Л.Э.Эльсгольц
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии	8
ЧАСТЬ I	8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введение	9
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка	15
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными	19
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися	24
переменными
§ 4. Линейные уравнения первого порядка	27
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах	32
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения	39
dy/dx=J[x,y)
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно	68
производной
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных	75
уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые
решения
Задачи к главе 1	82
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого	85
§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального	85
уравнения п-го порядка
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка	87
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка	93
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и 107
уравнения Эйлера
§ 5. Линейные неоднородные уравнения	113
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 124
и уравнения Эйлера
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов	137
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных 147
колебаний
§ 9. Понятие о краевых задачах	159
Задачи к главе 2	165
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений	168
§ 1. Общие понятия	168
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем	171
сведения к одному уравнению более высокого порядка

§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций	178
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений	181
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными	192
коэффициентами
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных 199
уравнений и уравнений и-го порядка
Задачи к главе 3	201
Глава 4. Теория устойчивости	203
§ 1. Основные понятия	203
§ 2. Простейшие типы точек покоя	206
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова	215
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению	221
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней	227
многочлена
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка	230
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях	234
Задачи к главе 4	238
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка	241
§ 1. Основные понятия	241
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных	243
первого порядка
§ 3. Уравнения Пфаффа	255
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка	260
Задачи к главе 5	278
ЧАСТЫ1
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение	280
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами	284
§ 1. Вариация и ее свойства	284
§ 2. Уравнение Эйлера	292
*.	305
§ 3. Функционалы вида ]F(x,y1,y2,...,yn,y\,y'2,...,y'n)dx
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка	308
§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых	312
переменных
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме	317
§ 7. Некоторые приложения	320
Задачи к главе б	324
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые	327
другие задачи
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами	327
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида	334

л,
\F(x,y,z,y\z')dx
§ 3. Экстремали с угловыми точками	338
§ 4. Односторонние вариации	346
Задача к главе 7	349
Глава 8. Достаточные условия экстремума	351
§ 1. Поле экстремалей	351
§ 2. ФункцияЕ(х, у,р,у*)	357
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду	368
Задачи к главе 8	373
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум	375
§ 1. Связи вида <р(х,у1ъу2,...,упУ=0	375
§ 2. Связи вида <р(х,у1ъу2,...,уп,у\ъу2,-,Уп)=0	382
§ 3. Изопериметрические задачи	385
Задачи к главе 9	393
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах	394
§ 1. Прямые методы	394
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера	395
§3. Метод Ритца	397
§ 4. Метод Канторовича	406
Задачи к главе 10	412
Ответы и указания к задачам	414
Рекомендуемая литература	421
Предметный указатель	422
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотически устойчивое решение	327—350
204	Вариационное исчисление 281
Бернулли уравнение 30		, основная лемма 295
Бесселя уравнение 139	Вариационный принцип 281, 320
— функции 141—143	Вариация 284, 288, 289, 309, 313
Бигармоническое уравнение 317	Вейерштрасса функция 359
Близость кривых 285, 286	Векторная линия 245
Брахистохрона 281, 304, 332, 364	— поверхность 244
Вариации постоянной метод 28	Взаимности принцип 388
Вариационная задача 281	Влияния функция 123, 161 — 165
	в параметрической форме	Вронского определитель 97, 185
317—320	Галеркина метод 410
	на условный экстремум 375—	Гамильтона — Якоби уравнение 370
393	Гамма-функция 140
	, прямые методы решения 394—	Геодезическая линия 282, 381
413	Голономные связи 382
	с подвижными границами	Граничная задача 13, 159

Грина функция 161 — 165
Гурвица теорема 227
Дикритический узел 211
Динамическая система 170
Дирихле задача 315
Дифференциальное уравнение 9
	Бернулли 30
	Бесселя 139
	в полных дифференциалах 32
Дифференциальное уравнение в
частных производных 10
	первого порядка 241—
279
	высшего порядка 85—167
	, интеграл 20
	интегрирование 10
	,— с помощью рядов 137—146
	Клеро73
	Лагранжа 73
—	— линейное высшего порядка
93—106,113—124
—	— — неоднородное с
постоянными коэффициентами
124—136
	однородное с постоянными
коэффициентами 107—ПО
	первого порядка 27
	, фундаментальная система
решений 100
—	—, не решенное относительно
производной 68
	, общее решение 15, 86
	, общий интеграл 20, 32
	обыкновенное 10
	однородное 25
	, операторный метод решения
129—136
	, особое решение 57, 78
	, периодические решения 143—
146
	, порядок 10
	Пфаффа 255
	, решение 10,169
	Риккати 31
	с разделенными переменными
19
—	— с разделяющимися
переменными 21
—	—, теорема существования и
единственности решения 39—
61,75—82,85—87
	Эйлера ПО—113,136
Изоклины 17
Изопериметрическая задача 282, 317,
385
Изопериметрические условия 282,386
Интеграл	дифференциального
уравнения 20
—	первый 89, 179
—	полный 261
Интегральная кривая 16, 169
	особая 78
—	поверхность 261, 268
Интегрируемая комбинация 178
Интегрирующий множитель 35
Канторовича метод 406—412
Квазилинейное уравнение в частных
производных 243
Клеро уравнение 73
Ковалевской теорема 242
Коши задача 13
—	метод 121,268
Краевая задача 13,159
Лагранжа уравнение 73
Лагранжа — Шарли метод 264
Лагранжиан 324
Лапласа уравнение 315
Лежандра условие 362
Линейная зависимость 96, 185
—	система дифференциальных
уравнений 181—192
—	— — — с постоянными
коэффициентами 192—199
Линейное	дифференциальное
уравнение 27
—	— — в частных производных

неоднородное 243
	однородное 243
	высших порядков 93—106,
113—124
—	— — с постоянными
коэффициентами 107—110,
124—136
	, фундаментальная система
решений 100
Линейный	дифференциальный
оператор 94—183
—	функционал 287
Липшица условие 40
Ляпунова второй метод 215
—	теорема 215, 217
—	функция 215
Максимум функционала 289
	сильный 290
	слабый 290
	строгий 289
Малкина теорема 235
Малого параметра метод 147—158
Метрическое пространство 48
Минимум функционала 289
Минимум функционала сильный 290
	слабый 290
Наклон поля 351
Наложения принцип 114, 189
Начальная задача 13
Неголономные связи 382
Непрерывный функционал 285, 286
Неустойчивое решение 204
Неустойчивый предельный цикл 226
—	узел 208, 211
—	фокус 209
Общее решение дифференциального
уравнения 15, 86
Общий интеграл дифференциального
уравнения 20
Обыкновенное дифференциальное
уравнение 10
Огибающая 74
Оператор	линейный
дифференциальный 94, 183
Операторный метод решения
дифференциальных уравнений
129—136
—	многочлен 129
Определитель Вронского 97, 185
Оптимальная функция 391
Оптимальное управление 391
Особая интегральная кривая 78
—	точка 57
Особое решение дифференциального
уравнения 57, 78
Остроградского уравнение 314
Остроградского — Гамильтона
принцип 320
Остроградского — Лиувилля
формула 106
Первого приближения система
уравнений 221
Первый интеграл 89, 179
Периодические	решения
дифференциального уравнения
143—146
Периодичности условия 157
Плотность функции Лагранжа 324
Покоя точка 171, 205
Поле собственное 351
—	центральное 351
—	экстремалей 352
Полная интегрируемость уравнения
Пфаффа 256
Полное пространство 48
Полный интеграл 261
Полуустойчивый предельный цикл
226
Порядок	дифференциального
уравнения 10
Последовательных приближений
метод 199
Предельный цикл 23, 226
	неустойчивый 226
	полуустойчивый 226
	устойчивый 226

Пространство метрическое 48
—	полное 48
—	равномерной сходимости 50
—	фазовое 12,170
Прямые методы в вариационном
исчислении 394—413
Пуассона уравнение 315
Пфаффа уравнение 255
Равномерной сходимости
пространство 50
Расстояние 48
Резонанс 145, 152
Риккати уравнение 31
Ритца метод 397—406
Рунге метод 64, 201
Связи голономные 382
—	неголономные 382
Связный экстремум 282
Седло 59, 208
Сжатых отображений принцип 48
Сильный экстремум 290, 360
Системы дифференциальных
уравнений 168—202
—	линейных дифференциальных
уравнений 181—192
	с постоянными
коэффициентами 192—199
Слабый экстремум 290, 359, 360
Собственное поле 351
Специальные решения 253
Стационарного действия принцип
320
Строгий экстремум 290
Суперпозиции принцип 114, 189
Трансверсальности условие 331, 336
Узел 58
—	дикритический 211
—	неустойчивый 208, 211
—	устойчивый 207, 211
Управление оптимальное 391
Управляющая функция 391
Уравнения в частных производных
10
	 первого порядка 241 —
279
Уравнивание 61
Условный экстремум 282, 375—393
Устойчивое' решение (по Ляпунову)
204
	по отношению к постоянно
действующим возмущениям
236
Устойчивый предельный цикл 222
—	узел 207, 211
—	фокус 209
Фазовая траектория 170
Фазовое пространство 12, 170
Фокус 59
—	неустойчивый 209
—	устойчивый 209
Фундаментальная система решений
100
Функционал 280, 284
—	линейный 287
—	непрерывный 285, 286
Характеристик метод 268
Характеристики 245, 248, 254, 268,
269, 273
Характеристическая полоса 269, 273
Характеристическое уравнение 107,
194
Центр 59, 210
Центральное поле 351
Цикл предельный 23, 226
Четаева теорема 218
Штермера метод 62, 200
Эйлера дифференциальное уравнение
110—113,136
—	конечно-разностный метод 395—
397
—	ломаная 13, 40
—	метод 39, 61, 199
—	уравнение (в вариационном
исчислении) 297, 306, 368, 377
Эйлера — Пуассона уравнение 310
Экстремаль 297, 310

Экстремум связаный 282		слабый 290, 359, 360
—	условный 282, 375—393	Якоби первый метод 277
—	функционала 290	— уравнение 356
	сильный 290, 360	— условие 355

ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
В качестве третьего выпуска серии редакция приняла переиздание
(с некоторыми изменениями) книг Л. Э. Эльсгольца по соответству-
соответствующим разделам.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третий выпуск «Курса высшей математики и математической фи-
физики» для физических и физико-математических факультетов содержит
теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление.
В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда
лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина
государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора
«Дифференциальные уравнения» (М., Гостехиздат, 1957) и «Вариа-
«Вариационное исчисление» (М., Гостехиздат, 1958), однако по совету
редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор
выражает им свою искреннюю признательность.
Л. Э. Эльсгольц

ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
При изучении физических явлений часто не удается непосредст-
непосредственно чайти законы, связывающие величины, характеризующие физи-
физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость
между теми же величинами и их производными или дифференциалами.
При этом мы получаем уравнения, содержащие неизвестные функции
или вектор-функции под знаком производной или дифференциала.
Уравнения, в которых неизвестная функция или вектор-функция
входит под знаком производной или дифференциала, называются
дифференциальными уравнениями. Приведем несколько примеров
дифференциальных уравнений:
1) -—— = — kx— уравнение радиоактивного распада (k — постоян-
постоянная распада, х—количество неразложившегося вещества в момент
времени t, скорость распада —тг пропорциональна количеству рас-
распадающегося вещества).
^ т ~dW~^ V' г> It) —уравнение движения точки массы т
под влиянием силы F, зависящей от времени, положения точки, опре-
dt .-,
деляемого радиусом-вектором г, и ее скорости ~тт- Сила равна
произведению массы на ускорение.
) ^- + [Эр" + ~512- лр(х> у> z) —УРавне™е Пуассона, ко-
которому, например, удовлетворяет потенциал и(х, у, z) электроста-
электростатического поля, р(х, у, z) — плотность зарядов.
Зависимость между искомыми величинами будет найдена, если
будут указаны методы нахождения неизвестных функций, опреде-
определяемых дифференциальными уравнениями. Нахождение неизвестных
функций, определяемых дифференциальными уравнениями, и является
основной задачей теории дифференциальных уравнений.
Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции или
вектор-функции являются функциями одной переменной, то дифферен-

Ю	ВВЕДЕНИЕ
циальное уравнение называется обыкновенным (например, уравне-
уравнения 1) и 2)). Если же неизвестная функция, входящая в диффе-
дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего
числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение на-
называется уравнением в частных производных (например, урав-
уравнение 3)).
Порядком дифференциального уравнения называется максимальный
порядок входящей в уравнение производной (или дифференциала)
неизвестной функции.
Решением дифференциального уравнения называется функция,
которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает
его в тождество.
Например, уравнение радиоактивного распада
имеет решение
= ce-kt.
где с — произвольная постоянная.
Очевидно, что дифференциальное уравнение (В.1) еще не пол-
полностью определяет закон распада х = х (t). Для его полного опре-
определения надо знать количество распадающегося вещества х0 в неко-
некоторый начальный момент t0. Если д;0 известно, то, принимая во вни-
внимание условие x(to) = xo из (В. 1 х), находим закон радиоактивного
распада:
к
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения назы-
называется интегрированием дифференциального уравнения. В рас-
рассмотренном примере мы легко нашли точное решение, однако в более
сложных случаях очень часто приходится применять приближенные
методы интегрирования дифференциальных уравнений. Эти прибли-
приближенные методы еще недавно приводили к утомительным вычислениям,
но теперь быстродействующие вычислительные машины способны
выполнять эту работу со скоростью в несколько десятков или даже
сотен тысяч операций в секунду.
Рассмотрим несколько подробнее упомянутую выше более сложную
задачу о нахождении закона движения г = г (t) материальной точки
массы т под действием заданной силы F (t, r, г). По закону Ньютона
mr — ?(t, г, г).	(В.2)
Следовательно, задача сводится к интегрированию этого дифферен-
дифференциального уравнения. Очевидно, что закон движения еще не вполне

ВВЕДЕНИЕ	.	И
определяется заданием массы т и силы F, надо еще знать начальное
положение точки
г (t0) = r0	(B.2!)
и начальную скорость
Укажем весьма естественный приближенный метод решения урав-
уравнения (В.2) с начальными условиями (В^) и (В.22), причем идея
этого метода может служить и для доказательства существования
решения рассматриваемой задачи.
Разделим отрезок времени to^.t <^.Т, на котором требуется опре-
определить решение уравнения (В.2), удовлетворяющее начальным усло-
условиям (B.2t) и (В.22), на п равных частей длины Л = -
1 	1-0
['о- h\, [tX, t2]	[*„_!. Т],
где
tk = t0+kh (k=l, 2	я—1).
В пределах каждого из этих малых (при больших значениях п)
отрезков времени сила F(/, г, г) мало изменяется (вектор-функция F
предполагается непрерывной), поэтому приближенно ее можно считать
на каждом отрезке {tk_v tk\ постоянной, например, равной ее зна-
значению в левой граничной точке каждого отрезка. Точнее, на отрезке
[t0, t{\ сила F (t, г, г) считается постоянной и равной F (^0, г0, г0).
При этом допущении из уравнения (В.2) и начальных условий (В.2^
и (В.22) легко определяется закон движения тп (t) на отрезке [^0, tx]
(движение будет равномерно переменным) и, следовательно, в част-
частности, известны значения г„ (t{) и г„ (t{). Тем же методом прибли-
приближенно определяем закон движения rn(t) на отрезке [tv t2], считая
силу F на этом участке постоянной и равной F(^, гя(^), г„(^)).
Продолжая этот процесс, определим приближенное решение г„ (t)
поставленной задачи с начальными значениями для уравнения (В.2)
на всем отрезке [^0, Т].
Интуитивно ясно, что при /г—>оо приближенное решение Tn(t)
должно стремиться к точному решению.
Заметим, что векторное уравнение (В.2) второго порядка может
быть заменено эквивалентной системой двух векторных уравнений
первого порядка, если рассматривать скорость v как вторую неиз-
неизвестную вектор-функцию:
Каждое векторное уравнение в трехмерном пространстве может
быть заменено путем проектирования на оси координат тремя

12	ВВЕДЕНИЕ
скалярными уравнениями. Следовательно, уравнение (В.2) эквивалентно
системе трех скалярных уравнений второго порядка, а система (В.З)
эквивалентна системе шести скалярных уравнений первого порядка.
Наконец, можно одно векторное уравнение (В.2) второго порядка
в трехмерном пространстве заменить одним векторным уравнением
первого порядка в шестимерном пространстве, координатами в кото-
котором служат координаты гх, гу, гг радиуса-вектора г (t) и коорди-
координаты vx, vy, vz вектора-скорости v. Такое пространство физики
называют фазовым. Радиус-вектор R(?) в этом пространстве имеет
координаты (rx, ry, rz, vx, vy, vz). В таких обозначениях система (В.З)
имеет вид:
-^- = ф(Л Rtf))	(B.4)
(проекциями вектора Ф в шестимерном пространстве служат соответ-
соответствующие проекции правых частей системы (В.З) в трехмерном про-
пространстве).
При такой интерпретации начальные условия (B.2j) и (В.22) заме-
заменяются условием
R( R
Решением уравнения (В.4) R = R(f) будет фазовая траектория,
каждой точке которой будет соответствовать некоторое мгновенное
состояние движущейся точки — ее положение г (t) и ее скорость v {t).
Если к уравнению (В.4) с начальным условием (В.4г) применить
изложенный выше приближенный метод, то на первом отрезке [t0, tx]
вектор-функцию Ф(^, R@) надо считать постоянной и равной
Ф('о- R(*o))- Итак- ПРИ h<*<
-|?=Ф(*01 R(t0)),
откуда, умножая на dt и интегрируя в пределах от t0 до t, получим
линейную вектор-функцию R(tf):
R @ = R (t0) + Ф (t0, R (t0)) (f -10).
В частности, при t = tx будем иметь
Повторяя то же рассуждение на следующих участках, получим
R С») = R('*
Применяя эти формулы п раз, дойдем до значения

ВВЕДЕНИЕ	13
В этом Методе искомое решение R (f) приближенно заменяется
кусочно линейной вектор-функцией, графиком которой служит неко-
некоторая ломаная, называемая ломаной Эйлера.
Для уравнения (В.2) нередко в приложениях встречается и иная
постановка задачи — дополнительные условия задаются не в одной,
а в двух точках. Такая задача, в отличие от задачи с условиями (В^)
и (В.22), называемой задачей с начальными условиями или задачей
Коши, носит название краевой или граничной.
Пусть, например, требуется, чтобы материальная точка массы т,
движущаяся под действием силы F (t, r (t), r (()), находившаяся
в начальный момент t = t0 в положении г = г0, попала бы в момент
t = tl в положение г = г^ т. е. надо решить уравнение (В.2) с гра-
граничными условиями г (/0) = г0, г (?j) = rv К этой граничной задаче
сводятся многие баллистические задачи, причем очевидно, что реше-
решение здесь часто может быть не единственным, так как из точки
г (t0) = г0 можно попасть в точку г (tj) = rt по настильной и по
навесной траекториям.
Точное или приближенное решение задач с начальными условиями
и граничных задач является основной задачей теории дифферен-
дифференциальных уравнений, однако иногда требуется выяснить или при-
приходится ограничиваться выяснением лишь некоторых свойств решений.
Например, часто требуется установить, существуют ли периодические
или колеблющиеся решения, оценить быстроту возрастания или убы-
убывания решений, выяснить, сильно ли меняется решение при малом
изменении начальных значений.
Остановимся несколько подробнее на последнем из этих вопросов
применительно к уравнению движения (В.2). В прикладных задачах
начальные значения г0 и г0 почти всегда являются результатом изме-
измерения и, следовательно, неизбежно определены с некоторой погреш-
погрешностью. Поэтому естественно возникает вопрос о влиянии малого
изменения начальных значений на искомое решение.
Если сколь угодно малые изменения начальных значений спо-
способны вызвать значительные изменения решения, то решение, опре-
определяемое неточными начальными значениями г0 и г0, обычно не имеет
никакого прикладного значения, так как оно даже приближенно
не описывает движение рассматриваемого тела. Следовательно, воз-
возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при
которых малое изменение начальных значений г0 и г0 вызывает лишь
малое изменение определяемого ими решения г (t).
Аналогичный вопрос возникает и в задачах, в которых требуется
выяснить, с какой точностью надо задавать начальные значения г0
и г„, чтобы движущаяся точка с заданной точностью вышла на тре-
требуемую траекторию или попала бы в данную область.

14	ВВЕДЕНИЕ
Столь же большое значение имеет вопрос о влиянии на решение
малых слагаемых в правой части уравнения (В.2) — малых, *но
постоянно действующих сил.
В некоторых случаях эти малые силы, действующие в течение
большого промежутка времени, способны сильно исказить решение
и ими нельзя пренебречь. В других случаях изменение решения под
действием этих сил незначительно, и если оно не превосходит тре-
требуемой точности вычисления, то малыми возмущающими силами
можно пренебречь.
Ниже излагаются методы интегрирования дифференциальных урав-
уравнений и простейшие способы исследования их решений.

ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
первой степени можно, разрешив относительно производной, пред-
представить в виде
. &-/<*• я.
Простейший пример такого уравнения
рассматривается в курсе интегрального исчисления. В этом простей-
простейшем случае решение
содержит произвольную постоянную, которая может быть определена,
если известно значение у (х0) = у0, тогда
f{x)dx.
В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях,
налагаемых на функцию / (х, у), уравнение
?=/<*¦
также имеет единственное решение, удовлетворяющее условию у (х0) =
= у0, а его общее решение, т. е. множество решений, содержащее
все без исключения решения, зависит от одной произвольной по-
постоянной.

16
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
dy
Дифференциальное уравнение ~^=.f(x, у) устанавливает зави-
зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом каса- '
dy
тельной ~- к графику решения в той же точке. Зная х и у, можно
вычислить -~. Следовательно, дифференциальное уравнение рассма-
рассматриваемого вида определяет поле
направлений (рис. 1.1) и задача
интегрирования дифференциального
уравнения заключается в том, чтобы
найти кривые, называемые интег-
интегральными кривыми, направление
касательных к которым в каждой
точке совпадает с направлением
поля.
о
*л
Рис. 1.1.
Пример 1.
dy_
dx
У_
х
В каждой точке, отличной от точки @, 0), угловой коэффициент касательной
у
к искомой интегральной кривой равен отношению
е. совпадает с уг-
угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же
\ I t
4 \U/.
\
%
I ^
I
Рис. 1.2.
I I \ Ц
Ч
_1_L
>у;
Рис. 1.3.
точку (х, у). На рис. 1.2 стрелками изображено поле направлений, опреде-
определяемое рассматриваемым уравнением. Очевидно, что]интегральными кривыми
в данном случае будут прямые у = сх, так как направления этих прямых
всюду совпадают с направлением поля
Пример 2.
dх

§ 1)
УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
17
Замечаем, что угловой коэффициент касательной к искомым интегральным
х	у
кривым	и угловой коэффициент касательной — к интегральным кри-
кривым примера 1 в каждой точке удовлетворяют условию ортогональности:
	• — =— 1. Следовательно, поле направлений, определяемое рассматри-
У ^
ваемым дифференциальным уравнением, ортогонально полю направлений,
изображенному на рис. 1.2. Очевидно, что интегральными кривыми уравне-
dy х	, .
ния -~- =	являются окружности с центром в начале координат х1 -J-
= сг (рис. 1.3) (точнее, полуокружности у = \гс2—х2 и у =— Yс%—х2)-
Пример 3.
Для построения поля направлений найдём геометрическое место точек, в ко-
которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное
направление. Такие линии называются изоклинами. Уравнение изоклин по-
получим, считая -~- — k, где k — постоянная; Ух2 -f- у% =k или x2-{-y2 — k2.
Следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром
в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым
Рис. 1.4.
интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля
направлений дадим постоянной k некоторые определенные значения (см.
рис. 1.4 слева). Теперь можно уже приближенно провести искомые инте-
интегральные кривые (см. рис. 1.4 справа).
Пример 4.
у' = 1 + ху.
Изоклинами являются гиперболы k = ху -\-\ или ху = k — 1, причем при
k = 1 гипербола распадается на пару прямых х — 0 и у = 0 (рис. 1.5). При
k = 0 получаем изоклину 1 -f- ху = 0; эта гипербола разбивает плоскость на
части, в каждой из которых у' сохраняет постоянный знак (рис. 1.6). Инте-
Интегральные кривые у = у (х), пересекая гиперболу 1 -\- ху = 0, переходят из
области возрастания функции у (х) в области ее убывания или, наоборот,
2 Л, Э. Эльсгольц

18
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
из области убывания в область возрастания, и следовательно, на ветвях
этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных
кривых.
/ I/ /
Рис. 1.5.
У'<0
у'>о
у>>0
у'<0
Рис. 1.6.
Определим теперь знаки второй производной в различных областях
плоскости:
A.1)
Кривая х -f (х2 -f-1) У = 0 или
\-\-x2
(рис. 1.7) разбивает плоскость на две части, в одной из которых у
следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой у
значит, интегральные кривые вогнуты вверх.
При переходе через кривую A.1). интег-
интегральные кривые переходят от выпуклости
к вогнутости, и следовательно, на этой
кривой расположены точки перегиба инте-
интегральных кривых.
В результате проведенного исследо-
исследования известны области возрастания и
у">й
< 0,
> 0,
у"<0
Рис. 1.7.
Рис. 1.8.
убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума^
и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение
точек перегиба, известна изоклина k = 1. Этих сведений вполне достаточно
для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых

§ 21	УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ	19
(рис. 1.8), но можно было бы вычертить еще несколько изоклин, что позво-
позволило бы уточнить расположение интегральных кривых.
Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометри-
геометрического характера, переменные х и у совершенно равноправны.
Поэтому в таких задачах, если они сводятся к решению дифферен-
дифференциального уравнения
7БГ = /(¦*¦ У).	A-2)
естественно наряду с уравнением A.2) рассматривать также уравнение
dx	1
f(x, у) '
A.3)
Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так
как если функция у = у(х) является решением уравнения A.2), то
обратная функция х — х(у) является решением уравнения A.3), и
следовательно, уравнения A.2) и A.3) имеют общие интегральные
кривые.
Если же в некоторых точках одно из уравнений A.2) или A.3)
теряет смысл, то в таких точках естественно его заменять другим
из этих уравнений.
Например, уравнение -f- = +- теряет смысл при х=0. Заменив
его уравнением -т— = —, правая часть которого уже не теряет
смысла при х — 0, находим в дополнение к ранее найденным реше-
решениям у = сх (см. стр. 16) еще одну интегральную кривую л: = 0
этого уравнения.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида
f2(y)dy = /i(x)dx	A.4)
называются уравнениями с разделенными переменными. Функции
/, (х) и /2 (у) будем считать непрерывными.
Предположим, что у (х) является решением этого уравнения,
тогда при подстановке у(х) в уравнение A.4) получим тождество,
интегрируя которое, будем иметь:
fx(x)dx + с,	A.5)
где с — произвольная постоянная.
Мы получили конечное уравнение A.5), которому удовлетворяют
все решения уравнения A.4), причем каждое решение уравнения A.5)

20	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. I
является решением уравнения A.4), так как если некоторая функ-
функция у (х) при подстановке обращает уравнение A.5) в тождество,
то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что у(х) удовлетво-
удовлетворяет и уравнению A.4).
Конечное уравнение Ф(л;, у) = 0, которое определяет реше-
решение у (х) дифференциального уравнения как неявную функцию х,
называется интегралом рассматриваемого дифференциального урав-
уравнения.
Если это конечное уравнение определяет все без исключения
решения данного дифференциального уравнения, то оно называется
общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравне-
уравнения. Следовательно, уравнение A.5) является общим интегралом
уравнения A.4). Для того чтобы уравнение A.5) определяло у как
неявную функцию х, достаточно потребовать, чтобы /2 (у) Ф 0.
Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные
интегралы I fx{x)dx и I fi{y)dy нельзя будет выразить в элемен-
элементарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать
задачу интегрирования дифференциального уравнения A.4) выполнен-
выполненной в том смысле, что мы свели ее к более простой и уже изу-
изученной в курсе интегрального исчисления задаче вычисления неопре-
неопределенных интегралов — квадратур *).
Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию
у (х0) — у0, то оно, очевидно, определится из уравнения
у	х
/ /2 (У) аУ = / Л
У-,
которое получим из
У
= f
воспользовавшись начальным условием у (x0) = у0.
Пример 1.
х dx + у dy = 0.
Переменные разделены, так как коэффициент при dx является функцией
только х, а коэффициент при dy является функцией только у. Интегрируя,
получим
Г х dx-\- \ у dy = c или х2 + у2 — с\
*) Так как термин «интеграл» в теории дифференциальных уравнений
часто применяется в смысле интеграла дифференциального уравнения, то во
избежание недоразумений для интегралов функций I / (л:) dx обычно при-
применяется термин «квадратура».

§ 2)	УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ	21
— семейство окружностей с центром в начале координат (сравните с при-
примером 2, стр. 16—17).
Пример 2.
д.2 . dy
In у
Интегрируя, получаем
Г х,	Г dy ,
J	J In у т
Интегралы / e**dx и / -~— не берутся в элементарных функциях, тем не
менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача
доведена до квадратур.
Уравнения вида
<Pi (х) Ь (У) dx = <р2 (х) \|J (у) dy,
в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на мно-
множители, зависящие только от X и только от у, называются диффе-
дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, так
как путем деления на $i (У) Фг (х) они приводятся к уравнению
с разделенными переменными:
^dx = dy.
Ч>2 (X)	1|>, (У) *
Заметим, что деление на ф, (у) <р2 (х) может привести к потере
частных решений, обращающих в нуль произведение ^ (у) • ф2 (х),
а если функции i])j (у) и щ(х) могут быть разрывными, то возможно
появление лишних решении, обращающих в нуль множитель
1
1|>1 (У) Ф2 (X) '
Пример 3.
dy у
—г- = — (сравните с примером 1, стр. 16).
Разделяем переменные и интегрируем:
у ~~ х ' J у ~.1 х '
1п|у | = In | Jf| + lnc, с>0.
Потенцируя, получим у \ = с \ х |. Если речь идет только о гладких реше-
решениях, то уравнение \у — с \ х I, где с > 0, эквивалентно уравнению у-= ± сх
или у = CiX, где С| может принимать как положительные, так и отрица-
отрицательные значения, но с, Ф 0. Если же принять во внимание, что при деле-
делении на у мы потеряли решение у = 0, то можно считать, что в решении
у = с{х постоянная Cj принимает и значение С] = 0, при котором мы полу-
получаем потерянное ранее решение у = 0.
Замечание. Если в примере 3 считать переменные х и у равноправ-
rfy у
ными, то уравнение -—— = —, теряющее смысл при х = 0, надо дополнить

22	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. Т
dx х ,
уравнением —т— — — (см. стр. 19), которое, очевидно, имеет еще решение
лг = О, не содержащееся в найденном выше решении у = CiX.
Пример 4.
х A + у2) dx — у A + х2) dy = 0.
Разделяем переменные и интегрируем:
у rfy _ х rfx Г у rfy _ Г
Т+У ~ 1 + *2; J 1 + У2 ~ ./
У2
In (I + У2) = In (I + х2) + In с,; 1 + у2 = с, A + -
Пример 5.
Найти решение х (t), удовлетворяющее условию
Разделяем переменные и интегрируем:
Пример 6. Как уже упоминалось во введении, установлено, что ско-
скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не рас-
распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный
момент при t = t0 будет х = х0.
Коэффициент пропорциональности k, называемый постоянной распада,
предполагается известным. Дифференциальное уравнение процесса будет
иметь вид
_? = —Ъ:	A.6)
(знак— указывает на уменьшение х при возрастании t, k > 0). Разделяя
переменные и интегрируя, получаем
dx
	= — k dt; In I x I — In I x01 = k (t —10),
x
откуда
x = xoe
Определим еще период полураспада т (т. е. время, в течение которого
распадается -=• л:0). Полагая t — t0 = т, получим ~п~хо = хое~кх, отсюда
In 2
т~ k '
Не только радиоактивный распад, но и любая другая мономолекулярная
реакция на основании закона действующих масс описывается уравне-
dx
нием —rr = —kx, где х—количество еще не прореагировавшего вещества.
Уравнение
4? = kx, k>0,	A.7)

§ 2]	УРАВНЕНИЯ' С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ	23
отличающееся лишь знаком правой части от уравнения A.6), описывает мно-
многие процессы «размножения», например «размножение» числа нейтронов
в цепных ядерных реакциях или размножение числа бактерий в предположе-
предположении, что условия среды для них предельно благоприятны и поэтому скорость
их размножения пропорциональна наличному числу бактерий.
Решение уравнения A.7), удовлетворяющее условию x(to) = xo, имеет
вид х = xoekl~t~t^ и, в отличие от решений уравнения A.6),х it) не убывает,
а возрастает по показательному закону с возрастанием t.
Пример 7.
*._p(p-2)(p-4V
Начертить интегральные кривые, не интегрируя уравнения; р и ф — полярные
координаты.
Уравнение имеет очевидные решения р = О, р = 2 и р = 4. При 0 < р < 2
4г- > 0; при 2 < р < 4 4т- < 0 и пРи Р > 4 -^- > 0.
dy	аф	аф
Следовательно, интегральными кривыми являются окружности р = 2
и р = 4 и спирали, наматывающиеся при возрастании ф на окружность р = 2
и разматывающиеся с возрастанием ф с окружности р = 4. Замкнутые инте-
интегральные кривые, в достаточно малых окрестностях которых интегральными
кривыми являются спирали, называются предельными циклами. В данном
примере окружности р = 2 и р = 4 являются предельными циклами.
Пример 8. Найти ортогональные траектории семейства парабол у— ах.
Ортогональными траекториями заданного семейства кривых назы-
называются линии, пересекающие под прямым углом линии данного семейства.
Угловые коэффициенты ух и у2 касательных к кривым данного семейства
и к искомым ортогональным траекториям должны в каждой точке удовле-
удовлетворять условию ортогональности у2 =	—. Для семейства парабол у —
У\
у	2у
= ах2 находим у'= 2ах, или так как а = -^-, то у' = ——. Следовательно,
дифференциальное уравнение искомых ортогональных траекторий имеет
вид у'	~.
Разделяя переменные, находим 2у dy + x dx = 0 и, интегрируя, получим
семейство эллипсов
(рис. 1.9).
Пример 9. Пусть и = ху — потенциал скоростей плоскопараллельного
течения жидкости. Найти уравнение линий тока.
Линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипо-
эквипотенциальных линий ху = с. Находим угловой коэффициент касательной
у
к эквипотенциальным линиям: ху' + у == 0, у' =	—. Следовательно, диф-
ференциальное уравнение линий тока имеет вид у' = — или у dy = x dx;
интегрируя, получаем хг — у2 = с — семейство гипербол.
Пример 10. Полый однородный металлический шар, имеющий
внутренний радиус rit а внешний г2 находится в стационарном тепловом

24
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 1
состоянии, причем температура на его внутренней поверхности равна Tlt
а на наружной Т2. Найти температуру Т на расстоянии г от центра
шара, г\ < г < г2.
Из соображений симметрии следует, что 7" является функцией только г.
Так как между двумя концентрическими сферами с центрами в центре
шара (нх радиусы могут изменяться от гх до г2) количество тепла остается
неизменным, то через каждую сферу
протекает одно и то же количество
тепла Q. Следовательно, дифференци-
дифференциальное уравнение, описывающее рас-
рассматриваемый процесс, имеет вид
~
= Q,
где k — коэффициент теплопроводности.
Разделяя переменные и интегрируя,
получим искомую зависимость Т от г:
Рис. 1.9.	4лй(Г —
Для определения Q используем условие: при г = г2, Т — Т2
i—Ti) 4лА(Га-
Q-
J
J
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям
с разделяющимися переменными
Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных
могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными.
К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида
где а и Ь — постоянные величины, которые заменой переменных
z — ax-\-by преобразуются в уравнения с разделяющими перемен-
переменными. Действительно, переходя к новым переменным х и z, будем иметь

§ 3]	УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ	25
ИЛИ
dz
• — dx,
a+bf(z)
и переменные разделились. Интегрируя, получим
J a+bf(z)
Пример 1.
4
Полагая z = 2x-\- у, будем иметь
-^= — — 2 — — 2 = г
Разделяя переменные и интегрируя, получим
jX2=rfj;, 1п|г + 2|=л: + 1пс, г = — 2+се*
2х-\- у = — 2 -(- се*, у = сех — 2х — 2.
Пример 2.
*у	1 м
Полагая л: — у = г, получим
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так
называемые однородные дифференциальные уравнения первого
порядка, имеющие вид
dx — J \
Действительно, после подстановки z = — или у = хг получим
= — или у
dz	dx
l=x?.+z. хИ + г = /{г)		_
dx	dx '	dx '	J v f(z) — z x
С __?±
c. х-=--се-' f^~z.
7T4
I \z) —Z
In|jt|+Inc.
Заметим, что правая часть однородного уравнения является
однородной функцией переменных л: и у нулевой степени однород-
' ности, поэтому уравнение вида
М{х, y)dx-{-N{x,

26	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ	УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА '	(ГЛ. I
.будет однородным, если М (х, у) и N(x, у) являются однородными
функциями х и у одинаковой	степени однородности, так как в этом
случае
dy__	М (х, у) __ ,(у_\
dx~	N (х, у) ~~ ' \ х ) '
Пример 3.
_	dy	dz ,
Полагая у = хг, —— = х -%—\- г и подставляя в исходное уравнение по-
получим
dz ,	,	cos z dz dx
х—-.	\- z — z -Mg2, 	;	=	,
dx '	' ь	sin z	x
In (sin г I = In | x\ -\~ In c, sin z — ex, sin— = ex.
Пример 4.
(x -f y) dx — (y — x) dy = 0.
Полагая у = xz, dy = x dz -f- z dx, получим
(x -\- xz) dx — (xz — x) (x dz -)- z dx) = 0,
A -f 2z — z2) dx-\-x(\—z)dz — 0,
-1
2
Уравнения вида
dx ~J
преобразуются в однородные уравнения путем переноса начала коор-
координат в точку пересечения {xv yx) прямых
а^я + ^у-Ь Cj = 0 и а2х -f- Ь2у -f- с2 = 0.
Действительно, свободный член в уравнениях этих прямых в но-
новых координатах Х = х — xv Y = y—у1 будет равен нулю, коэф-
dv dY
фициенты при текущих координатах остаются неизменными, а -f- — -гъ,
и уравнение A.8) преобразуется к виду
dY
dX~~J \а2Х-\-Ь2
или
. и Y
#t + °l -у-
Я
dY . ^"i X \ (Y\
¦dX=>f[——T-) = 4\-x)
и является уже однородным уравнением.

§ 41	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	27
Этот метод нельзя применить лишь в случае параллельности
прямых ахх -f- bxy -f- cx = 0 и а2х -\-Ь2у ^г с2 = 0. Но в этом случае
коэффициенты при текущих координатах пропорциональны — =
= -^- = k, и уравнение A.8) может быть записано в виде
и следовательно, как указано на стр. 24, замена переменных z =
— ахх -f- bxy преобразует рассматриваемое уравнение в уравнение
с разделяющимися переменными.
Пример 5.
d
dx jc-fy —3"
Решая систему уравнений х — у -(- 1 == 0, х-\-у — 3 = 0, получим хх = 1,
У! = 2. Полагая л: = Х4 1> У=У-т2, будем иметь
dX ~ X+V
Замена переменных z — -j? или Y — zX приводит к уравнению с разделяющи-
разделяющимися переменными
-, | у dz - '—z W+z)dz _ dX
^ dX~ \-\-z' \ — 2z — z2~X'
2	2
x2 — 2xy — y2 -f 2x 4- 6y == c,.
§ 4. Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение линейное относительно неизвестной функции
и ее производной. Линейное уравнение имеет вид
где р (х) и /(х) в дальнейшем будем считать непрерывными функ-
функциями х в той области, в которой требуется проинтегрировать
уравнение A.9).
Если /(х) = 0, то уравнение A.9) называется линейным однород-
однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:
dv
—^_..i_nf^^«i — n откуда --^- = —.

28	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. 1
и, интегрируя, получаем
ln|y|=— f p(x)dx + lncl, CjX),
y = ce-SMx)dx. сФО,	A.10)
При делении на у мы потеряли решение у = 0, однако оно может
быть включено в найденное семейство решений A.10), если считать
что с может принимать и значение 0.
Для интегрирования неоднородного линейного уравнения
%+P(x)y=f(x)	A-9)
может быть применен так называемый метод вариации постоянной.
При применении этого метода сначала интегрируется соответствующее
(т. е. имеющее ту же левую часть) однородное уравнение
общее решение которого, как указано выше, имеет вид
п	1	- \ Р (х) dx
При пвстоянном с функция се ¦'	является решением однород-
однородного уравнения. Попробуем теперь удовлетворить неоднородному
уравнению, считая с функцией х, т. е. по существу совершая замену
переменных
. . - Г р (х) dx
y — c(x)eJ
где с (х)— новая неизвестная функция х.
Вычисляя производную
dy dc - Г P(x)dx	- Г р (х) dx
17 = Ше }	-с(х)р(х)е .1
и подставляя в исходное неоднородное уравнение A.9J, получим
dc -{p(x)dx	-f p{x)'dx	-I p(x)dx
-j^e	—c(x)p{x)e i	+p(x)c(x)e J	=/(*)
или
dx
откуда, интегрируя, находим

§ 4]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	29
а следовательно,
-\p(x)dx	-\p{x)dx	-[pwdx г - \p{x)dx ,
y=zc(x)e J	=c1e-J	-j-e J	Jf(x)eJ	dx.
A.11)
Итак, общее решение неоднородного линейного уравнения равно
сумме общего решения соответствующего однородного уравнения
-f p(x)dx
и частного решения неоднородного уравнения
-I р (х) dx (¦	Г p(x)dx
е J	\ f(x)ei	dx.
получающегося из A.11) при сг = 0.
Заметим, что в конкретных примерах нецелесообразно пользо-
пользоваться громоздкой и трудно запоминаемой формулой A.11), значи-
значительно легче каждый раз повторять все приведенные выше вычи-
вычисления.
Пример 1.
йУ___У___ 2
dx x
Интегрируем соответствующее однородное уравнение
dy dc
Считаем с функцией х, тогда у — с(х)х, ~- = -т— х-\-с(х) и,, подставляя
ctx ах
в исходное уравнение, после упрощения получаем
dc	х*
—— х = х2 или dc — x dx, с (х) = -я- + си
dx	ч ' 2
Следовательно, общее решение
Пример 2.
dy
~	у ctg х = 2х sin х.
Интегрируем соответствующее однородное уравнение
dy	dy cos x j
—~	V Ctg X = 0, —i- = —:	 rfjC,
dx ' &	у sin л:
In | у | = In | sin л: | + Inc. y = csinx.
Варьируем постоянную
y — c(x)sinx, у' = с' (л:) sinx-\-c (x)cosx.

30	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. 1
Подставляя в исходное уравнение, получим
с' (х) sin х -\- с (х) cos х — с(х) cos х = 2х sin x,
с'(х) = 2х, c(x) = x2 + Ci,
у = х2 sin х -\- с, sin х.
Пример 3. В электрической цепи с самоиндукцией происходит процесс
установления переменного тока. Напряжение U является заданной функцией
времени U — U (t), сопротивление R и самоиндукция L постоянны, начальная
сила тока / @) = /0 задана. Найти зависимость силы тока / = / (t) от времени.
Пользуясь законом Ома для цепи с самоиндукцией, получим
Решение этого линейного уравнения, удовлетворяющее начальному условию
/@)=/0, согласно A.11) имеет вид
A.12)
л , г	i	я
-~г'	\ Г т
I = е L /0 + -i / (/ @ е
L L{
При постоянном напряжении U = U0 получим
Интересен случай синусоидального переменного напряжения U = A sin at.
При этом согласно A.12) получим
sin to^ dt. I
о	/
Стоящий в правой части интеграл легко вычисляется.
Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных
могут быть сведены к линейным. Например, уравнение Бернулли,
имеющее вид
-—- -)- р {х) у = f (х) у", п ф 1.
или
заменой переменных у п = z сводится к линейному уравнению. Дей-
dy elz
ствительнс, дифференцируя yl~n=z, находим A—п.) у" -гг- = "тг
и, подставляя в A.13), получим линейное уравнение

«О	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	31
П р и м е р 4.
dx~ 2x~t~ 2y'
' dx x '	'	J dx dx
tf* л: п
и далее, как в примере 1 стр. 29.
Уравнение
называемое уравнением Риккати, в общем виде не интегрируется
в квадратурах, но может быть заменой переменных преобразовано
в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение ух(х)
этого уравнения. Действительно, полагая у = у^ -\- г, получим
или, так как у[ -f- p (х) у, -\-q(x) y\ = f{x), будем иметь уравнение
Бернулли
z' -г- [р (х) + 27 (х) yx]z + q (х) z* = 0.
Пример 5.
dy _ 2	2_
Л* ~ у х2'
В этом Примере нетрудно подобрать частное решение у, = —. Полагая
у = г + —, получим у' = г' — _, г' — —^ = ^ -f- — j — —, или
г' = г2 -)- 2	уравнение Бернулли.
г' _ 2 _ 1 <*и _ г'
г2~л:г+ ' "* йл:	Т2"'
«=^т
du
dx ~
9 In 1
C'(JC)
X*
X 1
3 ' г
lu
X
\хН
— 1,
"л:2
У —
аи
- In с, и =
C(JCJ —
л:
3 '
У
1 Зл:2
х ' с, —'
с
*2
Л3
3
1
к3'
2а
X
, и
+ с
1
X
\х
с (х)
X
а:2
•
X
3*

32	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	ГГЛ. Т
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах
Может случиться, что левая часть дифференциального уравнения
М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0	A.14)
является полным дифференциалом некоторой функции и{х, у):
du {х, у) ¦= М {х, у) dx -f- N (х, у) dy
и, следовательно, уравнение A.14) принимает вид
du(x, у) = 0.
Если функция у (х) является решением уравнения A.14), то
du(x, у (*))== О,
и, следовательно,
и(х, у(х)) = с,	A.15)
где с—постоянная, и наоборот, если некоторая функция у(х) обра-
обращает в тождество конечное уравнение A.15), то, дифференцируя
полученное тождество, получим du (x, у(х)) = 0, и следовательно,
и (х, у) = с, где с произвольная постоянная, является общим инте-
интегралом исходного уравнения.
Если даны начальные значения у (х0) = у0, то постоянная с опре-
определяется из A.15) с = и (х0, у0) и
а(х, у) = и(х0, у0)	С1-l5i)
является искомым частным интегралом. Если —г- = N (х, у) Ф О
в точке (д;0, у0), то уравнение A.15j) определяет у как неявную
функцию х.
Для того чтобы левая часть уравнения A.14)
М(х, y)dx +N(x, y)dy
являлась полным дифференциалом некоторой функции и(х, у), как
известно, необходимо и достаточно, чтобы
дМ{х, у) _ dN{x, у)	1б
ду	дх
Если это условие, впервые указанное Эйлером, выполнено, то
уравнение A.14) легко интегрируется. Действительно,
du = Mdx + N dy.
С другой стороны,
, аи . , аи
dudx+dy

« 51	УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
Следовательно,
33
откуда
—-г=М{х, у);
и(х,у) = J M(x,
ди_
ду
= N(x, у),
При вычислении интеграла Г М(х, y)dx величина у рассматривается
как постоянная, поэтому с (у) является произвольной функцией у.
(xo,yj
Рис. 1.10.
Для определения функции с (у) дифференцируем найденную функцию
и{х, у) по у и, так как —~ — N(x, у), получим
)	у).
~(jM(x, y)dx)-{-c'(y) =
Из этого уравнения определяем с' (у) и, интегрируя, находим с (у).
Как известно из курса математического анализа, еще проще
можно определить функцию и(х, у) по ее полному дифференциалу
du — M(x, y)dx-\-N{x, y)dy, взяв криволинейный интеграл от
М (х, у) dx -\- N (х, у) dy между некоторой фиксированной точкой
(хо< Уо) и точкой с переменными координатами (л:, у) по любому
пути:
(х, у)
и(х, у) = Г М(х, у) dx-\-N(x, y)dy.
Чаще всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломаную,
составленную из двух звеньев, параллельных осям координат (рис. 1.10);
в этом случае
!-«, У1	IX, Уо)	(JT, У>
J M dx + Ndy= j Mdx+ J N dy
f*i,y-'	-	W,yi)	U, Уо)

34	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. I
ИЛИ
\Х. VI	Л, У>	,-Г, У)
Г /И d*-|~ A/dy = J ЛМу-f J Mdx.
(*о. Уо)	Wo, Уо>	f-fo, У!
Пример 1.
Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функ-
функции и (х, у), так как
-—- = х + с' (у),
Следовательно, общий интеграл имеет вид
Можно применить и другой метод определения функции и, (х, у):
(.х, у)
(х„ у0)
За начальную точку (лг0, у0) выбираем, например, начало координат, в ка-
качестве пути интегрирования — изображенную на рис. 1.11 ломаную. Тогда
(х, 0)	(х, у) ¦
и(х,у)= f Oc+l)dx+ f (-*-y*-r-3)dy=^-f
'	0
@,0)	' (x, 0)
и общий интеграл имеет вид
х2	v3
или как в A. 17).
В некоторых случаях, когда левая часть уравнения
М{х, y)dx-\-N{x, y)dy = 0	A.14)
не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функ-
функцию р,(х, у), после умножения на которую левая часть уравнения A.14)
превращается в полный дифференциал
du = (ауИ dx -+- liN dy.

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
35
Такая функция ц называется интегрирующим множителем. За-
Заметим, что умножение на интегрирующий множитель ц(х, у) может
привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот
множитель в нуль.
Пример 2.
х dx + у dy + (x2 -f У2) х2 dx = 0.
Очевидно, что после умножения на множитель ц = 2 . 2 левая часть пре-
превращается в полный дифференциал. Действительно, после умножения на
ц =	2 получим
х dx-)- у dy
1	х3
или, интегрируя, -^-\п(х2 -\-у2)-\- -q- = In сi. Умножая на 2 и потенцируя,
будем иметь
Конечно, далеко не всегда интегрирующий множитель подби-
подбирается столь легко. В общем случае для нахождения интегрирующего
множителя надо подобрать хотя бы одно
не равное тождественно нулю частное ре- уЛ
шение уравнения в частных производ-
производных
ду	дх '
или в развернутом виде
ду ' ^ ду дх
/2?. а;
Рис. 1.11.
которое после деления на [х и переноса
некоторых членов в другую часть равенства приводится к виду
д \п\х
М
дх
.. ON дМ
A.18)
В общем случае интегрирование этого уравнения в частных про-
производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегри-
интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор
частного решения уравнения A.18) не представляет затруднений.
Кроме того, считая, что интегрирующий множитель является функ-
функцией только одного аргумента (например, является функцией только
х-\-у или только х2-\-у2, или функцией только х, или только у
и т. д.), можно уже без труда проинтегрировать уравнение A.18) и

36	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. !
указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматри-
рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений,
для которых интегрирующий множитель легко может быть найден.
Например, найдем условия, при которых уравнение М dx~\-N dy=O
имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, \i = [i(x).
При этом уравнение A.18) упрощается и приобретает вид
dN дМ
dx '	dx ду '
dM dN
ду дх	„ ,
откуда, считая —-—j-	 непрерывной функцией х, получим
dM
ду
N
г),И
dN
дх
dN
In (х = f	л,	dx + In с,
Г ~ду~~Ъ~х
II 	 rpJ	N
dx.	A.19)
Можно считать е=1, так как достаточно иметь лишь один интег-
интегрирующий множитель.
дМ dN
Если — д,	 является функцией только х, то интегрирующий
множитель, зависящий лишь от х, существует и равен A.19), в про-
противном случае интегрирующего множителя вида (х(х) не существует.
Условие существования интегрирующего множителя, зависящего
только от х, выполнено например, для линейного уравнения
dv
-fa + р (х) у = / (л:) или' [р (х) у — / (*)] dx + dy = 0.
дМ dN
д v д jc	г
Действительно, —-—-г,	= р(х) и, следовательно, \i = е> р {х) dx.
Совершенно аналогично могут быть найдены условия существования
интегрирующих множителей вида
\х(х±у), \i(x2±y2), \х,{х ¦ у), (х(^) и т.д.
Пример 3. Имеет ли уравнение
х dx -f у dy -\- х dy — у dx ==.0	A.20)
интегрирующий множитель вида ц = ц (х2 -\- у2)"?
Обозначим х2 -\- у2 = г. Уравнение A.18) при ц = ц (л:2 + у'г) = ц (г) при-
принимает вид
dz ~ дх ду '

§ 51	УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ	37
откуда
ln||i| = -^-
или
i_ Г
v,= ce2 J '" ,	A.21)
где
dN дМ
Для существования интегрирующего множителя заданного вида необходимо
dN дМ
, дх ду
и в предположении непрерывности <р (г) достаточно, чтобы —^	-^—
была функцией только х2 -\- у2. В данном случае
dN дМ
~дх ду~	2
My—Nx	x2+y2'
следовательно, интегрирующий множитель \х = ц (х2 -f- у2) существует и ра-
равен A.21). При с = 1 получим
Г *
_
у2 '
Умножая уравнение A.20) на и =—^—г—г> приведем его к виду
х ~т У
х dx-\- у dy х dy — у dx 	„
или
1
I d In (л:2 4- У2) + d arctg ^- = 0.
Интегрируя, получим
и после потенцирования будем иметь
\nfx2-\-y2 = — arctg-^- + In с,
у
- arctg —
х

38
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
или в полярных координатах р = се ф — семейство логарифмических спира-
спиралей.
Пример 4. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному
направлению все лучи, выходящие из заданной точки.
Поместим начало координат в заданную точку и направим ось абсцисс
параллельно заданному в условиях задачи направлению. Пусть луч падает
на зеркало в точке М(х, у). Рассмотрим изображенное на рис. 1.12 сечение
зеркала плоскостью Оху, проходящее через ось абсцисс и точку М. Про-
Проведем касательную MN к рассматриваемому
У u,z,,,, ^- сечению поверхности зеркала в точке М (х, у).
Так как угол падения луча равен углу отра-
отражения, то треугольник MNO равнобедрен-
равнобедренный. Следовательно,
Рис. 1.12.
Полученное однородное уравнение легко ин-
интегрируется заменой переменных
х
— = г,
У
но еще проще, освободившись от иррациональности в знаменателе, переписать
его в виде
х dx -\- у dy — У х2 -\- у2 dx.
Уравнение имеет очевидный интегрирующий множитель
'	±^x±y_dy_	г
(семейство парабол).
Замечание. Эта задача еще проще решается в координатах х и р,
где р = Упх2 -f- у2, при этом уравнение сечения искомых поверхностей при-
приобретает вид
dx — dp, p = х -\- с.
Можно доказать существование интегрирующего множителя, или,
что то же самое, существование ненулевого решения уравнения в
частных производных A.18) (см. стр. 35) в некоторой области, если
функции М и N имеют непрерывные производные и по крайней мере
одна из этих функций не обращается в нуль. Следовательно, метод
интегрирующего множителя можно рассматривать как общий метод
интегрирования уравнений вида
М(х, y)dx~\-N{x, y)dy = 0,
однако ввиду трудности нахождения интегрирующего множителя этот
метод чаще всего применяется лишь в тех случаях, когда интегри-
интегрирующий множитель очевиден.

§ 6]	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	39
§ 6. Теоремы существования и единственности решения
уравнения -^-==f(x,y)
Класс интегрирующихся в квадратурах дифференциальных ура-
уравнений весьма узок, поэтому уже со времени Эйлера приближенные
методы в теории дифференциальных уравнений приобрели большое
значение.
В настоящее время в связи с быстрым развитием вычислительной
техники приближенные методы приобретают еще несравненно боль-
большее значение.
Теперь часто целесообразно применять приближенные методы даже
в тех случаях, когда уравнение интегрируется в квадратурах. Более
того, если даже решение может быть несложно выражено в элемен-
элементарных функциях, то нередко ис-
использование таблиц этих функций
оказывается более трудоемким, чем
приближенное интегрирование урав-
уравнения на быстродействующей маши-
машине. Однако, для того чтобы приме-
применять тот или иной метод прибли-
приближенного интегрирования дифферен-
дифференциального уравнения, надо прежде
всего быть уверенным в существова-
существовании искомого решения, а также и в
единственности решения, так как при
отсутствии единственности остается
неясным, какое именно решение тре-
требуется приближенно определить.
Чаще всего доказательство теорем существования решения одно-
одновременно дает и метод точного или приближенного нахождения ре-
решения, что еще более увеличивает значение теорем существования.
Например, доказываемая ниже теорема 1.1 дает обоснование метода
Эйлера приближенного интегрирования дифференциальных уравнений,
который заключается в том, что искомая интегральная кривая диф-
дифференциального уравнения -j- =f(x, у), проходящая через точку
(х0' Уо)' заменяется ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков
(рис. 1.13), каждое звено которой касается интегральной кривой
в одной из своих граничных точек. При применении этого метода
для приближенного вычисления значения искомого решения у(х)
в точке х — Ь, отрезок хй~^х^Ь (если b > л:0) делится на п рав-
равных частей точками х0, xv x2, .... xn_v xn, где хп = Ь. Длина
каждой части xlti —xi = h называется шагом вычисления. Прибли-
Приближенные значения искомого решения в точках xi обозначаем yt.
Рис. 1.13.

40	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	ГГЛ. I
Для вычисления У) заменяем на отрезке х0 -^ х <С хх искомую
интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0, у0).
Следовательно, у,=у0-)-hy'o, где y'u=zf(xQ, у0) (см. рис. 1.13).
Аналогично вычисляем:
У2=У1+Ьу'1, где y\ = f{xv у,);
у3= у2+hy'2, где у2 = /(х2, у2);
y^Vi + K-rгде d = /K-i' y,-i>
Если * < х0, то схема вычислений остается прежней, но шаг h
отрицателен.
Естественно ожидать, что при А->0 ломаные Эйлера прибли-
приближаются к графику искомой интегральной кривой, и следовательно,
с уменьшением шага h метол Эйлера дает все более и более точное
значение искомого решения в точке Ь. Доказательство этого утвер-
утверждения одновременно приведет нас к следующей фундаментальной тео-
dv
реме о существовании и единственности решения уравнения -~- = / (х, у)
с начальным условием у(хо) = уо при весьма общих достаточных
условиях, наложенных на функцию f(x, у).
Теорема 1.1 (о существовании и единственности решения).
Если в уравнении
U = /(*. У)	A-22)
функция fix, у) непрерывна в прямоугольнике D:
х0 — а<х <хп4-а. у0 — ?<у <yo-f-*,
и удовлетворяет в D условию Липшица:
1/(*. У1)-/(*. Уа) К//1 у, — У21.
где N — постоянная, то существует единственное решение
у = у(х), х0 — Н <] х ^х0-\- Н, уравнения {1.22), удовлетворяю-
удовлетворяющее условию у(хо) = уо, где
±,
М = max / (х, у) в D.
Условия теоремы нуждаются в некоторых пояснениях. Нельзя
утверждать, что искомое решение y = y(jc) уравнения A.22), удо-
удовлетворяющее условию у (jc0) = у0, будет существовать при ^0 — а ^
^, х <! х0 -+¦ а. так как интегральная кривая у = у (я) может выйти

§ 61
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
41
из прямоугольника D через его верхнюю или нижнюю стороны
у = у0 ± b (рис. 1.14) при некотором значении х = хх, х0 — а < х, <
< xQ -j- а, и тогда, если хх > х0, при л: > хх решение уже может
быть не определено (если хх < х0, то решение может быть не опре-
определено при х < jCj). Можно гарантировать, что интегральная кривая
у = у (л:) не выйдет за пределы области D при х, изменяющемся на
У\
0 х„-а xo-h х0 xothx,xo+a
Рис. 1.14.	Рис. 1.15.
отрезке х0 — И -^ х ^ xo-f- Н, где Н — наименьшее из двух чисел а,
-j-r (рис. 1.15), так как угловой коэффициент касательной к искомой
интегральной кривой заключен между угловыми коэффициентами М
и —М прямых, изображенных на рис. 1.15. Если эти прямые, между
которыми заключена искомая интегральная кривая, выходят за пре-
пределы прямоугольника D через его горизонтальные стороны у — уа ± Ь,
то абсциссы точек пересечения этих сторон будут х0 ± -^ , следо-
следовательно, абсцисса точки выхода интегральной кривой из прямо-
прямоугольника D может быть лишь меньше или равна xo-j--tj и больше
b
или равна х0—-тг.
Можно доказать существование искомого решения на отрезке
Xq — н ^.х <; хо-\-Н, где # = min(a, -тг). однако проще вначале
доказать существование решения на отрезке х0 — Н ^х ^ xQ-\-H,
где
mini а, -тз-, -тг) • а в дальнейшем будут указаны условия,
при выполнении которых решение может быть продолжено.
Условие Липшица

42
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. [
может быть заменено несколько более грубым, но зато обычно легко
проверяемым условием существования ограниченной по модулю част-
частной производной /'(х, у) в области D.
Действительно, если в прямоугольнике D
\f'y(x. y)\<N.
то, пользуясь теоремой о конечном приращении, получим
и у2 значение. Следовательно,
где | — промежуточное между у1
точка (х, |) лежит в D, поэтому
\/у(х. 1)|<Л/ и
Нетрудно
Липшица выполнено, но производная -^-
привести примеры функций
в окрестности точек (х, 0)),
/ (х, у) (например,
для которых условие
L
ду
в некоторых точках не
^ Л/ является более гру-
существует, следовательно, условие
бым, чем условие Липшица.
Доказательство теоремы существования и един-
единственности. Заменим дифференциальное уравнение
с начальным условием
У(хо) = уо
эквивалентным интегральным уравнением
(L22)
A.23)
A.24)
Действительно, если некоторая функция У = у(х) при подста-
подстановке обращает в тождество уравнение A.22) и удовлетворяет усло-
условию A.23), то, интегрируя тождество A.22) и принимая во внимание
условие A.23), получим, что у = у(х) обращает в тождество и ура-
уравнение A.24). Если же некоторая функция у = у (х) при подстановке
обращает уравнение A.24) в тождество, то она, очевидно, удовле-
удовлетворяет и условию A.23), а дифференцируя тождество A-24), полу-
получим, что у = у (х) обращает в тождество и уравнение A.22).
Строим ломаную Эйлера у = уп (х), исходящую из точки (х0, у0)
с шагом hn = — на отрезке хо^х^хоН-Я, п — целое положи-

§ 6]	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	43
тельное число (совершенно аналогично доказывается существование
решения на отрезке х0 — Н ^ х ^ х0). Ломаная Эйлера, проходящая
через точку (х0, у0), не может выйти из области D при х0 <; х <[
<; хо~\- Н (или х0 — Н < х < х0), так как угловые коэффициенты
каждого звена ломаной по модулю меньше М.
Дальнейшее доказательство теоремы разобьем на три этапа:
1)	Последовательность у~уп(х) равномерно сходится.
2)	Функция >>(х)— lim yn{x) является решением интеграль-
п ->-оо
ного уравнения A.24).
3)	Решение у{х) уравнения A-24) единственно.
Доказательство 1). По определению ломаной „Эйлера
Ул (¦*) = /(¦**• У к) ПРИ xk<x<xk + v k==0' l	п~Х
(в угловой точке xk взята правая производная), или
у'п (х) = f (х, уп (х)) -J- [/ (х,, yk) - f (х, уп (х))] A.25)
обозначим
/(**• У к) — fix, У„(х)) = ц„(х).
В силу равномерной непрерывности функции /(х, у) в D получим
еп	A-26)
при п > Л/ (е„), где еЛ—>0 при п—> со, так как |х — xk
г т
а |У* —УЛ(*)К^Л„ и hn=~->0 при /г->оо.
Интегрируя A.25) по х в пределах от х0 до х и учитывая, что
= Уо- получим
X	X
Уп W = yo+ f f (t, yn (/))rf/ + f цп (/)rf/.	A.27)
Здесь « может принимать любое целое положительное значение, сле-
следовательно, при целом m > О
X	X
Уп+т(*) = Уо+ f /V- Уп+а&) М+ fiU + m<t)*t. A.28)
X,	Х}

44	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	(ГЛ. I
Вычитая из A.28) почленно A.27) и взяв модуль разности, получим
¦+ ^n+mif)dt - fy)n(t)dt
X
• yn+m(t))-f{t. yn(t))\dt+-
при х0 ^ х ^ х0 -f- H или, принимая во внимание A.26) и условие
Липшица:
Следовательно,
max | у„+т (х) — уя (л-) |
< < + й
х
< N max J | yn+ffl @ - yn (t) | d/ + (г„ ,т + е„) Я,
откуда
для любого ? > 0 при достаточно большом п > Л/, (е).
Итак,
max (>'n+m(-'c:)—ул (л:) | <С ?
К ^ X <^ X + И
при п > Л/] (е), т. е. последовательность непрерывных функций уп {х)
равномерно сходится при х0 <^ х <J] xo-f-Я:
У nix) =$y(x),
где у (х) — непрерывная функция.
Доказательство 2). Перейдем в уравнении A.27) к пределу
при га->оо:
X	X
Iimyn(x) = y0-f- lim J fix, yn(x))dx-\- lim

§ 6]	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	45
ИЛИ
х	к
У(*) = Уо-г- lim f/(*. Ул (*))<** + lim (r\n(x)dx. A.29)
л->со J	л->оо J
-fo	-fl
В силу равномерной сходимости уп(х) к у(х) и равномерной непре-
непрерывности функции f(x, у) в D последовательность /(х, уп(х)IХ
Действительно,
|/(х, у(х)) — /(х,у„(х))\<г.
где е > 0, если \у(х) — у„(х)\ < б(е), но \у(х)— у„(х)\ < 6(г), если
га > Л^ F (е)) для всех х из отрезка х0 < х <; л-|- И.
Итак, |/(х, у(х)) — /(а:, у„{х))\ <е при л > NxF(е)), где Мг
не зависит от х.
В силу равномерной сходимости последовательности /(х, уп(х))
к /(х, у(х)) в A.29) возможен переход к пределу под знаком инте-
интеграла. Принимая, кроме того, во внимание, что |Лл(е)|<ел> где
ел —>0 при п—>оо, окончательно в A.29) получим
У(*) =
Итак, у (х) удовлетворяет уравнению A.24).
Доказательство 3). Допустим существование двух несовпа-
несовпадающих решений у1 (х) и у2 (х) уравнения B4), следовательно,
max \yi(x)~y2(x)\ фО.
Вычитая почленно из тождества
тождество
y2(x) = y0-j-J/(x,
получим

46	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Следовательно, .
max | з-'i (х)~
X
у2 (х))] dx
[ГЛ. 1
= max
Xo < x < xa+ll
max
f \f(x,
. y2(x))\dx
Пользуясь условием Липшица, будем иметь
max
шах
max
X
f
х-
max
X <, X
уЛ
+ Н
X)
1
1
— У 2
X
" dx
(х)\
—
dx
= NH max )y: (x) — у2 (х)\.
*<* <х+ Н
Полученное неравенство
max I Vi (x)~
max
— у2 (лг)| A.30)
противоречиво, если шах \У\{х)—у2(х)\ ф О, так как по усло-
условию теоремы И < ~п-, а из A.30) следует, что ЛШ=1.
Противоречие снимается лишь при
max l^il*) — Уг С-^) I == t>,
Ха <х<^о + /У
т. е. если уг(х)^у2(х) при х0 ^ х ^ х0 -\- Н.
Замечание 1. Существование решения уравнения A.22) можно
было бы доказать иным методом лишь в предположении непрерыв-
непрерывности функций f{x, у) (без условия Липшица), однако одной непре-
непрерывности функции / (х, у) недостаточно для доказательства един-
единственности решения.
Замечание 2. Существование и единственность решения у=у{х)
доказаны лишь на отрезке х0 — Н ^ х ^ х0 -f H, однако, взяв точку
(х0-\-Н, у(хо-\-Н)) за начальную, можно, повторив рассуждение,
продолжить решение еще на отрезок длины Hv если, конечно,
в окрестности новой начальной точки выполнены условия теоремы
существования и единственности решения. Продолжая этот процесс

6]
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
47
в некоторых случаях, можно продолжить решение на всю полуось
х >> х0 или даже на всю ось — со < х < со, если продолжить реше-
решения и в сторону меньших значений х. Однако возможны и другие
случаи, даже если функция f(x, у) определена для любых значе-
значений х и у.
Возможно, что интегральная кривая становится непрололжаемой
ввиду приближения к точке, в которой нарушены условия теоремы
A,0) X
X
Рис. 1.16.
Рис. 1.17.
существования и единственности решения или интегральная кривая
приближается к асимптоте, параллельной оси Оу.
Эти возможности иллюстрируются следующими примерами:
d\ х
1) -j— =	, у@) = 1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем
у2 _
у =
= 1, у = /1 — хК
Решение непродолжаемо за пределы интервала — 1 < х < 1. В граничных
точках (—1, 0) и A, 0) правая часть уравнения -~г-=	разрывна. Усло-
Условия теоремы существования решения нарушены (рис. 1.16).
dy
2) ~— = у2, у A) = 1. Разделяя переменные и интегрируя, получим
У	р 	о у ^^
и интегральная кривая продолжаема лишь до асимптоты х — 2(— оо<л:<2)
(рис. 1.17).
В настоящее время теоремы существования и единственности реше-
решений не только дифференциальных уравнений, но и уравнений иных
типов очень часто доказывают методом неподвижных точек.

48	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	(ГЛ. 1
Простейшей теоремой о неподвижных точках является принцип сжа-
сжатых отображений.	;
Принцип сжатых отображений. Если в метрическом *)
полном **) пространстве М задан оператор Л, удовлетво-
удовлетворяющий условиям:
1)	оператор А переводит точки пространства М в точки
того же пространства: если усМ, то А[у]сМ;
2)	оператор А сближает точки, точнее,
р(А[у], A [z] )<! ар (у, z),
где у и z — любые точки пространства М, а < 1 и не зависит
от выбора у и z, p(y, z) — расстояние между точками у и z
в пространстве М, то существует единственная неподвиж-
неподвижная точка у пространства М, А[у]=у, и эта точка может
быть найдена методом последовательных приближений, т. е.
у = lim уп, где уп — А[уп_1] (я=1, 2, ...), причем точка у0
выбирается в пространстве М произвольно.
Доказательство. Докажем, что последовательность
Уо> У1- У2	'Уя. ¦••
фундаментальна. Оценим расстояние между соседними членами этой
последовательности:
Р(У2- yi) =
Р(Уз> У2) = Р(АШ> ^[yil)<ap(y2. У1)<а2Р(У1. Уо).
A.31)
Уо).
*) Пространство М называется метрическим, если в нем определена
функция р (у, г) пар точек этого пространства, удовлетворяющая для любых
точек у и г рассматриваемого пространства условиям:
1)	Р (У. *) > 0, причем р (у, у) = 0 и из р (у, г) = 0 следует у — г;
2)	рО>,*) = р(*,у);
3)	р(у, г)<р(у, и)-f-p(и, г) (правило треугольника).
Функция р называется расстоянием в пространстве М.
**) Метрическое пространство М называется полным, если каждая фун-
фундаментальная последовательность точек пространства М сходится в этом
пространстве. Напомним, что последовательность у(, у2, .... уя, . ¦. назы-
называется фундаментальной, если для каждого е > 0 можно подобрать число .Л/ (е)
такое, что при п > N (е) расстояние р (у„, уп+т) < ? при любом целом т > 0.

§ 61	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	49
Применяя теперь т — 1 раз правило треугольника и используя
неравенства A.31), получим
при достаточно большом га. Следовательно, последовательность yQ,
yv y2	уп, ... фундаментальна и, в силу полноты простран-
пространства М, сходится к некоторому элементу того же пространства:
Нт у„ —у, ус:М.
Докажем теперь, что у является неподвижной точкой. Пусть
А[у]=у. Применяя два раза правило треугольника, получим
Р(У. У)<Р(У. Уп) + 9(Уп' Уп+1) + 9(Уп+1< У)-
Для любого е>0 можно выбрать N(е) такое, что при га^-Л/(е)
1)	Р(У. У„><т- так как У— Ит Уп'
°	п-*со
2)	Р (Уп- Ул+1)<"Т> Так как последовательность у„ фундамен-
фундаментальна;
3)	Р(Уп+1. У)=р(А[Уп\' А\У])<аР(Уп>У)< j- откудар(у, у)<е,
где е можно выбрать сколь угодно малым. Следовательно,
9(У- У) = 0 и у=у. А(у]=у.
Остается доказать, что неподвижная точка у единственна.
Если бы существовала еще одна неподвижная точка z, то
р(/4[у], A[z])—p(y, z), что противоречит условию 2) теоремы.
Применим принцип сжатых отображений к доказательству тео-
теоремы существования и единственности решения у (х) (х0 — ^о^
dv
<;х<;хо + Ло) дифференциального уравнения -f-—f(x, у), удо-
удовлетворяющего условию у (х0) = yQ, в предположении, что в области D
функция / непрерывна и, следовательно, ограничена |/| ^М и удо-
удовлетворяет условию Липшица
|/(*. У) —fix. z)\<?N\y — z\.
Число A0<^min(a, -jA « будет точнее выбрано ниже.
4 Л. Э. Эльсгольц	>

50	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. 1
Рассмотрим полное метрическое пространство С, точками кото-
которого являются всевозможные непрерывные функции у (х), определен-
определенные на отрезке л:0 — й0 ^ х <^ xQ -\- h0, графики которых лежат
в области D, а расстояние определяется равенством
р(у, z) = max \y — z\,
где максимум берется при х, изменяющемся на отрезке
XQ	IIq -^ X <f Xfj —)— «Q.
Это пространство часто рассматривается в различных вопросах дгате-
матического анализа и носит название пространства равномерной
сходимости, так как сходимость в смысле метрики этого простран-
пространства означает равномерную сходимость.
Заменим дифференциальное уравнение —?- — f(x, у) с начальным
условием у(хй) = у0 эквивалентным интегральным уравнением
f(x, у)с1хГ	A.24)
f
х-,
Рассмотрим оператор
х
= уо+ ff(x, y(x))dx,
ставящий в соответствие каждой непрерывной функции у(х), задан-
заданной на отрезке х0 — h0 ^ х ^ х0 -(- hQ и не выходящей из обла-
области D, непрерывную функцию А [у], определенную на том же от-
отрезке, график которой также не выходит из области D, так как
X
ff(x,y)dx
. Оператор А [у], следовательно, удовлетво-
удовлетворяет условию 1) принципа сжатых отображений.
Уравнение A.24) при этом запишется в виде у = А[у\, и следо-
следовательно, для доказательства теоремы существования и единствен-
единственности остается доказать существование в пространстве С единствен-
единственной неподвижной точки у(х) оператора А, так как в этом случае
у = А [у] и уравнение A.24) удовлетворяется.
Для доказательства теоремы остается проверить, удовлетворяет ли
оператор А условию 2) принципа сжатых отображений:
р(Л[у], Л[.г])<ар(_у, z), а<1,
где
|
, z)\dx

§ 61	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
Пользуясь неравенством Липшица, получим
51
р(А[у), A \z\ X N max
N max \y — z\ max
' — z I dx
dx
— Nh0 max |y — z\ = Nh()p(y, z).
Выбирая ft0 так, чтобы Л/йо<^а< 1, получим, что оператор Л удо-
удовлетворяет З'СЛОВИЮ
р(А[у],
. г), а<
Итак, согласно принципу сжатых отображений существует един-
единственная неподвижная точка у(х) оператора А, или, что то же самое,
единственное непрерывное решение уравнения A.24), и оно может
быть найдено методом последовательных приближений.
Совершенно аналогично можно доказать теорему существования
и единственности решения Ух(х), у2(х)	Уп(х) для системы
уравнений
dy:
dx
или
i-= /,(*, ylf y2, .... у„). yi(x0) = yw (/=1, 2, .... я) A.32)
. 2	п) A.33)
в предположении, что в области D, определяемой неравенствами
х0 — а
а, у/0 — ft,
yt
(/ = 1,2	п).
правые части уравнений A.32) удовлетворяют условиям:
1)	все функции fi(x, уи у2	У„) A=1, 2	п) непре-
непрерывны, а следовательно, и ограничены, |/;|^М;
2)	все функции ft (l=\, 2	я) удовлетворяют условию
Липшица:
Точкой пространства С будет теперь система п непрерывных
функций (yv у2	уп), т. е. «-мерная вектор-функция Y(х)
, у2(х), .... уп(х), определенная на отрезке
min (а> -jfi	-Щ и бУЛет точнее
с координатами
хо — ho < х <
о- гДе К

52
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ГГЛ. !
выбрано ниже. Расстояние в пространстве С определяется равен-
равенством
п
где ?j, z2	zn—координаты вектор-функции Z(x).
Нетрудно проверить, что при таком определении расстояния мно-
множество С я-мерных вектор-функций Y(х) превращается в полное
метрическое пространство. Оператор А определяется равенством
ffi(x, yv у2, .... yn
,4-
)dx,
у2
т. е. при действии оператора А на точку (yv y2, .... ул) получаем
точку того же пространства С с координатами, равными правым
частям системы A.33).
Точка A[Y] принадлежит пространству С, так как все ее коор-
координаты являются непрерывными функциями, не выходящими из обла-
области D, если координаты вектор-функции У не выходили из области D.
Действительно,
. Уг- У2	Уп)ах
<м
/
dx
Mh0
и следовательно, \yt — З'го1<*1-
Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжатых
отображений:
р(Л[К], -
= v тах
/=1	X,
, (х,
n) — ft(x, zv z2,
j\fi(x, yv y2	yn) — fi(x> Z\<
п	х и
<N1
zn)\ dx
zn) I dx
max
1-1
«=1
j dx =Nnh${Y, Z).

« SI	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	53
Следовательно, если выбрать /г0^—^, где 0<а<1, или
NnhQ ^ а < 1, то условие 2) принципа сжатых отображений будет
удовлетворено и будет существовать единственная неподвижная
точка Y, причем ее можно найти методом последовательных прибли-
приближений. Но условие Y = A(Y) по определению оператора А экви-
эквивалентно тождествам
X
У/ = У/о + / // (*• i'v Уг	Уп)с1х (/=1,2,..., и),
где у((/=1, 2	п)—координаты вектор-функции К, то есть Y
является единственным решением системы A.33).
Пример 1. Найти несколько последовательных приближений у,. у2,
Уз к решению уравнения
^=х2Н-.у2; у@) = 0, — 1<х<1, —1<>'<1.
X
у
о
Полагая у0 (х) ^ 0, получим
= Г (лг2 + у2) dx, h0 = mln (l, -j) = у.
?,
о
Пример 2. При каких ограничениях линейное уравнение
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Для выполнения первого условия теоремы достаточно, чтобы на рассма-
рассматриваемом отрезке изменения х, ах ^ х ^ а2, функции р (х) и / (х) были бы
непрерывны. При этом будет выполнено и второе условие теоремы суще-
существования и единственности, так как частная производная по у от правой
dy
части уравнения -+- = — р (х) у -\- f (х) равна —р(х) и вследствие непре-
непрерывности функции р(х) на отрезке al^.x < а2 ограничена по модулю (см.
стр. 42). Итак, если р (х) и / (х) непрерывны на отрезке а, < х < а2, то
через каждую точку (х0, у0), где ах < х0 < а2, а у0 задается произвольно,
проходит единственная интегральная кривая рассматриваемого линейного^
уравнения.

54	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. I
Теорема 1.2 (о непрерывной зависимости решения от па-
параметра и от начальных значений). Если правая часть
дифференциального уравнения
g = /(x, у, (х)	.	A.34)
непрерывна по \i при Мо ^ .и -«С Hi u удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности, причем постоянная
Липшица N не зависит от ц, то решение у(х, \i) рассматри-
рассматриваемого уравнения, удовлетворяющее условию у(х0) —у0, не-
непрерывно зависит от ц.
Строим ломаные Эйлера У„ = Уп (х, \х), являющиеся непрерыв-
непрерывными функциями |i, и, повторяя рассуждения на стр. 40—45, получим,
что последовательность у„{х, \х) сходится равномерно не только
по х, но и по (-1 при х0 < х <1 х0 -4- И, Ио^Си^Щ, так как N и Н
не зависят от (.1, если Н < min ( a, -т-r , -rj- \ , где М ^> | / (х, у, \i)\.
Следовательно, решение у = у (х, |i) уравнения
X
У=Уо + j fix, У, H)dx,	, A.35)
являющееся пределом последовательности уп(х, \х), непрерывно не
только по х, но и по (х.
Замечание. Если применить к уравнению A.35) метод после-
последовательных приближений, то последовательные приближения у =
— уп(х, |i), являющиеся непрерывными функциями х и |х, равно-
равномерно сходятся к решению у(х, \i) уравнения A.35) (так как а==
= Nh < 1 не зависит от \i). Следовательно, и этим методом можно
доказать непрерывную зависимость решения от х и ц.
Очевидно, что доказательство нисколько не изменится, если
правая часть уравнения A.34) является непрерывной функцией не-
нескольких параметров в предположении, конечно, что постоянная
Липшица N от них не зависит.
Тем же методом при аналогичных условиях можно было бы
доказать непрерывную зависимость решения у(х, х0. у0) уравнения
-j-—f{x, у) от начальных значений х0 и у0, при этом пришлось бы
лишь несколько уменьшить /г0, так как в противном случае реше-
решения, определяемые начальными значениями, близкими к х0, у0,
могли бы выйти из области D уже при значениях х, лежащих на
интервале х0 — п0 < х < х0 -\- h0.
Однако еще проще заменой переменных свести вопрос о зави-
зависимости решения от начальных значений к уже рассмотренному выше

§ 6]
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
55
случаю зависимости решения от параметров, содержащихся в правой
части уравнения A.34). Действительно, полагая z = у {х, х0, у0)—у0,
dy
t — x—х0, преобразуем уравнение -—^- = f(x, у) с начальным уело-
(XX
вием у(хо) — уо в ~ = /(t-\-x0, z+y0), z@) = 0, к которому
уже можно применить теорему о непрерывной зависимости решения
от параметров х0 и у0,
если функция / непрерывна
и удовлетворяет условию
Липшица.
Аналогичные теоремы
теми же методами могут
быть доказаны для систем
уравнений.
Заметим, что непрерыв-
непрерывная зависимость решения
О
!.т0 - хо1- die. 5/
о
х
Рис. 1.18.
у(х, х0, у0), х0
(или b <^ х <^ х0), от началь-
начальных значений х0 и у0 означает, что для любого е > 0 можно подо-
подобрать 6(е, Ь) > 0 такое, что из неравенств
1*о ~ хо I < ° (?-
следует неравенство
\у(х, х0, уо
при ^^Ь
| у0 — у01< 6 (е, Ь)
A.36)
о	(рис. 1.18).
С возрастанием b число 6(е, Ь), вообще говоря, уменьшается и
при Ь—> со может стремиться к нулю. Поэтому далеко не всегда
удается подобрать такое число 6(е) > 0, при котором неравенство A.36)
удовлетворялось бы для всех х > х0, т. е. не всегда решзния, близ-
близкие по начальным значениям, остаются близкими при сколь угодно
больших значениях аргумента.
Решение, которое мало изменяется при произвольном, но доста-
достаточно малом изменении начальных значений для сколь угодно боль-
больших значений аргумента, называется устойчивым. Подробнее об
устойчивых решениях см. гл. 4.
Теорема 1.3 (об аналитической зависимости решения от
параметра, теорема Пуанкаре). Решение x(t, \i) дифферен-
дифференциального уравнения x — f{t, x, \i), удовлетворяющее условию
x(to) = xo, аналитически зависит от параметра \х в окрест-
окрестности значения \i = \i0, если функция f в заданной области
изменения t и х и в некоторой окрестности точки \i0 непре-
непрерывна по t и аналитически зависит от ц и х.

56	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	(ГЛ. t
Аналогичное утверждение справедливо и для системы уравнений
*!• *2	Хп- V-) (<=1. 2	ft),
причем в этом случае предполагается, что функции /, непрерывны
по первому аргументу и аналитически зависят от всех остальных
аргументов.
Подробное доказательство этой теоремы, как и других теорем,
требующих применения теории аналитических функций, мы не при-
приводим, отсылая читателя к статье А. Н. Тихонова [4], где дано
наиболее простое доказательство теоремы об аналитической зави-
зависимости решения от параметра.
Идея доказательства А. Н. Тихонова сводится к следующему: считая,
что ц может принимать и комплексные значения, доказывается существова-
Д х (t, р) дх
ние предела lim —	= -^- , что и означает аналитическую зависи-
Дц	ф
мость решения от ц. Существование этого предела следует из того, что
h.,x
отношение —— удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
d А^х f(U x(t, Ц + АЦ), Ц + Ац) —Я*. x(t, ц), ц + Ац) А[хх (t, ц)
dt Дц ~	АуХ (t, ц)	Дц	'
, f{t, X(t, Ц), Ц+Д|Х)_/(Л X(t, Ц), Ц)	Д
Дц	'	Дц
1.,-^
решение которого единственно и при стремлении приращения Дц по любому
закону к нулю стремится к единственному решению уравнения
Теорема 1.4 (о дифференцируемости решений). Если
в окрестности точки (х0, у0) функция f(x, у) имеет непре-
непрерывные производные до k-го порядка включительно, то реше-
решение у(х) уравнения
? = /(*. У).	A.37)
удовлетворяющее начальному условию у(хо) = уо, в некоторой
окрестности точки (х0, у0) имеет непрерывные производные
до (k-j-l)-zo порядка включительно.
Доказательство. Подставляя у(х) в уравнение A.37), по-
получаем тождество
-g- ~f(x, y(x)),	A.37,)
и следовательно, решение у (х) имеет в некоторой окрестности
рассматриваемой точки непрерывную производную f(x, y(x)).

