
быть меньше, чем Ар и AW.
Заметим, что на заре развития физики ядра энергии, которыми
располагали, должны были обеспечить возможность проникновения
в области с линейными размерами 10~12—10~13 см. Физика элементар-
элементарных частиц и исследования их структуры стали возможны при дости-
достижении энергий, позволяющих проникнуть в области с размерами
Ю~13—10~14 см. Так, для релятивистского электрона необходимые
энергии должны составлять We&2 ГэВ. Для проникновения в глубь
микромира до расстояний 10~14—10~15 см необходимы энергии по-
порядка 10* ГэВ, получение которых на ускорителях еще невозможно.
Предельно большие энергии в настоящее время порядка 1012 ГэВ
наблюдаются у частиц в космических лучах,
3. Как всякая бурно развивающаяся область знаний, учение об
элементарных частицах не находится пока еще в таком завершенном
состоянии, которое допускало бы его систематическое изложение,
в особенности в рамках общего курса физики для втузов. Поэтому
в этой завершающей главе курса мы ограничимся кратким изложением
основных экспериментальных данных и в меньшей степени будем ка-
касаться их теоретического истолкования.
§ 19.2. Космические лучи и их свойства
1. Космическими лучами называются потоки атомных
ядер высокой энергии, главным образом протонов, приходящие на
Землю из космического пространства, а также вторичное излучение,
создаваемое этими ядрами в атмосфере Земли. Космические лучи были
обнаружены в начале XX в. при изучении ионизации сухого воздуха,
заключенного в замкнутый сосуд. Опыты показали, что заряженный
электроскоп, помещенный в очень толстую свинцовую оболочку,
все же теряет свой заряд. Изучение причин этого явления привело
к обнаружению излучения внеземного происхождения, обладающего
высокой проникающей способностью. Тот факт, что обнаруженное из-
излучение приходит на Землю из космического пространства, подтверж-
подтверждается следующим наблюдением: при подъеме в атмосферу до вы-
высоты 1000 м происходит незначительное уменьшение интенсивности
ионизации, которое затем сменяется быстрым ее ростом, который
нелыя объяснить, если считать, что источники ионизации находятся
в недрах Земли. Исследования показали, что космическое излучение
поступает на Землю изотропно из всего космического пространства,
о чем свидетельствует практическая независимость интенсивности
— 453 —
ионизации воздуха космическими лучами от суточного вращения
Земли.
Интенсивность / космических лучей определяется плотностью
потока частиц — числом частиц, проходящих в 1 с через единицу
площади поверхности внутри еди-
Интенсивность космических лучей ничного телесного угла. Она выра-
Jdommumemm единицах) жаегся в м-»-ср-4-*.
Изменение интенсивности кос-
космических лучей с высотой показа-
показано на рис. 19.1.
2. Космические лучи, изотроп-
изотропно падающие из мирового простран-
пространства, испытывают отклонение в
магнитном поле Земли, в резуль-
50 100 150 тате чего их интенсивность зависит
Высота, им от широты. Наибольшее отклоняю-
Рис. 19.1 щее действие магнитное поле Зем-
Земли оказывает в экваториальной
области. Здесь наибольшее число частиц испытывает сильное отклоне-
отклонение и не проходит в нижние слои земной атмосферы. Это явле-
явление называется широтным эффектом. Изучение отклоняющего дейст-
действия магнитного поля Земли на космические лучи показало, что поло-
положительные частицы, входящие в их состав, отклоняются к востоку,
а отрицательные — к западу (восточно-западный эффект).
3. Изучение состава первичного космического излучения за пре-
пределами земной атмосферы проводится с помощью ионизационных
камер, счетчиков, пачек ядерных
фотоэмульсий, поднимаемых на
воздушных шарах, ракетах, а так-
также установленных на космических
кораблях. В состав первичных кос-
космических лучей входят главным
образом протоны иа-частицы. Кро-
Кроме того, входит несколько групп
ядер: легкие (L) ядра лития, берил-
бериллия и бора, средние (М) ядра угле-
углерода, кислорода, азота и фтора и тя-
тяжелые (Я) ядра с порядковыми но-
номерами Z>10. Подгруппы очень
тяжелых ядер (VH) содержат ядра
с 2>20.
Интенсивность различных групп ядер и их данные для частиц
с полной энергией, большей 2,5 ГэВ/нуклон, приведены в табл. 19.1,
где ^Ду — среднее массовое число данной группы.
В пятом столбце таблицы приведено отношение концентраций со-
соответствующих групп ядер к концентрации ядер группы (Я), в по-
последнем столбце — такое же огношенпе, характеризующее среднюю
распространенность элемента во Вселенной — на Солнце, в звездах
и межзвездной среде.
о.
«
к
с
>>
О.
U
р
а.
L
М
н
VH
z
1
2
3-5
6-9
За 10
Ss20
<А>
1
4
10
14
31
51
7
1300
94
2,0
6,7
2,0
0,5
Т а б л
I _ N
1 U ~ II LI
1И 1' Н
650
47
1,0
3,3
1,0
0,26
ица 19.1
Во Все-
Вселенной
(в сред-
среднем)
N
NH
6830
1040
ю-6
10,1
1,0
0,05
Из табл. 19.1 можно сделать два вывода. Во-первых, легких эле-
элементов во Вселенной очень мало, в то время как в космических лучах
ядер группы (L) столько же, сколько тяжелых ядер группы (Н) и
в 105 раз больше, чем в среднем во Вселенной. Во-вторых, космические
лучи по сравнению с небесными телами значительно обогащены тяже-
тяжелыми и очень тяжелыми элементами. Так, в космических лучах на
одно ядро группы (Н) приходится 700 протонов и а-частиц, а на одно
ядро группы (VH) — около 2000 протонов и ct-частиц. Соответственно
во Вселенной на те же ядра приходится
протонов и сс-частиц 8000 и 160 000.
Энергетический спектр первичных
космических лучей весьма широк. В
этом спектре преобладают частицы с
энергией до нескольких десятков ГэВ.
Наибольшая часть первичных космичес-
космических лучей обладает энергией 1013 эВ.
Встречаются частицы и с энергией 0 5 Ш 15 Ш 25 d,m
1021 эВ- Рис 19 2
4. На высотах, превышающих 50— ' '
60 км, где наблюдается постоянная ин-
интенсивность космических лучей, есть лишь первичное излучение.
Рост интенсивности с приближением к Земле (рис. 19.1) означает
появление вторичных космических лучей.
Свою огромную энергию частицы первичных космических лучей
расходуют главным образом при неупругих столкновениях с ядрами
атомов азота и кислорода воздуха в верхних слоях атмосферы. Ре-
Результатом этих столкновений и связанных с ними процессов и яв-
являются вторичные космические лучи, которые достигают поверх-
поверхности Земли. Оценки длин пробегов протонов и тяжелых ядер первич-
первичных лучей показывают, что ниже 20 км все космическое излучение
является вторичным.
Для изучения проникающей способности вторичных космических
лучей измерялась их интенсивность после прохождения через слой
свинца различной толщины d. На рис. 19.2 приведены результаты
измерений, в которых за единицу принята интенсивность космических
лучей при d=0. При толщинах d от 0 до 10—13 см интенсивность быст-
быстро ослабевает, а при дальнейшем увеличении толщины она практи-
практически остается постоянной. В связи с этим в составе вторичных косми-
космических лучей различают мягкую и жесткую компоненты. Мягкая
компонента сильно поглощается свинцом, жесткая компонента обла-
обладает в свинце большой проникающей способностью.
В основе разделения космических лучей на мягкую и жесткую
компоненту лежит отмеченное в § 17.8 различие в радиационных (тор-
(тормозных) и ионизационных потерях легких и тяжелых заряженных
частиц. В жесткую компоненту входят более тяжелые быстрые заря-
заряженные частицы, теряющие энергию в основном лишь на ионизацию
атомов, встречающихся на их пути. В составе мягкой компоненты на-
находятся легкие заряженные частицы — электроны и позитроны, а
также фотоны.
— 455 —
5. Вне земной атмосферы обнаружены околоземные радиационные
пояса (зоны), представляющие собой две разграниченные области
с сильно повышенной интенсивностью космического ионизирующего
излучения {по сравнению с наблюдаемой на относительно малых вы-
высотах). Образование этих поясов связано, как показали исследования
последних лет, с захватом и удержанием заряженных
частиц магнитным полем Земли.
Радиационные пояса должны быть характерны для Всех небесных
тел, обладающих магнитным полем. По данным, полученным с по-
помощью космических ракет, Луиа не имеет собственного магнитного
поля и поэтому вокруг нее нет радиационных поясов. Данные о зонах
повышенной космической радиации имеют существенное значение для
полетов человека в космическое пространство,
6. Гипотезы о происхождении первичного космического излучения
опираются на данные об энергии первичных частиц и на радиоастро-
радиоастрономические данные. Считается, что в первичных лучах заряженные
частицы приобретают большие энергии благодаря ускорению, которое
они получают в электромагнитных полях звезд и Солнца Существенно,
что ускорение заряженных частиц должно происходить посте-
постепенно. В противном случае, если бы энергии до 1021 эВ, которыми
обладают тяжелые и сверхтяжелые ядра, имеющиеся в первичном
излучении, получались ими сразу в результате некоторых сверхбыст-
сверхбыстрых процессов, ядра сразу бы «испарялись» на составляющие их нук-
нуклоны. Энергии связи в ядре не хватило бы для удержания нуклонов
друг возле друга в ядре при быстром сообщении ему энергии, значи-
значительно меньшей, чем 10п эВ. Постепенное ускорение первичных косми-
космических лучей может осуществляться аналогично ускорению частиц
в бетатроне (см. т. II, § 21.2). При вращении звезд, обладающих маг-
магнитным полем, создаются вихревые электрические поля. Магнитные
поля звезд, действуя на протоны и ядра, удерживают их на замкну-
замкнутых траекториях, двигаясь по которым они приобретают в электриче-
электрических полях колоссальные ускорения. Вторым механизмом ускорения
частиц в первичных космических лучах являются статистические эф-
эффекты: при встрече с облаками межзвездной материи, обладающими
неоднородными магнитными полями, частицы ускоряются.
В облаках межзвездной материи возникают движения заряженных
масс, создающие переменные электромагнитные поля, В этих полях
заряженные частицы первичного космического излучения могут ус-
ускоряться до самых больших энергий, которые в нем наблюдаются.
Предполагается, что начальная энергия первичных частиц (порог ин-
жекции) имеет своей природой ударные волны, возникающие в ре-
результате столкновений газовых масс при взрыве так называемых
сверхновых звезд. Энергия этих взрывов — внутриядерного проис-
происхождения, поэтому энергия космических лучей имеет своей первопри-
первопричиной ядерную энергию.
Таким образом, в настоящее время считается наиболее вероятным,
что в основном космические лучи в Галактике образуются при взрывах
сверхновых звезд, а также, возможно, и новых звезд. В процессе
блужданий в межзвездном пространстве часть тяжелых ядер, генери*
- 456-
руемых в источниках, расщепляется. Эта в конечном счете приводит
к наблюдаемому составу космических лучей (см. п. 3). Электронная
компонента (^е, +1е) вторичных космических лучей является резуль-
результатом вторичных процессов (в частности, образования л±-мезонов
с последующим их распадом: п±—«-^±—*-+?е; § 19.4). Считается, что
быстро изменяющиеся магнитные и электрические поля, возникающие
при вспышках сверхновых звезд, способны ускорять протоны в космиче-
космических лучах до энергий порядка Ю1* эВ. Происхождение сверхгигант-
сверхгигантских энергий частиц порядка 10й эВ связывается с тем, что некоторые
типы звезд являются источниками мощного низкочастотного электро-
электромагнитного поля, которое, взаимодействуя с протонами с энергией
1014 эВ, ускоряет их до энергий 1021 эВ.
§ 19.3. ju-Мезоны (мюоны) и их свойства
1. Изучение процессов взаимодействия космических лу-
лучей с веществом долгое время было единственным методом изучения
элементарных частиц. Взаимодействия космических лучей с вещест-
веществом и их поглощение связаны с процессами рождения и качественного
превращения элементарных частиц. Лишь после создания уникаль-
уникальных ускорительных установок (см. т. II, § 18.5) возникла возмож-
возможность изучения природы, взаимных превращений и структуры эле-
элементарных частиц в лабораторных условиях. Однако если принять во
внимание, что в первичных космических лучах регистрируются оди-
одиночные частицы с энергиями ~1021 эВ, то станет ясно, что космиче-
космические лучи еще очень долго будут конкурировать с ускорителями в деле
исследования элементарных частиц.
2. При изучении взаимодействия частиц жесткой компоненты кос-
космических лучей с веществами были обнаружены новые частицы —
мезоны. Возможность рождения новых частиц при столкновении
быстрой заряженной частицы первичных лучей (например, протона)
с ядром атома азота или кислорода атмосферы вытекает из соотноше-
соотношения (9.35) между массой и энергией. При энергии протона 101 ГэВ,
приблизительно в 10* раз превышающей его энергию покоя 1, столкно-
столкновение протона с ядром приводит не только к расщеплению ядра на
его составные части — нуклоны. За счет колоссального избытка энер-
энергии и массы первичной частицы над энергией и массой покоя ядра
энергии протона хватает не только для сообщения кинетической
энергии продуктам расщепления, но и для рождения новых частиц,
как обладающих массой покоя, так и имеющих лишь массу, связанную
с полями.
3. Изучая поглощение космических лучей свинцовыми фильтрами
цо методу Вильсона — Скобельцына, X. Андерсен и С. Неддермейер
получили A937) трек заряженной частицы, фотография которого
изображена на рис. 19.3. По характеру искривления трека в магнит-
магнитном поле (частица двигалась сверху вниз) был установлен положи-
1 Таким же, очевидно, является отношение массы протона к его массе покоя.
— 457 —
тельный знак частицы. По производимому ею ионизационному дейст-
действию и потерям энергии была оценена масса покоя частицы. Она со-
составляет приблизительно 200 те, где те— масса покоя электрона.
Впоследствии были обнаружены отрицательные частицы с такой же
массой. В дальнейшем для отличия этих частиц от других частиц с мас-
массой покоя, промежуточной между массами покоя электрона и протона,
мезоны с массой «200 те были названы
ц-мезонами (мюонами).
Точные экспериментальные исследования
масс покоя [х±-мезонов, проведенные при
изучении распада более тяжелых частиц,
чем ц-мезоны, привели к значению
т^±= 105,6599 A4) МэВ.
Рис. 19.3
В табл. 19.2 приведены характеристики
элементарных частиц. Массы частиц приве-
приведены, как это сейчас принято, в энергети-
энергетических единицах (МэВ). Поскольку масса
электрона те«Ю,5 МэВ, то для нахождения
массы частицы в электронных массах нужно
ее массу в МэВ умножить на два.
4. Исследование изменения интенсивности
жесткой компоненты космических лучей с
высотой (на уровне моря и на высокой горе)
показало, что на уровне моря [i-мезоны имеют заметно меньшую ин-
интенсивность. Опыты ставились так, что на горе имелся дополнитель-
дополнительный фильтр, действие которого было эквивалентно поглощающей
способности столба воздуха с высотой, равной высоте горы. Следова-
Следовательно, условия поглощения fi-мезонов воздухом были одинаковыми
как на горе, так и на уровне моря. Единственной причиной убыли
интенсивности ц,-мезонов за время t пролета ими расстояния Я, рав-
равного высоте горы, мог быть самопроизвольный распад u-мезона. Оце-
и и
нивая время пролета t = — « — (т. е. считая, что мезоны движутся со
скоростью о, бчизкой к скорости свега с) и используя формулу A7.2')
для радиоактивного распада
можно было по известным из измерений числам jx-мезонов на горе
(No) и на уровне моря (N) определить Тц— среднее время жизни
ц,-мезона. Такие оценки привели к значению т^Ш с.
Более точные опыты по определению Тц, проведенные по методу
поглощения жесткой компоненты космических лучей в свинцовых
фильтрах с использованием весьма точных методов регистрации
^.-мезонов, привели к значению tw=2,15G)- 10~e с.
Более точным значением т^ в настоящее время считается
тд =2,1983 (8)-10-*с.
— 458 -
Время жизни ц+-мезона т^ + « 2,2-10~6 с одинаково во всех веще-
веществах. Для отрицательного мюона т„- зависит от атомного номера Z
ядер атомов среды, в которой он движется, и с ростом Z изменяется
в пределах порядка 10"ь с.
Мюоны могут испытывать распад по схемам
где °ove и Jv^ — электронное и мезоиное нейтрино (и соответственно ан-
антинейтрино).
Электроны _\е и позитроны +\е распада jx-мезонов были отчетливо
обнаружены по методу чувствительных ядерных фотоэмульсий. Энер-
Энергия электрона (или позитрона), возникшего в реакциях A9.1), не пре-
превышает 50 МэВ и гораздо меньше энергии [л^-мезонов. Поэтому элект-
электрон (позитрон) не может быть единственной частицей при распаде
[х^-мезона. Анализ процесса распада по законам сохранения привел
к схемам A9.1) 1. Из них следует, что спин |л-мезонов, как и электрона,
должен быть равен %12, ибо спин нейтрино и антинейтрино равен ±%<2
каждый и эти спины взаимно компенсируются (при отсутствии ciporo
выделенных ориентации каждого из спинов).
5. Зависимость времени жизни т.^--мезона от заряда ядра Z атомов
вещества приводит к тому, что ц~-мезон может быть захвачен
атомом вещества с образованием так называемого мезоатома. Среди
атомов, содержащихся в периодической системе элементов Менделе-
Менделеева, мезоатомов нет. Они образуются при ионизационном тор-
торможении \i"-мезона вблизи ядра. Потеряв свою энергию, ^--ме-
^--мезон захватывается на одну из орбит, подобных электронным, но
с радиусом, в (m^/me)»200 раз меньшим. За короткое время A0~14—
Ю~13 с) |л~-мезон может переходить из одного энергетического состоя-
состояния в мезоатоме в другое (с одной «орбиты» на другую), излучая у-
фотоны. По существованию такого излучения и измерению его энер-
энергии были сделаны выводы об образовании мезоатомов. Мезоатом су-
существует короткое время, пока \л~ -мезон не распадется и аи не будет
захвачен протоном ядра. К мезоатомам с успехом применяется боров-
ская теория водородоподобных систем. Так, по формуле A3.9') можно
оценить радиус /(-орбиты ^--мезона в свинце (Z=82): r — -^m пе\ .
Он оказывается равным 3-10~16 м, т. е. имеет величину, меньшую
радиуса ядра свинца. Это означает, что в мезоатоме свинца \i~-мезон
находится некоторое время внутри ядра и не поглощается им. Этот
результат имеет большое значение. Он показывает, что ц-мезоны яв-
являются ядерно-неактивными частицами, т. е. они весьма слабо
взаимодействуют с ядрами. С другой стороны, время 10~8 с в 10й
раз больше ядерного времени A0~м с), которое характеризует внутри-
1 В настоящее время установлено, что нейтрино Jve и антинейтрино gVe, испус-
испускаемые вместе с электронами, отличаются от нейтрино о^ц и антинейтрино {Jv^,, ис-
испускаемых вместе с мезонами. Поэтому теперь принято различать электронное и ме-
зонное нейтрино (и антинейтрино), приче
§ 19.7.
— 459 —
Таблица 19.2
Название частицы
в античастицы
ее:
D*
со
SB
1
о
си о;
1-
*-
| =
Масса,
МэВ
Время жизни.
