Author: Цыпкин А.Г. Пинский А.И.
Tags: математика учебные пособия и учебники по математике
ISBN: 5-94666 - 341-0
Year: 2007
Text
Москва
ОНИКС
Мир и Образование
200 7
А. Г. ЦЫПКИН, А. И . ПИНСКИЙ
СПРАВОЧНОЕ
ПОСОБИЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ
С МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
3-е издание, исправленное
УДК 51(075.3)
ББК 22.1я72
Ц97
Цыпкин А. Г .
Справочное пособие по математике с методами реше-
ния задач для поступающих в вузы / А. Г . Цыпкин,
А. И. Пинский. — 3-е изд., испр. — М.: ООО «Изда-
тельство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образова-
ние», 2007. — 640 с.: ил.
ISBN 5-488 -00721-0 (ООО «Издательс тво Оникс»)
ISBN 5-94666 - 341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
Данное справочное пособие включает все основные разде-
лы школьной программы по математике.
Книга содержит необходимые теоретические сведения и
методы решения задач, иллюстрируемые подробно разобран-
ными примерами. Упражнения для самостоятельного реше-
ния включают задачи, предлагавшиеся на вступительных эк-
заменах в вузы с повышенными требованиями к математи-
ческой подготовке абитуриентов. Приводятся ответы, указа-
ния или решения ко всем упражнениям.
Пособие адресовано учащимся старших классов, абитури-
ентам и учителям математики.
УДК 51(075.3)
ББК 22.1я72
ISBN 5-488 -00721-0
(ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 5-94666-341 -0
(ООО «Издательство «Мир и Образование»)
© Арманд Р. П., наследник, 2007
© Оформление переплета.
ООО «Издательство Оникс», 2007
Ц97
От издательства
Настоящее учебное пособие представляет собой третье,
переработанное и исправленное издание нии тех же
авторов (первые два издания под названием «Справочни
по методам решения задач по математие для средней
шолы» были выпущены в 1983 и 1989 .). Оно пред-
назначено для учащихся, желающих систематизировать,
улубить и расширить свои знания по математие, для
тоо чтобы лучше подотовиться выпусным эзаме-
нам в шоле и вступительным эзаменам в вуз.
Цель нии — изложить методы решения задач из
урса математии средней шолы, а таже тех задач,
оторым в шоле по тем или иным причинам не уде-
ляется должноо внимания.
Попытой достинуть этой цели и определяется стру-
тура нии. В начале аждоо парарафа рато изложен
теоретичесий материал (определения, основные теоремы
и формулы), знание отороо необходимо для решения
задач данноо раздела. Это позволяет использовать ни-
у, не прибеая дополнительно шольным учебниам.
Затем уазывается метод решения задач аоо-либо
вида и рассматривается пример, в отором используется
этот метод. После этоо приводятся упражнения для само-
стоятельноо решения (о всем упражнениям в онце
нии даны ответы, а неоторым — уазания или ре-
шения).
Таая форма изложения, по мнению авторов, наибо-
лее удобна для ативноо усвоения методов решения за-
дач. В ряде случаев при рассмотрении примеров дается,
возможно, не самое оротое и изящное решение. Это
объясняется прежде всео тем, что при решении примеров
авторы в первую очередь стремились дать налядное пред-
ставление о предложенном методе, а вовсе не о демон-
страции нестандартных подходов решению различных
4
От издательства
задач. Упражнения для самостоятельноо решения в ос-
новном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступи-
тельных эзаменах по математие в вузы с повышен-
ными требованиями математичесой подотове аби-
туриентов.
В ние таже содержится материал, выходящий за
рами ныне действующей прораммы по математие для
учащихся средних шол: например, уравнения и неравен-
ства, содержащие обратные трионометричесие фун-
ции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34
л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд
задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения
(§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода о-
ординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14).
Однао авторы полаают, что изучение этоо материала
будет способствовать развитию и повышению математи-
чесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу
при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный
дополнительный материал будет полезен учащимся шол,
лицеев и имназий, изучающих математиу по расши-
ренной прорамме.
Для удобства пользования ниой в ней приняты сле-
дующие обозначения: рядом с номерами тех упражне-
ний, оторым даны уазания или решения, ставятся
соответственно знаи и ; те же знаи ставятся и в он-
це нии перед уазаниями или решениями.
При подотове настоящео издания нии ее науч-
ное и литературное редатирование, переработу части
материала, проверу мноих решений и ответов, устра-
нение замеченных неточностей и опечато выполнил
А. М. Суходсий.
Издательство будет блаодарно всем, то пришлет
свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой
ниой.
Желаем вам успехов!
Глава 1
Преобразование
алгебраических выражений
При преобразованиях алебраичесих выражений исполь-
зуют формулы соращенноо умножения и правила действий
со степенями.
Формлы со
ращенноо множения
(a+b)(a–b)=a2–b2,(
1
)
(a2+ab+b2)(a–b)=a3–b3,(
2
)
(a2–ab+b2)(a+b)=a3+b3,
(3)
(a+b)2=a2+2ab+b2,(
4
)
(a–b)2=a2–2ab+b2,(
5
)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
(6)
(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3.(
7
)
Правила действий со степенями
Еслиa>0,то
am·an=am+n,(
8
)
(am)n = amn,(
9
)
a0=1,
(10)
am:an=am–n,(
1
1
)
=am/n, n−0,
(12)
a–n =
.
(13)
Еслиa>0,b>0,nÝN,то
=
,
(14)
=.
(15)
am
n
1
a---
n
ab
n
anb
n
a
b---n
an
bn--------
4
От издательства
задач. Упражнения для самостоятельноо решения в ос-
новном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступи-
тельных эзаменах по математие в вузы с повышен-
ными требованиями математичесой подотове аби-
туриентов.
В ние таже содержится материал, выходящий за
рами ныне действующей прораммы по математие для
учащихся средних шол: например, уравнения и неравен-
ства, содержащие обратные трионометричесие фун-
ции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34
л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд
задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения
(§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода о-
ординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14).
Однао авторы полаают, что изучение этоо материала
будет способствовать развитию и повышению математи-
чесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу
при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный
дополнительный материал будет полезен учащимся шол,
лицеев и имназий, изучающих математиу по расши-
ренной прорамме.
Для удобства пользования ниой в ней приняты сле-
дующие обозначения: рядом с номерами тех упражне-
ний, оторым даны уазания или решения, ставятся
соответственно знаи и ; те же знаи ставятся и в он-
це нии перед уазаниями или решениями.
При подотове настоящео издания нии ее науч-
ное и литературное редатирование, переработу части
материала, проверу мноих решений и ответов, устра-
нение замеченных неточностей и опечато выполнил
А. М. Суходсий.
Издательство будет блаодарно всем, то пришлет
свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой
ниой.
Желаем вам успехов!
Глава 1
Преобразование
алгебраических выражений
При преобразованиях алебраичесих выражений исполь-
зуют формулы соращенноо умножения и правила действий
со степенями.
Формлы со
ращенноо множения
(a+b)(a–b)=a2–b2,(
1
)
(a2+ab+b2)(a–b)=a3–b3,(
2
)
(a2–ab+b2)(a+b)=a3+b3,
(3)
(a+b)2=a2+2ab+b2,(
4
)
(a–b)2=a2–2ab+b2,(
5
)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
(6)
(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3.(
7
)
Правила действий со степенями
Еслиa>0,то
am·an=am+n,(
8
)
(am)n = amn,(
9
)
a0=1,
(10)
am:an
=a
m–n
,(
1
1
)
= am/n, n−0,
(12)
a–n
=
.
(13)
Еслиa>0,b>0,nÝN,то
=
,
(14)
=
.
(15)
am
n
1
a
---
n
ab
n
a
n
b
n
a
b
---
n
a
n
b
n
--------
6Г
л
а
в
а
1
.
Преобразование алгебраических выражений
Еслиa<0,b<0,n=2k,kÝN,то
=
,
(16)
=
.
(17)
Еслиn=2k+1,kÝN,то
=
,
(18)
=
,
b−0.
(19)
ЕслиnÝN,mÝN,то
=
.
(20)
§1.Упрощение
иррациональных выражений
Под упрощением иррациональноо выражения понимают
приведение ео виду, содержащему меньшее число алебраи-
чесих операций над входящими в исходное выражение пере-
ме нными.
Для упрощения иррациональноо выражения часто разла-
ают исходное выражение на множители, а затем выносят об-
щий множитель за соби.
П р и м е р 1. Упростить выражение
+
–
.
Решение. Выделим общий множитель в числителе и
знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо пред-
ставим числитель в виде
a
+b
= a3/2+b3/2=
+
.
Используя формулу (3), получаем
+
= (a1/2 + b1/2) (a – a1/2b1/2 + b).
ab
n
a
n
b
n
a
b
---
n
a
n
b
n
-----------
ab
n
a
n
b
n
a
b
---
n
a
n
b
n
--------
a2m
2n
am
n
aa bb
+
ab
+
()
ab
–
()
---------------------------------------------
2b
ab
+
---------------------
-
ab
ab
–
-------------
a
b
(a1/2)
3
(b1/2)
3
(a1/2)
3
(b1/2)
3
§ 1. Упрощение иррациональных выражений
7
Множитель a1/2 + b1/2 = + является общим для числи-
теля и знаменателя дроби. После ее соращения данное выра-
жение примет вид
+
–.
(*)
Приведя выражение (*) общему знаменателю, имеем
= =1.
Ответ. 1.
Упростите выражение:
1.
·.
2.
–
(ab)–1/2.
3.a
+b
.
4.
–
(y–1/2 – x–1/2).
5.( –
+
+
):
.
6.
.
7.
:
.
8.
:
.
ab
aa
b
–
b+
ab
–
------------------------------- 2 b
ab
+
---------------------- ab
ab
–-------------
aa
b
–
b2ab2b
–
ab
–
++
ab
–
------------------------------------------------------------------------------------- ab
–
ab
–-------------
xy
–
xy
–
---------------------- xy
–
xy
+
----------------------
–
xy
–
xy
–
---------------------- xy
+
xy
–
----------------------
+
---------------------------------------------------- 2 xy
yx
–
---------------
1
(a1/2 b1/2)
+2–
----------------------------------------
ab
–
a3/2 b3/2
–
----------------------------
1–
ab
+
2ba
----------------------
1–
ab
+
2ab
----------------------
1–
x1/2 y1/2
+
x1/2 y 1/2
–
----------------------------- x1/2 y 1/2
–
x1/2 y1/2
+
-----------------------------
(a4
b4)2–(a
4
b4)2–
ab
+
ab
–
----------------------
2
a1/m a1/n
–
()
2
4a mn
+
()
/mn
+
a2/m a2/n
–
()
am 1+
m
an 1+
n
+
()
------------------------------------------------------------------------------------------
1
a1–
----------------- a 1–
+
1
a1+
------------------ – 1
a1–
-----------------
-------------------------------------------
a1–
a1–
()
a1+a1+
()
a1–
–
---------------------------------------------------------------------------------
ab
+
()
24b
–
ab
–
()
:1
b--- +3 1
a---
--------------------------------------------------------- a 9 b 6 ab
++
1
b
------- 1
a
-------
+
---------------------------------------
6Г
л
а
в
а
1
.
Преобразование алгебраических выражений
Еслиa<0,b<0,n=2k,kÝN,то
=
,
(16)
=.
(17)
Еслиn=2k+1,kÝN,то
=
,
(18)
=,b−0.
(19)
ЕслиnÝN,mÝN,то
=
.
(20)
§1.Упрощение
иррациональных выражений
Под упрощением иррациональноо выражения понимают
приведение ео виду, содержащему меньшее число алебраи-
чесих операций над входящими в исходное выражение пере-
менными.
Для упрощения иррациональноо выражения часто разла-
ают исходное выражение на множители, а затем выносят об-
щий множитель за соби.
П р и м е р 1. Упростить выражение
+
–.
Решение. Выделим общий множитель в числителе и
знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо пред-
ставим числитель в виде
a +b =a3/2+b3/2=
+
.
Используя формулу (3), получаем
+
= (a1/2 + b1/2) (a – a1/2b1/2 + b).
ab
n
a
n
b
n
a
b---n
a
n
b
n
-----------
ab
n
anb
n
a
b---n
an
bn--------
a2m
2n
am
n
aa bb
+
ab
+
()
ab
–
()
--------------------------------------------- 2 b
ab
+
---------------------- ab
ab
–-------------
ab
(a1/2)
3
(b1/2)
3
(a1/2)
3
(b1/2)
3
§ 1. Упрощение иррациональных выражений
7
Множитель a1/2 + b1/2 =
+
является общим для числи-
теля и знаменателя дроби. После ее соращения данное выра-
жение примет вид
+
–
.
(*)
Приведя выражение (*) общему знаме нателю, имеем
=
=1.
Ответ. 1.
Упростите выражение:
1.
·
.
2.
–
(ab)–1/2.
3.a
+b
.
4.
–
(y–1/2 – x
–1/2).
5.(
–
+
+
):
.
6.
.
7.
:
.
8.
:
.
a
b
aa
b
–
b
+
ab
–
-------------------------------
2b
ab
+
---------------------
-
ab
ab
–
-------------
aa
b
–
b2ab2b
–
ab
–
++
ab
–
-------------------------------------------------------------------------------------
ab
–
ab
–
-------------
xy
–
xy
–
---------------------
-
xy
–
xy
+
----------------------
–
xy
–
xy
–
----------------------
xy
+
xy
–
----------------------
+
---------------------------------------------------
-
2xy
yx
–
---------------
1
(a1/2 b1/2)
+
2
–
---------------------------------------
-
ab
–
a3/2 b3/2
–
----------------------------
1
–
ab
+
2ba
---------------------
-
1
–
ab
+
2ab
---------------------
-
1
–
x1/2 y1/2
+
x1/2 y1/2
–
-----------------------------
x1/2 y 1/2
–
x1/2 y 1/2
+
-----------------------------
(a
4
b
4)
2
–
(a
4
b
4)
2
–
ab
+
ab
–
---------------------
-
2
a1/m a1/n
–
()
2
4a mn
+
()
/mn
+
a2/m a2/n
–
()
am1
+
m
an1
+
n
+
()
------------------------------------------------------------------------------------------
1
a1
–
-----------------
a1
–
+
1
a1
+
------------------
–
1
a1
–
-----------------
-------------------------------------------
a1
–
a1
–
()
a1
+
a1
+
()
a1
–
–
--------------------------------------------------------------------------------
-
ab
+
()
24b
–
ab
–
()
:
1
b
---
+3
1
a
---
---------------------------------------------------------
a9b6ab
++
1
b
-- -- ---
1
a
-------
+
---------------------------------------
8Г
л
а
в
а
1
.
Преобразование алгебраических выражений
9.
.
Инода выражения, содержащие произ ведение радиалов
с различными поазателями степени, удается упростить, при-
ведя все радиалы одному поазателю.
П р и м е р 2. Упростить выражение
·
.
Р е ше н и е. Преобразуем радиал
та:
=
=
=
=
.
Тода исходное выражение преобразуется следующим обра-
зом:
·
=
=
=
=
=
(при переходе последне му выражению зна модуля мож-
но опустить, та а исходное выражение определено тольо
приxl0).
Ответ..
При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что
по определению орень четной степени есть величина неотри-
цательная, в то время а орень нечетной степени может быть
а неотрицательной, та и отрицательной величиной.
П р и м е р 3. Упростить выражение
·
.
Решение.Таа
–
2 m 0 (в чем можно убедить-
ся, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед
21
1
4
---
1
t
---
t
–
2
+
1
1
4
---
1
t
---
t
–
2
+
1
2
---
1
t
---
t
–
–
---------------------------------------------------------------------------------------
-
x 743
+
()
4
2x 3x
–
2x 3x
–
2x 3x
–
2x 3x
–
()
2
4
4x 43x
–3
x
+
4
7x 43x
–
4
x 743
+
()
4
2x 3x
–
x2 743
+
()
743
–
()
4
x249 48
–
()
4
x2
4
x
x
x 743
+
()
6
3x2x
–
3
3x
x
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
9
приведением радиалов общему поазателю представим вто-
рой сомножитель в виде
=–
=–
.
Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео
примера:
·
=–
·
=
=–
=–.
Ответ.– .
Упростите выражение:
10.
·
.
11.
·
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
·
+
+
:
+1.
16.
.
§ 2. Преобразование выражений,
содержащих знак модуля
Преобразование выражений, в оторых наряду с арифмети-
чесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной ве-
личины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно
на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.
3x2x
–
3
2x 3x
–
3
2x 3x
–
()
2
6
x 743
+
()
6
3x2x
–
3
x 743
+
()
6
3x2x
–
()
2
6
x249 48
–
()
6
x3
x3
6x 526
+
()
4
32x 23x
–
4x1146
+
()
6
23x 42x
–
3
2p 1+
()
3
2p 1–
()
3
+
4p 24p2 1–
+
------------------------------------------------------------------
x2x2
–
+
3
1x2x2
–
–
6⋅
1x2
–
3
---------------------------------------------------------------------------------
26153
–
3
23
–
()
743
–
--------------------------------------------------------
1
2---20142
+
3
642
–
1
2---a3
+
()
a3a
–1
–
3
a1–
2a1+
()
---------------------------
2b2b24–
–
b24– b2+
()
–
---------------------------------------------
8Г
л
а
в
а
1
.
Преобразование алгебраических выражений
9.
.
Инода выражения, содержащие произведение радиалов
с различными поазателями степени, удается упростить, при-
ведя все радиалы одному поазателю.
П р и м е р 2. Упростить выражение
·
.
Р е ше н и е. Преобразуем радиал
та:
=
=
=
=
.
Тода исходное выражение преобразуется следующим обра-
зом:
·
=
=
=
==
(при переходе последнему выражению зна модуля мож-
но опустить, та а исходное выражение определено тольо
приxl0).
Ответ..
При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что
по определению орень четной степени есть величина неотри-
цательная, в то время а орень нечетной степени может быть
а неотрицательной, та и отрицательной величиной.
П р и м е р 3. Упростить выражение
·
.
Решение.Таа –2 m0(вчемможноубедить-
ся, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед
211
4--- 1
t--- t
–
2
+
11
4--- 1
t--- t
–
2
+
1
2--- 1
t--- t
–
–
----------------------------------------------------------------------------------------
x 743
+
()
4
2x 3x
–
2x 3x
–
2x 3x
–
2x 3x
–
()
2
4
4x 43x
–3
x
+
4
7x 43x
–
4
x 743
+
()
4
2x 3x
–
x2 743
+
()
743
–
()
4
x249 48
–
()
4
x2
4
x
x
x 743
+
()
6
3x2x
–
3
3xx
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
9
приведением радиалов общему поазателю представим вто-
рой сомножитель в виде
=–
=–
.
Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео
примера:
·
=–
·
=
=–
=–
.
Ответ.–
.
Упростите выражение:
10.
·
.
11.
·
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
·
+
+
:
+1.
16.
.
§ 2. Преобразование выражений,
содержащих знак модуля
Преобразование выражений, в оторых наряду с арифмети-
чесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной ве-
личины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно
на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.
3x2x
–
3
2x 3x
–
3
2x 3x
–
()
2
6
x 743
+
()
6
3x2x
–
3
x 743
+
()
6
3x2x
–
()
2
6
x249 48
–
()
6
x
3
x
3
6x 526
+
()
4
32x 23x
–
4x1146
+
()
6
23x 42x
–
3
2p1
+
()
3
2p1
–
()
3
+
4p 24p2 1
–
+
------------------------------------------------------------------
x
2x2
–
+
3
1x2x2
–
–
6
⋅
1x2
–
3
---------------------------------------------------------------------------------
26153
–
3
23
–
()
743
–
--------------------------------------------------------
1
2
---
20142
+
3
642
–
1
2
---
a3
+
()
a3a
–1
–
3
a1
–
2a1
+
()
---------------------------
2b2b24
–
–
b24
–
b2
+
()
–
---------------------------------------------
10
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
П р и м е р 1. Упростить выражение
.
Р е ше н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаме на-
теле:
=
=
=
.
(*)
Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим
.
(**)
Та а фунция, заданная выражением (**), определена
при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянст-
в а: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из
уазанных промежутов.
ПриxÝ(0;1)поопределениюмодуляимеем|x–1|=1 –x,
а выражение (**) примет вид
=
(1+x2–2)=
.
ПриxÝ(1;+×)поопределениюмодуляимеем|x–1|=x –1,
а выражение (**) примет вид
=
.
Ответ.При x Ý (0; 1) исходное выражение равно
,
априxÝ(1;+×)оноравно
.
x1
–
x
----------------
xx1
–2
2
x
---
–
++
x2
–
1
x
---
+
-----------------------------------------------------------------
-
x2
–
1
x
---
+
x2 2x
–1
+
x
-------------------------------
x1
–
()
2
x
---------------------
x1
–
x
----------------
x1
–
x
----------------
xx1
–2
2
x
---
–
++
x
x1
–
---------------------------------------------------------------------------------
x1x
–
()
1
x
---
x
2
x
---
–
+
1x
–
-----------------------------------------------------------
-
x
x
-------
x21
–
x
----------------
xx1
–
()
1
x
---
x
2
x
---
++
x1
–
------------------------------------------------------------
x23
+
x
----------------
-
x21
–
x
----------------
x23
+
x
-----------------
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
11
Упростите выражение и найдите область допустимых значе-
ний неизвестноо, если она не уазана:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
|x–3|.
8.
+
при0<a<b.
9.
+
·
+1.
10. (2a +
)
приa>0,b>0.
Упрощение выражений, содержащих полный
вадрат под
зна
ом ради
ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом
радиала находится полный вадрат неотороо выражения,
инода удобно сделать замену, рационализирующую это выра-
жение.
П р и м е р 2. Упростить выражение
–
.
(*)
Решение.Сделаемзаменуt=
.Тодаx= ,
а выражение (*) примет вид
–
=
–
=
=
–.
(**)
Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной
в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t
y5y42
3
4y9
3
++
y3 1–1
–
----------------------------------------------------
xx 3–
x2 x–6
–
()
x
--------------------------------------
xx3– x29–
+
2x3 3x2
–9
x
–
--------------------------------------------
2y5+y–25
y------
+
3y2 10y 25
–
+
---------------------------------------------
4x4x1–
++
x 2x2 x–1
–
------------------------------------------
z1–z⋅
z2 z–1z
–
+
--------------------------------------
x4 x3
– x–1
+
x3 5x2
–7
x3–
+
------------------------------------------------
a2 2ab
–
b2
+
a2 2ab b2
++
----------------------------------------- 2 a
ab
+-------------
11x–
+
1 x–1
x–
+
--------------------------------------- 11x
+
–
1x1x
+
–
+
---------------------------------------
2
x2 1–
2
----------------
2
a2 b2
–aa
2b2
–
–
x22x4–
+
x22x4–
–
2x 4–
t2 4+
2
---------------
t24t4
++
2
----------------------------- t2 4 t
–4
+
2
----------------------------- t 2+
()
2
2
--------------------
t2–
()
2
2
--------------------
t2+
2
---------------- t 2–
2
---------------
10
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
П р и м е р 1. Упростить выражение
.
Р е ше н и е. Преобразуем радиал, записанный в знамена-
теле:
=
=
=
.
(*)
Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим
.
(**)
Та а фунция, заданная выражением (**), определена
при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянст-
ва: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из
уазанных промежутов.
ПриxÝ(0;1)поопределениюмодуляимеем|x–1|=1–x,
а выражение (**) примет вид
= (1+x2–2)=
.
ПриxÝ(1;+×)поопределениюмодуляимеем|x–1|=x–1,
а выражение (**) примет вид
=
.
Ответ.Приx Ý (0; 1) исходное выражение равно
,
априxÝ(1;+×)оноравно
.
x1–
x
---------------- xx 1–22
x---–
++
x2–1
x---+
------------------------------------------------------------------
x2–1
x---+
x2 2x
–1
+
x
-------------------------------
x1–
()
2
x
--------------------- x 1–
x
----------------
x1–
x
---------------- xx 1–22
x---–
++
x
x1–
---------------------------------------------------------------------------------
x1 x–
()
1
x---x2
x---–
+
1x–
------------------------------------------------------------ x
x-------
x2 1–
x
----------------
xx 1–
()
1
x---x2
x---
++
x1–
------------------------------------------------------------ x2 3+
x
-----------------
x2 1–
x
----------------
x23
+
x
-----------------
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
11
Упростите выражение и найдите область допустимых значе-
ний неизвестноо, если она не уазана:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
|x–3|.
8.
+
при0<a<b.
9.
+
·
+1.
10. (2a +
)
приa>0,b>0.
Упрощение выражений, содержащих полный
вадрат под
зна
ом ради
ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом
радиала находится полный вадрат неотороо выражения,
инода удобно сделать замену, рационализирующую это выра-
жение.
П р и м е р 2. Упростить выражение
–
.
(*)
Решение.Сделаемзаменуt=
. Тодаx=
,
а выражение (*) примет вид
–
=
–
=
=
–
.
(**)
Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной
в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t
y5y42
3
4y9
3
++
y31
–1
–
----------------------------------------------------
xx3
–
x2x
–6
–
()
x
--------------------------------------
xx3
–
x29
–
+
2x3 3x2
–9
x
–
--------------------------------------------
2y5
+
y
–
25
y
------
+
3y2 10y 25
–
+
--------------------------------------------
-
4x4x1
–
++
x2x2 x
–1
–
------------------------------------------
z1
–
z
⋅
z2z
–1z
–
+
--------------------------------------
x4 x3
–
x
–1
+
x3 5x2
–7
x3
–
+
------------------------------------------------
a2 2ab
–
b2
+
a2 2ab b2
++
-----------------------------------------
2a
ab
+
-------------
11x
–
+
1x
–1
x
–
+
--------------------------------------
-
11x
+
–
1x1x
+
–
+
---------------------------------------
2
x21
–
2
----------------
2
a2 b2
–
aa
2b2
–
–
x22x4
–
+
x22x4
–
–
2x4
–
t24
+
2
---------------
t24t4
++
2
-----------------------------
t2 4t
–4
+
2
----------------------------
-
t2
+
()
2
2
--------------------
t2
–
()
2
2
--------------------
t2
+
2
---------------
-
t2
–
2
---------------
12
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
в ыражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×).
В аждом из них для выражения (**) получаем:
= –2, tÝ(–×;–2];
=t,
tÝ(–2;2];
= 2, tÝ(2;+×).
Чтобы возвратиться исходной переменной x, необходимо ре-
шить неравенства
m –2,
–2<
m2,
>2.
Их решениями являются соответственно следующие множества
значений:
3⁄4,2mxm4, x>4.
Ита, оончательно имеем
–
=
Ответ.При x Ý [2; 4] данное выражение равно
,
априxÝ(4;+×)оноравно2.
Упростите выражение:
11.
· (2x+
).
12.
:
–
x0,5
.
13.
.
14.
+
.
15.
–
.
t
–2
–
t2
–
+
2
-------------------------------------
t2t2
–
++
2
--------------------------------
t2t
–2
++
2
--------------------------------
2x4
–
2x4
–
2x4
–
x22x4
–
+
x22x4
–
–
,2
mxm4,
2,
x>4.
2x4
–
2x4
–
x1
–
x1
+
--------------
x1
+
x1
–
--------------
2
–
+
x21
–
x9
–
x 3x0,5 9
++
-----------------------------------
-
x0,5 3
+
x1,5 27
–
------------------------
0,5
1
x21
–
2x
----------------
2
+
x21
+
()
·
1
x
---
----------------------------------------
-
x6x2
–7
++x6x2
+7
+
–
x2x1
–
+
x2x1
–
–
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
13
16.
–.
17.(x+2
)–1/2+(x–2
)–1/2.
Вычисление значения иррациональноо выражения с ео
предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо
чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных
значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео
предварительно упростить.
П р и м е р 3. Вычислить значение выражения
–
при x=3.
Р е ше н и е. Упростим исходное выражение:
–
=
–
. (*)
Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 ; +×) знаопос-
тоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом
промежуте имеем
|x–2 |=x–2 и |x+2 |=x+2
и, следовательно, выражение (*) примет вид
–
=
. (**)
Подставив x = 3 в выражение (**), получим
–
=
=
1–
.
(***)
Умножим числитель и знаменатель дроби
на3+2 :
·
=
=
.
x2 12x
–3
6
+
x2
2x 4–
2x 4–
x22
–
x24x2
–8
+
-------------------------------------------
x22
+
x24x28
++
--------------------------------------------
x22
–
x22
–
()
2
---------------------------------
x22
+
x22
+
()
2
---------------------------------- x 22
–
()
1/2
x22
–
---------------------------------- x 22
+
()
1/2
x22
+
-----------------------------------
2
2
2
2
2
1
x22
–
()
1/2
----------------------------------
1
x22
+
()
1/2
----------------------------------- x 22
+
()
1/2x22
–
()
1/2
–
x2 8–
()
1/2
----------------------------------------------------------------------------
(3 2 2)1/2
+
(322)
– 1/2
(3 2 2)1/2
+
322
–
322
+
----------------------
1/2
322
–
322
+
----------------------
2
322
–
322
+
---------------------- 322
+
322
+
----------------------
98
–
322
+
()
2
------------------------------
1
322
+
()
2
------------------------------
12
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×).
В аждом из них для выражения (**) получаем:
=–2, tÝ(–×;–2];
=t, tÝ(–2;2];
=2, tÝ(2;+×).
Чтобы возвратиться исходной переменной x, необходимо ре-
шить неравенства
m–2, –2<
m2,
>2.
Их решениями являются соответственно следующие множества
значений:
3⁄4,2mxm4, x>4.
Ита, оончательно имеем
–
=
Ответ.Приx Ý [2; 4] данное выражение равно
,
априxÝ(4;+×)оноравно2.
Упростите выражение:
11.
·(2x+
).
12.
:
– x0,5.
13.
.
14.
+
.
15.
–
.
t–2
–t2–
+
2
-------------------------------------
t2t2–
++
2
--------------------------------
t2t–2
++
2
--------------------------------
2x 4–
2x 4–
2x 4–
x22x4–
+
x22x4–
–
,2mxm4,
2,
x>4.
2x 4–
2x 4–
x1–
x1+
-------------- x 1+
x 1–-------------- 2
–
+
x2 1–
x9–
x 3x0,5 9
++
------------------------------------ x0,5 3+
x1,5 27
–
------------------------
0,5
1x21–
2x
----------------
2
+
x2 1+
()
·1
x---
-----------------------------------------
x6x2–7
++x6x2+7
+
–
x2x1–
+
x2x1–
–
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
13
16.
–
.
17.(x+2
)–1/2+(x–2
)–1/2.
Вычисление значения иррациональноо выражения с ео
п редварительным прощением. В неоторых случаях для тоо
чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных
значениях входящих в нео переменных, целесообразно е о
предварительно упростить.
П р и м е р 3. Вычислить значение выражения
–
при x=3.
Р е ше н и е. Упростим исходное выражение:
–
=
–
.
(*)
Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 ; +×) знаопос-
тоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом
промежуте имеем
|x–2 |=x –2
и |x+2 |=x+2
и, следовательно, выражение (*) приме т вид
–
=
.
(**)
Подставив x = 3 в выражение (**), получим
–
=
=
1–
.
(***)
Умножим числитель и знаменатель дроби
на3+2 :
·
=
=
.
x2 12x
–3
6
+
x2
2x4
–
2x4
–
x22
–
x24x2
–8
+
-------------------------------------------
x22
+
x2 4x28
++
--------------------------------------------
x22
–
x22
–
()
2
---------------------------------
x22
+
x22
+
()
2
----------------------------------
x22
–
()
1/2
x22
–
----------------------------------
x22
+
()
1/2
x22
+
----------------------------------
-
2
2
2
2
2
1
x22
–
()
1/2
----------------------------------
1
x22
+
()
1/2
----------------------------------
-
x22
+
()
1/2x22
–
()
1/2
–
x28
–
()
1/2
----------------------------------------------------------------------------
(322)
1/2
+
(322)
–
1/2
(3 2 2)1/2
+
322
–
322
+
----------------------
1/2
322
–
322
+
----------------------
2
322
–
322
+
----------------------
322
+
322
+
----------------------
98
–
322
+
()
2
-----------------------------
-
1
322
+
()
2
-----------------------------
-
14
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Теперь с учетом равенства
= 3+2
вычислим зна-
чение выражения (***):
1–
=
(2+2 )=
=2·
=2·
=2.
Ответ.2.
Вычислите значе ние выражения при уазанном значении
не известноо:
18.
+
,
x=2.
19.
–
,
z=
.
20.
+
–
2,x=
.
21.
(x1/p + x1/q), x =
.
22.x3–3x–2
,
x=
+
.
23.
+
ç
ç1+2+
,
x=9, y=0,04.
24.
,
x=a
,
деa>0,m>0,n>0,m>n.
Упрощение числовых иррациональных выражений. В при-
мере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось
упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмот-
рим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобно-
о типа.
(1 2)2
+
2
(3 2 2)1/2
+
1
322
+
----------------------
322
+
()
1/2
322
+
----------------------------------
2
322
+
()
1/2
12
+
()
322
+
----------------------------------------------------------
12
+
()
12
+
()
12
+
()
2
----------------------------------------------
x
3
+
xx3
+
+
-------------------------------------
x
3
–
xx3
–
–
------------------------------------
1z
+
11z
+
+
----------------------------
1z
–
11z
–
–
---------------------------
3
2
-------
1x
+
x1
–
--------------
3
x1
–
1x
+
--------------
3
1/2
a31
+
a31
–
----------------
-
1
2
---
a2 b2
–
a2 b2
+
-------------------
ab
+
ab
–
-------------
2pq/ qp
–
()
A2B
+
A2B
–
------------------
AB
+
AB
–
-------------------
3
AB
–
AB
+
-------------------
3
x3y
4
xy3
4
–
yx
–
-------------------------------------
1xy
+
xy
4
----------------------
2
–
y
x
---
y
x
---
1/2
x2 a2
+
()
1/2
x2 a2
–
()
1/2
+
x2 a2
+
()
1/2 x2 a2
–
()
1/2
–
-----------------------------------------------------------------------
-
2
–
m2 n2
+
2mn
---------------------
-
1/2
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
15
Числовое иррациональное выражение удается упростить,
если под знаом вадратноо радиала находится полный
вадрат неотороо выражения. Например, для выражения
вида
упрощение достиается с помощью представ-
ления
=
=|ä|
,(
1
)
де x и y находятся а решение системы уравнений
(2)
Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что
=
,
т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид
Пример 4. Вычислить
·(5+2 ).
Р е ше н и е. Система (2) для выражения, находящеося
в числителе дроби, записывается в виде
и имеет решения (12; 18), (18, 12).
Следовательно, соласно формуле (1), получаем
=
=
.
Умножив числитель и знаменатель дроби
на
, имеем
=
=5–2 .
a2ä2b
a2ä2b
xäy
()
2
xy
x+y=a2,
xy=b2.
322
+
(1 2)2
+
x+y=3,
xy=2.
30126
–
23 32
+
--------------------------------
6
x+y=30,
xy=216
30126
–
18 12
–
32 23
–
32 23
–
23 32
+
------------------------------
32 23
–
32 23
–
()
2
18 12
–
------------------------------------- 30 12 6
–
6
----------------------------
6
14
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Теперь с учетом равенства
= 3 + 2 вычислим зна-
чение выражения (***):
1–
=
(2+2 )=
=2·
=2·
=2.
Ответ.2.
Вычислите значение выражения при уазанном значении
неизвестноо:
18.
+
, x=2.
19.
–
,z=.
20.
+
–2 ,x=
.
21.
(x1/p + x1/q), x =
.
22.x3–3x–2
,x=
+
.
23.
+
ç
ç1+2+
, x=9, y=0,04.
24.
, x=a
,
деa>0,m>0,n>0,m>n.
Упрощение числовых иррациональных выражений. В при-
мере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось
упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмот-
рим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобно-
о типа.
(1 2)2
+
2
(3 2 2)1/2
+
1
322
+
----------------------
322
+
()
1/2
322
+
----------------------------------
2
322
+
()
1/2
12
+
()
322
+
----------------------------------------------------------
12
+
()
12
+
()
12
+
()
2
----------------------------------------------
x3
+
xx3
+
+
-------------------------------------
x3
–
xx3
–
–
------------------------------------
1z+
11z+
+
----------------------------
1z–
11z–
–
---------------------------
3
2-------
1x+
x 1–--------------
3
x1–
1x
+
--------------
3
1/2
a3 1+
a3 1–
-----------------
1
2--- a2 b2
–
a2 b2
+
-------------------
ab
+
ab
–-------------
2pq/ qp
–
()
A2B
+
A2B
–
------------------
AB
+
AB
–
-------------------
3
AB
–
AB
+
-------------------
3
x3y
4
xy3
4
–
yx
–
------------------------------------- 1 xy
+
xy
4
----------------------
2–
y
x--- y
x---
1/2
x2a2
+
()
1/2 x2 a2
–
()
1/2
+
x2 a2
+
()
1/2 x2 a2
–
()
1/2
–
------------------------------------------------------------------------
2–
m2 n2
+
2mn
----------------------
1/2
§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля
15
Числовое иррациональное выражение удается упростить,
если под знаом вадратноо радиала находится полный
вадрат неотороо выражения. Например, для выражения
вида
упрощение достиается с помощью представ-
ления
=
=|ä|
,
(
1
)
де x и y находятся а решение системы уравнений
(2)
Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что
=
,
т. е . формулой (1), а система (2) при этом имела вид
Пример 4. Вычислить
· (5+2 ).
Р е ше н и е. Система (2) для выражения, находящеося
в числителе дроби, записывается в виде
и имеет реше ния (12; 18), (18, 12).
Следовательно, соласно формуле (1), получаем
=
=
.
Умножив числитель и знаме натель дроби
на
, имеем
=
=5–2
.
a2ä2b
a2ä2b
xäy
()
2
x
y
x+y=a2,
xy=b2.
322
+
(1 2)2
+
x+y=3,
xy=2.
30126
–
23 32
+
--------------------------------
6
x+y=30,
xy=216
30126
–
18 12
–
32 23
–
32 23
–
23 32
+
------------------------------
32 23
–
32 23
–
()
2
18 12
–
-------------------------------------
30126
–
6
----------------------------
6
16
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Перемножив 5 – 2
и 5 + 2 , оончательно находим
(5–2 )(5+2 )=25 –24 =1.
Ответ.1.
Вычислите значение выражения:
25.
.
26.
·
.
27.
–
.
28.
.
29.
–
.
§ 3. Доказательство тождеств
Непосредственная провер
а.
Пример 1. Доазать, что
(a+b+c)(bc+ca+ab)–abc=(b+c)(c+a)(a+b). (*)
Р е ше н и е. Расроем соби в левой части выражения (*)
и приведем подобные члены. Имеем
abc+b2c+bc2+a2c+abc+c2a+a2b+ab2+abc–abc=
= 2abc+b2c+bc2+a2c+c2a+a2b+b2a.
Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит та-
ому же выражению. Действительно,
abc+c2a+a2b+ab2+a2c+b2c+bc2+abc=
= 2abc+c2a+a2b+ab2+a2c+b2c+bc2.
Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух
в ыражений равно третьему, то эти выражения равны между
собой.
Доажите тождество:
1.(a2+b2)(x2+y2)=(ax–by)2+(bx+ay)2.
2.(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+t2)=
= (ax–by–cz
–
dt)2+(bx+ay–dz+ct)2+
+(cx+dy+az–bt)2+(dx–cy+bz+at)2.
6
6
6
6
821
2
+2
–
821
2
–2
+
--------------------------------------------
3
45
+
------------------
825
+
825
–
--------------------------
625
+
625
–
2a2a2b2
–
+
ab
–
–
2a2a2b2
–
–
ab
–
+
---------------------------------------------------------------------
-
6m 29m2 n2
–
+
6m 29m2 n2
–
–
§ 3. Доказательство тождеств
17
13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2.
14.(a+b+c+d)2+(a+b–c–d)2+(a+c–b–d)2+
+(a+d–b–c)2=4(a2+b2+c2+d2).
15.
:
–
=1.
16.
–
–
=
.
17.
=a+b+c.
18.
=.
19.
:
=x–1.
10.
+
=
.
Использование словия равенства двх мноочленов. Если
в левой и правой частях тождества находятся неоторые алеб-
раичесие выражения, оторые можно рассматривать а два
мноочлена одной и той же степени, то для доазательства та-
оо тождества можно использовать следующее свойство мно-
очленов. Два мно очлена n-й степени одной переменной x
равны (тождественно равны), если значения этих мно очле-
новсовпадаютприx=x1,x=x2,...,x=xn,x=xn+1, девсе
x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой
числа.
П р и м е р 2. Доазать тождество
+
+
= x2.
Р е ше н и е. Сравнивая значения левой и правой частей
при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значе-
ниях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая
части представляют собой мноочлены второй степени относи-
1
a1
b1
c---
+
-------------
+
------------------------ 1
a1
b---+
--------------
1
babcac
++
()
---------------------------------------
a3
+
2a 1–
-----------------
a2 5–
4a2 4a
–1
+
----------------------------------- 2 a3 a 15a
–
()
–1
–
8a3 12a2
–6
a1–
+
------------------------------------------------------- 2 a 1+
2a 1–
()
2
-------------------------
a2 cb
–
()
bc
------------------------ b2 ac
–
()
ac
------------------------ c2 ba
–
()
ab
------------------------
++
acb
–
()
bc
--------------------- ba c
–
()
ac
--------------------- cb a
–
()
ab
---------------------
++
---------------------------------------------------------------------------------------
ax
+
ax
–-------------- ax
–
ax
+--------------
–
ax
+
ax
–-------------- ax
–
ax
+--------------
+
-------------------------------------------- a
x---
x0,5 1+
xx0,5 1
++
-------------------------------- 1
x1,5 1–
--------------------
aa24–
a
----------------
+
aa24–
a
----------------
–
2a 4+
a4
----------------------
a2 xb
–
()
xc
–
()
ab
–
()
ac
–
()
------------------------------------------- b2 xc
–
()
xa
–
()
bc
–
()
ba
–
()
------------------------------------------- c2 xa
–
()
xb
–
()
ca
–
()
cb
–
()
-------------------------------------------
16
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Перемножив 5 – 2 и 5 + 2 , оончательно находим
(5–2 )(5+2 )=25–24=1.
Ответ.1.
Вычислите значение выражения:
25.
.
26.
·
.
27.
–
. 28.
.
29.
–
.
§ 3. Доказательство тождеств
Непосредственная провер
а.
Пример 1. Доазать,что
(a+b+c)(bc+ca+ab)–abc=(b+c)(c+a)(a+b). (*)
Р е ше н и е. Расроем соби в левой части выражения (*)
и приведем подобные члены. Имеем
abc+b2c+bc2+a2c+abc+c2a+a2b+ab2+abc–abc=
=2abc+b2c+bc2+a2c+c2a+a2b+b2a.
Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит та-
ому же выражению. Действительно,
abc+c2a+a2b+ab2+a2c+b2c+bc2+abc=
=2abc+c2a+a2b+ab2+a2c+b2c+bc2.
Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух
выражений равно третьему, то эти выражения равны между
собой.
Доажите тождество:
1.(a2+b2)(x2+y2)=(ax–by)2+(bx+ay)2.
2.(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+t2)=
=(ax–by–cz–dt)2+(bx+ay–dz+ct)2+
+(cx+dy+az–bt)2+(dx–cy+bz+at)2.
6
6
6
6
8212
+2
–
8212
–2
+
--------------------------------------------
3
45
+
------------------ 825
+
825
–
--------------------------
625
+
625
–
2a2a2b2
–
+
ab
–
–
2a2a2b2
–
–
ab
–
+
----------------------------------------------------------------------
6m 29m2 n2
–
+
6m 29m2 n2
–
–
§ 3. Доказательство тождеств
17
13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2.
14.(a+b+c+d)2+(a+b–c
–
d)2+(a+c–b
–
d)2 +
+(a+d–b
–
c)2=4(a2+b2+c2+d2).
15.
:
–
=1.
16.
–
–
=
.
17.
=a+b+c.
18.
=
.
19.
:
=x–1.
10.
+
=
.
Использование словия равенства двх мноочленов. Если
в левой и правой частях тождества находятся неоторые алеб-
раичесие выражения, оторые можно рассматривать а два
мноочлена одной и той же степени, то для доазательства та-
оо тождества можно использовать следующее свойство мно-
очленов. Два мно очлена n-й степени одной переменной x
равны (тождественно равны), если значения этих мно очле-
новсовпадаютприx=x1,x=x2,...,x=xn,x=xn+1, девсе
x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой
числа.
П р и м е р 2. Доазать тождество
+
+
= x2.
Р е ше н и е. Сравнивая значения левой и правой частей
при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значе-
ниях переменной мноочлены совпадают . Та а левая и правая
части представляют собой мноочлены второй сте пени относи-
1
a
1
b1
c
---
+
-------------
+
------------------------
1
a
1
b
---
+
--------------
1
babcac
++
()
---------------------------------------
a3
+
2a1
–
-----------------
a25
–
4a2 4a
–1
+
----------------------------------
-
2a3 a15
a
–
()
–1
–
8a3 12a2
–6
a1
–
+
-------------------------------------------------------
2a1
+
2a1
–
()
2
-------------------------
a2 cb
–
()
bc
------------------------
b2 ac
–
()
ac
------------------------
c2 ba
–
()
ab
------------------------
++
acb
–
()
bc
---------------------
bac
–
()
ac
---------------------
cba
–
()
ab
---------------------
++
---------------------------------------------------------------------------------------
ax
+
ax
–
--------------
ax
–
ax
+
--------------
–
ax
+
ax
–
--------------
ax
–
ax
+
--------------
+
--------------------------------------------
a
x
---
x0,5 1
+
xx
0,5 1
++
--------------------------------
1
x1,5 1
–
--------------------
a
a24
–
a
----------------
+
a
a24
–
a
----------------
–
2a4
+
a
4
----------------------
a2 xb
–
()
xc
–
()
ab
–
()
ac
–
()
-------------------------------------------
b2 xc
–
()
xa
–
()
bc
–
()
ba
–
()
-------------------------------------------
c2 xa
–
()
xb
–
()
ca
–
()
cb
–
()
-------------------------------------------
18
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях пе-
ременной, то эти мноочлены тождественно равны.
Доажите тождество:
11.
+
+
+
=
.
12.
+
+
=1.
13.
+
+
+
+
=
=
.
14.
+
+
+
=0.
15.
+
+
=
=
+
+
.
16.
+
+
=0.
К доазательству алебраичесих тождеств близо примы-
ают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых ра-
в енств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами,
что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы
упрощения алебраичесих выражений, см. § 1).
Однао существуют и специальные методы провери число-
вых равенств.
Пример 3. Доазать, что
+
=3.
Решение.Положим
x=
+
.
(*)
a
xa
–
()
ab
–
()
ac
–
()
-------------------------------------------------------
b
xb
–
()
ba
–
()
bc
–
()
------------------------------------------------------
c
xc
–
()
ca
–
()
cb
–
()
------------------------------------------------------
x
xb
–
()
xa
–
()
xc
–
()
-------------------------------------------------------
xb
–
()
xc
–
()
ab
–
()
ac
–
()
------------------------------------
xc
–
()
xa
–
()
bc
–
()
ba
–
()
-------------------------------------
xa
–
()
xb
–
()
ca
–
()
cb
–
()
-------------------------------------
bcd
++
ba
–
()
ca
–
()
da
–
()
xa
–
()
--------------------------------------------------------------------------
cda
++
cb
–
()
db
–
()
ab
–
()
xb
–
()
------------------------------------------------------------------------
-
dab
++
dc
–
()
ac
–
()
bc
–
()
xc
–
()
------------------------------------------------------------------------
abc
++
ad
–
()
bd
–
()
cd
–
()
xd
–
()
--------------------------------------------------------------------------
xa
–
b
–
c
–
d
–
xa
–
()
xb
–
()
xc
–
()
xd
–
()
--------------------------------------------------------------------------
-
ab
–
ab
+
-------------
bc
–
bc
+
------------
-
ca
–
ca
+
-------------
ab
–
()
bc
–
()
ca
–
()
ab
+
()
bc
+
()
ca
+
()
-------------------------------------------------------
bc
–
ab
–
()
ac
–
()
------------------------------------
ca
–
bc
–
()
ba
–
()
-----------------------------------
ab
–
ca
–
()
cb
–
()
-----------------------------------
2
ab
–
-------------
2
bc
–
------------
2
ca
–
------------
-
a2 bc
–
ab
+
()
ac
+
()
-------------------------------------
b2 ac
–
bc
+
()
ba
+
()
------------------------------------
c2 ab
–
ca
+
()
cb
+
()
------------------------------------
98
0
+
3
98
0
–
3
98
0
+
3
98
0
–
3
§ 4. Условные тождества
19
Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части по-
лученноо уравнения, имеем
(x–
)3=9– ,
x3–3x2
+ 3x()
2–9–
=9– ,
x3–3x2
+3x
= 18,
x3–3x
(x–
)=18.
(**)
Выражение x –
в силу соотношения (*) равно
, и, следовательно, уравнение (**) приводится виду
x3–3x
=18 _ x3–3x–18=0. (***)
Очевидно, что x =
+
является орнем
уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой
лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем урав-
нения (***). Друих действительных орней это уравнение не
имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать
в виде
x3–3x–18=(x–3)(x2+3x+6),
а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрица-
телен.
Ита, исходное равенство следует из существования единст-
венноо действительноо орня уравнения (*).
§ 4. Условные тождества
Тождества, справедливость оторых требуется установить
лишь при выполнении неоторых условий относительно входя-
щих в исходное тождество переменных, называют словными
тождествами.
Пример1.Доазать,чтоеслиa+b+c=0,то
a3+b3+c3=3abc.
Решение.Изусловияa+b+c=0получаемc3=–(a+b)3.
98
0
+
3
80
98
0
+
3
98
0
+
3
80
80
98
0
+
3
98
0
+
()
2
3
98
0
+
3
98
0
+
3
98
0
+
3
98
0
–
3
81 80
–
3
98
0
+
3
98
0
–
3
18
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях пе-
ременной, то эти мноочлены тождественно равны.
Доажите тождество:
11.
+
+
+
=
.
12.
+
+
=1.
13.
+
+
+
+
=
=
.
14.
+++
=0.
15.
+
+
=
=++.
16.
+
+
=0.
К доазательству алебраичесих тождеств близо примы-
ают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых ра-
венств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами,
что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы
упрощения алебраичесих выражений, см. § 1).
Однао существуют и специальные методы провери число-
вых равенств.
Пример 3. Доазать,что
+
=3.
Решение.Положим
x=
+
.
(*)
a
xa
–
()
ab
–
()
ac
–
()
-------------------------------------------------------
b
xb
–
()
ba
–
()
bc
–
()
------------------------------------------------------
c
xc
–
()
ca
–
()
cb
–
()
------------------------------------------------------
x
xb
–
()
xa
–
()
xc
–
()
-------------------------------------------------------
xb
–
()
xc
–
()
ab
–
()
ac
–
()
------------------------------------ xc
–
()
xa
–
()
bc
–
()
ba
–
()
------------------------------------- xa
–
()
xb
–
()
ca
–
()
cb
–
()
-------------------------------------
bcd
++
ba
–
()
ca
–
()
da
–
()
xa
–
()
--------------------------------------------------------------------------
cda
++
cb
–
()
db
–
()
ab
–
()
xb
–
()
-------------------------------------------------------------------------
dab
++
dc
–
()
ac
–
()
bc
–
()
xc
–
()
------------------------------------------------------------------------
abc
++
ad
–
()
bd
–
()
cd
–
()
xd
–
()
--------------------------------------------------------------------------
xa
–b–c–d–
xa
–
()
xb
–
()
xc
–
()
xd
–
()
---------------------------------------------------------------------------
ab
–
ab
+------------- bc
–
bc
+------------- ca
–
ca
+------------- ab
–
()
bc
–
()
ca
–
()
ab
+
()
bc
+
()
ca
+
()
-------------------------------------------------------
bc
–
ab
–
()
ac
–
()
------------------------------------
ca
–
bc
–
()
ba
–
()
-----------------------------------
ab
–
ca
–
()
cb
–
()
-----------------------------------
2
ab
–------------- 2
bc
–------------ 2
ca
–-------------
a2 bc
–
ab
+
()
ac
+
()
-------------------------------------
b2 ac
–
bc
+
()
ba
+
()
------------------------------------
c2 ab
–
ca
+
()
cb
+
()
------------------------------------
98
0
+
3
98
0
–
3
98
0
+
3
98
0
–
3
§ 4. Условные тождества
19
Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части по-
лученноо уравнения, имеем
(x–
)3=9 –
,
x3–3x2
+ 3x()
2–9
–
=9–
,
x3–3x2
+3x
= 18,
x3–3x
(x–
)=18.
(**)
Выражение x –
в силу соотношения (*) равно
, и, следовательно, уравнение (**) приводится виду
x3–3x
=18 _ x3–3x–18 =0.
(***)
Очевидно, что x =
+
является орнем
уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой
лео убедиться в том, что x = 3 таже является орне м урав-
нения (***). Друих действительных орней это уравнение не
име ет, та а убичесий мноо член (***) можно записать
в виде
x3–3x–18 =(x–3)(x2+3x+6),
а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрица-
телен.
Ита, исходное равенство следует из существования единст-
венноо действительноо орня уравнения (*).
§ 4. Условные тождества
Тождества, справедливость оторых требуется установить
лишь при выполнении неоторых условий относительно входя-
щих в исходное тождество переменных, называют словными
тождествами.
Пример1.Доазать,чтоеслиa+b+c=0,то
a3+b3+c3=3abc.
Решение. Изусловияa+b+c=0получаемc3= –(a+b)3.
98
0
+
3
80
98
0
+
3
98
0
+
3
80
80
98
0
+
3
98
0
+
()
2
3
98
0
+
3
98
0
+
3
98
0
+
3
98
0
–
3
81 80
–
3
98
0
+
3
98
0
–
3
20
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Используя тождество
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
имеем
c3= –a3–b3–3ab(a+b)
или, заменяя a + b на –c,
a3+b3+c3=3abc,
что и требовалось доазать.
1.Доажите,чтоеслиa+b+c=0,то
=
·
.
2. Поажите, что из раве нства
a2+b2+c2=ab+bc+ac
следует равенство a = b = c.
3. Доажите , что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то
(a+b+c)3=27abc.
4. Доажите, что если
++=1и
++=0,
то
+
+
=1.
5. Доажите, что если
+
=a,
то
x2/3 + y2/3 = a2/3.
6.Доажите,чтоеслиa+b+c=0,то:
а)(a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4);
б)2(a5+b5+c5)=5abc(a2+b2+c2);
в)5(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=6(a5+b5+c5).
a5b5c5
++
5
--------------------------------
a3b3c3
++
3
--------------------------------
a2b2c2
++
2
--------------------------------
x
a
---
y
b
---
z
c
--
-
a
x
---
b
y
---
c
z
--
-
x2
a2
------
y2
b2
------
z2
c2
-----
x2
x4y2
3
+
y2
x2y4
3
+
§ 4. Условные тождества
21
7. Доажите, что если − , то из системы уравнений
следует, что α2 + β2 = 0.
8.Доажите,чтоеслиx−y,y−z,z−xи
++=0,
то
+
+
=0.
9. Доажите, что если
+ +...+ =p2,
+ +...+ =q2, p−0, q−0,
a1b1+a2b2+...+anbn=pq,
то
a1=λb1,a2=λb2,...,an=λbn,деλ= .
10. Доажите, что если = , то
=.
11. Доажите, что если
=
=
,
то
==.
12. Доажите, что если
x=,y=,z=,
то
(1 + x)(1+y)(1+z) = (1 – x)(1–y)(1–z).
x1
x2
------ y1
y2
------
αx1+βx2=0,
αy1+βy2=0
x
yz
–------------ y
zx
–------------- z
xy
–-------------
x
yz
–
()
2
--------------------
y
zx
–
()
2
---------------------
z
xy
–
()
2
---------------------
a1
2a2
2
an
2
b1
2b2
2
bn
2
p
q---
a
b--- b
c---
a2 b2
+
b2 c2
+
------------------- a
c---
ay bx
–
c
--------------------- cx az
–
b
-------------------- bz cy
–
a
-------------------
x
a--- y
b--- z
c---
ab
–
ab
+-------------
bc
–
bc
+-------------
ca
–
ca
+-------------
20
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Используя тождество
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b),
имеем
c3=–a3–b3–3ab(a+b)
или, заменяя a + b на –c,
a3+b3+c3=3abc,
что и требовалось доазать.
1.Доажите,чтоеслиa+b+c=0,то
=
·
.
2. Поажите, что из равенства
a2+b2+c2=ab+bc+ac
следует равенство a = b = c.
3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то
(a+b+c)3=27abc.
4. Доажите, что если
++=1и++=0,
то
++=1.
5. Доажите, что если
+
=a,
то
x2/3 + y2/3 = a2/3.
6.Доажите,чтоеслиa+b+c=0,то:
а)(a2+b2+c2)2=2(a4+b4+c4);
б)2(a5+b5+c5)=5abc(a2+b2+c2);
в)5(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=6(a5+b5+c5).
a5b5c5
++
5
-------------------------------- a3 b3 c3
++
3
-------------------------------- a2 b2 c 2
++
2
--------------------------------
x
a--- y
b--- z
c---
a
x--- b
y--- c
z---
x2
a2------ y 2
b2------ z2
c2-----
x2 x4y2
3
+
y2 x2y4
3
+
§ 4. Условные тождества
21
7. Доажите, что если
− , то из системы уравнений
следует, что α2 + β2 = 0.
8.Доажите,чтоеслиx−y,y−z,z−xи
+
+
=0,
то
+
+
=0.
9. Доажите, что если
+
+...+
= p2,
+
+...+
= q2, p−0, q−0,
a1b1+a2b2+...+anbn=pq,
то
a1=λb1,a2=λb2,...,an=λbn,деλ=
.
10. Доажите, что если
=
,то
=
.
11. Доажите, что если
=
=
,
то
=
=
.
12. Доажите, что если
x=
,
y=
,
z=
,
то
(1 + x)(1+y)(1+z) = (1 – x)(1–y)(1–z).
x1
x2
------
y1
y2
-----
-
αx1+βx2=0,
αy1+βy2=0
x
yz
–
------------
y
zx
–
-------------
z
xy
–
-------------
x
yz
–
()
2
--------------------
y
zx
–
()
2
--------------------
-
z
xy
–
()
2
---------------------
a1
2
a2
2
an
2
b1
2
b2
2
bn
2
p
q
---
a
b
---
b
c
---
a2 b2
+
b2 c2
+
-------------------
a
c
---
ay bx
–
c
--------------------
-
cx az
–
b
--------------------
bz cy
–
a
-------------------
x
a
---
y
b
---
z
c
--
-
ab
–
ab
+
-------------
bc
–
bc
+
------------
-
ca
–
ca
+
-------------
22
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
§ 5. Преобразование
логарифмических выражений
Пусть a— положительное число, отличное от единицы, а
M— любое положительное число. Лоарифмом числа M по
основанию a называют таое число, обозначаемое loga M, что
=M.
Основные свойства лоарифмов
Пустьa>0,a−1,b>0,c>0,тодасправедливыследую-
щие раве нства:
loga (bc) = loga b + loga c,(
1
)
loga
= logab –logac,(
2
)
=
loga b,
(3)
logab =
, c−1,
(4)
logab =
,
b−1.
(5)
При тождественных преобразованиях лоарифмичесих
в ыражений используют формулы (1)—(5) и определение лоа-
рифма.
П р и м е р 1. Упростить выражение
.
Р е ше н и е. Соласно формуле (3), им еем
(log1/a
= (–loga
= (loga
,(
*
)
=
= loga
,
(**)
(a2–1)=
(a2 – 1)1/2 = loga
.
(***)
a
loga M
b
c
--
-
logap bq q
p
---
logc b
logc a
---------------
1
logb a
---------------
loga a2 1
–
log
1/a
2
a21
–
loga2 a2 1
–
()
log
a
3
a21
–
6
----------------------------------------------------------------------------
-
a21
–)
2
a21
–)
2
a21
–)
2
log
a
3
a21
–
6
log
a
3
()
3
a21
–
6
()
3
a21
–
loga2
log a2
()1/2
a21
–
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
23
Подставив правые части выражений (*)—(***) в исходную
дробь, находим
= loga
.
Ответ.loga
.
Пример 2. Вычислить
+
+
.
Р е ше н и е. Используя формулу (5), имеем
=
.
Далее, используя свойства степеней, получим
=
=
.
Но по определению лоарифма
= 5. Таим образом,
=54=625.
Аналоично,
=
=
=
=72=49,
=
=
=
= 216.
Сладывая найденные числа, получаем ответ.
Ответ.890.
Упростите выражение:
1.
.
2.
–
+
.
3.
:
.
4. log3 2log4 3log5 4log6 5log7 6log8 7.
5. log2 2x2 +
log2x+
+
.
6.
·
.
loga a2 1– loga
2a21–
loga a2 1– loga a2 1–
---------------------------------------------------------------------
a2 1–
a2 1–
811/log5 3 27log9 36 34/log7 9
811/log5 3 81log3 5
81log3 5 34()
log3 5 3log3 5
()
4
3log3 5
811/log5 3
34/log7 9 34log9 7 32()
2log9 7 9log9 7
()
2
27log9 36 27log3 6 33log3 6 3log3 6
()
3
811/log5 9 3
3/log 6 3
+
409
------------------------------------------------------ 7
()2/log25 7 125log25 6
–
()
a1 2/logb a
+
b 2alogab 1
+ blogba 1
+
ab1 2/loga b
+
2
log
2
4a
3log27 a2 1
+
()
3
2a
–
–
()
74log49 a a
–1
–
()
xlogx log2 x 1
+
()1
2--- log4
2 x2 2–3 log1/2 log2 x
loga b loga b
1
2--- logb a2
+
loga b logab b
–
---------------------------------------------------------------- logab b loga b
b2logb loga b 1
–
--------------------------------------
22
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
§ 5. Преобразование
логарифмических выражений
Пусть a— положительное число, отличное от единицы, а
M—любое положительное число. Лоарифмом числа M по
основанию a называют таое число, обозначаемое loga M, что
=M.
Основные свойства лоарифмов
Пустьa>0,a−1,b>0,c>0,тодасправедливыследую-
щие равенства:
loga (bc) = loga b + loga c,(
1
)
loga =logab–logac,(
2
)
= loga b,
(3)
logab= , c−1,
(4)
logab= , b−1.
(5)
При тождественных преобразованиях лоарифмичесих
выражений используют формулы (1)—(5) и определение лоа-
рифма.
П р и м е р 1. Упростить выражение
.
Р е ше н и е. Соласно формуле (3), имеем
(log1/a
= (–loga
= (loga
,(
*
)
=
= loga
, (**)
(a2–1)=
(a2 – 1)1/2 = loga
. (***)
aloga M
b
c---
logap bq q
p---
logc b
logc a
---------------
1
logb a
---------------
loga a2 1– log1/a
2 a21–
loga2 a2 1–
()
loga3 a21–
6
-----------------------------------------------------------------------------
a2 1–)2
a2 1–)2
a2 1–)2
loga3 a21–
6
log a3()
3 a21–
6()
3
a2 1–
loga2
log a2()
1/2
a2 1–
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
23
Подставив правые части выражений (*)—(***) в исходную
дробь, находим
= loga
.
Ответ.loga
.
Пример 2. Вычислить
+
+
.
Р е ше н и е. Используя формулу (5), имеем
=
.
Далее, используя свойства степеней, получим
=
=
.
Но по определению лоарифма
= 5 . Таим образом,
= 54=625.
Аналоично,
=
=
=
= 72=49,
=
=
=
= 216.
Сладывая найденные числа, получаем ответ.
Ответ.890.
Упростите выражение:
1.
.
2.
–
+
.
3.
:
.
4. log3 2log4 3log5 4log6 5log7 6log8 7.
5. log2 2x2 +
log2x+
+
.
6.
·
.
loga a2 1
–
log
a
2
a21
–
loga a2 1
–
log
aa21
–
---------------------------------------------------------------------
a21
–
a21
–
811/log5 3
27log9 36
34/log7 9
811/log5 3
81log3 5
81log3 5
34
()log 3 5
3log3 5
()
4
3log3 5
811/log5 3
34/log7 9
3 4log9 7
32
()2log9 7
9log9 7
()
2
27log9 36
27log3 6
3 3log3 6
3log3 6
()
3
811/log5 9
3
3/log
6
3
+
409
------------------------------------------------------
7
()2/log25 7
125log25 6
–
()
a
1 2/logb a
+
b2a
logab 1
+
blogb a 1
+
ab
1 2/loga b
+
2
log
2
4
a
3log27 a2 1
+
()
3
2a
–
–
()
74log49 a
a
–1
–
()
x
logx log2 x 1
+
()1
2
---
log4
2
x2
2–3 log1/2 log2 x
loga b loga b
1
2
---
logb a2
+
loga b logab b
–
---------------------------------------------------------------
-
logab b loga b
b2logb loga b
1
–
--------------------------------------
24
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
17.
+
+ log0,5
.
Связь между лоарифмами состав ных чисел обычно удается
установить, используя лоарифмы их простых сомножителей.
Пример 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a,
lg3=b.
Решен ие. Представим log308 в виде
log30 8 =
.
Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся
свойствами лоарифмов; тода получим
log30 8 =
.
Учитывая, что
lg2=lg
= 1 –lg5,
и используя условие, оончательно находим
log30 8 =
.
Ответ..
18. Вычислите без помощи таблиц
–
.
19.Зная, что lg2 = a, log27 =b, найдите lg56.
10.Зная,чтоlg3=a,lg2 =b,найдитеlog56.
11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите
log3 12.
12. Зная, что b =
иc=
, выразите
log8 a через log8 c.
13.Известно,чтоlogax=α,logbx=β,logcx=γ,logdx=δ;
x − 1. Найдите logabcd x.
Для доазательства тождественности двух лоарифмиче-
сих выражений при выполнении неоторых условий инода
удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их про-
лоарифмировать.
5log 0,2 0,5
log
2
4
73
+
----------------------
1
10221
+
-----------------------------
lg8
lg 30
-------------
3lg2
lg5 lg3 lg2
++
-------------------------------------------
-
10
5
------
31a
–
()
b1
+
----------------------
31a
–
()
b1
+
----------------------
log3 135
log15 3
-----------------------
log3 5
log405 3
---------------------
81/1 log8a
–
()81/1 log8b
–
()
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
25
Пример4.Доазать,что
lg = (lga+lgb),
(*)
еслиa2+b2=7ab,a>0,b>0.
Р е ше н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив
в ео левой части полный вадрат:
a2+b2+2ab=9ab,
т. е.
(a+b)2=9ab.
Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя
подобные члены, получаем
2lg(a+b)–2lg3=lga+lgb.
Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя форму-
лу (2), получаем требуемое соотношение (*).
14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства
x2 + 4y2 = 12xy следует равенство
lg(x+2y)–2lg2= (lgx+lgy).
15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то
loga+bm+loga–bm=2loga+bm·loga–bm.
16. Доажите, что если a, b, c—последовательные (поло-
жительные) члены еометричесой прорессии, то
=
.
17. Доажите, что если
= c2, то для любоо поло-
жительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя по-
следовательными членами арифметичесой прорессии.
При доазательстве тождеств обычно используют те же прие-
мы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных
выражений.
Пример 5. Доазать,что
logp logp
=–n
приp>1.
ab
+
3------------- 1
2---
1
2---
loga N logb N
–
logb N logc N
–
------------------------------------------ loga N
logc N
-----------------
ac
()loga b
... pp
p
p
n радиалов
24
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
17.
+
+ log0,5
.
Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается
установить, используя лоарифмы их простых сомножителей.
Пример 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a,
lg3=b.
Решение. Представимlog308ввиде
log308= .
Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся
свойствами лоарифмов; тода получим
log30 8 =
.
Учитывая, что
lg2=lg =1–lg5,
и используя условие, оончательно находим
log30 8 =
.
Ответ..
18. Вычислите без помощи таблиц
–
.
19.Зная,чтоlg2=a,log27=b,найдитеlg56.
10.Зная,чтоlg3=a,lg2=b,найдитеlog56.
11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите
log3 12.
12. Зная, что b =
иc=
, выразите
log8 a через log8 c.
13. Известно,чтоlogax=α,logbx=β,logcx=γ,logdx=δ;
x − 1. Найдите logabcd x.
Для доазательства тождественности двух лоарифмиче-
сих выражений при выполнении неоторых условий инода
удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их про-
лоарифмировать.
5log0,2 0,5 log 2
4
73
+
----------------------
1
10221
+
-----------------------------
lg8
lg 30
-------------
3lg2
lg5 lg3 lg2
++
--------------------------------------------
10
5------
31 a–
()
b1+
----------------------
31 a–
()
b1+
----------------------
log3 135
log15 3
----------------------- log3 5
log405 3
---------------------
81/1 log8a
–
() 81/1 log8b
–
()
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
25
Пример4.Доазать,что
lg
=
(lga+lgb),
(*)
еслиa2+b2=7ab,a>0,b>0.
Р е ше н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив
в ео левой части полный вадрат:
a2+b2+2ab=9ab,
т. е.
(a+b)2=9ab.
Лоарифмируя последнее раве нство по основанию 10 и приводя
подобные члены, получаем
2lg(a+b)–2lg3 =lga+lgb.
Разделив обе части этоо равенст ва на 2 и используя форму-
лу (2), получаем требуемое соотношение (*).
14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства
x2 + 4y2 = 12xy следует равенство
lg(x+2y)–2lg2 = (lgx+lgy).
15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то
loga+bm+loga–bm=2loga+bm·loga–bm.
16. Доажите, что если a, b, c— последовательные (поло-
жительные) члены еометричесой прорессии, то
=
.
17. Доажите, что если
= c2, то для любоо поло-
жительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя по-
следовательными членами арифметичесой прорессии.
При доазательстве тождеств обычно используют те же прие-
мы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных
выражений.
Пример 5. Доазать, что
logp logp
=–n
приp>1.
ab
+
3
-------------
1
2
---
1
2
---
loga N logb N
–
logb N logc N
–
-----------------------------------------
-
loga N
logc N
-----------------
ac
()log a b
...
p
p
p
p
n радиалов
26
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Р е ше н и е. Преобразуем иррациональное выражение, за-
писанное под вторым знаом лоарифма:
=
.
Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем
=
,
logp
= –n.
Таим образом, исходное тождество доазано.
18. Доажите, что для любых допустимых положительных
чисел a и N имеет место равенство
+
+
+
= 10 logNa.
19. Доажите, что
2–
=
=
20. Доажите, что
logaNlogbN+logbNlogcN+logcNlogaN =
=
.
21. Доажите тождество
loga/b x =
.
При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно
пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств.
Если основания лоарифмов одинаов ы, то
приa>1:
0<b<с _ logab<logac,
(6)
при0<a<1:
0<b<c _ logab>logac.(
7
)
...
p
p
p
p
n радиалов
p1/pn
logp p1/pn
1
pn
------
1
pn
------
1
loga N
-----------------
1
loga2 N
-------------------
-
1
loga3 N
-------------------
-
1
loga4 N
--------------------
loga ab
4
logb ab
4
+
loga
b
a
---
4
logb
a
b
---
4
+
loga b
2,
1<amb,
2loga b,1<b < a.
logaNlogbNlogcN
log abc N
--------------------------------------------------------
loga x logb x
logb x loga x
–
---------------------------------------
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
27
Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются,
иa>1,b>1или0<a<1и0<b<1,то
приc>1:
logac<logbc _ a>b,(
8
)
при0<c<1:
logac<logbc _ b>a.(
9
)
П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что
больше: log8 9 или log7 8.
Р е ше н и е. Представим исследуемые лоарифмы в сле-
дующем виде:
log89=log8(8+1)=1+log8 1+ ,
log78=log7(7+1)=1+log7 1+ .
В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства
log8 1+ <log7 1+ <log7 1+ .
Таим образом,
log89<log78.
Не пользуясь таблицами, доажите неравенство:
22. log375<log222.
23. log370<log220.
24.
>1.
25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справед-
ливо неравенство
logN(N+1)<logN–1N.
1
8---
1
7---
1
8---
1
8---
1
7---
loglog3 2
1
2---
26
Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений
Р е ше н и е. Преобразуем иррациональное выражение, за-
писанное под вторым знаом лоарифма:
=.
Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем
= , logp =–n.
Таим образом, исходное тождество доазано.
18. Доажите, что для любых допустимых положительных
чисел a и N имеет место равенство
+
+
+
=10logNa.
19. Доажите, что
2–
=
=
20. Доажите, что
logaNlogbN+logbNlogcN+logcNlogaN=
=
.
21. Доажите тождество
loga/b x =
.
При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно
пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств.
Если основания лоарифмов одинаовы, то
приa>1:
0<b<с _ logab<logac,
(6)
при0<a<1:
0<b<c _ logab>logac.(
7
)
... pp
p
p
n радиалов
p1/pn
logp p1/pn 1
pn------
1
pn------
1
loga N
-----------------
1
loga2 N
--------------------
1
loga3 N
--------------------
1
loga4 N
--------------------
loga ab
4
logb ab
4
+
loga
b
a---4 logb
a
b---4
+
loga b
2,
1<amb,
2loga b,1<b < a.
logaNlogbNlogcN
logabc N
--------------------------------------------------------
loga x logb x
logb x loga x
–
---------------------------------------
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
27
Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются,
иa>1,b>1или0<a<1и0<b<1,то
приc>1:
logac<logbc _ a>b,(
8
)
при0<c<1:
logac<logbc _ b>a.(
9
)
П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что
больше: log8 9 или log7 8.
Р е ше н и е. Представим исследуемые лоарифмы в сле-
дующем виде:
log89=log8(8+1)=1+log8 1+
,
log78=log7(7+1)=1+log7 1+
.
В силу соотноше ний (8) и (6) справедливы неравенства
log8 1+
<log7 1+
<log7 1+
.
Таим образом,
log89 <log78.
Не пользуясь таблицами, доажите неравенство:
22.log375<log222.
23. log370<log220.
24.
>1.
25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справед-
ливо неравенство
logN(N+1)<logN–1N.
1
8
---
1
7
---
1
8
---
1
8
---
1
7
---
loglog3 2
1
2
---
Глава 2
Уравнения
В алебре рассматривают два вида равенств — тождества
и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняет-
ся при всех (допустимых) значениях входящих в нео був.
Для записи тождества наряду со знаом = таже используется
зна Þ.
Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь
при неоторых зна чения х входящих в нео був. Бувы, вхо-
дящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравно-
правными: одни моут принимать все свои допустимые значе-
ния, и их называют оэффициентами (реже параметрами)
равнения; друие, значе ния оторых требуется отысать, на-
зывают не известными* (их обычно обозначают последними
бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами,
снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk).
В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., x
n
можно записать та:
F(x1, x2, ..., x
n
)=0,
де F(x1, x2, ..., x
n
) — фунция уазанных переменных. В за-
в исимости от числа неизвестных уравнение называют уравне-
нием с одним, двумя и более неизвестными.
Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождест-
во, называют решениями (или орнями) равнения. Уравне-
ние считается реше нным, если найдены все ео решения или
поазано, что уравнение решений не имеет.
Если все решения уравнения F = 0 являются решениями
уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следст-
вие уравнения F = 0, и пишут
F=0 ^ G=0.
Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными,
если аждое из них является следствием друоо, и пишу т
F=0 _G=0.
* Если специально не о
оворено, то считается, что неизвестные
принимают действительные значения.
§ 6. Нахождение корней многочленов
29
Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными,
если множества решений этих уравнений совпадают.
Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или не-
сольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней
уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней
уравнений F1 = 0, F2 = 0.
Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений.
1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рас-
сматриваемому на множестве допустимых значений исходноо
уравнения.
2. Уравнение = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рас-
сматриваемому на множестве допустимых значений исходноо
уравнения.
3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и
G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве до-
пустимых значений исходноо уравнения.
4. Уравнение = 0 эвивалентно уравнению F = 0.
5. Уравнение = при нечетном n эвивалентно урав-
нению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям:
F=GиF=–G.
Алебраичесим равнением с одним неизвестным на-
зывают уравнение, сводящееся уравнению вида
a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an–1x+an=0,
де n—целое неотрицательное число; оэффициенты мноо-
члена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или
параметрами) равнения и считают заданными; x называет-
ся неизвестным и является исомым. Число n называют сте-
пенью уравнения.
Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое урав-
нение в тождество, называют орнями (или решениями) алеб-
раичесоо уравнения.
§ 6. Нахождение корней многочленов
Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно пере-
менной величины x называют выражение вида
P(x)=a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an–1x+an,
F
G----
Fn
Fn Gn
Глава 2
Уравнения
В алебре рассматривают два вида равенств — тождества
и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняет-
ся при всех (допустимых) значениях входящих в нео був.
Для записи тождества наряду со знаом = таже используется
зна Þ.
Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь
при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, вхо-
дящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравно-
правными: одни моут принимать все свои допустимые значе-
ния, и их называют оэффициентами (реже параметрами)
равнения; друие, значения оторых требуется отысать, на-
зывают неизвестными* (их обычно обозначают последними
бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами,
снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk).
В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn
можно записать та:
F(x1, x2, ..., xn) = 0,
де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В за-
висимости от числа неизвестных уравнение называют уравне-
нием с одним, двумя и более неизвестными.
Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождест-
во, называют решениями (или орнями) равнения. Уравне-
ние считается решенным, если найдены все ео решения или
поазано, что уравнение решений не имеет.
Если все решения уравнения F = 0 являются решениями
уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следст-
вие уравнения F = 0, и пишут
F=0 ^ G=0.
Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными,
если аждое из них является следствием друоо, и пишут
F=0 _ G=0.
* Если специально не о
оворено, то считается, что неизвестные
принимают действительные значения.
§ 6. Нахождение корней многочленов
29
Таим образом, два уравне ния считаются эвивалентными,
если множества решений этих уравне ний совпадают.
Уравне ние F = 0 считают эвивалентным двум (или не-
сольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней
уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней
уравнений F1 = 0, F2 = 0.
Приведем примеры эвивалентности неоторых уравне ний.
1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рас-
сматриваемому на множестве допустимых значений исходноо
уравнения.
2. Уравнение
= 0 эвивалентно уравнению F = 0, рас-
сматриваемому на множестве допустимых значений исходноо
уравнения.
3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и
G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве до-
пустимых значений исходноо уравнения.
4. Уравнение
= 0 эвивалентно уравнению F = 0.
5. Уравне ние
=
при нечет ном n эвивалентно урав-
нению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям:
F=GиF=–G.
Алебраичесим равнением с одним неизвестным на-
зывают уравне ние, сводящееся уравне нию вида
a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an–1x+an=0,
де n— целое неотрицательное число; оэффицие нты мноо-
члена a0, a1, a2, ..., an – 1
, an называют оэффициентами (или
параметрами) равнения и считают заданными; x называет-
ся неизвестным и является исомым. Число n называют сте-
пенью уравнения.
Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое урав-
нение в тождество, называют орнями (или решениями) алеб-
раичесоо уравнения.
§ 6. Нахождение корней многочленов
Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно пере-
менной величины x называют выражение вида
P(x)=a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an–1x+an,
F
G
-- --
F
n
F
n
Gn
30
Глава 2. Уравнения
де n—целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1
,an—
оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называе-
мый старшим оэффициентом, считается не равным нулю.
Мноочлен первой степени называют таже линейным мно-
очленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноо-
член третьей сте пени — бичесим мноочленом.
Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0 .
Уравне ние вида
ax+b=0, a−0,
(1)
называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет
единственный орень x = –
.
Уравне ние вида
ax2+bx+c=0, a−0,
(2)
называют вадратным равнением. Выражение b2 – 4ac = D
называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если
D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня:
x1=
,
x2=
.
(3)
Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-
рень ратности 2: x = –
. Если D < 0, то уравнение (2) дейст-
в ительных орней не имеет.
Метод введения вспомоательноо неизвес тноо. Решение
мноих уравнений залючается в сведении их уравнениям
в ида (1) или (2). Одним из таих способов является введение
вспомоательноо неизвестноо.
Пример 1.Решитьуравнение
–
+1=0.
Решение.Полааяy=
, запишем исходное урав-
не ние в виде
–
y+1=0.
(*)
С помощью несложных преобразова ний сведем уравнение (*)
виду
y2–3y+2=0.
(**)
b
a
---
b
–
D
+
2a
------------------------
b
–
D
–
2a
-----------------------
b
2a
-------
(x2 2x)
2
–(
x 1)2
–
(x 1)2
–
(y 1)2
–
§ 6. Нахождение корней многочленов
31
Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное урав-
нение эвивалентно двум вадратным уравнениям
=1и
=2,
орниоторыхx1=2,x2=0иx3,4=1ä являютсяорня-
ми исходноо уравнения.
Ответ.x1=2,x2=0,x3,4=1ä .
Решите уравнение:
1.(x2+2x)2–(x+1)2=55.
2.(x2+x+1)(x2+x+2)–12=0.
3.(x2–5x+7)2–(x–2)(x–3)=0.
4.(x–2)(x+1)(x+4)(x+7)=19.
5.(2x2+3x–2)(5–6x–4x2)=–5(2x2+3x+2).
6.x4–13x2+36=0.
7.2x8+x4–15=0.
8.(2x–1)6+3(2x–1)3=10.
9.(1+x)8+(1+x2)4=2x4.
10.(x–2)6–19(x–2)3=216.
Метод разложения на множители. Один из способов реше-
ния уравнения n-й степени (n l 2)
Pn(x) = 0
состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что по-
зволяет свести решение исходноо уравнения решению не-
сольих уравнений более низих степеней. Этот способ осно-
ван на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени:
если x = c является орнем мно очлена
Pn(x)=a0xn+a1xn–1+...+an–1x+an,(
4
)
то мно очлен (4) можно записать в виде
Pn(x)=(x–c)Qn–1(x),
(5)
де Qn – 1(x)—мно очлен степени n – 1, т. е. мно очлен Pn(x)
делится на мно очлен x – c.
Разложение мноочлена (4) на множители равносильно на-
хождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе
является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена
n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уа-
зать универсальноо способа нахождения орней. Однао для
мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема,
позволяющая находить их рациональные орни.
(x 1)2
–(
x 1)2
–
2
2
30
Глава 2. Уравнения
де n—целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an —
оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называе-
мый старшим оэффициентом, считается не равным нулю.
Мноочлен первой степени называют таже линейным мно-
очленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноо-
член третьей степени — бичесим мноочленом.
Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0.
Уравнение вида
ax+b=0, a−0,
(1)
называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет
единственный орень x = – .
Уравнение вида
ax2+bx+c=0, a−0,
(2)
называют вадратным равнением. Выражение b2 – 4ac = D
называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если
D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня:
x1=
, x2=
.
(3)
Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-
рень ратности 2: x = – . Если D < 0, то уравнение (2) дейст-
вительных орней не имеет.
Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение
мноих уравнений залючается в сведении их уравнениям
вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение
вспомоательноо неизвестноо.
Пример1.Решитьуравнение
–
+1=0.
Решение.Полааяy=
, запишем исходное урав-
нение в виде
–y+1=0.
(*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
виду
y2–3y+2=0.
(**)
b
a---
b–D
+
2a
------------------------
b–D
–
2a
-----------------------
b
2 a-------
(x2 2x)2
–(
x 1)2
–
(x 1)2
–
(y 1)2
–
§ 6. Нахождение корней многочленов
31
Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное урав-
нение эвивалентно двум вадратным уравнениям
=1и
=2,
орниоторыхx1=2,x2=0иx3,4
=1ä
являются орня-
ми исходноо уравнения.
Ответ.x1=2,x2=0,x3,4
=1ä
.
Решите уравнение:
1.(x2+2x)2–(x+1)2=55.
2.(x2+x+1)(x2+x+2)–12 =0.
3.(x2–5x+7)2–(x–2)(x–3)=0.
4.(x–2)(x+1)(x+4)(x+7)=19.
5.(2x2+3x–2)(5–6x–4x2)= –5(2x2+3x+2).
6.x4–13x2+36=0.
7.2x8+x4–15 =0.
8.(2x–1)6+3(2x–1)3=10.
9.(1+x)8+(1+x2)4=2x4.
10.(x–2)6–19(x–2)3=216.
Метод разложения на множители. Один из способов реше-
ния уравнения n-й степе ни (n l 2)
Pn(x) = 0
состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что по-
зволяет свести решение исходноо уравнения решению не-
сольих уравнений более низих степеней. Этот способ осно-
ван на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени:
если x = c является орнем мно очлена
Pn(x)=a0xn+a1xn–1+...+an–1x+an,(
4
)
то мно очлен (4) можно записать в виде
Pn(x)=(x–c)Qn –1(x),
(5)
де Qn – 1(x)— мно очлен степени n – 1, т. е. мно очлен Pn(x)
делится на мно очлен x – c.
Разложение мноочлена (4) на множители равносильно на-
хождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе
является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена
n-й степени с действительными оэффицие нтами нельзя уа-
зать универсальноо способа нахождения орней. Однао для
мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема,
позволяющая находить их рациональные орни.
(x 1)2
–(
x 1)2
–
2
2
32
Глава 2. Уравнения
Рациональными орнями мно очлена
a0xn+a1xn–1+...+an–1x+an
,
де a0, a1, ..., a
n–1
,a
n
—
целые числа, мо ут быть л ишь числа
вида (
m—целое, p—натуральное), при этом число |m| яв-
ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|.
Пример 2.Найтиорниуравнения
3x3–4x2+5x–18 =0.
Р е ше н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3,
6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значе-
ний m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество зна-
чений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел
в ида
образуют следующее множество рациональных чисел:
ä1,ä2,ä3,ä6,ä9,ä ,ä
. Подставляя эти числа в уравне-
ние, получае м орень уравнения — число 2. Следовательно,
мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2).
Произведя деление улом, находим частное — мноочлен
3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имее т. Ита,
x = 2 — единственный действительный орень исходноо урав-
не ния.
Ответ. x = 2.
Решите уравнение методом разложения ео на множители:
11.8x4+6x3–13x2–x+3=0.
12.x3+6x+4x2+3=0.
13.2x4–x3–9x2+13x–5 =0.
14.(x–1)3+(2x+3)3=27x3+8.
15.x3–(2a+1)x2+(a2+a)x–(a2–a)=0.
16.x4–4x3–19x2+106x–120 =0.
Не
оторые равнения специальноо вида. Уравнение чет-
в ертой степени вида
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
(6)
при условии
a+b=c+d=p
сводится вадратному уравнению относительно неизвестноо
y=x2+px.
m
p
-----
m
p
-----
1
3
---
2
3
---
§ 6. Нахождение корней многочленов
33
Пример 3. Решитьуравнение
x(x+1)(x+2)(x+3)=0,5625.
(*)
Решение.Перемноживпопарноx(x+3)и(x+1)(x+2),
имеем
(x2+3x)(x2+3x+2)=0,5625.
Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после оче-
видных преобразований получаем вадратное уравнение
y2+2y–0,5625=0,
орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям:
x2+3x–0,25=0, x2+3x+2,25=0.
Первое уравнение имеет два различных орня: x1 =
иx2=
, второе — один двуратный орень x3, 4 = – .
Ответ. x1 =
,x2=
,x3,4=– .
Найдите орни уравнения:
17.(x+a)(x+2a)(x–3a)(x–4a)=b4.
18.(x–4)(x–5)(x–6)(x–7)=1680.
19.(6x+5)2(3x+2)(x+1)=35.
20.x4–2x3+x–132=0.
21.(x–1)(x+1)(x+2)x=24.
22.(x–4)(x+2)(x+8)(x+14)=354.
23.(x2+x+1)(2x2+2x+3)=3(1–x–x2).
Алебраичесое уравнение четвертой степени вида
ax4+bx3+cx2+dx+e=0, e−0,
(7)
называют возвратным, если оэффициенты уравнения связа-
ны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от ну-
ля число).
Решение возвратноо уравнения (7) можно свести реше-
нию вадратноо уравнения заменой
y=x+ .
3–1
0
+
2
---------------------------
3–1
0
–
2
--------------------------
3
2---
3–1
0
+
2
---------------------------
3–1
0
–
2
--------------------------
3
2---
λ
x---
32
Глава 2. Уравнения
Рациональными орнями мно очлена
a0xn+a1xn–1+...+an–1x+an,
де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, мо ут быть лишь числа
вида (m—целое, p—натуральное), при этом число |m| яв-
ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|.
Пример2.Найтиорниуравнения
3x3–4x2+5x–18=0.
Р е ше н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3,
6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значе-
ний m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество зна-
чений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел
вида образуют следующее множество рациональных чисел:
ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä , ä . Подставляя эти числа в уравне-
ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно,
мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2).
Произведя деление улом, находим частное — мноочлен
3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита,
x = 2 — единственный действительный орень исходноо урав-
нения.
Ответ. x = 2.
Решите уравнение методом разложения ео на множители:
11.8x4+6x3–13x2–x+3=0.
12.x3+6x+4x2+3=0.
13.2x4–x3–9x2+13x–5=0.
14.(x–1)3+(2x+3)3=27x3+8.
15.x3–(2a+1)x2+(a2+a)x–(a2–a)=0.
16.x4–4x3–19x2+106x–120=0.
Не
оторые равнения специальноо вида. Уравнение чет-
вертой степени вида
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
(6)
при условии
a+b=c+d=p
сводится вадратному уравнению относительно неизвестноо
y=x2+px.
m
p-----
m
p-----
1
3--- 2
3---
§ 6. Нахождение корней многочленов
33
Пример 3. Решить уравнение
x(x+1)(x+2)(x+3)=0,5625.
(*)
Решение. Перемноживпопарноx(x+3)и(x+1)(x+2),
имеем
(x2+3x)(x2+3x+2)=0,5625.
Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после оче-
видных преобразований получаем вадратное уравне ние
y2+2y–0,5625 =0,
орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравне ниям:
x2+3x–0,25=0, x2+3x+2,25 =0.
Первое уравнение имеет два различных орня: x1 =
иx2=
, второе — один двуратный орень x3, 4
=–
.
Ответ. x1 =
,x2=
,x3,4
=–
.
Найдите орни уравнения:
17.(x+a)(x+2a)(x–3a)(x–4a)=b4.
18.(x–4)(x–5)(x–6)(x–7)=1680.
19.(6x+5)2(3x+2)(x+1)=35.
20.x4–2x3+x–132 =0.
21.(x–1)(x+1)(x+2)x=24.
22.(x–4)(x+2)(x+8)(x+14)=354.
23.(x2+x+1)(2x2+2x+3)=3(1–x
–
x2).
Алебраичесое уравнение четвертой степе ни вида
ax4+bx3+cx2+dx+e=0, e−0,
(7)
называют возвратным, если оэффициенты уравнения связа-
ны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от ну-
ля число).
Решение возвратноо уравнения (7) можно свести реше-
нию вадратноо уравне ния заменой
y=x+ .
3
–1
0
+
2
--------------------------
-
3
–1
0
–
2
--------------------------
3
2
---
3
–1
0
+
2
--------------------------
-
3
–1
0
–
2
--------------------------
3
2
---
λ
x
---
34
Глава 2. Уравнения
Пример 4.Решитьуравнение
18x4–3x3–25x2+2x+8=0.
Решение. Заметим, что x = 0 не является орнем урав-
нения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем эви-
в алентному уравнению
18x2–3x–25+ +
=0.
(*)
Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) сле-
дующим образом:
18x2+
–
3x–
–
25=0.
Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно
выбратьy=x – ;тааx2+
= y2 + , то уравнение (*)
примет вид
18y2–3y–1 =0.
(**)
Корни уравне ния (**) равны и –
. Таим образом, исход-
ное уравне ние эвивалентно следующим двум уравне ниям:
x–
=
иx–
=–
.
Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = –
,авторое—
орни x3, 4
=
.
Ответ.x1=1,x2= –
,x3,4
=
.
Решите уравнение:
24.x4+5x3+2x2+5x+1=0.
25.2x4+3x3–4x2–3x+2=0.
26.15x5+34x4+15x3–15x2–34x–15 =0.
27.6x3–x2–20x+12=0.
28.x4+1=2(1+x)4.
2
x
---
8
x2
------
4
9
---
x2
------
2
3
---
x
---
2
3
---
x
---
4
9
---
x2
------
4
3
---
1
3
---
1
6
---
2
3
---
x
---
1
3
---
2
3
---
x
---
1
6
---
2
3
---
1ä 97
–
12
------------------------
2
3
---
1ä 97
–
12
------------------------
§ 6. Нахождение корней многочленов
35
Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2)
допусают понижение поряда, если использовать формулу би-
нома Ньютона (см. л. 15, § 84).
Пример 5. Решитьуравнение
8x3+36x2+54x=98.
Р е ше н и е. Воспользовавшись тем, что
(2x+3)3=8x3+36x2+54x+27,
запишем исходное уравнение в виде
(2x+3)3=125,
или
2x+3=5.
Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения
является x = 1.
Ответ. x = 1.
Решите уравнение:
29.8x3–36x2+54x=28.
30.16x4+32x3+24x2+8x–80=0.
31.x4–8x3+24x2–32x=65.
Уравнение вида
a1un+a2un–1v+a3un–2v2+...+anvn=0
(8)
называют однородным равнением n-й степени относительно
неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравне-
ния (8) на vn ео сводят уравнению n-й степени относительно
неизвестноо y = .
Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода
v=0.
Сводя уравнения однородным и производя уазанную вы-
ше замену, инода удается понизить степень исходноо уравне-
ния.
Пример 6. Решитьуравнение
(x2+27)2–5(x2+27)(x2+3)+6(x2+3)2=0. (*)
Решение.Положимx2+27=u,x2+3=v.Тодаисход-
ное уравнение примет вид однородноо уравнения второй сте-
пени относительно неизвестных u и v:
u2–5uv+6v2=0.
u
v---
34
Глава 2. Уравнения
Пример 4. Решитьуравнение
18x4–3x3–25x2+2x+8=0.
Решение. Заметим, что x = 0 не является орнем урав-
нения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем эви-
валентному уравнению
18x2–3x–25+ + =0.
(*)
Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) сле-
дующим образом:
18 x2+ –3 x– –25=0.
Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно
выбратьy=x– ;тааx2+ =y2+ ,тоуравнение(*)
примет вид
18y2–3y–1=0.
(**)
Корни уравнения (**) равны и – . Таим образом, исход-
ное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям:
x–=иx–=–.
Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – , а второе —
орни x3, 4 =
.
Ответ.x1=1,x2=– ,x3,4=
.
Решите уравнение:
24.x4+5x3+2x2+5x+1=0.
25.2x4+3x3–4x2–3x+2=0.
26.15x5+34x4+15x3–15x2–34x–15=0.
27.6x3–x2–20x+12=0.
28.x4+1=2(1+x)4.
2
x--- 8
x2------
4
9---
x2------
2
3---
x---
2
3---
x---
4
9---
x2------
4
3---
1
3--- 1
6---
2
3---
x--- 1
3---
2
3---
x--- 1
6---
2
3---
1ä 97
–
12
------------------------
2
3---
1ä 97
–
12
------------------------
§ 6. Нахождение корней многочленов
35
Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2)
допусают понижение поряда, если использовать формулу би-
нома Ньютона (см. л. 15, § 84).
Пример 5. Решить уравнение
8x3+36x2+54x=98.
Р е ше н и е. Воспользовавшись тем, что
(2x+3)3=8x3+36x2+54x+27,
запишем исходное уравнение в виде
(2x+3)3=125,
или
2x+3=5.
Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения
является x = 1.
Ответ. x = 1.
Решите уравнение:
29.8x3–36x2+54x=28.
30.16x4+32x3+24x2+8x–80 =0.
31.x4–8x3+24x2–32x=65.
Уравнение вида
a1un+a2un–1v+a3un–2v2+...+anvn=0
(8)
называют однородным равнением n-й степени относительно
неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравне-
ния (8) на vn ео сводят уравнению n-й степени относительно
неизвестноо y =
.
Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода
v=0.
Сводя уравнения однородным и производя уазанную вы-
ше замену, инода удается понизить сте пень исходноо уравне-
ния.
Пример 6. Решить уравнение
(x2+27)2–5(x2+27)(x2+3)+6(x2+3)2=0.
(*)
Решение. Положимx2+27=u,x2+3=v.Тодаисход-
ное уравнение примет вид однородноо уравнения второй сте-
пени относительно неизвестных u и v:
u2–5uv+6v2=0.
u
v
---
36
Глава 2. Уравнения
Выполнив замену
= y, получаем уравнение
y2–5y+6=0,
орниоторооy=2иy=3.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям
x2+27=3(x2+3), x2+27=2(x2+3),
орнями оторых являются числа ä3 и ä
соответственно.
Ответ. x1, 2
= ä3,x3,4
=ä
.
Решите уравнение:
32.(x2–1)2+5(x4–1)–6(x2+1)2=0.
33.(x2–3)2–7(x4–9)+6(x2+3)2=0.
34.(x–2)2(x+1)2–(x–2)(x2–1)–2(x–1)2=0.
Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди
орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x.
Пример 7. Решить уравнение
(x2–4x+6)2–4(x2–4x+6)+6=x.
Р е ше н и е. Квадратное уравнение
x2–4x+6=x
(*)
имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записан-
ный в левой части исходноо уравнения, делится на произведе-
ние(x–2)(x–3).
Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3.
Таим образом, исходное уравнение можно представить
ввиде
(x2–5x+6)(x2–3x+3)=0
и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям
x2–5x+6=0, x2–3x+3=0.
(**)
Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет,
и действительными орнями исходноо уравнения являются
орни уравне ния (*).
Ответ.x1=2,x2=3.
Решите уравнение:
35.(x2+2x–5)2+2(x2+2x–5)–5 =x.
36.(x2–x
–
3)2–(x2–x
–
3)–3 =x.
u
v
---
21
21
§ 7. Рациональные уравнения
37
§ 7. Рациональные уравнения
Рациональным алебраичесим равнением называют
уравнение вида
=0,
(1)
де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем
полаать, что P(x)— мноочлен m-й степени, а Q(x)— мноо-
член n-й степени.
Множество допустимых значений рациональноо алебраи-
чесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда
следует,чтоx−c1,x−c2,...,x−cn,деc1,c2,...,cn—орни
мноочлена Q(x).
Метод решения уравнения (1) залючается в следующем.
Сначала решают уравнение
P(x) = 0;
пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества
орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), о-
торые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют со-
бой орни (решения) рациональноо уравнения (1).
Пример1.Решитьуравнение
= –3.
Р е ше н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению
9–x–5+3(x–4)=0
при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим
x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений
неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ. 3⁄4.
Пример 2. Решитьуравнение
–
=.
(*)
Р е ше н и е. Перепишем данное уравнение в виде
–
+=0
и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).
Px()
Qx()
-------------
9x–
x 4–------------- 5
x 4–-------------
x
x1+
-------------- 9 x 13
+
x2 2x
–3
–
------------------------------ 5
3 x–-------------
x
x1+
--------------
9x 13
+
(x 1+)(x 3)
–
-------------------------------------- 5
x 3–-------------
36
Глава 2. Уравнения
Выполнив замену = y, получаем уравнение
y2–5y+6=0,
орниоторооy=2иy=3.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям
x2+27=3(x2+3), x2+27=2(x2+3),
орнями оторых являются числа ä3 и ä соответственно.
Ответ.x1,2=ä3,x3,4=ä .
Решите уравнение:
32.(x2–1)2+5(x4–1)–6(x2+1)2=0.
33.(x2–3)2–7(x4–9)+6(x2+3)2=0.
34.(x–2)2(x+1)2–(x–2)(x2–1)–2(x–1)2=0.
Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди
орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x.
Пример 7. Решитьуравнение
(x2–4x+6)2–4(x2–4x+6)+6=x.
Р е ше н и е. Квадратное уравнение
x2–4x+6=x
(*)
имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записан-
ный в левой части исходноо уравнения, делится на произведе-
ние(x–2)(x–3).
Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3.
Таим образом, исходное уравнение можно представить
ввиде
(x2–5x+6)(x2–3x+3)=0
и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям
x2–5x+6=0, x2–3x+3=0.
(**)
Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет,
и действительными орнями исходноо уравнения являются
орни уравнения (*).
Ответ.x1=2,x2=3.
Решите уравнение:
35.(x2+2x–5)2+2(x2+2x–5)–5=x.
36.(x2–x–3)2–(x2–x–3)–3=x.
u
v---
21
21
§ 7. Рациональные уравнения
37
§ 7. Рациональные уравнения
Рациональным алебраичесим равнением называют
уравнение вида
=0,
(1)
де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем
полаать, что P(x)— мноочлен m-й степени, а Q(x)— мноо-
член n-й степени.
Множество допустимых значений рациональноо алебраи-
чесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда
следует,чтоx−c1,x−c2,...,x−cn,деc1,c2,...,cn—орни
мноочлена Q(x).
Метод реше ния уравнения (1) залючается в следующем.
Сначала решают уравнение
P(x) = 0;
пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества
орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), о-
торые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют со-
бой орни (решения) рациональноо уравнения (1).
Пример1.Решитьуравнение
=
–
3.
Р е ше н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению
9–x
–
5+3(x–4)=0
при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим
x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений
неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ. 3⁄4.
Пример2.Решитьуравнение
–
=
.
(*)
Р е ше н и е. Перепишем данное уравнение в виде
–
+
=0
и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).
Px
()
Qx
()
-------------
9x
–
x4
–
-------------
5
x4
–
-------------
x
x1
+
--------------
9x 13
+
x2 2x
–3
–
------------------------------
5
3x
–
-------------
x
x1
+
--------------
9x 13
+
(x1
+)(x 3)
–
--------------------------------------
5
x3
–
-------------
38
Глава 2. Уравнения
Тода получим уравнение
x(x–3)–(9x+13)+5(x+1)=0,
или
x2–7x–8 =0,
(**)
эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем
орни вадратноо уравне ния (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а
x = – 1 не принадлежит области допустимых значений неиз-
в естноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.
Ответ. x = 8.
Пример 3. Решить уравнение
–
=
.
Р е ше н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное урав-
не ние в виде
–
=
.
(*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
уравнению
=0,
(**)
оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0 . Эвивалент-
ность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео
уравнения z = 3, z = – 4 принадлежат множеству допустимых
значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравне ние
эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и
x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1,
x2 = – 3 . Второе уравнение действительных орней не имеет.
Ответ.x1=1,x2= –3.
Решите уравнение:
1.
–
=
.
2.
–
+
–
=0.
3.
=
.
1
xx2
+
()
-----------------------
1
x1
+
()
2
---------------------
-
1
12
------
1
z
---
1
z1
+
-------------
1
12
------
z2z12
–
+
12zz 1
+
()
-----------------------------
12x 1
+
6x2
–
---------------------
9x5
–
3x1
+
------------------
108x 36x2
–9
–
49x2 1
–
()
---------------------------------------------
1
2x3
+
------------------
1
x2 16
–
--------------------
1
2x2 11x 12
++
------------------------------------------
x8
–
2x3 3x2 32x
–4
8
–
+
-----------------------------------------------------------
x2x1
++
x2x
–1
+
---------------------------
-
7
9
---
x1
+
x1
–
--------------
§ 7. Рациональные уравнения
39
4.
=
+.
5.
+
=–.
6.
=
.
7.
=
.
8.
+
=
.
9.
–x2+4x=6.
10.
+
=2.
11.
–2=
.
12.
–
=2.
13.7x+ –2x2+ =9.
14.
+
=.
15. 20
–5
+48
=0.
16.
+
=12
.
17.
–2 –3
=0.
Уравнение вида
+
=c
сводится уравнению
+=c
x1+
2x 1–
()
----------------------
9
2x 4+
()
----------------------- 1
x 1–-------------
x2
x2 4–
---------------- x 1+
2x 2–
()
---------------------- 1
2 x–------------- 1
x2+
--------------
4x229x45x1+
()
2x 15
+
()
–
++
2x 1–
()
()
22x1
+
()
x2–
()
–
----------------------------------------------------------------------------------------------- x 1+
()
x5+
()
x1–
()
x2–
()
--------------------------------------
ax
–
()
4xb
–
()
4
+
ab2 x
–
+
()
2
------------------------------------------------- a4 b 4
+
ab
+
()
2
---------------------
1
x2 2x
–2
+
-------------------------------
2
x2 2x
–3
+
-------------------------------
6
x2 2x
–4
+
-------------------------------
21
x2 4x
–1
0
+
----------------------------------
4
x2 4+
-----------------
5
x2 5+
-----------------
x2 6x
–
()
2
x3–
()
2
----------------------------
81
x3–
()
2
---------------------
24
x22x8–
+
-------------------------------
15
x22x3–
+
-------------------------------
1
x---
1
x2------
x22x1
++
x22x2
++
------------------------------- x2 2 x 2
++
x22x3
++
------------------------------- 7
6---
x 2–
x1+
--------------
2
x 2+
x 1–--------------
2
x2 4–
x2 1–
----------------
x 1+
x 2–--------------
2x1+
x 4–--------------
x 2–
x 4–-------------
2
x 1+
x 1–--------------
2 x2–
x 1–-------------
x 2–
x1+
--------------
2
ax
cx2hxd
++
-----------------------------------
bx
cx2rxd
++
----------------------------------
a
yh
+-------------- b
yr
+-------------
38
Глава 2. Уравнения
Тода получим уравнение
x(x–3)–(9x+13)+5(x+1)=0,
или
x2–7x–8=0,
(**)
эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем
орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а
x = –1 не принадлежит области допустимых значений неиз-
вестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.
Ответ. x = 8.
Пример 3. Решитьуравнение
–
=.
Р е ше н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное урав-
нение в виде
–=.
(*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
уравнению
=0,
(**)
оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалент-
ность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео
уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых
значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение
эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и
x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1,
x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет.
Ответ.x1=1,x2=–3.
Решите уравнение:
1.
–
=
.
2.
–
+
–
=0.
3.
=
.
1
xx 2+
()
-----------------------
1
x1+
()
2
---------------------- 1
12------
1
z--- 1
z 1+------------- 1
12------
z2z12
–
+
12zz 1+
()
-----------------------------
12x 1+
6x 2–
--------------------- 9 x 5–
3x 1+
------------------ 108x 36x2
–9
–
49x2 1–
()
---------------------------------------------
1
2x3
+
------------------
1
x2 16
–
--------------------
1
2x2 11x 12
++
------------------------------------------
x8–
2x3 3x2 32x
–4
8
–
+
-----------------------------------------------------------
x2x1
++
x2 x–1
+
---------------------------- 7
9--- x 1+
x 1–--------------
§ 7. Рациональные уравнения
39
4.
=
+
.
5.
+
=
–
.
6.
=
.
7.
=
.
8.
+
=
.
9.
–
x2+4x=6.
10.
+
=2.
11.
–
2=
.
12.
–
=2.
13.7 x+
–
2x2+
=9.
14.
+
=
.
15. 20
–
5
+48
=0.
16.
+
=12
.
17.
–
2
–
3
=0.
Уравнение вида
+
=c
сводится уравнению
+
=c
x1
+
2x1
–
()
----------------------
9
2x4
+
()
-----------------------
1
x1
–
-------------
x2
x24
–
----------------
x1
+
2x2
–
()
----------------------
1
2x
–
-------------
1
x2
+
--------------
4x2 29x 45
x1
+
()
2x 15
+
()
–
++
2x1
–
()
()
22x1
+
()
x2
–
()
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
x1
+
()
x5
+
()
x1
–
()
x2
–
()
--------------------------------------
ax
–
()
4xb
–
()
4
+
ab2 x
–
+
()
2
-------------------------------------------------
a4 b4
+
ab
+
()
2
---------------------
1
x2 2x
–2
+
-------------------------------
2
x2 2x
–3
+
-------------------------------
6
x2 2x
–4
+
-------------------------------
21
x2 4x
–1
0
+
----------------------------------
4
x24
+
-----------------
5
x25
+
-----------------
x2 6x
–
()
2
x3
–
()
2
----------------------------
81
x3
–
()
2
---------------------
24
x22x8
–
+
-------------------------------
15
x22x3
–
+
-------------------------------
1
x
---
1
x2
------
x22x1
++
x22x2
++
-------------------------------
x22x2
++
x22x3
++
-------------------------------
7
6
---
x2
–
x1
+
--------------
2
x2
+
x1
–
--------------
2
x24
–
x21
–
----------------
x1
+
x2
–
--------------
2
x1
+
x4
–
--------------
x2
–
x4
–
-------------
2
x1
+
x1
–
--------------
2
x2
–
x1
–
-------------
x2
–
x1
+
--------------
2
ax
cx2hxd
++
-----------------------------------
bx
cx2rxd
++
----------------------------------
a
yh
+
-------------
-
b
yr
+
-------------
40
Глава 2. Уравнения
в ведение м вспомоательноо неизвестноо
y=cx+ .
Пример 4.Решитьуравнение
+
=1.
Р е ше н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0
не является орне м исходноо уравнения. Разделив числитель
и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное
уравнение
+
=1.
Полаая x +
= y, приходим уравнению
+
=1,
сводящемуся вадратному уравне нию, орнями отороо яв-
ляютсяy1=0,y2=3.
Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум урав-
нениям
x+ =0, x+ =3,
первое из оторых не имеет действительных орней, а орни
в тороо — числа x1,2
=
.
Ответ. x1, 2
=
.
Решите уравнение:
18.
+
=6.
19.
–
=
.
20.
+
=
.
d
x
---
x
x2x
–1
+
---------------------------
2x
x2x1
++
---------------------------
-
1
x
1
x
---
1
–
+
------------------------
2
x
1
x
---
1
++
------------------------
1
x
---
1
y1
–
-------------
2
y1
+
-------------
1
x
---
1
x
---
3ä5
2
-----------------
3ä5
2
-----------------
2x
2x2 5x
–3
+
-----------------------------------
13x
2x2x3
++
-------------------------------
3x
x2 14
x
–
+
-------------------------------
2x
x21x
++
---------------------------
-
8
3
---
3x2 1
–
x
--------------------
5x
3x2 x
–1
–
------------------------------
119
18
----------
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
41
§ 8. Уравнения, содержащие
неизвестное под знаком модуля
Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неиз-
вестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо
уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов
знаопостоянства этих выражений.
Пример1.Решитьуравнение
|2x–5|=x–1.
Р е ше н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом мо-
дуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5.
Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих
промежутов.
Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| =
= 2x – 5, и данное уравнение примет вид
2x–5=x–1.
Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принад-
лежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является реше-
нием исходноо уравнения.
Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем
|2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид
–(2x–5)=x–1.
Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 при-
надлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является
решением исходноо уравнения.
Ответ.x1=2,x2=4.
Пример 2. Решитьуравнение
|x–1|–2|x–2|+3|x–3|=4.
Р е ше н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим
уравнениям:
1)1–x+2(x–2)–3(x–3)=4приxm1;
2)x–1+2(x–2)–3(x–3)=4при1<xm2;
3)x–1–2(x–2)–3(x–3)=4при2<xm3;
4)x–1–2(x–2)+3(x–3)=4приx>3.
Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение
обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-
40
Глава 2. Уравнения
введением вспомоательноо неизвестноо
y=cx+ .
Пример 4. Решитьуравнение
+
=1.
Р е ше н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0
не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель
и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное
уравнение
+
=1.
Полаая x + = y, приходим уравнению
+
=1,
сводящемуся вадратному уравнению, орнями отороо яв-
ляютсяy1=0,y2=3.
Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум урав-
нениям
x+ =0, x+ =3,
первое из оторых не имеет действительных орней, а орни
второо — числа x1,2 =
.
Ответ. x1, 2 =
.
Решите уравнение:
18.
+
=6.
19.
–
=.
20.
+
=.
d
x---
x
x2 x–1
+
---------------------------
2x
x2x1
++
----------------------------
1
x1
x--- 1
–
+
------------------------
2
x1
x--- 1
++
------------------------
1
x---
1
y 1–------------- 2
y 1+-------------
1
x---
1
x---
3ä5
2
-----------------
3ä5
2
-----------------
2x
2x2 5x
–3
+
-----------------------------------
13x
2x2x3
++
-------------------------------
3x
x2 14x
–
+
-------------------------------
2x
x21x
++
---------------------------- 8
3---
3x2 1–
x
--------------------
5x
3x2 x–1
–
------------------------------ 119
18----------
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
41
§ 8. Уравнения, содержащие
неизвестное под знаком модуля
Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неиз-
вестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо
уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов
знаопостоянства этих выражений.
Пример1.Решитьуравнение
|2x–5|=x –1.
Р е ше н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом мо-
дуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5.
Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих
промежутов.
Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| =
= 2x – 5, и данное уравнение примет вид
2x–5 =x –1.
Решив это уравнение, находим x = 4 . Та а число 4 принад-
лежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является реше-
нием исходноо уравнения.
Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем
|2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид
–(2x–5)=x –1.
Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 при-
надлежит рассматривае мому промежуту, то x = 2 является
решением исходноо уравнения.
Ответ.x1=2,x2=4.
Пример2.Решитьуравнение
|x–1|–2|x–2|+3|x–3|=4.
Р е ше н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим
уравнениям:
1)1–x+2(x–2)–3(x–3)=4приxm1;
2)x–1+2(x–2)–3(x–3)=4при1<xm2;
3)x–1
–
2(x–2)–3(x–3)=4при2<xm3;
4)x–1
–
2(x–2)+3(x–3)=4приx>3.
Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение
обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-
42
Глава 2. Уравнения
щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвер-
тое имеет решение x = 5.
Ответ.xÝ[1;2],x=5.
Решите уравнение:
1.|x|=x+2.
2.|–x+2|=2x+1.
3.|x–1|+|x–2|=1.
4.|2–|1–|x|||=1.
5.
=1.
6.|x2–1|= –|x|+1.
7.|5x–x2–6|=x2–5x+6.
8.|x–1|+|x+2|–|x–3|=4.
9.
x2–2x+
+ x2–3x+4=
.
§ 9. Иррациональные уравнения
Иррациональным равнением называют уравнение, в о-
тором неизвестная величина содержится под знаом радиала.
Область допустимых значе ний иррациональноо уравнения со-
стоит из тех значе ний неизвестноо, при оторых неотрица-
тельны все выражения, находящиеся под знаами радиалов
четной степени.
Метод возведения равнения в с тепень. Один из способов
решения иррациональноо уравнения залючается в последо-
в ательном возведении обеих частей уравнения в степень, яв-
ляющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех ра-
диалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в ото-
рую возводится уравнение, четная, то получе нное уравне ние
может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо урав-
не ния. В этом случае необходима провера орней.
Пример 1.Решитьуравнение
+
=2
.
(*)
Р е ше н и е. Возведем обе части данноо уравнения в
вадрат:
3x+4+2
+x–4 =4x.
(**)
Приведя подобные члены, получаем уравнение
2=
0
,
x1
+
x1
–
--------------
1
2
---
3
2
---
1
2
---
3
4
---
3x4
+
x4
–
x
3x4
+
()
x4
–
()
3x4
+
()
x4
–
()
§ 9. Иррациональные уравнения
43
орнями отороо являются x = – и x = 4. Один из получен-
ных орней, а именно x = – , не удовлетворяет исходному
уравнению, та а не входит в область ео допустимых значе-
ний. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение
обращается в тождество.
Ответ. x = 4.
Решите уравнение:
1.
=8–
.
2.
+
=4.
3.
–
=2.
4.
–
=2.
5.
=2–
.
6.
+
=3.
7.
+
=5.
8.
=
+1.
9.(x2–4)
=0.
10.
+
=
.
11.
+
=
.
12.
+
=3.
13.
+
=4.
14.
+
=2.
15.
–x+3=0.
16.
–
=1.
17.
–
=2.
18. +
=
.
19.
+
=
.
20.
+
=
.
4
3---
4
3---
x1
+
3x 1+
xx11
+
+
xx11
+
–
17x
+
17 x–
3x7
+
x1+
25 x–
9x
+
x21
+
x2 2x
–3
+
x2x5–
+
x28x4–
+
x2x1
++ x2 x–1
+
x1+
4x 3–
5x1
+
15x 4+
x5
+
x3+
2x7
+
4x–
5x
+
4x 2+
4x 2–
xx2–
–
xx2–
+
x7
+
x34
+
3
x3–
3
2x 5+
3x 5–
x3
x16
–
3
x8–
3
x5
+
3
x6+
3
2x 11
+
3
x1
+
3
3x 1+
3
x1–
3
42
Глава 2. Уравнения
щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвер-
тое имеет решение x = 5.
Ответ.xÝ[1;2],x=5.
Решите уравнение:
1.|x|=x+2.
2.|–x+2|=2x+1.
3.|x–1|+|x–2|=1.
4.|2–|1–|x|||=1.
5.
=1.
6.|x2–1|=–|x|+1.
7.|5x–x2–6|=x2–5x+6.
8.|x–1|+|x+2|–|x–3|=4.
9. x2–2x+ + x2–3x+4 = .
§ 9. Иррациональные уравнения
Иррациональным равнением называют уравнение, в о-
тором неизвестная величина содержится под знаом радиала.
Область допустимых значений иррациональноо уравнения со-
стоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрица-
тельны все выражения, находящиеся под знаами радиалов
четной степени.
Метод возведения равнения в степень. Один из способов
решения иррациональноо уравнения залючается в последо-
вательном возведении обеих частей уравнения в степень, яв-
ляющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех ра-
диалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в ото-
рую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение
может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо урав-
нения. В этом случае необходима провера орней.
Пример1.Решитьуравнение
+
=2.
(*)
Р е ше н и е. Возведем обе части данноо уравнения в
вадрат:
3x+4+2
+x–4=4x.
(**)
Приведя подобные члены, получаем уравнение
2=
0
,
x1+
x 1–--------------
1
2---
3
2---
1
2---
3
4---
3x 4+
x4–
x
3x 4+
()
x4–
()
3x 4+
()
x4–
()
§ 9. Иррациональные уравнения
43
орнями отороо являются x = –
и x = 4. Один из получен-
ных орней, а именно x = –
, не удовлетворяет исходному
уравнению, та а не входит в область ео допустимых значе-
ний. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение
обращается в тождество.
Ответ. x = 4.
Решите уравнение:
1.
=8–
.
2.
+
=4.
3.
–
=2.
4.
–
=2.
5.
=2–
.
6.
+
=3.
7.
+
=5.
8.
=
+1.
9.(x2–4)
=0.
10.
+
=
.
11.
+
=
.
12.
+
=3.
13.
+
=4.
14.
+
=2.
15.
–
x+3=0.
16.
–
=1.
17.
–
=2.
18.
+
=
.
19.
+
=
.
20.
+
=
.
4
3
---
4
3
---
x1
+
3x1
+
xx11
+
+
xx11
+
–
17x
+
17x
–
3x7
+
x1
+
25x
–
9x
+
x21
+
x2 2x
–3
+
x2x5
–
+
x28x4
–
+
x2x1
++
x2x
–1
+
x1
+
4x3
–
5x1
+
15x 4
+
x5
+
x3
+
2x7
+
4x
–
5x
+
4x2
+
4x2
–
xx2
–
–
xx
2
–
+
x7
+
x34
+
3
x3
–
3
2x5
+
3x5
–
x
3
x16
–
3
x8
–
3
x5
+
3
x6
+
3
2x 11
+
3
x1
+
3
3x1
+
3
x1
–
3
44
Глава 2. Уравнения
21.
+
+
=0.
22.
+
=2.
23.
–
=1.
24.
+
=4.
25.
–
=1.
Не
оторые специальные приемы решения иррациональ-
ны х равнений. Инода можно освободиться от иррациональ-
ности умножением обеих частей уравнения на неоторое выра-
жение, не обращающееся в нуль.
Пример 2.Решитьуравнение
–
=1.
(*)
Р е ше н и е. Умножим обе части уравнения на выражение
+
, являющееся сопряженным ле-
в ой части уравнения (*). После приведения подобных членов
получаем уравнение
7=
+
(**)
эвивалентное исходному, та а уравнение
+
=0
не имеет действительных орней.
Сложив уравнения (*) и (**), получим
=4.
Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим вадрат-
ному уравнению
3x2+5x–8 =0,
имеющему орни x1 = –
, x2 = 1. Выполнив проверу, убежда-
емся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения.
Ответ.x1=1,x2= –
.
x1
+
3
x2
+
3
x3
+
3
1x
+
3
1x
–
3
5x7
+
3
5x 12
–
3
9x1
+
–
3
7x1
+
+
3
24x
+
3
5x
+
3
3x25x8
++3x25x1
++
3x25x8
++3x25x1
++
3x25x8
++3x25x1
++,
3x25x8
++3x25x1
++
3x25x8
++
8
3
---
8
3
---
§ 9. Иррациональные уравнения
45
Решите уравнение:
26.
+
=7.
27.
–
=2.
28.
+
=6.
29.
+
=p.
30.
=.
В неоторых случаях введение вспомоательных неизвест-
ных позволяет перейти от иррациональноо уравнения систе-
ме рациональных уравнений.
Пример 3. Решитьуравнение
x2–4x–6=
.
Решение.Полаая
= y, получим систему
уравнений
(*)
Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим уравнению
y2–2y–24=0.
Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозна-
чен арифметичесий орень, то из двух найденных орней
уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во вто-
рое уравнение системы (*), получаем уравнение
x2–4x–12=0,
орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба
орня являются орнями исходноо уравнения.
Ответ.x1=6,x2=–2.
Пример 4. Решитьуравнение
=
.
Решение.Положим
=u,
= v. Ислючив x
изуравненийu3=x+1,v2=x–3,придемсистеме
3x2 2x
–1
5
+
3x2 2x
–8
+
x2 9+
x2 7–
15 x–
3x–
Ax2BxC
++Ax2BxC1
++
21x
+2
1
x–
+
21x
+2
1
x–
–
-------------------------------------------------- 21
x------
2x2 8x
–1
2
+
2x2 8x
–1
2
+
y2=2x2–8x+12,
y=x2–4x–6.
x1+
3
x3–
x1+
3
x3–
u=v,
u3–v2=4.
44
Глава 2. Уравнения
21.
+
+
=0.
22.
+
=2.
23.
–
=1.
24.
+
=4.
25.
–
=1.
Не
оторые специальные приемы решения иррациональ-
ных равнений. Инода можно освободиться от иррациональ-
ности умножением обеих частей уравнения на неоторое выра-
жение, не обращающееся в нуль.
Пример 2. Решитьуравнение
–
=1.
(*)
Р е ше н и е. Умножим обе части уравнения на выражение
+
, являющееся сопряженным ле-
вой части уравнения (*). После приведения подобных членов
получаем уравнение
7=
+
(**)
эвивалентное исходному, та а уравнение
+
=0
не имеет действительных орней.
Сложив уравнения (*) и (**), получим
=4.
Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим вадрат-
ному уравнению
3x2+5x–8=0,
имеющему орни x1 = – , x2 = 1. Выполнив проверу, убежда-
емся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения.
Ответ.x1=1,x2=– .
x1
+
3
x2+
3
x3
+
3
1x
+
3
1x
–
3
5x 7+
3
5x 12
–
3
9x1+
–
3
7x1
+
+
3
24x
+
3
5x
+
3
3x25x8
++3x25x1
++
3x25x8
++3x25x1
++
3x25x8
++3x25x1
++,
3x25x8
++3x25x1
++
3x25x8
++
8
3---
8
3---
§ 9. Иррациональные уравнения
45
Решите уравнение:
26.
+
=7.
27.
–
=2.
28.
+
=6.
29.
+
=p.
30.
=
.
В неоторых случаях введение вспомоательных неизвест-
ных позволяет перейти от иррациональноо уравнения систе-
ме рациональных уравнений.
Пример 3. Решить уравнение
x2–4x–6 =
.
Решение.Полаая
= y, получим систему
уравнений
(*)
Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим уравнению
y2–2y–24 =0.
Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозна-
чен арифметичесий орень, то из двух найденных орней
уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во вто-
рое уравнение системы (*), получаем уравнение
x2–4x–12 =0,
орни отороо x1 = 6, x2 = – 2. Провера поазывает, что оба
орня являются орнями исходноо уравнения.
Ответ.x1=6,x2= –2.
Пример4.Решитьуравнение
=
.
Решение.Положим
=u,
= v. Ислючив x
изуравненийu3=x+1,v2=x –3,придемсистеме
3x2 2x
–1
5
+
3x2 2x
–8
+
x29
+
x27
–
15x
–
3x
–
Ax2BxC
++Ax2BxC1
++
21x
+2
1
x
–
+
21x
+2
1
x
–
–
--------------------------------------------------
21
x
------
2x2 8x
–1
2
+
2x2 8x
–1
2
+
y2=2x2–8x+12,
y=x2–4x–6.
x1
+
3
x3
–
x1
+
3
x3
–
u=v,
u3–v2=4.
46
Глава 2. Уравнения
Ее решение сводится решению уравнения
v3–v2–4 =0,
имеющему единственный действительный орень v = 2. Воз-
в ращаясь исходному неизвестному, получаем линейное урав-
не ние 4 = x – 3, орень отороо является единственным ор-
не м исходноо уравнения.
Ответ. x = 7.
Решите уравнение:
31.
+8
=7.
32.
+
= x2–6x+11.
33.
+
=4.
34.(x+4)(x+1)–3
=6.
35.
+
= 2,5.
36.
–
2
=3.
37.
=x+
–
6.
38.
+
=2.
39.
–
= 56.
40.
=2.
41. x
–
4
+4=0.
42.x2+3x–18+4
=0.
43.
+
=2
.
44.
–
=5.
45.
=1.
46.
+
=7
.
47.(x–3)2+3x–22 =
.
48.
=
.
7x3
–
()
3
5
37x
–
()
3
–
5
x2
–
4x
–
47 2x
–
4
35 2x
+
4
x25x2
++
16z
z1
–
-------------
5
z1
–
16z
-------------
5
x2 32
+
x2 32
+
4
x4
+
x4
–
+
2
-------------------------------------------
x2 16
–
5x
–
x3
+
--------------
7
x3
+
5x
–
--------------
7
xx
5
xx
5
5x
–
()
5x
–
x3
–
()
x3
–
+
5x
–
x3
–
+
---------------------------------------------------------------------------------
x
3
x2
3
x23x6
–
+
3y2 6y 16
++
y2 2y
+
y22y4
++
x2 662
+
x
+
x
--------------------------------------
xx2 662
+
x2
–
3x2
–
()42x2 3 x
–1
+
+
2x2 1
–
()
-------------------------------------------------------------------------
x2
–2
x5
–
+
x 232
x5
–
++
2
x2 3x
–7
+
3x
+
3x
--------------
1
9
---
1
x
---
4
9
---
2
x2
------
+
+
§ 9. Иррациональные уравнения
47
Метод выделения полноо
вадрата в под
оренных выра-
жениях.
Пример 5. Решитьуравнение
–
=1.
Решение.Положим
= t; тода исходное уравне-
ние примет вид
–
=1.
(*)
Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) на-
ходятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится
следующему:
|t+1|–|t–1|=1.
(**)
Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвраща-
ясь исходному неизвестному, получаем уравнение
= 0,5,
орнем отороо является x = 2,25.
Ответ. x = 2,25.
Решите уравнение:
49.
+
=2.
50.
+
=1.
51.
+
=4.
52.
–
=1.
53.
–
=3.
54.
+
=x–1.
55.
–2
+
+3
=4.
56.
+
=1.
57.
–
=.
58.
+
= x2.
x 1–2x 2–
+
x 1–2x 2–
–
x2–
t22t1
++t22t
–1
+
x2–
x22x1+
++
x22x1+
–
+
x54x1+
–
+
x22x1
+
–
+
x82x7+
++
x1x7
+
–
+
x22x21–
+
x22x21–
–
x2x1–
+
x2x1–
–
x2x1–
+
x2x1–
–
2x 22x 1–
–
2x 342x 1–
–
+
2x 862x 1–
–
+
x34x1–
–
+
x86x1–
–
+
1
xx
2x
–
–
-------------------------------
1
xx
2x
–
+
------------------------------- 3
12 12
x2------
–
x2 12
x2------
–
46
Глава 2. Уравнения
Ее решение сводится решению уравнения
v3–v2–4=0,
имеющему единственный действительный орень v = 2. Воз-
вращаясь исходному неизвестному, получаем линейное урав-
нение 4 = x – 3, орень отороо является единственным ор-
нем исходноо уравнения.
Ответ. x = 7.
Решите уравнение:
31.
+8
=7.
32.
+
=x2–6x+11.
33.
+
=4.
34.(x+4)(x+1)–3
=6.
35.
+
= 2,5.
36.
–2
=3.
37.
=x+
–6.
38.
+
=2.
39.
–
= 56.
40.
=2.
41.x –4 +4=0.
42.x2+3x–18+4
=0.
43.
+
=2
.
44.
–
=5.
45.
=1.
46.
+
=7.
47.(x–3)2+3x–22=
.
48.
=
.
7x 3–
()
3
5
37x
–
()
3–
5
x2–
4x–
47 2x
–
4
35 2x
+
4
x25x2
++
16z
z 1–-------------
5
z1–
16z
-------------
5
x2 32
+
x2 32
+
4
x4+ x4–
+
2
-------------------------------------------
x2 16
–
5x–
x3+
--------------
7
x3+
5 x–--------------
7
xx
5
xx
5
5x–
()
5x– x3–
()
x3–
+
5x– x3–
+
---------------------------------------------------------------------------------
x3
x2
3
x23x6–
+
3y2 6y 16
++y22y
+
y22y4
++
x2 662
+
x
+
x
-------------------------------------- xx2 662
+
x2
–
3x 2–
()42x2 3x
–1
+
+
2x2 1–
()
-------------------------------------------------------------------------
x 2–2
x5–
+
x 232x 5–
++
2
x2 3x
–7
+
3x
+
3x
-------------- 1
9--- 1
x--- 4
9--- 2
x2------
+
+
§ 9. Иррациональные уравнения
47
Метод выделения полноо
вадрата в под
оренных выра-
жениях.
Пример 5. Решить уравнение
–
=1.
Решение.Положим
= t; тода исходное уравне-
ние примет в ид
–
=1.
(*)
Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) на-
ходятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится
следующему:
|t+1|–|t–1|=1.
(**)
Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвраща-
ясь исходному неизвестному , получаем уравне ние
= 0,5,
орнем отороо является x = 2,25.
Ответ. x = 2,25.
Решите уравнение:
49.
+
=2.
50.
+
=1.
51.
+
=4.
52.
–
=1.
53.
–
=3.
54.
+
=x–1.
55.
–
2
+
+3
=4.
56.
+
=1.
57.
–
=
.
58.
+
= x2.
x1
–2
x2
–
+
x1
–2
x2
–
–
x2
–
t22t1
++t22t
–1
+
x2
–
x22x1
+
++
x22x1
+
–
+
x54x1
+
–
+
x22x1
+
–
+
x82x7
+
++
x1
x7
+
–
+
x22x21
–
+
x22x21
–
–
x2x1
–
+
x2x1
–
–
x2x1
–
+
x2x1
–
–
2x22x1
–
–
2x 342
x1
–
–
+
2x 862
x1
–
–
+
x34x1
–
–
+
x86x1
–
–
+
1
xx
2x
–
–
-------------------------------
1
xx
2x
–
+
-------------------------------
3
12
12
x2
------
–
x2 12
x2
------
–
48
Глава 2. Уравнения
59.2–=
.
60.
+3
=
.
61.
–
=
.
62.
+
=3+
.
63.
+
= 2x+2.
64.
+
=2.
65.x=(
–
1)(
+ 1).
66.
+
=
.
67.
+4
=5
.
68.
+
=4
.
69.
+
=
.
70.
= 30.
71.
+
–
=3.
§ 10. Показательные уравнения
Поазательным равнением называют уравнение, в ото-
ром неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основа-
ние степени является постоянным. Простейшее поазательное
уравнение — это уравнение вида
ax=b.(
1
)
Еорешениемприa>0,a−1иb>0является
x=logab.
Если поазатель степе ни представляет собой неоторую
фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид
af(x)
= b, a>0, a−1, b>0,
(2)
5x1
+
4
4
+
2x1
+
4
1
–
20x1
+
4
5
+
2x2 9x
–4
+
2x1
–
2x2 21x 11
–
+
4x29x5
++2x2x1
–
+
x21
–
44x
–
x2
+
3
49 14xx
2
++
3
14 5x
–
x2
–
3
2x28x6
++x21
–
x2
–
1x
–
1
4
---
1x
+
1x
–
1
x2x1
–
+
------------------------------------
1
x2x1
–
–
------------------------------------
2
2x
–
-------------
ax
+
()
2
3
ax
–
()
2
3
a2 x2
–
3
x1
+
()
2
n
x1
–
()
2
n
x21
–
n
x2 8x
+
x1
+
-------------------------
x7
+
7
x1
+
------------------
34x
–
()
x1
+
3
x1
+
()
34x
–
3
–
34x
–
3
x1
+
3
–
--------------------------------------------------------------------------------------------
2x
–
()
2
3
7x
+
()
2
3
2x
–
()
7x
+
()
3
§ 10. Показательные уравнения
49
то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим эви-
валентному уравнению
f(x) = loga b.
Сведение
простейшим по
азательным равнениям. Не-
оторые поазательные уравнения приводятся виду (1) или (2)
с помощью равенств
ax·ay=ax+y,
(ax)y = axy,
=ax–y,
=
=
де a и b—любые положительные числа, а x и y—любые дей-
ствительные числа.
Пример1.Решитьуравнение
=·
Р е ше н и е. Перепишем данное уравнение в виде
·
=·
Используя свойство членов пропорции, имеем
=
,
или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравне-
ние виду
=1,
получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4.
Ответ. x = 4.
Решите уравнение:
1. · =225.
2. · =1600.
3.93–5x·75x–3=1.
4.32x–1·53x+2= ·52x·33x.
ax
ay------
(a · b)x ax·bx,
a
b---
x ax
bx------ ,
62x4+ 33x2x8
+.
32x4+22x4
+
33x2x8
+.
32x 4+
33x
----------------- 2x 8+
22x 4+
-----------------
2
3---
4 x–
3x 5x
23x 5x
9
5---
48
Глава 2. Уравнения
59.2–= .
60.
+3
=
.
61.
–
=
.
62.
+
=3+
.
63.
+
=2x+2.
64.
+
=2.
65. x=(
–1)(
+ 1).
66.
+
=.
67.
+4
=5
.
68.
+
=4
.
69.
+
=
.
70.
= 30.
71.
+
–
=3.
§ 10. Показательные уравнения
Поазательным равнением называют уравнение, в ото-
ром неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основа-
ние степени является постоянным. Простейшее поазательное
уравнение — это уравнение вида
ax=b.(
1
)
Еорешениемприa>0,a−1иb>0является
x=logab.
Если поазатель степени представляет собой неоторую
фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид
af(x)=b, a>0, a−1, b>0,
(2)
5x1+
4
4+ 2x1+
4
1– 20x1+
4
5+
2x2 9x
–4
+
2x 1–
2x2 21x 11
–
+
4x29x5
++2x2x1–
+
x2 1–
44x
–x2
+
3
49 14xx2
++
3
14 5x
–x2
–
3
2x28x6
++x21–
x2–
1x–
1
4---
1x
+
1x–
1
x2x1–
+
------------------------------------
1
x2x1–
–
------------------------------------ 2
2 x–-------------
ax
+
()
2
3
ax
–
()
2
3
a2 x2
–
3
x1+
()
2
n
x1–
()
2
n
x2 1–
n
x2 8x
+
x1+
------------------------- x 7
+
7
x1+
------------------
34 x–
()
x1+
3
x1+
()34 x–
3
–
34 x–
3
x1+
3
–
--------------------------------------------------------------------------------------------
2x–
()
2
3
7x
+
()
2
3
2x–
()
7x
+
()
3
§ 10. Показательные уравнения
49
то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим эви-
валентному уравнению
f(x) = loga b.
Сведение
простейшим по
азательным равнениям. Не-
оторые поазательные уравнения приводятся виду (1) или (2)
с помощью равенств
ax·ay=ax+y,
(ax)y = axy,
=ax–y
,
=
=
де a и b—любые положительные числа, а x и y—любые дей-
ствительные числа.
Пример1.Решитьуравнение
=
·
Р е ше н и е. Перепишем данное уравнение в виде
·
=
·
Используя свойство членов пропорции, имеем
=
,
или после упрощения 34 – x
= 24–x
. Преобразуя данное уравне-
ние виду
=1,
получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4.
Ответ. x = 4.
Решите уравнение:
1.
·
= 225.
2.
·
= 1600.
3.93–5x
·75x–3
=1.
4.32x–1
· 53x+2=
· 52x
· 33x
.
ax
ay
------
(a·b)x
a
x
·b
x
,
a
b
---
x
a
x
bx
------ ,
62x 4
+
33x
2x8
+
.
32x 4
+
22x 4
+
33x
2x8
+
.
32x 4
+
33x
-----------------
2x8
+
22x 4
+
-----------------
2
3
---
4x
–
3x5
x
23x
5x
9
5
---
50
Глава 2. Уравнения
15.3 ·
+·
=6·
–
·
16.
=
.
17.4 ·
=5·
–
7·
= 40.
18.5+
4
·
=.
19.
=512·
10.5|4x–6|=253x–4
.
11.
·
·
= 81.
12.
·
=1.
13.
·
=
.
14.
·
=
.
15. Найдите решение уравнения
=
, удовлетворяю-
щее условию x > –3.
Сведение заменой переменных
алебраичес
ом равне-
нию. Пусть поазательное уравнение имеет вид
g(af(x)) = 0,
(3)
де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = af(x) оно
сводится уравнениям вида
af(x) = yi,
де yi — орни уравнения g(y) = 0 .
Пример 2.Решитьуравнение
–
5·
=6.
Решение.Полаая
= y, получае м вадратное
уравнение
y2– y
–
6=0,
4x1
3
---
9x2
+
4x1
+
1
2
---
9x1
+
.
7
2x2 5x
–9
–
2
- ------- ------- ------ ------ -------
2
()3log2 7
3x2
+
3x
3x1
+
1
25
------
sin x
5cos2x
250,5 sin 2x
16
x5
+
x7
–
------ --------
64
x17
+
x3
–
-----------------
.
33
x
1x
+
------- ------ -----
1
3
---
2xx
++
21x
+
()
---- ------ ------ ------ ------
-
8
x3
–
3x7
–
- -------- ------ --
0,25
3x1
–
x1
–
----- ------ ------
3
0,6
x
25
9
------
x2 12
–
27
125
----------
3
(2,4)1
x
sin
–
[0,41(6)] x
sin 0,5
+
12
5
------
0,5
3x2 4x
+
1
25
------
4x2 2
–
x
+
2x1
–
x22
–
+
2x2 2
–
x
+
5
2
---
§ 10. Показательные уравнения
51
орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом,
решение данноо уравнения сводится решению уравнений
=4,
= –1,5.
Второе уравнение не имеет решений, та а
>0при
всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует,
что
x+
=2.
Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат,
имеем
x2–2=4–4x+x2.
Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5.
Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исход-
ному уравнению.
Ответ. x = 1,5.
Решите уравнение:
16.
–36·
+3=0.
17.3 –10 +3=0.
18.
–
++=6.
19. –
+12=0.
20.
–6·
+
=0.
21.
+2=9·
.
Поазательные уравнения, основания степеней оторых яв-
ляются последовательными членами еометричесой прорес-
сии, а поазали степеней одинаовы, приводятся уравнениям
вида (3) делением на любой из райних членов.
Пример 3. Решитьуравнение
6· –13· +6· =0.
Р е ше н и е. Разделим обе части уравнения на :
6 –13
+6=0.
2xx
22
–
+
2xx
22
–
+
2xx
22
–
+
x2 2–
9x2 1–
3x2 3–
81
x
9x
31x– 31x
+
9x 9–x
64
1
x---
223
x---
+
4log9 x
2log9 x 2log3 27
43x22x
–1
+
23x22x
–
4x
6x
9x
9x
4
9---
x
6
9---
x
50
Глава 2. Уравнения
15.3· + ·
=6·
–·
16.
=
.
17.4·
=5· –7·
= 40.
18.5+
4
·=.
19.
=512·
10.5|4x–6|=253x–4.
11. ·
·
= 81.
12.
·
=1.
13. ·
=
.
14.
·
=
.
15. Найдите решение уравнения
= , удовлетворяю-
щее условию x > –3.
Сведение заменой переменных
алебраичес
ом равне-
нию. Пусть поазательное уравнение имеет вид
g(af(x)) = 0,
(3)
де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = af(x) оно
сводится уравнениям вида
af(x) = yi,
де yi — орни уравнения g(y) = 0.
Пример 2. Решитьуравнение
–5·
=6.
Решение.Полаая
= y, получаем вадратное
уравнение
y2– y–6=0,
4x1
3--- 9x 2+
4x1+ 1
2--- 9x1+.
7
2x2 5x
–9
–
2
----------------------------------
2
()3log2 7
3x 2+
3x
3x 1+
1
25------
sinx
5cos 2x 250,5 sin 2x
16
x5
+
x 7–--------------
64
x17
+
x3–
-----------------
.
33
x
1x
+
------------------
1
3---
2xx
++
21x
+
()
-----------------------------
8
x3–
3x 7–
-----------------
0,25
3x 1–
x1–
-----------------
3
0,6x
25
9------
x2 12
–
27
125
----------
3
(2,4)1 x
sin
–
[0,41(6)] x
sin 0,5
+
12
5------
0,5
3x2 4x
+
1
25------
4x22–x
+
2x1– x22–
+
2x22–x
+
5
2---
§ 10. Показательные уравнения
51
орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом,
решение данноо уравнения сводится решению уравнений
=4,
= –1,5.
Второе уравнение не имеет решений, та а
>0при
всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует,
что
x+
=2.
Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат,
имеем
x2–2 =4 –4x+x2.
Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5.
Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исход-
ному уравнению.
Ответ. x = 1,5.
Решите уравнение:
16.
–
36·
+3=0.
17. 3
–
10
+3=0.
18.
–
+
+
=6.
19.
–
+12=0.
20.
–
6·
+
=0.
21.
+2=9 ·
.
Поазательные уравнения, основания степеней оторых яв-
ляются последовательными членами еометричесой прорес-
сии, а поазали степеней одинаовы, приводятся уравне ниям
вида (3) делением на любой из райних членов.
Пример 3. Решить уравнение
6·
–
13·
+6·
=0.
Р е ше н и е. Разделим обе части уравнения на
:
6
–
13
+6=0.
2xx
22
–
+
2xx
22
–
+
2xx
22
–
+
x22
–
9x2 1
–
3x2 3
–
81
x
9
x
31x
–
31x
+
9x9
–x
64
1
x
---
2
23
x
---
+
4log9 x
2log9 x
2log3 27
43x2 2x
–1
+
23x2 2x
–
4x
6x
9x
9x
4
9
---
x
6
9
---
x
52
Глава 2. Уравнения
Полаая
= y, получаем уравнение
6y2–13y+6=0,
орнями отороо являются y1 =
иy2=
. Таим образом,
решение уравнения сводится решению двух простейших по-
азательных уравнений
=
и
=
.
Ответ.x1=1,x2= –1.
Решите уравнение:
22.7 ·
–
9·
+2·
=0.
23.3 ·
+
=2·
.
24.8x+18x=2 ·27x.
25. 6
–
13
+6
=0.
26.16x–5 ·8x+6·4x=0.
27.23x–3
–
5+6·23–3x =0.
28.27x+12x=2 ·8x.
29.(4+
)x+(4–
)x=62.
30. ()
x+(
)x=10.
31. 91/x + 121/x = 161/x. 32.
–
= 24.
33.5x–1+5·0,2x–2
= 26.
34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.
Уравнение вида
(a(x))b(x)
= (a(x))c(x)
эвивалентно уравнению
a(x)=1
и системе
Пример 4.Решитьуравнение
= |x–2|3x
.
Р е ше н и е. Исходное уравне ние эвивалентно уравнению
|x–2|=1
(*)
2
3
---
x
3
2
---
2
3
---
3
2
---
x3
2
---
3
2
---
x2
3
---
4x2
14x2
49x2
16x 36
x
81x
9
x
6
x
4
x
15
15
526
+
526
–
51 x3
+
51 x3
–
b(x) = c(x).
a(x) > 0.
x2
–
10x2 1
–
§ 10. Показательные уравнения
53
и системе
(**)
Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**)
удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.
Ответ.x1=3,x2=1,x3=0,5,x4=–0,2.
Решите уравнение:
35.
=
.
36.
=1. 37.
=
.
38.
=5.
39.
=
.
Не
оторые специальные приемы решения по
азательных
равнений. В ряде случае уравнения можно свести рассмот-
ренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, ис-
пользуя основное лоарифмичесое тождество.
Пример 5. Решитьуравнение
+
= 162.
Р е ше н и е. Применяя основное лоарифмичесое тожде-
ство, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения:
=
=
.
(*)
Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение:
2·
= 162.
(**)
Уравнение (**) эвивалентно уравнению
= 4, оторое
в свою очередь эвивалентно двум уравнениям
log3x=2, log3x=–2.
Решив их, получаем x1 = 9, x2 = .
Ответ.x1=9,x2= .
Решите уравнение:
40.5lgx=50–xlg5.
41.
+xlgx=20.
42.
–5·2lgx+6=0.
10x2–1=3x,
|x–2|−0.
x3–x1+
4
x3–x2–
x3–3x210x
–3
+
xloga x (aπ)loga
3x
x
()log5 x 1–
xlgx 7+ 104(lgx 1)
+
3log3
2x xlog3x
xlog3 x 3log3 x
()
log3 x 3log3
2x
3log3
2x
log3
2x
1
9---
1
9---
10lg2 x
x2lg2
52
Глава 2. Уравнения
Полаая
= y, получаем уравнение
6y2–13y+6=0,
орнями отороо являются y1 = и y2 = . Таим образом,
решение уравнения сводится решению двух простейших по-
азательных уравнений
=и
=.
Ответ.x1=1,x2=–1.
Решите уравнение:
22.7· –9· +2· =0.
23.3· + =2· .
24.8x+18x=2·27x.
25.6 –13 +6 =0.
26.16x–5·8x+6·4x=0.
27.23x–3–5+6·23–3x=0. 28.27x+12x=2·8x.
29.(4+ )x+(4– )x=62.
30. ()
x+(
)x=10.
31. 91/x + 121/x = 161/x. 32.
–
= 24.
33.5x–1+5·0,2x–2=26.
34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.
Уравнение вида
(a(x))b(x) = (a(x))c(x)
эвивалентно уравнению
a(x)=1
и системе
Пример 4. Решитьуравнение
=|x–2|3x.
Р е ше н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению
|x–2|=1
(*)
2
3---
x
3
2---
2
3---
3
2---
x3
2---
3
2---
x2
3---
4x2
14x2
49x2
16x 36x
81x
9x
6x
4x
15
15
526
+
526
–
51 x3
+
51 x3
–
b(x) = c(x).
a(x) > 0.
x2–10x21–
§ 10. Показательные уравнения
53
и системе
(**)
Уравне ние (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**)
удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.
Ответ.x1=3,x2=1,x3=0,5,x4= – 0,2.
Решите уравнение:
35.
=
.
36.
=1.
37.
=
.
38.
=5.
39.
=
.
Не
оторые специальные приемы решения по
азательных
равнений. В ряде случае уравнения можно свести рассмот-
ренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, ис-
пользуя основное лоарифмичесое тождество.
Пример 5. Решить уравнение
+
= 162.
Р е ше н и е. Применяя основное лоарифмичесое тожде-
ство, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения:
=
=
.
(*)
Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение:
2·
= 162.
(**)
Уравне ние (**) эвивалентно уравне нию
= 4, оторое
в свою очередь эвивалентно двум уравнениям
log3x=2, log3x= –2.
Решив их, получаем x1 = 9, x2 =
.
Ответ.x1=9,x2=
.
Решите уравнение:
40.5lgx = 50 –xlg5.
41.
+xlgx=20.
42.
–
5·2lgx+6=0.
10x2–1 =3x,
|x–2|−0.
x3
–
x1
+
4
x3
–
x2
–
x3
–
3x2 10x
–3
+
x
loga x
(aπ)
loga
3
x
x
()log5 x 1
–
x
lgx 7
+
104(lg x 1)
+
3log3
2
x
x
log3 x
x
log3 x
3log3 x
()
log3 x
3log3
2
x
3log3
2
x
log 3
2
x
1
9
---
1
9
---
10lg2 x
x2lg2
54
Глава 2. Уравнения
Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе
степени, удается решить с помощью исследования фунций,
в ходящих в левую и правую части уравнения.
Пример 6. Решить уравнение
76–x
=x+2.
Решение. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих
решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x мо-
нотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает,
и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не
более, чем в одной точе.
Ответ. x = 5.
Решите уравнение:
43.
+
=
.
44.
+
= 34.
45.
=
.
46.
+(x–1) =6 –2x.
47.(x+1)
+4x·
–
16=0.
48.x2–x+1=2 ·2x–1
–
4x–1
.
49.
+
=
.
50.
+
=
.
51.
= –2x2+6x–9.
§ 11. Логарифмические уравнения
Лоарифмичесим равнением называют уравнение, со-
держащее не известную величину под знаом лоарифма. Про-
стейшее лоарифмичесое уравнение
logax=b, a>0, a−1,
(1)
с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = ab.
Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоа-
рифма находится неоторая фунция f(x):
logaf(x)=b, a>0, a−1,
(2)
23
+
()
x
23
–
()
x
2x
3x1
–
5x1
–
23x2 2x3
–
x21
+
x
-----------------
4x
2x
9
x3
–
3
x3
–
5x12x13x
3x2
4x2
5x2
4
3
---
x
§ 11. Логарифмические уравнения
55
имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравен-
ством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению
f(x) = ab.
Сведение
простейшим лоарифмичес
им равнениям. Не-
оторые лоарифмичесие уравнения решаются с использова-
нием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позво-
ляющих свести решение данноо уравнения решению про-
стейшео лоарифмичесоо уравнения.
Пример1.Решитьуравнение
2–x+3log52=log5(– ).
Р е ше н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравне-
ния в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, за-
пишем уравнение в виде
2–x=log5
.
Последнее уравнение эвивалентно уравнению
=,
оторое можно записать в виде
=9· , или
= ,или
=1.
Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению
x–2=0,решениеоторооестьx=2.
Множество допустимых значений x для данноо уравнения
определяется неравенством
–
>0.
При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2
является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения.
Ответ. x = 2.
Решите уравнение:
1.log5[2+log3(3+x)]=0.
2.lg(5–x)– lg(35–x3)=0.
3.log3( –8)=2–x.
3x52x–
3x52x–
–
8
---------------------------
3x52x–
–
8
--------------------------- 52 x–
3x
52 x–
3x2– 52x–
15x 2–
3x52x–
1
3---
3x
54
Глава 2. Уравнения
Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе
степени, удается решить с помощью исследования фунций,
входящих в левую и правую части уравнения.
Пример 6. Решитьуравнение
76–x=x+2.
Решение. Кореньx = 5 можно найти подбором. Друих
решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x мо-
нотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает,
и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не
более, чем в одной точе.
Ответ. x = 5.
Решите уравнение:
43.
+
=.
44.
+
=34. 45.
=
.
46.
+(x–1) =6–2x.
47.(x+1)
+4x·
–16=0.
48.x2–x+1=2·2x–1–4x–1.
49. +
=.
50.+=.
51.
=–2x2+6x–9.
§ 11. Логарифмические уравнения
Лоарифмичесим равнением называют уравнение, со-
держащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Про-
стейшее лоарифмичесое уравнение
logax=b, a>0, a−1,
(1)
с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = ab.
Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоа-
рифма находится неоторая фунция f(x):
logaf(x)=b, a>0, a−1,
(2)
23
+
()
x
23
–
()
x
2x
3x1– 5x1–
23x2 2x3
–
x2 1+
x
-----------------
4x
2x
9x 3–
3x 3–
5x 12x 13x
3x2
4x2
5x2
4
3---
x
§ 11. Логарифмические уравнения
55
имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравен-
ством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению
f(x) = ab.
Сведение
простейшим лоарифм ичес
им равнениям. Не-
оторые лоарифмичесие уравнения решаются с использова-
нием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позво-
ляющих свести решение данноо уравнения решению про-
стейшео лоарифмичесоо уравнения.
Пример1.Решитьуравнение
2–x+3log52=log5(– )
.
Р е ше н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравне-
ния в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, за-
пишем уравнение в виде
2–x =log5
.
Последнее уравнение эвивалентно уравнению
=
,
оторое можно записать в виде
=9·
,
или
=
,
или
=1.
Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению
x–2 =0,решениеоторооестьx=2.
Множество допустимых значений x для данноо уравнения
определяется неравенством
–
>0.
При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2
является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения.
Ответ. x = 2.
Решите уравнение:
1.log5[2+log3(3+x)]=0.
2.lg(5–x)– lg(35–x3)=0.
3. log3 (
–
8)=2 –x.
3x5
2x
–
3x5
2x
–
–
8
--------------------------
-
3x5
2x
–
–
8
--------------------------
-
5
2x
–
3x
52x
–
3x2
–
52x
–
15x 2
–
3x5
2x
–
1
3
---
3
x
56
Глава 2. Уравнения
4.
( –6)–
( –2)=2.
5.lg(3x2+12x+19)–lg(3x+4)=1.
Лоарифмичесое уравнение вида
loga (x) f(x) = loga (x) g(x)
эвивалентно уравнению
f(x) = g (x),
рассматриваемому на множестве допустимых значений x, зада-
в аемом системой неравенств
f(x)>0, g(x)>0, a(x)>0, a(x)−1.
Если в данное уравне ние входят лоарифмы по разным ос-
нованиям, то предварительно необходимо привести все лоа-
рифмы одному основанию.
Пример 2.Решитьуравнение
lg
+ lg(2x+15)=1.
(*)
Р е ше н и е. Множество допустимых значений неизвестно-
о x для данноо уравнения находится а решение системы
и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства
лоарифмов, преобразуем уравнение (*) виду
lg(
·
)=1.
Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем
иррациональное уравнение
= 10,
имеющее решения x1 = 5, x2 = – 1 1,5. Множеству допустимых
значен ий исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5,
оторый и является решением уравнения (*).
Ответ. x = 5.
Решите уравнение:
6.2log3(x–2)+log3(x–4)2=0.
7. log5
= log5
.
log
5
4x
log
5
2x
x1
–
1
2
---
x–1>0,
2x+15>0
x1
–
2x 15
+
x1
–
()
2x 15
+
()
2x
+
10
--------------
2
x1
+
--------------
§ 11. Логарифмические уравнения
57
18.0,5lg(x2–10x+25)+lg(x2–6x+3)=
=2lg(x–5)+0,5lg25.
19. lg
– lgx–lg =0.
10.lg(x(x+9))+lg =0.
11.log2(2x2–2)=log2(5x–4).
12.
=3.
13.logx+1(x–0,5)=logx–0,5(x+1).
14.
(x3+3x2–2x–1)=log2xx+log2x2.
15.log1+x(2x3+2x2–3x+1)=3.
16.logx+1(x3–9x+8)·logx–1(x+1)=3.
17.logx+1(x2+x–6)2=4.
18.
(9–16x4)=2+
.
19. log3x +
=1.
20.logx16+log2x64=3.
21.20log4x +7log16xx3–3logx/2x2=0.
22.logx2–log4x+ =0.
23.2– (1+x)=3logb
–
(x2 – 1)2.
24.3logx4+2log4x4+3log16x4=0.
Сведение заменой переменных
алебраичес
ом равне-
нию. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид
f(loga x) = 0,
де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x
оно сводится уравнениям вида (1):
logax=yi,
де yi — орни уравнения f(y) = 0.
Пример 3. Решитьуравнение
(log2x)2–5log2x+6=0.
1
10------ x2 4x
–4
+
3
1
2---
1
x
-------
x9+
x--------------
lg35x3
–
()
lg5x–
()
-------------------------------
logx3 2x2 3x
–5
++
log34x2
–
1
log2 34x2
–
()
--------------------------------------
3
x--- log3
2x
x
7
6---
logb2
x 1– logb4
56
Глава 2. Уравнения
4.
( –6)–
( –2)=2.
5.lg(3x2+12x+19)–lg(3x+4)=1.
Лоарифмичесое уравнение вида
loga (x) f(x) = loga (x) g(x)
эвивалентно уравнению
f(x) = g (x),
рассматриваемому на множестве допустимых значений x, зада-
ваемом системой неравенств
f(x)>0, g(x)>0, a(x)>0, a(x)−1.
Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным ос-
нованиям, то предварительно необходимо привести все лоа-
рифмы одному основанию.
Пример 2. Решитьуравнение
lg
+ lg(2x+15)=1.
(*)
Р е ше н и е. Множество допустимых значений неизвестно-
о x для данноо уравнения находится а решение системы
и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства
лоарифмов, преобразуем уравнение (*) виду
lg(
·
)=1.
Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем
иррациональное уравнение
= 10,
имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых
значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5,
оторый и является решением уравнения (*).
Ответ. x = 5.
Решите уравнение:
6.2log3(x–2)+log3(x–4)2=0.
7.log5 =log5 .
log54x
log52x
x1– 1
2---
x–1>0,
2x+15>0
x1– 2x15
+
x1–
()
2x 15
+
()
2x
+
10
--------------
2
x1+
--------------
§ 11. Логарифмические уравнения
57
18.0,5lg(x2–10x+25)+lg(x2–6x+3)=
=2lg(x–5)+0,5lg25.
19. lg
–
lgx–lg
=0.
10.lg(x(x+9))+lg
=0.
11. log2(2x2 – 2)=log2(5x – 4).
12.
=3.
13.logx+1(x–0,5)=logx–0,5(x+1).
14.
(x3+3x2–2x–1)=log2xx+log2x2.
15.log1+x(2x3+2x2–3x+1)=3.
16.logx+1(x3–9x+8)·logx–1(x+1)=3.
17.logx+1(x2+x–6)2=4.
18.
(9–16x4)=2+
.
19. log3x +
=1.
20.logx16+log2x64 =3.
21. 20 log4x
+7log16xx3–3logx/2x2=0.
22.logx2–log4x+ =0.
23.2 –
(1+x)=3logb
–
(x2 – 1)2.
24.3logx4+2log4x4+3log16x4 =0.
Сведение заменой переменных
алебраичес
ом равне-
нию. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид
f(loga x) = 0,
де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x
оно сводится уравнениям вида (1):
logax=yi,
де yi — орни уравнения f(y) = 0.
Пример 3. Решить уравнение
(log2x)2–5log2x+6=0.
1
10
------
x2 4x
–4
+
3
1
2
---
1
x
-------
x9
+
x
--------------
lg35x3
–
()
lg5x
–
()
-------------------------------
logx3 2x2 3x
–5
++
log34x 2
–
1
log2 34
x2
–
()
--------------------------------------
3
x
---
log3
2
x
x
7
6
---
logb2
x1
–
logb4
58
Глава 2. Уравнения
Р е ше н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение
y2–5y+6=0,
орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3 . Следовательно, ис-
ходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1):
log2x=2, log2x=3,
имеющимрешенияx1=4иx2=8.
Ответ.x1=4,x2=8.
Решите уравнение:
25.lg3x–lg2x–6lgx=0.
26. 2
–
–
6=0.
27.
x–30
+36=0.
28. log1/9
· log1/9 x tg2
= 2cos2
.
29.
log3x+1=0.
30.4 –lgx=3
.
31.3+
2
l
g=
2
.
32.
=lg
.
33. log3( –
1
)l
o
g
3(–
3
)
=
6
.
34. 2log2 log2 x + log1/2 log2 (2 x) = 1.
Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравне нии
содержится а под знаом лоарифма, та и в основании сте-
пени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить
лоарифмированием обеих ео частей с последующим исполь-
зованием приведенных выше методов решения.
Пример 4.Решитьуравнение
= 38.
Р е ше н и е. Пролоарифм ируем обе части уравнения по
основанию 3:
log3 ()
=
l
o
g
3 38.
Используя свойства лоарифмов, получаем уравне ние
(2+log3x)log3x=8.
2log16
2
x
3
log2 x
3
3
4
---
log
3
3
log3
3
x
x
27
------
π
3
---
4π
3
-------
1l
o
g
x
27
+
lgx
lgx
1
x
---
lgx
–
() x2
3x
3x1
+
2
x
2l
o
g
3x
+
x
2l
o
g
3x
+
§ 11. Логарифмические уравнения
59
Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, прихо-
дим вадратному уравнению
y2+2y–8=0,
имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие
лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо урав-
нения:
log3x=–4_x=3–4,log3x=2_x=32.
Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.
Решите уравнение:
35.
=.
36.
=
.
37.
= 10x3.
38.
=1.
39.9xlgx+9x–lgx=60.
40.
+
=3.
41.
=
.
42.7·
=5+
.
Использование свойств лоарифмичес
ой фн
ции. Нео-
торые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью
исследования поведения фунций, входящих в левую и правую
части уравнения.
Пример 5. Решитьуравнение
log7(x+2)=6–x.
Р е ше н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является
решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та
а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x
убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь
более одной точи пересечения.
Ответ. x = 5.
x2lg3x 1,5lgx
–
10
xlg2x lgx3 3
++
2
1
x 1+1
–
----------------------------
1
x 1+1
+
-----------------------------
–
-----------------------------------------------------------------
x2lg2 x
15log5 3 xlog5 9x 1
+
xlog2
2x2 log22x
–2
–
(x 2)
+ log(x 2)
+24
x
3
log3 x2
()
3
---------------------------
x
()
log3 x
–
1
log3 x
--------------------
+
x
3
log2 x2
()
3
--------------------------- logx
1
22
-----------
+
x7+
()
2
log2x 7+
()
-----------------------------------
58
Глава 2. Уравнения
Р е ше н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение
y2–5y+6=0,
орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, ис-
ходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1):
log2x=2, log2x=3,
имеющимрешенияx1=4иx2=8.
Ответ.x1=4,x2=8.
Решите уравнение:
25.lg3x–lg2x–6lgx=0.
26. 2
–
–6=0.
27.
x–30
+36=0.
28.log1/9 ·log1/9 xtg2 =2cos2 .
29.
log3x+1=0. 30.4–lgx=3 .
31.3+
2
l
g=
2
. 32.
=lg .
33. log3 ( –1)log
3(–
3
)
=
6
.
34. 2log2 log2 x + log1/2 log2 (2 x) = 1.
Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении
содержится а под знаом лоарифма, та и в основании сте-
пени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить
лоарифмированием обеих ео частей с последующим исполь-
зованием приведенных выше методов решения.
Пример 4. Решитьуравнение
= 38.
Р е ше н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по
основанию 3:
log3 ()
=
l
o
g
3 38.
Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение
(2+log3x)log3x=8.
2log16
2x
3
log2 x
3
3
4--- log 3
3
log3
3x
x
27------
π
3---
4π
3-------
1logx 27
+
lgx
lgx
1
x---
lg x–() x2
3x
3x 1+
2
x2log3 x
+
x2log3 x
+
§ 11. Логарифмические уравнения
59
Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, прихо-
дим вадратному уравнению
y2+2y–8 =0,
имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2 . Наонец, решив простейшие
лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо урав-
нения:
log3x=–4_x=3
–4
,l
o
g3x=2_x=32.
Ответ.x1=32,x2=3
–4
.
Решите уравнение:
35.
=
.
36.
=
.
37.
= 10x3.
38.
=1.
39.9xlgx+9x–lgx =60.
40.
+
=3.
41.
=
.
42.7 ·
=5+
.
Использование свойств лоарифмичес
ой фн
ции. Нео-
торые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью
исследования поведения фунций, входящих в левую и правую
части уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
log7(x+2)=6 –x.
Р е ше н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является
решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та
а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x
убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь
более одной точи пересечения.
Ответ. x = 5.
x2lg3x 1,5lgx
–
10
xlg2x lgx3 3
++
2
1
x1
+1
–
----------------------------
1
x1
+1
+
-----------------------------
–
----------------------------------------------------------------
-
x2lg2 x
15log5 3
x
log5 9x 1
+
x
log 2
2
x2 log22x
–2
–
(x 2)
+
log
(x 2)
+24
x
3
log3 x2
()
3
---- ------ ------ ------- ---
-
x
()
log3 x
–
1
log3 x
------ ------ ------ --
+
x
3
log2 x2
()
3
- ------ ------ ------ ------ -
-
logx
1
22
------ -----
+
x7
+
()
2
log
2
x7
+
()
----- -------- ------ ------ ------ ---
-
60
Глава 2. Уравнения
Решите уравнение:
43.(x+1)
+4xlog3x–16 =0.
44.3x2–2x3=log2(x2+1)–log2x.
45.
= 10 –log2x.
46.
+(x–1)log2x=6 –2x.
§ 12. Разные задачи
Решите уравнение:
1.
=
·
.
2.
+
=8·
.
3.
–
=1.
4.
+
=1.
5.
=2·
.
6.
=
.
7.
= 100.
8.
=(
)x.
9.
+
=
–
.
10.10(x+1)(3x+4)–2 ·10(x+1)(x+2)=
.
11.
–
5·
+6·
=0.
12.log3[(x+2)(x–3)]=4logx(2x+1)–
7.
13.lg2x3–20lg
+1=0.
14.|1–log1/6x|+2=|3–log1/6x|.
15.
(x+|x–2|)=logx(5x–6+5|x–2|).
16.logx+1(x2+x–6)2=4.
17.
=1.
18. log5 [
–
]=
–
3 log1/5 2.
19.5 ·
+4·5cos2x =
.
20.
+
=
.
21.
=
.
log 3
2
x
3x
log2
2
x
122x 4
+
33x
4x8
+
2x4
(x 1)/2
+
3x/3
2x3
x/2
(sin 1)x (cos 1)x
10x2
100x
xx
(x)
x
5x
8x
x1
+
xx2
3
x
113x 2
–
133x 2
–
133x 1
–
113x 1
–
101 x
–
x2
–
9x
12x
16x
log
7
x
log
x
1l
o
g
2x4
–
()
+
log
2
x3
+
x3
–
–
()
---------------------------------------------------------------
-
(25
+)
x
(5 2)x
–
1
2
---
1
25
------
sin2 x
25
1
2
---
sin 2x
743
+
()
cos x
743
–
()
cos x
5
2
---
1
3
---
log9 x2 2x 4
++
()
6log1/6 x 2
+
()
Глава 3
Системы уравнений
Несольо уравнений
F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ...,
Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,
рассматриваемых совместно, называют системой равнений.
Решением этой системы называют упорядоченный набор зна-
чений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тож-
дества.
Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она
совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то
оворят, что она несовместна.
Линейным равнением с n неизвестными называют урав-
нение вида
a1x1+a2x2+...+anxn=b,
де a1, a2, ..., an, b—неоторые числа.
Систему уравнений называют линейной, если все уравне-
ния системы линейные. Совместную систему уравнений назы-
вают определенной, если она имеет единственное решение
(т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обра-
щающий все уравнения системы в тождества).
Совместную систему уравнений называют неопределенной,
если она имеет более одноо решения. Две совместные системы
уравнений называют эвивалентными, если множества их ре-
шений совпадают.
При решении систем уравнений часто используют следую-
щие преобразования системы, приводящие системе уравне-
ний, эвивалентной исходной.
1.Если обе части аоо-либо уравнения системы умно-
жить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная
система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе
несовместны, или же обе совместны и множества их решений
совпадают).
2.Если обе части аоо-либо уравнения системы, умно-
женные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из со-
ответствующих частей друоо уравнения и составить систему,
в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-
60
Глава 2. Уравнения
Решите уравнение:
43.(x+1)
+4xlog3x–16=0.
44.3x2–2x3=log2(x2+1)–log2x.
45. =10–log2x.
46.
+(x–1)log2x=6–2x.
§ 12. Разные задачи
Решите уравнение:
1.
=·.2.+
=8· .
3.–=1.
4.
+
=1.
5.
=2· .
6.=
.
7.
= 100.
8.
=( )x.
9.
+
=
–
.
10. 10(x+1)(3x+4)–2·10(x+1)(x+2)=
.
11. –5· +6· =0.
12.log3[(x+2)(x–3)]=4logx(2x+1)–
7.
13.lg2x3–20lg +1=0.
14.|1–log1/6x|+2=|3–log1/6x|.
15.
(x+|x–2|)=logx(5x–6+5|x–2|).
16.logx+1(x2+x–6)2=4.
17.
=1.
18. log5 [
–
]= –3log1/52.
19.5·
+4·5cos2x=
.
20.
+
=.
21.
=
.
log3
2x
3x
log2
2x
122x4+ 33x4x8
+
2x 4(x 1)/2
+
3x/3
2x 3x/2
(sin 1)x (cos 1)x
10x2
100x
xx (x)x
5x 8x
x1
+
xx2
3
x
113x 2– 133x 2– 133x 1– 113x 1–
101 x– x2
–
9x
12x
16x
log 7
x
log x
1log2 x 4–
()
+
log2x3+ x3–
–
()
----------------------------------------------------------------
(25
+)
x (52)x
–
1
2---
1
25------
sin2x
25
1
2--- sin 2x
743
+
()
cos x
743
–
()
cosx 5
2---
1
3---
log9 x2 2x 4
++
()
6log1/6 x 2
+
()
Глава 3
Системы уравнений
Несольо уравнений
F1(x1, x2, ..., x
n
)=0, F2(x1,x2, ..., x
n
)=0, ...,
Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,
рассматриваемых совместно, называют системой равнений.
Решением этой системы называют у порядоченный набор зна-
чений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тож-
дества.
Если система уравне ний имеет решения, то оворят, что она
совместна. Если же система уравнений не имее т решений, то
оворят, что она несовместна.
Линейным равнением с n неизвестными называют урав-
нение вида
a1x1+a2x2+...+anx
n
=b,
де a1, a2, ..., an, b—неоторые числа.
Систему уравнений называют линейной, если все уравне-
ния системы линейные. Совместную систему уравнений назы-
вают определенной, если она имеет единственное реше ние
(т. е . существует единстве нный набор чисел k1, ..., kn, обра-
щающий все уравнения системы в тождества).
Совместную систему уравнений называют неопределенной,
если она имеет более одноо решения. Две совместные системы
уравнений называют эвивалентными, если множества их ре-
шений совпадают.
При решении систем уравнений часто используют следую-
щие преобразования системы, приводящие системе уравне-
ний, эвивалентной исходной.
1.Если обе части аоо-либо уравнения системы умно-
жить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная
система будет эвивалентна первоначальной (т. е . они или обе
несовместны, или же обе совместны и множества их решений
совпадают).
2.Если обе части аоо-либо уравнения системы, умно-
женные на неоторое (отличное от нуля) число, в ычесть из со-
ответствующих частей друоо уравнения и составить систему,
в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравне ни-
62
Г л а в а 3. Системы уравнений
ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравне-
ния оставлены без измене ний, то получе нная система будет
эвивалентна исходной.
§ 13. Системы линейных уравнений
Метод Гасса. При нахождении решений систем ы m линей-
ных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод
Гасса, состоящий в том, что систему приводят треуольно-
му или трапециедальному виду.
Пример1.Решитьсистему
(*)
Р е ше н и е. Умножим обе части первоо уравнения систе-
мы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим
уравнение –5y – 8z = –18, или
5y+8z=18.
Далее, умножив обе части первоо уравнения сис темы (*) на
(–2) и сложив с третьим ее уравне нием, получаем уравнение
–3y–4z = –10,или
3y+4z=10.
Следовательно, данную систему можно записать в виде эвива-
лентной системы, в оторой второе и третье уравнения не со-
держат неизвестноо x:
(**)
Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а
третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем урав-
не нию 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна сле-
дующей:
(***)
Ита, исходная система приведена треуольному виду. Под-
ставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.
0x+2y+3z=8,
3x+0y+0z=6,
2x+0y+2z=6.
x+2y+3z=18,
x+5y+8z=18,
x+3y+4z=10.
x+2y+3z=18,
x+5y+8z=18,
x+2y+8z=11.
§ 13. Системы линейных уравнений
63
Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же
системы, находим x = 1.
Ответ.x=1,y=2,z=1.
Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Решение и исследование систем двх линейных равнений
с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
(1)
при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от
нуля. Обозначим через ∆, и соответственно следующие
определители:
∆=
= a11a22 – a12a21,
∆x=
= b1a22 – b2a12,
∆y=
= a11b2 – a21b1.
Тода справедливо следующее утверждение.
Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение
x=,y=.
2x+2y+2z=7,
2x+2y+2z=8,
2x+2y+2z=9.
3x–4y+5z=18,
2x+4y–3z=26,
0x–6y+8z=00.
10x–y–19z=19,
18x–y–12z=10,
10x–y–12z=10.
0x+2y+0z+7=0,
2x+2y–0z–1=0,
3x–2y+2z–2=0.
–+=1,
–+=1,
–+=1.
x
a3------ y
a2------ z
a---
x
b3----- y
b2----- z
b---
x
c3----- y
c2----- z
c---
x+a2y+b2z=0,
x+ay+ bz=0,
x+ y+ z=1.
a11x + a12y = b1,
a21x+a22y=b2
∆x ∆y
a11
a21
a12
a22
b1
b2
a12
a22
a11
a21
b1
b2
∆x
∆------
∆y
∆------
62
Г л а в а 3. Системы уравнений
ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравне-
ния оставлены без изменений, то полученная система будет
эвивалентна исходной.
§ 13. Системы линейных уравнений
Метод Гасса. При нахождении решений системы m линей-
ных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод
Гасса, состоящий в том, что систему приводят треуольно-
му или трапециедальному виду.
Пример1.Решитьсистему
(*)
Р е ше н и е. Умножим обе части первоо уравнения систе-
мы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим
уравнение –5y – 8z = –18, или
5y+8z=18.
Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на
(–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение
–3y–4z=–10,или 3y+4z=10.
Следовательно, данную систему можно записать в виде эвива-
лентной системы, в оторой второе и третье уравнения не со-
держат неизвестноо x:
(**)
Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а
третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем урав-
нению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна сле-
дующей:
(***)
Ита, исходная система приведена треуольному виду. Под-
ставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.
0x+2y+3z=8,
3x+0y+0z=6,
2x+0y+2z=6.
x+2y+3z=18,
x+5y+8z=18,
x+3y+4z=10.
x+2y+3z=18,
x+5y+8z=18,
x+2y+8z=11.
§ 13. Системы линейных уравнений
63
Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же
системы, находим x = 1.
Ответ.x =1,y=2,z =1.
Решите систе му линейных уравнений методом Гаусса:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Решение и исследование с истем двх линейных равнений
с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
(1)
при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от
нуля. Обозначим через ∆,
и
соотве тственно следующие
определители:
∆=
= a11a22 – a12a21,
∆x
=
= b1a22 – b2a12,
∆y=
= a11b2 – a21b1.
Тода справедливо следующее утверждение.
Если ∆ − 0, то систе ма (1) имеет единственное решение
x=
,
y=
.
2x+2y+2z=7,
2x+2y+2z=8,
2x+2y+2z=9.
3x–4y+5z=18,
2x+4y–3z=26,
0x–6y+8z=00.
10x–y
–
19z = 19,
18x–y
–
12z = 10,
10x–y
–
12z = 10.
0x+2y+0z+7=0,
2x+2y–0z–1 =0,
3x–2y+2z–2 =0.
–
+ =1,
–
+ =1,
–
+ =1.
x
a3
------
y
a2
------
z
a
---
x
b3
-----
y
b2
-----
z
b
---
x
c3
-----
y
c2
-----
z
c
--
-
x+a2y+b2z=0,
x+ay+bz=0,
x+ y+ z=1.
a11x + a12y = b1,
a21x+a22y=b2
∆x ∆y
a11
a21
a12
a22
b1
b2
a12
a22
a11
a21
b1
b2
∆x
∆
------
∆y
∆
------
64
Г л а в а 3. Системы уравнений
Если∆ =0,то:
1) в случае, о да хотя бы один из определителей
или
не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е.
не имеет решений);
2) в случае, о да
=
= 0, система (1) является сов-
местной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо ре-
шений).
Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответ-
ствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие
между переменными x и y определяет в прямоуольной системе
оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное
решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются.
Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые
совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны.
П р и м е р 2. Решить и исследовать систему
Р е ше н и е. Вычислим определители ∆,
и
:
∆=
= a2–1,
=
=2a–2a=0,
=
= 2a2–2.
1.Пусть∆=a2–1−0,т.е.a−ä1.Вэтомслучаесистема
имеет единственное решение:
x=
=
=0,y=
=
=2.
2.Пусть∆=a2–1 =0,т.е.a =ä1.Вэтомслучае∆=
=
=
= 0, т. е . система совместная и неопределенная.
При a = 1 система примет вид
и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные ра-
венствомx+y=2.
∆x
∆y
∆x ∆y
ax+ay=2,
ax+ay=2a.
∆x ∆y
a
1
1
a
∆x
2
2a
1
a
∆y
a
1
2
2a
∆x
∆
------
0
a21
–
----------------
∆y
∆
------
2a2 2
–
a21
–
--------------------
∆x
∆y
x+y=2,
x+y=2,
§ 13. Системы линейных уравнений
65
Приa=–1имеем
^
и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные ра-
венствомx–y=–2.
Ответ.Приa − ä1 система имеет единственное решение
x=0,y=2;
при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих,
чтоx+y=2;
при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих,
чтоx–y=–2.
Исследуйте систему уравнений:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых
система
была бы неопределенной.
14. Совместны ли уравнения
x+ay=b+c,
x+by=c+a,
x+cy=a+b,
де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c—действительные числа?
–x+y=2,
–x–y=–2
x–y=–2,
x–y=–2,
x+ay–1=0,
ax–3ay–(2a+3)=0.
3x+ay=5a2,
3x–ay=a2.
(a+5)x+(2a+3)y–(3a+2)=0,
(3a+10)x+(5a+6)y–(2a+4)=0.
a(a–1)x+(a+1)ay=a3+2,
(a2–1)x+(a3+1)y=a4–1.
ax–y=b,
bx+y=a.
(a2+b2)x+(a2–b2)y=a2,
(a+b)x+(a–b)y=a.2
(3m–5p+b)x+(8m–3p–a)y=1,
(2m–3p+b)x+(4m–p)y=2,
64
Г л а в а 3. Системы уравнений
Если∆=0,то:
1) в случае, о да хотя бы один из определителей или
не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е.
не имеет решений);
2) в случае, о да = = 0, система (1) является сов-
местной и неопределенной (т.е. имеет бесонечно мноо ре-
шений).
Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответ-
ствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие
между переменными x и y определяет в прямоуольной системе
оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное
решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются.
Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые
совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны.
П р и м е р 2. Решить и исследовать систему
Р е ше н и е. Вычислим определители ∆, и :
∆=
=a2–1,
=
=2a–2a=0,
=
=2a2–2.
1.Пусть∆=a2–1−0,т.е.a−ä1.Вэтомслучаесистема
имеет единственное решение:
x==
=0,y= =
=2.
2.Пусть∆=a2–1=0,т.е.a=ä1.Вэтомслучае∆= =
= = 0, т. е. система совместная и неопределенная.
При a = 1 система примет вид
и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные ра-
венствомx+y=2.
∆x
∆y
∆x ∆y
ax+ay=2,
ax+ay=2a.
∆x ∆y
a
1
1
a
∆x
2
2a
1
a
∆y
a
1
2
2a
∆x
∆------
0
a2 1–
----------------
∆y
∆------ 2a2 2–
a2 1–
--------------------
∆x
∆y
x+y=2,
x+y=2,
§ 13. Системы линейных уравнений
65
Приa= –1имеем
^
и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные ра-
венствомx–y =–2.
Ответ.При a − ä1 сис те ма имеет единст вен ное решение
x=0,y=2;
при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих,
чтоx+y=2;
при a = – 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих,
чтоx–y =–2.
Исследуйте систему уравнений:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. Найдите таие значе ния параметров m и p, при оторых
система
была бы неопределенной.
14. Совместны ли уравнения
x+ay=b+c,
x+by=c+a,
x+cy=a+b,
де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c—действительные числа?
–x+y=2,
–x
–y=–2
x–y = –2,
x–y = –2,
x+ay–1 =0,
ax–3ay–(2a+3)=0.
3x+ay=5a2,
3x–ay=a2.
(a+5)x+(2a+3)y–(3a+2)=0,
(3a+10)x+(5a+6)y–(2a+4)=0.
a(a–1)x+(a+1)ay=a3+2,
(a2–1)x+(a3+1)y=a4–1.
ax–y =b,
bx+y=a.
(a2+b2)x+(a2–b2)y=a2,
(a+b)x+(a–b)y=a.2
(3m–5p+b)x+(8m–3p
–
a)y=1,
(2m–3p+b)x+(4m–p)y=2,
66
Г л а в а 3. Системы уравнений
15. Числа a и b таовы, что система
имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b.
16. При аих значениях a и b система
имеет бесонечно мноо решений?
17. При аих значениях a система
не имеет решений?
18. Числа a, b и c таовы, что система
имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно
из этих решений. Найдите a, b и c.
19. При аих значениях параме тра a система уравнений
не имеет решений?
20. При аих значениях параме тра a система
имеет бесонечно мноо решений?
§ 14. Системы нелинейных уравнений
Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из
уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными ли-
нейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают сле-
дующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно
a2x–ay=1 –a,
bx+(3–2b)y=3+a,
a2x–by=a2–b,
bx–b2y=2+4b
a2x+(2–a)y=4+a3,
ax+(2a–1)y=a5–2
ax–by=2a–b,
(c+1)x+cy=10 –a+3b
ax–4y=a+1,
2x+(a+6)y=a+3,
2x+ay=a+2,
(a+1)x+2ay=2a+4
§ 14. Системы нелинейных уравнений
67
неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравне-
ние, оторое после этоо превращается в алебраичесое урав-
нение с одним неизвестным.
Пример1.Решитьсистему
Решение.Извторооуравненияследует,чтоy=–x–8.
Подставив это выражение вместо y в первое уравнение систе-
мы, получим
x2+(x+8)2+6x–2(x+8)=0,
или
x2+10x+24=0,
отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем
из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система
имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2).
Ответ. (–4; –4), (–6; –2).
Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях,
ода одно из двух уравнений нелинейной системы однород-
ное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно
неизвестное системы через друое.
x2+y2+6x+2y=0,
x+y+8=0.
(x–y)(x2–y2)=45,
x+y=5.
(x+0,2)2+(y+0,3)2=1,
x+y=0,9.
+=,
x+y=5.
x
y--- y
x--- 13
6------
(x+y)4+4(x+y)2–117=0,
x–y=25.
x2+y2=2(xy+2),
x+y=6.
x2+y2+10x–10y=2xy–21,
x+y=5.
66
Г л а в а 3. Системы уравнений
15. Числа a и b таовы, что система
имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b.
16. При аих значениях a и b система
имеет бесонечно мноо решений?
17. При аих значениях a система
не имеет решений?
18. Числа a, b и c таовы, что система
имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно
из этих решений. Найдите a, b и c.
19. При аих значениях параметра a система уравнений
не имеет решений?
20. При аих значениях параметра a система
имеет бесонечно мноо решений?
§ 14. Системы нелинейных уравнений
Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из
уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными ли-
нейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают сле-
дующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно
a2x–ay=1–a,
bx+(3–2b)y=3+a,
a2x–by=a2–b,
bx–b2y=2+4b
a2x+(2–a)y=4+a3,
ax+(2a–1)y=a5–2
ax–by=2a–b,
(c+1)x+cy=10–a+3b
ax–4y=a+1,
2x+(a+6)y=a+3,
2x+ay=a+2,
(a+1)x+2ay=2a+4
§ 14. Системы нелинейных уравнений
67
неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравне-
ние, оторое после этоо превращается в алебраичесое урав-
нение с одним неизвестным.
Пример1.Решитьсистему
Р е ше н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x
–
8.
Подставив это выражение вместо y в первое уравне ние систе-
мы, получим
x2+(x+8)2+6x–2(x+8)=0,
или
x2+10x+24=0,
отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем
из уравнения y = –x
–
8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система
имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2).
Ответ. ( –4; –4), (–6; –2).
Решите систе му уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях,
ода одно из двух уравнений нелинейной системы однород-
ное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно
неизвестное системы через друое.
x2+y2+6x+2y=0,
x+y+8=0.
(x–y)(x2–y2)=45,
x+y=5.
(x+0,2)2+(y+0,3)2=1,
x+y=0,9.
+=
,
x+y=5.
x
y
---
y
x
---
13
6
------
(x+y)4+4(x+y)2–117=0,
x–y =25.
x2+y2=2(xy+2),
x+y=6.
x2+y2+10x–10y=2xy–21,
x+y=5.
68
Г л а в а 3. Системы уравнений
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
(*)
Р е ше н и е. Первое уравнение систе мы (*) — однородное.
Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвест-
ноо t = вадратное уравнение
t2–5t+6=0,
орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2 . Таим образом, име-
ем следующие линейные зависимости между неизвестными,
в ходящими в исходную систему (*):
x=3y, x=2y.
(**)
Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе урав-
не ние данной системы, приходим вадратным уравнениям
y2=1иy2=2,имеющиморниy1,2
= ä1,y3,4
=ä
. Соответ-
ствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**).
Ответ.(3;1),(–3;–1),(2 ; ),(–2 ;– ).
Систему вида
d1−0, d2−0,
сводят системе, содержащей однородное уравне ние, следую-
щим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2,
обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразован-
ных уравне ния. В результате получают однородное уравнение.
Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой,
содержащей полученное однородное уравнение и одно из урав-
не ний исходной системы.
П р и м е р 3. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Умножив обе части первоо уравне ния на 2,
обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения,
приходим однородному уравнению
x2–2y2–xy=0.
x2–5xy+6y2=0,
x2+y2=10.
x
y
---
2
22
2
2
a1x2+b1y2+c1xy=d1,
a2x2+b2y2+c2xy=d2,
x2–y2=1,
x2+xy=2.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
69
Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относитель-
но z = вадратное уравнение
z2–z–2=0,
орни отороо z1 = –1, z2 = 2.
Таим образом, исходная система эвивалентна двум сис-
темам
и
первая из оторых несовместна, а решением второй являются
две пары чисел:
;и–;–.
Ответ.;,
–;
–.
Решите систему уравнений:
7.
8.
9.
10.
Симметричес
ие системы. Систему уравнений с n неизвест-
ными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не ме-
няется при перестанове неизвестных. Если система содержит
два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы мож-
но найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y,
v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства:
x2+y2=(x+y)2–2xy=u2–2v,
x3+y3=(x+y)3–3xy(x+y)=u3–3uv,
x4+y4=(x2+y2)2–2x2y2=
=((x+y)2–2xy)2–2x2y2=(u2–2v)2–2v2,
позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3,
x4 + y4 через неизвестные u и v.
x
y---
x2–y2=1,
=–1
x
y---
x2–y2=1,
=2,
x
y---
23
3----------- 3
3-------
23
3----------- 3
3-------
23
3----------- 3
3-------
23
3----------- 3
3-------
x2y3 + x3y2 = 12,
x2y3–x3y2=4.
x3+y3=65,
x2y+xy2=20.
x4–y4=15,
x3y–xy3=6.
x2+2y2=17,
x2–2xy=–3.
68
Г л а в а 3. Системы уравнений
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
(*)
Р е ше н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное.
Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвест-
ноо t = вадратное уравнение
t2–5t+6=0,
орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, име-
ем следующие линейные зависимости между неизвестными,
входящими в исходную систему (*):
x=3y, x=2y.
(**)
Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе урав-
нение данной системы, приходим вадратным уравнениям
y2=1иy2=2,имеющиморниy1,2=ä1,y3,4=ä .Соответ-
ствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**).
Ответ.(3;1),(–3;–1),(2 ; ),(–2 ;– ).
Систему вида
d1−0, d2−0,
сводят системе, содержащей однородное уравнение, следую-
щим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2,
обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразован-
ных уравнения. В результате получают однородное уравнение.
Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой,
содержащей полученное однородное уравнение и одно из урав-
нений исходной системы.
П р и м е р 3. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2,
обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения,
приходим однородному уравнению
x2–2y2–xy=0.
x2–5xy+6y2=0,
x2+y2=10.
x
y---
2
22
22
a1x2+b1y2+c1xy=d1,
a2x2+b2y2+c2xy=d2,
x2–y2=1,
x2+xy=2.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
69
Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относитель-
но z = вадратное уравнение
z2–z
–
2=0,
орни отороо z1 = –1, z2 = 2.
Таим образом, исходная система эвивалентна двум сис-
темам
и
первая из оторых несовместна, а реше нием второй являются
две пары чисел:
;
и–
;–
.
Ответ.;,
–
;
–
.
Решите систе му уравнений:
7.
8.
9.
10.
Симметричес
ие системы. Систему уравнений с n неизвест-
ными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не ме-
няется при перестанове неизвестных. Если система содержит
два не известных (x и y), то часто решение таой системы мож-
но найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y,
v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства:
x2+y2=(x+y)2–2xy=u2–2v,
x3+y3=(x+y)3–3xy(x+y)=u3–3uv,
x4+y4=(x2+y2)2–2x2y2=
= ((x+y)2–2xy)2–2x2y2=(u2–2v)2–2v2,
п озволяющие выразить омб инации неизвестн ых x2 + y2, x3 + y3,
x4 + y4 через неизвестные u и v.
x
y
---
x2–y2=1,
=–1
x
y
---
x2–y2=1,
=2,
x
y
---
23
3
-----------
3
3
-------
23
3
-----------
3
3
-------
23
3
-----------
3
3
-------
23
3
-----------
3
3
-------
x2y3 + x3y2 = 12,
x2y3–x3y2=4.
x3+y3=65,
x2y+xy2=20.
x4–y4=15,
x3y–xy3=6.
x2+2y2=17,
x2–2xy= –3.
70
Г л а в а 3. Системы уравнений
П р и м е р 4. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Это — симметричесая система. Положим
v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство
x2+y2=(x+y)2–2xy,
получаем относительно новых неизвестных систему
единственным решение м оторой является u = 6, v = 8. Возвра-
щаясь первоначальным неизвестным, сведем исходную сис-
тему более простой системе
решение оторой можно найти, используя, например, теорему
Виета.
Ответ. (2; 4), (4; 2).
Решите систему уравнений:
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Используя омб инации изложенных ранее методов, решите
систему уравнений:
19.
20.
x2+y2=2(xy+2),
x+y=6.
u2–2v=2v+4,
u=6,
x+y=6,
xy=8,
x2y+y2x=20,
+=
.
1
x
---
1
y
---
5
4
---
x2+y2=a,
+
=b.
1
x2
------
1
y2
------
x4+y4=82,
x+y=4.
x3+y3=9,
xy=2.
x3+y3=2,
xy(x+y)=2.
(x2 + y2)xy = 78,
x4+y4=97.
5(x4 + y4) = 41(x2 + y2),
x2+y2+xy=13.
x4+y4=97,
xy=6.
(x2–x+1)(y2–y+1)=3,
(x+1)(y+1)=6.
+
=
,
x2+y2=5.
xy
+
xy
–
--------------
xy
–
xy
+
-------------
-
10
3
------
§ 14. Системы нелинейных уравнений
71
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвест-
ными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неиз-
вестных
u=x+y+z, v=xy+yz+zx, w=xyz.
При этом удобно использовать следующие равенства:
x2+y2+z2=(x+y+z)2–2(xy+yz+zx)=u2–2v,
x3+y3+z3=(x+y+z)3–
–3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz=u3–3uv+3w.
П р и м е р 5. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Данная система является симметричесой.
Введя вспомоательные неизвестные
x+y+z=u, xy+yz+zx=v, xyz=w
и используя равенство
x3+y3+z3=u3–3uv+3w,
получаем систему
или, возвращаясь старым неизвестным, систему
(*)
2x3y2 – y3x2 = 36,
2x2y–y2x=6.
xy–x+y=1,
x2y–y2x=30.
xy+x–y=3,
x2y–xy2=2.
x2+xy+x=10,
y2+xy+y=20.
x2+xy+2y2=37,
2x2+2xy+y2=26.
x2–xy+y2=19,
x4+x2y2+y4=931.
(x2+1)(y2+1)=10,
(x+y)(xy–1)=3.
x5–y5=3093,
x–y=3.
x+y+z=1,
xy+yz+zx=–4,
x3+y3+z3=1.
u=1,
v=–4,
u3–3uv+3w=1,
x+y+z=1,
xy+yz+zx=–4,
xyz = –4.
70
Г л а в а 3. Системы уравнений
П р и м е р 4. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Это — симметричесая система. Положим
v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство
x2+y2=(x+y)2–2xy,
получаем относительно новых неизвестных систему
единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвра-
щаясь первоначальным неизвестным, сведем исходную сис-
тему более простой системе
решение оторой можно найти, используя, например, теорему
Виета.
Ответ. (2; 4), (4; 2).
Решите систему уравнений:
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Используя омбинации изложенных ранее методов, решите
систему уравнений:
19.
20.
x2+y2=2(xy+2),
x+y=6.
u2–2v=2v+4,
u=6,
x+y=6,
xy=8,
x2y+y2x=20,
+=.
1
x--- 1
y--- 5
4---
x2+y2=a,
+ =b.
1
x2------ 1
y2------
x4+y4=82,
x+y=4.
x3+y3=9,
xy=2.
x3+y3=2,
xy(x+y)=2.
(x2 + y2)xy = 78,
x4+y4=97.
5(x4 + y4) = 41(x2 + y2),
x2+y2+xy=13.
x4+y4=97,
xy=6.
(x2–x+1)(y2–y+1)=3,
(x+1)(y+1)=6.
+
=,
x2+y2=5.
xy
+
xy
–-------------- xy
–
xy
+
-------------- 10
3------
§ 14. Системы нелинейных уравнений
71
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвест-
ными x, y, z обычно решают с помощью введения новых не из-
вестных
u=x+y+z, v=xy+yz+zx, w=xyz.
При этом удобно использовать следующие равенства:
x2+y2+z2=(x+y+z)2–2(xy+yz+zx)=u2–2v,
x3+y3+z3=(x+y+z)3–
–
3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz=u3–3uv+3w.
П р и м е р 5. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Данная система является симме тричесой.
Введя вспомоательные неизвестные
x+y+z=u, xy+yz+zx=v, xyz=w
и используя равенство
x3+y3+z3=u3–3uv+3w,
получаем систе му
или, возвращаясь старым неизвестным, систему
(*)
2x3y2 – y3x2 = 36,
2x2y–y2x=6.
xy–x+y=1,
x2y–y2x=30.
xy+x–y =3,
x2y–xy2=2.
x2+xy+x=10,
y2+xy+y=20.
x2+xy+2y2=37,
2x2+2xy+y2=26.
x2–xy+y2=19,
x4+x2y2+y4=931.
(x2+1)(y2+1)=10,
(x+y)(xy–1)=3.
x5–y5=3093,
x–y =3.
x+y+z=1,
xy+yz+zx= –4,
x3+y3+z3=1.
u=1,
v= –4,
u3–3uv+3w=1,
x+y+z=1,
xy+yz+zx= –4,
xyz = –4.
72
Г л а в а 3. Системы уравнений
Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы
Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо
мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам
t1+t2+t3= –a,
t1t2+t1t3+t2t3=b,
t1t2t3 = –c .
Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо урав-
не ния
t3–t2–4t+4=0
(**)
связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z систе-
мы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных
x=t1, y=t2, z=t3
есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симмет-
ричности системы решениями являются таже следующие трой-
и значений неизвестных:
x=t2, y=t1, z=t3,
x=t3, y=t2, z=t1,
x=t1, y=t3, z=t2,
x=t2, y=t3, z=t1,
x=t3, y=t1, z=t2.
Таим образом, решение данной системы сводится нахож-
дению орней убичесоо уравнения (**); ими являются чис-
лаt1=2,t2= –2,t3=1.
Ита, решения исходной системы — это следующие упорядо-
ченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2);
(1; –2; 2); (2; 1; –2).
Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2);
(2; 1; –2).
Решите систему уравнений:
29.
30.
Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными ре-
шают с помощью введения вспомоательных неизвестных.
x+y+z=0,
x2+y2+z2=x3+y3+z3,
xyz=2.
x+y+z=1,
x2+y2+z2=1,
x3+y3+z3=1.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
73
П р и м е р 6. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Данная система равносильна системе
или
(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая = u,
= v, = w, получаем линейную систему относительно новых
неизвестных:
Ее решение есть тройа чисел ; ;
. Ита, решени-
ем исходной системы является тройа чисел ; ;
.
Ответ.;; .
В отличие от систем линейных уравнений системы нелиней-
ных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях,
ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простей-
ший пример таой системы представляет собой система, состоя-
щая из одноо уравнения
(x–1)2+(y–2)2+(z–3)2=0,
единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.
=5,
=3,
=4.
3xy
xy
+
--------------
2xz
xz
+
-------------
yz
yz
+-------------
=,
=,
=,
xy
+
xy
-------------- 3
5---
xz
+
xz
------------- 2
3---
yz
+
yz
------------- 1
4---
+=,
+=,
+=
1
y--- 1
x--- 3
5---
1
x--- 1
z--- 2
3---
1
y--- 1
z--- 1
4---
1
x---
1
y---
1
z---
u+v= ,
u+w= ,
w+v= .
3
5---
2
3---
1
4---
61
120
---------- 11
120
---------- 19
120
----------
120
61---------- 120
11---------- 120
19----------
120
61---------- 120
11---------- 120
19----------
72
Г л а в а 3. Системы уравнений
Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы
Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо
мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам
t1+t2+t3=–a,
t1t2+t1t3+t2t3=b,
t1t2t3 = –c.
Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо урав-
нения
t3–t2–4t+4=0
(**)
связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z систе-
мы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных
x=t1, y=t2, z=t3
есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симмет-
ричности системы решениями являются таже следующие трой-
и значений неизвестных:
x=t2, y=t1, z=t3,
x=t3, y=t2, z=t1,
x=t1, y=t3, z=t2,
x=t2, y=t3, z=t1,
x=t3, y=t1, z=t2.
Таим образом, решение данной системы сводится нахож-
дению орней убичесоо уравнения (**); ими являются чис-
лаt1=2,t2=–2,t3=1.
Ита, решения исходной системы — это следующие упорядо-
ченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2);
(1; –2; 2); (2; 1; –2).
Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2);
(2; 1; –2).
Решите систему уравнений:
29.
30.
Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными ре-
шают с помощью введения вспомоательных неизвестных.
x+y+z=0,
x2+y2+z2=x3+y3+z3,
xyz=2.
x+y+z=1,
x2+y2+z2=1,
x3+y3+z3=1.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
73
П р и м е р 6. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Данная систе ма равносильна системе
или
(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая = u,
=v,
= w, получае м линейную систему относительно новых
неизвестных:
Ее решение есть тройа чисел
;
;
. Ита, решени-
ем исходной системы является тройа чисел
;
;
.
Ответ.;; .
В отличие от систем линейных уравнений системы нелиней-
ных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях,
ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простей-
ший пример таой системы представляет собой система, состоя-
щая из одноо уравнения
(x–1)2+(y–2)2+(z–3)2=0,
единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.
=5,
=3,
=4.
3xy
xy
+
--------------
2xz
xz
+
-------------
yz
yz
+
-------------
=
,
=
,
=
,
xy
+
xy
--------------
3
5
---
xz
+
xz
-------------
2
3
---
yz
+
yz
-------------
1
4
---
+=
,
+=
,
+=
1
y
---
1
x
---
3
5
---
1
x
---
1
z
---
2
3
---
1
y
---
1
z
---
1
4
---
1
x
---
1
y
---
1
z
---
u+v=
,
u+w=
,
w+v=
.
