Алгебра: Дополнительные главы. 9 класс - Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.

Author: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика
ISBN: 5-09-007500-Х
Year: 1997
Similar
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Алгебра и начала математического анализа. Для 10—11 классов
Алгебра и начала анализа, 10-12 класс вечерней школы
Математический анализ в вопросах и задачах
Text
                    
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 99
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
У = f(M) И У = КИ)|
ДЕСЯТКИ	ЕДИНИЦЫ										у	у = /|х| -3)2-4
												
	0	1	2	3	4	5	6	ь	8	ы	г	
											1 Iwl И И	
												
	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	S	Э 1	
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841	... -2 Hi ЧИР л	,, , 3 VM л
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521	-4	’ г *
	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401	1	
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481		
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761		у = |3 - |х|| з
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241		
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921		
											-3	0	3	х
	8100	8281 ——	8464 		8649	8836	9025	9216 1	9409		9801		

Ю. Н. Макарычев Н. Г. Миндюк
АЛГЕБРА
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
К ШКОЛЬНОМУ УЧЕБНИКУ
9 КЛАССА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ШКОЛ И КЛАССОВ
С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ
Под редакцией Г. В. Дорофеева
Рекомендовано
Главным управлением развития
общего среднего образования
Министерства образования
Российской Федерации
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1997
УДК 373.167.1
ББК 22.14я72
Рецензенты:
учитель-методист школы № 820 Москвы,
заслуженный учитель РФ Е. И. Гресь;
старший учитель школы № 116 Москвы Е. Н. Филина;
кандидат физико-математических наук О. Ю. Черкасов
Главы I, III и IV написаны Ю. Н. Макарычевым;
главы II, V и VI написаны Н. Г. Миндюк.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.
Ml5 Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб, пособие
для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математи-
ки / Под ред. Г. В. Дорофеева.— М.: Просвещение,
1997.—224 с.: ил.—ISBN 5-09-007500-Х.
В данном учебном пособии излагается материал, который соответ-
ствует программе углубленного изучения математики, строится он по
принципам модульного дополнения действующих учебников алгебры
для 9 класса, естественным образом примыкает к курсу, углубляет и
расширяет его. Книга может быть использована в обычных классах для
индивидуальной работы с учащимися, проявляющими интерес к мате-
матике.
ББК 22.14я72
Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
АЛГЕБРА
Дополнительные главы
к школьному учебнику 9 класса
Учебное пособие для учащихся школ и классов
с углубленным изучением математики
Зав. редакцией 7'. А. Бурмистрова. Редактор Н. Б. Грызлова. Младшие редакторы
Л. В. Кузнецова, Н. В. Сидельковская. Художники Н. В. Беляева, В. В. Костин. Художест-
венный редактор Е. Р. Дашук. Технические редакторы Г. Е. Петровская, Н. Н. Матвеева.
Корректор О. Н. Леонова. Сдано в набор 19.06.96. Налоговая льгота — Общероссийский
классификатор продукции ОК 005-93—953 000. Изд. лиц. ЛР № 010001 от 10.10.96.
Подписано к печати 31.01.97. Формат бОХЭО1/^. Бумага офсетная № 1. Гарнитура
Школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14 + 0,31 форз. Усл. кр.-отт. 15,06. Уч.-изд.
л. 12,61+0,45 форз. Тираж 25 000 экз. Заказ № 181. Ордена Трудового Красного Знаме-
ни издательство «Просвещение» Государственного комитета Российской Федерации по
печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового
Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета Российской
Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
ISBN 5-09-007500-Х
(С) Издательство «Просвещение», 1997
© Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., 1997
Все права защищены
Глава I
ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА
И ГРАФИКИ
§ 1.	СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
§ 2.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И
ПОСТРОЕНИЕ ИХ ГРАФИКОВ
§ 3.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЙ
§ 1.	СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
1.	ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию f (х) = х2. Эта функ-
ция определена на множестве R действительных чисел и обла-
дает свойством: f( — 3) = /(3), f ( — 5) = f (5), т. е. вообще
/(— x) = f(x) для любого x£R. Такие функции называют чет-
ными функциями.
Определение. Функция ft заданная на множестве X,
называется четной, если для любого х£Х верно равенство
f(—x)=f(x).
Выполнение равенства /(— x) = f(x) для любого х£Х озна-
чает, что обе его части имеют смысл, т. е. если х£Х, то и
— х£Х. Следовательно, область определения четной функции
есть множество, симметричное относительно нуля (т. е. с каж-
дым числом х0 ей принадлежит и число —х0).
Отсюда можно сделать вывод: если функция задана на не-
симметричном относительно нуля множестве, то она не явля-
ется четной функцией.
Примером такой функции может служить функция
f(x) = x2, где хЕ[О; 4-°°)-
Покажем, что график четной функции симметричен отно-
сительно оси у.
Действительно, пусть (х0; у0) — произвольная точка графи-
ка G четной функции f с областью определения X. Тогда вер-
но равенство yQ — f (х0), а значит, и равенство y0 = f( — х0), так
как по определению четной функции f ( — x) = f (х) при любом
х£Х. Значит, (х0; y0)£G. Но точки (х0; у0) и (— х0; у0) симмет-
ричны относительно оси у. Значит, вместе с каждой точкой
графика G на этом графике лежит точка, симметричная ей от-
носительно оси у, т. е. график четной функции симметричен
относительно оси у.
3
Рассмотрим теперь функцию g (х) = х3. Она обладает свой-
ством: g( — 2) =—g (2), g( — 0,1)=—£(0,1), т. е. вообще
£( — х) =—g(x). Такие функции называют нечетными функ-
циями.
Определение. Функция g, заданная на множестве X,
называется нечетной, если для любого х£Х верно равенство
g (—x)—g (х).
Из определения нечетной функции вытекает: область опре-
деления нечетной функции является множеством, симметрич-
ным относительно нуля; график нечетной функции симметри-
чен относительно начала координат.
Приведем некоторые примеры четных и нечетных функций.
Пример 1. Функция, заданная формулой вида у = х", яв-
ляется четной, если п — четное число, и является нечетной,
если п — нечетное число.
Это следует из того, что при любом xQR и четном п верно
равенство ( —х)п = хп, а при нечетном п верно равенство
( —х)п = — хп.
Пример 2. Докажем, что функция /(х)=|х + 5| +
4-|х — 5| является четной функцией, а функция g(x) =
= |х + 3|— |х — 3| является нечетной функцией.
Так как для любого xQR
/?(-х)=|—х4-5|4-|—х — 5| = |х —51 + 1x4-51=/(х)
(при любом х£Я числа —х + 5 и х — 5, а также —х — 5 и
x-f-5 являются противоположными числами, а следовательно,
их модули равны), то функция f является четной.
Аналогично
^(-х)=|-х + 3|-|-х-3| = |х-3|-|х + 3| = -(|х + 3|-
-|Х-3|)=-£(Х).
Значит, функция g является нечетной функцией.
Заметим, что не всякая функция является четной или не-
четной. Не является ни четной, ни нечетной, например, функ-
ция /(х) = 2х —1, так как /( —х)=—2х—1 и ни одно из
условий, что /( — х) = /(х) или /( — х)=—f (х), не выполня-
ется. Очевидно, что если область определения функции не яв-
ляется множеством, симметричным относительно нуля, то та-
кая функция не может быть четной или нечетной. Например,
функция i/ = x4, где х£[0; + оо), не является ни четной, ни не-
четной.
Рассмотрим некоторые свойства четных и нечетных функ-
ций.
Пусть f — функция, заданная на множестве (— а; а), где
а — некоторое положительное число или знак оо, принимает
положительные значения при х£(0; а). Тогда:
а)	если f — четная функция, то при х£( — а; 0) значения
f положительны;
4
б)	если f — нечетная функция, то при х£(— а; 0) значения
f отрицательны.
Действительно, при 0<х<а по условию f (х)>0, и если
*о€(О; а), то — хое( —а; 0).
а)	Если f — четная функция, то f ( — х0) = f (х0) > 0. Зна-
чит, при хС( — а; 0) /(х)>0.
б)	Если f — нечетная функция, то f(— х0) = — f (х0) < 0.
Значит, при х£(— а; 0) /?(х)<0.
Справедливость этих свойств хорошо видна на примере
графика четной функции (рис. 1) и графика нечетной функ-
ции (рис. 2).
1.	Докажите, что функция f четная, а функция g нечетная,
если:
а)	/(х) = 5х4 —Зх24-2; г) g (х) = 8х3 — 7х;
б)	д)
в)	/(х) = (х —1)2 + (* + 1)2; е) g(x) = (x — 5)2 — (х + 5)2.
2.	Является ли четной или нечетной функция:
a)	f (х) = х3 — х+1;	г) /(*)== |х|;
б)	f(x)=£;	д) f(x) = x |х|;
в)	/(х)=р-;	е) f(x)= |х —1| 4-|х4-1|?
3.	Докажите, что если график функции f:
а)	симметричен относительно оси у, то f — четная функ-
ция;
б)	симметричен относительно начала координат, то f — не-
четная функция.
4.	Даны функции f (х) = Л/э — х2 и g (х)=У]х2 — 1 . Найдите:
а)	область определения функции f;
б)	область определения функции g;
в)	пересечение D (f) и D (g).
Является ли четной или нечетной функция
ф (х) = \'9— х2 4- у]х2— 1 ?
5
5.	Известно, что f — четная функция и f (— 1) = 8, f (2) — 12,
f(x0) = 3. Найдите /(1), /( — 2), /( —х0).
6.	Известно, что g — нечетная функция и £(3)=—5,
£(10) = 3, g( — х0) = 7. Найдите £( —3), g( —10), £(х0).
7.	Значение выражения 1,8х4 —19х24-25 при х = — — равно
13,57728. Найдите значение этого выражения при х = 0,8.
8.	Является ли четной или нечетной функция:
(х2— 2x4-2, если х^О,
х2 4-2x4-2, если х<0;
{(х —2)2 —4, если х2>0,
— (х4-2)24-4, если х<0?
9.	Постройте график четной функции /, если известно, что ее
значения при х2>0 могут быть найдены по формуле:
а) /(х) = х — 2; б) f (х) = х2 — 6x4- 2; в) f(x) = 14-V^-
10.	Постройте график нечетной функции g, если известно,
что ее значения при х2>0 могут быть найдены по фор-
муле:
a) g(x) — x2 — 2х; б) g (х)= — х2 — 4х; в) g (х)= \[х.
11.	Почему график нечетной функции не может пересекать
ось у в точке, отличной от начала координат?
12.	При каком условии линейная функция является:
а) нечетной функцией; б) четной функцией?
13.	Может ли функция f быть одновременно и четной и нечет-
ной функцией?
14.	Значение функции f(x) — х10 — х64-1 при х=—2 равно
961. Найдите /(2).
15.	Известно, что функция у = х4— 29х2-|-100 обращается в
нуль при х = 2 и х = 5. Найдите другие значения х, при
которых эта функция обращается в нуль.
16.	Известно, что f (х) = х105, a g (х) = х100. Сравните:
а)	/( — 2) и f (2);	в) f (5) и g (5);
б)	g (-3) и £(3);	Г) /( — 5) и £(-5).
17.	Известно, что f и g — четные функции. Является ли чет-
ной функция:
a)	y = f(x) + g(x);	в) y = f (x)-g(x);
6)	y = fw--g(xy,	y=L^Lt
18.	Известно, что f и g — нечетные функции. Является ли не-
четной функция:
а)	у = f (х)4-g (х);	в) y = f (x)-g (х);
б)	</ = /(х) —^(х);	г) </ = -Ц^?
S (х)
6
19.	Является ли четной или нечетной функция:
а)	/(х) = (5х2 —2х-|-1)54-(5х2-|-2х-|-1)5;
б)	£(х) = (17х3 — х24-х— 1)64-(17х34-х24-х4-1)6?
20.	Известно, что уравнение /(х) = 21, где /— четная функ-
ция, имеет 5 корней. Докажите, что среди корней есть
число 0.
21.	Известно, что <р — нечетная функция, область определе-
ния которой — множество действительных чисел. Дока-
жите, что уравнение q (х) = 0 имеет корень, равный нулю.
2. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
На рисунке 3 изображен график функции, область опре-
деления которой — промежуток [ — 3; 5]. На множестве [ — 3; 2]
с возрастанием значений аргумента значения функции воз-
растают, а на множестве [2; 5] с возрастанием значений аргу-
мента значения функции убывают. На графике это проявля-
ется так: на множестве [ — 3; 2] каждая точка с большей абс-
циссой имеет большую ординату, т. е. если x2>Xj, то У2>У\',
на множестве [2; 5] каждая точка с большей абсциссой имеет
меньшую ординату, т. е. если x2>Xj, то у2<.у\.
Определение. Функция f называется возрастающей на
множестве X, если большему значению аргумента из этого
множества соответствует большее значение функции.
Функция f называется убывающей на множестве X, если
большему значению аргумента из этого множества соответству-
ет меньшее значение функции.
Иначе эти определения можно сформулировать так: функ-
ция f называется возрастающей на множестве X, если для лю-
бых двух значений аргумента х} и х2 множества X, таких, что
x2>Xi, выполняется неравенство f (х2)>/’(х1).
Функция f называется убывающей на множестве X, если
для любых двух значений аргумента х} и х2 множества X, та-
ких, что х2>хг, выполняется неравенство f (х2)</ (хг).
Рис. 3
7
Функция возрастающая на множестве X или убывающая
на этом множестве называется монотонной на множестве X.
Если функция монотонна на всей своей области определе-
ния, то ее просто называют монотонной (возрастающей или
убывающей) функцией.
Рассмотрим некоторые свойства монотонной функции.
Свойство 1. Монотонная функция каждое свое значе-
ние принимает лишь при одном значении аргумента.
Доказательство. Допустим, что это утверждение не-
верно, т. е. существуют два различных значения аргумента х}
и х2, таких, что /(xj — / (х2), где f — монотонная функция.
Пусть для определенности х} > х2. Тогда по определению моно-
тонной функции возможны два варианта: либо f (хг)>/ (х2),
если функция возрастающая, либо f (xx)<Zf (х2), если функ-
ция убывающая. Но это противоречит предположению, что
f (Xj) = / (х2). Значит, сделанное предположение неверно.
Это свойство очевидно, если обратиться к графику моно-
тонной функции. Любая прямая у = а может пересечь график
монотонной функции не более чем в одной точке. Например,
график функции i/ = x3, которая является возрастающей, лю-
бая прямая, параллельная оси х, пересекает в единственной
точке; график функции у — -^, где х£(0; -f- оо), которая убы-
вает при х>0, прямая y = af где а>0, также пересекает толь-
ко в одной точке.
Обратим внимание, что в приведенных примерах речь шла
о функциях, графиками которых были сплошные линии,
т. е. такие, которые, например, на листе бумаги вычерчивает
острие непрерывно движущегося карандаша. Такие функции
мы будем называть непрерывными функциями. (Со строгим
определением понятия непрерывной функции вы познакоми-
тесь в старших классах).
Чтобы доказать, что рассматриваемая функция f является
монотонной на данном множестве X, удобно составить раз-
ность f (х2)— f (xj, где XjCX, х2£Х и x2>xlt и сравнить
эту разность с нулем. Если окажется, что /(х2) — /’(х])2>0,
т. е. f (х2) >► f (xj, то f является возрастающей функцией на
множестве А; если / (х2) — /‘ (xj<0, т. е. f (х2)< f (xj, то функ-
ция f является убывающей на множестве X.
Свойство 2. Если функция y—f (х) монотонна на мно-
жестве X и сохраняет на этом множестве знак (т. е. все
ее значения являются положительными или все значе-
ния — отрицательными), то функция g (х)=—-— имеет на
f (х)
множестве X противоположный характер монотонности.
Доказательство. Пусть функция y = f (х) возрастаю-
щая на множестве X. Возьмем на множестве X значения xt и
х2, такие, что x2>Xi, и составим разность f (х2) — f (xj.
8
Рассмотрим разность g (х2) — g (xj:
ч	1	1	— f(x2)
g (x2) — g (*i) =------------=-------------
/(X2)	/(Xj)	/(X2)'/(Xj)
Так как по условию все значения функции f имеют один
и тот же знак, то знаменатель полученной дроби положи-
телен.
Если f — возрастающая функция на множестве X, то чис-
литель дроби /(Xi) —f(x2) отрицателен. Значит, разность
g (х2)~ g (*i)<0 (т. е. g (x2)<Zg (xj) и функция g на множест-
ве X убывает.
Если же функция y = f (х) убывающая на множестве X, то
числитель дроби f (xj — f (х2) положителен. Значит, разность
g (xj — g (х2)>0 и функция на множестве X возрастает.
Свойство 3. Пусть f — монотонная функция на мно-
жестве X и f (х)>0 при всех х£Х. Тогда:
1) если функция f возрастает на множестве X, то функ-
ция y = (f(x))2 также возрастает на множестве X;
2) если функция f убывает на множестве X, то функция
y=(f (х))2 также убывает на множестве X.
Доказательство. Пусть х^Х, х2£Х и х2>х1>0. Из
курса алгебры известно, что если а и b — положительные чис-
ла и то а2>Ь2.
Отсюда следует:
1) если /?(х2)>/?(х1), то (f (х2))2>(/!(х1))2, т. е. функция
</ = (/(х))2 возрастает на множестве X;
2) если f (х2) < f (хг), то (/ (х2))2 < (/ (хг))2, т. е. функция
y = (f(x))2 убывает на множестве X.
Рассмотрим примеры на доказательство монотонности
функций на заданных промежутках.
4- х -4-1
Пример 1. Докажем, что функция f (х)=---------на про-
межутке (0; 1] убывает, а на промежутке [1; + оо) возрастает.
Пусть X! и х2 — два неравных значения аргумента, при-
чем х2>хг.
Составим разность f(x2) — f (хг) и преобразуем ее:
f(xj- f(Xi)
Х2 + х2+ 1
Х? + Х1+1
2
XjXi + Х,х2 + Xj — Х?Х2 — XjX2 — х2
XjX2 (х2 — Xj) — (х2 — Xj)	(х2 — Xj) (XjX2 — 1)
Если 0<х1<х2^1, то x2 —Xj>0, XiX2<l, t. e. xtx2 —1<0.
Значит, числитель дроби — отрицательное число, а так как
знаменатель Х!Х2>>0, то дробь принимает значение, меньшее
нуля. Следовательно, на промежутке (0; 1] функция убывает.
9
Если x2>Xi^>l, то х2"Х1>>(), хах2>1 и хах2—1>0.
Так как знаменатель дроби хАх2 также больше нуля, то дробь
больше нуля. Значит, на промежутке [1; 4~ °°) функция воз-
растает.
Пример 2. Выясним характер монотонности функции
£(х)=|х + 2| + 1х — 21.
Представим функцию g несколькими выражениями, осво-
бодившись от знака модуля.
Для этого разобьем область определения R функции g на
промежутки: (—оо; —2), [ — 2; 2] и (2; -f-oo).
Если x<Z—2, то |х4-2| 4- |х — 2| = — х 2-|-2 — х=—2х.
Если — 2^х^2, то |x-f-2|-|-|x — 2|=x4-2-f-2 — х = 4.
Если х >> 2, то |х4-2|-|-|х — 2|—x-|-24-JC — 2 — 2х.
Таким образом,
— 2х, если x<Z—2,

4, если —2^х^2,
2х, если х>2.
Известно, что линейная функция у = — 2х является убываю-
щей, линейная функция у = 2х — возрастающей функцией.
Функция у —4 не является ни убывающей, ни возрастающей
функцией. Она сохраняет постоянное значение.
Значит, функция g на промежутке ( — оо; — 2) убывает, на
промежутке [ — 2; 2| сохраняет постоянное значение, на про-
межутке (2; —|—оо) возрастает.
Пример 3. Найдем промежутки возрастания и проме-
жутки убывания функции f (х) = х2 — 4х 4-1 •
Выделим из квадратного трехчлена х2 — 4х 4-1 квадрат
двучлена:
х2 —4х4-1 = х2 —2х-24~4 —3 = (х —2)2 —3.
Отсюда видно, что графиком функции /(х) = (х — 2)2 — 3
является парабола с вершиной в точке (2; —3) (рис. 4); на
промежутке (— оо; 2] функция f убывает, а на промежутке
[2; -|- оо) возрастает. Докажем это ана-
литически.
Функция у = х — 2 возрастает на
множестве Я, причем на промежутке
( — оо; 2) она принимает отрицательные
значения, а на промежутке (2; 4~ °°) —
положительные значения. Применяя к
этой функции свойство 3, заключаем,
что функция у = (х— 2)2 убывает на
промежутке (— оо; 2] и возрастает на
промежутке [2; 4 °°). Очевидно, что
функция f (х) = (х — 2)2 — 3 имеет такой
же характер монотонности, что и функ-
ция у=(х- 2)2.
10
Пример 4. Выясним характер монотонности функции
£(х)=\/1 —2х.
Найдем область определения X функции:
1—	2х2>0,	т. е. Х = (—оо; 0,5].
Возьмем два неравных значения хх и х2 из области опреде-
ления функции g.
Составим разность g (х2) — g (xj и преобразуем ее:
В (х2) — g (xj = д/1 — 2х2 — \/1 —2Х] =
(\4-2х2	\4-2xJ (\/1-2х2 + \j\-2xx) _
\'1 —2х ч-д/1-2^
1 —2х2 — (1 — 2X1) _	2(х, —х2)
~ \/1-2х2 + \/1-2х, ~ ^1-2х2 + \/l-2Xi *
Если 0,5^х2>>х1, то числитель дроби отрицателен, а зна-
менатель положителен. Следовательно, g(x2)— £(х,)<0, т. е.
g (x2)<Zg (xi) и функция g в области X ее определения убывает.
22. Докажите, что:
а)	функция f (х) = х2 — 5 является возрастающей на про-
межутке [0; 4~ °°) и убывающей на промежутке
(— оо; 0];
б)	функция f (х) = 7 — х2 является убывающей на проме-
жутке [0; 4- °°) и возрастающей на промежутке
( — сю; 0],
в)	функция /(х) = (х —4)2 возрастает на промежутке
(4; -|- оо) и убывает на промежутке (— оо; 4];
г)	функция f (х) = — (х 4- З)2 убывает на промежутке
[ — 3; 4- оо) и возрастает на промежутке (— оо; — 3J;
д)	функция f (х) = х2 — 6х 4- 7 возрастает на промежутке
[3; 4-°°) и убывает на промежутке (—оо; 3];
е)	функция f (х) = — х2 — 2х 4- 4 возрастает на промежутке
(—оо; —1] и убывает на промежутке [ — 1; 4-00)-
23.	Докажите, что функция f является возрастающей функ-
цией, если:
а) /(х)=Д/х —2;	б) f(x) = 12x—1.
24.	Докажите, что функция g является убывающей функ-
цией, если:
а) £ (х) = Д/5 —х;	б) g (х)= — 10x4-3.
25.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а)Г(х)=|;	д)/(х)=-^+3;
б)Л*)=-4;	е)/(х)=^17-2;
в)	/(х) = х2 —2x4-3;	ж) /(х)= |х —3| 4-х;
г)	f(x) = x3;	з) /(х)=|х4-1| —|х—1|.
11
26.	Определите характер монотонности функции:
а)	«/ = (* — I)3;	г) у = д/х + 5 ;
б)	у — — , если х>0;	д) </ = д/8 — х ;
1	9
в)	у=—, если х<0; е) у = ~, если х>0.
X	%
27.	Используя свойство монотонной функции, выясните, вер-
но ли высказывание:
а)	если	а2 —	ъ\	то	а = Ь;	г) если	1 _ 1	, то	а= Ь;
б)	если	а3 =	ь\	то	а = Ъ\	д) если	у/а =	у/ь,	то а^Ь
в)	если	1 _ а	1 ~ь ’	то	а = Ь;	е) если	|а| =	1Ы,	то а — b
28. Используя определение монотонной функции, расположи-
те в порядке возрастания числа:
а) 1,7352, 1,6742, 1,8292, 1,3952;
m 1 1 1 1 .
°' 1,495 ’ 1,548 ’ 1,329 ’ 1,732 ’
в) д/2,475 , \/1,893, \'0,639 , ^2,221 ;
г) ( —1,345)3, ( —0,973)3, ( —2,456)3, (0,027)3.
29. Найдите промежутки возрастания и убывания функции,
заданной графиком:
а) рис. 5, а; б) рис. 5, б; в) рис. 5, в.
30. Используя свойство 3 (см. с. 9), найдите промежутки
возрастания и убывания функции:
a) f(x) = ^; б) = в) f(x) = -^=; г) f (х)=	.
31*. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а)^(х)==Ы; б)^(х) = 77Т^; в)£(х)=-==.
|Х|	(х + 3)	1
32.	Определите характер монотонности функции:
а)	У = (\[х Н-1)2;	в) У = (-~^2)2^ где х>2.
б)	у = (х — З)4, где хг^З;
33.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) У = (\[х - 2)2;	б)У=-=!—.
( \Х 2)
34.	Известно, что f — четная функция и она возрастает на
промежутке (0; а). Докажите, что функция f убывает на
промежутке ( — а; 0).
35.	Известно, что g — нечетная функция и она убывает на
промежутке (0; а). Докажите, что функция g убывает так-
же на промежутке ( — а; 0).
12
В)
36.	Известно, что y = f (х) и у = g (х) — возрастающие функ-
ции. Докажите, что функция <р (х) = f (х) -|- g (х) также
возрастающая на общей области определения функций
f и g.
37.	Область определения некоторой функции f — множество
натуральных чисел от 1 до 9 включительно, а множество
значений функции f — то же самое множество натураль-
ных чисел. Задайте какую-нибудь функцию формулой,
зная, что функция f:
а) убывающая; б) возрастающая.
38.	D (g') = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Е (g) — множество квадра-
тов натуральных чисел от 1 до 9 включительно. Задайте
какую-нибудь функцию g формулой, если функция g:
а) возрастающая; б) убывающая.
39.	Область определения функции f — множество М = {x\xQN,
х 9}, область значений функции f — множество чисел,
обратных числам множества М.
Задайте какую-нибудь функцию f формулой, если:
a) f — убывающая функция; б) f — возрастающая функ-
ция.
13
40.	Постройте два графика линейных функций (убывающей
и возрастающей) с областью определения [0; 10] и обла-
стью значений [0; 5]. Каждую из этих функций задайте
формулой.
3. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
2jf2_з
На рисунке 6 изображен график функции f (х) =	•
График этой функции целиком заключен между двумя пря-
мыми у = — 3 и у = 2, т. е. расположен внутри полосы, огра-
ниченной этими прямыми. Это значит, что для всех значений
аргумента х(х£Л) выполняется условие —3^/(х)<2. Такие
функции называют ограниченными.
Необходимое и достаточное условие ограниченности функ-
ции f заключается в том, чтобы существовала полоса произ-
вольной ширины, за пределами которой не было бы ни одной
точки графика функции f. Поэтому полосу можно расширить,
например так, чтобы ограничивающие ее прямые были сим-
метричны относительно оси х. В случае рассмотренной выше
функции f в качестве ограничивающих прямых можно взять
прямые </=—3 и у — 3. Тогда условие —3=С/’(х)<2 можно
заменить другим: —3^/(х)^3, или, используя знак моду-
ля, таким: \f (х)| ^3. Это дает возможность определение огра-
ниченной функции записать более компактно.
Определение. Функция f называется ограниченной на
множестве X, если существует такое число с>0, что для любо-
го значения аргумента х£Х выполняется неравенство
\f (х) \ <с.
Например, функция f (х)
ограниченная, так как
х2
|/(х)| < 1. Действительно, дробь —--, являясь неотрицатель-
х +1
ной, при любых значениях х остается меньше 1.
14
Функция g (х) = у 16 — х2 также ограниченная.
Покажем это. Так как 16 —х2^ О и 16 — х2^16, то
0^16— х2<^16. Положим 16 — х2=и. Тогда 0^и^16. Мы
знаем, что функция у^\и возрастающая. Значит,
т. е.
ОС \/16 -х2 <4.
Если функция не является ограниченной на множестве X,
то говорят, что она неограниченная на этом множестве.
Например, функция у — х3 не является ограниченной на
множестве R ее области определения, так как, какое бы боль-
шое число с ни взять, найдется такое значение х, что
| f (х) | >с. Это легко видеть, если обратиться к графику функ-
ции у — хл (рис. 7). Любая прямая у = с или у = — с пересекает
этот график в некоторой точке.
Функция у~ —, где х£(0; -|- оо), также не является ограни-
ченной, но в отличие от функции у = х3, где x£R, она, как
говорят в таких случаях, ограничена снизу. Ее график
(рис. 8) расположен выше оси х, т. е. ее нижней границей яв-
ляется прямая у = 0.
Функция у = у, где х£(—оо; 0), является ограниченной
сверху, так как ее график (рис. 9) целиком расположен ниже
оси х, т. е. прямая у = 0 — ее верхняя граница.
Чтобы выяснить, является ли данная функция на области
ее определения ограниченной или неограниченной (или огра-
ниченной сверху, или ограниченной снизу), достаточно найти
область значений функции. Для ряда функций это сделать не-
сложно.
15
Пример 1. Докажем, что функция f (х)
2х
х24-1
ограни-
ченная.
Для этого найдем область ее значений. Рассуждать будем
так. Пусть b£R — произвольное значение функции f. Это чис-
ло является значением функции f, если уравнение f(x) = b
имеет решения. Найдем все значения Ь, при которых уравне-
2х
х2-|-1
ние
b имеет корни. Приведем его к целому виду, полу-
чим уравнение
ftx2-|- b = 2х.
При b О это уравнение линейное и имеет корень, равный
нулю. При ft#10 имеем квадратное уравнение Ъх2 — 2х4-Ь = 0,
которое имеет корни, если его дискриминант Л^О. Имеем:
1 —ft2>0, ft2^l, |Ь| <1, —если ft#=O.
Таким образом, мы нашли, что при любом ft£[ — 1; 1] урав-
нение имеет корни. Значит, область значений функции f есть
множество |—1; 1], т. е. —1^7 (х)^1 и функция f является
ограниченной.
Пример 2. Выясним, является ли ограниченной или нео-
граниченной на промежутках (— оо; 0) и (0; -f- оо) функция
/ \ х2 4- 9
g(x) = -jF-.
С этой целью найдем область значений функции.
Пусть b — произвольное значение функции g. Выясним,
х‘^ “I- 9
при каких значениях Ъ уравнение —— = Ъ имеет корни.
Приведем это уравнение к целому виду:
х2 — ‘ЗЬх 4-9 = 0.
Найдем дискриминант D уравнения:
D = 9b2 — 36.
Потребуем, чтобы D был больше или равен нулю, и решим
получившееся неравенство:
9ft2- 36^0, Ь2 — 4#>0, Ь2>4, |&| >2,
ft — 2 или ft #= 2.
Таким образом, область значений функции g
E(g) = (-oo-, -2|U|2; 4-оо).
При х>-0 значения данной функции g образуют множество
|2; -f-оо), при х<0— множество (—оо ; —2|.
Следовательно, на промежутке (0; 4- °°) функция g огра-
ничена снизу (ее график располагается выше прямой у —2),
на промежутке (— оо; 0) функция g ограничена сверху (ее
график расположен ниже прямой у ——2).
16
Пример 3. Исследуем на ограниченность функцию
У = |х-|-4| + |х —4|.
Область определения функции — множество R. Так как
при любых x£R | х-|- 4|	0 и |х —4| ^0, то | х -|- 41 -|- I х— 4|i>
^0. Значит, функция ограничена снизу. Если х^4, то
I х -|- 41 -|- | х — 41 = х -|- 4 -|- х — 4 = 2х. Выражение 2х может
принимать как угодно большие значения, т. е. для любого с>8
2х>с, если х>^. Значит, функция не ограничена сверху.
При решении ряда задач представляет интерес выяснить,
имеет ли данная функция свое наименьшее или наибольшее
значение.
Если функция f на множестве X имеет наименьшее значе-
ние, то это означает, что на множестве X найдется такое х — а,
что при всех х£Х выполняется неравенство f (a)^f (х). Ана-
логично если функция f на множестве X имеет наибольшее
значение, то это означает, что найдется такое х = а, что при
всех х£Х выполняется неравенство f (a)^f (х).
Примером функции, имеющей наименьшее значение, слу-
жит функция f (х) = х2 -|-1 • Свое наименьшее значение эта
функция принимает при х = 0. Действительно, f (0) = 1 — наи-
меньшее значение функции: при всех x£R и х=£0 f (0)</(х),
так как при х=£0 х2 -f-1 > 1.
Заметим, что функция ограниченная, или ограниченная
сверху, или ограниченная снизу необязательно имеет наиболь-
шее или наименьшее значение.
Пример 4. Докажем, что функция f (х)=— , хЕ(О; -|- оо )„
не имеет своего ни наибольшего, ни наименьшего значения.
То, что функция f не имеет наибольшего значения, доста-
точно очевидно: область значений функции E(f) = (O; -|- оо),
т. е. функция сверху не ограничена.
Но функция f, хотя и ограниченная снизу, не имеет наи-
меньшего значения. Это следует из того, что область значений
функции — множество положительных чисел — не имеет наи-
меньшего числа.
Показать это можно и таким рассуждением.
Допустим противное, т. е. что найдется такое значение
аЕ(О; 4-°°), при котором выполняется неравенство f (a)^f (х)
при любых х#=а и хЕ(0; + оо). Покажем, что этого быть не
может. Возьмем значение аргумента х = а-|-1 (а-|-1 £(0; -|- оо),
так как а — положительное число). Тогда
Но yу < • Мы пришли к противоречию с тем, что f (а) —
наименьшее значение функции. Значит, наименьшего значе-
ния функция f не имеет.
17
41.	Исходя из графических представлений, скажите, какие из
нижеприведенных функций являются ограниченными, не-
ограниченными, ограниченными сверху, ограниченными
снизу:
а)	у — 2х — 1;
б)	у = 0,5г 4-3, где
х€[-6; 61;
в)	у = х2’,
г)	i/ = x34-1;
д)	у= 1*1;
е)	у = х2 — 4, где
хЕ( —10; 10);
ж)	у^У/х\
з)	У =	’ где	2)-
42.	Докажите, что функция f(x) = — является:
а)	ограниченной на промежутке [1; 4- °°);
б)	неограниченной (ограниченной снизу) на промежутке
(0; 1).
43.	Докажите, что функция f является ограниченной, отыс-
кав область ее значений:
a) f{x)=-^—\	в) /“(х) = А/9 —*2;
х4~1
г>^>=Лт-
44.	Докажите, что функция g является неограниченной. Най-
дите область ее значений:
a)	g(x) = x2 — 2х;	в)
б)	g(x) = l— у/х;	г) g(x)=-x^-} .
45.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а)	у = ~, где х£[0,001; 1000];
б)	у—У[х, где х£[0,01; 1024];
в)	у=~, где хЕ[ — 2000; —0,002];
г)	</ = х3, где х£[ —5; 10].
46.
Найдите
а)
f(x)
47.
б)
/(х)
область значений функции:
где х£(2; 4- оо);
= ’ ГДе 2>;
4х— 8
х2 —4x4-5 ’
г)
Д)

f (х)= | х| + |х — 2|;
f(x)= |х| — |х — 2|.
е)
ограничена и имеет наи-
большее и наименьшее значения. Найдите эти значения.
в)
л — чл м	%
Докажите, что функция у=——
18
48.
Докажите, что функция у
14
—ограничена, имеет наи-
большее значение, но не имеет наименьшего значения.
Найдите наибольшее значение функции.
49.
50.
Докажите, что функция у
ограничена, но не имеет
ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Постройте график функции
У =
—— , если х О,
х + 3
2г
------ , если х < О,
х—3
и покажите, что эта функция ограничена, но не имеет ни
наибольшего, ни наименьшего значения.
51.	Приведите пример непрерывной монотонной функции f с
областью определения £)(/) = [ — 4; 4], у которой:
a)	f (— 4) — наименьшее значение функции, a f (4) — ее
наибольшее значение;
б)	f (— 4) — наибольшее значение функции, a f (4) — ее
наименьшее значение.
52.	Известно, что непрерывная функция f на промежутке
[а; Ь] возрастает. Найдите наименьшее и наибольшее зна-
чения функции f и область ее значений.
53.	Зная, что непрерывная функция g на промежутке [а; 6]
убывает, найдите наименьшее и наибольшее значения
функции и область ее значений.
54.	Докажите, что область значений функции g (х)= |х-|-101 +
-h I х—151, где D (g) = [ — 10; 15],— одноэлементное мно-
жество.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ИХ ГРАФИКОВ
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ
СПОСОБАМИ
Если известен график данной функции, то по графику лег-
ко обнаружить почти все ее свойства. Однако построить гра-
фик функции, если она задана, например, аналитически, не
всегда бывает легким делом. Для этого проводят предвари-
тельное исследование функции.
Ранее при изучении функций построение графика выпол-
нялось, как правило, «по точкам», т. е. составлялась таблица
19
для отдельных значений аргумента и соответствующих им
значений функции. Эти точки отмечались на координатной
плоскости и соединялись плавной линией. При этом предпола-
галось, что функция является непрерывной. Некоторые рас-
суждения с целью выяснения свойств функций проводились.
Это не приводило к серьезным осложнениям, так как графики
изучаемых функций были достаточно простыми (прямая, па-
рабола, гипербола). Однако построение графика иногда может
оказаться затруднительным. В таких случаях проводят пред-
варительное исследование.
Исследование функции целесообразно проводить в опреде-
ленной последовательности.
1.	Если функция задана формулой и при этом область ее
определения явно не указана, то ее надо найти.
2.	Полезно выяснить, является ли функция четной или не-
четной.
Если функция окажется четной или нечетной, то сущест-
венно упростится ее дальнейшее исследование. Можно ограни-
читься рассмотрением функции лишь на положительной час-
ти области ее определения, учитывая симметричность ее гра-
фика относительно оси у (в случае четной функции) или отно-
сительно начала координат (в случае нечетной функции).
3.	Важно выяснить, какова область значений функции,
тем самым можно определить, ограничена функция или не
ограничена (ограничена сверху или ограничена снизу), а так-
же можно найти наибольшее или наименьшее значение функ-
ции (если они существуют).
4.	Важно найти нули функции и промежутки, в которых
функция принимает положительные и отрицательные значе-
ния, т. е. области положительных и отрицательных значений
функции.
5.	Надо выяснить, на каких промежутках функция возра-
стает и на каких убывает.
Заметим, что с более мощными методами отыскания обла-
стей возрастания и убывания функции вы познакомитесь в
курсе математического анализа. Тем не менее полезно знать
и элементарные приемы нахождения таких промежутков.
6.	Кроме того, при исследовании функций бывает полезно
выяснить, как ведет себя функция, когда значения аргумента
неограниченно возрастают (переменная х стремится к плюс
бесконечности) или неограниченно убывают (переменная х
стремится к минус бесконечности).
Особое значение имеет поведение функций вблизи некото-
рых постоянных чисел, не входящих в область определения
функции (например, когда переменная х стремится к нулю).
Такое исследование позволит выяснить, имеет ли график функ-
ции горизонтальные асимптоты или вертикальные асимп-
тоты.
20
Несколько слов о непрерывности отдельных функций.
Функция y = f (х), где f (х) — многочлен, является непре-
рывной функцией на всей области ее определения, т. е. на мно-
жестве R.
f (х)
График функции (х)=-------, где f (х) и g (х) — многочлены,
g(x)
имеет разрывы в точках, в которых многочлен g (х) обраща-
ется в нуль. Если многочлен g (х) не имеет корней, то функ-
ция (р непрерывна на множестве R. Если многочлен g (х) име-
ет, например, два корня хА и х2, то функция <р в точках хг и х2
не определена. Она непрерывна на каждом из промежутков:
(—оо; Xi), (Xj; х2) и (х2; -}-оо).
Пример. Исследуем функцию f (х) = ——и построим ее
график.
1.	Область определения функции — множество действитель-
ных чисел, так как х24-1>0 при любых х.
2.	Функция является четной, так как f( — х)=------~
i	(-х)24-1
= *2 1 ~f (х). Следовательно, ее график симметричен относи-
тельно оси у.
3.	Найдем область значений функции. Пусть b — произ-
вольное значение функции. Тогда равенство	— — Ъ выпол-
X + 1
. 1 .
няется при тех значениях о, при которых уравнение 2^~ = о
имеет корни. Найдем такие значения Ь. Очевидно, что Ь>0.
Имеем bx2-f-b = l, х2 = —, х2 = ±—1.
b	b
Это уравнение имеет корни, если 4 —1^0, 4-^1- Учиты-
о	о
вая, что Ь>0, получим т. е. &С(0; 1]. Следовательно,
областью значений функции является множество (0; 1]. Зна-
чит, график функции заключен внутри полосы, ограниченной
прямыми y = Q и i/ = l, причем наибольшее значение функ-
ции, равное 1, функция принимает при х = 0.
Это устанавливается при решении уравнения
1=х2 + 1, х2 = 0, х = 0.
Заметим, что область значений функции f(x) — —^— мож-
X + 1
но найти иначе, воспользовавшись свойствами числовых нера-
венств.
Так как при любом x£R верно неравенство х2-|-1^1» то
при тех же х верно неравенство 0 < —1. Значит,
0</(х)<1.	х+1
—=1:
1
21
4.	Очевидно, что при любых х функция принимает поло-
жительные значения и непрерывна на множестве R.
5.	Так как функция четная и, значит, ее график симмет-
ричен относительно оси у, то достаточно выяснить, как ведет
себя функция (возрастает или убывает) на неотрицательной
части оси х, т. е. на промежутке [0; -}-оо).
Для этого воспользуемся свойством 2 монотонности функ-
ции (см. с. 8). На промежутке [0; -|-оо) функция у = х“-|-1
возрастает. Значит, по свойству 2 на этом промежутке функ-
ция f убывает.
Из того, что функция f четная, следует, что на промежут-
ке (— оо; 0] функция возрастает.
6.	При возрастании х от 0 до -|- °° значения функции убы-
вают и стремятся к нулю. Это можно записать так: если х
—кЦ- оо, то f (х) -* 0. Действительно, при возрастании х знаме-
- 1
натель дроби ~неогРаниченно возрастает, а числитель
остается постоянным. Значит, f (х) -* 0.
В силу симметрии графика относительно оси у имеем: если
х-+—оо, то /(х)-^-0. Значит, ось х является асимптотой.
Проведенное исследование дает хорошее представление о
Затем следует отметить эти точки и точки, симметричные
им относительно оси у, на координатной плоскости и, учиты-
вая проведенное исследование, построить график.
График функции f изображен на рисунке 10. Этот график
носит имя — кривая Аньези (в честь итальянского математика
XVIII в. Аньези Марии Гаэтана).
										У-	Ч										
																					
																					
																					
																					
																					
-2					-1					0					1					2 *	
																					
Рис. 10
22
55. Найдите область определения функции:
а)	У —	1 . х2 —5х-|-6 ’	Д)	У(х-Ы)(5-х) .
б)	У =	2х	е) „-д/»*-2)**-8) .
			“7 у	\1	9
в)		х24-4х— 12 х24-3х —10 .	° V	X . 1 ’у ’
	У —	х 5	
г)		х4~3 х24-2х —3 ’	3) У yjx-yjl-x '
56. Является ли четной или			нечетной функция:
a) f (*) — х3 — Зх;	г) = х2-|-1
б) /(х) = х4 — 5х24-1;	д)
в) f (х) = х5 — х3 — 1;	е) /(*)==	4-1) ?
57. Найдите область значений функции и выясните, имеет ли
она наибольшее или наименьшее значение, если:
д) у = у/1-х2;
л "Т”	х -f“ 1
б)	у =	г)у=ЛзГ’: е) S=V^2-1-
58.	Найдите нули функции и области положительных и отри-
цательных значений, если:
а) у = - ~7^+-10 ; в) у = х3 — х; д) у=y/x2 + x — 6 ;
г> </ = *’-3*4-2; е)	-хг + Ъх-6.
59.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
/Z ч Юх —7	2х—1
a)	f(x) = —£—;	д) f(x) = —
6)f(x) = ^=^;	e)f(x)=i;
в)	f(x) = x2 — 8x4-1;	ж) /(х)=----- - - , где х>0;
X X -J- 1
г)	f (х) = — х2-ь 6х — 5;	з) f (х) — —1 , где х 0.
60.	Выясните, имеет ли график функции g горизонтальные
или вертикальные асимптоты и если имеет, то найди-
те их:
a) g(x)=—в) g(x)=—~—;
б)г(х)=тгт;	Г) g(x)=2+V*-3.
Xz+ 1
23
61.	Проведите исследование функции:
a)	=	в) ф(х) = Д/*2~ 1;
х 4-4
б)	g(x)=x ;	г) ф (х) = |х — 2| Ч-Зх.
62.	В результате исследования некоторой функции выясни-
лось, что:
1)	/>(/) = (—оо; +оо);
2)	f — четная функция и непрерывная;
3)	Е(/) = [0; 2);
4)	/(0) = 0, /(х)>0 при х£(0; -|-оо);
5)	функция f возрастает на промежутке [0; Ч- оо);
6)	при x-^-f-oo f(x)-+2.
Опираясь на это исследование, изобразите схематически
график функции /.
63.	Изобразите схематически график функции g, зная резуль-
таты исследования этой функции:
1)	£(£) = (-оо; 0)U(0; +оо);
2)	g — нечетная функция и непрерывная на каждом из
промежутков (— оо; 0) и (0; -J- оо);
3)	E(g) = (-oo; -1)U(1; +°о);
4)	£(х)>0 при х£(0; -j- оо);
5)	функция убывает на промежутке (0; -j-oo);
6)	при х -* + оо g (х) -* 1; при х>0 и х-^0 g (х)	-f- оо.
64.	Изобразите схематически график функции ф, зная, что:
1)	D ((₽) = [-6; 6];
2)	ф — нечетная функция и непрерывная на области ее
определения;
3)	Е (Ф) = [- 6; 6];
4)	(р(0) = 0, ф(4) = 0; ф(х)<0 при хЕ(0; 4); ф(х)>0 при
хЕ(4; 6];
5)	функция ф убывает на промежутке [0; 2] и возрастает
на промежутке [2; 6].
Ответьте на вопрос:
Каковы наибольшее и наменьшее значения функции ф на
положительной части области определения функции?
5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим примеры построения графиков функций на
основе проведенного предварительного исследования.
х24- 1
Пример 1. Исследуем функцию g (х) = —1— и построим
ее график.
1.	Z>U)=(-o°; 0)U(0; 4-ОО).
2.	g — нечетная функция, так как g ( — х)—-----------—-— =
x24-1	z ч
=-----=-£(х).
24
Следовательно, ее график симметричен относительно нача-
ла координат.
3.	Найдем Е (g). Пусть b — произвольное значение функ-
ции g. Найдем все значения Ь, при которых уравнение
-4-1
-----= Ъ имеет корни. Имеем:
х2+1 = 5х, х2-Ьх-|-1 = 0, D = b2-4>0, Ь2>4, |Ь|>2,
Ь£(—оо; -2]U[2; 4“ оо), т. е. E(g) = (-oo; -2]U[2; +оо).
Отсюда видно, что график функции расположен вне полосы,
ограниченной прямыми у=—2 и у = 2.
Учитывая, что функция g нечетная, дальнейшее исследо-
вание проведем для промежутка (0; 4-°°).
На промежутке (0; 4- оо) функция имеет наименьшее зна-
чение, равное 2. Чтобы найти значение х, при котором это зна-
х^ -4-1
чение достигается, надо решить уравнение —— = 2. Имеем
х2 — 2х=	х=1.
4.	Очевидно, что нулей функция не имеет: g (г) > 0 при
х£(0; + оо). Следовательно, на промежутке (0; 4- оо) функция
g непрерывна.
5.	Найдем промежутки возрастания и убывания функции
на множестве (0; 4~ °°). Так как функция на этом множестве
имеет наименьшее значение, то промежуток (0; 4~ °°) целесо-
образно разбить на два: (0; 1] и [1; 4~ °°) — и выяснить харак-
тер монотонности на каждом из этих промежутков.
Составим разность £(х2) — (xj, где Xj>0, х2>0, и срав-
ним ее с нулем:
£(*2) — g(xj
*2
*2 + 7----Хх —
*2
х
,	ч . Хх — Х2	/	1 \
= (*2 —*1)4~—— = (*2 —*1)(1——)•
Если l^x2>Xj>0, то множитель х2— Xj— положитель-
1 1
ное число, а множитель 1----------отрицательное число, так
ХхХ2
как дробь —>1 (Ocxjd, 0<х2^1, следовательно,
*1*2
0<XjX2<1 и обратное число —>1). Значит, произведение
Х]Х2
(х2 —Xj)(l—т- е- £(*2) —£(*1)<0 И ^(х2)<^(х1).
\	*1*2/
Следовательно, на промежутке (0; 1] функция g убывает.
Если x2>Xi^l, то х2 — Х!>0 и 1----------— >0, так как
Х]Х2
—— <1 (числа х1 и х2 больше 1, поэтому хгх2>-1 и —<1).
*1*2	ххх2
Значит, g (х2) — g (х0>0, т. е. на промежутке [1; 4-°°)
функция возрастает.
25
g (x) -> -I- оо. Значит, график уходит вверх.
Для построения графика на положительной части области
определения воспользуемся таблицей:
X	£ 4	£ "2	1	2	4
g(x)	4		2	=4	ц
Построим точки, координаты которых отмечены в табли-
це, и точки, им симметричные относительно начала коорди-
нат (учитывая нечетность функции), и соединим их плавной
линией. Получим график функции g (рис. 11).
26
Пример 2. Исследуем функцию ср (х) = —— ---и постро-
X + X — 6
им ее график.
1.	D(<p) = (-oo; -3)U(-3; 2)U(2; 4-00).
2.	Функция не является ни четной, ни нечетной.
3.	Найдем Е (<р). Пусть b — произвольное значение функ-
ции. Выясним, при каких значениях Ъ имеет корни уравнение
—— ---= Ь. Очевидно, что при b — 0 это уравнение корней не имеет,
дг + х —6
Поэтому имеем квадратное уравнение:
Ьх2 + &х —6Ь —1 = 0,
D = Ь2 4- 4Ь (66 +1) = 25Ь2 + 4Ь.
D^O, т. е. 25Ь24-4&>0,
Ь(Ь4-0,16)^0 при Ь£(— °0; —0,16]U(0; -|- оо).
Значит, график расположен выше прямой у = 0 и ниже пря-
мой у =—0,16 (кроме одной точки с ординатой —0,16).
4.	Нулей функция не имеет. ф(х)>0, если x2-j-x — 6>0,
т. е. при х£(—оо; —3)0(2; 4- °°); Ф (х)<0, если х24-х — 6<0,
т. е. при х£( — 3; 2). Функция непрерывна в каждом из проме-
жутков (—оо; —3), ( — 3; 2) и (2; -|-оо).
5.	Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Для этого воспользуемся свойством: если функция y — f(x)
на множестве X сохраняет знак и является монотонной, то
. 1
функция у =----на этом множестве имеет противоположный
характер монотонности.
Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х2-\-х— 6.
Квадратный трехчлен х2-\~х— 6 представим в виде	—
— о — . График функции j/ = (x-|-—1 ~ 6 —— парабола с вер-
шиной в точке ( — ± ; — 6^. Эта функция убывает на проме-
жутке ( — оо; —тг] и возрастает на промежутке £ — ; 4* 00)
Значит, по приведенному выше свойству функция ф возраста-
ет на промежутках (—оо; —3)и f — 3; —-Ц и убывает на
и (2; + оо). Кроме того, эта функция
Г 1
промежутках — —
на каждом из перечисленных промежутков сохраняет знак.
Итак, функция ф (х) на промежутках (—оо; —3) и
( — 3; —возрастает, а на промежутках £ — ± ; 2^ и (2; -f- оо)
убывает.
27
Так как ф(х)<0 при х£( —3; 2) и она возрастает на про-
межутке (— 3; — а на промежутке [“"4’^) убывает, то
при х = — 1 в промежутке (— 3; 2) функция ср достигает свое-
го наибольшего значения, равного —0,16. В этом легко убе-
диться, вычислив <р — уУ
6.	Если x<Z — 3 и х — 3, то ф (х) —°0; если х —>— оо,
то ф (х) -> 0.
Если х>2 и х—>-2, то ф (х)оо; если х->-4-оо, то
Ф (х) -к 0.
Если — 3 < х < 0 и х—>— 3, то ф (х)	— оо; если 0 < х < 2
и х—>-2, то ф (х) ——оо.
Значит, график функции имеет две вертикальные асимпто-
ты х——3 и х = 2 и одну горизонтальную асимптоту у = 0.
Для построения графика составим три таблицы, соответст-
вующие промежуткам (—оо; —3), (2; -|-оо) и (— 3; 2).
X	— 4	-3,5	-3,1		X	2,1	2,5	3
ф (х)	«0,17	«0,36	«2			«2	«0,36	«0,17
X	— 2,9	— 2	-1	-0,5	0	1	1,9
ф (х)	«—2	— 0,25	«-0,17	— 0,16	« — 0,17	— 0,25	« — 2
Отметим точки, координаты которых указаны в таблицах,
и, учитывая результаты исследования, соединим их плавны-
ми линиями. Получим график функции (рис. 12).
Пример 3. Исследуем и построим график функции
/(х)=\/9-х2.
1.	D(f) = [ — 3; 3], так как 9 — х2^0, х2^9, |х|^3.
2.	Функция f четная, так как f( — х) = /(х).
3.	Область значений функции Ё(/г) = [0; 3], так как урав-
нение у9 — х2 — Ь, где 6^0, имеет решения при 6£[0; 3]. Дейст-
вительно, 9 — х2 = Ь2, х2 = 9 — Ь2, 9 — &2^0, Ь2^С9, |Ь|^3.
Учитывая, что Ь^О, имеем Ь£[0; 3].
4.	f(x) = O при х—— 3 и х = 3; f(x)>0 при х£( — 3; 3).
5.	Учитывая, что функция четная, рассмотрим ее поведе-
ние на промежутке [0; 3J. Для этого возьмем два различных хг
и х2 из промежутка [0; 3], составим разность f (х2) — f (xj и
сравним ее с нулем:
f М — f (Xj)=\'9~ х2 — V9-=
28
_ (Д/э —xf—д/э —xf) (Д'9 —х2 + Д/9 —х? ) _
Д/Э —Х2 4-Д/9 — Х1
_	9 —х2 —9 + х?	_ (х, —х2) (Xi + x2)
Д/э —х2 4- Д/э —Xj Д/э —х2 4 Д/9-xf
При 0 Xj < х2 <1 3 знаменатель дроби — положительное
число, множитель хг— х2<0, множитель х1Н-х2>0.
Значит, f (х2) — f (хх) < О, т. е. на промежутке [0; 3] функ-
ция убывает. В силу четности функции f на промежутке
[ — 3; 0] она возрастает.
Для построения графика составим таблицу:
X	0	1	2	3
/(X)	3	д/в «2,8	д/б «2,2	0
Отметим точки, координаты ко-
торых помещены в таблицу, и точ-
ки, им симметричные относитель-
но оси у, и соединим их плавной
линией. Получим график функции
(рис. 13).
График этой функции представ-
ляет собой полуокружность.
29
65.	Проведите исследование и постройте график функции:
а)/(х)=рЪ; в) fW=V16-*2;	д)Лх)=^=г;
6)/(x)=-^±i; г) /(x)=Vx2-16;	е) /(*)=,•
*	у X — 1О
66.	Постройте график функции:
a)	g(x) = |х —1| -|- |х|; г) g (х) =—+-21 * |х~21 ;
б)	g(x)= 1x4-114-|х — 1|; д) g(x) =---------;
в)	g(x)= |х4-И — |х— II; е) g(x)= |х4-4| 4-|х| 4-|х—4|.
67*. Постройте график функции:
1+-L-
а)	fW = ^rj4’	в* *Н*>=-—
ох -4" и	х
X
J_
z х X2 —4x4-3	X Z \	Х
б)	<р (х) =-7— ;	г) (р (х) =  -— .
х — х4 6	1 , 1
х х —3
68.	Постройте график функции:
.	. (х + 2)2(2х—4) .	-2ха+8хг+18х-72
Э)	f (Х)----, б) f М---------------х>-х«-9х+9	•
69.	Постройте график функции:
.	2х2 —5x4-2	_	|2х-4|
У~ |2х —4|	’	У~ 2х2 — 5x4-2*
70.	Изобразите схематически график функции /, зная, что:
1)	B(/) = [0;l)U(l;5)U(5;6];
2)	f (х) = 0 при х = 0, х = 2, х = 4, х = 6;
/(х)<0 при х6(2; 4);
/(х)>0 при хЕ(О; 1)U(1;2)U(4;5)U(5;6];
3)	Е(Л=[-1; 4~°°)>
4)	функция f убывает на промежутках (1; 3] и (5; 6], воз-
растает на промежутках [0; 1) и [3; 5).
6. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ у = [х] и у = {х\
До сих пор мы рассматривали функции, графики которых
были непрерывными кривыми на каждом промежутке, при-
надлежащем области определения функции. В отличие от не-
прерывных функций существуют функции, которые в отдель-
ных точках имеют разрыв. Такие точки называют точками
разрыва.
Простым примером разрывной функции является функция
(х2, если х^2,
1	о
1, если х = 2.
30
Рис. 14
Рис. 15
Ее график изображен на рисунке 14.
Функция f имеет разрыв в точке 2 (при х = 2).
Сейчас мы познакомимся с функциями, которые имеют
разрывы на бесконечном множестве точек.
Сначала введем определения.
Определение 1. Целой частью числа х называется наи-
большее целое число, не превосходящее х.
Целая часть числа х обозначается символом [х] (читается:
целая часть числа х).
Согласно определению
[8,5]=8, [0,32] = 0, [-3,8]=-4, [5] = 5, [-2]=-2.
Вообще если х — целое число, то [х] = х; если х — нецелое
число, то [х]<х, т. е. [х]^х.
Определение 2. Дробной частью числа х называется
разность между числом х и его целой частью.
Дробная часть числа х обозначается символом {х} (читает-
ся: дробная часть числа х).
Согласно определению {х} = х — [х].
Например,
{7,4} = 7,4 — [7,4] = 7,4 — 7 = 0,4;
{0,27} = 0,27 — [0,27] = 0,27 — 0 = 0,27;
{35} = 35 - [35] = 35 - 35 = 0;
{ — 2,6}= —2,6 — [ — 2,6]= —2,6 — ( —3) = 0,4.
Вообще если х — целое число, то {х} = 0; если х — нецелое
число, то 0<{х}<1.
Выясним теперь, что представляют собой графики функ-
ций у = |х] и у = {х}.
Рассмотрим функцию у = [х].
Область ее определения — множество R действительных
чисел.
31
Область значений функции — множество Z целых чисел.
Например, если хС[— 2; —1), то [х] = —2; если х£[ —1; 0),
то [х] =—1; если х£[0; 1), то [х] = 0; если х£[1; 2), то [х]=1;
если х£[2; 3), то [х] = 2.
Вообще если x£[n; п j-l), где п — целое число, то [х] = п.
Отсюда видно, что график функции у = [х] состоит из
бесконечного множества единичных отрезков, параллельных
оси х, у каждого из которых левый конец принадлежит отрез-
ку, а правый не принадлежит ему (рис. 15). На рисунке пра-
вый конец отмечен светлым кружком.
Таким образом, функция z/ = [х] в каждой целой точке (при
целом значении х) имеет разрыв.
Известно, что многие реальные процессы описываются не-
прерывными функциями (зависимость пути движения тела от
времени его движения, зависимость массы тела от его объема
и пр.). Но некоторые процессы описываются и разрывными
функциями. Например, с помощью функции i/ = [x] можно
описать процесс работы электрических часов. Известно, что
минутная стрелка этих часов движется скачкообразно: в про-
межутке между последовательными целыми минутами она
находится в покое, а затем мгновенно меняет свое положение.
Поэтому если показания минутной стрелки рассматривать
как функцию времени, то ее график представляет собой сту-
пенчатую фигурку.
Рассмотрим теперь функцию у = {х}.
Область ее определения — множество действительных
чисел.
Область значений функции — промежуток [0; 1).
Воспользовавшись определением дробной части числа, за-
пишем функцию у — {х} в виде у = х— [х]. Имеем:
если х£[ —2; —1), то у = х — ( — 2) = х-{-2;
если х(Е[ — 1; 0), то у = х—(— 1) = х-)-1;
если х£[0;1), то i/ = x —0 = х;
если х£[1; 2), то у = х — 1;
если хЕ[2; 3), то у — х — 2.
Вообще если x£[n; n-J- 1), то у — х — п, где n£Z.
Значит, график функции у = {х} состоит из бесконечного
множества отрезков, параллельных прямой у — х, координаты
концов каждого из которых имеют вид (п; 0) и (n-|-l; 1), при-
чем точки с координатами (п-|-1; 1) не принадлежат графику
32
(рис. 16). Таким образом, функция у — {х} в каждой целой
точке (при целом значении х) имеет разрыв.
Приведем примеры построения графиков функций вида
!/= [/(*)] и y = {f(x)}.
Пример 1. Построим график функции у = [2х — 1]. Функ-
ция у = [2х—1] имеет разрыв в каждой точке области опреде-
ления, где 2х— 1 — целое число, т. е. в точках вида х— *+1 ,
Л
где k£Z. На промежутках вида R; где k£Z, функция
сохраняет постоянное значение.
Например:
если *£[ —1,5; —1), то у=—4;
если хС[ —1; —0,5), то у= — 3;
если хЕ[ —0,5; 0), то у=— 2;
если х£[0; 0,5), то у= — 1;
если хЕ[0,5; 1), то у = 0;
если х£[1; 1,5), то у = 1;
если хЕ[1,5; 2), то у = 2.
2 Заказ 181
33
тл	Г* *+1\
Каждому промежутку I—; —-—) соответствует значение
функции y~k — 1, где функция сохраняет постоянное значе-
ние. Проведя соответствующие отрезки со светлыми кружка-
ми на правых концах, получим график функции (рис. 17).
Пример 2. Построим график функции f(x) = [x2].
Функция определена на множестве R и является четной,
так как / ( —х) = [( —х)2] = [х2| = /?(х).
Поэтому рассмотрим функцию при х^О. Функция f имеет
разрывы в каждой точке, где х2 — целое число, отличное от
нуля, т. е. при х=1, л/2~, у/З и т. д.
На каждом промежутке вида \jk 1) функция сохра-
няет постоянное значение, равное k. Например:
если х6[0; 1), то /(х) = 0;
если х£[1; V^)» то /(*)=!;
если х €[V2; V8), то f(x) = 2;
если xe[V3; 2), то /(х) = 3.
Отметим на оси х точки с абсциссами 1, л/2\ \/з\ 2 и т. д.,
построим соответственные отрезки со светлыми кружками. Та-
кое же построение выполним на отрицательной части оси х.
Получим график функции у = [х2] (рис. 18).
								У-
								