с
Спин
%
I!
s x 5
ас с 0
III
Преобладающая
схема распада
Фотон
0
О
Лептоны
Нейтрино:
электронное нейтри- ve; 0; 0 < 60 эВ
но, антинейтрино у
(г-мезонное нейтрино, у„; 0; 0 < 1,6
антинейтрино -
Электроны:
электрон, позитрон е~;е+ —1; 0,511004A6)
Мюоны:
ц--мезон, р+-мезон (х~;
Стабилен
Стабильны 1/2 0; 0
1/2 0; 0 +1;
—1
1/2 0; 0 +1;
— I
1; 105,6599 A4) 2,1983 (8)- 10~в 1/2 0; 0
Мезоны:
Пионы:
я+-мезон, я~-мезон я+; +1; 139,579 A4) 2,6024 B4)- 10~а 0 0; 0
я°-мезон я0 0 134,975A7) 0,76 A5)- Ю6 О О
Каоны:
К+-мезон, /С--мезои К+\ +1; 493,82A1) 1,235 D)-10~8 0 0; О
к- -1
/С0-мезон, анти-Л«- К^Л* 0; 0 497,76A6) ^:0,862F)Х
незои Х10~10
К1:о,38 A9)Х
Х10-8
О 0; О
0;
0
6;
О;
0
0
0
0; 0
0
+i;
±1;
1
1
1/2
1/2
+i;
0
+ 1/2;
-1/2
-1/2;
+ 1/2
я
*"|Х'
я»—>-
1
^s—*
—*■ я,
+ V
2V
+ v
Ц. V
е, v
I
2
Барионы;
Нуклоны:
протон, антипротон р; ~р
нейтрон, антинейтрон я; п
Гипероны:
Л»-гиперон, аИТИ-А»- Л"; Лв
гиперон
2+-гиперон, анти- 2+;
2+-гиперои f-
2-гиперон, внти-2-- 2-;
гиперон 2~
2»-гиперон, анти-2»- 2°;2„
гиперон
Е-гиперон, анти-S- S—,
гнперон ge
So-гиперон, анти-8°- В";
р
гиперон
§о
а--гнперон, анти- Й-;
Q-'Гнперон о+
+i;
—l
0; 0
6; 0
+»;
—l
j.
+i*
0; 0
j-
+Г
—i;
+l
938,2592E2)
939,5527 E2)
1115,60(8)
1189,40A9)
1197,32A1)
1192,46A2)
1321,25A8)
1314,7 G)
№72,5E)
Стабильны
1013B6)
932A4)
2,51C).1O-10
0,802 G)-10-10
l,49CI0-10
т **** Л ft—14
Txeop « 10-"
1,66 D) 10-И
3,06A8I0-»
1,3D)-Ш-»
1'2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2?
-И;
—l
+ i;
—i
\ l;
i
+i;
—l
+ 1;
j
+i;
—l
+i;
|
+i;
—i
+i;
—l
0;
0;
0;
0;
0;
0;
0;
0;
0;
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0; 0
0, 0
-1;
+1
+ 1
— 1;
+ 1
— 1;
+ 1
O-
+2
-2;
+2
+3
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
Q
+1/2;
— 1/2
-1/2;
+ 1/2
0; 0
+i;
—l;
+i
0; 0
-1/2;
+1/2
+ 1/2;
-1/2
0; 0
n —► p + e~ -f
Л0 —»- p-\-n~
2+—*n ]-я+
2 »-п + л-
2" —*■ Afl + v
E >-Л0 + я-
3о_>Л» + Я»
Примечание. Античастицы имеют тождественные с частицев аначения массы, времени ятэви, спина и изотопического спин я в яротявв-
йоложные по знаку значения электрического, барионного и лептонного зарядов, странности и проекции изотопического спина. Схема распада
античастицы зарядовосопряжена схеме распада частицы (например, для частицы ц~ —*-e~+Vu + V», для автичастнцы д+
В таблице даны только преобладающие схемы распада.
-е+ + v +v«.
ядерные взаимодействия. Это означает, что |л-мезоны взаимодействуют
с ядрами в 1011 раз слабее, чем это необходимо для обеспечения
короткодействующего характера ядерных сил. Другими словами,
jx-мезоны не могут быть фотонами ядерного поля, обеспечи-
обеспечивающими взаимодействие нуклонов в ядре.
6. Слабое взаимодействие ^-мезонов с ядрами аналогично столь же
слабому взаимодействию с ядрами электронов и позитронов, а также
нейтрино и антинейтрино. По этому признаку все указанные частицы
в настоящее время объединяются в особый класс элементарных час-
частиц, называемых лептонами.
Для того чтобы отличить элементарные частицы, входящие в груп-
группу лептонов, им приписывается характеристика, называемая лептон-
ным зарядом.
Считается, что все лептоны (электроны, отрицательные мюоны
и нейтрино) имеют лептонный заряд, равный +1, все антнлептоны
(см. § 19.7) (позитроны, положительные мюоны и антинейтрино) —
лептонный заряд, равный — 1), а все остальные частицы не имеют
лептонного заряда. Процессы, происходящие с участием лептонов,
характеризуются относительно медленным протеканием (см. табл. 19.2
и 19.3) и происходят так, что суммарный лептонный заряд сохра-
сохраняется неизменным.
Мю-мезоны часто называют мюонами, чтобы отличить их от дру-
других мезонов, не входящих в группу лептонов. Из ядерной неактивности
ji-мезонов следует, что они не могут быть теми частицами в пер-
первичных космических лучах, которые взаимодействуют с ядрами атомов
атмосферных газов. К 1946 г. в физике космических лучей было на-
накоплено достаточно данных о том, что в составе первичных космиче-
космических лучей должны существовать ядерно-активные частицы, сильно
взаимодействующие с ядрами и имеющие массы, промежуточные между
массой рД-мезона и протона.
§ 19.4. л-Мезоны (пионы) и их свойства
1. С. Поуэлл и его сотрудники, изучая следы мезонов в
ядерных фотоэмульсиях, обнаружили A947) наличие следов частиц с
массами покоя, близкими к 300 те. На рис. 19.4 изображена схема
процесса, обнаруженного в фотоэмульсии. В точке А частица с массой
покоя ж 300 те остановилась и возникла частица с массой покоя
л; 200 те, движущаяся до точки В, где она также остановилась. Ча-
Частица с треком А В оказалась р,+-мезоном с соответствующим ему рас-
распадом в точке В. Первичная частица, распад которой привел в точке А
к рождению (х-мезона, была названа я(пи)-мезоном или пионом. На
рис. 19.5 схематично изображена последовательность (я-^-е)-распада.
Из анализа длин пробегов я- и ^-мезона были найдены энергии обеих
частиц, а из законов сохранения энергии и импульса установлено,
что вместе с р,+-мезоном должна рождаться еще одна частица, которая
уносит значительно большую энергию, чем ц+-мезон. Масса ее, как это
следовало из законов сохранения, должна была быть значительно
меньше масс покоя мезона и электрона. Отсутствие электронно-по-
— 462 —
зитронных пар в фотоэмульсии на пути второй частицы, родившейся
вместе с ji-мезоном, исключало возможность того, что это был ■у-фотон.
Исследования показали, что при распаде я+-мезона рождается кроме
[1+-мезона мезонное нейтрино Jv^ согласно реакции
я+— H++S^. A9.2)
2. Изучение следов частиц в ядерных фотоэмульсиях показало,
что в некоторых случаях в месте остановки я-мезона образуется след
в виде звезды, состоящей из нескольких лучей — треков возникших
частиц. Такой тип взаимодействия я-мезонов с легкими ядрами пока-
показал, что может происходить захват я-мезона
ядром. Он приводит к расщеплению ядер, кото-
которое обнаруживается в виде звезды в ядерной
фотоэмульсии. На рис. 19.6 показана точка А,
в которой произошло образование звезды. Ана-
Анализ следов в ядерных фотоэмульсиях, прове-
проведенный на основе законов сохранения энергии и
Рис. 19.4
Рис. 19.5
импульса и учитывающий энергию связи и кинетическую энергию всех
частиц, возникающих в процессе ядерного расщепления \ показал, что
энергия покоя л-мезона близка к 140 МэВ, что соответствует массе по-
покоя « 270 те. Ядерные превращения типа звезды, вызываемые я-мезона-
я-мезонами, показали, что кроме положительных я+-мезонов существуют
отрицательные я~-мезоны, которые легче поглощаются положительными
ядрами атомов. На фотографии (рис. 19.7) видны треки частиц, возник-
возникших при ядерном превращении легкого ядра под действием я~-мезона.
Положительный я+-мезон должен обладать значительно большей
кинетической энергией, чтобы, преодолев кулонов-
ское отталкивание ядра, проникнуть в него и вызвать
ядерное превращение типа звезды. Чаще я+-мезоны
распадаются вблизи ядра по уравнению A9.2).
3. В космических лучах я-мезоны образуются в
результате разрушения ядер атомов атмосферных
газов быстрыми космическими частицами (протонами,
а-частицами). Фотоснимок взрыва ядра, вызванного
такими частицами, очень характерен (рис. 19.8), его
называют «звездой». Наряду с тяжелыми частицами
при разрушении ядер образуются и я-мезоны.
В 1947 г. я-мезоны были получены искусственно, в
лабораторных условиях. Расчеты показывают, что для создания я-
мезонов нужны весьма быстрые заряженные частицы, взаимодейст-
1 Нейтроны не вызывают ионизации и их следы в эмульсии не видны. Регистра-
Регистрация нейтронов производится по вторичным эффектам. При взаимодействии л-мезона с
ядром вылетают протоны, нейтроны и а-частицы.
Рис. 19.6
— 463 —
вующие с ядрами мишени. Так, энергия протонов должна быть по-
порядка 300 МэВ. Схема получения я-мезонов изображена на рис. 19.9.
При бомбардировке мишени А из бериллия нли углерода быстрыми
протонами \р (а также и «-частицами) возникали л-мезоны, вылетаю-
Рис. 19.7
Рис. 19.8
щне из мишени под произвольными углами. Магнитное поле уско-
ускорителя закручивало я-меэоны по круговым траекториям с радиу-
радиусами, определяемыми их скоростями [см. т. II, формула A5.19)].
л-Меэоны, вылетавшие из мишени вперед, разделялись: я~-ме-
зшы выводились из камеры ускорителя, а л+-ме-
л+-мезоны отклонялись внутрь камеры1. Мезоны, выве-
выведенные из камеры, исследовались по их энергиям,
импульсам и массам масс-спектрометрическими ме-
методами (см. т. II, § 18.4).
Изучение я-мезонных пучков позволило устано-
установить время т жизни л-мезонов. С помощью сцин-
тилляционных счетчиков измеряют промежуток
времени между моментом зарождения я-мезона и мо-
моментом его распада на мезон и нейтрино (или
антинейтрино). Оказалось, что время жизни одинаково для
положительных л+ и отрицательных л "-мезонов:
т„± = 2,551B6)-10-"с
и на два порядка меньше, чем у (х-мезонов. Это согласуется с тем, что
р. космических лучах у поверхности Земли число л-мезонов много
меньше числа ^-мезонов. Схема распада л "-мезона аналогична урав-
Рис. 19.9
1 Для я-мезонов, вылетающих из мишени назад, картина отклонений будет
обратная (на рис. 19.9 это не показано).
— 464 —
нению A9.2):
n--*|i-+gvM, A9.3)
где \h~ — отрицательный мюон, a gvM — мезонное антинейтрино.
Опыты с искусственными л±-мезонами позволили найти точное
значение их массы покоя:
тя±= 139,579 A4) МэВ.
4. Вместе с я*-мезонами, возникающими при облучении мишени А
протонами (рис. 19.9), наблюдалось мощное 7'излУчение» которое
фиксировалось по образованию электронно-позитронных пар, вызы-
вызываемых у-фотонами. Специально поставленными опытами удалось
установить, что наряду с заряженными и1-мезонами существуют ней-
нейтральные п°-мезоны, обладающие весьма малым временем жизни
и распадающиеся на два фотона:
Образовавшиеся Y-фотоны движутся практически в том же направ-
направлении, что и п°-мезон. Время жизни я°-мезона определялось из анализа
последующего образования фотонами элект-
электронно-позитронных пар:
,г ? — +& + ?
\ A9.5)
Так как ни я°-мезон, ни у-фотон не про-
производят ионизации и не оставляют следов в
ядерных эмульсиях, время жизни я°-мезона Рис. 19.10
измерялось из анализа расстояния I в фото-
фотоэмульсии от точки О звезды, где образуется л°-мезон в результате
действия быстрых заряженных частиц на ядра, до ближайшей точки
А, где рождается пара (+Je, _°е) (рис. 19.10). Такой анализ позволил
установить, что время жизни л°-мезона составляет да 10~1В с. Более
точные измерения времени тя°, основанные на изучении распада тя-
тяжелых /С±-мезонов (см. § 19.6), привели к следующему значению:
тяа = 0,76A5)-10-18с.
5. Массу покоя я°-мезона и других нейтральных частиц нельзя
определить, как для заряженных частиц, по радиусу траектории в
магнитном поле. Для нахождения массы л°-мезона использовались
законы сохранения энергии и импульса в реакции взаимодействия
л--мезонов с протонами. В этой реакции возможна перезарядка л--ме-
л--мезона в п°-мезон: л~-\-\р ->■ л°-\-\п с последующим распадом л°-
мезона: л° -*- у 4- 7-
Массы и энергии протона, нейтрона и я~-мезона в этих процессах
известны. Энергии у-фотонов могут быть измерены. Тогда можно
определить энергию и массу я°-мезона. Таким путем, используя,
кроме того, данные об импульсах частиц в указанных превраще-
превращениях, удалось найти массу покоя л°-мезона. Практически более
— 465 —
удобно определять разность масс покоя (тл тп°), откуда по извест-
известной массе покоя л "-мезона находится масса покоя л°-мезона:
тяо= 134,975A7) МэВ.
6. Спин л°-мезона может быть определен из реакции его распада
A9.4) и анализа нуклон-нуклонных взаимодействий, приводящих к
рождению я-мезонов. Из этих взаимодействий, которые мы не будем
рассматривать, следует, что спины л-мезонов должны быть целыми
(в единицах %) или равными нулю. Из реакции A9.4) следует,
что спин л°-мезона не равен единице. В противном случае п°-мезон не
мог бы распадаться на два фотона, каждый из которых имеет спин,
равный %. В настоящее время установлено, что спин я°-мезона равен
нулю. Это соответствует тому, что в реакции A9.4) спины каждого
из фотонов, равные %, как бы компенсируют друг друга. Спины заря-
заряженных я±-мезонов по ряду данных также оказались равными
нулю.
7. На данном этапе развития ядерной физики различие в массах покоя заряжен-
заряженных я* и нейтрального я°-мезонов, так же как и различие в массах покоя двух состоя-
состояний нуклона в ядре — протонного и нейтронного, рассматривается в связи с пред-
представлением о зарядовой независимости ядерных сил и вытекающими отсюда след-
следствиями. Как уже указывалось (см. § 16.5), ядерные силы, действующие между нук-
нуклонами, не зависят от того, в каком состоянии, протонном или нейтронном, находится
нуклон и имеет ли ядерная частица заряд. Различие между протоном и нейтроном в
отношении заряда проявляется лишь в электромагнитных, а не ядерных
взаимодействиях частиц. Требование зарядовой независимости ядерных сил приво-
приводит к определенным ограничениям взаимодействия я-мезонов с нуклонами. Коротко-
Короткодействующий характер ядерных сил можно объяснить «обменом» нуклонов я-ме-
зонами.
Как показали расчеты, для зарядовой независимости ядерных
сил необходимо, чтобы взаимодействие нуклонов сзаряженпыми я±-мезона-
ми было одинаковым иезависимо от знака заряда мезона. Если бы в ядре отсутствова-
отсутствовали электромагнитные взаимодействия и единственным взаимодействием было бы
я-мезониое, ядерное взаимодействие, то зарядовая независимость ядерных сил привела
быкодинаковым значениям масс нуклонов (протона и нейтрона) и одинако-
одинаковым значениям масс всех я-мезонов. Различие в массах нуклонов и соответственно
я-мезонов возникает за счет наличия помимо ядерного еще электромагнит-
электромагнитного взаимодействия, обусловленного зарядом частиц. Энергия взаимодействую-
взаимодействующих заряженных частиц отлична от энергии нейтральных частиц. Вследствие этого
и массы покоя заряженных и нейтральных частиц оказываются различными.
Подобно тому, как учет влияния спина на энергию электронов в атоме приводит к
расщеплению энергетических уровней электронов (см. § 14.7), учет добавок электро-
электромагнитного взаимодействия к ядерному приводит к тому, что двойное состояние
нуклона (протонно-нейтронное) расщепляется на два различных состояния по массам
покоя — массы частиц \п и 1р оказываются различными. Вследствие тех же причин
вместо одной массы покоя я-мезонов возникают две близкие массы покоя — у заря-
заряженных я±-мезонов и у нейтрального я°-мезона (на рис. 19.11 показаны значения
масс: а — без учета электромагнитного взаимодействия, б — с учетом электромаг-
электромагнитного взаимодействия).
Таким образом, зарядовая независимость ядерных сил и наличие дополнитель-
дополнительных электромагнитных взаимодействий частиц в ядре приводят к различию в массах
нейтральных и заряженных частиц, имеющему электромагнитное происхождение.
Масса частицы как бы складывается из основной части, имеющей ядерно-мезонное
происхождение, и некоторой дополнительной массы, имеющей электромагнитную
природу. Считается, что добавочная масса может быть как положительной (связан-
(связанной с увеличением энергии), так и отрицательной (если энергия уменьшается в ре-
— 466 —
' Ш/////////У///////////ШШл
зультате электромагнитного взаимодействия). Так, в нуклоне, где масса нейтрона
тп на 2,53 те бол'ьше, чем масса протона, электромагнитная добавка отрица-
отрицательна, ау я-мезонов, где масса нейтрального я°-мезона на 8,98 те меньше массы
п+-мезонов, электромагнитная добавка к массе положительна. Электро-
Электромагнитная добавка к массам заряженных я±-мезонов считается одинаковой,
поэтому они имеют одинаковую массу.
Зарядовая независимость ядерных сил и те следствия, к которым^она приводит,
является характерным признаком так называемых сильных взаимодействий, приме-
примером которых помимо ядерных сил между нуклонами служат процессы образования
мезонов в ядерных взаимодействиях при высоких энер-
энергиях. Все процессы, в которых проявляются сильные
взаимодействия, происходят во времени весьма быст-
быстро. Характерным временем для сильных взаимодейст-
взаимодействий является ядерное время. По порядку величины
это время равно комптоновской длине волны нуклона
(hlmc), деленной на скорость света в вакууме. Подста-
Подстановка числовых значений дает ядерное время =м10~23 с
(табл. 19.3).
Сильное взаимодействие характеризуется безраз-
безразмерной константой g2/fc~ 1, где постоянная g имеет
размерность электрического заряда. "' '
8. Развшие представлений о зарядовой независи- рис_ 19.11
мости в сильных взаимодействиях привело В. Гейзсл-
берга к введению характеристики элементарных частиц,
называемой изотопическим спином. Выше мы видели, что нуклонные состояния пред-
представляют собой как бы дублет, состоящий из протона и нейтрона, а п-мезоны явля-
являются как бы триплетом из я + -, л~- и я°-мезонов. В каждом из этих мультиплетов
члены отличаются зарядом и имеют близкие массы.
Для характеристики числа членов в зарядовом мультиплете вводится понятие
вектора изотопического спина Т, так, чтобы число зарядовых состояний в данном
мультиплете равнялось 2Г+1. Изотопический спин нуклона равен половине (Т=1/2I
в соответствии с тем, что в зарядовом мультиплете нуклона всего два члена: 2 •1/2—1~ 1=
=2. Изотопический спин я-мезона равен единице, так как число членов в я-мезонном
мультиплете равно трем: 2-1+1=3.
Для индивидуальной характеристики каждого члена в мультиплете вводится по-
понятие о проекции Т| изотопического спина на некоторую «ось». Сразу же подчеркнем,
что в физике элементарных частиц введение оси проекций % и вектора Т изотопиче-
изотопического спина имеет лишь тот смысл, что эти понятия позволяют сформулировать осо-
особенности свойств (а также и превращений) элементарных частиц, вытекающие из за-
зарядовой независимости при сильных взаимодействиях. Понятия об изотопическом
спине и его проекции не связаны с ориентацией Т и Tg в обычном пространстве.