5 61	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	57
Тогда, в силу существования непрерывных производных функции /,
будет существовать непрерывная вторая производная решения
^У__б^ df_dy__d^ df_
dx1 — дх ^ ду dx — дх ^ ду
Если k > 1, то, в силу существования непрерывных производных
второго порядка функции /, можно, дифференцируя еще раз тож-
тождество A.37Х), обнаружить существование и непрерывность третьей
производной решения
dx3 ~~ дх2 "!" дх dyJ ~r ду2 J "• ду \ дх "•" ду J)'
Повторяя это рассуждение k раз, докажем утверждение теоремы.
Рассмотрим теперь точки (х0, у0), в окрестности которых реше-
rfy
ния уравнения —±- — /(х, у), удовлетворяющего условию у(хо) = уо,
не существует или решение существует, но не единственно. Такие
точки называются особыми точками.
Кривая, состоящая сплошь из особых точек, называется особой.
Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек,
то решение называется особым.
Для нахождения особых точек или особых кривых надо прежде
всего найти множество точек, в которых нарушены условия теоремы
о существовании и единственности решения, так как только среди
таких точек могут быть особые. Конечно, не каждая точка, в кото-
которой нарушены условия теоремы о существовании и единственности
решения, обязательно является особой, так как условия этой тео-
теоремы достаточны для существования и единственности решения, но
они не являются необходимыми.
Первое условие теоремы существования и единственности реше-
решения (см. стр. 40) нарушается в точках разрыва функции f(x. у),
причем если при приближении по любому пути к некоторой изоли-
изолированной точке разрыва (х0, у0) функция / (х, у) неограниченно
возрастает по модулю, то в тех задачах, в которых переменные х и у
dv
равноправны, как мы условились выше, уравнение —i- = f(x, у)
, dx 1
должно быть заменено уравнением -—— = —	—, для которого
правая часть уже непрерывна в точке (х0, у0), если считать
Следовательно, в задачах, в которых переменные х и у равно-
равноправны, первое условие теоремы существования и единственности
нарушается в тех точках, в которых и функция f(x,y) и
*> У)
разрывны.

58	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Особенно часто приходится рассматривать уравнения вида
dy	 М (х, у)
1х~ N(x, у)' '
[ГЛ. I
A.38)
где функции М(х, у) и N(x, у) непрерывны. В этом случае функ-
будут одновременно разрывны лишь в тех
фу
М (х, у) N (х, у)
ции -тут—Ч- и -ГГ-—^у
Рис. 1.19.
Рис. 1.20.
точках (х0, у0), в которых М(х0, у0) = N (хй, у0) = 0 и не суще-
существует пределов
lim M (х, у)
N(x, у)
у->у
lim Л^ (х, у)
м (х, у) '
Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения A.38).
Пример 3
dy _ 2у
dx ~~ х
„	dx х
Правые части данного уравнения и уравнения -т— = -^- разрывны
в точке х = 0, у = 0. Интегрируя уравнение, получим у = сх2 — семейство
парабол (рис. 1.19) и * = 0. В начале координат — особая точка, называемая
узлом.
Пример 4.
dy 	 у
dx~ ~x'

6]
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
59
„	dx	х
Правые части данного уравнения и уравнения —т— =	разрывны
в точке х = О, у = 0. Интегрируя уравнение, получаем у —	семейство
гипербол (рис. 1.20) и прямую х = 0. В начале координат — особая точка,
называемая седлом.
Пример 5.
dy _ х -\- у
dx х — у '
_,	dx х — у
Правые части данного уравнения и уравнения —г— = —-г-~- разрывны
в точке х = 0, у = 0. Интегрируя рассматриваемое однородное уравнение
(сравните с примером 3 на стр. 36), получим:
у
		arctg —
Yх2 -\-yi=ce x
или в полярных координатах р = сеф—логарифмические спирали (рис. 1.21).
Особая точка такого типа называется фокусом.
Пример 6.
аУ = — *
dx ~~ у '
п	dx	у
Правые части данного уравнения и уравнения —т— = —— разрывны
в точке х = 0, у = 0. Интегрируя уравнение, получаем х2 -)- у2 = с2 — се-
семейство окружностей с центром в начале координат (рис. 1.22). Особая точка
Рис. 1.21.
Рис. 122.
такого типа, т. е. особая точка, окрестность которой заполнена семейством
замкнутых интегральных кривых, называется центром. В этом примере не
существует решения, удовлетворяющего условию у @) = 0.
К вопросу об особых точках и их классификации мы с несколько
иной точки зрения еще вернемся в главе 4.
Второе условие теоремы 1.1 существования и единственности
решения — условие Липшица, или более грубое условие, требующее
существования ограниченной частной производной -J-, чаще всего

60
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ГГЛ. !
нарушается в точках, при приближении к которым
ченнно возрастает, т. е. в точках, в которых
1
ду
неограни-
ду
= 0.
Уравнение —тт- = 0, вообще говоря, определяет некоторую кри-
17
вую, в точках которой может быть нарушена единственность. Если
в точках этой кривой единственность нарушена, то кривая будет осо-
особой, если, кроме того, эта кривая
окажется интегральной, то полу-
получим особую интегральную кривую.
Возможно, что кривая 1 	а
Ж
- ду
имеет несколько ветвей, тогда
для каждой ветви надо решить
вопрос о том, будет ли эта ветвь
особой кривой и будет ли она ин-
интегральной кривой.
Пример 7. Имеет ли уравне-
dy
ние -—- = у2 -\- х2 особое решение?
Условия теоремы существования
и единственности выполнены в ок-
окрестности любой точки, следователь-
следовательно, особого решения нет.
Пример 8. Имеет ли уравне-
dy
Рис. 1.23.
ние dx
шение?
= У (у — хJ -f- 5 особое ре-
д/ 2 /
Правая часть непрерывна, но частная производная ^— = -я- (у — х)
неограниченно возрастает при приближении к прямой у = х, следовательно,
на прямой у = х может нарушиться единственность. Но функция у = х не
удовлетворяет рассматриваемому уравнению, следовательно, особого реше-
решения нет.
Пример 9. Имеет ли уравнение —¦ = у (у — хJ + 1 особое ре-
решение?
dx
Как и в предыдущем примере, уравнение
0L
ду
— 0 имеет вид у — х, но
на этот раз функция у = х удовлетворяет данному уравнению. Остается
выяснить, нарушена ли единственность в точках этой прямой. Заменой пе-
переменных z — у — х приводим исходное уравнение к уравнению с разделяю-
разделяющимися переменными, после чего без труда находим решение: .у — х =

§ 7]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИИ	61
= —ну——. Кривые этого семейства проходят через точки графика реше-
решения у = х (рис. 1.23). Следовательно, в каждой точке прямой у — х единст-
единственность нарушена и функция у = х является особым решением.
Этот пример показывает, что одной непрерывности правой части в урав-
уравнении
7Г = /(•*¦ У)' У
недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, однако
можно доказать, что существование решения при этом уже обеспечивается.
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений
первого порядка
В предыдущем параграфе мы уже познакомились с двумя при-
приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений:
методом Эйлера и методом последовательных приближений. Однако
оба эти метода имеют существенные недостатки, в силу которых ими
сравнительно редко пользуются в практике приближенных вычислений.
Достоинства приближенных методов оцениваются по точности
даваемых ими результатов и по простоте вычислений. Недостатками
метода последовательных приближений являются сравнительно мед-
медленная сходимость приближений к решению и сложность вычислений.
Недостатком метода Эйлера является малая точность, для повышения
которой приходится брать весьма малый шаг h, что приводит к дли-
длительным вычислениям.
Впрочем, небольшое усовершенствование метода Эйлера, так
называемое уравнивание (или итерация), приводит уже к довольно
удобной вычислительной схеме. При применении метода Эйлера
с уравниванием делят отрезок х0^. х 4^.Ь, на котором надо вычи-
вычислить решение уравнения -^- = f(x, у), определяемое условием
у(хо) = уо, на равные части длиной h — ~х° . Обозначая
xo-j-kh = xk, y(xo + kh) = yk, y'(xo + kh) = yk, вычисляют yk+v
если уже найдено yk, в начале по формуле Эйлера:
У*+1 = У* -Н Лу; или byk = yk+l-yk=:hy'k, A.39)
т. е. на отрезке хо~\-kh ^ x <; xo-\-(k-\- \)h заменяют интеграль-
интегральную кривую, проходящую через точку (xk, ук), отрезком ее каса-
касательной в той же точке (см. рис. 1.13, стр. 39). Затем уточняют
вычисленное значение yk+i, для чего определяют производную
y'k+i=f(хк+1, Ук+1) и снова.применяют формулу Эйлера A.39), но
вместо у'к берут среднее арифметическое вычисленных значений

62	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. I
Ук + y'k + i
производных в граничных точках 	^——, т. е. считают
A.40)
Вновь вычисленное значение укиЛ дает возможность вычислить новое
значение производной y'k + 1 —f(xkA v У^+Л после чего снова вы-
числяют среднее арифметическое значений производных
снова применяют формулу A.40)
и продолжают этот процесс до тех пор, пока в пределах заданной
точности не совпадут результаты двух последовательных вычисле-
вычислений значений ук+1. После этого тем же методом вычисляется ук+2
и т. д.
Метод Эйлера с уравниванием дает на каждом шаге погрешность
порядка /г3 и нередко применяется в вычислительной практике.
Однако значительно чаще применяются более точные методы (методы
Штермера, Рунге, Мильна и др.), основанные на замене искомого
решения несколькими членами его тейлоровского разложения
т. е. замене искомой интегральной кривой параболой «-го порядка,
имеющей касание а-ro порядка с интегральной кривой в точке
х = хк, у = ук.
Непосредственное применение формулы Тейлора A.41) на каждом
шаге приводит к сложным и неоднотипным вычислениям, поэтому
эта формула обычно применяется лишь для вычисления нескольких
близких к х = х0 значений, необходимых для применения более
удобных вычислительных схем, среди которых в первую очередь
следует назвать метод Штермера, в котором вычисление про-
проводится по одной из следующих формул в зависимости от порядка
аппроксимирующей параболы:
^&<1к-1'	A-42)
^Мк-1 + ^2^к-2<	A-43)
= У*+ ?* + ¦§¦ ^ft-1 + 4A2^-2 + T^:3,	A.44)
15	3	251

§ 7)	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ	63
где
Формулы Штермера могут быть получены путём интегрирования
в пределах от хк до xk^{ тождества у' = /(х, у(х)), в котором
у (х) является искомым решением:
и применения известной из курса анализа квадратурной формулы:
J
Напомним, что эта квадратурная формула получается путем замены
подынтегральной функции ф(х) аппроксимирующим многочленом по
интерполяционной формуле Ньютона и вычисления интегралов от
отдельных слагаемых.
Оценка остаточного члена квадратурной формулы A.46) показы-
показывает, что погрешность в формуле A.42) при одном шаге имеет по-
порядок /г3, в формуле A.43) /г4, в формуле A.44) /г5, в формуле A.45) /г6.
Если же принять во снимание, что при нескольких шагах погреш-
погрешности могут суммироваться, то для оценки погрешности при я шагах
Ь — ха
надо оценки, полученные для одного шага, умножить на п = —-г—-,
что может привести к изменению указанного выше порядка погрешности.
Замечание. Можно показать непосредственным разложением
по формуле Тейлора в окрестности точки х = хк, что правая часть
формулы Штермера A.42) с точностью до членов, содержащих h
в степенях выше второй, совпадает с первыми тремя членами раз-
разложения yk+l по формуле Тейлора A.41):
правая часть следующей формулы Штермера A.43) с точностью до
членов, содержащих h в степенях выше третьей, совпадает с
y + ^+^+^

64	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	ГГЛ. !
и т. д. Для формулы A.42), например, получим.
или, разлагая
по формуле Тейлора
y'(**_i) = У' (ж*) ~ АУ
и подставляя в A.48), получим:
и следовательно, три первых члена совпадают с тремя членами
разложения по формуле Тейлора A.47).
Для начала вычисления по формулам Штермера необходимо знать
значения искомой функции не в одной, а в нескольких точках (при
применении формулы A.42) в двух точках: х0 и xo-\-h, при
применении формулы A.43) в трех точках: х0, хй-{-h и xo-\-2h,
и т. д.). Эти несколько первых значений могут быть вычисле-
вычислены методом Эйлера с уменьшенным шагом или путем использо-
использования формулы Тейлора A.41), или кратко изложенным ниже мето-
методом Рунге.
Возьмем для определенности формулу A.44):
У*+1 = Уь + 4k + Y А(Ь-1 + -Y2 Д2<7й-2 + -у А?«7*-з
и предположим, что, кроме заданного начального значения Уо> Уже
найдены yv y2 и у3. Тогда можно вычислить:
q2 — f(x2, y2)h, q3=f(x3, y3)h,
а следовательно, и
Теперь по формуле A.44) вычисляем значение у4, зная которое
получим qv Aq3, A2q2, Azqv Затем по той же формуле A.44) вы-
вычисляем з>5 и т- Д-

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
65
Результаты вычисления заносятся в приводимую ниже, постепенно
заполняющуюся таблицу.
X
х0
Х\
х2
х3
*4
Хъ
х6
У
Уо
У\
У-'
Уз
ч
Чо
Я\
<7г
Чъ
L\q
А<7о
\q,
'\q2
Vqa
Vq,
/\3q
Обычно требуется вычислить значение искомого решения диф-
дифференциального уравнения в некоторой точке х =b с заданной
точностью. При этом сейчас же возникает вопрос, какой из формул
Штермера целесообразно пользоваться и какой шаг h гарантирует
требуемую точность вычислений и в то же время не является
чрезмерно малым и тем самым не приводит к лишним вычислениям.
Некоторое представление о выборе формулы, по которой целесо-
целесообразно вести вычисления, и о выборе шага дают указанные выше
порядки погрешностей при каждом шаге, при этом, конечно, надо иметь
в виду, что при нескольких шагах погрешности могут суммироваться.
При правильном выборе шага h все разности в таблице должны
меняться плавно, а последние разности в формуле A.44) должны
влиять лишь на запасные знаки. Резкое изменение какой-нибудь
разности указывает на то, что при выбранном шаге h могут оказаться
неучтенными особенности изменения функции на рассматриваемом
отрезке, что может повлечь за собой значительные ошибки при вы-
вычислении yk+1.
Однако все эти соображения не являются вполне надежными,
а более точные оценки погрешности оказываются весьма громоздкими
и неудобными. Поэтому обычно применяют следующий практически до-
достаточно надежный метод: выбрав, исходя из указанных выше неточных
5 Л. Э. Эльсгольц

66	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	(ГЛ. I
соображений, некоторый шаг Л, проводят вычисления но одной из формул
Штермера с шагом h и -к- и сравнивают результаты в общих точках.
Если в пределах заданной точности результаты совпадают, то счи-
считают, что шаг h обеспечивает заданную точность вычисления; если же
результаты в пределах заданной точности не совпадают, то снова
/I h
уменьшают шаг вдвое и проводят вычисления с шагом ~ и -j- и
опять сравнивают результаты и т. д.
Вычисления с шагом h и -у целесообразно проводить парал-
параллельно, чтобы как можно раньше заметить несовпадение результатов
и не производить лишней работы. Этот способ двойного счета имеет
еще то преимущество, что при его применении почти полиостью
исключаются ошибки в вычислениях, так как они, как правило,
немедленно обнаруживаются при сравнении результатов вычислений
с шагом Ли—.
Для нахождения нескольких первых значений yt, необходимых
для начала вычислений по методу Штермера, кроме указанных выше
способов (метод Эйлера с уменьшенным шагом с итерациями или
без итераций или метод разложения по формуле Тейлора), можно
рекомендовать еще метод Рунге.
По методу Руиге для нахождения yk+l надо вычислить четыре
числа:
«1 =/(•**. У а)- «2 =/[** +"г". У* Ч—g—J'
, / , h	, ninh \
и тогда
Ук+\ = У и + 4 (Щ 4- 2«2 + 2/и3 + т4).	A.50)
Обычно метод Рунге применяется лишь для вычисления нескольких
первых значений ух, у2	необходимых для начала вычисления по
методу Штермера, однако можно этим методом вычислять и осталь-
остальные значения. Метод Рунге, так же как и метод Штермера, основан
на аппроксимации искомой интегральной кривой соприкасающейся
параболой.
Если сравнить правую часть формулы Рунге A.50) с разложением
по формуле Тейлора
Ук+г = Ук + у'„п + т\ У>2 + ЖУ*'А8+ ТГ ^4 + ¦ • • •
то окажется, что члены со степенями ниже пятой совпадают. Поэтому
при вычислении нескольких начальных значений по методу Рунге

§ 7]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИИ	67
с переходом затем на вычисление по методу Штермера по фор-
формулам A.42), A.43) или A.44) можно вычисление вести с тем же
шагом h; если же в дальнейшем'применяется формула Штермера A.45),
то начало вычисления по методу Рунге надо вести с уменьшенным
шагом, так как при одном и том же шаге формула A.50) не гаран-
гарантирует той точности вычислений, какую гарантирует формула A.45).
Впрочем, нередко даже при использовании формул Штермера A.43)
и A.44) начало вычислений все же ведут по формулам Рунге с умень-
уменьшенным шагом, так как даже небольшая погрешность в вычислении
исходных для формул Штермера значений может резко уменьшить
точность дальнейших вычислений *).
Современные быстродействующие вычислительные машины дискрет-
дискретного действия позволяют выполнить указанные выше вычисления по
методу Штермера или Рунге с необычайной быстротой (многие десятки
и даже сотни тысяч операций в секунду), причем и процесс про-
программирования может быть значительно упрощен применением стан-
стандартных программ, разработанных для методов Штермера и Рунге.
При этом при приближенном интегрировании дифференциального
уравнения y'=f(x, у), у(хо)~уо, надо составить лишь подпро-
подпрограмму для вычисления значений y'k=f(xk, yft) и включить ее в стан-
стандартную программу.
Пример.
у @) = — 1.
Найти значение у @,5) с точностью до 0,01.
Воспользовавшись разложением по формуле Тейлора
ф)х+	+Ор+ ...,
вычисляем значение у (х) в точках х{ =0,1 и х2 = 0,2:
у @,1) = — 0,9088 и у @,2) = — 0,8309
(или вместо у @,2) вычисляем у(—0,1), что даже предпочтительнее, так
как точка jcj = — 0,1 лежит ближе к начальной точке ха = 0, чем точка
лг2 =• 0,2). Дальнейшие значения вычисляем по формуле Штермера A.43)
с шагом h = 0,1, а результаты вычисления заносим в таблицу (без разно-
разностей Д3^)- После этого или параллельно проводим вычисления с шагом
— = 0,05. В результате получим:
у @,5) и— 0,63.
*) Более подробно о приближенных методах интегрирования дифферен-
дифференциальных уравнений можно прочесть в книгах А. Н. Крылова [6] и И. С. Бере-
Березина и Н. П. Жидкова [7] (см. рекомендуемую литературу).

68
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
!ГЛ. !
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно
производной
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное
относительно производной, имеет вид
F(x. у, /) —0.
A.51)
Если это уравнение удается разрешить относительно у', то получаем
одно или несколько уравнений
/ = /,(*. у) A=1, 2, ...)¦
Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной урав-
уравнения, найдем решения исходного урав-
* • ' ' ¦ нения A.51).
Проинтегрируем, например, уравнение
f ху = 0. A.52)
Разрешая это квадратное уравнение отно-
относительно у', будем иметь: у' = х и у' = у.
Интегрируя каждое из полученных урав-
уравнений, находим:
У~ 2
у — сех
A.53)
A54)
(рис. 1.24). Оба семейства решений удов-
удовлетворяют исходному уравнению.
Гладкими интегральными кривыми
уравнения A.52) будут также кривые, со-
составленные из дуги интегральной кривой
семейства A.53) и дуги интегральной кри-
кривой семейства A.54), если в общей точ-
точке они имеют общую касательную. На
рис. 1.25 изображена интегральная кри-
кривая уравнения A.52), составленная из графи-
х'1	1
ков решений у = — -\-с при с = —, —оо<х<1, и у = сел при
с — е~1, 1 < х < оо, а на рис. 1.26 — интегральная кривая уравнения A.52)*
Рис. 1.24.
составленная из графиков решений у ¦
' Итак, уравнение
Р(х, у, у
¦¦ -^- при х jsJ 0 и у == 0 при х > 0.
A-51)
может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и
интеграции полученных при этом уравнений у'' = /', (х, у) (/=1,
2, ...), уже разрешенных относительно производной.

§ 81 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
69
Однако далеко не всегда уравнение A.51) легко разрешается
относительно у' и еще реже полученные после разрешения относи-
относительно у' уравнения у'¦= ft{x, у) легко интегрируются, поэтому
Рис 1.25.
часто приходится интегрировать уравнения вида A.51) иными мето-
методами. Рассмотрим следующие случаи.
1. Уравнение A.51) имеет вид
/7(/) = 0.	A.55)
причем существует по крайней мере один действи-
действительный корень у' = kt этого уравнения.
Так как уравнение A.55) не содержит х и у, то kl — постоянное.
Следовательно, интегрируя уравнение y' = ki, получим y = klx-\-c,
или kl——	, но kt является корнем уравнения A.55), следова-
тельно, F
нения.
х
У —
= 0 является интегралом рассматриваемого урав-
Пример 1.
Интеграл уравнения
х j \ х / х
2. Уравнение A.51) имеет вид
F(x, /) —0.	.	A.56)
Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то целе-
целесообразно ввести параметр / и заменить уравнение A.56) двумя
уравнениями: х = <р(/) и у'=ty(t). Так как dy — y'dx, то в дан-
данном случае dy = i|) (t) q/ (t) dt, откуда у = Г ij) (О ф' @ dt -\-c и, сле-
следовательно, интегральные кривые уравнения A.56) определяются

70	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. 1
в параметрической форме следующими уравнениями:
4- с-
Если уравнение A.56) легко разрешимо относительно х, х=ср(у'),
то почти всегда удобно в качестве параметра ввести у' = t. Тогда
x = q(t), dy = y'dx = tq>'(t)dt, у — J tq>' (t) dt -f- с.
Пример 2.
¦* = (y'K-y'-i-
Положим у' = t, тогда
x = t3 — t—l,	A.57)
dy = y'dx = tCP— \)dt,
3t4 t2
У = -?- — y+ci-	A-58)
Уравнения A.57) и A.58) определяют в параметрической форме семейство
искомых интегральных кривых.
Пример 3.
У
Полагаем у' = tg?,	^ < t < -д-; тогда
A.59)
rfy = у' rfx = tg ^ cos t dt = sin * fltf.
y= —cos^4-c(	A.60)
или, исключая t из уравнений A.59) и A.60), получим х2-\-(у — с,J=1 —
семейство окружностей.
3. Уравнение A.51) имеет вид
F(y, /) = 0.	A.61)
Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то, как
и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр t и заме-
заменить уравнение A.61) двумя уравнениями: y = q>(t) и у'= ty(t). Так
кяк dv — Wdx то dx — dy — ^(t) dt nTKvna v— f4'lt)dt i г
как ay — у ax, го ax — —7-—	—, откуда x— 1 „	1-с.
Следовательно, искомые интегральные кривые в параметрической
форме определяются уравнениями
В частности, если уравнение A.61) легко разрешимо относи-
относительно у, то обычно за параметр удобно взять у'.

§ 8) УРАВНЕНИЯ. НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 71
Действительно, если y = op(y'), то, полагая у'=t, получим
Пример 4.
Полагаем у' = t; тогда
A.62)
*_«1+*1 + ,П|,|+с.	A.63)
Уравнения A.62) и A.63) являются параметрическими уравнениями семейства
интегральных кривых.
Пример 5.
у 	=1.
Полагаем у' = sh t, тогда
y = cht,	A.64)
tfy _sh<d< _
ax- y, - gh. -arr,
лг = / + с	A.65)
или, исключая из A.64) и A.65) параметр t, получаем у = ch (x — с).
Рассмотрим теперь общий случай: левая часть уравнения
F(x. у, /) = 0	A.51)
зависит от всех трех аргументов х, у, у'. Заменим уравнение A.51)
его параметрическим представлением:
х==ф(и, v), y = ^(u, v), y' = i(u, v).
Пользуясь зависимостью dy = y'dx, будем иметь
„ dv
откуда, разрешая относительно производной —г-, получим
dip dip
dv l(u'v'~du дп
В результате получено уравнение первого порядка, уже разрешен-
разрешенное относительно производной, и тем самым задача сведена к уже

72	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. !
рассмотренной в предыдущих параграфах, однако, конечно, полу-
полученное уравнение A.66) далеко не всегда будет интегрироваться
в квадратурах.
Если уравнение
F(x, у, /) = 0
легко разрешимо относительно у, то за параметры а и v часто
удобно брать х и у'. Действительно, если уравнение A.51) приво-
приводится к виду
у=/(х, /),	A.67)
то, считая х и у' = р параметрами, получим
ИЛИ
dy ^ df df dp
dx дх 'dp dx '
<'-68>
Интегрируя уравнение A.68) (конечно, оно далеко не всегда инте-
интегрируется в квадратурах), получим Ф(х, р, с) = 0. Совокупность
уравнений Ф(х, р, с)=0 и y = f(x, р), где р—параметр, опре-
определяет семейство интегральных кривых.
Заметим, что уравнение A.68) может быть получено дифферен-
дифференцированием уравнения A.67) по х. Действительно, дифференцируя
A.67) по х и полагая у' = р, получим р — -j- -)- -— ~- , что сов-
совпадает с A.68). Поэтому этот метод часто называют интегрированием
дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования.
Совершенно аналогично часто интегрируется уравнение
F(x, у, /) = 0,
если оно легко разрешимо относительно х:
х=/(у. /)•	а-69)
В этом случае, взяв за параметры у и у'= р и пользуясь зависи-
зависимостью dy — у' dx, получим
или
1 	 df . df dp
~р—-д^-т~Тр~1у~'	(Ь/и)
Интегрируя уравнение A.70), получим Ф(у, р, с) = 0. Это уравне-
уравнение совместно с x = f(y, p) определяет интегральные кривые исход-

§ 8] УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 73
ного уравнения. Уравнение A.70) может быть получено из уравнения
A.69) дифференцированием по у.
В качестве примера применения этого метода рассмотрим линей-
линейное относительно хну уравнение
называемое уравнением Лагранжа. Дифференцируя по х и полагая
у' = р, получим	Л
P==«P(/O + *<P'(/>)-|f + ^(/O-|?.	A.71)
или
1Р-Ч>(р))^ = ху'(р) + Г(р)-	A-72)
_	rf;t
Это уравнение линейно относительно х и -т— и, следовательно,
легко интегрируется, например, методом вариации постоянной.
Получив интеграл Ф(х, р, с) = 0 уравнения A.72) и присоединяя
к нему у = x<$(p)-\~ty{p), получим уравнения, определяющие иско-
искомые интегральные кривые.
При переходе от уравнения A.71) к уравнению A.72) пришлось
dp ..
делить на ~- . Но при этом мы потеряем решения, если они суще-
существуют, для которых р постоянно, а значит ~-^0. Считая р по-
постоянным, замечаем, что уравнение A.71) удовлетворяется лишь
в том случае, если р является корнем уравнения р—ф(/?) = 0.
Итак, если уравнение р — ф(р) = 0 имеет действительные корни
р = pt, то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо
еще добавить у — xq>(p)-]-ty(p), P = Pi. или, исключая р,
у — хц> (pt) -f- т|) (Pi) — прямые линии.
Отдельно надо рассмотреть случай, когда р — ф (/>) = (), и сле-
dp
довательно, при делении на -j- теряется решение р = с, где с —
произвольная постоянная. В этом случае ц>(у')^у' и уравнение
у = хер (у') —f— ¦ф (у') принимает вид
y = xy'-\-ty(y') — уравнение Клеро.
Полагая у'= р, получим y = xp-\-ty(p). Дифференцируя по х,
' будем иметь:
или
откуда или —Р- = 0 и, значит, р — с, или х-{-¦$'(р) = 0.

74	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В первом случае, исключая р, получим:
ГГЛ. !
A.73)
— однопараметрическое семейство интегральных прямых. Во втором
случае решение определяется уравнениями
у = хр+$(р) и х+-$'(р) = 0.	A.74)
Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая
уравнениями A-74), является огибающей семейства интегральных пря-
прямых A.73).
Рис. 1.27.
0
Действительно, огибающая некоторого семейства Ф(х, у, с)
определяется уравнениями
у, с) = 0 и ^Г = 0,	A.75)
которые для семейства у = сх -)- y\i (с) имеют вид
у = сх + \р (с), дг + ф'(с) = О
й лишь обозначением параметра отличаются от уравнений A.74)
(рис. 1.27).
Замечание. Как известно, уравнения A.75) могут определять,
кроме огибающей, геометрические места кратных точек, а иногда
и другие кривые, однако если хотя бы одна из производных -г—
дФ	,
и -з— отлична от нуля и,обе ограничены в точках, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнениям A.75), то эти уравнения определяют только огибаю-
щую. В данном случае эти условия выполнены: -т— = — с, -з—= 1.
Следовательно, уравнения A.75) определяют огибающую, которая
может выродиться в точку, если семейство A.73) является пучком
прямых.

S 91	ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ	75
Пример 6.
у = ху' -— у'1 — уравнение Клеро.
' Однопараметрическое семейство интегральных прямых имеет вид
у = сх — с2. Кроме того, интегральной кривой является огибающая этого
семейства, определяемая уравнениями у = сх — с2 и х — 2с = 0. Исключая с,
х2
получаем у = — (рис. 1.28).
Пример 7.
у = 2ху' — у' — уравнение Лагранжа.
у = 2хр — р3.	A.76)
Дифференцируя, получаем
'-* + ** %-W%	A-77)
dp
и после деления на —f— приходим к уравнению
CIJC
с 3
Интегрируя это линейное уравнение, получаем х = —L -j- — р2. Следова-
Следовательно, интегральные кривые определяются уравнениями у = 2хр— р3,
р2 ' 4
п	dP
При делении на —?-, как указывалось выше, теряются решения р = pi,
где pi — корни уравнения р — <р (р) = 0. В данном случае теряется решение
р = 0 уравнения A.77), которому, в силу уравнения A.76), соответствует ре-
решение исходного уравнения у = 0.
§ 9. Теорема существования и единственности
для дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производной. Особые решения
В § 6 была доказана теорема существования и единственности
dy
решения у (х) уравнения —~-=f{x, у), удовлетворяющего условию
у(хо) — уо. Аналогичный вопрос возникает и для уравнений вида
F (х, у, у') = 0. Очевидно, что для таких уравнений через некото-
некоторую точку (х0, Уо), вообще говоря, проходит уже не одна, а не-
несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение
F (х, у, у') = 0 относительно у', мы, как правило, получаем не одно,
а несколько действительных значений yf = fi(x, у) (г=1, 2, . . .),
и если каждое из уравнений у' = /(- (х, у) в окрестности точки
(•^о- Уо> удовлетворяет условиям теоремы существования и единствен-
единственности § 6, то для каждого из этих уравнений найдется единственное

76
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ГГЛ. I
решение, удовлетворяющее условию у(хо) = уо. Поэтому свойство
единственности решения уравнения F(x, у, у') = 0, удовлетворяю-
удовлетворяющего условию у (х0) = у0, обычно понимается в том смысле, что
Рис. 1.29.
через данную точку (х0, у0) по данному направлению проходит
не более одной интегральной кривой уравнения F (х, у, у') = 0.
Например, для решений уравнения
dy_
dx
1=0 свойство единствен-
единственности всюду выполнено, так как через каждую точку (х0, у0) проходят две
интегральные кривые, но по различным направлениям. Действительно,
dy_
dx
= ±1, у = х-\-с и у = —
Для уравнения (у'J — (х + У) У' + ХУ = 0, рассмотренного на стр. 68, в точ-
точках прямой у = х свойство единственности нарушено, так как через точки
этой прямой проходят интегральные кривые уравнений у' = х и у' = у по
одному и тому же направлению (рис. 1.29).
Теорема 1.5. Существует единственное решение у— у (х),
х0 — й0 <; х ^ х0 -\- h0, где п0 достаточно мало, уравнения
F(x, у, /) = 0,	A.78)
удовлетворяющее условию у (х0) = у0, для которого у' (хЛ = у'й,
где у'о— один из действительных корней уравнения F (х0, у0, у')=0,
если в замкнутой окрестности точки (xQ, y0, у'Л функция
F (х, у, у') удовлетворяет условиям:
1)	F(x, у, у') непрерывна по всем аргументам;
2)	производная —у существует и отлична от нуля;

$ 9]	ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ	77
3) существует ограниченная по модулю производная -т—,
дР_
ду
Доказательство. Согласно известной теореме о существо-
существовании неявной функции можно утверждать, что условия 1) и 2)
гарантируют существование единственной непрерывной в окрест-
окрестности точки (х0, у0) функции y'=f(x, у), определяемой уравне-
уравнением A.78) и удовлетворяющей условию yo — f(xQ, у Л. Остается
проверить, будет ли функция /(х, у) удовлетворять условию Лип-
д/
шица или более грубому условию
ду
в окрестности точки
(х0, у0), так как тогда можно будет утверждать, что уравнение
у' = /(х, у)	A.79)
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности
(см. § 6, стр. 40) и, следовательно, существует единственное реше-
решение уравнения A.79), удовлетворяющее условию У(хо) = у/О, а вместе
с тем существует единственная интегральная кривая уравнения A.78),
проходящая через точку (х0, yQ) и имеющая в ней угловой коэф-
коэффициент касательной y'Q-
Согласно известной теореме о неявных функциях можно утвер-
утверждать, что при выполнении условий 1), 2), 3) производная -J- су-
существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования
неявных функций.
Дифференцируя тождество F (х, у, у') = 0 по у и принимая во
внимание, что у'=/(х, у), получим
К о- ^-^-~ о
ду т~ ду' ду ~ '
или
dF
д/	ду
оу ~ OF '
ду'
откуда, принимая во внимание условия 2) и 3), следует, что
j- -^.N в замкнутой окрестности точки (х0, у0).
Множество точек (х, у), в которых нарушается единственность
решений уравнения
F(x,y,y') = 0,	A.78)
называется особым множеством.

78	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	ГГЛ t
В точках особого множества должно быть нарушено по край-
крайней мере одно из условий теоремы 1.5. В дифференциальных уравне-
уравнениях, встречающихся в прикладных задачах, условия 1) и 3) обычно
дР
выполняются, но условие 2) ——у Ф 0 часто нарушается.
Если условия 1) и 3) выполнены, то в точках особого множе-
множества должны одновременно удовлетворяться уравнения
F(x, у, /) = 0 и ^- = 0.	A.80)
Исключая из этих уравнений у', получим уравнение
Ф(х, у) = 0,	A.81)
которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако
не в каждой точке, удовлетворяющей уравнению A.81), обязательно
нарушается единственность решения уравнения A.78), так как усло-
условия теоремы 1.5 лишь достаточны для единственности решения, но
не являются необходимыми, и следовательно, нарушение какого-
нибудь условия теоремы' не обязательно влечет за собой наруше-
нарушение единственности.
Итак, только среди точек кривой Ф(х, у) — 0, называемой
р-дискриминантной кривой (так как уравнения A.80) чаще записы-
записываются в виде F(x, у, р) — 0 и — = 0). могут быть точки осо-
особого множества.
Если какая-нибудь ветвь у = у(х) кривой Ф(х, у) = 0 принад-
принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной
кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция
у—ц>(х) называется особым решением.
Итак, для нахождения особого решения уравнения
F(x, у, /) = 0	A.78)
надо найти />-дискриминантную кривую, определяемую уравнениями
F(x. у, р) = 0, -^- = 0,
выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение A.78),
есть ли среди ветвей />-дискриминантной кривой интегральные кри-
кривые, и, если такие кривые есть, то еще проверить, нарушена ли
в точках этих кривых единственность или нет. Если единствен-
единственность нарушена, то такая ветвь />-дискриминантной кривой является
особой интегральной кривой.
Пример 1. Имеет ли уравнение Лагранжа у = 1ху' — (у'J особое
решение?
Условия 1) и 3) теоремы существования и единственности выполне-
выполнены, р-дискриминантная кривая определяется уравнениями: у — 2хр — р2.

§91
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
79
2л-—2р = 0, или, исключая р, у = х'1. Парабола у = х2 не является интег-
интегральной кривой, так как функция у = хг не удовлетворяет исходному
уравнению. Особого решения нет.
Пример 2. Найти особое решение уравнения Лагранжа
9
27
A.82)
Условия 1) и 3) теоремы существования и единственности выполнены.
/7-дискриминантная кривая определяется уравнениями
Из второго уравнения находим р = 0 или р=1; подставляя в первое урав-
уравнение, получим:
4
у = х или у = х —
27
Лишь вторая из этих функций является решением исходного уравнения.
Рис. 1.30.
Рис. 1.31.
Для того чтобы выяснить, будет ли решение у = х — -^ особым, надо
проинтегрировать уравнение A.82) и выяснить, проходят ли через точки пря-
4
мой у — х—^=- по направлению этой прямой другие интегральные кривые.
Интегрируя уравнение Лагранжа A.82), получим:
(у-су = (х-с)\	A.83)
4
Из уравнения A.83) и рис. 1.30 видно, что прямая у = х—^=- является
огибающей семейства полукубических парабол (у — сJ = (х — сK и, следо-
4
вательно, в каждой точке прямой у = х — -^ нарушена единственность — по
одному и тому же направлению проходят две интегральные кривые: прямая
4
у = х—?yj- и касающаяся этой прямой в рассматриваемой точке полукуби-
полукубическая парабола.

80	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	Г ГЛ. I
4
Итак, особым решением является у = х—;^=-.
В этом примере огибающая семейства интегральных кривых является
особым решением.
Если огибающей семейства
Ф(х, у, с) = 0	A.84)
называть кривую, которая в каждой своей точке касается некото-
некоторой кривой семейства A.84) и каждого отрезка которой касается
бесконечное множество кривых рассматриваемого семейства, то
огибающая семейства интегральных кривых некоторого уравнения
F(x, у, у') = 0 всегда будет особой интегральной кривой.
Действительно, в точках огибающей значения х, у и у' совпа-
совпадают со значениями х, у и у' для интегральной кривой, касающейся
огибающей в точке (х, у), и следовательно, в каждой точке оги-
огибающей значения х, у и у' удовлетворяют уравнению F(x, у, у') = 0,
т. е. огибающая является интегральной кривой (рис. 1.31). В каждой
точке огибающей нарушена единственность, так как через точки
огибающей по одному направлению проходят по крайней мере две
интегральные кривые: огибающая и касающаяся ее в рассматрива-
рассматриваемой точке интегральная кривая семейства A.84). Следовательно,
огибающая является особой интегральной кривой.
Зная семейство интегральных кривых Ф(х, у, с) = 0 некоторого
дифференциального уравнения F(x, у, у') = 0, можно определить
его особые решения путем нахождения огибающей. Как известно
из курса дифференциальной геометрии или из курса математиче-
математического анализа, огибающая входит в состав с-дискриминантной кри-
кривой, определяемой уравнениями
Ф(х, у, с) = 0 и-^- = 0.
однако, кроме огибающей, в состав с-дискриминантной кривой
могут входить и другие множества, например множество кратных
дФ дФ „
точек кривых рассматриваемого семейства, в которых -г—= -^—= 0.
Чтобы некоторая ветвь с-дцскрилишашной кривой заведомо была
огибающей, достаточно, чтобы на ней:
1) существовали ограниченные по модулю частные производные
2)
дх
?0
или
дФ
дх
дФ
dv
дФ
ду
Заметим, что эти условия лишь достаточны, так что кривые, на ко-
которых нарушено одно из условий 1), 2), тоже могут быть огибаю-
огибающими.

§ 91	ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ	81
Пример 3. Дано семейство интегральных кривых (у — сJ = (х—с)л
некоторого дифференциального уравнения (см. пример 2 на стр. 79). Найти
особое решение того же уравнения.
Находим с-дискриминантную кривую:
(у _ сJ = (х — сK и 2 (у — с) = 3 (х — сJ.
Исключая параметр с, получим
4
Прямая у = х	щ является огибающей, так как на ней выполнены все
условия теоремы об огибающей. Функция у = х не удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению. Прямая у=х является геометрическим местом
точек возврата (см. рис. 1.30). В точках этой прямой нарушено второе усло-
условие теоремы об огибающей.
Пример 4. Дано семейство интегральных кривых
у5— *-fc = O	A.85)
некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Найти особое
решение того же уравнения.
Задача сводится к нахождению огибающей рассматриваемого семейства.
Если непосредственно применить указанный выше метод нахождения огибаю-
огибающей, то получим противоречивое уравнение 1 = 0, откуда казалось бы
естественно сделать вывод, что семейство A.85) не имеет огибающей. Однако
в данном случае производная от левой части уравнения A.85) по у, -—— ---
__4
= -=-у 5, обращается в бесконечность при у = 0, и следовательно,
о
исключена возможность того, что у = 0 будет огибающей семейства A.85),
которую не удалось найти общим методом ввиду нарушения на прямой у = О
условий теоремы об огибающей.
Следует преобразовать уравнение A.85) так, чтобы для преобразованного
уравнения, эквивалентного исходному, уже выполнялись условия теоремы об
огибающей. Например, запишем уравнение A.85) в виде у — (х — c)s = 0.
Теперь условия теоремы об огибающей выполнены, и, применяя общий метод,
получим:
у = (х — сM, 5 (х — сL = О,
или, исключая с, будем иметь уравнение огибающей у=0 (рис. 1.32).
Пример 5. Дано семейство интегральных кривых
У2 — (х — сK = 0	A.86)
некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Найти особое
решение того же уравнения.
с-дискриминантная кривая определяется уравнениями
у2 — (х — сK = 0 и х — с = О,
6 Л. Э. Эльсгольц
не

82
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 1
или, исключая с, получим у — 0. На прямой у = 0 обращаются в нуль обе
дФ дФ
частные производные -^— и -^— от левой части уравнения A.86), следова-
следовательно, у = 0 является геометрическим местом кратных точек кривых семей-
семейства A.86), в данном случае точек возврата. Однако это геометрическое
Г(
Рис. 1.32.
Рис. 1.33.
место точек возврата в рассматриваемом примере является одновременно и
огибающей. На рис. 1.33 изображены нолукубические параболы A.86) и их
огибающая у = ()..
Задачи к главе 1
1.	tg у dx — ctg x dy = 0.
2.	A2х + 5у —
3-
4-
5. у dx — х dy = х2 у dy.
10.
11.
12.
1 Q
Id.
X
X
(}
d
G
(Inx — In у) dy —
У (У'J — (*2 + У2)
''J = 9у4.
'х т , х
У
у
-f
dx
'-f
¦ху
= 0.
- =0.
7.	у sin x -f- у' cos x = 1.
8.	у' = **-У. ¦
9.	~ =
14.
15.	у =
16.	х =
17 dy = У
rfx х-j- у3 '
18. у = (у'L_(у'K_
у'+2.
19.	Найти ортогональные траектории семейства ху = с, т. е. найти линии,
ортогонально пересекающие кривые указанного семейства.
20.	Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы
точки касания.
21.	Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси
ординат, равен абсциссе точки касания.
22.	Найти ортогональные траектории семейства
у2 = 2ах.
23. Считая, что скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе про-
пропорциональна разности между температурами тела и воздуха, решить сле-
следующую задачу: если температура воздуха равна 20° С и тело в течение

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ !	83
20 мин. охлаждается от 1U0 до 60° С, то в течение какого времени темпе-
температура гела достигнет 30° С?
24.	Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10 км/час.
На полном ходу ее мотор был выключен и через t = 20 сек. скорость лодки
уменьшилась до v, = 8 км/час. Определить скорость лодки через 2 мин.
после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально
скорости движения лодки.
25.	Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направ-
направлению все лучи, выходящие из заданной точки.
26.	у'2 -|- уа = 4.
27.	Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между
осями координат, делится в точке касания на равные части.
28.	^-='2/~X2t- 29. «И-У
dx 2х у + 5	dx
2t- 29.	-+
— у + 5	dx I -|- х '
30.	Численно проинтегрировать уравнение
4Z- = x-Ly2 у@) = 0.
dx	'	J
Определить у @,5) с точностью до 0,01.
31.	Численно проинтегрировать уравнение
Определить у @,8) с точностью до 0,01.
32.	у' = 1,31х —0,2у2, у@) = 2.
Составить таблицу пятнадцати значений у с шагом h = 0,02.
33.	у = 2ху' — у'2. 34. 4^ = cos (x — у).
35.	Пользуясь методом изоклин (см. стр. 17), сделать набросок семей-
семейства интегральных кривых уравнения
dx	J
36.	Aх + 2у — 1) dx -f- (x -f у - 2) dy = 0.
37.	у'3— yle2Jr = 0.
38.	Найти ортогональные траектории парабол у2 -f- lax = a2.
39.	Имеет ли дифференциальное уравнение у = Ьху' — (у'J особое
решение?
40.	Приближенно проинтегрировать уравнение
методом последовательных приближений (определить у, и у2).
I3/
42.	Имеет ли уравнение у' = м — 5у -f- 2 особое решение?
43.	(ж — у) у dx — х2 dy = 0.
44.	Найти ортогональные траектории семейства у* = сх3.
45.	х + 5л: = 10* + 2 при < = 1, х = 2.

84	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. 1
JC
*	JC	JC
46.	х = y -\- -р при t — 2. х = 4.
47.	у — ху' -f У'2 при лс = 2, _у = — 1.
48.	у = ху' -\-у'2 при х = 1, у = — 1.
49.	^У .._ Зх-4у-2
rfx Зх — 4у — 3 '
50.	л: — xctg^ = 4 sin t.
51.	у = х* + 2у'х+-!?-.
52.	у' — -^- + х'6У2 = °-
53.	у A + у'2) = а.
54.	(х2 — y)dx + (x2y2 + x)dy = 0.
55.	Найти интегрирующий множитель уравнения
(Зу2 — x)dx + Чу (у2 — Зх) dy — 0,
имеющий вид \х = \х (х -\- у2).
56.	(х — у) у dx — х2 dy = 0.
1—х + у
58.	ху' — y2lnx-f у = 0.
59.	(jc2 — 1) у' + 2ху — cos х = 0.
60.	Dу 4- 2д: + 3) у' — 2у — х — 1 = 0.
61.	(у2-д:)у'-у + л:2 = 0.
62.	(у2 — х2) у' 4- 2ху = 0.
63.	Зл-у2у' 4- У3 — 2х = 0.
64.	(у'J 4- (-* 4- а) У' — У = 0' где а. — постоянная.
65.	(у'J —2ху'4-у = 0.
66.	(у1J + 2уу' ctgx — у2 = 0.

ГЛАВА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
§ I. Теорема существования и единственности
для дифференциального уравнения «-го порядка
Дифференциальные уравнения п-го порядка имеют вид
у(.") = f(x, у, у'	у1"-1*).	B.1)
или, если они не разрешены относительно старшей производной,
F(x, у, у'	у(«)) = 0.
Теорема существования и единственности для уравнения я-го
порядка легко может быть получена путем сведения его к системе
уравнений, для которой на стр. 51 теорема существования и един-
единственности уже была доказана.
Действительно, если в уравнении y(") = /(x1 у, у', ..., у^'-Щ
неизвестными функциями считать не только у, но и у' = yv
у" —у2	_y(«-i) = yn_v то уравнение B.1) заменяется системой
B.2)
УЯ-2=У,,-Г
y;_i=/(*. у. у.	у,г-г)'
после чего уже можно применить теорему о существовании и един-
единственности решения системы уравнений (см. стр. 51), согласно кото-
которой, если правые части всех уравнений системы B.2) непрерывны
в рассматриваемой области и удовлетворяют условию Липшица по
всем аргументам, кроме х, то существует единственное решение систе-
системы B.2), удовлетворяющее условиям
у(хо) = уо, у1(х0) = ую	У/1-i(¦«о) = У/1-1,0-

86	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ 2
Правые части первых п— 1 уравнений B.2) непрерывны и удовле-
удовлетворяют не только условию Липшица, но даже более грубому усло-
условию существования ограниченных производных по у, ух, у2	Уп-v
Следовательно, условия теоремы существования и единственности
будут выполнены, если правая часть последнего уравнения у'а_1 =
—/(х, у, ух	Уп-i) будет непрерывна в окрестности начальных
значений и будет удовлетворять условию Липшица по всем аргумен-
аргументам, начиная со второго, или более грубому условию существования
ограниченных частных производных по всем аргументам, начиная со
второго.
Итак, возвращаясь к прежним переменным хну, окончательно
получаем следующую теорему существования и единственности:
Теорема 2.1. Существует единственное решение дифферен-
дифференциального уравнения п-го порядка yW = f{x, у, у', ..., у'"-1'),
удовлетворяющее условиям
если в окрестности начальных значений (xQ, y0, у'0< ..., у^'Щ
функция f является непрерывной функцией всех своих аргу-.
ментов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргумен-
аргументам, начиная со второго.
Последнее условие может быть заменено более грубым условием
существования в той же окрестности ограниченных частных произ-
производных первого порядка от функции /по всем аргументам, начиная
со второго.
Общим решением дифференциального уравнения га-го порядка
называется множество решений, состоящее из всех без исключения
частных решений. Если правая часть уравнения
yW = f(x, у, /, у"	у'"')	B.1)
в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности, то общее решение урав-
уравнения B.1) зависит от п параметров, в качестве которых могут быть
выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее про-
производных yQ, y'Q, Уд	Уд"'- В частности, общее решение урав-
уравнения второго порядка у" = /(х, у, у') зависит от двух параметров,
например от у0 и у^. Если же фиксировать у0 и у'о, т. е. задать
точку (х0, у0) и направление касательной к искомой интегральной
кривой в этой точке, то при выполнении условий теоремы суще-
существования и единственности этими условиями определяется единствен-
единственная интегральная кривая.

§ 21	ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА	87
Например, в уравнении движения материальной точки массы по
прямой под действием силы fit, x, х):
mx—f{t, х, х),
задание начального положения точки х (t0) = х0 и начальной скорости
х (tQ) = х0 определит единственное решение, единственный закон дви-
движения х = х (t), если, конечно, функция / удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности.
Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров и от
начальных значений, рассмотренная на стр. 54, без изменения метода
доказательства переносится на системы дифференциальных уравнений,
а следовательно, и на уравнения «-го порядка.
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка
В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может
быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование.
Укажем несколько наиболее часто встречающихся классов урав-
уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Уравнение не содержит искомой функции и ее
производных до порядка k — 1 включительно:
F(x, у("\ у<*+1>	у(")) = 0.	B.3)
В этом случае порядок уравнения может быть снижен до п — k
заменой переменных y{k) = p.
Действительно, после замены переменных уравнение B.3) прини-
принимает вид
F(x, р, р'	р<"-*>) = 0.
Из этого уравнения определяется р = р(х, с{, с2, ..., cn_k), а у
находим из yi.k) = p{x, cv с2	сп-ь) ^-кратным интегриро-
интегрированием. В частности, если уравнение второго порядка не содержит у,
то замена переменных у' = р приводит к уравнению первого порядка.
Пример 1.
d5 I d*
йхъ х dx4
d*y dp 1	.
Полагая -j-^ = р, получаем -f-	р = 0; разделяя переменные и интегри-
рун, будем иметь: In | /? | = In j jc | -f- In с, или р=сх, —\ = сх, откуда
у = сххь + с2х3 + с3х2 + с4х + с6.
Пример 2. Найти закон движения тела, падающего в воздухе без
начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квад-
квадрату скорости.

УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	|ГЛ. 2
Уравнение движения имеет вид
. . dsV
где s — пройденный телом путь, т — масса тела, / — время. При t = О
л ds .
будет s = 0 и -^- = 0.
Уравнение не содержит явно неизвестной функции s, следовательно,
ds	п
можно понизить порядок уравнения, считая -тт = f. При этом уравнение дви-
движения примет вид
dv	, ,
'n-Ot^mg-kv2.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
V
т dv	Г dv	1 , ., kv
	-— = dt, t—m / 	-г = —— Arth	.
mg — kv2	J mg — kv2 ь у a	y^r
о
откуда v ~ —-pth (k Yg t); умножая на dt и интегрируя еще раз, найдем
закон движения:
s=— Inch (A Kif).
2. Уравнение не содержит независимого пере-
переменного:
F(y, у', у"	у«)) = 0.
В этом случае порядок уравнения можно понизить на единицу
подстановкой у' = р, причем р рассматривается как новая неизве-
неизвестная функция у, р — р (у), и следовательно, все производные —-
dx"
надо выразить через производные от новой неизвестной функции
р(у) по у:
dx "'
d2y 	 dp 	 dp dy 	 dp

dx3 dx \ dy
dx
d I dp \ dy d2p , . I dp \2
dy \ dy y) dx ~~~ dy2 F ^ \ dy I
d3y d j dp \ d I dp \ dy d2p , I dp \2
и аналогично для производных более высокого порядка. При этом
dhy
очевидно, что производные —- выражаются через производные по-
dxk
рядка не выше k — 1 от р по у, что и приводит к понижению
порядка на единицу.

§ 21	ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА	89
•3 частности, если уравнение второго порядка не содержит неза-
независимого переменного, то указанная замена переменных приводит
к уравнению первого порядка.
Пример 3.
У dx* \dx) ~a
_	dy	d2y dp
Полагая —- = p, —^ = p -j-, получим уравнение с разделяющимися пере-
переменными УР-f- — р2 = 0, общее решение которого р = с,у или -2-= сгу.
Снова разделяя переменные и интегрируя, получим In | у | = с^х-\- In c2 или
у= c2eClX.
Пример 4. Проинтегрировать уравнение математического маятника
х -f- о-2 sin х =.0 при начальных условиях х @) = ха, х @) = 0.
Понижаем порядок, полагая
dv
x — v, х = v —-—, v dv = — a2 sin x dx,
dx
^j2 .
— = a2 (cos x — cos xa), v = ± а у 2 (cos x — cos x0),
x
— ± а У~2 (cos x — cos xa), t — ± —— / —====¦.
а у 2 ¦' у cos д: — cos .v0
dx
IT
Интеграл, стоящий в правой части, не берется в элементарных функциях,
но легко сводится к эллиптическим функциям.
3. Левая часть уравнения
F(x, у, /, у", ..., У")) = 0	B.4)
является производной некоторого дифференциаль-
дифференциального выражения (п—1)-го порядка Ф(х, у, у', .... У"-1)).
В этом случае легко находим так называемый первый интеграл,
т. е. дифференциальное уравнение (п—1)-го порядка, содержащее
одну произвольную постоянную, эквивалентное данному уравнению
д-го порядка, и тем самым понижаем порядок уравнения на еди-
единицу. Действительно, уравнение B.4) можно переписать в виде
Если у{х) является решением уравнения B.4-j), то производная функ-
функции Ф(х, у, у'	у^-1)) тождественно равна нулю. Следовательно,
функция Ф(х, у, у'	у(«-')) равна постоянной, и мы получаем
первый интеграл
Ф(х, у, /,..., у^-1)) = с.
Пример 5.

90	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 2
Это уравнение можно записать в виде d (yyr) = 0, откуда уу' = с, или
у dy = с, dx. Следовательно, общим интегралом является у^ = схх + с,
Иногда левая часть уравнения F(x, у, у', ..., у(п>) = 0 стано-
становится производной дифференциального выражения (п — 1)-го порядка
Ф(х, у, у'	yt"-1') лишь после умножения на некоторый мно-
множитель \i(x, у, у'	У')).
Пример 6.
"('J 0
1	уу	(уJ	а /у\
Умножая на множитель n = -j, получим ——tw —0 или — —I =0,
"	(у'J	а /у
j, получим —tw —0 или — —
откуда — = с1,или -г- In |у| = с(. Следовательно, In |у| = схх-\-1 п с2, с2 > 0,
откуда y = c2eClX, c2 ^= 0, как и в примере 3 этого параграфа.
Замечание. При умножении на множитель \х(х, у, у'	у»-ь
могут быть введены лишние решения, обращающие этот множитель
в нуль. Если множитель \х разрывен, то возможна и потеря реше-
решений. В примере б при умножении на ц = —j- было потеряно реше-
решение у = 0, которое, однако, можно включить в полученное решение
у = с^еС1Х, если считать, что с2 может принимать значение 0.
4. Уравнение F(x, у, у'	у№) = 0 однородно от-
относительно аргументов у, у', ..., у<я>.
Порядок однородного относительно у, у'	yin) уравнения
F(x, у, у'	У«') = 0,	B.5)
т. е. уравнения, для которого справедливо тождество
F(x, ky, ky', .... ky<n)) = kpF(x, у, у'	y<n)).
может быть понижен на единицу подстановкой y = e'zdx, где
г — новая неизвестная функция. Действительно, дифференцируя,
получаем
1
у" = е$г
у'" =
\ z"
(убедиться в справедливости этого равенства можно методом ин-
индукции).

§ 2]	ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА	91
Подставляя в B.5) и замечая, что. в силу однородности, мно-
множитель ер*г х можно вынести за знак функции F, получим
е"!гах/(х. г, г'	*<»-») = О
или, сокращая на ер J г л, будем иметь
f(x, z, z', .. , zu'-l))^0.
П р и м е р 7.
Полагая у = е^ , получим г' = бдг. z — Зх2 -\-сь у = е' х с' х или
Особенно часто в приложениях встречаются дифференциальные
уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.
1)	^(лг, у") = 0.	B.6)
В этом уравнении можно понизить порядок подстановкой у' = р
и свести его к уравнению F (x, -J-\ = 0, рассмотренному на стр. 69.
Можно разрешить уравнение B.6) относительно второго аргу-
аргумента у" = / (х) и два раза проинтегрировать или ввести параметр
и заменить уравнение B.6) его параметрическим представлением
откуда
d/ = у" dx = Ф @ г|)' (t) dt, у' = J ф (/) ф' @ rf/14- с1(
dy = / dx, у = f [ J ф (/) ф' (О Л + с,] Ф' (О dt + с2.
2)	/=¦(/. у") = 0.	B.7)
Полагая у'= р, преобразуем B.7) к уравнению A.61), стр. 70, или
представим уравнение B.7) в параметрическом виде:
откуда
dx= dfa =<P(O<" t х==
после чего у определяется квадратурой:
3)	F(y, /') = 0.	B.8)
Можно понизить порядок,	полагая
dy 		d2y 	 dp dy 	 dp_
'dx ~ p'	~dxF ~~dy ~dx~ P1y"

92	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Если уравнение B.8) легко разрешимо относительно второго
аргумента у"= / (у), то, умножая это уравнение почленно на
2у' dx = 2dy, получим d (y'f = 2/ (у) dy, откуда
у -2) ly)dy
(y)dy
Можно уравнение B.8) заменить его параметрическим предста-
пием у=ф(?), y" = \|)(f); тогда из dy' — у"dx и dy — y'dx
влением
получим у' dy' = у" dy или
¦g-d (у'J =
после чего из dy = y'dx находим dx, а затем и х:
2 J ф @ ф' @ л + р.
==± Г _ч^1«	= + с2.	B.9)
^ |/ 2 J"t|>(*)<p'(O<« + e
Уравнение B.9) и у = ф (t) и определяют в параметрическом виде
семейство интегральных кривых.
Пример 8.
у" = 2у3, у@) = 1. у'@) = 1.
Умножая обе части уравнения на 2у' dx, получим d (у'J = 4у3 dy. откуда
(у'J = У4 + с\ Принимая во внимание начальные условия находим, что
с, = 0 и у'=у'. Следовательно, —\ = dx, — — = х -J- с2, с2 = — 1,

§ 31	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	93
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции
и ее производных и, следовательно, имеющее вид
ао(х)у('»+а1(х)У»-1)+...+ая_1(х)у' + аа(х)у = ч{х). B.10)
Если правая часть ф(х) = 0, то уравнение называется линейным
однородным,- так как оно однородно относительно неизвестной
функции у и ее производных.
Если коэффициент ао(х) не равен нулю ни в одной точке некото-
некоторого отрезка а <^ х ^.Ь, то, разделив на ао(х), приведем линейное
однородное уравнение при х, изменяющемся на этом отрезке, к виду
y<,n) + Pl{x)y(n-i)+ _ + Рп_1(х)у' + р„(х)у = 0 B.11)
или
п
&"> = - 2
i = i
Если коэффициенты рг{х) непрерывны на отрезке а
то в окрестности любых начальных значений
где х0 — любая точка интервала а < х < Ь, удовлетворяются усло-
условия теоремы существования и единственности.
Действительно, правая часть уравнения B.11:) непрерывна по
совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю
частные производные k =— Pn-k(x) (^ ~ ^, 1	(п—1)),
так как функции pn_k(x) непрерывны на отрезке а^х^,Ь и,
следовательно, ограничены по модулю
Заметим, что линейность и однородность уравнения сохраняются
при любом преобразовании независимого переменного x = y(t), где
Ф (/) — произвольная п раз дифференцируемая функция, производная
которой ф' (/) Ф О на рассматриваемом отрезке изменения t.
Действительно,
dy 	 dy I
~dx ~dl ф' (t) '
d2y _ d2y 1	dy y" (t)
dx2 ~~ dt2 [ф' (t)f ~dt W (t)f '
dky
Производная любого порядка —~ является линейной однородной
dxn
dv d2v	d^v
функцией производных ——, ——, ..., —j-, и следовательно, при

94	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. 2
подстановке в уравнение B.11) его линейность и однородность
сохраняются.
Линейность и однородность сохраняются также при линейном
однородном преобразовании неизвестной функции у (х) = а(х) z (х).
Действительно, по формуле дифференцирования произведения
у*) = а (х) ?(*> + ka' (x) z<*- '>+ * %7 ^ а" W 2<*~2) + ¦ • • + а№О) *¦
т. е. производная у(к} является линейной однородной функцией
z, z', z"	z(k). Следовательно, левая часть линейного однород-
однородного уравнения
а0 (х) у<"> + а, (х) y<»-i> +...+а„(х)у = 0
после замены переменных будет линейной однородной функцией
z, z'	z[n).
Запишем линейное однородное уравнение
кратко в виде
Цу] = 0.
где
L[y\^=y{n) + p,(x)y{-»-»+ ... +рп(х)у.
Будем называть I [у] линейным дифференциальным оператором.
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими
двумя основными свойствами:
1) Постоянный множитель выносится за знак линейного
оператора:
L[cy] = cL[y\.
Действительно,
••¦ +р„(х)у].
2) Линейный дифференциальный оператор, примененный
к сумме двух функций ух и у2, равен сумме результатов при-
применения того же оператора к каждой функции в отдельности:
Действительно,
(Уi + У2)(П> + Pi (х) (yi
=^[у{п>+р1{х)у[п~1>-
+ У2.
+- • "
)""' + ••
¦ + />„(*
• Ч-
Ря (^) (У]
+ [yf' +
+ У2) =
Pi (х) yf
..•' +
'-"+ ....

§ 3] '	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	95
Следствием свойств 1) и 2) является
[m 	m
vi	I	 vi ,
ы\ ' lJ 1 = 1
где ct — постоянные.
Опираясь на свойства линейного оператора L, докажем ряд
теорем о решениях линейного однородного уравнения.
Теорема 2.2. Если уг является решением линейного одно-
однородного у равнения L[y] — 0, то и су{, где с—произвольная
постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство. Дано Z.[yJ==O. Надо доказать, что
Пользуясь свойством 1) оператора L, получим
Теорема 2.3. Сумма yl-\-y2 решений у, и у2 линейного
однородного уравнения L[y] = 0 является решением того же
уравнения.
Доказательство. Дано /.[yJ^O и /-[у2] = 0. Надо дока-
доказать, что L[yi-ir y2]^Q.
Пользуясь свойством 2) оператора L, получим:
Следствие теорем 3.2 и 2.3. Линейная комбинация с про-
т
изволъными постоянными коэффициентами 2 С/.У/ решений
«¦=1
yv у2	Ут линейного однородного уравнения L [у] = 0 является
решением того же уравнения.
Теорема 2.4. Если линейное однородное уравнение L[y] — 0
с действительными коэффициентами pt (x) имеет комплексное
решение y(x) = u(x)-\-iv(x), то действительная часть этого
решения и(х) и его мнимая часть v(x) в отдельности являются
решениями того же однородного уравнения.
Доказательство. Дано L[u(x)-\-lv(x)]=Q. Надо доказать,
что /,[й] = 0 и i[o]sO.
Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора L, получим: '
откуда /.[«] = О и L[v] = 0, так как комплексная функция действи-
действительного переменного обращается тождественно в нуль тогда и
только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно
равны нулю.
Замечание. Мы применили свойства 1) и 2) оператора L
к комплексной функции -и (х) -j- iv (x) действительного переменного,

96	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
что, очевидно, допустимо, так как при доказательстве свойств 1) и 2)
были использованы лишь следующие свойства производных (су)' = су',
где с — постоянная, и (у, -\- у Л' = у[-\- у2, остающиеся справедливыми
и для комплексных функций действительного переменного.
Функции У](х), у2 (х)	уп (х) называются линейно зависимы-
зависимыми на некотором отрезке изменения х, а^х^/т, если существуют
постоянные величины ctj, a2> ..., а„ такие, что на том же отрезке
aiyi+a2y2-f- ••• 4-аяу„ = 0.	B.12)
причем хотя бы одно а^фО. Если же тождество B.12) справедливо
лишь при а1 = а2= ... =ая = 0, то функции yv y2	у„ на-
называются линейно независимыми на отрезке а ^.х ^.Ь.
Пример 1. Функции 1, х, х2	хп линейно независимы на любом
отрезке а -^ х <, Ь, так как тождество
а{ -{-а2х-\-аъх2 -\- ... -|~a«+i-*" = 0	B.13)
возможно лишь, если все а; = 0. Если бы хоть одно а; Ф 0, то в левой
части тождества B.13) стоял бы многочлен степени не выше я, который
может иметь не более п различных корней и, следовательно, обращается
в нуль не более чем в п точках рассматриваемого отрезка.
Пример 2. Функции е '', е г ,...,<?", где kt Ф kj при / Ф j,
линейно независимы на любом отрезке а^х^,Ь.
Допустим; что рассматриваемые функции линейно зависимы. Тогда
x==0,	B.14)
где хотя бы одно щ Ф 0, например для определенности ап Ф 0. Разделив
тождество B.14) на ек%х и продифференцировав, получим:
— линейную зависимость между п — 1 показательными функциями вида ерх
с различными показателями. Деля тождество B.15) на <?'*!~*>1-г и дифферен-
|A[])уя, ho-'jvmi'i .iiiiicihiyio BMiiiicn.MOtTi. меи.;(у п —'1 иоказатс.'п.цы.мм функци-
функциями с различными показгпч'ля.мц. i !рпдоли;ая а гот iipontv.' ii- -[ \)л,и получим
а„ (к, ~ к,) (к, - к.) . . . (kn - *„_,) e^n-"n-i) x =()
что невозможно, так как а,р по предположению, отлично от нуля, а ki Ф kj
при / ф j.
Доказательство остается справедливым при комплексных kt.
Пример 3. Функции
ек'-\ хек'х, ..., х">ек'х,
еЧ хе11**, ...,х"Фх,
k х it х	п к х
е р , хе р	х ре р ,
Где kt Ф kj при i Ф ], линейно независимы на любом отрезке #<*<&.
Допустим, что эти функции линейно зависимы. Тогда
Я, (х) в' + Рг (х) ek*x + ... +Рр {Х)«V э 0,	B.16)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
97
где Pi (х) — многочлен степени не выше щ, причем хотя бы один полином,
например Рр(х), не равен нулю тождественно. Разделим тождество B.16) на
е 'х и продифференцируем щ -4- 1 раз. Тогда первое слагаемое в тождестве B.16)
исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим
числом функций:
QAx)e{k*-"l)X+ ... +<?„(*)»(*'~*1>* = а	B.17)
При этом степени многочленов Q/ и Pi (I = 2, 3, ..., р) совпадают, так как
при дифференцировании произведения Я,- (х) ерх, р Ф О, получим [Я^ (х) р -(-
-\- P'i(x)}epx, т. е. коэффициент при старшем члене многочлена Я,- (л:) после
дифференцирования произведения Pi (х) ерх приобретает лишь не равный
нулю множитель р. В частности, совпадают степени многочленов Рр{х) и
Qp (х), и следовательно, многочлен Qp (x) не равен нулю тождественно. Деля
тождество B.17) на е[к"~к^х и дифференцируя п2-\-\ раз, получим линейную
зависимость с еще меньшим числом функций. Продолжая этот процесс р—1
раз. получим
что невозможно, так как степень многочлена Rp (x) равна степени много-
многочлена Рр (х) и, следовательно, многочлен Яр (х) не равен нулю тождественно.
Доказательство не изменяется и при комплексных kt.
Теорема 2.5. Если функции у{, у2	Уп линейно зависимы
на отрезке а ^ х ^ Ь, то на том же отрезке определитель
у2
уп} =
Ух
У'г
II
Ух
Уп
Уп
It
Уп
|(Я-1)
называемый определителем Вронского *), тождественно равен
нулю.
Доказательство. Дано, что
ЩУ\+ЩУ2 + ••• + <*пУп = °	B-18>
на отрезке а <; х <; Ь, причем не все а, равны нулю. Дифферен-
Дифференцируя тождество B.18) п — \ раз, получим
B.19)
*) По имени польского математика Г. Вронского A775—1853).
7 Л. Э. Эльсгольц

УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА BblNlF ПЕРВОГО
ТГЛ. 5
Эта линейная однородная по отношению ко всем а, система п
уравнений имеет нетривиальное решение (т. к. не все at равны нулю)
при любом значении х на отрезке а ^х ^.Ь. Следовательно, опре-
определитель системы B.191, являющийся определителем Вронского
W [ур у2	у„], равен нулю в каждой точке х отрезка а ^х <^.Ь.
Теорема 2.6. Если линейно независимые функции у,, у2	у„
являются решениями линейного однородного уравнения
У'"'-)- Р\(х)У'"~ 'Ч- ••• +-1
с непрерывными на отрезке
то определитель Вронского
У2
= 0	,2.20)
коэффициентами pt(x),
•• Уп
,{n-V
... У
п-1)
не может обратиться в нуль ни в одной точке ompevca
а < х < Ь.
Доказательство. Допустим, что в некоторой точке х -- х{)
отрезка а^Сх^Ь определитель Вронского W(xo) = O. Выберем
постоянные а((/=1, 2	п) так, чтобы удовлетворялась система
уравнений
=0,
Ы + а2УB"- ] i (Хо)
"Г" «„
B.21)
и чтобы не все а,- равнялись нулю. Такой выбор возможен, так как
определитель линейной однородной системы B.21) п уравнений с п
неизвестными а, равен нулю, W (хо)=О, и следовательно, существуют
нетривиальные решения этой системы. При таком выборе а, линей-
линейная комбинация
у = <х,у, (х) + а2у2 (х)¦+ ...+-а„уя(х)
будет решением линейного однородного уравнения B.20), удовлет-
удовлетворяющим, в силу уравнений системы B.21), нулевым начальным
условиям
= 0.	B.22)
Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное
решение у^О уравнения B.20) и по теореме о единственности ре-
решения начальным условиям B.22) удовлетворяет только это решение.

3]
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
99
Следовательно, i^y, ix) -+ a2y2 (x) -f ... -(-аяуя (at) == О и решения
у,, у2	уп, вопреки условию теоремы, линейно зависимы..
Замечание 1. Из теорем 2.5 и 2.6 следует, что линейно не-
независимые на отрезке а<^х^Л решения ух, у2, .... уп уравнения
B.20) линейно независимы также на любом отрезке al<Cx^.bl,
расположенном на отрезке а^х^.Ь.
Замечание 2. В теореме 2.6 в отличие от теоремы 2.5 пред-
предполагалось, что функции yv y2	у„ являются решениями линей-
линейного однородного уравнения B.20) с не-
непрерывными коэффициентами. Отказаться
от этого требования и считать функции
У\< У-2- ¦ ¦ • • Уп произвольными п — 1 раз
непрерывно дифференцируемыми функция-
функциями нельзя. Легко привести примеры ли-
линейно независимых функций, не являющихся,
конечно, решениями уравнения B.20) с не-
непрерывными коэффициентами, для которых
определитель Вронского не только обра-
обращается в нуль в отдельных точках, но даже
тождественно равен нулю. Пусть, например,
определены две функции у, (х) и у2(х):
О <
Рис. 2.1
на отрезке 0 ^ х <; 2
и
и
(рис.
2.1).
У\(х
) = (х
У, (х) = 0
у2(х) = 0
у.г(х) = Сх
Очевидно,
0<х<1
У\ У 2
Ух У2
— 0
второй столбец
-IJ
при
при
-IJ
при
при
1 <х
0<х
при
0<х
состоит и;
^ 2, так как на отрезке
нулей, а при 1 < х ^ 2
из нулей состоит первый столбец. Однако функции ух (х) и у2 (дг)
линейно независимы на всем отрезке 0<1х^2, так как, рассма-
рассматривая тождество СЦУ] -f- a2y2^0, 0-^x^2, вначале на отрезке
0<!х<11, приходим к выводу, что di = 0, а затем, рассматривая это
тождество на отрезке 1<^х^2, находим, что и а2 = 0.
Теорема 2.7. Общим решением при а-^х^Ь линейного
однородного уравнения
у<«> + Рх (х) уС-1) + ...-+- р„ (х) у = 0	B.20)
с непрерывными на отрезке а-<Сх-^.Ь коэффициентами pt(x)
п
(/=1, 2	п) является линейная комбинация у — J

100	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
п линейно независимых на том же отрезке частных реше-
решений yt (i=l, 2	п) с произвольными постоянными коэф-
коэффициентами.
Доказательство. Уравнение B.20) при а<^л;<^ удовле-
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Поэтому
п
решение у = 2 С<У< ПРИ а ^ х ^ ^ будет общим, т. е. будет со-
держать все без исключения частные решения, если окажется воз-
возможным подобрать произвольные постоянные с,- так, чтобы удовле-
удовлетворялись произвольно заданные начальные условия
У (*о) = Ус У' (хо) ^У'о	У") Ы = УГ1*.
где х0 — любая точка отрезка а <С х ^.Ь.
п
Потребовав, чтобы решение у— 2 С/У/ удовлетворяло поставлен-
ным начальным условиям, получим систему п линейных относительно
0/A=1, 2	п) уравнений
2
с п неизвестными cit с отличным от пуля определителем системы,
так как этим определителем является определитель Вронского W (х0)
для п линейно независимых решений уравнения B.20). Следовательно,
эта система разрешима относительно ct при любом выборе х0 на
отрезке а <С х ^ b и при любых правых частях.
Следствие теоремы 2.7. Максимальное число линейно
независимых решений однородного линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения равно его порядку.
Замечание. Любые п линейно независимых частных решений
линейного однородного уравнения «-го порядка называются его
фундаментальной системой решений. У каждого линейного одно-
однородного уравнения B.20) существует фундаментальная система реше-
решений. Для построения фундаментальной системы решений произвольно
зададим и2 чисел
У*>(д;0) (/=1, 2	п; А = 0,' 1	«—1),

§ 3]	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
подчинив их выбор лишь условию
у, (*о) У2(х0) ... уп(х0)
101
где х0—любая точка отрезка а ^ х
Тогда решения >>/(х),
A
0р
определяемые начальными значениями yf>(xA(k = Q, 1	п—1;
/=1, 2	п), образуют фундаментальную систему, так как их
определитель Вронского W (х) в точке х = х0 отличен от нуля и,
следовательно, на основании теорем 2.5 и 2.6 решения ух, у2, .... уп
линейно независимы.
Пример 4. Уравнение у" — у — 0 имеет очевидные линейно независи-
независимые частные решения у, = ех и у2 = е~х (см. стр. 96, пример 2), следова-
следовательно, общее решение имеет вкц у = схех -\- с2е~х.
Пример 5. Решение у = схех -\- с2 ch х -\- с3 sh х уравнения у'" — у' = 0
не является общим решением, так как решения е", ch x, sh ж линейно за-
зависимы. Линейно независимыми решениями являются 1, ch x, sh x, и следо-
следовательно,
у = с, -f- c2 ch х -f- c3 s'h x,
где Ci, c2 и с3 — произвольные постоянные, будет общим решением рассма-
рассматриваемого уравнения.
Зная одно нетривиальное частное решение ух линейного
одно родного уравнения
Н- ...
B.20)
можно подстановкой у = ух \ udx понизить порядок урав-
уравнения, сохранив его линейность и однородность.	(
Действительно, подстановку у = у, I udx можно заменить двумя
подстановками: у — yxz и z' — и. Линейное однородное преобра-
преобразование
y = yxz	B.23)
сохраняет линейность и однородность уравнения (см. стр. 94), сле-
следовательно, уравнение B.20) преобразуется при этом к виду
•¦¦ +а„(х)г = 0.	B.24)
причем решению У = ух уравнения B.20) в силу B.23) со-
соответствует решение z s= 1 уравнения B.24) Подставляя гз! в

102	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
уравнение B.24), получим an(x)s=0. Следовательно, уравнение B.24)
имеет вид
ao{xJ*n)+al(x)zin-1}+ ... +а„_, (*)*' = 0,
и подстановка z' = а понижает порядок на единицу:
со(ж)а("~1) + с1(дс)в("-3L- •¦• + «„_,<*) и = 0.
Заметим, что та же подстановка у = уг I udx, где yt—реше-
yt—решение уравнения Z.[y] = O, снижает на единицу и порядок линейного
неоднородного уравнения L[y]=f(x), так как эта подстановка
не затрагивает правой части уравнения.
Зная к линейно независимых на отрезке а -^ х <^ b решений
yv y2	yk линейного однородного уравнения, можно пон1зить
его порядок до п — k на том же отрезке а <^х ^.Ь.
Действительно, понизив подстановкой у = yk I udx на единицу
порядок уравнения
O,	B.20)
получаем опять линейное однородное уравнение
ao(x)a("-li + aiU)a<"-2)+ •¦• +а„_,(х)и = 0 B.25)
порядка п—I, причем нам известны k — 1 его линейно независимых
решений
и —
которые получим, подставляя в у=у„ / udx или и = (-^-| по-
по=у„ / u
следовательно y — yv y = y2	У = У*-1- (Заметим, что уже ис-
использованному нами для понижения порядка решению у = У/, уравнения
B.20) соответствует тривиальное решение и = 0 уравнения B.25).)
Решения ult u2, ..., uk_i линейно независимы, так как если бы
между ними существовала линейная зависимость на отрезке а <^ х <^ Ь:
или
где хотя бы одно аг ф 0,~то, умножая на dx и интегрируя тожде-
тождество B.26) в пределах от х0 до х, где a^x<^b, a xQ — точка

§ 3]	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ	103
отрезка \а, Ь], будем иметь
или, умножая на уй(лг) и обозначая
получим, вопреки исходному предположению, линейную зависимость
между решениями ух, у2	ук:
«i^i + «2^2 4- ••• +aftyft=0,
где хотя бы одно а,- ф 0. Итак, использовав одно частное реше-
решение yk, мы понизили порядок уравнения на единицу, сохранив его
линейность и однородность, причем нам известно k — 1 линейно
независимых решений преобразованного уравнения. Следовательно,
тем же методом можно снизить порядок еще на одну единицу;
использовав еще одно решение и продолжая этот процесс k раз,
получим линейное уравнение п — к порядка.
Пример 6.
ху" — ху' + у = 0.	B.27)
Уравнение имеет очевидное частное решение у, = х. Понижая порядок
подстановкой
у — х I и dx, у' — хи -f- I и dx. у" = хи' -\- 2«,
приведем уравнение B.27) к виду
х2и' + B — х)хи = 0,
откуда
du х — 2 . е*
— = х dx, u = c,—T
Лемма. Два уравнения вида
У1В)+Р](*)У"-Н ••• +Р„(х)у = 0.	B.28)
У«>-г-91(х)У"-"+ ••• +qa(x)y = 0,	B.29)
где функции pt (x) и qt(x) (I— 1, 2	п) непрерывны на отрезке
а <; х <*, имеющие общую фундаментальную систему решений
yv y2, .... уп, совпадают, то есть р, (x)~ql (x) {1= 1, 2	га)
яа отрезке а ^. х ^.Ь.
Доказательство. Вычитая из B.28) почленно B.29), полу-
получаем новое уравнение:
Г .	Г Г е*
= x I udx^x^ I -^-
+ [Рп {*) - Чя (х)\ у = 0, B.30)

104
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[ГЛ. 2
решениями которого являются функции у\, у2	уп, удовлетво-
удовлетворяющие одновременно уравнениям B.28) и B.29).
Допустим, что хотя бы один из коэффициентов уравнения B.30)
lPi(x)—qi(x)\ хотя бы в одной точке х0 отрезка a tCx^b отли-
отличен от нуля. Тогда в силу непрерывности функций pt (x) и qt (x)
этот коэффициент отличен от нуля в некоторой окрестности точки х0,
и следовательно, в этой окрестности функции yv у2	уп являются
линейно независимыми решениями линейного однородного уравне-
уравнения B.30) порядка не выше чем п — 1, что противоречит следствию
теоремы 2.7. Значит, все коэффициенты уравнения B.30)
— qt(x)~0 (i=l, 2,
п).
т. е. Pi (х) ssqt(x) (/=1,2	п) на отрезке а ^ х
Итак, фундаментальная система решений ух, у2
определяет линейное однородное уравнение
-1>+ ... + ря(х)у = 0.
; Ь.
уп вполне
B.28)
и следовательно, можно поставить задачу о нахождении уравне-
уравнения B.28), имеющего заданную фундаментальную систему решений
3>i. У3. •••• Уп-
Так как всякое решение у искомого уравнения B.28) должно
быть линейно зависимо от решений ух, у2	уп, то определи-
определитель Вронского W[yv y2	уп, у]=0. Запишем это уравнение
в развернутом
виде:
3>1
У{
У'1
уг.)
У\п]
У2
y'i
у\
yri)
УоЛ)
••• Уп
••¦ У'п
••• У"п
\i( Л — 1
tl
п
У
У'
У"
) уя-1
уя
= 0.
или, разлагая по элементам последнего столбца,
\Уг
' У\
Уг
Уп
Уп
г	Уп\Ут
= 0.
*-2>
y
f
V1

§3]
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
105
Полученное уравнение B.31) и является искомым линейным однород-
однородным уравнением, имеющим заданную фундаментальную систему
решений yv у2, ..., уп (так как при y — yt (i= 1, 2, ..., п)
W[yv y?, .... уп, у] = 0). Разделив обе части уравнения B.31) на
отличный от нуля коэффициент W[ylt у2, •... У„] при старшей
производной, приведем его к виду B.28).
Отсюда следует, в частности, что
рх (х) = —
Заметим, что определитель
Уг	У2 ¦¦• У„
У'х	3»2 " ••• У'п
У\
(л)
yin-2)
у(п)
у(л-2)
У а
У")
Уп
B.32)
равен производной от определителя Вронского W[ylt у2	уп]-
Действительно, по правилу дифференцирования определителя, про-
производная
d
dx
У\
У[
у(«-2)
yin-U
Уг
У2
yin-2)
yin-l)
¦¦¦ Уп
¦•¦ У'п
У и
" * * У п
равна сумме по I от 1 до п определителей, отличающихся от опре-
определителя Вронского тем, что в них продифференцированы элементы
/-й строки, а остальные строки определителя Вронского оставлены
без изменения. В этой сумме только последний определитель при i = п,
совпадающий с определителем B.32), может быть отличен от нуля.
Остальные определители равны нулю, так как их i-я и /-|- 1-я строки
совпадают.