3
5
---
2
3
---
1
4
---
61
120
----------
11
120
----------
19
120
----------
120
61
----------
120
11
----------
120
19
----------
120
61
----------
120
11
----------
120
19
----------
74
Г л а в а 3. Системы уравнений
П р и м е р 7. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат,
имеем
x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=16.
(*)
Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, полу-
чаем уравнение
x2+y2+2z2+2yz+2zx=0,
оторое можно записать в виде
(x+z)2+(y+z)2=0.
Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z.
Возвращаясь исходной системе, находим из первоо урав-
ненияz= –4и,следовательно,x =4,y =4.
Полученное решение (4; 4; –4) и является реше нием исход-
ной системы.
Ответ. (4; 4; –4).
Решите систему уравнений:
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
x+y+z=4,
2xy–z2=16.
y2+xy–z2=4,
x+5y=8.
x2–2yz= –1,
y+z–x =1.
3xy –
= –5,
xy+
= –5,
yz–
=1.
16
xz
-- - ----
8
yz
------
3
xy
-------
x+y=
,
x+z=
,
y+z=
.
xy
1xy
+
-----------------
-
xz
1xz
+
-----------------
yz
1yz
+
-----------------
x2–(y–z)2=a,
y2–(z–x)2=b,
z2–(x–y)2=c.
=a,
=b,
=c.
xyz
yz
+
-------------
xyz
zx
+
-------------
xyz
xy
+
-------------
-
x+y+z=13,
x2+y2+z2=91,
y2=xz.
xy+yz+zx=11,
x2+y2+z2=14,
xyz=6.
x+y+z=0,
x2+y2+z2=2(y–x
–
z) –2,
x3+y3+z3=3(x2–y2+z2).
§ 14. Системы нелинейных уравнений
75
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Системы, содержащие иррациональное равнение. Если
среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее
решения обычно освобождаются от иррациональности. При
этом используют те же методы, что и для решения иррацио-
нальных уравнений.
П р и м е р 8. Решить систему уравнений
Решение.Полаая
=uи
= v, получаем
симметричесую систему нелинейных уравнений
(*)
решенияоторойu=2,v=1иu=1,v=2.Возвращаясьис-
ходным неизвестным, приходим двум системам линейных
уравнений:
Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — ре-
шениеx=0,y=–11.
Ответ. (3; 4); (0; –11).
x+y+z=1,
4x2+y2+z2–5x=x3+y3+z3–2,
xyz=2+yz.
2(x+y)=xy,
xy+yz+zx=108,
xyz = 180.
x(x+y+z)=a,
y(x+y+z)=b,
z(x+y+z)=c.
x2+y2=axyz,
y2+z2=bxyz,
z2+x2=cxyz.
x2y=x+y–z,
z2x=x–y+z,
y2x=y–x+z.
4xy+x2+y2=1,
8xz+x2+4z2=–2,
8yz+y2+4z2=1.
2(x2 + y2) = xyz,
10(y2 + z2) = 29xyz,
5(z2 + x2) = 13xyz.
xyz2=–y–2x,
2x2yz=–y–z,
3xy2z=2x–z.
xy+x+y=7,
yz+y+z=–3,
zx+x+z=–5.
+
=3,
5x–y=11.
15x
+
4
5y–
4
15x
+
4
5y–
4
u+v=3,
u4+v4=17,
1+5x=16,
5–y=1,
1+5x=1,
5–y=16.
74
Г л а в а 3. Системы уравнений
П р и м е р 7. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат,
имеем
x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=16.
(*)
Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, полу-
чаем уравнение
x2+y2+2z2+2yz+2zx=0,
оторое можно записать в виде
(x+z)2+(y+z)2=0.
Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z.
Возвращаясь исходной системе, находим из первоо урав-
ненияz=–4и,следовательно,x=4,y=4.
Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исход-
ной системы.
Ответ. (4; 4; –4).
Решите систему уравнений:
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
x+y+z=4,
2xy–z2=16.
y2+xy–z2=4,
x+5y=8.
x2–2yz=–1,
y+z–x=1.
3xy– =–5,
xy+ =–5,
yz– =1.
16
xz-------
8
yz------
3
xy-------
x+y=
,
x+z=
,
y+z=
.
xy
1xy
+
------------------
xz
1xz
+
-----------------
yz
1yz
+-----------------
x2–(y–z)2=a,
y2–(z–x)2=b,
z2–(x–y)2=c.
=a,
=b,
=c.
xyz
yz
+-------------
xyz
zx
+-------------
xyz
xy
+
--------------
x+y+z=13,
x2+y2+z2=91,
y2=xz.
xy+yz+zx=11,
x2+y2+z2=14,
xyz=6.
x+y+z=0,
x2+y2+z2=2(y–x–z)–2,
x3+y3+z3=3(x2–y2+z2).
§ 14. Системы нелинейных уравнений
75
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Системы, содержащие иррациональное равнение. Если
среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее
решения обычно освобождаются от иррациональности. При
этом используют те же методы, что и для решения иррацио-
нальных уравнений.
П р и м е р 8. Решить систему уравнений
Решение.Полаая
=uи
= v, получаем
симметричесую систему нелинейных уравнений
(*)
решенияоторойu=2,v=1иu=1,v=2.Возвращаясьис-
ходным неизвестным, приходим двум системам линейных
уравнений:
Первая система имее т решение x = 3, y = 4, а вторая — ре-
шениеx=0,y= –11.
Ответ. (3; 4); (0; –11).
x+y+z=1,
4x2+y2+z2–5x=x3+y3+z3–2,
xyz=2+yz.
2(x+y)=xy,
xy+yz+zx=108,
xyz = 180.
x(x+y+z)=a,
y(x+y+z)=b,
z(x+y+z)=c.
x2+y2=axyz,
y2+z2=bxyz,
z2+x2=cxyz.
x2y=x+y–z,
z2x=x –y+z,
y2x=y –x+z.
4xy+x2+y2=1,
8xz+x2+4z2=–2,
8yz+y2+4z2=1.
2(x2 + y2) = xyz,
10(y2 + z2) = 29xyz,
5(z2 + x2) = 13xyz.
xyz2 = –y
–
2x,
2x2yz = –y
–
z,
3xy2z=2x–z.
xy+x+y=7,
yz+y+z= –3,
zx+x+z= –5.
+
=3,
5x–y =11.
15
x
+
4
5y
–
4
15
x
+
4
5y
–
4
u+v=3,
u4+v4=17,
1+5x=16,
5–y =1,
1+5x=1,
5–y =16.
76
Г л а в а 3. Системы уравнений
Решите систему уравнений:
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Используя изложенные ранее методы, решите систему урав-
не ний:
57.
58.
59.
60.
–
=1,
3x+2y=4.
2 xy1
++
xy
+
+
=3,
2x+y=7.
x2y
+
3
xy
–2
+
3
+
= 3(x–y),
x2–y2=41.
x2 xy
–
xy y2
–
+
=8
,
+
=4.
x2 y2
+
2xy
2
x
y
+
=5,
x2+y2=13.
x25
+
y25
–
+
=2,
x–2y+1=0.
x
y
+
=8,
x+y–
+
–
2
=2.
x
y
x
y
xy
xy+
=8(
+
),
(x+y)3/2–(x–y)3/2=26.
x2y2 y4
–
xy
+
xy
–
3x2+2xy+y2=11,
x2+2xy+3y2=17.
x2+xy+y2=19(x–y)2,
x2–xy+y2=7(x–y).
(x–1)2+(y+1)2–z2=0,
x–z
–
1=0.
+
=
,
–
=
.
2xy
+
3
y
----------------------
-
2xy
+
3
2x
----------------------
-
81
182
----------
2xy
–
3
y
----------------------
2xy
–
3
2x
----------------------
1
182
----------
§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений
77
61.
62.
§ 15. Системы показательных
и логарифмических уравнений
Для решения системы, содержащей поазательное или лоа-
рифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или ло-
арифмичесое) уравнение алебраичесому уравнению, а за-
тем решают полученную алебраичесую систему.
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Множество допустимых значений неизвестных
x и y определяется системой неравенств
(*)
Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо
в виде
=
следует, что
x–y+6=6–2y;
из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде
log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3,
следует, что
(x–2y)(3x+2y)=27.
Таим образом, решение исходной системы сводится ре-
шению системы уравнений
(**)
рассматриваемой на множестве допустимых значений неиз-
вестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо урав-
нения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение,
получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются
x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим
x+y–z=2,
x2+y2+z2=6,
x3+y3–z3=8.
x2+xy+y2=1,
y2+yz+z2=3,
x2+xz+z2=7.
8=
log3(x–2y)+log3(3x+2y)=3.
(2)xy
–
0,5y 3– ,
x–2y>0,
3x+2y>0.
(2)xy
–6
+
(2)62y
–,
x–y+6=6–2y,
(x–2y)(3x+2y)=27,
76
Г л а в а 3. Системы уравнений
Решите систему уравнений:
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Используя изложенные ранее методы, решите систему урав-
нений:
57.
58.
59.
60.
–
=1,
3x+2y=4.
2xy1
++ xy
+
+
=3,
2x+y=7.
x2y
+
3
xy
–2
+
3
+
=3(x–y),
x2–y2=41.
x2 xy
–
xy y2
–
+
=8,
+ =4.
x2 y2
+
2xy 2
xy
+
=5,
x2+y2=13.
x2 5+
y2 5–
+ =2,
x–2y+1=0.
xy
+ =8,
x+y– + –2 =2.
xy
xyxy
xy+
=8(
+
),
(x+y)3/2–(x–y)3/2=26.
x2y2 y4
–
xy
+
xy
–
3x2+2xy+y2=11,
x2+2xy+3y2=17.
x2+xy+y2=19(x–y)2,
x2–xy+y2=7(x–y).
(x–1)2+(y+1)2–z2=0,
x–z–1=0.
+
=,
–
=.
2xy
+
3
y
----------------------- 2 xy
+
3
2x
----------------------- 81
182
----------
2xy
–
3
y
---------------------- 2 xy
–
3
2x
---------------------- 1
182
----------
§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений
77
61.
62.
§ 15. Системы показательных
и логарифмических уравнений
Для решения системы, содержащей поазательное или лоа-
рифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или ло-
арифмичесое) уравнение алебраичесому уравнению, а за-
тем решают полученную алебраичесую систему.
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Множество допустимых значений неизвестных
x и y определяется системой неравенств
(*)
Из поазательноо уравне ния исходной системы, записанноо
в виде
=
следует, что
x–y+6=6 –2y;
из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде
log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3,
следует, что
(x–2y)(3x+2y)=27.
Таим образом, решение исходной системы сводится ре-
шению систе мы уравнений
(**)
рассматриваемой на множестве допустимых значений неиз-
вестных, задавае мом системой (*). Выражая y из первоо урав-
нения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение,
получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются
x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим
x+y–z =2,
x2+y2+z2=6,
x3+y3–z3=8.
x2+xy+y2=1,
y2+yz+z2=3,
x2+xz+z2=7.
8=
log3(x –2y)+log3(3x+2y)=3.
(2)xy
–
0,5
y3
–
,
x–2y>0,
3x+2y>0.
(2)xy
–6
+
(2)62y
–
,
x–y+6=6 –2y,
(x–2y)(3x+2y)=27,
78
Г л а в а 3. Системы уравнений
y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3),
(–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет
системе неравенств (*).
Ответ. (3; –3).
Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
logyx+logxy =2,
x2–y =20.
log4x–log2y=0,
x2–2y2–8 =0.
=
,
= y4–5.
4xy
+
2yx
–
4
log
2
x
+
= 12,
+
=
.
x2
y
------
y2
x
------
2log2x
–
5log5 (1/y) 1
3
---
x+y=12,
2(2logyx–log1/xy)=5.
–
7·
=
,
y–x =3.
4x
2
x
y
2
---
–
23y
–
3+
7–
6
=
0
,
lg(3x–y)+lg(x+y)–4lg2=0.
2
3
---
2xy
–
2
3
---
2xy
–
()
/2
= 32,
log3(x–y)=1 –log3(x+y).
4
x
y
---
y
x
---
+
–
27·
=0,
lgx+ lgy=lg(4– ).
9 xy2
4
3y
1
4
---
1
2
---
x
4
·
= 1152,
(x+y)=2.
3x
–
2y
log
5
·
=6,
·
= 12.
2x3
y
3x4
y
=1,
lg(x+y)–1 =lg6 –lg(x+2y).
(0,48
x22
+
)2xy
–
=1,
x–y =2.
xx2 y2
–1
6
–
§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений
79
Если основание степени в поазательном уравнении систе-
мы является фунцией неизвестных, то таую систему можно
свести системе рациональных уравнений, принимая в ачест-
ве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторо-
му основанию.
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по ос-
нованию 5, получаем эвивалентную исходной систему
Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений
(*)
Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во
второе, придем уравнению
=3,
имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения сис-
темы(*)находим(априy=1,таиприy=–1),чтоz=1.
Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом,
решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1)
и (5; –1).
Ответ. (5; 1); (5; –1).
Решите систему уравнений:
14.
15.
16.
17.
18.
19.
=5,
= 125.
x2y2 1–
xy2 2
+
(2y2–1)log5x=1,
(y2+2)log5x=3.
(2y2–1)z=1,
(y2+2)z=3.
y2 2+
2y2 1–
--------------------
y=1+log4x,
xy=46.
y–log3x=1,
xy = 312.
(x+y)3y–x= ,
3log5(x+y)=x–y.
5
27------
xx–2y=36,
4(x–2y)+log6x=9.
(x+y)·
= 6,25,
=5.
2y 2x
–
(xy)
+
1
2xy
–
-----------------
lg
=1,
lgy–lg|x|=lg2.
(xy)2
+
78
Г л а в а 3. Системы уравнений
y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3),
(–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет
системе неравенств (*).
Ответ. (3; –3).
Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
logyx+logxy=2,
x2–y=20.
log4x–log2y=0,
x2–2y2–8=0.
=,
=y4–5.
4xy
+
2yx
–
4log2x
+ =12,
+
=.
x2
y------ y2
x------
2log2x
–
5log5 (1/y) 1
3---
x+y=12,
2(2logyx–log1/xy)=5.
–7·
=,
y–x=3.
4x
2
xy
2---–
23 y–
3+
7–
6
=
0
,
lg(3x–y)+lg(x+y)–4lg2=0.
2
3---
2xy
–
2
3---
2xy
–
()
/2
= 32,
log3(x–y)=1–log3(x+y).
4
x
y--- y
x---+
–27· =0,
lgx+ lgy=lg(4– ).
9 xy2
4
3y
1
4---
1
2---
x4
· = 1152,
(x+y)=2.
3x– 2y
log 5
· =6,
· =12.
2x 3y
3x 4y
=1,
lg(x+y)–1=lg6–lg(x+2y).
(0,48x2 2
+ )2xy
–
=1,
x–y=2.
xx2 y2
–1
6
–
§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений
79
Если основание сте пени в поазательном уравнении систе-
мы является фунцией неизвестных, то таую систему можно
свести системе рациональных уравнений, принимая в ачест-
ве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторо-
му основанию.
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по ос-
нованию 5, получаем эвивалентную исходной систему
Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений
(*)
Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во
второе, придем уравнению
=3,
имеющему решения y1 = 1, y2 = – 1 . Из первоо уравне ния сис-
темы(*)находим(априy=1,таиприy= –1),чтоz=1.
Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом,
решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1)
и (5; –1).
Ответ. (5; 1); (5; –1).
Решите систе му уравнений:
14.
15.
16.
17.
18.
19.
=5,
= 125.
x2y2 1
–
xy2 2
+
(2y2–1)log5x=1,
(y2+2)log5x=3.
(2y2–1)z=1,
(y2+2)z=3.
y22
+
2y2 1
–
--------------------
y=1+log4x,
xy=46.
y–log3x=1,
xy = 312.
(x+y)3y–x
=
,
3log5(x+y)=x –y.
5
27
------
xx–2y
= 36,
4(x–2y)+log6x=9.
(x+y)·
= 6,25,
=5.
2y 2x
–
(xy
)
+
1
2xy
–
-- ------ ---------
lg
=1,
lgy–lg|x|=lg2.
(xy
)2
+
80
Г л а в а 3. Системы уравнений
Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных
уравнений сводятся системам рациональных уравнений непо-
средственной заменой входящих в них лоарифмов (или соот-
в етственно степеней) новыми неизвестными.
П р и м е р 3. Решить систему уравнений
Решение.Полааяz=
иu=
, приходим систе-
ме рациональных уравнений
оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе
Решениями этой системы являются следующие пары чисел:
(25; 8); (8; 25).
Возвращаясь исходным неизвестным, получаем две систе-
мы уравнений
имеющиерешенияx =8,y =9иx=(log58)3,y =(log225)2.
Ответ. (8; 9); (27
2;4
5).
Решите систему уравнений:
20.
21.
22.
·
= 200,
+
= 689.
5x
3
2y
52x
3
22y
5x
3
2y
zu = 200,
z2+u2=689,
zu = 200,
z+u=33.
= 25,
=8,
5x
3
2y
=8,
= 25,
5x
3
2y
log5
3
log2
2
+
=5,
+
=8.
2xy2
–
4xy1
–
3xy
+
()
xy
–
----------------------
5xy
–
()
xy
+
----------------------
(x2+y)·
=1,
9(x2+y)=
.
2yx
2
–
6x2 y
–
–
2·
= 71,
+2·
= 21,
+
= 16.
11xz
5y
11z
5y/2
11(xz) z
–
5y/2
§ 16. Разные задачи
81
§ 16. Разные задачи
Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.zx=x, zy=y, yy=x.
8.
= x2,5,
log3y·logy(y–2x)=1.
yxlogy x
log2x+log4y+log4z=2,
log3y+log9z+log9x=2,
log4z+log16x+log16y=2.
=100 ,
=
.
10lg 1
2--- x2 y2
+
()
1,5
+
10
x2 10y
+
3
----------------------------
6
2x210y
+9
–
------------------------------------------
=y2 ,
=.
xx4 y
+
y2
3
yx4 y
+
x2
3
logy |logy x| = logx |logx y|,
lg2x+lg2y=8.
log12 x
+log2y =log2x,
log2x·log3(x+y)=3log3x.
1
logx 2
----------------
loga x · loga (xyz) = 48,
loga y · loga (xyz) = 12,
logaz·loga(xyz)=84, a>0, a−1.
80
Г л а в а 3. Системы уравнений
Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных
уравнений сводятся системам рациональных уравнений непо-
средственной заменой входящих в них лоарифмов (или соот-
ветственно степеней) новыми неизвестными.
П р и м е р 3. Решить систему уравнений
Решение.Полааяz= иu= ,приходимсисте-
ме рациональных уравнений
оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе
Решениями этой системы являются следующие пары чисел:
(25; 8); (8; 25).
Возвращаясь исходным неизвестным, получаем две систе-
мы уравнений
имеющиерешенияx=8,y=9иx=(log58)3,y=(log225)2.
Ответ. (8; 9); (27 2; 4 5).
Решите систему уравнений:
20.
21.
22.
· =200,
+ =689.
5x3 2y
52 x3
22y
5x3
2y
zu = 200,
z2+u2=689,
zu = 200,
z+u=33.
= 25,
=8,
5x3
2y
=8,
= 25,
5x3
2y
log5
3
log2
2
+
=5,
+
=8.
2xy2– 4xy1–
3xy
+
()
xy
–
---------------------- 5 xy
–
()
xy
+
----------------------
(x2+y)·
=1,
9(x2+y)=
.
2yx2
–
6x2 y–
–2· =71,
+2· =21,
+ =16.
11xz 5y
11z
5y/2
11(xz)z
–
5y/2
§ 16. Разные задачи
81
§ 16. Разные задачи
Решите систе му уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.zx=x, zy=y, yy=x.
8.
= x2,5
,
log3y·logy(y–2x)=1.
yx
logy x
log2x+log4y+log4z=2,
log3y+log9z+log9x=2,
log4z+log16x+log16y=2.
= 100
,
=
.
10
lg1
2
---
x2 y2
+
()
1,5
+
10
x2 10y
+
3
----------------------------
6
2x210y
+9
–
------------------------------------------
=y2
,
=
.
xx
4
y
+
y2
3
yx
4
y
+
x2
3
logy |logy x| = logx |logx y|,
lg2x+lg2y=8.
log12 x
+log2y =log2x,
log2x·log3(x+y)=3log3x.
1
logx 2
----------------
loga x · loga (xyz) = 48,
loga y · loga (xyz) = 12,
logaz·loga(xyz)=84, a>0, a−1.
Глава 4
Неравенства.
Уравнения и неравенства
с параметрами
Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих пе-
ременных (арументов). Решить неравенство
f(x)<0 (f(x)>0)
(1)
—
это значит найти все значения аруме нта (арументов) фун-
ции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество
в сех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых
неравенство (1) справедливо, называют множеством решений
неравенства или просто решением неравенства.
Множество решений нестрооо неравенства
f(x)m0 (f(x)l0)
(2)
представляет собой объединение множества решений неравен-
ства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0.
Два неравенства называют эвивалентными, если множе-
ства их решений совпадают.
Под множеством допстимых значений неизвестных,
в ходящих в неравенство, понимают область определения фун-
ции f(x).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных
фунций fi(x), моу т быть сведены в систему неравенств. Ре-
шить систему неравенств — это значит найти множество всех
значений аруме нтов фунций fi(x), при оторых справедливы
в се неравенства системы одновременно.
Говорят, что системы нераве нств эвивалентны, если мно-
жества их решений совпадают.
§ 17. Рациональные и иррациональные
неравенства
Алебраичес
ие неравенс тва. Линейными неравенствами
(строими и нестроими) называют неравенства вида
ax+b>0, ax+b<0, ax+bl0, ax+bm0, a−0,
решениями оторых являются соответственно следующие про-
межути:
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
83
еслиa>0,то
xÝ–;+×,xÝ–×;– ,xÝ–;+×,xÝ–×;– ;
еслиa<0,то
xÝ–×;– ,xÝ–;+×,xÝ–×;– ,xÝ–;+×.
Квадратными неравенствами (строими и нестроими)
называют неравенства вида
ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0,
ax2+bx+cl0, ax2+bx+cm0,
де a, b, c—неоторые действительные числа и a − 0.
Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости
от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие ре-
шения:
еслиa>0иD=b2–4acl0,то
xÝ –×;
Ÿ
;
+
×;
еслиa>0иD<0,тоxÝR(т.е.x—любоедействительное
число);
еслиa<0иD>0,то
xÝ
;;
еслиa<0иD<0,тоxÝ3⁄4(т.е.решенийнет).
Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится решению
рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравен-
ства умножить на (–1).
Метод интервалов. Пусть Pn(x)— мноочлен n-й степени
с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все дейст-
вительные орни мноочлена, ратности оторых соответствен-
но равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x)
можно представить в виде
Pn(x)= x–c1 x–c2 ... x–ci Qm(x), (3)
де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо
положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для
b
a---
b
a---
b
a---
b
a---
b
a---
b
a---
b
a---
b
a---
b–D
–
2a
-----------------------
b– D
+
2a
------------------------
b– D
–
2a
----------------------- b– D
+
2a
------------------------
()
k1 ()
k2 ()
kl
Глава 4
Неравенства.
Уравнения и неравенства
с параметрами
Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих пе-
ременных (арументов). Решить неравенство
f(x)<0 (f(x)>0)
(1)
— это значит найти все значения арумента (арументов) фун-
ции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество
всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых
неравенство (1) справедливо, называют множеством решений
неравенства или просто решением неравенства.
Множество решений нестрооо неравенства
f(x)m0 (f(x)l0)
(2)
представляет собой объединение множества решений неравен-
ства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0.
Два неравенства называют эвивалентными, если множе-
ства их решений совпадают.
Под множеством допстимых значений неизвестных,
входящих в неравенство, понимают область определения фун-
ции f(x).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных
фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Ре-
шить систему неравенств — это значит найти множество всех
значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы
все неравенства системы одновременно.
Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если мно-
жества их решений совпадают.
§ 17. Рациональные и иррациональные
неравенства
Алебраичес
ие неравенства. Линейными неравенствами
(строими и нестроими) называют неравенства вида
ax+b>0, ax+b<0, ax+bl0, ax+bm0, a−0,
решениями оторых являются соответственно следующие про-
межути:
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
83
еслиa>0,то
xÝ–;+×,xÝ–
×;–
,xÝ–;+×,xÝ–
×;– ;
еслиa<0,то
xÝ–
×;–
,xÝ–;+×,xÝ–
×;–
,xÝ–;+×.
Квадратными неравенствами (строими и нестроими)
называют неравенства вида
ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0,
ax2+bx+cl0, ax2+bx+cm0,
де a, b, c—неоторые действительные числа и a − 0.
Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости
от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие ре-
шения:
еслиa>0иD=b2–4acl0,то
xÝ–
×;
Ÿ
;
+
×;
еслиa>0иD<0,тоxÝR(т.е.x—любоедействительное
число);
еслиa<0иD>0,то
xÝ
;;
еслиa<0иD<0,тоxÝ3⁄4(т.е.решенийнет).
Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится решению
рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравен-
ства умножить на (–1).
Метод интервалов. Пусть Pn(x)— мноочлен n-й степени
с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., c
i — все дейст-
вительные орни мноочлена, ратности оторых соответствен-
но равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x)
можно представить в виде
Pn(x)= x –c1
x–c2
...
x – ci Qm(x),
(3)
де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо
положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для
b
a
---
b
a
---
b
a
---
b
a
---
b
a
---
b
a
---
b
a
---
b
a
---
b
–
D
–
2a
-----------------------
b
–
D
+
2a
------------------------
b
–
D
–
2a
-----------------------
b
–
D
+
2a
------------------------
()
k1 ()
k2 ()
kl
84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножите-
ли в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — о -
рень нече тной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все
сомножители в разложении (3), за ислюче нием первоо, поло-
жительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае
оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через
орень c1. Если же c1 — орень че тной ратности (k1 — чет-
ное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1)
положительны и, следовательно, P
n
(x)>0приxÝ(c2;c1).
В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет з на а
при переходе через орень c1.
Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедить-
ся, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет
зна, если k2 — нечетное , и не меняет знаа, если k2 — четное.
Рассмотренное свойство мноочленов используется для реше-
ния неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти
в се решения неравенства
Pn(x) > 0,
(4)
достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x),
их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбран-
ной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.
П р и м е р 1. Решить неравенство
x4+3x3–4x>0.
(*)
Р е ше н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), на-
ходящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x
за соби, получаем
P4(x)=x(x3+3x2–4).
Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мно-
очлен, имеет орень x = 1 . Следовательно, уазанный мноо-
член можно представить та:
x3+3x2–4 =(x–1)(x2+4x+4)=(x–1)(x+2)2.
Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно пред-
ставить в виде
x(x–1)(x+2)2>0.
(**)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все
сомножители, записанные в левой части неравенства, положи-
тельны.
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
85
Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе
через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает от-
рицательные значения, та а x = 1— простой орень (о-
рень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен
таже меняет зна и принимает положительные значения, по-
сольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точ-
у x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень
ратности 2. Промежути знаопосто-
янства мноочлена P4(x) схематичеси
изображены на рис. 1. Используя этот
рисуно, лео записать множество ре-
шений исходноо неравенства.
Ответ.xÝ(–×;–2)Ÿ(–2;0)Ÿ(1;+×).
Рациональные неравенства. Решение рациональноо нера-
венства, т. е. неравенства вида
>0,
(5)
де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится решению эвива-
лентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе
части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положи-
телен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при
тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство
Pn(x) · Qm(x) > 0,
эвивалентное неравенству (5).
Дробно-линейными неравенствами называют неравенства
вида
>k,
(6)
де a, b, c, d, k—неоторые действительные числа, причем c − 0
и − (еслиc = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-
ется в линейное, а если = , то неравенство (6) не содержит
арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и не-
равенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m.
Решение дробно-линейноо неравенства сводится решению
вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе
части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное
привсехxÝRиx−– .
+
–2
01
+
x
+
–
Рис. 1
Pn x()
Qm x()
-----------------
axb
+
cxd
+
-----------------
a
c--- b
d---
a
c--- b
d---
d
c---
84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножите-
ли в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — о-
рень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все
сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, поло-
жительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае
оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через
орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — чет-
ное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1)
положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1).
В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет зна а
при переходе через орень c1.
Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедить-
ся, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет
зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное.
Рассмотренное свойство мноочленов используется для реше-
ния неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти
все решения неравенства
Pn(x) > 0,
(4)
достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x),
их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбран-
ной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.
П р и м е р 1. Решить неравенство
x4+3x3–4x>0.
(*)
Р е ше н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), на-
ходящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x
за соби, получаем
P4(x)=x(x3+3x2–4).
Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мно-
очлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноо-
член можно представить та:
x3+3x2–4=(x–1)(x2+4x+4)=(x–1)(x+2)2.
Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно пред-
ставить в виде
x(x–1)(x+2)2>0.
(**)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все
сомножители, записанные в левой части неравенства, положи-
тельны.
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
85
Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе
через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает от-
рицательные значения, та а x = 1 — простой орень (о-
рень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен
таже меняет зна и принимает положительные значения, по-
сольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точ-
у x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2
—
орень
ратности 2. Промежути знаопосто-
янства мноочлена P4(x) схематичеси
изображены на рис. 1 . Используя этот
рисуно, лео записать множество ре-
шений исходноо неравенства.
Ответ.xÝ(–×; –2)Ÿ(–2;0)Ÿ(1;+×).
Рациональные неравенства. Решение рациональноо нера-
венства, т. е . неравенства вида
>0,
(5)
де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится решению эвива-
лентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе
части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положи-
телен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е . при
тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство
Pn(x) · Qm(x) > 0,
эвивалентное неравенству (5).
Дробно-линейными неравенствами называют неравенства
вида
>k,
(6)
де a, b, c, d, k—неоторые действительные числа, причем c − 0
и
−(
е
с
л
иc = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-
ется в линейное, а если
=
, то неравенство (6) не содержит
арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и не-
равенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m.
Решение дробно-линейноо неравенства сводится решению
вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе
части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное
привсехxÝRиx−–
.
+
–2
0
1
+
x
+
–
Рис. 1
Pnx
()
Qmx
()
-----------------
axb
+
cxd
+
-----------------
a
c
---
b
d
---
a
c
---
b
d
---
d
c
---
86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
П р и м е р 2. Решить неравенство
< –1.
Р е ше н и е. Прибавив обеим частям неравенства по 1,
получаем неравенство вида (5):
<0,
оторое эвивалентно неравенству
x2(x2 – x
–
2)<0.
Множество решений последнео неравенства находим методом
интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).
Ответ.xÝ(–1;0)Ÿ(0;2).
Решите неравенство:
1.
+
<1.
2.
<
.
3.(x+1)(3–x)(x–2)2l0.
4.
l1.
5.
m0.
6.
<
.
7.
>0.
8.
mx.
9.
<0.
10.
> –3.
Иррациональные неравенства. Под иррациональным не-
равенством понимается неравенство, в отором не известные
в еличины (или неоторые фунции неизвестных величин) на-
ходятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множест-
в о реше ний иррациональноо неравенства, приходится, а
правило, возводить обе части неравенства в натуральную сте-
пе нь. При этом (в силу принципиальной невозможности про-
в ери получе нных реше ний подстановой) необходимо следить
за тем, чтобы при преобразовании нераве нств аждый раз по-
лучалось неравенство, эвивалентное исходному .
При решении иррациональных неравенств следует учиты-
в ать, что возведение обеих частей неравенства в нече тную сте-
пе нь вседа приводит неравенству, эвивалентному исходно-
му. Если же обе части неравенства возвести в четную степе нь,
x2
+
x2x
–2
–
--------------------------
-
x2
x2x
–2
–
---------------------------
1
2x
–
-------------
5
2x
+
--------------
1
x2
+
--------------
3
x3
–
-------------
x2 3x
–2
+
x23x2
++
-------------------------------
x3 x2
–
x1
–
+
x8
+
----------------------------------------
2x5
–
x2 6x
–7
–
------------------------------
1
x3
–
-------------
x3 2x2
–5
x
–6
+
x2
–
------------------------------------------------
2x2
–
1x
–
----------------
x4
–
4x2 4x
–3
–
----------------------------------
x2 2x
–3
+
x2 4x
–3
+
-------------------------------
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
87
то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же
зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо
неравенства неотрицательны.
П р и м е р 3. Решить неравенство
<
+
.
(*)
Р е ше н и е. Множество допустимых значений неравенст-
ва (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом проме-
жуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, воз-
ведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвива-
лентное неравенство
6–x<2
.
(**)
Рассмотрим теперь два возможных случая.
1.Если6–x<0(т.е.x>6),толеваячастьнеравенства(**)
отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно,
неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×).
2.Если6–xl0,топривсехxÝ[2;6]обечастинеравенст-
ва (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем нера-
венство
3x2–28>0,
(***)
решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,
что x Ý [2; 6], являются значения из промежута
;6.
Объединив множества решений, соответствующие двум рас-
смотренным случаям, оончательно получаем решение исход-
ноо неравенства — промежуто ; +× .
Ответ.;
+
×.
Решите неравенство:
11.
–
>1. 12.
–
>0.
13.
–2x+3>0.14.x+4<
.
15.
<
. 16.
<1.
x3
+
x1–
x2–
x2 3x
–2
+
28
3------
28
3------
28
3------
13x
–
5x
+
41x–
–
2x–
x24x5–
+
x46
+
23x
+
–
x4+
24 2x
–x2
–
x
--------------------------------------
86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
П р и м е р 2. Решить неравенство
< –1.
Р е ше н и е. Прибавив обеим частям неравенства по 1,
получаем неравенство вида (5):
<0,
оторое эвивалентно неравенству
x2(x2–x–2)<0.
Множество решений последнео неравенства находим методом
интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).
Ответ.xÝ(–1;0)Ÿ(0;2).
Решите неравенство:
1.
+
<1.
2.
<.
3.(x+1)(3–x)(x–2)2l0.
4.
l1.
5.
m0.
6.
<.
7.
>0.
8.
mx.
9.
<0.
10.
> –3.
Иррациональные неравенства. Под иррациональным не-
равенством понимается неравенство, в отором неизвестные
величины (или неоторые фунции неизвестных величин) на-
ходятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множест-
во решений иррациональноо неравенства, приходится, а
правило, возводить обе части неравенства в натуральную сте-
пень. При этом (в силу принципиальной невозможности про-
вери полученных решений подстановой) необходимо следить
за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз по-
лучалось неравенство, эвивалентное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует учиты-
вать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную сте-
пень вседа приводит неравенству, эвивалентному исходно-
му. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,
x2+
x2 x–2
–
---------------------------
x2
x2 x–2
–
---------------------------
1
2 x–------------- 5
2x
+
--------------
1
x2+
-------------- 3
x 3–-------------
x2 3x
–2
+
x23x2
++
-------------------------------
x3 x2
– x1–
+
x8+
----------------------------------------
2x 5–
x2 6x
–7
–
------------------------------ 1
x 3–-------------
x3 2x2
–5
x
–6
+
x2–
------------------------------------------------
2x2
–
1x–
----------------
x4–
4x2 4x
–3
–
----------------------------------
x2 2x
–3
+
x2 4x
–3
+
-------------------------------
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
87
то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же
зна, получится лишь в том случае , ода обе части исходноо
неравенства неотрицательны.
П р и м е р 3. Решить неравенство
<
+
.
(*)
Р е ше н и е. Множество допустимых значений неравенст-
ва (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом проме-
жуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, воз-
ведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвива-
лентное неравенство
6–x<2
.
(**)
Рассмотрим те перь два возможных случая.
1.Если6–x<0(т.е. x>6),толеваячастьнеравенства(**)
отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно,
неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×).
2.Если6–xl0,топривсехxÝ[2;6]обечастинеравенст-
ва (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем нера-
венство
3x2–28>0,
(***)
решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,
что x Ý [2; 6], являются значения из промежута
;6.
Объединив множества решений, соответствующие двум рас-
смотренным случаям, оончательно получаем решение исход-
ноо неравенства — промежуто
;+× .
Ответ.;
+
×.
Решите неравенство:
11.
–
>1.
12.
–
>0.
13.
–
2x+3>0.14.x+4<
.
15.
<
.
16.
<1.
x3
+
x1
–
x2
–
x2 3x
–2
+
28
3
------
28
3
------
28
3
------
13x
–
5x
+
41x
–
–
2x
–
x24x5
–
+
x46
+
23x
+
–
x4
+
24 2x
–
x2
–
x
--------------------------------------
88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
17.
<1.
18.
m3.
19.
–
>x.
20.
>
.
21.
l2x+3.
22.
> –2.
23.
+
>
.
24.
–
>1.
Неравенс тва, содержащие неизвестное под зна
ом модля.
При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом
модуля, используют тот же способ, что и при решении анало-
ичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства
сводят решению несольих неравенств, рассматриваемых на
промежута х знаопостоянства выражений, находящихся под
знаом модуля.
П р и м е р 4. Решить неравенство
|x2–2|+x<0.
(*)
Р е ше н и е. Рассмотрим промежути знаопос тоянст ва вы-
ражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля.
1. Пусть x2 – 2 l 0 . Тода неравенство (*) примет вид
x2+x–2<0.
(**)
Пересечение множества реше ний
неравенства (**) и неравенства
x2 – 2 l 0 представляет собой пер-
вое множество решений исходноо
неравенства: x Ý (–2; – ] (рис. 2).
2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля
имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид
2–x2+x<0.
(***)
Пересечение множества реше ний
неравенства (***) и неравенства
x2 – 2 < 0 дает второе множество
решений исходноо неравенства:
xÝ(– ;
–1) (рис. 3).
x5
+
1x
–
------------------
4x1
+
–
1x3
+
–
----------------------------
8x2
–
25 x2
–
1
1x
+
------------------
1
2x
–
-------------
x2x
–2
–
x23x4
++
x2 16
–
x3
–
------------------------
x3
–
5
x3
–
-----------------
-
3x25x7
++3x25x2
++
–2
01
x
–
2
2
Рис. 2
2
–1 02
x
–
2
2
Рис. 3
2
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
89
Объединяя найденные множества решений, оончательно
получаем x Ý (–2; –1).
Ответ. x Ý (–2; –1).
В отличие от уравнений неравенства не допусают непо-
средственной провери. Однао во мноих случаях можно убе-
диться в правильности полученных результатов рафичесим
способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4
в виде
|x2–2|<–x.
Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих
в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и най-
дем те значения арумента, при оторых y1 < y2.
На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исо-
мые значения x.
Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода
можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2.
П р и м е р 5. Решить неравенство
>1.
(*)
Р е ше н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвива-
лентно неравенству |x – 1| > |x + 2|.
(**)
Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приве-
дения подобных членов получаем неравенство
6x<–3,
т.е. x<–0,5.
x
O
y
y2=–x
–2
2
–1
–2
2
y1=|x2–2|
Рис. 4
x1–
x2+
--------------
88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
17.
<1.
18.
m3.
19.
–
>x. 20.
>.
21.
l2x+3. 22.
> –2.
23.
+
>
.
24.
–
>1.
Неравенства, содержащие неизвестное под зна
ом модля.
При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом
модуля, используют тот же способ, что и при решении анало-
ичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства
сводят решению несольих неравенств, рассматриваемых на
промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под
знаом модуля.
П р и м е р 4. Решить неравенство
|x2–2|+x<0.
(*)
Р е ше н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства вы-
ражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля.
1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид
x2+x–2<0.
(**)
Пересечение множества решений
неравенства (**) и неравенства
x2 – 2 l 0 представляет собой пер-
вое множество решений исходноо
неравенства: x Ý (–2; – ] (рис. 2).
2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля
имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид
2–x2+x<0.
(***)
Пересечение множества решений
неравенства (***) и неравенства
x2 – 2 < 0 дает второе множество
решений исходноо неравенства:
xÝ(– ;–1)(рис.3).
x5+
1x–
------------------
4x1+
–
1x3
+
–
----------------------------
8x2
–
25 x2
–
1
1x
+
------------------ 1
2 x–-------------
x2 x–2
–
x23x4
++
x2 16
–
x3–
------------------------ x 3
–
5
x3–
------------------
3x25x7
++3x25x2
++
–2
01x
–2
2
Рис. 2
2
–1 02
x
–2
2
Рис. 3
2
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
89
Объединяя найденные множества решений, оончательно
получаем x Ý (–2; –1).
Ответ. x Ý (–2; –1).
В отличие от уравнений неравенства не допусают непо-
средственной провери. Однао во мноих случаях можно убе-
диться в правильности полученных результатов рафичесим
способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4
в виде
|x2–2|<–x.
Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих
в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и най-
дем те значения арумента, при оторых y1 < y2.
На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исо-
мые значения x.
Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода
можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2.
П р и м е р 5. Решить неравенство
>1.
(*)
Р е ше н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвива-
лентно неравенству
|x–1|>|x+2|.
(**)
Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приве-
дения подобных членов получаем неравенство
6x<–3,
т.е. x<–0,5.
x
O
y
y2= –x
–2
2
–1
–
2
2
y1=|x2–2|
Рис. 4
x1
–
x2
+
--------------
90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Учитывая множество допустимых значений исходноо не-
равенства, определяемое условием x − –2, оончательно полу-
чаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ
Ÿ (–2; –0,5).
Ответ.(–×; –2) Ÿ (–2; –0,5).
На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приве-
денноо неравенства.
Решите неравенство:
25.|x–3|>–1.
26.|4–3x|m0,5.
27.x2+2|x+3|–10m0.
28.|x2–1|–2x<0.
29.x2+x–10<2|x–2|.
30.x2–|3x+2|+xl0.
31.|x2–3|+2x+1l0.
32.
l|x–2|.
33.
>2.
34.|x–2|m|x+4|.
35.|x2+x+1|<2x2–4x+7. 36.
>0.
§ 18. Показательные неравенства
Простейшими поазательными неравенствами называют
неравенства вида
ax>b,(
1
)
ax<b,(
2
)
де a и b—неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
x
y
–2
1
O
1
y=
x+2
x–1
–0,5
Рис. 5
9
x5
–3
–
--------------------------
2x1
–
x1
–
-----------------
|x2|x
–
+
4x3
–
---------------------------
§ 18. Показательные неравенства
91
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (1) имеет следующий вид:
еслиa>1,b>0,тоxÝ(logab;+×);
если0<a<1,b>0,тоxÝ(–×;logab);
еслиb<0,тоxÝR.
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (2) имеет следующий вид:
еслиa>1,b>0,тоxÝ(–×;logab);
если0<a<1,b>0,тоxÝ(logab;+×);
еслиb<0,тоx=3⁄4.
Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b
и ax m b находят а объединение множеств решений соответ-
ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b.
Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай,
ода поазателем степени является неоторая фунция от x.
Та, множеством решений неравенства
2f(x) > 3
(3)
является множество решений неравенства
f(x) > log2 3,
эвивалентноо неравенству (3).
Методы сведения более сложных поазательных неравенств
неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используе-
мым при решении поазательных уравнений. Например, реше-
ние поазательноо неравенства вида
P(ax) > 0,
де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y
сводят последовательному решению неравенства P(y) > 0 и
решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2)
или систем простейших поазательных неравенств.
П р и м е р. Решить неравенство
–2· – >0.
(*)
Р е ше н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последова-
тельными членами еометричесой прорессии, то неравенст-
во (*) можно свести вадратному относительно неизвестноо
4x
52x 10x
90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Учитывая множество допустимых значений исходноо не-
равенства, определяемое условием x − –2, оончательно полу-
чаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ
Ÿ (–2; –0,5).
Ответ.(–×; –2) Ÿ (–2; –0,5).
На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приве-
денноо неравенства.
Решите неравенство:
25.|x–3|>–1.
26.|4–3x|m0,5.
27.x2+2|x+3|–10m0.
28.|x2–1|–2x<0.
29.x2+x–10<2|x–2|.
30.x2–|3x+2|+xl0.
31.|x2–3|+2x+1l0.
32.
l|x–2|.
33.
>2.
34.|x–2|m|x+4|.
35.|x2+x+1|<2x2–4x+7. 36.
>0.
§ 18. Показательные неравенства
Простейшими поазательными неравенствами называют
неравенства вида
ax>b,(
1
)
ax<b,(
2
)
де a и b—неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
x
y
–2
1
O
1
y=x+2
x–1
–0,5
Рис. 5
9
x 5–3
–
--------------------------
2x 1–
x1–
-----------------
|x2|x–
+
4x3
–
---------------------------
§ 18. Показательные неравенства
91
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (1) имеет следующий вид:
еслиa>1,b>0,тоxÝ(logab;+×);
если0<a<1,b>0,тоxÝ(–×;logab);
еслиb<0,тоxÝR.
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (2) имеет следующий вид:
еслиa>1,b>0,тоxÝ(–×;logab);
если0<a<1,b>0,тоxÝ(logab;+×);
еслиb<0,тоx=3⁄4.
Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b
и ax m b находят а объединение множеств решений соответ-
ствующео строоо неравенства и уравнения ax
=b.
Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай,
ода поазателем степени является неоторая фунция от x.
Та, множеством решений неравенства
2f(x) > 3
(3)
является множество реше ний нераве нства
f(x) > log2 3,
эвивалентноо неравенству (3).
Методы сведения более сложных поазательных неравенств
неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используе-
мым при решении поазательных уравне ний. Например, реше-
ние поазательноо неравенства вида
P(ax) > 0,
де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y
сводят последовательному решению нераве нства P(y) > 0 и
решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2)
или систем простейших поазательных неравенств.
П р и м е р. Решить неравенство
–
2·
–
>0.
(*)
Р е ше н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последова-
тельными члена ми еометри чесой прорессии, то неравенст-
во (*) можно свести вадратному относительно неизвестноо
4x
52x
10x
92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
y=
. Для этоо разделим обе части исходноо неравенст-
ва на
=
:
–
2–
>0.
Полаая
= y, получим неравенство
y2–y
–
2>0.
(**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объеди-
нение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное
неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным не-
равенствам
< –1,
>2.
Решением первоо неравенства является пустое множество, а ре-
шением второо — промежуто (–×; log2/5 2).
Ответ.(–×; log2/5 2).
Решите неравенство:
1.
+
–
6m0.
2.
–
7·
–
4<0.
3.
+
l 50.
4.
–
3·
+1l0.
5.2 ·
+4m
.
6.
>
.
7.98 –
l
.
8.5 ·
+2·
m7·
.
9.
m
–
10.
+3<
· 28.
11.
–
4·
<
.
12.
<23–x+
.
13.
–
<10·
14.
+
>30+
·
.
2
5
---
x
25x 5
2x
4
25
------
x
25
⋅
25
-----------
x
2
5
---
x
2
5
---
x
2
5
---
x
4x2
x1
+
4x
–0
,
5
+
2x
–
25x
–
5x
–1
+
4x2
2x2
32x2
3x2 2
+
1
3
---
x4
+
1
3
---
x23x4
++
7x2 5x 48
–
+
49x2 5x 49
–
+
4x
25x
10x
13x 5
–
2(13x 12 )
+
13x 5
+.
9x2 3
–
3x2 3
–1
–
52x 10
–3
x2
–
–
5x5
–
513x 2
–
+
1
4
---
x
251/log3 5
25x 2
2log4 61
–
5x1
–
.
52x 1
+
6x1
+
5x 30
x
§ 19. Логарифмические неравенства
93
15.
+
>5.
16.
–5> .
17.
<.
18. m3·
+
.
19.
20.|3tgπx–31–tgπx|l2.
§ 19. Логарифмические неравенства
Простейшими лоарифмичесими неравенствами называ-
ют неравенства вида loga x > b,(
1
)
logax<b,(
2
)
де a и b—неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (1) имеет следующий вид:
еслиa>1,тоxÝ(ab;+×);
если0<a<1,тоxÝ(0;ab).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (2) имеет следующий вид:
еслиa>1,тоxÝ(0;ab);
если0<a<1,тоxÝ(ab;+×).
Множество решений аждоо из нестроих неравенств
loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений
соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b.
Неравенство вида
loga f(x) > b
(3)
эвивалентно следующим системам неравенств*:
еслиa>1,тоf(x)>0,f(x)>ab;
если0<a<1,тоf(x)>0,f(x)<ab;
* В случае, если неравенство (3) нестро
ое, вторые неравенства этих
систем та же нестро
ие.
823 x–1
+ 43x–
–
+
23x–1
+
4x1+17
+
2x
3x 1+ 94x2
27
-----------
4x
2xx
+
41x
+
–
+6>0,
–2·
–27<0.
32x1+ 3x2
+
32x 2+
3x 2+
92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
y=
. Для этоо разделим обе части исходноо неравенст-
вана=:
–2–
>0.
Полаая
= y, получим неравенство
y2–y–2>0.
(**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объеди-
нение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное
неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным не-
равенствам
< –1,
>2.
Решением первоо неравенства является пустое множество, а ре-
шением второо — промежуто (–×; log2/5 2).
Ответ.(–×; log2/5 2).
Решите неравенство:
1.+
–6m0.
2.
–7· –4<0.
3.
+
l 50.
4. –3· +1l0.
5.2· +4m
.
6.
>
.
7.98–
l
.
8.5· +2· m7· .
9.
m
–
10.
+3<
· 28.
11.
–4·
<
.
12.
<23–x+
.
13. –
<10·
14.
+
>30+·.
2
5---
x
25x 52x
4
25------
x
25
⋅
25
-----------
x
2
5---
x
2
5---
x
2
5---
x
4x2x1
+
4 x–0
,
5
+
2x–
25x– 5x–1
+
4x2
2x2
32x2
3x2 2
+
1
3---
x4+
1
3---
x23x4
++
7x2 5x 48
–
+
49x2 5x 49
–
+
4x
25x
10x
13x 5–
2(13x 12)
+
13x 5+.
9x23–
3x23–1
–
52x 10–3x 2–
–
5x 5– 513x 2–
+
1
4---
x
251/log3 5
25x 22log461
–
5x1–.
52x1+ 6x1
+
5x 30x
§ 19. Логарифмические неравенства
93
15.
+
>5.
16.
–
5>
.
17.
<
.
18.m3·
+
.
19.
20.|3tgπx –31–tgπx|l2.
§ 19. Логарифмические неравенства
Простейшими лоарифмичесими неравенствами называ-
ют неравенства вида
logax>b,(
1
)
logax<b,(
2
)
де a и b—не оторые действительные числа (a > 0, a − 1).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (1) имеет следующий вид:
еслиa>1,тоxÝ(ab;+×);
если0<a<1,тоxÝ(0;ab).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (2) имеет следующий вид:
еслиa>1,тоxÝ(0;ab);
если0<a<1,тоxÝ(ab;+×).
Множество решений аждоо из нестроих неравенств
loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений
соответствующео строоо нераве нства и уравнения loga x = b .
Неравенство вида
loga f(x) > b
(3)
эвивалентно следующим системам неравенств*:
еслиa>1,тоf(x)>0,f(x)>ab;
если0<a<1,тоf(x)>0,f(x)<ab;
* В случае, если неравенство (3) нестро
ое, вторые неравенства этих
систем та же не стро
ие.
823 x
–1
+
43x
–
–
+
23x
–1
+
4x1
+
17
+
2x
3x1
+
94x2
27
-----------
4
x
2xx
+
41x
+
–
+6>0,
–
2·
–
27<0.
32x 1
+
3x2
+
32x 2
+
3x2
+
94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
а нераве нство вида
loga f(x) < b
(4)
—
следующим системам неравенств:
еслиa>1,тоf(x)>0,f(x)<ab;
если0<a<1,тоf(x)>0,f(x)>ab.
Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят не-
равенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, ото-
рые используются при решении лоарифмичесих уравнений.
Та, множество решений неравенства вида
P(loga x) > 0,
(5)
а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P—мноочлен уа-
занноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое
не известное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраи-
чесое относительно не известноо y. После этоо решение ис-
ходноо неравенства сводят решению соответствующих про-
стейших нераве нств (1) и (2) или систем этих неравенств .
П р и м е р 1. Решить неравенство
(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.
(*)
Р е ше н и е. Учитывая, что множеством допустимых зна-
чений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобра-
зуем это нераве нство виду
(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.
Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство
y2–2y–(log1/23)2+1>0.
(**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объ-
единение промежутов: (–× ; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×).
Таим образом, решения исходноо неравенства определяются
условиями
log1/2x<1+log1/23_x> ,
log1/2x>1–log1/23_0<x< .
Ответ.0; Ÿ ;
+
×.
3
2
---
1
6
---
1
6
---
3
2
---
§ 19. Логарифмические неравенства
95
Решите неравенство:
1.log1/2(2x+3)>0.
2.log2 <0.
3.log5/8 2x2–x– l1. 4.log1/4
<cos .
5. x+log2x–2m0.
6.2log4(2x2+3)<log2(x2+6).
7.log2 –2
x+1l0.
8. log1/4 (2x + 3) > log9 27.
9.lg(x–4)+lgx<lg21.
10.log7x–logx l2.
11.log2[(x–3)(x+2)]+log1/2(x–3)<–
3.
12.log100x2+lg2x<2.
13.log3(7–x)m
+
l
o
g
7–x9.
14.log3x– xm
4
.
15.log1/2(4–x)llog1/22–log1/2(x–1).
16.log2(3–x)–log2
> +log2(x+7).
17. 2log1/4 (x + 5) >
9+
2.
18. log4
log1/4
m.
19. log1/2 x m log1/4 x.
20. log3
<2log97.
21.lg|2x+3|3+2
10<3.
22. logx/2 8 + logx/4 8 <
.
23.
–2x2>x–2.
24.2log4x– log2(x2–3x+2)mcos .
25. log4/3 cos x l log4/9 при x Ý (–1; 1).
x3–
x2+
--------------
3
8---
2x 1–
x1+
-----------------
2π
3-------
log2
2
x log1/4
2
1
7---
log1/ 2
9
16------ log22
21
4---
log3
2
3
2--- log1/ 2 2
()
sin 3π
4-------
5x–
---------------- 1
2---
9
4--- log1/ 3 3
()logx5
+
(3x 1)
–
3x 1–
16
---------------- 3
4---
(34x 32x 1
+
–3
)
+
log 2x 3+
()
3
log2 x4
log2 x2 4–
-----------------------------
8log2 x
1
2---
4π
3-------
3
2---
94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
а неравенство вида
loga f(x) < b
(4)
— следующим системам неравенств:
еслиa>1,тоf(x)>0,f(x)<ab;
если0<a<1,тоf(x)>0,f(x)>ab.
Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят не-
равенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, ото-
рые используются при решении лоарифмичесих уравнений.
Та, множество решений неравенства вида
P(loga x) > 0,
(5)
а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P—мноочлен уа-
занноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое
неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраи-
чесое относительно неизвестноо y. После этоо решение ис-
ходноо неравенства сводят решению соответствующих про-
стейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств.
П р и м е р 1. Решить неравенство
(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.
(*)
Р е ше н и е. Учитывая, что множеством допустимых зна-
чений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобра-
зуем это неравенство виду
(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.
Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство
y2–2y–(log1/23)2+1>0.
(**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объ-
единение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×).
Таим образом, решения исходноо неравенства определяются
условиями
log1/2x<1+log1/23_x> ,
log1/2x>1–log1/23_0<x< .
Ответ.0; Ÿ ;+
×.
3
2---
1
6---
1
6---
3
2---
§ 19. Логарифмические неравенства
95
Решите неравенство:
1.log1/2(2x+3)>0.
2. log2
<0.
3. log5/8 2x2 – x
–
l1.
4. log1/4
< cos
.
5.
x+log2x–2m0.
6.2log4(2x2 +3)<log2(x2 +6).
7. log2
–
2
x+1l0.
8. log1/4 (2x + 3) > log9 27.
9.lg(x–4)+lgx<lg21.
10.log7x–logx l2.
11.log2[(x –3)(x+2)]+log1/2(x –3)<–
3.
12.log100x2+lg2x<2.
13.log3(7– x)m
+
l
o
g
7–x9.
14.log3x–
xm
4
.
15.log1/2(4– x)llog1/22 –log1/2(x – 1).
16.log2(3– x) –log2
> +log2(x+7).
17. 2log1/4 (x + 5) >
9+
2.
18. log4
log1/4
m.
19. log1/2 x m log1/4 x.
20. log3
<2log97.
21.lg|2x+3|3+2
10<3.
22. logx/2 8 + logx/4 8 <
.
23.
–
2x2>x–2.
24.2log4x– log2(x2–3x+2)mcos
.
25. log4/3 cos x l log4/9 при x Ý (–1; 1).
x3
–
x2
+
--------------
3
8
---
2x1
–
x1
+
-----------------
2π
3
-------
log2
2
x
log1/4
2
1
7
---
log
1/2
9
16
------
log
22
21
4
---
log3
2
3
2
---
log
1/22
()
sin
3π
4
------
-
5x
–
----------------
1
2
---
9
4
---
log
1/33
() log
x5
+
(3x 1)
–
3x1
–
16
----------------
3
4
---
(34x
32x 1
+
–3
)
+
log2x 3
+
()
3
log2 x4
log2 x2 4
–
-----------------------------
8log2 x
1
2
---
4π
3
-------
3
2
---
96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
26.log1/2|x – 3|>–1.
27.log2( –
x–1)m0.
28.
<1.
29.
m1.
30. log3
· logx3<1. 31.log2x
m1.
32.
+1>log2
.
33.
<1.
34.
m
.
Лоарифмичесое неравенство вида
logg(x) f(x) > c
(6)
эвивалентно двум системам неравенств:
(7)
П р и м е р 2. Решить неравенство
log2x(x2–5x+6)<1.
(*)
Р е ше н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвива-
лентно двум системам неравенств:
Множество решений исходноо нераве нства получаем а
объединение множеств решений этих двух систем.
Ответ. x Ý 0;
Ÿ(1;2)Ÿ(3;6).
Решите неравенство:
35. logx x2 –
>4.
36.
x–
>0.
37.logx+4(5x+20)mlogx+4(x+4)2.
38. log1/x
l1. 39.
x2+
–
4 l1.
x3
+
log 1/2
2
x81
–2
+
log1/2 x 1
–
-------------------------------------------------
log1/2 x 4
+
log1/2 x 2
+
()
------------------------------------
52x
–
logx
x
2
-------
log4
2x2 3x
–3
+
2
-----------------------------------
2x2 3x
–3
+
2
-----------------------------------
118
l
o
g
2
2
x
–
–
2log2 x
---------------------------------------------
log8 x
log2 12
x
+
()
-----------------------------------
log2 12
x
+
3
log2 x
-----------------------------------
-
f(x) > 0,
g(x) > 1,
f(x) > (g(x))c;
f(x) > 0,
0<g(x)<1,
f(x) < (g(x))c
.
0<x2–5x+6<2x,
2x>1;
x2–5x+6>2x,
0<2x<1.
1
2
---
3
16
------
log2xx
2
–
3
2
---
4
2x2
–
()
x1
+
()
x5
–
()
--------------------------------------
logxx1
–
+
1
x2
------
§ 19. Логарифмические неравенства
97
40.
(x2–3x+1)l0.
41.log|x+6|2·log2(x2–x–2)l1.
42. log(x + 6)/3 log2 > 0.
43.
(6+2x–x2)m . 44.xlgx<10·x–lgx+3.
45. log|x| ( –
x–1)l1. 46.logx(2x)m
.
47.
(x2–10x+22)>0.
При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находя-
щиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и
это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей
по одному и тому же основанию
48.
> 1000.
49.x3>
·
. 50.
<1.
51.
<1.
52.x1/lgx·lgx<1.
При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное не-
равенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств
или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.
53.log|sinx|(x2–8x+23)>
.
54.
–2x <
(2x – 1).
55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x).
56.
(logtgx(2+4cos2x)–2)l0.
57.log5sinx>log125(3sinx–2).
58.
– +3l0.
Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:
59.
–
> 83.
60.x– <2log5(x+2).
61.
l0.
logx1+ x1–
–
x1–
2x
+
--------------
log9x2
1
2---
9x2
–
logx (2x3)
loglog2 0,5 x
()
xlg2 x 3lgx
–1
+
215log22 3
3log x3
(x2 x–1
)
–x21–
xx2 x–2
–
3
log2 sin x
-----------------------------
logcos x2
3
2---
logcosx2
tgx 1–
logsin x 3cosx
+
x2
2------ 5 x
2-------
3
5
2---log3 12 3x
–
()
3log2 x
1
2---
log2cos2π
7------- x
–8
+
x 5+1
–
10 x–
----------------------------
96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
26.log1/2|x–3|>–1.
27.log2(–
x–1)m0.
28.
<1. 29.
m1.
30. log3
·logx3<1. 31.log2x
m1.
32.
+1>log2
.
33.
<1.
34.
m
.
Лоарифмичесое неравенство вида
logg(x) f(x) > c
(6)
эвивалентно двум системам неравенств:
(7)
П р и м е р 2. Решить неравенство
log2x(x2–5x+6)<1.
(*)
Р е ше н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвива-
лентно двум системам неравенств:
Множество решений исходноо неравенства получаем а
объединение множеств решений этих двух систем.
Ответ.xÝ 0; Ÿ(1;2)Ÿ(3;6).
Решите неравенство:
35.logx x2– >4.
36.
x– >0.
37.logx+4(5x+20)mlogx+4(x+4)2.
38. log1/x
l1. 39.
x2+ –4 l1.
x3
+
log1/2
2x81
–2
+
log1/2 x 1–
-------------------------------------------------
log1/2 x 4+
log1/2 x 2+
()
------------------------------------
52x
–
logx
x
2-------
log4
2x2 3x
–3
+
2
-----------------------------------
2x2 3x
–3
+
2
-----------------------------------
118
l
o
g
2
2x
–
–
2log2 x
---------------------------------------------
log8 x
log2 12x
+
()
----------------------------------- log2 12x
+
3
log2 x
------------------------------------
f(x) > 0,
g(x) > 1,
f(x) > (g(x))c;
f(x) > 0,
0<g(x)<1,
f(x) < (g(x))c.
0<x2–5x+6<2x,
2x>1;
x2–5x+6>2x,
0<2x<1.
1
2---
3
16------
log2xx2
–
3
2---
4
2x 2–
()
x1+
()
x5–
()
--------------------------------------
logxx1–
+
1
x2------
§ 19. Логарифмические неравенства
97
40.
(x2–3x+1)l0.
41. log|x + 6| 2·log2 (x2 – x
–
2)l1.
42. log(x + 6)/3 log2
>0.
43.
(6+2x–x2)m . 44.xlgx<10·x
–lgx+3.
45. log|x| ( –
x–1)l1. 46.logx(2x)m
.
47.
(x2–10x+22)>0.
При решении упр. 49 —52 учтите, что выражения, находя-
щиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и
это неравенство решается лоарифм ирование м обеих ео частей
по одному и тому же основанию
48.
> 1000.
49.x3>
·
.
50.
<1.
51.
<1.
52. x1/lg x
· lgx<1.
При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное не-
равенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств
или системе алебраичес их и трионометричесих неравенств.
53.log|sin x|(x2 – 8x+23)>
.
54.
–
2x<
(2x – 1).
55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x).
56.
(logtgx(2+4cos2x)–2)l0.
57.log5sinx>log125(3sinx–2).
58.
–
+3 l0.
Найдите все целые числа, удовлетворяющие нераве нству:
59.
–
> 83.
60.x – <2log5(x+2).
61.
l0.
log
x1
+
x1
–
–
x1
–
2x
+
--------------
log9x2
1
2
---
9x2
–
logx (2x3)
loglog2 0,5 x
()
xlg2 x 3lgx
–1
+
2
15 log
22
3
3
log
x
3
(x2 x
–1
)
–
x21
–
xx2 x
–2
–
3
log2 sin x
-----------------------------
logcos x2
3
2
---
logcosx2
tgx 1
–
log
sin x 3cosx
+
x2
2
------
5x
2
-------
3
5
2
--- log3 12 3x
–
()
3log2 x
1
2
---
log
2cos
2π
7
---- --
-
x
–8
+
x5
+1
–
10x
–
----------------------------
98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
§ 20. Решение неравенств,
содержащих сложные функции
Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фун-
ции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и
алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сво-
дится последовательному решению простейших нераве нств,
получающихся при замене арументов сложных фунций но-
в ыми переменными.
П р и м е р. Решить неравенство
<1.
Решение.Полааяz=log3log1/5 x2–
, сведем ис-
ходное неравенство простейшему поазательному неравенст-
в у относительно z:
<(0,5)0_z>0.
Далее положим y = log1/5 x2 –
и получим неравенство
log3y>0_y>1.
Наонец, полаая v = x2 –
, имеем
log1/5v>1_0<v< .
Ита, мы пришли неравенству, эвивалентному исходному:
0<x2– <
.
Ответ.–
1;– Ÿ
;
1
.
При решении неравенств, рассмотренных в данном приме-
ре, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо от-
дельноо этапа решения.
На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация ре-
шения этоо примера.
На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтап-
но получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-
(0,5)
log3 log1/5 x2 4
5
---
–
4
5
---
(0,5)z
4
5
---
4
5
---
1
5
---
4
5
---
1
5
---
2
5
-------
2
5
-------
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции
99
ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множе-
ство значений очередной простейшей фунции, а на оризон-
тальной оси ищется соответствующее ему множество значений
арумента. Это множество, обозначенное штриховой на ори-
зонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на верти-
альной оси.
Решите неравенство:
1.
>1.
2.
<1.
3.
m 2,5. 4.
<1.
5.
>1.
6.
m1.
Найдите область определения фунции:
7.y=
.
8.y=
.
9.y=log2
.
10.y=
.
z
u
O
1 u=(0,5)z
y
z
O1
z=log3y
v
y
O1
1 y=log1/5v
1
5
x
v
O1
–1
v=x2–4
5
–4
5
–2
5
2
5
1
5
а)
б)
в)
)
Рис. 6
1
2---
log2 x2 1–
()
5log2 x2
2
5---
log0,25 x2 5x 8
++
()
(0,5)log5 log0,3 x 0,7
–
()
(0,5)log1/3
x5+
x2 3+
-----------------
1
3---
log1/9 x2 10
3------ x
–1
+
log1/2
x1–
3x 5+
------------------
log1/2
x
x2 1–
----------------
sinx cosx
–3
2
+
2
----------------------------------------------------
log1/3 log3 x 3–
98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
§ 20. Решение неравенств,
содержащих сложные функции
Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фун-
ции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и
алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сво-
дится последовательному решению простейших неравенств,
получающихся при замене арументов сложных фунций но-
выми переменными.
П р и м е р. Решить неравенство
<1.
Решение.Полааяz=log3log1/5 x2– ,сведемис-
ходное неравенство простейшему поазательному неравенст-
ву относительно z:
<(0,5)0_z>0.
Далее положим y = log1/5 x2 – и получим неравенство
log3y>0_y>1.
Наонец, полаая v = x2 – , имеем
log1/5v>1_0<v< .
Ита, мы пришли неравенству, эвивалентному исходному:
0<x2– < .
Ответ.–1;– Ÿ ;
1
.
При решении неравенств, рассмотренных в данном приме-
ре, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо от-
дельноо этапа решения.
На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация ре-
шения этоо примера.
На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтап-
но получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-
(0,5)
log3 log1/5 x2 4
5---
–
4
5---
(0,5)z
4
5---
4
5---
1
5---
4
5--- 1
5---
2
5
-------
2
5
-------
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции
99
ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множе-
ство значений очередной простейшей фунции, а на оризон-
тальной оси ищется соответствующее ему множество значений
арумента. Это множество, обозначенное штриховой на ори-
зонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на верти-
альной оси.
Решите неравенство:
1.
>1.
2.
<1.
3.
m 2,5. 4.
<1.
5.
>1.
6.
m1.
Найдите область определения фунции:
7.y =
.
8.y =
.
9.y =log2
.
10.y =
.
z
u
O
1
u = (0,5)z
y
z
O
1
z = log3y
v
y
O
1
1
y=log1/5v
1
5
x
v
O1
–1
v=x2–
4
5
–
4
5
–
2
5
2
5
1
5
а)
б)
в)
)
Рис. 6
1
2
---
log2 x2 1
–
()
5log2 x2
2
5
---
log0,25 x2 5x 8
++
()
(0,5)log5 log0,3 x 0,7
–
()
(0,5)
log1/3
x5
+
x23
+
-- ------ ------ --
-
1
3
---
log1/9 x2 10
3
------
x
–1
+
log 1/2
x1
–
3x5
+
------------------
log1/2
x
x21
–
----------------
sinx cosx
–3
2
+
2
----------------------------------------------------
log1/3 log3 x 3
–
100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Решите неравенство, используя омб инацию рассмотренных
ме тодов:
11.
l –2.
12.log3log9/16(x2–4x+3)m0.
13. logx [log2 (–
6
)
]
m1.
14. 12x +
· log2x2>
>3
+ 4x3 log4 x4.
§ 21. Уравнения и неравенства
с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами являются тради-
ционно наиболее трудными задачами урса элементарной мате-
матии. Решение этих задач по существу представляет собой
исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим
решением уравнений или неравенств с числовыми оэффи-
циентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами
не обходимо выяснить, при аих значениях параметров урав-
не ние (нераве нство) имеет решение, и найти все эти решения.
П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство
ax> .
Р е ше н и е. Запишем неравенство в виде
>0.
Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам нера-
венств:
(*)
(**)
Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство
в виде
ax2>1.
Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > , множество
решений отороо имеет вид x < –
иx>
. В этом случае
log
1/ 5(6x 1
+
36x)
–
4x
3x4 4x5 4x6
–
+
34
x 4x2
–
+
1
x
---
ax2 1
–
x
--------------------
ax2–1>0,
x>0;
ax2–1<0,
x<0.
1
a
---
1
a
-------
1
a
-------
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
101
решения системы (*) таовы: x Ý ;
+
× .Еслижеam0,то
левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x
и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет ре-
шений и система (*).
Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-
венстваax2–1<0являютсязначенияxÝ – ; ,ареше-
ниями системы (**) — значения x Ý – ;0.Еслижеa m 0,
то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых
значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R
и, следовательно, решениями системы (**) являются значения
xÝ(–×;0).
Ответ.Еслиa m 0, то x Ý (–×; 0);
еслиa>0,тоxÝ –;0Ÿ ;
+
×.
Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1.
Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и
a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фун-
ций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравен-
ства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой
решение неравенства в рассматриваемых случаях.
1
a
-------
1
a
------- 1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
x
y
O
y=ax,a>0
–1
a
1
a
x
y
O
y=ax,am0
а)
б)
Рис. 7
100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных
методов:
11.
l –2.
12.log3log9/16(x2–4x+3)m0.
13. logx [log2 (–6
)
]m 1.
14. 12x +
·log2x2>
>3
+ 4x3 log4 x4.
§ 21. Уравнения и неравенства
с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами являются тради-
ционно наиболее трудными задачами урса элементарной мате-
матии. Решение этих задач по существу представляет собой
исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим
решением уравнений или неравенств с числовыми оэффи-
циентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами
необходимо выяснить, при аих значениях параметров урав-
нение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения.
П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство
ax> .
Р е ше н и е. Запишем неравенство в виде
>0.
Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам нера-
венств:
(*)
(**)
Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство
в виде
ax2>1.
Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > , множество
решений отороо имеет вид x < – и x > . В этом случае
log1/ 5 (6x 1
+ 36x)
–
4x
3x4 4x5 4x6
–
+
34x 4x2
–
+
1
x---
ax2 1–
x
--------------------
ax2–1>0,
x>0;
ax2–1<0,
x<0.
1
a---
1
a
-------
1
a
-------
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
101
решения системы (*) таовы: x Ý
;
+
× .Еслижеam0,то
левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x
и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет ре-
шений и систе ма (*).
Рассмотрим систе му (**). Если a > 0, то решениями нера-
венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý – ;
, а реше-
ниями системы (**) — значения x Ý – ;0.Еслижеa m 0,
то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых
значениях x, т. е . это нераве нство выполняется при всех x Ý R
и, следовательно, решениями системы (**) являются значения
xÝ(–×;0).
Ответ.Еслиa m 0, то x Ý (–×; 0);
еслиa>0,тоxÝ –;
0Ÿ
;
+
×.
Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1.
Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и
a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фун-
ций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравен-
ства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой
решение неравенства в рассматривае мых случаях.
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-- -- ---
1
a
-------
x
y
O
y=ax,a>0
–
1
a
1
a
x
y
O
y=ax,am0
а)
б)
Рис. 7
102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Графичесая иллюстрация облечает реше ние уравнений и
неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо ре-
шения уравнения с параметрами.
П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение
2|x|+|a|=x+1.
(*)
Р е ше н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x,
а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосос-
ти (x, a) еометричесое место точе, оординат ы оторых удов-
летворяют данному уравнению, образует фиуру, изображен-
ную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*)
решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответ-
ствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0 .
При0ma<1орнинаходимизсле-
дующих уравнений:
x+a=1 и –3x+a=1;
ониравныx=1–aиx=
соответ-
ственно.
При –1 < a <0орнинаходимиз
уравнений
x–a =1 и –3x–a =1;
ониравныx=1+aиx= –
соответ-
ственно.
Ответ.Если|a| > 1, то уравнение не имеет решений;
если|a|=1,тоx=0;
если0ma<1,тоx=1 –aиx=
;
если–1<a<0,тоx=1+aиx= –
.
1. Для аждоо значения параме тра a решите уравнение
|x–a+1|+|x–2a|=x.
2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
|3x–a|+|2x+a|m5.
3. Для аждоо действительноо значения параметра a ре-
шите уравнение
x2+|x|+a=0.
4. Для аждоо значения параметра a определите число реше-
ний уравнения: а)
= a;б)|x2–2x–3|=a.
x
a
1
1
–1
–
1
3
O
Рис. 8
a1
–
3
-------------
a1
+
3
--------------
a1
–
3
-------------
a1
+
3
--------------
2xx
2
–
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
103
5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
2|x–a|<2ax–x2–2.
6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
+
>a.
7. Найдите все значения a, при оторых неравенство
3–|x–a|>x2
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
=1–
9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
144|x|–2·12|x|+a=0.
10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение
log3
=x
имеет два решения.
11. Найдите все значения параметра c, при оторых нера-
венство
1+log2 2x2+2x+ llog2(cx2+c)
имеет хотя бы одно решение.
12. Найдите все значения a, при оторых неравенство
(|x|+4)>1
выполняется для любоо значения x.
13. Найдите все значения a, при оторых неравенство
loga/(a+1)(x2+2)>1
выполняется для любоо значения x.
14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3,
оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству
(x–2ax)>1.
15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удов-
летворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями нера-
венства
(x+2b–1)<1.
16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых
при всех x справедливо равенство
aex+b=eax+b.
ax
+
ax
–
a(2x 2)
–1
+
2x.
(9x 9a3)
+
7
2---
loga(a 1)+
log2ax2
–
logx2 x
+
()
/b
102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и
неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо ре-
шения уравнения с параметрами.
П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение
2|x|+|a|=x+1.
(*)
Р е ше н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x,
а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосос-
ти (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удов-
летворяют данному уравнению, образует фиуру, изображен-
ную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*)
решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответ-
ствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0.
При0ma<1орнинаходимизсле-
дующих уравнений:
x+a=1 и –3x+a=1;
ониравныx=1–aиx=
соответ-
ственно.
При –1 < a <0орнинаходимиз
уравнений
x–a=1 и –3x–a=1;
ониравныx=1+aиx=– соответ-
ственно.
Ответ.Если|a| > 1, то уравнение не имеет решений;
если|a|=1,тоx=0;
если0ma<1,тоx=1–aиx= ;
если–1<a<0,тоx=1+aиx=– .
1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
|x–a+1|+|x–2a|=x.
2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
|3x–a|+|2x+a|m5.
3. Для аждоо действительноо значения параметра a ре-
шите уравнение
x2+|x|+a=0.
4. Для аждоо значения параметра a определите число реше-
ний уравнения: а)
=a;б)|x2–2x–3|=a.
x
a
1
1
–1
–1
3
O
Рис. 8
a1–
3-------------
a1+
3--------------
a1–
3-------------
a1+
3--------------
2 xx2
–
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
103
5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
2|x–a|<2ax–x2–2.
6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
+
>a.
7. Найдите все значения a, при оторых неравенство
3–|x–a|>x2
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
=1–
9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
144|x| –2 ·12|x|+a=0.
10. Найдите все значен ия параметра a, при оторых уравнение
log3
=x
имеет два решения.
11. Найдите все значения параметра c, при оторых нера-
венство
1+log2 2x2+2x+
llog2(cx2 +c)
имеет хотя бы одно решение.
12. Найдите все значения a, при оторых неравенство
(|x|+4)>1
выполняется для любоо значе ния x.
13. Найдите все значения a, при оторых неравенство
loga/(a+1)(x2+2)>1
выполняется для любоо значе ния x.
14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3,
оторые при все х a l 5 удовлетворяют неравенству
(x–2ax)>1.
15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удов-
летворяющих условию 0 < b m 2, являются решениям и нера-
венства
(x+2b–1)<1.
16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых
при всех x справедливо равенство
aex+b=e
ax+b.
ax
+
ax
–
a(2x 2)
–1
+
2x
.
(9x 9a
3
)
+
7
2
---
loga(a 1)
+
log2ax
2
–
logx2 x
+
()
/b
104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Мноие задачи на решение уравне ний и неравенств с пара-
ме трами связаны с определением расположения орней вад-
ратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При
решении этих задач следует учитывать, что если вадратный
трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и
x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицатель-
ные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значе-
ния вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные зна-
чения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне про-
межута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя
орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произ-
вольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна
выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0
и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2].
Если известно, что число α не находится между орнями x1
и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от проме-
жута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно
сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим
уазанному промежуту, например с выражением –
, являю-
щимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c.
П р и м е р 3. При аих значе ниях параметра a оба орня
уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос
следует дать, не вычисляя орни уравне ния.
Р е ше н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 +
+ ax – 1, входящую в левую часть уравне ния. Та а оэффи-
цие нт при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх.
Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше
чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее
промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполне но
это требование, определяются следующей системой неравенств:
(*)
Первое неравенство ( оторое выполняется при всех значениях a)
арантирует существование действительных орней, второе и
a
2b
------
a2+4l0,
9+3a–1>0,
–
<3
.
a
2
---
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
105
третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежут-
а (x1; x2) справа от нео.
Решив систему неравенств (*), получаем a Ý – ;+× .
Ответ.aÝ –;+× .
17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо трехчлена
x2–6ax+(2–2a+9a2)
действительны и больше чем 3.
18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо уравнения
x2–ax+2=0
действительны и принадлежат промежуту (0; 3).
Одно неравенство является следствием друоо, если множе-
ство решений первоо неравенства целиом содержит множест-
во решений второо. Например, если x удовлетворяет неравен-
ству|x|<2,тоx2<5,т.е.неравенствоx2<5являетсяследст-
вием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений
(– ; ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество ре-
шений (–2; 2) неравенства | x | < 2.
19. При аих действительных значениях m неравенство
x2+mx+m2+6m<0
выполняется для любых x Ý (1; 2)?
20. Найдите все значения m, при оторых неравенство
mx2–4x+3m+1>0
выполнено для всех x > 0.
21. При аих действительных значениях m из неравенства
x2–(3m+1)x+m>0
следует неравенство x > 1?
22. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенстваax2–x+1–a<0следуетнеравенство0<x<1.
23. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенства 0 m x m 1 следует неравенство
(a2+a–2)x2–(a+5)x–2m0.
8
3---
8
3---
55
104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с пара-
метрами связаны с определением расположения орней вад-
ратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При
решении этих задач следует учитывать, что если вадратный
трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и
x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицатель-
ные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значе-
ния вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные зна-
чения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне про-
межута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя
орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произ-
вольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна
выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0
и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2].
Если известно, что число α не находится между орнями x1
и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от проме-
жута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно
сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим
уазанному промежуту, например с выражением – , являю-
щимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c.
П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня
уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос
следует дать, не вычисляя орни уравнения.
Р е ше н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 +
+ ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффи-
циент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх.
Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше
чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее
промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено
это требование, определяются следующей системой неравенств:
(*)
Первое неравенство ( оторое выполняется при всех значениях a)
арантирует существование действительных орней, второе и
a
2b------
a2+4l0,
9+3a–1>0,
– <3.
a
2---
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
105
третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежут-
а (x1; x2) справа от нео.
Решив систему неравенств (*), получаем a Ý – ;+× .
Ответ.aÝ –;+× .
17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо трехчлена
x2–6ax+(2–2a+9a2)
действительны и больше чем 3.
18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо уравнения
x2–ax+2=0
действительны и принадлежат промежуту (0; 3).
Одно неравенство является следствием друоо, если множе-
ство решений первоо неравенства целиом содержит множест-
во решений второо. Например, если x удовлетворяет неравен-
ству|x|<2,тоx2<5,т.е.неравенствоx2<5являетсяследст-
вием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений
(– ; ) нераве нства x2 < 5 целиом содержит множество ре-
шений (–2; 2) нераве нства | x | < 2.
19. При аих действительных значениях m неравенство
x2+mx+m2+6m<0
выполняется для любых x Ý (1; 2)?
20. Найдите все значения m, при оторых неравенство
mx2–4x+3m+1>0
выполнено для всех x > 0.
21. При аих действительных значениях m из неравенства
x2–(3m+1)x+m>0
следует неравенство x > 1?
22. Найдите все значе ния параметра a, при оторых из не-
равенстваax2–x+1–a<0следуетнеравенство0<x<1.
23. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенства 0 m x m 1 следует неравенство
(a2+a–2)x2–(a+5)x–2m0.
8
3
---
8
3
---
55
106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
24. Найдите все значения a, при оторых справедливо нера-
венство
2x2–4a2x–a2+1>0
длялюбых|x|<1.
25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни
уравнения
x2+x+a=0
действительны и больше a.
26. Найдите все значения a, при оторых нераве нство
<0
выполняется для x таих, что 1 m x m 2.
При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоариф-
мичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр,
с помощью заме ны переменной сводятся вадратным нера-
венствам.
27. Найдите все решения неравенства
a2–
–
8· ·a>0.
28. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
–
α·
–
α+3m0
имеет хотя бы одно решение.
29. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
α·
+4(α–1)·
+α>1
справедливо для всех x.
При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения
трионометричесих уравне ний и неравенств рациональным
использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаа-
ет выполнение неравенства | y | m 1.
30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение
sinx+cos(a+x)+cos(a–x)=2.
31. Для аждоо значе ния параметра a решите уравнение
(lgsinx)2–2algsinx–a2+2=0.
32. Найдите все значения b, при аждом из оторых нера-
венство
cos2x+2bsinx–2b<b2–4
в ыполняется для любоо числа x.
x2a
–1
–
xa
–
---------------------------
9x1
+
3x
4x
2x
9x
3x
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
107
33. Определите все значения a, при аждом из оторых
уравнение
cos4x–(a+2)cos2x–(a+3)=0
имеет решения, и найдите эти решения.
34. При аих значениях параметра a уравнение
sin2x+(a2–3)sin4x+a2–4=0
имеет четыре орня, расположенных на отрезе ; 2π ?
35. При аих значениях b уравнение
=
имеет решения? Найдите эти решения.
36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
log|sin x| 2 ·
3=a.
37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравен-
ство
xsinx–a>1
при условии, что x Ý 0; .
38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из
оторых при всех x справедливо равенство
a(cosx–1)+b2=cos(ax+b2)–1.
39. Определите, при аих целых значениях k система
имеет решения, и найдите все эти решения.
40. Найдите все значения a, при оторых уравнения
acos2x+|a|cos4x+cos6x=1
и
sinxcos2x=sin2xcos3x– sin5x
эвивалентны.
3π
2-------
bcosx
2cos2x 1–
--------------------------------
b sinx
+
cos2x 3sin2x
–
()
tgx
--------------------------------------------------------------
logsin2 x
π
2---
(arctg x)2 + (arccos y)2 = ,
arctgx+arccosy=
π2
k------
π
2---
1
2---
106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
24. Найдите все значения a, при оторых справедливо нера-
венство
2x2–4a2x–a2+1>0
длялюбых|x|<1.
25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни
уравнения
x2+x+a=0
действительны и больше a.
26. Найдите все значения a, при оторых неравенство
<0
выполняется для x таих, что 1 m x m 2.
При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоариф-
мичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр,
с помощью замены переменной сводятся вадратным нера-
венствам.
27. Найдите все решения неравенства
a2–
–8· ·a>0.
28. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
–α· –α+3m0
имеет хотя бы одно решение.
29. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
α· +4(α–1)· +α>1
справедливо для всех x.
При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения
трионометричесих уравнений и неравенств рациональным
использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаа-
ет выполнение неравенства | y | m 1.
30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение
sinx+cos(a+x)+cos(a–x)=2.
31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
(lgsinx)2–2algsinx–a2+2=0.
32. Найдите все значения b, при аждом из оторых нера-
венство
cos2x+2bsinx–2b<b2–4
выполняется для любоо числа x.
x2a
–1
–
xa
–
---------------------------
9x 1+
3x
4x
2x
9x
3x
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
107
33. Определите все значения a, при аждом из оторых
уравнение
cos4x–(a+2)cos2x–(a+3)=0
имеет реше ния, и найдите эти решения.
34. При аих значениях параметра a уравнение
sin2x+(a2–3)sin4x+a2–4 =0
имеет четыре орня, расположенных на отрезе
;2π ?
35. При аих значениях b уравнение
=
имеет реше ния? Найдите эти решения.
36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
log|sin x| 2 ·
3=a.
37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравен-
ство
xsinx–a>1
при условии, что x Ý 0; .
38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из
оторых при всех x справедливо равенство
a(cosx–1)+b2=cos(ax+b2)–1.
39. Определите , при аих целых значе ниях k систе ма
имеет реше ния, и найдите все эти решения.
40. Найдите все значения a, при оторых уравнения
acos2x+|a|cos4x+cos6x=1
и
sinxcos2x=sin2xcos3x– sin5x
эвивалентны.
3π
2
-------
bcosx
2cos2x 1
–
--------------------------------
b sinx
+
cos2x 3sin2x
–
()
tgx
-------------------------------------------------------------
-
logsin2 x
π
2
---
(arctg x)2 + (arccos y)2 =
,
arctgx+arccosy=
π2
k
------
π
2
---
1
2
---
108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
41. Определите, при аих значениях a уравнение
x–
= 4|4|x|– a2|
имеет три орня. Найдите эти орни.
42. Найдите все значения a, при оторых уравнение
|1–ax|=1+(1–2a)x+ax2
имеет одно решение.
43. Решите уравнение
|x+3|–a|x–1|=4
и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.
§ 22. Доказательство неравенств
Свед
+
ение
очевидном неравенств.
Пример 1. Доазать,чтоприa l 0, b l 0, c l 0 справед-
ливо неравенство
ab+ac+bcma2+b2+c2.
Р е ше н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим
2ab+2ac+2bcm2a2+2b2+2c2.
Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом:
a2–2ab+b2+b2–2bc+c2+a2–2ac+c2l0,
или
(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2l0.
Мы пришли очевидному неравенству.
Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
справедливо нераве нство:
1.a3+b3+c3l3abc.
2.
l
.
3.a2+b2+c2+3l2(a+b+c).
4. Доажите, что
x2+4y2+3x2+14–2x–12y–6z>0.
5. Доажите, что
x2+y2+z2+u2+a2+a(x+y+z+u)l0.
a
2
---
a3 b3
+
2
-------------------
ab
+
2
-------------
3
§ 22. Доказательство неравенств
109
6. Доажите, что
x2+2xy+3y2+2x+6y+3l0.
Использование неравенства Коши. Средним арифметичес-
им чисел a1, ..., an называют число
, а средним
еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют
число
.
Решение неоторых неравенств опирается на следующее не-
равенство Коши, справедливое для любоо набора неотрица-
тельных чисел a1, ..., an:
l
.(
1
)
Пример2.Доазать,чтоеслиa+b+c=1иa,b,c—
положительные числа, то
++l9.
Решение.Тааa+b+c=1,то,используянеравен-
ство Коши, залючаем, что
l
,
и
л
и l3.
(*)
Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел , , ,
получаем
l.
Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся
в справедливости исходноо неравенства.
7. Доажите, что
(a+b)(b+c)(c+a)l8abc,
де a, b, c—неотрицательные числа.
8.Доажите,чтоеслиp>0иq>0,то
(p+q)(p+2)(q+2)l16pq.
9. Доажите, что если x > 0, то
x+ >2.
a1a2...an
+++
n
----------------------------------------------
a1a2...an
n
a1a2...an
+++
n
---------------------------------------------- a1a2...an
n
1
a--- 1
b--- 1
c---
abc
++
3
----------------------- abc
3
1
abc
3
---------------
1
a--- 1
b--- 1
c---
1
a--- 1
b--- 1
c---
++
3
-------------------------
1
abc
3
---------------
1
x---
108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
41. Определите, при аих значениях a уравнение
x– =4|4|x|–a2|
имеет три орня. Найдите эти орни.
42. Найдите все значения a, при оторых уравнение
|1–ax|=1+(1–2a)x+ax2
имеет одно решение.
43. Решите уравнение
|x+3|–a|x–1|=4
и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.
§ 22. Доказательство неравенств
Свед
+
ение
очевидном неравенств.
Пример 1. Доазать,чтоприa l 0, b l 0, c l 0 справед-
ливо неравенство
ab+ac+bcma2+b2+c2.
Р е ше н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим
2ab+2ac+2bcm2a2+2b2+2c2.
Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом:
a2–2ab+b2+b2–2bc+c2+a2–2ac+c2l0,
или
(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2l0.
Мы пришли очевидному неравенству.
Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
справедливо неравенство:
1.a3+b3+c3l3abc.
2.
l
.
3.a2+b2+c2+3l2(a+b+c).
4. Доажите, что
x2+4y2+3x2+14–2x–12y–6z>0.
5. Доажите, что
x2+y2+z2+u2+a2+a(x+y+z+u)l0.
a
2---
a3 b3
+
2
-------------------
ab
+
2-------------
3
§ 22. Доказательство неравенств
109
6. Доажите, что
x2+2xy+3y2+2x+6y+3l0.
Использование неравенства Коши. Средним арифметичес-
им чисел a1, ..., an называют число
, а средним
еометричесим нео трицательных чисел a1, a2, ..., an называют
число
.
Решение неоторых неравенств опирается на следующее не-
равенство Коши, справедливое для любоо набора неотрица-
тельных чисел a1, ..., a
n
:
l
.
(
1
)
Пример2.Доазать,чтоеслиa+b+c=1иa,b,c—
положительные числа, то
++l9.
Решение.Тааa+b+c=1,то,используянеравен-
ство Коши, залючаем, что
l
,
и
л
и l3.
(*)
Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел , , ,
получаем
l
.
Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся
в справедливости исходноо неравенства.
7. Доажите, что
(a+b)(b+c)(c+a)l8abc,
де a, b, c—неотрицательные числа.
8.Доажите,чтоеслиp>0иq>0,то
(p+q)(p+2)(q+2)l16pq.
9. Доажите, что если x > 0, то
x+ >2.
a1a2...an
+++
n
----------------------------------------------
a1a2...a
n
n
a1a2...an
+++
n
----------------------------------------------
a1a2...an
n
1
a
---
1
b
---
1
c
---
abc
++
3
-----------------------
abc
3
1
abc
3
---------------
1
a
---
1
b
---
1
c
---
1
a
---
1
b
---
1
c
---
++
3
-------------------------
1
abc
3
---------------
1
x
---
110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
10. Доажите, что
1+
1+
1+
l 64,
деa,b,c—положительныечислаиa+b+c=1.
11. Доажите, что
(1+a1)(1+a2)·...·(1+an)l ,
де a1, a2, ..., a
n
—
положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
12. Доажите, что
a1+a2+...+anln,
де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
13. Доажите, что если a, b, c—положительные числа, то
(a+b+c)++>
9
.
14. Доажите, что если a, b, c—положительные числа, то
(bc+ca+ab)2>3ab(a+b+c).
15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные чис-
ла, то
(a1+a2+...+an)
+
+...+
l n2.
16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные чис-
ла, то
+
+...+
ln.
17. Доажите, что
n!<
,
де n—натуральное число, n l 2.
18. Доажите, что
<
, nÝN,
де a, b—положительные числа, a − b.
1
a
---
1
b
---
1
c
---
2n
1
a
---
1
b
---
1
c
---
1
a1
------
1
a2
------
1
an
------
a1
a2
------
a2
a3
------
an
a1
------
n1
+
2
--------------
n
ab
n
n1
+
an
b
+
n1
+
-----------------
§ 22. Доказательство неравенств
111
Использование метода математичес
ой инд
ции. Если тре-
буется установить справедливость неотороо неравенства сра-
зу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно
использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90).
Пример 3. Доазать,что
n!>
если n>2.
Р е ше н и е. Воспользуемся методом математичесой инду-
ции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение спра-
ведливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4.
Далее удобно воспользоваться следующим утверждением:
если при всех k, больших не оторо о N, выполняется нера-
венство
>,
де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то
>.
Соласно индутивному предположению, > 1. Следова-
тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Исполь-
зуем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем
ak=k!, ak+1=(k+1)!^
=
k+1,
bk=2k–1, bk+1=2k^
=
2
,
k+1>2, если k>2.
Таим образом, доазано, что
>1привсехkl2,т.е.тре-
буемое неравенство установлено.
Инода метод математичесой индуции удобнее применять
в следующем виде: если для неотороо N справедливо нера-
венствоaN>bNипривсехklN—неравенствоak+1–ak>
> bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.
2n1–,
ak 1+
ak
-------------- bk 1+
bk
-------------
ak 1+
bk 1+
-------------- ak
bk
------
ak
bk
------
ak 1+
ak
--------------
bk 1+
bk
-------------
ak 1+
bk 1+
--------------
110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
10. Доажите, что
1+ 1+ 1+ l64,
деa,b,c—положительныечислаиa+b+c=1.
11. Доажите, что
(1+a1)(1+a2)·...·(1+an)l ,
де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
12. Доажите, что
a1+a2+...+anln,
де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
13. Доажите, что если a, b, c—положительные числа, то
(a+b+c)++>
9
.
14. Доажите, что если a, b, c—положительные числа, то
(bc+ca+ab)2>3ab(a+b+c).
15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные чис-
ла, то
(a1+a2+...+an) + +...+ ln2.
16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные чис-
ла, то
+ +...+ ln.
17. Доажите, что
n!<
,
де n—натуральное число, n l 2.
18. Доажите, что
<
, nÝN,
де a, b—положительные числа, a − b.
1
a---
1
b---
1
c---
2n
1
a--- 1
b--- 1
c---
1
a1
------ 1
a2
------
1
an
------
a1
a2
------ a2
a3
------
an
a1
------
n 1+
2--------------
n
abn
n1
+
anb
+
n1+
-----------------
§ 22. Доказательство неравенств
111
Использование метода математичес
ой инд
ции. Если тре-
буется установить справедливость неотороо неравенства сра-
зу для все х членов двух последовательностей an и bn, то удобно
использовать метод матема тичесой индуции (см. л. 16, § 90).
Пример 3. Доазать, что
n!>
если n>2.
Р е ше н и е. Воспользуемся методом математичесой инду-
ции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение спра-
ведливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4.
Далее удобно воспользоваться следующим утверждением:
если при всех k, больших не оторо о N, выполняется нера-
венство
>
,
де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то
>.
Соласно индутивному предположению,
> 1. Следова-
тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Исполь-
зуем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем
ak=k!,
ak+1=(k+1)!^
=
k+1,
bk=2k–1
,
bk+1=2k^
=
2
,
k+1>2, если k>2.
Таим образом, доазано, что
>1привсехkl2,т.е.тре-
буемое неравенство установлено.
Инода ме тод математичесой индуции удобнее применять
в следующем виде: если для неотороо N справедливо нера-
венство aN>bNипривсехklN—неравенствоak+1–ak>
> bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.
2
n1
–
,
ak1
+
ak
--------------
bk1
+
bk
-------------
ak1
+
bk1
+
--------------
ak
bk
------
ak
bk
------
ak1
+
ak
--------------
bk1
+
bk
-------------
ak1
+
bk1
+
--------------
112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Доажите неравенство:
19.
>n2+2 (nl5).
20.
>
(nl2).
21.
>n3 (n−3).
22.
>n!(nl6).
23.
+
+...+
>.
24.
+
... +
<1–
(nl2).
25. 2(
–
1)<1+
+
+...+
<2
.
26.
m
.
27. 1+
<3.
28.lg 1+
<.
29. (n!)2 <
.
30.n!>
.
31. Доажите, что последовательность xn = 1 +
моно-
тонно возрастае т.
2n
n
n
(n1)n1
–
+
3
n
n
2
---
n
1
n1
+
--------------
1
n2
+
--------------
1
2n
-------
3
5
---
1
22
------
1
32
------
1
n2
------
1
n
---
n1
+
1
2
-- -- ---
1
3
-------
1
n
-------
n
135...2n1
+
()
⋅⋅⋅
⋅
246...2n
()
⋅⋅⋅
⋅
---------------------------------------------------------
1
2n1
+
----------------------
1
n
---
n
1
n
---
1
n
---
n1
+
()
2n1
+
()
6
------------------------------------------
n
n
e
---
n
1
n
---
n
Глава 5
Тригонометрия
Напомним основные формулы трионометрии.
Формлы, связывающие трионометричес
ие фн
ции
одноо и тоо же армента
sin2α+cos2α=1,
tgα= , ctgα= ,
secα= , cosecα= ,
tgα= , ctgα= ,
1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=cosec2α.
Формлы сложения двх арментов
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ,
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
tg(α+β)=
, tg(α–β)=
,
ctg(α+β)=
, ctg(α–β)=
.
Формлы двойноо и половинноо арментов
sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α–sin2α,
tg2α=
,
sinα=
, cosα=
,
sin α
cos α
-------------
cos α
sin α
-------------
1
cos α
-------------
1
sin α
-------------
1
ctg α
--------------
1
tgα
-----------
tgα tgβ
+
1tgα tg β
–---------------------------------
tgα tgβ
–
1tgα tg β
+----------------------------------
ctgαctgβ 1–
ctgβ ctgα
+
---------------------------------------
ctgαctgβ 1+
ctgβ ctgα
–
---------------------------------------
2tgα
1tg2 α
–------------------------
2tgα
2---
1tg2 α
2---
+
-------------------------
1tg2 α
2---
–
1tg2 α
2---
+
-------------------------
112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Доажите неравенство:
19. >n2+2 (nl5).
20. >
(nl2).
21. >n3 (n−3).
22.
>n!(nl6).
23.
+
+...+ > .
24. + ...+ <1– (nl2).
25. 2(
–1)<1+ + +...+ <2 .
26.
m
.
27. 1+ <3.
28.lg1+ <.
29. (n!)2 <
.
30.n!>
.
31. Доажите, что последовательность xn = 1 + моно-
тонно возрастает.
2n
nn(n1)n1–
+
3n
n
2---
n
1
n1+
-------------- 1
n2+
--------------
1
2 n------- 3
5---
1
22------ 1
32------
1
n2------
1
n---
n1+
1
2
------- 1
3
-------
1
n
-------
n
135...2n1+
()
⋅⋅⋅ ⋅
246...2n
()
⋅⋅⋅ ⋅
---------------------------------------------------------
1
2n 1+
----------------------
1
n---
n
1
n---
1
n---
n1+
()
2n 1+
()
6
------------------------------------------
n
n
e---
n
1
n---
n
Глава 5
Тригонометрия
Напомним основные формулы трионометрии.
Формлы, связывающие тр ионометричес
ие фн
ции
одноо и тоо же армента
sin2α+cos2α=1,
tgα=
, ctgα=
,
secα=
,
cosec α =
,
tgα=
,
ctgα=
,
1+tg2α=sec2α,1+c
tg2 α = cosec2 α.
Формлы сложения двх арментов
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ,
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ,
tg(α+β)=
,
tg(α–β)=
,
ctg(α+β)=
,
ctg(α–β)=
.
Формлы двойноо и половинноо арментов
sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α–sin2α,
tg2α=
,
sinα=
, cosα=
,
sin α
cos α
-------------
cos α
sin α
-------------
1
cos α
-------------
1
sin α
-------------
1
ctg α
-------------
-
1
tgα
-----------
tgα tgβ
+
1t
gαtgβ
–
---------------------------------
tgα tgβ
–
1t
gαtgβ
+
---------------------------------
-
ctgαctgβ 1
–
ctgβ ctgα
+
---------------------------------------
ctgαctgβ 1
+
ctgβ ctgα
–
---------------------------------------
2tgα
1t
g
2α
–
------------------------
2tg
α
2
---
1t
g
2α
2
---
+
------------------------
-
1t
g
2α
2
---
–
1t
g
2α
2
---
+
------------------------
-
114
Г л а в а 5. Тригонометрия
1+cosα=2cos2 , 1–cosα=2sin2 ,
tg2 =
,tg
=
=
.
Формлы сложения трионометричес
их фн
ций
sinα+sinβ=2sin
cos
,
sinα–sinβ=2sin
cos
,
cosα+cosβ=2cos
cos
,
cosα–cosβ=2sin
sin
,
tgα+tgβ=
, tgα–tgβ=
,
ctgα+ctgβ=
, ctgα–ctgβ=
,
Формлы преобразования произведения в смм
sinαsinβ= [cos(α–β)–cos(α+β)],
cosαcosβ= [cos(α–β)+cos(α+β)],
sinαcosβ= [sin(α–β)+sin(α+β)].
Формлы приведения
Наиме-
нование
фун
-
ции
Значе ние арумента
–α
–
α
+α π–απ
+α
–
α
+α
sin
–sinα cosα –cosα –sinα –sinα –cosα –cosα
cos
–cosα sinα –sinα –cosα –cosα –sinα –sinα
tg
–tgα
ctgα –ctgα –tgα
–tgα
–ctgα –ctgα
ctg
–ctgα tgα
–tg α
–ctgα –ctgα –tgα
–tgα
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1c
o
s
α
–
1c
o
s
α
+
------------------------
α
2
---
sin α
1c
o
s
α
+
------------------------
1c
o
s
α
–
sin α
------------------------
αβ
+
2
--------------
αβ
–
2
-------------
αβ
–
2
-------------
αβ
+
2
--------------
αβ
+
2
--------------
αβ
–
2
-------------
αβ
+
2
--------------
βα
–
2
-------------
sin αβ
+
()
cosαcosβ
----------------------------
sin αβ
–
()
sinαsinβ
----------------------------
sin αβ
+
()
sinαsinβ
----------------------------
sin βα
–
()
sinαsinβ
----------------------------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
π
2
---
π
2
---
3π
2
-------
3π
2
-- -- ---
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений
115
§ 23. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
При доазательстве трионометричесих тождеств исполь-
зуют формулы соращенноо умножения и формулы, связы-
вающие между собой основные трионометричесие фунции.
П р и м е р. Доазать тождество
2(sin6α+cos6α)–3(sin4α+cos4α)+1=0.
(*)
Р е ше н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:
x3+y3=(x+y)(x2–xy+y2),
полаая в ней x = sin2 α, y = cos2 α. Тода получим
sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α–sin2αcos2α+cos4α).
Используя тождество
sin2α+cos2α=1,
(**)
преобразуем левую часть равенства (*) виду
2sin4α–2sin2αcos2α+2cos4α–3sin4α–3cos4α+1.
Приведя подобные члены, получаем
1–2sin2αcos2α–sin4α–cos4α.
(***)
Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно
равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем
sin4α+2sin2αcos2α+cos4α=1,
т. е. тождество (*) доазано.
Доажите тождество:
1.sin6α+cos6α=1– sin22α.
2.
=ctgα.
3.(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=4cos2 .
4.tgα+tg2α–tg3α=–tgαtg2αtg3α.
5.
=tg2 .
6.
=
.
3
4---
1sin2α cos 2α
++
1sin2α cos 2α
–
+
-----------------------------------------------------
αβ
–
2-------------
2sinα sin2α
–
2sinα sin2α
+
-------------------------------------------
α
2---
sin α 2sin3α sin 5α
++
sin 3α 2sin5α sin 7α
++
------------------------------------------------------------------------ sin 3α
sin 5α
-----------------
114
Г л а в а 5. Тригонометрия
1+cosα=2cos2 , 1–cosα=2sin2 ,
tg2 =
,tg=
=
.
Формлы сложения трионометричес
их фн
ций
sinα+sinβ=2sin cos ,
sinα–sinβ=2sin cos ,
cosα+cosβ=2cos cos ,
cosα–cosβ=2sin sin ,
tgα+tgβ=
, tgα–tgβ=
,
ctgα+ctgβ=
, ctgα–ctgβ=
,
Формлы преобразования произведения в смм
sinαsinβ= [cos(α–β)–cos(α+β)],
cosαcosβ= [cos(α–β)+cos(α+β)],
sinαcosβ= [sin(α–β)+sin(α+β)].
Формлы приведения
Наиме-
нование
фун
-
ции
Значение арумента
–α
–α +α π–απ+α –α +α
sin –sinα cosα –cosα –sinα –sinα –cosα –cosα
cos –cosα sinα –sinα –cosα –cosα –sinα –sinα
tg –tgα ctgα –ctgα –tgα –tgα –ctgα –ctgα
ctg –ctgα tgα –tgα –ctgα –ctgα –tgα –tgα
α
2---
α
2---
α
2--- 1cosα
–
1cosα
+------------------------
α
2--- sin α
1cosα
+
------------------------ 1cosα
–
sin α
------------------------
αβ
+
2-------------- αβ
–
2-------------
αβ
–
2------------- αβ
+
2--------------
αβ
+
2-------------- αβ
–
2-------------
αβ
+
2-------------- βα
–
2-------------
sin αβ
+
()
cosαcosβ
----------------------------
sin αβ
–
()
sinαsinβ
----------------------------
sin αβ
+
()
sinαsinβ
----------------------------
sin βα
–
()
sinαsinβ
----------------------------
1
2---
1
2---
1
2---
π
2---
π
2---
3π
2------- 3π
2-------
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений
115
§ 23. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
При доазательстве трионометричесих тождеств исполь-
зуют формулы соращенноо умножения и формулы, связы-
вающие между собой основные трионометричесие фунции.
П р и м е р. Доазать тождество
2(sin6α+cos6α)–3(sin4α+cos4α)+1=0.
(*)
Р е ше н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:
x3+y3=(x+y)(x2–xy+y2),
полаая в ней x = sin2 α, y = cos2 α. Тода получим
sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α–sin2αcos2α+cos4α).
Используя тождество
sin2α+cos2α=1,
(**)
преобразуем левую часть равенства (*) виду
2sin4α–2sin2αcos2α+2cos4α–3sin4α–3cos4α+1.
Приведя подобные члены, получае м
1–2sin2αcos2α–sin4α–cos4α.
(***)
Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождестве нно
равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем
sin4α+2sin2αcos2α+cos4α=1,
т. е . тождество (*) доазано.
Доажите тождество:
1.sin6α+cos6α=1 – sin22α.
2.
= ctgα.
3.(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=4cos2
.
4.tgα+tg2α–tg3α= –tgαtg2αtg3α.
5.
=tg2.
6.
=
.
3
4
---
1s
i
n
2
α cos2α
++
1s
i
n
2
α cos2α
–
+
-----------------------------------------------------
αβ
–
2
-------------
2sinα sin2α
–
2sinα sin2α
+
-------------------------------------------
α
2
---
sin α 2sin3α sin5α
++
sin 3α 2sin5α sin 7α
++
-----------------------------------------------------------------------
-
sin 3α
sin 5α
-----------------
116
Г л а в а 5. Тригонометрия
7.sin23α–sin22α=sin5αsinα.
8.
= –tg 2α.
9.
–
= ctg 2α.
10.sinα+sinβ+sinγ–sin(α+β+γ)=
= 4sin
sin
sin
.
11.sinα+sin3α+sin5α+sin7α=4cosαcos2αsin4α.
12.
=
.
13.
=tg3α.
14.sin2α(1+tg2αtgα)+
= tg 2α+tg2
+
.
15. sin6 – cos6
=
cos α.
16. cos
+4α +sin(3π–8α)–sin(4π–12α)=
= 4cos2αcos4αsin6α.
17.ctg2α–ctg2β=
.
18.
–
= sinx+cosx.
19.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
cosα+cosβ+cosγ=1+4sin sin sin .
20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то
tgtg+tgtg+tgtg=1.
21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то
sin(α+2β)=sinα.
22. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то
cos2β=2cos2
+α.
sinα sin3α
–
sin5α
–s
i
n
7
α
+
cosα cos3α
–c
o
s
5
α cos7α
–
+
----------------------------------------------------------------------------------------
1
tg3α tgα
–
---------------------------------
1
ctg3α ctgα
–
--------------------------------------
αβ
+
2
--------------
βγ
+
2
------------
γα
+
2
-------------
sin3αcos3α cos3αsin3α
+
3
------------------------------------------------------------------------------
sin4α
4
-----------------
sin2α sin3α
–s
i
n
4
α
+
cos 2α cos 3α
–c
o
s
4
α
+
-------------------------------------------------------------------
1 sinα
+
1s
i
n
α
–
------------------------
π
4
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
sin2α 4
–
4
--------------------------
3π
2
-------
cos2 α cos2 β
–
sin2 α sin2 β
---------------------------------------
sin2 x
sinx cosx
–
---------------------------------
sinx cosx
+
tg2x 1
–
----------------------------------
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
α
2
---
β
2
---
β
2
---
γ
2
---
γ
2
---
α
2
---
π
4
---
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений
117
23. Доажите, что если tg α и tgβ — орни уравнения
x2 + px + q = 0, то справедливо равенство
sin2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos2(α+β)=q.
24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением
= , |n|<|m|,
то справедливо равенство
=
.
25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую про-
рессию. Доажите, что
=ctgβ.
26.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
ctgαctgβ+ctgβctgγ+ctgγctgα=1.
27. Доажите тождество
sin –αcos +α+cos –αsin +α=1.
28. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то
cos2β=2sin2 –α .
29. Доажите тождество
–
– sin2α ctg +ctg +
=–sin2α.
30. Доажите тождество
4cos–sin–=
.
sin β
sin 2αβ
+
()
-------------------------------- n
m-----
1 tgβ
tgα
-----------
+
mn
+
---------------------- 1tgα tg β
–
mn
–
---------------------------------
sinα sinγ
–
cosγ cosα
–
---------------------------------
π
3---
π
6---
π
3---
π
6---
π
4---
1 sin2α
+
cos 2α 2π
–
()
tgα3π
4-------
–
----------------------------------------------------------------------
1
4---
α
2---
3π
2------- α
2---
π
6--- α
2---
π
3--- α
2---
sin 3α
2-------
sin α
2---
-----------------
116
Г л а в а 5. Тригонометрия
7.sin23α–sin22α=sin5αsinα.
8.
= –tg 2α.
9.
–
= ctg 2α.
10.sinα+sinβ+sinγ–sin(α+β+γ)=
=4sin sin sin .
11.sinα+sin3α+sin5α+sin7α=4cosαcos2αsin4α.
12.
=
.
13.
=tg3α.
14.sin2α(1+tg2αtgα)+
=tg2α+tg2 + .
15. sin6 – cos6 =
cos α.
16.cos +4α +sin(3π–8α)–sin(4π–12α)=
=4cos2αcos4αsin6α.
17.ctg2α–ctg2β=
.
18.
–
=sinx+cosx.
19.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
cosα+cosβ+cosγ=1+4sin sin sin .
20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то
tgtg+tgtg+tgtg=1.
21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то
sin(α+2β)=sinα.
22. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то
cos2β=2cos2 +α .
sinα sin3α
–
sin 5α
–s
i
n
7
α
+
cosα cos3α
–c
o
s
5
α cos7α
–
+
----------------------------------------------------------------------------------------
1
tg3α tgα
–
---------------------------------
1
ctg3α ctgα
–
--------------------------------------
αβ
+
2-------------- βγ
+
2------------ γα
+
2-------------
sin3αcos3α cos3αsin3α
+
3
------------------------------------------------------------------------------ sin 4α
4
-----------------
sin 2α sin 3α
–s
i
n
4
α
+
cos 2α cos 3α
–c
o
s
4
α
+
-------------------------------------------------------------------
1 sinα
+
1sinα
–------------------------
π
4--- α
2---
α
2---
α
2--- sin2 α 4–
4
--------------------------
3π
2-------
cos2α cos2 β
–
sin2 α sin2 β
---------------------------------------
sin2 x
sinx cosx
–
--------------------------------- sin x cos x
+
tg2x 1–
----------------------------------
α
2--- β
2--- γ
2---
α
2--- β
2---
β
2--- γ
2---
γ
2--- α
2---
π
4---
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений
117
23. Доажите, что если tg α и tgβ — орни уравнения
x2 + px + q = 0, то справедливо равенство
sin2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos2(α+β)=q.
24. Поажите , что если улы α и β связаны соотношением
=
,
|n| <| m|,
то справедливо равенство
=
.
25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую про-
рессию. Доажите, что
= ctgβ.
26.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
ctgαctgβ+ctgβctgγ+ctgγctgα=1.
27. Доажите тождество
sin
–
α cos
+α +cos
–
α sin
+α =1.
28. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то
cos2β=2sin2
–
α.
29. Доажите тождество
–
–
sin2α ctg +ctg
+
= – sin2α.
30. Доажите тождество
4cos
–
sin
–
=
.
sin β
sin 2αβ
+
()
--------------------------------
n
m
-----
1
tgβ
tgα
-----------
+
mn
+
----------------------
1t
gαtgβ
–
mn
–
---------------------------------
sinα sinγ
–
cosγ cosα
–
---------------------------------
π
3
---
π
6
---
π
3
---
π
6
---
π
4
---
1 sin2α
+
cos 2α 2π
–
()
tgα
3π
4
-------
–
---------------------------------------------------------------------
-
1
4
---
α
2
---
3π
2
-- - ----
α
2
---
π
6
---
α
2
---
π
3
---
α
2
---
sin
3α
2
-- -- ---
sin
α
2
---
-----------------
118
Г л а в а 5. Тригонометрия
31. Доажите тождество
–
= sinα.
32.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
sin2α–cos2β–cos2γ=2cosαcosβcosγ.
33. Упростите выражение
,
если α Ý [0; 2π].
34. Упростите выражение
.
§ 24. Вычисление значений
тригонометрических функций
Вычисление значений трионометричес
их выражений без
помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений
трионометричесих выражений без использования таблиц,
обычно решают с помощью тождественных преобразований,
приводящих исомое выражение виду, содержащему тольо
табличные значения трионометричес их фунций.
Пример 1. Вычислитьбезтаблицtg20°tg40°tg80°.
Решение. Имеем
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Ответ..
1s
i
n
2
α
+
sinα cosα
+
----------------------------------
1t
g
2α
2
---
–
1t
g
2α
2
---
+
------------------------
-
1c
o
s
α
+1
c
o
s
α
–
+
1c
o
s
α
+1
c
o
s
α
–
–
----------------------------------------------------------------
2sinα sin 2 α
+
2cosα sin 2 α
+
-------------------------------------------
1c
o
s
α
–
1 sinα
–
-----------------------
-
sin20° sin40° sin80°
cos 20° cos 40° cos80°
--------------------------------------------------------------
sin20° 2sin20° cos 20° 2sin40° cos 40°
⋅⋅
cos 20° cos 40° cos 80°
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2sin20° cos 20° cos 60°
–
()
cos80°
----------------------------------------------------------------------------
sin40° sin20°
–
cos 80°
---------------------------------------------
-
2cos30° si n 10 °
cos 80°
---------------------------------------------
-
2cos30° cos 90 ° 10 °
–
()
cos 80°
-------------------------------------------------------------------
3
3
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций
119
Вычислите без использования таблиц:
1.
.
2. sin2 70° sin2 50° sin2 10°.
3.sin sin .
4.8cos cos cos .
5.
–
.
6.sin4 +cos4 +sin4 +cos4 .
7. sin 15°.
8. sin 18°.
9. sin 42°.
Вычисление значений одной трионометричес
ой фн
ции
по известном значению дрой фн
ции.
Пример 2. Вычислить
,
еслиtgα=3.
Решение. Выразивsin2α и cos 2α через tg α, получим
=
.
Подставив в правую часть этоо выражения значение
tgα=3,имеем
=–.
Ответ.– .
10. Вычислите sin α, если sin + cos = 1,4.
11.Вычислите1+5sin2α–3cos–12α,еслиtgα=–2.
12.Найдитеtg4α+ctg4α,еслиtgα+ctgα=a.
13.Вычислитеsin3α–cos3α,еслиsinα–cosα=n.
14. Зная, что tg = m, найдите
.
sin24°cos6° sin6°sin66°
–
sin 21° cos 39° cos 51° sin 69°
–
-----------------------------------------------------------------------------------------
3π
10------- π
10------
4π
9------- 2 π
9------- π
9---
1
sin π
18------
-----------------
3
cos π
18------
-----------------
π
8---
3π
8-------
5π
8-------
7π
8-------
2 sin 2α 3cos2α
–
4 sin 2α 5cos2α
+
----------------------------------------------------
2 sin 2α 3cos2α
–
4 sin 2α 5cos2α
+
---------------------------------------------------- 4tgα 3–3
t
g
2α
+
8tgα 55tg2 α
–
+
----------------------------------------------------
43
⋅ 3–39
⋅
+
83
⋅ 559
⋅
–
+
---------------------------------------- 9
4---
9
4---
α
2---
α
2---
α
2---
1 2sin2α
2---
–
1 sinα
+
-------------------------------
118
Г л а в а 5. Тригонометрия
31. Доажите тождество
–
=sinα.
32.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
sin2α–cos2β–cos2γ=2cosαcosβcosγ.
33. Упростите выражение
,
если α Ý [0; 2π].
34. Упростите выражение
.
§ 24. Вычисление значений
тригонометрических функций
Вычисление значений трионометричес
их выражений без
помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений
трионометричесих выражений без использования таблиц,
обычно решают с помощью тождественных преобразований,
приводящих исомое выражение виду, содержащему тольо
табличные значения трионометричесих фунций.
Пример1.Вычислитьбезтаблицtg20°tg40°tg80°.
Решение. Имеем
=
=
=
=
=
=
=
=.
Ответ..
1sin2α
+
sinα cosα
+
----------------------------------
1tg2 α
2---
–
1tg2 α
2---
+
-------------------------
1cosα
+1
c
o
s
α
–
+
1cosα
+1
c
o
s
α
–
–
----------------------------------------------------------------
2sinα sin 2α
+
2cosα sin 2α
+
------------------------------------------- 1cosα
–
1 sinα
–------------------------
sin 20° sin 40° sin 80°
cos 20° cos 40° cos80°
-------------------------------------------------------------- sin 20 ° 2sin 20° cos 20° 2sin 40° cos 40 °
⋅⋅
cos 20° cos 40° cos 80°
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 sin 20° cos 20° cos 60°
–
()
cos80°
---------------------------------------------------------------------------- sin 40 ° sin 20 °
–
cos 80°
----------------------------------------------
2cos30° sin 10 °
cos 80°
---------------------------------------------- 2cos30° cos 90 ° 10°
–
()
cos 80°
------------------------------------------------------------------- 3
3
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций
119
Вычислите без использования таблиц:
1.
.
2. sin2 70° sin2 50° sin2 10°.
3. sin
sin
.
4.8cos
cos
cos .
5.
–
.
6. sin4 + cos4
+ sin4
+ cos4
.
7. sin 15°.
8. sin 18°.
9. sin 42°.
Вычисление значений одной трионометричес
ой фн
ции
п о известном значению дрой фн
ции.
Пример 2. Вычислить
,
еслиtgα=3.
Решение. Выразив sin2α и cos 2α через tg α, получим
=
.
Подставив в правую часть этоо выражения зна чение
tgα=3,имеем
=–
.
Ответ.–
.
10. Вычислите sin α, если sin + cos = 1,4.
11.Вычислите1+5sin2α–3cos–12α,еслиtgα= –2.
12.Найдитеtg4α+ctg4α,еслиtgα+ctgα=a.
13.Вычислитеsin3α–cos3α,еслиsinα–cosα=n.
14. Зная, что tg = m, найдите
.
sin24°cos6° sin6°sin66°
–
sin21° cos 39° cos 51° sin69°
–
----------------------------------------------------------------------------------------
-
3π
10
-------
π
10
------
4π
9
-- -- ---
2π
9
-------
π
9
---
1
sin
π
18
------
----------------
-
3
cos
π
18
------
-----------------
π
8
---
3π
8
-------
5π
8
-------
7π
8
-- -- ---
2 sin 2α 3cos2α
–
4sin2α 5cos2α
+
----------------------------------------------------
2sin2α 3cos2α
–
4sin2α 5cos2α
+
----------------------------------------------------
4tgα 3
–3
t
g
2α
+
8tgα 55t
g2α
–
+
----------------------------------------------------
43
⋅
3
–3
9
⋅
+
83
⋅
559
⋅
–
+
----------------------------------------
9
4
---
9
4
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1 2sin2α
2
---
–
1 sinα
+
-------------------------------
120
Г л а в а 5. Тригонометрия
15.Вычислите cos(θ–φ), если cosθ +cosφ =a, sinθ–
–sinφ=b,a2+b2−0.
16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна . Вы-
числите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β,
ctg γ являются последовательными членами арифметичесой
прорессии.
17.Вычислитеtg +tg ,еслиsinα+sinβ=a,cosα+
+cosβ = b.
18. Найдите tg (α + 2β), если
sin(α+β)=1, sin(α–β)=
,
деαÝ 0; ,βÝ 0; .
19. Найдите отношение
, если известно, что
=
.
20. Найдите tg , если известно, что sin α + cos α =
.
21. Вычислите tg , если
=
.
22. Составьте уравнение для нахождения cos , если
cosα=m.
23. Найдите tg , если известно, что
=
.
24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению
tg2α–atgα+1=0
иизвестно,чтоa>0и0<α< .
π
2
---
α
2
---
β
2
---
1
2
---
π
2
---
π
2
---
ctg β
ctg α
-------------
-
sin αβ
+
()
sin αβ
–
()
----------------------------
p
q
---
α
2
---
1
5
---
α
2
---
sin3α
sin α
-----------------
11
25
------
α
3
---
α
2
---
cos α
1s
i
n
α
+
------------------------
1m
–
1m
+
---------------
π
4
---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций
121
Вычисление значений трионометричес
их фн
ций от зна-
чений обратных трионометричес
их фн
ций.
Пример3.Вычислитьзначениеtg arcctg3 .
Решение.Положимα=arcctg3.Тодаctgα=3,0<α< .
Вычислим теперь значения sin α и cos α:
sinα=
=
=,
cosα=
=.
Далее, используя формулу tg =
, получаем
tg=:1+
=
.
Ответ..
Вычислите:
25. sin 2 arccos .
26. cos arcsin – .
27. sin arcsin + arcsin . 28. tg 2 arcsin .
29. arcsin (sin 2).
30. tg arcsin + arccos . 31. sin (arctg 2 + arctg 3).
32. cos arcsin – arccos .
33. sin 2 arctg + cos (arctg 2 ).
Провер
а справедливости равенств, содержащих обратные
трионометричес
ие фн
ции. При решении этих задач следу-
ет иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих
фунций, вычисленных от положительных величин, залюче-
на в промежуте [0; π], а разность — в промежуте – ; .
1
2---
π
2---
1
1ctg2 α
+
-------------------------------
1
132
+
--------------------- 1
10
-----------
ctg α
1ctg2 α
+
------------------------------- 3
10
-----------
α
2--- sin α
1cosα
+------------------------
α
2--- 1
10
-----------
3
10
-----------
1
10 3+
---------------------
1
10 3+
---------------------
1
4---
1
2---
3
5---
8
17------
2
3---
1
3---
1
4---
1
3---
2
3---
1
3---
3
π
2--- π
2---
120
Г л а в а 5. Тригонометрия
15.Вычислите cos(θ –φ), если cosθ +cosφ =a,sinθ–
–sinφ=b,a2+b2−0.
16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна . Вы-
числите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β,
ctg γ являются последовательными членами арифметичесой
прорессии.
17.Вычислитеtg +tg ,еслиsinα+sinβ=a,cosα+
+cosβ = b.
18. Найдите tg (α + 2β), если
sin(α+β)=1, sin(α–β)= ,
деαÝ 0; ,βÝ 0; .
19. Найдите отношение , если известно, что
=.
20. Найдите tg , если известно, что sin α + cos α = .
21. Вычислите tg , если
=.
22. Составьте уравнение для нахождения cos , если
cosα=m.
23. Найдите tg , если известно, что
=.
24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению
tg2α–atgα+1=0
иизвестно,чтоa>0и0<α< .
π
2---
α
2---
β
2---
1
2---
π
2---
π
2---
ctg β
ctg α
--------------
sin αβ
+
()
sin αβ
–
()
---------------------------- p
q---
α
2---
1
5---
α
2---
sin 3α
sin α
----------------- 11
25------
α
3---
α
2---
cos α
1sinα
+
------------------------ 1 m
–
1m
+
---------------
π
4---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций
121
Вычисление з начений трионометричес
их фн
ций от з на-
чений обратных трионометричес
их фн
ций.
Пример3.Вычислитьзначениеtg
arcctg 3 .
Решение.Положимα=arcctg3.Тодаctgα=3,0<α< .
Вычислим теперь значения sin α и cos α:
sinα=
=
=
,
cosα=
=
.
Далее, используя формулу tg =
, получаем
tg=
:1+
=
.
Ответ..
Вычислите:
25. sin 2 arccos
.
26. cos arcsin –
.
27. sin arcsin + arcsin
.
28. tg 2 arcsin
.
29. arcsin (sin 2).
30. tg arcsin + arccos
.
31. sin (arctg 2 + arctg 3).
32. cos arcsin – arccos
.
33. sin 2 arctg
+ cos (arctg 2 ).
Провер
а справедливости равенств, содержащих обратные
трионометричес
ие фн
ции. При решении этих задач следу-
ет иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих
фунций, вычисленных от положительных величин, залюче-
на в промежуте [0; π], а разность — в промежуте – ;
.
1
2
---
π
2
---
1
1c
t
g
2α
+
-------------------------------
1
13
2
+
---------------------
1
10
-----------
ctg α
1c
t
g
2α
+
-------------------------------
3
10
-----------
α
2
---
sin α
1c
o
s
α
+
------------------------
α
2
---
1
10
-----------
3
10
-----------
1
103
+
---------------------
1
103
+
---------------------
1
4
---
1
2
---
3
5
---
8
17
------
2
3
---
1
3
---
1
4
---
1
3
---
2
3
---
1
3
---
3
π
2
---
π
2
---
122
Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 4. Проверить справедливость раве нства
arcsin + arccos
= arcctg
.
Р е ше н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой
частей равенства:
ctg arcsin + arccos
=
=
=
=
,
ctg arcctg
=
.
Ита,
ctg arcsin + arccos
= ctg arcctg
.
Та а уол arcsin + arccos
принадлежит промежуту
(0; π), т. е . промежуту монотонности отаненса, то из равен-
ства отаненсов следует равенство значений арументов, что и
требовалось доазать.
Проверьте справедливость равенства:
34. arcsin
+ arccos
=
.
35.arctg1+arctg2=π –arctg3.
36. arccos
–
arccos
=
.
37. Доажите, что если
arctgα+arctgβ+arctgγ=π,
тоα+β+γ=αβγ.
38. Доажите, что arctg
–
arctg
=
.
39. Доажите, что arctg 3 – arcsin
=
.
4
5
---
2
5
-------
2
11
------
4
5
---
2
5
-- - ----
ctg arcsin
4
5
---
ctg arccos
2
5
--- - ---
1
–
ctg arcsin
4
5
---
ctg arccos
2
5
-------
+
----------------------------------------------------------------------------------------------
3
4
---
21
–
⋅
3
4
---
2
+
---------------------
2
11
------
2
11
------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
2
11
------
4
5
---
2
5
-------
3
2
-------
3
2
-- - ----
π
2
---
2
3
---
61
+
23
------------------
π
6
---
21
+
21
–
------------------
2
2
-------
π
4
---
5
5
-------
π
4
---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций
123
40. Доажите, что arcsin + arcsin = .
41. Доажите, что
+ arcsin = arcsin + arccos – .
42. Проверьте, справедливо ли равенство
arccos x + arccos +
= приxÝ;1.
43. Проверьте, справедливо ли равенство
arcsin x +
–arcsinx= .
Нахождение смм трионометричес
их фн
ций. Суммиро-
вание онечноо числа трионометричесих фунций
Sn=u1+u2+u3+...+un
(1)
часто удается осуществить с помощью подбора та называемой
производящей фнции, т. е. фунции, обладающей свойством
f(k+1)–f(k)=uk.
Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде
Sn=f(n+1)–f(1).
(2)
Пример5.Найтисумму
Sn=sinα+sin(α+h)+sin(α+2h)+...+sin(α+nh).
Р е ше н и е. Воспользуемся тем, что
cos α+
h –cos α+
h =–2sin(α+kh)sin .
Тода в ачестве производящей фунции можно взять
f(k)=–
cosα+ h.
Соласно равенству (2), получаем
Sn=–
cos α+
h–cosα– .
5
13------
12
13------ π
2---
π
2---
77
85------
8
17------
3
5---
x
2--- 1
2--- 33x2
–
π
3---
1
2---
2
2-------
22x2
–
2
------------------------
π
4---
2k1+
2
-----------------
2k1–
2
-----------------
h
2---
1
2sinh
2---
------------------
k1–
2-------------
1
2sinh
2---
------------------
2n1+
2
------------------
h
2---
122
Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства
arcsin + arccos = arcctg .
Р е ше н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой
частей равенства:
ctg arcsin + arccos =
=
=
=,
ctg arcctg = .
Ита,
ctg arcsin + arccos = ctg arcctg .
Та а уол arcsin + arccos принадлежит промежуту
(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равен-
ства отаненсов следует равенство значений арументов, что и
требовалось доазать.
Проверьте справедливость равенства:
34. arcsin + arccos = .
35.arctg1+arctg2=π–arctg3.
36. arccos – arccos
=.
37. Доажите, что если
arctgα+arctgβ+arctgγ=π,
тоα+β+γ=αβγ.
38. Доажите, что arctg
–arctg = .
39. Доажите, что arctg 3 – arcsin = .
4
5---
2
5
-------
2
11------
4
5---
2
5
-------
ctg arcsin 4
5---
ctg arccos 2
5
-------
1–
ctg arcsin 4
5---
ctg arccos 2
5
-------
+
----------------------------------------------------------------------------------------------
3
4--- 21
–
⋅
3
4--- 2+
--------------------- 2
11------
2
11------
2
11------
4
5---
2
5
-------
2
11------
4
5---
2
5
-------
3
2-------
3
2------- π
2---
2
3---
61
+
23
------------------ π
6---
21
+
21
–
------------------
2
2------- π
4---
5
5------- π
4---
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций
123
40. Доажите, что arcsin
+ arcsin
=
.
41. Доажите, что
+ arcsin
= arcsin
+ arccos –
.
42. Проверьте, справедливо ли равенство
arccos x + arccos
+
=
при xÝ
;
1.
43. Проверьте, справедливо ли равенство
arcsin
x+
–
arcsin x =
.
Нахождение смм трионометричес
их фн
ций. Суммиро-
вание онечноо числа трионометричесих фунций
Sn=u1+u2+u3+...+un
(1)
часто удается осуществить с помощью подбора та называемой
производящей фнции, т. е . фунции, обладающей свойством
f(k+1)–f(k)=uk.
Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде
Sn =f(n+1)–f(1).
(2)
Пример5.Найтисумму
Sn=sinα+sin(α+h)+sin(α+2h)+...+sin(α+nh).
Р е ше н и е. Воспользуемся тем, что
cos α+
h –cos α+
h = –2sin(α+kh)sin .
Тода в ачестве производящей фунции можно взять
f(k)= –
cos α+
h.
Соласно равенству (2), получае м
Sn=–
cos α+
h –cos α–
.
5
13
------
12
13
------
π
2
---
π
2
---
77
85
------
8
17
------
3
5
---
x
2
---
1
2
---
33x 2
–
π
3
---
1
2
---
2
2
-------
22x2
–
2
------------------------
π
4
---
2k1
+
2
-----------------
2k1
–
2
-----------------
h
2
---
1
2 sin
h
2
---
------------------
k1
–
2
-------------
1
2sin
h
2
---
------------------
2n1
+
2
------------------
h
2
---
124
Г л а в а 5. Тригонометрия
Остается преобразовать выражение в вадратных собах
в произведение.
Ответ. Sn =
.
Найдите сумму:
44.sinαsin2α+sin2αsin3α+sin3αsin4α+...
... +sinnαsin(n+1)α.
45.cos3α+cos5α+cos7α+...+cos(2n+1)α.
46.tgα+ tg + tg +...+
tg.
47. cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
.
48.cos2α+cos2 α+
+cos2 α+
+ ...
... +cos2 α+
.
49. cos
+ cos
+ cos
+...+cos
.
50. cos
+ cos
+ cos
+ ... cos
.
51.
.
§ 25. Тригонометрические уравнения
Простейшие трионометричес
ие равнения. Решения про-
стейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:
Уравнение
Решение уравнения (k Ý Z)
sinx=a (|a|m1)
x=(–1)karcsina+πk
cosx=a (|a|m1)
x=äarccosa+2πk
tgx=ax
= arctga+πk
ctgx=ax
= arcctga+πk
sin α
n
2
---
h
+
sin
n1
+
2
-------------- h
sin
h
2
---
---------------------------------------------------------------------
1
2
---
α
2
---
1
4
---
α
4
---
1
2n
------
α
2n
------
π
13
------
3π
13
-------
5π
13
-------
7π
13
-------
9π
13
-------
11π
13
----------
π
n
---
2π
n
-------
n1
–
()
π
n
----------------------
π
19
------
3π
19
-------
5π
19
-------
17π
19
----------
πm
n
--------
-
3πm
n
------------
5πm
n
------------
2n1
–
()
π
m
n
--------------------------------
sinα sin2α ... sinnα
++
+
cosα cos2α ... cosnα
++
+
-----------------------------------------------------------------------------
§ 25. Тригонометрические уравнения
125
Уравнения вида
P(sinx)=0, P(cosx)=0, P(tgx)=0, P(ctgx)=0,
де P—мноочлен уазанных арументов, решают сначала а
алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов,
а затем а простейшие трионометричесие уравнения.
Пример1.Решитьуравнение
cos2x–3sinx+1=0.
Решение.Тааcos2x=1–2sin2x,тоданноеуравне-
ние можно переписать следующим образом:
1–2sin2x–3sinx+1=0,
или
2sin2x+3sinx–2=0.
Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y2 + 3y –
– 2 = 0, имеющее орни y1 = , y2 = –2. Последний орень не
одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее
трионометричесое уравнение sin x = , отуда x =
+
+πn,nÝZ.
Ответ. x =
+πn,nÝZ.
Решите уравнение, сведя ео алебраичесому уравнению
относительной одной трионометричесой фунции:
1.2sin2x+sinx–1=0.
2.tg3x+2tg2x+3tgx=0.
3.4sin4x+cos4x=1+12cos4x.
4.6cos2x+cos3x=cosx.
5.
+
=.
Однородные трионометричес
ие равнения. Уравнение вида
a0
+a1
cosx+a2
cos2x+...+an
=0,
(1)
де a0, a1, a2, ..., an — действительные числа и сумма поазате-
лей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-
1
2---
1
2---
(–1)n π
6---
(–1)n π
6---
1
16------ cos4 x 1
2--- cos2 x
–
+
9
16------ cos4 x 3
2--- cos2 x
–
+
1
2---
sinnx sinn 1– x
sinn 2– x
cosnx
124
Г л а в а 5. Тригонометрия
Остается преобразовать выражение в вадратных собах
в произведение.
Ответ. Sn =
.
Найдите сумму:
44.sinαsin2α+sin2αsin3α+sin3αsin4α+...
...+sinnαsin(n+1)α.
45.cos3α+cos5α+cos7α+...+cos(2n+1)α.
46.tgα+ tg + tg +...+ tg .
47.cos +cos +cos +cos +cos +cos .
48.cos2α+cos2 α+ +cos2 α+ +...
...+cos2 α+
.
49.cos +cos +cos +...+cos .
50.cos +cos +cos +...cos
.
51.
.
§ 25. Тригонометрические уравнения
Простейшие трионометричес
ие равнения. Решения про-
стейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:
Уравнение
Решение уравнения (k Ý Z)
sinx=a (|a|m1)
x=(–1)karcsina+πk
cosx=a (|a|m1)
x=äarccosa+2πk
tgx=ax
=arctga+πk
ctgx=ax
=arcctga+πk
sinαn
2--- h
+
sinn1+
2-------------- h
sin h
2---
---------------------------------------------------------------------
1
2--- α
2--- 1
4--- α
4---
1
2n------ α
2n------
π
13------
3π
13-------
5π
13-------
7π
13-------
9π
13-------
11π
13----------
π
n---
2π
n-------
n1–
()
π
n
----------------------
π
19------
3π
19-------
5π
19-------
17π
19----------
πm
n---------
3πm
n------------
5πm
n------------
2n 1–
()
π
m
n
--------------------------------
sinα sin2α ... sinnα
++
+
cosα cos2α ... cosnα
++
+
-----------------------------------------------------------------------------
§ 25. Тригонометрические уравнения
125
Уравне ния вида
P(sinx)=0, P(cosx)=0, P(tgx)=0, P(ctgx)=0,
де P—мноочлен уазанных арументов, решают сначала а
алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов,
а затем а простейшие трионометричесие уравнения.
Пример1.Решитьуравнение
cos2x–3sinx+1=0.
Решение. Тааcos2x=1 –2sin2x,тоданноеуравне-
ние можно переписать следующим образом:
1–2sin2x–3sinx+1=0,
или
2sin2x+3sinx–2 =0.
Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y2 + 3y –
–
2 = 0, имеющее орни y1 =
, y2 = –2. Последний орень не
одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее
трионометричесое уравне ние sin x =
,отудаx=
+
+πn,nÝZ.
Ответ. x =
+πn,nÝZ.
Решите уравнение, сведя ео алебраичесому уравнению
относительной одной трионометричесой фунции:
1.2sin2x+sinx–1 =0.
2.tg3x+2tg2x+3tgx=0.
3.4sin4x+cos4x=1+12cos4x.
4.6cos2x+cos3x=cosx.
5.
+
=
.
Однородные трионометричес
ие равнения. Уравнение вида
a0
+a1
cosx+a2
cos2x+...+an
=0,
(1)
де a0, a1, a2, ..., a
n
—
действительные числа и сумма поазате-
лей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-
1
2
---
1
2
---
(–1)n π
6
---
(–1)n π
6
---
1
16
------
cos4 x
1
2
---
cos2 x
–
+
9
16
------
cos4 x
3
2
---
cos2 x
–
+
1
2
---
sin
n
x
sin
n1
–
x
sin
n2
–
x
cos
n
x
126
Г л а в а 5. Тригонометрия
зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1)
при cos x − 0 эвивалентно уравне нию
a0
+a1
+a2
+...+an=0.
Пример 2.Решитьуравнение
3sin2x–5sinxcosx+8cos2x=2.
Р е ше н и е. Чтобы свести данное уравнение однородно-
му, воспользуемся основным трионометричесим тождеством
sin2 x + cos2 x = 1 . Записав уравнение в виде
3sin2x–5sinxcosx+8cos2x=2(sin2x+cos2x)
и приведя подобные члены, получаем
sin2x–5sinxcosx+6cos2x=0.
Разделив обе части последнео уравнения на cos2 x, приходим
вадратному уравне нию относительно y = tg x:
y2–5y+6=0.
Корнями получе нноо вадратноо уравнения являются
числаy1=2иy2=3.
Следовательно, исходное трионометричесое уравне ние
сводится двум простейшим трионометричесим уравнениям
tgx =2иtgx =3,решенияоторыхимеютвидx =arctg2+
+πk,x=arctg3+πn,kÝZ,nÝZ.
Ответ.x =arctg2+πk,x=arctg3+πn,kÝZ,nÝZ.
Решите уравнение сведением ео однородному:
6.2sinxcosx+5cos2x=4.
7.8sin2x–3cos2x=4.
8.4cos2 + sinx+3sin2 =3.
9.sin4x–cos4x=0,5.
10.2sin3x+2cosxsin2x–sinxcos2x–cos3x=0.
11.3 –7cos2xsinx–3sin3x=0.
12.2sin3x–sin2xcosx+2sinxcos2x–cos3x=0.
13.sin4x+cos4x=sin2x–0,5.
14.sin62x+cos62x= (sin42x+cos42x)+ (sinx+cosx).
tgn
x
tgn 1
–
x
tgn 2
–
x
x
2
---
1
2
---
x
2
---
3
2
---
1
2
---
§ 25. Тригонометрические уравнения
127
15.cos6x+sin6x–cos22x= .
16.sin8x+cos8x=cos22x.
17. Найдите решение уравнения
sin6x+cos6x=a(sin4x+cos4x)
при всех действительных значениях a.
Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида
acosx+bsinx=c
(2)
эвивалентно трионометричесому уравнению
sin(x+φ)=
,
де φ находится из системы
sinφ=
, cosφ=
.
Пример 3. Решитьуравнение
3sinx+4cosx=5.
Решение.Таа
= 5, то данное уравнение э-
вивалентно уравнению sin (x + φ) = 1, де φ определяется из
системы уравнений
sinφ= , cosφ= .
Посольу sin φ и cos φ положительны, в ачестве φ можно взять
φ = arcsin , и решение данноо уравнения запишется в виде
x=–arcsin + +2πn.
Ответ.x=–arcsin + +2πn(nÝZ).
Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести одно-
родному относительно sin и cos , если воспользоваться фор-
мулами
sinx=2sin cos , cosx=cos2 –sin2 .
1
16------
c
a2 b2
+
-----------------------
b
a2 b2
+
-----------------------
a
a2 b2
+
-----------------------
32 42
+
4
5---
3
5---
4
5---
4
5--- π
2---
4
5--- π
2---
x
2---
x
2---
x
2--- x
2---
x
2---
x
2---
126
Г л а в а 5. Тригонометрия
зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1)
при cos x − 0 эвивалентно уравнению
a0 +a1
+a2
+...+an=0.
Пример 2. Решитьуравнение
3sin2x–5sinxcosx+8cos2x=2.
Р е ше н и е. Чтобы свести данное уравнение однородно-
му, воспользуемся основным трионометричесим тождеством
sin2 x + cos2 x = 1. Записав уравнение в виде
3sin2x–5sinxcosx+8cos2x=2(sin2x+cos2x)
и приведя подобные члены, получаем
sin2x–5sinxcosx+6cos2x=0.
Разделив обе части последнео уравнения на cos2 x, приходим
вадратному уравнению относительно y = tg x:
y2–5y+6=0.
Корнями полученноо вадратноо уравнения являются
числаy1=2иy2=3.
Следовательно, исходное трионометричесое уравнение
сводится двум простейшим трионометричесим уравнениям
tgx =2иtgx=3,решенияоторыхимеютвидx=arctg2+
+πk,x=arctg3+πn,kÝZ,nÝZ.
Ответ.x=arctg2+πk,x=arctg3+πn,kÝZ,nÝZ.
Решите уравнение сведением ео однородному:
6.2sinxcosx+5cos2x=4.
7.8sin2x–3cos2x=4.
8.4cos2 + sinx+3sin2 =3.
9.sin4x–cos4x=0,5.
10.2sin3x+2cosxsin2x–sinxcos2x–cos3x=0.
11.3–7cos2xsinx–3sin3x=0.
12.2sin3x–sin2xcosx+2sinxcos2x–cos3x=0.
13.sin4x+cos4x=sin2x–0,5.
14.sin62x+cos62x= (sin42x+cos42x)+ (sinx+cosx).
tgnx tgn1–x tgn2–x
x
2--- 1
2---
x
2---
3
2---
1
2---
§ 25. Тригонометрические уравнения
127
15.cos6x+sin6x–cos22x=
.
16.sin8x+cos8x=cos22x.
17. Найдите решение уравнения
sin6x+cos6x=a(sin4x+cos4x)
при всех действительных значениях a.
Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида
acosx+bsinx=c
(2)
эвивалентно трионометричесому уравне нию
sin(x+φ)=
,
де φ находится из системы
sinφ=
,
cosφ=
.
Пример 3. Решить уравнение
3sinx+4cosx=5.
Решение.Таа
= 5, то данное уравнение э-
вивалентно уравнению sin (x + φ) = 1, де φ определяется из
системы уравнений
sinφ=
,
cosφ=
.
Посольу sin φ и cos φ положительны, в ачестве φ можно взять
φ = arcsin , и решение данноо уравнения запишется в виде
x= –arcsin + +2πn.
Ответ.x = –arcsin + +2πn(nÝZ).
Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести одно-
родному относительно sin и cos , если воспользоваться фор-
мулами
sinx=2sin cos , cosx=cos2
–
sin2 .
1
16
------
c
a2 b2
+
-----------------------
b
a2 b2
+
-----------------------
a
a2 b2
+
-----------------------
32 42
+
4
5
---
3
5
---
4
5
---
4
5
---
π
2
---
4
5
---
π
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
128
Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение методом введения дополнительноо ула:
18.sin8x–cos6x=
(sin 6x + cos 8x).
19. sin 11x +
sin7x+ cos7x=0.
20.sin10x+cos10x=
sin 15x.
21.4cos2x=2+ cos2x
+
.
22.4sin3x+3cos3x=5,2.
23. Найдите все решения уравнения
–
cos3x=0,
залюченные между π и
.
Универсальная трионометричес
ая подстанов
а. Пусть да-
но трионометричесое уравнение вида
R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0,
(3)
де R—рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m
и l — натуральные числа). Используя формулы для триономет-
ричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двой-
ноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести рациональ-
ному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем
рациональному уравнению относительно t = tg
. Подстанов-
аt=tg
, оторую называют ниверсальной трионометри-
чесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и
ctg x а рациональные фунции от tg следующим образом:
sinx=
;
cosx=
;
tgx=
;
ctgx=
.
3
3
2
-------
1
2
---
2
1
2
---
3
cos 2x
-----------------
1
sin 2x
-----------------
1s
i
n
2
x
+
2
3π
2
-------
x
2
---
x
2
---
x
2
---
(4)
2tg
x
2
---
1t
g
2x
2
---
+
------------------------
1t
g
2x
2
---
–
1t
g
2x
2
---
+
------------------------
2tg
x
2
---
1t
g
2x
2
---
–
------------------------
1t
g
2x
2
---
–
2tg
x
2
---
------------------------
§ 25. Тригонометрические уравнения
129
Пример 4. Решитьуравнение
(cos x – sin x)2tgx +
+2=0.
Р е ше н и е. Полаая t = tg и используя формулы (4), за-
пишем уравнение в виде
=0;
(*)
оно имеет орни t1 = , t2 = – . Таим образом, решение
уравнения (*) сводится решению двух простейших уравнений
tg=,tg=–.
(**)
Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни
уравнения cos = 0) не являются орнями данноо уравнения,
и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся
а решения уравнений (**).
Ответ.x=ä +2πk,kÝZ.
Решите уравнение с помощью универсальной триономет-
ричесой подстанови:
24.sinx+ctg =2.
25.ctg –x =5tg2x+7.
26.3sin4x=(cos2x–1)tgx.
27.(1+cosx)–
2
+
s
i
n
x=2cosx.
Трионометричес
ие равнения вида
R(sinx+cosx,sinxcosx)=0иR(sinx–cosx,sinxcosx)=0.
Уравнение вида
R(sinx+cosx,sinxcosx)=0,
(5)
де R— рациональная фунция записанных в собах ару-
ментов, можно свести уравнению относительно неизвестноо
1
cos x
-------------
x
2---
3t4 6t3 8t2 2t
–3
–
++
t2 1+
()
1t2
–
()
-----------------------------------------------------------------
1
3
-------
1
3
-------
x
2--- 1
3
-------
x
2---
1
3
-------
x
2---
π
3---
x
2---
π
4---
tgx
2---
128
Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение методом введения дополнительноо ула:
18.sin8x–cos6x= (sin6x+cos8x).
19.sin11x+ sin7x+ cos7x=0.
20.sin10x+cos10x= sin15x.
21.4cos2x=2+ cos2x
+
.
22.4sin3x+3cos3x=5,2.
23. Найдите все решения уравнения
– cos3x=0,
залюченные между π и .
Универсальная трионометричес
ая подстанов
а. Пусть да-
но трионометричесое уравнение вида
R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0,
(3)
де R—рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m
и l — натуральные числа). Используя формулы для триономет-
ричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двой-
ноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести рациональ-
ному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем
рациональному уравнению относительно t = tg . Подстанов-
а t = tg , оторую называют ниверсальной трионометри-
чесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и
ctg x а рациональные фунции от tg следующим образом:
sinx=
; cosx=
;
tgx=
; ctgx=
.
3
3
2-------
1
2---
2
1
2---
3
cos 2x
-----------------
1
sin 2x
-----------------
1sin2x
+
2
3π
2-------
x
2---
x
2---
x
2---
(4)
2tgx
2---
1tg2 x
2---
+
------------------------
1tg2 x
2---
–
1tg2 x
2---
+
------------------------
2tgx
2---
1tg2 x
2---
–
------------------------
1tg2 x
2---
–
2tgx
2---
------------------------
§ 25. Тригонометрические уравнения
129
Пример4.Решитьуравнение
(cos x – sin x)2tgx +
+2=0.
Решение.Полааяt=tg
и используя формулы (4), за-
пишем уравнение в виде
=0;
(*)
оно имее т орни t1 =
,t2=–
. Таим образом, решение
уравнения (*) сводится решению двух простейших уравнений
tg=
,
tg=–
.
(**)
Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни
уравнения cos = 0) не являются орнями данноо уравнения,
и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся
а решения уравнений (**).
Ответ.x =ä +2πk,kÝZ.
Решите уравнение с помощью универсальной триономет-
ричесой подстанови:
24.sinx+ctg =2.
25. ctg
–
x =5tg2x+7.
26.3sin4x =(cos2x –1)tgx.
27.(1+cosx)–
2
+
s
i
n
x=2cosx.
Трионометричес
ие равнения вида
R(sinx+cosx,sinxcosx)=0иR(sinx–cosx,sinxcosx)=0.
Уравне ние вида
R(sinx+cosx,sinxcosx)=0,
(5)
де R— рациональная фунция записанных в собах ару-
ментов, можно свести уравнению относительно неизвестноо
1
cos x
-------------
x
2
---
3t4 6t3 8t2 2t
–3
–
++
t21
+
()
1t2
–
()
-----------------------------------------------------------------
1
3
-- - ----
1
3
-------
x
2
---
1
3
-------
x
2
---
1
3
-------
x
2
---
π
3
---
x
2
---
π
4
---
tg
x
2
---
130
Г л а в а 5. Тригонометрия
t = sin x + cos x. Для этоо следует воспользоваться трионо-
ме тричесим тождеством
(sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=
= 1+2sinxcosx,
из отороо следует равенство
sinxcosx=
.
(6)
Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести виду
Rt,
=0.
Аналоично уравне ние вида
R(sinx–cosx,sinxcosx)=0
подстановой sin x – cos x = t сводится уравнению
Rt,
=0.
Пример 5. Решить уравнение
sinx+cosx–2
sinxcosx=0.
Решение. Полааяsinx+cosx=tииспользуяравенст-
во (6), сведем исходное уравнение виду
t2–t
–
=0.
Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t1 =
,
t2= –
.
Таим образом, решение исходноо уравнения сводится
решению двух трионометричесих уравнений
sinx+cosx=
, sinx+cosx= –
.
t21
–
2
---------------
t21
–
2
---------------
1t2
–
2
---------------
2
2
2
2
1
2
-- -- ---
2
1
2
-- - ----
§ 25. Тригонометрические уравнения
131
Умножив обе части этих уравнений на число , сведем их
двум более простым уравнениям:
sinx+ cosx=1_cos sinx+sin cosx=1_
_sin x+ =1;
sinx+ cosx=– _sin x+ =– .
Остаетсярешитьуравненияsin x+ =1иsin x+ =– .
Ответ.x= +2πk,x=
– +πn,kÝZ,nÝZ.
Решите уравнение:
28.5(sinx+cosx)+sin3x–cos3x=2 (2+sin2x).
29.sinx+cosx+sinxcosx=1.
30.sinx+cosx–2sinxcosx=1.
31. Найдите решение уравнения
++
=a
при всех действительных значениях a.
Использование формл понижения степени. Упрощение не-
оторых трионометричесих уравнений можно произвести с по-
мощью понижения их степени. Если поазатели степеней сину-
сов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение
степени выполняют по формулам половинноо арумента.
Пример 6. Решитьуравнение
sin10x+cos10x= cos42x.
Р е ше н и е. Используя формулы половинноо арумента,
запишем данное уравнение в виде
+
= cos4 2x.
1
2
-------
1
2
-------
1
2
-------
π
4---
π
4---
π
4---
1
2
-------
1
2
-------
1
2---
π
4---
1
2---
π
4---
π
4---
1
2---
π
4---
(–1)n 1+ π
6--- π
4---
2
1
cos x
------------- 1
sin x
-------------
1
sinxcosx
----------------------------
29
16------
1cos2x
–
2
---------------------------
5
1cos2x
+
2
----------------------------
5 29
16------
130
Г л а в а 5. Тригонометрия
t = sinx + cosx. Для этоо следует воспользоваться трионо-
метричесим тождеством
(sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=
=1+2sinxcosx,
из отороо следует равенство
sinxcosx= .
(6)
Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести виду
Rt,
=0.
Аналоично уравнение вида
R(sinx–cosx,sinxcosx)=0
подстановой sin x – cos x = t сводится уравнению
Rt,
=0.
Пример 5. Решитьуравнение
sinx+cosx–2 sinxcosx=0.
Решение.Полааяsinx+cosx=tииспользуяравенст-
во (6), сведем исходное уравнение виду
t2–t– =0.
Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t1 = ,
t2=– .
Таим образом, решение исходноо уравнения сводится
решению двух трионометричесих уравнений
sinx+cosx= , sinx+cosx=– .
t2 1–
2
---------------
t21–
2
---------------
1t2
–
2
---------------
2
2
2
2
1
2
-------
2
1
2
-------
§ 25. Тригонометрические уравнения
131
Умножив обе части этих уравнений на число
, сведем их
двум более простым уравнениям:
sinx+
cosx=1_cos sinx+sin cosx=1_
_sin x+
=1;
sinx+
cosx= –
_sin x+
=–
.
Остается решить уравнения sin x +
= 1иsin x+
=–
.
Ответ.x = +2πk,x=
–
+πn,kÝZ,nÝZ.
Решите уравнение:
28.5(sinx+cosx)+sin3x–cos3x=2 (2+sin2x).
29.sinx+cosx+sinxcosx=1.
30.sinx+cosx–2sinxcosx=1.
31. Найдите решение уравнения
+
+
=a
при всех действительных значениях a.
Использование формл понижения степени. Упрощение не-
оторых трионометричесих уравнений можно произвести с по-
мощью понижения их степени. Если поазатели степеней сину-
сов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение
степени выполняют по формулам половинноо арумента.
Пример 6. Решить уравнение
sin10x+cos10x=
cos4 2x.
Р е ше н и е. Используя формулы половинноо арумента,
запишем данное уравнение в виде
+
=
cos4 2x.
1
2
-------
1
2
-- -- ---
1
2
-------
π
4
---
π
4
---
π
4
---
1
2
-- - ----
1
2
-- - ----
1
2
---
π
4
---
1
2
---
π
4
---
π
4
---
1
2
---
π
4
---
(–1)n 1
+π
6
---
π
4
---
2
1
cos x
-------------
1
sin x
-------------
1
sinxcosx
----------------------------
29
16
------
1c
o
s
2x
–
2
---------------------------
5
1c
o
s
2
x
+
2
----------------------------
5 29
16
------
132
Г л а в а 5. Тригонометрия
Полаая cos 2x = t, получим уравнение
+
=
t4.
После расрытия собо и приведения подобных членов придем
бивадратному уравнению
24t4–10t2–1 =0,
имеющему единственный действительный орень t2 =
. Воз-
в ращаясь исходному неизвестному, получаем
cos2 2x =
_1+cos4x=1_cos4x=0_x= +
,kÝZ.
Ответ.x = +
,kÝZ.
Решите уравнение:
32.sin26x+8sin23x=0.
33. sin2 x + a sin2 2x = sin . Исследуйте решение.
34.sin8x+cos8x=
.
35.cos2x+4sin4x=8cos6x.
36.cos4x–2cos2x–22sin2x+1=0.
37. cos23x+cos24x+cos25x=
.
38.sin23x+sin24x=sin25x+sin26x.
39. cos2 + cos2
–
sin22x–sin24x=0.
40.sin4x+cos4x=cos22x+0,25.
41.2+cos4x=5cos2x+8sin6x.
42.sin4x+cos4x=
.
43.8sin2x+6cos2x=13sin2x.
44.sin3x(1+ctgx)+cos3x(1+tgx)=2
.
Решите уравнение, применяя изложенные ранее методы:
45. 2cos2x =
(cosx–sinx).
46.sin3x+cos3x=1 –0,5sin2x.
47.sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos2x.
1t
–
2
------------
5
1t
+
2
------------
-
5 29
16
------
1
2
---
1
2
---
π
8
---
πk
4
------
-
π
8
---
πk
4
------
-
π
6
---
17
32
------
3
2
---
x
2
---
3x
2
-------
5
8
---
sinxcosx
6
§ 25. Тригонометрические уравнения
133
48.sin5xsin4x=–cos6xcos3x.
49.tgx+sin2x= .
50.2tgx+tg2x=tg4x.
51.cos3x+sin5x=0.
52.sinxcos5x=sin9xcos3x.
53.1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0.
54.1+sinx+cos3x=cosx+cos2x+sin2x.
55.sin2x(tgx+1)=3sinx(cosx–sinx)+3.
56.sin2xsin6x=cosxcos3x.
57.cos(x+1)sin2(x+1)=cos3(x+1)sin4(x+1).
58.sinxsin7x=sin3xsin5x.
59.cosxsin7x=cos3xsin5x.
60.sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0.
61.cos2x–cos8x+cos6x=1.
62.sinxsin2xsin3x= sin4x.
63.sin3xcos3x+cos3xcos3x= .
64.tgx+tg2x=tg3x.
65.(1–tgx)(1+sin2x)=1+tgx.
66.(1+sin2x)(cosx–sinx)=1–2sin2x.
67.tg(x+α)+tg(x–α)=2ctgx.
68.sin22z+sin23z+sin24z+sin25z=2.
69.sinxcosxcos2xcos8x= sin12x.
70.sin2xsin6x–cos2xcos6x= sin3xcos8x.
71.tgx+ctg2x=2ctg4x.
72.cos3x–cos2x=sin3x.
73.2sin3x– =2cos3x+ .
74.ctg2x–tg2x=32cos32x.
75.tg2x+ctgx=8cos2x.
76.sin22x–tg2x= cos2x.
77.sin2x–tgx=2sin4x.
78.
= (sinx+cosx).
79.cos3xtg5x=sin7x.
1
cos x
-------------
1
4---
3
8---
1
4---
2
1
sin x
-------------
1
cos x
-------------
9
2---
sin 4x
sinxπ
4---–
------------------------------ 2
132
Г л а в а 5. Тригонометрия
Полаая cos 2x = t, получим уравнение
+
= t4.
После расрытия собо и приведения подобных членов придем
бивадратному уравнению
24t4–10t2–1=0,
имеющему единственный действительный орень t2 = . Воз-
вращаясь исходному неизвестному, получаем
cos22x= _1+cos4x=1_cos4x=0_x= + ,kÝZ.
Ответ.x= + ,kÝZ.
Решите уравнение:
32.sin26x+8sin23x=0.
33. sin2 x + a sin2 2x = sin . Исследуйте решение.
34.sin8x+cos8x= .
35.cos2x+4sin4x=8cos6x.
36.cos4x–2cos2x–22sin2x+1=0.
37.cos23x+cos24x+cos25x= .
38.sin23x+sin24x=sin25x+sin26x.
39.cos2 +cos2 –sin22x–sin24x=0.
40.sin4x+cos4x=cos22x+0,25.
41.2+cos4x=5cos2x+8sin6x.
42.sin4x+cos4x= .
43.8sin2x+6cos2x=13sin2x.
44.sin3x(1+ctgx)+cos3x(1+tgx)=2
.
Решите уравнение, применяя изложенные ранее методы:
45. 2cos2x = (cos x – sin x).
46.sin3x+cos3x=1–0,5sin2x.
47.sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos2x.
1 t–
2------------
5
1 t+
2-------------
5 29
16------
1
2---
1
2---
π
8--- πk
4-------
π
8--- πk
4-------
π
6---
17
32------
3
2---
x
2---
3x
2-------
5
8---
sinxcosx
6
§ 25. Тригонометрические уравнения
133
48.sin5xsin4x= –cos6xcos3x.
49.tgx+sin2x=
.
50.2tgx+tg2x=tg4x.
51.cos3x+sin5x=0.
52.sinxcos5x=sin9xcos3x.
53.1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0.
54.1+sinx+cos3x=cosx+cos2x+sin2x.
55.sin2x(tgx+1)=3sinx(cosx–sinx)+3.
56.sin2xsin6x=cosxcos3x.
57. cos(x+1)sin2(x+1)=cos3(x+1)sin4(x+1).
58.sinxsin7x=sin3xsin5x.
59.cosxsin7x=cos3xsin5x.
60.sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0.
61.cos2x–cos8x+cos6x=1.
62.sinxsin2xsin3x= sin4x.
63.sin3xcos3x+cos3xcos3x=
.
64.tgx+tg2x=tg3x.
65.(1–tgx)(1+sin2x)=1+tgx.
66.(1+sin2x)(cosx–sinx)=1 –2sin2x.
67.tg(x+α)+tg(x–α)=2ctgx.
68.sin22z+sin23z+sin24z+sin25z=2.
69.sinxcosxcos2xcos8x= sin12x.
70.sin2xsin6x–cos2xcos6x=
sin 3x cos 8x.
71.tgx+ctg2x=2ctg4x.
72.cos3x–cos2x=sin3x.
73. 2sin3x –
= 2cos3x+
.
74.ctg2x–tg2x=32cos32x.
75.tg2x+ctgx=8cos2x.
76.sin22x–tg2x= cos2x.
77.sin2x–tgx=2sin4x.
78.
=
(sinx+cosx).
79. cos3xtg5x =sin7x.
1
cos x
-------------
1
4
---
3
8
---
1
4
---
2
1
sin x
-------------
1
cos x
-------------
9
2
---
sin 4x
sin x
π
4
---
–
------------------------------
2
134
Г л а в а 5. Тригонометрия
80.
= cosx–cos
.
81.sinxctg3x=cos5x.
82.
–
= 8sinxsin3x.
83.
–
= –2cos2x.
84.
+
+
=0.
85.
+
=
.
86.cos x–
+cos x+
=
cos 2x.
87.4sin3x+sin5x–2sinxcos2x=0.
88.sin x+
sin x–
= sinx.
89.3cosx+2cos5x+4cos3xcos4x=0.
90.3sin5x=cos2x–cos8x–sin15x.
91.cos2x–sin3x–cos8x=sin10x–cos5x.
92.sin2x–cos2x=tgx.
93.cos3x–sin5x–cos7x=sin4x–cos2x.
94.sin2x+cos2x=2tgx+1.
95.4sin2x+3tg2x=1.
96. 4sinx sin 2x sin 3x = sin 4x.
97.
=0.
98.
=
cosx–
.
99.cos2x=
(cosx+sinx).
100.ctgx–tgx=
.
101.sin7x+sin3x+2sin2x=1.
102.cosx–cos17x=1+2sin8xsinx–cos16x.
103.sinx–cosx=4sinxcos2x.
104.2cos2x(ctgx–1)=1+ctgx.
105.tgx+2ctg2x=sinx 1+tgxtg
.
cos22x
cos x cos
π
4
---
+
----------------------------------
π
4
---
cos x
cos 3x
-----------------
cos 5x
cos x
-----------------
cos x
cos 3x
-----------------
cos 3x
cos x
-----------------
1
cosxcos2x
--------------------------------
-
1
cos 2x cos3x
------------------------------------
1
cos 3x cos4x
------------------------------------
sin3x
cos 2x
-----------------
cos 3x
sin2x
-----------------
2
sin3x
-----------------
π
4
---
π
4
---
2
3
---
π
3
---
π
3
---
sin4x sin2x 4sin3x
–2
c
o
s
x4
–
++
sinx 1
–
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
1c
o
s
2x
–
sin x
--------------------------------
2
1
2
---
13
+
2
------------------
cosx sinx
–
1
2
---
sin2x
---------------------------------
x
2
---
§ 25. Тригонометрические уравнения
135
106.2ctg2x–ctgx=sin2x+3sinx.
107.sin4x–cos4x=cos –x .
108.sin2x+sin4 =cos4 .
109.cosx= sinx+2cos3x.
110.
=(sinx+cosx)2.
111.sin3x+sinx=4sin3x.
112.tg cosx =ctg sinx .
Решение трионометричес
их равнений, довлетворяющих
не
оторым дополнительным словиям. Инода решение трио-
нометричесих уравнений предполаает последующую провер-
у условий, оторым должны удовлетворять найденные орни.
Если эти условия залючаются в том, что орни уравнения
должны принадлежать заданному промежуту, то задача выде-
ления этих орней сводится решению неотороо неравенст-
ва в целых числах.
П р и м е р 7. Найти все решения уравнения
(tg2x–1)–1=1+cos2x,
удовлетворяющие неравенству 2x + 1 – 8 > 0.
Р е ше н и е. Приведем исходное трионометричесое урав-
нение виду
(1 + cos 2x)1+
=0.
Найдем решения этоо уравнения:
x=– +πk, x=ä +πn, kÝZ, nÝZ.
По условию среди этих значений x необходимо отобрать таие,
оторые удовлетворяют требованиям 2x + 1 – 8 > 0, cosx − 0.
Исомыми значениями являются
x=ä +πn, nÝN.
Ответ.x=ä +πn,nÝN.
3π
2-------
x
2---
x
2---
3
1tgx
+
1tgx
–---------------------
π
2---
π
2---
1
2cos2x
----------------------
π
2---
π
3---
π
3---
π
3---
134
Г л а в а 5. Тригонометрия
80.
=cosx–cos .
81.sinxctg3x=cos5x.
82.
–
=8sinxsin3x.
83.
–
=–2cos2x.
84.
+
+
=0.
85.
+
=
.
86.cos x–
+cos x+ = cos2x.
87.4sin3x+sin5x–2sinxcos2x=0.
88.sin x+ sin x– =sinx.
89.3cosx+2cos5x+4cos3xcos4x=0.
90.3sin5x=cos2x–cos8x–sin15x.
91.cos2x–sin3x–cos8x=sin10x–cos5x.
92.sin2x–cos2x=tgx.
93.cos3x–sin5x–cos7x=sin4x–cos2x.
94.sin2x+cos2x=2tgx+1.
95.4sin2x+3tg2x=1.
96. 4sinx sin 2x sin 3x = sin 4x.
97.
=0.
98.
= cosx– .
99.cos2x=
(cosx+sinx).
100.ctgx–tgx=
.
101.sin7x+sin3x+2sin2x=1.
102.cosx–cos17x=1+2sin8xsinx–cos16x.
103.sinx–cosx=4sinxcos2x.
104.2cos2x(ctgx–1)=1+ctgx.
105.tgx+2ctg2x=sinx 1+tgxtg .
cos2 2x
cosx cosπ
4---
+
----------------------------------
π
4---
cos x
cos 3x
----------------- cos 5 x
cos x
-----------------
cos x
cos 3x
----------------- cos 3x
cos x
-----------------
1
cosxcos2x
---------------------------------
1
cos 2x cos 3x
------------------------------------
1
cos 3x cos 4x
------------------------------------
sin 3x
cos 2x
----------------- cos 3x
sin 2x
-----------------
2
sin 3x
-----------------
π
4---
π
4---
2
3---
π
3---
π
3---
sin 4x sin 2x 4sin3x
–2
c
o
s
x4–
++
sinx 1–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1cos2x
–
sin x
-------------------------------- 2
1
2---
13
+
2
------------------
cosx sinx
–
1
2--- sin 2x
---------------------------------
x
2---
§ 25. Тригонометрические уравнения
135
106.2ctg2x–ctgx=sin2x+3sinx.
107.sin4x–cos4x=cos
–
x.
108. sin 2x + sin4 = cos4
.
109.cosx=
sinx+2cos3x.
110.
= (sinx+cosx)2.
111.sin3x+sinx=4sin3x.
112. tg
cosx =ctg
sinx .
Решение трионометричес
их равнений, довлетворяющих
не
оторым дополнительным словиям. Инода решение трио-
нометричесих уравне ний предполаает последующую провер-
у условий, оторым должны удовлетворять найденные орни.
Если эти условия залючаются в том, что орни уравнения
должны принадлежать заданному промежуту, то задача выде-
ления этих орней сводится решению неотороо неравенст-
ва в целых числах.
П р и м е р 7. Найти все решения уравнения
(tg2 x – 1)–1
= 1+cos2x,
удовлетворяющие неравенству 2x + 1 – 8 > 0.
Р е ше н и е. Приведем исходное триономе тричесое урав-
нение виду
(1 + cos 2x)1+
=
0.
Найдем решения этоо уравнения:
x=–
+πk, x=ä +πn, kÝZ, nÝZ.
По условию среди этих значений x необходимо отобрать таие,
оторые удовлетворяют требованиям 2x + 1 – 8 > 0, cos x − 0.
Исомыми значе ниями являются
x=ä +πn, nÝN.
Ответ.x =ä +πn,nÝN.
3π
2
-------
x
2
---
x
2
---
3
1t
gx
+
1t
gx
–
---------------------
π
2
---
π
2
---
1
2cos2x
----------------------
π
2
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
136
Г л а в а 5. Тригонометрия
113. Найдите все решения уравнения
=
,
удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π].
114. Найдите все решения уравнения
cos4x–3cos3x=3cosx–cos3xcos3x,
принадлежащие промежуту –π;
.
115. Найдите все решения уравнения
sin – cos
= 1 –sinx,
удовлетворяющие условию
–
m.
116. Найдите все решения уравнения
(cos5x+cos7x)–cos22x+sin23x=0,
удовлетворяющие условию | x | < 2.
Решите уравнение:
117.tgx2=ctg5x.
118.sin =cos3x.
119.sinx=cos
.
120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не име-
ет орней.
Решите уравнение:
121. sin
cosx =cos
sinx .
122.sin(πctgx)=cos(πtgx).
123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), при-
надлежащие промежуту (–π; π).
В тех случаях, ода дополнительные условия представле-
ны неравенством, содержащим трионометричесие фунции,
выделение нужных орней производится на промежуте, рав-
ном наименьшему общему ратному периодов трионометриче-
сих фунций, входящих в уравнение и неравенство.
sin1 x
–
()cos x
π
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
π
2
---
3π
4
-------
1
2
---
5
x
---
x
2π
5
-------
2π
5
-- -- ---
§ 25. Тригонометрические уравнения
137
П р и м е р 8. Найти все решения уравнения
1+(sinx–cosx)sin =2cos2 ,(
*
)
удовлетворяющие условию
sin6x<0.
(**)
Р е ше н и е. Упростим исходное уравнение:
1+(sinx–cosx)sin =2cos2 _
_1+(sinx–cosx)=1+cos5x_
_cos5x+cos x+ =0_
_2cos 3x+ cos 2x– =0.
Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям
cos 3x+ =0, cos 2x– =0,
имеющим соответственно следующие решения:
x=+,nÝZ,
x= +,nÝZ.
Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих
фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π.
Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут-
у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа и + π. Все
решения исходноо уравнения получаются прибавлением аж-
дому из найденных решений чисел, ратных 2π.
Ответ.x= +πk,kÝZ.
124. Найдите все решения уравнения
5–8cos x– =2sin 2x– ,
удовлетворяющие неравенству cos x > 0.
π
4---
5x
2-------
π
4---
5x
2-------
2
2-------
π
4---
π
8---
π
8---
π
8---
π
8---
π
8--- πn
3-------
5π
16------- π n
2-------
5π
16------- 5 π
16-------
5π
16-------
3π
2-------
7π
2-------
136
Г л а в а 5. Тригонометрия
113. Найдите все решения уравнения
=
,
удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π].
114. Найдите все решения уравнения
cos4x–3cos3x=3cosx–cos3xcos3x,
принадлежащие промежуту –π; .
115. Найдите все решения уравнения
sin –cos =1–sinx,
удовлетворяющие условию
–m.
116. Найдите все решения уравнения
(cos5x+cos7x)–cos22x+sin23x=0,
удовлетворяющие условию | x | < 2.
Решите уравнение:
117. tgx2=ctg5x.
118.sin =cos3x.
119.sinx=cos .
120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не име-
ет орней.
Решите уравнение:
121. sin
cosx =cos sinx .
122.sin(πctgx)=cos(πtgx).
123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), при-
надлежащие промежуту (–π; π).
В тех случаях, ода дополнительные условия представле-
ны неравенством, содержащим трионометричесие фунции,
выделение нужных орней производится на промежуте, рав-
ном наименьшему общему ратному периодов трионометриче-
сих фунций, входящих в уравнение и неравенство.
sin1x–
()cos x
π
2---
x
2---
x
2---
x
2--- π
2--- 3π
4-------
1
2---
5
x---
x
2π
5-------
2π
5-------
§ 25. Тригонометрические уравнения
137
П р и м е р 8. Найти все решения уравнения
1 + (sin x – cos x)sin =2cos2
,(
*
)
удовлетворяющие условию
sin6x<0.
(**)
Р е ше н и е. Упростим исходное уравнение:
1+(sinx–cosx)sin =2cos2
_
_1+(sinx–cosx)=
1
+
c
o
s
5
x_
_cos5x+cos x+
=0_
_2cos 3x+
cos 2x–
=0.
Таим образом, уравне ние (*) эвивалентно уравнениям
cos 3x+
=0,cos2x–
=0,
имеющим соответственно следующие решения:
x=+
,
nÝZ,
x=
+,nÝZ.
Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих
фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π.
Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут-
у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа
и
+π.Все
решения исходноо уравнения получаются прибавлением аж-
дому из найденных решений чисел, ратных 2π.
Ответ. x =
+πk,kÝZ.
124. Найдите все решения уравнения
5–8cos x–
= 2sin2x–
,
удовлетворяющие неравенству cos x > 0.
π
4
---
5x
2
-------
π
4
---
5x
2
-------
2
2
-------
π
4
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
π
8
---
πn
3
-------
5π
16
-------
πn
2
-------
5π
16
-------
5π
16
-------
5π
16
-------
3π
2
-------
7π
2
-------
138
Г л а в а 5. Тригонометрия
125. Найдите все решения уравнения
+
=
а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой.
126. Решите уравнение
–
=
.
127. Найдите все решения уравнения
sin x–
–
cos x+
=1,
удовлетворяющие нераве нству
>
128. Найдите все решения уравнения
sin x+
=
,
удовлетворяющие неравенству
(1+cos(2x+4))<cos4x.
129. Найдите все решения уравнения
sin 4x+
+cos 4x+
=
,
удовлетворяющие нераве нству
>
130. Найдите все решения уравнения
sin 2x–
=
sin2 x,
удовлетворяющие неравенству
(1+sin(7x+5))<sin8x.
Использование оцено
обеих частей трионометричес
оо
равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается
решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.
Пример 9.Решитьуравнение
tg +x +tg
–
x =2.
(*)
tgx sinx
+
tgx sinx
–
3tgx
2t
gx cos2 x
–
+
16
9
------
tgx
+
2
9
---
cos2 x
–
π
4
---
3π
4
-------
2cos7x
cos3 sin3
+
----------------------------------
2cos 2x
·
.
π
4
---
1
22cosx
--------------------------
logsin2 3
π
4
---
5π
4
-------
2
cos 2x
cos2 sin2
–
---------------------------------
2–sin 4 x
.
π
4
---
2
logcos2 3
π
4
---
π
4
---
§ 25. Тригонометрические уравнения
139
Р е ше н и е. Воспользовавшись формулой приведения, по-
лучаем
tg+x=ctg––x=ctg–x.
Та а
tg–x=
,
то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух
взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедли-
во неравенство
a+ l2.
Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии
tg +x =1.
(**)
Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.
Ответ.x=πn,nÝZ.
Пример10.Решитьуравнение
sinx+sin3x=2.
Решение.Таа|sinx|m1,|sin3x|m1,тоисходное
уравнение эвивалентно системе
sinx=1, sin3x=1.
Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид
x= +2πk, kÝZ
(*)
и
x=+ ,nÝZ.
(**)
Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения,
моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а
первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части
равенств (*) и (**), получаем уравнение
+2πk= + ,
оторое после тождественных преобразований приводится виду
2n–6k=1.
(***)
π
4---
π
2--- π
4---
π
4---
π
4---
1
ctg π
4--- x–
--------------------------------
1
a---
π
4---
π
2---
π
6--- 2πn
3-----------
π
2---
π
6--- 2πn
3-----------
138
Г л а в а 5. Тригонометрия
125. Найдите все решения уравнения
+
=
а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой.
126. Решите уравнение
–
=
.
127. Найдите все решения уравнения
sin x– –cos x+ =1,
удовлетворяющие неравенству
>
128. Найдите все решения уравнения
sinx+ =
,
удовлетворяющие неравенству
(1+cos(2x+4))<cos4x.
129. Найдите все решения уравнения
sin4x+ +cos4x+ =,
удовлетворяющие неравенству
>
130. Найдите все решения уравнения
sin 2x– = sin2x,
удовлетворяющие неравенству
(1+sin(7x+5))<sin8x.
Использование оцено
обеих частей трионометричес
оо
равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается
решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.
Пример9.Решитьуравнение
tg +x+tg –x=2.
(*)
tgx sinx
+
tgx sinx
–
3tgx
2tgx cos2 x
–
+
16
9------ tg x
+
2
9--- cos2 x
–
π
4---
3π
4-------
2cos7x
cos3 sin3
+
---------------------------------- 2cos 2x
·
.
π
4---
1
22cosx
--------------------------
logsin2 3
π
4---
5π
4-------
2
cos 2x
cos2 sin2
–
--------------------------------- 2–sin 4x.
π
4---
2
logcos2 3
π
4---
π
4---
§ 25. Тригонометрические уравнения
139
Р е ше н и е. Воспользовавшись формулой приведения, по-
лучаем
tg +x =ctg
–
–
x =ctg
–
x.
Та а
tg –x
=
,
то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух
взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедли-
во неравенство
a+ l2.
Таим образом, раве нство (*) достиается тольо при условии
tg +x =1.
(**)
Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.
Ответ.x =πn,nÝZ.
Пример10.Решитьуравнение
sinx+sin3x=2.
Решение. Та а|sinx|m1,|sin3x|m1, то исходное
уравнение эвивалентно системе
sinx=1, sin3x=1.
Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид
x= +2πk, kÝZ
(*)
и
x=+
,
nÝZ.
(**)
Решением систе мы, а следовательно, и исходноо уравнения,
моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а
первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части
равенств (*) и (**), получаем уравнение
+2πk= +
,
оторое после тождественных преобразований приводится виду
2n–6k =1.
(***)
π
4
---
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
4
---
1
ctg
π
4
---
x
–
--------------------------------
1
a
---
π
4
---
π
2
---
π
6
---
2πn
3
-----------
π
2
---
π
6
---
2πn
3
-----------
140
Г л а в а 5. Тригонометрия
Оче видно, что уравнение (***) не имеет решений в целых чис-
лах, посольу при любых n и k слева находится четное число,
а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не
имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.
Решите уравнение:
131.sinx+sin5x=2.
132.sinxsiny=1.
133.3lgtgx+3lgctgx =2.
134.cosx+cosy–cos(x+y)=
.
135.sinx+siny=2.
136.sinx+siny+sinz= –3.
137.logcosxsinx+logsinxcosx=2.
138.cos2x+cosxcosy+cos2y=0.
139.
(5sin2x–6sinxcosx–9cos2x+3
)=
= arcsin2 x + arccos2 x –
.
140.tgx=
x–
–
x–
.
141. Доажите, что уравнение (sin x +
cos x)sin4x = 2
не имеет решений.
142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению
sinπx+3cos
=0.
143. Найдите все значения x, при оторых выражение
[1 – cos (2π(2x + 21x2))]
не обращается в нуль.
§ 26. Системы
тригонометрических уравнений
Систему уравнений, в оторой неизвестные являются ару-
ме нтами трионометричесих фунций, называют системой
трионометричесих равнений. При решении систем трионо-
метричесих уравнений используются ме тоды решения систем
уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.
3
2
---
2y
–
33
3
5π2
4
----------
2
π
---
π
4
---
3π
4
-- - ----
3
49 4x
–
πx
2
-------
4x2 3
–
x8
–
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
141
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Сладывая уравнения системы, получаем урав-
нение
sinxsiny+cosxcosy= _cos(x–y)= .
Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим
уравнению
cosxcosy–sinxsiny=0_cos(x+y)=0.
Таим образом, исходная система равносильна системе
_
nÝZ,kÝZ,
отуда
Ответ. +(
2
n+k); + (k–2n),
+ (2n+k); + (k–2n),nÝZ,kÝZ.
Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
sinxsiny= ,
cosxcosy= .
3
4-------
3
4-------
3
2-------
3
2-------
cos(x–y)= ,
cos(x+y)=0
3
2-------
x–y=ä +2πn,
x+y= +πk,
π
6---
π
2---
x= + (2n+k),
y= + (k–2n),
π
3--- π
2---
π
6--- π
2---
x= + (2n+k),
y= + (k–2n).
π
6--- π
2---
π
3--- π
2---
π
3--- π
2---
π
6--- π
2---
π
6--- π
2---
π
3--- π
2---
sinxcosy=–0,5,
cosxsiny=0,5.
sinxcosy=0,36,
cosxsiny=0,175.
sinxsiny= ,
tgxtgy=3.
3
4---
cosxcosy=
,
ctgxctgy=3+2 .
12
+
4
------------------
2
140
Г л а в а 5. Тригонометрия
Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых чис-
лах, посольу при любых n и k слева находится четное число,
а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не
имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.
Решите уравнение:
131.sinx+sin5x=2.
132.sinxsiny=1.
133.3lgtgx+3lgctgx=2.
134.cosx+cosy–cos(x+y)= .
135.sinx+siny=2.
136.sinx+siny+sinz=–3.
137.logcosxsinx+logsinxcosx=2.
138.cos2x+cosxcosy+cos2y=0.
139.
(5sin2x–6sinxcosx–9cos2x+3 )=
=arcsin2x+arccos2x– .
140.tgx= x– – x–
.
141. Доажите, что уравнение (sin x +
cos x)sin4x = 2
не имеет решений.
142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению
sinπx+3cos =0.
143. Найдите все значения x, при оторых выражение
[1 – cos (2π(2x + 21x2))]
не обращается в нуль.
§ 26. Системы
тригонометрических уравнений
Систему уравнений, в оторой неизвестные являются ару-
ментами трионометричесих фунций, называют системой
трионометричесих равнений. При решении систем трионо-
метричесих уравнений используются методы решения систем
уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.
3
2---
2y
–
33
3
5π2
4----------
2
π---
π
4---
3π
4-------
3
49 4x
–
πx
2-------
4x2 3– x8
–
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
141
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Сладывая уравнения системы, получаем урав-
нение
sinxsiny+cosxcosy=
_cos(x–y)=
.
Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим
уравнению
cosxcosy–sinxsiny=0_cos(x+y)=0.
Таим образом, исходная система равносильна системе
_
nÝZ,kÝZ,
отуда
Ответ. +(
2
n+k); + (k–2n),
+ (2n+k); + (k–2n),nÝZ,kÝZ.
Решите систе му уравнений:
1.
2.
3.
4.
sinxsiny=
,
cosxcosy=
.
3
4
-- - ----
3
4
-- - ----
3
2
-------
3
2
-------
cos(x–y)=
,
cos(x+y)=0
3
2
-------
x–y =ä +2πn,
x+y= +πk,
π
6
---
π
2
---
x= + (2n+k),
y= + (k–2n),
π
3
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
x= + (2n+k),
y= + (k–2n).
π
6
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
π
6
---
π
2
---
π
3
---
π
2
---
sinxcosy= –0,5,
cosxsiny=0,5.
sinxcosy=0,36,
cosxsiny=0,175.
sinxsiny=
,
tgxtgy=3.
3
4
---
cosxcosy=
,
ctgxctgy=3+2 .
12
+
4
------------------
2
142
Г л а в а 5. Тригонометрия
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
sinx–siny=0,5,
cosx+cosy=0,5
.
3
sin2x+sin2y=3(sinx+siny),
cos2x+cos2y=cosx+cosy.
sinxctgy=0,5
,
tgxcosy=0,5
.
6
3
tgx=siny,
sinx=2ctgy.
siny=5sinx,
3cosx+cosy=2.
3tg +6sinx=2sin(y–x),
tg –2sinx=6sin(y+x).
y
2
---
y
2
---
sin2x+cosxsiny=cos2y,
cos2x+sin2y=sin2y+3cosysinx.
2sin2y+sin2y=cos(x+y),
cos2x+2sin2y+sin2y=cos(x–y).
sin2(–2x)–(3– )tg5y=
,
tg25y+(3– )sin(–2x)=
.
2
321
–
2
---------------------
2
321
–
2
---------------------
sin23x+(4– )ctg(–7y)=2
–
,
ctg2(–7y)+(4– )sin3x=2
–
.
3
3
3
4
---
3
3
3
4
---
4siny – 6
cosx=5+4cos2y,
cos2x=0.
2
1+2cos2x=0,
cosy–4sinx=2 (1+sin2y).
6
3
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
143
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27. Найдите решения системы
удовлетворяющие условиям x Ý (0; 2π); y Ý (π; 2π).
Если одно из уравнений системы рационально относительно
арументов трионометричесих фунций, то решение системы
обычно сводится решению трионометричесоо уравнения
для одноо из неизвестных.
2c
o
sx+6siny=3+12sin2x,
4c
o
sx+2siny=7.
3
3
y+ ctgx=4,
2 y– ctgx=1.
212
227
3tg3y+2cosx=2tg60°,
2tg3y–3cosx=– cos30°.
5
3---
sin(y–3x)=2sin3x,
cos(y–3x)=2cos3x.
sin(x–y)=3sinxcosy–1,
sin(x+y)=–2cosxsiny.
tg2x+ctg2x=2sin2y,
sin2y+cos2z=1.
x+y= ,
=.
π
3---
tgx
tgy
----------- 3
4---
+3·
=3,
+5·
= 5,5.
4sin x
9cos y
4–sin x
81cosy 0,5
+
x+y+z=π,
tgxtgy=2,
tgx+tgy+tgz=6.
=2,
=3,
x+y+z=π.
tgx
tgy
-----------
tgy
tgz
----------
|sinx |siny = – ,
cos(x+y)+cos(x–y)= ,
1
4---
3
2---
142
Г л а в а 5. Тригонометрия
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
sinx–siny=0,5,
cosx+cosy=0,5 .3
sin2x+sin2y=3(sinx+siny),
cos2x+cos2y=cosx+cosy.
sinxctgy=0,5 ,
tgxcosy=0,5 .
6
3
tgx=siny,
sinx=2ctgy.
siny=5sinx,
3cosx+cosy=2.
3tg +6sinx=2sin(y–x),
tg –2sinx=6sin(y+x).
y
2---
y
2---
sin2x+cosxsiny=cos2y,
cos2x+sin2y=sin2y+3cosysinx.
2sin2y+sin2y=cos(x+y),
cos2x+2sin2y+sin2y=cos(x–y).
sin2(–2x)–(3– )tg5y=
,
tg25y+(3– )sin(–2x)=
.
2
321
–
2
---------------------
2
321
–
2
---------------------
sin23x+(4– )ctg(–7y)=2 – ,
ctg2(–7y)+(4– )sin3x=2 – .
3
33
4---
3
33
4---
4siny–6 cosx=5+4cos2y,
cos2x=0.
2
1+2cos2x=0,
cosy–4sinx=2 (1+sin2y).
6
3
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
143
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27. Найдите решения систе мы
удовлетворяющие условиям x Ý (0; 2π); y Ý (π; 2π).
Если одно из уравнений системы рационально относительно
арументов трионометричесих фунций, то решение системы
обычно сводится решению трионометричесоо уравнения
для одноо из неизвестных.
2c
o
s
x+6siny=3+12sin2x,
4c
o
s
x+2siny=7.
3
3
y+
ctgx=4,
2y–
ctgx=1.
2
12
2
27
3tg3y+2cosx=2tg60°,
2tg3y–3cosx= –
cos 30°.
5
3
---
sin(y–3x)=2sin3x,
cos(y–3x)=2cos3x.
sin(x–y)=3sinxcosy–1,
sin(x+y)= –2cosxsiny.
tg2x+ctg2x=2sin2y,
sin2y+cos2z=1.
x+y=
,
=
.
π
3
---
tgx
tgy
-----------
3
4
---
+3·
=3,
+5·
= 5,5.
4sin x
9cos y
4–sin x
81cos y 0,5
+
x+y+z=π,
tgxtgy=2,
tgx+tgy+tgz=6.
=2,
=3,
x+y+z=π.
tgx
tgy
-----------
tgy
tgz
----------
|sinx |siny = –
,
cos(x+y)+cos(x–y)=
,
1
4
---
3
2
---
144
Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Преобразуем второе уравнение системы виду
sinx=2siny.(
*
)
Используя первое уравнение системы, ислючим из уравне-
ния (*) неизвестное y:
sinx=2sin
–
x _sinx=
cosx+sinx.
Полученное уравнение эвивалентно триономе тричесому урав-
нению
cosx=0.
(**)
Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение систе-
мы, получим значения для не известноо y.
Ответ.x = +πk,y =
–
πk,kÝZ.
Решите систе му:
28.
29.
30.
31.
32. Выясните, при аих значениях a решения системы
существуют, и найдите эти решения.
x+y=
,
=2.
2π
3
-------
sin x
sin y
-------------
2π
3
-------
3
π
2
---
π
6
---
x–y =
,
sin x+
sin y+
=
.
π
18
------
π
18
------
π
9
---
1
2
---
= tgy,
x–y =
.
1t
gx
–
1t
gx
+
---------------------
π
6
---
tgx+ctgy=3,
|x–y|=
.
π
3
---
sinx+siny=sin(x+y),
|x|+|y|=1.
8cosxcosycos(x–y)+1=0,
x+y=a
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции
145
§ 27. Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
Решения простейших уравнений, содержащих обратные три-
онометричесие фунции, приведены в таблице:
Уравнения вида
R(y(x))=0,
де R— неоторая рациональная фунция, а y(x)— одна из
арфунций, сводятся простейшим уравнениям
y(x)=yi,
де yi — орни уравнения R (y) = 0.
Пример1.Решитьуравнение
2arcsin2x–arcsinx–6=0.
Р е ше н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим
уравнение
2y2–y–6=0,
имеющее орни y1 = 2, y2 = –1,5. Следовательно, решение ис-
ходноо уравнения сводится решению двух простейших урав-
нений
arcsin x = 2, arcsin x = –1,5.
Та а 2 > , а |–1,5| < , то единственным решением яв-
ляется x = –sin 1,5.
Ответ. x = –sin 1,5.
Уравнение
Решение уравнения
arcsinx=a
|a|m
x=sina
arccosx=a
(0mamπ)
x=cosa
arctgx=a
|a|<
x=tga
arcctgx=a
(0<a<π)
x=ctga
π
2---
π
2---
π
2---
π
2---
144
Г л а в а 5. Тригонометрия
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
Р е ше н и е. Преобразуем второе уравнение системы виду
sinx=2siny.(
*
)
Используя первое уравнение системы, ислючим из уравне-
ния (*) неизвестное y:
sinx=2sin –x _sinx= cosx+sinx.
Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому урав-
нению
cosx=0.
(**)
Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение систе-
мы, получим значения для неизвестноо y.
Ответ.x= +πk,y= –πk,kÝZ.
Решите систему:
28.
29.
30.
31.
32. Выясните, при аих значениях a решения системы
существуют, и найдите эти решения.
x+y= ,
=2.
2π
3-------
sin x
sin y
-------------
2π
3-------
3
π
2---
π
6---
x–y= ,
sinx+ siny+ =.
π
18------
π
18------
π
9---
1
2---
=tgy,
x–y= .
1tgx
–
1tgx
+
---------------------
π
6---
tgx+ctgy=3,
|x–y|= .π
3---
sinx+siny=sin(x+y),
|x|+|y|=1.
8cosxcosycos(x–y)+1=0,
x+y=a
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции
145
§ 27. Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
Решения простейших уравнений, содержащих обратные три-
онометричесие фунции, приведены в таблице:
Уравне ния вида
R(y(x)) =0,
де R— неоторая рациональная фунция, а y(x)— одна из
арфунций, сводятся простейшим уравнениям
y(x)=yi,
де yi — орни уравнения R (y) = 0.
Пример1.Решитьуравнение
2arcsin2x–arcsinx–6 =0.
Р е ше н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим
уравнение
2y2–y
–
6=0,
имеющее орни y1 = 2, y2 = –1,5. Следовательно, решение ис-
ходноо уравнения сводится решению двух простейших урав-
нений
arcsin x = 2, arcsin x = –1,5.
Та а 2 > , а |–1,5| < , то единственным решением яв-
ляется x = –sin 1,5.
Ответ. x = –sin 1,5.
Уравнение
Решение уравнения
arcsinx=a
|a|m
x=sina
arccosx=a
(0mamπ)
x=cosa
arctgx=a
|a|<
x=tga
arcctgx=a
(0<a<π)
x=ctga
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
146
Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение:
1.arctg2 –4arctg –5 =0.
2.arctg2(3x+2)+2arctg(3x+2)=0.
3. 2arcsinx = +
.
4.3arctg2x–4πarctgx+π2=0.
5. Найдите решения уравнения
2arccosx=a+
при действительных значе ниях a.
Если в уравнение входят выражения, содержащие разные
арфунции, или эти арфунции зависят от разных арумен-
тов, то ео сводят алебраичесому уравнению вычислением
не оторой трионометричесой фунции от обеих частей дан-
ноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни
отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фун-
ции выб ирают таненс или отаненс, то решения, не входя-
щие в области определения этих фунций, моут быть потеря-
ны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отан-
енса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что
среди точе, не входящих в область определения этих фун-
ций, нет орней исходноо уравнения.
Пример 2.Решитьуравнение
arcsin 6x + arcsin 6
x=–
.
(*)
Р е ше н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения
и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо
уравнения:
sin (arcsin 6x) = sin –arcsin 6
x–
.
Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приве-
дения, приходим алебраичесому уравнению, являющемуся
следствием уравне ния (*):
6x=–
.
x
3
---
x
3
---
π
3
---
π2
9
------
arcsin x
----------------------
a2
arccos x
----------------------
3
π
2
---
3
π
2
---
11
08x2
–
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции
147
Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные
члены, получаем уравнение
144x2 = 1,
орнями отороо являются числа и – .
Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение
x=– ,имеем
arcsin– +arcsin– =––=–.
Таим образом, x = – является орнем исходноо уравнения.
Подставив в уравнение (*) значение x = , замечаем, что ле-
вая часть полученноо соотношения положительна, а правая —
отрицательна. Поэтому значение x = — посторонний орень
уравнения (*).
Ответ.x=– .
Пример 3. Решитьуравнение
2 arctg (2x + 1) = arccos (–x).
(*)
Р е ше н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей
уравнения, получаем
cos(2arctg(2x + 1)) = –x.
Левую часть этоо уравнения можно преобразовать виду
cos(2arctg(2x+1))=
=–
.
Таим образом, приходим алебраичесому уравнению, яв-
ляющемуся следствием уравнения (*):
=x_2x3–x=0;
оно имеет орни 0, , – . Чтобы выяснить, аие из этих
чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-
1
12------ 1
12------
1
12------
1
2---
3
2-------
π
6--- π
3--- π
2---
1
12------
1
12------
1
12------
1
12------
12x 1+
()
2
–
12x 1+
()
2
+
------------------------------------
2x2 2x
+
12x 2x2
++
-----------------------------------
2x2 2x
+
12x 2x2
++
-----------------------------------
2
2------- 2
2-------
146
Г л а в а 5. Тригонометрия
Решите уравнение:
1.arctg2 –4arctg –5=0.
2.arctg2(3x+2)+2arctg(3x+2)=0.
3. 2arcsinx = +
.
4.3arctg2x–4πarctgx+π2=0.
5. Найдите решения уравнения
2arccosx=a+
при действительных значениях a.
Если в уравнение входят выражения, содержащие разные
арфунции, или эти арфунции зависят от разных арумен-
тов, то ео сводят алебраичесому уравнению вычислением
неоторой трионометричесой фунции от обеих частей дан-
ноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни
отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фун-
ции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входя-
щие в области определения этих фунций, моут быть потеря-
ны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отан-
енса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что
среди точе, не входящих в область определения этих фун-
ций, нет орней исходноо уравнения.
Пример 2. Решитьуравнение
arcsin6x+arcsin6 x=– .
(*)
Р е ше н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения
и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо
уравнения:
sin (arcsin 6x) = sin –arcsin 6 x – .
Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приве-
дения, приходим алебраичесому уравнению, являющемуся
следствием уравнения (*):
6x=–
.
x
3---
x
3---
π
3---
π2
9------
arcsin x
----------------------
a2
arccos x
----------------------
3π
2---
3π
2---
1108x2
–
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции
147
Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные
члены, получаем уравнение
144x2 = 1,
орнями отороо являются числа
и–
.
Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение
x=–
, имеем
arcsin –
+ arcsin –
=–
–
=–
.
Таим образом, x = –
является орнем исходноо уравнения.
Подставив в уравнение (*) значение x =
, замечаем, что ле-
вая часть полученноо соотношения положительна, а правая —
отрицательна. Поэтому значение x =
—
посторонний орень
уравнения (*).
Ответ.x = –
.
Пример 3. Решить уравнение
2 arctg (2x + 1) = arccos (–x).
(*)
Р е ше н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей
уравнения, получаем
cos(2arctg(2x + 1)) = –x .
Левую часть этоо уравне ния можно преобразовать виду
cos(2arctg(2x+1))=
=–
.
Таим образом, приходим алебраичесому уравнению, яв-
ляющемуся следствием уравнения (*):
= x_2x3–x =0;
оно имеет орни 0,
,–
. Чтобы выяснить, аие из этих
чисел удовлетворяют исходному уравне нию, выполним провер-
1
12
------
1
12
------
1
12
------
1
2
---
3
2
-- - ----
π
6
---
π
3
---
π
2
---
1
12
------
1
12
------
1
12
------
1
12
------
12
x1
+
()
2
–
12
x1
+
()
2
+
------------------------------------
2x2 2x
+
12
x 2x2
++
-----------------------------------
2x2 2x
+
12
x 2x2
++
-----------------------------------
2
2
-------
2
2
-------
148
Г л а в а 5. Тригонометрия
у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны . При x =
правая и левая части уравнения (*) равны соответственно
и
2arctg( +1).Но
tg (2arctg
)=
=
=
=
=
=–1
и, следовательно, 2 arctg
=
. Значит, x =
явля-
ется орне м исходноо уравнения.
Приx= –
правая и левая части уравнения (*) равны со-
ответственно
и 2 arctg
Имеем
tg (2 arctg
)=
=
=
=
=
=–1
и,значит,x= –
не является орнем исходноо уравнения.