У я-м е з о н о в проекция Т\ изотопического спина частицы равна ее заряду (в еди-
единицах е): у п°-мезона Т|=0, у я + -мезона Т|=1, у п~-мезона Т%=—1. Для ну к л о-
н а проекция Т% изотопического спина связана с зарядом г частицы, являющейся чле-
членом зарядового мультиплета, простым соотношением 2
| A9.6)
Тогда для нейтрона Tg——1/2, а для протона 77| = 1/2.
Для каждого зарядового мультиплета среднее значение (Г|> проекции изотопи-
изотопического спина равно нулю. Для каждого из зарядовых мультиплетов можно ввести
понятие среднего электрического заряда (г) мультиплета. Для пи-мезонного триплета
он равен нулю, а для нуклонного дублета равен +г/2.
Введение изотопического спина оказалось весьма плодотворным для изучения
сильных взаимодействий, при которых наблюдается зарядовая независимость. Иссле-
Исследования показали, что во всех процессах, связанных с превращениями элементарных
частиц, обусловленными зарядовонезависимыми сильными взаимодействиями, вы-
выполняется закон сохранения изотопического спина: полный изотопический спин Т
х Изотопический спин в отличие от обычного является безразмерным числом.
8 В формуле A9.6) заряд г выражен в элементарных зарядах (е) и является чис-
числом,
— 467 —
всех частиц, изолированной системы не изменяется при всех превращениях, вызванных
сильными взаимодействиями. В настоящее время сильно взаимодействующие ча-
частицы называют адронами (от английского слова «hadron» — крупный, массивный).
9. Кроме сильных взаимодействий, примером которых является
ядерное взаимодействие, существуют еще электромагнитные и слабые
взаимодействия. О слабых взаимодействиях мы уже говорили, рас-
рассматривая взаимодействие ^-мезонов (мюонов) с ядрами (см. § 19.3).
Слабыми являются также взаимодействия, приводящие к процессам
(J-распадов ядер.
Слабое взаимодействие характеризуется константой слабого вза-
взаимодействия G, имеющей размерность обратного квадрата массы, а
также безразмерной константой, которая выражается через массу
протонатр: gp=Gm.p& 10~?. Слабое взаимодействие является наиболее
медленным из всех взаимодействий, проявляющихся в микромире.
Теоретические оценки и экспериментальные данные, в обсуждение
которых мы не можем входить, приводят к характерному времени для
слабых взаимодействий порядка 10~10 с (см. табл. 19.3).
Электромагнитные взаимодействия связаны с наличием у элемен-
элементарных частиц электрических зарядов и характеризуют взаимодей-
взаимодействие между электромагнитным полем и заряженным частицами.
Этими взаимодействиями обусловлено кулоновское отталкивание про-
протонов в ядрах, а также процессы рождения и уничтожения электрон-
но-позитронных пар. Для электромагнитных и слабых взаимодействий
между частицами не существует зарядовой независимости —
силы взаимодействий этих типов зависят от наличия у частиц
электрического заряда.
Электромагнитное взаимодействие характеризуется безразмерной
константой а=ег1 ф,с)= 1/137, которая называется постоянной тонкой
структуры. Эта постоянная была введена в свое время для учета
влияния релятивистской зависимости массы от скорости на энергию
электрона в водородоподобной системе. Учет этого влияния приводит
к расщеплению энергетического уровня на ряд подуровней, откуда
постоянная а и получила свое название.
Электромагнитное взаимодействие примерно в 100 раз слабее силь-
сильного. Это означает, например, что при столкновении заряженных пио-
пионов и барионов вероятность процессов, вызванных электромагнитным
взаимодействием, в 100 раз меньше вероятности процессов, вызванных
сильным взаимодействием. Поэтому время, характерное для электро-
электромагнитного взаимодействия, в 100 раз больше ядерного времени.
Электромагнитное взаимодействие является единственным из взаимо-
взаимодействий микромира, которое проявляется в макроскопических явле-
явлениях и процессах.
Для электромагнитных и слабых взаимодействий не выпол-
выполняется закон сохранения изотопического спииа. Поскольку элект-
электрон, позитрон, (х-мезоны, фотоны, а также нейтрино и антинейтрино
не принимают участия в сильных взаимодействиях, им не припи-
приписываются какие-либо значения изотопического спина.
В табл. 19.3 приведена сравнительная характеристика типов вза-
взаимодействия между элементарными частицами.
— 468 —
Таблица 19.3
Срлзнитель- Характерное
Тип взаимодействия нля вели- время ппогека-
чина ния, с
Сильное 1 Ю-23—-10~22
Электромагнитное 1/137 Ю-20—10~18
Слабое 10~14 Ш0—10~«
§ 19.5. Мягкая компонента космических лучей
1. Образование ^-фотонов при распаде л°-мезонов позво-
позволяет понять происхождение мягкой компоненты космичес-
космических лучей. Гамма-фотопы, образовавшиеся при распаде я°-мезона,
обладают большими энергиями, значительно превосходящими порого-
пороговую энергию 2тес2—1,02 МэВ, необходимую
у-фотону для рождения электронно-позитрон-
ной пары (те — масса покоя электрона).
Возникшие быстрые заряженные частицы
движутся приблизительно в направлении по-
породивших их фотонов. Как известно (см.
§ 17.8), такие быстрые частицы теряют свою
энергию в основном на тормозное излучение,
ибо ионизационные потери энергии весьма
быстрых легких заряженных частиц невели-
невелики. Это значит, что каждая из частиц пары
(+\е, _°е), тормозясь, в свою очередь создает
фотоны, энергии которых еще достаточны для
того, чтобы из них вновь образовались пары
( \е, _?е)> т.д. Этот процесс прекратится, ког- °е # j> Je.fe ^e.fe
да энергия у-фотонов станет меньше Ъпес% г.
Описанный процесс называется электронно- Рис- 1912
фотонным или каскадным ливнем.
На рис. 19.12 изображена схема развития каскадного ливня, по-
порожденного мягкой компонентой космических лучей. По мере своего
развития ливень расширяется, ибо направления частиц ливня в каж-
каждом следующем каскаде размножения не строго параллельны. Так,
обнаружены ливни, охватывающие колоссальные площади, превышаю-
превышающие 104 м2. Первичные частицы, которые создают такие ливни, обла-
обладают громадными энергиями, и тем не менее частицы электронно-
фотонного ливня являются «мягкими» — они не проходят больших
толщин вещества, растрачивая свою энергию на создание фотонов
(-у-фотоны) либо на рождение пар (заряженные +°е и _?е электронно-
позитронные составляющие ливня). Как уже указывалось (см. § 19.2),
1 Точнее, когда энергия электронов в воздухе достигнет критического значения
в несколько десятков мегаэлектронвольт, при котором тормозные потери энергии срав-
сравняются с ионизационными (см. § 17.8) и дальнейшее образование фотонов прекратится.
— 469 —
поглощение жесткой компоненты связано с ионизационными потерями
1чжелых заряженных частиц (мы не говорим сейчас о рождении мезо-
мезонов).
2. Развитие каскадных ливней можно наблюдать в камере Виль-
Вильсона, в которую вставлены свинцовые пластинки. Ввиду того что в
свинце критическая энергия электронов, необходимая для преоблада-
преобладания радиационных потерь над ионизационными, составляет около
10 МэВ, электроны с энергией в несколько десятков мегаэлектрон-
мегаэлектронвольт в состоянии развить ливень за счет тормозного излучения. Боль-
Большая плотность свинца способствует быстрой потере электронами (и
позитронами) ливня их энергий, поэтому слоя свинца толщиной порядка
нескольких сантиметров достаточно для возникновения и развития
ливня.
§ 19.6. /('-мезоны и гипероны. Странность
и четность элементарных частиц
1. В 1949 г. в ядерных фотоэмульсиях были зарегист-
зарегистрированы ядерные превращения в форме звезд, вторичными части-
частицами которых являлись л- или ц-мезоны, а также электроны и позит-
позитроны. Исследования показали, что эти ядерные превращения вызы-
вызываются так называемыми /С-мезонами (кастами)— частицами, массы
которых близки к 1000 те. Среди /(-мезонов обнаружены заряженные
/(+ и /("-мезоны, нейтральные /(°-и ати-ка-нуль К" -мезоны1. Впос-
Впоследствии оказалось, что /(°-и Д "-мезоны являются «смесью» двух других
нейтральных частиц — Ks и К1, обладающих различными временами
жизни и схемами распада.
Детальное изучение распада /С-мезонов методом ядерных фото-
фотоэмульсий показало, что эти частицы могут быть отнесены по массам,
зарядам и значениям спинов к разновидностям близких друг к другу
частиц. Все они, как и л-мезоны, не имеют спина —■ спин всех
/(-мезонов равен нулю. Массы заряженных мезонов оказались равными
тк± — 493,82 A1) МэВ. Массы нейтральных каонов несколько больше
и отличаются друг от друга, например тко =497,76A6) МэВ. Вре-
Времена жизни заряженных каонов одинаковы и равны tk± = 1,235 D)х
хЮ"8 с.Времена жизни нейтральных каонов различны:
2. Все сведения о разновидностях /(-мезонов получены при изу-
изучении распадов /(-мезонов, а также механизмов их рождения. Рассмот-
Рассмотрим в качестве примера распады положительного /(+-мезона. Чаще
всего /С+-мезон распадается на ц+-мезон и мезонное нейтрино gv^2:
1 Античастицы подробнее рассмотрены в § 19 7.
2 Индексами внизу у К+-мезоиа обозначены частицы, появившиеся в результате
распада, и общее число частиц при распаде.
— 470 —
Достаточно часто происходит распад на два я-мезона:
Кроме того, наблюдаются еще четыре вида распада:
Такого типа распады наблюдались как в космических лучах, так и
для искусственных /(-мезонов, полученных в ускорителях.
На рис. 19.13 приведена фотография распада /С+-мезона на три
п-мезона по схеме Кю-
3. Большую группу элементарных частиц, обнаруженных в ядер-
ядерных фотоэмульсиях, составляют так называемые гипероны — частицы
с массами покоя, превосходя-
превосходящими массу покоя нейтрона
и заключенными в интервале
от 1115,60(8) МэВ для лямбда-
нуль-гиперона(А,°) до1672,5E)
МэВ для омега-минус-гипе-
омега-минус-гиперона (fi~). Спиновые свойства
всех гиперонов роднят их
с фермионами — протоном и
нейтроном: спин у них равен
Д/21. Нуклоны и гипероны
являются родственными час-
частицами, и в современной клас-
классификации элементарных час-
частиц их относят к одному клас-
классу тяжелых частиц — барио-
нов (см. табл. 19.2). Рис ,gJ3
Для всех элементарных частиц может быть введено понятие бариониого, или
ядерного (нуклонного), заряда В. Если определить, что для барионов этот заряд ра-
равен единице, для антибарионов равен —1, а для частиц, не принадлежащих к классу
барионов, равен нулю, то можно сформулировать закон сохранения барионного
(ядерного) заряда: при всех ядерных превращениях в изолированной системе барионный
заряд сохраняется неизменным. Закон сохранения барионного заряда, как и закон
сохранения электрического заряда, справедлив как при сильных (ядерных), так и
при электромагнитных взаимодействиях. Если, например, до превращения имелся
один барион— нейтрон с барионным зарядом В=1, то после превращения должен
существовать один барион — нейтрон, протон или один из гиперонов, для которых
ядерный заряд В также равен единице.
Введение ядерного заряда В позволяет записать в более общем виде формулу
A9.6), связывающую между собой электрический заряд г и проекцию Т% изотопиче-
изотопического спина каждой частицы в зарядовых мультиплетах нуклонов и я-мезонов:
2 = 7^+5/2. A9.7)
В самом деле, для нуклонов (протона и нейтрона) В= 1 и z=7'g +1/г. т- е. выпол-
выполняется соотношение A9.6), а для я-мезонов £я=0 и проекция изотопического спина
я-мезона совпадает с электрическим зарядом (в единицах е). Для среднего электриче-
1 Исключение составляет Q--гиперон, у которого спин равен
— 471
ского заряда (г) каждого из мультиплетов (нуклонного и пи-мезонного) справедлива
формула
<г> = В/2, A9.7')
которая для дублета нуклонов (В=1) дает {г)=1/2, а для пн-мезонного триплета
(В=0) дает (г)=0.
Из формулы A9.7) вытекает важный вывод. Так как г к В сохраняются как в
сильных, так и в электромагнитных взаимодействиях, то в этих взаимодействиях
сохраняется проекция Г| изотопического спина, в то время как полный вектор Т
сохраняется постоянным лишь в сильных взаимодействиях.
4. Гипероны весьма неустойчивы и имеют время жизни, изменяю-
изменяющееся в интервале от 10~14до 10~10 с. Изучение свойств гиперонов в
пузырьковых камерах, помещенных в магнитное поле, позволило уста-
установить наличие как нейтральных, так и
заряженных положительных и отрицатель-
отрицательных гиперонов.
На рис. 19.14 приведена в качестве при-
примера схема распада лямбда-нуль-гиперона
(Л6), заканчивающаяся распадом в форме
звезды я~-мезона, который образовался
Рис. 19.14 из Л°-гиперона:
-. A9.8)
Изучение следов частиц, изображенных на рис. 19.14, позволило
определить энергии протона \р и п~ -мезона и найти по балансу энер-
энергии при распаде массу Л°-гиперона: mA°=1115, 60(8) МэВ. Весьма
точное определение в камерах момента времени рождения Л°-гиперона
и момента его распада позволили измерить время жизни этой частицы:
та*=2,51C)-10-" с
5. При систематизации /С-мезонов и гиперонов обнаружилось, что
свойства их необычны для мира элементарных частиц, ch-o заставило
считать К-мезоиы и гипероны так называемыми странными частицами.
Рождение странных частиц несомненно вызывается сильным взаимо-
взаимодействием, т. е. время рождения этих частиц соответствует времени
сильных взаимодействий: 1023—102 с. Вместе с тем, распадаясь на
ядерно-активные п-мезоны по схемам, приведенным выше,
т. е. на частицы, характеризующие сильные взаимодействия, /(-ме-
/(-мезоны имеют значительно большие времена жизни: 10~10—10~8 с,
характерные для ядерно-пассивных мюонов, т. е. для слабого
взаимодействия. Далее было установлено, что /С-мезоны и гипероны
всегда рождаются парамиинев любых комбинациях. Наконец,
обнаружилось существенное отличие в условиях образования и реак-
реакциях взаимодействия К-мезонов с другими частицами.
6. Для объяснения необычных свойств странных частиц была высказана идея о
том, что зарядовая независимость присуща не только пи-мезониому взаимодействию
нуклонов в ядре, но и ка-мезонно-гиперонному взаимодействию. Для нуклонов и
я-меж>нов зарядовая независимость дала возможность установить понятия изото-
изотопического спина Т и его проекции Tj. Распространение зарядовой независимости па
странные частицы означала предположение о том, что эти частицы также встреча-
встречаются в виде зарядовых мультиплетов и обладают изотопическим спином. Однако при
попытке объединить странные частицы в зарядовые мудьтиплеты по аналогии с муль-
— 472 -
типлетами нуклонов и л-мезонов встретились трудности. Вначале было предполо-
предположено, что гипероны, как и нуклоны, образуют дублеты и имеют изотопический спин
Т, равный 1/а, а /(-мезоны,подобно я-мезонам,образуют триплет, в котором изотопи-
изотопический спин Т частицы равен единице. Однако и гипероны, и К-меэоны не укладыва-
укладывались в эту схему. Так, гиперон Л° С массой 1115,6 МэВ не имел близких по массе ча-
частиц и должен был считаться одиночной частицей с изотопическим спином Т=0,
чтобы B7*+1) — число компонент в муЛьтиялете — равнялось единице, а ие Т~
= 1/г> как это имеет место для иуклоиного дубЯета.
Для сигма-плюс-гиперона B+) и сигма'мииус-гнперона B~), имеющих проти-
противоположные знаки, скорее можно было предположить, что изотопический спин Т
равен единице, а не 1/2, как у нуклонов, и что должна быть третья частиц* — сиг-
сигма-нуль-гиперон B°), необходимая для зарядового триплета 2-пшерондв.
Выяснилось, что /(-мезоны в отличие от я-мезОнов образуют дублеты, т. е. имеют,
подобно нуклонам, изотопический спин, равный половине, а не единице, как я-мезоны.
К-мезоны образуют два дублета: (К+, fi°) и (К~, К0I.
7. Для теоретического объяснения поведения странных частиц в 1953—1954 гг.
М. Гелл — Манн и К. Нисидзима ввели особую характеристику элементарных ча-
частиц — так называемую странность — и сформулировали закон сохранения стран-
странности.
Приняв, что для странных частиц справедливы зарядовая независимость взаимо-
взаимодействий и вытекающее из нее описание частиц с Помощью изотопического спина,
они предположили, что для /С-иезонов и гиперонов выполняется закон сохранения
изотопического спина. Тогда частицы с данным значением вектора полного изото-
изотопического спина должны представлять собой зарядовый мультнялет. S отличие от
формул A9.7) и A9.7') связь между электрическим Зарядом г, барйонным зарядом В
и проекцией изотопического спина Т| выражается для странных частиц формулой,
отличной от A9.7),
A9.9)
и средний заряд для мультйплета равен
A9.9')
где S=0, =£1, ±2, ... — величина, называемая странностью частицы. Она отлична
от нуля только для странных частиц (/(-мезонов и гиперонов) и равна нулю для
«обычных» частиц. Согласно A9,9'), странность S можно определить как разность уд-
удвоенного среднего заряда {z) мультйплета и барионного заряда В частиц 2:
S = 2<z>—В. A9.9")
Как указывалось выше, для сильных и электромагнитных взаимодействий сох-
сохраняется величина Т\ проекции изотопического спина. Поскольку, кроме того, в
этих взаимодействиях сохраняются электрический г и барионный В заряды, то из
соотношения A9.9) следует закон сохранений странности: суммарная странность
изолированной системы при сильных и электромагнитных взаимодействиях не изме-
изменяется.
8. Введение странности S и установление закона ее сохранения позволили объяс-
объяснить необычные свойства странных частиц. Так, если приписать гиперону Л° стран-
странность S, равную —1, то из формулы A9.9) следует, что Tj=0, ибо для этой частицы
ВЛ,= 1, a z=0. Но это значит, что вектор Т полного изотопического спина тоже равен
нулю (в силу произвольной ориентации «оси» |), а следовательно, 2Г+1=1. Та-
Таким образом, частица Л° должна быть одиночной и не должно быть заряженных лямб-
лямбда-гиперонов, что и наблюдается экспериментально. Для гиперонов 2+ н 2~ (сигма-
плюс- и сигма-минус-гипероны) странности равны: Ss+ = Ss_ = — 1. Средний заряд
мультйплета по формуле A9.9') равен нулю: <г2>=0, ибо В2+ =fis- = 1. Из фор-
формулы A9.9) следует, что для 2-гиперонов заряд частицы численно равен проекции
1 В действительности, ввиду того что частицы К" и К0 являются смесью /CS и
/(/.-мезонов, дело обстоит сложнее, но мы не учитываем этого.
* Величину 2 < г > =B-{-S— Y называют гиперзарядом данного мультйплета частиц,
— 473 —
Т\ изотопического спина: г=Т\. Но так как z=~\-[ и —1, то Т% — ?=1. Это значит,
что числовое значение полного изотопического спина равно единице (Т=1) и, сле-
следовательно, 27*+1=3. Таким образом, зарядовый мультиплет 2-гиперонов должен
быть триплетом, что и было обнаружено экспериментально —■ частица 2° была от-
открыта. На основе понятия странности и закона се сохранения была предсказана по-
помимо 20-гиперона частица кси-нуль-гиперон C°) по известному кси-лшнус-гипероиу
(S~). Эксперимент подтвердил существование 8 гиперона.