106	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
W
Следовательно, pl(x)=- ~^г- Отсюда, умножая на dx и инте-
интегрируя, получим
In \W | = — J Pl (x) dx H- In c. W = ce~$Pl w dx
или
x
- J p, (x) dx
w — ce	.	(Z.66)
При x = x0 получим с = W (x0), откуда
X
- ( Pi W> dx
W(x)=W{xo)e *-	.	B.34)
Формулы B.33) или B.34), впервые полученные М. В. Остроградским
и независимо от него Лиувиллем, называются формулами Остро-
Остроградского — Лиувилля.
Формула Остроградского —Лиувилля B.34) может быть исполь-
использована для интегрирования линейного однородного уравнения вто-
второго порядка
= 0,	B.35)
если известно одно нетривиальное решение этого уравнения yv
Согласно формуле Остроградского—Лиувилля B.34) любое реше-
решение уравнения B.35) должно быть также решением уравнения
Ух У
У[ У'
- Г р, (ж) (ix
= се ¦>
или
,	,	- I п, (х) dx
у у — у у = с е J
Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка
проще всего воспользоваться методом интегрирующего множителя.
Умножая на \i = —^ , получим
Ух
d I у \ С\ - Г Р\ (х) dx
dMTTr "yfe
откуда
или
» -jpiix)dx
У — с2Ух -Ь С1У1 /	г	dx-
г
У]

§ 41 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	107
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами и уравнения Эйлера
1. Линейные однородные уравнения с постоян-
постоянными коэффициентами. Если в линейном однородном урав-
уравнении
все коэффициенты at постоянны, то его частные решения могут
быть найдены в виде у = екх, где k — постоянная. Действительно,
подставляя в уравнение B.36) у = екх и у(р) =kpekx (/?= 1,2	п),
будем иметь:
Сокращая на необращающийся в нуль множитель екл, получим так
называемое характеристическое уравнение
aokn + axkn~l 4- ... 4- ап_ xk 4- аа = 0.	B.37)
Это уравнение га-й степени определяет те значения к, при которых
у = екх является решением исходного линейного однородного уравне-
уравнения с постоянными коэффициентами B.36). Если все корни kx, k2, • ¦., kn
характеристического уравнения различны, то, тем самым, найдено п.
линейно независимых решений е 'л, е 'ж	е «* уравнения B.36)
(см. стр. 96, пример 2). Следовательно,
у = c/s 4- с2ек*л + • • • + спекп\
где ct — произвольные постоянные, является общим решением исход-
исходного уравнения B.36). Этот метод интегрирования линейных уравне-
уравнений с постоянными коэффициентами впервые был применен Эйлером.
Пример 1.
У" — ЗУ 4- 2у = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид к2 — ЗА 4" 2 = 0, его корни кх = 1,
А2 = 2. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
у = схе* 4 с2е2х.
Пример 2.
у"'	у' — 0.
Характеристическое уравнение k3 — k = 0 имеет корни kx =0, k2 = 1,
А3 = — 1 Общее решение рассматриваемого уравнения у = с, 4 с2ех -\- с3е~х.
Так как коэффициенты уравнения B.36) предполагаются действи-
действительными, то комплексные корни характеристического уравнения могут
появляться лишь сопряженными парами. Комплексные решения g(a+3<)x
и e(o-p/)*t соответствующие паре комплексных сопряженных корней
А, = а 4- W и А8 «в о — Р<.

108	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ..2
могут быть заменены двумя действительными решениями: действи-
действительной и мнимой частями (см. стр. 95) одного из решений
еах (COS px _J_ I sin p
ИЛИ
Таким образом, паре комплексных сопряженных корней ft]2 —ct + C/
соответствуют два действительных решения: eaXcosfSx и eaxsinpx.
Пример 3.
y"+4y'-f-5y = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид k2 -\- 4k -j- 5 = 0, его корни
Ai, 2 = — 2 ± /. Общее решение
у = е~2Х (с, cos х -\-с2 sin х).
Пример 4.
у" + а2у = 0.
Характеристическое уравнение k2-\-a2 = 0 имеет корни ?Ь2= ± а/. Общее
решение
у = с, cos ал: -f c2 sin ax.
Если среди корней характеристического уравнения имеются
кратные, то число различных решений вида екх меньше п. и, следо-
следовательно, недостающие линейно независимые решения надо искать
в ином виде.
Докажем, что если характеристическое уравнение имеет корень k(
кратности а,-, то решениями исходного уравнения будет не только
ь ,	k X с k.x	a.~\ k X
е ' , но и хе ' , хге <	х « е ' .
Предположим вначале, что характеристическое уравнение имеет
корень kt = 0 кратности а,. Следовательно, левая часть характери-
характеристического уравнения B.37) имеет в этом случае общий множитель
ka', т. е. коэффициенты ап = ап_1 =...== ап_а. + 1 = 0, и характери-
характеристическое уравнение имеет вид
ао?" + в,А" -1 +•¦•+ я„_а/<- - 0.
Соответствующее линейное однородное дифференциальное урав-
уравнение '
очевидно, имеет частные решения 1, х, х2	 х"' , так как
уравнение не содержит производных порядка ниже чем at. Итак,
кратному корню k, = 0 кратности at соответствует а, линейно не-
независимых (см. стр. 96, пример 1) решений
1, х, х1	лЛ~'.

§ 4] ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	109
Если характеристическое уравнение имеет корень Аг=?0 крат-
кратности <х;, то замена переменных
y = eVz	B.38)
сводит задачу к уже рассмотренному случаю равного нулю кратного
корня.
Действительно, линейное однородное преобразование неизвестной
функции B.38), как указано на стр. 94, сохраняет линейность и
однородность уравнения. Постоянство коэффициентов при замене
переменных B.38) тоже сохранится, так как
к х
и после подстановки в уравнение B.36) и сокращения на е < при
z, г'', ..., .г'"' остаются лишь постоянные коэффициенты.
Итак, преобразованное уравнение будет линейным однородным
уравнением ге-ro порядка с постоянными коэффициентами
= 0,	B.39)
причем корни характеристического уравнения
ao?"-M,^-i+ ... +ая = 0.	B.37)
отличаются от корней характеристического уравнения для преобра-
преобразованного уравнения B.39)
bopa + b1p*-1+ ... +Ьа = 0	B.40)
на слагаемое kt, так как между решениями y = ekx уравнения B.36)
и z = ерх уравнения B.39) должна быть зависимость у = ze t или
е*=е е"< , откуда k-= р-\-кг. Следовательно, корню k=ki
уравнения B.37) соответствует корень pi = 0 уравнения B.40).
Как нетрудно проверить, при этом соответствии сохранится и
кратность корня, т. е. корень pl = 0 будет иметь кратность аг
Действительно, кратный корень kt уравнения B.37) можно рас-
рассматривать как результат совпадения различных корней этого урав-
уравнения при изменении его коэффициентов, но тогда в силу зависи-
зависимости k — р ~\- kt совпадут с jS = C и а,- корней уравнения B.40).
Корню р = 0 кратности а,- соответствуют частные решения z = 1,
a.-l ^	к.х
z = х, ..., z — х i . Следовательно, в силу зависимости у = ze ' >
корню kl кратности а,- уравнения B.37) будут соответствовать а(-
частных решений
k,x	к.х	а.-1 к.х	п ,л
у = е i , y = xei	у = х ' е ' •	B.41)
Остается показать, что решения
Л\ же*'*	*V!eV (/ ;= 1, 2	т). B.42)

ПО	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. <!
где т — число различных корней kt характеристического уравнения,
линейно независимы, но это уже было доказано в примере 3 стр. 96.
Следовательно, общее решение уравнения B.36) имеет вид
1=1
где csl — произвольные постоянные.
Пример 5
у — Зу" -j- Зу' — у = О
Характеристическое уравнение ?3 — 3&2 ~|~ 3? — 1=0 или (k — IK = 0 имеет
трехкратный корень й, 2, 3 = 3. Следовательно, общее решение имеет вил
у = (с, -f c2x -f с3х2) ех
Если характеристическое уравнение имеет кратный комплексный
корень p-\~qi кратности а, то, соответствующие ему решения
e(P-t-qiyt xe(p + qL)X x2g(P +«*)-t .	x<x- \g(P -h**}-*
можно преобразовать по формулам Эйлера
е(р +«')Х — еР* (COS qX ^_ / sin ^x)
и, отделяя действительную и мнимую части, получить 2а действи-
действительных решений:
ерх cos qx, xepx cosqx, x2epx cosqx	х*~херх cos ox. 1
f B 43>
ep*%\i\qx, xepjlsinqx, x2epjisinqx	x' ~{epjt sinqx. \
Взяв действительные и мнимые части решений, соответствующих
сопряженному корню р — qi характеристического уравнения, мы
не получим новых линейно независимых решений. Таким образом,
паре комплексных сопряженных корней р tqi кратности а соот-
соответствуют 2а линейно независимых действительных решений B.43)
Пример 6.
Характеристическое уравнение kA -f- Ik'1 -f- 1 = 0 или (k2 -j- IJ = 0 имеет дву-
двукратные корни ± i. Следовательно, общее решение имеет вид
у = (с, -j- с2х) cos х -f- (с3 + с,х) sin х.
2. Уравнения Эйлера. Уравнения вида
а^у^-^а.х"'^^-^^- ... -+-«„-!*/-ЬвяУ = 0. B.44)
где все at — постоянные, называются уравнениями Эйлера. Уравне-
Уравнение Эйлера заменой независимого переменного х = е'*) преобра-
*) Или х = — в', если х < и, в дальнейшем для определенности будем
считать х > 0.

§ 4J ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	[Ц
зуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами.
Действительно, как указано на стр. 93, линейность и однород-
однородность уравнения при преобразовании независимого переменного
сохраняются, а коэффициенты становятся постоянными, потому что
dy __ dy t
dx dt
dt' ~ \ df dt)'
B'45)
где все р, — постоянные, и при подстановке в уравнение B.44) мно-
множители е~ш сокращаются с множителями xk = ekt.
Справедливость равенства B.45) легко может быть доказана ме-
методом индукции. Действительно, допустив, что равенство B.45) спра-
справедливо, и продифференцировав его еще раз по х, докажем справед-
f^k + 1 у
ливость равенства :2.45) и для	:
- ke~
где все yt — постоянные.
Итак, справедливость формулы B.45) доказана, и следовательно,
линейно входящие в уравнение Эйлера
k=0
с постоянными коэффициентами произведения
dxk ' dt " dt1 ' ••'¦-* dtk
линейно (с постоянными коэффициентами) выражаются через произ-
производные функции у по новой независимой переменной t. Отсюда
следует, что преобразованное уравнение будет линейным однород-
однородным уравнением с постоянными коэффициентами

И2	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 2
Вместо того чтобы преобразовывать уравнение Эйлера в линей-
линейное уравнение с постоянными коэффициентами, частные решения
которого имеют виду/ = е*', можно сразу искать решения исход-
исходного уравнения в виде у = хк, так как
Получающееся при этом после сокращения на хк уравнение
a0k(k—l)...(.k — n-\-l)-\-alk{k — l)...(k — n+-2)+...
... + с„ = 0 B.47)
для определения k должно совпадать с характеристическим урав-
уравнением для преобразованного уравнения B.46). Следовательно, кор-
корням kt уравнения B.47) кратности а,- соответствуют решения
«V. te*tl. tVi', .... tar\*i*
преобразованного уравнения или
хЧ х*'1пх, х*<1п2х	хкПпагхх
исходного уравнения, а комплексным сопряженным корням р ± ql
уравнения B.47) кратности а соответствуют решения
eptcosqt, teptcos qt	f~leptzosqt,
ept sin qt, tept sin qt, .... ta~lept sinqt
преобразованного уравнения или
xp cos (q In x), xp In x cos (g'ln x)	x^ln" xcos(^ln x),
xp sin (q In x), xp In x sin (q In x)	x1' In"-1 x sin (q In x)
исходного уравнения Эйлера.
Пример 7.
Ищем решение в виде у = хк; /е(А — 1)_(_— д — 1=0, откуда ?, = -=-,
^2 — —2. Следовательно, общее решение при х > 0 имеет вид
у = с,х2 + с2х'\
Пример 8.
х2у" — ху' -\- у = 0.
Ищем решение в виде у = xk; k(k — \) — k-\-\=O, или (А — IJ = 0,
k\,2 = \. Следовательно, общее решение при х > 0 будет
У = (
Пример 9.

§ 5]	ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ	Ш
Ищем решение в виде у — xk; k(k — \)-\-к-\-1 =0, откуда kltt=±i.
Следовательно, общее решение при х > 0 имеет вид
у = с, cos In х -\- с2 sin In x.
Уравнения вида
Ч-аяу = 0 B.48)
также называются уравнениями Эйлера и сводятся к уравне-
уравнению B.44) заменой независимого переменного ах-\~Ь = Ху Следо-
Следовательно, частные решения этого уравнения можно искать в виде
у = {ах -\- b)k или преобразовать уравнение B.48) к линейному одно-
однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой пере-
переменных ах~\-Ь ¦= е' (или ах-\~Ь — — е', если ах-\-Ь <^0).
§ 5. Линейные неоднородные уравнения
Линейное неоднородное уравнение имеет вид
ao(x)yW-t-a1(x)y("-V+ ... -\-ая(х)у=<р(х).
Если ао(х) ф 0 на рассматриваемом интервале изменения х, то после
деления на ао(х) получим
У =/(*)¦ B-49)
Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, кратко запишем
в виде
L[y]=f(x).
Если при а^х-^д в уравнении B.49) все коэффициенты pt (x)
и правая часть f(x) непрерывны, то оно имеет единственное реше-
решение, удовлетворяющее условиям
где yW — любые действительные числа, а х0 — любая точка интер-
интервала а < х < Ь.
Действительно, правая часть уравнения
»-У— ... —Pa(x)y+f(x) B.49J)
в окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет
условиям теоремы существования и единственности:
1)	правая часть непрерывна по всем аргументам;
2)	имеет ограниченные частные производные по всем у*'
(k = 0, 1	п—1), так как эти производные равны непрерывным
по предположению на отрезке а^.х^.Ь коэффициентам —рп-н^х^'

114	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 2
Еще раз отметим, что на начальные значения у\* не налагается
никаких ограничений.
Из двух основных свойств линейного оператора
L = cL\y\.
где с — постоянная, непосредственно следует:
1) Сумма у Ц- у, решения у неоднородного уравнения
.2.49)
и решения ух соответствующего однородного уравнения L [у\ = О
является решением неоднородного уравнения B.49).
Доказательство.
но L [у] = / (х), а ![)>!]== О, следовательно,
2) Если У! является решением уравнения L\y\ = f, (х)
т
(/=1, 2	т), то У = '^jlaiyl является решением уравнения
IS]
т
L [У) = 2 Oj/, (х),
а; — постоянные.
Доказательство.
S а,у,.
/=]
но L l)^] = /,- (x), следовательно,
L
Это свойство, называемое часто принципом суперпозиции (или
принципом наложения), очевидно, остается справедливым и при
т—>оо, если ряд 2 atyt сходится и допускает «-кратное почлен-
/ = 1
ное дифференцирование, так как в этом случае возможен предель-
предельный переход в тождествах B.50).
3) Если уравнение L[y] = U(x)-f iV (x), где все коэффи-
коэффициенты Pi(x) и функции U(х) и V(x) действительны, имеет
решение у — и (х) + lv (x), то действительная часть реше-

.5]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫ? УРАВНЕНИЯ
115
ния и {х) и мнимая часть v (x) являются соответственно реше-
решениями уравнений
L[y\=*U(x), L[y\*=*V(x).
Доказательство.
L [и -+- lv] =з U (х) + IV (х)
или
L [и] -+¦ IL \v] = U (х) -+ IV (х).
Следовательно, отдельно равны действительные части Z.[«l = U (х)
и мнимые части L\v\=V (х).
Теорема 2.8. Общее решение на отрезке а ^ х < Ь урав-
уравнения L[y] = f (х) с непрерывными на том же отрезке коэф-
коэффициентами Р[(х) и правой частью f (х) равно сумме общего
п
решения 2 ctyt соответствующего однородного уравнения и
какого-нибудь частного решения у неоднородного уравнения.
Доказательство. Надо доказать, что
У=2 С;У, + у.	B.51)
где С[—произвольные постоянные, a yt (i = \, 2, ..., п)—линейно
независимые решения соответствующего однородного уравнения,
является общим решением неоднородного уравнения L[y]= f (х).
Принимая во внимание 1) (стр. 114) и справедливость для рассматри-
рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо
доказать, что подбором постоянных ct в B.51) можно удовлетворить
произвольно заданным начальным условиям
vW(x\ — v<*' (k — О 1 Q
я —1).
B.52)
где а ^ хо^Ь. Требуя, чтобы решение B.51) удовлетворяло началь-
начальным условиям B.52), приходим к системе уравнений
=у0.
B.53)
Я+'*я-1)(*д-
И-1)

116	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Эта линейная по отношению к постоянным с, система п уравнений
с п неизвестными при произвольных правых частях допускает един-
единственное решение относительно ct (/— 1, 2, ..., п), так как определи-
определитель системы B.53), будучи определителем Вронского W \ух, у2	уп]
для линейно независимой системы решений соответствующего одно-
однородного уравнения, отличен от нуля при любых значениях х из
отрезка а -^ х <С Ь и, в частности, при х — х1Г
Следовательно, интегрирование линейного неоднородного урав-
уравнения сводится к нахождению одного частного решения этого урав-
уравнения и к интегрированию соответствующего линейного однородного
уравнения.
Пример 1.
/'+у=х.
Одно частное решение этого уравнения у — х, очевидно, общее решение
соответствующего однородного уравнения имеет вид
у = с, cos х -\- с2 sin х (см. стр. 108, пример 4).
Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения
у = с, cos х 4- с2 sin х -j- x.
Если подбор частного решения неоднородного уравнения
труден, но общее решение соответствующего однородного
п
уравнения у = 2 С«.У< найдено, то можно проинтегрировать
/ = i
линейное неоднородное уравнение методом вариации по-
постоянных.
При применении этого метода решение неоднородного уравнения
п
ищем в виде у = 2 ct (x) yt, т. е. по существу вместо неизвестной
функции у вводим п неизвестных функций сДх). Так как подбором
функций ct(x) (i=\, 2	п) надо удовлетворить лишь одному.
уравнению
У{п)+рЛх)У{п-1)+ ¦¦¦ +РЯ(*)У = /(*).	B-49)
то можно потребовать, чтобы эти п функций ct{x) удовлетворяли бы
еще каким-нибудь п—1 уравнениям, которые мы выбираем так,
п
чтобы производные функции у = ^i c!(x)yi(x) имели бы по воз-
i=i
можности такой же вид, какой они имеют при постоянных сг Выбе-
Выберем Ci(x) так, чтобы вторая сумма в правой части
п	п
у' = 2 с,- (х) у\ (¦*) + S

§ SI	ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
равнялась нулю,
п
2 с\ (х) удх) = 0.
и, следовательно,
117
т. е. у' имеет такой же вид, как и при постоянных ct. Точно
так же у второй производной
п	п
У" = 2 ct (х) у" -г 2] с\ (х) у-
( = 1
требуем обращения в нуль второй суммы и тем самым подчиняем ct (x)
второму условию:
Продолжая вычислять производные функции у= 2 *•/(¦*¦)У/ Д° п0"
рядка и — 1 включительно и требуя каждый раз обращения в нуль
п
суммы 2 c'i (х) yf] (x):
И*)у1*'М = 0 (k=Q, 1, 2	« —2). B.54)
получим
1 = 1
п
У' = Д] С; (х) у^,
/ = 1
У" =&cl(x)y%
1 1
B.55)
В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы 2 с('у1"~11=О,
так как функции сг (х) уже подчинены и—1 условиям B.54),

118
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[ГЛ. 2
а надо еще удовлетворить исходному уравнению B.49). Подставляя
у, у'	Уп) из B.55) в уравнение
31<Л)+Р1(*)У'-Ч •¦• +/»„(*)У =/(*).	B.49)
получим недостающее уравнение для определения ct (х) A=1, 2	п).
При этом очевидно, что в левой части уравнения B.49) останется
п
лишь сумма 2j c'l(x)yyi'~iK так как все остальные члены имеют
такой же вид, как и при постоянных c-v а при постоянных ct функция
п
у = 2 С(У< удовлетворяет соответствующему однородному уравнению.
/ = i
В этом можно убедиться и непосредственным вычислением:
(X)
(X)
ИЛИ
i = 1
...+Pn(x)yi\=f(x). B.56)
Все yt являются частными решениями соответствующего однородного
уравнения, следовательно, у[^-}-Р1(х)у("~1)-\- ¦ ¦ ¦ Ч~ Рп(х)у1 ^0
(г=1, 2, .... л) и уравнение B.56)-принимает вид
2
(¦ = ]
Итак, функции сг(х) (/=1. 2
линейных уравнений
я) определяются из системы а
2 c;
B.57)

§5]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
119
с отличным от нуля определителем' системы, так как этот опреде-
определитель
1 Уч •¦• Уп
является определителем Вронского для линейно независимых реше-
решений соответствующего однородного уравнения. Определив из B.57)
все с\ (х) =(pt (х). квадратурами находим
Пример 2.
ct(x) = Jcp,- (x)dx + ct.
у"+у.
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
у = Ci cos х -f- с, sin х. Варьируем с^ и сг:
у = с, (х) cos х + с2 (х) sin х.
с, (х) и с2 (х) определяются из системы уравнений B.57):
с\ (х) cos х -f c2 (x) sin х = О,
— с,' (х) sin .* -|- со (х) cos •* =	1
COS
откуда
С, (X) = -
COS X
, с, (jf) = In I cos jt I + сг;
c2 (x) = 1, c2 (jc) = j: + Cy
Общее решение исходного уравнения
у = с, cos л: +c2sinx-(- cos ж In | cos x | + л: sin л:.
ПримерЗ.
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
х = сх cos at -\- c2 sin at. Варьируя постоянные х = с, (/) cos at -\- c2 (О sin at
получим
cj (О cos at + с2 (t) sin at = 0,
— acj (^) sin af -f- ac2 (t) cos at = / (t),

120	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
откуда
I 1 1 /'	—
ci@ =	f(t) sin at, cl(t) =	/ / (и) sin аи du -(- cv.
о
t
1	1 /*	—
C2 (<) = — / (t) cos at, c2(t) =— / /(«) cos аи du -j- c2,
x (t) —	/ f (и) sin аи du A	/ / (u) cos au du -4-
'	a J	a J
о	о	_	_
-j- C\ cos at -f- c, sin at,
или
t
x(t) = — / / (и) [cos au sin at — sin au cos at] du -j- c, cos a^ + C2 si" #*>
fl ./
0
откуда окончательно получаем
t
x(t) = — j f (u) sin a (t — u) du+7t cos at-{-~c2 sin at.
6
Заметим, что первое слагаемое правой части является частным решением
исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям х @) = 0,
х @) = 0.
Итак, знание п линейно независимых частных решений соответ-
соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации
постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение
L[y]=f(x).
Если же известно лишь k, где k < п, линейно независимых
решений ух, у2	yk соответствующего однородного уравнения,
то, как уже указывалось на стр. 102, замена переменных позволяет
понизить порядок уравнения до п—k, сохраняя его линейность.
Заметим, что если k = n — 1, то порядок уравнения снижается
до первого, а линейное уравнение первого порядка всегда можно
проинтегрировать в квадратурах.
Аналогично могут быть использованы k решений неоднородного
уравнения уг, у2	yk, так как их разности являются уже реше-
решениями соответствующего однородного уравнения. Действительно,
Z. [5,] = /(*). L[yp] = f{x),
следовательно,
L [у, - УР\ = L [yj] - L \ур\ =г / (х) - / (х) = 0.

§ 5]	ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ	. 121
Если частные решения соответствующего однородного уравнения
(й^у*). Су2-~ук)	 E*-1 —у»)	B-58>
линейно независимы, то порядок уравнения L(y) = f(x) может быть
понижен до n—(k — 1). Очевидно, что другие разности yj—ур
являются линейными комбинациями решений B.58)
У) —УР= Gj Ун) — (Ур — Ун)
и, следовательно, не могут быть использованы для дальнейшего
понижения порядка.
Укажем еще метод Коша нахождения частного решения линей-
линейного неоднородного уравнения
L[y(x)]=f(x).	B.59)
В этом методе предполагается известным, зависящее от одного пара-
параметра, решение K(x,s) соответствующего однородного уравнения
= 0, удовлетворяющее условиям
К (s, s) = К' (s, s) = ... = К{"~2> (s, s) = 0;
К
¦(я-1)
(S, S)=l.
Нетрудно проверить, что в этом случае
х
у(х)= f K(x, s)f(s)ds
B.60)
B.61)
B.62)
будет частным решением уравнения B.59), удовлетворяющим нуле-
нулевым начальным условиям
Действительно, дифференцируя B.62) и принимая во внимание
условия B.60) и B.61), получим
с .	'
/(*) = J Kx{x. s)f(s)ds,
х,
X
у"(х) = j К Ах. s)f(s)ds,
X
X
у" (лг) = J/C^^at. s)f{s)d$+f(x).
Хо
B.63)

122	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Подставляя B.62) и B.63) в уравнение B.59), получаем
X
ЦК(х, s)] f (s) ds + f (*) = / (*).
/¦
так как К(х, s) является решением соответствующего однородного
уравнения и L[K{x, s)] = 0.
Решение К(х, s) может быть выделено из общего решения
я
у = ^ clyi (х) однородного уравнения, если выбрать произвольные
¦ ;=1
постоянные ct так, чтобы удовлетворялись условия B.60) и B.61).
Пример 4. Для уравнения
B.64)
общим решением является у = С\ cos ax-\-c7 sin ax, условия B.60) и B.61)
приводят к следующим уравнениям:
Ci cos as -j- c2 sin as = 0,
— ac, sin as -j- ac2 cos as = 1.
Следовательно,
sin as	cos as
a
и искомое решение /< (*, s) имеет вид
, s) = — sin a (х — s).
a
Решение уравнения B.64), удовлетворяющее нулевым начальным условиям,
согласно B.62), представимо в виде
X
1 Г
= ~а I s
X
sin a(x~s)f <5) ds-
При лг0 = 0 это решение совпадает с полученным выше (см. стр. 120) другим
методом решением того же уравнения.
Можно дать физическую интерпретацию функции К(х, s) и ре-
решению линейного уравнения с правой частью в форме B.62). При
этом нам будет удобнее независимое переменное обозначить буквой t.
Во многих задачах решение у (t) уравнения
Уш + Pi (?) у'"-1» + ... +pn(t)y = fit)	B.65)
описывает смещение некоторой системы, а функция f(f)—силу,
действующую на эту систему, t — время.
Предположим вначале, что при t < 5 система находилась в со-
состоянии покоя и ее смещение вызывается силой fe(?), отличной

§ 5]	ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ	123
от нуля лишь в промежутке s < t < 5 -f- е, причем импульс этой
силы равен 1:
s+г
Обозначим yE(t) решение уравнения
У1-Н/»](*) У1"'+ ... Л- pn(t)y — fjt).
Легко проверяется существование предела уг(() при е-»0, не зави-
зависящего от выбора функции /е (t), в предположении, что она не ме-
меняет знака. Действительно,
У„(f)= \ К{t, s) /o(s)ds.
с	J	•'Б
'о
Применяя теорему о среднем при t > s -)- е, получим
S+
г") J
где 0 < е* < е; следовательно,
Hmy (f) =
е->0 е
Поэтому функцию K(t, s) естественно назвать функцией влияния
мгновенного импульса в момент t = s.
Разбивая промежуток (^0, t) точками st (/ = 0, 1	га) на т
равных частей длины As= ~ °, представим функцию f(t) в B.65)
в виде суммы функций fi(t), где ft{t) отлична от нуля лишь
на /-м промежутке s;_, < t < st, на котором она совпадает с функ-
функцией /(/):
/(О = 2//(О-
В силу принципа суперпозиции (стр. 114) решение уравнения B.65)
имеет вид
где у; (t) — решения уравнений

124	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 2
с нулевыми начальными значениями. Если т достаточно велико, го
решение Уг @ можно рассматривать как функцию влияния мгновен-
мгновенного импульса интенсивности /Д5г)Д$. Следовательно,
2
1=\
Переходя к пределу при т—>оо, получим решение уравнения B.65)
с нулевыми начальными условиями в виде
y = {K(t, s)f(s)ds.
показывающем, что влияние непрерывно действующей силы можно
рассматривать как наложение (суперпозицию) влияний мгновенных
импульсов.
§ 6. Линейные неоднородные уравнения
с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера
При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными
коэффициентами во многих случаях без труда удается подобрать
частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию соот-
соответствующего однородного уравнения.
Пусть, например, правая часть является многочленом степени s,
и следовательно, уравнение имеет вид
= Аох*+А1х>-1+ ... +AS, B.66)
где все а^ и At — постоянные.
Если ап ф 0, то существует частное решение уравнения B.66),
имеющее тоже вид многочлена степени s. Действительно, подставляя
y^Boxs + BlX^^ ... +BS
в уравнение B.66) и сравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
степенях х в левой и правой частях, получаем для определения коэф-
коэффициентов Bt всегда разрешимую, если а„фО, систему линейных
уравнений:
откуда определяется Bv

§ 6]	НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.	125
откуда определяется В2,
anBs+ ... = А„
откуда определяется Bs.
Итак, если ап^0, то существует частное решение, имею-
имеющее вид многочлена, степень которого равна степени много-
многочлена, стоящего в правой части.
Предположим теперь, что ап = 0, причем для общности допу-
допустим, что и вв_, = в„_2= ... =о„_а+1=0, нойи_а^0.,т. е. * = 0
является а-кратным корнем характеристического уравнения, причем
случай а—1 не исключается. При этом уравнение B.66) прини-
принимает вид
'B.67)
Полагая у(а) = 2, мы приходим к предыдущему случаю, и следо-
следовательно, существует частное решение уравнения B.67), для которого
У») = 50^ + 5^-4- ... + BS,
а значит, у является многочленом степени s-|-a, причем, члены,
начиная со степени a — 1 и ниже, у этого многочлена будут иметь
произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть,
в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет
следующий вид:
Пример 1.
у" + у = х2 + х.	B.68)
Частное решение имеет вид
Подставляя в уравнение B.68) и сравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получаем
Во=1, 5, = 1, 52 = _2, у*=х* + х — 2.
Общее решение
у = С] cos х -j- c2 sin x -j- x2 4- х — 2.
Пример 2.
/' + / = .* —2.
Частное решение ищем в виде
Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях х в левой и правой частях полученного тождества, находим

T26	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Общее решение
у= с1 + с,е~л+х^ х — з).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение вида
B.69)
где все aj и At — постоянные. Как было указано выше (стр. 109),
замена переменных y = epxz преобразует уравнение B.69) к виду
или
V(n) + hz{n~X) + . . . -\- bnz = Aoxs + Axxs' >+...+ A,, 1,2.70)
где все bj — постоянные.
Частное решение уравнения B.70), если Ь„Ф0, имеет вид
а значит, частное решение уравнения B.69)
Условие ЬпФ0 означает, что k—0 не является корнем характе-
характеристического уравнения
&„*"+ &!*"-'+ ... +Ля = 0.	B.71)
а следовательно, k = p не является корнем характеристического
уравнения
' + . .. -f- а„ = 0,	B.72)
n~'
так как корни этих характеристических уравнений связаны зави-
зависимостью k = k-\~p (см. стр. 109).
Если же k = 0 является корнем характеристического уравнения
B.71) кратности а, другими словами, k — p является корнем характе-
характеристического уравнения B.72) той же кратности а, то частные ре-
решения уравнений B.70) и B.69)<имеют соответственно вид
г =-- х° (Вох* + ?,x*-' + • ¦ ¦ + Bs),
у = х*еРх (Вох° + Вхх°-г +...+ Bs).
Итак, если правая часть линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

§ 61	НЕОДНОРОДНЫЕ VPARHEHHfl С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.	127
то, если р не является корнем характеристического уравне-
уравнения, частное решение надо искать в таком же виде:
у = ер' (Boxs + В,** + ... + В,).
Если же р является корнем характеристического уравнения
кратности а (этот случай называется особым ила резонанс-
резонансным), то частное решение надо искать в виде
у = xW (Boxs + Bxxs^ + ... + В,).
Пример 3.
у" + 9у = еьх.
Частное решение надо искать в виде
у = Веьх
Пример 4.
у" + у= eiX (х — 2).
Частное решение надо искать в виде
y = esx(Bax + B,).
Пример 5.
у" _ у = е* (х* — 1).
Частное решение надо искать в виде
так как k = 1 является простым корнем характеристического уравнения.
Пример 6.
у'" + Зу" + Зу'+ у = е~х (х — 5).
Частное решение надо искать в виде
так как ? = —1 является трехкратным корнем характеристического урав-
уравнения
Заметим, что наши рассуждения остаются справедливыми и при
комплексном р, поэтому если правая часть линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения имеет вил
еРх \PS (х) cos qx -)- Qs (x) sin qx\,	B.73)
где один из многочленов Ps(x) или Qs(x) имеет степень s, а дру-
другой — степень не выше чем s, то, преобразуя тригонометрические
функции по формулам Эйлера к показательному виду, получим
в правой части
e^+4^xRs(x) + e<P-4^xTs(x),	B.74)
где R-s (х) и Тs (х) — многочлены степени s.
Для каждого слагаемого правой части мэжно уже применить
указанное выше правило, а именно, если p+qi не являются корнями

128	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
характеристического уравнения, то частное решение можно искать
в таком же виде, как и правая часть B.74); если же p±qi являются
корнями характеристического уравнения кратности а, то частное ре-
решение приобретает еще множитель ха.
Если опять вернуться к тригонометрическим функциям, то это
правило можно сформулировать так:
а)	Если р + qi не являются корнями характеристического
уравнения, то частное решение надо искать в виде
у = еР* \PS (x) cos qx -f Qs (x) sin qx],
где Ps(x) и Qs(x) — многочлены степени s с неопределенными
коэффициентами.
Заметим, что если один из многочленов Ps{x) или Qs(x) имеет
степень ниже s или даже, в частности, тождественно равен нулю,
то все же оба многочлена Ps(x) и Qs(x) будут, вообще говоря,
иметь степень s.
б)	Если pi.qi являются а-кратными корнями характери-
характеристического уравнения (резонансный случай), то частное ре-
решение надо искать в виде
у = хаеР* [Ps (x) cos qx -j- Qs (x) sin qx].
Пример 7.
у" 4- 4 у' 4- 4y = cos 2x.
Так как числа ±2/ не являются корнями характеристического уравнения,
то частное решение ищем в виде
у — A cos 2x 4- В sin 2x.
Пример 8.
у" 4- 4у = cos 2x.
Так как числа ±2/ являются простыми корнями характеристического урав-
уравнения, то частное решение ищем в виде
у ~ x[
Пример 9.
IV
Так как числа ± I являются двукратными корнями характеристического
уравнения, то частное решение ищем в виде
у = х2 (A cos х 4- В sin х).
Пример 10.
у" 4- 2у' 4- 2у = в-* (х cos х 4- 3 sin л:).
Так как числа — \ ± I являются простыми корнями характеристического
уравнения, то частное решение ищем в виде
у =» хе~х [{Аах4- А{) cos x + {Вох + В,) sin x].

§ 6]	НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНРНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.	129
Во многих случаях при нахождении частных решений линейных
уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью вида B.73)
целесообразно перейти к показательным функциям.
Например, в уравнении
у" — 2у' + у — cos а:
можно преобразовать cos х по формуле Эйлера или, еще проще, рассмотреть
уравнение
У" ~ Ь' + У = «".	B.75)
действительная часть решения которого должна удовлетворять исходному
уравнению (см. стр. 114—115).
Частное решение уравнения B.75) можно искать в виде
у — Ае1х.
Тогда
А~\> у = ¦§¦ (cosх +'sln¦*)•
Частное решение исходного уравнения
~	1
у, = Re у = — -j sin х.
Для нахождения частных решений линейных неоднородных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях очень удо-
удобен операторный метод.
Понятие об операторном методе решения линей-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Для производных порядка k введем обозна-
обозначение
Пользуясь этим обозначением, запишем уравнение
aoy<"' + aiy(e-1)+ ...+any=f(x)
в виде
a0Dny + ар1- Ху + ... + а„у = / (х)
или
(a0D''+alD"~>+...+an_lD+an)y=f(x). B.76)
Выражение
a0D" + ap-l+ ... +an_xD + an
называется операторным многочленом. Этот операторный много-
многочлен кратко обозначим F (О), а уравнение B.76) запишем в виде
F(D)y=f(x).
9 Л. Э. Эльсгольц

130	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 2
Непосредственной проверкой легко устанавливается справедливость
следующих тождеств:
1)	F{D)ekx==ekxF(k),
2)	FiD^sinax^slnaxFi— a2).
3)	F(D2)cosax = cosaxF(— а2),
4)	.F (D) ekxv (х) == ekxF (D + k)v (х).
Действительно:
o
2) F 02)sinax = (aQD2n-{- a1D'2n~2-\- .. . -(- an_J? + an)sinax =
= [a0 (— a2)" + fll (— a2)" + ... + art_! (- a2) + an] sin ax =
= sinax/:' (— a2).
Тождество З) доказывается совершенно аналогично:
F (D2) cos ax = cos axF (— a2).
я
4) F (D) ekxv (x) = 2 «„-рЯ" («** «(*)) =
я
= «*
p=0
p=0
Суммой двух операторов FX{D) и F2{D) называется оператор
I/7, (D)+ F2(D)], действие которого на некоторую функцию / (х)
определяется равенством
[F, (?>) + F2 (D)] / (х) = Fx (D) f (x) -f- F2 (D) f (x).
Из этого определения следует, что
р=0	р=0	р=0
так как действие левой и правой частей этого равенства на неко-
некоторую п раз дифференцируемую функцию /(х) приводит к одному
и тому же результату, т. е. правило сложения операторных много-
многочленов не отличается от правила сложения обычных (не операторных)
многочленов.

§ 61	НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.	131
Произведением двух операторов Ft (D) • F2 (D) называется опе-
оператор, действие которого на некоторую достаточное число раз диф-
дифференцируемую функцию f (х) определяется равенством
Fl (D) ¦ F2 (?>) / (х) = Fx (D) [F2 (D) f (x)],
т. е. на функцию f (x) действует сначала правый множитель, а затем
на результат действия правого множителя на функцию f (х) действует
левый множитель.
Исходя из этого определения, нетрудно обнаружить, что правило
умножения операторных многочленов не отличается от правила умно-
умножения обычных (не операторных) многочленов. Действительно,
2 аа.р' 1 Ьа_р =ЪЪ an_pbm_gD!^«, B.77)
/;=J	.7 = 0	Р = й 4 = 0
так как
р = U	q = О
что совпадает с результатом действия оператора
р = 0 «=0
на /(*).
Из B.77), в частности, следует коммутативность умножения опе-
операторов
F,(D)F2(D)=^F2(D)Fl(D).
Справедливость дистрибутивного закона
F (D) \Fl (D) -j- F2 (D)] = F (D) /*, (D) -+- F (D) F2 (D)
непосредственно следует из правила дифференцирования суммы.
Следовательно, действия сложения и умножения с операторными
многочленами не отличаются от тех же действий с обычными (не
операторными) многочленами.
Определим теперь оператор „,„. .
Результатом действия оператора „,„. на некоторую непрерыв-
непрерывную функцию /(х) является решение уравнения
F(D)i,=f(x),	B.78)
У
9*

132	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. 2
Следовательно,
D{\	B'79)
Можно было бы считать, что „,„, /(х) является решением уравне-
уравнения B.78), определяемым какими-нибудь конкретными, например
нулевыми, начальными условиями, однако для наших целей удобнее
считать, что /?(г>\ /(х) является одним из решений, все равно каким,
уравнения B.78) и, следовательно, действие оператора „ д на не-
некоторую функцию /(х) определено лишь с точностью до слагаемого,
равного решению соответствующего однородного уравнения.
При таком понимании действия оператора „ будет справедли-
справедливым равенство
T~lF(D)/(x)]=f(x),	B.80)
так как f (х), очевидно, является решением уравнения
F (D) у = F (D) / (х).
Произведение операторов Ф (D) на д определяется равенством
Аналогично
- Ф (D) / (х) =-^ [Ф (D) / (х)].
Поэтому в формулах B.79) и B.80) скобки можно опустить. Заметим
еще, что
так как —p-f(x) является по определению оператора 	 реше-
решением уравнения Dpy=/(x).
Проверим следующие свойства оператора „ ., ;
где к — постоянный множитель, так как
2) тщекх = тщ •если F {k) ф и-

§ 6]	НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.	133
Действительно, „... является решением уравнения Рф)у = екл,
таь как по формуле 1) стр. 130
3) уфЩ*<"•*•= ,,°^, если Г(-а'
Действительно, „,_ д2 является решением уравнения F(D2)y =
= sin ах, так как по формуле 2) стр. 130
F (D2) -р*™*3) = р (_ д8) Z7 (— a2) sin ax = sin ax.
.. 1	cos ад:	„ . .,. n
4) ^(?>2) cosaA:= f (-а2) ' еСЛИ F<r~ а')^°>
так как по формуле 3) стр. 130
гч / у^\9\ COS CLJC	I	*-, ,	О\
F Ф > Т(— а2) = /=•(—д2) ^~ й') C0S пХ ^ C0S
5)
Действительно, ekx P(n, .. f (x) является решением уравнения
Г (^i/ -f- KJ
/=¦ (?)) у = е"г/ (х), так как по формуле 4) стр. 130
F(D)ek' P(Dl+k) v(x) = e*xF(D+k) F(D\k) v{x)^ekxv{x).
6)
ТЩl/l (x) + /г (xI ^ Щ /i(x) + ТЩ
Это равенство является следствием принципа суперпозиции (стр. 114).
7) Fi (D) -F2(D)f (Х) ^ f, (D) F2(D
т. е.
является решением уравнения
F1(D)F2(D)y=f(x).	B.82)
Действительно, подставляя B.81) в B.82), получим

134	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Приведем несколько примеров нахождения частных решений линейных
неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами операторным
методом:
1)	у"^-4у = ех, или (?>2 + 4) у = ех, откуда
_ 1 - х _ ех
У- D2 + 4 e ~ 5 •
2)	yiV _|_ у = 2 cos Зх, или (D4 + 1) у = 2 cos Зх,
1 о о	2 cos Зх	1
У = оч=Т 2cos 3х = -(=9уТТ = Ж cos Ъх-
3)	у" 4- 9у = 5 sin х, (D2 + 9) у = 5 sin x,
1 , .-	5sinx 5 .
5SX	5'"
4)	у" _ 4/ + 4у = А2х. (D — 2J у = л:2е2х,
у- (D — 2J	?>2Х-е 12-
5)	/" _ 3/ + 3/ - у = **, (D - IK у = е*.
у (D — IK
/¦' (й) = 0, поэтому вместо второй формулы применяем формулу 5) (стр.
132—133), рассматривая ех как произведение ех ¦ 1:
1	1	х3
У— (D — \y	D3	6 '
6) y'" — y =
(D3 —l)y =-sinx.	B.83)
у = -=rj	=- sin x. Так как оператор содержит нечетные степени D, то вос-
воспользоваться формулой 4) нельзя. Поэтому вместо исходного уравнения рас-
рассмотрим уравнение (?>3 — 1) у = eix, или
.	B.84)
Мнимая часть решения уравнения B.84) будет решением исходного уравне-
уравнения (см. стр. 115):
У =
— е1х _ (— 1 + г) (cos x-j-i sin x) _
D3 —1	/3—1 1-ft ~	2
=	=- (cos x + sin x) -\- — (cos л: — sin x)
,.	.	cos x — sin x	,„ „„,
Мнимая часть решения	 уравнения B.83) является решением
уравнения B.83).
7) У" + У = cos х, (D2 + 1) У = cos х, у =	cos x.
Формула 3) стр. 133 неприменима, так как F(—я2) = 0, поэтому опять
вместо заданного уравнения рассматриваем уравнение
— eix или у" + у = cos х + i sin x

§ 6]	НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.	135
и берем действительную часть его решения
1	11
Ф* + 1)У = **• У = ?>2_|_i e*= (D — t) (D-f 0 *" =
1 iu _ g" 1 . _ eixx _ х (cos x + isln x)
~~ D — i 21 ~ 21 D	2i ~	21
Взяв действительную часть найденного решения вспомогательного уравне-
уравнения 	<j—, получим решение исходного уравнения
4	х	1
Выясним еще, как действует оператор -s~rfy\ на многочлен
/	/'-1Н- ... +Ар.
Формально разделим 1 на многочлен
F(D)=an + an_1D+ ... + a0Dn, апФ0,
расположенный по возрастающим степеням D, по правилу деления
обычных (не операторных) многочленов. Процесс деления прекратим
тогда, когда в частном получим операторный многочлен степени р:
bo+bxD+ ... -\-bpD"=Qp(D).
При этом в остатке окажется многочлен
содержащий оператор D в степенях не ниже р-\-1. В силу зависи-
зависимости между делимым, делителем, частным и остатком получим
F(D)Qp(D)-{-R(D)~\.	B.85)
Это тождество справедливо для обычных (не операторных) много-
многочленов, но так как правила сложения и умножения операторных
многочленов не отличаются от правил сложения и умножения обыч-
обычных многочленов, то тождество справедливо и для операторных
многочленов. Действуя правой и левой частями тождества B.85)
на многочлен АйхР-{-АххР~1-\- ... -\- Ар, получим
IF (D)Qp(D) + R(D)](Aoxp + АгхР-^ + ... +Лр) =
или, принимая во внимание, что

136	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
так как R(D) содержит D в степенях не ниже р~\-\, будем иметь
F (D)[Qp(D)(AoxP + AlXP'i + ... +A0)]=s
= Лох" + Л1х"->+ •¦• + Ар,
т. е. Qp(D) (АохР 4~ АххР~1 Ц- ... -f- Лр) является решением уравнения
F(D)y = Аохр + Аххр-^ + ... +Ар.
Итак,
Например:
9) у" + у = х2-й: + 2, (?>2 + 1) У = ^-
Разделив 1 на 1 4- D2, получим Q2 (D) =1 — D2. Следовательно,
у = A — D2) (х2 — х 4- 2) = х2 — х.
10)	у" + Чу' 4- 2у = х2е~х, (D2 4- 2D 4- 2) у = А~ж,
11)	у" 4- У = х cos л:, (?>2 4- 1) >' = -v cos x.
Перейдем к уравнению (D2 -\- 1) у = хе'х и потом возьмем действительную
часть решения
7Г ^ == @ "FT I Tv; Г л I X
_L- -4- —
D (D + 2/)	D 12/ + 4
X2
: г W х I ' \	1г
хг
хг	х
Взяв действительную часть — sin x -f- -j- cosx, получим искомое решение.
Замечание. Последний пример показывает, как надо действо-
действовать оператором ,„ ,„. на многочлен, если ап = 0. Представив FCD)
в виде DSQ)(D), где свободный член многочлена Ф(Ц) уже не равен
нулю, действуем на многочлен вначале оператором ,, , а затем
оператором -=-^.
Неоднородные уравнения Эйлера
аохпу("> Н- e,je«-iy<я -D + ... -f вяу = / (х)	B.86)
или
-*)"~1y<"-I)+ ... +аву = /(х) B.87)
можно интегрировать путем решения соответствующих однородных
уравнений (см. стр. ПО) и подбора одного частного решения неодно-

§ 7]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ	137
родного уравнения, или применяя метод вариации постоянных. Однако
обычно проще вначале проинтегрировать однородное уравнение, а для
подбора частного решения преобразовать уравнение Эйлера B.86)
заменой переменных х=±.е* (для уравнения B.87) ах-\-b = ± е')
к уравнению с постоянными коэффициентами, для которых хорошо
разработаны методы нахождения частных решений.
Пример 11.
х*у" (х) — ху' (х) + у (х) = хIn3 х.	B.88)
Ищем решение соответствующего однородного уравнения в виде у = хк
k2 — 2k + 1 = 0;	B.89)
ku 2 = 1. следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид
у = (с, 4- с2 In х) х. Заменой переменных х = е1 преобразуем уравнение B.88)
в уравнение с постоянными коэффициентами у (t) — 2у (t)-\- у = tiet (левая
часть этого уравнения сразу может быть написана по характеристическому
уравнению B.89)). Операторным методом легко находим частное решение
преобразованного уравнения
1 иъ t 1 ,з еНъ	х\п5х
(D — IJ	D2 ~ 20 ' ' ~ 20
шение уравнения A
у = [с, +c2lnx-\--
Следовательно, общее решение уравнения B.88) имеет вид
In1
20
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений
при помощи рядов
Задача интегрирования линейных однородных уравнений п-го
порядка
Ро (х) у<»> + рх (х) y(«-i) + ... + Ря (х) у = 0. B.90)
сводится к подбору п или хотя бы п — 1 линейно независимых
частных решений. Однако частные решения легко подбираются лишь
в исключительных случаях. В более сложных случаях частные реше-
оэ
ния ищут в виде суммы некоторого ряда 2 а;Фг (х)> особенно часто
в виде сум"мы степенного или обобщенного степенного ряда.
Условия, при которых существуют решения в виде суммы сте-
степенного или обобщенного степенного ряда, обычно устанавливаются
методами теории функций комплексного переменного, знакомства
с которыми у читателя мы не предполагаем, поэтому основные теоремы
этого параграфа даны без доказательства в применении к наиболее
часто встречающимся в приложениях уравнениям второго порядка.
Теорема 2.9 {об аналитичности решения). Если
Ро(х), pi(x), p2(x) являются аналитическими функциями х

138	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
в окрестности точки х = х0 и ро(.хо) ф О, то решения уравнения
PoMy" + Pi(x)y' + p2(x)y = 0	B.91)
также являются аналитическими функциями в некоторой
окрестности той же точки и, следовательно, решения урав-
уравнения B.91) можно искать в виде
у = ao-f at (х — х0) + а2 (х — х0J + ... + ап (х — хо)п + ...
Теорема 2.10 (о разложимости решения в обобщенный
степенной ряд). Если уравнение B.91) удовлетворяет условиям
предыдущей теоремы, но х — х0 является нулем конечного
порядка s функции ро(х), нулем порядка s—1 или выше
функции Pi(x) (если s > 1) и нулем порядка не ниже ~s — 2
коэффициента р2(х) (если s > 2), то существует по крайней
мере одно нетривиальное решение уравнения B.91) в виде
суммы обобщенного степенного ряда
у = ао{х-хо?+а1(х-х0)к+1+ ... + ап{х-х0)к+п + ..., B.92)
где k — некоторое действительное число, которое может быть
как целым, так и дробным, как положительным, так и отри-
отрицательным.
Второе линейно независимое с B.92) решение, как правило, имеет
тоже вид суммы обобщенного степенного ряда, но иногда может еще-
содержать произведение обобщенного степенного ряда на \п(х—х0).
Впрочем, в конкретных примерах можно обойтись без формули-
формулированных выше двух теорем, тем более, что эти теоремы в указан-
указанной формулировке все равно не устанавливают области сходимости
рассматриваемых рядов. Чаще всего в конкретных задачах подбирают
степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяю-
удовлетворяющий дифференциальному уравнению, т. е. при подстановке обращающий
рассматриваемое уравнение B.90) порядка п в тождество, если пред-
предполагать сходимость ряда и возможность почленного дифференциро-
дифференцирования п раз. Получив формально решение в виде ряда, исследуют
его на сходимость и на возможность почленного дифференцирования
И раз. В той области, где ряд сходится и допускает я-кратное
почленное дифференцирование, он не только формально удовлетво-
удовлетворяет уравнению, но его сумма действительно является искомым
решением.
Пример 1.
у" — ху = 0.	B.93)
Ищем решение в виде степенного ряда
2
п-0

§ 7]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ . ПОМОЩИ РЯДОВ	139
Опираясь на теорему 2.9 или формально дифференцируя этот ряд почленно
два раза и подставляя в уравнение B.93) получим
оо	оо
2 а„п (п - 1) *«-* - * 2 ««¦*" = °-
я=2	н = 0
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой
частях тождества, получим: а<2 = 0, 3 • 2д3 — До — 0> откуда аг — ° ;
4 ¦ За, — я, = 0, откуда д4 = ^^; 5 ¦ 4а5 — ^2 = 0, откуда а5 = -^^ . ¦ • •
. .., л (л — 1) ап — а„_3 = 0, откуда ап = -:—^—~— , ... Следовательно,
(п — 1)п
агп~ 1 = 0, азл = -
3-5-6 ... C/г— 1K/г '
3-4-6-7...зл(Зл-Ь1)
а0 и Д) остаются произвольными. Итак,
[v-4
" + 3—
хзл
•¦¦ +2.3-5-6...(Зл-1K/г+ "•
Радиус сходимости этого степенного ряда равен бесконечности. Следова-
Следовательно, сумма ряда B.94) при любых значениях х является решением рас-
рассматриваемого уравнения.
Пример 2.
х2у" + ху' -\- (х2 — п2) у = 0.	B.95)
Это уравнение называется уравнением Бесселя порядка п, хотя впервые оно
встречается в работах Л. Эйлера и Д. Бернулли. К уравнению Бесселя сво-
сводятся многие задачи математической физики, поэтому мы исследуем его не-
несколько подробнее.
По теореме 2.10 по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения
Бесселя может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда
У — ^j р
/7=0
Дифференцируя этот ряд два раза почленно и подставляя в уравнение B.95)
получим	'
¦*'' Zi ap (k + P) (fe + P —г)x -\-
p=0
2 apik + p) дг

140	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. 2
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой ча-
частях равенства, получаем
д0 [?2 — л2] = О,
а, [(*+О2-л2]=0,
[(й + 2J — пЦа, + ао^О,
[(? + ЗJ — л2] я3 + <*i = О,
Так как коэффициент а0 при низшей степени х можно считать отличным от
нуля, то первое уравнение сводится к
№ — л2 = 0, откуда k = ± л.
Для определенности будем пока считать & = л>0; тогда из второго уравне-
уравнения ах\(п-\-\у — л2] = 0 получим: а, — 0 и, следовательно, все а2р4 , =¦ О,
До	«о
а =
-2J-л2
а, = — ¦
(« +2) 1-2 '
При k — — п совершенно аналогично получаем
При k = л получаем решение
(—1)рх2р+п
у=ас
Этому решению можно придать более удобный вид, если выбрать произволь-
произвольное постоянное а0 ¦= „д 4- It ' ГД6 ^ — гамма-функция Эйлера; напом-
напомним, что
Г (/>) = J в" V-1 а!л: при р > О, Г (р + 1) = рГ (р).
о
Тогда
(г96)

§ 7]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ	141
Это решение обычно обозначается Jn (х) и называется функцией Бесселя
первого рода порядка п.
При k = —п, выбирая аа—	, аналогично получаем фун-
2-«Г(— л + 1)
кцию Бесселя первого рода порядка — п:
-	<2'97>
p
Ряды B.96) и B.97) сходятся при любых значениях х (в B.97) х Ф 0) и
допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно /п(х)
J^n(x) являются решениями уравнения Бесселя B.95).
При п, не равном целому числу, решения Jn (x) и J_п(х), очевидно,
линейно независимы, так как их разложения в ряды начинаются с различных
степеней х и, следовательно, линейная комбинация (tiJn (x) -\-a,J^n (x) мо-
может тождественно равняться нулю лишь при аг ~ <х2 = 0.
Если же п равно целому числу, то, так как для целых отрицательных
значений р и для р—0 функция Г (р) обращается в бесконечность, разло-
разложения в ряды функций /п(х) и /_л(х) начнутся с одинаковых степеней х
и, как нетрудно проверить, функции Jn (x) и /_„ (х) будут находиться
в следующей линейной зависимости:
Следовательно, при целом п вместо J_n(x) надо искать другое решение,
которое было бы линейно независимо от ]п (х). Такое решение можно полу-
получить различными способами, например, можно, зная одно частное реше-
решение /„ (х), понизить порядок уравнения B.95) подстановкой, указанной на
стр. 101, или сразу искать решение в виде суммы обобщенного степенного
ряда и произведения обобщенного степенного ряда на In x. Получаемое любым
из этих способов линейно независимое от Jn (x) решение при вполне опре-
определенном выборе произвольного постоянного множителя называется функ-
функцией Бесселя второго рода и обозначается Yn (x).
Чаще всего, однако, Yn (x) определяют так: считая пока п не равным
целому, числу рассматривают решение Yn (x) уравнения Бесселя, являющееся
линейной комбинацией решений Jn(x) и /_„(.*:):
Jп(х) cos пп — J-n(x) .
затем, переходя к пределу при п, стремящемся к целому числу, получают
линейно независимое от Jп (х) частное решение уравнения Бесселя У'„ (х),
определенное уже и для целых значений п.
Итак, общее решение уравнения Бесселя при п, не равном целому числу,
имеет вид
а при п, равном целому числу,
где С] и с2 — произвольные постоянные.
Функции Бесселя первого и второго рода изучены весьма детально И,
в частности, составлены подробные таблицы их значений. Поэтому, если
какая-нибудь задача сведена к функциям Бесселя, то ее можно считать

142	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. 2
решенной в такой же мере, в какой мы считаем решенной задачу, в которой
ответ дан, например, в тригонометрических функциях.
Часто в приложениях приходится рассматривать уравнение
х2у" + ху' + (т'х2 — п2)у = 0.	B.98)
Это уравнение сводится к уравнению Бесселя заменой переменной Ху = тх.
Действительно, при такой замене переменных
dy dy dxx dy	d2y d}y
dx dx^ dx dX]	dx dx\
и уравнение B.98) переходит в уравнение Бесселя:
Следовательно, общее решение уравнения B.98) при п, не равном целому
числу, имеет вид
у «= CtJn (тх) + cj _„ (тх),
а при п целом
У = C\
Пример 3.
Общее решение уравнения имеет вид
у = ciJ1 Bx) + с2У 3_Bjf).
5	~5
Пример 4.
л;2у" + ху' + (Зх2 — 4) у = 0.
Общее решение
у = с,У2 U /3 ) •+ с2К2 (л: /3 ).
Пример 5. Проинтегрировать уравнение
при условии, что решение должно быть непрерывно в точке х = 0 и у @, 3) = 2.
Общее решение имеет вид
Функция J j B*) разрывна при х = 0, так как ряд B.97) начинается
"I
с отрицательных степеней х. Следовательно, решение у непрерывно в точке
х — 0 лишь при сг = 0:
з

§ 7]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ	143
Удовлетворяя второму условию у @, 3) = 2, получим
2
В таблицах Бесселевых функций находим J j @,6) == 0,700, следовательно,
з"
с, ss 2,857 и
у и 2,857/! Bх).
з"
В приложениях часто требуется найти периодические решения
некоторого дифференциального уравнения. В этом случае обычно
целесообразно искать решение в виде суммы некоторого ряда Фурье:
пл , . D . пл Л
„ cos-j-t-\-В„sm-j-
Заметим, что если уравнение
xW = F(t, х, х	дгС"-1))	B.99)
имеет периодическое решение xo(t) периода Т, то правая часть ура-
уравнения B.99) вдоль рассматриваемой интегральной кривой является
периодической функцией периода Т по первому аргументу. Действи-
Действительно, подставляя в уравнение B.99) периодическое решение х =
= х0 ((), получаем тождество
Заменяя в этом тождестве t на t -\-Т, мы в силу периодичности
функции х0 (t) и ее производных не изменим левой части уравнения
и не изменим аргументов правой части, начиная со второго, следова-
следовательно.
F(t. xo(t), xo(()	л:"
xo(t), xo(t),
т. е. функция F вдоль интегральной кривой x = xo(t) имеет период Т
по явно входящему аргументу t.
Следовательно, если правая часть уравнения B.99) при любом
выборе xo(t) не является периодической функцией по первому аргу-
аргументу, то не существует и периодических решений. Если функция F
не зависит явно от t, т. е. является постоянной по отношению к аргу-
аргументу t, то F можно рассматривать как периодическую по / функцию
любого периода и поэтому не исключена возможность существования
периодических решений какого угодно периода.

144	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения
B.100)
Для существования периодического решения необходимо предпо-
предположить, что / является периодической функцией. Без существенного
ограничения общности можно считать, что f{t) — периодическая
функция периода 2я, так как если бы функция f(t) имела период Т,
то после преобразования независимого переменного t1 = -=-t пра-
правая часть стала бы функцией периода 2я по новому независимому
переменному t1.
Предположим, что функция f(f), кроме того, непрерывна и раз-
разложима в ряд Фурье:
/(/) = ^S- -+- У (д cos kt + bk sin kt).
B.101)
Периодическое решение ищем в виде
B.102)
Дифференцируя ряд B.102) почленно два раза и подставляя в урав-
уравнение B.100), получим
k=\
= Т"
cos
sin
откуда, если а не равно целому	числу, определяем коэффициенты
ряда B.102):
а2А0 	?о_ . 	?о_
2 ' °~ а2 '
2
. ,
B.103)

§ 7]	ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ	145
Следовательно, уравнению B.100) формально удовлетворяет ряд
со
в, , у ак cos kt -\- bk sin kt	,n ,qj.
Очевидно, что ряд B.104) сходится и допускает двукратное почлен-
почленное дифференцирование, так как ряд B.101), в силу непрерывности
функции f(t), сходится равномерно, а коэффициенты ряда
k2(ak cos kt + bk sin kt)
составленного из вторых производных от членов ряда B.104), отли-
отличаются от коэффициентов ak и bk ряда B.101) лишь не зависящим
k2
от /, монотонно стремящимся к 1 при k—>со множителем	^—т? •
Следовательно, ряд B.105) сходится равномерно, а значит, ряд B.104)
можно было дифференцировать почленно два раза. Итак, ряд B.104)
не только формально удовлетворяет уравнению B.100), но его сумма
x{t) существует и является периодическим решением уравнения B.100).
Если а мало отличается от целого числа ли ап ф 0 или Ьп ф 0,
то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании
при приближении а к п хотя бы одного из коэффициентов
л 	 ап	d 	 Ьп
¦ /г2 ' " ~ а2 — п2 •
Если же а = п и хотя бы один из коэффициентов ап или Ьп не равен
нулю, то периодических решений не существует, так как резонирую-
резонирующим слагаемым
ап cos nt-\-bnsin nt
в правой части уравнения B.100), как указано на стр. 128, согласно
принципу суперпозиции соответствует в общем решении уравне-
уравнения B.100) непериодическое слагаемое вида
t {An cos nt -\- Bn sin nt),
тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут
периодическими функциями. Следовательно, при а = п периодическое
решение уравнения B.100) существует лишь в случае отсутствия
в правой части резонирующих членов ап cos nt-\-bn sin nt, т. е.
в случае
2л	2л
ап = - f f (t) cos nt dt = 0, bn = - f f {t) sin ntdt = O. B.106)
0	0
10 Л. Э. Эльсгольц

146	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
В последнем случае, т. е. при а — п, ап = Ьп — 0, периодическое
решение уравнения B.100) существует, причем при k ф п коэффи-
коэффициенты определяются по формулам B.103), а коэффициенты Ап и Вп
остаются произвольными, так как Ancosn(-\-Вп sin nt является при
произвольных Ап и Вп решением соответствующего однородного
•уравнения.
Пример 6. Определить периодическое решение уравнения
со
Ищем решение в виде ряда
со
* @ - 4*"+ S М* cos kt + в, sin *о
и, определяя коэффициенты А^ и В^ по формулам (91), получаем
оо
sinkt
Пример 7. Определить периодическое решение уравнения
= sin2 ^
Так как условия существования периодического решения B.106) не удовле-
удовлетворяются:
2л
О
НО
2я
Г sin2 / sin 2t dt = 0,
Г sin21 cos 2/ dt ф 0,
то периодического решения не существует.
Пример 8. Определить периодическое решение уравнения
оо
COS kt
В правой'части отсутствуют резонирующие члены ах cos t -f- ^i sin t. Следо-
Следовательно, периодическое решение существует и определяется по форму-
формулам B.103):
со
^о-U +Cicos*+с-<slnи
где с, и С} — произвольные постоянные.

§ 8)	МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	14?
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории
квазилинейных колебаний
В предыдущем параграфе был указан метод нахождения периоди-
периодических решений линейных уравнений вида
Во многих практических задачах возникает вопрос о нахождении
периодического решения аналогичного уравнения, но имеющего в пра-
правой части малое нелинейное слагаемое:
х -f а?х — / @ + \хР (t, х, х, [д.),	B.107)
где \х—малый параметр.
Если отбросить слагаемое nF(t, x, x, \i), т. е. считать в урав-
уравнении B.107) ц = 0, то получим линейное уравнение
называемое порождающим для уравнения B.107).
Одним из наиболее эффективных методов нахождения периодиче-
периодических решений уравнения нелинейных колебаний с малой нелиней-
нелинейностью B.107) является разработанный А. Пуанкаре и А. М. Ляпу-
Ляпуновым метод разложения решения в ряд по степеням малого пара-
параметра \i, широко применяемый в настоящее время при решении самых
разнообразных задач..
Опираясь на теорему об аналитической зависимости решения от
параметра (см. стр. 55), легко обобщающуюся на уравнения второго
и более высокого порядков, можно утверждать, что решения x(t, \i)
уравнения B.107) будут аналитическими функциями параметра \i при
достаточно малых по модулю значениях ц, если функция /(() непре-
непрерывна, а функция F (t, х, х, \i), непрерывная по t, аналитически за-
зависит от остальных аргументов: от х и х в той области, в которой
в дальнейшем будут меняться эти переменные, а от fx при достаточно
малых по модулю значениях \i.
Предполагая, что эти условия выполнены, ищем периодическое
решение x(t, }i) в виде суммы ряда
x(t, \iy=xo(t)
Дифференцируем этот ряд почленно два раза:
x(t, (i)=i
x(t, (i)=^
10*

148
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
ГГЛ. 2
и подставляем в уравнение B.107), в котором функция F(t, х, х,
предварительно разложена по степеням х — х0, х — х0 и fx,
F(t, х0, х0, O)-f-(-^J) _ (х —*0.
+ пЧ (
Хц=0°
. B.108)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ц в левой и пра-
правой частях уравнения B.108), получим
х, -|- а2хх = F (t, х0, х0, 0),
Л — AG
дх],
B.109)
Первое из этих линейных уравнений совпадает с порождающим
уравнением. Интегрируя его и подставляя найденное решение xo(f)
во второе уравнение, получим для определения ху (t) опять линейное
уравнение и т. д.
Для определения xn{t) мы также получим линейное уравнение,
так как в правой части этого уравнения будут содержаться лишь xf
и Ху с индексами, меньшими п, потому что из-за наличия множи-
множителя |л при F члены, содержащие в правой части х„ и хп и, тем
более, xk и xk с большими индексами, будут иметь множитель fx
в степени не ниже « -}— 1.
В этом параграфе мы рассматриваем лишь вопрос о нахождении
периодических решений, поэтому на правую часть уравнения
х -+- а2х = f (() -f- VF (Л х, х, \х),
в соответствии с замечанием на стр. 143—144 естественно наложить
еще одно ограничение, а именно потребовать, чтобы правая часть была
периодической функцией по явно входящему аргументу t. Без суще-
существенного ограничения общности можно считать наименьший период
правой части, если правая часть явно зависит от t, равным 2я, при
этом, если /(t) не равно постоянной величине, периодические реше-
решения уравнения B.107), если они существуют, при достаточно малом [i
могут иметь лишь периоды, равные.или кратные 2л (см. стр. 143—144).

§ 8]	МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	149
Для нахождения периодического решения уравнения B.108) в виде
x(f, ц) =	"	BЛ1°)
надо определить периодические решения xk (t) уравнений B.109). Дей-
Действительно, если решение х (t, jx) имеет постоянный период 2л (или 2тл,
т — целое число) при любом достаточно малом по модулю |л, то
-f ц*,(/ + 2я) + ... +\inxa(t + 2л) + ... B.111)
Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях ц в левой
и правой частях тождества B.111) должны быть равны, т. е.
а это и означает периодичность функций xn(t) (ге = 0, 1, 2, ...).
Совпадение • коэффициентов при одинаковых степенях р. в левой и
правой частях тождества B.110) можно обнаружить, например, диф-
дифференцируя тождество B.110) п раз по fx, после чего, полагая (л = 0,
получим
*яBя-К) = •*„(*) (« = 0. 1. 2, ...)•
Итак, нам надо найти периодические решения уравнений B.109).
При этом целесообразно отдельно рассмотреть следующие случаи.
1. Нерезонансный случай: а отлично от целого
числа. Если а не равно целому числу, то первое из уравнений B.109)
имеет единственное периодическое решение xo — %(t), которое нахо-
находим методом предыдущего параграфа (см. стр. 144). Затем тем же
методом находим x1(t), x2(t) и т. д.
Если бы этим методом мы нашли общий член ряда B.110), уста-
установили сходимость этого ряда и законность его двукратного почлен-
почленного дифференцирования, то сумма ряда B.110) являлась бы искомым
периодическим решением периода 2я. Однако обычно нахождение
общего члена ряда B.110) является крайне сложной задачей, в силу
чего приходится ограничиваться вычислением лишь нескольких первых
членов ряда, что было бы достаточным для приближенного нахожде-
нахождения периодического решения, если бы была уверенность в том, что
ряд сходится и его сумма является периодическим решением.
В связи с этим большое значение имеют теоремы А. Пуанкаре
о существовании периодических решений, позволяющие, в частности,
найти условия, при которых заведомо существует единственное перио-
периодическое решение уравнения B.107), стремящееся при \х->0 к перио-
периодическому решению порождающего уравнения.
Если условия теоремы А. Пуанкаре выполнены и, следовательно,
существует единственное периодическое решение уравнения B.107),
стремящееся при ц->0 к периодическому решению порождающего
уравнения, то сумма единственного ряда с периодическими коэффи-

150	'	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[Т.П. 2
циентами B.110), формально удовлетворяющего уравнению B.107),
должна существовать и должна совпадать с искомым периодическим
решением. При этом отпадает необходимость нахождения общего
члена ряда B.110) для исследования ряда на сходимость и можно,
найдя несколько первых членов ряда B.110), утверждать, что при
малом \i их сумма приближенно равна искомому периодическому
решению.
Теоремы А. Пуанкаре, опирающиеся на сведения из теории ана-
аналитических функций, довольно сложны, поэтому мы приводим в конце
этого параграфа лишь простейшую из этих теорем, которая, однако,
уже позволяет утверждать, что в рассматриваемом нерезонансном слу-
случае уравнение B.107) всегда имеет единственное периодическое реше-
решение при достаточно малом ц.
Пример 1. Приближенно определить периодическое решение уравнения
х -f 2х = sin t -f \ix2,
где \i — малый параметр (определить два члена ряда B.110)). Ищем решение
в виде
х (/. ц) = х0 @ + n
Находим периодическое решение порождающего уравнения
xQ -j- 2х0 = sin /, xa {t) = sin t.
Периодическое решение уравнения
1	2
= sin21 или лг42*
имеет вид
1 . cos 2t
Следовательно, периодическое решение
х (t, у) № sin t + -j- A -+- cos 2/) ц.
2. Резонансный случай. Метод малого параметра может
быть применен и в резонансном случае, т. е." в случае, когда в урав-
уравнении B.107) а равно целому числу п или стремится к целому
числу п при ц->0.
Если в уравнении B.107) а мало отличается от целого числа п,
. точнее, разность а2 — л2 имеет порядок малости не ниже чем ц:
а2 — п2 = а1\1,	B.112)
где ах ограничено при \i->0, то уравнение
х-\-а2х = /(()¦+¦ nF(t, х, х, |Л)
можно переписать в виде
i 2	я2—а2)* + И/7**. х< -Хг ц)>

§ 8]	МЕТОЛ МАЛОГО ПАРАМЕТРА	151
откуда в силу B.112)
х + п2х = / (() + мЛ (t, х, х. ]х).
где функция Ft удовлетворяет тем же условиям, которым по пред-
предположению удовлетворяет функция F.
Следовательно, в дальнейшем в резонансном случае можно счи-
считать а равным целому числу:
x-\-n2x = f @ + \xF (t, х,, х, ц).
Применяя метод малого параметра, ищем периодическое решение
в виде ряда
x(t, ix) = x	k
Для определения функций xk(t) опять получаем уравнения B.109),
в которых а2 = п2, но в данном случае порождающее уравнение
*• -4~ п2 у — f (f\	(9 1 1 4*1
имеет периодическое решение лишь в случае отсутствия резонирую-
резонирующих членов в правой части, т. е. при выполнении условий (см. стр. 145)
J
2я
//«>
sin nt dt — 0.
B.106)
Если эти условия выполнены, то все решения уравнения B.113)
будут периодическими периода 2л (см. стр. 146)
л;0(t) = с10 cos nt -}- с20 sin nt -\- cp0 (t).
Функция хг (t) определяется из уравнения
хг -f n2xx ~ F (t, xQ, х0, 0).	B.114)
Это уравнение также имеет периодические решения лишь в случае
отсутствия резонирующих членов в правой части, т. е. при выпол-
выполнении- условий
2л
Г F (t, х0, х0, 0) cos nt dt — 0,
2л
Г F it, х0, х0, 0) sin nt dt = 0.
B.115)

152	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
Уравнения С2.115) содержат с10 и с20, которые, вообще говоря, и
определяются из этой системы.
Пусть сю и с20 удовлетворяют системе B.115); тогда все решения
уравнения B.114) имеют период 2л:
хг (t) = cn cos nt -f- с21 sin nt -f- fi (/),	B.116)
причем Сц и с21 опять определяются из двух условий отсутствия
резонирующих членов в следующем из уравнений B.109):
2
2
ц=0	ц=0	¦	ц=0
И Т. Д.
Следовательно, не каждому периодическому решению
х0 = cl0 cos nt -f- с20 sin л/ + ф0 (/)
порождающего уравнения, а лишь некоторым, значения cw и с20
которых удовлетворяют уравнениям B.115), соответствуют периоди-
периодические решения уравнения B.107) при малых р.. Конечно, и в резо-
резонансном случае для того, чтобы, не находя общего члена ряда B.110),
быть уверенным, что указанным процессом будет найдено периоди-
периодическое решение, надо предварительно доказать теорему о существо-
существовании периодических решений. Это замечание относится и к случаям,
изложенным в следующих пунктах 3 и 4.
3. Резонанс п-го рода. Иногда в системах, описываемых
уравнением
х + а2х = / @ + и,/7 (Л х, х, ц),	B.107)
удовлетворяющим указанным выше условиям, наблюдаются интенсив-
интенсивные колебания, когда собственная частота мало отличается от —,
п
где п — целое число. Это явление получило название резонанса
л-го рода.
С математической точки зрения это означает, что при а, мало
отличающемся от —, где п — целое число, большее единицы, урав-
уравнение B.107) может иметь периодические решения периода 2лп, не
являющиеся в то же время периодическими решениями периода Чл.
Пусть
X	F(t,x,k,v)	B.117)

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	153
2
1
(если а мало отличается от —, точнее, а*	T = \ialt где ах остается
ограниченной при fx—»0, то, перенося член [а2	-А х в правую
часть и включая его в \iF (t, x, x, |л), получим уравнение вида B.117)).
Ищем периодическое решение уравнения B.117) периода 2лп
в виде ряда
x(t, \i) = xo(t) + \ixl(t)+ ... +VL«Xn(t)+ ... B.110)
Подставляя B.110) в уравнение B.117) и сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях [i, получим уравнения B.109), в которых а= —.
Для определения xo(t) получаем порождающее уравнение
"х _|	]_ х __ t (fyt	г^2.118)
которое имеет периодическое решение периода 2лп лишь при отсут-
отсутствии в правой части резонирующих членов, т. е. при
2ял	2ял
I f(t)cosjdt = Q и f f(t)sin~dt = 0.
о	о
Если эти условия выполнены, то все решения уравнения B.118)
имеют период 2лп
xQ = cw cos — ¦+ c2Q sin - + ф0 {t),
где с10 и с20 — произвольные постоянные.
Уравнение, определяющее xv
*\+-tf-X\=F(f. x0, xo,vl)	B.119)
будет иметь периодические решения периода 2лп лишь при отсут-
отсутствии в правых частях резонирующих членов, т, е. при выполнении
условий
2пп
/ F (t, xQ, х0, ц) cos — dt = 0,
°2л«	B-120)
/ F (t, х0, х0, |л) sin - dt = 0,
о
из которых, вообще говоря, определяются с10 и с20.

154	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. 2
Если условия B.120) удовлетворяются, то все решения уравне-
уравнения B.119) имеют период 2лга
Для определения произвольных постоянных сп и с2\ пользуемся
двумя условиями отсутствия резонирующих членов в следующем
из уравнений B.109):
ii+±Xa = ^ *i+(|r) *¦+(%;)
Ц = 0	ц = 0	ц = 0
И Т. Д.
4. Автономный случай. Предположим, что правая часть
уравнения B.107) не зависит явно от t, и уравнение имеет вид
х-\-а2х = \iF(x, х, fx),	B.121)
где функция F удовлетворяет поставленным выше условиям.
На первый взгляд может казаться, что исследование уравнения B.121)
должно быть проще исследования уравнения B.107),, в котором
правая часть зависит от аргумента t, однако в действительности
отсутствие аргумента t в правой части уравнения приводит к услож-
усложнению задачи.
Если правая часть явно зависит от t, то, как уже отмечалось
выше, известны возможные периоды решений, так как периоды
решений могут быть лишь равными или кратными периоду правой
части вдоль решений по явно входящему аргументу t.
Если же правая часть не содержит t, то ее можно рассматривать
как периодическую функцию произвольного периода и, следовательно,
не исключена возможность существования решений любого периода,
причем период решений, вообще говоря, будет функцией пара-
параметра |Л. Ввиду того, что период решения х (t, \x) является, вообще
говоря, функцией \i, было бы нецелесообразно искать решение
в виде ряда
так как каждая из функций хп (t) в отдельности не обязана быть
периодической функцией и, следовательно, функции xn{t) не могли бы
быть найдены рассмотренными выше методами. Поэтому надо пре-
преобразовать уравнение B.121) к новому независимому переменному
так, чтобы по новому переменному уравнение имело бы уже по-
постоянный период, а уж затем искать решение в "виде ряда B.110).

§ 8] МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	155
Предварительно для упрощения преобразуем уравнение	B.121)
заменой независимого переменного tx = at к виду
±±- + x = iiFl(x, х. ц).	B.122)
Каждое решение порождающего уравнения xo(t1) = c1cos(t1 —10)
будет иметь период 2л, а периодические решения уравнения B.122)
при ц Ф О, если они существуют, будут иметь период 2л-(-сс([1),
причем можно доказать, что а(^) является аналитической функцией ц
при достаточно малом fx.
Разложим a(fx) в ряд по степеням \х; тогда
2ц2+ ... + /г„ц" + . ..), B.123)
где hj — некоторые, пока неизвестные нам постоянные величины.
Преобразуем переменные так, чтобы периодическое решение x{t, \i)
уравнения B.122) имело бы период не 2n-j-a(fx), а постоянный
период 2я. Это достигается заменой переменных
*1 = /2A+*1ц + А2Ц2+ ... +/гл(хл+ ...), B.124)
так как, в силу зависимости B.123), при изменении tx от 0 до
2jt-f-a(H') новое переменное t2 изменяется от 0 до 2я. При этом
уравнение B.122) преобразуется к виду
Периодическое решение этого уравнения ищем в виде
x(t2, ii) = xo(t2)+iixl(t2)+ ... -)_ц»Ля(^)-(- .... B.126)
где хп (t2) — периодические функции аргумента t2 периода 2я. Под-
Подставляя B.126) в уравнение B.125) и сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях \х в левой и правой частях равенства, получим
хо = О, откуда x0 =
\ + хх = — 2hxx0 + Fr (х0, х0, 0)
или
х\ + х\ = — 2Atc cos (г!2 —
(с cos (*2 — f0), — с sin (^2 — ад, 0) B.127)
Для того чтобы уравнение B.127) имело периодические решения,
необходимо и достаточно,^ чтобы в его правой части отсутствовали

156	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
резонирующие члены (см. B.106)), т. е. чтобы
2я
Г Fi (с cos (t2 — *о)> — с sinC^ — ^0). 0) sin (t2 — t0)dt2 = Q,
ft
— Щс + - J F1 (с cos (A, — *0), — с sin (f2 — г0), 0) X
B.128)
Первое из этих уравнений дает возможность найти значения с,
а второе — hx, определив которые, мы найдем те решения порождаю-
порождающего уравнения хо==с cos(t2 —10), в окрестности которых при
малом (х появляются периодические решения уравнения B.122), и
приближенно определим период искомого решения
2л + а(ц)«2яA-|-А1ц).
Зная с и Aj, можно определить x1(t2) и, если необходимо, тем же
методом вычислить x2(t2), x3(t2) и т. д.
Пример 2.
х-\-х — цх(9— х2).	A.129)
Определить решения порождающего уравнения, к которым при \i -> 0 при-
приближаются периодические решения уравнения B.129).
Решения порождающего уравнения имеют вид х — с cos (t —10). Для
определения искомых значений с воспользуемся первым из уравнений B.128):
2л
Г с (9 — с2 cos2 (t —10)) sin2 (t —10) dt = O
о
(	C2\
или nc 19 —j-\ — 0, откуда с, = 0, c2>3 = ± 6.
При сг—0 получаем тривиальное решение х = 0 порождающего урав-
уравнения, которое остается решением уравнения B.129) при любом ц.
При с2,3 = ± 6 получаем х = ± 6 cos (t —10).
Докажем простейшую из теорем А. Пуанкаре о существовании
и единственности периодического решения, стремящегося при
[X—>0 к периодическому решению порождающего уравнения, в при-
применении к уравнению вида
x'=f(t, х, х, fx),	B.130)
где функция / удовлетворяет условиям теоремы об аналитической
зависимости решения от параметра (х при достаточно малых по
модулю значениях (х. Кроме того, предположим, что функция /
явно зависит от f и имеет по t период 2я. Допустим также, что
порождающее, уравнение x = f(t, x, х, 0) имеет единственное перио-
периодическое решение л; = сро(?) периода 2я.

§ 8]	МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	157
Решение уравнения B.130), удовлетворяющее начальным условиям
х (t0) = ф0 (*0) -f р0, х (t0) = ф0 (t0) + Pi,
обозначим х (t, \х, р0, f>t). Следовательно, р0 и fil являются отклоне-
отклонениями начальных значений решения х (t, \х, р0, Pi) и его производ-
производной х (t, \i, р0, Pj) от начальных значений ф0 (t0) и ф0 (t0) периоди-
периодического решения порождающего уравнения.
Задача заключается в том, чтобы указать условия, при которых
для каждого достаточно малого по модулю значения ц существует
единственное периодическое решение x(t, \i, p0, PJ уравнения B.130),
стремящееся при |х —> 0 к периодическому решению Фо(^) порождаю-
порождающего уравнения.
Если решение x{t, \x, р0, Pj) является периодическим с перио-
периодом 2л, то, очевидно, должны удовлетворяться следующие условия:
*Bя. \i, р0,
хBл, (.1, р0,
—	х@, (х, р0,
—	х@, р., р0,
B.131)
Обозначая левые части этих уравнений соответственно Фо (ц, р0,
и Фх (\i, р0, рх), запишем систему A19) в виде
%fa. Po. Pi) = 0. )
Ф,Цх, р0, Р!) = 0. |
B.132)
О
Условия B.132), называемые условиями периодичности, не только
необходимы, но и достаточны для периодичности решения x(t ц, р0> р:)
уравнения B.130). Действительно,
в силу периодичности правой
части уравнения B.130) по t,
эта правая часть в полосах
0 < / < 2л, 2я < t < 4я, ...
принимает в точках (t, x, х),
(t -\- 2л, х, х), ... одинаковые
значения. Следовательно, если в
точках / = 0 и t = 2л задать
одинаковые начальные значения х0
Рис 2 2
и х0, то ими определяются в по-
полосах о <; t <; 2я и 2л <; t <; 4л
совершенно одинаковые интегральные кривые (рис. 22), точнее,
кривые, являющиеся периодическим продолжением одна другой.
По теореме о неявных функциях можно утверждать, что, если
якобиан
Д(Фо,Ф1) ^Q
0(Po.Pi)

158	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
в точке [х = 0, ро = р1 = О, то при каждом достаточно малом по
модулю значении \i существует единственная пара функций ро(|л) и
р! (|л), удовлетворяющих условиям периодичности "B.132) и стремя-
стремящихся к нулю при \i—±0, т. е. в указанных условиях для каждого
достаточно малого [х существует единственное периодическое реше-
решение уравнения B.130), стремящееся к периодическому решению
порождающего уравнения при ц —> 0 *). Это утверждение и составляет
содержание теоремы Пуанкаре.
Пример 3. Доказать, что в нерезонансном случае для уравнения
х -\-a2x = f (t) ¦+- \iF (t, x, x, (.i),	B.107)
где / и /¦' удовлетворяют указанным выше условиям (см. стр. 147), вы-
выполнены требования теоремы о существовании и единственности периодиче-
периодического решения.
Решение х (t, ц, C0, Pi), являющееся аналитической функцией последних
трех аргументов при достаточно малых значениях этих аргументов, ищем
в виде
••• B-133)
Подставляя B.133) в уравнение B.107) и сравнивая коэффициенты при оди-
одинаковых степенях ц, р0 и ръ получим для определения хи и х12 следующие
уравнения:
Л	0. х,,@) 1, *п@) 0. |
(начальные значения получены из условий
*(*о. И. Ро. Р1) = -*о
откуда
хи = cos at, xn = — sinat.
Условия периодичности B.132) имеют вид
(cos 2яя— 1)РоЧ	sin2areP[+ ... =0,
а
?> (Ро. Pi)
Определитель
— asin2an$0-{-(cos2an— l)p, -f- ... = 0,
т на величину опреде
при ц = р0 = р, = 0.
где невыписанные члены не влияют на величину определителя
D (Фо, Ф
\	= (cos 2ая —
Pi) ц^р^р^о
отличен от нуля, так как а не равно целому числу.
*) Подробнее о георемах существования периодических решений см.
И. Г, Малкин [3].