Ответ.x =0,x=
.
Решите уравнение:
6. arccos
= 2arctg(x–1).
7.arccosx–π =arcsin
.
8.arctg x+
+arctg x–
=
.
9.arctg2x+arctg3x=
.
10.arcsinx+arccos(x–1)=π.
11.2arccosx+arcsinx=
.
12. 2 arccos –
= arccos (x + 3).
π
2
---
2
2
-------
3π
4
-------
2
(21
+)
2tg(arctg( 2 1
+)
1t
g
2 (arctg( 2
–1
+))
---------------------------------------------------------------
2(21
+)
1(2
–1
)
2
+
------------------------------------
2(21)
+
13
–2
2
–
-------------------------------
2(21)
+
–2(21)
+
------------------------------
(2 1)
+
3π
4
-------
2
2
-------
2
2
-------
π
4
---
(1 2).
–
(1 2)
–
2tg (arctg(1 2))
–
1t
g
2
–
(arctg(1 2))
–
---------------------------------------------------------------
2(1 2)
–
1(1
–2
)
2
–
------------------------------------
2(1 2)
–
13
–2
2
+
--------------------------------
2(1 2)
–
2(21)
–
--------------------------
2
2
-------
2
2
-------
x
2
---
4x
3
-------
1
2
---
1
2
---
π
4
---
3π
4
-------
11π
6
----------
x
2
---
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции
149
13. 2 arcsin x = arcsin x.
14. arctg + arctg = arctg x.
15.arccosx–arcsinx= .
16. arcsin x + arcsin = .
17. arcsin 2x = 3 arcsin x.
18. arccos x – arcsin x = arccos x.
19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2).
Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом
арфунции, представляют собой тождества на общей области
определения левой и правой частей уравнения. Процесс реше-
ния таоо уравнения залючается в нахождении этой области.
Пример 4. Решитьуравнение
2arccosx = arcsin (2x
).
(*)
Р е ше н и е. Соласно определению фунции y = arccos x,
имеем
x=cosy,де0mymπ,|x|m1.
Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), полу-
чаем
arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y).
Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим
arcsin(sin2y)=2y при – mym .
Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой
части при всех y Ý 0; . Возвращаясь исходному неизвест-
ному, залючаем, что x Ý ;
1.
Ответ.xÝ ;
1.
Решите уравнение:
20. arcsin x = arccos
.
21. arccos x = π – arcsin
.
2
x
3---
x
2---
π
6---
x
3
------- π
2---
3
1x2
–
π
4---
π
4---
π
4---
2
2-------
2
2-------
1x2
–
1x2
–
148
Г л а в а 5. Тригонометрия
у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны . При x =
правая и левая части уравнения (*) равны соответственно и
2arctg( +1).Но
tg (2arctg
)=
=
=
=
=
=–1
и, следовательно, 2 arctg
= . Значит, x = явля-
ется орнем исходноо уравнения.
При x = – правая и левая части уравнения (*) равны со-
ответственно и 2 arctg
Имеем
tg (2 arctg
)=
=
=
=
=
=–1
и, значит, x = – не является орнем исходноо уравнения.
Ответ.x=0,x= .
Решите уравнение:
6.arccos =2arctg(x–1).
7.arccosx–π=arcsin .
8.arctg x+ +arctg x– = .
9.arctg2x+arctg3x= .
10.arcsinx+arccos(x–1)=π.
11.2arccosx+arcsinx= .
12.2arccos – =arccos(x+3).
π
2---
2
2-------
3π
4-------
2
(21
+) 2tg(arctg( 2 1+)
1tg2 (arctg( 2
–1
+))
---------------------------------------------------------------
2(21
+)
1(2
–1
)
2
+
------------------------------------ 2( 2 1)
+
13
–22
–
------------------------------- 2( 2 1 )
+
–2(21)
+
------------------------------
(2 1)
+3π
4-------
2
2-------
2
2-------
π
4---
(1 2).
–
(1 2)
–
2tg(arctg(1 2))
–
1tg2
– (arctg(1 2))
–
---------------------------------------------------------------
2(1 2)
–
1(1
–2
)
2
–
------------------------------------ 2(1 2)
–
13
–22
+
-------------------------------- 2(1 2)
–
2(21)
–
--------------------------
2
2-------
2
2-------
x
2---
4x
3-------
1
2---
1
2---
π
4---
3π
4-------
11π
6----------
x
2---
§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции
149
13. 2 arcsin x = arcsin
x.
14. arctg + arctg = arctg x.
15. arccos x – arcsin x =
.
16. arcsin x + arcsin
=
.
17. arcsin 2x = 3 arcsin x.
18. arccos x – arcsin x = arccos
x.
19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2).
Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом
арфунции, представляют собой тождества на общей области
определения левой и правой частей уравнения. Процесс реше-
ния таоо уравнения залючается в нахождении этой области.
Пример4.Решитьуравнение
2arccosx = arcsin (2x
).
(*)
Р е ше н и е. Соласно определению фунции y = arccos x,
имеем
x=cosy,
д
е0mymπ,|x|m1.
Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), полу-
чаем
arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y).
Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим
arcsin(sin2y)=2y при – mym .
Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой
части при всех y Ý 0; . Возвращаясь исходному неизвест-
ному, залючаем, что x Ý
;
1
.
Ответ. x Ý
;
1
.
Решите уравнение:
20. arcsin x = arccos
.
21. arccos x = π – arcsin
.
2
x
3
---
x
2
---
π
6
---
x
3
-------
π
2
---
3
1x2
–
π
4
---
π
4
---
π
4
---
2
2
-------
2
2
-------
1x2
–
1x2
–
150
Г л а в а 5. Тригонометрия
22. arccos x = arctg
.
23. arcsin (2x
) = arccos (2x2 – 1).
24. 2 arccos x = arccos (2x2 – 1).
25. 2 arctg x = arcsin
.
26. 2 arctg x = arccos
.
27. arccos x = arcctg
.
28. 2 arccos x = arcctg
.
29. Решите уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех действи-
тельных значениях a.
30. Решите уравнение arccos x = arcsin 2a при все х действи-
тельных значениях a.
§ 28. Тригонометрические неравенства
Решения простейших трионометричесих неравенств при-
в едены в таблице:
Неравенство
Решение неравенства (n Ý Z)
sinx>a (|a|<1) xÝ(arcsina+2πn;π–arcsina+2πn)
sinx<a (|a|<1) xÝ(–π
–
arcsin a + 2πn; arcsin a + 2πn)
cosx>a (|a|<1) xÝ(–arccosa+2πn;arccosa+2πn)
cosx<a (|a|<1) xÝ(arccosa+2πn;2π–arccosa+2πn)
tgx>ax
Ý arctga+πn; +πn
tgx<ax
Ý –+πn;arctga+πn
ctgx>ax
Ý (πn; arcctg a + πn)
ctgx<ax
Ý(arcctga+πn;π+πn)
1x2
–
x
--------------------
1x2
–
2x
1x2
+
-----------------
1x2
–
1x2
+
-----------------
x
1x2
–
--------------------
2x2 1
–
2x1 x2
–
----------------------------
π
2
---
π
2
---
§ 28. Тригонометрические неравенства
151
Решите неравенство:
1.sinx>–0,5.
2.tgx>2.
3.ctgx>–3.
4.sin(x–1)m–0,5 .
5.sinx2m0,5.
6.sinx+cosx>– .
7.cossinx<0.
8.sincosxl0.
Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R—неоторая ра-
циональная фунция, а y— одна из трионометричесих
фунций (синус, осинус, таненс или отаненс), решают
в два этапа: сначала — рациональное неравенство относитель-
но неизвестноо y, а затем — простейшее трионометричесое
неравенство.
П р и м е р 1. Решить неравенство
2sin2x–7sinx+3>0.
Р е ше н и е. Полаая sin x = y, получим неравенство
2y2–7y+3>0,
имеющее множество решений y < , y > 3. Возвращаясь ис-
ходному неизвестному, залючаем, что данное неравенство э-
вивалентно двум неравенствам
sinx< , sinx>3.
Второе неравенство не имеет решений, а решение первоо таово:
xÝ – +2πn; +2πn ,nÝZ.
Ответ.xÝ – +2πn; +2πn ,nÝZ.
Решите неравенство:
9.ctg3x+ctg2x–ctgx–1<0.
10.2cos2x+sin2x>tgx.
11.tgx+ctgx<–3.
12.sin2x>cosx.
13.cosx+ cosx<0.
14.
>2sinx+1.
3
2
1
2---
1
2---
7π
6-------
π
6---
7π
6-------
π
6---
3
34cos2 x
–
150
Г л а в а 5. Тригонометрия
22. arccos x = arctg
.
23. arcsin (2x
) = arccos (2x2 – 1).
24. 2 arccos x = arccos (2x2 – 1).
25. 2 arctg x = arcsin
.
26. 2 arctg x = arccos
.
27. arccos x = arcctg
.
28. 2 arccos x = arcctg
.
29. Решите уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех действи-
тельных значениях a.
30. Решите уравнение arccos x = arcsin 2a при всех действи-
тельных значениях a.
§ 28. Тригонометрические неравенства
Решения простейших трионометричесих неравенств при-
ведены в таблице:
Неравенство
Решение неравенства (n Ý Z)
sinx>a (|a|<1) xÝ(arcsina+2πn;π–arcsina+2πn)
sinx<a (|a|<1) xÝ(–π–arcsina+2πn;arcsina+2πn)
cosx>a (|a|<1) xÝ(–arccosa+2πn;arccosa+2πn)
cosx<a (|a|<1) xÝ(arccosa+2πn;2π–arccosa+2πn)
tgx>ax
Ý arctga+πn; +πn
tgx<ax
Ý –+πn;arctga+πn
ctgx>ax
Ý (πn; arcctg a + πn)
ctgx<ax
Ý(arcctga+πn;π+πn)
1x2
–
x
--------------------
1x2
–
2x
1x2
+
-----------------
1x2
–
1x2
+
-----------------
x
1x2
–
--------------------
2x2 1–
2x1x2
–
----------------------------
π
2---
π
2---
§ 28. Тригонометрические неравенства
151
Решите неравенство:
1.sinx>–0,5.
2.tgx>2.
3.ctgx>–3.
4.sin(x–1)m–0,5
.
5.sinx2m0,5.
6.sinx+cosx>–
.
7.cossinx<0.
8.sincosxl0.
Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R—неоторая ра-
циональная фунция, а y— одна из трионометричесих
фунций (синус, осинус, таненс или отаненс), решают
в два этапа: сначала — рациональное неравенство относитель-
но неизвестноо y, а затем — простейшее трионометричесое
неравенство.
П р и м е р 1. Решить неравенство
2sin2x–7sinx+3>0.
Р е ше н и е. Полаая sin x = y, получим неравенство
2y2–7y+3>0,
имеющее множество решений y < , y > 3. Возвращаясь ис-
ходному неизвестному, залючаем, что данное неравенство э-
вивалентно двум неравенствам
sinx< , sinx>3.
Второе неравенство не имее т решен ий, а решение первоо таово:
xÝ – +2πn; +2πn ,nÝZ.
Ответ.xÝ –
+2πn; +2πn ,nÝZ.
Решите неравенство:
9.ctg3x+ctg2x–ctgx–1<0.
10.2cos2x+sin2x>tgx.
11.tgx+ctgx<–3.
12.sin2x>cosx.
13.cosx+
cosx<0.
14.
>2sinx+1.
3
2
1
2
---
1
2
---
7π
6
-------
π
6
---
7π
6
-------
π
6
---
3
34c
o
s
2x
–
152
Г л а в а 5. Тригонометрия
15.
>4sinx+1.
16.
<0.
17.
<4tgx.
18.5+2cos2xm3|2sinx–1|.
В неоторых случаях при решении нераве нств используют
разложение на множители.
П р и м е р 2. Решить неравенство
cosx+cos2x+cos3x>0.
Р е ше н и е. Преобразуя сумму райних слааемых в про-
изведение , получаем неравенство
cos2x+2cos2xcosx>0,
или
cos2x(2cosx+1)>0.
Последнее неравенство эвивалентно двум системам про-
стейших нераве нств:
Объединяя решения этих систем, находим решение исходноо
неравенства.
Ответ. – +2πn; + 2πn Ÿ
+ 2πn;
+2πn Ÿ
Ÿ
+ 2πn;
+2πn ,nÝZ.
Решите неравенство:
19.sinxsin2x–cosxcos2x>sin6x.
20. 2sinx sin 2x sin 3x < sin 4x.
21.sinxsin3x>sin5xsin7x.
22.cos3xsin3x+cos3xsin3x< .
23. sinxlcos2x.
24.2tg2xm3tgx.
25.sinx<|cosx|.
3sinx 1
+
2sin2x sinx 1
–
+
sinx 1
–
---------------------------------------------------
-
3
cos2 x
---------------
cos2x<0,
cosx<– ;
1
2
---
cos2x>0,
cosx>–
.
1
2
---
π
4
---
π
4
---
2π
3
-- -- ---
3π
4
-------
5π
4
-------
4π
3
-- -- ---
3
8
---
§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригоном. функции
153
§ 29. Неравенства, содержащие
обратные тригонометрические функции
Решение простейших неравенств, содержащих обратные три-
онометричесие фунции, приведено в таблице:
Решите неравенство:
1.arcsinxm5.
2. arcsin x l –2.
3. arccos x m arccos .
4.arccosx> .
5.arctgx>– .
6.arcctgx>2.
Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R—неоторая ра-
циональная фунция, а y—одна из обратных трионометри-
чесих фунций (арсинус, аросинус, артаненс, аротан-
енс), решают в два этапа: сначала — неравенство относительно
неизвестноо y, а затем — простейшее неравенство, содержащее
обратную трионометричесую фунцию.
П р и м е р 1. Решить неравенство
arcctg2x–5arcctgx+6>0.
Р е ше н и е. Положим arcctg x = y и перепишем исходное
неравенство в виде
y2–5y+6>0;
Неравенство
Решение неравенства
arcsinx>a |a|<
xÝ(sina;1)
arcsinx<a |a|<
xÝ(–1;sina)
arccosx>a (0<a<π)
xÝ(–1;cosa)
arccosx<a (0<a<π)
xÝ(cosa;1)
arctgx>a |a|<
xÝ(tga;+×)
arctgx<a |a|<
xÝ(–×;tga)
arcctgx>a (0<a<π)
xÝ(–×;ctga)
arcctgx<a (0<a<π)
xÝ(ctga;+×)
π
2---
π
2---
π
2---
π
2---
1
4---
π
6---
π
3---
152
Г л а в а 5. Тригонометрия
15.
>4sinx+1.
16.
<0.
17.
<4tgx.
18.5+2cos2xm3|2sinx–1|.
В неоторых случаях при решении неравенств используют
разложение на множители.
П р и м е р 2. Решить неравенство
cosx+cos2x+cos3x>0.
Р е ше н и е. Преобразуя сумму райних слааемых в про-
изведение, получаем неравенство
cos2x+2cos2xcosx>0,
или
cos2x(2cosx+1)>0.
Последнее неравенство эвивалентно двум системам про-
стейших неравенств:
Объединяя решения этих систем, находим решение исходноо
неравенства.
Ответ.–+2πn; +2πn Ÿ +2πn; +2πn Ÿ
Ÿ +2πn; +2πn ,nÝZ.
Решите неравенство:
19.sinxsin2x–cosxcos2x>sin6x.
20. 2sinx sin 2x sin 3x < sin 4x.
21.sinxsin3x>sin5xsin7x.
22.cos3xsin3x+cos3xsin3x< .
23.sinxlcos2x.
24.2tg2xm3tgx.
25.sinx<|cosx|.
3sinx 1+
2sin2x sinx 1–
+
sinx 1–
----------------------------------------------------
3
cos2x
---------------
cos2x<0,
cosx<– ;1
2---
cos2x>0,
cosx>– .1
2---
π
4---
π
4---
2π
3-------
3π
4-------
5π
4-------
4π
3-------
3
8---
§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригоном. функции
153
§ 29. Неравенства, содержащие
обратные тригонометрические функции
Решение простейших неравенств, содержащих обратные три-
онометричесие фунции, приведено в таблице:
Решите неравенство:
1.arcsinxm5.
2. arcsin x l –2.
3. arccos x m arccos .
4.arccosx> .
5.arctgx>–
.
6.arcctgx>2.
Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R—неоторая ра-
циональная фунция, а y— одна из обратных трионометри-
чесих фунций (арсинус, аросинус, артаненс, аротан-
енс), решают в два этапа: сначала — неравенство относительно
неизвестноо y, а затем — простейшее неравенство, содержащее
обратную трионометричесую фунцию.
П р и м е р 1. Решить неравенство
arcctg2x–5arcctgx+6>0.
Р е ше н и е. Положим arcctg x = y и перепишем исходное
неравенство в виде
y2–5y+6>0;
Неравенство
Решение неравенства
arcsinx>a
|a|<
xÝ(sina;1)
arcsinx<a
|a|<
xÝ(–1;sina)
arccosx>a
(0<a<π)
xÝ(–1;cosa)
arccosx<a
(0<a<π)
xÝ(cosa;1)
arctgx>a
|a|<
xÝ(tga;+×)
arctgx<a
|a|<
xÝ(–×;tga)
arcctgx>a
(0<a<π)
xÝ(–×;ctga)
arcctgx<a
(0<a<π)
xÝ(ctga;+×)
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
1
4
---
π
6
---
π
3
---
154
Г л а в а 5. Тригонометрия
решениями последнео неравенства являются y < 2 и y > 3.
Возвращаясь исходному неизвестному, получаем, что данное
неравенство сводится двум простейшим неравенствам
arcctgx<2 и arcctgx>3,
имеющим соответственно решения x Ý (ctg 2; +×) и x Ý (–×; ctg 3).
Объединяя эти решения, находим решение исходноо нера-
венства.
Ответ.(–×; ctg 3) Ÿ (ctg 2; +×).
Решите неравенство:
7.arctg2x–4arctgx+3>0.
8.log2arctgx>1.
9.
+
l2.
10. 4(arccos x)2 – 1 l 0.
Чтобы решить неравенства, связывающие значения различ-
ных обратных трионометричесих фунций или значения одной
т рионометр ичесой фунции, выч исленные от разных арумен-
тов, удобно вычислить значение неоторой трионометриче-
сой фунции от обеих частей неравенства. Однао следует
учитывать, что полученное при этом неравенство эвивалентно
исходному лишь в том случае, ода множество значений пра-
в ой и левой частей исходноо неравенства принадлежит одному
и тому же промежуту монотонности этой трионометричесой
фунции.
П р и м е р 2. Решить неравенство
arcsin x > arccos x.(
*
)
Р е ше н и е. Найдем множество допустимых значений x, вхо-
дящих в неравенство: x Ý [–1; 1]. При x < 0 имеем arcsin x < 0,
а arccos x > 0. Следовательно, значения x < 0 не являются ре-
шениями неравенства. При x l 0 а правая, та и левая части
неравенства принимают значения, принадлежащие промежут-
у 0;
. Та а на промежуте 0;
синус монотонно
возрастает, то при x Ý [0; 1] неравенство (*) эвивалентно нера-
венству
sin (arcsin x) > sin (arccos x) _ x >
.
Последнее неравенство при рассматривае мых значениях не-
известноо эвивалентно неравенству
2x2>1.
(**)
2arctg x
2–arctg x
π
2
---
π
2
---
1x2
–
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств
155
Таим образом, решениями исходноо неравенства являются
те решения неравенства (**), оторые принадлежат промежут-
у [0; 1].
Ответ.xÝ ;
1.
Решите неравенство:
11. arccos x > arccos x2.
12. arctg x > arcctg x.
13.arcsinx<arcsin(1–x). 14.tg2arcsinx>1.
§ 30. Доказательство
тригонометрических неравенств
Доазательство неравенств, связывающих значения трионо-
метричесих фунций на всей числовой прямой или на неото-
ром ее промежуте, обычно основано на иcпользовании свойств
фунций: монотонности, ораниченности и т. д.
Пример 1. Доазать,чтоеслиα Ý – ; , β Ý – ; ,
то
cos
l
.
Р е ше н и е. Для доазательства данноо неравенства до-
статочно представить ео правую часть в виде
= cos cos
иучесть,чтоеслиαÝ –; ,βÝ –; ,тои Ý
Ý – ; ,иследовательно,0<cos <1.
Доажите, что при x Ý 0; выполняется неравенство:
1.sinxcosxm0,5.
2.sinx+cosxm .
3.tgx+ctgxl2.
4.tgxlsinx.
5.sin2xm2sinx.
6.
mc
o
s.
2
2-------
π
2--- π
2---
π
2--- π
2---
αβ
+
2-------------- cos α cos β
+
2
----------------------------------
cosα cosβ
+
2
----------------------------------
αβ
+
2-------------- αβ
–
2-------------
π
2--- π
2---
π
2--- π
2---
αβ
–
2-------------
π
2--- π
2---
αβ
–
2-------------
π
2---
2
cosx2x
2---
154
Г л а в а 5. Тригонометрия
решениями последнео неравенства являются y < 2 и y > 3.
Возвращаясь исходному неизвестному, получаем, что данное
неравенство сводится двум простейшим неравенствам
arcctgx<2 и arcctgx>3,
имеющим соответственно решения x Ý (ctg 2; +×) и x Ý (–×; ctg 3).
Объединяя эти решения, находим решение исходноо нера-
венства.
Ответ.(–×; ctg 3) Ÿ (ctg 2; +×).
Решите неравенство:
7.arctg2x–4arctgx+3>0. 8.log2arctgx>1.
9.
+
l2.
10. 4(arccos x)2 – 1 l 0.
Чтобы решить неравенства, связывающие значения различ-
ных обратных трионометричесих фунций или значения одной
трионометричесой фунции, вычисленные от разных арумен-
тов, удобно вычислить значение неоторой трионометриче-
сой фунции от обеих частей неравенства. Однао следует
учитывать, что полученное при этом неравенство эвивалентно
исходному лишь в том случае, ода множество значений пра-
вой и левой частей исходноо неравенства принадлежит одному
и тому же промежуту монотонности этой трионометричесой
фунции.
П р и м е р 2. Решить неравенство
arcsin x > arccos x.(
*
)
Р е ше н и е. Найдем множество допустимых значений x, вхо-
дящих в неравенство: x Ý [–1; 1]. При x < 0 имеем arcsin x < 0,
а arccos x > 0. Следовательно, значения x < 0 не являются ре-
шениями неравенства. При x l 0 а правая, та и левая части
неравенства принимают значения, принадлежащие промежут-
у 0; . Та а на промежуте 0; синус монотонно
возрастает, то при x Ý [0; 1] неравенство (*) эвивалентно нера-
венству
sin (arcsin x) > sin (arccos x) _ x >
.
Последнее неравенство при рассматриваемых значениях не-
известноо эвивалентно неравенству
2x2>1.
(**)
2arctg x 2–arctg x
π
2---
π
2---
1x2
–
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств
155
Таим образом, решениями исходноо неравенства являются
те решения неравенства (**), оторые принадлежат промежут-
у [0; 1].
Ответ. x Ý
;
1
.
Решите неравенство:
11. arccos x > arccos x2.
12. arctg x > arcctg x.
13. arcsin x < arcsin (1 – x).
14. tg2 arcsin x > 1.
§ 30. Доказательство
тригонометрических неравенств
Доазательство неравенств, связывающих значения трионо-
метричесих фунций на всей числовой прямой или на неото-
ром ее промежуте, обычно основано на иcпользовании свойств
фунций: монотонности, ораниченности и т. д .
Пример 1. Доазать,чтоеслиα Ý – ;
,βÝ–;
,
то
cos
l
.
Р е ше н и е. Для доазательства данноо неравенства до-
статочно представить ео правую часть в виде
= cos
cos
иучесть,чтоеслиαÝ –;
,βÝ–;
,т
ои
Ý
Ý–;
, и следовательно, 0 < cos
<1.
Доажите, что при x Ý 0;
выполняется неравенство:
1.sinxcosxm0,5.
2.sinx+cosxm
.
3.tgx+ctgxl2.
4.tgxlsinx.
5.sin2xm2sinx.
6.
mc
o
s.
2
2
-------
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
αβ
+
2
--------------
cosα cosβ
+
2
----------------------------------
cosα cosβ
+
2
----------------------------------
αβ
+
2
--------------
αβ
–
2
-------------
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
αβ
–
2
-------------
π
2
---
π
2
---
αβ
–
2
-------------
π
2
---
2
cos x
2
x
2
---
156
Г л а в а 5. Тригонометрия
7.Доажите,чтоеслиαÝ[0;π],βÝ[0;π],то
sin
l
.
Доажите, что при любом действительном x справедливо
соотноше ние:
8.|acosx+bsinx|m
.
9.
m
masin2x+bsinxcosx+ccos2xm
m
.
Часто при доазательстве трионометричесих неравенств
используют неравенства, устанавливающие связь между сред-
ним еометричесим и средним арифметичесим двух или не-
сольих положительных чисел.
Пример2.Доазать,чтоеслиα+β+γ=πиα>0,β>0,
γ>0,то
+
+
l6.
(*)
Ре ше н ие. Та а sin , sin , sin неотрицательны,
то, используя неравенство, связывающее среднее арифметиче-
сое трех чисел и их среднее еометричесое, имеем
+
+
l
.
(**)
Преобразуем подоренное выражение:
sin sin sin = sin
cos
–
cos
.
Учитывая,чтоα+β+γ=π,получим
cos
= cos
–
=sin,cos
<1,
и, значит,
sin sin sin m sin 1–sin
.
αβ
+
2
--------------
sinα sinβ
+
2
---------------------------------
a2 b2
+
aca
2b2c22ac
–
++
–
+
2
-------------------------------------------------------------------------
-
aca
2b2c22ac
–
++
++
2
--------------------------------------------------------------------------
1
sin
α
2
---
-------------
1
sin
β
2
---
-------------
1
sin
γ
2
---
-------------
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
1
sin
α
2
---
-------------
1
sin
β
2
---
-------------
1
sin
γ
2
---
-------------
3
sin
α
2
---
sin
β
2
---
sin
γ
2
---
3
------------------------------------------------
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
1
2
---
α
2
---
βγ
–
2
------------
βγ
+
2
------------
βγ
+
2
------------
π
2
---
α
2
---
α
2
---
βγ
–
2
------------
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
1
2
---
α
2
---
α
2
---
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств
157
Положим y = sin и рассмотрим фунцию f(y) = y(1 – y),
входящую в правую часть последнео неравенства. Наибольшее
значение этой фунции на промежуте [0; 1] равно . Поэтому
sinsinsinm.
Из этоо неравенства следует, что
l6.
(***)
Наонец, из неравенств (**) и (***) вытеает справедливость
исходноо неравенства.
10.Доажите,чтоеслиα+β+γ=πиα>0,β>0,γ>0,то
(1 – cos α)(1–cosβ)(1–cosγ) m .
11.Доажите,чтоеслиα+β+γ=πиαÝ 0; ,βÝ 0; ,
γÝ 0; ,то
++l6.
12.Доажите,чтоеслиα+β+γ=πиαÝ 0; ,βÝ 0; ,
γÝ 0; ,то
tg2α+tg2β+tg2γl9.
13.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
coscoscosm.
14.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
sin2 +sin2 +sin2 l .
15.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
cosα+cosβ+cosγm .
α
2---
1
2---
1
4---
α
2--- β
2--- γ
2--- 1
8---
3
sin α
2--- sin β
2--- sin γ
2---
3
------------------------------------------------
1
8---
π
2---
π
2---
π
2---
1
cos α
------------- 1
cos β
------------- 1
cos γ
------------
π
2---
π
2---
π
2---
α
2--- β
2--- γ
2--- 3
8--- 3
α
2---
β
2---
γ
2--- 3
4---
3
2---
156
Г л а в а 5. Тригонометрия
7.Доажите,чтоеслиαÝ[0;π],βÝ[0;π],то
sin
l
.
Доажите, что при любом действительном x справедливо
соотношение:
8.|acosx+bsinx|m
.
9.
m
masin2x+bsinxcosx+ccos2xm
m
.
Часто при доазательстве трионометричесих неравенств
используют неравенства, устанавливающие связь между сред-
ним еометричесим и средним арифметичесим двух или не-
сольих положительных чисел.
Пример2.Доазать,чтоеслиα+β+γ=πиα>0,β>0,
γ>0,то
++l6.
(*)
Решение. Та а sin , sin , sin неотрицательны,
то, используя неравенство, связывающее среднее арифметиче-
сое трех чисел и их среднее еометричесое, имеем
++l
.
(**)
Преобразуем подоренное выражение:
sin sin sin = sin cos –cos
.
Учитывая,чтоα+β+γ=π,получим
cos =cos – =sin , cos <1,
и, значит,
sin sin sin m sin 1–sin .
αβ
+
2-------------- sin α sin β
+
2
---------------------------------
a2 b2
+
aca2b2c22ac
–
++
–
+
2
--------------------------------------------------------------------------
aca2b2c22ac
–
++
++
2
--------------------------------------------------------------------------
1
sin α
2---
------------- 1
sin β
2---
------------- 1
sin γ
2---
-------------
α
2---
β
2---
γ
2---
1
sin α
2---
------------- 1
sin β
2---
------------- 1
sin γ
2---
-------------
3
sin α
2--- sin β
2--- sin γ
2---
3
------------------------------------------------
α
2--- β
2--- γ
2--- 1
2--- α
2---
βγ
–
2------------
βγ
+
2------------
βγ
+
2------------
π
2--- α
2---
α
2---
βγ
–
2------------
α
2--- β
2--- γ
2--- 1
2--- α
2---
α
2---
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств
157
Положим y = sin и рассмотрим фунцию f(y) = y(1 – y),
входящую в правую часть последне о неравенства. Наибольшее
значение этой фунции на промежуте [0; 1] равно . Поэтому
sinsinsinm.
Из этоо неравенства следует, что
l6.
(***)
Наонец, из нераве нств (**) и (***) вытеает справедливость
исходноо неравенства.
10.Доажите,чтоеслиα+β+γ=πиα>0,β>0,γ>0,то
(1 – cos α)(1–cosβ)(1–cosγ) m .
11.Доажите,чтоеслиα+β+γ=πиαÝ 0; ,βÝ 0; ,
γÝ 0; ,то
+
+
l6.
12.Доажите,чтоеслиα+β+γ=πиαÝ 0; ,βÝ 0; ,
γÝ 0; ,то
tg2α+tg2β+tg2γl9.
13.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
cos cos cos m
.
14.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
sin2 +sin2 +sin2 l .
15.Доажите,чтоеслиα+β+γ=π,то
cosα+cosβ+cosγm .
α
2
---
1
2
---
1
4
---
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
1
8
---
3
sin
α
2
---
sin
β
2
---
sin
γ
2
---
3
------------------------------------------------
1
8
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
1
cos α
-------------
1
cos β
-------------
1
cos γ
------------
π
2
---
π
2
---
π
2
---
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
3
8
---
3
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
3
4
---
3
2
---
158
Г л а в а 5. Тригонометрия
В примере 2 требовалось найти наибольшее значение фун-
ции sin 1–sin
. Выполнив заме ну переменной, мы по-
лучили, что исомое значение совпадает с наибольшим значе-
нием фунции f(y) = y(1 – y) на промежуте [0; 1]. Аналоич-
ный прием часто используют в тех случаях, ода требуется
найти множества значений неоторых трионометричесих вы-
ражений.
16.Доажите,что–4mcos2x+3sinxm2 .
17. Доажите, что cos3 x + cos6 x m .
18.Доажите, что если | p|<2, то
sin2x+psinx+ql
.
19. Доажите, что sin2 x cos2 x m .
Доазательство неравенств, связывающих трионометриче-
сие фунции и неоторые мноочлены, заданные на опреде-
ленных интервалах изменения арументов, проводят с помощью
омбинации рассмотренных выше приемов. При этом в процес-
се доазательства часто используют двойное неравенство
sinxmxmtgx,(
1
)
справедливое при всех x Ý 0; .
П р и м е р 3. Доазать, что на промежуте (0; π) имеет
ме сто неравенство
x–
<sinx.
Р е ше н и е. Представим фунцию sin x в виде
sinx=2tg cos2 =2tg
1–sin2
.
Используя двойное неравенство (1), имеем
tgl,1
–
s
in
2 l1–
.
1
2
---
α
2
---
α
2
---
1
2
---
1
8
---
1
4
---
p2
–4
q
–
4
------------------------
-
1
4
---
π
2
---
x3
4
------
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x
2
---
x2
4
------
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств
159
Применяя полученные оцени правой части исходноо нера-
венства, убеждаемся в ео справедливости.
20. Доажите, что на промежуте (0; π) справедливо нера-
венство
cosx<1– + .
21. Доажите, что на промежуте 0;
справедливо нера-
венство
x– <tgx.
22.Доажите,что1–cosxm .
x2
2------ x4
16------
π
2---
x3
2------
x2
2------
158
Г л а в а 5. Тригонометрия
В примере 2 требовалось найти наибольшее значение фун-
ции sin 1 – sin . Выполнив замену переменной, мы по-
лучили, что исомое значение совпадает с наибольшим значе-
нием фунции f(y) = y(1 – y) на промежуте [0; 1]. Аналоич-
ный прием часто используют в тех случаях, ода требуется
найти множества значений неоторых трионометричесих вы-
ражений.
16.Доажите,что–4mcos2x+3sinxm2 .
17. Доажите, что cos3 x + cos6 x m .
18.Доажите,чтоесли|p|<2,то
sin2x+psinx+ql
.
19. Доажите, что sin2 x cos2 x m .
Доазательство неравенств, связывающих трионометриче-
сие фунции и неоторые мноочлены, заданные на опреде-
ленных интервалах изменения арументов, проводят с помощью
омбинации рассмотренных выше приемов. При этом в процес-
се доазательства часто используют двойное неравенство
sinxmxmtgx,(
1
)
справедливое при всех x Ý 0; .
П р и м е р 3. Доазать, что на промежуте (0; π) имеет
место неравенство
x– <sinx.
Р е ше н и е. Представим фунцию sin x в виде
sinx=2tg cos2 =2tg 1–sin2 .
Используя двойное неравенство (1), имеем
tg l ,1–sin2 l1– .
1
2--- α
2---
α
2---
1
2---
1
8---
1
4---
p2
–4
q
–
4
-------------------------
1
4---
π
2---
x3
4------
x
2---
x
2---
x
2---
x
2---
x
2--- x
2---
x
2---
x2
4------
§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств
159
Применяя полученные оцени правой части исходноо нера-
венства, убеждаемся в ео справедливости.
20. Доажите, что на промежуте (0; π) справедливо нера-
венство
cosx<1–
+.
21. Доажите, что на промежуте 0;
справедливо нера-
венство
x–
<tgx.
22.Доажите,что1–cosxm
.
x2
2
------
x4
16
------
π
2
---
x3
2
------
x2
2
------
Глава 6
Комплексные числа
§ 31. Действия с комплексными числами
Запись числа z в виде a + bi, де a и b— действительные
числа, а число i удовлетворяет равенству i2 = –1, называют ал-
ебраичесой формой омплесноо числа. Число a называют
действительной частью омплесноо числа и обозначают
Re z, число b— мнимой частью омплесноо числа и обо-
значают Im z. Символ i называют мнимой единицей.
Два омплесных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны,
еслиa1=a2иb1=b2.
Комплесное число –a
–
bi называют противоположным
омплесному числу a + bi.
Рассмотрим правила действий с омплесными числами.
Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i—два омплесных числа.
Смма z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1z2 и част-
ное
(z2 − 0) омплесных чисел z1 и z2 вычисляются по фор-
мулам
z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,
z1–z2=(a1–a2)+(b1–b2)i,
z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i,(
1
)
=
+
Сложение и умножение омплесных чисел оммутативно и
ассоциативно, умножение дистрибутивно относительно сло-
жения.
Комплесное число a – bi называю т омплесно сопряжен-
ным с числом z = a + bi и обозначают . Комплесно сопря-
женные числа z и обладают следующим свойством:
z·
=
a2+b2.
Пустьz=a+bi—отличноеотнуля(т.е.a2+b2−0)омп-
лесное число. Модлем омплесноо числа (обозначе ние:
z1
z2
-----
z1
z2
-----
a1b2 a2b1
+
a2
2
b2
2
+
--------------------------------
a2b1 a1b2
–
a2
2b2
2
+
------------------------------- i.
z
z
z
§ 31. Действия с комплексными числами
161
|z| или r) называют величину
. Арментом омп-
лесноо числа z называют уол φ, определяемый из условий
sinφ=
, cosφ=
(обозначение: Arg z или φ). Главным значением армента
омплесноо числа z (обозначение: arg z) называют значение
φ, принадлежащее промежуту (–π; π].
Запись омплесноо числа z = a + bi
в виде
z=r(cosφ+isinφ)
называют трионометричесой формой
омплесноо числа.
Геометричеси модуль омплесно-
о числа можно изобразить а отре-
зо (радиус-ветор) длины r, имеющий
своими онцами точи (0; 0) и (a; b); арумент омплесноо
числа — а уол, оторый образует радиус-ветор с положи-
тельным направлением оси Ox (рис. 9).
Два омплесных числа, записанные в трионометричесой
форме, равны тода и тольо тода, ода равны их модули, а
арументы отличаются на 2πk (k Ý Z).
Произведением и частным двух отличных от нуля омп-
лесныхчиселz1=r1(cosφ1+isinφ1)иz2=r2(cosφ2+isinφ2),
записанных в трионометричесой форме, являются числа
z1z2 = r1r2[cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)],
= [cos(φ1–φ2)+isin(φ1–φ2)],
а n-я степень омплесноо числа z = r (cos φ + i sin φ) вычис-
ляется по формле Мавра
zn=rn(cosnφ+isinnφ).
(2)
Корнем n-й степени из омплесноо числа z называют
омплесное число w, удовлетворяющее уравнению
wn=z.
Все решения этоо уравнения обозначают и для числа z, за-
писанноо в трионометричесой форме z = r (cos φ + i sin φ),
эти решения вычисляют по формуле
= cos
+isin
,
(3)
деk=0,1,2,...,n–1.
a2 b2
+
b
a2 b2
+
-----------------------
a
a2 b2
+
-----------------------
x
a
y
b
|
z
|
φ=argz
O
Рис. 9
z1
z2
----- r1
r2
-----
zn
zn
rn
φ2πk
+
n
---------------------
φ 2πk
+
n
---------------------
Глава 6
Комплексные числа
§ 31. Действия с комплексными числами
Запись числа z в виде a + bi, де a и b—действительные
числа, а число i удовлетворяет равенству i2 = –1, называют ал-
ебраичесой формой омплесноо числа. Число a называют
действительной частью омплесноо числа и обозначают
Re z, число b—мнимой частью омплесноо числа и обо-
значают Im z. Символ i называют мнимой единицей.
Два омплесных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны,
еслиa1=a2иb1=b2.
Комплесное число –a – bi называют противоположным
омплесному числу a + bi.
Рассмотрим правила действий с омплесными числами.
Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i—два омплесных числа.
Смма z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1z2 и част-
ное (z2 − 0) омплесных чисел z1 и z2 вычисляются по фор-
мулам
z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,
z1–z2=(a1–a2)+(b1–b2)i,
z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i,(
1
)
=
+
Сложение и умножение омплесных чисел оммутативно и
ассоциативно, умножение дистрибутивно относительно сло-
жения.
Комплесное число a – bi называют омплесно сопряжен-
ным с числом z = a + bi и обозначают . Комплесно сопря-
женные числа z и обладают следующим свойством:
z· =a2+b2.
Пустьz=a+bi—отличноеотнуля(т.е.a2+b2−0)омп-
лесное число. Модлем омплесноо числа (обозначение:
z1
z2
-----
z1
z2
----- a1b2 a2b1
+
a2
2b2
2
+
-------------------------------- a2b1 a 1b 2
–
a22 b2
2
+
------------------------------- i .
z
z
z
§ 31. Действия с комплексными числами
161
|z| или r) называют величину
. Арментом омп-
лесноо числа z называют уол φ, определяемый из условий
sinφ=
,
cosφ=
(обозначение: Arg z или φ). Главным значением армента
омплесноо числа z (обозначение: arg z) называют значе ние
φ, принадлежащее промежуту (–π; π].
Запись омплесноо числа z = a + bi
в виде
z=r(cosφ+isinφ)
называют трионометричесой формой
омплесноо числа.
Геометри чеси модуль омплесно-
о числа можно изобразить а отре-
зо (радиус-ветор) длины r, имеющий
своими онцами точи (0; 0) и (a; b); арумент омплесноо
числа — а уол, оторый образует радиус-ветор с положи-
тельным направлением оси Ox (рис. 9).
Два омплесных числа, записанные в трионометричесой
форме, равны тода и тольо тода, ода равны их модули, а
арументы отличаются на 2πk (k Ý Z).
Произведением и частным двух отличных от нуля омп-
лесныхчиселz1=r1(cosφ1+isinφ1)иz2=r2(cosφ2+isinφ2),
записанных в трионометричесой форме, являются числа
z1z2 = r1r2[cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)],
=
[cos(φ1 – φ2) + i sin(φ1 – φ2)],
а n-я степе нь омплесноо числа z = r (cos φ + i sin φ) вычис-
ляется по формле Мавра
zn
=r
n
(cosnφ+isinnφ).
(2)
Корнем n-й степени из омплесноо числа z называют
омплесное число w, удовлетворяющее уравнению
wn
=z.
Все решения этоо уравнения обозначают
и для числа z, за-
писанноо в трионометричесой форме z = r (cos φ + i sin φ),
эти решения вычисляют по формуле
=
cos
+isin
,
(3)
деk=0,1,2, ..., n –1.
a2 b2
+
b
a2 b2
+
-----------------------
a
a2 b2
+
-----------------------
x
a
y
b
|
z
|
φ=argz
O
Рис. 9
z1
z2
-----
r1
r2
-----
z
n
z
n
r
n
φ2πk
+
n
---------------------
φ 2πk
+
n
---------------------
162
Г л а в а 6. Комплексные числа
Действия с омплесными числами выполняют по форму-
лам (1). При вычислении произведения и частноо омплес-
ных чисел удобно использовать представление омплесных чи-
сел в трионометричесой форме.
П р и м е р 1. Представить в трионометричесой форме
омплесное число z = –3 + i.
Р е ше н и е. По определению модуля омплесноо числа
имеем
|z| =
=
.
Обозначив арумент омплесноо числа через φ, получаем
sinφ=
,
cosφ= –
,
отуда следует, что уол φ принадлежит второй че тверти и ра-
в ен arccos –
. Следовательно, запись омплесноо числа
z = –3 + i в триономе тричесой форме имеет вид
z=
cos arccos –
+isin arccos –
.
Представьте в трионометричесой форме омплесное число:
1. 1.
2. –3.
3. i.
4.1+i.
5. –1+i. 6.1+i .
7.3 –4i.
8. –3
–
4i.
9. –cos +isin . 10.sinα–icosα. 11.
.
Для вычисления орней k-й степени из омплесноо числа
обычно используют представление омплесных чисел в трио-
нометричесой форме.
Пример 2. Вычислить
.
Решение. Запишемомплесноечислоi=0+1·iвтри-
онометричесой форме. Та а | i | = 1, arg i =
, то трионо-
ме тричесая форма числа i имеет вид
i=cos +isin .
3
–
()2 1
+
10
1
10
----------
-
3
10
----------
-
3
10
-----------
10
3
10
-----------
3
10
-----------
3
π
3
---
π
3
---
1
i1
–
------------
100
i
3
π
2
---
π
2
---
π
2
---
§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел 163
Отсюда, соласно формуле (3), получаем
r==1,φ=+,
де k = 0, k = 1, k = 2. Ита, исомыми орнями являются сле-
дующие омплесные числа:
cos+isin=+i,
cos +isin =– + i,
cos +isin =–i.
Геометричеси полученные орни пред-
ставляют собой точи, лежащие на еди-
ничной оружности (та а r = 1), ра-
диус-веторы оторых составляют улы
, и с положительным направле-
нием оси Ox (рис. 10).
Ответ. ä + i; –i.
Используя трионометричесую форму записи омплесно-
о числа, вычислите:
12. .
13.
. 14.
.15..
16.
.17..18.
.19..
§ 32. Геометрическое изображение
множеств комплексных чисел,
удовлетворяющих заданным условиям
Для еометричесоо изображения омплесных чисел, удов-
летворяющих неоторым соотношениям, обычно используют
алебраичесую форму омплесноо числа.
13
π
6--- 2πk
3-----------
x
y
O1
1
5π
6
3π
2
π
6
Рис. 10
π
6---
π
6--- 3
2------- 1
2---
5π
6-------
5π
6-------
3
2------- 1
2---
3π
2-------
3π
2-------
π
6--- 5π
6------- 3π
2-------
3
2------- 1
2---
2i
8i
–
34i
–
1–4
22i 3
–
4
i4
34i
+
7
13
162
Г л а в а 6. Комплексные числа
Действия с омплесными числами выполняют по форму-
лам (1). При вычислении произведения и частноо омплес-
ных чисел удобно использовать представление омплесных чи-
сел в трионометричесой форме.
П р и м е р 1. Представить в трионометричесой форме
омплесное число z = –3 + i.
Р е ше н и е. По определению модуля омплесноо числа
имеем
|z| =
=.
Обозначив арумент омплесноо числа через φ, получаем
sinφ= , cosφ=– ,
отуда следует, что уол φ принадлежит второй четверти и ра-
вен arccos – . Следовательно, запись омплесноо числа
z = –3 + i в трионометричесой форме имеет вид
z=
cos arccos –
+isin arccos –
.
Представьте в трионометричесой форме омплесное число:
1. 1.
2. –3.
3. i.
4.1+i.
5.–1+i. 6.1+i . 7.3–4i. 8.–3–4i.
9.–cos +isin . 10.sinα–icosα. 11.
.
Для вычисления орней k-й степени из омплесноо числа
обычно используют представление омплесных чисел в трио-
нометричесой форме.
Пример 2. Вычислить .
Решение.Запишемомплесноечислоi=0+1·iвтри-
онометричесой форме. Та а | i | = 1, arg i = , то трионо-
метричесая форма числа i имеет вид
i=cos +isin .
3–()2 1
+
10
1
10
-----------
3
10
-----------
3
10
-----------
10
3
10
-----------
3
10
-----------
3
π
3---
π
3---
1
i 1–------------
100
i3
π
2---
π
2---
π
2---
§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел 163
Отсюда, соласно формуле (3), получаем
r=
=1,φ=+
,
де k = 0, k = 1, k = 2 . Ита, исомыми орнями являются сле-
дующие омплесные числа:
cos +isin =
+i,
cos
+isin
=–
+i,
cos
+isin
= –i.
Геометричеси полученные орни пред-
ставляют собой точи, лежащие на еди-
ничной оружности (та а r = 1), ра-
диус-веторы оторых составляют улы
,
и
с положительным направле-
нием оси Ox (рис. 10).
Ответ. ä + i; –i.
Используя трионометричесую форму записи омплесно-
о числа, вычислите:
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17. .
18.
.
19. .
§ 32. Геометрическое изображение
множеств комплексных чисел,
удовлетворяющих заданным условиям
Для еометричесоо изображения омплесных чисел, удов-
летворяющих неоторым соотношениям, обычно используют
алебраичесую форму омплесноо числа.
1
3
π
6
---
2πk
3
----------
-
x
y
O
1
1
5π
6
3π
2
π
6
Рис. 10
π
6
---
π
6
---
3
2
-------
1
2
---
5π
6
-------
5π
6
-------
3
2
-------
1
2
---
3π
2
-------
3π
2
-------
π
6
---
5π
6
-------
3π
2
-------
3
2
-------
1
2
---
2i
8i
–
34i
–
1
–
4
22i 3
–
4
i
4
34
i
+
7
1
3
164
Г л а в а 6. Комплексные числа
П р и м е р 1. Найти множество точе оординатной плос-
ости xOy, изображающих омплесные числа z, для оторых
|z+i–2|m2.
Р е ше н и е. Алебраичесая форма омплесноо числа z
имеетвидz=x+iy.Тода
z+i–2 =(x–2)+(y+1)i.
Соласно определению модуля омплесноо числа, имее м
|z+i–2|=
.
Поэтому неравенство|z+i–2|m2примет вид
m2_
+m
Множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяю-
щих последнему неравенству, представляет собой множество
всех точе, лежащих внутри и на ранице оружности с цент-
ром в точе (2; –1) и радиусом 2.
П р и м е р 2. Найти множество точе оординатной плос-
ости xOy, для оторых действительная часть омплесноо
числа (1 + i)z2 положительна.
Р е ше н и е. Представив омплесное число z в алебраи-
чесой форме, имеем z = x + iy. Следовательно,
z2=x2–y2+2xyi,
(1+i)z2=(1+i)(x2–y2+2xyi)=
= (x2–2xy–y2)+(x2+2xy–y2)i.
По условию действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2
положительна:
x2–2xy–y2>0.
(*)
Предполаая, что y − 0, и разделив обе части неравенства (*)
на y2, получаем
–
2
–
1>0.
Решив это вадратное неравенство, находим
>1+
,
<1–
.
(**)
Если y > 0, то неравенства (**) можно записать в виде
y<
x, y<
x.
x2
–
()
2
y1
+
()
2
+
(x 2)
2
–(
y1)
2
++
(x 2)
2
–(
y1)
2
+2
2
.
x
y
---
2
x
y
---
x
y
---
2
x
y
---
2
1
12
+
------------------
1
12
–
-----------------
§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел 165
Множество точе плосости xOy,
удовлетворяющих этим неравенст-
вам (при y > 0), отмечено штри-
ховой на рис. 11.
Если y < 0, то неравенства (**)
примут вид
y>
x, y>
x,
и множество точе оординатной
плосости xOy, удовлетворяющих
этим неравенствам (при y < 0), от-
мечено штриховой на рис. 12.
Если y = 0, то нельзя разделить
обе части неравенства (*) на y2, но
при y = 0 неравенство (*) превра-
щается в неравенство x2 > 0, ре-
шением отороо является любое
действительное число x, отличное
от нуля, т. е. решением неравенст-
ва (*) является любая точа оси Ox,
за ислючением нуля.
Объединяя все три случая,
оончательно получаем: исомым
множеством являются улы, содер-
жащие ось Ox, без своих раниц;
стороны этих улов представляют
собой прямые y =
иy=
=
(рис. 13).
Найдите множество точе о-
ординатной плосости xOy, изо-
бражающих омплесные числа
z=x+iy,дляоторых:
1.|z|=1.
2.z=|z|.
3.argz= . 4.1<|z|<2.
5.|2z–1|>2.
6.||z|+i|<10.
7.|z+1|=|z–1|.
x
y
O
y=
x
1–2
1
y=
x
1+2
1
Рис. 11
x
y
O
y=
x
1–2
1
y=
x
1+2
1
x
y
O
y=
x
1–2
1
y=
x
1+2
1
Рис. 12
Рис. 13
1
12
+
------------------
1
12
–
-----------------
1
12
+
------------------ x
1
12
–
----------------- x
π
3---
164
Г л а в а 6. Комплексные числа
П р и м е р 1. Найти множество точе оординатной плос-
ости xOy, изображающих омплесные числа z, для оторых
|z+i–2|m2.
Р е ше н и е. Алебраичесая форма омплесноо числа z
имеетвидz=x+iy.Тода
z+i–2=(x–2)+(y+1)i.
Соласно определению модуля омплесноо числа, имеем
|z+i–2|=
.
Поэтомунеравенство|z+i–2|m2приметвид
m2_
+m
Множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяю-
щих последнему неравенству, представляет собой множество
всех точе, лежащих внутри и на ранице оружности с цент-
ром в точе (2; –1) и радиусом 2.
П р и м е р 2. Найти множество точе оординатной плос-
ости xOy, для оторых действительная часть омплесноо
числа (1 + i)z2 положительна.
Р е ше н и е. Представив омплесное число z в алебраи-
чесой форме, имеем z = x + iy. Следовательно,
z2=x2–y2+2xyi,
(1+i)z2=(1+i)(x2–y2+2xyi)=
=(x2–2xy–y2)+(x2+2xy–y2)i.
По условию действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2
положительна:
x2–2xy–y2>0.
(*)
Предполаая, что y − 0, и разделив обе части неравенства (*)
на y2, получаем
–2 –1>0.
Решив это вадратное неравенство, находим
>1+,<1–.
(**)
Если y > 0, то неравенства (**) можно записать в виде
y<
x, y<
x.
x2–
()
2y1
+
()
2
+
(x 2)2
–(
y 1)2
++
(x 2)2
–(
y 1)2
+2
2.
x
y---
2
x
y---
x
y---
2x
y---
2
1
12
+
------------------
1
12
–
-----------------
§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел 165
Множество точе плосости xOy,
удовлетворяющих этим неравенст-
вам (при y > 0), отмечено штри-
ховой на рис. 11.
Если y < 0, то неравенства (**)
примут вид
y>
x, y>
x,
и множество точе оординатной
плосости xOy, удовлетворяющих
этим неравенствам (при y < 0), от-
мечено штриховой на рис. 12 .
Если y = 0, то нельзя разделить
обе части неравенства (*) на y2, но
при y = 0 неравенство (*) превра-
щается в неравенство x2 > 0, ре-
шением отороо является любое
действительное число x, отличное
от нуля, т. е . решением неравенст-
ва (*) является любая точа оси Ox,
за ислючением нуля.
Объединяя все три случая,
оончательно получаем: исомым
м ножеством являются улы, содер-
жащие ось Ox, без своих раниц;
стороны этих улов представляют
собой прямые y =
иy=
=
(рис. 13).
Найдите множество точе о-
ординатной плосости xOy, изо-
бражающих омплесные числа
z=x+iy,дляоторых:
1.|z|=1.
2.z =|z|.
3.argz=
.
4.1<|z|<2.
5.|2z–1|>2.
6.||z|+i|<10.
7.|z+1|=|z–1|.
x
y
O
y=
x
1–2
1
y=
x
1+2
1
Рис. 11
x
y
O
y=
x
1–2
1
y=
x
1+2
1
x
y
O
y=
x
1–2
1
y=
x
1+2
1
Рис. 12
Рис. 13
1
12
+
------------------
1
12
–
-----------------
1
12
+
------------------ x
1
12
–
-----------------
x
π
3
---
166
Г л а в а 6. Комплексные числа
8.|z+i|=|z+2|.
9.|z+i|>|z|.
10.1m|z+i|m4.
11. (1 – i) =(1+i)z.
12. На оординатной плосости pOq изобразите множество
точе (p; q) таих, что орни уравнения x2 + px + q = 0 (воз-
можно, омплесные) по модулю не превосходят единицы.
13. Уажите все точи омплесной плосости таие, что:
а) zα; б) z + α — действительные числа (α = a + bi — заданное
омплесное число).
14. Найдите множество точе оординатной плосости xOy,
удовлетворяющих неравенству
log1/2
>1.
15. На оординатной плосости xOy найдите множество
в сех точе, оординаты оторых удовлетворяют следующему
условию: z2 + z + 1 — действительное положительное число.
16. Изобразите на плосости все омплесные числа z, для
оторых число (1 + i)z является действительным.
17. Точи z1, z2, z3 — вершины треуольниа. Каое омп-
лесное число соответствует центру тяжести этоо треуоль-
ниа?
18. Точи z1, z2, z3 — три вершины параллелорамма. Най-
дите четвертую вершину.
19. Доажите, чт о три различные точи z1, z2, z3 лежат на
одной прямой тода и тольо тода, ода
—
действи-
тельное число.
20. При аих z1 и z2 справедливо равенство
|z1+z2|=|z1 –z2|?
21. Доажите, что четырехуольни, сумма вадратов сто-
рон отороо равна сумме вадратов ео диаоналей, — парал-
лелорамм.
§ 33. Решение уравнений
на множестве комплексных чисел
Решение уравнения на множестве омплесных чисел сво-
дится решению системы уравнений на множестве действи-
тельных чисел; эта система получается в результате сравне ния
z
z1
–4
+
3z1
–2
–
------------------------------
z3 z1
–
z2 z1
–
------------------
§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел
167
действительных и мнимых частей выражений, входящих в ис-
ходное уравнение.
П р и м е р 1. Решить на множестве омплесных чисел
уравнение
2z=|z|+2i.
Р е ше н и е. Комплесное число z в алебраичесой форме
имеет вид z = x + iy, де x, y—действительные числа. Тода
|z|=
и данное уравнение запишется та:
2x+2iy=
+ 2i.
Соласно определению равенства двух омплесных чисел, по-
лучаем систему уравнений для нахождения x и y:
Из второо уравнения находим y = 1. Подставив y = 1 в первое
уравнение системы, получим уравнение 2x =
, имею-
щее орень x = . Ита, решением данноо уравнения явля-
ется омплесное число z = + i.
Ответ.z= +i.
П р и м е р 2. Для аждоо действительноо числа a > 0
найти все омплесные числа z, удовлетворяющие равенству
z|z|+az+i=0.
Р е ше н и е. Записав омплесное число z в алебраиче-
сойформе,имеемz=x+iy.Тода|z|=
и приходим
уравнению
(x+iy)+
a(x+iy)+i=0_
_(x
+ax)+(y
+ay+1)i=0+0·i.
Соласно определению равенства двух омплесных чисел, за-
лючаем, что последнее уравнение эвивалентно системе двух
уравнений
(*)
x2 y2
+
x2 y2
+
2x–
=0,
2y–2=0.
x2 y2
+
x2 1+
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
x2 y2
+
x2 y2
+
x2 y2
+
x2 y2
+
x
+ax=0,
y
+ay+1=0,
x2 y2
+
x2 y2
+
166
Г л а в а 6. Комплексные числа
8.|z+i|=|z+2|.
9.|z+i|>|z|.
10.1m|z+i|m4.
11. (1 – i) =(1+i)z.
12. На оординатной плосости pOq изобразите множество
точе (p; q) таих, что орни уравнения x2 + px + q = 0 (воз-
можно, омплесные) по модулю не превосходят единицы.
13. Уажите все точи омплесной плосости таие, что:
а) zα; б) z + α — действительные числа (α = a + bi — заданное
омплесное число).
14. Найдите множество точе оординатной плосости xOy,
удовлетворяющих неравенству
log1/2
>1.
15. На оординатной плосости xOy найдите множество
всех точе, оординаты оторых удовлетворяют следующему
условию: z2 + z + 1 — действительное положительное число.
16. Изобразите на плосости все омплесные числа z, для
оторых число (1 + i)z является действительным.
17. Точи z1, z2, z3 — вершины треуольниа. Каое омп-
лесное число соответствует центру тяжести этоо треуоль-
ниа?
18. Точи z1, z2, z3 — три вершины параллелорамма. Най-
дите четвертую вершину.
19. Доажите, что три различные точи z1, z2, z3 лежат на
одной прямой тода и тольо тода, ода
— действи-
тельное число.
20. При аих z1 и z2 справедливо равенство
|z1+z2|=|z1–z2|?
21. Доажите, что четырехуольни, сумма вадратов сто-
рон отороо равна сумме вадратов ео диаоналей, — парал-
лелорамм.
§ 33. Решение уравнений
на множестве комплексных чисел
Решение уравнения на множестве омплесных чисел сво-
дится решению системы уравнений на множестве действи-
тельных чисел; эта система получается в результате сравнения
z
z 1–4
+
3z 1–2
–
------------------------------
z3 z1
–
z2 z1
–
------------------
§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел
167
действительных и мнимых частей выражений, входящих в ис-
ходное уравнение.
П р и м е р 1. Решить на множестве омплесных чисел
уравнение
2z=|z|+2i.
Р е ше н и е. Комплесное число z в алебраичесой форме
имее т вид z = x + iy, де x, y—действительные числа. Тода
|z|=
и данное уравнение запишется та:
2x+2iy=
+ 2i.
Соласно определению равенства двух омплесных чисел, по-
лучае м систему уравнений для нахождения x и y:
Из второо уравнения находим y = 1. Подставив y = 1 в первое
уравнение системы, получим уравнение 2x =
, имею-
щее орень x =
. Ита, решение м данноо уравнения явля-
ется омплесное число z =
+i.
Ответ. z =
+i.
П р и м е р 2. Для аждоо действительноо числа a > 0
найти все омплесные числа z, удовлетворяющие равенству
z|z|+az+i=0.
Р е ше н и е. Записав омплесное число z в алебраиче-
сойформе,имеемz=x+iy.Тода|z|=
и приходим
уравнению
(x+iy)+
a(x+iy)+i=0_
_(x
+ax)+(y
+ay+1)i=0+0·i.
Соласно определению равенства двух омплесных чисел, за-
лючаем, что последнее уравнение эвивалентно системе двух
уравнений
(*)
x2 y2
+
x2 y2
+
2x–
=0,
2y–2 =0.
x2 y2
+
x21
+
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
x2 y2
+
x2 y2
+
x2 y2
+
x2 y2
+
x
+ax=0,
y
+ay+1=0,
x2 y2
+
x2 y2
+
168
Г л а в а 6. Комплексные числа
решения оторой следует исать на множестве действительных
чисел.
Нетрудно заметить, что множество решений первоо урав-
не ния системы (*) можно найти а объединение множеств ре-
шений двух уравнений:
x=0,
+a=0.
Второе из этих уравнений не имеет решений, та а по усло-
вию a > 0. Подставив x = 0 во второе уравнение системы (*),
для действительноо числа y получаем уравнение
y|y|+ay+1=0.
Множество решений этоо уравнения получается а объеди-
не ние множеств решений двух систем:
Учитывая условие a > 0, лео убедиться в том, что первая сис-
тема не имеет решений, а вторая имеет единственное решение:
y=
. Ита, решением данноо уравнения является
чисто мнимое число z =
i.
Ответ. z =
i.
Решите уравнение:
1.(2+i)z2–(5–i)z+2–2i=0.
2.z2+ =0.
3.|z|–iz=1 –2i.
4.z2=( )3.
5.(x+y)2+6+ix=5(x+y)+i(y+1)(x,y—действитель-
ные числа).
6. При аих действительных значениях x и y справедливо
равенство
=1–3i?
7. Доажите, что уравнение z3 + iz – 1 = 0 не имеет действи-
тельных орней.
8. Вычислите z14 +
, если z—орень уравнения z + = 1.
x2 y2
+
yl0,
y2+ay+1=0;
y<0,
–y2+ay+1=0.
aa
24
+
–
2
-------------------------------
aa
24
+
–
2
-------------------------------
aa
24
+
–
2
-------------------------------
z
z
x2
–
y3
–
()
i
+
1i
+
-----------------------------------------
1
z14
--------
1
z
---
§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел
169
19. Решите на множестве омплесных чисел уравнение
z3–z2+z–1=0.
10. Решите на множестве омплесных чисел систему урав-
нений:
а)
б)
11. Каому условию должно удовлетворять омплесное
число a + bi для тоо чтобы ео можно было представить в виде
a+bi=
,
де x—действительное число?
12. Среди омплесных чисел z найдите все таие числа,
для оторых
log14(13+|z2–4i|)+log196
=0.
13. Для аждоо действительноо числа a l 1 найдите все
омплесные числа z, удовлетворяющие уравнению
z+a|z+1|+i=0.
14. При аих действительных значениях параметра a
хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее
равенству
|z+ |=a2–3a+2,
удовлетворяет одновременно и неравенству
|z+i |<a2?
15. При аих действительных значениях параметра a
хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее
равенству
|z–ai|=a+4,
удовлетворяет одновременно и неравенству
|z–2|<1?
16. Найдите наименьшее по модулю омплесное число z,
удовлетворяющее условию | z – 2 + 2i | = 1.
z5w7 = 1,
z2– 3=0;
w
z13w19 = 1,
z5w7 = 1,
z2+w2=–2.
1ix
–
1ix
+----------------
1
(13 |z2 4i|)2
++
----------------------------------------------
2
2
168
Г л а в а 6. Комплексные числа
решения оторой следует исать на множестве действительных
чисел.
Нетрудно заметить, что множество решений первоо урав-
нения системы (*) можно найти а объединение множеств ре-
шений двух уравнений:
x=0,
+a=0.
Второе из этих уравнений не имеет решений, та а по усло-
вию a > 0. Подставив x = 0 во второе уравнение системы (*),
для действительноо числа y получаем уравнение
y|y|+ay+1=0.
Множество решений этоо уравнения получается а объеди-
нение множеств решений двух систем:
Учитывая условие a > 0, лео убедиться в том, что первая сис-
тема не имеет решений, а вторая имеет единственное решение:
y=
. Ита, решением данноо уравнения является
чисто мнимое число z =
i.
Ответ. z =
i.
Решите уравнение:
1.(2+i)z2–(5–i)z+2–2i=0. 2.z2+ =0.
3.|z|–iz=1–2i.
4.z2=( )3.
5.(x+y)2+6+ix=5(x+y)+i(y+1)(x,y—действитель-
ные числа).
6. При аих действительных значениях x и y справедливо
равенство
=1–3i?
7. Доажите, что уравнение z3 + iz – 1 = 0 не имеет действи-
тельных орней.
8. Вычислите z14 + , если z—орень уравнения z + = 1.
x2 y2
+
yl0,
y2+ay+1=0;
y<0,
–y2+ay+1=0.
aa
24
+
–
2
-------------------------------
aa
24
+
–
2
-------------------------------
aa
24
+
–
2
-------------------------------
z
z
x2– y3–
()
i
+
1i+
-----------------------------------------
1
z14--------
1
z---
§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел
169
19. Решите на множестве омплесных чисел уравнение
z3–z2+z–1=0.
10. Решите на множестве омплесных чисел систему урав-
нений:
а)
б)
11. Каому условию должно удовлетворять омплесное
число a + bi для тоо чтобы ео можно было представить в виде
a+bi=
,
де x—действительное число?
12. Среди омплесных чисел z найдите все таие числа,
для оторых
log14(13+|z2–4i|)+log196
=0.
13. Для аждоо действительноо числа a l 1 найдите все
омплесные числа z, удовлетворяющие уравнению
z+a|z+1|+i=0.
14. При аих действительных значениях параметра a
хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее
равенству
|z+
|=a2–3a+2,
удовлетворяет одновременно и неравенству
|z+i |<a2?
15. При аих действительных значе ниях параметра a
хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее
равенству
|z–ai|=a+4,
удовлетворяет одновременно и неравенству
|z–2|<1?
16. Найдите наиме ньшее по модулю омплесное число z,
удовлетворяющее условию | z – 2 + 2i | = 1.
z5w7 = 1,
z2– 3
=0;
w
z13w19 = 1,
z5w7 = 1,
z2+w2=–2.
1ix
–
1ix
+
----------------
1
(13 |z2 4i|)2
++
----------------------------------------------
2
2
170
Г л а в а 6. Комплексные числа
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
Использование трионометричесой формы омплесноо
числа и представление этоо числа точой омплесной пло-
сости допусает простое решение неоторых систем трионо-
ме тричесих уравнений.
Пример1.Решитьсистему
Р е ше н и е. Первое уравнение систе мы, умноженное на i,
сложим со вторым уравнением:
cosx+isinx+cosy+isiny=
+i.
Положимcosx+isinx=z,cosy+isiny=w,
+i
=u.
Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение
z+w=u,
де |z| =|w| =|u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности
единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вер-
шинами z, u, w, O— ромб с диаональю Ou, длина оторой
равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и
Ouw — правильные, а улы uOw и zOu
равны
.
Имеем Arg u =
+ 2πk; из
рис.14видно,чтоеслиx=Argzиy=
=Argw,тоx= + +2πk,y=
–
+
+2πn,т.е.x =
+2πk,y =–
+2πn.
Ответ. +
2
πk;– +2πn ;
–
+
2
πn;
+2πk .
sinx+siny=
,
cosx+cosy=
.
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-- -- ---
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
wx
y
u
O
1
1
z
Рис. 14
π
3
---
π
4
---
π
4
---
π
3
---
π
4
---
π
3
---
7π
12
-------
π
12
------
7π
12
-------
π
12
------
π
12
------
7π
12
-------
§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171
Решите систему уравнений:
1.
2.
3.
4.
Длялюбыхдвухомплесныхчиселz=a+biиw=c+di
справедлива формула
|w·z|=|w|·|z|,
(1)
оторую можно записать в следующем виде:
(a2+b2)(c2+d2)=(ac–bd)2+(ad+bc)2.(
2
)
С помощью формулы (1) можно находить целочисленные реше-
ния уравнений вида
x2+y2=n,
де n—натуральное число.
П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение
уравнения
x2+y2=21125.
(*)
Р е ше н и е. Разложим 21 125 на простые множители:
21125=53·132.
Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых
чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно за-
писать, например, равенство
|(2 + i)(2+i)(2+i) · (3 + 2i)(3+2i)|2 = 21 125.
Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом
модуля, получаем
= 21 125.
Таим образом, одним из решений исходноо уравнения явля-
ютсячислаx=122,y=79.
Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей
оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные
решения уравнения (*).
Ответ. Например, x = 122, y = 79.
sinx+siny=sinα,
cosx+cosy=cosα.
2sinxcosy=sinα,
2cosxcosy=cosα.
sinx+siny= ,
cosx+cosy= .
3
2-------
1
2---
sinx–siny=sinα,
cosx–cosy=cosα.
|79i 122 |2
–
170
Г л а в а 6. Комплексные числа
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
Использование трионометричесой формы омплесноо
числа и представление этоо числа точой омплесной пло-
сости допусает простое решение неоторых систем трионо-
метричесих уравнений.
Пример1.Решитьсистему
Р е ше н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i,
сложим со вторым уравнением:
cosx+isinx+cosy+isiny= +i .
Положимcosx+isinx=z,cosy+isiny=w, +i =u.
Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение
z+w=u,
де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности
единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вер-
шинами z, u, w, O— ромб с диаональю Ou, длина оторой
равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и
Ouw — правильные, а улы uOw и zOu
равны . Имеем Argu= + 2πk; из
рис.14видно,чтоеслиx=Argzиy=
=Argw,тоx= + +2πk,y= – +
+2πn,т.е.x= +2πk,y=– +2πn.
Ответ. +
2
πk;– +2πn ;
–+2πn; +2πk .
sinx+siny= ,
cosx+cosy= .
2
2-------
2
2-------
2
2-------
2
2-------
2
2-------
2
2-------
wx
y
u
O
1
1
z
Рис. 14
π
3---
π
4---
π
4--- π
3---
π
4--- π
3---
7π
12-------
π
12------
7π
12-------
π
12------
π
12------
7π
12-------
§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171
Решите систе му уравнений:
1.
2.
3.
4.
Длялюбыхдвухомплесныхчиселz=a+biиw=c+di
справедлива формула
|w·z| =|w|·|z|,
(1)
оторую можно записать в следующем виде:
(a2+b2)(c2+d2)=(ac–bd)2+(ad+bc)2.(
2
)
С помощью формулы (1) можно находить целочисленные реше-
ния уравнений вида
x2+y2=n,
де n—натуральное число.
П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное реше ние
уравнения
x2+y2=21125.
(*)
Р е ше н и е. Разложим 21 125 на простые множители:
21125=53·132.
Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых
чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно за-
писать, например, равенство
|(2 + i)(2+i)(2+i) · (3 + 2i)(3+2i)|2 = 21 125.
Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом
модуля, получаем
= 21 125.
Таим образом, одним из решений исходноо уравнения явля-
ютсячислаx=122,y =79.
Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей
оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные
решения уравнения (*).
Ответ. Например, x = 122, y = 79.
sinx+siny=sinα,
cosx+cosy=cosα.
2sinxcosy=sinα,
2cosxcosy=cosα.
sinx+siny=
,
cosx+cosy=
.
3
2
-------
1
2
---
sinx–siny=sinα,
cosx–cosy=cosα.
|79i 122 |2
–
172
Г л а в а 6. Комплексные числа
Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах урав-
не ния:
15.x2+y2=32045.
6.x2+y2=84500.
17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом
найдите хотя бы одну точу с целыми положительными
оординатами.
Трионометричесую форму записи омплесноо числа и
связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях исполь-
зуют для вывода различных трионометричесих формул.
Пример 3.Выразить sin4x иcos4x ввиденеоторой
фунции от sin x и cos x.
Р е ше н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем
(cosx+isinx)4=cos4x+isin4x.(
*
)
Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Нью-
тона, имеем
(cosx+isinx)4=
= cos
4x+4icos3xsinx–6cos2xsin2x–4icosxsin3x+sin4x.
Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем
cos4x=cos4x–6cos2xsin2x+sin4x,
sin4x=4cos3xsinx–4cosxsin3x.
Ответ.cos4x=cos4x–6cos2xsin2x+sin4x,
sin4x=4cos3xsinx–4cosxsin3x.
8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x.
9. Вы числите сумму:
S1=cosφ+cos2φ+...+cosnφ,
S2=sinφ+sin2φ+...+sinnφ, nÝN.
10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноо-
члена с целыми оэффициентами от cos α.
11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное.
12. Вычислите сумму
sinx+asin2x+...+an–1sinnx.
13. Вы числите сумму
sinx+
sin2x+...+
sin nx,
де
—
число соче таний из n по k.
14. Выразите tg 5α через tg α.
513
Cn
1
Cn
2
Cn
n
Cn
k
Глава 7
Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
Множество чисел, занумерованных либо онечным отрез-
ом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами,
называют числовой последовательностью.
В первом случае последовательность называют онечной, во
втором — бесонечной.
Элементы этоо числовоо множества называют членами
последовательности и обычно обозначают следующим образом:
первый член a1, второй — a2, ..., n-й—an и т. д. Числовая по-
следовательность обозначается та*:
a1, a2, a3, ..., an, ... или (an).
Понятие последовательности можно ввести и с помощью
понятия фунции: бесонечной числовой последовательно-
стью (xn) называют числовую фунцию f(n), определенную на
множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую
вычислить любой член последовательности по ео номеру n, на-
зывают формлой общео члена последовательности.
Последовательность (xn) называют ораниченной, если су-
ществуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполня-
ется двойное** неравенство
mmxnmM.(
1
)
Последовательность (xn) называют ораниченной сверх
(сниз), если существует таое число M, что при всех n Ý N
выполняется неравенство
xnmM (xnlM).
(2)
Последовательность xn называют монотонно возрастаю-
щей, если при любом натуральном n выполнено неравенство
xn+1>xn,
(3)
* Числовые последовательности будем та же обозначать (yn), (zn),
nÝN.
** Слово «двойное» для рат ости в дальнейшем будем опус ать.
172
Г л а в а 6. Комплексные числа
Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах урав-
нения:
15.x2+y2=32045.
6.x2+y2=84500.
17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом
найдите хотя бы одну точу с целыми положительными
оординатами.
Трионометричесую форму записи омплесноо числа и
связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях исполь-
зуют для вывода различных трионометричесих формул.
Пример3.Выразить sin4x иcos4x ввиденеоторой
фунции от sin x и cos x.
Р е ше н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем
(cosx+isinx)4=cos4x+isin4x.(
*
)
Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Нью-
тона, имеем
(cosx+isinx)4=
=cos4x+4icos3xsinx–6cos2xsin2x–4icosxsin3x+sin4x.
Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем
cos4x=cos4x–6cos2xsin2x+sin4x,
sin4x=4cos3xsinx–4cosxsin3x.
Ответ.cos4x=cos4x–6cos2xsin2x+sin4x,
sin4x=4cos3xsinx–4cosxsin3x.
8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x.
9. Вычислите сумму:
S1=cosφ+cos2φ+...+cosnφ,
S2=sinφ+sin2φ+...+sinnφ, nÝN.
10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноо-
члена с целыми оэффициентами от cos α.
11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное.
12. Вычислите сумму
sinx+asin2x+...+an–1sinnx.
13. Вычислите сумму
sinx+ sin2x+...+ sinnx,
де — число сочетаний из n по k.
14. Выразите tg 5α через tg α.
513
Cn
1
Cn
2
Cn
n
Cn
k
Глава 7
Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
Множество чисел, занумерованных либо онечным отрез-
ом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами,
называют числовой последовательностью.
В первом случае последовательность называют онечной, во
втором — бесонечной.
Элементы этоо числовоо множества называют членами
последовательности и обычно обозначают следующим образом:
первый член a1, в торой — a2, ..., n-й— an и т. д. Числовая по-
следовательность обозначается та*:
a1, a2, a3, ..., an, ...
или (an).
Понят ие последова тельности можно ввест и и с помощью
понятия фунции: бесонечной числовой последовательно-
стью (xn) называют числовую фунцию f(n), определенную на
множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую
вычислить любой член последовательности по ео номеру n, на-
зывают формлой общео члена последовательности.
Последовательность (xn) называют ораниченной, если су-
ществуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполня-
ется двойное** неравенство
mmxnmM.(
1
)
Последовательность (xn) называют ораниченной сверх
(сниз), если существует таое число M, что при всех n Ý N
выполняется неравенство
xnmM (xnlM).
(2)
Последовательность xn называют монотонно возрастаю-
щей, если при любом натуральном n выполне но нераве нство
xn+1>xn,
(3)
* Числовые последовательности будем та же обозначать (yn), (zn),
nÝN.
** Слово «двойное» для рат ости в дальнейшем будем опус ать.
174
Г л а в а 7. Последовательности
и монотонно бывающей, если при любом натуральном n вы-
полнено неравенство
xn+1<xn.(
4
)
Последовательность xn называют небывающей (невозрас-
тающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое .
Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие
последовательности называют монотонными последователь-
ностями. Можно обобщить определение монотонности и на те
последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь
начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее
неравенство должно выполняться при всех n > n0, де n0 — но-
мер члена, начиная с отороо последовательность становится
монотонной.
П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член
оторой задан формулой xn =
, — возрастающая.
Р е ше н и е. Рассмотрим разность
xn+1–xn=
–
и проверим выполнение неравенства xn + 1 – xn > 0 при всех
nÝN:
–
>0, или
>0.
Та а последнее неравенст во справедливо при всех n Ý N,
то соласно условию (3) данная последовательность — возрас-
тающая.
1. Доажите , что последовательность yn
=
является
убывающей.
2. Установите, является ли монотонной последовательность
yn
=
.
3. Установите, является ли монотонной последовательность
yn=
4. При аих соотношениях между a, b, c, d последователь-
ность yn =
является возрастающей?
3n1
–
5n2
+
------------------
3n1
+
()
1
–
5n1
+
()2
+
---------------------------------
3n1
–
5n2
+
------------------
3n1
+
()
1
–
5n1
+
()2
+
---------------------------------
3n1
–
5n2
+
------------------
11
5n7
+
()
5n2
+
()
----------------------------------------------
6n
–
5n1
–
-----------------
2n3
–
n
-----------------
2n
n!
------
.
anb
+
cnd
+
-----------------
§ 35. Определение последовательности и ее свойства
175
П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности
yn=–n2+5n–6.
Р е ше н и е. Рассмотрим фунцию
y(x)=–x2+5x–6.
Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем
на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на проме-
жуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь по-
следовательности, можно записать y1 < y2 и y3 > y4. Значит,
наибольшим членом является либо y2, либо y3, но y2 = y3 = 0.
Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены по-
следовательности.
Найдите наибольший или наименьший член последователь-
ности:
15.yn=n2–1. 6.yn=6n–n2–5. 7.xn=2n+ .
18. Последовательность (xn) задана формулой общео члена
xn=
. При аих натуральных значениях n выполняется
условие:а)|xn–2|<0,1;б)|xn–2|<0,01?
9. Сольо членов последовательности
yn=|n2–5n+6|
удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6?
10. Начиная с аоо номера члены последовательности
yn=n2–5n+6
удовлетворяют неравенству xn + 1 > xn?
11. Начиная с аоо номера n последовательность, задан-
ная формулой общео члена yn = nqn, является монотонной,
если0<q<1?
Если последовательность задана формулой общео члена
xn = f(n), то для доазательства ораниченности последователь-
ности сверху и снизу можно использовать ораниченность
фунции f(x) при x Ý [1; +×).
П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность xn =
?
Р е ше н и е. Рассмотрим фунцию
f(x) =
,
512
n2----------
2n 3–
n
-----------------
3n 8+
2n
------------------
3x 8+
2x
------------------
174
Г л а в а 7. Последовательности
и монотонно бывающей, если при любом натуральном n вы-
полнено неравенство
xn+1<xn.(
4
)
Последовательность xn называют небывающей (невозрас-
тающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие
последовательности называют монотонными последователь-
ностями. Можно обобщить определение монотонности и на те
последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь
начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее
неравенство должно выполняться при всех n > n0, де n0 — но-
мер члена, начиная с отороо последовательность становится
монотонной.
П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член
оторой задан формулой xn =
, — возрастающая.
Р е ше н и е. Рассмотрим разность
xn+1–xn=
–
и проверим выполнение неравенства xn + 1 – xn > 0 при всех
nÝN:
–
>0, или
>0.
Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N,
то соласно условию (3) данная последовательность — возрас-
тающая.
1. Доажите, что последовательность yn =
является
убывающей.
2. Установите, является ли монотонной последовательность
yn=
.
3. Установите, является ли монотонной последовательность
yn=
4. При аих соотношениях между a, b, c, d последователь-
ность yn =
является возрастающей?
3n 1–
5n 2+
------------------
3n 1+
()1–
5n 1+
()2+
--------------------------------- 3n 1–
5n 2+
------------------
3n 1+
()1–
5n 1+
()2+
--------------------------------- 3n 1–
5n 2+
------------------
11
5n7
+
()
5n 2+
()
----------------------------------------------
6n–
5n 1–
-----------------
2n 3–
n
-----------------
2n
n!------ .
anb
+
cnd
+
-----------------
§ 35. Определение последовательности и ее свойства
175
П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности
yn= –n2+5n–6.
Р е ше н и е. Рассмотрим фунцию
y(x)= –x2+5x–6.
Она принимае т наибольшее значение в точе x = 2,5, причем
на промежуте (– ×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на проме-
жуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь по-
следовательности, можно записать y1 < y2 и y3 > y4. З начит,
наибольшим членом является либо y2, либо y3, но y2 = y3 = 0.
Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены по-
следовательности.
Найдите наибольший или наименьший член последователь-
ности:
15.yn=n2–1. 6.yn=6n–n2–5.
7.xn=2n+
.
18. Последовательность (xn) задана формулой общео члена
xn=
. При аих натуральных значениях n выполняется
условие:а)|xn – 2|<0,1;б)|xn – 2|<0,01?
9. Сольо членов последовательности
yn=|n2–5n+6|
удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6?
10. Начиная с аоо номера члены последовательности
yn=n2–5n+6
удовлетворяют неравенству xn + 1 > xn?
11. Начиная с аоо номера n последовательность, задан-
ная формулой общео члена yn = nqn, является монотонной,
если0<q<1?
Если последовательность задана формулой общео члена
xn
= f(n), то для доазательства ораниченности последователь-
ности сверху и снизу можно использовать ораниченность
фунции f(x) при x Ý [1; +×).
П р и м е р 3. О раничена ли последовательность xn =
?
Р е ше н и е. Рассмотрим фунцию
f(x) =
,
512
n2
----------
2n3
–
n
-----------------
3n8
+
2n
------------------
3x8
+
2x
------------------
176
Г л а в а 7. Последовательности
оторая при x = n определяет члены данной последовательности.
Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×).
Записав фунцию f(x) в виде
f(x)= +
,
(*)
убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следова-
тельно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и
оно равно
. Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-
полняется неравенство f(x) > . Ита, f(n) Ý
;.
Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за-
лючены в промежуте
;
.
Выясните, ораничена ли последовательность:
12.xn=
.
13.xn=
.
14.xn=
.
15.xn=
–
(n+2).
§ 36. Предел последовательности
Говорят, что число a является пределом бесонечной чис-
ловой последовательности (xn), и пишут
xn
= a, если
для любоо ε > 0 существует таой номер n0(ε), что при всех
n > n0(ε) выполняется неравенство | xn – a | < ε. Если последова-
тельность (xn) имеет предел, то ее называют сходящейся.
Необходимое словие сходимости числовой последова-
тельности: для то о чтобы последовательность сходилась,
необходимо, чтобы она была о раниченной.
Пример.Доазать,что
=1.
3
2
---
4
x
---
11
2
------
3
2
---
3
2
---
11
2
------
3
2
---
11
2
------
2(–1)
n
3n2
+
2n2
+
-----------------
1
n2 2n
–3
+
-------------------------------
1
n1
+
()
!
--------------------
1
n2
+
()
!
--------------------
no×
lim
no×
lim
n1
+
n
--------------
§ 36. Предел последовательности
177
Р е ше н и е. Чтобы установить, что предел последователь-
ности xn =
равен 1, достаточно уазать способ нахожде-
ния для любоо ε > 0 числа n0(ε), входящео в определение пре-
дела. Зададим ε > 0 и составим неравенство
–1 <ε,(
*
)
оторое эвивалентно неравенству < ε. Следовательно, если
в ачестве числа n0(ε) выбрать число + 1, то при всех
n > n0(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными соб-
ами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано,
что 1 является пределом данной последовательности.
Доажите, что:
1.
= 1,5.
2.
=0.
3.
=.
4.
= –6.
5.
=0.
6.
=1.
При решении неоторых задач на доазательство сходимос-
ти последовательности удобно пользоваться следующей еомет-
ричесой интерпретацией понятия предела последовательности.
Число a является пределом последовательности (xn),
если для любоо положительноо числа ε существует таой
номер n = n0(ε), что все члены последовательности, начиная
с
, принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-
у(a–ε;a+ε).
Используя приведенную выше еометричесую интерпрета-
цию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:
7. Если последовательность сходится числу a, то она ора-
ничена (необходимое условие сходимости).
8. Известно, что
xn = a, a < q. Доажите, что почти все
члены последовательности (xn) (за ислючением, быть может,
онечноо числа членов) меньше q.
n1+
n--------------
n1+
n--------------
1
n---
1
ε---
no×
lim 3n 2–
2n
-----------------
no×
lim 1
n2 1+
-----------------
no×
lim 5n 3–
6n 2+
------------------ 5
6---
no×
lim 6n 1–
0,5 n–
-------------------
no×
limn1+
n2 1+
-----------------
no×
lim n2
n2n
+
-----------------
xn0 1
+
no×
lim
176
Г л а в а 7. Последовательности
оторая при x = n определяет члены данной последовательности.
Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×).
Записав фунцию f(x) в виде
f(x)= + ,
(*)
убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следова-
тельно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и
оно равно . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-
полняется неравенство f(x) > . Ита, f(n) Ý ; .
Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за-
лючены в промежуте ; .
Выясните, ораничена ли последовательность:
12.xn=
.
13.xn=
.
14.xn=
. 15.xn=
–
(n+2).
§ 36. Предел последовательности
Говорят, что число a является пределом бесонечной чис-
ловой последовательности (xn), и пишут
xn=a,если
для любоо ε > 0 существует таой номер n0(ε), что при всех
n > n0(ε) выполняется неравенство | xn – a | < ε. Если последова-
тельность (xn) имеет предел, то ее называют сходящейся.
Необходимое словие сходимости числовой последова-
тельности: для то о чтобы последовательность сходилась,
необходимо, чтобы она была о раниченной.
Пример. Доазать,что
=1.
3
2--- 4
x---
11
2------
3
2---
3
2--- 11
2------
3
2--- 11
2------
2(–1)n
3n2
+
2n2
+
-----------------
1
n2 2n
–3
+
-------------------------------
1
n1+
()
!
--------------------
1
n2+
()
!
--------------------
no×
lim
no×
limn1+
n--------------
§ 36. Предел последовательности
177
Р е ше н и е. Чтобы установить, что предел последователь-
ности xn
=
равен 1, достаточно уазать способ нахожде-
ния для любоо ε > 0 числа n0(ε), входящео в определение пре-
дела. Зададим ε > 0 и составим неравенство
–
1 <ε,(
*
)
оторое эвивалентно неравенс тву < ε. Следова тельно, если
в ачестве числа n0(ε) выбрать число
+1,топривсех
n > n0(ε) будет выполня ться неравенство (*); вадратными соб-
ами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано,
что 1 является пределом данной последовательности.
Доажите, что:
1.
= 1,5.
2.
=0.
3.
=
.
4.
= –6.
5.
=0.
6.
=1.
При решении неоторых задач на доазательство сходимос-
ти последовательности удобно пользоваться следующей еомет-
ричесой интерпретацией понятия предела последовательности.
Число a является пределом последовательнос ти (xn),
если для любоо положительноо числа ε существует таой
номер n = n0(ε), что все члены последовательности, начиная
с
, принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-
у(a–ε;a+ε).
Используя приведенную выше еометричесую интерпрета-
цию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:
7. Если последовательность сходится числу a, то она ора-
ничена (необходимое условие сходимости).
8. Известно, что
xn = a, a < q. Доажите, что почти все
члены последовательности (xn) (за ислюче нием, быть может,
онечноо числа членов) ме ньше q.
n1
+
n
--------------
n1
+
n
--------------
1
n
---
1
ε
---
no×
lim
3n2
–
2n
-----------------
no×
lim
1
n21
+
-----------------
no×
lim
5n3
–
6n2
+
------------------
5
6
---
no×
lim
6n1
–
0,5 n
–
-------------------
no×
lim
n1
+
n21
+
-----------------
no×
lim
n2
n2n
+
-----------------
xn0 1
+
no×
lim
178
Г л а в а 7. Последовательности
9. Известно, что
an=p,
bn = q, p − q. Существует
ли предел последовательности a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... ?
10. Используя результат упр. 9, доажите, что последова-
тельность xn = 1 +
не имеет предела.
11. Выясните, имеет ли предел последовательность
xn
= sin
12. Выясните, имеет ли предел последовательность
xn=
sin
13. Выясните, имеет ли предел последовательность:
а)xn=1+
;б)xn= 1+
sin
§ 37. Вычисление пределов
последовательностей
Свойства сходящихся последовательностей. Если две после-
довательности (xn) и (yn) сходятся
xnи
yn, то:
1) последовательность (xn ä yn) сходится, причем
(xnäyn)=
xnä
yn;(
1
)
2) последовательность (xnyn) сходится, причем
xnyn =
xn·
yn;(
2
)
3) последовательность
(если, роме тоо, y
n
−0и
yn − 0) сходится, причем
=
.
(3)
no×
lim
no×
lim
(–1)n
πn
2
-------
.
1
n
---
πn
2
-------
.
(–1)n
n
---------------
(–1)n
n
---------------
πn
2
-------
.
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
xn
yn
------
no×
lim
no×
lim
xn
yn
------
xn
no×
lim
yn
no×
lim
--------------------
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
179
Обычно при вычислении пределов последовательностей не-
посредственному применению формул (1) — (3) предшествуют
неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-
числении пределов вида
, де xn и yn — неораниченно
возрастающие последовательности, таим преобразованием яв-
ляется деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же
выражение.
Пример1.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Та а числитель и знаменатель представля-
ют собой неораниченные последовательности, то непосредст-
венно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числи-
тель и знаменатель на n и полученной дроби применим фор-
мулу (3):
=
.
Далее, используя формулу (1), получаем
=
.
Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а
= 0, оончательно получим
=–.
Ответ.– .
С помощью деления числителя и знаменателя дроби на
старшую степень n вычислите предел:
1.
2.
.
3.
.4.
.
no×
lim
xn
yn
------
no×
lim 5n 1+
79n
–------------------
no×
lim
51
n---+
7
n--- 9–
--------------
51
n---+
no×
lim
7
n--- 9–
no×
lim
-----------------------------------
51
n---+
no×
lim
7
n--- 9–
no×
lim
-----------------------------------
5
no×
lim
1
n---
no×
lim
+
7
n---
no×
lim
9
no×
lim
–
-------------------------------------------
no×
lim 1
n---
no×
lim 5n 1+
79n
–------------------ 5
9---
5
9---
no×
lim 3n2 7n
–1
+
25n
–6
n2
–
----------------------------------- .
no×
limn32n1–
+
3
n2+
------------------------------------
no×
limn1+
()
4n1
–
()
4
–
n1+
()
4n1
–
()
4
+
---------------------------------------------------
no×
lim n5 2+
4
n2 1+
3
–
n4 2+
5
n3 1+
+
---------------------------------------------------
178
Г л а в а 7. Последовательности
9. Известно, что
an=p, bn=q,p−q.Существует
ли предел последовательности a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... ?
10. Используя результат упр. 9, доажите, что последова-
тельность xn = 1 +
не имеет предела.
11. Выясните, имеет ли предел последовательность
xn=sin
12. Выясните, имеет ли предел последовательность
xn= sin
13. Выясните, имеет ли предел последовательность:
а)xn=1+ ; б)xn= 1+
sin
§ 37. Вычисление пределов
последовательностей
Свойства сходящихся последовательностей. Если две после-
довательности (xn) и (yn) сходятся
xnи yn,то:
1) последовательность (xn ä yn) сходится, причем
(xnäyn)=
xnä
yn;(
1
)
2) последовательность (xnyn) сходится, причем
xnyn= xn· yn;(
2
)
3) последовательность
(если, роме тоо, yn − 0 и
yn − 0) сходится, причем
=
.
(3)
no×
lim
no×
lim
(–1)n
πn
2------- .
1
n--- πn
2------- .
(–1)n
n
---------------
(–1)n
n
---------------
πn
2------- .
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim no×
lim
xn
yn
------
no×
lim
no×
lim
xn
yn
------
xn
no×
lim
yn
no×
lim
--------------------
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
179
Обычно при вычислении пределов последовательностей не-
посредственному применению формул (1) — (3) предшествуют
неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-
числении пределов вида
, де xn и yn — неораниче нно
возрастающие последовательности, таим преобразованием яв-
ляется деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же
выражение.
Пример1.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Та а числитель и знаменатель представля-
ют собой неораниченные последовательности, то непосредст-
венно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числи-
тель и знаме натель на n и получе нной дроби применим фор-
мулу (3):
=
.
Далее, используя формулу (1), получаем
=
.
Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а
= 0, оончательно получим
=–
.
Ответ.–
.
С помощью деления числителя и знаменателя дроби на
старшую степень n вычислите предел:
1.
2.
.
3.
.
4.
.
no×
lim
xn
yn
------
no×
lim
5n1
+
79n
–
------------------
no×
lim
5
1
n
---
+
7
n
---
9
–
--------------
5
1
n
---
+
no×
lim
7
n
---
9
–
no×
lim
----------------------------------
-
5
1
n
---
+
no×
lim
7
n
---
9
–
no×
lim
----------------------------------
-
5
no×
lim
1
n
---
no×
lim
+
7
n
---
no×
lim
9
no×
lim
–
-------------------------------------------
no×
lim
1
n
---
no×
lim
5n1
+
79n
–
------------------
5
9
---
5
9
---
no×
lim
3n
2
7n
–1
+
25n
–6
n
2
–
-----------------------------------
.
no×
lim
n32n1
–
+
3
n2
+
------------------------------------
no×
lim
n1
+
()
4n1
–
()
4
–
n1
+
()
4
n1
–
()
4
+
--------------------------------------------------
-
no×
lim
n52
+
4
n21
+
3
–
n42
+
5
n31
+
+
---------------------------------------------------
180
Г л а в а 7. Последовательности
При вычислении пределов выражений, содержащих поаза-
тельные фунции с натуральным арументом, используют сле-
дующее раве нство:
qn=0, если |q|<1.
(4)
Пример 2.Вычислитьпредел
Р е ше н и е. Разделим числитель и знаме натель дроби на
Далее, применяя формулу (4), получаем
=
=
=3.
Ответ.3.
Вычислите предел:
5.
6.
При вычислении пределов инода удобно пользоваться сле-
дующим свойством последовательностей: если члены двух по-
следовательностей (an) и (bn) связаны соотношением
|an| m |bn|,
то из равенства нулю предела последовательности (bn) сле-
дует равенство нулю предела последовательности (an).
Пример 3.Вычислитьпредел
.
Решение.Убедимсясначалавтом,чтопривсехnÝN
справедливо нераве нство
<.
Действительно, разделив на n числитель и знаме натель дроби,
записанной в левой части нераве нства, получим оче видное не-
равенство
<.
no×
lim
no×
lim
2n1
+
3n1
+
+
2n3
n
+
------------------------------------ .
3n1
+
.
no×
lim
2
3
---
n 1
+
1
+
1
3
---
2
3
---
n 1
3
---
+
---------------------------------
2
3
---
n 1
+
no×
lim
1
+
1
3
---
2
3
---
n
no×
lim
1
3
---
+
-----------------------------------------------
01
+
1
3
---
0⋅
1
3
---
+
----------------------
no×
lim
2n3
n
+
2n3
n
–
-------------------- .
no×
lim
3·2
n1
+
7·3
n
–1
+
2n1
+
5·3
n1
+
–6
+
------------------------------------------------------
-.
no×
lim
n
2n1
+
------------------
n
n
2n1
+
------------------
1
2
---
1
2
1
n
---
+
--------------
1
2
---
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
181
Далее, используя свойство степеней, залючаем, что при всех
n Ý N справедливо неравенство
<
.
Соласно формуле (4), имеем
= 0, поэтому из приве-
денноо выше свойства последовательности вытеает, что
=0.
Ответ.0.
Вычислите предел:
7.
. 8.
.
9.
При вычислении пределов, содержащих иррациональности,
часто используют перевод иррациональности из знаменателя
в числитель или наоборот.
Пример4.Вычислитьпредел
(
– n).
Р е ше н и е. Умножим и разделим выражение, находящее-
ся под знаом предела, на сопряженное выражение. Тода по-
лучим
=
=
=
.
Разделив числитель и знаменатель на n, находим
=
=1.
Ответ.1.
1
21
n---+
--------------
n
1
2---
n
no×
lim
1
2---
n
no×
lim
n
2n 1+
------------------
n
no×
lim
3n 1+
4n 5+
------------------
n
no×
lim
n21–
2n 1+
()
n2+
()
------------------------------------------
n
no×
lim nsinn!
n2 1+
------------------- .
no×
lim n2 2n
+
no×
lim n2 2n
+n–
()
n2 2n
+n
+
()
n2 2n
+n
+
-----------------------------------------------------------------------------------
no×
lim n2 2nn2
–
+
n2 2n
+n
+
------------------------------------
no×
lim
2n
n2 2n
+n
+
------------------------------------
no×
lim 2n
n2 2n
+n
+
------------------------------------
no×
lim 2
12
n---+1
+
-----------------------------
180
Г л а в а 7. Последовательности
При вычислении пределов выражений, содержащих поаза-
тельные фунции с натуральным арументом, используют сле-
дующее равенство:
qn=0, если |q|<1.
(4)
Пример2.Вычислитьпредел
Р е ше н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на
Далее, применяя формулу (4), получаем
=
=
=3.
Ответ.3.
Вычислите предел:
5.
6.
При вычислении пределов инода удобно пользоваться сле-
дующим свойством последовательностей: если члены двух по-
следовательностей (an) и (bn) связаны соотношением
|an| m |bn|,
то из равенства нулю предела последовательности (bn) сле-
дует равенство нулю предела последовательности (an).
Пример3.Вычислитьпредел
.
Решение. Убедимсясначалавтом,чтопривсехnÝN
справедливо неравенство
<.
Действительно, разделив на n числитель и знаменатель дроби,
записанной в левой части неравенства, получим очевидное не-
равенство
<.
no×
lim
no×
lim2n1+ 3n1
+
+
2n 3n
+
------------------------------------ .
3n1+.
no×
lim
2
3---
n 1+
1+
1
3--- 2
3---
n 1
3---+
---------------------------------
2
3---
n 1+
no×
lim
1+
1
3---
2
3---
n
no×
lim
1
3---
+
----------------------------------------------- 01
+
1
3--- 0⋅ 1
3---+
----------------------
no×
lim 2n 3n
+
2n 3n
–
-------------------- .
no×
lim 3·2n 1+ 7·3n
–1
+
2n1+5·3n1
+
–6
+
------------------------------------------------------- .
no×
lim
n
2n 1+
------------------
n
n
2n 1+
------------------ 1
2---
1
21
n---+
-------------- 1
2---
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
181
Далее, используя свойство степеней, залючаем, что при всех
n Ý N справедливо неравенство
<
.
Соласно формуле (4), имеем
= 0, поэтому из приве-
денноо выше свойства последовательности вытеает, что
=0.
Ответ.0.
Вычислите предел:
7.
.
8.
.
9.
При вычислении пределов, содержащих иррациональности,
час то ис пользуют перевод иррациональнос ти из знаменателя
в числитель или наоборот.
Пример4.Вычислитьпредел
(
–
n).
Р е ше н и е. Умножим и разделим выражение, находящее-
ся под знаом предела, на сопряженное выражение. Тода по-
лучим
=
=
=
.
Разделив числитель и знаменатель на n, находим
=
=1.
Ответ.1.
1
2
1
n
---
+
--------------
n
1
2
---
n
no×
lim
1
2
---
n
no×
lim
n
2n1
+
------------------
n
no×
lim
3n 1
+
4n5
+
------------------
n
no×
lim
n21
–
2n1
+
()
n2
+
()
------------------------------------------
n
no×
lim
nsinn!
n
2
1
+
------------------- .
no×
lim
n2 2n
+
no×
lim
n2 2n
+
n
–
()
n2 2n
+
n
+
()
n2 2n
+
n
+
----------------------------------------------------------------------------------
-
no×
lim
n2 2nn
2
–
+
n2 2n
+
n
+
------------------------------------
no×
lim
2n
n2 2n
+
n
+
------------------------------------
no×
lim
2n
n2 2n
+
n
+
------------------------------------
no×
lim
2
1
2
n
---
+1
+
-----------------------------
182
Г л а в а 7. Последовательности
Вычислите предел:
10.
(–
)
.
11.
(–
n).
12.
n(–
n). 13.
(n+
).
Чтобы установить сходимость монотонной последователь-
ности, можно использовать следующее утверждение: еcли после -
довательность монотонно возрастает (убывает), то для ее
сходимости достаточно, чтобы она была о раничена свер-
ху (снизу).
В том случае, ода известно, что предел последовательнос-
ти существует, для ео вычисления в ряде случаев удобно ис-
пользовать формулу
xn=
xn+1.(
5
)
Убедиться в существовании предела последовательности, а
инода и найти ео можно, используя следующее утверждение:
если для трех последовательностей, начиная с не оторо о N
справедливо неравенство
anmb
n
mcn
и
an=
cn, то
bn существует, причем
bn=
an.
(6)
П р и м е р 5. Найти предел последовательности xn = qn, если
|q|<1.
Р е ше н и е. Представим последовательность в реуррент-
ном виде:
xn+1=qxn.
Таа|q|<1,то|xn+1|<|xn|прилюбомnÝN,т.е.последо-
вательность ( |xn |) монотонно убывает. Далее, посольу |xn | l 0
при любом n Ý N, последовательность (| xn | ) ораниче на снизу.
Значит , последовательност ь ( |xn |) сходится. Пусть
|xn| = y.
Тода для вычисления y соласно формуле (5) получаем урав-
нение
y = |q|y.(
*
)
Но |q | < 1, поэтому уравнение (*) имеет единственный орень
y=0.
no×
lim
n2
+
n
no×
lim
n2 5n
–6
+
no×
lim
n21
+
no×
lim
1n3
–
3
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
183
Аналоично доазывается, что
(–|xn|) = 0. Учитывая,
что неравенство –|xn| m xn m |xn| справедливо при всех n Ý N,
получаем
xn=0.
14. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = ,
определяется реуррентным соотношением
xn+1=
.
Найдите предел (xn).
15. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = 1, оп-
ределяется реуррентным соотношением
xn+1= +(1–2a)xn+a2.
Найдите предел (xn).
16. Последовательность задана реуррентным соотношением
xn+1=
+xn ,
де x1 > 0, a > 0. Найдите предел (xn).
17. Доажите, что последовательность, первый член ото-
рой x1 = , а аждый следующий удовлетворяет реуррентно-
му соотношению
xn= +
,
возрастает и ораничена сверху. Найдите ее предел.
18. Найдите предел последовательности, у оторой
x1=,xn=–
.
19. Последовательность определяется реуррентным соот-
ношением
xn–1= 2xn+ ,
деa>0иx>0.Доажите,что xn= .
no×
lim
no×
lim
2
2xn
+
xn
2
1
2---
a
xn
------
a
2---
a
2--- xn
21
–
2
----------------
a
2---
a
2--- xn
21
–
2
----------------
1
3---
a
xn
2------
no×
lim
a3
182
Г л а в а 7. Последовательности
Вычислите предел:
10.
(–)
.11.
(–
n).
12.
n(–
n). 13.
(n+
).
Чтобы установить сходимость монотонной последователь-
ности, можно использовать следующее утверждение: еcли после-
довательность монотонно возрастает (убывает), то для ее
сходимости достаточно, чтобы она была о раничена свер-
ху (снизу).
В том случае, ода известно, что предел последовательнос-
ти существует, для ео вычисления в ряде случаев удобно ис-
пользовать формулу
xn=
xn+1.(
5
)
Убедиться в существовании предела последовательности, а
инода и найти ео можно, используя следующее утверждение:
если для трех последовательностей, начиная с не оторо о N
справедливо неравенство
anmbnmcn
и
an=
cn, то
bn существует, причем
bn= an.
(6)
П р и м е р 5. Найти предел последовательности xn = qn, если
|q|<1.
Р е ше н и е. Представим последовательность в реуррент-
ном виде:
xn+1=qxn.
Таа|q|<1,то|xn+1|<|xn|прилюбомnÝN,т.е.последо-
вательность (|xn|) монотонно убывает. Далее, посольу |xn| l 0
при любом n Ý N, последовательность (|xn| ) ораничена снизу.
Значит, последовательность (|xn|) сходится. Пусть
|xn| = y.
Тода для вычисления y соласно формуле (5) получаем урав-
нение
y = |q|y.(
*
)
Но |q | < 1, поэтому уравнение (*) имеет единственный орень
y=0.
no×
limn2
+
n
no×
lim n2 5n
–6
+
no×
lim n21
+
no×
lim
1n3
–
3
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
no×
lim
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
183
Аналоично доазывается, что
(–|xn|) = 0. Учитывая,
что неравенство –| xn | m xn m |xn | справедливо при всех n Ý N,
получаем
xn
=0.
14. Последовательность (xn), первый член оторой x1 =
,
определяется реуррентным соотношение м
xn+1=
.
Найдите предел (xn).
15. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = 1, оп-
ределяется реуррентным соотношением
xn+1=
+(1–2a)xn+a2.
Найдите предел (xn).
16. Последовательность задана реуррентным соотношением
xn+1=
+xn ,
де x1 > 0, a > 0. Найдите предел (xn).
17. Доажите, что последовательность, первый член ото-
ройx1=
, а аждый следующий удовлетворяет реуррентно-
му соотношению
xn=
+
,
возрастае т и ораничена сверху. Найдите ее предел.
18. Найдите предел последовательности, у оторой
x1=
,
xn=
–
.
19. Последовательность определяется реуррентным соот-
ношением
xn–1
=
2xn +
,
деa>0иx>0.Доажите,что
xn=
.
no×
lim
no×
lim
2
2xn
+
xn
2
1
2
---
a
xn
------
a
2
---
a
2
---
xn
2
1
–
2
----------------
a
2
---
a
2
---
xn
2
1
–
2
----------------
1
3
---
a
xn
2
------
no×
lim
a
3
184
Г л а в а 7. Последовательности
20. Последовательность определяется реуррентным соот-
ношением
xn+1=
,
деa>0иx>0.Доажите,что
xn=
.
§ 38. Арифметическая прогрессия
Последовательность, у оторой задан первый член a1, а аж-
дый следующий член, начиная со второо, равен предыдуще-
му, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифме-
тичесой прорессией. Таим образом,
an+1=an+d, nÝN,(
1
)
де an
—
n-й член прорессии, d—разность прорессии. Фор-
мула общео члена арифметичесой прорессии имеет вид
an=a1+d(n–1).
(2)
Сумма n членов арифметичесой прорессии вычисляется по
формулам
Sn=
n,
(3)
Sn=
n.(
4
)
Свойство членов арифметичесой прорессии. Любой член
арифметичес ой про рессии ( роме перво о) равен полусумме
равноотстоящих от не о членов:
an=
,
k<n.(
5
)
Если k = 1, то формула (4) примет вид
an=
.
(6)
Арифметичесая прорессия полностью определена, если
известны ее первый член a1 и разность d.
xn xn
2
2a
+
()
2xn
3
a
+
---------------------------------
no×
lim
a
3
a1 an
+
2
-------------------
2a1 dn1
–
()
+
2
----------------------------------------
ank
–
ank
+
+
2
-----------------------------------
an1
–
an1
+
+
2
-----------------------------------
§ 38. Арифметическая прогрессия
185
П р и м е р 1. При делении 9-о члена арифметичесой про-
рессии на ее второй член в частном получается 5, а при де-
лении 13-о члена этой прорессии на ее 6-й член в частном по-
лучается 2 и в остате 5. Найти первый член и разность про-
рессии.
Р е ше н и е. Условие задачи можно записать в виде сле-
дующей системы уравнений:
Используя формулу общео члена арифметичесой прорессии,
приходим системе
оторая содержит тольо два неизвестных: a1 и d. После упро-
щений получаем систему
решением оторой являются a1 = 3, d = 4.
Ответ.a1=3,d=4.
1. Сумма первоо и пятоо членов арифметичесой прорес-
сии равна , а произведение третьео и четвертоо ее членов
равно . Найдите сумму 17 первых членов прорессии.
2. Найдите арифметичесую прорессию, если известно, что
a1+a3+a5=–12,a1a2a5=80.
3. Сумма трех чисел, являющихся последовательными чле-
нами арифметичесой прорессии, равна 2, а сумма вадратов
этих чисел равна . Найдите эти числа.
4. В арифметичесой прорессии дано: ap = q и aq = p; най-
дите формулу общео члена прорессии an (p − q).
5. Поажите, что если для положительных чисел a, b, c чис-
ла a2, b2, c2 являются последовательными членами арифмети-
a9=a2·5,
a13=2a6+5.
a1+8d=5(a1+d),
a1+12d=2(a1+5d)+5,
4a1 = 3d,
a1–2d+5=0,
5
3---
65
72------
14
9------
184
Г л а в а 7. Последовательности
20. Последовательность определяется реуррентным соот-
ношением
xn+1=
,
деa>0иx>0.Доажите,что xn= .
§ 38. Арифметическая прогрессия
Последовательность, у оторой задан первый член a1, а аж-
дый следующий член, начиная со второо, равен предыдуще-
му, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифме-
тичесой прорессией. Таим образом,
an+1=an+d, nÝN,(
1
)
де an — n-й член прорессии, d—разность прорессии. Фор-
мула общео члена арифметичесой прорессии имеет вид
an=a1+d(n–1).
(2)
Сумма n членов арифметичесой прорессии вычисляется по
формулам
Sn=
n,
(3)
Sn=
n.(
4
)
Свойство членов арифметичесой прорессии. Любой член
арифметичес ой про рессии ( роме перво о) равен полусумме
равноотстоящих от не о членов:
an=
, k<n.(
5
)
Если k = 1, то формула (4) примет вид
an=
.
(6)
Арифметичесая прорессия полностью определена, если
известны ее первый член a1 и разность d.
xn xn
22a
+
()
2xn
3a
+
---------------------------------
no×
lim
a3
a1 an
+
2
-------------------
2a1 dn 1–
()
+
2
----------------------------------------
ank
– ank
+
+
2
-----------------------------------
an1– an1+
+
2
-----------------------------------
§ 38. Арифметическая прогрессия
185
П р и м е р 1. При делении 9-о члена арифметичесой про-
рессии на ее второй член в частном получается 5, а при де-
лении 13-о члена этой прорессии на ее 6-й член в частном по-
лучается 2 и в остате 5. Найти первый член и разность про-
рессии.
Р е ше н и е. Условие задачи можно записать в виде сле-
дующей систе мы уравнений:
Используя формулу общео члена арифметичесой прорессии,
приходим системе
оторая содержит тольо два неизвестных: a1 и d. После упро-
щений получаем систему
решением оторой являются a1 = 3, d = 4.
Ответ.a1=3,d =4.
1. Сумма первоо и пятоо членов арифметичесой прорес-
сии равна , а произведение третьео и четвертоо ее членов
равно
. Найдите сумму 17 первых членов прорессии.
2. Найдите арифметичесую прорессию, если известно, что
a1+a3+a5= –12,a1a2a5=80.
3. Сумма трех чисел, являющихся последова тельными чле-
нами арифметичесой прорессии, равна 2, а сумма вадратов
этих чисел равна
. Найдите эти числа.
4. В арифметичесой прорессии дано: ap = q и aq = p; най-
дите формулу общео члена прорессии an (p − q).
5. Поажите , что если для положительных чисел a, b, c чис-
ла a2, b2, c2 являются последовательными членами арифмети-
a9=a2·5,
a13=2a6+5.
a1+8d=5(a1+d),
a1+12d=2(a1+5d)+5,
4a1 = 3d,
a1–2d+5=0,
5
3
---
65
72
------
14
9
------
186
Г л а в а 7. Последовательности
чесой прорессии, то числа
,
,
таже являются
последовательными членами арифметичесой прорессии.
6. Сумма и разность членов арифметичесой прорессии по-
ложительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первоо
члена, то сумма исходной прорессии увеличится в 3 раза.
Если же разность исходной прорессии увеличить в 4 раза, то
сумма прорессии увеличится в 5 раз. Определите разность ис-
ходной прорессии.
7. Найдите число членов арифметичесой прорессии, у о-
торой отношение суммы первых 13 членов сумме последних
13 равно , а отношение суммы всех членов без первых трех
сумме всех членов без последних трех равно .
При решении задач, в оторых используется понятие суммы
членов арифметичесой прорессии, удобно применять следую-
щую формулу:
an+1=Sn+1–Sn.(
7
)
П р и м е р 2. Известно, что при любом n сумма членов не-
оторой прорессии выражается формулой Sn = 4n2 – 3n. Най-
ти общий член прорессии.
Р е ше н и е. Используя формулу (7), имеем
an+1=Sn+1–Sn=4(n+1)2–3(n+1)–(4n2–3n)=8n+1,
an
= 8(n–1)+1=8n–7.
Ответ. a
n
=8n–7.
8. Известно, что при любом n сумма членов неоторой по-
следовательности выражается формулой Sn = 2n2 + 3n. Найди-
те десятый член этой последовательности и доажите, что она
является арифметичесой прорессией.
9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем
свойством, что разности соседних членов (последующео и пре-
дыдущео) образуют арифметичесую прорессию 3, 6, 9, ... .
Найдите номер члена последовательности, равноо 15 454.
П р и м е р 3. Найти сумму всех четных двузначных чисел.
Р е ше н и е. Первое четное двузначное число равно 10, а
последнее равно 98. Используя формулу общео члена арифме-
1
bc
+
------------
-
1
ac
+
-------------
1
ab
+
-------------
1
2
---
4
3
---
§ 38. Арифметическая прогрессия
187
тичесой прорессии при d = 2, a1 = 10, an = 98, получаем
n=1+
= 45.
Подставляя это значение n в формулу (3), находим
Sn=
·45=54·45=2430.
Ответ. 2430.
10.Решитеуравнение2+5+8+11+...+x=155.
11. За изотовление и установу первоо железобетонноо
ольца было уплачено 1000 р., а за аждое следующее ольцо
платили на 200 р. больше, чем за предыдущее. Кроме тоо, по
оончании работы было уплачено еще 4000 р. Средняя стои-
мость изотовления и установи одноо ольца оазалась рав-
ной 2244 р. Сольо олец было установлено?
12. Решите уравнение
+
+...+ =3.
13. В арифметичесой прорессии сумма m первых ее членов
равна сумме n первых ее членов (m − n). Доажите, что сумма
ее первых m + n членов равна нулю.
14. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, деля-
щихся на 3.
15. Найдите таую арифметичесую прорессию, в оторой
отношение суммы n первых членов сумме n членов, следую-
щих за ними, не зависит от n.
16.Найдитесумму502–492+482–472+...+22–1.
17. Найдите сумму первых 19 членов арифметичесой про-
рессии a1, a2, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224.
18. Найдите a1 + a6 + a11 + a16, если известно, что a1,
a2, ... — арифметичесая прорессия и a1 + a4 + a7 + ...
... + a16 =147.
19. Найдите последовательность, в оторой сумма любоо чис-
ла членов, начиная с первоо, в 4 раза больше вадрата числа
членов.
20. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n чле-
нов арифметичесой прорессии, то S3n = 3(S2n – Sn).
21. Известно, что для неоторой арифметичесой прорессии
и для неоторой пары натуральных чисел m и n имеет место
равенство = . Доажите, что =
.
98 10
–
2
--------------------
98 10
+
2
---------------------
4
9---
x1–
x------------- x 2–
x-------------
1
x---
Sm
Sn
-------- m2
n2--------
am
an
------- 2m 1–
2n 1–
-------------------
186
Г л а в а 7. Последовательности
чесой прорессии, то числа , ,
таже являются
последовательными членами арифметичесой прорессии.
6. Сумма и разность членов арифметичесой прорессии по-
ложительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первоо
члена, то сумма исходной прорессии увеличится в 3 раза.
Если же разность исходной прорессии увеличить в 4 раза, то
сумма прорессии увеличится в 5 раз. Определите разность ис-
ходной прорессии.
7. Найдите число членов арифметичесой прорессии, у о-
торой отношение суммы первых 13 членов сумме последних
13 равно , а отношение суммы всех членов без первых трех
сумме всех членов без последних трех равно .
При решении задач, в оторых используется понятие суммы
членов арифметичесой прорессии, удобно применять следую-
щую формулу:
an+1=Sn+1–Sn.(
7
)
П р и м е р 2. Известно, что при любом n сумма членов не-
оторой прорессии выражается формулой Sn = 4n2 – 3n. Най-
ти общий член прорессии.
Р е ше н и е. Используя формулу (7), имеем
an+1=Sn+1–Sn=4(n+1)2–3(n+1)–(4n2–3n)=8n+1,
an=8(n–1)+1=8n–7.
Ответ.an=8n–7.
8. Известно, что при любом n сумма членов неоторой по-
следовательности выражается формулой Sn = 2n2 + 3n. Найди-
те десятый член этой последовательности и доажите, что она
является арифметичесой прорессией.
9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем
свойством, что разности соседних членов (последующео и пре-
дыдущео) образуют арифметичесую прорессию 3, 6, 9, ... .
Найдите номер члена последовательности, равноо 15 454.
П р и м е р 3. Найти сумму всех четных двузначных чисел.
Р е ше н и е. Первое четное двузначное число равно 10, а
последнее равно 98. Используя формулу общео члена арифме-
1
bc
+------------- 1
ac
+
------------- 1
ab
+-------------
1
2---
4
3---
§ 38. Арифметическая прогрессия
187
тичесой прорессии при d = 2, a1 = 10, an = 98, получаем
n=1+
= 45.
Подставляя это значение n в формулу (3), находим
Sn=
· 45 =54 ·45 =2430.
Ответ. 2430.
10.Решитеуравнение2+5+8+11+...+x=155.
11. За изотовление и установу первоо железобетонноо
ольца было уплачено 1000 р., а за аждое следующее ольцо
платили на 200 р. больше, чем за предыдущее. Кроме тоо, по
оончании работы было уплачено еще 4000 р. Средняя стои-
мость изотовления и установи одноо ольца оазалась рав-
ной 2244 р. Сольо олец было установлено?
12. Решите уравнение
+
+...+
=3.
13. В арифметичесой прорессии сумма m первых ее членов
равна сумме n первых ее членов (m − n). Доажите, что сумма
ее первых m + n членов равна нулю.
14. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, деля-
щихся на 3.
15. Найдите таую арифметичесую прорессию, в оторой
отношение суммы n первых членов сумме n членов, следую-
щих за ними, не зависит от n.
16.Найдитесумму502–492+482–472+...+22–1.
17. Найдите сумму первых 19 членов арифметичесой про-
рессии a1, a2, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224.
18. Найдите a1 + a6 + a11 + a16, если известно, что a1,
a2, ... —
арифметичесая прорессия и a1 + a4 + a7 + ...
... + a16 =147.
19. Найдите последовательность, в оторой сумма любоо чис-
ла членов, начиная с первоо, в 4 раза больше вадрата числа
членов.
20. Доажите, что если Sn
, S2n
, S3n
—
суммы n, 2n, 3n чле-
нов арифметичесой прорессии, то S3n = 3(S2n – Sn).
21. Известно, что для неоторой арифметичесой прорессии
и для неоторой пары натуральных чисел m и n имеет место
равенство
=
. Доажите, что
=
.
98 10
–
2
--------------------
98 10
+
2
---------------------
4
9
---
x1
–
x
-------------
x2
–
x
-------------
1
x
---
Sm
Sn
--------
m2
n2
--------
am
an
-- - ----
2m1
–
2n1
–
-------------------
188
Г л а в а 7. Последовательности
22. При аих значениях параметра a найдутся таие значе-
ния x, что числа
,
являются тремя
последовательными членами арифметичесой прорессии?
23. При аом значении x числа lg 2, lg
lg
являются тремя последовательными членами арифметичесой
прорессии?
24. Доажите, что если u1, u2, u3 (u1 − u2) — члены (не обя-
зательно последовательные) арифме тичесой прорессии, то
существует таое рациональное число λ, что
=λ.
25. Доажите, что числа
,
,
не моут быть членами
(не обязательно соседними) арифметичесой прорессии.
26. Моут ли числа 2; ; 4,5 быть членами арифметичесой
прорессии?
27. Длины сторон четырехуольниа образуют арифметиче -
сую прорессию. Можно ли вписать в нео оружность?
28. Пусть Sn
—
сумма n членов неоторой последователь-
ности и известно, что
=
. Доажите , что для членов этой
последовательности справедливо отношение
=
.
§ 39. Геометрическая прогрессия
Последовательность, у оторой задан первый член b1 − 0, а
аждый следующий, начиная со второо, получается умноже-
нием предыдущео на одно и то же число q − 0, называют ео-
метричесой прорессией. Таим образом,
bn=bn–1q,(
1
)
де bn — n-й член прорессии, q— знаменатель прорессии.
Формула общео члена еометричесой прорессии имеет вид
bn=
(2)
51x
+
51x
–
,
+
a
2
---
25x 25
x
–
+
(2x 1),
–(
2
x
3)
+
u3 u2
–
u2 u1
–
-------------------
235
6
Sn
Sm
--------
n2
m2
--------
an
am
-------
2n1
–
2m1
–
-------------------
b1q
n1
–
.
§ 39. Геометрическая прогрессия
189
Сумма n членов еометричесой прорессии вычисляется по
формуле
Sn=
(3)
Если | q | < 1, то еометричесую прорессию называют бесо-
нечно бывающей. Предел суммы ее членов, т. е. S = Sn,
называют сммой бесонечно бывающей еометричесой
прорессии. Он вычисляется по формуле
S=.
(4)
Свойство членов еометричесой прорессии. Квадрат лю-
бо о ( роме перво о) члена еометричес ой про рессии равен
произведению равноотстоящих от не о членов:
=bn–kbn+k,kmn, kÝN.(
5
)
Геометричесая прорессия полностью определена, если из-
вестны ее первый член b1 и знаменатель q.
П р и м е р 1. Найти четыре последовательных члена ео-
метричесой прорессии, из оторых второй член меньше пер-
воо на 35, а третий больше четвертоо на 560.
Решение. Пусть b1, b2, b3, b4 — четыре последователь-
ных члена еометричесой прорессии. Условие задачи можно
записать в виде следующей системы уравнений:
Используя формулу общео члена еометричесой прорессии,
перепишем эту систему в виде
(*)
Подставляя выражение b1(1 – q) во второе уравнение системы (*),
получаем для q уравнение q2 = 16, орни отороо равны 4 и (–4).
Теперь из первоо уравнения системы (*) по известным
значениям q = 4 и q = –4 находим соответствующие значения
b1=– ,b1=7.
Ответ. – ,– ,–
,–
; (7, –28, 112, –448).
b1(1 qn)
–
1q–
--------------------------- .
no×
lim
b1
1 q–-------------
bn
2
b1–35=b2,
b3–560=b4.
b1–b1q=35,
b1q2 – b1q3 = 560.
35
3------
35
3------ 35 4⋅
3
-------------- 35 16
⋅
3
------------------ 35 64
⋅
3
------------------
188
Г л а в а 7. Последовательности
22. При аих значениях параметра a найдутся таие значе-
ния x, что числа
,
являются тремя
последовательными членами арифметичесой прорессии?
23. При аом значении x числа lg 2, lg
lg
являются тремя последовательными членами арифметичесой
прорессии?
24. Доажите, что если u1, u2, u3 (u1 − u2) — члены (не обя-
зательно последовательные) арифметичесой прорессии, то
существует таое рациональное число λ, что
=λ.
25. Доажите, что числа , ,
не моут быть членами
(не обязательно соседними) арифметичесой прорессии.
26. Моут ли числа 2; ; 4,5 быть членами арифметичесой
прорессии?
27. Длины сторон четырехуольниа образуют арифметиче-
сую прорессию. Можно ли вписать в нео оружность?
28. Пусть Sn — сумма n членов неоторой последователь-
ности и известно, что = . Доажите, что для членов этой
последовательности справедливо отношение
=
.
§ 39. Геометрическая прогрессия
Последовательность, у оторой задан первый член b1 − 0, а
аждый следующий, начиная со второо, получается умноже-
нием предыдущео на одно и то же число q − 0, называют ео-
метричесой прорессией. Таим образом,
bn=bn–1q,(
1
)
де bn — n-й член прорессии, q—знаменатель прорессии.
Формула общео члена еометричесой прорессии имеет вид
bn=
(2)
51x+ 51x–,
+
a
2--- 25x 25 x–
+
(2x 1),
–(
2
x3)
+
u3 u2
–
u2 u1
–
-------------------
235
6
Sn
Sm
-------- n2
m2--------
an
am
------- 2n 1–
2m 1–
-------------------
b1qn 1– .
§ 39. Геометрическая прогрессия
189
Сумма n членов еометричесой прорессии вычисляется по
формуле
Sn=
(3)
Если | q | < 1, то еометричесую прорессию называют бесо-
нечно бывающей. Предел суммы ее членов, т. е . S =
Sn,
называют сммой бесонечно бывающей еометричесой
прорессии. Он вычисляется по формуле
S=
.
(4)
Свойство членов еометричесой прорессии. Квадрат лю-
бо о ( роме перво о) члена еометричес ой про рессии равен
произведению равноотстоящих от не о членов:
=b
n–kbn+k,kmn, kÝN.(
5
)
Геометричесая прорессия полностью определена, если из-
вестны ее первый член b1 и знаменатель q.
П р и м е р 1. Найти четыре последовательных члена ео-
метричесой прорессии, из оторых второй член меньше пер-
воо на 35, а третий больше четвертоо на 560.
Решение. Пусть b1, b2, b3, b4 — четыре последователь-
ных члена еометричесой прорессии. Условие задачи можно
записать в виде следующей системы уравнений:
Используя формулу общео члена еоме тричесой прорессии,
перепишем эту систему в виде
(*)
Подставляя выражение b1(1 – q) во второе уравнение системы (*),
получаем для q уравнение q2 = 16, орни отороо равны 4 и (–4).
Теперь из первоо уравнения систе мы (*) по известным
значениям q = 4 и q = – 4 находим соотве тствующие значения
b1 =–
,b1=7.
Ответ.
–
,–
,–
,–
; (7, –28, 112, –448).
b1(1 qn)
–
1q
–
---------------------------
.
no×
lim
b1
1q
–
-------------
bn
2
b1–35 =b2,
b3–560 =b4.
b1–b1q=35,
b1q2 – b1q3 = 560.
35
3
------
35
3
------
35 4⋅
3
--------------
35 16
⋅
3
------------------
35 64
⋅
3
------------------
190
Г л а в а 7. Последовательности
11. Доажите, что для любоо четноо числа членов еомет-
ричесой прорессии Sнеч — сумма членов, стоящих на нечет-
ных местах, и Sчет — сумма членов, стоящих на четных мес-
тах, связаны равенством qSнеч = Sчет.
12. Найдите первый и пятый члены еометричесой про-
рессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма
шести первых членов равно 1820.
13. Найдите четыре последовательных члена возрастающей
еометричесой прорессии, если известно, что сумма райних
членов равна (–49), а сумма средних членов равна 14.
14. В еометричесой прорессии с положительными члена-
ми известно, что S2 = 4, S3 = 13. Найдите S4.
15. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии
равна 13, а их произведение равно 27. Найдите эти числа.
16. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии
равна 13, а сумма вадратов тех же чисел равна 91. Найдите
эти числа.
17. Определите три числа, являющиеся тремя последова-
тельными членами еометричесой прорессии, если их сумма
равна 21, а сумма обратных величин равна
.
18. Сумма четырех первых членов еометричесой прорес-
сии равна 30, а сумма их вадратов равна 340. Найдите данные
числа.
19. Произведение трех первых членов еометричесой про-
рессии равно 64, а сумма убов этих членов равна 584. Найди-
те прорессию.
10. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии
равна 31, а сумма первоо и третьео членов равна 26. Найдите
прорессию.
11. Число членов еометричесой прорессии четно. Сумма
в сех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на не-
четных местах. Определите знаменатель прорессии.
12. Дана еоме тричесая прорессия с положительными
членами. Выразите произведение n первых ее членов через их
сумму Sn и через
—
сумму обратных величин этих членов.
13. Сумма любых пяти последовательных членов возрас-
тающей еометричесой прорессии в 19 раз больше третьео
из них. Найдите эту прорессию, если известно, что е е m-й член
равен единице.
7
12
------
Sn
′
§ 39. Геометрическая прогрессия
191
14. Вычислите сумму вадратов n членов еометричесой
прорессии, у оторой первый член равен u1 и знаменатель q − 1.
15. Доажите, что отношение суммы вадратов нечетноо
числа членов еометричесой прорессии сумме первых сте-
пеней тех же членов является неоторым мноочленом относи-
тельно q (q—знаменатель прорессии).
16. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n пер-
вых членов еометричесой прорессии, то
Sn(S3n – S2n) =
Найдите сумму:
17. x+
+ x2+
+...+ xn+ , x−ä1.
18.Sn= + + + +...+
19.Sn=x+2x2+3x3+...+nxn, x−1.
20. Найдите число членов еометричесой прорессии, у о-
торой отношение суммы последних 14 членов сумме первых
14 членов равно 9, а отношение суммы всех членов без пер-
вых семи сумме всех членов без последних семи равно 3.
П р и м е р 2. Найти отличный от нуля знаменатель бесо-
нечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой аж-
дый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов.
(Считается, что b1 − 0.)
Р е ше н и е. Составим уравнение, связывающее n-й член
прорессии с суммой ее членов, начиная с (n + 1)-о:
bn=4 .
Выразив bn и bn + 1 через b1 и q, получаем уравнение
b1qn–1=4 ,
оторое после деления обеих ео частей на b1qn – 1 примет вид
1 = . Ео орнем является q = 0,2.
Ответ. q = 0,2.
(S2n Sn)2.
–
1
x---
2
1
x2------
2
1
xn------
2
1
20------ 2
21------ 3
22------ 4
23------
n
2n 1–
---------------- .
bn 1+
1 q–--------------
b1qn
1 q–-------------
4q
1 q–-------------
190
Г л а в а 7. Последовательности
11. Доажите, что для любоо четноо числа членов еомет-
ричесой прорессии Sнеч — сумма членов, стоящих на нечет-
ных местах, и Sчет — сумма членов, стоящих на четных мес-
тах, связаны равенством qSнеч = Sчет.
12. Найдите первый и пятый члены еометричесой про-
рессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма
шести первых членов равно 1820.
13. Найдите четыре последовательных члена возрастающей
еометричесой прорессии, если известно, что сумма райних
членов равна (–49), а сумма средних членов равна 14.
14. В еометричесой прорессии с положительными члена-
ми известно, что S2 = 4, S3 = 13. Найдите S4.
15. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии
равна 13, а их произведение равно 27. Найдите эти числа.
16. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии
равна 13, а сумма вадратов тех же чисел равна 91. Найдите
эти числа.
17. Определите три числа, являющиеся тремя последова-
тельными членами еометричесой прорессии, если их сумма
равна 21, а сумма обратных величин равна .
18. Сумма четырех первых членов еометричесой прорес-
сии равна 30, а сумма их вадратов равна 340. Найдите данные
числа.
19. Произведение трех первых членов еометричесой про-
рессии равно 64, а сумма убов этих членов равна 584. Найди-
те прорессию.
10. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии
равна 31, а сумма первоо и третьео членов равна 26. Найдите
прорессию.
11. Число членов еометричесой прорессии четно. Сумма
всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на не-
четных местах. Определите знаменатель прорессии.
12. Дана еометричесая прорессия с положительными
членами. Выразите произведение n первых ее членов через их
сумму Sn и через — сумму обратных величин этих членов.
13. Сумма любых пяти последовательных членов возрас-
тающей еометричесой прорессии в 19 раз больше третьео
из них. Найдите эту прорессию, если известно, что ее m-й член
равен единице.
7
12------
Sn′
§ 39. Геометрическая прогрессия
191
14. Вычислите сумму вадратов n членов еометричесой
прорессии, у оторой первый член равен u1 и знаменатель q − 1.
15. Доажите, что отношение суммы вадратов не четноо
числа членов еометричесой прорессии сумме первых сте-
пеней тех же членов является неоторым мноочленом относи-
тельно q (q—знаменатель прорессии).
16. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n пер-
вых членов еометричесой прорессии, то
Sn(S3n
–
S2n) =
Найдите сумму:
17. x+
+ x2+
+...+ xn+
,
x−ä1.
18.Sn=
+
+
+
+...+
19.Sn=x+2x2+3x3+...+nxn
,
x−1.
20. Найдите число членов еометричесой прорессии, у о-
торой отношение суммы последних 14 членов сумме первых
14 членов равно 9, а от ношение суммы всех членов без пер-
вых се ми сумме всех членов без последних семи равно 3.
П р и м е р 2. Найти отличный от нуля знаменатель бесо-
нечно убывающей еоме тричесой прорессии, у оторой аж-
дый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов.
(Считается, что b1 − 0.)
Р е ше н и е. Составим уравнение , связывающее n-й член
прорессии с суммой ее членов, начиная с (n + 1)-о:
bn=4
.
Выразив bn и bn + 1 через b1 и q, получаем уравнение
b1qn–1
=4
,
оторое после деления обеих ео час тей на b1qn – 1 примет вид
1=
. Ео орнем является q = 0,2.
Ответ. q = 0,2.
(S2n S
n
)2
.
–
1
x
---
2
1
x2
------
2
1
xn
------
2
1
20
------
2
21
------
3
22
------
4
23
------
n
2n1
–
----------------
.
bn1
+
1q
–
-------------
-
b1qn
1q
–
-------------
4q
1q
–
-------------
192
Г л а в а 7. Последовательности
21. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-
сии равна 16, а сумма вадратов ее членов равна 153 . Найди-
те четвертый член и знаменатель прорессии.
22. Найдите знаменатель бесонечно убывающей еометри-
чесой прорессии, у оторой отношение аждоо члена сум-
ме всех последующих членов равно .
23. В бесонечно убывающей еометричесой прорессии
с положительными членами сумма трех первых членов равна
10,5, а сумма прорессии равна 12. Найдите прорессию.
24. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-
сии равна 4, а сумма убов ее членов равна 192. Найдите пер-
в ый член и знаменатель прорессии.
25. Первый член неоторой бесонечно убывающей еомет-
ричесой прорессии равен единице, а сумма прорессии рав-
на S. Найдите сумму вадратов членов прорессии.
26. При аом значении x прорессия
,
,
,.
.
.
,
д
еa>0,
является бесонечно убывающей? Найдите сумму этой про-
рессии.
27. Сторона вадрата равна a. Середины сторон этоо вад-
рата соединили отрезами и получили новый вадрат. С этим
вадратом поступили та же, а с исходным, и т. д. Найдите
предел P суммы периметров и предел S суммы площадей этих
вадратов.
28. Найдите условие, при отором три числа a, b и c были
бы соответственно k-м, p- м и m-м членами еометричесой про-
рессии.
29. Моут ли числа 11, 12, 13 быть членами (не обязательно
соседними) одной еометричесой прорессии?
30. Бесонечно убывающая еометричесая прорессия, сум-
ма оторой равна
, содержит член . Отношение суммы всех
членов, предшествующих е му, сумме всех членов, следую-
щих за ним, равно 30. Определите порядовый номер этоо
члена.
31. Найдите отношение первоо члена бесонечно убываю-
щей еометричесой прорессии сумме всех ее членов, если
3
5
---
2
3
---
ax
+
ax
–
--------------
ax
–
ax
+
--------------
ax
–
ax
+
--------------
3
16
3
------
1
6
---
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
193
отношение всех членов этой прорессии, имеющих четные
номера, сумме всех членов, номера оторых ратны трем,
равно 3.
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
Смешанными задачами на прорессию принято называть та-
ие задачи, при решении оторых используются свойства а
арифметичесой, та и еометричесой прорессий.
П р и м е р. Три числа являются последовательными члена-
ми еометричесой прорессии. Если от третьео отнять 4, то
эти числа оажутся последовательными членами арифметиче-
сой прорессии. Если же от второо и третьео членов этой
арифметичесой прорессии отнять по 1, то полученные числа
снова оажутся последовательными членами еометричесой
прорессии. Найти эти числа.
Р е ше н и е. Обозначим исомые числа через a, b, c. Для
составления первоо уравнения, связывающео a, b и c, исполь-
зуем свойство членов еометричесой прорессии:
b2=ac.
Из условия задачи и свойства членов арифметичесой прорес-
сии получим второе уравнение
2b=a+c–4.
Наонец, последнее условие задачи можно записать в виде
уравнения
(b–1)2=a(c–5).
Чтобы решить систему
(*)
вычтем из первоо уравнения третье. Тода получим линейное
уравнение 2b – 1 = 5a, связывающее b и a. Выразив теперь из
системы линейных уравнений
b2=ac,
2b=a+c–4,
(b–1)2=a(c–5),
2b–1=5a,
2b=a+c–4
192
Г л а в а 7. Последовательности
21. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-
сии равна 16, а сумма вадратов ее членов равна 153 . Найди-
те четвертый член и знаменатель прорессии.
22. Найдите знаменатель бесонечно убывающей еометри-
чесой прорессии, у оторой отношение аждоо члена сум-
ме всех последующих членов равно .
23. В бесонечно убывающей еометричесой прорессии
с положительными членами сумма трех первых членов равна
10,5, а сумма прорессии равна 12. Найдите прорессию.
24. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-
сии равна 4, а сумма убов ее членов равна 192. Найдите пер-
вый член и знаменатель прорессии.
25. Первый член неоторой бесонечно убывающей еомет-
ричесой прорессии равен единице, а сумма прорессии рав-
на S. Найдите сумму вадратов членов прорессии.
26. При аом значении x прорессия
,,
,...,деa > 0,
является бесонечно убывающей? Найдите сумму этой про-
рессии.
27. Сторона вадрата равна a. Середины сторон этоо вад-
рата соединили отрезами и получили новый вадрат. С этим
вадратом поступили та же, а с исходным, и т. д. Найдите
предел P суммы периметров и предел S суммы площадей этих
вадратов.
28. Найдите условие, при отором три числа a, b и c были
бы соответственно k-м, p-м и m-м членами еометричесой про-
рессии.
29. Моут ли числа 11, 12, 13 быть членами (не обязательно
соседними) одной еометричесой прорессии?
30. Бесонечно убывающая еометричесая прорессия, сум-
ма оторой равна , содержит член . Отношение суммы всех
членов, предшествующих ему, сумме всех членов, следую-
щих за ним, равно 30. Определите порядовый номер этоо
члена.
31. Найдите отношение первоо члена бесонечно убываю-
щей еометричесой прорессии сумме всех ее членов, если
3
5---
2
3---
ax
+
ax
–-------------- ax
–
ax
+
--------------
ax
–
ax
+--------------
3
16
3------
1
6---
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
193
отноше ние всех членов этой прорессии , имеющих чет ные
номера, сумме всех членов, номера оторых ратны трем,
равно 3.
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
Смешанными задачами на прорессию принято называть та-
ие задачи, при решении оторых используются свойства а
арифметичесой, та и еометричесой прорессий.
П р и м е р. Три числа являются последовательными члена-
ми еометричесой прорессии. Если от третьео отнять 4, то
эти числа оажутся последовательными членами арифметиче-
сой прорессии. Если же от второо и третьео членов этой
арифметичесой прорессии отнять по 1, то получе нные числа
снова оажутся последовательными членами еометричесой
прорессии. Найти эти числа.
Р е ше н и е. Обозначим исомые числа через a, b, c. Для
составления первоо уравнения, связывающео a, b и c, исполь-
зуем свойство членов еометричесой прорессии:
b2=ac.
Из условия задачи и свойства членов арифметичесой прорес-
сии получим второе уравнение
2b=a+c–4.
Наонец, последнее условие задачи можно записать в виде
уравнения
(b–1)2=a(c–5).
Чтобы решить систему
(*)
вычтем из первоо уравнения третье. Тода получим линейное
уравнение 2b – 1 = 5a, связывающее b и a. Выразив теперь из
системы линейных уравнений
b2=ac,
2b=a+c–4,
(b–1)2=a(c–5),
2b–1 =5a,
2b=a+c–4
194
Г л а в а 7. Последовательности
не известные a и c через b, имеем
a=
,
c=
.
(**)
Теперь подставим выражения (**) в первое уравнение систе-
мы (*). Тода получим вадратное уравнение
9b2–34b+21=0,
орни отороо равны 3 и . Подставив эти значения b в выра-
жения (**), находим исомые числа.
Ответ.1; 3; 9 или ; ;
.
1. Три числа являются последовательными членами еомет-
ричесой прорессии. Если у величить второе число на 2, то эти
три числа станут членам и арифметичесой прорессии, а е сли
зате м увеличить последнее число на 9, то вновь полученные
числа опять оажутся членами еометричесой прорессии.
Найдите исходные числа.
2. Три числа, из оторых третье равно 12, являются тремя
последовательными членами еоме тричесой прорессии. Если
в место 12 взять 9, то эти три числа станут тремя последова-
тельными членами арифметичесой прорессии. Найдите ис-
ходные числа.
3. Дано трехзначное число, цифры отороо являются тремя
последовательными членами еоме тричесой прорессии. Если
из этоо числа вычесть 792, то получится число, записанное
теми же цифрами, но в обратном поряде. Если же из цифры
исходноо числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а ос-
тальные цифры оставить без измене ния, то получится число,
цифры отороо являются последовательными членами ариф-
ме тичесой прорессии. Найдите исходное число.
4. Даны четыре числа, из оторых первые три являются тре-
мя последовательными членами еометричесой, а последние
три — членами арифметичесой прорессии; сумма райних чи-
сел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найдите эти числа.
5. Первые члены арифметичесой и еометричесой про-
рессий одинаовы и равны 2, третьи члены таже одинаовы,
а вторые отличаются на 4. Найдите эти прорессии, если все их
члены положительны.
6. Первый член арифметичесой прорессии равен 1, а сум-
ма девяти первых членов равна 369. Первый и девятый члены
еометричесой прорессии совпадают с первым и девятым чле-
2b1
–
5
-----------------
8b 21
+
5
--------------------
-
7
9
---
1
9
---
7
9
---
49
9
------
§ 41. Разные задачи
195
нами арифметичесой прорессии. Найдите седьмой член еомет-
ричесой прорессии.
17. Среди 11 членов арифметичесой прорессии первый,
пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными
членами неоторой еометричесой прорессии. Найдите ариф-
метичесую прорессию, если ее первый член равен 24.
18. В неоторой арифметичесой прорессии второй член
является средним пропорциональным между первым и четвер-
тым. Поажите, что четвертый, шестой и девятый члены этой
прорессии являются последовательными членами еометриче-
сой прорессии. Найдите знаменатель этой прорессии.
19. Доажите, что если a, b и c одновременно являются 5-м,
17-м и 37-м членами а арифметичесой, та и еометриче-
сойпрорессии,тоab–cbc–aca–b=1.
10. Доажите, что если a, b, c—три последовательных чле-
на еометричесой прорессии, то
,
,
— по-
следовательные члены арифметичесой прорессии. (Считает-
ся, что числа a, b, c положительны и не равны единице.)
11. Даны две прорессии: еометричесая с общим членом
bn > 0 и знаменателем q и возрастающая арифметичесая с об-
щим членом an и разностью d. Найдите x из условия logx bn – an =
=logxb1–a1.
§ 41. Разные задачи
Установите, ораничена ли последовательность:
1.xn=1+
. 2.xn=n(1–
). 3.xn=
.
4. Общий член последовательности представлен в виде
xn= + +...+
Сольо членов последовательности меньше ?
5. Доажите, что последовательность
u1=3, un+1=
является убывающей.
1
loga N
----------------- 1
logb N
----------------- 1
logc N
-----------------
(–1)n 1
n---
(–1)n
3n 5+
2n 3–
------------------
1
2--- 1
4---
1
2n------ .
1023
1024
-------------
2un
2
+
2un
-----------------
194
Г л а в а 7. Последовательности
неизвестные a и c через b, имеем
a=
,c=
.
(**)
Теперь подставим выражения (**) в первое уравнение систе-
мы (*). Тода получим вадратное уравнение
9b2–34b+21=0,
орни отороо равны 3 и . Подставив эти значения b в выра-
жения (**), находим исомые числа.
Ответ.1;3;9или ; ; .
1. Три числа являются последовательными членами еомет-
ричесой прорессии. Если увеличить второе число на 2, то эти
три числа станут членами арифметичесой прорессии, а если
затем увеличить последнее число на 9, то вновь полученные
числа опять оажутся членами еометричесой прорессии.
Найдите исходные числа.
2. Три числа, из оторых третье равно 12, являются тремя
последовательными членами еометричесой прорессии. Если
вместо 12 взять 9, то эти три числа станут тремя последова-
тельными членами арифметичесой прорессии. Найдите ис-
ходные числа.
3. Дано трехзначное число, цифры отороо являются тремя
последовательными членами еометричесой прорессии. Если
из этоо числа вычесть 792, то получится число, записанное
теми же цифрами, но в обратном поряде. Если же из цифры
исходноо числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а ос-
тальные цифры оставить без изменения, то получится число,
цифры отороо являются последовательными членами ариф-
метичесой прорессии. Найдите исходное число.
4. Даны четыре числа, из оторых первые три являются тре-
мя последовательными членами еометричесой, а последние
три — членами арифметичесой прорессии; сумма райних чи-
сел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найдите эти числа.
5. Первые члены арифметичесой и еометричесой про-
рессий одинаовы и равны 2, третьи члены таже одинаовы,
а вторые отличаются на 4. Найдите эти прорессии, если все их
члены положительны.
6. Первый член арифметичесой прорессии равен 1, а сум-
ма девяти первых членов равна 369. Первый и девятый члены
еометричесой прорессии совпадают с первым и девятым чле-
2b 1–
5
-----------------
8b 21
+
5
---------------------
7
9---
1
9--- 7
9--- 49
9------
§ 41. Разные задачи
195
нами арифметичесой прорессии. Найдите седьмой член еомет-
ричесой прорессии.
17. Среди 11 членов арифметичесой прорессии первый,
пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными
членами неоторой еометричесой прорессии. Найдите ариф-
метичесую прорессию, если ее первый член равен 24.
18. В неоторой арифметичесой прорессии второй член
является средним пропорциональным между первым и четвер-
тым. Поажите , что четвертый, шестой и девятый члены этой
прорессии являются последовательными членами еометриче-
сой прорессии. Найдите знаменатель этой прорессии.
19. Доажите, что если a, b и c одновременно являются 5-м,
17-м и 37-м членами а арифметичесой, та и еометриче-
сой прорессии, то ab – c
bc–a
ca–b
=1.
10. Доажите, что если a, b, c—три последовательных чле-
на еометричесой прорессии, то
,
,
—
по-
следовательные члены арифметичесой прорессии. (Считает-
ся, что числа a, b, c положительны и не равны единице.)
11. Даны две прорессии: еометричесая с общим членом
bn > 0 и знаменателем q и возрастающая арифметичесая с об-
щим членом an и разностью d. Найдите x из условия logx bn – an =
= logxb1–a1.
§ 41. Разные задачи
Установите, ораничена ли последовательность:
1.xn=1+
.
2.xn=n(1–
). 3.xn=
.
4. Общий член последовательности представлен в виде
xn=
+ +...+
Сольо членов последовательности меньше
?
5. Доажите, что последовательность
u1=3, un+1=
является убывающей.
1
loga N
-----------------
1
logb N
-----------------
1
logc N
-----------------
(–1)n 1
n
---
(–1)n
3n5
+
2n3
–
------------------
1
2
---
1
4
---
1
2n
------
.
1023
1024
-------------
2un
2
+
2un
-----------------
196
Г л а в а 7. Последовательности
6. Доажите, что последовательность
un
=1++
+...+
,
является возрастающей.
7. Пусть an — сторона правильноо
уольниа, впи-
санноо в оружность радиуса 1. Доажите, что последователь-
ность (an) является убывающей, а последовательность перимет-
ров (Pn) — возрастающей.
18. Катет равнобедренноо прямоуольноо треуольниа
разделен на n равных частей, и на полученны х отрезах постро-
ены вписанные прямоуольнии. Найдите предел последова-
тельности (Sn) площадей, образованных из ступенчатых фиур.
19. Найдите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2,
отрезом [0; 1] оси абсцисс и прямой x = 1, а предел последо-
в ательности площадей ступенчатых фиур, состоящих из пря-
моуольниов, построенных та же, а в предыдущей задаче.
10. Найдите
(
–
n).
11. Найдите трехзначное число, оторое делится на 45 и циф-
ры отороо являются последовательными членами арифмети-
чесой прорессии.
12. Доажите, что если в арифметичесой прорессии Sn = n2p,
Sk=k2p,k−n,тоSp=p3.
13. Доажите, что если a1, a2, ..., a
n
—
члены арифметиче-
сой прорессии с разностью d, то
+
+...+
=
.
14. Четыре числа a, b, c, d являются членами еометриче-
сой прорессии. Доажите, что
(a–c)2+(b–c)2+(b–d)2=(a–d)2.
15. Решите систему уравнений
1
2
---
1
22
------
1
2n
------
2n1
+
-
no×
lim
n31
+
3
1
a1
a2
+
----------------------------
1
a2
a3
+
---------------------------
-
1
an
an1
+
+
------------------------------------
an1
+
a1
–
d
-----------------------------------
=
=
=
=
,
x=8u,
x+y+z+u+s+t=15
.
x
y
---
y
z
---
z
u
---
u
s
---
s
t
--
3
4
---
§ 41. Разные задачи
197
16. Доажите равенство
+
=
.
17.Пустьx1иx2—орниуравненияx2–3x+A=0,аx3и
x4 — орни уравнения x2 – 12x + B = 0. Известно, что последо-
вательность x1, x2, x3, x4 является возрастающей еометриче-
сой прорессией. Найдите A и B.
В неоторых случаях сумму n членов произвольной после-
довательности можно найти с помощью построения вспомоа-
тельной последовательности {Sn}, удовлетворяющей условию
Sk+1–Sk=uk.(
1
)
Нетрудно убедиться, что
u1+u2+...+un=
=(S2–S1)+(S3–S2)+...+(Sn+1–Sn)=Sn+1–S1.(2)
Пример.Найтисумму
+ +...+
,
если известно, что a1, a2, ..., an + 1 — последовательные члены
арифметичесой прорессии с разностью d − 0, ни один из о-
торых не равен нулю.
Решение.Записавдробь ввиде
=–·
=–
,
деd=a2–a1,ивзявSkравным
Sk=– ,
имеем
Sk+1–Sk=–
–=
=
= uk.
(66...6)2
n цифр
88...8
n цифр
44...4
2n цифр
1
a1a2
------------- 1
a2a3
-------------
1
anan 1
+
---------------------
1
a1a2
-------------
1
a1a2
-------------
1
a1
------ 1
a2
------
1
a2 a1
–
-------------------
1
a1
------ 1
a2
------
1
d---
1
d--- 1
ak
------
1
d---
1
ak 1+
-------------- 1
ak
------
1
d---
ak 1+ ak
–
ak1+ak
---------------------------
1
ak1+ak
--------------------
196
Г л а в а 7. Последовательности
6. Доажите, что последовательность
un=1+ + +...+ ,
является возрастающей.
7. Пусть an — сторона правильноо
уольниа, впи-
санноо в оружность радиуса 1. Доажите, что последователь-
ность (an) является убывающей, а последовательность перимет-
ров (Pn) — возрастающей.
18. Катет равнобедренноо прямоуольноо треуольниа
разделен на n равных частей, и на полученных отрезах постро-
ены вписанные прямоуольнии. Найдите предел последова-
тельности (Sn) площадей, образованных из ступенчатых фиур.
19. Найдите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2,
отрезом [0; 1] оси абсцисс и прямой x = 1, а предел последо-
вательности площадей ступенчатых фиур, состоящих из пря-
моуольниов, построенных та же, а в предыдущей задаче.
10. Найдите
(
– n).
11. Найдите трехзначное число, оторое делится на 45 и циф-
ры отороо являются последовательными членами арифмети-
чесой прорессии.
12. Доажите, что если в арифметичесой прорессии Sn = n2p,
Sk=k2p,k−n,тоSp=p3.
13. Доажите, что если a1, a2, ..., an — члены арифметиче-
сой прорессии с разностью d, то
+
+...+
=
.
14. Четыре числа a, b, c, d являются членами еометриче-
сой прорессии. Доажите, что
(a–c)2+(b–c)2+(b–d)2=(a–d)2.
15. Решите систему уравнений
1
2--- 1
22------
1
2n------
2n1+-
no×
limn31
+
3
1
a1 a2
+
----------------------------
1
a2 a3
+
----------------------------
1
anan1
+
+
------------------------------------ an 1+ a1
–
d
-----------------------------------
====,
x=8u,
x+y+z+u+s+t=15 .
x
y--- y
z--- z
u--- u
s--- s
t--
3
4---
§ 41. Разные задачи
197
16. Доажите равенство
+
=
.
17.Пустьx1иx2—орниуравненияx2–3x+A=0,аx3и
x4 — орни уравнения x2 – 12x + B = 0 . Известно, что последо-
вательность x1, x2, x3, x4 является возрастающей еометриче-
сой прорессией. Найдите A и B.
В неоторых случаях сумму n членов произвольной после-
довательности можно найти с помощью построения вспомоа-
тельной последовательности {Sn}, удовлетворяющей условию
Sk+1–Sk=uk.(
1
)
Нетрудно убедиться, что
u1+u2+...+un=
= (S2–S1)+(S3–S2)+...+(Sn+1–Sn)=Sn+1–S1.(2)
Пример.Найтисумму
+
+...+
,
если известно, что a1, a2, ..., an + 1 — последовательные члены
арифметичесой прорессии с разностью d − 0, ни один из о-
торых не равен нулю.
Решение. Записавдробь
в виде
=
–
·
=
–
,
деd=a2–a1,ивзявSkравным
Sk=–
,
имеем
Sk+1–Sk= –
–
=
=
= uk.
(66...6)2
n цифр
88...8
n цифр
44...4
2n цифр
1
a1a2
------------
-
1
a2 a3
------------
-
1
anan 1
+
---------------------
1
a1a2
------------
-
1
a1a2
------------
-
1
a1
------
1
a2
------
1
a2 a1
–
-------------------
1
a1
------
1
a2
------
1
d
---
1
d
---
1
ak
------
1
d
---
1
ak1
+
--------------
1
ak
------
1
d
---
ak 1
+
ak
–
ak1
+ak
---------------------------
1
ak1
+ak
--------------------
198
Г л а в а 7. Последовательности
Далее, используя равенства (1) и (2), получаем
+
+...+
= Sn+1–S1=
=–
–
=
.
Ответ..
Доажите тождество:
18.
+
+
+...+
=1–
.
19.
+
+
+...+
=
=
–
.
20.
+
+...+
=
=
.
21. Пусть a1, ..., an — арифме тичесая прорессия. Доа-
жите тождество
+
+...+
=
+
+...+
.
22. Найдите сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111, ... .
23. Найдите сумму:
а)1–2+3–4+...+(–n);
б)12–22+32–42+...+
· n2;
в)2·12+3·22+...+(n+1)n2.
При вычислении пределов последовательностей, члены о-
торых являются результатами суммирования, используют сле-
дующие формулы:
1+2+...+n=
,
(3)
12+22+...+n2=
,
(4)
13+23+...+n3=
.
(5)
1
a1a2
------------
-
1
a2a3
------------
-
1
ana
n1
+
---------------------
1
d
---
1
an1
+
--------------
1
a1
------
n
an1
+a1
---------------------
n
an1
+a1
---------------------
1
12
⋅
-----------
1
23
⋅
-----------
1
34
⋅
-----------
1
nn1
+
()
-----------------------
1
n1
+
--------------
1
123
⋅⋅
-------------------
1
234
⋅⋅
-------------------
1
345
⋅⋅
-------------------
1
nn1
+
()
n2
+
()
-------------------------------------------
1
2
---
1
2
---
1
n1
+
()
n2
+
()
--------------------------------------
-
1
135
⋅⋅
-------------------
1
357
⋅⋅
-------------------
n
2n1
–
()
2n1
+
()
2n3
+
()
---------------------------------------------------------------------
-
nn1
+
()
22n 1
+
()
2n3
+
()
--------------------------------------------------
1
a1an
-------------
1
a2an 1
–
--------------------
1
ana1
-------------
2
a1an
-------------
1
a1
------
1
a2
------
1
an
------
(–1)n 1
+
nn1
+
()
2
-----------------------
nn1
+
()
2n1
+
()
6
-----------------------------------------------
n2n 1
+
()
2
4
-----------------------------
§ 41. Разные задачи
199
Используя равенства (3)—(5) и формулы для сумм n чле-
нов арифметичесой и еометричесой прорессий, вычислите
предел:
24.
25.
+ +...+
.
26.
+ + +...+
.
27.
–
.
28.
+ +...+
+.
29.
+ +...+
.
30.
+ +...+
.
31.
+ +...+
, де (an)—арифме-
тичесая прорессия с разностью d, члены оторой отличны
от нуля.
32.
+ +...+ .
Найдите предел последовательности:
33.an= ·
...
(в последнем
сомножителе n радиалов).
34.an=
(n радиалов).
35.an=
(n радиалов).
no×
lim 1 2 ...+2n
++
1 5 ...+5n
++
----------------------------------------- .
no×
lim
1
n2------ 2
n2------
n1–
n2
-------------
no×
lim
31
3
------- 1
33
-----------
3
3n 1–
--------------
no×
lim
135...2n1+
()
+++ +
n1+
-------------------------------------------------------------------- 2 n 1–
2
-----------------
no×
lim
12
n3------ 2 2
n3------
n1–
()
2
n3
--------------------- 1
n---
no×
lim
7
10------ 29
102
---------
5n 2n
+
10n
--------------------
no×
lim
1
12
⋅----------- 1
23
⋅-----------
1
nn 1+
()
-----------------------
no×
lim
1
a1a2
------------- 1
a2a3
-------------
1
anan 1
+
---------------------
no×
lim
1
n4------ 8
n4------
n3
n4------
2
2
-------
2
22
+
----------------------
2
22...22
+
++
+
-----------------------------------------------------------------
aa... a
++
+
22.
.
.2
++
–
22...3
++
–
--------------------------------------------------
198
Г л а в а 7. Последовательности
Далее, используя равенства (1) и (2), получаем
+ +...+
=Sn+1–S1=
=–
–=
.
Ответ..
Доажите тождество:
18. + + +...+
=1– .
19.
+
+
+...+
=
=
–
.
20.
+
+...+
=
=
.
21. Пусть a1, ..., an — арифметичесая прорессия. Доа-
жите тождество
+
+...+ =
+ +...+ .
22. Найдите сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111, ... .
23. Найдите сумму:
а)1–2+3–4+...+(–n);
б)12–22+32–42+...+
· n2;
в)2·12+3·22+...+(n+1)n2.
При вычислении пределов последовательностей, члены о-
торых являются результатами суммирования, используют сле-
дующие формулы:
1+2+...+n=
,
(3)
12+22+...+n2=
,
(4)
13+23+...+n3=
.
(5)
1
a1a2
------------- 1
a2a3
-------------
1
anan 1
+
---------------------
1
d---
1
an 1+
-------------- 1
a1
------
n
an1+a1
---------------------
n
an1+a1
---------------------
1
12
⋅----------- 1
23
⋅----------- 1
34
⋅-----------
1
nn 1+
()
-----------------------
1
n1+
--------------
1
123
⋅⋅
-------------------
1
234
⋅⋅
-------------------
1
345
⋅⋅
-------------------
1
nn 1+
()
n2+
()
-------------------------------------------
1
2---
1
2---
1
n1+
()
n2+
()
---------------------------------------
1
135
⋅⋅
-------------------
1
357
⋅⋅
-------------------
n
2n 1–
()
2n 1+
()
2n 3+
()
----------------------------------------------------------------------
nn 1+
()
22n 1+
()
2n3
+
()
--------------------------------------------------
1
a1an
-------------
1
a2an 1–
--------------------
1
ana1
------------- 2
a1an
-------------
1
a1
------ 1
a2
------
1
an
------
(–1)n 1+
nn 1+
()
2
-----------------------
nn 1+
()
2n 1+
()
6
-----------------------------------------------
n2n 1+
()
2
4
-----------------------------
§ 41. Разные задачи
199
Используя равенст ва (3)—(5) и формулы для сумм n чле-
нов арифметичесой и еометричесой прорессий, вычислите
предел:
24.
25.
+
+...+
.
26.
+
+
+...+
.
27.
–
.
28.
+
+...+
+
.
29.
+
+...+
.
30.
+
+...+
.
31.
+
+...+
, де (an)—арифме-
тичесая прорессия с разностью d, члены оторой отличны
от нуля.
32.
+
+...+
.
Найдите предел последовательности:
33.an=
·
...
(в последнем
сомножителе n радиалов).
34.an=
(n радиалов).
35.an=
(n радиалов).
no×
lim
1 2 ...+2
n
++
1 5 ...+5
n
++
-----------------------------------------
.
no×
lim
1
n2
------
2
n2
------
n1
–
n2
-------------
no×
lim
3
1
3
-------
1
33
-----------
3
3n1
–
-------------
-
no×
lim
135... 2n1
+
()
+++ +
n1
+
--------------------------------------------------------------------
2n1
–
2
-----------------
no×
lim
12
n3
------
22
n3
------
n1
–
()
2
n3
---------------------
1
n
---
no×
lim
7
10
------
29
102
---------
5n2
n
+
10n
--------------------
no×
lim
1
12
⋅
-----------
1
23
⋅
-----------
1
nn1
+
()
-----------------------
no×
lim
1
a1a2
------------
-
1
a2a3
------------
-
1
anan 1
+
---------------------
no×
lim
1
n4
------
8
n4
------
n3
n4
------
2
2
-------
2
22
+
----------------------
2
22...22
+
++
+
-----------------------------------------------------------------
aa...
a
++
+
22.
.
.2
++
–
22...3
++
–
--------------------------------------------------
Глава 8
Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и
x0 Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во
в сех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может,
точи x0. Говорят, что число A—предел фнции y = f(x)
в точе x0, и пишут
f(x)=A,еслидлялюбооε>0су-
ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлет-
в оряющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), выполняется неравен-
ство|f(x)–A|<ε.
Говорят, что число A— предел фнции y = f(x) при x,
стремящемся бесонечности, и пишут
f(x) = A, если
для любоо ε > 0 существует таое число n0(ε), что при всех
x > n0(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b],
если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] вы-
полняется неравенство m m f(x) m M.
Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x o x0, если
для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b),
удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), справедливо
неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут
f(x) = 0.
Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x o x0,
если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при
всех x Ý (a; b), удовлетворяющих нераве нству 0 < |x – x0| <
< δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут
f(x) = ×.
Чтобы доазать, что число A является пределом фунции
f(x) при x o x0, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фи-
урирующее в определении предела.
xox0
lim
xo×
lim
xox0
lim
xox0
lim
§ 42. Предел функции
201
Пример 1. Доазать,что
=4.
Р е ше н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε),
составим неравенство
0<
–4|<ε.(
*
)
При x − 2 оно эвивалентно неравенству
0<|x–2|<ε,
(**)
из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и
в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значени-
ях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено не-
равенство (*).
Пример2.Доазать,что
=×.
Р е ше н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число
δ(ε), составим неравенство
>E.
Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвива-
лентное неравенство
> log2 E,
решив оторое относительно x находим
|x|<
.
Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число
.
Доажите, что:
1. (x+5)=8.
2. (x2–4)=0.
3. (6–2x)=4.
4.
(5x+7)=2.
5.
=,a>0.
6.
=0.
7.
=×.
8.
=×.
xo2
lim x2 4–
x2–
----------------
x2 4–
x2–
----------------
xo0
lim 21/x2
21/x2
1
x2------
1
log2 E
-----------------
1/2
1
log2 E
-----------------
1/2
xo3
lim
xo2
lim
xo1
lim
xo 1–
lim
xoa
limxa
xo×
lim 1
x---
xoa
lim 2
1
xa
–
----------------
xo0
lim 1
x2------
Глава 8
Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и
x0 Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во
всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может,
точи x0. Говорят, что число A—предел фнции y = f(x)
в точе x0, и пишут
f(x)=A,еслидлялюбооε>0су-
ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлет-
воряющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), выполняется неравен-
ство|f(x)–A|<ε.
Говорят, что число A—предел фнции y = f(x) при x,
стремящемся бесонечности, и пишут
f(x) = A, если
для любоо ε > 0 существует таое число n0(ε), что при всех
x > n0(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b],
если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] вы-
полняется неравенство m m f(x) m M.
Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x o x0, если
для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b),
удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), справедливо
неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут
f(x) = 0.
Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x o x0,
если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при
всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| <
< δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут
f(x) = ×.
Чтобы доазать, что число A является пределом фунции
f(x) при x o x0, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фи-
урирующее в определении предела.
xox0
lim
xo×
lim
xox0
lim
xox0
lim
§ 42. Предел функции
201
Пример 1. Доазать, что
=4.
Р е ше н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε),
составим неравенство
0<
–
4|<ε.(
*
)
При x − 2 оно эв ивалентно неравенству
0<|x–2|<ε,
(**)
из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и
в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значе ни-
ях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено не-
равенство (*).
Пример2.Доазать,что
=×.
Р е ше н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число
δ(ε), составим неравенство
>E.
Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвива-
лентное неравенство
> log2 E,
решив оторое относительно x находим
|x|<
.
Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число
.
Доажите, что:
1.
(x+5)=8.
2.
(x2–4)=0.
3.
(6–2x)=4.
4.
(5x+7)=2.
5.
=
,
a>0.
6.
=0.
7.
=×.
8.
=×.
xo2
lim
x24
–
x2
–
----------------
x24
–
x2
–
----------------
xo0
lim 21/x2
21/x 2
1
x2
------
1
log2 E
-----------------
1/2
1
log2 E
-----------------
1/2
xo3
lim
xo2
lim
xo1
lim
xo1
–
lim
xoa
lim x
a
xo×
lim
1
x
---
xoa
lim 2
1
xa
–
----------------
xo0
lim
1
x2
------
202
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
При решении неоторых задач удобно использовать следую-
щее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) опреде-
лена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть
может, точи x0 Ý (a; b). Говорят, что число A—предел фн-
ции f(x) при x, стремящемся x0, если для любой последова-
тельности значений арумента (xn), стремящейся x0 (xn − x0),
соответствующая последовательность значе ний фунции стре-
мится A:
f(xn) = A.
Пример 3.Доазать,чтофунцияf(x)=
приxo0не
имеет предела.
Р е ше н и е. Возьмем две последовательности значений
арумента, сходящиеся нулю:
=
,
=–
. Тода по-
лучим
f( )=
=
1=1,
f()
=
=
(#1) = #1,
т. е.
f()
−
f()
.
Таим образом, построены две последовательности значений ар-
умента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль,
таие, что соответствующие последовательности значений
фунции сходятся разным числам (одна 1, друая –1). Но
в определении предела требуется, чтобы для аждой из рас-
смотренных последовательностей значений арумента предел
последовательности значений фунции был одним и тем же
числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция
при x o 0 не имеет предела.
Доажите, что фунция не имее т предела:
9.f(x)=sin приxo0. 10.f(x)=e
–1/xприxo0.
no×
lim
x
x
------
xn
1() 1
n
---
xn
2() 1
n
---
no×
lim
xn
1()
no×
lim
1
n
---
1
n
---
---
no×
lim
no×
lim
xn
2()
no×
lim
1
n
---
1
n
---
–
-------
no×
lim
no×
lim
xn
1()
no×
lim
xn
2()
1
x
---
§ 43. Вычисление пределов функций
203
11. f(x) =
приxo0.
12. f(x) = {x} при x o 4, де {x} — дробная часть числа x.
§ 43. Вычисление пределов функций
Если существуют f1(x) и f2(x), то существуют пре-
делы:
cf1(x) = cf
1(x),
(1)
(f1(x) ä f2(x)) = f1(x) ä f2(x),
(2)
(f1(x) f2(x)) = f1(x) · f2(x),
(3)
=
(де f2(x) − 0).
(4)
Нахождение предела отношения двх мноочленов при
x o ×. Если требуется найти предел отношения двух мноо-
членов, зависящих от x, при x o ×, то оба члена отношения
предварительно делят на xn, де n—наивысшая степень этих
мноочленов.
Пример 1. Найти
.
Р е ше н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x2:
=
.
Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1)
(при c = –1), получим
.
1,x>0,
–1,xm0
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
f1 x()
f2 x()
--------------
f1 x()
xoa
lim
f2 x()
xoa
lim
---------------------------
xoa
lim
xo×
limx3–
()
x2–
()
2x2 5x
–3
+
-------------------------------------
xo×
limx3–
()
x2–
()
2x2 5x
–3
+
-------------------------------------
xo×
lim
x3–
x------------- x 2–
x-------------
⋅
25
x---– 3
x2------
+
--------------------------------
13
x---–
xo×
lim
12
x---–
xo×
lim
⋅
2
xo×
lim
5
x---
xo×
lim
–
3
x2------
xo×
lim
+
---------------------------------------------------------------------------
202
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
При решении неоторых задач удобно использовать следую-
щее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) опреде-
лена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть
может, точи x0 Ý (a; b). Говорят, что число A—предел фн-
ции f(x) при x, стремящемся x0, если для любой последова-
тельности значений арумента (xn), стремящейся x0 (xn − x0),
соответствующая последовательность значений фунции стре-
мится A:
f(xn) = A.
Пример3.Доазать,чтофунцияf(x)= приxo0не
имеет предела.
Р е ше н и е. Возьмем две последовательности значений
арумента, сходящиеся нулю: = , = – . Тода по-
лучим
f( )=
=
1=1,
f()
=
= (#1)=#1,
т. е.
f()
−
f()
.
Таим образом, построены две последовательности значений ар-
умента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль,
таие, что соответствующие последовательности значений
фунции сходятся разным числам (одна 1, друая –1). Но
в определении предела требуется, чтобы для аждой из рас-
смотренных последовательностей значений арумента предел
последовательности значений фунции был одним и тем же
числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция
при x o 0 не имеет предела.
Доажите, что фунция не имеет предела:
9.f(x)=sin приxo0. 10.f(x)=e–1/xприxo0.
no×
lim
x
x------
xn
1() 1
n--- xn
2() 1
n---
no×
lim xn
1()
no×
lim
1
n---
1
n---
---
no×
lim
no×
lim xn
2()
no×
lim
1
n---
1
n---–
-------
no×
lim
no×
lim xn
1()
no×
lim xn
2()
1
x---
§ 43. Вычисление пределов функций
203
11. f(x) =
приxo0.
12. f(x) = {x} при x o 4, де {x} — дробная часть числа x.
§ 43. Вычисление пределов функций
Если существуют
f1(x) и
f2(x), то существуют пре-
делы:
cf1(x) = cf
1(x),
(1)
(f1(x) ä f2(x)) =
f1(x) ä
f2(x),
(2)
(f1(x) f2(x)) =
f1(x) ·
f2(x),
(3)
=
(де
f2(x) − 0).
(4)
Нахождение предела отношения двх мноочленов при
x o ×. Если требуется найти предел отношения двух мноо-
членов, зависящих от x, при x o ×, то оба члена отношения
предварительно делят на xn
, де n—наивысшая степень этих
мноочленов.
Пример 1. Найти
.
Р е ше н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x2:
=
.
Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1)
(при c = –1), получим
.
1,x>0,
–1,xm0
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
xoa
lim
f1x
()
f2x
()
--------------
f1x
()
xoa
lim
f2x
()
xoa
lim
---------------------------
xoa
lim
xo×
lim
x3
–
()
x2
–
()
2x2 5x
–3
+
-------------------------------------
xo×
lim
x3
–
()
x2
–
()
2x2 5x
–3
+
-------------------------------------
xo×
lim
x3
–
x
-------------
x2
–
x
-------------
⋅
2
5
x
---
–
3
x2
------
+
--------------------------------
1
3
x
---
–
xo×
lim
1
2
x
---
–
xo×
lim
⋅
2
xo×
lim
5
x
---
xo×
lim
–
3
x2
------
xo×
lim
+
--------------------------------------------------------------------------
-
204
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Используя равенство
= 0, находим
=
.
Ответ..
Вычислите предел:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода
предел их отношения, т. е .
, находят непосредстве нно
с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, за-
писав мноочлены P(x) и Q(x) в виде
P(x) = (x – a)kP1(x), Q(x) = (x – a)nQ1(x)
(k и n—ратност и орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до
перехода пределу соращают числитель и знаменатель дроби
на общий множитель.
Пример 2.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Преобразуем выражение, находящееся под зна-
ом предела:
=
=
.
Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1),
(2) и (4):
=
.
Ответ..
xo×
lim
a
x
---
1
3
x
---
xo×
lim
–
1
2
x
---
xo×
lim
–
2
5
x
---
xo×
lim
–
3
x2
------
xo×
lim
+
----------------------------------------------------------------------
-
1
2
---
1
2
---
xo×
lim
x1
+
()
2
x3
–
()
x2
+
()
--------------------------------------
xo×
lim
x2
–5
x6
–
+
x1
–
()
x2
–
()
x3
–
()
--------------------------------------------------------
xo×
lim
x
xxx
+
+
-------------------------------------
xo×
lim
2x5
+
xx
+
------------------
xoa
lim
Px
()
Qx
()
-------------
Px
()
Qx
()
-------------
xo3
lim
x2 5x
–6
+
x29
–
-------------------------------
x2 5x
–6
+
x29
–
-------------------------------
x3
–
()
x2
–
()
x3
–
()
x3
+
()
--------------------------------------
x2
–
x3
+
--------------
xo3
lim
x2
–
x3
+
--------------
1
6
---
1
6
---
§ 43. Вычисление пределов функций
205
Вычислите предел:
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
–
. 10.
.
11.
+
–
.
12. а)
f(x); б)
f(x),
де f(x) =
.
13. а) f(x); б)
f(x), де f(x) =
Нахождение пределов фн
ций, содержащих иррациональ-
ности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррацио-
нальности, инода упрощают введением новых переменных.
Пример3.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Положим = t. Тода выражение, записан-
ное под знаом предела, примет вид
.
Число, оторому стремится новая переменная t при x o 1,
находим а предел фунции t(x) = при x o 1, т. е.
t(x) =
=1.
Таим образом,
=
=
=.
Ответ..
xo 1–
lim x3 1+
x2 1+
-----------------
xo 1–
limx1+
()
3
x3 1+
----------------------
xo0,5
lim 8x3 1–
6x2 5x
–1
+
-----------------------------------
ho0
lim xh
+
()
3x3
–
h
-----------------------------------
xo2
lim
1
2 x–-------------
3
8x3
–----------------
xo1
lim x4 x3
– x–1
+
x3 5x2
–7
x3–
+
------------------------------------------------
xoa
lim x3 2ax2
–
a2x
–2
a3
+
()
x2a
–
()
1–
x3 a2x
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
2a
x2 ax
–
-------------------- 2
xa
–-------------
xo0,5
lim
xo1,5
lim
x1–
2
---------------- xx 1–22
x---–
++
x2–1
x---+
------------------------------------------------------------------
xo1
lim
xo 1–
lim
x|x 3|
–
(x2 x–6
)
|
x|
–
---------------------------------------- .
xo1
lim x2
3
2x3
–1
+
x1–
()
2
-----------------------------------------
x3
t2 2t
–1
+
t3 1–
()
2
-----------------------------
x3
xo1
lim
xo1
lim x3
to1
lim t2 2t
–1
+
t3 1–
()
2
-----------------------------
to1
lim
t1–
()
2
t1–
()
2t2t1
++
()
2
------------------------------------------------------
to1
lim 1
t2t1
++
()
2
--------------------------------- 1
9---
1
9---
204
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Используя равенство
= 0, находим
=.
Ответ..
Вычислите предел:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода
предел их отношения, т. е.
, находят непосредственно
с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, за-
писав мноочлены P(x) и Q(x) в виде
P(x) = (x – a)kP1(x), Q(x) = (x – a)nQ1(x)
(k и n—ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до
перехода пределу соращают числитель и знаменатель дроби
на общий множитель.
Пример2.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Преобразуем выражение, находящееся под зна-
ом предела:
=
=.
Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1),
(2) и (4):
=.
Ответ..
xo×
lim a
x---
1
3
x---
xo×
lim
–
1
2
x---
xo×
lim
–
2
5
x---
xo×
lim
–
3
x2------
xo×
lim
+
----------------------------------------------------------------------- 1
2---
1
2---
xo×
lim x1+
()
2
x3–
()
x2+
()
--------------------------------------
xo×
lim
x2
–5
x6–
+
x1–
()
x2–
()
x3–
()
--------------------------------------------------------
xo×
lim
x
xxx
+
+
-------------------------------------
xo×
lim 2x 5+
xx
+
------------------
xoa
lim Px()
Qx()
-------------
Px()
Qx()
-------------
xo3
lim x2 5x
–6
+
x2 9–
-------------------------------
x2 5x
–6
+
x2 9–
------------------------------- x 3–
()
x2–
()
x3–
()
x3+
()
-------------------------------------- x 2–
x3
+
--------------
xo3
limx2–
x3+
-------------- 1
6---
1
6---
§ 43. Вычисление пределов функций
205
Вычислите предел:
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
–
.
10.
.
11.
+
–
.
12. а)
f(x); б)
f(x),
де f(x) =
.
13. а)
f(x); б)
f(x), де f(x) =
Нахождение пределов фн
ций, содержащих иррациональ-
ности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррацио-
нальности, инода упрощают введением новых переменных.
Пример3.Вычислитьпредел
.
Решение.Положим
= t. Тода выражение, записан-
ное под знаом предела, примет вид
.
Число, оторому стремится новая переменная t при x o 1,
находим а предел фунции t(x) =
приxo1,т.е.
t(x) =
=1.
Таим образом,
=
=
=
.
Ответ..
xo1
–
lim
x31
+
x21
+
-----------------
xo1
–
lim
x1
+
()
3
x31
+
---------------------
-
xo0,5
lim
8x3 1
–
6x2 5x
–1
+
-----------------------------------
ho0
lim
xh
+
()
3x3
–
h
-----------------------------------
xo2
lim
1
2x
–
-------------
3
8x3
–
----------------
xo1
lim
x4 x3
–
x
–1
+
x3 5x2
–7
x3
–
+
------------------------------------------------
xoa
lim
x3 2ax2
–
a2x
–2
a3
+
()
x2a
–
()
1
–
x3 a2x
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
2a
x2 ax
–
--------------------
2
xa
–
-------------
xo0,5
lim
xo1,5
lim
x1
–
2
----------------
xx1
–2
2
x
---
–
++
x2
–
1
x
---
+
-----------------------------------------------------------------
-
xo1
lim
xo1
–
lim
x|x 3|
–
(x
2
x
–6
)
|
x|
–
---------------------------------------
-.
xo1
lim
x2
3
2x
3
–1
+
x1
–
()
2
-----------------------------------------
x
3
t2 2t
–1
+
t31
–
()
2
----------------------------
-
x
3
xo1
lim
xo1
lim
x
3
to1
lim
t2 2t
–1
+
t31
–
()
2
----------------------------
-
to1
lim
t1
–
()
2
t1
–
()
2t2t1
++
()
2
-----------------------------------------------------
-
to1
lim
1
t2t1
++
()
2
---------------------------------
1
9
---
1
9
---
206
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Вычислите предел:
14.
.
15.
.
16.
.
При вычислении предела иррациональноо в ыражения ино-
да переводят иррациональность из числителя в знаменатель или
наоборот.
Пример 4.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, за-
писанной под знаом предела, на выражение, сопряженное
числителю, получим
=
=
=0.
Ответ.0.
Вычислите предел:
17.
(–
x).
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
x(+
2
x). 24.
.
25.
.
26.
.
Использование предела
= 1. При вычислении пре-
делов выражений, содержащих трионометричесие фунции,
часто используют следующий предел:
=1.
(5)
xo1
lim
x
3
1
–
x
4
1
–
------------------
xo0
lim
1x
+1
–
1x
+
3
1
–
-----------------------------
xo1
lim
xx1
–1
–
+
x21
–
-------------------------------------------
xo0
lim
x21
+1
–
x
-------------------------------
xo0
lim
x21
+1
–
x
-------------------------------
xo0
lim
x2 11
–
+
xx
21
+1
+
()
----------------------------------------
-
xo0
lim
x2
xx
21
+1
+
()
----------------------------------------
-
xo×
lim
x21
+
xo0
lim
x24
+2
–
x29
+3
–
-------------------------------
xo3
lim
x3
–
x1
+2
–
----------------------------
xo9
lim 3
x
–
x5
–2
–
---------------------------
-
xo4
lim
x2
–
x5
+3
–
----------------------------
xo2
lim
x2
+2
–
x7
+3
–
----------------------------
xo×
–
lim
4x2 7
+
xo3
lim
x3
–
x21
–
3
2
–
-------------------------------
xo×
lim
9xx
24
–
–
x
----------------------------------
-
xo3
lim
x27
+4
–
x2 5x
–6
+
-------------------------------
xo0
lim
sin x
x
-------------
xo0
lim
sin x
x
-------------
§ 44. Непрерывность функции
207
Пример 5. Найтипредел
.
Решение. Используяформулу1–cos2x =2sin2x,пре-
образуем числитель дроби. Тода получим
=
=2
· sinx=0.
Ответ.0.
Пример 6. Найтипредел
.
Решение. Положимy=arcsinx,тодаx=siny.Учиты-
вая, что если x o 0, то arcsin x o 0, находим
=
=1.
Ответ.1.
Вычислите предел:
27.
.
28.
.
29.
nsin .
30.
.
31.
. 32.
.
33.
.
34.
.
§ 44. Непрерывность функции
Непрерывность фн
ции в точ
е. Фунцию f(x), опреде-
ленную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе
x0 Ý (a; b), если:
1) существует предел
f(x);
2) этот предел равен значению фунции в точе x0, т. е.
f(x) = f(x0).
xo0
lim 1cos2x
–
x
---------------------------
xo0
lim 1cos2x
–
x
---------------------------
xo0
lim 2sin2x
x
---------------------
xo0
lim sin x
x-------------
xo0
lim
xo0
lim arcsin x
x
----------------------
xo0
lim arcsin x
x
----------------------
yo0
lim y
sin y
-------------
xo0
lim sin nx
sin mx
-------------------
xoa
lim sinx sina
–
xa
–
---------------------------------
no×
lim
π
n---
xo 2–
lim tg πx
x2+
--------------
xoπ/4
lim sinx cosx
–
1tgx
–
---------------------------------
xoπ/3
lim tg3 x 3tgx
–
cosxπ
6---
+
------------------------------------
xoπ/3
lim
sinxπ
3---–
12cosx
–
------------------------------
xoπ
lim
1 sinx
2---
–
πx–
-----------------------
xox0
lim
xox0
lim
206
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Вычислите предел:
14.
.
15.
.
16.
.
При вычислении предела иррациональноо выражения ино-
да переводят иррациональность из числителя в знаменатель или
наоборот.
Пример4.Вычислитьпредел
.
Р е ше н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, за-
писанной под знаом предела, на выражение, сопряженное
числителю, получим
=
=
=0.
Ответ.0.
Вычислите предел:
17.
(–
x).
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
x(+
2
x). 24.
.
25.
.
26.
.
Использование предела
= 1. При вычислении пре-
делов выражений, содержащих трионометричесие фунции,
часто используют следующий предел:
=1.
(5)
xo1
lim x3 1–
x4 1–
------------------
xo0
lim 1 x+1
–
1x
+
3
1–
-----------------------------
xo1
lim xx1–1
–
+
x2 1–
-------------------------------------------
xo0
lim x2 1+1
–
x
-------------------------------
xo0
lim x2 1+1
–
x
-------------------------------
xo0
lim x2 11
–
+
xx2 1+1
+
()
-----------------------------------------
xo0
lim
x2
xx2 1+1
+
()
-----------------------------------------
xo×
limx21
+
xo0
lim x2 4+2
–
x2 9+3
–
-------------------------------
xo3
limx3–
x 1+2
–
----------------------------
xo9
lim3x
–
x 5–2
–
----------------------------
xo4
lim x2–
x 5+3
–
----------------------------
xo2
lim x 2+2
–
x 7+3
–
----------------------------
xo×
–
lim 4x2 7
+
xo3
lim x3–
x2 1–
3
2–
-------------------------------
xo×
lim 9xx
24
–
–
x
-----------------------------------
xo3
lim x2 7+4
–
x2 5x
–6
+
-------------------------------
xo0
lim sin x
x-------------
xo0
lim sin x
x-------------
§ 44. Непрерывность функции
207
Пример 5. Найтипредел
.
Решение. Используяформулу1–cos2x =2sin2x, пре-
образуем числитель дроби. Тода получим
=
=2
·
sinx=0.
Ответ.0.
Пример 6. Найтипредел
.
Решение. Положимy=arcsinx,тодаx=siny.Учиты-
вая, что если x o 0, то arcsin x o 0, находим
=
=1.
Ответ.1.
Вычислите предел:
27.
.
28.
.
29.
n sin
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
§ 44. Непрерывность функции
Непрерывность фн
ции в точ
е. Фунцию f(x), опреде-
ленную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе
x0 Ý (a; b), если:
1) существует предел
f(x);
2) этот предел равен значению фунции в точе x0, т. е .
f(x) = f(x0).
xo0
lim
1c
o
s
2x
–
x
---------------------------
xo0
lim
1c
o
s
2x
–
x
---------------------------
xo0
lim
2sin2x
x
---------------------
xo0
lim
sin x
x
-------------
xo0
lim
xo0
lim
arcsin x
x
----------------------
xo0
lim
arcsin x
x
----------------------
yo0
lim
y
sin y
-------------
xo0
lim
sin nx
sin mx
-------------------
xoa
lim
sinx sina
–
xa
–
---------------------------------
no×
lim
π
n
---
xo2
–
lim
tgπx
x2
+
--------------
xoπ/4
lim
sinx cosx
–
1t
gx
–
---------------------------------
xoπ/3
lim
tg3 x 3tgx
–
cos x
π
6
---
+
------------------------------------
xoπ/3
lim
sin x
π
3
---
–
12c
o
s
x
–
------------------------------
xoπ
lim
1 sin
x
2
---
–
πx
–
-----------------------
xox0
lim
xox0
lim
208
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x0 со-
стоит в провере справедливости равенства
f(x) = f(x0).
(1)
Пример 1.Доазать, чтофунцияf(x)=3x2+5непре-
рывнавточеx=2.
Р е ше н и е. Используя свойства пределов, имеем
(3x2+5)=3
x2+5=17.
С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17.
Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фун-
ция не прерывна в точе x = 2.
Доажите непрерывность фунции в уазанной точе:
1.f(x)=x2–2x+1вточеx=1.
2. f(x) =
вточеx=
.
3. f(x) =
вточеx=1.
4. f(x) =
вточеx=0.
5. f(x) =
вточеx=0.
6. f(x) =
вточеx=0.
7. f(x) =
вточеx=0.
Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной
на промежуте (a; b), в точе x0 Ý (a; b), в ряде случаев вместо
равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства
[f(x0 + ∆x) – f(x0)] = 0,
(2)
при выполнении отороо фунция не прерывна в точе x0.
xox0
lim
xo2
lim
xo2
lim
1c
o
s
2
x
+
cos x
----------------------------
π
4
---
x2, xl1,
1,
x<1
,
x−0,
1,
x=0
sin x
x
-------------
e–1/x, x − 0,
0,
x=0
(1+x)1/x, x−0,
e,
x=0
,
x−0,
,
x=0
1x
+1
x
+
3
–
x
--------------------------------------------
1
6
---
∆xo0
lim
§ 44. Непрерывность функции
209
Пример 2. Доазать,чтофунцияf(x) = sin x непрерыв-
на при любом значении арумента x.
Р е ше н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной
фунции:
sin(x+∆x)–sinx=2sin cos
.
Воспользовавшись тем, что
=1, cos x+
m1,
а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем
[sin(x+∆x)–sinx]=0.
Доажите непрерывность фунции на всей области ее опре-
деления:
8. f(x) = x2.
9.f(x)=cosx.
10.f(x)=lnx.
11.f(x)=ex.
При доазательстве непрерывности фунций часто исполь-
зуют следующее утверждение.
Если фун ции f(x) и g(x) непрерывны в точ е x0, то их сум-
ма, разность, произведение и частное (при условии g(x0) − 0)
непрерывны в точ е x0.
П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции
f(x) =
на всей числовой прямой.
Р е ше н и е. Та а фунция f(x) представляет собой от-
ношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду поло-
жителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из
непрерывности в этой точе числителя и знаменателя.
12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w =
(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения.
13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей чис-
ловой прямой?
∆x
2------- 2x ∆x
+
2
----------------------
∆xo0
lim
sin ∆x
2-------
∆x
2-------
-----------------
∆x
2-------
∆xo0
lim
2x2 2–
x2 1+
--------------------
az b+
czd
+
-----------------
208
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x0 со-
стоит в провере справедливости равенства
f(x) = f(x0).
(1)
Пример1.Доазать,чтофунцияf(x)=3x2+5непре-
рывнавточеx=2.
Р е ше н и е. Используя свойства пределов, имеем
(3x2+5)=3 x2+5=17.
С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17.
Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фун-
ция непрерывна в точе x = 2.
Доажите непрерывность фунции в уазанной точе:
1.f(x)=x2–2x+1вточеx=1.
2. f(x) =
вточеx= .
3. f(x) =
вточеx=1.
4. f(x) =
вточеx=0.
5. f(x) =
вточеx=0.
6. f(x) =
вточеx=0.
7. f(x) =
вточеx=0.
Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной
на промежуте (a; b), в точе x0 Ý (a; b), в ряде случаев вместо
равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства
[f(x0 + ∆x) – f(x0)] = 0,
(2)
при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x0.
xox0
lim
xo2
lim
xo2
lim
1cos2x
+
cos x
----------------------------
π
4---
x2, xl1,
1, x<1
, x−0,
1, x=0
sin x
x-------------
e–1/x, x − 0,
0, x=0
(1+x)1/x, x−0,
e,
x=0
, x−0,
,
x=0
1x
+1
x
+
3
–
x
--------------------------------------------
1
6---
∆xo0
lim
§ 44. Непрерывность функции
209
Пример 2. Доазать,чтофунцияf(x) = sin x непрерыв-
на при любом значении арумента x.
Р е ше н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной
фунции:
sin(x+∆x)–sinx=2sin
cos
.
Воспользовавшись тем, что
=1, cosx+
m1,
а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем
[sin(x+∆x)–sinx]=0.
Доажите непрерывность фунции на всей области ее опре-
деления:
8. f(x) = x2.
9.f(x)=cosx.
10.f(x)=lnx.
11.f(x)=e
x
.
При доазательстве непрерывности фунций часто исполь-
зуют следующее утверждение.
Если фун ции f(x) и g(x) непрерывны в точ е x0, то их сум-
ма, разность, произведение и частное (при условии g(x0) − 0)
непрерывны в точ е x0.
П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции
f(x) =
на всей числовой прямой.
Р е ше н и е. Та а фунция f(x) представляет собой от-
ношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду поло-
жителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из
непрерывности в этой точе числителя и знаменателя.
12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w =
(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения.
13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей чис-
ловой прямой?
∆x
2
-------
2x ∆x
+
2
----------------------
∆xo0
lim
sin
∆x
2
-------
∆x
2
-- -- ---
-----------------
∆x
2
-------
∆xo0
lim
2x2 2
–
x21
+
--------------------
azb
+
czd
+
-----------------
210
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Устранимый разрыв. Если
f(x) существует, но фун-
ция не определена в точе x0, то оворят, что x0 — точа ст-
ранимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фун-
цию f(x) по непрерывности, полаая
(x0) =
f(x).
(3)
П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) =
в точе
x = 2 по непрерывности.
Решение. Точа x = 2 не принадлежит области опреде-
ления данной фунции, но
=
(x+2)=4.
Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4,
получаем фунцию
(x) =
оторая на всей области определения исходной фунции сов па-
дает с этой фунцией и является непрерывной на всей число-
вой прямой.
Ответ.(
2
)=4
.
Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазан-
ной точе:
14. f(x) =
вточеx=0.
15. f(x) =
вточеx=0.
16. f(x) =
вточеx=0.
17. f(x) =
вточеx=81.
xox0
lim
ff
xox0
lim
x24
–
x2
–
----------------
xo2
lim
x24
–
x2
–
----------------
xo2
lim
ff
при x−2,
4п
р
и
x=2,
x24
–
x2
–
----------------
ff
sin x
x
-------------
exex
–
–
x
---------------------
1x
+1
x
–
–
x
-------------------------------------------
3x
–
9x
–
-----------------
-
§ 44. Непрерывность функции
211
Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непре-
рывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей
числовой прямой):
18. f(x) =
19. f(x) =
20. f(x) =
вточеx=0.
21. f(x) =
вточеx=0.
22. f(x) =
вточеx=0.
23.f(x)=
вточеx=1.
Односторонняя непрерывность и односторонние пределы.
Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x0). Число A
называют левым пределом фнции f(x) в точе x0 и пишут
f(x) = A,
если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом
x Ý (a; x0), удовлетворяющем неравенству x0 – δ(ε) < x, выпол-
няется неравенство |f(x) – A| < ε.
Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x0 слева,
если точа x0 принадлежит области определения фунции и
f(x) = f(x0).
Аналоично определяются правый предел фунции и непре-
рывность фунции справа.
, x−3,
A,
x=3.
x2 5x
–6
+
x3–
-------------------------------
, x−0,
A,
x=0.
2 1/x2
–
, x−0,
A,
x=0
sin 3x
sin 2x
-----------------
, x−0,
A,
x=0
1cosx
–
sin2 x
-----------------------
, x−0,
A,
x=0
x2
1cosmx
–-----------------------------
(1–x)tg , x−1,
A,
x=1
πx
2-------
xox0 0–
lim
xox0 0–
lim
210
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Устранимый разрыв. Если
f(x) существует, но фун-
ция не определена в точе x0, то оворят, что x0 — точа ст-
ранимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фун-
цию f(x) по непрерывности, полаая
(x0) =
f(x).
(3)
П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) =
в точе
x = 2 по непрерывности.
Решение. Точа x = 2 не принадлежит области опреде-
ления данной фунции, но
= (x+2)=4.
Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4,
получаем фунцию
(x) =
оторая на всей области определения исходной фунции совпа-
дает с этой фунцией и является непрерывной на всей число-
вой прямой.
Ответ.(2)=4.
Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазан-
ной точе:
14.f(x)= вточеx=0.
15. f(x) =
вточеx=0.
16. f(x) =
вточеx=0.
17. f(x) =
вточеx=81.
xox0
lim
ff
xox0
lim
x2 4–
x2–
----------------
xo2
lim x2 4–
x2–
----------------
xo2
lim
ff
при x−2,
4п
р
и
x=2,
x2 4–
x2–
----------------
ff
sin x
x-------------
exex–
–
x
---------------------
1x
+1x–
–
x
-------------------------------------------
3x
–
9x
–
------------------
§ 44. Непрерывность функции
211
Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непре-
рывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей
числовой прямой):
18. f(x) =
19. f(x) =
20. f(x) =
вточеx=0.
21. f(x) =
вточеx=0.
22. f(x) =
вточеx=0.
23.f(x)=
вточеx=1.
Односторонняя непрерывность и односторонние пределы.
Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x0). Число A
называют левым пределом фнции f(x) в точе x0 и пишут
f(x) = A,
если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом
x Ý (a; x0), удовлетворяющем неравенству x0 – δ(ε) < x, выпол-
няется неравенство
|f(x)–A|<ε.
Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x0 слева,
если точа x0 принадлежит области определения фунции и
f(x) = f(x0).
Аналоично определяются правый предел фунции и непре-
рывность фунции справа.
,
x−3,
A,
x=3.
x2 5x
–6
+
x3
–
-------------------------------
,
x−0,
A,
x=0.
2 1/x2
–
,
x−0,
A,
x=0
sin3x
sin2x
-----------------
,
x−0,
A,
x=0
1c
o
s
x
–
sin2 x
-----------------------
,
x−0,
A,
x=0
x2
1c
o
s
mx
–
-----------------------------
(1–x)tg , x−1,
A,
x=1
πx
2
-------
xox0 0
–
lim
xox0 0
–
lim
212
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Левый и правый пределы фунции называют односторон-
ними пределами, а не прерывность фунции слева и справа
объединяют термином «односторонняя непрерывность».
Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x0, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа
в точе x0.
П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять па-
раметры a и b, чтобы фунция
f(x) =
была непрерывной?
Р е ше н и е. Вычислим левый и правый пределы данной
фунции в точе x = 1:
(x–1)=0,
(ax2+bx)=a+b.
Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и
f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось раве нство a + b = 0.
Ответ.a+b=0.
Подберите параметры, входящие в определение фунции,
та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной:
24. f(x) =
25. f(x) =
26. f(x) =
27. f(x) =
28. f(x) =
x–1
при xm1,
ax2+bx при x>1
xo10
–
lim
xo10
+
lim
ax+1,
xm;
sinx+b, x> .
π
2
---
π
2
---
x2, xm1;
ax, x>1.
|x2–5x+6|, x>2;
ax–b,
xm2.
|x2–5x+6|, x<3;
ax–b,
xl3.
,
x<1;
ax2+bx+1, xl1.
2
1
x1
–
-------------
§ 45. Разные задачи
213
29. f(x) =
30. f(x) =
31. f(x) =
§ 45. Разные задачи
Вычислите предел:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
:
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
+1, x>0;
–x2+b, xm0.
3
x2 1+
-----------------
x2+x+1, xl–1;
sin(π(x+a)), x<1.
x+3, xm3;
a·2x, x>3.
xo0
lim cosxsinx tgx
–
x2sinx
----------------------------------------------
xoπ/4
lim 1ctg3 x
–
2ctgx
–c
t
g
3x
–
-----------------------------------------------
xo1
lim x3 1–
x25x6–
+
-------------------------------
xo0
lim sin 2x π–
()
cos3x π
2---+
-----------------------------------
xoπ
lim sin 2x
1cos3 x
+
---------------------------
xo0
lim 2x 1+1
–
3x 4+2
–
--------------------------------
xo0
lim 1cosx
–
sin3 x
-----------------------
xoa
lim tgx tga
–
xa
–
----------------------------
xoa
lim sinx sina
–
cosx cosa
–
----------------------------------
xoa
lim sinx sina
–
tgx tga
–
---------------------------------
xoπ/4
lim sinx cosx
–
tgx ctgx
–
---------------------------------
xoπ/4
lim sinx cosx
–
tgx 1–
---------------------------------
xo0
lim tgx sinx
–
x3
-------------------------------
xoπ/4
lim
cos π
4--- x
+
1tgx
–
--------------------------------
xoπ/4
lim cos 2x
cosx 2
2-------
–
----------------------------
xo3π/2
lim sin 2x
1 sinx
+
------------------------
xoπ/2
lim cos x
π2x
–-----------------
xo0
lim tgx
1cosx
–-----------------------
xoπ/3
lim
sin π
3--- x–
2cosx 1–
-------------------------------
xo0
lim xsinx
1cosx
–-----------------------
212
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
Левый и правый пределы фунции называют односторон-
ними пределами, а непрерывность фунции слева и справа
объединяют термином «односторонняя непрерывность».
Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x0, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа
в точе x0.
П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять па-
раметры a и b, чтобы фунция
f(x) =
была непрерывной?
Р е ше н и е. Вычислим левый и правый пределы данной
фунции в точе x = 1:
(x–1)=0,
(ax2+bx)=a+b.
Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и
f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство a + b = 0.
Ответ.a+b=0.
Подберите параметры, входящие в определение фунции,
та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной:
24. f(x) =
25. f(x) =
26. f(x) =
27. f(x) =
28. f(x) =
x–1 при xm1,
ax2+bx при x>1
xo10
–
lim
xo10
+
lim
ax+1, xm ;
sinx+b, x> .
π
2---
π
2---
x2, xm1;
ax, x>1.
|x2–5x+6|, x>2;
ax–b,
xm2.
|x2–5x+6|, x<3;
ax–b,
xl3.
,
x<1;
ax2+bx+1, xl1.
2
1
x 1–-------------
§ 45. Разные задачи
213
29. f(x) =
30. f(x) =
31. f(x) =
§ 45. Разные задачи
Вычислите предел:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
:
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
+1, x>0;
–x2+b,
xm0.
3
x21
+
-----------------
x2+x+1,
xl–1;
sin(π(x+a)), x<1.
x+3, xm3;
a·2x, x>3.
xo0
lim
cosxsinx tgx
–
x2sinx
----------------------------------------------
xoπ/4
lim
1c
t
g3x
–
2c
t
gx
–c
t
g
3x
–
-----------------------------------------------
xo1
lim
x31
–
x25x6
–
+
-------------------------------
xo0
lim
sin2x π
–
()
cos3 x
π
2
---
+
----------------------------------
-
xoπ
lim
sin2x
1c
o
s
3x
+
---------------------------
xo0
lim
2x1
+1
–
3x4
+2
–
--------------------------------
xo0
lim
1c
o
s
x
–
sin3 x
-----------------------
xoa
lim
tgx tga
–
xa
–
----------------------------
xoa
lim
sinx sina
–
cosx cosa
–
---------------------------------
-
xoa
lim
sinx sina
–
tgx tga
–
---------------------------------
xoπ/4
lim
sinx cosx
–
tgx ctgx
–
---------------------------------
xoπ/4
lim
sinx cosx
–
tgx 1
–
---------------------------------
xo0
lim
tgx sinx
–
x3
-------------------------------
xoπ/4
lim
cos
π
4
---
x
+
1t
gx
–
-------------------------------
-
xoπ/4
lim
cos 2x
cos x
2
2
-------
–
----------------------------
xo3π/2
lim
sin2x
1 sinx
+
-----------------------
-
xoπ/2
lim
cos x
π2x
–
-----------------
xo0
lim
tgx
1c
o
s
x
–
-----------------------
xoπ/3
lim
sin
π
3
---
x
–
2cosx 1
–
-------------------------------
xo0
lim
xsinx
1c
o
s
x
–
-----------------------
214
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
[(1 – sin x)tg2 x].
32.
(a – x)sec
.
33.
sin
tg
.
34.
.
35.
tg.
36.
sin
.
37.
.
38.
.
39.
(sinx–cosx)tg +x
.
Проверьте справедливость неравенства:
40.
>
+
.
41.
+
> lg 0,005.
Доопределите фунцию по непрерывности:
42. f(x) =
вточеx=3.
xoπ/2
lim
sec2x 1
+
cos x
----------------------------
xoπ
lim
1c
o
s
2x
–
tg2 x
---------------------------
xoπ/2
lim
1c
o
s
2
x
+
ctg2 x
----------------------------
xoa
lim
sin2 x sin2 a
–
sin xa
–
()
---------------------------------------
xoπ/2
lim
1s
i
n
x
–
cos2 x
-----------------------
xoπ/4
lim
sin
π
4
---
x
–
cos2 x
1
2
---
–
-------------------------------
xo0
lim
tgx sinx
–
sin3 x
-------------------------------
xoa
lim
tg2x tg2a
–
tg xa
–
()
----------------------------------
xoa
lim
cos2 x cos2 a
–
sin
xa
–
2
-------------
---------------------------------------
xo0
lim
tg3x tg3x
–
tgx
-----------------------------------
xoπ/4
lim
tg2x tgx 2
–
+
sinx cosx
–
------------------------------------------
xoπ/2
lim
xoa
lim
πx
2a
-------
xoa
lim
ax
–
2
-------------
πx
2a
-------
xoarctg3
lim
tg2 x 2tgx
–3
–
tg2 x 4tgx
–3
+
-----------------------------------------------
xo0
lim
1
x
---
x
2
---
xo×
lim
2x
a
2x
------
xo0
lim
1c
o
s
3x
–
xsinxcosx
---------------------------------
xo0
lim
1s
i
n
x
+1
s
i
n
x
–
–
x
-------------------------------------------------------------
xoπ/4
lim
π
4
---
xo×
lim
2x3
+
xx
3
+
-------------------
xo1/2
lim
2x2 5x
–3
–
4x2 18x
–1
0
–
-----------------------------------------
xo0
lim
sin2 x
2
---
x2
----------------
xo0
lim
1xx
2
++1
–
x
------------------------------------------
xoπ/4
lim
22c
o
s
x
–
sin x
π
4
---
–
--------------------------------
-
x3
–
x21
–
3
2
–
-------------------------------
§ 45. Разные задачи
215
43. f(x) =
вточеx=0.
44. f(x) =
вточеx=0.
Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) ста-
нет непрерывной:
45. f(x) =
вточеx=3.
46. f(x) =
2x4+
–
sin 2x
----------------------------
cos2 x sin2 x
–1
–
x2 1+1
–
-------------------------------------------------
, x−3,
A,
x=3
x2 7+4
–
x2 5x
–6
+
-------------------------------
, x−2,
A,
x=2.
2x2+16
–
4x 24
–
----------------------------
214
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
[(1 – sin x)tg2 x].
32.
(a–x)sec .
33.
sintg.
34.
. 35.
tg.
36.
sin .
37.
.
38.
.
39.
(sinx–cosx)tg +x .
Проверьте справедливость неравенства:
40.
>
+
.
41.
+
> lg 0,005.
Доопределите фунцию по непрерывности:
42. f(x) =
вточеx=3.
xoπ/2
lim sec 2x 1+
cos x
----------------------------
xoπ
lim 1cos2x
–
tg2 x
---------------------------
xoπ/2
lim 1cos2x
+
ctg2 x
----------------------------
xoa
lim sin2 x sin2 a
–
sin xa
–
()
---------------------------------------
xoπ/2
lim 1sinx
–
cos2 x
-----------------------
xoπ/4
lim
sin π
4--- x–
cos2x 1
2---–
-------------------------------
xo0
lim tgx sinx
–
sin3 x
-------------------------------
xoa
lim tg2x tg2a
–
tg xa
–
()
----------------------------------
xoa
lim cos2 x cos2 a
–
sin xa
–
2-------------
---------------------------------------
xo0
lim tg3x tg3x
–
tgx
-----------------------------------
xoπ/4
lim tg2x tgx 2–
+
sinx cosx
–
------------------------------------------
xoπ/2
lim
xoa
lim
πx
2 a-------
xoa
lim
ax
–
2------------- π x
2 a-------
xoarctg3
lim tg2 x 2tgx
–3
–
tg2 x 4tgx
–3
+
-----------------------------------------------
xo0
lim
1
x--- x
2---
xo×
lim
2x a
2x------
xo0
lim 1cos3 x
–
xsinxcosx
---------------------------------
xo0
lim 1sinx
+1
s
i
n
x
–
–
x
-------------------------------------------------------------
xoπ/4
lim
π
4---
xo×
lim 2x 3+
xx
3
+
-------------------
xo1/2
lim 2x2 5x
–3
–
4x2 18x
–1
0
–
-----------------------------------------
xo0
lim
sin2 x
2---
x2
----------------
xo0
lim 1 xx2
++1
–
x
------------------------------------------
xoπ/4
lim 22cosx
–
sinxπ
4---–
---------------------------------
x3–
x2 1–
3
2–
-------------------------------
§ 45. Разные задачи
215
43. f(x) =
вточеx=0.
44. f(x) =
вточеx=0.
Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) ста-
нет непрерывной:
45. f(x) =
вточеx=3.
46. f(x) =
2x4
+
–
sin2x
----------------------------
cos2 x sin2 x
–1
–
x21
+1
–
-------------------------------------------------
,
x−3,
A,
x=3
x27
+4
–
x2 5x
–6
+
-------------------------------
,
x−2,
A,
x=2.
2x2
+
16
–
4x2
4
–
----------------------------
Глава 9
Производная и ее применения
§ 46. Нахождение производных
Нахождение производной непосредственно по ее определе-
нию. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рас-
смотрим предел отношения приращения фунции
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)(
1
)
приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x0) при
∆x, стремящемся нулю:
.(
2
)
Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет
производню в точе x0, или что f(x) дифференцирема в точ-
е x0. Производная фунции f(x) в точе x0 обозначается f′(x0).
Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x)
не дифференцирема в точе x0.
Задача, связанная с нахождением производной, исходя из
ее определения, залючается в непосредственном вычислении
предела (2).
П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x.
Р е ше н и е. Составим приращение фунции:
∆f(x0)=sin(x0+∆x)–sinx0.
Чтобы найти предел
,
в оспользуемся формулой
sin(x0+∆x)–sinx0=2sin
cos x0+
.
∆xo0
lim
∆ fx0
()
∆x
------------------
∆xo0
lim
sin x0 ∆x
+
()
sin x0
–
∆x
----------------------------------------------------------
-
∆x
2
-------
∆x
2
-------
§ 46. Нахождение производных
217
Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем
=
=
·
cos x0+ =cosx0.
Та а точа x0 выбрана произвольно, то залючаем, что
sinx =cosx.
Ответ.sinx = cos x.
Исходя из определения производной, найдите производную
данной фунции:
1.f(x)= .
2.f(x)=cosx.
3.f(x)=ex.
4.f(x)=lnx.
5.f(x)=xn.
6.f(x)=c.
Односторонние производные. Односторонние пределы
,
(3)
(4)
называют соответственно левой и правой производными (или
односторонними производными) фнции f(x) в точе x0 и
обозначают (x0) и (x0). Для существования производной
(x0) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая
и правая) существовали в точе x0 и были равны:
(x0) = (x0).
(5)
Пример2.Доазать,чтофунция
f(x) =
не дифференцируема в точе x = 1.
∆xo0
lim
2sin∆x
2------- cos x0
∆x
2-------
+
∆x
--------------------------------------------------------------
∆xo0
lim
sin ∆x
2-------
∆x
2-------
-----------------
∆xo0
lim
∆x
2-------
()
′
()
′
1
x---
∆xo–0
lim
∆fx0()
∆x
------------------
∆xo+0
lim
∆fx0()
∆x
------------------
f–′
f+′
f′
f+′
f–′
x, xl1,
x2, x<1,
Глава 9
Производная и ее применения
§ 46. Нахождение производных
Нахождение производной непосредственно по ее определе-
нию. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рас-
смотрим предел отношения приращения фунции
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)(
1
)
приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x0) при
∆x, стремящемся нулю:
.(
2
)
Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет
производню в точе x0, или что f(x) дифференцирема в точ-
е x0. Производная фунции f(x) в точе x0 обозначается f′(x0).
Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x)
не дифференцирема в точе x0.
Задача, связанная с нахождением производной, исходя из
ее определения, залючается в непосредственном вычислении
предела (2).
П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x.
Р е ше н и е. Составим приращение фунции:
∆f(x0)=sin(x0+∆x)–sinx0.
Чтобы найти предел
,
воспользуемся формулой
sin(x0+∆x)–sinx0=2sin cos x0+ .
∆xo0
lim
∆fx0()
∆x
------------------
∆xo0
lim
sin x0 ∆x
+
()
sin x0
–
∆x
-----------------------------------------------------------
∆x
2-------
∆x
2-------
§ 46. Нахождение производных
217
Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем
=
=
·
cos x0+
= cos x0.
Та а точа x0 выбрана произвольно, то залючае м, что
sinx =cosx.
Ответ.s
inx =cosx.
Исходя из определения производной, найдите производную
данной фунции:
1. f(x) =
.
2.f(x)=cosx.
3.f(x)=ex.
4.f(x)=lnx.
5.f(x)=x
n
.
6.f(x)=c.
Односторонние производные. Односторонние пределы
,
(3)
(4)
называют соответственно левой и правой производными (или
односторонними производными) фнции f(x) в точе x0 и
обозначают
(x0) и (x0). Для существования производной
(x0) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая
и правая) существовали в точе x0 и были равны:
(x0) = (x0).
(5)
Пример2.Доазать,чтофунция
f(x) =
не дифференцируема в точе x = 1.
∆xo0
lim
2 sin
∆x
2
-------
cos x0
∆x
2
-------
+
∆x
--------------------------------------------------------------
∆xo0
lim
sin
∆x
2
-------
∆x
2
-------
-----------------
∆xo0
lim
∆x
2
-------
()
′
()
′
1
x
---
∆xo–0
lim
∆fx0
()
∆x
------------------
∆xo+0
lim
∆ fx0
()
∆x
------------------
f–
′
f+
′
f′
f+
′
f–
′
x, xl1,
x2, x<1,
218
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ше н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1:
∆f(1)=f(1+∆x)–f(1)=
или, после преобразований,
∆f(1) =
Далее, используя определения (3) и (4), имеем
(1) =
=2,
(1) =
=1.
Та а (1) − (1), то производная (x) в точе x = 1 не су-
ществует.
Доажите недифференцируемость фунции в уазанной
точе:
7. f(x) = |x|пр
иx=0.
8.f(x)=|x2–5x+6| при x=2иx=3.
9. f(x) =
при x=1.
10. Поажите, что фунция
f(x) =
не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной.
11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в
точеx=0.
Производные ос новных элементарных фн
ций
xα =αxα–1
,
(6)
ax =axlna, a>0, ex =ex,(
7
)
logax =
, a>0, a−1, lnx =
,
(8)
sinx =cosx,(
9
)
cosx = –sinx,(
1
0
)
∆x,
∆xl0,
(1+∆x)2–1, ∆x<0,
∆x,
∆xl0,
2∆x+(∆x)2, ∆x<0.
f–
′
∆xo–0
lim
2∆x ∆x
()2
+
∆x
----------------------------------
f+
′
∆xo+0
lim
∆x
∆x
-------
f+
′
f–
′
f′
x,
xm1,
2–x, x>1
xsin , x−0,
0,
x=0
1
x
---
()′
()′
()′
()
′
1
xlna
---------------
()
′
1
x
---
()
′
()
′
§ 46. Нахождение производных
219
tgx =
,
(11)
ctgx =– ,
(12)
arcsin x =
,
(13)
arctg x =
.
(14)
Правила дифференцирования
Пусть c— постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые
фунции; тода справедливы следующие формулы:
c′=0,
(15)
f(x)+g(x)=(x)+ (x),
(16)
f(x)g(x) = (x)g(x) + (x)f(x),
(17)
=
.
(18)
Теорема о дифференцировании сложной фнции. Пусть
фун ция y = f(x) имеет производную в точ е x0, а фун ция
g(y) имеет производную в точ е y0 = f(x0); то да сложная фун -
ция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точ е x0, равную
(x0) = (y0)(x0).
(19)
П р и м е р 3. Найти производную фунции
F(x)=(x2+x+1)100.
Решение.Полааяy=f(x)=x2+x+1,g(y)=y100,
имеем
(y) = 100y99,(
x)=2x+1.
Тода, соласно формуле (19), находим
(x)=100(x2+x+1)99(2x+1).
Ответ.(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1).
()
′1
cos2 x
----------------
()
′
1
sin2 x
----------------
()
′1
1x2
–
--------------------
()
′1
1x2
+-----------------
()
′f′g′
()
′f′
g′
fx()
gx()
------------
′ f′ x()gx() g′ x()fx()
–
g2 x()
----------------------------------------------------------
F′
g′ f′
g′
f′
F′
F′
218
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ше н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1:
∆f(1)=f(1+∆x)–f(1)=
или, после преобразований,
∆f(1) =
Далее, используя определения (3) и (4), имеем
(1) =
=2, (1)=
=1.
Та а (1) − (1), то производная (x) в точе x = 1 не су-
ществует.
Доажите недифференцируемость фунции в уазанной
точе:
7. f(x) = |x|приx = 0.
8.f(x)=|x2–5x+6| при x=2иx=3.
9. f(x) =
при x=1.
10. Поажите, что фунция
f(x) =
не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной.
11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в
точеx=0.
Производные основных элементарных фн
ций
xα =αxα–1,
(6)
ax =axlna, a>0, ex =ex,(
7
)
logax= ,a>0,a−1,lnx=, (8)
sinx =cosx,(
9
)
cosx =–sinx,(
1
0
)
∆x,
∆xl0,
(1+∆x)2–1, ∆x<0,
∆x,
∆xl0,
2∆x+(∆x)2, ∆x<0.
f–′
∆xo–0
lim 2∆x ∆x()2
+
∆x
----------------------------------
f+′
∆xo+0
lim ∆x
∆x-------
f+′
f–′
f′
x, xm1,
2–x, x>1
xsin , x−0,
0,
x=0
1
x---
()′
()′
()′
()
′1
xlna
---------------
()
′1
x---
()
′
()
′
§ 46. Нахождение производных
219
tgx =
,
(11)
ctgx=–
,
(12)
arcsin x =
,
(13)
arctg x =
.
(14)
Правила дифференцирования
Пусть c— постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые
фунции; тода справедливы следующие формулы:
c′=0,
(15)
f(x)+g(x)=(x)+ (x),
(16)
f(x)g(x) = (x)g(x) + (x)f(x),
(17)
=
.
(18)
Теорема о дифференцировании сложной фнции. Пусть
фун ция y = f(x) имеет производную в точ е x0, а фун ция
g(y) имеет производную в точ е y0 = f(x0); то да сложная фун -
ция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точ е x0, равную
(x0) = (y0)(
x0).
(19)
П р и м е р 3. Найти производную фунции
F(x)=(x2+x+1)100.
Решение.Полааяy=f(x)=x2+x+1,g(y)=y100,
имеем
(y) = 100y99,(
x)=2x+1.
Тода, соласно формуле (19), находим
(x)=100(x2+x+1)99(2x+1).
Ответ.(
x)=100(x2+x+1)99(2x+1).
()
′
1
cos2 x
----------------
()
′
1
sin2 x
----------------
()
′
1
1x2
–
--------------------
()
′
1
1x2
+
-----------------
()
′
f′
g′
()
′
f′
g′
fx
()
gx
()
------------
′ f′x
()gx
()g′ x
()fx
()
–
g2x
()
----------------------------------------------------------
F′
g′ f′
g′
f′
F′
F′
220
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Найдите производную сложной фунции:
12.y =
.
13.y =
.
14.y =
.
15.y =
.
16. y = arctg
.
17.y =
.
18.y =
cos3x(3cos2x–5).
19.y =lncos
.
20.y =
.
Предварительно упростив выражение, найдите производ-
ную фунции:
21. f(x) =
.
22. f(x) =
.
23. f(x) =
.
24. f(x) =
25.f(x)=(
+1):
+
.
26. f(x) =
.
27. f(x) =
.
2x
+
2x
–
------------------
1x2
–
1x2
+
----------------
-
sin x
elnax2 bxc
++
()
1x
+
1x
–
--------------
ab
x
n
+
()
m
ab
x
n
–
()
m
-----------------------------
1
15
------
x1
–
x
-------------
tg2x 1
–
()
tg4x 10tg2x 1
++
()
3tg3 x
----------------------------------------------------------------------------------------
x1
+
()
x2
x
–
()
xxx x
++
-------------------------------------------------
x
2x2
–
+
3
1x2 x2
–
–
6
1x2
–
3
-------------------------------------------------------------------------------
1x2
–
()
1/2
–
1
1
1x2
–
()
1/2
–
1
–
------------------------------------------
++
2
–
2x2
–2
1
x2
–
–
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
(x2/m 9x2/n)( x1 m
–
n
–3
x1n
–
n
)
–
(x1/m 3x1/n)2 12x(mn)/(mn)
+
–
+
------------------------------------------------------------------------------------------------ .
1x4
–
1
1x2
+
---------------------
1x2
–
1
2
---
3
–
t3
–
3
t5 2t4 4t3
++
44t
–
t2
+
--------------------------------------
3
+
1
2t
–
--------------------
-
1
t
2
+
---------------------
+
------------------------------------------------------------------------------------
-
x2
+
()
2
x
-------
1
–
x 2
–
()
2
x
-- -- ---
1
+
–
2x2
+
–
()
:
2
x
---
1
+
2
x
-------
–
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ 46. Нахождение производных
221
28. f(x) =
.
29. f(x) =
.
30. f(x) =
.
31. f(x) =
+
·
.
Если фунция f(x) определена на неотором промежуте
[a; b], то в ачестве значений ее производных на онцах этоо
промежута принимают значения левой производной на пра-
вом онце и правой — на левом онце.
Пример4. Найти производную фунции f(x)=
=
на промежуте [0; 2].
Р е ше н и е. Выражение под знаом радиала представля-
ет собой полный вадрат, поэтому, соласно определению мо-
дуля, представим данную фунцию в следующем виде:
f(x)=|x–1|=
(*)
Дифференцируя f(x) по отдельности на промежутах [0; 1) и
(1; 2], получаем
(x) =
Та а левая и правая производные в точе x = 1 не совпада-
ют, то в этой точе производная не существует; в ачестве зна-
чений (x) на онцах промежута [0; 2] принимаем значения
левой производной фунции (*) в точе x = 2 в правой произ-
водной фунции (*) в точе x = 0.
Ответ.(x) =
2x2x21–
+
3
x1–
x1+
------------------ x 1+
x1–
------------------ 2
++
1/3
---------------------------------------------------------------------
x1–
x1+
-------------- x 1+
x 1–-------------- 2–
+2
xx
21
–
+
()
(x 1)3
+(
x 1)3
–
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
11x2
–
+1
x
+
()
3
1x–
()
3
–
()
21x2
–
+
---------------------------------------------------------------------------------------------------
ax3
4
a3x
4
–
ax
–
------------------------------------- 1 ax
+
ax
4
----------------------
2–
12a
x--- a
x---
++
x2 2x
–1
+
1–x, xÝ[0;1),
x–1, xÝ[1;2].
f′
–1, xÝ[0;1),
–1, xÝ(1;2].
f′
f′
–1, xÝ[0;1),
–1, xÝ(1;2].
220
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Найдите производную сложной фунции:
12.y=
.
13.y=
.
14.y=
.
15.y=
.
16.y=arctg .
17.y=
.
18.y= cos3x(3cos2x–5). 19.y=lncos .
20.y=
.
Предварительно упростив выражение, найдите производ-
ную фунции:
21. f(x) =
.
22. f(x) =
.
23. f(x) =
.
24. f(x) =
25.f(x)=(
+1):
+
.
26. f(x) =
.
27. f(x) =
.
2x
+
2x
–
------------------
1x2
–
1x2
+
-----------------
sin x
elnax2 bxc
++
()
1x
+
1 x–--------------
abxn
+
()
m
abxn
–
()
m
-----------------------------
1
15------
x1–
x-------------
tg2x 1–
()
tg4x 10tg2x 1
++
()
3tg3 x
----------------------------------------------------------------------------------------
x1+
()
x2x
–
()
xxx x
++
-------------------------------------------------
x2x2
–
+
3
1x2x2
–
–
6
1x2
–
3
-------------------------------------------------------------------------------
1x2
–
()
1/2
–
1
1
1x2
–
()
1/2
–
1–
------------------------------------------
++
2–
2x2
–2
1x2
–
–
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(x2/m 9x2/n)( x1 m
–
n
–3
x1 n–
n
)
–
(x1/m 3x1/n)2 12x(mn)/(mn)
+
–
+
------------------------------------------------------------------------------------------------ .
1x4
–
1
1x2
+
--------------------- 1 x2
–
1
2---
3–
t3
–
3
t5 2t4 4t3
++
44t
–t2
+
--------------------------------------
3
+
1
2t
–
--------------------- 1
t2
+
---------------------
+
-------------------------------------------------------------------------------------
x2+
()
2
x
------- 1–
x 2–
()
2
x
------- 1+
–
2x2+
–
()
:2
x--- 1+ 2
x
-------
–
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
§ 46. Нахождение производных
221
28. f(x) =
.
29. f(x) =
.
30. f(x) =
.
31. f(x) =
+
·
.
Если фунция f(x) определена на неотором промежуте
[a; b], то в ачестве значений ее производных на онцах этоо
промежута принимают значе ния левой производной на пра-
вом онце и правой — на левом онце.
При
м
е
р4
.Н
а
й
т
ип
р
о
и
з
в
о
д
н
у
юф
у
н
ц
и
и f(x)=
=
на промежуте [0; 2].
Р е ше н и е. Выражение под знаом радиала представля-
ет собой полный вадрат, поэтому, соласно определению мо-
дуля, представим данную фунцию в следующем виде:
f(x)=|x–1|=
(*)
Дифференцируя f(x) по отдельности на промежутах [0; 1) и
(1; 2], получаем
(x) =
Та а левая и правая производные в точе x = 1 не совпада-
ют, то в этой точе производная не существует; в ачестве зна-
чений (x) на онцах промежута [0; 2] принимае м значения
левой производной фунции (*) в точе x = 2 в правой произ-
водной фунции (*) в точе x = 0.
Ответ.(
x)=
2x2x21
–
+
3
x1
–
x1
+
------------------
x1
+
x1
–
------------------
2
++
1/3
---------------------------------------------------------------------
x1
–
x1
+
--------------
x1
+
x1
–
--------------
2
–
+2
xx
21
–
+
()
(x 1)3
+(
x 1)3
–
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
11x 2
–
+1
x
+
()
3
1x
–
()
3
–
()
21x 2
–
+
---------------------------------------------------------------------------------------------------
ax3
4
a3x
4
–
ax
–
-------------------------------------
1ax
+
ax
4
----------------------
2
–
12
a
x
---
a
x
---
++
x2 2x
–1
+
1–x, xÝ[0;1),
x–1, xÝ[1;2].
f′
–1, xÝ[0;1),
–1, xÝ(1;2].
f′
f′
–1, xÝ[0;1),
–1, xÝ(1;2].
222
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Найдите производную фунции:
32.f(x)=x
.
33. f(x) =
.
34. f(x) =
.
35.f(x)=
+
.
§ 47. Промежутки монотонности
и экстремумы функции
Исследование фн
ции на монотоннос ть. Говорят, что
фунция y = f(x) возрастает на промежте (a; b), если для
любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2
следует неравенство f(x1) < f(x2). Говорят, что фунция y = f(x)
бывает на промежте (a; b), если для любых x1 и x2, при-
надлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство
f(x1) > f(x2). Фунции, возрастающие (убывающие) на проме-
жуте (a; b), называют монотонными на этом промежте.
Достаточные словия монотонности фнции. Пусть
фун ция y = f(x) определена и дифференцируема на промежут-
е (a; b). Для то о чтобы фун ция была возрастающей на
промежут е (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие
(x)>0прилюбомxÝ(a;b).
Для то о чтобы фун ция была убывающей на промежут-
е (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие (x) < 0
при любом x Ý (a; b).
Точи, принадлежащие промежуту (a; b), в оторых про-
изводная равна нулю или не существует, называют ритиче-
x2x1
–
–
x1
–1
–
------------------------------------
2x
1
4
---
1
x
-------
x
+
2
1
–
2
1
4
---
1
x
-------
x
+
2
1
–
1
2
---
1
x
---
x
–
–
---------------------------------------------------------------------------------------------
1
x21
–
2x
----------------
2
+
x21
+
()
1
x2
------
----------------------------------------
-
x22x4
–
+
x22x4
–
–
f′
f′
§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции
223
сими точами фунции y = f(x). Из определения ритиче-
сой точи следует, что если производная фунции меняет
зна, то это может произойти тольо при переходе через ри-
тичесую точу. Таим образом, промежути убывания и воз-
растания (промежути монотонности) фунции f(x) ораниче-
ны ритичесими точами. Поэтому для нахождения проме-
жутов монотонности фунции необходимо:
1) найти ритичесие точи фунции f(x);
2) определить зна производной (x) внутри промежутов,
ораниченных ритичесими точами.
П р и м е р 1. Исследовать на возрастание и убывание
фунцию f(x) = xe–3x.
Р е ше н и е. Находим производную
(x) = e–3x – 3xe–3x = e–3x(1 – 3x).
Производная (x) существует всюду и обращается в нуль в точ-
е x = . Эта точа делит числовую прямую на два промежута:
–×; и ; +× . Та а фунция e–3x вседа положи-
тельна, то зна производной определяется вторым сомножите-
лем. На промежуте –×; выполняется неравенство (x) > 0,
а на промежуте ; +× — неравенство (x) < 0.
Ответ.Фунция f(x) возрастает на промежуте –×;
и убывает на промежуте ; +× .
Исследуйте на возрастание и убывание фунцию:
1. f(x) =
.
2.f(x)= .
3.f(x)= x–sin2x. 4.f(x)=2ln(x–2)–x2+4x+1.
5. f(x) =
.
6. f(x) =
.
f′
f′
f′
1
3---
1
3---
1
3---
1
3---
f′
1
3---
f′
1
3---
1
3---
x2 2–
2x3
+
------------------
x
lnx
----------
3
2---
2x 1–
x1–
()
2
---------------------
3x2
–
x
----------------
222
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Найдите производную фунции:
32.f(x)=x
.
33. f(x) =
.
34. f(x) =
.
35.f(x)=
+
.
§ 47. Промежутки монотонности
и экстремумы функции
Исследование фн
ции на монотонность. Говорят, что
фунция y = f(x) возрастает на промежте (a; b), если для
любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2
следует неравенство f(x1) < f(x2). Говорят, что фунция y = f(x)
бывает на промежте (a; b), если для любых x1 и x2, при-
надлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство
f(x1) > f(x2). Фунции, возрастающие (убывающие) на проме-
жуте (a; b), называют монотонными на этом промежте.
Достаточные словия монотонности фнции. Пусть
фун ция y = f(x) определена и дифференцируема на промежут-
е (a; b). Для то о чтобы фун ция была возрастающей на
промежут е (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие
(x)>0прилюбомxÝ(a;b).
Для то о чтобы фун ция была убывающей на промежут-
е (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие (x) < 0
при любом x Ý (a; b).
Точи, принадлежащие промежуту (a; b), в оторых про-
изводная равна нулю или не существует, называют ритиче-
x2x1–
–
x 1–1
–
------------------------------------
2x1
4--- 1
x
------- x
+
2
1–
21
4--- 1
x
------- x
+
2
1–1
2--- 1
x--- x
–
–
---------------------------------------------------------------------------------------------
1x21–
2x
----------------
2
+
x2 1+
()
1
x2------
-----------------------------------------
x22x4–
+
x22x4–
–
f′
f′
§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции
223
сими точами фунции y = f(x). Из определения ритиче-
сой точи следует, что если производная фунции меняет
зна, то это может произойти тольо при переходе через ри-
тичесую точу. Таим образом, промежути убывания и воз-
растания (промежути монотонности) фунции f(x) ораниче-
ны ритичесими точами. Поэтому для нахождения проме-
жутов монотонности фунции необходимо:
1) найти ритичесие точи фунции f(x);
2) определить зна производной (x) внутри промежутов,
ораниче нных ритичесими точами.
П р и м е р 1. Исследовать на возрастание и убывание
фунцию f(x) = xe–3x.
Р е ше н и е. Находим производную
(x)=e
–3x
–
3xe–3x
=e
–3x(1 – 3x).
Производная (x) существует всюду и обращается в нуль в точ-
еx=
. Эта точа делит числовую прямую на два промежута:
–×;
и
; +× . Та а фунция e–3x вседа положи-
тельна, то зна производной определяется вторым сомножите-
лем. На промежуте –×;
выполняется неравенство (x) > 0,
а на промежуте
; +× — неравенство (x) < 0.
Ответ.Фунция f(x) возрастает на промежуте –×;
и убывает на промежуте
;+× .
Исследуйте на возрастание и убывание фунцию:
1. f(x) =
.
2. f(x) =
.
3.f(x)= x –sin2x.
4.f(x)=2ln(x–2)–x2+4x+1.
5. f(x) =
.
6. f(x) =
.
f′
f′
f′
1
3
---
1
3
---
1
3
---
1
3
---
f′
1
3
---
f′
1
3
---
1
3
---
x22
–
2x3
+
------------------
x
lnx
----------
3
2
---
2x1
–
x1
–
()
2
---------------------
3x2
–
x
----------------
224
Г л а в а 9. Производная и ее применения
7. Найдите множество всех значений параметра a, при ото-
рых фунция
f(x)=sin2x–8(a–1)sinx+(4a2+8a–14)x
является возрастающей и не имеет ритичесих точе для всех
xÝR.
8. Найдите всех значения параметра a, при оторых фунция
y(x)=8ax–asin6x–7x–sin5x
возрастает и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.
Исследование фн
ции на э
стремм. Говорят, что фун-
ция y = f(x) имеет в точе x0 масимм (или минимм), если
найдется таая δ-орестность точи x0, принадлежащая облас-
ти определения фунции, что для всех x − x0, принадлежащих
промежуту (x0 – δ; x0 + δ), выполняется неравенство f(x) < f(x0)
(соответственно f(x) > f(x0)).
Точи масимума и минимума называют точами эстре-
мма, а значения фунции в этих точах — эс тремальными
значениями.
Необходимое словие сществования эстремма фн-
ции. Пусть фун ция f(x) дифференцируема на промежут е
(a; b). То да если в не оторой точ е x0 Ý (a; b) фун ция f(x)
дости ает э стремума, то (x0) = 0 .
Достаточное словие сществования эстремма фн-
ции. Пусть фун ция определена и непрерывна на промежут-
е (a; b) и на всем промежут е (за ис лючением, быть мо-
жет, онечно о числа точе ) дифференцируема. То да если при
переходе через ритичес ую точ у производная фун ции ме-
няет зна , то та ая ритичес ая точ а является точ ой
э стремума фун ции: точ ой ма симума, если зна меняет-
ся с плюса на минус, и точ ой минимума, если зна меняется
с минуса на плюс.
П р и м е р 2. Найти эстремум фунции
f(x) =
.
Р е ше н и е. Находим производную
(x) =
.
(*)
f′
2x2 x
–2
+
f′
1
2
---
4x1
–
2x2 x
–2
+
-----------------------------------
§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции
225
Приравниваем производную (x) нулю:
=0.
Отсюда получаем ритичесую точу x0 = . Из выражения (*)
видно,чтоеслиx> ,то (x)>0,аеслиx< ,то (x)<0,
т. е. при переходе через точу x0 = производная меняет зна
с минуса на плюс. Следовательно, x0 = — точа минимума,
причем f(x0) = . Знаменатель выражения (*) положителен
при x Ý R. Ита, друих ритичесих точе, роме x = ,
фунция f(x) не имеет.
Ответ. f(x)=f = .
Найдите эстремумы данной фунции:
19. f(x) =
.
10.f(x)=x+sin2x.
11. f(x) =
.
12. f(x) =
.
13.f(x)=2x3+3x2–12x+5. 14.f(x)= .
15.f(x)=2x3–6x2–18x+7. 16.f(x)=
.
С помощью исследования фунций на эстремум можно ус-
танавливать справедливость неоторых трансцендентных нера-
венств.
Пример 3. Доазать, что при x − 0 справедливо нера-
венство
ex–x>1.
Р е ше н и е. Рассмотрим фунцию
f(x)=ex–1–x
и найдем ее эстремум. Решив уравнение f′(x) = 0, т. е. уравне-
ниеex–1=0,получаемx=0.
f′
1
2--- 4x 1–
2x2 x–2
+
-----------------------------------
1
4---
1
4--- f′
1
4--- f′
1
4---
1
4---
15
8------
1
4---
min
xÝR
1
4---
15
8------
x2–
()
2x4
+
()
4
-----------------------------------------
xexx2
–
2x
x2 9+
-----------------
x
lnx
----------
x2 2x
–2
+
x1–
-------------------------------
224
Г л а в а 9. Производная и ее применения
7. Найдите множество всех значений параметра a, при ото-
рых фунция
f(x)=sin2x–8(a–1)sinx+(4a2+8a–14)x
является возрастающей и не имеет ритичесих точе для всех
xÝR.
8. Найдите всех значения параметра a, при оторых фунция
y(x)=8ax–asin6x–7x–sin5x
возрастает и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.
Исследование фн
ции на э
стремм. Говорят, что фун-
ция y = f(x) имеет в точе x0 масимм (или минимм), если
найдется таая δ-орестность точи x0, принадлежащая облас-
ти определения фунции, что для всех x − x0, принадлежащих
промежуту (x0 – δ; x0 + δ), выполняется неравенство f(x) < f(x0)
(соответственно f(x) > f(x0)).
Точи масимума и минимума называют точами эстре-
мма, а значения фунции в этих точах — эстремальными
значениями.
Необходимое словие сществования эстремма фн-
ции. Пусть фун ция f(x) дифференцируема на промежут е
(a; b). То да если в не оторой точ е x0 Ý (a; b) фун ция f(x)
дости ает э стремума, то (x0) = 0.
Достаточное словие сществования эстремма фн-
ции. Пусть фун ция определена и непрерывна на промежут-
е (a; b) и на всем промежут е (за ис лючением, быть мо-
жет, онечно о числа точе ) дифференцируема. То да если при
переходе через ритичес ую точ у производная фун ции ме-
няет зна , то та ая ритичес ая точ а является точ ой
э стремума фун ции: точ ой ма симума, если зна меняет-
ся с плюса на минус, и точ ой минимума, если зна меняется
с минуса на плюс.
П р и м е р 2. Найти эстремум фунции
f(x) =
.
Р е ше н и е. Находим производную
(x) =
.
(*)
f′
2x2 x–2
+
f′1
2--- 4x 1–
2x2 x–2
+
-----------------------------------
§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции
225
Приравниваем производную (x) нулю:
=0.
Отсюда получаем ритичесую точу x0 =
. Из выражения (*)
видно,чтоеслиx> ,то (x)>0,аеслиx< ,то (x)<0,
т. е . при переходе через точу x0 =
производная меняет зна
с минуса на плюс. Следовательно, x0 =
—
точа минимума,
причем f(x0) =
. Знаме натель выражения (*) положителен
при x Ý R. Ита, друих ритичесих точе, роме x =
,
фунция f(x) не имеет.
Ответ.
f(x)=f
=
.
Найдите эстремум ы данной фунции:
19. f(x) =
.
10.f(x) = x +sin2x.
11. f(x) =
.
12. f(x) =
.
13.f(x)=2x3+3x2–12x+5.
14. f(x) =
.
15.f(x)=2x3–6x2–18x+7.
16. f(x) =
.
С помощью исследования фунций на эстремум можно ус-
танавливать справедливость неоторых трансцендентных нера-
венств.
Пример 3. Доазать, что при x − 0 справедливо нера-
венство
ex–x>1.
Р е ше н и е. Рассмотрим фунцию
f(x)=ex–1
–
x
и найдем ее эстремум. Решив уравнение f′(x) = 0, т. е . уравне-
ние ex
–
1=0,получаемx=0.
f′
1
2
---
4x1
–
2x2 x
–2
+
-----------------------------------
1
4
---
1
4
---
f′
1
4
---
f′
1
4
---
1
4
---
15
8
------
1
4
---
min
xÝR
1
4
---
15
8
------
x2
–
()
2x4
+
()
4
----------------------------------------
-
xexx
2
–
2x
x29
+
-----------------
x
lnx
----------
x2 2x
–2
+
x1
–
-------------------------------
226
Г л а в а 9. Производная и ее применения
При x = 0 фунция f(x) достиает своео единственноо ми-
нимума, посольу производная (x) при переходе через точу
x=0меняетзнасминусанаплюс.Тааf(0)=0,топри
всех x − 0 справедливо неравенство f(x) > 0, т. е. ex – 1
–
x>0,
или ex – x > 1, что и требовалось доазать.
Доажите неравенство:
17.x –
<sinx<x при x>0.
18.cosx>1–
при x−0.
19.ln(1+x)<x при x>0.
§ 48. Наибольшее и наименьшее
значения функции
Пусть фунция f(x) определена и не прерывна на онечном
промежуте [a; b]. Для отысания наибольшео (наиме ньшео)
значения фунции необходимо найти все масимумы (миниму-
мы) фунции на промежуте (a; b), выбрать из них наиболь-
ший (наименьший) и сравнить ео со значениями фунции
вточахa и b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и явля-
ется наибольшим (наименьшим) значением фунции f(x) на про-
межуте [a; b]; оно обозначается
f(x) (соответстве нно
f(x)). При отысании наибольшео или наименьшео
значения фунции может оазаться, что внутри промежута
[a; b] производная существует во всех точах этоо промежута
и ни в одной ео точе не обращается в нуль (т. е . ритичесие
точи фунции отсутствуют). Это означает, что в рассматри-
в аемом промежуте фунция возрастает или убывает и, следо-
в ательно, достиает наибольшео и наименьшео значений на
онцах промежута.
П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значе ния
фунции f(x) = +
на промежуте [1; 6].
Решение. Таа
(x) =
–
,
f′
x3
6
------
x2
2
------
max
xÝ[a;b]
min
xÝ[a;b]
x
8
---
2
x
---
f′
1
8
---
2
x2
------
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
227
то единственной ритичесой точой, принадлежащей задан-
ному промежуту, является точа x = 4. Сравнивая значения
фунции в этой точе со значениями фунции на онцах про-
межута, получаем
f(4)=1, f(1)=2 , f(6)=1 ,
т. е. наименьшее значение f(x) достиается в точе x = 4, а
наибольшее — на левом онце промежута (при x = 1).
Ответ.
f(x)=f(1)=2 ;
f(x)=f(4)=1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на
уазанном промежуте:
1.f(x)=x5–x3+x+2, xÝ[–1;1].
2.f(x)=3x4+4x3+1, xÝ[–2;1].
3.f(x)=cos2 sinx, xÝ[0;π].
4.f(x)= cos2x+sinx, xÝ 0; .
5.f(x)= – sin2x+ cos3x–cosx, xÝ –; .
Инода при отысании наибольшео (наименьшео) значе-
ния фунции удобно использовать следующее свойство.
Если непрерывную фунцию F(x) на промежуте [a; b] мож-
но представить в виде F(x) = f(g(x)), де g(x) и f(y)—непрерыв-
ные фунции на промежутах x Ý [a; b] и y Ý [c; d] соответ-
ственно, c =
g(x), d =
g(x), то
F(x) =
f(y)и
F(x) =
f(y).
П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значения
фунции
F(x) =
на промежуте 0; .
1
8---
1
12------
max
xÝ[1;6]
1
8--- min
xÝ[1;6]
x
2---
1
2---
π
2---
x
2--- 1
4---
1
3---
π
2--- π
2---
min
xÝ[a;b]
max
xÝ[c;d]
max
xÝ[a;b]
max
xÝ[c;d]
min
xÝ[a;b]
min
xÝ[c;d]
sin 2x
sin π
4--- x
+
-----------------------------
π
2---
226
Г л а в а 9. Производная и ее применения
При x = 0 фунция f(x) достиает своео единственноо ми-
нимума, посольу производная (x) при переходе через точу
x=0меняетзнасминусанаплюс.Тааf(0)=0,топри
всехx−0справедливонеравенствоf(x)>0,т.е.ex–1–x>0,
или ex – x > 1, что и требовалось доазать.
Доажите неравенство:
17.x– <sinx<x при x>0.
18.cosx>1– при x−0.
19.ln(1+x)<x при x>0.
§ 48. Наибольшее и наименьшее
значения функции
Пусть фунция f(x) определена и непрерывна на онечном
промежуте [a; b]. Для отысания наибольшео (наименьшео)
значения фунции необходимо найти все масимумы (миниму-
мы) фунции на промежуте (a; b), выбрать из них наиболь-
ший (наименьший) и сравнить ео со значениями фунции
вточахa и b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и явля-
ется наибольшим (наименьшим) значением фунции f(x) на про-
межуте [a; b]; оно обозначается
f(x) (соответственно
f(x)). При отысании наибольшео или наименьшео
значения фунции может оазаться, что внутри промежута
[a; b] производная существует во всех точах этоо промежута
и ни в одной ео точе не обращается в нуль (т. е. ритичесие
точи фунции отсутствуют). Это означает, что в рассматри-
ваемом промежуте фунция возрастает или убывает и, следо-
вательно, достиает наибольшео и наименьшео значений на
онцах промежута.
П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения
фунции f(x) = + на промежуте [1; 6].
Решение. Таа
(x)=–,
f′
x3
6------
x2
2------
max
xÝ[a;b]
min
xÝ[a;b]
x
8--- 2
x---
f′1
8--- 2
x2------
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
227
то единственной ритичесой точой, принадлежащей задан-
ному промежуту, является точа x = 4. Сравнивая значения
фунции в этой точе со значениями фунции на онцах про-
межута, получаем
f(4)=1, f(1)=2 , f(6)=1
,
т. е . наименьшее значение f(x) достиается в точе x = 4, а
наибольшее — на левом онце промежута (при x = 1).
Ответ.
f(x)=f(1)=2 ;
f(x)=f(4)=1.
Найдите наибольшее и наименьшее значе ния фунции на
уазанном промежуте:
1.f(x)=x5–x3+x+2, xÝ[–1;1].
2.f(x)=3x4+4x3+1, xÝ[–2;1].
3.f(x)=cos2 sinx, xÝ[0;π].
4.f(x)= cos2x+sinx, xÝ 0; .
5. f(x) =
–
sin2x+ cos3x–cosx, xÝ –;
.
Инода при отысании наибольшео (наиме ньшео) значе-
ния фунции удобно использовать следующее свойство.
Если непрерывную фунцию F(x) на промежуте [a; b] мож-
но представить в виде F(x) = f(g(x)), де g(x) и f(y)—непрерыв-
ные фунции на промежутах x Ý [a; b] и y Ý [c; d] соответ-
ственно, c =
g(x), d =
g(x), то
F(x) =
f(y)и
F(x) =
f(y).
П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значения
фунции
F(x) =
на промежуте 0;
.
1
8
---
1
12
------
max
xÝ[1;6]
1
8
---
min
xÝ[1;6]
x
2
---
1
2
---
π
2
---
x
2
---
1
4
---
1
3
---
π
2
---
π
2
---
min
xÝ[a;b]
max
xÝ[c;d]
max
xÝ[a;b]
max
xÝ[c;d]
min
xÝ[a;b]
min
xÝ[c;d]
sin2x
sin
π
4
---
x
+
-----------------------------
π
2
---
228
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ше н и е. Используя формулы
sin
+x=
(sinx+cosx), sin2x=(sinx+cosx)2–1,
представим данную фунцию в виде сложной фунции
F(x)=f(g(x)), де
f(y) =
,
g(x)=sinx+cosx.
Будем исать наибольшее и наименьшее значения фунции
g(x). Критичесими точами этой фунции являются орни
уравнения
cosx–sinx=0,
из оторых промежуту 0;
принадлежит тольо x =
.
Сравнивая значения g(0), g
иg
, залючаем, что об-
ласть изменения фунции g(x) есть промежуто [1; ]. Д иф-
ференцируя, имеем
(y) =
1+
>0
на всей области определения фунции f(y), в том числе и при
y Ý [1; ]. Следовательно, фунция f(y) возрастает на проме-
жуте [1; ] и достиает наибольшео и наименьшео значе-
ния соответственно на правом и левом онце промежута:
f(y)=f( )=1,
f(y)=f(1)=0.
Эти же значения являются наибольшим и наименьшим и для
исходной фунции F(x).
Ответ.
F(x) = 1,
F(x) = 0.
Найдите наибольшее и наименьшее значе ния фунции:
6. f(x) =
,
xÝ π;
.
7.f(x)=
–
,
xÝR.
π
4
---
2
2
-------
y21
–
y
----------------
2
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
2
f′
2
1
y2
------
2
2
yÝ[1; 2]
max
2
gÝ[1; 2]
min
max
xÝ[0;π/2]
min
xÝ[0;π/2]
sin 2x
sin
π
4
---
x
+
-------------------------------
3π
2
-------
1
sinx 4
+
------------------------
1
cosx 4
–
-----------------------
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
229
8.f(x)=tgx+ctgx, xÝ ;.
9. Найдите наименьшее значение фунции
f(x) =
на промежуте [0; π].
Перейдем отысанию наибольшео и наименьшео значе-
ний фунций, содержащих зна модуля.
П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения
фунции
f(x)=|x2–5x+6|
(*)
на промежуте [0; 2,4].
Р е ше н и е. Чтобы расрыть модуль в выражении (*), най-
дем орни уравнения f(x) = 0. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0,
получаем x = 2, x = 3. Таим образом,
f(x) =
(**)
Из формул (**) видно, что на исследуемом промежуте [0; 2,4]
фунция f(x) допусает два представления в зависимости от
значений арумента:
f(x) =
Найдем производную фунции f(x):
(x) =
Если x Ý [0; 2), то (x) < 0 и, следовательно, f(x) убывает, а
если x Ý (2; 2,4], то (x) > 0 и, значит, f(x) возрастает; точа
x = 2 — ритичесая, та а производная (x) в этой точе
не существует. Сравнивая значения фунции на онцах про-
межута [0; 2,4] с ее значением в ритичесой точе, залюча-
ем, что
f(x)=f(0)=6,
f(x)=f(2)=0.
Ответ.
f(x)=f(0)=6,
f(x)=f(2)=0.
π
6--- π
3---
2cosx
+
sin x
------------------------
2
–(x2–5x+6, xÝ(–×;2)Ÿ(3;+×);
–(x2–5x+6),xÝ[2;3].
–(x2–5x+6, xÝ[0;2],
–(x2–5x+6), xÝ(2;2,4].
f′
–(2x–5, xÝ[0;2),
–(2x–5), xÝ(2;2,4].
f′
f′
f′
max
xÝ[0;2,4]
min
xÝ[0;2,4]
max
xÝ[0;2,4]
min
xÝ[0;2,4]
228
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ше н и е. Используя формулы
sin +x = (sinx+cosx), sin2x=(sinx+cosx)2–1,
представим данную фунцию в виде сложной фунции
F(x)=f(g(x)), де
f(y) =
, g(x)=sinx+cosx.
Будем исать наибольшее и наименьшее значения фунции
g(x). Критичесими точами этой фунции являются орни
уравнения
cosx–sinx=0,
из оторых промежуту 0; принадлежит тольо x = .
Сравнивая значения g(0), g и g , залючаем, что об-
ласть изменения фунции g(x) есть промежуто [1; ]. Диф-
ференцируя, имеем
(y)= 1+ >0
на всей области определения фунции f(y), в том числе и при
y Ý [1; ]. Следовательно, фунция f(y) возрастает на проме-
жуте [1; ] и достиает наибольшео и наименьшео значе-
ния соответственно на правом и левом онце промежута:
f(y)=f( )=1,
f(y)=f(1)=0.
Эти же значения являются наибольшим и наименьшим и для
исходной фунции F(x).
Ответ.
F(x) = 1,
F(x) = 0.
Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции:
6. f(x) =
,xÝπ; .
7.f(x)=
–
, xÝR.
π
4---
2
2-------
y2 1–
y
---------------- 2
π
2---
π
4---
π
4---
π
2---
2
f′
2
1
y2------
2
2
yÝ[1; 2]
max
2
gÝ[1; 2]
min
max
xÝ[0;π/2]
min
xÝ[0;π/2]
sin 2x
sin π
4--- x
+
-------------------------------
3π
2-------
1
sinx 4+
------------------------
1
cosx 4–
-----------------------
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
229
8.f(x)=tgx+ctgx, xÝ
;.
9. Найдите наименьшее значение фунции
f(x) =
на промежуте [0; π].
Перейдем отысанию наибольшео и наименьшео значе-
ний фунций, содержащих зна модуля.
П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения
фунции
f(x)=|x2–5x+6|
(*)
на промежуте [0; 2,4].
Р е ше н и е. Чтобы расрыть модуль в выражении (*), най-
дем орни уравнения f(x) = 0. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0,
получаем x = 2, x = 3. Таим образом,
f(x) =
(**)
Из формул (**) видно, что на исследуемом промежуте [0; 2,4]
фунция f(x) допусает два представления в зависимости от
значений арумента:
f(x) =
Найдем производную фунции f(x):
(x) =
Если x Ý [0; 2), то (x) < 0 и, следовательно, f(x) убывает, а
если x Ý (2; 2,4], то (x) > 0 и, значит, f(x) возрастает; точа
x = 2 — ритичесая, та а производная (x) в этой точе
не существует. Сравнивая значения фунции на онцах про-
межута [0; 2,4] с ее значением в ритичесой точе, залюча-
ем, что
f(x)=f(0)=6,
f(x)=f(2)=0.
Ответ.
f(x)=f(0)=6,
f(x)=f(2)=0.
π
6
---
π
3
---
2c
o
s
x
+
sin x
------------------------
2
–(x2–5x+6, xÝ(–×;2)Ÿ(3;+×);
–(x2–5x+6), xÝ[2;3].
–(x2–5x+6, xÝ[0;2],
–(x2–5x+6), xÝ(2;2,4].
f′
–(2x–5, xÝ[0;2),
–(2x–5), xÝ(2;2,4].
f′
f′
f′
max
xÝ[0;2,4]
min
xÝ[0;2,4]
max
xÝ[0;2,4]
min
xÝ[0;2,4]
230
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на
уазанном промежуте:
10. f(x) =
,
xÝ[–2;0].
11. f(x) =
+
,
а)xÝ[0;2];б)xÝ[–2;0].
12. f(x) =
–
,
x Ý (–×; +×).
13.f(x)=|x2+2x–3|+ lnx, xÝ
;
4.
14. Найдите точи минимума фунции
f(x)=4x3–x|x–2|, xÝ[0;3],
и ее наибольшее значение на этом промежуте.
15. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции
f(x) =
.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции
f(x)=(x–1)2
,
xÝ[0;3].
17. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции
y=|x2+x|+|x2+5x+6|
на отрезе – ;
.
В условиях неоторых задач не формулируется явно, что
требуется найти наибольшее и наименьшее значения и эстре-
мумы фунции. К таим задачам относятся, например, задачи,
связанные с нахождением множества значений фунций.
П р и м е р 4. Найти образ промежута [–1; 3] при отобра-
жении, заданном фунцией f(x) = 4x3 – 12x.
Р е ше н и е. Для нахождения образа данноо промежута
нужно найти множество з начений фунции f(x) при x Ý [–1; 3],
оторое в силу непрерывности исходной фунции предста вляет
собой промежуто
f(x);
f(x) . Таим обра-
1x
+
1x
–
--------------
12x
–
x2
+
12
xx
2
++
12x
–
x2
+
12
xx
2
++
3
2
---
1
2
---
x10 x
–
()
x2 2x
–3
+
5
2
---
1
2
---
min
xÝ[–1;3]
max
xÝ[–1;3]
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
231
зом, задача сводится отысанию наибольшео и наименьшео
значений фунции f(x) на промежуте [–1; 3].
Критичесие точи фунции f(x) находим из уравнения
12x2–12=0,
орнями отороо являются x1 = 1, x2 = –1. Сравнивая значе-
ния фунции f(x) в ритичесих точах и на онцах проме-
жута, получаем
f(x) = f(3) = 72,
f(x) = f(1) = –8.
Следовательно, образ промежута [–1; 3] при отображении, за-
данном исходной фунцией, есть промежуто [–8; 72].
Ответ. [–8; 72].
18. Найдите множество, на оторое отображает луч [1; +×)
производная фунции f(x) = x(ln x – 1).
19. Найдите образ промежута [0; 0,5] при отображении,
заданном производной фунции f(x) = tg 3x.
20. Найдите пересечение множеств, на оторые отображает-
ся промежуто [0; 1] производными фунций y1 =
и
y2 =.
21. В аой промежуто переводит числовую прямую фун-
цияy=
?
22. Найдите множество значений фунции:
а)y=
; б)y=
.
23. Доажите справедливость неравенства
m.
24. Доажите, что для фунции f(x) = cos x sin 2x спра-
ведливо неравенство
f(x)>– .
25. Доажите, что для фунции f(x) = sin x sin 2x выполне-
но неравенство
f(x) < 0,77.
max
xÝ[–1;3]
min
xÝ[–1;3]
x3
+
x 5–--------------
6x5
+
3
x1–
x2 3x
–3
+
-------------------------------
x2
x4 1+
-----------------
x
x2 1+
-----------------
x
ax2 b+
-------------------- 1
2ab
---------------
min
xÝ[–π;π]
7
9---
max
xÝ[–π;π]
230
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на
уазанном промежуте:
10. f(x) =
, xÝ[–2;0].
11. f(x) =
+
,
а)xÝ[0;2];б)xÝ[–2;0].
12. f(x) =
–
, xÝ(–×;+×).
13.f(x)=|x2+2x–3|+ lnx, xÝ ;4.
14. Найдите точи минимума фунции
f(x)=4x3–x|x–2|, xÝ[0;3],
и ее наибольшее значение на этом промежуте.
15. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции
f(x) =
.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции
f(x)=(x–1)2
, xÝ[0;3].
17. Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции
y=|x2+x|+|x2+5x+6|
наотрезе – ; .
В условиях неоторых задач не формулируется явно, что
требуется найти наибольшее и наименьшее значения и эстре-
мумы фунции. К таим задачам относятся, например, задачи,
связанные с нахождением множества значений фунций.
П р и ме р 4. Найти образ промежута [–1; 3] при отобра-
жении, заданном фунцией f(x) = 4x3 – 12x.
Р е ше н и е. Для нахождения образа данноо промежута
нужно найти множество значений фунции f(x) при x Ý [–1; 3],
оторое в силу непрерывности исходной фунции представляет
собой промежуто
f(x);
f(x) . Таим обра-
1x
+
1 x–--------------
12x
–x2
+
12xx2
++
12x
–x2
+
12xx2
++
3
2---
1
2---
x10 x–
()
x2 2x
–3
+
5
2--- 1
2---
min
xÝ[–1;3]
max
xÝ[–1;3]
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
231
зом, задача сводится отысанию наибольшео и наименьшео
значений фунции f(x) на промежуте [–1; 3].
Критичесие точи фунции f(x) находим из уравнения
12x2–12 =0,
орнями отороо являются x1 = 1, x2 = –1. Сравнивая значе-
ния фунции f(x) в ритичесих точах и на онцах проме-
жута, получаем
f(x) = f(3) = 72,
f(x) = f(1) = –8.
Следовательно, образ промежута [–1; 3] при отображении, за-
данном исходной фунцией, есть промежуто [–8; 72].
Ответ. [ –8; 72].
18. Найдите множество, на оторое отображает луч [1; +×)
производная фунции f(x) = x(ln x – 1).
19. Найдите образ промежута [0; 0,5] при отображении,
заданном производной фунции f(x) = tg 3x.
20. Найдите пересечение множеств, на оторые отображает-
ся промежуто [0; 1] производными фунций y1 =
и
y2 =.
21. В аой промежуто переводит числовую прямую фун-
цияy=
?
22. Найдите множество значений фунции:
а)y=
; б)y=
.
23. Доажите справедливость неравенства
m
.
24. Доажите, что для фунции f(x) = cos x sin 2x спра-
ведливо неравенство
f(x)>–
.
25. Доажите, что для фунции f(x) = sin x sin 2x выполне-
но неравенство
f(x) < 0,77.
max
xÝ[–1;3]
min
xÝ[–1;3]
x3
+
x5
–
--------------
6x5
+
3
x1
–
x2 3x
–3
+
-------------------------------
x2
x41
+
-----------------
x
x21
+
-----------------
x
ax2 b
+
--------------------
1
2ab
--------------
-
min
xÝ[–π;π]
7
9
---
max
xÝ[–π;π]
232
Г л а в а 9. Производная и ее применения
26. Доажите, что при x Ý 0; справедливо неравен-
ство
cos x
m21/2·3
–3/4.
27. Доажите, что при x Ý
; 2 справедливо неравенство
1m
m.
28. Поажите, что при любых действительных значе ниях x
фунция y =
не может принимать значений, боль-
ших , и значений, меньших .
29. Найдите все a, при оторых имеется хотя бы одна пара
чисел (x; y), удовлетворяющих условиям
x2+(y+3)2<4, y =2ax2.
30. Сумма третьео и девятоо членов арифметичесой про-
рессии равна наименьшему значению вадратноо трехчлена
2x2 – 4x + 10. Найдите сумму 11 первых членов прорессии.
31. При аом значении параметра a значе ния фунции
y=x3–6x2+9x+a
в точе x = 2 и в точах эстремума, взятые в неотором по-
ряде, являются членами еометричесой прорессии?
32. Сумма членов бесонечно убывающей еометричесой
прорессии равна наибольшему значению фунции f(x) = x3 +
+3x – 9 на промежуте [–2; 3]; разность между первым и вто-
рым членами прорессии равна (0). Найдите знаменатель про-
рессии.
33. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-
сии равна наиме ньшему значению фунции
f(x)=3x2–x+
,
а первый член прорессии равен вадрату ее знаменателя. Най-
дите знаменатель прорессии.
π
2
---
sin x
3
4
---
x2
2x1
–
-----------------
3
4
3
---
3
x2x1
++
x21
+
---------------------------
-
3
2
---
1
2
---
f′
25
12
------
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
233
34. Найдите наименьшее значение a, при отором уравнение
+
=a
имеет на промежуте 0; хотя бы одно решение.
35. Доажите, что фунция
z=x+ +y+
не может принимать значений, меньших чем 12,5, если x > 0,
y>0,x+y=1.
36. Поажите, что фунция
z=2x2+2xy+y2–2x+2y+2
не может принимать значений, меньших чем (–3).
37. При аом значении a сумма вадратов орней уравнения
x2–(a–2)x–a–1=0
принимает наименьшее значение?
38. Доажите, что при всех значениях x Ý R имеет место не-
равенство
–m
m.
39. Доажите, что на промежуте
–;
справедливо неравенство 0 m 2x + m 1.
40. Доажите, что при α Ý 0; справедливо неравенство
+
l.
41. Доажите, что при всех x и y справедливо неравенство
x4+y4+ l4.
4
sin x
-------------
1
1 sinx
–-----------------------
π
2---
1
x---
2
1
y---
2
1
2---
x
1x2
+
----------------- 1
2---
3
2--- 10 32
5
log6 5
49
log8 7
+
–
x2
3
π
3---
1
sin π
3--- α
+
--------------------------------
1
sin π
3--- α–
------------------------------- 43
3-----------
2
x2y2
-------------
232
Г л а в а 9. Производная и ее применения
26. Доажите, что при x Ý 0; справедливо неравен-
ство
cos x
m 21/2 · 3–3/4.
27. Доажите, что при x Ý ; 2 справедливо неравенство
1m
m.
28. Поажите, что при любых действительных значениях x
фунция y =
не может принимать значений, боль-
ших , и значений, меньших .
29. Найдите все a, при оторых имеется хотя бы одна пара
чисел (x; y), удовлетворяющих условиям
x2+(y+3)2<4, y=2ax2.
30. Сумма третьео и девятоо членов арифметичесой про-
рессии равна наименьшему значению вадратноо трехчлена
2x2 – 4x + 10. Найдите сумму 11 первых членов прорессии.
31. При аом значении параметра a значения фунции
y=x3–6x2+9x+a
в точе x = 2 и в точах эстремума, взятые в неотором по-
ряде, являются членами еометричесой прорессии?
32. Сумма членов бесонечно убывающей еометричесой
прорессии равна наибольшему значению фунции f(x) = x3 +
+3x – 9 на промежуте [–2; 3]; разность между первым и вто-
рым членами прорессии равна (0). Найдите знаменатель про-
рессии.
33. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-
сии равна наименьшему значению фунции
f(x)=3x2–x+ ,
а первый член прорессии равен вадрату ее знаменателя. Най-
дите знаменатель прорессии.
π
2---
sin x
3
4---
x2
2x 1–
-----------------
3
4
3---3
x2x1
++
x2 1+
----------------------------
3
2---
1
2---
f′
25
12------
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
233
34. Найдите наименьшее значение a, при отором уравнение
+
=a
имеет на промежуте 0;
хотя бы одно решение.
35. Доажите, что фунция
z= x+
+y+
не может принимать значений, меньших чем 12,5, если x > 0,
y>0,x+y=1.
36. Поажите, что фунция
z=2x2+2xy+y2–2x+2y+2
не может принимать значений, меньших чем (–3).
37. При аом значении a сумма вадратов орней уравнения
x2–(a–2)x–a
–
1=0
принимает наименьшее значение?
38. Доажите, что при всех значениях x Ý R имеет место не-
равенство
–
m
m.
39. Доажите, что на промежуте
–;
справедливо неравенство 0 m 2x +
m1.
40. Доажите, что при α Ý 0;
справедливо неравенство
+
l
.
41. Доажите, что при всех x и y справедливо неравенство
x4+y4+
l4.
4
sin x
-------------
1
1 sinx
–
-----------------------
π
2
---
1
x
---
2
1
y
---
2
1
2
---
x
1x2
+
----------------
-
1
2
---
3
2
---
10 32
5
log6 5
49
log8 7
+
–
x2
3
π
3
---
1
sin
π
3
---
α
+
--------------------------------
1
sin
π
3
---
α
–
-------------------------------
43
3
-----------
2
x2y2
-------------
234
Г л а в а 9. Производная и ее применения
42. Доажите справедливость неравенства
<
<
.
43. Доажите, что
<sin6x+cos6xm1.
44. Доажите, что при x Ý 0;
справедливо неравенство
5e1/3<(3x2–7x+7)ex<
.
45. Сольо орней на отрезе [0; 1] имеет уравнение
8x(2x2–1)(4x4–8x2+1)=1?
46. При аих значениях p и q рафи убичесой парабо-
лыy=x3+px+qасаетсяосиOx?
47. При аом условии уравнение x3 + px + q = 0 имеет:
а) один действительный орень; б) три действительных орня?
§ 49. Задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений функции
Для решения задачи на отысание наибольшео (наиме нь-
шео) значения сначала следует, используя условия задачи, со-
ставить фунцию f(x) и определить промежуто изменения ее
арумента, а затем найти наибольшее (наименьшее) значе ние
этой фунции на полученном промежуте.
П р и м е р 1. Представить число 26 в виде суммы трех поло-
жительных слааемых, сумма вадратов оторых наименьшая,
если известно, что второе слааемое втрое больше первоо.
Р е ше н и е. Обозначим неизвестные слааемые через x, y, z.
По условию эти неизвестные удовлетворяют системе уравнений
(*)
Используя уравнения (*), выразим не известные y и z через x:
y=3x, z =26 –4x.
(**)
98
5
–
2
---------------------
2x
–3
+
x26x10
++
-----------------------------------
98
5
+
2
---------------------
1
4
---
2
3
---
11
3
------
e2
3
x+y+z=26,
y=3x.
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 235
Составим теперь фунцию, минимум оторой требуется
найти:
S(x)=x2+9x2+(26–4x)2.
Промежуто изменения арумента определим из условия поло-
жительности всех слааемых. Решив систему неравенств
получаем, что исомым промежутом является 0; . Та-
им образом, задача сводится нахождению минимума фун-
ции S(x) на промежуте 0; . Единственная ритичесая
точа фунции S(x) на уазанном промежуте — это точа
x = 4. При переходе через эту точу производная фунции S(x)
меняет зна с минуса на плюс, следовательно, S(x) убывает на
промежуте (0; 4) и возрастает на промежуте 4; . Ита,
при x = 4 фунция S(x) достиает минимума. Подставляя x = 4
в уравнения (**), находим значения остальных неизвестных.
Ответ.26=4+12+10.
1. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных
слааемых та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей.
2. Число 36 представьте в виде произведения двух сомножи-
телей та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей.
3. Число 180 представьте в виде суммы трех положитель-
ных слааемых та, чтобы два из них относились а 1 : 2, а
произведение всех трех слааемых было наибольшим.
4. Данное положительное число a представьте в виде суммы
двух положительных слааемых та, чтобы их произведение
было наибольшим.
5. Параболаy=x2+p+qпересеаетпрямуюy=2x–3вточ-
е с абсциссой 1. При аих p и q расстояние от вершины пара-
болы до оси Ox минимально? Найдите это расстояние.
6. Найдите наименьшее из расстояний от точи M с оорди-
натами (0; –2) до таих точе (x; y), что
y=
–2, x>0.
x>0,
26–4x>0,
13
2------
13
2------
13
2------
16
3x3
--------------
234
Г л а в а 9. Производная и ее применения
42. Доажите справедливость неравенства
<
<
.
43.Доажите,что <sin6x+cos6xm1.
44. Доажите, что при x Ý 0; справедливо неравенство
5e1/3<(3x2–7x+7)ex<
.
45. Сольо орней на отрезе [0; 1] имеет уравнение
8x(2x2–1)(4x4–8x2+1)=1?
46. При аих значениях p и q рафи убичесой парабо-
лыy=x3+px+qасаетсяосиOx?
47. При аом условии уравнение x3 + px + q = 0 имеет:
а) один действительный орень; б) три действительных орня?
§ 49. Задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений функции
Для решения задачи на отысание наибольшео (наимень-
шео) значения сначала следует, используя условия задачи, со-
ставить фунцию f(x) и определить промежуто изменения ее
арумента, а затем найти наибольшее (наименьшее) значение
этой фунции на полученном промежуте.
П р и м е р 1. Представить число 26 в виде суммы трех поло-
жительных слааемых, сумма вадратов оторых наименьшая,
если известно, что второе слааемое втрое больше первоо.
Р е ше н и е. Обозначим неизвестные слааемые через x, y, z.
По условию эти неизвестные удовлетворяют системе уравнений
(*)
Используя уравнения (*), выразим неизвестные y и z через x:
y=3x, z=26–4x.
(**)
98
5
–
2
---------------------
2x
–3
+
x26x10
++
----------------------------------- 98
5
+
2
---------------------
1
4---
2
3---
11
3------ e2
3
x+y+z=26,
y=3x.
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
235
Составим теперь фунцию, минимум оторой требуется
найти:
S(x)=x2+9x2+(26–4x)2.
Промежуто изменения арумента определим из условия поло-
жительности всех слаае мых. Решив систему неравенств
получаем, что исомым промежутом является 0;
. Та-
им образом, задача сводится нахождению минимума фун-
ции S(x) на промежуте 0;
. Единственная ритичесая
т оча фунции S(x) на уазанном промежуте — это точа
x = 4 . При переходе через эту точу производная фунции S(x)
меняет зна с минуса на плюс, следовательно, S(x) убывает на
промежуте (0; 4) и возрастает на промежуте 4;
. Ита,
при x = 4 фунция S(x) достиает м инимума. Подставляя x = 4
в уравнения (**), находим значе ния остальных неизвестных.
Ответ.26 =4+12+10.
1. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных
слааемых та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей.
2. Число 36 представьте в виде произведения двух сомножи-
телей та, чтобы сумма их вадратов была наименьшей.
3. Число 180 представьте в виде суммы трех положитель-
ных слааемых та, чтобы два из них относились а 1 : 2, а
произведение всех трех слааемых было наибольшим.
4. Данное положительное число a представьте в виде суммы
двух положительных слааемых та, чтобы их произведение
было наибольшим.
5.Параболаy=x2+p+qпересеаетпрямуюy=2x–3вточ-
е с абсциссой 1. При аих p и q расстояние от вершины пара-
болы до оси Ox минимально? Найдите это расстояние.
6. Найдите наименьшее из расстояний от точи M с оорди-
натами (0; –2) до таих точе (x; y), что
y=
–
2, x>0.
x>0,
26–4x>0,
13
2
------
13
2
------
13
2
------
16
3x3
--------------
236
Г л а в а 9. Производная и ее применения
7. В семент параболы y2 = 2px, отсеаемый прямой x = 2a,
в пишите прямоуольни наибольшей площади.
П р и м е р 2. Найти высоту оничесой ворони наиболь-
шео объема, если образующая ворони равна l.
Р е ше н и е. Объе м онуса, радиус основания отороо ра-
вен R, а высота равна H, вычисляется по формуле
V = πR2H.
Соласно теореме Пифаора, R и H связаны равенством
R2+H2=l2.
Воспользовавшись этим равенством, выразим V а фунцию
одной переменной H:
V= π(l2–H2)H.
Решив уравнение
(H)= (l2–3H2)=0,
находим две ритичесие точи фунции V(H): H1 =
,
H2= –
, из оторых тольо точа H1 принадлежит проме-
жуту (0; l). При переходе через точу H1 производная (H)=
=(
l2 – 3H2) меняет зна с плюса на минус, и, следовательно,
на промежуте 0;
фунция V(H) возрастает, а на проме-
жуте
; l убывает. Ита, H =
—
высота онуса наи-
большео объема при заданной длине образующей l.
Ответ..
П р и м е р 3. В трапецию ABCD, боовая сторона AB ото-
рой имеет длину 8 см и перпендиулярна основанию, вписать
прямоуольни наибольшей площади та, чтобы одна из ео
сторон лежала на большем основании трапеции. Вычислить
1
3
---
1
3
---
V′
π
3
---
l
3
-------
l
3
-------
V′
π
3
---
l
3
-------
l
3
-------
l
3
-------
l
3
-- -- ---
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 237
площадь этоо прямоуольниа, если основания трапеции рав-
ны6и10см.
Р е ше н и е. Возможны два случая: первый — вершина P
прямоуольниа лежит на боовой стороне CD трапеции (рис. 15);
второй — вершина P лежит на основании BC трапеции.
В первом случае обозначим стороны прямоуольниа AQ = x
и AK = y. Составим уравнение, связывающее неизвестные x и y.
Для этоо проведем отрезо BL, параллельный стороне CD
(рис. 15), и рассмотрим два прямоуольных треуольниа BAL
и PQD. Катеты этих треуольниов равны соответственно AB = 8,
AL=4,QD=10–x,PQ=y.Исомое
уравнение запишем, используя подобие
треуольниов BAL и PQD:
=2, или y=20–2x.
Площадь прямоуольниа AKPQ выразит-
ся фунцией
S(x) = x(20 – 2x).
Интервал изменения x найдем из условия, что точа Q—
проеция точи P, лежащей на стороне CD, и, значит, x l 6.
Таим образом, задача сводится отысанию наименьшео
значения фунции S(x) на промежуте [6; 10]. Единственной
ритичесой точой фунции S(x) является точа x = 5, но она
не принадлежит уазанному промежуту. Следовательно, про-
изводная фунции S(x) не меняет зна на этом промежуте.
Вычислив производную (x) в произвольной точе промежут-
а [6; 10], убеждаемся, что она отрицательна. Ита, наиболь-
шее значение фунции S(x) достиается в левом онце проме-
жута, т. е.
S(x) = S(6) = 48 см2.
Рассмотрим теперь второй случай. В этом случае площади
прямоуольниов не превосходят 48 см2, та а при одинао-
вой боовой стороне, равной 8 см, длины их оснований не мо-
ут быть больше 6 см.
Ответ.48см2.
8. Из всех онусов, вписанных в шар радиуса R, найдите
тот, у отороо площадь боовой поверхности наибольшая.
9. Определите размеры цилиндра, имеющео наибольший
объем, если площадь ео полной поверхности равна 2π.
B
A
C
P
K
LQD
Рис. 15
y
10 x–
-----------------
S′
max
xÝ[6;10]
236
Г л а в а 9. Производная и ее применения
7. В семент параболы y2 = 2px, отсеаемый прямой x = 2a,
впишите прямоуольни наибольшей площади.
П р и м е р 2. Найти высоту оничесой ворони наиболь-
шео объема, если образующая ворони равна l.
Р е ше н и е. Объем онуса, радиус основания отороо ра-
вен R, а высота равна H, вычисляется по формуле
V = πR2H.
Соласно теореме Пифаора, R и H связаны равенством
R2+H2=l2.
Воспользовавшись этим равенством, выразим V а фунцию
одной переменной H:
V= π(l2–H2)H.
Решив уравнение
(H)= (l2–3H2)=0,
находим две ритичесие точи фунции V(H): H1 = ,
H2 = – , из оторых тольо точа H1 принадлежит проме-
жуту (0; l). При переходе через точу H1 производная (H)=
=(l2 – 3H2) меняет зна с плюса на минус, и, следовательно,
на промежуте 0; фунция V(H) возрастает, а на проме-
жуте ; l убывает. Ита, H = — высота онуса наи-
большео объема при заданной длине образующей l.
Ответ..
П р и м е р 3. В трапецию ABCD, боовая сторона AB ото-
рой имеет длину 8 см и перпендиулярна основанию, вписать
прямоуольни наибольшей площади та, чтобы одна из ео
сторон лежала на большем основании трапеции. Вычислить
1
3---
1
3---
V′
π
3---
l
3
-------
l
3
-------
V′
π
3---
l
3
-------
l
3
-------
l
3
-------
l
3
-------
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
237
площадь этоо прямоуольниа, если основания трапеции рав-
ны6и10см.
Р е ше н и е. Возможны два случая: первый — вершина P
прямоуольниа лежит на боовой стороне CD трапеции (рис. 15);
второй — вершина P лежит на основании BC трапеции.
В первом случае обозначим стороны прямоуольниа AQ = x
и AK = y. Составим уравнение, связывающее неизвестные x и y.
Для этоо проведем отрезо BL, параллельный стороне CD
(рис. 15), и рассмотрим два прямоуольных треуольниа BAL
и PQD. Катеты этих треуольниов равны соответственно AB = 8,
AL=4,QD=10 –x, PQ=y.Исомое
уравнение запишем, используя подобие
треуольниов BAL и PQD:
=2, или y=20–2x.
Площадь прямоуольниа AKPQ выразит-
ся фунцией
S(x) = x(20 – 2x).
Интервал изменения x найдем из условия, что точа Q—
проеция точи P, лежащей на стороне CD, и, значит, x l 6.
Таим образом, задача сводится отысанию наименьше о
значения фунции S(x) на промежуте [6; 10]. Единственной
ритичесой точой фунции S(x) является точа x = 5, но она
не принадлежит уазанному промежуту. Следовательно, про-
изводная фунции S(x) не меняет зна на этом промежуте.
Вычислив производную (x) в произвольной точе промежут-
а [6; 10], убеждаемся, что она отрицательна. Ита, наиболь-
шее значение фунции S(x) достиается в левом онце проме-
жута, т. е.
S(x) = S(6) = 48 см2.
Рассмотрим теперь второй случай. В этом случае площади
прямоуольниов не превосходят 48 см2, та а при одинао-
вой боовой стороне, равной 8 см, длины их оснований не мо-
ут быть больше 6 см.
Ответ.48см2.
8. Из всех онусов, вписанных в шар радиуса R, найдите
тот, у отороо площадь боовой поверхности наибольшая.
9. Определите размеры цилиндра, имеющео наибольший
объем, если площадь ео полной поверхности равна 2π.
B
A
C
P
K
LQ
D
Рис. 15
y
10x
–
-----------------
S′
max
xÝ[6;10]
238
Г л а в а 9. Производная и ее применения
10. Среди всех прямоуольных треуольниов площади S
найдите таой, для отороо площадь описанноо руа наи-
ме ньшая.
11. В полуру радиуса R вписана трапеция ABCD та, что ее
основание AD является диаметром, а вершины B и C лежат на
оружности. Каова величина ула φ при основании той трапе-
ции, оторая имеет наибольший периметр?
12. Из всех треуольниов с одинаовым основанием и одним
и тем же улом α при вершине найдите треуольни с наиболь-
шим периметром.
13. В равнобедренный треуольни ABC вписан прямоуоль-
ни, две вершины отороо лежат на основании AB, а две дру-
ие — на сторонах AC и BC. Найдите наибольшее значение пло-
щади прямоуольниа, если AB = 12, BD = 10, де BD — высо-
та треуольниа ABC.
14. Рассматриваются всевозможные трапеции, обе боовые
стороны и меньшее основание оторых равны a. Найдите ве-
личину больше о основания трапеции, имеющей наибольшую
площадь.
15. Длина стороны вадрата ABCD равна 10 см. На ео сто-
ронах отложены отрези AA1, BB1, CC1, DD1 длины x аждый,
причемA1ÝAB,B1ÝBC,C1ÝCD,D1ÝDA.Доажите,что
четырехуольни A1B1C1D1 — вадрат, и найдите значение x,
при отором площадь этоо вадрата наименьшая.
16. В оружность радиуса R вписан равнобедренный тре-
уольни. При аом значении ула α при вершине треуоль-
ниа высота H, проведенная боовой стороне, имеет наиболь-
шую длину? Найдите эту длину.
17. Каим должен б ыть уол α при вершине равнобедренно-
о треуольниа заданной площади S, чтобы радиус r вписан-
ноо в этот треуольни руа был наибольшим?
В тех случаях, ода тело участвует в двух независимых
движениях, ео путь (или проеция пути на неоторое на-
правление) является фунцией двух или более переменных,
связь между оторыми устанавливается из физичесих сообра-
жений.
18. Туристу требуется попасть на противоположный бере
реи. Под аим улом α ему следует направить лоду, чтобы
добиться наименьше о сноса, если сорость лоди равна vл,
а сорость реи равна vр?
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 239
19. Тело бросают под улом α оризонту со соростью v0.
При аом значении ула α дальность полета тела оажется
наибольшей?
20. Определите наименьшую высоту h = OB двери вертиаль-
ной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно было
внести жестий стержень длины l; онец стержня сользит
вдоль оризонтальной прямой, на оторой находится основание
башни AB. Ширина башни AB = d < l.
21. На странице тест должен занимать 384 см2. Верхние и
нижние поля должны быть по 3 см, а правое и левое — по 2 см.
Если принять во внимание тольо эономию бумаи, то аовы
должны быть оптимальные размеры страницы?
22. Из рулоо бревна диаметра d требуется вырезать бал-
у прямоуольноо сечения. Каовы должны быть ширина x и
высота y этоо сечения, чтобы бала оазывала наибольшее со-
противление: а) на сжатие; б) на изиб? (Сопротивление бали
на сжатие пропорционально площади ее поперечноо сечения,
а на изиб — произведению ширины этоо сечения на вадрат
ео высоты.)
23. Лампа висит над центром рулоо стола радиуса r. При
аой высоте h лампы над столом освещенность предмета, ле-
жащео на раю стола, будет наилучшей? (Освещенность пря-
мо пропорциональна осинусу ула падения луча света и обрат-
но пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.)
24. Требуется устроить прямоуольную площаду та, чтобы
с трех сторон она была оорожена сетой, а четвертой стороной
примыала длинной аменной стене. Каова наивыодней-
шая (в смысле площади) форма площади, если имеется l по-
онных метров сети?
25. На прямолинейном отрезе AB, длина отороо равна a,
соединяющем источнии света A (силой p) и B (силой q), най-
дите точу M, освещаемую слабее всео. (Освещенность обрат-
но пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.)
26. Лода находится на расстоянии 3 м от ближайшео
пунта A береа. Пассажир лоди желает достинуть пунта B,
находящеося на береу в 5 м от A. Лода движется со соро-
стью 4 м/ч, а пассажир, выйдя из лоди, может в час пройти
5 м. К аому пунту береа должна прибыть лода, чтобы
пассажир дости пунта B в ратчайшее время?
27. Дождевая апля, начальная масса оторой m0, падает под
действием силы тяжести, равномерно испаряясь та, что убыль
массы пропорциональна времени (оэффициент пропорциональ-
238
Г л а в а 9. Производная и ее применения
10. Среди всех прямоуольных треуольниов площади S
найдите таой, для отороо площадь описанноо руа наи-
меньшая.
11. В полуру радиуса R вписана трапеция ABCD та, что ее
основание AD является диаметром, а вершины B и C лежат на
оружности. Каова величина ула φ при основании той трапе-
ции, оторая имеет наибольший периметр?
12. Из всех треуольниов с одинаовым основанием и одним
и тем же улом α при вершине найдите треуольни с наиболь-
шим периметром.
13. В равнобедренный треуольни ABC вписан прямоуоль-
ни, две вершины отороо лежат на основании AB, а две дру-
ие — на сторонах AC и BC. Найдите наибольшее значение пло-
щади прямоуольниа, если AB = 12, BD = 10, де BD — высо-
та треуольниа ABC.
14. Рассматриваются всевозможные трапеции, обе боовые
стороны и меньшее основание оторых равны a. Найдите ве-
личину большео основания трапеции, имеющей наибольшую
площадь.
15. Длина стороны вадрата ABCD равна 10 см. На ео сто-
ронах отложены отрези AA1, BB1, CC1, DD1 длины x аждый,
причемA1ÝAB,B1ÝBC,C1ÝCD,D1ÝDA.Доажите,что
четырехуольни A1B1C1D1 — вадрат, и найдите значение x,
при отором площадь этоо вадрата наименьшая.
16. В оружность радиуса R вписан равнобедренный тре-
уольни. При аом значении ула α при вершине треуоль-
ниа высота H, проведенная боовой стороне, имеет наиболь-
шую длину? Найдите эту длину.
17. Каим должен быть уол α при вершине равнобедренно-
о треуольниа заданной площади S, чтобы радиус r вписан-
ноо в этот треуольни руа был наибольшим?
В тех случаях, ода тело участвует в двух независимых
движениях, ео путь (или проеция пути на неоторое на-
правление) является фунцией двух или более переменных,
связь между оторыми устанавливается из физичесих сообра-
жений.
18. Туристу требуется попасть на противоположный бере
реи. Под аим улом α ему следует направить лоду, чтобы
добиться наименьшео сноса, если сорость лоди равна vл,
а сорость реи равна vр?
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
239
19. Тело бросают под улом α оризонту со соростью v0.
При аом значении ула α дальность полета тела оажется
наибольшей?
20. Определите наименьшую высоту h = OB двери вертиаль-
ной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно было
внести жестий стержень длины l; онец стержня сользит
вдоль оризонтальной прямой, на оторой находится основание
башни AB. Ширина башни AB = d < l.
21. На странице тест должен занимать 384 см2. Верхние и
нижние поля должны б ыть по 3 см, а правое и левое — по 2 см.
Если принять во внимание тольо эономию бумаи, то аовы
должны б ыть оптимальные размеры страницы?
22. Из рулоо бревна диаметра d требуется вырезать бал-
у прямоуольноо сечения. Каовы должны быть ширина x и
высота y этоо сечения, чтобы бала оазывала наибольшее со-
противление: а) на сжатие; б) на изиб? (Сопротивление бали
на сжатие пропорционально площади ее поперечноо сечения,
а на изиб — произведению ширины этоо сече ния на вадрат
ео высоты.)
23. Лампа висит над центром рулоо стола радиуса r. При
аой высоте h лампы над столом освещенность предмета, ле-
жащео на раю стола, будет наилучшей? (Освещенность пря-
мо пропорциональна осинусу ула падения луча света и обрат-
но пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.)
24. Требуется устроить прямоуольную площаду та, чтобы
с трех сторон она была оорожена сетой, а четвертой стороной
примыала длинной аменной стене. Каова наивыодней-
шая (в смысле площади) форма площади, если имеется l по-
онных метров сети?
25. На прямолинейном отрезе AB, длина отороо равна a,
соединяющем источнии света A (силой p) и B (силой q), най-
дите точу M, освещаемую слабее всео. (Освещенность обрат-
но пропорциональна вадрату расстояния от источниа света.)
26. Лода находится на расстоянии 3 м от ближайшео
пунта A береа. Пассажир лоди желает достинуть пунта B,
находящеося на береу в 5 м от A. Лода движется со соро-
стью 4 м/ч, а пассажир, выйдя из лоди, может в час пройти
5 м. К аому пунту береа должна прибыть лода, чтобы
пассажир дости пунта B в ратчайшее время?
27. Дождевая апля, начальная масса оторой m0, падает под
действием силы тяжести, равномерно испаряясь та , что убыль
массы пропорциональна времени (оэффициент пропорциональ-
240
Г л а в а 9. Производная и ее применения
ности равен k). Через сольо сеунд после начала падения и-
нетичесая энерия апли будет наибольшей и аова она?
(Сопротивление м воздуха пренебречь.)
28. Расходы на топу парохода пропорциональны убу ео
сорости. Известно, что при сорости 10 м/ч расходы на топ-
ливо составляют 30 р. в час; остальные расходы (не зав исящие
от сорости) составляют 480 р. в час. При аой сорости паро-
хода общая стоимость 1 м пути оажется наименьшей? Као-
в а будет при этом общая сумма расходов в час?
29. Для достави продуции завода из пунта N в ород A
строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дороой AB,
проходящей через ород A. Стоимость перевозо по шоссе вдвое
больше, чем по железной дорое. К аому пунту P нужно
провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозо продуции
завода из пунта N в ород A по шоссе и по железной дорое
была наименьшей? Расстояние от N до железной дорои равно
100 м, а расстояние от орода A до станции железной дорои,
находяшейся на одной оружности с A и N (причем A и N —
онцы диаметра этой оружности) равно a м.
При решении задач о времени достижения наименьшео
расстояния между двумя объетами, движущимися под улом
дру друу, следует воспользоваться тем, что расстояние
между объетами, достинутое моменту времени t, представ-
ляет собой одну из сторон треуольниа, двумя друими сторо-
нами отороо являются неоторые фунции расстояний,
пройденных объетами этому моменту.
30. По двум улицам перересту движутся две машины
с постоянными соростями 40 и 50 м/ч. Считая, что улицы
пересеаются под прямым улом, и зная, что в неоторый мо-
ме нт времени машины находятся от перереста на расстояни-
ях 2 и 3 м соответственно, определите , через аое время рас-
стояние между ними станет наименьшим.
31. Три пунта A, B, C расположены та, что FABC = 60°.
Одновременно из точи A выходит автомобиль, а из точи B—
поезд. Автомобиль движется по направлению B со соростью
80 м/ч, а поезд — пунту C со соростью 50 м/ч. В аой
момент времени (от начала движения) расстояние между поез-
дом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 м?
32. Два самолета летят оризонтально на одной высоте под
улом 120° дру друу с одинаовой соростью v. В неото-
рый момент один из самолетов прилетел в точу пересече ния
их траеторий, а второй в этот момент находился в a м от нее
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 241
(не долетев до точи пересечения). Через аое время после это-
о момента расстояние между самолетами будет наименьшим?
33. Определите, при аом диаметре y рулоо отверстия
в плотине сеундный расход воды Q будет иметь наибольшее
значение, если Q = cy
, де h—лубина низшей точи
отверстия (считать h и оэффициент c постоянными).
34. Стоимость бриллианта пропорциональна вадрату ео
массы. При обработе бриллиант был расолот на две части.
Каовы размеры частей, если известно, что при этом произош-
ла масимальная потеря стоимости?
35. Составляют элетричесую цепь из двух параллельно
соединенных сопротивлений. При аом соотношении между
ними сопротивление цепи минимально, если при последователь-
ном соединении сопротивлений оно равно R?
36. Гонцу нужно добраться из пунта A, находящеося на
одном береу реи, в пунт B, находящийся на друом береу.
Зная, что сорость движения по береу в k раз больше сорости
движения по воде, определите, под аим улом α онец дол-
жен пересечь реу, для тоо чтобы достичь пунта B в ратчай-
шее время. Ширина реи равна h, расстояние между пунтами
A и B (вдоль береа) равно d.
37. Точи A и B расположены в различных оптичесих сре-
дах, отделенных одна от друой прямой. Сорость распростра-
нения света в первой среде равна v1, а во второй равна v2. Поль-
зуясь принципом Ферма, соласно оторому световой луч распро-
страняется вдоль той ривой AMB, для прохождения оторой
требуется минимум времени, выведите заон преломления све-
товоо луча.
38. Пользуясь принципом Ферма, выведите заон отражения
световоо луча от плосости в однородной среде.
39. Если в элетричесой цепи, имеющей сопротивление R,
течет то I, то оличество теплоты, выделяющейся в единицу
времени, пропорционально I2R. Определите, а следует раз-
ветвить то I на тои I1 и I2 при помощи двух проводов с со-
противлениями R1 и R2, чтобы выделение теплоты было наи-
меньшим.
40. Прямоуольный участо площадью 9000 м2 необходимо
оородить забором, две противоположные стороны отороо а-
менные, а друие — деревянные. Один метр деревянноо забора
стоит 100 р., а аменноо — 250 р. Каую наименьшую денеж-
ную сумму можно выделить по смете на строительство забора?
hy
–
240
Г л а в а 9. Производная и ее применения
ности равен k). Через сольо сеунд после начала падения и-
нетичесая энерия апли будет наибольшей и аова она?
(Сопротивлением воздуха пренебречь.)
28. Расходы на топу парохода пропорциональны убу ео
сорости. Известно, что при сорости 10 м/ч расходы на топ-
ливо составляют 30 р. в час; остальные расходы (не зависящие
от сорости) составляют 480 р. в час. При аой сорости паро-
хода общая стоимость 1 м пути оажется наименьшей? Као-
ва будет при этом общая сумма расходов в час?
29. Для достави продуции завода из пунта N в ород A
строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дороой AB,
проходящей через ород A. Стоимость перевозо по шоссе вдвое
больше, чем по железной дорое. К аому пунту P нужно
провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозо продуции
завода из пунта N в ород A по шоссе и по железной дорое
была наименьшей? Расстояние от N до железной дорои равно
100 м, а расстояние от орода A до станции железной дорои,
находяшейся на одной оружности с A и N (причем A и N —
онцы диаметра этой оружности) равно a м.
При решении задач о времени достижения наименьшео
расстояния между двумя объетами, движущимися под улом
дру друу, следует воспользоваться тем, что расстояние
между объетами, достинутое моменту времени t, представ-
ляет собой одну из сторон треуольниа, двумя друими сторо-
нами отороо являются неоторые фунции расстояний,
пройденных объетами этому моменту.
30. По двум улицам перересту движутся две машины
с постоянными соростями 40 и 50 м/ч. Считая, что улицы
пересеаются под прямым улом, и зная, что в неоторый мо-
мент времени машины находятся от перереста на расстояни-
ях 2 и 3 м соответственно, определите, через аое время рас-
стояние между ними станет наименьшим.
31. Три пунта A, B, C расположены та, что FABC = 60°.
Одновременно из точи A выходит автомобиль, а из точи B—
поезд. Автомобиль движется по направлению B со соростью
80 м/ч, а поезд — пунту C со соростью 50 м/ч. В аой
момент времени (от начала движения) расстояние между поез-
дом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 м?
32. Два самолета летят оризонтально на одной высоте под
улом 120° дру друу с одинаовой соростью v. В неото-
рый момент один из самолетов прилетел в точу пересечения
их траеторий, а второй в этот момент находился в a м от нее
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
241
(не долетев до точи пересечения). Через аое время после это-
о момента расстояние между самолетами будет наименьшим?
33. Определите, при аом диаметре y рулоо от верстия
в плотине сеундный расход воды Q будет иметь наибольшее
значение, если Q = cy
, де h— лубина низшей точи
отверстия (считать h и оэффициент c постоянными).
34. Стоимость бриллианта пропорциональна вадрату ео
массы. При обработе бриллиант был расолот на две части.
Каовы размеры частей, если известно, что при этом произош-
ла масимальная потеря стоимости?
35. Составляют элетричесую цепь из двух параллельно
соединенных сопротивлений. При аом соотношении между
ними сопротивление цепи минимально, если при последователь-
ном соединении сопротивлений оно равно R?
36. Гонцу нужно добраться из пун та A, находящеося на
одном береу реи, в пунт B, находящийся на друом береу.
Зная, что сорость движения по береу в k раз больше сорости
движения по воде, определите, под аим улом α онец дол-
жен пересечь реу, для тоо чтобы достичь пунта B в ратчай-
шее время. Ширина реи равна h, расстояние между пунтами
A и B (вдоль береа) равно d.
37. Точи A и B расположены в различных оптичесих сре-
дах, отделенных одна от друой прямой. Сорость распростра-
нения света в первой среде равна v1, а во второй равна v2. Поль-
зуясь принципом Ферма, соласно оторому световой луч распро-
страняется вдоль той ривой AMB, для прохождения оторой
требуется минимум времени, выведите заон преломления све-
товоо луча.
38. Пользуясь принципом Ферма, выведите заон отражения
световоо луча от плосости в однородной среде.
39. Если в элетричесой цепи, имеющей сопротивление R,
течет то I, то оличество теплоты, выделяющейся в единицу
времени, пропорционально I2R. О пределите, а следует раз-
ветвить то I на тои I1 и I2 при помощи двух проводов с со-
противлениями R1 и R2, чтобы выделение теплоты было наи-
меньшим.
40. Прямоуольный участо площадью 9000 м2 необходимо
оородить забором, две противоположные стороны отороо а-
менные, а друие — деревянные . Один метр деревянноо забора
стоит 100 р., а аменноо — 250 р. Каую наименьшую денеж-
ную сумму можно выделить по смете на строительство забора?
hy
–
242
Г л а в а 9. Производная и ее применения
41. Требуется построить неоторое оличест во одинаовых
жилых домов общей площадью 40 000 м2. Затраты на построй-
у одноо дома сладываются из стоимости фундамента, про-
порциональной вадратному орню из величины жилой пло-
щади дома, и стоимости назем ной части, пропорциональной
убу вадратноо орня из величины жилой площади. Строи-
тельство дома площадью 1000 м2 обходится в 184,8 млн р., при-
чем в этом случае стоимость наземной части составляет 32%
стоимости фундамента. Определите, аое оличество домов
нужно построить, чтобы общая стоимость была наименьшей, и
найдите эту стоимость.
При решении неоторых задач вместо отысания наиболь-
шео (наименьшео) значе ния величины, уазанной в форму-
лирове задачи, удобнее исать наибольшее (наименьшее) зна-
чение друой величины, представляющей собой монотонную
фунцию от первой.
42. Статуя высотой 4 м стоит на олонне, высота оторой рав-
на 5,6 м. На аом расстоянии от олонны должен стоять чело-
ве ростом (до уровня лаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наи-
большим улом?
43. По прямолинейному шоссе едет эсурсионный автобус.
В стороне от шоссе расположен дворец, от парадноо входа о-
тороо идет дороа перпендиулярно шоссе. На аом расстоя-
нии от точи пересечения этих доро должен остановиться авто-
бус, чтобы эсурсанты моли лучше рассмотреть из автобуса
фасад дворца, если длина дворца равна 2a, фасад расположен
под улом 60° относительно шоссе и расстояние от парадноо
в хода (оторый является центром симметрии дворца) до шоссе
равно b?
44. Груз массой m, лежащий на оризон тальной площаде,
должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения
пропорциональна силе, прижимающей тело плосости, и на-
правлена против сдвиающей силы; оэффициент пропорцио-
нальности (оэффициент трения) равен k. Под аим улом α
оризонту надо приложить силу, чтобы ее величина оаза-
лась наименьшей? Определите наименьшую величину сдвиаю-
щей силы.
Инода задачи, сформулированные а задачи на отысание
наибольшео или наименьшео з начения, допусают более прос-
тые решения, основанные на еометричесих соображениях.
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений 243
П р и м е р 4. Русла двух ре (в пределах неоторой облас-
ти) представляют собой параболу y = x2 и прямую x – y – 2 = 0.
Требуется соединить эти реи прямолинейным аналом наи-
меньшей длины. Через аие точи нужно ео провести?
Р е ше н и е. Геометричесим местом точе, находящихся на
расстоянии d от прямой, являются две прямые, параллельные
данной и проведенные на уазанном расстоянии по обе стороны
от нее. Точи, лежащие внутри образованной таим образом
полосы, удалены от данной прямой на расстояние, меньшее d,
а вне полосы — на расстояние, большее d. Если прямая не пе-
ресеает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в итое
получим таую прямую, оторая асается параболы в неото-
рой точе. Эта точа асания будет точой параболы, находя-
щейся ближе всео прямой. Следовательно, для нахождения
этой точи достаточно определить оординаты точи асания
той асательной, оторая параллельна данной прямой. Из ус-
ловия параллельности (см. § 50) имеем
2x=1^x= и y= .
Чтобы найти точу на прямой (второй онец анала), запишем
уравнение прямой, перпендиулярной прямой x – y – 2 = 0 и
проходящей через точу ; :
y– =–x– ,илиy=–x+.
Решив систему уравнений
получаемx= ,y=– .
Ответ. Координаты онцов анала: ; и ; – .
45. Прямая l проходит через точи (3; 0) и (0; 4). Точа A
лежит на параболе y = 2x – x2. Найдите расстояние ρ от точи
A до прямой в случае, ода A совпадает с началом оординат,
1
2---
1
4---
1
2--- 1
4---
1
4---
1
2---
3
4---
y=–x+ ,
y=x–2,
3
4---
11
8------
5
8---
1
2--- 1
4---
11
8------ 5
8---
242
Г л а в а 9. Производная и ее применения
41. Требуется построить неоторое оличество одинаовых
жилых домов общей площадью 40 000 м2. Затраты на построй-
у одноо дома сладываются из стоимости фундамента, про-
порциональной вадратному орню из величины жилой пло-
щади дома, и стоимости наземной части, пропорциональной
убу вадратноо орня из величины жилой площади. Строи-
тельство дома площадью 1000 м2 обходится в 184,8 млн р., при-
чем в этом случае стоимость наземной части составляет 32%
стоимости фундамента. Определите, аое оличество домов
нужно построить, чтобы общая стоимость была наименьшей, и
найдите эту стоимость.
При решении неоторых задач вместо отысания наиболь-
шео (наименьшео) значения величины, уазанной в форму-
лирове задачи, удобнее исать наибольшее (наименьшее) зна-
чение друой величины, представляющей собой монотонную
фунцию от первой.
42. Статуя высотой 4 м стоит на олонне, высота оторой рав-
на 5,6 м. На аом расстоянии от олонны должен стоять чело-
ве ростом (до уровня лаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наи-
большим улом?
43. По прямолинейному шоссе едет эсурсионный автобус.
В стороне от шоссе расположен дворец, от парадноо входа о-
тороо идет дороа перпендиулярно шоссе. На аом расстоя-
нии от точи пересечения этих доро должен остановиться авто-
бус, чтобы эсурсанты моли лучше рассмотреть из автобуса
фасад дворца, если длина дворца равна 2a, фасад расположен
под улом 60° относительно шоссе и расстояние от парадноо
входа (оторый является центром симметрии дворца) до шоссе
равно b?
44. Груз массой m, лежащий на оризонтальной площаде,
должен быть сдвинут с места приложенной силой. Сила трения
пропорциональна силе, прижимающей тело плосости, и на-
правлена против сдвиающей силы; оэффициент пропорцио-
нальности (оэффициент трения) равен k. Под аим улом α
оризонту надо приложить силу, чтобы ее величина оаза-
лась наименьшей? Определите наименьшую величину сдвиаю-
щей силы.
Инода задачи, сформулированные а задачи на отысание
наибольшео или наименьшео значения, допусают более прос-
тые решения, основанные на еометричесих соображениях.
§ 49. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
243
П р и м е р 4. Русла двух ре (в пределах неоторой облас-
ти) представляют собой параболу y = x2 и прямую x – y
–
2=0.
Требуется соединить эти реи прямолинейным аналом наи-
меньшей длины. Через аие точи нужно ео провести?
Р е ше н и е. Геометричесим местом точе, находящихся на
расстоянии d от прямой, являются две прямые , параллельные
данной и проведенные на уазанном расстоянии по обе стороны
от нее. Точи, лежащие внутри образованной таим образом
полосы, удалены от данной прямой на расстояние, меньшее d,
а вне полосы — на расстояние, большее d. Если прямая не пе-
ресеает параболу, то, увеличивая ширину полосы, мы в итое
получим таую прямую, оторая асается параболы в неото-
рой точе. Эта точа асания будет точой параболы, находя-
щейся ближе всео прямой. Следовательно, для нахождения
этой точи достаточно определить оординаты точи асания
той асательной, оторая параллельна данной прямой. Из ус-
ловия параллельности (см. § 50) имеем
2x=1^x=
иy=
.
Чтобы найти точу на прямой (второй онец анала), запишем
уравнение прямой, перпе ндиулярной прямой x – y
–
2=0и
проходящей через точу
;:
y–
=–
x–
,
илиy=–x+.
Решив систему уравнений
получаем x =
,y=–
.
Ответ. Координаты онцов анала:
;
и
;–
.
45. Прямая l проходит через точи (3; 0) и (0; 4). Точа A
лежит на параболе y = 2x – x2. Найдите расстояние ρ от точи
A до прямой в случае, ода A совпадает с началом оординат,
1
2
---
1
4
---
1
2
---
1
4
---
1
4
---
1
2
---
3
4
---
y=–x+,
y=x –2,
3
4
---
11
8
------
5
8
---
1
2
---
1
4
---
11
8
------
5
8
---
244
Г л а в а 9. Производная и ее применения
и уажите оординаты таой точи M (x0; y0) на параболе, при
оторых расстояние от нее до прямой будет наименьшим.
46. Четыре точи A, B, C, D в уазанном поряде лежат на
параболе y = ax2 + bx + c. Координаты точе A, B и D извест-
ны: A(–2; 3), B(–1; 1), D(2; 7). Определите оординаты точи C
в случае, ода площадь че тыреху ольниа ABCD наибольшая.
47. На оординатной плосости даны точи A(–2; 0) и B(0; 4)
и прямая l: y = x. Найдите периметр треуольниа AMB, де
M—точа с абсциссой 3, лежащая на прямой l. При аом по-
ложении точи M на прямой l периметр треуольниа AMB
наименьший?
48. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка следует про-
в ести через точу M прямую, чтобы она отсела от ула тре-
уольни наименьшей площади?
49. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка построить
треуольни наименьшео периметра, чтобы одна ео вершина
находилась в точе M, вторая — на стороне AO и третья — на
стороне BO данноо ула?
50. Рассматриваются таие всевозможные трапеции, вписан-
ные в оружность радиуса R, что центр оружности лежит вну-
три трапеции, а одно из оснований равно R
. Найдите боовую
сторону той из трапеций, оторая имеет наибольшую площадь.
51. Дана правильная треуольная пирамида DABC (D—вер-
шина, ABC — основание). Известно, что AB = a, AD = b . Пира-
миду пересеает плосость α, параллельная ребрам AD и BC.
На аом расстоянии от ребра AD должна быть проведена пло-
сость α, чтобы площадь сечения была наибольшей?
52. Рассматриваются всевозможные прямоуольные парал-
лелепипеды, у оторых основаниями являются вадраты, а аж-
дая из боовых раней имеет периметр 6 см. Найдите среди них
параллелепипед с наибольшим объе мом и вычислите величину
этоо объема.
53. В руовой сетор радиуса R с прямым центральным у-
лом вписан прямоуольни та, что одна ео вершина совпада-
ет с центром руа, а противоположная вершина лежит на о-
ружности. Найдите длины сторон тоо прямоуольниа, ото-
рый имеет наибольшую площадь.
54. Хорда AB равна радиусу оружности. Хорда CD, парал-
лельная AB, проведена та, что площадь четырехуольниа
ABCD масимальна. Найдите уловую величину меньшей из
ду, стяиваемых хордой CD.
3
§ 50. Геометрические приложения производной
245
55. В данный руовой сетор радиуса R впишите прямоуоль-
ни наибольшей площади (уол сетора равен α). Вычислите
значение этой площади.
§ 50. Геометрические приложения
производной
Пусть фунция y = f(x) дифференцируема в точе x0 и y0 =
= f(x0). Прямую, определяемую уравнением
y=y0+ (x0)(x–x0),
(1)
называют асательной рафиу фунции y = f(x) в точе
M(x0; y0). Записав уравнение (1) в виде
y–y0= (x0)(x–x0),
(2)
можно залючить, что из всех прямых, проходящих через точ-
у M(x0; y0), асательной рафиу фунции f(x) будет та пря-
мая, уловой оэффициент оторой равен (x0) (уловой оэф-
фициент есть таненс ула налона прямой положительному
направлению оси Ox).
Прямую, перпендиулярную асательной в точе асания,
называют нормалью рафиу фунции y = f(x) в этой точе.
Уравнение нормали имеет вид
(y–y0)(x0)+(x–x0)=0.
(3)
Под лом межд рафиами фнций y = f1(x) и y = f2(x)
в их общей точе M(x0; y0) понимают уол α между асатель-
ными этим рафиам в уазанной точе. Таненс этоо ула
вычисляют по формуле
tgα=
.
(4)
Если выражение 1 + (x0)(
x0) обращается в нуль, то ривые
пересеаются под прямым улом.
Для тоо чтобы составить уравнение асательной (нормали)
рафиу фунции y = f(x) в точе, абсцисса оторой известна
и равна x0, достаточно найти значения (x0) и y = f(x0) и под-
f′
f′
f′
f′
f2′ x0()f1′ x0()
–
1 f1′ x0()f2′ x0()
+
----------------------------------------------
f1′ f2′
f′
244
Г л а в а 9. Производная и ее применения
и уажите оординаты таой точи M (x0; y0) на параболе, при
оторых расстояние от нее до прямой будет наименьшим.
46. Четыре точи A, B, C, D в уазанном поряде лежат на
параболе y = ax2 + bx + c. Координаты точе A, B и D извест-
ны: A(–2; 3), B(–1; 1), D(2; 7). Определите оординаты точи C
в случае, ода площадь четырехуольниа ABCD наибольшая.
47. На оординатной плосости даны точи A(–2; 0) и B(0; 4)
и прямая l: y = x. Найдите периметр треуольниа AMB, де
M—точа с абсциссой 3, лежащая на прямой l. При аом по-
ложении точи M на прямой l периметр треуольниа AMB
наименьший?
48. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка следует про-
вести через точу M прямую, чтобы она отсела от ула тре-
уольни наименьшей площади?
49. Дан уол AOB и точа M внутри нео. Ка построить
треуольни наименьшео периметра, чтобы одна ео вершина
находилась в точе M, вторая — на стороне AO и третья — на
стороне BO данноо ула?
50. Рассматриваются таие всевозможные трапеции, вписан-
ные в оружность радиуса R, что центр оружности лежит вну-
три трапеции, а одно из оснований равно R . Найдите боовую
сторону той из трапеций, оторая имеет наибольшую площадь.
51. Дана правильная треуольная пирамида DABC (D—вер-
шина, ABC — основание). Известно, что AB = a, AD = b. Пира-
миду пересеает плосость α, параллельная ребрам AD и BC.
На аом расстоянии от ребра AD должна быть проведена пло-
сость α, чтобы площадь сечения была наибольшей?
52. Рассматриваются всевозможные прямоуольные парал-
лелепипеды, у оторых основаниями являются вадраты, а аж-
дая из боовых раней имеет периметр 6 см. Найдите среди них
параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите величину
этоо объема.
53. В руовой сетор радиуса R с прямым центральным у-
лом вписан прямоуольни та, что одна ео вершина совпада-
ет с центром руа, а противоположная вершина лежит на о-
ружности. Найдите длины сторон тоо прямоуольниа, ото-
рый имеет наибольшую площадь.
54. Хорда AB равна радиусу оружности. Хорда CD, парал-
лельная AB, проведена та, что площадь четырехуольниа
ABCD масимальна. Найдите уловую величину меньшей из
ду, стяиваемых хордой CD.
3
§ 50. Геометрические приложения производной
245
55. В данный руовой сетор радиуса R впишите прямоуоль-
ни наибольшей площади (уол сетора равен α). Вычислите
значение этой площади.
§ 50. Геометрические приложения
производной
Пусть фунция y = f(x) дифференцируема в точе x0 и y0 =
= f(x0). Прямую, определяемую уравнением
y=y0+ (x0)(x–x0),
(1)
называют асательной рафиу фунции y = f(x) в точе
M(x0; y0). Записав уравнение (1) в виде
y–y0= (x0)(x–x0),
(2)
можно залючить, что из всех прямых, проходящих через точ-
у M(x0; y0), асательной рафиу фунции f(x) будет та пря-
мая, уловой оэффициент оторой равен (x0) (уловой оэф-
фицие нт есть таненс ула налона прямой положительному
направлению оси Ox).
Прямую, перпендиулярную асательной в точе асания,
называют нормалью рафиу фунции y = f(x) в этой точе.
Уравнение нормали имеет вид
(y – y0)(
x0)+(x–x0)=0.
(3)
Под лом межд рафиами фнций y = f1(x) и y = f2(x)
в их общей точе M(x0; y0) понимают уол α между асатель-
ными этим рафиам в уазанной точе. Таненс этоо ула
вычисляют по формуле
tgα=
.
(4)
Если выражение 1 + (x0)(
x0) обращается в нуль, то ривые
пересеаются под прямым улом.
Для тоо чтобы составить уравнение асательной (нормали)
рафиу фунции y = f(x) в точе, абсцисса оторой известна
и равна x0, достаточно найти значения (x0) и y = f(x0) и под-
f′
f′
f′
f′
f2
′x0
()f1
′x0
()
–
1f1
′x0
()f2
′x0
()
+
---------------------------------------------
-
f1
′
f2
′
f′
246
Г л а в а 9. Производная и ее применения
ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты
точи на рафие фунции, в оторой требуется провести аса-
тельную, определяются из условий задачи.
Условия параллельности и перпендилярности двх
прямых. Пусть прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и
y = k2x + b2. Для то о чтобы эти прямые были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы k1 = k2. Для то о чтобы
эти прямые были перпенди улярны, необходимо и достаточ-
но, чтобы k1k2 = –1.
Пример1.Наривойy=x2–7x+3найтиточу,во-
торой асательная параллельна прямой y = –5x + 3.
Р е ше н и е. Из условия параллельности двух прямых сле-
дует, что уловой оэффициент асательной в исомой точе
должен быть равен (–5). Абсциссу точи асания найдем, ис-
пользуя равенство (x) = 2x – 7:
2x–7 =–5^x=1,
а ординату — подстановой x = 1 в уравнение ривой: y(1) = – 3.
Ответ.(1; –3).
1. На ривой y = x3 – 3x + 2 найдите точи, в оторых а-
сательная параллельна прямой y = 3x.
2. Запишите уравнение оризонтальной асательной ра-
фиу фунции y = ex + e–x
.
3. Запишите уравнение асательной рафиу фунции
y=cos 2x–
+2вточесабсциссойx0=
.
4. Каой уол образует с осью абсцисс асательная пара-
болеy=x2+4x–17,проведеннаявточеM ;– ?Запи-
шите уравнение этой асательной.
5. Известно, что прямая y = –
x–
является асательной
рафиу фунции f(x) = x4 – x. Найдите оординаты точи
асания.
6. Поажите, что оординаты точи пересечения асатель-
ныхривойy=1–
, проведенных через точи с ордината-
y′
π
3
---
π
2
---
5
2
---
3
4
---
3
4
---
3
32
------
1
2
---
x2
a2
------
§ 50. Геометрические приложения производной
247
ми y = 0, не зависят от параметра a. Найдите оординаты точ-
и пересечения.
17. Вычислите площадь треуольниа, ораниченноо осями
оординат и асательной рафиу фунции y =
в точе
с абсциссой x0 = 1.
18. Найдите уравнение общей асательной ривым
y=x2+4x+8 и y=x2+8x+4.
19. При аом значении x0 Ý 0; асательные ра-
фиу фунции f(x) = sin x + sin 2x в точах с абсциссами x0 и
x0 + параллельны?
10. Найдите все значения x0, при оторых асательные ра-
фиамфунцийy(x)=3cos5xиy(x)=5cos3x+2вточахсаб-
сциссой x0 параллельны.
11. Найдите оординаты точе пересечения с осью Ox тех
асательных рафиу фунции y(x) = , оторые образу-
ютсосьюOxуол .
12. На рафие фунции y(x) = x3 – 3x2 – 7x + 6 найдите все
точи, в аждой из оторых асательные этому рафиу от-
сеают от положительной полуоси Ox вдвое меньший отрезо,
чем от отрицательной полуоси Oy. Определите длины отсеае-
мых отрезов.
13. Хорда параболы y = –a2x2 + 5ax – 4 асается ривой
y=в
т
о
ч
е
x = 2 и делится этой точой пополам. Найдите
значение a.
14. Запишите уравнение асательной рафиу фунции
f(x)=|x2–|x||вточесабсциссойx=–2.
15. Две асательные рафиу фунции y =
пересеаются под прямым улом в неоторой точе оси Oy. За-
пишите уравнения асательных.
П р и м е р 2. Определить, под аим улом ривая y =
=s
i
n
3
x пересеает ось абсцисс в начале оординат.
x
2x 1–
-----------------
π
2---
π
2---
x1+
x 3–--------------
3π
4-------
1
1 x–-------------
17x2 1
+
()
1
3
-------
246
Г л а в а 9. Производная и ее применения
ставить их в уравнение (1) (соответственно в (3)). Координаты
точи на рафие фунции, в оторой требуется провести аса-
тельную, определяются из условий задачи.
Условия параллельности и перпендилярности двх
прямых. Пусть прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и
y = k2x + b2. Для то о чтобы эти прямые были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы k1 = k2. Для то о чтобы
эти прямые были перпенди улярны, необходимо и достаточ-
но, чтобы k1k2 = –1.
Пример1.Наривойy=x2–7x+3найтиточу,во-
торой асательная параллельна прямой y = –5x + 3.
Р е ше н и е. Из условия параллельности двух прямых сле-
дует, что уловой оэффициент асательной в исомой точе
должен быть равен (–5). Абсциссу точи асания найдем, ис-
пользуя равенство (x) = 2x – 7:
2x–7=–5^x=1,
а ординату — подстановой x = 1 в уравнение ривой: y(1) = –3.
Ответ.(1;–3).
1. На ривой y = x3 – 3x + 2 найдите точи, в оторых а-
сательная параллельна прямой y = 3x.
2. Запишите уравнение оризонтальной асательной ра-
фиу фунции y = ex + e–x.
3. Запишите уравнение асательной рафиу фунции
y=cos 2x– +2вточесабсциссойx0= .
4. Каой уол образует с осью абсцисс асательная пара-
болеy=x2+4x–17,проведеннаявточеM ;– ?Запи-
шите уравнение этой асательной.
5.Известно,чтопрямаяy=– x–
является асательной
рафиу фунции f(x) = x4 – x. Найдите оординаты точи
асания.
6. Поажите, что оординаты точи пересечения асатель-
ных ривой y = 1 – , проведенных через точи с ордината-
y′
π
3---
π
2---
5
2--- 3
4---
3
4--- 3
32------
1
2---
x2
a2------
§ 50. Геометрические приложения производной
247
ми y = 0, не зависят от параметра a. Найдите оординаты точ-
и пересечения.
17. Вычислите площадь треуольниа, ораниченноо осями
оординат и асательной рафиу фунции y =
в точе
с абсциссой x0 = 1.
18. Найдите уравнение общей асательной ривым
y=x2+4x+8 и y=x2+8x+4.
19. При аом зна чении x0 Ý 0;
асательные ра-
фиу фунции f(x) = sin x + sin 2x в точах с абсциссами x0 и
x0 + параллельны?
10. Найдите все значения x0, при оторых асательные ра-
фиамфунцийy(x)=3cos5xиy(x)=5cos3x+2вточахсаб-
сциссой x0 параллельны.
11. Найдите оординаты точе пересечения с осью Ox тех
асательных рафиу фунции y(x) =
, оторые образу-
ют с осью Ox уол
.
12. На рафие фунции y(x) = x3 – 3x2 – 7x + 6 найдите все
точи, в аждой из оторых асательные этому рафиу от-
сеают от положительной полуоси Ox вдвое меньший отрезо,
чем от отрицательной полуоси Oy. Определите длины отсеае-
мых отрезов.
13. Хорда параболы y = –a2x2 + 5ax – 4 асается ривой
y=в
т
о
ч
е
x = 2 и делится этой точой пополам. Найдите
значение a.
14. Запишите уравнение асательной рафиу фунции
f(x)=|x2–|x||вточесабсциссойx= –2.
15. Две асательные рафиу фунции y =
пересеаются под прямым улом в неоторой точе оси Oy. За-
пишите уравнения асательных.
П р и м е р 2. Определить, под аим улом ривая y =
=s
i
n
3
x пересеает ось абсцисс в начале оординат.
x
2x1
–
-----------------
π
2
---
π
2
---
x1
+
x3
–
--------------
3π
4
-------
1
1x
–
-------------
17x2 1
+
()
1
3
-------
248
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ше н и е. По определению исомый уол равен улу
налона оси абсцисс асательной, проведенной ривой в
начале оординат. Таим образом, таненс исомоо ула сов-
падает с уловым оэффициентом этой асательной и равен
значению производной фунции y =
sin 3x, вычисленному
приx=0.Таа
y′=
cos3x =
cos 3x,
тоtgα=
и, следовательно, α =
.
Ответ. α =
.
16. Поажите, что асательные , проведенные рафиу
фунции y =
в точах ео пересечения с осями оординат,
параллельны.
17. В аих точах асательная рафиу фунции
f(x) =
–
+7x–4
образует с осью Ox уол 45°?
18. Под аим улом оси Ox налонена асательная, про-
веденная ривой y = 2x3 – x в точе пересечения этой ривой
с осью Oy?
19. Поажите, что ривые, заданные уравнениями xy = a2,
x2 – y2 = b2, пересеаются под прямым улом.
20. Поажите, что семейства линий, заданных уравнениями
y = ax, y2 + x2 = c2, при любых a и c пересеаются под прямым
улом.
В случае, ода требуется составить уравнение таой аса-
тельной рафиу фунции y = f(x), оторая проходит через
заданную точу M(x1; y1), не принадлежащую рафиу этой
фунции, абсциссу x0 и ординату y0 точи асания можно оп-
ределить из системы уравне ний
(5)
1
3
-------
3
3
-------
3
3
π
3
---
π
3
---
x4
–
x2
–
-------------
x3
3
------
5x2
2
----------
y1–y0= (x0)(x1–x0),
f(x0) = y0.
f′
§ 50. Геометрические приложения производной
249
Пример3.Ваойточеривойy=x2–5x+6следует
провести асательную, чтобы она проходила через точу M1(1; 1)?
Р е ше н и е. Составим систему вида (5):
Подставив y0 из второо уравнения в первое, получаем вадрат-
ное уравнение – 2x0 = 0. Ита, исомые точи имеют оор-
динаты (2; 0) и (0; 6).
Ответ. (2; 0), (0; 6).
21. В аой точе ривой y = ax2 + bx + c нужно провести
асательную, чтобы она проходила через начало оординат? Ис-
следуйте, при аих значениях a, b и c задача имеет решение.
22. В аой точе ривой y = x2 – 5x + 6 нужно провести
асательную, чтобы она проходила через точу M(a; b)? Иссле-
дуйте, при аих значениях a и b задача имеет решение.
23. Запишите уравнение асательной ривой y = ,
если известно, что асательная проходит через точу M(a; b).
Сольо существует решений в зависимости от выбора точи?
Найдите эти решения.
24. Запишите уравнение прямой, проходящей через точу
с оординатами ; 2 , асающейся рафиа фунции y1(x) =
=– + 2 и пересеающей в двух точах рафи фунции
y2(x) =
.
25. В аой точе M0 ривой y = x3/2 асательная пер-
пендиулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0?
Известно, что равенство нулю дисриминанта вадратноо
уравнения означает, что соответствующая парабола асается
оси абсцисс (прямой y = 0). Аналоичные соображения можно
использовать при нахождении уравнений асательных.
П р и м е р 4. Найти таие асательные оружности x2 +
+ y2 = 25, оторые параллельны прямой 2x – y + 1 = 0.
1–y0=(2x0–5)(1–x0),
y0= –5x0+6.
x0
2
x0
2
x1+
x--------------
1
2---
x2
2------
4x2
–
2
248
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Р е ше н и е. По определению исомый уол равен улу
налона оси абсцисс асательной, проведенной ривой в
начале оординат. Таим образом, таненс исомоо ула сов-
падает с уловым оэффициентом этой асательной и равен
значению производной фунции y = sin 3x, вычисленному
приx=0.Таа
y′= cos3x= cos3x,
то tg α = и, следовательно, α = .
Ответ.α= .
16. Поажите, что асательные, проведенные рафиу
фунции y = в точах ео пересечения с осями оординат,
параллельны.
17. В аих точах асательная рафиу фунции
f(x)= – +7x–4
образует с осью Ox уол 45°?
18. Под аим улом оси Ox налонена асательная, про-
веденная ривой y = 2x3 – x в точе пересечения этой ривой
с осью Oy?
19. Поажите, что ривые, заданные уравнениями xy = a2,
x2 – y2 = b2, пересеаются под прямым улом.
20. Поажите, что семейства линий, заданных уравнениями
y = ax, y2 + x2 = c2, при любых a и c пересеаются под прямым
улом.
В случае, ода требуется составить уравнение таой аса-
тельной рафиу фунции y = f(x), оторая проходит через
заданную точу M(x1; y1), не принадлежащую рафиу этой
фунции, абсциссу x0 и ординату y0 точи асания можно оп-
ределить из системы уравнений
(5)
1
3
-------
3
3
-------
3
3
π
3---
π
3---
x4–
x 2–-------------
x3
3------ 5 x2
2----------
y1–y0= (x0)(x1–x0),
f(x0) = y0.
f′
§ 50. Геометрические приложения производной
249
Пример3.Ваойточеривойy=x2–5x+6следует
провести асательную, чтобы она проходила через точу M1(1; 1)?
Р е ше н и е. Составим систему вида (5):
Подставив y0 из второо уравнения в первое, получаем вадрат-
ное уравнение
–
2x0 = 0. Ита, исомые точи имеют оор-
динаты (2; 0) и (0; 6).
Ответ. (2; 0), (0; 6).
21. В аой точе ривой y = ax2 + bx + c нужно провести
асательную, чтобы она проходила через начало оординат? Ис-
следуйте, при аих значениях a, b и c задача имеет решение.
22. В аой точе ривой y = x2 – 5x + 6 нужно провести
асательную, чтобы она проходила через точу M(a; b)? Иссле-
дуйте, при аих значениях a и b задача имеет решение .
23. Запишите уравнение асательной ривой y =
,
если известно, что асательная проходит через точу M(a; b).
Сольо существует решений в зависимости от выбора точи?
Найдите эти решения.
24. Запишите уравне ние прямой, проходящей через точу
с оординатами
; 2 , асающейся рафиа фунции y1(x) =
=–
+ 2 и пересеающей в двух точах рафи фунции
y2(x) =
.
25. В аой точе M0 ривой y =
x3/2 асательная пер-
пендиулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0?
Известно, что равенство нулю дисриминанта вадратноо
уравнения означает, что соответствующая парабола асается
оси абсцисс (прямой y = 0). Аналоичные соображения можно
использовать при нахождении уравнений асательных.
П р и м е р 4. Найти таие асательные оружности x2 +
+ y2 = 25, оторые параллельны прямой 2x – y + 1 = 0.
1–y0=(2x0–5)(1–x0),
y0=
–
5x0+6.
x0
2
x0
2
x1
+
x
--------------
1
2
---
x2
2
------
4x2
–
2
250
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Решение. Всепрямые,параллельныепрямой2x–y+1=0,
описываются уравнением в ида y = 2x + c. Общие точи прямой
y = 2x + c и данной оружности определим из системы уравнений
Подставив y из второо уравнения в первое, имее м
x2+(2x+c)2=25.
Условие существования единственноо решения залючается
в том, что дисриминант последнео уравнения равен нулю. Из
этоо условия получаем для c следующие возможные значения:
c1=5
иc2=–5
.
Ответ.y =2x+5 ,y=2x–5
.
26. Под аим улом оружность x2 + y2 = 16 видна из точ-
и (8; 0)?
27. Точа M двиалась по оружности (x – 4)2 + (y – 8)2 = 20,
зате м сорвалась с нее и, двиаясь по асательной оружнос-
ти, пересела ось Ox в точе (–2; 0). Определите точу оруж-
ности, с оторой сорвалась движущаяся точа.
28. Найдите условие, при отором прямая y = kx + b асает-
ся параболы y2 = 2px.
29. Найдите еометричесое место точе, из оторых пара-
бола y = x2 видна под прямым улом .
30. Найдите уол между асательными рафиу фунции
y = x2, проходящими через точу с оординатами (0; –1).
31. Прямой уол перемещается та, что ео стороны асаются
ривой
+ = 1. Найдите еометричесое место вершин ула.
32. Доажите, что две асательные параболе y = x2, про-
в еденные из произвольной точи прямой y = –
, взаимно пер-
пе ндиулярны.
33. Через произвольную точу оси абсцисс проведены две
прямые, одна из оторых асается параболы y = x2 (и не совпа-
дает с осью абсцисс), а друая проходит через точу 0;
.
Доажите, что эти прямые перпендиулярны.
2x+c=y,
x2+y2=25.
5
5
5
5
x2
a2
------
y2
b2
------
1
4
---
1
4
---
§ 51. Приложения производной к задачам физики
251
34. Доажите, что любая асательная иперболе y = об-
разует равные по величине улы с двумя прямыми, одна из о-
торых проходит через точу асания и точу ( ; ), а дру-
ая — через точу асания и точу (– ; – ).
35. Доажите, что отрезо любой асательной иперболе
y = , залюченный между осями оординат, делится точой
асания пополам.
36. Доажите, что площадь треуольниа, ораниченноо ося-
ми оординат и произвольной асательной иперболе y = ,
равна 2.
37. При аом значении параметра a парабола y = ax2 аса-
ется ривой y = ln x?
38. Найдите оординаты точи, лежащей на рафие фун-
цииy=1+cosxпри0mxmπинаименееудаленнойотпрямой
x +2y+4=0.
§ 51. Приложения производной
к задачам физики
Если путь, пройденный телом моменту времени t, опреде-
ляется фунцией y = f(x), то сорость движения в этот момент
равна производной пути по времени:
v= (t),
(1)
а усорение — производной сорости по времени:
a= (t).
(2)
П ример. Челове приближается со соростью b подно-
жию башни высотой h. Каова сорость ео приближения вер-
шине башни, ода он находится на расстоянии l от основания?
Решение. Пустьx(t) — расстояние от человеа до подно-
жия башни в момент времени t. Тода расстояние y(t) от чело-
веа до вершины башни в момент времени t выразится фун-
цией y(t) =
. Дифференцируя y(t) по t, получаем
y′(t) =
.
1
x---
22
22
1
x---
1
x---
3
f′
(f′ )′
h2 x2 t()
+
xt()x′ t()
h2 x2 t()
+
--------------------------------
250
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Решение. Всепрямые,параллельныепрямой2x–y+1=0,
описываются уравнением вида y = 2x + c. Общие точи прямой
y = 2x + c и данной оружности определим из системы уравнений
Подставив y из второо уравнения в первое, имеем
x2+(2x+c)2=25.
Условие существования единственноо решения залючается
в том, что дисриминант последнео уравнения равен нулю. Из
этоо условия получаем для c следующие возможные значения:
c1=5 иc2=–5 .
Ответ.y=2x+5 ,y=2x–5 .
26. Под аим улом оружность x2 + y2 = 16 видна из точ-
и (8; 0)?
27. Точа M двиалась по оружности (x – 4)2 + (y – 8)2 = 20,
затем сорвалась с нее и, двиаясь по асательной оружнос-
ти, пересела ось Ox в точе (–2; 0). Определите точу оруж-
ности, с оторой сорвалась движущаяся точа.
28. Найдите условие, при отором прямая y = kx + b асает-
ся параболы y2 = 2px.
29. Найдите еометричесое место точе, из оторых пара-
бола y = x2 видна под прямым улом.
30. Найдите уол между асательными рафиу фунции
y = x2, проходящими через точу с оординатами (0; –1).
31. Прямой уол перемещается та, что ео стороны асаются
ривой + = 1. Найдите еометричесое место вершин ула.
32. Доажите, что две асательные параболе y = x2, про-
веденные из произвольной точи прямой y = – , взаимно пер-
пендиулярны.
33. Через произвольную точу оси абсцисс проведены две
прямые, одна из оторых асается параболы y = x2 (и не совпа-
дает с осью абсцисс), а друая проходит через точу 0; .
Доажите, что эти прямые перпендиулярны.
2x+c=y,
x2+y2=25.
5
5
5
5
x2
a2------ y 2
b2------
1
4---
1
4---
§ 51. Приложения производной к задачам физики
251
34. Доажите, что любая асательная иперболе y = об-
разует равные по величине улы с двумя прямыми, одна из о-
торых проходит через точу асания и точу ( ; ), а дру-
ая — через точу асания и точу (– ;
–
).
35. Доажите, что отрезо любой асательной иперболе
y=
, залюченный между осями оординат, делится точой
асания пополам.
36. Доажите, что площадь треуольниа, ораниченноо ося-
ми оординат и произвольной асательной иперболе y =
,
равна 2.
37. При аом значе нии параме тра a парабола y = ax2 аса-
ется ривой y = ln x?
38. Найдите оординаты точи, лежащей на рафие фун-
цииy=1+cosxпри0mxmπинаименееудаленнойотпрямой
x
+2y+4=0.
§ 51. Приложения производной
к задачам физики
Если путь, пройденный телом моменту времени t, опреде-
ляется фунцией y = f(x), то сорость движения в этот момент
равна производной пути по времени:
v= (t),
(1)
а усорение — производной сорости по времени:
a=
(t).
(2)
П рим е р. Челове приближается со соростью b подно-
жию башни высотой h. Каова сорость ео приближения вер-
шине башни, ода он находится на расстоянии l от основания?
Решение. Пустьx(t) — расстояние от человеа до подно-
жия башни в момент времени t. Тода расстояние y(t) от чело-
веа до вершины башни в момент времени t выразится фун-
цией y(t) =
. Д ифференцируя y(t) по t, получаем
y′(t) =
.
1
x
---
22
2
2
1
x
---
1
x
---
3
f′
(f′ )′
h2 x2 t()
+
xt
()x ′ t()
h2 x2 t()
+
-------------------------------
-
252
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Отсюда, учитывая, что x′(t) = b, а расстояние от человеа до
подножия башни равно l, находим
v=
.
Ответ. v =
.
1. Н ижний онец лестницы длиной 5 м сользит по полу в на-
правлении от стены, у оторой она стоит. Каова сорость
верхнео онца лестницы в тот момент, ода нижний онец
находится на расстоянии 3 м от стены, если сорость нижнео
онца постоянна и равна 2 м/с?
2. Челове, приближающийся вертиальной стене, осве-
щен сзади фонарем, находящимся на расстоянии l от стены.
Сорость человеа равна v. С аой соростью увеличивается
ео тень, если рост человеа равен h?
3. Точа движется по иперболе y =
та, что ее абсцисса
в озрастает равномерно со соростью 1 см/с. С аой соростью
изменяется ее ордината, ода точа проходит положение (5; 2)?
4. По оси Ox движутся две точи, заоны движения оторых
имеют вид
x1=100+5t, x2=0,5t2, tl0.
Каова относительная сорость этих точе в момент встречи
(x измеряется в сантиметрах, t—в сеундах)?
5. Колесо радиуса R атится без сольжения по прямой.
Центр руа движется со соростью v0. В обод олеса вбит
воздь. Найдите сорость перемещения воздя в момент вре-
мени t.
6. Точа движется с уловой соростью ω по оружности ра-
диуса R с центром в начале оординат. Каую сорость имеет
изменение абсциссы точи при прохождении ею оси Ox?
7. Тело броше но под улом α оризонту со соростью v. Ка-
ова масимальная высота подъема тела?
8. Уол α (в радианах), на оторый повернется олесо через
t с, выражается формулой α = 3t2 – 12t + 36. Найдите уловую
сорость олеса в момент t = 4 с и момент, ода олесо оста-
новится.
9. Два тела движутся под улом 60° дру друу; уравнение
движения первоо тела имее т вид s1(t) = t2 – 2t, а уравнение
bl
h2 l2
+
----------------------
bl
h2 l2
+
----------------------
10
x
------
§ 51. Приложения производной к задачам физики
253
движения второо тела — вид s2(t) = 2t. В момент времени t = 0
тела находились в одной точе. С аой соростью увеличива-
ется расстояние между телами?
10. Лошадь бежит по оружности со соростью 20 м/ч.
В центре оружности стоит фонарь, по асательной оруж-
ности в точе, отуда лошадь начинает свой бе, расположен
забор. С аой соростью будет перемещаться тень лошади вдоль
забора в момент, ода лошадь пробежит оружности?
11. Раета движется прямолинейно по заону s(t) = v0t + .
Через время t1 после начала движения от нее отделяется не-
оторый предмет, оторый продолжает двиаться по инерции.
В аой момент времени t и аую новую сорость v надо при-
дать предмету, чтобы, двиаясь дальше равномерно, он донал
раету в момент t2, имея при этом одинаовую с ней сорость?
Приведите еометричесую интерпретацию задачи. Каов заон
движения этоо предмета?
12. Раета запущена по прямой из неоторой точи. Заон
движения раеты имеет вид s = (t l 0). В аой момент вре-
мени t0, считая от начала движения, следует отлючить двиа-
тели, чтобы раета, двиаясь дальше по инерции с набранной
соростью, оазалась в момент t1 на расстоянии s1 от первона-
чальной точи?
1
8---
at2
2---------
t2
2-----
252
Г л а в а 9. Производная и ее применения
Отсюда, учитывая, что x′(t) = b, а расстояние от человеа до
подножия башни равно l, находим
v=
.
Ответ. v =
.
1. Нижний онец лестницы длиной 5 м сользит по полу в на-
правлении от стены, у оторой она стоит. Каова сорость
верхнео онца лестницы в тот момент, ода нижний онец
находится на расстоянии 3 м от стены, если сорость нижнео
онца постоянна и равна 2 м/с?
2. Челове, приближающийся вертиальной стене, осве-
щен сзади фонарем, находящимся на расстоянии l от стены.
Сорость человеа равна v. С аой соростью увеличивается
ео тень, если рост человеа равен h?
3. Точа движется по иперболе y = та, что ее абсцисса
возрастает равномерно со соростью 1 см/с. С аой соростью
изменяется ее ордината, ода точа проходит положение (5; 2)?
4. По оси Ox движутся две точи, заоны движения оторых
имеют вид
x1=100+5t, x2=0,5t2, tl0.
Каова относительная сорость этих точе в момент встречи
(x измеряется в сантиметрах, t—в сеундах)?
5. Колесо радиуса R атится без сольжения по прямой.
Центр руа движется со соростью v0. В обод олеса вбит
воздь. Найдите сорость перемещения воздя в момент вре-
мени t.
6. Точа движется с уловой соростью ω по оружности ра-
диуса R с центром в начале оординат. Каую сорость имеет
изменение абсциссы точи при прохождении ею оси Ox?
7. Тело брошено под улом α оризонту со соростью v. Ка-
ова масимальная высота подъема тела?
8. Уол α (в радианах), на оторый повернется олесо через
t с, выражается формулой α = 3t2 – 12t + 36. Найдите уловую
сорость олеса в момент t = 4 с и момент, ода олесо оста-
новится.
9. Два тела движутся под улом 60° дру друу; уравнение
движения первоо тела имеет вид s1(t) = t2 – 2t, а уравнение
bl
h2 l2
+
----------------------
bl
h2 l2
+
----------------------
10
x------
§ 51. Приложения производной к задачам физики
253
движения второо тела — вид s2(t) = 2t. В момент времени t = 0
тела находились в одной точе. С аой соростью увеличива-
ется расстояние между телами?
10. Лошадь бежит по оружности со соростью 20 м/ч.
В центре оружности стоит фонарь, по асательной оруж-
ности в точе, отуда лошадь начинает свой бе, расположен
забор. С аой соростью будет перемещаться тень лошади вдоль
забора в момент, ода лошадь пробежит оружности?
11. Раета движется прямолинейно по заону s(t) = v0t +
.
Через время t1 после начала движения от нее отделяется не-
оторый предмет, оторый продолжает двиаться по инерции.
В аой момент времени t и аую новую сорость v надо при-
дать предмету, чтобы, двиаясь дальше равномерно, он донал
раету в момент t2, имея при этом одинаовую с ней сорость?
Приведите еометричесую интерпретацию задачи. Каов заон
движения этоо предмета?
12. Раета за пущена по прямой из неоторой точи. Заон
движения раеты имеет вид s =
(t l 0). В аой момент вре-
мени t0, считая от начала движения, следует отлючить двиа-
тели, чтобы раета, двиаясь дальше по инерции с набранной
соростью, оазалась в момент t1 на расстоянии s1 от первона-
чальной точи?
1
8
---
at2
2
---------
t2
2
-----
Глава 10
Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
Дифференц ируемую фун цию F(x) называют первообразной
для фун ции f(x) на данном промежут е, если при всех значе-
ниях x из этоо промежут а справедливо равенство
(x) = f(x).
(1)
Если на не отором промежут е F(x) — первообразная для f(x),
то выражение
f(x)dx = F(x) + C,(
2
)
де C— произвольная постоянная (постоянная интерирова-
ния), называют неопределенным интералом от фун ции f(x)
на этом промежут е.
Правила инте рирования
Справедливы следующие формулы:
af(x)dx = af(x)dx,
(3)
де a—постоянная величина;
(f1(x) ä f2(x)) dx = f1(x)dx ä f2(x)dx;(
4
)
f(ax+b)dx= F(ax+b)+C
(5)
(де F(x) — первообразная для f(x), a − 0 и b—постоянные).
Таблица основных неопределенных инте ралов
xndx=
+C;n−–1;
(6)
= ln|x|+C;(
7
)
F′
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
1
a
---
∫xn1
+
n1
+
--------------
∫dx
x
-------
§ 52. Неопределенный интеграл
255
axdx= +C, a>0; exdx=ex+C;(
8
)
sinxdx=–cosx+C;(
9
)
cosxdx=sinx+C;(
1
0
)
=tgx+C;(
1
1
)
=–ctgx+C;(
1
2
)
=ln tg +C;(
1
3
)
=ln tg + +C;(
1
4
)
= arctg +C, a−0;
(15)
=ln
+ C;(
1
6
)
=arcsin +C, a−0;
(17)
=ln(x+
)+C.(
1
8
)
Чтобы вычислить неопределенный интерал (найти перво-
образную данной фун ции), ео с помощью преобразований и
правил интерирования сводят табличному интералу.
П р и м е р. Найти все первообразные фун ции
f(x) =
,
де m и n—целые числа.
Р е ш е н и е. Преобразуем фун цию f(x) виду
f(x) =
–
+
.
∫ax
lna
----------
∫
∫
∫
∫ dxcos2 x
----------------
∫ dxsin2 x
----------------
∫ dxsin x-------------
x
2---
∫ dxcos x-------------
x
2--- π
4---
∫ dxx2 a2
+
-------------------- 1
a---
x
a---
∫ dxx2 a2
–
------------------- 1
2 a------- xa
–
xa
+
--------------
∫dx
a2 x2
–
-----------------------
x
a---
∫dx
x2 a2
+
------------------------
x2 a2
+
xm xn
–
()
2
x
-----------------------------
x2m 1
2---–
2xmn1
2---–
+
x2n 1
2---–
Глава 10
Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
Дифференцируемую фун цию F(x) называют первообразной
для фун ции f(x) на данном промежут е, если при всех значе-
ниях x из этоо промежут а справедливо равенство
(x) = f(x).
(1)
Если на не отором промежут е F(x) — первообразная для f(x),
то выражение
f(x)dx = F(x) + C,(
2
)
де C— произвольная постоянная (постоянная интерирова-
ния), называют неопределенным интералом от фун ции f(x)
на этом промежут е.
Правила инте рирования
Справедливы следующие формулы:
af(x)dx = af(x)dx,
(3)
де a—постоянная величина;
(f1(x) ä f2(x)) dx = f1(x)dx ä f2(x)dx;(
4
)
f(ax+b)dx= F(ax+b)+C
(5)
(де F(x) — первообразная для f(x), a − 0 и b—постоянные).
Таблица основных неопределенных инте ралов
xndx=
+C;n−–1;
(6)
=ln|x|+C;(
7
)
F′
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
1
a---
∫ xn1+
n1+
--------------
∫ dxx-------
§ 52. Неопределенный интеграл
255
axdx=
+C, a>0; exdx=e
x
+ C;(
8
)
sinxdx= –cosx+C;(
9
)
cosxdx=sinx+C;(
1
0
)
= tgx+C;(
1
1
)
= –ctgx+C;(
1
2
)
=lntg
+ C;(
1
3
)
=lntg
+
+ C;(
1
4
)
=
arctg +C, a−0;
(15)
=
ln
+ C;(
1
6
)
= arcsin +C, a−0;
(17)
= ln(x+
)+C.(
1
8
)
Чтобы вычислить неопределенный интерал (найти перво-
образную данной фун ции), е о с помощью преобразований и
правил интерирования сводят табличному интералу.
П р и м е р. Найти все первообразные фун ции
f(x) =
,
де m и n—целые числа.
Р е ш е н и е. Преобразуем фун цию f(x) виду
f(x) =
–
+
.
∫ax
lna
----------
∫
∫
∫
∫dx
cos2 x
----------------
∫dx
sin2 x
----------------
∫dx
sin x
-------------
x
2
---
∫dx
cos x
-------------
x
2
---
π
4
---
∫dx
x2 a2
+
-------------------
-
1
a
---
x
a
---
∫dx
x2 a2
–
-------------------
1
2a
-------
xa
–
xa
+
--------------
∫dx
a2 x2
–
-----------------------
x
a
---
∫dx
x2 a2
+
------------------------
x2 a2
+
xm xn
–
()
2
x
----------------------------
-
x
2m
1
2
---
–
2x
mn
1
2
---
–
+
x
2n
1
2
---
–
256
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Используя правила интерирования (3), (4) и формулу (6), по-
лучим
–
+
dx=
=
–
+
+C=
=
–
+
+C.
Ответ. –
++
C.
Применяя правила интерирования и таблицу неопределен-
ных интералов, найдите первообразную данной фун ции:
1.f(x)=
.
2. f(x) =
.
3.f(x)=x
.
4.f(x)=
.
5.f(x)=
.
6.f(x)=
.
Упростив подынтеральное выражение, найдите неопреде-
ленный интерал:
17.
dx.
18.
dt.
19.
dx.
10.
–
+
dx.
∫x
2m
1
2
---
–
2x
mn
1
2
---
–
+
x
2n
1
2
---
–
1
2m
1
2
---
+
-------------------
-
x
2m
1
2
---
+
2
mn
1
2
---
++
---------------------------
x
mn
1
2
---
++
1
2n
1
2
---
+
------------------
x
2n
1
2
---
+
2x2m x
4m1
+
----------------------
-
4xmn
+
x
2m2n1
++
----------------------------------
2x2n x
4n1
+
---------------------
2x2m x
4m1
+
----------------------
-
4xmn
+
x
2m2n1
++
----------------------------------
2x2n x
4n1
+
---------------------
2x2
+2
x2
–
–
4x4
–
------------------------------------------------
-
x2x
–
x
3
---------------------
-
1x
–
x
1
x
2
---
–
------------------
x1
–
2x1
–
()
3
-------------------------
x
2
---
1x
+
∫x1
+
()
x2
x
–
()
xxx x
++
-------------------------------------------------
211
4
---
1
t
---
t
–
2
+
11
4
---
1
t
---
t
–
2
1
2
---
1
t
---
t
–
–
+
--------------------------------------------------------------------------------------
2x
1x
+
()
1x
+
3
--------------------------------------
4
8
x
---
4
x2
------
++
2
----------------------------
3
∫1x2
–
–
x1/2 x 1/2
–
–
--------------------------------
2
x3/2
-----------
x2
–
x
–
x1/2 x 1/2
–
–
--------------------------------
§ 52. Неопределенный интеграл
257
11.
–
–
dx.
12.
+
dx.
13.
dx.
14.
–
dx.
15.
dx.
16.
dx.
17.
dx.
18.
dx.
19.
dx.
20.
dx.
21. 4cos cosx sin
dx.
22. –4sin sinxsin dx.
∫ x
2------- 1
2x
-----------
2
x1–
x1+
------------------ x 1+
x1–
------------------
∫1x2
–1
–
x
-------------------------------
1x–
1x2
– x1–
+
-----------------------------------------
1x
+
1x
+1
x–
–
-------------------------------------------
1x2
–
()
1/2
–
1
1
1x2
–
()
1/2
–
1–
------------------------------------------
++
2–
2x2
–2
1x2
–
–
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
x6–64
–
42x1– x2–
++
---------------------------------------- x
44
x---– 1
x2------
+
---------------------------- 4 x2 2x 1+
()
12x
–
----------------------------------
∫ x2/m 9x2/n
–
()
x1 m–()
/m 3x1 n–
()
/n
–
()
x1/m 3x1/n
+
()
2 12xmn
+
()
/mn
–
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 x–4
x2 5x2 6x
–3
+
x1–
-----------------------------------
++
2x12x
x 1–-------------
++
-------------------------------------------------------------------------------
1x2
–1
+
1x–
1
1x
+
------------------
+
-------------------------------------------
x2+
()
2
x
------- 1–
x 2–
()
2
x
------- 1+
–
2x2–
–
()
:2
x--- 1+ 2
x
-------
–
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x4 5x3 15x 9–
++
x6 3x4
+
---------------------------------------------------- 9
x4------
+
x3 4x
–3
x2 12
–
+
x5
----------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------
∫x2x2
–
+
3
1x2x2
–
–
6
1x2
–
3
-------------------------------------------------------------------------------
∫ x2---
21x
2-----------
∫ x2---
11x
2-----------
256
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Используя правила интерирования (3), (4) и формулу (6), по-
лучим
–
+
dx=
=
–
+
+C=
=
–
+
+C.
Ответ.– ++
C.
Применяя правила интерирования и таблицу неопределен-
ных интералов, найдите первообразную данной фун ции:
1.f(x)=
.
2. f(x) =
.
3.f(x)=x
.
4.f(x)=
.
5.f(x)=
.
6.f(x)=
.
Упростив подынтеральное выражение, найдите неопреде-
ленный интерал:
17.
dx.
18.
dt.
19.
dx.
10.
–+
dx.
∫x2m 1
2---–
2xmn1
2---–
+
x2n 1
2---–
1
2m1
2---+
-------------------- x
2m1
2---
+
2
mn1
2---
++
--------------------------- x
mn1
2---
++
1
2n1
2---+
------------------ x
2n1
2---
+
2x2m x
4m 1+
----------------------- 4 xmn
+x
2m2n1
++
---------------------------------- 2x2n x
4n 1+
---------------------
2x2m x
4m 1+
----------------------- 4xmn
+x
2m2n1
++
---------------------------------- 2 x2n x
4n 1+
---------------------
2x2
+2
x2
–
–
4x4
–
-------------------------------------------------
x2x
–
x3
----------------------
1x–
x
1x
2---–
------------------
x1–
2x 1–
()
3
-------------------------
x
2---1x
+
∫x1+()
x2x
–
()
xxx x
++
-------------------------------------------------
211
4--- 1
t--- t
–
2
+
11
4--- 1
t--- t
–
21
2--- 1
t--- t
–
–
+
--------------------------------------------------------------------------------------
2x
1x
+
()
1x
+
3
--------------------------------------
48
x--- 4
x2------
++
2
----------------------------
3
∫ 1x2–
–
x1/2 x 1/2
–
–
-------------------------------- 2
x3/2
----------- x 2– x–
x1/2 x 1/2
–
–
--------------------------------
§ 52. Неопределенный интеграл
257
11.
–
–
dx.
12.
+
dx.
13.
dx.
14.
–
dx.
15.
dx.
16.
dx.
17.
dx.
18.
dx.
19.
dx.
20.
dx.
21. 4cos cosx sin
dx.
22.
–4sin sinxsin
dx.
∫ x
2
-------
1
2x
-----------
2
x1
–
x1
+
------------------
x1
+
x1
–
------------------
∫1 x2
–1
–
x
------------------------------
-
1x
–
1x2
–
x1
–
+
-----------------------------------------
1x
+
1x
+1
x
–
–
-------------------------------------------
1x2
–
()
1/2
–
1
1
1x2
–
()
1/2
–
1
–
------------------------------------------
++
2
–
2x2
–2
1
x2
–
–
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
x6
–
64
–
42
x1
–
x2
–
++
----------------------------------------
x
4
4
x
---
–
1
x2
------
+
---------------------------
-
4x22x1
+
()
12x
–
---------------------------------
-
∫ x2/m 9 x2/n
–
()
x1m
–
()
/m3x1n
–
()
/n
–
()
x1/m 3x1/n
+
()
2 12xmn
+
()
/mn
–
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
2x
–4
x2 5x2 6x
–3
+
x1
–
-----------------------------------
++
2x12x
x1
–
-------------
++
-------------------------------------------------------------------------------
1x2
–1
+
1x
–
1
1x
+
------------------
+
-------------------------------------------
x2
+
()
2
x
-------
1
–
x 2
–
()
2
x
-------
1
+
–
2x2
–
–
()
:
2
x
---
1
+
2
x
-------
–
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
x45x315x9
–
++
x6 3x4
+
----------------------------------------------------
9
x4
------
+
x3 4x
–3
x2 12
–
+
x5
---------------------------------------------------
-
------------------------------------------------------------------
∫x2x2
–
+
3
1x2 x2
–
–
6
1x2
–
3
-------------------------------------------------------------------------------
∫x
2
---
21x
2
----------
-
∫x
2
---
11x
2
----------
-
258
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
23. 2c
o
s
α sin
+2α dα.
24. 2sin2 (3π – 2x)cos2 (5π + 2x)dx.
25. ctg
–
2x cos 4x dx.
26.
sin2
+
–
sin2
+
dx.
27. (cos2 (45° – x)cos2 (60° + x) – cos 75° sin (75° – 2x)) dx.
28.
dx.
29.
–
cos 8x ctg 4x dx.
30.
dx.
31.
sinαsin(x–α)+sin2
–
α
dx.
32.
+cos2α dα.
33. tg2 x dx.
34. ctg2 x dx.
§ 53. Задачи, решаемые
с использованием свойств первообразных
Пусть f(x) — данная фун ция, а F(x) — одна из ее первооб-
разных. Тода для фун ции f(x) той первообразной, рафи о-
торой проходит через точ у M(x0; y0), является фун ция
G(x) = F(x) + C,(
1
)
де постоянная C удовлетворяет уравнению
F(x0)+C=y0.(
2
)
∫2
π
4
---
∫
∫ 3π
4
-------
∫ 9π
8
-------
x
4
---
7π
8
-------
x
4
---
∫
∫sin2x sin5x sin3x
–
+
cosx 1 2sin22x
–
+
-----------------------------------------------------------------
-
∫ctg22x 1
–
2ctg2x
------------------------------
∫cos4x 1
+
ctgx tgx
–
-------------------------------
∫
x
2
---
1 sin2α
+
cos(2α 2π)ctg α 5π
4
-------
–
–
-----------------------------------------------------------------------
∫
∫
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных 259
Пример 1. Дляфун цииf(x)=cos2xнайтитупервооб-
разную, рафи оторой проходит через точ у M ; .
Р е ш е н и е. Найдем неопределенный интерал от фун ции
f(x) = cos2 x:
cos2xdx=
dx= x+ sin2x+C.
Чтобы из всех найденных первообразных выбрать ис омую,
воспользуемся равенством (2) и составим уравнение
· + sinπ+C= ,
от уда находим C = 0.
Ответ. F(x) = x + sin 2x.
1. Найдите уравнение та ой ривой, проходящей через
точ у A(1; 2), у оторой таненс ула на лона асательной в аж-
дой точ е в 3 раза больше вадрата абсциссы этой точ и.
2. Найдите уравнение та ой ривой, проходящей через точ у
A(1; 1), у оторой таненс ула на лона в аждой точ е равен
удвоенной абсциссе этой точ и.
3. Найдите уравнение ривой, проходящей через точ у
A(0; –1), если все ее асательные параллельны прямой y = 5x – 3.
Если рафи и дифференцируемых фун ций y = f1(x) и
y = f2(x) асаются дру друа в точ е M(x0; y0), то выполняют-
ся соотношения
f1 (x0) = f2 (x0),
(3)
(x0) = (x0).
(4)
Пример2.Найтивсепервообразныефун цииy=x+2,
асающиеся ривой y = x2.
Решение.Та а фун цияy=x+2являетсяпроизвод-
ной любой своей первообразной, то, соласно соотношению (4),
уравнение для нахождения абсциссы точ и асания имеет вид
2x=x+2.
Корень этоо уравнения есть x = 2. Значение фун ции y = x2
в точ е x = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных
фун цииy=x+2,т.е.изфун цийвидаf(x)= x2+2x+C,
π
2--- π
4---
∫∫
1cos2x
+
2
----------------------------
1
2--- 1
4---
1
2--- π
2--- 1
4---
π
4---
1
2--- 1
4---
f1′
f2′
1
2---
258
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
23. 2c
o
sαsin +2α dα.
24. 2sin2 (3π – 2x)cos2 (5π + 2x)dx.
25. ctg –2x cos4xdx.
26. sin2 + –sin2 + dx.
27. (cos2 (45° – x)cos2 (60° + x) – cos 75° sin (75° – 2x)) dx.
28.
dx.
29.
–cos8xctg4x dx.
30.
dx.
31. sinαsin(x–α)+sin2 –α dx.
32.
+cos2α dα.
33. tg2 x dx.
34. ctg2 x dx.
§ 53. Задачи, решаемые
с использованием свойств первообразных
Пусть f(x) — данная фун ция, а F(x) — одна из ее первооб-
разных. Тода для фун ции f(x) той первообразной, рафи о-
торой проходит через точ у M(x0; y0), является фун ция
G(x) = F(x) + C,(
1
)
де постоянная C удовлетворяет уравнению
F(x0)+C=y0.(
2
)
∫2 π
4---
∫
∫ 3π
4-------
∫ 9π
8------- x
4---
7π
8------- x
4---
∫
∫ sin2x sin5x sin3x
–
+
cosx 1 2sin22x
–
+
------------------------------------------------------------------
∫ctg22x 1–
2ctg2x
------------------------------
∫ cos4x 1+
ctgx tgx
–
-------------------------------
∫
x
2---
1 sin2α
+
cos(2α 2π)ctg α 5π
4-------
–
–
-----------------------------------------------------------------------
∫
∫
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств первообразных 259
Пример1.Дляфун цииf(x)=cos2xнайтиту первооб-
разную, рафи оторой проходит через точ у M ;
.
Р е ш е н и е. Найдем неопределенный интерал от фун ции
f(x) = cos2 x:
cos2xdx=
dx= x+ sin2x+C.
Чтобы из всех найденных первообразных выбрать ис омую,
воспользуемся равенством (2) и составим уравнение
·
+ sinπ+C=
,
от уда находим C = 0.
Ответ. F(x) = x + sin 2x.
1. Найдите уравнение та ой ривой, проходящей через
точ у A(1; 2), у оторой таненс ула на лона асательной в аж-
дой точ е в 3 раза больше вадрата абсциссы этой точ и.
2. Найдите уравнение та ой ривой, проходящей через точ у
A(1; 1), у оторой та не нс ула на лона в аждой точ е равен
удвоенной абсциссе этой точ и.
3. Найдите уравнение ривой, проходящей через точ у
A(0; –1), если все ее асательные параллельны прямой y = 5x – 3.
Если рафи и дифференцируемых фун ций y = f1(x) и
y = f2(x) асаются дру друа в точ е M(x0; y0), то выполняют-
ся соотношения
f1 (x0) = f2 (x0),
(3)
(x0) = (x0).
(4)
Пример2.Найтивсепервообразныефун цииy=x+2,
асающиеся ривой y = x2.
Решение. Та а фун цияy=x+2являетсяпроизвод-
ной любой своей первообразной, то, соласно соотношению (4),
уравнение для нахождения абсциссы точ и асания имеет вид
2x=x+2.
Корень этоо уравнения есть x = 2. Значение фун ции y = x2
в точ е x = 2 равно 4. Следовательно, из всех первообразных
фун цииy=x+2,т.е.изфун цийвидаf(x)= x2+2x+C,
π
2
---
π
4
---
∫∫
1c
o
s
2
x
+
2
----------------------------
1
2
---
1
4
---
1
2
---
π
2
---
1
4
---
π
4
---
1
2
---
1
4
---
f1
′
f2
′
1
2
---
260
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
требуется найти ту, рафи оторой проходит через точ у
M(2; 4). Постоянную C найдем из условия
f(2) =
· 4+2·2++C=4^C= –2.
Ответ.F(x)= x2+2x–2.
4. Найдите ту первообразную фун ции f(x) = x, рафи о-
торой асается прямой y = x – 1.
5. Найдите все первообразные фун ции f1(x) = x2, рафи и
оторых асаются параболы f2(x) = x2 + 1.
6. Найдите все первообразные фун ции f(x) =
, рафи и
оторых асаются ривой y = x3.
Если тело движется со с оростью, изменяющейся по за ону
v = f(t),
(5)
то зависимость пути, пройденноо телом, от времени t имеет
вид
s(t)=F(t)+C,
(6)
де F(t) — не оторая первообразная фун ции f(t), а постоянная
C находится из дополнительных условий.
П р и м е р 3. Тело движется прямолинейно со с оростью,
изменяющейся по за ону v = 2t м/с. Найти за он движения те-
ла, если известно, что за первые 2 с оно прошло 15 м.
Р е ш е н и е. Множеством всех первообразных фун ции
v(t) = 2t является s(t) = t2 + C. Соласно условию, имее м
s(2)=22+C=15,
от уда C = 11 . Ита , за он движения тела имеет вид s(t) = t2 + 11.
Ответ. s(t) = t2 + 11.
7. Материальная точ а движется прямолинейно со с оро-
стью v(t) = sin t cos t м/с. Найдите уравнение движения точ и,
если при t = с пройденный путь составляет
м.
8. Первый пешеход вышел из пун та A со с оростью, изме-
няющейся по за ону v(t) = 2t, а второй в тот же момент вышел
из пун та B, отстоящео от A на 4 м, вслед за первым с постоян-
1
2
---
1
2
---
3
x
---
π
3
---
17
8
------
§ 54. Определенный интеграл
261
ной с оростью 2p м/ч. При а их значениях p второй пеше-
ход доонит первоо? Найдите значение p, при отором пеше-
ходы поравняются толь о один раз.
§ 54. Определенный интеграл
Определенным интералом на промежут е [a; b] от непре-
рывной фун ции f(x) называют приращение F(b) – F(a) любой
первообразной F этой фун ции на промежут е [a; b]. Опреде-
ленный интерал обозначают та : f(x)dx. Следовательно,
f(x)dx = F(b) – F(a)(формла Ньютона—Лейбница). (1)
Здесь a и b—нижний и верхний предел интерирования со-
ответственно; f(x) — подынтеральная фун ция. Разность
F(b) – F(a), записанная в правой части формулы (1), инода
обозначается F(x).
Для тоо чтобы вычислить определенный интерал от фун -
ции f(x) на промежут е [a; b], необходимо найти любую перво-
образную фун ции и вычислить разность ее значений в правом
и левом онцах промежут а [a; b].
Правила инте рирования
(f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx;(
2
)
kf(x)dx = kf(x)dx;
(3)
f(kx + p)dx =
f(t)dt, k − 0;
(4)
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, c Ý [a; b].
(5)
a
b
∫
a
b
∫
a
b
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
1
k---
kap
+
kbp
+
∫
a
b
∫
a
c
∫
c
b
∫
260
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
требуется найти ту, рафи оторой проходит через точ у
M(2; 4). Постоянную C найдем из условия
f(2)= ·4+2·2++C=4^C=–2.
Ответ.F(x)= x2+2x–2.
4. Найдите ту первообразную фун ции f(x) = x, рафи о-
торой асается прямой y = x – 1.
5. Найдите все первообразные фун ции f1(x) = x2, рафи и
оторых асаются параболы f2(x) = x2 + 1.
6. Найдите все первообразные фун ции f(x) = , рафи и
оторых асаются ривой y = x3.
Если тело движется со с оростью, изменяющейся по за ону
v = f(t),
(5)
то зависимость пути, пройденноо телом, от времени t имеет
вид
s(t)=F(t)+C,
(6)
де F(t) — не оторая первообразная фун ции f(t), а постоянная
C находится из дополнительных условий.
П р и м е р 3. Тело движется прямолинейно со с оростью,
изменяющейся по за ону v = 2t м/с. Найти за он движения те-
ла, если известно, что за первые 2 с оно прошло 15 м.
Р е ш е н и е. Множеством всех первообразных фун ции
v(t) = 2t является s(t) = t2 + C. Соласно условию, имеем
s(2)=22+C=15,
от уда C = 11. Ита , за он движения тела имеет вид s(t) = t2 + 11.
Ответ. s(t) = t2 + 11.
7. Материальная точ а движется прямолинейно со с оро-
стью v(t) = sin t cos t м/с. Найдите уравнение движения точ и,
если при t = с пройденный путь составляет м.
8. Первый пешеход вышел из пун та A со с оростью, изме-
няющейся по за ону v(t) = 2t, а второй в тот же момент вышел
из пун та B, отстоящео от A на 4 м, вслед за первым с постоян-
1
2---
1
2---
3
x---
π
3---
17
8------
§ 54. Определенный интеграл
261
ной с оростью 2p м/ч. При а их значениях p второй пеше-
ход доонит первоо? Найдите значение p, при отором пеше-
ходы поравняются толь о один раз.
§ 54. Определенный интеграл
Определенным интералом на промежут е [a; b] от непре-
рывной фун ции f(x) называют приращение F(b) – F(a) любой
первообразной F этой фун ции на промежут е [a; b]. Опреде-
ленный интерал обозначают та : f(x)dx. Следовательно,
f(x)dx = F(b) – F(a)(формла Ньютона—Лейбница). (1)
Здесь a и b—нижний и верхний предел интерирования со-
ответс твенно; f(x) — подынтеральная фун ция. Разность
F(b) – F(a), записанная в правой части формулы (1), инода
обозначается F(x).
Для тоо чтобы вычислить определенный интерал от фун -
ции f(x) на промежут е [a; b], необходимо найти любую перво-
образную фун ции и вычислить разность ее значений в правом
и левом онцах промежут а [a; b].
Правила инте рирования
(f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx;(
2
)
kf(x)dx = kf(x)dx;
(3)
f(kx + p)dx =
f(t)dt, k − 0;
(4)
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, c Ý [a; b].
(5)
a
b
∫
a
b
∫
a
b
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
∫
1
k
---
kap
+
kbp
+
∫
a
b
∫
a
c
∫
c
b
∫
262
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
П р и м е р 1. Вычислить определенный интерал
cos4 x dx.
Р е ш е н и е. Преобразуем подынтеральную фун цию сле-
дующим образом:
cos4x=
=
(1+2cos2x+cos22x)=
=
1+2cos2x+
=
+ cos2x+ cos4x.
Для фун ции cos4 x первообразной является фун ция
F(x)= x+ sin2x+
sin 4x.
Вычислим определенный интерал по формуле Ньютона—Лейб-
ница:
cos4xdx=
x+ sin2x+
sin 4x
=
.
Ответ..
Вычислите интерал:
1.
dx.
2. (4x–
) dx.
3.
cosxsinxdx.
4. cosxsin3xdx.
П р и м е р 2. Вычислить интерал
dx.
Р е ш е н и е. Перепишем данный интерал в виде
2–
dx.
0
π/2
∫
1c
o
s
2
x
+
2
----------------------------
21
4
---
1
4
---
1c
o
s
4
x
+
2
----------------------------
3
8
---
1
2
---
1
8
---
3
8
---
1
4
---
1
32
------
0
π/2
∫
3
8
---
1
4
---
1
32
------
0
π/2 3π
16
-------
3π
16
-- -- ---
1
4
∫4x2x
–
x
-------------------------
-
0,5
1
∫ 12x
-- - ----
0
π/2
∫
0
π
∫
3
18
–
∫2
x
3
---
–
3
3
18
–
∫ x
3
---
1/3
§ 54. Определенный интеграл
263
Воспользуемся формулой (4) при k = – , p = 2; для этоо сна-
чала найдем нижний и верхний пределы интерирования в пра-
вой части этой формулы:
ka+p=– ·3+2=1, kb+p=(–18) – +2=8.
Далее, полаая 2 – = t, находим – dx = dt, от уда dx = –3 dt.
Теперь, соласно формуле (4), получаем
2–
dx=–3 t1/3dt=(–3)
= –36 + = –33,75.
Ответ. –33,75.
Вычислите интерал:
5.
.
6.
.
7.
(x–2)
dx.
8.
.
9.
dx.
10.
dx.
11. (sin 2t – cos 2t)2 dt.
12.
.
13. (tgx+ctgx)–1dx.
14. 1–
dx.
15. cos2 – – cos2
+ dx.
1
3---
1
3---
1
3---
x
3---
1
3---
3
18
–
∫ x
3---
1/3
1
8
∫
3t4/3
4--------------
1
8
9
4---
–8
8
dx
5x
2---+
------------------
–4
2
xdx
2x
2---–
------------------
1/3
5/3
∫
3x 1–
1
2
∫dx
x 1–1
x
+
+
-------------------------------------------
2
9
∫x1–
3
0
7/3
∫x1+
3x 1+
3
-----------------------
0
π/4
∫
0
1
∫ xdxx 1+()
2
----------------------
π/6
π/4
∫
π/6
π/3
1
1 sin1–2x 3π
2-------
+
–
----------------------------------------------------
0
π
∫ 3π
8------- x
4---
11π
8---------- x
4---
262
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
П р и м е р 1. Вычислить определенный интерал
cos4 x dx.
Р е ш е н и е. Преобразуем подынтеральную фун цию сле-
дующим образом:
cos4x=
= (1+2cos2x+cos22x)=
= 1+2cos2x+
= + cos2x+ cos4x.
Для фун ции cos4 x первообразной является фун ция
F(x)= x+ sin2x+ sin4x.
Вычислим определенный интерал по формуле Ньютона—Лейб-
ница:
cos4xdx= x+ sin2x+ sin4x = .
Ответ..
Вычислите интерал:
1.
dx.
2. (4x– )dx.
3. cosxsinxdx.
4. cosxsin3xdx.
П р и м е р 2. Вычислить интерал
dx.
Р е ш е н и е. Перепишем данный интерал в виде
2–
dx.
0
π/2
∫
1cos2x
+
2
----------------------------
21
4---
1
4---
1cos4x
+
2
----------------------------
3
8--- 1
2---
1
8---
3
8--- 1
4---
1
32------
0
π/2
∫
3
8--- 1
4---
1
32------
0
π/2 3π
16-------
3π
16-------
1
4
∫4x2x
–
x
--------------------------
0,5
1
∫ 12x-------
0
π/2
∫
0
π
∫
3
18
–
∫2x
3---–
3
3
18
–
∫ x
3---
1/3
§ 54. Определенный интеграл
263
Воспользуемся формулой (4) при k = –
,p =2;дляэтоосна-
чала найдем нижний и верхний пределы интерирования в пра-
вой части этой формулы:
ka+p= –
· 3+2=1, kb+p=(–18) –
+2=8.
Далее, полаая 2 –
= t,находим– dx=dt,от удаdx= –3dt.
Теперь, соласно формуле (4), получаем
2–
dx= –3 t1/3dt=(–3)
= –36 + = –33,75.
Ответ. – 33,75.
Вычислите интерал:
5.
.
6.
.
7. (x–2)
dx.
8.
.
9.
dx.
10.
dx.
11.
(sin 2t – cos 2t)2 dt.
12.
.
13. (tgx+ctgx)–1dx.
14.
1–
dx.
15.
cos2
–
–
cos2
+
dx.
1
3
---
1
3
---
1
3
---
x
3
---
1
3
---
3
18
–
∫ x
3
---
1/3
1
8
∫
3t4/3
4
--------------
1
8
9
4
---
–8
8
dx
5
x
2
---
+
------------------
–4
2
xdx
2
x
2
---
–
------------------
1/3
5/3
∫3x1
–
1
2
∫dx
x1
–1
x
+
+
-------------------------------------------
2
9
∫x1
–
3
0
7/3
∫x1
+
3x1
+
3
-----------------------
0
π/4
∫
0
1
∫ xdx
x1
+
()
2
---------------------
-
π/6
π/4
∫
π/6
π/3
1
1sin1
–
2x 3π
2
-------
+
–
----------------------------------------------------
0
π
∫ 3π
8
-------
x
4
---
11π
8
----------
x
4
---
264
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Если подынтеральная фун ция представляет собой выра-
жение, содержащее переменную под зна ом модуля, то в ычис-
ление определенноо интерала можно свес ти вы числению
суммы определенных интералов, у оторых подынтеральные
фун ции не содержат переменную под зна ом модуля.
П р и м е р 3. Вычислить интерал
(|x–3|+|1–x|)dx.
Решение. Представимподынтеральнуюфун циюввиде
f(x) =
Воспользовавшись свойством (5) определенноо интерала, по-
лучаем
(|x–3|+|1–x|)dx+ (|x–3|+|1–x|)dx=
=
2dx+ (2x–4)dx=2x +(x2–4x)
= 4+8=12.
Ответ.12.
Вычислите интерал:
16.
dx.
17.
dx.
18.
dx.
19.
dx.
20.
+
dx.
21.
+
dx.
1
5
∫
4–2x, xm1,
2,
1<x<3,
2x–4, xl3.
1
3
∫
3
5
∫
1
3
∫3
5
∫
1
3
3
5
1
–
1
∫x2 2x
–1
+
0
2
∫x2 2x
–1
+
π/4
–
π/2
∫1c
o
s
2x
–
0
π
∫1s
i
n
2x
–
3
5
∫x22x4
–
+
x22x4
–
–
0
3
∫ 1
x24x4
++
-----------------------------------
-
x2 4x
–4
+
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
265
22.
+
–2 dx.
23.
dx. 24.
dx.
§ 55. Интеграл с переменным
верхним пределом
Интералом с переменным верхним пределом
F(x) = f(t)dt
(1)
называют та ую первообразную фун ции f(x) ( (x) = f(x)),
значение оторой в точ е a равно нулю.
П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения
фун ции
F(x)= (t+1)dt
на промежут е [2; 3].
Р е ш е н и е. Найдем ритичес ие точ и фун ции F(x). Та
а F(x) — первообразная фун ции x + 1, то (x) = x + 1;
фун ция (x) не обращается в нуль на промежут е [2; 3] и
является положительной. Следовательно, фун ция достиает
наибольшео значения на правом онце отрез а, а наименьше-
о — на левом:
F(x)=F(3)= (t+1)dt= +t =7,5;
F(x)=F(2)= (t+1)dt= +t =4.
Ответ.
F(x) = 7,5,
F(x) = 4.
1/2
–
1/2
∫
x 1+
x 1–--------------
2
x 1–
x1+
--------------
2
1/2
π/2
3π/2
∫ 1cos2x
–
π/4
3π/2
∫ 1cos2x
+
a
x
∫
F′
0
x
∫
F′
F′
max
xÝ[2;3]
0
3
∫
t2
2-----
0
3
min
xÝ[2;3]
0
2
∫
t2
2-----
0
2
max
xÝ[2;3]
min
xÝ[2;3]
264
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Если подынтеральная фун ция представляет собой выра-
жение, содержащее переменную под зна ом модуля, то вычис-
ление определенноо интерала можно свести вычислению
суммы определенных интералов, у оторых подынтеральные
фун ции не содержат переменную под зна ом модуля.
П р и м е р 3. Вычислить интерал
(|x–3|+|1–x|)dx.
Решение. Представимподынтеральнуюфун циюввиде
f(x) =
Воспользовавшись свойством (5) определенноо интерала, по-
лучаем
(|x–3|+|1–x|)dx+ (|x–3|+|1–x|)dx=
= 2dx+ (2x–4)dx=2x +(x2–4x) =4+8=12.
Ответ.12.
Вычислите интерал:
16.
dx. 17.
dx.
18.
dx. 19.
dx.
20.
+
dx.
21.
+
dx.
1
5
∫
4–2x, xm1,
2,
1<x<3,
2x–4, xl3.
1
3
∫
3
5
∫
1
3
∫3
5
∫
1
3
3
5
1–
1
∫x22x
–1
+
0
2
∫x22x
–1
+
π/4
–
π/2
∫ 1cos2 x
–
0
π
∫ 1sin2x
–
3
5
∫x22x4–
+
x22x4–
–
0
3
∫ 1
x24x4
++
------------------------------------ x2 4x
–4
+
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
265
22.
+
–
2
dx.
23.
dx.
24.
dx.
§ 55. Интеграл с переменным
верхним пределом
Интералом с переменным верхним пределом
F(x) = f(t)dt
(1)
называют та ую первообразную фун ции f(x) ( (x) = f(x)),
значение оторой в точ е a равно нулю.
П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения
фун ции
F(x)= (t+1)dt
на промежут е [2; 3].
Р е ш е н и е. Найдем ритичес ие точ и фун ции F(x). Та
а F(x) — первообразная фун ции x + 1, то (x) = x + 1;
фун ция (x) не обращается в нуль на промежут е [2; 3] и
является положительной. Следовательно, фун ция достиает
наибольшео значе ния на правом онце отрез а, а наиме ньше-
о — на левом:
F(x)=F(3)= (t+1)dt=
+t
= 7,5;
F(x)=F(2)= (t+1)dt=
+t
=4.
Ответ.
F(x) = 7,5,
F(x) = 4.
1/2
–
1/2
∫
x1
+
x1
–
--------------
2
x1
–
x1
+
--------------
2
1/2
π/2
3π/2
∫1c
o
s
2x
–
π/4
3π/2
∫1c
o
s
2
x
+
a
x
∫
F′
0
x
∫
F′
F′
max
xÝ[2;3]
0
3
∫
t2
2
-----
0
3
min
xÝ[2;3]
0
2
∫
t2
2
-----
0
2
max
xÝ[2;3]
min
xÝ[2;3]
266
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Найдите наибольшее и наименьшее значения фун ции на
у азанном промежут е:
1.F(x)= sintdt, xÝ 0; .
2.F(x)= (2t–5)dt, xÝ[–1;3].
3.F(x)= (t2–5t+6)dt, xÝ[0;4].
4.F(x)= |t|dt, xÝ –;
.
5. Запишите уравнения асательных рафи у фун ции
F(x)= (2t–5)dt
в точ ах ео пересечения с осью абсцисс.
6. Найдите абсциссы точе пересече ния рафи ов фун ций
F1(x)= (2t–5)dt, F2(x)= (2t–5)dt.
7. Найдите точ и пересечения рафи ов фун ций
F1(x)= (2t–5)dt, F2(x)= 2tdt.
8. Найдите ту первообразную фун ции F(x) = (2t – 5) dt,
рафи оторой проходит через начало оординат.
9. Для рафи а фун ции F(x) = 2| t |dt найдите асатель-
ные, параллельные биссе трисе первоо оординатноо ула.
0
x
∫
π
2
---
0
x
∫
0
x
∫
1
x
∫
1
2
---
1
2
---
2
x
∫
2
x
∫
3
x
∫
2
x
∫
0
x
∫
3
x
∫
0
x
∫
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
267
Пусть тело движется прямолинейно со с оростью v(t); A—
не оторая точ а на трае тории ео движения. Если в момент
времени t = t0 расстояние между движущимся телом и точ ой A
равно s0, то в любой момент t > t0 расстояние от движущеося
тела до точ и A вычисляется по формуле
s(t) = v(x)dx = s0.(
2
)
П р и м е р 2. С орость движущеося прямолинейно тела ме-
няется по за ону v(t) = + 2t ( м/ч). В момент времени t = 1 ч
оно находилось в 5 м от пун та A, расположенноо на трае -
тории движения тела. На а ом расстоянии от пун та A о а-
жетсятеловмоментt=3ч?
Р е ш е н и е. Используя соотношения (1) и (2), представим
оординату тела а фун цию времени в виде
s(t)= ( +2x)dx+5.
Вычислим значение s(t) при t = 3:
s(3)= ( +2t)dt+5=
+t2 +5=
=2 +9– –1+5=12 +2 .
Ответ. На расстоянии 12 + 2 м от пун та A.
10. С орость движения тела пропорциональна вадрату вре-
мени. Найдите зависимость между пройденным расстоянием и
временем, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см,
а движение началось в момент времени t = 0.
11. Сила, действующая на материальное тело, равномерно
меняется относительно пройденноо пути. В начале пути она
была равна 100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила
возросла до 600 Н. Найдите фун цию, определяющую зависи-
мость работы от пути.
t0
t
∫
t
1
t
∫x
1
3
∫t
2t3/2
3--------------
1
3
3
2
3---
1
3---
3
1
3---
3
266
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Найдите наибольшее и наименьшее значения фун ции на
у азанном промежут е:
1.F(x)= sintdt, xÝ 0; .
2.F(x)= (2t–5)dt, xÝ[–1;3].
3.F(x)= (t2–5t+6)dt, xÝ[0;4].
4.F(x)= |t|dt, xÝ –; .
5. Запишите уравнения асательных рафи у фун ции
F(x)= (2t–5)dt
в точ ах ео пересечения с осью абсцисс.
6. Найдите абсциссы точе пересечения рафи ов фун ций
F1(x)= (2t–5)dt, F2(x)= (2t–5)dt.
7. Найдите точ и пересечения рафи ов фун ций
F1(x)= (2t–5)dt, F2(x)= 2tdt.
8. Найдите ту первообразную фун ции F(x) = (2t – 5) dt,
рафи оторой проходит через начало оординат.
9. Для рафи а фун ции F(x) = 2| t |dt найдите асатель-
ные, параллельные биссе трисе первоо оординатноо ула.
0
x
∫
π
2---
0
x
∫
0
x
∫
1
x
∫
1
2--- 1
2---
2
x
∫
2
x
∫
3
x
∫
2
x
∫
0
x
∫
3
x
∫
0
x
∫
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
267
Пусть тело движется прямолинейно со с оростью v(t); A—
не оторая точ а на трае тории ео движения. Если в момент
времени t = t0 расстояние между движущимся телом и точ ой A
равно s0, то в любой момент t > t0 расстояние от движущеося
тела до точ и A вычисляется по формуле
s(t) = v(x)dx = s0.(
2
)
П р и м е р 2. С орость движущеося прямолинейно тела ме-
няется по за ону v(t) =
+ 2t ( м/ч). В момент времени t = 1 ч
оно находилось в 5 м от пун та A, расположенноо на трае -
тории движения тела. На а ом расстоянии от пу н та A о а-
жетсятеловмоментt=3ч?
Р е ш е н и е. Используя соотношения (1) и (2), представим
оординату тела а фун цию времени в виде
s(t)= (
+2x)dx+5.
Вычислим значение s(t) при t = 3:
s(3)= ( +2t)dt+5=
+t2
+5=
=2
+9– –1+5=12 +2 .
Ответ. На расстоянии 12 + 2
м от пун та A.
10. С орость движения тела пропорциональна вадрату вре-
мени. Найдите зависимость между пройденным расстоянием и
времене м, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см,
а движение началось в момент време ни t = 0.
11. Сила, действующая на материальное тело, равномерно
меняется относительно пройденноо пути. В начале пути она
была равна 100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила
возросла до 600 Н. Найдите фун цию, определяющую зависи-
мость работы от пути.
t0
t
∫
t
1
t
∫x
1
3
∫t
2t3/2
3
--------------
1
3
3
2
3
---
1
3
---
3
1
3
---
3
268
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
12. Тело движется равноус оренно, причем известно, что
ео с орость моменту t = 2 с достила 4 м/с, а пройденный
путь стал раве н 3 м. Найдите за он движения тела.
13. При постоянном ус орении тело за первую се унду прео-
долело расстояние 4 м от пун та A, а за первые 3 с расстояние
между ними возросло до 16 м. Найдите зависимость расстоя-
ния, пройденноо телом, от време ни, если из вест но, что при
t = 0 тело находилось в пу н те A.
§ 56. Разные задачи, решаемые
с применением свойств интегралов
Решите неравенство:
11. ln
–
>0.
12.
+
dz>x sin2xdx.
13.
–
dz<x
cos 2x dx.
14. Найдите та ие числа A и B, чтобы фун ция
f(x)=Asinπx+B
удовлетворяла условиям (1) = 2, f(x)dx = 4.
5. Найдите все числа a (a > 0), для оторых
(2–4x+3x2)dxma.
6. Найдите все решения уравнения
cos(x+α2)dx=sinα,
принадлежащие промежут у [2; 3].
1
3x
–
()
3
---------------------
′
6
π
---
0
π
∫sin2 x
2
---
dx
x2
+
------------------------------------
5x6
–
x2
–
π
2
---
0
x
∫0
π
∫
x2x
–1
2
–
0
x
∫0
π/2
∫
f′
0
2
∫
0
a
∫
0
α
∫
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов 269
7. Два тела начинают двиаться по прямой одновременно из
одноо и тоо же места в одном направлении. С орости точе
равны v1(t) = 3t2 м/с, v2(t) = 2t м/с. Через с оль о се унд рас-
стояние между телами составит 216 м?
8. До ажите, что любая первообразная нечетной непрерыв-
ной фун ции, определенной на промежут е [–a; a], есть фун -
ция четная.
9. До ажите, что четная непрерывная фун ция, определен-
ная на промежут е [–a; a], имеет на этом промежут е по рай-
ней мере одну нечетную первообразную.
10. Справедливо ли следующее утверждение: для тоо чтобы
любая первообразная непрерывной фун ции f(x) была четной
на промежут е [–a; a], необходимо и достаточно, чтобы фун -
ция f(x) была нечетной на этом промежут е?
11. Найдите значения A, B, C, при оторых фун ция
f(x)=Ax2+Bx+C
удовлетворяет условиям
(1)=8, f(2)+ (2)=33, f(x)dx= .
12. Найдите все значения α из промежут а [0; 2π], удовлет-
воряющие уравнению
sinxdx=sin2α.
13. Найдите положительные значения a, оторые удовлет-
воряют уравнению
(3x2+4x–5)dx=a3–2.
14. Найдите все значения α из промежут а [–π; 0], удовлет-
воряющие уравнению
sinα+ cos2xdx=0.
f′
f′′
0
1
∫
7
3---
π/2
α
∫
0
a
∫
α
2α
∫
268
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
12. Тело движется равноус оренно, причем известно, что
ео с орость моменту t = 2с достила 4м/с, а пройденный
путь стал равен 3 м. Найдите за он движения тела.
13. При постоянном ус орении тело за первую се унду прео-
долело расстояние 4 м от пун та A, а за первые 3 с расстояние
между ними возросло до 16 м. Найдите зависимость расстоя-
ния, пройденноо телом, от времени, если известно, что при
t = 0 тело находилось в пун те A.
§ 56. Разные задачи, решаемые
с применением свойств интегралов
Решите неравенство:
11. ln
–
>0.
12.
+ dz>x sin2xdx.
13.
– dz<x cos2xdx.
14. Найдите та ие числа A и B, чтобы фун ция
f(x)=Asinπx+B
удовлетворяла условиям (1) = 2, f(x)dx = 4.
5. Найдите все числа a (a > 0), для оторых
(2–4x+3x2)dxma.
6. Найдите все решения уравнения
cos(x+α2)dx=sinα,
принадлежащие промежут у [2; 3].
1
3x–
()
3
---------------------
′
6
π---
0
π
∫sin2x
2--- dx
x2+
------------------------------------
5x6–x2
–
π
2---
0
x
∫0
π
∫
x2 x–1
2
–
0
x
∫0
π/2
∫
f′
0
2
∫
0
a
∫
0
α
∫
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением свойств интегралов 269
7. Два тела начинают двиаться по прямой одновременно из
одноо и тоо же места в одном направлении. С орости точе
равны v1(t) = 3t2 м/с, v2(t) = 2t м/с. Через с оль о се унд рас-
стояние между телами составит 216 м?
8. До ажите, что любая первообразная нечетной непрерыв-
ной фун ции, определенной на промежут е [–a; a], есть фун -
ция четная.
9. До ажите, что четная непрерывная фун ция, определен-
ная на промежут е [–a; a], имеет на этом промежут е по рай-
ней мере одну нечетную первообразную.
10. Справедливо ли следующее утверждение: для тоо чтобы
любая первообразная не прерывной фун ции f(x) была четной
на промежут е [–a; a], необходимо и достаточно, чтобы фун -
ция f(x) была нечетной на этом промежут е?
11. Найдите значения A, B, C, при оторых фун ция
f(x)=Ax2+Bx+C
удовлетворяет условиям
(1)=8, f(2)+ (2)=33, f(x)dx=
.
12. Найдите все значения α из промежут а [0; 2π], удовлет-
воряющие уравнению
sinxdx =sin2α.
13. Найдите положительные значения a, оторые удовлет-
воряют уравнению
(3x2+4x–5)dx=a3–2.
14. Найдите все значения α из промежут а [–π; 0], удовлет-
воряющие уравнению
sinα+
cos2xdx=0.
f′
f′′
0
1
∫
7
3
---
π/2
α
∫
0
a
∫
α
2α
∫
270
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
§ 57. Вычисление площадей фигур
Фиуру, ораниченную рафи ом непрерывной фун ции f(x)
(f(x) l 0), отрез ами прямых x = a, x = b и осью Ox, называют
риволинейной трапецией (рис. 16). Ее площадь вычисляют
по формуле
S = f(x)dx.(
1
)
Если при всех x из промежут а
[a; b] выполняется условие f2(x) l f1(x),
то площадь фиуры, ораниченной ра-
фи ам и непрерывных фун ций y =
= f1(x), y = f2(x) и отрез ами прямых
x = a, x = b (рис. 17), вычисляется по
формуле
S = (f2(x) – f1(x)) dx.(
2
)
Если при всех y из промежут а
[c; d] выполняется условие φ2(y) l φ1(y),
то площадь фиуры, за люченной меж-
ду отрез ами прямых y =c, y =d
и рафи ами непрерывных фун ций
x = φ1(y), x = φ2(y) (рис. 18), вычис-
ляется по формуле
S = (φ2(y) – φ1(y)) dy.
(3)
Пример1.Найтиплощадьфи-
уры, ораниченной линиями x = 0,
x=
,f1(x)=sinx,f2(x)=cosx.
Р е ш е н и е. Пос оль у зна разности f2(x) – f1(x) на про-
межут е 0;
не остается постоянным, разобье м этот проме-
жуто на области, в оторых у азанная разность сохраняет
x
b
f(x)
a
y
O
x
b
y2 = f2(x)
a
y
O
y1 = f1(x)
x
c
x2 = φ2(y)
x1 = φ1(y)
d
y
O
Рис. 18
Рис. 17
Рис. 16
a
b
∫
a
b
∫
c
d
∫
π
2
---
π
2
---
§ 57. Вычисление площадей фигур
271
зна . Для этоо составим уравнение f2(x) – f1(x) = 0, единствен-
ным орнем отороо, принадлежащим промежут у 0; ,
являетсяточ аx= .Та а sinxlcosxприxÝ ; и
sin x < cos x при x Ý 0; , то, используя формулу (2), получаем
S= (cosx–sinx)dx+ (sinx–cosx)dx=
=(sinx+cosx)+
(
–
c
o
s
x–sinx)=
=( –1)+(–1+ )=2( –1).
Ответ.S=2( –1).
Заметим, что в силу симметрии фиуры относительно пря-
мой x = ее площадь можно было вычислить по формуле
S=2 (cosx–sinx)dx.
Вычислите площадь фиуры, ораниченной у азанными
линиями:
1.y=x2+x, y=x+1.
2.y=–2x2+3x+6, y=x+2.
3.y=0, y=20–2x2–6x.
4.y=x2, y= , y=0, x=2.
5.y=
, x–2y+2=0, x=2.
6.y=4x–x2, y–x=0.
7.y= , y=6–x.
8.y=x3, y= , x=2.
9.y=x2+1, y=–x2+3.
π
2---
π
4---
π
4--- π
2---
π
4---
0
π/4
∫
π/4
π/2
∫
0
π/4
π/4
π/2
2
2
2
2
π
4---
0
π/4
∫
1
x---
1
2---
x
5
x---
1
x---
270
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
§ 57. Вычисление площадей фигур
Фиуру, ораниченную рафи ом непрерывной фун ции f(x)
(f(x) l 0), отрез ами прямых x = a, x = b и осью Ox, называют
риволинейной трапецией (рис. 16). Ее площадь вычисляют
по формуле
S = f(x)dx.(
1
)
Если при всех x из промежут а
[a; b] выполняется условие f2(x) l f1(x),
то площадь фиуры, ораниченной ра-
фи ами непрерывных фун ций y =
= f1(x), y = f2(x) и отрез ами прямых
x = a, x = b (рис. 17), вычисляется по
формуле
S = (f2(x) – f1(x)) dx.(
2
)
Если при всех y из промежут а
[c; d] выполняется условие φ2(y) l φ1(y),
то площадь фиуры, за люченной меж-
ду отрез амипрямых y =c,y =d
и рафи ами непрерывных фун ций
x = φ1(y), x = φ2(y) (рис. 18), вычис-
ляется по формуле
S = (φ2(y) – φ1(y)) dy. (3)
Пример1.Найтиплощадьфи-
уры, ораниченной линиями x = 0,
x= ,f1(x)=sinx,f2(x)=cosx.
Р е ш е н и е. Пос оль у зна разности f2(x) – f1(x) на про-
межут е 0; не остается постоянным, разобьем этот проме-
жуто на области, в оторых у азанная разность сохраняет
x
b
f(x)
a
y
O
x
b
y2 = f2(x)
a
y
O
y1 = f1(x)
x
c
x2 = φ2(y)
x1 = φ1(y)
d
y
O
Рис. 18
Рис. 17
Рис. 16
a
b
∫
a
b
∫
c
d
∫
π
2---
π
2---
§ 57. Вычисление площадей фигур
271
зна . Для этоо составим уравнение f2(x) – f1(x) = 0, единствен-
ным орнем отороо, принадлежащим промежут у 0;
,
является точ а x =
. Та а sinxlcosxприxÝ
;и
sin x < cos x при x Ý 0; , то, используя формулу (2), получаем
S= (cosx–sinx)dx+
(sinx–cosx)dx=
= (sinx+cosx)+
(
–
c
o
s
x–sinx)=
=(
–
1)+(–1+ )=2( –1).
Ответ.S =2( –1).
Заметим, что в силу симметрии фиуры относительно пря-
мойx=
ее площадь можно было вычислить по формуле
S=2 (cosx–sinx)dx.
Вычислите площадь фиуры, ораниченной у азанными
линиями:
1.y =x2+x, y=x+1.
2.y = –2x2+3x+6, y=x+2.
3.y =0, y=20 –2x2–6x.
4.y=x2,y=
, y=0,x=2.
5.y =
, x–2y+2=0, x=2.
6.y =4x–x2, y–x =0.
7.y =
,
y=6 –x.
8.y=x3,y=
, x=2.
9.y =x2+1, y= –x2+3.
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
π
4
---
0
π/4
∫
π/4
π/2
∫
0
π/4
π/4
π/2
2
2
2
2
π
4
---
0
π/4
∫
1
x
---
1
2
---
x
5
x
---
1
x
---
272
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
10.y =
, y=0,x=0,x=
.
11.y=2x, y=2,x=–1.
12.xy=7,y=0, x=4, x=12.
13.y =(x–1)2, y=x+1.
14.y = –x2+3,5x+1, y=
,
x=2 (xm2).
15.x =1, x =2, y=0, log2x+log2y=0.
16.y =2x2+1, y=x+2, y=1,5.
17.y =
,y=
,
x=1.
18.y =x2, y =2
.
19.2xy=16+x2, y =5.
20.y = –1+8x2–x4, y=15, x=1 (xl1).
21.y =
,y=
.
22.3y= –x2+8x–7, y+1=
.
23.y =
,
y=
, y=0.
24. Найдите площадь фиуры, множество точе оторой удов-
летворяет системе нераве нств
25. Вычислите площадь плос ой фиуры, ораниченной час-
тямилинийmax{x;y}=1иx2+y2=1,лежащимивпервой
оординатной четверти, де
max{x;y}=
26. Найдите площадь фиуры, ораниченной рафи ами фун -
цийy=x2,y=2x–x2.
Если фун ция y = f(x) на промежут е [a; b] строо монотон-
на, то вы числение площади, ораниче нной рафи ом фун ции
на этом промежут е и осью Ox, инода удобно свести вычис-
лению площади, ораниченной рафи ом обратной фун ции
x = g(y) на промежут е [c; d] и осью Oy, де
c = min {f(a); f(b)}, d = max {f(a); f(b)}.
1
cos2 x
----------------
π
4
---
2x
–
2x
4x
2x
1
x21
+
----------------
-
x2
2
------
4
x3
–
-------------
x
43x
–
x2+y2mr2, r>0,
x–ym0, yl0.
x,е
с
л
иxly,
y,е
с
л
иx<y.
§ 57. Вычисление площадей фигур
273
Пример 2. Вычислитьплощадь
фиуры, ораниченной рафи ом фун -
цииy=lnx,прямойx=2иосьюOx.
Р е ш е н и е. Фун цией, обратной
по отношению y = ln x, является
x = ey. Из рис. 19 видно, что площадь
заштрихованной фиуры S равна
разности площадей S1 и S2, де S1 —
прямоуольни со сторонами 2 и ln 2,
а S2 — риволинейная трапеция OABC.
Соласно формуле (3), имеем
S2= eydy=ey =eln2–e0=2–1=1,
S1=2ln2.
Та им образом, ис омая площадь есть
S=S1–S2=2ln2–1.
Ответ.2ln2–1.
Найдите площадь фиуры, ораниченной рафи ами фун -
ций:
27.y=arcsinx, x=1, y=0.
28.y=arccosx, x=0, y=0.
Площади не оторых фиур ле о вычисляются, если исполь-
зовать известные значения площадей частей руа радиуса R.
П р и м е р 3. Вычислить площадь фиуры, ораниченной
линиями y =
,y=0.
Решение.Возведя обе части равенства y =
в вадрат, получаем уравнение о ружности единичноо радиуса:
y2 + x2 = 1. Значит, рафи фун ции y =
представляет
собой верхнюю полуо ружность радиуса 1. Ита , ис омая пло-
щадь равна половине площади руа единичноо радиуса, т. е.
S=π·=.
Ответ..
x
CB
A
S2
y
O
12
ln2
S
Рис. 19
0
ln2
∫
0
ln2
1x2
–
1x2
–
1x2
–
1
2--- 12 π
2---
π
2---
272
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
10.y=
,y=0,x=0,x=.
11.y=2x, y=2, x=–1.
12.xy=7, y=0, x=4, x=12.
13.y=(x–1)2, y=x+1.
14.y=–x2+3,5x+1, y= , x=2 (xm2).
15.x=1, x=2, y=0, log2x+log2y=0.
16.y=2x2+1, y=x+2, y=1,5.
17.y= , y= , x=1.
18.y=x2, y=2 .
19.2xy=16+x2, y=5.
20.y=–1+8x2–x4, y=15, x=1 (xl1).
21.y=
,y=.
22.3y=–x2+8x–7, y+1= .
23.y= , y=
, y=0.
24. Найдите площадь фиуры, множество точе оторой удов-
летворяет системе неравенств
25. Вычислите площадь плос ой фиуры, ораниченной час-
тямилинийmax{x;y}=1иx2+y2=1,лежащимивпервой
оординатной четверти, де
max{x;y}=
26. Найдите площадь фиуры, ораниченной рафи ами фун -
цийy=x2,y=2x–x2.
