Для
преподавателей
ЛА I' К I! А1
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина,
Ю. В. Сидорова, Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
Издательство «Учитель»
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
10 КЛАСС
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова,
Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
I полугодие
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Волгоград
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
А45
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы но
А45 учебнику Ш. А. Алимова и др. I полугодие / авт.-сост. Г. И. Гри-
горьева. - Волгоград: Учитель, 2008. - 150 с.
ISBN 978-5-7057-1355-4
В пособии представлены поурочные планы по курсу «Алгебра и начала анализа»
(10 класс), составленные в соответствии е программой по математике Министерства
образования РФ (ио учебнику 1.11. Л. Алимова .тля 10-11 классов. М.: Просвещение,
2005). Наряду с кратким изложением теоретического материала даются практические за-
дания (базовые и повышенного уровня), способствующие лучшему усвоению темы уро-
ка. Кроме того, дополнительно предлагаются тесты, диктанты, тренажеры и пр.
Предназначено учителям-предметникам старших классов общеобразовательных
школ в помощь при подготовке и проведении уроков.
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-7057-1355-4
& Григорьева Г. И., автор-составитель
© Издательство «Учитель»
© Оформление. Издательство «Учитель»
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие ориентировано на учебник «Алгебра и на-
чала анализа. 10-11 классы» III. А. Алимова и др. (М.: Просвеще-
ние, 2005).
Главы, параграфы и пункты пособия носят такие же названия,
как и соответствующие главы, параграфы и пункты учебника.
В пособии даются ориентированные требования к знаниям и навы-
кам учащихся; раскрывается содержание учебного материала в
теоретической части, который следует заносить в тетрадь по тео-
рии. Также в пособии приводится примерное распределение зада-
ний учебника по урокам с ответами и ссылкой на рекомендуемую
форму изучения того или иного задания. На урок предлагается дос-
таточно большое количество разнообразных заданий (базового и
повышенного уровней), что позволит учителю выбрать тот объем,
который он считает нужным.
Кроме того, по каждой теме разработана серия других форм ра-
боты на урокс: диктант, тест, самостоятельная работа, работа по
карточкам, проверочная работа, устная контрольная работа, лабо-
раторная работа, контрольная работа, тренажеры, исследователь-
ская работа.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Глава I. Действительные числа.
§ 1.	Целые и рациональные числа - 1 ч.
§ 2.	Действительные числа - 1 ч.
§ 3.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - 1 ч.
§ 4.	Арифметический корень натуральной степени -2 ч.
§ 5.	Степень с рациональным и действительным показателями -
3 ч.
Глава II. Степенная функция.
§ 6.	Степенная функция, ее свойства и график -2 ч.
§ 7.	Взаимно обратные функции - 1 ч.
§ 8.	Равносильные уравнения и неравенства -2 ч.
§ 9.	Иррациональные уравнения - 3 ч.
§ 10.	Иррациональные неравенства - 2 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Глава III. Показательная функция.
§11.	Показательная функция, ее свойства и график -2 ч.
§ 12.	Показательные уравнения - 3 ч.
§ 13.	Показательные неравенства - 1 ч.
§ 14.	Система показательных уравнений и неравенств - 3 ч.
Контрольная работа -1ч.
Глава IV. Логарифмическая функция.
§ 15.	Логарифмы -2 ч.
§ 16.	Свойства логарифмов - 1 ч.
§ 17.	Десятичные и натуральные логарифмы -2 ч.
§ 18.	Логарифмическая функция, ее свойства и график -2 ч.
§ 19.	Логарифмические уравнения - 3 ч.
§ 20.	Логарифмические неравенства - 1 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Резерв -1ч.
Глава V. Тригонометрические формулы.
§21.	Радианная мера угла - 1 ч.
§ 22.	Поворот точки вокруг начала координат - 1 ч.
§ 23.	Определение синуса, косинуса и тангенса угла - 1 ч.
§ 24.	Знаки синуса, косинуса и тангенса - 1 ч.
§ 25.	Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одно-
го и того же угла - 1 ч.
§ 26.	Тригонометрические тождества - 1 ч.
§ 27.	Синус, косинус и тангенс углов а и -а - 1 ч.
4
§ 28.	Формула сложения -2 ч.
§ 29.	Синус, косинус и тангенс двойного угла - 1 ч.
§ 30.	Синус, косинус и тангенс половинного угла -1ч.
§31.	Формулы приведения - 1 ч.
§ 32.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов -
1 ч.
Заключительный урок - 1 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Глава VI. Тригонометрические уравнения.
§ 33.	Уравнение cosx = а - 2 ч.
§ 34.	Уравнение sinx = а - 2 ч.
§ 35.	Уравнение tgx = а - 2 ч.
§ 36.	Решение тригонометрических уравнений -8 ч.
§ 37.	Примеры решения простейших тригонометрических нера-
венств - 1 ч.
Заключительный урок - 1 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Глава VII. Тригонометрические функции.
§ 38.	Область определения и множество значений тригономет-
рических функций - 3 ч.
§ 39.	Четность, нечетность, периодичность тригонометрических
функций - 3 ч.
§ 40.	Свойства функции у = cosx и ее график - 3 ч.
§ 41.	Свойства функции у = sinx и ее график -2 ч.
§ 42.	Свойства функции у = tgx и ее график -2 ч.
§ 43.	Обратные тригонометрические функции - 1 ч.
Заключительный урок - 1 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Резерв -8 ч.
5
Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1.	ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать, что такое натуральное, целое, рациональное число, пе-
риодическая дробь; уметь записывать бесконечную десятичную
дробь в виде обыкновенной, уметь выполнять действия с десятич-
ными и обыкновенными дробями.
Урок 1
I.	Организационный момент.
II.	Теоретическая часть.
1.	Первоначально под числом понимали лишь натуральные чис-
ла, которых достаточно для счета отдельных предметов.
Множество N = {1; 2; 3; ...} натуральных чисел замкнуто от-
носительно операций сложения и умножения.
Это значит, что сумма и произведение натуральных чисел явля-
ются числами натуральными.
2.	Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда явля-
ется натуральным числом.
Приведите примеры.
(5- 5 = 0; 5-7 = -2, числа 0 и -2 не являются натуральными.)
Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел
приводит к понятию нуля и введению множества целых неотри-
цательных чисел Zo = {0; 1; 2;...},
Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отри-
цательные целые числа, то есть числа, противоположные натураль-
ным. Таким образом получают множество целых чисел.
Z = {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; ...}.
3.	Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое
число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чи-
сел присоединить множество всех положительных и отрицатель-
ных дробей. В результате получается множество рациональ-
ных чисел.
6
Q = { —ImeZ, neN}.
n
При выполнении четырех арифметических действий (кроме де-
ления на нуль) над рациональными числами всегда получаются ра-
циональные числа.
4.	Каждое рациональное число можно представить в виде беско-
нечной периодической десятичной дроби.
Вспомним, что такое периодическая дробь. Это бесконечная
десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного
знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр - пери-
од дроби. Например, 0,3333... = 0,(3)
1,057373... = 1,05(73).
Читаются эти дроби так: «0 целых и 3 в периоде», «1 целая, 5 сотых
и 73 в периоде».
Запишем рациональные числа в виде бесконечной периодиче-
ской десятичной дроби:
натуральное число 25 = 25,00... = 25,(0);
целое число -7 = -7,00... = -7,(0);
обыкновенная дробь = -2,300... = -2,3(0);
& = 1,533... = 1,5(3).
Воспользуемся алгоритмом деления уголком:
_23	15
15	1,5333...
80
75
50
45
_ 50
45
5...
5.	Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная
периодическая десятичная дробь является рациональным числом,
так как может быть представлена в виде дроби —, где ш - целое
п
число, п - натуральное число.
Рассмотрим в качестве примера задачу 2 из параграфа учебника
и составим алгоритм.
7
1)	Пусть х = 0,2(18). Умно-
жая на 10, получаем
1 Ох = 2,1818...
2)	Умножая обе части по-
следнего равенства на 100,
находим ЮООх = 218,1818...
3)	Вычитая из равенства (2)
равенство (1), получаем 990х
= 216.
0тск,дах=Йо=Й'
Нужно умножить дробь на 10п, где
п - количество десятичных знаков,
содержащихся в записи этой дроби
до периода: х-10п.
Умножаем на 10к, где к - количест-
во цифр в периоде.
х-10п-10к = х-10п+к.
Отнимем от равенства (2) равенство
(1), решим полученное уравнение.
III.	Практическая часть.
№ 1(1)-на доске.
№1(3)-под диктовку. (Все учащиеся выполняют задание
в тетрадях, один ученик проговаривает вслух решение.)
№ 1(5)- самостоятельно. (Учащиеся выполняют задание в
тетрадях. Выполнив задание, ученик поднимает руку. Дождавшись,
когда весь класс или его большая часть справится с заданием, про-
веряем решение. Либо учитель опрашивает нескольких учеников,
либо один ученик сообщает ответ и выясняем, нет ли другого отве-
та, либо учитель сам сообщает верный ответ. Желательно исполь-
зовать сигнальные карточки - карточки с одной стороны зеленого
цвета, с другой - красного. Каждый ученик имеет такую карточку,
если он согласен с прозвучавшим ответом, то показывает учителю
зеленую сторону карточки, если не согласен - красную.)
Ответ: 1) 0,(6); 3)0,6; 5)-8,(285714).
№ 2(1)-на доске.
№ 2(3) - за доской. (Учащиеся выполняют задание в тетра-
дях. Один ученик записывает решение на откидной доске или «за
доской», затем открывает доску и комментирует свое решение.)
№ 2(5)- под диктовку.
Ответ: 1) 0,(29); 3) 1,58(3); 5)0,225.
№ 3(6) - учитель показывает на доске решение, опираясь на ал-
горитм.
х =-2,3(82) = -2,3828282...
10х = -23,828282...
ЮООх = -2382,8282...
8
ЮООх- 1 Ox = -2382,8282... -(-23,828282...)
990x = -2359
_ 2359 2 379
990	990 ‘
№3(1,3,5)-на доске по очереди. (Учащиеся выходят к
доске по очереди, начиная с ученика, сидящего на первом варианте
первой парты у окна. Обычно учащиеся запоминают, кто отвечал у
доски последним и кто должен пойти к доске после него при вы-
полнении следующего задания с такой формой работы.)
Ответ: 1)	3)	5)-3-^.
№4-самостоятельно по вариантам. (Учащиеся, си-
дящие на первом варианте, выполняют первый пример, на втором
варианте - второй. Справившись с заданием, ученик поднимает
руку. Затем работаем с сигнальными карточками - см. № 1 (5).)
Ответ: 1) 4; 2) 4,75.
№ 5(1) - на отметку. (Ориентируясь на уровень подготовки
класса, учитель либо вызывает одного ученика к доске и затем ста-
вит ему отметку за решение, либо учащиеся самостоятельно вы-
полняют задание и отметку получает ученик, первым правильно
решивший пример.)
Ответ: 8,5.
IV.	Домашнее задание: № 1 (2, 4, 6), № 2 (2, 4, 6), № 3 (2, 4),
№ 5 (2).
V.	Итог урока: по вопросам.
1. Множества каких чисел вы знаете? {Натуральные, целые, ра-
циональные). Приведите примеры.
2. Что такое периодическая дробь? Как записать ее в виде обык-
новенной?
§ 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Иметь понятие об иррациональных числах, множестве действи-
тельных чисел, модуле действительного числа; уметь выполнять
вычисления с иррациональными выражениями, сравнивать число-
вые значения иррациональных выражений.
9
Урок 2
I. Организационный момент.
В организационный момент включается проверка домашнего
задания, если это не будет оговорено особо. В классе выбираются
или назначаются три консультанта (по одному с каждого ряда), ко-
торые проверяют наличие домашней работы и в начале урока со-
общают результаты проверки учителю. Затем учитель выясняет,
какие задания вызывали затруднения, какие вопросы возникли у
учеников. Если затруднения испытывали один-два ученика, то под-
ключаются к работе консультанты (во внеурочное время). Если
большинство учащихся класса не справились с каким-либо задани-
ем, то это задание следует разобрать в классе.
II. Теоретическая часть.
1.	Необходимость дальнейшего расширения множества чисел
связана в основном с двумя причинами. Во-первых, рациональных
чисел недостаточно для выражения результатов измерений (напри-
мер, нельзя выразить рациональным числом длину диагонали квад-
рата со стороной 1). Во-вторых, такие числовые выражения, как
73 , 75 , sin 1° и т. д., не являются рациональными числами.
Объединение множества рациональных чисел и множества ир-
рациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических
дробей) дает множество R действительных чисел.
Действительным числом называется бесконечная десятич-
ная дробь, то есть дробь вида
+ao,aia2a3... или-ao,aia2a3...,
где ао - целое неотрицательное число, а каждая из букв
ai,a2,a3 ... - это одна из десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2.	Арифметические операции над действительными числами
обычно заменяются операциями над их приближениями.
Например, 72 = 1,4142135...
7з= 1,7320508....
Вычислим сумму
с точностью до единицы:
Т2+ТЗ = 1,4+ 1, 7 = 3,1 =3;
с точностью до десятой:
72+73= 1,41 + 1,73 = 3,14 = 3,1;
с точностью до сотой:
72+73= 1,414+ 1,732 = 3,146 = 3,15 ит. д.
10
Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последовательными прибли-
жениями значения суммы V2 + л/З .
Пусть X], хг, ..., хп, ... - последовательные приближения дейст-
вительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда
погрешность приближения | х - xn | как угодно близко приближа-
ется к нулю.
| х - хп | —> 0 при п —> 00
или	lim | х - хп I =0
(Читается: «| х - хп I стремится к нулю при и, стремящемся к бес-
конечности» или «предел | х - xn I при п, стремящемся к бесконеч-
ности, равен нулю».)
То есть,	хп —> х при п —> со
или	lim хп = х
3.	Все основные действия над рациональными числами сохра-
няются и для действительных чисел (переместительный, сочета-
тельный и распределительный законы, правила сравнения, правила
раскрытия скобок и т. д.).
4.	Модуль действительного числа х обозначается | х | и опреде-
ляется так же, как и модуль рационального числа:
’х, если х > 0,
.-х, если х < 0.
III.	Практическая часть.
№6-устно.
Ответ: 3), 4).
№ 8 (1) - учитель объясняет решение.
Найдем целые приближения V7 с недостатком и с избытком:
2<V7 <3.
Тогда 5 - л/7 > 0, следовательно, | х | = х.
(2)- под диктовку.
(3)-устно.
О т в е т: 2) | х | = -х, 3) | х | = х.
№9(1,3,5)-по очереди на доске.
Ответ: 1) рациональное; 3) рациональное; 5) рациональное.
№10(1) - учитель с классом. (Учитель записывает на
доске решение, которое «создается» учащимися:
V63 • V28 = л/63-28 = л/7-9-7-4 = 3-2-7 = 42.)
11
№ 10 (2)-устно.
№10(3)- на доске по желанию.
№10 (4)- за доской.
Ответ: 1)42; 2) 10; 3) 2, 5; 4) |.
№ 11(1) - самостоятельно. (Указание: найти последова-
тельные приближения сумм:
73Д = 1,974...	7М= 1,048...
78 = 2,828...	717 = 4,123....)
Ответ: 7^9 + 78 > ТГТ + 717 .
№12 -работа в г р у п п а х. Класс делится на группы по 3-4
человека в каждой. Количество групп кратно трем. Группы №1,4
и т. д. выполняют первое задание, группы № 2, 5 и т. д. - второе,
группы № 3, 6 и т. д. - третье. Учитель записывает на доске номера
групп. По мере выполнения задания представитель группы выхо-
дит к доске и записывает получившийся ответ возле номера своей
группы.
Ответ: 1) 710 ; 2) 3; 3) 2+ 73 .
IV.	Домашнее задание: № 9 (2, 4, 6), № 11 (2), № 93.
V.	Итог урока. Провести самоанализ (Чему я научился на этом
уроке: Что нового узнал?)
§ 3. БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать, какая прогрессия называется геометрической, что такое
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, знать форму-
лу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
уметь применять эту формулу при решении задач, в частности
при записи бесконечной периодической десятичной дроби в виде
обыкновенной.
Урок 3
I. Организационный момент.
II. Проверка знаний.
12
ДИКТАНТ
Вариант I [Вариант II]
1.	Закончите предложение: «Рациональное число - это число,
которое может быть записано в виде —, где ...» [«Всякое
b
рациональное число может быть представлено в виде...»]
2.	Запишите десятичную дробь 2,38(742) [30,7 (284)]. Подчерк-
ните период этой дроби.
3.	Как называются числа, представляемые бесконечными непе-
риодическими десятичными дробями? [Запишите какое-нибудь ир-
рациональное число.]
4.	Представьте число 4 [ 4 ] в виде периодической дроби.
3 6
5.	Определите знак числа 2д/5 - 3 [ 3-У2 - 5 ].
III. Теоретическая часть.
1.	Геометрическая прогрессия - такая числовая последова-
тельность в], в2, вз,..., вп, ...» что для всех натуральных п вы-
полняется равенство вп+1 = enq, где вп*0, q *0.
Формула n-го члена геометрической прогрессии вп = в, q1^1.
Формула суммы первых п членов
В (l-qn)
Sn=—-------,еслиц*1; Sn = В| • п, если q = 1.
1-q
2.	Рассмотрим рисунок 2 на с. 11 учебника. Сторона первого квадра-
та равна 1, сторона второго квадрата равна , сторона третьего или
—, сторона четвертого 4 или — и т. д. Стороны квадратов образуют
8	23
геометрическую прогрессию со знаменателем
2’
Стороны квадратов
при возрастании п становятся меньше, приближаясь к нулю.
вп —> 0 при п —> со.
Поэтому прогрессия будет бесконечно убывающей.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убываю-
щей, если модуль ее знаменателя меньше 1. Ее сумма вычисляется
по формуле:
13
Эта формула выводится из формулы суммы Sn =
B/l-q")
1-q
e(l-qn) в в
Sn= -J------=—1-----L-qn.
1-q	1-q 1-q
Так как I q I < 1, to lim qn = 0, поэтому
в	в	в
S = limSn=lim —1------1— qn =—!—
n->~ i_q i-q	]_q
k	/
3.	Десятичную периодическую дробь можно представить в виде
суммы конечной десятичной дроби и суммы бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии. Рассмотрим в качестве примера
дроби из № 93 (домашнее задание):
1)	1,3(1)= 1,31111... = 1,3+£,01 +0,001 + 0,0001 +
S
2)	2, 3 (2) = 2,32222... = 2,3 + £,02 + 0,002 + 0,0002+
S
3)	0,(248) = 0,248248... = 0,248 + 0,000248 + 0,000000248 +
S
4)	0, (34) = 0,343434... = 0,34 + 0,0034 + 0,000034 +
S
Найдем для каждого случая сумму S:
п ПП1	0,001 Л1
l)B1=0,01,q=-^ =—=0,1
е_ в. _ 0,01 0,01 _ 1
1-q 1-0,1	0,9 90"
2)в! = 0,01, q = 0,1
_ 0,02 _ 0,02 __ 2 _ 1
1-0,1 0,9 90 45’
3) В] =0,248, q = 0,001
0,248 _ 0,248 _ 248
“1-0,001 “0,999 999
4) в! =0,34, q = 0,01
14
s_ 0,34 _ 0,34 _ 34
1-0,01 0,99 99’
Если в третьем и четвертом примерах получили окончательный
ответ, то в первом и втором примерах нужно к полученной сумме
прибавить еще конечную десятичную дробь.
1)1 3 (1) = 1 3+ —= 1—+ —= 1—
1,^ + 90 i10 + 90 190-
2) 2. 3(2) = 2,3	+ i =
IV. Практическая часть.
№ 16 - учитель показывает решение на доске:
В]	= 40, в2 = -20.
q=^ = ^20 = _l.
4 В] 40	2
Так как | q | < 1, то данная геометрическая прогрессия является
бесконечно убывающей.
№ 16 (3) - у с т н о.
№16(4)-на доске по желанию.
О т в е т: 3) нет, 4) да.
№ 17 (1, 3, 4)-на доске по очереди.
► Указание: воспользоваться тем фактом, что если I q 1 < 1, то
lim qn = 0.
Ответ: 1)0; 3) 1;4)-2.
№ 20 (3) - за доской.
Ответ:
99
№ 21 (1)-учитель с классом. Возможное решение:
q_ Bn + ._3-(-2)n+l_2
вп 3 • (-2)”
Последовательность не является бесконечно убывающей про-
грессией, так как q > 1.
№21 (3)- самостоятельно.
О т в е т: 3) да.
№22(1)-на доске по желанию.
Ответ: 2л/2.
15
№23(1)-под диктовку.
Ответ: В] = 24.
IV.	Домашнее задание: № 16 (2), № 17 (2), № 21 (2, 4), № 22
(2), № 23 (2).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание. (Дается, если на уроке остается
свободное время.) № 24, № 25, № 26.
Все задания даются индивидуально, то есть тем учащимся, кто
раньше других справился с основной работой на уроке.
№ 24. Р е ш е н и е.
3) ],m£5"jL12i = nnI5i" +2 5" +1
^2п п-g2n
№ 25. Решение.
/
= lim 1 + —+ —
5П 52п
Высота получившейся фигуры равна сумме а +
а
2
а
4
Это не что иное, как сумма бесконечной убывающей геометриче-
ской прогрессии, у которой первый член равен а, а знаменатель .
Тогда S =—-
= 2а.
Ответ: 2а.
№ 26. Р е ш е н и е.
Обозначим расстояние от центра первой окружности до верши-
ны угла а. Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на бис-
сектрисе этого угла. Тогда радиусы R|, R2, R3 и т. д. можно рас-
сматривать как катеты, лежащие против угла 30° (см. рис. 6). Гипо-
тенуза первого треугольника равна а, тогда R|=-^a. Гипотенуза
второго треугольника равна а - (Ri + R2), тогда
16
R2= |.(a-R,-R2).
R2= ia-lR.-^-R,
2	2 1 2 2
R2 + ^R, =т-а-~Га
2 2 2	2 2
3,p__l_a la
2R2-2a 4a
aR-ia
2 2 4
R2=7a-
О
Рассмотрим гипотенузы всех треугольников и составим сле-
дующие равенства:
2R] = а
2R2= а — (Ri + R2)
2R3 = а — (R| + 2R2 + R3)
2R4 — а — (Ri + 2R2 + 2R3 + R4)
2Rn — a — (R] + 2R2 + 2R3 +...+ 2Rn_] + Rn)
Тогда, Ri=-|
ЗК2 = а-К1=|^2=|
2 О
3R3 = a — Rj — 2R2 = a — Rj — a + Ri + R2 = R2I R3 =
3R4 = a-R,-2R2-2RJ = a-Rl-2R2-a + R1+R2 + RJ = RJ;R4=^
3Rn = Rn-b Rn =—~—
2-3n-1
R” = 2Ц 3 Г *> следовательно, радиусы образуют бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем .
17
§ 4. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ НАТУРАЛЬНОЙ
СТЕПЕНИ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение арифметического корня натуральной степе-
ни, свойства корня n-й степени, уметь применять свойства
арифметического корня при решении задач.
Урок 4
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
1. Вычислить (у с т н о):
82; (-1)5; -23;	)2; 53; (-5)2; О7; (-3)3; (0,3)3; (0,2)4; 73 : 72;
103 102; 4 -23.
4
2. Решить уравнение:
а)х2-4 = 0; б) х3 = 8; в)х4-81 =0.
III. Теоретическая часть.
Арифметическим корнем натуральной степени п > 2 из не-
отрицательного числа а называется неотрицательное число,
п-я степень которого равна а.
вп = а, где а > 0, в > 0.
Свойства арифметического корня n-й степени:
1) R/^b = Ч/а - Ч/b ;	3) (Va)"	;
где а> 0, в >0, ш >2, п >2, m е N, n е N.
5)	= |а|, k е N; 6) mVa^ = VF.
IV. Практическая часть.
№27- устно по очереди.
Ответ: 1) 1; 0; 4; 0,9; 13;	.
18
2)	1; 0; 5; |; 0,3; 0,4.
3)0; 1; 2; j; |;0,2.
№28, 29- устно по очереди, используя свойство 6).
Ответ: №28: 1) 6; 2) 2; 3) |; 4) 15.
Ответ: №29: 1) 100; 2) 81; 3) |; 4)
о 81
№32(1; 3; 5)-на доске по очереди.
Ответ: 1)-4-^-; 3) 4; 5)
Выполняем № 33-36 (1,3) под диктовку по очереди, применяя
различные свойства арифметического корня.
Ответ: №33 1)3,5; 3)20;
№34 1) 35; 3) 1,6;
№ 35 1) 10; 3) 6;
№36 1)72; 3)3.
№ 42, № 43 (1, 3) - с амостоятел ьно. Во время выполнения
заданий учитель проходит по классу, отмечает различные способы
решения. Затем просит нескольких учащихся записать свое реше-
ние на доске.
Например, № 42 (1):	=(л/7)2= 7 или	=^7^ = 7.
Ответ: №42 1) 7; 3) 2.
№43 1)3; 3)3.
№47- работа в группах. Затем на доске выполняется
решение каждого задания: к доске выходят 6 учащихся, по одному
от каждой группы, записывают и объясняют свое решение.
Ответ: 1) 2^; 2) 6; 3) 3; 4) |;5)4;6)4.
V.	Домашнее задание: № 32 (2,4,6), № 42 (2,4), № 43 (2,4), № 50.
VI.	Итог урока. Вопросы по теории:
1)	Что такое арифметический корень натуральной степени?
2)	Какие свойства корня вы знаете?
VII.	Дополнительное задание. № 53.
(Дается индивидуально.)
19
Решение.
1)	д/4+ 2 Л - 74-2/3 = 2
71 + 273 +3-71-273+ 3 = 2
7(1+7з)2 -^(1-д[з7 =2
|1+7з l-li-Тз I =2
1	+ 7з-7з +1=2
2	= 2 верно
2)	79 + 780 + 79-/80 = 3
79 + 4/5 +79-4/5 =3
Возведем в куб сумму 3 + /5 :
(3 + /5)3=27 + 27/5 + 45 + 5/5 = 72+ 32/5 = 8(9 + 4/5).
з/72 + 32/5 з/72-32/5 Q
V	8 V 8	~3
д/<з+У5)3
V	8 V 8
ДД +ДД = 3; 4 + 4 = 3; 3 = 3 верно.
2	2	2 2
Урок 5
I. Организационный момент.
II. Проверка знаний (5-7 мин).
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
Вариант I
1. Найдите значение выражения:
2. Вычислите:
а) /4 • /8 ; б) Д • 23 • VF.
3. Вычислите: 77 - 722 • 77 + 722 .
20
Вариант II
1.	Найдите значение выражения:
а) аЙЕ ; б) ; в)
у U,125	у ^16
2.	Вычислите:
a) V8 • V2; б) V?-^27-З12 .
3.	Вычислите: V10 +V19 • д/10-V19 .
Ответ: В-1: 1) а) 78; б) 20; в) 2,16; 2) а) 2; б) 36; 3) 3.
В-П: 1) а) 54; б) 18; в) 2,16; 2) а) 2; б) 72; 3) 3.
III.	Решение задач.
1.	Перечислить свойства арифметического корня натуральной
степени (опросить нескольких учащихся).
2.	По очереди на доске выполняются номера: № 38 (1,3), № 41 (1,3),
№44(1,3,4, 5).
Ответы: № 38 (1) 2ав; (3) а;
№41 (1) ав; (3) 3* ;
У
№ 44 (1) х2; (3) а3в2; (4) а8в9; (5) а2в.
3.	Вспомнить область допустимых значений выражения.
Выражение имеет смысл при любых значениях переменной,
кроме следующих случаев:
-	если имеется рациональная дробь (в этом случае знаменатель
не равен нулю);
-	если имеется арифметический корень четной степени (в этом
случае подкоренное выражение неотрицательно);
-	если имеется тангенс или котангенс;
-	если имеется логарифм.
Последние два случая мы рассмотрим позднее.
Выполнить № 45 (3, 4).
При решении № 45 (3) вспомнить метод параболы, № 45 (4) -
метод интервалов.
Ответ:3)х<--1-;х>1;4) — < х < 2.
2	3
4.	№ 49 (1) - учитель показывает решение на доске:
21
№49(3)-под диктовку.
№ 49 (4) - з а доской.
Ответ: 1) 2а2; 3) 0; 4) а - 1.
5.	Разобрать задачу 6 в тексте параграфа, затем выполнить № 51
(2, 3, 4) самостоятельно по вариантам. Класс делится на три вари-
анта; проверка выполняется устно.
Ответ: 2) (3 - х)3 при х < 3, (х-З)3 при х > 3; 3) 9; 4) -Зх- 5.
IV.	Домашнее задание: № 38 (4), № 41 (2), № 44 (6), № 48 (1),
№ 49 (2).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание. № 54.
Выполняется в группах.
Решение.
2 а - b а + b _ (Уа)3 ~ (УЬ)3 _ (Уа)3 + (УЬ)3
Уа-Уь Уа+Уь Уа-Уь Уа+Уь
22
§ 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение степени с рациональным показателем, свой-
ства этой степени; определение степени с действительным показа-
телем, теорему и три следствия из нее; уметь выполнять преобра-
зование выражений, используя свойства степени, сравнивать выра-
жения, содержащие степени с рациональным показателем.
Урок 6
I. Организационный момент.
11. Теоретическая часть.
1.	Ввести определение степени с рациональным показателем
m _____
ап = у ат , где те Z, n е N, а > 0.
2.	Показать, что все свойства степени с натуральным показате-
лем верны для степени с любым рациональным показателем и по-
ложительным основанием.
Эти свойства получаются из свойств корней.
3.	Ввести определение степени с действительным показа-
телем ах.
Для нее сохраняются все известные свойства степени с рацио-
нальным показателем:
1)	ах • ау = ах+у.
2)	ах: ау = ах’у.
3)	(ах)у = аху.
4)	(ab)x = ах • Ьх.
5)1 -^ ]х = —, кроме того:
I Ь/ Ьх
6)	ах > 1 при а > 1, х > 0.
4.	Рассмотреть теорему и три следствия из нее. Они помогают
при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел. Запишем
их следующим образом:
1. Пусть а > 0, а 1, а*1 =а*2. Тогда Xi = х2.
23
2. Пусть xi < х2 и а > 1. Тогда а*1 < а*2 ;
О < а < 1, ах* >а*2 .
3. Пусть 0 < X] < х2 и р > 0. Тогда xf < х£;
р<0,	х[*>хР.
III. Практическая часть.
№ 55,№56 - устно по очереди.
3.	4.	3.	_1	1	3.
Ответ: № 55 1) х2 ;	2) а3; 3)	Ь4 ; 4)	х 5 ;	5) а6 ; 6)	b 7.
№56 1)	2) V/; 3)	; 4)	; 5) V2x;
6)	V(3br2.
№ 60 (1) - учитель с классом.
Решение.
1 £ - £ _______________
I7Z Г°'75+(I I 3 = 160’75 + 83 = 164 +83=W +V8* =
I 16 J 18 1
= 23 + 24 = 8 + 16=24.
№60 (2)- самостоятельно.
№ 60 (3) - н а доске.
№60 (4)- под диктовку.
Ответ:2) 121; 3)-1; 4) 150.
На доске по очереди выполняются номера: № 69 (1, 4), № 70 (3),
№71 (1,3).
Ответ: №69(1)4; (4) -^4;
625
№ 70 (3) 3;
№71 (1) 5; (3)
№76- работа в парах с взаимопроверкой. Первые
парты выполняют первый пример, вторые - второй и т. д. Ученики,
сидящие за одной партой, выполнив задание, обмениваются тетра-
дями. Устно проверяются ответы.
Ответ: 1)36,5; 2) 5-jJ;3) 9-^-; 4) 10-^-.
24
Пусть xi < х2. Если а > 1, то аХ| < аХ2.
Если 0 < а < 1, то аХ| >аХ2.
Пользуясь этими свойствами, устно выполнить № 72.
№84- под диктовку.
Ответ:1)х = 2;2)х=--^;3)х=>/2;4)х = 2л.
№85(1)-учитель с классом.
№ 85 (3) - н а доске по желанию.
Ответ: 1)---К=; 3) х = 3.
2-Л ’ '
IV.	Домашнее задание: № 69 (2), № 70 (2, 4), № 71 (2, 4), № 79,
№ 85 (2,4).
V.	Итог урока. Что нового узнали на уроке?
(В виде беседы с классом.)
VI. Дополнительное задание.
№ 90, 91 - дается индивидуально.
№ 90. Р е ш е н и е по формуле сложных процентов:
находим
S =5000| 1 + -?- Г = 5000- 1,023 = 5306,04.
100 )
Ответ: 5306р. 4к.
№91. Решение.
7
2 года 7 месяцев =2 года.
По формуле сложных процентов находим
3
100
Ответ: 2158 р. 70 к.
12 = 2000- 1,03 12 = 2158,7.
S=2000 1 +
25
Урок 7
I. Организационный момент.
II. Проверка знаний (5 мин).
ТЕСТ
1. Найдите область определения функции у = (х - 8)* 0,9
А. х - любое число; Б. х^8; В. х>8; Г. х<8.
/
2. Вычислите 3
± Г
9	.90,1
к 7
А. 1;Б. З-01; В. 3; Г. З’118.
3.	Решите уравнение 42х1^= 16.
А. ТЗ;Б. -Д=;В. —U; Г.
2л/3 л/З 2
4.	Сравните числа V5 и V7 .
A. V5 > V7 ; Б. V5 = V7 ; В. V5 < V7 ; Г. нельзя сравнить.
5.	Запишите числа 273 ; (-3)2; 810,25 в порядке возрастания.
2
А.	(—З) 2; 81 °’25; 27 3 .
2
Б. 81 °’25; 273 ;(-ЗГ2.
2
В.	273 ; 810'25; (-3)’2.
2
Г. (-З)’2;273 ; 810'25.
Ответ:ВАВВА.
III.	Решение заданий.
1)	Используя свойства степени с рациональным показателем
выполнить следующие задания на доске по очереди:
№ 61 (1, 3, 5), № 77, № 80 (1, 3), № 82 (1).
5.	2
О т в е т ы : № 62 (1) а6 ; (3) b6; (5) х2.
26
№ 77 (1) — ; (2) a2b.
„з
№80(1) a3; (3) Va+7b .
№82(1) —J—.
(mn)2
2)	Дифференцированное задание.
Уровень I (более слабый): № 63, 64, 65.
Уровень II: № 66, 67.
Уровень III: №78, 81.
Уровень IV: № 87 (1, 3), 89.
Учащиеся работают самостоятельно. Решение всех заданий де-
монстрируется на доске (с № 63 до № 89).
IV.	Домашнее задание: № 1-5 «Проверь себя» на с. 37. Подго-
товиться к зачету по главе I. Выполнить тренажер № 1 (см.
Приложение).
V.	Итог урока. Результаты теста. Анализ ошибок.
Урок 8
Урок-зачет
Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме
«Действительные числа».
I. Организационный момент.
II. Зачет.
Зачет состоит из обязательной части и дополнительной.
Выполнив только обязательную часть, ученик получает «зачет»
(или «незачет»). За решение дополнительной части ученик получа-
ет «4» или «5».
Обязательная часть
Вариант I
1.	Какая дробь называется периодической?
2.	Вычислите:
с-0,5
a) V50 • V20 ; б) 34-3"13-3’5-3Н; в) 2-125 3; г) 20,5 I • (0,5)-1,25
27
3.	Упростите выражения:
5 2
a) VbVb ; б) (а’2 - Ь’2)а2Ь2; в) .
У’°’5
1 1
4.	Разложите на множители а2 - 2а4 .
5.	Сократите дробь х + У .
1 1
X3 + у3
Вариант II
1.	Десятичная дробь. Модуль десятичной дроби.
2.	Вычислите:
a) V27-V3;6)2-1 + (-3)’3;b) 2
±Г
7	• 401; г) О,ООО3204.
\	7
3.	Упростите выражения:
a) -JaVa ; б) а8(а 2 - а-1) (а4 + а5) в)
2	±
4.	Разложите на множители Ь4 + Ь2.
1 1
5.	Сократите дробь —-——------
1 1
х + х2с2 +с
Вариант III
1.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Формул!
суммы.
2.	Вычислите:
2	5.
а) №=, б) |	| 3-4’2; в) 9“2- 273; г) 160125-8 6 -42’5.
V625 I 3 )	’
28
3.	Упростите выражения:
I------	/	\	3,5	- 2,7
a) ; б) (9х-3 -х-3у2) • | — | 3; в) —------------------------.
Iх/ у2’9у-3’*
4.	Разложите на множители а - 4.
1
5.	Сократите дробь х + ^х2
1
х2 +7
Вариант IV
1.	Арифметический корень натуральной степени. Свойства.
2.	Вычислите:
а) л/з^-^-З3 ; б) 1 2-4"3:4-5;
г) 810,4-30,5
1
9°'3 -276
3.	Упростите:
a) V&Va ; б) (а 3 - а 5) (а4 + а5) ' а9; в)
а2 -2 -За2 + 6а2.
2	2
4.	Разложите на множители а3 -Ь3.
5.	Сократите дробь ——	.
„0,5и0.5
За — а b
Вариант V
1.	Степень с рациональным показателем. Свойства.
2.	Вычислите:
a) VF • Я/з'2 -27 ; б) 5-3:5~5 - (|)’ 4; в) )’5: (-1 )8;
>/>0,42 .0,6
г) и—'-4—
16оз-2ол
3.	Упростите:
29
/----------------   /	\	2 i 4
a) д/у2 V/; б) I (ab~1 )2 - a°b2 I  a ?b- J B) 0 + a°’5)2 + 2a°’5-
’	’ V	J	b
1 1
4.	Разложите на множители cd10 + cd5.
5.	Сократите дробь ——
x2 -Зх
Вариант П
1. Сравнить числа:
2. Упростить выражение:
Вариант III
1. Сравнить числа а и Ь, если:
а = г + —^—т=, b = г-^ г- •
V5-V3 3 + 2V2	V8-V5
2. Упростить выражение:
14	1	.--	1
а3 — Ь3 а3 - Уа2Ь2 + Ь3
зо
Вариант IV
1. Сравнить числа а и Ь, если:
а = 5-л/15 , b =717-3.
2. Упростить выражение:
(	Л2
4а2 -9а'2 , а2 -4 + За~2
< 2а-За-1 а-а-1	>
Вариант V
1. Сравнить числа а и Ь, если:
а =713-712, b =712-7н
2. Упростить выражение:
Ш. Домашнее задание: № 96 (2, 6), № 103 (2,4), № 110.
IV. Итог урока.
Какие задания вызывали трудность? С какими заданиями легче
справились?
V. Дополнительное задание.
Выполнив полностью зачет, ученик может получить дополни-
тельную отметку за решение № 117,118.
№ 117. Решение.
Ответ: 32а.
31
V3
32
1-а3 + а3
Замечание. Возможно, в условии опечатка. Если во второй
скобке знаменателя изменить знаки, то получится следующее:
- з
2 Григорьева
33
V3
a + a2b2 + b-Tab —Ц- = (а + Ь)—Ц-=1.
a+b	a+b
к	7
№ 118. Решение.
V? + 5V2 + 47-5J2 = 2.
Vi+6+3V2 + 2V2 + V1+6-3V2-2V2 = 2.
V1 + 3V2+3-2 + 2V2 + V1-3V2 + 3-2-2V2 = 2.
V(1 + V2)3 + V(l-V2)3 = 2.
34
2 = 2.
Глава II. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
§ 6. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать свойства и графики различных случаев степенной функ-
ции (в зависимости от показателя степени р); уметь сравнивать
числа, решать неравенства с помощью графиков и (или) свойств
степенной функции.
У рок 9
I. Организационный момент.
И. Итоги и анализ зачетной работы.
Те, кто получил «незачет», получают карточку на дом:
1.	Свойства арифметического корня:
1)	R/a-b =Va - Ч/b ;
2)	"/а = 2^. s где а > О, b > 0, n g N.
*b Vb
Например, V53 • 73 = VF • VF = 5  7
Выполнить самостоятельно № 97 (1, 2, 3,4).
2.	Свойства степени:
О-П _т __ _п+т.
а • а — а ;
2) ап: ат = ап’т;
3) (ап)т = ап т , где а 0.
1 _±	1 +	--1
Например, 5з-5 2=53 \ 2>=5 6;
2	1
(0,1)2	=(0,1)2 =(0,1) =0,1;
35
3~5 _ 3-5-2 _ 3-7
з2
Выполнить самостоятельно № 95 (3).
3. Чтобы сократить дробь, нужно разложить на множители чис-
литель и знаменатель и сократить равные множители.
и	х2 — 4 (х ~ 2)(х + 2) х + 2
Например, -г---7 =	~ Z 
к 2х-4	2(х-2)	2
Чтобы разложить на множители выражение, нужно либо выне-
сти за скобки общий множитель, либо воспользоваться формулами
сокращенного умножения.
Например, х - 4 = х2
2	1	111
ab2 -b2 =a-b b2 -b2 = b2(ab-1).
Выполнить самостоятельно № 104 и № 105.
III.	Теоретическая часть.
Новый материал можно записать в тетрадях по теории в виде
таблицы.
Степенная функция
У = х₽,
где р - заданное действительное число.
р	График			Свойства				
				Д(у)	Е(У)	четность нечетность	возрас- тание	убывание
1	2			3	4	5	6	7
р = 2п	1 yj \ 1		—/	R	у>0	четная	х>0	х<0
	О’		' 1					
р = 2п-1	У1 1	/у=х5		R	R	нечетная	R	
		1	X						
36
IV.	Практическая часть.
Пользуясь таблицей, выполнить устно № 120.
Ответ: 1) возрастает; 2) возрастает; 3) убывает; 4) возрастает;
5) убывает; 6) возрастает.
37
№119(1,3, 5), 121-по очереди на доске.
№123-под диктовку.
№ 128. Сначала рассуждаем: графики 1) и 2) получены преобра-
зованием функции (параллельный перенос вдоль оси Оу); графики
3), 4) и 5) - преобразованием аргумента (параллельный перенос
вдоль оси Ох); график 6) - растяжение вдоль оси Оу.
V.	Домашнее задание: № 119 (2, 4, 6), № 124, № 128 (2, 3).
VI.	Итог урока.
VII.	Дополнительное задание.
№ 130 - с ам о стоя те л ьн о по вариантам.
Ответ: 1)(0; 0), (1; 1); 2) (0; 0), (1; 1).
Урок 10
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
№126(1)-за доской.
№126(2, 3,4)-самостоятельно по вариантам.
№ 122 - устно . (Обратить внимание, что все функции у = х2,7;
у = х03; у = х9'1; у = х0 2 являются возрастающими и при х > 1 у > 1.)
Ответ: 1) 4,127 >1; 2) 0,2°'3<1;3) 0,791<1; 4) Л0'2>1.
38
№125(1,3, 5, 7)-под диктовку.
1) Образец рассуждения: «Сравнить 3,17'2 и 4,37'2. Так как функ-
ция у = х7’2 является возрастающей и 3,1 < 4,3, то 3,17'2<4,37’2».
8 Y2
Ответ: 3)О,Зо,3>О,2°’3;
7) (4л/з)5> (зТд)’.
Ш. Домашнее задание: № 125 (2,4,6,8), № 175 (2,6), № 179 (1,3).
IV. Итог урока.
ДИКТАНТ
1.	Укажите область определения функции у = х4 [у = х7].
2.	Укажите множество значений функции у = х5 [у = х6].
3.	Является ли функция у = х"3 [у = х 3 ] возрастающей?
4.	Изобразите схематически график функции у = х2’3 [у = х0,7].
5. Найдите область определения функции у = (х - 1) 2
[у=(х + 2) з].
6. Сравните число 5,20,3 [0,73,5
(7 Y3
И 6
7. Сравните
7
с единицей.
8
и
7
8. В одной системе координат постройте графики функций
2	2
у =х5 и у = х5
1	2
у = х4 иу =х4
9. Решите уравнение х5=х5 х4=х4
10. Решите неравенство х5 > х5 х4<х4
V. Итог урока.
39
§ 7. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение функции обратной для данной функции, тео-
ремы об обратной функции; уметь строить график функции, обрат-
ной данной.
Урок 11
I. Организационный момент.
П. Актуализация опорных знаний.
1.	Выразить:
переменную г из формулы S = яг2;
Р = 2(а + Ь)
а
V
А
b
N=A;
t
1 = 1 + ±
х а Ь
2.	Как построить фигуру, симметричную относительно некото-
рой прямой? Перечертите по клеточкам рисунки и выполните осе-
вую симметрию.
3.	Укажите промежутки возрастания (убывания) функций:
у = 5х + 2;
у = х2 - 1;
у=-;
х
У = х6;
у = 7х3.
40
III.	Теоретическая часть.
Ввести понятия:
«монотонная функция» (возрастающая (убывающая) функция);
«обратимая функция» (функция, которая принимает каждое свое
значение только при одном значении х);
«взаимно обратные функции» (если обратимая функция у = f(x)
задана формулой, то для нахождения обратной функции нужно ре-
шить уравнение f(x) = у относительно х и затем поменять местами
х и у. Если у = f(x) является обратной к найденной для нее обрат-
ной у = g(x), то эти функции взаимно обратны).
Доказать теорему 1 и теорему 2.
IV.	Практическая часть.
№ 131 - устно.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да.
№ 132 (1, 3, 5) - на доске по очереди.
Ответ: 1) у = х +1; 3) у = Зх + 2; 5)у = л/х-1.
№ 133 (1, 3, 5, 6) - под диктовку.
Ответ: 1) Д(у) = R, Е(у) = R;
2)fl(y) = R, E(y) = R;
5)	х # 0; у # 0;
6)	х 0; у # 4;
№ 134 (в, г)-самостоятельно по вариантам.