§ 91	' ПОНЯТИЕ О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ	159
§ 9. Понятие о краевых задачах
Как уже упоминалось во введении, наряду с основной начальной
задачей часто приходится решать так называемые краевые или гра-
граничные задачи. В этих задачах
значение искомой функции за-
задается не в одной, а в двух точ-
точках, ограничивающих отрезок, на
котором требуется определить ре-
решение. Например, в задаче о дви-
движении материальной точки мае-
сы т под действием заданной силы	А	В
F (t, г, г) часто требуется найти	риС 2,3.
закон движения, если в началь-
начальный момент t = tQ точка находи-
находилась в положении, характеризуемом радиусом-вектором г0, а в мо-
момент t = tx должна попасть в точку г = Г!.
Задача сводится к интегрированию дифференциального урав-
уравнения движения
m~ = F(f. г, г')
с краевыми условиями r(?0) = r0; r(^1) = r1.
Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное
решение; если речь идет о баллистической задаче и о точках земной
поверхности, то в одну и ту же точку тело может попасть по навес-
навесной и по настильной траектории (рис. 2.3), более того, при очень
больших начальных скоростях можно попасть в ту же точку и после
однократного или многократного облета земного шара.
Аналогичную краевую задачу можно поставить и для луча света,
проходящую через преломляющую среду: найти направление, по
которому луч света должен выйти из точки А, чтобы он попал
в другую заданную точку В.
При этом очевидно, что задача не всегда имеет решение, а если
решения существуют, то их может быть несколько и даже беско-
бесконечное множество (например, если лучи, выходящие из точки А,
фокусируются в точке В).
Если удается найти общее решение дифференциального уравнения
краевой задачи, то для решения этой задачи надо определить про-
произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении, из граничных
условий. При этом, конечно, далеко не всегда существует действи-
действительное решение, а если существует, то оно не обязательно един-
единственно.
В качестве примера возникающих здесь возможностей рассмотрим
следующую краевую задачу:

160	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 2
Найти решение уравнения
у"-+~у = 0,	B.135)
удовлетворяющее условиям: у@) = 0, ^
Общее решение уравнения B.135) имеет вид
y=cl cos х -\- с2 sin х.
Первое граничное условие удовлетворяется при ?,=0, при этом
у = c2sinx.
Если хх ф ля, где л — целое число, то из второго граничного
условия находим ух — c2sir\xv c2 = —^—. Следовательно, в этом
случае существует единственное решение краевой задачи
Если же хг = пл и ^1 = 0, то все кривые пучка y-=c2sinx
являются графиками решений краевой задачи.
При х, = шт, ух ф 0 решений краевой задачи не существует,
так как ни одна кривая пучка y = c2sinA: не проходит через точку
(хи уг), где
хх = пл, з>1 ф 0.
Рассмотрим несколько подробнее краевые задачи для линейных
уравнений второго порядка
У" + Р1(х)у' + Рг(х)У = Ч(х).	B.136)
у{хо) = уо, У(х1) = у1.	B.137)
Линейной заменой переменных
z = y-yJ~i° (x~xo)-ya
х\ — хо
краевые условия B.137) сводятся к нулевым условиям г(хо) =
= z (х1) = 0, причем линейность уравнения B.136) не нарушается.
Умножением на е* А х * линейное уравнение B.136) приводится
к виду
^	= /(*).	BЛ38)
где р(х) = е х х. Поэтому без существенного" ограничения
общности можно заменить изучение краевой задачи B.136), B.137)
изучением краевой задачи для уравнения B.138) с граничными
условиями
О.	B.139)

§9]	ПОНЯТИЕ О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ	161
Вначале рассмотрим краевую задачу B.138), B.139), причем / (х)
является локализованной в точке x = s функцией с единичным импуль-
импульсом. Точнее, рассмотрим уравнение
¦JZ (Р (х) у') + q(x)y=ft (х, s)	B.140)
с граничными условиями у(х0) = у(х{) = 0, где функция fE(x, s)
равна нулю на всем отрезке [х0, хг], за исключением е-окрестности
точки x = s, s — е<х<5 + е, причем
s+e
Г /г(х, s)dx = 1.
S — E
Обозначим Ое(х, s) непрерывное решение этой краевой задачи
и перейдем к пределу при е->0:
HmOE(x, s) = G(x, s).	B.141)
Нетрудно было бы доказать существование этого предела, не
зависящего от выбора функции fe(x, s), однако в этом нет необхо-
необходимости, так как пока наши рассуждения носят эвристический харак-
характер, и на стр. 162 будет дано точное определение функции G(x, s).
Функция G(x, s) называется функцией влияния или функцией
Грина рассматриваемой краевой задачи. Так же как на стр. 122—124,
решение краевой задачи B.138), B.139) с непрерывной правой
частью в B.138) можно рассматривать как суперпозицию решений
краевых задач, соответствующих локализованным в точке функциям
с импульсами /(s,-)As, где st—точки деления отрезка \ха, хх] на т
равных частей, As = —!	—. Точнее, приближенное решение крае-
краевой задачи B.138), B.139) равно интегральной сумме
т
а предел этой суммы при т -> оо: _
X,
у(х) = f G (х, s) f (s) ds	B.142)
является решением рассматриваемой краевой задачи B.138), B.139).
Физический смысл функции влияния О(х, s) и решения B.142)
станет еще яснее, если в уравнении B.140) рассматривать у(х) как
смещение некоторой системы под влиянием непрерывно распреде-
распределенной на отрезке [х0, л:,] силы / (х) (например, отклонение струны
от положения равновесия под влиянием распределенной нагрузки
11 Л. Э. Эльсгольц

162	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	(ГЛ. 2
с плотностью /(х)). При этом О(х, s) описывает смещение, вызы-
вызываемое единичной сосредоточенной силой, приложенной к точке х = s,
а решение B.142) рассматривается как предел суммы решений, соот-
соответствующих сосредоточенным силам.
Функция Грина обладает следующими свойствами, вытекающими
из ее определения B.141):
1.	G(x, s) непрерывна по х при фиксированном s при х0 ^х <[ хх,
х0 < s < хг.
2.	О (л:, s) является решением соответствующего однородного
уравнения
на всем отрезке [х0, хх\, за исключением точки x = s (так как вне
этой точки в случае локализованной в точке x = s функции правая
часть равна нулю).
3.	Q(x, s) удовлетворяет граничным условиям:
G(x0, s) — G(xv s) = 0.
4.	В точке x = s производная Ох(х, s) должна иметь разрыв
первого рода со скачком —т-тг- Действительно, ожидать разрыва
Р (s)
следует лишь в точке локализации функции—в точке x = s. Умно-
Умножая тождество
-±-(р(х)О'г(х, s)) + q(x)Oe(x. s) = /e(x, s)
на dx и интегрируя в пределах от s — е до s -)- е, получим
S+E
Р(Х)О?(Х, S)	Ч-	Ц (X) Ог (X, S) UX = 1
s—e	J
s — e
и, переходя к пределу при е—>0, будем иметь
{G'(s-\-0,s) — G'(s — 0,s 1
1" pW
Все наши рассуждения о функции Грина носили эвристический
характер. Придадим теперь им необходимую точность.
Определение. Функцией Грина G(x,s) краевой за-
задачи B.138), B.139) называется функция, удовлетворяющая
указанным выше условиям 1), 2), 3), 4).
Непосредственней подстановкой в уравнение B.138) прове-
проверяем, что
у(х) = J0(x, s)f(s)ds	B.142)

§ 9]	ПОНЯТИЕ О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ	163
является решением этого уравнения (краевые условия B.139), оче-
очевидно, удовлетворяются в силу свойства 3)).
Действительно,
X,	X	ЛГ,
J
у' (х) = J О'х (х, s) / (s) ds=fG'x (х. s) / (s) ds + fG'x (х, s) f (s) ds;
X0	X0	X
X
f (x) = J G"xx (лг, s) f (s) ds + G'x (x, x — 0)/{x) +
-\-fGxx(x, s)f(s)ds-G'x(x, x-\-0)/(x) =
X
x,
= / O'xx (x, s) f (s) ds + [O'x (x + 0, x) — O'x (x - 0, a:)]/(x).
Подставляя B.142) в уравнение B.138), получим
С [p(x)Gxx(x, s)-j- p' (x)G'x{x, s) + q(x)G(x, s)] dx +
x,
в силу условий 2) и 4).
Рассмотрим метод построения функции Грина, из которого полу-
получим также достаточное условие ее существования.
Рассмотрим решение у, (х) уравнения
^	у = 0,	B.143)
определяемое начальными условиями
Это решение, вообще говоря, не удовлетворяет второму граничному
условию у (Xj) = 0. Случай уг (х0) = у1 (х{) = 0 является исключи-
исключительным, и мы его здесь рассматривать не будем.
Очевидно, что решения с1у1 (х), где сх — произвольная постеян-
ная, также удовлетворяют граничному условию у(хо) — О. Аналогично
находим нетривиальное решение у2(х) уравнения B.143), удовлетво-
удовлетворяющее второму граничному условию Уч(х-{)-=®', этому же услэвию
удовлетворяют все решения семейства с2у2 (х), где с2 — произвольная
постоянная.
11*

164	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	ГГЛ. 3
Функцию Грина ищем в виде
) при лго<х<>,
G(x, s) {	ч
\ СУ (х) ПРИ
причем постоянные сх и с2 выбираем так, чтобы были выполнены
условия 1) и 4), т. е. чтобы функция О (л:, s) была непрерывна по х
при фиксированном s, и в частности непрерывна в точке х = s:
cxy}(s) = c2y2(s),	B.144)
и чтобы Gjc(x, s) в точке x~s имела скачок —г^-:
±	B.145)
В силу предположения, что ух(хх) Ф Q, решения yl(x) и у2(х)
линейно независимы, так как все линейно зависимые от ух(х) реше-
решения имеют вид с1у1 (х) и, следовательно, при Cj ф 0 не обращаются
в нуль в точке xv в которой обращается в нуль решение у2 (х).
Следовательно, определитель системы B.144) и B.145), являющийся
определителем Вронского: W (уг (х), у2 (х)) = W(х) в точке х = s,
отличен от нуля и постоянные сх и С2> удовлетворяющие системе ^2.144)
и B.145), легко определяются:
(¦*)	_ y,(s)y2(x)
С2—
ei— W(s)p(s)
откуда
G(x,
ппи
прИ
mm »p» °<*<
B.146)
Пример. Найти функцию Грина краевой задачи
у" (*) +у (*)-/(*), У@)-0, y(f)=°-
Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие усло-
условиям у@) = 0 и yl-^-)»0, соответственно имеют вид у, = сх sin x и
у2 = с2 cos х, следовательно, согласно B,146)
— cos s sin х при 0 < х < s.
G (х, s)
я
sin s cos х при 's < х < -J.
Замечание. Мы предположили (стр. 163), что не существует
нетривиального решения у(х) однородного уравнения B.143), удо-
удовлетворяющего нулевым граничным условиям у (jj0) = у (jcj) — 0. Это
условие гарантирует не только существование и единственность
краевой задачи B.138), B.139), но и единственность функции Грина.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2	165
Действительно, если допустить существование двух различных
функций Грина Gi(x, s) и О2(х, s) для краевой задачи B.138),
B.139), то получим два различных решения этой задачи:
yl(x) = JOi(x, s)f(s)ds
Xt.
X,
у2 (х) = J O2 (х, s)f{s)ds,
разность которых
t,
Л
3, (х, s) — G2(x. s)]f(s)ds.
вопреки предположению, будет нетривиальным решением соответ-
соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющим нулевым гра-
граничным условиям.
Задачи к главе 2
при х = 0 у = 10, у' = 5.
2. .i -f jc = sin / — cos It.	10. x3 —-?- -f-1=0.
4y + y-_i_.	y,
sin3 л;
5.	x>y* - 4xy' + бу = 2.	»2- </"J + (УУ = 1.
6.	y" + y = ch^.	&x_ d*x
7.	y" + yf— (y'Y = 0.	Л6 rf<4 ~
14 -^--
d^4
15.	y" + 4xy = 0; проинтегрировать с помощью степенных рядов
16.	х2у" + ху' -f- I9*2 — -^5-j у = 0; проинтегрировать путем сведения
к уравнению Бесселя.
17 у* + <у'у = 1, у@) = 0. у'@)=1.
18. f = 3 /у, у @) = 1. у' @) — 2.
20 —— -1	—¦	=i 0.
rf/-2 ' r dr
21. Найти скорость, с которой тело упадет на поверхность Земли, если
считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение проис-

166	УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО	[ГЛ. 2
ходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать рав-
равным 6400 км.
22.	Найти закон движения тела, падающего без начальной скорости,
допуская, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости
и что скорость имеет своим пределом при /->оэ величину 75 м/сек.
23.	Цепь длиной 6 м соскальзывает со стола. В момент начала движе-
движения со стола свисал 1 м цепи. Во сколько времени со стола соскользнет вся
цепь. (Трением пренебрегаем.)
24.	Цепь переброшена через гладкий гвоздь. В момент начала движе-
движения с одной стороны свисает 8 м цепи, а с другой стороны 10 м цепи.
Во сколько времени вся цепь соскользнет с гвоздя? (Трением пренеб-
пренебрегаем.)
25.	Поезд движется по горизонтальному пути. Вес поезда Р, сила тяги
паровоза F, сила сопротивления при движении W = а -(- bv, где а и Ъ — по-
постоянные, a v — скорость поезда; s — пройденный путь. Определить закон
движения поезда, считая, что при i = О s = 0 и i> = 0.
26.	Груз в р кг подвешен на пружине и оттянул ее на а см. Затем
пружина оттягивается еще на Л ел и отпускается без начальной скорости.
Найти закон движения пружины, пренебрегая сопротивлением среды.
27.	Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти закон
движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение
пружины под влиянием одного из грузов равно а см.
28.	Материальная точка массы т отталкивается от центра О с силой,
пропорциональной расстоянию. Сопротивление среды пропорционально ско-
скорости движения. Найти закон движения.
29.	Найти периодическое решение с периодом 2л уравнения
где функция / (t) = пН — t3 при — л < t <; л и далее продолжена перио-
периодически.
Л	33.
30.	уу + {уу
У\*	34. у'"-у =
31.	уу'у" = (У')з + (/'J.	35. у" — 2у' + 2у = хех cos x.
32.	х + 9х = / sin 3t.
36.	(х2 — 1) у" — 6у = 1. Частное решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид многочлена.
37.	Найти решение к = к (х2 -\~ у2) уравнения
д2и д2и
Jx2"^ ду2 '
зависящее лишь от х2 -(- у2.
38.	Найти решение и — и (х2 -\- у2 -(- г2) уравнения
д2и д2и . д2и
0
являющееся функцией х2 -(- у2 + г2.
39. Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон
движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости
пропорционально скорости погружения.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2	167
40.	Проинтегрировать уравнение движения mx' = f(t, x, х). считая, что
правая часть является функцией только х или только х:
а)	mx = f(x);
б)	mx = f(x).
41.	yVI	3yV-J-3yIV	у'" = X
42.	xiv + 2х" + х = cos t.
43.	A + xf у" + A + x) у' + у = 2 cos In A + x).
44.	Определить периодическое решение уравнения
ас
sin nt
л=1
45. Определить периодическое решение уравнения
где й! и а2 — постоянные, а / (t) — непрерывная периодическая функция
периода 2я, разлагающаяся в ряд Фурье, а{ Ф 0 и а2 Ф 0.
46.	.x-f- Зл: = cos ? -(- цдс2, ц — малый параметр. Приближенно определить
периодическое решение.
47.	хъу" — ху' + у = 0; проинтегрировать уравнение, если у, = л: является
частным решением.
48.	Найти линейное однородное уравнение, имеющее следующую фунда-
фундаментальную систему решений: У\=х, у2 = —.
49.	xlv + х = *3.	55. 6y"ylV — 5 (у'"J = 0.
51.	х+10х + 25х = 2( + (е~5'.	' *У ~У " х '
52.	л:уу" — х (у'J — у/ = 0.	57. у" + у = sin Зле cos x.
53.	yV _ у = ^	58. у" = 2у». у A) = 1, у' A) = 1.
54.	yvi 4- 2уIV + у" = * + е*.	59. уу" — (у'J = у'.

ГЛАВА 3
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ I. Общие понятия
Уравнение движения материальной точки массы т под действием
силы F (t, r, г)
путем проектирования на оси координат может быть заменено систе-
системой трех скалярных уравнений второго порядка:
т ~- = X (t, х, у, z, х, у, г),
m-j^-=Y(t, х, у. z, х, у, z),
'm>-~=Z(t. х, у. z, х. у. z),
или системой шести уравнений первого порядка, если за неизвестные
функции считать не только координаты х, у, z движущейся точки,
• • •	dt
но и проекции х, у, z ее скорости —?г'.
х = и,
у = V,
z = w; -
m'u = X(t, x, у, z, и, v, w),
mv = Y(t, x, у, z, и, v, w),
mw = Z(t, x, у, z, и, v, w).
При этом обычно задаются начальное положение точки х (@) — х0,
У(*о) = Уо> z(to) = zo и начальная скорость u(to) = uo, v(to) = vo,
w (t0) = wQ.

S II	ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ	169
Эта основная задача с начальными значениями уже рассматривалась
в § 6 главы 1 (стр. 51). Там была доказана теорема существования
и единственности решения системы дифференциальных уравнений
dt
dx2
"Ж
¦ — /1 if, xv x2, .... xn),
= f2(t, ЛГ], X2, . ;., Xn), ¦
—tff — fn
C.1)
удовлетворяющего начальным условиям
Xi (tf))==: X[q (* === 1, 2, • •. i /?).	C.2)
Напомним, что достаточными условиями существования и един-
единственности решения системы C.1) при начальных условиях C.2)
являются:
1)	непрерывность всех функций /(- в окрестности начальных
значений;
2)	выполнение условия Липшица для всех функций /, по всем
аргументам, начиная со второго в той же окрестности.
Условия 2) можно заменить более/грубым, потребовав существо-
существования ограниченных по модулю частных производных
# (Л/=1. 2	Я).
Решение системы дифференциальных уравнений x1(t), x2{t), ...
..., xn(t) является «-мерной вектор-функцией, которую мы кратко
будем обозначать X (t). В этих обозначениях система C.1) может
быть записана в виде
где F — вектор-функция с координатами (/х, /2, .... /„), а началь-
начальные условия в виде X (t0) = Хо, где Хо есть «-мерный вектор с коор-
координатами (лг10, х20	хп0).
Решение системы уравнений
xl = x1(t), x2 = x2(t)	xn = xn(t),
или кратко X = X {t), определяет в евклидовом пространстве с коор-
координатами t, xv x2	хп некоторую кривую, называемую инте-
интегральной кривой. При выполнении условий 1) и 2) теоремы суще-
существования и единственности через каждую точку этого пространств;
проходит единственная интегральная кривая и их совокупность обра-
образует «-параметрическое семейство, в качестве параметров этого семей-
семейства могут быть взяты, например, начальные значения хю, лг20	хт.

170	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИП	[ГЛ. 3
Возможна и другая интерпретация решений
или кратко X = X (t), особенно удобная, если правые части системы
C.1) не зависят явно от t.
В евклидовом пространстве с прямоугольными координатами хх,
х2	хп решение хг = хх (t), х2 = х2 (t)	хп = х„ (t) опре-
определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от
изменения параметра t, который при этой интерпретации мы будем
считать временем. При такой интерпретации производная —тт- будет
скоростью движения точки, а —^-, —ф	—jf- — координатами
скорости той же точки. При этой интерпретации, весьма удобной
и естественной во многих физических и механических задачах, система
dB- — fi(f, xv x2	х„) (/=1, 2, .... я), C.1)
или
обычно называется динамической, пространство с координатами
хл, х2	х„ называется фазовым, а кривая X = X (t) — фазовой
траекторией.
Динамическая система C.1) в заданный момент времени t опреде-
определяет в пространстве xv x2, .... хп поле скоростей. Если вектор-
функция F зависит явно от t, то поле скоростей меняется с тече-
течением времени и фазовые траектории могут пересекаться. Если же
вектор-функция F, или, что то же самое, все функции /(, не зависят
явно от t, то поле скоростей стационарно, т. е. не изменяется с те-
течением времени, и движение будет установившимся.
В последнем случае, если условия теоремы существования и
единственности выполнены, через каждую точку фазового простран-
пространства {хх, х2	хп) будет проходить лишь одна траектория. Дей-
Действительно, в этом случае по каждой траектории X = X (t) совер-
совершается бесконечное множество различных движений X = X (t -\- с),
где с —- произвольная постоянная, в чем легко убедиться, совершив
замену переменных ti = t-{-c, при которой динамическая система
не изменит своего вида:
и следовательно, X = X {tx) будет ее решением, или в прежних
переменных X = X (f -J- с).

я
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
171
Если бы через некоторую точку Хо фазового пространства в рас-
рассматриваемом случае проходили две траектории
и X =
то, взяв на каждой из них то движение, при котором точка Хо
достигается в момент времени t-=t0, т. е., рассматривая решения
получим противоречие с теоремой существования и единственности,
так как два различных решения Xx(t — *ч>~г~А)) и X2(t—tQ-
удовлетворяют одному и тому же началь-
начальному условию X (t0) = Хо.
Пример. Система уравнений
dx	dy
dt
dt
C.3)
имеет, как нетрудно проверить непосредст-
непосредственной подстановкой, следующее семейство
решений:
х = с, cos (t— с2),
у — — с, sin(/— с2).
Рассматривая t как параметр, получим на фа-
фазовой плоскости х, у семейство окружностей
с центром в начале координат (рис. 3.1). Пра-	рис з.1.
вая часть системы C.3) не зависит от f и
удовлетворяет условиям теоремы существова-
существования и единственности, поэтому траектории не пересекаются. Фиксируя си
получим определенную траекторию, причем различным с2 будут соответство-
соответствовать различные движения по этой траектории. Уравнение траектории
х2 -f У2 = с\ не зависит от с2, так что все движения при фиксированном с,
совершаются по одной и той же траектории. При с, = 0 фазовая траек-
траектория состоит из одной точки, называемой в этом случае точкой покоя
системы C.3).
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем
сведения к одному уравнению более высокого порядка
Один из основных методов интегрирования системы дифферен-
дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений си-
системы C.1) и из уравнений, получающихся дифференцированием урав-
уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные функции,
кроме одной, для определения которой получают одно дифферен-
дифференциальное уравнение более высокого порядка. Интегрируя это урав-
уравнение более высокого порядка, находят одну из неизвестных функ-
функций, а остальные неизвестные функции, по возможности без интегра-
интеграции, определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся
в результате их дифференцирования.

179	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. 3
Иллюстрируем сказанное примерами.
П р и м е р 1.
dx	dy _
Дифференцируем одно из уравнений, например первое, —гтр = —Л- и, исклю-
исключая ——¦ с помощью второго уравнения, получим —^— х = 0, откуда
х = схе{ + с2е~{. Используя первое уравнение, получаем у = —т— = схе(—с^е'*.
Мы определили у без интеграции с помощью первого уравнения. Если бы
мы определили у из второго уравнения
dy	t \ -t	t	-i ,
—i- = x = cxe -f- c2e , у = cxe —сге -f- cs,
то ввели бы лишние решения, так как непосредственная подстановка в исход-
исходную систему уравнений показывает, что системе удовлетворяют функции
х = схе*-\- с2е~1, у = схе —с2е~'-|-Сз не при произвольном с3> а лишь
при с3 = 0.
Пример 2.
J^- = 3x — 2y.	C.4,)
чт=2х~у-	C-4г)
Дифференцируем второе уравнение:
__ dt3- ~ dt ~аТ'	(д-Ъ)
Из уравнений C.42) и C.5) определяем х и —-г-:
dt ~ 2 [dt2
Подставляя в C.4!), получим
1 {^L л ^LL\
Интегрируем полученное линейное однородное уравнение с постоянными
коэффициентами y^=et(cl-\-c1t) и, подставляя в C.6), находим х{1):
• Пример 3.
d2x	d2y
/ii2	У' /14-1 =Э

$ Я	ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	173
dlv d*x
Дифференцируя первое уравнение, получим -~- = ¦.„¦-, и, подставляя во
d*x
второе уравнение, будем иметь -^- = х. Интегрируя это линейное одно-
однородное уравнение с постоянными коэффициентами, получим
х = de* + cte~* -+- c3 cos t -)- с4 sin t,
и, подставляя в первое уравнение, находим
у = cte' -\- с2е~' — с3 cos< — с, sint.
Опишем теперь более точно процесс исключения из системы
уравнений всех неизвестных функций, кроме одной.
Покажем вначале, что одна из неизвестных функций, например
хх (/), входящая в состав решения xx(t), x2(t)	ха@ системы
дифференциальных уравнений:
dt
Х2	Хп>'
~~df — /я ('• x\< X2' ¦ ¦ • • -*л)>
C.1)
удовлетворяет некоторому уравнению й-го порядка, при этом мы
предположим, что все функции ft имеют непрерывные частные про-
производные до (п — 1)-го порядка включительно по всем аргументам.
Подставив в систему C.1) некоторое решение xx{t), X2(t)	хп(*)>
обратим все уравнения системы в тождества. В частности, в тожде-
тождество обратится и первое уравнение системы
/C x Х	х)
Продифференцируем это тождество по t:
п
dt2 ~~ dt ^ L4 dxt dt '
или
и, обозначив правую часть последнего тождества F2 {t, xv x2, .... xn),
получим:
?gF(t xv хя	xa). .	C.7^)

174	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Снова дифференцируем это тождество:
[ГЛ. А
или
dt3 ~ dt
м _ OP 2 I
3~~~dT~t~
di '
C.73a)
и, обозначив правую часть последнего тождества F3(t, xv x2	хп),
получим:
^(з — гг\1> х\< xi< •'•• хп>-	\°-'з;
Опять дифференцируем это тождество и, продолжая этот процесс
га — 2 раза, получим, наконец, тождество
7Я-1,
t> х\< Х2' •••• хп)>
(з.7?г_0
дифференцируя которое еще раз и пользуясь тождествами C.1),
будем иметь:
—^- = Fn(t, x{, л:2, .... хп).
Итак, получены га — 1 тождеств
dx
и еще одно тождество
— f\(t, хх, х2	хп),
i2xx T^
-~-—— —.. i Q \1 j ОС| • ло( • • • t я/*
C.7,)
C.72)
C-7)
dnxx
dt
~=Fn{t, XV X2	х„).
C.8)
Предположим, что в рассматриваемой области изменения пере-
переменных определитель
D(x2, x3. х4, .... хп)
Тогда систему C.7) можно разрешить относительно х2, х3	х„,
г—Л. Подставив
dt	rfr^~*
dx
выразив их через переменные t, xv ——. ....

§ 2)	ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	175
найденные из системы C.7) переменные х2, х3	хп в последнее
уравнение C.8), пвлучим уравнение я-го порядка
C.8J)
dtn	\ :l dt	dt"'
которому удовлетворяет функция x1(t), являвшаяся по предположе-
предположению функцией xx(t) решения xx(t), x2(t)	xn(f) системы C.1).
Докажем теперь, что если взять любое решение хх (t) получен-
полученного уравнения «-го порядка C.8j) подставить его в систему C.7) и
определить из этой системы х2 ((), хг (t)	xn (t), то система
функций
)	xn{t)	(8.9)
будет решением системы C.1).
Подставим найденную систему функций C.9) в систему C.7) и тем
самым обратим все уравнения этой системы в тождества; в частности,
получим тождество
¦Ijp-s/j (/.*,. *2	хп).	(8.7,)
Дифференцируя это тождество по t, будем иметь:
Лг, _ dfi VI dfi dxt
В этом тождестве пока нельзя заменить —тт- функциями ft, так как
мы еще не доказали, что полученные указанным выше путем из
уравнения C.8) и системы C.7) функции xv x2	х„ удовлетво-
удовлетворяют системе C.1), более того, именно это утверждение и является
целью нашего доказательства.
Вычитая почленно из тождества C.10) тождество C.72), взятое
в развернутом виде (з.7|), получим
или, в силу C.7Х),
п
2u~dxj{~dT

176
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. 3
Совершенно аналогично, дифференцируя тождество C.72) и вычитая
C.7з), затем дифференцируя тождества C.73) и вычитая C.71) и т. д.,
получим:
S" dpn-i(dxi	\_0
дх, \dt fi) — v-
i2
i=2
Так как определитель линейной однородной системы уравнений
1 = 2
1 = 2
n
2и~дх~\
dt
C.11)
состоящей из (п—1)-го уравнения с п—1 неизвестными f-jr-—/Л
A = 2, 3, . . ., п), совпадает с отличным от нуля функциональным
определителем
D(fuft	Fn-i) ./0[
D ух?, х$, ..., хп)
то система C.11) в каждой точке рассматриваемой области имеет
только тривиальные решения
—71	/' 1^="	A = 2, О, .... П).
Принимая во внимание еще C.7г), получаем, что п функций хг,
х2	хп являются решением системы уравнений
~3j~==fi(t' XV Х2	хп) ('=1. 2	П).
Замечание 1. Указанный здесь процесс исключения всех функ-
функций, кроме одной, предполагает, что
г	хп)
C.12)

§ 2)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
177
Если это условие не выполнено, то можно применить тот же
процесс, но вместо функции х1 взять какую-нибудь другую из функ-
функций х2, х3
3
хп, входящих в решение системы C.1). Если же
2
условие C.12) не выполняется при любом выборе вместо х1 какой-
нибудь функции из х2< х3	хп, то возможны различные исклю-
исключительные случаи, которые мы иллюстрируем следующими примерами.
Пример 4.	s
^?-Л </.*.).
^Г = /.«.*,)¦
Система распалась на совершенно независимые между собой уравнения,
каждое из которых приходится интегрировать отдельно.
Пример 5.
dX*
. x2, x3).
Два последних уравнения можно указанным выше методом свести к од-
одному уравнению второго порядка, но первое уравнение, содержащее неиз-
неизвестную функцию Х\, не входящую в остальные уравнения, надо интегриро-
интегрировать отдельно.
Замечание 2. Если применить указанный выше процесс исклю-
исключения всех неизвестных функций, кроме одной, к системе
=1. 2
называемой линейной однородной, то, как нетрудно проверить, урав-
уравнение я-го порядка
Л
dt"
dt
dt"
C.8Х)
l
тоже будет линейным однородным, причем если все коэффициенты а1}
были постоянными, то и уравнение C.8^ будет линейным однород-
однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Аналогичное
12 Л. Э. Эльсгольц

178	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. 3
замечание справедливо и для линейной неоднородной системы
п
1ЙГ = 2 ev<'>*; + /*<'> (/=1> 2	п)-
для которой уравнение C.8!) будет линейным неоднородным уравне-
уравнением й-го порядка.
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование систем дифференциальных уравнений
4	*i. *а	*в) (*=1.2	п)	C.1)
нередко осуществляется путем подбора так называемых интегрируемых
комбинаций.
Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное
уравнение, являющееся следствием уравнений C.1), но уже легко
интегрирующееся, например являющееся уравнением вида
й?Ф (t, хх, х2	х„) = О
или уравнением, сводящимся заменой переменных к какому-нибудь
интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.
Пример 1.
dx _ dy _
dt ~~У' dt ~x'
Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую ком-
комбинацию
У)
=х + У или —v ' " = dt.
dt	' J	х + У
откуда
Почленно вычитая из первого уравнения системы второе, получаем вторую
интегрируемую комбинацию
.	.	d(x — у)
L_Zi=_uy) или _L_Z = _rfi.
\п\х — y\ = — t-\~\nc2, х — у = сге~(.
Итак, найдено два конечных уравнения:
х-\-у = схе* и х— у = с2е~К
из которых может быть определено решение исходной системы
или
_
с2е~*. у

§.3]	НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ	179
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно
конечное уравнение
Ф,(Л х,, х2	хп) = с1,
связывающее неизвестные функции и независимое переменное; такое
конечное уравнение называется первым интегралом системы C.1).
Итак, первым интегралом
хх, х2	х„) = с	C.13)
системы уравнений C.1) называется конечное уравнение, обращаю-
обращающееся в тождество при некотором значении с, если вместо х{ (t)
(I = 1, 2	п) подставлено решение системы C.1).
Часто первым интегралом называют также левую часть
ФA, хх, х2	 хп) уравнения C.13), и тогда первый интеграл
определяется как функция, не равная тождественно постоянной, но
сохраняющая постоянное значение вдоль интегральных кривых си-
системы A).
Геометрически первый интеграл Ф(Л xv х2	хп) = с при
фиксированном с можно интерпретировать как га-мерную поверхность
в (п -\~ 1)-мерном пространстве с координатами t, xv х2	х„,
обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имею-
имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверх-
поверхности. При переменном с получаем семейство непересекающихся по-
поверхностей, обладающих тем же свойством, т. е. состоящих из точек
некоторого (п — 1)-параметрического семейства интегральных кривых
системы C.1).
Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получаем k пер-
первых интегралов:
, х,, х2	хп) = с2,
v х2	хп) =
C.14)
Если все эти интегралы независимы, т. е. если хотя бы один опре-
определитель
Dfx, ,х,	х, ) ^и'
где Xjt, Xj2, .... Xj —какие-нибудь k функций из xv x2	xn,
то из системы C.14) можно выразить k неизвестных функций через
остальные и, подставляя в систему C.1), свести задачу к интегриро-
интегрированию системы уравнений с меньшим числом неизвестных. Если k = п
и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются
из системы C.14).

180	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	1ГЛ. Э
Пример 2.
dx __	dy 		dz _
~Ж~у~г> ЧГ~г~х' ~dT~x~y-
Сложив почленно уравнения этой системы, получим
dx , dy , dz „	d
-di+w+w-0 или w
откуда
x + У + г = с\-
Найденный первый интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функ-
функций через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегрирова-
интегрированию системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Однако
в данном случае легко можно найти еще один первый интеграл. Умножим
первое уравнение почленно на х, второе на у, третье на z и сложим:
dx , dy , dz n
или, умножив на 2, получим
откуда
*2 + У2 + г2 = сг.
Из двух найденных первых интегралов можно выразить две неизвестные
функции через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегри^
рованию одного уравнения с одной неизвестной функцией.
Пример 3.
C~ = (A-B)pq,
где А, В и С — постоянные (эта система встречается в теории движения
твердого тела). Умножая первое уравнение на р, второе на q, третье на г и
складывая, получим
.dp . „ dq _ dr ,.
откуда находим первый интеграл
Ар' + Bq* + О2 = с,.
Умножая первое уравнение на Ар, второе на Bq, третье на Сг и складывая,
будем иметь
и, интегрируя, получим еще один первый интеграл
Если исключить случай А = В = С, при котором система интегрируется не-
непосредственно, то^найденные первые интегралы независимы и, следовательно,
пользуясь этими 'первыми интегралами, можно исключить две неизвестные

f 47	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	181
функции, причем для определения третьей функции получим одно уравнение
с разделяющимися переменными.
Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно пере-
переходить к так называемой симметрической форме записи системы урав-
уравнений C.1):
dxx	dx2

хг	х„) ~~ ф2(Л jf|. хг	хп).
dxn	di
VnV.Xx.Xt	х„) <?оу,х„хг	хп) '
где
_ ф. (t, Хи Х2	Хп) ,._.
C.15)
В системе, заданной в симметрической форме, переменные входят
равноправно, что иногда облегчает нахождение интегрируемых ком-
комбинаций.
Пример 4.
dx	dy dz
x'i — у2 — z2 2xy 2xz '
Интегрируя уравнение
dy dz
C.16)
2xy 2xz '
у
находим — = с,. Умножая числители и знаменатели первого из отношений
системы C.16) на х, второго на у, третьего на г и составляя производную
пропорцию, получим
х dx -f- у dy -\- z dz _ dy
х (х2 -\- у- -\- г2) ~ Чху '
откуда
In(x* + f + z2) = \n\y\ + lnc2, ,
или
У
Найденные независимые первые интегралы
__Cl и ___
определяют искомые интегральные кривые.
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений называется линейной, если
она линейна относительно всех неизвестных функций и их производ-
производных. Система п линейных уравнений первого порядка, записанная

182	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	[ГЛ. 3
в нормальной форме, имеет вид
л
t), (/==1, 2	ft). C.17)
или в векторной форме
C.18)
где X есть я-мерный вектор с координатами x1(t), x2(t), .... xn(t),
F есть га-мерный вектор с координатами fx(f), /2(/)	/я@">
которые удобно в дальнейшем рассматривать как одностолбцовые
матрицы:
X =
х\
х2
хп
F =
/i
/2
/„
А =
«П «12 • • •
21
«л2 • • • «лл
dX
dt
dt
dx2
dt
dxn
dt
Согласно правилу умножения матриц строки первого множителя
должны умножаться на столбец второго, следовательно,
л
2
2
21

§«]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
183
Равенство матриц означает равенство всех их элементов, следова-
следовательно, одно матричное уравнение C.18) или
dxx
dt
dx2
dt
dxn
dt
=
2
n
aljX) + /l
Zj jxJ ~T /2
n
2j anjXj ~Ь /л
эквивалентно системе C.17).
Если все функции a(j(t) и ft(t) в C.17) непрерывны на отрезке
a ^t ^b, то в достаточно малой окрестности каждой точки
(/0, xw, х20	хп0), где a^to^_b, выполнены условия теоремы
существования и единственности (см. стр. 169) и, следовательно, через
каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая
системы C.17).
Действительно, в рассматриваемом случае правые части системы C.17)
непрерывны, и их частные производные по любому Xj ограничены,
так как эти частные производные равны непрерывным на отрезке
a^t^b коэффициентам aLj(t).
Определим линейный оператор L равенством
тогда уравнение C.18) еще короче можно записать в виде
L[X]=F.	C.19)
Если все /;(/)^0 (t=\, 2	 п), или, что то же самое,
матрица F = 0, то система C.17) называется линейной однородной.
В краткой записи линейная однородная система имеет вид
L[X]=0.	C.20)
Оператор L обладает следующими двумя свойствами:
1) L[cX\ = cL[X\,
где с — произвольная постоянная.
Действительно,
d(cX)
dt
	(dX\
l

184	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Следствием свойств 1) и 2) является
[ГЛ. 3
где ct — произвольные постоянные.
Теорема 3.1. Если X является решением линейной одно род-
родной системы L[X\ = Q, то сХ, где с — произвольная постоян-
постоянная, является решением той же системы.
Доказательство. Дано L [X] = 0, надо доказать, что
L[cX]==0.
Пользуясь свойством 1) оператора ?, получим
LlcX]=zcL[X]==O.
Теорема 3.2. Сумма Хх -j- Х2 двух решений Хх и Х2 одно-
однородной линейной системы уравнений является решением той же
системы.
Доказательство. Дано Z.[Ar1]^0 и ?[А] = 0.
Требуется доказать, что L[X1-\- Х2]:^0.
Пользуясь свойством 2) оператора L, получим
L [Хг + Х2] = L [Xt] + L [Х2] = 0.
т
Следствие теорем 3.1 а 3.2. Линейная комбинация 2 ci^i
i=i
с произвольными постоянными коэффициентами решений
Xv Х2	Хт линейной однородной системы L [X] = 0 является
решением той же системы.
Теорема 3.3. Если линейная однородная система B0) с дей-
действительными коэффициентами а^{г) имеет комплексное реше-
решение X = U-\-tV, то действительная и мнимая части
и V —
в отдельности являются решениями той же системы.
Доказательство. Дано Z.[?/-|-jV) = 0. Надо доказать, что
?[?/1 = 0 и ?[К]==0.
Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора ?, получаем
Следовательно, ?[?/]^

4]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
Векторы Xv Х2	X„, где
хи (!
185
называются линейно зависимыми на отрезке a^.t^.b. если суще-
существуют постоянные <zlt a2	ап такие, что
/ч V I п У I	I n У 	П	,о On
а, л j -f- а2л 2 -f- ... -|-а/глл==и	(o.^i)
при a 4^.t ^b, причем по крайней мере одно <xi Ф 0. Если же тож-
тождество C.21) справедливо лишь при а, =а2 = ... =ая = 0, то
векторы Xv X2	Хп называются линейно независимыми.
Заметим, что одно векторное тождество C.21) эквивалентно п
тождествам:
C.21,)
i = i
Если векторы Xl(l=l, 2, ..., п) линейно зависимы и значит
существует нетривиальная система at (т. е. не все а1 равны нулю),
удовлетворяющая системе п линейных однородных по отношению
к а^ уравнений C.21j), то определитель системы C.21^
ХП х\2 • • • Х\п
Х1\ Х22 • • • Х1п
W =
Х„
должен быть равен нулю для всех значений t отрезка a ^t ^Ъ.
Этот определитель системы называют определителем Вронского
для системы векторов Xv Х2	Хп.
Теорема 3.4. Если определитель Вронского W решений
Х{, Х2, .... Хп линейной однородной системы уравнений C.20)
с непрерывными на отрезке a ^t ^.b коэффициентами atj{t)
равен нулю хотя бы в одной точке t—t0 отрезка a-^t^b,
то решения Xv X2	Хп линейно зависимы на том же от-
отрезке, и, следовательно, на рассматриваемом отрезке W^Q,

186	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	ГГЛ. 3
Доказательство. Так как коэффициенты atj{t) (/, /= 1,
2	п) непрерывны, то система C.20) удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности. Следовательно, начальное
значение X(to) = O (или, подробнее, x1(t0) — 0, x2(t0) = 0
дг„(/о) = О) определяет единственное решение рассматриваемой
системы и этим решением, очевидно, является тривиальное решение
системы C.20) X(t) = 0 (или, подробнее, ^,(/) = 0, л:2(О = 0
xn(t)=s0). Определитель W(to) = O. Следовательно, существует
нетривиальная система cv с2, .... сп, удовлетворяющая уравнению
с,Х, (t0) + с2Х2 (t0) + ... + спХп (t0) ~ 0,
так как это одно векторное уравнение эквивалентно системе п ли-
нейных однородных относительно с1 уравнений с равным нулю опре-
определителем:
п
п
2 ctx2i (t0) = О,
i l
Соответствующее этой нетривиальной системе с1, с2, .... сп реше-
п
ние уравнения C.20) X (t) = 2 ciXl (t) удовлетворяет нулевым на-
ы\
чальным условиям X(tQ) — 0 и, следовательно, совпадаег с триви-
тривиальным решением системы C.20):
1=1
т. е. Xt линейно зависимы.
Замечание. Эта теорема, как показывают простейшие примеры,
не распространяется на произвольные векторы Xv Х2, . . ., Хп, не
являющиеся решениями системы C.20) с непрерывными коэффициен-
коэффициентами.
Пример 1. Система векторов
t
линейно независима, так как из
и Х2
,+«2*2

§4)
ИЛИ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
187
следует, что ai = ot2 = 0 (см. стр. 96, пример 1). В то же время определитель
t t2
Вронского 2 тождественно равен нулю. Следовательно, векторы Хх и Х2
могут быть решениями одной и той же линейной однородной системы
0) с непрерывными коэффициентами ац (t) (i, J — 1, 2).
не
C.20)
Теорема 3.5. Линейная комбинация Д] ctXi n линейно неза-
независимых решений Xv X2	Хп линейной однородной системы
C.20) с непрерывными на отрезке a^t <; ? коэффициентами ап (t)
является общим решением системы C.20) на том же отрезке.
Доказательство. Так как коэффициенты atj(t) непрерывны
на отрезке a ^.t^b, то система удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности и, следовательно, для доказатель-
доказательства теоремы достаточно обнаружить, что подбором постоянных сг
п
в решении 2 ci^i можно удовлетворить произвольно выбранным
начальным условиям X (to) = Хо,
х.
X
лО
где t0 — одно из значений t на отрезке a
удовлетворить одному векторному уравнению
т. е. можно
или эквивалентной системе я скалярных уравнений:
п
JL Cixll Co) == ^Ю'
1=1
ctx2l (t0) = x20,
?i

188	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ	ГГЛ. S
Эта система разрешима относительно сг при любых xi0, так как
определитель системы является определителем Вронского для ли-
линейно независимой системы решений Хх, Х2, . ..,• Хп и, следова-
следовательно, не обращается в нуль ни в одной точке отрезка a-^.t-^.b.
Пример 2.
dx _
dt	C.22)
Нетрудно проверить, что системе C.22) удовлетворяют решения
хх = cos i. у, = — sin t и х2 = sin t, y2 = cos г.
Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского
cost --sin/
sin/ cost
отличен от нуля. Следовательно, общее решение имеет вид
X = С, COS t -f- С2 Sin /,
у = — с, sin t -f- c2 cos /,
где с, и <т2 — произвольные постоянные.
Теорема 3.6. Если X является решением линейной неодно-
неоднородной системы
L{X] = F.	C.19)
а Хх — решением соответствующей однородной системы
L\X} = 0, то сумма Xj-^-X также будет решением неодно-
неоднородной системы L[X] = F.
Доказательство. Дано, что L[X\^F и LiX^^O. Надо
доказать, что L[Xi -+- X]=sF*
Пользуясь свойством 2) оператора L, получим
+ ?[*] = /*.
Теорема 3.7. Общее решение на отрезке a ^t ^f> неодно-
неоднородной системы C.19) с непрерывными на том же отрезке
коэффициентами aif(t) и правыми частями ft(t) равно сумме
П
общего решения 2 ci^i> соответствующей однородной системы
а частного решения X рассматриваемой неоднородной си-
системы.
Доказательство, Так как условия теоремы существования
и единственности выполнены (см. стр. 183), то для доказательства
теоремы достаточно обнаружить, что подбором произвольных по-

« 4)	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	189
п
стоянных ct в решении X = 2 ciX i ~\~ X можно удовлетворить
произвольно заданным начальным условиям
х.
X (t0) =
Хо
х„
т. е. надо показать, что одно матричное уравнение
или эквивалентная система уравнений
л
2 е,хи (to) + хх (t0) = xw.
i=i
л
2 С[Х21 (t0) -+¦ Х2 (tQ) — Х20,
(=1
(¦=]
C.23)
всегда имеет решение cv c2,
О
сп, каковы бы ни были правые
части. Однако в такой форме это утверждение очевидно, так как
определитель системы C.23) является определителем Вронского
в точке t — t0 для линейно независимых решений Xv Х2	Хл
соответствующей однородной системы и по теореме 3.4 отличен от
нуля. Следовательно, система C.23) имеет решение cv с7	ся
при любых правых частях.
Теорема 3.8 {принцип суперпозиции)* Решением системы
линейных уравнений
/и (О
/«(О
/«(*)

190
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. 3
является сумма
Kt решений Xt уравнений
i\ = Fi (/=1, 2	m).
Доказательство. Дано L[Л"г] = F,- (/=1, 2, .... m). Надо
доказать, что
[т	Л	т
Используя свойство 2) оператора L, получим
т		т	'" m
Замечание. Теорема 3.8 без изменения доказательства, оче-
очевидно, распространяется и на тот случай, когда т—>оо, если ряд
2 Xi сходится и допускает почленное дифференцирование.
i=i
Теорема 3.9. Если система линейных уравнений
L[X\ = U + iV,
где
с действительными функциями аи(t), ut (t), vt (t)(i, J=\, 2,
имеет решение
¦..И)
ul
«2
V =
то действительная часть решения U и его мнимая часть V
соответственно являются решениями уравнений
L[X] = U и L[X] = V.
Доказательство. Дано L[О-j-IV]^U-j-iV, надо доказать,
что L\Q\*=U, L\V\ = V.

§ 4]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ	191
Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора L, получаем
L [0 + IV] = L [0] + %L [V] ==U + IV.
Следовательно, ?[?/]==?/ и L[V]z=V.
Если известно общее решение соответствующей однородной
системы L{X) — Q, но подобрать частное решение неоднородной
системы L(X) = F не удается и, следовательно, нельзя воспользо-
воспользоваться теоремой 3.7, то можно применить метод вариации постоянных.
п
Пусть X = 2 ci^i является при произвольных постоянных ct
( = 1
общим решением соответствующей однородной системы
dX
dt
и, следовательно, Xi(t=l, 2	п) — линейно независимые част-
частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной
системы
dX
dt
ищем в виде
п
где ct(t)—новые неизвестные функции. Подстановка в неоднородное
уравнение дает
dX,
ил,	. .,
или, так как ' = АХг, получим
2 с; (*)*, = /*.
2
Это векторное уравнение эквивалентно системе п уравнений:
( = 1
C.24)

192	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ	ГГЛ. 3
Из этой системы п уравнений с п неизвестными c't(t)(l—l,
2, .... я) с определителем системы W, совпадающим с определите-
определителем Вронского для линейно независимых решений Хг, Х2	Ха
и, следовательно, отличным от нуля, определяются все c't (t):
с;@ = ф,@ (/=i. 2	«).
откуда, интегрируя, находим неизвестные функции с,- (t):
ct{t) = ^i{t)dt-\-~Ci (/=1. 2	п).
Пример 3.
dx	dy
-гг- = У. -7Т = -
1
dt y' dt	""" cos t'
Общее решение соответствующей однородной системы
dx	dy
dt	У- dt
имеет вид х = са cos t -\- c2 sin t, у = — сх sin t -\- c2 cos t (см. стр. 188. при-
пример 2). Варьируем постоянные
X ~ Ci (t) COS t -(- C2 (^) Sin <,
у = — ct(t) sin t-\-c2 (t) cos ?.
Cj (О и Cj(O определяется из системы C.24), имеющей в данном случае вид
с,' (О cos t + с'2 (t) sin t = О,
— el (О sin / 4- 4 (О cos' = 7о77 '
откуда
( ...	Sin t	i ... ,
Следовательно,
c,@
c2 @
и окончательно получаем
X = Ci COS / + C2 Sin ^ -{- COS < III I COS t\-\-t Sin t
у = — с, sin < -|- c2 cos t — sin t\n I cos 11 -f- / cos t.
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Линейной системой с постоянными коэффициентами назы-
называется линейная система уравнений
= 2 a4xi + /i W (' = 1. 2. ¦•... n),

4 5]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
или в векторной форме
dX
193
в которой все коэффициенты a{j постоянны, или, что то же самое,
матрица А постоянна.
Проще всего система линейных однородных или неоднородных
уравнений с постоянными коэффициентами интегрируется путем
сведения ее к одному уравнению более высокого порядка, причем,
как отмечено на стр. 177, полученное уравнение более высокого
порядка будет линейным с постоянными коэффициентами.
Однако можно и непосредственно найти фундаментальную систему
решений линейной однородной системы с постоянными коэффи-
коэффициентами.
Будем искать решения системы
dx2
dxn
_
— аихх -+- «12*2
«22*2 г~
п\пхп'
а2пхп'
dt
— ап\Х\ ~Ь ап2Х2
C.25)
где все
постоянны, в виде
xl=alekt, x2 =
*„ = <
с постоянными а;- (у=1, 2	п). Подставляя в систему C,25),
сокращая на еы и перенося все члены в одну часть равенства, по-
получим
(аи — k) ах + апа2 -(-...+ аыа„ = О,
(	k) а2 +	+	°
"Г" («22 — "¦> и2
+ ап2а2 + ••¦ + (апп — k)an = 0-
C.26)
Для того чтобы эта система я линейных однородных уравнений
с п неизвестными а; (]==¦[, 2, .... п) имела нетривиальное реше-
решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы C.26)
был равен нулю:
п\л	ft	Ui
42
Чп
ап2'
•.. аап - k
= 0.
C.27)
13 Л. Э. Эльсгольц

194
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ГГЛ. 3
Из этого уравнения степени п определяются значения к, при которых
система C.26) имеет нетривиальные решения а, (у'=1, 2	п).
Уравнение C.27) называется характеристическим. Если все корни
характеристического уравнения kt A= 1, 2, ..., п) различны, то,
подставляя их по очереди в систему C.26), определяем соответствую-
соответствующие им нетривиальные значения а<?' (/, /=1, 2	п) и, следо-
следовательно, находим я решений исходной системы C.25) в виде
xf = a<
' =
= l • 2
C.28)
где верхний индекс указывает номер решения, а нижний индекс —
номер неизвестной функции.
Пользуясь векторными обозначениями, получим тот же результат
еще короче:
7Г = АХ;	13.25,)
ищем решение в виде
где А =
или
Akekt = AAekt,
(A-kE)A-O,
C.29)
где Е — единичная матрица:
Е =
1 0 0 ... О
О 1 0 ... О
О 0 0 ... 1
Для того чтобы уравнению C.29) удовлетворяла нетривиальная
матрица А
О
О

5 51
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
195
необходимо и достаточно, чтобы матрица А — kE была бы особой,
т. е. чтобы ее определитель был равен нулю: \А — kE\=Q. Для
каждого корня k, этого характеристического уравнения \А—kE\ =0
из C.29) определяем не равную нулю матрицу A(i) и, если все
корни kt характеристического уравнения различны, получаем п ре-
решений:
где
id)
Эти решения, как нетрудно показать, линейно независимы. Действи-
Действительно, если бы существовала линейная зависимость
или в развернутой форме
i=i
C.30)
то. в силу линейной независимости функций е' (/=1, 2, .... п)
(см стр. 96), из C.30) следовало бы, что
ру/» = о,
(/=1, 2	п).
C.31)
Но так как при каждом /, хотя бы одно из а\1\ аB?), .... о
(/= 1, 2	п) отлично от нуля, то из C.31) следует, что $t =
{t= 1. 2	я).
13»

196
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. 3
Итак, решения А<()е*'' (/=1, 2	я) линейно независимы
и общее решение системы C.25) имеет вид
х =
или
x,= itclaW (У=1, 2	я),
i = \ '
где с(- — произвольные постоянные.
Постоянные аФ (У = 1, 2	я) определяются из системы C.26)
при k = kt неоднозначно, так как определитель системы равен нулю
и, следовательно, по крайней мере одно уравнение является след-
следствием остальных. Неоднозначность определения аФ связана с тем,
что решение системы линейных однородных уравнений остается
решением той же системы при умножении на произвольный постоян-
постоянный множитель.
Комплексному корню характеристического уравнения C.27)
kj = p-\-qt соответствует решение
X,:
: А"'Г*''
е 1 ,
C.32)
которое, если все коэффициенты пц действительны, может быть
заменено двумя действительными решениями: действительной и мни-
мнимой частями решения C.32) (см. стр. 184). Комплексный сопряжен-
сопряженный корень характеристического уравнения kji.l = р — qi не даст
новых линейно независимых действительных решений.
Если характеристическое уравнение имеет кратный корень ks
кратности у, то, принимая во внимание, что систему уравнений C.25)
можно свести процессом, указанным на стр. 173, к одному линей-
линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами я-го
или более низкого порядка (см. замечания на стр. 177), можно
утверждать, что решение системы C.25) имеет вид
где
х if) = (AT + А(Л + ... +
n(s)
-Л .kj
') е
C.33)
— постоянные.

§ 5]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	197
Следует заметить, что и в тех случаях, когда система п уравне-
уравнений C.25) сводитоя к уравнению порядка ниже п (см. замечание 1
стр. 176), характеристические уравнение последнего необходимо
имеет корни, совпадающие с корнями уравнения C.27) (так как
уравнение, к которому свелась система, должно иметь решения
вида е •*', где ks—корни уравнения C.27)). Но возможно, что
кратности этих корней, если порядок полученного уравнения ниже п,
будут ниже кратностей корней уравнения C.27), и следовательно,
возможно, что в решении C.33) степень первого множителя будет
ниже, чем у— 1, т. е. если мы будем искать решение в виде C.33),
то может обнаружиться, что некоторые коэффициенты А(Д в том
числе и при старшем члене, обращаются в нуль.
Итак, решение системы C.25), соответствующее кратному корню
характеристического уравнения, следует искать в виде C.33). Под-
Подставив C.33) в уравнение C.25() и t требуя, чтобы оно обратилось
в тождество, определим матрицы Л(Д причем некоторые из них,
в том числе и A-fLi, могут оказаться равными нулю.
Замечание. Можно точнее указать вид решения системы C.25), со"
ответствующего кратному корню характеристического уравнения C.27). Пре-
Преобразовав систему C.25) неособенным линейным преобразованием к системе,
в которой матрица \\А—kE\\ имеет нормальную Жорданову форму, и про-
проинтегрировав полученную легко интегрирующуюся систему уравнений, обна-
обнаружим, что решение, соответствующее кратному корню ks характеристиче-
характеристического уравнения C.27) кратности -у, имеет вид
где Р — наибольшая степень элементарного делителя матрицы \\А — kE\\,
соответствующего корню ks.
П р и м е р 1.
4	-тйг
Характеристическое уравнение
l — k 2
= 0 или к2 — 4я — 5=0
4 3 — 6
имеет корни kx =5, k2 — — 1. Следовательно, решение ищем в виде
хх = а^еы, у, = а[%5',
Подставляя C.34) в исходную систему, получим: —4aA1)-j-2a^1)= 0, откуда
ajj1' = 2O]1'; aj ^ остается произвольным. Следовательно,
x1 = c/t, У1=2с/1, е1 = а^\

198	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ	[ГЛ. 3
Для определения коэффициентов а',2 и а^2) получаем уравнение 2а\2' -(-
-j_2ct2 =0, откуда Щ —ai « коэффициент а\ остается произвольным.
Следовательно.
Общее решение
Пример 2.
х = с,*?5' + с2е~',
dx
dy_
dt
Характеристическое уравнение
\ — k — 5
2 — 1— k
имеет корни fe1>2 = ± 3/, хх = aie3",
уравнению удовлетворяют, например,
0 или
; а2^", A — 30 а, — 5а2 = 0. Этому
= 5, а2 = 1 — 3/. Следовательно
хх = Ьел" = 5 (cos 3^ -f / sin 3t),
у, = A — 30 еш = A — 30 (cos 3t + i sin 30-
Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями
рассматриваемой системы, а их линейная комбинация с произвольными по-
постоянными коэффициентами является общим решением:
х — 5с, cos 3t 4- 5с2 sin 3/,
у = с, (cos 3t 4- 3 sin 3t) 4- c2 (sin 3t — 3 cos 3*)-
Пример 3.
dx
¦x — y,
dx
~df
C.35)
Характеристическое уравнение
1 3 —ft
= 0 или k1 — 4ft+4 =
имеет кратный корень ftli2 = 2. Следовательно, решение следует искать
в виде
" ~~ '" '	C.36)
откуда
У = (а, + Р20 «2<-
Подставляя C.36) в C.35), получим
2а, + р, + 2§,t в а, + р,/ - а2 -
§2 = — Pi.
as = ^ aj — pt.

§ 6]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ	199
а! и Р] остаются произвольными. Обозначая эти произвольные постоян-
постоянные соответственно С\ и с2, получим общее решение в виде
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем
дифференциальных уравнений и уравнений «-го порядка
Все изложенные в § 7 гл. 1 методы приближенного интегриро-
интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка без существен-
существенных изменений переносятся на системы уравнений первого порядка,
а также на уравнения порядка выше первого, которые обычным
способом сводятся к системе уравнений первого порядка (см. стр. 85).
1. Метод последовательных приближений. Как было
указано на стр. 51, метод последовательных приближений применим
к системам уравнений
^-=/.(х, yv у2	уп) A = 1, 2	п) C.37)
с начальными условиями yi{xQ) = ут (/ = 1, 2, ..., я), если функ-
функции /; непрерывны по всем аргументам и удовлетворяют условиям
Липшица по всем аргументам, начиная со второго.
Нулевое приближение yi0(x) (/=1, 2	п) может быть вы-
выбрано произвольно, лишь бы удовлетворялись начальные условия,
а дальнейшие приближения вычисляются по формуле
х
f
(/=1, 2	п).
Так же как и для одного уравнения первого порядка, этот метод
редко применяется в практике приближенных вычислений ввиду
сравнительно медленной сходимости приближений и сложности и не-
неоднотипности вычислений.
2. Метод Эйлера. Интегральная кривая системы дифферен-
дифференциальных уравнений
~nr = fi(x- yv y2	уп) (' = 1. ^	1).
определяемая начальными условиями yt (х0) = у10 A=\, 2, ..., п),
заменяется ломаной, касающейся в одной из граничных точек каждого
звена проходящей через ту же точку интегральной кривой (hi
рис. 3.2 изображена ломаная Эйлера и ее проекция только i:;.

200
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ГГЛ. 3
плоскость хух). Отрезок 'х0 ^х ^.Ь, на котором надо вычислить ре-
решение, разбивается, на части длиной я, и вычисление проводится
по формулам
М)	() ЭД(
(li== I, 2,¦..-.,¦ я).
Сходимость ломаных Эйлера к интегральной кривой при я->0 до-
доказывается так же, как для одного уравнения первого порядка (см.
стр. 43). Для повышения точности можно
применить итерации (уравнивание).
3. Разложение по формуле Тей-
Тейлора. Предполагая, что правые части сис-
системы уравнений C.37) дифференцируемы k
раз (для того чтобы обеспечить дифферен-
цируемость решений k -\- 1 раз), заменяют
искомые решения несколькими первыми
членами их тейлоровских разложений:
У,- (*) « yt (х0) + У, (х0) (х - х0) +
Рис. 3.2.
2!
(t=\, 2,
я).
Оценка погрешности может быть осуществлена путем оценки
остаточного члена в формуле Тейлора
где
Этот метод дает хорошие результаты лишь в малой окрестности
точки х0. .
4. Метод Штермера. Отрезок х0^. х 4^.Ь разбивается на
части длиной я, и вычисление решения системы C.37) проводится
по одной из формул:
Ул*+1 = У/* + <7/* + ТД<7;,*-1. '	C-38)
Уи ft + i =
Яш + Y
У/,
C.39)
*-з. О-40)
где	'	(/'=1,2
к-\=Ят — Яи *-1
-д), yii =
л *-2
л ft-З-

§ в]	ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3	'	201
Формулы C.38), C.39) и C.40) могут быть полунены совершенно
так же, как для одного уравнения первого порядка (см. стр. 63).
Порядок погрешности При применении. этих формул остается
таким же, как и для одного уравнения.
Для начала вычисления по формуле Штермера необходимо знать
несколько первых значений у,- (xk), которые могут быть найдены
путем разложения по формуле Тейлора или методом Эйлера с умень-
уменьшенным шагом, причем, так же как и для одного уравнения, для
повышения точности можно применять итерации (см. стр. 61—62),
или методом Рунге.
5. Метод Рунге. Вычисляются числа
mn=fi{xk, yXk, y2k	ynk),
. I . h . httt\\ . hfti-2i	i hfti
mi2== J i \xk i ~2 > У\к-~\ 2 ' ^2* ' 2 	Упь~тъ 2
2
hmi2	| hm.22	, hm,l
Щ* = fi(xk + h, yu -f- hm13, y2k + hm23	ynk + hmnZ),
зная которые, находим ylt k+1 по формуле
Уi. *+i = Уik + -g- On + 2mt2 + 2m
Порядок погрешности такой же, как и для одного уравнения.
Грубо ориентировочно шаг h в зависимости от требуемой точ-
точности результата выбирается с учетом порядка погрешностей в при-
применяемых формулах и уточняется путем пробных вычислений с ша-
шагом h и -к ¦ Надежнее всего проводить вычисления с шагом h и -~
всех требуемых значений yt(xk), и если при сравнении результатов
все они в пределах заданной точности совпадают, то шаг h считают
обеспечивающим заданную точность вычислений, в противном случае
h h
снова уменьшают шаг и проводят вычисления с шагом "о" и Т
и т. д. При правильном выборе шага h разности Д<7/а> Д2|7г*> • • •
должны меняться плавно, а последние разности в формулах Шгер-
мера должны влиять лишь на запасные знаки.
Задачи к главе 3
2Sir	* *<°>2 М°) 2
*2@) =2, Jc2 @) = 2.-

202	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.
4.
5.
\тп. з
dx
dt
dx
dt
dt
dz
"• ИГ**-
dx dy
_ dy _ z^ d?
dx x ' dx
8.
r — у x — z у — x
dy
dz
,. dx
4f-
rfy
= 0.
sin*'
°' 0 = SS'
rfe
13.	к •+- у = cos /, у + x = sin Л
14.	х + Ъх — у =0, у —8^+у = 0, х@)=1, у@) = 4.
15.	-j^2" + sin 6 = 0 при
Определить 6 A) с точностью до 0,001.
16.	х (t) =ах — у, у (О = х + ду; а — постоянная.
18. ^ = — 5х — 2у. у = х — 7у.
19 x = v	z v — х -A- v z = х -4- z
20. х — у-|-2 = 0, у — л: — у =t, z — х — z = t.
dx	dy	dz
21.
22.
x(y—z) y(z—x) z(x—y)'
dx __ dy	dz
23. X = AX, где
*i
—2 Г

ГЛАВА 4
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Основные понятия
Для возможности математического описания какого-нибудь реаль-
реального явления неизбежно приходится упрощать, идеализировать это
явление, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияю-
влияющих на неге факторов и отбрасывая остальные, менее существен-
существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно ли выбраны
упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы
сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количе-
количественные или даже качественные характеристики. В конечном счете
этот вопрос решается практикой — соответствием полученных вы-
выводов с опытными данными, но все же во многих случаях можно
указать условия, при которых некоторые упрощения заведомо не-
невозможны.
Если некоторое явление описывается системой дифференциальных
уравнений
§ = Ф,(Л yv У2	Уп) ('=1. 2	я)	D.1)
с начальными условиями У/<Х0) = Уш 0=1. 2	 п), которые
обычно являются результатами измерений и, следовательно, неиз-
неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возни-
возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на
искомое решение.
Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных
данных способны сильно изменить решение, то решение, опреде-
определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно
не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не
может описывать, изучаемое явление.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о на-
нахождении условий, при которых достаточно малое изменение на-
начальных значений вызывает сколь угодно малое изменение решения.

204	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
Если t изменяется на конечном отрезке to^.t ^.Т, то ответ на
этот вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от
начальных значений (см. стр. 54). Если же t может принимать
сколь угодно большие значения, то этим вопросом занимается теория
устойчивости.
Решение ф( (t) (l=\, 2, ..., п) системы D.1) называется устой-
устойчивым, или, точнее, устойчивым по Ляпунову, если для любого
е > 0 можно подобрать 6(е) > 0 такое, что для всякого решения yt (t)
(i=\, 2	п) той же системы, начальные значения которого
удовлетворяют неравенствам
|У/(^о) — Ф/(^оI<°(е) (/= 1, 2, ..., я), ~
для всех t^>t0 справедливы неравенства
IУ| (О — ф/ (О | < в (/=1.2	я).	' D.2)
т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими
для всех t ;> t0.
Замечание. Если система D.1) удовлетворяет условиям тео-
теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений,
то в определении устойчивости вместо C^-tQ можно писать f^-T ~^-t0,
так как в силу этой теоремы на отрезке to^.t <! Г решения остаются
близкими при достаточно близких начальных значениях.
Если при сколь угодно малом б > 0 хотя бы для одного реше-
решения yt (t) (/=1, 2	п) неравенства D.2) не выполняются, то
решение (pt (t) называется неустойчивым. Неустойчивые решения
лишь в редких случаях представляют интерес в практических за-
задачах.
Если решение q>t(t) (/=1, 2	п) не только устойчиво, но,
кроме того, удовлетворяет условию
Ига | у, (О — ф, @1 = 0.	D.3)
если | y[(t0) — ф; (t0) | < 6j, 6j > 0, то решение фг (t) (i — 1, 2, ..., п)
называется асимптотически устойчивым.
Заметим, что из одного условия D.3) еще не следует устойчи-
устойчивость решения <$t(t) (t=l, 2	п).
Пример 1. Исследовать на устойчивость решение дифференциального
dv
уравнения -— = — а2у, а Ф 0, определяемое начальным условием у (t0) = у0.
Решение
асимптртически устойчиво, так как

§ 1]	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ	205
прн f>V если !Уо — Уо1 <ге~а''" и
dy
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения -~- =
= я2}», а Ф 0, определяемое условием у (<0) = >v
Решение у -- уаеа2<-1~'^ неустойчиво, так как нельзя подобрать столь
малое 6 > 0, чтобы из неравенства | у0 — у0 | < б (е) следовало бы
ИЛИ
еаН'-'')\Уо-Уо]<'
при всех t > tQ.
Исследование на устойчивость некоторого решения
системы уравнений
^Г = ф1«' У1- У2	У») ('=1.2	я)	D.1)
может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального
решения — точки покоя, расположенной в начале координат.
Действительно, преобразуем систему уравнений D.1) к новым
переменным, полагая
*1 = У/-У<(') (*=1. 2. .... я).	D.4)
Новыми неизвестными функциями х{ являются отклонения yt — i>i(t)
прежних неизвестных функций от функций у,- (t), определяющих ис-
исследуемое на устойчивость решение.
В силу D.4) в новых переменных система D.1) принимает вид
—	(/== 1, 2	я).	D.5)
Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению yt = yt(t)
(i=l, 2	п) системы D.1), в силу зависимости xt=yt —yi(t).
соответствует тривиальное решение х(-^0 (/= 1, 2	п) си-
системы D.5), причем исследование на устойчивость решения yt = yt (t)
(i — 1, 2, ...,, га) системы D.1) может быть заменено исследованием
на устойчивость тривиального решения системы D.5). Поэтому
в дальнейшем без ограничения общности можно считать, что на
устойчивость исследуется тривиальное решение или, что одно и то же,
расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений

206
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
Сформулируем условия устойчивости в применении к точке
покоя xt s= 0 (I — 1, 2	п).
Точка покоя х,==0 (* = 1. 2	 п) системы (.4.5) устойчива
в смысле Ляпунова, если для каждого е > 0 можно подобрать
б (е) > 0 такое, что из неравенства
следует
\xi{tt))\<b(t) (*=1. 2	ft)
\xi(t)\<z (/=1,2	л) при ^>Г
Или несколько иначе: точка покоя х; = 0 (/=1, 2	п) устой-
устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е > 0 можно подобрать
^i (е) > 0 такое, что из неравенства
следует
при t~^-T, т. е. траектория, начальная точка которой находится
в б^окрестности начала координат при t^T не выходит за пре-
пределы е-окрестности начала координат.
§ 2. Простейшие типы точек покоя
Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя
х = 0, у = О системы двух линейных однородных уравнений с по-
постоянными коэффициентами:
dx
D.6)
где
г2\
«12
а22
Ищем решение в виде x=^a1ellt, y=a2eft/ (см. стр. 193). Для
определения k получаем характеристическое уравнение
(п —k a,
#91
*12
= 0
или
— (flll 4" a22> k + (alla22 — «21a12> =

i 2]
ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ
207
ctj и а2 с точностью до постоянного множителя определяются из
одного из уравнений:
(ап — А) а, т]22 , |
Рассмотрим следующие случаи:
а) Корни характеристического уравнения kx и k2 действи-
действительны и различны.
Общее решение имеет вид
1'. \
где at и рг — постоянные, определяемые из уравнений D.7) соответ-
соответственно при k=-kx и при k = k2, а сг и с2 — произвольные по-
постоянные.
При этом возможны следующие случаи:
1) Если kx < 0 и k2 < 0, то точка покоя лг = О, у = 0 асимпто-
асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей ek'{ и eklt
Рис. 4.1.
Рис. 4.2.
в D.8) все точки, находящиеся в начальный момент t = t0 в любой
6-окрестности начала координат, при достаточно большом t пере-
переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой е-окрестности начала
координат, а при t-*-oo стремятся к началу координат. На рис. 4.1
изображено расположение траекторий около точки покоя рассма-
рассматриваемого типа, называемой устойчивым узлом, причем стрелками
указано направление движения по траекториям при возрастании t.
2) Пусть kl > 0, k2 > 0. Этот случай переходит в предыдущий
при замене t на —t. Следовательно, траектории имеют такой же
вид, как и в предыдущем случае, но только точка по траекториям
движется в противоположном направлении (рис. 4.2). Очевидно.

208	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
что с возрастанием t точки, сколь угодно близкие к началу коор-
координат, удаляются из е-окрестности начала координат — точка покоя
неустойчива в смысле Ляпунова. Точка покоя рассматриваемого типа
называется неустойчивым узлом.
3) Если kx > О, k2 < 0, то точка покоя тоже неустойчива, так
как движущаяся по траектории
х = с^е', у = cxa2ekit	D.9)
точка при сколь угодно малых значениях сх с возрастанием t вы-
выходит из Е-окрестности начала координат.
Заметим, что в рассматриваемом случае существуют движения,
приближающиеся к началу координат, а именно:
X = C2Pj**'*, У =
При различных значениях с2 получаем различные движения по одной
и той же прямой у = -jj^ x. При возрастании t точки на этой пря-
прямой движутся по направлению к началу координат (рис. 4.3). Заметим
также, что точки траек-
траектории D.9) движутся с
возрастанием t по прямой
у = —— х, удаляясь от на-
начала координат. Если же
сх Ф 0 и с2 Ф О, то как при
рис 43	t->co, так и при t-+ — со
траектория покидает ок-
окрестность точки покоя.
Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 4.3)
потому, что расположение траекторий в окрестности такой точки
напоминает расположение линий уровня в окрестности седлообразной
точки некоторой поверхности
г —f{x, у).
б) Корни характеристического уравнения комплексны:
kh2 = р ± qt, q ф 0.
Общее решение рассматриваемой системы можно представить
в виде (см. стр. 196)
х = ер1 (с, cos qt -I- с, sin oft, )
>	D 10"»
y=e^(c;cos^+4sin^), j	v- '
где ct и c2—произвольные постоянные, а с* и с2 — некоторые ли-
линейные комбинации этих постоянных.

«21
ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ
209
При этом возможны следующие случаи:
1) к1Л = р ±qt. р<0, чФ&.
Множитель ept, p < 0, стремится к нулю с возрастанием t,
а второй — периодический множитель в уравнениях D.10) остается
ограниченным.
Если бы /? = 0, то траекториями были бы, в силу периодичности
вторых множителей в правой части уравнений D.10), замкнутые
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
кривые, окружающие точку покоя х = 0, у = 0 (рис. 4.4). Наличие
стремящегося к нулю с возрастанием t множителя epi, p < 0, пре-
превращает замкнутые кривые в спирали, асимптотически приближающиеся
при j-> эо к началу координат (рис. 4.5), причем при достаточно
большом t точки, находившиеся при t = ?0 в
любой 6-окрестности начала координат, по-
попадают в заданную е-окрестность точки по-
покоя х=0, у = 0, а при дальнейшем воз-
возрастании t стремятся к точке покоя. Сле-
Следовательно, точка покоя асимптотически
устойчива — она называется устойчивым
фокусом. Фокус отличается от узла тем,
что касательная к траекториям не стре-
стремится к определенному пределу при прибли-
приближении точки касания к точке покоя.
2) kh2 = p ±qt, p>0, дф-0.
Этот случай переходит в предыдущий
при замене t на — t. Следовательно, траек-
траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движе-
движение по ним происходит при возрастании t в противоположном на-
направлении (рис. 4.6). Из-за наличия возрастающего множителя ept
точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к на-'
чалу координат, с возрастанием t удаляются из е-окрестности начала
координат — точка покоя неустойчива. Она носит название неус-
неустойчивого фокуса.
Рис. 4.6.
14 Л. Э. Эльсгольц

210
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
3) ftu= ±qi, яФО.
Как уже отмечалось выше, в силу периодичности решений, траек-
траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку
покоя (рис. 4.4), называемую в этом случае центром. Центр является
устойчивой точкой покоя, так как для заданного е > 0 можно подо-
подобрать б > 0 такое, что замкнутые траектории, начальные точки
которых лежат в 6-окрестности начала координат, не выходят за
Рис. 4.7
Рис. 4.8.
пределы е-окрестности начала координат или, что то же самое, можно
подобрать столь малые сх и с2, что решения
х = с1 cos qt -\- c2 sin qt,
у = с\ cos qt -f- с\ sin qt
будут удовлетворять неравенству
D.11)
Заметим, однако, что асимптотической устойчивости в рассматривае-
рассматриваемом случае нет, так как x{t) и y(t) в D.11) не стремятся к нулю
при t —>со .
в) Корни кратны kx = k2.
1) kx = k2< 0.
Общее решение имеет вид
у @ = (cia2 + CapjO e*'<,
причем не исключена возможность того, что E, = р2 = 0, но тогда
(Xj и а2 будут произвольными постоянными.
Из-за наличия быстро стремящегося к нулю множителя е*'' при
t—>-oo произведение (с1а1 -{- сф^) е*>' (^= 1, 2) стремится к нулю
при ^->оо, причем при достаточно большом t все точки любой
6-окрестности начала координат попадают в заданную е-окрестность

§2)
ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ
211
начала координат и, следовательно, точка покоя асимптотически
устойчива. На рис. 4.7 изображена точка покоя рассматриваемого
вида, так же как и в случае а) 1), называемая устойчивым узлом.
Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а) 1) и
фокусом б) 1), так как при сколь угодно малом изменении действи-
действительных коэффициентов ап, я12, а21, а22 он может превратиться как
в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а) 1), потому
что при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный
корень может перейти как в пару комплексных сопряженных корней,
так и в пару действительных различных корней. Если Р1 = E2—0>
то тоже получаем устойчивый узел (так называемый дикритический
узел), изображенный на рис. 4.8.
2) Если А1 = ?2>0, то замена t на —t приводит к предыду-
предыдущему случаю. Следовательно, траектории не отличаются от траекто-
траекторий предыдущего случая, изображенных на рис. 4.7 и 4.8, но дви-
движение по ним происходит в противоположном направлении. В этом
случае точка покоя называется, так же как и в случае а) 2), не-
неустойчивым узлом.
Тем самым исчерпаны все возможности, так как случай Ах = О
(или k2 = 0) исключен условием
а,
а
12
Замечание 1. Если
?=0.
= 0,
«21 «22
«11 «12
«21 «22
то характеристическое уравнение
«11 * «12
имеет нулевой корень kx = 0. Предположим, что
Тогда общее решение системы D.6) имеет вид
х = Cla + ^Ч
:0, НО k2 ф 0.
la,
у =
Исключая t, получим семейство параллельных прямыхE,(у — 0^)=
= E2 (х — с^). При с2 = 0 получаем однопараметрическое семейство
точек покоя, расположенных на прямой a1y=a2x. Если &2<0, то
при ^->оо на каждой траектории точки приближаются к лежащей
на этой траектории точке покоя х = cxav у = сга2 (рис. 4.9). Точка
покоя лг^О, у = 0 устойчива, но асимптотической устойчивости нет.
14*

212
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
Если же k2 > 0, то траектории расположены так же. но движе-
движение точек на траекториях происходит в противоположном направле-
направлении—точка покоя х^О, у^О неустойчива.
Если же ^j = k2 = 0, то возможны два случая:
1.	Общее решение системы D.6) имеет вид х = cv у = с2 — все
точки являются точками покоя, все решения устойчивы.
2.	Общее решение имеет вид
где с* и cj — линейные комбинации произвольных постоянных сх
и с2- Точка покоя х = 0, у^О не-
неустойчива.
Замечание 2. Классификация
точек покоя тесно связана с классифи-
классификацией особых точек (см. стр. 57—59).
Действительно, в рассматриваемом
случае система
dx
= апх-\- а12у,
где
Рис. 4.9.
а21х
а22у,
D.6)
путем исключения t могла бы быть сведена к уравнению
dy __ a2lx-\-a22y
dx aux-
D.12)
интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения
системы D.6). При этом точка покоя х = 0, у = 0 системы D.6)
является особой точкой уравнения D.12).
Заметим, что если оба корня характеристического уравнения имеют
отрицательную действительную часть [случаи а) 1); б) 1); в) 1)], то
точка покоя асимптотически устойчива. Если же хотя бы один корень
характеристического уравнения имеет положительную действительную
часть [случаи а) 2); а) 3); б) 2); в) 2) ], то точка покоя неустойчива.
Аналогичные утверждения справедливы и для системы п линейных
однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dt
= 7, а,
\=\, 2	п.).
D.13)

§2]	ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ	213
Если действительные части всех корней характеристического
уравнения системы D.13) отрицательны, то тривиальное решение
Х/==0 A=1, 2	я) асимптотически устойчиво.
Действительно, частные решения, соответствующие некоторому
корню ks характеристического уравнения, имеют вид (стр. 193 и 196)
Л' (/=1, 2	я),
если ks действительны,
s
Xj = е"*' (р; cos qst -f- Yy sin qst),
если ks = ps-j- qst, и, наконец, в случае кратных корней решения
такого же вида, но еще умноженные на некоторые многочлены Pj (t).
Очевидно, что все решения такого вида, если действительные части
корней отрицательны (ps < 0, или если ks действительно, то ks < 0),
стремятся к нулю при ^->со не медленнее, чем ce~mt, где с — по-
постоянный множитель, а —т < 0 и больше наибольшей действитель-
действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно,
при достаточно большом t точки траекторий, начальные значения
которых находятся в любой 6-окрестности начала координат, попа-
попадают в сколь угодно малую е-окрестность' начала координат и при
?->оо неограниченно приближаются к началу координат — точка
покоя xl =s0 (i=\, 2	я) асимптотически устойчива.
Если же действительная часть хотя бы одного корня характери-
характеристического уравнения положительна, Re kt = pt > 0, то соответ-
соответствующее этому корню решение вида х;- = са}-ек'\ или в случае ком-
комплексного kt его действительная (или мнимая) часть cepi' ($jCosqtt -\-
-f— Yy sin ^,-0 (У = 1, 2, ..., я) при сколь угодно малых по модулю
значениях с неограниченно возрастает по модулю при возрастании t, и,
следовательно, точки, расположенные в начальный момент на этих
траекториях в сколь угодно малой 6-окрестности начала координат,
покидают при возрастании t любую заданную е-окрестность начала
координат. Следовательно, если действительная часть хотя бы одного
корня характеристического уравнения положительна, то точка покоя
Х/^0 (J=l, 2	я) системы D.13) неустойчива.
Пример 1. Какого типа точку покоя имеет система уравнений
dx
Характеристическое уравнение
-й — 1
= 0
у а — к
или
2 3 — /
?2	4й + 5 = 0

214
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ГГЛ. 4
О является
имеет корни ftll2 = 2±/, следовательно, точка покоя х = О
неустойчивым фокусом.
Пример 2. х — — агх — 2Ьх — уравнение упругих колебаний с учетом
трения или сопротивления среды (при b > 0). Переходя к эквивалентной
системе уравнений, получим
у ~ — а2х — 2Ьу.
Характеристическое уравнение имеет вид
:0 или /г2 -f Ш -f а2=0.
1
. а2 —2Ь — /г
откуда kil2— — b± Yb2 — а2.
Рассмотрим следующие случаи:
1)	6=0, т. е. сопротивления среды не учитываются. Все движения
периодические. Точка покоя в начале координат является центром.
2)	Ь2 — а2 < 0, Ь > 0. Точка покоя является устойчивым фокусом. Коле-
Колебания затухают.
3)	Ь'г — й2>-0, Ь > 0. Точка покоя является устойчивым узлом. Все
решения затухающие, неколеблющиеся. Этот случай наступает, если сопро-
сопротивление среды велико (Ь > а).
4)	b < 0 (случай отрицательного трения), Ь2 — а2 < 0. Точка покоя
является неустойчивым фокусом.
5)	Ь < 0, Ьг — а2 > 0 (случай большого отрицательного трения). Точка
покоя является неустойчивым узлом.
Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы урав-
уравнений
dz , .
— =5х-4у.
Характеристическое уравнение имеет вид
— k 2 —1
3 -k -2
5 —4 —k
= 0
или
9ft -f 8 = 0.
Определить корни кубического уравнения в общем случае довольно
трудно, однако в данном случае один корень &, — I легко подбирается, и
так как этот корень имеет положительную действительную часть, то можно
утверждать, что точка покоя х ¦= 0, у =0, г = 0 неустойчива.