Если фун ция y = f(x) на промежут е [a; b] строо монотон-
на, то вычисление площади, ораниченной рафи ом фун ции
на этом промежут е и осью Ox, инода удобно свести вычис-
лению площади, ораниченной рафи ом обратной фун ции
x = g(y) на промежут е [c; d] и осью Oy, де
c = min {f(a); f(b)}, d = max {f(a); f(b)}.
1
cos2 x
----------------
π
4---
2x–
2x
4x
2x
1
x2 1+
-----------------
x2
2------
4
x 3–-------------
x
43x
–
x2+y2mr2, r>0,
x–ym0, yl0.
x,еслиx l y,
y,еслиx < y.
§ 57. Вычисление площадей фигур
273
Пример 2. Вычислить площадь
фиуры, ораниченной рафи ом фун -
цииy=lnx,прямойx=2иосьюOx.
Р е ш е н и е. Фун цией, обратной
по отношению y = ln x, является
x=ey
. Из рис. 19 видно, что площадь
заштрихованной фиуры S равна
разности площадей S1 и S2, де S1 —
прямоуольни со сторонами 2 и ln 2,
а S2 — риволинейная трапеция OABC.
Соласно формуле (3), имеем
S2=
eydy=ey
= eln2–e0
=2–1=1,
S1=2ln2.
Та им образом, ис омая площадь есть
S=S1–S2=2ln2–1.
Ответ.2ln2 – 1.
Найдите площадь фиуры, ораниченной рафи ами фун -
ций:
27.y =arcsinx, x=1, y=0.
28.y =arccosx, x=0, y=0.
Площади не оторых фиур ле о вычисляются, если исполь-
зовать известные значения площадей частей руа радиуса R.
П р и м е р 3. Вычислить площадь фиуры, ораниченной
линиями y =
,y=0.
Решение. Возведя обе части равенства y =
в вадрат , получаем уравнение о ружност и единичноо радиуса:
y2 + x2 = 1. Значит, рафи фун ции y =
представляет
собой верхнюю полуо ружность радиуса 1. Ита , ис омая пло-
щадь равна половине площади руа единичноо радиуса, т. е .
S=π·
=
.
Ответ..
x
CB
A
S2
y
O
12
ln2
S
Рис. 19
0
ln2
∫
0
ln2
1x2
–
1x2
–
1x2
–
1
2
---
12
π
2
---
π
2
---
274
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Найдите площадь фиуры, ораниченной линиями:
29.
+
=1.
30.y2+x2+2x=0.
31. В де артовой систе ме оординат xOy фиура F ораниче-
на осью Ox, ривой y = 2x2 и асательной этой ривой; абс-
цисса точ и асания равна 2. Найдите площадь фиуры F.
32. Вычислите площадь фиуры, ораниченной параболой
y=x2–2x+2, асательной нейвточ еM(3;5)иосьюорди-
нат. Сделайте рисуно .
33. Вычислите площадь фиуры, ораниченной линия ми
y = + 1, x = 1 и асательной, проведенной в точ е 2;
ривойy= +1.
34. Найдите площадь фиуры, ораниченной линией y = x2 –
– 4x + 5 и прямыми, асающимися ее в точ ах с абсциссами
x1=1иx2=4.
35. Из точ и
;0 параболеy=2x2–6x+9проведена
асательная, образующая острый уол с положительным направ-
лением оси Ox. О пределите площадь фиуры, за люченной между
параболой, осью Ox, осью Oy и этой асательной.
36. Ка ую часть площади вадрата отсе ает парабола, про-
ходящая через две соседние вершины вадрата и асающаяся
середины одной из ео сторон?
37. Ка ую часть площади полу руа отсе ает парабола, про-
ходящая через онцы диаметра полу руа и асающаяся о -
ружности в точ е , равноудаленной от онцов диаметра?
38. Найдите площадь фиуры, ораниченной прямой y =
= –8x–46ипараболойy=4x2+ax+2,еслиизвестно,что а-
сательная параболе в точ е x = – 5 составляет с осью Ox уол
π – arctg 20.
39. При а ом зна чении a площадь фиуры, ораниченной
линиями y =
,y=
,x=2,x=a,равнаln ?
40. При а ом значении a прямая y = a делит площадь
фиуры, ораниченной линиями y = 0, y = 2 + x – x2, по-
полам?
x2
a2
------
y2
b2
------
1
x
---
3
2
---
1
x
---
3
2
---
1
x
---
1
2x1
–
-----------------
4
5
-------
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей 275
41. При а ом значении параметра a (a > 0) площадь фиуры,
ораниченной ривыми y = a , y =
и осью Oy, равна
числу b? При а их значениях b задача имеет решение?
42. При а ом значении a площадь фиуры, ораниченной
ривойy=sin2x,прямымиx= ,x=aиосьюOx,равна ?
43. Найдите все значения параметра b (b > 0), при оторых
площадь фиуры, ораниченной ривыми y = 1 – x2 и y = bx2,
равна a. При а их значениях a задача имеет решение?
44. Через точ у (x0; y0) рафи а фун ции y =
проведите нормаль этому рафи у, если известно, что прямая
x = x0 делит площадь, ораниченную данной ривой, осью Ox
ипрямымиx=0иx= ,наравныечасти.
§ 58. Задачи на отыскание наибольших
(наименьших) площадей фигур
Если в задаче требуется найти положение ривых, завися-
щих от одноо или нес оль их параметров, при отором пло-
щадь фиуры, ораниченной этими ривыми, ма симальна (ми-
нимальна), то сначала следует составить фун цию, выражаю-
щую зависимость этой площади от параметров, а затем решать
задачу на отыс ание наибольшео (наименьшео) значения этой
фун ции в области возможноо изменения параметров.
Пример1.Найтивсезначенияпараметраa(al1),при
оторых площадь фиуры, ораниченной прямыми y = 1, y = 2
и ривыми y = ax2, y = ax2, является наибольшей.
Р е ш е н и е. Вычислим значение площади при фи сиро-
ванном значении a. В данном случае удобно вычислять пло-
щадь, считая y независимой переменной. В силу симметрии
парабол y = ax2 и y = ax2 относительно оси Oy площадь фи-
уры, лежащей в полуплос ости x > 0, равна площади фиу-
ры, лежащей в полуплос ости x < 0. Поэтому ис омая пло-
x
2x–
π
6---
1
2---
1cos2x
+
3π
4-------
1
2---
1
2---
274
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
Найдите площадь фиуры, ораниченной линиями:
29.
+ =1.
30.y2+x2+2x=0.
31. В де артовой системе оординат xOy фиура F ораниче-
на осью Ox, ривой y = 2x2 и асательной этой ривой; абс-
цисса точ и асания равна 2. Найдите площадь фиуры F.
32. Вычислите площадь фиуры, ораниченной параболой
y=x2–2x+2, асательной нейвточ еM(3;5)иосьюорди-
нат. Сделайте рисуно .
33. Вычислите площадь фиуры, ораниченной линиями
y = + 1, x = 1 и асательной, проведенной в точ е 2;
ривойy= +1.
34. Найдите площадь фиуры, ораниченной линией y = x2 –
–4x + 5 и прямыми, асающимися ее в точ ах с абсциссами
x1=1иx2=4.
35.Източ и ;0 параболеy=2x2–6x+9проведена
асательная, образующая острый уол с положительным направ-
лением оси Ox. Определите площадь фиуры, за люченной между
параболой, осью Ox, осью Oy и этой асательной.
36. Ка ую часть площади вадрата отсе ает парабола, про-
ходящая через две соседние вершины вадрата и асающаяся
середины одной из ео сторон?
37. Ка ую часть площади полу руа отсе ает парабола, про-
ходящая через онцы диаметра полу руа и асающаяся о -
ружности в точ е, равноудаленной от онцов диаметра?
38. Найдите площадь фиуры, ораниченной прямой y =
=–8x–46ипараболойy=4x2+ax+2,еслиизвестно,что а-
сательная параболе в точ е x = –5 составляет с осью Ox уол
π – arctg 20.
39. При а ом значении a площадь фиуры, ораниченной
линиямиy= ,y=
,x=2,x=a,равнаln ?
40. При а ом значении a прямая y = a делит площадь
фиуры, ораниченной линиями y = 0, y = 2 + x – x2, по-
полам?
x2
a2------ y 2
b2------
1
x---
3
2---
1
x---
3
2---
1
x---
1
2x 1–
-----------------
4
5
-------
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей
275
41. При а ом значении параметра a (a > 0) площадь фиуры,
ораниче нной ривыми y = a
,y=
и осью Oy, равна
числу b? При а их значениях b задача имеет решение?
42. При а ом значении a площадь фиуры, ораниченной
ривой y = sin 2x, прямыми x =
,x=aиосьюOx,равна ?
43. Найдите все значения параметра b (b > 0), при о торых
площадь фиуры, ораниченной ривыми y = 1 – x2 и y = bx2,
равна a. При а их значениях a задача имеет решение?
44. Через точ у (x0; y0) рафи а фун ции y =
проведите нормаль этому рафи у, если известно, что прямая
x = x0 делит площадь, ораниченную данной ривой, осью Ox
ипрямымиx=0иx=
, на равные части.
§ 58. Задачи на отыскание наибольших
(наименьших) площадей фигур
Если в задаче требуется найти положение ривых, завися-
щих от одноо или нес оль их параметров, при отором пло-
щадь фиуры, ораниченной этими ривыми, ма симальна (ми-
нимальна), то сначала следует составить фун цию, выражаю-
щую зависимость этой площади от параметров, а затем решать
задачу на отыс ание наибольшео (наименьшео) значения этой
фун ции в области возможноо изменения параметров.
Пример1.Найтивсезначенияпараметраa(al1),при
оторых площадь фиуры, ораниченной прямыми y = 1, y = 2
и ривыми y = ax2, y = ax2, является наибольшей.
Р е ш е н и е. Вычислим значение площади при фи сиро-
ванном значении a. В данном случае удобно вычислять пло-
щадь, считая y независимой переменной. В силу симметрии
парабол y = ax2 и y = ax2 относительно оси Oy площадь фи-
уры, лежащей в полуплос ости x > 0, равна площади фиу-
ры, лежащей в полуплос ости x < 0. Поэтому ис омая пло-
x
2x
–
π
6
---
1
2
---
1c
o
s
2
x
+
3π
4
-------
1
2
---
1
2
---
276
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
щадь равна удвоенной площади фиуры, ораниченной линия-
миx=
,x=
,y=1,y=2:
S(a)=2
–
dy=
=
(–)dy=
–
y3/2
=
=
·
( –1)(2 –1), де aÝ[1;+×).
Оче видно, что фун ция S(a) монотонно убывает на промежут е
[1; +×) и принимает наибольшее значение на левом онце это-
о промежут а, т. е. при a = 1.
Ответ. a = 1.
1. При а ом значении a площадь, ораниченная ривой
y=a2x2+ax+1ипрямымиy=0,x =1,являетсянаимень-
шей?
2. Найдите все значения параметра a (a > 0), при оторых
площадь фиуры, ораниченной прямой y =
и парабо-
лойy=
, является наибольшей.
3. При а ом положительном a площадь S риволинейной
трапеции, ораниченной линиями y = +
,y=0,x=a,
x =2a, принимает наименьшее значение?
4. Пусть S(k) — площадь, за люченная между параболой
y1=x2+2x–3ипрямойy2=kx+1.НайдитеS(–1)ивычис-
лите наиме ньшее значение S(k).
П р и м е р 2. К параболе y = x2 проведена асательная та ,
что абсцисса x0 точ и асания принадлежит промежут у [1; 2].
Определить значение x0, при отором треуольни , ораничен-
ный асательной, осью ординат и прямой y =
, имеет наи-
большую площадь.
y
a
---
2y
a
-------
1
2
∫ 2y
a
-------
y
a
---
2
a
-------
1
2
∫2y
y
2
a
-------
22y 3/2
3
-----------------------
2
3
---
1
2
2
a
-- -- ---
2
3
---
2
2
a2 ax
–
1a4
+
--------------------
x2 2ax 3a2
++
1a4
+
------------------------------------------
x
6
---
1
x2
------
x0
2
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей 277
Р е ш е н и е. Для параболы y = x2 уравнение асательной
в точ е x0 имеет вид y – = 2x0(x – x0). Ордината точ и пере-
сечения асательной и оси Oy равна
y1=–2=–,
а площадь ис омоо прямоуольноо треуольни а вычисляет-
ся по формуле
S(x0) =
=.
Требуется найти наибольшее значение S(x0) на промежут е
[1; 2]. Очевидно, что фун ция S(x0) возрастает на этом проме-
жут е, и, следовательно,
S(x0) = S(2) = 8.
Ответ. x0 = 2.
5. К рафи у фун ции y =
проведена асательная
та , что абсцисса x0 точ и асания принадлежит промежут у
; 1 . При а ом значении x0 площадь S(x0) треуольни а,
ораниченноо этой асательной, осью Ox и прямой x = 2, яв-
ляется наименьшей и чему равна эта наименьшая площадь?
6. Криволинейная трапеция ораничена ривой y = x2 + 1 и
прямыми x = 1, x = 2. В а ой точ е данной ривой с абсцис-
сой x Ý [1; 2] следует провести асательную, чтобы она отсе а-
ла от риволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей
площади?
7. При а ом значении параметра a площадь фиуры, ора-
ниченной осью абсцисс, рафи ом фун ции y = x3 + 3x2 + x + a
и прямыми, параллельными оси ординат и пересе ающими
ось абсцисс в точ ах э стремума этой фун ции, является наи-
меньшей?
8. При а их значениях a из промежут а [0; 1] площадь фи-
уры, ораниченной рафи ом фун ции y = f(x) и прямыми x = 0,
x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при а их a — наимень-
шей,еслиf(x)=xα+3xβ(α,βÝR,причемα>1,β>1)?
9. При а их значениях a площадь фиуры, ораниченной
рафи ом ривой –x2+a,прямымиx=0,x=2иосьюOx,
достиает минимума?
x0
2
x0
2x0
2
x0
2
x0 x0
2x0
2
+
()
2
------------------------------- x0
3
max
x0Ý[1;2]
x2
3
1
2---
x3
3------
276
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
щадь равна удвоенной площади фиуры, ораниченной линия-
миx= ,x= ,y=1,y=2:
S(a)=2
– dy=
=
(–)dy=
–y3/2=
= · ( –1)(2 –1), де aÝ[1;+×).
Очевидно, что фун ция S(a) монотонно убывает на промежут е
[1; +×) и принимает наибольшее значение на левом онце это-
о промежут а, т. е. при a = 1.
Ответ. a = 1.
1. При а ом значении a площадь, ораниченная ривой
y=a2x2+ax+1ипрямымиy=0,x=1,являетсянаимень-
шей?
2. Найдите все значения параметра a (a > 0), при оторых
площадь фиуры, ораниченной прямой y =
и парабо-
лойy=
, является наибольшей.
3. При а ом положительном a площадь S риволинейной
трапеции, ораниченной линиями y = + , y = 0, x = a,
x =2a, принимает наименьшее значение?
4. Пусть S(k) — площадь, за люченная между параболой
y1=x2+2x–3ипрямойy2=kx+1.НайдитеS(–1)ивычис-
лите наименьшее значение S(k).
П р и м е р 2. К параболе y = x2 проведена асательная та ,
что абсцисса x0 точ и асания принадлежит промежут у [1; 2].
Определить значение x0, при отором треуольни , ораничен-
ный асательной, осью ординат и прямой y = , имеет наи-
большую площадь.
y
a---
2y
a-------
1
2
∫ 2y
a------- y
a---
2
a
-------
1
2
∫2yy
2
a
-------
22y3/2
3
----------------------- 2
3---
1
2
2
a
------- 2
3--- 2
2
a2 ax
–
1a4
+
--------------------
x2 2ax 3a2
++
1a4
+
------------------------------------------
x
6--- 1
x2------
x0
2
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших) площадей
277
Р е ш е н и е. Для параболы y = x2 уравнение асательной
вточ еx0имеетвидy–
= 2x0(x – x0). Ордината точ и пере-
сечения асательной и оси Oy равна
y1=
–
2=–
,
а площадь ис омоо прямоуольноо треуольни а вычисляет-
ся по формуле
S(x0) =
=
.
Требуется найти на ибольшее значение S(x0) на промежут е
[1; 2]. О че видно, что фун ция S(x0) возрастает на этом проме-
жут е, и, следовательно,
S(x0) = S(2) = 8.
Ответ. x0 = 2.
5. К рафи у фун ции y =
проведена асательная
та , что абсцисса x0 точ и асания принадлежит промежут у
; 1 . При а ом значении x0 площадь S(x0) треуольни а,
ораниче нноо этой асательной, осью Ox и прямой x = 2, яв-
ляется наименьшей и чему равна эта наименьшая площадь?
6. Криволинейная трапеция ораничена ривой y = x2 + 1 и
прямыми x = 1, x = 2 . В а ой точ е данной ривой с абсцис-
сой x Ý [1; 2] следует провести асательную, чтобы она отсе а-
ла от риволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей
площади?
7. При а ом значении параметра a площадь фиуры, ора-
ниченной осью абсцисс, рафи ом фун ции y = x3 + 3x2 + x + a
и прямыми, параллельными ос и ординат и пересе ающими
ось абсцисс в точ ах э стремума этой фун ции, является наи-
меньшей?
8. При а их значениях a из промежут а [0; 1] площадь фи-
уры, ораниченной рафи ом фун ции y = f(x) и прямыми x = 0,
x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при а их a — наимень-
шей,еслиf(x)=xα+3xβ(α,βÝR,причемα>1,β>1)?
9. При а их зна чениях a площадь фи уры, ораниченной
рафи ом ривой
–
x2+a,прямымиx=0,x=2иосьюOx,
достиает минимума?
x0
2
x0
2
x0
2
x0
2
x0 x0
2
x0
2
+
()
2
-------------------------------
x0
3
max
x0Ý[1;2]
x2
3
1
2
---
x3
3
------
278
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
10. При а их з на чениях a из промежут а [0; 1] площадь
фиуры, ораниченной рафи ом фун ции f(x) и прямыми x = 0,
x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при а их a— наи-
ме ньшей, если f(x) =
?
11. При а их значениях a площадь фиуры, ораниченной
прямымиx=x1,x=x2,рафи омфун цииy=|sinx+cosx–a|
и осью абсцисс, де x1 и x2 — два последовательных э стрему-
ма фун ции f(x) =
sin x+
, является наименьшей?
§ 59. Вычисление объемов тел
Объем V тела, полученноо при вращении во ру оси Ox ри-
волинейной трапеции, ораниченной линиями y = f(x) (f(x) l 0),
x=a,x =b(b>a),вычисляетсяпоформуле
V = π f2(x)dx.(
1
)
Объем V тела, образованноо при вращении во ру оси Oy
риволинейной трапеции, ораниченной линиями x = φ(y)
(φ(y)l0),y =c,y =d(d>c)иосьюOy,вычисляетсяпофор-
муле
V=πφ
2(y)dy.(
2
)
П р и м е р. Вычислить объем тела, образованноо вращени-
ем одной ар и синусоиды (рафи а фун ции y = sin x на про-
межут е [0; π]) во ру оси Ox.
Решение. Поформуле(1)находим
V=π sin2xdx=π
dx=
=π
x + sin2x
=
.
Ответ..
1x2
–
2
π
4
---
a
b
∫
c
d
∫
0
π
∫
0
π
∫1c
o
s
2x
–
2
---------------------------
1
2
---
1
4
---
0
π
π2
2
------
π2
2
------
§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики
279
1. Вычислите объем тела, образованноо вращением во ру
оси абсцисс риволинейной трапеции, ораниченной ипербо-
лойxy=2,прямымиx=1,x=2иосьюабсцисс.
2. Вычислите объем тела, образованноо вращением во ру
оси абсцисс фиуры, ораниченной параболами y2 = x, y = x2.
3. Цепная линия y =
вращается во ру оси абсцисс.
При этом получается поверхность, называемая атеноидом.
Вычислите объем тела, образованноо атеноидом и двумя
плос остями, перпенди улярными оси абсцисс и отстоящими
от начала оординат на расстояния a и b.
4. Вычислите объем тела, полученноо вращением во ру
оси ординат фиуры, ораниченной параболой y = 2x – x2 и
осью абсцисс.
5. Найдите объем тела, полученноо вращением во ру
оси Oy риволинейной трапеции, ораниченной линиями
y=arcsinx,y= иx=0.
6. Найдите объем тела, полученноо вращением во ру оси Oy
фиуры,ораниченнойлиниямиy=ln2,y=lnx,y=0иx=0.
§ 60. Приложения определенного
интеграла к задачам физики
Путь s тела, движущеося со с оростью v(t), за время, про-
шедшее от момента t1 до момента t2, вычисляется по формуле
s = v(t)dt.(
1
)
П р и м е р 1. Тело движется прямолинейно со с оростью
v(t) = 2t2 – t + 1 (м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 с.
Р е ш е н и е. Соласно формуле (1), имеем
s(t)= (2t2–t+1)dt= – +t = – +5=75 .
Ответ.75 м.
exex–
+
2
---------------------
π
2---
t1
t2
∫
0
5
∫
2t3
3--------- t2
2-----
0
5
250
3---------- 25
2------
5
6---
5
6---
278
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
10. При а их значениях a из промежут а [0; 1] площадь
фиуры, ораниченной рафи ом фун ции f(x) и прямыми x = 0,
x = 1, y = f(a), является наибольшей, а при а их a—наи-
меньшей, если f(x) =
?
11. При а их значениях a площадь фиуры, ораниченной
прямымиx=x1,x=x2,рафи омфун цииy=|sinx+cosx–a|
и осью абсцисс, де x1 и x2 — два последовательных э стрему-
ма фун ции f(x) = sin x + , является наименьшей?
§ 59. Вычисление объемов тел
Объем V тела, полученноо при вращении во ру оси Ox ри-
волинейной трапеции, ораниченной линиями y = f(x) (f(x) l 0),
x=a,x=b(b>a),вычисляетсяпоформуле
V = π f2(x)dx.(
1
)
Объем V тела, образованноо при вращении во ру оси Oy
риволинейной трапеции, ораниченной линиями x = φ(y)
(φ(y)l0),y=c,y=d(d>c)иосьюOy,вычисляетсяпофор-
муле
V = πφ2(y)dy.(
2
)
П р и м е р. Вычислить объем тела, образованноо вращени-
ем одной ар и синусоиды (рафи а фун ции y = sin x на про-
межут е [0; π]) во ру оси Ox.
Решение.Поформуле(1)находим
V=π sin2xdx=π
dx=
=πx+sin2x=.
Ответ..
1x2
–
2
π
4---
a
b
∫
c
d
∫
0
π
∫
0
π
∫ 1cos2x
–
2
---------------------------
1
2--- 1
4---
0
ππ2
2------
π2
2------
§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики
279
1. Вычислите объем тела, образованноо вращением во ру
оси абсцисс риволинейной трапеции, ораниченной ипербо-
лойxy=2,прямымиx=1,x =2иосьюабсцисс.
2. Вычислите объем тела, образованноо вращением во ру
оси абсцисс фиуры, ораниченной параболами y2 = x, y = x2.
3. Цепная линия y =
вращается во ру оси абсцисс.
При этом получае тся поверхность, называемая атеноидом.
Вычислите объем тела, образованноо ате ноидом и двумя
плос остями, перпенди улярными оси абсцисс и отстоящими
от начала оординат на расстояния a и b.
4. Вычислите объем тела, полученноо вращением во ру
оси ординат фиуры, ораниченной параболой y = 2x – x2 и
осью абсцисс.
5. Найдите объем тела, полученноо вращением во ру
оси Oy риволинейной трапеции, ораниченной линиями
y=arcsinx,y=
иx=0.
6. Найдите объем тела, полученноо вращением во ру оси Oy
фиуры,ораниченнойлиниями y=ln2,y =lnx,y =0иx=0.
§ 60. Приложения определенного
интеграла к задачам физики
Путь s тела, движущеося со с оростью v(t), за время, про-
шедшее от момента t1 до моме нта t2, вычисляется по формуле
s = v(t)dt.(
1
)
П р и м е р 1. Тело движется прямолинейно со с оростью
v(t) = 2t2 – t + 1 (м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 с.
Р е ш е н и е. Соласно формуле (1), имеем
s(t)= (2t2–t+1)dt=
–
+t
=
–
+5=75 .
Ответ.75 м.
exex
–
+
2
---------------------
π
2
---
t1
t2
∫
0
5
∫
2t3
3
---------
t2
2
-----
0
5
250
3
----------
25
2
------
5
6
---
5
6
---
280
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
1. Тело движется прямолинейно со с оростью v(t) = 2t + a
(м/с). Найдите з начение a, если известно, что за промежуто
отt1=0доt2=2стелопрошлопутьдлиной40м.
2. Тело движется прямолинейно со с оростью v = 12t – t2 (м/с).
Найдите длину пути, пройденноо телом от начала движения
до ео останов и.
3. Два тела одновременно начали двиаться по прямой из
одной точ и в одном направлении. Первое тело двиалось со
с оростью v1(t) = 3t2 + 2t (м/с), второе — со с оростью v2(t) =
= 2t (м/с). Ка ое расстояние будет между телами через 6 с?
4. Тело движется прямолинейно под действием постоянной
силы с ус орением 2 м/с2 и с нулевой начальной с оростью.
Через 3 с после начала движения сила пре ращает действо-
вать, и тело начинает двиаться равномерно с набранной это-
му моменту с оростью. Найдите за он движения тела.
Если тело движется вдоль оси Ox под действием силы F(x),
зависящей от оординаты x, то работа силы по перемещению
тела из точ и a в точ у b (b > 0) вычисляется по формуле
A = F(x)dx.(
2
)
П р и м е р 2. На тело действует сила, оторая линейно за-
висит от пройденноо пути. В начале движения она составляла
100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до
600 Н. Найти работу , произведенную этой силой на пройден-
ном пути.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что сила F(x), действую-
щая на тело, ме няется по за ону F(x) = ax + b, де параметры
a и b находятся из условий
или
или
Та им образом, F(x) = 50x + 100 и работа силы на пройден-
ном пути выражается формулой (2):
A= (50x+100)dx=(25x2+100x)=
= 25 ·100+100·10 =3500.
Ответ. 3500 Дж.
a
b
∫
F(0) = 100,
F(10) = 600,
b=100,
100a + 100 = 600,
b=100,
a=50.
0
10
∫
0
10
§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики
281
5. На тело действует сила, оторая изменяется обратно про-
порционально вадрату расстояния до не отороо объе та. Из-
вестно, что она составляла 1 Н в момент, ода расстояние до
объе та было равно 2 м. Вычислите работу этой силы, затрачен-
ную при переносе тела из пун та, находящеося на расстоянии
10 м от объе та, до пун та, находящеося на расстоянии 3 м.
6. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на
15 см, если известно, что действующая сила пропорциональ-
на сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходима си-
ла30Н.
280
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
1. Тело движется прямолинейно со с оростью v(t) = 2t + a
(м/с). Найдите значение a, если известно, что за промежуто
отt1=0доt2=2стелопрошлопутьдлиной40м.
2. Тело движется прямолинейно со с оростью v = 12t – t2 (м/с).
Найдите длину пути, пройденноо телом от начала движения
до ео останов и.
3. Два тела одновременно начали двиаться по прямой из
одной точ и в одном направлении. Первое тело двиалось со
с оростью v1(t) = 3t2 + 2t (м/с), второе — со с оростью v2(t) =
=2t (м/с). Ка ое расстояние будет между телами через 6 с?
4. Тело движется прямолинейно под действием постоянной
силы с ус орением 2 м/с2 и с нулевой начальной с оростью.
Через 3 с после начала движения сила пре ращает действо-
вать, и тело начинает двиаться равномерно с набранной это-
му моменту с оростью. Найдите за он движения тела.
Если тело движется вдоль оси Ox под действием силы F(x),
зависящей от оординаты x, то работа силы по перемещению
тела из точ и a в точ у b (b > 0) вычисляется по формуле
A = F(x)dx.(
2
)
П р и м е р 2. На тело действует сила, оторая линейно за-
висит от пройденноо пути. В начале движения она составляла
100 Н, а ода тело переместилось на 10 м, сила возросла до
600 Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройден-
ном пути.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что сила F(x), действую-
щая на тело, меняется по за ону F(x) = ax + b, де параметры
a и b находятся из условий
или
или
Та им образом, F(x) = 50x + 100 и работа силы на пройден-
ном пути выражается формулой (2):
A= (50x+100)dx=(25x2+100x)=
=25·100+100·10=3500.
Ответ. 3500 Дж.
a
b
∫
F(0) = 100,
F(10) = 600,
b=100,
100a + 100 = 600,
b=100,
a=50.
0
10
∫
0
10
§ 60. Приложения опред. интеграла к задачам физики
281
5. На тело действует сила, оторая изменяется обратно про-
порционально вадрату расстояния до не отороо объе та. Из-
вестно, что она составляла 1 Н в момент, ода расстояние до
объе та было равно 2 м. Вычислите работу этой силы, затрачен-
ную при переносе тела из пун та, находящеося на расстоянии
10 м от объе та, до пун та, находящеося на расстоянии 3 м.
6. Вычислите работу, совершаемую при сжатии пружины на
15 см, если известно, что действующая сила пропорциональ-
на сжатию пружины и что для сжатия на 1 см необходима с и-
ла30Н.
Глава 14
Метод координат
и элементы векторной алгебры
§ 76. Векторы и их координаты
Координатами точ
и M0 относительно прямоуольной сис-
темы оординат Oxyz называют упорядоченную тройу чисел
(x0; y0; z0). Число x0 называют абсциссой этой точи, y0 — ор-
динатой, z0 — аппли
атой.
Пусть A и B—две различные точи пространства. Отрезо
AB, у отороо точу A считают началом, а точу B—онцом,
называют ве
тором с началом A и онцом B и обозначают
.
Направление луча AB определяет направление ветора
,адли-
ну отреза AB называют длиной (или модлем) ве
тора
и обозначают |
|. Ветор, нач инающийся и заанчивающийся
в точе A, называют нлевым ве
тором и обозначают
.
Понятие направления для нео не вводится.
Если оординатами начала и онца ветора
являются
точи A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB), то
оординатами ве
то-
ра
называют упорядоченную тройу чисел
{xB–xA;yB–yA;zB–zA}
(оординаты ветора будем записывать в фиурных собах).
Два ветора считают равными, если их одноименные оор-
динаты совпадают. В дальнейшем наряду с обозначением
для ветора будем использовать и обозначения, не связанные
с началом и онцом ветора в пространстве: , , , ... .
Над множеством веторов, заданных своими оординатами,
можно определить операции сложения, вычитания и умноже-
ния на число по следующим правилам:
1) смма (разность) ве
торов равна ветору, оординаты
отороо равны сумме (разности) соответствующих оординат
слааемых;
2) произведение ве
тора на число равно ветору, аждая
оордината отороо равна оординате исходноо ветора, ум-
ноженной на это число.
AB
AB
AB
AB
AA
AB
AB
AB
abc
§ 76. Векторы и их координаты
441
Правила действий с веторами = {a1; a2; a3} и = {b1; b2; b3},
заданными их оординатами, выражаются формулами
ä ={a1äb1;a2äb2;a3äb3},
(1)
λ = {λa1; λa2; λa3}.
(2)
Веторы
={1;0;0}, ={0;1;0}, ={0;0;1}
(3)
называют ортами. Любой ветор {a1; a2; a3} можно предста-
вить, и притом единственным образом, в виде
=a1 +a2 +a3 .(
4
)
Пример1.Заданыветоры =2 +3 , =–3 –2 ,
= + – . Найти оординаты ветора – + .
Решение. По условию = {2; 3; 0}, = {0; –3; –2},
={1;1;–1}.
Используя формулы (1) и (2), имеем
– + = 2–0+1;3+ +1;0+1–1 .
Ответ. 3; ;0 .
Пример 2.Даны четыре ветора: = {3; –2; 1},
={–1;1;–2}, ={2;1;–3}и ={11;–6;5}.Найтичисла
x, y, z, если
=x+y+z.
Р е ш е н и е. Из условия равенства двух веторов имеем
Решив эту систему уравнений, получим
x=2, y=–3, z=1.
Ответ.x=2,y=–3,z=1.
a
b
ab
a
i
j
k
a
aijk
aijbjk
cijk
a1
2---b c
a
b
c
a1
2---b c
3
2---
11
2------
p
q
r
c
cpqr
11=3x–y+2z,
–6=–2x+y+z,
5=x–2y–3z.
Глава 14
Метод координат
и элементы векторной алгебры
§ 76. Векторы и их координаты
Координатами точ
и M0 относительно прямоуольной сис-
темы оординат Oxyz называют упорядоченную тройу чисел
(x0; y0; z0). Число x0 называют абсциссой этой точи, y0 — ор-
динатой, z0 — аппли
атой.
Пусть A и B—две различные точи пространства. Отрезо
AB, у отороо точу A считают началом, а точу B—онцом,
называют ве
тором с началом A и онцом B и обозначают .
Направление луча AB определяет направление ветора , а дли-
ну отреза AB называют длиной (или модлем) ве
тора
и обозначают | |. Ветор, начинающийся и заанчивающийся
в точе A, называют нлевым ве
тором и обозначают .
Понятие направления для нео не вводится.
Если оординатами начала и онца ветора являются
точи A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB), то
оординатами ве
то-
ра называют упорядоченную тройу чисел
{xB–xA;yB–yA;zB–zA}
(оординаты ветора будем записывать в фиурных собах).
Два ветора считают равными, если их одноименные оор-
динаты совпадают. В дальнейшем наряду с обозначением
для ветора будем использовать и обозначения, не связанные
с началом и онцом ветора в пространстве: , , , ... .
Над множеством веторов, заданных своими оординатами,
можно определить операции сложения, вычитания и умноже-
ния на число по следующим правилам:
1) смма (разность) ве
торов равна ветору, оординаты
отороо равны сумме (разности) соответствующих оординат
слааемых;
2) произведение ве
тора на число равно ветору, аждая
оордината отороо равна оординате исходноо ветора, ум-
ноженной на это число.
AB
AB
AB
AB
AA
AB
AB
AB
abc
§ 76. Векторы и их координаты
441
Правила действий с веторами = {a1; a2; a3} и = {b1; b2; b3},
заданными их оординатами, выражаются формулами
ä={
a1äb1;a2äb2;a3äb3},
(1)
λ = {λa1; λa2; λa3}.
(2)
Веторы
= {1;0;0},
= {0;1;0},
= {0;0;1}
(3)
называют ортами. Любой ветор {a1; a2; a3} можно предста-
вить, и притом единственным образом, в виде
=a1+a2+a3.(
4
)
Пример 1.Заданыветоры
=2+3,
=–3
–
2,
=
+–
. Найти оординаты ветора –
+.
Решение. По условию
= {2;3;0},
= {0; –3; –2},
= {1;1;–1}.
Используя формулы (1) и (2), имеем
–
+ = 2 –0+1;3+ +1;0+1–1
.
Ответ. 3; ;0 .
Пример 2.Даны четыре ветора:
=
{3; –2; 1},
= {–1;1;–2},
= {2;1;–3}и ={11;–6;5}.Найтичисла
x, y, z, если
=x+y+z.
Р е ш е н и е. Из условия раве нства двух веторов имеем
Решив эту систему уравнений, получим
x=2,y=–3,z=1.
Ответ.x =2,y= –3,z=1.
a
b
a
b
a
i
j
k
a
a
i
jk
a
i
jb
jk
c
ijk
a
1
2
---
bc
a
b
c
a
1
2
---
bc
3
2
---
11
2
------
p
q
r
c
c
p
q
r
11=3x–y+2z,
–6 = –2x+y+z,
5=x –2y–3z.
442
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
1. Даны веторы
= {–3; –1; 2},
= {4;0;6},
= {5; –2; 7}.
Найдитеоординатыветора:а)2 ;б)– +3 ;в) +2 –3
.
2. Даны веторы
= {2; 4},
= {–3; 1},
= {5; –2}. Найдите
оординаты ветора:
а)2+3–5;б)+24+14;в)2–
;)5.
3. Даны веторы
= {1;5;3},
= {6; –4; –2},
= {0;–5;7}
и
= {–20; 27; –35}. Найдите таие числа α, β и γ, что
α+β+γ+=
.
4. Даны три ветора:
= {3; –2; 1},
={
–
1; 1; –2},
= {2; 1; –3}. Найдите оординаты ветора , если справедли-
во равенство
=2
–
3+.
5. Даны четыре ветора:
= {0;1;2},
= {1;2;3},
= {–1; 1; –2},
= {0; 4; 3}. Найдите x, y, z, если
=x+
+y+z.
6. Выразите ветор через веторы и , если:
а) = {4; –2},
= {3; 5},
= {1; –7};
б) ={5;4},
= {–3; 0},
= {19; 8};
в)
= {–6; 2},
= {4; 7},
= {9; –3}.
7. Найдите оординаты ветора
, если известны оорди-
наты точе P и Q:
а) P(2; –3; 0), Q(–1; 2; –3);
б)P;–;
,Q –;0;.
8. Даны четыре точи: A(0; 2), B(3; 1), C(–5; 3), D(2; 4).
Найдите оординаты таой точи Q, что
+
+
+
=
.
9. От точи A отложен ветор
=
. Найдите оордина-
ты точи B, если:
а) A(0; 0),
= {–2; 1};
б) A(–1; 5),
= {1;–3};
в) A(2; 7),
= {–2; –5};
) A(8; –8),
= {4; 7}.
a
b
c
a
a
c
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
1
2
---
b
c
a
b
c
d
a
bcd0
p
q
r
c
c
p
qr
p
q
r
c
c
p
q
r
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
PQ
1
2
---
4
3
---
5
6
---
3
5
---
2
3
---
QAQBQCQD0
ABa
a
a
a
a
§ 76. Векторы и их координаты
443
10. На оси абсцисс найдите точу M, расстояние от оторой
до точи A(3; –3) равно 5.
11. На оси ординат найдите точу M, равноудаленную от
точе A(1; –4; 7) и B(5; 6; –5).
12. Найдите оординаты точи M, лежащей на оси Ox и
одинаово удаленной от точе A(1; 2; 3) и B(–3; 3; 2).
13. Найдите оординаты центра тяжести треуольниа ABC,
если точи A, B и C имеют следующие оординаты:
а) A(0; 0), B(0; 3), C(5; 0);
б) A(0; 0), B(2; 5), C(–1; 7);
в) A(1; 3), B(3; 6), C(–2; 5).
Два ветора = {a1; a2; a3} и = {b1; b2; b3} ( − )называ-
ют
оллинеарными, если существует таое число λ, что
a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3.
14. Определите, при аом значении k ветор + k ол-
линеарен ветору , если:
а) ={2;3}, ={3;5}, ={–1;3};
б) ={1;0}, ={2;2}, ={3;–5};
в) ={3;–2}; ={1;1}, ={0;5}.
15. Используя условие оллинеарности двух веторов, вы-
ясните, оллинеарны ли веторы:
а)=;;–и=;;–;
б)=–;6; и=;–;–1.
16. При аих значениях X и Y веторы = {X; –2; 5} и
= {1; Y; –3} оллинеарны?
17. Даны четыре точи: A(–2; –3; 8), B(2; 1; 7), C(1; 4; 5)
и D(–7; –4; 7). Доажите, что веторы и оллинеарны.
18. Отрезо с онцами A(3; –2) и B(6; 4) разделен на три
равные части. Найдите оординаты точе деления.
19. Найдите оординаты онцов отреза, оторый точами
C(2; 0; 2) и D(5; –2; 0) разделен на три равные части.
20. Даны вершины треуольниа: A(1; 0; 2), B(1; 2; 2)
и C(5; 4; 6). Точа L делит отрезо AC в отношении 1:3, CE —
a
b
b0
ab
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
3
7--- 1
2--- 3
4---
b
2
7--- 1
3--- 1
2---
c
3
2--- 4
3---
d
9
8--- 9
2---
a
b
AB CD
442 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
1. Даны веторы = {–3; –1; 2}, = {4; 0; 6}, = {5; –2; 7}.
Найдитеоординатыветора:а)2 ;б)– +3 ;в) +2 –3 .
2. Даны веторы = {2; 4}, = {–3; 1}, = {5; –2}. Найдите
оординаты ветора:
а)2+3–5;б)+24+14;в)2– ;)5.
3.Даныветоры ={1;5;3}, ={6;–4;–2}, ={0;–5;7}
и = {–20; 27; –35}. Найдите таие числа α, β и γ, что
α+β+γ+=.
4. Даны три ветора: = {3; –2; 1}, = {–1; 1; –2},
= {2; 1; –3}. Найдите оординаты ветора , если справедли-
воравенство =2 –3 + .
5. Даны четыре ветора: = {0; 1; 2}, = {1; 2; 3},
={–1;1;–2}, ={0;4;3}.Найдитеx,y,z,если =x +
+y+z.
6. Выразите ветор через веторы и , если:
а) ={4;–2}, ={3;5}, ={1;–7};
б) ={5;4}, ={–3;0}, ={19;8};
в) ={–6;2}, ={4;7}, ={9;–3}.
7. Найдите оординаты ветора , если известны оорди-
наты точе P и Q:
а) P(2; –3; 0), Q(–1; 2; –3);
б)P ;–; ,Q–;0;.
8. Даны четыре точи: A(0; 2), B(3; 1), C(–5; 3), D(2; 4).
Найдите оординаты таой точи Q, что
+++=.
9. От точи A отложен ветор = . Найдите оордина-
ты точи B, если:
а) A(0; 0), = {–2; 1};
б)A(–1;5), ={1;–3};
в) A(2; 7), = {–2; –5}; ) A(8; –8), = {4; 7}.
a
b
c
aacabc
a
b
c
abcabc
a1
2--- b
c
a
b
c
d
abcd0
p
q
r
c
cpqr
p
q
r
c
cp
qr
c
ab
a
b
c
a
b
c
a
b
c
PQ
1
2--- 4
3--- 5
6---
3
5--- 2
3---
QAQBQCQD0
ABa
a
a
a
a
§ 76. Векторы и их координаты
443
10. На оси абсцисс найдите точу M, расстояние от оторой
до точи A(3; –3) равно 5.
11. На оси ординат найдите точу M, равноудаленную от
точе A(1; –4; 7) и B(5; 6; –5).
12. Найдите оординаты точи M, лежащей на оси Ox и
одинаово удаленной от точе A(1; 2; 3) и B(–3; 3; 2).
13. Найдите оординаты центра тяжести треуольниа ABC,
если точи A, B и C имеют следующие оординаты:
а) A(0; 0), B(0; 3), C(5; 0);
б) A(0; 0), B(2; 5), C(–1; 7);
в) A(1; 3), B(3; 6), C(–2; 5).
Два ветора ={a1;a2;a3}и ={b1;b2;b3}( − )н
а
з
ы
в
а
-
ют
оллинеарными, если существует таое число λ, что
a1=λb1, a2=λb2, a3=λb3.
14. Определите , при аом значении k ветор + k ол-
линеарен ветору , если:
а) ={2;3},
= {3; 5},
= {–1; 3};
б) ={1;0},
= {2; 2},
= {3; –5};
в)
= {3;–2}; ={1;1},
= {0; 5}.
15. Используя условие оллинеарности двух веторов , вы-
ясните, оллинеарны ли веторы:
а)=
;;–
и
=
;;–;
б)=
–
;6;
и
=
;–;
–1
.
16. При аих значениях X и Y ве торы
= {X;–2;5}и
= {1; Y; –3} оллинеарны?
17. Даны че тыре точи: A(–2; –3; 8), B(2; 1; 7), C(1; 4; 5)
и D(–7; –4; 7). Доажите, что веторы
и
оллинеарны.
18. Отрезо с онцами A(3; –2) и B(6; 4) разделен на три
равные части. Найдите оординаты точе деления.
19. Найдите оординаты онцов отреза, оторый точами
C(2; 0; 2) и D(5; –2; 0) разделен на три равные части.
20. Даны вершины треуольниа: A(1; 0; 2), B(1; 2; 2)
и C(5; 4; 6). Точа L делит отрезо AC в отношении 1:3, CE —
a
b
b0
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
3
7
---
1
2
---
3
4
---
b
2
7
---
1
3
---
1
2
---
c
3
2
---
4
3
---
d
9
8
---
9
2
---
a
b
AB CD
444
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
медиана, проведенная из вершины C. Найдите оординаты точ-
и пересечения прямых BL и CE.
21. При аих значениях α и β веторы
=–2+3+α
и
=β
–
6 + 2 оллинеарны?
Три ветора = {a1; a2; a3},
= {b1; b2; b3},
= {c1; c2; c3}
называют
омпланарными, если
=0.
22. Проверьте, что веторы
= {1;0;2},
= {0;1;3},
= {1; 1; 5} омпланарны.
23. Доажите, что если ветор
представлен в виде
= +λ,товеторы , ,
омпланарны.
24. Доажите, что если три ветора , , омпланарны,
то существуют постоянные α и β таие, что справедливо равен-
ство
=α+β.
25. Даны три ветора:
= {1; –1; 0},
= {0; 1; –1},
=
={1;0;–1}иветор =α + β . Доажите, что при любых α
иβветоры , ,
омпланарны.
Если веторы
= {a1; a2; a3} и = {b1; b2; b3} заданы своими
оординатами в прямоуольной системе оординат, то их с
а-
лярным произведением называют число, оторое находится
по формуле
= a1b1 + a2b2 + a3b3.(
5
)
Косинсом ла межд ненулевыми ве
торами
ин
а
-
зывают число, оторое находится по формуле
cosF(,)=
.
(6)
Условие перпендиулярности двух ненулевых веторов и
имеет вид
a1b1+a2b2+a3b3=0
(7)
a
i
jk
b
i
jk
a
b
c
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a
b
c
c
c
a
b
abc
abc
c
a
b
a
b
c
d
a
b
dac
a
b
ab
a
b
ab
a1b1 a2b2 a3b3
++
a1
2
a2
2
a3
2
++ b1
2
b2
2
b3
2
++
---------------------------------------------------------------------------
-
a
b
§ 76. Векторы и их координаты
445
Длина ветора вычисляется по формуле
||=
.
(8)
Пример3.Даныветоры ={5;2}и ={7;–3}.Найти
ветор , удовлетворяющий условиям = 38, = 30.
Решение. Пусть = (X; Y), тода соласно формуле (5)
имеем
Решив эту систему относительно X и Y, получаем X = 6, Y = 4.
Ответ. = {6; 4}.
26. Даны веторы = {4; –2; –4} и = {6; –3; 2}. Вычислите:
а) ;б)(2 –3)( +2);в)( – )2;)|2 – |.
27. Дан ветор = {–6; 8}. Найдите оординаты единично-
о ветора:
а) сонаправленноо ветору ;
б) противоположно направленноо ветору .
28. Из одной точи проведены веторы = {–12; 16}, =
= {12; 5}. Найдите оординаты ветора, оторый, будучи отло-
женным от той же точи, делит пополам уол между данными
веторами.
29.Зная,что| |=3,| |=1,| |=4и + + = ,вычис-
лите++.
30. Вычислите длину ветора:
а)=–+;б)=2+–3.
31. Длина ветора равна 3. Вычислите оординаты ветора,
если известно, что все они равны между собой.
32. Вычислите длину ветора 2 + 3 , если = {1; 1; –1},
={2;0;0}.
33.Даныветоры ={1;1;–1}, ={5;–3;–3}и =
= {3; –1; 2}. Найдите веторы, оллинеарные ветору , длины
оторых равны длине ветора + .
34. Веторы
=–3 +4 и ={–1;0;–2}являютсясто-
ронами треуольниа ABC. Найдите длину медианы AM.
a
aa1
2a2
2a3
2
++
a
b
c
ac
bc
c
5X+2Y=38,
7X–3Y=30.
c
a
b
ab
abab
ab
ab
a
a
a
a
b
a
b
c
abc0
abbcca
aijkbijk
ab
a
b
a
b
c
c
ab
ABikBC
444 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
медиана, проведенная из вершины C. Найдите оординаты точ-
и пересечения прямых BL и CE.
21.Приаихзначенияхαиβветоры =–2 +3 +α
и =β –6 +2 оллинеарны?
Три ветора = {a1; a2; a3}, = {b1; b2; b3}, = {c1; c2; c3}
называют
омпланарными, если
=0.
22. Проверьте, что веторы = {1; 0; 2}, = {0; 1; 3},
= {1; 1; 5} омпланарны.
23. Доажите, что если ветор представлен в виде
= +λ , то веторы , , омпланарны.
24. Доажите, что если три ветора , , омпланарны,
то существуют постоянные α и β таие, что справедливо равен-
ство=α+β.
25. Даны три ветора: = {1; –1; 0}, = {0; 1; –1}, =
={1;0;–1}иветор =α + β . Доажите, что при любых α
и β веторы , , омпланарны.
Если веторы = {a1; a2; a3} и = {b1; b2; b3} заданы своими
оординатами в прямоуольной системе оординат, то их с
а-
лярным произведением называют число, оторое находится
по формуле
= a1b1 + a2b2 + a3b3.(
5
)
Косинсом ла межд ненулевыми ве
торами и на-
зывают число, оторое находится по формуле
cosF( , )=
.
(6)
Условие перпендиулярности двух ненулевых веторов и
имеет вид
a1b1+a2b2+a3b3=0
(7)
aijk
bijk
a
b
c
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a
b
c
c
cab
abc
abc
cab
a
b
c
dab
dac
a
b
ab
ab
ab
a1b1 a2b2 a3b3
++
a1
2a2
2a3
2
++ b1
2b2
2b3
2
++
----------------------------------------------------------------------------
a
b
§ 76. Векторы и их координаты
445
Длина ветора вычисляется по формуле
||=
.
(8)
Пример3.Даныветоры
= {5;2}и
= {7; –3}. Найти
ветор , удовлетворяющий условиям
= 38,
= 30.
Решение. Пусть = (X; Y), тода соласно формуле (5)
имеем
Решив эту систему относительно X и Y, получаем X = 6, Y = 4.
Ответ.
= {6; 4}.
26. Даны веторы = {4; –2; –4} и = {6; –3; 2}. Вычислите:
а
) ;б)(2 –3)( +2);в)( – )
2;
)|2–|
.
27. Дан ветор = { –6; 8}. Найдите оординаты единично-
о ветора:
а) сонаправленноо ветору ;
б) противоположно направленноо ветору .
28. Из одной точи проведены ве торы
= { –12; 16},
=
= {12; 5}. Найдите оординаты ветора, оторый, будучи отло-
женным от той же точи, делит пополам уол между данными
веторами.
29.Зная,что| |=3,| |=1,| |=4и + + =
, вычис-
лите
+
+
.
30. Вычислите длину ветора:
а)=
–
+;б)=2+–3
.
31. Длина ветора равна 3. Вычислите оординаты ветора,
если известно, что все они равны между собой.
32. Вычислите длину ветора 2 + 3 , если
= {1; 1; –1},
= {2;0;0}.
33. Даны веторы
= {1; 1; –1},
= {5;–3;–3}и =
= {3; –1; 2}. Найдите веторы, оллинеарные ветору , длины
оторых равны длине ветора + .
34. Веторы
=–3+4и
= {–1; 0; –2} являются сто-
ронами треуольниа ABC. Найдите длину медианы AM.
a
a
a1
2
a2
2
a3
2
++
a
b
c
ac
bc
c
5X+2Y=38,
7X–3Y=30.
c
a
b
ab
a
ba
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
a
b
c
a
bc0
ab
bc ca
a
ijk
b
ij
k
a
b
a
b
a
b
c
c
a
b
AB
i
kBC
446
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
П р и м е р 4. Вычислить уол между веторами = {–1; 2; –2}
и
= {6; 3; –6}.
Р е ш е н и е. Используя формулу (6), находим
cos F(,)
=
=
=.
Ответ.F( , )=arccos .
35. Вычислите уол между веторами:
а) ={6;–2;–3}; ={5;0;0};
б) ={2;–4;5}; ={0;2;0};
в)
= {–2;6;–3}; ={0;0;–3};
)
= {–4;–6;2}; ={4;0;0};
д) ={3;–2;6}; ={0;–5;0};
е) ={4;–5;–2}; ={0;0;2}.
36. Каой уол образует с ортом данный ветор: = {2; 3},
= {–2; 5},
= {–5; 1},
= {–1; –1}?
37. Вычислите осинус ула между веторами
–
и+,
если
= {1;2;1}и ={2;–1;0}.
38. Вычислите осинусы улов, оторые образует с ортами
,
,
данный ветор:
а)=++;
б)=–3
–
;
в) =–5;
)
=3+4.
39. Вычислите оординаты ветора , оллинеарноо ве-
тору
= {3; –4}, если известно, что ветор
образует тупой
уолсветором и| |=10.
40. Ветор оллинеарен ветору = {6; 8; –7,5} и образу-
ет с ортом
острый уол. Найдите оординаты ветора ,
зная,что| |=50.
41. Вычислите уол между веторами
=2+и
=
=
–
2 и определите длины диаоналей параллелорамма, по-
строенноо на этих веторах а на сторонах.
a
b
ab
1
–
()6⋅ 23
⋅
2
–
()6
–
()
⋅
++
144
++3
6936
++
--------------------------------------------------------------------------
-
12
39
⋅
-----------
4
9
---
ab
4
9
---
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
i
a
b
c
d
a
bab
a
b
ijk
a
ijk
b
jk
c
i
d
jk
p
q
p
ip
b
a
k
b
b
a
i
jb
i
j
§ 76. Векторы и их координаты
447
42. Веторы , и имеют равные длины и образуют по-
парно равные улы. Найдите оординаты ветора , если =
=+и=+.
43. Прямая составляет равные улы с ребрами прямоо
трехранноо ула. Найдите эти улы.
44. Веторы = {3; –2; 2} и = {–1; 0; –2} являются
смежными сторонами параллелорамма. Определите величину
ула между ео диаоналями.
П р и м е р 5. Найти оординаты единичноо ветора ,
если известно, что он перпендиулярен веторам = {1; 1; 0}
и ={0;1;1}.
Р е ш е н и е. Пусть ветор имеет оординаты X, Y, Z.
Тода по условию
=1.
(*)
Та а ветор перпендиулярен веторам и , то, ис-
пользуя формулу (7), получаем уравнения
X+Y=0 и Y+Z=0.
Подставляя выражения X и Z через Y в равенство (*), получаем
Y = ä . Следовательно, существуют два ветора, удовлетво-
ряющих условию задачи.
Ответ.=–;;–,=;–;.
45. При аом значении Z веторы = {6; 0; 12} и =
= {–8; 13; Z} перпендиулярны?
46.ПриаихзначенияхXиYветор =X +Y +2
перпендиулярен ветору = – + и салярное произве-
дение веторов и = + 2 равно 4?
47. Ветор перпендиулярен веторам = {2; 3; –1} и
= {1; –2; 3} и удовлетворяет условию (2 – + ) = –6.
Найдите оординаты ветора .
abc
c
a
ijbjk
AB
BC
a
b
c
a
X2Y2Z2
++
a
bc
1
3
-------
a1
1
3
------- 1
3
------- 1
3
-------
a2
1
3
------- 1
3
------- 1
3
-------
a
b
aijk
bijk
acij
c
a
b
cijk
c
446 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
П р и м е р 4. Вычислить уол между веторами = {–1; 2; –2}
и ={6;3;–6}.
Р е ш е н и е. Используя формулу (6), находим
cos F(, )=
==.
Ответ.F( , )=arccos .
35. Вычислите уол между веторами:
а) ={6;–2;–3}; ={5;0;0};
б) ={2;–4;5}; ={0;2;0};
в) ={–2;6;–3}; ={0;0;–3};
) ={–4;–6;2}; ={4;0;0};
д) ={3;–2;6}; ={0;–5;0};
е) ={4;–5;–2}; ={0;0;2}.
36. Каой уол образует с ортом данный ветор: = {2; 3},
= {–2; 5}, = {–5; 1}, = {–1; –1}?
37. Вычислите осинус ула между веторами – и + ,
если ={1;2;1}и ={2;–1;0}.
38. Вычислите осинусы улов, оторые образует с ортами
, , данный ветор:
а)=++;
б)=–3–;
в) =–5;
)=3+4.
39. Вычислите оординаты ветора , оллинеарноо ве-
тору = {3; –4}, если известно, что ветор образует тупой
уолсветором и| |=10.
40. Ветор оллинеарен ветору = {6; 8; –7,5} и образу-
ет с ортом острый уол. Найдите оординаты ветора ,
зная,что| |=50.
41. Вычислите уол между веторами = 2 + и =
= – 2 и определите длины диаоналей параллелорамма, по-
строенноо на этих веторах а на сторонах.
a
b
a b 1–()6⋅ 23
⋅
2–() 6–()
⋅
++
144
++ 36936
++
--------------------------------------------------------------------------- 12
39
⋅----------- 4
9---
ab
4
9---
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
i
a
b
c
d
abab
a
b
ijk
aijk
bjk
ci
djk
p
q
p
ip
b
a
k
b
b
aijb
ij
§ 76. Векторы и их координаты
447
42. Веторы ,
и
имеют равные длины и образуют по-
парно равные улы. Найдите оординаты ветора , если
=
=+и=+.
43. Прямая составляет равные улы с ребрами прямоо
трехранноо ула. Найдите эти улы.
44. Веторы
= {3;–2;2}и
= {–1; 0; –2} являются
смежными сторонами параллелорамма. Определите величину
ула между ео диаоналями.
П р и м е р 5. Найти оординаты единичноо ветора
,
если из вес тно, что он перпендиулярен веторам
= {1;1;0}
и ={0;1;1}.
Решение.Пустьветор
имеет оординаты X, Y, Z.
Тода по условию
=1.
(*)
Та а ветор перпе ндиулярен веторам и , то, ис-
пользуя формулу (7), получае м уравнения
X+Y=0 и Y+Z=0.
Подставляя выражения X и Z через Y в равенство (*), получаем
Y=ä
. Следовательно, существуют два ветора, удовлетво-
ряющих условию задачи.
Ответ.
=
–
;;–
,
=
;–;
.
45. При аом значении Z веторы
= {6;0;12}и
=
= { –8; 13; Z} перпендиулярны?
46.ПриаихзначенияхXиYветор =X +Y +2
перпендиулярен ветору =
–
+ и салярное произве-
дение веторов и
=
+2 равно4?
47. Ветор
перпендиулярен веторам
= {2;3;–1}и
= {1; –2; 3} и удовлетворяет условию (2 – + ) = –6.
Найдите оординаты ветора .
ab
c
c
a
ijbjk
AB
BC
a
b
c
a
X
2
Y
2
Z
2
++
a
bc
1
3
-- - ----
a1
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a2
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a
b
a
i
jk
bijk
a
c
i
j
c
a
b
cijk
c
448
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
48. Вычислите оординаты ветора , перпендиулярноо
в еторам
=2
–
и
=–
+ 2 – 3 и образующео тупой
уолсортом ,если| |=
.
49. Найдите оординаты ветора = {X; Y; Z}, образующео
равные улы с веторами
= {Y; –2Z; 3X},
= {2Z; 3X; –Y},
если ветор
перпендиулярен ветору
= {1;–1;2},|| =
=2
и у ол между ветором и ортом — тупой.
50. В параллелорамме ABCD известны оординаты трех вер-
шин: A(3; 1; 2), B(0; –1; –1), C(–1; 1; 0). Найдите длину диао-
нали BD.
51. Доажите, что точи A(1; –1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1),
D(4; –1; 1) являются вершинами прямоуольниа. Вычис-
лите длины ео диаоналей и оординаты их точи пересе-
чения.
52. Доажите, что точи A(2; 4; –4), B(1; 1; –3), C(–2; 0; 5),
D(–1; 3; 4) являются вершинами параллелорамма, и вычисли-
те величину ула между ео диаоналями.
53. Найдите осинус ула между диаоналями AC и BD
параллелорамма, если заданы три е о вершины: A(2; 1; 3),
B(5; 2; –1) и C(–3; 3; –3).
54. Треуольни задан своими вершинами A(3; –2; 1),
B(3; 1; 5), C(4; 0; 3). Вычислите: длины медиан AA1 и BB1; рас-
стояние от начала оординат до центра тяжести G треуольни-
а; величины у лов треуольниа.
55. Вычислите оординаты вершины C правильноо тре-
уольниа ABC, если известны вершины A(1; 3) и B(3; 1).
56. Вычислите оординаты вершин C и D вадрата ABCD,
если известны вершины A(2; 1) и B(0; 4).
57. Даны точи B(1; –3) и D(0; 4), являющиеся вершинами
ромба ABCD. Вычислите оординаты вершин A и C, если
FBAD = 60°.
58. Даны вершины треуольниа: A(1; –1; –3), B(2; 1; –2) и
C(–5; 2; –6). Вычислите длину биссетрисы ео внутреннео
ула при вершине A.
59. Даны оординаты трех точе: A(3; 3; 2), B(1; 1; 1) и
C(4; 5; 1). Определите оординаты точи D, принадлежащей
биссетрисе ула ABC и удаленной от вершины B на расстоя-
ние
.
c
a
jkb
i
jk
j
c
7
a
b
c
a
d
a
3
a
j
870
§ 76. Векторы и их координаты
449
60. Вычислите работу силы = + 2 + при перемеще-
нии материальной точи из положения A(–1; 2; 0) в положение
B(2; 1; 3).
61.Данытрисилы: ={3;–4;2}, ={2;3;5}и =
= {–3; –2; 4}, приложенные одной точе. Вычислите работу,
производимую равнодействующей этих сил, ода их точа при-
ложения, двиаясь прямолинейно, перемещается из положения
A(5; 3; –7) в положение B(4; 1; –4).
62. Найдите длины сторон и величины улов треуольниа
с вершинами A(–1; –2; 4), B(–4; –2; 0) и C(3; –2; 1).
63. Известны оординаты вершин треуольниа: A(1; 1; 1),
B(2; 4; 2), C(8; 3; 3). Определите, является ли этот треуольни
прямоуольным или тупоуольным.
64. Вершинами треуольниа являются точи A(2; –3; 0),
B(2; –1; 1) и C(0; 1; 4). Найдите величину ула, образуемоо ме-
дианой BD и основанием AC.
65. Пусть H—точа пересечения высот треуольниа ABC.
Известно, что = {6; –2}, = {3; 4}. Найдите оординаты
ветора .
66. Доажите, что треуольни ABC, вершины отороо рас-
положены в точах A(1; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1), — прямо-
уольный. Найдите расстояние от начала оординат до центра
оружности, описанной ооло этоо треуольниа.
67. Треуольная пирамида задана вершинами A(3; 0; 1),
B(–1; 4; 1), C(5; 2; 3), D(0; –5; 4). Вычислите длину ветора
, если G—точа пересечения медиан рани BCD.
68. Объем прямой треуольной призмы ABCA1B1C1 равен 3.
Определите оординаты вершины A1, если оординаты вершин
одноо из оснований призмы известны: A(1; 0; 1), B(2; 0; 0),
C(0; 1; 0).
69. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на
ривойy=x2заданытаиеточиAиB,что · =1и
· = –2. Найдите длину ветора 12 – 3 .
70. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на
той части ривой y = x2 – 2x + 3, оторая принадлежит первой
четверти, заданы точа A(x1; y1) с абсциссой x1 = 1 и точа
B(x2; y2) с ординатой y2 = 11. Найдите салярное произведение
веторов и .
Fijk
M
N
P
AB
AC
AH
AG
OAi
OBi
OA OB
OA OB
448 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
48. Вычислите оординаты ветора , перпендиулярноо
веторам =2 – и =– +2 –3 иобразующеотупой
уолсортом ,если| |= .
49. Найдите оординаты ветора = {X; Y; Z}, образующео
равные улы с веторами = {Y; –2Z; 3X}, = {2Z; 3X; –Y},
если ветор перпендиулярен ветору = {1; –1; 2}, | | =
= 2 и уол между ветором и ортом — тупой.
50. В параллелорамме ABCD известны оординаты трех вер-
шин: A(3; 1; 2), B(0; –1; –1), C(–1; 1; 0). Найдите длину диао-
нали BD.
51. Доажите, что точи A(1; –1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1),
D(4; –1; 1) являются вершинами прямоуольниа. Вычис-
лите длины ео диаоналей и оординаты их точи пересе-
чения.
52. Доажите, что точи A(2; 4; –4), B(1; 1; –3), C(–2; 0; 5),
D(–1; 3; 4) являются вершинами параллелорамма, и вычисли-
те величину ула между ео диаоналями.
53. Найдите осинус ула между диаоналями AC и BD
параллелорамма, если заданы три ео вершины: A(2; 1; 3),
B(5; 2; –1) и C(–3; 3; –3).
54. Треуольни задан своими вершинами A(3; –2; 1),
B(3; 1; 5), C(4; 0; 3). Вычислите: длины медиан AA1 и BB1; рас-
стояние от начала оординат до центра тяжести G треуольни-
а; величины улов треуольниа.
55. Вычислите оординаты вершины C правильноо тре-
уольниа ABC, если известны вершины A(1; 3) и B(3; 1).
56. Вычислите оординаты вершин C и D вадрата ABCD,
если известны вершины A(2; 1) и B(0; 4).
57. Даны точи B(1; –3) и D(0; 4), являющиеся вершинами
ромба ABCD. Вычислите оординаты вершин A и C, если
FBAD = 60°.
58. Даны вершины треуольниа: A(1; –1; –3), B(2; 1; –2) и
C(–5; 2; –6). Вычислите длину биссетрисы ео внутреннео
ула при вершине A.
59. Даны оординаты трех точе: A(3; 3; 2), B(1; 1; 1) и
C(4; 5; 1). Определите оординаты точи D, принадлежащей
биссетрисе ула ABC и удаленной от вершины B на расстоя-
ние
.
c
ajkbijk
j
c7
a
b
c
a
d
a
3
a
j
870
§ 76. Векторы и их координаты
449
60. Вычислите работу силы
=
+ 2 + при перемеще-
нии материальной точи из положения A(–1; 2; 0) в положение
B(2; 1; 3).
61. Даны три силы:
= {3; –4; 2},
= {2;3;5}и
=
= { –3; –2; 4}, приложенные одной точе. Вычислите работу,
производимую равнодействующей этих сил, ода их точа при-
ложения, двиаясь прямолинейно, перемещается из положения
A(5; 3; –7) в положение B(4; 1; –4).
62. Найдите длины сторон и величины улов треуольниа
с вершинами A(–1; –2; 4), B(–4; –2; 0) и C(3; –2; 1).
63. Известны оординаты вершин треуольниа: A(1; 1; 1),
B(2; 4; 2), C(8; 3; 3). Определите, является ли этот треуольни
прямоуольным или ту поуольным.
64. Вершинами треуольниа являются точи A(2; –3; 0),
B(2; –1; 1) и C(0; 1; 4). Найдите величину ула, образуемоо ме-
дианой BD и основанием AC.
65. Пусть H—точа пересечения высот треуольниа ABC.
Известно, что
= {6; –2},
= {3; 4}. Найдите оординаты
ветора
.
66. Доажите, что треуольни ABC, вершины отороо рас-
положены в точах A(1; 0; 1), B(1; 1; 0), C(1; 1; 1), — прямо-
уольный. Найдите расстояние от начала оординат до центра
оружности, описанной ооло этоо треуольниа.
67. Треуольная пирамида задана вершинами A(3; 0; 1),
B(–1; 4; 1), C(5; 2; 3), D(0; –5; 4). Вычислите длину ветора
, если G—точа пересече ния медиан рани BCD.
68. Объем прямой треуольной призмы ABCA1B1C1 равен 3 .
Определите оординаты вершины A1, если оординаты вершин
одноо из оснований призмы известны: A(1; 0; 1), B(2; 0; 0),
C(0; 1; 0).
69. В прямоуольной деартовой систе ме оординат xOy на
ривой y = x2 заданы таие точи A и B, что
·
=1и
·
= – 2. Найдите длину ветора 12
–
3.
70. В прямоуольной деартовой системе оординат xOy на
той части ривой y = x2 – 2x + 3, оторая принадлежит первой
четверти, заданы точа A(x1; y1) с абсциссой x1 = 1 и точа
B(x2; y2) с ординатой y2 = 11. Найдите салярное произведение
веторов
и
.
Fi
jk
M
N
P
AB
AC
AH
AG
OAi
OBi
OA OB
OA OB
450
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
§ 77. Аналитическая запись линий
на плоскости и поверхностей
в пространстве
Прямую на плосости в прямоуольной деартовой системе
оординат xOy можно задать одним из уравнений (1)—(7).
Общее уравнений прямой:
Ax+By+C=0.
(1)
Уравне ние прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) пер-
пе ндиулярно ветору
=
(A; B):
A(x–x0)+B(y–y0)=0.
(2)
Уравне ние прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) па-
раллельно ветору ={
m; n}:
=
.
(3)
Уравне ние прямой в отрезах:
+ =1,
(4)
де a и b—оординаты точе, отсеаемых прямой на оорди-
натных осях Ox и Oy соответственно.
Уравне ние прямой с уловым оэффициентом k:
y=kx+b.(
5
)
Уравнение прямой, проходящей через данную точу M0(x0; y0)
с данным уловым оэффициентом k:
y–y0=k(x–x0).
(6)
Уравне ние прямой, проходящей через две точи M1(x1; y1)
и M2(x2; y2):
=
.
(7)
Улом межд прямыми l1 и l2 называют наиме ньший из
двух смежных улов, образованных этими прямыми. Таненс
ула между прямыми l1 и l2 с уловыми оэффициентами k1
и k2 вычисляется по формуле
tg F(l1, l2) =
,
k1k2 − –1.
(8)
n
a
xx
0
–
m
----------------
yy
0
–
n
---------------
-
x
a
---
y
b
---
xx
1
–
x2 x1
–
-------------------
yy
1
–
y2 y1
–
------------------
k2 k1
–
1 k1k2
+
-----------------------
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
451
Если прямые l1 и l2 перпендиулярны, то
k1k2 = –1,
(9)
а если эти прямые параллельны, то
k1 = k2.(
1
0
)
Расстояние от точи M0(x0; y0) до прямой l, заданной урав-
нением Ax + By + C = 0, находится по формуле
ρ(M0, l) =
.
(11)
П р и м е р 1. Прямая l проходит через точу M0(–1; 2) пер-
пендиулярно ветору = {2; 2}. Составить уравнение прямой l.
Решение. Соласноформуле(2),имеем2(x+1)+2(y–2)=
= 0. Расрыв соби и приведя подобные члены, получаем урав-
нениеx+y–1=0.
Ответ.x+y–1=0.
П р и м е р 2. Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точу M0(–1; 2) и параллельной ветору = {3; –1}.
Р е ш е н и е. Соласно формуле (3), имеем
= , или x+3y–5=0.
Ответ.x+3y–5=0.
Пример3.Заданыпрямаяl: –2x +y – 1=0иточа
M(–1; 2). Требуется:
1) вычислить расстояние ρ(M, l) от точи M до прямой l;
2) написать уравнение прямой l1, проходящей через точу M
перпендиулярно заданной прямой l;
3) написать уравнение прямой l2, проходящей через точу M
параллельно заданной прямой l.
Р е ш е н и е. 1) Используя формулу (11), находим
ρ(M, l) =
=.
2) Применяя формулу (9) при k1 = 2, получим k2 = – 0,5. Те-
перь, соласно формуле (6), имеем
y–2=–0,5(x+1),илиx+2y–3=0.
Ax0 By0 C
++
A2 B2
+
-------------------------------------------
n
a
x1+
3-------------- y 2–
1–-------------
2–()1–()12
⋅1–
+
41
+
-------------------------------------------------------- 3
5
-------
450 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
§ 77. Аналитическая запись линий
на плоскости и поверхностей
в пространстве
Прямую на плосости в прямоуольной деартовой системе
оординат xOy можно задать одним из уравнений (1)—(7).
Общее уравнений прямой:
Ax+By+C=0.
(1)
Уравнение прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) пер-
пендиулярно ветору =(A; B):
A(x–x0)+B(y–y0)=0.
(2)
Уравнение прямой, проходящей через точу M0(x0; y0) па-
раллельно ветору ={m; n}:
=
.
(3)
Уравнение прямой в отрезах:
+ =1,
(4)
де a и b—оординаты точе, отсеаемых прямой на оорди-
натных осях Ox и Oy соответственно.
Уравнение прямой с уловым оэффициентом k:
y=kx+b.(
5
)
Уравнение прямой, проходящей через данную точу M0(x0; y0)
с данным уловым оэффициентом k:
y–y0=k(x–x0).
(6)
Уравнение прямой, проходящей через две точи M1(x1; y1)
и M2(x2; y2):
=
.
(7)
Улом межд прямыми l1 и l2 называют наименьший из
двух смежных улов, образованных этими прямыми. Таненс
ула между прямыми l1 и l2 с уловыми оэффициентами k1
и k2 вычисляется по формуле
tg F(l1, l2) =
, k1k2−–1.
(8)
n
a
xx0
–
m
---------------- yy0
–
n
----------------
x
a--- y
b---
xx1
–
x2 x1
–
------------------- yy1
–
y2 y1
–
------------------
k2 k1
–
1 k1k2
+
-----------------------
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
451
Если прямые l1 и l2 перпендиулярны, то
k1k2 = –1,
(9)
а если эти прямые параллельны, то
k1 = k2.(
1
0
)
Расстояние от точи M0(x0; y0) до прямой l, заданной урав-
нением Ax + By + C = 0, находится по формуле
ρ(M0, l) =
.
(11)
П р и м е р 1. Прямая l проходит через точу M0(–1; 2) пер-
пендиулярно ветору = {2; 2}. Составить уравнение прямой l.
Решение. Соласноформуле(2),имеем2(x+1)+2(y–2)=
= 0. Расрыв соби и приведя подобные члены, получаем урав-
нениеx+y–1 =0.
Ответ.x+y–1 =0.
П р и м е р 2. Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точу M0(–1; 2) и параллельной ветору = {3; –1}.
Р е ш е н и е. Соласно формуле (3), имеем
=
,
или x+3y–5 =0.
Ответ.x+3y–5 =0.
Пример3.Заданыпрямаяl: –2x +y –1 =0 и точа
M(–1; 2). Требуется:
1) вычислить расстояние ρ(M, l) от точи M до прямой l;
2) написать уравнение прямой l1, проходящей через точу M
перпе ндиулярно заданной прямой l;
3) написать уравнение прямой l2, проходящей через точу M
параллельно заданной прямой l.
Р е ш е н и е. 1) Используя формулу (11), находим
ρ(M, l) =
=
.
2) Применяя формулу (9) при k1 = 2, получим k2 = – 0,5. Те-
перь, соласно формуле (6), имеем
y–2 = –0,5(x+1),илиx+2y–3 =0.
Ax0 By0 C
++
A2 B2
+
-------------------------------------------
n
a
x1
+
3
--------------
y2
–
1
–
-------------
2
–
()1
–
()12
⋅
1
–
+
41
+
--------------------------------------------------------
3
5
-------
452
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
3) Применяя формулы (10) и (6), получаем
y–2 =2(x+1), т.е. y =2x+4.
Ответ.1) ;2)x+2y–3 =0;3)y=2x+4.
1. Прямая l проходит через точи M1(x1; y1) и M2(x2; y2).
Напишите уравнение прямой l, если:
а) M1(1; 2), M2(–1; 0);
б) M1(7; –2), M2(–3; 4);
в) M1(1; 1), M2(1; –2);
) M1(2; 2), M2(0; 2).
2. Составьте уравнение прямой, оторая проходит через точ-
у M(8; 6) и отсеает от оординатноо ула треуольни с пло-
щадью, равной 12.
3. Напишите уравнение прямой, параллельной двум задан-
ным прямым l1 и l2 и равноудаленной от l1 и l2, если:
а)l1:3x–2y–1 =0;l2:
=
;
б)l1:3x–15y–1 =0;l2:
=
.
4. Треуольни ABC задан своими вершинами A(1; 2), B(2; –2),
C(6; 1). Требуется:
1) написать уравнение прямой, содержащей сторону AB;
2) написать уравнение прямой, содержащей высоту CD и вы-
числить длину h = CD;
3) найти уол φ между высотой CD и медианой BM;
4) написать уравнения биссетрис l1 и l2 внутреннео и внеш-
нео улов при вершине A.
5. Из точи M(5; 4) выходит луч све та под улом φ = arctg 2
оси Ox и отражается от нее. Напишите уравнения падающео
и отраженноо лучей (уравнения прямых, содержащих эти лучи).
6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точу
M(2;1)подулом прямой2x+3y+4=0.
7. Две вершины треуольниа ABC находятся в точах
A(–1; –1) и B(4; 5), а третья вершина лежит на прямой
y =5(x – 3). Площадь треуольниа равна 9,5. Найдите оор-
динаты вершины C.
8. Даны три точи A(2; 1), B(3; 1), C(–4; 0), являющиеся
в ершинами равнобедренной трапеции ABCD. Найдите оорди-
наты точи D, если
=k
.
3
5
-------
x1
–
2
-------------
y3
+
3
-------------
x 0,5
+
5
-------------------
y 0,5
+
1
-------------------
π
4
---
AB
CD
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
453
Уравнение оружности с центром C0(x0; y0) и радиусом R
имеет вид
(x–x0)2+(y–y0)2=R2.(
1
2
)
П р и м е р 4. Составить уравнение оружности, проходящей
через точи A(2; 0), B(5; 0) и асающейся оси Oy.
Р е ш е н и е. Пусть центр оружности C0 имеет оордина-
ты (x0; y0). Тода из условия асания оружности с осью Oy за-
лючаем, что абсцисса центра x0 равна радиусу R. Та а точ-
и A(2; 0) и B(5; 0) лежат на оружности, то их оординаты
удовлетворяют уравнению оружности. Используя перечислен-
ные условия, получим следующую систему уравнений:
отораяимеетдварешения:x0= ,y0= ,R= иx0= ,
y0=– ,R= .
Ответ. x–+y–=
;
x–+y+=
.
19. Составьте уравнение оружности, вписанной в треуоль-
ни, стороны отороо лежат на прямых x = 0, y = 0, 3x + 4y –
–12=0.
10. Дана оружность x2 + y2 = 4. Составьте уравнение пря-
мой l, параллельной оси абсцисс и пересеающей оружность
втаихточахMиN,чтоMN=1.
11. В оружность x2 + y2 = 169 вписан вадрат ABCD. Най-
дите оординаты вершин B, C и D, если A(5; –12).
12. Дана оружность x2 + y2 = 9. Составьте уравнение оруж-
ности, проходящей через начало оординат, точу A(1; 0) и а-
сающейся данной оружности.
13. Составьте уравнение оружности, проходящей через
точу A(2; 1) и асающейся осей оординат.
(x0–2)2+ =R2,
(x0–5)2+ =R2,
x0=R,
y0
2
y0
2
7
2---
10
7
2---
7
2---
10
7
2---
7
2---
2
10
2 49
4------
7
2---
2
10
2 49
4------
452 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
3) Применяя формулы (10) и (6), получаем
y–2=2(x+1), т.е. y=2x+4.
Ответ.1) ;2)x+2y–3=0;3)y=2x+4.
1. Прямая l проходит через точи M1(x1; y1) и M2(x2; y2).
Напишите уравнение прямой l, если:
а) M1(1; 2), M2(–1; 0);
б) M1(7; –2), M2(–3; 4);
в) M1(1; 1), M2(1; –2);
) M1(2; 2), M2(0; 2).
2. Составьте уравнение прямой, оторая проходит через точ-
у M(8; 6) и отсеает от оординатноо ула треуольни с пло-
щадью, равной 12.
3. Напишите уравнение прямой, параллельной двум задан-
ным прямым l1 и l2 и равноудаленной от l1 и l2, если:
а)l1:3x–2y–1=0;l2:
=;
б)l1:3x–15y–1=0;l2:
=
.
4. Треуольни ABC задан своими вершинами A(1; 2), B(2; –2),
C(6; 1). Требуется:
1) написать уравнение прямой, содержащей сторону AB;
2) написать уравнение прямой, содержащей высоту CD и вы-
числить длину h = CD;
3) найти уол φ между высотой CD и медианой BM;
4) написать уравнения биссетрис l1 и l2 внутреннео и внеш-
нео улов при вершине A.
5. Из точи M(5; 4) выходит луч света под улом φ = arctg 2
оси Ox и отражается от нее. Напишите уравнения падающео
и отраженноо лучей (уравнения прямых, содержащих эти лучи).
6. Напишите уравнение прямой, проходящей через точу
M(2;1)подулом прямой2x+3y+4=0.
7. Две вершины треуольниа ABC находятся в точах
A(–1; –1) и B(4; 5), а третья вершина лежит на прямой
y =5(x – 3). Площадь треуольниа равна 9,5. Найдите оор-
динаты вершины C.
8. Даны три точи A(2; 1), B(3; 1), C(–4; 0), являющиеся
вершинами равнобедренной трапеции ABCD. Найдите оорди-
натыточиD,если =k .
3
5
-------
x1–
2------------- y 3+
3-------------
x 0,5
+
5
------------------- y 0,5
+
1
-------------------
π
4---
AB CD
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
453
Уравнение оружности с центром C0(x0; y0) и радиусом R
имеет вид
(x–x0)2+(y–y0)2=R2.(
1
2
)
П р и м е р 4. Составить уравнение оружности, проходящей
через точи A(2; 0), B(5; 0) и асающейся оси Oy.
Р е ш е н и е. Пусть центр оружности C0 имеет оордина-
ты (x0; y0). Тода из условия асания оружности с осью Oy за-
лючае м, что абсцисса центра x0 равна радиусу R. Та а точ-
и A(2; 0) и B(5; 0) лежат на оружности, то их оординаты
удовлетворяют уравнению оружности. Используя перечислен-
ные условия, получим следующую систему уравнений:
оторая имеет два решения: x0 =
,y0=
,R=
иx0=
,
y0= –
,R=
.
Ответ. x –+
y–=
;
x–+
y+=
.
19. Составьте уравнение оружности, в писанной в треуоль-
ни, стороны отороо лежат на прямых x = 0, y = 0, 3x + 4y –
–
12=0.
10. Дана оружность x2 + y2 = 4 . Составьте уравнение пря-
мой l, параллельной оси абсцисс и пересеающей оружность
втаихточахMиN,чтоMN=1.
11. В оружность x2 + y2 = 169 вписан вадрат ABCD. Най-
дите оординаты вершин B, C и D, если A(5; –12).
12. Дана оружность x2 + y2 = 9. Составьте уравнение оруж-
ности, проходящей через начало оординат, точу A(1; 0) и а-
сающейся данной оружности.
13. Составьте уравнение оружности, проходящей через
точу A(2; 1) и асающейся осей оординат.
(x0–2)2+
= R2,
(x0–5)2+
= R2,
x0=R,
y0
2
y0
2
7
2
---
10
7
2
---
7
2
---
10
7
2
---
7
2
---
2
10
2 49
4
------
7
2
---
2
10
2 49
4
------
454
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Плосость в прямоуольной системе оординат Oxyz можно
задать следующими уравнениями.
Общее уравнение плосости:
Ax+By+Cz+D=0.
(13)
Уравнение плосости, проходящей через точу M0(x0; y0; z0)
перпендиулярно ветору
=
{A; B; C}:
A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)=0.
(14)
Улом межд двмя плос
остями α1 и α2 называют наи-
ме ньший из двуранных улов, образованных этими плосос-
тями. Косинус этоо ула вычисляется по формуле
cos F(α1, α2) =
=
, (15)
де
= {A1;B1;C1}и
= {A2; B2; C2} — веторы, перпенди-
улярные плосостям α1 и α2 соответственно.
П р и м е р 5. Составить уравнение плосости, если извест-
но, что точа N(3; 5; 2) является основанием перпендиуляра,
проведенноо из начала оординат этой плосости, и принад-
лежит плосости.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что ветор
перпенди-
улярен исомой плосости, де O— начало оординат, N—
точа, принадлежащая плосости, и
= {3; 5; 2}. Соласно
формуле (14), уравнение плосости, проходящей через точу N
перпендиулярно ветору
, имеет вид
3(x–3)+5(y–5)+2(z–2)=0,
или
3x+5y+2z–38 =0.
Ответ.3x+5y+2z–38 =0.
П р и м е р 6. Найти уол между плосостью, проходящей
через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), K(3; 2; 1), и плосостью, про-
ходящей через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), D(3; 1; 2).
Р е ш е н и е. Соласно формуле (15), для вычисления оси-
нуса ула между плосостями необходимо найти оординаты
n
n1 n2
⋅
n1 n2
⋅
-----------------------
A1A2 B1B2 C1C2
++
A1
2
B1
2
C1
2
++ A2
2
B2
2
C2
2
++
---------------------------------------------------------------------------------
n1
n2
ON
ON
ON
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
455
веторов, перпендиулярных этим плосостям. Пусть ветор
= {A1; B1; C1} перпендиулярен первой плосости. Тода
B
иB , и, следовательно, ·
=0,
· = 0. Записав эти равенства в оординатной форме,
получим систему уравнений
(*)
решения оторой дают неизвестные оординаты ветора .
Та а система (*) состоит тольо из двух уравнений, то одно
неизвестное, например C1, можно взять в ачестве свободноо.
Полаая ео равным 1, получим = {1; –2; 1}. Рассуждая ана-
лоично, находим, что ветор , перпендиулярный второй
плосости, имеет оординаты – ; – ; 1 . Подставив найден-
ные оординаты в формулу (15), получим
cosφ=
=,
и, следовательно, исомый уол φ равен 60°.
Ответ.60°.
Пример7.Даныплосость2x+2y–z+4=0ипрямаяl,
проходящая через точи A(2; 1; 1) и B(–3; 4; 0). Найти оорди-
наты точи пересечения прямой l с данной плосостью.
Р е ш е н и е. Запишем оординаты ветора ; имеем
={–3–2;4–1;0–1}={–5;3;–1}.
Пусть M(x0; y0; z0) является точой пересечения данной
плосости и прямой, проходящей через точи A и B. Это зна-
чит, что, во-первых, оординаты точи M удовлетворяют урав-
нению данной плосости, т. е. связаны равенством
2x0+2y0–z0+4=0,
(*)
n1
n1MNn1MK
n1 MN
n1 MK
A1+B1+C1=0,
3A1+2B1+C1=0,
n1
n1
n2
1
2--- 1
2---
1
2---–11
++
63
2---
⋅
------------------------------ 1
2---
AB
AB
454 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Плосость в прямоуольной системе оординат Oxyz можно
задать следующими уравнениями.
Общее уравнение плосости:
Ax+By+Cz+D=0.
(13)
Уравнение плосости, проходящей через точу M0(x0; y0; z0)
перпендиулярно ветору ={A; B; C}:
A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)=0.
(14)
Улом межд двмя плос
остями α1 и α2 называют наи-
меньший из двуранных улов, образованных этими плосос-
тями. Косинус этоо ула вычисляется по формуле
cos F(α1, α2) =
=
, (15)
де = {A1; B1; C1} и = {A2; B2; C2} — веторы, перпенди-
улярные плосостям α1 и α2 соответственно.
П р и м е р 5. Составить уравнение плосости, если извест-
но, что точа N(3; 5; 2) является основанием перпендиуляра,
проведенноо из начала оординат этой плосости, и принад-
лежит плосости.
Р е ш е н и е. Из условия следует, что ветор перпенди-
улярен исомой плосости, де O—начало оординат, N—
точа, принадлежащая плосости, и = {3; 5; 2}. Соласно
формуле (14), уравнение плосости, проходящей через точу N
перпендиулярно ветору , имеет вид
3(x–3)+5(y–5)+2(z–2)=0,
или
3x+5y+2z–38=0.
Ответ.3x+5y+2z–38=0.
П р и м е р 6. Найти уол между плосостью, проходящей
через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), K(3; 2; 1), и плосостью, про-
ходящей через точи M(0; 0; 0), N(1; 1; 1), D(3; 1; 2).
Р е ш е н и е. Соласно формуле (15), для вычисления оси-
нуса ула между плосостями необходимо найти оординаты
n
n1 n2
⋅
n1 n2
⋅
-----------------------
A1A2 B1B2 C1C2
++
A1
2B1
2C1
2
++ A2
2B2
2C2
2
++
---------------------------------------------------------------------------------
n1
n2
ON
ON
ON
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
455
веторов, перпендиулярных этим плосостям. Пусть ветор
= {A1; B1; C1} перпендиулярен первой плосости. Тода
B
иB
, и, следовательно,
·
=0,
·
= 0. Записав эти равенства в оординатной форме,
получим систему уравнений
(*)
решения оторой дают неизвестные оординаты ветора
.
Та а система (*) состоит тольо из двух уравнений, то одно
неизвестное, например C1, можно взять в ачестве свободноо.
Полаая ео равным 1, получим
= {1; –2; 1}. Рассуждая ана-
лоично, находим, что ветор
, перпе ндиулярный второй
плосости, имеет оординаты – ;
–
; 1 . Подставив найден-
ные оординаты в формулу (15), получим
cosφ=
=
,
и, следовательно, исомый уол φ равен 60°.
Ответ.60°.
Пример7.Даныплосость2x+2y–z+4=0ипрямаяl,
проходящая через точи A(2; 1; 1) и B(–3; 4; 0). Найти оорди-
наты точи пересечения прямой l с данной плосостью.
Р е ш е н и е. Запишем оординаты ветора
; имеем
= {–3
–2;4–1;0–1}={–5;3;–1}.
Пусть M(x0; y0; z0) является точой пересечения данной
плосости и прямой, проходящей через точи A и B. Это зна-
чит, что, во-первых, оординаты точи M удовлетворяют урав-
нению данной плосости, т. е . связаны равенством
2x0+2y0–z0+4=0,
(*)
n1
n1
MN n1
MK
n1
MN
n1 MK
A1+B1+C1=0,
3A1+2B1+C1=0,
n1
n1
n2
1
2
---
1
2
---
1
2
---
–1
1
++
6
3
2
---
⋅
------------------------------
1
2
---
AB
AB
456
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
и, во-вторых, ветор
оллинеарен ветору
:
=k
,
отуда следуют равенства
(**)
Решив систему уравнений (*) и (**), находим оординаты
точиM:x0= –13,y0=10,z0= –2.
Ответ. (–13; 10; –2).
14. Составьте уравнение плосости, если известно, что она
проходит через начало оординат и перпендиулярна ветору
= {–6; 3; 6}.
15. Прямая l проходит через точи A и B. Составьте уравне-
ние плосости, проходящей через точу A перпе ндиулярно
прямой l, если:
а) A(1; 2; 3), B(4; 6; 9);
б) A(–1; 2; 3), B(3; –2; 1);
в) A(1; 0; –3), B(2; –1; 1); ) A(0; –2; 4), B(–1; 3; –5).
16. Найдите уол между плосостями:
а)2x+y–z =2иx+2y–z =1;
б)3x–y
–
2z=1и2x+3y–z =2;
в)x–y+3z=2и–x
–
3y+z=2.
17.Даныплосостьx–y+2z–1 =0ипрямая,проходящая
через точи A(2; 3; 0) и B(0; 1; 1). Вычислите синус ула между
прямой AB и данной плосостью.
18. Прямая задана точами A(1; –1; 1) и B(–3; 2; 1). Найди-
те уол между прямой AB и плосостью:
а)6x+2y–3z–7 =0; б)5x–y+8z=0.
19. Вы числите расстояние от плосости 15x – 10y + 6z –
–
190 = 0 до начала оординат.
20. Вычислите расстояние:
а)отточи(3;1;–1)доплосости22x+4y–20z–45 =0;
б)отточи(4;3;–2)доплосости3x–y+5z+1=0;
в)отточи(2;0;–0,5)доплосости4x–4y+2z+17=0.
21. Дана пирамида с вершинами S(0; 6; 4), A(3; 5; 3),
B(–2; 11; –5), C(1; –1; 4). Найдите высоту пирамиды, опущен-
ную из вершины S.
AM
AB
AM
AB
x0–2=–5k,
y0–1 =3k,
z0–1=–k.
n
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
457
22. Составьте уравнение плосости, отстоящей на расстоя-
ние 6 единиц от начала оординат и отсеающей на осях оор-
динат отрези, связанные соотношениями a : b : c = 1 : 3 : 2.
23. Найдите оординаты точи пересечения плосости 2x –
– y + z = 0 и прямой, проходящей через точи A(–1; 0; 2) и
B(3; 1; 2).
24. Найдите точу пересечения:
а) прямой, являющейся линией пересечения плосостей
3x–4y=0иy–3z=6,иплосости2x–5y–z–2=0;
б)прямой = = иплосости3x–y+2z–5=0.
Уравнение сферы с центром в точе C0(x0; y0; z0) и радиусом R
имеет вид
(x–x0)2+(y–y0)2+(z–z0)2=R2.(
1
6
)
Если центр сферы совпадает с началом оординат, то уравне-
ние примет вид
x2+y2+z2=R2.(
1
7
)
П р и м е р 8. Составить уравнение сферы, проходящей
через точу A(1; –1; 4) и асающейся оординатных плосостей.
Р е ш е н и е. Та а исомая сфера асается оординат-
ных плосостей и центр сферы находится в той части простран-
ства, для аждой точи оторой x > 0, y < 0, z > 0 (посольу
в этой части расположена точа A(1; –1; 4)), то оординатами
центра являются (R; –R; R). С друой стороны, та а точа A
принадлежит сфере, то ее оординаты удовлетворяют уравне-
нию (16):
(1–R)2+(–1+R)2+(4–R)2=R2,
отуда следует, что
R2–6R+9=0, или (R–3)2=0, т.е. R=3.
Ответ.(x–3)2+(y+3)2+(z–3)2=9.
25. Вычислите расстояние от плосости 2x + 2y – z + 15 = 0
досферыx2+y2+z2–4=0.
26.Данасфераx2+y2+z2–25=0ипрямаяl,проходящая
через точу A(2; 1; 1) параллельно ветору = {2; –4; –1}.
Найдите оординаты точе пересечения прямой l со сферой.
27. Найдите множество точе пространства, сумма вадра-
тов расстояний от аждой из оторых до двух данных точе
A(2; 3; –1) и B(1; –1; 3) имеет одно и то же значение m2.
x7–
5------------- y 4–
1------------- z 5–
4-------------
a
456 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
и, во-вторых, ветор оллинеарен ветору :
=k,
отуда следуют равенства
(**)
Решив систему уравнений (*) и (**), находим оординаты
точиM:x0=–13,y0=10,z0=–2.
Ответ. (–13; 10; –2).
14. Составьте уравнение плосости, если известно, что она
проходит через начало оординат и перпендиулярна ветору
= {–6; 3; 6}.
15. Прямая l проходит через точи A и B. Составьте уравне-
ние плосости, проходящей через точу A перпендиулярно
прямой l, если:
а) A(1; 2; 3), B(4; 6; 9);
б) A(–1; 2; 3), B(3; –2; 1);
в) A(1; 0; –3), B(2; –1; 1); ) A(0; –2; 4), B(–1; 3; –5).
16. Найдите уол между плосостями:
а)2x+y–z=2иx+2y–z=1;
б)3x–y–2z=1и2x+3y–z=2;
в)x–y+3z=2и–x–3y+z=2.
17.Даныплосостьx–y+2z–1=0ипрямая,проходящая
через точи A(2; 3; 0) и B(0; 1; 1). Вычислите синус ула между
прямой AB и данной плосостью.
18. Прямая задана точами A(1; –1; 1) и B(–3; 2; 1). Найди-
те уол между прямой AB и плосостью:
а)6x+2y–3z–7=0; б)5x–y+8z=0.
19. Вычислите расстояние от плосости 15x – 10y + 6z –
– 190 = 0 до начала оординат.
20. Вычислите расстояние:
а)отточи(3;1;–1)доплосости22x+4y–20z–45=0;
б)отточи(4;3;–2)доплосости3x–y+5z+1=0;
в)отточи(2;0;–0,5)доплосости4x–4y+2z+17=0.
21. Дана пирамида с вершинами S(0; 6; 4), A(3; 5; 3),
B(–2; 11; –5), C(1; –1; 4). Найдите высоту пирамиды, опущен-
ную из вершины S.
AM
AB
AM AB
x0–2=–5k,
y0–1=3k,
z0–1=–k.
n
§ 77. Аналитическая запись линий и поверхностей
457
22. Составьте уравнение плосости, отстоящей на расстоя-
ние 6 единиц от начала оординат и отсеающей на осях оор-
динат отрези, связанные соотношениями a : b : c = 1 : 3 : 2.
23. Найдите оординаты точи пересечения плосости 2x –
–
y + z = 0 и прямой, проходящей через точи A(–1; 0; 2) и
B(3; 1; 2).
24. Найдите точу пересечения:
а) прямой, являющейся линией пересечения плосостей
3x–4y=0иy–3z=6,иплосости2x–5y–z
–
2=0;
б) прямой
=
=
иплосости3x–y+2z–5 =0.
Уравнение сферы с центром в точе C0(x0; y0; z0) и радиусом R
имеет вид
(x–x0)2+(y–y0)2+(z–z0)2=R2.(
1
6
)
Если центр сферы совпадает с началом оординат, то уравне-
ние примет в ид
x2+y2+z2=R2.(
1
7
)
П р и м е р 8. Составить уравнение сферы, проходящей
через точу A(1; –1; 4) и асающейся оординатных плосостей.
Р е ш е н и е. Та а исомая сфера асается оординат-
ных плосостей и центр сферы находится в той части простран-
ства, для аждой точи оторой x > 0, y < 0, z > 0 (посольу
в этой части расположена точа A(1; –1; 4)), то оординатами
центра являются (R; –R; R). С друой стороны, та а точа A
принадлежит сфере, то ее оординаты удовлетворяют уравне-
нию (16):
(1–R)2+(–1+R)2+(4–R)2=R2,
отуда следует, что
R2–6R+9=0, или (R–3)2=0, т.е. R =3.
Ответ.(x–3)2+(y+3)2+(z–3)2=9.
25. Вычислите расстояние от плосости 2x + 2y – z + 15 = 0
досферыx2+y2+z2–4 =0.
26.Данасфераx2+y2+z2–25 =0ипрямаяl,проходящая
через точу A(2; 1; 1) параллельно ветору
= {2; –4; –1}.
Найдите оординаты точе пересечения прямой l со сферой.
27. Найдите множество точе пространства, сумма вадра-
тов расстояний от аждой из оторых до двух данных точе
A(2; 3; –1) и B(1; –1; 3) имеет одно и то же значение m2.
x7
–
5
-------------
y4
–
1
-------------
z5
–
4
-------------
a
458
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
§ 78. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
Геометричесие задачи этоо парарафа решаются с по-
мощью введения прямоуольной деартовой системы оорди-
нат на плосости или в пространстве. Приведенные ниже зада-
чи можно решить и методами элементарной еометрии. Одна-
о, а правило, таие решения требуют использования
не тривиальных, исусственных приемов.
П р и м е р 1. В равнобедренном треуольние ABC (AB =
= BC = 8) точа E делит боовую сторону AB в отношении 3 : 1
(считая от вершины B). Вычислить уол между веторами
и
,если|
|=12.
Решение. Введем систему оор-
динат xOy та, а уазано на рис. 58
(соласно свойству высоты равнобед-
ренноо треуольниа, OA = OC). Из
BOC находим
OB=
=
=
=2
.
Та а
=
,то
=
+
. Отсюда, учи-
тывая, что
= {–12; 0},
= {6; 2 }, находим
=
=
–
;
. Подставляя оординаты веторов
и
в
формулу салярноо произведения веторов, получае м
cosα=
=
.
Ответ. arccos
.
1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = BC = 15) точ-
а E делит сторону BC в отношении 1:4 (считая от вершины B).
Вычислите уол между веторами
и
, если
= 20.
CE
CA
CA
x
A
O
C
y
E
B
α
Рис. 58
BC2 OC2
–
82 62
–
7
AE
1
4
---
AB
CE CA
1
4
---
AB
CA
AB
7
CE
21
2
------
7
2
-------
CE CA
12
–
()21
2
------
–
⋅
12
21
2
------
2
7
2
-------
2
+
------------------------------------------------------
-
37
8
-----------
37
8
-----------
AE AC
AC
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 459
2. В прямоуольном треуольние ABC уол B—прямой,
AB = 3, BC = 4. Вычислите уол между медианами AM и BD.
3. В прямоуольном треуольние с атетами AB = 8 и
BC = 6 проведена прямая AD, делящая BC в отношении BD : DC =
= 4 : 5. Вычислите уол между веторами и .
4. В прямоуольном треуольние с атетами BC = 4 и BA =
=3 проведена прямая AD, делящая сторону BC в отношении
BD : DC = 3 : 5. Вычислите уол между веторами и .
5. Дан равнобедренный прямоуольный треуольни ABC
с прямым улом при вершине B; BS — ео высота, K—сере-
дина высоты BS, а M—точа пересечения прямой AK со сто-
роной BC. Найдите отношение, в отором точа M делит отре-
зо BC.
П р и м е р 2. Доазать, что если основания высот треуоль-
ниа ABC соединить отрезами прямых, то получится тре-
уольни, для отороо эти высоты будут биссетрисами.
Р е ш е н и е. Опустим из вершин треуольниа ео высоты:
AA1 B BC, BB1 B AC и CC1 B AB; точу пересечения высот обо-
значим через O. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало совпало с точой C1, а ось Ox прошла через вершину B
(рис. 59). Тода ось Oy пройдет че-
рез вершину C. Пусть оордина-
ты вершин треуольниа таовы:
A(–a; 0), B(b; 0), C(0; c). Доажем,
что высота C1C—биссетриса у-
ла A1C1B1.
Уравнение прямой, проходя-
щей через точи A и C, имеет вид
y= x+c,(
*
)
а уравнение прямой, проходящей
через точи B и O перпендиуляр-
но прямой AC,—вид
y=– x+
(**)
(чтобы получить последнее уравнение, мы использовали со-
отношение k1k2 = –1 между уловыми оэффициентами двух
взаимно перпендиулярных прямых). Решив систему уравне-
AB AD
AD BC
x
A
B
C
y
O
A1
B1
C1
Рис. 59
c
a---
a
c--- ab
c------
458 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
§ 78. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
Геометричесие задачи этоо парарафа решаются с по-
мощью введения прямоуольной деартовой системы оорди-
нат на плосости или в пространстве. Приведенные ниже зада-
чи можно решить и методами элементарной еометрии. Одна-
о, а правило, таие решения требуют использования
нетривиальных, исусственных приемов.
П р и м е р 1. В равнобедренном треуольние ABC (AB =
= BC = 8) точа E делит боовую сторону AB в отношении 3 : 1
(считая от вершины B). Вычислить уол между веторами
и ,если| |=12.
Решение. Введемсистемуоор-
динат xOy та, а уазано на рис. 58
(соласно свойству высоты равнобед-
ренноо треуольниа, OA = OC). Из
BOC находим
OB=
=
=
=2.
Та а =
,то=+
. Отсюда, учи-
тывая, что = {–12; 0}, = {6; 2 }, находим =
= – ; . Подставляя оординаты веторов и в
формулу салярноо произведения веторов, получаем
cosα=
=.
Ответ. arccos .
1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = BC = 15) точ-
а E делит сторону BC в отношении 1:4 (считая от вершины B).
Вычислите уол между веторами и , если = 20.
CE
CA
CA
x
A
O
C
y
E
B
α
Рис. 58
BC2 OC2
–
82 62
–
7
AE1
4---AB CE CA 1
4--- AB
CA
AB
7
CE
21
2------ 7
2-------
CE CA
12
–()21
2------
–
⋅
12 21
2------
2 7
2-------
2
+
------------------------------------------------------- 37
8-----------
37
8-----------
AE AC
AC
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 459
2. В прямоуольном треуольние ABC уол B— прямой,
AB = 3, BC = 4 . Вычислите уол между медианами AM и BD.
3. В прямоуольном треуольние с атетами AB = 8 и
BC = 6 проведена прямая AD, делящая BC в отношении BD : DC =
= 4 : 5. Вычислите уол между веторами
и
.
4. В прямоуольном треуольние с атетами BC = 4 и BA =
= 3 проведена прямая AD, делящая сторону BC в отношении
BD : DC = 3 : 5. Вычислите уол между веторами
и
.
5. Дан равнобедренный прямоуольный треуольни ABC
с прямым улом при вершине B; BS — ео высота, K—сере-
дина высоты BS, а M—точа пересечения прямой AK со сто-
роной BC. Найдите отношение, в отором точа M делит отре-
зо BC.
П р и м е р 2. Доазать, что если основания высот треуоль-
ниа ABC соединить отрезами прямых, то получится тре-
уольни, для отороо эти высоты будут биссетрисами.
Р е ш е н и е. Опустим из вершин треуольниа ео высоты:
AA1 B BC, BB1 B AC и CC1 B AB; точу пересечения высот обо-
значим через O. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало совпало с точой C1, а ось Ox прошла через вершину B
(рис. 59). Тода ось Oy пройдет че-
рез вершину C. Пусть оордина-
ты вершин треуольниа таовы:
A(–a; 0), B(b; 0), C(0; c). Доажем,
что высота C1C—биссетриса у-
ла A1C1B1.
Уравне ние прямой, проходя-
щей через точи A и C, имеет вид
y= x+c,(
*
)
а уравнение прямой, проходящей
через точи B и O перпендиуляр-
но прямой AC,— вид
y=–
x+
(**)
(чтобы получить последнее уравне ние, мы использовали со-
отношение k1k2 = – 1 между уловыми оэффициентами двух
взаимно перпендиулярных прямых). Решив систему уравне-
AB AD
AD BC
x
A
B
C
y
O
A1
B1
C1
Рис. 59
c
a
---
a
c
---
ab
c
------
460
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
ний (*) и (**), находим оординаты точи B1 пересечения этих
прямых:
B1
,
.
Аналоично, составив уравнения прямых, проходящих
через пары точе B и C, A и O, получим оординаты точи A1:
A1
,
.
Записав уравнения прямых, проходящих через пары точе
A1 и C1, B1 и C1, находим уловые оэффициенты этих прямых:
=,=,
отуда следует, что
=–
. Учитывая, что уловой о-
эффициент предста вляет собой та ненс ула налона прямой
положительному направлению оси Ox, получаем
FBC1B1 = π – FBC1A1,
отуда следует, что F AC1B1 = F BC1A1. Та а прямая C1C
перпендиулярна прямой AB, то F B1C1C = F A1C1C, т. е . высо-
та C1C треуольниа ABC действительно является биссетри-
сой ула A1C1B1 треуольниа A1B1C1.
Аналоично можно доазать, что и друие две высоты тре-
уольниа ABC являются биссетрисам и соответствующих у-
лов треуольниа A1B1C1.
6. На высоте CC1 треуольниа ABC дана произвольная точ-
а P. Прямые AP и BP пересеают стороны BC и CA соответ-
ственно в точах A1 и B1. Доажите, что луч C1P является бис-
сетрисой ула A1C1B1.
7. Дан прямоуольный треуольни ABC с атетами a и b,
F C = 90°. Составьте уравнение множества точе M, для оторых
MA2 + MB2 = 2MC2.
8. В плосости прямоуольниа ABCD дана точа M. Доа-
жите, что
MA2+MC2=MB2+MD2.
aab c2
–
()
a2 c2
+
----------------------------
aca b
+
()
a2 c2
+
-------------------------
bc2 ab
–
()
b2 c2
+
---------------------------
bca b
+
()
b2 c2
+
-------------------------
kA1C1
cab
+
()
c2 ab
–
---------------------
kB1C1
cab
+
()
ab c2
–
---------------------
kB1C1
kA1C1
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 461
19. Оружность вписана в ромб с улом 60°. Расстояние от
центра оружности до ближайшей вершины равно 1. Доажи-
те, что для любой точи P оружности выполняется равенство
PA2+PB2+PC2+PD2=11.
10. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи M,
взятой на диаметре неоторой оружности, до онцов любой из
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
11. Ооло оружности описан вадрат ABCD. Из вершин
вадрата произвольной прямой, асающейся оружности, про-
ведены перпендиуляры AA1, BB1, CC1 и DD1. Доажите, что
AA1·CC1=BB1·DD1.
12. Дан правильный треуольни ABC и оружность, ото-
рая проходит через вершины A и B, а ее центр D симметричен
вершине C относительно прямой AB. Доажите, что если M—
произвольная точа этой оружности, то из отрезов MA, MB,
MC можно составить прямоуольный треуольни.
13. В оружность вписан прямоуольни ABCD. Из произ-
вольной точи P оружности проведены перпендиуляры
прямым AB, BC, CD и DA, пересеающие эти прямые соот-
ветственно в точах K, L, M и N. Доажите, что точа N—орто-
центр треуольниа KLM (точа пересечения ео высот).
14. В вадрат вписана оружность. Доажите, что сумма
вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадра-
та не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту
сумму.
15. Ооло вадрата описана оружность. Доажите, что
сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин
вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите
эту сумму.
Если в задаче рассматривается уб или прямоуольный па-
раллелепипед, то наиболее удобной является система оорди-
нат, начало оторой совпадает с одной из вершин нижнео ос-
нования этих тел, а оординатные оси проходят через ребра,
выходящие из уазанной вершины.
П р и м е р 3. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На
ребре AA1 взята точа E та, что длина отреза AE равна , а
на ребре BC — точа F та, что длина отреза BF равна .
1
3---
1
4---
460 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
ний (*) и (**), находим оординаты точи B1 пересечения этих
прямых:
B1
,
.
Аналоично, составив уравнения прямых, проходящих
через пары точе B и C, A и O, получим оординаты точи A1:
A1
,
.
Записав уравнения прямых, проходящих через пары точе
A1 и C1, B1 и C1, находим уловые оэффициенты этих прямых:
=,=,
отуда следует, что
= – . Учитывая, что уловой о-
эффициент представляет собой таненс ула налона прямой
положительному направлению оси Ox, получаем
FBC1B1 = π – FBC1A1,
отуда следует, что FAC1B1 = FBC1A1. Та а прямая C1C
перпендиулярна прямой AB, то FB1C1C = FA1C1C, т. е. высо-
та C1C треуольниа ABC действительно является биссетри-
сой ула A1C1B1 треуольниа A1B1C1.
Аналоично можно доазать, что и друие две высоты тре-
уольниа ABC являются биссетрисами соответствующих у-
лов треуольниа A1B1C1.
6. На высоте CC1 треуольниа ABC дана произвольная точ-
а P. Прямые AP и BP пересеают стороны BC и CA соответ-
ственно в точах A1 и B1. Доажите, что луч C1P является бис-
сетрисой ула A1C1B1.
7. Дан прямоуольный треуольни ABC с атетами a и b,
FC = 90°. Составьте уравнение множества точе M, для оторых
MA2 + MB2 = 2MC2.
8. В плосости прямоуольниа ABCD дана точа M. Доа-
жите, что
MA2+MC2=MB2+MD2.
aabc2
–
()
a2 c2
+
---------------------------- ac a b+
()
a2 c2
+
-------------------------
bc2 ab
–
()
b2 c2
+
--------------------------- bc a b
+
()
b2 c2
+
-------------------------
kA1C1
cab
+
()
c2 ab
–
--------------------- kB1C1
cab
+
()
ab c2
–
---------------------
kB1C1
kA1C1
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 461
19. Оружность вписана в ромб с улом 60°. Расстояние от
центра оружности до ближайшей вершины равно 1. Доажи-
те, что для любой точи P оружности выполняется раве нство
PA2+PB2+PC2+PD2=11.
10. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи M,
взятой на диаметре неоторой оружности, до онцов любой из
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
11. Ооло оружности описан вадрат ABCD. Из вершин
вадрата произвольной прямой, асающейся оружности, про-
ведены перпендиуляры AA1, BB1, CC1 и DD1. Доажите, что
AA1·CC1=BB1·DD1.
12. Дан правильный треуольни ABC и оружность, ото-
рая проходит через вершины A и B, а ее центр D симметричен
вершине C относительно прямой AB. Доажите, что если M—
произвольная точа этой оружности, то из отрезов MA, MB,
MC можно составить прямоуольный треуольни.
13. В оружность вписан прямоуольни ABCD. Из произ-
вольной точи P оружности проведены перпендиуляры
прямым AB, BC, CD и DA, пересеающие эти прямые соот-
ветственно в точах K, L, M и N. Доажите, что точа N—орто-
центр треуольниа KLM (точа пересечения ео высот).
14. В вадрат вписана оружность. Доажите, что сумма
вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадра-
та не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту
сумму .
15. Ооло вадрата описана оружность. Доажите, что
сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин
вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите
эту сумму.
Если в задаче рассматривается уб или прямоуольный па-
раллелепипед, то наиболее удобной является система оорди-
нат, начало оторой совпадает с одной из вершин нижнео ос-
нования этих тел, а оординатные оси проходят через ребра,
выходящие из уазанной вершины.
П р и м е р 3. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На
ребре AA1 взята точа E та, что длина отреза AE равна , а
на ребре BC — точа F та, что длина отреза BF равна .
1
3
---
1
4
---
462
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Через центр уба O1 и точи E и F проведена плосость. Найти
расстояние от вершины B1 до этой плосости.
Р е ш е н и е. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало совпало с точой A, а оси Ox, Oy и Oz прошли через ребра
AB, AD и AA1 соответственно. В этой системе оординат имеем
F1;;0,E0;0;
,
O1;;
.
Составим уравнение сеущей плосости. Пусть ветор
=
= {n1; n2; n3} перпендиулярен исомой плосости. Та а
веторы
=
–1;– ;
,
=
–
;;
принадлежат этой плосости, то, используя условие перпенди-
улярности пар веторов
и
,
и
, запишем следую-
щую систе му уравнений для n1, n2, n3:
Считая n3 свободным неизвестным, находим n1 = n3 и n2 =
=–
n3. Полаая n3 = 9, в ачестве ветора, перпендиулярно-
о исомой плосости, получаем ветор = {5; –8; 9}. Уравне-
ние плосости, проходящей через точу E 0; 0;
перпенди-
улярно ветору = {5; –8; 9}, имеет вид
5x–8y+9z–3 =0.
(*)
Координатами точи B1 в выбранной системе оординат яв-
ляются (1; 0; 1). Вычислим расстояние от точи B1(1; 0; 1) до
плосости (*). Пусть M(x0; y0; z0) — точа основания перпен-
1
4
---
1
3
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
n
FE
1
4
---
1
3
---
FO1
1
2
---
1
4
---
1
2
---
n
FEnFO1
–n1 –
+
=0,
–
++=
0
.
n2
4
------
n3
3
------
n1
2
------
n2
4
------
n3
2
------
5
9
---
8
9
---
n
1
3
---
n
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 463
диуляра данной плосости, проходящео через точу B1.
Та а точа M принадлежит плосости (*), то оординаты
этой точи должны удовлетворять уравнению плосости:
5x0–8y0+9z0–3=0.
(**)
С друой стороны, ветор
перпендиулярен данной плос-
ости, и, значит, этот ветор оллинеарен ветору :
=k.
Последнее равенство в оординатной форме дает следующие три
уравнения:
(***)
Решив систему уравнений (**) и (***), находим оординаты точ-
и M:
x0= ,y0=–,z0=
и длину ветора | | = , оторая и является исомым
расстоянием от точи B1 до плосости.
Ответ..
16. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре BC
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
C1D1 — точа F та, что длина отреза FD1 равна . Через центр
уба и точи E и F проведена плосость. Найдите расстояние
от вершины A1 до этой плосости.
17. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре AB
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
CC1 — точа F та, что длина отреза FC равна . Через центр
B1M
n
B1M n
x0–1=5k,
y0 = –8k,
z0–1=9k.
115
170
----------
88
170
----------
71
170
----------
B1M 11
170
--------------
11
170
--------------
1
4---
2
5---
2
5---
2
3---
462 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Через центр уба O1 и точи E и F проведена плосость. Найти
расстояние от вершины B1 до этой плосости.
Р е ш е н и е. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало совпало с точой A, а оси Ox, Oy и Oz прошли через ребра
AB, AD и AA1 соответственно. В этой системе оординат имеем
F1;;0,E0;0; ,O1;; .
Составим уравнение сеущей плосости. Пусть ветор =
={n1; n2; n3} перпендиулярен исомой плосости. Та а
веторы
=–1;–; ,
=–;;
принадлежат этой плосости, то, используя условие перпенди-
улярности пар веторов и , и , запишем следую-
щую систему уравнений для n1, n2, n3:
Считая n3 свободным неизвестным, находим n1 = n3 и n2 =
=– n3. Полаая n3 = 9, в ачестве ветора, перпендиулярно-
о исомой плосости, получаем ветор = {5; –8; 9}. Уравне-
ние плосости, проходящей через точу E 0; 0; перпенди-
улярно ветору = {5; –8; 9}, имеет вид
5x–8y+9z–3=0.
(*)
Координатами точи B1 в выбранной системе оординат яв-
ляются (1; 0; 1). Вычислим расстояние от точи B1(1; 0; 1) до
плосости (*). Пусть M(x0; y0; z0) — точа основания перпен-
1
4---
1
3---
1
2--- 1
2--- 1
2---
n
FE
1
4--- 1
3---
FO1
1
2--- 1
4--- 1
2---
nFEnFO1
–n1– + =0,
–++=0.
n2
4------ n3
3------
n1
2------ n2
4------ n3
2------
5
9---
8
9---
n
1
3---
n
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 463
диуляра данной плосости, проходящео через точу B1.
Та а точа M принадлежит плосости (*), то оординаты
этой точи должны удовлетворять уравнению плосости:
5x0–8y0+9z0–3 =0.
(**)
С друой стороны, ветор
перпендиулярен данной плос-
ости, и, значит, этот ветор оллинеарен ветору :
=k
.
Последнее равенство в оординатной форме дает следующие три
уравнения:
(***)
Решив систему уравнений (**) и (***), находим оординаты точ-
и M:
x0=
,
y0=–
,
z0=
и длину ветора |
|=
, оторая и является исомым
расстоянием от точи B1 до плосости.
Ответ..
16. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре BC
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
C1D1 — т оча F та, что длина отреза FD1 равна . Через центр
уба и точи E и F проведена плосость. Найдите расстояние
от вершины A1 до этой плосости.
17. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре AB
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
CC1 — точа F та, что длина отреза FC равна . Через центр
B1M
n
B1M
n
x0–1 =5k,
y0 = –8k,
z0–1 =9k.
115
170
----------
88
170
----------
71
170
----------
B1M
11
170
--------------
11
170
--------------
1
4
---
2
5
---
2
5
---
2
3
---
464
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
уба и точи E и F проведена плосость α. Найдите расстояние
от вершины A до плосости α.
18. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре
MM1 взята точа A та, что длина отреза AM равна , а на
ребре K1N1 — точа B та, что длина отреза K1B равна .
Через центр уба и точи A и B проведена плосость α. Точа
P—проеция вершины N на плосость α. Найдите длину от-
реза BP.
19. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза AL равна , а на ребре
MM1 — точа B та, что длина отреза MB равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Найдите длину
отреза BP, де точа P—проеция вершины N на уазанную
плосость.
20. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL
в зята точа A та, что длина отреза KA равна , а на ребре
MM1 — точа B та, что длина отреза M1B равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Точа P—про-
еция вершины K1 на эту плосость. Найдите длину отреза AP.
21. Дан уб ABCDA1B1C1D1; точа K—середина ребра AA1,
L— центр рани CC1D1D. Найдите уол между плосостями
BKL и AD1C.
22. Найдите площадь сечения уба ABCDA1B1C1D1 плосо-
стью, проходящей через вершину A и середины ребер B1C1 и D1C1.
Ребро уба равно a.
23. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a точа K—середина
ребра AB, точа L— середина ребра DD1. Найдите стороны
треуольниа A1KL и определите, в аом отношении делит
объем уба плосость, проходящая через вершины этоо тре-
уольниа.
24. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a середины ребер AA1,
A1B1, B1C1, C1C, CD, DA и AA1 последовательно соединены. До-
3
5
---
1
3
---
3
4
---
3
5
---
1
4
---
2
5
---
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 465
ажите, что полученная фиура есть правильный шестиуоль-
ни, и определите ео площадь.
25. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна a. Точи E и
F—середины ребер BC и B1C1 соответственно. Рассматрива-
ются треуольнии, вершинами оторых служат точи пересе-
чения плосостей, параллельных основаниям уба, с прямыми
A1E, DF, AD1. Найдите:
а) площадь треуольниа, плосость отороо проходит че-
рез середину ребра AA1;
б) наименьшее возможное значение площади рассматривае-
мых треуольниов.
26. В уб вписана сфера. Доажите, что сумма вадратов
расстояний от точи сферы до вершин уба не зависит от выбо-
ра точи. Найдите эту сумму.
П р и м е р 4. Основанием пирамиды SABC является пра-
вильный треуольни ABC, длина стороны отороо равна 4 .
Боовое ребро SC перпендиулярно плосости основания и имеет
длину 2. Вычислить величину ула и расстояние между сре-
щивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точ-
у S и середину ребра BC, а друая — через точу C и середину
ребра AB.
Р е ш е н и е. Введем прямоуольную систему оординат,
приняв за начало оординат точу C, за ось ординат — прямую
CD (точа D—середина AB), за ось апплиат — прямую CS, за
ось абсцисс — прямую, принадлежащую плосости треуольни-
а ABC и перпендиулярную прямой CD, а за единицу масшта-
ба — отрезо, длина отороо равна 1 (рис. 60). В этой системе
2
y
A
B
D
F
S
PQ
C
z
x
E
Рис. 60
464 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
уба и точи E и F проведена плосость α. Найдите расстояние
от вершины A до плосости α.
18. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре
MM1 взята точа A та, что длина отреза AM равна , а на
ребре K1N1 — точа B та, что длина отреза K1B равна .
Через центр уба и точи A и B проведена плосость α. Точа
P—проеция вершины N на плосость α. Найдите длину от-
реза BP.
19. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза AL равна , а на ребре
MM1 — точа B та, что длина отреза MB равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Найдите длину
отреза BP, де точа P—проеция вершины N на уазанную
плосость.
20. Длина ребра уба KLMNK1L1M1N1 равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза KA равна , а на ребре
MM1 — точа B та, что длина отреза M1B равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Точа P—про-
еция вершины K1 на эту плосость. Найдите длину отреза AP.
21. Дан уб ABCDA1B1C1D1; точа K—середина ребра AA1,
L—центр рани CC1D1D. Найдите уол между плосостями
BKL и AD1C.
22. Найдите площадь сечения уба ABCDA1B1C1D1 плосо-
стью, проходящей через вершину A и середины ребер B1C1 и D1C1.
Ребро уба равно a.
23. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a точа K—середина
ребра AB, точа L— середина ребра DD1. Найдите стороны
треуольниа A1KL и определите, в аом отношении делит
объем уба плосость, проходящая через вершины этоо тре-
уольниа.
24. В убе ABCDA1B1C1D1 с ребром a середины ребер AA1,
A1B1, B1C1, C1C, CD, DA и AA1 последовательно соединены. До-
3
5---
1
3---
3
4---
3
5---
1
4---
2
5---
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 465
ажите, что полученная фиура есть правильный шестиуоль-
ни, и определите ео площадь.
25. Длина ребра уба ABCDA1B1C1D1 равна a. Точи E и
F— середины ребер BC и B1C1 соответственно. Рассматрива-
ются треуольнии, вершинами оторых служат точи пересе-
чения плосостей, параллельных основаниям уба, с прямыми
A1E, DF, AD1. Найдите:
а) площадь треуольниа, плосость отороо проходит че-
рез середину ребра AA1;
б) наименьшее возможное значение площади рассматривае-
мых треуольниов.
26. В уб вписана сфера. Доажите, что сумма вадратов
расстояний от точи сферы до вершин уба не зависит от выбо-
ра точи. Найдите эту сумму .
П р и м е р 4. Основанием пирамиды SABC является пра-
в и льный треуольни ABC, длина стороны отороо равна 4
.
Боовое ребро SC перпендиулярно плосости основания и имеет
длину 2. Вычислить величину ула и расстояние между сре-
щивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точ-
у S и середину ребра BC, а друая — через точу C и середину
ребра AB.
Р е ш е н и е. Введем прямоуольную систему оординат,
приняв за начало оординат точу C, за ось ординат — прямую
CD (точа D—середина AB), за ось апплиат — прямую CS, за
ось абсцисс — прямую, принадлежащую плосости треуольни-
а ABC и перпендиулярную прямой CD, а за единицу масшта-
ба — отрезо, длина отороо равна 1 (рис. 60). В этой системе
2
y
A
B
D
F
S
P
Q
C
z
x
E
Рис. 60
466
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
в еторы
и
(точа E— середина стороны CB) имеют
следующие оординаты:
=
0; CB;0 ={0;2 ;0},
=
;
; –CS
={;;–2}.
Поэтому
cos F(, )
=
=
=,
и, значит, исомый уол равен 45°.
Пусть PQ — общий перпендиуляр прямым SE и CD
(P Ý SE, Q Ý CD). Тода существуют таие числа α и β, что
=α
,
=β
. Ясно, что
=
+
+
=–α
–
+β
,
или, в оординатной форме,
= {–α
;–α
+β·2 ;2α–2}.
ТааPQBCDиPQBSE,то
·
=0,
·
=0.
Последние два веторных уравнения в оординатной форме
имеют вид
или
отуда α =
,β=
. Ита,
=
–
;0;–
,
PQ=
=
.
Ответ.45°;
.
27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный
прямоуольный треуольни ABC, длина ипоте нузы AB ото-
CD SE
CD
3
2
-------
6
SE
AB
4
--------
CD
2
---------
26
CD SE
CD SE
⋅
CD SE
⋅
----------------------------
12
26 12
⋅
---------------------------
2
2
-------
SP
SECQ CD
PQPSSCCQ
SECSCD
PQ
2
6
6
PQ CD
PQ SE
(–α
+β·2 )·2
=0,
–α
·
+ (–α
+β·2 )·
+(2α–2)(–2)=0,
6
6
6
22
6
6
6
α=2β,
–3α+3β+1=0,
2
3
---
1
3
---
PQ
22
3
-----------
2
3
---
8
9
---
4
9
---
+
2
3
-------
2
3
-------
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
467
роо равна 4 . Боовое ребро пирамиды SC перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 2. Найдите величи-
ну ула и расстояние между срещивающимися прямыми, од-
на из оторых проходит через точу S и середину ребра AC,
а друая — через точу C и середину ребра AB.
28. Основанием пирамиды HPQR является правильный тре-
уольни PQR, длина стороны отороо равна 2 . Боовое
ребро HR перпендиулярно плосости основания и имеет дли-
ну 1. Найдите величину ула и расстояние между срещиваю-
щимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H
и середину ребра QR, а друая — через точу R и середину
ребра PQ.
29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный
прямоуольный треуольни PQR, длина ипотенузы PQ о-
тороо равна 2 . Боовое ребро пирамиды перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 1. Найдите величину
ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из
оторых проходит через точу H и середину ребра PR, а дру-
ая — через точу R и середину ребра PQ.
30. Все ребра правильной призмы ABCA1B1C1 имеют длину a.
Рассматриваются отрези, параллельные плосости ABB1A1 и
таие, что их онцы лежат на диаоналях BC1 и CA1 боовых
раней.
а) Один из этих отрезов проведен через таую точу M
диаонали BC1, что BM:BC1 = 1:3. Найдите ео длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых от-
резов.
31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
имеет длину a, а боовое ребро — длину 2a. Рассматриваются
отрези, параллельные плосости рани SAD и таие, что их
онцы лежат на диаонали основания BD и боовом ребре SC.
Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов.
§ 79. Простейшие задачи
векторной алгебры
Два ветора и считают равными, если:
1) длина ветора равна длине ветора ;
2) лучи и одинаово направлены.
2
2
2
AB CD
AB
CD
AB CD
466 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
веторы и (точа E— середина стороны CB) имеют
следующие оординаты:
= 0; CB;0 ={0;2 ;0},
= ;;–CS={;;–2}.
Поэтому
cos F(, )
=
=
=,
и, значит, исомый уол равен 45°.
Пусть PQ — общий перпендиуляр прямым SE и CD
(P Ý SE, Q Ý CD). Тода существуют таие числа α и β, что
=α , =β .Ясно,что
=++=–α–+β,
или, в оординатной форме,
={–α ;–α +β·2 ;2α–2}.
ТааPQBCDиPQBSE,то · =0, · =0.
Последние два веторных уравнения в оординатной форме
имеют вид
или
отудаα= ,β= .Ита,
=– ;0;–,PQ=
=.
Ответ.45°; .
27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный
прямоуольный треуольни ABC, длина ипотенузы AB ото-
CD SE
CD
3
2-------
6
SE
AB
4-------- CD
2---------
26
CDSE CDSE
⋅
CD SE
⋅
----------------------------
12
26 12
⋅
--------------------------- 2
2-------
SP SECQ CD
PQPSSCCQSECSCD
PQ
26
6
PQ CD
PQ SE
(–α +β·2 )·2 =0,
–α · +(–α +β·2 )· +(2α–2)(–2)=0,
6
66
22
6
66
α=2β,
–3α+3β+1=0,
2
3---
1
3---
PQ
22
3-----------
2
3---
8
9--- 4
9---+
2
3
-------
2
3
-------
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
467
роо равна 4
. Боовое ребро пирамиды SC перпендиулярно
плосости осно вания, а ео длина равна 2. Найдите величи-
ну ула и расстояние между срещивающимися прямыми, од-
на из оторых проходит через точу S и середину ребра AC,
а друая — через точу C и середину ребра AB.
28. Основанием пирамиды HPQR является правильный тре-
уольни PQR, длина стороны отороо равна 2
. Боовое
ребро HR перпендиулярно плосости основания и имеет дли-
ну 1. Найдите величину у ла и расстояние между срещиваю-
щимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H
и середину ребра QR, а друая — через точу R и середину
ребра PQ.
29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный
прямоуольный треуольни PQR, длина ипотенузы PQ о-
тороо равна 2
. Боовое ребро пирамиды перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 1. Найдите величину
ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из
оторых проходит через точу H и середину ребра PR, а дру-
ая — через точу R и середину ребра PQ.
30. Все ребра правильной призмы ABCA1B1C1 имеют длину a.
Рассматриваются отрези, параллельные плосости ABB1A1 и
таие, что их онцы лежат на диаоналях BC1 и CA1 боовых
раней.
а) Один из этих отрезов проведен через таую точу M
диаонали BC1, что BM:BC1 = 1:3. Найдите ео длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых от-
резов.
31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
имеет длину a, а боовое ребро — длину 2a. Рассматриваются
отрези, параллельные плосости рани SAD и таие, что их
онцы лежат на диаонали основания BD и боовом ребре SC.
Найдите наименьшую длину все х рассматриваемых отрезов.
§ 79. Простейшие задачи
векторной алгебры
Два ветора
и
считают равными, если:
1) длина ветора
равна длине ветора
;
2) лучи
и
одинаово направлены.
2
2
2
AB CD
AB
CD
AB CD
468
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
При таом определении равенства веторов множество всех
в еторов, равных
, называют свободным ве
тором. Поня-
тие свободноо ветора
можно таже связать с отображени-
ем пространства на себя, при отором все точи пространства
перемещаются в одном и том же направлении (направлении
)
на одно и то же расстояние (длину AB). Определенный уазан-
ным образом свободный ветор называют таже параллель-
ным переносом, оторый полностью задается упорядоченной
парой несов падающих точе A и B.
Любая пара совпадающих точе определяет тождественное
отображение пространства или нлевой ве
тор.
Линейными операциями над веторами называют опера-
ции сложения и вычитания веторов, а таже умножение ве-
тора на число.
Пусть и — два ненулевых ве-
тора. О тложим ветор от неоторой
точи O и обозначим ео онец бу-
вой A (рис. 61). Затем отложим от точ-
и A ветор и обозначим ео онец
бувой B. Ветор с началом в точ-
еOионцомвточеB(
=
) на-
зывают сммой веторов и :
+=
.
Свойства операции сложения веторов:
1)+=+;
2)+(+)=(+)+;
3)+=
.
Приведенное выше правило сложения веторов называют
правилом треольни
а (сумма веторов представляет собой
третью сторону треуольниа, в то время а слааемые обра-
зуют две друие стороны треуольниа; рис. 61). Наряду с этим
правилом существует та называемое правило параллело-
рамма, при отором слааемые веторы отладывают от од-
ной точи, через их онцы проводят отрези прямых и в ре-
зультате получают параллелорамм (рис. 62), диаональ ото-
роо, проходящая через общее начало веторов, и равна сумме
в еторов.
AB
AB
AB
c
A
B
b
Oa
Рис. 61
a
b
a
b
c
OBc
a
b
a
bc
a
bba
c
a
b
c
a
b
a
0a
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
469
Ветором, противоположным ветору , называют ветор
(– ) таой, что сумма веторов и – равна нулевому ветору:
+(–)=.
Ненулевые противоположные веторы имеют равные длины и
противоположные направления.
Разность двух веторов – есть сумма ветора и ве-
тора, противоположноо ветору , т. е.
=+(–).
Разность веторов можно получить с помощью правила тре-
уольниа. Отложив от точи A ветор (рис. 63), получим
= . Затем от онца ветора отложим ветор =
= – . Ветор = — разность веторов и :
=–.
Ветор разности двух веторов можно таже выразить а вто-
рую диаональ BA параллелорамма ABCD (см. рис. 62).
Произведением ненулевоо ве
тора на число λ − 0 на-
зывают ветор, имеющий направление ветора , если λ поло-
жительно, и противоположное направление, если λ отрица-
тельно; длина этоо ветора равна произведению длины вето-
ра на абсолютную величину (модуль) числа λ.
Свойства операции умножения ветора на число:
1) (λ1λ2) = λ1(λ2 );
2)λ(+)=λ +λ ,(λ1+λ2)=λ1 +λ2 ;
3)0·=;
4)λ=.
A
BC
b
O
a
OCab,
+
=
BAab,
–
=
Рис. 62
A
b
–b
c
C
B
a
Рис. 63
a
a
aa
aa0
ab
a
b
cab
a
ABa
AB
BC
b
ACc
ab
cab
a
a
a
a
a
abab
aaa
a0
00
468 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
При таом определении равенства веторов множество всех
веторов, равных , называют свободным ве
тором. Поня-
тие свободноо ветора можно таже связать с отображени-
ем пространства на себя, при отором все точи пространства
перемещаются в одном и том же направлении (направлении )
на одно и то же расстояние (длину AB). Определенный уазан-
ным образом свободный ветор называют таже параллель-
ным переносом, оторый полностью задается упорядоченной
парой несовпадающих точе A и B.
Любая пара совпадающих точе определяет тождественное
отображение пространства или нлевой ве
тор.
Линейными операциями над веторами называют опера-
ции сложения и вычитания веторов, а таже умножение ве-
тора на число.
Пусть и — два ненулевых ве-
тора. Отложим ветор от неоторой
точи O и обозначим ео онец бу-
вой A (рис. 61). Затем отложим от точ-
и A ветор и обозначим ео онец
бувой B. Ветор с началом в точ-
еOионцомвточеB( = )на-
зывают сммой веторов и :
+=.
Свойства операции сложения веторов:
1)+=+;
2)+(+)=(+)+;
3)+=.
Приведенное выше правило сложения веторов называют
правилом треольни
а (сумма веторов представляет собой
третью сторону треуольниа, в то время а слааемые обра-
зуют две друие стороны треуольниа; рис. 61). Наряду с этим
правилом существует та называемое правило параллело-
рамма, при отором слааемые веторы отладывают от од-
ной точи, через их онцы проводят отрези прямых и в ре-
зультате получают параллелорамм (рис. 62), диаональ ото-
роо, проходящая через общее начало веторов, и равна сумме
веторов.
AB
AB
AB
c
A
B
b
Oa
Рис. 61
ab
a
b
c
OBc
ab
abc
abba
cabcab
a0a
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
469
Ветором, противоположным ветору , называют ветор
(– ) таой, что сумма веторов и – равна нулевому ветору:
+(–)=
.
Ненулевые противоположные веторы имеют равные длины и
противоположные направления.
Разность двух веторов
–
есть сумма ветора и ве-
тора, противоположноо ветору , т. е .
=
+(–).
Разность веторов можно получить с помощью правила тре-
уольниа. Отложив от точи A ветор (рис. 63), получим
=
. Затем от онца ветора
отложим ветор
=
=–
. Ветор
=
—
разность веторов и :
=
–
.
Ветор разности двух веторов можно таже выразить а вто-
рую диаональ BA параллелорамма ABCD (см. рис. 62).
Произведением ненулевоо ве
тора
на числоλ−0на-
зывают ветор, имеющий направление ветора , если λ поло-
жительно, и противоположное направление, если λ отрица-
тельно; длина этоо ветора равна произведению длины вето-
ра на абсолютную величину (модуль) числа λ.
Свойства операции умножения ветора на число:
1) (λ1λ2) = λ1(λ2 );
2)λ(+)=λ +λ ,(λ1+λ2)=λ1 +λ2 ;
3)0·
=
;
4)λ =
.
A
BC
b
O
a
OCab,
+
=
BAab,
–
=
Рис. 62
A
b
–b
c
C
B
a
Рис. 63
a
a
a
a
a
a
0
a
b
a
b
c
a
b
a
ABa
AB
BC
b
ACc
a
b
c
a
b
a
a
a
a
a
a
b
a
b
a
a
a
a
0
00
470
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Два ненулевых ветора называют
оллинеарными, если
они параллельны одной прямой. Для оллинеарности двух ве-
торов
и
необходимо и достаточно, чтобы существовало
число λ − 0, удовлетворяющее раве нству
=λ
.(
1
)
Нулевой ветор считается оллинеарным любому ветору.
Пример 1. ВтрапецииABCDветор
=λ
(рис. 64).
Доазать, что ветор =
+
оллинеарен
.
Р е ш е н и е. Соласно определени-
ям суммы и разности веторов, пред-
ставим ве торы
и
(рис. 64)
ввиде
=+=+
λ,
=
–
.
Тода для ветора справедливо следующее представление:
=
+
=
+λ
+
–
= (λ+1) .
В силу равенства (1) это соотношение доазывает оллинеар-
ность веторов и
.
1. Через вершину C параллелорамма ABCD проведена пря-
мая, параллельная диаонали BD и пересеающая прямую AD
в точе E; точа Q— точа пересечения диаоналей паралле-
лорамма. Выразите сумму веторов
и
через веторы
и
.
2. Пусть ABCD — параллелорамм, причем K—середина BC,
L—середина AD. Выразите веторы
и
через
и,
де
=
,
=
.
3. В трапеции ABCD отношение длины основания BC дли-
не основа ния AD равно n. Диаонали трапеции пересеаются
в точе O. Выразите ветор
через веторы
и
.
4. Даны три ненулевых ветора , , , аждые два из о-
торых неоллинеарны. Найдите + + , если сумма +
оллинеарна ветору , а сумма + оллинеарна ветору .
a
b
b
a
BC AD
pACBD
AD
Рис. 64
A
BC
D
AC
BD
ACABBCAB
AD
BDADAB
p
pACBDAB
ADADAB
AD
pAD
AB CE
DC CQ
BD AC
a
b
AKaALb
AO
AB AD
abc
a
bc
a
b
c
bc
a
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
471
5. Точи M, N, P и Q лежат соответственно на сторонах
AB, BC, CD и DA параллелорамма ABCD, причем AM : MB =
=BN:NC=CP:PD=DQ:QA.Доажите,чтоMNPQ—па-
раллелорамм.
Если веторы и неоллинеарны, то из равенства α +
+β = следует,чтоα=0иβ=0.
П р и м е р 2. Веторы и неоллинеарны. Найти значе-
ния λ и μ, если известно, что веторы
=λ +μ и =(μ+1) +(2–λ)
равны.
Р е ш е н и е. Из равенства веторов и следует
λ +μ =(μ+1) +(2–λ),
или
(μ+1–λ)+(2–λ–μ)=.
Та а веторы и неоллинеарны, то справедливы ра-
венства
Решив эту систему, находим λ = ; μ = .
Ответ.λ= ;μ= .
6. Веторы и неоллинеарны. Найдите значение λ,
если веторы (λ – 1) + 2 и 3 + λ оллинеарны.
7. Веторы и неоллинеарны. Найдите значение λ, при
отором веторы (λ – 2) + и (2λ + 1) – оллинеарны.
8. Веторы и неоллинеарны. Найдите значения λ и μ,
при оторых справедливо равенство
2–=,
если=λ+2μ,=–2μ+3λ,=4–2.
ab
a
b0
ab
cabd
a
b
cd
ab
a
b
a
b0
ab
μ+1–λ=0,
2–λ–μ=0.
3
2---
1
2---
3
2---
1
2---
ab
abab
ab
ab
ab
ab
uvw
uabv
abwab
470 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Два ненулевых ветора называют
оллинеарными, если
они параллельны одной прямой. Для оллинеарности двух ве-
торов и необходимо и достаточно, чтобы существовало
число λ − 0, удовлетворяющее равенству
=λ .(
1
)
Нулевой ветор считается оллинеарным любому ветору.
Пример 1. ВтрапецииABCDветор =λ (рис.64).
Доазать, что ветор = + оллинеарен .
Р е ш е н и е. Соласно определени-
ям суммы и разности веторов, пред-
ставим веторы и
(рис. 64)
ввиде
=+=+
λ,
=–.
Тода для ветора справедливо следующее представление:
=+=+λ+–=(λ+1).
В силу равенства (1) это соотношение доазывает оллинеар-
ность веторов и .
1. Через вершину C параллелорамма ABCD проведена пря-
мая, параллельная диаонали BD и пересеающая прямую AD
в точе E; точа Q—точа пересечения диаоналей паралле-
лорамма. Выразите сумму веторов и через веторы
и.
2. Пусть ABCD — параллелорамм, причем K—середина BC,
L—середина AD. Выразите веторы и через и ,
де =,=.
3. В трапеции ABCD отношение длины основания BC дли-
не основания AD равно n. Диаонали трапеции пересеаются
в точе O. Выразите ветор через веторы и .
4. Даны три ненулевых ветора , , , аждые два из о-
торых неоллинеарны. Найдите + + , если сумма +
оллинеарна ветору , а сумма + оллинеарна ветору .
ab
ba
BC AD
pACBD
AD
Рис. 64
A
BC
D
AC BD
ACABBCABAD
BDADAB
p
pACBDABADADAB
AD
pAD
AB CE
DC CQ
BD AC
ab
AKaALb
AO
AB AD
abc
abc
ab
c
bc
a
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
471
5. Точи M, N, P и Q лежат соответственно на сторонах
AB, BC, CD и DA параллелорамма ABCD, причем AM : MB =
= BN:NC=CP:PD=DQ:QA.Доажите,чтоMNPQ—па-
раллелорамм.
Если веторы
и
неоллинеарны, то из равенства α +
+β = следует,чтоα=0иβ=0.
П р и м е р 2. Веторы и неоллинеарны. Найти значе-
ния λ и μ, если известно, что веторы
=λ+μи
= (μ+1) +(2–λ)
равны.
Р е ш е н и е. Из равенства веторов и следует
λ +μ =(μ+1) +(2–λ),
или
(μ+1–λ)+(2–λ
–
μ)= .
Та а веторы
и
неоллинеарны, то справедливы ра-
венства
Решив эту систему, находим λ = ; μ =
.
Ответ.λ = ;μ=
.
6. Веторы
и
неоллинеарны. Найдите значе ние λ,
если веторы (λ – 1) + 2 и 3 + λ оллинеарны.
7. Веторы и неоллинеарны. Найдите значение λ, при
отором веторы (λ – 2) + и (2λ + 1) – оллинеарны.
8. Веторы и неоллинеарны. Найдите значения λ и μ,
при оторых справедливо равенство
2–=,
если
=λ+2μ,
=–2μ+3λ,
=4
–
2.
a
b
a
b0
a
b
c
a
bd
a
b
c
d
a
b
a
b
a
b0
a
b
μ+1–λ =0,
2–λ
–
μ=0.
3
2
---
1
2
---
3
2
---
1
2
---
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
u
v
w
u
a
bv
a
bw
a
b
472
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Три ненулевых ветора называют
омпланарными, если
они параллельны одной и той же плосости. Если среди трех
веторов есть хотя бы один нулевой, то таие веторы таже
считаются омпланарными.
Если три ветора , ,
неомпланарны, то из равенства
α+β+γ=
следует,чтоα=0,β =0,γ =0.
Если веторы
и
не оллинеарны, то любой ветор ,
омпланарный с веторами и , можно единственным обра-
зом представить в виде
=α+β.
Если веторы , ,
неомпланарны, то любой ветор
можно единственным образом представить в виде
=α+β+γ.
Три ненулевых ветора , , омпланарны тода и толь-
о тода, ода существуют три числа α, β, γ, не все равные ну-
лю, таие , что
α+β+γ=
.
(2)
П р и м е р 3. Даны три неомпланарных ветора , и
.
Доазать, что веторы + 2 –
,3
–
+,–
+5 –3
омпланарны.
Р е ш е н и е. Соласно условию (2) омпланарности трех
в еторов, достаточно найти три числа α, β, γ, удовлетворяю-
щих соотношениям
α(+2–)+β(3–+)+γ(–+5–3)=
,
(*)
α2+β2+γ2>0.
(**)
Нераве нство (**) эвивалентно тому, что по райней мере одно
из чисел α, β или γ не равно нулю.
Преобразуем равенство (*) виду
(α+3β–γ)+(2α–β+5γ)+(–
α+β–3γ)= .
abc
a
bc0
a
b
c
a
b
c
a
b
abc
d
d
a
bc
abc
a
bc0
ab
c
a
bcab
c
a
b
c
a
bc
a
bc
a
b
c
0
a
b
c
0
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
473
Та а веторы , , неомпланарны, то числа α, β, γ
должны удовлетворять системе уравнений
(***)
Одним из ненулевых решений системы (***) является тройа
чиселα=–2,β=1,γ=1.
Тем самым доазано, что веторы + 2 – , 3 – +
и– ++5 –3 омпланарны.
19. Даны три неомпланарных ветора , и . Найдите
значениеk,приоторомветоры + +k , + +k ,
+ + k омпланарны.
10. Даны три неомпланарных ветора , , . Доажите,
что веторы + , + , – омпланарны.
11. Даны три неомпланарных ветора , , . Найдите
числаpиq,приоторыхветорыp +q + и +p +q
оллинеарны.
12. Даны четыре ненулевых ветора , , и , аждые
три из оторых неомпланарны. Найдите их сумму, если +
++=pи++=q.
П р и м е р 4. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разло-
жить веторы , и по веторам , и .
Р е ш е н и е. Введем вспомоательные неомпланарные ве-
торы = , = , = ; выразим через них веторы
, , иисомыеветоры , , .
Используя правила сложения и вычитания веторов, имеем
=–,
=+–,=+,(*)
=+,
=–,
=.
(**)
abc
α+3β–γ=0,
2α–β+5γ=0,
–α+β–3γ=0.
abcabc
a
bc
abc
abcbca
cab
abc
abbcca
abc
abcabc
abcd
a
bcdbcda
AA1 AC DB
DA1 DB1 DC1
aAA1bABcAD
DA1 DB1 DC1
AA1 AC DB
DA1acDB1abcDC1ab
ACbcDBbcAA1a
472 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Три ненулевых ветора называют
омпланарными, если
они параллельны одной и той же плосости. Если среди трех
веторов есть хотя бы один нулевой, то таие веторы таже
считаются омпланарными.
Если три ветора , , неомпланарны, то из равенства
α+β+γ=
следует,чтоα=0,β=0,γ=0.
Если веторы и неоллинеарны, то любой ветор ,
омпланарный с веторами и , можно единственным обра-
зом представить в виде
=α+β.
Если веторы , , неомпланарны, то любой ветор
можно единственным образом представить в виде
=α+β+γ.
Три ненулевых ветора , , омпланарны тода и толь-
о тода, ода существуют три числа α, β, γ, не все равные ну-
лю, таие, что
α+β+γ=.
(2)
Пример3.Данытринеомпланарныхветора , и .
Доазать,чтоветоры +2 – ,3 – + ,– +5 –3
омпланарны.
Р е ш е н и е. Соласно условию (2) омпланарности трех
веторов, достаточно найти три числа α, β, γ, удовлетворяю-
щих соотношениям
α(+2–)+β(3–+)+γ(–+5–3)=,(*)
α2+β2+γ2>0.
(**)
Неравенство (**) эвивалентно тому, что по райней мере одно
из чисел α, β или γ не равно нулю.
Преобразуем равенство (*) виду
(α+3β–γ)+(2α–β+5γ)+(–α+β–3γ)=.
abc
abc0
ab
c
ab
cab
abc
d
dabc
abc
abc0
abc
abcabcabc
abc
abc
abc0
a
b
c0
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
473
Та а веторы , ,
неомпланарны, то числа α, β, γ
должны удовлетворять системе уравнений
(***)
Одним из ненулевых решений системы (***) является тройа
чиселα= –2,β =1,γ =1.
Тем самым доазано, что веторы
+2–
,3
–
+
и– ++5 –3 омпланарны.
19. Даны три неомпланарных ветора ,
и . Найдите
значениеk,приоторомветоры + +k , + +k ,
+ + k омпланарны.
10. Даны три неомпланарных ветора , ,
. Доажите,
что веторы + , +
,
–
омпланарны.
11. Даны три неомпланарных ветора , ,
. Найдите
числаpиq,приоторыхветорыp +q + и +p +q
оллинеарны.
12. Даны че тыре не нулевых ветора , ,
и , аждые
три из оторых неомпланарны. Найдите их сумму, если
+
++=pи++
=q
.
П р и м е р 4. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разло-
жить веторы
,
и
по веторам
,
и
.
Р е ш е н и е. Введем вспомоательные неомпланарные ве-
торы
=
,
=
,
=
; выразим через них веторы
,
,
и исомые веторы
,
,
.
Используя правила сложения и вычитания веторов, имеем
=
–
,
=
+–
,
=
+,
(*)
=
+,
=
–
,
=
.
(**)
abc
α+3β–γ =0,
2α–β+5γ=0,
–α+β–3γ=0.
a
bcab
c
a
b
c
ab
c
a
b
cb
c
a
c
a
b
abc
a
bbcca
abc
a
bca
b
c
abcd
a
bc
dbcd
a
AA1 AC DB
DA1 DB1 DC1
a
AA1bABcAD
DA1 DB1 DC1
AA1 AC DB
DA1
a
c
DB1
a
bcDC1
a
b
ACbcDBbcAA1
a
474
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Из равенств (*) выразим веторы , ,
через
,
,
. Имеем
=
–
+
,
=
–
,
=–
+
.
Подставляя выражения , ,
в равенства (**), получаем ис-
омые представления.
Ответ. = – +,
=(
–
)+(–
+
)=–
+
,
=(
–
)–(–
+
)=
=–
+2
–
.
13. В тетраэдре OABC точи M и N—середины ребер
и
. Разложите веторы
,
и
по веторам
,
и
.
14. В треуольной призме ABCA1B1C1 диаонали рани
BB1C1C пересеаются в точе M. Разложите веторы
и
по веторам
,
и
.
15. Дана треуольная призма ABCA1B1C1. Разложите ветор
по веторам
,
и
.
Упорядоченную тройу неомпланарных веторов
,
,
называют базисом в множестве всех веторов пространства.
Всяий ветор можно единственным образом представить
в виде
=x1
+x2 +x3 .
(3)
Упорядоченную тройу чисел {x1; x2; x3} называют
оорди-
натами ветора
в базисе
,
,
. Запись (3) называют
разложением ве
тора
по базис
,,.
П р и м е р 5. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти
оординаты ветора
в базисе, состоящем из веторов
,
,
(рис. 65).
abc
DA1 DB1
DC1
a
DA1 DB1 DC1 b DB1 DA1
c
DB1 DC1
abc
AA1 DA1 DB1 DC1
AC DB1 DA1
DB1 DC1
DA1 DC1
DB DB1 DA1
DB1 DC1
DA1
DB1 DC1
OB
OC
AMBNMN
OA
OB OC
AM
A1M
BA BB1 BC
AA1
BA1 CB1 AC1
e1e2e3
a
e1
e2
e3
a
e1e2e3
a
e1e2e3
C1D
AD AA1 AB
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 475
Решение.Ветор
равен
ветору
(рис. 65), оторый в
свою очередь можно представить сле-
дующим образом:
=–=–(+).
Значит, ветор
в базисе, со-
стоящем из веторов , , ,
имеет оординаты {0; –1; –1}.
Ответ. {0; –1; –1}.
16. Дан тетраэдр OABC; точи D и E—середины ребер
и соответственно. Найдите оординаты ветора в ба-
зисе,,.
17. Дан тетраэдр OABC; F—точа пересечения медиан ос-
нования ABC. Найдите оординаты ветора в базисе ,
,.
18. В тетраэдре OABC медиана AL рани ABC делится точ-
ой M в отношении AM : ML = 3 : 7. Найдите оординаты ве-
тора вбазисе , , .
19. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M—середина
рани DD1C1C (точа пересечения диаоналей). Найдите оор-
динаты ветора AM в базисе , , .
20. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M делит ребро
CC1 в отношении CM : MC1 = 1 : 2, точа N делит ребро A1D1
пополам. Найдите оординаты ветора
в базисе ,
,.
§ 80. Решение геометрических задач
методами векторной алгебры
Основой методов веторной алебры является свойство един-
ственности разложения ветора на плосости по двум неолли-
неарным веторам и свойство единственности разложения ве-
тора в пространстве по трем неомпланарным веторам.
D
C
B
B1
C1
D1
A1
A
Рис. 65
C1D
B1A
B1A AB1 AA1 AB
C1D
AD AA1 AB
OA
BC
DE
OAOBOC
OF
OA
OB OC
OM
OAOBOC
AD AB AA1
NM
AD1
AB AA1
474 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Из равенств (*) выразим веторы , , через , ,
. Имеем
=–+,=–,=–+.
Подставляя выражения , , в равенства (**), получаем ис-
омые представления.
Ответ. = – +,
=(–)+(–+)=–+,
=(–)–(–+)=
=–+2–.
13. В тетраэдре OABC точи M и N—середины ребер
и . Разложите веторы , и по веторам ,
и.
14. В треуольной призме ABCA1B1C1 диаонали рани
BB1C1C пересеаются в точе M. Разложите веторы
и
по веторам , и .
15. Дана треуольная призма ABCA1B1C1. Разложите ветор
по веторам , и .
Упорядоченную тройу неомпланарных веторов , ,
называют базисом в множестве всех веторов пространства.
Всяий ветор можно единственным образом представить
в виде
=x1 +x2 +x3 .
(3)
Упорядоченную тройу чисел {x1; x2; x3} называют
оорди-
натами ветора в базисе , , . Запись (3) называют
разложением ве
тора по базис , , .
П р и м е р 5. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найти
оординаты ветора
в базисе, состоящем из веторов
, , (рис. 65).
abc
DA1 DB1
DC1
aDA1DB1DC1bDB1DA1cDB1DC1
abc
AA1 DA1 DB1 DC1
AC DB1 DA1 DB1 DC1 DA1 DC1
DB DB1 DA1 DB1 DC1
DA1 DB1 DC1
OB
OC
AMBNMN
OA
OB OC
AM
A1M
BA BB1 BC
AA1
BA1 CB1 AC1
e1e2e3
ae1e2e3
a
e1e2e3
a
e1e2e3
C1D
AD AA1 AB
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 475
Решение.Ветор
равен
ветору
(рис. 65), оторый в
свою очередь можно представить сле-
дующим образом:
=–
=–(
+
).
Значит, ветор
в базисе, со-
стоящем из веторов
,
,
,
имеет оординаты {0; –1; –1}.
Ответ. {0; –1; –1}.
16. Дан тетраэдр OABC; точи D и E—середины ребер
и
соответственно. Найдите оординаты ветора
в ба-
зисе
,
,
.
17. Дан тетраэдр OABC; F—точа пересече ния медиан ос-
нования ABC. Найдите оординаты ветора
в базисе
,
,
.
18. В тетраэдре OABC медиана AL рани ABC делится точ-
ой M в отношении AM : ML = 3 : 7. Найдите оординаты ве-
тора
в базисе
,
,
.
19. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M—середина
рани DD1C1C (точа пересечения диаоналей). Найдите оор-
динаты ветора AM в базисе
,
,
.
20. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точа M делит ребро
CC1 в отношении CM : MC1 = 1 : 2, точа N делит ребро A1D1
пополам. Найдите оординаты ветора
в базисе
,
,
.
§ 80. Решение геометрических задач
методами векторной алгебры
Основой методов веторной алебры я вляется свойство един-
ственности разложения ветора на плосости по двум неолли-
неарным веторам и свойство единстве нности разложения ве-
тора в пространстве по трем неомпланарным веторам.
D
C
B
B1
C1
D1
A1
A
Рис. 65
C1D
B1A
B1A
AB1
AA1 AB
C1D
AD AA1 AB
OA
BC
DE
OAOBOC
OF
OA
OB OC
OM
OAOBOC
AD AB AA1
NM
AD1
AB AA1
476
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Приведенные ниже задачи можно условно разбить на два
типа: на «прямые» и «обратные». «Прямыми» задачами будем
называть таие задачи, в оторых считается известной принад-
лежность трех точе одной прямой или принадлежность четы-
рех точе одной плосости. В этих задачах обычно требуется
установить или проверить неоторые соотношения между дли-
нами отрезов.
В «обратных» задачах требуется, а правило, установить,
что при определенных соотношениях между длинами отрезов
не оторые три точи A, B, C принадлежат одной прямой или
не оторые четыре точи A, B, C, D принадлежат одной пло-
сости, а таже инода требуется доазать, что неоторые пря-
мые пересеаются в одной точе.
Решение «обратных» задач в случае плосости основано на
провере веторной формулы
=k
,(
1
)
выполнение оторой при неотором действительном k означа-
ет, что три точи A, B, C лежат на одной прямой, или на про-
вере формулы
=α
+(1–α),
де A, B, C—точи одной прямой, а O—произвольная точа.
П р и м е р 1. Дан параллелорамм ABCD. Прямая l пересе-
ает прямые AB, AC и AD соответственно в точах B1, C1 и D1.
Доазать, что если
=λ1
,
=λ2
,
=λ3
,то
=
+
(«прямая» задача).
Решение. Пусть
=
,
=
и
=
+ (рис. 66).
Тода
=λ1,
=λ2и
= λ3( + ).Таатриточ-
и B1, C1, D1 лежат на одной пря-
мой l, то справедливо равенство
=k
.(
*
)
AB
BC
OC
OA
OB
AB1
AB AD1
AD AC1
AC
1
λ3
------
1
λ1
------
1
λ2
------
D
C
B
B1
C1
D1
l
A
Рис. 66
AB
a
ADbACab
AB1
a AD1
b
AC1
a
b
B1C1
B1D1
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 477
Учитывая, что
= – =(λ3–λ1)+λ3 ,
= – =–λ1+λ2,
и подставляя разложения веторов
и
по неолли-
неарным веторам и в соотношение (*), получим
(λ3–λ1)+λ3 =kλ2 –kλ1 .
На основании единственности разложения ветора по двум
неоллинеарным веторам и приходим системе
Ислючив оэффициент k, найдем соотношение между λ1, λ2 и λ3:
λ1λ3 + λ2λ3 = λ1λ2.
Разделив последнее равенство почленно на λ1λ2λ3, получим
=+,
что и требовалось доазать.
Рассмотрим пример «обратной» задачи.
Пример 2. НасторонеON параллелорамма AMNO и на
ео диаонали OM взяты таие точи B и C, что
=
,
=
.
Доазать, что точи A, B и C лежат на одной прямой.
Решение. Выразимветоры
и через веторы и
(рис. 67):
=
–,
=
–.
B1C1 AC1 AB1
ab
B1D1 AD1 AB1
ab
B1C1 B1D1
ab
ab
b
a
ab
λ3–λ1=–kλ1,
λ3 = kλ2.
1
λ3
------ 1
λ1
------ 1
λ2
------
OB1
n---ON OC 1
n1+
-------------- OM
N
M
A
C
B
O
Рис. 67
AB AC
ON OA
AC1
n1+
-------------- OM OA
AB1
n--- ON OA
476 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Приведенные ниже задачи можно условно разбить на два
типа: на «прямые» и «обратные». «Прямыми» задачами будем
называть таие задачи, в оторых считается известной принад-
лежность трех точе одной прямой или принадлежность четы-
рех точе одной плосости. В этих задачах обычно требуется
установить или проверить неоторые соотношения между дли-
нами отрезов.
В «обратных» задачах требуется, а правило, установить,
что при определенных соотношениях между длинами отрезов
неоторые три точи A, B, C принадлежат одной прямой или
неоторые четыре точи A, B, C, D принадлежат одной пло-
сости, а таже инода требуется доазать, что неоторые пря-
мые пересеаются в одной точе.
Решение «обратных» задач в случае плосости основано на
провере веторной формулы
=k ,(
1
)
выполнение оторой при неотором действительном k означа-
ет, что три точи A, B, C лежат на одной прямой, или на про-
вере формулы
=α +(1–α),
де A, B, C—точи одной прямой, а O—произвольная точа.
П р и м е р 1. Дан параллелорамм ABCD. Прямая l пересе-
ает прямые AB, AC и AD соответственно в точах B1, C1 и D1.
Доазать,чтоесли =λ1 , =λ2 , =λ3 ,то
=+
(«прямая» задача).
Решение. Пусть = ,
= и = + (рис.66).
Тода
=λ1,
=λ2 и
=λ3( + ).Таатриточ-
и B1, C1, D1 лежат на одной пря-
мой l, то справедливо равенство
=k .(
*
)
AB BC
OC OA
OB
AB1 ABAD1 ADAC1 AC
1
λ3
------ 1
λ1
------ 1
λ2
------
D
C
B
B1 C1
D1
l
A
Рис. 66
ABa
ADbACab
AB1 aAD1 b
AC1ab
B1C1 B1D1
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 477
Учитывая, что
=
–
= (λ3–λ1)+λ3 ,
=
–
=–λ1+λ2,
и подставляя разложения веторов
и
по неолли-
неарным веторам и в соотношение (*), получим
(λ3–λ1)+λ3 =kλ2 –kλ1 .
На основании единственности разложения ветора по двум
неоллинеарным веторам и приходим системе
И слючив оэффициен т k, найдем соотношение между λ1, λ2 и λ3:
λ1λ3 + λ2λ3 = λ1λ2.
Разделив последнее равенство почленно на λ1λ2λ3, получим
=
+,
что и требовалось доазать.
Рассмотрим пример «обратной» задачи.
Пример 2. На стороне ON параллелорамма AMNO и на
ео диаонали OM взяты таие точи B и C, что
=
,
=
.
Доазать, что точи A, B и C лежат на одной прямой.
Решение. Выразим веторы
и
через веторы
и
(рис. 67):
=
–
,
=
–
.
B1C1 AC1 AB1
a
b
B1D1 AD1 AB1
a
b
B1C1 B1D1
a
b
a
b
b
a
a
b
λ3–λ1= –kλ1,
λ3 = kλ2.
1
λ3
------
1
λ1
------
1
λ2
------
OB
1
n
---
ON OC
1
n1
+
--------------
OM
N
M
A
C
B
O
Рис. 67
AB AC
ON OA
AC
1
n1
+
--------------
OM OA
AB
1
n
---
ON OA
478
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Та а
=
+
и, следовае тльно,
=
(+),
то
=
(+)–
=
–
.
Сравнивая разложения веторов
и
по неоллинеарным
в еторам
и
, залючаем, что
=λ
,деλ=
.
Та а веторы
и
оллинеарны и имеют общее нача-
ло, то три точи A, B, C лежат на одной прямой.
1. На прямых BC, CA, AB, определяющих треуольни ABC,
в зяты соответственно точи L, M и N, лежащие на одной пря-
мой. Доажите, что если
=α
,=
β,=
γ,
то αβγ = –1 (теорема Менелая).
2. Дан треуольни MNP. На прямых MN, NP, PM взяты
точиA,BиCта,что
=α
,
=β
,
=γ
.
Доажите, что если αβγ = –1, то точи A, B, C лежат на одной
прямой (обратная теорема Менелая).
3. Прямые a и b параллельны. На прямой a взяты произ-
в ольные точи A1, A2, A3, на прямой b—произвольные точи
B1, B2, B3. На отрезах A1B1, A2B2, A3B3 взяты таие точи C1,
C2, C3, что
A1C1 = αA1B1, A2C2 = αA2B2, A3C3 = αA3B3.
Доажите, что точи C1, C2, C3 лежат на одной прямой.
4. Точи C1, C2, C3 делят отрезо AB на четыре части; D—
произвольная точа плосости. Выразите веторы
,
,
через веторы
=
,
=
.
5. Даны три точи M, A, B, а четвертая точа C взята та,
что
=3
. Выразите ветор
через веторы
и
.
6. На плосости взяты три точи A, B, M. На отрезе AB
взята таая точа C, что AC : CB = k . Выразите ветор
через
и
.
OMOAON
1
n1
+
--------------
OM
1
n1
+
--------------
OA ON
AC
1
n1
+
--------------
OAONOA
1
n1
+
--------------
ON
n
n1
+
--------------
OA
AB AC
ON OA
AB
AC
n1
+
n
--------------
AB AC
BL
LC CM
MAANNB
MA
AN NB
BP PC
CM
DC1 DC2
DC3
DAaDBb
AB AC
MC
MA MB
MC
MA MB
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 479
Пример 3. Доазать, что ес-
ли точа A пересечения диаоналей
четырехуольниа MNPQ и середи-
ны B, C ео противоположных сто-
рон MN, PQ лежат на одной пря-
мой, то MNPQ — трапеция или па-
раллелорамм (рис. 68).
Решение.Положим = , = .Тода =k
и = l . Та а B—середина отреза MN, то
=
+
=(+).
Аналоично
=
+
=(k+l).
По условию точи A, B, C лежат на одной прямой, и значит,
существует таое число m, что = m , т. е.
(+)=(k+l),
или
+
=,
отуда следует, что m = k = l. Тода
=–,
=l –k =k(–),
т. е. = k . Следовательно, PQ Ï MN, т. е. MNPQ — тра-
пеция или параллелорамм.
17. Точа пересечения «средних линий» четырехуольниа
(отрезов, соединяющих середины ео сторон) совпадает с точ-
ой пересечения ео диаоналей. Доажите, что таой четы-
рехуольни — параллелорамм.
18. Доажите, что середины оснований трапеции и точа
пересечения продолжений ее боовых сторон принадлежат од-
ной прямой.
19. Точа M—середина отреза AB, точа — середина
отреза . Доажите, что середины отрезов , и
расположены на одной прямой.
10. Доажите, что середины сторон произвольноо четырех-
уольниа являются вершинами параллелорамма.
lb
QC
ka
ab
A
MBN
P
Рис. 68
AMaANb
APa
AQb
AB1
2--- AM 1
2--- AN 1
2---ab
AC1
2--- AP 1
2--- AQ 1
2---ab
AC AB
m
2-----a b 1
2---ab
mk
–
2--------------- a ml
–
2------------- b 0
MNbaPQbaba
PQ MN
M′
A′B′
AA′ BB′ MM′
478 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Та а = + и, следоваетльно,
=(+),
то
=(+)–=
–
.
Сравнивая разложения веторов и по неоллинеарным
веторам и ,залючаем,что =λ ,деλ= .
Та а веторы и оллинеарны и имеют общее нача-
ло, то три точи A, B, C лежат на одной прямой.
1. На прямых BC, CA, AB, определяющих треуольни ABC,
взяты соответственно точи L, M и N, лежащие на одной пря-
мой. Доажите, что если
=α ,=
β,=
γ,
то αβγ = –1 (теорема Менелая).
2. Дан треуольни MNP. На прямых MN, NP, PM взяты
точиA,BиCта,что =α , =β , =γ .
Доажите, что если αβγ = –1, то точи A, B, C лежат на одной
прямой (обратная теорема Менелая).
3. Прямые a и b параллельны. На прямой a взяты произ-
вольные точи A1, A2, A3, на прямой b—произвольные точи
B1, B2, B3. На отрезах A1B1, A2B2, A3B3 взяты таие точи C1,
C2, C3, что
A1C1 = αA1B1, A2C2 = αA2B2, A3C3 = αA3B3.
Доажите, что точи C1, C2, C3 лежат на одной прямой.
4. Точи C1, C2, C3 делят отрезо AB на четыре части; D—
произвольная точа плосости. Выразите веторы , ,
через веторы = , = .
5. Даны три точи M, A, B, а четвертая точа C взята та,
что = 3 . Выразите ветор через веторы и .
6. На плосости взяты три точи A, B, M. На отрезе AB
взята таая точа C, что AC : CB = k. Выразите ветор
через и .
OMOAON
1
n1+
-------------- OM 1
n1+
-------------- OA ON
AC1
n1+
-------------- OA ON OA 1
n1+
-------------- ON n
n1+
-------------- OA
AB AC
ON OA
AB AC
n1+
n--------------
AB AC
BLLCCMMAANNB
MA ANNB BPPC CM
DC1 DC2
DC3
DAaDBb
AB AC
MC
MA MB
MC
MA MB
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 479
Пример 3. Доазать, что ес-
ли точа A пересечения диаоналей
четырехуольниа MNPQ и середи-
ны B, C ео противоположных сто-
рон MN, PQ лежат на одной пря-
мой, то MNPQ — трапеция или па-
раллелорамм (рис. 68).
Решение.Положим
=
,
=
. Тода
=k
и
=l
. Та а B—середина отреза MN, то
=
+
=
(+).
Аналоично
=
+
=
(k+l).
По условию точи A, B, C лежат на одной прямой, и значит,
существует таое число m, что
=m
,т.е.
(+)=(k+l),
или
+
=
,
отуда следует, что m = k = l . Тода
=
–
,
=l
–
k =k(–)
,
т. е.
=k
. Следовательно, PQ Ï MN, т. е . MNPQ — тра-
пеция или параллелорамм.
17. Точа пересечения «средних линий» четырехуольниа
(отрезов, соединяющих середины ео сторон) совпадает с точ-
ой пересечения ео диаоналей. Доажите, что таой четы-
рехуольни — параллелорамм.
18. Доажите, что середины оснований трапеции и точа
пересечения продолжений ее боовых сторон принадлежат од-
ной прямой.
19. Точа M—середина отреза AB, точа
—
середина
отреза
. Доажите, что середины отрезов
,
и
расположены на одной прямой.
10. Доажите, что середины сторон произвольноо четырех-
уольниа являются вершинами параллелорамма.
lb
QC
ka
a
b
A
MBN
P
Рис. 68
AMaANb
AP
a
AQb
AB
1
2
---
AM
1
2
---
AN
1
2
---
a
b
AC
1
2
---
AP
1
2
---
AQ
1
2
---
a
b
AC
AB
m
2
-----
a
b
1
2
---
a
b
mk
–
2
---------------
a
ml
–
2
-------------
b0
MNbaPQb
a
ba
PQ
MN
M′
A′B ′
AA′ BB′ MM′
480
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
11. Доажите, что в произвольном четырехуольние:
а) «средние линии», пересеаясь, делятся пополам;
б) отрезо, соединяющий середины диаоналей, проходит
через точу пересечения «средних линий» и делится в этой
точе пополам.
При решении ряда задач используют формулу
=
(++),
(2)
де A, B, C—произвольные точи, не лежащие на одной пря-
мой; M— центр тяжести треуольниа ABC; O—произволь-
ная точа.
Пример 4. Пусть ABCDEF — произвольный шести-
уольни и U, V, W, X, Y, Z—середины ео сторон. Доазать,
что центры тяжести треуольниов UWY и VXZ совпадают
(рис. 69).
Решение.ТааточиU,V,W,X,YиZ—середины
сторон шестиуольниа, то
=
(+),
=
(+),
=
(+),
=
(+),
=
(+),
=
(+),
де O— произвольная точа. Обозначив через M и N центры
тяжести треуольниов UWY и VXZ , по формуле (2) находим
=
(+
+
)=
=
(+++++),
=
(++)=
=
(+++++).
OM
1
3
---
OAOBOC
O
C
A
M
B
N
D
X
Y
E
F
Z
U
V
W
Рис. 69
OU
1
2
---
OA OB
OV
1
2
---
OB OC
OW
1
2
---
OC OD
OX
1
2
---
OD OE
OY
1
2
---
OE OF
OZ
1
2
---
OF OA
OM
1
3
---
OUOWOY
1
6
---
OAOBOCODOEOF
ON
1
3
---
OVOXOZ
1
6
---
OAOBOCODOEOF
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 481
Таим образом,
= , отуда следует, что точа M
совпадает с точой N.
12. Дан треуольни ABC. Доажите, что равенство +
+ + = имеет место в том и тольо том случае, ода
O—центр тяжести треуольниа ABC.
13. а) Пусть M и N—центры тяжести треуольниов ABC и
DEF.Доажите,что + + =3 .
б) Пусть A, B, C, D, E, F—произвольные точи плосости.
Доажите,что++=++.
14. Точа M—центр тяжести треуольниа ABC. Доажи-
те,что + =3 .
15. Через центр тяжести треуольниа ABC проведена пря-
мая l, пересеающая стороны AC и BC соответственно в точах
PиQ.Доажите,что + =1.
16. Вершины A1, B1, C1 треуольниа A1B1C1 принадлежат
трем различным сторонам треуольниа ABC, причем центры тя-
жести обоих треуольниов совпадают. Доажите, что точи A1,
B1 и C1 делят стороны треуольниа ABC в равных отношениях.
При решении задач, связанных с вычислением отношения
площадей неоторых плосих фиур, используют следующее
свойство площадей треуольниов: если площадь треуольни-
а ABC равна S и на сторонах AC и BC этоо треуольниа
выбраны соответственно точи M и N та, что
CM:CA=k1, CN:CB=k2,
то площадь треуольниа MCN равна k1k2S.
Пример5.В треуольние ABC
на стороне AB взята точа K та, что
AK:BK=1:2,анасторонеBC—точ-
аLта,чтоCL:BL=2:1(рис.70).
Пусть Q—точа пересечения прямых
AL и CK. Найти площадь треуольниа
ABC, если известно, что площадь тре-
уольниа BQC равна 1.
Решение.Пусть = , =
(рис.70).ТааBL:LC=1:2,тосо-
OM ON
OA
OBOC0
ADBECFMN
ADBECFAEBFCD
CACBCM
AP
PC-------- BQ
QC
---------
Q
C
A
MB
N
K
L
Рис. 70
ABaACb
480 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
11. Доажите, что в произвольном четырехуольние:
а) «средние линии», пересеаясь, делятся пополам;
б) отрезо, соединяющий середины диаоналей, проходит
через точу пересечения «средних линий» и делится в этой
точе пополам.
При решении ряда задач используют формулу
=(++),
(2)
де A, B, C—произвольные точи, не лежащие на одной пря-
мой; M—центр тяжести треуольниа ABC; O—произволь-
ная точа.
Пример 4. Пусть ABCDEF — произвольный шести-
уольни и U, V, W, X, Y, Z—середины ео сторон. Доазать,
что центры тяжести треуольниов UWY и VXZ совпадают
(рис. 69).
Решение.ТааточиU,V,W,X,YиZ—середины
сторон шестиуольниа, то
=(+),
=(+),
=(+),
=(+),
=(+),
=(+),
де O—произвольная точа. Обозначив через M и N центры
тяжести треуольниов UWY и VXZ, по формуле (2) находим
=(++)=
=(+++++),
=(++)=
=(+++++).
OM1
3--- OA OB OC
O
C
A
M
B
ND
X
YE
F
Z
U
V
W
Рис. 69
OU1
2--- OA OB
OV1
2--- OB OC
OW1
2--- OC OD
OX1
2--- OD OE
OY1
2--- OE OF
OZ1
2--- OF OA
OM1
3--- OU OW OY
1
6---OAOBOCODOEOF
ON1
3--- OV OX OZ
1
6---OAOBOCODOEOF
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 481
Таим образом,
=
, отуда следует, что точа M
совпадает с точой N.
12. Дан треуольни ABC. Доажите , что равенство
+
+
+
=
име ет место в том и тольо том случае , ода
O—центр тяжести треуольниа ABC.
13. а) Пусть M и N—центры тяжести треуольниов ABC и
DEF. Доажите, что
+
+
=3
.
б) Пусть A, B, C, D, E, F—произвольные точи плосости.
Доажите, что
+
+
=
+
+
.
14. Точа M—центр тяжести треуольниа ABC. Доажи-
те, что
+
=3
.
15. Через центр тяжести треуольниа ABC проведена пря-
мая l, пересеающая стороны AC и BC соответственно в точах
P и Q. Доажите, что
+
=1.
16. Вершины A1, B1, C1 треуольниа A1B1C1 принадлежат
трем различным сторонам треуольниа ABC, причем центры тя-
жести обоих треуольниов со впадают . Доажите, чт о точи A1,
B1 и C1 делят стороны треуольниа ABC в равных отношениях.
При реше нии задач, связанных с вычислением отношения
площадей неоторых плосих фиур, используют следующее
свойство площадей треуольниов: если площадь треуольни-
а ABC равна S и на сторонах AC и BC этоо треуольниа
выбраны соответственно точи M и N та, что
CM:CA=k1, CN:CB=k2,
то площадь треуольниа MCN равна k1k2S.
Пример5.В треуольние ABC
на стороне AB взята точа K та, что
AK:BK=1:2,анасторонеBC—точ-
аLта,чтоCL:BL=2:1(рис.70).
Пусть Q— точа пересечения прямых
AL и CK. Найти площадь треуольниа
ABC, если известно, что площадь тре-
уольниа BQC равна 1.
Решение. Пусть
=
,
=
(рис.70).ТааBL:LC=1:2,тосо-
OM ON
OA
OBOC0
ADBECF
MN
ADBECFAEBFCD
CACBCM
AP
PC
--------
BQ
QC
---------
Q
C
A
M
B
N
K
L
Рис. 70
ABaACb
482
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
ласно сформулированному выше свойству площадей получаем
SBQL =
, SLQC =
.
Найдем отношение QL : AL. Прямая, проходящая через точ-
у L параллельно стороне AC, пересечет сторону AB в точе M,
причемAM:MB=2:1и
=
. Прямая, проходящая
через точу L параллельно стороне AB, пересечет сторону AC
вточеN,причемAN:NC=1:2и
=
. Отсюда
=
+
.
Учитывая, что веторы
и
оллинеарны (точи A, Q, L
лежат на одной прямой), имеем
=μ
=
(2+).
(*)
Аналоично для точи K находим
=
+
=
(–3),
=λ
=
(–3).
Но
=
+
, отуда
(2+)=+(–3).
Из условия единственности разложения ветора по двум не-
оллинеарным веторам
и
получаем систему уравнений
2μ=λ,μ =3 –3λ,изоторойнаходимμ=
.
Теперь можно найти отношение QL : AL. Имеем
=
=1–
,
и в силу равенства (*) получим
=1–μ=
. Отсюда
=
=
=
; та а S QBC = 1, то исомая площадь равна .
Ответ..
1
3
---
2
3
---
AM
2
3
---
a
AN
1
3
---
b
AL
2
3
---
a
1
3
---
b
AQ AL
AQ
AL
μ
3
---
a
b
CK
2
3
---
CA
1
3
---
CB
1
3
---
a
b
CQ CK
λ
3
---
a
b
AQACCQ
μ
3
---
a
bb
λ
3
---
a
b
a
b
3
7
---
QL
AL
--------
AL AQ
–
AL
------------------------
AQ
AL
--------
-
QL
AL
--------
4
7
---
S ABC
SQBC
-------------------
1
1μ
–
-------------
7
4
---
7
4
---
7
4
---
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 483
17. В треуольние ABC, площадь отороо равна 6, на сто-
роне AB взята точа K, делящая эту сторону в отношении
AK:BK=2:3,анасторонеAC—точаL,делящаяACвотноше-
нии AL : LC = 5 : 3. Точа Q пересечения прямых CK и BL отсто-
ит от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB.
18. Дан треуольни ABC. На сторонах AB и BC взяты точ-
и M и N соответственно та, что AB = 5AM, BC = 3BN. Отрез-
и AN и CM пересеаются в точе O. Найдите отношение пло-
щадей треуольниов AOC и ABC.
19. Точа K делит медиану AD треуольниа ABC в отноше-
нии 3 : 1, считая от вершины. В аом отношении прямая BK
делит площадь треуольниа ABC?
20. На аждой медиане треуольниа взята точа, делящая
медиану в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите отно-
шение площади треуольниа с вершинами в этих точах пло-
щади исходноо треуольниа.
Решение неоторых задач основано на использовании вето-
ра , оллинеарноо биссетрисе ула между веторами и .
При этом бывает удобно представить ветор в следующем виде:
=+.
(3)
21. В треуольние ABC даны стороны a, b, c. Найдите ,
де AA1 — биссетриса внутреннео ула A треуольниа.
22. В треуольние ABC медиана BD пересеается с биссе-
трисой AF в точе O. Отношение площади треуольниа DOA
площади треуольниа BOF равно . Найдите AC : AB.
23. В треуольние ABC биссетриса AD делит сторону BC
в отношении BD : CD = 2 : 1. В аом отношении медиана CE
делит эту биссетрису?
24. Биссетрисы AD и BE треуольниа ABC пересеаются
в точе O. Найдите отношение площади треуольниа ABC пло-
щади четырехуольниа ODCE, если BC = a, AC = b, AB = c.
Решение неоторых задач основано на использовании сле-
дующео веторноо соотношения: если A, B, C, D—четыре
точи, принадлежащие одной плосости, а O — произвольная
точа пространства, то
=α +β +(1–α–β),
(
4
)
деαÝR,βÝR.
c
ab
c
ca
a------ b
b
-----
AA1
3
8---
ODOAOB
OC
482 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
ласно сформулированному выше свойству площадей получаем
SBQL= ,SLQC= .
Найдем отношение QL : AL. Прямая, проходящая через точ-
у L параллельно стороне AC, пересечет сторону AB в точе M,
причемAM:MB=2:1и = .Прямая,проходящая
через точу L параллельно стороне AB, пересечет сторону AC
вточеN,причемAN:NC=1:2и = .Отсюда
=+.
Учитывая, что веторы и оллинеарны (точи A, Q, L
лежат на одной прямой), имеем
=μ=(2+).
(*)
Аналоично для точи K находим
=
+
=(–3),
=λ=(–3).
Но = + ,отуда
(2+)=+(–3).
Из условия единственности разложения ветора по двум не-
оллинеарным веторам и получаем систему уравнений
2μ=λ,μ=3–3λ,изоторойнаходимμ= .
Теперь можно найти отношение QL : AL. Имеем
=
=1– ,
и в силу равенства (*) получим = 1 – μ = . Отсюда
=
= = ; та а SQBC = 1, то исомая площадь равна .
Ответ..
1
3---
2
3---
AM2
3--- a
AN1
3--- b
AL2
3---a 1
3--- b
AQ AL
AQALμ
3---ab
CK2
3--- CA 1
3--- CB 1
3---a b
CQCKλ
3---a b
AQACCQ
μ
3---abbλ
3---a b
ab
3
7---
QL
AL
-------- AL AQ
–
AL
------------------------
AQ
AL
---------
QL
AL--------
4
7---
SABC
SQBC
-------------------
1
1 μ–------------- 7
4---
7
4---
7
4---
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 483
17. В треуольние ABC, площадь отороо равна 6, на сто-
роне AB взята точа K, делящая эту сторону в отношении
AK:BK=2:3,анасторонеAC—точаL,делящаяACвотноше-
нии AL : LC = 5 : 3. Точа Q пересечения прямых CK и BL отсто-
ит от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB.
18. Дан треуольни ABC. На сторонах AB и BC взяты точ-
и M и N соотве тственно та, что AB = 5AM, BC = 3BN. Отрез-
и AN и CM пересеаются в точе O. Найдите отношение пло-
щадей треуольниов AOC и ABC.
19. Точа K делит медиану AD треуольниа ABC в отноше-
нии 3 : 1, считая от вершины. В аом отношении прямая BK
делит площадь треуольниа ABC?
20. На аждой медиане треуольниа взята точа, делящая
медиану в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите отно-
шение площади треуольниа с вершинами в этих точах пло-
щади исходноо треуольниа.
Решение неоторых задач основано на использовании вето-
ра , оллинеарноо биссетрисе ула между веторами и .
При этом бывает удобно представит ь ветор в следующем виде:
=
+.
(3)
21. В треуольние ABC даны стороны a, b, c. Найдите
,
де AA1 — биссетриса внутреннео ула A треуольниа.
22. В треуольние ABC медиана BD пересеается с биссе-
трисой AF в точе O. Отношение площади треуольниа DOA
площади треуольниа BOF равно . Найдите AC : AB.
23. В треуольние ABC биссетриса AD делит сторону BC
в отношении BD : CD = 2 : 1. В аом отношении медиана CE
делит эту биссетрису?
24. Биссетрисы AD и BE треуольниа ABC пересеаются
в точе O. Найдите отношение площади треуольниа ABC пло-
щади четырехуольниа ODCE, если BC = a, AC = b, AB = c.
Решение неоторых задач основано на использовании сле-
дующео веторноо соотношения: если A, B, C, D—четыре
точи, принадлежащие одной плосости, а O — произвольная
точа пространства, то
=α
+β
+(1–α
–
β),
(
4
)
деαÝR,βÝR.
c
a
b
c
c
a
a
------
b
b
-----
AA1
3
8
---
OD
OA OB
OC
484
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
25. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плосость пере-
сеает прямые AB, AD, AA1, AC1 соответственно в точах B0,
D0, A0, C0. Доажите, что если
=λ1
,
=λ2
,
=λ3
,
=λ4
,то
=
+
+.
26. Точи K, L, M, N взяты соответственно на сторонах
OA1, A1A2, A2A3, A3O неплосоо четырехуольниа OA1A2A3,
причем
=α
,=
β,=
γ
,=
δ.
Доажите, что для принадлежности четырех точе K, L, M и N
одной плосости необходимо и достаточно выполнение равенст-
ваαβγδ=1.
27. Даны два треуольниа A1A2A3 и A4A5A6, не лежащие
в одной плосости. Доажите, что если M, N, P, Q, R и S—се-
редины отрезов A1A2, A4A5, A2A3, A5A6, A3A4, A6A1 соответствен-
но, то веторы
,
и
омпланарны.
28. Даны два треуольниа ABC и A1B1C1, не лежащие в од-
ной плосости: M и N— середины сторон AC и BC, а M1 и
N1 — середины сторон A1C1 и B1C1. Доажите, что е сли
=
=
, то веторы
,
и
омпланарны.
29. Даны две срещивающиеся прямые m и n. На прямой m
взяты точи P, Q, R, а на прямой n — точи P1, Q1, R1, причем
=k
,
=k
. Доажите, что прямые PP1, QQ1,
RR1 параллельны одной плосости.
При решении задач, связанных с отношением объемов час-
тей тетраэдра, образующихся при сечении е о неоторой пло-
состью, часто используют следующее утверждение: если объем
тетраэдра ABCD равен V и на ео ребрах DA, DB, DC взяты
соответственно точи M, N, P та, что
DM=k1DA, DN=k2DB, DP =k3DC,
то объем тетраэдра MNPD равен k1k2k3V.
AC0
AC1 AB0
AB1
AD0
AD1 AA0
AA1
1
λ1
------
1
λ2
------
1
λ3
------
1
λ4
------
OK
KA A1L
LA2 A2M
MA3 A3N
NO
MNPQRS
AB
A1B1
MM1 NN1 CC1
PQ
PR P1Q1
P1R1
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 485
П р и м е р 6. Плосость проходит через вершину A основа-
ния треуольной пирамиды SABC и делит пополам медиану SK
треуольниа SAB, а медиану SL треуольниа SAC пересеает
в таой точе D, что 2SD = DL. В аом отношении эта пло-
сость делит объем пирамиды?
Решение.Положим = ,
= , = (рис. 71). Очевидно,
чтоk1=1.Пусть =k2 , =
= k3 , де M и N—точи, в оторых
плосость сечения пересеается с реб-
рами SB и SC соответственно. Най-
дем k2 и k3. Для этоо воспользуемся
равенствами
=
=(+),
=
=(+).
Соласно формуле (4), ветор можно представить в виде
=α+(+)+(1–α–β)(+).
Та а = k2 , то, используя единственность разложения
ветора по трем неомпланарным веторам, получим систему
уравнений
0= α+ β+ , k2= β,0=(1–α–β),
из оторой находим k2 = .
Аналоично из равенств
=k3 ,=
(
α++)++(1–α–β)
находим k3 = .
В силу сформулированноо ранее утверждения получаем
VSAMN=1· · VSABC,
M
N
K
L
b
A
C
S
B
c
a
E
D
Рис. 71
SAa
SBbSCc
SM bSN
c
SE1
2--- SK 1
4---ab
SD1
3--- SL 1
6---ac
SM
SMaβ
4---ab 1
6---
ac
SMb
5
6---
1
12------ 1
6---
1
4---
1
6---
1
3---
SNcSN5
6---
β
12------ 1
6---aβ
4---b 1
6---
c
1
5---
1
3--- 1
5---
484 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
25. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Плосость пере-
сеает прямые AB, AD, AA1, AC1 соответственно в точах B0,
D0,A0,C0.Доажите,чтоесли =λ1 , =λ2 ,
=λ3 , =λ4 ,то
=++.
26. Точи K, L, M, N взяты соответственно на сторонах
OA1, A1A2, A2A3, A3O неплосоо четырехуольниа OA1A2A3,
причем
=α ,=
β,=
γ,=
δ.
Доажите, что для принадлежности четырех точе K, L, M и N
одной плосости необходимо и достаточно выполнение равенст-
ваαβγδ=1.
27. Даны два треуольниа A1A2A3 и A4A5A6, не лежащие
в одной плосости. Доажите, что если M, N, P, Q, R и S—се-
редины отрезов A1A2, A4A5, A2A3, A5A6, A3A4, A6A1 соответствен-
но, то веторы , и омпланарны.
28. Даны два треуольниа ABC и A1B1C1, не лежащие в од-
ной плосости: M и N— середины сторон AC и BC, а M1 и
N1 — середины сторон A1C1 и B1C1. Доажите, что если =
=
, то веторы
,
и омпланарны.
29. Даны две срещивающиеся прямые m и n. На прямой m
взяты точи P, Q, R, а на прямой n — точи P1, Q1, R1, причем
=k,
= k . Доажите, что прямые PP1, QQ1,
RR1 параллельны одной плосости.
При решении задач, связанных с отношением объемов час-
тей тетраэдра, образующихся при сечении ео неоторой пло-
состью, часто используют следующее утверждение: если объем
тетраэдра ABCD равен V и на ео ребрах DA, DB, DC взяты
соответственно точи M, N, P та, что
DM=k1DA, DN=k2DB, DP=k3DC,
то объем тетраэдра MNPD равен k1k2k3V.
AC0 AC1 AB0 AB1
AD0 AD1 AA0 AA1
1
λ1
------ 1
λ2
------ 1
λ3
------ 1
λ4
------
OKKAA1LLA2A2MMA3A3NNO
MNPQRS
AB
A1B1
MM1 NN1 CC1
PQ PR P1Q1 P1R1
§ 80. Решение геометрических задач методами векторной алгебры 485
П р и м е р 6. Плосость проходит через вершину A основа-
ния треуольной пирамиды SABC и делит пополам медиану SK
треуольниа SAB, а медиану SL треуольниа SAC пересеает
в таой точе D, что 2SD = DL. В аом отношении эта пло-
сость делит объем пирамиды?
Решение.Положим
=
,
=
,
=
(рис. 71). Очевидно,
что k1 = 1. Пусть
=k2,
=
= k3 , де M и N—точи, в оторых
плосость сечения пересеается с реб-
рами SB и SC соответстве нно. Най-
дем k2 и k3. Для этоо воспользуемся
равенствами
=
=
(+),
=
=
(+).
Соласно формуле (4), ветор
можно представить в виде
=α+(+)+(1–α
–
β)(+).
Та а
= k2 , то, используя единстве нность разложения
ветора по трем неомпланарным веторам, получим систему
уравнений
0=α+β+,k2=β,0
= (1–α
–
β),
из оторой находим k2 =
.
Аналоично из равенств
=k3,=
(
α+
+)+
+ (1–α
–
β)
находим k3 =
.
В силу сформулированноо ранее утверждения получае м
VSAMN=1 ·
·
VSABC,
M
N
K
L
b
A
C
S
B
c
a
E
D
Рис. 71
SAa
SBbSCc
SM
bSN
c
SE
1
2
---
SK
1
4
---
a
b
SD
1
3
---
SL
1
6
---
a
c
SM
SM
a
β
4
---
a
b
1
6
---
a
c
SM
b
5
6
---
1
12
------
1
6
---
1
4
---
1
6
---
1
3
---
SN
c
SN
5
6
---
β
12
------
1
6
---
a
β
4
---
b
1
6
---
c
1
5
---
1
3
---
1
5
---
486
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
и, следовательно, объе м оставшейся части пирамиды равен
VSABC. Ита, исомое отношение объемов равно 1 : 14.
Ответ.1: 14.
30. В трехранном уле с вершиной S проведены параллель-
ные сечения ABC и A1B1C1. Пусть V, V1, V2, V3 — объемы тетра-
эдров SABC, SA1B1C1, SA1BC, SAB1C1 соответственно. Поажи-
те,чтоV2=
и V2V3 = VV1.
31. Дана правильная четырехуольная пирамида SABCD.
Через середины ребер AB, AD и CS проведена плосость. В а-
ом отношении эта плосость делит объем пирамиды?
32. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD
и BC проведена плосость, пересеающая ребро CD в точе M.
При этом отношение длины отреза DM длине отреза MC
равно
.
Вычислите площадь сечения пирамиды уазанной
плосостью, если расстояние от нее до вершины A равно 1.
33. Плосость пересеает боовые ребра SA, SB и SC тре-
уольной пирамиды SABC в точах K , L и M соответственно.
В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды, если
известно, что SK : KA = SL : LB = 2, а медиана SN треуольни-
а SBC делится этой плосостью пополам?
34. В треуольной пирамиде SABC все ребра равны. На реб-
реSAвзятаточаMта,чтоSM=MA,анаребреSB—точа
N та, что 3SN = SB. Через точи M и N проведена плосость,
параллельная медиане AD основания ABC. Найдите отноше ние
объема треуольной пирамиды, отсеаемой от исходной прове-
денной плосостью, объему пирамиды SABC.
§ 81. Задачи, решаемые с помощью
скалярного произведения векторов
С
алярным произведением двух ненулевых веторов на-
зывают произведением длин этих веторов на осинус ула
между веторами:
·
=|
|·| |cosF(,)
.
(1)
14
15
------
V2V1
3
2
3
---
ab
a
b
ab
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
487
Необходимым и достаточным условием перпендиуляр-
ности двух ненулевых веторов является равенство нулю
их салярноо произведения:
· =0.
(2)
Еслиφ=F( , ),то
·>0при0mφ<; ·<0при <φmπ.(3)
Салярное произведение ветора на себя равно вадрату ео
длины:
·= =||2.(
4
)
Свойства салярноо произведения:
·=·
(оммутативный заон);
(λ)·=λ(·)
(ассоциативный заон);
·(+)=·+·
(дистрибутивный заон).
Пример1.Известно,чтоветоры3 –5 и2 + пер-
пендиулярны между собой и веторы + 4 и – + таже
взаимно перпендиулярны. Найти уол между веторами и .
Решение.Поусловию
(3–5)·(2+)=0,(+4)·(–+)=0.
Отсюда следует, что
62–7·–52=0,–2–3·+42=0, (*)
т. е. получили два уравнения относительно трех неизвестных
2, 2 и . Соласно равенству (1), осинус ула между ве-
торами и вычисляется по формуле
cosF( , )=
.
(**)
Из уравнений (*) находим
·=2,2=
2.
(***)
ab
ab
ab
π
2---ab
π
2---
aaa2a
abba
abab
abcabac
abab
abab
ab
abab
abab
aabb
aabb
abab
ab
ab ab
⋅
ab
⋅
----------------
ab19
43------ a b 25
43------ a
486 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
и, следовательно, объем оставшейся части пирамиды равен
VSABC. Ита, исомое отношение объемов равно 1 : 14.
Ответ.1:14.
30. В трехранном уле с вершиной S проведены параллель-
ные сечения ABC и A1B1C1. Пусть V, V1, V2, V3 — объемы тетра-
эдров SABC, SA1B1C1, SA1BC, SAB1C1 соответственно. Поажи-
те,чтоV2=
и V2V3 = VV1.
31. Дана правильная четырехуольная пирамида SABCD.
Через середины ребер AB, AD и CS проведена плосость. В а-
ом отношении эта плосость делит объем пирамиды?
32. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD
и BC проведена плосость, пересеающая ребро CD в точе M.
При этом отношение длины отреза DM длине отреза MC
равно . Вычислите площадь сечения пирамиды уазанной
плосостью, если расстояние от нее до вершины A равно 1.
33. Плосость пересеает боовые ребра SA, SB и SC тре-
уольной пирамиды SABC в точах K, L и M соответственно.
В аом отношении эта плосость делит объем пирамиды, если
известно, что SK : KA = SL : LB = 2, а медиана SN треуольни-
а SBC делится этой плосостью пополам?
34. В треуольной пирамиде SABC все ребра равны. На реб-
реSAвзятаточаMта,чтоSM=MA,анаребреSB—точа
N та, что 3SN = SB. Через точи M и N проведена плосость,
параллельная медиане AD основания ABC. Найдите отношение
объема треуольной пирамиды, отсеаемой от исходной прове-
денной плосостью, объему пирамиды SABC.
§ 81. Задачи, решаемые с помощью
скалярного произведения векторов
С
алярным произведением двух ненулевых веторов на-
зывают произведением длин этих веторов на осинус ула
между веторами:
· =| |·| |cosF(,).
(1)
14
15------
V2V1
3
2
3---
abab
ab
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
487
Необходимым и достаточным условием перпендиуляр-
ности двух ненулевых веторов является равенство нулю
их салярноо произведения:
·
=0.
(2)
Еслиφ=F(,),то
·
>0 при 0mφ< ;
·
<0 при
<φmπ. (3)
Салярное произведение ветора на себя равно вадрату ео
длины:
·
=
=|
|2.(
4
)
Свойства салярноо произведения:
·
=
·
(оммутативный заон);
(λ )·
=λ(·)
(ассоциативный заон);
·(+)=
·
+·
(дистрибутивный заон).
Пример1.Известно,чтоветоры3 –5 и2 + пер-
пендиулярны между собой и веторы + 4 и – + таже
взаимно перпендиулярны. Найти уол между веторами и .
Решение.Поусловию
(3–5)·(2+)=0,(+4)·(–+)=0.
Отсюда следует, что
62–7
·
–
52=0, –
2–3
·
+4 2=0, (*)
т. е . получили два уравнения относительно трех неизвестных
2, 2и
. Соласно равенству (1), осинус ула между ве-
торами и вычисляется по формуле
cosF(,)=
.
(**)
Из уравнений (*) находим
·
=
2,
2=
2.
(***)
ab
ab
ab
π
2
---
ab
π
2
---
aa
a2
a
ab
ba
a
b
ab
a
bcab
ac
a
bab
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
b
a
ab
b
ab
ab
a
b
ab
ab
⋅
ab
⋅
----------------
ab
19
43
------
a
b
25
43
------
a
488
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Возводя обе части равенства (**) в вадрат и подставляя выра-
жения (***), получаем
cos2 F(, )
=
,
отуда
cos F(,)
=
,c
o
sF(,)
=
–
.
Ответ. arccos
или arccos –
.
1.Дано:| |=3,| |=4,F( , )=
. Вычислите:
а) 2;б)(+)
2;в)(3 –2)( +2).
2.Зная,что| |=3,||=1,||=4и + + =
, вычис-
лите
·
+·+
·
.