Для К.+- и /("-мезонов странности равны соответственно 5^-+=+l и S^-=—1.
Это согласуется с полученными из реакций образования этих мезонов значениями
проекции изотопического спина. Действительно, так как для /\+-мезонов барионнын
заряд В=0, то для К+-мезона при Т'|=1/а н г=1 из уравнения A9.9) следует, что
Sx+=+l, а для /(--мезона (г==— 1, Т&=— 1/2, В^_ =0) S^_ =— Р.
Закон сохранения странности позволил объяснить появление дублетов К-мезо-
нов и запрет одиночного рождения странных частиц. При реакциях с «обычными»
частицами, не обладающими странностью, не может рождаться одна странная ча-
сгица, а должны возникать две странные частицы с противоположными знаками
странности. Например, в реакции
странности в левой части н правой равны нулю, ибо 5Л0=— 1 и SK0~ 1.
С точки зрения закона сохранения странности процессы рождения и распада
странных частиц, для которых характерны сильные взаимодействия, должны были
бы протекать за время порядка 10~2S с (см. табл. 19.3). Опыты, как уже указывалось,
не подтвердили этого. Например, распад Л°-гиперона по уравнению A9.8) происходит
за время порядка 10~8 с, характерное для слабых взаимодействий. Однако реакция
A9.8), как легко видеть, идет с нарушением закона сохранения странности. Действи
тельно странность исходной частицы Л°-гиперона равна —1, а суммарная странность
продуктов реакции обычных частиц равна нулю. Объяснение медленного распада
странных частиц заключается в том, что для слабых взаимодействий закон сохране-
сохранения странности не выполняется. С помощью странности получили свое объяснение и
некоторые другие особенности поведения странных частиц, указанные в п. 5. В табл.
19.2 приведены характеристики элементарных частиц, включающие данные об их
изотопическом спине Т, его проекции Tg , странности 5 и схемы распадов частиц.
9. Кроме свойств элементарных частиц, рассмотренных в послед-
последних параграфах, большое значение имеет так называемая четность
частицы. Как известно (см. § 13.5), в квантовой механике состояние
одной частицы или системы частиц описывается волновой функцией,
удовлетворяющей уравнению Шредингера. Под четностью Р состоя-
состояния или четностью волновой функции частицы понимают характер ее
поведения при пространственной, инверсии — изменении знака всех
координат частицы на противоположные: х на —х, у на —у, г на —г.
Произведем отражение координат — замену х, у, г на —х, —-у,
—г — и предположим, что волновая функция гр (—х, ~у, —г) отли-
отличается от первоначальной только множителем Р:
у{х, у, г)=Р^(—х, —у, —г).
Если провести повторное отражение, то вернемся к первоначальным
координатам х, у, г. При этом появится еще один множитель Р, так
что ty(x, у, z)=Pq>(—x, ~y, —z)=P^(x, у, г), откуда Р=±1. Ве-
Величина Р называется четностью или внутренней четностью частицы.
1 Значения странности элементарных частиц практически устанавливались глав-
главным образом из анализа наблюдаемых ла опыте реакций образования гиперонов и
характера мультшыетности семейств сфанных часищ,
— 474 —
Если при пространственной инверсии знак волновой функции не
изменяется, то четность считается положительной (/)= + 1). Если при
изменении знаков координат волновой функции она изменяет свой знак
на противоположный, то четность считается отрицательной (Р=—1).
Из свойств уравнения Шредингера следует, что если сохраняется
постоянной энергия частицы, то сохраняется и ее четность *. Это ут-
утверждение называется законом сохранения четности. Закон сохранения
четности означает, что процессы природы не зависят от выбора право-
винтовой или левовинтовой систем координат, в которых эти процессы
рассматриваются, или, что то же самое, отсутствует различие между
объектом и его зеркальным отображением (замена всех положитель-
положительных координат частицы отрицательными эквивалентна переходу от
правовинтовой системы отсчета к левовинтовой, которые являются
зеркальными отображениями друг друга). Таким образом, закон сохра-
сохранения четности связан со свойством зеркальной симметрии простран-
пространства (так называемая Р-симметрия).
10. С точки зрения закона сохранения четности существование
двух- и трех-пионных распадов положительных каонов представлялось
необъяснимым. Раньше считалось, что существует два мезона: т-мезон и
d-мезон (тау- и тета-мезоны), которые, имея одинаковые характеристики
(массы, времена жизни, спины), обладали различными схемами рас-
распада: т-мезон распадался на три пиона, а и-мезон — на два пиона. Это
составило загадку «тау-тета» в физике элементарных частиц. Дело в
том, что по закону сохранения четности на два пиона может распадать-
распадаться только частица с четностью Р= + 1, а на три пиона — частица с
четностью Р=—1. Закон сохранения четности требовал, чтобы части-
частицы «тау» и «тета» были различными, что противоречило обнаруженным
на опыте одинаковым свойствам этих частиц.
11. В 1956 г. Ли Цзундао и Янг Чженьнин высказали предполо-
предположение о том, что в слабых взаимодействиях, примерами которых явля-
являются распады т- и Ф-мезонов, нарушается закон сохранения четности.
Они же предложили несколько экспериментов по проверке справедли-
справедливости своего утверждения. Один из опытов, осуществленный под руко-
руководством ученой By Цзяньсюн, заключался в наблюдении нарушения
зеркальной пространственной симметрии fL-распада ядра 60Со. Р_-
Распад является типичным случаем слабого взаимодействия и поэтому
удобен для проверки сохранения четности при слабых взаимодейст-
взаимодействиях. Опыт заключался в следующем. При температуре жидкого гелия
ядра в0Со были определенным образом ориентированы — их спиновые
моменты направлены в одну сторону. Если при ^--распаде ядер элект-
электроны вылетают с равной вероятностью как вдоль направления спина
ядра, так и в противоположном направлении, то это означает, что дан-
данный процесс обладает зеркальной пространственной симметрией, т. е.
для него выполняется закон сохранения четности.
В самом деле, если вращающийся шар одинаково испускает |3_-
частицы вдоль своей оси вращения во взаимно противоположных на-
направлениях, то его зеркальное отображение неотличимо от самого шара
1 Эго справедливо также для системы частиц.
- 475 -
у
(рис. 19.15, а). Если же вращающийся шар преимущественно испус-
испускает р"_-частицы в определенном направлении, например вверх
(рис. 19.15, б), то зеркальное отображение шара не совпадает с самим
шаром. Это означает нарушение зеркальной симметрии пространства
и в этом случае следует считать нарушенным закон сохранения чет-
четности. Опыт By — Эмблера подтвердил последнее. Электроны при
(L-распаде вылетали преимуществен-
нов сторону, противоположную направле-
направлению спинов ядер.
12. Несохранение четности было также
обнаружено при распаде л--мезонов по схе-
схемам, соответствующим уравнениям B0.2) и
B0.3). Ввиду того что спин л±-мезонов равен
нулю, при распаде этих пионов на ц±-мезоны
спины мезонных нейтрино v^ и антинейтрино
v,j, должны быть направлены противоположно
спинам соответствующих мюонов, лишь в
этом случае суммарный спин будет равняться
нулю. Экспериментально удалось осуществить
ориентировку ^"-мезонов, образовавшихся
по схеме B0.3), и наблюдать, что электроны,
образовавшиеся при распаде \i~ -мезона по
схеме A9.1), вылетают преимущест-
преимуществе н н о в некотором избранном направлении.
Это и означало нарушение зеркальной сим-
симметрии пространства при распаде я±-мезонов и
несохранеиие четности для этого процесса. Дальнейшее развитие
представлений о несохранении четности было проведено советским
ученым Л. Д. Ландау и связано с существованием частиц и античастиц.
§ 19.7. Античастицы
1. Как видно из табл. 19.2, любой из элементарных час-
частиц, за малым исключением, соответствует так называемая античасти-
античастица. Массы покоя, спины, изотопические спины и времена жизни у ча-
частиц и античастиц равны.
В качестве примеров уже рассмотренных частиц и античастиц
укажем на электрон и позитрон, \х+- и (х~-мюоны, я+- и я~-мезоны,
электронное и мезонноенейтрино и антинейтрино, К+- и ^"-мезоны и
др. Значения электрических, а также ядерных зарядов частиц и анти-
античастиц численно равны, но противоположны по знаку. Знаками отли-
отличаются также странности частиц и античастиц и их магнитные моменты.
Как будет показано, наличие электрического заряда не является
непременным условием существования пары частица — античастица.
В настоящее время известно всего несколько частиц, у которых отсут-
отсутствуют античастицы, или, точнее, несколько частиц и античастиц, ко-
которые тождественны друг с другом: фотон, п°-мезон, а также
К% и К1 -мезоны. Такие частицы называются абсолютно или истинно
нейтральными. Понятие абсолютной нейтральности не следует сме-
Рис. 19.15
- 476 -
шивать с электрической нейтральностью частицы, ибо у последних
могут быть античастицы. Отсутствия электрического заряда еще недо-
недостаточно для абсолютной нейтральности частицы.
2. Впервые представление об античастице возникло в 1927—1928 гг.,
когда П. Дирак на основе релятивистского волнового уравнения пока-
показал, что электрон должен иметь спин и что для свободного электроиа
имеются две области собственных значений
полной энергии W: одна от ягес2 до +°°, дру-
гая от —тес2 до —оо, где тв — масса покоя
электрона. Отрицательные значения полной ' ■
энергии свободного электрона означали воз- w cj
можность существования отрицатель- ^ЩЩШ^Ш *
ной массы, что представляло серьезные тру-
трудности. Например, электрон в состояниях с Рис. 19.16
отрицательной массой должен был, испыты-
испытывая действие внешней силы, приобретать ускорение, направленное
противоположно действующей силе . Попытки считать, что
действие внешней силы, нарушающей свободное движение, может
означать нарушение выводов из теории Дирака, оказались несостоя-
несостоятельными. Дело в том, что наличие отрицательной энергии вытекает
из теории относительности. Согласно соотношению (9.36), между энер-
энергией W, импульсом р и массой покоя те электрона имеется связь
откуда при р=0 имеем W=±tnec2. На рис. 19.16 изображены две об-
области дозволенных значений энергии, разделенные интервалом 2тес3.
Как показал П. Дирак, в квантовой механике вероятность перехода из
состояния с положительной энергией в область состояний с отрица-
отрицательной полной энергией отлична от нуля1.
Для того чтобы понять интерпретацию, которую Дирак дал по-
полученному им результату, заметим, что для электрона (—е) с отрица-
отрицательной массой (—те) удельный заряд -^- равен удельному заряду по-
ложительного электрона (+е) с положительной массой _т = . .
Дирак высказал гипотезу о том, что все уровни отрицательной энергии
заняты электронами в соответствии с принципом Паули и эти элект-
электроны создают равномерный и поэтому не проявляющий себя фон. Уров-
Уровни положительной энергии заняты лишь частично электронами. Если
электрон, находящийся на уровне с отрицательной энергией, получит
энергию W > 2тес2, то он перейдет в область положительных энер-
энергий, где проявит себя как «обычный» электрон. На освободившемся
месте в фоне отрицательных энергий появится при этом «дырка»,
проявляющая себя как положительный электрон, т. е. позитрон.
1 В классической физике наличие отрицательных энергий ие принималось во
внимание ввиду того, что энергия рассматривалась как непрерывно изменяющийся
параметр. Поскольку переход от положительных энергий (точка А на рис. 19 16) в
область отрицательных энергий (точка В) требует «скачка» величиной 2тес2, такой
переход считался невозможным,
,- 477 —
Гипотеза Дирака была подтверждена экспериментально A932).
Позитрон обнаружили в космических лучах. Нетрудно видеть, что
рассмотренный Дираком процесс есть не что иное, как процесс об-
образования электронно-позитрониой пары (см. § 18.3). В схеме Дирака
процесс уничтожения электронно-позитронной пары означает переход
электрона с уровня положительной энергии на вакантное «пустое»
место в фоне отрицательных энергий, сопровождающееся переходом
энергии и массы сливающихся частиц в энергию и массу электромагнит-
электромагнитного поля (рождение двух 7"Ф°тонов).
3. Открытие пары частица — античастица (электрон — позитрон)
указало на симметрию элементарных частиц в отношении
знака их зарядов, получившую название принципа зарядового сопря-
сопряжения. Согласно этому принципу, заряженные элементарные частицы
существуют парами. У каждой заряженной частицы должна быть
античастица с противоположным по знаку зарядом. Поэтому у протона
должна существовать античастица — антипротон _\р. Впоследствии
принцип зарядового сопряжения был распространен не только на
заряды, но и на некоторые другие характеристики элементарных
частиц, упомянутые в п. 1. Особенно важным было обобщение прин-
принципа зарядового сопряжения на нейтральные частицы: нейтрон и нейт-
нейтрино. Согласно этому обобщению, следовало ожидать, что должны
существовать антинейтрон \ti и электронное антинейтрино °ove.
Принцип зарядового сопряжения в действительности значительно
шире требования симметрии элементарных частиц в отношении знака
электрических зарядов. Этот принцип отражает существование в фи-
физике особой, так называемой С-симметрии: законы физики должны
быть инвариантны относительно замены всех частиц на античастицы,
включая и нейтральные частицы.
4. При соединении частицы с античастицей происходит выделение
энергии, не меньшей удвоенной энергии покоя каждой из них. Зарож-
Зарождение пары частица — античастица требует затраты энергии, превы-
превышающей удвоенную энергию покоя пары. Это связано с необхо-
необходимостью сообщить рождающейся паре некоторый импульс и кинети-
кинетическую энергию. Расчеты показывают, что наименьшая энергия, не-
необходимая для рождения протон-аптипротонной пары, составляет в сис-
системе координат, где один нуклон покоится, 6т,рс*(тр — масса покоя
протона) или 5,6 ГэВ. Однако за счет ряда эффектов при практическом
осуществлении получения пары {р-*- J$p (внутренние движения нукло-
нуклонов в ядрах мишени и др.) наименьшая энергия для рождения этой пары
снижается до 4,3 ГэВ. Следует подчеркнуть, что способность к быст-
быстрому воссоединению со своей частицей является существенной осо-
особенностью античастиц — позитронов, антипротонов и антинейтронов.
Это связано с тем, что вещество, из которого построена окружающая
нас природа, состоит из частиц — электронов, протонов и нейтронов.
Античастицы — позитроны, антипротоны и антинейтроны, — встре-
встречаясь в веществе со своими имеющимися в избытке «партнерами по
паре», воссоединяются с ними и перестают существовать, вызывая,
по законам сохранения, рождение новых частиц и полей. Нетрудно
— 473 —
сообразить, что в гипотетическом «антивеществе», «антиатомы» кото-
которого содержали бы в своих ядрах антипротоны ri антинейтроны, а на
периферии которых находились бы позитроны 1, электроны, протоны
и нейтроны, испытывали бы столь же быстрое воссоединение при встрече
с частицами «антиатомов». Таким образом, стабильность «привычных»
частиц и нестабильность их античастиц условна: в вакууме антича-
античастицы — позитроны, антипротоны — столь же стабильны, как и их
частицы — электроны и протоны.
Все это согласуется с существованием С-симметрии.
Рождение новых частиц при воссоединении нуклона с антинуклоном приводит к
появлению п±- и К -мезонов, не обладающих барионным зарядом В. В связи с этим
закон сохранения барионного заряда должен быть обобщен для реакций, в которых
участвуют антинуклоны. Антинуклонам (и вообще антибарионам) приписывается
барионный заряд, равный—1: Bg = —1, где Б — символ антибариона. В обобщен-
обобщенном виде закон сохранения бариоиного заряда утверждает, что в ядерных превра-
превращениях в замкнутой системе суммарный барионный заряд сохраняется постоянным.
5. Антипротон _\р был обнаружен экспериментально в конце 1955 г.
О. Чемберленом, Э. Сегрэ, К. Вигандом и Т. Ипсилантисом при бом-
бомбардировке медной мишени протонами, ускоренными в камере беват-
беватрона — ускорителя протонов (г. Беркли, США) — до энергии порядка
6 ГэВ. Схема опыта изображена на рис. 19.17. Пучок ускоренных про-
протонов бомбардировал медную мишень Т. Возникшие при этом отрица-
отрицательные частицы отклонялись магнитным полем беватрона и пропус-
пропускались через дополнительное магнитное поле двух магнитных линз
Mi, пропускающих частицы с определенным импульсом, равным
1,19 ГэВ-с/см. Вместе с предполагаемыми антипротонами _\р при этом
через магнитное поле проходили в огромном количестве л" -мезоны.
Например, при энергии протонов 6,2 ГэВ на один антипротон прихо-
приходится 62 000 л "-мезонов.
Основная трудность эксперимента по идентификации антипротонов
состояла в отделении их от и "-мезонов и измерении их масс. Массы
частиц определялись по результатам измерений их импульсов (методом
отклонения в магнитных полях) и скоростей. Последние измерялись
двумя независимыми способами: по времени пролета и с помощью
счетчиков Черенкова. Пучок отрицательных частиц проходил через
фокусирующее магнитное поле Qx и попадал в сцинтилляционный
счетчик Si. Затем, пройдя последовательно через магнитную линзу
Q2> отклоняющее магнитное поле М2, второй сцинтилляционный счет-
счетчик 52 и счетчики Черенкова С\ и С2, частицы регистрировались сцин-
тилляционным счетчиком 53. Черепковский счетчик С\ пропускал ча-
частицы, для которых а/б'>0,79. Черенковский счетчик С2 отфильтро-
отфильтровывал л "-мезоны. Он пропускал лишь частицы, для которых vie зак-
заключено в пределах 0,75< vie <0,78. Этому условию удовлетворяли
антипротоны _\р, для которых о/с=0,87 при импульсе 1,19 ГэВ-с/см;
для лг-мезонов при том же импульсе а/с=0,99. Кроме того, измеря-
1 Возможность существования антивещества в каких-либо галактических систе-
системах Мироздания не отрицается современной наукой.
— 479 —
лось время t пролета частиц между счетчиками Si и Ss, равное соот-
соответственно 5,1- 10~8с для _\р и 4-10~8 с для лг-мезонов. Фиксирование
антипротона происходило по трем признакам: срабатыванию счетчиков
•Si, S^ C2 и Ss при пролете антипротона и отсутствию срабатывания
при этом счетчика Си а также по измерению времени пролета частиц
между счетчиками St и $?. В опыте было зарегистрировано несколько
десятков антипротонов и построена кривая относительного выхода
антипротонов н п~ -мезонов в зависимос-
зависимости от энергии первичных протонов, из-
изменяющейся в пределах от 4,3 до
6,2 ГэВ.
Надежность методики обнаружения
антипротонов и тождественность масс
антипротона и протона проверялись сле-
следующим остроумным способом. Если из-
изменить направления Всех магнитных
полей на противоположные и напра-
направить в установку протоны с импуль-
импульсом, равным 1,19 ГэВ-с/см, то срабаты-
срабатывание всех счетчиков должно происхо-
происходить точно так же, как и при прохож-
прохождении через установку антипротонов.
Опыты подтвердили это, и, таким обра-
образом, существование антипротона было
доказано совершенно однозначно.
Измерение магнитного момента ан-
антипротона подтвердило, что эта частица имеет знак заряда, проти-
противоположный протону. Магнитный момент в первых недостаточно точ-
точных опытах оказался равным —1,8 ця и меньшим теоретически
ожидаемого значения —2,79 ця.
6. В 1956 г., год спустя после открытия антипротона, в опыте
Б. Корка, Г. Ламбертсона, О. Пиччони и В. Вензеля был экспери-
экспериментально обнаружен антинейтрон \й. Для получения этой частицы
Использовалась реакция перезарядки антипротонов, происходящая в
следующем процессе:
A9.10)
Рис. 19.17
т. е. при превращении антипротона и протона в антинейтрон и нейт-
нейтрон. Факт образования антинейтрона обнаруживался по воссоедине-
воссоединению его с нейтроном. При этом должна выделяться энергия W=2mnc*=
= 1900 МэВ, где тп — масса покоя нейтрона (и антинейтрона). Эта
энергия идет в основном на образование п- и К-мезонов в соотношении
приблизительно 95% к 5%. Наблюдение звезд в фотоэмульсиях при
воссоединении (\п — \п) показало, что при этом образуется в среднем
три заряженных л-мезона, каждый из которых уносит энергию
ж250МэВ. Кроме заряженных возникают нейтральные яЛмезоны и
Кв-мезоны, на которые приходится остальная энергия воссоединения.