§ 3	ВТОРОЙ МЕТОД А. М. ЛЯПУНОВА	21о
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова
Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов
в конце XIX века разработал весьма общий метод исследования на
устойчивость решений системы дифференциальных уравнений
^-=/,(*, xv х2	хп) (/=1, 2	я),	D.14)
получивший название второго метода Ляпунова.
Теорема 4.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если
существует дифференцируемая функция xi(x1, x2	хп), на-
называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрест-
окрестности начала координат следующим условиям:
1) v(xv х2, .... х„);>0, причем г> —0 лишь при xt = Q
(i=\, 2, ..., я), т. е. функция v имеет строгий минимум
в начале координат;
2) -ij — ^l^fiV' xi	*„)<0 при t^>tQ, то точка
покоя X; ^ 0 (/=1, 2	п) устойчива.
Производная — в условии 2) взята вдоль интегральной кривой,
т. е. она вычислена в предположении, что аргументы xt (/= 1, 2, ...
..., п) функции v(xv x2	хп) заменены решением xt{t) (/ =
= 1, 2	п) системы дифференциальных уравнений D.14).
Действительно, в этом предположении -^- = V -^- -^- или за-
t = i
dxi	.
меняя -—¦ правыми частями системы D.14), окончательно получим
п
dv 	VI dv ,	.
~dt~ 2a Ixl J^f> Xl' X2	Xn)-
i = i
Доказательство теоремы Ляпунова об устойчи-
устойчивости. В окрестности начала координат, как и в окрестности
всякой точки строгого минимума (рис. 4.10), поверхности уровня
v(xx, х2, .... хп) = с функции v(xv x2	хп) являются зам-
замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка мини-
минимума — начало координат. Зададим е > 0. При достаточно малом
с>0 поверхность уровня v = c целиком лежит в е-окрестности
начала координат *), но не проходит через начало координат, следо-
следовательно, можно выбрать 6 > 0 такое, что б-окрестность начала
*) Точнее, по крайней мере одна замкнута^ компонента поверхности
уровня v = с лежит в е-окрестности начала координат.

216
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
координат цедиком лежит внутри поверхности v = с, причем в этой
окрестности v < с. Если начальная точка с координатами х1 (/0)
(/=1, 2, .... и) выбрана в 6-окрестности начала координат
(рис. 4.11) и, следовательно, t;(лг,(^0). х2(^0). •••> хп(^о)) — ci < с>
то при t > ^0 точка траектории, определяемой этими начальными
условиями, не может выйти за пределы е-окрестности начала коор-
координат и даже за пределы поверхности уровня v — c, так как, в силу
Рис. 4.10.
Рис. 4.11.
условия 2) теоремы, функция v вдоль траектории не возрастает и,
следовательно, при t^>tQ
v(Xl(t), x2(t)	xn(t))*Cc1<c.
Замечание. А. М. Ляпунов доказал теорему об устойчивости
в более общих предположениях, в частности, он считал, что функ-
функция v может зависеть и от t: v = v(t, xv x2	хп). При этом
для справедливости теоремы об устойчивости первое условие надо
заменить следующим
v(t, xv х2	х„)>да(х1, х2	х„)>0
в окрестности начала координат при t^>t0, где непрерывная функ-
функция w имеет строгий минимум в начале координат, v (t, 0, 0	0) =
= да@, 0	0) = 0, а второе условие остается прежним зт-^О,
но только в этом случае
п
dvdv . V! dv
t=i

C1
ВТОРОЙ МЕТОД А М ЛЯПУНОВА
217
Схема доказательства остается прежней, надо только принять во вни-
внимание, что, в силу условия 1), подвижная при изменяющемся t поверх-
поверхность уровня v(t, х-у, х2	хп) = с остается при всех изменениях
t^-t0 внутри поверхности уровня w(xv x2	хп) = с (рис. 4.12).
Теорема 4.2 (теорема Ляпунова об асимптотической
устойчивости). Если существует дифференцируемая функция
Ляпунова v(xx,x2	х„), удо-
удовлетворяющая условиям:
1)	v(xu x2	хп) имеет
строгий минимум в начале
координат: г» @, 0, ..., 0) —0;
2)	производная, функции vt
вычисленная вдоль интеграль-
интегральных кривых системы D.14)
dv
причем вне сколь угодно малой	Рис. 4.12.
окрестности начала коорди-
п
2 х?^б?>0, t^-T0~^>tQ, производная -?-.
— В < 0,
2, ..., я)
нат, т. е. при
(=1
где р — постоянная, то точка покоя х( = 0 A=\,
системы D.14) асимптотически устойчива.
Доказательство. Так как условия теоремы об устойчивости
выполнены, то для каждого е>0 можно подобрать 6(е)>0 такое,
что траектория, начальная точка которой находится в 6-окрестности
начала координат, при t^ t0 не выходит за пределы е-окрестности
начала координат. Следовательно, в частности, вдоль такой траекто-
траектории при / > То выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории
функция v монотонно убывает с возрастанием t, и вдоль траектории
существует предел функции v при t—>oo:
lim v(t, xx(t), x2(t)
х„ (*)) = а > 0.
Надо доказать, что а = 0, так как если а = 0, то из условия 1)
следует, что Нш х,(/) = 0 (/=1, 2, ..., я), т. е. точка покоя
Xi = 0 (/==1,2	я) асимптотически устойчива. Допустим, что
а > 0; тогда траектория при t > t0 находится в области v ^- а,
следовательно, вне некоторой 6j-окрестности начала координат, т. е.

218
теория устойчивости
dv
[ГЛ. 4
там, где по условию 2) -зт<^—Р<^ при t^T0. Умножая неравенство
-Л^—Р на dt и интегрируя вдоль траектории в пределах от То
до t, получим:
v{xx{t), x2(t), .... xn(t)) — v(xl(T0)< x2(TQ)	х„(Г0))<;
или
V (Xx (t), X2(t), . . ., Л
< v (x, (To), x2 (To)	xa (To)) — p
To).
При достаточно большом t правая часть отрицательна, а следовательно,
и v(xx(t), x2(t), ..., xa(t))<0, что противоречит условию 1).
Замечание. Теорема об асимптотической устойчивости обоб-
обобщается на случай функции v, зависящей от t, xv x2	хп, если
первое условие, как и в предыду-
предыдущей теореме, заменить следующим:
V , х2	х„)>
где функция w имеет строгий мини-
мум в начале координат, и, кроме
того, потребовать, чтобы функция
v(t, jtj, x2	 хп) равномерно
относительно t стремилась к нулю
при
х~
0.
Рис. 4.13.
Теорема 4.3 (теорема Че-
таева о неустойчивости). Если
существует дифференцируемая функция v(xx, x2	хп), удо-
удовлетворяющая в некоторой замкнутой h-окрестности начала
координат условиям: 1) в сколь угодно малой окрестности U
начала координат существует область (v > 0), в которой v > 0,
причем v = 0 на лежащей в U части границы области (v > 0);
2) в области (v > 0) производная
dv
dv
dv
причем в области (г/>-а), а > 0, производная jt^>$> ®~ то
точка покоя х,-^0 (/= 1, 2, ..., п) системы D.14) неустойчива.

§ 3]	ВТОРОЙ МЕТОД А. М ЛЯПУНОВА	219
Доказательств. Начальную точку xl (t0), x2(t0)	xn{ta)
возьмем в сколь угодно малой окрестности начала координат в области
(г»>0), v{xx(tQ), x2(t0), ..., xn(to)) = a>0 (рис. 4.13). Так как
вдоль траектории -п- i> О, то функция v вдоль траектории не убы-
убывает, и следовательно, пока траектория не покинет рассматриваемую
й-окрестность начала координат, где выполнены условия теоремы,
траектория должна находиться в области (v^-a). Допустим, что
траектория не покидает /г-окрестности начала координат. Тогда в силу
di)
условия 2) вдоль траектории при t~^tQ производная -т-^р>0.
Умножая это неравенство на dt и интегрируя, получим:
v(xx(t), x2(t)	xn(t)) — v(x,(tQl x2(tQ)	*e('o))>P('-'o).
откуда следует, что при t—>oo функция v вдоль траектории не-
неограниченно возрастает, что находится в противоречии с предполо-
предположением о том, что траектория не выходит за пределы замкнутой
й-окрестности начала координат, так как в этой /г-окрестности не-
непрерывная функция v ограничена.
Замечание. Н. Г. Четаев доказал теорему о неустойчивости
в предположении, что v может зависеть также и от t, при этом усло-
условия теоремы несколько изменяются и, в частности, приходится требо-
требовать ограниченности функции v в области (v^O) в рассматриваемой
/г-окрестности начала координат.
Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы:
dx	, rfy	,
dt	У Х ' dt ~X У ¦
Функция v (х, у) = х2 -}- у2 удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпу-
Ляпунова об асимптотической устойчивости:	.
1)	v{x, у)>0, ^@, 0) = 0;
Hi)
2)	jr = 2x (— у — х3) + 2у (х — у3) = — 2 (х4 + У4) < 0. Вне окрестности
dv	*
начала координат -it< — Р < 0. Следовательно, решение х==0, узгОасимп-
тотически устойчиво.
Пример 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение хеаО,
y==0 системы:
dx	. dy	,
--ху-ш-ух'
Функция v (х, у) = х4 -f- у4 удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпу-
Ляпунова об устойчивости:
1)	v (х, у) = х* + у4 > 0, v @, 0) = 0;
2)	^ = — 4^4

220	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
Следовательно, тривиальное решение jf = O, _y==0 устойчиво.
Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х == 0, у == 0
системы уравнений
Функция г> = х* — у4 удовлетворяет условиям теоремы Н. Г. Четаева:
1)	v > 0, при | х | > | у |;
2)	^ = 4*3(У3 + *5) —4у3 (*3 + У5) = 4 (*8 - у8) > О при |а;|>|У|,
причем при v^-a>4, -гг ^ Р > 0. Следовательно, точка покоя jr = O, y=0
неустойчива.
Пример 4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение xl==Q
(i = 1, 2	п) системы уравнений
dxt _ ди(хи х2, ..., хп)
(«-I, А .... я).
dt ~	dXi
если дано, что функция и(хи х2, ..., хп) имеет строгий максимум в начале
координат.
В качестве функции Ляпунова возьмем разность
v(xh х2	х„)=и@, 0	0) — и(хх, х2	х„),
которая, очевидно, обращается в нуль при лг, = 0(/=1, 2, ..., п), имеет
строгий минимум в начале координат и, следовательно, удовлетворяет усло-
условию 1) теоремы Ляпунова об устойчивости. Производная вдоль интеграль-
интегральных кривых
«	я
dv _ VI du
dl~'
Итак, условия теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены, следовательно,
тривиальное решение устойчиво.
Пример 5. Исследовать на устойчивость тривиальное решение xL == 0
(i = 1, 2, ..., п) системы уравнений
п
' где а'7 (^ = "~ ajl ^ при ' ^ и все
Тривиальное решение устойчиво, так как функция v = ^ jc| удовлетво-
(=1
ряет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости:
1) >0 и !>((), 0, .... 0) = 0;
2) ?=

§ 4]	ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ	221
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению
При исследовании на устойчивость точки покоя xt^0 A= 1, 2	п)
системы дифференциальных уравнений
^ = /,(*. xv x2, .... *„) (/=1. 2	п),	D.14)
где ft — дифференцируемые в окрестности начала координат функ-
функции, часто применяется следующий метод: пользуясь дифференцируе-
мосгью функций fi{t, x^ х2	хп), представляют систему D.14)
в окрестности начала координат л;г = 0(/=1, 2	п) в виде
и
^l==^au(t)xj+Rl(t, xv x2	xn)(i=\, 2	п), D.15)
где Rt имеют порядок выше первого относительно
вместо точки покоя xt = Q(i = 1, 2	п) системы D.15) исследуют
на устойчивость ту же точку покоя линейной системы
a(J(t)Xj (/=1, 2, .... п),	D.16)
называемой системой уравнений первого приближения для
системы D.15). Условия применимости этого метода, которым долгое
время пользовались без всякого обоснования, были детально исследо-
исследованы А. М. Ляпуновым и в дальнейшем расширены трудами многих
других математиков, среди которых следует в первую очередь отме-
отметить работы О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского,
Н. Г. Четаева.
Исследование на устойчивость системы уравнений первого при-
приближения, конечно; является задачей значительно более легкой, чем
исследование исходной, вообще говоря, нелинейной системы, однако
даже исследование линейной системы D.16) при переменных коэффи-
коэффициентах atj(t) является задачей весьма сложной. Если же все пц
постоянны, т. е. система стационарна в первом приближении, то
исследование на устойчивость линейной системы D.16) не предста-
представляет принципиальных затруднений (см1, стр. 212—213).
Теорема 4.4. Если система уравнений D.15) стационарна
в первом приближении, все члены Rt в достаточно малой
окрестности начала координат при t^-T ^-t0 удовлетворяют
неравенствам | Rt | <^./V I 2 х?) , где N и а — постоянные,
причем а > 0 (т. е., если Rt не зависят от t, то их порядок

222
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
выше первого относительно
ристического уравнения
/I '¦)и
ггл.
все корни характе-
au—k
а21
а
12
a.
a22~k ... а2п
а
'«2
... апп— k
= 0
D.17)
имеют отрицательные действительные части, то тривиаль-
тривиальные решения лг^^= 0 (/ = 1, 2	п) системы уравнений D.15)
и системы уравнений D.16) асимптотически устойчивы, сле-
следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчи-
устойчивость по первому приближению.
Теорема 4,5. Если система уравнений D.15) стационарна
в первом приближении, все функции Rt удовлетворяют усло-
условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характери-
характеристического уравнения D.17) имеет положительную действи-
действительную часть, то точки покоя х^0A= 1, 2	п) системы
D.15) и системы D.16) неустойчивы, следовательно, и в этом
случае возможно исследование на устойчивость по первому
приближению.
Теоремы 4.4 и 4.5 в отношении ограничений, налагаемых на корни
характеристического уравнения, не охватывают лишь так называемый
критический случай: все действительные части корней характеристи-
характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть
хотя бы одного корня равна нулю.
В критическом случае на устойчивость тривиального решения
системы D.15) начинают влиять нелинейные члены Rt и исследование
на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.
Доказательство теорем 4.4 и 4.5 можно найти в книге И. Г. Мал-
кина [2].
Для того чтобы дать представление о методах доказательства таких тео-
теорем, мы приведем доказательство теоремы 4.4 в предположении, что все
корни характеристического уравнения kt действительны и различны
kt < 0 (г = 1, 2	п), ki ф kj при i ф ].
В векторных обозначениях система D.15) и система D.16) примут соответ-
соответственно вид
??-^AX + R,	D.15.)
dX
dt
- АХ.
D.16,)

§4]
где
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
223
хг
Q>1\ &22 * * • &2п
Я/1! Я/12 ••• «и/1
С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэф-
коэффициентами X = BY, где
я.
5 =
Ьхг ... Ьхп
у _
преобразуем систему D.16,) к виду В — = A BY или ~гг= в~"' ABY. Подбе-
Подберем матрицу В так, чтобы матрица В АВ была диагональной:
?, 0 0 ... О
О ft2 0 ... О
В ЛВ= о 0 *3 ... О
0 0 0 ... kn
При этом система D.16) преобразуется в
jLj^^ktyt (t=l, 2, ..., я),
а система D.15) при том же преобразовании переходит в
= 1, 2, ,
я),
D.18)
^j Уг I , Л' — постоянная величина, а > 0, f>.T.
1=1 I
Для системы D.18) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям тео-
теоремы об асимптотической устойчивости, является
п
Действительно,
Уь У2	Ул)>0, «(О, 0	0) = 0;
(=1
1=1

224
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
при достаточно малых у/, так как все kj < 0, а удвоенная сумма 2
при достаточно малых yt может быть сделана по модулю меньше сум-
Наконец, вне окрестности начала координат
Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0
системы
~1Т~Х — У ~Ь х2 + у- sin г,
Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 4.4 и 4.5. Исследуем
на устойчивость точку покоя х ¦= 0. у = 0 системы первого приближения
dy
— У- j
D.20)
Характеристическое уравнение
— 0 имеет корни fe,, 2 •= 1 ± /,
	? 	j
1 1 —ft
следовательно, в силу теоремы 4.5 точка покоя систем <4.19; и D.20) не-
неустойчива.
Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0
системы
-^ = 2* + 8 sin у,
|f = 2-**-3y-cosy
D.21)
Разлагая sinj', ел и cos у по формуле Тейлор.',, представляем систему
в виде
0 для системы пер-
D.22)
где /?! и /?2 удовлетворяют условиям теорем 4.4 и 4.5.
2 —ft 8
Характеристическое уравнение
вого приближения
_1 _3 — k
имеет корни с отрицательными действительными частями. Следовательно,
точка покоя х = 0, у = 0 систем D.21) и D.22) асимптотически устойчива.

ifl
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
225
= 0
Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у
системы
dx '	о
_	4у-х\
D.23)
dy
Характеристическое уравнение
: 0 для системы первого
— k — 4
3 — k
приближения имеет чисто мнимые корни — критический случай. Исследова-
Исследование по первому приближению невозможно. В данном случае легко подби-
подбирается функция Ляпунова
v = Зх2 -f- 4y2.
1)	v(x, у)>0, v@, 0) = 0;
2)	^ = 6х(— 4у — л:3)-f-8у (Зх — у3) =
+ 8у4)<0, причем вне
некоторой окрестности начала координат зт < — (J < 0, следовательно, точка
покоя х = 0, у = 0 по теореме предыдущего параграфа асимптотически
устойчива.
Остановимся несколько подробнее на последнем примере. Система
уравнений первого приближения
dx
D.24)
имела в начале координат центр. Наличие нелинейных членов в си-
системе D.23) превратило этот центр в устойчивый фокус.
Аналогичная, но несколько более сложная геометрическая картина
наблюдается и в об1Ь,ем случае. Пусть система первого приближения
для системы
dxx 		_
—-П- — а\\х\ -И 0>\2х2 "Т "-1 \XV Х2><
-—
а22х2
х2)
D.25)
имеет точку покоя типа центра в начале координат. Предположим^
как и на стр. 221, что нелинейные члены Rx(x{, x2) и /^(-"ч' Хг>)
имеют порядок выше первого относительно ^л^-)-*!1 Эти нелиней-
нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы
по сравнению с линейными членами, но все же они несколько иска-
искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого
приближения, поэтому выходящая из некоторой точки (х0, у0) траек-
траектория после обхода начала координат немного смещается по сравне-
сравнению с проходящей через ту же точку траекторией линейной системы
15 Л. Э. Эльсгольц

22в
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
и, вообще говоря, не попадает в точку (х0, у0)— траектория не за-
замыкается.
Если после такого обхода начала координат все траектории при-
приближаются к началу координат, то в начале координат возникает
устойчивый фокус; если же траектории удаляются от начала коор-
координат, возникает неустойчивый фокус.
В виде исключения возможен также случай, при котором все
траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала
координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типичным надо
считать случай, при котором лишь некоторые (может быть, и ни
Рис. 4.14.
Рис. 4.15.
одной) замкнутые кривые остаются замкнутыми, а остальные превра-
превращаются в спирали.
Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траек-
траектории являются спиралями, называются предельными циклами.
Если близкие к предельному циклу траектории являются спира-
спиралями, приближающимися при /—>оо к предельному циклу, то пре-
предельный цикл называется устойчивым (рис. 4.14); если близкие
к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися
от предельного цикла при t->co, то предельный цикл называется
неустойчивым; если же с одной стороны предельного цикла при
t —>оо спирали приближаются к предельному циклу, а с другой сто-
стороны удаляются от него (рис. 4.15), то предельный цикл называется
полу устойчивым.
Итак, переход от системы первого приближения D.16) к системе
D.25) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус,
окруженный р (случай р — 0 не исключается), предельными циклами.
На стр. 154, исследуя периодические решения автономной квази-
шнейной системы
= \if(x, х,
D.26)

§ 5]	ПРИЗНАКИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ	227
мы уже встречались с аналогичным явлением. Действительно, заме-
заменяя D.26) эквивалентной системой, получим
|	D.27)
у = — а?х + \i.f (х, у, ) j
Соответствующая линейная система:
х = у, у — — аР-х
имеет в начале координат точку покоя типа центра; добавление ма-
малых при малом [х нелинейных членов превращает центр, вообще
говоря, в фокус, окруженный несколькими предельными циклами,
радиусы которых и определялись из уравнения B.128), стр. 156.
Различие между случаями D.25) и D.27) заключается лишь в том,
что члены Rx и R2 малы лишь в достаточно малой окрестности на-
начала координат, тогда как в случае D.27) слагаемое \if{x, у, [д.)
может быть сделано малым при достаточно малом \х, не только
в достаточно малой окрестности начала координат.
В примере 2 (стр. 156) при малом [X в окрестности окружности
радиуса 6 с центром в начале координат, являющейся траекторией
порождающего уравнения, возникает предельный цикл.
В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответ-
соответствуют автоколебательные процессы, т. е. периодические процессы,
в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды
и частоты колебаний.
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей
всех корней многочлена
В предыдущем параграфе вопрос об устойчивости тривиального
решения широкого класса систем дифференциальных уравнений был
сведен к исследованию знаков действительных частей корней харак-
характеристического уравнения.
Если характеристическое уравнение имеет высокую степень, то
его решение представляет значительные трудности, поэтому большое
значение имеют методы, позволяющие, не решая уравнения, устано-
установить, будут ли все его корни иметь отрицательную вещественную
часть или нет.
Теорема 4.6 (теорема Гурвица*)). Необходимым и довта-
точным условием отрицательности действительных частей
всех корней многочлена
zlt-\-a1zn-1-{- ... +<*„_!* +<*„
*) Доказательство теоремы Гуррица мощно нз$ти в курсах высшей
алгебры, например в «Курсе высшей алгебры» А. Г. Куроша.
1В*

228	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
с действительными ' коэффициентами является положитель-
положительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица
ах 1 0 0 ... О
о, а, а, 1 ... О
О 0 0 0 ... а
По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффициенты
рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации, начиная с ах
до ап. Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с не-
нечетными или только с четными индексами, включая и коэффициент
ао= 1, следовательно, элемент матрицы bik = a2i_k. Все недостающие
коэффициенты, т. е. коэффициенты с индексами, большими п или
меньшими 0, заменяются нулями.
Обозначим главные диагональные миноры матрицы Гурвица:
и 1 О
 
а? .а.
Д„ =
1 О
О 0 0 ... а„
Заметим, что так как Д„ — &.п-\ап< т0 последнее из условий Гур-
Гурвица Aj > О, Д2 > 0, .. ., Д„ > 0 может быть заменено требованием
ап > 0 *).
Применим теорему Гурвица к многочленам второй, третьей и чет-
четвертой степени.
a) z2 -(- axz -)- а2:
Условия Гурвица сводятся к ах > 0, а2 > 0. Эти неравенства
в пространстве коэффициентов ах и а2 определяют первую четверть
(рис. 4.16). На рис. 4.16 изображена область асимптотической устой-
устойчивости тривиального решения некоторой системы дифференциальных
уравнений, удовлетворяющей условиям теоремы 4.1, если z2-\-a1z-\-a2
является ее характеристическим многочленом.
*) Заметим, что из условий Гурвица следует, что все п[ > 0, однако
положительность всех коэффициентов недостаточна для того, чтобы действи-
действительные части всех корней были бы отрицательными.

§5]
ПРИЗНАКИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ
229
б) г3
axz2
a2z
Условия Гурвица сводятся к ах > 0, аха2 — а3 > 0, а3 > 0.
Область, определяемая этим неравенством в пространстве коэффи-
коэффициентов, изображена на рис. 4.17.
в) z4-j-axz3-j-a2z2-{-a3z-4-а4.
Условия Гурвица сводятся к
0, аха2 — аэ > 0, (аха2— а3) az—-
0.
Для рассмотренных многочленов условия Гурвица очень удобны
и легко проверяемы, однако с возрастанием степени многочлена
условия Гурвица быстро
усложняются и часто
вместо них удобнее при-
Рис. 4.16.
Рис. 4.17.
менять другие признаки отрицательности действительных частей кор-
корней многочлена.
Пример. При каких значениях параметра а тривиальное решение
xt =0, х2 = 0, х3 — 0 системы дифференциальных уравнений
dt
¦ = x3,
dx2
~~dT
dx3
dt
асимптотически устойчиво?
Характеристическое уравнение имеет вид
—	k 0
—	3 —А
а	2
1
0
¦1— k
¦¦ 0 или кг + кг — ak + 6 = 0.
По признаку Гурвица условиями асимптотической устойчивости будут at > 0,
Д[а2 — а3> 0, а3> 0. Эти условия в данном случае сводятся к — а — 6 > 0.
откуда а < —6.

580	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
§ 6. Случай малого коэффициента при производной
высшего порядка
Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра
(см. стр. 54) утверждает, что решение дифференциального уравнения
x(t) = f(t, х (t), [i) непрерывно зависит от параметра ji,, если в рас-
рассматриваемой замкнутой области изменения t, х и [i функция / не-
непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию
Липшица по х:
[fit ~х и1	f (t x nil <Г N\~r	x\
где N не зависит от t, x и а.
В задачах физики и механики условия этой теоремы обычно вы-
выполнены, однако один случай разрывной зависимости правой части
от параметра, изучению которого и посвящается этот параграф, встре-
встречается в приложениях сравнительно часто.
Рассмотрим уравнение
ii^L = f(t, х),	D.28)
где ji — малый параметр. Задача заключается в том, чтобы выяснить,
можно ли при малых значениях Jjm,J пренебречь членом \i-rr, т. е.
dx
приближенно заменить решение уравнения \i——f(t, x) решением
так называемого вырожденного уравнения
f(t, x) — 0.	D.29)
Мы не можем здесь воспользоваться теоремой о непрерывной зави-
зависимости решения от параметра, так как правая часть уравнения
разрывна при [х = 0.
Предположим пока для упрощения, что вырожденное уравнение
D.29) имеет лишь одно решение х = ф@> предположим также для
определенности, что [I > 0. При стремлении параметра (i к нулю
производная — решений уравнения —тт = — fit, x) в каждой точке,
в которой f{t, х)фО, будет неограниченно возрастать по абсолют-
абсолютной величине, имея знак, совпадающий со знаком функции fit, x).
Следовательно, касательные к интегральным кривым во всех точках,
в которых f{t, х)ф§, стремятся при \i—>0 к направлению, парал-
параллельному оси Ох, причем если f{t, x) > 0, то решение x(t, a)
уравнения D.28j) возрастает с возрастанием t, так как —гг > 0, а если

СЛУЧАЙ МАЛОГО КОЭФФИЦИЕНТА
231
fit, х) < 0, то решение x{t, \i) убывает с возрастанием /, так как
Рассмотрим изображенный на рис. 4.18 случай а), при котором
знак функции /(/, х) с возрастанием х при фиксированном t ме-
меняется при переходе через график решения jt=<p(/) вырожденного
уравнения с -(-на —.
Стрелками показано поле направлений касательных к интеграль-
интегральным кривым при достаточно малом ц. Поле направлений устремлено
к графику корня вырожденного уравнения. Поэтому каковы бы ни
пи
и
Рис. 4.18.
Рис. 4.19.
были начальные значения jc(^0) = x0, интегральная кривая, опреде-
определяемая этими начальными значениями, будучи почти параллельной
оси Ох, устремляется к графику корня вырожденного уравнения и
при возрастании t уже не может покинуть окрестность этого гра-
графика. Следовательно, в этом случае при f^>t}>t0 при достаточно
малом (i можно приближенно заменять решение x(t, ц) уравнения
D.28) решением вырожденного уравнения. В рассмотренном случае
решение x = q>(t) вырожденного уравнения называется устойчивым.
Рассмотрим случай б)—знак функции f{t, x) при переходе че-
через график решения x = y{t) вырожденного уравнения с возраста-
возрастанием х при фиксированном t изменяется с — на -f- . На рис. 4.19
изображено поле направлений, касательных к интегральным кривым
при достаточно малом \i. В этом случае очевидно, что каковы бы
ни были начальные значения л;G0)=:х0, удовлетворяющие лишь
условию f{tQ, хо)фО, интегральная кривая, определяемая этими зна-
значениями, при достаточно малом ц, имея почти параллельную оси Ох
касательную, удаляется от графика решения x = y(t) вырожденного
уравнения. В этом случае решение jc = <p(/) уравнения D.29) назы-
называется неустойчивым. В неустойчивом случае нельзя заменять реше-
решение х — х if, (x) исходного уравнения решением вырожденного

232
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. А
dx
уравнения, другими словами, нельзя пренебречь членом ц —гт- в уравне-
уравнении \i—n- — f{t, x), как бы мало (х ни было.
at
Возможен еще третий, так называемый полуустойчивый, случай в):
знак функции / (/, х) при переходе через график решения вырожден-
вырожденного уравнения не изменяется. На рис. 4.20 изображено поле напра-
направлений в случае полуустойчивого решения х = ф (/).
В полуустойчивом случае, как правило, тоже нельзя приближенно
заменять решение исходного уравнения x = x(t, ц) решением выро-
вырожденного уравнения, так как,
во-первых, интегральные кри-
кривые, определяемые начальными
значениями, лежащими с одной
стороны от графика решения
x = q>(t), удаляются от этого-
графика, во-вторых, интеграль-
интегральные кривые, приближающиеся
к графику решения д;=:ф(/),
могут перейти через него
на неустойчивую сторону
(рис. 4.20) и после этого уда-
удалиться от графика решения
лг = ф(Л. Наконец, если даже
tO\*fto.3h/
Рис. 4.20.
интегральная кривая x = x(t, fi) остается в окрестности графика
решения с его устойчивой стороны, то неизбежные в практических
задачах возмущения могут перебросить график решения х = х (t, fi)
на неустойчивую сторону графика решения вырожденного уравнения,
после чего интегральная кривая x = x{t, fi) удалится от графика
решения х = ф (t).
Заметим, что если на графике решения вырожденного уравнения
-jr- < 0, то заведомо решение x=(p(t) устойчиво; если же -^— > 0,
то решение x = q>(t) неустойчиво, так как в первом случаев окрест-
окрестности кривой x — q>(t) функция / убывает с возрастанием х и, сле-
следовательно, меняет знак с -\- на —, а во втором случае возрастает
с возрастанием х и, значит, при переходе через график решения
д: = ф(^) функция / меняет знак с — на -(-.
Если вырожденное уравнение имеет несколько решений х = ф; (/),
то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость, при-
причем в зависимости от выбора начальных значений интегральные кри-
кривые исходного уравнения могут вести себя при ц —> 0 различно.
Например, в изображенном на рис. 4.21 случае трех решений x = <Pi(t)
(/=1, 2, 3) вырожденного уравнения, графики которых не пересе-
пересекаются, решения x = x(t, ц), ц > 0, исходного уравнения, опреде-

'6]
СЛУЧАИ МАЛОГО КОЭФФИЦИЕНТА
233
ляемые начальными точками, лежащими выше графика функции
x=?<p2(t), стремятся при / >/0 и ц->0 к устойчивому решению
вырожденного уравнения x = <pl(t), а решения x = x(t, fx), оп-
определяемые начальными
точками, лежащими ни-
ниже графика функции
x = (f2(t), стремятся при
t > t0 и [х —> 0 к устойчи-
устойчивому решению х = ф3 (t)
вырожденного уравнения
(рис. 4.21).
Пример 1. Выяснить,
стремится ли решение
х = х (t, (x) уравнения
(х-ут- = х — /, |х > 0, удов-
удовлетворяющее начальным ус-
условиям х (^0) = х0 к реше-
решению вырожденного уравне-
уравнения х — t = 0 при t > ta и
Рис. 4.21.
Решение х = х (t, ц) не
стремится к решению вы-
вырожденного уравнения х — t, так как решение вырожденного уравнения
неустойчиво, потому что —^	= 1 > 0 (рис. 4.22).
*~t
Рис. 4.23.
как
Рис. 4.22.
Пример 2. Тот же вопрос для уравнения
: sin21 — Зех.
Решение вырожденного уравнения х = 2!п| sint\—In3 устойчиво, так
—v- — —:—Зе*<0. Следовательно, решение исходного уравнения
dx
dt

234	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
х = х (t, ц) стремится к решению вырожденного уравнения для t > t0
при ц -у 0.
Пример 3. Тот же вопрос для решения уравнения
dt
. Из двух решений х = 0 и x = t2-\-\ вырожденного уравнения
дх (t2	х I I \
x(t2 — л: + 1) = 0 первое неустойчиво, так как —-—-г-—"^
.^(^-лг+1)
= i24-l > 0, а второе устойчиво, так как
= — Я—1 <0.
Если начальная точка (^0, ж0) лежит в верхней полуплоскости х > 0, то
интегральная кривая исходного уравнения при [х->-0 приближается к графику
решения х = t2 -(- 1 вырожденного . уравнения (рис. 4.23) и остается в его
окрестности.
Если же начальная точка лежит в нижней полуплоскости х < 0, то
lim х (t, ц) = — со при t >t0 (рис. 4.23).
0
Вопрос о зависимости решения от малого коэффициента [i при
старшей производной возникает и для уравнений «-го порядка
\ix(a)(t) = f(t, х, х, х, .... *(л-1)),
и для систем дифференциальных уравнений.
Уравнение и-го порядка может быть обычным способом (см. стр. 85)
сведено к системе уравнений первого порядка, и следовательно,
основная задача заключается в исследовании систем уравнений
первого порядка с одним или несколькими малыми коэффициентами
при производных. Эта задача подробно исследована А. Н. Тихо-
Тихоновым [4] и А. Б. Васильевой.
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях
Если исследуемая система уравнений
~i- = ft(t, xv x2	хп), xl(t0)=xlo	D.30)
(/=1. 2	я)
подвергается малым кратковременным возмущениям, то систему D.30)
на малом интервале изменения t, t0 ^ t ^ t0, следует заменить
возмущенной системой
xi(tQ)=xi<Ju) (/=1, 2	га),
[D.31)
где все R^t, xv x2, .... хп) малы по модулю, а затем при t^tQ
возмущения прекращаются, и мы снова возвращаемся к системеD.30)i

§ 7] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 235
X
о
но уже с несколько измененными начальными значениями в точке
70. *Д) = */G0) + &, (*=1. 2	»). где *,(')('=1. 2	») —
исследуемое решение системы D.30), а все 6^ малы по модулю при
малых \Rt\ в силу теоремы о непрерывной зависимости решения
от параметра (рис. 4.24).
Следовательно, действие кратковременных возмущений в конеч-
конечном счете сводится к возмущениям начальных значений, а вопрос
об устойчивости по отношению
к таким кратковременным или,
как их часто называют, мгновен-
мгновенным возмущениям сводится к рас-
рассмотренному выше вопросу об
устойчивости в смысле А. М. Ля-
Ляпунова.
Если же возмущения дейст-
действуют постоянно, то система
D.30) должна быть заменена сис-
системой D.31) для всех t^z>t0 и
возникает совершенно новая за-
задача об устойчивости при пос-
постоянно действующих возмущениях, исследованная И. Г. Малкиным
и Г. Н. Дубошиным.
Так же как при исследовании на устойчивость в смысле А. М. Ля-
Ляпунова, можно заменой переменных xt = yt—<fi(t) (t=l, 2	n)
преобразовать исследуемое решение yi = q,i(t) (i—1,-2, .... ri)
dy
системы —~ = Фг (t, yv y2, . • ¦, >'„) (t = 1, 2	и) в тривиальное
решение Xj = 0 (/=1, 2, ..., п) преобразованной системы. Поэтому
в дальнейшем можно считать, что на устойчивость при постоянно
действующих возмущениях исследуется тривиальное решение л:(- = 0
(/=1, 2	п) системы уравнений D.30).
Тривиальное решение системы D.30) называется устойчивым по
отношению к постоянно действующим возмущениям, если для каж-
каждого е > 0 можно подобрать 6j > 0 и 62 > 0 такие, что из нера-
4
Рис. 4.24.
венств
< °i ПРИ
to и
1=1
< б! следует, что
2
при
где xt(f) (/=1, 2, ..., я) решение системы D.31), определяемое
начальными условиями xt (tQ) = xt0 (/=1, 2	п).
Теорема 4.7 {теорема Малкина). Если для системы урав-
уравнений D.30) существует дифференцируемая функция Ляпунова

236	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
v(t, xv х2	хп), удовлетворяющая в окрестности начала
координат при t^t0 следующим условиям:
\)v(t, хь х2	jc;j)>w1(jc1, х2	лгл)>0, v{t, 0, 0	0)=0,
где wx — непрерывная функция, обращающаяся в нуль лишь
в начале координат;
2) производные -^- (s= 1, 2	п) ограничены по модулю;
oxs
Ъ) производная ^7==^ +^ ^г/; <~wiix\- Х2	*„)<О,
i = \
где непрерывная функция w2(xl, x2	хп) может обращаться
в нуль лишь в начале координат, то тривиальное решение
системы D.30) устойчиво по отношению к постоянно действую-
действующим возмущениям.
Доказательство. Заметим, что в силу ограниченности произ-
производных -т— (s=l, 2	п) функция v равномерно по отношению
oxs
п
к / при t^-t0 стремится к нулю при 2 х^—^-0, так как по тео-
п
реме о среднем значении v{t, xv x2, ..., хп)— V (-Д-) xt, где
Jam \ OX i I
I dv \
\-ч— —производные, вычисленные для некоторых промежуточных
между 0 и х( (/= 1, 2, ..., п) значений аргументов xv x2	хп.
Заметим также, что вне некоторой 6-окрестности начала координат
/	л	\
(т. е. при ^ х\ > б2 > 0 ) и при t^-tQ в силу условий 2) и 3)
производная
( = 1	Z = l
при достаточно малых по модулю Rt (/= 1, 2	п).
Зададим е>0 и выберем какую-нибудь поверхность уровня
(или одну из ее компонент) wi=l, I > 0, целиком лежащую в е-ок-
рестности начала координат.
Подвижная при переменном t^t0 поверхность уровня
v(t, хх, х2	хп) — 1, в силу условия 1), лежит внутри поверх-
поверхности уровня wx=l и в то же время, в силу равномерного по t
п
стремления к нулю функции v при ^х2.^>0, лежит вне
(=i
некоторой 62-окрестности начала координат, в которой v < /, и,

§ 7] УСТ.ОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 23?
следовательно, на поверхности уровня v(t, xv x2	хп)=1 при
любом t^>t0 производная
п	п
dv 	 dv
~dT~~dT~
п
если 2 Rt < 6ь 6i > 0, где Ьг достаточно мало. Траектория, опре-
определяемая начальной точкой лГ;(^0) = л;/0 (г = 1, 2, .... п), лежащей
в указанной выше 62-окрестности начала координат, не может
при t^>[0 выйти за пределы е-окрестности начала координат, так
как, в силу выбора 62, v(^0' •"•ю- х^,'..., хп0) < /, и следовательно,
если бы при t^-tu траектория выходила за пределы е-окрестности
начала координат или хотя бы за пределы поверхности уровня
¦гг/1 = /, то она должна была бы при некотором значении t = T
первый раз пересечь поверхность уровня v (t, xv x2	xn) = l,
причем в окрестности точки пересечения вдоль траектории функ-
функция v должна была бы возрастать, что противоречит условию
-тт ^— k < 0 вдоль траектории в точках поверхности уровня
v(t, хх, х2, ..., хп) = 1.
Сравнивая условия теоремы Малкина с условиями теоремы Ляпу-
Ляпунова об асимптотической устойчивости (см. замечание на стр. 218),
увидим, что они почти совпадают; дополнительным в теореме
Малкина является лишь требование ограниченности производных
-—(s = 1, 2	га), так что асимптотическая устойчивость и устой-
устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям
являются, хотя и не совпадающими, но весьма близкими свойствами.
Пример 1. Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим
возмущениям тривиальное решение х = 0, у = 0 системы уравнений
dx ,	,
чг=а2у~х3-
где а и Ь — постоянные.
Функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы Малкина,
является v = Ь2хг -\- а?уг.
Следовательно, точка покоя х = 0, у = 0 устойчива но отношению
к постоянно действующим возмущениям.
Пример 2. Устойчива ли точка покоя л^эО (i — 1, 2	п) системы
чг ='
	Хп) (i=1> 2	п) D-32)

238	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
по отношению к постоянно действующим возмущениям, если все ац — по-
постоянные, a Rt удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, стр. 221, т. е-
/ ", Y2+a
| Ri | <1 N ( "? х\ ) , a > О, N — постоянная, и все корни характеристиче-
\ы\ }
ского уравнения для системы первого приближения различны и отрицательны.
На стр. 223 после замены переменных, приводившей линейные части
уравнения D.32) к каноническому виду, была указана функция Ляпунова
п
»=2У(| удовлетворяющая всем условиям теоремы Малкина, "следо-
1=1
вательно, точка покоя Xj = 0 (г = 1, 2,..., п) устойчива по отношению
к постоянно действующим возмущениям.
Тот же результат можно получить, предположив, что действительные
части всех корней характеристического уравнения, среди которых могут
быть и кратные, отрицательны, но только в этом случае подбор функции
Ляпунова значительно усложняется.
Задачи к главе 4
1. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы
2х
2.	Исследовать на устойчивость точку покоя лг = О, у = 0. г = 0
системы
dx	dy	„ dz	.
— = х-у-г, ->-=x + y-3z, —=х-ЬУ-Аг
3.	При каких значениях а точка покоя л; = 0, у = 0, г = 0 системы
dx	dy	dz	-л
_—- = ax — у, —,- = ay — z, -jj- = az — x устойчива?
4.	При каких значениях а система
dx
dy	,
имеет устойчивую точку покоя х — 0, у = 0?
5.	К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения
при (i->0, у. > 0, t > 1?
6. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения
|	хB) = 5 при ц->0, ц > 0, i > 2?

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4	239
7.	Исследовать на устойчивость точку покоя х = О, у = 0 системь1
уравнений
dx	. ¦ „
—7т- = х-\-е* — cos у,
-^г = Зл: — у — sin у.
8.	Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям
решение х = О, у = 0 системы уравнений
9.	Устойчиво ли решение л: = 0 уравнения
'i-f 5Jf+2jc + 20 = 0
10.	Устойчиво ли решение х==0 уравнения
11. Какого типа точку покоя л:=0, у = 0 имеет система уравнений
dx	. „ dy . ^
12.	Определить периодическое решение уравнения х -\- 2х -)- 2х = sin i
и исследовать его на устойчивость.
13.	х -f- 2л: -|- Ъх -f- 3jc = cos t. Устойчиво ли периодическое решение
этого уравнения.
14.	Исследовать на устойчивость точку покоя лт==О, у=0 системы
х = уз ц_ Xbt у =
15.	Исследовать на устойчивость решения системы уравнений
х = Зу — 2х + е'.
у = 5л; — 4у + 2.
16.	Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения
"х + 2ж + Зл: + 7 sh л: = 0.
17.	Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения
х 4- (а — 1) х -\- D — а2) х --= 0,
где а — параметр.
18.	Устойчиво ли решение х==0, у^О системы
х = Зу — л:3, у = — 4л: — Зу6
чри постояано действующих возмущениях.

240	ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. 4
19. Устойчиво ли тривиальное решение системы
где X (t) — вектор в трехмерном пространстве, а
Л 2 Ох
А=10 1 1 I.
\1 3 1/
20. Исследовать на устойчивость решения уравнения
21. Исследовать на устойчивость решения уравнения
^ sin/.
22.	х -)- х = cos t. Найти периодическое решение и исследовать его на
устойчивость.
23.	Найти область устойчивости
х-\- а'х -J- A — а) х = 0.
24.	х-\-х-\-о?х-\-5ах = 0. Найти область устойчивости.

ГЛАВА 5
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные понятия
Как уже отмечалось во введении (стр. 10), дифференциальными
уравнениями в частных производных называются дифференциаль-
дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями
более чем одной независимой переменной.
Очень многие физические явления описываются дифференциаль-
дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнение
ди \2 / ди \2
описывает распространение световых лучей в неоднородной среде
с показателем преломления п(х, у, z)\ уравнение
dt
_ 2
—¦а
описывает изменение температуры стержня; уравнение
д2и 	 2 rf2tf
~oF~~a ~5x*
является уравнением колебания струны; уравнению Лапласа
д2и . д2и . д2и 	„
удовлетворяет потенциал поля в областях, не содержащих зарядов,
и т. д.
В этой главе мы кратко рассмотрим лишь методы интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных первого по-
порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых
систем обыкновенных уравнений.
Уравнениям в частных производных более высокого порядка,
интегрирующимся" совсем иными методами, посвящается отдельная
книга серии.
16 Л, Э. Эльсгольц

242	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. 8
Рассмотрим несколько простейших примеров.
П р и м е р 1.
дг (х, у)	,
	\ ¦" а> у + х.
дх	J '
Интегрируя по х, получаем
х'1
г (х, у) = ху + -j- + ф (У).
где ф (у) — произвольная функция у.
Пример 2.
д2г (х, у)	д j дг ) .
—д , = 0 или -т— ^з-? = 0.
дх ду	дх ( ду \
Интегрируя по х, получаем -^— = ф (у), где ф (у) — произвольная функция у.
Интегрируя теперь по у, получим
г = J Ф (У) dy + <Pi (jc),
где ф! (л:) — произвольная функция х. Или, обозначая
Ф (у) dy = ф2 (у),
окончательно будем иметь
г (х, у) = <р, (х) + ф2 (у),
где ф2 (у)> в силу произвольности функции ф (у), тоже является произволь-
произвольной дифференцируемой функцией у.
Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение
дифференциального уравнения в частных производных первого
порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение
уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций,
а общее решение уравнения р-ro порядка, вероятно, зависит от р
произвольных функций.
Эти предположения оказываются справедливыми, но нуждаются
в уточнении. Для их уточнения сформулируем теорему С. В. Кова-
Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения
в частных производных.
Теорема 5.1 (теорема Ковалевской). Существует един-
единственное аналитическое в окрестности точки х10, х20, .... хп0
решение уравнения, разрешенного относительно одной из произ-
производных максимального порядка
дг_ #г_	д"~1г дг д2г
i Ао» • • • i Лд| Z%	) -ч 2 ' * * * * з о— 1 ' •»	i ""Г	t
дхх дх\	0x1 *Х2 ^Х1 °Х2
й4	 **)• ()

§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	243
удовлетворяющее условиям
при x = xw, z = %(x2, xz	хп), ^?=<р1(лг2, х3	хп), ...
г
2, х3	х„),
если функции ф0, ф^ . ..,фр_1 являются аналитическими функ-
функциями в окрестности начальной точки х20> х30, .... хл0,
a f является аналитической функцией в окрестности началь-
начальных значений своих аргументов х10, х20, ..., хп0, zo =
— ф (х20, Х30, . . . , X 0),
¦д"ч
= Л!0
Решение определяется заданием начальных функций ср0, tpj, ...
. .., Фр_р произвольно меняя которые в классе аналитических функ-
функций, мы получим совокупность аналитических решений исходного
уравнения (А), зависящую от р произвольных функций.
Доказательство этой теоремы, требующее применения теории
аналитических функций, мы опускаем.
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных
производных первого порядка
Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным
уравнением первого порядка в частных производных назы-
называется уравнение вида
X	Ч —-4- X	dz
I V /	Л дг	7,	Л	,К ,^
~Х— Л I V	V	V	V1 —— —~ /|V*	V	V	?\	l^ll
охп
Это уравнение линейно относительно производных, но может быть
нелинейным относительно неизвестной функции z.
Если правая часть тождественно равна нулю, а коэффициенты X\
не зависят от z, то уравнение E.1) называется линейным однородным.
Для большей наглядности геометрической интерпретации рассмо-
рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми пере-
переменными:
Р(х, у, Z)jL + Q(x, у, z)^r=R(x, у, z).	E.1,)
Функции Р, Q и R будем считать непрерывными в рассматриваемой
области изменения переменных и не обращающимися в нуль одно-
одновременно.
16»

244
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Рассмотрим непрерывное секторное поле
F = P(x, у, z)i + Q(x, у, z)
, у, z)k.
где i, j, k — единичные векторы, направленные по осям координат.
Векторные линии этого поля (т. е. линии, касательная к которым
в каждой точке имеет направление, совпадающее с направлением
вектора F в той же точке) определяются из условия коллинеарности век-
вектора t = i dx-\-) dy -\-kdz, направленного по
касательной к искомым линиям, и вектора поля F:
dx
dz
		dy
P (x, у. z) Q (x, y, z) R (x, y, z) •
Поверхности, составленные из векторных
линий, точнее, поверхности, целиком содержа-
содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну
общую точку с поверхностью, называются век-
векторными поверхностями (рис. 5.1).
Очевидно, векторные поверхности можно
получить, рассматривая множество точек, ле-
лежащих на произвольно выбранном, непрерывно
зависящем от параметра, однопараметрическом
семействе векторных линий. Векторная поверх-
поверхность характеризуется тем, что вектор N, на-
направленный по нормали к поверхности, в любой точке поверхности
ортогонален вектору поля F:
(N-F) = 0.	E.2)
Если векторная поверхность определяется уравнением z=f{x, у),
то вектор
N ~ Их ' + HJJ' ~ k
Рис. 5.1.
и условие E.2) принимает вид
Р(х, У, *)? + <?(
¦-%L = R(x,y; z).	E.3)
Если векторная поверхность задается уравнением и(х, у, z)=0
и. следовательно, вектор N = -г-i 4- -з—j + ~л~^' т0 уравнение E.2)
приобретает вид
-з—
Р (х, y,z)^L-±Q(x, у, z) -^4- R (х. у. z) -g- = 0. E.4)
Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо
проинтегрировать квазилинейное уравнение E.3) или линейное одно-

§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	245
родное уравнение E.4) в зависимости ог того, ищем ли мы уравне-
уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.
Так как векторные поверхности могут быть составлены из век-
векторных линий, то интегрирование уравнения E.3) (или E.4)) сво-
сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных
уравнений векторных линий.
Составляем систему дифференциальных уравнений векторных
линий
P(x.y.z) Q(x,y,z) R(x,y,z)'	к°^>
Пусть \|)j (х, у, z) = cl и г|>2(х> У- Z) — C2 — Два независимых
первых интеграла системы E.5). Выделяем из двухпараметрического
семейства векторных линий г|?г (jc, у, z) — cv г|J(лт, У. z) = c2, назы-
называемых характеристиками уравнения E.3) (или E.4)), произволь-
произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-
нибудь непрерывную зависимость Ф(с1, с2) = 0 между параметрами
С[ и с2. Исключая из системы
^(х, у, z) = cv $2(х, У< Z) = C2> Ф(си с2) = 0
параметры сх и с2, получаем исковое уравнение векторных поверх-
поверхностей:
*. у, z), ч>2(*. у, г)) = 0.	E.6)
где Ф — произвольная функция. Тем самым найден интеграл квази-
квазилинейного уравнения E.3), зависящий от произвольной функции.
Если требуется найти не произвольную векторную поверхность
поля
F = P(x, у, z)i + Q(x, у, z)i +R(x, у, z)k,
а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую
уравнениями Фх (х, у, г) = 0 иФ2 (х, у, z) = 0, то функция Ф в E.6)
уже не будет произвольной, а определится путем исключения пере-
переменных х, у, z из системы уравнений
Ф,(х, у, z) = 0, Ф2(х, у, z) = 0,
Ь(х> У- z) = cv Ц2(х. у, z) = c2,
которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной
линии Ф: = 0 и Ф2 = 0, через которую мы проводим характеристики,
определяемые уравнениями %(х, у, z) = cl, \|J(лг, у, z) = c2.
Заметим, что задача станет неопределенной, если заданная линия
Ф1{х, у, 2) = 0, Ф2(л;, у, z) — 0 является характеристикой, так как
в этом случае эту линию можно включить в различные однопара-
метрические семейства характеристик и тем самым получить различ-
различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

'246	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Итак, интеграл квазилинейного уравнения
Р(х, у, z)^ + Q(x, у, Z)^ = R(x, у, z),
зависящий от произвольной функции, может быть получен следую-
следующим методом: интегрируем вспомогательную систему уравнений
dx 	 dy 	 dz
Р (х, у, г) ~ Q (х, y,z)~ R (х, у, г)
и, найдя два независимых первых интеграла этой системы:
$х(х, у, z) = cx, t\i2{x, у, z)~c2,
получаем искомый интеграл в виде Ф^^х, у, z), ^(x, у, z)) —О,
где Ф— произвольная функция.
Уравнение интегральной поверхности того же квазилинейного
уравнения, проходящей через заданную линию, определяемую урав-
уравнениями Фх(х, у, z) = 0 и Ф2(х, у, z) = 0, можно найти, взяв
упомянутую выше функцию Ф не произвольно, а определив функ-
функцию Ф(ср с2) путем исключения х, у, z из уравнений
Фх(х, у, z) = 0, Ф2(х, у, z) — О,
*Pi (х. У, z) = cv г|J(дг, у, z) = c2,
в результате чего получим уравнение Ф(сг, с2) = 0, и искомым ин-
интегралом будет Ф(\{\(х, у, z), $2(х, у, z)) = 0.
Пример 1. Определить зависящий от произвольной функции интеграл
уравнения
dz . dz _.
JF+~dy~~
Составляем вспомогательную систему уравнений
dx = dy — dz.
Ее первые интегралы имеют вид л; — у = с,, г — х=с2. Интеграл исходного
уравнения Ф (х—у, z — х) — 0, где Ф — произвольная функция, или в раз-
разрешенном относительно z виде z — x-\-q(x — у), где <р — произвольная
дифференцируемая функция.
Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения
dz	dz
х —	у ^— = О,
бу J дх
проходящую через кривую х = 0, z = у2.
Интегрируем систему уравнений
dx _ dy __ dz
'^у"~~х~~~1Г'
откуда 2 = С], j:2-fy2 = c2. Исключая х, у и z из уравнений
x2Jt-y2=zC2t z = Ci, jc = O, z = y2,
получаем Ci = c2, откуда z = x2 -j- y'2.

§ 21	ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	247
Пример 3. Найти интегральную поверхность того же уравнения
дг	дг п
X -Z	V -г;	 = О,
ду } дх
проходящую через окружность
г=1, х2 + у2=4.	E.7)
Так как заданная линия E.7) является векторной линией (характери-
(характеристикой), то задача неопределенна. Действительно, интегральными поверх-
поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности
вращения z = Ф (х2 -f- у2), ось вращения которых совпадает с осью Oz.
Очевидно, существует бесконечное множество таких поверхностей вращения,
проходящих через окружность E.7), например параболоиды вращения z =
= х2-\- у2—3, iz = x2 + y2, z = — х2—у2 -f 5, сфера х2 -f- у2 -f г2 = 5 и т. д.
Если уравнение кривой, через которую требуется провести интеграль-
интегральную поверхность уравнения E.1 j) дано в параметрической форме:
го = го(«),	(Б)
то обычно и решение удобно искать в параметрической форме:
x = x(t,s), y = y(t,s), z = z(t,s).
В систему E.5), определяющую характеристики, вводим параметр t. полагая
dx _ dy _ dz
Р (х, y,z)~Q (x, y,z)~R (x, у, z)	@-°l)
Для того чтобы характеристики проходили через заданную кривую, ищем
решение системы E.5i), удовлетворяющее при ? = 0 (или t = ta) начальным
условиям:
х = х0 (s), у = у0 (s), z = z0 (s).
При таких начальных условиях при фиксированном s получим характери-
характеристику, проходящую через фиксированную точку кривой (Б). При перемен-
переменном s получим семейство характеристик
x = x(t,s), y = y(t,s), z = z(t,s),	(В)
проходящих через точки заданной кривой (Б) (при этом предполагается, что
заданная кривая (Б) не является характеристикой). Множество точек, лежа-
лежащих на этом семействе характеристик (В), и образует искомую интегральную
поверхность.
Пример 4.
dz dz __ .
~дх ду
Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую ха = s,
Уд = S , 2*0 = S .
Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид
dx = — dy — dz =' dt.
Ее общее решение
Пользуясь начальными условиями, определяем произвольные постоян-
постоянные и окончательно получаем

248	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. S
Перейдем теперь к случаю я независимых переменных. Естест-
Естественно ожидать, что указанная выше для трехмерного случая схема
решения может быть распространена и на (я -f- 1)-мерный случай.
Начнем с исследования однородного линейного уравнения
Х(Х Х	x)\X{x Х	X)^
... -\-Xn(xv х2, .... х„)-^- = 0. E.8)
где непрерывные функции X{(xv x2, ..., хп) не обращаются в нуль
одновременно ни в одной точке рассматриваемой' области и имеют
в той же области ограниченные частные производные.
Составляем вспомогательную систему уравнений
их, ¦	dx2	dxn	E g)
ХХ(ХХ, Х2	Xn) X2(XX, X2, .... Xn)	'"	Хп(Х1,Х2	Xn)'
которая при указанных выше ограничениях удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности.
Находим п — 1 независимый первый интеграл системы E.9):
tfi(*i- х2	xn)==ct.
В пространстве с координатами хх, х2	п
тегралов определяет (я—1)-параметрическое семейство линий, назы-
называемых характеристиками уравнения E.8). Докажем, что левая
часть любого первого интеграла iK^, x2	х„) = с системы E.9)
является решением исходного линейного однородного уравнения'
в частных производных E.8).
Действительно, вдоль любой интегральной кривой системы E.9)
функция \|) = с. Следовательно, вдоль любой интегральной кривой
Но вдоль интегральной кривой системы E.9) дифференциалы dxt
пропорциональны функциям X\, следовательно, в силу однородности
относительно dxt левой части тождества
Ла dxi l '

§ 2)	ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	249
дифференциалы dxt могут быть заменены пропорциональными им
величинами Xt, при этом получим, что вдоль интегральных кривых
системы E.9)
?тЙ-*|^0.	E.11)
Интегральные кривые системы E.9) проходят через каждую точку
рассматриваемой области изменения переменных xv х2, ..., хп и
левая часть тождества E.11) не зависит от постоянных cv c2>, • • •. сп_х
и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной
кривой к другой, значит, тождество E.11) справедливо не только
вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой
области изменения переменных хх, х2, . • •, хп, а это и означает,
что функция \|) является решением исходного уравнения
Очевидно, что Ф^, \|J	уп_1) = с, где Ф— произвольная
функция, является первым интегралом системы E.9), так как вдоль
интегральной кривой системы E.9) все функции tyv ф2, ...,г|)л_1
обращаются в постоянные, следовательно, и Ф^, \|J, -. -. г1?л_г)
обращается в постоянную вдоль интегральной кривой ^системы E.9).
Значит, г = Ф(г!?!, ф2, ..., -фл_ 1), где Ф — произвольная дифферен-
дифференцируемая функция, является решением линейного однородного урав-
уравнения E.8)Г
Докажем, что
г ==Ф(^(х,	*„). %(хх	хп)	фя_1(*1. .... х„))
является общим решением уравнения E.8).
Теорема 5.2. г = Ф(^х, \|J	^n~i). г<?е Ф — произвольная
функция, является общим решением уравнения
1=1
т. е. решением, содержащим все без исключения решения этого
уравнения.
Доказательство. Допустим, что z = i|){xv x2	хп)
является некоторым решением уравнени-я E.8), и докажем, что суще-
существует функция Ф такая, что i|j = Ф(tj?!. г|з2> .... ^n_i).

250	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. 5
Так как ij) и %, г|з2	tyn-i являются решениями уравне-
уравнения E.8), то
E.12)
дх,
Рассматривая систему E.12) как линейную однородную систему п
уравнений относительно Xt A= 1, 2, ..., п) и замечая, что эта одно-
однородная система в каждой точке х,, х2, .... хп рассматриваемой
области имеет нетривиальное решение, так как Х{(хх, x2, .... хп),
по предположению, не обращаются в нуль одновременно, приходим
к выводу, что определитель этой системы
dip dty	dip
dip,
dx2
дх„
дх, дх, ' '' дх„
тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но тожде-
тождественное обращение в нуль якобиана функций \|), %, \|J, .... $п_х
указывает на наличие функциональной зависимости между этими
функциями:
В силу независимости первых интегралов ^(Xj, х2	xn) = ci
(/=1, 2, ..., п — 1) системы E.9) по крайней мере один из мино-
миноров (л — 1)-го порядка якобиана
. -«2, -«3	-«в)

§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	251
вида
/>0|>„ г|:2, ..., Мрп)
п
отличен от нуля. Следовательно, уравнение E.13) можно представить
в виде
в виде
Пример 5. Проинтегрировать уравнение
п
dz
l~dTi
= 0.	E.14)
Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид
dx\ 	 dxx 	 	 dxn
Независимыми первыми интегралами этой системы будут:
х\ _ с Л2_ — с	хп-\ _ с
Общее решение исходного уравнения
х\ *2	Хп.
хп хп	х,
является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.
Теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что однородные
функции нулевой степени однородности удовлетворяют рассматриваемому
уравнению E.14); теперь мы доказали, что только однородные функции нуле-
нулевой степени однородности обладают этим свойством.
Неоднороднее линейное уравнение первого порядка
п
>Г* w ,	-. dz	. ,. ...
/ I -Л / \Хл , Хп» . • • » Xп, Z) —\	 	 Z, ( Хл , An, . • . t Лщ Z), \О. 1 О)
где все Х(- и Z — непрерывно дифференцируемые функции, не обра-
обращающиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изме-
изменения переменных xlt x2, ..., хп, г, интегрируется путем сведения
к линейному однородному уравнению.
Для этой цели, так же как и в случае трех переменных, доста-
достаточно искать решение z уравнения E.15) в неявном виде:
и(хь х2	хп, z) = 0,	E.16)
где -^ФО-
Действительно, считая, что функция z = z(xv x2, .... хп) опре-
определена из уравнения E.16), и дифференцируя тождество

252	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
по xt, получим
Си du dz __ „
dxt ' dz dxi " '
откуда
ди
dz	dxi
oxi	ди
IT
Подставляя найденное -=—- в E.15), умножая на —-г- и перенося
все члены в левую часть уравнения, получим однородное линейное
уравнение
ди ' ""¦- х	х z) — — 0 E 17)
1	" ' dz	y '
которому должна удовлетворять функция и, однако лишь в пред-
предположении, что z является функцией хи х2, .... хп, определяемой
уравнением u(xv х2	хп, z) = 0.
Итак, надо найти функции и, обращающие линейное однородное
уравнение E.17) в тождество в силу уравнения
u(xv х2	хп, 20 = 0.
Найдем вначале функции и, обращающие уравнение E.17) в тож-
тождество при независимо меняющихся xv x2, ..., хп, z. Все такие
функции и являются решениями однородного уравнения E.17) и
могут быть найдены уже известным нам способом: составляем си-
систему уравнений, определяющую характеристики
dx2
,, х2	хт г) . Х2 (хь х2	хп, г)
dxn
Хп{хи х2, .... хп, z) Z(xb х2	х„, z)'
находим я независимых первых интегралов этой системы:
I
F.18)
Уп (Х1> Х2	хп- Z) = cn>
тогда общее решение уравнения E.17) имеет вид
где Ф — произвольная функция.

§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	253
Решение z уравнения E.15), зависящее от произвольной функции,
определяется из уравнения
и(хг, х2	хп, z) = 0 или Ф(гр1, г|J	i|),,) = 0.
Но, кроме найденных этим способом решений, могут быть ре-
решения z, которые определяются из уравнений и (л:,, х2	х„, z) = 0,
где функция и не является решением уравнения E.17), а обращает
это уравнение в тождество лишь в силу уравнения и(хх, х2, ...
..., хп, z) = 0. Такие решения называются специальными.
Специальных решений в некотором смысле не очень много, они
не могут образовывать даже однопараметрических семейств.
Действительно, если бы специальные решения образовали одно-
параметрическое семейство и определялись уравнением
u(xv х2	х„, z) = с,	E.19)
где с—параметр, со^с ^ср то уравнение E.17) должно было бы
обращаться в тождество в силу уравнения E.19) при любом с.
Но так как уравнение E.17) не содержит с, то оно не может обра-
обращаться в тождество в силу уравнения E.19), содержащего с, и,
следовательно, должно быть тождеством по отношению ко всем
переменным хх, х2	хп, z, меняющимся независимо.
Последнее утверждение допускает простую геометрическую
интерпретацию. Говоря, что уравнение E.17) обращается в тождество
в силу уравнения и(хг, х2, ..., х„, z) = 0, мы утверждаем, что
уравнение E.17) обращается в тождество в точках поверхности и = О,
но может не обращаться в твждество в других точках пространства
хх, х2	х„, z. Если же уравнение E.17), не содержащее с,
обращается в тождество в силу уравнения и = с, где с—непре-
с—непрерывно меняющийся параметр, то это означает, что уравнение E.17)
обращается в тождество на всех непересекающихся и заполняющих
некоторую часть D пространства хг, х2	хп, z поверхностях
и = с, Cq-^c ^ С] и, следовательно, уравнение E.17) обращается
в тождество в области D при независимо изменяющихся xv x2, ...
.. ., х„,.г.
В конкретных задачах обычно требуется найти решение уравне-
уравнения E.15), удовлетворяющее еще каким-нибудь начальным условиям,
и так как специальных решений в указанном выше смысле сравни-
сравнительно мало, то они лишь в совершенно исключительных случаях
будут удовлетворять поставленным начальным условиям и поэтому
их лишь в редких случаях приходится принимать во внимание.
Пример 6. Проинтегрировать уравнение
л
Sxt -p- = рг,	F.20)
где р — постоянная.

254	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Система уравнений
dx} _ dx2 _ _ dxn _ dz
~~хГ~~1сГ~ ¦¦" ~~ х„ ~~pz
имеет следующие независимые интегралы:
Следовательно, решение z исходного уравнения определяется из уравнения
откуда
Итак, решением является произвольная однородная функция р-й степени
однородности.
Можно доказать, что уравнение E.20) не имеет специальных интегралов
и, следовательно, теорема Эйлера об однородных функциях обратима — урав-
уравнению E.20) удовлетворяют только однородные функции степени одно-
однородности р.
Понятие характеристики распространяется на системы квазилинейных
уравнений следующего специального вида:
Р{х, у, и, v) -Ji + Q {х, у, u,v)jL= /?, (х, у, и, V),
dv	' dv	(Г)
Р(х, у, и, v)-^-\-Q(x, у, и, v)—-=R2(x, у, и, V).
Характеристиками такой системы называются векторные линии век-
векторного поля в четырехмерном пространстве
F = Р (х, у, и, v)i + Q(x, у, u,v)}-\- Ri (x, у, и, v) k, + R2 (x, у, и, v) k2,
где i, j, ki, k2 — единичные векторы, направленные соответственно по осям
координат Ох, Оу, Ои и Ov.
Характеристики определяются системой уравнений
dx	_	dy			du	_	dv
P (x, y, u, v) ~~ Q (x, y, u, v) ~ Rl (x, y, u, v) ~ R2 (x, y, u, v) ' ' '
Система уравнений (Г) в векторной записи имеет вид
(F-N!) = 0 и (F-N2)=0.
.. .,	(ди ди . Л /dv dv ,. л
где N] и N2—векторы с координатами 1-^—. -г—, — 1, 0) и 1-г-, -г-, 0, — 1 ,
направленные по нормалям к искомым трехмерным цилиндрическим поверх-
поверхностям соответственно и — и (х, у) и у = v (x, у).
Следовательно, с геометрической точки зрения интегрирование си-
системы (Г) сводится к нахождению двух трехмерных цилиндрических поверх-
поверхностей и = и (х, у), и v = v (х, у), нормали к которым в точках пересечения
этих поверхностей ортогональны к векторным линиям.
Очевидно, что это условие будет выполнено, если двухмерная поверх-

§ 3]	УРАВНЕНИЯ ПФАФФА	255
ность S, по которой, вообще говоря, пересекаются трехмерные цилиндриче-
цилиндрические поверхности и — и {х, у) и v = v (х, у), будет состоять из векторных
линий, так как эти векторные линии будут лежать одновременно на поверх-
поверхностях и = и(х, у) и v = v(x, у) и, следовательно, будут ортогональны
векторам N( и N2. Взяв какие-нибудь два независимых относительно и и v
первых интеграла Ф, (х, у, и, v) = 0 и Ф2 (х, у, и, v) = 0 системы (Д), дру-
другими словами, взяв две трехмерные векторные поверхности, мы, вообще
говоря, в их пересечении получим двухмерную поверхность S, состоящую
из векторных линий, так как если некоторая точка принадлежит одновре-
одновременно векторным поверхностям Ф, (х, у, и, v) = 0 и Ф2 (х, у, и, v) = 0, то
и векторная линия, проходящая через эту точку, лежит в каждой из этих
поверхностей.
Разрешая систему уравнений Ф, (х, у, и, v) = 0 и Ф2 (х, у, и, v) = О
относительно и и v, получим уравнения двух трехмерных цилиндрических
поверхностей и = и (х, у) и v = v (x, у), пересекающихся по той же двух-
двухмерной поверхности S, состоящей из векторных линий. Следовательно, най-
найденные функции и — и(х, у) и v = v(x, у) будут решениями исходной системы.
Решение системы (Г), зависящее от двух произвольных функций, можно
найти, применяя тот же метод, но взяв первые интегралы системы (Д)
в наиболее общем виде:
Ф, (i|>, (х, у, и, v), \|J (л;, у, м, V), \|>3 (х, у, и, V)) = 0, \
Фа Wi (х. у. и. v), ф2 (х, у, и, V), ф3 (х, у, и, V)) = 0, /
где ^i (х, у, и, v), t|J (x, у, и, v) и ф3 (х, у, и, v) — независимые первые инте-
интегралы системы (Д), а Ф, и Ф2 — произвольные функции (см. стр. 249).
Уравнения (Е), если сложные ф)нции Ф, и Ф2 независимы относи-
относительно и и v, определяют решения и (л, у) и v (x, у) системы (Г) как неяв-
неявные функции х к у, зависящие от выбора произвольных функций Ф, и Ф2.
§ 3. Уравнения Пфаффа
В § 2 мы рассматривали две задачи, естественно возникающие
при изучении непрерывного векторного поля
F = P(*, у, z)\ + Q(x, у, z)i + R(x. у, z)k.
Это — задачи о нахождении векторных линий и векторных поверх-
поверхностей.
Почти так же часто возникает задача о нахождении семейства
поверхностей ?/(х, у, z) = c, ортогональных к векторным линиям.
Уравнение таких поверхностей имеет вид (F • t) = 0. где t—век-
t—вектор, лежащий в касательной плоскости к искомым поверхностям:
или в развернутом виде
Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz = 0. E.21)
Уравнения вида E.21) называются уравнениями Пфаффа.

256	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Если поле F = Pi -J- Qj -J- Rk потенциально:
F = grad и, т. е. Р = —^— О =	 R =	—-
dx	dy	dz '
то искомыми цоверхностями являются поверхности уровня U(x, у, z)=c
потенциальной функции U. В этом случае нахождение искомых
поверхностей не представляет затруднений, так как
IX, У, г)
U~ j Pdx + Qdy + Rdz,
tfi, Уо, го)
где криволинейный интеграл берется по любому пути между выбран-
выбранной фиксированной точкой (х0, у0, zQ) и точкой с переменными
координатами (х, у, г), например, по ломаной, состоящей из прямо-
прямолинейных отрезков, параллельных осям координат.
Если же поле F не потенциально, то в некоторых случаях можно
подобрать скалярный множитель ц (х, у, z), после умножения на
который вектора F поле становится потенциальным.
Если такой множитель существует, то jxF = grad U или
	 dU '	dU	„ dU
и, следовательно,
a (\iP) _ d ftiQ) д (\iQ) _ д (цД) d(\xR) _ d(\iP)
dy	dx	' dz	dy ' ox	dz '
или
dP dQ 1 / _ cfyi n дц \
dy dx ц \У ~~d~x	dy j'
dy ~~ ц 1, ду ч dz )'
dz
dR dP __ 1 / ф	ф
djc dz ~~ ц I "Si"~ K?
Умножая первое из этих тождеств на /?, второе на Р, третье на Q
и складывая почленно все три тождества, получим необходимое
условие существования интегрирующего множителя [х:
\~ду~ ~ dx)\^ \dz
dy )~т~Я \~дИ ЬТ
или (F-rotF) = 0, где вектор rolF — вихрь поля—определяется
равенством
Если это условие, называемое условием полной интегрируемости
уравнения E.21), не выполнено, то не существует семейства поверх-

§ 31	УРАВНЕНИЯ ПФАФФА	257
ностей U(x, у, z) = c, ортогональных векторным линиям поля
F(*. у, z).
Действительно, если бы такое семейство U{x, у, z) — c суще-
существовало, то левая часть уравнения E.21) могла бы отличаться от
dU , , aU , . dU ,
dx + dy + dz
лишь некоторым множителем \i(x, у, z), который и был бы инте-
интегрирующим множителем уравнения E.21).
Итак, для существования семейства поверхностей U(x, у, z) = c,
ортогональных векторным линиям векторного поля F, необходимо,
чтобы векторы F и rotF были бы ортогональны, т. е. (F • rolF) = 0.
Замечание. Условие (F • rotF) = 0 называется- также условием
интегрируемости уравнения Пфаффа Р dx -j- Q dy + R dz — О одним
соотношением U(x, у, z) = c.
Иногда требуется определить не поверхности, ортогональные
векторным линиям поля F, а линии, обладающие тем же свойством,
другими словами, надо проинтегрировать уравнение Пфаффа не одним,
а двумя соотношениями:
Ux{x, у, z) = 0 и U2(x, у, г) = 0.	E.22)
Для нахождения таких линий можно одно из уравнений E.22) задать
произвольно, например
?/,(х, у, z) = 0,	E.23)
и, исключив из уравнения E.21) с помощью уравнения E.2-3) одно
из переменных, например z, получим дифференциальное уравне-
уравнение вида
М(х, y)d
интегрируя которое, найдем искомые линии на произвольно выбран-
выбранной поверхности Ul{x, у, ^) = 0.
Покажем, что условие (F • rot F) = 0 является не только необхо-
необходимым, но и достаточным для существования семейства поверхно-
поверхностей, ортогональных векторным линиям.
Заметим, что на искомых поверхностях U(х, у, z) = c должно
обращаться в тождество уравнение
Pdx-\-Qdy -f- R dz = 0
или, что то же самое, на этих поверхностях криволинейный инте-
интеграл
f Pdx-tQdy-\-Rdz	' E.24)

258
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО' ПОРЯДКА [ГЛ. 5
должен быть равен нулю по любому пути (в том числе и по незам-
незамкнутым путям).
Рассмотрим всевозможные вихревые поверхности, т. е. векторные
поверхности поля rotF. Очевидно, что в силу теоремы Стокса
Г F dr == Г Г rot F • n da,
где dr = i dx-\- j dy -f- k dz, и интеграл E.24) по любому замкнутому
пути на вихревой поверхности равен нулю (так как скалярное произ-
произведение единичного вектора норма-
нормали к поверхности п и вектора rotF
равно нулю). Выберем теперь сре-
среди вихревых поверхностей те, на
которых все интегралы
¦= Pdx
J
L
по незамкнутым путям также рав-
равны нулю. Для построения такой
поверхности, проходящей через за-
заданную точку М (х0, у0, z0), про-
проведем через эту точку М какую-нибудь линию, ортогональную век-
векторным линиям поля F. Такие линии определяются уравнением
Рис. 5.2.
Pdx + Qdy + Rdz = 0,
E.21)
к которому добавлено уравнение произвольной проходящей через
точку М поверхности z—f(x, у) (чаще всего уравнение этой по-
поверхности берут в виде z=fl(x) или z=f2(y) или даже в виде
z — a, где а—постоянная). Подставляя z=f(x, у) в E.21), по-
получим обыкновенное уравнение вида
М(х, y)dx + N{x, y)dy = 0,
интегрируя которое и учитывая начальное условие у(хо) — уо, по-
получим искомую кривую /, проходящую через точку М(х0, у0, z0)
и ортогональную векторным линиям (рис. 5.2).
Если эта линия не является линией вихря, то, проводя через каж-
каждую точку линии / линию вихря, получим искомую поверхность 5,
ортогональную векторным линиям поля F.
Действительно, взяв любую незамкнутую кривую L на поверх-
поверхности 5 (рис. 5.2) и проведя через ее граничные точки вихревые
линии до пересечения с кривой I в точках р1 и р2, получим зам-
замкнутый контур, состоящий из отрезка линии / между точками р1 и р2,
кривой L и двух вихревых линий.

§ 3]	УРАВНЕНИЯ ПФАФФА	259
Криволинейный интеграл I P dx -+- Qdy 4- Rdz, взятый по этому
с
замкнутому контуру С, равен нулю, так как контур лежит на вих-
вихревой поверхности, причем тот же интеграл, взятый на отрезке
дуги I, и по отрезкам вихревых линий равен нулю, так как дуга I
и вихревые линии ортогональны векторным линиям поля F (вихре-
(вихревые линии ортогональны векторным линиям поля F в силу условия
(F • rot F) = 0). Следовательно, интеграл Г Pdx -f Qdy -\-Rdz по про-
i
извольно выбранному нами незамкнутому пути L равен нулю, т. е.
поверхность 5 является интегральной поверхностью уравнения E.21),
проходящей через заданную точку М.
Этот метод доказательства достаточности условия (F-rotF) = 0
для существования семейства поверхностей, ортогональных векторным
линиям поля F, одновременно указывает путь, правда не кратчайший,
для нахождения этих поверхностей.
Пример I
z dx -f (x — y)dy + zy dz =* 0.
Условие (F • rot F) = 0, где F — z\ -f- (x — y) j -f yz k. не выполнено, сле-
следовательно, рассматриваемое уравнение не интегрируется одним соотно-
соотношением.
Пример 2.
F* + уг) dx 4- (xz — 2у) dy + (xy -f- 2z) dz — 0.
Так как rot F = 0, где F = Fл; + yz) i + (хг — 2y) j + (xy + 2z) k, ю
F «= grad U, где
(x. У, г) ,
/= f
@, 0, 0>
В качестве пути интегрирования выбираем ломаную, звенья которой парал-
параллельны осям координат. Интегрируя, получаем 0 =* Зл2 — у2 4" z2 -f- xyz,
и следовательно, искомым .интегралом является
3jc2 — у'г -\- z2 -(- xyz = с.
Пример 3.
yz dx -\- 2xz dy -f- xy dz = 0,
F — yzi + 2xz) 4- xyk, rot F = — xi + zk.
Условие интегрируемости (FrotF) = 0 выполнено. Находим на какой-
нибудь поверхности, например на плоскости г = 1, кривые, ортогональные
векторным линиям'
г — I у dx 4- lx dy = 0, xy' =» а.
Проводим через кривые семейства г — 1, ху1 =. а вихревые поверхности,
для чего интегрируем систему уравнений вихревых линий

260	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Исключая х, у к г из уравнений 2=1, ху2 — a, y=cu xz = c2, получаем
CjC2 = а. Следовательно, искомый интеграл исходного уравнения имеет
вид ху2г = а.
Замечание. Другой, обычно применяемый метод интегрирова-
интегрирования уравнения Пфаффа
Р(х, у, z)dx-\-Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz = 0 E.21)
заключается в том, что временно считают z (или другую переменную)
постоянной и интегрируют обыкновенное уравнение
Р(х, у, z)dx-i-Q(x, у, z)dy = Q,	E.25)
в котором z играет роль параметра.
Получив интеграл уравнения E.25)
U(x, у. z) = c(z),	E.26)
в котором произвольная постоянная может быть функцией пара-
параметра z, подбирают эту функцию c{z) так, чтобы удовлетворялось
уравнение E.21). Дифференцируя E.26), получим
z = Q.	E.27)
Коэффициенты при дифференциалах переменных в уравнениях E.21)
и E.27) должны быть пропорциональными
dU	dU 6U
дх	ду	дг
с
Р	Q ~~	R
dU dU
17 ~дГ~с (z)
Из уравнения _ =	„	 можно определить с'(z), так как
можно доказать, что при выполнении условия (F-rotF) = 0 это
уравнение содержит лишь z, с'(z) и U(x, у, z) = c(z),
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка
Рассмотрим сначала случай, когда искомая функция зависит от
двух независимых переменных. Уравнения в частных производных
первого порядка с тремя переменными имеют вид
F(x, у, z,	р, <7) = 0, E.28;
где
_ dz	__ dz
Р ~ дх '	q ~ ~ду "
Дифференциальное уравнение E.28) в каждой точке (х, у, z) той
области, в которой изменяются первые три аргумента, устанавливает

§4]
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
261
зависимость ц>(р, <?) = 0 между числами р и q, определяющими на-
направление нормали N(p, q, —1) к искомым интегральным поверх-
поверхностям z = z(x, у) уравнения E.28).
Таким образом, направление нормали к искомым интегральным
поверхностям в некоторой точке (х, у, z) не определяется точно, а лишь
выделяется однопараметрическое семействе везмежных направлений
нормалей — некоторый конус допустимых направлений нормалей
N(/>, q, — 1), где р и q
удовлетворяют уравнению
if(p, q) = Q (рис. 5.3).
Следовательно, задача
интегрирования уравнения
E.28) сводится к нахождению
поверхностей z = г (х, у),
нормали к которым были бы
в каждой точке направлены
по одному из допустимых
направлений конуса норма-
нормалей в этой точке.
Исходя из этой геомет-
О
Рис. 5.3.
рической интерпретации,
укажем метод нахождения
интеграла уравнения E.28),
зависящего от произвольной функции, если известен его интеграл
Ф(лг, у, z, а, Ь) = 0, который, зависит от двух параметров а и Ь.
Интеграл Ф(лг, у, z, a, b) = 0 уравнения E.28), зависящий от
двух существенных произвольных постоянных а и Ь, называется пол-
полным интегралом.
Так как исходное дифференциальное уравнение E.28) налагает
ограничения лишь на направление нормалей к искомым интегральным
поверхностям, то каждая поверхность, нормали к которой совпадают
с нормалями к интегральным поверхностям в тех же точках, будет
интегральной поверхностью. Следовательно, интегральными поверх-
поверхностями будут огибающие двухпараметрического или однопараметри-
ческого семейства интегральных поверхностей, так как нормаль
к огибающей совпадает с нормалью к одной из проходящих через
ту же точку интегральных поверхностей семейства.
Огибающая двухпараметрического семейства интегральных поверх-
поверхностей в предположении существования ограниченных частных произ-
6Ф дФ дФ	,
водных -г—, -г—, -з—, не обращающихся в нуль одновременно,
дФ дФ
и существования производных -т— и -^т- определяется уравнениями
Ф(х, у, z, а, Ь) = 0. -g- =
E.29)

262	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
\
Выделяя из двухпараметрическбго семейства интегральных поверх-
поверхностей Ф(х, у, z, а, Ь) = 0 произвольным способом однопараметри-
ческое семейство, для чего считаем b произвольной дифференцируемой
функцией параметра а, и находя огибающую однопараметрического
семейства Ф(лг, у, z, а, Ь{а)) = 0, мы также получим интегральную
поверхность. Огибающая этого однопараметрического семейства
в предположении существования ограниченных производных функ-
функции Ф по всем аргументам и не обращения в нуль одновременно
дФ дО> д®
производных -г—, -т—, -з— определяется уравнениями
Ф(х, у, z, a, Ь(а)) = 0 и -^-{Ф(х, у, z, a, b(a)))=O
или
Ф(х, у, z, а, Ь(а))~0 и ^ + ^Ь'(а) = 0. E.30)
Эти два уравнения определяют множество интегральных поверхностей,
зависящее от выбора произвольной функции b~b(a). Наличие
в уравнениях E.30) произвольной функции, конечно, не дает права
утверждать, что уравнения E.30) определяют множество всех без
исключения интегральных поверхностей исходного уравнения E.28);
например, это множество, вообще говоря, не содержит интегральной
поверхности, определяемой уравнениями E.29), но все же наличие
в уравнениях E.30) произвольной функции обычно уже позволяет
выделить интегральную поверхность, удовлетворяющую заданным
начальным условиям Коши (см. стр. 242).
Итак, зная полный интеграл, уже можно построить интеграл, за-
зависящий от произвольной функции.
Нахождение полного интеграла во многих случаях не вызывает
затруднений, например:
1)	Если уравнение E.28) имеет вид F(р, </) —0 или p—($(q),
то, полагая q = a, где а — произвольная постоянная, получаем
р = ф (a), dz = р dx~\- q dy = (p(a)dx~\- ady,
откуда
z = ф (а) х -\- ay -f- b
—	полный интеграл.
2)	Если уравнение E.28) может быть приведено к виду ф! (л:, р) =
—	Ф2(У- Ф< то, полагая ф^л:, />)=Ф2(.У. 4) = °" г&е а —произволь-
—произвольная постоянная, и разрешая, если это возможно, относительно р
и q, получим p = tyx(x, a), q = ty2(y, a),
dz = pdx -\-qdy = ty1(x, a)dx-+-ty2(y, a)dy,
— полный интеграл.

S 4]	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	263
3) Если уравнение E.28) имеет вид F (z; р, д) = 0, то, полагая
z = z(u), где и = ах-\-у, получим
dz dz '
a
Интегрируя это обыкновенное уравнение, получим г=Ф(и, а, Ь),
где b — произвольная постоянная, или
г = Ф(ах -\-у, а, Ь)
— полный интеграл.
4) Если уравнение E.28) имеет вид, напоминающий уравнение
Клеро:
, д),
то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, полным
интегралом является
z = ax-\-by-\-(f>(a, b).
Пример 1. Найти полный интеграл уравнения р = З^3.
q = а, р= За3, dz = За3 dx-\-a dy,
z = За3х -\- ay + b.
Пример 2. Найти полный интеграл уравнения pq = 2^у.
р 2у	2у	2у
— = — = а, р~ ах, q = —i-, dz — ах dx-\—— dy,
x q	r	a	' a '
Пример 3. Найти полный интеграл уравнения z3 = pq2.
z=z(u), где и	?	^
dz\3	dz	4
z
или "лгвв1Яг-где
t'
4-
z=be V '
Пример 4. Найти полный интеграл уравнения
Полным интегралом является
г = ах -\- by -\- a2 -f- b2.
В более сложных случаях применяется один из общих методов
нахождения полного интеграла уравнения
F(x, у, z, р, д) = 0.