								
								
								3
								
								
								
								9
								Z
								
								
								1.
								/
								
								
								
	>-V3-			т	 -1				_(7_
		1						
								
								
								
								
								
								
								
								
							*		
								
								
								
								
								
								
								
						—л		
				1	\f2.	2 X		
								
34
Пример 3. Построим график функции g (х) = х2 + [х2].
Функция определена на множестве R и является четной,
так как g ( — х) = ( — х)2Ч-[( — х)2] = х2 + [х2] = £ (х).
Функция разрывна в каждой точке, где х2 — целое число,
отличное от нуля, т. е. при х = 1, л/2, у/з, 2 и т. д. (учитывая
четность функции, рассматриваем ее на промежутке [0; + оо)).
Рассмотрим функцию g на каждом промежутке вида
[V*;	+ i ), где Л = 0 или k£N:
если хЕ[О; 1), то g (х) = х2 + 0 = х2;
если хС[1; л/2), то g (х) = х2 ~Ь 1;
если х£[д/2; д/З), то g (х) = х2-|-2;
если х£[УЗ; 2), то g(x) = x2 + 3.
Вообще если x£[yk; Д/&4- 1), то g(x) = x2 + k. Учитывая
четность функции g, построим ее график (рис. 19).
35
Рис. 20
Пример 4. Построим график функции g(x) = {x2}.
Функция определена на множестве R и является четной,
так как g ( — х) = {( — x)2} — {x2} = g (х).
Функция разрывна в каждой точке, где х2 — целое число,
отличное от нуля, т. е. при х— ±1» ±л/2”,	+2ит. д.
По определению дробной части числа g (х)~х2 — [х2]. Вос-
пользовавшись этим, находим:
если х£[0; 1), то g (х) — х2 — 0 = х2;
если х£[1; \^Г), то g(x) —х2 —1;
если х£[\/2; д/З), то g(x) = x2 — 2;
если х£[\^Г; 2), то g(x) = x2 — 3.
Вообще если x£[\lk*, ~\]k 4~ 1), то g(x) = x2 — k.
Таким образом, на каждом промежутке вида [ЛД*; ~\Jk + l)
g(\fk) = O; если х->-+ l, то я(х)->1, т. е. график функ-
ции g состоит из частей парабол у = х2 — k, где k£N.
График функции изображен на рисунке 20.
71.	Найдите:
а)	[7,8]; в) [-9,6]; д) [\^]; ж) [V3];
б)	{7,8); г) {-9,6); е) ]л];	з)[^3-2].
72.	Вычислите:
а)	[1,25] + {1,25);	г) [ — 5,8 Ц-{5,8};
б)	[-4,37] +{-4,37);	д) [V2] + [V3];
в)	[1,49] + { —1,49); е) +Д/3].
73.	Решите уравнение:
a)	[0,37+ х] = [0,37];	в) [3,8 4-х] = [3,8];
б)	{0,49 4-х) = 0,49;	г) {5,4 + х} = 0,6.
74.	Постройте график функции у = [х], где х£[— 2,5; 3,5].
Найдите:
а)	область значений функции;
б)	множество нулей функции;
в)	промежутки, в которых у<0; у>0.
36
75.	Постройте график функции:
а)	у=[|х-1];	в) у = х + [х];
б)	У = [\1х];	г) у = ^[х +[\/х].
76.	Решите уравнение:
а)	[х] = 2; б) [х] = 0,5; в) [х2] = 2; г) [д/д7]=1.
77. Постройте график функции у = {х}, где х£[— 2,5; 3,5].
Найдите:
а)	область значений функции;
б)	множество нулей функции;
в)	множество значений х, при которых у = ±.
78.	Постройте график функции:
а)у = {^х —ij;	в) у = х + {х};
6)y = {\[x};	г) у=д/*+Г\/*}-
79.	Постройте график функции:
а) у = [|х|]; б) у=||х]|; в) у = {|х|}; г) у=|{х}|.
80.	Решите уравнение:
а) [х] = х;	б) [х] = х — 0,5; в) {х} = 0,5; г) {х} = х—1.
81.	Постройте график функции:
а)» = [Ы];	б) у = (|z|j.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
7. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ У~~/(*), V = f(~х),
У = —f(—x)
Вы уже знаете, что график функции у = — х2 симмет-
ричен относительно оси х графику функции у = х2.
Покажем, что и вообще график функции y=—f(x) сим-
метричен относительно оси х графику функции y = f(x).
Сравним координаты точек графиков функций y = f (х) и
у=— /(х) с одинаковыми абсциссами.
Пусть точка (х0; у0) принадлежит графику Gr функции
y = f(x). Тогда верно равенство y0 = f(x0). Умножив обе части
этого равенства на — 1, получим также верное равенство
— Уо=—1 (х0). А это означает, что точка (х0; — у0) принадлежит
графику G2 функции у= —f (х). Верно и обратное: если
(*п У1)№2, то (х,; —уОЕСЛ; если уА= — /(xj, то —yx = f(Xi).
Таким образом, каждой точке (х; у) графика Gx соответст-
вует единственная точка (х; —у) графика G2 и наоборот. Но
точки (х; у) и (х; —у) симметричны относительно оси х. Зна-
чит, графики и G2 симметричны относительно оси х.
37
Итак, график функции у = — f (х) можно получить из гра-
фика функции y~f(x) с помощью симметрии относительно
оси х.
Заметим, что область определения функции у =—f (х)
останется та же, что и функции y = f(x)t а область значений
по отношению к области значений функции y = f (х) — сим-
. Как
метричное относительно нуля множество.
Пример 1. Построим график функции у =
выглядит график функции у=—-±— , показано на рисунке 10.
х +1
Построим график, симметричный относительно оси х графику
функции у =	— . Получим график функции у =------—
х +1	«4-1
(рис. 21).
Выясним теперь взаимное расположение графиков функ-
ций y = f(x) и y — f{ — х). Начнем с примера.
Пример 2. Построим график функции у = Д/— х .
Область определения функции у=\Х—промежуток [0; + оо).
Область определения функции у=Д/ —х — промежуток ( — оо; 0],
т. е. симметричное ему множество относительно нуля.
Каждой точке (х0; у0) графика G} функции у=\1~х соответст-
вует единственная точка (— х0; у0) графика G2 функции
у =Д/ — х , и наоборот.
Действительно, из того, что равенство у0 = "\/х7 верное, сле-
дует, что равенство у0 = д/ — ( — х0) также верное. Верно и об-
ратное: если (хг; У1)€£2, то ( — х>; У1)€<?1, так как в этом случае
мы получаем одно и то же равенство Уг — У] — хг.
Таким образом, каждой точке (х; у) графика Gy соответст-
вует единственная точка (— х; у) графика G2, и наоборот. Но
точки (х; у) и (— х; у) симметричны относительно оси у. Зна-
чит, симметричны относительно оси у и графики Gi и G2.
38
					। \Гх		У* о.	1						И	•		
							L									
																