3. Каому условию должны удовлетворять веторы
и,
чтобы имело место раве нство | + | = |
–
|?
4. Доажите, что ветор ( ) – ( ) перпендиулярен
ветору .
5. Доажите, что если , ,
—
произвольные веторы,
причем
не перпендиулярен , то существует таое число k,
что веторы и + k перпендиулярны дру друу. Найди-
те число k.
Если веторы ,
и
являются сторонами треуольниа
ABC, то из равенства + + = следует равенство
2= 2+ 2–2
·
,
представляющее собой веторную запись теоремы осинусов.
При выполнении упр. 6—21 используйте веторную запись
теоремы осинусов.
6. В треуольние ABC проведена медиана CC1. Доажите,
что е сли BC > AC, то уол CC1B—тупой.
7. Доажите, что уол C треуольниа ABC является острым,
прямым или тупым в зависимости от тоо, что медиана CC1,
проведенная из вершины C, больше, равна или меньше AB.
ab
192
25 43
⋅
------------------
ab
19
543
---------------
ab
19
543
---------------
19
543
---------------
19
543
--------------
-
a
b
ab
2π
3
-------
a
a
b
a
ba
b
a
b
c
a
bc0
ab
bcca
a
b
a
bab
abc
acb
a
abc
a
c
a
b
c
ab
c
a
bc0
c
a
b
ab
1
2
---
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
489
18. Найдите:
1а) длину медианы AD треуольниа ABC, зная длины сто-
ронAC=b,AB=cивеличинуулаA;
1б) длину биссетрисы AE треуольниа ABC, зная длины
сторонAC=b,AB=cивеличинуулаA.
19. Известны стороны треуольниа ABC. Найдите:
1а) длину медианы AD = ma;
1б) длину биссетрисы AE = la.
10. В треуольние ABC уол B—прямой, медианы AD и
BE взаимно перпендиулярны. Найдите величину ула C.
11. В треуольние ABC на сторонах BC и AC соответствен-
но выбраны точи D и E та, что BD = DC, AE = 2CE. Найдите
BC : AB, если известно, что AD B BE и FABC = 60°.
12. В четырехуольние ABCD уол при вершине A равен
120°, а диаональ AC является биссетрисой этоо ула. Из-
вестно, что AC = AB = AD. Найдите осинус ула между
веторами и .
13. Доажите, что если в треуольние ABC имеет место ра-
венствоa2+b2=2c2,тоama+bmb=2cmc,деma,mb,mc—
длины медиан треуольниа, a, b, c—длины ео сторон.
14. В треуольние ABC проведен отрезо A1B1, параллель-
ный стороне AB, де точи A1 и B1 лежат соответственно на сто-
ронах AC и BC. Доажите, что если AB1 = BA1, то треуольни
ABC равнобедренный.
15. В треуольние ABC проведены медианы AA1 и BB1. Доа-
жите, что если FC + F(, )
=
1
8
0
°,тоCA2+CB2=2AB2.
16. Доажите, что если G— центр тяжести треуольниа
ABC, а O—неоторая точа пространства, то
OA2+OB2+OC2=3OG2+AG2+BG2+CG2
(теорема Лейбница).
17. Доажите, что если O— центр описанной ооло тре-
уольниа ABC оружности и H—ео ортоцентр, то:
1)=++;
2)OH2=9R2–(a2+b2+c2);
3)AH=2R|cosFA|.
18. Доажите, что в произвольном треуольние центр O
описанной оружности, центр тяжести G и ортоцентр H прина-
длежат одной прямой (прямой Эйлера), причем OG : GH = 1 : 2.
1
5---
1
3---
BA CD
AA1 BB1
OHOAOBOC
488 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Возводя обе части равенства (**) в вадрат и подставляя выра-
жения (***), получаем
cos2 F(, )= ,
отуда
cos F(, )= ,cosF(, )=– .
Ответ. arccos
или arccos –
.
1.Дано:| |=3,| |=4,F( , )= .Вычислите:
а) 2;б)( + )2;в)(3 –2)( +2).
2.Зная,что| |=3,| |=1,| |=4и + + = ,вычис-
лите·+·+·.
3. Каому условию должны удовлетворять веторы и ,
чтобы имело место равенство | + | = | – |?
4. Доажите, что ветор ( ) – ( ) перпендиулярен
ветору .
5. Доажите, что если , , — произвольные веторы,
причем не перпендиулярен , то существует таое число k,
что веторы и + k перпендиулярны дру друу. Найди-
те число k.
Если веторы , и являются сторонами треуольниа
ABC, то из равенства + + = следует равенство
2=2+2–2·,
представляющее собой веторную запись теоремы осинусов.
При выполнении упр. 6—21 используйте веторную запись
теоремы осинусов.
6. В треуольние ABC проведена медиана CC1. Доажите,
что если BC > AC, то уол CC1B—тупой.
7. Доажите, что уол C треуольниа ABC является острым,
прямым или тупым в зависимости от тоо, что медиана CC1,
проведенная из вершины C, больше, равна или меньше AB.
ab 192
25 43
⋅
------------------
ab 19
543
---------------
ab
19
543
---------------
19
543
---------------
19
543
---------------
a
b
ab 2π
3-------
a
ab
abab
a
b
c
abc0
abbcca
ab
abab
abc acb
a
abc
a
c
abc
abc
abc0
cabab
1
2---
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
489
18. Найдите:
1а) длину медианы AD треуольниа ABC, зная длины сто-
ронAC=b,AB=cивеличинуулаA;
1б) длину биссетрисы AE треуольниа ABC, зная длины
сторонAC=b,AB=cивеличинуулаA.
19. Известны стороны треуольниа ABC. Найдите:
1а) длину медианы AD = ma;
1б) длину биссетрисы AE = l
a
.
10. В треуольние ABC уол B— прямой, медианы AD и
BE взаимно перпендиулярны. Найдите величину ула C.
11. В треуольние ABC на сторонах BC и AC соответствен-
но выбраны точи D и E та, что BD = DC, AE = 2CE. Найдите
BC : AB, если известно, что AD B BE и FABC = 60°.
12. В четырехуольние ABCD уол при вершине A равен
120°, а диаональ AC является биссетрисой этоо ула. Из-
вестно, что AC = AB = AD. Найдите осинус ула между
веторами
и
.
13. Доажите, что е сли в треуольние ABC имеет место ра-
венствоa2+b2=2c2,тоama+bmb=2cmc
,деma
,mb,m
c
—
длины медиан треуольниа, a, b, c—длины ео сторон.
14. В треуольние ABC проведен отрезо A1B1, параллель-
ный стороне AB, де точи A1 и B1 лежат соответственно на сто-
ронах AC и BC. Доажите, что е сли AB1 = BA1, то треуольни
ABC равнобедренный.
15. В треуольние ABC проведены медианы AA1 и BB1. Доа-
жите, что если FC + F(, )
=
1
8
0
°,тоCA2+CB2=2AB2.
16. Доажите, что если G— центр тяжести треуольниа
ABC, а O—неоторая точа пространства, то
OA2+OB2+OC2=3OG2+AG2+BG2+CG2
(теорема Лейбница).
17. Доажите, что если O— центр описанной ооло тре-
уольниа ABC оружности и H—ео ортоцентр, то:
1)
=
+
+
;
2)OH2=9R2–(a2+b2+c2);
3)AH=2R|cosFA|.
18. Доажите, что в произвольном треуольние центр O
описанной оружности, центр тяжести G и ортоцентр H прина-
длежат одной прямой (прямой Эйлера), причем OG : GH = 1 : 2.
1
5
---
1
3
---
BA CD
AA1 BB1
OHOAOBOC
490
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
19. Доажите, что расстояние от центра O оружности, опи-
санной ооло треуольниа ABC, до ео центра тяжести G опре-
деляется формулой
OG2=R2– (a2+b2+c2).
20. Доажите, что если Q—произвольная точа, H—орто-
центр и O—центр описанной оружности треуольниа ABC, то
=
(++
–
).
21. В оружность вписан четырехуольни ABCD. Доажи-
те, что если AB2 + CD2 = 4R2, де R— радиус описанной о-
ружности, то диаонали четырехуольниа перпендиулярны.
С помощью салярноо произведения можно доазать спра-
в едливость неоторых неравенств для трионометричесих
фунций улов треуольниа.
П р и м е р 2. Доазать, что для всяоо треуольниа ABC
в ыполняется неравенство
cos2A+cos2B+cos2Cl–
.
Решение. Пусть O— центр описанной ооло треуоль-
ниа ABC оружности, радиус оторой равен R. Очевидно, что
(++)
2 l 0. Расрыв соби, получим
2+2
·
+
2+2
·
+
+2
·
+
2l0.
(*)
Та а центральный уол, образуемый радиусами OA и OB,
в двое больше ула C, вписанноо в оружность, то
·
= R2cos2C.
Аналоично
·
= R2cos2B, ·
=
R2 cos 2A.
Но
2=
2=
2 = R2 и, значит, неравенство (*) примет
вид
2R2(cos2A+cos2B+cos2C)+3R2l0,
1
9
---
QO
1
2
---
QAQBQCQH
3
2
---
OAOBOC
OA
OAOBOB
OB OC
OCOAOC
OA OB
OC OA
OB OC
OAOBOC
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
491
или
cos2A+cos2B+cos2Cl– ,
что и требовалось доазать.
22. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
cosA+cosB+cosCm .
23. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
sin2A+sin2B+sin2Cm .
24. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC спра-
ведливо неравенство
cos2A+cos2B–cos2Cm .
При аом условии неравенство обращается в равенство?
25. Доажите, что для любоо трехранноо ула с плоси-
ми улами α, β, γ выполняется неравенство
cosα+cosβ+cosγ>– .
3
2---
3
2---
9
4---
3
2---
3
2---
490 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
19. Доажите, что расстояние от центра O оружности, опи-
санной ооло треуольниа ABC, до ео центра тяжести G опре-
деляется формулой
OG2=R2– (a2+b2+c2).
20. Доажите, что если Q—произвольная точа, H—орто-
центр и O—центр описанной оружности треуольниа ABC, то
=(++–).
21. В оружность вписан четырехуольни ABCD. Доажи-
те, что если AB2 + CD2 = 4R2, де R—радиус описанной о-
ружности, то диаонали четырехуольниа перпендиулярны.
С помощью салярноо произведения можно доазать спра-
ведливость неоторых неравенств для трионометричесих
фунций улов треуольниа.
П р и м е р 2. Доазать, что для всяоо треуольниа ABC
выполняется неравенство
cos2A+cos2B+cos2Cl– .
Решение. Пусть O—центр описанной ооло треуоль-
ниа ABC оружности, радиус оторой равен R. Очевидно, что
(++)
2 l 0. Расрыв соби, получим
2+2 ·
+2+2·+
+2·+2l0.
(*)
Та а центральный уол, образуемый радиусами OA и OB,
вдвое больше ула C, вписанноо в оружность, то
· =R2cos2C.
Аналоично
· =R2cos2B,·=
R2 cos 2A.
Но 2 = 2 = 2 = R2 и, значит, неравенство (*) примет
вид
2R2(cos2A+cos2B+cos2C)+3R2l0,
1
9---
QO1
2---QAQBQCQH
3
2---
OAOBOC
OA OAOBOB OBOC
OCOAOC
OA OB
OC OA
OB OC
OAOBOC
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
491
или
cos2A+cos2B+cos2Cl– ,
что и требовалось доазать.
22. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
cosA+cosB+cosCm .
23. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
sin2A+sin2B+sin2Cm .
24. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC спра-
ведливо неравенство
cos2A+cos2B–cos2Cm .
При аом условии неравенство обращается в равенство?
25. Доажите, что для любоо трехранноо ула с плоси-
ми улами α, β, γ выполняется неравенство
cosα+cosβ+cosγ>–
.
3
2
---
3
2
---
9
4
---
3
2
---
3
2
---
Глава 15
Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей
§ 82. Размещения, сочетания,
перестановки
Пусть дано множество {a1, ..., an}, состоящее из n различ-
ных элементов. Выберем из нео множество, содержащее r эле-
ментов, т. е. произведем выбор
объема r. Выбори моут
отличаться дру от друа а составом, та и порядом распо-
ложения элементов. Если допустить, что среди элементов вы-
бори есть одинаовые, то объем выбори в отдельных случаях
может превышать объем исходноо множества.
Примером таих выборо служат телефонные номера. Пусть
номер состоит из 12 цифр, а телефонный дис содержит 10 цифр;
тода при наборе номера осуществляется выбора 12 элементов
из множества, содержащео 10 элеме нтов. Та а дис после
набора аждой цифры возвращается в исходное положение, то
цифры телефонноо номера моут повторяться. Это означает,
что выбора может содержать одинаовые элементы.
Пусть исходное множество содержит n различных элемен-
тов. Тода число различных выборо объема r, элеме нты ото-
рых моут повторяться, равно nr. Если же элементы выбори
не повторяются, то ее объем не может превысить объе м исход-
ноо множества. Число различных выборо объема r с неповто-
ряющимися элементами из исходноо множества объема n вы-
ражается формулой
= n(n–1)...(n–r+1);
(1)
уазывает число различных размещений из n элементов
по r позициям. Если n = r, то различные выбори отличаются
тольо порядом элементов. Таие выбори называют пере-
станов
ами из n элементов. Число различных перестаново
из n элементов находится по формуле
=n(n–1)...1 =n!(
2
)
An
r
An
r
Pn
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки
493
В неоторых задачах порядо элементов в выборе не имеет
значения. Например, при выборе трех челове в президиум
собрания, состоящео из 200 челове, или при поупе в маа-
зине пяти наименований продутов из имеющихся там 100 на-
именований. В этом случае выбори одноо состава (т. е. выбор-
и, элементы оторых совпадают) считаются неразличимыми.
Число выборо различноо состава, объем оторых равен r, из
множества объема n находится по формуле
==
=
;
(3)
называют числом сочетаний из n элементов по r.
П р и м е р 1. Бувы азбуи Морзе представляют собой по-
следовательности точе и тире. Сольо различных був мож-
но получить, если использовать 5 символов?
Р е ш е н и е. Исходное множество состоит из двух элемен-
тов: точи и тире. Та а используется 5 символов, то выбор-
а содержит 5 элементов, оторые моут повторяться. Таим
образом, число различных выборо, аждая из оторых пред-
ставляет аую-нибудь буву, равно 25 = 32.
Ответ.32бувы.
1. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров?
2. Сольо существует различных телефонных номеров, если
аждый номер содержит не более семи цифр? (Считается, что
телефонный номер может начинаться с нуля.)
3. Пусть бувы неоторой азбуи представляют собой по-
следовательности точе, тире и пробелов. Сольо различных
був можно образовать, если использовать 5 символов?
4. В неотором осударстве нет двух жителей с одинаовым
набором зубов. Каова может быть наибольшая численность
населения осударства (наибольшее число зубов равно 32)?
5. Пусть p1, ..., pm — различные простые числа. Сольо
делителей имеет число q =
... ,деk1,k2,...,km—не-
оторые натуральные числа (делители 1 и q влючаются)?
6. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров, если в аждом номере нет повторяющихся цифр?
Cn
rAn
r
Pr
------- nn 1–
()
... nr
–1
+
()
r!
--------------------------------------------------------------
n!
r! nr
–
()
!
-------------------------
Cn
r
p1
k1 p2
k2 pm
km
Глава 15
Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей
§ 82. Размещения, сочетания,
перестановки
Пусть дано множество {a1, ..., an}, состоящее из n различ-
ных элементов. Выберем из нео множество, содержащее r эле-
ментов, т. е. произведем выбор
объема r. Выбори моут
отличаться дру от друа а составом, та и порядом распо-
ложения элементов. Если допустить, что среди элементов вы-
бори есть одинаовые, то объем выбори в отдельных случаях
может превышать объем исходноо множества.
Примером таих выборо служат телефонные номера. Пусть
номер состоит из 12 цифр, а телефонный дис содержит 10 цифр;
тода при наборе номера осуществляется выбора 12 элементов
из множества, содержащео 10 элементов. Та а дис после
набора аждой цифры возвращается в исходное положение, то
цифры телефонноо номера моут повторяться. Это означает,
что выбора может содержать одинаовые элементы.
Пусть исходное множество содержит n различных элемен-
тов. Тода число различных выборо объема r, элементы ото-
рых моут повторяться, равно nr. Если же элементы выбори
не повторяются, то ее объем не может превысить объем исход-
ноо множества. Число различных выборо объема r с неповто-
ряющимися элементами из исходноо множества объема n вы-
ражается формулой
=n(n–1)...(n–r+1);
(1)
уазывает число различных размещений из n элементов
по r позициям. Если n = r, то различные выбори отличаются
тольо порядом элементов. Таие выбори называют пере-
станов
ами из n элементов. Число различных перестаново
из n элементов находится по формуле
=n(n–1)...1=n!(
2
)
An
r
An
r
Pn
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки
493
В неоторых задачах порядо элементов в выборе не имеет
значения. Например, при выборе трех челове в президиум
собрания, состоящео из 200 челове, или при поупе в маа-
зине пяти наименований продутов из имеющихся там 100 на-
именований. В этом случае выбори одноо состава (т. е . выбор-
и, элементы оторых совпадают) считаются неразличимыми.
Число выборо различноо состава, объе м оторых равен r, из
множества объема n находится по формуле
=
=
=
;
(3)
называют числом сочетаний из n элементов по r.
П р и м е р 1. Бувы азбуи Морзе представляют собой по-
следовательности точе и тире. Сольо различных був мож-
но получить, если использовать 5 символов?
Р е ш е н и е. Исходное множество состоит из двух элемен-
тов: точи и тире. Та а используется 5 символов, то выбор-
а содержит 5 элементов, оторые моут повторяться. Таим
образом, число различных выборо, аждая из оторых пред-
ставляет аую-нибудь буву, равно 25 = 32.
Ответ.32бувы.
1. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров?
2. Сольо существует различных телефонных номеров, если
аждый номер содержит не более семи цифр? (Считается, что
телефонный номер может начинаться с нуля.)
3. Пусть бувы неоторой азбуи представляют собой по-
следовательности точе, тире и пробелов. Сольо различных
був можно образовать, если использовать 5 символов?
4. В неотором осударстве нет двух жителей с одинаовым
набором зубов. Каова может быть наибольшая численность
населения осударства (наибольшее число зубов равно 32)?
5. Пусть p1, ..., p m — различные простые числа. Сольо
делителей имее т число q =
...
,деk1,k2,...,km—не-
оторые натуральные числа (делители 1 и q влючаются)?
6. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров, если в аждом номере нет повторяющихся цифр?
Cn
r
An
r
Pr
-- -- ---
nn1
–
()
...
nr
–1
+
()
r!
-------------------------------------------------------------
-
n!
r! nr
–
()
!
-------------------------
Cn
r
p1
k1
p2
k2
pm
km
494
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. Сольо существует различных исходов эсперимента, свя-
занноо с n бросаниями монеты? (Исходы двух эспериментов
считаются различными, если очередность выпадения ербов в
этих эспериментах не совпадает с очередностью выпадения
цифр.)
18. Сольо существует таих перестаново семи учениов,
при оторых три определенных учениа находятся рядом дру
с друом?
19. На нижной поле находится собрание сочинений в 30 то-
мах. Сольими различными способами можно переставить ни-
и, чтобы:
1а) тома I и II находились рядом;
1б) тома III и IV не находились рядом?
10. Сольо различных аордов можно взять на 10 выбран-
ных лавишах рояля, если аждый аорд содержит от трех
до десяти звуов?
11. Собрание из 40 челове избирает председателя, серета-
ря и 5 членов неоторой омиссии. Сольо различных омис-
сий можно составить?
Если требуется определить число различных выборо, состав-
ленных из несольих разнородных рупп элементов, то удоб-
но считать, что элементы аждой руппы выб ираются из своео
исходноо множества, т. е . число различных исходных мно-
жеств совпадает с числом различных рупп, элеме нты оторых
представлены в выборе. Та, например, пусть требуется соста-
в ить сборную оманду восьми областей, состоящую из 24
спортсме нов, в оторую от аждой области войдет 3 спортсме-
на. Эта в ыбора содержит 24 элемента, оторые набираются из
в осьми исходных множеств, причем из аждоо отдельноо
множества выбирается 3 элемента.
Пример2.Вурненаходятсяmбелыхиnчерныхшаров.
Сольими способами можно выбрать из урны r шаров, из о-
торых k шаров оажутся белыми? (Считается, что шары аж-
доо цвета различны, например, прону мерованы.)
Р е ш е н и е. Число способов , оторыми можно выбрать k бе-
лых шаров из имеющихся m белых шаров, равно
; тода ос-
тавшиеся r – k черных шаров из руппы в n шаров можно вы-
брать
способами. При этом аждому способу выбора k
белых шаров соответствует
различных способов выбора
Cm
k
Cn
rk
–
Cn
rk
–
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки
495
черных. Следовательно, общее число различных выборо равно
произведению
.
Ответ.
способами.
12. Из 10 роз и 8 еоринов нужно составить бует, содер-
жащий две розы и три еорина. Сольо можно составить раз-
личных буетов?
13. В олоде 36 арт, из них четыре туза. Сольими спосо-
бами можно сдать 6 арт та, чтобы среди них было два туза?
14. Комплесная бриада состоит из двух маляров, трех шту-
атуров и одноо столяра. Сольо различных бриад можно
создать из рабочео оллетива, в отором 15 маляров, 10 шту-
атуров и 5 столяров?
15. В лотерее «Спортлото» разырываются 6 из 49 видов
спорта. Главный выирыш падает на ту арточу, де уаданы
правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта уазан под нео-
торым номером.) Меньшие призы достаются тем, что уадал 5,
4 и 3 номера из 6. Сольо может быть различных арточе,
де уаданы: а) 5; б) 4; в) 3 из 6 номеров, если на аждой ар-
точе произвольно зачериваются 6 номеров? (Карточи, на о-
торых вычериваются одни и те же номера, считаются одина-
овыми.)
16. Сольо оружностей можно провести через 10 точе,
из оторых ниаие четыре не лежат на одной оружности и
ниаие три не лежат на одной прямой, если аждая оруж-
ность проходит через три точи?
17. Из олоды, содержащей 52 арты (из них четыре туза),
извлели 10 арт. В сольих случаях среди этих арт будет
хотя бы один туз?
18. Сольими способами из олоды в 52 арты (из них че-
тыре туза и четыре ороля) можно извлечь 6 арт, содержащих
туза и ороля одной масти?
19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 жен-
щин. Сольими способами можно составить четыре смешан-
ные пары?
20. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом чис-
ле содержалась одна цифра 1?
21. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
ставить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе
содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)
Cm
kCn
rk
–
Cm
kCn
rk
–
494 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. Сольо существует различных исходов эсперимента, свя-
занноо с n бросаниями монеты? (Исходы двух эспериментов
считаются различными, если очередность выпадения ербов в
этих эспериментах не совпадает с очередностью выпадения
цифр.)
18. Сольо существует таих перестаново семи учениов,
при оторых три определенных учениа находятся рядом дру
с друом?
19. На нижной поле находится собрание сочинений в 30 то-
мах. Сольими различными способами можно переставить ни-
и, чтобы:
1а) тома I и II находились рядом;
1б) тома III и IV не находились рядом?
10. Сольо различных аордов можно взять на 10 выбран-
ных лавишах рояля, если аждый аорд содержит от трех
до десяти звуов?
11. Собрание из 40 челове избирает председателя, серета-
ря и 5 членов неоторой омиссии. Сольо различных омис-
сий можно составить?
Если требуется определить число различных выборо, состав-
ленных из несольих разнородных рупп элементов, то удоб-
но считать, что элементы аждой руппы выбираются из своео
исходноо множества, т. е. число различных исходных мно-
жеств совпадает с числом различных рупп, элементы оторых
представлены в выборе. Та, например, пусть требуется соста-
вить сборную оманду восьми областей, состоящую из 24
спортсменов, в оторую от аждой области войдет 3 спортсме-
на. Эта выбора содержит 24 элемента, оторые набираются из
восьми исходных множеств, причем из аждоо отдельноо
множества выбирается 3 элемента.
Пример2.Вурненаходятсяmбелыхиnчерныхшаров.
Сольими способами можно выбрать из урны r шаров, из о-
торых k шаров оажутся белыми? (Считается, что шары аж-
доо цвета различны, например, пронумерованы.)
Р е ш е н и е. Число способов, оторыми можно выбрать k бе-
лых шаров из имеющихся m белых шаров, равно ; тода ос-
тавшиеся r – k черных шаров из руппы в n шаров можно вы-
брать
способами. При этом аждому способу выбора k
белых шаров соответствует
различных способов выбора
Cm
k
Cn
rk
–
Cn
rk
–
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки
495
черных. Следовательно, общее число различных выборо равно
произведению
.
Ответ.
способами.
12. Из 10 роз и 8 еоринов нужно состав ить бует, содер-
жащий две розы и три еорина. Сольо можно составить раз-
личных буетов?
13. В олоде 36 арт, из них четыре туза. Сольими спосо-
бами можно сдать 6 арт та, чтобы среди них б ыло два туза?
14. Комплесная бриада состоит из двух маляров, трех шту-
атуров и одноо столяра. Сольо различных бриад можно
создать из рабочео оллетива, в отором 15 маляров, 10 шту-
атуров и 5 столяров?
15. В лотерее «Спортлото» разырываются 6 из 49 видов
спорта. Главный выирыш падает на ту арточу, де уаданы
правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта уазан под нео-
торым номером.) Меньшие призы достаются тем, что уадал 5,
4 и 3 номера из 6. Сольо может быть различных арточе,
де уаданы: а) 5; б) 4; в) 3 из 6 номеров, если на аждой ар-
точе произвольно зачериваются 6 номеров? (Карточи, на о-
торых вычериваются одни и те же номера, считаются одина-
овыми.)
16. Сольо оружностей можно провести через 10 точе,
из оторых ниаие четыре не лежат на одной оружности и
ниаие три не лежат на одной прямой, если аждая оруж-
ность проходит через три точи?
17. Из олоды, содержащей 52 арты (из них чет ыре туза),
извлели 10 арт. В сольих случаях среди этих арт будет
хотя бы один туз?
18. Сольими способами из олоды в 52 арты (из них че-
тыре туза и четыре ороля) можно извлечь 6 арт, содержащих
туза и ороля одной масти?
19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 жен-
щин. Сольими способами можно составить четыре смешан-
ные пары?
20. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом чис-
ле содержалась одна цифра 1?
21. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
ставить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе
содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)
Cm
k
Cn
rk
–
Cm
k
Cn
rk
–
496
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
§ 83. Перестановки и сочетания
с заданным числом повторений
Рассмотрим выбори, отдельные элементы оторых повто-
ряются заданное число раз. Пусть выбора состоит из m элемен-
тов, среди оторых неоторый элемент (будем для определеннос-
ти считать ео первым) повторяется n1 раз, друой (второй) —
n2 раз, ..., k-й элемент повторяется nk раз. О чевидно, что
n1+n2+...+nk=m.
Набор натуральных чисел (n1, ..., nk) будем называть соста-
вом выбор
и. Состав выбори определяет, из сольих различ-
ных рупп элементов состоит выбора и сольо одинаовых
элементов аждой руппы в ней присутствует. Та, например,
в ыбора состава (1, 2, 4) состоит из трех рупп элеме нтов, при-
чем из первой руппы в выборе присутствует один элемент, из
в торой — два, а из третьей — четыре одинаовых элемента.
Число различных выборо одноо состава называют числом
перестаново
из m элементов с заданным числом повторе-
ний n1, ..., nk. Оно находится по формуле
Pm(n1, ..., nk) =
.
(1)
П р и м е р 1. Требуется составить расписание отправления
поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы
т ри дня отправлялись по два поезда в день, два дня — по од-
ному поезду, два дня — по три поезда. Сольо можно соста-
в ить различных расписаний?
Р е ш е н и е. Количество поездов, отправляемых в день (чис-
ла 1, 2, 3) — это три руппы одинаовых элементов, из ото-
рых должна быть составлена выбора. При этом в расписании
на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется
3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Таим образом, оличест-
во различных расписаний равно
P(2,3,2)=
= 210.
Ответ.210расписаний.
m!
n1!...nk!
------------------------
7!
2!3!2!
⋅⋅
-------------------------
§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений 497
Число различных составов выбори объема m, образованной
из k рупп одинаовых элементов, выражается формулой*
=
=
.
(2)
Пример 2. По k ящиам следует разместить R шаров.
Сольими способами это можно сделать? (Считается, что вмес-
тимость ящиа достаточна для всех шаров.)
Р е ш е н и е. Для удобства будем считать, что имеется k
ящиов, в аждом из оторых число шаров может меняться
от 0 до R. Тода, считая, что аждый ящи соответствует руп-
пе однородных элементов, получим k различных рупп, из ото-
рых производится выбора с повторениями, имеющая объем R.
Различные способы размещения шаров соответствуют различ-
ным составам уазанной выбори, т. е.
=
=
.
1. Сольо различных омбинаций був можно получить из
був слова «МИССИСИПИ»?
2. Сольо различных наборов по 8 пирожных в аждом мож-
но составить, используя 4 сорта пирожных?
3. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 этажах.
На аждом этаже может выйти определенное число пассажи-
ров (от нуля до семи). Сольими способами моут распреде-
литься между этими остановами пассажиры, находящиеся
в абине лифта? (Способы различаются тольо числом людей,
вышедших на данном этаже.)
4. При ире в бридж между четырьмя ироами распределя-
ется олода из 52 арт по 13 арт аждому ироу. Сольо су-
ществует различных способов раздать арты?
5. Бросают 12 иральных остей. Сольо существует спосо-
бов, при оторых аждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает
дважды?
6. Имеются m белых и n черных шаров, причем m > n. Соль-
ими способами можно разложить все шары в ряд та, чтобы
ниаие два черных шара не лежали рядом?
* Формулу (2) можно получить, если найти число перестаново
с повторениями из m + k – 1 элементов, де m—число элементов ис-
ходной выбори, а k – 1 — число раниц, отделяющих руппы одина-
овых элементов.
Ck
m
Ckm1–
+
m
km1–
+
()
!
m!k 1–
()
!
--------------------------------
Ck
R
CRk1–
+
R
Rk1–
+
()
!
R!k 1–
()
!
-------------------------------
496 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
§ 83. Перестановки и сочетания
с заданным числом повторений
Рассмотрим выбори, отдельные элементы оторых повто-
ряются заданное число раз. Пусть выбора состоит из m элемен-
тов, среди оторых неоторый элемент (будем для определеннос-
ти считать ео первым) повторяется n1 раз, друой (второй) —
n2 раз, ..., k-й элемент повторяется nk раз. Очевидно, что
n1+n2+...+nk=m.
Набор натуральных чисел (n1, ..., nk) будем называть соста-
вом выбор
и. Состав выбори определяет, из сольих различ-
ных рупп элементов состоит выбора и сольо одинаовых
элементов аждой руппы в ней присутствует. Та, например,
выбора состава (1, 2, 4) состоит из трех рупп элементов, при-
чем из первой руппы в выборе присутствует один элемент, из
второй — два, а из третьей — четыре одинаовых элемента.
Число различных выборо одноо состава называют числом
перестаново
из m элементов с заданным числом повторе-
ний n1, ..., nk. Оно находится по формуле
Pm(n1, ..., nk) =
.
(1)
П р и м е р 1. Требуется составить расписание отправления
поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы
три дня отправлялись по два поезда в день, два дня — по од-
ному поезду, два дня — по три поезда. Сольо можно соста-
вить различных расписаний?
Р е ш е н и е. Количество поездов, отправляемых в день (чис-
ла 1, 2, 3) — это три руппы одинаовых элементов, из ото-
рых должна быть составлена выбора. При этом в расписании
на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется
3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Таим образом, оличест-
во различных расписаний равно
P(2,3,2)=
= 210.
Ответ.210расписаний.
m!
n1!...n k!
------------------------
7!
2!3!2!
⋅⋅
-------------------------
§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений
497
Число различных составов выбори объема m, образованной
из k рупп одинаов ых элементов, выражается формулой*
=
=
.
(2)
Пример 2. По k ящиам следует разместить R шаров.
Сольими способами это можно сделать? (Считается, что вмес-
тимость ящиа достаточна для всех шаров.)
Р е ш е н и е. Для удобства будем считать, что имеется k
ящиов, в аждом из оторых число шаров может менят ься
от 0 до R. Тода, считая, что аждый ящи соответствует руп-
пе однородных элементов, получим k различных рупп, из ото-
рых производится выбора с повторениями, имеющая объем R.
Различные способы размещения шаров соответствуют различ-
ным составам уазанной выбори, т. е .
=
=
.
1. Сольо различных омбинаций був можно получить из
був слова «МИССИСИПИ»?
2. Сольо различных наборов по 8 пирожных в аждом мож-
но составить, используя 4 сорта пирожных?
3. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 этажах.
На аждом этаже может выйти определенное число пассажи-
ров (от нуля до семи). Сольими способами моут распреде-
литься между этими остановами пассажиры, находящиеся
в абине лифта? (Способы различаются тольо числом людей,
вышедших на данном этаже.)
4. При ире в бридж между четырьмя ироами распределя-
ется олода из 52 арт по 13 арт аждому ироу. Сольо су-
ществует различных способов раздать арты?
5. Бросают 12 иральных остей. Сольо существует спосо-
бов, при оторых аждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает
дважды?
6. Имеются m белых и n черных шаров, причем m > n. Соль-
ими способами можно разложить все шары в ряд та, чтобы
ниаие два черных шара не лежали рядом?
* Формулу (2) можно получить, если найти число перестаново
с повторениями из m + k – 1 элементов, де m—число элементов ис-
ходной выбори, а k – 1
—
число раниц, отделяющих руппы одина-
овых элементов.
Ck
m
Ckm1
–
+
m
km1
–
+
()
!
m!k 1
–
()
!
--------------------------------
Ck
R
CRk1
–
+
R
Rk1
–
+
()
!
R!k 1
–
()
!
-------------------------------
498
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. При бросании монеты будет считать успехом выпадение
ерба и неудачей выпадение цифры. Сольо различных испы-
таний моло привести 52 успе хам при 100 подбрасываниях
монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 броса-
ний; два испытания считаются различными, если не совпадают
результаты хотя бы двух бросаний.)
8. Два варианта онтрольной работы были выданы 12 учени-
ам. Сольими способами можно посадить учениов в два ря-
да по 6 челове та, чтобы у сидящих рядом не было одинао-
вых вариантов, а у сидящих дру за друом б ыл один и тот же
вариант?
9. На нижной поле находятся нии по математие и лои-
е — всео 20 ни. Доажите, что наибольшее оличество ва-
риантов омплета, содержащео 5 ни по математие и 5 ни
по лоие, возможно в том случае , ода число ни на поле
по аждому предмету равно 10.
§ 84. Бином Ньютона
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по
формуле
=
an+
an–1b+ an–2b2+...
... +
an–mbm+...+
.
(1)
Правую часть этой формулы называют разложением степени
бинома, а оэффициенты
=
—
биномиальными
оэффициентами. Общий вид слаае мых в правой части фор-
мулы (1) обычно записывают следующим образом*:
Tk=
an–kbk, k =0,1,2, ..., n.(
2
)
Число все х слааемых разложения равно n + 1.
* Используют таже формулу
Tk=
an–kbk=
an – kbk.
(ab
)n
+
Cn
0
Cn
1
Cn
2
Cn
m
Cn
n
bn
Cn
m
n!
m! nm
–
()
!
------------------------------
Cn
k
nn1
–
()
... nk
–1
+
()
k!
-----------------------------------------------------------
Cn
k
§ 84. Бином Ньютона
499
Пример1.Найтичленразложения x+
,несо-
держащий x (т. е. содержащий x в нулевой степени).
Р е ш е н и е. Соласно формуле общео члена (2), имеем
Tk= x10–k
.
По условию число k должно удовлетворять уравнению
10–k–4k=0,
(*)
оторое имеет единственный орень k = 2. Таим образом, ис-
омым является второй член разложения:
T2= x8 = =45.
Ответ. 45.
П р и м е р 2. Найти шестой член разложения
,
если биномиальный оэффициент третьео от онца члена ра-
вен 45.
Р е ш е н и е. Сначала найдем степень бинома. Соласно ус-
ловию, число n удовлетворяет уравнению
==
= 45,
оторое имеет орни n1 = 10, n2 = –9. Та а n2 = –9 не явля-
ется натуральным числом, то степень бинома есть число n = 10.
Следовательно, шестой член разложения запишется в виде
T6 = (y1/2)4(x1/2)6 = y2x3 = 210y2x3.
Ответ.210y2x3.
1. Найдите сумму биномиальных оэффициентов, если сте-
пень бинома равна 10.
2. Найдите номер члена разложения (x + x–2)12, не содержа-
щео x.
3. Найдите член разложения бинома
, содержа-
щий x6,5, если девятый член разложения имеет наибольший
оэффициент.
1
x4------
10
C10
k
1
x4------
k
C10
21
x8------ C10
2
(y1/2 x1/3)n
+
Cn
n2–
Cn
2 nn1
–
()
2
-----------------------
C10
6
C10
4
( xx3–
4)n
+
498 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. При бросании монеты будет считать успехом выпадение
ерба и неудачей выпадение цифры. Сольо различных испы-
таний моло привести 52 успехам при 100 подбрасываниях
монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 броса-
ний; два испытания считаются различными, если не совпадают
результаты хотя бы двух бросаний.)
8. Два варианта онтрольной работы были выданы 12 учени-
ам. Сольими способами можно посадить учениов в два ря-
да по 6 челове та, чтобы у сидящих рядом не было одинао-
вых вариантов, а у сидящих дру за друом был один и тот же
вариант?
9. На нижной поле находятся нии по математие и лои-
е — всео 20 ни. Доажите, что наибольшее оличество ва-
риантов омплета, содержащео 5 ни по математие и 5 ни
по лоие, возможно в том случае, ода число ни на поле
по аждому предмету равно 10.
§ 84. Бином Ньютона
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по
формуле
= an+ an–1b+ an–2b2+...
...+ an–mbm+...+
.
(1)
Правую часть этой формулы называют разложением степени
бинома, а оэффициенты =
— биномиальными
оэффициентами. Общий вид слааемых в правой части фор-
мулы (1) обычно записывают следующим образом*:
Tk= an–kbk, k=0,1,2,...,n.(
2
)
Число всех слааемых разложения равно n + 1.
* Используют таже формулу
Tk= an–kbk=
an – kbk.
(ab)n
+
Cn
0
Cn
1
Cn
2
Cn
m
Cn
nbn
Cn
m
n!
m! nm
–
()
!
------------------------------
Cn
k
nn 1–
()
... nk
–1
+
()
k!
-----------------------------------------------------------
Cn
k
§ 84. Бином Ньютона
499
Пример1.Найти член разложения x +
,несо-
держащий x (т. е . содержащий x в нулевой степени).
Р е ш е н и е. Соласно формуле общео члена (2), имеем
Tk=
x10–k
.
По условию число k должно удовлетворять уравнению
10–k
–
4k=0,
(*)
оторое имеет единственный орень k = 2. Таим образом, ис-
омым является второй член разложения:
T2=
x8
=
= 45.
Ответ. 45 .
П р и м е р 2. Найти шестой член разложения
,
если биномиальный оэффициент третьео от онца члена ра-
вен 45.
Р е ш е н и е. Сначала найдем степень бинома. Соласно ус-
ловию, число n удовлетворяет уравне нию
=
=
= 45,
оторое имеет орни n1 = 10, n2 = –9. Та а n2 = –9 не явля-
ется натуральным числом, то степень б инома есть число n = 10 .
Следовательно, шестой член разложения запишется в виде
T6=
(y1/2)4(x1/2)6 =
y2x3 = 210y2x3.
Ответ.210y2x3.
1. Найдите сумму биномиальных оэффициентов, если сте-
пень бинома равна 10.
2. Найдите номер члена разложения (x + x–2)12, не содержа-
щео x.
3. Найдите член разложения бинома
, содержа-
щий x6,5
, если девятый член разложения имеет наибольший
оэффициент.
1
x4
------
10
C10
k
1
x4
------
k
C10
2
1
x8
------
C10
2
(y1/2 x1/3)
n
+
Cn
n2
–
Cn
2
nn1
–
()
2
----------------------
-
C10
6
C10
4
(xx
3
–
4
)n
+
500
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
14. Найдите член разложения
+
, оторый содер-
жит x2.
5. Доажите, что сумма всех оэффициентов разложения
(2y – x)k при любом натуральном k равна 1.
16. Биномиальные оэффициенты второо и девятоо членов
разложения
равны. Найдите член разложения,
не содержащий x.
7. Найдите наибольший член разложения
+
.
18. Найдите номер наибольшео члена разложения
+
.
9. Сумма биномиальных оэффициентов разложения равна
1024. Найдите член разложения x2 +
, содержащий x11.
10. Доажите, что если степень б инома n—нечетное число,
то сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся
на четных местах, равна сумме биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах.
11. В разложении бинома a
–
определите член,
содержащий a3, если сумма биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах, равна 2048.
12. Найдите наибольший член разложения (
+
)20.
13. Третье слааемое разложения 2x +
не содержит x.
При аих x это слааемое равно второму слааемому разложе-
ния (1 + x3)30?
14. При аих положительных значениях x наибольшим сла-
аемым в разложении (5 + 3x)10 является четвертое?
15. Найдите x, при отором 50-й член разложения (x + y)100
имеет наибольшее значение, если известно, что x + y = 1,
x >0,y >0.
x
a
---
a
x2
------
8
(5x
–3/2
x
1/3
)n
–
1
2
---
1
2
---
100
9
10
------
1
10
------
100
1
x
---
n
a
3
---
5
b
a3
7
-----------
n
5
2
1
x2
------
m
§ 84. Бином Ньютона
501
16. Найдите x, при отором k-й член разложения (x + y)n
имеетнаибольшеезначение,еслиx+y=1иx>0,y>0.
Пример 3. Вразложениибинома( + )5найтичле-
ны, не содержащие иррациональности.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой общео члена разло-
жения:
Tk= ( )5–k()
k=·
.
Полученное выражение является рациональным, если
и
— целые числа. Очевидно, что число k следует исать среди
четных чисел, меньших 5. Непосредственной проверой убеж-
даемся, что единственное значение, оторое оно может прини-
мать, равно 2. Следовательно, в разложении бинома есть толь-
о один член, удовлетворяющий сформулированному условию:
T2= ·3·2=6· =60.
Ответ.60.
17. В разложении ( + )24 найдите член, не содержа-
щий иррациональности.
18. Сольо рациональных членов содержится в разложе-
нии ( + )100?
19. В разложении бинома
+
первые три оэф-
фициента образуют арифметичесую прорессию. Найдите все
рациональные члены разложения.
20. Доажите, что
1–+–+...+
=0.
21. Сравнив оэффициенты при x в обеих частях равенства
доажите, что
+
+...+
=
.
33
2
C5
k3
3
2C5
k3
5k–
3-------------
2
k
2---
5k–
3-------------
k
2---
C5
2
54
⋅
2-----------
35
27
234
x1
2 x4------------
n
Cn
1Cn
2Cn
3
(–1)n Cn
n
(1 x)m(1 + x)n
+(
1
x)mn
+
+
=,
Cn
kCm
0Cn
k1–Cm
1
Cn
0Cm
k Cmn
+
k
500 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
14. Найдите член разложения +
, оторый содер-
жит x2.
5. Доажите, что сумма всех оэффициентов разложения
(2y – x)k при любом натуральном k равна 1.
16. Биномиальные оэффициенты второо и девятоо членов
разложения
равны. Найдите член разложения,
не содержащий x.
7. Найдите наибольший член разложения
+
.
18. Найдите номер наибольшео члена разложения
+
.
9. Сумма биномиальных оэффициентов разложения равна
1024. Найдите член разложения x2 + , содержащий x11.
10. Доажите, что если степень бинома n—нечетное число,
то сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся
на четных местах, равна сумме биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах.
11. В разложении бинома a
–
определите член,
содержащий a3, если сумма биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах, равна 2048.
12. Найдите наибольший член разложения ( + )20.
13. Третье слааемое разложения 2x +
не содержит x.
При аих x это слааемое равно второму слааемому разложе-
ния (1 + x3)30?
14. При аих положительных значениях x наибольшим сла-
аемым в разложении (5 + 3x)10 является четвертое?
15. Найдите x, при отором 50-й член разложения (x + y)100
имеет наибольшее значение, если известно, что x + y = 1,
x >0,y >0.
x
a--- a
x2------
8
(5x–3/2 x1/3)n
–
1
2--- 1
2---
100
9
10------ 1
10------
100
1
x---
n
a
3---5
b
a3
7
-----------
n
52
1
x2------
m
§ 84. Бином Ньютона
501
16. Найдите x, при отором k-й член разложения (x + y)n
имеетнаибольшеезначение,еслиx+y=1иx>0,y>0.
Пример3.Вразложениибинома(
+
)5 найти чле-
ны, не содержащие иррациональности.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой общео члена разло-
жения:
Tk=
( )5–k()
k=
·
.
Полученное выражение является рациональным, если
и
—
целые числа. О чевидно, что число k следует исать среди
четных чисел, меньших 5. Непосредственной проверой убеж-
даемся, что единственное значение, оторое оно может прини-
мать, равно 2. Следовательно, в разложении б инома есть толь-
о один член, удовлетворяющий сформулированному условию:
T2=
·3·2=6·
= 60.
Ответ.60.
17. В разложении (
+
)24 найдите член, не содержа-
щий иррациональности.
18. Сольо рациональных членов содержится в разложе-
нии (
+
)100?
19. В разложении бинома
+
первые три оэф-
фициента образуют арифметичесую прорессию. Найдите все
рациональные члены разложения.
20. Доажите, что
1–
+
–
+...+
=0.
21. Сравнив оэффициенты при x в обеих частях равенства
доажите, что
+
+...+
=
.
3
3
2
C5
k
3
3
2
C5
k
3
5k
–
3
-------------
2
k
2
---
5k
–
3
-------------
k
2
---
C5
2
54
⋅
2
-----------
3
5
2
7
2
3
4
x
1
2x
4
------------
n
Cn
1
Cn
2
Cn
3
(–1)n Cn
n
(1 x)
m
(1+x)
n
+(
1
x)
mn
+
+
=,
Cn
k
Cm
0
Cn
k1
–
Cm
1
Cn
0
Cm
k
Cmn
+
k
502
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
22. Воспользовавшись результатом упр. 21, доажите, что
сумма вадратов б иномиальных оэффициентов равна
.
23. Доажите справедливость равенства
1–10
+ 102
–
103
+... – 102n–1
+ 102n = 81n.
Неоторые формулы омбинатории можно получить, диф-
ференцируя или интерируя обе части разложения бинома
, оторое справедливо при все х x.
П р и м е р 4. Доазать справедливость равенства
n
+(n–1) +...+
=n·
Р е ш е н и е. Дифференцируя разложение бинома для
имеем
+ xn–1+...+
=
= nxn–1+(n–1) xn–2+...+
.
С друой стороны, справедливо равенство
=
Подставив в тождество
= nxn–1+(n–1) xn–2+...+
значение x = 1, получим требуемое равенство:
n·
=n
+(n–1) +...+
.
24. Доажите, что
n(n–1) +(n–1)(n–2) +...+2
.
25. Доажите, что
+
+
+...+
=
–
.
26. Доажите, что
n
–
(n–1) +(n–2) –(n–3) +...+
=0.
C2n
n
C2n
1
C2n
2
C2n
3
C2n
1
(1 x)
n
+
Cn
0
Cn
1
Cn
n1
–
2n1
–
.
(1 x)
n
+,
(xn
Cn
1
Cn
n
)′
Cn
1
Cn
n1
–
[(1 x)
n
]′
+
n(1 x)
n1
–
+
·
.
n(1 x)
n1
–
+
Cn
1
Cn
n1
–
2n1
–
Cn
0
Cn
1
Cn
n1
–
Cn
0
Cn
1
Cn
n2
–
Cn
0
n1
+
--------------
Cn
1
n
-- -- ---
Cn
2
n1
–
-------------
Cn
n
1
------
-
2
n1
+
--------------
2n 1
2
---
Cn
0
Cn
1
Cn
2
Cn
3
(–1)
n1
–
Cn
n1
–
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики
503
27. Доажите, что
–
+...–
=
28. Упростите выражение P1 + 2P2 + ... + nPn.
29. Доажите, что
+
+...+
=
–
.
30. Доажите неравенство
m( )2.
§ 85. Вычисление вероятностей
с помощью формул комбинаторики
Пусть в лотерее, де разырывается 10 билетов, принимают
участие несольо челове. На аждом билете записывают имя
одноо из участниов, после чео все билеты тщательно переме-
шивают. Затем науад выбирают один билет, и тот, чье имя за-
писано на билете, получает приз. Каовы шансы получить
приз неоторому участниу лотереи? Если имя этоо участни-
а написано тольо на одном билете, то у нео один шанс из де-
сяти, если на двух, то два из десяти, и т. д.
Извлечение любоо билета с именем этоо участниа счита-
ется блаоприятным исходом. Число таих исходов, очевидно,
совпадает с числом билетов, на оторых написано ео имя.
Шансы данноо участниа на выирыш определяются долей
блаоприятных исходов среди всех равновозможных исходов
эсперимента. Чтобы найти эту долю, нужно число блаопри-
ятных исходов разделить на число всех исходов эсперимента.
При мнооратном проведении эсперимента ео результа-
ты поазывают, что отношение числа исходов, при оторых
данный участни выирывает, числу всех исходов эспери-
мента оазывается близим доле тех билетов, на оторых на-
писано имя участниа, среди всех билетов, разырываемых
в лотерее. Поэтому вероятностью выирыша естественно счи-
тать отношение числа блаоприятных исходов числу всех
возможных исходов эсперимента.
Подойдем теперь понятию вероятности более формально.
Для этоо введем следующее определение: будем называть эле-
ментарным событием любой из равновозможных исходов
Cn
1
n------- Cn
2
n 1–-------------
1–()nCn
n
2
----------------------
0, n=2l,
, n=2l+1.
2
n1+
--------------
Cn
mCn1–
m
Cn 10–
m
Cn 1+
m1
+ Cn10
–
m1
+
C2nx
+
n C2nx
–
n
C2n
n
502 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
22. Воспользовавшись результатом упр. 21, доажите, что
сумма вадратов биномиальных оэффициентов равна .
23. Доажите справедливость равенства
1–10 +102 –103 +...–102n–1 +102n=81n.
Неоторые формулы омбинатории можно получить, диф-
ференцируя или интерируя обе части разложения бинома
, оторое справедливо при всех x.
П р и м е р 4. Доазать справедливость равенства
n +(n–1) +...+
=n·
Р е ш е н и е. Дифференцируя разложение бинома для
имеем
+ xn–1+...+ =
=nxn–1+(n–1) xn–2+...+
.
С друой стороны, справедливо равенство
=
Подставив в тождество
=nxn–1+(n–1) xn–2+...+
значение x = 1, получим требуемое равенство:
n·
=n +(n–1) +...+
.
24. Доажите, что
n(n–1) +(n–1)(n–2) +...+2 .
25. Доажите, что
++
+...+ =
–.
26. Доажите, что
n –(n–1) +(n–2) –(n–3) +...+
=0.
C2n
n
C2n
1
C2n
2
C2n
3
C2n
1
(1 x)n
+
Cn
0
Cn
1
Cn
n1–
2n1–.
(1 x)n
+,
(xn Cn
1
Cn
n)′
Cn
1
Cn
n1–
[(1 x)n]′
+
n(1 x)n 1–
+
·
.
n(1 x)n 1–
+
Cn
1
Cn
n1–
2n1– Cn
0
Cn
1
Cn
n1–
Cn
0
Cn
1
Cn
n2–
Cn
0
n1+
-------------- Cn
1
n------- Cn
2
n 1–-------------
Cn
n
1------- 2
n1+
--------------
2n 1
2---
Cn
0
Cn
1
Cn
2
Cn
3
(–1)n 1– Cn
n1–
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики
503
27. Доажите, что
–
+... –
=
28. Упростите выражение P1 + 2P2 + ... + nPn
.
29. Доажите, что
+
+...+
=
–
.
30. Доажите неравенство
m( )2.
§ 85. Вычисление вероятностей
с помощью формул комбинаторики
Пусть в лотерее, де разырывается 10 билетов, принимают
участие несольо челове. На аждом билете записывают имя
одноо из участниов, после чео все билеты тщательно переме-
шивают. Затем науад выбирают один билет, и тот, чье имя за-
писано на билете, получае т приз. Каовы шансы получить
приз неоторому участниу лотереи? Если имя этоо участни-
а написано тольо на одном билете, то у нео один шанс из де-
сяти, если на двух, то два из десяти, и т. д.
Извлечение любоо билета с именем этоо участниа счита-
ется блаоприятным исходом. Число таих исходов, очевидно,
совпадает с числом билетов, на оторых написано ео имя.
Шансы данноо участниа на выирыш определяются долей
блаоприятных исходов среди всех равновозможных исходов
эсперимента. Чтобы найти эту долю, нужно число блаопри-
ятных исходов разделить на число всех исходов эсперимента.
При мнооратном проведении эсперимента ео результа-
ты поазывают, что отношение числа исходов, при оторых
данный участни выиры вает, числу все х исходов эспери-
мента оазывается близим доле тех билетов, на оторых на-
писано имя участниа, среди всех билетов, разырываемых
в лотерее. Поэтому вероятностью выирыша естественно счи-
тать отношение числа блаоприятных исходов числу всех
возможных исходов эсперимента.
Подойдем теперь понятию вероятности более формально.
Для этоо введем следующее определение: будем называть эле-
ментарным событием любой из равновозможных исходов
Cn
1
n
-------
Cn
2
n1
–
-------------
1
–
()nCn
n
2
----------------------
0,
n=2l,
,
n=2l+1.
2
n1
+
--------------
Cn
m
Cn1
–
m
Cn 10
–
m
Cn1
+
m1
+
Cn 10
–
m1
+
C2nx
+
n
C2nx
–
n
C2n
n
504
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
эсперимента (в рассмотренном примере элементарным исхо-
дом является извлечение одноо из билетов). Множество всех
равновозможных исходов назовем пространством элементар-
ных событий, а аждое элементарное событие — точ
ой это-
о пространства (в рассмотренном примере пространство эле-
ме нтарных событий состоит из 10 точе).
Совоупность элементарных событий, объединяющая все
исходы, при оторых происходит событие A, называют множе-
ством элементарных событий, блаоприятствющих со-
бытию B. Вероятностью события A называют отношение
числа блаоприятствующих ему элементарных событий числу
в сех возможных элементарных событий. Если число исходов,
блаоприятствующих событию A, равно m, а число все х точе,
составляющих пространство элеме нтарных событий, равно n,
то вероятность P(A) события A выразится дробью:
P(A) =
.
(1)
В задачах, де число все х возможных элементарных собы-
тий является онечным, число элементарных событий, блао-
приятствующих событию A, можно найти непосредственно.
П р и м е р 1. В лассе, состоящем из 20 учениов, 15 чело-
ве занимаются в математичесом руже. Каова вероятность
тоо, что наудачу выбранный уче ни оажется членом мате ма-
тичесоо ружа?
Р е ш е н и е. Пусть событие A состоит в том, что наудачу
в ыбранный учени является членом математичесоо ружа.
Тода число элементарных событий, блаоприятствующих собы-
тию A, равно 15. Число всех элементарных событий в данном
случае равно 20. Следовательно, исомая вероятность равна
P(A)= =
.
Ответ..
П р и м е р 2. Бросают две иральные ости. Каое событие
более вероятно: сумма очов на выпавших ранях равна 11 или
сумма очов на выпавших ранях равна 4?
Р е ш е н и е. Поставим в соответствие исходу эсперимента
упорядоченную пару чисел (x; y), де x означает число очов,
выпавших на первой ости, а y—на второй. Тода пространст-
в о всех элементарных событий состоит их множества пар (x; y),
m
n
-----
15
20
------
3
4
---
3
4
---
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики
505
де x и y принимают значения от 1 до 6. Число таих пар рав-
но 36. Событию A, состоящему в том, что сумма очов, выпав-
ших на двух остях, равна 11, блаоприятствуют два элемен-
тарных события, оторым соответствуют пары (6; 5) и (5; 6).
Событию B, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на
двух остях, равна 4, блаоприятствуют три элементарных со-
бытия, оторым соответствуют пары (1; 3), (3; 1), (2; 2).
Вероятности событий A и B равны соответственно
P(A)== иP(B)==,
и, следовательно, событие B более вероятно.
Ответ. Второе событие более вероятно.
11. Каова вероятность тоо, что наудачу вырванный лис-
то из новоо алендаря соответствует первому числу месяца?
(Год считается не висоосным.)
12. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное число
от 1 до 12 оажется делителем числа 12? (Единица считается
делителем любоо числа.)
3. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное двузнач-
ное число делится на 3?
14. Найдите вероятность тоо, что наудачу выбранный член
последовательности un = n2 + 1 (n = 1, 2, ..., 10) делится на 5.
15. В урне находятся 10 белых шаров и 3 расных. Каова
вероятность извлечь из урны расный шар?
6. Монету бросают три раза. Каое из событий более вероят-
но: событие A—все три раза выпала цифра, или событие B—
два раза выпала цифра и один раз ерб? Найдите вероятности
этих событий.
17. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях равна 7?
18. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях четная?
19. При перевозе 100 деталей, из оторых 10 были забрао-
ваны, утеряна одна стандартная деталь. Найдите вероятность
тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась стандартной.
10. В условиях упр. 9 найдите вероятность тоо, что науда-
чу извлеченная деталь оазалась браованной.
11. В семье трое детей. Каова вероятность тоо, что все они
мальчии? (Предполаается, что вероятности рождения маль-
чиа и девочи одинаовы.)
2
36------ 1
18------
3
36------ 1
12------
504 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
эсперимента (в рассмотренном примере элементарным исхо-
дом является извлечение одноо из билетов). Множество всех
равновозможных исходов назовем пространством элементар-
ных событий, а аждое элементарное событие — точ
ой это-
о пространства (в рассмотренном примере пространство эле-
ментарных событий состоит из 10 точе).
Совоупность элементарных событий, объединяющая все
исходы, при оторых происходит событие A, называют множе-
ством элементарных событий, блаоприятствющих со-
бытию B. Вероятностью события A называют отношение
числа блаоприятствующих ему элементарных событий числу
всех возможных элементарных событий. Если число исходов,
блаоприятствующих событию A, равно m, а число всех точе,
составляющих пространство элементарных событий, равно n,
то вероятность P(A) события A выразится дробью:
P(A)= .
(1)
В задачах, де число всех возможных элементарных собы-
тий является онечным, число элементарных событий, блао-
приятствующих событию A, можно найти непосредственно.
П р и м е р 1. В лассе, состоящем из 20 учениов, 15 чело-
ве занимаются в математичесом руже. Каова вероятность
тоо, что наудачу выбранный учени оажется членом матема-
тичесоо ружа?
Р е ш е н и е. Пусть событие A состоит в том, что наудачу
выбранный учени является членом математичесоо ружа.
Тода число элементарных событий, блаоприятствующих собы-
тию A, равно 15. Число всех элементарных событий в данном
случае равно 20. Следовательно, исомая вероятность равна
P(A)= = .
Ответ..
П р и м е р 2. Бросают две иральные ости. Каое событие
более вероятно: сумма очов на выпавших ранях равна 11 или
сумма очов на выпавших ранях равна 4?
Р е ш е н и е. Поставим в соответствие исходу эсперимента
упорядоченную пару чисел (x; y), де x означает число очов,
выпавших на первой ости, а y—на второй. Тода пространст-
во всех элементарных событий состоит их множества пар (x; y),
m
n-----
15
20------ 3
4---
3
4---
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики
505
де x и y принимают значения от 1 до 6. Число таих пар рав-
но 36. Событию A, состоящему в том, что сумма очов, выпав-
ших на двух остях, равна 11, блаоприятствуют два элемен-
тарных события, оторым соответствуют пары (6; 5) и (5; 6).
Событию B, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на
двух остях, равна 4, блаоприятствуют три элементарных со-
бытия, оторым соответствуют пары (1; 3), (3; 1), (2; 2).
Вероятности событий A и B равны соответственно
P(A)= =
и P(B)= =
,
и, следовательно, событие B более вероятно.
Ответ. Второе событие более вероятно.
11. Каова вероятность тоо, что наудачу вырванный лис-
то из новоо алендаря соответствует первому числу месяца?
(Год считается не висоосным.)
12. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное число
от 1 до 12 оажется делителем числа 12? (Единица считается
делителем любоо числа.)
3. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное двузнач-
ное число делится на 3?
14. Найдите вероятность тоо, что наудачу выбранный член
последовательности un
= n2+1(n=1,2, ..., 10)делитсяна5.
15. В урне находятся 10 белых шаров и 3 расных. Каова
вероятность извлечь из урны расный шар?
6. Монету бросают три раза. Каое из событий более вероят-
но: событие A—все три раза выпала цифра, или событие B—
два раза выпала цифра и один раз ерб? Найдите вероятности
этих событий.
17. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях равна 7?
18. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях четная?
19. При перевозе 100 деталей, из оторых 10 были забрао-
ваны, утеряна одна стандартная деталь. Найдите вероятность
тоо, что наудачу извлече нная деталь оазалась стандартной.
10. В условиях упр. 9 найдите вероятность тоо, что науда-
чу извлеченная деталь оазалась браованной.
11. В семье трое детей. Каова вероятность тоо, что все они
мальчии? (Предполаается, что вероятности рождения маль-
чиа и девочи одинаовы.)
2
36
------
1
18
------
3
36
------
1
12
------
506
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
В неоторых случаях для непосредственноо подсчета вероят-
ности события A удобно использовать формулы омбинатории.
П р и м е р 3. Найти вероятность тоо, что все учащиеся
в руппе, состоящей из 40 челове, родились в разные дни ода.
Р е ш е н и е. Все возможные исходы эсперимента представ-
ляются различными выборами, содержащими по 40 элемен-
тов из исходноо множества объема 365. При этом выбора мо-
жет содержать одинаовые элементы (та а любой день мо-
жет быть днем рождения несольих челове). Следовательно,
пространство элементарных событий содержит 40365 различ-
ных выборо. Блаоприятным событиям будут соответствовать
в ыбори, не содержащие одинаовых элементов. Имеется
таих выборо. Ита, исомая вероятность равна P(A) =
.
При выполне нии упр. 12 —17 используйте формулы числа
размещений, сочетаний, перестаново.
12. В урне находятся n белых и m расных шаров. Каова
в ероятность тоо, что наудачу взятые два шара оажутся рас-
ными?
13. Набирая номер телефона, абоне нт забыл три последние
цифры и, помня тольо, что они различны, набрал их наудачу.
Каова вероятность, что он набрал нужные цифры?
14. К онцу дня в маазине осталось 60 арбузов, из оторых
50 спелых. Поупатель выб ирает два арбуза. Каова вероят-
ность тоо, что они оба спелые?
15. В урне находятся n белых, m черных, k расных шаров.
Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что все
они разноо цвета?
16. В эзаменационный билет входят 4 вопроса прораммы,
насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов
прораммы. Каова вероятность тоо, что он вытянет билет,
де все вопросы е му известны?
17. На арточах написаны целые числа от 1 до 15. Науда-
чу извлеают две арточи. Каова вероятность тоо, что сум-
ма цифр, написанных на этих арточах, будет равна 10?
При выполнении упр. 18 —22 используйте формулу числа
перестаново с заданным числом повторений.
18. Каова вероятность тоо, что при случайном расположе-
нии в ряд убиов, на оторых написаны бувы «а», «а», «а»,
«н», «н», «с», получится слово «ананас»?
A365
40
A 365
40
40365
--------------
-
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики
507
19. На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом
садятся семь учениов. Найдите вероятность тоо, что три оп-
ределенных учениа оажутся рядом.
20. На нижной поле случайным образом расставлены
4 нии по алебре и 3 по еометрии. Каова вероятность тоо,
что нии по аждому предмету стоят рядом?
21. Найдите вероятность тоо, что при ире в бридж (четы-
рем ироам из олоды в 52 арты раздаются по 13 арт) аж-
дый иро получит по одному тузу.
22. Известно, что при 10-ратном бросании монеты 5 раз
выпали ербы и 5 раз цифры. Каова вероятность тоо, что все
ербы выпали при первых пяти бросаниях?
П р и м е р 4. Из 15 строительных рабочих 10 — штуату-
ры, а 5 — маляры. Наудачу отбирают бриаду из 5 рабочих.
Каова вероятность тоо, что среди них будет 3 маляра и
2 штуатура?
Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий содер-
жит все выбори различноо состава, объем оторых равен 5,
из множества, имеющео объем 15. Число таих выборо рав-
но . Блаоприятным событиям соответствуют выбори, со-
держащие трех маляров и двух штуатуров. Трех маляров из
пяти можно выбрать способами, а двух штуатуров (неза-
висимо от предыдущео выбора) способами.
Следовательно, число выборо, соответствующих блаопри-
ятным событиям, равно произведению
. Ита, исомая
вероятность определяется выражением P(A) =
.
Ответ..
В общем случае вероятность получить выбору объема k + r,
де k элементов принадлежат одной руппе, состоящей из n эле-
ментов, а r—друой, состоящей из m элементов, определяется
формулой
P(A) =
.
(2)
C15
5
C5
3
C10
2
C5
3 C10
2
C5
3C10
2
C15
5
----------------
C5
3C10
2
C15
5
----------------
Cn
kCm
r
Cmn
+
kr
+
----------------
506 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
В неоторых случаях для непосредственноо подсчета вероят-
ности события A удобно использовать формулы омбинатории.
П р и м е р 3. Найти вероятность тоо, что все учащиеся
в руппе, состоящей из 40 челове, родились в разные дни ода.
Р е ш е н и е. Все возможные исходы эсперимента представ-
ляются различными выборами, содержащими по 40 элемен-
тов из исходноо множества объема 365. При этом выбора мо-
жет содержать одинаовые элементы (та а любой день мо-
жет быть днем рождения несольих челове). Следовательно,
пространство элементарных событий содержит 40365 различ-
ных выборо. Блаоприятным событиям будут соответствовать
выбори, не содержащие одинаовых элементов. Имеется
таих выборо. Ита, исомая вероятность равна P(A) = .
При выполнении упр. 12—17 используйте формулы числа
размещений, сочетаний, перестаново.
12. В урне находятся n белых и m расных шаров. Каова
вероятность тоо, что наудачу взятые два шара оажутся рас-
ными?
13. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние
цифры и, помня тольо, что они различны, набрал их наудачу.
Каова вероятность, что он набрал нужные цифры?
14. К онцу дня в маазине осталось 60 арбузов, из оторых
50 спелых. Поупатель выбирает два арбуза. Каова вероят-
ность тоо, что они оба спелые?
15. В урне находятся n белых, m черных, k расных шаров.
Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что все
они разноо цвета?
16. В эзаменационный билет входят 4 вопроса прораммы,
насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов
прораммы. Каова вероятность тоо, что он вытянет билет,
де все вопросы ему известны?
17. На арточах написаны целые числа от 1 до 15. Науда-
чу извлеают две арточи. Каова вероятность тоо, что сум-
ма цифр, написанных на этих арточах, будет равна 10?
При выполнении упр. 18—22 используйте формулу числа
перестаново с заданным числом повторений.
18. Каова вероятность тоо, что при случайном расположе-
нии в ряд убиов, на оторых написаны бувы «а», «а», «а»,
«н», «н», «с», получится слово «ананас»?
A365
40
A365
40
40365
---------------
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики
507
19. На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом
садятся семь учениов. Найдите вероятность тоо, что три оп-
ределенных уче ниа оажутся рядом.
20. На нижной поле случайным образом расставлены
4 нии по алебре и 3 по еометрии. Каова вероятность тоо,
что нии по аждому предмету стоят рядом?
21. Найдите вероятность тоо, что при ире в бридж (четы-
рем ироам из олоды в 52 арты раздаются по 13 арт) аж-
дый иро получит по одному тузу.
22. Известно, что при 10-ратном бросании монеты 5 раз
выпали ербы и 5 раз цифры. Каова вероятность тоо, что все
ербы выпали при первых пяти бросаниях?
П р и м е р 4. Из 15 строительных рабочих 10 — штуату-
ры, а 5 — маляры. Наудачу отбирают бриаду из 5 рабочих.
Каова вероятность тоо, что среди них будет 3 маляра и
2 штуатура?
Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий содер-
жит все выбори различноо состава, объем оторых равен 5,
из множества, имеющео объем 15. Число таих выборо рав-
но
. Блаоприятным событиям соответствуют выбори, со-
держащие трех маляров и двух штуатуров. Трех маляров из
пяти можно выбрать
способами, а двух штуатуров (неза-
висимо от предыдущео выбора)
способами.
Следовательно, число выборо, соответствующих блаопри-
ятным событиям, равно произведению
. Ита, исомая
вероятность определяется выражением P(A) =
.
Ответ..
В общем случае вероятность получить выбору объема k + r,
де k элементов принадлежат одной руппе, состоящей из n эле-
ментов, а r—друой, состоящей из m элементов, определяется
формулой
P(A) =
.
(2)
C15
5
C5
3
C10
2
C5
3
C10
2
C5
3
C10
2
C15
5
----------------
C5
3
C10
2
C15
5
----------------
Cn
k
Cm
r
Cmn
+
kr
+
----------------
508
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
При выполнении упр. 23 —28 используйте формулу (2).
23. В ящие имеются 15 деталей, 5 из оторых орашены.
Наудачу извлеают 5 деталей. Найдите вероятность тоо, что
4 из них орашены, а одна — нет.
24. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу
отбирают m деталей. Найдите вероятность тоо, что среди ото-
бранных деталей k являются стандартными.
25. Каова вероятность лавноо выирыша в «Спортлото»
(уадать 6 номеров из 49)? Каова вероятность уадать 5; 4;
3 номера из 49?
26. Из олоды в 52 арты выбраны 6 арт. Каова вероят-
ность выбора: а) одноо туза; б) туза и ороля?
27. Имеются 6 билетов в театр, их них 4 билета на места в
первом ряду. Каова вероятность тоо, что из трех наудачу вы-
бранных билетов два оажутся на места в первом ряду?
28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 оманд. Слу-
чайным образом они делятся на две руппы по 10 оманд. Ка-
ова вероятность тоо, что две наиболее сильные оманды при
этом оажутся в одной ру ппе?
§ 86. Вычисление вероятностей
геометрическими методами
Существуют задачи, в оторых непосредственный подсчет
элементарных событий, основанный на их равновозможности и
оне чности их числа, неприоден. Рассмотрим пример. Пусть
линия элетропередач, соединяющая пунты A и B, в резуль-
тате бури оборвалась. Каова вероятность тоо, что обрыв про-
изошел на участе, залюченном между пунтами C и D, при-
надлежащими отрезу AB? Множество элеме нтарных событий
в данном случае бесонечно, та а обрыв равновозможен
в любой точе отреза AB. При этом естественно предполаать,
что вероятность обрыва на любом участе пропорциональна
длине этоо участа. Та а вероятность обрыва на всем уча-
сте равна единице (обрыв уже произошел), то вероятность об-
рыва на участе CD выразится следующим отношением:
P(A) =
.
Пусть исходы испытания, число оторых бесонечно, рас-
пределены равномерно в неоторой области S. Это значит, что
CD
AB
---------
§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами
509
вероятность события E, состоящео в том, что исход испытания
оазался залюченным в неоторой части области S, пропор-
ционален величине этой части и не зависит от ее расположения
и формы.
Таим образом,
P(E)= ,
(1)
де P(E) — вероятность события, залючающеося в том, что
наудачу выбранная точа из области S оажется в области s,
а m(s) и m(S) — величины соответствующих областей.
П р и м е р 1. Абонент ждет телефонноо вызова в течение
1 ч. Каова вероятность, что вызов произойдет в последние
20 мин этоо часа?
Решение.ПустьсобытиеEсостоитвтом,чтовызовпро-
изошел в последние 20 мин. Изобразим пространство элемен-
тарных событий в виде отреза, имеющео длину 60. Тода эле-
ментарные события, блаоприятствующие E, залючены в по-
следней трети отреза. Следовательно, P(A) = .
Ответ..
1. Минное поле зараждения устроено та, что мины пос-
тавлены вдоль неоторой прямой с интервалами 100 м между
ними. Каова вероятность тоо, что орабль шириной 20 м,
проходящий минное поле зараждения под прямым улом, подо-
рвется на мине?
2. В ру радиуса R помещен меньший ру радиуса r. Най-
дите вероятность тоо, что наудачу брошенная в большой ру
точа попадет таже и в меньший ру. (Предполаается, что
вероятность попадания в ру пропорциональна площади ру-
а и не зависит от ео расположения.)
Если случайное событие, вероятность отороо следует най-
ти, состоит в попадании точи в неоторую часть плосой фи-
уры и при этом раницы фиуры и ее части являются рафи-
ами известных фунций, то вычисление площадей, входящих
в выражение (1), сводится вычислению определенных инте-
ралов.
П р и м е р 2. Наудачу выбирают два действительных чис-
лаxиy,причем0mxm1,0mym1.Найтивероятностьтоо,
чтоy2mx.
ms()
mS
()
--------------
1
3---
1
3---
508 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
При выполнении упр. 23—28 используйте формулу (2).
23. В ящие имеются 15 деталей, 5 из оторых орашены.
Наудачу извлеают 5 деталей. Найдите вероятность тоо, что
4 из них орашены, а одна — нет.
24. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу
отбирают m деталей. Найдите вероятность тоо, что среди ото-
бранных деталей k являются стандартными.
25. Каова вероятность лавноо выирыша в «Спортлото»
(уадать 6 номеров из 49)? Каова вероятность уадать 5; 4;
3 номера из 49?
26. Из олоды в 52 арты выбраны 6 арт. Каова вероят-
ность выбора: а) одноо туза; б) туза и ороля?
27. Имеются 6 билетов в театр, их них 4 билета на места в
первом ряду. Каова вероятность тоо, что из трех наудачу вы-
бранных билетов два оажутся на места в первом ряду?
28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 оманд. Слу-
чайным образом они делятся на две руппы по 10 оманд. Ка-
ова вероятность тоо, что две наиболее сильные оманды при
этом оажутся в одной руппе?
§ 86. Вычисление вероятностей
геометрическими методами
Существуют задачи, в оторых непосредственный подсчет
элементарных событий, основанный на их равновозможности и
онечности их числа, неприоден. Рассмотрим пример. Пусть
линия элетропередач, соединяющая пунты A и B, в резуль-
тате бури оборвалась. Каова вероятность тоо, что обрыв про-
изошел на участе, залюченном между пунтами C и D, при-
надлежащими отрезу AB? Множество элементарных событий
в данном случае бесонечно, та а обрыв равновозможен
в любой точе отреза AB. При этом естественно предполаать,
что вероятность обрыва на любом участе пропорциональна
длине этоо участа. Та а вероятность обрыва на всем уча-
сте равна единице (обрыв уже произошел), то вероятность об-
рыва на участе CD выразится следующим отношением:
P(A)= .
Пусть исходы испытания, число оторых бесонечно, рас-
пределены равномерно в неоторой области S. Это значит, что
CD
AB
---------
§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами
509
вероятность события E, состоящео в том, что исход испытания
оазался залюченным в неоторой части области S, пропор-
ционален величине этой части и не зависит от ее расположения
и формы.
Таим образом,
P(E) =
,
(1)
де P(E) — вероятность события, залючающеося в том, что
наудачу выбранная точа из области S оажется в области s,
а m(s) и m(S) — величины соотве тствующих областей.
П р и м е р 1. Абонент ждет телефонноо вызова в тече ние
1 ч. Каова вероятность, что вызов произойдет в последние
20 мин этоо часа?
Решение. ПустьсобытиеEсостоитвтом,чтовызовпро-
изошел в последние 20 мин. Изобразим пространство элемен-
тарных событий в виде отреза, имеющео длину 60. Тода эле-
ментарные события, блаоприятствующие E, залючены в по-
следней трети отреза. Следовательно, P(A) =
.
Ответ..
1. Минное поле зараждения устроено та, что мины пос-
тавлены вдоль неоторой прямой с интервалами 100 м между
ними. Каова вероятность тоо, что орабль шириной 20 м,
проходящий минное поле зараждения под прямым улом, подо-
рвется на мине?
2. В ру радиуса R помещен меньший ру радиуса r. Най-
дите вероятность тоо, что наудачу брошенная в большой ру
точа попадет таже и в меньший ру. (Предполаается, что
вероятность попадания в ру пропорциональна площади ру-
а и не зависит от ео расположения.)
Если случайное событие , вероятность отороо следует най-
ти, состоит в попадании точи в неоторую часть плосой фи-
уры и при этом раницы фиуры и ее части являются рафи-
ами известных фунций, то вычисление площадей, входящих
в выражение (1), сводится вычислению определенных инте-
ралов.
П р и м е р 2. Наудачу выб ирают два действительных чис-
лаxиy,причем0mxm1,0mym1.Найтивероятностьтоо,
чтоy2mx.
ms
()
mS
()
--------------
1
3
---
1
3
---
510
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
Решение. Поставимвсоответствиепаречиселxиyточ-
у плосости с оординатами (x; y). Пространство элементар-
ных событий представляет собой вадрат, двумя сторонами о-
тороо являются единичные отрези осей оординат. Фиура,
множество точе оторой соответствует исходам, блаоприятст-
вующим событию y2 m x, ораничена рафиами фунций y = 0,
x = 1, y2 = x . Ее площадь вычисляется с помощью определенно-
о интерала:
S=
dx= x3/2 =
.
Та а площадь единичноо вадрата равна единице, то
P(A) =
.
Ответ..
3. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,
что |x| m 3, |y| m 5. Каова вероятность тоо, что дробь
оа-
жется положительной?
4. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,
что|x|m1,0mym1.Каовавероятностьтоо,чтоx2<y?
5. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,
что |x| m 1и|y| m 1. Каова вероятность тоо, что |x| <|y|?
6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, аждое из
оторых не превосходит 2. Найдите вероятность тоо, что xy m 1,
а m2.
7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превы-
шающие 1. Каова вероятность тоо, что их сумма не превосхо-
дит 1, если сумма их вадратов больше ?
8. Парабола асается нижней стороны вадрата и проходит
через вершины ео верхней стороны. Каова вероятность тоо,
что точа, наудачу брошенная в вадрат, попадет в область, за-
люченную между верхней стороной вадрата и параболой?
9. Парабола асается полуруа и проходит через раницы
ео диаметра. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу бро-
шенная в полуру, попадет в область, ораниченную дуой по-
луруа и параболой?
0
1
∫x
2
3
---
0
1
2
3
---
2
3
---
2
3
---
x
y
---
y
x
---
1
4
---
§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами
511
10. Пусть на отрезе [0; 1] задана таая фунция f(x), что
>0приxÝ[0;1],причемf(0)=0,f(1)=1.Доажите,что
при бросании точи в вадрат, сторонами отороо являются
промежуто [0; 1] оси Ox и промежуто [0; 1] оси Oy, наиболь-
шая вероятность попасть в область, ораниченную линиями
y=f(x),y=f(a),y=0,y=1,достиаетсяприa=0,5.
11.Областьораниченалиниями x=0, x= , y=sinx,
y =sina. Точу бросают в прямоуольни, сторонами отороо
являются промежуто 0; оси Ox и промежуто [0; 1] оси
Oy. При аом значении a вероятность попадания точи в за-
данную область наименьшая?
При решении ряда задач еометричесим методом удобно
предварительно ввести прямоуольную деартову систему о-
ординат.
П р и м е р 3. Два друа дооворились о встрече в опреде-
ленном месте между 11 и 12 ч дня. Пришедший первым ждет
второо в течение ч, после чео уходит. Найти вероятность
тоо, что встреча состоится, если аждый придет в произволь-
ный момент между 11 и 12 ч.
Р е ш е н и е. Та а момент прихода аждоо из друзей слу-
чаен, то, выбрав отрезо единичной длины, поставим в соответ-
ствие моменту прихода первоо друа произвольную случайно
выбранную точу этоо отреза, а моменту прихода второо
друа — случайно выбранную точу второо отреза единичной
длины. Отложим эти отрези на осях оординат: первый — на
оси Ox, второй — на оси Oy. Тода пространством элементар-
ных событий является вадрат единичной площади, вписанный
в первую четверть оординатной плосости, причем оордина-
ты аждой точи (x; y) этоо вадрата представляют собой мо-
менты времени прихода друзей.
Элементарные события (x; y), блаоприятствующие собы-
тию, состоящему в том, что друзья встретятся, должны удов-
летворять условию
|x–y|m .
(*)
Геометричеси исомому событию соответствует пересечение
полосы (*) и единичноо вадрата, состоящео из точе, оор-
f′(x)
π
2---
π
2---
1
4---
1
4---
510 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
Решение.Поставимвсоответствиепаречиселxиyточ-
у плосости с оординатами (x; y). Пространство элементар-
ных событий представляет собой вадрат, двумя сторонами о-
тороо являются единичные отрези осей оординат. Фиура,
множество точе оторой соответствует исходам, блаоприятст-
вующим событию y2 m x, ораничена рафиами фунций y = 0,
x = 1, y2 = x. Ее площадь вычисляется с помощью определенно-
о интерала:
S=
dx=x3/2=.
Та а площадь единичноо вадрата равна единице, то
P(A)= .
Ответ..
3. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,
что |x| m 3, |y| m 5. Каова вероятность тоо, что дробь оа-
жется положительной?
4. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,
что|x|m1,0mym1.Каовавероятностьтоо,чтоx2<y?
5. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,
что |x| m 1 и |y| m 1. Каова вероятность тоо, что |x| < |y|?
6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, аждое из
оторых не превосходит 2. Найдите вероятность тоо, что xy m 1,
а m2.
7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превы-
шающие 1. Каова вероятность тоо, что их сумма не превосхо-
дит 1, если сумма их вадратов больше ?
8. Парабола асается нижней стороны вадрата и проходит
через вершины ео верхней стороны. Каова вероятность тоо,
что точа, наудачу брошенная в вадрат, попадет в область, за-
люченную между верхней стороной вадрата и параболой?
9. Парабола асается полуруа и проходит через раницы
ео диаметра. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу бро-
шенная в полуру, попадет в область, ораниченную дуой по-
луруа и параболой?
0
1
∫x
2
3--- 0
12
3---
2
3---
2
3---
x
y---
y
x---
1
4---
§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами
511
10. Пусть на отрезе [0; 1] задана таая фунция f(x), что
>0приxÝ[0;1],причемf(0)=0,f(1)=1.Доажите,что
при бросании точи в вадрат, сторонами отороо являются
промежуто [0; 1] оси Ox и промежуто [0; 1] оси Oy, наиболь-
шая вероятность попасть в область, ораниченную линиями
y=f(x),y =f(a),y =0,y =1,достиаетсяприa=0,5.
11. Область ораничена линиями x = 0, x =
, y =sinx,
y =sina. Точу бросают в прямоуольни, сторонами отороо
являются промежуто 0;
оси Ox и промежуто [0; 1] оси
Oy. При аом значении a вероятность попадания точи в за-
данную область наименьшая?
При решении ряда задач еометричесим методом удобно
предварительно ввести прямоуольную деартову систему о-
ординат.
П р и м е р 3. Два друа дооворились о встрече в опреде-
ленном месте между 11 и 12 ч дня. Пришедший первым ждет
второо в течение
ч, после чео уходит. Найти вероятность
тоо, что встреча состоится, если аждый придет в произволь-
ный момент между 11 и 12 ч.
Р е ш е н и е. Та а момент прихода аждоо из друзей слу-
чаен, то, выбрав отрезо единичной длины, поставим в соответ-
ствие моменту прихода первоо друа произвольную случайно
выбранную точу этоо отреза, а моменту прихода второо
друа — случайно выбранную точу второо отреза единичной
длины. Отложим эти отрези на осях оординат: первый — на
оси Ox, второй — на оси Oy. Тода пространством элементар-
ных событий является вадрат единичной площади, вписанный
в первую четверть оординатной плосости, причем оордина-
ты аждой точи (x; y) этоо вадрата представляют собой мо-
менты времени прихода друзей.
Элементарные события (x; y), блаоприятствующие собы-
тию, состоящему в том, что друзья встретятся, должны удов-
летворять условию
|x–y|m .
(*)
Геометричеси исомому событию соответствует пересече ние
полосы (*) и единичноо вадрата, состоящео из точе, оор-
f′(x)
π
2
---
π
2
---
1
4
---
1
4
---
512
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
динаты (x; y) оторых удовлетворяют неравенствам 0 m x m 1 и
0 m y m 1. Площадь фиуры, полученной в результате пересече-
ния множества (*) и вадрата, равна исомой вероятности, та
а площадь единичноо вадрата равна единице.
Ответ..
12. В течение 20 мин учени A в случайный момент звонит
по телефону учениу B и ждет 2 мин, после чео ладет трубу.
В течение тех же 20 мин в случайный момент време ни учени
B приходит домой, де ждет 5 мин, после чео уходит. Каова
в ероятность тоо, что разовор состоится?
13. На единичный отрезо оси абсцисс наудачу бросают две
точи B и C. Найдите вероятность тоо, что длина отреза BC
оажется меньше, чем расстояние от начала оординат до бли-
жайшей точи.
14. Нето живе т в ороде B, соединенном железной дороой
с ородами A и C. Между ородами A и C урсируют поезда, о-
торые останавливаются в ороде B. Расписание составлено та,
чт о поезда аждоо на правления проходят через ород B с ин-
тервалами в 1 ч. Нето приходит на возал в случайный мо-
ме нт времени и садится на первый подошедший поезд. Ка
должно быть составлено расписание , чтобы вероятность уехать
в ород A была в 5 раз больше, чем вероятность уехать в ород C?
15. Плосость разрафлена параллельными прямыми, отстоя-
щими дру от друа на расстояние 2a. На плосость наудачу
бросают илу длиной 2l (l < a). Найдите вероятность тоо, что
ила пересечет аую-нибудь прямую (задача Бюффона).
§ 87. Вычисление вероятностей
сложных событий
События подразделяют на достоверные, невозможные и слу-
чайные: достоверные в результате опыта происходят вседа;
невозможные не происходят ниода; слчайные моут либо
произойти, либо нет. Достоверным является, например, собы-
тие, состоящее в том, что из урны, содержащей тольо белые
шары, вынимают белый шар, а невозможным — событие, со-
стоящее в том, что белый шар вынимают из урны, содержащей
тольо черные шары. Если в урне имеются и белые , и черные
шары, то извлечение шара аоо-либо определенноо цвета
является случайным событием.
7
16
------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
513
Достоверное событие совпадает со всем пространством эле-
ментарных событий Ω, а случайное событие A является неото-
рым подмножеством в этом пространстве. Невозможное собы-
тие 3⁄4 не содержит ни одноо элементарноо события.
Сммой двх событий A и B называют событие C, состоя-
щее в том, что произошло или событие A, или событие B. Сум-
му двух событий обозначают та:
C=A+B.(
1
)
Поясним понятие суммы двух событий на следующем при-
мере. Пусть мальчи упил билеты двух лотерей: «Спринт» и
«Старт». Рассмотрим случайное событие C, состоящее в том,
что мальчи выирает хотя бы в одной лотерее. Наступление
этоо события связано с наступлением хотя бы одноо из сле-
дующих событий: событие A—среди билетов, упленных маль-
чиом, есть выирышные билеты лотереи «Спринт»; событие B—
есть выирышные билеты лотереи «Старт».
Произведением двх событий A и B называют событие C,
состоящее в том, что произошли оба эти события. Произведе-
ние двух событий обозначают та:
C=AB.(
2
)
События A и B называют несовместными, если их произве-
дение представляет собой невозможное событие:
AB=3⁄4.
Поясним понятие произведения двух событий на следую-
щем примере.
Во время испытаний среди машин, потерпевших аварию,
имеются «Жиули» и «Воли». Часть машин при аварии пере-
вернулась. Событие A, состоящее в том, что наудачу выбранная
неперевернувшаяся автомашина есть «Вола», представляет со-
бой произведение двух событий: B—машина не перевернулась
и C—машина является «Волой», т. е. A = BC.
Определение вероятности сложноо события A, являющео-
ся омбинацией более простых событий A1, ..., Ak, вероятности
оторых известны, основано на формулах сложения и умноже-
ния вероятностей.
Формла сложения вероятностей. Проведем эсперимент,
связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим ве-
роятность события C, состоящео в том, что сумма очов на вы-
павших ранях не превосходит числа 3. Пространство элемен-
тарных событий, возниающих в результате этоо эсперимен-
та, можно представить упорядоченными парами целых чисел,
512 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
динаты (x; y) оторых удовлетворяют неравенствам 0 m x m 1 и
0 m y m 1. Площадь фиуры, полученной в результате пересече-
ния множества (*) и вадрата, равна исомой вероятности, та
а площадь единичноо вадрата равна единице.
Ответ..
12. В течение 20 мин учени A в случайный момент звонит
по телефону учениу B и ждет 2 мин, после чео ладет трубу.
В течение тех же 20 мин в случайный момент времени учени
B приходит домой, де ждет 5 мин, после чео уходит. Каова
вероятность тоо, что разовор состоится?
13. На единичный отрезо оси абсцисс наудачу бросают две
точи B и C. Найдите вероятность тоо, что длина отреза BC
оажется меньше, чем расстояние от начала оординат до бли-
жайшей точи.
14. Нето живет в ороде B, соединенном железной дороой
с ородами A и C. Между ородами A и C урсируют поезда, о-
торые останавливаются в ороде B. Расписание составлено та,
что поезда аждоо направления проходят через ород B с ин-
тервалами в 1 ч. Нето приходит на возал в случайный мо-
мент времени и садится на первый подошедший поезд. Ка
должно быть составлено расписание, чтобы вероятность уехать
в ород A была в 5 раз больше, чем вероятность уехать в ород C?
15. Плосость разрафлена параллельными прямыми, отстоя-
щими дру от друа на расстояние 2a. На плосость наудачу
бросают илу длиной 2l (l < a). Найдите вероятность тоо, что
ила пересечет аую-нибудь прямую (задача Бюффона).
§ 87. Вычисление вероятностей
сложных событий
События подразделяют на достоверные, невозможные и слу-
чайные: достоверные в результате опыта происходят вседа;
невозможные не происходят ниода; слчайные моут либо
произойти, либо нет. Достоверным является, например, собы-
тие, состоящее в том, что из урны, содержащей тольо белые
шары, вынимают белый шар, а невозможным— событие, со-
стоящее в том, что белый шар вынимают из урны, содержащей
тольо черные шары. Если в урне имеются и белые, и черные
шары, то извлечение шара аоо-либо определенноо цвета
является случайным событием.
7
16------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
513
Достоверное событие совпадает со всем пространством эле-
ментарных событий Ω, а случайное событие A является неото-
рым подмножеством в этом пространстве. Невозможное собы-
тие 3⁄4 не содержит ни одноо элементарноо события.
Сммой двх событий A и B называют событие C, состоя-
щее в том, что произошло или событие A, или событие B. Сум-
му двух событий обозначают та:
C=A+B.(
1
)
Поясним понятие суммы двух событий на следующем при-
мере. Пусть мальчи упил билеты двух лотерей: «Спринт» и
«Старт». Рассмотрим случайное событие C, состоящее в том,
что мальчи выирает хотя бы в одной лотерее. Наступление
этоо события связано с насту плением хотя бы одноо из сле-
дующих событий: событие A—среди билетов, упленных маль-
чиом, есть выирышные билеты лотереи «Спринт»; событие B—
есть выирышные билеты лотереи «Старт».
Произведением двх событий A и B называют событие C,
состоящее в том , что произошли оба эти события. Произведе-
ние двух событий обозначают та:
C=AB.(
2
)
События A и B называют несовместными, если их произве-
дение представляет собой невозможное событие:
AB=3⁄4.
Поясним понятие произведения двух событий на следую-
щем примере.
Во время испытаний среди машин, потерпевших аварию,
имеются «Жиули» и «Воли». Часть машин при аварии пере-
вернулась. Событие A, состоящее в том, что наудачу выбранная
неперевернувшаяся автомашина есть «Вола», представляет со-
бой произведение двух событий: B—машина не перевернулась
и C—машина является «Волой», т. е . A = BC.
Определение вероятности сложноо события A, являющео-
ся омбинацией более простых событий A1, ..., Ak, вероятности
оторых известны, основано на формулах сложения и умноже-
ния вероятностей.
Формла сложения вероятностей. Проведем эсперимент,
связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим ве-
роятность события C, состоящео в том, что сумма очов на вы-
павших ранях не превосходит числа 3. Пространство элемен-
тарных событий, возниающих в результате этоо эсперимен-
та, можно представить у порядоченными парами целых чисел,
514
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
изменяющихся от 1 до 6. Таих пар имеется 36. Среди этих со-
бытий блаоприятствуют событию C следующие: (1; 1), (1; 2),
(2; 1). Таим образом, соласно определению, введенному в § 85,
залючаем, что вероятность события C есть
P(C)= =
.
Рассмотрим теперь событие C а омбинацию более прос-
тых событий. Для этоо заметим, что событие C происходит,
если происходит событие A— сумма очов на выпавших ра-
нях равна 2, или событие B—сумма очов на выпавших ранях
равна 3. Значит, событие C есть сумма событий A и B: C = A + B.
Из исходноо пространства элементарных событий событию A
блаоприятствует тольо пара (1; 1), а событию B—пары (1; 2)
и (2; 1). Следовательно, вероятности событий A и B таовы:
P(A) =
,
P(B) =
.
Ита, в данном случае справедливо равенство
P(C) = P(A) + P(B).
Заметим, что в этом примере события A и B являются несов-
ме стными (сумма очов на выпавших ранях не может одно-
в ременно быть равной 2 и 3).
Вычислим вероятность события C, состоящео в том, что из
олоды в 52 арты наудачу взятая арта оазалась или тузом,
или артой червонной масти. Здесь пространство элементарных
событий состоит из 52 элементов. Элементарные события, бла-
оприятствующие событию C, залючаются в том, что взяли
арту червонной масти (имеются 13 арт одной масти) или туза
(имеются 4 туза). Учитывая, что один из тузов червонный и,
следовательно, блаоприятными оазываются 16 элементарных
событий, получаем
P(C)= =
.
Представим теперь C в виде омбинации более простых со-
бытий: событие A — взятая наудачу арта оазалась червон-
ной, и событие B— взятая наудачу арта оазалась тузом.
Тода по определению суммы двух событий имее м C = A + B.
Вероятности событий A и B таовы:
P(A) =
,
P(B) =
.
3
36
------
1
12
------
1
36
------
1
18
------
16
52
------
4
13
------
1
4
---
1
13
------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
515
Нам понадобится таже вероятность произведения событий
A и B, т. е. события D = AB, оторое залючается в том, что на-
удачу взятой артой оазывается червонный туз. Очевидно,
что вероятность события D составляет
P(D)= .
Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(D).
Обобщением рассмотренных примеров служит формла
сложения вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB),
(3)
т. е. вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероят-
ностей этих событий минус вероятность их произведения.
В том случае, ода события A и B несовместны, формула
(3) примет вид
P(A+B)=P(A)+P(B).
(4)
Формла множения вероятностей. Рассмотрим эспери-
мент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычис-
лим вероятность события C, состоящео в том, что число очов,
выпавших на первой ости, больше 3, а на второй — больше 4.
Элементарные события, блаоприятствующие событию C,—упо-
рядоченные пары чисел: (4; 5), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6).
Таим образом,
P(C)= = .
Представим теперь событие C в виде омбинации более
простых событий: события A, состоящео в том, что на первой
ости выпало больше 3 очов, и события B—на второй ости
выпало больше 4 очов. Тода, соласно определению, событие
C есть произведение событий A и B: C = AB.
Вычислим вероятности событий A и B. Прежде всео заме-
тим, что пространства элементарных событий, возниающие
при бросании аждой ости в отдельности, состоят из шести
равновозможных исходов. Элементарные события, блаоприят-
ствующие событию A, состоят в выпадении на первой ости 4,
5 или 6 очов. Следовательно, P(A) = .
Элементарные события, блаоприятствующие событию B,
состоят в выпадении на второй ости 5 или 6 очов. Поэтому
1
52------
6
36------ 1
6---
1
2---
514 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
изменяющихся от 1 до 6. Таих пар имеется 36. Среди этих со-
бытий блаоприятствуют событию C следующие: (1; 1), (1; 2),
(2; 1). Таим образом, соласно определению, введенному в § 85,
залючаем, что вероятность события C есть
P(C)= = .
Рассмотрим теперь событие C а омбинацию более прос-
тых событий. Для этоо заметим, что событие C происходит,
если происходит событие A—сумма очов на выпавших ра-
нях равна 2, или событие B—сумма очов на выпавших ранях
равна 3. Значит, событие C есть сумма событий A и B: C = A + B.
Из исходноо пространства элементарных событий событию A
блаоприятствует тольо пара (1; 1), а событию B—пары (1; 2)
и (2; 1). Следовательно, вероятности событий A и B таовы:
P(A)= , P(B)= .
Ита, в данном случае справедливо равенство
P(C) = P(A) + P(B).
Заметим, что в этом примере события A и B являются несов-
местными (сумма очов на выпавших ранях не может одно-
временно быть равной 2 и 3).
Вычислим вероятность события C, состоящео в том, что из
олоды в 52 арты наудачу взятая арта оазалась или тузом,
или артой червонной масти. Здесь пространство элементарных
событий состоит из 52 элементов. Элементарные события, бла-
оприятствующие событию C, залючаются в том, что взяли
арту червонной масти (имеются 13 арт одной масти) или туза
(имеются 4 туза). Учитывая, что один из тузов червонный и,
следовательно, блаоприятными оазываются 16 элементарных
событий, получаем
P(C)= = .
Представим теперь C в виде омбинации более простых со-
бытий: событие A — взятая наудачу арта оазалась червон-
ной, и событие B— взятая наудачу арта оазалась тузом.
Тода по определению суммы двух событий имеем C = A + B.
Вероятности событий A и B таовы:
P(A)= , P(B)= .
3
36------ 1
12------
1
36------
1
18------
16
52------ 4
13------
1
4---
1
13------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
515
Нам понадобится таже вероятность произведения событий
A и B, т. е. события D = AB, оторое залючается в том, что на-
удачу взятой артой оазывается червонный туз. О чевидно,
что вероятность события D составляет
P(D) =
.
Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(D).
Обобщением рассмотренных примеров служит формла
сложения вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB),
(3)
т. е . вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероят-
ностей этих событий минус вероятность их произведения.
В том случае, ода события A и B несовместны, формула
(3) приме т вид
P(A+B)=P(A)+P(B).
(4)
Формла множения вероятностей. Рассмотрим эспери-
мент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычис-
лим вероятность события C, состоящео в том, что число очов,
выпавших на первой ости, больше 3, а на второй — больше 4.
Элементарные события, блаоприятствующие событию C,— упо-
рядоченные пары чисел: (4; 5), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6).
Таим образом,
P(C)= =
.
Представ им теперь событие C в виде омб инации более
простых событий: события A, состоящео в том, что на первой
ости выпало больше 3 очов , и события B—на второй ости
выпало больше 4 очов. Тода, соласно определению, событие
C есть произведение событий A и B: C = AB.
Вычислим вероятности событий A и B. Прежде всео заме-
тим, что пространства элементарных событий, возниающие
при бросании аждой ости в отдельности, состоят из шести
равновозможных исходов. Элементарные события, блаоприят-
ствующие событию A, состоят в выпадении на первой ости 4,
5 или 6 очов. Следовательно, P(A) =
.
Элементарные события, блаоприятствующие событию B,
состоят в выпадении на второй ости 5 или 6 очов. Поэтому
1
52
------
6
36
------
1
6
---
1
2
---
516
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
P(B) =
. Нетрудно проверить, что в данном случае выполняет-
ся соотношение
P(C) = P(A) · P(B).
(5)
События A и B, для оторых выполняется равенство (5), бу-
дем называть независимыми. Таим образом, вероятность про-
изведения двух независимых событий можно вычислить по
формуле (5). Если же для событий A и B условие (5) не выпол-
няется, то таие события называют зависимыми. В этом случае
можно оворить о та называемой условной вероятности наступ-
ления события A при условии, что событие B произошло.
Пусть, например, требуется вычислить вероятность собы-
тия A, состоящео в том, что сумма очов при бросании двух
остей не превысит 4, если известно, что на одной ости выпа-
ло число 1 (событие B). Та а событие B произошло, то, счи-
тая ео достоверным, можно рассмотреть новое пространство
элементарных событий, состоящее из 11 событий, блаоприят-
ствующих событию B:
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6),
(2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1).
В этом новом пространстве элементарных событий событию A
блаоприятствуют 5 элементарных событий: (1; 1), (1; 2), (1; 3),
(2; 1), (3; 1). Значит, вероятность события A в этом пространст-
в е элементарных событий равна
. Полученную величину бу-
дем называть словной вероятностью события A при усло-
вии, что произошло событие B, и обозначать P(A/B).
Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных
событий, возниающее при бросании двух остей, и вычислим
вероятность события C = AB, состоящео в том, что сумма оч-
ов, выпавших на остях, не превосходит 4 и что на одной из
остей выпало число 1. Элементарные события, блаоприятст-
вующие событию C, состоят из следующих пар чисел: (1; 1),
(1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Таим образом, P(C) =
. Выше бы-
ли рассмотрены 11 элементарных событий, блаоприятствую-
щих событию B. Следовательно, P(B) =
. Нетрудно убедить-
ся в справедливости соотношения
P(C) = P(A/B) · P(B).
1
3
---
5
11
------
5
36
------
11
36
------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
517
Обобщением рассмотренных примеров является формла
множения вероятностей:
P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(B) ·P(A/B),
(6)
т. е. вероятность произведения двух событий A и B равна про-
изведению вероятности одноо из этих событий на условную
вероятность друоо, вычисленную в предположении, что пер-
вое событие произошло.
Для случая трех событий обобщение формулы (6) имеет вид
P(ABC) = P(A/BC)·P(BC) = P(A/BC) ·P(B/C) ·P(C). (7)
Пример1.Изурны,содержащейnбелыхиmчерных
шаров, извлеают два шара. Каова вероятность тоо, что они
разных цветов?
Р е ш е н и е. Представим событие C, залючающееся в том,
что вынутые шары разных цветов, в виде C = A + B, де собы-
тие A состоит в том, что первый шар белый, а второй черный;
событие B—в том, что первый шар черный, а второй белый.
Та а события A и B несовместны, то, соласно формуле (4),
имеем
P(C) = P(A) + P(B).
(*)
Вероятности событий A и B вычислим, используя формулу
(6). Представим событие A в виде A = (Б; Ч), де бувы Б и Ч,
записанные в данной последовательности, означают, что пер-
вым был вынут белый шар, а вторым — черный. Тода
P(A) = P(Б) P(Ч/Б).
Вероятность P(Б) представляет собой отношение числа бе-
лых шаров числу всех шаров, находящихся в урне. Условная
вероятность P(Ч/Б) тоо, что вторым вынут черный шар при
условии, что первым был вынут белый, представляет собой от-
ношение первоначальноо числа черных шаров уменьшивше-
муся на единицу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таим
образом,
P(A) =
·
.
Аналоично получим
P(B) =
·
.
n
nm
+
----------------
m
nm1–
+
--------------------------
m
nm
+
----------------
n
nm1–
+
--------------------------
516 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
P(B) = . Нетрудно проверить, что в данном случае выполняет-
ся соотношение
P(C) = P(A) · P(B).
(5)
События A и B, для оторых выполняется равенство (5), бу-
дем называть независимыми. Таим образом, вероятность про-
изведения двух независимых событий можно вычислить по
формуле (5). Если же для событий A и B условие (5) не выпол-
няется, то таие события называют зависимыми. В этом случае
можно оворить о та называемой условной вероятности наступ-
ления события A при условии, что событие B произошло.
Пусть, например, требуется вычислить вероятность собы-
тия A, состоящео в том, что сумма очов при бросании двух
остей не превысит 4, если известно, что на одной ости выпа-
ло число 1 (событие B). Та а событие B произошло, то, счи-
тая ео достоверным, можно рассмотреть новое пространство
элементарных событий, состоящее из 11 событий, блаоприят-
ствующих событию B:
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6),
(2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1).
В этом новом пространстве элементарных событий событию A
блаоприятствуют 5 элементарных событий: (1; 1), (1; 2), (1; 3),
(2; 1), (3; 1). Значит, вероятность события A в этом пространст-
ве элементарных событий равна . Полученную величину бу-
дем называть словной вероятностью события A при усло-
вии, что произошло событие B, и обозначать P(A/B).
Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных
событий, возниающее при бросании двух остей, и вычислим
вероятность события C = AB, состоящео в том, что сумма оч-
ов, выпавших на остях, не превосходит 4 и что на одной из
остей выпало число 1. Элементарные события, блаоприятст-
вующие событию C, состоят из следующих пар чисел: (1; 1),
(1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Таим образом, P(C) = . Выше бы-
ли рассмотрены 11 элементарных событий, блаоприятствую-
щих событию B. Следовательно, P(B) = . Нетрудно убедить-
ся в справедливости соотношения
P(C) = P(A/B) · P(B).
1
3---
5
11------
5
36------
11
36------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
517
Обобщением рассмотренных примеров является формла
множения вероятностей:
P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(B) ·P(A/B),
(6)
т. е . вероятность произведения двух событий A и B равна про-
изведению вероятности одноо из этих событий на условную
вероятность друоо, вычисленную в предположении, что пер-
вое событие произошло.
Для случая трех событий обобщение формулы (6) имеет вид
P(ABC) = P(A/BC)·P(BC) = P(A/BC) ·P(B/C) ·P(C). (7)
Пример1.Изурны, содержащей nбелыхиm черных
шаров, извлеают два шара. Каова вероятность тоо, что они
разных цветов?
Р е ш е н и е. Представим событие C, залючающееся в том,
что вынутые шары разных цветов, в виде C = A + B, де собы-
тие A состоит в том, что первый шар белый, а второй черный;
событие B— в том, что первый шар черный, а второй белый.
Та а события A и B несовместны, то, соласно формуле (4),
имеем
P(C) = P(A) + P(B).
(*)
Вероятности событий A и B вычислим, используя формулу
(6). Представим событие A в виде A = (Б; Ч), де бувы Б и Ч,
записанные в данной последовательности, означают, что пер-
вым был вынут белый шар, а вторым — черный. Тода
P(A) = P(Б) P(Ч/Б).
Вероятность P(Б) представляет собой отношение числа бе-
лых шаров числу всех шаров, находящихся в урне. Условная
вероятность P(Ч/Б) тоо, что вторым вынут черный шар при
условии, что первым был вынут белый, представляет собой от-
ношение первоначальноо числа черных шаров уменьшивше-
муся на единицу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таим
образом,
P(A) =
·
.
Аналоично получим
P(B) =
·
.
n
nm
+
----------------
m
nm1
–
+
--------------------------
m
nm
+
----------------
n
nm1
–
+
--------------------------
518
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
Подставив полученные выражения в формулу (*), находим
P(C) =
.
Ответ..
При выполнении упр. 1 —6 используйте формулы умноже-
ния и сложения вероятностей.
1. В урне находятся n белых и m черных шаров. Вынимают
два шара. Каова вероятность тоо, что оба шара белые; оба
шара черные?
2. Решите упр. 1 при условии, что вынутые шары возвраща-
ют обратно, а их цвет записывают.
3. Из олоды в 52 арты вынимают 4 арты. Каова вероят-
ность тоо, что все они разных мастей (имеются 4 масти по
13 арт в аждой)?
4. Иральную ость бросают несольо раз. Каова вероят-
ность тоо, что одно очо появится впервые при третьем бро-
сании?
5. На станцию техничесоо обслуживания были доставле-
ны 20 машин. При этом 5 из них имели неисправности в ходо-
вой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полно-
стью исправны. Каова вероятность тоо, что машина с неис-
правной ходовой частью имеет таже неисправный мотор?
6. Готовясь вступительному эзамену по математие, аби-
туриент должен подотовить 20 вопросов по элеме нтам мате ма-
тичесоо анализа и 25 по еоме трии. Однао он успел подо-
товить тольо 15 вопросов по элеме нтам математичесоо ана-
лиза и 20 по еометрии. Билет содержит три вопроса, два из
оторых по элеме нтам мате матичесоо анализа и один по ео-
ме трии. Каова вероятность, что: студент сдаст эзамен: а) на
«отлично» (ответит на все три вопроса); б) на «хорошо» (отве-
тит на любые два вопроса)?
Дополнением случайноо события A (или противополож-
ным событием) называют событие C, состоящее в том, что в
результате эсперимента событие A не произошло. Дополне-
ние событию A обозначают
. Вероятности событий A и
связаны формулой
P(A) + P()=1
.
(8)
Если сложное событие A можно представить в виде
A=A1+A2+...+Ak,(
9
)
2nm
nm
+
()
nm1
–
+
()
----------------------------------------------------
2nm
nm
+
()
nm1
–
+
()
----------------------------------------------------
A
A
A
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
519
де Ai — события, вероятности оторых известны (i = 1, 2, ..., k),
то вероятность P(A) инода удобно вычислять, используя
формулу
=··...·,
(10)
связывающую дополнения рассматриваемых событий. Та, в слу-
чае, если Ai независимы, получаем
P(A)=1–P( )=1–P( )...P()=
=1–[1–P(A1)]...[1–P(Ak)].
(11)
Если все события Ai равновероятны, то формула (11) примет
более простой вид:
P(A)=1–(1–p)k,(
1
2
)
де p—вероятность события Ai.
П р и м е р 2. Для разрушения моста достаточно попадания
одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения,
если на мост сбрасывают три бомбы с вероятностями попада-
ния 0,3; 0,4; 0,7.
Р е ш е н и е. Найдем вероятность события , состоящео
в том, что мост не будет разрушен. Обозначим через , ,
событие, состоящее в том, что в мост не попала соответственно
первая, вторая и третья бомба. Тода =
.Тааиз
независимости Ai следует независимость , то
P()=P()·P()·P( ) = 0,3 · 0,4 · 0,7 = 0,084.
Следовательно, вероятность разрушения моста есть
P(A)=1–P( )=0,916.
Ответ.0,916.
7. В урне находятся n белых, m черных и k расных шаров.
Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что хо-
тя бы два шара будут одноо цвета?
8. На стеллаже находятся 15 учебниов, 5 из них в перепле-
те. Наудачу выбирают 3 учебниа. Каова вероятность тоо,
что хотя бы один из них будет в переплета?
9. В лотерее разырывается n билетов, из оторых l выи-
рышных. Нето поупает k билетов. Каова вероятность тоо,
что хотя бы один из упленных билетов выирает?
AA1A2
Ak
A
A1
Ak
A
A1A2A3
A A1A2A3
Ai
A
A1A2A3
A
518 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
Подставив полученные выражения в формулу (*), находим
P(C) =
.
Ответ..
При выполнении упр. 1—6 используйте формулы умноже-
ния и сложения вероятностей.
1. В урне находятся n белых и m черных шаров. Вынимают
два шара. Каова вероятность тоо, что оба шара белые; оба
шара черные?
2. Решите упр. 1 при условии, что вынутые шары возвраща-
ют обратно, а их цвет записывают.
3. Из олоды в 52 арты вынимают 4 арты. Каова вероят-
ность тоо, что все они разных мастей (имеются 4 масти по
13 арт в аждой)?
4. Иральную ость бросают несольо раз. Каова вероят-
ность тоо, что одно очо появится впервые при третьем бро-
сании?
5. На станцию техничесоо обслуживания были доставле-
ны 20 машин. При этом 5 из них имели неисправности в ходо-
вой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полно-
стью исправны. Каова вероятность тоо, что машина с неис-
правной ходовой частью имеет таже неисправный мотор?
6. Готовясь вступительному эзамену по математие, аби-
туриент должен подотовить 20 вопросов по элементам матема-
тичесоо анализа и 25 по еометрии. Однао он успел подо-
товить тольо 15 вопросов по элементам математичесоо ана-
лиза и 20 по еометрии. Билет содержит три вопроса, два из
оторых по элементам математичесоо анализа и один по ео-
метрии. Каова вероятность, что: студент сдаст эзамен: а) на
«отлично» (ответит на все три вопроса); б) на «хорошо» (отве-
тит на любые два вопроса)?
Дополнением случайноо события A (или противополож-
ным событием) называют событие C, состоящее в том, что в
результате эсперимента событие A не произошло. Дополне-
ние событию A обозначают . Вероятности событий A и
связаны формулой
P(A) + P()=1.
(8)
Если сложное событие A можно представить в виде
A=A1+A2+...+Ak,(
9
)
2nm
nm
+
()
nm1–
+
()
----------------------------------------------------
2nm
nm
+
()
nm1–
+
()
----------------------------------------------------
A
A
A
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
519
де Ai — события, вероятности оторых известны (i = 1, 2, ..., k),
то вероятность P(A) инода удобно вычислять, используя
формулу
=
·
·...·
,
(10)
связывающую дополнения рассматриваемых событий. Та, в слу-
чае, если Ai независимы, получаем
P(A)=1 –P( )=1 –P( )...P()
=
= 1 –[1–P(A1)]...[1–P(Ak)].
(11)
Если все события Ai равновероятны, то формула (11) примет
более простой вид:
P(A)=1 –(1–p)k,(
1
2
)
де p—вероятность события Ai.
П р и м е р 2. Для разруше ния моста достаточно попадания
одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения,
если на мост сбрасывают три бомб ы с вероятностями попада-
ния 0,3; 0,4; 0,7.
Р е ш е н и е. Найдем вероятность события
, состоящео
в том, что мост не будет разрушен. Обозначим через
,
,
событие , состоящее в том, что в мост не попала соответстве нно
первая, вторая и третья бомба. Тода =
. Тааиз
независимости Ai следует независимость
,то
P()=P()
·
P()
·P( )=0,3 ·0,4 ·0,7 =0,084.
Следовательно, вероятность разрушения моста есть
P(A)=1 –P( )=0,916.
Ответ.0,916.
7. В урне находятся n белых, m черных и k расных шаров.
Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что хо-
тя бы два шара будут одноо цвета?
8. На стеллаже находятся 15 учебниов, 5 из них в перепле-
те. Наудачу выб ирают 3 учебниа. Каова вероятность тоо,
что хотя бы один из них будет в переплета?
9. В лотерее разырывается n билетов, из оторых l выи-
рышных. Нето поупает k билетов. Каова вероятность тоо,
что хотя бы один из упленных б илетов выирает?
AA1A2
Ak
A
A1
Ak
A
A1A2A3
A A1A2A3
Ai
A
A1
A2
A3
A
520
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
10. При одном обзоре радиолоационной станцией объет
обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объета в аж-
дом циле происходит независимо от друих цилов. Каова
в ероятность тоо, что при n цилах объет будет обнаружен?
11. По неоторой цели производят n выстрелов. Каждый вы-
стрел поражает цель с вероятностью p. Сольо выстрелов надо
произвести, чтобы вероятность поражения цели была не ме нь-
ше P?
Вероятность события A, оторое может наступить лишь при
появлении одноо из несольих несовместных событий B1,
B2, ..., B
n
, равна сумме произведений вероятностей аждоо из
этих событий на условную вероятность события A при условии,
что данное событие наступило:
P(A) = P(B1)·P(A/B1) + P(B2) ·P(A/B2) + ... + P(Bn) ·P(A/)
.
(13)
Равенство (13) называют формлой полной вероятности.
Пример 3.В первойоманде6мастеровспорта и4 пер-
в оразрядниа, а во второй — 6 перворазрядниов и 4 мастера
спорта. Сборная, составленная из ироов первой и второй о-
манд, содержит 10 челове: 6 челове из первой оманды и
4 — из второй. Из сборной оманды наудачу выбирают одноо
спортсме на. Каова вероятность тоо, что он мастер спорта?
Решение. ПустьсобытиеBi(i=1,2)состоитвтом,что
наудачу выбранный спортсмен — член i-й оманды. Тода веро-
ятности событий Bi равны соответственно P(B1) =
, P(B2) =
.
Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный спорт-
смен — мастер спорта. Тода условные вероятности события A
при условии, что выполнено событие Bi (т. е . известно, из а-
ой оманды спортсмен), равны соответстве нно P(A/B1) =
,
P(A/B2) =
. Используя формулу полной вероятности, получаем
P(A) =
·
+·
=
.
Ответ..
Bn
3
5
---
2
5
---
3
5
---
2
5
---
3
5
---
3
5
---
2
5
---
2
5
---
13
25
------
13
25
------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
521
12. Эзамен происходит по следующей схеме: если неото-
рый билет уже был вытянут, то эзаменатор отладывает ео,
т. е. последующие эзаменующиеся не моут вытянуть этот би-
лет. Учени выучил k билетов (k < n). В аом случае вероят-
ность тоо, что учени вытянет выученный билет, больше —
ода он идет отвечать первым или последним?
13. В урне находятся два шара, цвета оторых неизвестны
(аждый шар может быть или белым, или черным). В урну по-
ложили белый шар. Каова станет вероятность вынуть из урны
белый шар?
14. Имеются 5 винтово, из оторых 3 снайперсие и 2 обыч-
ные. Наудачу выбирают одну винтову и из нее производят вы-
стрел. Найдите вероятность попадания, если вероятности попа-
дания из снайперсой и обычной винтови равны соответствен-
но 0,95 и 0,7.
15. Имеются две урны. В первой находятся m белых и n чер-
ных шаров, а во второй — k белых и l черных шаров. Из первой
урны во вторую переложили один шар. Каова вероятность
после этоо вынуть:
а) белый шар из первой урны;
б) белый шар из второй урны?
16. Имеются две партии однородных изделий с разным со-
ставом стандартных и дефетных: в первой партии всео N из-
делий, из них n дефетных, во второй партии M изделий, из
них m дефетных. Из первой партии берут K изделий, из вто-
рой L изделий и образуют новую партию. Каова вероятность
тоо, что изделие, выбранное наудачу из новой партии, оа-
жется дефетным?
17. В условиях упр. 16 найдите вероятность тоо, что среди
трех выбранных наудачу из вновь образованной партии изде-
лий хотя бы одно оажется дефетным.
520 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
10. При одном обзоре радиолоационной станцией объет
обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объета в аж-
дом циле происходит независимо от друих цилов. Каова
вероятность тоо, что при n цилах объет будет обнаружен?
11. По неоторой цели производят n выстрелов. Каждый вы-
стрел поражает цель с вероятностью p. Сольо выстрелов надо
произвести, чтобы вероятность поражения цели была не мень-
ше P?
Вероятность события A, оторое может наступить лишь при
появлении одноо из несольих несовместных событий B1,
B2, ..., Bn, равна сумме произведений вероятностей аждоо из
этих событий на условную вероятность события A при условии,
что данное событие наступило:
P(A) = P(B1)·P(A/B1) + P(B2) ·P(A/B2) + ... + P(Bn) ·P(A/)
.
(13)
Равенство (13) называют формлой полной вероятности.
Пример3.Впервойоманде6мастеровспортаи4пер-
воразрядниа, а во второй — 6 перворазрядниов и 4 мастера
спорта. Сборная, составленная из ироов первой и второй о-
манд, содержит 10 челове: 6 челове из первой оманды и
4 — из второй. Из сборной оманды наудачу выбирают одноо
спортсмена. Каова вероятность тоо, что он мастер спорта?
Решение.ПустьсобытиеBi(i=1,2)состоитвтом,что
наудачу выбранный спортсмен — член i-й оманды. Тода веро-
ятности событий Bi равны соответственно P(B1) = , P(B2) = .
Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранный спорт-
смен — мастер спорта. Тода условные вероятности события A
при условии, что выполнено событие Bi (т. е. известно, из а-
ой оманды спортсмен), равны соответственно P(A/B1) = ,
P(A/B2) = . Используя формулу полной вероятности, получаем
P(A)=·+·=.
Ответ..
Bn
3
5---
2
5---
3
5---
2
5---
3
5--- 3
5--- 2
5--- 2
5--- 13
25------
13
25------
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
521
12. Эзамен происходит по следующей схеме: если неото-
рый билет уже был вытяну т, то эзаменатор отладывае т ео,
т. е . последующие эзаменующиеся не моут вытянуть этот би-
лет. Уче ни выучил k билетов (k < n). В аом случае вероят-
ность тоо, что учени вытянет выуче нный билет, больше —
ода он идет отвечать первым или последним?
13. В урне находятся два шара, цвета оторых неизвест ны
(аждый шар может б ыть или белым, или черным). В урну по-
ложили белый шар. Каова станет вероятность вынуть из урны
белый шар?
14. Имеются 5 винтово, из оторых 3 снайперсие и 2 обыч-
ные. Наудачу выбирают одну винтову и из нее производят вы-
стрел. Найдите вероятность попадания, если вероятности попа-
дания из снайперсой и обычной винтови равны соответствен-
но 0,95 и 0,7.
15. Имеются две урны. В первой находятся m белых и n чер-
ных шаров, а во второй — k белых и l черных шаров. Из первой
урны во вторую переложили один шар. Каова вероятность
после этоо вынуть:
а) белый шар из первой урны;
б) белый шар из второй урны?
16. Имеются две партии однородных изделий с разным со-
ставом стандартных и дефетных: в первой партии все о N из-
делий, из них n дефетных, во в торой партии M изделий, из
них m дефетных. Из первой партии берут K изделий, из вто-
рой L изделий и образуют новую партию. Каова вероятность
тоо, что изделие, выбранное наудачу из новой партии, оа-
жется дефетным?
17. В условиях упр. 16 найдите вероятность тоо, что среди
трех выбранных наудачу из вновь образованной партии изде-
лий хотя бы одно оажется дефетным.
Глава 16
Элементы математической логики.
Системы счисления
§ 88. Высказывания
Под выс
азыванием понимают у тверждение, о отором
имеет смысл оворить, истинно оно или ложно.
Из заданных высазываний с помощью та называемых ло-
ичес
их связо
, оторым в обычной речи соответствуют час-
тица «не», союзы «и», «или», сложноподчиненный оборот
«если..., то...», выражение «в том и тольо в том случае», обра-
зуют новые составные высазывания. Если истинному выса-
зыванию поставить в соответствие 1, а ложному 0, то лоиче-
сие связи можно формально определить с помощью та на-
зываемых таблиц истинности.
Основные понятия, связанные с высазываниями.
1. Отрицание (читают: «не p» и пишут ). Кода p истин-
но, тода ложно, и наоборот.
2. Конъюн
ция (или лоичес
ое множение) двух выса-
зываний (читают: «p и q» и пишут p , q). Конъюнция истинна
тольо в том случае, ода оба высазывания истинны.
3. Дизъюн
ция (или лоичес
ое сложение) двух высазы-
в аний (читают: «p или q» и пишут p # q). Дизъюнция истинна
в том случае, ода истинно хотя бы одно из двух высазываний.
4. Импли
ация (читают: «если p, то q» и пишут p o q).
Здесь два высазывания в отличие от случаев 2 и 3 не переста-
новочны: высазывание p называют словием, а высазывание
q— следствием. Имплиация ложна тольо в том случае,
ода условие истинно, а следствие ложно.
5. Э
виваленция (или двойная импли
ация) (читают: «p
эвивалентно q» и пишут p J q). Эвиваленция истинна в том
случае, ода или оба высазывания истинны, или оба выса-
зывания ложны.
Таблица истинности элементарных высазываний имеет вид
pqp
#qp
,qp
oq
00 0011
01 1011
10 1000
11 1110
p
p
p
§ 88. Высказывания
523
Новые высазывания образуют, используя лоичесие опе-
рации. Таие операции можно применять мнооратно. Поря-
до, в отором производятся операции, уазывают с помощью
собо.
Если из p следует q и из q следует p, то высазывания p и q
называют равносильными. Равносильные высазывания со-
единяют знаом _ либо знаом равенства.
Таблицы истинности для равносильных высазываний сов-
падают.
Пример1.Доазать,чтовысазыванияpoqи(p,q)#
равносильны.
Р е ш е н и е. Таблица истинности для высазывания p o q
была представлена выше. Составим таблицу истинности для
высазывания (p , q) # :
В последней строе таблицы римсими цифрами обозначим
номера шаов, в результате оторых составляем таблицу ис-
тинности. На I шае заполняем столбцы истинности для выса-
зыванийpиq,наIIшае—длявысазыванийp,qи .При
этом используем таблицу истинности элементарных высазы-
ваний, приведенную выше. На III шае, рассматривая p , q и
а простейшие высазывания, заполним столбец дизъюнции
этих высазываний (p , q) # . Полученный столбец истиннос-
ти совпадает со столбцом истинности высазывания p o q.
Ита, равносильность высазываний p o q и (p , q) # ус-
тановлена.
Сравнив таблицы истинности, доажите:
1.
=,.
2.
=#.
3.pJq=(p,q)#( , ).
4.(p# ),q=q.
5.p#(p,q)=p.
pqp
,q
(p,q)#
00 011
01 011
10 000
11 101
I
II
III
p
p
p
p
p
p
p
p
p#qpq
p,qpq
pq
q
Глава 16
Элементы математической логики.
Системы счисления
§ 88. Высказывания
Под выс
азыванием понимают утверждение, о отором
имеет смысл оворить, истинно оно или ложно.
Из заданных высазываний с помощью та называемых ло-
ичес
их связо
, оторым в обычной речи соответствуют час-
тица «не», союзы «и», «или», сложноподчиненный оборот
«если..., то...», выражение «в том и тольо в том случае», обра-
зуют новые составные высазывания. Если истинному выса-
зыванию поставить в соответствие 1, а ложному 0, то лоиче-
сие связи можно формально определить с помощью та на-
зываемых таблиц истинности.
Основные понятия, связанные с высазываниями.
1. Отрицание (читают: «не p» и пишут ). Кода p истин-
но, тода ложно, и наоборот.
2. Конъюн
ция (или лоичес
ое множение) двух выса-
зываний (читают: «p и q» и пишут p , q). Конъюнция истинна
тольо в том случае, ода оба высазывания истинны.
3. Дизъюн
ция (или лоичес
ое сложение) двух высазы-
ваний (читают: «p или q» и пишут p # q). Дизъюнция истинна
в том случае, ода истинно хотя бы одно из двух высазываний.
4. Импли
ация (читают: «если p, то q» и пишут p o q).
Здесь два высазывания в отличие от случаев 2 и 3 не переста-
новочны: высазывание p называют словием, а высазывание
q— следствием. Имплиация ложна тольо в том случае,
ода условие истинно, а следствие ложно.
5. Э
виваленция (или двойная импли
ация) (читают: «p
эвивалентно q» и пишут p J q). Эвиваленция истинна в том
случае, ода или оба высазывания истинны, или оба выса-
зывания ложны.
Таблица истинности элементарных высазываний имеет вид
pqp
#qp
,qp
oq
00 0011
01 1011
10 1000
11 1110
p
p
p
§ 88. Высказывания
523
Новые высазывания образуют, используя лоичесие опе-
рации. Таие операции можно приме нять мнооратно. Поря-
до, в отором производятся операции, уазывают с помощью
собо.
Если из p следует q и из q следует p, то высазывания p и q
называют равносильными. Равносильные высазывания со-
единяют знаом _ либо знаом равенства.
Таблицы истинности для равносильных высазываний сов-
падают.
Пример1.Доазать,чтовысазыванияpoqи(p,q)#
равносильны.
Р е ш е н и е. Таблица истинности для высазы вания p o q
была представлена выше . Составим таблицу истинности для
высазывания (p , q) # :
В последней строе таблицы римсими цифрами обозначим
номера шаов, в результате оторых составляем таблицу ис-
тинности. На I шае заполняем столбцы истинности для выса-
зыванийpиq,наIIшае—длявысазыванийp,qи .При
этом используем таблицу истинности элементарных высазы-
ваний, приведенную выше. На III шае, рассматривая p , q и
а простейшие высазывания, заполним столбец дизъюнции
этих высазываний (p , q) # . Полученный столбец истиннос-
ти совпадает со столбцом истинности высазывания p o q.
Ита, равносильность высазываний p o q и (p , q) # ус
-
тановлена.
Сравнив таблицы истинности, доажите:
1.
=
,.
2.
=
#.
3.p Jq =(p,q)#( , ).
4.(p# ),q=q.
5.p#(p,q)=p.
pqp
,q
(p,q)#
00 011
01 011
10 000
11 101
I
II
III
p
p
p
p
p
p
p
p
p#qpq
p,qpq
pq
q
524
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
16. Высазывание p означает, что у вас есть собаа, а выса-
зывание q—что у вас есть оша. Сформулируйте, что означа-
ет заданное составное высазывание:
1а) # q;б
), ; в)(p,q)#( , );) oq.
17. Пусть высазывание p | q означает, что p и q не моут
быть оба истинными. Составьте таблицу истинности для p | q.
18. Запишите высазывание p | q (см. упр. 7), используя ло-
ичесие связи онъюнции, дизъюнции и отрицания.
19. Доажите равносильност ь высазываний (p | ) | (p | q)
иp,q.
10. Пусть p означает «идет дождь», а q означае т «дует ве-
тер». Запишите в символичесой форме высазывание:
а) «если идет дождь, то дует ветер»;
б) «если дует ветер, то идет дождь»;
в) «ветер дует в том и тольо в том случае, ода идет
дождь»;
) «если дует ветер, то нет дождя»;
д) «неверно, что ветер дует тода и тольо тода, ода нет
дождя».
11. Запишите в символичесой форме сложное высазыва-
ние, состоящее из простых высазываний p, q, r, истинное то-
да и тольо тода, ода истинна тольо одна (безразлично а-
ая) из омпонент.
12. По мишени произведены три выстрела. Пусть pi означа-
ет высазывание: «мишень поражена при i-м в ыстреле». Сфор-
мулируйте, что означает следующее высазывание, записанное
в символичесой форме:
а)p1#p2#p3;б
)
p1,p2,p3;в
)
(
1# 2),p3.
Лео проверить равносильность следующих высазываний
(здесь I — истина, L — ложь):
p#q=q#p,(
1
)
p,q=q,p,(
2
)
p#(q#r)=(p#q)#r,
(3)
p,(q,r)=(p,q),r,(
4
)
p,(q#r)=(p,q)#(p,r),
(5)
p,p=p,
(6)
p#p=p,(
7
)
p# =I,(
8
)
p
pq
pq
p
q
pp
p
§ 88. Высказывания
525
p, =L,(
9
)
p,I=p,(
1
0
)
p#I=I,(
1
1
)
p,L=L,(
1
2
)
p#L=p.(
1
3
)
Используя формулы (1)—(13), можно решать довольно слож-
ные лоичесие задачи.
П р и м е р 2. Витор, Роман, Юрий и Серей заняли на ма-
тематичесой олимпиаде первые четыре места. Кода их спро-
сили о распределении мест, они дали три таих ответа:
1) Серей — первый, Роман — второй;
2) Серей — второй, Витор — третий;
3) Юрий — второй, Витор — четвертый.
Ка распределились места, если в аждом ответе тольо од-
но утверждение истинно?
Р е ш е н и е. Та а в аждом ответе одно из утверждений
истинно, то и дизъюнция этих утверждений таже истинна.
Например, истинно высазывание: «или Серей первый, или
Роман — второй». Запишем это высазывание в следующем
символичесом виде: СI # РII. Аналоично, высазывания ос-
тальных ответов имеют вид СII # ВIII и ЮII # ВIV соответствен-
но. Конъюнция истинных высазываний истинна. Следова-
тельно, истинным является составное высазывание
(СI#РII),(СII#ВIII),(ЮII#ВIV).
(*)
Используя формулы (1)—(13), упростим высазывание (*).
Для этоо представим в виде дизъюнции простейших онъ-
юнций первую онъюнцию:
(СI#РII),(СII#ВIII)=[(СI#РII),СII]#[(СI#РII),ВIII]=
= [(СI , СII) # (РII , СII)] # [(СI , ВIII) # (РII , ВIII)]. (**)
Высазывание, записанное в первых вадратных собах пра-
вой части равенства (**), ложно, посольу является дизъюн-
цией двух ложных высазываний СI , СII и РII , СII: первое из
них состоит в том, что Серей занял одновременно первое и вто-
рое места, а второе — в том, что второе место одновременно за-
няли Роман и Серей. Таим образом, первая онъюнция
примет вид
(СI#РII),(СII#ВIII)=(СI,ВIII)#(РII,ВIII).
p
524
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
16. Высазывание p означает, что у вас есть собаа, а выса-
зывание q—что у вас есть оша. Сформулируйте, что означа-
ет заданное составное высазывание:
1а) # q;б
), ; в)(p,q)#( , );)oq.
17. Пусть высазывание p | q означает, что p и q не моут
быть оба истинными. Составьте таблицу истинности для p | q.
18. Запишите высазывание p | q (см. упр. 7), используя ло-
ичесие связи онъюнции, дизъюнции и отрицания.
19. Доажите равносильность высазываний (p | ) | (p | q)
иp,q.
10. Пусть p означает «идет дождь», а q означает «дует ве-
тер». Запишите в символичесой форме высазывание:
а) «если идет дождь, то дует ветер»;
б) «если дует ветер, то идет дождь»;
в) «ветер дует в том и тольо в том случае, ода идет
дождь»;
) «если дует ветер, то нет дождя»;
д) «неверно, что ветер дует тода и тольо тода, ода нет
дождя».
11. Запишите в символичесой форме сложное высазыва-
ние, состоящее из простых высазываний p, q, r, истинное то-
да и тольо тода, ода истинна тольо одна (безразлично а-
ая) из омпонент.
12. По мишени произведены три выстрела. Пусть pi означа-
ет высазывание: «мишень поражена при i-м выстреле». Сфор-
мулируйте, что означает следующее высазывание, записанное
в символичесой форме:
а)p1#p2#p3;б
)
p1,p2,p3;в
)
(
1# 2),p3.
Лео проверить равносильность следующих высазываний
(здесь I — истина, L — ложь):
p#q=q#p,(
1
)
p,q=q,p,(
2
)
p#(q#r)=(p#q)#r,
(3)
p,(q,r)=(p,q),r,(
4
)
p,(q#r)=(p,q)#(p,r),
(5)
p,p=p,
(6)
p#p=p,(
7
)
p# =I,(
8
)
p
pq
pq
p
q
pp
p
§ 88. Высказывания
525
p, =L,(
9
)
p,I=p,(
1
0
)
p#I=I,(
1
1
)
p,L=L,(
1
2
)
p#L=p.(
1
3
)
Используя формулы (1)—(13), можно решать довольно слож-
ные лоичесие задачи.
П р и м е р 2. Витор, Роман, Юрий и Серей заняли на ма-
тематичесой олимпиаде первые четыре места. Кода их спро-
сили о распределении мест, они дали три таих ответа:
1) Серей — первый, Роман — второй;
2) Серей — второй, Витор — третий;
3) Юрий — второй, Витор — четвертый.
Ка распределились места, если в аждом ответе тольо од-
но утверждение истинно?
Р е ш е н и е. Та а в аждом ответе одно из утверждений
истинно, то и дизъюнция этих утверждений таже истинна.
Например, истинно высазывание: «или Серей первый, или
Роман — второй». Запишем это высазывание в следующем
символичесом виде: СI # РII. Аналоично, высазывания ос-
тальных ответов имеют вид СII # ВIII и ЮII # ВIV соответствен-
но. Конъюнция истинных высазываний истинна. Следова-
тельно, истинным является составное высазывание
(СI#РII),(СII#ВIII),(ЮII#ВIV).
(*)
Используя формулы (1)—(13), упростим высазывание (*).
Для этоо представим в виде дизъюнции простейших онъ-
юнций первую онъюнцию:
(СI#РII),(СII#ВIII)=[(СI#РII),СII]#[(СI#РII),ВIII]=
= [(СI , СII) # (РII , СII)] # [(СI , ВIII) # (РII , ВIII)]. (**)
Высазывание, записа нное в первых вадратных собах пра-
вой части равенства (**), ложно, посольу является дизъюн-
цией двух ложных высазываний СI , СII и РII , СII: первое из
них состоит в том, что Серей занял одновременно первое и вто-
рое места, а второе — в том, что второе место одновременно за-
няли Роман и Серей. Таим образом, первая онъюнция
примет в ид
(СI#РII),(СII#ВIII)=(СI,ВIII)#(РII,ВIII).
p
526
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Тода онъюнция (**) запишется та:
[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , (ЮII # ВIV).
Используя по-прежнему формулы (1)—(13), имеем
{[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , ЮII} #
#{[(СI,ВIII)#(РII,ВIII)],ВIV}=
= (СI,ВIII,ЮII)#(РII,ВIII,ЮII)#(СI,ВIII,ВIV)#
#(РII,ВIII,ВIV)=(СI,ВIII,ЮII).
Действительно, второе, третье и четвертое высазывания,
участвующие в этой дизъюнции, ложны, та а являются
онъюнциями или одинаовых був с разными номерами, или
разных був с одинаовыми номерами, че о быть не может.
Ита, истинной является онъюнция СI , ВIII , ЮII.
Ответ. Первое место занял Серей, второе — Юрий, т ретье —
Витор и четвертое — Роман.
13. По обвинению в ораблении перед судом предстали A, B, C.
Установлено следующее:
а) если A не виновен или B виновен, то C виновен;
б) если A не виновен, то C не виновен.
Виновен ли A?
14. Определите, то из четырех подозреваемых участ вовал
в ораблении, по следующим данным:
а) если A участвовал, то и B участвовал;
б) если B участвовал, то или C участвовал, или A не участ-
в овал;
в) если D не участвовал, то A участвовал, а C не участвовал;
) если D участвовал, то A участвовал.
15. Эзамен сдавали три студента A, B и C. Известно, что:
а)еслиAнесдалилиBсдал,тоCсдал;
б)еслиAнесдал,тоCнесдал.
Можно ли на основании этих данных установить, то сдал
эзамен?
В начале парарафа было поазано, а построить таблицу
истинности любоо составноо высазывания. Представляет ин-
терес и обратная задача: по заданной таблице истинности най-
ти одно или несольо высазываний, оторым оно соотве тст-
в ует. Оазывается, обратная задача не тольо имеет решение,
но ео можно получить, используя лишь следующие лоичесие
связи: ,, #,
.
§ 88. Высказывания
527
П р и м е р 3. Найти высазывание, состоящее из двух про-
стейших высазываний p и q, имеющее следующую таблицу
истинности (см. таблицу слева):
Р е ш е н и е. Единица в последнем столбце таблицы при-
сутствует тольо в последней строе. Следовательно, можно
предположить, что истинным является высазывание , .
Проверим это утверждение. Для этоо составим таблицу истин-
ности высазывания , (см. таблицу справа). Действитель-
но, полученная таблица совпадает с исходной. Ита, найденное
высазывание истинное.
16. Постройте три составных высазывания a, b, c, имею-
щих следующие таблицы истинности:
17. Каие высазывания a, b, c, d имеют следующие табли-
цы истинности:
pq?,
100 010
110 000
010 100
001 111
pqr abc
111 101
110 001
101 101
100 010
011 001
010 101
001 000
000 001
pq abcd
11 1100
10 0001
01 0010
00 1000
p
q
pq
pq
pq
526
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Тода онъюнция (**) запишется та:
[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , (ЮII # ВIV).
Используя по-прежнему формулы (1)—(13), имеем
{[(СI , ВIII) # (РII , ВIII)] , ЮII} #
#{[(СI,ВIII)#(РII,ВIII)],ВIV}=
=(СI,ВIII,ЮII)#(РII,ВIII,ЮII)#(СI,ВIII,ВIV)#
#(РII,ВIII,ВIV)=(СI,ВIII,ЮII).
Действительно, второе, третье и четвертое высазывания,
участвующие в этой дизъюнции, ложны, та а являются
онъюнциями или одинаовых був с разными номерами, или
разных був с одинаовыми номерами, чео быть не может.
Ита, истинной является онъюнция СI , ВIII , ЮII.
Ответ. Первое место занял Серей, второе — Юрий, третье —
Витор и четвертое — Роман.
13. По обвинению в ораблении перед судом предстали A, B, C.
Установлено следующее:
а) если A не виновен или B виновен, то C виновен;
б) если A не виновен, то C не виновен.
Виновен ли A?
14. Определите, то из четырех подозреваемых участвовал
в ораблении, по следующим данным:
а) если A участвовал, то и B участвовал;
б) если B участвовал, то или C участвовал, или A не участ-
вовал;
в) если D не участвовал, то A участвовал, а C не участвовал;
) если D участвовал, то A участвовал.
15. Эзамен сдавали три студента A, B и C. Известно, что:
а)еслиAнесдалилиBсдал,тоCсдал;
б)еслиAнесдал,тоCнесдал.
Можно ли на основании этих данных установить, то сдал
эзамен?
В начале парарафа было поазано, а построить таблицу
истинности любоо составноо высазывания. Представляет ин-
терес и обратная задача: по заданной таблице истинности най-
ти одно или несольо высазываний, оторым оно соответст-
вует. Оазывается, обратная задача не тольо имеет решение,
но ео можно получить, используя лишь следующие лоичесие
связи: ,, #, .
§ 88. Высказывания
527
П р и м е р 3. Найти высазывание, состоящее из двух про-
стейших высазываний p и q, имеющее следующую таблицу
истинности (см. таблицу слева):
Р е ш е н и е. Единица в последнем столбце таблицы при-
сутствует тольо в последней строе. Следовательно, можно
предположить, что истинным является высазывание
,.
Проверим это утверждение. Для этоо состав им таблицу истин-
ности высазывания , (см. таблицу справа). Действитель-
но, полученная таблица совпадает с исходной. Ита, найденное
высазывание истинное.
16. Постройте три состав ных высазывания a, b, c, имею-
щих следующие таблицы истинности:
17. Каие высазывания a, b, c, d имеют следующие табли-
цы истинности:
pq?,
100 010
110 000
010 100
001 111
pqr abc
111 101
110 001
101 101
100 010
011 001
010 101
001 000
000 001
pq abcd
11 1100
10 0001
01 0010
00 1000
p
q
pq
pq
pq
528
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Ка следует из примера 3, а таже из решений упр. 16 и 17,
алоритм построения составноо высазывания залючается в
дизъюнции тех онъюнций простых высазываний, ото-
рым соответствует единица в последнем столбце таблицы ис-
тинности. При этом в отдельную онъюнцию входит либо вы-
сазывание, либо ео отрицание в зависимости от тоо, соответ-
ствуют ли ему в таблице единица или нуль.
Попробуем использовать этот метод в следующей «жизнен-
ной» ситуации.
Пример 4. Имеютсяорода A и B. В ороде A живут лю-
ди, все да оворящие правду, а в ороде B живут лжецы, вседа
оворящие неправду. Жители обоих ородов свободно ходят
в ости дру друу, поэтому в аждом ороде можно встретить
жителей любоо из них. Каой вопрос должен задать путешест-
в енни первому встречному, чтобы по единственному ответу
(«да» или «нет») выяснить, в аом ороде он находится?
Решение. Пусть p означает высазывание «вы оворите
правду», а q—высазывание «это ород A». Требуется задать
единственный вопрос, на оторый ответ «да» означал бы, что q
истинно, а ответ «нет» — что q ложно, независимо от правди-
в ости первоо встречноо.
Если челове оворит правду, то он сажет «да», если вы-
сазывание истинно, и «нет» — если оно ложно; лжец посту-
пит наоборот. Таблица истинности высазывания (ожидаемоо
ответа) имее т следующий вид:
Эта таблица истинности соответствует эвивалентности,
т. е . (p J q), или высазыванию
(p,q)#( , ).
Таим образом, заданный первому встречному вопрос дол-
жен установить, является ли истинной эвивалентность места
жительства спрашивае моо человеа и ео правдивость:«Верно
pqОжидаемый ответ
11д
а1
10н
е
т0
01д
а0
00н
е
т1
pq
§ 88. Высказывания
529
ли, что это ород A и вы ео житель, или это ород B и вы ео
житель?» С помощью этоо вопроса нужно выяснить, живет ли
этот челове в данном ороде, поэтому ео можно сформулиро-
вать ороче: «Вы житель этоо орода?»
18. Один лои попал диарям и был залючен в темни-
цу, имеющую два выхода. Вождь диарей предложил пленни-
у следующий шанс на спасение: «Один выход ведет на верную
смерть, друой — на свободу. Ты можешь избрать любой. Сде-
лать выбор тебе помоут два моих воина. Они останутся здесь,
чтобы ответить на один твой вопрос — любой, аой ты поже-
лаешь им задать. Но я предупреждаю тебя, что один воин все-
да оворит правду, а второй вседа лжет». И вождь ушел. Через
неоторое время лои, задав вопрос одному из воинов, вышел
на свободу. Каой вопрос он задал?
П р и м е р 5. Староста, физор и профор хотят использо-
вать элетричесую схему, реистрирующую результаты тай-
ноо олосования большинством олосов. Ка она должна вы-
лядеть?
Решение. Пусть p— высазывание «староста олосует
за», q—высазывание «физор олосует за», r — высазыва-
ние «профор олосует за». Составим таблицу истинности инте-
ресующео нас высазывания:
Единицы в последнем столбце поставлены в тех строах,
де число единиц больше числа нулей.
Исомое высазывание имеет вид
(p,q,r)#(p,q, )#(p, ,r)#( ,q,r).
pqr
Исомое высазывание
111 1
p,q,r
110 1
p,q,
101 1
p, ,r
0111,q,r
100 0
010 0
001 0
000 0
r
q
p
r
q
p
528
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Ка следует из примера 3, а таже из решений упр. 16 и 17,
алоритм построения составноо высазывания залючается в
дизъюнции тех онъюнций простых высазываний, ото-
рым соответствует единица в последнем столбце таблицы ис-
тинности. При этом в отдельную онъюнцию входит либо вы-
сазывание, либо ео отрицание в зависимости от тоо, соответ-
ствуют ли ему в таблице единица или нуль.
Попробуем использовать этот метод в следующей «жизнен-
ной» ситуации.
Пример 4. ИмеютсяородаA и B. В ороде A живут лю-
ди, вседа оворящие правду, а в ороде B живут лжецы, вседа
оворящие неправду. Жители обоих ородов свободно ходят
в ости дру друу, поэтому в аждом ороде можно встретить
жителей любоо из них. Каой вопрос должен задать путешест-
венни первому встречному, чтобы по единственному ответу
(«да» или «нет») выяснить, в аом ороде он находится?
Решение. Пусть p означает высазывание «вы оворите
правду», а q—высазывание «это ород A». Требуется задать
единственный вопрос, на оторый ответ «да» означал бы, что q
истинно, а ответ «нет» — что q ложно, независимо от правди-
вости первоо встречноо.
Если челове оворит правду, то он сажет «да», если вы-
сазывание истинно, и «нет» — если оно ложно; лжец посту-
пит наоборот. Таблица истинности высазывания (ожидаемоо
ответа) имеет следующий вид:
Эта таблица истинности соответствует эвивалентности,
т. е. (p J q), или высазыванию
(p,q)#( , ).
Таим образом, заданный первому встречному вопрос дол-
жен установить, является ли истинной эвивалентность места
жительства спрашиваемоо человеа и ео правдивость:«Верно
pqОжидаемый ответ
11д
а1
10н
е
т0
01д
а0
00н
е
т1
pq
§ 88. Высказывания
529
ли, что это ород A и вы ео житель, или это ород B и вы ео
житель?» С помощью этоо вопроса нужно выяснить, живет ли
этот челове в данном ороде, поэтому ео можно сформулиро-
вать ороче: «Вы житель этоо орода?»
18. Один лои попал диарям и был залючен в те мни-
цу, имеющую два выхода. Вождь диарей предложил пленни-
у следующий шанс на спасение: «Один выход ведет на верную
смерть, друой — на свободу. Ты можешь избрать любой. Сде-
лать выбор тебе помоут два моих воина. Они останутся здесь,
чтобы отве тить на один твой вопрос — любой, аой ты поже-
лаешь им задать. Но я предупреждаю тебя, что один воин все-
да оворит правду, а второй вседа лжет». И вождь ушел. Через
неоторое время лои, задав вопрос одному из воинов, вышел
на свободу. Каой вопрос он задал?
П р и м е р 5. Староста, физор и профор хотят использо-
вать элетричесую схему, реистрирующую результаты тай-
ноо олосования большинством олосов. Ка она должна вы-
лядеть?
Решение. Пусть p— высазывание «староста олосует
за», q—высазывание «физор олосует за», r — высазыва-
ние «профор олосует за». Составим таблицу истинности инте-
ресующео нас высазывания:
Единицы в последнем столбце поставлены в тех строах,
де число единиц больше числа нулей.
Исомое высазывание имее т вид
(p,q,r)#(p,q, )#(p, ,r)#( ,q,r).
pqr
Исомое высазывание
111 1
p,q,r
110 1
p,q,
101 1
p, ,r
0111,q,r
100 0
010 0
001 0
000 0
r
q
p
r
q
p
530
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Для ео реализации в виде элетричесой цепи достаточно до-
овориться, что истинность высазывания соответствует тому,
что цепь проводит то (рис. 72). Лампоча заорится в том и
тольо в том случае, если большинство проолосовало «за».
19. В условиях примера 5 реализуйте элетричесую схему,
при оторой лампоча заорится, если хотя бы один участни
проолосовал «за».
20. Каое высазывание реализует схема на рис. 73?
21. Придумайте схему более простую, чем в упр.20, но
реализующую то же самое высазывание.
22. Каое высазывание реализует схема на рис. 74?
§ 89. Предложения, зависящие
от переменной
Пусть предложение зависит от переменной, принадлежа-
щей неоторому множеству A. Это предложение, вообще ово-
ря, не является высазыванием. Однао предполаается, что
pqr
pq
pr
qr
p
q
r
Рис. 72
pq
q
p
q
pq
p
q
Рис. 73
Рис. 74
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
531
для аждоо значения переменной предложение есть высазы-
вание и, следовательно, оно может быть либо истинным, либо
ложным. Таим образом, множество A разбивается на два под-
множества. Одно содержит те и тольо те значения перемен-
ной, при оторых предложение истинно, а друое — при ото-
рых оно ложно.
Например, для предложения x2 – 1 < 0 (x Ý R) множеством
истинности является промежуто (–1; 1), а множеством, де оно
ложно, — дополнение этоо промежута до всео множества R,
т. е. объединение промежутов: (×; –1] [1; +×).
Два предложения p(x) и q(x), определенные на одном и том
же множестве, называют равносильными, если их множества
истинности совпадают. Например, два предложения x2 – 1 < 0
и (x – 1) (x + 1) < 0 равносильны на множестве R.
Для предложений, зависящих от переменных, а и для
высазываний, можно ввести лоичесие операции.
Например, если предложения p(x) и q(x) определены на од-
ном множестве U, то предложение p(x) # q(x), являющееся их
дизъюнцией, определено на том же множестве и в ачестве
множества истинности имеет объединение множеств истиннос-
ти предложений p(x) и q(x).
Удобной иллюстрацией лоичесих связо являются та на-
зываемые схемы Вэна (рис. 75). Область определения всех пред-
ложений, участвующих в связах, — единичный вадрат. Мно-
жества истинности предложений, соответствующих уазанным
лоичесим операциям, заштрихованы. На рис. 75, а изобра-
жено множество истинности дизъюнции p(x) # q(x); на
рис. 75, б—множество истинности онъюнции p(x) , q(x); на
рис. 75, в—множество истинности имплиации p(x) o q(x), на
рис. 75, —множество истинности отрицания (x).
p
p
q
p
q
p
p
q
p(x) ] q(x)
a)
á)
â)
ã)
p(x) Ð q(x) p(x) q(x)
p(x)
p
Рис. 75
530
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Для ео реализации в виде элетричесой цепи достаточно до-
овориться, что истинность высазывания соответствует тому,
что цепь проводит то (рис. 72). Лампоча заорится в том и
тольо в том случае, если большинство проолосовало «за».
19. В условиях примера 5 реализуйте элетричесую схему,
при оторой лампоча заорится, если хотя бы один участни
проолосовал «за».
20. Каое высазывание реализует схема на рис. 73?
21. Придумайте схему более простую, чем в упр.20, но
реализующую то же самое высазывание.
22. Каое высазывание реализует схема на рис. 74?
§ 89. Предложения, зависящие
от переменной
Пусть предложение зависит от переменной, принадлежа-
щей неоторому множеству A. Это предложение, вообще ово-
ря, не является высазыванием. Однао предполаается, что
pqr
pq
pr
qr
p
q
r
Рис. 72
pq
q
pq
pq
pq
Рис. 73
Рис. 74
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
531
для аждоо значения переменной предложение есть высазы-
вание и, следовательно, оно может быть либо истинным, либо
ложным. Таим образом, множество A разбивается на два под-
множества. Одно содержит те и тольо те значения перемен-
ной, при оторых предложение истинно, а друое — при ото-
рых оно ложно.
Например, для предложения x2 – 1 < 0 (x Ý R) множеством
истинности является промежуто (–1; 1), а множеством, де оно
ложно, — дополнение этоо промежута до всео множества R,
т. е . объединение промежутов: (×; –1] [1; +×).
Два предложения p(x) и q(x), определенные на одном и том
же множестве, называют равносильными, если их множества
истинности совпадают. Например, два предложения x2 – 1 < 0
и (x – 1) (x + 1) < 0 равносильны на множестве R.
Для предложений, зависящих от переменных, а и для
высазываний, можно ввести лоичесие операции.
Например, если предложения p(x) и q(x) определены на од-
ном множестве U, то предложение p(x) # q(x), являющееся их
дизъюнцией, определено на том же множестве и в ачестве
множества истинности имеет объединение множеств истиннос-
ти предложений p(x) и q(x).
Удобной иллюстрацией лоичесих связо являются та на-
зываемые схемы Вэна (рис. 75). Область определения всех пред-
ложений, участвующих в связах, — единичный вадрат. Мно-
жества истинности предложений, соответствующих уазанным
лоичесим операциям, заштрихованы. На рис. 75, а изобра-
жено множество истиннос ти дизъюнции p(x) # q(x); на
рис. 75, б—множество истинности онъюнции p(x) , q(x); на
рис. 75, в—множество истинности имплиации p(x) o q(x), на
рис. 75, —множество истинности отрицания (x).
p
p
q
p
q
p
p
q
p(x) ] q(x)
a)
á)
â)
ã)
p(x) Ð q(x)
p(x) q(x)
p(x)
p
Рис. 75
532
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Пример1.ПустьA(x)={x+3<0}иB(x)={x–2l0}—
два предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Найдите
множество истинности для предложения:
1) A(x) # B(x);
2) A(x) , B(x);
3)A(x), (
x);
4) A(x) o B(x);
5)A(x)o (
x).
Р е ш е н и е. 1) Для предложения A(x) # B(x) множеством
истинности является множество тех и тольо тех значений x,
при оторых верно хотя бы одно из неравенств
x+3<0 или x–2l0,
т. е . объединение промежутов: (–×; –3) Ÿ [2; +×).
2) Для предложения A(x) , B(x) множеством истинности яв-
ляется множество тех и тольо тех значений x, при оторых
справедливы оба данных неравенства. Друими словами, это
множество является реше нием систе мы
_
_3⁄4.
3) Для предложения A(x) , (
x) множеством истинности
является множество тех и тольо тех значений x, при оторых
справедливыобанеравенстваx+3<0иx–2<0,т.е.этомно-
жество решений системы
_
_ (–×; –3).
4)ДляпредложенияA(x)oB(x)(«еслиx+3<0,тоx–2l
l 0») множество истинности не содержит ни одноо элемента.
5) Для предложения A(x) o (
x)(«еслиx+3<0,тоx–2<
< 0») множеством истинности является вся числовая прямая.
1.ПустьA(x)={x–2>0},B(x)={x+2l0}—двапредло-
жения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите множест-
во истинности предложения:
а) A(x) # B(x);
б) A(x) , B(x);
в) A(x) o B(x);
) B(x) o A(x);
д)A(x)o (
x); е) (x)o (
x).
2.ПустьA(x)={x2+x+1l0},B(x)={x+2l0}—два
предложения, зависящие от переме нной x (x Ý R). Уажите
множество истинности предложения:
а) A(x) # B(x);
б) A(x) , B(x);
в) A(x) o B(x);
) B(x) o A(x);
д)A(x)o (
x); е) (x)o (
x).
B
B
x+3<0,
x–2l0
x<–3,
xl2
B
x+3<0,
x–2<0
x<–3,
x<2
B
B
B
A
B
B
A
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
533
3. Определите множество истинности предложения A =
=
< , определенноо для всех n Ý N.
4. При аих значениях параметра a множество истинности
предложения
x–2· m (x+1)
представляет собой промежуто: а) [2; +×); б) (–×; 2]?
5. Найдите множество истинности предложения
+
l
.
6.ПустьA(x,y)={(a+1)x+8y=4a},B(x,y)={ax+(a+3)y=
= 3a – 1} — два предложения, определенные для всех пар дей-
ствительных чисел (x; y). При аом значении параметра a
предложение A(x, y) , B(x, y) имеет множество истинности:
а) состоящее тольо из одноо элемента (x; y);
б) состоящее более чем из одноо элемента (x; y);
в) не содержащее ни одноо элемента?
7.ПустьA(x)={ax–1m0},B(x)={x–4al0}—двапред-
ложения, определенные для всех действительных значений x.
При аих значениях a множество истинности предложения
A(x) , B(x) не пусто?
С предложениями, зависящими от переменной, близо свя-
заны два часто встречающихся утверждения.
10. Предложение A(x) (x Ý M) истинно для всех элементов
множества M.
20. Найдется хотя бы один элемент множества M, для ото-
роо A(x) (x Ý M) истинно.
Эти утверждения настольо часто встречаются в математи-
е, что получили специальную ратую символичесую запись:
зна
общности > и зна
сществования <. Зна > заменяет
слова: «для всех», «всяий», «любой», «аждый». Зна <
употребляется вместо слов: «хотя бы один», «найдется», «су-
ществует». С помощью этих знаов утверждения 10 и 20 можно
записать та:
10.(>x Ý M) A(x);
20.(<x Ý M) A(x).
Утверждение 10 залючается в том, что множество истин-
ности A(x) совпадает с M. Утверждение 20 залючается в том,
что множество истинности A(x) не пусто. Оба утверждения
1
n1+
-------------- 1
3---
a1–
a------------- 2
3a-------
2x1
+
2x 5–
52x
–
532
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Пример1.ПустьA(x)={x+3<0}иB(x)={x–2l0}—
два предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Найдите
множество истинности для предложения:
1) A(x) # B(x); 2) A(x) , B(x);
3) A(x) , (x); 4) A(x) o B(x); 5) A(x) o (x).
Р е ш е н и е. 1) Для предложения A(x) # B(x) множеством
истинности является множество тех и тольо тех значений x,
при оторых верно хотя бы одно из неравенств
x+3<0 или x–2l0,
т. е. объединение промежутов: (–×; –3) Ÿ [2; +×).
2) Для предложения A(x) , B(x) множеством истинности яв-
ляется множество тех и тольо тех значений x, при оторых
справедливы оба данных неравенства. Друими словами, это
множество является решением системы
_
_3⁄4.
3) Для предложения A(x) , (x) множеством истинности
является множество тех и тольо тех значений x, при оторых
справедливыобанеравенстваx+3<0иx–2<0,т.е.этомно-
жество решений системы
_
_ (–×; –3).
4)ДляпредложенияA(x)oB(x)(«еслиx+3<0,тоx–2l
l 0») множество истинности не содержит ни одноо элемента.
5)ДляпредложенияA(x)o (x)(«еслиx+3<0,тоx–2<
< 0») множеством истинности является вся числовая прямая.
1.ПустьA(x)={x–2>0},B(x)={x+2l0}—двапредло-
жения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите множест-
во истинности предложения:
а) A(x) # B(x); б) A(x) , B(x); в) A(x) o B(x);
)B(x)oA(x); д)A(x)o (x); е) (x)o (x).
2.ПустьA(x)={x2+x+1l0},B(x)={x+2l0}—два
предложения, зависящие от переменной x (x Ý R). Уажите
множество истинности предложения:
а) A(x) # B(x); б) A(x) , B(x); в) A(x) o B(x);
)B(x)oA(x); д)A(x)o (x); е) (x)o (x).
B
B
x+3<0,
x–2l0
x<–3,
xl2
B
x+3<0,
x–2<0
x<–3,
x<2
B
B
B
A
B
B
A
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
533
3. Определите множество истинности предложения A =
=
<
, определенноо для всех n Ý N.
4. При аих значениях параметра a множество истинности
предложения
x–2·
m(
x+1)
представляет собой промежуто: а) [2; +×); б) (– ×; 2]?
5. Найдите множество истинности предложения
+
l
.
6.ПустьA(x,y)={(a+1)x+8y=4a},B(x,y)={ax+(a+3)y=
= 3a – 1} — два предложения, определенные для всех пар дей-
ствительных чисел (x; y). При аом значении параметра a
предложение A(x, y) , B(x, y) имеет множество истинности:
а) состоящее тольо из одноо элемента (x; y);
б) состоящее более че м из одноо элемента (x; y);
в) не содержащее ни одноо элемента?
7.ПустьA(x)={ax–1m0},B(x)={x–4al0}—двапред-
ложения, определенные для всех действительных значений x.
При аих значениях a множество истинности предложения
A(x) , B(x) не пусто?
С предложениями, зависящими от переменной, близо свя-
заны два часто встречающихся утверждения.
10. Предложение A(x) (x Ý M) истинно для всех элементов
множества M.
20. Найдется хотя бы один элемент множества M, для ото-
роо A(x) (x Ý M) истинно.
Эти утверждения настольо часто встречаются в математи-
е, что получили специальную ратую символичесую запись:
зна
общности > и зна
сществования <. Зна > заменяет
слова: «для всех», «всяий», «любой», «аждый». Зна <
употребляется вместо слов: «хотя бы один», «найдется», «су-
ществует». С помощью этих знаов утверждения 10 и 20 можно
записать та:
10.(>x Ý M) A(x);
20.(<x Ý M) A(x).
Утверждение 10 залючается в том, что множество истин-
ности A(x) совпадает с M. Утверждение 20 залючается в том,
что множество истинности A(x) не пусто. Оба утверждения
1
n1
+
--------------
1
3
---
a1
–
a
-------------
2
3a
-------
2x1
+
2x5
–
52x
–
534
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
представляют собой высазывания и моут быть истинны или
ложны*.
Например, предложение с переменной
A(x)={x–3)>0}, xÝR,
рассматриваемое на множестве действительных чисел, допус-
ает два высазывания
(>x Ý R) A(x)и(<x Ý R) A(x).
Первое из них ложно, второе — истинно.
Если в ачестве M взять интервал (3; +×), то оба высазы-
вания (>x Ý M) A(x) и (<x Ý M) A(x) истинны.
П р и м е р 2. Выяснить истинность следующих высазы-
ваний:
(>xÝR)(<yÝR)(x+y=3),
(<yÝR)(>xÝR)(x+y=3).
Р е ш е н и е. Первое высазывание означает: «для любоо
действительноо числа x существует действительное число y
таое, что справедливо равенство x + y = 3». Это высазывание
истинно, та а для аждоо x в ачестве y достаточно взять
значение 3 – x.
Второе высазывание означает: «существует таое действи-
тельное число y, что для все х действительных чисел x справед-
ливо равенство x + y = 3». Очевидно, что нет ни одноо таоо
числа y, оторое сразу для всех x обеспечивало бы равенство
x + y = 3 . Следовательно, второе высазывание ложно.
Сформулируйте и выясните истинность данноо высазы-
вания:
8.(<xÝR)(<yÝR)(x+y=3).
9.(>xÝR)(>yÝR)(x+y=3).
10.(>xÝR)(>yÝR)(x<y)^(<zÝR)(x<z<y).
11.(>xÝR)(x2+1>0).
12.(>xÝR)((x+1)(x–1)>0^(x2–1)>0).
13.(>xÝR)(x2–1>0^x–1>0).
14.(>xÝR)(x–1>0^x2–1>0).
15.(<xÝR)(
< x).
16.(<xÝR)(
l x).
17.(>xÝR)(>yÝR)(lg(xy)=lgx+lgy).
*Зна > называют вантором общности, а зна < — вантором
сществования.
x2
x2
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
535
Чтобы убедиться в ложности высазывания (>x Ý M)A(x),
достаточно найти хотя бы один элемент x Ý M, для отороо
высазывание A(x) ложно. Таим образом,
=(<xÝM) ,
(1)
и, наоборот, чтобы убедиться в ложности высазывания
(<x Ý M) A(x), необходимо проверить, что для всех x Ý M спра-
ведливо высазывание , т. е.
=(>xÝM) .
(2)
Равенства (1) и (2) позволяют формально строить отрицания
для утверждений, содержащих ванторы общности и сущест-
вования.
П р и м е р 3. Сформулировать с помощью лоичесих сим-
волов два утверждения: 1) число a является пределом числовой
последовательности ; 2) число a не является пределом чис-
ловой последовательности .
Р е ш е н и е. 1) Напомним словесную формулирову утверж-
дения
un = a. Число a является пределом числовой после-
довательности, если для любоо ε > 0 существует таое N, что
при всех n > N справедливо неравенство | – a| < ε (т. е. если
n > N, то | – a| < ε). Используя лоичесую символиу, по-
лучаем
(>ε>0) (<NÝN)(>nÝN)(n>No| –a|<ε).
2) Для построения утверждения
− a с помощью ло-
ичесой символии воспользуемся свойствами операции отри-
цания:
=
=(<ε>0) (>NÝN)(<nÝN)(
)=
=(<ε>0) (>NÝN)(<nÝN)((n>N),(| –a|lε)).
При построении отрицания замена вантора общности на
вантор существования следует из правил (1) и (2). Из этих же
правил следует зна отрицания над высазыванием, означаю-
щим имплиацию A o B, де высазывания A и B имеют вид
A={n>N}, а B={|un–a|<ε}.
(>x Ý M)A(x)
A(x)
A(x)
(<x Ý M)A(x)
A(x)
un
un
no×
lim
un
un
un
no×
lim un
(>ε>0) (<NÝN)(>nÝN)(n>No un a–<ε)
n>No un a–<ε
un
534
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
представляют собой высазывания и моут быть истинны или
ложны*.
Например, предложение с переменной
A(x)={x–3)>0}, xÝR,
рассматриваемое на множестве действительных чисел, допус-
ает два высазывания
(>x Ý R) A(x)и(<x Ý R) A(x).
Первое из них ложно, второе — истинно.
Если в ачестве M взять интервал (3; +×), то оба высазы-
вания (>x Ý M) A(x) и (<x Ý M) A(x) истинны.
П р и м е р 2. Выяснить истинность следующих высазы-
ваний:
(>xÝR)(<yÝR)(x+y=3),
(<yÝR)(>xÝR)(x+y=3).
Р е ш е н и е. Первое высазывание означает: «для любоо
действительноо числа x существует действительное число y
таое, что справедливо равенство x + y = 3». Это высазывание
истинно, та а для аждоо x в ачестве y достаточно взять
значение 3 – x.
Второе высазывание означает: «существует таое действи-
тельное число y, что для всех действительных чисел x справед-
ливо равенство x + y = 3». Очевидно, что нет ни одноо таоо
числа y, оторое сразу для всех x обеспечивало бы равенство
x + y = 3. Следовательно, второе высазывание ложно.
Сформулируйте и выясните истинность данноо высазы-
вания:
8.(<xÝR)(<yÝR)(x+y=3).
9.(>xÝR)(>yÝR)(x+y=3).
10.(>xÝR)(>yÝR)(x<y)^(<zÝR)(x<z<y).
11.(>xÝR)(x2+1>0).
12.(>xÝR)((x+1)(x–1)>0^(x2–1)>0).
13.(>xÝR)(x2–1>0^x–1>0).
14.(>xÝR)(x–1>0^x2–1>0).
15.(<xÝR)( <x).
16.(<xÝR)( lx).
17.(>xÝR)(>yÝR)(lg(xy)=lgx+lgy).
*Зна> называют вантором общности, а зна < — вантором
сществования.
x2
x2
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
535
Чтобы убедиться в ложности высазывания (>x Ý M)A(x),
достаточно найти хотя бы один элемент x Ý M, для отороо
высазывание A(x) ложно. Таим образом,
= (<xÝM)
,
(1)
и, наоборот, чтобы убедиться в ложности высазывания
(<x Ý M) A(x), не обходимо проверить, что для всех x Ý M спра-
ведливо высазывание
,т.е.
= (>xÝM)
.
(2)
Раве нства (1) и (2) позволяют формально строить отрицания
для утверждений, содержащих ванторы общности и сущест-
вования.
П р и м е р 3. Сформулировать с помощью лоичесих сим-
волов два утверждения: 1) число a является пределом числовой
последовательности
; 2) число a не является пределом чис-
ловой последовательности
.
Р е ш е н и е. 1) Напомним словесную формулирову утверж-
дения
un = a. Число a является пределом числовой после-
довательности, если для любоо ε > 0 существует таое N, что
при всех n > N справедливо неравенс тво |
–
a|<ε(т.е.если
n>N,то|
–
a| < ε). Используя лоичесую символиу, по-
лучаем
(>ε>0) (<NÝN)(>nÝN)(n>No|
–
a|<ε).
2) Для построения утверждения
− a с помощью ло-
ичесой символии воспользуемся свойствами операции отри-
цания:
=
= (<ε>0) (>NÝN)(<nÝN)(
)=
= (<ε>0) (>NÝN)(<nÝN)((n>N),(| –a|lε)).
При построении отрицания замена вантора общности на
вантор существования следует из правил (1) и (2). Из этих же
правил следует зна отрицания над высазыванием, означаю-
щим имплиацию A o B, де высазывания A и B имеют вид
A={n>N}, а B={|un–a|<ε}.
(>x Ý M)A(x)
A(x)
A(x)
(<x Ý M)A(x)
A(x)
un
un
no×
lim
un
un
un
no×
lim un
(>ε >0) (<N Ý N)(
>nÝN)(
n>No un a
–<
ε)
n>No un a
–<
ε
un
536
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Но отрицание имплиации A o B представляет собой онъ-
юнцию A , . Действительно,
=
=
,A= # ,A=A, .
Таим образом, словес ная формулирова утверждения
− a состоит в следующем: «число a не является преде-
лом последовательности
, если существует ε > 0 таое, что
для любоо N Ý N найдется номер n Ý N таой, что истинны
одновременно два высазывания n > N и |
–
a|lε».
18. Используя лоичесую символиу, запишите высазы-
вание и ео отрицание:
а) «последовательность ораничена»;
б) «последовательность монотонно возрастает».
19. Используя лоичесую символиу, сформулируйте вы-
сазывание
f(x) = b.
20. Число M называют точной верхней ранью фунции f(x)
на отрезе [a; b], если выполняются два условия: 1) f(x) m M
привсехxÝ[a;b];2)длялюбооε>0найдетсяxÝ[a;b]та-
ое, что f(x) > M – ε . В том случае, ода M—точная верхняя
рань f(x) на отрезе [a; b], пишут: M =
f(x).
а) Используя лоичесую символиу, сформулируйте вы-
сазывание M =
f(x).
б) Используя лоичесую символиу, сформулируйте обрат-
ное утверждение M −
f(x).
Приведите словесную формулирову аждоо высазы-
вания.
§ 90. Метод математической индукции
В различных разделах математии часто приходится доа-
зывать истинность неотороо предложения α(n), зависящео
от натуральноо n сразу для всех значений переменной n Ý N.
Метод математичес
ой инд
ции основан на следующем
принципе. Если α — неоторое утверждение, имеющее смысл
при всех n Ý N, то чтобы установить ео истинность при всех
B
AoB (A,B)#A (A,B)
AB
B
no×
lim un
un
un
xoa
lim
sup
xÝ[a;b]
sup
xÝ[a;b]
sup
xÝ[a;b]
§ 90. Метод математической индукции
537
n Ý N, поступают та: проверяют истинность α(1) и истинность
имплиации α(k) o α(k + 1), де k—произвольное натураль-
ное число.
Поажем, что если истинно α(1) и α(k) o α(k + 1), то α(3)
истинно.
Действительно, та а α(1) истинно, то, используя истин-
ность имплиации α(k) o α(k + 1) для любоо k Ý N, положим
k = 1 и получим истинность α(2), а положив в высазывании
α(k) o α(k + 1) k = 2, получим истинность α(3).
На язые лоичесой символии принцип математичесой
индуции можно записать следующим образом:
(α(1),(α(k)oα(k+1)))o(>nÝN)(α(n))
или
(α(1) , ((>k Ý N)(α(k) o α(k + 1)))) o (>n Ý N) (α(n)).
П р и м е р 1. Доазать, что при любом n выражение
n(2n2–3n+1)
делится на 6.
Р е ш е н и е. Высазывание α(n), сформулированное в ус-
ловии, определено для любоо n Ý N. Соласно принципу мате-
матичесой индуции, проверим истинность α(1). При n = 1
получаем
1·(2–3+1)=0;
та а 0 делится на 6, то высазывание α(1) истинно.
Предположим, что истинно высазывание α(k), т. е. k(2k2 –
– 3k + 1) делится на 6. Доажем, что при этом условии выса-
зывание α(k + 1) таже будет истинным. В самом деле, соста-
вим разность
α(k+1)–α(k)=
=(k+1)(2(k+1)2–3(k+1)+1)–k(2k2–3k+1). (*)
Расрывая соби в выражении (*) и руппируя члены,
имеем
2[(k+1)3–k3]–3[(k+1)2–k2]+(k+1–k)=
=2[(k+1)2+k(k+1)+k2]–3[k+1+k]+1=
=6k2+6k+2–6k–3+1=6k2.
(**)
Таим образом, для любоо натуральноо k имплиация
α(k) o α(k + 1) истинна. Друими словами, доазана истин-
ность составноо высазывания
α(1),(>kÝN)(α(k)oα(k+1)),
536
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Но отрицание имплиации A o B представляет собой онъ-
юнцию A , . Действительно,
=
=
,A= # ,A=A, .
Таим образом, словесная формулирова утверждения
− a состоит в следующем: «число a не является преде-
лом последовательности , если существует ε > 0 таое, что
для любоо N Ý N найдется номер n Ý N таой, что истинны
одновременно два высазывания n > N и | – a| l ε».
18. Используя лоичесую символиу, запишите высазы-
вание и ео отрицание:
а) «последовательность ораничена»;
б) «последовательность монотонно возрастает».
19. Используя лоичесую символиу, сформулируйте вы-
сазывание f(x) = b.
20. Число M называют точной верхней ранью фунции f(x)
на отрезе [a; b], если выполняются два условия: 1) f(x) m M
привсехxÝ[a;b];2)длялюбооε>0найдетсяxÝ[a;b]та-
ое, что f(x) > M – ε. В том случае, ода M—точная верхняя
рань f(x) на отрезе [a; b], пишут: M =
f(x).
а) Используя лоичесую символиу, сформулируйте вы-
сазывание M =
f(x).
б) Используя лоичесую символиу, сформулируйте обрат-
ное утверждение M −
f(x).
Приведите словесную формулирову аждоо высазы-
вания.
§ 90. Метод математической индукции
В различных разделах математии часто приходится доа-
зывать истинность неотороо предложения α(n), зависящео
от натуральноо n сразу для всех значений переменной n Ý N.
Метод математичес
ой инд
ции основан на следующем
принципе. Если α — неоторое утверждение, имеющее смысл
при всех n Ý N, то чтобы установить ео истинность при всех
B
AoB (A,B)#A (A,B)
AB
B
no×
lim un
un
un
xoa
lim
sup
xÝ[a;b]
sup
xÝ[a;b]
sup
xÝ[a;b]
§ 90. Метод математической индукции
537
n Ý N, поступают та: проверяют истинность α(1) и истинность
импл иации α(k) o α(k + 1), де k—произвольное натураль-
ное число.
Поажем, что е сли истинно α(1) и α(k) o α(k + 1), то α(3)
истинно.
Действительно, та а α(1) истинно, то, используя истин-
ность имплиации α(k) o α(k + 1) для любоо k Ý N, положим
k = 1 и получим истинность α(2), а положив в высазывании
α(k) o α(k + 1) k = 2, получим истинность α(3).
На язые лоичесой символии принцип математичесой
индуции можно записать следующим образом:
(α(1),(α(k)o α(k+1)))o(>nÝN)(α(n))
или
(α(1) , ((>k Ý N)(α(k) o α(k + 1)))) o (>n Ý N) (α(n)).
П р и м е р 1. Доазать, что при любом n выражение
n(2n2–3n+1)
делится на 6.
Р е ш е н и е. Высазывание α(n), сформулированное в ус-
ловии, определено для любоо n Ý N. Соласно принципу мате-
матичесой индуции, проверим истинность α(1). При n = 1
получаем
1·(2–3+1)=0;
та а 0 делится на 6, то высазывание α(1) истинно.
Предположим, что истинно высазывание α(k), т. е . k(2k2 –
–
3k + 1) делится на 6. Доажем, что при этом условии выса-
зывание α(k + 1) таже будет истинным. В самом деле, соста-
вим разность
α(k+1)–α(k)=
= (k+1)(2(k+1)2–3(k+1)+1)–k(2k2–3k+1). (*)
Расрывая соби в выражении (*) и руппируя члены,
имеем
2[(k+1)3–k3]–3[(k+1)2–k2]+(k+1–k)=
= 2[(k+1)2+k(k+1)+k2]–3[k+1+k]+1=
= 6k2+6k+2–6k
–
3+1=6k2.
(**)
Таим образом, для любоо натуральноо k имплиация
α(k) o α(k + 1) истинна. Друими словами, доазана истин-
ность составноо высазывания
α(1),(>kÝN)(α(k)o α(k+1)),
538
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
оторое является условием истинности имплиации
α(1),(>kÝN)(α(k)o α(k+1))o(>nÝN)(α(n)). (***)
Та а составное высазывание (***) истинно, то утвержде-
ние доазано.
Доажите, что при любом n Ý N:
1.
делится на 11.
2.
делится на 133.
3.n5–nратно5.
4.5 ·23n–2+33n–1ратно19.
5.n7–nратно7.
6.
+ 1 оанчивается цифрой 7 при n > 1.
7. Доажите, что если n четно, то
делит-
ся на 323.
8. Доажите, что число
есть точный вадрат.
П р и м е р 2. Методом математичесой индуции доазать
формулу
12+22+32+...+n2=
.
(*)
Р е ш е н и е. Высазывание α(n), означающее, что формула
(*) имеет место, определено при любом натуральном n.
Высазывание α(1) истинно, та а
12=
.
Предположим, что α(k) истинно, т. е . справедлива формула
12+22+32+...+k2=
.
Выясним, будет ли при этом условии истинно α(k + 1), т. е. бу-
дет ли верна формула
12+22+32+...+(k+1)2=
.
(**)
62n 3
–
3n1
+
3n1
–
++
11
n1
+
12
2n1
–
+
22n
20n 16
n
3n
–1
–
+
(10n 10
n1
–
... +1)(10n 1
+
5)+1
++
+
nn1
+
()
2n1
+
()
6
-----------------------------------------------
123
⋅⋅
6
-------------------
kk1
+
()
2k1
+
()
6
---------------------------------------------
k1
+
()
k2
+
()
2k1
+
()1
+
()
6
----------------------------------------------------------------------------
-
§ 90. Метод математической индукции
539
При условии истинности высазывания α(k) левую часть
равенства (**) можно представить в виде
+(k+1)2.
(***)
Преобразуем выражение (***):
=
.
Заметим, что произведение (k + 2) (2(k + 1) + 1), входящее в
правую часть равенства (**), равно 2k2 + 7k + 6.
Таим образом, из истинности α(k) следует истинность
α(k + 1), т. е. для любоо натуральноо k доазана имплиация
α(k) o α(k + 1). Тем самым справедливость формулы (*) уста-
новлена.
Доажите, что для любоо натуральноо n справедливо ра-
венство:
19.1+3+5+...+(2n–1)=n2.
10.12+32+52+...+(2n+1)2=
.
11.1·2+2·3+...+(n–1)n=
.
12. + +...+
=
.
13.13+23+...+n3=
.
14.15+25+...+n5=
.
С помощью метода математичесой индуции удобно доа-
зывать справедливость неоторых неравенств.
Пример 3. Доазать, что при a > –1 справедливо нера-
венство
l1+na.
Р е ш е н и е. Проверим, что α(1) истинно. Действительно,
1+a=1+a.
Предположим, что α(k) истинно, т. е.
(1+a)kl1+ka.(
*
)
kk 1+
()
2k 1+
()
6
---------------------------------------------
k1+
()
k(2k 1) 6k 1+
()
++
[]
6
--------------------------------------------------------------------------------- k 1+
()
2k27k6
++
()
6
-----------------------------------------------------------
n4n2 1–
()
3
-----------------------------
n1–
()
nn 1+
()
3
------------------------------------------
1
13
⋅----------- 1
35
⋅-----------
1
2n 1–
()
2n 1+
()
----------------------------------------------
n
2n 1+
------------------
n2n 1+
()
2
4
-----------------------------
n2n 1+
()
22n22n1–
+
()
12
----------------------------------------------------------------------
(1 a)n
+
538
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
оторое является условием истинности имплиации
α(1),(>kÝN)(α(k)oα(k+1))o(>nÝN)(α(n)). (***)
Та а составное высазывание (***) истинно, то утвержде-
ние доазано.
Доажите, что при любом n Ý N:
1.
делится на 11.
2.
делится на 133.
3.n5–nратно5.
4.5·23n–2+33n–1ратно19.
5.n7–nратно7.
6. + 1 оанчивается цифрой 7 при n > 1.
7. Доажите, что если n четно, то
делит-
ся на 323.
8. Доажите, что число
есть точный вадрат.
П р и м е р 2. Методом математичесой индуции доазать
формулу
12+22+32+...+n2=
.
(*)
Р е ш е н и е. Высазывание α(n), означающее, что формула
(*) имеет место, определено при любом натуральном n.
Высазывание α(1) истинно, та а
12=
.
Предположим, что α(k) истинно, т. е. справедлива формула
12+22+32+...+k2=
.
Выясним, будет ли при этом условии истинно α(k + 1), т. е. бу-
дет ли верна формула
12+22+32+...+(k+1)2=
. (**)
62n3– 3n1
+ 3n1–
++
11n 1+ 122n 1–
+
22n
20n 16n 3n
–1
–
+
(10n 10n 1– ...+1)(10n 1
+ 5)+1
++
+
nn 1+
()
2n 1+
()
6
-----------------------------------------------
123
⋅⋅
6
-------------------
kk 1+
()
2k 1+
()
6
---------------------------------------------
k1+
()
k2+
()
2k 1+
()1+
()
6
-----------------------------------------------------------------------------
§ 90. Метод математической индукции
539
При условии истинности высазывания α(k) левую часть
равенства (**) можно представить в виде
+(k+1)2.
(***)
Преобразуем выражение (***):
=
.
Заметим, что произведение (k + 2) (2(k + 1) + 1), входящее в
правую часть равенства (**), равно 2k2 + 7k + 6.
Таим образом, из ис тиннос ти α(k) следует истинность
α(k + 1), т. е . для любоо натуральноо k доазана имплиация
α(k) o α(k + 1). Тем самым справедливость формулы (*) уста-
новлена.
Доажите, что для любоо натуральноо n справедливо ра-
венство:
19.1+3+5+...+(2n–1)=n2.
10.12+32+52+...+(2n+1)2=
.
11.1 ·2+2·3+...+(n–1)n=
.
12.
+
+...+
=
.
13.13+23+...+n3=
.
14.15+25+...+n5=
.
С помощью метода математичесой индуции удобно доа-
зывать справедливость неоторых неравенств .
Пример 3. Доазать, что при a > –1 справедливо нера-
венство
l1+na.
Р е ш е н и е. Проверим, что α(1) истинно. Действительно,
1+a=1+a.
Предположим, что α(k) истинно, т. е .
(1+a)kl1+ka.(
*
)
kk1
+
()
2k1
+
()
6
---------------------------------------------
k1
+
()
k(2k1)6k1
+
()
++
[]
6
--------------------------------------------------------------------------------
-
k1
+
()
2k27k6
++
()
6
-----------------------------------------------------------
n4n2 1
–
()
3
-----------------------------
n1
–
()
nn1
+
()
3
------------------------------------------
1
13
⋅
-----------
1
35
⋅
-----------
1
2n1
–
()
2n1
+
()
----------------------------------------------
n
2n1
+
------------------
n2n 1
+
()
2
4
-----------------------------
n2n 1
+
()
22n2 2n1
–
+
()
12
----------------------------------------------------------------------
(1 a)
n
+
540
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Доажем теперь, что истинность α(k + 1) следует из истин-
ности α(k). Умножив обе части неравенства (*) на 1 + a, имее м
(1+a)k+1l(1+ka)(1+a),
или
(1+a)k+1l1+(k+1)a+ka2.
Та а ka2 l 0, то справедливо неравенство
(1+a)k+1l1+(k+1)a.
Значит, доазана имплиация α(k) o α(k + 1). Ита, спра-
в едливость исходноо неравенства установлена.
Доажите, что для любоо n Ý N справедливо неравенство:
15.
m
,
е
с
л
и
xi>0(1mimn).
16.··...
<
17.
<1+ +...+
<n.
18.(1–x1)(1–x2)...(1–xn)l0,5,еслиxi>0(1mimn)
иx1+x2+...+xnm0,5.
19. x1x2 ... xn m
,
е
с
л
и
xi>0(1mimn)иx1+x2+...
...+xn=a.
20.
+
+
+...+
>
.
21.
>
.
22. Пользуясь тем, что ln (1 + x) < x, доажите неравенство
1+ + +...+
>ln(n+1).
§ 91. Системы счисления
Здесь мы будем рассматривать тольо та называе мые пози-
ционные системы счисления. Напомним, что целое число A
называют записанным в (позиционной) системе счисления с ос-
x1x2...xn
+++
n
-----------------------------------------------
x1x2...xn
n
1
2
---
3
4
---
5
6
---
2n1
–
2n
-----------------
1
3n1
+
----------------------
.
n
2
---
1
2
---
1
2n1
–
----------------
a
n
---
n
1
1
-------
1
2
-------
1
3
-------
1
n
-------
n
4n
n1
+
--------------
2n
()!
n!
()2
--------------
1
2
---
1
3
---
1
n
---
§ 91. Системы счисления
541
нованием t (или, ороче, в t-ичной системе счисления, де t > 1,
t Ý N), если оно представлено в виде
A=
де0mai<t,i=0,1,...,n.
Числа a0, a1, ..., an называют t-ичными цифрами числа A,
а число t—основанием t-ичной системы счисления.
При t = 10 получаем десятичную систему счисления.
Ясно,чтоa0=A–
является остатом от
деления A на t. При делении A на t неполное частное имеет вид
Если разделить ео на t, то в остате полу-
чим a1. Поступая далее та же, будем последовательно получать
все цифры числа A в t-ичной системе.
Если число A имеет вид
A=ant–n+an–1t–n+1+...+a1·t–1,
то для получения цифр этоо числа ео требуется умножать по-
следовательно на t. При первом умножении имеем
At=
здесь a1 — целое число. Чтобы найти a2, следует умножить на t
число At – a1; тода a2 будет следующей цифрой данноо числа.
Поступая та далее, мы будем получать последовательно циф-
ры дробноо числа A в t-ичной записи.
П р и м е р 1. Записать числа 506 и 0,506 в системе счисле-
ния с основанием 4.
Решение. Соласноизложенномувышеалоритму,имеем
Записывая подчернутые остати в обратном поряде, по-
лучаем запись числа 506 в четверичной системе счисления:
(506)10 = (13322)4.
506 4
21264
2314
374
31
antn an 1– tn 1– ...+a1ta
0,
+++
(antn ... + a1t)
+
antn 1– ... + a1.
+
ant n–1
+ an1–tn–2
+ ...+a1;
++
540
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Доажем теперь, что истинность α(k + 1) следует из истин-
ности α(k). Умножив обе части неравенства (*) на 1 + a, имеем
(1+a)k+1l(1+ka)(1+a),
или
(1+a)k+1l1+(k+1)a+ka2.
Та а ka2 l 0, то справедливо неравенство
(1+a)k+1l1+(k+1)a.
Значит, доазана имплиация α(k) o α(k + 1). Ита, спра-
ведливость исходноо неравенства установлена.
Доажите, что для любоо n Ý N справедливо неравенство:
15.
m
,
е
с
л
и
xi>0(1mimn).
16.··...
<
17. <1+ +...+
<n.
18.(1–x1)(1–x2)...(1–xn)l0,5,еслиxi>0(1mimn)
иx1+x2+...+xnm0,5.
19. x1x2 ... xn m
,
е
с
л
и
xi>0(1mimn)иx1+x2+...
...+xn=a.
20.+++...+>.
21.
>.
22. Пользуясь тем, что ln (1 + x) < x, доажите неравенство
1+ + +...+ >ln(n+1).
§ 91. Системы счисления
Здесь мы будем рассматривать тольо та называемые пози-
ционные системы счисления. Напомним, что целое число A
называют записанным в (позиционной) системе счисления с ос-
x1x2...xn
+++
n
----------------------------------------------- x1x2...xn
n
1
2--- 3
4--- 5
6--- 2n 1–
2n
-----------------
1
3n 1+
---------------------- .
n
2---
1
2---
1
2n 1–
----------------
a
n---
n
1
1
------- 1
2
------- 1
3
-------
1
n
------- n
4n
n1+
-------------- 2n
()!
n !()2
--------------
1
2--- 1
3---
1
n---
§ 91. Системы счисления
541
нованием t (или, ороче, в t-ичной системе счисления, де t > 1,
t Ý N), если оно представлено в виде
A=
де0mai<t,i =0,1,...,n.
Числа a0, a1, ..., an называют t-ичными цифрами числа A,
а число t—основанием t-ичной системы счисления.
При t = 10 получаем десятичную систему счисления.
Ясно,чтоa0=A –
является остатом от
деления A на t. При делении A на t неполное частное имеет вид
Если разделить ео на t, то в остате полу-
чим a1. Поступая далее та же, будем последовательно получать
все цифры числа A в t-ичной системе.
Если число A имеет вид
A=ant
–n
+an–1t–n+1+...+a1·t
–1
,
то для получения цифр этоо числа ео требуется умножать по-
следовательно на t. При первом умножении имеем
At=
здесь a1 — целое число. Чтобы найти a2, следует умножить на t
число At – a1; тода a2 будет следующей цифрой данноо числа.
Поступая та далее, мы будем получать последовательно циф-
ры дробноо числа A в t-ичной записи.
П р и м е р 1. Записать числа 506 и 0,506 в системе счисле-
ния с основанием 4.
Решение. Соласно изложенному вышеалоритму, имеем
Записывая подчернутые остати в обратном поряде, по-
лучае м запись числа 506 в четверичной системе счисления:
(506)10 = (13322)4.
506 4
21264
2314
374
31
ant
n
an1
–
t
n1
–
... + a1ta
0,
+++
(ant
n
... + a1t)
+
ant
n1
–
... + a1.
+
ant
n
–1
+
an1
–
t
n
–2
+
... + a1;
++
542
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Чтобы получить запись дробноо числа 0,506 в четверичной
системе счисления, воспользуемся изложенным выше алорит-
мом и выполним следующие вычисления:
0,506 ·4 =2,024, 0,024 ·4 =0,096, 0,096 ·4 =0,384,
0,384 ·4 =1,436, 0,436 ·4 =1,744, 0,744·4 =2,976,
и т. д . Цифры получающеося числа — это последовательные
целые части результатов умножения, т. е .
(0,506)10 d (0,200112...)4.
Ответ.(506)10 = (13322)4; (0,506)10 = (0,200112...)4.
Пример 2. Влассе24девочии32мальчиа,всео100
челове. В аой системе счисления записаны числа?
Р е ш е н и е. Составим уравнение
2·p1+4·p0+3·p1+2·p0=p2,
де p— неизвестное основание систе мы счисления. Приводя
подобные члены, получим уравнение
5p+6=p2,
орни отороо p1 = 6, p2 = –1.
Ответ. Числа записаны в шестеричной систе ме счисления.
Запишите данное число в уазанной системе счисления:
1. (10000)10 в шестеричной системе.
2. (114144)6 в десятичной системе.
3. (101)2 в десятичной системе.
4. (25)7 в десятичной системе.
5. В системе счисления с основанием 5 дано число 120010.
Запишите ео в десятичной системе. Каому числу будет соот-
ветствовать данная запись, если система счисления четвертичная?
Для чисел, записанных в десятичной системе, используют
правила умножения и сложения «столбиом», деления «улом».
Эти же правила полностью применимы в любой позиционной
системе счисления.
Сложение «столбиом», а и в десятичной системе, вседа
производят поразрядно, начиная с младшео разряда. При этом
если в предыдущем разряде сумма превышает основание систе-
мы или равна ему, то нужно выполнить перенос в следующий
разряд.
§ 91. Системы счисления
543
П р и м е р 3. Сложить «столбиом» числа (1357)8 и (2463)8.
Решение.Имеем
Сладывая в разряде единиц 7 и 3, получаем 10 = 8 + 2, 2 за-
писываем, а 1 переносим в следующий разряд. Далее, 1 + 5 + 6 =
= 12, 12 = 8 + 4, 4 записываем, а 1 переносим в следующий раз-
ряд;1+3+4=8,8=1·8+0,0записываем,а1переносим
в следующий разряд.
Ответ. (4042)8.
При умножении следует сначала выписать таблицу умноже-
ния чисел, меньших основания системы.
Возьмем в ачестве примера таблицу умножения шестерич-
ной системы:
Все числа в таблице записаны в шестеричной системе счис-
ления. На пересечении данных столбца и строи находятся
числа, являющиеся произведением номеров строи и столбца.
Пользуясь этой таблицей, лео перемножать числа «столбиом».
П р и м е р 4. Умножить число (142)6 на (212)6.
Ответ. (34544)6.
+
(1357)8
(2463)8
(4042)8
12345
112345
2
2
4
10
12
14
3
3
10
13
20
23
4
4
12
20
24
32
5
5
14
23
32
41
Решение. (142)6
(212)6
(324)6
(142)60
(324)600
(34544)6
542
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
Чтобы получить запись дробноо числа 0,506 в четверичной
системе счисления, воспользуемся изложенным выше алорит-
мом и выполним следующие вычисления:
0,506·4=2,024, 0,024·4=0,096, 0,096·4=0,384,
0,384·4=1,436, 0,436·4=1,744, 0,744·4=2,976,
и т. д. Цифры получающеося числа — это последовательные
целые части результатов умножения, т. е.
(0,506)10 d (0,200112...)4.
Ответ.(506)10 = (13322)4; (0,506)10 = (0,200112...)4.
Пример 2. Влассе24девочии32мальчиа,всео100
челове. В аой системе счисления записаны числа?
Р е ш е н и е. Составим уравнение
2·p1+4·p0+3·p1+2·p0=p2,
де p— неизвестное основание системы счисления. Приводя
подобные члены, получим уравнение
5p+6=p2,
орни отороо p1 = 6, p2 = –1.
Ответ. Числа записаны в шестеричной системе счисления.
Запишите данное число в уазанной системе счисления:
1. (10000)10 в шестеричной системе.
2. (114144)6 в десятичной системе.
3. (101)2 в десятичной системе.
4. (25)7 в десятичной системе.
5. В системе счисления с основанием 5 дано число 120010.
Запишите ео в десятичной системе. Каому числу будет соот-
ветствовать данная запись, если система счисления четвертичная?
Для чисел, записанных в десятичной системе, используют
правила умножения и сложения «столбиом», деления «улом».
Эти же правила полностью применимы в любой позиционной
системе счисления.
Сложение «столбиом», а и в десятичной системе, вседа
производят поразрядно, начиная с младшео разряда. При этом
если в предыдущем разряде сумма превышает основание систе-
мы или равна ему, то нужно выполнить перенос в следующий
разряд.
§ 91. Системы счисления
543
П р и м е р 3. Сложить «столбиом» числа (1357)8 и (2463)8.
Решение.Имеем
Сладывая в разряде единиц 7 и 3, получаем 10 = 8 + 2, 2 за-
писываем, а 1 переносим в следующий разряд. Далее, 1 + 5 + 6 =
= 12, 12 = 8 + 4, 4 записываем, а 1 переносим в следующий раз-
ряд;1+3+4=8,8 =1 ·8+0,0записываем,а1переносим
в следующий разряд.
Ответ. (4042)8.
При умножении следует сначала выписать таблицу умноже-
ния чисел, меньших основания системы.
Возьмем в ачестве примера таблицу умножения шестерич-
ной системы:
Все числа в таблице записаны в шестеричной системе счис-
ления. На пересечении данных столбца и строи находятся
числа, являющиеся произведением номеров строи и столбца.
Пользуясь этой таблицей, лео перемножать числа «столбиом».
П р и м е р 4. Умножить число (142)6 на (212)6.
Ответ. (34544)6.
+
(1357)8
(2463)8
(4042)8
12345
112345
2
2
4
10
12
14
3
3
10
13
20
23
4
4
12
20
24
32
5
5
14
23
32
41
Решение.
(142)6
(212)6
(324)6
(142)60
(324)600
(34544)6
544
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
П р и м е р 5. Разделить «улом» число (120101)3 на (102)3.
Таим образом, (120101)3 = (1101)3 · (102)3 + (22)3.
Ответ.(1101)3 · (102)3 + (22)3.
16. Сложите числа (23651)8 и (17043)8.
17. Сложите числа (423)6, (1341)6 и (521)6.
18. Умножьте число (352)6 на (245)6.
19. Составьте таблицу умножения двоичной систе мы.
10. Перемножьте числа (101)2 и (100)2. Результат представь-
те в десятичной системе.
11. Доажите, что число (121)n является полным вадра-
том,еслиn>2.
12. Доажите, что число (1331)n является полным убом,
еслиn>3.
13. В аой системе счисления справедливо равенство
31–13 =13?
14. Найдите частное от деления (1111)3 на (22)3.
15. В аой системе счисления справедливо равенство
101·11 =1111?
16. Доажите, что если масса тела выражается целым чис-
лом и не превосходит 31 , то е е можно определить с помощью
не более пяти ирь при условии, что ири ставятся тольо на
одну чашу весов. Уажите массы ирь.
17. Доажите, что если масса тела выражается целым чис-
лом и не превосходит 40 , а взвешивание выполняется на ры-
чажных весах (т. е . ири моут быть установлены на любую
чашу весов), то для определения массы тела понадобится не
более четырех ирь. Найдите массы этих ирь и опишите ало-
ритм взвешивания.
Решение. (120101)3 (102)3
(102)3 (1101)3
0(111)3
0(102)3
000(201)3
000(102)3
0000(22)3
§ 91. Системы счисления
545
18. Пусть условия взвешивания таие же, а в упр. 17, и
известно, что — масимальная масса, оторую удается оп-
ределить с помощью p имеющихся ирь. Доажите, что если
— масимальная масса, оторую удается определить
спомощьюp+1ири,то
=3Mp+1.
19. Доажите, что если
— масимальная масса руза,
оторую можно определить с помощью m1, ..., ирь, то
=
.
20. Выясните, аое минимальное число ирь и аой массы
потребуется для взвешивания тела массой m (m m n) на рычаж-
ных весах. Уажите алоритм взвешивания.
21. Пусть r = pa, де a—основание системы счисления, p—
число разрядов. Если r = 30, то в аой системе счисления
можно представить масимальное число?
С представлением числа в той или иной системе счисления
связаны признаи делимости числа, оторые формулируются
на основе цифровой записи числа.
П р и м е р 6. Вывести призна делимости на 3 в десятич-
ной системе счисления.