264
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 5
Наиболее простая идея лежит в основе метода Лагранжа
и Шарпи. По этому методу к уравнению
F(x. у, z, />, <7) = 0	E.28)
подбирают уравнение
U(x, у, z, p, q) = a	E.31)
так, чтобы определяемые из системы уравнений E.28) и E.31) функ-
функции р = р(х, у, z, а) и q = q{x, у, г, а) приводили бы к инте-
интегрирующемуся одним соотношением уравнению Пфаффа
dz = p(x, у, z, a) dx -f q(x, у, z, a)dy	E.32)
Тогда интеграл уравнения Пфаффа Ф(х. у, z, a, b) = 0, где ?> —про-
—произвольная постоянная, появляющаяся при интегрировании уравне-
уравнения E.32), будет полным интегралом уравнения E.28). Функция U
определяется из условия интегрируемости уравнения E.32) одним
соотношением
(F ¦ rot F) = 0, где F — p(x, y, z, i
т. е. в развернутом виде из уравнения
у, z,
j—k,
4L
с1г
ду
E.33)
dq dp dp dq
Производные -jr-> "^ '~7Г^'~7) вычисляются дифференцированием
тождеств
F(x, у, z, p, <7) = 0, )
и (x, y, z, p, q)~ a, J
в которых р и q рассматриваются как функции х, у и z, опреде-
определяемые системой E.34).
Дифференцируя по х, получаем
dF dF dp dF dq __ Q
dx 'dp dx ~T~ dq dx ' '
dU
dx
откуда
dU dp dU dq 	,.
'dp dx ' dq dx '
D (F, U)
dq _ D(p, x)
dx ~~ D (F, U) *
?>(/>, q)
Аналоги-чно, дифференцируя E.34) по у и определяя -^-, получим
D (F, U)
dy
D(F U)
, q)

§ 41	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	265
Дифференцируя E.34) по z и разрешая относительно -J^-, -Д t будем
иметь
D (Л (/)
dp__ D (г, д)
dz ~~ D (Р, U)
D(p. q)
D(F, U)
dq	D(p, z)
dz ~~ D (F, U) '
D {p. q)
Подставляя вычисленные производные в условие интегрируемости
E.33; -л умножая на определитель ~, '—^-, который мы считаем
отличным от нуля, получим
(OF dU dF dU\ , (dF dU dF dU\ ,
P\dz dp dp dz)~^q\dz dq dq дг j
(dF_ dU__dF_ dU_\ , ldF_ dU__d_F_ Ш_\ __
~*~\dy dq dq dy ) """ \ dx dp dp dx j "~U
или
dF_ dU_ . dF j)U_ , / dF , d
d/) йл:	dq dy \" dp " dq ) dz
dU (dF , dF\ dU n ,- о(-ч
Для определения функции U мы получили однородное линейное
уравнение E.35), которое интегрируется методом, указанным в § 2
этой главы: составляется уравнение характеристик
dx dy	dz	dp	dq
dF ~ dF ~~~ dF_ dF_ ~ df	dF ~~ dF	dF
P dp+q dq	^P	^q
-,E.36)
~dq~ H "dp ^H ~dq~	~dx~~rF~dF	~dy ' 4~dT
находится хотя бы один первый интеграл системы E.36)
иг(х, у, z, p, q) = a,
и если функции F и Ul независимы по отношению к р и q, т. е.
—jYj1—r-Ф Q, то первый интеграл Ux (x, у, z, p, q) и будет иско-
искомым решением уравнения E.35).
Следовательно, определяя р = р(х, у, z, а) и q — q(x, у, z, a)
из системы уравнений
F(jc, у, z, p, q) = 0,
?/,(х, у, z, p, q) = a

266	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ^ГЛ. 5
и подставляя в
dz = p(x, у, z, a)dx-\-q{x, у, z, a)dy,
получим интегрируемое одним соотношением уравнение Пфаффа,
решая которое, находим полный интеграл исходного уравнения
Ф(дг, у, z, а, ?) —0.
Пример 5. Найти полный интеграл уравнения
угрг — 9 = 0.	E.37)
Система E.36) имеет вид
dx _ 	 _ dz _ dp _	dp
2pyz	* 2p2yz — q	yp3	zp2 -\- yp2q '
Воспользовавшись исходным уравнением, упрощаем знаменатель третьего
, dz dp
отношения и получаем интегрируемую комбинацию —^— =	%—, откуда
/>=j-	E.38)
a	eft v
Из уравнений E.37) и E.38) находим р— —, q — ——, откуда dz —
a o?v
— — dx -|	— dy. Умножая на 1z и интегрируя, находим полный интеграл
исходного уравнения г2 = 2ах -\- агуг -\- Ь.
Зная полный интеграл Ф(лг, у, z, a, b) — 0 уравнения
F (х, у, z, p, q) = 0,
можно, вообще говоря, решить основную начальную задачу (см.
стр. 242) или даже более общую задачу об определении интегральной
поверхности, проходящей через заданную кривую,
x = x(t), y = y(t). z = z(t).	E.39)
Определим функцию b — b(a) так, чтобы огибающая однопара-
метрического семейства
Ф{х7у, z, а. *(«)) = 0,	E.40)
определяемая уравнениями E.40) и
да ' db ^а' '
проходила бы через заданную кривую E.39).

§ 4]	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	267
В точках заданной кривой оба уравнения E.40) и E.41) по t
обращаются в тождества:
O(x(t), y(t), z{ft, a, b(a)) = 0	E.42)
и
дФ (х (<), у (t), г (Q, a, b (а)) , дФ (х (Q, у (Q, г (<), а, Ъ (а)) , __
da	'	d*	^ '
E.43)
Однако определить из этих уравнений функцию b = b(a) было бы
довольно сложно. Значительно проще можно определить эту функ-
функцию из системы уравнений E.42) и
или в краткой записи
(N • t) = 0,
где t—вектор касательной к заданной кривой
x = x(t), y = y(t), z = z{t),	E.39)
а N — вектор нормали к поверхности Ф = 0, а следовательно, и
к искомой огибающей в соответствующих точках. Условие E.44)
геометрически очевидно, так как искомая поверхность должна про-
проходить .через заданную кривую и, следовательно, касательная к этой
кривой должна лежать в касательной плоскости к искомой поверх-
поверхности.
Пример 6. Найти интегральную поверхность уравнения г = рх -\- qy +
-\- —-, проходящую через кривую у = 0, г = х'1.
Полный интеграл этого уравнения (см. случай 4 на стр. 263) имеет вид
г — ах-{-by -f- ——. Уравнение заданной кривой можно написать в пара-
параметрической форме x = t, у — 0, z = t2.
Для определения функции Ь = Ь(а) составляем систему уравнений E.42)
и E.44), которые в данном случае имеют вид t2 = at -)- Д- и 2t = a, откуда
а1
Ь== — а, г=^а(х — у)	j-. Огибающая этого семейства определяется
уравнениями
z = а (х — у) — ~jj-
и
х — у — -|=0.
Исключая а, получим г = (х — уJ.

268
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Если система E.36) (стр. 265) легко интегрируется, то для реше-
решения поставленной обобщенной задачи Коши очень удобен излагаемый
ниже метод характеристик — метод Коши.
Интегральную поверхность z = z(x, у) уравнения
F(x, у, z, р, <7) = 0,
проходящую через заданную кривую
xo = xo(s), yo = yo(s).
zQ(s),
можно, как и для квазилинейного уравнения (см. стр. 247), пред-
представлять себе состоящей из точек, лежащих на некотором однопара-
метрическом семействе кри-
кривых
х = х (t, s), у— у (t, s),
z = z(t, s).
где 5 — параметр семейства,
называемых характерис-
характеристиками.
Вначале мы найдем се-
семейство характеристик, за-
зависящее от нескольких па-
параметров, а затем, проводя
характеристики через точки
кривой
Рис. 5.4.	хо = хо (s)> Уо —.
и удовлетворяя еще некоторым условиям, выделим однопараметри-
ческое семейство кривых, в которых параметром можно считать s:
x — x(t, s), у = у (t, s), z = z it, s)
(рис. 5.4). Множество точек, лежащих на этих кривых, и образует
искомую интегральную поверхность. Такова в кратких чертах идея
метода Коши.
Пусть z = z(x, у) является интегральной поверхностью урав-
уравнения
F(x, у, z, p, q) = 0.	E.45)
Тогда, дифференцируя тождество E.45) по л: и по у, получим

§ 4]	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	269
да др ,,
или, так как ~- = -^-, будем иметь
E.46)
Уравнения характеристик для системы	уравнений E.46), квазилиней-
квазилинейной относительно р и q, причем z	считается известной функцией
от х и у, имеют вид (см. стр. 254)
dx аУ	dP ^	dg	..	._ 4_
Так как z связано с р и q уравнением
dz = pdx-\-qdy,	E.48)
то вдоль характеристики
dz 	 dx . dy 	 f _\ р
или
dz ~ = dt,	E.49)
что дает возможность дополнить систему E.47) еще одним уравне-
уравнением E.49).
Итак, в предположении, что г = г (х, у) является решением урав-
уравнения E.45), приходим к системе
dx _ dy __ dz _	dp __	dq _	. „
—p— Pq ~ pPp + qP9 - Fx+pF,—- Fy + qFz~ { >
Из уравнений E.50) можно, не зная решения z = z(x, у) уравнения
E.45), найти функции х = х (t), у = у (t), z~z (t), p — p (t), q = q (t),
т. е. можно найти кривые
* = *(*). у = У(О. z=*z(t). .
называемые характеристиками, и в каждой точке характеристики
найти числа р — p(t) и q — q(t), определяющие направление плоскости
Z-z = p(X -X) + q(Y-y).	E.51)
Характеристика вместе с отнесенной к каждой ее точке плоскостью
E.51) называется характеристической полосой.
Покажем, что из характеристик может быть образована искомая
интегральная поверхность-уравнения F(x, у, z, p, q) = 0.
Прежде всего заметим, что вдоль интегральной кривой системы
E.50)^функция F сохраняет постоянное значение
F{x, у, z, p, q) — c,

270	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. 6
другими словами, функция F {х, у, z, p, q) является первым интегра-
интегралом системы E.50).
Действительно, вдоль интегральной кривой системы E.50)
- Fp (Fx+pF2) - Fq (/%+?/%) = 0,
следовательно, вдоль интегральной кривой системы E.50)
F(x, у, z, р, q) = c, где c = F(x0, у0, zQ, р0, q0).
Для того чтобы вдоль интегральных кривых системы E.50) удовле-
удовлетворялось уравнение F (х, у, z, p, q) — 0, надо начальные значения
xo(s), yQ(s), zo(s), po(s), qo(s) выбирать так, чтобы они удовлетво-
удовлетворяли уравнению
F(x0, у0, z0, p0, qQ) = 0.
Интегрируя систему E.50) при начальных'значениях хо = xo(s),
Уо — УоE)- ^о — zo(s)- Po— Po(s)< 9о = 9оE)- удовлетворяющих ура-
уравнению F(х0, у0, z0, р0, q0) = 0, получим x = x(t, s), у — у (t, s),
z-=z(t, 5), p=zp{t, s), q = q(t, s).
При фиксированном 5 будем иметь одну из характеристик
X = X (t, S), V = У (/, 5), Z = Z (t, S),
меняя s, получим некоторую поверхность. В каждой точке этой по-
поверхности при р — р(t, s), q = q(t, s) уравнение F(x, у, z, p, q) — Q
удовлетворяется, но надо еще выяснить, будет ли при этом /? = —?-
и q = -Д-, или, что то же самое, будет ли dz = pdx -(- qdy, или
дх , . дх ,,\ , ( ду , . ду ,,\ дг , вг
wds+l)rdt}+4-Wds + 4dt) = ds^
что эквивалентно двум условиям:
Второе из этих уравнений, очевидно, обращается в тождество, так
как при составлении системы E.50) мы уже требовали, чтобы вдоль
характеристики dz = p dx-\-q dy. Впрочем, в этом легко убедиться и
непосредственно, если принять во внимание, что, в силу системы E.50),
?L = F m = F ^-—nF A-aF
dt p' dt	1' dt. rlp~4'g

§ 4]	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	27*1
, ._ _л.	dx ду dz	dx dy dz
(в E.50) вместо -s-> -зт-, -п- мы писали —тг-, ~тг> ~тг • так как
считали s фиксированным).
Для того чтобы удовлетворялось уравнение E.52), необходимо
наложить еще некоторые ограничения на выбор начальных значений
xo(s), yo(s), zo(s), pQ(s), qo(s). Действительно, обозначим
dx , ду dz ,,	,с с,ч
р—~,—Ь<7-^г	з— = U	E.54)
у ds ' ч ds ds	v '
и докажем, что t/^О, если начальное значение ?/1^_0 = 0, откуда
будет следовать, что если начальные функции
выбрать так, что
Ро (s) х'о (s) + <70 (s) y0 (s) — z0 E) == 0,
то U г= 0 для всех t.
Дифференцируя E.54) по t, получим
дЦ____др^д^. дгх дд ду	д2у	d*z
dt ~ dt ds "f p dt ds "•" dt ds ^~q dtds dtds
и, принимая во внимание результат дифференцирования тождества
E.53) по 5:
i??i!?-l_ „ &х дд ду	д*у d*z _n
ds dt "г" " dsdt ^ ds dt ' ч dsdt dsdt
будем иметь
dU 	 dp dx . dg dy dp dx dq dy
~dT ~ЬТ ~ds~ ~т~~дТ Us ds"~di d~F~dT
или, в силу уравнений E.50),
		1С1	i f?	У	С
dx , riy (9г
c*s 1 ds OS
так как F^O, и следовательно, полная частная производная
-^— {F} = 0. Из уравнения

272	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. 5
J
находим U — Uoe ° . Следовательно, если ?/0 = 0, то U^O,
что, впрочем, следует и из единственности решения U^O линей-
линейного уравнения E.55), удовлетворяющего условию U\t=0 = Q.
Итак, при интегрировании уравнения
F(x, у, z, р, q) — 0	E.45)
с начальными условиями х0 — х0(s), у0 = у0(s), zo = zo(s) по ме-
методу Коши надо из уравнений
F(xo(s), yo(s), zo(s), po(s), qo(s)) = Q
и
р0 (s) xn (s) 4- % (s) у'о (s) — z0 (s) = О
определить функции pQ— po(s) и qo = qQ(s) и затем интегрировать
систему уравнений
?±—iL— dz — _ dP — — dq —Ht («i ro^
P Pq рРрЛ-ЧРц	F
с начальными условиями: при t — Q
x = xo(s), y = yQ(s), z = zo(s), p = po(s), q = qQ(s).
Три функции
x = x(t, s), y=y(t, s), z — z(t, s)
из решения системы E.50) и дают в параметрическом виде уравнение
искомой интегральной поверхности уравнения E.45).
Все вышеизложенное легко обобщается на нелинейные уравнения
в частных производных с произвольным числом независимых перемен-
переменных	ч
f(Xv X2	Х„, Z, pv p2	Ра) = 0'	E-56)
где
Pi—Щ С^1-2	П)-
Требуется определить интегральную га-мерную поверхность
z-=z{xv x2, ¦••. хп) уравнения E.56), проходящую*через заданную
(п — 1)-мерную поверхность:
*ю = хю (*i. S2	*«-i) ('=1.2	/г),	E.57)
Временно предположим, что нам известны начальные значения
функций
Pi9=Piu(sv S2	sn-\) V=L 2	ti)\ E.58)

5 4]	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	273
тогда, интегрируя вспомогательную систему уравнений
=dt E.591
dx2
Fp '
dxn
" " * 4
dpi
dz
n
2 PlPPi
(/=1, 2	ra). E.60)
с начальными условиями E.57) и E.58), получим
у 	 у (f	Q	О	?.
Л > 	 Л : \Ь > ^1' 2' •"•> ^ П	1
Z = Z(t, Sx, S2	*n-l)"
p, = pi{t. s,. s2	sn_x)
При фиксированных sx, s2	sn_x уравнения E.60) определяют
в пространстве с координатами хх, х2, .... ха, z кривые, называе-
называемые характеристиками, каждой точке которых отнесены еще числа
pi = p.(t, sx, s2	sn-i)< определяющие направление некоторых
плоскостей
п
L> 	 Z = \ рi ysv i 	 Xp<	{O.V I)
Характеристики вместе с плоскостями E.61) образуют так называе-
называемые характеристические полосы.
При изменении параметров sv s2, ..., sn^x получаем (га—^-па-
(га—^-параметрическое семейство характеристик
проходящих через заданную (га—1)-мерную поверхность E.57).
Покажем, что при определенном выборе функций
„ 	п (ч ч	ч Л (I	12	пЛ
точки, лежащие на характеристиках семейства E.60), образуют иско-
искомую га-мерную интегральную поверхность. Следовательно, надо будет
доказать, что при определенном выборе функций pi0(sx, s2	5n-i);
1)	F(xx(t, sx	sn_x)	xn(t, sx	sn_x),
z(t, sx	«„_,), px(t. sx	sn_x)	pn(t, sx	sn_1))^0,
2)	p. = —— A=1, 2	га), или, что то же самое,
:	OXi
( = 1
Нетрудно проверить, что функция F (jfj, х2, • • • • ¦*„. z,pv, р2, • • •, рп)
является первым интегралом системы уравнений E.59). Действительно,
18 Л. Э. Эльсгольц

274	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
вдоль интегральных кривых системы E.59)
dxj_ p dz .у dp, _
1=1	1=1	1=1
и, следовательно, вдоль интегральных кривых системы E.59)
* \Лт» Ло» • • • i Xп* & I Pi* Piy * * •' Рп) ~^~ & *
где с — постоянная, равная F (xl0, x2Q	хп0, z0, pw, p20	рп0).
Для того чтобы функции E.60) удовлетворяли уравнению E.56)
вдоль интегральных кривых системы E.59), надо выбрать начальные
значения pl0, (sv s2	sn-i) так- чтобы
II
Остается проверить, что dz = 2 Pfixt или
Я—1	II	i	Л —1	\
Это тождество эквивалентно следующим:
dt jLk^i dt —
i = i
Справедливость тождества E.62) становится очевидной, если принять
•ю внимание, что, в силу системы E.59),
п
2^ и ^ F (/=1.2
(вместо -T7- и —j^- мы пишем частные производные, так как в систе-
системе E.59) все Si предполагались фиксированными |.

5 4)	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	275
Для доказательства тождеств E.63), справедливых лишь при опре-
определенном выборе начальных значений pl0(sv s2, .... sn_1), обозначим:
и, дифференцируя Uj no t, получим
"W — HTdlJ — 2dPi"dTd77~ 2j~Wds~J-	^-b4)
'	1 = 0	UO
Принимая во внимание результат дифференцирования тожде-
тождества E.62) по s.
	у О'"Х1 _ у Of^ Oxi_ __ 0
s/ Zd Pi dt c)Sj Li dSj dt ~~ '
dt ds/
можно переписать уравнение E.64) в виде
dU, ^ dpi dxi ^ dpi dxt
dt Ju ds: dt ?i dt ds, '
Воспользовавшись системой E.59), получим
dt ~
n	n
dF	dxi , dF dpi \.dFdz t)F I dz у dxi
dx/	ds, ' dpi ds, j'dz ~dsj dF \~ds~, Zj Pt ds]
Полная частная производная -j—{/7}=0, так как F = 0, и сле-
следовательно, функции U] являются решениями линейных однородных
dUj
уравнений -—-- = —FJJj. которые имеют единственное решение
U,==0, если t/^|/=0 == 0. Следовательно, если начальные значения
¦Pio(sv s2	sn_}) A=1, 2	п) выбрать так. что и}\ы0 = 0
или
~Щ~~\р1~ЪТ7==0 C/=l. 2	n— 1)
i-l
.18*

276
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ Я
и, следовательно, на поверхности E.60) dz = V /?г dxt, т. е. р{ — -^~
(/=1, 2	п).
Итак, для нахождения интегральной поверхности уравнения
F(xv x2, ..., хп, z, pv p2, ..., /?я) = 0, проходящей через
(п—1)-мерную поверхность
V- 	 л> (е о	с	">	G 	 1 9	n't
^ —— ^ fo	с	С	^
^q — ^o v*3!' Л2' • • • • Лл~ЭЛ
надо определить начальные значения piQ(sv s2, • • •» 5n-i) из Уравнений
р ( V	у	\-	Г?	П	П	П \ -	 0
' 1Л1О Л20' ¦ ¦ • » Art0' "*:'> /ЧО1 //20' • • • » ^лО/ '—*
= 0 С/= 1. 2	я—1).
E.65)
после чего, интегрируя систему E.59) (стр. 273) с начальными усло-
условиями:
получим:
. s2, .... sn_{),
1> 52' • • • • Sn~l)
sl> S2	Sn-l)
Z — Z(t, 5j, S2, .
1 , on, • • * , oH —I (
(/ = 1, 2
A=1,2
(/=1, 2
/г),
/г),
n).
E.66)
E.67)
Уравнения E.66) и E.67) являются параметрическими уравнениями
искомой интегральной поверхности.
Замечание. Мы предполагали, что система уравнений E.65)
разрешима относительно pi0, а также, что система E.59) удовлетво-
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Пример 1. Найти интегральную поверхность уравнения z — pq, про-
проходящую через прямую х = 1, г = у.
Запишем уравнение прямой х = 1, г = у в параметрической форме
Хо = 1. Уо = s> го = s. Определяем ра (s) и q0 E) из уравнений E.65): s = paq0,
1 — q0 = 0, откуда р0 = s, qo = 1. Интегрируем систему E.59):
dx _ dy 	 dz 	 dp __ jf? _ .,
q ~~ ~~p 2pq ~ ~p q ~ '
Принимая во внимание, что при t = 0
x=\ у ¦= s, z = s, ps=s, ? = 1,
получим
p = sel, q = el, x = e', у = se', г = se2.

§ 41	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	277
Следовательно, искомой интегральной поверхностью является
х = е*, у = sel, z = se2t или z = ху.
Пример 2. Проинтегрировать уравнение (-г-) "Г" A7Г~) =2 при усло-
условии, что при х = 0, z — у, или в параметрической форме ж0 = 0, у0 = s, z0 = s.
Определяем р0 (s) и
откуда 9о = 1. Ра = ± 1-
Интегрируем систему уравнений E.59):
dx 	 rfy 	 dz 	 dp 	 dq
lp' = ~2q~ = ~ = ~(r==ir
пользуясь начальными условиями /?0=±1, ^о = 1. х0 = 0, yo = s,zo = s,
получим />=±1, 0 = 1, * = ± 2? y = 2/ + s, z = 4t-\-s. Последние три
уравнения и являются параметрическими уравнениями искомой интегральной
поверхности. Исключая параметры t и s, получим г = у ± х.
В задачах механики часто приходится решать задачу Кош и для
уравнения
dv
-..	j— tl yt i JCi, Xn, •••, "^и* P\> Pi* •••» P n) ~— ^t	@. Do)
где о, =——, являющегося частным случаем уравнения E,56) (стр. 272).
OXi
Метод Коши, который в применении к уравнению E.68) часто назы-
называется первым методом Якоби, приводит нас к системе уравнений
dx\ 	 dx2 		 dxn 	 dpx
дН ОН ~ ' ' ' дН	дН
др\ др2	дрп	дХ)
	 	 dpn 		dv
ОХо	ОХп	у г);
п LiPl dpi + dt
откуда
dxi	дН dpi	 dH (.	. 9	ч	(с RQ4
~7ГГ — г)п- ' rit —" fir- *> — ¦ ' ¦"¦' '	v°-Dy^
dv 	vi дН . dv
~Ж~~ 2л Pi~dp~i + ~~ЬТ
или

278	УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Система 2га уравнений E.69) не содержит v и может быть проинте-
проинтегрирована независимо от уравнения E.70), после чего из уравне-
уравнения E.70) функция v находится квадратурой. В этом и заключается
некоторое своеобразие применения метода Коши к уравнению E.68).
Кроме того, в рассматриваемом случае нет необходимости вводить
в систему E.50) вспомогательный параметр, так как эту роль с успе-
успехом может играть независимая переменная t.
Задачи к главе 5
дг_дг
А-~дх~ ду
а. *?- = *.
ду
4
5. у -^ = г при х = 2, г = у.
дг дг , _
Ъ.х — -у— = г при у = \. г = 3х.
дг . дг п . ,. ,
7.	уг -г—^ -^— = 0 при х = 0. г = у3-
8.	Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства г = аху.
9.	Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства хуг = а.
х дг у _дг_ а
лс, у) _
14.	^- —2а:^- = 0 при х = \,
дх ду е
15.	Интегрируется ли уравнение
одним соотношением?
16.	Проинтегрировать одним соотношением уравнение
(у + Зг2) dx + [х + У) Ay + &xz dz = 0.
17.	Найти полный интеграл уравнения

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 5	279
18. Найти полный интеграл уравнения
19.	Найти полный интеграл уравнения
pq = 9г2.
20.	Найти полный интеграл уравнения
р = sin q.
21.	Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного
поля
F = Bху — Зуг) i + (х2 — Зхг) j — Зху к.
22.	Найти семейство поверхностей, ортогональных векторным линиям
векторного поля
F = B* - у) i+ Cу - г) j + (л: - 2у) к.
23.	Найти векторные линии, векторные поверхности.и поверхности, орто-
ортогональные векторным линиям поля
гк.
24.	z = pq + 1 при у = 2, г = 2х -f-1.
25.	2г = pq — 2>ху при jc = 5, г = 15у.
26.	4г = р2 + ?2 при х = 0, г = у2.

ЧАСТЬ II
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Наряду с задачами, в которых необходимо определить максималь-
максимальные и минимальные значения некоторой функции z=f(x), в задачах
физики нередко возникает необхо-
"	димость найти максимальные или
минимальные значения величин
особого рода, называемых функ-
функционалами.
Функционалами называются
переменные величины, значения
которых определяются выбором
одной или нескольких функций.
Например, функционалом яв-
является длина I дуги плоской
Рис. А.	(или пространственной) кривой,
соединяющей две заданные точки
A{xQ,y0) и В{х0, у0) (см. рис. А). Величина I может быть вычисле-
вычислена, если задано уравнение кривой у = .у(л:); тогда
Площадь 5 некоторой поверхности также является функционалом,
таь как она определяется выбором поверхности, т. е. выбором функ-
функции z(x, у), входящей в уравнение поверхности z = z{x, у). Как
известно,
где D — проекция поверхности на плоскость Оху.

ВВЕДЕНИЕ
281
О
Моменты инерции, статические моменты, координаты центра
тяжести некоторой однородной кривой или поверхности также являют-
являются функционалами, так как их значения определяются выбором кривой
или поверхности, т. е. выбором функций, входящих в уравнение
этой кривой или поверхности.
Во всех этих примерах мы имеем характерную для функционалов
зависимость: функции (или вектор-функции) соответствует число, в то
время как при задании функции z =/(x) числу соответствовало число.
Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие нахо-
находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи,
в которых требуется исследовать
функционал на максимум или минимум,
называются вариационными зада-
задачами.
Многие законы механики и физики
сводятся к утверждению, что некото-
некоторый функционал в рассматриваемом
процессе должен достигать минимума
или максимума. В такой формулировке
эти законы носят название вариацион-
вариационных принципов механики или физики.
К числу таких вариационных принци-
принципов или простейших следствий из них
принадлежат: принцип наименьшего
действия, закон сохранения энергии,
закон сохранения импульса, закон со-
сохранения количества движения, закон сохранения момента количества
движения, различные вариационные принципы классической и реляти-
релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике, принцип Кастилиано
в теории упругости и т. д.
Вариационное исчисление начало развиваться с 1696 года и офор-
оформилось в самостоятельную математическую дисциплину с собственными
методами исследования после фундаментальных работ действительного
члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера A707 —1783 г.), кото-
которого с полным основанием можно считать создателем вариационного
исчисления.
Большое влияние на развитие вариационного исчисления оказали
следующие три задачи:
Задача о брахистохроне. В 1696 году Иоганн Бернулли
опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию математиков за-
задачу о линии быстрейшего ската—брахистохроне. В этой задаче
требуется определить линию, соединяющую две заданные точки А к В,
не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающую тем свой-
свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки А
в точку В в кратчайшее время (рис. Б).
Рис. Б.

282
ВВЕДЕНИЕ
Легко видеть, что линией быстрейшего ската не будет прямая,
соединяющая точки А и В, хотя она и является кратчайшим расстоянием
между точками А и В, так как при движении по прямой скорость
движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмем
кривую, более круто спускающуюся около точки А вниз, то хотя
путь и удлинится, но значительная часть пути будет пройдена с
большей скоростью. Решение задачи о брахистохроне было дано
И. Бернулли, Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопита-
лем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида
(см. стр. 304—305).
Задача о геодезических линиях. Требуется определить
линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на не-
некоторой поверхности ср(х, у, z) = 0 (рис. В). Такие кратчайшие линии
называются геодезическими.
Мы имеем типичную вариаци-
вариационную задачу на так называе-
называемый связанный или услов-
условный экстремум. Необходи-
Необходимо найти минимум функцио-
функционала
Рис. В.
причем функции у(х) и z (х)
должны быть подчинены ус-
условию ф(х, у, z) = 0. Эта за-
задача была решена в 1698 году Я. Бернулли, но общий метод ре-
решения задач такого типа был дан лишь в работах Л. Эйлера и
Ж. Лагранжа.
Изопериметрическая задача. Требуется найти замкнутую
линию заданной длины /, ограничивающую максимальную площадь S.
Такой линией, как было известно еще в древней Греции, является
окружность. В этой задаче требуется определить экстремум функцио-
функционала 5 при наличии своеобразного дополнительного условия—длина
кривой должна быть постоянна, т. е. функционал
сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называются изо-
периметрическими. Общие методы решения задач с изопериметричес-
кими условиями были разработаны Л. Эйлером.

ВВЕДЕНИЕ	283
Ниже излагаются методы решения различных вариационных задач,
причем в основном исследуются на экстремум следующие часто встре-
встречающиеся в приложениях функционалы:
f F(x, у(х), y'{x))dx,
JF(x, у(х), у'(х)	у("Цх))Aх,
yi
{x)	уп(х), у'х{х)	y',,(x))dx.
f	y,z(x,y)^, ~)dx,dy,
D
в которых функции F заданы, а функции у (х), ух (х) ... уп (z), z (x,
являются аргументами функционалов.

ГЛАВА 6
МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ
ГРАНИЦАМИ
§ 1. Вариация и ее свойства
Методы решения вариационных задач, т. е. задач на исследование
функционалов на максимум и минимум, весьма сходны с методами
исследования на максимум и минимум функций. Поэтому целесо-
целесообразно напомнить кратко теорию максимума и минимума функций
и параллельно ввести аналогичные понятия и доказать сходные тео-
теоремы для функционалов.
1. Переменная величина z на-
называется функцией переменной
величины х, что обозначается так:
z—f(x), если каждому значе-
значению х из некоторой области изме-
изменения х соответствует значение z,
т. е. имеет место соответствие:
числу х соответствует число z.
Аналогично определяются и
функции нескольких переменных.
1. Переменная величина v на-
называется функционалом, завися-
зависящим от функции y(je), что обо-
обозначается так: v — v[y(x)], если
каждой функции у(х) из некото-
некоторого класса функций у(х) со-
соответствует значение V, т. е.
имеет место соответствие: функ-
функции у (х) соответствует число v.
Аналогично определяются и
функционалы, зависящие от не-
нескольких функций, и функцио-
функционалы, зависящие от функций
нескольких независимых пере-
переменных.
2. Приращением Ах аргу-	2. Приращением или вариа-
мента х функции /(х) называется	чмей 6у аргумента у(х) функцио-
разность между двумя значениями	нала v[y(x)) называется разность
этой переменной Ах = х — хх.	между двумя функциями Ьу =
Если х — независимое перемен-	=у(х) — у^х). При этом предпо-

§ 1]	ВАРИАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА	28S
ное, то дифференциал х совпа- лагается, что у (х) меняется произ-
дает с приращением dx — Ax. вольно в некотором классе функ-
функций.
3. Функция /(х) называется	3. Функционал v[y(x)] назы-
непрерывной, если малому из- вается непрерывным, если ма-
менению х соответствует малое лому изменению у (х)светветствует
изменение функции f{х).	малое изменение функционала
v\y(x)).
Последнее определение нуждается в уточнении и разъяснении,
так как сейчас же возникает вопрос, какие изменения функции у (х),
являющейся аргументом функционала, называются малыми или, что
то же самое, какие кривые у=у(х) и y = yi(x) считаются мало
отличающимися или близкими.
Можно считать близкими функции у (х) и уг (х) в том случае,
если модуль их разности у(х)—у, (х) мал для всех значений х,
для которых задаются функции у(х) и Ух(х), т. е. считать близкими
кривые, близкие по ординатам.
Однако при таком определении близости кривых часто встречаю-
встречающиеся в приложениях функционалы вида
v[y(x)]= I F(x, y, y')dx
J
Xt,
из-за наличия в подынтегральной функции аргумента у' лишь
в исключительных случаях будут непрерывными. Поэтому во многих
случаях более естественно считать близкими только те кривые, кото-
которые близки по ординатам и по направлениям касательных в соответ-
соответствующих точках, т. е. требовать, чтобы для близких кривых не
только модуль разности у (х) — ух (х) был бы мал, но, кроме того,
был бы мал и модуль разности у' (х) — у'г (х).
Иногда же оказывается необходимым считать близкими только
те функции, для которых малы модули каждой из разностей:
У{х) — Ух{х), у'(х) — у[(х),
у" (х) — у" (х)	у W (х) —
В связи с этим приходится ввести следующие определения близости
кривых у = у(х) и y — yl(x).
Кривые у = у(х) и у = У] (х) близка в смысле близости
нулевого порядка, если модуль разности у(х) — У\(х) мал.

286 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ G НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ |ГЛ. в
Кривые у = у(х) и У'=У\(х) близки в смысле близости
первого порядка, если модули разностей у(х) — ух{х) и
у' \х) — у[ (х) малы-
Кривые
у = у (х) и у = Ух (х)
близки в смысле близости k-го порядка, если модули разностей
У(х)— yxix),
У'(х)—у\(х),
У*-(л:)— у\"'(х)
малы.
На рис. 6.1 изображены кривые, близкие в смысле близости
нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка,
№
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
так как ординаты у них близки, а направления касательных не близки.
На рис. 6.2 изображены кривые, близкие в смысле близости первого
порядка.
Из этих определений следует, что если кривые близки в смысле
близости /fe-ro порядка, то они тем более близки в смысле близости
любого меньшего порядка.
Теперь мы можем уточнить понятие непрерывности функционала.
3'. Функция f (х) непрерывна
при х == х0, если для любого
положительного 8 можно подо-
подобрать 6 > 0 такое, что \f(x) —
хо) I <- е ПРИ Iх — х01 <,о.
3'. Функционал v [у {х)\ непре-
непрерывен при у = уо(х) в смысле
близости /г-го порядка, если для
любого положительного е можно
подобрать 6 > 0 такое, что

§ 1)
ВАРИАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
287
При этом подразумевается, что
х принимает значения, в которых
функция f (х) определена.
при
\У'(Х)~У'О(Х)\<Ь,
|У*'(*) — у\*Цх)\<Ь.
При этом подразумевается,
что функция у (х) берется из
класса функций, на котором функ-
функционал v [у (х)] определен.
Можно было бы определить понятие расстояния р(ух, у2) между
кривыми y = yj(x) и у = >'2<» (хо^Сх 4^хх), и тогда близкими
кривыми считать кривые, расстояние между которыми мало.
Если считать
!, )>,)= max \yl(x)—y2(x)\,
т. е. ввести метрику пространства Со (см. стр. 50), то мы приходим
к понятию близости нулевого порядка. Если считать
y2)=v max \у\р>(х)-
n= I Xq <T X ^ X\
(предполагается, что ух и у2 имеют непрерывные производные до
порядка k включительно), то близость кривых понимается в смысле
близости &-го порядка.
4. Линейной функцией на-	4. Линейным функционалом
зывается функция 1(х), удов-	называется функционал L[y(x)],
летворяющая следующим уело-	удовлетворяющий следующим ус-
виям:	ловиям:
где с —произвольная постоянная, и где с — произвольная постоянная и
Линейная функция одной пере-	Примером линейного функцио-
менной имеет вид	нала является
где k — постоянная.
L [у (х)} = J (р (х) у +д (х) /) dx.

288 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
5. Если приращение функции	5. Если приращение функцио-
функционала
Av — v [у (х) -j- бу] — v [у (х)]
можно представить в виде
Av = L\y(x), бу] +
+ Р (У W> бу) max | бу |,
где L[y(x), бу] — линейный по
отношению к бу функционал,
тах|6у|— максимальное значение
|бу| и р(у(х), бу)->0 при
тах|бу|->0, то линейная по от-
отношению к бу часть приращения
функционала, т. е. L [у (х), бу],
называется вариацией функцио-
функционала и обозначается bv.
может быть представлено в виде
Д/ = А (х) Ах + р (х, Ах) ¦ Ах,
fAe А(х) не зависит от Ах,
а |3(х, Дх)->0 при Дх->0, то
функция называется дифференци-
руемой, а линейная по отношению
к Дх часть приращени*— А (х)Ах
называется дифференциалом
функции и обозначается df. Разде-
лив на Дх и переходя к пределу при
Дх->0, получим, что Л(х) =
= /'(х), и, следовательно,
df — f (х) Ах.
Итак, вариация функционала — это главная, линейная по отно-
отношению к бу, часть приращения функционала.
При исследовании функционалов вариация играет такую же роль,
какую играет дифференциал при исследовании функций.
Можно дать и другое, почти эквивалентное, определение диф-
дифференциала функции и вариации функционала. Рассмотрим значение
функции /(х-(-аДх) при фиксированном х и Дх и изменяющихся
значениях параметра а. При а = 1 получим приращенное значение
функции f(x-\-Ax), при а —0 получим исходное значение функции
/(х). Нетрудно проверить, что производная от /(х + аДх) но а
при а=0 равна дифференциалу функции /(х) в точке х- Действи-
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции
~ f (х + а Дх) |а=0 = /' (х + а Ах) Дх |а=0 = /' (*) Д* = df (x).
Точно так же для функции нескольких переменных
z = f(xv х2	хп)
можно получить дифференциал путем дифференцирования
f (xx-\-aAxv x2-j- аДх2	хп-^-аАхп)
по а, полагая затем а=0. Действительно,
л
¦35"/ (*i + а Дх1' Х2 + « Д*2	хп + аДх„) |а=0 = J] ^ Дх(- = df.
И для функционалов вида v[y(x)\ или более сложных, зависящих
01 нескольких неизвестных функций или от функций нескольких

§ 1]	ВАРИАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА	289
переменных, можно определить вариацию как производную от функ-
функционала v [у (х)-\-aby] по а при а=0. Действительно, если функционал
имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения,
то его приращение имеет вид
Дг> = v [у (х) + а 6у] — v [у (х)] = L (у, а 6у) -f- р (у, а 6у) | а | max | by |.
Производная от v[y-}-a6y] по а при а = 0 равна
1 • Д^ . Д^ . ^ (у? ft 6у) -4- Р [у (х), ct by] | ct I!
Да>0 Да а->0 а	а->0	а
а->0	"	а->0	а
так как в силу линейности
L(y, абу) —а/.(у, 6у),
a->0	a	a->0
y|
потому что р[у(х), абу]->0 при а->0. Итак, если существует
вариация в смысле главной линейной части приращения функционала,
то существует и вариация в смысле производной по параметру при
начальном значении параметра, и оба эти определения эквивалентны.
Второе определение вариации несколько шире первого, так как
существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя
выделить главной линейной части, но вариация в смысле второго
определения существует.
6.	Дифференциал функции	6. Вариация функционала
/(х) равен v[y(x)] равна
-Q- f (х + аАх) а=о•	-г-"V [у (х) -(--аду] \а=0.
Определение. Функционал v[y(x)] достигает на кривой
у = уо(х) максимума, если значения функционала v[y(x)\
на любой близкой к у = уо(х) кривой не больше, чем v[yo(x)],
то есть &v — v[y(x)]—v{yo(x)] ^0.
Если Аи^О, причем Дг/= 0 только при у (х) = уо(х), то говорят,
что на кривой у = уп(х) достигается строгий максимум. Аналогично
определяется кривая у —уо(х), на которой реализуется минимум.
В этом случае Лг>^0 для всех кривых, близких к кривой у = уо(х).
7.	Теорема. Если диффе-	7. Теорема. Если функ-
ренцируемая функция /(х) ционал v[y(x)], имеющий ва-
достигает максимума или риацию, достигает максимума
19 Л, Э. Эльсгольц

290 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
минимума во внутренней точ-	или минимума при у = уо{х),
ке х = х0 области определе-	где у(х) — внутренняя точка
ния функции, то в этой точ-	области определения функ-
ке	ционала, то при у = уо(х),
df = Q.	bv = O.
Доказательство теоремы для функционалов. При
фиксированных уо(х) и 6у v [уо(х)-\- абу] =ф(а) является функ-
функцией а, которая при <х = 0, по предположению, достигает максимума
или минимума, следовательно, производная
ф'@) = ()•). или A-
= 0.
т. е. 6г> = 0. Итак, на кривых, на которых достигается экстремум
функционала, его вариация равна нулю.
Понятие экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря
о максимуме или минимуме, точнее, об относительном максимуме
или минимуме, мы имели в виду наибольшее или наименьшее значение
функционала только по отношению к значениям функционала на близ-
близких кривых. Но, как было указано выше, близость кривых может
быть понимаема различно, поэтому в определении максимума или
минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду.
Если функционал v [y(x)] достигает на кривой у = уо(х) макси-
максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых
модуль разности у(х)— Уо(х) мал, т. е. по отношению к кривым,
близким к у = уо(х) в смысле близости нулевого порядка, то мак-
максимум или минимум называется сильным.
Если же функционал v [у (х)] достигает на кривой у = у0(х)
максимума или минимума лишь по отношению к кривым у = у (х),
близким к у = уо(х) в смысле близости первого порядка, т. е. по
отношению к кривым, близким к у = уо(х) не только по ордина-
ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум
называется слабым.
Очевидно, что если на кривой y = yo(je) достигается сильный
максимум (или минимум), то подавно достигается и слабый, так как
если кривая близка к у = уо(х) в смысле близости первого порядка,
то она близка и в смысле близости нулевого порядка. Однако воз-
возможно, что на кривой у — уо(х) достигается слабый максимум (ми-
(минимум) и в то же время не достигается сильный максимум (минимум),
т. е. среди кривых у = у(х), близких к у=У\{х) как по ордина-
ординатам, так и по направлению касательных, может не быть таких, для ко-
*) а может принимать в окрестности точки а = 0 как положительные,
так и отрицательные значения, так как yt{x) — внутренняя точка области
определения функционала.

S 1]	ВАРИАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА	291
торых v[y(x)] > v[yo(x)\ (в случае минимума v[y(x)] < v\yo(x)]),
а среди кривых у=у(х), близких только по ординатам, но уже не
близких по направлению касательных, могут найтись и такие, для
которых v [у (х)) > v [у0 (х)] (в случае минимума v [у (х)] < v [yQ (х)]).
Различие между сильным и слабым экстремумом не будет иметь су-
существенного значения при выводе основного необходимого условия
экстремума, но оно будет весьма существенно в главе 8 при изуче-
изучении достаточных условий экстремума.
Заметим еще, что если на кривой у = уо(х) достигается экстремум,
д
то не только -г- v [у0 (х) ¦+ а 6>>] == 0, но и -г- v [у (х, а)]
д
а=0
да
= 0,
а=0
где у (х, а) — любое семейство допустимых кривых, причем при
а = 0 и при а = 1 функция у(х, а) должна соответственно превра-
превращаться в уо(х) и уо(х)-\-Ьу. Действительно, v[y(x, а)] является
функцией а, так как задание а определяет кривую семейства у = у(х, а),
а значит, определяет и значение функционала v [у (х, а)}.
Эта функция, по предположению, достигает экстремума при а = 0,
следовательно, производная этой функции обращается в нуль
при а = 0 *).
: 0, однако эта производная, вообще
Итак, ~v[y(x, a)]
да	а=о
говоря, уже не будет совпадать с вариацией функционала, но будет,
как показано выше, обращаться в нуль' одновременно с 6v на кри-
кривых, реализующих экстремум функционала.
Все определения этого параграфа и основная теорема (стр. 289)
почти без всякого изменения переносятся на функционалы, зависящие
от нескольких неизвестных функций
уп(х)]
или зависящие от одной или нескольких функций многих перемен-
переменных
vlzix^ х3	х„)],
v[zl(xv х2	хп), г2{хх, х2	хп)	zm(xv х2	хп)].
Например, вариация bv функционала v[z(x, у)] может быть опре-
определена или как главная линейная по отношению к 6.г часть прира-
приращения
Av — v[z(x, у) -f- bz]—v[z(x, у)],
или как производная по параметру при начальном значении
*) Предполагается, что а может принимать любые близкие к а = 0 зна-
dv [у {х, а)]
	-^	—	существует.
19*

292 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
параметра
да *	а=0 '
причем если при z = z(x, у) функционал v достигает экстремума,
то при z = z (х, у) вариация bv = 0, так как v[z(x, y)-|- a bz]
является функцией а, которая при а = 0, по предположению, дости-
достигает экстремума и, следовательно, производная от этой функции
= 0
по а при а = 0 обращается в нуль, -t^v[z(x, y)-\-abz\
или bv = 0.
аа
а=0
§ 2. Уравнение Эйлера
Исследуем на экстремум функционал
*1
= J
F.1)
В
причем граничные точки допустимых кривых закреплены: у(хо) = уо
и у(х,) —yj (рис. 6.3). Функцию F(x, у, у') будем считать трижды
дифференцируемой.
Мы уже знаем, что необходимым условием экстремума является
обращение в нуль вариации функционала. Покажем теперь, как при-
применяется эта основная теорема к
рассматриваемому	функционалу,
причем мы еще раз повторим пре-
предыдущее рассуждение применитель-
применительно к функционалу F.1). Предпо-
Предположим, что экстремум достигается
на дважды дифференцируемой кри-
кривой у = у (х) (требуя лишь суще-
существования производных первого
порядка у допустимых кривых,
можно иным методом доказать, что
у кривой, реализующей экстре-
экстремум, существует и вторая произ-
производная).
Возьмем какую-нибудь близкую к у = у(х) допустимую кривую
у— у(х) и включим кривые у = у(х) и у = у(х) в однопараметри-
ческое семейство кривых
Рис. 6.3.
у(х, а) =
при а = 0 получим кривую у = у (х), при а = 1 имеем у = у (х)

§2]
УРАВНЕНИЕ ЭПЛЕРА
293
(рис. 6.4). Как мы уже знаем, разность у(х)— у(х) называется ва-
вариацией функции у(х) и обозначается by.
Вариация by в вариационных задачах играет роль, аналогичную
роли приращения независимого переменного Дх в задачах на иссле-
исследование экстремумов функций / (х). Вариация функции Ьу—у(х)—у(х)
является функцией х. Эту функцию можно дифференцировать один
или несколько раз, причем (by)' = у' (х) — у'(x) = by't т. е. про-
производная вариации равна вариации производной, и аналогично
" = y"(x)-y"(x) = by",
= у<*' (х)
(х) =
Итак, рассмотрим семейство у = у (х, а), где у(х, а) = у(х)~{-
-f-абу, содержащее при а = 0 кривую, на которой достигается эк-
экстремум, а при а=1—некото-
а=1—некоторую близкую допустимую кри-
кривую — так называемую кривую
сравнения.
Если рассматривать значения
функционала
v[y(x)]= f F(x, у, y')dx
Ха
только на кривых семейства
у = у (х, а), то функционал пре-
превращается в функцию а:
v\y(x, а)] = ф(а),
0
л
X
Рис. 6.4.
так как значение параметра а определяет кривую семейства у = у(х, а)
и тем самым определяет и значение функционала v[y(x, а)]. Эта
функция ср(а) достигает своего экстремума при а —0, так как при
а = 0 получаем у = у (х), и функционал, по предположению, до-
достигает экстремума по сравнению с любой близкой допустимой
кривой и, в частности, по отношению к близким кривым семейства
у = у(х, а). Необходимым условием экстремума функции ср(а)
при а —0, как известно, является обращение в нуль ее произ-
производной при а = 0:
Ф'@) = 0.
Так как
ф(а)= J Р(х, у(х, а), у'х(х, a))dx.

294 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
ТО
Ф' (а) = f[fy^y(x,a)+Fy^ у' (х, а)] dx.
где
Fy=~F(x, y(x, а), у'(х, а)).
или, так как
д	д
dct	pet
и
Ж У' (х> а> = Ж & W + абу'] - Ъ/,
получим
Ф'(а)= f[Fy(x, y(x, а), у'{х, а)Nу +
Н-^у^. У(х, а), у'(х, a))by']dx;
х,
Ф'@)= f[Fy(x, y(x), y'(x)Ny-+Fy(x. y{x), у' (х))Ьу'\ dx.
Как мы уже знаем, ф'@) называется вариацией функционала и
обозначается bv. Необходимое условие экстремума функционала v
заключается в обращении в нуль его вариации: bv = 0. Для функ-
функционала
v[y(x)] = j F(x, у, y')dx
Xt>
это условие имеет вид
J [Fy by -f Fy'by'] dx = 0.
Интегрируем второе слагаемое по частям и, принимая во внимание,
что Ьу' — ФуУ, получим
Ы> = [Fy Ьу\хх\ + / (Fy - -^ Fy) by dx.
= У (хо) — У (*о) = 0 и by \x=Xi = y(Xl) — у (хх) = 0.
Но

§ 2]	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА	295
потому что все допустимые кривые в рассматриваемой простейшей
задаче проходят через фиксированные граничные точки, и следова-
следовательно,
Х\
Итак, необходимое условие экстремума приобретает вид
ydx = Q,	F.2)
причем первый множитель Fy — -j—Fy- на кривой у — у(х), реали-
МЛ
зующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а вто-
второй множитель 6у, ввиду произвола в выборе кривой сравнения
У = У(х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь
некоторым весьма общим условиям, а именно: функция by в гранич-
граничных точках х = х0 и х = х1 обращается в нуль, непрерывна и
дифференцируема один или несколько раз, ду или 6у и by' малы
по абсолютной величине.
Для упрощения полученного условия F.2) воспользуемся следую-
следующей леммой:
Основная лемма вариационного исчисления. Если для
каждой непрерывной функции ц(х)
Хо
где функция Ф(х) непрерывна на отрезке [х0, х{\, то
Ф(л;)нзО
на том же отрезке.
Замечание. Утверждение, леммы и ее доказательство не из-
изменяются, если на функции г\(х) наложить следующие ограничения:
ц(х0) = г\(X]) = 0; ч)(х) имеет непрерывные производные до по-
порядка р, |т/*>(х)|<е (s = 0. 1, ... ?; ?</>).
Доказательство. Предположив, что в точке х = х, лежа-
лежащей на отрезке хо<1 х ^xlt Ф(х)=?0, придем к противоречию.
Действительно, из непрерывности функции Ф(л) следует, что если
ф(х)Ф0, то Ф(#) сохраняет знак в некоторой окрестности (л^ОО!)
точки х; но тогда, выбрав функцию ц(х) также сохраняющей знак

296 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
в этой окрестности и равной^нулю вне этой окрестности (рис. 6.5),
получим
х,	х,
х = fф(x)ц(x)dxфO,
так как произведение Ф(х)ц(х) сохраняет знак на отрезке (
и обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к про-
противоречию, следовательно, Ф(х)=0. Функцию ц(х) можно выби-
выбирать, например, так: ц(х) = 0 вне отрезка (х0 <Сх ^л^); г)(х) =
= k(x — хоJп(х — XjJ" на отрезке (хо^.х <! л^), где п — целое
пУ
х„	х„ х х,	х,
Рис. 6.5.
положительное число, k — постоянный множитель. Очевидно, что
функция г)(х) удовлетворяет упомянутым выше условиям: она не-
непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2я — 1, об-
обращается в нуль в точках х0 и хх и может быть сделана по модулю
сколь угодно малой вместе со своими производными за счет умень-
уменьшения модуля множителя k.
Замечание. Дословно так же можно доказать, что если функ-
функция Ф(х, з>) непрерывна в области D на плоскости (х, у) и
I I Ф(л, у)Ц(х, y)dx dy = 0 при произвольном выборе функции
D
т)(х, у), удовлетворяющей лишь некоторым общим условиям (непре-
(непрерывность, дифференцируемость один или несколько раз, обращение
в нуль на границах области D, |г)|<е, |г)Ч < е, |Лу|<е)' т0
Ф(х, у) = 0 в области D, Функцию г)(х, у) при доказательстве
основной леммы можно выбрать, например, так: х\(х, з>)^0 вне
круговой окрестности достаточно малого радиуса &\ точки (х, у),
в которой Ф(х; у)фО, а в этой окрестности точки (х, у) функция
г\(х, у) — k Ux — хJ-f-(у — уJ — г2]2" (Рис- 6-6). Аналогичная лемма
справедлива и для л-кратных интегралов.

§2]
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
297
Применим теперь основную лемму для упрощения полученного
выше необходимого условия F.2) экстремума простейшего функцио-
функционала F.1)
х,
, — ¦Sj/V)uyd* = O.	F.2)
Все условия леммы выполнены: иа кривой, реализующей экстремум,
множитель \Fy——r- Fy\ является непрерывной функцией, а вариа-
\ у dx j
ция by является произвольной функцией, на которую наложены лишь
предусмотренные в основной лемме ограничения общего характера, сле-
следовательно, Fy — -г— Fy' = О
на кривой у = у (х), реализую-
реализующей экстремум рассматриваемо-
рассматриваемого функционала, т. е. у = у (х)
является решением дифферен-
дифференциального уравнения второго
порядка
d
dx
/V = 0,
или в развернутом виде
Fx
' у
Рис. 6.6.
Это уравнение называется уравнением Эйлера (оно впервые было
им опубликовано в 1744 году). Интегральные кривые уравнения Эйлера
у = у (х, Сх, С2) называются экстремалями. Только на экстремалях
может достигаться экстремум функционала
-1
= f F(x, у, y')dx.
Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала F.1),
интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные по-
постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из условий
на границе у(хо) = уо, y(xl) = y1. Только на удовлетворяющих этим
условиям экстремалях может реализоваться экстремум функционала
Однако для того чтобы установить, реализуется ли на них в дей-
действительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо вос-
воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенными
в главе 8.

298 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
Напомним, что краевая задача
d
не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может
быть не единственным (см. стр. 159).
Заметим, что во многих вариационных задачах существование ре-
решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи,
и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным усло-
условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением
рассматриваемой вариационной задачи.
Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал
я
2
Уравнение Эйлера имеет вид у" + у = 0; его общим решением является
у = С] cos х + С2 sin х. Используя граничные условия, получаем: C'i =» 0,
С2 = 1; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой
у — sin х.
Пример 2. На каких кривых может достигать экстремума функционал
1
«[У (•*)] = f [(y'V+l2xy\ttx, у@)«=0, y(l)
l?
Уравнение Эйлера имеет вид у" — 6х = 0, откуда у = х3 -\- Схх -\- Сг. Ис-
Используя граничные условия, получаем: С, = 0, С2 — 0; следовательно, экстре-
экстремум может достигаться лишь на кривой у = хъ.
В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось,
но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравне-
уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исклю-
исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи инте-
интегрируемости уравнения Эйлера.
1) F не зависит от у':
F = F(x. у).
Уравнение Эйлера имеет вид Fy(x, y) = 0, так как Fy'^Q. Реше-
Решение полученного конечного уравнения Fy{x, у) = 0 не содержит
элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет
граничным условиям уС^оЭ^Уо и y(xl) = yl.
Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи,
вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях,
когда кривая
Fy(x, y) = 0

§ 2]	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА	299
проходит через граничные точки (х0, у0) и (xv ух), существует кри-
кривая, на которой может достигаться экстремум.
Пример 3.
••I
v [У (х)] = J У2 dx; у (ха)
У (¦*!)= У1-
Уравнение Эйлера имеет вид
Fy=0 или у = 0.
Экстремаль у = 0 проходит через граничные точки только при у0 = 0 и
У| = 0 (рис. 6.7). Если Уо — О и У\ — 0, то, очевидно, функция у — 0 реали-
х,
зует минимум функционала а = I у2 dx,
Ха
так как v [у (х)]> 0, причем v = 0 при
у = 0. Если же хотя бы одно из у0 и у,
не равно нулю, то минимум функционала
на непрерывных функциях не достигается,
что и понятно, так как можно выбрать
последовательность непрерывных функций
Уп (¦*)> графики которых состоят из все бо-
б	й
Уп () рф	р	х„	х
лее и более круто спускающейся из точки	'
(х0, у0) к оси абсцисс дуги кривой, за-
затем из отрезка оси абсцисс, почти совпа-	рис, 6.7.
дающего со всем отрезком (ха, хх), и, на-
наконец, возле точки *,, круто поднимаю-
поднимающейся к точке (хи у;) дуги кривой (рис. 6.8). Очевидно, что на кривых
такой последовательности значения функционала сколь угодно мало от-
отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значений функционала
равна нулю, однако эта нижняя грань не может достигаться на непрерывной
кривой, так как для любой непрерывной кривой у = у (х), отличной от то-
ждественного нуля, интеграл | у2 dx > 0. Эта нижняя грань значений
х„
функционала достигается на разрывной функции (рис. 6.9)
У {хо) = Уо.'
у (х) = 0 при х0 < х < хь .
2) Функция F линейно зависит от у':
F(x, у, у') = М(х, y)-i-N(x, у)/;
Х\
v[y{x)}= f [M(x,
X,

300 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ (ГЛ. в
Уравнение Эйлера имеет вид
—	\-——у	t-N(x, y) = 0,
оу Оу * н v
или
или
дМ
ду
ON
Оу
ом
ду
dx
dN
ox
oN
' dx
oy
но это опять, как и в предыдущем случае, конечное, а не диффе-
ренциальное уравнение. Кривая —	-г— = 0, вообще говоря, не
У>
Рис. 6.8.
Рис. 6.9.
удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная за-
задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций.
Если же—	-г— ==0, то выражение М dx -\- N dy является точ-
точным дифференциалом и
X,	Ж,
v= j [м ¦+ N-Ц-'jdx = f
не зависит от пути интегрирования, значение функционала v посто-
постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.
Пример 4.
v [У (х)] = J (у2 + х*у') dx; y@) = 0, уA) = а.
Уравнение Эйлера имеет вид
—;	3— = 0 или у — х — 0. Первое гра-
Оу ох
у
ничное условие у @) = 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удо-
удовлетворяется лишь при а = 1. Если же а Ф 1, то экстремали, удовлетворяю-
удовлетворяющей граничным условиям, не существует.

i 2]	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА	301
Пример 5.
j + xy')dx или w[
Уравнение Эйлера превращается в тождество 1 s= l. Подынтегральное выра-
выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути ин-
интегрирования:
X,
v [у (*)] = J d (ху) = *,у, — хоуо,
Xo
по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет
смысла.
3) F зависит лишь от у':
Уравнение Эйлера имеет вид /7)гуу" = 0, так как Fy = Fxy =
= Fyy' =0. Отсюда у" = 0 или /уу. =0. Если У = 0, то у =
= C1jc-t-C2 — двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же
уравнение Fy'y< (y') = 0 имеет один или несколько действительных
корней у' = kt, то y = ktx -\-С, и мы получаем однопараметрическое
семейство прямых, содержащееся в полученном выше двухпарамет-
рическом семействе у = Сгх -j- С2. Таким образом, в случае F = F (у')
экстремалями являются всевозможные прямые линии у = С1х-\-С2.
Пример 6. Длина дуги кривой
ЦУ(х)]= f Vl + У'2 dx
имеет экстремалями прямые линии у — Схх-\-Сг.
Пример 7. Время t[y (x)], затрачиваемое на перемещение по некото-
некоторой кривой у-^у(х) из точки А(х0, у0) в точку В (хх, у,), если скорость
-—=. v(y') зависит только от у', является функционалом вида
t[y(x)} =
ds 1
V
-y
1 + )
v(y')
,'2
-dx
С Vi + y'2
I dt yy h	v(y')	v(y')	J v(y')
Следовательно, экстремалями этого функционала являются прямые линии.
4) F зависит лишь от х и у':

302 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
d
dx
Уравнение Эйлера приобретает вид -j— Fy> (jc, у') = 0 и, следо-
следовательно, имеет первый интеграл. Fy (x, у') = С1, причем так как
полученное уравнение первого порядка Fy (x, у') = С1 не содержит у,
то уравнение может быть проинтегрировано или путем непосредствен-
непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования, или путем вве-
введения подходящим образом выбранного параметра (см. стр. 69).
Пример 8. Функционал
г/	X
(t — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у = у(х) из одной
ds
точки в другую, если скорость движения v = х, так как если —тт- = х, то
ds Г l/l + У'2 \
dt =	 и t = / —	—— dx I. Первый интеграл уравнения Эйлера
'*'
Fy = Cj имеет вид 	 у	— Сх. Это уравнение проще всего инте-
интегрируется, если ввести параметр, полагая у' = tg t; тогда
1	У'
= -я- sin t
или х = Ci sin<, где С, — -~-;
j??.= tg *; rfy = tg / dx = tg * • C, cos tdt=Ui sin f <«;
интегрируя, получаем у = — Ci cos <-J- Cj. Итак,
x = С! s\n t, у — C2 = — Cj cos /
или, исключая t, получаем х2 + (у — C2J = Cj — семейство окружностей
с центрами на оси ординат.
5) F зависит лишь от у и у':
F = F(y, у').
Уравнение Эйлера имеет вид: Fy—Fyy>y' — /уУ'у" = 0, так как
рху, = 0. Если умножить почленно это уравнение на у', то, как не-
нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную
J

§ 2]	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА	303
Действительно,
-jL (F - y'Fy) = Fyy' -f- Fyy" - y"Fy - Fvy.y'2 - Fyyy'y" =
= y'(Fy-Fyyy'-Fyyy")-
Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл
F-y'Fy=Cv
причем так как это уравнение первого порядка не содержит явно х,
то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относи-
относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра.
Рис. 6.10.
Пример 9. Задача о наименьшей поверхности вращения: определить
кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси
абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис. 6.10).
Как известно, площадь поверхности вращения
6' [у (х)} = 2л f у Vi+У'2 dx.
Подынтегральная функция зависит лишь от у и у' и, следовательно, первый
интеграл уравнения Эйлера будет иметь вид
-y'Fv.= С,
или в данном случае у
После упрощений получаем
+ у'2
С\.. Проще всего это уравне-
уравнение интегрируется подстановкой у' = sh t, тогда у = Ct ch t, a

304 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
Итак, искомая поверхноаь образуется вращением линии, уравнение которой
в параметрической форме имеет вид
у = Ci ch t.
х 	 Q
Исключая параметр t, будем иметь у = С, ch —^—	семейство цепных
линий, от вращения которых образуются поверхности, называемые катенои-
катеноидами. Постоянные С\ и С2 определяются из условия прохождения искомой
линии через заданные граничные точки (в зависимости от положения точек
А и В может существовать одно, два или ни одного решения).
Пример 10. Задача о брахистохроне (см. стр. 281): определить кривую,
соединяющую заданные точки А к В, при движении по которой материаль-
материальная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее йремя (трением и
сопротивлением среды пренебрегаем).
Поместим начало координат в точку А, ось Ох направим горизонтально,
ось Оу — вертикально вниз. Скорость движения материальной точки
ds lA~—
—тг— V 1ё,У- - откуда находим время, затрачиваемое на перемещение точки
из положения Л @, 0) в положение В (л:,, у,):
< [у <лс)] --7= / ? TJ dx; у@)«0,
-7= /	TJ
Так как этот функционал также принадлежит к простейшему виду и его
подынтегральная функция не содержит явно х, то уравнение Эйлера имеет
первый интеграл F — >''/у =•• С, или в данном случае
У'2
откуда после упрощений будем иметь —	— = С или у A + у'2) = Ct.
УуО+у'2)
Введем параметр t, полагая у' = ctg t\ тогда получим:
, dy 2C, sin t cos t dt п„ , , , ., „ ,,	о,ч ,.
dx = —f- = •—!	= 2C{ sin21 dt — Cx A — cos 2/) rfi;
Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии имеет
вид
х — С2 = -у- B/ — sin 2t), у = -^L (I — cos 2t).
Если преобразовать, параметр подстановкой 2t—tx и принять во внимание,

§ 3]	ФУНКЦИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА	305
что С2 = 0, так как при у — 0, х.= 0, то мы получим уравнение семейства
циклоид в обычной форме:
у = -?¦ A - cos *,),
С,
где -^—радиус катящегося круга, который определяется из условия про-
прохождения циклоиды через точку В (хь у,). Итак, брахистохроной является
циклоида.
§ 3, Функционалы вида
JF(x, yv yv ..., уп, yv y2	y'n)dx
х„
Для получения необходимых условий экстремума функционала v
более общего вида
X'.
j{x- Уу У*	Уп- y'v У*	У«)йх
при заданных граничных значениях всех функций
У\ (xQ) = у10, у2 (х0) = у20	уп (х0) = уп0,
будем варьировать лишь одну из функций
(j=\, 2	п),
оставляя все остальные функции неизменными. При этом функционал
v [yv y2	уп\ превратится в функционал, зависящий лишь от
одной варьируемой функции, например от yt (x),
рассмотренного в § 2 вида, и, следовательно, функция, реализующая
экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера
F	—F . =0.
У1	dX У;
Так как это рассуждение применимо к любой функции уг(/=1,
2	 л), то мы получим систему дифференциальных уравнений
второго порядка
20 Л. Э. Эльсгольц

306 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
определяющих, вообще говоря, 2л-параметрическое семейство инте-
интегральных кривых в пространстве х, yv у2, ..., уп — семейство
экстремалей данной вариационной задачи.
Если, в частности, функционал зависит лишь от двух функций
у(х) и z(x):
v[y{x), z(x)] = f F(x, у, z, у', z')dx;
y(xo) = yo, z(xo) = zo, y(x1) = y1, z(x1) = zl.
т. е. определяется выбором пространственной кривой у = у (х),
z = z(x) (рис. 6.11), то, варьируя только у(х) и фиксируя z(x),
Рис. 6.11.
мы изменяем нашу кривую так, что ее проекция на плоскости xOz
не изменяется, т. е. кривая все время остается на проектирующем
цилиндре z — z (х) (рис. 6.12).
Аналогично, фиксируя у (х) и варьируя z (x), мы варьируем кри-
кривую так, что она все время лежит на проектирующем цилиндре
у = у(х). При этом получаем систему двух уравнений Эйлера:
Пример 1. Найти экстремали функционала
я
Т
v[y(x),
X, y@) = 0,
*@)=0, ^«.)__1.

§ 31	ФУНКЦИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА	307
Система дифференциальных уравнений Эйлера имеет вид
у" -г = 0,
г" — у = 0.
Исключая одну из неизвестных функций, например г, получаем у IV— у = 0.
г
-z-z/z)-
-Р--
д(*ш>- у-у(х)
Рис. 6.12.
Интегрируя это линейное уравнение с постоянными коэффициентами, будем
иметь;
у = О* + С2е~х + С3 cos х + С4 sin x;
г = у"; г = Схех -|- Сге~* — С3 cos а- — С4 sin x.
Используя граничные условия, находим:
С, = 0, С2 = 0, С3 = 0, С4=1;
следовательно, у = sin дг, г = — sin л:.
Пример 2. Найти экстремали функционала
v [у (х), z (х)} = J F (у', г')
Система уравнений Эйлера имеет вид
F , ,v" Л. F , г" = 0- F , v"
z"	О
'z'z ~ и'
откуда, считая Fy,y,Fz,z, — (Fy,z,f ф 0, получим: у" = 0 и г" = 0 или
у— С\Х-\-Сг, г= Cix-\-Ci— семейство прямых линий в пространстве.
Пример 3. Найти дифференциальные уравнения линий распростра-
распространения света в оптически неоднородной среде, в которой скорость распро-
распространения света равна v (x, у, г).
20*

308 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
Согласно принципу Ферми свет распространяется из одной точки А (х0, у0)
в другую B(xi,y1) no кривой, для которой время Т прохождения света
будет наименьшим. Если уравнение искомой кривой у = у (х) к г = г (х), то
dx.
J v (х, у, z)
х0
Система уравнений Эйлера для этого функционала
dv Vl + y Чг' , d
ду	v2	~ dx
dv V\ + y'2 + z>2 d
дг	v2	dx
и будет системой, определяющей линии распространения света.
§ 4. Функционалы, зависящие от производных
более высокого порядка
Исследуем на экстремум функционал
v[y(x)\ = f F(x, y(x), y'(x)	y<">(x))dx.
где функцию F будем считать дифференцируемой п-{-2 раза по
всем аргументам и будем предполагать, что граничные условия
имеют вид
т. е. в граничных точках заданы значения не только функции, но и
ее, производных до порядка п.— 1 включительно. Предположим, что
экстремум достигается на кривой у = у(х), дифференцируемой 2га раз,
и пусть у = у(х)—уравнение некоторой кривой сравнения, также
дифференцируемой 2п раз.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций
у(х, а) = у (х) -f а [у (х) — у (х)} или у(х, а) = у (х) + абу.
При а = 0 у(х, a) = y(x), при а=1 у(х, a) = y(x). Если рас-
рассматривать значение функционала v [у (х)\ только на кривых семей-
семейства у = у (л, а), то функционал превратится в функцию пара-
параметра а, достигающую экстремума при а = 0; следовательно,
^, a)]|a_0 = 0. Эта производная в соответствии с § 1

§ 4]	.	ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ	309
называется вариацией функционала v и обозначается bv:
JL-JF{X, у(х, а), у'(х, а)	у <"> (х, a))d
х
а=0
х,
Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части один раз:
X,	X,
J Fy by' dx = [Fy by]xx'o — j -j^Fy by dx,
xa	x0
третье слагаемое — два раза:
X,	X,
/ Fy" by" dx — [/=> бу']*' — \~ /V 6yl ' -f- / 4~т Fy by dx,
.' "	y x0 [dx ' ]r J dx2 y *
Y	°	X
и т. д., последнее слагаемое — п раз:
Xl
) Fv{n)by n: dx = [Fy{n) by'n-l)]xJ — ]^~ Fyin) бу<л-
Принимая во внимание граничные условия, в силу которых при
х = х0 и при х — хх вариации 6у = бу' = бу" = ... =6УЛ~^ = О,
окончательно получим
Так как на кривой, реализующей экстремум, имеем
Х\
bv =
при произвольном выборе функции by и так как первый множитель
под знаком интеграла является непрерывной функцией х на той же
кривой у — у (х), то в силу основной леммы первый множитель
тождественно равен нулю:
F F + & F + + A}" V°

310 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ.6
Итак, функция у = у(х), реализующая экстремум функционала
y, у', у",
должна быть решением уравнения
Это дифференциальное уравнение порядка 2га носит название урав-
уравнения Эйлера—Пуассона, а его интегральные кривые называются
экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение
этого уравнения содержит 2га произвольных постоянных, которые
могут быть, вообще говоря, определены из 2га граничных условий:
Пример 1. Найти экстремаль функционала
1
v [у (х)] = / A + У) dx;
о
у@) = 0, у'@)=1, уA)=1, у' A) = 1.
d2
Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид —г-j- Bу") = 0 или yiv = 0;ero
общим решением является у = С\ХЪ -\- С2х2 -\- С3х 4- СА. Используя гранич-
граничные условия, получаем:
d = 0, С2 = 0, С3 =1, С4 = 0.
Итак, экстремум может достигаться лишь на прямой у = х.
Пример 2. Определить экстремаль функционала
Т
v [У (х)} = J (у — у2 + х1) dx,
удовлетворяющую условиям
у@)=1. У@) = 0.
Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид yiv — у = 0; его общим решением
является у — С\е* -\- С2е~х -f- C3 cos л: + С4 sin л:. Используя граничные усло-
условия, получаем Ct = 0, С2 = 0, С3 = 1, С4 = 0. Итак, экстремум может дости-
достигаться лишь на кривой у = cos x.
Пример 3. Определить экстремаль функционала
* 1У (*)]=• f(j

§4]	ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ	311
удовлетворяющую граничным условиям:
у (—0=0, у'(-0 = 0, у @ = 0, /@=0.
К этой вариационной задаче сводится нахождение оси изогнутой упругой
цилиндрической балки, заделанной на концах. Если балка однородна, то р
и ц постоянны и уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
—-(цу-) = о или yiv=_^_
откуда
Используя граничные условия, окончательно находим
у = ~"Йг(*4~2/2*2+/4) или y = ~w{x2~l2J'
Если функционал v имеет вид
v [у (х), z (х)] = JF (х, у, у'	у(Я), z, z'	z(m))dx.
то, варьируя только у(х) и считая z (x) фиксированным, мы нахо-
находим, что функции у(х) и z(x), реализующие экстремум, должны
удовлетворять уравнению Эйлера — Пуассона
а варьируя z(x) и считая у(х) фиксированным, получим, что те же
функции должны удовлетворять уравнению
Итак, функции z (x) и у (х) должны удовлетворять системе двух
уравнений
Точно так же можно рассуждать и при исследовании на экстре-
экстремум функционала, зависящего от любого числа функций:
v[yv У2	У«1 =
/ F (*• УУ У{	У,"'1. У2. У'2
•••• У
т<

312 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
Варьируя какую-нибудь одну функцию yt (x) и сохраняя остальные
неизменными, получим основное необходимое условие экстремума
в виде
' dx yi	dx"' yil
§ б. Функционалы, зависящие от функций нескольких
независимых переменных
Исследуем на экстремум функционал
v \z (х, у)} = I j F [х, у, z, -^г, -0-) dx dy,
причем на границе С области D значения функции z{x, у) заданы,
т. е. задан пространственный контур С, через который должны
z-z{x,y)
Рис. 6.13.
проходить все допустимые поверхности (рис. 6.13). Для сокращения
записи обозначим: -у-= р, -=— = <7- Функцию F будем считать
трижды дифференцируемой. Поверхность г = z {x, у), на которой
реализуется экстремум, будем предполагать дважды дифференци-
дифференцируемой.
Рассмотрим опять однопараметрическое семейство поверхностей
z — z(x, у, a) = z(x, y)-\-abz, где 6z = z(x, у) — z(x, у), вклю-
включающее при <х = 0 поверхность z = z(x, у), на которой реализуется
экстремум, а при а = 1 — некоторую допустимую поверхность
z = z (х, у). На функциях семейства z (x, у, а) функционал v пре-

§ 51	ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	313
вращается в функцию а, которая должна иметь экстремум при а = 0;
следовательно, ^—v\z{x, у, с0]|а=0 = 0. Называя в соответствии
с § 1 производную от v[z(x, у, а)] по а при а —0 вариацией
функционала и обозначая ее 6г>, будем иметь:
bv = I la J J F{x, у, z(x, у, «)¦ Р (х- У~ «)• Я (х. У' «)) dx dy I =
= I la J J
<¦	D
а=0
где
z(x, у, a) = z(x, y)-\-a6z,
, дг (х, у, а |	.
р(х, у, а) = —у—^г	= р(х,
q(x, у, «) = -1(У'а) =Я{х.
Так как
д {Fbz}^{F}bz +
то
f f
где -y-{Fp)—так называемая полная частная производная по х.
При ее вычислении у считается фиксированным, но зависимость z,
р и q от х учитывается:
д ,р,	р \р дг | р др , р дд
г) у I Р'	рх I PZ Л у ' РР г) v ' PQ /) v
иЛ	r	r	r \JA	i/Л	1/Л
и аналогично
^I/M-F 4-F ^ + F ^?-A-F ^L
(jy \ qi l qy\ l qz Ax *^ QP dy ' 9Я dy '
По известной формуле Грина
х dy = / (Л/ dy — М dx)
с

314 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
получим
Последний, интеграл равен нулю, так как на контуре С вариация
bz = 0, потому что все допустимые поверхности проходят через один
и тот же пространственный контур С. Следовательно,
d	D
и необходимое условие экстремума
D
принимает вид
J J (Fz bz -f Fp Ьр + Fq bq) dx dy = 0
f Кг'—
Так как вариация bz произвольна (на bz наложены лишь ограниче-
ограничения общего характера, касающиеся непрерывности и дифференци-
руемости, обращения в нуль на контуре Сит. д.), а первый мно-
множитель непрерывен, то по основной лемме (стр. 296) на поверх-
поверхности z = z(x, у), реализующей экстремум,
Следовательно, z (x, у) является решением уравнения
Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных про-
производных, которому должна удовлетворять функция z (x, у), реали-
реализующая экстремум, носит название уравнения Остроградского
по имени выдающегося русского математика М. В. Остроградского,
который в 1834 году впервые получил это уравнение, однако
для прямоугольных областей D оно встречалось уже в работах
Л. Эйлера.
Пример 1.

§ 5]	ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	315
на границе С области D значения функции z заданы: г = / (л, у). Уравне-
Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид
дх* + ду*
или в краткой записи
т. е. является известным уравнением Лапласа, причем надо найти непрерыв-
непрерывное в D решение этого уравнения, принимающее заданные значения на гра-
границе области D. Это — одна из основных задач математической физики,
называемая задачей Дирихле.
Пример 2.
v [* tx, У)] - / / [(^J + Щ + 2zf (х, у)] dX dy,
D
на границе области D функция z задана. Уравнение Остроградского в дан-
данном случае име^т вид
дхг ¦¦ ду2
или в краткой записи
Это уравнение, называемое уравнением Пуассона, также весьма часто встре-
встречается в задачах математической физики.
Пример 3. Задача о нахождении поверхности минимальной площади,
натянутой на данный контур С, сводится к исследованию на минимум функ-
функционала
/
D
Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид
д
-
дх \ у 1 4- р2 4- q'1 ) ду
или
д2г Г. , I дг \2] йг йг й2г , й2г Г, , I дг \2
	 I 1 I | 	1 t 	 О		I	j 1 I I 	 '
дх2 I \ ду ) J дх ду дх ду ' ду2 L \ &*
т. е. средняя кривизна в каждой точке равна нулю. Известно, что физиче-
физической реализацией минимальных поверхностей являются мыльные пленки,
натянутые на заданный контур С.
Для функционала
v{z{xv х2	*„)] —
= // ••• f F(X1- Х2	Хп- Z- Pi' Pi	Pn)dx\d*2 ¦•¦ dXn,

316 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
где р1 = ~^—, из основного необходимого условия экстремума
6г> = О совершенно аналогично получим следующее уравнение Остро-
Остроградского:
которому должна удовлетворять функция
z = z(xv х2	х„),
реализующая экстремум функционала v.
Например, для функционала
уравнение Остроградского имеет вид
дх2 "*" ~дуг ' дг2 ~~
Если подынтегральная функция функционала v зависит от произ-
производных более высокого порядка, то, применяя несколько раз пре-
преобразования, использованные при выводе уравнения Остроградского,
в качестве необходимого условия экстремума получаем, что функция,
реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению, аналогич-
аналогичному уравнению Эйлера—Пуассона (стр. 310).
Например, для функционала
получим уравнение
где
_ дг	_ дг	_ д2г	_ д2г	_ д2г
р~дх' q~dy' Г~"дхт> 'S~dxdy'	ду2 '
Этому уравнению четвертого порядка в частных производных должна
удовлетворять функция, реализующая экстремум функционала V.
Например, для функционала

§6)	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ	317
функция z, реализующая экстремум, должна удовлетворять так на-
называемому б ига рмоническому уравнению
Ж7+1 дх* с»у2 * ду
которое обычно кратко записывается так: ДД.г = 0.
Для функционала
функция z (х, у), реализующая экстремум, должна удовлетворять
уравнению ДД.г=/(х, у).
К бигармоническому уравнению приводят также задачи на эк-
экстремум функционала
D
или функционала более общего вида
D
где [I— параметр.
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме
Во многих вариационных задачах решение удобнее искать в параметри-
параметрическом виде. Например, в изопериметрической задаче (см. стр. 282) о на-
нахождении замкнутой кривой заданной длины /, ограничивающей максималь-
максимальную площадь S, неудобно искать решение в виде у = у (х), так как по
самому смыслу задачи функция у(х) неоднозначна (рис. 6.14), поэтому в
рассматриваемой задаче целесообразно искать решение в параметрической
форме: х = х (t), у = у (t). Следовательно, в данном случае надо искать
экстремум функционала
т
S [х @. У (Щ = у [ (xy-yx)dt
о
при наличии условия / = I \/х2 + у2 dt, где I — постоянная.
о
Пусть при исследовании на экстремум некоторого функционала

318' МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ГГЛ. б
оказалось более целесообразным искать решение в параметрической форме
х — х (t), у = у (t); тогда функционал преобразуется к следующему виду:
v [х (*), у (*)] = f Р (¦*.(<)¦ У @. jjj) х @ dt.
Заметим, что полученная после преобразования переменных подынтеграль-
подынтегральная функция
(
F (х (О, У @. •?
V
а; (<)
не содержит < явно и является по отношению к переменным х и у одно-
однородной функцией первой степени однородности.
Таким образом, функционал v [x (t), у (t)] является не произвольным"
функционалом вида
Co(t, х (t), у (t), x @, у (t)) dt.
зависящим от двух функций х (t) и у (t), а лишь весьма частным случаем
такого функционала, так как его подынтегральная функция не содержит
явно t и однородна первой степени однород-
ности по отношению • к переменным х и у.
Если бы мы перешли к какому-нибудь
другому параметрическому представлению
искомой кривой х = х (т), у — у (т), то
функционал v \х, у] преобразовался бы к
виду
/¦
F i x, у, -Д \ xx dx. Следователь-
*~ но, подынтегральная функция функциона-
функционала v не меняет своего вида при изменении
параметрического представления кривой.
Рис. 6.14.	Таким образом, функционал v зависит от
вида кривой, а не от ее параметрического
представления.
Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: если
подынтегральная функция функционала
[х (t), у @] = J Ф (*, х (if), у if), х @,
dt
не содержит t явно и является однородной функцией первой степени одно-
однородности относительно х и у, то функционал v [x (t), у (t)] зависит лишь
от вида кривой х— х(t), у — у(t), а не от ее параметрического представ-
представления. Действительно, пусть
«[¦*(*).
y(f).
'yit)),dt,

§ 6)	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ	319
где
Ф(х, у, k'x, ky) =/еФ(х, у, х, у).
Перейдем к новому параметрическому представлению, полагая
0), х=х(х), у=у(т).
Тогда
'¦ . t,
[ф(х(*), y(t)x(t), y(t))dt = /*Ф(*(т), y(x),xx(x)y(t), Ут(т)
t	To
В силу того, что Ф является однородной функцией первой степени одно-
однородности относительно х и у, будем иметь
Ф (х, у, лгтф, утф) = ф'Ф {х, у, хх, ух),
откуда
h	т,
J Ф (х, у, xf y\) dt = J Ф (л:, у хх, уt) rft,
Л	То
т. е, подынтегральная функция не изменилась при изменении параметри-
параметрического представления.
h
Длина дуги Г Yк2-{-у2 dt *), площадь, ограниченная некоторой кривой
и
h
1 Г
•к- I {ху — ух) dt, являются примерами таких функционалов
Для нахождения экстремалей функционалов рассматриваемого типа
Л
v [x (t), у (t)] = J Ф (х, у, х, у) dt,
to
где Ф — однородная функция первой степени однородности относительно х
и у, как и для функционалов с произвольной подынтегральной функ-
функцией Ф(<, х, у, х, у), надо решить систему уравнений Эйлера
ф _^ф. = 0; Ф — ^Ф- =0-
dt х	у dt у
Однако в рассматриваемом частном случае эти уравнения не являются
независимыми, так как им должны удовлетворять наряду с некоторым ре-
решением х — х (t), у =- у (t) и любые другие пары функций, дающие другое
параметрическое представление той же кривой, что в случае независимости
уравнений Эйлера привело бы к противоречию с теоремой существования
*) Функция у х2-\-у2 является положительно однородной первой сте-
степени однородности, т. е. для иее условие F (kx, ky)=kF(x, у) удовлетво-
удовлетворяется лишь при положительных к, однако этого вполне достаточно для
справедливости излагаемой в этом параграфе теории, так как при замене
переменных т = ф (t) можно считать ф (t) > 0.