		7 -2 		> 		-3 -z 1		-> 		0 					? 3 4 	1			7 5 / 	1			L			X
Рис. 22
Значит, график функции у = —х можно получить из графи-
ка функции у=у[х с помощью симметрии относительно оси у.
График функции у = д/ —* изображен на рисунке 22.
Заметим, что область значений функций у = и
у = у/ — х одна и та же.
Рассуждения, проведенные при рассмотрении этого приме-
ра, сохраняют силу и в общем случае в применении к графи-
кам функций y — f(x) и y — f{ — х).
График функции y = f( — х) можно получить из графика
функции y — f (х) с помощью симметрии относительно оси у.
Пример 3. Построим график функции у = —}/ — х. Гра-
фик функции у — —Л^ — х можно получить из графика
функции у = V— х с помощью симметрии относительно оси х.
График функции у=^1 — х можно получить из графика
функции у = у[х с помощью симметрии относительно оси у.
Значит, график функции у = — Д/ — х можно получить из
графика функции у — л/х с помощью последовательного вы-
полнения двух симметрий: относительно оси х и затем относи-
тельно оси у. В результате график функции у — —у/— х явля-
ется симметричным графику функции у = у[х относительно
начала координат (рис. 23).
							У> О-							1		
							Z ♦_			, *						
							/									
	-6 -5 -4 -				F -2 -1 7			Г 1 <м			\ Ч 5 6					X
								1								
								/								
				У=	-V-	X		Z								
Рис. 23
39
Вообще график функции у = — f ( — х) можно получить из
графика функции y — f (х) с помощью центральной симметрии
относительно начала координат.
82.	Постройте график функции у = —f (х), зная график функ-
ции y = f(x), изображенный на рисунке:
а) 24; б) 25.
83.	Постройте график функции:
а)у=—х3; в)у= —|х|; д) у = — (х + З)2 + 1;
б)у=— V*; г) !/= —	2)2» е)у = 1—х3.
84.	Докажите, что графики функций f и g симметричны отно-
сительно оси х, если:
a)	и £(х)=^ — 1;
б> ZW=7+T-5 и gW=VFT;
в) и
. , Z V х3 —х2 + х—1	. V
Г) /(*) =---т—--- И g(x) = l—X.
х +1
85.	Если функция y = f (х) возрастает на множестве X, то функ-
ция у = — f (х) убывает на этом множестве; если функ-
ция y = f (х) убывает на множестве X, то функция
у = — f (х) возрастает на этом множестве. Докажите это.
86.	Область определения функции y = f(x) — промежуток
[ — 5; 8]. Какова область определения функции:
а)у=— f(x); v)y=—f( — x)-,	д) y=f ( — x) — S;
б)	у=/(-лг); г) » = /(*) + 2;	е) y = f(x-2)?
87.	Постройте график функции y = f (— х), зная график функ-
ции у = /(х), изображенный на рисунке:
а) 24; б) 25.
88.	Постройте график функции:
a) y = l-|-V—х"; б) y=V2~хJ в) !/ = 3 —V —х.
Рис. 24	Рис. 25
40
89.
90.
91.
92.
Докажите, что графики функций f и g симметричны отно-
сительно оси у, если:
a)	f(x)=—— и g(x) = ——;
при х = — 5
при *6(0; 6);
-2] и [4; 6],
J? z	* ТЛ-f-l.	_z к Л -Л-f-l
6)	f(x)=—2--Y- и g(x) = —~-2—.
x —x4-l	x 4- x 4-1
Докажите, что графики функций f и g симметричны отно-
сительно начала координат, если:
a)	f (х) = 1 — |х — 21 и g(x)= |х + 2| —1;
б)	/(х)= — |хЧ-5| и g(x)=|x —5|.
О функции y = f(x) известно, что она непрерывна и что
Р(Л = [-5; 6]; Е(П = [-3; 2]; f(x) = O
и х = 0; f(x)>0 при х€( —5; 0); /(х)<0
функция возрастает на промежутках [ — 5;
убывает на промежутке [ — 2; 4].
Какими свойствами обладает функция:
а)у=—/(х); б) y = f( — х); в)у=— f { — х)?
Изобразите схематически график функции y = f(x) и
графики функций у=— f (х), y = f( — x), у= — f ( —х).
Известно, что функция у = f (х) возрастает на промежутке
(а; Ь). Докажите, что:
а) функция y — f ( — х) убывает на промежутке ( — Ь; — а);
б) функция у = — f ( — х) возрастает на промежутке
(-Ь; — а).
8. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ y=\f(x)\ И y = f(\x\)
Рассмотрим способы построения графиков у = | f (х) | и
y = f (|х|), зная, как выглядит график функции y = f(x).
Пример 1. Построим график функции у = | х2 — 2х |.
Освободимся от знака модуля, задав функцию несколькими
выражениями.
Если х2 — 2x^0, т. е. если х£(—оо; 0](J[2; 4-оо), то
| х2 — 2х | = х2 — 2х.
Если х2 — 2х<0, т. е. если х£(0; 2), то |х2 — 2х| = 2х — х2.
Значит,
( х2 — 2х, если хС(—оо; 0]J[2; Ч-оо),
у = <
(2х —х2, если х£(0; 2).
Мы видим, что на множестве (— оо; 0]|J[2; 4- оо) графики
функций у — х2 — 2х и у — | х2 — 2х | совпадают, а на множестве
(0; 2) графики этих функций симметричны относительно
оси х.
Построим график функции у = х2— 2х (рис. 26). Ту часть
графика, которая расположена выше оси х, и точки, лежащие
на оси, оставим на месте, а ту часть графика, которая распо-
41
ложена ниже оси х, отразим симметрично относительно нее.
Получим график функции у=|х2 — 2х| (рис. 27).
Вообще график функции у = | f (х) | можно получить из гра-
фика y = f(x), оставив на месте ту его часть, где /(х)^0, и
симметрично отразив относительно оси х другую его часть,
где /(х)<0. Это следует из равенства
( — /(х), если /(х)<0,
Х (/(х), если f (х)2>0.
Пример 2. Докажем, что график функции у = f (I х|) сов-
падает с графиком фукнции y = f(x) на множестве неотрица-
тельных значений аргумента и симметричен ему относительно
оси у на множестве отрицательных значений аргумента.
Доказательство. Если х^О, то f (1x1) = / (х), т. е. на
множестве неотрицательных значений аргумента графики
функции y — f(x) и у = / (| х|) совпадают. Если же х < 0, то
/ (| х |) = / (— х). Но график функции y = f{ — х), как известно,
симметричен графику функции у = /(х) относительно оси у.
Таким образом, график функции «/ = /(1x1) можно полу-
чить из графика функции y = f (х) следующим образом:
1) построить часть графика функции y = f(x) для неотри-
цательных значений аргумента;
2) с помощью симметрии относительно оси у построить
ДРУГУЮ часть графика функции, соответствующую отрица-
тельным значениям аргумента.
Пример 3. Построим график функции f (х) = х2 — 2|х| —
— 3. Легко понять, что, так как х2=|х|2, мы имеем дело с
графиком функции y = f(\x\), где /(х) = х2 — 2х — 3.
График функции /(х) = х2 — 2х — 3 есть парабола с верши-
ной в точке (1; —4), так как х2 —2х —3 = (х—I)2 —4.
Построим ту часть параболы у = (х — I)2 — 4, которая соот-
ветствует неотрицательным значениям аргумента (рис. 28).
Затем построим другую часть графика, симметричную
первой относительно оси у. Получим график функции
у = х2 — 2|х|—3 (рис. 29).
42
93.	Постройте график функции:
а)у=|2х —1|; в) у = |х2 + 3х|;	д)^ = |1_1|;
б)у=|х2 — 4|;	г) у — |х2 — 6х + 8|;
94.	Решите графически уравнение:
а)	I*2—2х —3|=3; в) |^И=2; д) I—V—*1 = 1;
б)	|х2—2х—3| =4; г) |iz±|=l; е) 12 V* +4 - 31 = 1.
95. Сколько корней может иметь уравнение | х2 -|- Ьх 4- с | = т,
где Ь, с и т — произвольные числа?
96. Постройте график функции:
a)»=|W-1;	г)у=4~ 3:
б) у = х2 — 2|х|;	д) у=д/|х| —2;
в) у = (1х| —1)(|х|—3);	е) y=V2~ 1*1 •
97. Изобразите схематически график функции:
a) y=Vl*l + 3; б)у = 1 —|х|; в) у = — х2Ч-4|х| — 3.
98. Решите графически уравнение:
а) х2 —2|х|=3;
б) х2 —2|х|=0;
г)	4 —(|х| -1)2 = 3;
д)	4 —(|х| —1)2 = 1;
е)	4 —(|х| —1)2= — 1.
43
99.	График функции y = f(x)— ломаная линия АВС, где
А (0; 0), В(1; —1), С (4; 2). Постройте график функции:
а)у=|/(х)|; б) у = /(|х|); в) у = \f (|х|)|.
100.	Постройте график функции:
.	х~~2	I X —2 I	.	|х|—2	.	||х|—2|
а> »=Т+2 : б) »=|^+г|: в) »= |ТГ+2 : г) ^ = | |7Г+г|-
101.	Постройте график функции у = 11х— 11 — 11.
102.	Задайте формулой функцию, график которой изображен
на рисунке:
а) 30; б) 31; в) 32; г) 33
(на рисунках 30, 31 и 32 изображены части параболы).
Рис. 33
44
Глава II
РАВНОСИЛЬНОСТЬ
УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
§ 4. ОТНОШЕНИЯ СЛЕДОВАНИЯ
И РАВНОСИЛЬНОСТИ
§ 5. УСЛОВИЯ РАВНОСИЛЬНОСТИ
УРАВНЕНИЙ,
НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ
§ 4. ОТНОШЕНИЯ СЛЕДОВАНИЯ
И РАВНОСИЛЬНОСТИ
9. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
С ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим предложения:
«В часе 60 минут»,
♦Число 4^/3 —3 \2 положительное»,
«Функция у = 5х возрастающая»,
тт	845
«Дробь несократимая».
Каждое из них представляет собой некоторое высказыва-
ние, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Так,
первые три предложения являются истинными высказывания-
ми, а последнее — ложным.
С различными высказываниями приходится встречаться
не только на уроках математики и других школьных дисцип-
лин, но и в повседневной жизни.
Из простых высказываний с помощью связок «и» и «или»
можно составлять сложные высказывания.
Сложное высказывание, составленное с помощью связки
♦и», называется конъюнкцией высказываний. Примерами
конъюнкций могут служить такие высказывания:
«Число 51 кратно 17, и произведение 51-108 кратно 17»,
«В году 12 месяцев, и в каждом месяце 30 дней».
Конъюнкция считается истинной, если истинно каждое из
входящих в нее высказываний. В приведенных примерах пер-
вая конъюнкция истинна, так как составлена из двух истин-
ных высказываний, а вторая ложна, так как второе из состав-
ляющих ее высказываний является ложным.
45
Сложное высказывание, составленное с помощью связки
«или», называется дизъюнкцией высказываний. В качестве
примеров дизъюнкций можно привести такие высказывания:
«Частное от деления 3717 на 177 является целым числом или
дробным числом», «Число 108-|-1 делится на 3 или при деле-
нии на 3 дает остаток 1».
Дизъюнкция считается истинной, если истинно хотя бы
одно из входящих в нее высказываний. В приведенных приме-
рах первая дизъюнкция истинна, так как истинным является
первое высказывание, а вторая дизъюнкция ложна, так как
ложными являются оба входящих в нее высказывания.
Числовые равенства и числовые неравенства можно рас-
сматривать как некоторые высказывания, которые могут
быть либо истинными, либо ложными. Так, равенство
1,2 (7 4-4) = 1,2 «7 4-1,2 «4 является верным, т. е. служит при-
мером истинного высказывания, а неравенство 31 -24 <314-
4- 24 является неверным, т. е. представляет собой ложное вы-
сказывание. Из числовых равенств и неравенств можно состав-
лять сложные высказывания. Например, двойное неравенство
13 <17 <20 представляет собой конъюнкцию «13<17 и
17<20» и является истинным высказыванием, так как ис-
тинно каждое из входящих в него высказываний. Не-
строгое неравенство ( — 2,7)2^0 представляет собой дизъюнк-
цию «(— 2,7)2>0 или (— 2,7)2 = 0» и также является истин-
ным, так как истинно первое высказывание.
Рассмотрим теперь предложение с переменной х:
«Целое число х является квадратом натурального числа».
Говорят, что множество целых чисел является областью
определения этого предложения.
Об этом предложении нельзя сказать, истинно оно или ложно.
Все зависит от конкретного значения х. Например, при х ==144
получается истинное высказывание, а при х=145— ложное.
Множество значений переменной, при котором предложе-
ние с переменной обращается в истинное высказывание, назы-
вается множеством истинности этого предложения.
Аналогично можно говорить о множестве истинности пред-
ложения с несколькими переменными. Множеством истинно-
сти такого предложения называется множество пар, троек
и т. д. значений переменных, обращающих его в истинное вы-
сказывание.
Из предложений с переменными можно составлять слож-
ные предложения с помощью связок «и» и «или». В первом
случае получается конъюнкция предложений, во втором —
дизъюнкция.
Пусть даны предложения А (х) и В(х), каждое из которых
определено на множестве X. Обозначим через РА множество
истинности первого из них, а через Р2 — множество истинности
второго. Тогда множеством истинности конъюнкции «А (х)
46
и В(х)», где х£Х, является пересечение множеств Р^ и Р2, а
множеством истинности дизъюнкции «А (х) или В(х)», где
х£Х, является объединение множеств Рх и Р2.
Приведем пример.
Пример 1. Рассмотрим предложения:
♦Двузначное число а делится на 2 и на 3»,
♦Двузначное число а делится на 2 или на 3».
Множество истинности А первого предложения представ-
ляет собой пересечение множеств истинности двух предложе-
ний ♦Двузначное число а делится на 2» и ♦Двузначное число
а делится на 3», т. е. состоит из четных двузначных чисел,
кратных 3. Значит,
А ={12, 18, 24, 30, ..., 90, 96}.
Множество истинности В второго предложения состоит из
чисел, которые либо являются четными, либо кратны 3, т. е.
В = {10, 12, 14, 15, ..., 98, 99).
Уравнения и неравенства с переменными можно рассмат-
ривать как предложения с переменными. Множество истинно-
сти такого предложения называется, как известно, множест-
вом решенйй уравнения или неравенства. Так, множеством
истинности предложения ♦х2 — 4 = 0» является множество
{— 2; 2}, а множеством истинности предложения ♦х — 4>0» —
числовой промежуток (4; оо).
Для конъюнкции и дизъюнкции уравнений или неравенств
с переменными используются специальные названия. Конъ-
юнкцию уравнений (неравенств) называют системой и обозна-
чают фигурной скобкой { , а дизъюнкцию уравнений (нера-
венств) называют совокупностью и обозначают квадратной
скобкой [ . Если каждое из уравнений (неравенств), входящих
в систему или совокупность, определено на множестве всех
чисел, то множество истинности системы представляет собой
пересечение множеств истинности входящих в нее уравнений
(неравенств), а множество истинности совокупности — их объ-
единение.
Рассмотрим пример.
Пример 2. Найдем множество значений х, при которых
а) выражение Д/Зх — 5 Ч~Д/8 — 2х имеет смысл;
б) выражение — 5х 4-Д/х — 2 не имеет смысла.
а)	Выражение д/Зх — 5	—2х имеет смысл, когда име-
ет смысл каждый из корней, т. е. истинна конъюнкция
Зх — 5^0 и 8 — 2x^0.
Запишем ее в виде системы неравенств и решим эту систему:
Зх —5>0,
8 — 2х>0,
Зх>5,
— 2х>— 8,
2
3
х^4.
47
Множеством решений системы является пересечение мно-
жеств решении неравенств х^1-ихС4, т. е. числовой про-
о
Fi 2
межуток 1 —; 4 .
Значит, множеством значений х, при которых данное вы-
ражение имеет смысл, является числовой промежуток
[44
б)	Выражение у15^—5х 4-ух —2 не имеет смысла, когда
не имеет смысла хотя бы один из корней, т. е. когда истинна
дизъюнкция
15 —5х<0 или х — 2<0.
Запишем ее в виде совокупности неравенств и найдем множе-
ство решений этой совокупности:
15 — 5х<0,	Г—5х<—15,	Гх>3,
х —2<0,	[х<2,	[х<2.
Множеством решений совокупности является объединение
множеств решений неравенств х>3их<2, т. е. объединение
числовых промежутков (—оо; 2) и (3; -J-oo).
Значит, множеством значений х, при которых данное вы-
ражение не имеет смысла, служит множество (—оо; 2)0
0(3; -Foo).
103.	Является ли истинным высказывание:
а) число 2113 является делителем числа 25 356;
85
б) дробь —— несократимая;
2U4
в)	число 22 ... 2 кратно 9;
27 раз
г)	число Д/^4-2 Д/jT —— 2 д/З^ натуральное;
д)	число 6 — 4 у/2 отрицательное;
е)	число 108-|-7 при делении на 3 дает остаток 2?
104.	Истинно ли высказывание:
а)	в феврале 28 дней или 29 дней;
б)	в месяце воскресенье бывает 5 раз или 4 раза;
в)	число 2565 кратно 3 и 5;
г)	двузначное число больше 10 и меньше 100?
105.	При каком условии является истинным высказывание:
а) каждый ученик вашего класса изучает английский
язык и немецкий язык;
б)	каждый ученик вашего класса изучает английский
язык или немецкий язык?
106.	а) Каждый ученик физико-математического класса посе-
щает факультативные занятия по математике или по фи-
48
зике, причем факультатив по математике посещают
22 ученика, а по физике — 15 учеников. Сколько учени-
ков посещает оба факультатива, если известно, что всего
в классе 29 учеников?
б) В школьной олимпиаде по математике приняли уча-
стие 16 учеников из физико-математического класса, а
по физике — 12 учеников из этого класса. Сколько уче-
ников класса участвовало в олимпиаде по математике,
но не участвовало в олимпиаде по физике, если известно,
что всего в классе 25 учеников и каждый ученик принял
участие в олимпиаде по математике или в олимпиаде по
физике?
107.	Является ли истинным высказывание:
а)	модуль любого числа равен этому числу или больше его;
б) четное число делится на 4 или при делении на 4 дает
остаток 2;
в)	произведение двух последовательных целых чисел яв-
ляется числом четным и положительным;
г)	число, сумма цифр которого равна 18, делится на 3 и
на 9?
108.	Проверьте, истинно ли высказывание:
а)	З3 + 43 + 53 = 63;
б)	З3+1О3 + 183= 193;
в)	13 + 634-83 = 93;
г)	14* + 233 + 703 = 713.
109.	Не выполняя вычислений, поставьте вместо многоточия
знак < или >, чтобы получилось истинное высказы-
вание:
а)	27 814-1. 27 814:1;
'	7	7
б)	4825- (-1) ... 4825: (-1);
в)	1485-1... 1485- -1-;
г)	3672: (-1)... 3672: (-1).
110.	Является ли истинным высказывание:
а) (1,6-10-®)-(6,25-10*)<1;
б)	(7,123-6,842-42)2> О;
в)	Д/7Ч-4Д/3 >2 + д/3;
г)	д/7 СЛ/5 +V2?
111.	Истинно ли высказывание (при положительном ответе
запишите его в виде двойного неравенства):
а) у/2 больше 1,4 и меньше 1,5;
б)	1—больше —1 и меньше 0;
в)	4 + 2д/3^ меньше или равно (1+д/З)2 и больше л/ТсГ;
г)	л/З • д/2 больше или равно у/б и меньше 2 у[2 ?
49
112.	Найдите множество натуральных значений л, при кото-
рых обращается в истинное высказывание предложение:
а) 25 — п2 — натуральное число, кратное 3;
(п-2) (п-4)
б)		—-------правильная дробь;
Zt 
в)	число л+ 2 является делителем числа 28;
г)	7 (п— 1) — простое число.
113.	Найдите, если это возможно, хотя бы одно натуральное
значение k, при котором обращается в ложное высказы-
вание предложение:
а)	45Л4-729 кратно 9;
б)	(k — 1) (k -|- 5) — составное число;
. л — 1	Л
в)	—----неправильная дробь;
ч «	3*4-4	о
г)	дробь t меньше 3.
114.	Укажите, если это возможно, значение а, при котором
истинно высказывание:
а)	сумма (а — 2)2 + (а — З)2 равна нулю;
б)	произведение (а — 4) (а -|- 5) равно нулю;
в)	разность чисел 112 и а равна их сумме;
\ л ® 4- з	1
г)	дробь t равна 1.
115.	Существует ли значение а, при котором обращается в ис-
тинное высказывание предложение:
а)	3 (а- 1,5) = 3а — 5;	в) (а-I)2 (а2 +1)^0;
б)	|о|<Зд/5-5д/3; г) (о-5)2-|-(Зо- 15)2 = 0?
116.	Укажите множество натуральных значений перемен-
ной п, при которых обращается в истинное высказыва-
ние предложение:
а)	п кратно 5 и не превосходит 27;
б)	п является делителем 32 и 36;
в)	п является делителем 32 или 36.
117.	Найдите множество истинности предложения:
а)	15х2 — 3(2х —1) = 2(1,5 — Зх);
б)	(х — 4) (х —2) (х4~8) = 0;
в)	5 — 6х = (1 — 4х) — (34-2х);
г)	15 (х —2)4-12(3 —х)>х;
д)	6х —12>0 и х=/=8;
е)	5х—1>0 и 3 — 2х>0;
ж)	х —12 = 0 и х2 —9 = 0;
з)	5х — 40 >0 или Зх4~9<0.
118.	Найдите множество значений х, при которых имеет
смысл выражение:
) х-8 ’	'	2	’
- д/18 —х .	. V102-51X +Д/21х4-63
°’ 5x4-10 ’	х
50
119.	Найдите множество значений х, при которых не имеет
смысла выражение:
.	16	. Д/«-4
а)		; в) ———- ;
(х — 2) (ж4-4)	х—10
б)	27	• Г) У5^Г+Л/2х-2
(3/4-1) О/2 —9) ’	6
120.	Каково множество истинности предложения:
а)	сумма натуральных чисел а и b равна 11;
б)	произведение натуральных чисел х и у равно 6;
в)	сумма квадратов натуральных чисел тип меньше 8;
г) квадрат суммы натуральных чисел а и b меньше 27?
121. Укажите три пары натуральных чисел тип, обращаю-
щие в истинное высказывание предложение:
а)	т — п — отрицательное число;
т2
б)	—--натуральное число;
в)	т и п — делители числа 20;
г)	т или п — простое число.
122.	Обращает ли пара чисел х=20, у =12 в истинное выска-
зывание предложение:
а)	5x4-бу = 172 и х — у = 8;
б)	2х-|-у = 52 и х-|-2у = 30;
в)	7х —4у = 90 или х2 + у2 = 544;
г)	Зх — у = 42 или х2 —ху = 20?
10. ПОНЯТИЕ О СЛЕДОВАНИИ И РАВНОСИЛЬНОСТИ
Два предложения с одними и теми же переменными могут
быть взаимосвязаны. Рассмотрим предложения:
«Число х больше 4»,
«Квадрат числа х больше 16».
Из свойств неравенств вытекает, что если при некотором
значении х первое предложение обращается в истинное выска-
зывание, то и второе предложение также обращается в истин-
ное высказывание. В таких случаях говорят, что из первого
предложения следует второе или что второе предложение яв-
ляется следствием первого.
Вообще из одного предложения с переменными следует дру-
гое, если всегда, когда истинно первое предложение, оказыва-
ется истинным и второе.
Иначе говоря, из одного предложения следует другое, если
множество истинности первого предложения является подмно-
жеством множества истинности второго.
Нетрудно убедиться, что в рассмотренном примере из вто-
рого предложения не следует первое. Для этого достаточно
указать хотя бы одно значение переменной х, при котором
второе предложение истинно, а первое ложно. В качестве та-
кого значения можно взять, например, х= —5.
51
В записи для обозначения следования одного предложения
из другого используют знак => (знак логического следова-
ния).
Например, если из предложения А следует предложение В,
то это записывают так:
А>В.
Приведенную запись можно прочитать по-разному:
«Из А следует В»,
«В является следствием А»,
♦Если истинно А, то истинно В».
Понятие следования связано с понятиями «достаточное
условие» и «необходимое условие».
Если из А следует В, то говорят, что А является достаточ-
ным условием для В или что В является необходимым услови-
ем для А.
Например, в силу свойств делимости из предложения
«Целое число а кратно 12»
следует предложение
«Целое число а кратно 6».
Пользуясь терминами «достаточно» и «необходимо», это мож-
но прочитать так:
«Для того чтобы целое число а было кратно 6, достаточно,
чтобы оно было кратно 12»,
«Для того чтобы целое число а было кратно 12, необходи-
мо, чтобы оно было кратно 6».
В рассмотренном примере второе предложение не является
следствием первого: целое число, кратное 6, может быть не
кратно 12, например число 18. Однако возможен случай, ког-
да из первого предложения с переменными следует второе, а
из второго — первое. Примером могут служить предложения:
«Сумма цифр натурального числа х делится на 3»,
«Натуральное число х делится на 3».
В силу признака делимости на 3 любое значение х, обращаю-
щее в истинное высказывание первое предложение, обращает
в истинное высказывание и второе предложение и наоборот.
О таких предложениях говорят, что они являются равносиль-
ными.
Вообще если из одного предложения с переменными следу-
ет другое и из второго следует первое, то эти предложения на-
зываются равносильными.
Иначе говоря, два предложения равносильны, если множе-
ства истинности этих предложений совпадают.
В записи для обозначения равносильности используют
знак <=> (знак равносильности).
Запись А <=>В, где А и В — некоторые предложения, мож-
но прочитать по-разному:
«А равносильно В»,
«А истинно тогда и только тогда, когда истинно В».
52
Если предложения А и В равносильны, то говорят, что
А является необходимым и достаточным условием для В.
Рассмотрим, например, предложения:
«Треугольник АВС равнобедренный»,
♦Треугольник АВС имеет ось симметрии».
Из первого предложения следует второе, а из второго — пер-
вое. Пользуясь терминами «необходимо» и «достаточно», это
можно сформулировать так: для того чтобы треугольник АВС
был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы он
имел ось симметрии.
123.	Является ли второе предложение следствием первого
(при положительном ответе сделайте запись, используя
знак =>):
а)	углы А и В вертикальные; Z.A = Z.B;
б)	отрезки АВ и CD симметричны относительно пря-
мой I; AB = CD;
в)	в ДАВС угол А равен 70°; ДАВС — остроугольный;
г)	в ДАВС угол А равен 140°; ДАВС — тупоугольный?
124.	Следует ли второе предложение из первого; следует ли
первое предложение из второго:
а)	л — натуральное число; 2п -f-1 — нечетное натураль-
ное число;
б)	о — отрицательное число; а3 — отрицательное число;
в)	а 24 — целое число; 35 — а — целое число;
г)	х — положительное число; ~\[х меньше х?
125.	Равносильны ли предложения (при положительном отве-
те сделайте запись, используя знак <=>):
ч	4-1 л
а)	у — целое число; —-----дробное число;
б)	р — целое число, кратное 3; 7р — целое число, крат-
ное 3;
в)	k — целое число, кратное 24; k — целое число, крат-
ное 4 и 6;
г)	модуль числа а меньше 1; квадрат числа а меньше 1?
126.	Следует ли из первого предложения второе; равносильны
ли эти предложения:
а)	натуральное число а оканчивается цифрой 1; четвер-
тая степень натурального числа а оканчивается циф-
рой 1;
б)	натуральное число b оканчивается цифрой 5; шес-
тая степень натурального числа b оканчивается циф-
рой 5;
в)	целое число у кратно 6; квадрат целого числа у кра-
тен 36;
г)	целое число х при делении на 6 дает остаток 1;
квадрат целого числа х при делении на 6 дает оста-
ток 1?
53
127.	Является ли второе предложение следствием первого:
а) сумма натуральных чисел а и Ь — нечетное число;
произведение натуральных чисел а и b — четное число;
б) аЬ = Ьс; а — с\
в)	а и Ь — иррациональные числа; а-\-Ь — иррациональ-
ное число;
г)	а и b — иррациональные числа; ab — иррациональное
число?
128.	Равносильны ли предложения:
a)	AczB, Af]B=A; в) х^АрВ, х^А и х£В;
б)	AczB, А[)В = В; г) х£А1|В, х£А или х£В?
129.	Вставьте пропущенную связку «и» или «или», чтобы по-
лученное сложное предложение было равносильно дан-
ному:
a)	ab = 0oa = 0 ... 5 = 0;
б)	о5=/=0<=>а=/=0 ... Ь^О-
в)	а2Ь>0<=>а =/= 0 ... 5>>0;
г)	ab2<0<=>а<0 ... Ь=^0;
д)	а4Ь*>0оа=/=0 ... Ь=#=0;
е)	о2 + ь2 = 0<=>а = 0 ... Ь = 0.
130.	Вставьте вместо многоточия одно из пропущенных слов
«достаточно», «необходимо», «необходимо и достаточ-
но», чтобы получилось истинное высказывание:
а)	для того чтобы число а, где a£N, делилось на 5, ...,
чтобы оно оканчивалось цифрой 5;
б)	для того чтобы число а, где a£N, делилось на 12, ...,
чтобы оно делилось на 3;
в)	для того чтобы число а, где a£N, делилось на 9, ...,
чтобы сумма его цифр делилась на 9;
г)	для того чтобы число а, где a£N, делилось на 6, ...,
чтобы оно делилось на 2 и на 3;
д)	для того чтобы дробь , где a£N, b£N была несокра-
тимой, ..., чтобы дробь ~ , где a£N, b£N, была несокра-
ТИМОЙ.
131.	Замените многоточие словами «достаточно», «необходи-
мо», «необходимо и достаточно», чтобы получилось ис-
тинное высказывание:
а)	для того чтобы углы А и В были равны, ..., чтобы они
были вертикальными;
б)	для того чтобы сумма углов А и В была равна 180°,
..., чтобы они были смежными;
в)	для того чтобы прямоугольный треугольник был рав-
нобедренным, ..., чтобы острый угол в нем был
равен 45°.
54
132.	Верно ли, что:
а)	для того чтобы целое число а делилось на 4, необхо-
димо, чтобы оно оканчивалось четной цифрой;
б)	для того, чтобы сумма a-\-b (a£Z, b£Z) делилась на
17, достаточно, чтобы каждое из чисел а и Ь делилось
на 17;
в)	для того чтобы диагонали четырехугольника были
равны, необходимо и достаточно, чтобы он был прямо-
угольником?
§ 5. УСЛОВИЯ РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ,
НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ
11. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И УРАВНЕНИЯ-СЛЕДСТВИЯ
Введенные понятия следования и равносильности относят-
ся, в частности, к уравнениям и неравенствам с переменными,
которые, как уже отмечалось, можно рассматривать как пред-
ложения с переменными.
Остановимся сначала на уравнениях с одной переменной.
Пусть мы имеем два уравнения с одной и той же перемен-
ной. Из первого уравнения следует второе, если каждое значе-
ние переменной, обращающее первое уравнение в верное равен-
ство, обращает также и второе уравнение в верное равенство,
т. е. если множество корней первого уравнения является под-
множеством множества корней второго.
Два уравнения с одной и той же переменной равносильны,
если из первого уравнения следует второе и из второго следует
первое. Иначе говоря, два уравнения с одной переменной рав-
носильны, если множества их корней совпадают, т. е. каждый
корень первого уравнения является корнем второго и наобо-
рот или оба уравнения не имеют корней.
Выясним, в результате каких преобразований получается
уравнение, равносильное исходному.
Теорема 1. Если какое-нибудь слагаемое перенести из
одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на
противоположный, то получится уравнение, равносильное дан-
ному.
Доказательство. Докажем, что уравнения
/(х) = Я(х) + Л(х)	(1)
и
/(х) — h(x) = g(x)	(2)
равносильны.
Пусть некоторое число а является корнем уравнения (1).
Тогда верно числовое равенство f (а) = g (а) -|- h (а). В этом
55
случае верным является также числовое равенство
f (а) — Л (а) = g (а), которое получается из предыдущего путем
прибавления к обеим частям одного и того же числа. А это
означает, что число а — корень уравнения (2). Значит, из
уравнения (1) следует уравнение (2).
С помощью аналогичных рассуждений можно показать,
что из уравнения (2) следует уравнение (1).
Следовательно, уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема 2. Если в какой-либо части уравнения выпол-
нить тождественные преобразования, не меняющие области
определения уравнения, то получится уравнение, равносиль-
ное данному.
Доказательство. Докажем, что если выражение
Л (х) тождественно равно f (х) и имеет ту же область определе-
ния, то уравнения
f(x) = g(x)	(1)
h(x) = g(x)	(2)
равносильны.
Пусть некоторое число а — корень уравнения (1). Тогда
верно равенство f (а) = g (а). Выражение Л (х) определено при
тех же значениях х, что и выражение f (х), и тождественно
равно ему. Поэтому h(a) = f (а), и, следовательно, равенство
h (а) = g (а) также является верным. Отсюда получается, что
из уравнения (1) следует уравнение (2).
Аналогично можно показать, что из уравнения (2) следует
уравнение (1). Значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема 3. Если обе части уравнения f(x)=g (х) умно-
жить (разделить) на отличное от нуля число или выражение
h (х), имеющее смысл на всей области определения уравнения
и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х, то полу-
чится уравнение, равносильное данному.
Доказательство. Докажем, что равносильны урав-
нения
f(x) = g(x)	(1)
/?(х)Л(х) = ^(х)Л(х),	(2)
где Л (х) — некоторое выражение, которое имеет смысл на
всей области определения уравнения f (х) = g (х) и не обраща-
ется в нуль ни при каком значении х.
Пусть некоторое число а — корень уравнения (1). Тогда
верно равенство f (a) = g (а). Умножив обе части этого равенст-
ва на число h (а), мы получим верное числовое равенство
f (a) h (а) = g (а) h (а), т. е. число а — корень уравнения (2).
Значит, из уравнения (1) следует уравнение (2). Аналогично
с учетом того, что h (а) 0» можно показать, что из уравне-
ния (2) следует уравнение (1). Следовательно, уравнения (1) и
(2) равносильны.
56
С помощью тех же рассуждений можно показать, что рав-
носильность не нарушится при умножении или делении обеих
частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Решая уравнение, мы стремимся построить цепочку равно-
сильных уравнений, чтобы прийти к уравнению, равносильно-
му данному, корни которого можно легко определить.
Пример 1. Решим уравнение
хя — х + 1 _ Х(х2 + 3) х + 6
2	2	'	3	‘
Умножим обе части уравнения на 6:
3 (х3 —х + 1) = 3х (х2 +3)-|-2 (х + 6).
Раскроем скобки:
Зх3 — Зх + 3 = Зх3 + 9х + 2х+12.
Перенесем слагаемые с переменной х в левую часть уравне-
ния, а свободные члены в правую, изменяя при этом их знаки:
Зх3 — Зх — Зх3 — 9х — 2х = 12 — 3.
Приведем подобные слагаемые:
— 14х = 9.
Разделим обе части уравнения на —14:
На каждом шаге мы выполняли выкладки, приводящие к
равносильному уравнению. В результате получили уравнение
9	п
X— — —» равносильное данному. Значит, данное уравнение
14
9
имеет единственный корень, равный ——.
Иногда в процессе решения от данного уравнения перехо-
дят к уравнению-следствию. При этом множество корней
уравнения-следствия содержит все корни данного уравнения
и, кроме того, может содержать некоторые лишние, или, как
их называют, посторонние, корни. Обнаружить эти посторон-
ние корни можно с помощью числовых подстановок или ка-
ких-либо дополнительных исследований.
Рассмотрим примеры преобразований, которые могут быть
связаны с появлением посторонних корней.
- о	f (х)	Л (х)	. .	, . .
1.	Замена уравнения-----=----- уравнением /(х)=Л(х).
g (х) g (х)
Если при некотором значении х, равном а, верно равенство
£1^1=	то верным является также равенство f (a) = h (а). Зна-
g (a) g (а)
чит, второе уравнение является следствием первого. При этом
может существовать такое значение х, равное 5, при котором
f (b) = h(b) и g(b) = O. Тогда число Ь, являющееся корнем вто-
рого уравнения, не является корнем первого, так как при
х = Ь первое уравнение не имеет смысла.
57
Пример 2. Решим уравнение x_1Q — ж__10 •
Имеем:
х2 = 100,	х1= —10, х2 = 10.
Если х =—10, то х—10=/=0; если х=10, то х—10 = 0. Зна-
чит, число 10 не является корнем данного уравнения.
Уравнение имеет единственный корень: —10.
2.	Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Пусть даны уравнения
f(x) = g(x)	(1)
f2(x) = g2(x).	(2)
Если а — корень первого уравнения, то верно равенство
f (a) = g (а). Из равенства двух чисел вытекает равенство их
квадратов, т. е. f2 (а) = g2 (а), а это означает, что а — корень
уравнения (2). Значит, из уравнения (1) следует уравнение (2).
В то же время из равенства квадратов не следует равенство
чисел (числа могут быть противоположными). Поэтому из
уравнения (2) не следует уравнение (1).
Отсюда вытекает, что если при решении уравнения исполь-
зовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то
нужно провести дополнительное исследование, позволяющее
исключить посторонние корни, если они появились.
Пример 3. Решим уравнение \l3x-}-4 = х.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
Отсюда	Зх + 4 = х2.
х2 — Зх — 4 = 0,	хг=—1, х2 = 4.
При х = — 1 имеем — 3 -|- 4 = — 1 — неверное равенство; при
х = 4 имеем Д/124-4 =4— верное равенство.
Значит, уравнение имеет единственный корень — число 4.
3.	Выполнение в одной части (или в обеих частях) урав-
нения тождественных преобразований, приводящих к рас-
ширению области определения уравнения.
Если некоторое тождественное преобразование привело к
расширению области определения уравнения, то мы получаем
уравнение-следствие. При этом могут существовать такие зна-
чения переменной, которые являются корнями полученного
уравнения, но не являются корнями исходного уравнения.
Пример 4. Решим уравнение
х2 —5х+Д/х-2 -Д/х-2 =0.
Выполнив приведение подобных слагаемых, получим:
х2 — 5х = 0, Х! = 0, х2 = 5.
58
При х = 0 выражение х2 — 5х 4-Vх — 2 — У]х — 2 не имеет
смысла, при х = 5 это выражение имеет смысл.
Значит, данное уравнение имеет единственный корень —
число 5.
Иногда для того, чтобы решить уравнение, его заменяют
сложным предложением, которое равносильно данному урав-
нению или является его следствием. При переходе к сложному
предложению, являющемуся следствием данного, необходимо
исключить посторонние корни, если они появились.
Так, например, из уравнения f (х) g (х) = 0 в силу условия
равенства нулю произведения следует дизъюнкция
f(x) = O или £(х) = 0.
Однако из этой дизъюнкции данное уравнение не следует. Мо-
жет существовать такое значение х, равное а, при котором од-
но из выражений f (а) или g (а) равно нулю, а другое не имеет
смысла. Тогда число а является для данного уравнения посто-
ронним корнем.
Пример 5. Решим уравнение
(0,2х 4-1,8) (Д/х-6 — 1) = 0.
Имеем:
0,2x4-1,8 = 0 или у/х — 6 —1=0.
Отсюда
хг = —9, х2 = 7.
При х= — 9 выражение (0,2х4-1,8) С\]х — 6—1) не имеет
смысла, при х = 7 это выражение имеет смысл.
Значит, данное уравнение имеет единственный корень —
число 7.
Мы выяснили условия, при которых два уравнения с одной
переменной равносильны или одно из них является следстви-
ем другого. Очевидно, что с помощью таких же рассуждений
можно показать, что аналогичные условия справедливы для
уравнений с двумя и более переменными.
133.	Является ли второе уравнение следствием первого; рав-
носильны ли эти уравнения:
а)	2х2 —6х —7 = 0 и х2 —Зх — 3,5 = 0;
б)	Ж\726Х=0 и х2-26х = 0?
134.	Дайте обоснование равносильности уравнений:
а)	Зх—1 = 2 —12х и Зх4-12х = 2-|-1;
б)	0,04х = 2,6 и 4х = 260;
в)	+ и Зх- 1 + Зх = 6;
О А
г)	1,5х2 — 4,5х4-3 = 0 и х2 —Зх4-2 = 0;
д)	(Зх— 2) (8х24-5) = х (8х24-5) и Зх —2 = х.
59
135.	Докажите, что не являются равносильными уравнения:
a) -1^=36+-^ и *2=36;
X— О	X— о
б) х3— 4х = 0 и х2 —4 = 0;
*•2_2>ч
В) -—^ + 2х = 20 и х + 5 + 2х = 20;
х —5
\ 1 ~Ь % — 6х2	. х» 2 г* 2 ।
г) ———----= Х И 14-Х —6х =3х 4-Х.
'3x4-1
136.	Может ли нарушиться равносильность, если выполнить
следующее преобразование:
а)	в уравнении 12 (х2 4-х) — (х2 — х) = 7 раскрыть скобки
и привести подобные члены;
х2 — Зх + 2 |	.	2 п к х2 —3x4-2
б)	в уравнении ---------|-х4~х =7 дробь ----— со-
кратить на х — 2;
в)	обе части уравнения (Зх 4- 2) (х — 4) = 2 (х — 4) разде-
лить на х — 4;
г)	в уравнении х2 4~	8 ~~z 8 — 16 = 48 разность
1 1
----------- заменить нулем;
X — о X — о
д)	обе части уравнения (Зх24~ И) (2х — 17) = 5 (Зх24~ 11)
разделить на Зх2-|-11?
137.	Объясните, какое преобразование было выполнено при
переходе от первого уравнения ко второму и может ли
оно привести к нарушению равносильности:
а)	3x4-1,1 = 6,8 —2х и Зх4-2х = 6,8 —1,1;
б)	х^|1-4-Зх2-1=0 и х —94-Зх2-1 = 0;
в)	—^-4-х = 3 и 54-х(Зх—1) = 3(3х —1);
6х — 1
г)	\'х2 — 1 — х — 2 и х2 — 1 = х2 — 4х 4- 4.
138.	Равносильны ли уравнения:
а)	5 —х = х4-7 и 5 —х4--^—= х4-7 4-—Ц-;
X о	X ~~ о
12 2х X 5 q л
б)		— —------ и 12 —2х = х —5;
' х —2	х —2
в)	6 — х-^-Л/зс — \GT=10 и 6 — х = 10;
г)	(х24-2х — 3)(х24-6) = 5(х24-6) и х24-2х-3 = 5;
ч х2 — 1	6х — 1	2 1 о 1 о
д)		—------ и X — 1=6х— 1?
X	X
139.	Решите уравнение и докажите, что построена цепочка
равносильных уравнений:
а)	13-(х- 1)24-(2х- 1) (х4- 1) = (х4-2)2;
б)	(х I)3 — (х — 3)3 = Зх4-26;
в) (х4-1)3-(х- 1)3 = 6(х24-х4-1);
г) (Зх — 1 )2 4- (6х — 3) (2х 4-1) = (х — I)2 4- 5 (2х 4-1)2.
60
140.
141.
142.
Решите уравнение и укажите, какое преобразование мог-
ло привести к нарушению равносильности:
ч 8	5 — х 8 + Зх
а) -	—
2-х
б) ^|^ (л-2)2 + 8(4-х)(2-х)
г) 1
6
3 —х X2 —9	3 + х
х — 6 _ 1	1
х 2 ' Зх2—12 — 2 —х
Решите уравнение и объясните, какое преобразование
могло привести к нарушению равносильности:
а)	Зх 4~ у/х — 2 — 5х — 14- У/х — 2 ;
б)	^2x4-5 =*4-1;
в)	\3 — 2х = 1 — х;
г)	Д/б 4~*2 — х — 4.
При каком условии равносильны уравнения:
а)	и f (x) = g(x)(2x — 3);
&х — о
143.
Может ли произойти потеря корней или появление по-
сторонних корней, если:
а) уравнение
ем /(х) —3;
б)	уравнение
Г(х) = 1;
в)	уравнение
(х2 4- 4) f (х) = Зх2 4-12 заменить уравнени-
(х — 7) f (х) = х — 7 заменить уравнением
f(x) g(x)
х'—4==х—4 заменить уравнением f (x)=g (х);
ё (х)
г)	уравнение —------= 0 заменить уравнением g(x) = 0?
2х 3
144.	Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) (х —5) (х4-4) —3 (2х—1) = (х —I)2 —5х;
б) (3z/ —4)2 —(z/4-7) = 9 (у2—z/) —(16у—-1);
в) I 1	—3j/1 •
’ 2у + 1	1-4у2	6у-3 ’
.	1	12х	23
2х2-Ь7х —4	2х—1 х-Ь4
145.	Докажите, что любое число является корнем уравнения:
а) (х2 - 1) (6х 4- 1) - 2 (5х2 - 2х - 2) = (Зх2 -1) (2х - 3);
б)	(6х2 - 1 )2 - 3 (Зх2 - 1) (4х2 - 1) = (25х2 -1) - (16х2 4-1);
ч 7х (х +1)-6х-1	4х2 + 1	2х —5,5
В)		7-------------Г--	14	’
3(х —7) 5х _ х —63	х
Г' х2 + 1	2х2 + 2 —3 + 3x2-t~6(x2 + l) ’
61
146.	Найдите множество корней уравнения, заменив его рав-
носильной системой или совокупностью уравнений:
а)	(х2 — 9х 4-8) (х2 — 6х —16) = 0;
б)	(2х2 4- 9х — 5) (4х2 — 1) = 0;
в)	Д/2 —Зх - (5х-1) = 0;
г)	(х2 — х) Д/х2— 1 = 0;
д)	(х2-4)24-(х2-4х + 4)2 = 0;
е)	V^x2— х 4-Д/зх24-х =0;
ж) (х2 — 5х)(3х — 4)(х4~18) = 0.
147.	При каком значении а равносильны уравнения:
а)	х — За = 2 и Зх —5а —10 = 0;
б)	5х — 6а = 32 и Зх — 5а —22 = 0;
в)	3x4-а = 13 и 2ах — 9х—10 = 0;
г)	Зах — х — 2а 4-2 = 0 и 5х — а = 0?
148.	Найдите значения параметра а, при которых уравнения
имеют корни и являются равносильными:
а)	х2-)-(За2 4-а 4-3) х 4-2а2 4-2а — 5 = 0 и
х2 -J- (2а2 4~ 4а 4- 1) х 4~ о2 4- а 4-1== 6;
б)	х2 4-(а2 —6а 4-1) х 4-а2 4-а — 2 = 0 и
х24-(а2 — 2а 4-1)х 4-2а2 4-За — 2 = 0;
в)	х24-(2а2 —а-j-5)x-j-За2 —4а4-5 = 0 и
х24-(а24-4а —1)х4-2а24-2а —3 = 0;
г)	х2 -j- (4а2 — За 4- 5) х 4- 2а2 — а — 6 = 0 и
х2 4- (За2 4- а 4- 2) х 4- а2 — а — 5 = 0;
д)	х24-(2а24-2а — 5)х-|-За2 — а-}-2 = 0 и
х2 4- (а2 4- а 4- 7) х 4- а2 4- За — 1 = 0.
12. РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Понятия следования и равносильности, введенные для
предложений с переменными, относятся, в частности, к систе-
мам уравнений, которые, как уже отмечалось, можно рас-
сматривать как сложные предложения с переменными. Из
определения следования вытекает, что из одной системы урав-
нений следует другая, если множество решений первой являет-
ся подмножеством множества решений второй.
Две системы уравнений равносильны, если множества их
решений совпадают.
Выясним, какие преобразования приводят к системе урав-
нений с двумя переменными, равносильной исходной.
Теорема 1. Если одно из уравнений системы заменить
равносильным, то получится система уравнений, равносиль-
ная данной.
Справедливость этой теоремы очевидна.
62
Теорема 2. Если в системе уравнений вида
( y = f(x),
I g (*, у)=0
заменить во втором уравнении переменную у выражением
/(х), то получится система, равносильная данной.
Доказательство. Докажем равносильность систем
y = f(x),
g(x, у) = 0
и
Ь = Г(Х),
I g (х, /(х)) = 0.
(1)
(2)
Допустим, что пара чисел (а, Ь) является решением систе-
мы (1). Тогда верными являются числовые равенства
b = f(a) и g(a, Ь) = 0. Если во втором из этих равенств заме-
нить число b равным ему числом f (а), то полученное число-
вое равенство g (a, f(a)) = O также будет верным. А это озна-
чает, что пара чисел (а, Ь), удовлетворяющая первому уравне-
нию системы (2), удовлетворяет также и второму уравнению,
т. е. является решением системы (2).
Значит, из системы (1) следует система (2). Аналогично
можно показать, что из системы (2) следует система (1). Сле-
довательно, системы (1) и (2) равносильны.
На доказанном свойстве основан способ подстановки, кото-
рый находит применение при решении систем уравнений.
Теорема 3. Если в системе уравнений
(fix, р)=0,
I g (х, у)=0
заменить одно из уравнений уравнением вида
mf (х, у) 4- ng (х, у) = О,
где тип — отличные от нуля числа, то получится система
уравнений, равносильная данной.
Доказательство. Докажем, например, равносиль-
ность систем
fix, у) = 0,
g(x, у) = 0
(1)
Г f(x, у) = 0,
[mf(x, y) + ng(x, у) = 0,
где т и п — некоторые числа, т=/=0 и п=/=0.
Пусть пара чисел (а, Ь) является решением системы (1).
Тогда числовые равенства f (а, Ь) = 0 и g (а, Ь) = 0 являются
63
верными, а потому верным является равенство mf (а, Ь) +
4- ng (a, b) = 0, т. е. пара (а, Ь) — решение системы (2).
Допустим теперь, что пара чисел (а0, Ьо) — решение систе-
мы (2). Тогда верны числовые равенства f (а0, Ьо) = О и
mf (а0, b0)4-ng(a0, Ьо) = О. Заменяя во втором равенстве
f (°о> М нулем, получаем, что ng (а0, Ьо) = О. Так как п^= 0, то
отсюда следует, что g (а0, Ьо) = 0, т. е. пара чисел (а0, Ьо) — ре-
шение системы (1).
Мы показали, что из системы (1) следует система (2), а из
системы (2) следует система (1), т. е. системы равносильны.
На доказанном свойстве основан способ сложения уравне-
ний, применяемый при решении систем.
Заметим, что не всегда удается найти решение системы
уравнений с двумя переменными путем построения цепочки
равносильных систем. Иногда преобразования приводят к си-
стеме, являющейся лишь следствием исходной. Тогда могут
появиться посторонние решения, которые надо исключить с
помощью специальных вычислений или рассуждений.
Иногда при решении системы ее заменяют равносильным
ей сложным предложением.
Пример. Решим систему уравнений
( (х-2) (у-3) = 0,
I Зх + у = 5.
Из условия равенства нулю произведения вытекает, что
эта система равносильна совокупности двух систем:
| х —2 = 0,
I Зх4-у = 5;
(у-3 = 0,
I Зх4-у = 5.
Решением первой системы служит пара чисел х = 2,
.	„	2
у = — 1, а решением второй системы — пара чисел х = — ,
у = 3. Множество решений заданной системы уравнений состо-
ит из двух пар: Xj = 2, ух= — 1 и х2 = |-, у2 = 3.
С приемами решения систем линейных уравнений вы уже
встречались. Способы решения более сложных систем будут
рассмотрены в главе IV.
_	(2x4-3i/ = 13,
149.	В системе уравнении <	первое уравнение за-
( Зх — у = 3
менили уравнением 5х-|-2у = 16, полученным в результа-
те почленного сложения уравнений системы. Равносиль-
на ли полученная система уравнений данной? Обоснуйте
ответ и проиллюстрируйте его с помощью графиков.
64
( у = 5— 2х,
150.	В системе уравнений <	переменную у во вто-
Iх —у=1
ром уравнении заменили выражением 5 — 2х. Равносиль-
на ли полученная система уравнений данной? Обоснуйте
ответ и проиллюстрируйте его с помощью графиков.
и	(Зх + 7# = 19,
151.	Решите систему уравнении {	способом сло-
I 9x4- 14# = 29
жения. Дайте обоснование равносильности данной систе-
{х = а,
где
У = Ь,
а и b — некоторые числа.
„ ( Зх — 2# = 8,
152.	Решите систему уравнении <	способом под-
( 2х-\-у —10
становки. Дайте обоснование равносильности данной си-
„	„ м	(х = а,
стемы и полученной простейшей системы вида <
1у=ъ,
где а и b — некоторые числа.
153.	Получится ли система, равносильная данной, если:
ч	[Зх —4# = 11,
а)	в системе уравнений <	заменить первое
[ 5х 4- 4# = 5
уравнение уравнением 8х = 16, полученным сложением
уравнений системы;
е	Г 8х — 4# = 11,
б)	в системе уравнений s	заменить в первом
IЗх4-# = 6
уравнении у выражением 6 — Зх;
„ [ 10х —2# = 3,
в) в системе уравнении <	все члены первого
( 5х-|-3# = 4
уравнения умножить на 3, а все члены второго уравне-
ния умножить на 2;
ч	- [ *2— х# = 6х,
г)	в системе уравнении <	все члены первого
[ 8# = 16
уравнения разделить на х?
154.	При каких значениях а и b равносильны системы урав-
нений:
а) ((а —2) х4-4# = 10,	( 3 (х + 2)-2 (у + 1) = 5х4-#,
I Зх-НЬ —1)# = 8 и I 5 (х4-#)-)-б(# — 3) = 3х4~#;
б) ((а4-2)х4-6# = 63,	| 4(х4-#) — 5х = 6# —13,
| 4х + (Ь —3)# = 2 и (5(х —4) —4(#-|-3) = х —10?
3 Заказ 181
65
155.	При каком значении а система уравнений
3x4~4i/ = 3,
2x + 3y = l,
ах + 5у = 8
равносильна системе
Зх4-4у = 3,
2x4~3i/ = l?
156.	При каких значениях а имеет решение система урав-
нений:
Зх —2у = а4~4,
х4-у=а — 1,
5х 4- 5у = 6а 7;
б) 4x4-2у — а 4-3,
х — 2у — 2а— 7,
5х — 4у — За 4- 6;
а)
в)
Зх~Ь2у = 7а +1>
4х —у = За4-2,
х + ^ = а2?
157.	Решая систему уравнений
х2 4- 4ху — 8х,
х-|-5у = 5,
ученик нашел, что х = 20, у~ —3. Правильно ли решена
система?
158.	Равносильны ли системы уравнений:
а)	| х2 = у2,	| х~у,
(Зх —2z/==4	И (Зх—2у —4;
б)	( Зх — у = 5,	f Зх — у = 5,
12	2	И 1 I
[ х — уг = х—у	(х4-у = 1;
в)	Г (х —5)(у4-3)=х —5, | у4-3 = 1,
( 2х 4- у — 6	| 2х 4-^ = 6?
159.	Равносильны ли системы уравнений; является ли одна
из них следствием другой:
а)	Г /(х, y) = g(x, у), и ( f2(x, y) = g2(x, у),
I h (x, у) = 0 И [ h (x, y) = 0;
6)	( f(x, y) = g(xt у), I f(xt y)p(xt y) — g(x, y)p(xt y)t
(Л(х, y) = 0 И (Л(х, i/) = 0?
66
13. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
И НЕРАВЕНСТВА-СЛЕДСТВИЯ
Неравенства с переменными можно рассматривать, как
уже отмечалось, как предложения с переменными. Поэтому
можно говорить об отношении следования между неравенства-
ми с одинаковыми переменными:
из одного неравенства следует другое, если множество реше-
ний первого является подмножеством множества решений вто-
рого.
Два неравенства равносильны, если их множества решений
совпадают.
Пример 1. Решим неравенство
(5х + 1) (х — 4)<5х (х —2),
воспользовавшись известными правилами.
Раскроем скобки:
5х2 -|- х — 20х — 4 < 5х2 — 10х.
Перенесем члены, содержащие х, в левую часть неравенст-
ва, а свободные члены — в правую, изменяя при этом их зна-
ки на противоположные:
5х2 4- х — 20х — 5х2 4-1 Ох < 4.
Выполним приведение подобных членов:
— 9х<4.
Разделим обе части неравенства на —9, поменяв при этом
знак неравенства на противоположный:
Искомое множество решений — числовой промежуток
Доказать, что множество решений заданного неравенства
„ - 4
совпадает с множеством решении неравенства х> ——, с по-
мощью подстановки значений х в неравенство мы не можем.
Однако это можно сделать, используя некоторые свойства не-
равенств, содержащих переменную. Эти свойства выражают
следующие теоремы:
Теорема 1. Если какое-нибудь слагаемое перенести с
противоположным знаком из одной части неравенства в дру-
гую, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если в какой-либо части неравенства выпол-
нить тождественные преобразования, не меняющие области
определения неравенства, то получится неравенство, равно-
сильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства /(x)<g(x)
(/(х) >g(x)) умножить на одно и то же положительное число
или на выражение h (х), имеющее смысл на всей области опре-
67
деления неравенства и принимающее только положительные
значения, то получится неравенство, равносильное данному.
Если обе части неравенства f (х) <.g (х) (/(х)	(х)) ум-
ножить на одно и то же отрицательное число или на выраже-
ние р (х), имеющее смысл на всей области определения нера-
венства и принимающее только отрицательные значения, и из-
менить при этом знак неравенства на противоположный, то
получится неравенство, равносильное данному.
Доказательства этих теорем строятся на основе свойств
числовых неравенств и аналогичны доказательствам соответ-
ствующих теорем о равносильности уравнений. Проведите эти
доказательства самостоятельно.
На основе указанных теорем можно утверждать, что в при-
мере, рассмотренном в начале пункта, мы получили неравен-
4
ство х>——, равносильное исходному.
Приведем еще примеры.
Пример 2. Решим неравенство
(х2 +1) (х2 - Зх) < (х2 4-1) (х - 3).
Разделив обе части неравенства на выражение х2 4- 1, кото-
рое при любом значении х имеет смысл и принимает положи-
тельное значение, получим:
х2 — Зх<х — 3.
Отсюда
х2 — 4х4-3<0,
1<х<3.
Множество решений неравенства — числовой промежуток
(1; 3).
Заметим, что требование сохранения знака выражения,
на которое умножают или делят обе части неравенства,
является существенным. Если, например, в неравенстве
(х — З)2 (х — 5) < (х — З)2 разделить обе части неравенства на
(х — З)2, то получится неравенство х — 5 < 1, неравносильное
исходному. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять число
3, которое удовлетворяет неравенству х — 5<1, но не удовле-
творяет неравенству (х — З)2 (х — 5)<(х — З)2.
Сделаем одну важную оговорку. Между приемами реше-
ния уравнений и приемами решения неравенств есть сущест-
венное различие. При решении уравнения мы можем перейти
к уравнению-следствию, а затем с помощью специальных вы-
числений или рассуждений исключить посторонние корни, ес-
ли они появились. Для неравенств такой подход к решению
неприемлем, так как нет возможности испытать все числа,
входящие в множество решений. Поэтому при решении нера-
венства стараются перейти к равносильному неравенству либо
к равносильной совокупности или системе.
68
Пример 3. Решим неравенство
(х-3)2 (х- 5)<(х — З)2.