Решение.ПредставимчислоA=
в виде
A=
=
=
=
=
Все числа 10k – 1 делятся на 3, следовательно, A делится на 3
в том и тольо в том случае, если
(т. е.
сумма ео цифр) делится на 3.
22. Доажите, что A =
делится на 9, если
делится на 9.
23. Доажите, что A =
делится на 6, если
a0 делится на 6.
Mp
Mp 1+
Mp 1+
Mp
mp
Mp (11...1)3
p единиц
(anan 1– ... a0)10
an·10n an 1– ·10n 1– ...+a0·100
++
an(10n 1–1
)an 1– (10n 1– 1– 1) ...+a0·100
++
++
an(10n 1)
– an1–(10n1– 1)
– ...
++
... + a1(10 1)
– an an 1– ...+a1 a0.
++++
an an 1– ...+a1 a0,
+++
(anan 1– ...a0)10
anan1–...a0
+++
(anan 1– ...a0)12
544
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
П р и м е р 5. Разделить «улом» число (120101)3 на (102)3.
Таим образом, (120101)3 = (1101)3 · (102)3 + (22)3.
Ответ.(1101)3 · (102)3 + (22)3.
16. Сложите числа (23651)8 и (17043)8.
17. Сложите числа (423)6, (1341)6 и (521)6.
18. Умножьте число (352)6 на (245)6.
19. Составьте таблицу умножения двоичной системы.
10. Перемножьте числа (101)2 и (100)2. Результат представь-
те в десятичной системе.
11. Доажите, что число (121)n является полным вадра-
том,еслиn>2.
12. Доажите, что число (1331)n является полным убом,
еслиn>3.
13. В аой системе счисления справедливо равенство
31–13=13?
14. Найдите частное от деления (1111)3 на (22)3.
15. В аой системе счисления справедливо равенство
101·11=1111?
16. Доажите, что если масса тела выражается целым чис-
лом и не превосходит 31 , то ее можно определить с помощью
не более пяти ирь при условии, что ири ставятся тольо на
одну чашу весов. Уажите массы ирь.
17. Доажите, что если масса тела выражается целым чис-
лом и не превосходит 40 , а взвешивание выполняется на ры-
чажных весах (т. е. ири моут быть установлены на любую
чашу весов), то для определения массы тела понадобится не
более четырех ирь. Найдите массы этих ирь и опишите ало-
ритм взвешивания.
Решение. (120101)3 (102)3
(102)3 (1101)3
0(111)3
0(102)3
000(201)3
000(102)3
0000(22)3
§ 91. Системы счисления
545
18. Пусть условия взвеши вания таие же, а в упр. 17, и
известно, что
—
масимальная масса, оторую удается оп-
ределить с помощью p имеющихся ирь. Доажите, что если
—
масимальная масса, оторую удается определить
спомощьюp+1ири,то
= 3Mp+1.
19. Доажите, что если
—
ма симальная масса руза,
оторую можно определить с помощью m1, ...,
ирь, то
=
.
20. Выясните, аое минимальное число ирь и аой массы
потребуется для взвешивания тела массой m (m m n) на рычаж-
ных весах. Уажите алоритм взвешивания.
21. Пусть r = pa, де a—основание системы счисления, p—
число разрядов. Если r = 30, то в аой системе счисления
можно представить масимальное число?
С представлением числа в той или иной системе счисления
связаны признаи делимости числа, оторые формулируются
на основе цифровой записи числа.
П р и м е р 6. Вывести призна делимости на 3 в десятич-
ной системе счисления.
Решение.ПредставимчислоA=
в виде
A=
=
=
=
=
Все числа 10k – 1 делятся на 3, следовательно, A делится на 3
в том и тольо в том случае, если
(т. е.
сумма ео цифр) делится на 3.
22. Доажите, что A =
делится на 9, если
делится на 9.
23. Доажите, что A =
делится на 6, если
a0 делится на 6.
Mp
Mp1
+
Mp1
+
Mp
mp
Mp (11...1)3
p единиц
(anan 1
–
... a0)10
an·10
n
an1
–
·10
n1
–
... +a0·10
0
++
an(10n 1
–1
)an 1
–
(10n 1
–
1
–
1) ...+a0·10
0
++
++
an (10n 1)
–
an1
–
(10n 1
–
1)
–
...
++
... + a1(10 1)
–
anan1
–
...+ a1 a0.
+++
+
anan1
–
... +a1 a0,
+++
(anan 1
–
... a0)10
anan1
–
...
a0
++
+
(anan 1
–
... a0)12
546
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
24. Доажите, что A =
делится на 8, если
(a1a0)12 делится на 8.
25. Доажите, что A =
делится на 11, если
делится на 11.
26. Доажите, что A =
делитсянаp–1втом
и тольо в том случае, если
делится на p – 1.
27. Известно, что число A =
делится на 7. Доажи-
те, что p ратно 7.
28. Известно, что число A =
делится на 11. Доа-
жите, что p ратно 11.
29. Доажите, что если основание систе мы счисления p—
простое число, большее 3, то
–
1 делится на (100)5 – 1.
(anan 1
–
... a0 )12
(anan 1
–
... a0)12
anan1
–
...
a0
++
+
(anan 1
–
... a0)p
anan1
–
...
a0
++
+
(3630)p
(1210)p
(100)p
546
Г л а в а 16. Элементы матем. логики. Системы счисления
24. Доажите, что A =
делится на 8, если
(a1a0)12 делится на 8.
25. Доажите, что A =
делится на 11, если
делится на 11.
26. Доажите, что A =
делитсянаp–1втом
и тольо в том случае, если
делится на p – 1.
27. Известно, что число A =
делится на 7. Доажи-
те, что p ратно 7.
28. Известно, что число A =
делится на 11. Доа-
жите, что p ратно 11.
29. Доажите, что если основание системы счисления p—
простое число, большее 3, то
– 1 делится на (100)5 – 1.
(anan 1– ...a0)12
(anan 1– ...a0)12
anan1–...a0
+++
(anan 1– ...a0)p
anan1–...a0
+++
(3630)p
(1210)p
(100)p
Ответы, указания, решения
Глава 1. Преобразование
алгебраических выражений
§ 1. Упрощение иррациональных выражений
1.–2y.2.1.3.2ab.4.
.5.2( + ).6.
.
7.a(a+1).8. .9. .10. .11.–.
12.4p–
–.
13.xÝ[– ;–1)Ÿ(1; ]^– ,xÝ(–1;1)^
^ .14.1.15.1.16.–.
§ 2. Преобразование выражений,
содержащих знак модуля
1.yÝ(–×;1]^–(y2+y + );yÝ[1;+×)^
.
2.xÝ(–×;0)Ÿ(3;+×)^ ;
xÝ(0;3)^– .3.xÝ
Ý –×;– Ÿ –;0Ÿ(0;3)^
;
xÝ(3;+×)^ .
4.yÝ(–×;–5)^–;yÝ(–5;0)Ÿ 0; Ÿ ;+
×^
^
.5.xÝ(0;1)^
;
xÝ(1;+×)^
.
6.zÝ(–×;0)^
;
zÝ[0;1)Ÿ(1;+×)^ .
7.xÝ
Ý(–×;1)Ÿ(1;3)^–(x2+x+1);xÝ(3;+×)^x2+x+1.
8.1. 9.
. 10.
–.
11.
.
4
xy
+
----------------------
ab
1
a1m/ a1n/
–
------------------------------
1
ab------
t1+
t-------------
6x
20x
3
4p2 1–
2
2
26
26
1
b2+
-----------------
23
43
y3
y 23–
------------------
1
x2+
--------------
1
x2+
--------------
3
2---
3
2---
3
x2x 3+
()
---------------------------
1
x---
1
y---
5
3---
5
3---
y5+
y3y 5–
()
--------------------------
1
xx2
–----------------
1
x2 x–
----------------
z2 z–
z2 1+
----------------
z
z 1–-------------
1x2
–
ab
+
()
3
ab
–
()
3
1
x2 1–
4
---------------------
Ответы, указания, решения
Глава 1. Преобразование
алгебраических выражений
§ 1. Упрощение иррациональных выражений
1. –2y.2.1.3.2ab.4.
. 5.2( + ).6.
.
7.a(a+1).8.
.
9.
.
10.
.
11. –.
12.4p –
–.
13.xÝ[– ;
–
1)Ÿ(1; ]^ –
, xÝ(–1;1)^
^
. 14.1.15.1.16. –.
§ 2. Преобразование выражений,
содержащих знак модуля
1.yÝ(–×;1]^–(y2+y
+
);yÝ[1;+×)^
.
2.xÝ(–×;0)Ÿ(3;+×)^
;
xÝ(0;3)^–
.3.xÝ
Ý –×;–
Ÿ –;0Ÿ(0;3)^
;
xÝ(3;+×)^ .
4.yÝ(–×;–5)^– ;yÝ(–5;0)Ÿ 0; Ÿ
;
+
×^
^
.
5.x Ý (0;1)^
;
xÝ(1;+×)^
.
6.zÝ(–×;0)^
;
z Ý [0;1)Ÿ(1;+×) ^
.
7.xÝ
Ý(–×;1)Ÿ(1;3)^–(x2+x+1);xÝ(3;+×)^x2+x+1.
8.1. 9.
.
10.
–.
11.
.
4
xy
+
----------------------
a
b
1
a1m
/
a1 n/
–
------------------------------
1
ab
------
t1
+
t
------------
-
6x
20x
3
4p2 1
–
2
2
2
6
2
6
1
b2
+
-----------------
2
3
4
3
y3
y2
3
–
------------------
1
x2
+
--------------
1
x2
+
--------------
3
2
---
3
2
---
3
x2x3
+
()
---------------------------
1
x
---
1
y
---
5
3
---
5
3
---
y5
+
y3y 5
–
()
-------------------------
-
1
xx
2
–
----------------
1
x2x
–
----------------
z2z
–
z21
+
----------------
z
z1
–
-------------
1x2
–
ab
+
()
3
ab
–
()
3
1
x21
–
4
---------------------
548
Ответы, указания, решения
12.xÝ[0;9)^3–2 ;xÝ(9;+×)^–3.13.xÝ(–×;0)^–;
xÝ(0;+×)^ .14.xÝ[11;+×)^2
;xÝ[2;11)^6.
15.xÝ[1;2)^2
;xÝ[2;+×)^2.16.xÝ(–×;0)^6;
xÝ[0;6)^6–2x;xÝ[6;+×)^–6.17.xÝ[2;4)^
;
xÝ(4;+×)^
. 18. .19. .20.aÝ(0;1)^
;
aÝ(1;+×)^
. 21.
. 22. 0. 23. 0,64. 24.
.
25.1.26.1.27.2.28.1.29.2.
§ 3. Доказательство тождеств
14. Приведите выражение, записанное в левой части тож-
дества, общему знаменателю и рассмотрите числитель дроби
а мноочлен второй сте пени относительно a. 16. См. уаза-
ние упр. 14.
§ 4. Условные тождества
7. Найдите единстве нное решение системы. 9 . Разделите
аждое из заданных в условии тождеств на ео правую часть.
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
1.1.2.ab(a–b)2.3.a2+a+1.4.
. Используя формулу
(4), запишите все лоарифмы по неоторому общему основа-
нию. 5. (log2 x + 1)3. 6.
. 7.6.8.3.9.a(b+3).10.
.
11.abc+1.12.log8a=
. 13.
. Пе-
рейдите лоарифмам по основанию x. 18. Перейдите в левой
части выражения лоарифмам по основанию N. 19. При уп-
рощении учтите, что орень четной степени понимается в ариф-
ме тичесом смысле. 20. См. уазание упр. 18 . 21. См.
x
1
2
---
1
2
---
x2
–
x1
–
22
4x
–
-------------
2x2
–
x4
–
---------------------
2
3
3
-------
1a
–
a
-------------
a1
–
a
-------------
ab
+
ab
–
-------------
qp
+
qp
–
------ -------
n2
m2
--------
3mn
–
1
3
---
1
logab 1
–
-------------------------
-
ab
+
1b
–
-------------
1
1l
o
g
8c
–
-------------------------
1
α1
–
β1
–
γ1
–
δ1
–
+++
---------------------------------------------------------
Глава 2. Уравнения
549
уазание упр. 18. 22. Сравните левую и правую части нера-
венства с единицей. 23. См. уазание упр. 22. 25. См. ре-
шение примера 6 на с. 27.
Глава 2. Уравнения
§ 6. Нахождение корней многочленов
1.–4;2.2.–2;1.3.3⁄4.Введитеобозначениеz=x2–5x+6.
4.
;
.Положитеz=x2+5x.5.–;0;
.
Положите z =2x2+3x.6.ä3;ä2.7.ä .8. (+
1
)
;
(– + 1). 9. 3⁄4. Разделите обе части уравнения на x4.
10.0;5.11.–;;
.12. –1. 13. –;1.14. –;–;3.
15.1;aä .16.–5;2;3;4.17.
.
18. –1; 12. 19.
.20.–3;4.21.–3;2.22.–5ä ;
–5 ä .23. –1; 0. Введите обозначение y = x2 + x.
24.
. 25. –2; ä1; . 26. –;–;1.27. –2; ; .
28.
;
. 29. 2. 30.–2; 1.
31.–1;5.32.3⁄4.33.3⁄4.34.0;ä ;3.35.
;
.
36.–1;3;ä .
§ 7. Рациональные уравнения
1. .2.–3;5.3.2.4.5.5.–.6. ;5.7.a+b;0; ;
. Введите вспомоательное неизвестное z =
–x.
5ä 85
–
2
------------------------- 5 ä 5
–
2
----------------------
3
2---
3ä 65
–
4
-------------------------
5
2---
4
1
2--- 2
3
1
2--- 5
3
1
2--- 3
4--- 1ä 5
–
2
---------------------
5
2---
2
3--- 1
2---
a
2a ä 26a2 ä225a4 4b4
+
2
------------------------------------------------------------------------------
5ä 21
–
6
-------------------------
89
3
5ä 21
–
2
-------------------------
1
2---
5
3--- 3
5---
2
3--- 3
2---
4–6
ä1886
–
+
2
----------------------------------------------------------- 4–6
–ä1886
+
2
--------------------------------------------------------
3
1ä 21
–
2
------------------------- 3 ä 17
–
2
-------------------------
3
1
2---
1
3--- 1
4---
2ab
ab
+-------------
a2 b2
+
ab
+
-------------------
ab
+
2-------------
548
Ответы, указания, решения
12.xÝ[0;9)^3–2 ;xÝ(9;+×)^–3.13.xÝ(–×;0)^–;
xÝ(0;+×)^ .14.xÝ[11;+×)^2
;xÝ[2;11)^6.
15.xÝ[1;2)^2
;xÝ[2;+×)^2.16.xÝ(–×;0)^6;
xÝ[0;6)^6–2x;xÝ[6;+×)^–6.17.xÝ[2;4)^ ;
xÝ(4;+×)^
.18. .19. .20.aÝ(0;1)^ ;
aÝ(1;+×)^ .21.
.22.0.23.0,64.24. .
25.1.26.1.27.2.28.1.29.2.
§ 3. Доказательство тождеств
14. Приведите выражение, записанное в левой части тож-
дества, общему знаменателю и рассмотрите числитель дроби
а мноочлен второй степени относительно a. 16. См. уаза-
ние упр. 14.
§ 4. Условные тождества
7. Найдите единственное решение системы. 9. Разделите
аждое из заданных в условии тождеств на ео правую часть.
§ 5. Преобразование логарифмических выражений
1.1.2.ab(a–b)2.3.a2+a+1.4. .Используяформулу
(4), запишите все лоарифмы по неоторому общему основа-
нию. 5. (log2 x + 1)3. 6.
.7.6.8.3.9.a(b+3).10. .
11.abc+1.12.log8a=
. 13.
.Пе-
рейдите лоарифмам по основанию x. 18. Перейдите в левой
части выражения лоарифмам по основанию N. 19. При уп-
рощении учтите, что орень четной степени понимается в ариф-
метичесом смысле. 20. См. уазание упр. 18. 21. См.
x
1
2---
1
2---
x2–
x1–
22
4 x–-------------
2x2–
x4–
---------------------
2
3
3-------
1a–
a
-------------
a1–
a
-------------
ab
+
ab
–-------------
qp
+
qp
–-------------
n2
m2--------
3mn
–
1
3---
1
loga b 1–
--------------------------
ab
+
1 b–-------------
1
1log8 c
–-------------------------
1
α1– β1– γ1– δ1–
+++
---------------------------------------------------------
Глава 2. Уравнения
549
уазание упр. 18. 22. Сравните левую и правую части нера-
венства с единицей. 23. См. уазание упр. 22 . 25. См. ре-
шение примера 6 на с. 27.
Глава 2. Уравнения
§ 6. Нахождение корней многочленов
1. –4;2.2. –2;1.3.3⁄4.Введитеобозначениеz=x2–5x+6.
4.
;
. Положитеz=x2+5x.5. –;0;
.
Положите z =2x2 +3x. 6.ä3;ä2.7.ä
.
8. (+
1
)
;
(–
+ 1). 9 . 3⁄4. Разделите обе части уравнения на x4.
10.0;5.11. –; ;
.
12. –1. 13. –;1.14. –;
–;3.
15.1;aä
.
16. –5;2;3;4.17.
.
18. –1; 12. 19.
. 20. –3;4.21. –3;2.22. –5
ä
;
–5
ä
.
23. –1; 0. Введите обозначение y = x2 + x.
24.
.
25. –2;ä1; .26. –;
–;1.27. –2; ; .
28.
;
.
29. 2. 30
.
–2; 1.
31. –1;5.32.3⁄4.33.3⁄4.34.0;ä ;3.35.
;
.
36. –1;3;ä .
§ 7. Рациональные уравнения
1. .2. –3;5.3.2.4.5.5. –.
6. ;5.7.a+b;0;
;
. Введите вспомоательное неизвестное z =
–
x.
5ä 85
–
2
-------------------------
5ä5
–
2
---------------------
-
3
2
---
3ä 65
–
4
-------------------------
5
2
---
4
1
2
---
2
3
1
2
---
5
3
1
2
---
3
4
---
1ä5
–
2
---------------------
5
2
---
2
3
---
1
2
---
a
2aä 26a2 ä225a4 4b4
+
2
-----------------------------------------------------------------------------
-
5ä 21
–
6
-------------------------
89
3
5ä 21
–
2
-------------------------
1
2
---
5
3
---
3
5
---
2
3
---
3
2
---
4
–6
ä1886
–
+
2
-----------------------------------------------------------
4
–6
–
ä1886
+
2
-------------------------------------------------------
-
3
1ä 21
–
2
-------------------------
3ä 17
–
2
-------------------------
3
1
2
---
1
3
---
1
4
---
2ab
ab
+
-------------
a2 b2
+
ab
+
-------------------
ab
+
2
-------------
550
Ответы, указания, решения
8.1.9.1;3.10.0.11.3ä
.
12. –2; 0;
. 13.2; .
14. –2;0.15. ;3.16. ;3.17.5;0,5.18. ;2.19.
.
20. –;2;
.
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком модуля
1. –1. 2.
.
3.[1;2].4. –4;–2;0;2;4.5.0.6.0;ä1.
7. (–×; 2] Ÿ [3; +×). 8. –8; 2. 9. 1;2;3.
§ 9. Иррациональные уравнения
1.8.2.5.3.8.4.
–1;3.5.3⁄4.6.
. 7.2.8.3⁄4.9. –1;2.
10.3.11.3⁄4.12. –5;4.13. .14.3⁄4.15.
. 16. –61; 30.
17.2.18.8;8ä4.19.–6;–5;–
.
20. –1. 21. –2.
22.0. 23.4;3. 24.0. 25.9. 26. –;1.27.ä4. 28. –1.
29.
.
30. ä21. Освободи-
тес ь от иррациональности в знаменателе. 31. ; 5. 32. 3 .
Воспользуйтесь тем, что
·
=
.
33. –17; 23. 34. –7; 2. 35. –;
2
.
36. ä7. 37. 5. Положите
y=.
38. 1. Используйте неравенство + a l 2,
справедливое при a > 0. 39. 1024. 40. 3; 5. 41. ä2.
42. –5; 2.
43. –2; 0. 44.
. Воспользуйтесь тем, что произведение сла-
20
2ä 66
–
2
------------------------
-
1
2
---
2
3
---
4
5
---
3
4
---
5ä 21
–
2
-------------------------
1
6
---
19 ä 1333
54
-------------------------------
1
3
---
3
4
---
1
2
---
1
4
---
7ä 153
16
------------------------
17
16
------
74
1
+
2
---------------------
3
11
2
------
1
3
---
Bp
–
ä B2p2 Ap
2CC
1
–
+
()
2 4p2C
–
[]
+
2Ap
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
2
7
---
x2
–
4x
–
6xx
2
–8
–
1
511
----------
x4
+
x4
–
+
2
-------------------------------------------
1
a
---
2
66
119
----------
Глава 2. Уравнения
551
аемых левой части уравнения равно 66. 45. 0; ;
.
46.15.47.–3;6.Положитеy=x2–3x+7.48. .49.[–1;0].
50.[0; 3]. 51.2. 52.ä . 53.3⁄4. 54.5. 55.[1; 2,5]; 13.
56.[5; 10].57.4.58.ä2.59.0.60. ;5.61.–1.62.–6;1.
Введите вспомоательные неизвестные u =
,v=
.
63. ä1. Вынесите за соби
.64.3⁄4.65.0.66.1.67.0;
. 68.
;
.69.1.70.7;26;7.71.–6;1.
§ 10. Показательные уравнения
1.4.2.2.3. .4.–3.5.–.6.–;4.7.log32.8. (2k+1);
+πk,kÝZ.9.–5; .10. .11.81.12. .13.–;3.
14.πn,nÝZ.15.–2+
.16.ä ;ä1.17.ä2.
18. log3 (2 + ); log3
.
19. 3; log6 8. 20. 9; 81. 21. –;1.
22.0;ä1.23. .24.0.25.ä1.26.1;log43.27. ;
.
28. 0. 29. ä2. 30. ä2. 31. log3/4
.32.1.33.1;3.34.–.
35.2;4;11.36. ;2;4.37.1;a1/π.38. ;25.39.10;10–4.
40. 100. 41. 10; 0,1. 42. 10;
. 43. 2. Разделите обе час-
ти уравнения на и воспользуйтесь свойством монотонности
поазательной фунции. 44. 3. См. уазание упр. 43. 45. 1.
Сравните наибольшее значение фунции в левой части урав-
нения с наименьшим значением фунции в правой части.
46. 1. Найдите y1 и y2 — орни вадратноо уравнения отно-
сительно переменной y = ; решите уравнения y1(x) = и
3
2--- 3ä 73
4
---------------------
3
4---
5
2-------
1
2---
x2–
x7+
x1
+
63a
65----------
23
+
()
n1
+
23
+
()
n1
–
------------------------------------- 23
–
()
n1
+
23
–
()
n1
–
------------------------------------
3
5---
1
2---
3
2---
π
2---
π
4---
93
11------
7
5---
5
3---
5
2---
42log3 5
–
2
5
51
–
2
-----------------
1
3---
1
2---
4
3--- 3log
+23
3
---------------------------
51
–
2
-----------------
1
2---
1
3---
1
5---
10log2 3
2x
2x
2x
550
Ответы, указания, решения
8.1.9.1;3.10.0.11.3ä .
12. –2; 0;
.13.2; .
14.–2;0.15. ;3.16. ;3.17.5;0,5.18. ;2.19.
.
20. –;2;
.
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное
под знаком модуля
1.–1.2. .3.[1;2].4.–4;–2;0;2;4.5.0.6.0;ä1.
7. (–×; 2] Ÿ [3; +×). 8. –8; 2. 9. 1;2;3.
§ 9. Иррациональные уравнения
1.8.2.5.3.8.4. –1;3.5.3⁄4.6.
.7.2.8.3⁄4.9.–1;2.
10.3.11.3⁄4.12.–5;4.13. .14.3⁄4.15.
. 16. –61; 30.
17.2. 18.8; 8 ä 4 .19.–6; –5; – . 20.–1. 21.–2.
22.0. 23.4;3. 24.0. 25.9. 26.–;1.27.ä4. 28.–1.
29.
. 30. ä21. Освободи-
тесь от иррациональности в знаменателе. 31. ; 5. 32. 3.
Воспользуйтесь тем, что
·
=
.
33. –17; 23. 34. –7; 2. 35. –;2
.36. ä7. 37. 5. Положите
y=.
38. 1. Используйте неравенство + a l 2,
справедливое при a > 0. 39. 1024. 40. 3; 5. 41. ä2.42. –5; 2.
43. –2; 0. 44. . Воспользуйтесь тем, что произведение сла-
20
2ä 66
–
2
-------------------------
1
2---
2
3---
4
5---
3
4---
5ä 21
–
2
-------------------------
1
6--- 19 ä 1333
54
-------------------------------
1
3---
3
4--- 1
2--- 1
4---
7ä 153
16
------------------------
17
16------
74
1
+
2
---------------------
3
11
2------
1
3---
Bp
–äB2p2Ap2CC1
–
+
()
2 4p2C
–
[]
+
2Ap
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
7---
x2– 4x–
6xx2
–8
–
1
511
----------
x4+ x4–
+
2
-------------------------------------------
1
a---
2
66
119
----------
Глава 2. Уравнения
551
аемых левой части уравнения равно 66. 45. 0; ;
.
46.15.47. –3;6.Положитеy=x2–3x+7.48. .49.[–1;0].
50.[0; 3]. 51.2. 52.ä
.
53. 3⁄4. 54. 5. 55. [1; 2,5]; 13.
56.[5;10].57.4.58.ä2.59.0.60. ;5.61. –1.62. –6;1.
Введите вспомоательные неизвестные u =
,v=
.
63. ä1. Вынесите за соби
. 64.3⁄4.65.0.66.1.67.0;
. 68.
;
. 69.1.70.7;26;7.71. –6;1.
§ 10. Показательные уравнения
1.4.2.2.3.
. 4. –3.5. –.
6. –;4.7. log32. 8. (2k + 1);
+πk,kÝZ.9. –5; .10. .11.81.12.
.
13. –;3.
14.πn,nÝZ.15. –2+
.
16.ä ;ä1.17.ä2.
18. log3 (2 + ); log3
.
19. 3; log6 8. 20. 9; 81. 21. –;1.
22.0;ä1.23. .24.0.25.ä1.26.1;log43.27. ;
.
28. 0. 29. ä2. 30. ä2. 31. log3/4
. 32.1.33.1;3.34. –.
35.2;4;11.36. ;2;4.37.1;a1/π. 38. ;25.39.10;10–4
.
40. 100. 41. 10; 0,1. 42. 10;
. 43. 2 . Разделите обе час-
ти уравнения на
и воспользуйтесь свойством монотонности
поазательной фунции. 44. 3 . См. уазание упр. 43. 45. 1 .
Сравните наибольшее значение фунции в левой части урав-
нения с наименьшим значением фунции в правой части.
46. 1 . Найдите y1 и y2 — орни вадратноо уравнения отно-
сительно переме нной y = ; решите уравнения y1(x) =
и
3
2
---
3ä 73
4
---------------------
3
4
---
5
2
-------
1
2
---
x2
–
x7
+
x1
+
63a
65
----------
23
+
()
n
1
+
23
+
()
n
1
–
------------------------------------
-
23
–
()
n
1
+
23
–
()
n
1
–
------------------------------------
3
5
---
1
2
---
3
2
---
π
2
---
π
4
---
93
11
------
7
5
---
5
3
---
5
2
---
42l
o
g35
–
2
5
51
–
2
-----------------
1
3
---
1
2
---
4
3
---
3l
o
g
+23
3
--------------------------
-
51
–
2
-----------------
1
2
---
1
3
---
1
5
---
10log2 3
2x
2
x
2
x
552
Ответы, указания, решения
y2(x) =
, используя свойство монотонности входящих в них
фунций . 47. 3. См. уазание упр. 46 . 48. 1. Положите
y=
и воспользуйтесь уазанием упр. 46. 49. 4 .
50. ä
. 51.3⁄4.
§ 11. Логарифмические уравнения
1. –.
2.2;3.3.2.4.2.5. –1;7.6.3;3+
. 7.3.8.7.9.1;
3.10. –10.11.2.12.2;3.13.1.14.1.15.3.16.3.17.1.
18. ä
. 19.1;3.20.4; .21.1;4;
. 22.8; .23.b2+1;
b>0иb−1.24. ;
. 25. 1; 10–3; 10–2
. 26.2
–8; 227. 27.
;
. 28. ;81.29. .30.10.31.10;104.32. –10;–1.Ис-
пользуйте тождество
=
– x, справедливое при x < 0.
33. log310; log328 –3
. 34. 8. 35. 0,1; 10. 36. 0,01; 0,1; 1.
37. 10
–1;
;
.38.;
. 39.
;
.
40. 2
–3/4;1;2.41.
;
. 42.
. 43. ;3.44.1.45.2.
46. ;2.
§ 12. Разные задачи
1.4.2.3.3.2.4.2.5.1ä
.
6.1;4.
7. –;
2
.
Разделив обе части уравнения на 22 · 52, по-
лучим
5x–2
·
=1_5·
=
1_
_5·
=1илиx–2=0_x=–
илиx=2.
2x
2x1
–
2
8
3
---
2
1
2
---
4
3
2
--------
1
48
5
------------
1
4
3
--------
1
8
---
1
2
---
39
3
334
1
9
---
1
9
---
x2
10
13
+
2
- ------- ------ ---
-
10
13
–
2
------ ------- ----
1
3
---
1
15
------
10
älg
13
3
--- ---
10
älg
7
3
---
3
ä3
2
---
3
ä1
2
-------
2
ä1
2
---
1
81
------
1
4
---
1l
g2
+
1
lg5
----------
2
3x
x1
+
-- -- ------ ---
-
2
–
2
1
1x
+
------ ------ -
-
x2
–
2
1
x1
+
--------------
1
lg5
----------
Г л а в а 3. Системы уравнений
553
8.1;8.9. .10.–1ä
.
Воспользуйтесь тем,
что числа
;
;
— последовательные
члены еометричесой прорессии. 11. (log2 3 – 2)–1; (1 – log3 4)–1.
12.(5;0,5).13.10;101/9.14. ;+× .15.2; .16.1.17.5.
18.2.19. (2k+1);– (4k+1).20.äarccos(
2+πk).
21. 0.
Глава 3. Системы уравнений
§ 13. Системы линейных уравнений
1.(1; 2; 3). 2.(8; 4; 2). 3.(1; –2; –1). 4.(1; –3; –2).
5.(abc;ab+ac+bc;a+b+c).6.
;
;
. 7. При a − 0, a − –3 система определенна, при
a = –3 система неопределенна, при a = 0 система несовместна.
8. При a − 0 система определенна, при a = 0 система неопреде-
ленна. 9. При a = 0 система неопределенна, при a = 2 система
несовместна, при остальных a—определенна. 10. При a = 0,
a = 1 система несовместна, при a = –1, a = 2 система неопреде-
ленна, при остальных a—определенна. 11. При a + b − 0 сис-
тема определенна, при a + b = 0 неопределенна. 12. При a = 0,
b−0;a=0,b=0;a−0,b=0системанеопределенна,приос-
тальных значениях пар (a; b) система определенна. 13. Система
неопределенна при p =
,m=
. 14. Совместны.
15.a=1,b=–1.16.a=1,b=–1;a=1,b=–2;a=–1,b=–1;
a=–1,b=–2.17.a=1.18.a=0,b=0,c=2,25;a=2,b=–1,
c=1.19.a=–4.20.a=3.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
1. (1; 4); (4; 1). 2. (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 3. (3; 2); (2, 3).
4. (14; –11); (11; –14). 5. (4; 2); (2; 4). 6. (1; 4); (–1; 6).
7. (1; 2). 8. (4; 1); (1; 4). 9. (2; 1); (–2; –1). 10. (3; 2); (–3; –2);
2
3---
1
2---lg 1 11
+
()
103x2 7x
+
10x2 3x
+
10 xx2
+
()
–
1
6---
7
3---
π
2---
π
4---
log23
+
ab
a1–
()
b1–
()
-------------------------------------
b
a1–
()
ba
–
()
------------------------------------
a
b1–
()
ba
–
()
------------------------------------
3b 14a
+
16
-------------------------
5b 2a
+
64
---------------------
552
Ответы, указания, решения
y2(x) = , используя свойство монотонности входящих в них
фунций. 47. 3. См. уазание упр. 46. 48. 1. Положите
y=
и воспользуйтесь уазанием упр. 46. 49. 4.
50.ä .51.3⁄4.
§ 11. Логарифмические уравнения
1.–.2.2;3.3.2.4.2.5.–1;7.6.3;3+ .7.3.8.7.9.1;
3.10.–10.11.2.12.2;3.13.1.14.1.15.3.16.3.17.1.
18.ä .19.1;3.20.4; .21.1;4; .22.8; .23.b2+1;
b>0иb−1.24. ; .25.1;10–3;10–2.26.2–8;227.27. ;
.28. ;81.29. .30.10.31.10;104.32.–10;–1.Ис-
пользуйте тождество
= –x, справедливое при x < 0.
33. log3 10; log3 28 – 3. 34. 8. 35. 0,1; 10. 36. 0,01; 0,1; 1.
37. 10–1;
;
.38. ; .39.
;
.
40.2–3/4;1;2.41. ; .42. .43. ;3.44.1.45.2.
46. ;2.
§ 12. Разные задачи
1.4.2.3.3.2.4.2.5.1ä
.
6.1;4.
7. –;2
. Разделив обе части уравнения на 22 · 52, по-
лучим
5x–2·
=1_ 5·
=1_
_5·
=1илиx–2=0_x=– илиx=2.
2x
2x 1–
2
8
3---
2
1
2---
43
2--------
1
48
5
------------
1
43--------
1
8--- 1
2---
393
334 1
9---
1
9---
x2
10
13
+
2
------------------
10
13
–
2
-----------------
1
3--- 1
15------
10ä lg 13
3------
10ä lg7
3---
3ä3
2---
3
ä1
2
-------
2ä1
2---
1
81------
1
4---
1lg2
+
1
lg5
----------
2
3x
x1+
-------------- 2
–
2
1
1x
+--------------
x 2–
2
1
x1
+
--------------
1
lg5
----------
Г л а в а 3. Системы уравнений
553
8.1;8.9.
.10.–1ä
.
Воспользуйтесь тем,
что числа
;
;
—
последовательные
члены еометричесой прорессии. 11 . (log2 3 – 2)–1; (1 – log3 4)–1
.
12.(5;0,5).13.10;101/9.14. ;+× .15.2; .16.1.17.5.
18.2.19. (2k+1);– (4k+1).20.äarccos(
2+πk).
21. 0.
Глава 3. Системы уравнений
§ 13. Системы линейных уравнений
1.(1; 2; 3). 2.(8; 4; 2). 3.(1; –2; –1). 4.(1; –3; –2).
5.(abc;ab+ac+bc;a+b+c).6.
;
;
. 7. При a − 0, a − –3 система определенна, при
a = – 3 система неопределенна, при a = 0 система несовместна.
8. При a − 0 система определенна, при a = 0 система неопреде-
ленна. 9 . При a = 0 система неопределенна, при a = 2 система
несовмест на, при ос тальных a—определенна. 10. При a = 0,
a = 1 система несовместна, при a = –1, a = 2 система неопреде-
ленна, при остальных a—определенна. 11. При a + b − 0 сис-
тема определенна, при a + b = 0 неопределенна. 12. При a = 0,
b−0;a=0,b =0;a−0,b =0системанеопределенна,приос-
тальных значениях пар (a; b) система определенна. 13. Система
неопределенна при p =
,m=
. 1 4 . Совместны.
15.a =1,b=–1.16.a =1,b=–1;a=1,b=–2;a=–1,b=–1;
a= –1,b= –2.17.a =1.18.a =0,b=0,c=2,25;a=2,b= –1,
c=1.19.a = –4.20.a =3.
§ 14. Системы нелинейных уравнений
1. (1; 4); (4; 1). 2 . (0,6; 0,3); (0,4; 0,5). 3 . (3; 2); (2, 3).
4. (14; –11); (11; –14). 5. (4; 2); (2; 4). 6. (1; 4); (–1; 6).
7. (1; 2). 8. (4; 1); (1; 4). 9. (2; 1); (–2; –1). 10. (3; 2); (–3; –2);
2
3
---
1
2
---
lg1 11
+
()
103x2 7x
+
10x2 3x
+
10 xx
2
+
()
–
1
6
---
7
3
---
π
2
---
π
4
---
log
23
+
ab
a1
–
()
b1
–
()
------------------------------------
-
b
a1
–
()
ba
–
()
------------------------------------
a
b1
–
()
ba
–
()
------------------------------------
3b 14a
+
16
------------------------
-
5b 2a
+
64
---------------------
554
Ответы, указания, решения
;
;–;
–
11. (4; 1); (1; 4);
;
, де берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа. 12 . ä
;ä
, де перед
в нешними радиалами берется любое сочетание знаов, а пе-
ред внутренними — либо оба верхних, либо оба нижних знаа.
13. (3; 1); (1; 3). 14. (1; 2); (2; 1). 15. (1; 1). 16. (3; 2); (2; 3);
(–3; –2); (–2; –3). 17. (3; 1); (1; 3); (–3; –1); (–1; –3). 18. (3; 2);
(2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 19. (2; 1); (1; 2). Перейдите неиз-
вестнымu=x+1,v =y+1.20.(2;1);(2;–1);(–2;1);(–2;–1).
Представьте первое уравнение в виде вадратноо относи-
тельно переменной z =
. 21.(2;3); – ;
–4
. Разделите
первое уравнение на второе. 22 . ( –5; 1); (–1; 5); (6; 1); (–1; –6).
23. (2; 1); (–1; –2); (1 +
;–1+ );(1–
;–1
–
).
24. (–2; –4);
;
.
25. (1; 4); (–5; 4); (5; –4); (–1; –4).
26. (3; 5); (5; 3); (–3; –5); (–5; –3). Во второе уравнение, пред-
ставленное в виде x4 + y4 + 2x2y2 = 931 + x2y2, подставьте
x2 + y2, выраженное из первоо уравнения. 27. (2; 1); (1; 2);
(–3; 0); (0; –3); (1; –2); (2; –1). Представьте первое уравне-
ниеввиде(x+y)2+(xy–1)2=10.28.(5;2);(–2;–5).Раз-
ложите x5 – y5 на множители. 29. (2; –1; –1); (–1; –1; 2);
(–1;2;–1).30.(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1).31.(3;1;0).
32.(1;1;1).33.2;–;4; –2; ;–4; –
;2
;
;
;–2
;–
. Введите новые переменные
u=xy,v =xz,w =yz.34.(0;0;0).35.x
=
;
3
3
-------
53
3
-----------
3
3
-------
53
3
-----------
5ä41
–
2
-------------------------
5å 41
–
2
-------------------------
abä a2b2 4ab
–
2b
-----------------------------------------------
-
abå a2b2 4ab
–
2a
-----------------------------------------------
-
xy
+
xy
–
-------------
-
3
2
---
2
2
2
2
5
3
---
10
3
------
1
2
---
1
2
---
15
2
------
15
2
------
2
5
---
2
15
------
15
2
------
15
2
------
2
5
---
2
15
------
ab2 c2
+
()
2bc
---------------------------
Г л а в а 3. Системы уравнений
555
y=
;z=
.36. ä
;
ä
;ä
, де
берутся либо верхние, либо нижние знаи. 37. (1;3;9);
(9;3;1).38.(1;2;3);(1;3;2);(2;1;3);(2;3;1);(3;1;2);
(3; 2; 1). 39. (0; 1; –1); (–1; 2; –1); (–1; 1; 0). 40. (3; –1; –1);
(0; 2; –1); (0; –1; 2). 41. (3; 6; 10); (6; 3; 10). 42.
;
;
;–
;–
;–
.
43.(0;0;0)и ä
;ä
;
ä
, де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 44. (0;0;0);
(1;1;1);(–1;–1;–1);(0; ; );(0;– ;– );( ;0; );
(– ;0;– );( ; ;0);(– ;– ;0).45. 1;0;– ;
–1; 0; . 46. (ä1; ä2; ä5), де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 47. (0; 0; 0);
– ;–1;2 .48.(–5;–3;0);(3;1;–2).49.(2;–1).50.(2;3);
;– .51. ; .52.(4;4).53.(2;3);(–2;–3);(2;–3);
(–2; 3). 54. (1; 1). 55. (25; 9); ; . 56. (5; 4). 57. (1; 2);
(–1;–2); ;– ; – ; .58.(0;0);(3;2);(–2;–3).
ba2 c2
+
()
2ac
---------------------------
ca2 b2
+
()
2ab
---------------------------
2abc ab bc
–ca
+
()
abbcca
–
+
()
ab
– bcca
++
()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab bc ca
–
+
()
ab bc
–ca
+
()
ab
– bcca
++
()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab
– bcca
++
()
ab bc
–ca
+
()
abbcca
–
+
()
------------------------------------------------------------------------------
a
abc
++
---------------------------
b
abc
++
---------------------------
c
abc
++
---------------------------
a
abc
++
---------------------------
b
abc
++
---------------------------
c
abc
++
---------------------------
2
a– bc
++
()
abc
–
+
()
------------------------------------------------------------------
2
ab
–c+
()
a– bc
++
()
------------------------------------------------------------------
2
ab
–c+
()
abc
–
+
()
------------------------------------------------------------
22
2222
2
222
22
1
2---
1
2---
1
2---
13
3------ 5
3---
25
3------ 16
3------
49
4------ 81
4------
4
3
------- 5
3
-------
4
3
------- 5
3
-------
554
Ответы, указания, решения
;
;–;–
11. (4; 1); (1; 4);
;
, де берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа. 12. ä
;ä
, де перед
внешними радиалами берется любое сочетание знаов, а пе-
ред внутренними — либо оба верхних, либо оба нижних знаа.
13. (3; 1); (1; 3). 14. (1; 2); (2; 1). 15. (1; 1). 16. (3; 2); (2; 3);
(–3; –2); (–2; –3). 17. (3; 1); (1; 3); (–3; –1); (–1; –3). 18. (3; 2);
(2; 3); (–3; –2); (–2; –3). 19. (2; 1); (1; 2). Перейдите неиз-
вестнымu=x+1,v=y+1.20.(2;1);(2;–1);(–2;1);(–2;–1).
Представьте первое уравнение в виде вадратноо относи-
тельно переменной z = . 21. (2; 3); – ; –4 . Разделите
первое уравнение на второе. 22. (–5; 1); (–1; 5); (6; 1); (–1; –6).
23.(2;1);(–1;–2);(1+ ;–1+ );(1– ;–1– ).
24. (–2; –4); ; . 25. (1; 4); (–5; 4); (5; –4); (–1; –4).
26. (3; 5); (5; 3); (–3; –5); (–5; –3). Во второе уравнение, пред-
ставленное в виде x4 + y4 + 2x2y2 = 931 + x2y2, подставьте
x2 + y2, выраженное из первоо уравнения. 27. (2; 1); (1; 2);
(–3; 0); (0; –3); (1; –2); (2; –1). Представьте первое уравне-
ниеввиде(x+y)2+(xy–1)2=10.28.(5;2);(–2;–5).Раз-
ложите x5 – y5 на множители. 29. (2; –1; –1); (–1; –1; 2);
(–1;2;–1).30.(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1).31.(3;1;0).
32.(1;1;1).33.2;–;4; –2; ;–4; – ;2 ;
;
;–2 ;–
. Введите новые переменные
u=xy,v=xz,w=yz.34.(0;0;0).35.x=
;
3
3------- 53
3-----------
3
3------- 53
3-----------
5ä41
–
2
-------------------------
5å 41
–
2
-------------------------
abä a2b2 4ab
–
2b
------------------------------------------------ ab å a2b 2 4 ab
–
2a
------------------------------------------------
xy
+
xy
–--------------
3
2---
2
2
2
2
5
3--- 10
3------
1
2---
1
2---
15
2------
15
2------
2
5--- 2
15------
15
2------
15
2------ 2
5--- 2
15------
ab2 c2
+
()
2bc
---------------------------
Г л а в а 3. Системы уравнений
555
y=
;z=
.36.ä
;
ä
;ä
, де
берутся либо верхние, либо нижние знаи. 37 . (1;3;9);
(9;3;1).38.(1;2;3);(1;3;2);(2;1;3);(2;3;1);(3;1;2);
(3; 2; 1). 39. (0; 1; –1); (–1; 2; –1); (–1; 1; 0). 40. (3; –1; –1);
(0; 2; –1); (0; –1; 2). 41. (3; 6; 10); (6; 3; 10). 42.
;
;
;–
;–
;–
.
43.(0;0;0)и ä
;ä
;
ä
, де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 44 . (0;0;0);
(1;1;1);(–1;–1;–1);(0; ; );(0;– ;
–
);( ;0; );
(– ;0;– );( ;
;0);(– ;
–
;0).45. 1;0;– ;
–1; 0;
. 46. (ä1; ä2; ä5), де одна из оординат имеет зна
«плюс», а остальные — одинаовые знаи. 47. (0; 0; 0);
–
;–1;2 .48.(–5;–3;0);(3;1;–2).49.(2;–1).50.(2;3);
;–
. 51.
;
. 52. (4; 4). 53. (2; 3); (–2; –3); (2; –3);
(–2; 3). 54. (1; 1). 55. (25; 9);
;
. 56. (5; 4). 57. (1; 2);
(–1; –2);
;–
;–;
. 58. (0; 0); (3; 2); (–2; –3).
ba2 c2
+
()
2ac
---------------------------
ca2 b2
+
()
2ab
---------------------------
2abc ab bc
–
ca
+
()
abbcca
–
+
()
ab
–
bc ca
++
()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab bc ca
–
+
()
ab bc
–
ca
+
()
ab
–
bc ca
++
()
-----------------------------------------------------------------------------------
2abc ab
–
bc ca
++
()
ab bc
–
ca
+
()
abbcca
–
+
()
-----------------------------------------------------------------------------
-
a
abc
++
---------------------------
b
abc
++
---------------------------
c
abc
++
---------------------------
a
abc
++
---------------------------
b
abc
++
---------------------------
c
abc
++
---------------------------
2
a
–
bc
++
()
abc
–
+
()
------------------------------------------------------------------
2
ab
–
c
+
()
a
–
bc
++
()
------------------------------------------------------------------
2
ab
–
c
+
()
abc
–
+
()
------------------------------------------------------------
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
1
2
---
1
2
---
1
2
---
13
3
------
5
3
---
25
3
------
16
3
------
49
4
------
81
4
------
4
3
-------
5
3
-------
4
3
-------
5
3
-------
556
Ответы, указания, решения
Воспользуйтесь тем, что 2xy = x2 + y2 – (x – y)2. 59. (3; –1; 2).
60. (ä7; ä13); (ä6,5; ä14), де берутся либо верхние, либо ниж-
ние знаи. 61. (ä1; å1; –2); (ä1; 2; ä1); (2; ä1; ä1), де берутся
либо верхние, либо нижние знаи. 62. ä ; å ; ä
;
(ä1, å1, ä2), де берутся либо верхние, либо нижние знаи.
§ 15. Системы показательных
и логарифмических уравнений
1.(5;5).2.(4;2).3.
;–
. 4.(6;6).5.(3;9);(9;3).
6. (1; 4). Воспользуйтесь тем, что
,
,
—
последова-
тельные члены еометричесой прорессии. 7. (2; 2). 8. (2; 1).
9. (1; 9); (16; 1). 10. (–2; 7). 11. (1; 1). 12. (2; 4). 13. (1; –1); (5; 3).
14. (16; 3);
;–2
. 15. (27; 4);
;–3
. 16. (4; 1). 17. (6; 2).
18. (9; 16). 19. (–10; 20);
;
. 20. (4; 1); (–4; –1). Вос-
пользуйтесь тем, что первое уравнение вадратное относитель-
ноz=
, а второе — относительно u =
. 21.(;
1
)
;
(– ;1).Введитеобозначенияz=x2+y,u =
и исполь-
зуйте равенство
=
. 22.(2;2;1).
§ 16. Разные задачи
1. (3; 9). Пролоарифмируйте первое уравнение по основа-
нию x. 2.
;;
. 3.(4;2);(–4;2).4.(1;1);
;
.
Пролоарифмируйте оба уравнения по основанию 10 и све-
дите сис тему рациональной относительно неизвестных
u=,
v=
+
. 5. 100;
; (100; 100);
;100 ;
3
7
-------
1
7
-------
5
7
-------
1
2
---
3
2
---
4x
2
x
y
2
---
–
2y
–
1
64
------
1
81
------
10
3
------
20
3
------
2xy
xy
+
xy
–
-------------
-
3
3
2yx
2
–
6x2 y
–
3x2 y
–
2yx
2
–
----------------
2
3
---
27
8
------
32
3
------
16
81
------
4
9
---
lgx
lgy
----------
x
4
y
1
100
----------
1
100
----------
Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 557
;
. В первом уравнении перейдите десятичным
лоарифмам. 6. (2; 6); (6; 2). 7. (1; 1; 1); (4; 2; ). 8. (a4; a; a7);
;a; .
Глава 4. Неравенства.
Уравнения и неравенства с параметрами
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
1. (–×; –2) Ÿ (2; +×). 2. –;–2 Ÿ (3; +×). 3. [–1; 3].
4.(–×;–2)Ÿ(–1;0].5.(–8;1].6.(–×;–1)Ÿ(3;7).7.(–×;–2)Ÿ
Ÿ(1;2)Ÿ(3;+×).8.(1;2].9. –×;– Ÿ ;4.10.(–×;1)Ÿ
Ÿ ;2Ÿ(3;+×).11. –5;–
. 12.
;1.
13. (–×; –5) Ÿ 1;
.14. [–46; 3). 15. –;
1
.
16. [–6; 0) Ÿ (3; 4]. 17. [–5; –1) Ÿ (1; +×). 18. [–1; +×). 19. 3⁄4.
20. –1;
Ÿ (2; +×). 21. –×;
.22.xÝR.
23.(5;+×).24.(–2;–1]Ÿ – ; .25.xÝR.26. ; .
27.[1– ; –1].28.( –1; +1).29. –;
3
.
30.(–×;–2– ]Ÿ[1+ ;+×).31.(–×;–1– ]Ÿ
Ÿ[1– ;+×).32.[–1;2)Ÿ(8;5+3 ].33.(0,75;1)Ÿ(1;+×).
34. [–1; +×). 35. (–×; 2) Ÿ (3; +×). 36. (–1; ).
1
100
---------- 1
100
----------
2
1
a4------ 1
a7------
9
2---
1
2---
3
2---
3
2---
96
1
+
8
---------------------
135–
2
---------------------
82
2
+
3
---------------------
35
+
2
------------------
51
3
–
2
---------------------
37 13
–
6
------------------------
2
3--- 1
3---
7
6--- 3
2---
175
2
2
36
5
+
2
---------------------
2
3
3
5
2
43
556
Ответы, указания, решения
Воспользуйтесь тем, что 2xy = x2 + y2 – (x – y)2. 59. (3; –1; 2).
60. (ä7; ä13); (ä6,5; ä14), де берутся либо верхние, либо ниж-
ние знаи. 61. (ä1; å1; –2); (ä1; 2; ä1); (2; ä1; ä1), де берутся
либо верхние, либо нижние знаи. 62. ä ; å ; ä ;
(ä1, å1, ä2), де берутся либо верхние, либо нижние знаи.
§ 15. Системы показательных
и логарифмических уравнений
1.(5;5).2.(4;2).3. ;– .4.(6;6).5.(3;9);(9;3).
6. (1; 4). Воспользуйтесь тем, что , , — последова-
тельные члены еометричесой прорессии. 7. (2; 2). 8. (2; 1).
9. (1; 9); (16; 1). 10. (–2; 7). 11. (1; 1). 12. (2; 4). 13. (1; –1); (5; 3).
14.(16;3); ;–2 .15.(27;4); ;–3 .16.(4;1).17.(6;2).
18. (9; 16). 19. (–10; 20); ; . 20. (4; 1); (–4; –1). Вос-
пользуйтесь тем, что первое уравнение вадратное относитель-
но z = , а второе— относительно u = . 21. (;1
)
;
(– ;1).Введитеобозначенияz=x2+y,u=
и исполь-
зуйте равенство
= .22.(2;2;1).
§ 16. Разные задачи
1. (3; 9). Пролоарифмируйте первое уравнение по основа-
ниюx.2. ; ; .3.(4;2);(–4;2).4.(1;1); ; .
Пролоарифмируйте оба уравнения по основанию 10 и све-
дите систему рациональной относительно неизвестных
u=,
v= + .5. 100;
; (100; 100); ; 100 ;
3
7
------- 1
7
------- 5
7
-------
1
2--- 3
2---
4x2
xy
2---–
2y–
1
64------
1
81------
10
3------ 20
3------
2xy
xy
+
xy
–--------------
3
3
2yx2
–
6x2 y– 3x2 y–
2yx2
–
----------------
2
3--- 27
8------ 32
3------
16
81------ 4
9---
lgx
lgy
----------
x4
y
1
100
----------
1
100
----------
Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 557
;
. В первом уравнении перейдите десятичным
лоарифмам. 6. (2; 6); (6; 2). 7. (1; 1; 1); (4; 2; ). 8. (a4; a; a7);
;a;
.
Глава 4. Неравенства.
Уравнения и неравенства с параметрами
§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства
1. (–×; –2) Ÿ (2; +×). 2.
–;
–
2Ÿ(3;+×).3.[–1;3].
4.(–×; –2)Ÿ(–1;0].5.(–8;1].6.(–×; –1)Ÿ(3;7).7.(–×; –2)Ÿ
Ÿ(1;2)Ÿ(3;+×).8.(1;2].9.
–×; –
Ÿ
;
4.
10. (–×; 1) Ÿ
Ÿ
;
2Ÿ (3; +×). 11.
–5; –
. 12.
;1.
13.(–×; –5)Ÿ 1
;
.
14. [–46; 3). 15.
–;
1
.
16. [–6; 0) Ÿ (3; 4]. 17. [–5; –1) Ÿ (1; +×). 18. [–1; +×). 19. 3⁄4.
20.
–1;
Ÿ (2; +×). 21.
–×;
. 22.xÝR.
23.(5;+×).24.(–2;–1]Ÿ – ;
. 25.xÝR.26.
;
.
27.[1–
;
–
1]. 28. (
–
1;
+ 1). 29.
–;
3
.
30. (–×; –2
–
]Ÿ[1+ ;+×).31.(–×; –1
–
]Ÿ
Ÿ[1– ;+×).32.[–1;2)Ÿ(8;5+3 ].33.(0,75;1)Ÿ(1;+×).
34. [–1; +×). 35. (–×; 2) Ÿ (3; +×). 36. (–1; ).
1
100
----------
1
100
----------
2
1
a4
------
1
a7
------
9
2
---
1
2
---
3
2
---
3
2
---
96
1
+
8
---------------------
135
–
2
---------------------
82
2
+
3
---------------------
35
+
2
------------------
51
3
–
2
---------------------
37 13
–
6
------------------------
2
3
---
1
3
---
7
6
---
3
2
---
175
2
2
36
5
+
2
---------------------
2
3
3
5
2
4
3
558
Ответы, указания, решения
§ 18. Показательные неравенства
1. (–×;log2 (–1 +
)]. 2. (–2; +×). 3. (–×;–1].
4.
–×; –
Ÿ
;
+
× .5.[–
;
]. 6. [–4; –2) Ÿ (0; +×). 7. [–10; 5]. 8. [0; 1]. 9. [log135; 1].
10.(– ;
–
] Ÿ [ ; ). 11.[2; 18). 12.(–log29; +×).
13. (–×; log5 3). 14.
log5 6; log6 5.15. [–1; 3). 16. (2; +×).
17.
–×; –
Ÿ
;
+
× . 18.[0;4].19.(–×; 0)Ÿ(log32; 1).
20.
–
+k;k Ÿ
+
k; +k ,kÝZ.
§ 19. Логарифмические неравенства
1.
–;
–
1.2. (3; +×). 3.
–;
–
Ÿ;
1.
4. ( –×; –1).
5. ;2.6.(– ;
).7. ;4.8.
–;
–
.
9. (4; 7).
10. (1; +×). 11. (3; 7). 12. (10–2; 10). 13. [–2; 6) Ÿ
;
7
.
14. 0;
Ÿ[9;+×).15.(1;2]Ÿ[3;4).16.(–7;1).17.(–5;–4)Ÿ
Ÿ (–3; –1). 18. (0; 1] Ÿ [2; +×). 19. [1; +×). 20. (–×; log3 2).
21.
–;
–
1Ÿ
;.
22. (0; 2) Ÿ (4; +×).
23.(0;1)Ÿ(2;+×).24. 0;
. 25.
–;
.
26.(1;3)Ÿ
Ÿ (3; 5). 27.
;1 .28.(2–15;2–9]Ÿ[29;+×).29.(–2;–1)Ÿ
7
2log2
51
+
2
------------------
2log2
51
+
2
------------------
log3 4
log3 4
7
3
37
1
2
---
1
2
---
5
8
---
1
2
---
1
4
---
1
2
---
3
2
---
1
2
---
1
4
---
3
4
---
1
4
---
33
1
2
---
3
2
---
23
16
------
20
3
------
1
3
---
3
2
---
10
3
3
–
2
----------------------
100
3
3
–
2
-------------------------
173
–
2
---------------------
π
6
---
π
6
---
53
–
2
-----------------
Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 559
Ÿ[0;+×).30.(0;1)Ÿ
–
1
;.
31.(0;1)Ÿ[4;
].
32. –1; Ÿ 1; .33.[;
1
)
Ÿ(1; ).34. 0; Ÿ
Ÿ(1;+×).35. ; Ÿ ;
1
.
36.;1Ÿ1;Ÿ
Ÿ ;2 .37.(–4;–3)Ÿ[1;+×).38.(1;2).39. 0;
Ÿ
Ÿ
;+× .40.
;3 .41.(–×;–7)Ÿ(–5;–2]Ÿ[4;+×).
42.(–6;–5)Ÿ(–3;–2).43.(1– ;–1)Ÿ –;0Ÿ 0; Ÿ
Ÿ(2;1+ ).45.(–2 ;–1)Ÿ 1;
.46.(0;1)Ÿ[2;+×).
47.(3;5– )Ÿ(7;+×).48.(1000;+×).49. ;1 Ÿ(9;+×).
50.
;2.51.(1;2).52.(0;1)Ÿ(1;
).53.(3;π)Ÿ
Ÿπ;Ÿ;
5.
54. 2πk; +2πk Ÿ 2πk+ ;π+2πk ,
kÝZ.55. ; .56. πk+ ;πk+ ,kÝZ.57. 2πk+
+arcsin ;2πk+ Ÿ 2πk+ ;(2k+1)π–arcsin ,kÝZ.
58. ;2 Ÿ –;1Ÿ 2πk–;+2πk,kÝZ,k−0.
59. x = 1, x = 2. Найдите область определения неизвестно-
о x и для аждоо целоо числа из области определения про-
верьте выполнение (или невыполнение) данноо неравенства.
60.x=–1,x=0,x=1,x=2.61.x=6,x=7,x=8.
6
5
2---
213
+
1
2---
5
2---
2 1/8
–
23
1
2---
3
4------- 1
2---
3
2-------
1
2---
3
2---
3
2---
35
–
2
-----------------
35
+
2
------------------
35
+
2
------------------
7
1
3---
1
3---
7
2
41
5-----------
3
1
33--------
51
+
2
------------------
10
10
3π
2-------
3π
2-------
π
6---
5π
6-------
1
2--- 3
4---
π
4---
π
3---
2
3---
π
2---
π
2---
2
3---
π
2---
π
6---
π
6--- π
2---
558
Ответы, указания, решения
§ 18. Показательные неравенства
1. (–×;log2 (–1 + )]. 2. (–2; +×). 3. (–×;–1].
4. –×;–
Ÿ
;
+
× .5.[–
;
]. 6. [–4; –2) Ÿ (0; +×). 7. [–10; 5]. 8. [0; 1]. 9. [log13 5; 1].
10.(– ;– ]Ÿ[ ; ).11.[2;18).12.(–log29;+×).
13. (–×; log5 3). 14. log5 6; log6 5.15. [–1; 3). 16. (2; +×).
17. –×;– Ÿ ;+
× .18.[0;4].19.(–×;0)Ÿ(log32;1).
20. –+k;k Ÿ +k; +k ,kÝZ.
§ 19. Логарифмические неравенства
1. –;–1 .2. (3; +×). 3. –;– Ÿ ;1.4. (–×; –1).
5. ;2.6.(– ; ).7. ;4.8. –;– .9.(4;7).
10. (1; +×). 11. (3; 7). 12. (10–2; 10). 13. [–2; 6) Ÿ ;
7
.
14. 0; Ÿ[9;+×).15.(1;2]Ÿ[3;4).16.(–7;1).17.(–5;–4)Ÿ
Ÿ (–3; –1). 18. (0; 1] Ÿ [2; +×). 19. [1; +×). 20. (–×; log3 2).
21. –;–1 Ÿ
;.
22. (0; 2) Ÿ (4; +×).
23.(0;1)Ÿ(2;+×).24. 0;
.25. –; .26.(1;3)Ÿ
Ÿ (3; 5). 27.
;1 .28.(2–15;2–9]Ÿ[29;+×).29.(–2;–1)Ÿ
7
2log2
51
+
2
------------------
2log2
51
+
2
------------------
log3 4
log3 4
73
37
1
2---
1
2---
5
8---
1
2---
1
4---
1
2---
3
2---
1
2--- 1
4---
3
4---
1
4---
33
1
2---
3
2--- 23
16------
20
3------
1
3---
3
2---
10
3
3–
2
---------------------- 100
3
3–
2
-------------------------
173–
2
---------------------
π
6--- π
6---
53
–
2
-----------------
Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 559
Ÿ[0;+×).30.(0;1)Ÿ
–
1
;.
31.(0;1)Ÿ[4;
].
32.
–1;
Ÿ 1; .33.[;
1
)
Ÿ(1; ).34. 0;
Ÿ
Ÿ (1; +×). 35.
;
Ÿ
;
1
.
36.;1Ÿ1;Ÿ
Ÿ
;2 .37.(–4;–3)Ÿ[1;+×).38.(1;2).39. 0;
Ÿ
Ÿ
;+× .40.
;3 .41.(–×; –7)Ÿ(–5;–2]Ÿ[4;+×).
42.(–6;–5)Ÿ(–3;–2).43.(1– ;
–1)Ÿ –;0Ÿ 0; Ÿ
Ÿ(2;1+ ).45.(–2 ;–1)Ÿ 1;
. 46.(0;1)Ÿ[2;+×).
47.(3;5– )Ÿ(7;+×).48.(1000;+×).49.
;1 Ÿ(9;+×).
50.
;2 .51.(1;2).52.(0;1)Ÿ(1;
).53.(3;π)Ÿ
Ÿπ;
Ÿ
;
5
.
54. 2πk; +2πk Ÿ 2πk+ ;π+2πk ,
kÝZ.55.
;
. 56. πk+ ;πk+
,kÝZ.57. 2πk+
+arcsin ;2πk+
Ÿ 2πk+ ;(2k+1)π–arcsin
,kÝZ.
58. ;2Ÿ–;1Ÿ2πk–;+2
πk ,kÝZ,k−0.
59. x = 1, x = 2. Найдите область определения неизвестно-
о x и для аждоо целоо числа из области определения про-
верьте выполнение (или невыполнение) данноо неравенства.
60.x = –1,x=0,x=1,x =2.61.x =6,x =7,x =8.
6
5
2
---
213
+
1
2
---
5
2
---
2 1/8
–
2
3
1
2
---
3
4
-------
1
2
---
3
2
-------
1
2
---
3
2
---
3
2
---
35
–
2
-----------------
35
+
2
------------------
35
+
2
------------------
7
1
3
---
1
3
---
7
2
41
5
-----------
3
1
3
3
--------
51
+
2
------------------
10
10
3π
2
-- -- ---
3π
2
-------
π
6
---
5π
6
-------
1
2
---
3
4
---
π
4
---
π
3
---
2
3
---
π
2
---
π
2
---
2
3
---
π
2
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
560
Ответы, указания, решения
§ 20. Решение неравенств,
содержащих сложные функции
1.(– ;
–1)Ÿ(1; ).2.(–1;0)Ÿ(0;1).3.[–4;–1].4.(0,7;1).
5. (–1; 2). 6. 0;
Ÿ3;
.
7.
–×; –
Ÿ (1; +×).
8.
;0Ÿ
;
+
× . 9.(–×;+×).10.[0;2)Ÿ(4;6].
11.(–×; 0]Ÿ[log65;1).12. 2 –
;
Ÿ
;2+
.
13.
log2 7; log2 3.14 .
;.
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
1.Еслиa<1,торешенийнет;еслиa=1,тоx=2;если
a>1,тоx=a+1;x=3a–1.2.Если2<am3,тоxÝ
Ý[2a–5;1];если–2mam2,тоxÝ[–1;1];если–3ma<–2,
тоxÝ[–1;2a+5];если|a|>3,торешенийнет.3.Еслиa<0,
тоx1,2
=ä(–1+
);еслиa=0,тоx=0;еслиa>0,то
решенийнет.4.а)Приa<0решенийнет;приa=0—три
решения; при0 < a <1—четыре;приa =1—два;при
a >1решенийнет;б)приa <0решенийнет;приa =0—
дварешения;при0<a<4—четыре;приa=4—три;при
a>4—два.5.Если|a|m ,торешенийнет;если|a|>
,то
a–
–
1<x<a+
–
1.6.Еслиam0илиal4,
торешенийнет;если0<a<2,то–amxma;еслиa=2,то
–2<x<2;если2<a<4,то–
<x<
.
7.–<
a<3.Записавнеравенствоввиде3–x2>|x–a|,
постройте и исследуйте рафии фунций, находящихся в ле-
вой и правой частях неравенства. 8. Если 0 < a m 1, то x = log2 a;
еслиam0илиa>1,торешенийнет.9.Еслиam1,тоx=
= älog12 (1 +
);еслиa>1,торешенийнет.10.0<a<
.
2
2
1
3
---
10
3
------
5
3
---
15
–
2
-----------------
15
+
2
------------------
2
3
4
---
13
4
------
2
1
2
---
1
2
---
3
2
---
1
2
---
14a
–
2
2
a21
–
a21
–
a
2
---
a4a
–
()a
2
---
a4a
–
()
13
4
------
1a
–
1
36
3
-----------
Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 561
11.0<cm8.12.–<
a<–
;
<a<
.
13.a<–2.14.–3<x<–1.15.x>3.16.(1;0).17.a> .
18.2ma< .19.–mmm–4+2 .20.m>1.
21.Ниприаихm.22.al1.23.–3mam3.24.–<a<
<.25.a<–2.26. <a<1.27.Еслиa=0,торешений
нет;еслиa>0,тоx<–2+log3a;еслиa<0,тоx<log3(–a).
28.αl2.29.αl1.30.Если2πk– mam +2πkили
+2πkmam +2πk,тоx=–arcsin
+
×
× arcsin
+πn(k,nÝZ).31.Еслиa<– или
al ,т
оx = (–1)k arcsin
+πk;если– mam–1,
то x = (–1)k arcsin
+πk;если–1<a< ,торе-
шенийнет.32.b<–2– ,b>2.33.Если–3mam2,то
x=ä arccos2a+5+πk,kÝZ.34.a1,2=ä2.35.Еслиb<
b− ,b−0,b−–1 ,тоx=πk+(–1)karcsin ;еслиbl ,
то решений нет. 36. Если a m 0, то решений нет; если a > 0, то
x=πkäarcsin
,kÝZ.37.Еслиal1,то0<x<1;если
amsin1,то0<x<arcsina,1<x< ;еслиsin1<a<1,то
0<x<1,arcsina<x< .38.(0;0);(1;0).39.k=1;x=
=tg (1– ),y=cos (1+ ).40.a<–1,a=0.41.Если
a=–1,тоx= –1; ; ;еслиa=– ,тоx= – ;0; .
11
7
+
2
---------------------
15
+
2
------------------ 1–5
+
2
-----------------------
1–1
7
+
2
---------------------------
11
9------
2
11
3------
735
+
2
----------------------
3
1
2
-------
1
2
-------
1
2---
π
6---
π
6---
5π
6-------
7π
6-------
2cosa
14cos2 a
+
------------------------------------ (1)
–n
2
14cos2 a
+
------------------------------------
2
2
10a 2a2 1–
()
–
2
10aä2a2 1–
()
2
8
1
2---
1
2---
1
3---
b
b 1–-------------
1
2---
2
log2 3
2a
----------------
–
π
2---
π
2---
π
4---
7
π
4---
7
15
17------ 17
15------
1
5---
1
136
---------- 1
120
----------
560
Ответы, указания, решения
§ 20. Решение неравенств,
содержащих сложные функции
1.(– ;–1)Ÿ(1; ).2.(–1;0)Ÿ(0;1).3.[–4;–1].4.(0,7;1).
5.(–1;2).6.0; Ÿ 3; .7.–×;– Ÿ(1;+×).
8.
;0Ÿ
;
+
× .9.(–×;+×).10.[0;2)Ÿ(4;6].
11.(–×;0]Ÿ[log65;1).12. 2– ; Ÿ ;2+ .
13. log2 7; log2 3.14. ; .
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами
1.Еслиa<1,торешенийнет;еслиa=1,тоx=2;если
a>1,тоx=a+1;x=3a–1.2.Если2<am3,тоxÝ
Ý[2a–5;1];если–2mam2,тоxÝ[–1;1];если–3ma<–2,
тоxÝ[–1;2a+5];если|a|>3,торешенийнет.3.Еслиa<0,
тоx1,2=ä (–1+
);еслиa=0,тоx=0;еслиa>0,то
решенийнет.4.а)Приa<0решенийнет;приa=0—три
решения;при0<a<1—четыре;приa=1—два;при
a>1решенийнет;б)приa<0решенийнет;приa=0—
дварешения;при0<a<4—четыре;приa=4—три;при
a>4—два.5.Если|a|m ,торешенийнет;если|a|> ,то
a–
–1<x<a+
–1.6.Еслиam0илиal4,
торешенийнет;если0<a<2,то–amxma;еслиa=2,то
–2<x<2;если2<a<4,то–
<x<
.
7.–<a<3.Записавнеравенствоввиде3–x2>|x–a|,
постройте и исследуйте рафии фунций, находящихся в ле-
вой и правой частях неравенства. 8. Если 0 < a m 1, то x = log2 a;
еслиam0илиa>1,торешенийнет.9.Еслиam1,тоx=
= älog12 (1 +
);еслиa>1,торешенийнет.10.0<a< .
2
2
1
3---
10
3------
5
3---
15
–
2
-----------------
15
+
2
------------------
23
4---
13
4------
2
1
2---
1
2--- 3
2---
1
2---
14a
–
2
2
a2 1–
a2 1–
a
2--- a4 a
–
()a
2--- a4 a
–
()
13
4------
1a–
1
36
3
-----------
Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 561
11.0<cm8.12. – <
a<–
;
<a<
.
13.a<–2.14. –3<x<–1.15.x>3.16.(1;0).17.a>
.
18.2ma<
.19. – mmm–4+2 .20.m>1.
21.Ниприаихm.22.al1.23. –3 mam3.24. – <
a<
<.
25.a <–2.26.
<a<1.27.Еслиa=0,торешений
нет;еслиa>0,тоx<–2+log3a;еслиa<0,тоx<log3(–a).
28.αl2.29.αl1.30.Если2πk– mam
+2
πk или
+2πkmam
+
2
πk, то x = –arcsin
+
×
× arcsin
+πn(k,nÝZ).31.Еслиa<–
или
al
,
т
о
x = (–1)k arcsin
+πk;если–
mam–1,
то x = (–1)k arcsin
+πk;если–1<a<
,торе-
шений нет. 32. b < –2
–
,b>2.33.Если–3mam2,то
x=ä arccos2a+5+πk,kÝZ.34.a1,2
= ä2.35.Еслиb<
b− ,b−0,b−–1 ,тоx=πk+(–1)karcsin
;еслиbl ,
то решений нет. 36. Если a m 0, то решений нет; если a > 0, то
x=πkäarcsin
,kÝZ.37.Еслиal1,то0<x<1;если
amsin1,то0<x<arcsina,1<x< ;еслиsin1<a<1,то
0<x<1,arcsina<x< .38.(0;0);(1;0).39.k =1;x=
=tg (1– ),y =cos (1+ ).40.a<–1,a =0.41.Если
a= –1,тоx=
–1; ;
;еслиa= –
,тоx=
–
;0;
.
11
7
+
2
---------------------
15
+
2
------------------
1
–5
+
2
-----------------------
1
–1
7
+
2
--------------------------
-
11
9
------
2
11
3
------
735
+
2
----------------------
3
1
2
-------
1
2
-------
1
2
---
π
6
---
π
6
---
5π
6
-------
7π
6
-------
2cosa
14c
o
s
2a
+
------------------------------------
(1)
–
n
2
14c
o
s
2a
+
------------------------------------
2
2
10a 2a2 1
–
()
–
2
10aä2a2 1
–
()
2
8
1
2
---
1
2
---
1
3
---
b
b1
–
-------------
1
2
---
2
log2 3
2a
-- -------- ------
–
π
2
---
π
2
---
π
4
---
7
π
4
---
7
15
17
------
17
15
------
1
5
---
1
136
----------
1
120
----------
562
Ответы, указания, решения
42.a =0,a =1.43.Еслиa=1,тоxl1;еслиa= –1,то–3m
mx<1;если|a|>1,тоx=1,x=
;при|a|>1уравнение
имеет два решения.
Глава 5. Тригонометрия
§ 23. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
33. tg
+
,еслиαÝ 0; Ÿ ;
π ;ctg
+
,
еслиαÝ π;
Ÿ
;
2
π .34.2tg3α,еслиα− +πn.
§ 24. Вычисление значений
тригонометрических функций
1. –1. 2.
.
3. .4.1.5.4.6.
.
7.
.
8.
.
Используйте равенство cos (3 · 18°) = sin (2 · 18°). 9 . (
×
×
–
+ 1). Используйте равенство sin 42° =
=sin(60° – 18°). 10. 0,96. 11. 2. 12. a4 – 4a2 + 2. 13.
.
14.
.
15.
.
16. 3. 17.
.
18. –.
Рас-
смотрите заданные условия а систе му трионометричесих
уравнений и найдите α и β а решения этой системы, при-
надлежащие уазанным промежутам. 19.
.
20.2;–
.
21. –2;– ; ;2.22.4x3–3x–m =0.23.m.24.
. 25.
.
26. .27. .28.4.
29. π – 2. Воспользуйтесь тем, что
7a
+
a1
–
--------------
α
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
α
2
---
π
4
---
3π
2
-------
3π
2
-------
π
2
---
1
64
------
1
4
---
3
2
---
62
–
4
---------------------
-
51
–
4
-----------------
1
8
---
3
1025
+
5
3nn
3
–
2
--------------------
-
1m
–
1m
+
---------------
a2 b2
–
a2 b2
+
-------------------
4a
a2b22b
++
---------------------------------
3
pq
+
pq
–
-------------
1
3
---
1
2
---
1
2
---
2
α
---
15
8
-----------
3
2
-- - ----
77
85
------
5
Г л а в а 5. Тригонометрия
563
sin2=sin(π–2)иπ–2Ý – ; .30.
.31. .
32.
.33.+.
42. Справедливо. Полаая x = cos y, преобразуем арумент
второо слааемоо по формуле cos y + sin y = cos – y .
Тода для переменной y доазываемое равенство примет вид
arccos cos y + arccos cos – y = или, после упрощений,
y + y – = . При y Ý 0; данное равенство превраща-
ется в тождество.
43. Справедливо. См. решение упр.42. 44. n cos α –
–.
45.
.46. ctg –
–2ctg2α.47. .48. .49. .50.0.51.tg
.
§ 25. Тригонометрические уравнения
Встречающиеся в ответах бувы n, l, m, k, если не ооворе-
но противное, принимают любые целочисленные значения.
1. – +2πn;
+πn.2.πn.3.ä +πn.4. +πk;
ä +2πk.5. +πn; +πn Ÿ +
πn; +πn .Упрос-
тите выражение, выделив под знаами радиалов полные вад-
раты. 6. arctg
+ πn; –arctg
+πn.7.arctg +πk;
arctg +πk.8. +2πk;π(2k+1).9.ä +πk.10.–+πk;
äarctg +πk; ; (2k+1). 11. +2πk; (–1)k +πk.
π
2--- π
2---
1230
+
22 15
–
-----------------------------
2
2-------
425
+
9
--------------------------
3
5--- 13
13-----------
1
2---
3
2-------
π
3---
π
3---
π
3---
π
3--- π
3---
π
3---
1
2---
cosn2+
()
α
[]
cos nα
sin α
----------------------------------------------------------
cosn2+
()
α
[]
sin nα
sin α
---------------------------------------------------------
1
2n------
α
2n------
1
2---
n
2---
1
2---
n1+
()
α
2
-----------------------
π
2---
(1)n
–π
6---
π
3---
π
2---
π
3---
π
6---
π
3---
2π
3-------
5π
6-------
15
+
4
------------------
51
–
4
-----------------
1
2---
7
2---
π
2---
π
3---
π
4---
2
2-------
2πk
5----------- π
11------
π
2---
π
6---
562
Ответы, указания, решения
42.a=0,a=1.43.Еслиa=1,тоxl1;еслиa=–1,то–3m
mx<1;если|a|>1,тоx=1,x= ;при|a|>1уравнение
имеет два решения.
Глава 5. Тригонометрия
§ 23. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
33.tg + ,еслиαÝ0;Ÿ ;π;ctg + ,
еслиαÝ π; Ÿ ;
2
π .34.2tg3α,еслиα− +πn.
§ 24. Вычисление значений
тригонометрических функций
1.–1.2. .3..4.1.5.4.6..7.
.8.
.
Используйте равенство cos (3 · 18°) = sin (2 · 18°). 9. ( ×
×
– + 1). Используйте равенство sin 42° =
=sin(60° – 18°). 10. 0,96. 11. 2. 12. a4 – 4a2 + 2. 13.
.
14.
. 15.
.16.3.17.
. 18. –. Рас-
смотрите заданные условия а систему трионометричесих
уравнений и найдите α и β а решения этой системы, при-
надлежащие уазанным промежутам. 19. . 20. 2; – .
21.–2;– ; ;2.22.4x3–3x–m=0.23.m.24. .25. .
26. . 27. . 28. 4.29. π – 2. Воспользуйтесь тем, что
7a+
a 1–--------------
α
2--- π
4---
π
2---
π
2---
α
2--- π
4---
3π
2-------
3π
2-------
π
2---
1
64------
1
4---
3
2---
62
–
4
----------------------
51
–
4
-----------------
1
8--- 3
1025
+
5
3nn3
–
2
---------------------
1m
–
1m
+---------------
a2 b2
–
a2 b2
+
-------------------
4a
a2b22b
++
---------------------------------
3
pq
+
pq
–-------------
1
3---
1
2--- 1
2---
2
α---
15
8-----------
3
2-------
77
85------
5
Г л а в а 5. Тригонометрия
563
sin2=sin(π–2)иπ–2Ý – ;
. 30.
.31..
32.
.33.+
.
42. Справедливо. Полаая x = cos y, преобразуем арумент
второо слааемоо по формуле cos y +
siny =cos
–
y.
Тода для переменной y доазывае мое равенство приме т вид
arccos cos y + arccos cos
–
y=
или, после упрощений,
y+ y–
=
. ПриyÝ 0;
данное равенство превраща-
ется в тождество.
43. Справедливо. См. решение упр.42
. 44.
ncosα–
–.
45.
.
46.
ctg
–
–2ctg2α.47. .48. .49. .50.0.51.tg
.
§ 25. Тригонометрические уравнения
Встречающиеся в ответах бувы n, l, m, k, если не ооворе-
но противное, принимают любые целочисленные значения.
1. – +2πn;
+πn.2.πn.3.ä +πn.4. +πk;
ä +2πk.5.
+πn; +πn Ÿ
+
πn;
+πn .Упрос-
тите выражение, выделив под знаами радиалов полные вад-
раты. 6 . arctg
+ πn; –arctg
+πn.7.arctg +πk;
arctg +πk.8. +2πk;π(2k+1).9.ä +πk.10. – +πk;
äarctg
+ πk;
;
(2k+1). 11. +2πk; (–1)k +πk.
π
2
---
π
2
---
123
0
+
22 15
–
-----------------------------
2
2
-------
425
+
9
--------------------------
3
5
---
13
13
-----------
1
2
---
3
2
-------
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
1
2
---
cosn2
+
()
α
[]
cos nα
sin α
---------------------------------------------------------
-
cosn2
+
()
α
[]
sin nα
sin α
---------------------------------------------------------
1
2n
------
α
2n
------
1
2
---
n
2
---
1
2
---
n1
+
()
α
2
-----------------------
π
2
---
(1)n
–
π
6
---
π
3
---
π
2
---
π
3
---
π
6
---
π
3
---
2π
3
-- -- ---
5π
6
-------
15
+
4
------------------
51
–
4
-----------------
1
2
---
7
2
---
π
2
---
π
3
---
π
4
---
2
2
-------
2πk
5
----------
-
π
11
------
π
2
---
π
6
---
564
Ответы, указания, решения
12.arctg + πk. 13. (4k +1).14. π(2k +1); (4k –1).
15. (6kä1).16. .17.Если a Ý
;1,тоx=
ä
ä arcsin 2
, при остальных значениях a решений
не т. Значения a, при оторых существуют решения уравне-
ния, определите из условия | sin x | m 1. 18. + πk;
+.
19. – +;+.
20.––
;+.
21.
+ πn;
+ .22.3⁄4.23.
;
. 24. +2πn.25.arctg +πk;
πk – arctg . 26. πk; äarctg
+πk;ä +πk.27. (4k+1).
28. + 2πk. 29. 2πk; + 2πk. 30.
+ πn; (–1)n
–
+ πn.
31.Если a Ý (–×; –1)Ÿ(–1;2–2 ]Ÿ[2+2 ;+×), то
x= +2πkäarccos
. Воспользуйтесь подстановой t =
= sinx + cos x. Значения a, при оторых уравнение имеет ре-
шения, найдите из условия | t | m .
32. .33.Еслиa−0,то
x=πkä
a
r
c
c
o
s
;е
с
л
и
a=0,тоx=πkä
.
34. (2k+1).35. +
. 36.πn.37. (2k+1); (3kä1).
38. ;
. 39. (2k+1); (2k+1); (2k+1).40. (2k+1).
41. + ; +πn.42.ä + .43.arctg3+πk;arctg +πk.
44. (8k+1).45. +πk; +2πk;
+ 2πk. 46. 2πk; + 2πk.
47. +πk;–+πk;2πk.48. + ;
+ πk. 49.
×
1
2
---
π
4
---
π
2
---
π
12
------
πk
2
-- - ----
1
2
---
πk
2
-------
1
2
---
a1
–
2a3
–
-----------------
π
4
---
π
12
------
πk
7
-- - ----
π
108
----------
πk
9
-------
7π
24
-------
πk
2
------
-
π
20
------
2πn
5
-----------
3π
100
----------
2πn
25
-----------
π
12
------
5π
36
-------
πn
3
-------
21π
16
----------
11π
8
----------
π
2
---
3
2
---
1
2
---
2
π
3
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
3π
4
-------
π
4
---
π
4
---
2
2
π
4
---
a2
+
a2
-------------
-
2
πk
3
------
-
1
2
---
11
6
a2
+1
–
4a
--------------------------------------
π
4
---
π
8
---
π
4
---
πn
2
-------
π
16
------
π
3
---
πk
2
-- - ----
πk
9
-------
π
4
---
π
5
---
π
7
---
π
8
---
π
4
---
πn
2
-------
π
2
---
π
6
---
πk
2
-- -- ---
1
4
---
π
4
---
π
4
---
π
12
------
5π
12
-------
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
-------
π
2
---
(1)
n
–
Г л а в а 5. Тригонометрия
565
× arcsin
+πn.50. .51. +πn; + .52. ;
(2n+1).53.–+πk;ä +2πk.54.πk;(–1)k+1 +πk;
ä +2πk.55.–+πk;ä +πk.56. (2k+1); (2k+1).
57. –1; (2k+1)–1.58. .59. ; (2n+1).60. ;
π(2n+1); (2n+1).61. (2n+1); .62. ; (2n+1).
63. +
.64. .65. (4n–1);πn.66. (2n+1);
2πn; (4n+1).67. (2n+1);πnä arccos(sin2α).68. (2k+1);
+πk; (2k+1); (2k+1).69. .70. (2k+1);
(–1)k+1 + .71.ä +πn.72.–+πn;2πn;– +2πn;
(2n+1).73.–+πn.74. + ; + .75. +πn;
+ .76. + ;ä +πn.77.πn; + ;ä ×
×arccos – +πn.78.–+πn;
+ .79.πn; +
+.80.ä +2πn;ä +πn.81. +πn; + .82. + .
83. + .84.ä +πn.85.ä +πn.86.äarccos – +2πn.
Введите переменную t = x + и составьте уравнение относи-
тельноy=sint+cost.87. .88.
+πn.89. +πn.
90. ;– +2πn.91.
+;+;–+πn.
92. + .93.
+;+;+.94.πn;
31
–
2
-----------------
πk
3-------
3π
4-------
3π
16------- π n
4-------
πn
8-------
π
8---
π
4---
2π
3-------
π
6---
π
3---
π
4---
π
3---
π
10------
π
6---
πk
2-------
π
10------
πk
4-------
πn
2------- π
8---
2πn
5-----------
π
2---
π
8---
πn
3-------
πn
2------- π
8---
πn
4------- (1)n
–π
24------
πn
3-------
π
4---
π
4---
π
2---
π
2---
1
2---
π
2---
(–1)k π
6---
π
4---
π
14------
πk
8-------
π
16------
π
12------ π k
3-------
π
3---
π
4---
π
2---
π
4---
π
4---
π
4--- πn
2------- π
16------ πn
8-------
π
2---
(1)n
–π
24------ π n
4-------
π
4--- πn
2------- π
3---
π
4--- πn
2------- 1
2---
3
4---
π
4---
(1)n
–π
12------ π n
2-------
π
20------
πn
10-------
π
4---
π
6---
π
2---
π
12------ π n
6-------
π
8--- πn
4-------
π
4--- πn
2-------
π
3---
π
6---
2
4-------
π
4---
πn
3-------
(1)n 1+
–
π
6---
π
2---
πn
5------- π
2---
(1)n
–π
30------ π n
5------- π
16------ π n
4------- π
4---
π
4--- πn
2-------
(1)n
–π
12------ π n
2------- π
14------ 2 π n
7----------- π
6--- 2πn
3-----------
564
Ответы, указания, решения
12.arctg + πk. 13. (4k +1).14.π(2k +1); (4k –1).
15. (6kä1).16. .17.ЕслиaÝ ;1,тоx= ä
ä arcsin 2
, при остальных значениях a решений
нет. Значения a, при оторых существуют решения уравне-
ния,определитеизусловия|sinx|m1.18. +πk; + .
19. – +;+.
20.–– ; + .21. +πn;
+ .22.3⁄4.23. ; .24. +2πn.25.arctg +πk;
πk–arctg .26.πk;äarctg +πk;ä +πk.27. (4k+1).
28. +2πk.29.2πk; +2πk.30. +πn;(–1)n – +πn.
31.ЕслиaÝ(–×;–1)Ÿ(–1;2–2 ]Ÿ[2+2 ;+×),то
x = + 2πk ä arccos . Воспользуйтесь подстановой t =
=sinx + cosx. Значения a, при оторых уравнение имеет ре-
шения,найдитеизусловия|t|m .32. .33.Еслиa−0,то
x=πkä arccos
;еслиa=0,тоx=πkä .
34. (2k+1).35. + .36.πn.37. (2k+1); (3kä1).
38. ; .39. (2k+1); (2k+1); (2k+1).40. (2k+1).
41. + ; +πn.42.ä + .43.arctg3+πk;arctg +πk.
44. (8k+1).45. +πk; +2πk; +2πk.46.2πk; +2πk.
47. +πk; – +πk; 2πk. 48. + ; +πk. 49.
×
1
2---
π
4---
π
2---
π
12------
πk
2-------
1
2---
πk
2-------
1
2---
a1–
2a 3–
-----------------
π
4---
π
12------ πk
7-------
π
108
---------- π k
9------- 7π
24------- πk
2-------
π
20------ 2 π n
5----------- 3π
100
---------- 2 π n
25
-----------
π
12------
5π
36------- π n
3-------
21π
16---------- 11π
8----------
π
2---
3
2---
1
2---
2
π
3---
π
2---
π
4---
π
2---
3π
4-------
π
4--- π
4---
2
2
π
4---
a2+
a2
--------------
2πk
3-------
1
2---
116a2
+1
–
4a
--------------------------------------
π
4---
π
8---
π
4--- πn
2-------
π
16------
π
3---
πk
2------- π k
9-------
π
4---
π
5---
π
7---
π
8---
π
4--- πn
2------- π
2---
π
6--- πk
2-------
1
4---
π
4---
π
4---
π
12------
5π
12-------
π
2---
π
2---
π
4---
π
4--- πk
2------- π
2---
(1)n
–
Г л а в а 5. Тригонометрия
565
× arcsin
+ πn. 50.
. 51.
+ πn;
+
.52.;
(2n +1).53. – +πk;ä +2πk.54.πk;(–1)k+1 +πk;
ä +2πk.55. – +πk;ä +πk.56. (2k+1); (2k+1).
57.
–
1; (2k+1)–1.58.
. 59. ; (2n+1).60.
;
π(2n+1); (2n+1).61. (2n+1); .62. ; (2n+1).
63.
+
. 64. .65. (4n –1);πn.66. (2n+1);
2πn; (4n+1).67. (2n+1);πnä arccos(sin2α).68. (2k+1);
+πk; (2k+1); (2k+1).69.
. 70. (2k+1);
(–1)k + 1
+ .71.ä +πn. 72. – +πn;2πn; – +2πn;
(2n+1).73. – +πn. 74. + ;
+ .75. +πn;
+ .76. + ;ä +πn.77.πn; + ;ä×
× arccos –
+πn.78. – +πn;
+
. 79. πn;
+
+.
80.ä +2πn;ä +πn.81. +πn;
+.82.+
.
83. +
. 84.ä +πn.85.ä +πn.86.äarccos –
+ 2πn.
Введите переменную t = x +
и составьте уравнение относи-
тельноy=sint+cost.87.
. 88.
+πn.89. +πn.
90. ;
–
+ 2πn. 91.
+
;
+
;– +πn.
92. +
.
93.
+;
+
;+
.
94. πn;
31
–
2
-----------------
πk
3
------
-
3π
4
-------
3π
16
-------
πn
4
-------
πn
8
-------
π
8
---
π
4
---
2π
3
-------
π
6
---
π
3
---
π
4
---
π
3
---
π
10
------
π
6
---
πk
2
-------
π
10
------
πk
4
-- -- ---
πn
2
-------
π
8
---
2πn
5
-----------
π
2
---
π
8
---
πn
3
-------
πn
2
-------
π
8
---
πn
4
-------
(1)
n
–
π
24
------
πn
3
-------
π
4
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
1
2
---
π
2
---
(–1)k π
6
---
π
4
---
π
14
------
πk
8
-------
π
16
------
π
12
------
πk
3
------
-
π
3
---
π
4
---
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
4
---
πn
2
-- - ----
π
16
------
πn
8
-------
π
2
---
(1)n
–
π
24
------
πn
4
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
3
---
π
4
---
πn
2
-------
1
2
---
3
4
---
π
4
---
(1)n
–
π
12
------
πn
2
-------
π
20
------
πn
10
-------
π
4
---
π
6
---
π
2
---
π
12
------
πn
6
-------
π
8
---
πn
4
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
3
---
π
6
---
2
4
-------
π
4
---
πn
3
-------
(1)n 1
+
–
π
6
---
π
2
---
πn
5
-------
π
2
---
(1)n
–
π
30
------
πn
5
-------
π
16
------
πn
4
-------
π
4
---
π
4
---
πn
2
-------
(1)
n
–
π
12
------
πn
2
-------
π
14
------
2πn
7
-----------
π
6
---
2πn
3
-----------
566
Ответы, указания, решения
–
+πn. 95. ä arccos (
–
1)+πk.96. ; + .97. +
+,
n−3l.98.
+2πn.99. – +πk;– +2πk;– +2πk.
100.
+ πk. 101.
+ ; (–1)k
+ .102. ;
.
103.
+ ;– +πk.104. – +πk;
+ .105. +
+.
106. – +πk;
+
.
107. – +2πk;
+ πk.
108.
+πk; +πk.109. –
+ ; +πk.110. – +πk;
πk.111. + ;πk.112. (–1+
)+πn;– (1+
)+πn.
113.
+.114.–;
–
;–;; .115. ; π; 2π;
.
116. –; ;
,k=0;ä1;ä2;ä3.117.
,
k = –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... Возможные значения k найдите из усло-
вия существования действительных орней вадратноо уравнения.
118.
;
,
n — любое целое число, m — любое целое число, роме ä1 и 0.
См . уазание упр. 117. 119.
,
k— любое целое неотрицательное число. См. уазание
упр. 117.
120. Исходное уравнение можно записать в виде
cos
+
cos
+
=0.
Решая уравнение cos
+
= 0 методом введения
дополнительноо ула, имеем
sin
+x = (4k+1).
Далее, оценивая левую и правую части последнео уравне-
π
4
---
1
2
---
3
πk
2
-------
π
8
---
πk
4
-------
π
2
---
2πn
3
-----------
4π
3
-------
π
4
---
π
3
---
π
6
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
-- -- ---
π
30
------
πk
5
-------
πk
8
------
-
2πk
9
----------
-
3π
8
-------
πk
2
-------
π
4
---
π
4
---
(1)n
–
π
12
------
πk
2
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
3π
8
-------
πk
2
------
-
π
2
---
(1)k
–
π
6
---
(1)k
–
π
6
---
π
2
---
π
12
------
πk
2
------
-
π
6
---
π
4
---
π
4
---
πk
2
------
-
π
4
---
(1)n
–
π
4
---
(1)n
–
1
2
---
7π
4
-------
3π
4
-------
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
5π
2
-------
π
2
---
π
2
---
2πk
11
----------
-
5ä252π2k1
+
()
+
–
2
---------------------------------------------------------------
4m1
+
()
π
ä4m1
+
()
2π2 240
–
12
------------------------------------------------------------------------------------------
4n1
+
()
–
πä4n1
+
()
2π2 240
+
12
------------------------------------------------------------------------------------------
14
k1
+
()
π
ä 124
k1
+
()
π
+
+
2
-----------------------------------------------------------------------------------------
π
4
---
cosx sinx
+
2
----------------------------------
π
4
---
cosx sinx
–
2
---------------------------------
π
4
---
cosx sinx
+
2
----------------------------------
2
π
4
---
π
2
---
Г л а в а 5. Тригонометрия
567
ния, залючаем, что для всех k Ý Z оно не имеет решений.
Аналоично получаем, что не имеет решений и уравнение
cos +
=0.
121.2πkäφ; (4kä1)åφ;φ= arcsin ,деберутсяли-
бо оба верхних, либо оба нижних знаа. См. решение упр. 120.
122. arcctg k + + πn;
arcsin
+πn,l−–1,l−0.
См. решение упр. 120. 123. – +;
–π+1;– + ;– +
+;1; +.124. – +2πn. 125. а)0; ; π; б)πn; + 2πn.
126. arctg + πn.
127. + 2πn. Данное уравнение эвивалентно уравне-
ниюsinx= ,орниоторооx= +2πnиx= +2πn;
та а 2π — наименьшее общее ратное периодов уравнения
и неравенства, то провере подлежат значения и . Под-
ставляя в заданное неравенство, получаем числовое неравен-
ство 2
> .Но
=1,cos >0,cos3+
+ sin 3 = cos – 3 < 0, т. е. полученное числовое нера-
венство неверно. Аналоично убеждаемся, что значение
удовлетворяет заданному неравенству.
128. + πk. См. решение упр. 127. 129. + πk. . См.
решение упр. 127. 130. – +2πk. См. решение упр. 127.
π
4--- cosx sinx
–
2
---------------------------------
π
2---
1
2---
9
16------
1
2---
1
4---
(1)n
–
2
---------------
4
4l 1+
----------------
5π
4------- 3
2---
3π
4------- 3
2--- π
4---
3
2--- π
4--- 3
2---
π
6---
π
6---
π
6---
7
2---
3π
4-------
2
2-------
π
4---
3π
4-------
π
4--- 3π
4-------
π
4---
cos 7π
4-------
cos3 sin3
+
---------------------------------- 2
cos π
2---
2cos π
2---
7π
4-------
2
π
4---
3π
4-------
3π
8-------
5π
8-------
3π
4-------
566
Ответы, указания, решения
–+πn.95.ä arccos( –1)+πk.96. ; + .97. +
+,
n−3l.98. +2πn.99.–+πk;– +2πk;– +2πk.
100. +πk. 101. + ;(–1)k + .102. ; .
103. + ;– +πk.104.–+πk;
+ .105. +
+.106. – +πk; + . 107. – +2πk;
+ πk.
108.
+πk; +πk.109.– + ; +πk.110.–+πk;
πk.111. + ;πk.112. (–1+
)+πn;– (1+
)+πn.
113. + .114.–;–;–;;.115. ; π; 2π; .
116.–;; ,k=0;ä1;ä2;ä3.117.
,
k = –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... Возможные значения k найдите из усло-
вия существования действительных орней вадратноо уравнения.
118.
;
,
n — любое целое число, m — любое целое число, роме ä1 и 0.
См. уазание упр. 117. 119.
,
k— любое целое неотрицательное число. См. уазание
упр. 117.
120. Исходное уравнение можно записать в виде
cos +
cos +
=0.
Решая уравнение cos +
= 0 методом введения
дополнительноо ула, имеем sin + x = (4k + 1).
Далее, оценивая левую и правую части последнео уравне-
π
4---
1
2---
3
πk
2------- π
8--- πk
4-------
π
2---
2πn
3-----------
4π
3-------
π
4---
π
3---
π
6---
π
4---
π
4--- πk
2-------
π
30------ π k
5-------
πk
8------- 2 πk
9-----------
3π
8------- π k
2------- π
4---
π
4---
(1)n
–π
12------ π k
2-------
π
4---
πn
2-------
π
4---
3π
8------- π k
2-------
π
2---
(1)k
–π
6---
(1)k
–π
6---
π
2---
π
12------ π k
2------- π
6---
π
4---
π
4--- πk
2-------
π
4---
(1)n
–
π
4--- (1)n
–
1
2--- 7π
4-------
3π
4------- π
2--- π
4--- π
4--- π
2---
π
2---
5π
2-------
π
2--- π
2--- 2πk
11-----------
5ä25 2π2k 1+
()
+
–
2
---------------------------------------------------------------
4m 1+
()
π
ä4m1+
()
2π2 240
–
12
------------------------------------------------------------------------------------------ 4 n 1+
()
–
πä4n1+
()
2π2 240
+
12
------------------------------------------------------------------------------------------
14
k1+
()
π
ä 124k 1+
()
π
+
+
2
-----------------------------------------------------------------------------------------
π
4--- cosx sinx
+
2
----------------------------------
π
4--- cosx sinx
–
2
---------------------------------
π
4--- cosx sinx
+
2
----------------------------------
2
π
4---
π
2---
Г л а в а 5. Тригонометрия
567
ния, залючаем, что для всех k Ý Z оно не имеет решений.
Аналоично получаем, что не имее т реше ний и уравне ние
cos
+
=0.
121.2πkäφ; (4kä1)åφ;φ= arcsin
, де берутся ли-
бо оба верхних, либо оба нижних знаа. См. решение упр. 120.
122. arcctg k +
+ πn;
arcsin
+πn,l−–1,l−0.
См. решение упр. 120 . 123. – +;
–
π+1;–+;–+
+;1
; +.124. – +2πn. 125.а)0; ;π;б)πn; +2πn.
126. arctg
+ πn.
127.
+ 2πn. Данное уравне ние эвивалентно уравне-
ниюsinx=
, орни отороо x =
+2πnиx=
+ 2πn;
т а а 2π — на именьшее общее ратное периодов уравнения
и неравенства, то провере подлежат значения
и
. Под-
ставляя
в заданное нераве нство, получаем числовое неравен-
ство 2
>
.Но
= 1,cos
> 0, cos3+
+sin3=
cos
–
3 < 0, т. е . полученное числовое нера-
венство неверно. Аналоично убеждаемся, что значе ние
удовлетворяет заданному неравенству.
128.
+ πk. См. решение упр. 127. 129.
+πk..См.
решение упр. 127. 130. – +
2
πk. См. решение упр. 127.
π
4
---
cosx sinx
–
2
---------------------------------
π
2
---
1
2
---
9
16
------
1
2
---
1
4
---
(1)n
–
2
---------------
4
4l1
+
----------------
5π
4
-------
3
2
---
3π
4
-------
3
2
---
π
4
---
3
2
---
π
4
---
3
2
---
π
6
---
π
6
---
π
6
---
7
2
---
3π
4
-------
2
2
-------
π
4
---
3π
4
-------
π
4
---
3π
4
-------
π
4
---
cos
7π
4
-------
cos3 sin3
+
----------------------------------
2
cos
π
2
---
2
cos
π
2
---
7π
4
-------
2
π
4
---
3π
4
-------
3π
8
-------
5π
8
-- -- ---
3π
4
-------
568
Ответы, указания, решения
131. (4k +1).132. (4k +1); (4n +1) ; (4k –1);
(4n–1) .133. (4k+1).
134. (6m+1); (6k+1); (6m –1); (6k–1).
Введем переменные u = tg
иv=tg
. Тода данное уравне-
ние примет вид
+
–
+
=
или, после упрощений, u2 + v2 – 8uv + 9u2v2 + 1 = 0; последнее
равносильно уравнению (u – v)2 + (3uv – 1)2 = 0. Возвращаясь
исходным переменным, име ем
или
отуда находим решения заданноо уравнения.
135. (4k+1); (4l+1).136. (4k–1); (4l–1);
(4m–1) .137. (8k+1).138.
+πm; +πl .139.(–1;2);
(–1; –2). 140.
+πn;– –πn;n=0,1,2,....141.См.
решение примера 10 на с. 139, 140. 142.
–
;–3;–1;1;3;
.
143.xÝR\– ;
–
1; 1;
;
(20m n m 33);
(24mnm39) .
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
x
2
---
y
2
---
1u2
–
1u2
+
-----------------
1v2
–
1v2
+
----------------
1u2
–
()
1v2
–
()
1u2
+
()
1v2
+
()
--------------------------------------------
4uv
1u2
+
()
1v2
+
()
-------------------------------------------
-
3
2
---
tg=
,
tg=
x
2
---
3
3
-------
y
2
---
3
3
-------
tg=–
,
tg=–
,
x
2
---
3
3
-------
y
2
---
3
3
-------
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
5π
4
-------
π
4
---
7
2
---
7
2
---
3
4
3
4
1
–1
2
1
n
+
–
21
-----------------------------------------
1
–1
2
1
n
+
+
21
-----------------------------------------
Г л а в а 5. Тригонометрия
569
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
1. –πk–;+πk+.2.πmä ;
πnä
;
πm+ä;
πn+ ä
,
д
е
φ = arcsin0,535, ψ =
= arcsin 0,185 и в аждом из решений берутся либо оба верх-
них,либообанижнихзнаа.3. πk+πn+ ; –πn+ ;
πk+πn– ;πk–πn– .4. +πk+πn; +πk–πn ;
+πk+πn; +πk–πn ; – +πk+πn;– +πk–πn ;
–+πk–πn;– +πk+πn.5. +2πl; +2πp;
–+2πl;– +2πp .6.(2πm;2πn); (3mä1); (3nå1) ;
äφ+πm; åφ+πn ; – äφ+πm;– åφ+πn ,де
φ = arccos
и берутся либо оба верхних, либо оба нижних
знаа.7.2πk+; + ;–+2πk; – ;–+2πk;
– ; +2πk; – .8.(2πkäφ;2πläψ);(2πk+
+πäφ;2πl+πåψ),деφ=arctg ,ψ=arcsin
и берут-
ся либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 9. (2πn; 2πk + π).
10. (πk; 2πn); arccos + 2πk; – + 2πn ; –arccos + 2πk;
+2πn.11.π+2πk; +πn; – +2πk;– +πn;
arctg2+ +2πk;arctg2+πn ; arctg +πk;arctg +πn .
πn
2-------
π
4--- πn
2-------
π
4---
φψ
+
2--------------
φψ
–
2--------------
π
2--- φψ
–
2--------------
π
2--- φψ
+
2--------------
π
3--- πk
2-------
π
3---
π
3---
π
3---
7π
24-------
π
24------
π
24------
7π
24-------
π
24------
7π
24-------
7π
24-------
π
24------
π
2---
π
6---
π
6---
π
2---
2π
3-------
2π
3-------
π
6---
π
6---
π
6---
π
6---
31
1
–
4
-------------------------
π
4--- 4πl
3--------- π
6---
π
4---
4πl
3--------- π
2---
3π
4-------
4πl
3--------- π
6---
3π
4-------
4πl
3--------- π
6---
500
4
5
---------------
500
4
5
---------------
1
7---
2π
3-------
1
7---
2π
3-------
π
2---
π
4---
π
4---
π
2---
1
2---
1
2---
568
Ответы, указания, решения
131. (4k +1).132. (4k +1); (4n +1) ; (4k –1);
(4n–1) .133. (4k+1).
134. (6m +1); (6k +1); (6m –1); (6k –1).
Введем переменные u = tg и v = tg . Тода данное уравне-
ние примет вид
+
–
+
=
или, после упрощений, u2 + v2 – 8uv + 9u2v2 + 1 = 0; последнее
равносильно уравнению (u – v)2 + (3uv – 1)2 = 0. Возвращаясь
исходным переменным, имеем
или
отуда находим решения заданноо уравнения.
135. (4k+1); (4l+1).136. (4k–1); (4l–1);
(4m–1) .137. (8k+1).138. +πm; +πl .139.(–1;2);
(–1;–2).140. +πn;– –πn;n=0,1,2,....141.См.
решение примера 10 на с. 139, 140. 142. – ; –3; –1; 1; 3; .
143.xÝR\ – ;–1;1; ;
(20m n m 33);
(24mnm39) .
π
2---
π
2---
π
2---
π
2---
π
2---
π
4---
π
3---
π
3---
π
3---
π
3---
x
2---
y
2---
1u2
–
1u2
+
----------------- 1 v2
–
1v2
+
---------------- 1 u2
–
()
1v2
–
()
1u2
+
()
1v2
+
()
--------------------------------------------
4uv
1u2
+
()
1v2
+
()
-------------------------------------------- 3
2---
tg=,
tg=
x
2--- 3
3-------
y
2--- 3
3-------
tg=–,
tg=–,
x
2---
3
3-------
y
2---
3
3-------
π
2---
π
2---
π
2---
π
2---
π
2---
π
4---
π
2---
π
2---
5π
4-------
π
4---
7
2---
7
2---
34
34
1–12
1
n
+
–
21
-----------------------------------------
1–1
2
1
n
+
+
21
-----------------------------------------
Г л а в а 5. Тригонометрия
569
§ 26. Системы тригонометрических уравнений
1.
–
πk– ;
+πk+
.2.πmä
;
πnä
;
πm+ ä
;
πn+ ä
,
д
е
φ = arcsin 0,535, ψ =
= arcsin 0,185 и в аждом из решений берутся либо оба верх-
них, либо оба нижних знаа. 3. πk + πn + ;
–
πn+
;
πk+πn– ;πk–πn–
.4.
+πk+πn;
+πk–πn ;
+πk+πn;
+πk–πn ; – +πk+πn;– +πk–πn ;
–
+πk –πn;–
+πk+πn.5.
+2πl; +2πp ;
–
+2πl;– +2πp .6.(2πm;2πn); (3mä1); (3nå1) ;
äφ+πm; åφ+πn ; – äφ+πm;– åφ+πn ,де
φ = arccos
и берутся либо оба верхних , либо оба нижних
знаа. 7. 2πk + ;
+
; – +2πk;
–
; – +2πk;
–
;
+ 2πk;
–
. 8.(2πkäφ;2πläψ);(2πk+
+πäφ;2πl+πåψ),деφ=arctg
,ψ=arcsin
и берут-
ся либо оба верхних, либо оба нижних знаа. 9 . (2πn; 2πk + π).
10. (πk; 2πn); arccos + 2πk; – + 2πn ; –arccos + 2πk;
+2πn.11.π+2πk; +πn; – +2πk;– +πn;
arctg2+ +2πk;arctg2+πn ; arctg +πk;arctg +πn .
πn
2
-------
π
4
---
πn
2
-------
π
4
---
φψ
+
2
--------------
φψ
–
2
--------------
π
2
---
φψ
–
2
--------------
π
2
---
φψ
+
2
--------------
π
3
---
πk
2
------
-
π
3
---
π
3
---
π
3
---
7π
24
-------
π
24
------
π
24
------
7π
24
-- -- ---
π
24
------
7π
24
-------
7π
24
-------
π
24
------
π
2
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
2π
3
-------
2π
3
-------
π
6
---
π
6
---
π
6
---
π
6
---
31
1
–
4
-------------------------
π
4
---
4πl
3
---------
π
6
---
π
4
---
4πl
3
---------
π
2
---
3π
4
-- - ----
4πl
3
---------
π
6
---
3π
4
-------
4πl
3
---------
π
6
---
500
4
5
---------------
500
4
5
---------------
1
7
---
2π
3
-------
1
7
---
2π
3
-------
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
1
2
---
1
2
---
570
Ответы, указания, решения
12.
+πk;πn ;
+2πk+πn;– +πn ;
–
arctg 2 +
+2πk+πn;–arctg2+πn .13.
–
; – arctg
+
+.
14. (–1)k + ; – arctg
+
. 15. ä +2πn;
+πm .16.
+πn;ä +2πn .17. ä +2πn;
+πk .18.
+ πk;
. 19. ä +2πk;
+
.
20. (2n+1);π(2p+1) .21.
arcsin +
arcsin +
+(k+n) ;
arcsin –
arcsin + (k – n).
22.
×
×(2k+1); +πl; +πm .23. φ+πn;
–
φ–πn ,деφ=
= arctg
. 24. (6k+(–1)k); (6lä1) .25.
+ πk;
arctg2+πl;arctg3+πm ; πk+arctg2; +πl;πm+arctg3 ,
де k + l + m = 0. Вычислив значение таненса от обеих час-
тей первоо уравнения, сведите систему рациональной отно-
сительно tg x, tg y, tg z. 26. arctg 2
ä πk; arctg
ä πl;
arctg
äπm ,деk+l+m=0,еслиберутсяверхниезнаи,
и k+l+m=2,еслиберутсянижниезнаи. См. уазание
упр. 25 . 27.
;
;
;
;
;
;
;
.
28.
+ πk;
+πk; πn–
;πn–
. 29.
–
;
π
2
---
3π
4
-- -- ---
π
4
---
π
2
---
(1)n 1
+
–
π
8
---
nπ
2
-------
1
5
---
2
2
-------
πk
5
-------
π
9
---
πk
3
------
-
1
7
---
3
2
-------
πn
7
-------
3π
4
-------
(1)m
–
π
6
---
(1)n
–
π
3
---
π
4
---
π
6
---
(1)k
–
π
6
---
π
3
---
2
π
6
---
π
18
------
πn
3
-------
π
4
---
1
–
()k
2
--------------
-
2
5
---
(1)n
–
2
---------------
4
5
---
π
2
---
1
–
()k
2
---------------
2
5
---
(1)n
–
2
---------------
4
5
---
π
2
---
π
4
---
π
2
---
π
2
---
π
3
---
7ä 193
–
83
----------------------------
π
6
---
π
3
---
π
4
---
π
4
---
5
5
5
3
-- -- ---
5π
6
-------
7π
6
-------
π
6
---
11π
6
----------
7π
6
-------
7π
6
-- -- ---
11π
6
----------
11π
6
----------
7π
36
-------
5π
36
-------
11π
36
----------
13π
36
----------
5π
24
-- - ----
πk
2
-------
Г л а в а 5. Тригонометрия
571
– .30.–+
arcsin
+;+
×
× arcsin
+ .31. ;– ; – ; ;(1;0);(–1;0);
(0;1);(0;–1).32.Еслиa=2πl,то ä +πk+πl;å –πk+πl ;
еслиa=π(2l+1),то ä +
+ πk;
–πkå ;
если a − πm, то решений нет.
§ 27. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
1.–3tg1.2.–.3.–; .4. .5.ЕслиaÝ[0;π],тоx=
=cosa;еслиaÝ[–2π;0),тоx=cos ;еслиaÝ(–×;2π)Ÿ
Ÿ (π; +×), то решений нет. При решении вадратноо уравне-
ния относительно z = arccos x учтите, что 0 m arccos x m π.
6. .7.–.8. .9.1.10.0;1.11.3⁄4.12.–2.13.0;ä .
14.0;ä1.15. .16. .17.0;ä .18.0;ä .19. ;1.20.[0;1].
21.[–1;0].22.(0;1].23. ;1 .24.[0;1].25.[–1;1].
26.[0;+×).27.(–1;1).28.(0;1).29.ЕслиaÝ – ; ,то
x=2a
, при остальных значениях a решений нет. Об-
ласть допустимых значений a найдите из условия |2 arcsin a| m
m .30.ЕслиaÝ 0; ,тоx=
, при остальных зна-
чениях a решений нет. См. уазание упр. 29.
π
24------ π k
2-------
π
6---
1–()k
2
---------------
233
–
6
--------------------- π k
2------- π
6---
1–()k
2---------------
233
–
6
--------------------- π k
2-------
1
2--- 1
2---
1
2--- 1
2---
π
3---
π
3---
π
6--- π2l 1+
()
2
-------------------------
π2l 1+
()
2
-------------------------
π
6---
3
2---
1
2--- 3
2-------
3
a
2---
2
3
5--- 1
2---
2
2-------
1
2---
3
2-------
1
2---
1
2---
1
2---
2
2-------
2
2------- 2
2-------
1a2
–
π
2---
1
2---
14a2
–
570
Ответы, указания, решения
12. +πk;πn ; +2πk+πn;– +πn ; –arctg2+
+2πk+πn;–arctg2+πn .13.
–;–arctg+
+.
14. (–1)k + ;– arctg + .15. ä +2πn;
+πm .16.
+πn;ä +2πn .17. ä +2πn;
+πk.18. +πk; .19. ä +2πk; + .
20. (2n+1);π(2p+1) .21.
arcsin +
arcsin +
+(k+n) ;
arcsin –
arcsin + (k – n).22. ×
×(2k+1); +πl; +πm .23. φ+πn; –φ–πn ,деφ=
= arctg
.24. (6k+(–1)k); (6lä1) .25. +πk;
arctg2+πl;arctg3+πm ; πk+arctg2; +πl;πm+arctg3 ,
де k + l + m = 0. Вычислив значение таненса от обеих час-
тей первоо уравнения, сведите систему рациональной отно-
сительноtgx,tgy,tgz.26. arctg2 äπk;arctg äπl;
arctg äπm ,деk+l+m=0,еслиберутсяверхниезнаи,
иk+l+m=2,еслиберутсянижниезнаи.См.уазание
упр.25. 27. ; ; ;
;;;
;
.
28. +πk; +πk;πn– ;πn– .29. – ;
π
2---
3π
4-------
π
4---
π
2---
(1)n 1+
–
π
8--- nπ
2------- 1
5---
2
2-------
πk
5-------
π
9--- πk
3------- 1
7---
3
2------- π n
7-------
3π
4-------
(1)m
–π
6---
(1)n
–π
3---
π
4---
π
6---
(1)k
–π
6---
π
3---
2
π
6---
π
18------ πn
3-------
π
4---
1–()k
2---------------
2
5--- (1)n
–
2
---------------
4
5---
π
2--- 1–()k
2---------------
2
5--- (1)n
–
2
---------------
4
5---
π
2---
π
4---
π
2---
π
2---
π
3---
7ä 193
–
83
----------------------------
π
6---
π
3---
π
4---
π
4---
5
5
5
3-------
5π
6------- 7π
6-------
π
6--- 11π
6----------
7π
6------- 7π
6-------
11π
6---------- 11π
6----------
7π
36-------
5π
36-------
11π
36----------
13π
36----------
5π
24------- π k
2-------
Г л а в а 5. Тригонометрия
571
–
. 30.
–
+
arcsin
+
;+
×
× arcsin
+
. 31.
;–;
–
; ;(1;0);(–1;0);
(0;1);(0;–1).32.Еслиa=2πl,то ä +πk+πl;å –πk+πl ;
еслиa=π(2l+1),то ä +
+ πk;
–
πkå
;
если a − πm, то решений нет.
§ 27. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
1.–3tg1.2.–.
3. –;
.
4. .5.ЕслиaÝ[0;π],тоx=
=cosa;еслиaÝ[–2π;0),тоx=cos ;еслиaÝ(–×;2π)Ÿ
Ÿ (π; +×), то решений нет. При решении вадратноо уравне-
ния относительно z = arccos x учтите, что 0 m arccos x m π.
6. .7. –.
8. .9.1.10.0;1.11.3⁄4.12. –2.13.0;ä .
14.0;ä1.15. .16. .17.0;ä .18.0;ä .19. ;1.20.[0;1].
21. [–1; 0]. 22 . (0; 1]. 23.
; 1 .24.[0;1].25.[–1;1].
26.[0;+×).27.(–1;1).28.(0;1).29.ЕслиaÝ – ;
,
т
о
x=2a
, при остальных значе ниях a решений нет. Об-
ласть допустимых значений a найдите из условия |2 arcsin a| m
m .30.ЕслиaÝ 0; ,тоx=
, при остальных зна-
чениях a решений нет. См. уазание упр. 29 .
π
24
------
πk
2
-------
π
6
---
1
–
()k
2
--------------
-
233
–
6
---------------------
πk
2
------
-
π
6
---
1
–
()k
2
---------------
233
–
6
---------------------
πk
2
-------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
π
3
---
π
3
---
π
6
---
π2l 1
+
()
2
------------------------
-
π2l 1
+
()
2
-------------------------
π
6
---
3
2
---
1
2
---
3
2
-------
3
a
2
---
2
3
5
---
1
2
---
2
2
-------
1
2
---
3
2
-------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
2
2
-------
2
2
-------
2
2
-------
1a2
–
π
2
---
1
2
---
14a2
–
572
Ответы, указания, решения
§ 28. Тригонометрические неравенства
1.
–
+2πn;
+2πn . 2. arctg2+ πn;
+πn.
3. (πn; arcctg (–3) + πn). 4. 1 –
+2πn;1– +2πn .
5.
–
;–
Ÿ–;0Ÿ0
;
Ÿ
Ÿ
;
,k=0,1,2,....6.
;+2πn.
7. 3⁄4. Воспользуйтесь неравенством | sin x | m 1. 8.
–
+2πn;
+2πn . 9.
+ πn;
+πn Ÿ
+
πn; π(n+1).
10.
–
+πn; –arctg 2 + πn
Ÿ –+πn;
+πn.
11.
–
arcsin + πn; πn
Ÿ
+ πn;
+ arcsin
.
12. (12k +1); (12k +3) Ÿ (
4
k+2);(4k+3).
13.
+ 2πk;
+2πk .14.
+ 2πk;
+2πk .
15.(π+2πk;π+φ+2πk]Ÿ[2πk–φ;2πk),деφ=arcsin .
16.
+2πk; +2πk Ÿ
+
2
πk;
+2πk .17.
+ πk;
+πk .18.
–
+
2
πk;– +2πk и +2πk.19.
+
;
+
Ÿ
+;+.
20. πn;
+πn Ÿ
Ÿ
+ πn;
+πn.21.
+;
+
Ÿ
+
;
π
6
---
7π
6
-------
π
2
---
2π
3
-------
π
3
---
13π
6
----------
2πk
+
7π
6
-------
2πk
+
π
6
---
π
6
---
7π
6
-------
2πk
+
13π
6
----------
2πk
+
5π
4
-------
5π
4
-------
π
2
---
π
2
---
π
4
---
3π
4
-- - ----
3π
4
-------
π
2
---
π
4
---
π
4
---
1
2
---
2
3
---
π
2
---
π
2
---
1
2
---
2
3
---
π
6
---
π
6
---
π
2
---
π
2
---
2π
3
-------
5π
3
-------
7π
6
-------
11π
6
----------
1
3
---
π
6
---
π
2
---
π
2
---
5π
6
-------
π
6
---
π
3
---
5π
6
-------
π
6
---
π
2
---
π
6
---
2πk
3
----------
-
7π
18
-------
2πn
3
-----------
π
2
---
2πn
3
-----------
11π
18
----------
2πn
3
-----------
π
6
---
π
2
---
5π
6
-------
πn
2
-------
π
8
---
πn
2
-- - ----
π
4
---
πn
2
-- -- ---
π
4
---
Г л а в а 5. Тригонометрия
573
+ .22.
+ ; (n+1)+ .23. +2πk;
+2πk и– +2πk.24. –+πn;πn Ÿ +πn; +πn .
25. +2πn; +2πn Ÿ(–π+2πn;2πn).
§ 29. Неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции
1.[–1;1].2.[–1;1].3. ;1 .4. –1; .5. –;+× .
6.(–×;ctg2).7.(–×;tg1).8.3⁄4.9.(–×;+×).10. –1;cos .
11.[–1;0).12.(1;+×).13. 0; .14. –1;– Ÿ ;
1.
§ 30. Доказательство
тригонометрических неравенств
8. Введите вспомоательный уол и используйте неравен-
ство |sin x| m 1.
9. Представьте выражение, подлежащее оцене, в виде
(1–cos2x)+ sin2x+ (1+cos2x)_
_
+[
(
c–a)cos2x+bsin2x].
Далее используйте неравенство, доазанное в упр. 8.
10. Представьте левую часть в виде фунций половинноо
арумента. 11. Примените способ, использованный при реше-
нии примера 2 на с. 156, 157. 12. См. уазание упр. 11.
14. Исходное неравенство эвивалентно следующему:
m.
πn
2------- 3π
8-------
πn
2------- 5 π
24------- π
2---
π
24------
π
6---
5π
6-------
π
2---
π
4---
π
4---
π
2---
3π
4-------
9π
4-------
1
4---
3
2-------
3
3-------
1
2---
1
2---
2
2-------
2
2-------
a
2---
b
2---
c
2---
ac
+
2------------- 1
2---
cosα cosβ cosγ
++
2
------------------------------------------------------ 3
4---
572
Ответы, указания, решения
§ 28. Тригонометрические неравенства
1.–+2πn; +2πn.2.arctg2+πn; +πn.
3.(πn; arcctg(–3)+ πn).4. 1– +2πn;1– +2πn .
5.–
;–
Ÿ–;0Ÿ0;Ÿ
Ÿ
;
,k=0,1,2,....6. ; +2πn .
7. 3⁄4. Воспользуйтесь неравенством | sin x | m 1. 8. – +2πn;
+2πn.9. +πn; +πn Ÿ
+
πn;π(n+1).
10.–+πn;–arctg2+πn Ÿ –+πn; +πn.
11.– arcsin +πn;πn Ÿ +πn; + arcsin .
12. (12k +1); (12k +3) Ÿ (
4
k+2); (4k+3).
13.
+2πk; +2πk . 14.
+2πk; +2πk .
15.(π+2πk;π+φ+2πk]Ÿ[2πk–φ;2πk),деφ=arcsin .
16. +2πk; +2πk Ÿ +2
πk; +2πk .17. +πk;
+πk .18. –+2πk;– +2πk и +2πk.19. + ;
+
Ÿ +;+.20.πn;+πnŸ
Ÿ +πn; +πn.21.
+;+Ÿ
+;
π
6---
7π
6-------
π
2---
2π
3-------
π
3---
13π
6---------- 2πk
+
7π
6------- 2πk
+
π
6---
π
6---
7π
6------- 2πk
+
13π
6---------- 2πk
+
5π
4------- 5 π
4-------
π
2---
π
2---
π
4---
3π
4-------
3π
4-------
π
2---
π
4---
π
4---
1
2---
2
3---
π
2---
π
2--- 1
2---
2
3---
π
6---
π
6---
π
2---
π
2---
2π
3-------
5π
3-------
7π
6-------
11π
6----------
1
3---
π
6---
π
2---
π
2---
5π
6-------
π
6---
π
3---
5π
6-------
π
6---
π
2---
π
6--- 2πk
3-----------
7π
18------- 2π n
3-----------
π
2--- 2πn
3----------- 11π
18---------- 2π n
3-----------
π
6---
π
2---
5π
6-------
πn
2------- π
8--- πn
2------- π
4---
πn
2------- π
4---
Г л а в а 5. Тригонометрия
573
+
. 22.
+ ; (n+1)+
. 23.
+ 2πk;
+2πk и– +2πk.24.
–
+πn; πn Ÿ
+
πn; +πn .
25.
+ 2πn;
+2πn Ÿ(–π+2πn;2πn).
§ 29. Неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции
1.[–1;1].2.[–1;1].3. ;1 .4.
–1;
.5.
–;
+
×.
6. (–×; ctg 2). 7. (–×; tg 1). 8. 3⁄4. 9. (–×; +×). 10.
–1;cos
.
11. [–1; 0). 12. (1; +×). 13. 0; . 14.
–1;–
Ÿ
;
1
.
§ 30. Доказательство
тригонометрических неравенств
8. Введите вспомоательный уол и используйте неравен-
ство |sin x| m 1.
9. Представьте выражение, подлежащее оцене , в виде
(1–cos2x)+ sin2x+ (1+cos2x)_
_
+
[
(
c–a)cos2x+bsin2x].
Далее используйте неравенство, доазанное в упр. 8 .
10. Представ ьте левую часть в в иде фунций половинноо
арумента. 11 . Примените способ, использованный при реше-
нии примера 2 на с. 156, 157. 12 . См. уазание упр. 11 .
14. Исходное неравенство эвивалентно следующему:
m.
πn
2
-------
3π
8
-------
πn
2
-- -- ---
5π
24
-------
π
2
---
π
24
------
π
6
---
5π
6
-------
π
2
---
π
4
---
π
4
---
π
2
---
3π
4
-------
9π
4
-------
1
4
---
3
2
-------
3
3
-------
1
2
---
1
2
---
2
2
-------
2
2
-------
a
2
---
b
2
---
c
2
---
ac
+
2
-------------
1
2
---
cosα cosβ cosγ
++
2
------------------------------------------------------
3
4
---
574
Ответы, указания, решения
Учитывая, что cos β + cosγ = 2cos
cos
, а затем ис-
пользуя условие и формулы приведения, получаем
cosα+cosβ+cosγmcosα+2sin .
Та а cos α = 1 – 2 sin2 , то задача сводится отысанию
наибольшео значения фунции 1 – 2 sin2 + 2 sin . Выде-
ляя полный вадрат, имеем 1 + – 2 sin –
m.И
т
а
,
cos α + cos β + cos γ m , отуда следует справедливость исход-
ноо неравенства.
20. Оцените разность cos x – 1
–
, используя форму-
лу 1 – cos x = 2 sin2 . 21. Используйте результат примера 3
на с. 158, 159. 22. См. уазание упр. 20.
Глава 6. Комплексные числа
§ 31. Действия с комплексными числами
1.cos0+isin0.2.3(cosπ+isinπ).3.cos +isin . 4.
×
× cos
+isin
.
5.
cos
+ isin
.
6.2cos +
+isin
. 7. 5 cos –arccos
+ i sin –arccos
. 8.5c
o
sπ+
+ arccos
+ isin π +arccos
. 9.cos
+ isin
.
10. cos
+α +isin
+α.11.–.
12. ä(1 + i).
βγ
+
2
------------
βγ
–
2
------------
α
2
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1
2
---
α
2
---
1
2
---
23
2
---
3
2
---
x2
2
------
x
2
---
π
2
---
π
2
---
2
π
4
---
π
4
---
2
3π
4
-- - ----
3π
4
-------
π
3
---
π
3
---
3
5
---
3
5
---
3
5
---
3
5
---
2π
3
-------
2π
3
-------
3π
2
-- - ----
3π
2
-- -- ---
1
250
--------
-
Г л а в а 6. Комплексные числа
575
13.ä2(1–i).14. cos πk+
+isin πk+
+,
k=0,1.15.ä .16.ä [ +1–( –1)i],
ä [–1+(+1
)
i].17.cos +isin ,cos +isin ,
cos +isin ,cos +isin .18. cos
+
+isin
,k=0,1,...,6.19.cos +isin ,
k =0,1,2.
§ 32. Геометрическое изображение
множеств комплексных чисел,
удовлетворяющих заданным условиям
1. Оружность единичноо радиуса с центром в начале о-
ординат. 2. Положительная полуось Ox, влючающая точу O.
3. Луч, выходящий из начала оординат (без точи O), состав-
ляющий с осью Ox уол . 4. Внутренняя часть ольца, ора-
ниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4
с центром в начале оординат. 5. Множество всех точе, лежа-
щих вне оружности единичноо радиуса с центром в точе
; 0 . 6. Множество всех точе, лежащих внутри оруж-
ности радиуса
с центром в начале оординат. 7. Ось Oy.
8. Прямая y = 2x + . 9. Полуплосость, лежащая выше пря-
мой y = – . 10. Множество всех точе, лежащих внутри оль-
ца, ораниченноо онцентричесими оружностями радиу-
сов 1 и 4 (влючая оружности) с центром в точе (0; –1).
11. Прямая y = –x. 12. Множество всех точе прямоуольниа
5
arcsin 0,8
–()
2
------------------------------------
arcsin 0,8
–()
2
------------------------------------
1äi
2
------------
1
2--- 3
3
1
2--- 3
3
π
8---
π
8---
5π
8-------
5π
8-------
9π
8-------
9π
8------- 13π
8----------
13π
8----------
57
2πk arccos 3
5---
+
7
----------------------------------------
2πk arccos 3
5---
+
7
----------------------------------------
2πk
3-----------
2πk
3-----------
π
3---
1
2---
99
3
2---
1
2---
574
Ответы, указания, решения
Учитывая, что cos β + cosγ = 2cos cos , а затем ис-
пользуя условие и формулы приведения, получаем
cosα+cosβ+cosγmcosα+2sin .
Та а cos α = 1 – 2 sin2 , то задача сводится отысанию
наибольшео значения фунции 1 – 2 sin2 + 2 sin . Выде-
ляя полный вадрат, имеем 1 + – 2 sin – m .Ита,
cos α + cos β + cos γ m , отуда следует справедливость исход-
ноо неравенства.
20. Оцените разность cos x – 1 – , используя форму-
лу 1 – cos x = 2 sin2 . 21. Используйте результат примера 3
на с. 158, 159. 22. См. уазание упр. 20.
Глава 6. Комплексные числа
§ 31. Действия с комплексными числами
1.cos0+isin0.2.3(cosπ+isinπ).3.cos +isin . 4. ×
×cos +isin .5. cos +isin .6.2cos+
+isin .7.5 cos –arccos +isin –arccos .8.5cosπ+
+arccos + isin π +arccos .9.cos + isin .
10.cos +α +isin +α .11.–.12.ä(1+i).
βγ
+
2------------ βγ
–
2------------
α
2---
α
2---
α
2---
α
2---
1
2---
α
2--- 1
2---
23
2---
3
2---
x2
2------
x
2---
π
2---
π
2---
2
π
4---
π
4---
2
3π
4-------
3π
4-------
π
3---
π
3---
3
5---
3
5---
3
5---
3
5---
2π
3-------
2π
3-------
3π
2-------
3π
2-------
1
2 50---------
Г л а в а 6. Комплексные числа
575
13. ä2(1 – i). 14.
cosπk+
+isin πk+
+,
k=0,1.15.ä
. 16.ä [ +1–(
–
1)i],
ä[–
1
+
(+
1
)
i].17.cos +isin ,cos
+isin
,
cos
+isin
, cos
+isin
. 18.
cos
+
+isin
, k =0,1, ..., 6.19.cos
+isin
,
k =0,1,2.
§ 32. Геометрическое изображение
множеств комплексных чисел,
удовлетворяющих заданным условиям
1. Оружность единичноо радиуса с центром в начале о-
ординат. 2 . Положительная полуось Ox, влючающая точу O.
3. Луч, выходящий из начала оординат (без точи O), состав-
ляющий с осью Ox уол . 4 . Внутренняя часть ольца, ора-
ниченноо онцентричесими оружностями радиусов 1 и 4
с центром в начале оординат. 5 . Множество всех точе, лежа-
щих вне оружности единичноо радиуса с центром в точе
; 0 . 6. Множество всех точе, лежащих внутри оруж-
ности радиуса
с центром в начале оординат. 7. Ось Oy.
8. Прямая y = 2x + . 9 . Полуплосость, лежащая выше пря-
мойy= –
. 10. Множество всех точе, лежащих внутри оль-
ца, ораниченноо онцентричесими оружнос тями радиу-
сов 1 и 4 (влючая оружности) с центром в точе (0; –1).
11. Прямая y = –x . 12 . Множество всех точе прямоуольниа
5
arcsin 0,8
–
()
2
------------------------------------
arcsin 0 ,8
–
()
2
------------------------------------
1äi
2
------------
1
2
---
3
3
1
2
---
3
3
π
8
---
π
8
---
5π
8
-------
5π
8
-------
9π
8
-------
9π
8
-------
13π
8
----------
13π
8
----------
5
7
2πk arccos
3
5
---
+
7
----------------------------------------
2πk arccos
3
5
---
+
7
----------------------------------------
2πk
3
----------
-
2πk
3
-----------
π
3
---
1
2
---
99
3
2
---
1
2
---
576
Ответы, указания, решения
|q| m 1, |p| m 2. 13. а) Прямые, заданные уравнением ay + bx = 0;
б) прямые, заданные уравне нием y = –b . 14 . Множество всех
точе, лежащих вне оружности с центром в точе (1; 0) и ра-
диусом 10. 15. Ось Ox и точи с оординатами, удовлетворяю-
щими условиям x = –
,–
<y<
. 16.Прямаяy= –x.
17.z =
. 18.z =z1+z2–z3,z=z1+z3–z2,z=z2+
+ z3 – z1. 19. Используйте оллинеарность веторов, соответст-
вующих разностям z3 – z1 и z2 – z1. 20. Уол z1Oz2 — прямой.
§ 33. Решение уравнений
на множестве комплексных чисел
1.1 –i;
. 2.0;–1; ä i.3.2 – i.4.0;cos
+
+isin
(k=0,1,2,3,4).5.(2;1); ; .6.(6;1).8. –1.
9.1;äi.10.а)(i;i);(–i;
– i); б) (i; i); (–i;
–i).11.|a+bi|=1,
a + bi − –1. 12. Все действительные и все чисто мнимые чис-
ла. 13.Если a =1,тоz = –
1–i;если1<a m
,
т
о
z=
=–
i;еслиa>
, то уравнение не имеет реше-
ний. 14 . a > 2. Исследуйте взаимное расположение оруж-
ностей |z +
|=a2–3a+2и|z+i |=a2.15. – <
a<–
.
16.z =2–
+
–
2i.
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
1.α–
+2πk;α+ +2πn ; α+ +2πn;α–
+2πk .
2. α+π(k+n); +π(k–n); +π(k–n);α+π(k+n).
1
2
---
3
2
-- - ----
3
2
-- - ----
z1z2z3
++
3
-------------------------------
42i
–
5
---------------
-
1
2
---
3
2
-------
3
2
---
2πk
5
----------
-
2πk
5
-----------
3
2
---
1
2
---
2
a2ä2a2
–
–
a21
–
-------------------------------------
2
2
2
21
10
------
5
6
---
2
2
-------
2
2
-------
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
Г л а в а 7. Последовательности
577
3. 2πk; +2πn ;
+2πn;2πk.4.α– +2πk;
–α– +2πn; α+ +2πk; –α+2πn.5.(19;178);
(179;46).6.(168;244).7.(1;18).8.sin3x=3sinxcos2x–sin3x.
9.
;
.Пустьz=cosφ+isinφ;
тода zn = cos nφ + i sin nφ. Воспользуйтесь формулой суммы чле-
нов еометричесой прорессии z + z2 + z3 + ... + zn. 11. Исполь-
зуйте утверждение упр. 10. 12.
.
13. cos sin . Рассмотрите бином
,деz=
=cosx+isinx.14.tg5α=
.
Глава 7. Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
2. Последовательность монотонно возрастает. 3. Последо-
вательность монотонно возрастает, начиная со второо члена.
Сравните отношение
сединицей.4.c=0,d−0, >0
илиc−0, >–1,ad>bc.5.y1=0—наименьшийчлен;наи-
большео члена не существует. 6. y3 = 4 — наибольший член;
наименьшео члена не существует. 7. x8 = 24— наименьший
член; наибольшео члена не существует. Найдите эстремаль-
ныеточифунцииf(x)=2x+ .8.а)nl31;б)nl301.
9. Ни одноо. Решите в целых положительных числах нера-
венство2<|x2–5x+6|<6.10.Начинаясn=3.Рассмот-
рите промежути монотонности фунции f(x) = x2 – 5x + 6.
2π
3-------
2π
3-------
π
3---
π
3---
π
3---
π
3---
sin nφ
2------- cos n 1+
2-------------- φ
sin φ
2---
------------------------------------------------
sin nφ
2------- sin n 1+
2-------------- φ
sin φ
2---
-----------------------------------------------
an 1+ sinnx ansin n 1+
()
x sinx
–
+
a2 2acosx
–1
+
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
2n nx
2------- nx
2-------
(1 z)n
+
5tgα 10 tg3 α
–t
g
5α
+
110tg2 α
–5
t
g
4α
+
------------------------------------------------------------------
yn 1+
yn
--------------
a
d---
d
c---
512
x2----------
576
Ответы, указания, решения
|q| m 1, |p| m 2. 13. а) Прямые, заданные уравнением ay + bx = 0;
б) прямые, заданные уравнением y = –b. 14. Множество всех
точе, лежащих вне оружности с центром в точе (1; 0) и ра-
диусом 10. 15. Ось Ox и точи с оординатами, удовлетворяю-
щимиусловиямx=– ,– <y< .16.Прямаяy=–x.
17.z=
.18.z=z1+z2–z3,z=z1+z3–z2,z=z2+
+ z3 – z1. 19. Используйте оллинеарность веторов, соответст-
вующих разностям z3 – z1 и z2 – z1. 20. Уол z1Oz2 — прямой.
§ 33. Решение уравнений
на множестве комплексных чисел
1.1–i;
.2.0;–1; ä i.3.2– i.4.0;cos +
+isin (k=0,1,2,3,4).5.(2;1); ; .6.(6;1).8.–1.
9.1;äi.10.а)(i;i);(–i;–i);б)(i;i);(–i;–i).11.|a+bi|=1,
a + bi − –1. 12. Все действительные и все чисто мнимые чис-
ла. 13.Еслиa =1,тоz =–1–i;если1<a m ,т
оz=
=–
i; если a > , то уравнение не имеет реше-
ний. 14. a > 2. Исследуйте взаимное расположение оруж-
ностей|z+ |=a2–3a+2и|z+i |=a2.15.–<a<– .
16.z=2– + –2 i.
§ 34. Применение комплексных чисел
для решения некоторых задач
1. α– +2πk;α+ +2πn ; α+ +2πn;α– +2πk .
2. α+π(k+n); +π(k–n); +π(k–n);α+π(k+n).
1
2--- 3
2-------
3
2-------
z1z2z3
++
3
-------------------------------
42i
–
5
----------------
1
2--- 3
2-------
3
2---
2πk
5-----------
2πk
5-----------
3
2--- 1
2---
2
a2ä2a2
–
–
a2 1–
-------------------------------------
2
2
2
21
10------
5
6---
2
2-------
2
2-------
π
3---
π
3---
π
3---
π
3---
π
3---
π
3---
Г л а в а 7. Последовательности
577
3. 2πk;
+2πn ;
+2πn;2πk.4. α
–
+ 2πk;
–α
–
+2πn ; α+ +2πk; –α+2πn .5.(19;178);
(179;46).6.(168;244).7.(1;18).8. sin3x=3sinxcos2x–sin3x.
9.
;
. Пустьz=cosφ+isinφ;
тода zn
= cos nφ + i sin nφ. Воспользуйтесь формулой суммы чле-
нов еометричесой прорессии z + z2 + z3 + ... + zn
. 11. Исполь-
зуйте утверждение упр. 10 . 12 .
.
13.
cos
sin
.
Рассмотрите бином
,деz=
=cosx+isinx.14.tg5α=
.
Глава 7. Последовательности
§ 35. Определение последовательности
и ее свойства
2. Последовательность монотонно возрастает. 3 . Последо-
вательность монотонно возрастает, начиная со второо члена.
Сравните отношение
сединицей.4.c =0,d−0,
>0
илиc−0, >–1,ad>bc.5.y1=0 —наименьшийчлен;наи-
большео члена не существует. 6 . y3 = 4 — наибольший член;
наименьшео члена не существует. 7 . x8 = 24 — наименьший
член; наибольшео члена не существует. Найдите эстремаль-
ные точи фунции f(x) = 2x +
. 8.а)nl31;б)nl301.
9. Ни одноо. Решите в целых положительных числах нера-
венство2<|x2–5x+6|<6.10.Начинаясn=3.Рассмот-
рите промежути монотонности фунции f(x) = x2 – 5x + 6.
2π
3
-- - ----
2π
3
-------
π
3
---
π
3
---
π
3
---
π
3
---
sin
nφ
2
-------
cos
n1
+
2
--------------
φ
sin
φ
2
---
------------------------------------------------
sin
nφ
2
-------
sin
n1
+
2
--------------
φ
sin
φ
2
---
-----------------------------------------------
an1
+ sinnx ansin n 1
+
()
x sinx
–
+
a2 2acosx
–1
+
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
2n
nx
2
-------
nx
2
-------
(1 z)
n
+
5tgα 10 tg3 α
–t
g
5α
+
11
0t
g2α
–5
t
g
4α
+
------------------------------------------------------------------
yn1
+
yn
--------------
a
d
---
d
c
---
512
x2
----------
578
Ответы, указания, решения
11. Для целых чисел из промежута 1; –
последова-
тельность монотонно возрастает, для целых чисел из проме-
жута
–
+ 1; +× она монотонно убывает (внутренние
вадратные соби означают целую часть числа). Если –
—
целое число, то последовательность монотонно убывает, начи-
ная с члена, имеющео номер –
. Рассмотрите промежути
монотонност и фунции f(x) = xqx
. 1 2. Ораничена; xn Ý
;
2.
13. Ораничена; xn Ý 1;
. 1 4. Ораничена; xn Ý
.
Убедитесь в том, что фунция f(x) = x2 – 2x + 3 возрастает на
промежуте [1; +×). 15. Ораничена; xn Ý (0; 1]. Приведите
общему знаменателю выражение в собах.
§ 36. Предел последовательности
7. Возьмите неоторый интервал числа a и сравните члены
последовательности, не попавшие в этот интервал, и онцы ин-
тервала. 8. Рассмотрите таой интервал точи a , оторый не
содержит точу q. 9. Нет. Рассмотрите непересеающиеся
интервалы точе p и q. 11. Не имеет. Рассмотрите четные и
не четные значения n. 12.
xn = 0. Используйте неравен-
ство|sinx|m1.13.а)
xn = 1; б) последовательность не
имеет предела.
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
1. –.
2.1.3.0.4.0.5. –1.6.
Разделите числитель и
знаменатель на
и воспользуйтесь формулой (4). 7. 0 .
Убедитесь в том, что основание степени для любоо n мень-
1
lnq
----------
1
lnq
----------
1
lnq
----------
1
lnq
----------
1
2
---
4
3
---
0;1
2
---
no×
lim
no×
lim
1
2
---
7
15
------
3n1
+
Г л а в а 7. Последовательности
579
ше . 8. 0. См. уазание упр. 7. 9. 0. Воспользуйтесь не-
равенством |sin n!| m 1. 10. 0. 11. –.12. . 13. 0. Умножьте
и разделите данное выражение на n2 – n
+
.
14.
xn = 2. Доажем, что исходная последователь-
ность монотонна и ораничена. Ораниченность последователь-
ности доажем по индуции. Та а x1 = , то x1 < 2. Предпо-
ложим, что xk m 2; тода из уравнения
= xk + 2 следует,
чтоxk+1m2.Значит,xnm2.Заметимтаже,чтоxn>1.
Рассмотрим неравенство
y2m2+y.(
*
)
Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (*),
то последовательность возрастает. Действительно, подставляя
y = в выражение (*), имеем
m2+ ,
но2+ =
и, следовательно, m
. Множество ре-
шений неравенства (*) представляет собой промежуто [1; 2].
Та а из доазанноо выше следует, что 1 m m 2 для всех
n Ý N, то эти значения удовлетворяют неравенству (*).
Таим образом, последовательность возрастает и ораниче-
на, а потому имеет предел. Значение предела, соласно равен-
ству (5), должно удовлетворять уравнению y2 – y – 2 = 0, оту-
да y1 = 1, y2 = 2. Лео проверить, что число 1 не является пре-
делом последовательности. Ита, пределом является число 2.
15.
xn = a. Преобразуйте реуррентное соотношение
виду
= + ( – a)2 и воспользуйтесь формулой (5).
16.
xn= .17.1+
. 18.
– 1. Рассмотри-
те последовательности, состоящие из четных и нечетных чле-
нов исходной последовательности.
3
4---
5
2---
1
2---
1n3
–
3
1n3
–
()
2
3
no×
lim
2
xk 1+
2
xn
xn
2
xn
xnxn1
+
2
xn2xn1
+
2
xn
no×
lim
xn1+ xn xn
no×
lim
a
1a–
1a+
578
Ответы, указания, решения
11. Для целых чисел из промежута 1; –
последова-
тельность монотонно возрастает, для целых чисел из проме-
жута – + 1; +× она монотонно убывает (внутренние
вадратные соби означают целую часть числа). Если – —
целое число, то последовательность монотонно убывает, начи-
ная с члена, имеющео номер – . Рассмотрите промежути
монотонности фунции f(x) = xqx. 12. Ораничена; xn Ý ;2.
13. Ораничена; xn Ý 1; . 14. Ораничена; xn Ý
.
Убедитесь в том, что фунция f(x) = x2 – 2x + 3 возрастает на
промежуте [1; +×). 15. Ораничена; xn Ý (0; 1]. Приведите
общему знаменателю выражение в собах.
§ 36. Предел последовательности
7. Возьмите неоторый интервал числа a и сравните члены
последовательности, не попавшие в этот интервал, и онцы ин-
тервала. 8. Рассмотрите таой интервал точи a, оторый не
содержит точу q. 9. Нет. Рассмотрите непересеающиеся
интервалы точе p и q. 11. Не имеет. Рассмотрите четные и
нечетные значения n. 12.
xn = 0. Используйте неравен-
ство|sinx|m1.13.а)
xn = 1; б)последовательность не
имеет предела.
§ 37. Вычисление пределов последовательностей
1. –.2. 1. 3. 0. 4. 0. 5. –1. 6. Разделите числитель и
знаменатель на
и воспользуйтесь формулой (4). 7. 0.
Убедитесь в том, что основание степени для любоо n мень-
1
lnq
----------
1
lnq
----------
1
lnq
----------
1
lnq
----------
1
2---
4
3---
0;1
2---
no×
lim
no×
lim
1
2---
7
15------
3n 1+
Г л а в а 7. Последовательности
579
ше . 8. 0. См. уазание упр. 7. 9. 0. Воспользуйтесь не-
равенством |sin n!| m 1. 10. 0. 11. –.
12. . 13. 0. Умножьте
и разделите данное выражение на n2 – n
+
.
14.
xn = 2. Доажем, что исходная последователь-
ность монотонна и ораничена. Ораниченность последователь-
ности доажем по индуции. Та а x1 =
, тоx1<2.Предпо-
ложим, что xk m 2; тода из уравнения
= xk + 2 следует,
чтоxk+1m2.Значит,xnm2.Заметимтаже,чтоxn>1.
Рассмотрим неравенство
y2m2+y.(
*
)
Если члены последовательности удовлетворяют неравенству (*),
то последовательность возрастает. Действительно, подставляя
y=
в выражение (*), имеем
m2+ ,
но2+
=
и, следовательно,
m
. Множество ре-
шений неравенства (*) представляет собой промежуто [1; 2].
Та а из доазанноо выше следует, что 1 m
m2длявсех
n Ý N, то эти значения удовлетворяют нераве нству (*).
Таим образом, последовательность возрастает и ораниче-
на, а потому имеет предел. Значение предела, соласно равен-
ству (5), должно удовлетворять уравнению y2 – y
–
2=0,оту-
да y1 = 1, y2 = 2 . Лео проверить, что число 1 не является пре-
делом последовательности. Ита, пределом является число 2.
15.
xn = a . Преобразуйте реуррентное соотноше ние
виду
=
+ ( – a)2 и воспользуйтесь формулой (5).
16.
xn=
. 17.1+
. 18.
–
1. Рассмотри-
те последовательности, состоящие из четных и нечетных чле-
нов исходной последовательности.
3
4
---
5
2
---
1
2
---
1n3
–
3
1n3
–
()
2
3
no×
lim
2
xk1
+
2
xn
xn
2
xn
xn
xn1
+
2
xn
2
xn1
+
2
xn
no×
lim
xn1
+
xn
xn
no×
lim
a
1a
–
1a
+
580
Ответы, указания, решения
§ 38. Арифметическая прогрессия
1.
. 2.a1=2,d = –3илиa1=–10,d =3.3. ; ;1.
Воспользуйтесь формулой (5). 4. an = p + q – n. 5. Восполь-
зуйтесь тем, что если числа u, v, w— три последовательных
члена арифметичесой прорессии, то v – u = w – v . 6 .
. 7.20.
8. 167. 9. 102. 10. 29. 11. 9. 12. 7. 13. Рассмотрите сумму
членов, равноотстоящих от онцов, среди чисел a1, ..., a
m+n
.
14. 82 350 . Четное число, оторое делится на 3, делится на 6.
15.d =2a1,a1−0илиd=0,a1−0.16.1275.Воспользуйтесь
формулой x2 – y2 = (x – y)(x + y). 17. 1064 . Воспользуйтесь
уазанием упр. 13. 18. 98. 19. an = 8n – 4. Воспользуйтесь
формулой (7). 20. Выразите суммы a1 + a3n, a1 + a2n, a1 + an
через S3n, S2n, Sn соответственно и используйте соотношение
a3n + an = 2a2n. 21 . Из условия получите зависимость между
a1 и d и используйте эту зависимость при доазательстве
утверждения. 22 . a l 12. Рассмотрите множество значений
фунции f(x) =
+
+
+
. 23.x =log25.
25. Доажите, что
не является рациональным чис-
лом. 26. Нет. См. уазание упр. 25 . 27. Да. Воспользуй-
тесь тем, что если длины сторон равны соответственно a, b, c,
d, то необходимое и достаточное условие тоо, что в четырех-
уольни можно вписать оружность, залючается в выполне-
нииравенстваa+c=b+d.
§ 39. Геометрическая прогрессия
2.b1 =5,b5 =405.3.7;–14;28;–56.4.40.5.1;3;9.
6.1;3;9.7.3;6;12или (9+
);–6; (9–
).8.2;
4; 8;16.9.2; 4;8 или 8; 4; 2.10.1;5;25или25;5;1.
11. 2. 12.
. 13.
;
;
;....
14.
. 17.Sn=
+ 2n. Возведите
119
3
----------
1
3
---
2
3
---
2
3
---
25x 25
x
–
51x
+
51x
–
53
–
32
–
---------------------
-
3
2
---
65
3
2
---
65
Sn
Sn′
-------
n/2
1
23
+
()
m1
–
----------------------------------
-
1
23
+
()
m2
–
----------------------------------
-
1
23
+
()
m3
–
----------------------------------
-
u1
2
q2n 1
–
()
q21
–
-------------------------------
x2n 2
+
x4n 2
+
–
x2n
–1
+
1x2
+
()
x2n
---------------------------------------------------------------------
Г л а в а 7. Последовательности
581
в вадрат выражения в собах и найдите сумму членов получен-
ных при этом еометричесих прорессий. 18. Sn = 4 – – .
Рассмотрите разность Sn – . 19. Sn =
–
.
Умножьте обе части равенства на x и от Sn отнимите xSn.
20. 28. 21. b4 = ; q = . 22. . Воспользуйтесь методом,
предложенным в примере 2 на с. 191. 23. 6; 3; 1,5; ... . 24. b1 = 6,
q=– .25.
.26.x>0,x−äa,S=
.Для
нахождения знаменателя прорессии q разделите b2 на b1 и
решите неравенство вида |q(x)| < 1. 27. P = 4(2 + )a, S = 2a2.
28.ap–mbm–kck–p=1.29.Немоут.30.5.31.1,5.
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
1.4;8;16или ;– ; .2.3;6;12или27;18;12.
3. 931. Воспользуйтесь представлением числа в десятичной
записи,т.е.ввидеa·102+b·10+c,деa—цифрасотен,b—
десятов, c—единиц. 4. 32; 16; 8; 0 или 2; 6; 18; 30. 5. 2; 10;
18или2;6;18.6.27.7.24;27;30;...,54или24;24;24;...,24.
8.q= илиq=1.11.x=q1/d.
§ 41. Разные задачи
1.Да;xnÝ 0; .2.Нет.3.Да;xnÝ[–8;11].См.решение
примера 3 § 35 на с. 175, 176. 4. Девять членов. Воспользуйтесь
формулой суммы членов еометричесой прорессии. 7. Вос-
пользуйтесь свойством сторон треуольниа. 8.
Sn= .
9. . 10. 0. 11. 630 или 135 или 765. Пусть x—цифра сотен,
y—цифра десятов и z—цифра единиц. Тода первое условие
приводитуравнениюx·100+y·10+z=45p,деp—целое
число. Та а x, y, z—последовательные члены арифметиче-
1
2n 2–
-------------- n
2n 1–
--------------
Sn
2-------
nxn 1+
x1–
------------------ xn 1+ x–
x1–
()
2
-------------------------
3
16------
1
4---
3
5---
1
2---
S2
2S 1–
------------------
ax
+
()
3
4ax
–
()
ax
------------------------------
2
4
25------ 16
25------ 64
25------
3
2---
3
2---
no×
lim
a2
2------
1
3---
580
Ответы, указания, решения
§ 38. Арифметическая прогрессия
1. .2.a1=2,d=–3илиa1=–10,d=3.3. ; ;1.
Воспользуйтесь формулой (5). 4. an = p + q – n. 5. Восполь-
зуйтесь тем, что если числа u, v, w—три последовательных
члена арифметичесой прорессии, то v – u = w – v. 6. . 7. 20.
8. 167. 9. 102. 10. 29. 11. 9. 12. 7. 13. Рассмотрите сумму
членов, равноотстоящих от онцов, среди чисел a1, ..., am + n.
14. 82 350. Четное число, оторое делится на 3, делится на 6.
15.d=2a1,a1−0илиd=0,a1−0.16.1275.Воспользуйтесь
формулой x2 – y2 = (x – y)(x + y). 17. 1064. Воспользуйтесь
уазанием упр. 13. 18. 98. 19. an = 8n – 4. Воспользуйтесь
формулой (7). 20. Выразите суммы a1 + a3n, a1 + a2n, a1 + an
через S3n, S2n, Sn соответственно и используйте соотношение
a3n + an = 2a2n. 21. Из условия получите зависимость между
a1 и d и используйте эту зависимость при доазательстве
утверждения. 22. a l 12. Рассмотрите множество значений
фунции f(x) = +
+
+ .23.x=log25.
25. Доажите, что
не является рациональным чис-
лом. 26. Нет. См. уазание упр. 25. 27. Да. Воспользуй-
тесь тем, что если длины сторон равны соответственно a, b, c,
d, то необходимое и достаточное условие тоо, что в четырех-
уольни можно вписать оружность, залючается в выполне-
нииравенстваa+c=b+d.
§ 39. Геометрическая прогрессия
2.b1=5,b5 =405.3.7;–14;28;–56.4.40.5.1;3;9.
6.1;3;9.7.3;6;12или (9+ );–6; (9– ).8.2;
4; 8;16.9.2; 4;8 или 8; 4; 2.10.1;5;25или25;5;1.
11. 2. 12.
. 13.
;
;
;....
14.
.17.Sn=
+ 2n. Возведите
119
3----------
1
3--- 2
3---
2
3---
25x 25x– 51x
+
51 x–
53
–
32
–
----------------------
3
2---
65
3
2---
65
Sn
Sn′-------
n/2
1
23
+
()
m1–
-----------------------------------
1
23
+
()
m2–
-----------------------------------
1
23
+
()
m3–
-----------------------------------
u1
2q2n1–
()
q2 1–
-------------------------------
x2n2+x4n2
+
–
x2n
–1
+
1x2
+
()
x2n
---------------------------------------------------------------------
Г л а в а 7. Последовательности
581
в вадрат выражения в собах и найдите сумму членов получен-
ных при этом еометричесих прорессий. 18. Sn = 4 –
–
.
Рассмотрите разность Sn
–
. 19.S
n
=
–
.
Умножьте обе части равенства на x и от Sn отнимите xSn
.
20.28.21.b4=
;q=
. 22.
. Воспользуйтесь методом,
предложенным в примере 2 на с. 191. 23. 6; 3; 1,5; ... . 24. b1 = 6,
q=–
. 25.
. 26.x>0,x−äa,S=
.Для
нахождения знаменателя прорессии q разделите b2 на b1 и
решите неравенство вида | q(x)| < 1. 27. P = 4(2 + )a, S = 2a2.
28.ap–mbm–kck–p
= 1. 29. Не моут. 30. 5. 31. 1,5.
§ 40. Смешанные задачи на прогрессии
1.4;8;16или
;–;
. 2.3;6;12или27;18;12.
3. 931 . Воспользуйтесь представлением числа в десятичной
записи,т.е.ввидеa·102+b·10+c,деa—цифрасотен,b—
десятов, c—единиц. 4 . 32; 16; 8; 0 или 2; 6; 18; 30. 5 . 2; 10;
18или2;6;18.6.27.7.24;27;30;..., 54или24;24;24;..., 24.
8.q =
илиq=1.11.x =q1/d.
§ 41. Разные задачи
1.Да;xnÝ 0; .2.Нет.3.Да;xnÝ[–8;11].См.решение
примера 3 § 35 на с. 175, 176. 4. Девять членов. Воспользуйтесь
формулой суммы членов еометричесой прорессии. 7. Вос-
пользуйтесь свойством сторон треуольниа. 8 .
Sn=
.
9. . 10. 0 . 11 . 630 или 135 или 765. Пусть x—цифра сотен,
y—цифра десятов и z—цифра единиц. Тода первое условие
приводитуравнениюx·100+y·10+z=45p,деp—целое
число. Та а x, y, z—последовательные члены арифметиче-
1
2n2
–
--------------
n
2n1
–
--------------
Sn
2
------
-
nxn 1
+
x1
–
------------------
xn1
+
x
–
x1
–
()
2
------------------------
-
3
16
------
1
4
---
3
5
---
1
2
---
S2
2S1
–
------------------
ax
+
()
3
4ax
–
()
ax
------------------------------
2
4
25
------
16
25
------
64
25
------
3
2
---
3
2
---
no×
lim
a2
2
------
1
3
---
582
Ответы, указания, решения
сой прорессии, то 2y = x + z. Следовательно, можно соста-
вить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными:
x·100+y·10+z=45p,2y=x+z,
оторую необходимо решить на множестве целых неотрица-
тельных чисел.
12. Соласно формуле (3) из § 38, используя условия зада-
чи, име ем
=np,=
kp.
Ислючив из этой системы a1, получаем
= p(n–k).Вси-
лу формулы (2) из § 38 имеем d(n – k) = 2p(n – k), и, следова-
тельно, d = 2p, a1 = p . Наонец, применяя формулу (4) из § 38,
получаем исомое выражение:
Sp=
p=p3.
13. Умножьте и разделите аждое слааемое на выраже-
ние, сопряженное знаменателю. 15. (8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25). Из
первых четырех уравнений следует, что числа x, y, z, u, s и t об-
разуют еометричесую прорессию. 16. Представьте аждое
число, входящее в доазываемое равенство, а сумму членов
соответствующей еометричесой прорессии. 17. A = 2, B = 32.
Используйте теорему Виета. 19. Воспользуйтесь равенством
=
·
–
+·
. 20. См. уазание
упр. 19. 22. 10
·
–
n .23.а)– , еслиn—четное;
, если n— нечетное; б)–
,е
сли n— четное,
, если n— нечетное; в)
.
24. 0.
25. 0,5. 26.
. Воспользуйтесь тем, что под знаом предела
записана сумма n членов еометричесой прорессии со знаме-
нателем q =
. 27. 1,5. 28. . 29. 1,25. 30. 1. Используйте со-
a1 an
+
2
-------------------
a1 ak
+
2
-------------------
an ak
–
2
-------------------
2p2pp1
–
()
+
2
----------------------------------------
1
kk1
+
()
k2
+
()
-----------------------------------------
-
1
2
---
1
k
---
1
k1
–
-------------
1
2
---
1
k2
+
-------------
-
1
9
---
10n1
–
9
-----------------
n
2
---
n1
+
2
--------------
nn1
+
()
2
-----------------------
nn1
+
()
2
-----------------------
nn1
+
()
3n27n2
++
()
12
----------------------------------------------------------------
33
2
-----------
1
3
---
1
3
---
Г л а в а 7. Последовательности
583
отношение
= – .31. .См.уазание
упр. 30. 32. .
33. . Заметим, что = . Далее имеем
=
=
=
=;
аналоично
=
.
Таим образом, an = · ...
. Умножив и разде-
лив an на 2 sin , получим
an=
=
=
= ...
.
Теперь умножим и разделим последнее выражение на ; тода,
используя равенство
=1иполааяx= ,находим
an=
=.
1
kk 1+
()
---------------------- 1
k---
1
k 1+--------------
1
da1
----------
1
4---
π
2---
2
2
------- 1
cos π
4---
-------------
2
22
+
----------------------
2
212
2-------
+
---------------------------------
2
21 cosπ
4---
+
---------------------------------------
2
4cos2 π
8---
------------------------- 1
cos π
8---
-------------
2
22...22
+
+
+
-----------------------------------------------------------
n радиалов
1
cos π
2n 1+
--------------
------------------------
1
cos π
4---
------------- 1
cos π
8---
-------------
1
cos π
2n 1+
--------------
------------------------
π
2n 1+
--------------
2sin π
2n 1+
--------------
cos π
4--- cos π
8---...2cos π
2n 1+
-------------- sin π
2n 1+
--------------
----------------------------------------------------------------------------------------------
2sin π
2n 1+
--------------
cos π
4--- cos π
8--- ... cos π
2n------ sin π
2n------
-------------------------------------------------------------------------
2nsin π
2n 1+
--------------
sin π
2---
--------------------------------
π
2---
xo0
lim sin x
x-------------
π
2n 1+
--------------
no×
lim
no×
lim
π·2n 1+
π-------------- sin π
2n 1+
--------------
⋅
2
---------------------------------------------------- π
2---
582
Ответы, указания, решения
сой прорессии, то 2y = x + z. Следовательно, можно соста-
вить систему двух уравнений с четырьмя неизвестными:
x·100+y·10+z=45p,2y=x+z,
оторую необходимо решить на множестве целых неотрица-
тельных чисел.
12. Соласно формуле (3) из § 38, используя условия зада-
чи, имеем
=np,=
kp.
Ислючив из этой системы a1, получаем
=p(n–k).Вси-
лу формулы (2) из § 38 имеем d(n – k) = 2p(n – k), и, следова-
тельно, d = 2p, a1 = p. Наонец, применяя формулу (4) из § 38,
получаем исомое выражение:
Sp=
p=p3.
13. Умножьте и разделите аждое слааемое на выраже-
ние, сопряженное знаменателю. 15. (8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25). Из
первых четырех уравнений следует, что числа x, y, z, u, s и t об-
разуют еометричесую прорессию. 16. Представьте аждое
число, входящее в доазываемое равенство, а сумму членов
соответствующей еометричесой прорессии. 17. A = 2, B = 32.
Используйте теорему Виета. 19. Воспользуйтесь равенством
= · – + · .20.См.уазание
упр. 19. 22. 10 ·
–n.23.а)–,еслиn—четное;
, если n— нечетное; б)–
, если n— четное,
, если n— нечетное; в)
. 24.0.
25. 0,5. 26. . Воспользуйтесь тем, что под знаом предела
записана сумма n членов еометричесой прорессии со знаме-
нателем q = . 27. 1,5. 28. . 29. 1,25. 30. 1. Используйте со-
a1 an
+
2
-------------------
a1 ak
+
2
-------------------
an ak
–
2
-------------------
2p 2pp 1–
()
+
2
----------------------------------------
1
kk 1+
()
k2+
()
------------------------------------------ 1
2--- 1
k--- 1
k 1–------------- 1
2--- 1
k 2+--------------
1
9---
10n1–
9
-----------------
n
2---
n1+
2--------------
nn 1+
()
2
-----------------------
nn 1+
()
2
-----------------------
nn 1+
()
3n27n2
++
()
12
----------------------------------------------------------------
33
2-----------
1
3---
1
3---
Г л а в а 7. Последовательности
583
отношение
=
–
.
31.
.
См. уазание
упр. 30. 32. .
33. . Заметим, что
=
. Далее имеем
=
=
=
=
;
аналоично
=
.
Таим образом, an =
·
...
. Умножив и разде-
ливanна2sin
, получим
an=
=
=
= ...
.
Теперь умножим и разделим последнее выражение на ; тода,
используя равенство
= 1иполааяx=
, находим
an=
=
.
1
kk1
+
()
----------------------
1
k
---
1
k1
+
-------------
-
1
da1
----------
1
4
---
π
2
---
2
2
-------
1
cos
π
4
---
-------------
2
22
+
----------------------
2
21
2
2
-------
+
--------------------------------
-
2
21 cos
π
4
---
+
---------------------------------------
2
4cos2 π
8
---
-------------------------
1
cos
π
8
---
-------------
2
22...22
+
+
+
----------------------------------------------------------
-
n радиалов
1
cos
π
2n1
+
--------------
------------------------
1
cos
π
4
---
-------------
1
cos
π
8
---
-------------
1
cos
π
2n1
+
--------------
------------------------
π
2n1
+
--------------
2 sin
π
2n1
+
--------------
cos
π
4
---
cos
π
8
---
... 2 cos
π
2n1
+
--------------
sin
π
2n1
+
--------------
----------------------------------------------------------------------------------------------
2sin
π
2n1
+
--------------
cos
π
4
---
cos
π
8
---
... cos
π
2n
------
sin
π
2n
------
-------------------------------------------------------------------------
2n
sin
π
2n1
+
--------------
sin
π
2
---
-------------------------------
-
π
2
---
xo0
lim
sin x
x
-------------
π
2n1
+
--------------
no×
lim
no×
lim
π·
2n1
+
π
--------------
sin
π
2n1
+
--------------
⋅
2
----------------------------------------------------
π
2
---
584
Ответы, указания, решения
34.
. 35.
. Воспользуйтесь раве нствами
=
=cos;
= cos иформулами2cos2x=1+cos2x,2sin2x=
=1 –cos2x.
Глава 8. Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
9. Рассмотрите последовательности
=
,
=
.
§ 43. Вычисление пределов функций
1.1.2.0.3.1.4.2.5.0.6.0.7.6.8.3x2.9.×.10. –.
Выделите в числителе и знаменателе множитель (x – 1)2. 11.
при a − 0,приa =0пределнесуществует.12.а)–
;
б)
.
13.а)– ;б)1.14.
.
15..16. .17.0.18..
19. 4. 20. –.
21. . 22.
.23.–.
Перейдите перемен-
нойy= –x.24.2.25.8.26. .27. .28.cosa.Используйте
формулуsinx –sina =2sin
cos
. 29. π. Положите
= x. 30. π. Положите x + 2 = y и используйте формулу
tgπ(y+2)=tgπy.31. –.
32. –2 4. Преобразуйте выраже-
ние в числителе виду
и воспользуй-
114
a
+
+
2
--------------------------------
3
2
---
2
2
-- -- ---
π
4
---
3
2
-------
π
6
---
xn
1()
2
π14
n
+
()
--------------------------
xn
2()
2
π34
n
+
()
--------------------------
3
2
---
1
a
---
3
2
---
2
5
3
---
6
1
3
---
4
3
---
3
2
---
2
2
-- -- ---
3
2
---
2
3
---
3
2
---
3
2
---
7
4
---
3
4
---
n
m
-----
xa
–
2
-------------
xa
+
2
--------------
π
n
---
1
2
-- - ----
tgxsin x
π
3
---
–
sin x
π
3
---
+
cos2 x cos2 π
3
---
--------------------------------------------------------------------------
-
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
585
тесьсоотношениемcos x+ =sin –x .33. .Пре-
образуйте выражение в знаменателе виду 4 sin sin .
34. 0.
§ 44. Непрерывность функции
9.Используйтеформулуcos(x+∆x)–cosx=–2sin ×
× sin x + . 10. Воспользуйтесь неравенством ln (1 + x) m x.
11. Используйте результат упр. 10. 13. Фунция y = tg x имеет
разрыввточахx= +πn,nÝZ.14. (0)=1.15. (0)=2.
16. (0)=1.17. (81)= .18.A=1.19.A=0.20.A= .
21.A= .22.A= .23.A= .Привычислениипредела
f(x)введитеобозначениеz=1–x.24. = .25.a=1.
26.2a–b=0.27.3a–b=0.28.a+b+1=0.29.b=4.
30.a=+2n,nÝZ.31.a= .
§ 45. Разные задачи
1.–1.2..3..4..5.×.6.×.7.
. 8.–ctga.
9.cos3a.10. .11. .12. .13. .14.2.15.×.16. .
17.×. 18. . 19.2.20.0. 21.2. 22.2. 23.sin2a. 24. .
25.1.26. .27.
. 28.–2sin2a. 29.3. 30.3.31.0.
32. . 33. . 34.2. 35. . 36.a. 37. . 38.1. 39.–.
π
6---
π
3---
3
3-------
π
3--- x–
2--------------
π
3--- x
+
2--------------
∆x
2-------
∆x
2-------
π
2---
ff
ff
ff
ff
1
6---
3
2---
1
2---
2
m2--------
2
π---
xo1
lim
b
a--- π
2---
3
2---
3
4---
3
4---
3
7---
2
3---
1
cos2 a
----------------
2
4-------
2
2-------
1
2---
1
2---
2
1
2---
3
3-------
1
2---
1
2---
sin 2a
cos4 a
-----------------
2
2a
π-------
a
π---
1
2---
3
2---
2
584
Ответы, указания, решения
34.
. 35. . Воспользуйтесь равенствами =
=cos ; =cos иформулами2cos2x=1+cos2x,2sin2x=
=1–cos2x.
Глава 8. Предел функции,
непрерывность функции
§ 42. Предел функции
9. Рассмотрите последовательности
=
,
=
.
§ 43. Вычисление пределов функций
1.1.2.0.3.1.4.2.5.0.6.0.7.6.8.3x2.9.×.10.–.
Выделите в числителе и знаменателе множитель (x – 1)2. 11.
при a − 0,приa =0пределнесуществует.12.а)– ;
б) .13.а)–;б)1.14..15..16. .17.0.18..
19. 4. 20. –.21. . 22. . 23. –. Перейдите перемен-
нойy=–x.24.2.25.8.26. .27. .28.cosa.Используйте
формулуsinx–sina=2sin cos .29.π.Положите
= x. 30. π. Положите x + 2 = y и используйте формулу
tg π(y + 2) = tg πy. 31. –.32. –24. Преобразуйте выраже-
ние в числителе виду
и воспользуй-
114
a
+
+
2
--------------------------------
3
2---
2
2-------
π
4--- 3
2-------
π
6---
xn
1()
2
π 14n
+
()
-------------------------- xn
2()
2
π 34n
+
()
--------------------------
3
2---
1
a---
3
2--- 2
5
3--- 6
1
3---
4
3---
3
2---
2
2-------
3
2---
2
3---
3
2---
3
2---
7
4---
3
4---
n
m-----
xa
–
2------------- xa
+
2--------------
π
n---
1
2
-------
tgxsin x π
3---–
sinxπ
3---
+
cos2 x cos2 π
3---
---------------------------------------------------------------------------
Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции
585
тесь соотношение м cos x +
= sin
–
x.33.
. Пре-
образуйте выражение в знаменателе виду 4 sin
sin
.
34. 0.
§ 44. Непрерывность функции
9. Используйте формулу cos (x + ∆x) – cos x = –2 sin
×
×sin x+
. 10. Воспользуйтесь неравенством ln (1 + x) m x.
11. Используйте результат упр. 10 . 13. Фунция y = tg x имеет
разрыв в точах x =
+πn,nÝZ.14. (0)=1.15. (0)=2.
16. (0)=1.17. (81)=
. 18.A =1.19.A =0.20.A =
.
21.A =
.22.A=
.23.A=
. При вычислении предела
f(x) введите обозначение z = 1 – x . 24.
=
. 25.a =1.
26.2a –b =0.27.3a –b =0.28.a +b+1=0.29.b =4.
30.a =+2
n,nÝZ.31.a =
.
§ 45. Разные задачи
1. –1. 2.
.
3..4.
.
5.×. 6.×. 7.
.
8. –ctg a.
9.cos3a.10. .11.
. 12.
. 13. .14.2.
15.×.16. .
17.×. 18. . 19.2.20.0. 21.2. 22.2. 23.sin2a. 24.
.
25.1.26. .27.
.
28. –2 sin 2a. 29. 3. 30. 3.31. 0.
32. . 33.
.
34. 2. 35.
.
36. a. 37.
.
38.1. 39. –.
π
6
---
π
3
---
3
3
-- - ----
π
3
---
x
–
2
-------------
-
π
3
---
x
+
2
--------------
∆x
2
-------
∆x
2
-- - ----
π
2
---
ff
ff
ff
ff
1
6
---
3
2
---
1
2
---
2
m2
--------
2
π
---
xo1
lim
b
a
---
π
2
---
3
2
---
3
4
---
3
4
---
3
7
---
2
3
---
1
cos2 a
----------------
2
4
-- -- ---
2
2
-------
1
2
---
1
2
---
2
1
2
---
3
3
-------
1
2
---
1
2
---
sin2a
cos4 a
-----------------
2
2a
π
-------
a
π
---
1
2
---
3
2
---
2
586
Ответы, указания, решения
40.Верно 2>–
+
. 41. Верно
+
>–3+lg5.
42. (3)=2.43. (0)= –
. 44. (0)= –4.45.A =
.46.A=
.
Глава 9. Производная и ее применения
§ 46. Нахождение производных
1. –.2. –sinx. 3.e
x
.
Воспользуйтесь равенством
=1.
4. . Воспользуйтесь равенством
=1
. 5.nx
n–1
.
Воспользуйтесь формулой
бинома Ньютона. 6. 0. 10. См. упр. 9 из §42 л.8
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18. sin3 x cos2 x. 19. –t
g.
20.
.
21. 1. 22. 0. 23. –2x. 24.
x(1–2m)/m +
+3
x(1–2n)/n.
25.
.
26. –(
8
–
t2)–2/3. 27. .
28. (x2 –1)–5/6.
29. –.
30. . 31.
.
32.
=
Введите обозначение
=t.
33.
=
34.
=
35.
=
Положите
=t.
7
22
------
1
4
---
1
2
---
2
ff
ff
1
8
---
ff
3
4
---
1
2
---
1
x2
------
∆xo0
lim
e∆x 1
–
∆x
-------------------
1
x
---
∆xo0
lim
ln1∆x
+
()
∆x
------------------------------
2
x2
x
–
()
2
---------------------------------
-
2x
–
1x4
–1x2
+
()
-------------------------------------------
cos x
4xsinx
------------------------------
elnax2bxc
++
()
2ax b
+
()
2lnax2 bx c
++
()
ax2bxc
++
()
----------------------------------------------------------------------------------------------
1
1x2
+
-----------------
2 abmnxn 1
–
ab
x
n
+
()
m1
–
ab
x
n
–
()
m1
+
-------------------------------------------------------------------------
1
x2
------
x1
–
x
-------------
1
sin4 x cos4 x
----------------------------------
1m
–
m
---------------
1n
–
n
-------------
x
1x2
+
---------------------
t2
2
-------
8
x2
------
x
3
---
x
2x2 1
–
()
5/4
---------------------------------
2
1
2
---
a
x
---
f′(x)
–1,xÝ[1;2),
–1,xÝ(2;+×).
x1
–
f′(x)
2,xÝ(0;1),
, xÝ(1;+×).
2
3
---
f′(x)
–,
xÝ(–×;0),
–
, xÝ(0;+×).
1
2
---
1
2
---
f′(x)
0,
xÝ[2;4],
, xÝ(4;+×).
1
x2
–
-----------------
-
2x4
–
Г л а в а 9. Производная и ее применения
587
§ 47. Промежутки монотонности
и экстремумы функций
1. Если x Ý (–×; –2) Ÿ (–1; +×), то f(x) возрастает: если x Ý
Ý –2;– Ÿ – ;–1 ,тоf(x)убывает.2.ЕслиxÝ(0;1)Ÿ
Ÿ (1; e), то f(x) убывает; если x Ý (e; +×), то f(x) возрастает.
3. Возрастает при x Ý R. 4. Если x Ý (2; 3), то f(x) возраста-
ет;еслиxÝ(3;+×),тоf(x)убывает.5.ЕслиxÝ(–×;0)Ÿ
Ÿ (1; +×), то f(x) убывает; если x Ý (0; 1), то f(x) возрастает.
6.УбываетприxÝ(–×;0)Ÿ(0;+×).7.aÝ(–×;–2– )Ÿ
Ÿ (;+
×). Условие задачи эвивалентно условию
>0
для x Ý R. Выясните, при аих значениях параметра a вспо-
моательная фунция g(t), получающаяся из
заменой t =
=cosx, положительна на промежуте [–1; 1]. 8. a Ý (6; +×).
Найдите производную и выясните, при аих значениях x
она положительна. Используйте неравенство | cos αx | m cos 0
для любоо α. 9.xmax =–2,ymax =8;xmin =2,ymin =0.
10.xmax= +πk,ymax= +πk+ ;xmin=– +πk,ymin=
=– +πk– ;kÝZ.11.xmin=– ,ymin=– e–3/4;xmax=1,
ymax=1.12.xmax=3,ymax= ;xmin=–3,ymin=– .13.xmax=
=–2,ymax=25;xmin=1,ymin=–2.14.xmin=e,ymin=e.
15.xmax=–1,ymax=17;xmin=3,ymin=–47.16.xmax=0,
ymax=–2;xmin=2,ymin=2.
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
1.
f(x) = 3;
f(x)=1.2.
f(x) = 17;
f(x)=0.3.
f(x)= ;
f(x) = 0.
4.
f(x) = 0,75;
f(x) = 0,5. 5.
f(x)=
=;
f(x)=– .6.
f(x) = 0;
f(x) = –1.
3
2---
3
2---
5
5
f′(x)
f′(x)
π
3---
π
3---
3
2-------
π
3---
π
3---
3
2-------
1
2---
1
2---
1
3---
1
3---
max
xÝ[–1;1]
min
xÝ[–1;1]
max
xÝ[–2;1]
min
xÝ[–2;1]
max
xÝ[0;π]
33
8----------- min
xÝ[0;π]
max
xÝ[0;π/2]
min
xÝ[0;π/2]
max
x Ý [–π/2; π/2]
π
4---
min
x Ý [–π/2; π/2]
π
4---
max
x Ý [π; 3π/2]
min
x Ý [π; 3π/2]
586
Ответы, указания, решения
40.Верно 2>– + .41.Верно + >–3+lg5.
42. (3)=2.43. (0)=– .44. (0)=–4.45.A= .46.A= .
Глава 9. Производная и ее применения
§ 46. Нахождение производных
1. –. 2. –sin x. 3. ex. Воспользуйтесь равенством
=1.
4. . Воспользуйтесь равенством
= 1. 5. nxn – 1. Воспользуйтесь формулой
бинома Ньютона. 6. 0. 10. См. упр. 9 из §42 л.8.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
. 18.sin3xcos2x. 19.–t
g.
20.
. 21. 1. 22. 0. 23. –2x. 24. x(1–2m)/m +
+3 x(1–2n)/n. 25.
. 26. –(8–t2)–2/3. 27. .
28. (x2 –1)–5/6. 29. –.
30..31..
32.
=
Введите обозначение
=t.
33.
=
34.
=
35.
=
Положите
=t.
7
22------ 1
4---
1
2---
2
ff
ff
1
8---
ff
3
4---
1
2---
1
x2------
∆xo0
lim e∆x 1–
∆x
-------------------
1
x---
∆xo0
limln1∆x
+
()
∆x
------------------------------
2
x2x
–
()
2
----------------------------------
2x
–
1x4
–1x2
+
()
-------------------------------------------
cos x
4xsinx
------------------------------
elnax2 bxc
++
()
2ax b+
()
2lnax2 bx c
++
()
ax2bxc
++
()
----------------------------------------------------------------------------------------------
1
1x2
+-----------------
2abmnxn 1– abx
n
+
()
m1–
abxn
–
()
m1+
-------------------------------------------------------------------------
1
x2------ x 1–
x-------------
1
sin4 x cos4 x
----------------------------------
1m
–
m
---------------
1n–
n-------------
x
1x2
+
---------------------
t2
2
-------
8
x2------
x
3---
x
2x2 1–
()
5/4
---------------------------------
2
1
2--- a
x---
f′(x) –1, x Ý [1; 2),
–1,xÝ(2;+×).
x1–
f′(x)
2,xÝ(0;1),
,xÝ(1;+×).
2
3---
f′(x)
–,x Ý (–×; 0),
– ,xÝ(0;+×).
1
2---
1
2---
f′(x)
0, xÝ[2;4],
,xÝ(4;+×).
1
x2–
------------------
2x 4–
Г л а в а 9. Производная и ее применения
587
§ 47. Промежутки монотонности
и экстремумы функций
1. Если x Ý (–×; –2) Ÿ (–1; +×), то f(x) возрастает: если x Ý
Ý –2;–
Ÿ–;
–1 , то f(x) убывает. 2.Если x Ý (0;1)Ÿ
Ÿ (1; e), то f(x) убывае т; если x Ý (e; +×), то f(x) возрастает.
3. Возрастает при x Ý R. 4. Если x Ý (2; 3), то f(x) возраста-
ет;еслиx Ý(3;+×), тоf(x)убывает. 5.Еслиx Ý(–×;0)Ÿ
Ÿ (1; +×), то f(x) убывает; если x Ý (0; 1), то f(x) возрастает.
6.Убывает приxÝ(–×;0)Ÿ(0;+×).7.aÝ(–×; –2
–
)Ÿ
Ÿ(;
+
×). Условие задачи эвивалентно условию
>0
для x Ý R. Выясните , при аих значениях параметра a вспо-
моательная фунция g(t), получающаяся из
заменой t =
= cosx, положительна на промежуте [–1; 1]. 8 . a Ý (6; +×).
Найдите производную и выясните, при аих значениях x
она положительна. Используйте неравенство | cos αx | m cos 0
для любоо α. 9. xmax = –
2,ymax =8;xmin =2,ymin =0
.
10. xmax =
+πk,ymax =
+πk+ ;xmin= –
+πk,ymin=
=–
+πk– ;kÝZ.11.x
min
=–
,y
min
=–
e–3/4; xmax
=1,
ymax
= 1.12.x
max
= 3,y
max
=
; xmin
= –3,y
min
=–
. 13.x
max
=
=–2,ymax =25;xmin = 1,ymin = –2.14.xmin = e,ymin =e.
15.xmax = –1,ymax =17;xmin =3,ymin = –47.16.xmax =0,
ymax
= –2; xmin
= 2,y
min
=2.
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции
1.
f(x) = 3;
f(x)=1.2.
f(x) = 17;
f(x)=0.3.
f(x) =
;
f(x) = 0.
4.
f(x) = 0,75;
f(x) = 0,5. 5.
f(x)=
=;
f(x)= –
.6.
f(x) = 0;
f(x) = –1.
3
2
---
3
2
---
5
5
f′(x)
f′(x)
π
3
---
π
3
---
3
2
-- - ----
π
3
---
π
3
---
3
2
-------
1
2
---
1
2
---
1
3
---
1
3
---
max
xÝ[–1;1]
min
xÝ[–1;1]
max
xÝ[–2;1]
min
xÝ[–2;1]
max
xÝ[0;π]
33
8
-----------
min
xÝ[0;π]
max
xÝ[0;π/2]
min
xÝ[0;π/2]
max
x Ý [–π/2; π/2]
π
4
---
min
x Ý [–π/2; π/2]
π
4
---
max
x Ý [π; 3π/2]
min
x Ý [π; 3π/2]
588
Ответы, указания, решения
7.
f(x) =
,
f(x) =
.
Перейдите пе-
ременной y = sinx + cosx. 8.
f(x) =
,
f(x)=2.9.
f(x) = 3. Перейдите перемен-
нойy=cosx.10.
f(x)=f(0)=1;
f(x) = f(–1) = 0.
11. а)
f(x)=f(2)=4,
f(x)=2;б)
f(x) =
= f(–2)=4;
f(x) = 2. 12.
f(x) = 2;
f(x) = –2.
13.
f(x) =21+3ln2,
f(x)=0.14.xmin =
;
f(x) = 105. 15.
f(x)=f(5)=5;
f(x)=
= f(0)=f(10)=0.16.
f(x)=f(3)=4 ;
f(x)=
= f(1) = 0. Перейдите переменной y = (x – 1)2 и восполь-
зуйтесь тем, что g(u) =
—
монотонно возрастающая фун-
ция. 17.
y =4;
y=
. 18. [0; +×).
19. 3;
. 20.3⁄4.21.
– ;1. Можно найти маси-
мальное и минимальное значения исходной фунции, но есть
и друой способ, состоящий в том, чтобы рассмотреть значе-
ния y, при оторых уравнение y(x2 – 3x + 3) = x – 1 относи-
тельно x имеет действительные решения. 22 . а) y Ý 0; ;
б)yÝ –;
.
23. Рассмотрите неравенство, связывающее
в ыражения, обратные левой и правой частям исходноо не-
равенства. 24. Представьте фунцию в виде f(x) = 2 sin x –
– 2sin3 x и заменой t = sin x сведите задачу доазательству
справедливости неравенства
g(t)>– , деg(t)=2t–2t3.
25. См. уазание упр. 24 . 26. См. уазание упр. 24.
28.См.уазаниеупр.21.29.aÝ –
×;–
. Используя
max
xÝR
4
82
–
-----------------
min
xÝR
4
82
+
------------------
max
x Ý [π/6; π/3]
43
3
-----------
min
x Ý [π/6; π/3]
min
xÝ[0;π]
max
xÝ[–2;0]
min
xÝ[–2;0]
max
xÝ[0;2]
min
xÝ[0;2]
max
xÝ[–2;0]
min
xÝ[–2;0]
max
xÝR
min
xÝR
max
xÝ[1/2;4]
min
xÝ[1/2;4]
1
3
---
max
xÝ[0;3]
max
xÝ[0;10]
min
xÝ[0;10]
max
xÝ[0;3]
6 min
xÝ[0;3]
u
max
x Ý [–5/2; 1/2]
min
x Ý [–5/2; 1/2]
3
2
---
3
cos 2 1,5
----------------------
1
3
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
min
tÝ[–1;1]
7
9
---
35
+
16
------------------
Г л а в а 9. Производная и ее применения
589
второе уравнение, получите неравенство с параметром относи-
тельно одноо неизвестноо. Затем найдите наименьшее значе-
ние фунции при аждом a и уажите множество всех значе-
ний a, при оторых это значение меньше 4. 30. 44. Восполь-
зуйтесьтем,чтоa9+a3=a1+a11.31. a=– ,a=– .
Используйте свойство еометричесой прорессии:
=
=bn–1bn+1.32. .33. –1.34.a=9.Найдитенаимень-
шее значение фунции y =
+
на промежуте
0; ; см. таже уазание упр. 24. 35. Воспользуйтесь со-
отношением между средним арифметичесим и средним ео-
метричесим двух чисел. 36. Представьте фунцию в виде
z=(x+y+1)2+(x–2)2–3.37.a=1.Воспользовавшись
теоремой Виета, выразите сумму вадратов орней уравнения
а фунцию a. 38. Найдите наибольшее и наименьшее зна-
чения фунции
при x Ý R; см. таже уазание упр. 24.
42. См. уазание упр. 24. 43. Используйте представление
sin6x +cos6x =1– sin22x. 45.Три орня. 46.
+
+=
0
.
47. а)
+
>0;б)
+
<0.
§ 49. Задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений функции
1.18=9+9.2.36=6·6.3.40+80+60=180.4. + =a.
5. p = –2, q = 0; расстояние равно 1. Расстояние от вершины
параболы до оси Ox представляет собой ординату вершины.
6. .7. ;ä2
— оординаты вершин прямоуольни-
а, лежащих на параболе. 8. Высота онуса, имеющео наи-
большую боовую поверхность, равна . 9. Диаметр основа-
4
3---
8
3---
bn
2
2
3---
3
4
sin x
-------------
1
1 sinx
–-----------------------
π
2---
x
1x2
+
-----------------
3
4---
p
3---
3
q
2---
3
p
3---
3
q
2---
3
p
3---
3
q
2---
3
a
2--- a
2---
4
3
-------
2a
3-------
pa
3-------
4R
3--------
588
Ответы, указания, решения
7. f(x) =
, f(x)=
. Перейдите пе-
ременной y = sinx + cosx. 8.
f(x) =
,
f(x)=2.9.
f(x) = 3. Перейдите перемен-
нойy=cosx.10.
f(x)=f(0)=1;
f(x) = f(–1) = 0.
11. а)
f(x)=f(2)=4,
f(x)=2;б)
f(x) =
=f(–2)=4;
f(x)=2.12. f(x)=2; f(x)=–2.
13.
f(x)=21+3ln2,
f(x)=0.14.xmin= ;
f(x) = 105. 15.
f(x)=f(5)=5;
f(x)=
=f(0)=f(10)=0.16.
f(x)=f(3)=4 ;
f(x)=
= f(1) = 0. Перейдите переменной y = (x – 1)2 и восполь-
зуйтесь тем, что g(u) = — монотонно возрастающая фун-
ция. 17.
y =4;
y = .18.[0; +×).
19. 3;
. 20. 3⁄4. 21. –;1. Можно найти маси-
мальное и минимальное значения исходной фунции, но есть
и друой способ, состоящий в том, чтобы рассмотреть значе-
ния y, при оторых уравнение y(x2 – 3x + 3) = x – 1 относи-
тельно x имеет действительные решения. 22. а) y Ý 0; ;
б) y Ý –; .23. Рассмотрите неравенство, связывающее
выражения, обратные левой и правой частям исходноо не-
равенства. 24. Представьте фунцию в виде f(x) = 2 sin x –
–2sin3 x и заменой t = sin x сведите задачу доазательству
справедливости неравенства
g(t)>– ,деg(t)=2t–2t3.
25. См. уазание упр. 24. 26. См. уазание упр. 24.
28.См.уазаниеупр.21.29.aÝ –×;–
. Используя
max
xÝR
4
82
–
----------------- min
xÝR
4
82
+
------------------
max
x Ý [π/6; π/3]
43
3-----------
min
x Ý [π/6; π/3]
min
xÝ[0;π]
max
xÝ[–2;0]
min
xÝ[–2;0]
max
xÝ[0;2]
min
xÝ[0;2]
max
xÝ[–2;0]
min
xÝ[–2;0]
max
xÝR
min
xÝR
max
xÝ[1/2;4]
min
xÝ[1/2;4]
1
3---
max
xÝ[0;3]
max
xÝ[0;10]
min
xÝ[0;10]
max
xÝ[0;3]
6 min
xÝ[0;3]
u
max
x Ý [–5/2; 1/2]
min
x Ý [–5/2; 1/2]
3
2---
3
cos2 1,5
----------------------
1
3---
1
2---
1
2--- 1
2---
min
tÝ[–1;1]
7
9---
35
+
16
------------------
Г л а в а 9. Производная и ее применения
589
второе уравнение, получите неравенство с параметром относи-
тельно одноо неизвестноо. Затем найдите наименьшее значе-
ние фунции при аждом a и уажите множество всех значе-
ний a, при оторых это значение меньше 4. 30 . 44 . Восполь-
зуйтесьтем,чтоa9+a3=a1+a11.31.a =– ,a=–
.
Используйте свойство еометричесой прорессии:
=
=b
n–1bn+1.32. .33.
–
1. 34. a = 9. Найдите наимень-
шее зна чение фунции y =
+
на промежуте
0; ; см. таже уазание упр. 24. 35 . Воспользуйтесь со-
отношением между средним арифметичесим и средним ео-
метричесим двух чисел. 36 . Представьте фунцию в виде
z=(x+y+1)2+(x–2)2–3.37.a =1.Воспользовавшись
теоремой Вие та, выразите сумму вадратов орней уравнения
а фунцию a. 38 . Найдите наибольшее и наименьшее зна-
чения фунции
при x Ý R; см. таже уазание упр. 24.
42. См. уазание упр. 24 . 43. Используйте представление
sin6x +cos6x =1 – sin22x. 45.Три орня. 46.
+
+=
0
.
47. а)
+
>0;б)
+
<0.
§ 49. Задачи на отыскание наибольших
и наименьших значений функции
1.18 =9+9.2.36 =6 ·6.3.40+80+60=180.4. +
=a.
5. p = –2, q = 0; расстояние равно 1. Расстояние от вершины
параболы до оси Ox представляет собой ординату вершины.
6. .7.
;ä2
—
оординаты вершин прямоуольни-
а, лежащих на параболе. 8. Высота онуса, имеющео наи-
большую боовую поверхность, равна
. 9 . Диаметр основа-
4
3
---
8
3
---
bn
2
2
3
---
3
4
sin x
-------------
1
1 sinx
–
-----------------------
π
2
---
x
1x2
+
-----------------
3
4
---
p
3
---
3
q
2
---
3
p
3
---
3
q
2
---
3
p
3
---
3
q
2
---
3
a
2
---
a
2
---
4
3
-- - ----
2a
3
-------
pa
3
------
-
4R
3
--------
590
Ответы, указания, решения
ния и высота цилиндра равны
. 10. Равнобедренный прямо-
уольный треуольни с атетами
. Воспользуйтесь тем,
что ипотенуза прямоуольноо треуольниа является диа-
ме тром описанноо руа. 11 . φ =
. Воспользовавшись тем,
что треуольни ABD прямоуольный, выразите боовую сто-
рону и меньшее основание трапеции через диаметр описанной
оружнос ти. 12 . Треуольни, у отороо один из улов при
основании равен
–
.
Используйте теорему синусов.
13. 30. 14. 2a. 15. x
=5
.16.α
= 2arctg ,H =
.
17.α =
. Используйте формулу r =
, де S— площадь,
а p—полупериметр треуольниа. 18. α = arccos
.19.α=
.
20. h = (l2/3 – d2/3)3/2. Связь между арументами фунции,
наименьшее значе ние оторой требуется найти, установите из
подобия прямоуольных треуольниов , ипоте нузами ото-
рых являются внешняя и в нутренняя по отношению башне
части стержня. 21. Длина — 30 см, ширина — 20 см. 22. а) x =
=y=;б)x=
,y=d
.23.h=
. 24 . Сторона площад-
и, примыающая стене, должна быть вдвое больше друой
стороны. 25. AM = a
(+)
–1
. 26. К точе отреза AB,
удаленной от B на 1 м. Время достижения пунта B а
фунцию оординаты точи, оторой должна пристать лода,
представьте в виде суммы двух слааемых, одно из оторых —
в ремя движения по воде, а друое — по суше. 27. Через t0 =
=(
с
)
;
W(t0) =
. Кинетичесая энерия W
в момент t равна W(t) =
, де m(t)— масса апли
моменту t, а v(t)— достинутая этому моменту сорость.
28. 20 м/ч; 720 р. Воспользуйтесь тем, что стоимость еди-
ницы пути сладывается из двух величин: первая пропорцио-
2
3
-------
2S
π
3
---
π
2
---
α
2
---
3
3
-------
8R
33
-----------
π
3
---
S
p
---
vр
vл
------
π
4
---
d
2
-------
d
3
-------
2
3
---
r
2
-------
p
3
p
3
q
3
2m0
3k
-----------
-
2
27
------
m0
3
g
2
k2
--------------
с
м2
⋅
с2
-----------------
mt
()v 2 t()
2
---------------------------
Г л а в а 9. Производная и ее применения
591
нальна убу сорости, а вторая обратно пропорциональна пер-
вой степени сорости. 29. x(P) = min ; a , де x(P)—рас-
стояние от станции железной дорои до пунта P. 30. ч.
31. 1ч
. Расстояние в момент t между поездом и авто-
мобилем представляет собой третью сторону треуольниа,
двумя друими сторонами отороо являются расстояние,
пройденное поездом, и расстояние, оторое осталось пройти
автомобилю. 32. Через ч. См. уазание упр. 31.
33. y =.34. Бриллиант был расолот пополам. 35. Сопро-
тивления должны быть одинаовыми и равными . 36. α =
= max arccos ; arctg . Воспользуйтесь тем, что время
движения онца а фунция оординаты точи причалива-
ния сладывается из времени движения по воде и по береу.
37.
= , де α — уол падения, а β — уол преломления
луча. Выразите путь луча в аждой среде через оординату
точи падения на ранице сред. Найдите отношение путей в
аждой среде их проециям на раницу сред, при отором
достиается минимум времени прохождения всео пути между
точамиAиB.38.α=β,деα—уолпадения,β—уолотра-
жения. См. уазание упр. 37. 39. I1 =
,I2=
,
т. е. тои следует разветвить обратно пропорционально сопро-
тивлениям, через оторые должны быть пропущены эти тои.
40. 60 000 р. 41. n = 8; общая стоимость затрат d 2,8 млрд р.
Если f(x) — фунция, выражающая зависимость стоимости
от построенной площади, то следует исать наименьшее зна-
чение фунции F(n) = nf
, де n—число построенных
100
3
----------
23
410
----------
27
43------
a
2 v-------
2h
3-------
R
2----
1
k---
h
d---
sin α
sin β
------------- v1
v2
------
IR2
R1 R2
+
---------------------
IR1
R1 R2
+
---------------------
2
40000
n
------------------
590
Ответы, указания, решения
ния и высота цилиндра равны . 10. Равнобедренный прямо-
уольный треуольни с атетами . Воспользуйтесь тем,
что ипотенуза прямоуольноо треуольниа является диа-
метром описанноо руа. 11. φ = . Воспользовавшись тем,
что треуольни ABD прямоуольный, выразите боовую сто-
рону и меньшее основание трапеции через диаметр описанной
оружности. 12. Треуольни, у отороо один из улов при
основании равен – . Используйте теорему синусов.
13.30. 14.2a. 15.x =5.16.α =2arctg ,H = .
17. α = . Используйте формулу r = , де S—площадь,
а p—полупериметр треуольниа. 18. α = arccos . 19. α = .
20. h = (l2/3 – d2/3)3/2. Связь между арументами фунции,
наименьшее значение оторой требуется найти, установите из
подобия прямоуольных треуольниов, ипотенузами ото-
рых являются внешняя и внутренняя по отношению башне
части стержня. 21. Длина — 30 см, ширина — 20 см. 22. а) x =
=y= ;б)x= ,y=d .23.h= .24.Сторонаплощад-
и, примыающая стене, должна быть вдвое больше друой
стороны.25.AM=a (+)
–1. 26. К точе отреза AB,
удаленной от B на 1 м. Время достижения пунта B а
фунцию оординаты точи, оторой должна пристать лода,
представьте в виде суммы двух слааемых, одно из оторых —
время движения по воде, а друое — по суше. 27. Через t0 =
=(
с
)
;
W(t0) =
. Кинетичесая энерия W
в момент t равна W(t) =
, де m(t)— масса апли
моменту t, а v(t)— достинутая этому моменту сорость.