320 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6
и единственности решения системы дифференциальных уравнений (см. стр. 75).
Это указывает на то, что для функционалов вида
(<). У @] = / Ф (•*. У- •*• У) М,
где Ф — однородная функция первой степени однородности относительно х
и у, одно из уравнений Эйлера является следствием другого. Для нахож-
нахождения экстремалей надо взять одно из уравнений Эйлера и проинтегриро-
проинтегрировать его совместно с уравнением, определяющим выбор параметра. Напри-
Например, к уравнению Ф — -гг Ф • =0 можно присоединить уравнение
х2-\- у2 = 1, указывающее, что за параметр взята длина дуги кривой.
§ 7. Некоторые приложения
Основным вариационным принципом в механике является принцип
стационарного действия Остроградского — Гамильтона, утверждающий,
что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движений си-
системы материальных точек в действительности осуществляется дви-
движение, дающее стационарное значение (т. е. значение, соответ-
соответствующее аргументу, для которого вариация функционала равна нулю)
интегралу
" (Г — U) dt,
где Т—кинетическая, a U — потенциальная энергия системы.
Применим этот принцип к нескольким задачам механики.
Пример 1. Дана система материальных точек с массами ml (i = 1,
2	п) и координатами (xt, yt, г{), на которую действуют силы Ft, обла-
обладающие силовой функцией (потенциалом) — U, зависящей только от коор-
координат:
dU „	6U „	dU
*	С		 		. р		 		• р 	 ___
Iх ~~ дхг ' iy ~ dyi ' t ~~ дг1 '
где F х, F у, F z — координаты вектора Fi, действующего на точку
(л:;, yh z{). Найти дифференциальные уравнения движения системы. В дан-
данном случае кинетическая энергия
а потенциальная энергия системы равна U. Система уравнений Эйлера для
интеграла
J (T — U)
dt

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
321
имеет вид
dU
или
dt
Tti.x, — i
dyt dt dyt ' (jZl at dij
(/=1, 2	л).
Если бы движение было подчинено еще некоторой системе независимых
связей
<fj(t, Xi, х2, .... х„, yv у2	у„, *„ гг	.?„) — О
U=* 1, 2	/и, от <3л),
то из уравнений связей можно было бы выразить m переменных через
3/1 — от независимых переменных (не считая времени t) или выразить все Зл
переменных через Зл — от новых, уже независимых, координат
Я\> ?2> • • •> Чзп-т-
Тогда Т и U можно было бы также рассматривать как функции
Ч\< Чг	?з«-т и t:
T=T(qb q2	qtn-m' Я\< Яг> ••••
U = U(qt, q2, .... qsn_m, t),
и система уравнений Эйлера имела бы вид
д (Т — U)	d дТ
dqt	dt
п-пг 0.
	77^-°=° (i=l, 2, ..., Зл-от).
Пример 2. Выведем дифференциальное уравнение свободных коле-
колебаний струны.
Поместим начало координат в один из концов струны. Струна в со-
состоянии покоя под влиянием натяжения расположена вдоль некоторой пря-
прямой, по которой направим ось абсцисс (рис. 6.15). Отклонение от положения
равновесия и (х, I) будет функцией
абсциссы х и времени t.
Потенциальная энергия U эле-
элемента абсолютно гибкой струны про-
пропорциональна растяжению струны.
Участок струны dx в деформирован-
деформированном состоянии, с точностью до беско-
бесконечно малых более высокого поряд-
Рнс. 6.15.
ка, имеет длину ds = у 1 -+- и'х dx
и, следовательно, удлинение элемента
равно [у \-\-и.'х — lj dx. По форму-
* 1 /	f 2	1 -2
ле Тейлора У 1 + их «
jux.
Считая их малым и пренебрегая более высокими степенями и'г полу-
1	.2
чим, что потенциальная энергия элемеита равна тг Аи, dx, где к — множитель
21 Л, Э. Эльсгольц

322 МЕТОЛ ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ G НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ (ГЛ. в
пропорциональности, а потенциальная энергия всей струны равна
1
о
Кинетическая энергия струны равна
i
\ /» ,2
-g- / pU, dX,
О
где р — плотность. Интеграл / (Т — U) dt имеет в данном случае вид
//* Г 1 л 1 <21
J L 2 ' ' 2 * J
/, о
Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для функ-
функционала v. Итак, уравнение движения струны имеет вид
Если струна однородна, то р и k — постоянные, и уравнение колеблющейся
струны упрощается:
дЧ . д2и п
Допустим теперь, что на струну действует еще внешняя сила f(t, x), пер-
перпендикулярная к струне в ее положении равновесия и рассчитанная на еди-
единицу массы. Как легко проверить, силовая функция этой внешней силы,
действующей на элемент струны, равна р/ (t, x) и dx; следовательно, ин-
м
теграл Остроградского — Гамильтона I (Т — U) dt имеет внд
к О
а уравнение вынужденных колебаний струны
или, если струна однородна,
дЧ k д2и
Совершенно аналогично может быть получено уравнение колеблющейся
мембраны.
Пример 3. Выведем уравнение колебаний прямолинейного стержня.
Направим ось абсцисс по оси стержня, находящегося в положении равнове-

§7]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
323
сия. Отклонение от положения равновесия и(х, t) будет функцией х и вре-
времени t, кинетическая энергия стержня длины /
1 С <*
dx.
Будем считать стержень нерастяжимым. Потенциальная энергия упругого
стержня при постоянной кривизне пропорциональна квадрату кривизны.
Следовательно, дифференциал dU потенциальной энергии стержня равен
Л?
а потенциальная энергия всего стержня, кривизна оси которого, вообще
говоря, переменна, будет равна
U
-1Г
дх*
dx.
Предположим, что отклонения стержня от положения равновесия малы и
членом 1-з—I в знаменателе можно пренебречь; тогда
U-.
О
Интеграл Остроградского — Гамильтона имеет вид
I, i
Следовательно, в случае свободных колебаний упругого стержня будем иметь
следующее уравнение движения:
Если стержень однороден, то р и k — постоянные, и уравнение колебаний
стержня преобразуется к виду
д2и . . д4и _
р _]- k —j- = О.
Если на стержень действует* внешняя сила f{t, x), то надо еще учесть
потенциал этой силы (см. предыдущий пример).
Принцип, стационарного действия может быть применен при выводе
уравнений поля. Рассмотрим скалярное, векторное или тензорное
21*

324 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ !ГЛ. в
поле
i = w{x, у, z, t). Интеграл f(T — U)dt в данном случае,
вообще говоря, будет равен четырехкратному интегралу по простран-
пространственным координатам х, у, z и по времени t от некоторой функ-
функции L, называемой плотностью функции Лагранжа или лагран-
лагранжианом.
~„	dw dw ow dw
Обычно лагранжиан является функцией w, -*—, -г-, -г-, -зз-:
dw dw dw dw
' dx ' ду ' дг ' dt
и, следовательно, действие имеет вил
Г Г Г С , I dw dw dw dw \ , , , ,.	,. „.
J JJ J L(W' -dx' ly ' IF' sr)dxdydzdt. F.3)
Согласно принципу стационарного действия уравнение поля является
уравнением Остроградского для функционала F.3):
/ -JLii \ — J-IL \	-IL \--lL 1=0
w дх I р\1 ду \ рп дг 1 рг1 dt I р*1 '¦
где
ow	aw	dw	ow
Задачи к главе 6
1. Найти экстремали функционала
' г '	dx.
У
2. Исследовать на экстремум функционал
v[y{x)] = f (f + 2xyy')dx;
3.	Исследовать на экстремум функционал
1
(xy + y* — 2y1y')dx; у @) =
о
4.	Найти экстремали функционала
J у' A + x>y')dx.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ в	325
5.	Найти экстремали функционала
«(У (¦*)] = J (У'' + 2УУ' — 16у2) dx.
6.	Найти экстремали функционала
7.	Найти экстремали функционала
¦ ,% dx.
г» У
8.	Найти экстремали функционала
v [у (х)] = Г (у2 + У'' — 2у sin x) dx.
9.	Найти экстремали функционала
V [У (X)} = J A6у2 — у •+- ДГ2) dX.
10.	Найти экстремали функционала
Х\
v [у (х)\ = Г Bjry + у') dx
Хз
11.	Найти экстремали функционала
и [у (дг), г (д:)] = Г Bуг — 2уг + у'2 — г'2) dx.
к
12.	Написать уравнение Остроградского для функционала
v[z(x, y)l= / / Hs— — ^—I \dxdy.
1 yn J J l\dx) \dy ) \ *
D
13.	Написать уравнение Остроградского для функционала
'i- (л, у. и?I = / / / I	1 -4- I	1 -4- I	1 ~т~ 2w,/ (л. у, ^*) dx dy t
J .1 J L\ ^-^ / \ ^y / \ ^ /	J
D
14.	Найти экстремали функционала
Г v''
22 Л. Э. Эльсгольц

326 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. в
15. Найти экстремали функционала
v [у (х)} = Г (у2 + У'2 + 2Уех) *х.
Хц
16.	Найти экстремали функционала
v [у (-*)] = Г (у2 — у'2 — 2у sin x) dx.
17.	Найти экстремали функционала
vfv(jcYl= I v2-+-(v'^2-l	— \ dx.
18.	Найти экстремали функционала
f [У (¦«)] = / Iх2 (У'J + 2у2 + 2дгу] йл
19.	Найти экстремали функционала
v [у (х)\ = Г [(у"J — 2 (у'J + У2 — 2у sin x] dx.
х„
20.	Найти экстремали функционала
» [У (*)] = / ((У'"J + У2 - 2ух3] dje.

ГЛАВА 7
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами
В главе 6 при исследовании функционала
v= f F(x, y, y')dx
предполагалось, что граничные точки (х0, у0) и (лг,. ух) заданы.
Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут
перемешаться. Тогда класс допустимых кривых расширяется, — кроме
кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой
кривой, можно уже брать и кривые со смещенными граничными
точками.
Поэтому если на какой-нибудь кривой у = у(х) достигается
экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум
тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых,
имеющих общие граничные точки с кривой у = у(х), и, следова-
следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достиже-
достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие —
функция у (х) должна быть решением уравнения Эйлера
у dx '
Игак, кривые у = у(х), на которых реализуется экстремум в задаче
с подвижными границами, должны быть экстремалями.
Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные
постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия.
В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были
У(-*о) = Уо и
22»

328
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
[ГЛ. 7
В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсут-
отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных по-
постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены
из основного необходимого условия экстремума — равенства нулю
вариации 6v.
Так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается
лишь на решениях у = у(х, Cv C2) уравнения Эйлера, то в даль-
дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях
этого семейства. При этом функционал v[y(x, Cv C2)] превращается
Рис. 7.1.
в функцию параметров Сх и С2 и пределов интеграции х0 и xv
а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции.
Для упрощения будем считать, что одна из граничных точек, например
(х0, у0), закреплена, а другая (xv у{) может перемещаться и пере-
переходит в точку (Xj-)-Axx, уг —j- Дух), или, как обычно обозначают
в вариационном исчислении, (Xj-j-бХ], yi~\-by{).
Допустимые кривые у = у (х) и у = у (х) -f- by будем считать
близкими, если модули вариаций бу и бу' малы, и 'малы модули
приращений Ьх1 и Ьух (приращения бХ] и 6у1 обычно называют
вариациями предельных значений хг и yj).
Экстремали, проходящие через точку (х0, у0), образуют пучок
экстремалей у = у(х, Сх), Функционал v[y{x, Cj)] на кривых этого
пучка превращается в функцию С1 и xv Если кривые пучка
у = у(х, Cj) в окрестности рассматриваемой экстремали не пересе-
пересекаются, то v[y(x, Cj)] можно рассматривать как однозначную функ-
функцию Xj и уг, так как задание хх и ух определяет экстремаль пучка
(рис. 7.1) и тем самым определяет значение функционала.
Вычислим вариацию функционала v [у (х, С^)] на экстремалях
пучка у = у(х, Сх) при перемещении граничной точки из положения
(Xj, ух) в положение (xlJrbx-[, у, -j- Ьух). Так как функционал v на
кривых пучка превратился в функцию xt и yv то его вариация

§ 1)	• ПРОСТЕЙШАЯ4 ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	329
совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из прираще-
приращения Дг> главную линейную по отношению к бх, и бу[ часть:
Xy-t-bXi	x:
&v = J F (х, у + бу, у' + бу') dx — Г F (х, у, у') dx =
= j Fix. у + бу, y'+by')dx +
у, y')]dx. G.1)
Первое слагаемое правой части преобразуем с помощью теоремы
о среднем значении:
/F(x, y + 6y, y' + 6y')fifx— F\ x +e. 6xj, гдеО<6<1,
X]
в силу непрерывности функции F будем иметь:
где 6,-э-О при бх,-*0 и бу,-*0.
Итак,
J F(x, у+бу, у' +by')dx = F(x. у. у')|г_, Лл:, -I-е, б^.
Второе слагаемое правой части G.1) преобразуем путем разложения
подынтегральной функции по формуле Тейлора
. У + 5у, y' + by') — F(x, у, y')]dx =
= I [/?y(X, у, у')бу + Fy' (X, у, у'1 бу'1 rfX + /?!,
где /?j является бесконечно малой более высокого порядка, чем 6у
или 6у'. В свою очередь линейная часть
J

330
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
[ГЛ. 7
может быть преобразована путем интеграции по частям второго сла-
слагаемого подынтегральной функции к виду
IF,-
х,
Значения функционала берутся лишь на экстремалях, следовательно.
Fy —-г— Fy- = 0. Так как граничная точка (лг0, у0) закреплена,
то 6у \х_х = 0. Следовательно,
f (Fy by 4- Fy by')dx = [Fy by] \x=Xi.
Заметим, что Ьу\х=х> не равно бух — приращению уи так как 6у,—
эго приращение у, при перемещении граничной точки в положение
4
Ух-\-Ьу{), а Ьу\х=х —это приращение ординаты в
точке, л:, при переходе от экстремали, проходящей через точки
(х0, у0) it (jfj. у,) к экстремали, проходящей через точки (xQ, y0)
и (хх + bxv y] f 6yj) (рис. 7.2).
Из чертежа видно, что BD = Ьу \х=х; FC =
ЕС
= FC-EC
или
При этом приближенное равенство справедливо с точностью до бес-
бесконечно малых более высокого порядка.

§ I]	' ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	331
г,+йлг.
Итак, окончательно имеем: I Р dx я* F \х_х бл^;
f [Pi*. У~Иу. y'-hh')-F(x, у, y')]dx~
«/'y'U,, ¦Fу1-/(лг1Nх1),
где приближенные равенства также справедливы с точностью до
членов порядка выше первого относительно бл:, и Ьух. Следовательно,
из G.1) получим -
°^=р U*, 6*i + py U*. 0л - у' (*i) 6*i)=
= (F - y'Fr) }x=Xi Ьх, + Pr \xmXi Ьух.
или
dv (*lf у,) = (F - y'Fy) \x=x> dx, + /'у |,„, ЙУ1.
где v(xlt y{) — функция, в которую превратился функционал v на
экстремалях у = у(лг, Сх), а ^лгх = Дл^ =6^, й?у1=Ду1=6у1 —
приращения координат граничной точки. Основное необходимое
условие экстремума bv = 0 приобретает вид
{Р-у'Ру)\х,Х1Ъхх + Ру\ХшХЬух = О. ¦	G.2)
Если вариации 6лгг и Ьух независимы, то отсюда следует, что
(/>-y'/V)U, = o и FvU, = o.
Однако чаще приходится рассматривать случай, когда вариации блг,
и 6^1 зависимы.
Пусть, например, правая граничная точка (л^, ух) может пере-
перемещаться по некоторой кривой
Тогда 6yj я; ф' (лгх) Ьхх и, следовательно, условие G,2) принимает
вид [F + (ф' — у ) Fy']bxx = 0 или, так как бл^ изменяется произ-
произвольно, то [/?-|-(ф'—у') Fy] x_x =0. Это условие устанавливает
зависимость между угловыми коэффициентами ф' и у' в граничной
точке. Оно называется условием трансверсальности.
Условие трансверсальности совместно с условием У1=ф(лг1) по-
позволяет, вообще говоря, определить одну или несколько экстоема-
лей пучка у — у(х, С,), на которых может достигаться экстремам.
Если граничная точка (х0, у0) может перемещаться по некоторой
кривой Уо='Ф(-*гоI т0 совершенно так же обнаружим, что и в точке
(лг0, у0) должно удовлетворяться условие трансверсальности

'332	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ' |ГЛ. 7
Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционалов вида
X,
v=* J А (х, у) ]Л+у'2 dx.
Условие трансверсальности F-\-Fy, (<р' —у')=0 имеет в данном случае вид
V I + у'	V l + у •
предполагая, что А (х, у) Ф О в граничной точке, получим 1 + y'q/ = 0 или
у' — ——г. т. е. условие трансверсальности свелось в данном случае к ус-
условию ортогональности.
Пример 2. Исследовать на экстремум функционал
причем у@)=0, а у, = хх—5 (рис. 7.3). Интегральными кривыми уравне-
уравнения Эйлера (пример 1, стр. 324) являются окружности (а: — С,J -f у2 = С?,.
Рис. 7.3.
Рис. 7.4.
Первое граничное условие дает Сх = Сг. Так как условие трансверсальности
для данного функционала сводится к условию ортогональности (см. преды-
предыдущий пример), то прямая у, = хх -^-5 должна быть диаметром окружности
и, следовательно, центр искомой окружности находится в точке @, 5) пере-
пересечения прямой у, — xt —5 с осью абсцисс. Следовательно, (х — 5J -\- у2=
= 25, или у = ± Y^x — х2. Итак, экстремум может достигаться лишь на
дугах окружности у =У10х~х2 и у = — ]/~\0х — х2.
Если граничная точка (xv уг) может перемещаться лишь по вер-
вертикальной прямой (рис. 7.4) и, следовательно, блг, = 0, то усло-
условие G.2) переходит в Fv | = 0.
Пусть, например, в задаче о брахистохроне (см. стр. 304) левая гранич-
граничная точка закреплена, а правая может перемещаться по вертикальной
прямой.

§ 1]
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
333
Экстремалями функционала v = / -L—JlZ— dx являются циклоиды, урав-
. {	У*
нения которых, если принять во внимание условие у @) = 0, будут иметь
вид
х = С, {t — sin t),
у = С, A — COS t).
Для определения Сх используем условие Fy, | = 0, которое в данном
случае имеет вид
'О,
У'
откуда у' (хх) =0, т. е. искомая циклоида должна пересекать прямую х— хх
под прямым углом и, следовательно, точка х = хь y = )'i должна быть
0
\
У
X
л —
/ \
В
Х'Х,
Рис. 7.5.
вершиной циклоиды (рис. 7.5). Так как вершине соответствует значение
t= л, то хх = С{л, С, = —-. Следовательно, экстремум может реализоваться
лишь на циклоиде
х = -?- (t — sin t); у = 41- A — cos <).
Если граничная точка (Xj, yi) в задаче об экстремуме функцио-
нала w= I Z7 (х, у, y')dx может перемещаться по горизонтальной
прямой y = yj, то бух = 0 и условие G.2),* или условие трансвер-
трансверсальности, принимает вид

334	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ГЛ. 7
§ 2. Задача с подвижными границами
для функционалов вида Г F(x, у, г, у', z')dx
- «1
Если при исследовании на экстремум функционала
©= j F(x, у. z, у', z')dx
одна из граничных точек, например В(хг, ylt z{), перемещается,
а другая, А(х0, у0, z0), неподвижна (или обе граничные точки под-
подвижны), то очевидно, что экстремум может достигаться лишь на инте-
интегральных кривых системы уравнений Эйлера
Действительно, если на некоторой кривой С реализуется экстремум
в задаче с подвижными границами, т. е. достигается максимальное
или минимальное значение v по сравнению со значениями v на всех
близких допустимых кривых, среди которых находятся как кривые,
имеющие общие граничные точки с кривой С, реализующей экстре-
экстремум, так и кривые, у которых граничные точки не совпадают с гра-
граничными точками кривой С, то тогда подавно на кривой С дости-
достигается экстремум по отношению к более узкому классу близких
кривых, имеющих общие граничные точки с кривой С.
Следовательно, на кривой С должны удовлетворяться необходи-
необходимые условия экстремума задачи с неподвижными .граничными точками,
и, в частности, кривая С должна быть интегральной кривой системы
уравнений Эйлера.
Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре
произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки
^ (*о> Уо> zo)< которую мы считаем неподвижной, можно, вообще
говоря, исключить две произвольные постоянные.
Для определения двух других произвольных постоянных необхо-
необходимо иметь еще два уравнения, которые будут получены из условия
bv — О, причем при вычислении вариации мы уже будем считать, что
функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера,
так как только на них может достигаться экстремум. При этом
функционал v превращается в функцию Ф(х1, yv zx) координат xv
ух, zx точки B(xv yv 2j), и вариация функционала превращается
в дифференциал этой функции *).
*) Функция Ф будет однозначной, если экстремали пучка с центром
в точке А не пересекаются, так как тогда точка В(хь yt, г^) однозначно
определяет экстремаль.

* 41	•	ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	335
Вычисление вариации v может быть проведено совершенно так
же, как на стр. 328 — 331:
дг,+блг,
Av= J F(x, y + by, z + bz, y' + by', z' + bz')dx —
Xr
— J F(x, y, z, y'. z')dx =
in
лг,+блг,
= J F(x, y + by, z-\-bz, y' + by'. z'-\-bz')dx-f-

+ J [F{x, y + by, z + bz, y' + by', z'+bz') —
— F{x, y, z, y', z')\dx.
Применим теорему о среднем значении к первому интегралу и вос-
воспользуемся непрерывностью функции F, а во втором интеграле
выделим главную линейную часть с помощью формулы Тейлора.
После этих преобразований получим
х,
bv = F \X?iXi Ьхх + J [Fyby + F2bz + Fy by' +• /v Ьг'\ dx.
Xi
Интегрируя по частям два последних слагаемых, стоящих под знаком
интеграла, будем иметь:
-h FA bz'\dx-
Так как значения v вычисляются лишь на экстремалях, то
и, следовательно,
to = F \XBXi bxx + [Fy by]x=Xi + [Fa. bz\x=x.
Рассуждая так же, как и на стр. 330, получим
by |ЛГ=ЛГ] ~ Ьуг — у' (хх) блг, и bz \XmXi » 6zt — г' (xx)bxlt
и, следовательно,
bv = [F- y'Fy - z'F*\XmXl 6*i + Fy |,=Jtlбу, + Ft. | Xmj>zx = 0.

336	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ГЛ. 7
Если вариации 6xv byv bzx независимы, то из условия bv = 0 по-
получаем
[F-y'F9.-z'F..]XmX=0i /VU,=O и /vU,, = 0.
Если граничная точка B(xv ух, z{) может перемещаться по не-
некоторой кривой yi = <f(xly, 2 = il)(x1), то 6у, =ф/(х1Nлг1, a bzx =
= i|/ (jcj) блГ] и условие bv = О или	*
[/> _ у<Ру. _ z'/v W, 6xt -f /V L,, 6у, + /V U,,, 6г, = О
переходит в условие
' - У') /'у' + (V ~ Z') РгЛХтХ1 ИХ, = О,
откуда в силу произвольности б*! получим
[Р4- (ф' - У') ^у 4- (Ч>' - г') /?,'],вЛ1 = 0.
Это условие носит название условия трансверсальности в задаче
об исследовании на экстремум функционала
-с,
v= \F(x, у, z, у', z')dx.
х-,
Условие трансверсальности совместно с уравнениями у]=ф(лг1)
21=='ф(х1) дает недостающие уравнения для определения произволь-
произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.
Если граничная точка B(xv yx, zt) может перемещаться по не-
некоторой поверхности 2,=ф(х1, yj, то dzx =q'xdxl -f ф' буи при-
причем вариации Ьх1 и 6_У[ произвольны. Следовательно, условие 6г> = 0
или, в развернутом виде,
[F - y'Fy - z'Fr \хжХ1 Ьхг + Fr \xbXi by, + F* \x= r_ bzx = 0
преобразуется в условие
Отсюда в силу независимости 6лг, и бу, получим
[Р-У'Ру + (ф;~ 'O^-U, =0. [Ру. + P,V'y]x__Xi=0.
Эти два условия вместе с уравнением zl=<p(xl, y{), вообще говоря,
дают возможность определить две произвольные постоянные в общем
решении системы уравнений Эйлера.
Если подвижной является граничная точка А (х0, у0, zQ), то тем же
методом в этой точке получим совершенно аналогичные условия.

§ 21	ЗАДАЧА G ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Если рассмотреть функционал
337
то без изменения метода доказательства получим, что в случае под-
подвижной точки B(xv уп, у21, .... уп1) в этой точке
ЯуГ,.
(=1
2
1=1
Ьуп=О.
х=х,
Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала
v = Г А (х, у, г) \\ + у'2 + z'2 dx, если гх
Условия трансверсальности
в данном случае имеют вид 1 ~\- <$'xz' = О и у' -f- <$'уг' = 0 при х — х} илн
1 у' г'
—— = -by- =	 при х = хи т. е. являются условием параллельности вектора
Фл Фу — 1
касательной f A, у', г') к искомой экстремали в точ-
точке (.*,, уь ^i) и вектора нормали N (<$'х, фу, —l) к по-
поверхности z — ф (х, у) в той же точке. Следова-
Следовательно, условие трансверсальности становится в
данном случае условием ортогональности экстремали
к поверхности z = <р (х, у).
Пример 2. Найти экстремальное расстояние
между двумя поверхностями
Z = ф (X, у) И Z = ф (X, у).
Иначе говоря, найти экстремум интеграла
J У 1

у'2 + z'2 dx при условии,- что коорди-
Рис. 7.6.
наты одной из граничных точек (дг0> у0, г0) удовлет-
удовлетворяют уравнению г0 = ф (ха у0), а координаты дру-
другой граничной точки (xt уи гх) удовлетворяют
уравнению zt «= if (jf,, yi).
Так как подынтегральная функция зависит лишь от у' и г', то экстре-
экстремалями являются прямые линии (см. пример 2, стр. 307) Так как функционал
Х\
Г У • + У'2 + г'2 dx является частным случаем рассмотренного в преды-
*>
дущем примере функционала Г А (х, у, г) ]Л + у'2 + г'2 dx, то условия

338	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ГЛ. Г
трансверсальности как в точке (Xq, у0, г0), так и в точке (jtj, у{, zt) переходят
в условия ортогональности. Следовательно, экстремум может достигаться
лишь на прямых, ортогональных как к поверхности г = q> (x, у) в точке
(ха, Уо> zQ), так и к поверхности г—-§{х, у) в точке (*,, у„ г,) (рис. 7.6).
Пример 3. Исследовать на экстремум функционал
к=ь Г (у'2 -\- г'2 -f- lyz) dx, причем у @) = 0;г@)=0, аточка(д:1Ау1,г1)может
X)
перемещаться по плоскости х = хх. Система уравнений Эйлера имеет вид
г" — у = 0; у" — 2 = 0, откуда y'v — у = 0; у = С, сЬд;4- C2sh х + C3cosx-\-
-f- С, sin х, г = у"; г = Cj ch л: -)- С2 sh л: — С3 cos j: — С4 sin x. Из условий
у @) = 0 и z @) = 0 получаем: Ci -f C3 = 0 и С, — С3 = 0, откуда d = С3 = 0.
Условие в подвижной граничной точке
(F—yFv—
v ' У
переходит в условия
/VI =0 и /%,| =0,
так как 6^] = 0, а 6у, и 6^! произвольны. В рассматриваемом примере
Fy, = 2у'; /гг. = 2г', следовательно
= 0 и г'(-«1) = 0
С2 ch х, -(- С4 cos ^=Ои C2-ch j:, —^74 cos jc, = 0.
Если cos Х\ Ф 0, то С2 = С, = 0 и экстремум может достигаться лишь на
прямой у = 0; г = 0. Если же cos х, = 0, т. е. хх = ¦=• + ля, где я — целое
число, то Сг = 0, С, — произвольная постоянная, у = С4 sin ;t, г = — С4 sin дт.
Нетрудно проверить, что в последнем случае при любом С4 функционал и = 0.
§ 3. Экстремали с угловыми точками
До сих пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых
искомая функция у = у (х) предполагалась непрерывной и имеющей
непрерывную производную. Однако во многих задачах последнее
требование является неестественным, более того, в некоторых классах
вариационных задач решение, как правило, достигается на экстре-
экстремалях, имеющих угловые точки. К числу таких задач принадлежат,
например, задачи на отражение и преломление экстремалей, являю-
являющиеся обобщением соответствующих задач на отражение и прело-
преломление света.
Задача об отражении экстремалей. Найти кривую, реа-
х,
лизующую экстремум функционала v = I F (х, у, y')dx и проходящую
х„
через заданные точки А(х0, у0) и В(х2. У2)- причем кривая должна

«31
ЭКСТРЕМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
339
попасть в точку В лишь после отражения от заданной линии у =<р(х)
(рис. 7.7).
Естественно считать, что в точке отражения C(xv ух), может быть
угловаяточка искомой экстремали и, следовательно, в этой точке левая
производная у' (хх — 0) и правая
производная у' {хх -f- 0), вообще
говоря, различны. Поэтому удоб-
удобнее функционал v[y(x)] предста-
представить в виде I
v [У (*)] = f F(x, у, у') их 4-
+ J F(x, у, y')dx,
Рис. 7.7.
причем на каждом из интервалов
хо ^ х ^ xi и xi ^ х ^ Х2 производная у' (х) предполагается непре-
непрерывной и, следовательно, мы можем пользоваться изложенными выше
результатами.
Основное,необходимое условие экстремума 6г> —0 принимает вид
Х\	Х2
bv = bfp(x, у, y')dx-\-b J F(x, у, y')dx=0.
X,,	Г,
Так как точка (xv y{) может перемещаться по кривой у=(р(х), то
при вычислении вариаций 6 Г F(x, у, y')dx и 6 f F(x, у, y')dx
Ха	X,
мы находимся в условиях задачи с подвижной граничной точкой,
движущейся по заданной кривой, и можем использовать результаты
§ 1 (стр. 327). Очевидно, что кривые АС и СВ являются экстре-
экстремалями. Действительно, на этих участках >'=у(л:) является решением
уравнения Эйлера, так как если считать одну из этих кривых уже
найденной и варьировать лишь другую, то задача сводится к нахо-
X,	I	X,	\
ждению экстремума функционала Г Р dx\ или Г Р dx\ в задаче
х-,	\ х,	!
с закрепленными граничными точками. Поэтому, вычисляя вариацию
функционала, будем уже считать, что функционал рассматривается
лишь на экстремалях, имеющих угловую точку С. Тогда
х,
bJF{x, у, y')dx = l
X,

340
И
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
ГГЛ. 7
(см. стр. 331). где знаки лг = лг,— 0 и х = лгх -f- 0 означают, что
берется предельное значение величины, стоящей в скобках прч при-
приближении к точке X] в первом случае слева (со стороны значений х,
меньших х{) и во втором случае справа (со стороны значений х,
больших х{). Так как в точке отражения разрывна лишь производ-
производная у', то в первом случае надо взять в угловой точке левую про-
производную, а во втором случае — правую производную.
Условие bv — 0 принимает вид
или, так как Ъхх изменяется произвольно, то
[F + Ор' - /) /VU,,_0 = IP + (Ф' ~ У')
или
^(*1. Уи /(х,-0))+(Ф'(х1)-
— /(^i — 0))Fr(Xl, yv /(*i-0)) = /7(*1,
у,.
Это условие отражения приобретает особенно простой вид для функ-
функционалов типа
v= f A(x,
а именно:
r=x,+O
или, упрощая и сокращая на А {хх, ух) в предположении, что
А {хх, ух) Ф 0, получим
+ ф'У'
'у'
Обозначив угол между касательной к кривой у = ф(лг) и осью
абсцисс буквой а, а углы наклона к оси абсцисс левой и правой

341
§ 31	ЭКСТРЕМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
касательных к экстремали в точке отражения С, соответственно
Pi и р2 (рис. 7.8), получим
Условие в точке отражения приобретает вид
1-ftga.
lH-tga-tgp,
sec p2
— sec Pi
или после упрощения и умножения на cos a:
— cos (а — р,) = cos (a — р2).
Отсюда следует равенство угла падения и угла отражения.
Рис. 7.8.
Если точка движется в некоторой среде со скоростью v(x, у),
то время t, затрачиваемое на перемещение точки из положения A (х0, у0)
в положение B(xv ух), равно интег-
интегралу
Г У1
J v(x,
..'2
¦У В(Хг,Уг)
-dx, который принад-
принад>(х, у)
лежит к рассматриваемому виду функци-
функционалов I А (х, у) г 1 -+- у'2 dx, и сле-
учр/xi
CfaMl
довательно, при любом законе измене-	Рис' 7-9'
ния скорости v(x, у) в точке отражения угол падения равен углу
отражения.
Если бы точки А, В и С были расположены иначе, например так
как они расположены на рис. 7.9, то для получения того же условия
в точке отражения из-за двузначности функции у — у(х) удобнее
было бы проводить исследование в параметрической форме.
23 Л. Э. Эльсгольц	'••

342	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ГЛ. 7
Преломление экстремалей. Предположим, что подынтег-
ральная функция функционала г> = Г F(x, у, y')dx в рассматри-
х„
ваемой области имеет линию разрыва у=ф(х), а граничные точки
А и В расположены по разные стороны линии разрыва (рис. 7.10).
Представим функционал v в виде
v= f Ft(x, у, y')dx+ f F2(x, y, y')dx,
Xa	¦ X,
где F\(x, y, y') = F(x, у, у') с одной стороны линии разрыва,
a F2(x, у, y')=F(x, у, у') с другой стороны линии разрыва.
Рис. 7.1 >
Предположим, что Fx и F2 трижды дифференцируемы. В точке С
пересечения искомой кривой с линией разрыва естественно ожидать
наличия угловой точки. Дуги АС и СВ, очевидно, являются экстре-
экстремалями (это опять следует из того, что, фиксируя одну из этих дуг
и варьируя лишь другую, мы получим задачу с закрепленными гра-
граничными точками). Поэтому можно брать в качестве кривых сравне-
сравнения лишь ломаные, состоящие из двух дуг экстремалей, и тогда
вариация ввиду подвижности граничной точки С(хх, ух), перемещаю-
перемещающейся по кривой у==ф(х), принимает следующий вид (см. стр. 331):
х,	х2
bv — b Г Fx(x, у, y')dx + b J F2(x, у, y')dx =
и основное необходимое условие экстремума bv = 0 сводится к ра-
равенству
(Ф' - У') 'VW.-o = ^ 2 + (Ф' - У') ?Ъ'

§ 3]	ЭКСТРЕМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ	343
Так как в точке преломления может быть разрывна лишь у',
то это условие преломления можно записать и в следующем виде:
+ (<p'(*i) — y'(*i -0))Лу(*1. Уи /(*1—0)) =
= /72(*1. у„ y'(*i + 0)) +
+ (ф/(х1)-/(*1 + 0))/72у(*1. Ур y'(*i + 0)).
Это условие преломления вместе с уравнением у1=ф(лг1) дает
возможность определить координаты точки С.
Если, в частности, функционал v равен
А{х, у) К 1 -f- у'2 dx —
= f Л, (х, у) /l+У'2 ^ + / ^2 (x,- У) V"l + y'2
то условие преломления приобретает вид
^i(x, у)-
= Л2(х, у)
ср'У
или, сохраняя обозначения стр. 340—342, у' (*! — 0) = tgpt,
у'(Х|-)-0) =tgp2, 9/(x1) = tga, после упрощений и умножения на
cos a будем иметь:
cos (a —Pi) 	 А2(хъ у,)
cos (a—p2) ^4i (лГ]. у,)
или
sin [-5- — (a— p,)]
sin^-(a-p2)j
что является обобщением известного закона преломления света:
отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равн<
отношению скоростей
^<х- У) = теГу7 и (х> у)г=ХтЬо (ср- стр' 341)
в средах, на границе которых происходит преломление.
Не следует думать, что экстремали с угловыми точками появляются
лишь в задачах на отражение или преломление экстремалей. Экстре-
Экстремум может достигаться на экстремалях с угловыми точками даж(
Xi
в задачах на экстремум функционала v— I F(x, у, y')dx, где функ-
ция F трижды дифферениируема, и допустимые кривые должны про-
проходить через граничные точки А а В без каких бы то ни было
дополнительных условий.

344	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ГЛ. 7
Исследуем, например, функционал
2
v= /"/"(I — y'fdx, у@) = 0; уB)=1.
Так как подынтегральная функция положительна, то v ^ 0, и сле-
следовательно, если на какой-нибудь кривой функционал v = О, то на
этой кривой заведомо реализуется абсолютный минимум функцио-
функционала v, т. е. наименьшее значение функционала на допустимых кри-
кривых. Нетрудно видеть, что на ломаной у = х при О <С х <^ 1 и у = 1
при 1 < х <^ 2 (рис. 7.11) функционал
v=0, так как на этой ломаной
подынтегральная функция тождественно
у*1 til)	равна нулю. Следовательно, на этой
' '	ломаной реализуется абсолютный ми-
минимум функционала.
^х Абсолютный минимум функционала:
*" v = О, достигается также и на лома-
ломаных, изображенных на рис. 7.13.
рис 711	С другой стороны, легко видеть, что
на гладких кривых значения функцио-
функционала строго больше нуля, хотя и могут
быть сделаны сколь угодно^ близкими к нулю. Действительно, подын-
подынтегральная функция обращается в нуль только при у = х -j- C]
или при у — С2, но линии, составленные из отрезков прямых этих
семейств, проходящие через точки Л @, 0) и В B, 1), могут быть лишь
ломаными. Однако, сглаживая точки излома путем соответствующего
изменения функции в сколь угодно малой окрестности этих точек,
мы можем получить гладкую кривую, значение функционала на ко-
которой сколь угодно мало отличается от значений функционала на
ломаной. Таким образом, v = 0 является точной нижней гранью
значений функционала v на гладких кривых, но эта точная нижняя
грань на гладких кривых не достигается, а достигается на кусочно-
гладких кривых.
Найдем условия, которым должны удовлетворять решения с угло-
угловыми точками задачи об экстремуме функционала v[y(x)] =
= I ^(лг, у, y')dx. Очевидно, что отдельные гладкие дуги, из кото-
X»
рых составлена ломаная экстремаль, должны быть интегральными
кривыми уравнения Эйлера. Это следует из того, что если зафик-
зафиксировать все звенья ломаной, кроме одного, и варьировать лишь это
одно звено, то задача сводится к простейшей задаче с закреплен-
закрепленными границами и, следовательно, это звено должно быть дугой
экстремали.

ЭКСТРЕМАЛИ G УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
345
Считая для упрощения записи, что ломаная экстремаль имеет
лишь одну угловую точку *), найдем условия, которые должны удо-
удовлетворяться в угловой точке:
v= { F(x, у, y')dx — С F(x, у, y')dx-\- Г F (х, у, y')dx,
*¦>	*0	-X,
где jcj — абсцисса угловой точки (рис. 7.12). Считая, что кри-
кривые АС и СВ являются интегральными кривыми уравнения Эйлера
С(х,
Рис. 7.12.
и что точка С может произвольно перемещаться, получим согласно § 1.
стр. 331:
\x.Xl+o
откуда
или, так как 6х, и 6_у, независимы, имеем
\х=х,-о
Эти условия вместе с условиями непрерывности искомой экстремали
позволяют определить координаты угловой точки.
*) Если угловых точек несколько, то к каждой из них применимо то же
самое рассуждение.

346	ЁАРИАцЙОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ТП. 1
Пример 1. Найти ломаные экстремали (если они существуют) функ-
а
ционала v = I (у'г — уг) dx. Напишем второе из условий, которые должны
о
выполняться в точке перелома, Fy, | _ = Fy. |	, или в данном слу-
случае *2у' (.*, — 0) = 2у'(Xi +0), откуда
у' (х, — 0) — у' (х, -j- 0), т. е. производ-
производная у' в точке Х\ непрерывна, и гоч-
ки перелома нет. Следовательно, в рас-
рассматриваемой задаче экстремум может
достигаться лишь на гладких кривых.
Пример 2. Найти ломаные экстрема-
Xi
функционала f= I у' A—у'J dx. Так
X,
как подынтегральная функция зависит
Рис. 7.13.	лишь от у', то экстремалями являются
прямые линии у = Сх-\- С (см. стр. 301).
Условия в точке перелома в данном случае принимают вид
- У2 A - У) A - зу) \x=Xi_0 = - у2 A - у') A - зу) U ri+0
и
2у' A — у') A — 2у') \х_х _0 == 2у' A — у') (I — 2у') \х_х +0.
Эти условия, не считая тривиальной возможности
удовлетворяются при
У (*,-()) = 0
или
и
Следовательно, ломаные экстремали могут состоять только из отрезков пря-
прямых, принадлежащих семействам у = С, и у = х-\- С? (рис. 7.13).
§ 4. Односторонние вариации
В некоторых вариационных задачах об экстремуме функцио-
функционала v[y{x)\ на класс допустимых кривых может быть наложено
ограничение, запрещающее им проходить через точки некоторой
области R, ограниченной кривой Ф(х, у) = 0 (рис. 7.14). В этих
задачах кривая С, реализующая экстремум, или проходит целиком
вне границы области R, и тогда она должна быть экстремалью, так
как' в этом случае наличие запрещенной области R совершенно не
влияет на свойства функционала и его вариации в окрестности кри-

§4)
ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ
347
вой С, и рассуждения главы 6 остаются справедливыми, или кривая С
состоит из дуг, лежащих вне границы R, и из частей границы
области R. В этом последнем случае возникает новая ситуация:
на частях границы области R возможны лишь односторонние вариа-
вариации кривой С, так как внутрь области допустимые кривые заходить
не могут. Части кривой С, лежащие вне границы области R, должны
по-прежнему быть экстремалями, так как если варьировать кри-
кривую С лишь на таком, допускающем двусторонние вариации, участке,
Рис. 7.14.
то наличие области R на вариации у влиять не будет, и выводы
главы 6 остаются справедливыми.
Таким образом, в рассматриваемой задаче экстремум может дости-
достигаться лишь на кривых, состоящих из дуг экстремалей и частей гра-
границы области R, а следовательно, для построения искомой кривой,
реализующей экстремум, надо получить условия в точках перехода
экстремали на границу области /?, дающие возможность определить
эти точки. В случае, изображенном на рис. 7.15, необходимо полу-
получить условия в точках М, N, Р и Q. Получим, например, условие
в точке М. Совершенно аналогично можно было бы получить усло-
условия и в других точках перехода экстремали на границу,области
При вычислении вариации 6v функционала
= J F(x, у, y')dx = f F(x, у,
f F(x, y, y')dx
мы можем считать, что вариация вызывается лишь смещением
точки М(х, у^ на кривой Ф(лг, у) = 0. т. е. можно считать, что
при всяком положении точки М на криной Ф(х, у) = 0 дуга AM
является уже экстремалью, а участок MNPQB не варьируется-

348	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Функционал
[ГЛ. 7
. у, y')dx
х.
имеет подвижную граничную точку, перемещающуюся по границе
области R, уравнение которой Ф(лг, у) = 0, или в разрешенном
в окрестности точки М относительно у виде: y — q>(x).
Следовательно, согласно § 1 (стр. 331)
Х\
Функционал г>2= Г F (х, у, y')dx также имеет подвижную гра-
х.
ничную точку (х, у), однако в окрестности этой точки кривая,
на которой может достигаться экстремум у = у(х), не варьируется.
Рис. 7.15.
Следовательно, изменение функционала v2 при перемещении точки (х, у)
в положение (х -\- 6х, y-f-бу) сводится лишь к изменению нижнего
предела интегрирования и
Xs	X,
Дг,2= Г F(X, у, y')dx— f F(x, у, y')dx =
X
х+бх	х+бх
= — J F(x, у, y')dx=— J F(X, ф(х), <p'(x))dx,
х+Ьх
так как на интервале (х, х-\-Ьх) у==ф(л;).
Применяя теорему о среднем значении и пользуясь непрерыв-
непрерывностью функции F, получим
Av2 = ~ F(x, ф(х), Ц)'{х))\х=-Ьх+р-6х,
где р->0 при бх->0.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 7	349
Следовательно, 6v2= — F(x, ц>(х), у'(х))\х=- Ьх,
bv = 6г», -\- bv2 = [F (х, у, /) ¦+
+ (Ф' - /) Ру (х, у, y%=-6x~F(x, у, Ф')и=гбх =
= [Р(х. у, y')-F(x, у, у') —(у' -<S>') Fу (х, у, /)]Х=-Ьх.
так как у (х) = ф (х).
Необходимое условие экстремума 6v = О ввиду произвольности 6л:
принимает вид
\Р(х. у, y')-F(x, у, фО — (у' -q')Fy'(x, у, у')\х=- = 0.
Применяя теорему о среднем значении, получим
(у'-ф') [/>(*• У. q) — Fy{x, у, у')]г=- = 0.
где q — значение, промежуточное между ф'(х) и у' (х). Снова при-
применяя теорему о среднем значении, будем иметь
где q — значение, промежуточное между q и у' (х). Предположим,
"что Fyy (х, у, q) ф 0. Это предположение является естественным
для многих вариационных задач (см. главу 8). В этом случае условие
в точке М имеет вид у' (х) = ф' (х) (q = у' только при у' (х) = ф' (х),
так как q — значение, промежуточное между у' (х) и ф' (х)).
Следовательно, в точке М экстремаль AM и граничная кри-
кривая MN имеют общую касательную (левую касательную для кривой
у = у (х), правую — для кривой у—ф(лг)). Итак, экстремаль
касается границы области R в точке М.
Задачи к главе 7
1. Найти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функ-
функционала
/'-lJ(y' + lJ^; У@)=0; у D) = 2.
2. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме
функционала
v [У (-*)] = J (У'2 + 1ху - у2) dx; у {ха) = у0; у (хх) = у,.

350	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ	[ГЛ. 1
3. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме
функционала
*1У (*)]¦=* f(y'*-*ty*)dx; y@) = 0;
о
4.	Найти условие трансверсальности для функционала
г,
v [У (*)] = J Л (х. у) earct« У 1^1 -f у'* </*. Л (л:, у) =? 0.
г,
5.	Пользуясь основным необходимым условием экстремума 6v = 0, найти
функцию, на которой может достигаться экстремум функционала
1
* [У (*)] = / (У - 2*У) ^а:; у @) = у' @) = 0;
о
У A) = -[go"; У' A) — не задано.
6.	Найти кривые, на которых может достигаться экстремум функционала
ю
Wy (*)] = / У'* dx; у@) = 0; у A0) = 0,
о
при условии, что допустимые кривые не могут проходить внутри круга, огра-
ограниченного окружностью
EJ + 29
7.	Найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала
я
Т
v [у {х)] = J (у2 — у'2) rf-r, у @) = 0,
о
я
если другая граничная точка может скользить по прямой лг = —.
8.	Пользуясь лишь основным необходимым условием 6v = 0, найти кри-
кривую, на которой может достигаться экстремум функционала
Vl 4- v'2
У JУ dx; y@) = 0,
если вторая граничная точка {xit у{) может перемещаться по окружности
(х — 9J -f- у2 = 9.

ГЛАВА 8
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
§ 1. Поле экстремалей
Если на плоскости (лг, у) через каждую точку некоторой области D
проходит одна и только одна кривая семейства у = у(х. С), то
говорят, что это семейство кривых в области D образует поле, или,
точнее, собственное поле. Угловой
коэффициент касательной р (лг, у) к
кривой семейства у — у(х, С), про-
проходящей через точку (х, у), называ-
называется наклоном поля в точке (х, у).
Например, внутри круга
т~ У2
параллельные прямые
Рис. 8.1.
у — х + С образуют поле (рис. 8.1),
причем наклон этого поля
р(х,у)=1. Напротив, семейство
парабол у—(х — аJ — 1 (рис. 8.2)
внутри того же круга поля не об-
образует, так как внутри этого круга
параболы рассматриваемого семейст-
семейства пересекаются.
Если все кривые семейства
у — у (х. С) проходят через некото-
некоторую точку (лг0, у0), т. е. образуют пучок кривых, то они заведомо
не образуют собственного поля в области D, если центр пучка при-
принадлежит области D. Однако если кривые пучка покрывают всю
область D и нигде не пересекаются в этой области, кроме центра
пучка, т. е. во всех точках, отличных от центра пучка, требования,
налагаемые на поле, выполнены, то говорят, что семейство у — у(х, С)
тоже образует поле, но в отличие от собственного поля в рассматри-
рассматриваемом случае поле называется центральным (рис. 8.3).

352
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
[ГЛ. 8
Например, пучок синусоид y = Csinx при 0 ^ х ^ а, а<л
образует центральное поле (рис. 8.4). Тот же пучок синусоид в
Рис. 8.2.
О
достаточно малой окрестности отрезка оси абсцисс б ^ х <[ а, где
6 > 0, а < л, образует собственное поле (рис. 8.4). Тот же пучок
синусоид в окрестности отрезка оси
абсцисс O^x^aj, ax > л, поля не
образует (рис. 8.4).
Если собственное или центральное
поле образовано семейством экстрема-
экстремалей некоторой вариационной задачи, то
оно называется полем экстремалей.
х	Понятие поля почти без изменения
-*"" переносится и на случай пространства лю-
любого числа измерений. Семейство уt =
= yi (x, Cr ..., Сп) (I = 1,2	п) образует
поле в области D пространства х, yit ..., уп<
если через каждую точку области D про-
проходит одна и только одна кривая семей-
семейства yl = yt (х, Су..., Сп). Функциями наклона поля р. (х, у у2	у )
(г = I, 2	п) называют частные производные от функций у( (*, Су С„	С )
по х, вычисленные в точке (х, yt, у2	уп); следовательно, для получения
Р,(*> Уv У2> ••- У„) наД° ВЗять ^j У,(•«. Сх, С2	Сп) и заменить Cv
С2, ..., Сп их выражениями через координаты х, у,, у2	уп. Аналогично
определяется и центральное поле.
Рис. 8.3.

§1]
' ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
353
Пусть кривая у = у(х) является экстремалью вариационной задачи
об экстремуме простейшего функционала
v[y(x)}= F(x, у, y')dx.
До
причем граничные точки Л(х0, у0) и B(xt, y{) закреплены. Говорят,
что экстремаль у = у(х) включена в поле экстремалей, если найдено
Рис. 8.4.
семейство экстремалей у — у(х, С), образующее поле,	содержащее
при некотором значении С — Со экстремаль у — у (х),	причем эта
экстремаль у = у(х) не лежит на границе области D,	в которой
У УМ-
Рис. 8.5.
Рис. 8.6.
семейство у = у(х, С) образует поле (рис. 8.5). Если пучок экс-
экстремалей с центром в точке А (х0, у0) в окрестности экстремали
у = у (х), проходящей через ту же точку, образует поле, то тем
самым найдено центральное поле, включающее данную экстремаль

354
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
ГГЛ. 8
у = у (х). За параметр семейства в данном случае можно взять угло-
угловой коэффициент касательной к кривым пучка в точке А (х0, у0)
(рис. 8.6).
Пример 1. Дан функционал
а
(У'2 — У
требуется включить дугу экстремали у = 0, соединяющую точки @, 0) и (а, 0),
где 0 < а < л в центральное поле экстремалей. Общее решение уравнения
Эйлера у" -\- у = 0 (см. стр. 298, пример 1) имеет вид у = Ci cos х -j- C2 sin x.
У
X X,
Рис. 8.7.
Из условия прохождения экстремалей через точку @, 0) получаем Cj = 0,
у = С2 sin х, причем кривые этого пучка на отрезке 0 < л: <, а. а < я обра-
образуют центральное поле, включающее при С2 = 0 экстремаль у = 0. Параметр
семейства С2 равен производной у'х в точке @, 0). Если в той же задаче
а > я, то семейство у = С2 sin x поля не образует (см. стр. 352)
Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства
^(х, у, С) = 0 пересекаются в точках С-дискриминантной кривой,
определяемой уравнениями
^(х, у, С) = 0; -|^=0.
Напомним, что в состав С-дискриминантной кривой, в частности,
входит огибающая семейства и геометрические места кратных точек
кривых семейства. Если ^(х, у, С) = 0 является уравнением пучка
кривых, то центр пучка также принадлежит С-дискриминантной кри-
кривой. Поэтому если взять пучок экстремалей у = у(х, С), проходя-
проходящих через точку (лг0, у0), и определить его С-дискриминантную кри-
кривую Ф(х,' у) = 0, то близкие кривые семейства у = у(х, С) будут
пересекаться вблизи кривой Ф(х, у) = 0 и, в частности, кривые
этого семейства, близкие к рассматриваемой экстремали у = у(х),
проходящей через точки А(х0, у0) и B(xv yj, будут пересекаться

§1]
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
355
в точках, близких к точкам касания (или пересечения) кривой
у = у(х) с С-дискриминантной кривой (см. рис. 8.7, на котором
С-дискриминантная кривая изображена жирной линией). Если дуга АВ
экстремали у = у(х) не имеет отличных от точки Л общих точек
с С-дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную
экстремаль, то достаточно близкие к дуге АВ экстремали пучка не
Рис. 8.8.
пересекаются, т. е. образуют в окрестности дуги АВ центральное
поле, включающее эту дугу (рис. 8.8).
Если дуга АВ экстремали у = у (х) имеет отличную от А общую
точку Л* с С-дискриминантной кривой пучка у = у (х, С), то близ-
близкие к у=у(х) кривые пучка могут пересекаться между собой и
с кривой у = у(х) вблизи точки А* и, вообще говоря, поля не обра-
образуют (рис. 8.7). Точка А* называется точкой, сопряженной с точ-
точкой А.
Полученный результат можно сформулировать так: для построе-
построения центрального поля экстремалей с центром в точке А,
содержащего дугу экстремали АВ, достаточно, чтобы точка А*,
сопряженная с точкой А, не лежала на дуге АВ. Это условие
возможности построения поля экстремалей, включающего данную
экстремаль, носит название условия Якоби.
Нетрудно сформулировать это условие и аналитически. Пусть
у = у(х, С) — уравнение пучка экстремалей с центром в точке Л,
причем параметр С можно для определенности считать совпадающим
с угловым коэффициентом у' экстремалей пучка в точке Л. С-дискри-
С-дискриминантная кривая определяется уравнениями
= у(х, С);
ду (х, С)
Вдоль каждой фиксированной кривой семейства производная ЯЛ—-
является функцией только х. Эту функцию кратко обозначим буквой и-

356	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	ГГЛ. 8
ду (х, С)	п	, д'у (х. С) .
и = ' \г—-, где С задано; отсюда и ——^^— • Функции
у = у (х, С) являются решениями уравнения Эйлера, поэтому
F (х, у(х, С), у'(х. C)) — -?-F,(x, у(х. С), у' (х, С)) = 0.
У V	л	/	Q.JC У \	л	/
„	_	с*у (л:, С)
Дифференцируя это тождество по С и полагая \^—- = и, получим
FyyU + Fyru' — ~(Fvyu +Fyyu')—0
йх
или
Здесь Fyy (x, у, у'), Fyy- {x, у, у'), Fyy (x, у, у') являются извест-
известными функциями х, так как второй аргумент у равен решению урав-
уравнения Эйлера у = у(х. С), взятому при значении С = С0, соответ-
соответствующем экстремали АВ. Это линейное однородное уравнение второго
порядка относительно и называется уравнением Якоби.
„	ду(х, С) ,
Если решение этого уравнения и = \^— • обращающееся
в нуль в центре пучка при х = х0 (центр пучка всегда принадлежит
С-дискриминантной кривой), обращается в нуль еще в какой-нибудь
точке интервала х0 < х < хх, то сопряженная с А точка, определяе-
определяемая уравнениями
у = у(х, Со) и ду ^ С) = 0 или и = 0,
лежит на дуге экстремали АВ*). Если же существует решение урав-
уравнения Якоби, обращающееся в нуль при х —х0 и более не обращаю-
обращающееся в нуль ни в одной точке отрезка х0 <1 х <^ x-j, то точек, сопря-
сопряженных с А, на дуге АВ нет, —условие Якоби выполнено, и дугу
экстремали АВ можно включить в центральное поле экстремалей
с центром в точке А.
Замечание. Можно доказать, что условие Якоби необходимо
для достижения экстремума, т. е, для кривой АВ, реализующей экстре-
экстремум, сопряженная с А точка не может лежать в интервале хо< х< Xj
Пример 2. Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала
а
v — Г (у'2 — у2) dx, проходящей через точки А @, 0) и В (а, 0)?
*) Заметим, что все нетривиальные решения линейного однородного диф-
дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющие условию
и (хй) = 0, отличаются друг от друга лишь отличным от нуля постоянным
множителем и, следовательно, обращаются в нуль одновременно.

§ 2)	ФУНКЦИЯ Е(х, I. р, у')	357
Уравнение Якоби имеет вид
— 2«——z—Bм') = 0 или u"-f-a = 0,
откуда
« = С, sin (л: — С2).
Так как «@) = 0, то С2 = 0; и=* dslnx. Функция и обращается в нуль
в точках х = kn, где k — целое число, и, следовательно, если 0 < а < л, то
на отрезке 0<*<а функция и обращается в нуль только в точке х = 0
и условие Якоби выполнено; если же а > л, то на отрезке 0 < х < а функ-
функция и обращается в нуль еще по крайней мере в одной точке х = я и усло-
условие Якоби не выполнено (сравните с примером 1, стр. 354).
Пример 3. Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала
проходящей через точки А @, 0) и В (а; 0)?
Уравнение Якоби имеет вид и" — и = 0.
рвнен Яо	е д
в форме u = Clsbx-\-C2cb х. Из
м = С\ sh х Кривые пучка и = Ci sh x
пересекают ось Ох лишь в точке
х = 0. Условие Якоби выполнено при
любом а.
§ 2. Функция ?(*, у, р, у')
Предположим, что в простей-
простейшей задаче об экстремуме функ
ционала
«¦>
V— Г F(x, у, y')dx;
Его общее решение возьмем
@) 0	С 0
го бщее ршение возьмем
условия и @) = 0 находим С, = 0.
Рис. 8.9.
условие Якоби выполнено и, следовательно, экстремаль, С, про-
проходящая через точки А(х0, у0) и B(xv у,), может быть включена
в центральное пале, наклон которого равен р (х, у) (рис. 8.9)*).
Для определения знака приращения \v функционала v при пере-
переходе от экстремали С к некоторой близкой допустимой кривой С
преобразуем приращение Аг;= \F(x, у, y')dx — Г F(x, y,y')dx
. с~	с
•) Можно было бы предположить, что экстремаль включена не в цен-
центральное, а в собственное поле.

358	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	1ГЛ. 8
к более удобному для исследования виду. (Символы
j F(x, у, y')dx и f F(x, у, y')dx
с	с
представляют значения функционала v— I F(x, у, y')dx, взятые
соответственно по дугам кривых С и С).
Рассмотрим вспомогательный функционал
/ [F {х, у, р) + (-g- - р) Fp (х, у. р)] dx,
с
который на экстремали С обращается в Г F (х, у, у') dx, так как
с
на экстремалях поля ~-= р. С другой стороны, тот же вспомога-
тельный функционал
/ [Р (х, у. р) + {¦% - р) Fp {х, у, р)] dx .
с
или
j[F{x, у, p) — pFp(x, у, p))dx-\-Fp(x, у, p)dy (8.1)
с
является интегралом от точного дифференциала. Действительно, диф-
дифференциал функции v(x, у), в которую превращается функционал
v[y(x)] на экстремалях поля, согласно § 1 главы 7 (стр. 331), имеет
вид
dv = [F(x, у, /) — y'Fr(x, у, y')]dx + Fr(x, у, y')dy
и лишь обозначением углового коэффициента касательной к экстре-
экстремалям поля отличается от подынтегрального выражения в рассматри-
рассматриваемом вспомогательном интеграле (8.1).
Итак, интеграл J [F(x, у, р) -\~ (у' — р) Fp\ dx на экстремали С
с
совпадает с интегралом I F(x, у, y')dx, а так как функционал
с
Г \Р {х, у, р) -(- (у' — р) Fp] dx является интегралом от точного
с

S 21	ФУНКЦИЯ E(x. v. p, /)	359
дифференциала и, следовательно, не зависит от пути интегрирования, то
J F(x, у, y')dx = f[F(x, у, р) + (у' —p)Fp{x, у, p)\dx
<-'	с
не только при С = С, но и при любом выборе С.
Следовательно, приращение
Av = j F {х, у, yf) dx— J F (x, у, у') dx
с	с
может быть преобразовано к следующему виду:
(х, у, y')dx- f[F(x, у, р) + (у'-р) Fp(x, у, p)\dx =
с
(x. у, y') — F(x. у. p) — (y' — p)Fp(x, у, p)]dx.
с
Подынтегральная функция носит название функции Вейерштрасса
и обозначается Е(х, у, р, уУ-
Е(х, у, р, y') = F(X, у, y') — F(x, у, p) — (y' — p)Fp{x, у, р).
В этих обозначениях
Av
— J E(x, у, р, y')dx.
Очевидно, что достаточным условием достижения функционалом v
минимума на кривой С будет неотрицательность функции Е, так как
если Е ^> 0, то и Av ^> 0, а достаточным условием максимума будет
Е^.0, так как в этом случае и Дг>^0. При этом для слабого мини-
минимума достаточно, чтобы неравенство Е(х, у, р, у')^>0 (или
Е <; 0 в случае максимума) выполнялось для значений х, у, близ-
близких к значению х, у на исследуемой экстремали С, и для зна-
значений у', близких к /?(х, у) на той же экстремали, а для сильного
минимума то же неравенство должно быть справедливо для тех же
х, у, но уже для произвольных у', так как в случае сильного экстре-
экстремума близкие кривые могут иметь произвольные направления каса-
касательных, а в случае слабого экстремума значения у' на близких кри-
кривых близки к значениям у' = р на экстремали С.
Следовательно, достаточными для достижения функционалом v
экстремума на кривой С будут следующие условия.
Для слабого экстремума:
1. Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным
условиям.

360	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	[ГЛ. 8
2.	Экстремаль С может бить включена в поле экстремалей. Это
условие можно заменить условием Якоби.
3.	Функция Е(х, у, р, у') не меняет знака во всех точках (х, у),
близких к кривой С, и для близких к р(х, у) значений у'. В случае
минимума Е ~^- 0, в случае максимума Е <^ 0.
Для сильного экстремума:
1.	Кривая С является экстремалью, удовлетворяющей граничным
условиям.
2.	Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей. Это
условие можно заменить условием Якоби.
3.	Функция Е(х, у, р, у') не меняет знака во всех точках (х, у),
близких к кривой С и для произвольных значений у'. В случае ми-
минимума ?!>0, в случае максимума Е ^ 0.
Замечание. Можно доказать, что условие Вейерштрасса необ-
необходимо. Точнее, если в центральном поле, включающем экстремаль С,
в точках экстремали для некоторых у'
функция Е имеет противоположные
знаки, то сильный экстремум не до-
Bla S)	стирается. Если это свойство имеет ме-
место при сколь угодно близких к р зна-
значениях у', то не достигается и слабый
экстремум.
Пример 1. Исследовать на экстре-
экстремум функционал
а
v= Г у'ъ dx; у@) = 0,
Рис. 8.10.	i
у (а) = Ь, а > 0, b > 0.
Экстремалями являются прямые линии у=С1х-\гС2. Экстремум может
достигаться лишь на прямой у = — х. Пучок прямых y = CiX с центром
в точке @, 0) образует центральное поле, включающее экстремаль у = — х
(рис. 8.10).
Функция
Е (х. у. р, у') = у'3 — р3 — Зр2 (у' - р) = (у' - pf (у' + 2р).
На экстремали у = — х наклон поля р = — > 0, и если у' принимает зна-
значения, близкие к р = —. то ?;>0 и, следовательно, все условия, достаточ-
достаточные для достижения слабого минимума, i выполнены. Итак, на экстремали
у = — х достигается слабый минимум. Если же у' принимает произвольные
значения, то (у'4-2р) может иметь любой знак и, следовательно, функция В
знака не сохраняет — условия, достаточные для достижения сильного мини-

¦21
ФУНКЦИЯ Е(х, у. р, у')
361
мума, не выполнены. Если принять во внимание замечание на стр. 360, то
b
можно утверждать, что сильный минимум на прямой у = — х не достигается.
Пример 2. Исследовать на экстремум функционал
а
С (б/2 — у'4 + уу') dx; у@) = 0; у(а) = Ь\ а>0 и «>0
о
в классе непрерывных функций с непрерывной первой производной.
Экстремалями являются прямые у = Ctx-{- C2- Граничным условиям удо-
удовлетворяет прямая у = — х, которая включается в пучок экстремалей
у = С{х, образующих центральное поле. Функция
Е(х,у.р, у') = 6у'2-у'4 + уу'-6р* + р*-ур-(у'-р)A2Р-4р
= - (У' - Р? (У'2 + 2р/ - F - Зр»)].
Знак функции Е противоположен знаку последнего множителя
Этот множитель обращается в нуль и может изменить знак лишь при пере-
переходе у' через значение у'= — р ± У~6 — 2р2. При 6 — 2р2<0 или р>]/~3
при любом у' имеем [у'2 + 2ру'— F — 3p2)]i>0, если же 6 — 2р2 > 0 или
р < Y 3, то выражение [у'2 + 2ру' —
— F — Зр2)] меняет знак. Если же при
этом у' достаточно мало отличается от р,
то последнее выражение сохраняет поло-
положительный знак при р > 1 и отрицатель-
отрицательный знак при р < 1.
Следовательно, при р = — < 1 или
b < а имеем слабый минимум, так как Е > 0
при значениях у', близких к р; при
р = — > 1 или b > а имеем слабый макси-
максимум. При р = — ^ ]/~3 имеем сильный мак-
максимум, так как Е <; 0 при любых значениях
у'. При р = — < УЗ, на основании заме-
замечания на стр. 360, нет ни сильного минимума, ни сильного максимума
(рис. 8.11).
Даже в приведенных выше весьма простых примерах исследование
знака функции Е было сопряжено с некоторыми затруднениями, и
поэтому желательно условие сохранения знака функцией Е заменить
более легко проверяемым условием. Предположим, что функция
F(x, у, у') трижды дифференцируема по аргументу у'. По формуле
24 Л, Э. Эльсгольц

362	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	[ГЛ. 8
Тейлора получим
F(x, у, /) =
= /=¦(*, у, p)+(y' — p)Fp(x, у, р)+(У'~Р)% Fyy{x. У. д),
где q заключено между р и у'.
Функция
Е(х, у, р, y') = F(x, у, y') — F(x, у, p) — (y' — p)Fl)(x, у. р)
после замены функции F(x, у, у') ее разложением по формуле Тей-
Тейлора примет вид
Е(х, у, р, у')= (У'~рУ Fyy (х, у, q).
Отсюда видно, что функция Е сохраняет знак, если сохраняет знак
Fyy (x, у, q). При исследовании на слабый экстремум функция
Ру'У (х- >'• Q) должна сохранять знак для значений х и у в точках,
близких к точкам исследуемой экстремали, и для значений q, близких
к р. Если Fyy (х, у, у') Ф 0 в точках экстремали С, то в силу
непрерывности эта вторая производная сохраняет знак и в точках,
близких к кривой С, и для значений у', близких к значениям у' на
кривой С Таким образом, при исследовании на слабый минимум
условие Л^-О может быть заменено условием Руу > 0 на экстре-
экстремали С, а при исследовании на слабый максимум условие Е ^ О может
быть заменено условием Fyy < 0 на кривой С. Условие Fyy > О
(или Fyy' < 0) носит название условия Лежандра *).
При исследовании на сильный минимум условие Е^-0 может быть
заменено требованием Fyy (x, у, q)^0 в точках (х, у), близких
к точкам кривой С при произвольных значениях q. При этом, конечно,
предполагается, что разложение по формуле Тейлора
F(x, у, у') =
= F(x, у, p) + (y'-p)Fp(x. у, р)+{у'-рJ Fyy(x, у, q)
справедливо при любых у'. При исследовании на сильный максимум
получим условие Fyy- (x, у, ^)<; 0, при тех же предположениях
относительно области изменения аргументов и разложимости функции
F (х, у, у') по формуле Тейлора.
*) Условие /'у'у' > 0 (или Fy,y, < 0) часто называют усиленным усло-
условием Лежандра, а условием Лежандра называют неравенство /'«¦у' 0
(или Fy <0)

ч
Сводка достаточных условий минимума простейшего функционала •)
= f F(x, y,y')dx;
Слабый минимум
d
У~~1х~ У'
2. Условие Якоби
3. Fyly, > 0
на исследуемой
экстремали
Сильный минимум
d
x-py~~dx' V=o
2. Условие Якоби
3.Fy,y,(x,y.y')>0
для точек (х, у),
близких к точ-
точкам на исследу-
исследуемой экстрема-
экстремали и для произ-
произвольных значе-
значений у'. При этом
предполагается,
что функция
F (х. у, у') три-
трижды дифферен-
дифференцируема по у'
для любых у'
*) Для получения достаточных
воположного смысла.
Слабый минимум
„ d р
У~1х~ У'
2. Условие Якаби
р.Е(х,у.р.у')>0
для точек (х, у),
близких к точ-
точкам на исследу-
исследуемой экстрема-
экстремали, и для у'.
близких к р (х, у)
Сильный минимум
У~Чх У'
2. Условие Якоби
3. Е(х,у,р, у')>0
для точек (х, у),
близких к точ- •
кам на исследу-
исследуемой экстрема-
экстремали, и для произ-
произвольных у'
Слабый минимум
d
РУ~~~1х У'
2. Существует по-
поле экстремалей,
включающее
данную экстре-
экстремаль
З.Е(х,у,р,у')>0
для точек {х, у),
близких к точ-
точкам на исследу-
исследуемой экстрема-
экстремали, и для у',
близких к р {х, у)
Сильный минимум
d
У~~йх У' =
2. Существует по-
поле экстремалей.
включающее
данную экстре-
экстремаль
З.Е(х,у,р,у')>0
для точек (х, у),
близких к точ-
точкам на исследу-
исследуемой экстрема-
экстремали, и для про-
произвольных у'
условий максимума в этой сводке надо взять знаки неравенства проти-

364	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Пример 3. Исследовать на экстремум функционал
а
v [У (*)] = J Су'2 — у2) dx, а>0; у@) = 0,
о
[ГЛ. 8
Уравнение Эйлера имеет вид у" -\-y-Q, его общее решение у— С\ cosx-f-
-f- C2 sin х. Используя граничные условия, получаем С, = 0 и С2 = 0, если
a =?fc kn, где ? — целое число.
Итак, при а Ф kn экстремум может достигаться лишь на прямой у = 0.
Если а < я, то пучок экстремалей у — С{ sin x с центром в точке @, 0)
Рис. 8.12.
образует центральное поле. При а > л условие Якоби не выполнено (см.
стр. 352).
Так как подынтегральная функция трижды дифференцируема по у' при
любых у' и Fy,y, =2 > 0 при любых значениях у', то на прямой у = 0 при
а < я реализуется сильный минимум. Если учесть замечание на стр. 356,
то можно утверждать, что при а > я минимум на прямой у = 0 не дости-
достигается.
Пример 4. Исследовать на экстремум функционал
« [У С*)]
у @) = 0, у (х,) =
(см. задачу о брахистохроне, стр. 304). Экстремалями являются циклоиды
х = Сг (t — sin t) + С2,
у = С. A - cos t).
Пучок циклоид х= C\{t — sin t), у = С, A — cos f) с центром в точке @, 0)
образует центральное поле, включающее экстремаль
a{t —
У —л (I—cos t),
где а определено из условия прохождения циклоиды через вторую гранич-
граничную" точку B(xv yt), если х, < 2ла (рис. 8.12).
Имеем
v' 1
Р —	i	. р	.	-^ о

§ 2]	ФУНКЦИЯ Е(х. у. р. у>)	365
при любых у'. Следовательно, при х, < 2па на циклоиде
х = a (t — sin t), у = а A — cos f)
реализуется сильный минимум.
Пример 5. Исследовать на экстремум функционал
а
v [у(х)] = f у'* ctx; у@) = 0, у (а) = 6, а > 0, * > 0.
о
Этот пример был решен на стр. 360, но теперь в отношении слабого экстре-
экстремума исследование можно упростить.
Экстремалями являются прямые линии. Пучок у = Сх образует централь-
центральное поле, включающее экстремаль у = — х. На экстремали у = — х вторая
Рис. 8.13.
производная Fy, , ==6у'=6— > 0. Следовательно, прямая, у =— х реали-
реализует слабый минимум. При произвольных у' вторая производная Fy,y< = 6у'
знака не сохраняет; следовательно, указанные выше достаточные условия
для достижения сильного минимума не выполнены. Однако отсюда еще
нельзя заключить, что сильный экстремум не достигается.
Пример 6. Исследовать на экстремум функционал
v [у (х)] = I -^- dx; у@) = 1, у (а) = 6, а > 0, 0 < b < 1.
6 у
Первый интеграл уравнения Эйлера (см. случай 5 на стр. 302) имеет вид
= С или у'2 =
извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем у = (C1jc-t-C2J—
семейство парабол. Из условия у @) = 1 находим С2 = 1. Пучок парабол
у = (С\Х -\- IJ с центром в точке А @, 1) имеет Ci-дискриминантную кривую
у = 0 (рис. 8.13). Через точку В (а, Ь) проходят две параболы этого пучк?.

366
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
ГГЛ. S
На дуге АВ одной из них (Li) лежит точка А*, сопряженная с точкой А,
на другой же (L2) сопряженной точки нет, и следовательно, на дуге L2
условие Якоби выполнено и на этой дуге параболы может реализоваться
экстремум. В окрестности исследуемой экстремали /=¦,. = —i- >0 для про-
у
извольных у', однако на этом основании нельзяутверждать, что на дуге L2
реализуется сильный минимум, так как функция F (х, у, у') = —^- не может
-быть представлена в виде
F (х, у, у') = F (х, у, р) + (у' - р) Fp (х, у, р) + (У> Pf F , . (х, у,
ч)
при произвольных значениях у' ввиду наличия разрыва функции F (х, у, у')
при у' = 0. Можно лишь утверждать, что на L2 реализуется слабый минимум,
так как для значений у', близких к наклону поля на кривой Lt, такое раз-
разложение функции F (х, у, у') по формуле Тейлора имеет место. Для полного
исследования этого функционала на экстремум необходимо рассмотреть
функцию Е(х, у, р, у'):
у'-	р2 , рЗ	у' рЗ
Так как множитель Bу' -f- р) не сохраняет знака при произвольных у', то
на основании замечания на стр. 360 можно утверждать, что сильный минимум
на дуге Z-2 не достигается.
Изложенная теория без значительных изменений переносится и на функ-
функционалы вида
г'
v [Уг У2	У„] = J F [х, у1з у2	уп, у'ь y'2,...t y'n) dx;
х,
Функция Е принимает вид
E=F(x, ylt y2	уп, у[, у2	y'n)-f(x,yvy2	У„. pv p2,...,рп) —
-l?i{y'i-Pi)FPi{x>
Рп)>
где р1 — функции наклона поля, на которое наложены некоторые ограни-
ограничения (при этих ограничениях поле называется специальным).
Условие Лежандра Fytyf^O заменяется следующими условиями:
F , ,
F , , F , ,
У,У, У,У2
F , , F , ,
F , , F	F , ,
F , , F	F , ,
У2У1 У2У2
F , , F , , ... F , ,

§ 21	ФУНКЦИЯ Е(х, у. р. у-)	gg7
Достаточные условия слабого минимума как в простейшей задаче так
и в более сложных, можно получить иным методом, основанным на изучении
знака второй вариации.
По формуле Тейлора преобразуем приращение функционала в простей-
простейшей задаче к следующему виду:
Х\
[F( + b ' + b') — F(x. у,
Х\
= J [F(x, y + by, y'
Xi
X,
-= J (Fyby + Fy.by')dx + ~J [Fyyby* + 2Fyy,byby' + Fry by'*]dx+R,
Л	Xo
где R имеет порядок выше второго относительно by и 6у'. При исследовании
на слабый экстремум by и 6у' достаточно малы, и в этом случае знак при-
приращения Дк определяется знаком члена, стоящего в правой части и содер-
содержащего наиболее низкие степени 6у и бу'. На экстремали первая вариация
/V
и, следовательно, знак приращения At», вообще говоря, совпадает со знаком
второй вариации
S2i/ = j (Fyy by' + 2/V by by' + Fyly, by'2) dx.
Условие Лежандра в соединении с условием Якоби и являются условиями,
обеспечивающими поствянство знака второй вариации, а вместе с тем и по-
постоянство знака приращения Дг> в задаче о слабом экстремуме.
Действительно, рассмотрим интеграл
I [©' (x)by2 + 2(o(x)byby']dx,	(8.2)
X]
где о (х) — произвольная дифференцируемая функция. Этот интеграл равен
нулю:
ху	х%
Г [ш' (*) by2 + 2ш (х) by by'] dx= j d(a by1) dx = [<в (x) by%\ = 0
Хч	Xi
(так как by)Xa = by\Xi = O).
Прибавляя интеграл (8.2) ко второй вариации, получим
64-
J
Выбираем функцию ш(х) так, чтобы подынтегральная функция, с точ-
точностью до множителя, превратилась в точный квадрат, для чего функ-
функция а(х) должна удовлетворять уравнению

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	[ГЛ. 8
При такой выборе функции <о вторая вариация принимает вид
Х\
**> f
f Pyy
i
и, следовательно, знак второй вариации совпадает со знаком f , ,.
Однако такое преобразование возможно лишь в предположении, что
дифференциальное уравнение
имеет на отрезке (х0, Xi) дифференцируемое решение ()
Преобразовав это уравнение к новым переменным подстановкой
а>= — ¦Руу-— ^у'у'— •
где и — новая неизвестная функция, получим
— уравнение Якоби (см. стр. 356).
Если существует не обращающееся в нуль при х0 < х <^ х, решение
этого уравнения, т. е. выполнено условие Якоби, то существует для тех же
значений х непрерывное и дифференцируемое решение
уравнения
Итак, условие Лежандра и условие Якоби гарантируют сохранение знака
второй вариации и, следовательно, являются достаточными условиями для
слабого минимума (/уу. > 0) или максимума {Fy,v, < 0).
3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
Систему п уравнений Эйлера (см. стр. 305)
Fyi~4JFy'l==0 (/==1> 2	п)	(8'3)
можно заменить системой 2га уравнений первого порядка. Полагая
в (8.3)
Fy = q*	(А = 1> 2	П)>	(8>4)
получим
/in	r)F
!=1. 2	 n).	(8.5)
dqk_dF
dx дук

$81	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА	369
Разрешаем систему уравнений (8.4) относительно у'к (для возмож-
возможности такого разрешения предположим, что
DIF -, F <	F
где
D(y{,y'2,...,y'n)
= «>* С*.
ФО),
(8.6)
и подставляем (8.6) в (8.5,). При этом получим систему In уравне-
уравнений первого порядка в нормальной форме:
dyb
dx
\ dyk }¦
(8.7)
Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают, что в скобках
вместо y'k подставлены <&k(x, ys, qsy
С помощью функции
Н {х, ys, qs) =
система (8.7) может быть записана в каноническом виде:
dyk дН
dq
dx
k_	.
дН
= l. 2	я).
(8.8)
Заметим, что если функция F(yv У2	 Уп, у[, У2	}Q
не зависит явно от х, то система (8.8) имеет первый интеграл Н = С.
Действительно, в этом случае
также не содержит х явно и, следовательно,
dH
дН
дН
~dx=1 2шк~ду~ ~dx~ ' 2i~dq~. ~dx'
V
ы\ l

370	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	[ГЛ. 3
В силу уравнений (8.8) получим
вдоль интегральных кривых системы (8.8).
Для простейшей задачи этот первый интеграл уже был получен
на стр. 303.
Пример 1. Зак'он сохранения энерг ии. Функция
для функционала
где сохранены обозначения примера 1 стр. 320 (Г — кинетическая энергия
системы материальных точек, U — потенциальная энергия), имеет следую-
следующий вид:
— полная энергия системы. Применим принцип стационарного действия.
Если потенциальная энергия U не зависит явно от t, т. е. система консерва-
тивна, то уравнения Эйлера для функционала I (T — U) dt имеют первый
интеграл Я = С. TJrU=C.
Итак, полная энергия консервативной системы остается при движении
постоянной.
Интегрирование канонической системы (8.8) равносильно инте-
интегрированию дифференциального уравнения в частных производных
где
+н(х.Уз.4^) = 0.	(8.9)
„ /	j)v\	r, I	_dv_ dv_ '	dv \
\x' ys" dys)	\X' У1' 	Ул> dy, ' дуг"'" ~dy^)'
Уравнение (8.9) называется уравнением Гамильтона—Якоба.
Если известно однопараметрическое семейство его решений
v (x, ys, а), то известен и первый интеграл -^— = р системы (8.8),
Р — произвольная постоянная. Действительно,
d (dv\ d*v Л d*v dyj fflv Л d'v дН
дхда ~^~ 2а ду.да Ьх~ дхда ~^~ 2и ду. да~ЫГ'

§ 3]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА	371
Дифференцируя тождество
дх>(х^'а)=-и(х. у,. ^%У;а)) по а,
получим
Pv _ у дН d*v
dxda~~ Ы dqs dysda	\°-^)
и, подставляя (8.11) в (8.10), получим в правой части (8.10) тожде-
тождественный нуль. Итак,
J_
откуда
Следовательно, если известен полный интеграл уравнения Гамиль-
Гамильтона — Якоби
v = v(x, yv y2	у„, av a2	а„),
то известно и п первых интегралов системы (8.8):
-|^- = Р( (/=1, 2, .... п).	(8.12)
Если якобиан системы (8.12) отличен от нуля
	 — о
то система (8.12) определяет у1 как функции остальных аргументов:
У* = У*(*. ai. «2	ал' Pi. h	Рл)	(8ЛЗ)
(/=1. 2	я).
Тем самым получено 2/г-параметрическое семейство экстремалей.
Можно доказать, что (8.13) является общим решением системы урав-
уравнений Эйлера, а функции
„ _ dv (x, ys, as)	/, _ , о	„ч
су,
являются общим решением системы (8.8).
Пример. Найти уравнение геодезических линий на поверхности, на
которой элемент длины кривой имеет вид
W + df),

372	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	(ГЛ. S
т. е. найти экстремали функционала
л,
S = / V[«Pi (х) + ъ (у)] A + у'2) dx.
Так как
у'
то уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
/ dv \2
или
Для уравнений такого типа (уравнений с разделенными переменными)
легко находится первый интеграл. Полагая
или
находим
f = J/ф! W + a dJf+
следовательно, уравнение геодезических линии -т— = р в данном случае
имеет вид
' Г dx	Г dy
Замечание. К уравнению Гамильтона — Якоби можно прийти
и из иных соображений. Рассмотрим центральное поле экстремалей
с центром в точке A (xQ, у0) для функционала
X,
, у, y')dx.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 8	373
На экстремалях поля функционал v[y(x)] превращается в функ-
функцию v(x, у), координат второй граничной точки В(х, у). Как было
указано на стр. 370,
dv	,_,,	. dv
Исключая q, получим
dv 	 и I	dv \
-дх~ = ~"\Х' У> ~ду)ш
Итак, функция v(x, у) является решением уравнения Гамиль-
Гамильтона — Якоби. Совершенно аналогичные рассуждения справедливы
и для функционала
х,
fF(x, yv y2, .... уи. у'у у'2	Уп)йх.
Задачи к главе 8
Исследовать на экстремум функционалы:
2
1. v [у (х)} = J (лгу' + У'2) dx; у @) = 1; у B) = 0.
о
а
0
2
3.	v [у {х)\ = J у' A + х*у') dx; у (—1) = 1; у B) = 4.
-1
2
4.	t; [у (х)] = Г у' A + хгу') dx; у A) = 3; у B) = 5.
1
2
5.	v [у (х)] = J у' A +х*у') dx; у (—1) = у B) = 1.
6.	v [у {х)) = I Dу2 - у'2 -f 8y) djr, у @) = — 1; у (-J) = 0.
о
2
7.	г/ [у (х)} = J U2y'2 + 12y2) dx; у A) = 1; у B) = 8.

374	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА	{ГЛ. 8
1
О
я
Т
9. г» [у (х)] = J (у2 — у'2 + 6у sin 2х) ^ у @) = 0; у (^-\ = 1.
о
-г,
10. v [у (х)] = / —т-; У @) = 0; у (jc,) = у^ лт, > 0; у, > 0.
о
П. t/[y(x)]= У-^-; у@) = 0; у(х1) = у1; ^>0; у, > 0.
о у
2
12. f[
W]= / —^dx; y(l)=l; yB) = 4.
з
13.	v [у (*)] = J A2ху + у'2) dx; у A) = 0; у C) = 26.
1
2
14.	v [у (ж)] = J [у2 + (у'J - 2*у] dx; у @) = 0; у B) = 3.