Перенесем все члены в левую часть и вынесем за скобки
общий множитель:
(х-3)2 (х-5)-(х — 3)2<0,
(х-3)2 (х —5 —1)<0.
( х — 6<0,
Полученное неравенство равносильно системе <	3=^=0
( х<6,
т. е. системе {
(х=^=3.
Множество решений данного неравенства: (— оо; 3)U(3; 6).
Пример 4. Решим неравенство
(х-2)(х4-4)(-х2-5)<0.
Разделив обе части неравенства на — х2 — 5 и изменив знак
неравенства на противоположный, получим равносильное не-
равенство
(х—2) (х + 4)>0.
Это неравенство равносильно совокупности двух систем:
(х —2>0,	( х — 2<0,
<	или <
(х-|-4>0	(х4-4<0.
Множество решений первой системы — числовой промежуток
(2; оо), а множество решений второй системы — числовой
промежуток ( — оо; — 4). Объединение этих множеств являет-
ся множеством решений данного неравенства.
Итак, мы нашли, что множество решений заданного нера-
венства есть (—оо; —4) J(2; 4-оо).
Заметим, что неравенство (х — 2)(х4~4)>0 можно решить,
воспользовавшись методом интервалов.
Переход к равносильному неравенству или к неравенству-
следствию находит применение также при доказательстве не-
равенств.
Один из приемов доказательства неравенств, которым вам
неоднократно приходилось пользоваться, состоит в том, что
доказательство неравенства вида a<2b (a^>b) сводят к доказа-
тельству равносильного ему неравенства а — b < 0 (а — Ъ > 0).
Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное
неравенство является следствием некоторого очевидного нера-
венства, верного при указанных значениях переменных. В ка-
честве очевидного неравенства часто выбирают неравенства
(а —Ь)2^0, (а-|-Ь)2^0 или неравенство ^\Jab при а^О,
69
Ь^О, выражающее соотношение между средним арифметиче-
ским и средним геометрическим двух неотрицательных чисел.
Заметим, что для того, чтобы найти очевидное неравен-
ство, верное при указанных значениях переменных, из кото-
рого следует данное неравенство, часто поступают следующим
образом: предполагают, что данное неравенство верно при за-
данных значениях переменных, и строят цепочку неравенств-
следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенст-
ву. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх,
показывают, что данное неравенство является следствием по-
лученного очевидного неравенства и потому верно при ука-
занных значениях переменных. Приведем примеры.
Пример 5. Докажем, что
(«4- Ь) (а& + 1)^4аЬ при а^О и Ь^О.
Допустим, что при а^О и данное неравенство верно,
т. е.
(а 4- b) (ab 4-1) 4аЬ.
Тогда
(а + Ь) (аЬ + 1)
4
а -f- Ъ ab 1	.
~2	2 ^аЬ’
Воспользуемся очевидными неравенствами, выражающими
соотношения между средним арифметическим и средним гео-
метрическим двух неотрицательных чисел:
—-——^\ab при а^О, Ь^О.
Л	ы
Перемножая эти неравенства с неотрицательными членами и
проходя всю цепочку неравенств снизу вверх, мы можем сде-
лать вывод, что данное неравенство верно при указанных зна-
чениях переменных.
Действительно,
2	2	V1*
Отсюда
(а 4- Ь) (а&4- 1)^4аЬ при а^О, Ь^О,
что и требовалось доказать.
Пример 6. Докажем, что л/ab 4-Л/cd Д/(а4-с)(Ь4~<0
при а^О, b^O, с^О, d^O.
Так как при указанных значениях переменных значения
левой и правой частей неравенства неотрицательны, то данное
неравенство равносильно неравенству
(\fab +	)2 < (V(a+c)(6 + d))2.
70
Отсюда
ab 4- 2 ~\jabcd -|- cd ab 4- be 4- ad 4- cd,
2 \jabcd ^.bc-\- ad,
be —2 ~\/abcd 4-ad^0»
(~\/bc — Vod)2>0.
Мы получили цепочку равносильных неравенств. Значит,
можно сделать вывод, что данное неравенство равносильно
очевидному неравенству (Vfe7-Vad)2>0 и потому оно верно
при указанных значениях переменных а, Ь, с и d.
160.	Дайте обоснование равносильности неравенств:
а)	5х —12<2 —2х и 5х4-2х<24~12;
б)	— 0,02х>10 и х<—500;
в)	^^4—L~f<3 и 5х2—-1 — 2х< 12;
г)	(18г4-1)(х24- 1,5)>4х(х24- 1,5) и 18x4-1>4х.
161.	Может ли нарушиться равносильность, если:
а)	в левой части неравенства 5х2— 4х— х2— х2 — х>0
привести подобные члены;
4	4
б)	в неравенстве 5x4-—^-----g--заменить нулем
х -|- 3 х -|- 3
4	4	•
в)	в неравенстве х24-6х4-12>х24-3 — х перенести чле-
ны, содержащие х, в левую часть, а свободные члены в
правую часть;
г)	обе части неравенства (\[2—1)(5х —1)>\^— 1 раз-
делить на \[2 — 1;
ч _	(х—1)(2х—1)	1
д)	обе	части неравенства	--5---->—	умножить
о	У
на 9;
е)	обе части неравенства ( — х2 — 6) (3 — 2х) < — х2 — 6 раз-
делить на — х2 —6 и изменить знак неравенства на про-
тивоположный?
162.	Объясните, какое преобразование было выполнено при
переходе от первого неравенства ко второму и может ли
оно привести к нарушению равносильности:
а)
б)
15х4~3х —4х>7 и 14х>7;
_1 А
12x4--—£>1 и 12х4-*4-4>1;
х —4
в) 7х — 11<х4~7 и 7х —х<114-7;
г) +	>94-^2 И 5х>9’
д) (х4-6) (х24- 11)>(2х — 4) (х24- 11) и х4-6>2х-4;
е) 12 (х —2)2 (5х —9)>3 (х —2)2 и 12(5х-9)>3.
71
163.	Равносильны ли неравенства:
а)	(Зх — 11)(2Д/3 — 3)>0 и Зх —11>0;
б)	(х2 — х — 2) (5 Д/2*—3 Д/6)>О и х2—х — 2<0;
в)	(7,2 —6х)(7х2 + 1)>0 и 7,2 — 6х>0;
г)	(16-х)(-х2-1)< — х2—1 и 16-х<1?
164.	Равносильны ли неравенства:
а)	х>2 и х2>4;	в) д/х^<6 и х<36;
б)	|х| <5 и х<5;	г) 5х —1>20 —| и 5х>20?
165.	Решите неравенство и докажите, что при решении была
построена цепочка равносильных неравенств:
а)	2 (5х + 1)>—4х;
В)-2(Зх-1)-*(
о	о
г) <Зх-1)(х + 2)<5 1	х(4_х).
О	о
166.	Докажите, что любое число является решением неравен-
ства:
а) 5х(х —11) —(6x4-4)(х—1)<7 — 53х;
б) (2х— 1) (2x4-1)-4 (х-|-1)4-16>0;
в) ^±1+±<^2>>х-1;
ч (Зх —8)2 . 16х-1	,
г> —г~>к
167.	Докажите, что множеством решений неравенства являет-
ся пустое множество:
а)	(6х-|-1)(х — 2) — (2х — 3)2<х —17;
б)	Зх(х-З) — (2х —1)(х —4)<-44;
в)	<»£±^_<!^<2x-1:
. (5-2х)(2»+5) (х-1)(х+1)
г)		g-----------5---->6.
168.	Из данных неравенств выберите такое, из которого сле-
дуют все остальные:
а) х<	2 -1 11 , X		:1,2, х<1	8 ;
б) х"	> —2,12,	ж>-2±	<N |со <м 1 Л н	, х>—2,02;
в) X"	>\/7, х>	► 2Д/2, х>	>1,5Д/3, х	>2,5;
г) х<	СЗД/Ь, х	< 5 д/sF, х	V н It- ОО V	8,2.
72
169.	Следует ли из первого неравенства второе:
а)	|х| <1, |х| <2;	в) |х| <9, х<9;
б)	|х| >3, х>3;	г) |х|<4, х<4?
170.	Следует ли:
а)	из неравенства х>5 неравенство х2>25;
б)	из неравенства х>—3 неравенство х2>9?
171.	Докажите, что при любых значениях а и b равносильны
неравенства:
а)	(х —а)(х — Ь)<0 и ~у<0;
б)	(х — а)(х — Ь)>0 и ——^>0.
X— О
172.	Равносильны ли при любых значениях а и b неравен-
ства:
а)	(х — а) (х — Ь)^0 и
б)	(х — а) (х—Ь)^0 и
173.	При каких значениях а:
а)	неравенство (х — а)2 (5х — 4) > (х — а)2 равносильно не-
равенству 5х — 4 >• 1;
б)	неравенство (х — а)2 (Зх — 4) < 2 (х — а)2 равносильно
неравенству Зх — 4 <2?
174.	При каких значениях Ь:
а)	неравенство   > 0 равносильно неравенству
х —2>0;
Зх — 1	„
б)	неравенство -----7<0 равносильно неравенству
(х —ьг
Зх —1<0?
175.	а) Составьте неравенство вида х2 4-рх 4-g < 0, равносиль-
ное двойному неравенству —2<х<3.
б)	Составьте неравенство вида ах2 4-Ьх 4-с < 3, равно-
сильное двойному неравенству 1<х<2.
176.	а) Составьте неравенство вида
ах2 -|- Ьх 4- с < х2 4- 2х 4- 3,
равносильное двойному неравенству 4<х<5.
б) Составьте неравенство вида
ах2 4- Ьх 4- с > х2,
равносильное двойному неравенству 1<х<2.
177.	Докажите неравенство:
а)	х2 —6x4-48 >1 Оу— у2;
б)	а2 — 8а 4- Ь2> 24b —250;
В) b64-3b44-b24-3>2b54-2b.
73
178.	Докажите, что при всех значениях переменных верно не-
равенство:
a) ab — а2Ь2^^-;
4
(а + Ь)2^ о + Ь-1
В' 8	2
б)	2а2 + Ь2 + с2>2а(Ь + с);
179.	Докажите, что:
а)	а- + b >(~4~)3 ПРИ °>°» 6>0, а=£Ь;
б)	а34-8Ь3>2а2Ь-|-4аЬ2 при а>0, Ь>0, а=£2Ь.
180.	Докажите, что при положительных значениях перемен-
ных верно неравенство:
. а + ь д /а2 + Ь2
а> — < \~Г~ ’
б) V(o+c)(b + d) <i(o + b)+|(c+d);
£i
г) a + b-|-c<3 V«2-bb2-b<-2.
181. Докажите, что:
a)	a + b + c^y/ab +л/Ъс -}~л/ас при a>0, Ь>0, c>0;
б)	х4-у^2 при х>0, у>0, ху = 1;
в)	(а4-1)(Ь4-1)(с-|-1)^8 при а>0, Ь>0, с>0, аЬс = 1;
г)	(а-Ь 1)(&+1)(п4-с)16abc при а>0, Ь>0,
с>0.
Глава III
УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 6.	РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
§ 7.	УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ
МОДУЛЯ
§ 8.	ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
§ 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
14. ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Уравнение вида Р (х) = 0, где Р (х) — мно-
гочлен стандартного вида, называют, как известно, целым ал-
гебраическим уравнением.
С отдельными способами решения таких уравнений вы
знакомы. Рассмотрим другие способы их решения. Для этого
докажем теоремы.
Теорема 1. Если число а является корнем многочлена
Р (х) = аох"4-а1хл~14-... 4-ап-1Х4-ап, то этот многочлен можно
представить в виде Р (х) = (х — а) Рх (х), где Рг (х) — много-
член, степень которого на единицу меньше степени многочле-
на Р(х).
Доказательство. Пусть а—корень многочлена Р(х).
Тогда Р(а) = О.
Составим разность Р(х)— Р (а) и преобразуем ее:
P(x) — P(a) = aoxn4-a1xn’’1 + ...4-an_1x + an —
— (аоа"4-а1а""14-...4-ая_1а4-ав)=
==а0 (хп —а")4-0! (х" 1 — ап	... 4-ая_! (х — а).
Воспользовавшись формулой разности и-х степеней, вы-
несем множитель х — а за скобки и представим выражение во
второй скобке в виде многочлена. Получим Р(х) —Р(а) =
= (х —a)Pj(x), где Рг (х) — многочлен, степень которого на
единицу меньше степени многочлена Р(х). Так как Р(а) = О,
то Р (х) = (х — а) Рг (х).
75
Заметим, что верна и обратная теорема: если многочлен
Р (х) можно представить в виде Р (х) = (х — а) Рх (х), то а —
корень многочлена. Действительно, Р (а) = (а — а) Pi (а) = 0.
Обычно эту теорему формулируют иначе: для того чтобы
многочлен делился без остатка на двучлен х — а, необходимо
и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена. Эту тео-
рему называют теоремой Безу (Этьенн Безу — французский
математик XVIII в., основные труды которого связаны с выс-
шей алгеброй).
Теорема 2. Если уравнение аох"-|-а1хл_1 4-...-j-an_ix +
-f-an=O имеет целые коэффициенты, причем свободный член от-
личен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут
быть только делители свободного члена.
Доказательство. Пусть а — целый корень этого урав-
нения, отличный от нуля (так как ап=£0). Тогда верно
равенство
аоап 4- а}ап 1 4-... 4- ап__ га 4- ап = 0.
Отсюда
— ап = а (аоап~14-atan 2 4-... + ап_
Число ап — целое, и сумма чисел в скобках также целое
число (так как сумма и произведение целых чисел — целое
число), причем отличное от нуля, так как a„5^0.
Следовательно, —ап (а значит, и ап) делится на а, т. е. ко-
рень а уравнения — делитель свободного члена.
Пример 1. Найдем целые корни уравнения
2х4 4- Xs — 9х2 — 4х — 4 = 0.
Делителями свободного члена являются числа — 1, 1,
— 2, 2, —4, 4.
Подставляя эти числа в уравнение, находим, что левая
часть уравнения обращается в нуль лишь при х = — 2 и
х — 2. Значит, это уравнение имеет только два целых корня:
Xi = — 2 и х2 = 2.
Пример 2. Решим уравнение
х3 — 6x4-5 = 0.
Если это уравнение имеет целые корни, то они являются
делителями свободного члена, т. е. содержатся среди чисел
-1, 1, -5, 5.
Проверкой убеждаемся, что число 1 — единственный
целый корень этого уравнения. По теореме Безу много-
член х3 — 6х 4- 5 можно представить в виде произведения
(х—1)(х24-рх4-9).
Найдем коэффициенты р и q.
Произведение (х —1)(х24-рх4~?) должно быть тождествен-
но многочлену х3— 6x4-5. Нетрудно сообразить, что свобод-
ный член произведения-многочлена стандартного вида ра-
вен — д. Отсюда —<7 = 5, т. е. q=—5. Остается определить
коэффициент р. Так как в многочлене х3 — 6x4-5 отсутствует
76
член, содержащий г2, то коэффициент при нем равен нулю.
Значит, —1 -|-р = 0, т. е. р = 1.
Итак, второй множитель равен г2-}-г — 5.
Приравняв его нулю, решим уравнение
х2 + х — 5 = 0.
Имеем	, х2 = -7—.
2	Z 2
Итак, данное в условии уравнение мы представили в виде
(х —1)(х2-}-х— 5) = 0 и нашли его корни.
~	-i-ViT -i + ViT
Ответ: Xj = l, х2=--—, х3 =-------—•
Заметим, что после того, как мы нашли корень, равный 1,
разложение многочлена х3— 6х-|-5 можно осуществить груп-
пировкой.
Рассуждать можно так:
Нам известен множитель х — 1. Произведем группировку,
разбив многочлен на пары, каждая из которых содержала бы
множитель х— 1. Так как первый член многочлена х3, то надо
добавить член —х2. Получим первую пару х3 — х2, в которой
можно выделить множитель х—1. Далее, поскольку члена,
содержащего — х2, нет, то надо добавить х2. Следующая пара
должна быть х2 — х. Значит, член —6х надо разбить на два:
— х — 5х. Третья пара — 5х + 5 также содержит множи-
тель х — 1.
Итак, имеем:
х3 — 6х -|- 5 = (х3 — х2) (х2 — х) — (5х — 5) =
= х2 (х— 1)Н-х (х — 1) — 5 (х— 1) = (х — 1) (х2-|-х — 5).
Пример 3. Решим уравнение
х4-х3-5х2 + Зх + 2 = 0.
Делители свободного члена — числа —1, 1, —2, 2.
Подставляя эти числа в уравнение, находим, что хг = 1,
х2= — 2.
Значит, левую часть уравнения можно представить в виде
(х — 1) (х2) (х2-\-рх-\- q) или (х2-|-х — 2) (х2-|-рх-|-д), где р и
q — неизвестные нам числа. Методом неопределенных коэффи-
циентов находим, что — 2g = 2 и р-|-1= — 1. Отсюда q = — 1,
Р=— 2-
Приравняв нулю трехчлен х2 — 2х — 1, найдем остальные
корни данного уравнения:
х2 — 2х — 1 =- 0,
х3—1 д/2^, х4—1 \/2\
Ответ: Xj = l, х2=—2, х3 = 1—д/2\	= 1"\/2~.
Мы рассмотрели примеры уравнений, у которых в левой
части находится многочлен с коэффициентом 1 при старшем
77
члене. К такому виду можно привести уравнение и в том слу-
чае, когда старший коэффициент отличен от 1.
Пусть, например, в уравнении
ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + е = О
с целыми коэффициентами а ф 1.
Умножим обе части этого уравнения на о3.
Получим уравнение
а4х4 + ba3x3 -h са3х2 + da3x + еа3 — О,
равносильное данному.
Введем новую переменную у —ах. Получим:
У4 + Ьу3 + асу2 4- a2dy + а3е = 0.
Решив это уравнение рассмотренными выше способами,
найдем его корни yt, у2, у3, у4 (если оно имеет четыре различ-
ных корня). Отсюда получим, что
Решение некоторых уравнений может оказаться достаточ-
но простым, если при их решении воспользоваться свойством
монотонности функций. Покажем это.
Пример 4. Решим уравнение:
а) х5 + 3х-4 = 0; б) х4 + (х-1)4 = 97.
а)	Левую часть уравнения х5-|-Зх— 4 = 0 можно рассмат-
ривать как сумму двух функций у = х5 и у = 3х — 4. Обе функ-
ции определены на множестве R и являются возрастающими.
Следовательно, их сумма — возрастающая функция. А так
как всякая монотонная функция каждое свое значение мо-
жет принимать лишь при одном значении аргумента, то и
значение, равное нулю, она может принимать лишь при од-
ном значении х. Значит, такое уравнение если имеет корень,
то только один.
Испытывая делители свободного члена, находим, что
х=1. Согласно сказанному выше этот корень единственный.
Ответ: х=1.
б)	Функции у = х4 и у = (х—I)4 определены на множестве
R, но они не являются на множестве R монотонными.
Учитывая, что обе функции у — х4 и у = (х — I)4 на проме-
жутке (— оо; 0] убывают, а на промежутке [1; + оо) возраста-
ют, разобьем множество R на три части: (— оо; 0], [0; 1]
и [1; -J—оо). На множестве (—оо; 0] функция i/ = x4 + (x — I)4
убывает. Поэтому при х^0 данное уравнение может иметь
только один корень. Нетрудно сообразить, что х} ——2. На
промежутке [1; 4-оо) функция у = х4-\-(х — I)4 возрастает.
Так же подбором находим х2 = 3. На промежутке [0; 1], где
функция у = х4-}-(х — I)4 не является монотонной, корней нет,
так как если 0<х<1, то х4^1 и (х—-1)4<Л, а значит,
78
Следовательно, данное уравнение имеет только два корня:
Xj = —2 и х2 = 3.
Приведем для сравнения другой способ решения уравне-
ния х4 4-(х — I)4 = 97 (без использования свойства монотонно-
сти функций).
Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:
1Г=(ж_>+4у+(ж_4_*у.
Обозначив х—— буквой у, далее получим:
= (у2±у+^)2+(у2-у+^)2=у4+у2+^+2у3+^у2+^у+
+У*+У2+i - 2s’+| у2 - 4 у = 2у*+3/+1.
Имеем биквадратное уравнение
2S4 + 3S2+1 = 97,
ИЛИ
Отсюда
2/+ 3/-96 4 = 0.
О
у2
784
— 3±28
4
Учитывая, что i/2^0, i/2 = -y-, т. е. уг= — , Уг — -^* Так как
1
у = х—— , получаем совокупность двух уравнении:
15	15
Х~2 = -2 ИЛИ х'~2=2’
х——2 или х — 3.
Рассмотрим метод решения возвратных уравнений.
Уравнение четвертой степени
ох4 -|- Ьх3 4- сх2 4- dx 4- е = 0
называют возвратным, если оно имеет вид
ах4 4- Ьх3 4- сх2 4- kbx 4- k2a = 0,
где k — не равное нулю число.
При k — 1 возвратное уравнение принимает вид
ох4 4- Ьх3 4- сх2 4- Ьх 4- а = 0.
Такое уравнение называют симметрическим.
Способ решения возвратных уравнений четвертой степени
рассмотрим на примере.
Пример 5. Решим уравнение
Зх4 — 5х3 — ЗОх2 — 10х 4-12 = 0.
79
Это уравнение возвратное, так как оно имеет вид
Зх4 —5х3 —30х24-2-( —5) х-|-22-3 = 0.
(Здесь Л = 2.)
Разделим обе части уравнения на х2. Это можно сделать,
не нарушая равносильности уравнений, так как х = 0 не явля-
ется корнем уравнения. Получим:
Зх2 —5х —30 ——+^| = 0.
х х2
Сгруппируем члены уравнения: первый с последним, вто-
рой с предпоследним — и вынесем в каждой группе общий
множитель за скобки:
з(*2+^)-5(*+|)~30=0-
2
Введем новую переменную, обозначив сумму х4-~ бук-
I 2 ГГ
вой у, т. е. положим у = х~]—. Тогда
i/2 = (x-h|y = x2 + ^-h4.
Отсюда
x2 + 4 = i/2 —4-
X
Произведя замену, получим уравнение
3(f/2 —4) —5f/ —30 = 0,
или
Зу2 — 5у~ 42 = 0.
г»	-	о	14
Решив это уравнение, найдем его корни: уг =—3, У2~~тг •
О
В результате имеем совокупность двух уравнений:
.2 о	. 2	14
х4—=—3 или х4—= —.
х	х 3
Приведя их к целому виду, получим:
Отсюда
х2 + Зх + 2 = 0 или Зх2—14x4-6 = 0.
1 о 7-УзГ	7 + д/зГ
Xj= —1, х2=— 2, х3=-—, х4 =-j—
182.	Найдите целые корни уравнения:
а) 2х3 —х2—7х4-6 = 0; б) х4 — 2х3 — 9х24-2х4-8 = 0.
183.	Решите уравнение:
а)	х3 —Зх —2 = 0;	д) х4-11х34~35х2-31х-6 = 0;
б)	х3 —7х —6 = 0;	е) х4 —10х2 —5х-{-14 = 0;
в)	х3 4-х —10 = 0;	ж) 2х3 —9х24-10х —3 = 0;
г)	х3 —6х24-9х —2 = 0; з) Зх4 — 2х8 — 8х2 — х 4-2 = 0.
80
184.	Составьте уравнение, представив его в виде Р (х) = 0, где
Р (х) — многочлен стандартного вида с целыми коэффи-
циентами, зная его корни:
а)	1; 2; 3; в) -2; 0; 2,5; д) 1; 1+Д/5; 1-Д/б;
—1 1 к \ оо е. а \ о л 2—VF 2-|-Д/з”
б)	— 1; 1; 5; г) —3; 3; —5; 6; е) —3; 4; —; —4х— .
3	о
185.	Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициен-
тами, зная лишь один из его корней:
а) х, = 2—уЗ; б) х,=-----= ; в) х1=-~—.
2-V^ w+w
186.	Составьте уравнение четвертой степени с целыми коэф-
фициентами, зная два его корня:
а) х, = 3-Д/2, х2 = 1+^2; б) хг=А=^, х2=-Ц^ •
А	4
187*. Зная, что число 3 — является корнем уравнения
х3-|-ах2Ч- 13х-{- Ь=0, гДе ° и b — целые числа, найдите осталь-
ные корни этого уравнения.
188.	Докажите, что уравнение ах8 4- Ьх2 4- Ъх 4- а — 0 имеет ко-
рень, равный —1.
189.	Решите уравнение:
а) х3 — 5х2—5x4-1 = 0; б) 2х3 —Зх2 — Зх-|-2 = 0.
190.	Используя свойство монотонности функций, решите урав-
нение:
а)	х54-х34-2х-4 = 0;	в) х54-(х-3)5 = 31;
б)	х6+2х3 + Зх = 54;	г) (х + |)3 + (*~4)3= 189.
191.	Решите уравнение:
а) х(х4-1)(х4-2)(х4-3) = 24; б) х44-(х-1)4= 17.
192.	Докажите, что уравнение является возвратным, и реши-
те его
а)	х4 —2х3 —9х2 —6х4-9 = 0;
б)	х44-г3-10х24-5х4-25 = 0;
в)	2х4 — х3 — 7х2 — 2х-|-8 = 0;
г)	Зх44-2х3 — 22х24-6х4-27 = 0.
193.	Решите уравнение:
а) х4 — 2х3 — х2 — 2x4-1=0; б) х4 —5х34-6х2 —5x4-1 = 0.
194.	Известно, что каждое из уравнений
х24-ах-|-Ь = 0 и x2-|-fex-|-a = 0,
где имеет корни. Найдите их общий корень.
195.	Если корнями уравнения ax2-j-bx-j-c являются числа хг
и х2, то корнями уравнения х2 4- Ъх 4- ас = 0 служат числа
ахг и ах2. Докажите это.
81
Используя это свойство, найдите (устно) корни урав-
нения:
а)	2х2-5х + 3 = 0;	в) Зх2-7хН-4 = 0;
б)	Зх2 — 5х-|-2 = 0;	г) 4х2 - 7х-|-3 = 0.
196.	Известно, что числа х1г х2, х3 — корни уравнения
x3-|-ax2-|-fex-|-c = 0. Докажите, что
xi + *2 + *з = — а, *1*2*3 = — с.
197.	Составьте уравнение третьей степени, зная его корни:
a) Xj —1, х2 = 3, х3 = 5; б) хг——1, х2 =—3, х3 = 4.
198.	Докажите, что при любом значении а уравнение х4 +
4- а*3 6х2 — ах — 7 = 0 имеет корни — 1 и 1.
199.	Решите уравнение относительно х:
а)	х4 — (а2 +1) х2 + а2 = 0;	в) х3 — 2х2 — ах4~2а = 0;
б)	х4 —(2п + 1)х2 + 2л = 0;	г) x34-3x2-|-fex-|-3fe = 0.
200*. Решите уравнение х4 — х3— 2ах2 4- ах 4- о2 = 0:
а) относительно а; б) относительно х.
15. РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Как известно, рациональным уравнением называют урав-
нение, у которого левая и правая части являются рациональ-
ными выражениями. Если левая или правая часть рациональ-
ного уравнения является дробным выражением, то такое
уравнение называют дробно-рациональным уравнением.
Дробно-рациональное уравнение можно представить в виде
Р (х)
----= 0, где Р (х) и Q (х) — многочлены.
Q(x)
,7	р (х) Л
Уравнению =0 удовлетворяют те и только те значения
х, при которых Р (х) = 0 и Q (х) =/= 0. Поэтому уравнение
Р(х) п	(Р(х) = 0,
----= 0 равносильно системе J
Q(x)	(Q(*)=/=0.
Дробно-рациональное уравнение можно решать так: приве-
сти обе части уравнения к виду----= 0, затем решить урав-
Q (х)
нение Р (х) = 0 и из его корней исключить те, при которых
Q(x) = 0.
Однако на практике иногда поступают иначе: приводят обе
части уравнения к общему знаменателю, умножают обе части
уравнения на этот знаменатель, затем решают получившееся
целое уравнение и, наконец, исключают из его корней те, ко-
торые общий знаменатель обращают в нуль.
Пример 1. Решим уравнение
Xs — 7х — 6	X — 3 ' х2 + Зх + 2 *
82
Имеем:
______35________ 4	. Зх—1
(х —3)(x24-3x4-2) ~ з ”х24-Зх-Ь2 ’
Общий знаменатель: (х — 3) (х2 4- Зх + 2).
Далее имеем:
35 = 4 (х2 4- Зх 4- 2) 4- (х — 3) (Зх — 1),
35=4х2 4- 12х 4- 8 4- Зх2 - 10х 4- 3,
7х24-2х —24 = 0,
 -1±У14-168  —1±13
5
Отсюда хх = — 2, х2=1у.
При х = — 2 общий знаменатель (х — 3) (х2 4- Зх 4- 2) обра-
щается в нуль. Значит, число —2 не является корнем исход-
ного уравнения. При х = 1 у выражение (х — 3) (х2 4-3x4-2) от-
5
лично от нуля. Значит, число 1 у — корень уравнения.
Ответ: 1 .
7
Рассмотрим некоторые приемы решения дробно-рацио-
нальных уравнений.
Пример 2. Решим уравнение
/х4-1\2	/х—1V 5 (х2—1)
\x4-2/ ' Vx —2/ — 2”(Х2 —4) *
Если положить и=-г-- , v =----- , то получим уравнение
X -р	X — а
2.2	6
ir-f-п =— uv.
А
Перепишем это уравнение в виде
2и2 — 5ui?4-2i>2 = 0.	(1)
Очевидно, что х=1 не является корнем исходного уравне-
ния, значит, v Поэтому мы можем обе части уравнения
(1) разделить на v2, не нарушив при этом равносильности
уравнения. Выполнив деление, получим уравнение
_ / U \ 2	— / и\ . ~	—
2 ( —) —5(-)4-2 = 0.
Решив это уравнение относительно —, найдем,
и 1
или — = — .
v 2
Так как
и о
что — = 2
V
и х4-1 . х—1 (х4-1)(х — 2) X2 —X —2
v~~ х + 2' х — 2~~ (х-Ь2) (х—1)
совокупность двух уравнений:
х2-х—2 о
—-----------------------= 2 или
то
имеем
2 *
83
Решим их:
х2 — х — 2 = 2х2-|-2х— 4 или 2х2 —2х — 4 = х2-|-х— 2,
х2 + 3х — 2 = 0 или х2 — Зх — 2 = 0.
Получим:
-3 —VTF	—3 + V17-	З — УТГ	З + УТт"
xi =---f—, х2 =-----х3=—f— , х4 = —— .
Каждое из этих чисел отлично от —2 и 2. (При х= —2 и
х = 2 левая и правая части не имеют смысла.) Поэтому най-
денные числа являются корнями данного уравнения.
Пример 3. Решим уравнение ----- +х--= 1.2.
(х2 —5х-|-1)2
Легко проверить, что число 0 не является корнем уравне-
ния. Разделим числитель и знаменатель дроби, расположен-
ной в левой части уравнения, на х2. Получим уравнение, рав-
носильное данному:
Введем новую переменную, положив х-|- — — у-
У __ 6
(у- 5)2	5 *
Отсюда
6(s/ —5)2 = 5s/, 6s/2 —65s/+ 150 = 0,
65 ±25
12	’
_ 10	__ 15
i/i—-3-’ У2 — ~2~-
Имеем совокупность двух уравнений:
, 1	10	, 1	15
хн— = -=- или хЧ---= -^-,
х 3	х 2
Зх2 —10х + 3 = 0 или 2х2—15х-|-2 = 0.
Решив эти уравнения, найдем все корни исходного урав-
нения:
1 о 15 —V209-	15 + V209-
*1=^’ *2 = 3, х3 =---------, х4 =--------.
Пример 4. Решим уравнение
X2-ь2x4-2	X24-4х4-6 _ X24-6x4-12	х24-8x4-20
х4-1	х4~2 ~ х-ЬЗ	х-|-4
Выделим в числителе каждой дроби квадрат двучлена:
(х±1)24-1  (х±2)24-2 = (х4-3)24-3  (х4-4)2±4
х4-1	*4-2	х±3	х4-4
84
Исключим из каждой дроби целую часть:
*+1+^-(*+2)-42=*+3+7Тз--(*+4)-7Т4-
Выполним упрощение и представим уравнение в виде
-2____2__1=_3____4___
x-f-1	х-{-2	x-f-3	x-f-4
х ____ х
x2 + 3x + 2~ х2 + 7х+12 *
Отсюда
х (х2 + lx +12) - х (х2 + Зх 4- 2) = О,
х (4x4- Ю) = 0,
Х] = 0, х2 = —2,5.
Так как хг и х2 отличны от чисел — 1, —2, —3, —4, то 0 и
— 2,5 являются корнями данного уравнения.
Пример 5. Решим уравнение
-2-+^-+-8-+-2_ =0.
х— 1 ' х — 2 'х—З'х—4
Сложив попарно дроби: первую и последнюю, вторую и
третью, получим:
2х —5	3 (2х —5)	0
(х—1) (х —4) ' (х —2) (х —3)
2х —5	3(2х —5)
х2 — 5х 4- 4 х2 — 5х 4 6
Отсюда
(2х —5) (х2 —5x4-64-Зх2 —15x4-12) = 0,
(2х - 5) (4х2 - 20х 4- 18) = 0,
2х — 5 = 0 или 4х2 — 20х-|- 18 = 0,
хг = 2,5 или 2х2 —10x4-9 = 0,
5 —д/т”	5 + д/т"
Х2 = —, х3=-^-.
Числа хп х2, х3 отличны от 1, 2, 3 и 4.
гл	ок 5 —д/т"	5 4- д/т"
Ответ: Xj = 2,5, х2 = ———, х2 = —	 .
2	2
Пример 6. Решим уравнение х2 = 2^_| •
__2
Дробь 2 з_5 при х = — 1 равна 1. (Это справедливо для лю-
бой дроби вида , где а или Ъ не равно нулю.) Значит,
— 1 — корень уравнения.
Приведя уравнение к целому виду, получим:
2х3 —5х2 — 5x4-2 = 0, (х+1)(2х2 —7х-|-2) = 0.
7—д/зз" 7+д/зз~
Х1=-1, х2 =---, х3 =-----
Отсюда
4
85
201. Решите уравнение:
12	_ 3________2х .
а' х3 + х + 2 — х + 1 х2 —х4~2 ’
1__। Зх	1
' х-2^ х2-х-3'Г х3-Зх2-х + 6
14	3 _	х —3	.
В)	х3—7х-|-6 ' х4~3 ~~ х2 —Зх-|-2 *
х2 + 3	2	_	10
Г) х24-1 ' х2 —4 ~ х4 —Зх2 —4 ’
202.	Найдите корни уравнения: а>зш+8тг==^ 61 /*—3\2_	6x2	__ *—3 . ’ \ х ) (х + 3)2 х + 3 ’ ч /х-5\2	/х-1 \2	16(х2-6х + 5) В> U + 2?  57 ( х ) ~ хЧ2х	' г) (х-5? -1 (Х + 1)3	7-
203.	Найдите целые корни уравнения: .	х3-х	Л	. (х2 —I)3 . х2-1	2х4 —4х24~2 а)	(х‘-2х-1)3	6=	»)-ж. -+ х—	> лх Х34~4х	А	ч х4 4-Х2 4-1	6х б)	(Л-5х + 4)^“4;	Г)	-? + 1-
204.	Решите уравнение: V х2 —2x4-2 . х2 —8x4-17	х2 —4x4-5 . х2 —6х-|-10 а>—ГИ	1	7=4	7=2—I	7=3—; х2 4-10x4-24 _ X2 4-12x4-35 _ х2 4- 14x4-48 . х2 4-16x4-63 _ 0 '	х4-5	х4-6	х4-7	'	х4-8
205.	Найдите корни уравнения: )	1	1	11	1	1	- х—1 х —4 х — 2 х —3’ б) 1	L_=_J	1 ' х-|-2	х-|-4	х-|-6	х-|-8
206.
Решите уравнение:
.	2 Зх — 2
а	) Х = 27=3 ;
б	)	.
7	3x4-5
207*. Решите уравнение:
а) х3+±=1з(х4-1);
в) *3-7=2(*-t)-
86
208. Решите уравнение	——----1--------1———I- 1=0.
(х+1)2	(х+1)3 1 х+1 '
1+X 1— X
209. Решите уравнение 1.~х х ? 
14-х	14-х
1 —X
16. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Рациональным неравенством, так же как и рациональным
уравнением, называется неравенство, левая и правая части
которого являются рациональными выражениями.
Например, неравенства
2х4-|-5х3-|-х2-|-Зх-|-1<6х3-Зх2-х-4	(1)
и
х2 —7	1	х-1-2
х2+1	х-3 ~	(2)
рациональные неравенства.
Если все члены в неравенствах (1) и (2) перенести из пра-
вой части в левую и выполнить соответствующие тождествен-
ные преобразования, то получим неравенство
2х4 — х3 + 4х2 4- 4х — 3 < 0,
равносильное неравенству (1), и неравенство
х34-2х2-7x4-26	0
х3 —Зх24-х —3
равносильное неравенству (2).
Вообще всякое рациональное неравенство с одной перемен-
ной х можно заменить равносильным неравенством, левая
Р (х)	п / \
часть которого имеет вид , а правая — нуль, где Р (х) и
Q (х) — многочлены.
В частности, при Q (х) = а, где а — число, не равное нулю,
мы получим целое неравенство, т. е. неравенство, левая часть
которого — многочлен.
р (х)
Неравенство	<С 0 равносильно неравенству Р(х) • Q (х) < 0,
так как те значения х, при которых Р (х) и Q (х) имеют значе-
ния разных знаков, являются решениями как неравенства
Р (х)
----<0, так и неравенства Р (x)-Q (х)<0. Аналогично равно-
Р (х)
сильны и неравенства >0 и Р (х)• Q (х)>0. Как первому,
так и второму неравенству удовлетворяют те значения х, при
которых Р (х) и Q (х) имеют значения одинаковых знаков.
87
Р (х)	Р (х)
Поэтому при решении неравенств вида-----<0 и----->0
Q (х)	Q (х)
их обычно заменяют соответственно неравенствами вида
P(x)-Q(x)<0 и P(x)Q(x)>0.
Таким образом, решение дробно-рациональных неравенств
можно свести к решению целых неравенств.
Вы знаете из основного курса, что если функция задана
формулой
/(х) = (х — х1)(х — х2)...(х — х„),
где хп х2, хп — не равные друг другу числа, то в каждом
из промежутков (—оо; xj, (х^ х2), ...» (х„; +°°) функция f
сохраняет знак, а при переходе через нуль функции ее знак
изменяется на противоположный.
Воспользовавшись этим свойством, легко определить про-
межутки, в которых функция f положительна и в которых
она отрицательна, т. е. решить неравенство f (х) > 0 или
f(x)<0.
Заметим, что неравенство вида Р (х)>0 можно свести к не-
равенству вида Р(х)<0, если обе части неравенства Р(х)>0
умножить на — 1.
Рациональные неравенства решают обычно методом интер-
валов, с которым вы познакомились в основном курсе. Сдела-
ем некоторые уточнения.
Многочлен — непрерывная функция, и если он имеет не
равные друг другу корни, то при переходе через нуль функ-
ции ее знак изменяется на противоположный. Поэтому если
найти корни многочлена (т. е. нули функции), то легко опре-
делить и промежутки, в которых функция положительна и в
которых она отрицательна, т. е. решить неравенство Р(х)>0
или Р(х)<0.
Поясним это на примерах, воспользовавшись графиком
функции.
На рисунке 34, а изображен график функции /(х) =
= х3— Зх2 — х + З, которую после разложения многочлена
х3 — Зх2 — х-|-3 на множители можно записать так: /(х) =
= (х+1) (х-1) (х-3).
Функция f обращается в нуль в точках х} =— 1, х2 = 1,
х3 = 3, т. е. в этих точках график функции пересекает ось х.
Изменение знака функции происходит при переходе через
нуль функции. Поэтому в промежутке (—оо; —1) функция
сохраняет отрицательные значения, в промежутке (—1; 1) —
положительные, в промежутке (1; 3) — снова отрицательные
и в промежутке (3; + оо) — положительные.
На рисунке 34, б показан график функции g(x) = x3—
— Зх2 + 4, которую можно представить в виде g(x) =
= (*+1)(*~2)2.
Функция g обращается в нуль в двух точках: при х= — 1 и
х = 2. Однако в точке 2 график функции не пересекает ось х,
88
а касается ее. Поэтому при переходе через нуль функции
х = 2 знак функции не меняется.
Дело в том, что число 2 — это так называемый двойной ко-
рень (или кратный корень). Можно считать, что многочлен
г3 — Зх2 + 4 имеет три корня: хг =—1 и два равных корня
х2 = х3 = 2. Значит, функция g в промежутке (— оо; —1) при-
нимает отрицательные значения, а в промежутках (— 1; 2) и
(2; + оо) — положительные значения.
Рассмотрим примеры решения неравенств методом интер-
валов.
Пример 1. Решим неравенство
х4 — Зх3 + х2 + Зх — 2<0.
Испытывая делители свободного члена — 2, находим кор-
ни многочлена: хг= — 1, х2 = х3 = 1, х4 = 2. В результате полу-
чаем неравенство
(х +1) (х-2) (х- 1)2<0,
равносильное данному.
Это неравенство равносильно системе
(х+1) (х-2)<0,
х^1,
так как множитель (х—I)2 при х^1 положительное число.
Поэтому если его опустить, то знак неравенства не изменится.
Неравенству (х-|-1)(х — 2)<0 удовлетворяют числа, при-
надлежащие промежутку (— 1; 2). Исключив из этого проме-
жутка число 1, получим окончательный ответ: (— 1; 1)(J(1; 2).
89
Пример 2. Решим неравенство
Зх34-бх2 —х4-2<0.
Целые корни многочлена, записанного в левой части нера-
венства, могут содержаться среди чисел —2, —1, 1, 2.
Подставляя их в многочлен, находим, что целым корнем
является лишь число —2. Значит, многочлен Зх34-5х2— х + 2
можно представить в виде (г+ 2) (ax2-j- bx-j-c). Отсюда нахо-
дим, что а = 3, Ь =— 1, с=1.
Значит, неравенство равносильно неравенству
(х + 2)(3х2 —х + 1)<0.
Найдем дискриминант D трехчлена Зх2 — х 4-1: D = —11.
Так как Р<0 и коэффициент при х2 положителен, то
Зх2 — х4-1>0 при любом x£R.
Поэтому данное неравенство равносильно неравенству
х + 2<0.
Его решения составляет множество (— оо; — 2).
Пример 3. Решим неравенство
х3 4- 4х2 — х — 4	Q
х3-3х2 + х-3
Это неравенство равносильно неравенству
(х3 + 4х2 — х — 4) (х3 — Зх2 + х — 3) > 0.
Разложив каждый многочлен произведения в левой части
на множители, получим неравенство
(х+4) (х + 1) (х-1) (х-3) (х2 + 1)>0.
Так как х24-1>0 при любом х, множитель х24-1 можно
опустить:
(х + 4) (х +1) (х-1) (х--3)>0.
Отметив на координатной прямой (рис. 35) нули функции
i/ = (x + 4) (х-|-1) (х — 1) (х — 3), найдем знаки этой функции в
каждом из промежутков: (—оо; —4), (— 4; —1), (— 1; 1),
(1; 3), (3; +оо).
Ответ: (—оо; —4)U( — 1; 1)11(3; 4~ °°)«
Пример 4. Найдем область определения функции
Рис. 35
90
Рис. 36
Функция f определена на множестве тех значений х, при
которых подкоренное выражение неотрицательно, т. е. если
х3 —4х2 + 2х п
х2 —4
Это неравенство равносильно системе
| (х3 — 4х2 -|- 2х) (х2 —- 4) О,
I х2 — 4=А0.
Решим неравенство (х3 —4х2-|-2х) (х2 —4)^0, разложив на
множители многочлены х3— 4х2-|-2х и х2 — 4:
x(x-(2-V2))(x-(2 + V2))(x + 2)(x-2)>0.
Отметим на координатной прямой точки 0, 2 — д/2\
2-\-У/2, —2 и 2, вычислив приближенно: 2 — \f2 «2—1,4«
«0,6, 2 + д/2^«2 + 1,4«3,4 (рис. 36).
Неравенству удовлетворяют числа, принадлежащие мно-
жеству [-2; 0]U[2-V2; 2]U[24-V2; +«>).
Исключив из этого множества числа —2 и 2, получим:
*>(П = (-2; 0]U[2-Д/2; 2)U[2 + V2; Ц-оо).
210.	Укажите два каких-нибудь целых решения неравенства:
а) х2-7х + 3<0;	в) 22х±1 >0;
X — X + 1
г2_о
б)	х3 + х + 4>0;	г) _—<о.
X — ОХ о
211.	Докажите, что множеством решений неравенства:
а)	а (2х — х2 — 3)>0 является (—оо; + оо), если а<0,
и пустое множество, если а>0;
б)	а (х4-|-х2-|- 1)>0 является (—оо; -|-оо), если ai>0, и
пустое множество, если а<0.
212.	Решите неравенство:
а)	(х —5) (2х-|-3)<(х + 3) (х —4); г)	;
^Х	X -г а
б)	(х —2) (х2+3)>2х (2 —х) —12; д)	
* + 3 X2 4- 1
. х2 — 5	Зх — 3
в>	— >-7-;
91
213.	Решите неравенство:
а)	(х — 1) (х-|-5) (х2 — 4х-|-4)<0;
б)	(х-|-2)(х — 7) (г2 — 6хН-9)>0;
в)	(х-5)(х + 8)(х2 + Зх + 3)<0;
г)	(х2 — х+1)(2х2 — Зх + 2)<0.
214.	Найдите область определения функции:
a)	г/ = \'(х 6) (х —7)(х —8);
б)	z/== \/х (х +1) (х — 7) (х— 10) ;
в)	у = \]х3 — 9х2 + 26х — 24 ;
г)	1/ = Д/х4 —2х34-6х2 + 8х —40 .
215.	Решите неравенство:
(х —5) (х24-х—1) а) 	<С и: (х + 2)(х2-1)	х2 —6х—1 В) 4	7г2. х — 7х 4“ 12
б) 	Х2 + 4Х~12	^>0; (х- 1) (х2-х —7)	ч х3 — Зх2 —5х4~15_ Л г) 	л	Ъ х4 —11х2 + 28
Составьте рациональное неравенство, решения которого
образуют множество:
а)	( — 2; 3)U(7; 4-оо); б)	(-оо; 2]U[7; 10];	в) [-5; 0]U(3; + оо); г) 0.
217. Найдите область определения функции:
ч	~\ /х2 —5x4-6 у= • Л /9х3 —24х24-13х —2 б> *= V	х-5	,	Л /	2х —3	. в/	у X3 —11х24-35х-25 ’ ’ г> У-Д/х’-х’-х-г • _ Л      —.а, — ~Л—4
218.	Докажите, что множество решений неравенства х4—
— 8х3-}-24х2 — 32х-|- 16^0 состоит из одного числа.
219.	Сколько решений имеет неравенство
(х2 - 5х 4- 6)2 < 0?
220.	Задайте формулой функцию вида у = х3 Ьх2 -f- сх 4- d,
которая положительна лишь на множестве:
а) ( — 2; 2)U(4; +оо); б) (-3; 3)U(3; 4-оо).
221.	Найдите целые решения неравенства:
а) (х2 — 9) (х2 — 2х — 35)<0; б)	<0-
222*. При каком значении параметра а решения неравенства
х3-|- 11х>п (х2 +1) образуют множество (1; 2)U(3; -|- оо)?
223. Турист на байдарке проплыл по течению реки 6 км, тут
же повернул обратно и проплыл против течения реки
4 км. С какой собственной скоростью должен плыть ту-
рист, чтобы на все путешествие затратить не более часа,
если скорость течения реки равна 2 км/ч?
92
§ 7. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
17.	РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ
Чтобы найти длину отрезка координатной прямой, надо из
координаты его правого конца вычесть координату левого
конца. Например, длина отрезка АВ, т. е. расстояние между
точками А и В (рис. 37), равна 4 —( — 2) = 6.
Если А (а) и В (Ь) — две точки координатной прямой и не-
известно, какая из них находится правее другой, то расстоя-
ние между ними равно \Ъ — а|. Действительно, пусть точка
В (Ь) правее точки А (а). Обозначим расстояние между точка-
ми А и В буквой d. Тогда d = b — a=\b— а|. Если точка
А (о) правее точки В(Ь), то d = a — b=\b — о|, так как
|Ь — а| = |а — Ь|. Если же точки А (а) и B(fe) совпадают, то
d= |fe-а| =0.
Итак, расстояние между двумя точками координатной пря-
мой равно модулю разности координат этих точек.
Используя понятие расстояния между двумя точками ко-
ординатной прямой, можно показать, что неравенства
|х—	и с —тп^х^с-|-т, где тп>0, равносильны.
Действительно, пусть М — произвольная точка отрезка АВ,
имеющего длину 2т с серединой в точке С (рис. 38). Тогда
расстояние до точки М от середины отрезка (точки С) не боль-
ше чем m(MC^LAC). Используя знак модуля, это можно за-
писать так: |х— c|^m. С другой стороны, очевидно, что
с — т<^х^.с-\-т.
Аналогично можно показать, что неравенство | х — с | > т
(рис. 39) равносильно совокупности неравенств х>с-\-т и
 ।	•	1-<	।--1— ' । — • —i->-
-3-2-10123^5 X
Рис. 37
т	т
г	*	Ж	'
— -♦ —" • ' —	— >
А(с-т)	С (с) М(х) В(с+т)	к
Рис. 38
т т
»	-- •	—	.. и >
Мг(х) А(с-т) С(с)	В(с+т) М^х) X
Рис. 39
93
0 1	3	5
Рис. 40
-7
-2	0
Рис. 41
3	X
Рассмотрим примеры решения неравенств вида | х — с |	т
и |х — с| ~^т.
Пример 1. Решим неравенство | х — 31	2.
Сформулируем эту задачу иначе: на координатной прямой
найдем множество точек, расстояние от которых до точки с
координатой 3 не больше чем 2.
Отметим на координатной прямой (рис. 40) точку с коор-
динатой 3, слева от нее точку с координатой 1 (3 — 2 = 1) и
справа от нее точку с координатой 5 (3 + 2 = 5). Все точки, за-
ключенные между точками с координатами 1 и 5, и только
эти точки, удалены от точки с координатой 3 на расстояние
не большее чем 2 единицы. Значит, искомое множество коор-
динат точек есть числовой промежуток [1; 5].
Пример 2. Решим неравенство |х + 2| >5.
Заменим это неравенство равносильным ему неравенством
\х — (— 2)| >5. На координатной прямой (рис. 41) отметим
точку с координатой —2 и точки с координатами —7 и 3
( — 7 = — 2 — 5; 3 = — 2 + 5). Более чем на 5 единиц удалены
от точки с координатой — 2 те и только те точки, которые рас-
положены левее точки с координатой —7 или правее точки
с координатой 3. Значит, множество решений данного неравен-
ства есть объединение промежутков (— оо; — 7) и (3; + оо).
224.	Найдите расстояние между точками координатной
прямой:
а)	А (2) и В (7); в) С (-4) и D (3);
б)	Е( —1) и F { — 5); г) Р(0) и Q( —7).
225.	Найдите расстояние от точки М (г) до точки:
а) А (7); б) В( —3); в) С(0); г) В (а).
226.	Покажите, что расстояние между точками А 0^ и В
не превосходит 0,1.
227.	Точка С (с) — середина отрезка, концы которого имеют
координаты а и Ь. Найдите с, если:
а)	а =—2, Ь = 6;	в) а = у, Ь = ^;
б)	а = 0, Ь = 5;	г) а= — 0,1, fe=—0,01.
228.	Докажите, что координата с середины отрезка АВ с ко-
,	а Ь
ординатами его концов а и b равна —-—.
94
229.	Запишите в виде равенства или неравенства, используя
знак модуля, утверждение, что расстояние между точка-
ми М (х) и Р (4,5) координатной прямой:
а)	равно 0,5;	г) равно 2,5;
б)	меньше 0,5;	д) не больше чем 2,5;
в)	больше 0,5;	е) не меньше чем 2,5.
230.	Запишите неравенство вида а<х<&, равносильное не-
равенству:
а)	|х —5|<1;	в) |х-+-4| <2;
б)	|х-3,5|<i;	г) |х+1,5|<1.
231.	Запишите неравенство вида |х — а\<_т, равносильное
неравенству:
а)	—5<х<7;	в) — ^СхсО;
О
б)	—3<х<3;	г)1<х<1.
<	о
232.	Решите уравнение и неравенства:
а)	|х —10| =5, |х —10| <5, |х —10|>5;
б)	|х + 5| =2, |х + 5| <2, |х4-5|>2.
233.	Решите неравенство:
а)	|х —8|<2;	в) |х — 6|>5;
1	£л 1	&
б)	|х+12|<3; г) |х-|-9|>1;	е)|х + 4|>4’
234.	Используя знак модуля, запишите неравенство, все ре-
шения которого образуют множество:
а)	(10; 20);	г) (-оо; -2]U[0; 4-оо);
б)	[-8; —6];	д) [-0,1; 0,1];
в)	(—оо; 0)U(l; + оо); е) (—оо; — 5)0(5; + оо).
235.	Найдите все целые решения неравенства:
а) |х +1,751 <2,75; б) |х —2,4|<1,3; в) |х + 2|<1,9.
18. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
При решении уравнений и неравенств вида |х — с|=пг,
|х — с|<тп, |х — с\^>т мы использовали понятие «расстояние
между двумя точками координатной прямой».
Рассмотрим приемы решения уравнений с модулем без ис-
пользования геометрических представлений.
Пример 1. Решим уравнение |х — 5| =3.
Так как модуль х — 5 равен 3, то по определению модуля
числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3,
либо —3.
95
Имеем совокупность двух уравнений:
х — 5 = 3 или х — 5 = — 3.
Решив их, найдем, что Xj = 8, х2 —2.
Вообще уравнение |f(x)| =Ъ, где Ъ — положительное чис-
ло, равносильно совокупности двух уравнений:
f(x) = b или f (х) — —Ь.
Рассмотрим решение уравнений вида | f (х) | = g (х).
Если х0 — корень этого уравнения, то | f (х0) I = g (х0) — вер-
ное равенство, при этом g(xo)Z>O, так как модуль числа всегда
неотрицательное число. Отсюда следует, что f (х0) = g (х0) или
f (*о)=	(х0). Верно и обратное: если g (хо)^О и f (x0) = g (х0)
или f (х0) = — g (х0), то | f (х0) | = g (х0).
Значит, уравнение | f (х) | = g (х) равносильно совокупности
двух систем:
f (x) = g(x),
g(x)>0;
f (*) = ~g(x),
g(x)>0.
Пример 2. Решим уравнение |x2-|-3x — 10|=3x — 1.
Это уравнение равносильно совокупности двух систем:
Г х2 + 3х- 10 = Зх — 1,
(Зх —1>0;
( х2 + 3х-10 = 1 -Зх,
I Зх —1>0,
или
X2 —9 = 0,
х2 + 6х —11=0,
Из корней хг = — 3 и х2 = 3 уравнения х2 — 9 = 0 удовлетво-
ряет первой системе лишь х2 = 3. Из корней х3 =—3 — 2 д/бГ
и х4 = — 3 + 2	уравнения х2 + 6х —11 = 0 второй системе
удовлетворяет лишь х4 = — 3 + 2	, так как
-3 + 2А/5 «-34-2-2,2 = 1,4, 1,4>^-, а х3<|.
Ответ: 3; —3 + 2д/бГ.
Рассмотрим решение уравнений вида | f (х) | = | g (х) |.
Если х0 — корень этого уравнения, то | f (х0) | = | g (х0) | —
верное равенство. Если модули двух чисел равны, то числа
либо равны, либо противоположны, т. е. f(x0) = g(x0) или
f (х0) =—£(х0). Очевидно, что верно и обратное: если
f(x0) = £(x0) или f (х0) = — g (х0), то If (х0)| = |£(х0)|.
96
Значит, уравнение | f (х) | = I g (х) | равносильно совокупно-
сти двух уравнений:
17 (*) = g(x),
I/ (х)= —g(x).
Пример 3. Решим уравнение |х2 —5х-|-7| = |2х — 5|.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
х2 — 5х 4-7 = 2х — 5,
х2 — 5х 4-7 = 5 —2х.
Решим первое уравнение:
х2 —7x4-12 = 0, Xj = 3, х2 = 4.
Решим второе уравнение:
х2 —3x4-2 = 0, х3 = 1, х4 = 2.
Ответ: 1; 2; 3; 4.
Пример 4. Решим уравнение |х — 1|4-1х — 2|=1.
Освободим левую часть уравнения от знака модуля. С этой
целью выделим промежутки, в которых х — 1 их — 2 оба отри-
цательны, имеют разные знаки, оба положительны. Для этого
нужно найти значения х, при которых выражения, стоящие
под знаком модуля, обращаются в нуль,— это числа 1 и 2.
Они разбивают множество действительных чисел на три про-
межутка: (— оо; 1), [1; 2] и (2; 4- оо). Имеем:
-2x4-3,
если х <1,
|х—1| 4- |х —2| =
1, если 1^х^2,
2х —3, если х>2.
Следовательно, данное уравнение равносильно совокупно-
сти трех систем:
| —2х 4-3 = 1,	|1 = 1,
|х<1,	(1<хС2,
Первая и третья системы не
имеют решений, а решения вто-
рой системы образуют промежу-
ток [1; 2].
Значит, данное уравнение име-
ет бесконечное множество кор-
ней.
Ответ: [1; 2].
Заметим, что причину несколь-
ко необычного ответа при реше-
нии этого уравнения можно уви-
деть, если обратиться к графику
функции
у = |х—1| 4- |х —2|
(рис. 42).
4 Заказ 181
97
236.	Решите уравнение:
а)	|х|=3;	в)	|х-|-2|=7;	д)	|5х + И=4;
б)	|х —5|=1;	г)	|2х-5|=3;	е)	|9-4х| = 1.
237.	Найдите корни уравнения:
а)	|х2 — 4|=5;	в)	|х2 —16| =0;	д)	|х2 —2х| = 1;
б)	|х2-8| = 1;	г)	|х2 —2x1=3;	е)	|х2 + 3х|=2.
Сколько корней может иметь уравнение | х2 — 51 = а, где
а — некоторое число?
238.	Решите уравнение:
а)	|х2 — 4х —12| =6 — х;
б)	|х2 —4х-|-3| =2х —2;
в)	|х2-7x4-121 =х2-|-8х-3;
г)	|х24-6x4-81 = |7х —6|;
д)	|2х2-|-5х-3| = |2х —1|;
е)	|3х2 — 5х — 2| = |х2-|-6х—161.
239.	Решите уравнение:
а)	|х4-4| 4-|х—3| =7;	в) |х| 4-I* — И + 1*~21 = 6;
б)	|х4-4| — |х —3| =1;	г) |х| + |х —1| 4- |х — 2| =2.
240.	Найдите точки пересечения графика функции у~ | |х| — 2|
с прямой: а) у = 0; б) у = 1; в) у = 2; г) у = 3.
241.	Решите уравнение:
а)	||х4-2|-2|=0; в) | |х4-2|-2| =2;
б)	||х4-2|-2|=5; г) | |х4-2| - 2| = 1,5.
242.	Решите уравнение: а) х2 —2 |х —1|—3 = 0;	б)	х2 —4 |х — 3| 4-2 = 0.
243.	Найдите корни уравнения:		
	1X1-^ _=1. 7 х — 4 |х| — 2	в)	х2+17 |х|-3 	=2x4-1; 5|х|—3
	х2_5|х|_3 0 j	" * 3|х|—4	Г)	7 |х|+4	_ х2 + 1X | 4- 3	Х'
244.	Решите уравнение:		
	а)	5 = 2х; |х|	Г)	54--т^- = х2 —5х; |х|
	3x4-9.1x4-71 п. 6) Х + 1 1 х+7	°’	д)	н ьо н" X 1 1 00 со II ю
	ч 7х —5 |2х-|-81 „ В) х-2	i+4 ~8’	е)	5х —4	1 _ |12х — 361
			х	х —3	х2 —Зх
245.	Решите уравнение: а) х3= |х|; б) х4= |х|;	в)	— 4		— = 1. |х| 1 |х—31
98
246*. Решите относительно х уравнение:
а)	|ах —11=2; в) |ах2—1|=8;
б)	|х-|-3|=а; г) |х2 —Зх|=а.
247*. При каких значениях а и b уравнение
| х — 11 -|- | х — 21 = ах -|- Ь
имеет более пяти корней?
19.	РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ
ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Рассмотрим способы решения неравенств с модулем.
Пример 1. Решим неравенство |х —5|<3.
Так как модуль выражения х —5 меньше 3, то значение
х — 5 должно быть меньше 3, но больше —3, т. е. должно
выполняться двойное неравенство — 3<х — 5<3. Отсюда
2<х<8.
Ответ: (2; 8).
Пример 2. Решим неравенство |х-|-8| >1.
Так как модуль х-|-8 больше 1, то значение выражения
х + 8 должно быть либо больше 1, либо меньше — 1. Иадеем
совокупность неравенств
Г х + 8>1,
[ х + 8< -1.
Решив их, найдем, что х>—7 или х<—9.
Ответ: (—оо; —9)U(— 7; -|-оо).
Вообще неравенство \f (х)| < Ь, где Ъ — положительное чис-
ло, равносильно системе двух неравенств f (х)> — b и f (х)<Ь,
т. е. равносильно двойному неравенству —b<Zf (х)<Ь. Нера-
венство | f (х) | >Ь, где Ь > 0, равносильно совокупности двух
неравенств
Г f (х)< - Ь,
L f (х)>Ь.
Пример 3. Решим неравенство |2х-|-5|-|-4х^З.
Освободим левую часть неравенства от знака модуля. Для
этого, воспользовавшись определением модуля, выделим про-
межутки, в которых 2х + 5 < 0 и 2х-|-5^0. Выражение
2х-|-5 равно нулю при х= —2,5. Это число разбивает множе-
ство действительных чисел на два промежутка (— оо; — 2,5) и
[ — 2,5; + оо). В первом из них 2х-|-5 отрицательно, во втором
неотрицательно. Отсюда
{—2х —5, если х<—2,5,
2х + 5, если х~^—2,5.
99
Поэтому данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
— 2х —5 + 4х<3,
х< —2,5;
2х + 5 + 4х=СЗ,
х>—2,5.
Решения первой системы образуют промежуток (— оо;
— 2,5), решения второй — промежуток [ — 2,5; — уj . Множе-
ство решений данного неравенства — объединение этих проме-
жутков.
Ответ: —оо; —j.
Пример 4. Решим неравенство |х| + 12х — 6|<9.
Выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в
нуль при х = 0 и х = 3. Числа 0 и 3 разбивают множество дей-
ствительных чисел на три промежутка: (— оо; 0), ГО; 31 и
(3; +оо).
В первом из них оба выражения х и 2х —6 отрицательны.
Поэтому
|х| + |2х —6| = — х —2х + 6= — Зх + 6.
Во втором промежутке xZ>0, а 2х —6^0. Значит,
Iх| -|- 12х — 61 = х — 2х + 6 = — х + 6.
В третьем промежутке х>0 и 2х — 6>0. Следовательно,
|х|-|-|2х-6|=х4-2х-6 = Зх-6.
Таким образом,
|х| + |2х-6| =
— Зх + 6, если х<0,
— х + 6, если О^х^З,
Зх —6, если х>3.
Отсюда следует, что данное неравенство равносильно совокуп-
ности трех систем:
f — Зх + 6 < 9,	Г — х + 6 < 9,	Г зх — 6 < 9,
(х<0,	(О^х^З,	[х>3.
Решения первой системы образуют промежуток (— 1; 0),
решения второй — промежуток [0; 3], решения третьей систе-
мы — промежуток (3; 5). Множество решений данного нера-
венства— объединение этих промежутков, т. е. (— 1; 0)U
U[0; 3]U(3; 5) = (-1; 5).
Ответ: (— 1; 5).
100
Пример 5. Решим неравенство |х2— 5х— 6|<х-|-10.
|х2_5х_6|	( х2 —5х —6, если х€(—оо; —1]0[6; + °о),
[ —х2 + 5x4-6, если хС( — 1; 6).
Имеем совокупность двух систем:
х2 — 5х —-6 < х +10,
х£(—оо; — 1)U(6; + оо);
— х2 + 5х + 6<х +10,
хб( —1; 6),
х2 —6х —16<0,
хЕ(—оо; —1)0(6; + оо);
х2 — 4х + 4>0,
х€( —1; 6).
Множество решений неравенства х2 — 6х —16<0 — проме-
жуток (— 2; 8). Значит, множество решений первой системы:
(-2; —1]U[6; 8).
Множество решений неравенства х2 — 4х + 4 > 0 — объеди-
нение промежутков (— оо; 2)0(2; + оо). Следовательно, мно-
жество решений второй системы: (— 1; 2)0(2; 6).
Множество решений данного неравенства — объединение
множеств (— 2; —1]0[6; 8) и (— 1; 2)0(2; 6).
Ответ: ( — 2; 2)0(2; 8).
248.	Решите неравенство:
а)	|х| <2;	в) |х —4|С1;	Д) 1* + И<5;
б)	|х| >2;	г) |х —4| >1;	е) |х+И>5.
249.	Решите неравенство:
а)	|2х —3| <5; в) |5х + 2| <3; д) |7-Зх|<9;
б)	|2х —3| >5; г) |5х + 2| >3; е) |7-Зх| >9.
250.	Найдите целые решения неравенства:
а) |х2 —1| <9; б) |х®-5|^22; в) |х2 + 4х|<1.
251.	Решите неравенство:
а)	| х2 — 2х| >3;	в) |х2 — 4х + 3|<1;
б)	|х2 — 2х| СЗ;	г) |х2-4х + 3|>1.
252.	Постройте график функции у=|х| + |х — 21 ис помощью
графика решите неравенство:
a)	|x| + lx —2IC4;	в) |х| + |х — 2|С2;
б)	|х| + |х — 2| >5;	г) |х| + |х — 2| >1.
101
253.	Решите неравенство:
а)	|х + 2| + |х-3|<7;	в) |х + 2| - |х-3|<1;
б)	|х+2| + |х-3| >7;	г) |х+2| - |х-3| >3.
254.	Решите неравенство:
а) х2 —4 |х—1|—5<0; б) х2-4 |х-1| - 5>0.
255.	Постройте графики функций у = х2 — 4 и у = ^х + 2. Ис-
пользуя эти графики, решите неравенство:
а) |х’-4| <4* + 2;	б) |х2-4|>|* + 2.
256.	Решите неравенство:
а)	|х2 — 6х4-8| <2х-|-1; в) |х2—7х4-6| <х24-х —2;
б)	|х2 — 5х — 241 >х24-1; г) |х2 —4х —12| >х2 —х.
257.	Найдите целые решения неравенства:
а) |х (х-1-1) (х-|-2)| <25; б) |х (х — 1) (х4-3)|	12.
258.	Решите неравенство:
а)^тггз>|-+1|;	б)ст^|х-21-
§ 8.	ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
20. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В уравнении 2х24-Д/^ —4 =3х — 1 выражение 5х — 4, со-
держащее переменную х, находится под знаком корня. Такие
уравнения называют иррациональными уравнениями.
Рассмотрим способы решения иррациональных уравнений.
Основная цель при решении иррациональных уравнений
состоит в том, чтобы освободиться от знака корня и получить
рациональное уравнение.
В главе II мы уже показывали стандартный прием реше-
ния иррациональных уравнений — возведение обеих частей
уравнения в квадрат, т. е. уравнение f (x)=g (х) заменяют
уравнением f2 (х) = g2 (х). Это уравнение является следствием
данного, но не всегда ему равносильно. Поэтому приходится
делать проверку для отсеивания посторонних корней.
Пример 1. Решим уравнение ~\]&х — 9 =3 — х.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим урав-
нение 5х — 9 = (3 — х)2. Приведя это уравнение к стандартному
виду, получим:
X2 —11x4-18 = 0.
Корни этого уравнения: Xj = 2, х2 = 9.
Проведем проверку:
102
1) Если Xj = 2, то Д/5-2— 9=1 и 3 — 2 = 1. Значит, —
корень данного уравнения.
2) Если х2 = 9, то Д/5-9— 9 =6, 3 — 9=—6. 6=/=—6. Зна-
чит, х2 не является корнем данного уравнения.
Ответ: 2.
В этом случае проверка оказалась довольно простой. Одна-
ко могут встретиться уравнения, корни которых иррациональ-
ны, и проверка потребует больших усилий. В таких случаях
можно поступить иначе.