28. 20 м/ч; 720 р. Воспользуйтесь тем, что стоимость еди-
ницы пути сладывается из двух величин: первая пропорцио-
2
3
-------
2S
π
3---
π
2--- α
2---
3
3-------
8R
33
-----------
π
3---
S
p---
vр
vл
------
π
4---
d
2
-------
d
3
-------
2
3---
r
2
-------
p3p
3
q3
2m0
3k
------------
2
27------ m0
3g2
k2
--------------
см2
⋅
с2
-----------------
mt()v2 t()
2
---------------------------
Г л а в а 9. Производная и ее применения
591
нальна убу сорости, а вторая обратно пропорциональна пер-
вой степени сорости. 29. x(P) = min
; a , де x(P)—рас-
стояние от станции железной дорои до пунта P. 30 .
ч.
31. 1ч
.
Расстояние в момент t между поездом и авто-
мобилем представляет собой третью сторону треуольниа,
двумя друими сторонами отороо являются расстояние,
пройденное поездом, и расстояние, оторое осталось пройти
автомобилю. 32. Через
ч. См. уазание упр. 31 .
33.y =.
34. Бриллиант был расолот пополам. 35 . Сопро-
тивления должны быть одинаовыми и равными . 36 . α =
= max arccos ; arctg
. Воспользуйтесь тем, что время
движения онца а фунция оординаты точ и причалива-
ния сладывае тся из времени движения по воде и по береу.
37.
=
, де α — уол падения, а β — уол преломления
луча. Выразите путь луча в аждой среде через оординату
точи падения на ранице сред. Найдите отноше ние путей в
аждой среде их проециям на раницу сред, при отором
достиается минимум време ни прохождения всео пути между
точамиAиB.38. α =β,деα—уолпадения,β —уолотра-
жения. См. уазание упр. 37. 39 . I1 =
,I2=
,
т. е . тои следует разветвить обратно пропорционально сопро-
тивлениям, через оторые должны быть пропущены эти тои.
40. 60 000 р. 41 . n = 8; общая стоимость затрат d 2,8
млрд р.
Если f(x) — фунция, вы ражающая зависимость стоимости
от построен ной площади, то следует исать наименьшее зна-
че ние фунции F(n) = nf
, де n—число построенных
100
3
----------
23
410
----------
27
43
------
a
2v
-------
2h
3
-------
R
2
-- --
1
k
---
h
d
---
sin α
sin β
-------------
v1
v2
------
IR2
R1 R2
+
---------------------
IR1
R1 R2
+
---------------------
2
40000
n
------------------
592
Ответы, указания, решения
домов. 42. 4м
.
Найдите расстояние, при отором таненс
ула обзора будет наибольшим (таненс — монотонная фун-
ция своео аруме нта). 43. ( –
b)·3
–1/2. Найдите
расстояние, при отором тан е нс ула, образован но о точой
оста нови ав тобуса и двумя противоположными сторонами
фасада дворца, является наибольшим. Выразите этот уол в ви-
де разности улов, под оторыми видны дальний и ближний
(по отношению шоссе) онцы фасада дворца. 44 . α = arctg k;
F=
. Воспользуйтесь тем, что сумма сил в плосос-
ти движения должна быть равна нулю. 45. ρ = 2,4; x0 =
,
y0=
. 46.
;
.
Задача сводится нахождению
точи C параболы, масимально удаленной от прямой BD.
47. Периметр треуольниа AMB равен
+2
+
.
Наименьший периметр достиается при условии, что точа M
совпадает с началом оординат. Рассмотрите точу, симмет-
ричную точе A относительно прямой y = x . 48. Точа M долж-
на делить пополам отрезо прямой, залюченный между сторо-
нами ула. Исследуйте измене ние площади треуольниа при
изменении налона прямой, проходящей через точу M. 49. Две
оставшиеся вершины получаются при пересечении сторон у-
ла прямой, проходящей через точи, оторые являются сим-
ме тричными образами точи M относительно сторон ула.
50. 2R sin
. 51.
. 52. Длина стороны основания
равна 2см, объем равен 4см3. 53. Стороны прямоуольниа,
имеющео наибольшую площадь, равны
. 54. .55.Smax=
= R2 tg . Рассмотрите два случая: первый — две вершины
исомоо прямоуольниа лежат на одном из радиусов, обра-
зующих сетор; второй — по одной вершине лежат на радиусах
и две на дуе сетора. Во втором случае разбейте сетор на два
одинаовых сетора, тода задача сведется первому случаю,
рассмотренному для аждой половины отдельно.
2
4b2 3a2
–
km
1k2
+
--------------------
-
5
3
---
5
9
---
1
2
---
7
4
---
10
5
34
2π
9
-------
a
4b
------
3b2 a2
–
R2
2
------------
5π
9
-------
α
2
---
Г л а в а 9. Производная и ее применения
593
§ 50. Геометрические приложения производной
1.( ;2– )и(– ;2+ ).2.y=2.3.y=– +
+.
4.arctg9;y=9x–23 .5. ;– .Координаты
точи асания определите из уравнения
= k, де k—у-
ловой оэффициент асательной. 6. (0; 2). 7. 2. 8. y = 8x + 4.
9.x0=arcsin + .10.πn; + ;nÝZ.11.(8;0);(0;0).
12. (3; – 15); и 21; (–1; 9); и 19. Найдите уол, образуе-
мый исомой асательной с положительным направлением
оси Ox. 13. a = 1. Условие пересечения прямой и параболы
равносильно существованию двух действительных орней со-
ответствующео вадратноо уравнения; полусумма абсцисс
этих орней по условию должна быть равна 2. 14. y = –3x – 4.
15.y=x+4,y=–x+4.17. 2; ; 3; .18. .
19. Продифференцируем аждое уравнение, считая, что
y—фунцияотx.Имеемy+y′x=0и2x–2yy′=0.Выра-
зив y′ в аждом из уравнений, имеем y′ = – , y′ = соответ-
ственно. Следовательно, в любой точе M(x0; y0), являющейся
точой пересечения ривых, произведение уловых оэффи-
циентов асательных равно –1.
20. Поажите, что произведение уловых оэффициен-
тов в точах пересечения линий разных семейств равно –1.
21. ;b +2c , – ;2c–b приac>0;(0;0)при
c=0;нетрешенийприac<0.22.(a+
;2a2+
+(
2
a–5)–10a–b),(a–
;
2a2 –
(2a–5)–10a–b),еслиa2–(5a+b–6)>
>0;(a;2a2–10a–b),еслиa2–(5a+b–6)=0;нетрешений,
еслиa2–(5a+b–6)<0.23.y=– x+ +1,деx0= ,
2
2
2
2
3x
π33
+
2
----------------------
1
4---
1
2--- 15
32------
f′(x)
1
42
----------- π
4---
π
8--- πn
4-------
21
2------
19
2------
8
3---
7
2---
3π
4-------
y
x---
x
y---
c
a--- c
a---
c
a---
c
a---
a2 5ab6–
+
()
–
a2 5ab6–
+
()
–
a2 5ab6–
+
()
–
a2 5ab6–
+
()
–
1
x0
2------
2
x0
------
2
b 1–-------------
592
Ответы, указания, решения
домов. 42. 4м
.
Найдите расстояние, при отором таненс
ула обзора будет наибольшим (таненс — монотонная фун-
ция своео арумента). 43. ( –
b) · 3–1/2. Найдите
расстояние, при отором таненс ула, образованноо точой
останови автобуса и двумя противоположными сторонами
фасада дворца, является наибольшим. Выразите этот уол в ви-
де разности улов, под оторыми видны дальний и ближний
(по отношению шоссе) онцы фасада дворца. 44. α = arctg k;
F=
. Воспользуйтесь тем, что сумма сил в плосос-
ти движения должна быть равна нулю. 45. ρ = 2,4; x0 = ,
y0 = . 46. ; . Задача сводится нахождению
точи C параболы, масимально удаленной от прямой BD.
47. Периметр треуольниа AMB равен
+2+.
Наименьший периметр достиается при условии, что точа M
совпадает с началом оординат. Рассмотрите точу, симмет-
ричную точе A относительно прямой y = x. 48. Точа M долж-
на делить пополам отрезо прямой, залюченный между сторо-
нами ула. Исследуйте изменение площади треуольниа при
изменении налона прямой, проходящей через точу M. 49. Две
оставшиеся вершины получаются при пересечении сторон у-
ла прямой, проходящей через точи, оторые являются сим-
метричными образами точи M относительно сторон ула.
50.2Rsin .51.
. 52. Длина стороны основания
равна 2см, объем равен 4см3. 53. Стороны прямоуольниа,
имеющео наибольшую площадь, равны . 54. . 55. Smax =
= R2 tg . Рассмотрите два случая: первый— две вершины
исомоо прямоуольниа лежат на одном из радиусов, обра-
зующих сетор; второй — по одной вершине лежат на радиусах
и две на дуе сетора. Во втором случае разбейте сетор на два
одинаовых сетора, тода задача сведется первому случаю,
рассмотренному для аждой половины отдельно.
2
4b2 3a2
–
km
1k2
+
---------------------
5
3---
5
9---
1
2--- 7
4---
10
534
2π
9-------
a
4b------ 3b2 a2
–
R2
2------------
5π
9-------
α
2---
Г л а в а 9. Производная и ее применения
593
§ 50. Геометрические приложения производной
1.( ;2– )и(– ;2+ ).2.y =2.3.y = –
+
+.
4.arctg9;y=9x–23
.5.;–
. Координаты
точи асания определите из уравнения
= k, де k—у-
ловой оэффициент асательной. 6. (0; 2). 7. 2. 8. y = 8x + 4.
9. x0 = arcsin
+ .10.πn; + ;nÝZ.11.(8;0);(0;0).
12. (3; – 15); и 21; (–1; 9); и 19. Найдите уол, образуе-
мый исомой асательной с положительным на правлением
оси Ox. 13. a = 1. Условие пересечения прямой и параболы
равносильно существованию двух действительных орней со-
ответствующео вадратноо уравнения; полусумма абсцисс
этих орней по условию должна быть равна 2. 14 . y = –3x – 4.
15.y =x+4,y=–x+4.17. 2; ; 3; .18. .
19. Продифференцируем аждое уравнение, считая, что
y—фунцияотx.Имеемy+y′x =0и2x–2yy′ = 0.Выра-
зив y′ в аждом из уравнений, имеем y′ = –
,y′=
соответ-
ственно. Следовательно, в любой точе M(x0; y0), являющейся
точой пересечения ривых, произведение уловых оэффи-
циентов асательных равно –1.
20. Поажите, чт о произведение уловых оэффициен-
тов в точах пересече ния линий разных се мейств равно –1 .
21.
;b+2c,
–
;2c–b
приac>0;(0;0)при
c=0;нетрешенийприac<0.22.(a+
;2a2+
+(
2
a–5)–10a–b),(a–
;
2a2 –
(2a–5)–10a–b),еслиa2–(5a+b–6)>
>0;(a;2a2–10a–b),еслиa2–(5a+b–6)=0;нетрешений,
еслиa2–(5a+b–6)<0.23.y = –
x+
+1,деx0=
,
2
2
2
2
3x
π33
+
2
---------------------
-
1
4
---
1
2
---
15
32
------
f′(x)
1
42
-----------
π
4
---
π
8
---
πn
4
-- -- ---
21
2
------
19
2
------
8
3
---
7
2
---
3π
4
-------
y
x
---
x
y
---
c
a
---
c
a
---
c
a
---
c
a
---
a2 5ab6
–
+
()
–
a2 5ab6
–
+
()
–
a2 5ab6
–
+
()
–
a2 5ab6
–
+
()
–
1
x0
2
------
2
x0
------
2
b1
–
-------------
594
Ответы, указания, решения
еслиa=0,b−1;x0=,
е
с
л
и
a−0,b=1;x0=
,еслиa−0,
b=1+ ;x0=
,еслиa>0,b−1,b<1+ или
еслиa<0,b−1,b>1+ .Востальныхслучаях a=0,b =1;
a>0,b>1+ ;a<0,b<1+
решений не существует.
24. y = –x + . Условие пересечения двух линий y = f1(x) и
y = f2(x) равносильно совместности с истемы уравнений y = f1(x),
y = f2(x), решения оторой являются оординатами точе пере-
сечения. 25.
;
.26.φ=
. Исомым является уол
между асательными оружности, проведенными через точ-
у (8; 0). 27. (–0,4; 8,8), если точа M двиалась по оруж-
ности против часовой стрели; (6; 4), если точа M двиалась
в противоположном направлении. 28. p = 2bk . 29. Прямая y =
=–
. Геометричесое место точе, из оторых парабола вид-
на под прямым улом, представляет собой множество точе пе-
ресече ния асательных параболе, образующих прямой уол.
30. arctg –
. 31.Оружностьx2+y2=a2+b2.См.уаза-
ниеупр.29.37.Приa=
. 38. (0; 2).
§ 51. Приложения производной к задачам физики
1. –1,5 м/с (зна «минус» означает, что y(t) уменьшается).
Если y(t) — заон движения верхне о онца, а x(t)—нижне-
о,тоx2+y2=25.2.x(t)= –
; зна «минус» означает, что
тень уменьшается. 3 . Убывает со соростью 0,4 см/с. 4. 15 см/с.
Момент встречи определите из условия x1(t) = x2(t).
5. 2v0 sin
t . Введем систему оординат та, чтобы
олесо атилось по оси Ox, а ось Oy при t = 0 проходила через
a
2
---
1
b1
–
-------------
1
a
---
1ä1a1b
–
()
+
–
1b
–
--------------------------------------------------
1
a
---
1
a
---
1
a
---
1
a
---
5
2
---
1
8
---
1
16
------
π
3
---
1
2
---
4
3
---
1
2e
------
hl
vt2
--------
-
v0
2R
--------
Г л а в а 9. Производная и ее применения
595
центр олеса. Тода в силу независимости движений справедли-
вы следующие заоны изменения абсциссы и ординаты воздя:
x(t)=v0(t)–Rsin t, y(t)=R–Rcos t.
Таим образом,
x′(t)=v0– Rcos t=v0 1–cos t ,
y′(t)= v0sin t=v0sin t.
Найдем сорость перемещения воздя в момент времени t:
v=
=v0
=2v0sin t.
6. Сорость равна нулю. При движении точи по оруж-
ности абсцисса изменяется по заону x = R cos ωt. 7. h =
.
Изменение высоты подъема тела происходит по заону h(t) =
= v sin αt – , вертиальная составляющая сорости в точе
масимальноо подъема равна нулю. 8. 12 рад/с; олесо оста-
новится через 2 с. 9. v(t) =
. Выразите расстоя-
ние между телами в момент t а третью сторону треуольни-
а, двумя друими сторонами отороо являются s1(t) и s2(t).
10. 40 м/ч.
11.Вмоментt=
предмету следует придать сорость
v = v0 + at2. Заон движения предмета имеет вид
s(t) =
v0
R------
v0
R------
v0
R------
v0
R------
v0
R------
R
R----
v0
R------
v0
R------
x′()2 y′()2
+
12cosv0
R------ t
–1
+
v0
2R--------
v2sin2α
2g
------------------------
gt2
2---------
2t3 6t2
–1
2
t
+
t4 4t3
–1
2
t2
+
---------------------------------------------
t1 t2
+
2
-----------------
v0t+ ,
tmt1,
v0t+at1t– , t1<tm
,
v0t+at2t– , t>
.
at2
2---------
at1
2
2---------
t1 t2
+
2
-----------------
at2
2
2---------
t1 t2
+
2
-----------------
594
Ответы, указания, решения
еслиa=0,b−1;x0=,еслиa−0,b=1;x0= ,еслиa−0,
b=1+ ;x0=
,еслиa>0,b−1,b<1+ или
еслиa<0,b−1,b>1+ .Востальныхслучаях a=0,b=1;
a>0,b>1+ ;a<0,b<1+ решенийнесуществует.
24. y = –x + . Условие пересечения двух линий y = f1(x) и
y = f2(x) равносильно совместности системы уравнений y = f1(x),
y = f2(x), решения оторой являются оординатами точе пере-
сечения. 25. ; . 26. φ = . Исомым является уол
между асательными оружности, проведенными через точ-
у (8; 0). 27. (–0,4; 8,8), если точа M двиалась по оруж-
ности против часовой стрели; (6; 4), если точа M двиалась
в противоположном направлении. 28. p = 2bk. 29. Прямая y =
=– . Геометричесое место точе, из оторых парабола вид-
на под прямым улом, представляет собой множество точе пе-
ресечения асательных параболе, образующих прямой уол.
30.arctg – .31.Оружностьx2+y2=a2+b2.См.уаза-
ниеупр.29.37.Приa= .38.(0;2).
§ 51. Приложения производной к задачам физики
1. –1,5 м/с (зна «минус» означает, что y(t) уменьшается).
Если y(t) — заон движения верхнео онца, а x(t)—нижне-
о, то x2 + y2 = 25. 2. x(t) = – ; зна «минус» означает, что
тень уменьшается. 3. Убывает со соростью 0,4 см/с. 4. 15 см/с.
Момент встречи определите из условия x1(t) = x2(t).
5. 2v0 sin t . Введем систему оординат та, чтобы
олесо атилось по оси Ox, а ось Oy при t = 0 проходила через
a
2---
1
b 1–-------------
1
a---
1ä1a1b–
()
+
–
1b–
--------------------------------------------------
1
a---
1
a---
1
a---
1
a---
5
2---
1
8--- 1
16------
π
3---
1
2---
4
3---
1
2e------
hl
vt2---------
v0
2 R--------
Г л а в а 9. Производная и ее применения
595
центр олеса. Тода в силу независимости движений справедли-
вы следующие заоны изменения абсциссы и ординаты воздя:
x(t)=v0(t)–Rsin t, y(t)=R –Rcos t.
Таим образом,
x′(t)=v0– Rcos t=v0 1–cos t ,
y′(t)= v0sin t=v0sin t.
Найдем сорость перемещения воздя в момент времени t:
v=
=v0
= 2v0 sin
t.
6. Сорость равна нулю. При движении точи по оруж-
ности абсцисса изменяется по заону x = R cos ωt. 7. h =
.
Изменение высоты подъема тела происходит по заону h(t) =
= vsinαt–
, вертиальная составляющая сорости в точе
масимальноо подъема равна нулю. 8. 12 рад/с; олесо оста-
новится через 2 с. 9 . v(t) =
. Выразите расстоя-
ние между телами в момент t а третью сторону треуольни-
а, двумя друими сторонами отороо являются s1(t) и s2(t).
10. 40 м/ч.
11.Вмоментt=
предмету следует придать сорость
v = v0 + at2. Заон движения предмета имее т вид
s(t) =
v0
R
-----
-
v0
R
-----
-
v0
R
------
v0
R
------
v0
R
-----
-
R
R
-- --
v0
R
-----
-
v0
R
-----
-
x′
()2 y′
()2
+
12c
o
s
v0
R
------
t
–1
+
v0
2R
--------
v2 sin2 α
2g
------------------------
gt2
2
--------
-
2t3 6t2
–1
2
t
+
t4 4t3
–1
2
t2
+
---------------------------------------------
t1 t2
+
2
-----------------
v0t +
,
tmt1,
v0t+at1t–
,
t1<tm
,
v0t+at2t–
,t>
.
at2
2
---------
at1
2
2
--------
-
t1 t2
+
2
-----------------
at2
2
2
---------
t1 t2
+
2
-----------------
596
Ответы, указания, решения
Отделившись от раеты в момент t1, предмет движется
равномерно со соростью, оторой достила раета в уазанный
момент. Затем в неоторый момент t предмет мновенно увели-
чивает свою сорость до величины v и снова движется равно-
мерно до встречи с раетой в момент t2, причем в этот момент
их сорости одинаовы. Следовательно, заон движения предме-
та вне раеты представляет собой ломаную линию, звеньями о-
торой являются асательные параболе s(t) = v0t +
в точ-
ах t1 и t2. Абсцисса t точи пересечения этих асательных —
исомый момент времени. Сорость предмета в момент t совпа-
дает со соростью в момент t2 и равна производной фунции
s(t) в моме нт t2. Та а s′(t) = v0 + at, то уравне ния асатель-
ных параболе s(t) в точах t1 и t2 имеют вид
s(t) = s(t1) + (v0 + at1)(t – t1),
(*)
s(t) = s(t2) + (v0 + at2)(t – t2).
Рассматривая (*) а систему уравнений относительно двух не-
известных s и t, находим, что t =
, и значит, заон дви-
жения предмета записывается в виде, уазанном в ответе .
12.t0=t1–
. Заон движения раеты после от-
лючения двиателей можно записать в виде уравнения аса-
тельной ривой, являющейся рафиом заона движения.
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
1. arcsin
–
ln(x +
) + C. Разделите почленно
числитель на знаменатель и воспользуйтесь формулами (17)
и (18). 2. x5/3 –
x7/6+C.3. –(1–x)3/2+ (1–x)5/2+C.
Преобразуйте фунцию виду f(x) =
–
(1–x).
Для представления f(x) в таом виде удобно ввести переменную
t=1 –x;тодаf(x)=g(t(x)),деg(t)=(1–t)=
–
t.
at2
2
---------
t1 t2
+
2
-----------------
t1
2
2s1
–
x
2
-------
x22
+
3
5
---
12
7
------
2
3
---
2
5
---
1x
–
1x
–
t
t
t
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
597
4.–81–
+1–
. См. уазание упр. 3.
5.–(2x–1)–1+ (2x–1)–2+C. См.уазаниеупр.3.
6.
–
+ C. Представьте фунцию в виде
f(x) =
–
.7. –x+C.8.t+ln|t|+C.
9.
+C.10.– x3/2+4x–1/2+C.11.2x1/2– x3/2+C.
12.–x+C.13.x– +C.14.x+x2+C.15.mx1/m+3nx1/n+C.
16.x2–x+C.17.
+C.18.2x–8ln|x|+C.19.x+
+2ln|x–2|+C.20.
+C.21.–c
o
s1
2
x– cos10x–
–cos9x – cos11x + C. Преобразуйте подынтеральное
выражение виду sin 12x + sin 10x + sin 9x + sin 11x и восполь-
зуйтесь правилами интерирования (4) и (5) и формулой (9)
таблицы первообразных. 22. –cos4x + cos 5x + cos 6x –
– cos7x +C. 23.sinα –cosα +sin3α – cos3α +C.
24. x+ sin8x+C.25.–x+ cos4x +C.26.– ×
×cos +C.27.–cos2x+C.28.–2cosx+C.29.–cos8x+C.
30.–cos4x+C.31. x– sinx+C.32. sin2α– α+C.
33.tgx–x+C.34.–ctgx–x+C.
§ 53. Задачи, решаемые с использованием
свойств первообразных
1.y=x3+1.2.y=x2.3.y=5x–1.4.y= – .5.y=
=+иy= +1.6.y=3lnx+1.7.s(t)=2–0,25cos2t.
8. p l 2; тольо один раз пешеходы поравняются при p = 2.
x
2---
1/2 8
3---
x
2---
3/2
1
4---
1
8---
1x
+
()
5/2
5
-------------------------- 1 x
+
()
3/2
3
--------------------------
1x
+
()
3
2
--------------------------
1x
+
2
------------------ x2
2------
12x5/6
5
------------------
2
3---
2
3---
x3
3------
21x
+
()
3/2
3
------------------------------
2x
6
1
12------
1
10------
1
9---
1
11------
1
4---
1
5---
1
6---
1
7---
1
3---
1
3---
1
4---
1
32------
1
π---
2
x
2---
1
2---
1
8---
1
8---
1
2--- 1
2---
1
4---
1
2---
x2
2------ 1
2---
x3
3------ 7
3---
x3
3------
596
Ответы, указания, решения
Отделившись от раеты в момент t1, предмет движется
равномерно со соростью, оторой достила раета в уазанный
момент. Затем в неоторый момент t предмет мновенно увели-
чивает свою сорость до величины v и снова движется равно-
мерно до встречи с раетой в момент t2, причем в этот момент
их сорости одинаовы. Следовательно, заон движения предме-
та вне раеты представляет собой ломаную линию, звеньями о-
торой являются асательные параболе s(t) = v0t + в точ-
ах t1 и t2. Абсцисса t точи пересечения этих асательных —
исомый момент времени. Сорость предмета в момент t совпа-
дает со соростью в момент t2 и равна производной фунции
s(t) в момент t2. Та а s′(t) = v0 + at, то уравнения асатель-
ных параболе s(t) в точах t1 и t2 имеют вид
s(t) = s(t1) + (v0 + at1)(t – t1),
(*)
s(t) = s(t2) + (v0 + at2)(t – t2).
Рассматривая (*) а систему уравнений относительно двух не-
известных s и t, находим, что t =
, и значит, заон дви-
жения предмета записывается в виде, уазанном в ответе.
12.t0=t1–
. Заон движения раеты после от-
лючения двиателей можно записать в виде уравнения аса-
тельной ривой, являющейся рафиом заона движения.
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
§ 52. Неопределенный интеграл
1. arcsin – ln(x +
) + C. Разделите почленно
числитель на знаменатель и воспользуйтесь формулами (17)
и(18).2. x5/3– x7/6+C.3.–(1–x)3/2+ (1–x)5/2+C.
Преобразуйте фунцию виду f(x) =
–(1–x).
Для представления f(x) в таом виде удобно ввести переменную
t=1–x;тодаf(x)=g(t(x)),деg(t)=(1–t)= –t .
at2
2---------
t1 t2
+
2
-----------------
t1
2 2s1
–
x
2
-------
x22
+
3
5---
12
7------
2
3---
2
5---
1x–
1x–
ttt
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
597
4. –8
1–
+
1–
. См. уазание упр. 3.
5. –(2x –1)–1 + (2x –1)–2 +C. См. уазание упр.3.
6.
–
+ C. Представьте фунцию в виде
f(x) =
–
.
7.
–
x +C.8.t+ln|t|+C.
9.
+C.10. –
x3/2+4x–1/2+C.11.2x1/2– x3/2+C.
12. –x+C.13.x –
+C.14.x+x2+C.15.mx1/m+3nx1/n+C.
16.x2–x+C.17.
+C.18.2x–8ln|x|+C.19.x+
+2ln|x–2|+C.20.
+C.21. –c
o
s
1
2
x–
cos 10x –
–c
o
s
9
x–
cos 11x + C. Преобразуйте подынтеральное
выражение виду sin 12x + sin 10x + sin 9x + sin 11x и восполь-
зуйтесь правилами интерирования (4) и (5) и формулой (9)
т аблицы первообразных. 22. –c
o
s4
x+ cos5x+ cos6x–
–
cos7x +C.23.sinα –cosα + sin3α – cos3α +C.
24. x+
sin8x+C.25. –
x+ cos4x +C.26. –
×
×cos +C.27. –c
o
s2
x+C.28. –2cosx+C.29. –c
o
s
8
x+C.
30. –c
o
s4
x+C.31. x – sinx+C.32. sin2α– α+C.
33.tgx–x+C.34. –ctgx–x+C.
§ 53. Задачи, решаемые с использованием
свойств первообразных
1.y =x3+1.2.y =x2.3.y =5x–1.4.y =
–
.5.y=
=+и
y=
+1.6.y =3lnx+1.7.s(t)=2 –0,25cos2t.
8. p l 2; тольо один раз пешеходы поравняются при p = 2.
x
2
---
1/2
8
3
---
x
2
---
3/2
1
4
---
1
8
---
1x
+
()
5/2
5
--------------------------
1x
+
()
3/2
3
--------------------------
1x
+
()
3
2
--------------------------
1x
+
2
------------------
x2
2
------
12x5/6
5
------------------
2
3
---
2
3
---
x3
3
------
21x
+
()
3/2
3
------------------------------
2x
6
1
12
------
1
10
------
1
9
---
1
11
------
1
4
---
1
5
---
1
6
---
1
7
---
1
3
---
1
3
---
1
4
---
1
32
------
1
π
---
2
x
2
---
1
2
---
1
8
---
1
8
---
1
2
---
1
2
---
1
4
---
1
2
---
x2
2
------
1
2
---
x3
3
------
7
3
---
x3
3
------
598
Ответы, указания, решения
§ 54. Определенный интеграл
1.8.2.1,5 –0,5ln2.3.
. 4.0.5.8.6. –2
. Сделайте
замену t =2 –
.7.–1
.
См. уазание упр. 6 .
8.
. Избавьтесь от иррацио нальности в знаменате-
ле. 9.
. 10. .11.
. 12.ln2–0,5.13. .14.
.15..
16.2. 17.1. 18.2–
.
19. 2 .20. 2+(
3
3/2 –23/2).
21. 2,5 + ln 2,5. 22. 4ln .23. 2.
24.3 –
1
.
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
1.
F(x)=F
=1,
F(x)=F(0)=0.
2.
F(x) = F(–1) = 6,
F(x) = F(2,5) = –6,25.
3.
F(x) = F(4) =
,
F(x)=F(0)=0.
4.
F(x)=F
=–
,
F(x)=F
–=
=–
. 5.y =2 –x;y=x –3.6.Кривыесовпадают,xÝR.
7.
;
.8.
–
+6x.9.y =x – ;y=x+ .10.s(t)=
=.
11. A(x) = 25x2 + 100x. Заон изменения силы F а
фунции расстояния x имеет вид F(x) = ax + b, де парамет-
ры a и b найдите из условий задачи. Работа переменной силы
представляет собой ту ее первообразную, оторая обращается
внульприx=0.12.s(t)= t2–t.13.s(t)= t2+ t.
1
2
---
2
3
---
x
2
---
73
135
----------
33/2 23/2
–1
–
3
---------------------------------------
45
4
------
46
15
------
π2
–
4
-------------
1
8
---
3
3
-- - ----
2
2
2
-------
2
2
4
3
---
4
3
---
2
2
max
xÝ[0;π/2]
π
2
---
min
xÝ[0;π/2]
max
xÝ[–1;3]
min
xÝ[–1;3]
max
xÝ[0;4]
16
3
------
min
xÝ[0;4]
max
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2
---
3
8
---
min
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2
---
5
8
---
6
5
---
36
25
------
x3
3
------
5x2
2
----------
1
4
---
1
4
---
2t3
3
---------
5
4
---
2
3
---
10
3
------
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
599
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением
свойств интегралов
1.(–×;–2)Ÿ ;3.2.(2;3).3.[4;+×).4.A=– ;B=2.
5.a=1.6. ;
.7.Через6с.10.Да.11.A=7;
B=–6;C=3.12. ; ; ; .13. ;2.14.–π;– ;0.
§ 57. Вычисление площадей фигур
1. .2.9.3. .4. +ln2.5.31–
.6. .
7.12–5ln5.8. –ln2.9. .10.1.11.4– .12.7ln3.
13. . 14. – .15.ln2. 16. . 17. ln2. 18. .
19.15–16ln2.20. .21. – .22.9–8ln2.23. .Вос-
пользуйтесь формулой (3). 24. πr2. Область интерирования
разбейте на две области, оординаты точи деления найдите
а решение системы
25. 1 – . Воспользуйтесь тем, что max {x; y} = 1 — точи,
составляющие две смежные стороны единичноо вадрата,
вписанноо в уол первой оординатной четверти. 26. .
27. –1.28.1.29.πab.Выразитеyчерезxприy>0иx>0,
для вычисления определенноо интерала 4 b
dx=
1
2---
2
π---
2π 1–8
π1+
+
2
-------------------------------------
π
2--- 7π
6------- 3π
2------- 11π
6----------
1
2---
π
3---
4
3---
343
3---------- 1
3---
1
4ln2
---------------
9
2---
15
4------
8
3---
3
ln2
----------
9
2---
19
3------
3
4ln2
---------------
19
24------
1
2---
8
3---
53
15------
π
2--- 1
3---
8
9---
3
8---
x2+y2=r2,
x–y=0,
yl0.
π
4---
1
3---
π
2---
0
a
∫1x2
a2------
–
598
Ответы, указания, решения
§ 54. Определенный интеграл
1.8.2.1,5–0,5ln2.3. .4.0.5.8.6.–2 .Сделайте
замену t =2– .7.–1 . См. уазание упр.6.
8.
. Избавьтесь от иррациональности в знаменате-
ле.9. .10. .11. .12.ln2–0,5.13. .14. .15. .
16.2. 17.1. 18.2– .19.2.20.2+(
3
3/2 –23/2).
21. 2,5 + ln 2,5. 22. 4ln .23. 2.24. 3 –1
.
§ 55. Интеграл с переменным верхним пределом
1.
F(x)=F =1,
F(x)=F(0)=0.
2.
F(x) = F(–1) = 6,
F(x) = F(2,5) = –6,25.
3.
F(x)=F(4)= ,
F(x)=F(0)=0.
4.
F(x)=F =– ,
F(x)=F –=
=– .5.y=2–x;y=x–3.6.Кривыесовпадают,xÝR.
7. ; .8. – +6x.9.y=x– ;y=x+ .10.s(t)=
=.
11. A(x) = 25x2 + 100x. Заон изменения силы F а
фунции расстояния x имеет вид F(x) = ax + b, де парамет-
ры a и b найдите из условий задачи. Работа переменной силы
представляет собой ту ее первообразную, оторая обращается
внульприx=0.12.s(t)= t2–t.13.s(t)= t2+ t.
1
2---
2
3---
x
2---
73
135
----------
33/2 2 3/2
–1
–
3
---------------------------------------
45
4------
46
15------
π2–
4-------------
1
8---
3
3-------
2
2
2-------
2
24
3---
4
3---
2
2
max
xÝ[0;π/2]
π
2---
min
xÝ[0;π/2]
max
xÝ[–1;3]
min
xÝ[–1;3]
max
xÝ[0;4]
16
3------ min
xÝ[0;4]
max
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2---
3
8---
min
x Ý [–1/2; 1/2]
1
2---
5
8---
6
5--- 36
25------
x3
3------ 5 x2
2----------
1
4---
1
4---
2t3
3---------
5
4---
2
3--- 10
3------
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
599
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением
свойств интегралов
1.(–×;–2)Ÿ ;
3.
2.(2;3).3.[4;+×).4.A = –
;B=2.
5.a =1.6.
;
. 7.Через6с.10.Да.11.A =7;
B= –6;C=3.12. ; ; ;
. 13. ;2.14. –π;– ;0.
§ 57. Вычисление площадей фигур
1..2.9.3.
.
4.
+ ln2. 5. 31–
.6.
.
7.12 –5ln5.8.
–
ln2.9.
. 10.1.11.4 –
. 12. 7ln3.
13. . 14.
–
. 15.ln2. 16. . 17. ln2. 18. .
19.15 –16ln2.20. .21.
–
. 22.9 –8ln2.23. .Вос-
пользуйтесь формулой (3). 24. πr2. Область интерирования
разбейте на две области, оординаты точи деления найдите
а решение системы
25.1 –
. Воспользуйтесь тем, что max {x; y} = 1 — точи,
составляющие две смежные стороны единичноо вадрата,
вписанноо в уол первой оординатной четверти. 26. .
27.
–
1.28.1.29.πab.Выразитеyчерезxприy>0иx>0,
для вычисления определенноо интерала 4 b
dx=
1
2
---
2
π
---
2π
1
–8
π1
+
+
2
-------------------------------------
π
2
---
7π
6
-------
3π
2
-- -- ---
11π
6
----------
1
2
---
π
3
---
4
3
---
343
3
----------
1
3
---
1
4ln2
---------------
9
2
---
15
4
------
8
3
---
3
ln2
----------
9
2
---
19
3
------
3
4ln2
---------------
19
24
------
1
2
---
8
3
---
53
15
------
π
2
---
1
3
---
8
9
---
3
8
---
x2+y2=r2,
x–y =0,
yl0.
π
4
---
1
3
---
π
2
---
0
a
∫1x2
a2
------
–
600
Ответы, указания, решения
=d
x воспользуйтесь тем, что
dx есть
четверть площади руа с радиусом a. 30 . π. Выделите пол-
ный вадрат по переменной x.
31. . Уравнение асательной ривой y = 2x2 в точе
с абсциссой2имеет видy –8 =8(x –2),тааy(2)=8,
y′(2) = 8 . Точу пересечения асательной и оси абсцисс найдем
из уравнения 8x – 8 = 0 _ x = 1. Область интерирования
разобьем на два промежута: [0; 1] и [1; 2], причем промежут-
у [0; 1] соответствует площадь фиуры, залюченной между
линиям и y = 2x2 и y = 0 (осью абсцисс), а промежуту [1; 2] —
между линиями y = 2x2 и y = 8x – 8. Таим образом,
S= 2x2dx+ (2x2–8x+8)dx=
=
+
–
4x2+8x
=
=
+
–
16+16– +4–8
=
.
32.9.33.ln2–
. 34. . Разбейте фиуру на две риво-
линейные трапеции; абсциссой точи деления является абс-
цисса точи пересечения асательных. 35 .
.
36. Парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1:2. Выберем систему оординат та, что-
бы вершина параболы совпала с точой (0; 0) и ось Oy являлась
осью с имметрии. Тода уравнение параболы примет вид y =
= ax2. Обозначим длину стороны вадрата, середина основания
отороо совпадает с началом оординат, через l; тода точа
; l — правая верхняя вершина вадрата, лежащая на пара-
боле,т.е.l =a
. Из этоо уравнения получаем a =
. Пло-
4b
a
------
0
a
∫a2 x2
–
0
a
∫a2 x2
–
4
3
---
0
1
∫
1
2
∫
2x3
3
----------
0
1
2x3
3
----------
1
2
2
3
---
16
3
------
2
3
---
4
3
---
5
8
---
9
4
---
45
4
------
l
2
---
l
2
---
2
4
l
---
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
601
щадь вадрата S равна l2, а площадь, отсеаемая параболой,
определяется формулой
Sп=2 x2dx= ·
=.
Ита, парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1 : 2.
37. =
, де Sп — площадь, отсеаемая параболой
от полуруа. Выберите систему оординат та, чтобы вер-
шина параболы совпала с началом оординат, а ось Oy была
осью симметрии параболы. Тода уравнение параболы примет
вид y = ax2, а уравнение оружности — вид (y – R)2 + x2 = R2.
Связь между a и R установите из условий задачи (см. решение
упр. 36). 38. . Параметр a в уравнении параболы найдите из
условия
=tg(π–arctg20).39.a=8;a= (6– ).
Рассмотрите два случая: a > 2 и a < 2. Во втором случае учти-
те, что при переходе через точу x = 1 зна разности –
меняется.40.a= 1– .41.S=bприa=
; зада-
ча имеет решение при b Ý 0; . Чтобы выразить a а
фунцию от b, разрешите относительно a уравнение, правая
часть отороо равна b, а левая представляет собой площадь
уазанной в условии фиуры. Значение b, при отором за-
дача имеет решение, найдите из условия a(b) > 0, де a(b)—
исомая фунция. 42. a = – ; a = . Учтите, что исомое
значение a может быть а больше, та и меньше ; во вто-
ром случае площадь вычисляется по формуле S = |sin 2x|dx.
0
l/2
∫ 4l--- 8l--- x3
3------ 0
l/2 l2
3----
Sп
S------ 3π 8–
3π
-----------------
2
3---
f′(–5)
2
5---
21
1
x---
1
2x 1–
-----------------
9
4---
1
43--------
8
3b------ 1
–
8
3---
π
6---
π
3---
π
6---
a
π/6
∫
600
Ответы, указания, решения
=d
x воспользуйтесь тем, что
dx есть
четверть площади руа с радиусом a. 30. π. Выделите пол-
ный вадрат по переменной x.
31. . Уравнение асательной ривой y = 2x2 в точе
сабсциссой2имеетвидy–8=8(x–2),тааy(2)=8,
y′(2) = 8. Точу пересечения асательной и оси абсцисс найдем
из уравнения 8x – 8 = 0 _ x = 1. Область интерирования
разобьем на два промежута: [0; 1] и [1; 2], причем промежут-
у [0; 1] соответствует площадь фиуры, залюченной между
линиями y = 2x2 и y = 0 (осью абсцисс), а промежуту [1; 2] —
между линиями y = 2x2 и y = 8x – 8. Таим образом,
S= 2x2dx+ (2x2–8x+8)dx=
=
+
–4x2+8x =
=+ –16+16–+4–8=.
32. 9. 33. ln 2 – . 34. . Разбейте фиуру на две риво-
линейные трапеции; абсциссой точи деления является абс-
цисса точи пересечения асательных. 35. .
36. Парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1:2. Выберем систему оординат та, что-
бы вершина параболы совпала с точой (0; 0) и ось Oy являлась
осью симметрии. Тода уравнение параболы примет вид y =
= ax2. Обозначим длину стороны вадрата, середина основания
отороо совпадает с началом оординат, через l; тода точа
; l — правая верхняя вершина вадрата, лежащая на пара-
боле, т. е. l = a . Из этоо уравнения получаем a = . Пло-
4b
a------
0
a
∫a2x2
–
0
a
∫a2x2
–
4
3---
0
1
∫
1
2
∫
2x3
3----------
0
1
2x3
3----------
1
2
2
3---
16
3------
2
3---
4
3---
5
8---
9
4---
45
4------
l
2---
l
2---
2
4
l---
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
601
щадь вадрата S равна l2, а площадь, отсеаемая параболой,
определяется формулой
Sп=2
x2dx=
·
=
.
Ита, парабола рассеает вадрат на две части, площади ото-
рых относятся а 1 : 2.
37.
=
, де Sп — площадь, отсеаемая параболой
от полуруа. Выберите систему оординат та, чтобы вер-
шина параболы совпала с началом оординат, а ось Oy была
осью симметрии параболы. Тода уравнение параболы примет
вид y = ax2, а уравнение оружности — вид (y – R)2 + x2 = R2.
Связь между a и R установите из условий задачи (см. реше ние
упр. 36). 38.
. Параметр a в уравнении параболы найдите из
условия
= tg(π–arctg20).39.a =8;a= (6–
).
Рассмотрите два случая: a > 2 и a < 2. Во втором случае учти-
те, что при переходе через точу x = 1 зна разности
–
меняется. 40. a =
1–
. 41.S =bприa=
; зада-
ча имеет решение при b Ý 0; . Чтобы выразить a а
фунцию от b, разрешите относительно a уравнение, правая
часть отороо равна b, а левая представляет собой площадь
уазанной в условии фи уры. Значение b, при отором за-
дача имеет решение, найдите из условия a(b) > 0, де a(b)—
исомая фунция. 42 . a = –
;a=
. Учтите, что исомое
зна чение a может быт ь а больше, та и меньше ; во вто-
ром случае площадь вычисляется по формуле S = | sin 2x |dx.
0
l/2
∫4l
---
8
l
---
x3
3
------
0
l/2
l2
3
-- --
Sп
S
------
3π8
–
3π
-----------------
2
3
---
f′(–5)
2
5
---
21
1
x
---
1
2x1
–
-----------------
9
4
---
1
4
3
--------
8
3b
------
1
–
8
3
---
π
6
---
π
3
---
π
6
---
a
π/6
∫
602
Ответы, указания, решения
43.b =
–
1;aÝ 0; .См.уазаниеупр.37.44.y =
=
x–arcsin 1–
+
. Исполь-
зуйте формулу
=
|cos x|.
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших)
площадей фигур
1.a =
.2.a=
. 3.a =1.4.S(–1)=
,
S(k)=
= S(2)=
. Пределы интерирования найдите а орни x1(k)
и x2(k) уравнения x2 + 2x – 3 = kx + 1. Учтите, что на проме-
жуте [x1(k); x2(k)] все да выполне но неравенство y2(x) m y1(x).
5.
S(x0) = S
=
.6.;
. Воспользуй-
тесь тем, что S =h
,деh=1,a=
(1), b = (2),
(x) — уравнение асательной ривой y = x2 + 1 в точе
с абсциссой x0 Ý [1; 2], 7. a = –1. Воспользуйтесь тем, что
между двумя последовательными эстремумами фунция f(x) =
= x3 + 3x2 + x + a монотонна. Дальнейшее решение задачи мо-
жет быть основано на следующем утверждении.
Площадь фи уры, о раниченной прямыми x = c, x = b, b > c,
рафиом дифференцируемой монотонной фунции f(x) и пря-
мой y = f(a), де a Ý [c; d], дости ает наименьше о з начения
то да, о да y = f
.
Для простоты доажем это утверждение в случае, ода c = 0,
b = 1 и f(b) = 1. При фисированном значении a площадь выра-
жается в виде следующей фунции:
S(a) = [f(a) –f(x)]dx+ [f(x) –f(a)]dx =
= [f(a)x – F(x)] + F(x) –f(a)x =
= f(a)a–F(a)+F(0)+F(1)–F(a)–f(a)+f(a)a,(
*
)
16
9a2
----------
4
3
---
2
4
-------
4
242
–
()
------------------------------
2
4
-------
822
–
1c
o
s
2
x
+
2
3
4
---
3
4
125
6
----------
min
kÝR
32
3
------
min
x0 Ý [1/2; 1]
4
5
---
5
4
---
3
48
25
------
3
2
---
13
4
------
ab
+
2
-------------
fx0
fx0
fx0
bc
+
2
------------
-
0
a
∫
a
1
∫
0
a
a
1
a
1
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
603
де F(x) — неоторая первообразная для f(x). Приведя в равен-
стве (*) подобные члены, имеем
S(a) = f(a)(2a – 1) – 2F(a) + F(0) + F(1).
Дифференцируя S(a) по a и учитывая, что
= f(a), получа-
ем уравнение для нахождения ритичесих точе:
= (2a–1)+2f(a)–2f(a)=0.
(**)
Та а по условию f(a) монотонна, то − 0 на промежуте
[0; 1], и, следовательно, уравнение (**) имеет единственный о-
реньa= .Еслиa> ,то
> 0 и S(a) возрастает, а если
a< ,то
< 0 и S(a) убывает. Ита, при a = фунция
S(a) достиает минимальноо значения.
8. При a = 1 площадь принимает наибольшее, а при a =
= — наименьшее значение. Используйте утверждение в уа-
зании упр. 7. 9. a = . Используйте утверждение в уаза-
нии упр. 7. 10. При a = площадь имеет наименьшее, а при
a = 0 — наибольшее значение. См. утверждение в уазании
упр. 7. 11. a = 0. См. утверждение в уазании упр. 7.
§ 59. Вычисление объемов тел
1. 2π. 2. . Рассмотрите разность объемов тел, получен-
ныхпривращенииривыхy= иy=x2.3.
+
++
2
(
b – a).4. . Перейдите фунциям x1(y) =
=1+
,x2(y)=1–
и рассмотрите объем исомоо
тела а разность объемов двух тел, полученных вращением
F′(a)
S′(a) f′(a)
f′(a)
1
2---
1
2--- S′(a)
1
2--- S′(a)
1
2---
1
2---
2
3---
1
2---
3π
10-------
x
π
4--- e2b e2a
–
2
-----------------------
e2a– e2b
–
–
2
-----------------------------
8π
3-------
1y–
1y–
602
Ответы, указания, решения
43.b= –1;aÝ 0; .См.уазаниеупр.37.44.y=
= x–arcsin 1–
+
. Исполь-
зуйте формулу
= |cos x|.
§ 58. Задачи на отыскание наибольших (наименьших)
площадей фигур
1.a= .2.a= .3.a=1.4.S(–1)= , S(k)=
= S(2) = . Пределы интерирования найдите а орни x1(k)
и x2(k) уравнения x2 + 2x – 3 = kx + 1. Учтите, что на проме-
жуте [x1(k); x2(k)] вседа выполнено неравенство y2(x) m y1(x).
5.
S(x0)=S =
. 6. ; . Воспользуй-
тесьтем,чтоS=h ,деh=1,a= (1),b= (2),
(x) — уравнение асательной ривой y = x2 + 1 в точе
с абсциссой x0 Ý [1; 2], 7. a = –1. Воспользуйтесь тем, что
между двумя последовательными эстремумами фунция f(x) =
= x3 + 3x2 + x + a монотонна. Дальнейшее решение задачи мо-
жет быть основано на следующем утверждении.
Площадь фи уры, о раниченной прямыми x = c, x = b, b > c,
рафиом дифференцируемой монотонной фунции f(x) и пря-
мой y = f(a), де a Ý [c; d], дости ает наименьше о значения
то да, о да y = f
.
Для простоты доажем это утверждение в случае, ода c = 0,
b = 1 и f(b) = 1. При фисированном значении a площадь выра-
жается в виде следующей фунции:
S(a)= [f(a)–f(x)]dx+ [f(x)–f(a)]dx=
= [f(a)x – F(x)] + F(x) –f(a)x =
=f(a)a–F(a)+F(0)+F(1)–F(a)–f(a)+f(a)a,(
*
)
16
9a2
----------
4
3---
2
4-------
4
242
–
()
------------------------------ 2
4------- 82 2
–
1cos2x
+
2
3
4---
34
125
6---------- min
kÝR
32
3------
min
x0 Ý [1/2; 1]
4
5---
5
4---3 48
25------
3
2--- 13
4------
ab
+
2-------------
fx0
fx0
fx0
bc
+
2-------------
0
a
∫
a
1
∫
0
a
a
1
a
1
Г л а в а 10. Первообразная и интеграл
603
де F(x) — неоторая первообразная для f(x). Приведя в равен-
стве (*) подобные члены, имеем
S(a) = f(a)(2a – 1) – 2F(a) + F(0) + F(1).
Дифференцируя S(a) по a и учитывая, что
= f(a), получа-
ем уравнение для нахождения ритичесих точе:
=
(2a–1)+2f(a)–2f(a)=0.
(**)
Та а по условию f(a) монотонна, то
− 0 на промежуте
[0; 1], и, следовательно, уравнение (**) имеет единственный о-
реньa=
. Еслиa> ,то
> 0 и S(a) возрастает, а если
a< ,то
< 0 и S(a) убывает. Ита, при a =
фунция
S(a) достиает минимальноо значения.
8. При a = 1 площадь принимает наибольшее, а при a =
=
—
наимен ьшее з начение . Используйте утверждение в уа-
занииупр.7.9.a =
. Используйте утверждение в уаза-
нииупр.7.10.Приa=
площадь имеет наименьшее, а при
a = 0 — наибольшее значе ние. См. утверждение в уазании
упр. 7. 11. a = 0. См. утверждение в уазании упр. 7.
§ 59. Вычисление объемов тел
1. 2π. 2.
. Рассмотрите разность объемов тел, получен-
ных при вращении ривых y =
иy=x2.3.
+
++
2
(
b – a).4.
. Перейдите фунциям x1(y) =
=1+
, x2(y)=1 –
и рассмотрите объем исомоо
тела а разность объемов двух тел, полученных вращением
F′(a)
S′(a) f′(a)
f′(a)
1
2
---
1
2
---
S′(a)
1
2
---
S′(a)
1
2
---
1
2
---
2
3
---
1
2
---
3π
10
-------
x
π
4
---
e2b e2a
–
2
-----------------------
e2a
–
e2b
–
–
2
-----------------------------
8π
3
-------
1y
–
1y
–
604
Ответы, указания, решения
вору оси Oy фиур, ораниченных ривыми x1(y) и x2(y).
5. . Исомый объем равен объему тела, образованноо вра-
щением вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной
линиямиy=sinx,y=0,x=0,x=
.6.
. См. уазание
упр. 5.
§ 60. Приложения определенного интеграла
к задачам физики
1. a = 18 . 2. 288 м. Воспользуйтесь тем, что в моменты
начала движения и останови сорость тела равна нулю.
3.216м.4.s(t)=
5. Дж. Исполь-
зуйте формулу F(x) = kx2, де k определите из условия задачи.
6. 33,75 Дж. Используйте формулу F(x) = kx, де k определи-
те из условия задачи.
Глава11.Задачи
на составление уравнений
§ 61. Задачи на движение
1. 32,5 м/ч. 2. В
раза. 3. 60 м/ч. 4. 8м/с. 5. 3 × 4м.
6. 12м/ч и 10,5м/ч. 7. 6ч и 2ч. 8. (3 – )м/ч и
( – 1) м/ч. 9.30 м/ч. 10.20м/чи60м/ч.
11.56м.12.1м/ч.13.
м/ч. 14. В 14 ч.
15. 60 м/ч. 16. 48 м/ч. 17. 50 м и 150 м. Введите неиз-
вестные ω 1 =
иω2=
, де v1 и v2 — сорость мотоцилис-
та и велосипедиста соответственно. 18. 100 м/ч. 19. 100 м/ч.
20.9+
м/ч. 21. Сорости пароходов — 15 м/ч, сорость
π2
4
------
π
2
---
3π
2
-------
t2,е
с
л
и
0
mt<3,
6t+9,еслиtl3.
14
15
------
17
3
------
s
4t
------
5
s
4t
------
5
3sv
–9
s2 2sv v2
++
+
2
--------------------------------------------------------------------
1
v1
-----
-
1
v2
------
11
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений
605
течения — 3 м/ч. 22. 6 м/ч и 21 м/ч; 45 м. 23. 63 м/ч.
24. 20 м/ч и 80 м/ч. 25. Сорости пешехода, велосипедиста
и верховоо — 6 м/ч, 9 м/ч, 12 м/ч соответственно; рас-
стояние — 42 м. 26. 30 м/ч и 20 м/ч; 30 м. 27. 480 м.
28. 2 мин. 29. 15 м. 30. 3 м/ч и 45 м/ч. 31. 3м/чи45м/ч.
32. 6 м/ч. 33.
. 34. 50 м/ч. Учтите, что сорость
встречноо поезда относительно наблюдателя, находяще-
ося в одном из них, равна сумме соростей поездов отно-
сительно неподвижноо наблюдателя. 35. 108 м/ч. 36. 28 м;
20 м/ч. 37. 11 ч 55 мин. 38. 7 м/ч. 39. Пассажирсий —
21ч,товарный—28ч.40.15чи12ч.41.За6чи4ч.42.Со-
рость первоо автомобиля в раза больше, чем сорость вто-
роо. 43.16ч. 44.В 4раза. 45. ч и ч. 46.Через 4ч.
47. 1:2и1:3.48. Не успеют. 49. Длина оружности передне-
о олеса — 2 м, заднео — 3 м. 50. 90 м/ч, 75 м/ч, 60 м/ч.
51. 117 м; 24 м/ч и 22,5 м/ч. 52. З
ач
ич
.
53.4mvm
(м/ч). 54. Со соростью, большей чем
м/ч. 55. Хватит. 56. 2 m v < 6 (м/ч).
57. 5 < v < 10 (м/ч). 58. Деревня от шоссе дальше, чем шо-
ла от реи. 59.4си6с.60. и .61.4 и 6. 62. ×
×
ä1 м/с.63.
·s(м).64.1ч
а
с
а
ночи. Воспользуйтесь тем, что = 12, де ωм и ωч — уло-
вая сорость движения минутной и часовой стрели соответ-
ственно. 65. На 0,5 мин. 66. d 11м. 67. 9м/ч. 68. За 3 мин.
69. За 15 мин. 70. 21 м. 71. Через 7 с после начала падения
первоо тела. 72. Через 16 с. 73. На 60°. 74. Через 10 с.
75.v0=20м/с.76.Через5с;за0,5мдолинииполя.77.20м.
78. 20 м/ч. 79. Второй автомобиль остановился раньше;
3
3uv
+
-----------------
9
8---
20
3------
10
3------
13t
4---------
11t
5---------
86
1
+
3
---------------------
svt svt
–
()
2 4tvl
+
++
2t
----------------------------------------------------------------------
1
80------ 1
90------
πR
T--------
14T
t--------
+
a– a2 240at
+
+
120t
--------------------------------------------------
1
11------
ωм
ωч
-------
604
Ответы, указания, решения
вору оси Oy фиур, ораниченных ривыми x1(y) и x2(y).
5. . Исомый объем равен объему тела, образованноо вра-
щением вору оси Ox риволинейной трапеции, ораниченной
линиямиy=sinx,y=0,x=0,x= .6. .См.уазание
упр. 5.
§ 60. Приложения определенного интеграла
к задачам физики
1. a = 18. 2. 288 м. Воспользуйтесь тем, что в моменты
начала движения и останови сорость тела равна нулю.
3.216м.4.s(t)=
5. Дж. Исполь-
зуйте формулу F(x) = kx2, де k определите из условия задачи.
6. 33,75 Дж. Используйте формулу F(x) = kx, де k определи-
те из условия задачи.
Глава 11. Задачи
на составление уравнений
§ 61. Задачи на движение
1. 32,5 м/ч. 2. В раза. 3. 60 м/ч. 4. 8м/с. 5. 3 × 4м.
6. 12м/ч и 10,5м/ч. 7. 6ч и 2ч. 8. (3 – )м/ч и
( – 1) м/ч. 9.30 м/ч. 10.20м/чи60м/ч.
11. 56 м. 12. 1 м/ч. 13.
м/ч. 14. В 14 ч.
15. 60 м/ч. 16. 48 м/ч. 17. 50 м и 150 м. Введите неиз-
вестные ω1 = и ω2 = , де v1 и v2 — сорость мотоцилис-
та и велосипедиста соответственно. 18. 100 м/ч. 19. 100 м/ч.
20. 9 + м/ч. 21. Сорости пароходов — 15 м/ч, сорость
π2
4------
π
2--- 3π
2-------
t2,е
с
л
и
0
mt<3,
6t+9,еслиtl3.
14
15------
17
3------
s
4 t------
5
s
4 t------ 5
3sv
–9
s2 2sv v2
++
+
2
--------------------------------------------------------------------
1
v1
------
1
v2
------
11
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений
605
течения — 3 м/ч. 22. 6 м/ч и 21 м/ч; 45 м. 23. 63 м/ч.
24. 20 м/ч и 80 м/ч. 25. Сорости пе шехода, велосипедиста
и верховоо — 6 м/ч, 9 м/ч, 12 м/ч соответственно; рас-
стояние — 42 м. 26. 30 м/ч и 20 м/ч; 30 м. 27. 480 м.
28. 2 мин. 29. 15 м. 30. 3 м/ч и 45 м/ч. 31. 3м/чи45м/ч.
32. 6 м/ч. 33.
.
34. 50 м/ч. Учтите, что сорость
встречноо поезда относительно наблюдателя, находяще-
ося в одном из них, равна сумме соростей поездов отно-
сительно неподвижноо наблюдателя. 35. 108 м/ч. 36 . 28 м;
20 м/ч. 37 . 11 ч 55 мин. 38. 7 м/ч. 39 . Пассажирсий —
21ч,товарный—28ч.40.15чи12ч.41.За6чи4ч.42.Со-
рость первоо автомобиля в
раза больше, чем сорость вто-
роо. 43. 16 ч. 44. В 4 раза. 45.
чи
ч. 46. Через 4 ч.
47. 1:2 и1:3. 48. Не успеют. 49. Длина оружности передне-
о олеса — 2 м, заднео — 3 м. 50. 90 м/ч, 75 м/ч, 60 м/ч.
51. 117 м; 24 м/ч и 22,5 м/ч. 52. З
ач
ич
.
53.4mvm
(м/ч). 54. Со соростью, большей чем
м/ч. 55. Хватит. 56. 2 m v < 6(м/ч).
57. 5 < v < 10 (м/ч). 58 . Деревня от шоссе дальше, чем шо-
ла от реи. 59.4си6с.60.
и
.61.4и6.62.
×
×
ä1 м/с.63.
· s (м).64.1ч
а
с
а
ночи. Воспользуйтесь тем, что
= 12,деωмиωч—уло-
вая сорость движения минутной и часовой стрели соответ-
ственно. 65. На 0,5 мин. 66. d 11м. 67. 9м/ч. 68. За 3 мин.
69. За 15 мин. 70 . 21 м. 71. Через 7 с после начала падения
первоо тела. 72. Через 16 с. 73. На 60°. 74. Через 10 с.
75.v0=20м/с.76.Через5с;за0,5мдолинииполя.77.20м.
78. 20 м/ч. 79. Второй автомобиль остановился раньше;
3
3uv
+
-----------------
9
8
---
20
3
------
10
3
------
13t
4
---------
11t
5
---------
86
1
+
3
---------------------
sv
tsv
t
–
()
2 4tvl
+
++
2t
----------------------------------------------------------------------
1
80
------
1
90
------
πR
T
-------
-
1
4T
t
--------
+
a
–
a2 240at
+
+
120 t
--------------------------------------------------
1
11
------
ωм
ωч
-------
606
Ответы, указания, решения
a2= –8м/с2.80.Через2с.81.a1:a2=7:9.Учтите,чтопро-
межути времени, в те чение оторых поезда двиались рав-
ноусоренно, различны. 82. s1 =
,s2=
. См. уазание
упр.81. 83. Пассажир A пришел быстрее, та а
<
<.
§ 62. Задачи на работу и производительность труда
1.24м3.2.За45ч.3.За132мини110мин.4.6мини10мин.
5.За6мин,8мин,12мин.6.T+
,T–t+
,
(T >t).7.За3ч, 6ч, 2ч. 8.400деталей.9.За
14 дней. 10. За 10 дней. 11 . Тратор мари A— 12 а, мари
B—16 а. 12 . В 4 раза. Используйте условие в виде неравен-
ства для выбора единственноо из двух найденных значений
исомоо неизвестноо. 13. 50 ч. 14. 9дней. 15. За 10 ч и 8 ч.
16.9м. 17.6 чи5 ч.18.2,5м3. 19.3м3/ч. 20.60%.
21.За 14дней и 11дней. 22.4ч и6ч. 23.Первому— по
20страниц вдень, второму— по35.24.За12ч. 25.c =9
.
26. 600 м3. 27. 20 м3. Проверьте получе нное решение подста-
новой во все уравнения системы. 28. За 40 ч. Используйте
формулу суммы членов арифметичесой прорессии. 29. 1,25V.
См. уазание упр. 28. 30. Пусть Ti (i = 1, 2, 3) — время опо-
рожнения i-м насосом своео резервуара. Тода T1 > T3 > T2,
причем T1 :T3 :T2 =
:1:
,еслиα >
;
T1:T3:T2=(α–1):α:,
е
с
л
и
2
<
αm
.
31. t
.
Используя условие, предварительно поажите, что все тру-
бы начали работать до тоо, а бассен был заполнен наполо-
вину. 32. .
2s
5
------
s
2
---
2s
ab
+
-------------
s
2
---
ab
+
ab
-------------
TTt
–
()
TTt
–
()
TTt
–
()
2
3
---
1
3
---
11
16
------
1α
+
α
------------------
1α
+
αα
------------------
35
+
2
------------------
1
α1
–
-------------
35
+
2
------------------
n1
–
n
-------------
17
40
------
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений
607
§ 63. Задачи на процентный прирост
и вычисление «сложных процентов»
1.dчерез 69мес.2.dчерез 55лет.3.80р;12р. 4.5%.
5.10%. 6.10%. 7.2000р. 8.На 42,3%. 9.726ден.ед.
10. 50 %. 11. Через оличество лет, большее чем lg
:
:lg 1+ .12. Более чем через lg
:lg 1+
ч.
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными
1. 12 листов. 2. «Трое» — 2, «четверо» — 7. 3. Пятиэтаж-
ных — 9, девятиэтажных — 8. 4. «Мосвичей» — 10, «Вол» —
19. 5. 33 учениа. 6. 25 ящиов второо типа и 4 ящиа третье-
о типа. Предварительно оцените стоимость перевози одной
детали в ящие аждоо типа. 7. Первый — 3 дня, второй —
2дня. Оцените, аое оличество дней мо работать аждый
эсаватор. 8. 45 онфет и 20 онфет. 9. 13 мин. 10. 19 плотов.
11. 15 или 95. 12. 48. 13. 32. 14. 5. Приписывание дан-
ному числу неоторой цифры справа означает переход ново-
му числу, в отором оличество единиц равно приписываемой
цифре, а оличество десятов — исходному числу. 15. 6464.
16. 285 714. См. уазание упр. 14. 17. 32. 18. 45 или 54.
Для нахождения суммы всех четных двузначных чисел ис-
пользуйте формулу суммы членов арифметичесой прорес-
сиисразностьюd=2ипервымчленомa1=10.20.21и10.
21.31и41.22.A=42,B=35.Используйтеформулуn=
= mp + k, де n—делимое, m—делитель, p—частное, k—
остато. 23. N = 37. См. уазание упр. 22. 24. , или ,
или . Задача сводится решению системы вадратных не-
равенств на множестве натуральных чисел. 25. В 4 монеты.
§ 65. Задачи на концентрацию
и процентное содержание
1.1,5.2. –24и32– ; mrm .
3. 7.
4.60.5.
л;
л. 6.
.
3Np 100M
–
Np 100M
–
------------------------------------
p
100
----------
2Np 100n
–
Np 100n
–
---------------------------------
p
100
----------
3
10------
4
17------
5
26------
4r
5------
4r
5------ 125
4----------
135
4----------
2nm
– m24n2
+
+
2
--------------------------------------------------------- 2 nm m2 4 n 2
+
++
2
---------------------------------------------------------
mn
mn
+
----------------
606
Ответы, указания, решения
a2=–8м/с2.80.Через2с.81.a1:a2=7:9.Учтите,чтопро-
межути времени, в течение оторых поезда двиались рав-
ноусоренно, различны. 82. s1 = , s2 = . См. уазание
упр.81. 83. Пассажир A пришел быстрее, та а <
<.
§ 62. Задачи на работу и производительность труда
1.24м3.2.За45ч.3.За132мини110мин.4.6мини10мин.
5.За6мин,8мин,12мин.6.T+
,T–t+
,
(T >t). 7.За 3ч, 6ч, 2ч. 8.400деталей. 9.За
14 дней. 10. За 10 дней. 11. Тратор мари A— 12а, мари
B—16 а. 12. В 4 раза. Используйте условие в виде неравен-
ства для выбора единственноо из двух найденных значений
исомоо неизвестноо. 13. 50 ч. 14. 9дней. 15. За 10 ч и 8 ч.
16.9м. 17.6 чи5 ч.18.2,5м3. 19.3м3/ч. 20.60%.
21.За 14дней и 11дней. 22.4чи6ч.23.Первому— по
20страницвдень,второму—по35.24.За12ч.25.c=9 .
26. 600 м3. 27. 20 м3. Проверьте полученное решение подста-
новой во все уравнения системы. 28. За 40 ч. Используйте
формулу суммы членов арифметичесой прорессии. 29. 1,25V.
См. уазание упр. 28. 30. Пусть Ti (i = 1, 2, 3) — время опо-
рожнения i-м насосом своео резервуара. Тода T1 > T3 > T2,
причем T1 :T3 :T2 =
:1:
,еслиα >
;
T1:T3:T2=(α–1):α:,
е
с
л
и
2
<
αm
.
31.t .
Используя условие, предварительно поажите, что все тру-
бы начали работать до тоо, а бассен был заполнен наполо-
вину. 32. .
2s
5------
s
2---
2s
ab
+-------------
s
2--- ab
+
ab
-------------
TTt
–
() TTt
–
()
TTt
–
()
2
3---
1
3---
11
16------
1α
+
α
------------------
1α
+
αα
------------------
35
+
2
------------------
1
α 1–-------------
35
+
2
------------------
n1–
n-------------
17
40------
Г л а в а 11. Задачи на составление уравнений
607
§ 63. Задачи на процентный прирост
и вычисление «сложных процентов»
1. d через 69мес. 2. d через 55лет. 3.80р;12р. 4.5%.
5.10%. 6.10%. 7.2000р. 8.На 42,3%. 9.726ден.ед.
10. 50 %. 11. Через оличество лет, большее чем lg
:
:lg 1+
. 12 . Более чем через lg
:lg 1+
ч.
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными
1. 12 листов. 2. «Трое» — 2, «четверо» — 7 . 3. Пятиэтаж-
ных — 9, девятиэтажных — 8. 4. «Мосвичей» — 10, «Вол» —
19. 5 . 33 учениа. 6. 25 ящиов второо типа и 4 ящиа третье-
о типа. Предварительно оцените стоимость перевози одной
детали в ящие аждоо типа. 7 . Первый — 3 дня, второй —
2дня. Оцените, аое оличество дней мо работать аждый
эсаватор. 8 . 45 онфет и 20 онфет. 9. 13 мин. 10. 19 плотов.
11. 15 или 95. 12. 48. 13. 32. 14. 5. Приписывание дан-
ному числу неоторой цифры справа означает переход ново-
му числу, в отором оличество единиц равно приписываемой
цифре, а оличество десятов — исходному числу. 15. 6464.
16. 285 714. См. уазание упр. 14. 17. 32. 18. 45 или 54.
Для нахождения суммы всех че тных двузначных чисел ис-
пользуйте формулу суммы членов арифмет ичесой прорес-
сии с разностью d =2ипервымчленомa1 =10.20.21и10.
21.31и41.22.A =42,B =35. Используйте формулу n =
= mp + k, де n—делимое, m—делитель, p— частное, k—
остато. 23. N = 37. См. уазание упр. 22. 24.
, или
,
или
. Задача сводится решению системы вадратных не-
равенств на множестве натуральных чисел. 25. В 4 монеты.
§ 65. Задачи на концентрацию
и процентное содержание
1. 1,5 . 2.
–
24и32–
;
mrm
.
3. 7.
4.60.5.
л;
л. 6.
.
3Np 100M
–
Np 100M
–
------------------------------------
p
100
----------
2Np 100n
–
Np 100n
–
---------------------------------
p
100
----------
3
10
------
4
17
------
5
26
------
4r
5
------
4r
5
------
125
4
----------
135
4
----------
2nm
–
m2 4n2
+
+
2
--------------------------------------------------------
-
2nm m
2 4n2
+
++
2
---------------------------------------------------------
mn
mn
+
----------------
608
Ответы, указания, решения
Введите в ачестве неизвестных: x—массу отрезанноо ус-
а; c1 и c2 — онцентрацию меди в первом и втором усе соот-
в етственно. 7 . 5 % и 11 %. 8. В объеме 4 см3. Воспользуйтесь
формулой m = ρV, связывающей массу, плотность и объем.
9. 12 %; 24 %; 48 %. 10. 29 %. В ачестве неизвестных вве-
дите онцентрации c1, c2, c3, c4. Условие задачи дает систему
трех уравнений для четырех неизвестных c1, c2, c3 и c4. При ис-
следовании системы учтите, что следует исать омб инацию
не известных
. 11.В
раза. 12. 5 и 20. 13. 14 ;
7 ; 16 . 14 . Первая труба подает жидость в 2 раза быстрее
второй. 15.50%. 16.12,5. 17.170. 18.40% и 43 %.
19.2л.20.10ли90л.21.10л.22.
. 23.Еслиp=q,топри
любом числе промыво процент содержания золота сохраняется;
в этом случае задача имеет решение при r m k, причем число
промыво произвольно. Если q < p, то число промыво n опре-
деляется неравенством n l lg
:lg
. Еслиp<q,
тоnmlg
:lg
.
§ 66. Разные задачи
1. 28 . 2. 60 деталей. 3. 280 р. портфель дороже авторучи.
4.За1ч.5.6400ли600л.6.1,25и0,75.
Г л а в а 12. Планиметрия
§ 67. Треугольники
1.20см.2.
. 3.75.4.m(mcosβä
)
×
×sinβ.
5. Нет.
6.
sin 2α.
7. tgα(rcosα–c).
8.
cr
.
9. –2S cos2 α cos 2α. 10. 288 см2. 11.
–
1.
2c2 c4
+
3
----------------------
13
4
------
1
3
---
1
6
---
r100 k
–
()
k100 r
–
()
----------------------------
100 q
–
100 p
–
--------------------
r100 k
–
()
k100 r
–
()
----------------------------
100 q
–
100 p
–
--------------------
2bccos
α
2
---
bc
+
-------------------------
c2 m2sin2β
–
a2
8
------
c
2
---
1
2
---
sin2 α
cos α
----------------
3
Г л а в а 12. Планиметрия
609
12.
. 13.4. 14.
.
15. . 16.
. 17. см2. Убедитесь в том,
что треуольни прямоуольный. 18. . 19. tg α ctg β + .
20.
.21. .22.4.23.75.24. .25. .26.3;
5;7.27.1+ .28. +arccos
, – arccos
.
29.
.30. .31. см2.32.
.33. = .34.
или 9. 35. arctg
.36.4(1–α).37.23:90.38. .39. .
40. . 41.
. 42.
.
43.3:2. 44. или3.46.6:5. 47.FA = ,FB =arcsin ,
FC =arcsin .
§ 68. Четырехугольники
1.l=8см;S=16 см2.2.256см2.3. м.4.2см.5.6м.
6. 9,6 см2. 7. sin 2α. 8.
.9. .10.
.
11.l.12.СторонуCD.13. .14.1+
–
.
15. (a–b)2sinα. 16.4h2ctgα –2h
. 17. 7:8.
18.2.19.AB=BC=2,AD= ,DC=1,S= .20.4:5.
21.
см2.22.2 см.23. .24. = .25.
.
a2sinα cos2α
4cosα 12cosα
+
()
------------------------------------------------------
b2 sin α 5sinβ 3cosβ tg α
+
()
16 sin αβ
+
()
-----------------------------------------------------------------------------------
1
2---
c2
2----- cos2 β sin 2 α
cos αβ
–
()
cos αβ
+
()
-----------------------------------------------------------
15
2-----------
3
4-------
9
2---
7
2---
23
+
6
------------------
3
3
2l2
5--------
a17
12
---------------
2π
4---
122
+
4
---------------------- π
4---
122
+
4
----------------------
bbc
+
() 32
4-----------
2
3---
23
–
5
-----------------
NC
AC
--------- 3
4---
1
9---
31
–
2
-----------------
25
16------
1
12------
π
6---
β 12ααβ
++
()
1α
+
()
1β
+
()
1 ααβ
++
()
-------------------------------------------------------------------------
S1S3 S2 S1
+
()
S2 S3
+
()
S2 S2
2 S1S3
–
()
------------------------------------------------------------------
1
3---
π
2---
4
5---
3
5---
3
3
a2
2------
4
31
+
()
2
--------------------------
10
2-----------
1
2--- ab ab
–
()
2
4cos2 α
---------------------
+
12
5------
13tgα
+
()
2
2tgα
---------------------------------- 7
8--- a2 16
–
1
2---
a2 4h2
–
3
33
2-----------
153
2---------------
2
a13
6---------------
AM
MD
----------- 2
3---
m2 n2
+
2
--------------------------
608
Ответы, указания, решения
Введите в ачестве неизвестных: x—массу отрезанноо ус-
а; c1 и c2 — онцентрацию меди в первом и втором усе соот-
ветственно. 7. 5 % и 11 %. 8. В объеме 4 см3. Воспользуйтесь
формулой m = ρV, связывающей массу, плотность и объем.
9. 12 %; 24 %; 48 %. 10. 29 %. В ачестве неизвестных вве-
дите онцентрации c1, c2, c3, c4. Условие задачи дает систему
трех уравнений для четырех неизвестных c1, c2, c3 и c4. При ис-
следовании системы учтите, что следует исать омбинацию
неизвестных
. 11.В раза. 12.5и20.13.14;
7 ; 16 . 14. Первая труба подает жидость в 2 раза быстрее
второй. 15.50%. 16.12,5. 17.170. 18.40% и 43 %.
19.2л.20.10ли90л.21.10л.22. .23.Еслиp=q,топри
любом числе промыво процент содержания золота сохраняется;
в этом случае задача имеет решение при r m k, причем число
промыво произвольно. Если q < p, то число промыво n опре-
деляется неравенством n l lg
:lg
.Еслиp<q,
тоnmlg
:lg
.
§ 66. Разные задачи
1. 28 . 2. 60 деталей. 3. 280 р. портфель дороже авторучи.
4.За1ч.5.6400ли600л.6.1,25и0,75.
Г л а в а 12. Планиметрия
§ 67. Треугольники
1.20см.2.
.3.75.4.m(mcosβä
)
×
×sinβ. 5.Нет. 6. sin2α. 7. tgα(rcosα–c).
8. cr
. 9.–2Scos2αcos2α. 10.288см2. 11. –1.
2c2 c4
+
3
----------------------
13
4------
1
3---
1
6---
r100 k–
()
k100 r–
()
---------------------------- 100 q–
100 p–
--------------------
r100 k–
()
k100 r–
()
---------------------------- 100 q–
100 p–
--------------------
2bccos α
2---
bc
+
-------------------------
c2 m2sin2β
–
a2
8------
c
2---
1
2--- sin2 α
cos α
----------------
3
Г л а в а 12. Планиметрия
609
12.
.
13. 4. 14.
.
15. . 16.
. 17.
см2. Убедитесь в том,
что треуольни прямоуольный. 18. . 19. tg α ctg β + .
20.
. 21.
. 22.4.
23. 75. 24.
. 25.
. 26.3;
5;7.27.1+
. 28. + arccos
,
–
arccos
.
29.
. 30.
. 31. см2. 32.
. 33.
=
. 34.
или 9. 35 . arctg
. 36.4(1–α).37.23:90.38.
. 39.
.
40. . 41.
.
42.
.
43. 3:2. 44.
или3.46.6:5. 47.FA =
,FB=arcsin ,
F C =arcsin .
§ 68. Четырехугольники
1.l =8см;S=16
см2. 2. 256 см2. 3.
м.4.2см.5.6м.
6. 9,6 см2. 7.
sin 2α. 8.
.9.
. 10.
.
11.l.12.СторонуCD.13. .14.1+
–
.
15. (a – b)2sinα.
16. 4h2 ctg α –2h
.
17. 7:8.
18.2.19.AB=BC=2,AD=
,DC=1,S =
. 20.4:5.
21.
см2. 22. 2
см. 23.
. 24.
=
. 25.
.
a2sinα cos2α
4cosα 12
c
o
s
α
+
()
------------------------------------------------------
b2 sin α 5sinβ 3cosβ tg α
+
()
16 sin αβ
+
()
----------------------------------------------------------------------------------
-
1
2
---
c2
2
-----
cos2βsin2α
cos αβ
–
()
cos αβ
+
()
-----------------------------------------------------------
15
2
-----------
3
4
-- -- ---
9
2
---
7
2
---
23
+
6
------------------
3
3
2l2
5
--------
a17
12
--------------
-
2
π
4
---
122
+
4
----------------------
π
4
---
122
+
4
----------------------
bbc
+
() 32
4
-----------
2
3
---
23
–
5
-----------------
NC
AC
---------
3
4
---
1
9
---
31
–
2
-----------------
25
16
------
1
12
------
π
6
---
β12
αα
β
++
()
1α
+
()
1β
+
()
1αα
β
++
()
------------------------------------------------------------------------
-
S1S3 S2 S1
+
()
S2 S3
+
()
S2 S2
2
S1S3
–
()
------------------------------------------------------------------
1
3
---
π
2
---
4
5
---
3
5
---
3
3
a2
2
------
4
31
+
()
2
-------------------------
-
10
2
-----------
1
2
---
ab
ab
–
()
2
4cos2 α
---------------------
+
12
5
------
13t
gα
+
()
2
2tgα
----------------------------------
7
8
---
a2 16
–
1
2
---
a2 4h2
–
3
33
2
-----------
153
2
---------------
2
a13
6
--------------
-
AM
MD
-----------
2
3
---
m2 n2
+
2
--------------------------
610
Ответы, указания, решения
26. . 27.
.
28. . 29.
.
30. .
31. . 32. 37:72. 33. 1. 34.
.
35. KM
=2
,
LN =.
§ 69. Окружность и круг
1.
. 2.2.
3.8.4. (3+π–3 ).5.1 –
+
.
6.
см2. 7. R2(2 +5π). 8. R2ctgα – R2
–
α.
9. 8см. 10. 7. 11.
.
12.
.
13. 8см.
14.
.
15.(3–)см.16.hиh.
17. 3. 18. см2.
19.
(arccos m – m
).
20.
.
21. Площадь вадрата больше пло-
щади руа. 22 .
см.
§ 70. Треугольники и окружности
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
и2
или 2
и
.8.
.
3S
2
-------
ab
+
4
-------------
ab
+
()
3ba
–
() 4S
5
-------
35
5
12
------
11
12
------
1
2
---
171
–
2
---------------------
Q3
4
4Q
3
4
------------
97
16
-----------
Rr
a2
3
------
3
3
2π
3
-------
150
7
----------
5
6
---
3
1
2
---
1
2
---
π
2
---
π4R2l2
–
()
2
64R2
----------------------------------
d2R1R2
–
()
2
–
4R1R2
+
()
2
-----------------------------------------
a3r4r22ar3
+
–
+
3
-------------------------------------------------------------------
2
3
---
5
3
5
---
12
5
------
13
8
5
---
32
πm4
-----------
1m2
–
2sin2α
α1s
i
n
2
α sin2α
++
()
------------------------------------------------------------
-
6
5
-------
πc
12
+
------------------
b cos
3α
2
-------
2sinαcos
α
2
---
---------------------------------
-
R sin
α
2
---
1s
i
n
α
2
---
+
------------------------
abc
abc
++
()
abc
–
+
()
acb
–
+
()
bca
–
+
()
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a233π
–
()
24
---------------------------------
bc2 bccosα
–
+
2sin2α
-------------------------------------------------
3
3
3
3
513
12
--------------
-
Г л а в а 12. Планиметрия
611
9. 2R2
. 10.
. 11.c
.
12.
. 13.
a2. 14. ·t
g
.
15. a
. 17.
a2 – .18.
.
19.2.20. .21.r1= (14– ),r2= (21–
).
22.
. 23.4:3. 24.150+ . 25. .
26.
·
.27. .28. (3+ ).29. ×
×(6– ).30.128(3+2 ):49.31.
.32.AB=3 см;
AC= см.33.
.34. .35.22.36. l(l–n)×
×sinβ 1+ sinβtg . 37.
. 38.R1 =
×
×
, R2=.
39. tg sin 2α.
40.
; отношение будет наименьшим при α = 45°.
41.
. 42. arctg . 43.
, деγ =FACB,
β=FABC.44.(–1
): .45. 25π см2. 46. 5см.47. arccos ,
– arccos или arccos , – arccos . 48. 14 см. 49. 3см,
4см, 5см. 50. 0,5 дм. 51. см. 52. 2. Введите в а-
sin3 αβ
+
()
sin β
sin α
----------------------------------------------
1563
+
sin α
2--- cos β
2---
cos α
2--- β
2---+
---------------------------------
1
2--- R2 aR
+
()
3
aR
–
()
a2 R2
+
()
---------------------------------------------
5π 63
–
72
-------------------------
a
2---
1 sinα
2---
–
1 sinα
2---
+
------------------------ α
2---
1347
–
2
-------------------------
743
–
4
---------------------
5π
6------- 3
absinα
ab
+
----------------------
1 sinα
2---
–
1 sinα
2---
+
------------------------
11
10------
6
6-------
70
6
8-------
105
R 375
+
()
7
------------------------------------
250
3
----------
315
2---------------
1,25 cos β
–
2sinβ
-------------------------------- b sin α
sin αβ
+
()
----------------------------
7
4-------
125
4----------
3
50
3------
3
2
2
4 π–-------------
2
10
4R2sinαcos4α
cos 3α
--------------------------------------------
a23
26
--------------
1
2---
l
2 n-------
β
2---
33
5π 3–
-----------------
sin C
sin BC
+
()
------------------------------
322cosB
–
4sinB
-------------------------------------
sin C
sin BC
+
()
------------------------------ 322cosB
+
4sinB
--------------------------------------
α
2---
1
sinα cosα 1–
+
--------------------------------------------
sin α
2--- sin 2α
sin 3α
4------- sin 7α
4-------
-------------------------------------
1
cos α
-------------
cos2 βγ
–
2------------
cos2 βγ
+
2------------
--------------------------
3
6
3
5---
π
2---
3
5---
4
5--- π
2---
4
5---
91
5
610
Ответы, указания, решения
26. . 27.
.28. .29. .30. .
31. . 32. 37:72. 33. 1. 34.
.35.KM=2
,
LN =.
§ 69. Окружность и круг
1. .2.2.
3.8.4. (3+π–3 ).5.1– + .
6. см2. 7. R2(2 +5π). 8. R2ctgα – R2 –α .
9. 8см. 10. 7. 11.
. 12.
. 13. 8см.
14.
.15.(3– )см.16.hи h.
17. 3. 18. см2. 19. (arccos m – m
).
20.
. 21. Площадь вадрата больше пло-
щади руа. 22. см.
§ 70. Треугольники и окружности
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.и2или2и.8..
3S
2-------
ab
+
4------------- ab
+
()
3ba
–
() 4S
5-------
35
5
12------
11
12------
1
2--- 17 1–
2
---------------------
Q34
4Q
34------------
97
16
-----------
Rr
a2
3------
3
32π
3-------
150
7----------
5
6---
3
1
2---
1
2---
π
2---
π4R2 l2
–
()
2
64R2
----------------------------------
d2R1R2
–
()
2
–
4R1R2
+
()
2
-----------------------------------------
a3r 4r22ar3
+
–
+
3
-------------------------------------------------------------------
2
3---
5
3
5---
12
5------
13
8
5---
32
πm4
-----------
1m2
–
2sin2α
α 1sin2α sin2 α
++
()
-------------------------------------------------------------
6
5
-------
πc
12
+
------------------
bcos3α
2-------
2sinαcosα
2---
----------------------------------
Rsinα
2---
1sinα
2---
+
------------------------
abc
abc
++
()
abc
–
+
()
acb
–
+
()
bca
–
+
()
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a233π–
()
24
---------------------------------
bc2 bccosα
–
+
2sin2α
-------------------------------------------------
3
3
33513
12
---------------
Г л а в а 12. Планиметрия
611
9. 2R2
.
10.
.
11. c
.
12.
.
13.
a2.
14. ·t
g
.
15. a
. 17.
a2
–
. 18.
.
19.2.20. .21.r1=
(14 –
),r2=
(21 –
).
22.
.
23. 4:3. 24. 150 +
.
25.
.
26.
·
. 27. .28.
(3+ ).29.
×
×(6– ).30.128(3+2 ):49.31.
. 32.AB=3
см;
AC=
см. 33.
. 34.
. 35.22.36. l(l–n)×
×sinβ 1+ sinβtg . 37.
.
38.R1 =
×
×
,
R2 =.
39. tg sin 2α.
40.
; отношение будет наименьшим при α = 45°.
41.
. 42. arctg
. 43.
, де γ =FACB,
β=FABC.44.( –
1
):.
45. 25π см2. 46. 5см. 47. arccos ,
–
arccos
или arccos ,
–
arccos . 48. 14 см. 49. 3см,
4см, 5см. 50. 0,5 дм. 51.
см. 52. 2.
Введите в а-
sin3 αβ
+
()
sin β
sin α
----------------------------------------------
1563
+
sin
α
2
---
cos
β
2
---
cos
α
2
---
β
2
---
+
--------------------------------
-
1
2
---
R2 aR
+
()
3
aR
–
()
a2 R2
+
()
---------------------------------------------
5π 63
–
72
-------------------------
a
2
---
1 sin
α
2
---
–
1 sin
α
2
---
+
------------------------
α
2
---
1347
–
2
-------------------------
743
–
4
---------------------
5π
6
-------
3
absinα
ab
+
---------------------
-
1 sin
α
2
---
–
1 sin
α
2
---
+
------------------------
11
10
------
6
6
-------
70
6
8
-------
105
R 375
+
()
7
------------------------------------
250
3
----------
315
2
---------------
1,25 cos β
–
2sinβ
--------------------------------
bsinα
sin αβ
+
()
----------------------------
7
4
-------
125
4
----------
3
50
3
------
3
2
2
4π
–
-------------
2
10
4R2sinαcos4α
cos 3α
--------------------------------------------
a23
26
--------------
1
2
---
l
2n
-------
β
2
---
33
5π3
–
-----------------
sin C
sin BC
+
()
------------------------------
322c
o
s
B
–
4sinB
-------------------------------------
sin C
sin BC
+
()
------------------------------
322c
o
s
B
+
4sinB
--------------------------------------
α
2
---
1
sinα cosα 1
–
+
--------------------------------------------
sin
α
2
---
sin2α
sin
3α
4
-------
sin
7α
4
-- -- ---
------------------------------------
-
1
cos α
-------------
cos2 βγ
–
2
------------
cos2 βγ
+
2
------------
--------------------------
3
6
3
5
---
π
2
---
3
5
---
4
5
---
π
2
---
4
5
---
91
5
612
Ответы, указания, решения
честве неизвестноо острый уол треуольниа α и составьте
уравнение для нахождения α с помощью теоремы о асатель-
ной и сеущей. 53. 240 см2. 54.
и
. 55.
и
. 56.
.
57.
–
arccos
–
,
+ arccos
–
.
58. .
59.
.
60.
.
61. arccos
.
62.
a. 63.
. 64.
и
. Введите в ачестве
не известноо расстояние от точи D до точи асания оруж-
ности с прямой AC. 65 . Треуольни правильный, длина сторо-
ныравна8.66.AB=10,BC=6,AC=12.
§ 71. Многоугольники и окружности
1. h2
.2.
.3.
. 4.r
. 5.37,5.6.2.7.0,6.
8. 12,5 см. 9.
.
10. 2(
–
). 11.
.
12.
.
13.
–
mr
–
tg .14. –.
15.
и
.
16.
. 17. r2.18.3сми8см.19.
. 20.8.
21. 12
см2. 22. 14,4. 23. 3 : 1. 24. 10 : 11. 25. Трапеция
равнобедренная; 75° и 105° . 26. 210 . 27. 9 : 16. 28.
=a+
+lsin2
ä
.
29.
;
.
30. .31.5:π.
π
18
------
7π
18
-------
π
12
------
7π
12
-------
π
6
---
π
4
---
4
6
-------
1
2
-------
π
4
---
4
6
-- -- ---
1
2
-------
2
3
---
33131
–
()
32π
--------------------------------------
mk2 2kcosA 1
++
2k1
+
()
cos
A
2
-- --
--------------------------------------------------------
-
21S
–
()
3ä22si
n
α
2
---
2cos2 α
2
---
-------------------------------------
2
3
2
---
2
3
---
3
a
2cosβ
--------------------
93r 2
4
-----------------
7
2π
3
-------
6
2
103 17
130
---------------------
-
433
+
4
----------------------
2r
sin γ
------------
r2
m
-----
γ
2
---
4sin3 α cos α
π
------------------------------------
π
4
---
3π
4
-------
2cosecα cosec β
+
()
π
------------------------------------------------------
9
2
---
4R3
S
-----------
15
MB
ND
α
2
---
a2 2al sin2 α
2
---
l2 cos2 α
2
---
sin2 α
2
---
–
+
7
85
-----------
34
5
------
2
3
-- - ----
Г л а в а 13. Стереометрия
613
Г л а в а 13. Стереометрия
§ 72. Многогранники
1.arccos . 2.3d3 . 3.2a3sin
.
4.
. 5.arccos(sinαsinβ). 6.576см2. 7. d2×
×sin2φcos(45°–α). 8.a2bsinαsinβ. 10. l3cos2αsinα.
11.
.12.α=arcsin ;V= .13.
×
× tg α. 14. H3 3tg2 –1.15.
.16.a
.
17.
.18.
.
19. l3 sin
. 20. 2arcsin
.21.π–
– 2 arcsin
.22. tgα.23.a
.24. .25.
×
×
.26.a3
.
27.– l3
.28..29.h3.30.×
×
. 31. 2 arcsin sin . 32. arcctg
.
33.
.34.6 – +4.35.V=
,
1
3
-------
3
α
2--- sin α
2--- sin 3α
2-------
b3 cos 2α
sin α
----------------------------
2
3
12-------
63sinα30°
+
()
r2
cos α
------------------------------------------------------
6
3-------
a3
6------
a4b2a2
–
2a 2b
+
()
-------------------------------
3
4-------
α
2---
a3cos2α
2--- ctg α
2---
33 4sin2α
2---
–
------------------------------------------
3ctg2 φ
–
c2sinαcosα
2cosβ
----------------------------------- 1
12------ 1
2--- a2 b2 c2
–
+
()
a2c2b2
–
+
()
b2c2a2
–
+
()
1
3---
β
2--- cos2 β
2--- cos2 α
–
13cos2 α
+
2
------------------------------------
1
2sinα
2---
------------------
ba
–
23
-------------
21
–
2
3---
1
122
---------------
a2b2c2
–
+
()
a2c2b2
–
+
()
b2c2a2
–
+
()2
6-------
ctg2 α
2---
1ctg2 α
2---
–
---------------------------
2
3---
cos β
2--- cos β
sin3 β
2---
----------------------------
d2tgα
2---
2cosβ
------------------
4
3---
sin2 α
2---
cos α
----------------
3V
H------------
4H3 3V
+
2α
2---
tg2α 1–
2
------------------------
l3ctgαctgβ
31
sin2 α
---------------- ctg2 β
+
3/2
----------------------------------------------------------
26
d2 3l2 d2
–
6
---------------------------------
612
Ответы, указания, решения
честве неизвестноо острый уол треуольниа α и составьте
уравнение для нахождения α с помощью теоремы о асатель-
нойисеущей.53.240см2.54. и .55. и .56. .
57. – arccos
– , +arccos
– .58..
59.
. 60.
. 61. arccos
.
62.
a. 63. . 64. и . Введите в ачестве
неизвестноо расстояние от точи D до точи асания оруж-
ности с прямой AC. 65. Треуольни правильный, длина сторо-
ныравна8.66.AB=10,BC=6,AC=12.
§ 71. Многоугольники и окружности
1.h2 .2.
.3.
.4.r .5.37,5.6.2.7.0,6.
8.12,5см.9. .10.2( – ).11.
. 12.
.
13.
–mr– tg .14.–.
15.и.
16.
.17. r2.18.3сми8см.19. .20.8.
21. 12 см2. 22. 14,4. 23. 3 : 1. 24. 10 : 11. 25. Трапеция
равнобедренная; 75° и 105°. 26. 210. 27. 9 : 16. 28.
=a+
+lsin2 ä
.29.;.
30. .31.5:π.
π
18------ 7π
18-------
π
12------ 7 π
12-------
π
6---
π
4---
4
6
------- 1
2
-------
π
4---
4
6
------- 1
2
-------
2
3---
33131
–
()
32π
--------------------------------------
mk2 2kcosA 1
++
2k 1+
()
cos A
2----
---------------------------------------------------------
21S
–
()
3 ä 22sinα
2---
2cos2 α
2---
-------------------------------------
2
3
2--- 2
3---
3
a
2cosβ
-------------------- 93r2
4
-----------------
7
2π
3-------
62
103 17
130
----------------------
433
+
4
----------------------
2r
sin γ
------------
r2
m----- γ
2---
4sin3 α cos α
π
------------------------------------
π
4--- 3π
4-------
2cosecα cosec β
+
()
π
------------------------------------------------------
9
2---
4R3
S-----------
15
MB
ND
α
2---
a2 2al sin2 α
2--- l2 cos2 α
2--- sin2 α
2---
–
+
7
85
----------- 34
5------
2
3
-------
Г л а в а 13. Стереометрия
613
Г л а в а 13. Стереометрия
§ 72. Многогранники
1. arccos
.
2. 3d3
.
3. 2a3 sin
.
4.
.
5.arccos(sinαsinβ). 6.576см2. 7. d2×
×sin2φcos(45° – α). 8.a2bsinαsinβ. 10. l3cos2αsinα.
11.
. 12.α =arcsin ;V=
. 13.
×
× tg α. 14. H3 3tg2 –1.15.
. 16.a
.
17.
. 18.
.
19. l3 sin
.
20. 2arcsin
.21.π–
–
2 arcsin
. 22.
tgα.23.a
. 24.
. 25.
×
×
.
26.
a3
.
27. –
l3
.
2
8
.
.
2
9
.h3
.
3
0
.
×
×
.
31. 2 arcsin
sin
.
32. arcctg
.
33.
. 34.6
–
+4.35.V =
,
1
3
-------
3
α
2
---
sin
α
2
---
sin
3α
2
-------
b3 cos 2α
sin α
----------------------------
2
3
12
-------
63sinα 30°
+
()
r2
cos α
------------------------------------------------------
6
3
-------
a3
6
------
a4b2a2
–
2a 2b
+
()
------------------------------
-
3
4
-------
α
2
---
a3cos2α
2
---
ctg
α
2
---
33 4sin2
α
2
---
–
------------------------------------------
3c
t
g2φ
–
c2sinαcosα
2cosβ
-----------------------------------
1
12
------
1
2
---
a2b2c2
–
+
()
a2c2b2
–
+
()
b2c2a2
–
+
()
1
3
---
β
2
---
cos2 β
2
---
cos2 α
–
13c
o
s
2α
+
2
------------------------------------
1
2 sin
α
2
---
------------------
ba
–
23
-------------
21
–
2
3
---
1
122
---------------
a2b2c2
–
+
()
a2c2b2
–
+
()
b2c2a2
–
+
()2
6
-------
ctg2 α
2
---
1c
t
g2α
2
---
–
---------------------------
2
3
---
cos
β
2
---
cos β
sin3 β
2
---
----------------------------
d2 tg
α
2
---
2cosβ
------------------
4
3
---
sin2 α
2
---
cos α
----------------
3V
H
------------
4H3 3V
+
2
α
2
---
tg2α 1
–
2
------------------------
l3ctgαctgβ
3
1
sin2 α
----------------
ctg2 β
+
3/2
----------------------------------------------------------
2
6
d2 3l2 d2
–
6
---------------------------------
614
Ответы, указания, решения
Sбо =
. 36.2arcsin
.
37. 2 arccos
.
38.
.
39. arctg tg α cos
.
40. 2 arcsin
.
41.
.
§ 73.Сечения многогранников
1.
.
2. arctg
.
3..4.
.
5. Точа P совпа-
дает с точой C. 6.
м2. 7.
.
8. .9.
.
10.
.
11.
tg2 α tg β. 12. arcctg cos α.
13.
. 14. arccos tg . 15.
. 16. .17.
м2.
18.
.
19.Ssinφ
.
20.
.
21. 3. 22.
.
23.V1= и
V2 =;
S=.
24.
.
25. (c + h)S. 26. 7:17. 27.
×
×
.
28. arcsin .
29.
·cosα×
×
.
30.
.
31. a2 sin2
.
32. ab. 33.
.
d
2
---
12l2 d2
–
31
–
2
-----------------
3
2 sin
φ
2
---
------------------
a3 55
+
()
24
-----------------------------
-
π
n
---
cos
π
n
---
cos
α
2
---
--------------
a3 b3
–
()
3
6
-------------------------------
-
3a2 3
4
------------------
5
2
-------
6
a3
3
-----------
33
4
-----------
1
3
---
1121
170
-------------
5
2
---
144 3
5
------------------
H2 3ctgα
sin α
-------------------------------
-
a2 b2
–
()
ab
–
()
8
------------------------------------------
SS6
4
2
-----------------------
α
2
---
a 3 2cosα
2 sin
α
2
---
-----------------------------
c3
32
------
4
3
-------
a2sin2α
2cosφ
------------------------
S 3cosφ
b
8
---
15b2 4l2
+
a2tgα
8sinβtgβ
------------------------------
3m 2n
+
()
a3tgα
8n
-----------------------------------------------
a3tgα
8
------------------
a23
4cosα
------------------
33
8
-----------
1
2
---
7
16
------
a2 b2
+
()
c2 4a2b2
+
1
3
---
a23
16
--------------
42
1c
o
s
2α
+
a2 3sin2α
2
---
2sin
α
2
---
4sin2α
2
---
1
–1
++
4 sin
α
2
---
4sin2α
2
---
1
–
+
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
α
2
---
34s
i
n
2α
2
---
–
2
9
---
3l2
24tg2 α 1
+
()
cos α
-----------------------------------------------------
Г л а в а 13. Стереометрия
615
34. a2. 35. 2a2 cos2
.36.4m2.37. .
38. a2. 39.
. 40. sin . 41. 3:4. 42. 1:6.
43.
. 44. 69 : 100. 45. На расстоянии от
точи S, не большем чем SD. 46. 8:37. 47.
.
48. l2cosα. 49.32 . 50.a2 1+2
. 51. 3:5.
52. 1:1.53. .
§ 74. Фигуры вращения
1.
. 2. πS2;
.3.
.4.
.5. .
6.
.7. ·.
8. :5.9.(2π–3 ):(10π+3 ).
10. . 11.
. 12.
.
13.
. 14. (2S1 +2S2 + πd2).
15.
R или
R.
16.r1ä2tg2 +
+tg
.17.r 1+ .18.4.19.r1=;
r2=
;r3=
. 20.
.
211
49
---------------
α
2--- 2cos2α
–
3
a3
128
----------
32
4-----------
3 V2ctg2α
3
cos α
-----------------------------
4ab
9---------- α
2---
6sinα
2---14
3--- sin2 α
2---
–
2sinα
2---14
3--- sin2 α
2---
–
+
3
-----------------------------------------------------------------------
2
3---
52ab
16
-------------------
1
2---
3
11
2
-------
+
25S
16-----------
d3cos2αsinα
4π
---------------------------------------
S2 πS1
2
---------------------- π r3 15
3
--------------------- π S 15
3
------------------- Sr
3-------
πSS
33
4
---------------- 2
3--- π2r3
π2 1–
----------------
5
3
3
2πh3
3--------------
sin α
4πcosβcos2β
2---
----------------------------------------
l2cosβ
cos2 α
------------------- sin βα
+
()
sin βα
–
()
πb2a2
– b2ctg2α a2ctg2β
–
()
24 ctg2α ctg2β
–
()
3/2
--------------------------------------------------------------------------------------
1
4---
221
–
221
+
----------------------
221
+
221
–
----------------------
α
2---
α
2--- 34tg2 α
2---
+
6
2-------
csinβ
2sinα
------------------
csinα
2sinβ
------------------
csinαsinβ
2sin2 αβ
+
()
------------------------------------
ρ2 Rr
–
()
2
–
4Rr
+
()
2
----------------------------------
614
Ответы, указания, решения
Sбо =
. 36. 2 arcsin
. 37. 2 arccos
.
38.
. 39.arctg tgαcos . 40.2arcsin .
41.
.
§ 73.Сечения многогранников
1.
. 2.arctg . 3. . 4. . 5.Точа P совпа-
дает с точой C. 6. м2. 7.
.8. .9.
.
10.
. 11.
tg2 α tg β. 12. arcctg cos α.
13.
. 14. arccos tg . 15.
.16. .17. м2.
18.
. 19.Ssinφ
. 20.
.
21. 3. 22.
. 23.V1= и
V2 =;
S=.
24. . 25. (c+h)S. 26.7:17. 27. ×
×
. 28. arcsin . 29.
·cosα×
×
.
30.
.
31. a2 sin2
. 32. ab. 33.
.
d
2--- 12l2 d2
–
31
–
2
-----------------
3
2sinφ
2---
------------------
a3 55
+
()
24
------------------------------
π
n---
cos π
n---
cos α
2---
--------------
a3 b3
–
()
3
6
--------------------------------
3a2 3
4
------------------
5
2-------
6a3
3-----------
33
4-----------
1
3--- 1121
170
-------------
5
2---
144 3
5
------------------
H2 3ctgα
sin α
--------------------------------
a2 b2
–
()
ab
–
()
8
------------------------------------------
SS 64
2
-----------------------
α
2---
a3 2cosα
2sinα
2---
-----------------------------
c3
32------
4
3
-------
a2sin 2α
2cosφ
------------------------
S 3cosφ
b
8--- 15b2 4l2
+
a2tgα
8sinβtgβ
------------------------------
3m 2n
+
()
a3tgα
8n
-----------------------------------------------
a3tgα
8
------------------
a23
4cosα
------------------
33
8-----------
1
2---
7
16------
a2 b2
+
()
c2 4a2b2
+
1
3---
a23
16
--------------
421cos2 α
+
a2 3sin2α
2--- 2sinα
2--- 4 sin2 α
2--- 1–1
++
4 sinα
2--- 4 sin2 α
2--- 1–
+
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
α
2--- 34sin2 α
2---
–
2
9---
3l2
24tg2 α 1+
()
cos α
-----------------------------------------------------
Г л а в а 13. Стереометрия
615
34.
a2. 35 . 2a2 cos2
.
36. 4
m2. 37.
.
38.
a2. 39.
. 40.
sin . 41. 3:4. 42. 1:6.
43.
.
44. 69 : 100. 45. На расстоянии от
точи S, не большем чем
SD. 46. 8:37. 47.
.
48. l2cosα. 49.32
.
50. a2 1+2
.
51. 3:5.
52. 1:1. 53.
.
§ 74. Фигуры вращения
1.
. 2. πS2;
.3.
.4.
.5.
.
6.
.7.
·.
8.
:5.9.(2π–3 ):(10π+3 ).
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14. (2S1 +2S2 + πd2).
15.
R или
R.
16.r1ä2tg2 +
+tg
.17.r 1+
.18.4.19.r1 =;
r2=
;r3=
. 20.
.
211
49
--------------
-
α
2
---
2cos2α
–
3
a3
128
----------
32
4
-----------
3
V2 ctg2 α
3
cos α
-----------------------------
4ab
9
----------
α
2
---
6sin
α
2
---
1
4
3
---
sin2 α
2
---
–
2 sin
α
2
---
1
4
3
---
sin2 α
2
---
–
+
3
-----------------------------------------------------------------------
2
3
---
52ab
16
------------------
-
1
2
---
3
1
1
2
-------
+
25S
16
-----------
d3cos2αsinα
4π
---------------------------------------
S2 πS1
2
---------------------
-
πr3 15
3
--------------------
-
πS 15
3
-------------------
Sr
3
-------
πSS
33
4
----------------
2
3
---
π2r3
π21
–
----------------
5
3
3
2πh3
3
--------------
sin α
4πcosβcos2β
2
---
----------------------------------------
l2cosβ
cos2 α
-------------------
sin βα
+
()
sin βα
–
()
πb2a2
–
b2ctg2α a2ctg2β
–
()
24ctg2α ctg2β
–
()
3/2
--------------------------------------------------------------------------------------
1
4
---
221
–
221
+
----------------------
221
+
221
–
----------------------
α
2
---
α
2
---
34t
g
2α
2
---
+
6
2
-------
csinβ
2sinα
------------------
csinα
2sinβ
-----------------
-
csinαsinβ
2sin2 αβ
+
()
------------------------------------
ρ2 Rr
–
()
2
–
4Rr
+
()
2
----------------------------------
616
Ответы, указания, решения
§ 75. Комбинации многогранников
и фигур вращения
1.
.
2. 5:1. 3. 12R2
.
4. (2+ ):4.
5. a(–
1
)
2.
6.R3.
7.
или
.
8.a
.
9. R3
.
10. 4 см.
11.
.
12.
.
13. . 14.
.
15.
×
×(–
2
c
t
g
α). 16.
. 17.b1+
;
b1–
.
18.
.
19.
.
20. π
.
21.
. 22.φ1= ;φ2=2arctg
. 23.
.
24.
. 25.
. 26.
. 27.
.
28. 4:1. 29.
. 30 . a2(4b2 – a2)1/2(4a2b2 – a4 – b4)–1/2.
31.
.
32.
.
33. . 34. . 35.Sбо=
=3 ( +1)2,α=2arcsin
. 36.
. 37.
. 38.4R2×
H2 2a2
+
2
-----------------------------
-
3
3
1
4
---
3
2
3
---
2
3
---
35
–
2
-----------------
35
+
2
------------------
1
8
---
41
8
27
------
3
a
23
-----------
sin 60°
α
2
---
–
sin 60°
α
2
---
+
-------------------------------------
a cos
α
2
---
2si
n
π
3
---
α
2
---
+
sin
π
3
---
α
2
---
–
--------------------------------------------------------------------------
a
2
-------
a6
8
-----------
a3
3
-----------
4ctg2 α 1
+
2π sin2 α
333 cos2 α
+
()
--------------------------------------------
2
3
---
2
3
---
a
22
-----------
a 2ba
–
()
23b2 a2
–
-------------------------------
4
9
---
ctg
β
2
---
1
3
-------
–
ctg β
2
---
1
3
-------
+
2
---------------------------------------
a31
–
()
42
--------------------------
π
3
---
6
3
-------
33sin2 α cos4 α
2π
-----------------------------------------------
4πsin2αcosα
331 cosα
+
()
3
--------------------------------------------
4R 3tgα
4t
g
2α
+
----------------------------
-
a
216
+
()
--------------------------
-
31
+
22 31
++
------------------------------------
-
219b2
36
--------------------
-
1
2
---
bcosαsin
α
2
---
1c
o
s
α
2
---
+
---------------------------------
Hr
rr
2 4H2
+
+
---------------------------------------
2
2
-------
a
8
---
155
2
5
---
a
6
---
2πa2
sin22α
--------------------
Г л а в а 13. Стереометрия
617
×sin2α. 39.4R2cosα(sinα +
).40. a.41. rR×
×(R ä
). 42. R3
. 43.2 R2cosα×
×(sinα+
). 44. sec4 . 45.
.
46.
. 47.
a2. 48.
. 49.
.
50.V =4( +1)3, α = 2arcsin . 51.
.
52. . 53. Sбо =;V =· R3.
54.
. 55.
.56.πl3·
.
57.V =
πR3; Sбо =
.58.π –4arctg .
59.
. 60.Ssinαsin2αcos2 . 62.4tg3 :tgα.
63. 2:1. 64.
. 65. arcsin . 66.
.
67. .
68.
.
69. 2arcsin .
70.
.
71.
72.
·
. 73. 9:16. 74. πR3.
75.Rr+Rctg + . 76. .77. tg – .
cos 2α
–
21
6-----------
1
6---
R2 r2
–
4
3---
1cosφ
+
()
3
cosφsin2φsinα
----------------------------------------------
2
sin2 α 0,5 cos2 α
+
Q
4---- α
2---
asinαcosα
1cos2 α
+c
o
s
α
+
--------------------------------------------------
ab
2a2 b2
–
--------------------------
323
–
()
4
-----------------------------
c
2cosα
2--- cos β
2---
+
------------------------------------------------
a3
417
+
()
-------------------------
10
11
20------
a3 2ba
–
()
322b2 a2
–
---------------------------------------
21R3
16
--------------
83R2
sin2 α
-------------------
43
3----------- 4sin2 α
–
sin2 α
--------------------------
32 21
147
------------------
6sin2 π
2 n------- 1
2---n sin 2π
n-------
+
3
πn2sin2 2π
n-------
--------------------------------------------------------------------
4
3---
sin3α cos3α
1cosα
+
()
3
----------------------------------
2
3--- 4 sin2 α
–
sin2 α
--------------------------
4πR2
sin2 α
----------------
1
2---
πr3ctg3 π
4--- α
2---–
3cos2 α sin α
---------------------------------------------
α
2---
α
2---
27
16 sin2 α
------------------------
S2
S1
------
R
2---- 3ctgα
2--- cosec2 α
4---
3
5r
3
-------
r3223
++
()
3
---------------------------------------------
1
3
-------
πr2 rr
2dr
–
()
2
+
+
()
3
3dr
–
()
2
-----------------------------------------------------------------
R
r---- ( Rr
+ R)2.
–
Rh1 h2
+
()
R2 h1
2
+
R2 h2
2
+
+
---------------------------------------------------------
R2 h1
2
+R
–
R2 h1
2
+R
+
------------------------------------
48
125
----------
π
4--- α
4---
4π
9-------
2r
3
-------
π
4--- α
4---
616
Ответы, указания, решения
§ 75. Комбинации многогранников
и фигур вращения
1.
. 2.5:1. 3.12R2 . 4.(2+ ):4.
5. a(–
1
)
2.
6.R3.
7.
или
.
8.a.9.R3.10.4см.11.
.
12.
.13..14..15.×
×(–
2
c
t
g
α). 16.
.17.b 1+ ;
b1–
.18. .19.
.20.π
.
21.
.22.φ1= ;φ2=2arctg .23.
.
24.
. 25.
. 26.
. 27.
.
28. 4:1. 29.
. 30. a2(4b2 – a2)1/2(4a2b2 – a4 – b4)–1/2.
31.
. 32.
. 33. . 34. . 35.Sбо=
=3 ( +1)2,α=2arcsin .36. .37.
.38.4R2×
H2 2a2
+
2
------------------------------
3
3
1
4--- 3
2
3--- 2
3---
35
–
2
-----------------
35
+
2
------------------
1
8--- 41
8
27------ 3
a
23
-----------
sin 60° α
2---–
sin 60° α
2---+
-------------------------------------
acosα
2---
2sin π
3--- α
2---+
sin π
3--- α
2---–
--------------------------------------------------------------------------
a
2
-------
a6
8-----------
a3
3-----------
4ctg2 α 1
+
2π sin2 α
333 cos2 α
+
()
--------------------------------------------
2
3---
2
3---
a
22
-----------
a 2ba
–
()
23b2 a2
–
-------------------------------
4
9---
ctg β
2--- 1
3
-------
–
ctg β
2--- 1
3
-------
+
2
---------------------------------------
a31
–
()
42
--------------------------
π
3---
6
3-------
33sin2 α cos4 α
2π
-----------------------------------------------
4πsin2αcosα
331 cosα
+
()
3
--------------------------------------------
4R 3tgα
4tg2 α
+
-----------------------------
a
216
+
()
---------------------------
31
+
22 31
++
-------------------------------------
219 b2
36
---------------------
1
2---
bcosαsinα
2---
1cosα
2---
+
---------------------------------
Hr
rr
2 4H2
+
+
---------------------------------------
2
2-------
a
8---
155
2
5---
a
6---
2πa2
sin2 2α
--------------------
Г л а в а 13. Стереометрия
617
×sin2α. 39.4R2cosα(sinα +
). 40.
a.41. rR×
×(Rä
). 42. R3
.
43.2 R2cosα×
×(sinα+
). 44. sec4
. 45.
.
46.
. 47.
a2. 48.
. 49.
.
50. V
=4(
+1)3, α = 2 arcsin
.
51.
.
52.
.
53. Sбо
=;V =·
R3.
54.
.
55.
.
56. πl3 ·
.
57. V
=
πR3; Sбо =
.58.π
–
4arctg .
59.
.
60.Ssinαsin2αcos2 . 62.4tg3 :tgα.
63. 2:1. 64.
. 6 5. arcsin
. 66.
.
67. .
68.
.
69. 2arcsin
.
70.
.
71.
72.
·
. 73. 9:16. 74.
πR3.
75. Rr+ R ctg
+
.
76. .77. tg
–
.
cos 2α
–
21
6
-----------
1
6
---
R2 r2
–
4
3
---
1c
o
s
φ
+
()
3
cosφsin2φsinα
----------------------------------------------
2
sin2 α 0,5 cos2 α
+
Q
4
- ---
α
2
---
asinαcosα
1cos
2α
+c
o
s
α
+
--------------------------------------------------
ab
2a2 b2
–
-------------------------
-
323
–
()
4
-----------------------------
c
2cos
α
2
---
cos
β
2
---
+
------------------------------------------------
a3
417
+
()
------------------------
-
10
11
20
------
a3 2ba
–
()
322b2 a2
–
---------------------------------------
21R3
16
--------------
83R2
sin2 α
-------------------
43
3
-----------
4s
i
n
2α
–
sin2 α
--------------------------
32 21
147
------------------
6sin2 π
2n
-------
1
2
---
n sin
2π
n
-------
+
3
πn2sin22π
n
-------
--------------------------------------------------------------------
4
3
---
sin3 α cos3 α
1c
o
s
α
+
()
3
----------------------------------
2
3
---
4 sin2α
–
sin2 α
--------------------------
4πR2
sin2 α
----------------
1
2
---
πr3ctg3 π
4
---
α
2
---
–
3cos2 α sin α
---------------------------------------------
α
2
---
α
2
---
27
16 sin2 α
------------------------
S2
S1
------
R
2
-- --
3ctg
α
2
---
cosec2 α
4
---
3
5r
3
-------
r3223
++
()
3
---------------------------------------------
1
3
-------
πr2 rr
2
dr
–
()
2
+
+
()
3
3dr
–
()
2
-----------------------------------------------------------------
R
r
-- --
(Rr
+
R)2
.
–
Rh1 h2
+
()
R2 h1
2
+
R2 h2
2
+
+
--------------------------------------------------------
-
R2 h1
2
+
R
–
R2 h1
2
+
R
+
------------------------------------
48
125
----------
π
4
---
α
4
---
4π
9
-------
2r
3
-------
π
4
---
α
4
---
618
Ответы, указания, решения
Г л а в а 14. Метод координат
и элементы векторной алгебры
§ 76. Векторы и их координаты
1. а) {–6; –2; 4}; б) {18; –5; 19}; в) {–10; 5; –7}. 2. а) {–30; 21};
б) {0; 0); в)
;
; ){25; –10}.3.α =2,β =3,γ =5.
4.а){11;–6;5}.5.x =y =z =1.6.а)
=
–
;б) =
=2
–
3;в) =–
. 7.а)
= {–3; 5; –3}; б)
=
–
;
;–
.8.0;
. 9.а)(–2;1);б)(0;2);в)(0;2);)(12;–1).
10. M1(7; 0) или M2(–1; 0). 11 . M(0; 1; 0). 12 . M(–1; 0; 0).
13. а) ;1 ;б) ;4 ; в) ; . Воспользуйтесь тем,
что если вершины треуольниа ABC заданы с во ими оордина-
тами A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) и C(x3; y3; z3), то оординаты
центра тяжести G этоо треуольниа находятся по формулам
x= (x1+x2+x3),y = (y1++y2+y3),z = (z1+z2+z3).
14.а)k= –
;б)k= –
;в)k= –3.15.а)Да,
=
;б)да,
=–
.16.X=–
,Y=
. 18.(4;0)и(5;2).19.(–1;2;4)и
(8; –4; –2). 20.
;;
. 21.Приα= –1,β =4.26.а)22;
б)–200;в)41;)
. 27.
=
–
;
,
=
;–
.
28.
=
;
. Воспользуйтесь тем, что
=
+
=
=+.
29. –13.30.а)| |= ;б)| |=
. 31.(;;)
11
2
------
15
2
------
c
a
b
c
a
b
c
3
2
---
a
PQ
PQ
11
10
------
4
3
---
1
6
---
5
2
---
5
3
---
1
3
---
2
3
---
14
3
------
1
3
---
1
3
---
1
3
---
9
14
------
5
16
------
a
3
2
---
b
c
4
3
---
d
5
3
---
6
5
---
11
7
------
10
7
------
18
7
------
105
e1
3
5
---
4
5
---
e2
3
5
---
4
5
---
x
21
65
------
77
65
------
x
e1
e2
a
a
------
b
b
-----
a
3b
14
333
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
619
или(– ;– ;– ).32.6.33.{6;–2;4}и{–6;2;–4}.
34. . Воспользуйтесь тем, что
=(+)=
=+.
35. а) arccos ; б) arccos – ; в) arccos ;
)arccos – ;д)arccos ; е)arccos – .36.arccos ;
arccos – ; arccos – ; 135°. Учтите, что = {1; 0},
={0;1}.37. .38.а) ; ; ;б)0;– ;– ;в)–1;
0;0;)0; ; .Учтите,что ={1;0;0}, ={0;1;0}, =
={0;0;1}.39. ={–6;8}.40. ={–24;–32;30}.41.90°; .
42. ={1;0;1}или = – ; ;– .Положите =
={X; Y; Z}, составьте систему уравнений = 1, = 1,
2= 2= 2=2и,решив ее,запишитеответ.43.cosα=
=cosβ=cosγ= .44.135°.45.ПриZ=4.46.ПриX=0,
Y=2.47. ={–3;3;3}.48. = ;– ;– .49. =
= {2; –2; –2}. Используя перпендиулярность веторов и ,
а таже то, что длина ветора известна, составьте два урав-
нения:X –Y+2Z =0,X2 +Y2 +Z2 =12.Замечая,что
| |=| |,запишитеещеодноуравнение2XY+YZ–XZ=0
и решите систему трех уравнений относительно X, Y, Z.
50.BD=2 . 51.AC=5; ;1;1. 52.arccos
.
333
2
85
2-----------
AM1
2--- AB AC
AB1
2--- BC
6
7---
4
35
-----------
3
7---
2
14
-----------
2
7---
2
35
-----------
2
13
-----------
2
29
-----------
5
26
-----------
i
j
1
11------
1
3
------- 1
3
------- 1
3
-------
3
10
----------- 1
10
-----------
3
5--- 4
5---
i
j
k
p
b
10
c1
c2
1
3--- 4
3--- 1
3---
c
ca
cb
cab
1
3
-------
c
c
4
3
------- 1
3
------- 2
3
-------
a
ad
a
bc
6
5
2---
63
6441
------------------
618
Ответы, указания, решения
Г л а в а 14. Метод координат
и элементы векторной алгебры
§ 76. Векторы и их координаты
1. а) {–6; –2; 4}; б) {18; –5; 19}; в) {–10; 5; –7}. 2. а) {–30; 21};
б){0;0); в) ; ;){25;–10}.3.α=2,β =3,γ =5.
4.а){11;–6;5}.5.x =y =z=1.6.а) = – ;б) =
=2 –3 ;в) =– .7.а) ={–3;5;–3};б) = – ;
;– .8. 0; .9.а)(–2;1);б)(0;2);в)(0;2);)(12;–1).
10. M1(7; 0) или M2(–1; 0). 11. M(0; 1; 0). 12. M(–1; 0; 0).
13. а) ;1 ;б) ;4 ; в) ; . Воспользуйтесь тем,
что если вершины треуольниа ABC заданы своими оордина-
тами A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) и C(x3; y3; z3), то оординаты
центра тяжести G этоо треуольниа находятся по формулам
x= (x1+x2+x3),y= (y1++y2+y3),z= (z1+z2+z3).
14.а)k=– ;б)k=– ;в)k=–3.15.а)Да, = ;б)да,
=– .16.X=– ,Y= .18.(4;0)и(5;2).19.(–1;2;4)и
(8;–4;–2).20. ; ; .21.Приα=–1,β=4.26.а)22;
б)–200;в)41;)
.27.=–;,=;–.
28. = ; . Воспользуйтесь тем, что = + =
=+.29.–13.30.а)| |= ;б)| |= .31.(;;)
11
2------ 15
2------
cabc
abc3
2--- a
PQ
PQ
11
10------
4
3--- 1
6---
5
2---
5
3---
1
3---
2
3--- 14
3------
1
3---
1
3---
1
3---
9
14------
5
16------
a3
2--- b
c4
3--- d
5
3---
6
5---
11
7------ 10
7------ 18
7------
105e1
3
5--- 4
5---
e2
3
5--- 4
5---
x
21
65------ 77
65------
xe1e2
a
a------ b
b-----
a3b14
333
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
619
или(– ;
–
;– ).32.6.
33. {6; –2; 4} и {–6; 2; –4}.
34.
.
Воспользуйтесь тем, что
=
(+)=
=+
.
35. а) arccos ; б) arccos –
; в) arccos ;
) arccos –
; д) arccos ; е) arccos –
. 36. arccos
;
arccos –
; arccos –
; 135°. Учтите, что
= {1; 0},
={0; 1}.37 .
. 38.а) ; ; ;б)0;–
;–
;в)–1;
0;0;)0; ; .Учтите,что ={1;0;0},
= {0;1;0},
=
= {0;0;1}.39.
= {–6; 8}. 40.
= {–24; –32; 30}. 41. 90°;
.
42.
= {1;0;1}или
=
–
;;–
. Положите
=
= {X; Y; Z}, составьте систему уравнений
=1,
=1,
2=2
=
2 = 2 и, решив ее, запишите ответ. 43. cos α =
=cosβ =cosγ =
. 44.135°. 45.ПриZ =4.46.ПриX =0,
Y=2.47.
= {–3; 3; 3}. 48.
=
;–;
–
. 49.
=
= {2; –2; –2}. Используя перпендиулярность веторов и ,
а таже то, что длина ветора
известна, составьте два урав-
нения: X –Y +2Z=0,X2 +Y2 +Z2 =12.Замечая,что
| |=| |, запишите еще одно уравнение 2XY +YZ –XZ =0
и решите систему трех уравнений относительно X, Y, Z.
50.BD =2
.
51.AC=5;
;1;1 . 52.arccos
.
3
3
3
2
85
2
-----------
AM
1
2
---
AB
AC
AB
1
2
---
BC
6
7
---
4
35
-----------
3
7
---
2
14
-----------
2
7
---
2
35
-----------
2
13
-----------
2
29
-----------
5
26
-----------
i
j
1
11
------
1
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
3
10
-----------
1
10
----------
-
3
5
---
4
5
---
i
j
k
p
b
10
c1
c2
1
3
---
4
3
---
1
3
---
c
ca
cb
c
a
b
1
3
-------
c
c
4
3
-------
1
3
-------
2
3
-------
a
a
d
a
bc
6
5
2
---
63
6441
------------------
620
Ответы, указания, решения
53.
. 54.AA1=
иBB1=
;OG=
; arccos
,
arccos
,π–arccos
. 55.(2+ ;2+ )или(2– ;
2– ). 56. C1(3; 6); D1(5; 3) или C2(–3; 2), D2(–1; –1).
57. A
;,
C
;.
58. AA1 =
.
59.D(20;23;6).60.W =4.61.W =7.62.AB=5;BC=5 ;
AC =5;FA = 90°, FB = FC = 45°. 63. Тупоуольный. 64. 45°.
65.
= {2; 1}. Учтите, что
B
иB
, де
=–
.
66. . 67.
.
68. (0; –2; 0) или
(2; 2; 2). Зная объем призмы, найдите ее высоту H = AA1 =
=
и, обозначив оординаты вершины A1 через (x1; y1; z1),
свяжите оординаты ветора
= {x–1;y;z–1}сеодли-
ной. Друое уравнение получите из условия
B.
69. 18.
70. 26.
§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости
и поверхностей в пространстве
1.а)x–y+1=0;б)3x+5y–11 =0;в)x–1 =0;)y–2 =0.
2.3x–2y–12 =0или3x–8y+24=0.Воспользуйтесьуравне-
нием прямой в отрезах, т. е. формулой (4). 3. а) 3x – 2y – 5 = 0;
б)x–5y–
= 0.4.AB:4x+y–6 =0;CD:x–4y–2 =0;h=
;
cosφ=
; l1:
=
;l2:(
+5
)×
×(x–1)+(–4
–
17)(y–2)=0.5.y =2x–6,y = –2x+6.
6.x –5y+3=0или5x+y–11 =0.7.C1(5;10)илиC2(3;0).
Площадь треуольниа ABC найдите по формуле
S=||||
=
.
43
25 13
------------------
31
2
------
53
2
-----------
182
3
--------------
14
15
------
11
56
-----------
5
36
-----------
3
3
3
3
173
+
2
----------------------
13
+
2
------------------
173
–
2
---------------------
13
–
2
-----------------
3
4
---
10
2
AH
AHBCBHAC
BHAHAB
3
2
---
51
3
-----------
A1′
A1′′
6
AA1
AA1 AC
7
6
---
19
17
-----------
19
17 58
⋅
----------------------
x1
–
26517
+
---------------------------------
y2
–
426
–1
7
–
--------------------------------------
26
17
26
1
2
---
ab1
ab
ab
------------
2
–
1
2
---
ab
()
2ab
()2
–
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
621
8.D(9;0).9.(x–1)2+(y–1)2=1.10.y= илиy=– .
11. B(12; 5), C(–5; 12), D(–12; –5). Воспользуйтесь тем, что
точа C симметрична точе A относительно начала оорди-
нат.12. x– +(y– )2= ; x– +(y+ )2= .
Центр исомой оружности лежит на прямой, проходящей
через точу ; 0 и перпендиулярной оси Ox (рис. 76). Диа-
метр исомой оружности равен радиусу данной. Запишите урав-
нение исомой оружности в виде x – + (y – y0)2 = и
воспользовавшись тем, что она проходит через точу A(1; 0),
найдитеy0.13.(x–1)2+(y–1)2=1;(x–5)2+(y–5)2=25.
14.2x–y–2z=0.15.а)3x+4y+6z–29=0;б)2x–2y–z+
+9=0;в)x–y+4z+11=0;)x –5y+9z–46=0.
16. а) arccos ; б) arccos ; в) arccos . 17. . Сначала
найдите осинус ула между ветором , перпендиулярным
плосости, и ветором . Затем, используя определение ула
между прямой и плосостью, найдите синус этоо ула.
18. а) arcsin ; б) arcsin
. 19.10. 20.а)1,5; б)0; в)4.
x
y
2
1
2
1
A
3
O
–2
Рис. 76
15
2-----------
15
2-----------
1
2---
2
29
4---
1
2---
2
29
4---
1
2---
1
2---
2
9
4---
5
6---
5
14------
5
11------
6
7-------
n
AB
18
35------
23
15 10
------------------
620
Ответы, указания, решения
53.
.54.AA1= иBB1= ;OG=
; arccos ,
arccos ,π–arccos .55.(2+ ;2+ )или(2– ;
2– ). 56. C1(3; 6); D1(5; 3) или C2(–3; 2), D2(–1; –1).
57. A
;,
C
;.
58. AA1 =
.
59.D(20;23;6).60.W=4.61.W=7.62.AB=5;BC=5 ;
AC =5;FA = 90°, FB = FC = 45°. 63. Тупоуольный. 64. 45°.
65. ={2;1}.Учтите,что B и B ,де
=–.
66. .67. .68. (0;–2;0)или
(2; 2; 2). Зная объем призмы, найдите ее высоту H = AA1 =
= и, обозначив оординаты вершины A1 через (x1; y1; z1),
свяжите оординаты ветора = {x – 1; y; z – 1} с ео дли-
ной. Друое уравнение получите из условия B .69. 18.
70. 26.
§ 77. Аналитическая запись линий на плоскости
и поверхностей в пространстве
1.а)x–y+1=0;б)3x+5y–11=0;в)x–1=0;)y–2=0.
2.3x–2y–12=0или3x–8y+24=0.Воспользуйтесьуравне-
нием прямой в отрезах, т. е. формулой (4). 3. а) 3x – 2y – 5 = 0;
б)x–5y– =0.4.AB:4x+y–6=0;CD:x–4y–2=0;h= ;
cosφ=
; l1:
=
;l2:( +5 )×
×(x–1)+(–4 –17)(y–2)=0.5.y=2x–6,y=–2x+6.
6.x–5y+3=0или5x+y–11=0.7.C1(5;10)илиC2(3;0).
Площадь треуольниа ABC найдите по формуле
S=||||
=
.
43
25 13
------------------
31
2------
53
2-----------
182
3--------------
14
15------
11
56
-----------
5
36
-----------
3
3
3
3
173
+
2
---------------------- 13
+
2
------------------
173
–
2
--------------------- 13
–
2
-----------------
3
4--- 10
2
AH
AHBCBHAC
BHAHAB
3
2---
51
3-----------
A1′
A1′′
6
AA1
AA1 AC
7
6---
19
17
-----------
19
17 58
⋅
----------------------
x1–
26517
+
---------------------------------
y2–
426
–1
7
–
--------------------------------------
26 17
26
1
2---ab1 ab
ab
------------
2
–
1
2--- ab
()
2ab
()2
–
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
621
8.D(9;0).9.(x–1)2+(y–1)2=1.10.y =
илиy=–
.
11. B(12; 5), C(–5; 12), D(–12; –5). Воспользуйтесь тем, что
точа C симметрична точе A относительно начала оорди-
нат.12. x –
+(y– )2= ; x–
+(y+ )2=
.
Центр исомой оружности лежит на прямой, проходящей
через точу
; 0 и перпендиулярной оси Ox (рис. 76). Диа-
метр исомой оружности равен радиусу данной. Запишите урав-
нение исомой оружности в виде x –
+(y–y0)2=
и
воспользовавшись тем, что она проходит через точу A(1; 0),
найдитеy0.13.(x–1)2+(y–1)2=1;(x–5)2+(y–5)2=25.
14.2x–y
–
2z=0.15.а)3x+4y+6z–29 =0;б)2x–2y–z+
+9=0;в)x –y +4z +11=0;)x –5y+9z –46 =0.
16. а) arccos ; б) arccos
; в) arccos
.
17. . Сначала
найдите осинус ула между ветором , перпендиулярным
плосости, и ве тором
. Затем, используя определение ула
между прямой и плосостью, найдите синус этоо ула.
18. а) arcsin ; б) arcsin
.
19.10. 20.а)1,5; б)0; в)4.
x
y
2
1
2
1
A
3
O
–
2
Рис. 76
15
2
-----------
15
2
-----------
1
2
---
2
2
9
4
---
1
2
---
2
2
9
4
---
1
2
---
1
2
---
2
9
4
---
5
6
---
5
14
------
5
11
------
6
7
-------
n
AB
18
35
------
23
15 10
------------------
622
Ответы, указания, решения
21.3.22.6x+2y+3zä42=0.23.(–1;0;2).24.а)(0;0;–2);
б) (2; 3; 1). 25. 3 . Воспользуйтесь тем, что ветор = {2; 2; –1}
параллелен прямой, проходящей через центр сферы перпенди-
улярно данной плосости. Расстояние от центра сферы до
плосости равно 5. 26. (4; –3; 0) и
;;
.27.x–
+
+(y–1)2+(z–1)2=
–
;приm2>
—
сфера; при
m2 =—
т
о
ч
а
;
п
р
и
m2<
—
пустое множество.
§ 78. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
1. arccos
. 2.π –arccos
. 3. arccos
. 4. arccos
.
5. . Выберите систему оординат xOy та, чтобы оси Ox и Oy
проходили соответственно через атеты BC и BA. 7. 2ax + 2by =
= a2 + b2, де a, b—длины атетов. Выберите прямоуоль-
ную систему оординат та, чтобы ось Ox совпала с атетом
CA, а ось Oy — с атетом CB. 14. 3a2, де a—длина стороны
вадрата. 15. 4a2, де a—длина стороны вадрата. 16.
.
17.
. 18.
. 19.
. 20.
. 21 . arccos
.
22.
. Введем систему
оординат Oxyz, а поазано на
рис. 77, и найдем оординаты то-
чеA,EиF:A(a;0;0),E 0; ;a ,
F ; a; a . Уравнение плосости,
проходящей через эти точи, име-
етвидx+y+ z+a=0.Далее
найдем осинус ула между плос-
n
4
21
------
97
21
------
40
21
------
3
2
---
2
m2
2
--------
33
4
------
33
2
------
33
2
------
33
2
------
3
14
-----------
1
513
--------------
-
3
10
-----------
1
5
-------
1
3
---
6
170
--------------
3
170
--------------
1
3
---
1121
170
-------------
551
850
----------
1
4
---
1373
85
-------------
7
3
-------
D1
E
F
N
K
D
C
B
B1
C1
A1
A
y
z
x
Рис. 77
7a2 17
24
---------------------
a
2
---
a
2
---
3
2
---
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
623
остью нижнео основания и данной плосостью: cos φ = .
Площадь проеции пятиуольниа, полученноо в сечении у-
ба сеущей плосостью, на плосость нижнео основания уба
равна Sпр = a2 – = , и, следовательно, площадь самоо
пятиуольниа S = =
.
23.A1K=A1L= a,KL= a;7:41.Изусловияследу-
ет,чтоK ;0;0 ,L 0;a; (рис.78).ПоэтомуA1L2=a2+
+ = ,т.е.A1L= ,A1K2= +a2,т.е.A1K= .
Рассмотрим две треуольные пирамиды: NAKA1 и NDML. Не-
известные длины ребер ND и DM второй пирамиды обозначим
через x и y соответственно. Из подобия треуольниов A1NA и
LND следует, что x = a, а из подобия треуольниов AKN и
DMN—чтоy= ;тодаKL2= +a2+ = ,отуда
KL = . Значит,
= · · ·a·2a= ,VNDML=
= · · · ·a= .Отсюданаходимобъемоднойиз
частей уба, на оторые разбивает ео сеущая плосость:
3
17
-----------
a2
8------ 7a2
8----------
Sпр
cos φ
------------- 717a2
24
---------------------
A1
D1
L
M
N
K
D
C
B
B1
C1
A
y
z
x
Рис. 78
5
2-------
6
2-------
a
2---
a
2---
a2
4------ 5 a2
4----------
a5
2-----------
a2
4------
a5
2-----------
a
4---
a2
4------
a2
4------ 3a2
2----------
a6
2-----------
VNAKA1
1
3--- 1
2--- a
2---
a3
6------
1
3--- 1
2--- a
2--- a
4---
a3
48------
622
Ответы, указания, решения
21.3.22.6x+2y+3zä42=0.23.(–1;0;2).24.а)(0;0;–2);
б) (2; 3; 1). 25. 3. Воспользуйтесь тем, что ветор = {2; 2; –1}
параллелен прямой, проходящей через центр сферы перпенди-
улярно данной плосости. Расстояние от центра сферы до
плосостиравно5.26.(4;–3;0)и ; ; .27. x– +
+(y–1)2+(z–1)2= – ;приm2> —сфера;при
m2 =—
т
о
ч
а
;
п
р
и
m2 < — пустое множество.
§ 78. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
1.arccos .2.π–arccos .3.arccos .4.arccos .
5. . Выберите систему оординат xOy та, чтобы оси Ox и Oy
проходили соответственно через атеты BC и BA. 7. 2ax + 2by =
= a2 + b2, де a, b—длины атетов. Выберите прямоуоль-
ную систему оординат та, чтобы ось Ox совпала с атетом
CA, а ось Oy — с атетом CB. 14. 3a2, де a—длина стороны
вадрата. 15. 4a2, де a—длина стороны вадрата. 16. .
17. . 18.
.19. .20.
. 21. arccos .
22.
. Введем систему
оординат Oxyz, а поазано на
рис. 77, и найдем оординаты то-
чеA,EиF:A(a;0;0),E 0; ;a ,
F ; a; a . Уравнение плосости,
проходящей через эти точи, име-
етвидx+y+ z+a=0.Далее
найдем осинус ула между плос-
n
4
21------ 97
21------ 40
21------
3
2---
2
m2
2-------- 33
4------
33
2------
33
2------
33
2------
3
14
-----------
1
513
---------------
3
10
-----------
1
5
-------
1
3---
6
170
--------------
3
170
--------------
1
3--- 1121
170
-------------
551
850
----------
1
4--- 1373
85
-------------
7
3-------
D1
E
F
N
K
D
C
B
B1
C1
A1
A
y
z
x
Рис. 77
7a2 17
24
---------------------
a
2---
a
2---
3
2---
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
623
остью нижнео основания и данной плосостью: cos φ =
.
Площадь проеции пятиу ольниа, полученноо в сечении у-
ба сеущей плосостью, на плосость нижнео основания уба
равнаSпр=a2–
=
, и, следовательно, площадь самоо
пятиуольниа S =
=
.
23.A1K=A1L=
a,KL=
a; 7 : 41. Из условия следу-
ет,чтоK ;0;0 ,L 0;a;
(рис. 78). Поэтому A1L2 = a2 +
+
=
,т.е.A1L=
,A1K2=
+a2,т.е.A1K=
.
Рассмотрим две треуольные пирамиды: NAKA1 и NDML. Не-
известные длины ребер ND и DM второй пирамиды обозначим
через x и y соответственно. Из подобия треуольниов A1NA и
LND следует, что x = a, а из подобия треуольниов AKN и
DMN—чтоy= ;тодаKL2=
+a2+
=
, отуда
KL=
. Значит,
=
·
·
·a·2a=
, VNDML =
=
·
·
·
·a=
. Отсюда находим объем одной из
частей уба, на оторые разбивает ео сеущая плосость:
3
17
-----------
a2
8
------
7a2
8
----------
Sпр
cos φ
-------------
717a 2
24
---------------------
A1
D1
L
M
N
K
D
C
B
B1
C1
A
y
z
x
Рис. 78
5
2
-- -- ---
6
2
-------
a
2
---
a
2
---
a2
4
------
5a2
4
----------
a5
2
-----------
a2
4
------
a5
2
-----------
a
4
---
a2
4
------
a2
4
------
3a2
2
----------
a6
2
-----------
VNAKA1
1
3
---
1
2
---
a
2
---
a3
6
------
1
3
---
1
2
---
a
2
---
a
4
---
a3
48
------
624
Ответы, указания, решения
V1= –
VNDML =
. Поэтому объем второй части уба
равен V2 =
a3,отудаV1:V2=7:41.
24.
.
25. а) ; б) . 26.8a2, де a—длинасто-
роны уба. 27. 90°;
. 28. 45°;
. 29. 60°;
. 30.а)
;
б)
. 31.
.
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
1.–
( +2 ).2.
=2(–),
=
(+).
3.
=
(+n
). 4.
. 6.λ1=3;λ2= –2.7.λ =
.
8.λ =
,μ=
. 9.k1 =1,k2= –2.11.p =q =1.12.
.
13.
=
–
,
=
–
,
=
(–).
14.
=–
+
+
,
=–
–
+
+.
15.
=
(+
+
). 16.
–;
;.
17.;;
. 18.
;;
.19.1;; .20.1;;–.
§ 80. Решение геометрических задач
методами векторной алгебры
4.
=
+
,
=
+
,
=
+
.
5.
=
+
.6.
=
+
.
17.4.18.2:11.19.3:2.20.25:64.21.
=
, де
VNAKA1
7a3
48
----------
41
48
------
3a2 3
4
------------------
a2
4
------
7a2
32
----------
2
3
-------
1
3
-------
1
3
-- -- ---
a5
3
-----------
a5
5
-----------
a2
2
-----------
DC
CQ
BD
baAC
2
3
---
a
b
AO
1
1n
+
--------------
AB
AD
0
1
3
---
10
7
------
4
7
---
0
AM
1
2
---
OBOABN
1
2
---
OCOBMN
1
2
---
OC OB
AM
BA
1
2
---
BB1
1
2
---
BC A1M
BA
1
2
---
BB1
1
2
---
BC
AA1
1
3
---
BA1 CB1 AC1
1
2
---
1
2
---
3
2
---
1
3
---
1
3
---
1
3
---
7
10
------
3
20
------
3
20
------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
2
3
---
DC1
3
4
---
a
1
4
---
b DC2
1
2
---
a
1
2
---
b DC3
1
4
---
a
3
4
---
b
MC
2
3
---
MA
1
3
---
MB
MC
1
k1
+
-------------
-
MA
k
k1
+
-------------
-
MB
AA1
cb bc
+
bc
+
-------------------
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
625
= , = и| |=b,| |=c.22.1:2.23.1:3.
24.
.31.1:8.32.3.33.8:37.34.1:6.
§ 81. Задачи, решаемые с помощью
скалярного произведения векторов
1. а) 9; б) 13; в) –61. 2. –13. 3. Веторы и долж-
ны быть взаимно перпендиулярны. 5. k = – . 8. а) ma =
=;
б
)
la=
.9.а)ma =
=;
б
)
la=
,деp =
.
10.arctg .11.(3+ ):8.12. .24.ПриFA=FB=30°,
FC = 120°.
Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки
1. 107 номеров. Из исходноо множества (0, 1, 2, ..., 9)
производятся выбори с повторениями, содержащие по
7 элементов. 2.
номеров. Найдите сумму чисел,
представляющих собой оличество различных выборо по
одному, двум, ..., семи элементам исходноо множества.
3. 243 бувы. 4. 232 жителей. 5. Количество делителей числа q
равно произведению (k1 + 1) (k2 + 1) ... (km + 1). 6. номеров.
7. 2n исходов. Воспользуйтесь тем, что данное множество со-
стоит из двух элементов (Г, Ц), а выбори с повторениями —
из n элементов. 8. 720 перестаново. 9. а) 2 · 29! способами;
б) 28 · 29! способами. 10. 968 аордов. Найдите сумму чи-
сел различных аордов, содержащих по три, четыре, ...,
десять звуов. Один аорд, состоящий из k звуов, пред-
ставляет собой выбору k элементов из исходноо множества,
ACbABcAC
AB
ab
+
()
bc
+
()
abc
++
()
abab2c
++
()
-----------------------------------------------------------------
ab
a·b
a·c
------------
1
2--- b2 2bc cos Ac
2
++
2bc cos A/2
()
bc
+
--------------------------------------
1
2--- a2
–2
b2 2c2
++
2bcpp a–
()
bc
+
------------------------------------
abc
++
2
-----------------------
2
2-------
73
2
7
-------
10 107 1–
()
9
--------------------------------
A10
7
624
Ответы, указания, решения
V1=–
VNDML = . Поэтому объем второй части уба
равенV2= a3,отудаV1:V2=7:41.
24.
. 25. а) ; б) . 26. 8a2, де a—длинасто-
роныуба.27.90°; .28.45°; .29.60°; .30.а) ;
б) .31. .
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры
1.–(+2).2. =2(–), =(+).
3. = ( +n ).4. .6.λ1=3;λ2=–2.7.λ= .
8.λ= ,μ= .9.k1=1,k2=–2.11.p=q=1.12. .
13. =
–,=
–,=(–).
14.=–+
+,
=––
+
+.
15.
=( + + ).16.–;;.
17.;;.18. ;; .19.1;;.20.1;;–.
§ 80. Решение геометрических задач
методами векторной алгебры
4.
=+,
=+,
=+.
5.
=
+
.6.
=
+
.
17.4.18.2:11.19.3:2.20.25:64.21.
=
, де
VNAKA1
7a3
48----------
41
48------
3a2 3
4
------------------
a2
4------ 7 a2
32----------
2
3
-------
1
3
-------
1
3
-------
a5
3-----------
a5
5-----------
a2
2-----------
DCCQBD
baAC2
3---a b
AO1
1n
+
-------------- AB AD 0
1
3---
10
7------
4
7---
0
AM1
2---OB OABN 1
2---OC OBMN 1
2--- OC OB
AMBA1
2--- BB1
1
2---BC A1M BA 1
2--- BB1
1
2--- BC
AA1
1
3--- BA1 CB1 AC1
1
2--- 1
2--- 3
2---
1
3--- 1
3--- 1
3---
7
10------ 3
20------ 3
20------
1
2--- 1
2---
1
2--- 2
3---
DC1
3
4---a 1
4--- b DC2
1
2---a 1
2--- b DC3
1
4---a 3
4--- b
MC2
3--- MA 1
3--- MB MC
1
k 1+-------------- MA
k
k 1+-------------- MB
AA1
cb bc
+
bc
+
-------------------
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
625
=
,
=
и|
|=b,| | =c.22.1:2.23.1:3.
24.
. 31.1:8.32.3.33.8:37.34.1:6.
§ 81. Задачи, решаемые с помощью
скалярного произведения векторов
1. а) 9; б) 13; в) –61. 2. –13. 3. Веторы
и
долж-
н ы быть взаимно перпендиулярны. 5 . k = –
. 8.а)ma=
=;
б
)
la
=
. 9.а)ma
=
=;
б
)
la=
,деp=
.
10. arctg
. 11.(3+
):8.12.
. 24.ПриFA=FB=30°,
FC = 120°.
Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки
1. 107 номеров. Из исходноо множества (0, 1, 2, ..., 9)
производятся выбори с повторениями, содержащие по
7 элеме нтов. 2 .
номеров. Найдите сумму чисел,
представляющих собой оличество различных выборо по
одному, двум, ..., семи элементам исходноо множества.
3. 243 бувы. 4. 232 жителей. 5 . Количество делителей числа q
равно произведению (k1 + 1) (k2 + 1) ... (km + 1). 6.
номеров.
7. 2n исходов. Воспользуйтесь тем, что данное множество со-
стоит из двух элементов (Г, Ц), а выбори с повторениями —
из n элементов. 8 . 720 перестаново. 9 . а) 2 · 29! способами;
б) 28 · 29! способами. 10. 968 аордов. Найдите сумму чи-
сел различных аордов, содержащих по три, четыре, ...,
десять звуов. Один аорд, состоящий из k звуов, пред-
ставляет собой выбору k элементов из исходноо множества,
ACbABc
AC
AB
ab
+
()
bc
+
()
abc
++
()
abab2c
++
()
-----------------------------------------------------------------
a
b
a·b
a·c
-----------
-
1
2
---
b2 2bc cos Ac
2
++
2bc cos A/2
()
bc
+
--------------------------------------
1
2
---
a2
–2
b2 2c2
++
2bcppa
–
()
bc
+
------------------------------------
abc
++
2
-----------------------
2
2
-------
73
2
7
-------
10107 1
–
()
9
--------------------------------
A10
7
626
Ответы, указания, решения
содержащео 10 элементов; порядо элементов в выборе несу-
ществен. 11. 40 · 39 ·
омиссий. Председатель и сере-
тарь образуют выбору без повторений, состоящую из двух
элементов исходноо множества, содержащео 40 элементов;
5 членов омиссии образуют выбору без повторений неоторо-
о состава из исходноо множества, содержащео 38 членов.
12. ·
буетов. 13.
·
способами. 14.
·
·
бриад. 15. а) 49 ·
различных арточе; б)
·
различ-
ных арточе; в)
·
различных арточе. 16. 120 оруж-
ностей. 17. В
–
случаях. Исомое оличество равно
разности общео числа способов извлечь 10 арт из 52 и чис-
ла способов извлечь 10 арт из 48 та, чтобы среди 10 арт
не было туза. 18. 4 ·
способами. 19.
·
способами.
20. 1225 чисел. Учтите, что цифровая запись числа не может
начинаться с нуля. 21. 750 чисел.
§ 83. Перестановки и сочетания
с заданным числом повторений
1. 2520 омбинаций. 2. 165 наборов. Выбора объема 8
с заданным числом повторений производится из четырех рупп
однородных элементов. 3.
=
способами. Выбора объе-
ма 7 с заданным числом повторений производится из 10 рупп
одинаовых элементов. 4 .
способов. Найдите число
различных выборо состава (13, 13, 13, 13). 5 .
способов.
Шесть различных рупп однородных элементов должны со-
ставить выбору с заданным числом повторений, содержащую
12 элементов и имеющую состав (2, 2, 2, 2, 2, 2). 6.
спо-
собами. Рассмотрите выбору с заданным числом повторе-
ний, имеющую состав (m + 1, n), де m + 1 — оличество про-
межутов между m белыми шарами, а n—оличество черных
шаров. Число различных расстаново равно числу всевозмож-
ных выборо состава (m + 1, n). 7.
испытаний. Найди-
C38
5
C8
3
C10
2
C32
4
C4
2
C5
1
C15
2
C10
3
C6
5
C43
2
C6
4
C43
3
C6
3
C52
10
C48
10
C44
4
A10
4
A6
4
C10
7
C16
7
52!
13!
()
4
----------------
12!
26
--------
-
Cm1
+
n
100 !
48!52!
------------------
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
627
те число различных выборо состава (n1, n2), де n1 = 52—
число успехов, а n1 + n2 = 100. 8. 2 · (6!)2 способами. Число
перестаново левых мест ряда умножьте на число перестаново
правых мест. Учтите возможность смены левых мест на правые.
9. Воспользуйтесь неравенством
·
m( )2,до-
азательство отороо можно провести непосредственно.
§ 84. Бином Ньютона
1. 1024. Разложите выражение (1 + 1)10 по формуле бино-
ма. 2. k = 4. 3. T2 = x6,5 = 153x6,5. Воспользуйтесь тем,
что наибольший оэффициент имеет средний член разложения.
4. 28x2a–4. 5. См. уазание упр. 1. 6. –1375.
7.
. Рассмотрим отношение . Та а
Tk+1=
, Tk=
,
то
=
=
.
Если
>1,тоTk+1>Tk,аесли
<1,то
Tk + 1 < Tk. Значит, при k < 50 члены Tk возрастают, а при
k > 50 — убывают. Следовательно, наибольшим членом являет-
сяT50=
.
8. Десятый член. 9. T3 = x11. Степень бинома можно
найти, используя уазание упр. 1. 10. Воспользуйтесь бино-
миальным разложением для
. 11. –264a3b7. Используй-
терезультатупр.10.12.314925·105.13.x=2.14. <x< .
См. решение упр. 7. 15. x = 0,5. Используя условие, пред-
ставьте 50-й член разложения а фунцию арумента x и най-
дите наибольшее значение этой фунции на промежуте [0; 1].
16.x= .17. ·32·22.18.26.
C2nk
+
n
C2nk
–
n
C2n
n
C18
2
C100
50
1
2---
100
Tk 1+
Tk
---------------
C100
k1
+
1
2---
100
C100
k
1
2---
100
Tk 1+
Tk
--------------- 100 ! k! 100 k–1
+
()
!
k1+
()
!100 k–
()
! 100!
⋅
----------------------------------------------------------------- 100 k–1
+
k1+
-------------------------------
100 k–1
+
k1+
-------------------------------
100 k–1
+
k1+
-------------------------------
C100
50
1
2---
100
C10
3
(1 1)n
–
5
8---
20
21------
nk
–
n-------------
C24
14
626
Ответы, указания, решения
содержащео 10 элементов; порядо элементов в выборе несу-
ществен. 11. 40 · 39 · омиссий. Председатель и сере-
тарь образуют выбору без повторений, состоящую из двух
элементов исходноо множества, содержащео 40 элементов;
5 членов омиссии образуют выбору без повторений неоторо-
о состава из исходноо множества, содержащео 38 членов.
12. · буетов. 13. · способами. 14. · ·
бриад. 15. а) 49 · различных арточе; б) · различ-
ных арточе; в) · различных арточе. 16. 120 оруж-
ностей. 17. В – случаях. Исомое оличество равно
разности общео числа способов извлечь 10 арт из 52 и чис-
ла способов извлечь 10 арт из 48 та, чтобы среди 10 арт
не было туза. 18. 4· способами. 19. · способами.
20. 1225 чисел. Учтите, что цифровая запись числа не может
начинаться с нуля. 21. 750 чисел.
§ 83. Перестановки и сочетания
с заданным числом повторений
1. 2520 омбинаций. 2. 165 наборов. Выбора объема 8
с заданным числом повторений производится из четырех рупп
однородных элементов. 3. = способами. Выбора объе-
ма 7 с заданным числом повторений производится из 10 рупп
одинаовых элементов. 4.
способов. Найдите число
различных выборо состава (13, 13, 13, 13). 5. способов.
Шесть различных рупп однородных элементов должны со-
ставить выбору с заданным числом повторений, содержащую
12 элементов и имеющую состав (2, 2, 2, 2, 2, 2). 6.
спо-
собами. Рассмотрите выбору с заданным числом повторе-
ний, имеющую состав (m + 1, n), де m + 1 — оличество про-
межутов между m белыми шарами, а n—оличество черных
шаров. Число различных расстаново равно числу всевозмож-
ных выборо состава (m + 1, n). 7.
испытаний. Найди-
C38
5
C8
3 C10
2
C32
4C4
2
C5
1 C15
2 C10
3
C6
5
C43
2C6
4
C43
3C6
3
C52
10 C48
10
C44
4
A10
4A6
4
C107 C16
7
52!
13!
()
4
----------------
12!
26---------
Cm 1+
n
100 !
48!52!
------------------
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
627
те число различных выборо состава (n1, n2), де n1 = 52 —
число успе хов, а n1 + n2 = 100. 8. 2 · (6!)2 способами. Число
перестаново левых мест ряда умножьте на число перестаново
правых мест. Учтите возможность смены левых мест на правые.
9. Воспользуйтесь неравенством
·
m( )2,до-
азательство отороо можно провести непосредственно.
§ 84. Бином Ньютона
1. 1024 . Разложите выражение (1 + 1)10 по формуле бино-
ма.2.k =4.3.T2=
x6,5
= 153x6,5
. Воспользуйтесь тем,
что наибольший оэффициент имеет средний член разложения.
4. 28x2a–4
. 5. См. уазание упр. 1. 6. –1375.
7.
. Рассмотрим отношение
. Та а
Tk+1=
,
Tk=
,
то
=
=
.
Если
>1,тоTk+1>Tk,аесли
<1,то
Tk + 1 < Tk. Значит, при k < 50 члены Tk возрастают, а при
k > 50 — убывают. Следовательно, наибольшим членом являет-
сяT50=
.
8. Десятый член. 9 . T3 =
x11. Степень бинома можно
найти, используя уазание упр. 1. 10. Воспользуйтесь бино-
миальным разложением для
. 11 . – 26 4a3b7. Используй-
терезультатупр.10.12.314925 ·105.13.x =2.14. <x<
.
См. решение упр. 7 . 15. x = 0,5. Используя условие, пред-
ставьте 50-й член разложения а фунцию арумента x и най-
дите наибольшее значение этой фунции на промежуте [0; 1].
16.x =
. 17.
· 32·22.18.26.
C2nk
+
n
C2nk
–
n
C2n
n
C18
2
C100
50
1
2
---
100
Tk1
+
Tk
---------------
C100
k1
+
1
2
---
100
C100
k
1
2
---
100
Tk1
+
Tk
--------------
-
100!k! 100 k
–1
+
()
!
k1
+
()
!100 k
–
()
! 100!
⋅
-----------------------------------------------------------------
100 k
–1
+
k1
+
------------------------------
-
100 k
–1
+
k1
+
-------------------------------
100 k
–1
+
k1
+
-------------------------------
C100
50
1
2
---
100
C10
3
(1 1)n
–
5
8
---
20
21
------
nk
–
n
-------------
C24
14
628
Ответы, указания, решения
19. Первое, пятое и девятое слааемые разложения. Та
а оэффициенты 1,
,
образуют арифме тичесую
прорессию, то можно составить уравнение
+1=n,
имеющееорниn =8иn=1;n =1 — постороннийорень.
При n = 8 общий член разложения запишется в виде
Tk=
= 2k–8
.
Этот член является рациональным, если k + 8 ратно 4, де 0 m
m k m 8. Уазанное условие выполняется при k = 0, 4, 8. Следо-
в ательно, рациональными являются члены T0, T4, T8.
20. Используйте биномиальное разложение для
.
23. Рассмотрите биномиальное разложение для
.
25. Найдите приращения первообразной фунции (1 + x)n на
промежуте [0; 1] непосредственно и записав выражение для
по формуле бинома Ньютона. 26. Найдите производ-
ную фунции
в точе x = 1. 27. Сравните прираще-
ния первообразной фунции
на промежуте [0; 1],
найденные непосредственно и с помощью предварительноо раз-
ложения
по формуле бинома Ньютона. 28. (n + 1)! – 1.
К исомому выражению прибавьте и отнимите P1 + P2 + ...
. .. + Pn. 29. Используйте тождество
+
=
.
§ 85. Вычисление вероятностей
с помощью формул комбинаторики
1.
.2.
.3.
. Количество двузначных чисел равно
90. Количество двузначных чисел, делящихся на 3, найдите из
уравнения99 =12+3(n–1).4.0,4.5.
.
n
2
---
nn1
–
()
8
----------------------
-
nn1
–
()
8
----------------------
-
C8
k
x
k
2
---
1
2
---
8k
–
x
8k
–
4
-------------
x
k8
+
4
--------------
C8
k
(1 1)
n
–
(10 1)2n
–
(1 x)
n
+
(x 1)n
–
(x 1)n
–
(x 1)
n
–
Cn
k
Cn
k1
–
Cn1
+
k
12
365
----------
5
12
------
1
3
---
3
13
------
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
629
6. P(A) = , P(B) = . Пространство элементарных собы-
тий состоит из таих выборо с повторениями, оторые содер-
жат бувы Ц, Г. Оно влючает 23 = 8элементов. Событию A
блаоприятствует тольо одна выбора (Ц, Ц, Ц), а событию
B—три: (Ц, Ц, Г), (Ц, Г, Ц), (Г, Ц, Ц). Таим образом, P(A) =
=;P(B) = .
7..8..9. .10. .11..См.решениеупр.6.
12.
.13. .14. .15.
.16. .17. .
18. . Пространство элементарных событий содержит все
перестанови с заданным числом повторений, имеющие со-
став (3, 2, 1). Блаоприятной будет тольо одна таая переста-
нова. 19.
. 20.
. 21.
. Пространство
элементарных событий содержит все выбори, имеющие состав
(13, 13, 13, 13). Блаоприятными считаются выбори состава
(12, 12, 12, 12), аждой из оторых присоединяется один из
четырех тузов. 22. . 23. . 24.
.25. ,
,
,
.26.а)
;б)
. 27.
= 0,6. 28.
.
§ 86. Вычисление вероятностей
геометрическими методами
1.0,2.2. .3. .4. .5. .6.
. Рассмотрите от-
ношение общей площади фиур, ораниченных линиями y = ,
y=2x,x=2,y=0,площадивадратасостороной2.7. – .
См. уазание упр. 6. 8. . Коэффициенты уравнения па-
1
8---
3
8---
1
8---
3
8---
1
6---
1
2---
89
99------
10
99------
1
8---
Cn
2
Cnm
+
2
----------------
1
720
----------
245
354
----------
nmk
Cnmk
++
3
------------------------
C30
4
C45
4---------
4
C15
2
---------
1
60------
53!4!
⋅
7!
-------------------
24!3!
⋅
7!
-------------------
24 48!134
⋅
52!
------------------------------
5!5!
10!
-----------
50
C15
5
---------
Cn
kCNn
–
mk
–
CN
m
-----------------------
1
C49
6
--------- C6
5C43
1
C49
6
----------------
C6
4C43
2
C49
6
----------------
C6
3C43
3
C49
6
----------------
C48
5C4
1
C52
6
----------------
C44
4C4
1C4
1
C52
6
------------------------
C4
2C2
1
C6
3
--------------
2 C18
8
⋅
C20
10
-----------------
r2
R2------- 1
2--- 2
3--- 1
2--- 13ln2
+
8
--------------------------
1
x---
1
2--- π
16------
2
3---
628
Ответы, указания, решения
19. Первое, пятое и девятое слааемые разложения. Та
а оэффициенты 1, ,
образуют арифметичесую
прорессию, то можно составить уравнение
+1=n,
имеющееорниn=8иn=1;n=1—постороннийорень.
При n = 8 общий член разложения запишется в виде
Tk=
=2k–8
.
Этот член является рациональным, если k + 8 ратно 4, де 0 m
m k m 8. Уазанное условие выполняется при k = 0, 4, 8. Следо-
вательно, рациональными являются члены T0, T4, T8.
20. Используйте биномиальное разложение для
.
23. Рассмотрите биномиальное разложение для
.
25. Найдите приращения первообразной фунции (1 + x)n на
промежуте [0; 1] непосредственно и записав выражение для
по формуле бинома Ньютона. 26. Найдите производ-
ную фунции
в точе x = 1. 27. Сравните прираще-
ния первообразной фунции
на промежуте [0; 1],
найденные непосредственно и с помощью предварительноо раз-
ложения
по формуле бинома Ньютона. 28. (n + 1)! – 1.
К исомому выражению прибавьте и отнимите P1 + P2 + ...
... + Pn. 29. Используйте тождество +
=
.
§ 85. Вычисление вероятностей
с помощью формул комбинаторики
1. . 2. . 3. . Количество двузначных чисел равно
90. Количество двузначных чисел, делящихся на 3, найдите из
уравнения99=12+3(n–1).4.0,4.5. .
n
2--- nn 1–
()
8
-----------------------
nn 1–
()
8
-----------------------
C8
kx
k
2---
1
2---
8 k–
x
8k–
4-------------
x
k8
+
4--------------
C8
k
(1 1)n
–
(10 1)2n
–
(1 x)n
+
(x 1)n
–
(x 1)n
–
(x 1)n
–
Cn
kCn
k1–
Cn 1+
k
12
365
---------- 5
12------ 1
3---
3
13------
Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
629
6. P(A) =
, P(B)=
. Пространство элементарных собы-
тий состоит из таих выборо с повторениями, оторые содер-
жат бувы Ц, Г. О но влючает 23 = 8 элементов. Событию A
блаоприятствует тольо одна выбора (Ц, Ц, Ц), а событию
B—три: (Ц, Ц, Г), (Ц, Г, Ц), (Г, Ц, Ц). Таим образом, P(A) =
= ;P(B) =
.
7..8.
.
9. .10. .11.
.
См. решение упр. 6 .
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16. .17. .
18. . Пространство элеме нтарных событий содержит все
переста нови с заданным числом повторений, имеющие со-
став (3, 2, 1). Блаоприятной будет тольо одна таая переста-
нова. 19.
. 20.
. 21.
. Пространство
элементарных событий содержит все выбори, имеющие состав
(13, 13, 13, 13). Блаоприятными считаются выбори состава
(12, 12, 12, 12), аждой из оторых присоединяется один из
четырех тузов. 22.
. 23. .24.
. 25.
,
,
,
. 26.а)
;б)
. 27.
= 0,6. 28.
.
§ 86. Вычисление вероятностей
геометрическими методами
1. 0,2. 2.
.3.
.4.
.5.
.6.
. Рассмотрите от-
ношение общей площади фиур, ораниченных линиями y =
,
y=2x,x =2,y =0,площадивадратасостороной2.7.
–
.
См. уазание упр. 6. 8.
. Коэффициенты уравнения па-
1
8
---
3
8
---
1
8
---
3
8
---
1
6
---
1
2
---
89
99
------
10
99
------
1
8
---
Cn
2
Cnm
+
2
----------------
1
720
----------
245
354
----------
nmk
C nmk
++
3
------------------------
C30
4
C45
4
---------
4
C15
2
---------
1
60
------
53!4!
⋅
7!
-------------------
24!3!
⋅
7!
-------------------
24 48!134
⋅
52!
------------------------------
5!5!
10!
-----------
50
C15
5
---------
Cn
k
CNn
–
mk
–
CN
m
-----------------------
1
C49
6
---------
C6
5
C43
1
C49
6
----------------
C6
4
C43
2
C49
6
----------------
C6
3
C43
3
C49
6
----------------
C48
5
C4
1
C52
6
----------------
C44
4
C4
1
C4
1
C52
6
-----------------------
-
C4
2
C2
1
C6
3
-------------
-
2 C18
8
⋅
C20
10
-----------------
r2
R2
-------
1
2
---
2
3
---
1
2
---
13l
n
2
+
8
-------------------------
-
1
x
---
1
2
---
π
16
------
2
3
---
630
Ответы, указания, решения
раболы y = ax2 + bx + c найдите из условия прохождения ее
через три уазанные точи, выбрав соответствующую систему
оординат. 9 .
. 1 1. При a = 0,5. Используйте утвержде-
ние упр. 10. 12 . d 0,314. 13. 0,5. Если обозначить расстояние
от точи B до начала оординат через x, а от точи C—через
y, то пространство элементарных событий будет представлено
единичным вадратом, вписанным в первую четверть оорди-
натной плосости. Элементарные события, блаоприятствую-
щие событию, вероятность отороо требуется найти, изобра-
зятся точами, оординаты оторых удовлетворяют неравенст-
ву | y – x | m min{x, y}. 14. Поезд направления AC должен
приходить через 10 мин после отхода поезда направления CA.
15. . Введите систему оординат xOy, де x—уол, ото-
рый образует ила с параллельными прямыми, а y—расстоя-
ние от центра илы до ближайшей прямой. Тода пространству
элементарных событий соответствует прямоуольни со сторо-
нами a и , а элементарным событиям, блаоприятствующим
условию пересечения илой параллельных прямых, — точи,
оординаты оторых удовлетворяют неравенству l sin x < y.
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
1.
;
.2.
;
.
Учтите, что если шары возвращают обратно, то события, свя-
занные с цветом последовательно вынимаемых шаров, не зави-
симы. 3 .
·
·
d 0,1055. 4.
.5.
. 6.а)
·
×
×
=
;б) .7.1 –
.
8. .9.1
–
.
10. 1
–
(1 – p)n.
11.n>,
д
е
n—число выстрелов. Число выстрелов
найдите из условия, что в серии из n выстрелов вероятность
поражения цели (хотя бы одноо попадания) не меньше P.
12. Вероятность сдачи эзаме на не зависит от тоо, идет учени
3π8
–
π
-----------------
2l
πa
-- - ----
π
2
---
nn1
–
()
nm
+
()
nm1
–
+
()
----------------------------------------------------
mm1
–
()
nm
+
()
nm1
–
+
()
----------------------------------------------------
n2
nm
+
()
2
-----------------------
m2
nm
+
()
2
-----------------------
39
51
------
26
50
------
13
49
------
25
216
----------
3
5
---
20
25
------
15
20
------
14
19
------
42
95
------
81
190
----------
6 nmk
nmk
++
()
nmk1
–
++
()
nm k2
–
++
()
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-
67
91
------
nl
–
()
nl
–1
–
()
... nl
–
k
–1
+
()
nn1
–
()
n2
–
()
... nk
–1
+
()
-----------------------------------------------------------------------------------------
-
ln1P
–
()
ln1p
–
()
--------------------------
Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 631
отвечать первым или последним. 13. . Рассмотрите следую-
щие ипотезы: A—в урне было два белых шара; B—в урне
было два черных шара; C—в урне были разноцветные шары.
Вероятности ипотез следует считать одинаовыми. 14. 0,85.
15. а)
;б)
. 16.
.
См. уазание упр. 13.
17.
.[N(N–1)(N–2)×
×(k+L)(k+L–1)(k+L–2)–k(k–1)(k–2)(N–n)(N–n–1)×
×(N–n–2)–k(k–1)L(N–n)(N–n–1)(M–m)–k(L–1)×
×(L–2)(N–n)(M–m)(M–m–1)–L(L–1)(L–2)(M–m)×
×(M–m–1)(M–m–2).Рассмотритеипотезы:H0—все
три изделия из первой партии; H1 — два изделия из первой пар-
тии и одно из второй; H2 — одно изделие из первой партии и
две из второй; H3 — все три изделия из второй партии.
Г л а в а 16. Элементы математической
логики. Системы счисления
§ 88. Высказывания
6. а) У меня или нет собаи или есть оша; б) у меня нет
ни оши, ни собаи; в) у меня или есть и оша, и собаа или
нет ни оши, ни собаи; ) если у меня нет собаи, то у меня
есть оша.
8.(p, )#( ,q)#( , ).10.а)poq;б)qop;в)pJq;
)qo ;д) .11.
. 12. а) Мишень поражена по
райней мере при одном из выстрелов; б) мишень поражена
при аждом выстреле; в)мишень поражена при третьем вы-
стреле, а при одном из первых двух — нет. 13. Да. 14. Все уча-
7. pqp
|q
110
101
011
001
2
3---
m1–
()
mnm
+
mn1–
+
()
mn
+
()
----------------------------------------------------
k1+
()
mkn
+
kl1
++
()
mn
+
()
-------------------------------------------------
KnM LmN
+
kL
+
()
MN
--------------------------------------
1
NN 1–
()
N2–
()
kL
+
()
kL1–
+
()
kL2–
+
()
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
qp
pq
p pJq p,q,r
630
Ответы, указания, решения
раболы y = ax2 + bx + c найдите из условия прохождения ее
через три уазанные точи, выбрав соответствующую систему
оординат. 9.
. 11. При a = 0,5. Используйте утвержде-
ние упр. 10. 12. d 0,314. 13. 0,5. Если обозначить расстояние
от точи B до начала оординат через x, а от точи C—через
y, то пространство элементарных событий будет представлено
единичным вадратом, вписанным в первую четверть оорди-
натной плосости. Элементарные события, блаоприятствую-
щие событию, вероятность отороо требуется найти, изобра-
зятся точами, оординаты оторых удовлетворяют неравенст-
ву | y – x | m min{x, y}. 14. Поезд направления AC должен
приходить через 10 мин после отхода поезда направления CA.
15. . Введите систему оординат xOy, де x—уол, ото-
рый образует ила с параллельными прямыми, а y—расстоя-
ние от центра илы до ближайшей прямой. Тода пространству
элементарных событий соответствует прямоуольни со сторо-
нами a и , а элементарным событиям, блаоприятствующим
условию пересечения илой параллельных прямых,— точи,
оординаты оторых удовлетворяют неравенству l sin x < y.
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий
1.
;
.2.
;
.
Учтите, что если шары возвращают обратно, то события, свя-
занные с цветом последовательно вынимаемых шаров, незави-
симы.3. · · d0,1055.4. .5. .6.а) · ×
× = ;б) .7.1–
.
8. .9.1–
.10.1–(1–p)n.
11.n>,
д
е
n—число выстрелов. Число выстрелов
найдите из условия, что в серии из n выстрелов вероятность
поражения цели (хотя бы одноо попадания) не меньше P.
12. Вероятность сдачи эзамена не зависит от тоо, идет учени
3π 8–
π
-----------------
2l
π a-------
π
2---
nn 1–
()
nm
+
()
nm1–
+
()
----------------------------------------------------
mm 1–
()
nm
+
()
nm1–
+
()
----------------------------------------------------
n2
nm
+
()
2
----------------------- m2
nm
+
()
2
-----------------------
39
51------ 26
50------ 13
49------
25
216
---------- 3
5---
20
25------ 15
20------
14
19------ 42
95------ 81
190
----------
6nmk
nmk
++
()
nmk1–
++
()
nmk2–
++
()
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
67
91------
nl
–
()
nl
–1
–
()
... nl
– k–1
+
()
nn 1–
()
n2–
()
... nk
–1
+
()
------------------------------------------------------------------------------------------
ln1P
–
()
ln1p–
()
--------------------------
Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 631
отвечать первым или последним. 13. . Рассмотрите следую-
щие ипотезы: A— в урне было два белых шара; B— в урне
было два черных шара; C—в урне были разноцветные шары.
Вероятности ипотез следует считать одинаовыми. 14 . 0,85.
15. а)
;б)
.
16.
.
См. уазание упр. 13.
17.
. [N(N–1)(N–2)×
×(k+L)(k+L–1)(k+L–2)–k(k–1)(k–2)(N–n)(N–n
–
1)×
×(N–n
–
2)–k(k–1)L(N–n)(N–n
–
1)(M–m)–k(L–1)×
×(L–2)(N–n)(M–m)(M–m
–
1)–L(L–1)(L–2)(M–m)×
×(M–m
–
1)(M–m
–
2). Рассмотрите ипотезы: H0 — все
три изделия из первой партии; H1 — два изделия из первой пар-
тии и одно из второй; H2 — одно изделие из первой партии и
две из второй; H3 — все три изделия из второй партии.
Г л а в а 16. Элементы математической
логики. Системы счисления
§ 88. Высказывания
6. а) У ме ня или нет собаи или есть оша; б) у меня нет
ни оши, ни собаи; в) у меня или есть и оша, и собаа или
нет ни оши, ни собаи; ) если у меня нет собаи, то у меня
есть оша.
8.(p, )#( ,q)#( , ).10.а)poq;б)qop;в)pJq;
)qo ;д
) .11.
. 1 2. а) Мишень поражена по
райней мере при одном из выстрелов; б) мишень поражена
при аждом выстреле; в)мишень поражена при третьем вы-
стреле, а при одном из первых двух — нет. 13. Да. 14 . Все уча-
7.
pqp
|q
110
101
011
001
2
3
---
m1
–
()
mn
m
+
mn1
–
+
()
mn
+
()
----------------------------------------------------
k1
+
()
mk
n
+
kl1
++
()
mn
+
()
-------------------------------------------------
KnM LmN
+
kL
+
()
MN
--------------------------------------
1
NN1
–
()
N2
–
()
kL
+
()
kL1
–
+
()
kL2
–
+
()
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
q
p
pq
p
pJq
p,q,r
632
Ответы, указания, решения
ствовали.15.Aсдалэзамен.16.а)(p,q,r)#(p, ,r)#
#(,q,)
;б)(, , )
;в
)
.
17.а)(p,q)#( , )=p Jq;б)p,q;в) ,q;)p, .
18. «Верно ли следующее высазывание: или ты оворишь прав-
ду и этот выход ведет на свободу, или ты лжешь и этот выход
ведет на смерть»? 19. Высазывание имеет вид
=
= p # q # r и может быть реализовано в виде схемы, изобра-
женнойнарис.79.20.(p,q)#(( , )#q).21.См.рис.80.
22.p Jq.
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
1. а)[–2;+×);б)(2;+×); в)R; )(–×; –2)Ÿ(2;+×);д)3⁄4;
е)R. 2. а)R; б)[–2; +×); в)[–2; +×); )R; д)(–×; –2); е)R.
3.(3;4).4.а)0<a< ;б)a> .5.{}
.
6.а)aÝR\{{3}Ÿ{1}};
б)a=1;в)a=3.7.
–×;
. 8 . Истина. 9 . Ложь. 10. Исти-
на. 11 . Истина. 12 . Истина. 13. Ложь. 14. Истина. 15. Ложь.
16. Истина. 17. Ложь. 18. а) (<M > 0) (>n Ý N) (|un| m M);
(>M>0)(<n Ý N)(|un| >M);б)(>nÝ N)(un+1>un);
(<nÝN)(unlun+1).19.(>ε>0)(<δ>0)(>xÝR)(0<|x–a|<
<δo|f(x)–b|<ε).20.а)M=
f(x)_(((>xÝ[a;b])o
o (f(x)mM)),((>ε>0)(<xÝ[a;b])o(f(x)>M–ε));б)M−
−
f(x)_((<xÝ[a;b])(f(x)>M))#((<ε>0)(>xÝ[a;b])
(f(x) m M – ε); M не является точной верхней ранью фунции
f(x) на отрезе [a; b], если верно одно из двух высазываний:
q
p
r
pqr
(p,q,r),(p,q,r)
pq
p
q
p,q,r
pq
p
r
q
pq
p
Рис. 79
Рис. 80
2
3
---
2
3
---
5
2
---
1
2
---
sup
xÝ[a;b]
sup
xÝ[a;b]
Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 633
или для неотороо x Ý [a; b] справедливо неравенство f(x) > M,
или существует таое ε > 0, что для всех x Ý [a; b] справедливо
неравенство f(x) m M – ε.
§ 91. Системы счисления
1. (114144)6. 2. 10 000. 3. 9. 4. 19. 5. 4380; (1540)4.
6. (42714)8. 7. (3125)6. 8. (145244)6.
10. 72. 13. Основание системы равно 5. 14. (12)3. 15. В лю-
бой системе. 16. Например, если тело имеет массу 19 , то,
записав число 19 в двоичной системе счисления, имеем (19)2 =
= (10011)2, т. е. для ео взвешивания следует взять следующие
триири:24=16,21=2и20=1.
17. Представим любое число, не превосходящее 40, в тро-
ичной системе с цифрами –1, 0, 1 следующим образом: если ос-
тато от деления очередноо неполноо частноо на 3 равен 2,
то пишем (–1) и полученное частное увеличиваем на 1.
Например вместо
пишем
. Таим образом,
в троичной записи любоо числа будут присутствовать цифры
–1, 0, 1. Продолжая деление в рассматриваемом примере, имеем
Черточа над цифрой 3 означает, что число представлено в сис-
темесцифрами–1,0,1.Таа(40)10=(1111)3,тодлялю-
боо тела, масса отороо не превосходит 40 , хватит четырех
ирь с массами 1, 3, 9, 27.
Алоритм взвешивания определяется записью числа в
троичной системе. Та, чтобы взвесить тело в 20 , следует на
одну чашу весов поставить ири с массами 27 = 33 и 3 = 31
(эти разряды в записи представлены цифрами 1), а на дру-
9.
01
000
101
203
(20)10= 1–11–1 .
–1 73
123
–11
203
26
203
–17
()
3
632
Ответы, указания, решения
ствовали.15.Aсдалэзамен.16.а)(p,q,r)#(p, ,r)#
#(,q, );б)(, , );в)
.
17.а)(p,q)#( , )=pJq;б)p,q;в) ,q;)p, .
18. «Верно ли следующее высазывание: или ты оворишь прав-
ду и этот выход ведет на свободу, или ты лжешь и этот выход
ведет на смерть»? 19. Высазывание имеет вид
=
= p # q # r и может быть реализовано в виде схемы, изобра-
женнойнарис.79.20.(p,q)#(( , )#q).21.См.рис.80.
22.pJq.
§ 89. Предложения, зависящие от переменной
1.а)[–2;+×);б)(2;+×);в)R;)(–×;–2)Ÿ(2;+×);д)3⁄4;
е)R.2.а)R;б)[–2;+×);в)[–2;+×);)R;д)(–×;–2);е)R.
3.(3;4).4.а)0<a< ;б)a> .5.{}.6.а)aÝR\{{3}Ÿ{1}};
б)a=1;в)a=3.7. –×; .8.Истина.9.Ложь.10.Исти-
на. 11. Истина. 12. Истина. 13. Ложь. 14. Истина. 15. Ложь.
16. Истина. 17. Ложь. 18. а) (<M > 0) (>n Ý N) (|un| m M);
(>M >0)(<n Ý N) (|un| > M); б)(>n Ý N) (un +1>un);
(<nÝN)(unlun+1).19.(>ε>0)(<δ>0)(>xÝR)(0<|x–a|<
<δo|f(x)–b|<ε).20.а)M=
f(x)_(((>xÝ[a;b])o
o(f(x)mM)),((>ε>0)(<xÝ[a;b])o(f(x)>M–ε));б)M−
−
f(x)_((<xÝ[a;b])(f(x)>M))#((<ε>0)(>xÝ[a;b])
(f(x) m M – ε); M не является точной верхней ранью фунции
f(x) на отрезе [a; b], если верно одно из двух высазываний:
q
p
r
p q r (p,q,r),(p,q,r)
pq
p
q
p,q,r
pq
p
r
q
pq
p
Рис. 79
Рис. 80
2
3---
2
3---
5
2---
1
2---
sup
xÝ[a;b]
sup
xÝ[a;b]
Г л а в а 16. Элементы математической логики. Системы счисления 633
или для неотороо x Ý [a; b] справедливо неравенство f(x) > M,
или существует таое ε > 0, что для всех x Ý [a; b] справедливо
неравенство f(x) m M – ε.
§ 91. Системы счисления
1. (114144)6. 2. 10 000. 3. 9. 4. 19. 5. 4380; (1540)4.
6. (42714)8. 7. (3125)6. 8. (145244)6.
10. 72. 13. Основание системы равно 5. 14 . (12)3. 15. В лю-
бой системе. 16. Например, если тело имеет массу 19 , то,
записав число 19 в двоичной системе счисления, имеем (19)2 =
= (10011)2, т. е. для ео взвешивания следует взять следующие
триири:24=16,21=2и20=1.
17. Представим любое число, не превосходящее 40, в тро-
ичной системе с цифрами –1, 0, 1 следующим образом: если ос-
тато от деления очередноо неполноо частноо на 3 равен 2,
то пише м (–1) и полученное частное увеличивае м на 1.
Например вместо
пишем
. Таим образом,
в троичной записи любоо числа будут присутствовать цифры
– 1, 0, 1. Продолжая деление в рассматриваемом примере, имеем
Черточа над цифрой 3 означает, что число представлено в сис-
темесцифрами–1,0,1.Таа(40)10=(1111)3,тодлялю-
боо тела, масса отороо не превосходит 40 , хватит четырех
ирь с массами 1, 3, 9, 27.
Алоритм взвешивания определяется записью числа в
троичной системе. Та, чтобы взвесить тело в 20 , следует на
одну чашу весов поставить ири с массами 27 = 33 и 3 = 31
(эти разряды в записи представлены цифрами 1), а на дру-
9.
01
000
101
203
(20)10= 1 –11
–1
.
–1 73
123
–1
1
203
26
203
–17
()
3
634
Ответы, указания, решения
ую — с массами 9 = 32 и 1 = 30 (эти разряды представлены
цифрами –1).
18. Масса mp + 1 следующей ири должна быть не больше
чем 2Mp + 1. Действительно, если mp + 1 > 2Mp + 1, то руз мас-
сой Mp + 1 удается взвесить с помощью разности mp – Mp. Если
же mp+1<2Mp+1, то масимальная массаMp+1=m1+...
. .. + mp + 1 будет меньше возможной. Следовательно, mp + 1
можно найти из уравнения
mp+1–Mp=Mp+1.
Учитывая, чтоMp+1=m1+...+ mp+1, получаемMp+1=
=3Mp + 1.
19. Нужный результат сразу же следует из утверждения
упр. 18, та а уравнение Mp + 1 = 3Mp + 1 поазывает, что при
делении Mp на 3 для любоо p получается остато, равный 1.
20. Из результатов упр.19 и 18 следует, что минимальное
число ирь находится из неравенства
<nm
. Алоритм
в звешивания совпадает с те м, оторый описан в упр. 17 и опре-
деляется записью n в троичной системе счисления.
21. Если система счисления десятичная, то масимальное
число, оторое можно представить при r = 30, равно 999. Дей-
ствительно, та а p = 3, то 999 — масимальное число, ото-
рое можно записать в десятичной системе счисления с исполь-
зованием трех разрядов.
Если a > 10, например a = 15, то число разрядов p равно 2
и, следовательно, масимальное число равно 15 · 14 + 150 · 14 =
= 224 . Если основание равно 2, то масимальное число, записан-
ное по этому основанию, равно 215 – 1; если основание равно 3,
то 310 – 1; если основание равно 6, то 65 – 1 . Очевидно, что
310–1>215–1>65–1,таа95>85>65.Ита,маси-
мальным числом является 310 – 1.
3
p1
–
3
p
634
Ответы, указания, решения
ую — с массами 9 = 32 и 1=30 (эти разряды представлены
цифрами –1).
18. Масса mp + 1 следующей ири должна быть не больше
чем 2Mp + 1. Действительно, если mp + 1 > 2Mp + 1, то руз мас-
сой Mp + 1 удается взвесить с помощью разности mp – Mp. Если
жеmp+1<2Mp+1,томасимальнаямассаMp+1=m1+...
... + mp + 1 будет меньше возможной. Следовательно, mp + 1
можно найти из уравнения
mp+1–Mp=Mp+1.
Учитывая,чтоMp+1=m1+...+mp+1,получаемMp+1=
=3Mp + 1.
19. Нужный результат сразу же следует из утверждения
упр. 18, та а уравнение Mp + 1 = 3Mp + 1 поазывает, что при
делении Mp на 3 для любоо p получается остато, равный 1.
20. Из результатов упр.19 и 18 следует, что минимальное
число ирь находится из неравенства
<nm .Алоритм
взвешивания совпадает с тем, оторый описан в упр. 17 и опре-
деляется записью n в троичной системе счисления.
21. Если система счисления десятичная, то масимальное
число, оторое можно представить при r = 30, равно 999. Дей-
ствительно, та а p = 3, то 999 — масимальное число, ото-
рое можно записать в десятичной системе счисления с исполь-
зованием трех разрядов.
Если a > 10, например a = 15, то число разрядов p равно 2
и, следовательно, масимальное число равно 15 · 14 + 150 · 14 =
= 224. Если основание равно 2, то масимальное число, записан-
ное по этому основанию, равно 215 – 1; если основание равно 3,
то 310 – 1; если основание равно 6, то 65 – 1. Очевидно, что
310–1>215–1>65–1,таа95>85>65.Ита,маси-
мальным числом является 310 – 1.
3p 1–
3p
Оглавление
Отиздательства................................. 3
Глава 1. Преобразование алгебраических выражений . . . . 5
§ 1. Упрощение иррациональных выражений . . . 6
§ 2. Преобразование выражений, содержащих
знамодуля.......................... 9
§ 3.Доазательствотождеств................ 16
§ 4.Условныетождества.................... 19
§ 5. Преобразование ло арифмичесих
выражений........................... 22
Глава2.Уравнения............................. 28
§ 6.Нахождениеорнеймно очленов ......... 29
§ 7.Рациональныеуравнения ............... 37
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное
подзнаоммодуля..................... 41
§ 9.Иррациональныеуравнения ............. 42
§10.Поазательныеуравнения............... 48
§11.Ло арифмичесиеуравнения............. 54
§12.Разныезадачи........................ 60
Глава3.Системыуравнений....................... 61
§13.Системылинейныхуравнений............ 62
§14.Системынелинейныхуравнений.......... 66
§ 15. Системы поазательных и ло арифмичесих
уравнений............................ 77
§16.Разныезадачи........................ 81
Глава 4. Неравенства. Уравнения и неравенства
спараметрами .......................... 82
§ 17. Рациональные и иррациональные
неравенства .......................... 82
§18.Поазательныенеравенства.............. 90
Оглавление
Отиздательства.................................
3
Глава 1. Преобразование алгебраических выражений . . . .
5
§ 1. Упрощение иррациональных выражений . . .
6
§ 2. Преобразование выражений, содержащих
знамодуля..........................
9
§3.Доазательствотождеств................
16
§4.Условныетождества....................
19
§ 5. Преобразование ло арифмичесих
выражений........................... 22
Глава2.Уравнения.............................
28
§ 6.Нахождениеорнеймно очленов .........
29
§7.Рациональныеуравнения ...............
37
§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное
подзнаоммодуля.....................
41
§9.Иррациональныеуравнения .............
42
§10.Поазательныеуравнения...............
48
§11.Ло арифмичесиеуравнения.............
54
§12.Разныезадачи........................
60
Глава3.Системыуравнений....................... 61
§13.Системылинейныхуравнений............ 62
§14.Системынелинейныхуравнений.......... 66
§ 15. Системы поазательных и ло арифмичесих
уравнений............................ 77
§16.Разныезадачи........................
81
Глава 4. Неравенства. Уравнения и неравенства
спараметрами ..........................
82
§ 17. Рациональные и иррациональные
неравенства ..........................
82
§18.Поазательныенеравенства..............
90
636
Оглавление
§19.Ло арифмичесие неравенства . . . . . . . . . . .
93
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные
фунции.............................
98
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами . . .
100
§22.Доазательствонеравенств ..............
108
Глава5.Тригонометрия.......................... 113
§ 23. Тождественные преобразования
три онометричесих выражений . . . . . . . . . . 115
§ 24. Вычисление значений три онометричесих
фунций............................. 118
§ 25. Три онометричесие уравнения . . . . . . . . . . 124
§ 26. Систе мы три онометричесих уравнений . . . 140
§ 27. Уравнения, содержащие обратные
три онометричесиефунции............
145
§ 28. Три онометричесие неравенства . . . . . . . . . 150
§ 29. Неравенства, содержащие обратные
три онометричесиефунции............
153
§ 30. Доазательство три онометричесих
неравенств...........................
155
Глава6.Комплексныечисла....................... 160
§ 31. Действия с омплесными числами . . . . . . .
160
§ 32. Геометричесое изображение множеств
омплесных чисел, удовлетворяющих
заданнымусловиям....................
163
§ 33. Решение уравнений на множестве
омплесныхчисел.................... 166
§ 34. Приме нение омплесных чисел
длярешениянеоторыхзадач............
170
Глава7.Последовательности...................... 173
§ 35. Определение последовательности
иеесвойства.......................... 173
§36.Пределпоследовательности..............
176
§ 37. Вычисление пределов последовательностей . 178
§38.Арифметичесаяпро рессия............. 184
§39.Геометричесаяпро рессия.............. 188
§40.Смешанные задачи на про рессии . . . . . . . . .
193
§41.Разныезадачи........................
195
Оглавление
637
Глава 8. Предел функции, непрерывность функции . . . . . . 200
§42.Пределфунции....................... 200
§43.Вычислениепределовфунций........... 203
§44.Непрерывностьфунции................ 207
§45.Разныезадачи........................ 213
Глава9.Производнаяиееприменения............... 216
§46.Нахождениепроизводных............... 216
§ 47. Промежути монотонности и эстремумы
фунции............................. 222
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения
фунции............................. 226
§ 49. Задачи на отысание наибольших
и наименьших значений фунции. . . . . . . . . 234
§ 50. Геометричесие приложения производной . . 245
§ 51. Приложения производной задачам
физии.............................. 251
Глава10.Первообразнаяиинтеграл................. 254
§52.Неопределенныйинте рал............... 254
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств
первообразных........................ 258
§54.Определенныйинте рал................. 261
§ 55. Инте рал с переменным верхним пределом. . 265
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением
свойствинте ралов..................... 268
§57.Вычислениеплощадейфи ур............. 270
§ 58. Задачи на отысание наибольших
(наименьших)площадейфи ур........... 275
§59.Вычислениеобъемовтел................ 278
§ 60. Приложения определенно о инте рала
задачамфизии...................... 279
Глава11.Задачинасоставлениеуравнений............ 282
§61.Задачинадвижение.................... 282
§ 62. Задачи на работу и производительность труда 307
§ 63. Задачи на процентный прирост и вычисление
«сложныхпроцентов».................. 317
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными . . . 320
§ 65. Задачи на онцентрацию и процентное
содержание........................... 329
§66.Разныезадачи........................ 335
636
Оглавление
§19.Ло арифмичесиенеравенства ........... 93
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные
фунции............................. 98
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами . . . 100
§22.Доазательствонеравенств .............. 108
Глава5.Тригонометрия.......................... 113
§ 23. Тождественные преобразования
три онометричесих выражений . . . . . . . . . . 115
§ 24. Вычисление значений три онометричесих
фунций............................. 118
§ 25. Три онометричесие уравнения . . . . . . . . . . 124
§ 26. Системы три онометричесих уравнений . . . 140
§ 27. Уравнения, содержащие обратные
три онометричесиефунции............ 145
§ 28. Три онометричесие неравенства . . . . . . . . . 150
§ 29. Неравенства, содержащие обратные
три онометричесиефунции............ 153
§ 30. Доазательство три онометричесих
неравенств........................... 155
Глава6.Комплексныечисла....................... 160
§ 31. Действия с омплесными числами . . . . . . . 160
§ 32. Геометричесое изображение множеств
омплесных чисел, удовлетворяющих
заданнымусловиям.................... 163
§ 33. Решение уравнений на множестве
омплесныхчисел.................... 166
§ 34. Применение омплесных чисел
длярешениянеоторыхзадач............ 170
Глава7.Последовательности...................... 173
§ 35. Определение последовательности
иеесвойства.......................... 173
§36.Пределпоследовательности.............. 176
§ 37. Вычисление пределов последовательностей . 178
§38.Арифметичесаяпро рессия............. 184
§39.Геометричесаяпро рессия.............. 188
§40.Смешанныезадачинапро рессии......... 193
§41.Разныезадачи........................ 195
Оглавление
637
Глава 8. Предел функции, непрерывность функции . . . . . . 200
§42.Пределфунции.......................
200
§43.Вычислениепределовфунций........... 203
§44.Непрерывностьфунции................
207
§45.Разныезадачи........................
213
Глава9.Производнаяиееприменения............... 216
§46.Нахождениепроизводных...............
216
§ 47. Промежути монотонности и эстремумы
фунции.............................
222
§ 48. Наибольшее и наименьшее значения
фунции.............................
226
§ 49. Задачи на отысание наибольших
и наименьших значений фунции. . . . . . . . .
234
§ 50. Геометричесие приложения производной . . 245
§ 51. Приложения производной задачам
физии..............................
251
Глава10.Первообразнаяиинтеграл................. 254
§52.Неопределенныйинте рал............... 254
§ 53. Задачи, решаемые с использованием свойств
первообразных........................
258
§54.Определенныйинте рал................. 261
§ 55. Инте рал с переменным верхним пределом. .
265
§ 56. Разные задачи, решаемые с применением
свойствинте ралов.....................
268
§57.Вычислениеплощадейфи ур............. 270
§ 58. Задачи на отысание наибольших
(наименьших)площадейфи ур........... 275
§59.Вычислениеобъемовтел................ 278
§ 60. Приложения определенно о инте рала
задачамфизии......................
279
Глава11.Задачинасоставлениеуравнений............ 282
§61.Задачинадвижение.................... 282
§ 62. Задачи на работу и производительность труда 307
§ 63. Задачи на процентный прирост и вычисление
«сложныхпроцентов»..................
317
§ 64. Задачи с целочисленными неизвестными . . .
320
§ 65. Задачи на онцентрацию и процентное
содержание........................... 329
§66.Разныезадачи........................
335
638
Оглавление
Глава12.Планиметрия........................... 339
§67.Треу ольнии.........................
339
§68.Четыреху ольнии.....................
351
§69.Оружностьиру .....................
359
§70.Треу ольниииоружности.............
367
§71.Мно оу ольниииоружности...........
381
Глава13.Стереометрия.......................... 390
§72.Мно о раннии .......................
391
§73.Сечениямно о ранниов................
401
§74.Фи урывращения..................... 415
§ 75. Комбинации мно о ранниов и фи ур
вращения............................ 421
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной
алгебры.............................. 440
§76.Веторыиихоординаты...............
440
§ 77. Аналитичесая запись линий на плосости
иповерхностейвпространстве ........... 450
§ 78. Решение еометричесих задач с помощью
методаоординат......................
458
§ 79. Простейшие задачи веторной ал ебры . . . . .
467
§ 80. Решение еометричесих задач методами
веторнойал ебры.....................
475
§ 82. Задачи, решаемые с помощью салярно о
произведенияветоров..................
486
Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементытеориивероятностей.............. 492
§ 82. Размещения, сочетания, перестанови . . . . .
492
§ 83. Перестанови и сочетания с заданным
числомповторений..................... 496
§84.БиномНьютона....................... 498
§ 85. Вычисление вероятностей с помощью
формуломбинатории.................
503
§ 86. Вычисление вероятностей
еометричесимиметодами..............
508
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 512
Оглавление
639
Г л а в а 16. Элементы математической логики.
Системысчисления...................... 522
§88.Высазывания........................ 522
§ 99. Предложения, зависящие от переменной . . . 530
§ 90. Метод математичесой индуции . . . . . . . . . 536
§91.Системысчисления.................... 540
Ответы,уазания,решения.................. 547
638
Оглавление
Глава12.Планиметрия........................... 339
§67.Треу ольнии......................... 339
§68.Четыреху ольнии..................... 351
§69.Оружностьиру ..................... 359
§70.Треу ольниииоружности............. 367
§71.Мно оу ольниииоружности........... 381
Глава13.Стереометрия.......................... 390
§72.Мно о раннии ....................... 391
§73.Сечениямно о ранниов................ 401
§74.Фи урывращения..................... 415
§ 75. Комбинации мно о ранниов и фи ур
вращения............................ 421
Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной
алгебры.............................. 440
§76.Веторыиихоординаты............... 440
§ 77. Аналитичесая запись линий на плосости
иповерхностейвпространстве ........... 450
§ 78. Решение еометричесих задач с помощью
методаоординат...................... 458
§ 79. Простейшие задачи веторной ал ебры. . . . . 467
§ 80. Решение еометричесих задач методами
веторнойал ебры..................... 475
§ 82. Задачи, решаемые с помощью салярно о
произведенияветоров.................. 486
Г л а в а 15. Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементытеориивероятностей.............. 492
§ 82. Размещения, сочетания, перестанови . . . . . 492
§ 83. Перестанови и сочетания с заданным
числомповторений..................... 496
§84.БиномНьютона....................... 498
§ 85. Вычисление вероятностей с помощью
формуломбинатории................. 503
§ 86. Вычисление вероятностей
еометричесимиметодами.............. 508
§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 512
Оглавление
639
Г л а в а 16. Элементы математической логики.
Системысчисления...................... 522
§88.Высазывания........................ 522
§ 99. Предложения, зависящие от переме нной . . . 530
§ 90. Метод математичесой индуции . . . . . . . . .
536
§91.Системысчисления.................... 540
Ответы,уазания,решения.................. 547
Учебное издание
Цыпкин Александр Геннадиевич
Пинский Александр Иосифович
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ
С МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Ответственный редактор О. А . Фёдорова
Редактор А. М . Суходский
Корректор Л. А. Буданцева
Технический редактор Л. Б. Чуева
Компьютерная верстка В. В. Пучкова
Подписано в печать 19.09 .2006 . Формат 84х108 1/
32
.
Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 33,60. Тираж 5000 экз. Заказ No
.
Общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953005 — учебная литература
ООО «Издательство Оникс ».
127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 38/25.
Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26.
Отдел реализации: тел. (495) 310-75 -25, 110-02-50 .
Internet: www.onyx.ru; e-mail: mail@onyx.ru
ООО «Издательство «Мир и Образование».
Изд. лиц. ИД No 05088 от 18.06 .2001.
109193, Москва, ул. 5 -я Кожуховская, д. 13, стр. 1 .
Тел./факс (495) 129-09 -60, 120-51 -47, 742-43 -54.
E-mail: mir-obrazovanie@onyx.ru