№135-устно, с рассуждением.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да.
V.	Домашнее задание: № 132 (2,4,6), № 133 (2,4), № 136 (2, 3).
VI.	Итог урока. Объясните, что такое монотонная функция, об-
ратимая функция, взаимно обратные функции. Приведите примеры.
VII.	Дополнительное задание.
№137-работа в группах (8 групп).
Решение.
1	. у = Зх -1 и у =
Д(у) = И fl(y) = R
E(y) = R E(y) = R
41
2	у = 2х-1 иу = Зх + 1
3	J 2
Д(у) = И Д(у) = R
E(y) = R E(y) = R
3.	у = x2 -1, x > 0 и у = Vx + 1
Д(у) = [0;+оо)
Е(у) = [-1;+°°)
Д(у) = [_1;+да)
Е(у) = [0; +оо)
4.	у = (х -1 )2, х > 0 и у = Vx +1
Д(у) = [ 1; +о°)	Д(у) = [0; +°°)
Е(у) = [0; +оо)	Е(у) = [ 1; +оо)
5.	у = х3-2иу = Vx + 2
«y) = R «y) = R
E(y) = R E(y) = R
6.	у = (x -l)3 и у = Vx + 1
fl(y) = R Д(у) = И
E(y) = R E(y) = R
42
7.	у = л/х-1 и у = х2 + 1, х > О
Д(У) = [ 1; +о°)	Д(У) = [0; +оо)
Е(у) = [0;+оо)	Е(у) = [1;+оо)
8.	у = л/х+1иу = (х- I)2, х> 1
Д(У) = [0; +оо)	Д(у) = [ 1; +оо)
Е(у) = [1;+оо)	Е(у) = [0;+оо)
§ 8. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение равносильных уравнений, следствия уравне-
ния; знать, при каких преобразованиях исходное уравнение заменя-
ется на равносильное ему уравнение, при каких получаются посто-
ронние корни, при каких происходит потеря корней; знать опреде-
ление равносильных неравенств; уметь устанавливать равносиль-
ность и следствие, уметь выполнять необходимые преобразования
при решении уравнений и неравенств.
Урок 12
I. Организационный момент.
II. Лабораторная графическая работа «Функция, обратная
данной».
Цель работы: закрепить понятие обратной функции.
Оборудование: карточки с заданием, миллиметровая бума-
га, масштабные линейки, цветные карандаши, комбинированные
лекала.
Ход работы
Задание пишется на доске:
1)	Отношение f задано с помощью пар:
а)	{(х; у) и т. д.}
б)	{(х;у)ит. д.}.
43
1.	Изобразите данное отношение f с помощью стрелок.
2.	Является ли данное отношение f функцией?
3.	Задайте с помощью пар обратное отношение g.
4.	В одной и той же системе координат построить график данно-
го отношения f (одним цветом) и обратного отношения g (другим
цветом).
5.	Является ли обратное отношение g функцией?
2)	Найдите функцию, обратную данной:
a)	f(x), если хе [cu dj];
б)	g(x), если х е [с2; d2];
Постройте графики функций f(x) и g(x), а также обратных им
функций (разным цветом). Как расположены их графики относи-
тельно прямой у = х?
Учащимся раздаются конверты или папки, в которых лежат два
цветных карандаша разного цвета, линейка, комбинированные ле-
кала, миллиметровая бумага, карточка с заданием. Карточки можно
заготовить по вариантам или по количеству учащихся.
ОБРАЗЕЦ КАРТОЧКИ
1. а) > "2;7 1’11(1;2),(1;4),(2;4),(3;8) >
I о и 4 /1	7
б) {(-3; 9), (-2; 4), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9)}
2. a) f(x) = -| х - 2, где хе [-3; 8].
6)g(x)=^- + 2,raexe [1; 6].
III.	Изучение нового материала.
1.	Уравнения называются равносильными, если они имеют одно
и то же множество корней, а также если они не имеют корней.
2.	Если все корни первого уравнения являются корнями второго
уравнения, то второе уравнение называется следствием первого
уравнения.
№139(1,3, 5)-по очереди на доске.
Ответ: 1) да; 3) нет; 5) нет.
№141-под диктовку.
Ответ: 1) второе; 2) второе.
Сделать вывод, при каких преобразованиях исходное уравне-
ние заменяется на равносильное ему уравнение. (Если некоторое
выражение в левой или правой части уравнения заменить тождест-
венно равным ему выражением.)
44
Например, № 141 (2): левую и правую части первого уравнения
умножили на выражение х - 1, получили второе уравнение. Данное
преобразование не является тождественным. Корень х = 1 второго
уравнения не является корнем первого уравнения. Его называют
посторонним корнем. Преобразуем первое уравнение следующим
образом:
х2 -Зх + 2 _ q
х -1
(х-1)(х-2) = 0
х-1
х-2 = 0
х = 2 - корень данного уравнения.
Выполним такие же преобразования со следующим уравнением:
х2 - Зх + 2 = х - 1
(х- 1)(х-2) = х- 1
х - 2 = 1
х = 3.
Но исходное уравнение имеет 2 корня. Проверьте самостоятель-
но, найдите второй корень. Подумайте, почему произошла потеря
корня.
Итак, при решении уравнений можно делать только такие его
преобразования, при которых не происходит потери корней. Если
при этом получается уравнение - следствие данного, то необходи-
ма проверка найденных корней, так как возможно появление по-
сторонних корней.
Решить уравнение: №138 (4), № 142 (1, 3), № 147.
О т в е т: № 138 (4) нет корней;
№ 142 (1) X] = 0; х2 = -|; (3) Х] = 5; х2 = 6.
№ 147 х = 3.
IV.	Домашнее задание: № 138 (2, 3), № 139 (2,4, 6), № 142 (2,4).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№150- дается индивидуально.
Решение.
1.	(х-з/ ~х~2= 1
х2 - х - 2 = 0 или х - 3 = 1
Xi = 2, х2 = -1	х = 4
Ответ: Xi = 2, х2 =-1, х3 = 4.
45
2.	(x2-x-l/ "’= 1
х2 - 1 = О	ИЛИ X2 - X - 1 = 1
Х| = 1,х2 = -1	х2-х-2 = 0
х = 2 или х = -1
Ответ: Х[ = 1, х2 = -1, х3 = 2.
3.	(х + 3)х2 ‘ 4 = (х + 3)“Зх
х2 - 4 = -Зх или х + 3 = 1 или х + 3 = О,
х2 + Зх - 4 = О	х = -2 если Г х2 - 4 > О
х = -4 или х = 1	I—Зх > О.
х = -3.
О т в е т: х, = -4, х2 = 1, х3 = -2, х4 = -3.
4.	(х + 3)х' - 3 = (х + 3)2х
х2 - 3 = 2х	или х + 3 = 1 или х + 3 = О, если
х2 - 2х - 3 = О	х = -2	f х2 - 3 > О
х = 3 или х = -1	12х > 0.
х = -3 не подходит.
Ответ: Xi = 3, х2 = -1, хз = -2.
Урок 13
I.	Организационный момент.
II.	Проверка знаний.
ТЕСТ
Укажите такие преобразования обеих частей данного уравнения,
которые сохраняют равносильность.
Вариант I
Уравнение	Преобразование			
	Возведение в квадрат	Извлечение квадратного корня	Умножение на х - 1	Деление на х + 3
х2 - 6 = -х				
х2 - х = 6				
2х + 3 = х				
2х - 1 = х				
х(х-2)(х + 3) = = (х-2)(х + 3)				
46
Вариант II
Уравнение	Преобразование			
	Возведение в квадрат	Извлечение квадратного корня	Умножение на х + 1	Деление на х - 1
х-1 = 1 -X				
(х2- 1)(х + 4) = = (х-1)(х + 4)				
Зх + 4 = 2х + 5				
5х + 6 = 4х +5				
х2 - 2 = -х				
Ответ:
Вариант!	Вариант II
			
+	+		+
			
	+	+	+
		+	
	+		
			
	+		
	+	+	+
			
III.	Решение заданий.
№145-работа в группах (количество групп кратно че-
тырем).
Ответ: 1) да; 2) да; 3) да; 4) да.
Равносильность неравенств определяется аналогично равно-
сильности уравнений.
№ 140 (1, 3) - под диктовку.
Ответ: 1) да; 3)нет.
№143(1)-на доске по желанию.
О т в е т: х - любое число.
№ 149 (1)-учител ь с классом.
Решение.
х3 - Зх2 + 2х - 6 > 2х3 - х2 + 4х - 2
х2(х - 3) + 2(х - 3) > х2(2х - 1) + 2(2х - 1)
(х2 + 2)(х - 3) > (х2 + 2)(2х - 1)
Так как при любом действительном х выражение х2 + 2 > 0, то
можно на него разделить обе части неравенства.
х -3 >2х-1
х-2х>-1 + 3
-х>2
х < -2.
О т в е т: х < -2.
47
IV.	Домашнее задание: № 140 (2, 4), № 143 (2), № 149 (2). Вы-
полнить тренажер № 2.
V.	Итог урока. Результаты теста. Анализ ошибок.
VI.	Дополнительное задание.
Повторение - № 175 (1, 3, 5), № 177 (1,4), № 180.
Все задания выполняются на доске по желанию. Учитель оцени-
вает ответы.
§ 9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение иррационального уравнения, свойство; уметь
решать иррациональные уравнения.
Урок 14
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
(Устно.) Укажите, для каких значений переменных равенство
верно.
5. (—ху)2 = х2у2
2.	6.7F = x 3.	7.	7х^ = -х V У аГу 4 G.Y = х2	8.	J-х2 =-х Ы “у2 Ответ: 1. х > 0, у > 0 2.	х < 0, у < 0 3.	х > 0, у<0 4.	у 0, х - любое 5.	х, у-любые 6.	х > 0 III. Изучение нового материала.	7.	V А — А 10.	Vx^ = x 11.	Vx2" = Vx 12.	Vx2" = Vx 7.	x<0 8.	x = 0 9.	x - любое 10.	x - любое 11.	x>0 12.	x>0
48
1.	Ввести определение иррационального уравнения, алгоритм
решения иррационального уравнения.
2.	№5-устно.
Ответ: 1)х = 4;2)х = 49; 3) х = 8; 4) х = -27; 5) х = ; 6) х = 1;
7) х = 2.
3.	Какие из данных уравнений не имеют корней:
a) Vx = -1; б) л/2х = 0; в) Vx -1 = -л/2 ; г) 7-5 - х2 = 10;
д) л/х2 +4х + л/7х = -0,5; е) л/х -4 -3 = 0?
О т в е т: а); в); г); д).
4.	№ 152 (1, 3), № 153 (3) - под диктовку.
Ответ:№ 152(1) х = 8;(3)х = 5;№ 153 (3) х, = 3; х2 =-|.
5.	№ 155 (1) - учитель показывает на доске решение.
Vx - х = - 12
Vx = х - 12
Возведем в квадрат обе части уравнения:
х = х2 - 24 м + 144
х2-25х+ 144 = 0
Д = 625 - 576 = 49
_ 25 + 7 _ 1 д- _ 25 — 7 _ а
Xi -	----10> Х2 _	2	"
Проверим корни (устно).
Проверка показала, что х = 9 не является корнем уравнения.
Ответ: х = 16.
№155(3)-на доске по желанию.
Ответ: х = 5.
№162- работа в группах.
Ответ: 1) один, х == 2, 3; 2) два, х1 ~ 0,5, х2 2,1; 3) один, х = 3;
4)	один, х = 1.
IV.	Домашнее задание: № 152 (2), № 153 (2), № 155 (2,4).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 164-индивидуально.
Решение.
1. л/х + 1  л/х - 2 = а
49
Если а < 0, то уравнение не имеет корней. Если а > 0, то возве-
дем в квадрат обе части уравнения ух+ 1 • л/х - 2 = а.
(х+ 1)(х-2) = а2
х2-х-2-а2 = 0
Д = 1 + 4(2 + а2) = 4а2 + 9
1 + 74а2 +9
Х| =------------
2
1-д/4а2 +9
Х2	2
Сделаем проверку корней. Для этого оценим выражение
1 + 74а2 + 9 „ 1 - 74а2 +9
2	2
При а > 0 4а2 + 9 > 9, 1 + 74а2 +9 > 4 и Х] > 2; 1 - 74а2 +9 < -2, и
х2 < -1. Очевидно, что х2 не является корнем уравнения.
Ответ: при а > 0 х = 1+	+ .
2. л/х • л/х + 2 = а - 1
Если а - 1 < 0, а < 1, то уравнение не имеет корней.
Если а - 1 > 0, то есть а > 1, то
х • (х + 2) = (а - I)2
х2 + 2х-(а- 1)2 = 0
Д = 1 +(а- 1)2 = а2-2а + 2.
- 2а + 2 .
Xi -
- 2a + 2 .
x2 = -1
Сделаем проверку корней.
a2 - 2a + 2 = 0.
Д = 1 - 2 = -1, таким образом, a2 - 2a + 2 > 0 при любом значе-
нии а.
Найдем наименьшее значение этого выражения.
Рассмотрим функцию у = а2 - 2а + 2.
Графиком является парабола.
Наименьшее значение функции - ордината вершины параболы.
ав=|= 1.
у(1)= 1 -2 + 2=1.
50
Итак, наименьшее значение выражения а2 - 2а + 2 равно 1, то
есть л/а2 - 2а + 2 > 1.
Тогда Xi > 0 и Х2 < -2.
Очевидно, что Хг не является корнем уравнения.
Ответ: при а > 1 х = -1 + л/а2 - 2а + 2 .
Урок 15
I. Организационный момент.
II. Решение уравнений.
1. На доску вывешивается таблица или учитель записывает на
доске несколько видов иррациональных уравнений. Учащимся
предлагается заполнить колонки «Решение» (как решить это урав-
нение?) и «Проверка корней» (на что нужно обратить внимание
при проверке?).
Уравнение вида	Решение	Проверка корней
1. д/Ях) = а	f(x) = a2	f(x) > 0
2. 7fW=g(x)	f(x) = g2(x)	f(x) > 0
з. 7f(x) =71м	f(x) = g(x)	f(x)>0, g(x)>0
4. 7f(x)  л/gOO = a	f(x)g(x) = a2	f(x)>0, g(x)>0
. Тад 5. г	~ a 7g(x)	Ж = а2 g(x)	f(x) > 0, g(x) > 0
6. 7f(x) + ^/g(x) = a	f(x) + 2^/f(x) • g(x) +g(x) = a2 2^f(x)  g(x) = a2-f(x) - g(x) дальше, как в п. 2	f(x)>0, g(x)>0
7.7f(x) + 7g(x) = = 7h(x)	f(x) + 2^/f(x) • g(x) +g(x) = h(x) 2^f(x)  g(x) = h(x) - f(x)—g(x) дальше, как в п. 2	f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
2. Выполнить задания.
№ 156(1,3)-по очереди на доске.
51
Ответ: 1) х = 8; 3) х = 1.
№158-самостоятельно по в а р и а н т а м (4 варианта).
Ответ: 1) xt = 4, х2 =	2) х = -3; 3) нет решений; 4) х = 18.
№159(1)-на доске по желанию.
Ответ: х = -4.
№160(1)-под диктовку.
№160(3)-за доской.
Ответ: 1) х = 10; 3) Х| = 3, х2 = 4.
№ 163 (1) - учитель показывает решение на доске:
д/4х + 2-/зх2 +4 = х + 2
4х + 2\ Зх2 + 4 = х2 + 4х + 4
2д/зх2 +4 = х2 + 4
4(3х2 + 4) = (х2 + 4)2
12х2+ 16 = х4 + 8х2+ 16
х4 - 4х2 = 0
х2(х2 - 4) = 0
х2(х - 2)(х + 2) = 0
х = 0 или х = 2 или х = - 2.
Проверка показала, что все найденные значения являются кор-
нями данного уравнения.
Ответ: -2; 0; 2.
№ 163 (З)-работа в парах.
О т в е т: X! = -4, х2 = 1.
III.	Домашнее задание: № 156 (2, 4), № 157, № 159 (2), для
сильных учеников № 163 (2,4).
IV.	Итог урока.
V.	Дополнительное задание.
№188-работа в группах.
Решение.
1.	л/х+ 4 - 3>/х+ 4 + 2 = 0
Пусть t = л/х + 4 , тогда t2 - 3t + 2 = 0
Д=9-8=1
t. =1yi= 2, t2 = 1.
52
л/х+ 4 = 2, х+ 4 = 16, х = 12.
л/х + 4 = 1, х + 4 = 1, х = - 3.
Ответ: X] = -3, х2 = 12.
2.	л/х-З =3^х-3+4
Пусть t = л/х -3 , тогда t2- 3t-4 = О
Д = 9+ 16 = 25
ti =^±£ = 4, t2 = -l.
2
УГ^З = 4, х - 3 = 256, X = 259.
Ух -3 = -1, нет корней.
Ответ: х = 259.
3.	Vl-x -5VlTx' = -6
Пусть t = л/1 - х , тогда t2 - 5t + 6 = О
Д = 25 - 24 = 1
ti =1|1= 3, t2 = 2.
У1 - х =3, 1 - х = 27, х = -26.
У1 - х = 2, 1 -х = 8, х = -7.
О т в е т: Xi = -26, х2 = -7.
4.	х2 + Зх + д/х2 + 3х = 2
Пусть t = 7х2 +3х , тогда t2 + t - 2 = О
Д=1+8=9
t,=^bt3 = l,t2 = -2.
7х2+Зх = 1, х2 + Зх - 1 = О, Д = 9 + 4 = 13, х = ~3^^ •
д/х2 +3х = -2, нет решений.
Проверка показала, что найденные значения являются корням:
уравнения.
о	-3-V13	- 3 + V13
Ответ: Х| =---—,х2=-------2^‘
53
- л/З-Х +л/3 + х _ ~
л/З-Х -л/З + Х
(л/3-х +л/3 + х)(л/3-х +л/3 + х
(л/3-х -л/З + хДл/З-х +л/3 + х
3-х + 2л/9 - х* 1 2 + 3 + х _ 2
(3-х)-(3 + х)
6 + 2л/9-х2 ?
-2х
-З-л/9-х2 2
х
-3- л/9-х2 = 2х
V9-x2 = -3-2х
9-х2 = 9+ 12х + 4х2
5х2 + 12х = О
х(5х + 12) = О, х = О или х = -2, 4.
Проверка показала, что х = 0 не является корнем уравнения.
О т в е т: х = -2, 4.
6. д/х + 6-4>/х + 2 + -Jll + x-6-\/x + 2 = 1
•\/х + 2 — 4-Ух + 2+4 + "^х + 2 — 6-Ух + 2+9 = 1
^(л/х + 2-2)2 +^(л/х + 2-зУ = 1
|-\/ х + 2 — 2| + |-\/х + 2 — 3| = 1
1) -Ух + 2 = 2, х + 2 = 4, х = 2
0 + |-1|=1
1 = 1 верно.
2) л/х + 2 = 3, х + 2 = 9, х = 7
13-21 +0= 1
1 = 1 верно.
3) л/х + 2<2
2 — V х + 2 +3 — V х + 2 = 1
-2л/х + 2 + 5 = 1
54
х/х + 2 = 2
х + 2 = 4
х = 2 не удовлетворяет условию -х/х + 2 < 2.
4)	2 < л/х + 2 < 3, 4 < х + 2 < 9, 2 < х < 7
л/х + 2 — 2 + 3 — -х/х + 2 = 1
1 = 1 верно.
5)	л/х + 2>3
х/х + 2 — 2 + х/х + 2 — 3 = 1
2-х/х + 2-5 = 1
2 х/х + 2 = 6
х/х + 2 = 3
х + 2 = 9
х = 7 не удовлетворяет условию -х/х + 2 > 3.
Ответ: 2<х<7.
Урок 16
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа.
Работа выполняется в трех уровнях: первый уровень содержит
5 уравнений, которые учащиеся решают самостоятельно, и еще
3 уравнения, при решении которых учащиеся могут проконсульти-
роваться у учителя. Задания второго и третьего уровня учащиеся
выполняют без помощи учителя, причем в третьем уровне (для бо-
лее сильных учащихся) предлагается исследовательская работа.
Первый уровень
Решите уравнения
Вариант I	Вариант II
1)	Vx = 4 2)	Vx+ 16 = 0 3)	х - Vx - 6 = 0	1)	Vx = 7 2)	25+Vx = 0 3)	7 Vx - 2х +15 = 0
4) 7х2 + х-2 = 2 5) х/7х +1 = 2х/х + 4	4) 7x2+3x + 5 = 3 5) х/5х-1 = х/Зх + 19
55
6)	Vx + 2—7=2== 1 v х + 2 7)	х2-4х =3д/х2 -4х + 20 - 10 8)	Решите уравнение при любом	6) Юл/х2 х 1+ ,	-	13 ух2 —х —1 7) л/Зх-1 -л/х + 2 =1 а: л/х-а = 1 -х
Второй уровень
Решите уравнения
Вариант I	Вариант II
1)	Vx + l = 3 2)	->/2х + 3 = х 3)	7-4х2-16 = 2 4)х + 1 =>/8-4х 5)	V2x +л/х-3 =-1 6)	л/х+ 17-л/х +1 = 2 7)	л/1-2х -V13 + X =Vx + 4 8)	л/3-х -л/х + 4 =>/б 9)	л/5 + a/x-I =3 10)	д/л/х + 13 =л/17-3-/х	1)	V3X-1 = 1,2 2)	л/б - х = х 3)	л/2х + 3+л/3 = 0 4)	^4х2 -9х + 2 = х-2 5)	7-Зх-х2 =9 6)	л/х +13 -л/х +1 = 2 7)	л/Зх + 4 + д/х-4 = '1у[х 8)	д/4 + х- д/5-х = 2^2 9)	л/7-^/x + l =2 10)	л/17 + Vx =л/20-27х
Вариант III	Вариант IV
1)	л/2х+ 3+ л/х-3 = 0 2)	V2x-7x = -52 3)^2х + 7 +д/3х-18 =V7x+ 1 4)	х(х + 1) + Зл/ 2х2 + 6х + 5 = = 25 - 2х 5)	7х2 +4х + 4- -Л2 -12х + 36 = 8 6)	х2-8(х+ 1) Vx+ 18х+ 1=0	1)	л/х + 2+ ^/х -1= —2 2)	2x+V4x-8=- 3)	+ д/х + 3= . 7 х/х-3	д/х-3 4)	Vx + д/х + 7 +2д/х2 + 7х = = 35 - 2х 5)	7х2 +4х + 4 + + 7х2 - 12х + 36 = 16 6)	 -\/х + л/бх-9 +-\/х-л/бх-9 =>/б
56
Третий уровень.
Исследовательская работа.
Исследование уравнения х + д/х(а + х) = 1.
1.	Решение «в лоб».
1)	Решите уравнение при а = -5.
2)	Приведите уравнение к равносильному ему квадратному
уравнению (с ограничением на х).
3)	Надо ли проверять, что корни полученного квадратного урав-
нения лежат в ОДЗ исходного уравнения?
4)	При каких значениях а корни полученного квадратного урав-
нения (без учета ограничения на х) вещественные?
5)	Решите уравнение при тех значениях а, при которых корни
квадратного уравнения совпадают.
6)	Пусть х+ и х _ - корни данного квадратного уравнения (ин-
дексы + и - соответствуют выбору знака перед радикалом). При
каких значениях а корень х+ < 1 ?
7)	При каких значениях а корень х_ > 1?
8)	Составьте таблицу, показывающую, сколько корней (и какие
из них, то есть х+ или х _) имеет исходное уравнение при каждом
значении а.
2.	Параметр а как функция переменной х.
1)	Выразите из уравнения а как функцию переменной х. Какова
область определения этой функции?
2)	Постройте график а как функции х. Найдите экстремумы
функции. Найдите область значений функции а.
3)	По графику функции а определите число корней исходного
уравнения в зависимости от а.
4)	Составьте таблицу, показывающую, сколько корней имеет
исходное уравнение при каждом значении а.
5)	Какие целые числа могут быть корнями исходного уравнения
при каких-либо значениях а?
6)	При каких целых значениях а хотя бы один из корней исходного
уравнения целый? Будет ли при этом второй корень также целым?
7)	Как использовать полученные результаты для решения урав-
нения ^/х(а - х) = 1 + х?
3.	Поведение графика функции в зависимости от а.
1)Убедитесь в том, что график функции у =Л/х(а - х) является
полуокружностью. Укажите ее центр и радиус.
57
2)	Постройте графики функции у = л/х(а - х) при а =-^, 1,2,
-2, -4.
3)	При каких значениях а прямая у = 1 - х касается графика
функции у - д/х(а - х) ? Найдите координаты точек касания.
4)	По графику определите число корней исходного уравнения в
зависимости от а.
5)	Составьте таблицу, показывающую, сколько корней имеет
исходное уравнение при каждом значении а.
6)	Как использовать полученные результаты для решения урав-
нения д/х(а - х) = 1 + х?
III. Домашнее задание: на дом предлагаются карточки (на два
варианта) с выбором ответа.
КАРТОЧКА № 1
Решите уравнение:
1)	(х2 + 4)VxTT = О
2)	л/2х -6 + л/х + 4 = 5
3)	л/х +1 -1 =7х - Vx + 8
4)	^2х2 +8х + 7-х = 2
5)	(х + 1) л/х2 +х-2 = 2х +2
А. -2. Б. -5. В. -3. Г. 0. Д. -1. Е. 5. Ж. 8. 3. 2. И. Нет решений.
КАРТОЧКА № 2
Решите уравнение:
1)х+д/2х2-7х + 5 = 1
2)	л/х + 2 - ^/х -1 = л/2х -3
3)	л/2х + 5 -л/Зх -5 = 2
4)	хл/36х +1261 = 18х2- 17х
58
5)	у4-6х-х2 =x + 4
A. -3. Б. -2. В. -1. Г. 0. Д. 1. E. 2. Ж. 3. 3. 5. И. Нет решений.
Ответы. Карточка № 1:
1)3; Д
2) Е
3)Ж
4)Д
5) В; 3.
Карточка № 2:
1)Д
2)Е
3)	Е
4)	Г; Ж
5)	В.
§ 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение иррационального неравенства, алгоритм ре-
шения этого неравенства; уметь решать иррациональные неравен-
ства по алгоритму, а также с помощью графиков.
Урок 17
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
1.	Решить уравнение:
а) д/х -1 = 3; б) >/х + 5 =д/2х -Т.
2.	Найти ОДЗ неравенства:
a) < 3; б) Jx'(x~52 < 3.
V 7-х
3.	Укажите, какой функции:
а) у = Vx ; б) у = >/х + 3 ; в) у =Vx-3 ; г) у = Vx +3
соответствует график:
III. Теоретическая часть.
1. Ввести определение иррационального неравенства.
59
f(x) > (g(x))2,
g(x) > 0
f(x) > 0
g(x) < 0
f(x) < (g(x))2,
4. Чтобы решить неравенство д/Дх) < g(x) графически, нужно на
одном рисунке построить графики функций у = д/Г(х) и у = g(x) и
выяснить, при каких значениях х точки графика функции у = д/Дх)
лежат ниже точек графика функции у = g(x).
IV. Практическая часть.
№ 166 (3, 5, 6) - на доске по очереди.
Ответ:3)х>1;5)х>^;6)0<х<2.
№167(1)-под диктовку.
№167(3)-за доской.
Ответ: 1) х > 11; 3)-22 < х < 3.
№170 (1,3)- на доске по желанию.
№ 170 (5) - учитель показывает на доске решение.
л/5х + 11 > х + 3
 5х + 11 > (х + З)2
х + 3>0
5х+11>0	<=>
•' х + 3 <0
х2 + х - 2 < 0
х2 + х - 2 = 0
Д=1+8=9
V — 1 — 3	П „ 1
Xi -	-—- -Z, х2 - 1
Решение первой системы:
60
Решение второй системы:
777/// '7///Т7 *
-3	-2,2	нет решений.
Ответ:-2<х< 1.
№ 172 (1) - учитель показывает на доске решение:	> х.
Построим графики функций у = Vx и у = х в одной системе ко-
ординат.
График функции у = Vx лежит выше графика функции у = х при
0<х< 1.
Ответ:0 < х < 1.
№ 172 (4) - на доске по желанию.
Ответ:х>4.
V.	Домашнее задание: № 166 (2, 4), № 167 (2, 4), № 170 (4, 6),
№ 172 (2, 3).
VI.	Итог урока. Объясните алгоритм решения иррационального
неравенства.
Урок 18
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа (5-10 мин).
Решите неравенства.
Вариант I
1)	дЛГ (х- 1)<о
2)	Vx+5<2
3)	Vx -1 < V5 - х
Вариант П
1)	хл/х -3 > О
2)	д/2^х <3
3)	х + Vx-3 < О
Ответ: В-1 1) 0 < х < 1; 2) -5 < х <-1; 3) 1 < х < 3.
В-П 1) х > 3; 2) -7 < х < 2; 3) 3 < х < 4, х > 7.
61
III. Повторение.
1. Какая функция называется степенной!
2. Какой функции соответствует график?
в) у = х 4
О т в е т: а) - 6; б) -5; в) -2; г) -1; д) -4; е) -3; ж) -7.
3. Изобразите схематически график функции и найдите ее об-
ласть определения и область значений:
а) у = (х - 2)3; б) у = (х - 2)2; в) у =— +1; г) у = Vx + 2 - 3 ;
х3
Д)У=—+ 2.
х2
4. Какая функция называется обратной! Какие функции явля-
ются взаимно обратными? Как найти функцию, обратную данной?
Что вы можете сказать о графиках взаимно обратных функций?
№180(2, 3)-на доске по желанию.
№181-самостоятельно по вариантам.
№ 185 (1, 3)-под диктовку.
№186(1)-учитель с классом.
62
№ 186 (2, 3, 4)-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) у = х2 - 4х +2 , х > 2, у > -2.
2)	у = х2 - 4х, х < 2, у > -4.
3)	у = -х2 - 2х + 2, х > -1, у < 3.
4)	у = 6х - х2 - 8, х > 3, у < 1.
5.	Повторить алгоритм решения иррационального уравнения.
6.	№187- работа в парах (первая парта решает первое
уравнение, вторая - второе и т. д.)
Ответ: 1) нет решений; 2) х = 1; 3) нет решений; 4) х = 0.
IV.	Домашнее задание: № 185 (2), задание в рамочке «Проверь
себя».
V.	Итог урока. Провести самоанализ знаний и навыков.
VI.	Дополнительное задание.
1)	д/х2 -5х + 6 • (х2-2х-1) = 0
Решение.
ОДЗ уравнения: x2-5x + 6>0<=>xg (-оо; 2] о [3; +оо)
х2 - 5х + 6 = 0 или х2 - 2х -1 = 0
х = 2 или х = 3 х = 1 + V2 или х = 1 - V2
1 + л/2 не является корнем уравнения.
Ответ: 2; 3; 1 -V2 .
2)	Vx+5-Vx = 1
Решение.
(л/х +5 - Vx)2 = 1
х + 5 + х - 2д/х(х + 5) = 1
2х + 4 = 2д/х(х + 5)
х + 2 =д/х(х + 5)
х2 + 4х + 4 = х2 + 5х
х = 4.
Ответ: 4.
3)	л/4х2-20х + 1 + 5х = х2 - 1
Решение.
д/4(х2 -5х) + 1 = (х2 - 5х) - 1.
63
Пусть у = х2 - 5х, тогда д/4у+ 1 = у - 1.
4у + 1 = у2 - 2у + 1
у2 - бу = О
у = О или у = 6
у = 0 не является корнем.
у = 6, то есть х2 - 5х = 6, х2 - 5х - 6 = О
х = - 1 илих = 6.
Ответ: -1; 6.
Урок 19
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Цель: проверка знаний, умений и навыков учащихся по изу-
ченной теме.
Вариант I
1.	Найдите область определения функции:
а) у = ^2х - х2 ; 6) у = —-—
(х + 5)3
4
2.	Постройте график функции у = (х +1)3 +1. Найдите ее об-
ласть определения и область значений.
3.	Найдите функцию, обратную к данной, ее область определе-
ния и область значений: у =Vx -3 .
4.	Решите уравнение:
а) л/5 -4х = 3,2; б) дМх2 -Зх-1 = х + 1.
5.	Решите неравенство д/2х-х2+1 > 2х - 3.
Вариант II
1.	Найдите область определения функции:
а) у = Vsx -2х2 ; б) у =--—.
(х-1)3
4
2.	Постройте график функции у =(х-1)3 - 2. Найдите ее об-
ласть определения и область значений.
64
3.	Найдите функцию, обратную к данной, ее область определе-
ния и область значений: у = Vx + 2 .
4.	Решите уравнение:
а) л/2х- 3 = 1,6; б) д/зх* 2 3 +5х + 8 = 3 + х.
5.	Решите неравенство ^2х2 + х < 1 + 2х.
Ответы к контрольной работе.
Вариант I
1. а) 0 < х < 2; б) х #-5.
Д(у) = [-1; +00)
Е(у) = [1;+оо)
-1 О
3. Обратная функция у = х4 5 + 3. Д(у) = [0; +оо)
Е(у) = [3; +оо)
4. а) х = -1,31; б) X] =--|, х2 = 2.
5. j<x< 1 +V2 .
Вариант П
1. а) 0 < х < 2,5; б) х # 1.
Д(у) = [1;+оо)
Е(у) = [-2;+оо)
3. Обратная функция у = х4 - 2. Д(у) = [0; +оо)
Е(у) = [-2; +оо)
4. а) х = 2,78; б) Х] =-±, х2 = 1.
5. х<-1,х>0.
3 Григорьева
65
Глава III. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
§11. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА
И ГРАФИК
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение показательной функции, три основных свой-
ства показательной функции, уметь строить график показательной
функции.
Урок 20
Некоторые наиболее часто встре-
чающиеся виды трансцендентных
функций, прежде всего показатель-
ные, открывают доступ ко многим
исследованиям.
Л. Эйлер.
I. Организационный момент.
II. Анализ контрольной работы и работа над ошибками.
При проверке контрольной работы учитель делает ее анализ,
отмечая все ошибки и недочеты, допущенные учащимися. Опреде-
ляет наиболее часто встречающиеся ошибки. В соответствии с этим
выстраивает работу над ошибками: подготавливает карточки с ана-
логичными заданиями для индивидуальной работы, тест для фрон-
тальной работы (по наиболее типичным ошибкам). Например, уча-
щиеся испытывали затруднения с преобразованием графиков.
ТЕСТ
1. С помощью каких преобразований получается график функ-
ции у = f(x) из графика функции у = g(x), если:
a) f(x) = g(x) + 3
6)f(x) = g(x)-2
B)f(x) = g(x+ 1)
г) f(x) = g(x - 5)
д) f(x) = 2g(x)
e)f(x)=^
ж) f(x) = g(4x)
3)f(x)=g( -*• 1?
Ответ: параллельный перенос вдоль:
а) оси Оу вверх на 3 единицы;
б)	оси Оу вниз на 2 единицы;
в)	оси Ох влево на 1 единицу;
г)	оси Ох вправо на 5 единиц;
66
д)	растяжение вдоль оси Оу в 2 раза;
е)	сжатие вдоль оси Оу в 3 раза;
ж)	сжатие вдоль оси Ох в 4 раза;
з)	растяжение вдоль оси Ох в 2 раза.
2. Укажите, какой функции: а) у = (х - 2)2; б) у - х2 - 2;
в) у = (х + 2)2; г) у = (х - З)2 + 1; д) у = -х2 + 1; е) у = 4 - (х - З)2
соответствует график:
Объясните почему.
О т в е т: 1) - а); 2) - д); 3) - в); 4) - г); 5) - б); 6) - е).
К работе над ошибками нужно привлекать консультантов из
числа успевающих учеников.
III. Изучение нового материала.
1. Сравните формулы двух функций:
у = X2 и у = 2х.
Первая - степенная, вторая - показательная. Подумайте, по-
чему они так называются. Постройте их графики (показательную
по точкам).
0	X	——Лп	► \ 1 х ▼ II К) X
67
Попробуйте построить графики функции у = ах, если а = 3;-^;
1; -2. Сделайте вывод.
2. Функция вида у = ах, где а > 0, а # 1, называется показатель-
ной функцией. Она обладает следующими свойствами:
1)	Область определения - множество R всех действительных чи-
сел.
2)	Область значений - множество всех положительных чисел.
3)	Если а > 1, то показательная функция возрастает, если 0 < а < 1,
то убывает.
График показательной функции проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Ох.	*
а > 1
3. №193-на доске по желанию.
Ответ: 1) 1,7; 2) 2,1; 3)0,6; 4) 0,2.
№ 194(3,4)-за доской.
№ 195 - у с т н о .
О т в е т: 1) 1,73 > 1; 2) 0,32 < 1; 3) 3,215 < 3,216; 4) 0,2’3 > 0,2"2;
5) ( 5	5 )'4 ’ 6) 3" > З314’
IV. Домашнее задание: № 194 (1, 2), № 196.
V. Итог урока. Приведите пример показательной функции. Яв-
ляется ли функция у = (-2)х показательной? Почему?
Урок 21
I.	Организационный момент.
II.	Решение заданий.
№197(1)-учитель с классом.
№197(3)-на доске по желанию.
Ответ: 1) (3; 8); 3) 2; — .
68
№ 198 -устно.
Ответ: 1)-1; 2) 2; 3) -|;4) -|.
№ 199-устно.
Ответ: 1), 2), 4) - возрастает; 3) - убывает.
№ 200 (1) - у ч ител ь с классом.
№ 200 (2, 3,4)-самостоятел ьно по вариантам.
Ответ: 1)х<0;х>0;3)х> 1; 4) х <—1.
№ 202- устно (рассуждение).
№201 (1,3)-на доске по желанию.
№ 204 - учитель показывает на доске решение.
Построим график функции у = 21х1. По определению модуля
21х|
J 2х, если х > 0,
[ 2"х, если х < 0.
Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 1] равно 2; наи-
меньшее значение функции на отрезке [-1; 1] равно 1.
№ 205 - работа в группах.
Ответ:
№ 207- учитель с классом.
Ответ: 4,87-105 м3.
III.	Домашнее задание: № 197 (2,4), № 201 (2,4), № 206.
IV.	Итог урока.
V.	Дополнительное задание.
69
Практическая работа.
1.	Постройте на одном чертеже графики функций: у = ах,
у=(^ 4 ]Х,у = (4а)Х-
2.	Найдите области значений каждой из этих функций на данном
отрезке.
3*. На каком отрезке надо задавать функцию: а) у = ах;
б)у=^4 )х в> У = (4а)х, чтобы ее областью значений был данный
отрезок?
Вариант I	Вариант II	Вариант III	Вариант IV
1.а = 2 2. [-2; 3]	2.[1;2]	Н 2. [-3; 2] 3. а)[ —1 7 64 16 в) —;81 L 27 J	oi|cn II	. . 1	1	| СП ОО| СП <s ZL 'я" 1— 1 J 1	1 (N СП	Ю	QQ
Ответ: Вариант I: 2.
i512
64
Вариант II: 2.
Вариант III: 2.
3.9
.2’4
_9_.64 .	9 .4096 .
_9_.3
.64’8.
; [6; 36].
,	,	,--- , —;9 .
L 16 27 J L 256 27 J L 27 J
3.	[2; 3]; [0; 2.
Вариант IV: 2.
3. [0; 2];[0; 2];[1;2].
70
§ 12. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать вид показательных уравнений; знать алгоритм решения
показательных уравнений, уметь их решать, пользуясь алгоритмом.
Урок 22
I. Организационный момент.
II. Проверка знаний учащихся.
ДИКТАНТ
Вариант I [Вариант II]
1.	Запишите функции:
у = 4х; у = 3 - 2х; у	; у = 4“х; у = 5 - (0,1)х
[у = 3х; у = 2 -4х; у	J; у = 2”1; у = 4 - (0,2)х].
2.	Постройте схематично их графики.
3.	Выпишите убывающие [возрастающие] функции.
4.	Для каждой функции запишите множество значений.
5.	Определите для каждой функции точку пересечения с осью
ординат.
III. Изучение нового материала.
1. Показательное уравнение - это уравнение, в котором неиз-
вестное содержится в показателе степени.
2. Решение уравнений.
1) Если показательное уравнение сводится к виду
ax = ab (1)
где а > 0, а Ф 1, то оно имеет единственный корень х = Ь.
2) Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1),
необходимо в левой части уравнения вынести за скобки общий
множитель ах, например:
ах+1-ах-’=Ь,
7	1 ) U
ala — = b и т. д.
I aJ
71
или разделить обе части уравнения на выражение, не равное нулю,
например:
«х Ux
а = о
^=1
Ьх
/ \х
а )	1
- = 1 и т. д.
Ь I
к )
3)	Некоторые показательные уравнения заменой ах = t сводятся к
квадратным. Надо помнить, что t > 0, так как показательная функ-
ция не может принимать отрицательные значения.
4)	Графическое решение уравнений сводится к построению
графиков функций из левой и правой частей уравнения, отыска-
нию по рисунку примерного значения абсциссы точки пересече-
ния графиков. Если возможно, с помощью проверки уточняется
корень уравнения.
3.	№ 208 (1) - учитель показывает на доске решение:
4х-1 = 1
4х"1 = 4°
х- 1 =0
х = 1.
№208 (З)-на доске по желанию.
№ 208 (2, 4)- самостоятельно по вариантам.
Ответ:2) |;3) 2д/3 ; 4)
№209 (1)-учитель с классом.
№209(3)-на доске по желанию.
Ответ: 1)	3) -2.
№	214- самостоятел ьно по вариантам.
Ответ: 1)-4; 3; 2) 5; 2; 3) 3; 4) -|.
№250(1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) 1; 3)-1; 6.
IV.	Домашнее задание: № 209 (2,4), № 250 (2,4).
V.	Повторение.
№ 246 -устно.
Ответ: 1), 4) меньше; 2), 3) больше.
72
№ 247 -устно.
Ответ: 1), 2), 3) меньше 1; 4) больше 1.
№ 248 -устно.
Ответ: 1), 4) убывает; 2), 3) возрастает.
№249 (1)-учитель с классом.
№249 (2)- под диктовку.
Ответ: 1)
|;25 ; 2)
25;5
VI.	Итог урока.
Урок 23
I.	Организационный момент.
II.	Решение уравнений.
№ 210 (1)-учитель с классом.
№210 (2)-устно.
№ 210 (3,4, 5, 6)- самостоятел ьно по вариантам.
Ответ: 1) 1,5; 2) 2,5; 3) 0,75; 4) 9; 5) 8; 6) 0,4.
№211 (1)-учитель с классом.
№211(3)-на доске по желанию.
Ответ: 1) 2; 3) 3.
№215-работа в группах.
Ответ: 1) 1; 2)-3; 1; 3) 6; 4) -3;
№ 216 (1, 3, 5) - по д диктовку.
Ответ: 1) |; 3)-3,5; 3,5; 5)0; 1,5.
№217-работа в группах.
Ответ: 1) -|; 1; 2)-0,2; 0,3; 3) -1-1-;0;4)4.
№218(1)-на доске по желанию.
№218 (2)-учитель с классом.
№ 218 (3, 4)- самостоятельно.
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 1;4) 2.
III	. Домашнее задание: № 211 (2, 4), № 216 (2, 4, 6), трена-
жер № 3.
73
IV	. Дополнительное задание.
№251-на доске по очереди.
Ответ: 1)4; 2)0; 3) 1;4)2.
№258-индивидуально по желанию.
Решение.
х - 2х2 + 24 = 9
2х2-х- 15 = 0
х = -2,5 или х = 3.
Ответ: -2,5; 3.
/	5 _
2) 16 ¥0,25 4 =2а/х + 1
х - 4 = 4^/x + l
х2-8х+ 16= 16(х+ 1)
х2 - 24х = 0
х(х - 24) = 0
х = 0 или х = 24
74
х = 0 - посторонний корень.
О т в е т: 24.
Урок 24
I. Организационный момент.
II. Проверка знаний.
ТЕСТ
1. Сравните пик, если верно неравенство
А. п = к
Б. п > к В. п < к Г. Нельзя определить.
2. Решите уравнение
А. х = 3 Б. х = -3 В. х=у
Г. х =
А. х = 3 Б. х = 4 В. х=3— Г. х = -3.
7
5. Решите уравнение
А. х = 0 Б. х = 0их = 2 В. х = 2 Г. х = 0их=1
Ответ:ВГГАВ.
III.	Решение уравнений.
№212 (З)-учитель с классом.
75
№212(1)-на доске по желанию.
№ 212 (2, 4) - под диктовку.
Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.
№ 213 (1)-учител ь с классом.
№213(3)-за доской.
Ответ: 1) 0; 1); 3) 0; 1.
№219-на доске по очереди.
Ответ: 1)2; 2) 3; 3)-2; 4) 3.
№222 (1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) 1; 3) 2.
№ 225 (1)-учитель с классом.
№225(3)-за доской.
Ответ: 1) -3; 3) 0; .
№ 252 (3) - у чител ь с классом.
№252(1)-под диктовку.
IV.	Домашнее задание: № 213 (2, 4), № 222 (2, 4), № 225 (2, 4),
№ 252 (2, 4).
V.	Итог урока. Самоанализ знаний и навыков.
VI.	Дополнительное задание.
№	255 - учитель на доске показывает решение: у = 2х при х = 1,
2,3, ...
Последовательность является геометрической, если для всех на-
туральных n > 1 выполняется равенство bn = bn_i • bn+i.
Если n = 2, то (22)2 = 21 • 23.
16 = 2  8
16 = 16 - верно.
Пусть для n = к утверждение верно. Докажем это утверждение
для n = k + 1.
(2к+|)2 = 2к • 2к+2
22к+2 _	. 2к+2
22к+2 = 22к+2 _ верно
Утверждение доказано методом математической индукции.
76
§ 13. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение и вид показательных неравенств, алгоритм
решения, уметь решать показательные неравенства по алгоритму.
Урок 25
I. Организационный момент.
Собрать тренажеры.
П. Диктант.
Вариант I [Вариант II]
з
2 4
з
1. Имеет ли смысл выражение (-2)4
?
2. Запишите числа в порядке возрастания:
3. Решите уравнение:
32х"' = 1	[6tX-,)(Х + 2) = 1]
III. Изучение нового материала.
1.	Показательное неравенство - это неравенство, содержащее
неизвестное в показателе степени.
2.	Решение неравенств.
а)	Решение показательных неравенств часто сводится к реше-
нию неравенства
ах > аь (ах < аь).
Если а > 1, то функция у = ах возрастает, и х > b (х < Ь).
Если 0 < а < 1, то функция у = ах убывает, и х < b (х > Ь).
б)	Некоторые показательные неравенства заменой ах = t сводятся
к квадратным неравенствам, которые решают, учитывая, что t > 0.
в)	Графическое решение неравенства сводится к построению
графиков функций из левой и правой частей неравенства. На ин-
тервале I большие (меньшие) значения принимает та функция, гра-
фик которой расположен выше (ниже) графика другой функции.
77
3.	№ 228 (1, 2, 3, 5) - на доске по очереди.
Запись решения:
1)	3х > 9
3х > з2.
Так как функция у = 3х возрастает, то х > 2.
Ответ: 1) х > 2; 2) х < 2; 3) х >	; 5) х >--j.
№229 (1,3)-за доской.
Ответ: 1)х<1,5;3)х< -2, х > 2.
№232-работа в группах.
Ответ: 1)х< 1;2)х> 1; 3) х > 4,5; 4) х < 1.
№ 233 (1) - у чител ь с классом.
№233 (3)-на доске по желанию.
№ 233 (2, 4)-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1)х> 1; 2; 3; 2) х < 2;-3;-2;-1; 0; 1; 3) х >-1; 0; 1; 2;
3; 4) х <-1; -3; -2.
№ 239 (1) - учитель показывает на доске реше-
ние:
0,4х-2,5х+| > 1,5
Пусть
(у ) = t, где t > 0, тогда
1,5
2 t
2t2-5 3
2t 2
2t2-3t-5 > 0
2t
(2t - 5)(t +1) Q
2t
— 1 <t<0nt>2, 5.
Учитывая, что t > 0, имеем:
t>2,5
78
Так как функция у =1 у
Ответ: х <-1.
убывает, то х < -1.
№ 239 (2, 3, 4) - работа в группах.
Ответ:2)-2<х<1;3)х>1;4) - < х < 2.
IV.	Домашнее задание: № 228 (4, 6), № 229 (2, 4), № 253 (2, 4).
Тренажер № 4.
V.	Итог урока. Объясните алгоритм решения показательного
неравенства. На что нужно обращать особое внимание?
VI.	Дополнительное задание.
№ 253 (1,2)- самостоятельно.
Ответ: 1) х >4; 3) х <-3 и х > 1.
№ 261 - индивидуально по желанию.
Решение.
х -3
1) 8,4х +1< 8,4°. Так как функция у = 8,4' возрастает, то
—	<0. Выражение х2 + 1 > 0 для любого действительного х,
х2 +1
значит, х -3 < 0; х < 3.
Ответ:х<3.
2) 2х2 -5х2< КГ3(103-х
10х2 < Ю’3+6~2х
10х2 < 103"2х
79
Так как функция у = 10‘ возрастает, то х2 < 3 - 2х
х2 + 2х - 3 < 0; (х - 1)(х + 3) < О
Ответ:-3<х< 1.
3) 4х-2-'+8<8
—----• 2 +8 < 23х; так как 2-2 х > 0 для любого х, то
2-2‘х
22х - 2'2Х + 8 < 23х  2  2’х
22х - 2-2х + 8 < 2 • 22х
-22х - 2-2х + 8 < 0. Пусть 2х = t, где t > 0, тогда
-t2 - 2t + 8 < 0; t2 + 2t - 8 > 0; (t - 2)(t + 4) > 0
-4 0 2
t > 2, 2х > 2.
Так как функция у = 2х возрастает, то х > 1.
Ответ:х> 1.
4) —-—<-------; так как 3х + 5 > 0, то и 3X+1 - 1 > 0.
Зх+5 Зх + |-1
’3х + 5 > 3X+1 - 1 ГЗХ + 5 > 3-3Х - 1	Г-2-Зх>-6
.Зх+1-1>0	~1з- >1 ^tx+^O
3х < 3 так как функция у = 3х возрастает, то Гх < 1
,х>-Г	[х>-1
Ответ: - 1 < х < 1.
§ 14. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать способ подстановки решения систем уравнений, умет
решать системы показательных уравнений и неравенств.
80
Урок 26
I. Организационный момент.
II. Повторение и закрепление знаний.
Некоторые учащиеся работают по карточкам (на отметку). Ос-
тальные выполняют самостоятельно задания из рамочки «Проверь
себя», с последующей устной проверкой.
КАРТОЧКА № 1
1.	Изобразите схематический график функции у = 4х, опишите
ее свойства.
2.	Сравните числа:
а) 1,73 и 1,75; б) 11 ] и! | j ; в) 5-0’5 и 5’3’2.
3.	Решите уравнение:
а) 3х’2 = 3; б) 3х-2 + Зх+1 = 28; в) 9х - 6-Зх -27 = 0.
Ответ:
/ \2 Z \7
2. а) 1,73 < 1,75; б) |	| ; в) 5^'5 > 5“3’2.
3. а) х = 3; б) х = 2; в) х = 2.
КАРТОЧКА № 2
1. Решите уравнение:
а) 0,5х =|; б) 25-5х = 1; в) 4х = 9х
2. Решите неравенство:
а) 0,7х < 0,49; б) 9х - 4 • 3х + 3 > 0.
Ответ: 1. а)х= 1; б)х = -2; в) х = 0. 2. а) х > 2; б) х< 0, х>1.
КАРТОЧКА №3
1. Решите уравнение:
а) 3х’ "1 = J Х; б) 4х - Зх+2 = 7-Зх - 8-22х
2. Решите неравенство:
4Х + ПЙ * Х-82>0.
I2 )
Ответ: 1. a) Xi =-1, х2 = 0, х3 = 1; б)х = 2. 2. х > 1.
81
III.	Изучение нового материала.
1.	Повторить алгоритм решения системы уравнений способом
подстановки, способом сложения.
2.	Определить, какие из систем уравнений (№ 240-243) решают-
ся способом подстановки, какие - способом сложения.
Решить № 240 (1) способом подстановки, № 242 (1) - способом
сложения.
Ответ: 240 (1) х = 1, у = 1.
242 (1) х = 2, у = 1.
3.	№ 241. Система показательных уравнений сводится к системе
линейных уравнений. Учитель показывает начало решения
№241 (1):
Г4Х-2У = 32	Г 22х - 2У = 25
1	— З3у	138хИ — з3у
Г2х + у = 5
[8х+ 1 =3у
Далее учащиеся решают самостоятельно.
Ответ:х = 1,у = 3.
4.	№ 243 (1, 3, 5) - учитель начинает решение, учащиеся про-
должают.
1) f5x-5y= 100
5х’1 + 5У"’= 30
5Х-5У= 100
|(5х+5у)=30.
Г5Х — 5У = 100
^|5Х + 5У= 150.
Затем - способ сложения.
3) Г16у- 16х = 24	Г16у-16х = 24
116х+у = 256	116х- 16у = 256.
Пусть а = 16У, b = 16х, тогда Г а - b = 24
tab = 256.
Затем - способ подстановки.
5)/5х+|  Зу = 75
.3х • 5у_| = 3
/5-5х-Зу = 75
.3х • 5У: 5 = 3
Г5Х-3У= 15
1зх-5у= 15
Перемножим уравнения системы:
5х  Зу  3х • 5У = 15 • 15
15х+у= 152
82
IV.	Домашнее задание: № 240 (2), № 241 (2), № 242 (2),
№ 243 (2,4, 6).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 244, № 245 - для сильных учащихся. Возможна работа в
группах (парах), а также консультация учителя.
№ 244.
Решение.
1) [52х+| > 625,
52х+1 > 54,
-6х2 - 10х = 9х- 15
2х + 1 > 4
6х2- 19х+ 15 = 0
3,7х =3,74
Г 10х2 - 37х + 7 = 0
|_(х - )(х + 2) < 0
х = 0,2.
О т в е т: х = 0,2.
№ 245. Решение.
1) Г(5Х)У = 52'
• 5х • 5У = 5'°
• 3Х>3У
х > 1,5
6(х-1,5)(х-|) = 0;х = |
10х2-47х = -10х-7
х2<4;
10(х-3,5)(х - 0,2) = О
(х - 2)(х + 2) < 0.
-ЧНННННР—»-
-2 0,2 2 3,5
Решениями системы Гху = 21
ху = 21
• х + у= 10
.х > у
являются
„х + у = 10
х=1,у = 9их = 9, у = 1. Условию х > у удовлетворяет пара х = 9 и
у= 1.
Ответ:х = 9, у = 1.
2) Г(0,2у)х = 0,008
(0,4)у = 0,43,5-х
0,2ху = 0,23
у = 3,5-х
2х • 0,5у < 1
ху = 3
у = 3,5 - х
2Х-У < 2°;
'ху = 3
- у = 3,5-х
х-у <0
Решениями системы Г3,5х -х2 -3 = 0
1у = 3,5 - х
являются пары чисел (2; 1,5) и (1,5; 2). Условию х < у удовлетворя-
ет пара (1,5; 2).
Ответ: х = 1,5; у = 2.
Урок 27
I.	Организационный момент.
II.	Проверка знаний учащихся.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (15-20 мин)
Вариант I
Вариант II
1. Изобразите схематически график функции:
У = 2,3х	У = 0,7х
2. Сравните числа: б^иб^2 3. Решите уравнение:	2'^и2-^
/	\2х + 3 (1) =« = 4. Решите неравенство:	9х = 27
4°’5х2-3>8	д°.5х - з < 27
84
5. Решите систему уравнений:
Зх-Зу=8|
.3х • Зу = 3
2х + Зу = 17
2х+|-2-Зу = -2
III.	Решение заданий.
№ 230 (1)-учитель с классом.
№ 230 (3)- самостоятельно.
Ответ: 1) х = 0; 3) х = -2.
№237-работа в группах.
Ответ: 1) Xi г 0,6; х2 = -2,9; 2) х «0,5; 3)х = -1;4)х= 1,1.
№ 236 (1)-учитель с классом.
№ 236 (2)- на доске по желанию.
Ответ: 1) х < 0; 3) х < 3.
№ 223 (1)-учитель с классом.
№ 223 (3, 5)- на доске по очереди.
Ответ: 1) -2; -1; 3) 0; 5) 1;2.
IV.	Домашнее задание: № 230 (2,4), № 236 (2,4), № 223 (2,4, 6).
V.	Итог урока.
VII. Дополнительное задание.
№ 259, 260- в группах (8 групп).
► Указание: № 259 (1). Привести степень к основанию 3,
вынести за скобки общий множитель (в левой части З3х~2, в правой
32х~2).
№ 259 (2). Перенести 2^ "1 в левую часть уравнения; общий
множитель 2^ *1 вынести за скобки.
№ 259 (3). Преобразовать к виду:
^.9>-9.3> + 3.3- = 4
 9х - 6 • 3х - 4 = 0.
Заменой t = 3х приведем к квадратному уравнению.
№ 259 (4). Преобразовать к виду:
4 4х- 16х + 4х+ 7 = 0.
4
Заменой t = 4х приведем к квадратному уравнению.
85
№ 260 (1). Вынести за скобки общий множитель 2х в левой час-
ти, 5х в правой части.
№ 260 (2). Привести к виду:
7х- 17 - 7х = 52х - 17 - 52х
7х- 16 = 52х- 16
7х = 25х и т. д.
№ 260 (3). Привести к виду:
2х2 -1(1 + 23) = Зх2 -1(1 + 3)
№ 260 (4). Привести к виду:
3.4х _ 6.4х+| _ _ 1.9х+2_L. 9х+1
4Х(3 - 6 • 4) = 9х -81-~9^
4х(-21) = 9х • (-31,5)
4 Г _ 31,5
9	21 ИТ Д’
Урок 28
I.	Организационный момент.
Собрать тренажеры.
II.	Анализ самостоятельной работы.
III.	Повторение изученного материала.
1)	Изобразить график показательной функции при а > 1 и при
0<а<1, перечислить ее свойства.
2)	Чем отличаются графики функций у = ах и у = а"х?
3)	Класс делится на 5 групп (с нарастанием сложности заданий).
Группа 1. Работа с графическим лото. Учащимся выдается
карта и набор карточек. Задание - определить, какой функции (на
карточках) соответствует график (на карте).
86
КАРТА
3) у = 2х - 1	7) у = 2~'х|
4)
8) у = 2х + 1
О т в е т: А. -2); В. -4); С. -3); D. -1); Е. -5); F. -9).
Группа II. Выполнить № 254.
Ответ: 1)-2; 2)-2,4; 2.
Группа III. Выполнить № 257.
О
м—►
1 2 х
87
Группа IV. Построить график функции у = 4х -2х+1.
Исследование:
1)	Исследуйте вспомогательную функцию g(t) = t2 -2t при t > О,
определив:
а) промежутки постоянного знака;
б)корни;
в)область значений;
г) промежутки монотонности.
2)	Исследуйте данную функцию, используя результаты преды-
дущего пункта.
3)	Постройте график функции у = 4х -2х'1.
Группа V. Исследовательская работа.
9х
Функция f(x) = —^—.
4х +1
I)	Выразите f(x) как функцию от t, где t = 2х.
2)	Исследуйте вспомогательную функцию у = —-— при t > 0.
*2 , 1
3)	Найдите область значений функции у = f(x).
4)	Постройте график функции у = f(x).
о
5)	Решите уравнение f(x) =у.
6)	Решите неравенство f(x) <уу.
7)	При каких значениях а уравнение f(x) = а имеет 2 корня?
Ответ: 1) f(t) = —-— .
л . 1
2) D(f); t > 0; корней нет; у > 0 при t > 0.
3) (0; 0,5].
88
4)
5)	X] = 1, х2 = —1.
6)	х < -2, х > 2.
7)	а е (0; 0,5).
Каждая группа отчитывается о своей работе.
4.	№262(1)-на доске по желанию.
Ответ: (12; 5).
№ 264 (2, 3,4) - каждое из этих уравнений следует разде:
3)-на 10х; 2)-на З2 -22 ; 4) - на 12х.
Решение уравнения 3) учитель показывает на доске:
2 • 4х - 3 • 10х - 5 • 25х = 0
Пусть t =( у
где t > 0, тогда
2t-3-5 1 = 0
t
2t2-3t-5 = 0
Д = 9 + 40 = 49.
t _3 + 7 _5

не удовлетворяет условию t > 0.
(2Y-5. (2Y_(2Y'.x= ,
(5 J ~2’ (5 J "1^5 J ’ b
Ответ: x = -1.
№265 (1)-на доске по желанию.
Ответ: 0 <х < 4.
89
№ 265 (3) - учитель показывает решение на
доске:
21 х—21 > у| I хт 11
21 х-21 j21 х+11
|х-2|>2|х + 1 | 1) х <-1	2)-1 <х<2	3)х>2
2 - х > -2х -2	2 - х > 2х + 2	х - 2 > 2х + 2
-х + 2х > -2 - 2	-х - 2х > 2 - 2	х - 2х > 2 + 2
х >-4	-Зх > 0	-х >4
	х<0 Н;0)	х < —4 нет решений
Объединяя решения всех трех случаев, получим решение данно-
го неравенства: (-4; 0).
Ответ:-4<х<0.
IV.	Домашнее задание: № 262 (2), № 264 (2,4), № 265 (2,4).
V.	Итог урока. Учащиеся сами анализируют свои работы.
VI.	Дополнительное задание.
№ 263 -индивидуально.
1)у = 2х+|х|
Раскроем модуль.
2хт1х1_ ]22х, если х> 0
12°, если х < 0.
Итак, если х > 0, то у = 4х; если х < 0, то у = 1.
нижней полуплоскости относительно оси Ох.
Раскроем модуль.
f3x — 3, если х > 0,
/ у
14-1—3, если х < 0.
90
у= |з|х|-3|
Урок 29
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Цель: проверка знаний, умений и навыков учащихся по изу-
ченной теме.
Вариант I [Вариант II]
1.	Изобразите схематически график функции у = 0,5х [у = 1,5х] и
опишите по графику ее свойства.
2.	Сравните числа:
а)3^и3^;	[а) 3я и З3,14;
fiY^3	fiV3
б)	I i I и| i I 6) J и | ].
^2 J ^2 J I3 J I3 J
3.	Решите уравнение:
a)273x=|; [a)f^j =5];
6)	52x+1 - 5х = 4. [6) 72x+1 - 7х = 0].
4.	Решите неравенство:
2,7х2 + 4 > 2,7х [ 0,3х2 + 6х £ 0,3х].
5.	Решите графически уравнение:
2х = -2х + 3
91
Ответы к контрольной работе.
Вариант I
Д(у) = и
Е(у) = (0; +со)
Убывает на всей области определения.
Г Г /1 V Vs /, \-
2.	a) 3^<3V3;6)|lj >Ц1 .
3.	а) х = -^; б) х = 0.
4.	х - любое действительное число.
Вариант II
Д(у) = и
Е(у) = (0;+со)
Возрастает на всей области определения.
/1 v/2 / v/з
2.	а) 3я > З314; б) |	> U-
|^3 )	^3 )
3.	а) х = -^; б) х = -1.
4.	-5 < х < 0
5.хг-О,8.
92
Глава IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
§ 15. ЛОГАРИФМЫ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение логарифма числа, основное логарифмическое
тождество; уметь выполнять преобразования выражений, содер-
жащих логарифмы.
Урок 30
Изобретение логарифмов, сократив
работу астронома, продлило ему
жизнь.
П.-С. Лаплас
I. Организационный момент.
II. Анализ контрольной работы и работа над ошибками.
Учитель выполняет анализ контрольной работы по пунктам:
1)	умеет строить схематический график функции у = ах при а>1
и при 0 < а < 1;
2)	знает свойства показательной функции;
3)	умеет применять свойство возрастания (убывания) функции
при сравнении чисел;
4)	умеет записывать число в виде степени с нужным основа-
нием.
Знает алгоритм решения:
5)	- простейшего показательного уравнения;
6)	- показательного уравнения, сводящегося к квадратному;
7)	- показательного неравенства;
8)	- графического решения уравнения;
9)	вычислительные навыки.
Затем заполняется таблица:
№ пп	Ф.И. учащегося	ЗУН учащегося									
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	Отметка
1	Алексеев	+	+	+	+	+	+	+	+	+	5
2	Борисов	+	+	+	+	+	+	+	—	+	4
3	Волков...	+	+	—	+	+	—	—	—	—	2
93
Учитель делает обобщающий вывод и соответственно выстраи-
вает работу над ошибками, подобрав задания, аналогичные тем, в
которых были допущены ошибки. К работе над ошибками следует
привлекать консультантов из числа успевающих учеников, тогда
работа пройдет слаженно, быстро, никто не будет сидеть без дела.
Ш. Изучение новой темы.
Как уже известно, уравнение а” = Ь, где а > 0, а 1, b > 0, име-
ет единственный корень. Этот корень называют логарифмом
числа b по основанию а.
х = logab
То есть это показатель степени, в которую надо возвести чис-
ло а, чтобы получить число Ь.
№267-270- устно по очереди.
Ответ:
№267. 1)4; 2) 6; 3) 1;4) 0.
№268. 1) -1; 2) -3; 3)|;4) -|.
№269. 1)3; 2) 4; 3) 1; 4) 0.
№270. 1)-2; 2) -1; зД; 4) -1
4	4
№ 271 (1, 3, 5), 272 (1, 3), 273 (1, 3) - под диктовку по
очереди.
Ответ:
№271. 1)5; 3)3; 5) 0.
№271. 1)4; 3)-2.
№273. 1) -3; 3) 3.
№279 (3,4)-на доске по желанию.
Ответ: 3) 2,5; 4) -1у .
№281 -работа в группах.
Ответ: 1)2; 2) 1;3)^;4) |;5)2.
3	6
IV. Домашнее задание: № 271 (2,4, 6), № 272 (2,4), № 273 (2,4),
№ 279 (1, 2).
V. Итог урока.
1. Дать определение логарифма числа b по основанию а.
2. Может ли а равняться 3; -4; 1; 0,5? Почему?
3. Может ли b равняться 7; -7
• 1-
’ 7 ’
1; 0? Почему?
94
Урок 31
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
1. Основное логарифмическое тождество а'°8,Ь= Ь, где а > О,
а 1, b > 0.
№ 274 -устно.
Ответ: 1) 18; 2) 16; 3) 2; 4) 6.
№ 275 (1) - учитель показывает решение на дос-
ке:
/	V
310g32	_ 25 = 32.
<	>
З^
№275-под диктовку.
Ответ: 36.
№276(1)-за доской.
№ 276 (3)- самостоятельно.
Ответ: 1) 125; 3)49.
№280-работа в группах.
Ответ: 1)625; 2) |; 3) З10; 4) 512; 5)200; 6)
2. Вспомнить определение логарифма.
Обратить еще раз внимание на то, что подлогарифмическое
выражение больше нуля, а основание логарифма больше нуля
и не равно единице.
В тетрадь по теории записать это определение в раздел «Выра-
жение имеет смысл» (см. урок 5).
№278(1)-под диктовку.
№278(3)-за доской.
№278 (5)- самостоятельно.
Ответ: 1) х < 4; 3) х <—; 5) нет таких значений.
№ 283 (1, 3), 284 (1, 3) - на доске по очереди.
Вспомнить метод интервалов и метод параболы (решение нера-
венств второй степени).
О т в е т: № 283 1) (-7; 7); 3) х - любое число.
№ 284 1) х < 1; 3) -3 < х < 0, х > 2.
95
№ 288 (1)-учитель с классом.
Решение.
logx(2x-l)
х > 0, х Ф 1 и 2х - 1 > 0, х > —.
2
Ответ: 1)	1) (1; оо).
3) Запишем определение логарифма в виде с = logab, если ас = Ь,
гдеЬ>0, а>0, а * 1.
Решить уравнение:
№ 277 (1) - устно.
№277(3)-под диктовку.
№ 277 (5)- самостоятельно.
Ответ: 1)216; 3)-3; 5) 5,5.
№282 (1)-устно.
№282 (З)-на доске по желанию.
Ответ: 1) х = 3; 3) х =5 8.
№285 (1)-устно.
№285(3)-под диктовку.
Ответ: 1) х = log25; 3) х =-^( log45 - 3).
№ 286 (3)-учитель показывает на доске реше-
ние:
8х+! _ 82х-1 = 30
1 >
Пусть t = 8х, тогда 8t --1 = 30
|t1 2-8t + 30 = 0
Д= 49
м 4
ti = 4, t2 = 60.
8х = 4, х = log84, х = -|.
96
8х - 60, х = log860.
о
Ответ: xi =у; х2 = log860.
№ 287- на отметку (для сильных учеников).
Решение.
1) (3х + 2Х)(3Х + 3  2х) = 8 • 6х
32х + 3 -,3х • 2х + 2х • Зх+ 3 • 22х- 8 • 6х = 0
32х - 4 • 6х + 3  22х = 0. Разделим на 6х.
/ _ \х
фо.
з
Пусть t=^^ ’ т0ГДа t - 4 + 3  | = 0
t2-4t + 3 = 0
д=1
ti = 1; ь = з.
f= 1,х = О
^J=3,x-logp.
Ответ: xi = 0; х2 = log33.
2
2) (3 • 5х + 2,5  Зх)(2 • 3х - 2 • 5х) = 8  15х.
6 • 5х • 3х - 6 • 52х + 5  32х - 5  3х • 5х - 8  15х = 0.
5 • 32х -6 • 52х - 7  15х = 0. Делим на 15х.
/ - \х / с V
-7 = 0.
5 
Пусть j = t, тогда 5t-6y-7 = 0
5t2-7t-6 = 0
Д = 49 + 120= 169.
♦ 7 + 13 9 t _ 3
4 Григорьева
97
J-2.^log,2.
Гз¥ з
I — I = - — - нет корней.
Ответ: x = log,2.
III.	Домашнее задание: № 278 (2, 4, 6), № 283 (2), № 284 (4),
№ 277 (4), № 282 (2), № 285 (4), № 286 (2).
IV.	Итог урока. Самоанализ (чему я научился на этом уроке?).
V.	Дополнительное задание.
№ 289-индивидуально.
Решение.
9х + 9а( 1 - а) • Зх~2 - а3 = 0.
9х + а(1 - а) • 3х’2 - а3 = 0.
Пусть t = 3х, где t > 0, тогда
t2 + (а - а2) • t - а3 = 0.
Д = (а - а2)2 - 4  (-а3) = а2 - 2а3 + а4 + 4а3 = а2 + 2а3 + а4 = а2(1 +
+ 2а + а2) = а2 • (1 + а)2; т. к. ^/д должен быть больше нуля, то а < -1
и а > 0.
-(a-a2) + -Ja^(14-a)^ -а + а2+ а(1 + а) 2а2 _ 2
11"	2	“	2	~~Т~а •
_ — (а — а ) — а (1 + а)2 _ — а + а2 — а(1 + а) — 2а_
h “	2	“	2	" ~2~ ~ ~а’
3х = а2, х = log3a2, если а 0.
3х = -а, х = log3(-a), если а < 0.
Ответ: Если а > 0. то х = log3a2;
если а < 0, то X! = log3a2, х2 = log3(-a).
98
§ 16. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать свойства логарифмов; уметь применять эти свойства при
преобразовании выражений, содержащих логарифмы.
Урок 32
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
Записать в тетрадь по теории.
Пусть а > 0, а 1, b > 0, с > 0, г g R, тогда справедливы фор-
мулы:
1.	10ga(bc) = logab + lOgaC.
2.	logaI - I = logab - lOgaC.
\C )
3.	10gabr = Г • lOgab.
4.	log b = - • logab.
а Г
5.	logaa= 1; logal =0.
6. logab =
1
logba
7.	Формула перехода к другому основанию:
logab =
l°gcb
logca
III.	Практическая часть.
№ 290 -устно.
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 2.
№ 291 (1, 3) - под диктовку.
Ответ: 1) 4; 3)-3.
№ 292 (1) - учите ль с классом.
№292 (З)-на доске по желанию.
№ 292 (4)- за доской.
7
Ответ: 1) у;
3)-5;4) -J.
О
99
№ 293 (1)-самостоятельно.
№293 (З)-на доске по желанию.
№ 293 (4)- под диктовку.
Ответ: 1) ; 3) -2; 4) -4.
№297- в группах.
2	~	1 A
Ответ: 1) x = a4 • b7; 2) x =—; 3) x = —; 4) x = a4 b7.
a2
b3
b5
№294 (1,3)-по очереди на доске.
Ответ: 1) 4; 3) тк
4	2
№ 296 (1, 3) - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) 1|; 3)
о 2
IV.	Домашнее задание: № 291 (2, 4), № 292 (2), № 293 (2),
№ 294 (4), № 296 (2, 4).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 295 - на доске по желанию.
Решение.
1) х = а3Ь2 д/с , logab - 3, logac = -2.
logaX = loga(a3b27c ) = logaa3 + logab2 + logaA/c = 31ogaa + 21ogab +
+ |logac = 3 + 2-3 + |-(-2) = 8.
2)x=^
c3
= logaa4 +logaVb- logaC3 = 41ogaa + |logac-
logaX = 10ga
c3
- 31ogac = 4 + | • 3 - 3 • (-2) = 4+1 + 6=11.
№300-работа в парах.
100
Решение.
1) log^50 = log , 50=21og350 = 21og3ly^ = 2(log3150-log33) =
з2
= 2(log3150 - log33) = 2(log3( 10 • 15) - 1) = 2(log310 + log315 - 1) =
= 2(b + a-l).
2) log41250=log 21250 =|log21250= 1 log2(54 *  2) = |(log254 +
2	2	2	2
+ log22) = 1 (41og25 + 1) = 1 (4a + 1) = 2a +1.
L	L	L
§ 17. ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать обозначение десятичного и натурального логарифмов; оз-
накомиться с таблицей Брадиса; уметь находить значения десятич-
ных и натуральных логарифмов по таблице Брадиса и с помощью
микрокалькулятора.
Урок 33
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа (5 мин).
Вариант I
1.	Прологарифмируйте по основанию 10 выражение 7a3Vb^ •
2.	Вычислите:
a) log3684 - log3614; б) log^r 12 - log29.
3. Найдите х, если log5x = 21og53 + log549 - -1 logs27.
&	j
Вариант II
1. Прологарифмируйте по основанию 2 выражение 16a6Vb\
2. Вычислите:
a) log4984 - log4912; б) log^ 18 - log34.
101
3.	Найдите х, если logvx = 21og75 + log736 - log7125.
Ответы: Вариант I. 1) lg7 + 31ga + у lgI b |;
2) a) 0,5; б) 4; 3)21.
Вариант II. 1)4 + 61og21 а | + 0,61og2b;
2) а) 0,5; б) 4; 3) 30.
III.	Изучение новой темы.
1.	Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10; пишут
Igb вместо logiob.
Натуральный логарифм - логарифм по основанию е, где е -
иррациональное число, е » 2,7. Пишут lnb вместо logeb.
2.	Вычислить с помощью микрокалькулятора: № 301 (1, 3),
№302(1,3).
Ответ: №301 1) 1,362; 3)-0,432.
№302 1) 4,395; 3)-1,772.
№ 303 (1) - учитель показывает на доске реше-
ние:
log725 =^«l,65.
№303(3)-на доске по желанию.
Ответ: -0,13.
№ 304 (1, 2, 3)-на доске по очереди.
Ответ: 1)0,8; 2) 1,3; 3)-6,16.
IV.	Домашнее задание: № 301 (2, 4), № 302 (2, 4), № 303 (2, 4),
№ 304 (4).
V.	Итог урока. В виде теста, с последующей проверкой и само-
оценкой.
ТЕСТ
Вычислить:	1	2	3	4	5
, 1п128 ’ 1п4	124	32	1п124	3,5	4
9 In 125 ’ 1п5	75	35	1п25	6	3
102
3. lg251g20 + 2(lg2)2	1	5	4	2	3
4. 10005 -	10	Tio	5	75	1
	10	Tio	5	30	Тзо
6. ю юо05189 -lg2	10,5	12,5	12	20,5	22,5
3-lg5 7. 5 ,g25	10>/2	72 5	V2 3	72 2	1 2
8. 0,llg0,1 - IO108"”4	6	7	8	10	15
Ответ: 45434513.
Решение. п.З) lg25lg20 + 2(lg2)2 = Ig251g(2-10) + 21g21g2 =
= Ig25(lg2 + 1) + Ig41g2 = lg25 • lg2 + Ig25 + Ig41g2 = Ig2(lg25 + lg4) +
+ Ig25 = lg2 • IglOO + Ig25 = 2 • lg2 + lg25 = lg4 + lg25 = IglOO = 2.
n. 4) iQQ05-'^- ЮР0’5 - 10 - 10 - 10 -Ю-s.
2—lg4 — lg4 10lg2
1UU 10 4	102
3 - 1g 5	3 1g 5	]	3	]
n. 7) 5 lg 25 =5lg 25 lg 25 = 53 '°825 '°' '°825 5 = 53 '°852 '°' 2 = 52 '°8’'°: 52 =
= 51085'0 2 :V5=102 :л/5=-^Д = 1072.
I J	V5
n. 8) 0,llg0‘-10lo8|“4= 10"1180,1 — lo'08,°24 =10lgl° -102l°8|°4 =
= 10-10lg2 = 10-2 = 8.
VI. Дополнительное задание.
№317-индивидуально на отметку.
Ответ: 1)2,718253965
2) 2,718278766
3)2,718281521
4) 2,718281796.
103
Урок 34
I. Организационный момент.
IL Решение заданий.
1. Вспомнить и записать на доске формулу перехода к другому
основанию.
№ 305 - на доске по очереди.
log3	log, 6	1	1°S7 О 1
Ответ: 1)	; 3) -J—; 4) --J; 5) —1—;
log75	log710	log72	log75	log710
6)rS-
l°g73
№ 306 (1)-самостоятельно.
Ответ: 25.
№314-на доске по очереди.
Решение.
log,2 log.3
1) •:—+ -—±7= log62 + log63 = log66 = 1.
log56 log46
2) log72 + —Ц
log57
• lg7 = (log72 + log75) • lg7 = log710 • lg7 =
=lg7lg7 = L
3) 21og23 = 21°g23 = 21°g23 = 21°g23 = 2
log49 log^,9 llog29 l°g23
2. Работа в группах на отметку. Учащиеся делятся на группы,
количество которых кратно 4 (по 2-3 человека). Отметку получает
группа, раньше других правильно выполнившая свой номер. Ре-
шают № 308, № 309, № 310, № 311.
Решение.
+ m.
№ 308. Iog4928 =log , 28 = J-log728 =hog7(7 • 4) =|(log77 + log74) =
7"	2	2	2
=Д (1 + log722) =1(1 + 21og72)
№309. log1530 = ^ =lg3 + lgl° =1±1Q-
lgl5 Ig3 + lg5 m + n
104
№310 log 72_10g672_10g6(36 2)_10g636 + 10g62_ 2 + m
24 log624 log6(6-4)	log66 + log64	l + 2m
№311. log369 = log36 = log3636 - log364 = 1 - log3622 =
< Л
= 1 -log36 8 3
2
= l-log36 8 3 = l-jm.
3. Решение уравнений:
№307(1)-под диктовку.
№ 307 (2)- за доской.
№307 (3)- самостоятельно.
№ 307 (4)-учител ь с классом.
Решение.
log9x2 + log^x = 3
21og 2x + log ,x = 3
3
32
2-~ log3x + 21og3x = 3
log3x + 21og3x = 3
31og3x = 3
log3x = 1
x= 1.
Ответ: 1) x = 36; 2) x = 8; 3) x = 8; 4)x = 3.
№313(1)-на доске по желанию.
Ответ: Xi = -^; х2= 16.
Ш. Домашнее задание: № 306 (2), № 307 (5; 6), № 313 (2); тре-
нажер № 5.
IV. Итог урока.
V. Дополнительное задание.
№ 312-самостоятельно по вариантам (наотметку).
Решение.
log3216 log324_log3(27 8) log3(8-3) _ 3 + log38
logg3 log72 3 log83 log723 " log83
105
log 8 + 1	,
—j----—= (3 + log38)  log38 - (log38 + 1) • log372 = 31og38 + log38-
1О1э72^
- (log38 + 1) (2 + log38) = 31og38 + log38- 21og38 - log38- 2 - log38 =
= -2.
log2192 log224 Jog2(96 2) log/212) _l + log296
log|22 log962 “ log122 l°g962 ” log122
l + log,12
------+— = (1 + log296) • log212 - (1 + log->12) log296 = log212 +
10g962
+ log296 • log212 - log296 - log212 • log296 = log212 - log296 =
§ 18. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать вид логарифмической функции, ее основные свойства;
уметь строить график логарифмической функции с данным осно-
ванием, использовать свойства логарифмической функции при ре-
шении задач.
Урок 35
I. Организационный момент.
II. Проверка знаний.
ТЕСТ
1.	Вычислить log5log33 - log7y .
А. | Б. -1 В. 1 Г. 6.
log 4
2.	Вычислить 8 ; .
А. 16 Б. 64 В. 12 Г. 32.
l°g,9-|log281 + |log28
3.	Вычислить —-—-----------------.
log5 53 + log5100 - log5 4
106
Ч Ч
ч
г.
1
25 ’
log349
4.	Вычислить -—2—
log37
1
l°g^2’
A. log37-| Б. О В. 6,5 Г. 1,5.
9
5.	Решить уравнение log2x - log27 = ylog427.
А. 21 Б. В. 63 Г. 3 + log27.
Ответ: В Б А Г А.
III.	Изучение новой темы.
Функция у = logax (а > 0, а # 1) называется логарифмической.
Она обладает следующими свойствами.
1)	Область определения - множество всех положительных
чисел.
2)	Множество значений - множество R всех действительных
чисел.
3)	Возрастает при х > 0, если а > 1 и убывает при х > 0, если
0<а<1.
4)	Если а > 1, то у > 0 при х > 1, у < 0 при 0 < х < 1; если 0 < а <1,
то у > 0 при 0<х< 1; у < 0 при х > 1.
5)	График проходит через точку (1; 0).
№318(1)-учитель с классом.
№318(3)-на доске по желанию.
Ответ: 1) log3-|>log3^; 3) log±e>log±5.
2	2
107
№319(1)-под диктовку.
№319(3, 4)-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) больше 0; 3) больше 0; 4) меньше 0.
№ 321 - устно.
Ответ: 1), 2)-убывает; 3), 4)- возрастает.
№322-на доске по очереди.
№323 - самостоятельно.
Ответ: 1,5;-1,4; 2,2;-0,6.
№324 (1,3)-за доской.
№ 332 (1) - у ч ите л ь с классом.
№ 332 (3, 4, 5) - в группах.
IV.	Домашнее задание: № 318 (2, 4), № 319 (2), № 324 (2, 4),
№ 332 (2).
V.	Итог урока. Обучающий тест.
ТЕСТ
Какие из следующих графиков не могут быть графиком функ-
ции у = logax? Почему? Для остальных - определить значение па-
раметра а (а > 1 или 0 < а < 1).
О т в е т: в, г, д, з - не являются графиками функции у = logax.
а,	ж — а > 1.
б,	е - 0 < а < 1.
108
Урок 36
I. Организационный момент.
IL Повторение.
Вопросы по теории:
1.	Определение логарифма числа.
2.	Основное логарифмическое тождество.
3.	Логарифм произведения.
4.	Логарифм частного.
5.	При каком условии логарифмическая функция возрастает
(убывает)?
6.	Верно ли, что логарифмическая функция:
а)	является четной;
б)	является нечетной;
в)	не имеет экстремумов (наибольших и наименьших значений);
г)	имеет график, проходящий через точку (0; 1);
д)	определена при х > 0;
е)	принимает все действительные значения?
Несколько учащихся работают по карточкам. Ответы к заданиям
даны в квадратных скобках.
1D f Igl25-21g2 Y г__
1.	Вычислите , г----— .[9].
lgV4+lgO,2
„	о10®,11 пЧ3 ГТ. 1
Сравните 3 7 и 11 7 . [Равны].
2.	Определите знак числа log2 . [Минус].
Прологарифмируйте по основанию 2 выражение
где а > 0, b > 0.
1,5 - 21og2 3 + log2a +	log2b +1log2c - у log2x - 21og2|y|
3.	Определите знак числа logout),75. [Плюс].
Найдите область определения функции у =---—-------.
log3(x2 -9)
[(-оо; -VlO)U(-ViO;-3)U(3; Vi0)U(V10;+oo)].
109
4.	Изобразите схематически график функции у = logo,4(-x).
Известно, что log303 = a, log305 = b. Найдите log308.
[3(1 -a-b)].
5.	Найдите значение log24-log946. [2].
Изобразите схематически график функции у = 1g-Jx .
Остальные учащиеся отвечают на вопросы по теории, работая с
сигнальными карточками.
III.	Изучение нового материала.
Рассмотреть теорему и доказательство.
№ 320 (1)-учител ь с классом.
№320 (2)-под диктовку.
№ 320 (3)- самостоятельно.
Ответ: 1)0<х<1;2)0<х<1;3)х>1.
№ 325 (1)- учитель показывает на доске решение:
log5x > log53
ОДЗ: х > 0
Так как функция у = log5x возрастает, то х > 3.
Ответ:х>3.
№325 (3)-на доске по желанию.
Ответ: 1)х>3;3)0<х<4.
№326 (1,3)-на доске по очереди.
Отв ет: 1) 0 < х < 9; 3) 0 < х <1I .
№ 327 (1) —учитель с классом.
№327(3)-за доской.
№327 (5)-под диктовку.
Ответ: 1) 2; 3) 3,5; 5) у.
110
№ 333 (1)- учитель показывает на доске решение:
log2x = -х + 1
Построим графики функций у = log2x и у = -х + 1.
У = log2x
х
у = -X + 1
X = 1.
№ 333 (2, 3,4)-самостоятельно по вариантам.
Ответ:2)х = 2;3)х = 0,5; 4)хs2.
№334-в группах.
IV.	Домашнее задание: № 320 (4), № 325 (2, 4), № 326 (2, 4),
№ 327 (2, 4, 6).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 335 - индивидуально.
Решение.
1) у = log21 3 - х | - log21 х3 — 8 |.
13 - x | >0 при x 3
I x3 - 8 | >0 при x3 8, x 2.
Ответ:х^3, x*2.
2) у = log0,3 д/х +1 + logo,4( 1 - 8х3)
л/х + 1 > 0 при х + 1 > 0, х > -1
1 - 8х3 > 0; 8х3 < 1; х3 < —; х < —.
8	2
§ 19. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать вид простейших логарифмических уравнений, основные
приемы решения логарифмических уравнений; уметь решать про-
111
стейшие логарифмические уравнения и применять основные прие-
мы при решении уравнений.
Урок 37
I. Организационный момент.
Собрать тренажер № 5.
II. Актуализация опорных знаний.
Устно:
1. Представьте число а в виде логарифма по основанию Ь:
а = 2, b = 3 а= 1, b = л/7	(2 = log39) (l=log^V7)
а = 0,Ь= 1,05 а = 3, Ь = 2 а = 0,Ь= 10 а = 2, b = 4	(0 = logi,o5l) (3 = log28) (0 = lgl) (2 = log416).
2. Повторить свойства логарифма.
3. Найдите область определения функций
у = log5(x + 3), у = log2(2 - х), у = log ] (-х).
2
III.	Изучение новой темы.
Чаще всего при решении логарифмического уравнения его при-
водят к виду loga(f(x)) = loga(g(x)), тогда f(x) = g(x).
Решив полученное уравнение, следует сделать проверку кор-
ней, чтобы исходное уравнение не потеряло смысл.
Например, № 337 (1).
log2(x - 5) + log2(x + 2) = 3.
Используем свойство логарифма. Представим 3 как логарифм по
основанию 2.
log2((x - 5) • (х + 2)) = log28
(х - 5)  (х + 2) = 8
х2-3х- 10 = 8
х2 - Зх - 18 = 0
X] = -3; х2 = 6.
Выполнив проверку, убеждаемся, что при х = -3 log2(x - 5) и
log2(x + 2) не имеют смысла.
Ответ:х = 6.
№337 (3)-за доской.
Ответ:х = 2.
112
№338 (1)-под диктовку.
№ 338 (3)-самостоятельно.
Ответ: 1)х = 7; 3)х = 3.
№ 343 (1) - устно.
№ 343 (2, 3, 4)-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) X] = -1, х2 = 1; 2) х, =-8; х2 = 8; 3) х = 1; 4) х = 16.
№ 343 (5)- учитель показывает на доске реше-
ние:
Igx4 + lg4x = 2 + Igx3
lg(x4  4x) = lg(100  x3)
4x5= 100x3
4x5- 100x3 = 0
4x3(x2-25) = 0
4x3(x - 5)(x + 5) = 0
x = 0 или x = 5 или x = -5.
При x = 0 и х = -5 левая и правая части уравнения не имеют
смысла.
Ответ:х = 5.
№ 340- на доске по очереди.
Ответ: 1), 2)- нет корней.
№344(1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х =4-^2; 3) Xi = -9, х2 = 3.
№ 346 -устно.
Ответ: 1), 2)-равносильны.
IV.	Домашнее задание: № 337 (2,4), 338 (2,4), 343 (6), 344 (2,4).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 353- индивидуально.
Решение.
51og5x + logax - 41og25x = а
51og5x + logax -41og^x = a
log.x
51og5x +-—2—- 21og5x = а, при a > 0, a 1.
log5a
31og5x +
logsx
log5a
= a
113
a  log a
log5X=—-----2-7
31og5a +1
a •log^a
x =53'°85a + 1 , если a > 0 и 31og5a + 1*0, log5a *i, a *5 3.
Ответ:а>0, a*0, a *5 3.
Урок 38
I. Организационный момент.
IL Решение уравнений.
№339(1)-на доске по желанию.
Ответ:х = 2.
№341 (1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1)х = 8; 3)х = 9.
№ 344- самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1)х = 4-^2 ; 2) х = 3; 3) Xi = 3, х2 = -9; 4) Х| = -8, х2 = 4.
№ 348- работа в группах.
Ответ: 1) Xi = —, х2 = 2; 2) Х| =д/2 , х-> = 4; 3) Xi = 3, х2 = 9;
4
4)xi =|,х2 = 27.
№349(1)-за доской.
Ответ: х=4у/3 .
№350(1)— учитель показывает на доске решение:
lg(6 • 5х - 25 • 20х) - lg25 = х
lg6..-5x-25-2_0x. = lgl0x
114
6 -5х -25 -20х = 25- 10х
5Х(6 - 25  4х - 25 • 2х) = 0
5х = 0 или 6 - 25 • 4х - 25 • 2х = О
нет корней пусть 2х = t, где t > О,
тогда 6 - 25t2 - 25t = О
t| = - у не удовлетворяет
условию t > 0, t2 = у
2-Ц,х-1ой1
О т в е т: х = log2 j.
№ 350(2)- самостоятельно.
► Указание: правую часть уравнения преобразовать следую-
щим образом:
х - xlg5 => lglOx - lg5x => lg2x.
№345(1)-под диктовку.
Решение.
231gx • 5lgx = 1600
8lgx • 5lgx = 1600
40lgx= 1600
40lgx = 402
Igx = 2
x= 100
Отв ет: x = 100.
№ 345 (З)-на доске по желанию.
Ответ: х = 0,1.
III.	Домашнее задание: № 339 (2), № 341 (2, 4), № 349 (2),
№ 345 (2, 4); тренажер № 6.
IV.	Итог урока.
V.	Дополнительное задание.
№351. Решение.
1) lg2(x + 1) = lg(x + 1) lg(x - 1) + 21g2(x - 1)
lg2(x + 1) - lg2(x - 1) = lg(x + 1) lg(x -1) + lg2(x - 1)
(lg(x + 1) + lg(x - 1)) (lg(x + 1) - lg(x - 1)) = lg(x - l)(lg(x + 1) +
+ lg(x — 1))
115
(lg(x + 1) + lg(x - 1)) (lg(x + 1) - lg(x - 1) - lg(x - 1)) = 0
lg(x+ l) + lg(x- l) = 0
lg(x+ l) = -lg(x- 1)
lg(x+ D’lg^Y
x+l=—Ц-
x -1
x2 - 1 = 1
x2 = 2
х=л/2 илих = -л/2
или
lg(x+l)-21g(x-1) = 0
lg(x+1) = 2 lg(x-1)
lg(x+l) = lg(x-l)2
x + 1 =(x-l)2
x + 1 = x2 - 2x + 1
x2-3x = 0
x(x-3) = 0
x = 0 или x = 3
Проверка показала, что х = 0 и х = --J2 не являются корнями
уравнения.
Ответ: X] =-j2 , хг = 3.
2) 21ogs(4 - х) • log2x(4 - х) = 31og5(4 - х) - logs2x.
ОДЗуравнения: Г4-х>О,
2х > О,
.х*|. xe(0; |) U (|;4).
Так как log$2x Ф 0 (так как х Ф то разделим уравнение на log52x:
log5(4-x)
log52x
log2x(4-x)=3
log5(4-x)
log52x
. 2х * 1;
- 1
21og2x(4 - x) • log2x(4 - x) - 31og2x(4 - x) + 1 = 0
21ogL(4-x)-3log2x(4-x)+l»0
Пусть t = log2x(4 - x), тогда 2t2 - 3t + 1 = 0
t=y или1= 1.
10g2x(4 - x) = |
(2x)2 = 4-x
= 4-x
2x = (4-x)2
2x= 16-8x + x2
x2-10x+16 = 0
116
х = 2 или х = 8
х = 8 не удовлетворяет ОДЗ.
log2x(4 - х) = 1
2х = 4 - х
Зх = 4
х=4
3'
Ответ: х1 = 2, х2=4.
3
Урок 39
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа.
Вариант!	Вариант II
Решите уравнение:
1) log4^- + log4Vx =-3
2) IglOx • IgO, lx = 3
3) log0,5(2x-3)-
-llog0.5(2x + 3) = О
4) log2(x2 - Зх + 10) = 3
5) log2x - log3 x = 2
О 1О§0,5х +41ogo,5V^ = -1
2)	IglOOx  lg0,01x = 5
3)	|log3(5x-l)-log3(x+l) = 0
4)	logi(x2-4x-l) = -2
2
5)	log2 x — log± x = 6
7	2
Ответы: Вариант I: 1) 16; 2) 100; 0,01; 3) 3; 4) 1; 2; 5) |;9.
Вариант II: 1) 8; 2) 1000; 0,001; 3) 1; 2; 4) -1; 5; 5) |; 4.
О
III.	Решение систем уравнений.
№342(1)-на доске по желанию.
Ответ: (1000; 10).
117
№347-в парах.
Ответ: 1) (1000000; 0,1); 2) (8; |).
IV.	Домашнее задание: № 342 (2), № 378, № 393.
V.	Дополнительное задание.
№ 352. Решение.
1) Jlogx 25 + 3 =	—
v х log5x
^logx25 + 3 = logx5
logx25 + 3 =logx5
21ogx5 + 3 = log2 5
Пусть t = logx5, тогда 2t + 3 = t2
t2-2t-3 = 0
Д = 4
t) = 1 + 2 = 3;t2 = -l.
1
logx5 = 3, x=53
logx5 =-l,x=|.
Проверка показывает, что x = у не является корнем уравнения.
Ответ :х=53.
2) -J21og2x + 31og2x -5 = log22x
-^21og2x + 31og2x -5 = log22 + log2x
21og2x + 3 log2x - 5 = (1 + log2x)2
Пусть t = log2x, тогда 2t2 + 3t - 5 = (1 + t)2
2t2 + 3t - 5 = 1 + 2t + t2
t2 + t - 6 = 0
Д = 1 + 24 = 25
t — — 1 + 5 _ о
t --1-5 _ -i
118
log2x = 2, x = 4
log2x = -3, x=|
О
Проверка показывает, что х = не является корнем уравнения.
Ответ: х = 4.
§ 20. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать вид простейших логарифмических неравенств и основные
способы решения неравенств; уметь решать простейшие логариф-
мические неравенства.
Урок 40
I. Организационный момент.
II. Анализ самостоятельной работы.
Учащиеся, плохо справившиеся с самостоятельной работой, по-
лучают карточку на дом:
1)	Решите уравнение log3(3x -5) = log3(x - 3) по схеме:
а)	приравняйте подлогарифмические выражения и решите полу-
ченное уравнение;
б)	сделайте проверку корня - подлогарифмическое выражение
должно быть больше нуля.
2)	Решите уравнение log3x - log3x = 2 по схеме:
а)	обозначьте log3x любой переменной, составьте квадратное
уравнение;
б)	решите квадратное уравнение;
в)	сделайте проверку корней.
3)	Решите уравнение log^(x2 - 5х - 3) = 2 по схеме:
а)	представьте число 2 в виде логарифма по основанию у/3 ;
б)	дальше по схеме первого уравнения.
4)	Решите самостоятельно уравнения:
a)	log7(4x - 6) = log7(2x - 4);
б)	21og3x - 51og3x = 7;
119
в)	log^(x2 -Зх) = 4.
О т в е т ы : а) нет корней; б) j; 27-у/З ; в) -1; 4.
III. Изучение нового материала.
Алгоритм решения логарифмического неравенства.
1.	Найти область определения неравенства (подлогарифмиче-
ское выражение больше нуля).
2.	Представить (если возможно) левую и правую части неравен-
ства в виде логарифмов по одному и тому же основанию:
10gaf(x) > 10gag(x).
3.	Определить, возрастающей или убывающей является лога-
рифмическая функция:
если а > 1, то возрастающая;
если 0 < а < 1, то убывающая.
4.	Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических
выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если
функция возрастает, и изменится, если она убывает:
logaf(x) > logag(x)
если а > 1, то	если 0 < а < 1, то
f(x) > g(x)	Кх) < g(x).
5.	Решить полученное неравенство и записать ответ, учитывая
область определения исходного неравенства.
Например, № 255 (1).
log3(x+ 1)<3
ОДЗ: х + 2 > 0, х > -2
log3(x + 2) < log327
Функция у = log3t возрастает.
х + 2 < 27
х < 25
------1	>
-2	25
Ответ: (-2; 25).
120
IV.	Актуализация опорных знаний.
№ 354 (1)-устно.
№354(2)-под диктовку.
№354(3)-на доске по желанию.
№354 (4)- самостоятельно.
OTBeT:l)x>y;2)x<y;3)x<--y2,x>-y2;4)-2<x<2.
№ 358 (1) - на доске по очереди (использовать метод
параболы).
№ 358 (2)- на доске по очереди (использовать метод
интервалов).
Ответ: 1)х<1,х>3;2)—<х< 1.
V.	Практическая часть.
№355 (3)-за доской.
№355 (5)-под диктовку.
Ответ: 3)-1 <х <-^; 5) -^<х <1 .
9	3	3
№ 356 (1)-учитель с классом.
№356(2, 3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х > 80; 2) х >25; 3) 4<х <6.
№382 (2)-под диктовку.
Ответ: решений нет.
VI.	Домашнее задание: № 355 (2,4, 6), № 356 (4), № 382 (1).
VII.	Итог урока.
Vin. Дополнительное задание.
№ 399. Решение.
Пусть хь х2, х3 - последовательные члены геометрической про-
грессии, тогда по условию xi + х2 + х3 = 62, a Igxi + lgx2 + lgx3 = 3.
Так как х2 = X] • q, х3 = xr q, где q - знаменатель геометрической
прогрессии, то
Г Xi + X] • q + X]  q2 = 62,
tlgxi + lg(X| • q) + lg(xi • q2) = 3;
fx,(l + q + q2) = 62,
I lg(xi • x, • q • X]  q2) = ig 1000;
Г x,(l + q + q2) = 62,
I x? • q3 = 1000
121
Х| • q = 10 => —
g
— (l + q + q2 3 4 5) = 62
q
10+ 10q + 10q2-62q = 0
10q2-52q + 10 = 0
5q2 - 26q + 5 = 0
qi = 5, q2=|
1) если q = 5, то Xi = 2. Тогда x2 = 2  5 = 10, x3 = 10 • 5 = 50.
2) если q = y, то Xi = 50. Тогда x2 = 50 -^-= 10, x3 = 10-^ = 2.
Ответ: 2, 10, 50 или 50, 10, 2.
Урок 41
I. Организационный момент.
Собрать тренажер № 6.
II. Повторение.
Устная контрольная работа по теме «Показательная и логариф-
мическая функция».
Решите уравнения:
1) 5х = 625
6)	log±x2 = 3
5
7)	logJ(x-6)2 =4
8)	21og3(2x- 1) = log2x
9)	x'os’3x =9
10)	log2log3log4x = 0
2) 25х =|
3) 32х“' = 81
4) а(х"2)(х"3) = 1
5) Зх+1 - 3х = 108
III. Решение неравенств.
№357(1)-на доске по желанию.
Ответ: 5 < х < 8.
№ 359 (1) - уч ите л ь с классом.
№359(3)-за доской.
Ответ: 1) решений нет; 3) 1^<х <
122
№ 360 (1)-учитель с классом.
№ 360 (2, 3, 4) - самостоятельно во вариантам.
Ответ: 1)-1<х<1;3<х<5;
2)х<-1;х>4;
3) х <-3; х > 1;
4)х<-|;х>3.
№361(1)-под диктовку.
№361(3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х <2; х > 6; 3)-4 <х <-2; 0 <х <2.
№383 (1)-на доске по очереди.
Ответ:-4<х<2.
№396-в группах.
Ответ:1)-4<х<5;2)5<х<6;3)0<х<1;4)х>4;5)х>10;
6)-4<х<-3.
IV. Домашнее задание: № 357 (2), № 359 (2, 4), № 361 (2, 4),
№ 383 (2); тренажер № 7.
V. Итог урока. Самооценка своих знаний, умений и навыков по
текущей теме; что нужно сделать, чтобы устранить свои недостатки.
Урок 42
I.	Организационный момент.
II.	Самостоятельная работа.
Вариант!	Вариант!!
Решите неравенство:
l)lg2x<lg(x+1)	1) lg3x < lg(x + 4)
2)	log2( 1 - x) < 1_ 2) logo,5( 1 - x) > -1
3)	(log3x - 2)д/х2 -4 <0	3) (2 - log2x)-Jx2 -1 > 0
Ответы: Вариант!: 1) (0; 1); 2) (-1; 1); 3) [2; 9].
Вариант II: 1) (0; 2); 2) (-1; 1); 3) [1; 4].
III.	Решение заданий.
№ 363 (1) - учитель показывает на доске решение:
log0,2X - log5(x - 2) < log0,23 ОДЗ: Гх > 0
log, х - log5(x - 2) <logj 3	lx-2>0;	x>2
5	5
123
- log5x - log5(x - 2) < -log53
log5x + log5(x - 2) > log53
log5(x2 - 2x) > log53
Функция у = log5t возрастает
x2 - 2x > 3
x2 - 2x - 3 > 0
x2-2x-3 = О, Д = 4, Xi = 3, x2=-l
(x-3)(x+ l)>0
Решение неравенства
Д——Г
-12	3
Ответ: х > 3.
№ 364 (1)-учитель с классом.
Ответ: 0,008 < х < 0,04.
№365 (1)-на доске по желанию.
№ 365 (2)- самостоятельно.
№ 365 (3) - учитель показывает на доске решение:
log , (4х + 7) > 0
ОДЗ: [4х + 7 > 0
’ х2 - 3 > 0
.х2-3* 1
4
(х - -Уз )(х +7з) > о,
х2/4
JIIImJIlllllMlllllllUIIIIIII k
-2 -1 -7з 7з 2
- ^<х<-7з,х>7з.
log 2 (4х + 7) > log , 1
124
1)	если х2 - 3 > 1, то функция у = log , t возрастает, следова-
х~ —3
тельно:
Гх2-3>1,	Гх2-4>0,
1.4х + 7>1;	1.4х>-6;
-2 -1,5 2
х > 2.
'(х-2)(х + 2)>0,
.х >-1,5.
Учитывая ОДЗ: х > 2.
2)	если 0 < х2 - 3 < 1, то функция у = log 2 t убывает, следова-
х - 3
тельно:
r0<x2-3< 1,
\4х + 7< 1;
гх2-3<1,
х2-3>0,
4х < -6;
'(х -2)(х +2) < О,
. (х --Уз )(х +73 ) > О,
х <-1,5.
-2 -7з -1,5 7з 2
Учитывая ОДЗ: - < х < - -/3 .
7	f—
Ответ:	<х<-уЗ;х>2.
4
№ 365 (4)- на доске по желанию.
Ответ: 1) 0<х<0,1; 100 <х< 1000; х > 100000;
2)	log3 ± < х < log ; х > log32;
J 2	° 3
4) 1,2 < х <-*—; х <-у——.
2	2
№400- в группах.
№ 402 (1) - у ч ител ь с классом.
Ответ: Xi = 8; х2 = Ц=- 1.
•х/З
IV. Домашнее задание: № 363 (2), 364 (2), 402 (2).
V. Итог урока.
125
VII. Дополнительное задание.
№ 404. Решение.
1) log, (2х + 2-4х)>-2.
з
ОДЗ: 2х+2-4х>0
2Х(4 - 2х) > 0
Так как 2х > 0 при любом х, то 4 - 2х > 0, 2х < 4, 2х < 22, х < 2 (так
как функция у = 2х возрастает).
logi(2x + 2-4x)>log,9
3	3
Функция у = log t убывает, 2х+2 - 4х < 9.
з
Пусть t = 2х, где t > 0, тогда
4t-12 < 9
t2 - 4t + 9 > 0; t2 - 4t + 9 = 0, Д = -8
неравенство верно при любом действительном t. Если t > 0, то
2х > 0 верно при любом действительном х.
Учитывая ОДЗ: х < 2.
Ответ:х<2.
2) logj_(6x + 1-36x)>-2.
ОДЗ: 6х+1 - 36х > 0; 6х(6-6х)>0; 6 - 6х > 0; 6х <6; х<1.
logj_(6x + 1 -36х) > log 5.
7
Функция у = log , t убывает.
75
6X+1 - 36х < 5
Пусть t = 6х, где t > 0, тогда 6t -12 < 5,
t2 - 6t + 5 > 0; t2 - 6t + 5 = 0, Д = 4, t! = 5, t2 = 1
(t-5)(t-l)>0.
0	1	5
126
0 <t< 1, t> 5
О < 6х < 1, О < 6х < 6°, х < О (так как функция у = 6х возрастает)
6х > 5, 6х >б108"5, х > log65.
Ответ:х<0, log65 < х < 1.
Урок 43
I. Организационный момент.
Собрать тренажер № 7.
II. Обобщение и систематизация знаний по главе IV.
В течение урока учитель заполняет сводную ведомость учета
знаний и навыков учащихся.
№ пп	Список уча- щихся	Логарифмическая функция		Логарифмическое уравнение		Логарифмическое неравенство	
		теорет.	практ.	теорет.	практ.	теорет.	практ.
1 2 3							
На вопросы по теории учащиеся отвечают у доски. Остальные
учащиеся работают с сигнальными карточками.
Решение заданий (практическая часть) выполняется на доске.
Хорошо успевающим учащимся предлагаются карточки.
1.	Логарифмическая функция.
Теория: 1) Запишите общий вид логарифмической функции.
2)	Изобразите схематически графики функций у = logax для а >1
и 0 < а < 1.
3)	Перечислите основные свойства функции для а > 1, а Ф 1.
4)	Выполните № 374 (1).
5)	Выполните № 374 (2).
Ответы:
Практика: 1)№ 375 (1;3).	1) убывает; 3) убывает
2) №376(1)	х = 3,9
3)№ 377(1)	х<2,5
127
4)№385 (1)	logi|>log±|
2	3
5) №388 (1)	х>1
2.	Логарифмическое уравнение.
Теория: 1) Для решения логарифмических уравнений часто
используются свойства логарифмов. Какие?
2)	Как представить число в виде логарифма по основанию al
3)	Равносильны ли уравнения: logaf(x) = logag(x) и f(x) = g(x)?
4)	Как определить посторонний корень логарифмического урав-
нения?
Практика: 1)№379(1,4) 1) Xi =-1, х2 = 3; 4) Х] = 4, х2 = 8
2) №380(1)	х = 4
3)№391(1,3)	1)х = 73;3)х! =|,х2 = 4
4) №394(1)	х = 0,1
3.	Логарифмическое неравенство.
Теория: расскажите алгоритм решения неравенства logaf(x) > b.
Практика: 1)№ 381 (1)5 <х<9
2) №382(1)	1|<х<1|
_ и
3)№ 397(1)	0<х<4 4,1<х<64.
III. Задание на дом дифференцированное.
1)	«Проверь себя» на с. 112.
2)	№ 376 (2), № 385 (2), № 379 (2), № 381 (2), № 382 (2).
3)	Для более сильных учащихся: № 392 (2, 4), № 395 (2, 4),
№ 397 (2), № 403 (2), № 406 или карточки со звездочкой.
IV Работа с карточками.
КАРТОЧКА № 1
1)	Сравните числа log23 и log 1 у.
2
2)	Изобразите схематически график функции у = 21gx.
3)	Решите уравнение	। = 1 •
4)	Решите неравенство lg2x + 31gx < 4.
128
5)	Решите систему уравнений
Гх + у = 8,
\logi2x + log12y= 1.
КАРТОЧКА № 2
1)	Начертите график функции у = log2x - 1. Выделите на рисун-
ке часть графика, для которой -2 < у < 2, и найдите соответствую-
щие значения х.
2)	Решите уравнение:
a)	lg(x - 1) = 0,51g(l + 1,5х);
б)	— ----1- —-— = —4;
' lgx-2 lgx-3
в)	lg2x2 - 31gx2 = 4.
3)	Решите неравенство:
a)log2(l — х) < 1;
б) (log3x - 2) д/х2 — 4 < 0.
КАРТОЧКА № 3
1)	Определите знак числа logo,34.
2)	Решите уравнение:
a)	log2x64 - log2x8 = 3;
б)	xlgx= 100х;
в)	4 - Igx = 3^1gx .
3)	Решите неравенство:
a)	log2( 1 - х) > log ,	1	;
J
2
б)	log±(2x - 3) >log±(x2 - 6).
2	2
КАРТОЧКА № 4
1)	Изобразите схематически график функции у =1п^-.
2)	Решите уравнение:
a)	xlgx = ЮООх2;
б)	lg2x2 + Igx2 = 6;
в)	5 - 21gx =31/lgx .
5 Григорьена
129
3)	Решите неравенство:
a)	log3(x + 1) < log, —у—;
^Х т о
3
б)	log3(x2 + 5) > log3(x + 7).
КАРТОЧКА № 5*
1)	Вычислите:
a) 41OS26 °'5; б) log4logi4l96 + log575 .
2)	Решите уравнение: log2(22x + 16х) = 21og412.
3)	Решите неравенство:
a) log3x < 1; б) log4x2 • log4 > 2.
X
4)	Решите систему уравнений:
ГЗу + х= 10,
ly-log3x = 2
КАРТОЧКА № 6*
1) Упростите выражение:
log 0,8 log 0,6
lg 25 5 +9 3
2)	Решите уравнение:
a)	log2(2x -1) + log2(x + 5) = log2l 3;
б)	3log/-Iog2x fjY®2 X .
’	^27 J
в)	log3(2x - 5)^x ”2 = д/х - 2 .
3)	Решите неравенство lg2x + Igx - 2 < 0.
4)	Решите систему уравнений:
/2х + у = 5,
-x-log2y = 2
Ответы:
1) log23 < log± 1
2
КАРТОЧКА № 1
3) (10; 10000000).
130
4) (0,0001; 10) 5) (2; 6), (6; 2).
КАРТОЧКА № 2
1)
2) а) 3,5; б) 10; 1 OOVlOOO ; в) ± д/ОД ; ± 100.
0,5 < х < 8
3) а)(—1; 1),б) [2; 9].
КАРТОЧКА № 3
1)	минус 2) а) 1; б) 0,1; 100; в) 10 3) а) (1,5; 2); б) (3; °°).
КАРТОЧКА № 4
1)
2)	а) 0,1; 1000; б) ±10; ±^0,001; в) 10
3)	а) (-1; +°о); б) (-7; -1) U (2; +~).
КАРТОЧКА Xs 5*
1) а) 18; 6)1 2) log43 3) а) (|; 3); б) 4; 4)(1;2).
КАРТОЧКА Xs 6
1)0 2)а) 1,5;б) 1; 16;в)4 3) [0,01; 10] 4)(2; 1).
Урок 44. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Цель: проверка знаний, умений и навыков учащихся по изу-
ченной теме.
Вариант I
1.	Постройте график функции у = logo,5X. Как изменяется у, ко-
гда х возрастает от ± до 8?
2.	Решите уравнение:
a)	log j (х2 + 6х) = -2;
4
б)	log2 - log2V2x = -0,5.
3.	Решите неравенство lg2x - Igx > 0.
131
4.	Решите систему уравнений
' log2x + log2y = 2
" х-4у= 15.
г* тл	Но/*-2) л
5*. Решите неравенство-£— ---< 0 методом интервалов.
Вариант П
1.	Постройте график функции у = 1о&х. Как изменяется у, когда
х возрастает от ^-до 16?
2.	Решите уравнение:
a) log] (х2 + 8х) = -2;
з
3.	Решите неравенство lg2x + Igx < 0.
4.	Решите систему уравнений
Г logo.jx + logo,5y = -1
lx-2y = 3.
log (8-х)
—-------< 0 методом интервалов.
5*. Решите неравенство
Ответы:
Вариант I.
Убывает от 2 до -3.
2. а) -8; -2; б) 4.
3.(0; 1) U(10;+oo).
4.(16; 1).
5.(2; 3]U(6; +«).
132
Вариант II.
1- У
Возрастает от -1 до 2.
О 71 *х
2. а)-9; 1; б) 5 3. (0,1; 1) 4.(4; |)	5. (4; 7].
Урок 45. ПОВТОРЕНИЕ И ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ
I. Организационный момент.
Результаты контрольной работы. Работа над ошибками дается в
качестве домашнего задания.
II. Устный счет.
Работает весь класс с сигнальными карточками.
Вычислить:	Ответы:
1) 10gl6913	
2)	log01A/l 00000 3)	log2l 0 - log25 + log28 4)	log21 + log41 5)	log3616 + 21og63 6)	32log327 7)	52+log53 8)	log2log381 9)	log„Vi2T	2) -2,5 3)4 4)0 5)2 6)	27 7)	125 8)2 9)	3
III. Найди ошибку в рассуждениях.
>lg(f J
133
21g|>31g|
2>3.
Ответ: так как lg -j < О, то при делении на отрицательное чис-
ло знак неравенства меняется, значит, 2 < 3.
IV. Тест.
При каких значениях х выражения имеют смысл:
Вариант I	Вариант II	А	Б	В	Г	д
log5(7 - х)	log5(x -7)	х>7	0<х <7	х<7	х>7	х<7
log2(9 -х2)	log3(x2 - 16)	х <-3, х>3	х < —4, х > 4	-3<х< <3	-4<х< <4	-4<х< <4
log. ~х ё4 2х + 4	, х + 1 log 	 4 6-х	х < -2, х > 5	X X Л V	—1<х< <6	-2< х< <5	х < -2, х > 6
log3(x2 - - 4х + 4)	log7(x2 - - 6х + 9)	-2<х< <2	X G R, х Ф 2	х > 3	X G R, х Ф 3	X G R
Ответы: Вариант I: В В Г Б; Вариант II: А Б В Г.
V. Отгадай фразу.
На доске зашифровано высказывание Г. Галилея, которое вы
должны прочитать.
На доске записан в строчку ряд чисел от 1 до 44; под каждым
числом ученики запишут букву, и таким образом получится иско-
мая фраза.
Вывешивается плакат с шифром:
Ученики получают по 2-3 карточки с заданием (в каждой кар-
точке одно задание). Выполнив задание, они ищут в таблице букву,
которой соответствует ответ, записывают ее на доске под номером
карточки.
134
Карточки
Ответы:
7 \l + l°g,3	/3>
1.	Вычислите I 5 I 7 •	I J
2.	Решите уравнение log3(3x - 5) = log3(2x - 3). (2)
3.	Вычислите log,—i—.	(-5)
3 243
fl \-log,2
4.	Вычислите £
V )
5.	Вычислите 21og2 ^2 .
6.	Вычислите 103’1®5.
log 1 - log 25
7.	Вычислите 2 2	2 .
8.	Вычислите llog2log216.
9.	Вычислите llog9log28.
10.	Решите уравнение log ((6х - 4) = - 3.
2
11.	Вычислите 241og2log2log216.
12.	Вычислите log0,54.
(2)
(200)
(1)
(1
14>
(2)
(24)
(-2)
13. Вычислите
/	V
з10^
<	>
(25)
14.	Решите уравнение 31g2 + lg(x + 8) = 1g 48 - lg2. (-5)
15.	Вычислите lg20 + lg5.
16.	Решите уравнение log2(x + 6) = 2.
17.	Решите уравнение log2V8 = х
18.	Решите уравнение х = log5125.
19.	Решите уравнение logo ns = х.
ПА о	«2-log 10
20.	Вычислите 3	3 .
(2)
(-2)
ГзЛ
I7)
(3)
I 2 7
(-9-1
I10 )
135
21. Решите уравнение log2(x + 1) = -1.	(1 1 I 4 1
22. Решите уравнение lg40 - lg2 = lg( 10 - 2x).	(-5)
.. D	lg 100000-lg 10000 23. Вычислите —			. IglOO	I2 )
24. Решите уравнение log5x = - 2.	(j> I25 )
25. Решите уравнение lg(9x + 10) = 2. or D	э-2|°8,2 26. Вычислите 3	3 .	(10) (1) I4 )
„ —	21og 3 27. Вычислите 5 5 . log 8 + 1 28. Вычислите 5 5	(9) (40)
on D	Л31°842 29.	Вычислите 4 4 . n	IglOOOO-lglOOO 30.	Вычислите —	 . IglOO 31.	Вычислите 25lo8s2 • 21O82'°.	(8) (11 I2 ) (40)
32. Вычислите 5 • 31083 2.	(10)
/, \±log34 33.	Вычислите 1 2 I9 ) 34.	Решите уравнение log7(2x + 1) = 2. log. 10 + 1 35.	Вычислите 2,4 36.	Решите уравнение l°g3(8-24- + x) = 2 37.	Вычислите lg3000 - lg3. 38.	Вычислите 3* '°8’7.	(11 I4 J (24) (24) (j_1 I25 ) (3) (11 I7 J
39. Вычислите (log24)3 • log327. — 21og 5 40. Вычислите 3	3 + log3l.	(24) (j_1 I25 J
41. Решите уравнение log5(2x - 1) = 1.	(3)
136
42.	Решите уравнение lg2 + lg(2 - х) =
= lg(I9-x).	(-5)
43.	Вычислите 21g( 100000).	(10)
44.	Решите уравнение lg(6 - Зх) =
= lg(26 + x).	(-5)
Ответ: «Природа формулирует свои законы языком матема-
тики».
VI. Программированный контроль.
Задание		Ответ			
Вариант I	Вариант II	1	2	3	4
Решите у log0,5(Vx-l)=-l	равнение logo,2(6 - Vx )=-1	1	5	8	9
lg2x - Igx = 0	lg2x + Igx = 0	1; 100	1; 0,1	1; 10	l;0,01
Решите неравенство					
log5(—х) < 0	logo,4(-x) < 0	x<0	-1 <x<0	x>0	x<—1
Ответ: Вариант I - 432; Вариант II - 124.
VII. Задание по выбору.
Решите уравнение:
Уровень 1: log2(x + 3) = 4.	Ответ: 13.
Уровень 2: log9x + 21og3x = 5.	О т в е т: 9.
Уровень 3: Найти наибольший корень уравнения
lg(x + 6)-2=±lg(2x-3)-lg25.	Ответ: 14.
УШ. Кодированные карточки.
Ученикам выдаются карточки.
137
	1	2	3	4
1. Найти область опреде- ления у = log (Зх + 4) 3	х>3	х<А	х4	Y и>|-^
2. Решите уравнение , 1 x = log27-	нет ре- шений	х=|	х°Ч	х = 81
3. lg(2x+ 1) = lgx	х= 1	нет ре- шений	X = -1	х = 0
4. lgx* = 0	х = +1	х = -1	х= 1	нет ре- шений
5. Какое число лишнее?	log30,7	log,12 3	1оёо,51	logo,327
Ответ:
	1	2	3	4
1				X
2			X	
3		X		
4	X			
5			X	
IX. Итог урока.
Учащимся выставляется отметка за урок - среднее арифметиче-
ское отметок за каждый этап урока.
138
ПРИЛОЖЕНИЕ
Тренажеры выполняются в отдельной тетради дома в течение
нескольких дней.
Тренажер 1
ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СО СТЕПЕНЯМИ И КОРНЯМИ
Преобразуйте выражение:
1.	22 • 23
2.	8 • 2^
3.	2’5: (23: 2б)
4 (-2)g-53
54 • 210 -10
5. (Ь-2 • Ь)2: Ь’3
V3
13. (jx-‘y3J :(х-2-у-*)
7. (0,2х3у2)2 •
( V2
15 2-320 -5-319
(-9)’
(3-220 +7-219)-52
(-1)7 • (13 -84)2
/	. \з
10. I -2| I :(0,25)2 ((-5)-2)2
( Y3
11. -7x1
I зу4 J
l<49x4J
19. V49-36 100
21 У1бЖУ12
139
1/3-27 3
24. (0,75-V9): (0,25-^2j)
25.773-(V?3 :7^3 J
26. VaM(-a)4
34.((->/x)3)2 : ((xy) 2-7^)
30. ^Va’Vb*
1
3
2	3.
31. (1OO)"0,5-643 • 0,2~'-4 2
Тренажер 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Для каждой пары уравнений (1) и (2) ответьте на следующие во-
просы:
1)	правда ли, что (1) => (2);
2)	правда ли, что (2) => (1);
3)	правда ли, что (!)<=> (2)?
140
(1)
1. х - 3 + V* = 2х + Vx
2. х2 - Зх +--1-----=-----1------2
х2-Зх + 2 х2-Зх + 2
3. х3 - Зх2 + 2х = О
4.	^-=J-=O
х-1
5	(х-1)2(х + 1)_0
х-1
6.	(х - 3)(х + 1) = (5х - 4)(х + 1)
7.	х2 = 9
8.	52х = (1 +х2)2
9.	х2 + 2х + 1 = 4
10.	Vx2-1 = 1
11.	V2x + l=Vx
12.	ТГ^х = л/2х
(2)
х - 3 = 2х
х2-Зх = -2
х2 - Зх + 2 = О
х2 - 1 = О
(х — 1)(х+ 1) = 0
х - 3 = 5х - 4
||х| =3
5х = 1 + х2
х + 1 = 2
х2 - 1 = 1
2х + 1 = х
1 - х = 2х
Тренажер 3
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение:
1.4х = 64
2.3‘=1
3.25’х=|
4.	(0,5)х =7т
10. (0,4)х"‘ = (6,25)6х-5
12. 52х+1 - 3 • 52х“‘= 550
5.	7128 = 42х
6.	юх2 + х-2 = 1
7.
Зх! - 4х - 0,5 =81^
13.	7?-52 = 225
14.	2х’-9х= 1
141
15.	4x+l,s + 2х+2 = 4
16.	3x2’4x + 0’5 = V3
17	.4x-1+4x + 4x+1 = 84
18.	2^ + 2-2^ + i =12 + 2^’’
19.	52x-2-5х-15 = 0
20.	4х2 + 2-9-2х2 + 2 + 8 = 0
21.	8X-4X = 2X’1
22.	'2x + 1 + 2 = 9 • 2
X2 + i
23.	43x2 + x-8=2-8	3
24.	4 • 22x-6x= 18 • 32x
25.	5 • 23x-3 - 3 • 25-3x =-7
26.	x =(Vx)x
Тренажер 4
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенство:
1.6х >36
2.	24х< 16
х - 5
3.	3 2 > Зл/з
5.27>(|У
11. 3 • 4х + 2 • 9х-5 • 6х< 0
12. (х-2)х2 -6х + 8> 1
“аГ-й)'
14. 5х-^з^_ 125 < О
15. (0,2)^2 ’Зх + 3 >(0,2)^
6. 73х < 343
2х + 1
16. Ш1-х >125
18.х2-5х-5х+2<0
8. (0,2)(2х’ЗХх-2)>5
19.2х+1+4х<80
20. 4“х+0,5 - 7 • 2'х - 4 < О
21. 9’х2 -3 + 3 <28 -З’х2 ’3
142
Тренажер 5
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ
I. Вычислите выражение.
1. 10g216	14. 51O8’°’2	27. Iog3((log25)-(logs8)
2- 10ёз8[	4 log 5 15. 32	28. log5128 1og2^
3. log±9 3	16. 25I°,‘J	29		2	1_ log32 log94 log278
4. logo,гО,04	17. 0,041O8°-25	30. logi23 + logi24
5. log^l	18. V5 2I°8’3	31. log2V3 + |log 4
6. 21og2272	19. 72,08492	32. log7196-21og72
7’ 21Og5 25	20. Iog4log2log381	33. log25 - log235 + log256
8. jlgO.OOl	21. log^ logs 125	34. 10lg2 + lg3
9. log± 27^3 3	22. log3log5125	35. logabb3 • logbab
3/3 10. log,y 9	23. log41og3V81	Ig2 + lg3 36' lg3,6+l
11. log2log24	24. log3log28	37.^-^+ау‘5
12. log5log33	25. Э*-2’	38.-!^ log2a
13. Iog2log31og±-Jy 3	26. 64!k*»’	39. loga4 • log8a2
	10 1°8Ла + 1°«»	a2
log8ia
II. Выразите 1g А через логарифмы простых чисел.
143
1	. A = 720
2	A = —
6
3	A = ——
30(
4	. A= V6
214 -V147
л/5
/ -
8. A= 9-V34 -53
III. Вычислите значение выражения, если известно, что logab =2.
L logabV?
2-	10SabV + 1°gVabb + 10ga^b
3.	310g3/- — + 21og 3/—a3
V ab 3	V ab
4.	31og ^i + log b
al Vb	i-
b	b
5-	log^b^a+log^a + logaVab
6.	log —=r + 31og Vab
_L Va	_L
$a	Va
Тренажер 6
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение.
1.	log2x = 3
2.	logsx = -1
3.	log5(2x) = 1
4.	log7x = 0
5.	log2(-x) = -3
6.	lg(x-l)2 = 0
7.	log2log3x = 1
8.	log3log2log2x = 0
9.	log2log3x2 = 2
10.	Igx = 2 - lg5
ll.lgx-lgll = lg!9-lg(30-x)
144
12.	log,	log,
5	5
13.	log3(x2 - 4х + 3) = log3(3x + 21)
14.	log2(9 - 2х) = 3 - x
15.	log3(x - 2) + log3x = log38
16.	lg(x - 9) + 21g-72x -1 = 2
17.	^9 = 2
18.	Iog41og2 log^x = |
19.	log2x + 3 = 21og2x2
20.	lg2x3 - lOlgx +1=0
21.1og4(x + 3) - log4(x -1) =
= 2 -log48
32. x
22.	0,51g(2x - 1) + lg-Vx-9 = 1
23.	lg(x + 6)-|lg(2x-3) =
= 2-lg25
24.	1------+ —-— = 3
5 - 41gx 1 + Igx
25.	21og2x + log^ x + log! x = 9
2
26.	log3x + log9x + log27x = 5,5
27.	21og2log2x +
+ log±log2 (2T2x) = 1
2
28.	logx2 + log2x = 2,5
29.	logj_x3 - log]_x2 = 0,5
30.	logx+1(x2-3x + 1) = 1
31.	xlgx= lOOx
Тренажер 7
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенство.
1. log2x > 3
2. log j 2x > -2
з
3.	log5(3x-l)<l
4.	log3(2 - 4x) < 1
5.	log0i5(l+2x)>-l
6.	log±(5x + 3)>-^-
7.	log2(x2 - 2x) > 3
8.	log3(13 - 4х) > 2
9.	logl(26-3x)>-2
10.	log7(2 - x) < log7(3x + 6)
ll.logo,3(l-2x)>logo,3(5x + 25)
12. log0i5(x2 + 1) < log0.5(2x - 5)
145
13. log2(x - 6) + log2(x - 8) > 3
14. log8(x - 2) - log8(x - 3) > -j
16. log5(5x2 + 6x + 1) < 0
17. log ] (x2-3x + 2) <-l
6
181°s’44>0
19. Iog± 35^1 >-l
4
20. Iog2(2-x)< 1
21.1og2(x-l)-logn5(x-l)>2
22. 21og7x - logx49 < 3
lg2x-31gx + 3
lgx-1
24.	log± log5(x2 - 4) > 0
2
25.	logo.5 log x ~^x < 0
8 x -3
26.	log ] (x - 2) < log ] 5 -
~	з
3
~log] (x + 2)
3
28.	log07(1 + x - Jx2 -4) < 0
29.	logtx>logx3-^
30.	log2(9x“‘ + 7)“2 < log2(3x“* +1)
Ответы:
Тренажер!.
1. 32. 2. 1 3. 4-- 4.	5. b. 6. x2. 7. °-’16y . 8.	9. 1024.
2	4	200	2	32
x
10.-y. 11. -Jx2y8. 12.—1—. 13.14, —x2y10. 15.-3. 16.--.
5	3	9х4ую у 4	8
17. J. 18. 25. 19.420.20. 7^/10.21. 12.22.81.23. |. 24.	25.^3 .
2	3	2
26. a3. 27.	28. 3J^~ . 29.	30. a. 31. 1. 32. 36,5. 33. b2. 34. x3.
Vx	v X V x
35. a2. 36. x. 37.	.
Va
146
Тренажер 2.
1. Да, нет, нет. 2. Да, нет, нет. 3. Нет, да, нет. 4. Да, нет, нет.
5. Да, нет, нет. 6. Нет, да, нет. 7. Нет, да, нет. 8. Да, да, да. 9. Нет,
да, нет. 10. Да, да, да. 11. Да, нет, нет. 12. Да, да, да.
Тренажер 3.
1.3. 2.-2. 3. 1.4. 6. 5. ^.<--2; 1.7. -1; 5. 8.3.9. 1. 10.
11.-1. 12. 1,5. 13. 4. 14. 0; ±3. 15. -1. 16. 0; 4. 17. 2. 18. 9. 19. 1.
20. ±1.21. 1.22. -1; 1. 23.-1; 1.24.-2.25. 1.26. 1; 8.
3	3
Тренажер 4.
1. х > 2. 2. х < 1. 3. х > 8. 4. х < 3. 5. х < 9. 6. х < 1. 7. (-5; 0).
8. Нет решений. 9. х # 1. 10. х < 1. 11. (0; 1). 12. (2; 3)U (4; +оо).
13. х > 2. 14. |;7^. 15. (1; 3). 16. (1; 4). 17. [0; 64). 18. (-5; 5).
19. х<3. 20. х > -2. 21. (- V?;-73](J [Ду/1).
Тренажер 5.
I. 1.4. 2.-4. 3.-2. 4. 2. 5. 0. 6. 3. 7.-1. 8.-1. 9.-3,5. 10. 1.11. 1.
12. 0. 13. 0. 14. 0,2. 15. 75 • 16. 9. 17. 25. 18. 3. 19. 2. 20. 1. 21. 2.
22. 1.23. 1.24. 1.25. 2. 26. 9. 27. 1.28.-21.29. 0. 30. 1.31. 1.32.2.
2	8
33. 3. 34. 6. 35. 3. 36. 1.37. 1.38. 3. 39. 4 -40. 12.
2	3
II. 1. 41g2 + 2lg3 + lg5. 2. Ig5 - lg2 - lg3. 3. -2 - lg3. 4.1 lg2+
+1 lg3. 5. -1 lg2 -l|g3. 6. lg3 +12 lg7 -llg5. 7 llg2 - llg3 -
-I|g5 + llg7. 8.111g3 + ^lg5.
III. 1. 1.2. 2.3. 6. 4. |.5. 7.6. -Ц.
Тренажер 6.
1. 8. 2. 1.3. 2,5. 4. 1. 5. -1.6. 0; 2. 7. 9. 8. 4. 9. ±9.10. 20.11. 11;
3	8
19.12. 3.13. -2; 9.14. 0; 3.15. 4.16. 13.17. 4.18. 25.19. 2; 8. 20. 10;
147
109.21. 5. 22. 13. 23. 6; 14. 24. 710 ; 10. 25. 8. 26. 27. 27. 8. 28. 72 ;
4. 29.	. 30. 4.31.	100.32. |;2.
Тренажер 7.
1
3
— —1.5.	.6.
4’2) I 2’2)
5’ 5
1. 9. (0; log326). 10. [-1;2).
11.
_ 24.1
7 ’2
15.
17.
. 12.x >2,5.13.x > 10.14. 3;^j.
j(l;T2). 16. -j;-l -|;0 .
(4;+oo). 18. f-oojlj • 19- [-7;-ТИ)и[5;^5).
20.
'3
.22. 0;4=
’л/7
23. (0; 10). 24. (-3; -2)U (2; 3). 25. (3; 4]U [6; +°о). 26. (3; +оо).
27.	.28. [2;+оо). 29. (0; l)U(>/3 ; 9). 30. (1; 2).
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..................................................3
Тематическое планирование.................................4
Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.............................6
§ 1.	Целые и рациональные числа...........................6
Урок 1....................................................6
§ 2.	Действительные числа.................................9
Урок 2...................................................10
§ 3.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия......12
Урок 3...................................................12
§ 4.	Арифметический корень натуральной степени...........18
Урок 4...................................................18
Урок 5...................................................20
§ 5.	Степень с рациональным и действительным показателем.23
Урок 6...................................................23
Урок 7...................................................26
Урок 8...................................................27
Глава II. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ..............................35
§ 6.	Степенная функция, ее свойства и график.............35
Урок 9...................................................35
Урок 10..................................................38
§ 7.	Взаимно обратные функции............................40
Урок 11..................................................40
§ 8.	Равносильные уравнения и неравенства................43
Урок 12..................................................43
Урок 13..................................................46
§ 9.	Иррациональные уравнения............................48
Урок 14..................................................48
Урок 15..................................................51
Урок 16..................................................55
§ 10.	Иррациональные неравенства.........................59
Урок 17..................................................59
Урок 18..................................................61
Урок 19..................................................64
Глава III. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.........................66
§11.	Показательная функция, ее свойства и график.........66
Урок 20..................................................66
Урок 21..................................................68
§ 12.	Показательные уравнения............................71
Урок 22..................................................71
149
Урок 23..................................................73
Урок 24..................................................75
§13.	Показательные неравенства..........................77
Урок 25..................................................77
§ 14.	Системы показательных уравнений и неравенств.......80
Урок 26..................................................81
Урок 27..................................................84
Урок 28..................................................86
Урок 29..................................................91
Глава IV. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
§15.	Логарифмы..........................................93
Урок 30..................................................93
Урок 31..................................................95
§ 16.	Свойства логарифмов................................99
Урок 32..................................................99
§ 17.	Десятичные и натуральные логарифмы................101
Урок 33.................................................101
Урок 34.................................................104
§18.	Логарифмическая функция, ее свойства и график.....106
Урок 35.................................................106
Урок 36.................................................109
§ 19.	Логарифмические уравнения.........................111
Урок 37.................................................112
Урок 38.................................................114
Урок 39.................................................117
§ 20.	Логарифмические неравенства.......................119
Урок 40.................................................119
Урок 41.................................................122
Урок 42.................................................123
Урок 43.................................................127
Урок 44. Контрольная работа.............................131
Урок 45. Повторение и закрепление знаний................133
Приложение..............................................139
Охраняется законом об авторском праве. Воспроизведение всего пособия или
любой его части, а также реализация тиража запрещаются без письменного
разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться
в судебном порядке.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
10 КЛАСС
Поурочные планы
по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина,
Ю. В. Сидорова, Н. Е.Федоровой, М. И. Шабунина
I полугодие
© Автор-составнтель Галина Ивановна Григорьева, 2003
Ответственные за выпуск
Л. Е. Гринин, А. В. Перепелкина
Редактор Л. Н. Ситникова
Технический редактор Л. В. Иванова
Корректоры
Н. И. Березнева, Н. М. Болдырева
© Издательство «Учитель», 2003
400067, г. Волгоград, п/о 67, а/я 32
Подписано в печать 06.05.07, Формат 60x90/16.
Бумага газетная. Гарнитура Тип Таймс.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,00. Доп. тир. 7100 экз. Заказ № 19341.
Отпечатано с оригинал-макета.
ОАО «Саратовский полиграфкомбинат»
410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59
www.sarpk.ru