Пример 2. Решим уравнение Д/Зх— 2 =5 — х.
Легко видеть, что корнями этого уравнения могут быть
только числа, при которых Зх — 2^0 и 5 — х^О. Поэтому
данное уравнение равносильно системе
Зх —2>0,
5-х>0,
Зх —2 = (5 —х)2.
Однако эту систему можно упростить. В ней неравенство
Зх — 2^0 лишнее, так как оно следует из уравнения Зх — 2 =
= (5 — х)2. Учитывая это, систему перепишем в виде
| 5 —х>0,
( Зх —2 = (5 —х)2.
Решив уравнение Зх — 2 = (5 — х)2, найдем его корни:
Xj = 6,5 —0,5 д/бТ и х2 = 6,5-|-0,5 д/бГ.
Грубая оценка корней показывает, что 2,5<Х!<3,5 и
9,5 <х2< 10,5. Поэтому первый корень удовлетворяет систе-
ме (неравенству х^5), а второй не удовлетворяет ей.
Ответ: 6,5 — 0,5д/б1.
Вообще уравнение вида Д// (х) = 8 (*) равносильно системе
| /(*) = (£ (*))2,
(g(x)>0.
Пример 3. Решим уравнение Д/х? -|— 11 -|-д/х— 1 = 6.
Представим уравнение в виде д/х -|-11 =6 — Д/х —1 и воз-
ведем обе части уравнения в квадрат. Получим:
х + 11 = 36 + (х —1)—12Д/х-1,
12Д/х —1 =24,
Д/х-1 =2,
х —1 = 4,
х = 5.
Проверка показывает, что 5 — корень данного уравнения.
Ответ: 5.
103
Это уравнение можно решить значительно проще, если вос-
пользоваться свойствами монотонности функций, а именно,
что сумма двух возрастающих функций является возрастаю-
щей функцией и что всякая монотонная функция каждое свое
значение принимает лишь при одном значении аргумента.
Действительно, функции у = Дх -f- 11 и у = \х—1 —возра-
стающие функции. Поэтому их сумма — возрастающая функ-
ция. Значит, данное уравнение если имеет корень, то только
один. В этом случае подбором легко найти, что х = 5 — корень
данного уравнения. 
Пример 4. Решим уравнение (х2 — 5х — 6) Д/= 0.
у х — о
Левая часть этого уравнения — произведение, а правая —
нуль. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множи-
телей равен нулю и левая часть уравнения имеет смысл.
?х । g	х I о
Выражение (х2 —5х— 6)Д/ — имеет смысл, если------—^=0,
у. х—-5	х — о
т. е. если х£Х, где Х = (—оо; —2](J(5; -]-оо).
Приравняем нулю каждый множитель, т. е. решим урав-
нения
х2 —5х —6 = 0 (1), лД±|=О (2).
у X о
Уравнение (1) имеет корни хг= — 1, х2 = 6. Уравнение
(2) имеет корень х3= — 2. Мы видим, что xt^X, х2€Х, х3ЕХ.
Ответ: —2; 6.
Многие иррациональные уравнения удается решить проще,
если ввести новую переменную.
х — 7
Пример 5. Решим уравнение	—— = х — 11.
Пусть Дх —3 = у. По смыслу х^З и у^О. Тогда
у2 = х — 3. Отсюда х = у2-}-3. Выразим через у остальные чле-
ны уравнения: х — 7 = у2 4-3 — 7 = у2 — 4; х —11= у2 4-3—11 =
= у2-8.
Имеем:
у —2 = у2 —8 (так как у^О),
у2 — у — 6 = 0,
У\ = —2, у2 = 3.
Учитывая, что у^О, уу не является корнем уравнения,
т. е. уравнение имеет единственный корень, равный 3.
Выполняя обратную замену, находим: х — 3 = 32, х=12.
Ответ: 12.
104
Пример 6. Решим уравнение
Ух2-6х + 9 + Ух2+ 8x4-16 = 11.
У(х-З)2 +У(х + 4)2 = 11,
|х-3| + |х + 4|=11.
Исходное уравнение свелось к известному вам уравнению
с модулем. Решив его, найдем, что х =—6 или х = 5.
Ответ: —6; 5.
Пример 7. Решим уравнение:
х + Д/х2 —1 , х—Д/х2—1 _
X — Д/х2 —1	X -|- д/х2 — 1
Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой
дроби:
(х + Д/х2 — 1 )2 4- (х — \Jx2~l )2 = 34,
х2 + х2 — 1 4-2хyjx2 — ! 4-х24-х2 — 1 — 2х~^х2—1 = 34,
4х2 = 36,
х2 = 9,
Xj —	3, Х2 — 3.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют данно-
му уравнению.
Ответ: —3; 3.
259.	Решите уравнение:
a)	yjx—l =3 —х;	г) Д/7х4-1	=2х-4;
б)	У/х — 1 = х —3;	д) Д/4х-1	=2x4-7;
в)	\6х —2 = 5 — Зх;	е) Д2х-Д1	=х — 1.
260.	Решите уравнения Д/вх-f-1 = 11 — 2х и д/8х4-1 = 2х — 11
и покажите, что посторонний корень первого уравнения
является корнем второго и наоборот.
261. Решите уравнение:
a) Д'Зх —2 =4 —х;
б) Д/5х—1 =3 —2х;
в) Д/х2 —4 = 3 — х;
г)	Д/х2 —х — 12 = 5 — х;
д)	Д/5х — х2 — 6 = х — 2,5
е)	Д/Э —х2 = х —5.
262.	Докажите, что уравнение Д/х —4 4- Зх = Д/12 —Зх не име-
ет корней.
263.	Не решая уравнения, докажите, что корнем уравне-
ния Д/7 —2х 4- 2х = Д/10х —35 4- 7 является единственное
число, и найдите его.
105
264.	Используя свойство монотонности функций, докажите,
что уравнение при а>0 имеет не более одного решения:
а) у/х-7 = а; б) ^х — 2 +Д/х + 3 = а; в) у/х-5	.
Проиллюстрируйте это на графике.
265.	Решите уравнение устно (подбором), используя свойство
монотонности функций:
а)	д/х-|-8 = 3; г) ^х — 2 =^-;
б)	Д/х —5 = 4; д) Д/х-|-9 4-Д/х —3 =6;
в)	л]х — 3 = * ; е) Л]х — 1 4-Д/х 4-7 = 4.
266.	Решите уравнение:
а)	д/2х —5 — д/х —6 =2; г) Д/3-2х -Д/1-х =1;
б)	д/Зх —6 4-Д/в —х =5; д) Д/93 —х = 3-|-Д/48 —х;
в)	д/х Ч-Д/х-1 =1; е) д/8 —х -Д/17-|-х =1.
267.	Решите уравнение:
а)	Д/х —2 -|-Д/4 —х = Д/б —х;
б)	д/2х-|- 19 —д/12 —х = д/х4-1;
в)	д/2х-|-7 +Д/2хЧ-2 =Д/бх + 19;
г)	д/х —2 + Д/х-ЬЗ =Д/4х-|-1 .
268.	Решите уравнение:
а)	д/2х —6 -|-Д/Зх —х2 =Vx2 —9;
б)	Д/х2 —6х + 5 — Д/Зх —х2 —2 = Д/х —1.
269.	Решите уравнение, введя новую переменную:
Г) — . -------. : --
Д/х-5 +2	Д/х-5 -3
v х —29	х —20	.
д) —г==--------, 	---= х — 4;
Д/х —4 —5	Д/х —4 +4
ч	х —1	.	х4-2	. с
е) ---------—т=-------= х4-6.
Дх + З + 2	Д/х 4-3 —1
2х—9	х—2
6)^гГ=—=
х+3==х + 13
д^+Т 6
270.	Решите уравнение:
а)	Д/х2 + 5х + 2 + Д/х2 -|- 5х — 5 = 7;
б)	Д/х2 —х-|-6 — Д/х2 —х — 2 =2;
в)	х24- 114-Д/х24-11 =42;
г)	6 —7 Д/8 —2х =2х —8;
д)	Зх2—15x4-Д/х2 —5x4-Ю 4-16 = 0;
е)	2x4-41—Д/214-х —х2 =2х2.
106
271. Решите уравнение:
a) ^-3V(»-5)(x-6) =40-ф
272.	Решите уравнение:
а)	(*-3)Д/гЬ=0: в) <ж2-4>Д/И1-=0;
б)	(х+2)Д/Щ=0; г)	=0.
273.	Решите уравнение:
1+уг=т—3’
б)		------------г= = 2;
1-Д/1—х	1+V1-X
Д/х4-1 —Д/х —3 _ Д/х4-1 4-Д/х — 3 _ _	.
Д/х4-1 4-Д/х-З	д/х4-1 -Д/х-3 ~ 4 ’
У* + 3+Д'Зх-2	д/х 4-3-Д/Зх-2
Д/х4-3 —Д/Зх-2 ' Д/х4-3 4-Д/Зх —2 —
274.	Решите уравнение:
а)	д/х2-|-6х-|-9 -|-Д/х2 —6х-|-9 =4;
б)	Д/х2-10х + 25 -J- Д/х24- Юх-h 25 =10;
в)	Д/х3 — 4х2 + 4х + Д/х3 + 6х2 + 9х = х л/х ;
г)	Д/х2 —8х-|-16 = 4 — х.
275.	Докажите, что уравнение
Д/х + 2Д/х^Т- Д/х — 2 Д/х — 1 =2
равносильно уравнению |Д/х — 1 +11 — |Д/х— 1 — 11 = 2,
и решите его.
276.	Решите уравнение:
а)	Д/х-|-3 — 4Д/х—1 -|-Д/х-|-24 —ЮД/х —1 =3;
б)	Д/х 4-5 — 4 д/ж 4-1" 4-Д/х4-2 —2 Д/х4-1 =1;
в)	Д/х-|-д/бх — 9 —Д/х—д/бх — 9 = Д/6 .
107
21. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
При решении иррациональных неравенств, так же как и
при решении иррациональных уравнений, основная цель со-
стоит в том, чтобы освободиться от знака корня и свести ирра-
циональное неравенство к рациональному.
Начнем с решения простейших неравенств.
Пример 1. Решим неравенства
л/х <2 и д/х*>2.
I—	( х<4,
Неравенство Д/х < 2 равносильно системе <	т. е.
( х^О,
двойному неравенству 0^х<4.
Неравенство л/х >> 2 равносильно неравенству х > 4 (фор-
( х>4,
мально тоже системе { которая равносильна неравенст-
( х^О,
ву х>4).
Обосновать это можно, если рассмотреть функцию у = л/х.
Функция у ="\[х возрастающая в области ее определения,
т. е. при х^О. При х = 4 ее значение равно 2, при 0^х<4
значение функции меньше 2, а при х>>4 ее значение больше
2 (рис. 43).
Вообще если рассмотреть неравенства Д// (*) <а и
y/f(x)Z>at где а — положительное число, то неравенство
WuT < а равносильно двойному неравенству 0 f (х) < а2, а
неравенство >а — неравенству f (х)>а2.
Пример 2. Решим неравенство Д/2х —3 <6 — х.
Если 6 — х<0, то неравенство не имеет решений, так как
в этом случае при всех допустимых значениях х левая часть
неравенства больше правой его части.
Если 6 — х 0, решениями данного неравенства могут быть
лишь те значения х, при которых 2х — 3^0 и 2х — 3<
<(6— х)2. Это следует из того, что функция у = и2, где н^О,
возрастающая.
108
Рис. 44
Значит, данное неравенство равносильно системе
2х —3>0,
6 —х>0,
2х —3<(6 —х)2.
Общие решения первых двух неравенств системы образуют
множество Х][ = [1,5; 4-°°)П(—оо; 6] = [1,5; 6].
Решим неравенство 2х — 3<(6— х)2:
х2- 14х + 39>0.
Корни трехчлена х2 —14x4-39— числа
х, = 7—Д/1О и х2 = 74-У1сГ-
Отсюда находим, что множество решений этого неравенства
есть Х2 = ( — оо; 7 — V10)U(7+Vi0; + оо).
Множество решений данного неравенства — пересечение
множеств Хг и Х2. Найдем это пересечение с помощью коорди-
натной прямой.
Изобразим на координатной прямой множества Хг и Х2.
Грубая оценка чисел 7 — и 7 4- д/1(Г показывает, что
3 < 7 — Д/10 <4 и 10 < 7 -|-V10 <11. Отметив на координат-
ной прямой точки с координатами 1,5; 6; 7 — ^16; 7 4"
и соответствующие множества (рис. 44), заключаем, что
Х1ПХ2 = [1,5; 7-V10).
Пример 3. Решим неравенство д/б — 2х 1 — х.
Решениями этого неравенства могут быть значения х, при
которых 6 — 2x^0, 1—х^Ои 6 — 2x^(1—х)2. (Это вытекает
из того, что функция у = н2, где н^О, возрастающая.) Кроме
того, неравенству удовлетворяют числа, при которых
6 — 2x^0 и 1 — х<0. Это следует из того, что в этом случае
значение левой части неравенства, которое неотрицательно,
больше значения правой части неравенства, которое отрица-
тельно.
Следовательно, данное неравенство равносильно совокуп-
ности двух систем:
( 1 — х>0,
(6 —2х>(1 —х)2;
( 6-2х>0,
I 1 —х<0.
109
Заметим, что в первой системе неравенство 6 — 2x^0 опу-
щено, так как оно вытекает из неравенства 6 — 2x^(1—х)2.
Решим неравенство 6 — 2x^(1 — х)2 первой системы:
6 — 2х>1 — 2х + х2,
х2<5,
x£[-V5; л/s ].
Решения неравенства 1 — х 0 составляют промежуток
(— оо; 1]. Значит, первой системе удовлетворяют числа, обра-
зующие множество Xj — [—д/б”; д/б”]П(—оо; 1] = [—д/б”; 1].
Решив вторую систему, найдем множество Х2 ее решений:
Х2 = (—оо; 3]П(1; +оо) = (1; 3].
Множество решений данного неравенства — объединение
множеств Хг и Х2.
Х1их2 = [-д/б; 1]U(1; 3] = [-д/б; 3].
Ответ: [ — д/б”; 3].
Некоторые неравенства можно решать иначе, опираясь на
свойство монотонных функций: если f — возрастающая функ-
ция, a g — убывающая функция, то уравнение f (x) = g (х)
имеет не более одного корня.
Докажем это свойство. Допустим противное, т. е. что урав-
нение f (x) — g (х) имеет хотя бы два различных корня хг и х2.
Пусть для определенности х2>хг. Тогда верны равенства
f(x2) = g(x2) и f(x1) = g(Xi).
Вычтем из левой части первого равенства левую часть вто-
рого равенства, а из правой части первого правую часть вто-
рого равенства. Также получим верное равенство
f (*2) — f (Xi) = g (х2) — g (хО.
Так как f — возрастающая фуйкция, a g — убывающая
функция, то f (х2) — f (хО >0 и g (х2) — g (xj<0. Мы пришли
к противоречию: положительное число равно отрицательному.
Значит, сделанное допущение неверно и уравнение f (х) = g (х)
имеет не более одного корня.
Приведем решения неравенств вида, которые были рас-
смотрены в примерах 2 и 3, с помощью доказанного свойства.
Пример 4. Решим неравенства
Д/х —2 С 8 — х и Д/х —2 > 8 — х.
Рассмотрим функции f (х) = ~\]х— 2 и g (х) = 8 — х в общей
области их определения, т. е. на множестве [2; -|-оо). Эти
функции монотонные: функция f возрастающая, а функция
g убывающая. Поэтому если существует значение х, при кото-
110
ром значения функций равны, то только одно. Подбором на-
ходим, что корень уравнения д/х— 2 = 8 —х равен 6. Значит,
при х = 6 функции f и g принимают равные значения,
т. е. f (6) = g(6).
Если 2<х<6, то f (x)<g (х). Если х>6, то f (x)>g (х).
Значит, решения неравенства Д/х— 2 <8 — х образуют
множество [2; 6], а неравенства у/х — 2 >8 —х— множество
(6; -|—оо).
Пример 5. Решим неравенство
Имеем:
х-|-5
6 —х
>0,
х-|-5
6 —х
Первое неравенство системы равносильно неравенству
(х4-5) (х —6)^0, где х=^=6.
Его решения составляют множество -Х\ = [ — 5; 6).
Решим второе неравенство системы:
£±^-1<0,
6 —X
х-Ь5—6-|-х
6 — X	*
^-<0,
6 — X
(2х — 1)(х — 6)>0.
Решения этого неравенства образуют множество Х2 =
= (—оо; 0,5)|J(6; 4-оо).
Множество решений исходного неравенства — пересечение
найденных множеств Хг и Х2. Из рисунка 45 видно, что
Х1ПХ2 = [-5; 0,5).
Ответ: [ — 5; 0,5). 
тт	а г»	Vх-2 —5 \ 1
Примерю. Решим неравенство	1.
Обозначим Д/х — 2 буквой у. Тогда у^О и у2 = х — 2.
Имеем:
У-5	У-5	1>0 У-5-4+У >0 2у~9 >0.
4 — у	’ 4 — у	’	4 — у	’ 4 — 1/
Отсюда 4<у^4,5.
45
Рис. 45
111
Далее имеем:
4<Д/х-2 <4,5, 16<х —2<20,25,
18<х<22,25.
Из условия следует, что х^2 и х=^=18.
Ответ: (18; 22,25].
Пример 7. Решим неравенство (5х + 4)Д/б + х — х2 >0.
Второй множитель левой части неравенства при любых до-
пустимых значениях х является неотрицательным числом.
Значит, неравенству удовлетворяют те и только те значения
х, при которых 6-)-х — х2>0 и 5х-|-4>»0. Имеем систему
5х + 4>0,
6 + х —х2>0.
Решим эту систему:
|5х>—4,	| х> — 0,8,
t (х + 2)(х — 3)<0; I —2<х<3.
Отсюда —0,8<х<3.
Ответ: (— 0,8; 3).
277.	Решите неравенство:
а) у[х < 3;	г) д/2х — 1 > 1;	ж) Д/бж 1 < 3;
б)Д^>4;	д) Д/2х-3 <1;	з) д/бх+Т> — 3.
в) д/2х < j ;	е) д/2х —3 > 2;
278.	Решите неравенство:
а)	Д/^-7х+12 <д/2;	д) д/рр <1;
б)	Vx2+*-12>2V2;	е) Д/^±|>2;
в)	Д/х2 —14х + 49 <3; ж)	<7 »
г)	\/*2-2х+1 >5;	3) Д/(<г~*^ <1 •
279.	Используя свойства монотонности функций, решите не-
равенства:
а) д/х —3 < 5 — х и "\/х — 3 > 5 — х;
б) д/9 — х < х — 3 и д/9 —х >х —3.
280. Решите неравенство:
а) Д/х —1 <	С7 —х;	д) Д/2х —3 <2 —х;
б) Д/х —1;	>7-х;	е) Д/2х —3 >х —2;
в) Д/х — 2 s	^6 — х;	ж) Д/Зх +1 ^х — 3;
г) Д/х —2 Z	>6 —х;	з) Д/Зх-f-l <х —3.
112
281.	Решите неравенство:
а)	Д/бх — х2 — 9 < х + 2; в) д/х —х2 —0,25 >> х;
б)	д/ — х2 — 4х — 4 > х 4-1; г) Д/х2 — 10x4-25 < х2 — 4.
282.	Даны функции f (х) = д/8х— 3 и g (х)=Д/7 — 2х .
Найдите множество значений аргумента, при которых:
а) график функции f расположен выше графика функ-
ции g;
б)	график функции f расположен ниже графика функ-
Ции g.
283. Решите неравенство:
а) Д/бх —1 >Д/9 —х ;	г) Д/х2 — 2х < Д/х 4-2 ;
б) Д/10х4-3 <д/14 — х;	д) Д/4 —х2 ^д/4х4-8;
в) Д/4х — 5 < Д/2 — Зх ;	е) Д/4х —х2 >д/х4-3 .
284. Решите неравенство:
а) Vх -3-- В>> 1; в) х2 —Зх — Д/х2 — Зх — 2 <0;
8—ух —3	.
б)	^х+.4	<2; г) х2 — 5х4-Д/44-5х —х2 >2.
З + Ух + 4
285.	Найдите целые решения неравенства:
а) Д/х4-5 4-Д/5 —х >4; б) Д/х4-4 — д/4 —х’>д/б .
286.	Решите неравенство:
а)	(х-2)Д/4х-5 <0; в) (х2 - 4) Д/25 - х2 >0;
б)	(5х-2)Д/9-х >0; г) (х24-х —1) Д/14х-х2-49 >0.
287.	Решите неравенство:
а)	Д/х2 — 4х 4- 4 4- Д/х2 4- 6х 4- 9 <2;
б)	Д^х2 —х4-^ 4-Д^х24-х4-^ >4.
288.	Найдите область определения функции:
а) у =Д/х 4- 2 -д/7 ;	б) </ = Д/2х — 3— Д/х — 1 .
289.	При каком значении аргумента значение функции f
меньше 1, если:
a) f(x) = Д/х2-10x4-9;	б) f (х) = х4-Д/Зх-6 ?
Глава IV
УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
§ 9. УРАВНЕНИЕ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 10. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 9. УРАВНЕНИЕ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
22. УРАВНЕНИЕ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ЕГО СТЕПЕНЬ
В основном курсе вы познакомились с ли-
нейными уравнениями с двумя переменными, т. е. с уравне-
ниями вида ах-^-by = с, где х и у — переменные, а, Ь и с — не-
которые числа. Это уравнение можно записать в виде
ах-}-Ьу — с = 0, т. е. так, чтобы в левой его части находился
многочлен, а в правой — нуль. Если одно из чисел а или Ь от-
лично от нуля, то в левой части уравнения многочлен первой
степени. Такое линейное уравнение называют уравнением
первой степени.
Вообще если левая часть уравнения с двумя переменными
представлена в виде F (х, у) = 0, где F (х, у) — многочлен стан-
дартного вида, то степенью этого уравнения называют степень
многочлена F (х, у).
Уравнения
2x(3</-l) = 5y + 6xi/ + 9,
X3 2 о
Т~у = 2’
(X2+V3)2=y‘-1
не представлены в виде F (х, у) = 0. Чтобы определить их сте-
пень, надо их заменить равносильными уравнениями вида
У(х, у) = 0.
114
Выполнив необходимые в каждом случае преобразования,
получим соответственно уравнения, равносильные данным:
2х + 5у + 9 = 0,
х3 —6i/2 —12 = 0,
х4 4- 2xV +1 = 0.
Таким образом, первое уравнение имеет первую степень,
второе — третью степень, третье — пятую степень.
Решением уравнения с двумя переменными, как известно,
называется пара значений переменных, обращающая это
уравнение в верное равенство.
Например, пара чисел Xi = 6, уА~ 1,4 является решением
уравнения х2 — 5xz/ + 6 = 0, так как эти числа обращают это
уравнение в верное равенство: 62 — 5 • 6 • 1,4 -|- 6 = 0. Чтобы
найти другие решения уравнения, можно вместо одной из
переменных (например, у) подставить в уравнение какое-
либо число и решить полученное уравнение с одной перемен-
ной (с переменной х).
Например, подставим в уравнение х2 —5ху4~6 = 0 значе-
ние у = 1. Получим квадратное уравнение х2 —5х-|-6 = 0. Его
корнями являются числа 2 и 3. Значит, пары х2 = 2, у2 = 1 и
*з = 3, Уз = 1 — решения данного уравнения. Обычно пары-
решения уравнения с двумя переменными записывают в скоб-
ках. Так, найденные решения уравнения х2 — 5х</-|-6 = 0 мож-
но записать: (6; 1,4), (2; 1), (3; 1).
Уравнение с двумя переменными, как правило, имеет
бесконечное множество решений. Исключение составляют,
например, такие уравнения, как х2-|-(i/2 — 4)2 = 0 или
2х2 + у2 = 0. Первое из них имеет два решения (0; —2) и (0; 2),
второе — одно решение (0; 0). Уравнение х2-|-у44-3 = 0 вообще
не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями
переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие
уравнения с двумя переменными, мы находим пары целых
чисел. В таких случаях говорят, что уравнение решено в це-
лых числах.
Приведем примеры практических задач и некоторые спосо-
бы решения таких уравнений.
Задача 1. У меня в кармане 40 р. монетами достоинст-
вом в 5 и 10 р. Сколько пятирублевых и десятирублевых мо-
нет находится у меня в кармане?
Решение. Пусть х — число пятирублевых монет, а у —
число десятирублевых монет. Тогда 5х-|- 10у = 40. Мы получи-
ли уравнение с двумя переменными.
Заменим это уравнение равносильным, упростив его:
x + 2i/ = 8.
Выразим у через х:
л х
У = 4~2 •
115
Так как х и у — натуральные числа, то легко найти все па-
ры-решения этого уравнения.
Если х — 2, то у = 3; если х = 4, то у = 2; если х = 6, то
у = 1. Других решений нет.
Ответ: у меня в кармане могло быть пятирублевых и де-
сятирублевых монет соответственно 2 и 3, или 4 и 2, или
6 и 1.
Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число, ко-
торое при делении на 5 дает в остатке 4, а при делении на 8 —
в остатке 7.
Решение. Искомое натуральное число можно пред-
ставить как в виде 5/г 4-4, так и в виде 8т 4- 7. Отсюда имеем
уравнение	5n + 4 = 8m + 7.
Выразим из этого уравнения т через п:
Подставляя в эту формулу последовательно числа 1, 2, 3 и
т. д., найдем, что первое целое значение т получается при
п = 7. Значит, искомое число равно 5-7 4-4 = 39.
Ответ: 39.
Задача 3. Найдите все целые решения уравнения
х2 4- 2ху — Зу2 = 5.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множите-
ли. Получим уравнение
(к —У) (*4-3</) = 5.
Число 5 можно представить в виде произведения двух це-
лых чисел (учитывая порядок множителей) четырьмя спосо-
бами: 5=1-5, 5 = 5-1, 5= —1-( —5) и 5=—5-( —1).
Отсюда имеем совокупность четырех систем линейных
уравнений:
!х —у = 1,	| х — у = 5,	(х — у=—1,	(х — у=—5,
x-f-3y = 5,	(х-|-Зу = 1, [х-|-Зг/=—5,	[x-|-3i/=— 1.
Каждая из этих систем имеет целые решения: (2; 1),
(4; —1), (— 2; —1) и ( — 4; 1). Эти решения и являются целы-
ми решениями уравнения х2-j-2ху — Зу2=5.
Ответ: (2; 1), (4; —1), ( — 2; —1), ( — 4; 1).
290.	Определите степень уравнения:
а)	5х3-Зх21/24-8 = 0;
б)	х — 2у 4- 5ху = 0;
в)	(2х —3)34V = 8x3 —36х24-у2;
г)	(х4-у4-1)2 —(х —у)2=2(х-|-у);
д)	х3 + у3 — (х+у)(х2 + у2) = х2у — 3;
е)	(ху 4-1)4 — х3у3 (ху 4- 4) = 4хг/.
116
291.	Какова степень уравнения х" + у” = 64, если его решени-
ем является пара чисел:
а) (1; 63); б) (2; 0); в) (-2; 0); г) (2; 2)?
292.	Определите степень уравнения х" + у2п = 81, зная, что его
решением является пара чисел:
а) (3; 0); б) (0; 3); в) (9; 0); г) (0; -9).
293.	Является ли пара чисел (— 2; 3) решением уравнения:
а) х2 — у2 —Зх = 1;	в) х4 + 4х3у + 6х2у2 + 4ху3 + у4 = 1;
б)	х3 + у3 —5х2 = 0;	г) 8х3 +12х2у+ 6ху2 + у3= — 1?
294.	Докажите, что если пара чисел (а; Ъ) является решением
уравнения (х2+у2) (х + у) = х3 + у3, то пара (&; а) также
является решением этого уравнения.
295.	Найдите множество решений уравнения:
а)	х2 + у2 = 0;
б)	(х2-9)2 + у2 = 0;
в)	(х2-1)2 + (у2-16)2 = 0;
г)	х4 + у4-8х2+16 = 0;
д)	х2 + у2—2х —8у + 17 = 0;
е)	х2 + у2 +6х — 10у + 34 = 0.
296.	Докажите, что все решения уравнения ху —5х + у = 5 об-
разуют множество:
{(х; у)|х= — 1, у — любое число или х — любое число, у — 5}.
297.	Найдите все пары натуральных чисел, которые являются
решениями уравнения:
а) х + у = 5;	б) ху = 15.
298.	Найдите все пары простых чисел, которые являются ре-
шениями уравнения
х + у = 22.
299.	Представьте число 59 в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы одно из них было кратно 7, а другое кратно 3.
300.	Для упаковки сахарного песка имеются мешки вмести-
мостью 30 кг и 50 кг. Сколько надо взять тех и других
мешков, чтобы полностью засыпать в них 300 кг сахара?
301.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при де-
лении на 3 дает в остатке 2, а при делении на 7 дает в ос-
татке 3.
302.	Найдите наименьшее натуральное число, которое при де-
лении на 5 дает в остатке 1, а при делении на 13 дает
в остатке 8.
303.	Найдите все целые решения уравнения:
а) х2 —у2 = 5; б) х2 + 9ху+ 8у2 = 8.
304.	Докажите, что уравнение х2 + ху— бу2 = 7 не имеет це-
лых решений.
117
23.	УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ЕГО ГРАФИК
Напомним, что графиком уравнения с двумя переменными
называется множество точек координатной плоскости, коор-
динаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Вы знаете, что графиком уравнения первой степени с дву-
мя переменными, т. е. уравнения вида ax-f- Ьу-}-с = О, где хо-
тя бы один из коэффициентов а или b отличен от нуля, явля-
ется прямая. Вам известны также некоторые графики уравне-
ний второй степени. Например, графиком уравнения у = х2
является парабола, графиком уравнения ху — 6 — гипербола,
графиком уравнения х2-}-у2 = 1—окружность.
Выясним, каким может быть график уравнения с двумя
переменными второй степени общего вида.
Уравнение второй степени имеет вид
ах2 + Ьху 4- су2 + dx + еу + f=О,
где хотя бы один из коэффициентов а, b или с отличен от
нуля.
Для этого воспользуемся некоторыми преобразованиями
графиков уравнений.
Вам известны некоторые преобразования графиков функ-
ций. Например, вы знаете, как можно получить из графика
функции y = f(x) график функции y = f(x — т) или график
функции y——f (х). Кроме того, из основного курса вы знае-
те, что график функции y — af(x) можно получить из графика
функции y — f (х) с помощью растяжения от оси х в а раз, если
а>1, и с помощью сжатия к оси х в раз, если 0<а<1.
Аналогичные преобразования можно выполнять с графиками
уравнений.
1.	График уравнения F(x — m, у) = 0 можно получить из
графика уравнения F (х, у) = 0 сдвигом на | т | единиц в на-
правлении оси х (вправо, если т>>0, или влево, если т<0).
2.	График уравнения F (х, у — п) = 0 можно получить из
графика уравнения F(x, у) —О сдвигом на |л| единиц в на-
правлении оси у (вверх, если п>0, или вниз, если п<0).
3.	График уравнения F(x, — у) = 0 симметричен графику
уравнения F (х, у) = 0 относительно оси х.
4.	График уравнения F ( — х, у) = 0 симметричен графику
уравнения F (х, у) = 0 относительно оси у.
5.	График уравнения F , у) = 0 можно получить из гра-
фика уравнения F (х, у) = 0 с помощью растяжения от оси у в
. 1
а раз, если о>1, и с помощью сжатия к оси у в — раз, если
0<а<1.
118
6. График уравнения F (х,	= 0 можно получить из гра-
фика уравнения F (х, у) = 0 с помощью растяжения от оси х в
Ъ раз, если &>1, и с помощью сжатия к оси хв| раз, если
0<&<1.
Для доказательства этих утверждений можно провести
рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при
обосновании преобразований графиков функций.
Если график некоторого уравнения повернуть на некото-
рый угол около начала координат, то новый график будет гра-
фиком другого уравнения. Важными являются частные слу-
чаи поворота на углы 90° и 45°.
7. График уравнения F(x, у) = 0 в результате поворота
около начала координат на угол 90° по часовой стрелке пере-
ходит в график уравнения F( —у, х) = 0, а против часовой
стрелки — в график уравнения F(y, —х) = 0.
8. График уравнения F (х, у) = 0 в результате поворота
около начала координат на угол 45° по часовой стрелке пере-
f(^-
\ W
ходит в график уравнения
= 0, а против часо-
-	.	г, /х + у у — х\ Л
вой стрелки — в график уравнения F(—1 = 0.
Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х2 + у2 —
— 4х + бу —12 = 0 является окружность.
Вам известно, что графиком уравнения х2 + у2 = г2, где г —
положительное число, является окружность радиуса г с цент-
ром в начале координат. Если осуществить параллельный пе-
ренос этой окружности на | т | единиц вправо (при т >> 0) или
влево (при т<С0), а затем на |п| единиц вверх (при п>»0) или
вниз (при л <0), то получим окружность того же радиуса с
центром в точке (т; л). Уравнение этой окружности при-
мет вид
(х —т)2 + (у —п)2 = г2.
Попытаемся левую часть уравнения х2-\-у2— 4х-|-6г/—
— 12 = 0 представить в виде (х — т)2 + (у — п)2 — г2:
х? + у2 — 4х-|-бу — 12 = (х2 — 4x4-4)-h(y2 + 67/ + 9) — 25 =
= (х-2)2 + (у + 3)2-52.
Отсюда видно, что данное уравнение имеет вид
(х-2)2 + (у + 3)2 = 52.
Значит, его графиком является окружность радиуса, рав-
ного 5, с центром в точке (2; —3) (рис. 46).
Пример 2. Выясним, что представляет собой график
уравнения х2 — у2 = 8.
119
Осуществим поворот графика этого уравнения около нача-
ла координат на угол 45° против часовой стрелки. Для этого
воспользуемся формулой F
х4-у
ное уравнение вместо
= 8,
2
4хУ __Q
2	8
ху = 4,
4
(x-j-y)2 —(у —х)2 8
= Подставив в дан-
у — х
* вместо у у получим:
'2
Вы знаете, что график уравнения У=~— гипербола. Зна-
чит, и графиком уравнения х2— у2 —8 является гипербола.
Асимптотами гиперболы У~~ являются прямые у = 0
(ось х) и х = 0 (ось у). При выполненном повороте эти прямые
перейдут в прямые
^£ = 0 и ЙД-0,
V? V2
т. е. в прямые у = х и у= — х.
На рисунке 47 изображен график уравнения х2 — у2 — 8.
Пример 3. Выясним, какой вид примет уравнение у = х2
параболы при повороте около начала координат на угол 90°
по часовой стрелке.
120
Рис. 48
Используя формулу F( — у, х) = 0, заменим в уравнении
у = х2 переменную х на —у, а переменную у на х.
Получим уравнение х = (— у)2, т. е. х — у2.
График уравнения х = у2 показан на рисунке 48.
Пример 4. Выясним, какую фигуру представляет собой
график уравнения х2-|-4у2=16. Это уравнение можно перепи-
сать в виде х2 + (тгг) =16.
\ о /
График этого уравнения можно получить из графика
окружности х2 + у2 = 16 с помощью сжатия к оси х в 2 раза.
В результате преобразования окружность х2-|- у2 = 16 преобра-
зуется в кривую, которую называют эллипсом (рис. 49).
Заметим, что в простейшем виде уравнение эллипса выгля-
дит так:
Уравнение эллипса в таком виде называют каноническим
уравнением эллипса.
При а = Ь получается окружность.
121
Пример 5. Докажем, что графиком уравнения х2 — у2 —О
является пара пересекающихся прямых, а графиком уравне-
ния х2 — 5х 4- 6 4- Оу — 0 — пара параллельных прямых.
Уравнение х — у2 = 0 представим в виде (х —у) (х4-у) = О.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений х — у = 0
и х + у = О. Каждое из них представляет прямую, причем эти
прямые пересекаются.
Уравнение х2 — 5х 4- 6 4- Оу = 0 представим в виде
(х — 2) (х — 3) 4- Оу = 0. Оно равносильно совокупности двух си-
стем:
4 х = 2,
| у — любое число;
(х = 3,
(у — любое число.
Очевидно, что прямые х = 2 и х = 3 параллельны.
Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй сте-
пени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких
уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частно-
сти, окружность). Эти кривые в аналитической геометрии на-
зывают кривыми второго порядка, и устанавливают их
свойства. Кроме того, как мы выяснили, в примере 5 графи-
ком уравнения второй степени с двумя переменными может
являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).
Это так называемый вырожденный случай.
К вырожденным случаям относятся также уравнения
х2-\-у2 = 0 и х24-у24-1 = 0. В первом случае графиком уравне-
ния является точка, во втором — пустое множество.
305.	Докажите, что:
а)	графиком уравнения х24-у2— 2х— 4у— 4 = 0 является
окружность;
б)	графиком уравнения у2 — бу — х — 7 = 0 является пара-
бола;
в)	графиком уравнения х2 — у2 = 16 является гипербола;
г) графиком уравнения х2 — 4у2 = 0 является пара пря-
мых.
306.	Постройте график уравнения:
а)	(х4-1)2 + (1/-1)2 = 4;	д) у2-х2 = 1;
б)	х2 + у2 — 4х — 4у4-7 = 0; е) х= —у2;
в)	х2 — у2 = 1;	ж) х=у2—1;
г)	х —у2 = 9;	з) х = у2 —2у.
307.	Докажите, что все решения уравнения ху — 6х 4- У = 6 об-
разуют множество {(х; у)|х=—1, у — любое число или
х — любое число, у = 6}.
122
308.	Постройте график уравнения:
а) х2 — у2 + 2у = 1;	г) Ох 4-1/
б)	ху — 2x4-у = 2;	д) хД/Г~
в)	х2 = /;	е) у\[х-
г) 0x4-/ — У — 2 = 0;
Д) х VT+3 — 3 Д/у=х:
е) У у/х— 2у + У[х=2.
309.	Постройте график уравнения:
а)	\х\=у2 — 3у;	в) у2 = х2 — 2х — 3;
б)	|г/| =х2 —Зх;	г) х2 = у2— 2у — 3.
310.	Постройте график уравнения:
а)	|х| 4-|г/| =3;	в) |х — у\4- |x4-yl	= 2;
б)	|х| —|j/|=3;	г) |х —1/| — |x4-j/|	=2.
§	10. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
24. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
В основном курсе алгебры вы изучали системы линейных
уравнений и системы уравнений второй степени с двумя пере-
менными, в которых одно уравнение второй степени,
другое — первой.
Напомним основные определения.
Определение 1. Решением системы двух уравнений с
двумя переменными называется пара значений переменных,
обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Отсюда следует, что если пара (х0, у0) — решение системы
Л(х, г/) = 0,
^(х, j/) = 0,
то х0 и у0 — это координаты общей точки графиков уравнений
Л (*, У) = 0 и F2(x, i/) = 0.
Определение 2. Решить систему уравнений — значит
найти множество ее решений.
На геометрическом языке это означает найти все общие
точки графиков уравнений, входящих в систему.
Выясним, сколько решений может иметь система двух
уравнений с двумя переменными второй степени.
Если одно уравнение второй степени, а другое первой сте-
пени, то такая система может иметь не более двух решений.
Действительно, при подстановке в уравнение второй степе-
ни переменной, выраженной из уравнения первой степени че-
рез другую переменную, получается квадратное уравнение.
Оно имеет, как известно, не более двух корней. Следователь-
но, и такая система не может иметь более двух решений.
123
Это можно проиллюстрировать на примере окружности и
прямой. Прямая может пересекать окружность в двух точках,
касаться окружности или не иметь с ней ни одной общей точ-
ки (рис. 50).
Легко убедиться, что если вместо окружности взять гипер-
болу или параболу, то сделанный вывод будет тем же.
Если оба уравнения системы второй степени и они различ-
ны (не равносильны), то система может иметь не более четы-
рех решений.
Рассмотрим окружность х2-|-у2 = 16 и параболу у = х2-}-п
при различных значениях параметра п. При п = — 5 окруж-
ность и парабола будут иметь четыре общие точки, при
п = — 4 — три, при п = 1 — две, при п = 4 — одну, при п > 4 —
ни одной общей точки (рис. 51).
С помощью графиков уравнений можно приближенно нахо-
дить решения системы. Некоторые найденные решения систе-
мы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, под-
ставив их координаты в уравнения системы.
Пример 1. Решим графически систему уравнений:
ху = 4,
х = у2 — 6.
Построим графики уравнений ху = 4 и х = у2 — 6 (рис. 52).
Гипербола ху — 4 и парабола х = у2 — 6 пересекаются в трех
точках. Найдем приближенно координаты общих точек гра-
фиков: Xj«—5,7,	—0,7, х2«—2,0, у2«—2,0, х3«1,5,
у3 «2,7. Проверкой убеждаемся, что х2= — 2 и у2= — 2 — точ-
ные значения.
Пример 2. Решим графически систему уравнений:
х2 — у2 —9,
(х —2)2 + у2 = 25.
Построим гиперболу х2—у2=9 и окружность (х — 2)2 +
+ у2 = 25 (рис. 53). Координаты их общих точек — решения си-
124
стемы: (— 3; 0), (5; 4), (5; —4). Проверка показывает, что все
найденные решения точные.
С помощью систем уравнений второй степени можно гра-
фически решить уравнения третьей степени с одной пере-
менной.
Заметим, что любое кубическое уравнение
у3 + ау2 + Ьу + с = 0
подстановкой у — х — можно привести к виду х3 -|-рх -|- q = 0.
Если обозначить х2 буквой у, то уравнение х3 +рх + q = 0
распадается на пару уравнений, образующих систему
( У = *2,
Графиком второго уравнения системы является гипербола,
асимптотами которой служат прямые х = 0 и у — — р.
Пример 3. Решим графически уравнение х3 — 7х-|-6 = 0.
125
Рис. 52
Пусть х2 = у. Тогда получим систему уравнений
( У = х2,
\ху— 7х + 6 = О,
второе уравнение которой можно представить в виде
Решением этой системы служат координаты точек пересе-
чения параболы у = х2 и гиперболы у= —(рис. 54):
(-3; 9), (1; 1), (2; 4).
Проверка показывает, что все значения переменных, со-
ставляющих решения системы, точные.
Ответ: —3; 1; 2.
126
Рис. 54
127
311. В одной системе координат постройте графики уравне-
ний и найдите приближенные решения системы.
а)	Г х2 + у2 = 25, 1 х + у = 7; б)	f х2 + у2 = 25, | ху = 12;	в) | х2 4-у2 = 25, 1 х2 — у2—7; г) Г х2 + у2 = 25, |х = у2 —5.
312. Решите графически систему уравнений:
а)	Г х + у = 5, 1 ху = 6; б)	Г х = у2 —2у, 1 х + у = 2; в)	Г х = у2 — 4, 1 у = х2 — 2;	г) ( у — х2— 4х, \х = у2~4у; Д) f х2 —у2 = 5, (у2—-2у = 0; е) Г х = у2 — 5у4~6, ( х2 — 5х 4- 6 = 0.
313. Изобразите схематически графики уравнений и выясни-
те, сколько решений имеет система:
а)	| ху = 6,	г) | х2 + у2~4х — 6у = 3, |х2_у2=12;	| х24-у2 + 6х + 2у= -1;
б)	(у = х2,	д) f х2 + 4х —у + 3 = 0, (х = у2;	( у24-2у —х —1=0;
в)	Г х — у2 4-4 = 0,	е) ( х2 —у2 —4 = 0, (х2 — у — 2 = 0;	( х2 —у24-2у —1 =0.
314. Найдите все решения системы уравнений:
а)	4- II J Я II 4^ Ю, 'С Н to N СО II II о о
б)	| (х — 2)(у — 3) = 0,	г) (х2 — 5х + 6 = о, 1 (х+2) (у + 3) = 0;	1	5</ + 6 = 0.
315. Решите систему
х24-у2 — 4х~ 10у 4-29 = 0,
х4 — Зу = 1.
(Сколько решений имеет первое уравнение системы?)
316*. Решите графически уравнение с помощью системы урав-
нений второй степени:
а) х3 — 4х— 2 = 0; б) х3 — х — 6 = 0.
128
25. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Из основного курса вам известны способ подстановки и
способ сложения при решении систем линейных уравнений.
Способом подстановки вы пользовались при решении систем
второй степени с двумя переменными, одно из уравнений ко-
торой — уравнение первой степени. Способом сложения мож-
но пользоваться и в том случае, когда оба уравнения системы
второй степени.
Пример 1. Решим способом сложения систему
| х2 — 2ху — 3 = 0,
( 2х24-3ху —27 = 0.
Первое уравнение системы умножим на 3, а второе — на 2.
Получим систему, равносильную данной:
| Зх2-бху-9 = 0,
( 4х2 + 6ху —54 = 0.
Сложив эти уравнения, получим уравнение с одной пере-
менной: 7х2— 63 = 0.
Решив это уравнение, найдем, что хх=—3, х2 = 3. Под-
ставляя значения х в первое уравнение системы, найдем, что
J/1 —	1» У 2 — 1 •
Ответ: ( — 3; —1), (3; 1).
тт	от»	I х2~ 4У2 — 4х 4- 8у = 0,
Пример 2. Решим систему {	’	27
( х2 + ху + ЗОу = 0.
Нетрудно заметить, что левая часть первого уравнения
разлагается на множители:
х2 — 4у2 —Ах -|- 8у = (х2 — 4у2) — 4 (х — 2у) =
= (х — 2у) (х4-2у) —4(х —2у) = (х —2у)(х4-2у —4).
Система перепишется в виде
Г (х — 2у) (х4-2у —4) = 0,
I х2 + ху + 30у = 0.
Произведение (х — 2у) (х 4- 2у — 4) равно нулю тогда и толь-
ко тогда, когда х—2у = 0 или x-f-2y—*4 = 0.
Поэтому эта система равносильна совокупности двух си-
стем:
Г х — 2у = 0,
I х24-ху4~30у = 0;
| х-\-2у — 4 = 0,
. ( х2 4- ху -I- ЗОу = 0.
5 Заказ 181
129
Решим первую систему:
Г х = 2у,
( 4у2-|-2у2 + ЗОу = О,
6у24-30у = 0,
у2 + 5у = 0,
!/i = 0, y2 = —5.
Подставляя значение у в первое уравнение системы, най-
дем, что Xj = 0, х2= —10.
Значит, первая система имеет решения
(0; 0) и ( — 10; —5).
Решим вторую систему:
!х = 4 — 2у,
(4-2у)2 + у(4-2у) + 30у = 0,
16 - 16у + 4у2 + 4у - 2у2 + ЗОу = 0,
2у2 + 18у + 16 = 0,
Уз= —8, у4= —1.
Подставляя эти значения у в первое уравнение системы,
найдем, что х8 = 20, х4 = 6.
Значит, вторая система имеет решения
(20; —8) и (6; —1).
Ответ: (0; 0), ( — 10; —5), (20; —8), (6; —1).
Этот пример показывает, что если одно из уравнений сис-
темы можно разложить на линейные множители, то систему
можно заменить совокупностью двух систем, у которых одно
уравнение второй степени, а другое — первой степени. Такие
системы просто решаются способом подстановки.
Пример 3. Решим систему
( х2 + 2ху — бу — 48 — 0,
( х2 -|- ху — 12у2 = 0.
Левая часть второго уравнения системы — однородный
многочлен второй степени (каждый член многочлена имеет
вторую степень), а правая — нуль. Такие уравнения называют
однородными уравнениями.
Разделим обе части второго уравнения на у2, предполагая,
(X \ 2
—)	—12 = 0 от-
носительно . Обозначим — буквой t и решим уравнение
t2-\-t—12 = 0. Отсюда fx = 3, t2= —4, т. е. у=3 или у= —4.
Значит, х = 3у или х=—4у.
130
Получим совокупность двух систем,:
Г х2 + 2ху — бу — 48 = О,
( х = 3у;
Г х2 + 2ху — бу — 48 = О,
. I х= — 4у.
Заметим, что, выполняя деление обеих частей уравнения
х2 — ху — 12у2 = 0 на у2, мы теряем его решение (0; 0). Но так
как пара (0; 0) не является решением первого уравнения си-
стемы, то данная система равносильна полученной совокупно-
сти двух систем.
Решив первую систему способом подстановки, найдем, что
у1 =—1,8, у2 — 2. Отсюда — 5,4, х2 = 6.
Решив вторую систему, найдем, что
з—л/зэз"	зч-Л/зэзГ
!/з=---8---’ У^ =-----8---•
Отсюда
— зч-д/звз- —з—д/звз"
Х3=-------------------f, Х4=----------------•
Ответ: (-5,4; -1,8), (6; 2),	. 3-д/з93 у
/ — 3—д/393~ е 3+Л/393Л
\	2	’	8 Г
„	л _	(х2 + ху = 20,
Пример 4. Решим систему {
I х2 — 2ху + 7у2 = 15.
Левые части уравнений системы — однородные многочле-
ны второй степени. Умножив первое уравнение на —3, а вто-
рое на 4 и сложив их, получим однородное уравнение
х2 — 11ху + 28у2 = 0.
По теореме 3 о равносильности систем (см. гл. II § 5) дан-
ная система равносильна системе
| х2 + ху = 20,
( х2 — 11ху -|- 28у2 = 0.
Разделив обе части второго уравнения11 системы на у2 и
обозначив буквой t, получим уравнение t2 — lit4-28 = 0.
Его корни ^ = 4, t2 = 7. Отсюда х = 4у или х = 7у.
Имеем совокупность двух систем:
( х2 4- ху = 20,
( х = 4у;
Г х2 4- ху = 20,
. I х = 7у.
131
Первая система имеет решения ( — 4; —1) и (4; 1), а вто-
( у1то УтоЛ /Vto Уто"
рая —решения	и
Ответ: (-4; -1), (4; 1),	-=^),
\	4	1.^ /
Пример 5. Решим систему
х2 + ху + у2 = 7,
х + ху + у = 5.
Уравнения этой системы содержат сумму переменных
х + у, произведение ху и сумму квадратов х2 + у2. Такие систе-
мы удобно решать, вводя новые переменные, положив
х-\-у — и, xy = v. Тогда x2 + y2 = (x-\-y)2 — 2xy = u2 — 2v. В ре-
зультате этой замены получим систему
и2 — 2п-{-п = 7,	( и2 — о = 7,
u + v = 5, или [и + о = 5.
Решив эту систему способом подстановки, найдем щ = — 4,
v1 = 9; u2 = 3, vz = 2.
Возвращаясь к переменным х и у, имеем совокупность
двух систем:
*	+ У = —4,
ху = 9;
*	+ у = 3,
ху = 2.
Первая из этих систем не имеет решений, а решениями
второй служат пары (1; 2) и (2; 1).
Ответ: (1; 2), (2; 1).
Системы, в которых замена х на у и у на х приводит к той
же системе уравнений, называют симметрическими система-
ми. (В примере 5 была рассмотрена симметрическая система.)
Заметим, что при решении симметрических систем удобно
пользоваться формулами
х2 + у2 = (х + у)2 — 2ху,
X3 + У3 = (X + у) ((X -ь у)2 — Зху),
х4 + у4 = (х2 + у2)2-2(ху)2
с последующей заменой х + у и ху соответственно переменны-
ми и И V.
К симметрическим системам относится и система вида
х + у = о,
ху = Ь,
132
которую можно решать, пользуясь свойствами корней квад-
ратного уравнения.
(х+у = 2,
ху= —195.
Согласно теореме, обратной теореме Виета (если сумма
двух чисел равна —р, а произведение равно д, то эти числа
являются корнями уравнения х2+рх-|-у = 0), решение систе-
мы можно рассматривать как пару корней квадратного урав-
нения
г2-2и-195 = 0.
Его решениями служат числа z1= —13, 22=15. Отсюда
*!= —13, j/i = 15 или х2=15, у2= — 13.
Ответ: ( — 13; 15), (15; —13).
Пример 7. Решим систему
(х + Зу) (х + у) = 60,
(х + Зу) (х—у) = 20.
Разделим почленно левые и правые части уравнений систе-
мы. Получим уравнение
^±*=3.
х~У
Отсюда найдем х + у = 3х — Зу, х = 2у.
Пары чисел (х, у), при которых выражение х-|-Зу равно
нулю, не являются решениями системы, так как правая часть
каждого уравнения системы отлична от нуля. Поэтому, разде-
лив почленно левые и правые части уравнений системы, мы
X4-U П
получим уравнение —= 3, которое вместе с одним из урав-
нений данной системы образует систему, равносильную ис-
ходной системе.
Имеем:
(х + Зу) (х-у) = 20,
±±* = 3.
х — У
Решив систему
(х + Зу) (х—у) = 20,
х = 2у
способом подстановки, найдем, что хг= — 4, У1= — 2; х2 = 4,
у2 = 2.
Ответ: ( — 4; —2), (4; 2).
С помощью систем уравнений можно решать иррациональ-
ные уравнения.
133
Пример 8. Решим уравнение Д/х-}-2	д/11 —х = 5.
Введем новые переменные: и — ^х-\-2 , t? = д/11 —х • Тогда
и2 = х + 2, и2 = 11 —х, u4-v = 5, где и^О и п^О.
Имеем систему
u4-v = 5,
• u2 = x-f-2,
и2 = 11 — х.
Сложив левые и правые части второго и третьего уравне-
ний системы, получим уравнение и2 + v2 =13.
Имеем систему
Г н2Ч-п2= 13,
| и-\- и = 5.
Решив ее, найдем, что Uj = 2,	= 3; и2 — 3, v2 = 2.
Используя одно из уравнений u2 = x-j-2 или и2 = 11 — х,
найдем, что Xj = 2, х2 = 7.
Ответ: 2; 7.
317.	Решите систему уравнений:
а)|х + у = 7, в) | 2хЧ-2у= — 10, д) f х — у= —12,
(ху = 10;	(ху=—24;	( — ху = 35;
б) J х + у = 9, г) |4х + 4у=—7, е) (х —у = 1,
(ху =—10;	(2xi/=—1;	(ху = 56.
318.	Найдите множество решений системы:
а)	Г (х — Зу)(х + 2у) = 0,
( х2 + у2 = 40;
б)	Г(2х — у)(х + 2у) = 0,
(4х2 + ху — Ъу2 — Зх + 2у = 5;
в)	( ху — 2х + 3у — 6 = 0,
( х2 — 5ху — у2 + 6х + 2у = 7;
г)	Г х2у2 — х2 — у2 +1 = 0,
[ х2 — ху — 4х -|- 5у = 1.
319.	Решите систему уравнений:
а)	Г Зх2 —y2 + 2i/ = 3, в) ( х2 — 3у2=1,
[ 2х2 + ху — у2 = 0;	( 2ху + 5у2 = 1;
б)	f 2х2 —5хуЧ-3^2 = 0,	г) |4х24-х1/ = 5,
( хг/4-2у2 —5х + г/=1;	(Зхг/ + у2 = 4.
134
320.
Решите систему уравнений:
а)
321.
2х2 + 3у2_2,
X2 —ху
х2 + у2 = 13;
Найдите множество
а)	(х2 + у2 = 13,
I ху = 6;
б)	Г х2 + у2 = 34,
I х4-у = 15;
в)	Г х24-ху4-у2 = 31,
I х + у = 6;
_ у2~У2	-4
Зху4-у2 — 2х2 ’
ху —у2 = 6.
решений системы:
г)	| х2 + ху + у2=19,
I х4-ху4-у = 1;
д)	| х2 —Зху + у2= — 1,
| х2 + у2 — х — у = 22;
е)	Г 4х2 + 4у2 = 25 (х 4- у),
I 7 (х + у) = 8ху.
б)
322.	Решите систему уравнений:
a) J (2х + у) (х + у) = 40, в) | х8 —5х2у — 4х4-20у = 0,
t (2х4~у) (х —у) = 8;	( ху2 4~ 5у3 — 4х — 20у = 0;
б) ( х2 —Зху = 15,
I ху —Зу2 = 5;
г) | х3 — 4ху2 4- 2х2 — 8у2 = О,
| х3 — 2х2у — 4х — 8у 4-16 = 0.
323.	Решите систему уравнений:
а)
у'х 2 ’
х2 4- у2 = Ю;
х2—у2 = 16;
в)
\4 —3 д/у + З ” ’ е) f Iх'+ lyl =3»
4	9	— 4«	1х24-у2 = 5.
д/х-з ^у+з
324.	Решите иррациональное уравнение с помощью систем
уравнений, введя вспомогательные переменные:
а)	д/х4-10 -Д/х-2 =2; в) ^х — 5 4"V* + 6 =11;
б)	Д/17 —х 4-Д/х —4 = 5; г) Д/х4-13 —Д/12 —х = 1.
Глава V
НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
§11. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
§ 12. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ПРИМЕРЫ
НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМ
§ 11. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
26. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Неравенства Зх — 4у — 1>0, х2 + у2<25,
x2-]-2i/-]-4<0 являются неравенствами с двумя переменными
X И у.
Решением неравенства с двумя переменными называется
пара значений переменных, обращающая его в верное число-
вое неравенство.
В записи решений неравенства с переменными х и у усло-
вимся на первом месте в паре записывать значение х, а на
втором — значение у.
Например, при х = 2, у = 1 неравенство Зх — 4у —1>0 об-
ращается в верное числовое неравенство, а при х=1,
у = 2 нет, т. е. пара чисел (2; 1) является решением этого нера-
венства, а пара чисел (1; 2) не является его решением.
Каждое решение неравенства с двумя переменными можно
изобразить точкой на координатной плоскости. Множество ре-
шений изображается множеством точек координатной плос-
кости.
Рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными.
Линейным неравенством с двумя переменными называется
неравенство вида ах + Ьу + с>0 или ах + Ьу + с < О, где х и
у — переменные, а, Ъ и с — некоторые числа, причем хотя бы
одно из чисел а или Ъ не равно нулю.
Выясним, какое множество точек задает на координатной
плоскости линейное неравенство с двумя переменными.
136
При Ь=/=0 графиком линейного уравнения ах + by -|- с = О,
а	с
а значит, и равносильного ему уравнения у = ——х — — явля-
b	b
ется прямая, непараллельная оси у (рис. 55). Эта прямая раз-
бивает плоскость на две открытые полуплоскости, т. е. полу-
плоскости, не содержащие граничную прямую (на рисунке
граничную прямую, не принадлежащую полуплоскости,
будем изображать Пунктиром). Одна из этих полуплоскос-
тей, показанная на рисунке штриховкой, обладает тем
свойством, что любая ее точка лежит выше, чем точка пря-
мой, находящаяся с ней на одной вертикали. Будем гово-
рить, что эта открытая полуплоскость расположена выше
прямой у=—^-х — ^. Ордината любой точки этой открытой
полуплоскости больше ординаты соответствующей точки
„	ас
прямой у=— ~ьх~и потому удовлетворяет неравенству
у> ~~^х—у - Ордината любой точки открытой полуплоско-
сти, расположенной ниже прямой, удовлетворяет неравенст-
а с
ву
Если Ь = 0, то графиком уравнения ах + by с = 0, а зна-
чит, и равносильного ему уравнения х— —^(а=£0) является
прямая, параллельная оси у (рис. 56). Эта прямая также раз-
бивает плоскость на две открытые полуплоскости. Абсцисса
любой точки полуплоскости, лежащей правее прямой (пока-
занной на рисунке 56 штриховкой), удовлетворяет не-
с	„	с
равенству	—— , а левее прямой — неравенству х<.—
Неравенство у>—Тх~1> (аналогично неравенство
у < — х — при b =/= 0 в зависимости от знака b равносильно
либо неравенству ах+Ьу + с>>0, либо неравенству ах-^-Ьу-^-
+ с<0. Неравенство х>—(аналогично неравенство
137
х< —при а/Ов зависимости от знака а равносильно либо
неравенству ах4~0у 4~ с>0, либо неравенству ах 4~ Оу 4~ с < О.
Таким образом, можно сделать вывод, что:
прямая ах 4- by 4- с = 0 при любых а и Ь, где а=£0 или
Ь=#=0, разбивает плоскость на две открытые полуплоскости,
координаты точек одной из которых удовлетворяют неравен-
ству ах + by -|- с > О, а другой — неравенству ах 4- by -|- с < О.
Пример. Выясним, какое множество точек задает на ко-
ординатной плоскости неравенство:
а) у<-|-х4-2; б) х>3,5; в) х — 2у + 6>0.
О
а)	Данное неравенство задает открытую полуплоскость,
2
расположенную ниже прямой у=— х4~2. На рисунке 57 эта
открытая полуплоскость показана штриховкой.
б)	Неравенство х^3,5 задает полуплоскость, расположен-
ную правее прямой х = 3,5, включая саму прямую (рис. 58).
в)	Чтобы найти открытую полуплоскость, задаваемую не-
равенством х — 2у4~6>0, выберем произвольную точку. Ес-
ли координаты этой точки удовлетворяют неравенству
х — 2у 4- 6 > О, то искомым множеством является открытая по-
луплоскость, которой эта точка принадлежит. Если не удов-
летворяют, то искомое множество — открытая полуплоскость,
не содержащая выбранную точку.
В качестве такой контрольной точки бывает удобно взять
начало координат. Получаем 0 — 2 • 0 4- 6 > О — верное неравен-
ство. Значит, множество точек, задаваемое неравенством
х — 2у4“6>»0,— открытая полуплоскость, которая содержит
начало координат (рис. 59).
325.	Является ли решением неравенства 1,3х — 0,Зу<1,6 па-
ра чисел:
а) х=1, у= — 1; в) х=\1Г, y=yj2-
б)х=у,у=—4; г) х=^5, у = з4?
10	0
138
326.	Из данных неравенств:
а)	12х —16уЧ-5>0; г)
б)	1,5х —2у>—3;	д) 2х — у<.х — 2у;
в)	2х + 15у^0;	е) у[2х — у~^х-\-у
выберите те, для которых пара чисел х= —1,5,
$/ = 0,2 является решением.
327.	Укажите три какие-либо пары чисел, являющихся реше-
нием неравенства:
а) 0,Зх — 0,04//-f- 1 >0; б) ±-|<0,1.
328.	Известно, что F — множество точек плоскости, коорди-
наты которых удовлетворяют неравенству 5х — 11у<с 13.
Принадлежит ли множеству F точка:
а) А ( — 1; 0); б) В (0,5; —1); в) 0(2; 1); г) D (3; 0)?
329.	Постройте прямую у=—х—1. Покажите множество
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
условию у <Z— х—1.
о
330.	Покажите множество точек плоскости, координаты кото-
рых удовлетворяют условию:
а)	у>0,Зх —2;	в) jX<3; д) 5//>1;
б)	—0,5х+1; г) 2x^5; е) —	0,3.
331.	Изобразите полуплоскость, которую задает неравенство:
а)	4х-\-у — 2<0; в) 2х-|-Зу + 6^0;
б)	Зх —у4-1>0;	г) х — 2у— 2^0.
332.	Покажите множество точек плоскости, которое задает
неравенство:
а) у<^1 б)	в) х —2у<0; г) 3x + j/>0.
333.	Изобразите на координатной плоскости множество Р,
если:
а)	Р = {(х; у) | у — 2х>2);	в) Р = {(х; у) | х + у< — 1};
б)	Р = {(х; у) | 2х —у<1};	г) Р = {(х; у) | х — у> —3}.
334.	Где на координатной плоскости расположены точки, у
которых:
а)	абсцисса больше ординаты;
б)	абсцисса меньше одной трети ординаты;
в)	сумма абсциссы и ординаты больше их удвоенной
разности?
335.	Задайте неравенством открытую полуплоскость, распо-
ложенную выше прямой:
а)	у = 2х —1,3; г) х —у = 0;
б)	3x + i/ + l=0;	д) x = f;
в)	1,5х —z/ = l; е) 5у = 2х.
139
336.	Постройте прямую Зх + 2у —1=0 и определите знак вы-
ражения Зх + 2у — 1 в каждой из образовавшихся откры-
тых полуплоскостей.
337.	Определите знак выражения 0,Зх — у + 1 в каждой
из открытых полуплоскостей, определяемых прямой
0,Зх — у + 1 = 0.
338.	Постройте прямую 2х — у -j- 6 = 0. Укажите открытую по-
луплоскость, в которой выражение 2х—у 6 принимает отри-
цательные значения.
339.	Постройте прямую, проходящую через начало координат
и точку ( — 2; —4). Задайте неравенством открытую по-
луплоскость, расположенную ниже этой прямой.
340.	Задайте неравенством открытую полуплоскость, распо-
ложенную выше прямой АВ, проходящей через точки:
а) А (1; 4) и В(3; 5); б) А (0; —1) и В(1; -1).
341.	При каких значениях b множество решений неравенства
Зх — by + 7 >> 0 представляет собой открытую полуплос-
кость, расположенную выше прямой Зх — by 4- 7 = 0?
27. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Решением системы неравенств с двумя переменными назы-
вается пара значений переменных, которая каждое из нера-
венств системы обращает в верное числовое неравенство.
Например, решением системы неравенств
х2 + у2>0,
2х — Зу<0
является каждая из пар чисел (2; —1), (0; 3,5), ( — 5; —2,7).
Множеством решений системы неравенств с двумя пере-
менными является пересечение множеств решений входящих