ГЛАВА 9
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
§ 1. Связи вида у(х, yv y2, ..., д>„) = 0
Вариационными задачами на условный экстремум называются
задачи, в которых требуется найти экстремум функционала v, причем
на функции, от которых зависит функционал v, наложены некоторые
связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал
/У2	У». У'у У'ч	K)dx
при наличии условий
Фг С*. Ук У2	Уп) = 0 0=1,2	т; т< п).
Вспомним, как решается аналогичная задача при исследовании
на экстремум функции z—f(xv x2, .... хп), при наличии связей
Ф;(х!, х2	хп) = 0 A= 1, 2, ..., т\ т < п).
Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы
Ф/(х,, х2	хп) = 0 A=1, 2, .... т),
уравнения которой мы будем считать независимыми, • относительно
каких-нибудь m переменных, например относительно хх, х2	хт:
Xi = Хх (Хт + 1, Хт+2' •••> хп)'>
Хт+2, .... Хп)',
1 хт+2> •••• хп)<
и подстановки найденных xv х2, • •.. хт в f(xv х2, ..., хп).
При этом функция /(х,, хг	хп) становится функцией Ф(хт+и
xm+v •••• ¦*«) только п~т переменных д:„,+1, ^„,+2. •••• х,<

376	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	[ГЛ. 9
которые уже независимы, и следовательно, задача свелась к иссле-
исследованию функции Ф на безусловный экстремум. Этим путем можно,
конечно, решать и поставленную выше вариационную задачу. Раз-
Разрешая систему ф;(х, у,, у2	уп) — 0 A=1, 2	т) относи-
относительно уг, у2	ут (или каких-нибудь других т функций yt)
и подставляя их выражения в v [ух, у2, ..., уп], мы получим функ-
функционал W[ym+1, ут+2	у„]. зависящий только от п — m уже
независимых аргументов, и, следовательно, к функционалу W при-
применимы методы, изложенные в § 3 главы 6. Однако как для функ-
функций, так ' и для функционалов обычно более удобен другой метод
решения, называемый методом неопределенных множителей, сохра-
сохраняющий полное равноправие переменных. Как известно, этот метод
при исследовании на экстремум функции z = / (xt, х2	хп) при
наличии связей yt(xx, х2, .... хл) = 0 (*=1, 2, ..., m) заклю-
заключается в том, что составляется новая вспомогательная функция
где Xt — некоторые постоянные множители, и функция z* исследуется
уже на безусловный экстремум, т. е. составляется система урав-
дг*
нений -^— = 0 (/=1, 2	п), дополненная уравнениями связей
<р'^=0.(/=1, 2	 т), из которой определяются все п-\-т
неизвестных хх, хг, .... хп и kv X2, ..., Хт. Совершенно анало-
аналогично может быть решена задача на условный экстремум и для
функционалов, а именно: если
v= F(x. yv у2	уп, у[, у2	y'u)dx
И
<Pt(x, УЬ У2	Ул) = 0 (^=1. 2. •••¦ т),
то составляют функционал
%1 (	т	\	ft
v*= f \F -f V I, (x) ф; )dx или v*= f F*dx,
V \	•A™	/	•/
X) V	1 = 1	I	x»
где

§1]	СВЯЗИ ВИДА (f(x, yt)-0	. , ,.	377
который уже исследуется на безусловный экстремум, т. е. решают
систему уравнений Эйлера
F* —4-F*<=0 G=1. 2	п),
у, dx у,	\j •	j>
(9 1)
дополненную уравнениями связей	v
<р, = 0 A=\, 2	т).
Число уравнений m-f-я, вообще говоря, достаточно для определения
т-\-п неизвестных функций yv у2, . .., уп и %х, 12	Хт, а гра-
граничные условия у/(хо) = у]о и yj(xl) = yjl (У=1, 2	я),
которые не должны противоречить уравнениям связей, вообще говоря,
дадут возможность определить 2я произвольных постоянных в общем
решении системы уравнений Эйлера.
Очевидно, что найденные этим путем кривые, на которых дости-
достигается минимум или максимум функционала v*, будут решениями и
исходной вариационной задачи. Действительно, при. найденных из
системы (9.1) функциях
lt(x) (i—l, 2	от) и уу (/=1, 2	п) все <р, = О
и, следовательно, v*=v, причем если при yj = yj(x) G=1. 2	 п),
определенных из системы (9.1), достигается безусловный экстремум
функционала v*, т. е. экстремум по отношению ко всём близким
кривым, как удовлетворяющим уравнениям связи, так и не удовле-
удовлетворяющим им, то, в частности, экстремум достигается и по отно-
отношению к более узкому классу кривых, удовлетворяющих уравне-
уравнениям связей.
Однако из этого рассуждения отнюдь не следует, что все решения
исходной задачи на условный экстремум будут давать безусловный
экстремум функционалу v* и, следовательно, остается невыясненным,
все ли решения могут быть найдены этим методом. Мы ограничимся
доказательством более слабого утверждения.
Теорема. Функции yv y2	уп, реализующие экстремум
функционала
(x- Уу h	Уя- У'г У'ч	У'п)ах
Х-,
при наличии условий
<Pt(x, yv y2	У„) = 0 (/=1. 2	т; т<п)
удовлетворяют при соответствующем выборе множителей
Xt(x) (/ = 1, 2, .... т) уравнениям Эйлера, составленным для
25 Л. Э. Эльсгольц

378	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	1ГЛ. 9
функционала
«*
Функции \t(x) и yt(x) определяются из уравнений Эйлера
F* — 4-F''=0 (У = 1. 2	п)
a
<рг = 0 (/=1, 2	m).
Уравнения qjj = 0 можно также считать уравнениями Эйлера для
функционала «*, если аргументами функционала считать не только
функции уц у2	у„. но и Х1(х), Х2(х)	Ът(х). Уравнения
Ф/ (¦*• У\< Уг	Уя)== 0 (t — 1 ¦ 2, ..., т) предполагаются неза-
независимыми, т. е. один из якобианов порядка т отличен от нуля.
например
Д( Фа. •••¦ Фт) / п
D(ylt y2	ут) ^и#
Доказательство. Основное условие экстремума 6г» = 0 при-
принимает в данном случае вид
Интегрируя по частям вторые слагаемые в каждой скобке и принимая
во внимание, что
Fуу)'=6у; и (буД^-0; {by,)XmXi*=Q.
получим
Так как функции у^ у2. .... уп подчинены т независимым связям
У1. Уг	Уп) = ° #=1. 2	от),
то вариации буу не произвольны, и пока применять основной леммы
нельзя. Вариации 6уу должны удовлетворять следующим условиям,

S И	СВЯЗИ ВИДА q>(.t, jr,)-0	379
полученным путем варьирования уравнений связей <рг = 0:
и следовательно, только /t — шиз вариаций буу можно считать произ-
произвольными, например Ьут+Ь 6ут+2, .... Ьуп, а остальные опреде-
определяются из полученных уравнений.
Умножая почленно каждое из этих уравнений на Xl(x)dx и
интегрируя в пределах от х0 до хх, получим
3ГйМ* = 0 ('=1.2	т).
Складывая почленно все эти т уравнений, которым удовлетворяют
допустимые вариации byjt с уравнением
будем иметь
/2
1
или, если ввести обозначение
получим
Xi п
j — 1
*) Точнее, применяя к разности
<Р/ (х, у, + 6yi	у„ + 6у„) — & (х. у,	у„)
левых частей уравнений фг (х, у{ + бу,	уп + бул) = 0 и ер, (^, у„ ..., у„)=0
формулу Тейлора, следовало бы писать
2л ду>
где /?/ имеют порядок выше первого относительно буу(/в1, 2, ..., я).
Однако, как нетрудно проверить, члены Я( не окажут существенного влня»
ния на дальнейшие рассуждения, так как при вычислении раряацнй функ»
ционала нас интересуют лишь члены первого порядка относительно
бу/ (У=1. 2. .... п).
25»

380
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
[ГЛ. 9
И здесь пока нельзя применять основной леммы ввиду того, что
вариации 6у^ не произвольны. Выберем т множителей Ях(х),
А2(х)	km(x) так, чтобы они удовлетворяли т уравнениям •
или
dyj
d dF
dyJ dx dyJ
d dF nt- in
- —т- = 0 0 = 1.2	m).
dx dy
Эти уравнения образуют линейную по отношению к %t систему
с определителем, отличным от нуля,
Ф2
D(yx. Ъ	Ъп
следовательно, эта система имеет решение
*!(*). А.2(*)	КМ-
При таком выборе ^(х), К2(х), .... hm(x) основное необходимое
условие экстремума
принимает вид
ft
dx
Так как для функций yv y2, .... у„, реализующих экстремум
функционала v, это функциональное уравнение обращается в тожде-
тождество уже при произвольном выборе 6у;-(J = т-f-1, т-\-2, ..., п),
то теперь можно применить основную лемму. Положив по очереди
равным нулю все буу, кроме одного, и применяя лемму, получим
Принимая во внимание полученные выше уравнения
.: -.-¦ ¦ Fh~ibK'j^0 u==h 2	т)-
окончательно будем иметь, что функции, реализующие условный
экстремум функционала v, и множители Xt(x) должны удовлетворять

§11	СВЯЗИ ВИДА <р(*, »,)-<>	381
системе уравнений
F*y	— F'=0 (j = 1, 2, ..., ri).
Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками
А{х0, у0, z0) и B(xh yu Zi) на поверхности q> (х, у, г) = 0 (см. задачу о гео-
геодезических линиях, стр. 282). Расстояние между двумя точками на поверх-,
ности определяется, как известно, по формуле
х,
В данном случае надо найти минимум / при условии <р (х, у, г) = 0. Согласно
предыдущему берем вспомогательный функционал
J f^1
dx
и для него пишем уравнения Эйлера
Я (х) <pv — -4	 У — = 0;
CIJC Л/ 1	/2 |	2
Я (л:) <fz — -~-	г 2 — = 0;
Ф (х, У, г) = 0.
Из этих трех уравнений определяются искомые функции
у = у (х) и z = z (х),
на которых может достигаться условный минимум функционала v, и множи-
множитель Л(лг).
Пример 2. Пользуясь принципом Остроградского — Гамильтона (см.
стр. 320), найти уравнения движения системы материальных точек массы
mi (i = 1, 2, ..., п) с координатами (Xi, у;, гг) под действием сил, имеющих
силовую функцию — U. при наличии связей
Ф;(*. *,, х2	хп, уи у2	у„, zlt z2	гя) = 0
0=1. 2	т).
Интеграл Остроградского — Гамильтона
h
v = J (T-U)dt
и
в данном случае имеет вид
dt.

382	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	[ГЛ. 9
а вспомогательный функционал
U
Уравнения движения будут уравнениями Эйлера для функционала «*. Они
будут иметь следующий вид:
m
(i=l, 2, ..., /I).
§ 2. Связи вида cp(*, 3^, з>2) ..., yn, y[, y2, ..., ^) = 0
В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос об исследо-
исследовании на экстремум функционала
yv y2	уп, у[, у'2	y'n)dx;
1) = yJl C/=l. 2	п)
при наличии конечных связей
<f>i(x, ylt y2	У„) = 0 A=1, 2	т). (9.2)
Предположим теперь, что уравнения связей являются дифферен-
дифференциальными уравнениями
фД*. yv У2	УП' У'у У2	Уп)^0 (/=в1( 2	т)-
В механике связи такого вида называются неголоножными,
а связи вида (9.2) — голономными.
В этом случае также можно доказать правило множителей, заклю-
заключающееся в том, что условный экстремум функционала v достигается
на тех же кривых, на которых реализуется безусловный экстремум
функционала
х,

S 2]	СВЯЗИ ВИДА <р(*. у,, V/'j-O	383
где
Однако доказательство значительно усложняется по сравнению со
случаем конечных связей.
Если же ограничиться доказательством более слабого утвержде-
утверждения о том, что кривые, на которых достигается условный экстремум
функционала v, при соответствующем выборе Х{ (х) являются экстре-
экстремалями для функционала v*, то доказательство, проведенное в пре-
предыдущем параграфе, может быть с незначительными изменениями
повторено и для рассматриваемого случая.
Действительно, предположим, что одни из функциональных определите-
определителей порядка т отличен от нуля, например
* ?>(ф1, <Рг. •¦¦¦ фт) , ft
*>(*.%	У'т)
Это гарантирует независимость связей.
Разрешая уравнение (ft(x, уь у2, ..., уп, у[, у'2, ..., У^)=0 относительно
как
а, ..., фст)
)
получим у\ = ¦>!); (д:, уь у2	у„, у^ + „ у^+2	у^) (^ = 1, 2	от). Если
считать ym+i, ym+2	Ул произвольно заданными функциями, то из этой
системы дифференциальных уравнений определяются у,, у2, .... ут- Таким
образом, ym+i, Ут+i	Уп являются произвольными дифференцируемыми
функциями с фиксированными граничными значениями и, следовательно, их
вариации в том же смысле произвольны.
Пусть У), у2, ..., у„ — произвольная, удовлетворяющая уравнениям свя-
связей ф( ==0 (г = 1, 2	т), допустимая система функций. Варьируем урав-
уравнения связей
Умножаем почленно каждое из полученных уравнений на пока не опреде-
определенный множитель Xi (x) и интегрируем в пределах от х0 до хц тогда по-
получим
А
*) И здесь, как и на стр. 379, следовало бы в левые части уравнений
включить слагаемые, содержащие члены порядка выше первого относительно
буу и by'j (j— 1. 2	и), причем учесть влияние этих нелинейных членов
здесь уже значительно труднее.

384	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	[ГЛ. 9
интегрируя каждое слагаемое второго интеграла по частям и принимая во
внимание, что dy'j = (бу^)' и (бу.) _ = (бу.) = 0. будем иметь
«/ *¦ I	dy j dx
Из основного необходимого условия экстремума 6v = 0 получим
л
/	и \
= 0,	(9.4)
так как
Сложив почленно все уравнения (9.3) и уравнение (9.4) и вводя обозначение
га
2 ^г (•*) Ф*> будем иметь
Так как вариации буу (] — 1, 2	и) не произвольны, то пока нельзя при-
применять основной леммы. Выберем т множителей %\{х), к?(х), .... кт (х)
так, чтобы они удовлетворяли уравнениям
ViK;-0 (У==1>2	ту
Если написать эти уравнения в развернутом виде, то они представляют со-
собой систему линейных дифференциальных уравнений относительно
-g± (/ = 1. 2	т),
которая при сделанных предположениях имеет решение %г (х), Я2 {х), ...
..., hm(x), зависящее от т произвольных постоянных. При таком выборе
Ъ\(х), Я2 (х), .... Ят(л:) уравнение (9.5) приводится к виду
ft
0,
где вариации буу U — т-\-\, т-\-2, ..., п) уже произвольны, и следова-
следовательно, полагая все вариации 6у/ = 0, кроме какой-нибудь одной byj, и при-
применяя основную лемму, получим

S 3]	ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	385
Таким образом, функции уь (х), у2 (х)	уп (х), реализующие условный
экстремум функционала v, и множители Хх (х), Хг (х), .... ~кт(х) должны
удовлетворять системе п-\-т уравнений:
F*yj-4x-Fl>=0 Ч-2	п)
и
Ф/ = о A = 1, 2	т). .
т. е. должны удовлетворять уравнениям Эйлера вспомогательного функцио-
функционала v*, который рассматривается как функционал, зависящий от п-\-т
функций
Уъ Уг> •••> Уф ^1> ^2> •••> ^т-
§ 3. Изопериметрические задачи
Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова назы-
называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной
площади при заданном периметре.
Среди таких экстремальных задач, исследовавшихся еще в древ-
древней Греции, были и вариационные задачи, например упомянутая на
стр. 282 задача о нахождении замкнутой кривой заданной длины,
ограничивающей максимальную площадь *). Задавая кривую в пара-
параметрической форме x — x(t), y — y(t), можно эту задачу формули-
формулировать так: найти максимум функционала
S= f xydt ( или 5 = 1 f (xy — ух)dt j
h	\	и	i
при условии, что функционал
J Vx2 + у2 dt
и
сохраняет постоянное значение:
Таким образом, мы имеем здесь вариационную задачу на условный
экстремум со своеобразным условием: интеграл | Vх2 -f- у2 dt co-
храняет постоянное значение.
*) Хотя решение этой задачи было известно еще в древней Греции,
однако ее своеобразный вариационный характер был осознан лишь в конце
XVII века.

386	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	(ГЛ. 9
В настоящее время изопериметрическими задачами называется зна-
значительно более общий класс задач, а именно: все вариационные за-
задачи, в которых требуется определить экстремум функционала
'(*• Уу У2	Уп- Уу У'г	У'п)ах
при наличии так называемых изопериметрических условий
F,(x, у,, у,	у , у,', у!,	y',^dx = l,
A=1, 2	т),
где lt — постоянные, т. может быть больше, меньше или равно п,
а также аналвгичные задачи для более слвжных функционалвв.
Изопериметрические задачи могут быть сведены к задачам на
условный экстремум, рассмотренным в предыдущем параграфе, путем
введения новых неизвестных функций. Обозначим
X
f Ft dx = zt (x) (/=1,2	m),
откуда Z((jCg) = O и из условия | /?гйд: = /; имеем zi(xl) = ll.
Дифференцируя zt по х, будем иметь
i
(/=1, 2	т).
X,
Тем самым интегральные, изопериметрические связи ( Fidx = ll
заменились связями дифференциальными:
*'i = Fi{x> У,."У2	Уп- У'у У'2	У'п)
(t=l, 2	т)
и, следовательно, задача свелась к задаче, рассмотренной в преды-
предыдущем параграфе.
Применяя правило множителей, можно вместо исследования на
условный экстремум функционала v = I F dx при наличии связей

$ 3)	ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	387
Ft — г\ = 0 G = 1, 2	т) исследовать на безусловный экстремум
функционал
где
Уравнения Эйлера для функционала V* имеют вид
p',—k*,=Q с/=1.2.....
ИЛИ
(У=1. 2	л),
¦А*,,(*) = 0 (/=1, 2	От).
Из последних яг уравнений получаем, что все kt постоянны, а пер-
первые п уравнений совпадают с уравнениями Эйлера для функционала
v**= f [F + ^XtFt )dx.
X, \
Таким образом, мы получаем следующее правило: для получения
основного необходимого условия в изопериметрической задаче о нахо-
Х\
ждении экстремума функционала v= I F dx при наличии связей
л,
Г Ftdx = li {i=\, 2,..., т) надо составить вспомогательный
х,
функционал
'=1 /
где A,j — постоянные, и написать для него уравнения Эйлера.

388
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
[ГЛ. 9
Произвольные постоянные Clt C2	С2л в общем решении
системы уравнений Эйлера и постоянные Xlt X2	%т определяются
из граничных условий
) = Ул (/=1.2	п)
= 1. 2	т).
и из изопериметрических условий
х,
Система уравнений Эйлера для функционала v** не изменяется,
если v** умножить на некоторый постоянный множитель ц0 и, следо-
следовательно, представить его в виде
^F' dx-
где введены обозначения F0 = F, №j = XjH0, 7=1, .... т. Теперь
все функции Fl входят симметрично, поэтому экстремали в исходной
вариационной задаче и в задаче на нахождение экстремума функ-
{у
ционала I Fsdx при наличии изо-
Хц
периметрических условий
в
'¦ = 0, 1, 2, ...
..., s — 1, s + 1	т)
выборе
Рис- 9.1.
совпадают при любом
s (s — Q, 1	в).
Это свойство носит название
принципа взаимности. Напри-
Например, задача о максимуме площади, ограниченной замкнутой кривой
заданной длины, и задача о минимуме длины замкнутой кривой, огра-
ограничивающей заданную площадь, взаимны и имеют общие экстремали.
Пример 1. Найти кривую у = у (х) заданной длины /, для которой
площадь S изображенной на рис. 9.1 криволинейной трапеции CABD дости-
достигает максимума.
Исследуем на экстремум функционал
х.
S= J ydx, у (х0) = у0.

§ 3]	ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
у(лг,)г=у,, при изопериметрическом условии
X,
С
/f у dX=l.
Xts
Составляем сначала вспомогательный функционал
х,
S** = J (у + К ]Л + У'2) dx.
Ха
Так как подынтегральная функция не содержит х, то уравнение Эйлера
для S** имеет первый интеграл F — y'fy, — C^ или, в данном случае,
¦Сь
Vi + y" -
откуда
У-С
Вводим параметр t, полагая у' = tg t; тогда получим
у — Ci = — к cos t;
dy . ,	. dy k sin t dt
Tx = igt откуда ^°-g/= tg<
x = Я sin t + C2.
Итак, уравнение экстремалей в параметрической форме имеет вид:
х — С2 — Я sin t,
у — С\ = —Л cos ?,
или, исключая t, получим (х—СгJ-\-(у — C{f — k2 — семейство окружно.-
стей. Постоянные Си С2 и X определяются из условий
= Уо.
X,
и J
Пример 2. Найти кривую АВ заданной длины /, ограничивающую
вместе с заданной кривой у = / (х) максимальную площадь, заштрихованную
на рис. 9.2.
Требуется определить экстремум функционала
при наличии условия
Х\
S = J (y-f(x))dx;
Хо
У (*о) = Уо. У (*0 = У1
й '

390	ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Составляем вспомогательный функционал
i dx.
{ГЛ. в
Уравнение Эйлера для этого функционала не отличается от уравнения
Эйлера в предыдущей задаче, и следовательно, в данной задаче максимум
может достигаться лишь на дугах окружностей.
Пример 3. Найти форму абсолютно гибкого, нерастяжимого однород-
однородного каната длиной I, подвешенного в точках А и В (рис. 9.3).
у/М
Рис. 9.2.
Рис. 9.3.
Так как в положении равновесия центр тяжести должен занимать наи-
наиболее низкое положение, то задача сводится к нахождению минимума стати-
статического момента Р относительно оси Ох, которая предполагается направлен-
X,
ной горизонтально. Исследуем на экстремум функционал Р = Г у у\ + у'2 dx
при условии I у 1 -\-у'2 dx= l. Составляем вспомогательный функционал
х«
х,
Я**= f(y-\-X)Yl+y'2dx,
Х-,
для которого уравнение Эйлера имеет первый интеграл
F-y'Fy,~C,
или, в данном случае,
откуда у + X. •» С\ у 1 + у'2. Вводим параметр, полагая у' = sh t, откуда
Vl+y'2 — cht и у + Я,• Ci ch f; -^ =» sh <;аГдс =»-— = Ci Л;лс =

$3]	ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	391
„ 	 Q
или, исключая t, получим у -(- X = Сх ch —-р—	семейство цепных
линий.
Указанное выше правило решения изопериметрических задач рас-
распространяется и на более сложные функционалы.
Упомянем еще об одной задаче на условный экстремум — задаче
об оптимальном управлении. Рассмотрим дифференциальное уравнение
-§¦=/(*.*(*).«(*))	О-в)
с начальным условием х (t0) = д:0.
Кроме неизвестной функции (или вектор-функции) x(t), это урав-
уравнение содержит еще так называемую управляющую функцию (или
вектор-функцию) u(t). Управляющую функцию u(t) надо выбрать
так, чтобы заданный функционал
fF(x(t), u(t))dt
достигал экстремума.
Функция и (t), дающая решение поставленной задачи, называется
оптимальной функцией или оптимальным управлением.
Эту задачу можно рассматривать как задачу на условный экстре-
экстремум функционала v с дифференциальными связями (9.6). Однако
в практических задачах оптимальные функции часто лежат на границе
множества допустимых управляющих функций (например, если упра-
управляющей функцией является включаемая мощность моторов, то, оче-
очевидно, эта мощность ограничена максимальной мощностью моторов,
причем в решениях оптимальных задач нередко приходится включать
моторы хотя бы на некоторых участках на полную мощность).
Если же оптимальная функция лежит на границе множества допу-
допустимых управляющих функций, то изложенная выше теория задач на
условный экстремум, предполагавшая возможность двусторонних
вариаций, неприменима.
Поэтому для решения задач оптимального регулирования обычно
применяются иные методы, разработанные Л. С. Понтрягиным (см. [8])
и Р. Беллманом (см. [9]).
Пример. В системе дифференциальных уравнений
dx	dv	,,	.	,пя.
~d7 = v> ~Ж = и (< —время),	(9.7)
описывающей движение точки в плоскости с координатами х, V, определить
управляющую функцию и (t) так, чтобы точка А (ха, v0) переместилась
в точку В @, 0) за наименьший промежуток времени, причем | и | ¦< 1 (так
d^x
как и = -TTJ-, то и можно считать силой, действующей на точку с единичной
массой).

392
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
[ГЛ. 9
Управляющая функция u(t) кусочно непрерывна. Для упрощения рассу-
рассуждений предположим, что она имеет не более одной точки разрыва, однако
окончательный результат верен и без этого предположения.
Рис. 9.4.
Рис. 9.5.
Почти очевидно, что на оптимальных траекториях и= ±1, так как при
достигают наибольших значений и, следова-
этих значениях
dx
dt
dv
dt
тельно, точка движется с наибольшей скоростью. Полагая в (9.7) и = 1,
получим
или
—С), и аналогично при и = — 1;
—2 (х — С).
На рис. 9.4 и 9.5 изображены эти семейства парабол, причем стрелки
указывают направление движения при возрастании t. Если точка А (х0, v0)
лежит на проходящих через начало
координат дугах парабол
и
v = — У~х или v—У—j
(9.8)
(рис. 9.6), то оптимальной траекто-
траекторией является дуга одной из этих
парабол, соединяющая точку А с
точкой В. Если же точка А не ле-
лежит на этих параболах, то опти-
оптимальной траекторией будет дуга па-
параболы АС, проходящая через точ-
точку А, и дуга СВ одной из пара-
парабол (9.8) (см. рис. 9.6, на котором
указаны два возможных положения
точек А и С).
В этой задаче время Т перемещения точки из положения А в положе-
положение В является функционалом, определяемым первым из уравнений (9.7),
второе уравнение из (9.7) можно рассматривать как уравнение связи. Однако
применение к этой задаче изложенных выше классических методов решения
б.ллб бы затруднительным, так как оптимальное управление лежит на границе
области допустимых управлений | и \ ¦< 1 и двусторонние вариации здесь не-
Рис. 9.6.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 9	393
возможны, кроме того, решение ищется а классе кусочно непрерывных
управлений.
Оба эти обстоятельства весьма характерны для большинства практиче-
практических задач на оптимальное управление.
Задачи к главе 9
1
1. Найти экстремали изопериметрической задачи v [у (х)] — | (у'2-|_х2) dx
при условии I у'1 dx — 2; у @) = 0; у A) = 0.
о
2.	Найти геодезические линии круглого цилиндра г — R.
Указание. Решение удобно искать в цилиндрических координатах
г, ф, г.
3.	Наши экстремали изопернметрической задачи
X,	X,
v [у (х)]= I у'2 dx при условии I у dx = a.
х,	х-,
где а — постоянная.
4.	Написать дифференциальное уравнение экстремалей изопериметриче-
изопериметрической задачи об экстремуме функционала
х,
v \у (х)\ = J* [р (х) у'2 + q (х) у1} dx
1
при условии I г (х) у2 dx = 1; у @) = 0; у(х,) = 0.
о
5.	Найти экстремаль в изопериметрической задаче об экстремуме функ-
функционала
1
при условии
о
2A) = 1.
v [у (х); г (х)] = Г (у'2 +- г'2 — Ахг' — \г) dx
о
j (у'2 - ху'- г'2) fiU = 2; у @) = 0; ^ @> = 0; у A) = 1;
26 Л. Э. Эльсгольц

ГЛАВА 10
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
§ 1. Прямые методы
Дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются
в конечном виде лишь в исключительных случаях. В связи с этим
естественно возникает потребность в иных методах решения этих
задач. Основная идея так называемых прямых методов заключается
в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для
некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных.
Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных
решается обычными методами, а затем предельным переходом полу-
получается решение соответствующей вариационной задачи.
Функционал v [у ?х)] можно рассматривать как функцию бес-
бесконечного множества переменных. Это утверждение становится совер-
совершенно очевидным, если предположить, что допустимые функции
могут быть разложены в степенные ряды:
ao-j- fljx -f a2x2-\- ... -\-апхп-\- ....
или в ряды Фурье:
оо
У (х) = 4f + 2 (fl« C0S ПХ + Ьп Sin ПХ)>
или вообще в какие-нибудь ряды вида
где ф„ (х) — заданные функции. Для задания функции у(дг), пред-
оо
ставимой в виде ряда у (х) = 2 апФп (•*)> достаточно задать значе-
л = 0
ния всех коэффициентов ап, и следовательно, значение функционала
v [у (х)] в этом случае определяется заданием бесконечной последова-
последовательности чисел: aQ, av a2, .... а„	т. е. функционал является

5 21	КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА	395
функцией бесконечного множества переменных:
о1УС*)] = Ф(«о- а\	ап> ¦¦¦)•
Следовательно, различие между вариационными задачами и зада-
задачами на экстремум функций конечного числа переменных состоит
и том, что в вариационном случае приходится исследовать на экстре-
экстремум функции бесконечного множества переменных. Поэтому основная
идеи прямых методов, заключающаяся, как уже сказано выше, в том,
что вариационная задача рассматривается как предельная для задачи
на экстремум функций конечного числа переменных, является весьма
естественной.
Л. Эйлер в первый период своих исследований в области вариа-
вариационного исчисления применял метод, называемый теперь конечно-
разностным прямым методом. Этот метод в дальнейшем длительное
время совсем не применялся и лишь в последние три десятилетия
был с большим успехом снова возрожден в работах советских мате-
математиков (Л. А. Люстерник, И. Г. Петровский и др.).
Другой прямой метод, известный под названием метода Ритца,
в разработку которого весьма значительный вклад внесен советскими
математиками (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др.), в настоящее
время находит широкое применение при решении различных вариа-
вариационных задач.
Третий прямой , метод, предложенный Л. В. Канторовичем, при-
применимый к функционалам, зависящим от функций нескольких незави-
независимых переменных, находит все более и более широкое применение
в тех же областях, в которых применяется метод Ритца.
В дальнейшем мы остановимся лишь на этих трех основных
прямых методах, причем доказательства многих утверждений будут
опущены. Читателя, желающего более детально ознакомиться с при-
применяющимися в настоящее время прямыми методами, мы отсылаем
к книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [10] и к книге
С. Г. Михлина [11].
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера
Идея конечно-разностного метода заключается в том, что значе-
значения функционала v[y(x)], например
*¦.
J F (х, у, у') dx. у (*„) — а, у (х{) = Ь,
рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариа-
вариационной задаче, кривых, а лишь на ломаных, составленных из задан-
заданного числа п прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин:
х0 -(- Ах, хо + 2Ах	xQ-\-{n—l)Ax, где A*=»*'~*0 (рнв. 10.1).
26*

396
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
ГГЛ. 10
На таких ломаных функционал v [у (х)\ превращается в функцию
ф(у,, у2	Ул-i) ординат yv у2, .... уп_1 вершин ломаной, так
как ломаная вполне определяется этими ординатами.
Выбираем ординаты yv y2, ..., уа_1 так, чтобы функция
4>()>i> У>2	 Уп-i) достигала экстремума, т. е. определяем
yv у2, •••. уп-1 из системы уравнений
ду,	' dyi 	 ^Уп-\
а затем переходим к пределу при п—>оо. В пределе при некоторых
ограничениях, налагаемых на функцию F, получим решение вариа-
вариационной задачи.
1
0
.У
а
Hi
О %
А
,	-
й
ч
/
Ул-1
fn-1/ax
Рис. 10.1.
Удобнее, однако, значение функционала v[y(x)] на указанных
выше ломаных вычислять приближенно, например в простейшей
задаче заменять интеграл
f
F(x.y.
интегральной суммой
1=1
*¦
В качестве примера выведем уравнение Эйлера для функционала
-ч
v [У (х)} = J F {х, у, y')dx.

§ 3]	МЕТОД РИТЦА	397
В этом случае на рассматриваемых ломаных
У2	У„-1) =
Так как от yt зависят лишь два слагаемых этой суммы:
1-е и (/— 1)-е.
,,	yi~yl-l
У	5
I '* ^'' Д*—/
то уравнения -у-!—= 0 (/ = 1, 2, ..., л — 1) принимают вид
Fy(x, у, ^i^
1-Х ] '
или
или
Переходя к пределу при я—>оо, получим уравнение Эйлера
F	'L- f ,	о
которому должна удовлетворять искомая функция у (х), реализующая
экстремум. Аналогично может быть получено основное необходимое
условие экстремума в других вариационных задачах.
Если не совершать предельного перехода, то из системы урав-
уравнений -^- — 0 (/=1, 2, ..., п—1) можно определить искомые
ординаты ух, у2, .... у„_1 и тем самым получить ломаную, являю-
являющуюся приближенным решением вариационной задачи.
§ 3. Метод Ритца
Идея метода Ратца заключается в том, что значения некото-
некоторого функционала v [у (х)] рассматриваются не на произвольных
допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на все-
п
возможных линейных комбинациях у = 2 ЩУ, (х) с постоянными
ii

398	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ	ГГЛ. 10
коэффициентами, составленных из л первых функций некоторой
выбранной последовательности функций
Wx(x), W2(x)	Wn(x). ...
я
Функции уп = 2 а№i (х) должны быть допустимыми в рассматри-
ваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор после-
последовательности функций Wt(x). На таких линейных комбинациях
функционал v [у (х)] превращается в функцию (р(а\, а2	а„)
коэффициентов av а2, ..., а„. Эти коэффициенты а^ а2, .... ап
выбираются так, чтобы функция (p(ctj, а2	а„) достигала экстре-
экстремума; следовательно, а,, а2, .... а„ должны быть определены
из системы уравнений
-^ = 0 (/=1. 2, ..., я). -
Совершая предельный переход при п—>оо, получим в случае
существования предела функцию у=2а^;(х)' являющуюся (при
некоторых ограничениях, налагаемых на функционал v [у (х)] и на
последовательность W, (x), W2(x)	Wn(x), ...) точным реше-
решением рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать
предельного перехода, а ограничиться лишь п первыми членами
п
уп = 2 Q-iWt (x), то получим приближенное решение вариационной
задачи.
Если таким методом определяется абсолютный минимум функцио-
функционала, то приближенное значение минимума функционала находится
с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых
кривых не больше, чем минимум того же функционала на части
п
этого класса допустимых кривых — на кривых вида у„ = 2 a^W, (at).
При нахождении тем же методом максимального значения функцио-
функционала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума
функционала с недостатком.
п
Для того чтобы функции у„ = 2* a^W, (x) были допустимыми,
прежде всего необходимо удовлетворить граничным условиям (конечно,
не следует забывать и о других ограничениях, которые могут быть
наложены на допустимые функции, например требованиях, касающихся
их непрерывности или гладкости). Если граничные условия линейны
и однородны, например, в простейшей задаче у (х0) = у (хг) = 0 или
/	Q C/ = o. 1),

§ 31	МЕТОД РИТЦА	399
где р^ — постоянные, то проще всего и координатные функ ции
выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям. Очевидно.
п
что при этом и у„= 2 Ojtt^Oc) при любых at будут удовлетворять
( = 1
тем же граничным условиям. Пусть, например, граничные условия
имеют вид у (х0) = у (хг) = 0, тогда в качестве координатных функ-
функций можно выбрать
где фг(х)—какие-нибудь непрерывные функции, или
Wk(x) = sm кя(х-х°> (ft=l, 2. ...).
или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям
Если условия неоднородны, например у(хо) — уо, у{хх) = уь
где хотя бы одно из чисел у0 или ух отлично от нуля, то проще
всего искать решение вариационной задачи в виде
где WQ(x) удовлетворяет заданным граничным условиям W0{xQ) = y0,
W0(xl) = yx, а все остальные Wt(x) удовлетворяют соответствующим
однородным граничным условиям, т. е. в рассматриваемом случае
W[ (х0) = Wt (xx) = 0. Очевидно, что при таком выборе при любых аг
функции уп{х) удовлетворяют заданным граничным условиям. В ка-
качестве функции Wq(x) можно выбрать, например, линейную функцию
Решение системы уравнений -Д- = 0 G=1,2	п), вообще
говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно
упрощается, если на экстремум исследуется квадратичный относи-
относительно неизвестной функции и ее производных функционал V, так как
в этом случае уравнения —?- = 0 (/= 1, 2, ..,, п) линейны относи-
относительно аг.
Выбор последовательности функций Wv W2, .... Wn, ..., назы-
называемых координатными функциями, сильно влияет на степень слож-
сложности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора коорди-
координатной системы функций в значительной мере зависит успех приме-
применения этого метода.

400	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ	[ГЛ. 10
Все сказанное выше в полной мере относится и к функционалам
v\z(xu x2	хп)\, причем, конечно, в этом случае функции Wt
должны быть уже функциями переменных xv х2	хп, а также —
к функционалам, зависящим от нескольких функций.
Метод Ритца часто применяется для точного или приближенного
решения задач математической физики. Например, если требуется
найти в некоторой области D решение уравнения Пуассона
при заданных значениях z на границе области D, то можно заменить
эту задачу вариационной задачей об экстремуме функционала, для
которого данное уравнение является уравнением Остроградского
(см. стр. 315). В рассматриваемом случае таким функционалом будет
D
Функцию z, реализующую экстремум этого функционала, можно
находить любым из прямых методов.
Задачи математической физики обычно сводятся к исследованию
на экстремум функционалов, квадратичных относительно неизвестной
функции и ее производных, и следовательно, как указывалось выше,
применение метода Рнтца в этом случае упрощается.
Вопрос О сходимости приближений, получаемых по методу Ритца,
к искомому решению вариационной задачи, а также об оценке сте-
степени точности этих приближений является весьма сложным. Поэтому
ограничимся здесь лишь немногими замечаниями, отсылая читателя,
желающего подробнее ознакомиться с этим вопросом, к книгам
Михлина [11] и Канторовича и Крылова [10].
Для определенности будем иметь в виду функционал
1У (*)] = f F(х, у(х), y'(x))dx
и предполагать, что речь идет о его минимуме. Последовательность
координатных функций W1 (х), W2(x), .... Wп{х), ... будем считать
полной в том смысле, что каждая допустимая функция может быть
с любой степенью точности аппроксимирована в смысле близости пер-
п
. вого порядка линейной комбинацией ^ ak^ k (¦*) координатных функ-
ций, где п достаточно велико. Тогда, очевидно, что методом Ритца
можно получить функции з>1. у2	у„	где уп — ^akWk(x),

.3]
МЕТОД РИТЦА
401
образующие так называемую минимизирующую последовательность,
т. е. последовательность, для которой значения функционала
сходятся к минимуму или к нижней грани значений функционала
v\y(x)]- Однако из того, что Iim v [уп (х)] = min v [у (х)], отнюдь не
следует, что Iim yn(x) = у(х). Минимизирующая последовательность
может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе
допустимых функций.
Действительно, функционал
yn(x), y'n{x))dx
может мало отличаться от
v [у (хI = f F (х, у (х), у' (х)) dx,
не трлько в том случае, когда на всем отрезке интегрирования уп (х)
близка в смысле близости первого порядка к у (х), но и в том случае,
когда на достаточно малых частях отрезка (х0, хх) функции уп (х)
и у (х) или их произ-
производные резко отличаются 1У
друг от друга, оста-
оставаясь близкими на осталь-
остальной части отрезка (х0, х^
(рис. 10.2). Поэтому ми-
минимизирующая последо-
последовательность У], у2	уп
может даже не иметь пре-
предела в классе допустимых
функций, хотя функции ~
3>i> У2- •• • 'Уп сами и бу-
будут допустимыми.
Условия сходимости
последовательности уп,
полученной методом Ритца, к решению вариационной задачи и оцен-
оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся
функционалов были разработаны в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Бо-
Боголюбова. Так, например, для функционалов вида
Рис. 10.2.
q {х) у2 + / (х) у\ dx; у @) = у A) = 0.

402
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. 10
где р (х) У> 0; q (x) ^> 0, часто встречающихся в приложениях, не
только доказана сходимость приближений, получаемых по методу
Ритца, к функции у (х), реализующей минимум функционала, при ко-
координатных функциях
Wk(x)=Y'2smknx (? = 1,2....).
но и даны весьма точные оценки погрешности \у(х) — уп(х)\.
Приведем одну из этих оценок максимума \у\х)— Уп(х)\ на отрез-
отрезке @, 1):
J 1/ Г/2 (*)
(x) I 2 r х
к2У 2 [mlnp(x)] 2
Даже в этом, сравнительно простом случае, оценка погрешности
очень сложна. Поэтому для оценки точности результатов, полученных
методом Ритца или другими прямыми ме-
методами, обычно пользуются следующим
теоретически, конечно, несовершенным,
но практически достаточно надежным при-
приемом: вычислив уп{х) и yn+i(x), сравни-
сравнивают их между собой в нескольких точ-
точках отрезка [х0, хх]. Если в пределах
требуемой точности их значения совпа-
совпадают, то считают, что с требуемой точ-
ностью решение рассматриваемой вариа-
вариационной задачи равно уп (х). Если же
значения уп (х) и yn+i (x) хотя бы в некоторых из выбранных точек
в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют уп+ъ(х)
и сравнивают значения Уп+\(х) и уп+ъ{х). Этот процесс продол-
продолжается до тех пор, пока значения yn+j(x) и Уп+й-нС*) не совпа-
совпадут в пределах заданной точности.
Пример 1. При изучении колебаний заделанного клина постоянной тол-
толщины (рис, 10.3) приходится исследовать на экстремум функционал
1
v = f {ax3y — bxy2) dx; у A) = у' A) = 0.
Рис. 10.3.
*) См. книгу Канторовича и Крылова [10].

МЕТОД РИТЦА
403
где а и Ь — положительные постоянные. За координатные функции, удовлет-
удовлетворяющие граничным условиям, можно взять
(х — if, (х — IJ х, (х —
2	(х — if xk~\ ...;
следовательно,
Ограничиваясь лишь двумя первыми членами, будем иметь
y,-(Jc-l)*(oi+a«JC).
тогда
1
v% = v [у2] = Г [ах3 F<х2л: -j- 2а, — 4а2J — Ьх (х — IL {щ -4- а2л:J]
280 "
Необходимые условия экстремума 2 = 0; -~- = 0 принимают в данном
случае вид
Для получения решений, отличных от решения а, = а2 = 0, которое соответ-
соответствует отсутствию колебаний клина, необходимо, чтобы определитель этой
однородной линейной системы уравнений был равен нулю:
6	2	6
30
5 п 105
5'
2
= 0
или
30
= 0.
Это уравнение называется уравнением частот. Оно определяет частоту ft
собственных колебаний клина, описываемых функцией
и (х, t) = y(x) cos bt.
Меньший из двух корней 6, и Ь2 уравнения частот дает приближенное зна-
значение частоты основного тона колебаний клина.
Пример 2. В задачах, связанных с кручением цилиндра или призмы,
приходится исследовать на экстремум функционал

404	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ	[ГЛ. 10
Для цилиндра с эллиптическим поперечным сечением область интегрирова
ния D будет ограничена эллипсом — -f- -р- = 1. В этом случае, взяв лишь
одну координатную функцию ху, получим
" г, = аху, v [2,j = v, = ^- [(о+ IJ а2 + (а— IJ ЬЦ.
Необходимое условие экстремума ' = 0 принимает в данном случае вид
(a-f I)a2 + (a— 1)U2 = 0, откуда
_ &2 — аг	Ь2 — а2
Пример 3. Если в условиях предыдущего примера область D будет
прямоугольником со сторонами '2а и 2Ь, —а <. х < а; —6 <. у < 6, то, взяв
за координатные функции ху. ху3, х3у, т. е. положив
г3
получим
j
+ -i a3* (a, + IJ 4-1 аЬь (а, — 1) а2 + -| аЧ (а, + 1) а2 -
— |- а5* (а, + 1) а3 — — аЧ3 (а2 + *2) ага3 — -к- а3*3 (а, — 1) а,.
Необходимые условия экстремума —— — 0, -т-3- = 0, ^-^ = 0 позво-
OCtj	CCt2	CCC3
ляю! вычислить ai, a2, а3:
	7 (д8 — bs) + \35аЧ2 (а2 — &2)
0A ~ 7 (а6 + Ье) + 107а26« (а2 + Ь2) '
	7а2 (За2 + 3562)
762 C5а2 + 3&2)
Пример 4. Найти решение уравнения
Лг . д'2г
внутри прямоугольника D, 0^х*Са, 0<:у< Ь, обращающееся в нуль на
границе D. Функция / (х, у) предполагается разложимой внутри рассматри-
рассматриваемого прямоугольника в равномерно сходящийся двойной ряд Фурье:

§ 3]	МЕТОД РИТЦА	405
Эту краевую задачу можно свести к вариационной задаче, т. е. подобрать
функционал для которого заданное уравнение было бы уравнением Остро-
градского, и затем одним из прямых методов найти функцию, реализующую
экстремум этого функционала, и тем самым найти решение исходной краевой
задачи Как легко проверить,
является уравнением Остроградского для функционала
\ [« (*, у), - / / [(?)' + Щ + 2г/ (* у)] Лх dy
о
(см. стр. 315). Граничное условие сохраняется: 2=0 на границе области D.
Исследуем этот функционал на экстремум методом Ритца. В качестве си-
системы координатных функций возьмем
sin т	 sin л ——- (т. п— I, 2, .,.).
а	о
Каждая из этих функции и их линейные комбинации удовлетворяют гранич-
граничному условию г = 0 на границе области D. Свойством полноты эти функции
также обладают Взяв
п т
V V	, ЛХ	лу
гп,ш= 2j 2иарч р~irsinq ь'
р= 1 <7 = 1
будем иметь
//
о о
/./[ Ш+О Г +
о о L
п т
Р2 , I2 \ 2 1 аЬ V V
—4— 2
Этот результат легко получить, если принять во внимание, что координатные
функции sin р—sing-— (/>, q — 1, 2, ...) образуют в области D ортого*
нальную систему т. е.
f fsinp^sing^-
•J J	a	0
при любых целых положительных р, q, рь qu за исключением случая р ¦-
q = q,. При р = р, и q — q, получаем
лх . , лу . , ab
sin' р	sin^ q —i— dx dy == —^— i

406	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ	[ГЛ. 10
Поэтому из всел членов, стоящих под знаком двойного интеграла, рав-
равного v [гпт\, надо учитывать лишь те, которые содержат квадраты функций
их , лу . пх яу кх , яу _
sin р	sing—-j-, sinp	 cos q —j- и cos p	sing-^-. Очевидно,
v[znm\ является функцией q>(an, a^, ..., anm) коэффициентов aH, a12, ...
..., anm, которые определяются из основного необходимого условия экстре-
экстремума
-, =0 (п= 1, 2, ..., п; «7=1,2	т)
даРЧ
Эта система уравнений в данном случае имеет вид
1 + Рр? =г ° (/»= I. 2	л; q= 1. 2, .... т),
откуда
Vpq
Следовательно,
Переходя к пределу при пит, стремящихся к бесконечности, в данном
случае получим точное решение:
оа те
1 V V Ррч . яд: , лу
§ 4. Метод Канторовича
При применении метода Ригца к функционалам v[z(xlt x2, ..., хп)],
зависящим от функций нескольких независимых переменных, выбирается ко-
координатная система функций
W\{Xi, х2, ..., хп), W2(xb xt	х„), ..., Wm{xu x2, ..., хп), ...
и приближенное решение вариационной задачи ,ищется в виде гт =
т
2	ь Х2	хп)< где коэффициенты % — постоянные.
2
Метод Канторовича также требует выбора координатной системы
функций
Wx (хх, х2, .... хп), W2(xu х2, ...', хп)	 Wm(xi, хг	хп), ...
и приближенное решение также ищется в виде
т
гт = 2 а* (¦*') W* (•*>• •*«	¦*")•

§ *1	МЕТОД КАНТОРОВИЧА	.	407
однако коэффициенты a* (xt) не постоянные, а являются неизвестными функ-
функциями одной из независимых переменных. Функционал v [г] на классе функ-
функций вида
т
гя=2а*(•**) wk(¦*!• -«2. • •., х„)
*=1
превращается в функционал v[ai(xt), a2(xi), .... ат (xt)], зависящий от т
функций одной независимой переменной
«I (xi), q2(xi)	ат(х{).
Функции ax(xi), a2(xi), ..., ат(х{) выбираются так, чтобы функционал «
достигал экстремума.
Если после этого перейти к пределу при т -> со, то при некоторых
условиях можно получить точное решение, если же предельного перехода
не осуществлять, то этим методом будет получено приближенное решение и
притом, вообще говоря, значительно более точное, чем при применении ме-
метода Ритца с теми же координатными функциями н с тем же числом членов т.
Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций гт =
т
^ ^ ak(xt) Wk(xu х2, ..., хп) с переменными щ (х{) значительно шире
*=]
класса функций
при постоянных ctj и, следовательно, среди функций вида
т
гш= 2 ak(xi)Wb(xu Х2	хп)
*=]
можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной
т
задачи, чем среди функций вида ^ au^k (х\< Х2, •••,•*/!). гДе ak постоянны.
Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал
Л
ха ф, (X)
распространенный на область D, ограниченную кривыми у =ф] (х), у = ф2 (х)
¦I двумя прямыми х = х0 и х = Xi (рис. 10.4). На границе области D заданы
значения функции г (х, у). Выбираем последовательность координатных
функций:
Wx(x, у), W,(x, у)	Wn{x, у), ...
Ограничиваясь пока т первыми функциями этой последовательности, мы
будем искать решение вариационной задачи' в виде суммы функций гт —
— 2 а* (¦*) ^k (х' У} или' меняя обозначения а* (х) на uj (x), получим:
2
к-1
У) = «1 (х) Wl (х< У) + «2 (-*) ^2 (* У)+ • • • + (% (X) Wm (X, у),

408
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. 10
где Wk — выбранные нами функции, а и^ — неизвестные функции, которые
мы определяем так, чтобы функционал v достигал экстремума. Имеем
X,	ф2 (X)
v [гт (х, у)} = f dx f F (x, у, Zm {x, у),
Xv	q>, (X)
dy.
Так как подынтегральная функция является известной функцией у, то инте-
интеграция по у может быть выполнена, и функционал v [zm (x, у)] будет функ-
функционалом вида
X,
v [гт (х, у)) - J Ф (х, их (х)	ит (х), и\, ..., ит) dx.
Функции щ (х), и2(х), ..., ит(х) выбираются так, чтобы функционал
х0
Рис. 10.4.
v [?т (х, у)] достигал экстремума. Следовательно, иг (х) должны удовлетво-
удовлетворять системе уравнений Эйлера:
Ф„	з— ф , = 0.
"™ dx »m
Произвольные постоянные выбираются так, чтобы гт (х, у) удовлетворяла
на прямых х = х0 и х = хх заданным граничным условиям.
Пример 1. Исследовать на экстремум функционал
-а -Ъ

§ 4]	МЕТОД КАНТОРОВИЧА	409
причем на границе области интегрирования z = 0. Областью интегрирования
является прямоугольник — я <^ х <! а; — й < у <. ?>. Решение ищем в виде
г, = (й2 — у2) и (х), при этом граничные условия на прямых у — ± b будут
удовлетворены. Функционал
а
Л1 д о	О	
-г? b'au'2 4- -rr b3u2	к Ьги\ dx.
15 '3 6 J
-а
Уравнение Эйлера для этого функционала
5
и = —
2b1	АЬ2
является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, общее ре-
решение которого имеет вид
Постоянные С, и С2 определяются из граничных условий г (— а) = z (а) = 0
откуда С2 = 0, С, =	-р—	, и окончательно получаем:
2chl/4
следовательно,
Если необходимо получить более точный ответ, то можно искать решение
в виде
2
Пример 2. Найти непрерывное решение уравнения Аг = — 1 в об-
области D, являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми
-шГ~
у = ± ,.J х и х — b (рис. 10.5) обращающееся в нуль на границе этой
области.
Уравнение Az = — 1 является уравнением Остроградского для функцио-
функционала
Уз
КГ

410
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. 10
причем на границе области интегрирования г = 0. Следуя методу Канторо-
Канторовича, будем искать первое приближение в виде
[y1-(Jr-JC)f ]"<*)•
При таком выборе гх граничные условия на прямых у = ±
x удовлет-
воряются.
Функционал v[zx] после выполнения интегрирования по у принимает вид
ь
f
Юх'ии' + 30x3u2
Ч) dx.
Линейные уравнения такого типа в теории дифференциальных уравнений на-
Уравнением Эйлера для этого функционала будет х2и" -f- Ъха' — 5а=-д-.
орт
зываются уравнениями Эйлера (стр. 110).
Одно частное решение этого неоднородного уравнения очевидно: и =
о
= — -г. Решение соответствующего однородного уравнения ищем в виде
и = xk и окончательно получаем и = C,x-j- Сгх —-j. Так как около
точки х — 0 решение и должно быть
ограничено, то С2 следует выбрать рав-
равным нулю, а из условия и (Ь) = 0 полу-
чаем С, =	—•. Итак,
=-Ah-?V-
Замечание. Для приОлиженного ре-
решения краевых задач часто применяется
еще один прямой не вариационный метод —
метод Б. Г. Галеркина. Этот метод осо-
особенно удобен при решении линейных крае-
краевых задач, но может быть применен и ко
многим нелинейным задачам. Для опреде-
определенности изложим метод Галеркина в применении к особенно часто встре-
встречающимся в приложениях линейным уравнениям второго порядка
Рис. 10.5.
y" + p(x)y'+q(x)y=f(x)
A0.1)
с однородными граничными условиями з/(лго) = О, y(.*i)=0 (неоднородные
граничные условия у (х0) = у0. у(.Х\) = ух заменой переменных
легко сводятся к однородным).

5 4]	МЕТОД КАНТОРОВИЧА	411
Уравнение A0.1) кратко запишем в виде
L (У) = /(-*)•
Выберем полную на отрезке [х0, х,] систему непрерывных линейно не-
независимых функций
w, {х), w, (х)	wn{x)		A0.2)
удовлетворяющих граничным условиям wn (х0) = wn (x{) =0 (п—\, 2, ...).
Приближенное решение краевой задачи будем искать в виде линейной ком-
комбинации первых п функций системы A0.2):
а
Уп = 2 a'wi (-*>•
Подставляем уя в уравнение A0.1) и выбираем коэффициенты а; (/ = 1, 2, ..., п),
так чтобы функция
/ "	\
L i JiaiWi(x)\-f(x)
была ортогональна на отрезке [х0, хх\ каждой из функций т-ь (х) (i = 1, 2,..., п)
<•*) dx = ° V = '• 2	Л>
f
Естественно ожидать, что уп стремится при п ->оо к точному решению
со
у = 2 а'да' (¦«)•
так как, если полученный ряд сходится и допускает двукратное почленное
дифференцирование, то функция L (у) — / (.*) ортогональна на отрезке [х0, хх]
каждой функции wt (x) системы A0.2), а так как система A0.2) полна,
то L (у) — f(x) = 0, а это означает, что у является решением уравне-
уравнения A0.1). Очевидно, у удовлетворяет и граничным условиям у (х0) = у (ati) = 0
(так как все wt (х0) — да; (л:^ = 0).
Определить все а; из линейной по отношению к ним системы A0.3) и
совершить предельный переход при п -> со удается весьма редко, поэтому
обычно ограничиваются лишь конечным и притом весьма небольшим
числом п (п — 2, 3, 4, 5, а иногда даже п ¦= 1).
При этом, конечно, надо выбрать лишь п функций Wi (x), поэтому усло-
условие полноты отпадает и их надо выбирать лишь линейно независимыми и
удовлетворяющими граничным условиям
wt (х0) = wt (xx) = 0.
Часто в качестве таких так называемых координатных функций берут
многочлены:
(X — Хй){Х— Xi), (X — ХаJ (X — Xi), (X—.Xofi-t — X,), ...
...,(х — ха)"(х — Xl), ... A0.3,

412	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ	(ГЛ. 10
(удобно при этом начало координат перенести в точку ха, и тогда в A0.3)
х0 = 0) или тригонометрические функции
x\ — Xo
Этот метод применим к уравнениям любого порядка га, к системам
уравнений и к уравнениям в частных производных.
Задачи к главе 10
1. Найти приближенное решение уравнения А2 = — 1 внутри квад-
квадрата — а<л:<а, —а <; у < а. обращающееся в нуль на границе этого
квадрата.
Указание. Задача сводится « исследованию на экстремум функ-
функционала
dx dy.
Приближенное решение можно искать в виде
г0 = а (*2 — а2) (у2 — а2).
2.	Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала
V [у (х)] = Г (х3у"'' 4- ЮОлгу2 — 20ху) dx; у A) = у' A) = 0.
о
Указание. Решение можно искать в виде
уп(х)~(х — 1J(<х0+а,*+ ... +апхп);
провести вычисления при га = 1.
3.	Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала
1
v [У (х)} = J С/2 — у2 — 2ху) dx; у @) = у A) = 0,
о
и сравнить с точным решением.
Указание. Приближенное решение можно искать в виде
провести вычисление при га = 0 и га = 1.
4. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала
2
v [у (х)} - f (х/2 - ^i=l f -2х'у} dx; y{\)^y B) = 0,
i
и сравнить с точным решением.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 10	413
Указание. Решение можно искать в виде
у = <х(ж — 1)(лг —2).
5.	Найти методом Ритца приближенное решение задачи о минимуме
функционала
2
v \У (•*)] = J (у'2 4- У2 + 2ху) dx; у @) = у B) = 0.
о
и сравнить с точным решением.
Указание. См. задачу 3.
6.	Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального
уравнения у" -\- х2у = х; у @) = у A) = 0. Определить y,t (x) и уъ (х) и срав-
сравнить их значения в i очках х = 0,25, х = 0,5 и х = 0,75.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
К главе 1
1. sin у cos х = с. 2. 6х2 -f Ъху + у2 — 9х — Зу = с. 3. х2 — 2су = с2.
4. у = — -f 4-. 5. -^- -f -2- = с. 6. .* = се~ы
8. ех — еу = с. 9. х = се' — -~- (cos / -(- sin ?).
14. Можно ввести параметр, полагая у' = cos ?
10. Однородное уравнение:
3
15. у = ex -\	; особое решение у2 = Ах. 16.
нение линейно относительно х и -т—, х = су -f-тг- 18.'	3	9
У	(у = ^-рз_2.
19. Гиперболы л:2 — у2 = с. 20. Дифференциальное уравнение искомых кри-
кривых -?— = у'. Отв. у2 = 2с*. 21. Дифференциальное уравнение искомых кри-
кривых у — ху' = х. Отв. у = сх — х 1п | х |. 22. х2 -\- у2 — 2су = 0. Особенно
просто задача решается в полярных координатах. 23. Дифференциальное
уравнение задачи —гг- = k (T — 20). Отв. Через 1 час. 24. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение задачи ——- = kv, где v — скорость. Отв. v я 0,466 км/час.
25. Если поместить начало координат в заданную точку и направить ось
абсцисс параллельно данному в условиях задачи направлению, то дифферен-
дифференциальное уравнение кривых, вращением которых образуется искомая поверх-
поверхность, имеет вид у' =	 (или dx — dp = 0, где р = Ух2 -\- у2).
Отв. Осевое сечение искомой поверхности определяется уравнением
у2=2слг-(-с2, поверхность является параболоидом вращения. 26. у = 2 sin (x—с).
27. Дифференциальное уравнение искомых' кривых у' = — —. Отв. Гипербо-
X

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ	415
лы ху = с. 28. (х 4- у 4- IK = с {х — у 4- 3). 29. у =	j	2. 30. у @,5) я
«0,13. 31. у @,6) я 0,07. 32. у @,02) я 1,984; у @,04) я 1,970; у @,06) я 1 955-
у @,08) я 1,942; у @,10)я 1,930; у @,12) я 1,917; у @,14) я 1,907; у @,16) я 1,89б!
у @,18) я 1.886; у @,20) я 1,877; у @,22) я 1,869; у @,24) я 1,861; у @,26) я 1,854;
у @,28) я 1,849; у @,30) я 1,841. 33. | * ~ ^+Т' и у = 0. 34. *-fctg i^zZ = с.
(у = 2рх~р2.
36. (л- + у + 1K=се2х+у. 37. у = с;у = <?*4-с;у = — ех-\-с. 38. y2=2cjtr4-c2.
,. „ .. х2 — \ х2 — 1 . 2 1 . л:3 *5
39. Не имеет. 40. у, =	§	; у2 =—§	j_ — __jr+—___.
41. у = 2л-2 —л:. 42. Не имеет. 43. х—сеу. 44. х2 4--|-= с2. 45. л- = 2*.
л:2
46. л: = /2. 47. у =—а-+1 и у =	j-. 48. Действительного решения не
существует. 49. Зх—4 у + 1 = cex"v- 50. х = Dt-\- с) sint. 51. у = сх-]	ц—
7х^	а
и особое решение у = — х2. 52. у = 7 , , у = 0. 53. л: — c = yBi—sin 2t),
у == — A—cos It) — семейство циклоид. Особое решение у = а. Указа-
Указание: удобно ввести параметр t, полагая y' = ctg<- 54. 2>(х2-\- у)-\- хуъ = сх.
х
55. и — j 2 j_ .	Ж.х=сеу.	57. х2 + 2ху — у2—6х — 2у = с.
58. У = уц:—Г]	 и у = 0. 59. (л-2 — 1) у — sin x = с. 60. 8у + 4*4-5 =
= се4х-8у-4 61. у3 + л:3 —Зл:у = с. 62. у = с {х2 + у2). 63. у3= х+ ^-.
-
. '	(л: 4- аJ	2	с
64. у = с (х -\- а) -\- с2 и особое решение у =	^—*.	65. х = -д- ' + Т2«
• = 2xt — t2 и у = 0, у = -г- а:2. 66. у =
COS X
К главе 2
1. у = 5е3х sin х 4-10.	2. at = с, cos / 4- c2 sin / -f -^ cos 2<	~—•
ч, , I 1 • I COS2 AT 1
3 (y — c,J = c,X 4- C2-	4. у = Ci COS JC-4- C2 Sin A: 4	;	7Г~:	•
v/ 3; ' ' ' ' ¦* ' sin л: 2 sin a:
5. у = С!*2 4- c2a:3 4- -5-. 6. у = с, sin a: 4- c2 cos a: -f- 75- ch a:. 7. у =	-j-	(- 1.
о	Z	C\X ~y~ C<i
fe2t	1	x C24-l
8. Аг = еЛ(';1 + c2OH	h«4	• 9- У =	1	9— lnl l+CiA-l + Cj.
2	4	Cj cf
10. c^+l—ci (t-\-c2f. 11. y = Cjg X4^c2e~ +c3 cos 2a:4-c4 sin 2*— у^+тн е'Г'
4a-8
AT4
12. у = cos (x — ci)+c2x+ct. 13. у = C\e*-\-сге~х-\-с3х3-\-с<х2-\-съх-{-с6 — ^.
1--273 +

416	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
,	(-1)" 4" хм
\	/ 4х<
¦¦"]	Г 3-4
2-3-5-6 ''' г 2 • 3 • 5 • 6 ... Cft — 1) 3ft ^ ''" /	V 3-4
fe+i
6. у
"гЗ-4-6-7 ¦" "f" 3 • 4 • 6 • 7 ... 3ft • Cft + 1) ~ '
= CSJ (Зл:) + c2j j (Зх). 17. у = л:. 18. у = (у x -j- 1J . 19. у = с, cos x -\-
Т	~Т
-\-с2 sin х-{-1-{-х cos х — sin x In | sin x \. 20. и = —--j- c2. 21. Дифферен-
rfV k	dv k
циальное уравнение задачи -щ-=^— или v —— = -j-, где г — расстояние
от центра Земли до тела, v — скорость, k = — 64002g\ Отв. v sz 11 см/сек.
d'2x	I dx \2
22. Дифференциальное уравнение движения — ,2 = — g-\-kl——\ .
752	о-
Отв. х —	Inch—-t.	23. Дифференциальное уравнение движения
S	/о
или -gi=|L(s+l). Отв. <=|A|
24. /	3 1„(9+^80).	25. s=
l/ — t. 28.
A7	A7
26. x=^cosl/ — Д 27. A:=acosl/ — t. 28. Дифференциальное уравие-
ние движения x~\-k\'x — k2x = 0, ^2 > 0. Отв. x = cxe v	' -{-
+ с2е
= с, (х2 4- a: lAf + jc24-ln | х 4- Kl +А-21) + с2. 31. у = c2eClX 4- сь у =
С — л:
32. x=ct cos 3/ + с2 sin 3^ — ттг ^2 cos Ы Л- -^r sin 3t 33. у = f?-* (с, + с2х —
12	00	\
г . , . , лге* cos л , х2е* sin л: „„	.
35. у = еж(с,со5^ + с281пл:)Н	1	1	^	. 36. у = с, (х —
> — х)\п
-«+111 1
37. ir=Ci
38. и—	''	4"С2-	39. Дифференциальное уравнение движе-
\ х2 4- у2 + .г2
( - — '\
(	\
ния mx=mg~kx. Отв. x*=^t-~f\\—e т ). 40. a) t — ^

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ	417
;	v
dx	,.	/' v dv
х
f (х) dx
Xo
гдео = х	41. у = Ct + c2x + c3x2 + e* (ct + c^x + c6x2) — ~ — ~.
42. x — (cx 4- c2t) cos t 4- (c3 4- ctt) sin t — -^ t2 cos / 43. у = с, cos In A 4- x) -\-
co
nt
(Л -а2
" cos nt + ?^?я-(я'-Д») P« sin ЯЛ
1/2	\2 , 95	•
(n-'-ay + flfn-	j
где a0, а„, р„ — коэффициенты Фурье функции / (t).	46. х =	-(-
_j_ JL A+ 3 cos 20.	47. у = с,х Л- с2хе х.	48. x2y" + xy' — у = 0.
49. л: = е2 ^c, cos^^+cssin^ <j+e	(c3 cos у-ф t+ct sin ^
Cl + "o") ^ + ci' + c2- 51. x=
- 52' У=^С1Ла- 5а у-свЧ-м-ч-
cos -
е2х	л:3	1
-gg-- 54- y = (Ci-« + C2) cos *-f(c3.* + c4) sin х + c5 + c6jc + -g- 4- -jrt
\ci
1
55. у = (с,л:4-с2)84-Сзх4-с4. 56. у == el + c'x(—— 4") + сг- 57. y=c, cosjtr ^
\
sin 2x sin 4jc __	1	. „ , 1
_	__. 58. y = _-_I. 59. y = c2^4--
К главе З
1. jc = sln<, y = cos/. 2. je,=2e', x2 = 2e'. 3. л: = c,e^"I+К15^ ' 4.
e	4" T7 e< + "c"g2<;
4" T7 e< + "c"g2<; У находим из первого уравнения: у = е'
/	l/ Q	I/ Q
—-^ — Ьх. 4. дс = с,е'4-й 2 (c2cos —g—/4-c3sin—g—Л; у и 2 опре-
деляются из уравнении: у = —-., г — 2 . 5. jc == c,et2'; у = с,с2еС2 .
6. je = С] cos / 4- С2 sin t 4- 3; _у = — с, sin t -\- с2 cos t. 7. у — с,У0 (л:) 4- c2Y0 (x)\
224-22 = 4 9. л:=с/4'

418
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
У =
10.
-г
j=—С[*4--г- И. jc= с, cos*-f-c2 sin/— /cos / + sin t\n| sin / |; у опре-
определяется из уравнения -У — ~п
13. * = c1«' + c2e'
15. 9A) « 0,047. 16.
17. .* = 2c1<r'-fc2*r
-(- 2с2 sin <), у = е"'
= (cxt -\- с3) е' — t—1 — с2, г = у — с,е'.
¦ —1. 12. х2 — у2 = с,, у — х — t = c2.
?~'.	14. х = е'\ у = 4е'.
л: = е°' (с, cos t -f- c2 sin 0 у = еа' (с, sin t — с2 cos ^).
у = — С|б~' + с2е~7'.	18. х= е^й' Bс, cos t-\-
— с2) cos / + (Cj 4- с2) sin t]. 19. х= с,<?' + с2. у =
= С], JCy2 = С2.
О1 „2
21. х
z = cv xyz — c2.
20.
у
К главе 4
1. Точка покоя асимптотически устойчива. 2. Точка покоя неустойчива.
3. При а < —s- точка покоя асимптотически устойчива, при а = — -=- устой-
устойчива, при <х>—fr неустойчива. 4. При а<;0 точка покоя асимптотически
устойчива, при а > 0 неустойчива. 5. При 1 < t < 2 х (t, (.i) -> J^4 — ^2; при
2 <t <3x{t, |x) -> — К9 — ^2; при г1 > 3 л: (t, |х) -> оо. 6. х (^, ц) -> со. 7. Точха
покоя неустойчива. 8. Точка покоя устойчива. 9. Точка покоя неустойчива.
10. Точка покоя устойчива. 11. Седло. 12. Периодическое решение х —
12
= -=- sin ^	=- cos t асимптотически устойчиво. 13. Все решения, в том числе
о	о
и периодические, асимптотически устойчивы. 14. Точка покоя неустойчива.
Функция v = х* — у4 удовлетворяет условиям теоремы Четаева. 15. Все реше-
решения неустойчивы. 16. Решение х == 0 неустойчиво. 17. При 1 < а < 2 реше-
решение j*:==0 асимптотически устойчиво.- При а= 1 и при а= 2 решение х = 0
устойчиво. При а>2 и при а< 1 решение х==0 неустойчиво. 18. Решение
х = 0, у==0 устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Функция
v — 4x'J -f- Зу2 удовлетворяет условиям теоремы Малкина. 19.. Решение
,Y(i) = 0 неустойчиво. 20. Все решения устойчивы, но асимптотической устой-
устойчивости нет. 21. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости
нет. 22. Периодическое решение х —	ц	 неустойчиво 23. Область
устойчивости 0<^а<.1, область асимптотической устойчивости 0 < а < 1.
24. Область устойчивости а>5. область асимптотической устойчивости а > 5-
К главе 5
(
1. г = Ф (х + У)- 2. г = егхФ (х — у). 3. г = ехф (х). 4. Ф \г, уе
0.
х-1
(у) + Ф2 (у). 9. 2 = (х2 + у — IJ. 10. г = у<?
3x12.2
(>'— —
!3-
14. Ф(г2 — л*, д:2 — у2) = 0.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ	419
15. Не интегрируется. 16. 2ху + у2 4- бхг2 =• с. 17. г--= я*3 + |! _)_ й (воз-
(возможны и другие ответы). 18. г = ах -f by -f- я3й3 (возможны и другие от-
— (а2х+у)
веты). 19. г = йеа	(возможны и другие ответы). 20.2 = х sin а + ау 4- b
(возможны и другие ответы). 2\.х2у — 3хуг— с. 22. Такого семейства поверх-
поверхностей нет. так как условие (F • rot F) = 0 не выполнено. 23. Уравнение
у
векторных линий — = с, xz ~ с2 Уравнение векторных поверхностей
1	/ у \
г= — Ф1— . Уравнение поверхностей, ортогональных к векторным линиям
х2 + у2 — г2 = с. 24. г = ху+\. 25. г = Зху. 26. г = л:2 -+. у2.
К главе 6
1. Экстремалями являются окружности {х—С\J + у* = С\. 2. Интеграл
не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача лишена смысла.
3. В классе непрерывных функций экстремум не достигается. 4. Экстремалями
С ~ х2
являются гиперболы у = — -\- С2. 5. у = С, sin Dх — С2). 6. у =	j- -f-
¦fC^+Cj. 7. y = sh(C1je+C2). 8. у = C^'-f С2е-' + у sin x 9. у =
= С,<?2Ж + С2е-2Л + С3 cos 2л: + С4 sin 2лг. 10. у = j{ + Сххь + Сгх* ¦+ С3х3 +
+ Ctx2 + Сьх ¦+ С6. 11. у - (Ci* + С2) cos х + (С3х + С,) sin л:, г = 2у + у", от-
куда г легко определяется. 12. ^ — — = 0. 13. —-f—_f_ =
= / (х, у, г). 14. у = С,-*:4 + С2. 15. у = у хеЛ' + С,еж + С2е-Л. 16. у=
= —	4- С! cos л: 4- С; sin х. 17. у = С, ch x + C2 sh лг + х sh л: —
18. у = <V + ^f 4--i-xln|.*|- 19. у = (С, + C2jtr) cos
20. y =
К главе 7
1. у = _x при 0<х<1; у = л: — 2 при 1 <л:<4иу=ж при 0<л:<3>
у = — х -\- 6 при 3 < х < 4. На той и другой ломаной функционал достигает
абсолютного минимума. 2. Не существует. 3. Ломаные, проходящие через
заданные граничные точки, составленные из прямолинейных отрезков с угло-
углоФ У
выми коэффициентами ^~3 и — V~3. € Ф ~ У ^ _ i: T. е. экстремали дол-
должны пересекать кривую yi = <p(.*i), по которой скользит граничная точка,
под углом J. 5. У=^ + ^(х2-*3>- 6. у = ±|-^ при 0

420	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
т. е. кривая состоит из отрезка прямой, касающейся окружности, дуги окруж-
окружности и снова отрезка касательной к окружности. 7. у = 0. 8. Дуги окруж-
окружности у = ± V~Sx — х2.
К главе 8
х2
1. При у =—Т^~* достигается сильный минимум. 2. При у = 0 дости-
гается сильный минимум, если 0 < а < -г-, если же а > -г, то минимума нет.
4
3. Экстремум на непрерывных кривых не достигается. 4. При у = 7
сильный минимум. 5. При у = 1 — сильный минимум. 6. При у = sin 2х — 1
достигается сильный максимум. 7. При у = х3 достигается сильный минимум.
8. При у = -^ е2Х достигается сильный минимум. 9. При у = sin 2x дости-
о
гается сильный максимум 10. На прямой у = — х достигается слабый мини-
х\
мум. П. На прямой у = — х достигается слабый минимум. 12. При у = х2
Х\
достигается слабый минимум. 13. При у = х3 — 1 достигается сильный
,. п	.eh х ,
максимум, 14. При у= -г-^-^х достигается сильный минимум.
К главе 9
1. у = ± 2 sin пях, где п — целое число. 2. ф = Cj --)- C2z; r = R. 3. у =
= A,.*2 -f- C\X -f- C2. где С], С2 и Л определяются из граничных условий и из
изопериметрического условия. 4. —— (/? (х) у') -f- [Лг (jc) — </ (jc)] у = 0;
у @) = 0; y(x{)—Q. Тривиальное решение у^0 не удовлетворяет изопери-
метрическому условию, а нетривиальные решения, как известно, существуют
лишь при некоторых значениях Я, называемых собственными значениями.
Следовательно, X должно быть собственным значением. Одна произвольная
постоянная общего решения уравнения Эйлера определяется из условия
5 7
у @) = 0, другая — из изопериметрического условия. 5. у = — -^ х2 -\—^r x; z = x.
К главе 10
5	ч
1. гх = Yp~2 (-*2 — а2) (У2 — *2)- ^сли необходима большая точность, то
решение можно искать в виде г2 = (х2 — а2) (у2 — й2) [а0 -f- ai (x2 -|- у2)].
2. у, = (л:— IJ @,124 -f 0,218л:). 3. Точное решение у = ^~ — х. 4. Реше-
Решение уравнения Эйлера у = 3,60727, (x)-f-0J5195K, (л:) — л:, где У, и К,—
2 sh х
функции Бесселя. 5. Точное решение у = —t-fj	х. б. Если искать реше-
ние в виде: у2 = ^ (jc— I) (a, -fa2.*), у$ —х{х—\)(о.\-\-а2х-\-аъх2), то
у2 = х(х~\) @,1708 + 0,17436*), у3 = х (х — 1) @,1705 + 0,1760л — 0,0018л2).
В заданных точках значения у2 и у3 с точностью до 0,0001 совпадают.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
К части I
. 1. И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, изд. 5-е, «Наука», 1964.
2.	И. Г Малки н, Теория устойчивости движения, Гостехиздат, 1952
(к 1.п IV).
3.	И. Г. М а л к и н, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гос-
Гостехиздат, 1956 (к § 8 гл. 2).
4.	А. Н. Тихонов, О зависимости решений дифференциальных уравнений
от малого параметра, Математический сборник, т. 22 F4): 2 A948) и т. 31
G2) :3 A952) (к § 6 гл. 4).
5.	В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, изд. 8-е, Физмат-
гиз, 1959.
6.	А. Н. Крыло в, Лекции о приближенных вычислениях, изд. 5-е, Гос-
Гостехиздат, 1950 (к § 7 гл. 1 и § 6 гл. 3).
7.	И. С. Б е р е з и н и Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. II, Физ-
матгиз, 1960 (к § 7 гл. 1 и § 6 гл. 3).
К части II
1.	И. М. Г е л ь ф а н д и С. В. Фомин, Вариационное исчисление, Физмат-
гиз. 1961.
2.	М. А. Лаврентьев и Л. А Люстерник, Курс вариационного
исчисления, изд. 2-е, Гостехиздат, 1950.
3.	В. И. С м и р н о в, В. И. Крылов и Л. В. Канторович, Вари-
Вариационное исчисление, КУБУЧ, 1933.
4.	В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 4, изд. 4-е, Физматгиз, 1958.
5.	Н. М. Г ю н т е р, Курс вариационного исчисления, Гостехиздат, 1941.
6.	Н. И, А х и е з е р, "Лекции по вариационному исчислению, Гостехиздат,
1955.
7.	М. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник, Основы вариационного
исчисления, ч. 1 и 2, Гостехиздат, 1935.
8.	Л. С. П о н т р я г и н, В. Г. Болтянский, Р. В. Г а м к р е л и д з е,
Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физ-
Физматгиз, 1961.
9.	Р. Б е л л м а н, Динамическое программирование, ИЛ, 1960.
10.	Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего
анализа, изд. 5-е, Физматгиз, 1962.
11.	С. Г. Ми х лин, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат,
1950.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотически устойчивое решение
204
Бернулли уравнение 30
Бесселя уравнение 139
—	функции 141—143
Бигармоническое уравнение 317
Близость кривых 285, 286
Брахистохрона 281, 304, 332, 364
Вариации постоянной метод 28
Вариационная задача 281
—	— в параметрической форме
317—320
	на условный экстремум 375—
393
—	—, прямые методы решения 394—
413
¦— — с подвижными границами 327—
350
Вариационное исчисление 281
—	—, основная лемма 295
Вариационный принцип 281, 320
Вариация 284, 288, 289, 309, 313
Вейерштрасса функция 359
Векторная линия 245
—	поверхность 244
Взаимности принцип 388
Влияния функция 123, 161—165
Вронского определитель 97, 185
Галеркина метод 410
Гамильтона — Якоби уравнение 370
Гамма-функция 140
Геодезическая линия 282, 381
Голономные связи 382
Граничная задача 13, 159
Грина функция 161 —165
Гурвица теорема 227
Дикритический узел 211
Динамическая система 170
Дирихле задача 315
Дифференциальное уравнение 9
	 Бернулли 30
	Бесселя 139
	в полных дифференциалах 32
Дифференциальное уравнение в ча-
частных производных 10
	 первого порядка 241—
279
—	— высшего порядка 85—167
—	—, интеграл 20
—	—.интегрирование 10
—	—, — с помощью рядов 137—146
	 Клеро 73
—	— Лагранжа 73
—	— линейное высшего порядка
93—106, 113—124
—	— — неоднородное с постоянны-
постоянными коэффициентами 124—136
—	— — однородное с постоянными
коэффициентами 107—ПО
—	— — первого порядка 27
—	— —, фундаментальная система
решений 100
	, не решенное относительно про-
производной 68
—	—.общее решение 15, 86
—	—, общий интеграл 20, 32
—	— обыкновенное 10
—	— однородное 25
—	-—, операторный метод решения
129—136
—	—, особое решение 57, 78
—	—, периодические решения 143—
146
—	—, порядок 10
	Пфаффа 255
	, решение 10, 169
—	— Риккати 31
—	— с разделенными переменными
19
—	— с разделяющимися переменны-
переменными 21
	, теорема существования и един-
единственности решения 39—61, 75—
82, 85—87
	Эйлера 110—113, 136
Изоклины 17
Изопериметрическая задача 282, 317,
385
Изопериметрические условия 282,386

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
423
Интеграл дифференциального уравне-
уравнения 20
—	первый 89, 179
—	полный 261
Интегральная кривая 16, 169
	 особая 78
—	поверхность 261, 268
Интегрируемая комбинация 178
Интегрирующий множитель 35
Канторовича метод 406—412
Квазилинейное уравнение в частных
производных 243
Клеро уравнение 73
Ковалевской теорема 242
Коши задача 13
—	метод 121, 268
Краевая задача 13, 159
Лагранжа уравнение 73
Лагранжа — Шарпи метод 264
Лагранжиан 324
Лапласа уравнение 315
Лежандра условие 362
Линейная зависимость 96, 185
—	система дифференциальных урав
нений 181 — 192
	— — с постоянными коэффи-
коэффициентами 192—199
Линейное дифференциальное уравне
ние 27
—	— — в частных производных не-
неоднородное 243
	— — однородное 243
	высших порядков 93—106,
113—124
	с постоянными коэффици-
коэффициентами 107—110, 124—136
—	— —, фундаментальная система
решений 100
Линейный дифференциальный опера-
оператор 94—183
—	функционал 287
Липшица условие 40
Ляпунова второй метод 215
—	теорема 215, 217
—	функция 215
Максимум функционала 289
—	— сильный 290
	слабый 290
	 строгий 289
Малкина теорема 235
Малого параметра метод 147—158
Метрическое пространство 48
Минимум функционала 289
Минимум функционала сильный 290
	слабый 290
Наклон поля 351
Наложения принцип 114, 189
Начальная задача 13
Неголономные связи 382
Непрерывный функционал 285, 286
Неустойчивое решение 204
Неустойчивый предельный цикл 226
—	узел 208, 211
—	фокус 209
Общее решение дифференциального
уравнения 15, 86
Общий интеграл дифференциального
уравнения 20
Обыкновенное	дифференциальное
уравнение 10
Огибающая 74
Оператор линейный дифференциаль-
дифференциальный 94, 183	(
Операторный метод решения диффе-
дифференциальных уравнений 129—136
—	многочлен 129
Определитель Вронского 97, 185
Оптимальная функция 391
Оптимальное управление 391
Особая интегральная кривая 78
—	точка 57
Особое решение дифференциального
уравнения 57, 78
Остроградского уравнение 314
Остроградского — Гамильтона прин-
принцип 320
Остроградского — Лиувилля форму-
формула 106
Первого приближения система урав-
уравнений 221
Первый интеграл 89, 179
Периодические решения дифферен-
дифференциального уравнения 143—146
Периодичности условия 157
Плбтность функции Лагранжа 324
Покоя точка 171, 205
Поле собственное 351
—	центральное 351
—	экстремалей 352
Полная интегрируемость уравнения
Пфаффа 256
Полное пространство 48
Полный интеграл 261
Полуустойчивый предельный цикл
226	•

424
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Порядок дифференциального уравне-
уравнения 10
Последовательных приближений ме-
метод 199
Предельный цикл 23, 226
—	— неустойчивый 226
—	— полуустойчивый 226.
	устойчивый 226
Пространство метрическое 48
—	полное 48
—	равномерной сходимости 50
—	фазовое 12, 170
Прямые методы в вариационном ис-
исчислении 394—413
Пуассона уравнение 315
Пфаффа уравнение 255
Равномерной сходимости простран-
пространство 50
Расстояние 48
Резонанс 145, 152
Риккати уравнение 31
Ритца метод 397—406
Рунге метол 64, 201
Связи голономные 382
—	неголономные 382
Связный экстремум 282
Седло 59, 208
Сжатых отображений принцип 48
Сильный экстремум 290, 360
Системы дифференциальных уравне-
уравнений 168—202
—	линейных дифференциальных урав-
уравнений 181 — 192
—	— — — с постоянными коэффи-
коэффициентами 192—199
Слабый экстремум 290, 359, 360
Собственное поле 351
Специальные решения 253
Стационарного действия принцип 320
Строгий экстремум 290
Суперпозиции принцип 114, 189
Трансверсальности условие 331, 336
Узел 58
—	дикритический 211
—	неустойчивый 208, 211
—	устойчивый 207, 211
Управление оптимальное 391
Управляющая функция 391
Уравнения в частных производных 10
—	первого порядка 241 —
279
Уравнивание 61
Условный экстремум 282, 375—393
Устойчивое' решение (по Ляпунову)
204
	по отношению к постоянно
действующим возмущениям 236
Устойчивый предельный цикл 222
—	узел 207, 211
—	фокус 209
Фазовая траектория 170
Фазовое пространство 12, 170
Фокус 59
—	неустойчивый 209
-.- устойчивый 209
Фундаментальная система решений
100
Функционал 280, 284
—	линейный 287
—	непрерывный 285, 286
Характеристик метод 268
Характеристики 245, 248, 254. 268,
269, 273
Характеристическая полоса 269, 273
Характеристическое уравнение 107,
194
Центр 59, 210
Центральное поле 351
Цикл предельный 23, 226
Четаева теорема 218
Штермера метод 62, 200
Эйлера дифференциальное уравнение
110—113, 136
—	конечно-разностный метод 395—
397
—	ломаная 13, 40
—	метод 39, 61, 199
' — уравнение (в вариационном исчис-
исчислении) 297, 306, 368, 377
Эйлера — Пуассона уравнение 310
Экстремаль 297, 310
Экстремум связаный 282
—	условный 282, 375—393
—	функционала 290
	сильный 290, 360
	слабый 290, 359, 360
Якоби первый метод 277
—	уравнение 356
—	условие 355