По характеру поглощения я-мезонов, образовавшихся в процессе
(J/z — \п) воссоединения, удалось установить, что воссоединение про-
480 —
о о
Q р
ппХ<
-Р!я
V
ФМ
Vac.
4
19.18
I
In
К
"г
,/зг
С
исходит при взаимодействии антинейтрона с нейтроном, расположен-
расположенным вблизи поверхности ядра.
Схема опыта по обнаружению антинейтрона изображена на
рис. 19.18. Антипротоны _\р возникали при бомбардировке мишени
из бериллия протонами, ускоренными в беватроне до энергии 6,2 ГэВ.
Методом, описанным выше, выделялся пучок антипротонов с интенсив-
интенсивностью в 350—600 антипротонов в час. Пучок антипрото-
антипротонов после прохождения последнего счетчика схемы, изображенной на
рис. 19.17 \ поступал в так называемый конвертер X, в котором
происходила перезарядка антипро-
антипротонов по уравнению A9.10). Кон-
Конвертер представлял собой сосуд,
наполненный сцинтиллирующей
органической жидкостью. Результа-
Результаты перезарядки антипротонов фик-
фиксировались четырьмя фотоумножи-
фотоумножителями (ФУ). Антипротоны, возник-
возникшие в конвертере вместе с другими
частицами, проходили далее через
два счетчика сцинтилляций Sx и S2, разделенных свинцовым экраном.
В этих счетчиках отделялись все заряженные частицы, 7-фотоны, a
также я0- и /(^.-мезоны. В последнем черенковском счетчике С из
свинцового стекла регистрировались процессы воссоединения антинейт-
антинейтронов с нейтронами по мощному черенковскому излучению продуктов
воссоединения. Ими являются в основном я-мезоны. Регистрация ан-
антинейтронов сводилась в опыте к наблюдению срабатывания счетчиков
Ся, С и конвертера X при отсутствии импульсов от счетчиков Sx и
S2. Они не срабатывали на нейтральные антинейтроны. В первом
опыте наблюдалось 60 антинейтронов с выходом примерно 0,0028 на
один антипротон.
7. Последовавшие за первыми опытами эксперименты по обнару-
обнаружению частиц _\р и о^. а также теоретические работы показали, что
антипротон и антинейтрон составляют зарядовый дублет частиц с
вектором Т изотопического спина, равным Т=1/2.
Из уравнения A9.9) при 5=0 и ядерном заряде В, для антинуклонов равном
—1 (Bfi~—1), имеем, что проекция Т% изотопического спина для этих частиц равна
соответственно — */2 Для антипротона, tya для антинейтрона (табл. 19.2).
Подобно свободному нейтрону, свободный антинейтрон испытывает распад с пе-
периодом полураспада 1,01 CL0^. Реакция распада антинейтрона имеет вид
8. Большой интерес и серьезные трудности представляло прямое
экспериментальное доказательство наличия нейтрино, а также реше-
решение вопроса о том, представляют ли нейтрино и антинейтрино тожде-
тождественные или различные частицы, т. е. не является ли нейтрино аб-
абсолютно нейтральной частицей.
1 Этот счетчик одновременно фиксировал, что возникшие антипротоны летят в
нужном направлении.
16 д. А. Детлаф, Б.М. Яворский
— 481 —
Первые попытки обнаружения нейтрино были основаны на наблю-
наблюдении энергий ядер отдачи при ^-захвате. Как известно (см. § 18.2),
при этом процессе из ядра должна вылетать одна частица — нейтрино,
уносящая всю энергию распада. При этом, очевидно, все
ядра отдачи должны иметь одинаковые энергии и импульсы.
А. И. Алиханов и А. И. Алиханян предложили воспользоваться
легкими ядрами бериллия JBe, которые, испытывая if-захват, превра-
превращаются в ядра лития |Li:
с периодом полураспада 43 дня. Энергия WVe, уносимая нейтрино,
равна, очевидно, разности энергии * атомов jBe и |1Л. Расчеты приводят
к значению WVe=0,87 МэВ. Если нейтрино имеет массу покоя, рав-
равную нулю (tnVe=Q), то по ее импульсу pVe—WVe/c, равному импульсу
рт ядра отдачи (рг = Рме)> можно найти энергию Wr ядра отдачи:
W,--
2М '
где М — масса ядра лития ILi, возникшего при е-захвате. Это дает
Wr—45 эВ. Опыты, описания которых мы не приводим, подтвердили в
основном приведенные расчеты, однако расхождение опытных и теоре-
теоретических значений энергий ядер отдачи достигало 1/3 Wr и не позволяло
сделать окончательного вывода о том, что эти опыты являются непо-
непосредственным подтверждением существования нейтрино.
9. Новые возможности для обнаружения антинейтрино создались
в связи с развитием физики и техники ядерных реакторов. Осколки
деления тяжелых ядер, как известно, имеют избыток нейтронов и пре-
претерпевают радиоактивный р_-распад, при котором испускаются элек-
электронные антинейтрино ve. С помощью достаточно мощных потоков ан-
антинейтрино были поставлены опыты по изучению взаимодействия ан-
антинейтрино с протонами. Идея опытов заключалась в обнаружении
реакции захвата электронного антинейтрино протоном, идущей по
схеме
е. A9.11)
Аналогичная реакция для захвата электронного нейтрино нейтро-
нейтроном идет следующим образом:
e. A9.1 Г)
Можно показать, что процессы указанного типа допустимы, если
превращения нейтрона в протон .и протона в нейтрон происходят, как
это установлено в § 17.8 и 18.2, по схемам 2:
1 Поскольку при е-захвате ядро 1Ве как бы поглощает электрон своего атома,
вместо разности энергий (и масс) ядер можно брать разность энергий (и масс) ато-
атомов — массы и энергии электронов входят слева и справа.
2 Из общих принципов релятивистской квантовой механики следует, что процес-
процессы рождения элементарных частиц, обусловленные данным взаимодействием, могут
— 482 —
Опыт по обнаружению антинейтрино, вызывающего превращение
протона в нейтрон и позитрон по уравнению A9.11), поставлен ФРей-
несом и К. Коуэном A953—1954) на пучках антинейтрино от реактора.
Мишенью и детектором процессов служила камера объемом около 1 м3
наполненная сцинтиллирующей жидкостью, имеющей в своем составе
водород и кадмий. Большое число фотоумножителей фиксировало
происходящую реакцию A9.11). Образовавшиеся при реакции позит-
позитроны, встречаясь с электронами атомов жидкости, соединялись с ними
и образовывали каждый по два 7-фотона, появление которых фиксиро-
фиксировалось вспышкой в сцинтиллирующей жидкости. Возникшие нейтроны
замедлялись водородом и захватывались кадмием (радиационный
захват). Каскад у-фотонов, возникающий при радиационном захвате,
давал вторую вспышку. Наблюдения этих вспышек позволили надеж-
надежно установить протекание реакции A9.11) и подтвердили существо-
существование электронного антинейтрино. Сечение реакции A9.11) оказалось
равным а « 11 D) ♦ 10~** см2.
10. В 1956 г. были поставлены надежные по результатам опыты,
которые позволили установить, что нейтрино взаимодействует с ве-
веществом иначе, чем антинейтрино, и что поэтому их нужно считать
двумя отличными друг от друга частицами. Схемы A9.11) были одноз-
однозначно установлены и подтвердили различие частиц ve и ~ve. Нейтрино
отличается от антинейтрино также лептонным зарядом.
Вопрос о различии нейтрино и антинейтрино, а также о различии
между электронными и мезонными нейтрино и антинейтрино заслужи-
заслуживает несколько более подробного обсуждения. В § 19.6 рассмотрен
вопрос о несохранении четности при слабых взаимодействиях. После
того как несохранение четности с несомненностью подтвердилось эк-
экспериментально, Л. Д. Ландау высказал предположение о том, что в
слабых взаимодействиях сохранение четности нарушается так, что при
одновременной замене знака всех координат частиц на противополож-
противоположные (пространственная инверсия) и замене всех частиц на античастицы
зеркальная симметрия пространства сохра-
сохраняется неизменной. Это положение получило название
закона сохранения комбинированной четности в слабых взаимодей-
взаимодействиях.
Основу теории Ландау, Ли и Янга составляет идея о том, что
зеркальное отражение (Р-симметрия) должно быть связано с С-сим-
метрией, т. е. заменой частицы на античастицы. Например, зеркаль-
зеркальным отражением протона является антипротон. Закон сохранения
четности предполагал, что зеркальным отражением протона является
протон. Кроме того, считалось, что при отражении «левое» заменяется
«правым», и наоборот.
вызывать также и другие процессы, получающиеся из первых переносом частицы из
одной части уравнения реакции в другую, но с заменой частицы на античастицу. Ока-
Оказывается также, что схема распада античастицы является зарядовосопряженной со
схемой распада частицы. Например, если [Х-мезон имеет схему распада |x~-v-iH-
+ovii+ove, то ее античастицац + распадается по схеме [i+-*-+ie+!>vu+ov<; [см- УРав"
нения A9.1)].
16* - 483 —
Согласно Ландау, Ли и Янгу, симметрия относительно зеркального
отражения с одновременной заменой частиц на античастицы означает
так называемую СЯ-симметрию, состоящую из последовательных заря-
зарядового сопряжения и отражения координат. Симметрия СР называется
также комбинированной инверсией. Несохранение четности и зарядо-
зарядового сопряжения в явлениях, происходящих со слабым взаимодей-
взаимодействием, означает, что в этих явлениях н-е имеют смысла в отдельности
Р- и С-симметрия. Если, следуя Ландау, ввести комбинированную чет-
четность (СР-четность), которая может быть равна +1 или —1, то в сла-
слабых взаимодействиях СР-четность должна сохраняться.
Поясним, что это значит на том же примере с р_-распадом ядер Ц?Со,
который рассмотрен в § 19.6 (п. 11). Если бы вместе с ядрами |°Со
были ориентированы ядра «антикобальта» |°Со, то они испускали бы
при р+-распаде позитроны преимущественно в сторону, противополож-
противоположную вылету электронов в р_-распаде ядер !$Со. При рассмотрении рас-
распада одинакового числа ядер вещества и «антивещества» никакого
нарушения зеркальной симметрии пространства не наблюдалось бы.
Число частиц и античастиц, вылетающих вдоль и противоположно
ориентации спинов ядер, было бы одинаковым. Рис. 19.15, а иллюст-
иллюстрирует сохранение комбинированной четности, если считать, что вместе
с пространственной инверсией (изменении на противоположные знаков
всех координат) одновременно происходит замена частиц на античас-
античастицы. Зеркальная симметрия пространства в этом случае не нару-
нарушается.
11. Закон сохранения комбинированной четности соответствует
современным представлениям о том, что нейтрино и антинейтрино
должны отличаться друг от друга своей так называемой спиральностью.
Суть дела состоит в том, что спины нейтрино и антинейтрино должны
быть всегда ориентированы вдоль направления их движения: у анти-
антинейтрино параллельно направлению движения, у нейтрино —
противоположно ему. Если считать спин некоторым вра-
вращением, то с движением антинейтрино можно связать движение пра-
правого винта (правая, или положительная, спиральность). Аналогично,
движение нейтрино можно сопоставить с движением левого винта (ле-
(левая, или отрицательная, спиральность). Иногда говорят о правовин-
товом и левовинтовом нейтрино.
Наличие у нейтрино и антинейтрино определенной спиральности
не должно зависеть от системы координат и не должно приводить к
нарушению зеркальной симметрии пространства. Между тем продоль-
продольно-поляризованное нейтрино не обладает симметрией левого и правого.
При отражении в зеркале правый винт переходит в левый и частица не
переходит сама в себя. Если же допустить, что одновременно с прост-
пространственной инверсией происходит замена частицы на античастицу,
например правовинтовое антинейтрино перейдет в левовинтовое нейт-
нейтрино, то зеркальная симметрия пространства не будет нарушена.
12. Сохранение комбинированной четности получило эксперимен-
экспериментальное подтверждение в ряде явлений, связанных с р^-распадом и
обусловленных спиральностью нейтрино. Рассмотрим, например, что
должно происходить, если при р*_-распаде ядра электрон и электронное
— 484 —
Рис. 19.19
антинейтрино летят в одном направлении с параллельными или анти-
антипараллельными спинами, причем спин ядра при р_-распаде изменился
на а. Из закона сохранения момента импульса следует, что суммарный
спин электрона, антинейтрино и дочернего ядра должен равняться %.
Но поскольку антинейтрино продольно поляризовано и его спин на-
направлен вдоль движения, то и спины электронов будут преимуществен-
преимущественно направлены в ту же сторону — возникает продольная по-
поляризация электронов при р"_-распаде в направлении испуска-
испускания электронов. В целом ряде эффектов, например при изучении анни-
аннигиляции позитронов на электронах с заданным направлением спина в
ферромагнитных кристаллах, под-
подтверждено наличие продольной
поляризации электронов.
13. Экспериментально было об-
обнаружено A964), что в одном из
распадов нейтральных каонов на-
нарушается сохранение СР-четности.
Ни на каких других процессах
рождения и распада частиц такого
нарушения не обнаружено. Теоре-
Теоретически возможность нарушения
СР-симметрии связана с очень общей теоремой в квантовой теории по-
поля — СРТ-теоремой. Для ее понимания рассмотрим вопрос о Т-инвари-
антности — так называется симметрия по отношению к обращению вре-
времени Т. Обращение времени, разумеется, не означает, что протекание
времени рассматривается «вспять», от будущего к прошедшему. Время
всегда протекает от прошлого к будущему. Обращение времени следует
понимать как обращение движения. Рассмотрим это иа примере меха-
механического движения. Пусть в некоторой системе отсчета в момент t
материальная точка, движущаяся по траектории АВ (рис. 19.19),
имеет радиус-вектор г и импульс р. В обращенном движении на траек-
траектории ВА в момент t в точке с радиус-вектором г материальная точка
будет иметь импульс —р. Если в «обычном» движении в начальный и
конечный моменты времени точка характеризуется радиус-векторами и
импульсами rb pi и г2, р2, то в обращенном движении все будет
«наоборот» — в начале и конце движения радиус-векторы и импульсы
будут г2, —р2 и Гь —pi- Примером обращенного во времени процесса
является прокручивание кинопленки от конца к началу. Любая реак-
реакция между парой частиц 1 и 2 с рождением частиц 3 и 4, обращенная
во времени, означает, что из частиц 3 и 4 рождаются частицы 1 и 2,
причем у всех частиц знаки импульсов заменяются на противо-
противоположные.
Сущность СРТ-теоремы состоит в том, что любая релятивистски
инвариантная теория элементарных частиц х инвариантна относитель-
относительно СРГ-операции, в которой дополнительно к СР-симметрии добавля-
добавляется обращение во времени. Из СРГ-теоремы следует, что симметрия
СР относительно комбинированной инверсии автоматически означает
1 Мы не рассматриваем других требований справедливости СР Г-тсоремы.
— 485 —
симметрию относительно обращения времени. Это означает, что при
нарушении СР-симметрии одновременно нарушается и Т-симметрия.
Для подтверждения нарушения комбинированной четности необходимо
экспериментально обнаружить эффекты нарушения Т-инвариантности.
Таких эффектов на достигнутом пока экспериментальном уровне не
обнаружено. Высказано предположение, что за распады нейтральных
каонов ответственно особое «сверхслабое» взаимодействие, которое
ввиду малости его константы (меньшей в 1010 раз константы слабого
взаимодействия) не удается пока обнаружить.
14. Вопрос о различии между электронными и мезонными нейтрино
и антинейтрино возник при изучении распада заряженных л±-мезонов
по схемам A9.2) и A9.3). Оказалось, что если отделить образующиеся
нейтрино и антинейтрино и затем осуществить реакции захвата этих
частиц, например нейтрино нейтронами, то реакция A9.11') не осу-
осуществляется, а вместо нее захват происходит по схеме
„4i4> — lp + p-, A9.11*)
свидетельствующей о различии частиц ve и v^.
15. В заключение укажем, что античастицы были обнаружены и
среди гиперонов. Антигипероны подчиняются общим требованиям для
всех античастиц, указанным в п. 1 этого параграфа.
Для образования пары гиперон — аитигиперон требуется сущест-
существенно больше энергии, чем для создания пар нуклонов. Например
наиболее легкий из антигиперонов — анти-лямбда-нуль гиперон (Ло)
может быть создан при энергиях на 1—1,5 ГэВ больших, чем те энер-
энергии, при которых возникают антинуклоны. Это связано с относительно
большой массой покоя гиперонов.
16. В последние годы обнаружено большое число новых частиц,
которые были названы резонансными частицами (р е з о н а н-
с а м и). Так теперь называют весьма короткоживущие образования
(с временем жизни »103 с). Основанием для того, чтобы считать ре-
резонансы частицами, является то, что в ряде случаев при своем образо-
образовании, а также и распаде, они ведут себя как одна частица с определен-
определенными характеристиками: спином, странностью, изотопическим спи-
спином, электрическим и барионным зарядами и т. д. Резонансы имеют
также определенные импульсы и энергии. Термин «резонанс» в при-
применении к частицам возник еще в 50-х годах, когда при исследовании
рассеяния на протонах я-мезонов с энергией около 200 МэВ было об-
обнаружено резкое увеличение эффективного сечения рассеяния, наз-
названное резонансом. Резонансные состояния, аналогичные я-мезон-про-
тонному резонансу, оказались имеющими свойства частиц, и название
укрепилось: обнаружилось, что у каждой из адронных, сильно вза-
взаимодействующих частиц существуют присущие ей резонансы, отличаю-
отличающиеся большей массой и, как правило, большими значениями спинового
квантового числа. Обнаружено также существование и мезонных ре-
зонансов. Число открытых частиц и резонансов в настоящее время уже
настолько велико, что в последние годы в физике элементарных частиц
были предприняты серьезные попытки их классификации. Однако
мы не сочли возможным рассматривать в данном пособии этих вопросов.
— 486 -
17. В связи с тем что число частиц и их резонансов весьма велико,
само представление об элементарности многих из частиц ставится под
сомнение. Поэтому определение элементарной частицы оказывается
недостаточным и вряд ли есть возможность дать в настоящее время
исчерпывающее определение элементарной частицы. Чем глуб»е
физика проникает в познание свойств «элементарных» частиц, тем Есе
более оправдывается гениальное ленинское предвидение о том, что
электрон так же неисчерпаем, как и атом.
§ 19.S. Понятие о структуре нуклона
1. В § 19.1 уже отмечалось, что представление об опре-
определенной структуре элементарной частицы находится в противоречии
с теорией относительности, требующей, чтобы элементарные частицы
были точечными. Например, принятое в классической электродинамике
соотношение для «классического» радиуса электрона (см. п. 6 § 14.3)
го — 1 г явно предполагает, что электрон не является точечным и
имеет размеры. В современной физике на смену классическим моделям
элементарных частиц пришли попытки отыскания таких структур этих
частиц, которые не противоречили бы теории относительности. В на-
настоящее время имеются прямые экспериментальные доказательства
наличия структуры элементарных частиц и разработаны способы ее
изучения. Такие эксперименты проведены только для нуклонов.
2. Одним из методов изучения структуры нуклона является иссле-
исследование упругого рассеяния я-мезонов на протонах. Другой метод
состоит в исследовании упругого рассеяния электронов на протонах и
нейтронах. Они позволили сделать определенные выводы о структуре
нуклона. Упругое рассеяние д-мезонов на протонах, как показали
опыты, происходит так, что я-мезон мало отклоняется от первона-
первоначального направления полета, а протон получает незначитель-
незначительную отдачу, т. е. переданный протону импульс Ар невелик. Из
соотношения неопределенностей следует, что этот процесс должен
происходить в некоторой области пространства, характеризуемой
линейными размерами с^Й/Др. Детальное изучение упругого рассея-
рассеяния я-мезонов на протонах показало, что этот процесс следует пред-
представлять себе как результат дифракции я-мезонов на некоторой погло-
поглощающей мезоны области, определяющей размеры нуклона.
Оценки показали, что эти размеры имеют порядок 10~15 м.
3. Для современного состояния вопроса о строении и свойствах
элементарной частицы характерно то, что структура и свойства одной
частицы зависят от свойств других частиц. В частности, структура
нуклона связана со свойствами пионов. Напомним (см. § 16.5), что
взаимодействие нуклонов в ядре можно рассматривать как пионное
взаимодействие, состоящее в излучении и поглощении виртуальных
пионов протоном и нейтроном:
— 487 —
Эти процессы показывают, что нуклон JV в процессе взаимодействия
с другим нуклоном виртуально испускает или поглощает пион с соот-
соответствующим зарядом:
Одиночный нуклон также испускает и поглощает виртуальные пионы,
и это приводит к тому, что «голый» нуклон всегда окружен облаком
виртуальных пионов. Радиус пионного облака гя по порядку величины
должен быть таким же, как радиус действия ядерных сил (см. § 16.5):
гл~ • Таким образом, экспериментально наблюдаемый реаль-
ный нуклон как бы содержит «голый» нуклон и пионное облако.
Кроме облака пионов структура нуклона определяется взаимодей-
взаимодействием нуклона с каонами и гиперонами. Основным виртуальным про-
процессом этого взаимодействия является излучение нуклоном N каона К
с образованием гиперона Y:
Виртуальные каоны образуют облако, радиус гк которого оценивается
аналогично радиусу гя пионного облака:
Каонное облако не окружает «голый» нуклон, ибо при виртуальном
испускании каона нуклоны превращаются в гипероны.
Помимо указанных процессов происходит еще образование вирту-
виртуальных пар нуклон-антинуклон (N, N), создающих также некоторое
облако. Виртуальный процесс образования пар происходит по схеме
Радиус облака виртуальных пар составляет rN « 0,07 гк.
Таким образом, структура нуклона определяется свойствами дру-
других частиц. В нуклоне непрерывно происходят виртуальные процессы,
в результате которых нуклон представляется сложной композицией
многих других частиц. В центральной части нуклона («голый» нуклон)
находится ядро («керн») нуклона с радиусом @,2—0,4)-10~1^ м. В этой
области, которая еще не изучена, по-видимому, какую-то существен-
существенную роль играют тяжелые частицы — резонансы и нуклон-антинуклон-
ные пары. Керн окружают пионные и другие облака (рис. 19.20).
4. Рассеяние быстрых электронов с энергией вплоть до 550 МэВ
на протонах позволило изучить распределение плотности электричес-
электрического заряда протона в зависимости от расстояния г от центра керна.
При этом необходимо учитывать, что заряд протона неделим и всегда
проявляет себя как единое целое. Поэтому распределение электричес-
электрического заряда в протоне не означает возможность экспериментально
выделить некоторую часть этого заряда. На рис. 19.21 показана за-
зависимость от г заряда q, содержащегося в шаровом слое, заключенном
между радиусами г и г + Дг. Площадь под кривой равна заряду е
- 488-
протона. Кривая на рис. 19.21 имеет резко внраженный максимум,
приходящийся на расстояние #е=0,77 Ф, которое называется электри-
электрическим радиусом протона.
Результаты аналогичных опытов по рассеянию быстрых электронов
на нейтронах изображены на рис. 19.22. Рассеяние происходит так, что
«электрический радиус» нейтрона равен нулю. При взаимодействии
с быстрыми электронами нейтрон имеет пионное облако, совпадающее
V • • .'.•••-.'.•.•.■.■.'■'.■.•.•' •
or ■..••.:.4>.V.v.;V3;;:-:.:.V ■ '
'."Л ■'.'.'■
'':■«
_L
О Re 7
Рис. 19.20
2 3 r(cpsfMU)
Рис. 19.21
гфрми)
по размерам с керном. Электрический заряд распределяется по ней-
нейтрону так, что во внешней и внутренней областях он отрицателен,
а в средней области положителен. Полный электрический заряд ней-
нейтрона, равный площади под кривой, равен нулю.
Структура нуклона позволяет объяснить наличие отрицательного
магнитного момента ртп у нейтрона и аномальное значение магнитного
момента ртр протона (см.
§16.3). Обратим внимание
на то, что магнитный мо-
момент протона, равный
2,79 AЯ, на 1,79 ця пре-
превышает значение 1 ця, ко-
которое следовало бы ожи-
ожидать по аналогии с тем,
что магнитный момент
электрона равен одному
магнетону Бора \iB. Маг-
Магнитный момент ртп нейтро-
нейтрона отрицателен: ртп=—1,9 |д.я. Можно предположить, что как ано-
аномальное значение магнитного момента протона, так и отрицатель-
отрицательная величина магнитного момента нейтрона объясняются наличием
у нуклона пионного облака. В самом деле, вращение заряженного
пионного облака вокруг его оси должно быть связано с появле-
появлением [некоторого «тока» и соответствующего ему магнитного момента.
В случае протона положительное пионное облако создает магнитный
момент, дополнительны йк магнитному моменту керна того
же знака, что и приводит к аномальному значению магнитного
момента протона. В случае нейтрона отрицательное пионное
— 489 —
Рис. 19.22
облако создает отрицательный магнитный момент1. Представление о
пионном облаке нуклона оказывается весьма плодотворным и позво-
позволяет, например, объяснить различие масс нейтрона и протона существо-
существованием энергий электростатического и магнитного взаимодействия
керна нуклона с пионными облаками.
В настоящее время интенсивно изучаются столкновения электронов
между собой по методу встречных пучков, для которых характерны
сверхвысокие энергии соударяющихся частиц. Эти опыты должны
дать сведения о структуре электрона.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Современный курс физики в высшей технической шко-
школе охватывает все важнейшие разделы классической и современной фи-
физики. Среди всех дисциплин во втузе нет таких, которые могли бы
сравниться с курсом физики по богатству и многообразию идей, мето-
методов исследования и фундаментальности изучаемых в нем достижений
науки и техники. В наши дни существенно изменилось положение курса
физики £ системе подготовки современного инженера. Если раньше
курс физики был в основном базой, фундаментом, на котором строи-
строилось здание инженерной подготовки, то теперь курс физики, полностью
сохранив это свое значение, стал одновременно составной частью под-
подготовки специалиста к конкретной инженерной деятельности. Ряд об-
областей современной техники, такие, например, как электронная тех-
техника (включая полупроводниковую), ядерная техника (включая реак-
торостроение) и др., настолько тесно переплетаются с физикой, что
становятся неотделимыми от нее. Вместе с тем в давно сложившихся
«классических» отраслях техники применение новых физических ме-
методов исследования приводит зачастую к принципиально новым инже-
инженерным решениям ряда проблем.
Для нашего времени характерно резкое сокращение сроков между
научными открытиями, достижениями современной науки и их внед-
внедрением в повседневную инженерную практику. Появление и развитие
пограничных научных и инженерных дисциплин, находящихся на
стыках нескольких наук и базирующихся на физике, существенно
расширило возможности дальнейшего взаимного проникновения друг
в друга различных областей знания и повысило инженерный уровень,
на котором могут решаться в наши дни многие технические задачи.
Все это не могло не привести к резкому повышению требований,
которые предъявляются к современному курсу физики во втузе. Эти
повышенные требования находят свое выражение как в увеличении
объема курса физики, так в особенности и в научно-теоретическом его
уровне.
2. На протяжении трех томов в данном курсе рассмотрены все
основные разделы классической и современной физики. Начав с изу-
1 Мы опускаем несколько искусственные расчеты, которые позволяют получить
известное из эксперимента значение магнитного момента нейтрона, равное —1,9 Ц.„.
— 490 —
чения основ физической механики, мы рассмотрели основы термоди-
термодинамики и молекулярной физики, учение об электричестве и магнетизме,
колебательные и волновые процессы, включая учение об электромаг-
электромагнитных волнах и оптику. Существенное место в последнем томе отведено
основам современной атомной физики и физике атомного ядра. Не-
Нетрудно заметить, что все построение курса физики означало непрерыв-
непрерывное углубление сведений о явлениях природы, закономерностях, уп-
управляющих процессами в окружающем нас мире. В самом деле, изу-
изучение механики происходило на макроскопическом уровне, когда объек-
объектом изучения являлись макроскопические тела, движущиеся со ско-
скоростями, много меньшими скорости света в вакууме, с массами, неиз-
неизмеримо превышающими массы атомов и молекул. Следующий, моле-
молекулярный, уровень изучения явлений позволил выяснить
особенности поведения совокупностей атомов и молекул. Молеку-
Молекулярная физика с ее статистическими методами была первым шагом в
микромир — область, в которой развитие физики шло особенно быстро
и где' достигнутые физикой результаты оказали столь глубокое, рево-
революционизирующее влияние на всю науку и технику и на повседневную
жизнь человеческого общества. На молекулярном уровне изучения
курса нам уже пришлось встретиться с необходимостью отказаться в
ряде случаев от методов, применяемых в макрофизике, появилась не-
необходимость использования новых, квантовых представлений и новых
закономерностей. Строго говоря, в этом нет ничего неожиданного.
Переход к новым количественным масштабам с необходимостью приво-
приводит, как учит нас диалектический материализм, к существенным ка-
качественным изменениям. Поэтому не удивительно, что в микромире
господствуют иные законы, чем в макромире.
3. С полной очевидностью это вскрылось на следующем, внут-
внутримолекулярном, уровне, когда в курсе электричества и маг-
магнетизма изучались многообразные явления, объясняемые поведением
заряженных частиц — электронов и ионов в веществе и вакууме.
Классическая электродинамика, накопившая за длительный период
своего развития большое число законов, описывающих различные
явления электричества, магнетизма и оптики, получила свое заверше-
завершение в уравнениях Максвелла и электронной теории Лоренца. Однако
именно здесь полностью вскрылась недостаточность классического
описания. Вспомним, например, что закон Рэлея — Джинса (см. т. III,
гл. X) привел к «ультрафиолетовой катастрофе», несмотря на то что
он описывал взаимодействие равновесного теплового излучения со стен-
стенками полости, в которой это излучение находится, на основе хорошо
развитых и совершенных методов классической теории излучения,
классической статистической физики и электронной теории. Аналогич-
Аналогично этому, электрические свойства твердых тел — металлов и особенно
полупроводников — не получили своего объяснения в классической
теории. Таких примеров на протяжении трехтомного курса было
приведено очень много. Для полного объяснения многих вопросов уче-
учения об электричестве и магнетизме, для истолкования механизма вза-
взаимодействия электромагнитного поля с веществом, представлений клас-
классической физики оказалось недостаточно. Однако если в области элект-
— 491 —
ричества, магнетизма и даже взаимодействия света с веществом клас-
классическая физика в ряде случаев давала правильные объяснения многим
фактам и закономерностям, то на внутриатомном уровне она
привела к резким противоречиям с экспериментальными данными.
4. Изучение строения и свойств атома и атомного ядра — дости-
достижение физики нашего столетия. Оно стало возможным, во-первых,
благодаря быстрому расширению технических возможностей экспери-
эксперимента — фактору, сыгравшему огромную роль в развитии современной
физики, и, во-вторых, благодаря двум революционизировавшим всю
физику теориям — теории относительности и квантовой механики.
Возникшие в первой четверти нашего столетия, они привели физику
.к осознанию тех особых законов, которыми управляется микромир.
В настоящее время квантовая механика и теория относительности —
это не только теории, позволяющие проникать в тайны строения атом-
атомного ядра и элементарных частиц. Теория относительности уже доста-
достаточное время является основой для получения расчетных инженерных
формул ускорительной техники и исследования термоядерных реакций.
Квантовая механика в ее применениях к расчетам ядерных реакторов,
электронных приборов, квантовых генераторов и усилителей явля-
является дисциплиной, основы которой входят в инженерную практику.
5. Многие основные идеи квантовой механики, а также и теории
относительности кажутся поначалу необычными, противоречащими
тому складу мышления, к которому привыкает человек благодаря дли-
длительному периоду обучения в школе и повседневной практике. Не-
Невозможность свести дело к привычным представлениям, отсутствие
в ряде случаев аналогий, столь облегчающих «понимание» изучаемого
предмета,— все это действительно составляет известные трудности в
начальный период изучения современной физики. Однако значитель-
значительная часть этих трудностей проистекает из-за того, что недостаточно
осознаются логические связи между классической и современной фи-
физикой, между различными аспектами рассмотрения физических явле-
явлений. На это требуются время и терпение — два фактора, без которых
немыслимо усвоение новых идей.
6. Глубокие внутренние связи между классической и современной
физикой находят свое выражение впринципе соответст-
соответствия, согласно которому между дальнейшим развитием разделов фи-
физики и их предшествующим содержанием устанавливаются определен-
определенные связи: в определенных предельных случаях новое физическое
учение переходит в старое. Тем самым установленные на определенном
этапе развития физики закономерности, правильно объясняющие
экспериментальные данные, не отбрасываются с развитием нового
этапа учения, а включаются в него как предельный случай, справед-
справедливый в определенных условиях.
7. Все здание классической и современной физики, несмотря на его
сложную «архитектуру», прочно покоится на фундаменте законов
сохранения. Все те законы сохранения, которые были уста-
установлены в классической физике, применимы и в физике микромира —
им подчиняются, как мы видели, элементарные процессы, происходя-
происходящие с отдельными частицами вещества. Во всеобщности действия зако-
— 492 —
нов сохранения находят свое доказательство глубокие связи между
классической и современной физикой. Правда, в физике элементарных
частиц появились новые законы сохранения, не действующие в об-
области макромира, ио в этом находит лишь свое подтверждение ленин-
ленинское учение об абсолютной и относительной истине и о непрерывном
переходе в процессе познания от сущностей менее глубоких к сущно-
сущностям более глубоким.
8. Современная физика принадлежит к числу наиболее быстро
развивающихся наук. Ее динамический характер особенно сказывается
в развитии таких разделов, как физика атомного ядра и элементарных
частиц, физика твердого тела и др., а также ряда пограничных, сопри-
соприкасающихся с физикой наук (биофизика и др.). Развитие новейшей
физики приводит к появлению многих новых дисциплин. Вряд ли
можно было думать несколько десятков лет тому назад, что возникнет
механика плазмы, магнитная гидродинамика, что появится квантовая
радиотехника и другие новейшие разделы физики.
9. Из сказанного ясно, какое значение имеет для современного ин-
инженера изучение физики. Именно поэтому время и усилия, потрачен-
потраченные на усвоение основ современной физики, сторицей окупятся в
дальнейшей учебе и работе инженера.
ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. Международная система единиц
1. Международная система единиц (СИ) базируется на семи ос-
основных единицах — метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин,
моль, кандела и двух дополнительных — радиан и стерадиан. Оп-
Определения и обозначения этих единиц приведены в табл. 1.
Таблица 1
Величина
Наименование
Раз-
мер-
мерность
Единица СИ
Наиме-
Наименование
Обозначение
рус-
русское
междуна-
международное
Определение
1. Основные единицы СИ
Длина
метр
m Метр— единица длины, равная
1 650 763,73 длин волн в ва-
вакууме излучения, соответст-
соответствующего переходу между
уровнями 2 р10 и 5 d6 атома
криптона-86
Масса
М килог- кг kg
рамм
Килограмм — единица массы,
равная массе международного
прототипа килограмма
Время
Т секунда с s
Секунда—единица времени,
равная 9192631770 периодов
излучения, соответствующего
переходу между двумя сверх-
сверхтонкими уровнями основного
состояния атома цезия-133
рила электри- I ампер А А
ческого тока
Ампер — сила неизменяющегося
тока, который, проходя по
двум параллельным прямоли-
прямолинейным проводникам беско-
бесконечной длины и ничтожно
малого кругового сечения,
расположенным на расстоя-
расстоянии 1 м один от другого в
вакууме, вызвал ' бы между
этими проводниками силу,
равную 2-10""^ Н на каждый
метр длины
494
Продолжение табл. 1
Величина
Наименование
Термодинами-
Термодинамическая темпе-
температура
Раз-
мер-
мерность
в
Единица СИ
Наиме-
Наименование
кельвин
Обозначение
рус-
русское
К
междуна-
международное
Определение
К Кельвин — единица термодина-
термодинамической температуры, рав-
равная 1/273,16 части термоди-
термодинамической температуры
тройной точки воды
Количество ве- N моль моль mol Моль — единица количества ве-
вещества щества, равная количеству
вещества системы, в которой
содержится столько же струк-
структурных элементов (атомов,
Молекул, ионов, электронов
и др. частиц или специфициро-
специфицированных групп частиц), сколь-
сколько содержится атомов в уг-
лероде-12 массой 0,012 кг
Сила света J кандела кд cd К.андела— сила света, испуска-
испускаемого с площади 1/600 000 м2
сечения полного излучателя
(абсолютно черного тела) в
перпендикулярном этому се-
сечению направлении при тем-
температуре излучателя, равной
температуре затвердевания
платины при давлении
101 325 Па
2. Дополнительные единицы СИ
Плоский угол ■— радиан рад rad
Радиан — угол между двумя ра-
радиусами окружности, дуга
между которыми по длине
равна радиусу
Телесный угол — стерадиан ср
Стерадиан — телесный угол с
вершиной в центре сферы,
вырезающий на поверхности
сферы площадь, равную пло-
площади квадрата со стороной,-
по длине равной радиусу
этой сферы
2. Производные единицы СИ образованы по уравнениям связи
между физическими величинами, соответствующим простейшим слу-
случаям явлений и тел. Производные единицы СИ электрических и
магнитных величин образованы в соответствии с рационализован-
рационализованной формой уравнений электромагнитного поля. Важнейшие про-
производные единицы СИ приведены в табл. 2.
495
Таблица 2
Величина
Наименование
Площадь
Объем
Скорость
Ускорение
Частота
Частота враще-
вращения
Угловая ско-
скорость
Угловое уско-
ускорение
Плотность
Момент инер-
инерции
Импульс
Момент импуль-
импульса
Сила
Момент силы
Импульс силы
Давление, на-
напряжение (ме-
(механическое),
модуль упру-
упругости
Поверхностное
натяжение
Работа, энерги?
Мощность
Динамическая
вязкость
Кинематичес-
Кинематическая ВЯЗКОСТ[
Размерность
3. Производные
L2
L3
LT-1
LT-a
T~i
Т-1
Т-1
Т-2
4. Производиые
L-3M
L2M
LMT-1
L2MT~l
LMT-2
L2MT-2
LMT-1
L'MT-2
MT-2
L2MT-2
L2MT-3
L-ЩТ-1
L2T-i
>
Производная единица СИ
Наименование
Обозначение
русское
междуна-
международное
единицы пространства и времени
квадратный
MPTfl
JV1C 1^1
кубический
метр
метр в секунду
меТр на секунду
в квадрате
герц
секунда в минус
первой сте-
степени
радиан в секун-
71V
ду
радиан на се-
секунду в квад-
квадрате
М2
м3
м/с
м/с2
Гц
с~1
рад/с
рад/с2
та
ms
m/s
m/sa
Hz
S-*
rad/s
rad/s2
, единицы механических величин
килограмм на
кубический
метр
килограмм-метр
в квадрате
кнлогр амм-метр
в секунду
килограмм-метр
в квадрате в
секунду
ньютон
ныотон-метр
ньютон-секунда
паскаль
ньютон на метр
джоуль
ватт
паскаль-секун-
да
квадратный
метр на се
кунду
кг/м3
кг-м2
кг-м/с
КГ-М2/С
Н
Нм
Н-с
Па
Н/м
Дж
Вт
Пас
М2/С
kg/m3
kg-m2
kg-m/s
kg-m2/s
N
N-m
N-s
Pa
N/m
J "
W
Pas
m2/s
Примеча-
Примечание
1 H =
= 1 кгх
Xm/c2
1 Па =
= 1 Н/мг
1 Дж =
= 1 Н.м
1 Вт =
= 1 Дж/с
496
Продолжение табл. 2
Величина
Наименование
Размерность
Производная единица СИ
Наименование
Обозначение
русское
междуна-
международное
Примеча-
Примечание
5. Производные едииицы тепловых величин
Количество теп-
теплоты, внут-
внутренняя энер-
энергия
Удельное коли-
количество теп-
теплоты
Теплоемкость и
энтропия си-
системы
Теплоемкость
удельная
L2MT-2
L2T-a
L2MT-2e-t
L2T-2Q-1
джоуль
джоуль на ки-
килограмм
джоуль на кель-
кельвин
джоуль на ки-
лограмм-
Дж
Дж/кг
Дж/К
Дж/(кг-К)
J 1 Дж =
= 1 Нм
J/kg
J/K
J/(kg-K)
Кельвин
Теплоемкость LaMT-2N-ie-1 джоуль на моль- Дж/(моль>К) J/(mol-K)
молярная кельвин
Теплопровод- ЬМТ-3в-* ватт на метр- Вт/(м-К) W/(m-R)
ность кельвин
6. Производные едииицы электрических и магнитных величин
Плотность элек-
электрического
тока
Электрический
заряд
Плотность элек-
электрического
ЧЯП 9J ТТЯ
j а и /1 }\ д
а) линейная
б) поверхност-
поверхностная
в) объемная
Поляризация,
электричес-
электрическое смещение
Электрический
момент дипо-
диполя
Поток смещения
Электрический
потенциал,
напряжение,
э. д. с.
Напряженность
электричес-
электрического поля
Электрическая
емкость
Электрическая
постоянная
L-2I
TI
L-XTI
L~2TI
L-3TI
L~2TI
LTI
TI
L2MT-3I-i
LMT-4-1
1-Щ-1ТЧ2
L-3M-iT4I2
ампер на квад-
квадратный метр
кулон
кулон на метр
кулон на квад-
квадратный метр
кулон на куби-
кубический метр
кулон на квад-
квадратный метр
кулон-метр
кулон
вольт
вольт на метр
фарад
фарад на метр
А/м2
Кл
Кл/м
Кл/м2
Кл/мз
Кл/м2
Кл-м
Кл
В
В/м
Ф
Ф/м
А/т2
С 1 Кл =
= 1 А-с
С/т
С/тг
С/т3
С/т2
С-т
С
V 1 В =
=1 Дж/Кл
V/m
F 1 Ф =
= 1 Кл/В
F/m
497
Продолжение табл. 2
Величина
Наименование
Электрическое
сопротивле-
сопротивление
Удельное элек-
электрическое со-
сопротивление
Электрическая
проводимость
Удельная элек-
электрическая
проводимость
Магнитный по-
поток
Магнитная ин-
индукция
Магнитодвижу-
Магнитодвижущая сила
Напряженность
магнитного
поля
Индуктивность,
взаимная ин-
индуктивность
Магнитная по-
постоянная
Магнитный мо-
момент электри-
электрического тока
Намагничен-
Намагниченность
Магнитное соп-
сопротивление
Размерность
L2MTI-2
L3MTI-2
L~3M~1TsIa
L^MT!
mt-2i-i
I
L-4
L2MT-2I~a
LMT-2I-2
L2I
L-4
L~2M~LT42
Производная единица СИ
Наименование
ОМ
ом-метр
сименс
сименс на метр
вебер
тесла
ампер
ампер на метр
генри
генри на метр
ампер-квадрат-
ампер-квадратный метр
ампер на метр
ампер на вебер
7. Производные единицы световых величии
сЬотометпии
Световой поток
Освещенность
Светимость
Яркость
Поток излуче-
излучения
Энергетическая
освещенность
и светимость
J
L~2J
L-2J
L-2J
L2MT-3
MT~S
люмен
люкс
люмен на квад-
квадратный метр
кандела на
квадратный
ватт
ватт на квад-
квадратный метр
Обозначение
русское
Ом
Ом-м
См
См/м
Вб
Тл
А
А/м
Гн
Гн/м
А-м2
А/м
А/Вб
междуна-
международное
Q
Q-m
S
S/m
Wb
т
А
A/m
Н
H/m
А-тг
А/т
A/Wb
Примеча-
Примечание
1 Ом =
= 1 В/А
1 См =
==1 А/В
1 Вб =
= 1Тл-м2
1 Вб =
= 1 В-с
1 Тл =
=1 Н/(Ах
Хм)
1 Гн =
= 1 Вб/А
и величии энергетической
лм
лк
лм/мг
кд/м2
Вт
Вт/м2
. 1т
1х
1т/та
cd/m2
W
W/m2
1 лк =
= 1 лм/м2
498
Продолжение табл. 2
Величина
Наименование
Размерность
Производная единица СИ
Наименование
Обозначение
русское
междуна-
международное
Примеча-
Примечание
Энергетическая
яркость
Спектральная
плотность
энергетичес-
энергетической светимо-
светимости
а) по длине вол-
волны
б) по частоте
Энергетическая
сила света
МТ-2
L2MT~3
ватт на стера- Вт/(ср.ма) W/(srX
диан-квадрат-
ный метр
ватт на метр в
кубе
джоуль иа квад-
квадратный метр
ватт на стера-
стерадиан
Хт2)
Вт/м3 W/m3
Дж/.м2 J/m2
Вт/ср W/sr
3. Множители и приставки для образования десятич-
десятичных кратных и дольных единиц и их наименования при-
приведены в табл. 3.
Таблица 3
Множитель
1018
1015
1012
10в
10е
103
102
101
ю-*
Ю-2
ю-3
ю-в
ю-»
Ю-12
Ю-15
Ю-18
Приставка
Наименование
экса
пета
тера
гига
мега
кило
(гекто)
(дека)
(деци)
(санти)
милли
микро
нано
пико
фемто
атто
Обозначение
русское
э
п
т
г
м
к
г
да
д
с
м
мк
н
п
ф
а
международное
Е
Р
Т
G
М
к
h
da
d
с
m
ц
n
F
a
Примечание. В скобках указаны приставки, которые допускаются к
применению только в наименованиях кратных и дольных единиц.уже получив-
получивших широкое распространение (например, гектар, декалитр, дециметр; сан-
сантиметр).
499
§ 2. Универсальные физические постоянные
В табл. 4 указаны значения физических постоянных, приведен-
приведенные в статье «Рекомендуемые согласованные значения фундамен-
фундаментальных физических постоянных— 1973 г.» (Доклад рабочей группы
CODATA по фундаментальным физическим постоянным, август
1973 г. —УФН, 1975, 115, с. 623 — 633).
Таблица 4
Величина
Обозначение
Значение •
Относи-
Относительная
погреш-
погрешность,
10-»
1. Атомная еди-
единица массы
2. Заряд элемен-
элементарный
3. Заряд удель-
удельный электрона
4. Комптоновская
длина волны
нейтрона
5. Комптоновская
длина волны
протона
6. Комптоновская
длина волны
электрона
7. Магнетон Бора
8. Ядерный маг-
магнетон
9. Магнитный мо-
момент протона
10. Магнитный мо-
момент электрона
11. Масса покоя
нейтрона
12. Масса покоя
протона
13. Масса покоя
электрона
14. Объем моля
идеального га-
газа при нор-
нормальных усло-
условиях (То =
= 273,15 К,
ро= 101325 Па)
15. Постоянная
Больцмана
16. Постоянная га-
газовая универ-
универсальная
17. Постоянная
гравитацион-
гравитационная
1 а. е. м.=
кг-моль -
= 10-3
Na
1,6605655(86)-Ю-27- кг 5,1
е . 1,6021892 D6)-10-1В Кл 2,9
е/тв 1,7588047 D9)-10й К л/кг 2,8
1,3195909 B2)-10-15 м 1,7
1,3214099 B2)-Ю-1? м 1,7
2,4263089 D0). 10-12 м 1,6
9,274078 C6)-Ю-24 Дж/Тл 3,9
5,050824B0)-Ю-2' Дж/Тл 3,9
пр 1,4106171 E5)-10-2в Дж/Тл 3,9
Ир/цв 1,521032209 A6)-Ю-3 0,011
йр/'Ця 2,7928456A1) 0,38
ие 9,284832 C6). Ю-24 Дж/Тл 3,9
ие/ц.„ 658,2106880F6) 0,010
т„ 1,6749543 (86)-Ю-27 кг 5,1
1,008665012 C7) а. с. м. 0,037
тр 1,6726485(86)-Ю-27- кг 5,4
1,007276470A1) а. е. м. 0,011
те 0,9109534D7)-Ю-30 кг 5,1
5,4858026 B1)-10 а. е. м. 0,38
0,02241383G0) м3/моль 31
1,380662 D4)■ Ю-23 Дж/К 32
R 8,31441B6) Дж/(моль-К) 31
V 6,6720 DП-10-» Н-м^/кг2 615
500
Продолжение табл. 4
Величина
18. Постоянная
магнитная
19. Постоянная
Планка
Квант магнит-
магнитного потока
Квант цирку-
ТТ СТ ТТ ТТ ТТ
ЛНЦИИ
20. Постоянная ра-
радиационная
первая
21. Постоянная ра-
радиационная
вторая
22. Постоянная
Ридберга
23. Постоянная
Стефана —
Больцмана
24. Постоянная
тонкой струк-
структуры
25. Постоянная
(число) Фара-
Фараде я
26. Постоянная
электрическая
27. Радиус боров-
ский
28. Радиус элект-
электрона классиче-
классический
29. Скорость света
в вакууме
30. Ускорение сво-
свободного паде-
падения стандарт-
стандартное
31. Число Авогад-
ро
32. Энергия покоя
нейтрона
33. Энергия покоя
lipOlUHd
34. Энергия покоя
электрона
35. Энергия, соот-
соответствующая
1 а. е. м.
Обозначение
И
h
7l = h/2ii
<D0 = ft./2e
h/2me
Cl = 2nhc2
c2 = hc/k
u?tn c3e4
P s
8ft3
fl Jl2/5«
OU/J С
Носе2
K 2ft
F=NAe
Eo=l/(tioc2)
ао = а/Dл#„)
e 4 л tne
с
g
NA
mnc2
mpc*
mec"
Значение 4
Гн
4я-10-г — = 12,5663706144 X
м
6,626176 C6).Ю-34 Дж/гц
1,0545887 E7) • Ю* Дж/Гц
2,0678506 E4). 10-15 Вб
3,6369455 F0)-Ю-4 Дж/(Гц-кг)
3,741832 B0)-Ю-" Вт-м2
0,01438786D5) м-К
1,097373143A0)-107 м~*
5,67032 G1)-Ю-8 Вт/(м2-К4)
0,0072973506F0)
137,03604A1)
9,648456 B7)-104 Кл/моль
8,85418782 G)-10-12 Ф/м
0,52917706 D4)-Ю-10 м
2,8179380 G0)-Ю-1? м
299792458A,2) м/с
9,80665 м/с3
6,0220943 F1)-102>i моль-Л
939,5731 B7) МэВ
938,2796B7) МэВ
0,5110034A4) МэВ
931,5016 B6) МэВ
Относи-
Относительная
погреш-
погрешность,
5,4
5,4
2,6
1,6
5,4
31
0,009
0,82
0,82
2,8
0,008
0,82
2,5
0,004
—.
1,0
2,8
2,8
2,8
2,8
1 Числа в круглых скобках указывают стандартную погрешность в последних цифрах
значения величины, приведенного в табл. 4.
501
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация света годичная 71, 187
Абсорбция света отрицательная 305
положительная 133, 305
Адроны 468
Активность радиоактивного вещества
388
Акустика 33
— молекулярная 46
— физиологическая 34
— физическая 34
Амплитуда волны 12
де Бройля, статистический
смысл 245
— — комплексная 15
световой, статистический смысл
235
сферической 19
Анализ активационный 450
— люминесцентный 348
— рентгеноструктурный кристаллов
119
, метод Дебая — Шерера 120
качающегося кристалла
119
— спектральный рентгеновского излу-
излучения 119
Анализатор 153
Ангстрем 69
Анизотропия оптическая кристаллов
142
искусственная 142, 159
Антинейтрино мезонное 459
— электронное 406, 478
Антинейтрон 478, 480
Антипротон 479
Античастицы 476
Атом, векторная модель 301
— распределение электронов по сос-
состояниям 295
— ядерная модель Резерфорда 273
Атомы «меченые» 449
Бариоиы 471
Беккерель 388
Бел 36
Биология радиационная 451
Бипризма Френеля 88
Бозоны 293
Бомба атомная 441
— водородная 445
Вектор волновой 15
— световой 83
Вектор Умова 18
Вектор Умова — Пойнтинга 56
Вещества радиоактивные 382
Взаимодействие сильное 467
— слабое 462, 468
— спин-орбитальное 301
— электромагнитное 468
— ядерное 366, 466
Вибратор Герца 60
Видеосигнал 64
Волна, амплитуда 12
комплексная 15
— бегущая 27
Волна гармоническая 12
— необыкновенная 146
— обыкновенная 146
—, объемная плотность энергии 16, 56
— одномерная 13
— опорная 121
— плоская 14
— поперечная 9, 53
— предметная 121
— продольная 9
, разрежения 38
, сгущения 38
— синусоидальная 12
—, скорость групповая 21
— — распространения энергии 17, 21
— стоячая 27
—• сферическая 19
—, фаза 13
—, частота 11, 54
— электромагнитная 52
, интенсивность 56
— — линейно-поляризованная (пло-
скополяризованная) 55
— , плоскость колебаний 55
поляризации 55
монохроматическая 54
плоская 54
— —, скорость фазовая 52
циркулярно-поляризованная 55
эллиптйчески-поляризованная
55
— электронная 243
Волны акустические 9
— гиперзвуковые 33
— де Бройля 243
— — —, вероятностный смысл 244
—, групповая скорость 243
, фазовая скорость 243
— звуковые 9
— иифразвуковые 33
— когерентные 25
Б02
Волны модулированные 63
— некогерентные 25
— ударные 48
— ультразвуковые 33
— упругие 9
Вращение плоскости поляризации света
162
магнитное 165
удельное 163
Время когерентности 86
— ядерное 419
Высота звука 35
Гармоника 37
Генераторы когерентного света 349
Гипероны 471
Гипотеза баллистическая Ритца 172
— квантовая Планка 210
— сокращения Лоренца — Фитцдже-
Фитцджеральда 173
Голограмма 121
— объемная 123
Голография 121
Громкость звука 35
Группа волн 20
Давление звуковое 34
—• — среднеквадратичное 35
— света 68, 230
— электромагнитной волны 57
Движение абсолютное 167
— свободной частицы в квантовой ме-
механике 256
Дебаеграмма 120
Дейтрон (дейтерон) 372
Демодуляция 63
Детерминизм механический 252
Дефект массы 368
Дефектоскоп ультразвуковой импуль-
импульсный 45
резонансный 45
теневой 45
Дефектоскопия гамма 399
— рентгеновская 322
— ультразвуковая 45
Диполь Герца 61
Дисперсия света 124
аномальная 125
вращательная 163
— —, классическая теория 127
— —, метод скрещенных призм 126
нормальная 125
— упругих волн 12
Дифракция нейтронов 241
— рентгеновских лучей 118
Дифракция света 104
, метод зон Френеля 105
— Фраунгофера 109
на дифракционной решетке 113
• , главные максимумы
114
Дифракция света на дифракционной
решетке, угловая ширина, 115
двумерной 116
трехмерной 117
круглом отверстии 113
одной щели 110
— Френеля 107
— на круглом диске 108
отверстии 107
— электронов 238
Дихроизм 152
Диэлектрическая проницаемость анизо-
тройной среды, главные значения 143
Длина волны 13
комптоновская 231
стоячей 29
— когерентности 86
— пробега нейтронов средняя 423
— пути оптическая 90
— связи молекулы 326
Доза излучения 399
Дозы излучения мощность 399
Единица длины астрономическая
(а. е. д.) 67
— массы атомная (а. е. м.) 358
— энергии атомная 367
Закон Бера 133
— Био 163
— Брюстера 79
— Бугера — Ламберта 133
— Бунзена — Роско 227
— Вавилова 347
-» взаимосвязи массы и энергии 198
— Гейгера — Нэттола 396
— Кирхгофа 204
для серых тел 205
— Малюса 154
— Мозли 321
— отражения волн 24
— преломления волн 24
— радиоактивного распада 385
— Рэлея 136
— сложения скоростей классический
166
релятивистский 186
— смещения Вина 207
— Снеллиуса 74
— сохранения импульса 193
массы 193
— Стефана — Больцмана 206
Замедлители нейтронов 423
Замирания 64
Заряд барионный (нуклонный, ядер-
ядерный) 471
, закон сохранения 471, 479
— лептонный 462
Захват радиационный 422
— электронный (е-захват, /(-захват)
414
503
Звук 33
— тональный (музыкальный) 36
Зеркала Френеля 86
Зоны Френеля 105
— энергетические в кристаллах 333
Излучатель массовый 61
Излучение Вавилова — Черепкова 138
— вынужденное (индуцированное) 305
, коэффициент Эйнштейна 306
— движущегося заряда 59
— диполя электрического 57
, полярная диаграмма нап-
направленности 58
— инфракрасное 70
— равновесное 200
— рентгеновское белое 318
— — тормозное 318
, граница сплошного спектра
318
характеристическое 319
, граница возбуждения 320
, закон Мозли 321
, классификация серий 320
— самопроизвольное (спонтанное) 303
, коэффициент Эйнштейна 304
— синхротронное 67
— тепловое 200
черное 203
— ультрафиолетовое 70
— электромагнитных волн 57
Изобары 359
Изотопы 358
— искусственнорадиоактивные 413
Изохромата 158
Индикаторы радиоактивные 449
нейтронные 424
Индикатриса оптическая 143
Интеграл кулоновский 330
— обменный 330
— перекрытия 330
Интенсивность звука 34
— электромагнитной волны 56
Интервал 184
— времениподобный 185
— пространственноподобиый 185
Интерференция волн 26
— многих волн 98
— поляризованного света 154
— света 82
• в тонких пленках 89
• , полосы равного нак-
наклона 92
равной толщины 93
, методы наблюдения 85
Интерферометр Жамена 95
— Линника 97
— Майкельсона 96
Ионосфера 63
Источники света 215
• , световая отдача 215
Источники света люминесцентные
348
Кабель коаксиальный 60
Кавитация 46
Кадр 64
Камера Вильсона 393
— ионизационная 391
— пузырьковая 394
Камертон 40
Каоны (К-мезоны) 470
«Катастрофа ультрафиолетовая» 210
Квазары 68
Квант энергии 211
Квантование пространственное 287
Керн нуклона 488
Кинескоп 65
Колебания нулевые 267
Кольца Ньютона 94
Конверсия внутренняя 7-лУчей 397
Константа Керра 160
Конфигурация электронная атома 297
Котел атомный 439
Коэффициент отражения света 79
— поглощения монохроматический
201
света 133
отрицательный 350
— размножения нейтронов 437
— упаковки ядра атома 368
— черноты тела 205
— Эйнштейна для вынужденного из-
излучения 306
поглощения света 306
спонтанного излучения 304
Кристалл анизотропный, связь D и Е
144
— двуосный 143
— одноосный 144
— —, оптически отрицательный 144
положительный 144
Курчатовий 435
Кюри 388
Лазер 349
Лампы дневного света 348
— накаливания 215
— ртутные 348
Лептоны 462
Ливень электронно-фотонный (кас-
(каскадный) 469
Линза звуковая 44
Линии (полосы) равного наклона 92
равной толщины 93
— спектральные, сверхтонкая струк-
структура 359
, тонкая структура 301
, уширение доплеровское 305
ударное 305
, ширина естественная 305
Локация ультразвуковая 44
504
Луч 74
— необыкновенный 147
— обыкновенный 146
Лучепреломление двойное 148
Лучи альфа 382, 394
— бета 382, 403
— гамма 382, 397
— инфракрасные 70
— космические 453
, компонента жесткая 455
мягкая 455, 469
первичные 454
— рентгеновские 70, 317
— ультразвуковые 44
— ультрафиолетовые 70
Люминесценция 344
Магнетон Бора 289
— ядерный 361
Мазер 349
Максимумы дифракционные 111
, ширина 112
— интерференционные главные 101
— — побочные 101
Масса критическая 437
— покоя 192
— приведенная 280
— релятивистская 192
—- —, закон сохранения 193
Массы изотопные 358
Мезоатом 459
Мезоны 457
Мерцание звезд 81
Метод Вильсона — Скобельцына 393
— Дебая — Шерера 120
— зон Френеля 105
— качающегося кристалла 119
— скрещенных призм 126
— толстослойных фотоэмульсий 394
— Юнга 88
Механика квантовая (волновая) 242
нерелятивистская 242
— классическая 166
— релятивистская 180
, закон взаимосвязи массы и
энергии 198
сохранения импульса 193
массы 193
, импульс тела 194
кинетическая энергия 195
масса тела 192
194
основное уравнение динамики
полная энергия 197
энергия покоя 198
Микроскоп голографический 123
Мираж 81
Молекула водорода, теория Гайтле-
ра—Лондона 329
Молекулы атомные (гомеополярные)
327, 328
Молекулы ионные (гетерополярные)
326, 327
Момент импульса электрона в атоме
орбитальный, правило квантования
284
— — , пространственное
квантование 287
■ полный 301
собственный (спин) 290
ядра атома (спин ядра) 360
— магнитный электрона в атоме орби-
орбитальный 287
— собственный 290
— — ядра атома 361
Мюоны (|х-мезоны) 458
Накачка усиливающей среды 352
Нанометр 69
Нейтрино мезонное 459
—, спиральность 484
— электронное 405
и мезонное, различие 486
Нейтрон 411
—, магнитный момент 362
—, масса покоя 366
—, спин 365
Нейтронография 241
Нейтронов размножение 430
, коэффициент 437
Нейтроны быстрые 422
— деления 430
— запаздывающие 430
— мгновенные (вторичные) 430
— медленные 422
— тепловые 432
Нептуний 427
Николь 151
Нильсборий 427
Номер порядковый элемента 295,
296, 358
Нуклоны 366
—, размеры и структура 487
Обертон 37
Оболочки электронные в атоме 296
, обозначения 296
Опалесценция критическая 138
Оператор Лапласа 22
Оптика нелинейная 219
— просветленная 91
Опыт By Цзяньсюн 475
— Иоффе и Добронравова 225
— Квинке 128
— Майкельсона 171
— Резерфорда (природа ос-лучей) 383
— Физо 169, 187
Опыты Айвса и Стилуэлла 191
— Белопольского 189
— Бибермана, Сушкина и Фабриканта
240
— Вавилова 226
505
Опыты Герца 60
— Дэвиссона и Джеркера 237
— Лебедева 68
— Лукирского и Прилежаева 220
— Резерфорда 269
— Столетова 216
— Тартаковского 239
— Томсона 239
— Франка и Герца 281
— Штерна 240
— Штерна и Герлаха 288
Осциллятор линейный гармонический
57
— — — в квантовой механике 265
Отношение гиромагнитное орбиталь-
орбитальное 287
спиновое 293
ядерное 361
Отражатель нейтронов 437
Отражение света диффузное (рассеян-
(рассеянное) 80
зеркальное 80
металлами 135
полное внутреннее 74, 128
Пакет волновой 20
Пара электронно-позитроиная 415
Параметр деления ядра 432
Переходы электронные разрешенные
300
Период 295
— полураспада 385
Пионы (и-мезоны) 375, 462
Пирометр излучения 213
— оптический 213
— радиационный 213
— с исчезающей нитью 214
Пирометрия оптическая 213
Плазма высокотемпературная 445
, неустойчивость 447
— низкотемпературная 445
Пластинка в полволны 157
целую волну 157
четверть волны 157
— зонная 108
Плоскость главная одноосного кристал-
кристалла 147
— колебаний 55
— поляризации 55
Плотность вероятности 246
Плутоний 427
Поверхность волновая 13
— лучевая необыкновенной волны 147
обыкновенной волны 147
Поглощение резонансное "^лучей 400
нейтронов 424
— света 133
металлами 135
отрицательное 350
Подоболочки (подгруппы) электрон-
электронные в атоме 296
Позитрон 413, 477
Показатель преломления абсолютный
74
анизотропной среды, главные
значения 145
одноосного кристалла для вол-
волны необыкновенной 146
— обыкновенной 146
— необыкновенного луча
147
— обыкновенного луча
146
относительный 74
Поле излучения 57
— электромагнитное 50
, волновое уравнение 51
— ядерное 375
Поляризатор 151
Поляриметр 163
— полутеневой 163
Поляроид 153
Порог болевого ощущения 35
— зрительного ощущения 226
— слышимости 35
Порядок дифракционного максимума
111, 114
— интерференционного максимума 87
Постоянная Верде 165
— Вина 208
— вращательная молекулы 339
— Коттона — Мутона 162
— Планка 211, 212
— радиоактивного распада 384
— Ридберга 274, 280
для водородоподобной системы
280
— силовая 340
— Стефана — Больцмана 206
■—■ тонкой структуры 468
— экранирования 321
— электродинамическая 52
Постулаты Бора 277
— специальной теории относительно-
относительности 173
Потенциал ионизации атома водорода
278
Потери энергии заряженной частицы
в веществе ионизационные 407
—. — — радиационные 407
Пояса радиационные околоземные 456
Правила отбора 300, 310, 340
— смещения при радиоактивном рас-
распаде 387
Правило Прево 202
— Стокса 346
Преобразование Галилея 166
— Лоренца 178
Призма Николя 151
Принцип Гюйгенса 23
— Гюйгенса — Френеля 104
— зарядового сопряжения 478
506
Принцип комбинационный Ритца
275
— относительности механический (Га-
(Галилея) 167
Эйнштейна 173, 174
— Паули 293
— соответствия Бора 260
— суперпозиции волн 20
Продолжительность жизни атома в
возбужденном состоянии 304
Прозрачность потенциального барьера
261, 262
Протон, заряд 358
—, магнитный момент 363
—, масса покоя 366
—, спии 360
—, электрический радиус 489
Процессы (переходы) виртуальные 375
Пульсары 68
Пучности стоячей волны 28
Пучок опорный 121
— предметный 121
Равновесие детальное 306
— радиоактивное 388
Радиоактивность естественная 382
бета 403
— искусственная (наведенная) 413
Радиоастрономия 67
Радиовещание 62
Радиоволны 62
Радиогалактики 68
Радиолокация 62
Радиорелейная линия 65
Радиоспектроскопия 315
Радиотелескоп 67
Размеры критические активной зоны
ядерного реактора 437
Разность хода геометрическая 26
оптическая 90
Распад альфа-радиоактивный 394
— Р_ -радиоактивный 403
— E+-радиоактивный 414
— радиоактивный 384
, закон 385
, период полураспада 385
, постоянная распада 384
, правила смещения 387
Рассеяние рентгеновских лучей коге-
когерентное 233
комптоновское 230
— света 135
в мутной среде 136
комбинационное 342
красные (стоксовы) спутники
342
фиолетовые (антистоксовы)
спутники 343
молекулярное 137
, тонкая структура спектра
138
Реактор ядерный 439
бридерный (воспроизводящий)
441
на быстрых нейтронах 441
медленных нейтронах 439
гетерогенный 439
гомогенный 439
Реакции термоядерные 443
, типы циклов 444
— фотохимические 226
, красная граница 227
, основной закон 227
, энергия активации 227
— ядерные 409, 419
деления 427, 433, 434
захвата 418, 424
цепные 436
, режим критический 438
надкритический 438
подкритический 438
самоподдерживающиеся 438
ускоряющиеся (развивающи-
(развивающиеся) 438
экзотермические 411
эндотермические, энергетиче-
энергетический порог 410
, эффективное поперечное сече-
сечение 419
Регистрация заряженных частиц 389
— нейтронов 424
Резерфорд 389
Резонанс акустический 37
— магнитный 314
— ферромагнитный 316
— электронный 314
парамагнитный 316
— ядерный магнитный (парамагнит-
(парамагнитный) 361
Резонансы (резонансные частицы)
г 486
^Резонатор акустический 40
Гельмгольца 37
Рентген 399
—, эквивалент биологический (бэр)
399
Рефрактометр интерференционный 97
Рефракция света 80
астрономическая 80
Земная 81
Решетка дифракционная (одномерная)
11о
двумерная 116
трехмерная (пространственная)
Сахариметр 163
Свет естественный (неполяризованный)
— частично поляризованный 85
Светимость энергетическая 204
, спектральная плотность 200
507
Связь ковалентная (гомеополярная)
327, 328
, свойство насыщения 328
— ионная (гетерополярная) 326
— химическая 324
Сдвиг химический при ЯМР 361
Семейства радиоактивные 387
Сенсибилизатор 227
Серия спектральная атома водорода
Бальмера 274
Брэкета 275
Лаймана 275
Пашена 275
Пфунда 275
Хэмфри 275
Сечение поперечное эффективное рас-
рассеяния 270
ядерной реакции 420
Сила звука 34
— осциллятора 132
Силы ядерные 371
, зарядовая независимость 372,
466
, насыщение 374
— —, обменный характер 375
, радиус действия 372
, теория Юкавы 375
Симметрия С 478
— СР 484
— Р 475
Сирена 42
Система водородоподобная 277, 284
, уровни энергии 280, 284
— излучающая 57
— отсчета абсолютная 167
инерциальная 166
— периодическая Менделеева 295
Скачок уплотнения 48
Скорость волны в анизотропной среде
лучевая 145
нормальная 145
— групповая 21, 125
— лучевая 44, 189
— необыкновенного луча 147
— обыкновенного луча 147*
— света в вакууме 73
, методы измерения 70
— ударной волны 49
— фазовая упругих волн 12
— поперечных 10
продольных 10
в газе 11
■ в тонком стержне 10
электромагнитных волн 52
Слой электронный атома 296
Соотношение неопределенностей Гей-
зенберга 248, 250
— Эйнштейна фотохимическое 227
Сопротивление волновое среды 28
тела 49
Состояние атома водорода основное
(нормальное) 278, 285
возбужденное 278
— инверсное (обращенное) 352
— электрона в атоме (обозначение в
зависимости от величины орбиталь-
орбитального квантового числа) 285
энергетическое стационарное
оОЗ
Спектр амплитуд 20
— дисперсионный (призматический)
124
— дифракционный 116
— линейчатый (дискретный) 20
— молекулы вращательный 336
колебательный 337
колебательно-вращательный 337
электронно-колебательный 337
— начальных фаз 20
— непрерывный (сплошной) 20
— частот 20
— энергии бета-излучения, верхняя
граница 404
Спектрограф дифракционный 116
— призменный 126
Спектрометр интерференционный 97
Спектроскоп дифракционный 116
— призменный 126
Спектры комбинационного рассеяния
(раман-спектры) 342
— молекулярные 335
, двухатомных молекул 338
— полосатые 335
Спин изотопический 467
, вектор 467
— —, закон сохранения 467
— —, проекция 467
— — —, закон сохранения 472
■— частицы полуцелый 293
целый 293
— электрона 290
— ядра атома 360
Способность испускательная 200
■ интегральная 204
— поглощательная 201
Среда мутная 136
— оптически активная 162
— — анизотропная, главные значения
диэлектрической проницаемости 143
направления 143
— — более плотная 74
изотропная 74
неоднородная 74
однородная 74
Сродство электронное 327
Стержни управляющие 440
Столкновения электронов с атомами не-
неупругие 281
— упругие 281
Стопа стеклянная 151
Странность частицы 473
50*
Странность частнцы закон сохране-
сохранения 473
Суперортикон 64
Счетчик пропорциональный 392
— сцинтилляционный 389
— торцовый 392
— Черенкова 390
Телевидение 62
Тело абсолютно черное 201
— зеркальное 205
— серое 204
Тембр звука 37
Температура радиационная 213
— цветовая 214
— яр костная 214
Теорема СРТ 485
Теория относительности специальная
173
, закон взаимосвязи массы и
энергии 198
— , закон сложения скоростей
186
—, изменение хода часов 182
, интервал 184
, объяснение годичной аберра-
аберрации света 187
опыта Физо 187
, парадокс часов 183
, постулаты 173
, преобразование Лоренца 178
, релятивистская динамика
192
, сокращение линейных раз-
размеров 181
— — —, энергия кинетическая 195
— , эффект Доплера в оптике
188
поперечный 190
Теплообмен путем излучения (радиаци-
(радиационный теплообмен) 202
Терм спектральный 275
— атома водорода 278
— — атомов щелочных металлов 300
Т-инвариантность 485
«Токамак» 448
Тон основной 37
— простой (чистый) 36
Труба органная 41
Тушение люминесценции 347
концентрационное 347
Угол астрономический рефракции 80
— Брюстера 78
— отражения 24
— падения 23
— предельный (критический) 74
— преломления 24
— скольжения 118
Узлы стоячей волны 28
Ультразвук 33, 43
Ультразвук, датчик магиитострик-
циоиный 44
— — пьезоэлектрический 44
—, излучатель магнитострикционный
44
■— — пьезоэлектрический 43
Ультрамикроскоп 137
Уравнение волновое 22
— синусоидальной волны одномерной
13
плоской 15
, экспоненциальная форма
записи 15
— . сферической 20
— Шредингера 253
стационарное 255
, собственные значения энер-
энергии 255
функции 255
— Эйнштейна для внешнего фотоэф-
фотоэффекта 219
Уровень громкости звука 36
— звукового давления 36
Уровни энергии линейного гармониче-
гармонического осциллятора 266
электрона в атоме водорода 278
в водородоподобной системе
280
в потенциальном «ящике»
259
двойные (дублетные) 302
Уровни энергии электрона тройные
(триплетные) 311
Условие Вульфа — Брэгга 118
— нормировки вероятностей 246
— оптической однородности кристал-
кристалла 120
— радиоактивного равновесия 388
Фаза электромагнитной волны отра-
отраженной 78
— преломленной 78
Фермионы 293
Флуоресценция 345
Фокус линзы побочный 92
Фон 36
Формула Вина 207
— де Бройля 237
— Лоренца — Лоренца 132
— Планка 211, 307, 308
— Резерфорда 270
— Рэлея — Джинса 209
Формулы Френеля 75
для р-волны 76
s-волны 77
Фосфоресценция 345
Фотоионизация 217
Фотолюминесценция 346
—, квантовый выход 347
—, энергетический выход 347
—, закон Вавилова 347
509
Фотон 218
—, импульс 229
—, масса 228
Фотоны виртуальные 375
Фотопроводимость 222
Фотосопротивление 224
Фототок 216
— насыщения 217
Фотоэлемент 224
— вакуумный 224
— вентильный 224
— газонаполненный 224
Фотоэффект вентильный (в запираю-
запирающем слое) 223
— внешний 217
, законы 218
, красная граница 218
— —, теория одноэлектронная 219
, уравнение Эйнштейна 219
— внутренний 222
Фронт волны 13
Функция волновая 245
антисимметричная 293
координатная 254, 293
симметричная 293
спиновая 293
— Кирхгофа 204
Химия радиационная 451
Хроиометризация системы отсчета 178
Цикл термоядерной реакции протонно-
протонный 444
углеродно-азотный (Бете) 444
Цуг волн 83
Частицы абсолютно (истинно) нейтраль-
нейтральные 476
— резонансные (резонансы) 486
— странные 472
— элементарные, таблица 460, 461
Частота модуляции 63
— несущая 63
Четность частицы 474
, закон сохранения 475
комбинированная 483
, закон сохранения 483
Число волновое 13
(для излучения .атома) 274
— зарядовое атомного ядра 358
— квантовое внутреннее 302
вращательное 338
главное 278, 285
колебательное 340
— — магнитное 288
полное 302
спиновое 292
орбитальное 284
радиальное 284
спиновое 291
— массовое атомного ядра 359
Ширина дифракционного максимума
112, 115
— интерференционной полосы 87
Ширина спектральной линии естест-
естественная 305
, уширение доплеровское 305
ударное 305
— уровня естественная 305
составного ядра 420
парциальная 420
Шкала электромагнитных волн 70
Шум 36
Электрон в потенциальном «ящике» 257
, квантование энергии
259
Электронография 240
Электроны валентные 296
— конверсии 397
— оптические 129
— отдачи 233
— эквивалентные 297
Элементы трансурановые 426
Эмиссия холодная 264
Энергия активации деления ядра 433
проводимости 222
фотохимического превращения
227
— волны упругой, вектор Умова 18
, объемная плотность 16
, плотность потока 18
, поток 17
электромагнитной, вектор Умо-
Умова — Пойнтинга 56
, объемная плотность 56
— диссоциации молекулы (энергия
связи) 326
— ионизации атома водорода 278
Энергия кинетическая 195
— нулевая линейного гармонического
осциллятора 267
молекулы 341
— покоя 198
— связи нуклона в ядре 367
— — системы 198
электрона в атоме водорода 278
'ядра атома 367
удельная 368
—, собственные значения 255
— тела полная 197
— черного излучения, спектральная
плотность 203
, формула Планка 307
Эталон Фабри — Перо 98
Эфир упругий 167
— электромагнитный 168
, коэффициент увлечения 170
, теория Герца 168
, теория Лоренца 169
Эффект Вавилова — Черенкова 139
510
Эффект восточно-западный 454
— Д»плера в акустике 33
оптике 188
— Зеемана аномальный (сложный) 313
нормальный (простой) 311
, поперечный 312
, я-компонента 311
, а-компонента ЗП
, продольный 312
— Керра 159
— Комптона 231
— Коттона — Мутона 162
— Мёссбауэра 402
— Ми 137
— Пашена — Бака 314
— радиометрический 69
— туннельный 261
— Фарадея 165
— широтный 454
Явление Мандельштама — Бриллюэна
138
— Тиндаля 136
Ядра атомов дважды магические 381
зеркальные 372
магические 381
нечетно-нечетные 366
Ядра нечетно-четные 366
четнв-нечетные 366
четнв-четные 366
Ядро атома, деление 428
, осколки деления 428
самопроизвольное 434
, энергия активации 429
, дефект массы 368
дочернее 384
, заряд 358
, капельная модель 378
, устойчивость ядра 380
, коэффициент упаковки 368
, магнитный момент 360
, масса 358
материнское 384
, оболочечная модель 380
, плотность ядерного вещества
377
, размеры 377
, спин 360
, состав 365
составное («компаунд») 418
, статистика 366
, электронно-протонная модель
364
, энергия связи 367
Ячейка Керра 159
Андрей Антонович Детлаф,
Борис Михайлович Яворский
курс физики
(В ТРЕХ ТОМАХ)
Том III
Волновые процессы. Оптика.
Атомная и ядерная физика
Заведующий редакцией литературы по физике и математике Е. С. Грндасом.
Редактор Г. Е. Перковская. Младшие редакторы Н. П. Майкова, С. А. Доров-
ских. Художественный редактор В, И. Пономаренко. Технический редактор
3. А. Муслимова. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 1643
Изд. № ФМ-619. Сдано в набор 19.03.79. Подп. в печать 0Т.09.Т9. Т-15760.
Формат 60х90'/1в. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 32 усл. печ. Л.+ форзац 0,125 усл. печ. л. Уч.-изд л. 33,62 + форзац
0,15 уч.-изд. л. Тираж 50 000 экз. Заказ № 3943. Цена I р. 20 к.
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглииная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государствеииом комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28