в нее неравенств. Отсюда получается, что на координатной
плоскости множество решений системы изображается множе-
ством точек, представляющим собой пересечение множеств то-
чек, задаваемых неравенствами системы.
Остановимся на системах линейных неравенств с двумя пе-
ременными. Каждое из таких неравенств задает некоторую
полуплоскость, причем .для строгого неравенства граница не
принадлежит этой полуплоскости, а для нестрогого принадле-
жит. Значит, множество точек, задаваемое системой линей-
ных неравенств, представляет собой пересечение полуплоско-
стей. В конкретных случаях это множество может представ-
лять собой некоторую фигуру или быть пустым множеством.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Выясним, какое множество точек задает на
координатной плоскости система неравенств:
140
a) | у — Зх + 4>0, 6) f 3j/ —6x + 9<0,	в) | x —2y + 5<0,
(2y —6x —5<0;	[4z/ —8x —7>0,	( 2x — y+l>0.
а)	Решив каждое из неравенств системы относительно у,
получим:
( z/>3x —4,
I y<3x + 2,5.
Так как угловые коэффициенты прямых у = 3х —4 и
у = Зх-|-2,5 равны, то эти прямые параллельны. Множество
точек, заданное первым неравенством, представляет собой
полуплоскость, расположенную выше прямой у = 3х — 4, а
множество точек, заданное вторым неравенством, представ-
ляет собой полуплоскость, расположенную ниже прямой
у = Зх+2,5. Пересечением этих множеств является полоса,
ограниченная этими прямыми (рис. 60). Итак, данное не-
равенство задает на координатной плоскости полосу, ограни-
ченную параллельными прямыми у = 3х — 4 и у = Зх+2,5.
б)	Решим каждое из неравенств системы относительно у.
Получим:
| z/^2x — 3,
( у>2х+1,75.
Множество точек, которое задает первое неравенство систе-
мы,— полуплоскость, расположенная ниже прямой у = 2х— 3,
а множество точек, которое задает второе неравенство
системы,— полуплоскость, расположенная выше прямой
у = 2х-|-1,75. Так как прямые у = 2х — 3 и у = 2х + 1,75 парал-
лельны, то пересечением этих множеств является пустое мно-
жество (рис. 61). Значит, множество точек, заданное данной
системой неравенств, представляет собой пустое множество.
Рис. 61
Рис. 62
141
Рис. 63
в)	Решим каждое из неравенств системы относительно у,
получим:
у>0,5х4-2,5.
у<2х+1.
Первое неравенство задает полуплоскость, расположенную
выше прямой z/= 0,5x4-2,5, а второе — полуплоскость, распо-
ложенную ниже прямой у = 2х 4-1. Пересечением этих плоско-
стей является угол (рис. 62.)
Итак, множество точек плоскости, заданное данной систе-
мой неравенств, представляет собой угол, ограниченный пря-
мыми z/= 0,5x4-2,5 и у = 2х-|-1. Это множество можно охарак-
теризовать аналитически. Для этого найдем абсциссу верши-
ны угла:
0,5х-Ь 2,5 = 2x4-1,
х=1.
Искомое множество состоит из точек, абсциссы которых боль-
ше или равны 1, а ординаты удовлетворяют условию
0,5х + 2,5<у<2х4-1.
Обозначив это множество через М, можно записать так:
М = {(х; у) | х=1, 0,5х4-2,5<у<2х4-1}.
Пример 2. Найдем, при каких значениях k система не-
равенств
2у — х^б,
у — х<2,
у kx — 3
задает на координатной плоскости треугольник.
Решив каждое из первых двух неравенств относительно у,
получим систему
у > 0,5x4-3,
у<х4-2.
142
Эта система задает на координатной плоскости угол, показан-
ный штриховкой на рисунке 63.
Любая прямая вида y = kx— 3 проходит через точку (0; — 3).
Очевидно, что при Л<0 прямая y = kx — 3 не пересекает
сторон угла и искомой фигурой не может быть треугольник.
Если Л>0, то прямая y = kx— 3 может либо пересекать рас-
сматриваемый угол, либо не пересекать его.
Выясним, при каком значении k прямая проходит через
вершину угла. Найдем сначала координаты вершины:
0,5х + 3 = х + 2,
х = 2,
у = 2 + 2 = 4.
Вершина угла имеет координаты (2; 4). Подставив найденные
значения в уравнение y = kx — 3, получим:
4 = /?-2 —3,
Л = 3,5.
Значит, при Л = 3,5 прямая y = kx— 3 проходит через верши-
ну угла. Если k >3,5, то прямая у = кх— 3 не пересекает сто-
рон угла; если 0<Л<3,5, то прямая пересекает стороны уг-
ла. В этом случае система неравенств
задает треугольник.
2у — х>6,
у — х<2,
у > kx — 3
Итак, данная система неравенств задает на координатной
плоскости треугольник, если 0<Л<3,5.
Пример 3. На рисунке 64 изображен четырехугольник
с вершинами А (0; 5), В (4; 0), С(1; —2), D ( — 4; 2). Зададим
этот четырехугольник системой неравенств.
Составим уравнение прямой, которой принадлежит сторо-
на АВ. Для этого решим систему уравнений
5 = Л-0 + Ь,
0 = Л-44-Ь.
Получим, что Л=—— , Ь = 5.
Сторона АВ принадлежит прямой у=—— х + 5.
Четырехугольник расположен ниже этой прямой. Значит,
координаты любой его точки удовлетворяют неравенству
5	- к
z/<--x + 5.
Аналогично найдем, что сторона ВС принадлежит прямой
2	8	„46
у=—х — — , сторона CD принадлежит прямой у ———х — — ,
3	3	О О
143
сторона DA принадлежит прямой у = —х + &. Отсюда получа-
ем, что четырехугольник ABCD можно задать системой нера-
венств		5	1 к ; —-х4-5, 4
	У*	2	8 з ’
	у~^	W сл| н 1 сл| а
	У^	„ 3	. к %тх4-5- 4
342.	Является ли решением системы неравенств
( 5х — 2у —1>0,
t х + у<10
пара чисел:
а)	х = 0,1, у = — 0,2; в) х = 3, у= — 2?
1	2
б)	х=-, у=—
343.	Пусть F — множество точек координатной плоскости, за-
даваемое системой неравенств
J 0,5х — у 4-0,6 > 0,
( 2х — у —11<0.
Принадлежит ли множеству F точка:
а) А (4; 0,7); .6) В (-4; 1); в) С(д/2; д/З)?
344.	Изобразите на координатной плоскости множество
С=АПВ, если А={(х; у) | у<х}, В = {(х; у) | х + у<2}.
345.	Пусть
А={(х; у) | х>0, у>х},
В = {(х; у) I х>0, уС2х}.
Изобразите на координатной плоскости множество
D=A(]B.
346.	Покажите штриховкой на координатной плоскости мно-
жество F = Pf\Kt если известно, что:
а)	Р = {(х; у) | х>0, x^2z/}, 1С = {(х; у) | х>0, x-j-i/^l};
б)	Р = {(х; у) | х>0, х —у>2}, Ж'={(х; у) | х>0, у>2}.
347.	Покажите штриховкой на координатной плоскости мно-
жество точек, координаты которых удовлетворяют систе-
ме неравенств:
а)	х+1, б) [у — х + 6>0, в) |2у —х + 3>0,
1уС2х + 2;	(z/ — х— 11<0;	( Зу — 6х+1 СО-
144
348.	Какую фигуру задает на координатной плоскости систе-
ма неравенств:
а)	(у — 12х + 4>0,	в) (Зу-х4-1>0,
( у — 12хЧ-12<0;	(Зу —х —4<0?
б)	(у — 1,5х>-1,
I 2у + х + 2>0;
349.	Даны множества А и В. Является ли одно из них под-
множеством другого, если:
а)	А={(х; у) | xZ>0, у — х^О} и В = {(х; у) | х — любое
число, у4-х^О};
б)	А={(х; у)|х^О, у^О} и	В = {(х; у)\у — х^О,
у — Зх<0}?
350.	Какую фигуру представляет собой пересечение множеств
А и В; объединение множеств А и В, если:
а)А={(х; у)\у — х>0, у>0}, В = {(х; у) | у4-х>0,
б)А={(х; у) | х>0, у — х>0), В = {(х; у) | х<0,
у — х>0}?
351.	При каких значениях k и b множеством точек коорди-
натной плоскости, задаваемым системой неравенств
у 2х 4- 3,
у>Лх + Ь,
является: а) полоса; б) угол; в) пустое множество?
352.	Выясните, какую фигуру задает на координатной плос-
кости система неравенств:
а) х>0,
у — х>0,
у 4- 2х —11<0;
б) (у — Зх4-4>0,
• у + Зх + 4>0,
353.	Постройте треугольник, задаваемый системой нера-
венств
у + 3>2х,
у — х<1,
у — 0,2х — 0,6>0,
и найдите координаты его вершин.
354.	При каких значениях k система неравенств
х —2у4-2^0,
у-2>0,
у — /?х>0
задает на координатной плоскости треугольник?
145
355.	Какую фигуру задает на координатной плоскости сис-
тема:
а) |х+у4-1 = 0,	6)(x = z/,
11/>0;	( — 2<z/<2?
356. Найдите площадь треугольника, который задает система:
а)	х>0, !/>0,		в)	ОЗ О	О	+ Л\	л\	* Н Н |« 1	+	V/ Si	Si
	x4-2i/ — 3«	^0;		
б)	у — х>0,		г)	1/<хЧ-5,
	1/4-х>0,			i/< —х + 5,
	. 2i/ —х —4<	^0;		
357.	Какую фигуру представляет собой множество M = F[]K,
если F — {(х; у)| —1^х^2, у — любое число},
К = {(х; у) | х — любое число, — 5^z/^0}?
358.	Постройте прямоугольник, задаваемый системой
— 3,5<х<4,5,
2,5<^6,5,
и определите его площадь.
359.	Постройте четырехугольник, который задает на коорди-
натной плоскости система неравенств
х>0,
х + 2у<6,
х —3<0.
Определите площадь этого четырехугольника.
360.	Постройте прямые у-\-~ х=0 и у — 0,5х = 0. Задайте си-
«э
стемой неравенств угол, который образован этими пря-
мыми и расположен правее оси у.
361.	Задайте системой неравенств полосу, заключенную меж-
ду двумя прямыми, параллельными прямой у = 2х и пе-
ресекающими:
а)	ось х в точках, абсциссы которых равны 0,5 и 4,2;
б)	ось у в точках, ординаты которых равны —3 и 5.
362.	Постройте треугольник с вершинами А (0; 4), В ( — 2; 0),
С (3; — 2) и задайте его системой неравенств.
363.	Постройте четырехугольник с вершинами А (0; 5), В (4; 0),
С (1; —2), D ( — 4; —2) и задайте его системой неравенств.
364.	Задайте системой неравенств фигуру, показанную на ри-
сунке 65 штриховкой.
146
a)
S)
Рис. 65
§ 12. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ПРИМЕРЫ
НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМ
28. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
В предыдущем параграфе было показано, что линей-
ные неравенства с двумя переменными и их системы мо-
гут задавать на координатной плоскости такие множест-
ва точек, как полуплоскость, полосу, угол, многоуголь-
ник и т. п.
Выясним теперь, какие множества точек выделяют на
координатной плоскости некоторые неравенства с двумя
переменными второй или более высоких степеней и си-
стемы таких неравенств.
Начнем с простейшего случая, когда неравенство имеет
вид y>f (х) или y<f (х), где f (х) — многочлен с переменной
х второй или более высокой степени.
График функции y = f(x) разбивает координатную плос-
кость на две части (области) (рис. 66). Одна из этих частей
лежит выше графика функции, т. е. обладает тем свойством,
что любая ее точка лежит выше точки графика, находящейся
с ней на одной вертикали. На рисунке 66 эта часть показана
штриховкой. Координаты любой ее точки удовлетворяют не-
147
Рис. 66
равенству yZ>f(x). Координаты любой точки другой части
удовлетворяют неравенству y<f(x).
Пример 1. Выясним, какое множество точек задает на
координатной плоскости неравенство у>х2— 6х + 8.
Графиком функции у = х2— 6х-|-8 является парабола
(рис. 67). Неравенство у>х2 — 6x-f-8 задает ту из образовав-
шихся областей, которая расположена выше параболы. На ри-
сунке эта область показана штриховкой.
Заметим, что выделить эту область мы могли бы, восполь-
зовавшись произвольно выбранной контрольной точкой.
Остановимся теперь на случае, когда неравенство имеет
вид f (х, у) > 0 или f (х, у) < 0, где f (х, у) — некоторый много-
член с переменными х и у второй или более высокой степени.
График уравнения f (х, z/) = 0 разбивает координатную
плоскость на несколько частей, внутри каждой из которых
значения многочлена f (х, у) имеют один и тот же знак. Это
утверждение, которое мы принимаем без доказательства, по-
зволяет с помощью контрольных точек или каких-либо допол-
нительных рассуждений находить, для каких из образовав-
шихся областей выполняется неравенство f (х, у) >> 0 или не-
равенство f(x, у)<0.
Рассмотрим примеры.
Пример 2. Выясним, что представляет собой множество
точек плоскости, задаваемое неравенством х2 -j-у2 16.
Графиком уравнения х2-{-у2—16 является окружность с
центром в начале координат и радиусом, равным 4. Эта
окружность разбивает координатную плоскость на две облас-
ти: множество точек, лежащих внутри круга, ограниченного
окружностью, и множество точек, лежащих вне круга. Точки,
лежащие внутри круга, удалены от центра на расстояние,
меньшее чем 4 единицы, и потому для их координат выполня-
148
Рис. 68	Рис- 69
ется неравенство х2-|-у2<: 16, а точки, лежащие вне круга,
удалены от центра более чем на 4 единицы, и их координаты
удовлетворяют неравенству х24-у2>> 16.
Значит, множеством точек, задаваемых неравенством
х2-|-у2г^ 16, является круг с центром в начале координат и ра-
диусом 4. Для того чтобы показать, что окружность принад-
лежит этому множеству, проведем ее сплошной линией
(рис. 68).
Пример 3. Выделим множество точек координатной
плоскости, задаваемое неравенством ху — 6>0.
Графиком уравнения ху = 6 является гипербола (рис. 69).
Этот график разбивает координатную плоскость на три облас-
ти: одна из них расположена выше ветви гиперболы, лежащей
в первом координатном углу, вторая — между ветвями ги-
перболы, третья — ниже ветви гиперболы, лежащей в треть-
ем координатном углу. С помощью контрольных точек не-
трудно убедиться, что неравенству ху — 6>0 удовлетворяют
координаты точек, принадлежащих первой или третьей из
указанных областей. Значит, множеством точек, которое за-
дает неравенство ху — 6>0, является объединение этих обла-
стей. На рисунке 69 оно показано штриховкой.
Рассмотрим теперь системы неравенств высших степеней
с двумя переменными. Так как множеством решений системы
служит пересечение множеств решений входящих в нее нера-
венств, то множество точек координатной плоскости, задавае-
мое системой, представляет собой пересечение множеств то-
чек, задаваемых неравенствами системы.
Пример 4. Выясним, какое множество точек задает на
координатной плоскости система неравенств
х2 4- у2 < 25,
2у — х2+1>0.
149
Рис. 70
Неравенство х2 -f- у2 25 задает круг с центром в начале ко-
ординат и радиусом 5. Неравенство 2у— x2-J-l ^0, равносиль-
_ 1 2 1
ное неравенству у^—х ——, задает множество, состоящее из
А	А
точек параболы у= —х2 — и точек, расположенных выше
этой параболы. Пересечением этих множеств является часть
круга, ограниченная снизу параболой у = —х2 — — (рис. 70).
Охарактеризуем это множество аналитически.
Решив систему уравнений
( x2-|-y2 = 25,
( 2у — х2 -f-1 = 0,
находим, что она имеет два решения:
Х1=—3, У! = 4 и х2 = 3, у2 = 4.
Из рисунка видно, что искомое множество состоит из то-
чек, абсциссы которых удовлетворяют условию
— З^хз^З,
а ординаты удовлетворяют условию
|х2— ^<y<V25~x2.
Если это множество обозначать через Р, то можно записать:
Р = |(х; S)|-3<x<3,	].
Заметим, что в тех случаях, когда требуется выделить на
координатной плоскости множество точек, заданное неравен-
150
ством вида--->0, где f (х, у) и р (х, у) — некоторые много-
р (х. У)
члены с переменными х и у, его можно заменить равносиль-
ной ему совокупностью двух систем:
Дх, у)>0, ff(x, у)<0,
ч „ или {
р(х, у)>0	(р(х,	у)<0.
Тогда искомое множество можно найти как объединение мно-
жеств точек, заданных этими системами.
Аналогичным образом можно поступить и с неравенством
Пример 5. Найдем, какое множество точек задает на ко-
ординатнои плоскости неравенство — >0.
Данное неравенство равносильно совокупности систем не-
равенств:
( ху — 8>0,	[хи— 8<0,
{ Л или <
[х>0	[х<0.
Получаем, что искомое множество точек представляет со-
бой объединение двух областей, одна из которых состоит из
точек, расположенных в первом координатном углу выше вет-
ви гиперболы ху = 8, а другая состоит из точек, расположен-
ных в левой открытой полуплоскости выше ветви гиперболы
ху = 8 (рис. 71).
365.	Является ли решением неравенства Зх2-|-2у— 5^0 пара
чисел:
а) (5,1; -4); б) (-2; д/2); в) (-2Д/2; -Д/З)?
366.	Известно, что F — множество точек координатной плос-
кости, заданное неравенством х34~2у— 4>0. Принадле-
жит ли множеству F точка:
а) А (3; 12); б) В(-1; 2); в) С (4; 30); г) D(\/2; д/2)?
367.	Изобразите на координатной плоскости множество реше-
ний неравенства и укажите какие-либо две точки, при-
надлежащие этому множеству:
a)	i/<x2 —5х; в) у — 2<3х — х2;
б)	j/>2x2-|-5x—12; г) 2у4-х2^5.
368.	Выделите на координатной плоскости множество точек,
заданное неравенством:
a)	J/>x3;	в) х3 —3;
б)	у<х34-4;	г) у<(х —2)3.
369.	Постройте график функции у = (х — 4)(х-|-8). Задайте
неравенством область, расположенную выше графика.
151
370.	Постройте график уравнения f(xt у) = 0 и определите
знак многочлена f (х, у) в образовавшихся областях:
а) 2х2-|-у = 0;	в) ху —12 = 0;
б)	x2 + z/2 —2,25 = 0; г) х2 — у2 = 0.
371.	Постройте график уравнения у2 — 2х = 0. Задайте нера-
венством каждую из образовавшихся областей.
372.	Какое множество точек задает на координатной плоско-
сти неравенство:
а)	х24-у2<121; в) (х-1)2-|-(и + 4)2< 1,44;
б)	x2 + i/2>2; г) х2 + (3-уГ>1,69?
373.	Задайте неравенством:
а) круг с центром в точке А (1; 3) и радиусом, равным 4;
б) множество точек плоскости, расположенных вне кру-
га с центром в точке С (— 3; 3) и радиусом 2,5.
374.	Укажите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) х2 + </2 —4х—12у4-40^0;
б)	x2H-i/2 + 8x —2Z/ + 17C0;
в)	x2 + z/2-10x + 4z/4-29>0;
г)	x2 + i/2-24x + 26i/ + 313<0.
375.	Изобразите множество точек координатной плоскости,
которое определяется следующим условием:
a) x2 + i/2>2x; в) х2 + у2^А (х + у);
б)	x2-|-i/2<4i/; г) x2-j-i/2 + 8C6x.
376.	Изобразите множество точек, координаты которых удов-
летворяют неравенству:
а) ху>8;	б)#>|; в) ху<12;	г)у<™.
377.	Является ли решением системы
чисел:
х3 + у<20,
х2 + />12
пара
а) (1,5; 2); б) (2,5; 3); в) ( — 1,5; 16); г) (V2; д/З)?
378.	Зная, что Р — множество точек координатной плоско-
сти, заданное системой неравенств
( XZ/ + 11 >0,
{/4-х<0,
определите, принадлежит ли множеству Р точка:
а) А (1,5; -8); б) В (0; -1); в) С (2; —2); г) В (3; -5).
379. Изобразите множество точек, координаты которых удов-
летворяют системе неравенств:
а) Г х24-у2^0,81, б) ( х24-у2^25,
(z/ — 0,5^0;	( у 5 — х;
152
В) | х2 + у2 >0,36,
[ х2-pi/20,64;
г) Г х2 + z/2^ 1,44,
I Xi/>0;
Д) f x2 + j/2 — 49<0,
( у — х2 > 0;
е) Г x2 + i/2 —36<0,
Ь>(х + 2)(х-3).
( х2 + у2^а2,
380. При каком условии система {	„ задает:
1х24-1/2>Ь2
а) кольцо; б) окружность; в) пустое множество?
381.	Среди точек плоскости, координаты которых удовлетво-
ряют системе неравенств:
а) | у — 2х2 — х+15>0, б) ( г/ + х2—10х + 24<0,
[у — х — 3^0;	(z/>x — 10,
найдите точку с наибольшей ординатой и точку с наи-
меньшей ординатой.
382.	Изобразите множество решений системы неравенств:
а) | i/>x2-|-5x — 6, б) Г х2-}-у2^36,
х2 — 2х-|-24;	[z/>x2 — 6
и охарактеризуйте его аналитически.
383.	Какое множество точек задает на координатной плоско-
сти неравенство:
а)	х24~!/2>0;	в) xz/<0;	д) х2 — у2<0;
б)	x24*i/2<10;	г) xi/>0;	е) х4—1/4>0?
384.	Найдите с точностью до 0,1 площадь фигуры, заданной
системой неравенств:
а) | х2 +1/2< 10, б) Г х24-1/2<0,25, в) Г x24-z/2<36,
|x24-i/2>6;	(xz/>0;	[ х2 —у2>0.
385.	Задайте неравенством или системой неравенств множе-
ство точек, показанное на рисунке 72 штриховкой.
386.	Выделите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
387.	Изобразите множество точек Р, где P=Af]B, если:
а) А={(х; i/)|x24-i/2<16},
В = {(х; j/)l(x — 4)24-(j/ — 4)2<16};
б) А={(х; 1/)1</>(х— I)2}, В = {(х; у)|(х—1)2-|-^2<1}.
153
388.	Изобразите множество точек F, где F=A|JB, если:
а)	Л={(х;у)|у — х2>0}, В{(х;у)\у2 — х>0};
б)	А={(х; j/)l(x-2)2+S2<4),
В = {(х; у)|(х-2)2 + (у + 2)2<4).
389.	Изобразите множество точек, координаты которых удов-
летворяют неравенству:
а)	х (х2 4- у2 — 9) О; в) х (х2 4- у2 — 4) О;
б)	>0.	г) av+± <0.
’ X	X
29. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Простейшими неравенствами с двумя переменными, в ко-
торых переменная находится под знаком модуля, являются
неравенства вида у>\f (х)|, у < | f (х) |, y>f (|х|), у</(|х|),
где f (х) — многочлен.
График функции у — | f (х) |, где f (х) — некоторый много-
член с переменной х, аналогично графику функции y = f (х)
разбивает координатную плоскость на две части. Одна из этих
частей расположена выше графика, т. е. любая ее точка ле-
жит выше, чем соответствующая точка графика, находящаяся
с ней на одной вертикали. Поэтому координаты любой ее точ-
ки удовлетворяют неравенству у I f (х) |. Другая часть распо-
ложена ниже графика функции у = | f (х) |, и координаты лю-
бой ее точки удовлетворяют неравенству у < I f (х) |. Ана-
логично график функции у = f (I х |) разбивает координатную
плоскость на две части. Для координат точек одной из них
выполняется неравенство у>/(|х|), а для другой z/<Y(|x|).
154
Эти соотношения используются для выделения областей,
которые задаются неравенством рассматриваемого вида.
Пример 1. Выделим на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
1/>х2 —4|х|+3.
Построим график функции у = х — 4|х| 4-3, воспользовав-
шись тем, что он совпадает с графиком функции у = х2— 4х +
4-3 на множестве неотрицательных значений аргумента и
симметричен ему относительно оси у на множестве неположи-
тельных значений аргумента (рис. 73).
Неравенство у>х2— 4|х|-|-3 задает область, расположен-
ную выше графика функции у = х2 — 4|х| -|-3. На рисунке
73 эта область показана штриховкой. Заметим, что выявить
ее мы могли бы с помощью контрольной точки.
Когда требуется дать геометрическую интерпретацию мно-
жества решений более сложного неравенства, содержащего
одну или обе переменные под знаком модуля, стремятся,
пользуясь определением модуля числа, освободиться от знака
модуля. При этом неравенство заменяют равносильной ему со-
вокупностью неравенств или систем неравенств, а множество
точек координатной плоскости, задаваемое им, находят как
объединение множеств точек, которые задают неравенства
или системы неравенств, входящие в эту совокупность.
Пример 2. Выясним, что представляет собой множество
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют нера-
венству х24-у2 — 4|х|—6|у|^23.
Рис. 74
155
Учитывая знаки переменных х и у, получаем, что данное
неравенство равносильно совокупности четырех систем:
х^О,
х2 + у2 — 4х — бу 23;
х<0,
У>0,
х2 + У2 4~ 4х — бу 23;
х<0,
!/<0,
х2 4~ у2 4=- 4х 4- бу 23;
х>0,
У<0,
х2 + у2 — 4х 4- бу С 23.
Найдем сначала, какое множество точек задает на коорди-
натной плоскости первая из этих систем.
Заменив неравенство x2-j-y2 — 4х — бу =С23 равносильным
ему неравенством х2 — 4х +4 4-у2 — бу 4-9^234-13, т. е. нера-
венством (х — 2)24~(у — 3)2^36, находим, что оно задает круг
с центром в точке (2; 3) и радиусом, равным 6. Отсюда полу-
чаем, что система задает на координатной плоскости часть
этого круга, расположенную в первом координатном углу.
Аналогично находим, что вторая система задает часть кру-
га с центром (— 2; 3) и радиусом 6, принадлежащую второму
координатному углу, третья — часть круга с центром ( — 2; — 3)
и радиусом 6, принадлежащую третьему координатному
углу, а четвертая — часть круга с центром (2; — 3) и радиу-
сом 6, принадлежащую четвертому координатному углу.
Объединение множеств точек, заданных этими четырьмя
системами, и представляет собой ту фигуру, которую задает на
координатной плоскости неравенство х2 + у2 — 41х| — 61 у |
^23. На рисунке 74 эта фигура показана штриховкой.
Заметим, что из неравенства х2 + у2 — 4|х| — 6|у| ^23 ясно,
что заданная им фигура симметрична относительно каждой
из осей координат. Поэтому, изобразив часть фигуры, распо-
ложенную в первом координатном углу, мы можем построить
другую ее часть, расположенную во втором координатном уг-
лу, воспользовавшись симметрией центров окружностей отно-
сительно оси у. Последовательно используя симметрию отно-
сительно осей координат, мы построим другие части фигуры.
156
Пример 3. Выясним, какую фигуру задает на коорди-
натной плоскости неравенство | х | + | у |	3, и вычислим ее
площадь.
Как и в предыдущем примере, мы можем заменить данное
неравенство равносильной ему совокупностью четырех сис-
тем. Однако можно поступить иначе. Из неравенства |х|-|-
+ IУI 3 ясно, что искомая фигура симметрична как отно-
сительно оси х, так и относительно оси у. Изобразив сначала
ее часть, расположенную в первом координатном углу, мы
можем построить затем остальные три ее части, используя
свойства симметрии относительно прямой.
Для первого координатного угла имеем систему
х^О,
!/>0,
. х4-у = 3.
Эта система задает прямоугольный треугольник, ограничен-
ный прямыми х = 0, у = 0, х + у = 3. Построим треугольник
и, используя свойства симметрии, изобразим три осталь-
ные части фигуры (рис. 75). Полученная фигура представляет
собой квадрат с площадью, равной сумме площадей четырех
равных равнобедренных прямоугольных треугольников, у
каждого из которых длина катетов равна 3. Отсюда получаем,
что искомая площадь равна 18 квадратным единицам.
Пример 4. Выясним, какую фигуру задает на коорди-
натной плоскости неравенство |х — 2| + |у— 2|^2, и вычис-
лим ее площадь.
Освободимся от знаков модуля. При этом будем учиты-
вать, что каждое из выражений х — 2 и у — 2 меняет знак при
переходе через точку 2. Получаем, что данное неравенство
равносильно совокупности четырех систем:
{х>2,
</>2,
(х-2) + (у-2)<2;
х<2,
У>2,
(2-Ж) + (1/-2)<2;
х<2,
У<2,
(2-х) + (2-у)<2;
х>2,
У<2,
(х-2) + (2-у)<2.
157
Рис. 76
Найдем, какое множество точек задает на координатной
плоскости каждая из этих систем.
Рассмотрим сначала первую систему. Заменив неравенство
(х— 2)4- (у — 2)^2 равносильным ему неравенством у^б —х,
получаем, что эта система задает на координатной плоскости
треугольник, ограниченный прямыми х = 2, у = 2 и у = 6 — х.
Аналогично находим, что вторая система задает на коор-
динатной плоскости треугольник, ограниченный прямыми
х = 2, у = 2, </ = х4~2. Соответственно третья система задает
треугольник, ограниченный прямыми х = 2, у = 2, у = 2 — х, а
четвертая — треугольник, ограниченный прямыми х = 2,
у = 2, у = х — 2. Нетрудно показать, что каждый из этих тре-
угольников является равнобедренным и прямоугольным и все
они равны между собой.
Фигура, которую задает на координатной плоскости нера-
венство |х — 2|4~1у — 21 2, является объединением этих тре-
угольников и представляет собой квадрат (рис. 76). Его пло-
щадь можно вычислить как сумму площадей четырех равных
треугольников, составляющих его. Длины катетов каждого
из этих треугольников равны 2. Отсюда получаем, что иско-
2-2
мая площадь равна 4 • ——, т. е. равна 8 квадратным еди-
ницам.
Рассмотрим теперь системы, в которые входят неравенства
с двумя переменными, содержащие переменные под знаком
модуля. Если ставится задача дать геометрическую интерпре-
тацию множества решений такой системы, то стремятся, ис-
пользуя определение модуля числа, освободиться от знака мо-
дуля, заменяя при этом систему равносильной ей системой
или совокупностью систем неравенств.
168
Пример 5. Выделим на координатной плоскости множе-
ство точек, которое задает система неравенств
( |3у —х| <3,
1 |2х — у| <2,
и охарактеризуем его аналитически.
Из определения модуля числа следует, что данная система
равносильна системе
| — 3<3у —х<3,
t — 2<2х — у<2.
Выясним, какое множество точек задает на координатной
плоскости первое из двойных неравенств, входящих в эту си-
стему.
Имеем:
х — 3^3y^x-|-3,
о	о
Отсюда получаем, что это неравенство задает на координат-
ной плоскости полосу, заключенную между параллельными
прямыми
1	1	1	। 1
y=jx—l и у = -х4-1.
Для второго неравенства имеем:
— 2^2х — у ^2,
— 2 — 2х — у 2 — 2х,
2х —2<у<2х + 2.
Значит, второе двойное неравенство задает на координатной
плоскости полосу, ограниченную параллельными прямыми
у = 2х — 2 и у = 2х-|-2.
Отсюда можно сделать вывод, что множеством точек, которое
задает система неравенств
f |3у-х| <3,
I |2х — у\<2,
является пересечение этих полос, представляющее собой па-
раллелограмм (рис. 77).
Для того чтобы охарактеризовать это множество аналити-
чески, найдем координаты вершин параллелограмма.
Для вычисления абсциссы точки А решим уравнение
4 х+ 1 = 2х +2.
Получаем, что х= —0,6.
169
Из равенства у = 2x4-2 найдем ординату этой точки:
у = 2-(-0,6) + 2 = 0,8.
Таким образом, мы нашли координаты одной из вер-
шин: А( — 0,6; 0,8).
Таким же образом можно вычислить координаты других
вершин параллелограмма:
В (1,8; 1,6), С (0,6; —0,8), В ( — 1,8; —1,6).
Теперь можно охарактеризовать множество решений систе-
мы неравенств:
если —1,8— 0,6, то ^-х — 1	2x4-2;
О
если —0,6^х=С0,6, то ~х— 1 ^</^4х4-1;
о	О
если 0,6<х< 1,8, то 2х —	х4~ 1.
О
390.	Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, которое задает неравенство:
а)у>|х|;	в) у>|3,5 —х|;
б)у<|х-2|; г) у<|0,2 + х|.
391.	Выделите на координатной плоскости множество точек,
которое задает неравенство:
а)	</>|х2 — 6х4-8|; в)	| — х24-х|;
б)	</>х2 —6|х| 4-8; г) </>х24-2|х|.
392. Покажите	на координатной плоскости множество Р то-
чек, если:	
а) Р = {(х;	у) 11 х |	2, у — любое число};
б) Р = {(х;	у) | х — любое число, | у |	0,5};
в) Р = {(х;	у) [ [х—1,5|^3,5, у — любое число};
г) Р = {(х;	у)\х — любое число, |</4-4|^б};
д) Р = {(х;	у) [ 1 |х|	2, у — любое число};
е) Р = {(х;	у)\х — любое число, 1,5^ |t/| ^3,5}.
393.	Изобразите множество точек плоскости, которое задает
неравенство:
а)	|х —у|<3; в) |х — 2у|<4;
б)	|x4-yl >1; г) |jz — Зх| >5.
394.	Изобразите на координатной плоскости множество F то-
чек, координаты которых удовлетворяют неравенству
|2х — у|<1, и охарактеризуйте его аналитически.
Принадлежит ли множеству F точка:
а) А (3; 6); б) В(0; 0,5); в) С(1; 2,5); г) В (10; 11)?
395.	Покажите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) \ху\<6; б) х|у| <6; в) |х|у<6.
160
396.	Выясните, какую фигуру задает на координатной плос-
кости неравенство:
a)	|jd >х; в) |</|>х2 — 5x4-6;
б)	|у|<х —2;	г) Ij/I >х2 —5|х| 4-6.
397.	Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую
задает неравенство, и вычислите ее площадь:
a)	|x|4-ljzl<3; в) |х-3| + \у-3|<3.
б)	|х|4-1у1С2,5;
398.	Выделите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству:
a) |j/| < |х2 —4|; б) |д/| > |х2 — 4|.
399.	Покажите на координатной плоскости множество точек,
которое задает неравенство:
a)	x2 + i/2 —4|х|-4-4</<1;	в) х24-</2<4|х| 4- 11;
б)	x2 + j/2 —6x4-4|i/K3;	г) x24-y2<2|i/| 4-3.
400.	Выделите на координатной плоскости множество точек,
которое задает система неравенств
Г !/>|х2-4|,
1 ^<2х + 11,
и укажите координаты точки с наименьшей ординатой
и точки с наибольшей ординатой.
401.	Покажите на координатной плоскости множество F то-
чек, которое задает система неравенств
Г У> |х — 4|,
1(х-4)24-у2<16.
Укажите координаты точки, принадлежащей F и име-
ющей:
а)	наименьшую абсциссу; в) наименьшую ординату;
б)	наибольшую абсциссу; г) наибольшую ординату.
402.	Изобразите на координатной плоскости множество
точек, которое задает система неравенств
f x2 + i/2<5,
I У С |х|.
Укажите все точки с целочисленными координатами, ко-
торые принадлежат этому множеству и оси абсцисс.
403.	Покажите на координатной плоскости фигуру, которую
задает система неравенств:
а) | 3^-|-х^6, б) (у— 0,4x^1,
(j/>|x|;	Ij/>|x— 1|,
и определите ее площадь.
6 Заказ 181
161
404.	Даны множества А и В, где
А={(х; у)|х— любое число, у^х2~4|х| 4-3},
В = {(х; у)\х— любое число, у^ |х|}.
Изобразите на координатной плоскости множество Р,
если:
а)Р=АПВ; б) Р=АЦВ.
405.	Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
а) ( 3< |х| <5, б) ( 3,5< |х| <5,5,
( 1<|у|<4; I 4,5< |j/| <6,5.
406.	Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую
задает система неравенств, и найдите ее площадь с точ-
ностью до 0,1:
а)	( *2 4-у2^36, в) Г х2 4-у2<64,
I </> |х|;	| |х — у\>8;
б)	Г х24-1/2<9, г) (х24-1/2<25,
1</<|х|;	1 |х4-^1^5.
407.	Покажите на координатной плоскости фигуру, заданную
данным условием, и вычислите ее площадь с точностью
до 0,1:
a)	x24-i/2< |8х|; в) f х24-1/2< |4х|,
б)	х2 4- у2 < 61 х |;	I у 0.
408.	Найдите площадь фигуры, которую задает система нера-
венств:
а) Г !/> |х|, б) 1 \у| <х,
Ь<6;	[|х|<2.
409.	Покажите шриховкой множество точек координатной
плоскости, которое задает система неравенств:
а) Г lx —1/| <1, б) Г |2х4-1/| <3,
1 |х4-!/КЗ; t |х —2j/|<4.
410.	Постройте фигуру, заданную системой неравенств
lx —j/| <2,
1x4- у\«С2,
и определите ее площадь.
Глава VI
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 13. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 14. ВИДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
§ 13. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
30. ЧИСЛОВЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. СПОСОБЫ
ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Натуральные числа, кратные 3, взятые в
порядке возрастания, образуют бесконечную числовую после-
довательность :
3, 6, 9, 12, 15, ... .
Числа, образующие последовательность, называют члена
ми последовательности. Обычно члены последовательности
обозначают буквами с индексами, указывающими порядко-
вый номер члена, например: alt а2, ...» ап, ... (читается: а пер-
вое, а второе, ..., а энное и т. д.). Для обозначения самой по-
следовательности будем использовать символ вида (а„).
В рассмотренной последовательности аг = 3, а2 = 6,
°ioo = 300, о1001 = 3003, вообще а„ = 3п. Каждому натуральному
числу п соответствует определенный член последовательно-
сти. Значит, данную последовательность можно рассматри-
вать как функцию, заданную на множестве натуральных
чисел.
Вообще любая бесконечная последовательность является
функцией, областью определения которой служит множество
натуральных чисел.
Конечная последовательность, состоящая из п членов, пред-
ставляет собой функцию, областью определения которой явля-
ется множество первых п натуральных чисел.
Последовательность считается заданной, если указан спо-
соб, позволяющий найти член последовательности с любым
номером.
163
Рассмотрим способы задания последовательностей.
Последовательность может быть задана с помощью описа-
ния, раскрывающего способ нахождения члена последователь-
ности по его номеру.
Пример 1. Пусть (сп) — последовательность десятичных
приближении дроби взятых с недостатком с точностью до
0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Выполняя деление 2 на 7, найдем, что
последовательность (сп) начинается так:
0,2, 0,28, 0,285, 0,2857, 0,28571...
Пример 2. Пусть (ип) — последовательность, каждый
член которой равен остатку от деления его номера на 4.
Это описание позволяет для любого номера п найти соот-
ветствующий член последовательности. Последовательность
(мл) начинается так:
1,	2, 3, 0, 1, 2, 3, 0...
Распространенным способом является задание последова-
тельности формулой, выражающей любой член последователь-
ности через его номер. Такую формулу называют формулой
п-го члена.
Приведем примеры задания последовательности формулой
п-го члена.
Пример 3. Рассмотрим последовательность (Ьп), задан-
ную формулой Ьп = п2— 5п.
Подставляя вместо п последовательно натуральные числа
1, 2, 3, 4, ...» получим, что
Ь,-!2 —5-1=	4,
b2 = 22 — 5-2= —6,
Ь3 = 32 —5-3= —6,
Ь4 = 42 —5-4= —4,
Ь5 = 52 —5-5 = 0,
Ъв — 62 — 5-6 = 6 и т. д.
Последовательность (Ьл) начинается так:
— 4, —6, —6, — 4, 0, 6, ... .
Пример 4. Пусть последовательность (ал) задана фор-
мулой	+1
Подставляя в эту формулу вместо п числа 1, 2, 3, 4, ... и
выполняя вычисления, найдем, что последовательность (ал)
начинается так:
11 11 1
** —”2’ 3*	4’ 5’	6 ’ **' '
Пример 5. Рассмотрим последовательность (хл), задан-
ную формулой хл = 8.
Из формулы ясно, что любой член этой последовательно-
сти равен 8, т. е. эта последовательность имеет вид:
8, 8, 8, 8, 8, 8, ... и
164
Еще один способ задания последовательности заключается
в том, что указывают:
а)	первый член последовательности или первые несколько
членов последовательности;
б)	формулу или правило, позволяющие найти любой член
последовательности по известным предшествующим членам.
Такой способ задания последовательности называется ре-
куррентным способом (от латинского слова recurro — возвра-
щаться).
Рассмотрим примеры задания последовательностей рекур-
рентным способом.
Пример 6. Пусть в последовательности (сп) Cj = 2, с2 = 4
и разность между членом последовательности и предыдущим
членом возрастает на 6.
Имеем, что с2 — сг = 2. Отсюда получаем, что
Сз = с24“(2-Ь6) = 44-8 = 12,
с4=с3+(84-6)=12-|-14=26,
с5=с4+(14+6)=26+20=46,
с6=сб+(20+6)=46+26=72,
с7 = с64-(264-6) = 724-32 = 104 и т. д.
Последовательность (сл) начинается так:
2,	4, 12, 26, 46, 72, 104, ....
Пример 7. Пусть известно, что в последовательности (ип)
U1 = U2=1, un = u„_i + u„_2 при п>2.
Выпишем первые несколько членов этой последователь-
ности:
и3=14-1 = 2, u4 = 24-1=3, u5 = 34-2 = 5,
u6 = 54~3 = 8, u7 = 84~5 = 13 и t. д.
Получаем последовательность
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... .
Эта последовательность называется последовательностью
Фибоначчи., а члены ее — числами Фибоначчи.
Остановимся теперь на вопросе о геометрическом изобра-
жении членов последовательности. Для этого используются
два способа: изображение членов последовательности на коор-
динатной прямой и изображение членов последовательности
на координатной плоскости.
Первый способ состоит в том, что члены последовательно-
сти (ап) изображаются точками координатной прямой, абсцис-
сы которых равны alt а2, а3, ... . Около этих точек указывает-
ся, какой член последовательности изображает данная точка.
Пусть, например, последовательность (ап) задана формулой
ап =--—• ТогДа 01=--^» а2=1, а3=—2 —, а4 = 4,
а5= —б|,а6=9ит. д. Отметим на координатной прямой точ-
ки с абсциссами —4- ,1, —2, 4, —б|, 9 и т. д. и укажем,
4	4	4
165
as	a3 Qj az	a6
—♦----ii — »— a ।	» । > ।	«	।	। « । >
-8	-6	-4	-2	0	2	4	6	8	10 X
Рис. 78
какой член последовательности изображает каждая из точек
(рис. 78).
Другой способ состоит в том, что каждый член последова-
тельности изображается точкой, абсцисса которой равна но-
меру члена, а ордината — значению этого члена, т. е. точкой
с координатами (и; ап). Так, например, первые члены рассмот-
ренной последовательности (ал), где ап=-—” , будут изоб-
ражаться точками
(1; _Г), (2; 1), (3; -21\(4; 4), (Ь; -б!), (6; 9) (рис. 79).
Очевидно, что при этом точки с четными абсциссами будут
располагаться вдоль ветви параболы у=-^х2, лежащей в пер-
вом координатном углу, а точки с нечетными абсциссами бу-
—	1	2	“
дут располагаться вдоль ветви параболы у = — — х , лежащей
в четвертом координатном углу.
411.	Выпишите первые шесть членов последовательности при-
ближенных значений дроби взятых с недостатком с
О
точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и
т. д. Какой член будет нахо-
диться на седьмом месте; на де-
сятом месте; на n-м месте?
412.	Выпишите первые четыре члена
последовательности: а) прибли-
женных значений \/2, взятых с
недостатком с точностью до 0,1;
0,01; 0,001 и т. д.;
б)	приближенных значений
взятых с избытком с точно-
стью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.
413.	Выпишите последовательность:
а) натуральных делителей чис-
ла 36, взятых в порядке возра-
стания;
б)	двузначных чисел, оканчи-
вающихся цифрой 5, взятых в
порядке убывания;
в)	правильных дробей со знаме-
нателем 11, взятых в порядке
возрастания.
166
414.	Выпишите первые пять членов последовательности про-
стых чисел, оканчивающихся цифрой 1, взятых в поряд-
ке возрастания. Является ли членом этой последователь-
ности число 201; 301; 401; 1001?
415.	Последовательность составлена по следующему правилу:
каждому номеру п соответствует число а„, равное остат-
ку от деления п на 3. Выпишите первые девять членов
этой последовательности. Какое число находится в этой
последовательности на 16-м месте; 1278-м месте;
10 516-м месте?
416.	Последовательность составлена по следующему правилу:
на первом месте записан 0, на втором 1, на третьем
— 1 и далее на четных местах записываются натураль-
ные числа, взятые в порядке возрастания, а за каждым
натуральным числом следует противоположное ему це-
лое число.
Выпишите первые восемь членов этой последовательно-
сти. Какое число находится в этой последовательности
на 12, 81, 106-м месте? На каком месте будет записано
число 26; 29; —31; —72?
417.	Выпишите первые шесть членов последовательности (ал),
заданной формулой n-го члена:
a)	г) ал = 7;
б)	ап = п2 — п;	д) ап = ^~;
в)	е)а„ = ( —1)"п;
418.	Последовательность (сл) задана
а) сп = п(п — 4); б) =
Найдите с3, с5, с100, ck, ck+1.
419.	Найдите о8» ®юо» ®2fc+i» *
ж) а„ = ( —3)л;
з) ап = 3 2п;
А
формулой п-го члена:
х	(-1)"
в) сл = -73-Г-
а) ап =
1
— при четном п,
1
—при нечетном п;
420.
!1 при четном п,
(— 1)"(п4-1) при нечетном п.
Запишите первые шесть членов последовательности (&л)
заданной рекуррентным способом:
а)	Ь1 = 5, ЬЛ+1 = ЬЛ-Ь4;
б)	Ь1 = 8, Ьл + 1 = 12 —Ьл;
в)	—10, Ьл+1=—4ЬЛ;
г)	&i = 12, Ьл+1=(п4-1) Ьп;
д)	Ь1 = 1, b2 = 4, &n+1 = b„4-b„_i (п>2);
е)	^ = 2, b2 = 3, bn+i = b„-bn_i (п>2).
167
421.	Произведение 1-2-3* ... -(п— 1) п, где n£N, обозначает-
ся знаком п\ (читается: эн-факториал).
Найдите первые шесть членов последовательности (а„),
если an = n-nl
422.	Вычислите первые шесть членов последовательности (ап)
и изобразите их на координатной прямой, если:
а) а„ = 2п4-1;	в) ап = ( —1)" +1 п;
z _	+ l 2"
б)	а„ = — п2 * * + 2; г) ап =---g---.
423.	Последовательность (ап) задана формулой:
а) ап — 0,5п — 1; б) = в) an = 0f5n2; г) ап = ( —1)"-6.
Найдите первые шесть членов этой последовательности
и изобразите их точками на координатной плоскости.
Где расположены эти точки?
424.	Пусть (с„) — последовательность квадратов двузначных
чисел, взятых в порядке возрастания. Укажите первые
три и последние три члена последовательности. Задайте
эту последовательность формулой n-го члена.
425.	Пусть (Ьп) — последовательность кубов двузначных чи-
сел, взятых в порядке возрастания. Найдите ее первый
член и последний член. Укажите число членов последо-
вательности и задайте ее формулой n-го члена.
426.	Выпишите первые пять членов последовательности (и„)
и задайте ее какой-либо формулой, если:
а)	(ип) — последовательность, в которой члены с нечет-
ными номерами равны —7, а с четными номерами рав-
ны 7;
б)	(ип) — последовательность натуральных чисел, крат-
ных 5, взятых в порядке возрастания;
в)	(п„) — последовательность натуральных чисел, даю-
щих при делении на 6 остаток 1, взятых в порядке возра-
стания.
427.	Подберите какую-либо формулу n-го члена, задающую
последовательность:
. 9 3	4	5	.	1	1___1___1_
2 ’ 3 ’ 4 ’	В' 1-2 ’ 2-3 ’3-4 ’4 5
б)	1, 3, 5, 7, ...;	Г) 1-2, 2-5, 310, 417, ...
428.	Укажите какую-либо формулу n-го члена, которой мо-
жет быть задана последовательность:
а\ 2 —— — —— —
а) 2’3’	4’5’
1 1 —I 15 ——
2’4’	8 ’ 16 ’	32 ’	’
1 А £ L 9
В' 3 ’ 5 ’ 7 ’ 9 ’ 11 ’	’
1 3 3-5 5-7	7-9	9 11
Г' 2^4 ’ 4-6 ’ 6-8 ’ 810 ’ 10-12 .
168
429.	Выпишите первые пять членов последовательностей (а„)
и (Ьл), заданных формулами:
a)	ал = 3п, bn = 3n + (n— 1) (п — 2) (п — 3) (п — 4) (п — 5);
б)	ал = п24-1, Ьл = (п4-4) (п — 2) — (2п — 9).
Задают ли эти формулы одну и ту же последователь-
ность?
430.	Задайте формулой n-го члена последовательность (ал),
заданную рекуррентным способом:
a) ai=f, on+i = ^; б) а} = 7, ап+1 = а„+12.
431.	Последовательность (ол) задана формулой
ап — п2 — 10п4-21.
Является ли указанное число членом этой последова-
тельности и если да, то каков номер этого члена:
а) 5; б) 29; в) 45; г) 647; д) 1020?
432.	Укажите номера отрицательных членов последователь-
ности (Ьл), если Ъп — п2 — 8п4-1б.
433.	Докажите, что среди членов последовательности (Ьп) нет
отрицательных, если:
а) Ъп = п2 — 100п4-2700; б) Ьл = 2п24-7п — 4.
434.	Докажите, что все члены последовательности (ал) изоб-
ражаются точками, расположенными выше оси х, если:
а) ап = 2п2 — 42п + 174; б) ап =	.
435.	Последовательность (ап) задана формулой
ап = п2-\- п-|-41.
Верно ли утверждение:
а)	первые шесть членов последовательности — простые
числа;
б)	все члены последовательности — простые числа?
31. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
Примерами последовательностей могут служить арифмети-
ческая и геометрическая прогрессии. Напомним известные
вам определения арифметической и геометрической прогрес-
сий, формулы n-го члена и суммы первых п членов.
Определение 1. Арифметической прогрессией называ-
ется последовательность, каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем
же числом.
Определение 2. Геометрической прогрессией называет-
ся последовательность отличных от нуля чисел, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умно-
женному на одно и то же число.
169
(ап) — арифметическая про-
грессия,
d — разность прогрессии,
(Ьл)— геометрическая про-
грессия,
q — знаменатель прогрессии,
bn = bxqn-\
= прИ
Sn = ~^^ при g=Al.
Рассмотрим некоторые свойства прогрессий.
Арифметическая прогрессия обладает следующим свойст-
вом: любой удвоенный член последовательности, начиная со
второго, равен сумме предыдущего и последующего членов.
Докажем это. Пусть (ал) — арифметическая прогрессия,
ап — ее произвольный член, причем п^2, ал1 — предшествую-
щий ему член, ал+1 — последующий член. По определению
арифметической прогрессии
а„ апА~ d,
°n+i an = d,
т. е.
ап ап — 1=Оя + 1 ап-
Отсюда
2an~an-i4~°n+i»
что и требовалось доказать.
Верно и обратное: если последовательность (ал) обладает
тем свойством, что 2ап=ап_14-пл+1 при любом п^2, то эта
последовательность — арифметическая прогрессия.
Действительно, пусть 2ап = ап_} 4-а„+1 при п^2. Тогда
ап ап-1 =вя + 1 ял,
т. е. разность между любыми двумя соседними членами оста-
ется постоянной, равной одному и тому же числу, а это озна-
чает, что (ап) — арифметическая прогрессия.
Таким образом, рассмотренное свойство выражает необхо-
димое и достаточное условие того, что последовательность яв-
ляется арифметической прогрессией.
Аналогичное свойство для геометрической прогрессии фор-
мулируется так: если последовательность (bj — геометриче-
ская прогрессия, то квадрат любого ее члена, начиная со второ-
го, равен произведению предыдущего и последующего членов.
Докажем это. Пусть (Ьл) — геометрическая прогрессия,
Ъп — ее произвольный член, причем п^2, Ъп_х и &л+1 соответ-
ственно предыдущий и последующий члены.
Из определения геометрической прогрессии следует, что
bn = bn_iq, bn + 1 — bnq,
причем числа bn_lt bn, bn+i отличны от нуля.
170
Отсюда
bn 1 bn ’
т. e.
bn = bn — i * ^л+1»
что и требовалось доказать.
Справедливо и обратное: если последовательность (Ьп) от
личных от нуля чисел обладает тем свойством, что
b2 = bn_A-bn+l при любом п^2, то эта последовательность —
геометрическая прогрессия.
Действительно, пусть
Ьп = Ьп~ 1 ’ ^« + 1»
причем числа Ьп__ „ Ь„, Ь„+1 не равны нулю. Тогда
ьп __________________________ьп+1
Ьп — 1 ьп
т. е. отношение любого члена последовательности (Ьп) к пре-
дыдущему члену равно одному и тому же числу, а это означа-
ет, что (Ь„) — геометрическая прогрессия.
Итак, рассмотренное свойство выражает необходимое и до-
статочное условие того, что последовательность чисел, отлич-
ных от нуля, является геометрической прогрессией.
Приведем примеры применения доказанных свойств.
Пример 1. Найдем четыре целых числа, если известно,
что первые три из них составляют арифметическую прогрес-
сию, а последние три — геометрическую прогрессию, причем
сумма двух средних чисел равна 30, а сумма двух крайних
чисел равна 33.
Пусть второе, третье и четвертое числа соответственно рав-
ны b, bq, bq2. Выразим через b и q первое число. Обозначим
его через а. Так как числа a, b, bq составляют арифметиче-
скую прогрессию, то по свойству арифметической прогрессии
2b = a-^-bq. Отсюда а = 2Ь — bq.
Искомые числа равны: 2Ь — bq, b, bq, bq2. Сумма двух
средних из них равна 30, а сумма двух крайних чисел равна
33. Получаем систему уравнений:
b + bq = 30,
2b — bq-\-bq2 — 33.
Разделив первое уравнение на второе и выполнив сокраще-
ние на b (Ь =/= 0), найдем, что
2 <М<?2_ п
l + g	ю*
Решив это уравнение, найдем, что g1 = l,5, д2 = 0,6.
Если q= 1,5, то Ь = 12; если ^ = 0,6, то Ь = 18,75, что не со-
ответствует условию задачи.
Значит, Ь = 12 и д = 1,5, т. е. искомые числа 6, 12, 18, 27.
171
Пример 2. В арифметической прогрессии (ал) первый
член равен 4. Найдем разность этой прогрессии, если извест-
но, что квадраты первых трех ее членов составляют геометри-
ческую прогрессию.
Пусть разность прогрессии (ал) равна d. Тогда первые три
члена этой прогрессии равны 4, 4-f-d, 4 4-2d. По условию их
квадраты, т. е. числа 16, (4-f-d)2, (4 4-2d)2, образуют геомет-
рическую прогрессию. Из свойства геометрической прогрес-
сии следует, что
(4 + d)4 = 16 (4 4-2d)2.
Решим составленное уравнение:
(4 4-d)4 -16 (4 4-2d)2 = О,
[(4 4- d)2 — 4 (4 4- 2d)] [(4 4- d)2 4- 4 (4 4- 2d)] = О,
d2 (d24- 16d4-32) = 0.
Отсюда находим, что
dj = O, d2=—8 —4Д/2, d3=—84-4Д/2.
Задача имеет три решения: искомая разность прогрессии
равна 0, —8 — 4д/1Г или —84-4д/2\
Рассмотрим еще одно свойство арифметической про-
грессии.
Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии
(а„) в виде
ап = dn 4- (ch — d).
Эта формула имеет вид a„ = kn-[-l, где k — dt l = ax — d. От-
сюда ясно, что арифметическая прогрессия является линейной
функцией y = kx-^-l, заданной на множестве натуральных
чисел.
Верно и обратное. Пусть линейная функция y = kx-{-l зада-
на на множестве натуральных чисел. Тогда значения, кото-
рые принимает функция при натуральных значениях х, взя-
тых в порядке возрастания, будут составлять арифметиче-
скую прогрессию, так как в этой последовательности разность
между последующим и предыдущим членами остается посто-
янной:
°п+1 °л==(Л4_1) k-\-l — (nk 4- Z) = k.
Из того, что арифметическая прогрессия (ал) является ли-
нейной функцией, заданной на множестве натуральных чи-
сел, следует, что ее члены изображаются на координатной
плоскости точками с абсциссами 1, 2, 3, ...» п, ... , располо-
женными на прямой у = kx 4- 1> где k = d, Z — а, — d.
На рисунке 80 построены точки, изображающие первые
шесть членов арифметической прогрессии:
0,5, 2, 3,5, 5, ... .
Они имеют координаты (1; 0,5), (2; 2), (3; 3,5), (4; 5), (5; 6,5),
(6; 8). Эти точки расположены на прямой у = 1,5х—1.
172
Рассмотрим теперь аналогичное свойство геометрической
прогрессии. Запишем формулу n-го члена геометрической
прогрессии (Ьл) в виде
Отсюда ясно, что п-й член геометрической прогрессии задает-
ся формулой вида b„ = cqn.
Таким образом, геометрическая прогрессия является функ-
цией вида у = сах, заданной на множестве натуральных чисел.
Функция, которую можно задать формулой вида у = сах,
где а>0, называется показательной функцией. Свойства по-
казательной функции будут рассмотрены в старших классах.
На координатной плоскости члены геометрической про-
грессии (Ь„) со знаменателем q, где д>0, дУ=1, изображаются
точками с абсциссами 1, 2, 3, ..., п, ...» расположенными на
кривой, являющейся графиком показательной функции у = сах,
ьг
где с — — , a = q.
9
На рисунке 81 построены точки, изображающие первые
пять членов геометрической прогрессии
0,5, 1, 2, ... .
Они имеют координаты (1; 0,5), (2; 1), (3; 2), (4; 4), (5; 8). Эти
точки расположены на кривой, являющейся графиком функ-
ции </ = 0,25-2х.
436.	Известно, что последовательность (а„) — арифметическая
прогрессия. Является ли арифметической прогрессией
последовательность:
а)	СЦ, а3, а5, ..., а-2П lt ...;
б)	2П| 5, 2а2 5, 2о3 “5, •«., 2ол 5, ...^
в)	01 + 1, а2Ч-2, О3 + 3, ..., ап-\-п, ...;
173
Г) G], fi2, •••, O'nt •••»
.111	1	„
д) —» —, —, ...» —» • ••?
Oi а2 а3	ап
437.	Последовательность (Ьп) — геометрическая прогрессия.
Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность:
а)	Ь2, Ь4, Ь6, ..., Ь2л, •••»
б)	7Ьг, 7Ь2, 7Ь3, ...» 7Ь„, ...;
1	1 1	1
в)	К’	ь2 ’ ъ3 *
г)	b2, b22t bl bl ...;
д)	V&T»	•••»	—?
438.	Могут ли длины сторон четырехугольника, описанного
около окружности, составлять:
а) арифметическую прогрессию;
б)	геометрическую прогрессию?
439.	Докажите, что если длины сторон прямоугольного тре-
угольника составляют арифметическую прогрессию, то
этот треугольник подобен прямоугольному треугольнику
со сторонами 3, 4, 5.
440.	Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника
составлять геометрическую прогрессию?
441.	Докажите, что если первый член арифметической про-
грессии является числом, кратным ее разности, то сумма
любых двух членов этой прогрессии также является чле-
ном прогрессии.
442.	Докажите, что если три целых числа составляют ариф-
метическую прогрессию с разностью d и одно из этих чи-
сел кратно d, то их произведение делится на 6d3.
443.	В арифметической прогрессии сумма первых шести чле-
нов равна Збр, а сумма первых десяти членов равна
100р. Докажите, что сумма первых р членов этой про-
грессии равна р3.
444.	Докажите, что если арифметическая прогрессия имеет
2п членов, то разность между суммой последних п чле-
нов и суммой первых п членов кратна п2.
445.	Выведите формулу для вычисления произведения п пер-
вых членов геометрической прогрессии (Ь„), знаменатель
которой равен q.
446.	Докажите, что если последовательность (Ьп) является
геометрической прогрессией со знаменателем q У= 1, то
последовательность (с„), где сп = Ьп+1 — Ь„, также являет-
ся геометрической прогрессией. Укажите первый член и
знаменатель прогрессии.
447.	В арифметической прогрессии (а„) известно, что ат+п = 60,
ат_п = 15. Найдите ат.
174
448.	В геометрической прогрессии (Ьп) найдите bm, если изве-
стно, что Ьго+„ = 60, Ьт п = 15.
449.	Четыре числа составляют арифметическую прогрессию.
Сумма первых трех из них равна —6, а сумма трех по-
следних равна 9. Найдите эти числа.
450.	Четыре числа составляют геометрическую прогрессию.
Найдите эти числа, если известно, что сумма крайних
равна 81, а сумма средних равна 54.
451.	Докажите, что если числа —— , —т---------три после-
"	а-\-Ь Ь + с a-f-c
довательных члена арифметической прогрессии, то чис-
ла Ь2, а2, с2 также являются тремя последовательными
членами арифметической прогрессии.
452.	Докажите, что если числа а, Ь, с — три последователь-
ных члена арифметической прогрессии, то числа
а2 4- ab 4- Ь2, а2 4- ас 4- с2, Ъ2 4- Ъс 4- с2 также являются тремя
последовательными членами арифметической про-
грессии.
453.	Докажите, что если числа a, Ь, с составляют геометриче-
скую прогрессию, то верно равенство
(а 4- Ъ 4- с) (а — b 4- с) — а2 4- Ь2 4- с2.
454.	Докажите, что если последовательность (ал) является
арифметической прогрессией и числа а2, ° 4 образуют
геометрическую прогрессйю, то числа a4, a6, а9 также об-
разуют геометрическую прогрессию.
455.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую про-
грессию, равна 42. Если из первого числа вычесть 1, вто-
рое оставить без изменения, а из третьего вычесть 17, то
полученные числа будут составлять арифметическую
прогрессию. Найдите исходные числа.
456.	Сумма трех чисел, составляющих арифметическую про-
грессию, равна 27. Если из первого и второго чисел вы-
честь по 1, а к третьему числу прибавить 3, то получат-
ся три числа, образующие геометрическую прогрессию.
Найдите исходные числа.
457.	Найдите четыре целых числа, из которых первые три со-
ставляют арифметическую прогрессию, а последние три
составляют геометрическую прогрессию, причем сумма
средних чисел равна 20, а сумма крайних чисел
равна 40.
458.	Если к четырем числам, составляющим геометрическую
прогрессию, прибавить соответственно 2, 3, 3 и 1, то по-
лучатся четыре числа, составляющие арифметическую
прогрессию. Найдите исходные числа.
459.	Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность (ал), заданная формулой:
a) a,r-5n4“l;	б) ал = 3,6 —п;
175
в) a„ = (n —l)(n + l); г) an = 3"7 2-?
460.	Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность (i/n), заданная формулой:
а)	Уп= — 5-2"+3;	в) уп = -Ц— ;
б)	yn = 2n+i-3n+z;	г) уп = 2п + Зп?
461.	Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность (сп), сумма первых п членов которой вычисляет-
ся по формуле:
a) Sn = 4n2; б) S\ = /z29n?
При положительном ответе укажите первый член и раз-
ность прогрессии.
462.	Докажите, что последовательность (ап) является арифме-
тической прогрессией, разность которой отлична от ну-
ля, тогда и только тогда, когда сумма Sn первых п ее
членов вычисляется по формуле Sn — bn2-^сп, где Ь=#0.
463.	На координатной прямой даны члены аг и а3 арифмети-
ческой прогрессии (а„) (рис. 82). Изобразите п2» °4» а5-
464. На координатной прямой изображены члены ЬА и Ъ2 гео-
метрической прогрессии Ьп (рис. 83). Покажите, где рас-
положены точки, изображающие Ь3, Ь4, Ь5.
465.	Изобразите на координатной плоскости первые шесть
членов арифметической прогрессии 3, 1,5, 0, .... Напи-
шите уравнение прямой, на которой лежат построенные
точки.
466.	Изобразите на координатной плоскости первые шесть
членов геометрической прогрессии —4, 2, —1, ....
467.	Изобразите на координатной плоскости первые пять чле-
нов арифметической прогрессии (ап) и напишите уравне-
ние прямой, на которой лежат построенные точки, если
известно, что а10 = 6, а16 = 12.
468.	Найдите первые пять членов геометрической прогрессии
(Ьп) и изобразите их на координатной плоскости, если из-
, 1 . 1
вестно, что Ь6=-, Ь8 = —.
О
о, а3
-Ч------Ь  1--------I-----------1-----1 И---------1 I----------
-8	-6	-4	-2	0	2	4	6	8	10 X
Рис. 82
^2 Ь/
I . -4	.—।-----Н" • I	I  t " I I »
-8	-6	-4	-2	0	2	4	6 в 10 X
Рис. 83
176
469.	Пусть (cn) — некоторая последовательность, a (Sn) — по-
следовательность сумм первых п ее членов. Докажите,
что если члены последовательности (сп) изображаются
точками, принадлежащими прямой у = 4х— 2, то члены
последовательности (S„) изображаются точками, при-
надлежащими параболе у = 2х2.
32. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ЗАДАЧАХ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вам известны формулы суммы п членов таких последова-
тельностей, как арифметическая и геометрическая про-
грессии. Рассмотрите более сложный пример.
Пример 1. Пусть дана последовательность квадратов на-
туральных чисел
I2, 22, З2, ..., л2, ... .
Докажем, что сумма Sn первых п членов этой последователь-
ности может быть вычислена по формуле
_ п(п+1)(2п + 1)
6
Проверим справедливость этого утверждения для п — 1:
с  1(1 + 1).(2-1 + 1)  1-2-3
Мы видим, что для п — 1 формула верна.
Можно и дальше с помощью вычислений проверять, верна
ли рассматриваемая формула для л=2; 3; 4; 5 и т. д. Однако,
как бы долго ни продолжали эту проверку, она не дает осно-
ваний утверждать, что формула верна при любом п. Поэтому
мы поступим иначе.
Предположим, что формула справедлива для n = k,
т. е. верно равенство
_ fe(fe + l)(2fe + l)
g	.
Докажем, что в этом случае она справедлива и для n = k-^-l,
т. е. верным является также равенство
_(fe + l)(fe + 2)(2fe + 3)
1 -	Q	*
Имеем:
S»+1 = l2 + 22 + 32 + ... + *2 + (ft + l)2 =
= (l2+22 + 32+... + *2) + (fe+l)2.
По предположению сумма квадратов первых k натуральных
fe(fe + l)(2fe + l)
чисел равна -------------. Тогда
о	_ A(fe + l)(2fe + l)	1ч2_ fe(fe + l)(2fe + l) + 6(fe + l)2
°* + 1 —	к	Г (« + 1) —----------7---------—
177
 (Ml) (2k24-k+6Л4-6)  (Й4-1) (2fe24-4*4-3fe4-6) 
_(*4-l)(* + 2) (2k 4-3)
6
Значит,
_(fe4-l)(fe4-2)(2*4-3)
d*+i—	6
t. e. если формула верна для n = k, то она верна и для
га = Л + 1.
Убедившись ранее с помощью вычислений, что рассматри-
ваемая формула верна для п = 1, можем теперь утверждать,
что она верна для п = 1 +1, т. е. для п = 2. Из справедливости
этой формулы для п = 2 вытекает ее справедливость для
п = 2 +1, т. е. для п = 3. Если формула верна для п = 3, то она
верна также для п = 3 + 1, т. е. для п = 4, и т. д. Ясно, что,
строя такую цепочку рассуждений, мы в конце концов дой-
дем до любого натурального числа. Значит, можно сделать
вывод, что сумма первых п членов последовательности квад-
ратов натуральных чисел может быть найдена по формуле
_ n(n4-l)(2n4-D
Ьп	6
Примененный нами метод доказательства называется ме-
тодом математической индукции. Он основан на утвержде-
нии, получившем название «принцип математической индук-
ции».
Принцип математической индукции состоит в следующем:
Утверждение, зависящее от натурального числа п, верно
при любом л, если выполняются два условия:
а)	утверждение справедливо при п = 1;
б)	из справедливости утверждения при n=k вытекает его
справедливость при n = fe+l.
Доказательство некоторого утверждения методом матема-
тической индукции состоит из двух частей. Сначала проверя-
ют справедливость этого утверждения для п — 1. Эту часть на-
зывают базисом индукции. Затем, предположив, что утвержде-
ние верно для n = k, доказывают, что оно верно для
n = k-\-1. Эта часть называется индукционным шагом.
Метод математической индукции применяется для широ-
кого круга задач. Мы рассмотрим применение этого метода
в задачах на последовательности.
Пример 2. Пусть (ап) — последовательность, заданная
рекуррентным способом: сц = 2, an+1 = an-f-2n-j-l. Зададим
эту последовательность формулой n-го члена.
Найдем первые несколько членов последовательности:
а1 = 2, «2 = 2 + 2-1 + 1 = 5, а3 = 5 + 2.2 + 1 = 10,
а4=10+2-3+1=17, а5=17+2-4+1=26.
Значит, последовательность (ап) начинается так:
2, 5, 10, 17, 26, ... .
178
Выписанные члены последовательности (ап) дают основа-
ние предположить, что эту последовательность можно задать
формулой ап = га2 —|— 1. Докажем, что это действительно так, ис-
пользуя для доказательства метод математической индукции.
Если п = 1, то аг = 12 +1 = 2, т. е. для п = 1 формула верна.
Допустим, что формула верна для п — k, т. е. ak = k2-j-1.
Докажем, что в этом случае она верна для п = /?-|-1, т. е.
пЛ+1 = (/? -|- 1)2 +1.
По условию аЛ+1 = аЛ-|-2/г-|-1. Заменив ak на Л2 + 1,
получим:
a*+i = (A2 + l) + 2A4-l = (A2 + 2A + l) + l,
т. е. ak+1 = (k+1)24-1.
Утверждение доказано, т. е. данную последовательность
можно задать формулой ап = п2 +1.
Пример 3. Пусть (Ьп) — последовательность чисел Фибо-
наччи, т. е. Ь1 = Ь2=1» ^n+2 = ^n + ^n+i Для п>2. Докажем,
что последовательность (Ьп) обладает следующим свойством:
Ь2 + Ь1 + ...-ЬЬ2 = Ьп.Ьп+1.
Покажем сначала, что данное равенство верно для
п = 1. Имеем Ь?=1, Ь1Ь2=1, т. е. bl = b1b2.
Допустим теперь, что указанное свойство справедливо для
n = k, т. е.
Ь? + ^2 + ••• + b2k =bk’bk+р
Докажем, что в этом случае оно верно и для п = /г-|-1, т. е.
Ь? + &г+ ••• + bj + bj+i = bk^ j • bk+2.
Имеем
Ь? + ^2 + • • • + b2k + b2k+1 = (Ь? + ^2 + • • • + bl) 4- bl+1.
По предположению сумма, заключенная в скобки, равна
bk'bk+1. Тогда
ь?4- Ьг4- ••• 4- b2k+1 = bk- bk+14- bl+i — bk+1 (ьл4- bk+1).
По определению для последовательности чисел Фибоначчи
выполняется соотношение bk-]-bk+1 = bk±2.
Отсюда получаем, что
Ь2 +	... +	• bk+2.
Утверждение доказано, т. е. последовательность чисел Фи-
боначчи обладает указанным свойством.
Пример 4. Пусть последовательность (с„) задана форму-
лой сп = 4"4-15п. Докажем, что при делении любого ее члена
на 9 в остатке получается 1.
По формуле п-го члена находим, что ct = 4г +15-1 = 19,
т. е. с1 = 9’2-|-1, и, значит, для п = 1 утверждение верно. До-
пустим теперь, что оно верно для n = k, т. е. при делении
ck = 4k-j-15k на 9 в остатке получается 1. Докажем, что в этом
случае утверждение верно для п = /?-|-1, т. е. число
сл+1 = 4*+14-15(& + 1) при делении на 9 также дает остаток 1.
179
Имеем:
cfel = 4*+1 + 15(/? + l) = 4*-4 + 15A! + 15 = 4*-4 + 15A!-4 — 45A! +
+15 = 4 (4* +15А:) - 45/? +15.
По предположению 4* +15/? = 9р +1, где Отсюда по-
лучаем, что
с^1 = 4(9р+1)-45/? + 15 = 36р + 4 —45/? + 15 =
= 9 (4р-5/?4-2)4-1,
причем 4р — 5k 4- 2^Z.
Значит, при делении сЛ+1 на 9 в остатке получается 1.
Итак, можно сделать вывод, что утверждение доказано.
470. Докажите, что сумма кубов первых п натуральных чи-
п2(п + 1)2
сел равна -----------.
471.	Докажите, что для суммы первых п членов последова-
тельности
1 1 ______________1____
1-3’ 3-5’ ***’ (2п — 1)(2п + 1) ’
верна формула
472.	Пользуясь методом математической индукции, докажи-
те, что если (ап) — арифметическая прогрессия, разность
которой равна d, то
= +	—1)» Sn=ai^a"-H-
473.	Пользуясь методом математической индукции, докажи-
те, что если (Ьп) — геометрическая прогрессия, знамена-
тель которой равен <?, причем д=/=1, то
474.	Последовательность (an) задана формулой an = n-nl (п! =
= 1 *2’3-...• п). Докажите, что сумма первых п членов
этой последовательности может быть вычислена по фор-
муле <8п = (п-|-1)! — 1.
475.	Докажите, что:
а)	1.2 4-2.3 4-3«44-...4-n(n4-l)=-^n(n4-l)(n4-2);
б)	I34-З34-534-... 4-(2n — I)3 = п2 (2ге2 — 1);
в)	1-44-2.74-3-104-...4-п(Зп4-1) = п(п4-1)2;
г)	I2 — 224-32 — 42 + ... 4-( —l)n+1 л2 = ( —1)"+1---^"-1) .
476.	Выведите формулу для суммы первых п членов последо-
вательности:
.111 1
а' 1-2’ 2-3 ’ 3-4 ’ —’ „(п-1-1) ’ —;
б)	—1, 3, —5, 7, —9, ..., ( —1)п(2п —1), ... .
180
477.	Докажите, что если (ип) — последовательность чисел Фи-
боначчи, где u1 = u2 = l, ип= ип2 при п>2, то
верно равенство:
а)	И1 + а2+ —+ иЛ=ив+2—1;
б)	Ui + u3 + ••• Ии 1^2П-
478.	Пусть (Ьп) — последовательность чисел Фибоначчи, где
Ьг = Ь2= 1, Ьп= Ьп_ г + Ьп_2 (п>2). Выпишите первые во-
семь членов последовательности и проверьте, что для
них выполняется равенство
b*+'-bn-bn+2 = (-iy.
Пользуясь методом математической индукции, докажи-
те, что это равенство верно при любом п.
479.	Докажите, что любой член последовательности (ап) де-
лится на 6, если:
а) ап = п3 4-5л; б) ал = п:Ц11п.
480.	Последовательность (сп) задана формулой сп = 7"4-12п.
Докажите, что при делении любого члена последователь-
ности на 18 в остатке получается 1.
481.	Последовательность (Ьп) задана рекуррентным способом:
&!=— 5,	=	10/? 4-5. Докажите, что Ьп = 5п2—10.
482.	Докажите, что если bA = 5, bk+1 = 3bk— 4, то последова-
тельность (Ьп) можно задать формулой Ьп = Зп 4-2.
483.	Последовательность (а„) задана следующими условиями:
ах = 2, ап = Зап_1-]-1. Докажите, что а„ = 2,5-Зп1 — 0,5.
484.	Последовательность (ап) задана рекуррентным способом:
«4 = 5, ап+1 = 2ап4~Зп. Докажите, что ап = 2" 4-3".
485.	Докажите, что последовательность (с„) можно задать
формулой сп = 22"4-2" —1, если известно, что сх = 5,
— 4сЛ 2*+1 -|- 3.
§ 14. ВИДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
33. ВОЗРАСТАЮЩИЕ И УБЫВАЮЩИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим последовательность (уп):
0, 3, 8, 15, 48, ..., п2-1, ...
и последовательность (хп):
1 1 1 1 1	1
’ 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ ’**’ п’ •” *
В последовательности (уп) каждый последующий член
больше предыдущего, т. е. yn+i>yn при любом п. В последо-
вательности (хп) каждый последующий член меньше предыду-
щего, т. е. х„+1<хп при любом п. Говорят, что последователь-
ность (уп) является возрастающей, а последовательность (хп) —
убывающей.
181
Определение. Числовая последовательность, в которой
каждый последующий член больше предыдущего, называется
возрастающей. Числовая последовательность, в которой каж-
дый последующий член меньше предыдущего, называется
убывающей.
Числовую последовательность, как уже отмечалось, можно
рассматривать как функцию, областью определения которой
является множество всех натуральных чисел или первых п на-
туральных чисел. Очевидно, что введенное определение пол-
ностью согласуется с определением возрастающей (убываю-
щей) функции. Действительно, если (ап) является, например,
возрастающей последовательностью, то при m>k имеем, что
ara>ara_i, ат_1>ат_29 ..., ат p>ak, т. е. am>ak k£N,
p^N).
Возрастающие и убывающие последовательности называют
монотонными.
Если члены возрастающей последовательности изображать
точками на координатной прямой, то каждая последующая
точка будет лежать правее предыдущей; если же их изобра-
жать точками на координатной плоскости, то каждая после-
дующая точка будет располагаться выше предыдущей. Если
члены убывающей последовательности изображать точками
на координатной прямой, то каждая последующая точка бу-
дет находиться левее предыдущей; если же их изображать
точками на координатной плоскости, то каждая последующая
точка будет лежать ниже предыдущей.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Выясним, является ли последовательность
(ап) возрастающей или убывающей, если:
а) о«~; б) ап—\п'у в) ап—2п —11 '
а)	Выпишем первые несколько членов последовательности
К):	Л К с г,
4 5 о 7
2’ 3’ 4’ 5’	’
Можно предположить, что последовательность (цп) убыва-
ющая. Докажем это.
Составим разность а„+1— ап и преобразуем ее:
га -|_ 4 п + 3 п2 + 5п + 4— п2 —5п —6 	—2
ап+1 —«п = 7+2“ п + 1 “	(n+ 1) (п + 2) (п + 1)(п + 2)‘
При любом n£N разность ап^ — ап отрицательна, т. е.
an+i<an. А это означает, что последовательность (ап) убыва-
ющая.
Можно рассуждать иначе. Выделим из дроби —у целую
часть. Получим, что
п + 3_п+1+2_1 .	2
а"— п+1 — п + 1	_ +п + 1*
182
2	-
С возрастанием п дробь п_|_ убывает, а значит, убывает и
2
сумма 1 -]- я , т. е. последовательность (ап) является убыва-
ющей.
б)	Выпишем первые несколько членов последовательности
(ап):
Можно предположить, что последовательность (ап) возрас-
тающая.
Действительно, функция у = л[х возрастает на всей облас-
ти определения. Значит, если значениями х служат любые
два последовательных натуральных числа, то большему из
них будет соответствовать большее значение функции, т. е.
3 /—
последовательность, заданная формулой an=\nt возрас-
тающая.
в)	Выпишем первые несколько членов последовательности
(ап):	7 5 з £
д' ’ 7 ’ К ’ "з ’ *** ’
Можно предположить, что последовательность (ап) убыва-
ющая. Чтобы выяснить, верно ли это утверждение, преобразу-
ем разность ап+1—ап:
_	_ 2 (п+1) —9 _ 2п —9 _ 2п —7 _ 2п —9
а" 2 (п +1) —11 2п —11 2п — 9 2п —11
4n2 —36n + 77 —4п2 + 36п —81  _—4______
(2п — 9) (2п— 11)	~ (2п —9) (2п —11) ’
Знак разности ап+1 — ап изменяется в зависимости от п.
Значит, последовательность (а„) не является монотонной.
Заметим, что убедиться в этом можно, продолжив дальше
вычисление членов последовательности.
Получим:
7 5 3 1	. „
9 ’ 7 ’ 5 ’ 3 ’	I,*,--
Пример 2. Выясним, при каких значениях а последова-
тельность (с„), заданная формулой сп = (п — а)2, является воз-
растающей.
Воспользуемся свойствами функции у = (х— а)2. На рисун-
ке 84 построены графики функции у = (х — а)2 при а < О,
а = 0 и а >0.
Если а^О, то на множестве [0; + оо) функция у = (х — а)2
является возрастающей и, следовательно, из двух натураль-
ных значений аргумента большему соответствует большее
значение функции. Значит, при а^О последовательность (сп)
является возрастающей.
183
Если ц>0, то необходимо различать случаи, когда
О <С а 1 и когда а > 1.
При О < а 1 большему натуральному числу соответствует
большее значение функции у = (х — а)2. Значит, при 0 < а <1 1
последовательность (с„) является возрастающей.
При о>1в промежутке [1; а) с возрастанием натуральных
значений аргумента значения функции у = (х— а)2 убывают,
а в промежутке (а; + оо) — возрастают, значит, последова-
тельность (с„) не является возрастающей.
Итак, последовательность (сп) является возрастающей при
а^О и при OCa^l, т. е. при а^1.
486.	Пусть (ип) — последовательность десятичных приближе-
ний дроби:
X 2 ЛХ 10
а) б) -
взятых с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001
и т. д. Выпишите первые пять членов этой последователь-
ности. Является ли последовательность (нп) возрастаю-
щей или убывающей?
487.	Является ли монотонной (если да, то какой именно) по-
следовательность (ап), в которой член ап равен:
а) остатку от деления п на 7;
б)	сумме цифр числа и;
в)	десятичному приближению дроби у, взятому с недо-
О
статком с точностью до 0,00...01;
п нулей
г) числу, обратному числу и?
488.
Найдите первые пять членов последовательности (ап), за-
„ .	„	Зп —1	-
данной формулой ап ———j-, и изобразите их точками
на координатной прямой. Докажите, что последователь-
ность (а„) возрастающая.
184
489.	Найдите первые пять членов последовательности (Ьп), за-
данной формулой bn= , и изобразите их на коорди-
натной прямой. Какое предположение о характере изме-
нения членов последовательности вы можете сделать?
Проведите доказательство.
490.	Найдите первые пять членов последовательности (ап), за-
данной формулой ап — —п ——п — —, и изобразите их
точками на координатной плоскости. Докажите, что по-
следовательность (ап) возрастающая.
491.	Докажите, что последовательность (хп) является возрас-
тающей, если:
а)	хп = 6(2п — 1); в) хп = п24-п;
5п —4	___6п2
б)	хп——,	Г) хп-п .
492.	Докажите, что последовательность (сп) является убываю-
щей, если:
а) с» = (-|-)Л;	в)с„=—п2 + 2п;
L11	х	4" 4-1
б)С„ = ^;	^сп = ~^Г-
493.	Докажите, что последовательность (сп) не монотонная,
если:
а)	=
б)	сп = п2—10п-|-5;
в)	с„ = 5-( —2)";
ч	п2— 6п
Г) с»=—— ;
д) с„ = 8п-2";
е) с„— п •
494. Выясните, является ли последовательность (ап) монотон-
ной (если да, то какой именно), если:
а)	ап =	— 5(2п — 3);	е) ап — п2 + 2п-|-2;
б)	ап —	(- 1)"п2;	ж) ап = п2 — 10п4-25;
в)	ап =	3";	з) ап = п + ^\
г)	ап =	1 . 5" ’	.	17п + 16 и>“"~ „+1 ;
д) а„ = ( —к)	. 495. Выпишите первые пять членов последовательности (i/n),			
заданной формулой n-го члена:
уп = п (п +1) — (п — 1) (п — 2) (п — 3) (п — 4) (п — 5).
Является ли эта последовательность возрастающей?
496. Выпишите первые несколько членов последовательности
(хп), где хп = 2п— п. Является ли эта последовательность
возрастающей?
185
497.	Выясните, является ли возрастающей или убывающей
последовательность (и„), если:
1
—, где п четное,
а) ип =
где п нечетное;
I л2, где п нечетное,
б)	= ) 2	1
( п — 1, где п четное.
498.	При каком условии:
а)	арифметическая прогрессия является возрастающей;
убывающей;
б)	геометрическая прогрессия является возрастающей;
убывающей?
499.	Даны три последовательности:
(ап) — последовательность квадратов натуральных чисел,
(Ьп) — последовательность разностей соседних чисел в по-
следовательности (ап),
(сп) — последовательность разностей соседних членов по-
следовательности (Ь„).
Охарактеризуйте каждую из них.
500.	При каких значениях а последовательность (сп), где
Зп-|-а
сп — —гт-, является:
"	п-|-1
а) возрастающей; б) убывающей?
501.	При каких значениях а последовательность (Ь„), где
Ъп = (2п — а)2, является возрастающей?
502.	При каких значениях b последовательность (п„), где
п„= 7га + Ьп , является убывающей?
503.	Найдите наименьший член последовательности (ап), за-
данной формулой п-го члена:
а)	ап = 12п —12,5;	в)ап===^£;
б)	ап = п2 — 4п; г) ап = п2 — 6n-f-15.
504.	Найдите наибольший член последовательности (Ьп), за-
данной формулой тг-го члена:
а)	Ь„ = 4,3-0,6п;	в)Ьв = ^^-;
б)	bn— — п2 + 8п —12;	г) Ь„ = (—0".
505.	Последовательность (а„) задана формулой n-го члена:
а) а„ = 7п-|-6; б) 1+(~1} ; в) ап = п2 — 4п + 7.
Укажите наименьший и наибольший члены последова-
тельности, если они существуют.
186
34. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
последовательность
(Ьп), заданную форму-
Рассмотрим
„ . Зп —1
лои о=-------:
" п
2 2 — , 2-^, 2-
’	2 ’	3 ’	4
Выделив из дроби Зп 1
Зп —1
п ’••• •
.	О	1
п целую часть, получим, что оп==3------.
С увеличением п значение дроби — уменьшается, а поэтому
разность 3 —увеличивается, т. е. последовательность (Ьп)
возрастающая. С другой стороны, из формулы Ь =3—- ясно,
п
что, хотя члены последовательности возрастают, они остаются
меньше 3. Если члены последовательности (Ь„) изображать
точками на координатной плоскости, то ни одна из точек не
будет лежать выше прямой </ = 3 (рис. 85). Говорят, что эта
последовательность ограничена сверху числом 3. Очевидно,
что в качестве граничного числа можно указать любое другое
число, большее чем 3, например 3,5, 4, 15 и т. д.
Приведем еще один пример. Пусть последовательность (нп)
задана формулой ип = 6п— п.
Выпишем первые несколько членов этой последователь-
ности:
5, 8, 9, 8, 5, 0, ... .
Последовательность (un) не является монотонной. По-
кажем, что для нее также существует граничное число, кото-
рого не превосходит ни один из членов последовательности.
Для этого преобразуем выражение 6п — п2, выделив из него
квадрат двучлена:
ип = 6п— п2= — (п2 —6п-|-9)-|-9= —(п — 3)24-9.
Из формулы ип — —(п — 3)24-9 видно, что любой член после-
довательности (нп) не превосходит 9, т. е. un^9 при любом п.
187
Очевидно, что в качестве гранич-
ного можно указать любое другое
число, большее чем 9.
Если члены последовательно-
сти (ип) изображать точками на ко-
ординатной плоскости, то эти точ-
ки будут принадлежать параболе,
представляющей собой график функ-
ции у — вх — х2, т. е. функции
у= - (х —3)2 + 9
(рис. 86). Ни одна из точек не бу-
дет расположена выше прямой у = 9.
Последовательность (пп), где un = 6n — п2, также является
примером последовательности, ограниченной сверху.
Определение 1. Последовательность (ая) называется
ограниченной сверху, если существует такое число М, что
ап^М при любом значении п.
Если члены последовательности, ограниченной сверху,
изображать точками на координатной прямой, то ни одна из
точек не будет лежать правее точки с абсциссой М, где М —
граничное число; если же их изображать точками на коорди-
натной плоскости, то ни одна из точек не будет лежать выше
прямой у = М.
Рассмотрим теперь последовательность (ап), заданную
.	-	(- 1)п(п + 2)
формулой ап =-----------.
Выпишем первые несколько членов этой последователь-
ности:
__3 2 ________1 2	1 1	___1 2	1 J_
1 3 ’ 1 2 ’	1 5 ’ 1 3
Для любого члена этой последовательности верно неравенство
ап^ —3. Для положительных членов это утверждение очевид-
но. Справедливость его для отрицательных членов следует из
I I _п -j- 2_. 2 п
того, что |а_| =—!—== 1 Н—гСЗ.
п	п
Если члены последовательности (ап) изображать точками
на координатной плоскости, то ни одна из них не будет ле-
жать ниже прямой у= —3 (рис. 87). Говорят, что последова-
тельность (а„) ограничена снизу числом — 3. Легко понять, что
в качестве граничного числа можно указать любое число,
меньшее чем —3.
Определение 2. Последовательность (ап) называется
ограниченной снизу, если существует такое число Р, что ап^Р
при любом п.
Если члены последовательности, ограниченной снизу,
изображать точками на координатной прямой, то ни одна из
них не будет лежать левее точки с абсциссой Р, где Р — гра-
ничное число; если же их изображать точками на координат-
188
ной плоскости, то ни одна из точек не будет лежать ниже пря-
мой у = Р.
Определение 3. Последовательность, ограниченная свер-
ху и снизу, называется ограниченной последовательностью.
Вернемся к рассмотренным примерам.
„	,,	3п1
Мы показали, что последовательность (оп), где Ьп — —-—,
ограничена сверху. Вместе с тем она ограничена и снизу, так
как является возрастающей, и потому любой ее член, начиная
со второго, больше blt т. е. больше 2. Следовательно, (Ьп) —
ограниченная последовательность.
Последовательность (пп), где un = 6n — п2, как было доказа-
но, ограничена сверху. Однако она не ограничена снизу: для
любого числа k можно указать член последовательности, ко-
торый меньше чем k (это следует из свойств квадратичной
функции </ = 6х —х2). Последовательность (п„) не является
ограниченной последовательностью.
z ч	(— 1)л(п+2)
Последовательность (сп), где сп —-------, как мы дока-
зали, ограничена снизу. Записав формулу n-го члена последо-
(2 \
1 +~)» нетрудно убедиться,
что члены этой последовательности не превосходят 2, т. е. по-
следовательность (с„) ограничена также и сверху (см. рис. 87).
Значит, (с„) — ограниченная последовательность.
Приведем пример последовательности, которая не ограни-
чена ни сверху, ни снизу. Такой последовательностью явля-
ется, например, последовательность (хп), где хп = (— 1)"-п.
Если последовательность (ап) ограниченная, то существуют
такие числа М и Р, что 7И^пп^Р. Члены ограниченной по-
следовательности при М=/=Р изображаются на координатной
прямой точками, принадлежащими отрезку, концами которо-
го служат точки с абсциссами М и Р, а на координатной плос-
кости точками, принадлежащими некоторой полосе, ограни-
ченной прямыми у — М и у = Р (включая границы).
506.
Докажите, что последовательность (ап), где:
а) ап = 12п — 10; б) ап = п2 — 4,
является возрастающей и неограниченной сверху. Ука-
жите номер, начиная с которого члены последовательно-
сти больше 1000.
Докажите, что последовательность (Ьп), где:
а) Ьп = 5 —4п; б) Ьп = 6 — п2,
является убывающей и неограниченной снизу. Укажите
номер, начиная с которого члены последовательности
меньше —5000.
Докажите, что последовательность (с ), где сп = га * , яв-
ляется возрастающей и ограниченной сверху.
507.
508.
189
509.	Докажите, что последовательность (хп), где хп —	, яв-
ляется убывающей и ограниченной снизу.
510.	Является ли ограниченной сверху или снизу последова-
тельность:
а)	простых чисел;
б)	натуральных чисел, дающих при делении на 5 оста-
ток 2;
в)	десятичных приближении дроби —, взятых с недо-
О
статком с точностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д.;
г)	обыкновенных дробей вида ;
д)	приближенных значений д/iT, взятых с недостатком с
точностью до 0,1, 0,01, 001 и т. д.;
е)	приближенных значений взятых с избытком с
точностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д?
511.	Подберите какую-либо формулу, которая задает после-
512.
3	7	11	15	„
довательность — , — , -г=-,	, ... . Является ли последова-
о 11	17
тельность, заданная этой формулой, ограниченной?
Докажите, что последовательность (ап) является ограни-
ченной, если:
. 1
а) ап = —
’ п 3„
513.
514.
515.
516.
517.
.	Зп + 5
в)
м п - С-1)""
) °п «4-1 ’
Является ли ограниченной последовательность (хп), если:
ч Зп-i-l	л ч /IV ч /	1\п
а) хп=~— ; б) х„ = 4п; в) =	; г) хп = {--} ?
Докажите, что последовательность (ап), где ап=п2—
— 6п-|-5, ограничена снизу и не ограничена сверху.
Докажите, что последовательность (сп), где сп = 8п — и2,
ограничена сверху и не ограничена снизу.
Докажите, что все члены последовательности (нп), задан-
ной формулой ип =	— , принадлежат промежутку
nr -I- 1
[0; 0,5].
Укажите какой-нибудь числовой промежуток, которому
принадлежат все члены последовательности (ап), если:
.	п _	2п2 .	.	(-1)"(«4-3)
а)а”=7+1: б)а"=7чТ: в)а"=----------------п----•
518.	Укажите, если это возможно, какие-либо значения а и Ь,
при которых все члены последовательности (хп) принад-
лежат промежутку [а; Ь], если:
.	7n—1	(-1)” ч к / IV
а)х"=5ннГ:	в> ж" = 5'(-2Л
190
519.	Укажите, если возможно, какую-нибудь полосу на коор-
динатной плоскости, которой принадлежат все точки,
изображающие члены последовательности (сп), если:
.	п+1	/1\п	( — 1)"
а)с„= —; б)с.= (¥); в)с„ = 1-_L.
35. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим последовательность (лп), где ап=~^~ ’
Представим формулу л-го члена последовательности в виде
а"=3+ тгтт
и вычислим первые несколько членов этой последователь-
ности: а^З^, а2 = з|,	=	а4 = з|, а5 = 3р а6 = 3у.
Найдем еще, например, л2о» аюо» аюоо:
020=3 2?’ 0100 = 3 пй’ °1000 = 3ТооГ *
Мы видим, что с увеличением п члены последовательности
(ап) приближаются к 3. Геометрически это означает, что на ко-
ординатной прямой точки, изображающие члены последова-
тельности (лп), с возрастанием п все ближе и ближе подхо-
дят к точке 3 (рис. 88). Иначе говоря, расстояние между точ-
кой ап и точкой 3, равное \ап — 3|, с возрастанием п уменьша-
ется.
Можно указать, например, номер, начиная с которого
\ап — 3| становится меньше 0,0001. Для этого решим не-
равенство
|ая —3| <0,0001.
Имеем:
134—-^--31 <——,
«4-1 юооо
л 4-1 >10 000,
л >9999.
Значит, при л > 9999 выполняется неравенство | ап — 31 <
<0,0001.
Аналогично можно найти номер л, начиная с которого вы-
полняется неравенство \ап — 3| <0,0001, неравенство
|а„—3|<---------
3 000 000
и т. п.
аб а2
— .. ,»»,»> > ♦— .............................»
3 а5 а3 а1	4 х
Рис. 88
191
Вообще, какое бы положительное число е («эпсилон»),
сколь угодно малое, ни было задано, можно указать такой но-
мер N, что при n>N выполняется неравенство \ап — 3| <е.
Говорят, что последовательность (пп) стремится к 3, или
что число 3 является пределом последовательности.
Определение. Число b называется пределом последова-
тельности (ап), если для любого положительного числа е суще-
ствует такой номер 7V, что при n>N верно неравенство
|ап —Ы <е.
Если число Ъ является пределом последовательности (п„),
то это записывают так:
lim ап — Ь
(lim есть сокращение латинского слова limes, означающего
«предел»).
Выясним геометрический смысл понятия «предел последо-
вательности».
Как известно, неравенство | ап — b | < е равносильно двойно-
му неравенству
— е<пп —Ь<ё,
а значит, и двойному неравенству
b — в < пп < Ь + в.
Отсюда вытекает, что если lim an = b, то для любого е>0 най-
дется номер п, начиная с которого члены последовательности
принадлежат числовому промежутку (Ь — е, b 4- е). Геометри-
чески это означает, что, начиная с некоторого номера п, точ-
ки, изображающие члены последовательности (а„) на коорди-
натной прямой, попадают в интервал, ограниченный точками
b — е и Ь-|-е, а вне этого интервала находится лишь конечное
число точек. Интервал (Ь — е, Ь-|-е) называют Е-окрестностью
точки Ь. Другими словами, можно сказать, что, начиная с не-
которого номера п, точки, изображающие члены последова-
тельности (пп), скапливаются в Е-окрестности точки Ь, а вне
Е-окрестности остается только некоторое конечное число точек.
Последовательность, имеющая предел, называется сходя-
щейся.
Приведем примеры сходящихся последовательностей.
Пример 1. Пусть дана последовательность (сп), где
_ ( —1)"+1
Эта последовательность начинается так:
. 11	11	1
’	2’ 3’	4’ 5’	б"’	’
На координатной прямой точки, изображающие члены после-
довательности, скапливаются около точки О, располагаясь то
слева, то справа от нее (рис. 89).
192
._________9 счс6 ( cs c3________________с,
-1	0	1 X
Рис. 89
Докажем, что число 0 является пределом последователь-
ности (с„).
Пусть дано произвольное число е>0. Требуется доказать,
что найдется номер п, начиная с которого выполняется нера-
венство
|с„ —0| <е.
Действительно, если
|(_ 1)п+1	I
------0 |<е,
п-----I
то
1 _
— < е,
п
1 <пе,
1
п>—.
В
Проходя эту цепочку неравенств снизу вверх, получаем: для
любого е2>0 можно указать номер, начиная с которого
|сп — 0| <е.
11	2
Так, например, если е = 0,015, то —= - — v = 66 — . Нера-
е 0,015	з
венство |с„ — 0| <0,015 выполняется при п>66, т. е. начи-
ная с п, равного 67.
Отсюда по определению
lim с„ = 0.
Пример 2. Пусть (ип) — последовательность приближен-
ных значений д/Г, взятых с недостатком с точностью до 0,1;
0,01; 0,001 и т. д. Тогда
^ = 1,4, н2 = 1,41, и3 = 1,414, и4= 1,4142, ... .
Учитывая точность приближений, получаем:
^-Д/Г | <0,1,
|u2—Д/Г | <0,01,
I н3—д/Г| <0,001,
|ы4—Д/2|< 0,0001,
Отсюда следует, что для любого е > 0 найдется такой номер п,
начиная с которого |п„ —д/2*|<е. Например, если е = 0,0006,
то достаточно взять п = 5.
Следовательно, lim нл = д/Г.
7 Заказ 181
193
Пример 3. Пусть имеем геометрическую прогрессию
1,1,1,1.......
’ 2 4’ 8’
Рассмотрим последовательность (Sn), где Sn — сумма пер-
вых п членов этой прогрессии. Имеем:
S, = l, s2=lp S8 = l{.	- •
Можно предположить, что последовательность (Sn) имеет пре-
дел, равный 2.
Действительно, по формуле суммы первых п членов гео-
метрической прогрессии
Sn =
_(1~2")2 =2 1
2" (1 — 2)	2"
2
Отсюда получаем, что |S„—21 = Д--. Так как — *—••< 8, если
2	2
2п-1>у, то для любого е>0 можно указать такой номер п, на-
чиная с которого |Sn — 21 < 8, а это означает, что limiSn = 2.
Вообще можно доказать, что если (ап) — бесконечная гео-
метрическая прогрессия со знаменателем д, где |д| <1, то по-
следовательность (<Sn) сумм п первых ее членов имеет предел,
„ аг
равный . Этот предел называют суммой бесконечной гео-
метрической прогрессии со знаменателем д, где | q | < 1.
Не всякая последовательность имеет предел. Последова-
тельность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Примерами расходящихся последовательностей могут слу-
жить последовательности:
3, 6, 9, 12, ..., Зп, ... .
-1, 1, -1, 1, ..., (-1)", ... .
Выясним некоторые свойства сходящихся последователь-
ностей.
1.	Последовательность может иметь только один предел.
Допустим противное, что существует последовательность
(хп), такая, что limxn = a и Ишх„ = Ь, где а=£Ь.
Между двумя неравными числами находится еще беско-
нечно много чисел. Поэтому всегда можно выбрать число 8,
такое, что е-окрестность точки а не
е-окрестностью точки b (рис. 90). Так
пределом последовательности (хп), то,
будет пересекаться с
как число а является
начиная с некоторого
b
a
0 а-Е а+Е b-Е Ь+Е
Рис. 90
194
номера п, все члены последовательности (х„) попадут в е-ок-
рестность точки а, а вне ее останется только конечное число
членов. Значит, в е-окрестность точки b попадет только ко-
нечное число членов последовательности (х„), а это противоре-
чит тому, что число b является пределом последовательности
(х„). Следовательно, предположение неверно и последователь-
ность (хп) не может иметь двух пределов.
2.	Если все члены последовательности (х„) равны Ь, то пре-
делом этой последовательности является число Ь.
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что
в любой e-окрестности числа Ь содержатся все члены последо-
вательности (хп).
3.	Если последовательность (хп) имеет предел, то она огра-
ничена.
Пусть Кт хп = а. Возьмем какую-нибудь е-окрестность точ-
ки а. Из определения предела вытекает, что все члены после-
довательности (хп), начиная с некоторого номера п, попадают
в эту окрестность. Вне ее может остаться только конечное
число членов последовательности (х„). Поэтому можно расши-
рить промежуток (а — е; а-Ье) так, чтобы новый промежуток
(Z; р) вместил все члены последовательности (х„). А это озна-
чает, что существуют такие числа I и р, что для всех членов
последовательности (хп) выполняется двойное неравенство
Z<xn<p, т. е. (х„) — ограниченная последовательность.
Заметим, что обратное неверно: последовательность может
быть ограниченной, но не иметь предела. Примером может
служить последовательность остатков, полученных от деле-
ния номера п на 4:
1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, ... .
520.	Дана последовательность (а„), где ап= —”	•
ВыЧИСЛИТе ^2» ^З9	^5 9 ^26’ О509 ^100*
К какому числу сходится последовательность? Проведи-
те доказательство.
521.	Вычислите первые шесть членов последовательности (ап),
заданной формулой:
\	n -I-1	v	п	v	Зп—1
а) а„ = —!: б) а„ =------: в) а„ =-------,
’ п п '	’ п п+1’	’ п 2	’
изобразите их на координатной прямой.
Какое предположение о пределе последовательности (пп)
можно сделать? Проведите доказательство.
522.	Пользуясь определением предела последовательности,
докажите, что:
a) lim --п~2 = 5 ; в) lim ”	;
71	иЛ “Г 1	О
6>	И ={•
195
523.	Является ли сходящейся последовательность:
а) 1, 4, 9,	и2, ... ;
\ 1 —1 1 —1 1 —1
в' 2 ’	2’ 3’	3’ •••* п’ п ’	’
г) 3, 3, 3, ..., 3, ... ?
524.	К какому числу сходится последовательность (с„), если:
а)с„ = 10+|;	б)с„ = 5-1; в) е„=-^=?
п	п	\п
525.	Последовательность (сп) задана формулой
с_ = ( —1)"+ —. Найдите первые восемь членов этой no-
ri
следовательности и изобразите их на координатной пря-
мой. Является ли последовательность (с„) сходящейся?
526.	Составлена последовательность (х„), которая получается,
если в бесконечной периодической десятичной дроби
0,333... оставлять одну, две, три и т. д. цифр после за-
пятой:
0,3, 0,33, 0,333, ... .
Докажите, что Ит хп = — .
527.	Последовательность (ип) получается путем отбрасывания
в бесконечной периодической десятичной дроби 0,111...
всех десятичных знаков после запятой, кроме одного,
кроме двух, кроме трех и т. д., т. е.
^ = 0,1, u2 = 0,ll, и3 = 0,111, ..., и„ = 0,111...11.
Докажите, что Ит ип= .	п единиц
528.	В последовательности (Ь„) все члены, начиная с шестого,
равны 2. Является ли эта последовательность сходящей-
ся и если да, то чему равен ее предел?
529.	Известно, что каждый член сходящейся последователь-
ности (а„) является положительным числом. Может ли
пределом этой последовательности быть:
а) отрицательное число; б) число 0?
530*. Пусть (с„) — последовательность, имеющая предел т.
Из нее вычеркнули:
а)	первые шесть членов;
б)	все члены с нечетными номерами;
в)	все члены, номера которых кратны 3.
Будет ли оставшаяся последовательность сходящейся и
если да, то чему равен ее предел?
531*. Известно, что (а„) — сходящаяся последовательность.
В каком случае последовательность
Oj, 1, О2, 1, п3, 1, ..., Ол, 1, ...
является сходящейся?
196
ПРИЛОЖЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ
Глава I. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
§ 1.	СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
В этой главе рассматриваются вопросы, связанные с
систематизацией, расширением и углублением сведений о
функциях и их графиках.
В § 1 вводятся понятия четной и нечетной функций,
возрастающей и убывающей функций, ограниченной и
неограниченной функций, рассматриваются их свойства.
Хотя с некоторыми из этих понятий учащиеся знакомятся
в основном курсе, их изложение здесь объясняется целями сис-
тематичности, сведения о них даются в большем объеме и на-
ходят применение в теории и упражнениях.
При изучении четных и нечетных функций рассматрива-
ются свойства, выражающие зависимость знака функции от
четности или нечетности функции.
При рассмотрении возрастающих и убывающих функций
вводится понятие монотонной функции и доказываются неко-
торые свойства монотонных функций. Среди них особенно
значимым является следующее свойство: всякая монотонная
функция каждое свое значение принимает лишь при одном
значении аргумента. Это свойство играет важную роль при
изучении теоретических вопросов и решении задач. Приведен-
ные в пункте 2 свойства 1—3 находят применение при доказа-
тельстве возрастания и убывания функции на данном множе-
стве, при исследовании функций и построении их графиков.
Некоторые свойства монотонных функций не помещены в тео-
рии, а даются в виде упражнений 34—36 (предполагается, что
их доказательство учащиеся выполнят самостоятельно). Эти
свойства наряду со свойствами, доказанными в теории, долж-
ны быть усвоены учащимися, так как они неоднократно ис-
пользуются при изучении теории и решении задач.
Здесь же вводится термин «непрерывная функция». Инту-
итивное представление о непрерывной функции как функции,
график которой представляет непрерывную кривую, должно
появиться у учащихся, по мнению авторов, еще до того, как
197
будет введено строгое определение понятия непрерывной функ-
ции. Опираясь на ♦геометрическое» определение непрерыв-
ной функции на множестве X и свойства монотонных функ-
ций, учащиеся могут обосновать, почему такое уравнение,
как f (х) = а, где f — монотонная функция и а£Х, имеет толь-
ко один корень.
Понятие ограниченной функции основывается на геометри-
ческих представлениях учащихся (график полностью заклю-
чен внутри полосы, ограниченной прямыми у = а и у = Ь).
Лишь после этого дается определение ограниченной функции.
Приводятся примеры ограниченных функций. Вводятся поня-
тия неограниченной функции, ограниченной сверху и ограни-
ченной снизу. Изложение этих вопросов связывается с отыс-
канием области значений функции. Для многих функций об-
ласть значений функции y = f(x) может быть найдена, если
удастся выяснить, при каких значениях у уравнение от-
носительно х имеет корни. Если, например, уравнение
y = f(x) имеет два корня: Xi = ^i (!/), где y^Yu и x2 = g2(y), где
j/£Y2, то область значений E(/?) = Y1|JY2.
Здесь же дается понятие о наибольшем и наименьшем зна-
чениях функции y — f (х) на множестве X. Показывается, что
ограниченная функция и функция, ограниченная сверху или
ограниченная снизу, необязательно могут иметь свое наиболь-
шее или наименьшее значение.
При введении этих понятий аналитическое изложение тес-
но увязывается с графическими представлениями учащихся.
Система упражнений в основном направлена на усвоение
вводимых понятий и их применение. Отдельные упражнения
являются теоремами, которые в дальнейшем могут быть ис-
пользованы в теории и при решении задач. Такими, например,
являются упражнения 33, 36.
§ 2.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ИХ ГРАФИКОВ
До сих пор учащиеся были знакомы с функциями
у = kx + Ь, у = х2, у = х3, у = | х |, у = у и их графиками. Кроме
того, они строили графики функций, полученные из графиков
этих функций с помощью параллельных переносов вдоль ко-
ординатных осей.
Построение графиков более сложных функций требует
предварительного их исследования. С помощью производной
(в старших классах) находят промежутки возрастания и убы-
вания функций, точки максимума и минимума, области вы-
пуклости и вогнутости графика, точки перегиба, отыскание
наклонных к оси х асимптот. Остальные вопросы, связанные
с исследованием функций, обычно решаются без помощи про-
198
из вод ной. К ним относятся исследование функций на четность
и нечетность, нахождение нулей функции и промежутков зна-
копостоянства, нахождение множества значений функции, ис-
следование функции на ограниченность и неограниченность,
отыскание вертикальных и горизонтальных асимптот.
Исследование функций элементарными средствами являет-
ся хорошей подготовкой для исследования функций с по-
мощью производной, но в то же время представляет и само-
стоятельную ценность. Порядок проведения этого исследова-
ния должен отвечать выявлению наиболее рационального спо-
соба построения графика.
Прежде всего нужно знать область определения функции.
Если функция четная или нечетная, то достаточно постро-
ить ее график для положительной части области определения
функции. Другая часть графика строится с помощью симмет-
рии относительно оси у (если функция четная) или от-
носительно начала координат (если функция нечетная).
Если найдена область значений функции, то можно выяс-
нить, ограничена функция или не ограничена (ограничена
сверху или ограничена снизу). Тем самым можно найти наи-
большее или наименьшее значение функции, если оно суще-
ствует.
Отыскание областей, в которых функция положительна
или отрицательна, зависит от нулей функции и точек, где
функция не определена. Для рассматриваемых здесь функ-
ций, которые непрерывны в каждой точке, где они определе-
ны, решение этой задачи осуществляется достаточно просто.
Это позволяет выяснить, где график расположен выше оси х
или ниже оси х, где он пересекает ось х.
Отыскание областей возрастания и убывания функции
проводится посредством использования определений возраста-
ющей или убывающей функции или соответствующего свойст-
ва монотонной функции. Это позволяет увидеть положение
графика (график идет вверх или вниз).
Выяснение, как ведет себя функция, когда значения аргу-
мента неограниченно возрастают, неограниченно убывают
или, возрастая или убывая, стремятся к некоторому числу а,
позволяет узнать, имеет ли график функции горизонтальные
или вертикальные асимптоты.
Заметим, что предложенная схема исследования функций
не является обязательной. В отдельных случаях она может
проводиться по другому плану. Однако в большинстве случа-
ев такой порядок исследования функции себя оправдывает,
так как позволяет наиболее рационально осуществить постро-
ение графика.
Система упражнений пункта 4 предназначена для отработ-
ки каждого пункта схемы исследования функций, а пункта
5 — исследования функций и построения графиков.
199
В пункте 6 учащиеся знакомятся с примерами разрывных
функций. Понимание непрерывной функции усваивается луч-
ше, если объяснить, что такое разрывная функция, и ввести
понятие «точка разрыва». Примеры функций j/ = [x] и у = {х},
которые определены на множестве R и имеют бесконечное
множество точек разрыва, служат хорошей иллюстрацией
разрывных функций.
Интересными для учащихся являются графики функций
вида j/==[/?(x)J и y — {f{x)\i которые рассмотрены в теории и
предложены учащимся в системе упражнений.
§ 3.	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
В пособии «Алгебра. Дополнительные главы к школьному
учебнику 8 класса» учащиеся познакомились с преобразова-
нием графиков функций вида y = f(x — m)‘и y = f(x)-\-n.
Здесь учащиеся продолжают знакомиться с другими пре-
образованиями графиков. В пункте 7 рассматриваются графи-
ки функций вида у — — f(x), у = f ( —х), у= —f ( —х), в пунк-
те 8 — графики функций вида у = | f (х) | и у = f (| х |). Этот ма-
териал достаточно прост и не требует особых комментариев.
Учителю следует обратить внимание, что в этом курсе не
рассматриваются преобразования вида y = af(x), т. е. растя-
жение-сжатие графика от оси х (при а>0). Предполагается,
что этот материал учащиеся усвоят, изучив соответствующие
вопросы в основном курсе алгебры.
Упражнения на преобразования графиков функций преду-
сматривают в основном выработку навыков в построении гра-
фиков.
Изучение материала главы I можно начать в начале года,
включая в него отдельные упражнения из § 1 «Функции и их
свойства» главы I основного курса. В изучение темы «Квадра-
тичная функция и ее график» основного курса следует внести
соответствующие коррективы с учетом того, что в курсе «Ал-
гебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 клас-
са» отдельные вопросы (преобразования графиков функций
вида y — f (х — т) и y — f (х) 4- п) были уже рассмотрены.
Глава II. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
§ 4.	ОТНОШЕНИЯ СЛЕДОВАНИЯ И РАВНОСИЛЬНОСТИ
В данной главе расширяются и обобщаются известные уча-
щимся сведения о равносильности уравнений и неравенств, а
также получают обоснование уже знакомые им приемы реше-
ний уравнений и неравенств с одной переменной, систем урав-
нений с двумя переменными. Материал этой главы рекомен-
200
дуется изучать перед рассмотрением приемов решения урав-
нений и неравенств с одной переменной второй и более высо-
ких степеней, а также систем уравнений второй степени с дву-
мя переменными.
Равносильность предложений с переменными определяется
через понятие следования, содержание которого разъясняется
на примерах. Важно подчеркнуть, что, говоря о том, что из
одного предложения следует другое, мы утверждаем, что не
может оказаться такого случая, когда первое предложение ис-
тинно, а второе ложно. При этом не исключается случай, ког-
да первое предложение является ложным при всех значениях
переменных. Смысл этого соглашения становится понятным,
когда речь идет об уравнениях-следствиях и о неравенствах-
следствиях. Например, мы можем говорить, что из уравнения
«4-7 о	। г, с	о
——=2 следует уравнение х+7 = 6, а из уравнения —-—= 2 сле-
дует уравнение х2 + 7 = 6, не интересуясь тем, что во втором
случае исходное уравнение не имеет корней.
При выполнении упражнений важно обратить внимание
учащихся на то, что, для того чтобы доказать утверждение
о следовании одного предложения из другого, необходимо
найти какое-либо обоснование общего характера (например,
свойство делимости чисел, свойство числовых неравенств
и т. п.), а для того чтобы опровергнуть его, достаточно найти
одно значение переменной (одну пару, тройку и т. п. значе-
ний переменных), при котором первое предложение обращает-
ся в истинное высказывание, а второе — в ложное.
Можно показать учащимся знаки логического следования
и равносильности, однако не следует настаивать на их обяза-
тельном использовании, так как это приводит к излишней
громоздкости записей и появлению дополнительных ошибок.
Специального внимания требует вопрос о соотношении
между множествами истинности предложений с переменны-
ми, связанных отношениями следования или равносильности.
Эти соотношения являются основополагающими при решении
уравнений, неравенств, систем. Так, множество решений
уравнения-следствия включает все решения исходного уравне-
ния, а множества решений равносильных уравнений совпада-
ют (аналогичные соотношения между множествами решений
имеют место для неравенств, а также для систем уравнений
и неравенств).
§ 5.	УСЛОВИЯ РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ,
НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ
Материал данного параграфа направлен на формализацию
и расширение ранее сформированных у учащихся представле-
ний о равносильности уравнений, неравенств и систем. Уча-
201
щиеся должны уметь воспроизводить приводимые здесь дока-
зательства некоторых утверждений, касающихся отношений
следования и равносильности между уравнениями, неравенст-
вами, системами. Усвоение этих доказательств облегчается
тем, что все они строятся по единой схеме. Важно, чтобы
учащиеся не только знали, какие преобразования приводят к
равносильному уравнению (неравенству, системе), но и пони-
мали, в каких случаях равносильность может нарушиться.
Это позволит им избежать в дальнейшем ошибок, которые ча-
сто допускаются при решении уравнений, неравенств и систем
различного вида (например, логарифмических, тригонометри-
ческих и т. п.).
При выполнении упражнений необходимо добиваться, что-
бы учащиеся не ограничивались однозначным ответом на во-
просы типа ♦Равносильны ли уравнения?», ♦ Является ли вто-
рое уравнение следствием первого?», а приводили достаточно
полные обоснования. Специальное внимание следует уделить
заданиям, в которых рассматривается равносильность уравне-
ния (неравенства) некоторой системе (конъюнкции) или сово-
купности (дизъюнкции) уравнений и неравенств. Наиболее
сложными являются задания, относящиеся к уравнениям
и неравенствам с параметрами. Здесь необходимы допол-
нительные исследования, связанные с выделением особых
случаев.
Заметим, что при рассмотрении вопроса об отношениях
следования и равносильности между неравенствами необходи-
мо подчеркнуть принципиальное различие в приемах реше-
ний уравнений и неравенств. Если уравнение можно заменить
уравнением-следствием, а затем с помощью подстановки ис-
ключить посторонние корни, то для неравенств такой прием яв-
ляется неприемлемым, так как множество решений неравенст-
ва с одной переменной является, вообще говоря, бесконечным
и невозможно испытать все полученные решения. В связи с
этим в тех случаях, когда не удается перейти к равносильно-
му неравенству, стараются данное неравенство заменить рав-
носильной ему системой или совокупностью.
Отношения следования и равносильности между неравенст-
вами составляют основу не только при решении, но и при до-
казательстве неравенств. В данном параграфе получает обос-
нование известный учащимся прием доказательства не-
равенств путем сравнения с нулем разности левой и правой
частей неравенств, а также показывается другой подход,
основанный на построении цепочки неравенств-следствий, ис-
ходным в которой является некоторое очевидное неравенство.
Ознакомление учащихся с этим приемом позволяет значи-
тельно расширить круг заданий на доказательство не-
равенств.
Изучение данной главы позволит учащимся осознанно по-
202
дойти к изучению приемов решения уравнений и неравенств
с одной переменной, а также уравнений и неравенств с двумя
переменными и их систем.
Глава III. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 6.	РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С первоначальными сведениями об уравнениях высших
степеней учащиеся познакомились в основном курсе, где да-
ется понятие о целом уравнении, его степени и рассматрива-
ются простейшие уравнения третьей и четвертой степеней (в
том числе биквадратные уравнения).
В этом же курсе дается представление о графическом реше-
нии некоторых целых уравнений. Рассматривается вопрос о
приближенном отыскании корней кубического уравнения ви-
да x3-j-px -|-9 = 0 с помощью графиков.
В пункте 14 «Целые уравнения и способы их решения» эти
сведения расширяются. Здесь приводятся теорема Безу и тео-
рема о целых корнях уравнения с целыми коэффициентами.
Эти теоремы дают возможность учащимся обосновать решение
некоторых уравнений высших степеней. Найдя корень уравне-
ния Р (х) = 0 среди делителей свободного члена, можно много-
член Р (х) разложить на множители. В учебнике это делается
с помощью метода неопределенных коэффициентов и группи-
ровки. Серьезных трудностей такие способы разложения мно-
гочлена на множители вызвать не могут, так как предлагае-
мые учащимся уравнения достаточно просты. Ту же задачу
можно решить с помощью деления многочлена на многочлен.
Если учащиеся с этой операцией не знакомы, то учитель (если
сочтет это целесообразным) может ознакомить учащихся с
этим алгоритмом.
В пункте вводятся понятие возвратного и, в частности,
симметрического уравнений. Рассматриваются методы их ре-
шения. Особый интерес представляет способ решения целых
уравнений вида Р (х) ~ 0, где Р (х) — монотонная функция.
На примерах, рассмотренных в теории (пример 4, а), б)),
показывается, как можно достаточно просто решать некото-
рые из таких уравнений. В этом случае решение уравнения
учащиеся могут найти подбором, так как это уравнение если
имеет корень, то только один.
В пункте 15 ♦ Решение дробно-рациональных уравнений»
показываются новые по сравнению с основным курсом при-
емы решения уравнений (введение новой переменной, исключе-
ние из дроби целой части, группировка отдельных членов
уравнения и др.), которые позволяют более рационально ре-
203
шить уравнение. Эти приемы рассмотрены в теоретической
части пункта на отдельных примерах.
В пункте 16 ♦Решение рациональных неравенств» показы-
вается, что всякое рациональное неравенство вида -^-у^О,
где Р (х) и Q (х) — многочлены, можно заменить равносиль-
ным неравенством вида Р (х) • Q (х) => 0, т. е. свести к решению
целого неравенства. Основной метод решения таких не-
равенств — метод интервалов.
Упражнения к пунктам направлены на усвоение теории и
методов решения задач.
Материал § 6 следует изучать после изучения темы ♦Урав-
нения с одной переменной» основного курса.
§ 7.	УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННОЙ
ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Параграф подразделен на три пункта: 17. ♦Расстояние
между точками координатной прямой», 18. ♦Решение уравне-
ний, содержащих переменную под знаком модуля» и 19. ♦Ре-
шение неравенств, содержащих переменную под знаком мо-
дуля».
В пункте 17 рассматриваются примеры решения не-
равенств вида |х —	и |х — с\^т с использованием по-
нятия расстояния между точками координатной прямой. Этот
материал является наглядной интерпретацией аналитических
методов решения уравнений и неравенств с модулем и служит
хорошей пропедевтикой для последующего изучения пре-
делов.
В пунктах 18 и 19 даются аналитические методы решения
уравнений и неравенств с модулем.
Основная цель при решении таких уравнений и неравенств
состоит в том, чтобы освободиться от знаков модуля. Это до-
стигается различными приемами, которые подробно рассмот-
рены в авторских примерах.
Желательно, чтобы отдельные решения уравнений и нера-
венств сопровождались иллюстрацией на графиках функций.
Материал этого параграфа целесообразно рассмотреть по-
сле изучения § 6 настоящего пособия.
§ 8.	ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В параграфе два пункта: 20. ♦Решение иррациональных
уравнений» и 21. ♦Решение иррациональных неравенств».
Так же как и при решении уравнений и неравенств с моду-
лем, здесь аналогично основная цель состоит в том, чтобы из-
бавиться от знака радикала и перейти к рациональному урав-
нению.
204
Стандартный прием при решении иррациональных уравне-
ний — это возведение обеих частей уравнения в квадрат и за-
тем отсеивание посторонних корней (путем проверки). Однако
проверка в ряде случаев может оказаться довольно громозд-
кой. Поэтому в тексте рассматриваются способы решения,
позволяющие избежать проверки корней (см., например, ав-
торские примеры 2 и 3 п. 20).
В теории также рассматриваются другие приемы решения
иррациональных уравнений: метод введения новой перемен-
ной (пример 5), сведение иррационального уравнения к
уравнению, содержащему переменную под знаком модуля
(пример 6), освобождение левой части уравнения от иррацио-
нальности в знаменателе (пример 7).
Учителю нужно обратить внимание учащихся на решение
уравнений вида f (x)-g (х) = 0. Это уравнение равносильно
дизъюнкции двух уравнений: f (х) = 0 или g(x) = 0 — на обла-
сти определения исходного уравнения. Этот случай рассмот-
рен в примере 4 (см. с. 104), где решается уравнение
(х2 — 5х — 6) •	= о. Множитель х2 — 5х — 6 обращается в
нуль при х= —1 и х = 6. Однако —1 не является корнем дан-
ного уравнения, так как при этом значении х выражение
\/—— не имеет смысла.
V х—5
Способы решения иррациональных неравенств вида д/f (х) <
< g (х) и Д7 (х) > g (х) существенно отличаются от способов
решения аналогичных иррациональных уравнений.
Неравенство 
(и
равносильно системе
	/(х)>0,	
	g(x)>0,	(2)
	[f(x)C(g (х))2,	
а неравенство	>g(x)	(3)
равносильно совокупности двух систем:
(g(x)>0,
Ь(х)>и(х))2;
, (4)
(f(x)>0,
_U(x)<0.
Действительно, если х0 — решение неравенства (1), то вер-
но числовое неравенство д/^ (х0) <Lg (х0). Отсюда следует, что
f	g (х0)>0 и f (x0)<(g (х0))2. Это вытекает из того, что
205
функция у —и2, где u^O, возрастающая. Верно и обратное.
Значит, каждое решение неравенства (1) является решением
системы (2) и наоборот.
Если же х0 — решение неравенства (3), то верно не-
равенство y/f (х0) >g (х0). В этом случае g (х0) может быть как
неотрицательным числом, так и отрицательным числом. Если
g(xo)>O, то f (x0)>(g(x0)2.
Если g (х0) < 0 и f (х0) > 0, то y/f (х0) > g (х0) — верное нера-
венство. Верно и обратное. Значит, каждое решение неравен-
ства (3) является решением совокупности систем (4) и
наоборот.
Неравенства вида (1) и (3), где f и g — монотонные функ-
ции, имеющие различный характер монотонности, можно ре-
шать проще. Это показано в примере 4 п. 21.
В пункте показывается также способ решения иррацио-
нальных неравенств с помощью введения новой переменной.
Глава IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
§ 9.	УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
В первом пункте этого параграфа систематизируются неко-
торые сведения об уравнении с двумя переменными (степень
уравнения, решение уравнения, способ отыскания решений
уравнения) и рассматриваются некоторые способы решения
уравнения с двумя переменными в целых числах.
Соответствующую направленность имеют и упражнения к
пункту.
Во втором пункте ставится задача выяснить, каким может
быть график уравнения с двумя переменными второй степени,
и познакомить учащихся с различными видами графиков
этих уравнений. С этой целью дается перечень различных пре-
образований графиков уравнений (аналогичные преобразова-
ния графиков функций, которые ранее обстоятельно были рас-
смотрены в курсе).
С помощью этих преобразований учащимся показывается
на примерах, что графиком уравнения второй степени с двумя
переменными может быть эллипс (в частности, окружность),
гипербола, парабола, пара прямых.
Свойства кривых второго порядка в курсе не рассматрива-
ются. Главная цель состояла в ознакомлении учащихся с ви-
дами кривых и их различном расположении на координатной
плоскости.
Немногочисленные упражнения подчинены этой же цели.
206
§ 10.	СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Этот параграф начинается с графического решения систем
уравнений. Выясняется, что система уравнений второй степе-
ни с двумя переменными не может иметь более четырех реше-
ний (случай совпадения кривых исключается). Различные
случаи иллюстрируются на графиках.
Рассматриваются примеры графического решения систем.
Учащимся следует подчеркнуть, что с помощью графиков
можно найти решения системы лишь приближенно. В том,
что найденное решение точное, необходимо убедиться провер-
кой, подставив значения переменных в уравнения системы.
Рассматривается прием решения с помощью системы урав-
нений кубического уравнения.
В теории не рассмотрен пример решения системы уравне-
ний вида
| х2 — 7лг-|-12 = 0,
1 у2-5j/ + 6 = 0.
(Они вынесены в упражнения.)
На таком примере учителю надо остановиться подробней, что-
бы показать, что графиками уравнений являются пары пря-
мых, которые имеют четыре точки пересечения, а не парабо-
лы (такие ошибки нередко встречаются).
Во втором пункте параграфа рассматриваются аналитиче-
ские способы решения систем уравнений второй степени, ко-
торые позволяют ознакомить учащихся с различными при-
емами решения систем уравнений.
Упражнения преследуют цель усвоения методов аналити-
ческого решения систем уравнений.
Этот материал можно рассмотреть после изучения анало-
гичной темы в основном курсе.
Глава V. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
§ 11.	ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
Данный и последующий параграфы являются непосредст-
венным продолжением темы «Уравнения с двумя переменны-
ми и их системы». При их изучении получают дальнейшее раз-
витие знания и умения учащихся, связанные с формировани-
ем общих представлений о предложениях с двумя переменны-
ми, их конъюнкции и дизъюнкции, о геометрической интер-
претации на координатной плоскости некоторого соотношения
между координатами точек. В данном параграфе рассматри-
207
вается случай, когда это соотношение выражено линейным
неравенством с двумя переменными или системой таких нера-
венств.
Основополагающим моментом, который должны усвоить
учащиеся при изучении данного параграфа, является тот
факт, что прямая, представляющая собой график уравнения
ах 4- by 4- с = 0, где а =/= 0 или b =/= 0, разбивает плоскость на две
полуплоскости, в одной из которых трехчлен ax-^-by-j-c при-
нимает положительные значения, а в другой — отрицатель-
ные. Выбрать полуплоскость, соответствующую условию зада-
чи, учащиеся могут двумя способами: либо воспользоваться
методом контрольной точки, либо проанализировать располо-
жение полуплоскостей относительно прямой ах 4- by 4- с = 0.
Следует разъяснить учащимся смысл выражения «полупло-
скость расположена выше прямой», которое означает, что лю-
бая точка этой полуплоскости расположена выше соответству-
ющей точки прямой, лежащей с ней на одной вертикали (ана-
логичное замечание касается выражения «полуплоскость рас-
положена ниже прямой»). Важно предостеречь учащихся от
часто допускаемой ошибки, когда считают, например, что не-
равенство вида ах4- by4-с>0, в котором Ь=/=0, задает полу-
плоскость, расположенную выше прямой ах 4- by 4- с = 0, хотя
это верно только для Ь>0. Чтобы избежать подобных оши-
бок, рекомендуется неравенство вида ах-\-by-\-с>0 заменять
равносильным ему неравенством у > — ^х — при b > 0 или
- а с ,
у < — — х — — при о < 0 и только после этого рассматривать
расположение полуплоскости относительно прямой.
Из определения системы вытекает, что множество точек,
которое задает на координатной плоскости система неравенств
с двумя переменными, представляет собой пересечение мно-
жеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы. От-
сюда получается, что система линейных неравенств с двумя
переменными задает на координатной плоскости пересечение
полуплоскостей. Этим пересечением может быть полоса, угол,
многоугольник, пустое множество и т. п.
Упражнения, содержащиеся в данном параграфе, можно
разделить на две группы. Первую из них составляют задания
на геометрическую интерпретацию множества решений ли-
нейного неравенства или системы линейных неравенств с дву-
мя переменными, вторую — задания, в которых требуется
охарактеризовать неравенством или системой неравенств не-
которую фигуру на координатной плоскости. В ходе их вы-
полнения учащиеся снова возвращаются к построению графи-
ков линейных уравнений с двумя переменными, составлению
уравнения прямой, заданной на рисунке, и т. п. Таким обра-
зом, ранее приобретенные знания и умения актуализируются
и получают применение в новых ситуациях.
208
§ 12.	БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ПРИМЕРЫ НЕРАВЕНСТВ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМ
В данном параграфе рассматриваются неравенства высших
степеней с двумя переменными и их системы. Здесь учащиеся
встречаются с неравенствами второй и третьей степени, имею-
щими вид y>ZU), y<f(x) или вид f (х, j/)>0, f (х, у)<0.
Важно разъяснить учащимся, что для геометрической ин-
терпретации множеств решений неравенств вида y>f(x) или
у < f (х), где f (х) — некоторый многочлен второй или более
высокой степени, можно воспользоваться рассуждениями,
аналогичными тем, которые проводились для неравенств вида
у > kx 4-1 и y<ckx^-l. Иной подход используется, когда нера-
венство имеет вид f (х, у) > 0 или f (х, у) < 0, где f (х, у) — не-
который многочлен второй или более высокой степени. Этот
подход основан на следующем свойстве: график уравнения
f (х, у) = 0 разбивает координатную плоскость на области,
внутри каждой из которых значения многочлена f (х, у) со-
храняют знак. Доказательство этого свойства в силу его слож-
ности не приводится, а его смысл можно разъяснить учащим-
ся, основываясь на интуитивных представлениях: любые две
точки области можно соединить непрерывной линией, не пере-
секающей ее границ; при движении по такой линии значения
многочлена f (х, у) не могут поменять знак, так как ни в од-
ной точке, не принадлежащей границе, многочлен не обраща-
ется в нуль. Выбрать области, которые задает то или иное не-
равенство, учащиеся могут с помощью контрольных точек
или некоторых рассуждений (например, используя соотноше-
ния между расстоянием от центра до точек, лежащих внут-
ри круга, и радиусом круга).
Как и в случае систем линейных неравенств с двумя пере-
менными, при изображении на координатной плоскости мно-
жества решений системы неравенств второй или более высо-
кой степени находят пересечение областей, задаваемых нера-
венствами системы. При выполнении упражнений учащиеся
встречаются здесь с большим набором разнообразных геомет-
рических фигур, задаваемых системами. Специальное внима-
ние следует уделить тем случаям, когда неравенство с двумя
переменными задает какое-либо объединение областей. На-
пример, неравенство -	~ > 0, где f (х, у) и g (х, у) — неко-
g (х, у)
торые многочлены, равносильно совокупности двух систем не-
равенств:
Г f(x, j/)>0, и Г f(x, s/)<0,
l^(x, j/)>0 И I g (x, j/)<0.
Множество точек, задаваемое неравенством -^^-^->0, пред-
g(x, у)
209
ставляет собой объединение множеств точек, которые задают
эти системы неравенств. В свою очередь, множество решений
каждой системы изображается пересечением множеств точек,
задаваемых входящими в нее неравенствами.
В заключительной части параграфа рассматриваются нера-
венства и системы неравенств с двумя переменными, содержа-
щие переменные под знаком модуля. Этот материал способст-
вует более глубокому усвоению понятия «модуль числа»,
обеспечивает развитие широкого спектра умений, связанных
с построением графиков уравнений с двумя переменными, со-
держащих переменные под знаком модуля, и исследованием
знаков многочленов с двумя переменными.
Глава VI. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 13.	ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Понятие последовательности относится к числу фундамен-
тальных математических понятий. Начальные сведения о по-
следовательностях даются в основном курсе в теме «Арифме-
тическая и геометрическая прогрессии». Изучение данной
главы позволяет систематизировать и углубить знания уча-
щихся о последовательностях, значительно обогатить темати-
ку упражнений и создать хорошую базу для усвоения учащи-
мися в старших классах элементов математического анализа.
Изложение материала § 13 «Понятие числовой последова-
тельности» начинается с рассмотрения способов задания по-
следовательностей. С примерами заданий последовательно-
стей описанием, формулой л-го члена, рекуррентным спосо-
бом учащиеся уже встречались. Здесь внимание акцентиру-
ется на некоторых деталях: приводятся примеры задания
последовательностей двумя формулами, выражающими ее п-й
член через порядковый номер л, показывается, что по первым
нескольким членам последовательности нельзя однозначно
определить формулу, задающую эту последовательность, ис-
следуются значения членов последовательности.
В связи с тем что изложение материала главы ведется с
широкой опорой на геометрические образы, необходимо спе-
циально остановиться на вопросе об изображении членов по-
следовательности на координатной прямой и на координатной
плоскости. Важно подчеркнуть, что последовательность пред-
ставляет собой функцию, областью определения которой слу-
жит множество всех натуральных чисел (если последователь-
ность бесконечная) или множество первых п натуральных чи-
сел (если последовательность конечная). Отсюда следует, что
члены последовательности (а„), заданной формулой an = f (л),
изображаются на координатной плоскости точками (абсциссы
210
которых — натуральные числа), принадлежащими графику
функции y = f(x).
Этот факт находит применение при решении ряда задач.
В основном курсе даются достаточно широкие сведения о
прогрессиях. Однако некоторые свойства арифметической и
геометрической прогрессий оказываются вне поля зрения уча-
щихся. В данном параграфе доказываются характеристиче-
ские свойства арифметической и геометрической прогрессий.
Формулировки этих свойств выбраны таким образом, чтобы
подчеркивать их аналогию для арифметической и геометриче-
ской прогрессий: последовательность является арифметиче-
ской (геометрической) прогрессией тогда и только тогда, ког-
да любой ее удвоенный член (квадрат любого ее члена), начи-
ная со второго, равен сумме (произведению) предыдущего
и последующего членов. Изучение этих свойств позволяет рас-
смотреть с учащимися ряд усложненных заданий на прогрес-
сии, в частности задач на комбинацию арифметической и гео-
метрической прогрессий. Более глубокому осмыслению мате-
риала способствует также рассмотрение связи арифметиче-
ской прогрессии с линейной функцией и геометрической про-
грессии с показательной функцией, свойства которой будут
рассмотрены в старших классах.
На материале данного параграфа учащиеся знакомятся с
новым методом доказательства — методом математической
индукции. Метод математической индукции используется
при решении широкого круга задач. В данном параграфе уча-
щиеся встречаются с применением этого метода в задачах на
суммирование, на переход от рекуррентного способа задания
последовательности к заданию ее формулой тг-го члена, на
изучение свойств последовательности, а также в задачах на
делимость. Ознакомление с методом математической индук-
ции не только имеет важное общеобразовательное значение,
но и способствует развитию алгоритмической культуры уча-
щихся. В ходе выполнения упражнений учащимся приходит-
ся отказываться от сложившегося стереотипа, когда целое вы-
ражение либо преобразуется в многочлен стандартного вида,
либо разлагается на множители, и действовать иначе — при-
водить выражение к такому виду, который позволяет сделать
заключение по индукции.
Первый пункт данного параграфа рекомендуется рассмот-
реть до изучения темы ♦ Арифметическая и геометрическая
прогрессии», а два других — после его завершения.
§ 14.	ВИДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
При изложении материала данного параграфа широко ис-
пользуются сведения о последовательностях, рассмотренные в
предыдущем параграфе, и поэтому его рекомендуется изучать
211
непосредственно после § 13 данной главы. Формируемые
здесь понятия и используемые методы рассуждений служат
хорошей подготовкой к изучению в старших классах элемен-
тов математического анализа.
При формировании понятий возрастающей и убывающей
последовательностей необходимо добиваться от учащихся
усвоения определений, умения приводить примеры и контр-
примеры и проводить доказательство, понимания особенно-
стей расположения на координатной прямой и на координат-
ной плоскости членов возрастающей или убывающей последо-
вательности. В системе упражнений следует специально оста-
новиться на заданиях, в которых для исследования вопроса о
монотонности последовательности (а„), заданной формулой
an — f (л), используются знания о характере изменения соответ-
ствующей функции y = f(x).
Усвоению понятий ограниченной и неограниченной после-
довательностей способствуют знания об ограниченных и нео-
граниченных функциях, полученные учащимися при изуче-
нии главы I. Учащиеся должны свободно пользоваться соот-
ветствующими определениями и понимать их геометрическую
интерпретацию на координатной прямой и на координатной
плоскости. Следует обратить их внимание на связь геометри-
ческих образов и используемой терминологии: «ограниченная
сверху последовательность», «ограниченная снизу последова-
тельность », ♦ ограниченная последовательность».
Изучение данного параграфа завершается введением поня-
тий «предел последовательности», «сходящаяся последователь-
ность». Идея предельного перехода является, как показыва-
ет опыт преподавания, сложной для учащихся. Поэтому реко-
мендуется специальное внимание уделить вводимым здесь
понятиям, терминам, обозначениям, сопровождая изложение
фрагментов теории соответствующими упражнениями.
Важным моментом при изложении материала данного па-
раграфа является формализация интуитивных представлений
учащихся о предельном переходе. При введении определения
предела последовательности важно добиваться от учащихся
понимания таких моментов, как произвольность выбора поло-
жительного числа е, существование для любого е соответству-
ющего номера и, начиная с которого выполняется рассматри-
ваемое неравенство, а также зависимость п от е.
Усвоению идеи предельного перехода способствует привле-
чение геометрических образов. Внимание учащихся должно
быть акцентировано на геометрическом истолковании поня-
тия предела. Геометрическая интерпретация является опор-
ной при изучении свойств сходящихся последовательностей и
выполнении ряда упражнений.
ОТВЕТЫ
Глава I
3. а) Указание. Если график функции f симметричен относи-
тельно оси у, то это означает, что каждой его точке (х0; у0) соответствует
другая его точка (— х0; у0), симметричная относительно оси у. Отсюда
f (— х0) = Уо = f (*о) Для любого x0ED (f). Значит, f — четная функция, б) Ана-
логично а). 8. а) Четная; б) нечетная. 11. Указание. Допустим против-
ное: f — нечетная функция и f(x) — a, где х = 0 и а=#=0. Тогда
f (— х) = — f (х) = — а. Значит, f (О) = а и f (О) = — а, что противоречит опре-
делению понятия функции. 12. f (x) — kx-\-b; а) при Ъ — 0; б) при Л = 0.
17. а) — г) Является. 20. Указание. Уравнение f(х) — 21, где f — четная
функция, может иметь лишь четное число корней, отличных от нуля (если
Xj — корень данного уравнения, то —Xj также корень данного уравнения). По-
этому если это уравнение имеет нечетное число корней, то один из них обяза-
тельно равен нулю. 21. См. указание к упражнению 11. 27. а) Неверно;
б) верно; в) верно; г) неверно; д) верно; е) неверно. 33. а) Убывает на проме-
жутке [0; 4] и возрастает на промежутке |4; + оо); б) возрастает на промежут-
ке [0; 4| и убывает на промежутке |4; -|-оо). 37. а) f(x)=10 — х, где
xg{x|xE7V, х^9); б) /(х) —х, где х£{х|хЕАГ, х<:9). 38. a) g(x) = x2, где
х£{х|х£А, х^9}; б) g (х) = (10 — х)2, где хЕ{х|хЕАГ, х^9). 39. a) f (х)=— , где
х
хЕ{х|хЕАГ, х^9); б) /(х) = ~—, где хЕ{х|хЕАГ, *^9). 44. а) [1; 4-оо);
б) (— оо; 1]; в) (— оо; —2|(J|2; -|- оо); г) (— оо; 0](J[12; оо). 46. а) (0; 4- оо);
б) (-оо; 0); в) 1-2; 2|; г) (-оо; -2|U|2; +оо); д) |2; +°о); е) [ — 2; 2].
47. —-i- и -1-. 48. Е(у) = (0; 14]; наибольшее значение 14. 52. f (a); f (Ь)‘,
/(6)]. 53. g(b); я(а); E(g) = |g(6); g (а)]. 55. a) (-«>; 2)U
U(2; 3)U(3; + oo); 6) (~oo; -6)U(-6; 2)U(2; +<x>); в) (-oo; -5)U
U(-5; -hoo); r)(-«>; -3)U(-3; 1)U(1; +°o); д) | -1; 0)U(0; 5|; e) (0; 2]U
U[8; +оо);ж)|0; 1]; з) ]0; 0,5)U(0,5; 1|. 57. a) (-oo; -4|U(0; +oo);6) A); 1	;
\	<5 I
1 1
наибольшее значение 1— при x = —; в) |—2,5; 2,5]; наибольшее значение
2,5 при х=1, наименьшее значение —2,5 при х=—1; г)
— оо;
213
д) [О; 1]; наибольшее значение 1 при х = 0, наименьшее значение,
равное О, при х——1 и х==1; е) [О; 4-00)» наименьшее значение, равное О,
при X—— 1 и х=1. 58. б) 3; (3; 4-оо); (—оо; — 4)U( —4; 3); в) —1; 0; 1;
(-1; 0)U(l; + оо); (-оо; -1)Щ0; 1); г) -2; 1; (-2;	+оо); (-оо;
— 2); д) —3; 2; (— оо; —3)U(2; + оо); нет; е) 2; 3; (2; 3); нет. 60. а) Имеет:
х = 2 и у = 1; б) имеет: у = 0; в) имеет: х = 0; г) не имеет. 62. Рис. 91. 63. Рис. 92.
64. Рис. 93. 65. г) Результаты исследования: 1) £)(/) = (—оо; -4)U
и(4; ч- оо); 2) функция f четная; 3) Е (/) = [0; -(- оо). Дальнейшее исследова-
ние выполнено для промежутка (4; 4-°°); 4) f(x) = O при х = 4, при х>4
f (х)>0; 5) на промежутке [4; + оо) функция f возрастает; 6) при
ОО	оо. График функции изображен на рисунке 94. д) Результа-
ты исследования: 1) D(f) = ( — 4; 4); 2) функция f четная; 3) E(f) =
4- оо ). Дальнейшее исследование выполнено для промежутка (0; 4);
4) f (х)>0 при любых х£|0; 4); 5) на промежутке [0; 4) функция f возрастает;
6) при х -► 4 f (х) -► 4- °0 • График функции изображен на рисунке 95. е) Ре-
зультаты исследования: 1) D(f) = (— оо; — 4)U(4; + оо ); 2) функция f — чет-
ная; 3) Е (f) = (0; 4-00). Дальнейшее исследование выполнено на промежутке
|4; 4- оо); 4) f (х)>0 при х>4; 5) на промежутке [4; 4" °°) функция f убыва-
ет; 6) при х> 4 и х -► 4 f (х) -> 4- °0; при х -> 4- °0 f (*) -* 0. График функции
изображен на рисунке 96. 67. Указание. Найти D (ф) и сократить дробь.
Затем провести исследование функции и построить график, а) График — ли-
Y 1	2
нейная функция ф (х) = — х — —,
О	о
где х=/=—2; б) график — дробно-линейная
функция ф(х)=-----——1, где х^З; в) график — дробно-линейная функция
3
ч>(«)=—5г+2» где
х — 3
г) график — дробно-линейная функция
214
215
Рис. 97
0,75
ц(х) =------—— + 0,5, где х + 0 и х^З.
х —1,5
68. См. указание к упражнению 67. а) Гра-
фик — дробно-линейная функция f (х) =
4
=—+2, где хф—2 и х=£2\ б) график —
дробно-линейная функция /(х)=-------
— 2,
где х=#—3 и х=/=3. 69. Указание.
Предварительно освободиться от знака мо-
дуля и сократить дробь.
а)
( —х + 0,5, если х<2,
( х —0,5, если х>2;
б) у —
-----, если х<2,
х —0,5
1
-----—— , если х > 2.
х —0,5
70. Рис. 97. 72. д) 2; е) 3. 73. а) (-0,37; 0,63); б) Z; в) [ — 0,8; 0,2);
г) {х|х= * + 0,2, k£Z}. 74. a) {x\x£Z, |х| СЗ); б) [0; 1); в) [ — 2,5; 0); [1; 3,5].
76. а) [2; 3); б) 0; в) (— д/з"; -^2]{)[л/2- \Д“); г) [1; 4). 77. а) [0; 1); б) {-2;
— 1; 0; 1; 2; 3}; в) {-2,5; —1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5]. 80. a) Z;
б) {x|x = *+0,5, k£Z}; в) {x|x = * + 0,5, k£Z}. 81. а) Ось х; б) ось х.
Глава II
103. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да. 104. а) Да; б) да; в) да; г) нет.
106. а) 8 учеников; б) 13 учеников. 107. а) Да; б) да; в) нет; г) да. 110. а) Да;
б) да; в) да; г) да. 111. а) Да; б) да; в) да; г) да. 112. а) {1; 2; 4}; б) {1; 5; 6; 7;
8}; в) {2; 5; 12; 26}; г) {2}. 114. а) Не существует; б) 4; —5; в) 0; г) не сущест-
вует. 115. а) Нет; б) нет; в) 1; г) 5. 117. а) {0}; б) {— 8; 2; 4}; в) 0; г) ( —3;
+ оо); д) (6; 8)0(8; +оо); е) (0,2; 1,5); ж) {12; 3; -3}; з) (-оо; -3)0(8;
-|-оо). 118. а) [4; 8)0(8; +оо); б) (—оо; — 2)(J( —2; 18); в) [1; 4]; г) [-3;
0)0(0; 2|. 119. а) {-4; 2}; б) {-1; 3; -3}; в) (-оо; 4)0{Ю}; г) (-оо; 1)0(5;
+ оо). 122. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 123. а) Да; б) да; в) нет; г) да. 125. а)
Нет; б) да; в) нет; г) да. 126. а) Да; нет; б) да; да; в) да; да; г) да; нет.
127. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 128. а) Да; б) да; в) да; г) да. 132. а) Да;
б) да; в) нет. 133. а) Да; б) да. 136. а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) нет.
139. а) 7; б) 0; 4,5; в) —А; г) -А. 140. а) 3-|; б) -4; в) —4; г) -3; 4-
ООО	3
141. а) Корней нет; б) 2; в) — д/iT; г) корней нет. 146. а) 1; 8; —2; б) —5; —;
12 1	1
- —; в) - ; — ; г) 1; -1; д) 2; е) 0; ж) 0; 5; 1 — ; -18. 147. а) а = 1; б) а= -2;
Z а 5	3
2
в) а = 10,5; а = 7; г) а — 2; а = 1 — . 148. Указание. Воспользоваться тео-
О
ремой Виета, а) а = 2; б) а = 0; в) а = 2; г) а=1; д) не существует. 151. ( — 3; 4).
152. (4; 2). 153. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 154. Указание. Сначала найти
решение второй системы, а) а = 0, 5 = 6,5; б) а = 4, Ь= —9. 155. а = 4,6. 156.
Указание. Решив систему двух уравнений, выразить х и у через а и под-
216
1
ставить в третье уравнение, а) о =—12; б) а = 8; в) а = 3; а=——.
158. а) Нет; б) нет; в) нет. 159. а) Нет; да; б) нет; да. 163. а) Да; б) да; в) да;
г) нет. 164. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да. 165. а) ^ °о; — б) ( — 1; + оо);
в) (— оо; —8,5); г) — оо; 1	169. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 170. а) Да;
б) нет. 172. а) Нет; б) нет. 173. а) а^1; 0) а^2. 174. а) 5^2; б) .
О
Глава Ш
182. а) — 2; 1; б) — 2; —1; 1; 4. 183. а) —1; 2; б) -2; —1; 3; в) 2; г) 2;
2-Д/з"; 24-Д/з"; д) 2; 3; З-УТо"; З + УЙГ; е) —2; 1; —;
ж) i; 1; 3; з) -1; 2;	. -* 1У.У^ . 185. а) х2 * *-4х + 1=0;
2	6	6
б) X2— 12х + 9 = 0; в) х2-10х+1=0. 187. х2 = 3+У2", х3 = 1. 189. а) — 1;
3-2 Д/г"; 3 + 2 Д/г"; б) -1; ; 2. 191. а) —4; 1; б) -1; 2. 192. а) 5~У^ ;
5±/+ 6) ~6-^;	В) 1; 2;Г) -1; -3.193. а)
2'22'	2	2
б) 2 —д/з”; 2 + д/з”. 194. 1. 195. Указание. Воспользуйтесь теоремой Вие-
та и теоремой, обратной теореме Виета. 199. а) При любом а+=0 уравнение
имеет четыре корня: —1, 1, —а, а; при а = 0 — три корня: —1, 1, 0; б) при
п>0 уравнение имеет четыре корня: —1, 1, —^2п , Д/2п ; при п = 0 — три
корня: — 1; 0; 1; при п<0 — два корня: — 1; 1; в) при а>0 уравнение имеет
три корня: 2, — д/а", д/о"; при а = 0 — два корня: 2; 0; при а<0— один ко-
рень: 2; г) при Ь>0 уравнение имеет один корень: —3; при 5 = 0— два кор-
ня: — 3; 0; при ЬсО— три корня: —3; —д/ — b ; д/ —Ь . 200. а) При любом
х=#0 уравнение имеет два корня: аг — х2— х и а2 = х2; при х = 0 — один ко-
рень: а = 0; б) при а <--уравнение корней не имеет; при а = —- уравне-
4	4
1	1 п	1-Д/1 + 4а
ние имеет один корень: —; при +	— два корня: -----------
1+Д/1 + 4а	_	\г- ,г~	1-Д/1+4а
и -----1-----; при а>0 — четыре корня: — Д/а ; у а ; ------:
2	2
1+\1+4а
2
. 201. а) 6; б) —-; в) корней нет; г) корней нет. 202. а) —2; 2;
- у[2 -^2 ; б) - УГ; УГ; в) -1; 1,5; —; г) _ з; 2; 6,2;
1	_	, „ „	1	1	„	25 —Д/369*	гб + д/ЗбО*
4-=-. 203. а) 2; 3; — —;	2? -----?	5	? в)
(	а	О	и
; А+З/L; -1; 1; г) 1. 204. а) 2,5; б) —6,5. 205. а) 2,5; б) -5.
217
206. a) —1; 1; 2; б) —1; 1. 207. a) — 2 — \T; — 2 + у/З; 2 — \Т; 2 +
208. —209. 5. 212. а) (3 —2Д/з"; 3-Ь2Д/3~); б) ( — 2; +оо);
в) (-оо; -3~^)и(0; ~3 + ^^и(3; +оо); г) (_2; 0)и(1; +оо);
д) (-оо; -3)Ul-2; 2|U[3; 4-оо). 214. в) [2; 3]U[4; + оо); г) (-оо;
-2]U|2; 4-оо). 215. а) (-2; ~~ 17^)U(~1;	)U(1; 5);
б) [-6; ^~2^)и(1; 2|и(1+2^ ; + °°); в) (-2; — W)Ufs—Vio";
W)U(2; 3+710); г) (-Vt-; -V5)U(-2; 2)U(T5; 7t~)U(3; 4-oo).
219. Два решения: числа 2 и 3. 221. а) —5, —4, —3, 3, 4, 5, 6, 7; б) — 3,
— 2, —1, О, 2, 3, 4, 5. 222. При а = 6. 223. Со скоростью, большей 10 км/ч.
232. а) {5; 15}; (5; 15); (—оо; 5)1)(15; 4-оо); б) {-7; -3}; ( — 7; -3);
(— оо;
— 7)U( —3; 4-оо). 234. а)
|х — 151 <5; б) |х4-7| <1; в) |х-1
> 2~’
г) |х4-11 >1; Д) 1x1 <0,1; е) |х| >5. 235. а) —4; -3; —2; —1; О; 1; б) 2; 3;
в) —3; —2; —1. 237. а) —3; 3; б) —3; 3; — 7F; 7^; г) —1; 3; д) 1; 1— \F;
1+7^. 238. а) -3; -1; 6; б) 1; 5; в) 1; г)  I3-	;  13 + 7ЙЙ~ .
2	2
д) —2; 1; 4; е) —2,25; 2; 3,5. 239. а) [ — 4; 3|; б) О. в) -1; 3; г) 1.
242. a) 14-V^; —1—д/б"; б) — 2-714"; — 24-714". 243. а) -2; 2;
— и—ViST -ч+УЙГ 11-yioT 11+yioT	_2
/	2	2	2	2	7
5 —TiF	г- Г- I 
244. а) —3; б) —2,5; в) —7; 5; г) -----; 6; д) — 2^2; 2\2;
е) 4~у13ЙГ . 4 245 а) 0. 1; б) _ 1; 0. 1; в) 5+^13 .	246. а) При
a	A	Zt
1	3
а=/=0 уравнение имеет два корня:-----и —; при а = 0 корней нет. б) При
а а
а<0 корней нет; при а = 0— один корень, равный —3; при а>0— два
/	7~	/	7~
корня: а — 3 и —а — 3. в) При а<О — два корня: — \/----------и \/----;
V а у а
3	3
при а = О корней нет; при а > О — два корня: —== и — —— . г) При а < О кор-
уа	уа
ней нет; при а —0 — два корня: О и 3; при ОС а <2,25 — четыре кор-
3-79 4-4а	34-7® 4-4а	3—79-4а	3-^9-4а
ня: -7—•--, —!—*__•-, --7---, —1—7---; при а = 2,25 —
2	2	2	2
три корня: 1,5;
3-372
2
34-ЗТ^
2	’
при а >-2,25 — два корня:
218
3-Д/9 + 4а 3 + Д/94-4а
--- —:	, ——-—-. 247. Указание. Построить график функдлк
2-----------------------2
у=\х — 1| + |х — 2|. Пользуясь графиком, легко получить ответ: при а = О.
Ь= 1, или при а= — 2, Ь = 3, или при а = 2, b = — 3. 250. а) — 3. — 2, —1,0.
1, 2, 3; б) — 2, —1, 0, 1, 2, 3; в) -4; 0. 251. а) (- ос; - l) j(3; -е ос); б) | - 1;
3]; в) (2-\/7; 2)(J(2; 2+77); г) (-оо; 2-\7]и{2}и[2 + \2~; + «>)•
253. а) ( — 3; 4); б) (-оо; -3)U(4; + <ю); в) (-оо; 1|; г) [2; +оо).
254. а) (-оо; -2 \Тз); (-2-713"; 2 + 77); б) (2 + 77; +оо).
256. а) [1; 7|; б) (—оо; —5)(J^5~^^ ; 5 + ^207); в) (2; + оо);
г) (- оо; -2,4|uf	; 3 + ^iejjA . 257. а) -4, -3, -2, -1,0, 1,2;
б)	-3, — 2, -1, 0, 1, 2. 258. а) [-4; -2)(J[4; 5J; б) ( - оо; ~ 5 ТУ?13 и
U(-7; 3)и[*±Д; +А 261. а) 2; 6)	; в) 2> г) 4»
1 Z	/	о	ОУ
з
д) 2,5; е) корней нет. 266. а) 7; 15; б) 5; 8 — ; в) 1; г) —3; 1; д) 12; е) —8.
4
267. а) 2,4; 4; б) —0,5; 3; в) 1; г) 6. 268. а) 3; б) 1. 269. а) 6; б) 7; 12;
в) —1; 2; 7; г) 5; 9; д) 13; е) корней нет. 270. а) —7; 2; б)
1—УПГ . 1+717 .
2’2*
в) —5; 5; г) 3,5; —14; д) 2; 3; е) -4; 5. 271. а) 6^-; 6-^-; б) 5^-;
к	ок	О1
в)	—у; 2,5; г) —; — 1 —. 272. а) 0; б) -2; -1; в) —2; -1; г) —3; 3; 8.
273. а) б) —1 2 V1;	; в) А+ЛИЕ ; г) 0. 274. а) Корней
нет; б) [ — 5; 5]; в) 0; г) (— оо; 4]. 275. Указание. Vх±2\х — 1 —
= V(*—1)±2Д/*—1 -Н =V(VX —1 ±1)2 = l7x~ 1 ± 11 • О т в е т: [2; + оо).
276. а) [5; 26]; б) [0; 3]; в) [3; +оо). 278. а) (2; 3]U[4; 5); б) (—оо; — 5]J
(JL4; -J-оо); в) (4; 10); г) (-оо; -4)J(6; + оо); д) [2; 2,5); е) (1; 2);
+ оо ); з) [1; 3 — 77)0(3 + 77; + «>). 280. а) [1; 5);
[„ 13 — 7171 х Г13-Т17
2* ----2--1* Г) I-2---’
+ оо) д) [1,5; 3-72);
е) [1,5; 3+77); ж) I —?-; 8|; з) (8; +оо). 281. а) 3; б) —2; в) решений
I о J
нет; г) I — оо;
^л-д/зГЧ 7-цд/зГ; X а) Г 3 I
А	у у	у	1	< J
б) ( — 0,3; 1); в) решений нет; г)
/3-717
\	2
; °]и[2; 3+^); Д> 1—2; 2];
е) решений нет. 284. а) (28; 67); б) [ — 4; +оо); в) ( — 1; 0)0(3; 4);
219
г)	О^и^б; —• 285- а) ~3’	2’ -1’ °’	2’ 3- б> 4-
286. а) 11 —; гЛ ; б) (0,4; 9); в) ( — 5; —2)(J(2; 5); г) 7. 287. а) Решений
L 4	/
нет; б) (—оо; 2)Щ2; +оо). 288. а) [0; + оо); б) |2; + оо). 289. а) При
xg(5— Д/17 5 1|U[9; 5 + Д/17 ); б) таких значений нет (при любом допустимом
значении х значение функции больше или равно 2).
Глава IV
295. г) {(-2; 0), (2; 0)}; д) {(1; 4)}; е) {(-3; 5)}. 298. (3; 19), (5; 17), (11;
11), (17; 5), (19; 3). 300. 5 тридцатикилограммовых мешков и 3 пятидесяти-
килограммовых. 301. 17. 302. 21. 303. а) (3; 2), (3; —2), (— 3; 2), (— 3, —2);
б) (—1; 0), (1; 0). 308. а) Пара прямых у = х-}-1 и у=— х-|-1; б) пара пря-
мых х = — 1 и у = 2; в) пара прямых у = хиу= — х; г) пара прямых у = — 1 и
у = 2; д) прямая у = 1 и луч х = 3, где у 0; е) прямая х = 4 и луч у = — 1, где
х^0. 309. а) Часть параболы х — у2— Зу, где х^О, и часть параболы
х — Зу — у2, где х < О; б) часть параболы у — х2 — Зх, где у О, и часть парабо-
лы у= —х2-)-Зх, где у<0; в) гипербола (х—I)2 — у2 = 4; г) гипербола
(у —I)2 —х2 = 4. 310. а) Квадрат с вершинами в точках ( — 3; О), (О; 3), (3; О),
(О; —3); б) два луча, исходящие из точки (3; О): у = х —3, где х^З,
у = — х + 3, где х 3, и два луча, исходящие из точки (— 3; О), симметрич-
ные относительно оси у паре первых лучей; в) квадрат с вершинами в точках
(— 1; —1), ( —1; 1), (1; 1), (1; —1); г) два прямых угла с вершинами в точ-
ках (— 1; 1) и (1; — 1), со сторонами, параллельными осям х и у (первый рас-
положен во II координатной четверти, второй — в IV координатной четверти).
318. а) {(-6; -2), (6; 2), (4\/F; -2^/2), (-4д/2"; 2 \^)}; б) {(-2; 1),
(4; -2)}; в) {(-3; 1), (-3; 16), (2-VTT; 2), (2 + д/1Г; 2)}; г) Н-1; —
(1; П, (4; П,	319, а) (1; 2),
/2 — д/7~	2 —д/7~\	/ 2 4-д/т” 2 + д/7~ \
(2; 3), (—),	—t-VL; —) ; в) (2; -1), (-2; 1),
\ О	о j \ о	о /
(2,5; 8). 320. а) (3; -2), ( — 3; 2), ( —ДпГ; О), (Д13~; О); б) (-5; -3), (5; 3).
321. а) {(2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2)}; б) 0; в) {(1; 5), (5; 1)};
г) {(-2; —3), (-3; —2), (2-Д/7, 2 + д/п, (2 4-Д/7~; 2-Д/7)};
д>	<2; 5).
I \ о	О /	\ о	о /
220
(5; 2) >; е) {(О; О), (1; 7), (7; 1)}. 322. а) ( — 3; —2), (3; 2); б) решений нет;
в) указание. Разложив на множители первое уравнение системы, полу-
( (х-{-2)(х — 2)(х — 5у) = 0,
чим систему <	„	которая равносильна совокупности
( ху2 4- 5у3 - 4х - 20у = О,
трех систем. Ответ: ( — 2; 2), ( — 2; —2), ( — 2; 0,4), (2; —2), (2; 2),
(2; —0,4), (0; 0), ( — 10; —2), (10; 2); г) см. указание к в): (— 2; 1), (2; 1).
323. а) ( —2^/2"; -Д/2); (2д/^; V^). (—Vl -2Д/2), (Vl 2Д/2-);
6) (-з), fl; з) , ( - 3; -, (з; 1) ; в) (19;6); г)(-4; 0), (4; 0),
f-6-|; -5-1), fel; 5-1); д) (-ЗД/з"; \Т), (ЗД/З; Д/з"); е) (1; 2),
\ о 15/	\ о 15/
(1; -2), (-1; 2), ( — 1; —2), (2; 1), ( — 2; 1), (2; —1), ( —2; —1). 324. а) 6;
б) 8; 13.
Глава V
335. б) у>—Зх—1; в) у>1,5х—1; г) у>х; д) у>3х; е) у>0,4х.
339. у<2х. 340. а) у>0,5х4-3,5; б) у> — 1. 342. а) Нет; б) да; в) да.
343. а) Да; б) нет; в) нет. 348. а) Пустое множество; б) угол; в) полоса.
351. а) А = 2, Ь>3; б) *У=2, Ь — любое число; в) А = 2, b<Z3. 352. а) Тре-
угольник; б) 0. 353. (4; 5), (2; 1), ( — 0,5; 0,5). 354. 0<*<2. 350. а) 2,25;
б) б1; в) 4,5; г) 25. 358. 32. 359. 6,75. 301. Уравнения прямых: а) у = 2х—1,
О
у — 2х— 8,4; б) у = 2х —3, у = 2х-Ь 5. 302. Уравнения прямых: у = 2x4- 4,
у— — 0,4х — 0,8, у=-2x4-4. 363. Уравнения прямых: у =— 1,25х-|-5,
у= lx —21, у= —2, у= 11x4-5. 365. а) Да; б) да; в) да; г) да. 366. а) Да;
3	3	4
б) нет; в) да; г) да. 373. а) (х —3)24-(у —4)2С 16; б) (х4-3)24-(у — 3)2>6,25.
374. а) Вся плоскость; б) точка ( — 4; 1); в) вся плоскость; е) точка (12; —13).
375. Указание. Представить неравенство в виде: а) (х—1)2-|-у2^ 1;
б) х24-(у-2)2<4; в) (х-2)24-(у-2)2<8; г) (х — 3)24-у2< 1. 377. а) Нет;
б) да; в) да; г) нет. 378. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 379. е) Часть круга, зада-
ваемого неравенством х2 4- у2 36, расположенная выше параболы у = х2 — х — 6.
381. а) (3; 6), ( — 1; -151) ; б) (5; 1), (2; —8). 382. а) —6<х<2,5,
х24-5х — 6<у< — х24-2x4-24. 384. а) 12,6; б) 0,4; в) 56,5. 389. Указа-
ние. Данное неравенство верно, если:
а)	( х24-у2 — 9<0,	( х24-у2 — 9>0,
<	или {
(х>0	(х<0;
б)	( ху — 6>0,	( ху — 6<0,
<	или <
(х>0	( х<0.
394. Полоса, ограниченная прямыми 2х —у= —1 и 2х — у=1; а) да; б) да;
в) да; г) нет. 397. а) 18; б) 12,5; в) 18. 398. Указание. Рассмотреть слу-
чаи, когда у>0 и у<0. 400. ( — 2; 0), (2; 0), (5; 21). 401. а) (4 — 2 д/jT; 2 Д/2~);
221
б) (4 + 2Д/2; 2У[2); в) (4; О); г) (4; 4). 402. (-2; О), (-1; О), (О; О),
(1; О), (2; О). 403. Указание. Вычислить координаты вершин прямоуголь-
ного треугольника и длины катетов; а) 4,5; б) 2 —. 405. а) Указание. Фи-
3
гура состоит из четырех прямоугольников; 24; б) 16. 406. а) 28,3; б) 21,2;
в) 164,5; г) 64,3. 407. Указание. Фигура состоит: а) из двух кругов ра-
диуса 4 с центрами в точках (— 4; 0) и (4; 0); б) из двух кругов радиуса 3
с центрами в точках (— 3; 0) и (3; 0); в) из двух полукругов радиуса 2, где
центры кругов — точки (— 2; 0) и (2; 0). 410. 8.
Глава VI
416. Указание. Воспользоваться формулами a2ll = k, a2*f1= — k.
421. 1, 4, 18, 96, 600, 4320. 428. б) an = ( — I)" 2 —1 ; г) a„ = (2”~^ (2”+1).
" '	' 2n	2n(2n-|-2)
432. n = 4. 435. а) Да; б) нет. 436. а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) нет. 437. а) Да;
б) да; в) да; г) да; д) да. 447. 37,5. 448. 30, —30. 449. —7, —2,
3, 8. 450. 9,18, 36, 72 или 72, 36, 18, 9. 455. 2, 8, 32 или 32, 8, 2. 456. 17,
9, 1 или 5, 9, 13. 457. —5, 5, 15, 45. 458. 1, 2, 4, 8. 459. а) Да; б) да; в) нет;
г) да. 460. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 461. а) Да; а, = 4, d = 8; б) да; аг= —8,
<2 = 2. 465. у = — 1,5х-|-4,5. 467. у = х — 4. 494. е) Возрастающая; ж) нет;
з) возрастающая; и) возрастающая; к) нет. 496. Да. 500. а) При а<3; б) при
а>3. 501. При а >2. 502. При Ь>0. 503. а) —0,5; б) —4; в) ; г) 6.
4
504. а) 3,7; б) 4; в) 3 -i-; г) -i-. 505. а) 13; не существует; б) 0; 1; в) 3; не суще-
ствует. 506. а) п = 85; б) п = 32. 507. а) п = 1252; б) п = 71. 513. а) Да; б) нет;
в) да; г) да. 517. а) [0; 1]; б) [0; 2]; в) [ — 4; 2,5]. 518. а) а = 0, 5 = 7; б) а= — 1,
5=-^-; в) а=—2-i-, b— 1-i-. 519. а) 1<у<2; б) 0<у^С^; в) 0<у^2.
523. а) Нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да. 524. а) 10; б) 5; в) 0; г) 5; д) 1;
е) 1. 528. Да; limb„ = 2. 529. а) Нет; б) да. 531. Если lima„ = l.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
§ 1.	Свойства функций................................ 3
1.	Четные и нечетные функции.................... —
2.	Монотонные функции........................... 7
3.	Ограниченные и неограниченные функции . .	14
§ 2.	Исследование функций и построение их графиков 19
4.	Исследование функций элементарными способами
5.	Построение графиков функций ............... 24
6.	Графики функций у = [х] и у = {х).......... 30
§ 3. Преобразования графиков функций........... 37
7.	Графики функций	у = —f(x),	y = f ( — х),
y=—f( — x)................................ —
8.	Графики функций у= |/(х)| и у = /(|х|)	. .	41
ГЛАВА II. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ И НЕРА-
ВЕНСТВ
§ 4. Отношения следования и равносильности ...	45
9.	Высказывания и предложения с переменными —
10.	Понятие о следовании и равносильности . .	51
§ 5.	Условия равносильности уравнений, неравенств
и их систем.......................................... 55
11. Равносильные уравнения и уравнения-следствия
12.	Равносильные системы уравнений............... 62
13.	Равносильные неравенства и неравенства-следст-
вия .............................................. 67
И
ГЛАВА III. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
§ 6.	Рациональные уравнения и неравенства ....	75
14.	Целые уравнения и способы их решения . .	—
15.	Решение дробно-рациональных уравнений . .	82
16.	Решение рациональных неравенств ....	87
§ 7.	Уравнения и неравенства с переменной под знаком
модуля......................................... 93
17.	Расстояние между точками координатной пря-
мой ....................................
18.	Решение уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля................................ 95
19.	Решение неравенств, содержащих переменную
под знаком модуля................................ 99
§ 8.	Иррациональные уравнения и неравенства ...	102
20.	Решение иррациональных уравнений	...	—
21.	Решение иррациональных неравенств	... 107
223
ГЛАВА IV. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
§ 9. Уравнение с двумя переменными ...............114
22.	Уравнение с двумя переменными и его степень	—
23.	Уравнение с двумя переменными и его график	118
§ 10.	Системы уравнений с двумя переменными . . .	123
24.	Графическая интерпретация решения систем
уравнений .................................... —
25.	Способы решения систем уравнений с двумя пе-
ременными .................................. 129
ГЛАВА V.
НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
§ 11.	Линейные неравенства с двумя переменными и их
системы.................................................136
26.	Линейные неравенства с двумя переменными —
27.	Системы линейных неравенств с двумя перемен-
ными ...............................................140
§ 12.	Более сложные примеры неравенств с двумя пере-
менными и их систем....................................147
28.	Неравенства и системы неравенств высших сте-
пеней с двумя переменными.......................... —
29.	Неравенства и системы неравенств с переменны-
ми под знаком модуля..............................154
ГЛАВА VI. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 13.	Понятие числовой последовательности ....
30.	Числовые последовательности. Способы задания
последовательностей ..........................
31.	Арифметическая и геометрическая прогрессии
32.	Метод математической индукции и его примене-
ние в задачах на последовательности . . .
§ 14.	Виды последовательностей ...................
163
169
177
181
33.	Возрастающие и убывающие последовательности
34.	Ограниченные и неограниченные последователь-
ности .........................................187
35.	Сходящиеся последовательности ................191
Приложения
Методический комментарий
Ответы..............
197
213
224

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
ФИГУРА,
ЗАДАВАЕМАЯ НЕРАВЕНСТВОМ
	
_ _ 1		
		
	
	
	
	
	
			 .
	
	— —J				 -	►
	— —  -  — . —. — .
		S^2s
qpl Ю Bfta Iff	
:	it: