ФИЗИЧЕСКИЙ
ПРАКТИКУМ
МЕХАНИКА
И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
проф. В. И. ИВЕРОНОВОЙ
СОСТАВЛЕН:
А. Г. БЕЛЯНКИНЫМ, Г. П. МОТУЛЕВИЧ,
Е. С. ЧЕТВЕРИКОВОЙ, И. А. ЯКОВЛЕВЫМ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия для университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967

530.1
Ф 50
УДК 530 @75.8)
Физический практикум, Механ-ика и молекулярная физика, под ред.
В. И. Ивероновой, составлен А. Г. Белянкиным, Г. П. Мотулевич,
Е. С. Четвериковой, И. А. Яковлевым. Изд-во «Наука», 1967.
Учебное пособие по экспериментальной физике составлено в соответствии
с программами по общему курсу физики и по физическому практикуму для физи-
физических и физико-математических факультетов университетов и педагогических
институтов. Содержит описания экспериментальных задач (упражнений), выпол-
выполняемых индивидуально студентами названных вузов параллельно со слушанием
курса лекций по общей физике и работе в семинарах по этому курсу. Включает
описания экспериментальных задач, поставленных в физическом практикуме
Московского университета и выдержавших практическую проверку в ходе сту-
студенческих занятий на протяжении многих лет. Описание каждой задачи содержит
краткое изложение сущности изучаемого явления со ссылками на литературу,
в которой это явление подробно описано. Описание задачи содержит подробное
изложение экспериментального метода, положенного в основу изучения данного
явления, сведения об используемой аппаратуре, о приемах наблюдений и измере-
измерений, а также о правилах обработки экспериментальных результатов.
В первый том руководства входят описания 33 экспериментальных задач по
основам физической механики и 31 экспериментальной задачи по основам моле-
молекулярной физики, вакуумной техники, а также таблицы физических величин,
необходимых в ходе обработки результатов выполнения задач. Приведенная в
книге библиография включает учебные пособия, рекомендованные Министерст-
Министерством высшего и среднего специального образования для университетов и педин-
пединститутов.
Таблиц 33. Рисунков 130. Библиография: 121 название.
ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
Механика и молекулярная физика '
М., 1967 г., 352 стр. с илл.
Редакторы Е. Б. Кузнецова и А. В. Чеботарева
Техн. редактор С. Я. Шкляр. Корректоры 3. В. Автонеева и М. Л. Липелис
Сдано в набор 30/111 1967 г. Подписано к печати 2/Х 1967 г Бумага 60X90Vie. Физ. печ. л.
22+1 вкл. Условн. печ. л. 22,25. Уч.-изд. л. 21,54. Тираж 45 000 экз. Т-13607. Цена книги
85 коп. Заказ № 919.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор»
им. А. М. Горького Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР,
г* Ленинград, Гатчинская ул., 26.
2-3-1
16-67

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 6
Введение 9
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МЕХАНИКА
1. Изучение нониусов 40
2. Определение толщины пластинки и радиуса кривизны линзы сферо-
сферометром 48
3. Изучение законов падения на машине Атвуда 51
4. Определение ускорения силы тяжести с помощью маятника 54
5. Точное взвешивание 63
6. Определение плотности твердых тел пикнометром и гидростатическим
взвешиванием 75
7. Определение плотности жидкостей пикнометром и гидростатическим
взвешиванием 78
8. Определение модуля упругости из растяжения и изгиба 82
9. Определение модуля сдвига из кручения 87
10. Изучение вращательного движения тела ' 92
11. Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера мето-
методом крутильных колебаний 95
12. Измерение момента инерции колеса 98
13. Изучение эллипсоида инерции (геометрии массы) твердых тел .... 102
14. Изучение движения центра масс 107
15. Определение коэффициента силы трения скольжения и коэффициента
полезного действия (к. п. д.) мотора 113
16. Определение коэффициента силы трения скольжения (трение гибкой
ленты) 117
17. Определение коэффициента силы сухого трения (трение качения) ... 120
18. Определение коэффициента восстановления и времени соударения уп-
упругих шаров 124
19. Измерение скорости полета пули с помощью баллистического маят-
маятника 129
20. Крутильный баллистический маятник 132
21. Изучение движения маятника Максвелла 137
22. Изучение движения гироскопа (прецессия) 139
23. Измерение реактивной силы 141
24. Изучение движения тела переменной массы (ракета) 145
25. Течение вязких жидкостей по цилиндрическим трубам 150
26. Движение тел при наличии аэродинамических сил сопротивления . . . 15?

4 СОДЕРЖАНИЕ
27. Изучение собственных колебаний сосредоточенной системы 156
28. Изучение явления резонанса на крутильном маятнике 158
29. Изучение колебаний связанных систем 163
30. Определение коэффициента Пуассона и частоты биений 167
31. Исследование собственных колебаний струны методом резонанса , . . 171
32. Определение скорости звука в твердых телах методом Кундта .... 176
33. Определение скорости звука и модуля Юнга в твердых телах .... 178
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
34. Изготовление и градуировка термопар 182
35. Изучение зависимости термического коэффициента давления газа от
температуры 188
36. Определений механического эквивалента тепла (метод Джоуля) .... 190
37. Определение механического эквивалента тепла (метод расширения
газа) 193
38. Определение теплоемкости металлов методом охлаждения 196
39. Определение удельной теплоемкости жидкостей 198
40. Определение отношения удельных теплоемкостей газов 203
41. Определение скорости звука в газах и отношения удельных теплоем-
теплоемкостей методом стоячей волны 206
42. Определение коэффициента теплопроводности (сравнительный метод) 209
43. Определение коэффициента теплопроводности металлов 213
44. Определение коэс к шциента теплопроводности воздуха 217
45. Определение коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции 222
46. Определение коэффициента внутреннего трения жидкостей по методу
Стокса 226
47. Определение коэффициента внутреннего трения жидкости капилляр-
капиллярным вискозиметром 230
48. Определение коэффициента внутреннего трения вязких сред ротацион-
ротационным вискозиметром М. П. Воларовича 233
49. Определение коэффициента внутреннего трения газа капиллярным
вискозиметром 237
50. Определение коэффициента поверхностного натяжения по высотам
поднятия жидкости в капиллярных трубках 240
51. Определение коэффициента поверхностного натяжения при помощи
горизонтального капилляра 245
52. Изучение зависимости коэффициента поверхностного натяжения
раствора от его концентрации и температуры по методу максимального
давления в пузырьке 246
53. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости вол-
волновым методом 249
54. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости в боль-
большом интервале температур и определение ее критической температуры 255
55. Изучение изотермического сжатия и расширения паров воды 261
56. Определение среднего значения теплоты испарения воды 266
57. Измерение теплоты испарения жидкого азота 269
58. Определение температуры фазового перехода второго рода в твердом
теле 272
59. Определение влажности воздуха 277
60. Определение числа Авогадро 284
61. Изучение броуновского движения газового пузырька 288
62. Техника получения и измерения вакуума . 296

СОДЕРЖАНИЕ 5
63. Измерение средней длины свободного пробега атомов металла в ва-
вакууме 311
64. Ознакомление со статистическими закономерностями на механических
моделях ч. . 316
ТАБЛИЦЫ
1. Международная система единиц (СИ) по ГОСТу 9867-61 325
2. Приведение показаний барометра к 0° С 327
3. Поправка отсчета барометра на капиллярность 328
4. Приведение веса тела к пустоте 328
5. Плотность сухого воздуха при разных температурах 329
6. Плотность воды при разных температурах 330
7. Плотность ртути (г/см2) при разных температурах (° С) 330
8. Плотность некоторых жидкостей 331
9. Плотность некоторых водных растворов (г/см2) при 18° С 331
10. Плотность некоторых твердых веществ (г/см3) 333
11. Некоторые постоянные газов 334
12. Основные тепловые постоянные некоторых газов 335
13. Некоторые постоянные жидких тел 336
14. Некоторые тепловые постоянные твердых тел 337
15. Приведение объема газа к 0° и давлению 760 мм рт. cm 338
16. Температура кипения воды при разных давлениях 339
17. Теплоемкость воды при различных температурах 339
18. Теплоемкость меди при разных температурах 339
19. Давление и плотность насыщающего водяного пара при разных тем-
температурах 340
20. Психрометрическая таблица относительной влажности воздуха (в %) 341
21. Растворимость некоторых солей в воде 341
22. Поверхностное натяжение воды при температуре от 0 до 80° С ... 342
23. Коэффициент внутреннего трения воды при разных температурах
(в г/см • сек) 342
24. Ускорение силы тяжести g для разных широт на уровне моря 342
25. Упругие свойства твердых тел 343
26. Таблицы для вычислений 344

ПРЕДИСЛОВИЕ
Выходящая вторым изданием настоящая книга является итогом
многолетней работы сотрудников кафедры общей физики физи-
физического факультета Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова.
Книга написана в соответствии с программой по физическому
практикуму и соответствует современному состоянию быстрорасту-
быстрорастущей учебной физической лаборатории Московского университета.
Приводим краткую характеристику основных типов учебных
экспериментальных задач, поставленных в практикуме физиче-
физического факультета МГУ.
В практикуме представлены задачи трех типов: во-первых,
задачи чисто измерительные, знакомящие студента с отдельными
приборами (например, нониусом, баллистическим гальванометром,
катодным вольтметром и т. д.), во-вторы^, и это основная часть
практикума, задачи, в которых студент осваивает методы измере-
измерений тех или иных физических величин и наряду с точными изме-
измерениями знакомится с физическими явлениями. Наконец, есть
задачи, в которых студент индивидуально знакомится в основном
с некоторыми физическими явлениями. В этом случае трудно ожи-
ожидать, чтобы студент за время выполнения задачи мог получить точ-
точные результаты (определение числа Авогадро, распределение моле-
молекул по скоростям на механической модели, определение элемен-
элементарного заряда методом Милликена, прецессии гироскопа и т. д.).
Не все разделы практикума представлены одинаково полно.
Трудность постановки задач в разделах механики и молекулярной
физики заключается в том, что большинство современных методов
измерения основано на переходе к измерению электрических вели-
величин. Вместе с тем использование студентами первого курса, рабо-
работающими в этих разделах, ряда электроизмерительных приборов
и схем нежелательно, так как в этом случае сложность измеритель-
измерительной установки может помешать правильному пониманию изучаемого
явления.
По объему отдельные задачи практикума далеко неодинаковы.
На одной и той же установке можно во многих случаях осуществить

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
целый ряд упражнений. Выполнить все эти упражнения за одно,
даже шестичасовое занятие не представляется возможным. Однако
мы поместили описания всех этих упражнений в книгу. Задачей
преподавателя в дальнейшем является определить объем работы
каждого студента на данной установке.
При написании физического практикума авторы считали, что
настоящая книга отнюдь не должна освободить студента от работы
над учебником и сама не должна превратиться в учебник по общему
курсу физики. Поэтому теоретические вопросы, знание которых
необходимо студенту при выполнении работы, не вошли в описание
задачи, если их изложение можно найти в каком-либо из суще-
существующих и достаточно распространенных учебников. Однако ряд
задач практикума потребовал более детального рассмотрения неко-
некоторых теоретических вопросов, чем это можно найти в учебниках,
или выходит за рамки излагаемого в них материала. В этом случае
теоретические вопросы вставлены в описания задач. Это обстоя-
обстоятельство привело к известной пестроте изложения.
При производстве и обработке физических измерений важную
роль играет правильное пользование системами физических единиц.
В настоящее время на практикум возлагается также обучение
студентов вновь принятой международной системе физических
единиц (СИ). Поэтому в конце книги наряду с таблицами физиче-
физических единиц приведена и таблица новых международных единиц.
Но надо иметь в виду, что большая учебная и справочная литера-
литература, которой пользуются студенты, работающие в практикуме,
использует прежние системы единиц. Поэтому и мы были вынуждены
сохранить в книге также и прежние системы единиц.
Настоящее издание книги отличается от предшествующего
прежде всего тем, что оно дополнено описанием целого ряда новых
задач. Поэтому в связи с возросшим объемом книги она в данном
издании разделена на два тома: первый том содержит введение,
задачи по механике и молекулярной физике, второй том — задачи
по электричеству и оптике.
В первом томе существенно переработано введение (В. И. Иве-
ронова), посвященное подсчету ошибок эксперимента, и добавлено
описание 15 новых задач (9 задач по механике и 6 задач по молеку-
молекулярной физике). В ряд задач внесены изменения и дополнения.
Новые задачи поставлены А. Г. Белянкиным A2, 13, 15—17, 23,
25, 26 и 30), П. С. Булкиным C7, 39, 55, 56), Е. И. Васильевым E8),
Н. Г. Канавиной C5), В. В. Керженцевым C9). Описание задачи 62
полностью переработано П. С. Булкиным. А. В. Устинова сделала
ряд добавлений в задачах 34, 59 и участвовала в переработке введе-
введения к книге, так же как и И. А. Яковлев, который составил, кроме
того, новую таблицу 12.
Авторы книги и ее .редактор пользовались советами многих
товарищей по кафедре, вносивших свои замечания и предложения

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
по улучшению задач и их описаний. Всем этим лицам мы приносим
свою благодарность.
В заключение приводим перечень авторов, составивших опи-
описания задач, вошедших в первЬш том: К. Г. Ахметзянов C3),
А. В. Афанасьева F2), А. Г. Белянкин A, 3—5, 8, 10—18, 20—
26, 28, 30—32, 34, 45 *), 48, 50, 54, П. С. Булкин C7, 39, 55, 56, 62),
Е. И. Васильев E8), Т. С. Величкина A9, 61), А. П. Звягина F4),
Н. Г. Канавина C5), Е. В. Карчагина B7, 41), В. В. Кержен-
Керженцев C9), Е. Ф. Курицина D4), А. А. Лучина E3), В. К. Петерсон
A8, 28, 29), А. А. Померанцев D3), И. И. Попова D2, 63), Я. А. Ту-
Туровский C8, 54), А. В. Устинова D9, 59, 60), Е. С. Четверикова (9 2),
46), И. А. Яковлев E7).
*
В. И. Иверонова
*) В постановке эксперимента участвовал А. И. Минаев.
2) В постановке эксперимента участвовал Г. В. Астапов.

ВВЕДЕНИЕ
Физика, одна из важнейших отраслей естествознания, — опыт-
опытная наука.
Первый шаг для установления закономерностей физических
явлений состоит в наблюдении. Научное наблюдение пред-
представляет, однако, далеко не простую задачу. Для выяснения зако-
закономерностей какого-либо физического явления надо уметь выде-
выделять наиболее важные его элементы и по возможности изменять
условия, в которых протекает явление, т. е. перейти от простого
наблюдения к эксперименту. Поэтому крайне важно найти
количественные (поддающиеся измерению) характеристики явления.
Надо установить, каким образом и с помощью каких приборов мы
будем измерять те или иные характеристики и устанавливать коли-
количественные законы. Установление количественных законов, показы-
показывающих, как изменяются одни из измеряемых величин при изме-
изменении других, является одной из важнейших задач. Из изложенного
ясно, какое значение имеет эксперимент для физической науки.
Диалектический материализм рассматривает эксперимент
как необходимую часть всего процесса научного
познания, который в целом схематически можно представить
себе состоящим из трех основных частей:
1. Восприятия, т. е. первичного изучения исследуемого явле-
явления при помощи наблюдения.
2. Обобщения, т. е. создания гипотезы, связывающей отдельные
результаты наблюдений между собой и с ранее известными фактами
и устанавливающей между ними определенные соотношения (в фи-
физике — преимущественно количественные). При этом по возмож-
возможности полностью отбрасываются все побочные, привходящие об-
обстоятельства с тем, чтобы в изучаемом явлении выделить самое
существенное.
В процессе этого обобщения часто возникает необходимость
в дополнительных данных, для получения которых производятся
новые наблюдения или ставятся специальные эксперименты.
^3. Проверки истинности гипотезы на практике или опыте
в реальных условиях, т. е. уже с учетом всех отброшенных ранее

10 ВВЕДЕНИЕ
второстепенных обстоятельств. В случае положительного ответа
эта проверка возводит гипотезу в ранг теории и устанавливаемые
ею соотношения — в ранг законов.
"В. И. Ленин пишет: «Для материалиста «успех» человеческой
практики доказывает соответствие наших представлений с объек-
объективной природой вещей, которые мы воспринимаем» 1).
Нельзя, однако, считать, что проверкой гипотезы на опыте и
заканчивается процесс научного познания данного явления. По
истечении некоторого промежутка времени новые наблюдения, но-
новые опыты приходят в противоречие с теорией, созданной еще до
их открытия, и заставляют пересмотреть всю совокупность фактов
с новой точки зрения. Тогда возникает новая на данном этапе раз-
развития науки, более полная теория, которая со временем заменяется
еще более полной, и т. д. Процесс познания продолжается беско-
бесконечно.
Ленин пишет: «Каждая ступень в развитии науки прибавляет
новые зерна в эту сумму абсолютной истины, но пределы истины
каждого научного положения относительны, будучи то раздви-
раздвигаемы, то суживаемы дальнейшим ростом знания» 2).
Отсюда видно, что хотя опыт отнюдь не является единственным
средством научного исследования, но роль его, особенно как источ-
источника и критерия истинности, решающая. Поэтому ясно, что на
экспериментаторе, производящем тот или иной опыт, лежит всегда
громадная ответственность, ибо от его слова зависит не только
судьба соответствующей теории, но, как это неоднократно бывало
в истории физики, и все направление развития науки на более
или менее продолжительный отрезок времени. Ответственность эта
относится не только к правильности получаемых результатов, но
и, что особенно важно, к самой трактовке опыта.
Эксперимент должен по возможности ставиться так, чтобы не
допускать не только ошибок, но и неоднозначного истолкования
его результатов.
Итак, мы установили роль физического эксперимента как одного
из средств научного познания. Но этим отнюдь не исчерпывается
применение его в человеческой практике.
Мы уже указывали, что развитие физики целиком определяется
развитием техники, но и обратно: развитие техники в свою очередь
возможно лишь на базе развивающихся точных наук, следова-
следовательно, и физики. Действительно, ведь целый ряд отраслей техники
создался вообще лишь в результате развития тех или иных обла-
областей физики, например, техника, связанная с использованием ядер-
ядерной энергии. В этом процессе проникновения физики в технику
г) В. И. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, Госполитиздат, 1948,
стр. 123.
2) Там же, стр. 118.

ВВЕДЕНИЕ 11
физический эксперимент играет тоже чрезвычайно важную роль;
прежде чем использовать на практике изученные физикой явления,
их следует проверить в тех конкретных условиях, в которых они
должны будут протекать, с тем, чтобы учесть возможные влияния
обыкновенно многочисленных побочных факторов. Проверка эта
в большинстве случаев производится при помощи соответствующего
физического эксперимента.
Кроме того, большое значение для техники имеет знание все-
всевозможных физических постоянных, характеризующих различные
свойства вещества. Определение последних путем расчетов далеко
не всегда возможно или экономично, хотя бы в отношении вре-
времени. Поэтому в громадном большинстве случаев эти постоянные
находятся измерением также при помощи соответствующего физи-
физического эксперимента.
Наконец, следует отметить, что физический эксперимент имеет
также громадное значение в качестве орудия исследования в целом
ряде смежных с физикой естественных дисциплин, особенно в меха-
механике, химии, биологии и т. д.
Об измерениях вообще. Практические занятия по физике для
начинающих имеют в виду две цели: во-первых, дать возможность
практикантам познакомиться с наиболее важными приборами и
овладеть основными методами точных физических измерений, во-
вторых, дать возможность более подробно ознакомиться с некото-
некоторыми явлениями и законами природы, для полного понимания
которых одних демонстраций на лекциях по физике обыкновенно
бывает недостаточно. Задачи второго рода тоже носят характер
измерительных, хотя на первое место в них выступает не выполне-
выполнение измерений, а изучение самого явления. К числу таких задач
можно отнести: определение числа Авогадро методом Перрена (за-
(задача 60), определение заряда электрона (задача 67, т. II) и ряд других.
Измерить какую-либо величину — значит узнать, сколько раз
заключается в ней однородная с ней величина, принятая за еди-
единицу меры. Измерять непосредственно данную величину обыкно-
обыкновенно приходится лишь в редких случаях, например, при измере-
измерении длин масштабами или масс — весами. В большинстве же слу-
случаев непосредственно измеряют не искомую величину, а некоторые
другие величины, которые связаны с нею известными соотноше-
соотношениями (определяемыми законами наблюдаемых явлений), а искомая
величина вычисляется из результатов непосредственных измерений
величин, входящих в формулы, выражающие закон явления или
соотношение между измеренными величинами и искомой величиной.
Например, ускорение силы тяжести определяется по длине маят-
маятника и времени его качания на основании известной формулы
маятника; коэффициент внутреннего трения жидкости методом
Стокса определяется путем измерения диаметра падающего шарика
и скорости его установившегося движения, т. е. измерения рас-

12 ВВЕДЕНИЕ
стояния и времени и т. д. Таким образом, измерение искомой вели-
величины обыкновенно требует непосредственного измерения нескольких
вспомогательных величин, которые вместе с искомой величиной
характеризуют наблюдаемое физическое явление. В этих случаях
все необходимые измерения следует производить в определенной
последовательности, которая указывается в руководстве.
В большинстве случаев при физических измерениях приходится
иметь дело с тремя последовательными операциями: установкой
приборов, наблюдением и отсчетом.
Установка приборов требует их правильного раз-
размещения, при котором должны быть приняты во внимание те или
иные внешние и внутренние обстоятельства и условия измерения.
Очень часто, например, требуется установить прибор так, чтобы
определенное направление в нем было вертикально или определен-
определенная плоскость горизонтальна, или требуется правильно располо-
расположить в электрической цепи несколько отдельных приборов и т. д.
При установке приборов необходимо определить влияние различ-
различных внешних факторов на действие приборов, например темпера-
температуры, давления и т. д.; если их влияние оказывается значительным,
то оно должно быть или устранено или принято во внимание.
В последнем случае наблюдаемые величины приводят к опреде-
определенным внешним условиям, например к температуре 0° С, к нор-
нормальному атмосферному давлению и т. д. Чтобы это приведение
можно было сделать, надо при решении задачи определить те внеш-
внешние условия, при которых производятся измерения, иначе послед-
последние потеряют свое значение; например, очень часто бывает необ-
необходимо определить температуру и барометрическое давление в мо-
момент выполнения измерений.
Второй операцией является наблюдение, которое по ха-
характеру своему может быть весьма разнообразным; иногда, напри-
например, нужно заметить момент исчезновения какого-нибудь физиче-
физического явления — электрического тока в цепи, звукового впечатле-
впечатления и т. д. — или момент достижения максимальной температуры
в некоторой системе; иногда требуется подыскать расстояние, при
котором наблюдается одинаковая яркость освещения двух поло-
половин поля зрения в оптической трубе, или довести до возможно
полного совпадения две точки, две черты и т. д.
Когда это достигнуто, следует отсчет, чаще всего длины или
угла по некоторым масштабам — линейным или дуговым; из резуль-
результатов отсчетов определяется, наконец, измеряемая величина.
О погрешностях измерений. Благодаря несовершенству измери-
измерительных приборов, которыми мы пользуемся, и несовершенству
наших органов чувств все измерения можно делать только с извест-
известной степенью точности; поэтому результаты измерений дают нам
не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное.
Если, например, вес тела определен с точностью до 0,1 лс/\ то это

ВВЕДЕНИЕ 13
значит, что найденный вес отличается от истинного веса тела менее,
чем на 0,1 мГ.
Точность измерения определяется той наименьшей
частью единицы меры, до которой с уверенностью в правильности
результата можно произвести измерение. Степень точности измере-
измерений зависит от употребляемых приборов и от общих методов изме-
измерений, и было бы совершенно напрасной тратой времени стре-
стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел
точности. Обыкновенно приходится довольствоваться точностью
в 0,1% измеряемой величины. В некоторых случаях можно достичь
значительно большей точности; так, на хороших весах, взвешивая
тело весом около 200 Г, нетрудно достичь точности до 0,1 мГ, т. е.
точности до 0,00005%. В других же случаях точность в 0,1% почти
недостижима, например, при обычных измерениях температуры
с помощью термометров. Обыкновенными термометрами можно
отсчитывать температуру с точностью лишь до 0,1°, иногда с точ-
точностью до 0,05°. Если, следовательно, измеряемое изменение тем-
температуры составляет приблизительно 5°, то степень точности не
будет превышать 1—2% измеряемой величины.
Отсюда следует, что прежде, чем приступить к измерениям,
необходимо предварительно определить пределы точности, кото-
которые могут быть получены с данными приборами. Это достигается
внимательным изучением приборов, определением точности каж-
каждого из них в отдельности и общей точности данного метода изме-
измерений.
Если в задаче приходится измерять различные величины и
пределы возможной точности оказываются для каждой измеряемой
величины различными, то нет оснований при отдельных измерениях
выходить далеко за пределы точности наименее точно определяе-
определяемой величины. Например, при калориметрических измерениях
определение массы воды и калориметра из взвешивания можно
было бы сделать с точностью, как уже сказано, около 0,0001%.
Однако в данном случае нет оснований производить взвешивание
с такой точностью и можно ограничиться взвешиванием на менее
совершенных весах с точностью, например, до 0,1%, так как изме-
измерение изменений температуры калориметра может быть сделано,
как сказано, с точностью лишь 1—2%.
Для того чтобы повысить точность окончательного результата,
всякое физическое измерение необходимо делать не один, а не-
несколько раз при одинаковых условиях опыта. В самом деле, выше
уже было сказано, что при измерениях и отсчетах мы всегда совер-
совершаем более или менее значительные ошибки (погрешности). Эти
ошибки могут происходить по двум причинам, а потому дел-ятбя
на две группы: ошибки систематические и ошибки случайные.
Систематические погрешности обусловлены неисправностями из-
измерительных приборов", ошибочностью самого метода измерений

14 ВВЕДЕНИЕ
или какими-нибудь упущениями со стороны наблюдателя. Ра-
Разумеется, что увеличение числа измерений влияния этих ошибок
не уменьшит; их можно избежать, только относясь критически
к методам измерений, следя за исправным состоянием приборов и
строго придерживаясь выработанных практикой правил выполне-
выполнения работ.
Что же касается случайных ошибок, то они вызываются неточ-
неточностью отсчетов, которую совершенно непроизвольно может внести
всякий экспериментатор. Причины их кроются как в несовершен-
несовершенстве наших органов чувств, так и во многих других обстоятель-
обстоятельствах, сопровождающих измерения, которые заранее нельзя учесть.
Случайные ошибки подчиняются законам вероятности, а это зна-
значит, что если при каком-нибудь измерении результат получился
больше истинного, то при одном из последующих измерений столь
же вероятно может получиться результат меньше истинного. Совер-
Совершенно очевидно в таком случае, что многократное повторение
одного и того же измерения уменьшит влияние этих случайных
ошибок, так как нет основания считать отклонение от истинного
значения в одну сторону более вероятным, чем в другую. Поэтому
среднее арифметическое из большого числа результатов, несом-
несомненно, ближе всех этих измерений подойдет к истинному значению
измеряемой величины.
Теория вероятностей дает возможность подсчитать вероятную
погрешность среднего результата по отклонениям отдельных изме-
измерений от этого среднего. В курсе теории вероятностей можно по-
подробно ознакомиться с этим вопросом х). Наша цель — дать ряд
практических указаний, необходимых для определения точности
полученного результата, т. е. для определения на основании не-
нескольких повторных измерений погрешности среднего результата.
Пусть, например, iVb N2, ..., Nk будут результаты отдельных
измерений; здесь k — число отдельных измерений. Тогда
будет являться наиболее близким к истинному значению измеряе-
измеряемой величины. Отклонения Д#,- каждого отдельного измерения от
этого среднего, т. е. величины N — N1 = ДЛ^, N — N2 = ДЛ^2, ...,
носят название абсолютных ошибок отдельных измерений. Эти
ошибки могут иметь разные знаки. Нас интересует, однако, не,
знак этих ошибок, а лишь их численное значение.
Средняя арифметическая величина из численных значений
отдельных ошибок — обозначим ее через |Д#| — носит название
а) См. книги: К. П. Яковлев, Математическая обработка результатов
наблюдений, Гостехиздат, 1953 и А. Н. Зайдель, Элементарные ойенки оши-
ошибок измерений, «Наука», 1965.

ВВЕДЕНИЕ 15
средней абсолютной ошибки измерений
I Ы*г 1 + 1 Д^2 1 + ..
Отношения ANJN^ AN2/N2, ... носят названия относительных
ошибок отдельных измерений и, наконец, отношение средней абсо-
абсолютной ошибки AiV к среднему значению измеряемой величины N
называется средней относительной ошибкой измерений (Е)
Относительные ошибки выражаются обычно в процентах.
Результат экспериментальной работы весьма редко получается
путем измерения непосредственно искомой физической величины.
В ряде случаев эта величина является функцией или одной изме-
измеряемой величины или нескольких. Например, при измерении зем-
земного ускорения методом колебания маятника измеряется период
простых колебаний маятника Т и длина его подвеса /, а искомое
ускорение g находится как функция этих двух аргументов по
формуле g = n2l/T2.
Рассмотрим прежде всего на конкретных примерах, как вычис-
вычислить ошибку функции одного переменного.
1. Абсолютная и относительная ошибки
измерений для степенной функции. Пусть иско-
искомая величина N = Ап, где А — измеряемая величина, а п — точ-
точное число. Пусть абсолютная ошибка измерений величины А
есть АА. Тогда, очевидно, абсолютная ошибка измерений вели-
величины N есть
AN = (А + АА)п — Ап.
Раскрывая скобки, пренебрегая всеми членами, в которые А А
входит в степени, выше первой (это можно сделать, так как А А зна-
значительно меньше, чем А), получим для абсолютной ошибки изме-
измерений AN:
AN ^nA^AA. D)
Относительная ошибка измерений величины TV будет равна
т. е. относительная ошибка степенной функции равна отно-
относительной ошибке измерений аргумента, умноженной на показатель
степени.
Пусть N = У"А% тогда N + AN = У А + АА.
1) Вертикальные прямые линии около величин означают, что берутся ариф-
арифметические значения этих величин.

16 ВВЕДЕНИЕ
Возведем обе части равенства в n-ю степень
(N +AN)n = A +AA.
Пренебрегая высшими степенями ДМ, получим
Nn + пЫп'гАЫ = А + ДЛ,
откуда абсолютная ошибка
АЛ/ = т^ = -^-; F)
относительная ошибка
р _ AN — JL Ad. n\
^ ~~ N ~~ п А • ^^
т. е. относительная ошибка корня n-ft степени равна относитель-
относительной ошибке подкоренного выражения, деленной на показатель корня.
2. Абсолютная и относительная ошибки
тригонометрических величин. Вычислим абсолют-
абсолютную и относительную ошибки в случаях, если искомая величина
есть тригонометрическая функция измеряемой величины.
Пусть N = sin а, тогда, очевидно, N + &N = sin (a + Да),
где Да — абсолютная ошибка измерения угла. Полагая ввиду
малости Да, что cos Да = 1 и sin Да = Да, получим
N + ДА/ = sin а + cos a - Да,
откуда
AN = cos а- Да, (8)
?=-^=ctga.Aa. (9)
Аналогично можно вычислить абсолютные и относительные
ошибки и для прочих тригонометрических функций.
3. Абсолютная и относительная ошибки
сложи ых функций. Так как ошибки измерений, как пра-
правило, достаточно малы по сравнению с измеряемыми величинами,
что позволяет пренебречь квадратами их величин, то можно для
вычисления ошибок измерений пользоваться дифференциальным
исчислением, что значительно упрощает подсчет ошибки для слож-
сложных функций.
Пусть, например, для измерения искомой величины N, кото-
которую не удается определить непосредственно, пришлось измерить
некоторую другую величину х, связанную с первой функциональ-
функциональной зависимостью:
N=f{x). A0)
Пусть, далее, средняя абсолютная ошибка измерения величины х
есть ±dx\ эта ошибка вызовет соответствующую ошибку в искомой

ВВЕДЕНИЕ 17
величине dzdN. Очевидно,
N±dN==f(x±dx). A1)
Разлагая правую часть равенства (И) в ряд Тейлора, получим
Пренебрегая членами разложения, содержащими dx в степени выше
первой, получим
или, принимая во внимание равенство A0),
dN = ±dxd^f, A2)
т. е. абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргу-
аргумента, умноженной на производную этой функции.
Относительная ошибка измерения определится из выражения
ИЛИ
Нормальное распределение ошибок и постулат среднего ариф-
арифметического. Пользуясь методами теории вероятностей и рассмат-
рассматривая случайные ошибки как один из видов случайных событий
вообще, Гаусс дал закон нормального распределения ошибок, неиз-
неизбежных в измерительной практике.
Так как измерения с большими отклонениями от истинной вели-
величины встречаются реже, чем с малыми отклонениями, и знаки ±
отклонений равновероятны, то число ошибок данной величины
должно быть убывающей и симметричной функцией от величины
случайной ошибки:
Дл = nf (х) &х = п4=е- h2x2 A*. A4)
у к
Здесь х—величина ошибки, Дп= п/ (х) Дх—число измерений с ошиб-
ошибками, значения которых лежат между х и х + dx, n — полное число
проведенных опытов. Кривая у = / (х) носит название кривой Гаусса
или кривой нормального распределения ошибок. Кривая Гаусса
4-оо
пронормирована так, что \ f(x)dx= 1. Величина h носит назва-
—00
ние меры точности.

18
ВВЕДЕНИЕ
На рис. 1 изображены три кривые Гаусса с разными значе-
значениями h. Чем больше мера точности, тем резче спадает кривая
с ростом х, т. е. тем меньше измерений с большими отклонениями,
0 dxt\p
ч
Рис. 1.
Пусть было проведено п измерений некоторой величины Ао
и получены значения Nl9 N2f N3. Тогда ошибки отдельных изме-
измерений будут соответственно равны
Xj — Ло N 1у
Y — л Л/
Л2 — SiQ iV 2»
A5)
Вероятность появления ошибки, значение которой лежит между хг
и хх + йхъ равна отношению числа измерений с такими ошибками
к полному числу измерений, т. е.
Используя теорему теории вероятностей о том, что вероят-
вероятность совместного возникновения независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий, вероятность появления
совокупности измерений с ошибками хъ х2, х3 ... можно записать
в виде
A7)
Пользуясь этим соотношением, легко можно найти наиболее
вероятное значение измеряемой величины. Обозначим его буквой Л.
Следует помнить, что оно не равно точному значению Ло, а есть

ВВЕДЕНИЕ 19
только наиболее вероятное, а следовательно, наиболее близкое
к истинному, значение, вычисляемое из результатов измерений.
Это значение Л, очевидно, соответствует максимальному значению
вероятности Р и, следовательно, минимальному значению суммы
\ %
Для определения значения Л выразим 2x? через А и Nl9 N2 ...
согласно уравнениям A5), заменив неизвестное нам значение Ао
через А. Тогда получим
z (Л) = 2*! = ? (Л-Л/;J A8)
и подберем такое значение Л, чтобы получить минимум функции
z (Л), что определяется условием
-Л/,.)=0, A9)
откуда
Л = ^. B0)
Таким образом, из теории Гаусса следует, что наиболее вероятное
значение величины Ло, вычисляемое из серии измеренных значений
Nly N2i N3..., является средним арифметическим из этих значений.
Следовательно, среднее арифметическое значение величины отли-
отличается от любого другого вида средних значений тем, что для него
сумма квадратов„ ошибок является наименьшей. Это так называе-
называемый постулат среднего арифметического..
Средняя, средняя квадратичная, вероятная ошибки отдельных
измерений и мера точности кривой Гаусса. Точность измерений
в гауссовой теории ошибок, вообще говоря, полностью опреде-
определяется мерой точности h. Эту величину можно вычислить, если
построена кривая у = f (x). Однако в теории ошибок принято
характеризовать точность измерений одной из следующих трех
величин: средней ошибкой измерений р, средней квадратичной
ошибкой измерений о и вероятной ошибкой измерений tj, каждая
из которых, естественно, может быть выражена через h.
Средняя ошибка измерений р, по определению, равна
откуда, использовав выражение A4), сразу получаем
B2)
Vn h\Tn
Средняя квадратичная ошибка измерений определяется как
B3)

20
ВВЕДЕНИЕ
Наконец, вероятной ошибкой отдельного измерения т| называют
ошибку такой величины, которая делит все п случайных ошибок
для п измерений на две равные части: одна половина всех измерений
имеет ошибки, меньшие т), и другая половина — большие т]. Это
означает, что т) равно такому значению абсциссы кривой Гаусса,
при котором площадь под кривой, заключенная в пределах между
±г), равна половине всей площади:
"откуда
Vn
Л-0,6745^=
0,6745а.
B4)
Следует отметить, что xt в формулах A5) обозначает разность
измеренного /-го и истинного значений измеряемой величины,
а мы всегда вычисляем близкую к ней, но не точно ей равную раз-
разность между средним значением А и измеренным значением вели-
величины. Точный учет этого обстоятельства приводит к необходимости
в знаменателе формулы B3) заменить п на п— 1, так что
a = zt
n—1 '
B5)
II
Физический смысл величин р, а и ц можно понять из рис. 2:
на оси абсцисс отмечены эти величины. Ординаты кривой Гаусса,
соответствующие этим точкам, де-
делят каждую половину площади
под кривой на две части (равные
в случае ординаты, соответствую-
соответствующей вероятной ошибке г), и не
равные в случае ординат, соот-
соответствующих р и а). Внутренняя
часть этой площади (заштрихован-
(заштрихованная на рис. 2 для ординаты,
соответствующей на оси абсцисс
точке г]) показывает, какая часть
измерений из общего их числа
дала значение, отличающееся от
среднего арифметического на вели-
величину х, меньшую т] (х ^ г\ или
х ^ р или х ^ а).
Таким образом, эта площадь показывает, какова вероятность
того, что ошибка измерений меньше или равна г) (или р, или а).
(Надо иметь в виду, что общая площадь под кривой Гаусса равна 1.)
Величину этой вероятности обозначают а и называют коэффициен-
коэффициентом надежности. Коэффициент надежности для вероятной ошибки
Рис. 2.

ВВЕДЕНИЕ 21
равен 0,5, средней квадратичной я^ 0,68, а для средней арифмети-
арифметической ^ 0,57.
В принципе за меру погрешности можно выбрать и любой дру-
другой интервал значений ±х, но обязательно надо указать соответ-
соответствующий ему коэффициент надежности. В частности, в ряде слу-
случаев интервал ±х берут равным 2а. Для такого интервала коэф-
коэффициент надежности а = 0,95. Следует отметить, что сказанное
о связи величин р, а, т) и а справедливо, если число измерений
достаточно велико. Из серии п реальных измерений мы вычисляем
не точные значения а, р и г), а лишь их приближенные значения
°пу Vn и Y]n, а коэффициент надежности а для тех же значений оши-
ошибок с уменьшением числа п падает.
Степень точности среднего арифметического. Если искомая
величина измеряется всего несколько раз, то о степени отклонения
среднего арифметического от истинного значения этой величины
можно судить лишь по средней ошибке измерения, и она опреде-
определяет точность измерений результата. Однако если одна и та же
искомая величина определялась многократно, степень точности
результата можно определить гораздо лучше.
Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку определения вели-
величины, являющейся суммой двух измеряемых величин А = В + С.
Пусть мы произвели пг измерений величины В и п2 измерений
величины С. Средняя квадратичная ошибка определения вели-
величины Л, очевидно, равна
так как величину А мы можем вычислить из пхп% попарно взятых
измерений величин В и С. Ошибка каждого такого измерения
будет равна сумме ошибок каждой пары измерений, тогда
2 (а л,-J = л,2 (Ав,J + /»,2 (дс*J + 2S АВ«- 2 лс*-
i i k i k
Последний член суммы, очевидно, равен нулю и для средней квад-
квадратичной ошибки суммы получим выражение
где ог и а2 — средние квадратичные ошибки измерений вели-
величин В и С.
Теперь подсчитаем среднюю квадратичную ошибку среднего
арифметического значения величины. Пусть искомая величина
измерялась п раз и результаты измерений были Nl9 N2, N3 ...
Пусть средняя квадратичная ошибка измерений была а. Среднее
арифметическое значение искомой величины можно представить

22 ВВЕДЕНИЕ
как сумму п членов, каждый из которых в п раз меньше измерен-
измеренного значения:
Средняя квадратичная ошибка определения каждой из этих вели-
величин, как легко видеть, равна a/n, a средняя квадратичная ошибка
определения среднего арифметического в согласии с формулой B6)
равна:
Ж^!^^- • B7)
Аналогично для вероятной погрешности результата получим
„.= ± 0,6745/Щ = ^. B8)
и окончательный результат записывается в виде
N = N0± 0,6745 i/S(AAfr)'f B9)
г П (П — 1)
где iV0 — среднее арифметическое из всех полученных измерений.
Такая запись означает, что истинное значение N величины
лежит в пределах, указанных значениями, вычисленными по фор-
формуле B9), с вероятностью в 50%. Можно также записать резуль-
результат в виде
с коэффициентом надежности а = 0,68.
Надо, однако, помнить, что все сказанное выше позволяет
учесть лишь случайные ошибки измерений. При наличии система-
систематической ошибки знаки dz уже не равновероятны, и эти система-
систематические ошибки автоматически войдут в полученный результат Л^о.
Поэтому необходимо предварительно подробно изучить методы
измерений и исключить эти ошибки.
Об ошибке измерений функции нескольких переменных. Пусть
искомая величина N является функцией нескольких независимо
измеряемых переменных: N = f (х, у, г...). На примере функции
А = В + С, представляющей собой сумму двух независимых пере-
переменных, в предыдущем параграфе мы уже видели, что средняя
квадратичная ошибка определения функции равна корню квадрат-
квадратному из суммы квадратов квадратичных ошибок слагаемых
(ад = V^Tfi + <r^). Совершенно такое же выражение мы полу-
получим и для разности двух величин. Относительные ошибки в этих
случаях, очевидно, будут иметь вид: Vg\ + о*с/(В + С) и
|/а| + о?/(Б — С), т. е. относительная ошибка определения

ВВЕДЕНИЕ 23
разности двух величин тем больше, чем ближе друг к другу вели-
величины В я С.
Аналогично предыдущему можно обобщить этот вывод на сумму
многих слагаемых; тогда
о% = о% + qj + а§ + ... C0)
Пусть искомая величина является произведением двух пере-
переменных: N = АВ. Если величина А измерена пх раз, а величина В
измерена п2 раз, то мы получаем п = щп2 измерений Nj, вычис-
вычисленных для каждой пары значений At и Bk. Тогда ошибка в еди-
единичном измерении величины N может быть записана в виде
xi = (А + АА{) (В + ABk) — AB = ВААг + AABk.
Мы пренебрегаем здесь произведением ошибок AAtABk в силу их
малости.
Квадрат средней квадратичной ошибки определения искомой
величины будет
откуда
а2 = В2о2А + А2о%. C1)
В случае произведения трех сомножителей аналогично получим
а2 = (ВСолJ + (АСавJ + {АВос)\ C2)
а для относительной ошибки
Не разбирая дальнейших примеров, укажем общую фор-
формулу для вычисления средней квадратичной ошибки измерения,
полученную с использованием дифференциального исчисления:
Формулы C3) и C4) сохраняют свой вид и для средней ариф-
арифметической и вероятной ошибок. В конце «Введения» приведена
сводная таблица наиболее употребляемых формул (табл. 1).
Максимальная, или предельная, ошибка измерений. Кроме уже
названных ошибок измерений, в ряде случаев пользуются поня-
понятием максимальной, или предельной, ошибки при вычислении по-
х) Само собой разумеется, что, дифференцируя функцию / (х, у, г) ~ N по х>
необходимо считать величины (/, г постоянными, дифференцируя по у, счи-
считать х, г постоянными и т. д.

24 ВВЕДЕНИЕ
грешности функции нескольких аргументов. При этом подсчиты-
вается та максимальная ошибка в измерении искомой величины
N (а:, у, z), которая может возникнуть, если все ошибки в опреде-
определении величин х, у и г изменяют значение N в одну и ту же сто-
сторону.. Поясним это на нескольких примерлх.
1. М а к с и м а л ь н а я, или предельная, абсо-
абсолютная и относительная ошибки величины,
являющейся суммой (или разностью) двух
измеряемых величин: Л/ = Л±В. Пусть абсолютная
ошибка измерения величины А равна АЛ, а абсолютная ошибка
измерения величины В есть ДВ. Тогда, очевидно
N±AN = (А±АА)±(В±АВ).
Ошибки А Л и ДВ могут быть любого знака, но мы рассмотрим
наиболее невыгодный случай, когда ошибка измерения наибольшая.
При измерении суммы двух величин, А и В, ошибка будет наиболь-
наибольшей, если ошибки измерения величин А и В одного знака, при
измерении разности величин А и В, если их ошибки разного знака.
В обоих случаях, следовательно, максимальная абсолютная ошибка
AN измерений величины N будет равна сумме абсолютных ошибок
измерений величин А и В:
± AN = ± (АЛ + АВ). C5)
Относительные ошибки измерений будут выражаться следующими
формулами.
для суммы Е=*? = Щ^-, C6)
для разности Е = д1_в - C7)
Таким образом (как отмечалось выше), если мы измеряем какую-
либо величину, равную разности двух величин, то относительная
ошибка измерения тем больше, чем ближе значения измеряемых
величин.
2. Абсолютная и относительная максималь-
максимальная ошибки произведения (или частного)
двух величин: Af= АВ (или N = А/В). Если Л изме-
измерено с ошибкой ±АЛ, а В — с ошибкой zfcAB, то, очевидно,
N±AN = (А± АЛ) (В ± АВ) = АВ ± ЛАВ ± BAA zt АЛАВ.
Величиной. АЛАВ, как и раньше можно пренебречь, так как АЛ
и АВ малы по сравнению с величинами Л и В, поэтому
AiV = ЛАВ + ВДЛ. C8)
Мы опять рассматриваем наиболее невыгодный случай, когда обе
ошибки имеют одинаковый знак. Таким образом, абсолютная

ВВЕДЕНИЕ 25
максимальная ошибка произведения равна сумме произведений абсо-
абсолютной ошибки первого множителя на второй множитель и ошибки
второго множителя на первый. Отсюда
П AN ААВ + ВАА ДЛ , АВ
Е =• ТГ = ав—'в ~ + -в~•
Относительная ошибка произведения равна сумме относительных
ошибок множителей.
Аналогично, если N = А/В, то
_ А± АЛ _ (Л ± АЛ) (В ± АД) _ Л? ± ДЛЯ ±
— — — - fi
Мы опять пренебрегаем квадратами и произведением ошибок и
рассматриваем наиболее невыгодный случай, когда ошибки в изме-
измерении числителя и знаменателя сделаны с обратным знаком.
Отсюда
ВЬА+ЛЬВ D0)
Абсолютная максимальная ошибка частного равна сумме произве-
произведений абсолютной ошибки числителя на знаменатель и абсолютной
ошибки знаменателя на числитель, деленной на квадрат знамена-
теля.
Относительная ошибка частного, очевидно, равна сумме отно-
относительных ошибок делимого и делителя. Действительно,
Р _ AN _ В ВАЛ + ААВ _ ДЛ , АД
^ ~" N ~~ А В* ~~ Л + В '
Здесь следует иметь в виду, что автоматическое применение дан-
данных правил может привести к ошибке в тех случаях, когда измеряе-
измеряемая величина входит, в формулу для вычисления результата не-
несколько раз. Рассмотрим следующий пример. Пусть N = (А + В)/В.
Можно, автоматически пользуясь приведенными формулами, рас-
рассматривать N как частное от деления двух величин: С = А + В и В.
Тогда
ВАС + CAB
но AC = ДЛ + &В, откуда
__ В (АЛ + А?) + (Л + В) АВ _ ВАА + (А + 2В)АВ
- W - gj
С другой стороны, очевидно, что AAf = (БАЛ + ЛДВ)/В2, так
как N может быть представлено как N = (А/В) + I.
Ошибка, сделанная нами при первом способе подсчета, про-
произошла потому, что мы считали знаки абсолютной ошибки измере-
измерения повторяющейся в знаменателе и числителе формулы величины В,

26 ВВЕДЕНИЕ
различными, аналогично тому, как мы поступали при вычис-
вычислении ошибки для частного от двух независимо измеренных
величин. В данном же случае абсолютную ошибку АВ в числителе
и знаменателе, очевидно, надо брать с одинаковым знаком. Учтя
это, мы и при первом способе подсчета пришли бы к правильному
результату.
Таким образом, в случае повторения некоторой величины в фор-
формулах несколько раз следует в каждом данном случае специально
вычислить максимальную среднюю ошибку измерения. Общий метод
вычисления с помощью дифференциального исчисления приводит
к следующей формуле максимальной ошибки:
\dx
2\
ON
дхп
D2)
Подсчитывая максимальную ошибку, надо иметь в виду, что
если искомая величина определяется путем измерения ряда вели-
величин, то вычисленная предельная ошибка фактически оказывается
существенно завышенной, так как вероятность того, что ошибки
всех измеренных величин окажутся такого знака, что ошибка ре-
результата будет максимальной, тем меньше, чем больше число изме-
измеряемых величин. Однако если число измеряемых величин мало
A, 2) и число измерений мало, то использование формул, выведен-
выведенных из распределения Гаусса, даст завышенное значение точности
результата. В этом случае принято пользоваться другими распре-
распределениями, в частности, методами Фишера — Стьюдента или просто
вычислять максимальную ошибку.
Кроме того, уменье оценить максимальную ошибку весьма
существенно при выборе метода измерений и используемых при-
приборов. Каждый прибор обладает определенной точностью. Ошибки,
вносимые самим прибором, как правило, уже не являются случай-
случайными, и правила учета случайных ошибок к ним неприменимы.
Необходимо при выборе приборов и метода измерений оценить,
какая максимальная ошибка в этом случае может возникнуть, и
отсюда решить, достаточна ли будет точность эксперимента, чтобы
получить интересующий исследователя результат.
О погрешности измерений и точности прибора. Многократно
повторять измерения для исключения случайных ошибок имеет,
конечно, смысл только в том случае, если случайные ошибки от-
отдельных измерений превышают погрешность, даваемую при-
прибором.
Точность прибора, которая может быть использована в случае,
когда способ его применения не вызывает дополнительных ошибок,
определяется устройством и градуировкой прибора. Как правило,
точность прибора ниже точности отсчета, который можно сделать
по шкале прибора. Точность прибора указывается либо на самом
приборе, либо в прилагаемом к нему паспорте.

ВВЕДЕНИЕ 27
Например, если мы измеряем длину миллиметровым масштабом,
то легко можем отсчитать на глаз десятые доли' миллиметра, но
обычная линейка может и не обеспечивать такой точности. Сколько
бы раз мы ни повторяли измерения, точность полученного нами
результата не превысит точности, обеспеченной при изготовлении
линейки. Но если даже расстояние между миллиметровыми деле-
делениями линейки нанесено с большой точностью (скажем, до 0,001 мм),
то измерить, например, отрезок между двумя метками с такой точ-
точностью при оценке положения меток между штрихами линейки на
глаз нельзя. В этом случае лимитирующим точность измерений
прибором является глаз экспериментатора, и точность измерения
определится точностью отсчета, которая, как правило, не превы-
превышает 0,1 деления всякой шкалы.
Работая же, например, на сферометре (см. задачу 2), мы имеем
возможность производить измерения с точностью до 0,002 мм9 но
за счет случайных ошибок измерений значения отдельных промеров
разнятся обычно друг от друга до нескольких сотых миллиметра.
В этом случае следует повторить измерение многократно, чтобы
средняя абсолютная ошибка измерения по возможности прибли-
приблизилась к значению 0,002 мм.
Производя измерения, надо стремиться к тому,*чтобы точ-
точность измерений приблизилась к точности прибора. Если такое
положение,достигнуто и при повторных измерениях получается
одно и то же значение, то при вычислении погрешности результата
вместо абсолютных ошибок измерений отдельных величин под-
подставляются точности приборов.
Обработка результатов измерений. Когда все измерения, необ-
необходимые для данной задачи, закончены, предстоит сделать на осно-
основании их вычисление искомой величины. Обыкновенно в результаты
измерений необходимо бывает ввести различного рода поправки,
которые зависят от температуры, внешнего давления, иногда от
некоторых систематических ошибок в показаниях прибора и т. д.
(вообще говоря, они бывают невелики сравнительно с измеряемой
величиной). Поправки на температуру и давление обыкновенно
даются в таблицах; некоторые из них указаны в приложении
в конце руководства; другие поправки вычисляются по формулам,
которые также приводятся в руководстве, когда это необходимо.
Для сокращения времени поправочные члены, как малые, следует
вычислять обязательно или по правилам сокращенных арифметичес-
арифметических действий, или при помощи логарифмической линейки, или, в бо-
более редких случаях, с помощью четырехзначных таблиц логарифмов.
Когда все поправки введены в отдельные измерения, присту-
приступают к вычислению искомой величины по формулам, которые
приведены в задачах.
Производя вычисления на основании результатов измерений, нет
никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности,

28 ВВЕДЕНИЕ
который обеспечивается точностью определения непосредственно
измерявшихся величин.
Точность измерения определяет поэтому и те способы, с помощью
которых следует вести те или иные вычисления. В ряде случаев
достаточно пользоваться логарифмической линейкой *), в других
надо пользоваться таблицами логарифмов. Опять-таки в зависи-
зависимости от точности измерения иногда вполне достаточны четырех-
четырехзначные таблицы логарифмов, иногда же следует использовать
пяти- или семизначные2). Рекомендуется также, где возможно,
пользоваться различными вспомогательными таблицами.
Пусть, например, определяя ускорение силы тяжести, после
внимательного изучения имевшихся в нашем распоряжении при-
приборов и на основании произведенных нами измерений и изложенных
выше указаний мы установили, что относительная ошибка конеч-
конечного результата при применявшемся нами методе равна 0,2%.
В этом случае абсолютная ошибка результата будет равна 2 см/сек2.
Совершенно очевидно, что вычислять результат с точностью до
тысячных совершенно бесполезно, так как ошибка содержится уже
в целых единицах и все дальнейшие знаки являются излишними.
Определить следующий за последним знак (в данном примере пер-
первый десятичный) полезно только потому, что принято, отбрасывая
ненужные цифры, увеличивать последнюю значащую цифру на
единицу, если отбрасываемая больше пяти. В данном случае резуль-
результат измерений следует записать так: g = 982 см/сек2. Если же мы
захотели бы указать точность наших измерений, то могли бы, на-
например, указать предельную ошибку нашего результата и в та-
таком случае записать этот результат так:
g = 982 ± 2 см/сек2.
О графическом способе представления результатов экспери-
эксперимента. В ряде случаев при обработке результатов измерений поль-
пользуются графическим методом. Так, очень часто требуется просле-
проследить зависимость одной какой-либо физической величины от дру-
другой, например, зависимость плотности раствора от его концентра-
концентрации или температуры, зависимость угла отклонения луча от длины
его волны, электродвижущей силы элемента от температуры и пр.
Для этого делают ряд наблюдений искомой величины у для различ-
различных значений переменной х> т. е. измеряют, например, значение
плотности (у) раствора при определенных значениях (х) его концен-
концентрации или температуры, или величины угла (у) отклонения луча
при определенных значениях (х) длин волн и т. д. Для наглядного
х) Описание логарифмической линейки и изложение способов работы с ней
можно найти в книге Д. Ю. Панова, Счетная линейка, Физматгиз, I960.
2) Способы приближенных вычислений изложены в книге М. Л. Франка,
Элементарные приближенные вычисления,'ГТТИ, 1933 и в книге К. П. Яков-
Яковлева, Математическая обработка результатов наблюдений, Гостехиздат, 1953.

ВВЕДЕНИЕ
29
представления этой зависимости ее изображают графически, поль-
пользуясь в громадном большинстве случаев прямоугольной системой
координат; на миллиметровой бумаге откладывают по оси абсцисс
в произвольно выбранном масштабе значения одной из величин,
а по оси ординат также в произвольном масштабе.— значения дру-
другой величины и полученные на плоскости точки соединяют между
собою непрерывной плавной кривой.
Такая кривая дает нам возможность производить графическим
путем интерполяцию, т. е. находить значения у даже для
у
Ю
15
25
Рис. 3
таких значений х, которые непосредственно не наблюдались, так
как из любой точки оси абсцисс можно провести ординату до пере-
пересечения с кривой; длина этой ординаты и будет представлять значе-
значение величины у при соответствующем значении х. Кроме того,
можно определять, например, значения одной величины, которые
соответствуют максимальным или минимальным значениям другой,
хотя бы последние и не определялись непосредственно. Такие гра-
графики или диаграммы оказываются особенно полезными при кали-
калибрировании какого-либо прибора, при градуировании шкалы спек-,
троскопа и пр. Сравнительно реже приходится пользоваться дру-
другими системами координат; так, иногда пользуются полярными
координатами, например в задаче 143, т. II.
На рис. 3 приведен пример построения гипотетической кривой
по экспериментальным точкам. Размер экспериментальных точек,
наносимых на графике, не является произвольным, а должен быть
выбран в соответствии с точностью измерений. В данном примере
измерения величины х, отложенные по оси абсцисс, производились
точнее, чем измерения величины у, поэтому экспериментальные
точки приняли вид штрихов. При построении графика следует
заранее выбрать масштаб, нанести деления масштаба по осям

30 ВВЕДЕНИЕ
координат и лишь после этого приступать к нанесению на график
экспериментальных точек.
Об определении эмпирической зависимости по эксперименталь-
экспериментальным данным (понятие о методе наименьших квадратов). Очень
часто в практике физических измерений устанавливает из ряда
опытов эмпирическую зависимость между какими-либо величинами.
Значение постоянных коэффициентов в эмпирической формуле опре-
определяется также на основании этих измерений. Иногда аналитиче-
аналитическое выражение для соответствующей зависимости заранее из-
известно, однако из опыта важно наиболее точно определить пара-
параметры этой зависимости (см., например, задачу 34).
Одним из методов, позволяющих определить наиболее точные
значения постоянных коэффициентов аналитической зависимости,
является метод наименьших квадратов, основанный на использо-
использовании уравнений A8) и A9). Пусть экспериментально измеряются
величины у к х, связанные между собой уравнением, представляю-
представляющим собой многочлен вида
у = А0 + А1х+ А2х2 + ... D3)
Число неизвестных параметров, которые надо определить, равно
числу коэффициентов Ао, Аъ А2 .... Если бы все измерения были
сделаны абсолютно точно, достаточно было бы измерить соответ-
соответствующее число пар значений величин х и у. Однако результаты
измерений всегда включают случайные ошибки. Учитывая это,
следует сделать значительно большее число измерений и подобрать
такие коэффициенты в уравнении D3), чтобы удовлетворить усло-
условию максимума кривой распределения ошибок, т. е. удовлетворить
условию A9) минимума величины средних квадратичных отклонений,
которое в этом случае.дает число уравнений, достаточное для
нахождения коэффициентов уравнения D3).
Действительно, разности Ао — Nt в уравнении A5) изобразятся
в виде разностей типа Ао + Аххх + Агх\ — уи где хг и yt — соот-
соответствующая пара измерений величин х и у. Условие A9) дает при
этом необходимое число уравнений типа
Так, например, если искомая зависимость есть линейная зави-
зависимость у = а -4- Ьх, то сумму квадратов отклонений от этой линей-
линейной зависимости можно записать в виде
г = 2 (А - Л/,-J = 2 (у, - а - Ьх,)>,
а условие минимума суммы средних квадратичных отклонений дает
дг

ВВЕДЕНИЕ 31
откуда
D6)
Отсюда, в частности, для коэффициента Ь, определяющего
тангенс угла наклона прямой с осью абсцисс, получим выражение:
Определение наивыгоднейших условий измерения. Наивыгод-
Наивыгоднейшими условиями измерения называют такие условия, при кото-
которых погрешность измерений получается наименьшей.
В тех случаях, когда измеряемая величина является функцией
одной переменной, определение таких условий не представляет
никаких затруднений. Предположим, что мы определяем длину
волны с помощью дифракционной решетки, помещенной на столике
спектрометра. Если лучи падают на дифракционную решетку нор-
нормально, то направление дифрагированных лучей, определяемое на
опыте, связано с искомой длиной волны соотношением:
& sin ф = «Я, D8)
— постоянная решетки, п — порядок дифракционного спектра,
X — длина волны. Ошибка Аф в измерении угла ф определяет
ошибку ДЯ измерения величины X. Из D8) следует
Ь cos ф. ^ф = ndk
или
ctg<p.rfq> = -^. D9)
Отсюда видно, что меньшая ошибка при измерении длины волны
достигается, если наблюдаются большие углы дифракции.
Если измеряемая величина — функция многих переменных, то
относительная погрешность измерения определяется по формуле
dN _i_ 1
L» • • • » xn)
dN
dN
dx2
dN
и наивыгоднейшими условиями измерения будут такие условия,
при которых правая часть этого уравнения будет иметь наименьшее
значение. Для отыскания этого минимума пользуются обычными
средствами дифференциального исчисления, т. е. определяют част-
частные производные правой части этого уравнения и, приравнивая
их нулю, получают п искомых условий.

32 ВВЕДЕНИЕ
Во многих частных случаях отыскание условий минимума по-
погрешности допускает значительные упрощения. Рассмотрим при-
пример измерения сопротивления с помощью мостика.
Как известно, при измерениях с помощью мостика (см. задачу 69,
т. II) сопротивление Rx вычисляется по формуле
Rx = R А-, E0)
где R — известное сопротивление, а 1г и /2 — длины плеч кали-
калибрированной струны. Определим положение скользящего контакта,
при котором относительная погрешность измерения — наименьшая.
Если длина всей калибрированной струны L, то 1г = L — /2
и, следовательно,
Частная абсолютная погрешность dRx будет равна
Относительная погрешность измерения
Погрешность Е будет наименьшей при* максимальном значении
выражения (L — /2) /2. Этот максимум можно определить, взяв
первую производную выражения (L — /2) /2 по /2, так как L = const,
и приравняв ее нулю (вторая производная по /2 отрицательна),
dl
откуда
¦4- [(L — /2)/2] = 0 или L — 2/2 = 0,
2 '
Таким образом, наименьшая погрешность получается при условии
/i = /,. E3)
Советы и указания. Приступая к выполнению задачи, следует
прежде всего очень внимательно прочесть все, что написано отно-
относительно этой задачи в настоящем руководстве. После этого необ-
необходимо обратиться к общим руководствам по физике или к спе-
специальной литературе, указанной в конце задачи, чтобы подробнее
ознакомиться с явлением и вспомнить его теорию. Затем надо
не менее внимательно ознакомиться с приборами, употребляемыми

ВВЕДЕНИЕ 33
в задаче, т. е. с их устройством и действием, и с планом измерений,
которые предстоит сделать.
Никогда не следует приступать к выполнению задачи, если
в ней что-либо остается неясным. Успешное выполнение задач всегда
требует значительной доли навыка и уменья обращаться с прибо-
приборами; поэтому очень часто вначале эксперимент кажется очень
трудным, отнимает много времени, а результаты измерений часто
бывают совершенно ошибочными. Этими обстоятельствами никогда
не следует смущаться, так как уменье производить точные и пра-
правильные измерения приобретается далеко не сразу и требует значи-
значительной работы. В особенности при этом необходимо обращать
внимание на ту операцию, которая называется установкой прибо-
приборов. Эту часть задачи в большинстве случаев приходится выполнять
особенно тщательно, так как очень часто можно получить ошибоч-
ошибочные результаты измерений, если установка прибора сделана недо-
недостаточно внимательно. Например, если желают измерить поверх-
поверхностное натяжение, измеряя высоту столба жидкости в капилляре
катетометром, то необходимо прежде всего тщательно установить
катетометр; если же это не будет сделано, то может получиться
результат, который будет очень далек от истинного; может даже
случиться, что полученный результат будет менее точным, чем при
измерении высоты столбов жидкости масштабной линейкой. Часто
главная трудность задачи состоит именно в установке приборов,
а измерения производятся очень просто, и быстро приводят к пра-
правильным результатам, если установка была сделана достаточно
тщательно.
Очень нежелательно, чтобы, выполнив задачу, убеждались
в правильности ее решения только потому, что результат соответ-
соответствует табличному значению искомой величины или результатам,
уже раньше полученным другими на данной установке. Необхо-
Необходимо, чтобы уверенность в правильном решении задачи была след-
следствием сознания, что все измерения сделаны правильно и что в них
не было допущено ошибок, — иначе говоря, у выполнившего лабо-
лабораторную работу должна быть уверенность, что результат правилен
потому, что по всему ходу работы он не может быть ошибочен.
К этому приводят как внимательное выполнение задачи во всех ее
отдельных частях, так и безусловно необходимое повторение всех
отдельных измерений несколько раз, причем всегда эти измерения
Должны производиться одинаково тщательно.
После этих общих советов следует еще сделать несколько более
Детальных указаний, которые могут быть полезны и которых сле-
следует поэтому придерживаться.
1. Приступая к выполнению задачи, надо прежде всего убе-
убедиться в наличии всех принадлежностей, необходимых для ее
выполнения; никогда не следует брать принадлежности одной за-
задачи для выполнения другой, так как они могут быть совершенна

34 ВВЕДЕНИЕ
непригодны для второй задачи, хотя бы по внешнему виду и были
одинаковы.
2. Следует очень осторожно обращаться с приборами, не разби-
разбирать и не развинчивать их, даже если бы казалось, что они не
в исправности; в последнем случае следует всегда обращаться за
разъяснением к руководителю занятий. Никогда не следует при-
приступать к измерениям, не будучи совершенно уверенным, что уста-
установка собрана вполне правильно.
В частности, особенную осторожность следует проявлять в об-
обращении с электрическими приборами, в которых повреждение
может произойти не только вследствие механических причин, но
и вследствие неправильного соединения проводов. Поэтому при
выполнении задач по электричеству следует:
а) все соединения производить исключительно цельными с не-
неповрежденной изоляцией» проводниками, зажимая их в клеммы;
соединения проводников путем скрутки не допускаются;
б) ни в каком случае не начинать соединений с источника тока
(аккумулятора, рубильника на щите и т. п.), наоборот, источник
тока разрешается присоединять лишь перед началом измерений,
после обязательной проверки соединений преподавателем;
в) в случае обнаружения чрезмерного нагревания отдельных
частей схемы (нельзя держать рукой), а тем более появления запаха
гари немедленно выключить ток и заявить об этом преподава-
преподавателю.
При изучении зависимости одной физической величины от дру-
другой у = / (л:) {например, при снятии вольт-амперных характери-
характеристик электронных ламп) следует сначала, не производя точных
измерений, проследить за ходом кривой у = / (х) в широком интер-
интервале изменения измеряемых величин. Это позволит заранее обна-
обнаружить области значений аргумента, при которых функция суще-
существенно меняется. Очевидно, в этой области измерения надо про-
производить чаще, т. е. переходить от точки к точке при меньших
изменениях аргумента. Наоборот, в области, где функция имеет
примерно постоянное значение или является линейной, экспери-
экспериментальные точки можно располагать реже.
О записи измерений и оформлении отчета о выполнении лабо-
лабораторной работы. Успех всякой экспериментальной работы зависит
не только от правильности выбора методики измерения, точности
используемых приборов, тщательности выполнения измерений, но
и от правильной систематической записи результатов измерений.
С этой целью для работы в физическом практикуме необходимо
иметь специальную тетрадь — журнал экспериментальной рабо-
работы, — в которой записываются наименование работы, метод и
схема измерения, необходимые формулы для обработки результатов
измерений, а также обозначения измеряемых и расчетных величин,
входящих в эти формулы.

ВВЕДЕНИЕ 35
Для записи измеряемых величин необходимо заранее составить
соответствующую таблицу, в которой полностью записываются
результаты отдельных измерений, выполняемых в данной работе.
Необходимо с особой тщательностью записывать в этой таблице
результаты всех первичных измерений, с по-
помощью которых в дальнейшем вычисляется окончательный резуль-
результат с его средней или вероятной ошибкой.
- Необходимо систематически воспитывать в себе навыки не только
тщательного производства измерений, но и их точной и своевремен-
своевременной фиксации. Небрежности, допущенные в записи результатов
отдельных измерений, в дальнейшем могут привести к грубым
ошибкам и неправильным выводам при обработке результатов экспе-
эксперимента.
На основании результатов измерений, занесенных в журнал
экспериментальной работы, производится окончательная обработка
результатов, вычисляются ошибки измерений и составляется
законченный отчет по работе.
При сдаче лабораторной работы преподавателю предъявляются
как записи отдельных измерений (журнал экспериментальной ра-
работы), так и результаты их обработки.
Учебные занятия студентов в физическом практикуме. 1. Студент
получает от преподавателя назначение очередной задачи физиче-
физического практикума не менее, чем за неделю до ее выполнения. С по-
помощью указанной в описании задачи литературы студент подго-
подготавливается к назначенной работе в соответствии с изложенными
выше советами и рекомендациями.
. На каждом занятии в физическом практикуме студент обязан
иметь практикантскую книжку и лабораторную тетрадь с прежними
и текущими записями.
3. В начале каждого занятия преподаватель проверяет готов-
готовность студента к выполнению предложенной ему ранее задачи и
допускает его к экспериментальной работе, если только студент
к выполнению задачи подготовлен. О допуске студента к экспери-
экспериментальной^ работе преподаватель делает запись в журнале лабо-
лаборатории.
4. В ходе выполнения студентом задачи преподаватель руково-
руководит Экспериментальной работой студента, производством измере-
измерений, записью их результатов и визирует в лабораторной тетради
студента полученные результаты. Окончание студентом экспери-
экспериментальной работы отмечается преподавателем в практикантской
книжке студента и в лабораторном журнале.
5. После обработки полученных экспериментальных результа-
результатов студент окончательно сдает задачу преподавателю в тот же
день, когда был выполнен эксперимент. Отметка о выполнении
студентом работы заносится преподавателем в практикантскую
книжку студента и в лабораторный журнал.

36 ВВЕДЕНИЕ
Таблица 1
Среднее арифметическое значение величины
Л0
Средняя абсолютная ошибка измерений
п
Относительная ошибка отдельного измерения
Средняя квадратичная ошибка измерения
Вероятная ошибка измерений
ъ = 0,6745, п
Связь между аир аЛ = 1,25 рп при п > 30
Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического
— • •
а |/ I
о у п ' п \п — Ч
Абсолютная ошибка функции одного переменного
dN= + dxdf(x)
~~ dx
Относительная ошибка функции одного переменного
H__dN __ dx df(x)
~~~N~~f{x) dx
Средняя квадратичная ошибка функции многих независимых переменных
-Y\
df
Максимальная ошибка функции нескольких независимых переменных
df
dx
ду
dy
Коэффициенты надежности для р, з и i) при большом числе измерений
ар = 0,57, оч = 0,5, ^ = 0,68

Таблица 2
Сводка формул для вычисления погрешностей для частных случаев
Математическая операция
N-Л'
N=cosA
N t Л
t Л
eg
„-Л-, .
Погрешность
абсолютная
относительная
Для функции одного переменного
± пАп~1АА
J__l
±1л" АЛ
п
± cos Л • АЛ
± sin Л • АЛ
~" cos2 Л
^ АЛ
— sin2 Л
АЛ
+ п-х
1 АЛ
±Т7
± ctg Л • АЛ
± tg Л • АЛ
2АЛ
~ sin 2Л
2АЛ
5ш2Л
Для функции нескольких переменных
V аА + аВ + аС
Л + 5 + С
У ал + °Ь
л—^
2
s S
среди
квадрат*

II
со
1+
Cg
со
t>
+
Гь.
Со
1+
,
4-
•>—
со
—"
II
Гь.
СО
•
-4-
/Е5
Е>
+
СО
СО
Г)
1+
4-
СО
-1-
>
ii
а».
со
1+
\
со
со
1+
^—^
Со
**»
II
СО
1+
vv)
I—
1+
Гь.
1
Со
>
+
максимальные
II
"Г
СО
+
с...
1+
(АЛ
>
Со
- *
1+
+
со
\ ¦¦¦+
¦^ ^
II II
Сс
Q
+
to»
+
О
КО
+
СО
ts
Со
to
н
СО
Q
-
4-
средние
квадратич-
квадратичные
Мат
о
3
1
А
(Т>
S
U
о
пер;
J3
М
а
ОТНОСИ
н
ель
33
а
В
1
эинзйзня

ВВЕДЕНИЕ 39
6. Студенты, по каким-либо причинам не сдавшие преподавателю
две задачи, к дальнейшим занятиям в практикуме не допускаются
впредь до окончательной сдачи выполненных работ.
7. В течение одного учебного семестра студент физического
факультета обязан выполнить 12 задач практикума, после чего сту-
студент сдает общий коллоквиум по своей работе в практикуме. На
основании сдачи задач и коллоквиума студент получает от препо-
преподавателя группы общий семестровый зачет по физическому практи-
практикуму с оценкой. Отметка о зачете вносится преподавателем группы
в практикантскую и зачетную книжки студента и в зачетную ведо-
ведомость, выдаваемую учебной частью факультета.
8. Право зачета работ студента, выполненных помимо учебного
плана очередного семестра или в другом вузе, предоставлено
только заведующему кафедрой.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МЕХАНИКА
ЗАДАЧА 1
ИЗУЧЕНИЕ НОНИУСОВ
Нониус. Нониусом называется дополнение к обычному масштабу
(линейному или круговому), позволяющее повысить точность изме-
измерения с данным масштабом в 10—20 раз.
Техника непосредственного измерения длин и углов достигла
к настоящему времени большого совершенства. Сконструирован
ряд специальных приборов, так называемых компараторов, позво-
позволяющих измерять длину с точностью до 1 микрона A мкм = 10 см).
О 5 10 т
Рис. 1.
Большинство из них основано на применении микроскопа и неко-
некоторых других оптических приспособлений. Но при этом почти
всегда отсчетные приспособления снабжаются нониусами или мик-^
рометрами. В ряде случаев требуемая относительная точность из-
измерения длины бывает такова, что'можно удовлетвориться абсо-
абсолютной точностью в сотые или даже в десятые доли миллиметра х),
а для углов — минутами или долями минут. В этом случае можно,
для измерения пользоваться обычными масштабными линейками и
угломерами, снабженными нониусами. Примерами таких приборов
являются штангенциркуль, буссоль, кипре-
кипрегель.
Линейным нониусом называется маленькая линейка* с деле-
делениями, которая может скользить вдоль большой линейки также
с делениями, называемой масштабом (рис. 1).
Деления на нониусе наносятся обычно так, что одно деление
нониуса составляет т~~ = 1 делений масштаба, где m —
J mm
1) Десятые доли миллиметра можно, правда, отсчитывать на глаз, но воз-
возможность безошибочной оценки этих долей достигается только в результате дли-
длительной тренировки и навыка.

1. ИЗУЧЕНИЕ НОНИУСОВ ' 41
число делений нониуса. Именно это позволяет, пользуясь нониусом,
производить отсчеты с точностью до \1т части наименьшего деле-
деления масштаба. Пусть расстояние между соседними штрихами мас-
масштаба у, а между соседними штрихами нониуса х.
Можно написать, что х = у — (у 1т), откуда получаем тх =
= (т — 1) у. Величина
&х = у-х = ± A)
носит название точности нониуса, она определяет максимальную
погрешность нониуса. При достаточно мелких делениях масштаба
деления нониуса делают более крупными, например хх = 2у — у/ту
что дает
тх1 = Bт— \)у.
Точностью нониуса по-прежнему является величина
В любом положении нониуса относительно масштаба одно из деле-
делений первого совпадает,с каким-либо делением второго. Отсчет по
нониусу основан именно на способности глаза фиксировать это
совпадение делений нониуса и масштаба.
Рис. 2.
Рассмотрим теперь процесс измерения при помощи линейного
нониуса. Пусть L — измеряемый отрезок (рис. 2). Совместим с его
началом нулевое деление основного масштаба. Пусть при этом
конец его окажется между k и (k + 1)-м делением этого масштаба.
Тогда можно написать
b = ky + AL,
где AL — неизвестная пока еще доля &-го деления масштаба.
Приложим теперь к концу отрезка L наш нониус так, чтобы
нуль нониуса совпал с концом этого отрезка. Так как деления но-
нониуса не равны делениям масштаба, то обязательно найдется на
нем такое деление пу которое будет ближе всего-подходить к соот-
соответствующему (k + п)-му делению масштаба. Как видно из рис. 2,
AL = пу — пх = п (у — х) =пАх,

42 МЕХАНИКА
и вся длина будет равна, следовательно,
L, = ky + пАх
или согласно A)
±,
B)
Рис. 3.
что можно сформулировать следующим образом: длина отрезка,
измеряемого при помощи нониуса, равна числу целых делений мас-
масштаба плюЬ точность нониуса,»
умноженная на номер деления
нониуса, совпадающего с некото-
некоторым делением масштаба.
Погрешность, которая может
возникнуть при таком методе
отсчета, будет обусловливаться
неточным совпадением я-го деле-
деления нониуса с (k + я)-м делением масштаба, и величина ее не
будет превышать, очевидно, yAx, ибо при большем несовпадении
этих делений одно из соседних делений (справа или слева) имело бы
несовпадение,.меньшее чем на -у^*» и мы произвели бы отсчет по
нему. Таким образом, можно сказать, что погрешность нониуса
равна половине его точности.
Длина делений масштаба и
число делений нониуса, а следо-
следовательно и точность нониуса, бы-
бывают самые разнообразные.
Круговой нониус в
принципе ничем не отличается от
линейного. Он представляет собой
небольшую дуговую линейку,
скользящую вдоль круга (лимба), разделенного на градусы или
на еще более мелкие деления (рис. 3). На линейке нанесены деле-
деления также в количестве /л, общая длина которых равна (т — 1) де-
делениям лимба, т. е.
та = (т— 1) Р,
где а и Р — выраженные в градусах или минутах цены делений
нониуса (а) и наименьшего деления лимба (р).
Точность кругового нониуса будет, выражаться формулой,
совершенно аналогичной формуле A),
Рис. 4.
т

1. ИЗУЧЕНИЕ НОНИУСОВ 43
Отсчитываемые от нуля лимба углы (рис. 4) будут вычисляться,
очевидно, по формуле
ф = &р -f. n- Да.
Часто круговые нониусы в приборах, в которых необходимо
отсчитывать углы в обоих направлениях (по часовой стрелке и
против нее), состоят из двух совершенно одинаковых шкал, распо-
расположенных по обе стороны нуля. Легко сообразить, что при отсчетад
следует всегда пользоваться той шкалой, которая идет вперед по
направлению отсчетов.
Более точные нониусы применяются лишь в особо прецизион-
прецизионных приборах, в частности в астрономических. Иногда, но доволь-
довольно редко применяются нониусы, указывающие десятые доли
градуса.
Во многих случаях для облегчения отсчета нониусы (обоих
видов) снабжаются скрепленными с ними лупами, при отсутствии
же таковых рекомендуется пользоваться для отсчета обыкновен-
обыкновенными ручными лупами.
Упражнение 1
Измерение толщины металлической пластинки микрометром
Принадлежности: 1) микрометр, 2) металлическая пластинка.
Описание микрометра. Микрометр (рис. 5) служит для измере-
измерений диаметров проволок, небольших толщин пластинок и т. п. Он
имеет вид тисков, в которых изме-
измеряемый объект зажимается с по-
помощью винта. Ход винта обыкно-
обыкновенно бывает равен 1 мм или
0,5 мм. На стержне винта А укреп-
укреплен барабан С с нанесенной на нем
шкалой, имеющей 50 или 25 делений.
При зажатом винте нуль барабана
стоит против нуля линейной шкалы D.
Измеряемый предмет помещают между
винтом и противоположным ему упо-
упором, затем, вращая винт за головку В,
доводят его до соприкосновения
с предметом. По линейной шкале от-
отсчитывают миллиметры, а по шкале Рис.5,
барабана — сотые доли миллиметра.
Главным источником ошибок является неравномерность нажа-
нажатия винта на измеряемый предмет. Для устранения этого недо-
недостатка современные микрометры снабжаются специальным при-
приспособлением, не допускающим слишком сильного нажатия. Дей-

44
МЕХАНИКА
ствие подобных приспособлений основано на трении, возникающем
между стержнем винта А и рукояткой В, поворачивающей винт.
Измерения. Прежде чем пользоваться микрометром, необходимо
убедиться, что микрометр исправен — нули его шкал совпадают.
Пластинку помещают между винтом и противоположным упо-
упором и вращением барабана С подводят торецчвинта к плоскости
пластинки. Окончательное нажатие винтом на пластинку следует
делать только рукояткой В.
Момент нажатия фиксируется слабым треском. После этого
треска дальнейшее вращение рукоятки В бесполезно, а барабана С
недопустимо. Производят отсчет по шкалам: миллиметры по ли-
линейной шкале, доли миллиметра по шкале на барабане.
Толщину пластинки необходимо измерить вблизи каждого из
ее четырех углов не менее трех раз. За истинное значение прини-
принимают среднее арифметическое.
Упражнение 2
Определение объема трубки и плотности ее материала
при помощи штангенциркуля
Принадлежности: 1) штангенциркуль, 2) измеряемая трубка, 3) лупа.
Описание прибора. Штангенциркуль (рис. 6) состоит из разде-
разделенного на миллиметры масштаба LM> вдоль которого может пере-
перемещаться перпендикулярная к его длине ножка СВ с зажимным
м
Рис.
винтом С, служащим для ее закрепления; в ее обойме против деле-
делений масштаба сделан вырез, на скошенном краю которого, приле-
прилегающем к масштабу, нанесен нониус; когда ножки сдвинуты вплот-
вплотную, то нуль нониуса совпадает с нулем масштаба. Неподвижная
ножка LA, укрепленная в начале масштаба также перпендикулярно
его длине, служит упором для измеряемого тела. Части FF обеих
ножек служат для измерения внутренних размеров тел.
Измерения. Для определения объема трубки необходимо опре-
определить ее геометрические размеры — длину и внутренний и внеш-

1. ИЗУЧЕНИЕ НОНИУСОВ 45
ний диаметры. Для определения плотности вещества трубки необ-
необходимо, кроме объема, определить ее массу.
Определение объема. Измерение длины производят
следующим образом. Раздвинув достаточно ножки штангенциркуля,
помещают между ними продольно трубку вблизи шкалы, ножку В
подводят так, чтобы трубка была слегка зажата, и производят
отсчет. Так как ножка В, а следовательно, и нуль нониуса переме-
переместились на длину трубки, то отсчитывают по масштабу целое число
миллиметров до нуля нониуса и смотрят, какое деление нониуса
совпадает с некоторым делением масштаба. Измерение повторяют
несколько раз, повернув перед каждым из них трубку около ее
оси на некоторый угол (около 45°). Из всех полученных результа-
результатов берут среднее арифметическое.
Далее производят измерение внешнего диаметра трубки. Изме-
Измеряют одинаковое число раз на том и другом конце трубки два
взаимно-перпендикулярных диаметра, слегка зажимая трубку между
ножками штангенциркуля и держа ее при этом перпендикулярно
к длине масштаба. Из всех результатов берут среднее.
При измерении внутреннего диаметра трубки вводят части FF
ножек штангенциркуля в трубку и разводят их настолько, чтобы
обе они прилегали к внутренним стенкам трубки; производят от-
отсчет; потом измеряют другой, перпендикулярный к первому, вну-
внутренний диаметр трубки. Такие же два измерения производят на
другом конце. Берут из всех измерений среднее.
Если штангенциркуль не приспособлен специально для измере-
измерения внутреннего диаметра трубок, то необходимо принять во вни-
внимание толщину обоих его ножек; эта толщина обычно указывается
на самом штангенциркуле.
Из результатов измерений по элементарным геометрическим фор-
формулам вычисляют объем трубки.
Определение плотности вещества трубки.
Взвешивая трубку (на простых весах) с точностью до 0,1 Г, нахо-
находят ее массу и, зная ее объем, вычисляют плотность вещества трубки.
Упражнение 3 .
Измерение углов
Принадлежности: угломерный инструмент.
Измерение углов, наряду с измерением длин, относится к числу
наиболее распространенных измерений не только в физическом
эксперименте (главным образом в области оптики), но в целом ряде
других смежных дисциплин (астрономия, геодезия, минералогия
и т. д.). Приборы, служащие для этих измерений, состоят обыкно-
обыкновенно из двух основных частей: лимба, по которому производятся

46
МЕХАНИКА
отсчеты направлений двух радиусов, заключающих между собою
искомый угол, и визирного приспособления (оптической трубы и т. п.),
при помощи которого определяются
направления этих радиусов.
Визирное приспособление может
вращаться вокруг оси, проходящей
через центр лимба, и направление
его при помощи скрепленного с ним
указателя отсчитывается по шкале
лимба. Искомый угол находится
затем как разность двух отсчетов
соответствующих положений визира.
Иногда встречается обратное рас-
расположение лимба и указателя: лимб,
скрепленный с визиром, вращается
вместе с ним, и положение его отсчитывается при помощи непод-
неподвижного указателя.
Для точного отсчета направлений визира по шкале лимба при-
применяются круговые нониусы.
Особенно важное значение в этих приборах имеет правильная
центрировка, т. е. совмещение оси вращения визира с центром
Рис. 7.
Рис. 8.
лимба. При отсутствии должной центрировки величина углов,
отсчитываемых по лимбу, не будет соответствовать их истинному
значению. Справедливость этого утверждения вытекает из рас-
рассмотрения рис. 7, на котором изображены два положения двух
радиусов, образующих равные углы, но в одном случае точка С
пересечения этих радиусов точно совпадает с центром лимба,
в другом она значительно эксцентрична (точка С). На рисунке
видно, что в то время как отсчет А'В' угла А'С В' больше его

1. ИЗУЧЕНИЕ НОНИУСОВ
47
истинного значения АВ, отсчет равного ему вертикального угла
А"СВ" меньше его. Это обстоятельство может быть использовано
для полного устранения влияния эксцентриситета, который все же
имеется в той или иной степени у каждого прибора. Для этого
с трубою связывают не один нониус, а два, расположенных на
концах одного и того же диаметра. Таким образом, один из нони-
нониусов даст, нам преувеличен-
преувеличенный отсчет, измеряемый ду-
дугою А'В', другой даст преу-
преуменьшенный, измеряемый ду-
дугою А"В". Среднее значение
из этих двух отсчетов даст
результат, не зависящий от
эксцентриситета установки.
Простейший угломерный
инструмент {угловой нониус)
изображен на рис. 8. Он со-
состоит из лимба А и визир-
визирного приспособления В с но-
нониусом. Прибор изображен в
положении, готовом для из-
измерения углов, нанесенных
на металлической пластин-
пластинке С.
Измерение величины уг-
углов производится не менее
трех раз, за истинное значе-
значение величины принимается
среднее арифметическое зна-
значение.
Одним из весьма совер-
совершенных приборов для изме-
измерения углов является теодо- Рис. 9.
лит. Он позволяет измерять
углы в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Зрительная
труба теодолита (рис. 9) может вращаться в двух взаимно пер-
перпендикулярных направлениях. Отсчет углов производится по
шкалам двух лимбов с угловыми нониусами. В лаборатории при-
применяется теодолит ТТ-50, его детальное описание, имеющееся в
лаборатории, необходимо прочесть.
Измерения. Установив прибор по уровню, наводят трубу на
одну из треугольных меток, наклеенных на стенах комнаты, так,
чтобы крест нитей трубы совпал с верхней вершиной этой метки.
Произведя отсчет по обоим нониусам, сбивают наводку и, вновь
восстановив ее, повторяют ртсчет. Таких измерений производят
не менее пяти, причем чем больше расхождения отдельных отсчетов,

48
МЕХАНИКА
тем больше их следует повторять. Берут среднее из отсчетов по
каждому нониусу.
Затем переходят к отсчету направления на вторую, третью и
так далее точки, расположенные с первой точкой на одной гори-
горизонтали или одной вертикали.
После этого вычисляют разности отсчетов каждого направления
по каждому из двух нониусов и наконец берут среднее из получен-
полученных пар значений углов между этими направлениями.
ЗАДАЧА 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЩИНЫ ПЛАСТИНКИ И РАДИУСА КРИВИЗНЫ
ЛИНЗЫ СФЕРОМЕТРОМ
Описание сферометра. Сферометр служит для точного измерения
толщины пластинок, а также для определения радиуса кривизны
сферических поверхностей (например, оптических линз). Он со-
состоит (рис. 1) из металлического треножника А А, в котором ходит
вертикально стальной микрометрический винт В, шаг которого
точно определен и обычно бывает равен 1 мм или 0,5 мм. Внизу
винт оканчивается острием или
шариком, а наверху несет диск
Z), разделенный по окружности
на250, 500 или 1000частей. Сбоку
DC А
Рис.
Рис. 2.
треножника укреплена вертикальная линейка С с нанесенными на
ней делениями, по которой отсчитывается число полных оборотов
винта; доли же оборота отсчитывают по диску D, замечая, какое
деление диска стоит против ребра линейки. Винт вращают за го-
головку Е. Ножки сферометра аъ а2, а3 (последняя из них не видна
на рисунке) оканчиваются остриями, находящимися на равных
расстояниях одно от другого. Весь прибор помещается на пластинке
зеркального стекла, и если не употребляется для измерений, то

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЩИНЫ ПЛАСТИНКИ 49
закрывается стеклянным колпаком, чтобы предохранить прибор
от пыли и загрязнения.
При измерениях сферометром труднее всего точно уловить мо-
момент первого соприкосновения конца микрометрического винта
с плоскостью, находящейся под ним. Для этого очень часто исполь-
используют явление интерференции света. Иногда пользуются также
особым -приспособлением, которое состоит в следующем: микроме-
микрометрический винт (рис. 2) просверлен вдоль оси, и в этом канале ходит
почти без трения стальной стержень, оканчивающийся внизу ост-
острием, а вверху — острым ребром s, которое при соприкосновении
стержня с подложенным под него предметом упирается в короткое
плечо чувствительного рычага аЬ\ этот последний, нажимая на вы-
выступ второго рычага СЛ, приподнимает его свободный конец Л, что
дает возможность производить весьма точную установку, доводя
конец рычага А до одной высоты с ребром указательной призмы d.
Упражнение 1
Измерение толщины пластинки
Принадлежности: 1) сферометр, 2) черное плоское зеркало, 3) измеряе-
измеряемая стеклянная пластинка, 4) вспомогательная пластинка зеркального стекла.
Измерения. 1. На черное зеркало кладут зеркальную пла-
пластинку М (рис. 1), несколько придавливая ее, чтобы между нею
и зеркалом оставался по возможности очень тонкий слой воздуха.
2. При некотором положении глаза наблюдателю видна система
цветных полос, возникающих вследствие интерференции сбетовых
лучей, отраженных от нижней и верхней поверхностей, ограничи-
ограничивающих указанный тонкий слой воздуха.
3. Ставят сферометр на черное зеркало так, чтобы конец винта
приходился над серединой пластинки М (винт предварительно
должен быть вывинчен настолько, чтобы он не касался пластинки).
4. Вращают медленно и плавно винт до тех пор, пока он не кос-
коснется пластинки М, что обнаруживается по смещению интерферен-
интерференционных полос. Следует останавливать винт в тот момент, когда
полоски только что начинают смещаться.
5. В этом положении производят отсчет оборотов и долей обо-
оборота винта. Затем, вывернув немного винт, снова приводят его
в соприкосновение с пластинкой М и снова отсчитывают. Повторив
эту операцию несколько раз, берут из всех полученных таким об-
образом отсчетов среднее.
6. Вывинтив достаточно винт и не трогая пластинки, накладывают
на нее измеряемую пластинку N так, чтобы конец винта пришелся
над ее серединой.
7. Приводят винт в соприкосновение с измеряемой пластинкой
и делают отсчет, как и прежде. Повторив операцию отсчетов не-
несколько раз, берут среднее.

50 МЕХАНИКА
8: Вычтя из этого отсчета предыдущий (отсчет нулевого поло-
положения), получают значение толщины пластинки N в ее середине.
Таким же образом измеряют ее толщину в четырех точках, ле-
лежащих вблизи углов пластинки. Полученные результаты покажут,
является ли измеряемая пластинка плоскопараллельной или приз-
призматической. В последнем случае находят среднюю толщину пла-
пластинки N.
По окончании работы сферометр ставят на подставку и закры-
закрывают колпаком.
Упражнение 2
Определение радиуса кривизны линзы
Принадлежности: 1) сферометр, 2) зеркальное стекло, 3) плоско-вы-
плоско-выпуклая линза, 4) миллиметровая линейка.
Измерения. 1. Ставят сферометр на зеркальное стекло, ввинчи-
ввинчивают медленно винт и замечают, когда конец рычага А (рис. 2),
поднявшись, установится против ребра призмы d\ в этом положении
деЛают отсчет на линейке и диске D. Записав отсчет, вывинчиваю*
немного винт и снова повторяют измерение. Среднее арифметическое
из 3—5 отдельных отсчетов даст средний отсчет ft0, соответствующий
нулевому положению винта.
2. Затем, вывинтив достаточно винт (не менее 6—8 оборотов),
переносят сферометр на, исследуемую линзу и, установив его при-
приблизительно на ее середине, ввинчивают винт до его соприкоснове-
соприкосновения с линзой, что улавливается указанным выше способом. Здесь
делают также 3—5 отдельных отсчетов, из которых затем получают
средний отсчет hv Затем сдвигают сферометр на линзе несколько
в сторону и для этого нового его положения также получают сред-
средний отсчет h2 из отдельных наблюдений. Таких положений сферо-
сферометра на линзе берут не менее трех. Среднее из результатов этих
трех измерений и представит собой положение винта /*, соответ-
соответствующее вершине сферического сегмента, основанием которого
служит круг, проходящий через острия ножек сферометра. Отсюда
находится высота сегмента Н = h — h0.
Наконец, сферометр ставят на лист бумаги, нажимают слегка
на весь прибор и измеряют штангенциркулем расстояния между
отпечатками трёх ножек сферометра.
Вычисления. Из последнего измерения вычисляют радиус сфе-
сферического сегмента на линзе, вырезаемого ножками сферометра,
пользуясь формулой
_ abc
Г~~ Аур(р-а)(р-Ь){р-с) '
где а, Ь и с обозначают расстояния между ножками сферометра
и р — полусумму этих расстояний; зная гиЯ, вычисляют радиус

3. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПАДЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА
51
кривизны R линзы по формуле
р__ г* Н
По окончании всех измерений следует вывинтить несколько винт
в сферометре и покрыть прибор колпаком.
ЗАДАЧА 3
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПАДЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА
Принадлежности: 1) машина Атвуда (при ней кольцевая платформа,
сплошная платформа, электромагнит, основные грузы и набор добавочных гру-
грузов), 2) секундомер, 3) замыкатель тока.
Машина Атвуда состоит из прикрепленного вертикально к стене
металлического стержня А (рис. 1), на котором нанесена шкала, раз-
разделенная на сантиметры. На верхнем конце
стержня имеется легкий алюминиевый блок
В, вращающийся с малым трением. Через
блок перекинута тонкая нить с грузами
С и С одинаковой массы т. Груз С
имеет внутри железную пластинку и поэ-
поэтому может удерживаться электромагни-
электромагнитом М. Масса грузов С и С может быть
увеличена добавочными небольшими гру-
грузами (перегрузками) D и Е. Если на груз
С положить один из этих перегрузков
массы тъ то вся система начнет двигаться
равноускоренно.
Величину ускорения можно установить
из следующих соображений. На каждый
груз будут действовать две силы — сила
тяжести и натяжение нити, под действием
которых грузы и начнут двигаться (пре-
(пренебрегаем силами трения и считаем нить
невесомой). Если предположить, что нить
нерастяжима, то ускорения правого и ле-
левого грузов будут равны по величине и об-
ратны по знаку. Если предположить, кроме
того, что блок невесом, то натяжения нити
будут одинаковы и справа и слева. На
основании второго закона Ньютона можно
написать (т + т2) а = (т + тг) g — Т и
— ma = mg — T, Рис.
где а — ускорение системы, Т — натяжение нити, g —- ускорение

52 МЕХАНИКА
силы тяжести. Решение этих уравнений дает величину натяжения
нити и величину ускорения
Более точное определение ускорения движения системы требует
учета весомости блока. Натяжения нити по обе стороны блока в этом
случае будут различными. Написанные ранее уравнения должны
быть дополнены еще уравнением моментов, определяющим закон
вращательного движения блока. Если по-прежнему будем считать
нить невесомой и нерастяжимой, получим следующую систему
уравнений:
(т + тг) а1 = (т + тх) g — T2,
— тах = mg— Tv
Je = ат0г2г = (Т2 — Тг)г.
Здесь /, равное апг0г2, — момент инерции блока, гп0 — масса
блока, г — радиус блока, г — угловое ускорение, а — коэффици-
коэффициент, зависящий от распределения массы блока. Если скольжение
нити по блоку исключено, то угловое и линейное ускорения связаны
уравнением
Решение приведенной выше системы уравнений дает ускорение
"i - s 2m + m1 + am0
и значения натяжений нити 7\ и Т2.
Сила трения еще уменьшает величину ускорения.
Как видно из приведенных выше формул, система будет двигаться
с ускорением, меньшим чем ускорение свободного падения. Увели-
Увеличивая перегрузок пгъ можно увеличить и ускорение системы. Если
перегрузок пг1 во время движения снять, то дальнейшее движение
системы будет происходить с постоянной скоростью, равной ско-
скорости в момент снятия перегрузка. На стержне А (рис. 1) имеются
две платформы: G — сплошная и F — кольцевая (для снятия пере-
перегрузка формы Е)\ обе платформы могут быть закреплены при помощи
зажимных винтов в любом месте стержня.
Измерение промежутков времени производится по секундомеру.
На машине Атвуда можно проверить законы равноускоренного
движения и второй закон Ньютона, что и является целью работы.

3. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПАДЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА 53
Эта проверка носит, однако, приближенный характер из-за наличия
сил трения.
Измерения. 1. Проверка закона пути: S = V2 at2.
На груз С кладут добавочные грузы D (один, два и т. д.), замыкают
ток в цепи электромагнита М и устанавливают систему в начальном
положении так, чтобы груз С находился внизу и удерживался
электромагнитом. Затем устанавливают сплошную платформу G
на некотором определенном расстоянии S от нижнего основания
груза С. После этого размыкают ток в цепи электромагнита и одно-
одновременно пускают в ход секундомер. Секундомер останавливают
в момент удара груза С о платформу; его показание дает время дви-
движения /.
Изменяя положение платформы на стержне, получают для раз-
разных расстояний S времена /, определяемые как среднее минимум
из трех измерений при одном и том же значении S.
При одном и том же перегрузке ускорение системы будет оди-
одинаковым. Поэтому должно иметь место соотношение (прибли-
(приближенно)
2S, 2S, _2Sn
2. Проверка закона скорости: v = at. Для про-
проверки этого соотношения на груз С кладут перегрузок Е и удержи-
удерживают систему в состоянии покоя электромагнитом. Несколько ниже
висящего груза помещают кольцевую платформу, а еще ниже —
сплошную платформу. Размыкают цепь электромагнита, одновре-
одновременно пуская в ход секундомер. Измеряют время tx от момента
начала движения грузов до снятия перегрузка кольцевой плат-
платформой. Измеряют также время t[ от момента снятия перегрузка до
момента удара груза о сплошную платформу. Зная расстояние
между платформами и высоту гирьки С, определяют скорость vx
равномерного движения гирьки. Промежуток времени tx следует
взять как среднее минимум из трех отдельных измерений.
При увеличении расстояния между висящим грузом и кольцевой
платформой растет и скорость равномерного движения. При одном
и том же перегрузке ускорение системы одинаково, поэтому (при-
(приближенно)
h t2 tn •
3. Проверка второго закона Ньютона:
/ = Ма. Если перекладывать добавочные грузы с одной стороны
на другую, то масса всей системы не изменится, но результирующая
внешняя сила, приложенная к системе, будет меняться, а с ней
и ускорение движения системы. Для двух различных случаев будем

54 МЕХАНИКА
иметь
f2 = Afa2,
S ^1
Делением этих выражений соответственно получим
что дает
Л = Si*l
Это выражение и подлежит проверке, проводимой так же, как
и в упражнении 1.
Сначала на груз С кладут, например, 1 г, а на груз С 3 г, что
дает fl = 2 Г. Определяют при таком расположении перегрузков
несколько значений St и tx (при различных положениях сплошной
платформы). После этого все 4 г накладывают на груз С, что дает
/2 = 4 Г (масса всей системы при этом останется неизменной), и
снова определяют несколько значений S2 и /2- Все выражения типа
-~~ должны быть примерно равны между собой и в данном частном
случае- близки к V2, что и является проверкой второго закона
Ньютона.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. I, § 16—23.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. XIII,
§89.
3 АДАЧА 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА
Введение. Периодом повторяющегося движения тела называется
время, необходимое для завершения одного полного цикла движе-
движения (период полного колебания).
Значения координат и скорости (по величине и направлению)
тела повторяются с тем же периодом. Удобно пользоваться време-
временем движения, равным половине полного периода (период простого
колебания). Период простого колебания часового маятника равен
одной секунде.
Каждое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра
тяжести, может колебаться и представляет собой физический маят-

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА 55
ник. Период простого колебания такого маятника определяется
с достаточной точностью выражением
где g— ускорение силы тяжести, а — угол отклонения маятника
от вертикали и / — приведенная длина физического маятника,
т. е. длина математического маятника с периодом колебаний, рав-
равным периоду данного физического маятника. Эта величина опре-
определяется соотношением
/ = — B)
где J — момент инерции физического маятника относительно оси
подвеса, т — масса маятника, а — расстояние между осью враще-
вращения и центром тяжести маятника.
Если а < 4°, то величиной -^-sin2 у можно пренебречь по срав-
сравнению с единицей и для величины g получаем выражение
§ = и2 -jY • C)
Для определения g необходимо, следовательно, измерение двух
величин: периода колебаний Т и приведенной длины /. Первая
величина определяется или непосредственным измерением, по се-
секундомеру, промежутка времени определенного числа A00—200)
колебаний маятника и делением этого промежутка на число коле-
колебаний или, лучше, по методу совпадения, описанному ниже. Что
касается величины /, то ее можно либо вычислить, зная размеры
и массу маятника, л^бо непосредственно определить, пользуясь
так называемым оборотным маятником.
Точное определение ускорения силы тяжести требует учета
многих обстоятельств, что приводит к. наличию и введению в расчет
многих поправок. Этими поправками учитываются влияния: вели-
величины амплитуды колебаний, окружающей атмосферы, температур-
температурных изменений, точности хода часов, закругления ребра опорной
призмы, качаний штатива и др.
Ниже описываются три различных способа определения ускоре-
ускорения силы тяжести, без указанных поправок.
Упражнение 1
Определение ускорения силы тяжести с помощью
секундного маятника
Принадлежности: 1) часы с секундным маятником, 2) секундомер,
3) железный шарик с петелькой, 4) подвес к нему, 5) линейка с двумя зеркаль-
зеркальными шкалами на концах, 6) штангенциркуль, 7) переносная лампа, 8) тонкая
нить, 9) оптическая труба, 10) электромагнит с ключом.

56
МЕХАНИКА
Описание прибора. Маятник, которым здесь пользуются, состоит
из железного шарика А (рис. 1) с крючком, подвешиваемого к под-
подвесу L на тонкой нити перед часами с секундным маятником. Подвес
состоит из стальной призмы р, укрепленной в верхней части кор-
корпуса часов; ребро призмы горизонтально.
На верхней площадке призмы находится стерженек с с отвер-
отверстием для закрепления нити, стерженек может вращаться' (для
наматывания нити) и закрепляться
зажимным винтом Ь. Перед маятни-
маятником на расстоянии около 1,5 м уста-
устанавливается оптическая труба так,
чтобы ось ее была перпендикулярна
к плоскости качания маятника.
Чтобы подвесить шарик, берут
нить достаточной длины (около 110 см)
и на одном конце ее делают петлю
для крючка шарика. Другой конец ни-
нити продевают в отверстие стерженька
Рис. I.
с и закрепляют его перекручиванием или завязав узлом, затем
навертывают нить на стерженек настолько, чтобы расстояние от
точки привеса (ребра призмы) до центра шарика было около
101—102 см.
В плоскости колебания маятника имеется электромагнит, к ко-
которому притягивается маятник, отклоненный из положения рав-
равновесия в начальный момент. Нажатием ключа цепь электромагнита
размыкается, маятник освобождается и совершает колебания.
Момент инерции физического маятника, имеющего форму шара,
подвешенного на длинной нити, определяется по формуле
/ =

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА 57
где т и а имеют прежние значения, г — радиус шара (массой нити
пренебрегают).
При длине нити около 100 см и радиусе шара 1 см величиной,
содержащей квадрат радиуса, можно, естественно, пренебречь, что
позволяет считать маятник математическим.
Приведенная длина в этом случае сводится к обычной длине,
т. е. к длине между точкой подвеса и центром шара.
Измерения. 1. Измерение длины маятника. Чтобы
измерить длину маятника, позади него подвешивают зеркальную
линейку и отсчитывают на ней положение ребра призмы, служащего
осью качания; для этого помещают глаз так, чтобы ребро призмы
и его изображение в зеркале лежали на одной прямой. Отсчет по-
положения точки подвеса на линейке производят с точностью до мил-
миллиметра на глаз. Точно так же отсчитывают положение верхнего
края шарика; последний отсчет можно дать посредством оптической
трубы, поместив ее на высоте верхнего края шарика. Из этих отсче-
отсчетов легко определить длину нити маятника, так как взаимное рас-
расстояние между нулевыми делениями на зеркальных шкалах дано.
Диаметр шарика измеряют штангенциркулем по трем взаимно-
перпендикулярным направлениям, берут из них среднее и опреде-
определяют его радиус. Длина маятника равна длине нити плюс радиус
шарика.
2. Измерение периода колебания маят-
маятника. Взяв в руки секундомер, смотрят в трубу и выжидают
момент, когда нить и черта на листе, наклеенном на маятнике
часов, проходят в поле зрения совпадая. В этот момент пускают
в ход секундомер. По прошествии некоторого времени маятники,
разойдясь сначала, снова начнут сближаться и наконец вновь сов-
совпадут, пройдя поле зрения одновременно в одном направлении.
В этот момент секундомер останавливают. Таким образом нахо-
находится промежуток времени между двумя последовательными сов-
совпадениями (п сек). За это время секундный маятник сделал п про-
простых колебаний, а исследуемый маятник, качающийся по предпо-
предположению медленнее, — (п — 2) простых колебаний; поэтому можно
написать
Тг (п — 2) = п • 1 сек,
где 7\ — искомый период колебаний. Из этой формулы имеем
Т1 = -^—^ • 1 сек.
Опыт повторяют три раза.
Укоротив маятник настолько, чтобы он качался быстрее секунд-
секундного (расстояние от точки привеса до центра шара около 98 см)у
измеряют длину его и снова производят три опыта, из которых

58 МЕХАНИКА
аналогично находят
сек.
Величину ускорения находят по формуле g = я2//?, подставляя
значения / и Т для обоих случаев отдельно. Определяют среднее
арифметическое значение величины ускорения из двух получен-
полученных величин.
. Упражнение 2
Определение ускорения силы тяжести оборотным маятником
(метод Бесселя)
Принадлежности: 1) маятник, 2) секундомер.
Теория. Применение оборотного маятника основано на свойстве
сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство за-
заключается в том, что во всяком физическом маятнике можно найти
такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника
за ту или другую из них период колебаний его остается одним и тем
же. Расстояние между этими точками определяет собой приведен-
приведенную длину данного маятника.
Если амплитуда колебаний маятника мала, то время одного
простого колебания его, т. е. период колебания, определяется фор-
формулой
По теореме о моментах инерции
J = J0 + ma\ , E)
где Jo — момент инерции относительно оси, проходящей через
центр тяжести и параллельной оси качаний, а величины /, т и а
те же, что в формуле B).
Из уравнений
+ mal
mgax * f mga2
имеем
Для величины ускорения из последней формулы после преоб-
преобразований получаем уравнение, данное Бесселем,
(Т\-ЦI
где / = ах + а2 — приведенная длина.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА 59
Если периоды равны между собой G\ = Т2 = Г), уравнение
примет вид C)
о /
1
В
^ Центр
тяжести
Добиться полного равенства периодов нелегко. Формула Бес-
Бесселя позволяет достаточно просто и с неменьшей степенью точности
определить величину ускорения при приближенном равенстве пе-
периодов колебаний.
Пусть 7\ и Т2 близки друг к другу, а
величины ах и а2 сильно отличаются одна
от другой (одна чечевица (груз) маятника
полая, другая сплошная). В этом случае,
как видно из формулы, нет необходимости
определять величины аг и а2 с большой сте-
степенью точности (не точнее, чем до 1 мм).
Описание прибора. Оборотные маятники
в зависимости от предъявляемых к ним
требованиям имеют самую различную фор-
форму. Они обычно состоят из металлического
стержня длиной свыше 1 м, на поверх-
поверхности которого нанесены миллиметровые
деления. По стержню могут передвигаться
и закрепляться в том или ином положе-
положении тяжелые и легкие чечевицы (грузы)
и опорные призмы. Различные комбина-
комбинации чечевиц и их положений на стержне с
опорными призмами дают различные типы
оборотных маятников.
В настоящей задаче применяется обо-
оборотный маятник, изображенный на рис. 2.
На металлическом стержне А опорные призмы В жестко закреп-
закреплены и не перемещаются. Жестко закреплена и чечевица С, находя-
находящаяся между ними. Вторая чечевица D находится на конце стержня
(не между призмами) и может перемещаться по шкале с нониусом
и закрепляться в нужном положении.
Расстояние между призмами постоянно, его значение выбито на
стержне.
Измерения. Пользуясь секундомером, определяют периоды ко-
колебаний маятника для различных положений чечевицы D на шкале.
Это следует проделать, перемещая чечевицу в пределах от 7 до 12 де-
делений (сантиметров) основной шкалы. В этом интервале необходимо
промерить периоды через каждые 5 миллиметров, т. е. получить
одиннадцать значений периодов. Каждый период определяется
дважды из 100 колебаний, каждый раз пользуются средним ариф-
арифметическим значением.
'кк^
Рис. 2.
6

60 МЕХАНИКА
Необходимо построить график зависимости периода колебаний
от положения чечевицы на стержне маятника, откладывая по оси
абсцисс деление шкалы, указывающее положение чечевицы, а по
оси ординат величину периода колебаний.
После этого ось вращения маятника изменяют, т. е. заставляют
маятник колебаться на другой опорной призме. Вновь, в тех же
пределах, с тем же числом измерений, совершенно так же измеряют
периоды колебаний. На той же миллиметровой бумаге полученные
данные также представляют в виде графика. Точка пересечения
кривых определяет местонахождение подвижной чечевицы, которое
дает наиболее близкие друг к другу значения периодов.
Для этого положения определяют периоды колебаний 7\ и Т2
(в прямом и перевернутом положении маятника) с наибольшей тща-
тщательностью. Определяют время 200 колебаний маятника не менее
трех раз, откуда вычисляют период колебаний. Совершенно так же
поступают и при определении второго периода (перевернутый маят-
маятник). Для определения величин ах и а2 маятник снимают с консоли
и осторожно кладут его стержнем на специальную подставку. На
подставке, которая имеет острую грань, маятник необходимо урав-
уравновесить. Расстояния от точки центра тяжести маятника, находя-
находящейся над гранью, до опорных призм дают величины аг и а2. Из-
Измерения их производятся масштабной линейкой с точностью до
миллиметра.
По полученным данным, пользуясь формулой Бесселя, опреде-
определяют величину ускорения силы тяжести.
Выполнение работы требует внимания и тщательности. Недо-
Недопустимы колебания маятника с углом отклонения больше, чем 49.
Упражнение 3
Определение g по кривой зависимости периода колебаний
от положения точки подвеса маятника-стержня
Принадлежности: 1) маятник, 2) секундомер, 3) металлическая линейка.
Теория. Маятник представляет собой металлический однород-
однородный стержень длиной более метра, диаметром 14 мм. На стержне
имеется шкала и передвижная, закрепляющаяся в любом месте
стержня, опорная призма.
В выражении для периода колебаний физического маятника
величина Jo (момент инерции относительно оси, проходящей через
центр тяжести) имеет вид
Jo = tnaly (8)
где т — масса тела, а0 — радиус инерции маятника.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА 61
Из уравнений G) и (8) получаем
" (9)
D о
-а-а
\
Из этого уравнения видно, что период колебаний физического
маятника равен бесконечности в двух случаях: при а = О и а = со.
График зависимости Т = ср (а)
между его предельными значе-
значениями состоит из двух ветвей,
падающей и нарастающей.
Каждой стороне от точки
центра тяжести стержня соот-
соответствует свой график, двум сто-
сторонам — два графика, симмет-
симметричных относительно середины
стержня (рис. 3).
Наименьшее значение вели-
величины периода колебаний полу-
получается при а = а0 (точки Л и В,
симметричные относительно цен-
центра тяжести маятника). В этом J
можно убедиться, если опреде- ™
лить минимальное значение
функции I = (аЬ + а?)/а, являю-
являющейся приведенной длиной ма-
маятника.
Для однородного стержня Уо = та\ =
стержня, L — его длина, а0 = -j=L— радиус инерции.
Пользуясь этим, находим, что точки с минимальным периодом
колебаний находятся от центра стержня на расстоянии а0 = 0,29L.
Равные периоды колебаний имеются при двух значениях a: at < Oq
(на падающей ветви — точки М, D), а2> а0 (на возрастающей
ветви — точки С, N).
Для этих точек
i
Рис.
L2
3.
где
т
а, см
— масса
что приводит к равенству а^ = аЬ. Пользуясь этим, для величины
приведенной длины маятника получаем

62 МЕХАНИКА
В маятнике может быть найдено большое число пар точек (асим-
(асимметричных относительно центра тяжести маятника), периоды коле-
колебаний вокруг которых равны между собой.
На рис. 3 такими точками ( с периодом колебаний Т) являются
точки С, Z), Af, N.
Приведенной длиной маятника, при этом периоде колебаний,
является длина прямых СМ или DN.
Любая другая прямая, параллельная оси абсцисс, дает также
две пары точек пересечения с двумя кривыми. Каждой прямой
будет соответствовать.другое значение величины периода колеба-
колебаний и другая величина приведенной длины маятника.
По графику можно, следовательно, определять и период коле-
колебаний 7\ и приведенную длину маятника /. Пользуясь таким гра-
графиком по формуле g2 = я2//Т2, можно определить ускорение силы
тяжести.
Измерения. Опорную призму укрепляют на конце маятника,
на крайнем делении шкалы. Ребром опорной призмы маятник поме-
помещают на подставку и приводят в колебание.
Амплитуда колебаний не должна превышать 4°.
С помощью секундомера определяют время десяти колебаний
маятника, откуда вычисляют величину периода колебаний. Совер-
Совершенно так же определяют величину периода, перемещая каждый
раз опорную призму на три сантиметра. Необходимо получить
значения не менее пятнадцати периодов.
По полученным данным строят график, откладывая по оси
абсцисс расстояние (в см), на котором находится от конца стержня
грань опорной призмы, по оси ординат — значение периода Т (в сек).
Для определения величины приведенной длины маятника нет
необходимости перевертывать маятник, измерять периоды вновь и
строить второй график. На уже построенном графике отмечают
середину стержня (длина его должна быть измерена масштабной
линейкой) и через эту отметку проводят прямую, параллельную оси
ординат (оси периодов).
Из соображений симметрии явствует, что приведенная длина
маятника для любого периода колебаний является суммой расстоя-
расстояний от проведенной -прямой до двух точек, лежащих на кривой
(/ = ОМ + ON = 0D + ОС).
Ускорение определяется по формуле g = n2l/T2 минимум для
трех значений приведенной длины и периода. За истинное значение
принимают среднее арифметическое.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XIV, § 123, 124.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. XIII,
§ 90, 91.

5. ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 63
ЗАДАЧА 5
ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ
Принадлежности: 1) аналитические весы, 2) разновес, 3) взвешивае-
взвешиваемое тело.
Описание весов. Речь идет о точных аналитических весах, т. е.
о таких, которые употребляются при химических анализах. Такие
весы заключены в ящик (с подъемными стеклянными станками для
доступа большого количества света), предохраняющий их от пыли
и воздушных токов (рис. 1). Весы состоят из равноплечего рычага
Рис. 1.
БВ, называемого коромыслом, опорою которого служит ребро сталь-
стальной закаленной призмы а, вставленной в середину коромысла пер-
перпендикулярно к его плоскости. Ребро призмы опирается на агато-
агатовую полированную пластинку (подушку), укрепленную наверху
колонки А. На концах коромысла, на равных расстояниях от сред-
средней призмы, имеются приспособления для подвешивания чашек СС>
обыкновенно — призмы bb. Ребра средних и крайних призм должны
быть параллельны между собой. Если на чашках нет грузов, то
коромысло должно устанавливаться горизонтально или почти го-
горизонтально. Для определения положения коромысла служит длин-
длинная стрелка /, прикрепленная к его середине перпендикулярно
к линии, соединяющей две крайние призмы. Конец стрелки дви-
движется перед шкалой S, находящейся у основания колонки., При

64 МЕХАНИКА
горизонтальном положении коромысла стрелка должна указывать
на среднее деление шкалы.
Основной величиной, характеризующей весы, является их чув-
чувствительность. Чувствительностью весов называется отношение
тангенса угла отклонения стрелки к весу того добавочного пере-
перегрузка р, который вызывает это отклонение, или пропорциональное
этой величине отношение числа делений, на которые перемещается
стрелка по шкале S, к тому же добавочному перегрузку р (обыкно-
(обыкновенно р = 1 мг)\ выражается она формулой
BЯ + р) L sin a + Kh '
где L — длина плеч коромысла, К — его вес, h — расстояние цен-
центра тяжести коромысла от нижнего ребра средней призмы, Р —
нагрузка весов, a — угол прогиба для прямолинейного рычага.
Из формулы видно, что чувствительность вообще
зависит от нагрузки, но если ребра всех трех призм
коромысла лежат в одной плоскости и прогибом плеч можно пре-
пренебречь, то чувствительность со будет постоянна и выразится фор-
формулой
¦-&•
В готовых весах мы можем изменять только величину Л, т. е.
перемещать центр тяжести коромысла кверху или книзу и изменять
таким образом чувствительность весов. Это достигается особыми
приспособлениями, различными на различных весах, состоящими
обычно из грузиков, перемещающихся в вертикальном направлении.
Чтобы не употреблять при взвешивании разновесок меньше
1 сГ, представляющих большое неудобство по своей малости, поль^
зуются так называемым рейтером, т. е. подвижным грузом, согну-
согнутым в виде крючка из тонкой проволоки, вес которого равен 1 сГ.
Рейтер насаживается верхом на одно из плеч коромысла, разделен-
разделенное на равные части. Обыкновенно каждое плечо коромысла разде-
разделено на десять равных частей. Если рейтер помещен на первое, вто-
второе, третье и т. д. деления плеча коромысла, считая от средней
призмы, то его действие равносильно действию положенного на
чашку груза в 1, 2, 3 и т. д. миллиграммов. Накладывание и сни-
снимание рейтера производятся при закрытых дверцах посредством
особого приспособления. Оно состоит из-латунного стержня Т
(рис. 1), проходящего сквозь боковую стенку ящика весов и переме-
перемещающегося параллельно коромыслу. Стержень может вращаться
около своей оси; на внешнем конце он снабжен головкой М, а на
внутреннем — боковым рычажком Р с выступающим штифтом; этот
последний вводится в ушко (петлю) рейтера и подхватывает его.

5. ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 65
Когда весы не находятся в работе, их необходимо арретиро-
вать; это производится действием особого приспособления внутри
колонки весов, при помощи которого коромысло и чашки несколько
приподнимаются кверху, вследствие чего их призмы освобождаются
от давления на Плоскость опоры и неизбежного при этом напрасного
изнашивания. Устройство арретиров у разных весов бывает раз-
различно. Обыкновенно арретирование и освобождение коромысла
производятся посредством головки V, помещающейся в нижней
части весов, вращением ее в ту или иную сторону.
Каждые весы рассчитаны на определенную предельную
нагрузку, которая обыкновенно указывается на самих весах
и переходить которую ни в коем случае не следует во.избежание
опасных для весов прогибов их коромысла. Соответственно
этому при каждых весах прилагается деревянный футляр с
полным ^набором необходимых разновесок до определенной вели-
величины.
Установка весов. Колонка весов должна быть уста-
установлена вертикально. Это проверяется по отвесу, помещенному
позади колонки; нить отвеса должна находиться точно в центре
маленького кольца, через которое она проходит. Добиваются этого
соответствующим вращением установочных винтов К (рис. 1). Если
колонка весов установлена вертикально, то конец стрелки J коро-
коромысла при ненагруженных и освобожденных весах должен ука-
указывать приблизительно на среднее деление шкалы S. Если это не
наблюдается, т. е. если конец стрелки J коромысла отклоняется
больше, чем на 2—3 деления от среднего, то весы можно исправить,
вращая в ту или другую сторону небольшие латунные грузы на
концах коромысла ВВ\ эта операция требует большой осторожности
и навыка.
При большом числе взвешиваний сказываются недостатки обыч-
обычных (описанных выше) аналитических весов, а именно длительность
взвешивания и утомляемость глаз работающего.
Для уменьшения времени движения коромысла весы снабжаются
успокоителем — демпфером. Он состоит из двух пар легких метал-
металлических стаканов, два из которых укреплены неподвижно на ко-
колонке весов, два подвешены к коромыслу. При движении коромысла
стаканы, прикрепленные к нему, движутся внутри неподвижных
стаканов. Сжатие воздуха в стаканах создает дополнитель-
дополнительное усилие, приводящее к уменьшению времени движения коро-
коромысла.
Для этой же цели и сохранения гирь от износа при взятии их
пинцетом применяется специальный механизм. Он состоит из двух
дисков (на общей оси), поворотом одного из них осуществляется
наложение на рейку, скрепленную с коромыслом весов, и удаление
с нее гирь в виде колец. Вес накладываемой (или убираемой) гирьки
отсчитывается по цифрам, нанесенным на диске.

66
МЕХАНИКА
Утомляемость зрения при отсчете делений шкалы почти устра-
устраняется специальным оптцческим приспособлением с ярко освещен-
освещенным экраном — вейтографом.
Освещение производится электрической лампочкой, включение
и выключение которой производится вращением ручки арретира.
На рис. 2 приведена фотография весов АДВ-200, снабженных демп-
демпфером, вейтографом и механизмом для наложения гирь-колец.
Рис. 2.
Правила обращения с весами. При обращении
с весами необходимо соблюдать следующие правила:
1. Пока весы не арретированы, нельзя класть на чашки или
снимать с них грузы (не следует даже прикасаться к чашкам),
нельзя производить перестановку рейтера на коромысле весов.
2. Грузы накладывать на чашки следует так, чтобы общий центр
тяжести грузов приходился по возможности на середину чашки.
3. Нельзя брать разновески руками; для этого служит пинцет;
мелкие разновески плоской формы (доли грамма) берут пинцетом
за загнутые уголки.

5. ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 67
4. Снимая разновески с весов, следует их класть непременно
в ящик, каждую на предназначенное ей место.
5. Не следует освобождать вполне коромысла, пока чашки еще
мало уравновешены; его освобождают лишь настолько, чтобы можно
было судить, которая из чашек легче, замечая, куда отклоняется
стрелка; после этого тотчас арретируют коромысло и прибавляют
или убавляют разновески. (При малой разнице между весами взве-
взвешиваемого тела и разновесок коромысло начинает уже маятнико-
образно качаться.)
6. Освобождать и арретировать коромысло следует всегда мед-
медленно и плавно; если весы качаются, то арретировать надо весьма
осторожно, в то время, когда стрелка проходит через положение
равновесия; иначе коромысло получает толчки.
7. Если чашки качаются маятникообразно, то их следует прежде
успокоить прикосновением листка .бумаги к их краю и уже только
после этого вполне освободить коромысло.
8. При наблюдении качания весов дверцы их должны быть не-
непременно закрыты.
9. Если по освобождении коромысла окажется, что амплитуда
колебания слишком мала (можно считать достаточной амплитуду
в 3—4 Деления в ту и другую сторону от середины шкалы), то, при-
приотворив немного дверцу, можно слегка махнуть перед весами рукой;
тогда струя воздуха обыкновенно сообщает коромыслу достаточную
амплитуду.
10. Не следует оставлять надолго грузы на чашках, в особен-
особенности, когда весы не арретированы. Когда взвешивание окончено,
весы надо арретировать, нагрузки снять и закрыть дверцы.
Измерения. Для того чтобы произвести точное взвешивание,
необходимо: 1) определить нулевую точку весов, 2) определить их
чувствительность, 3) произвести самое взвешивание и 4) ввести
поправки на кажущуюся потерю веса тела в воздухе.
Определение нулевой точки весов. Перед
началом каждого взвешивания необходимо определить положение
равновесия ненагруженных весов, т. е. то деление е0 шкалы, против
которого остановилась бы стрелка при отсутствии трения. Это де-
деление называют нулевой точкой или нулем весов. В целях исключе-
исключения влияния трения нулевая точка определяется по методу качаний.
При качании коромысла указатель весов колеблется подобно
маятнику. Положим, что при своем размахе влево конец указателя
доходит до черты аг шкалы, считая от ее крайней левой черты, а при
следующем размахе вправо он доходит до положения а2 шкалы.
Если бы указатель совершал одинаковой величины размахи в ту
и в другую сторону от своего положения равновесия, то оно опре-
определилось бы как полусумма величин аг и а2. В действительности
размахи указателя с течением времени уменьшаются: первый раз-
размах влево более следующего размаха вправо, в свою очередь этот
Г""

68 МЕХАНИКА
последний более следующего размаха влево и т. д., поэтому полу-
полусумма величин ах и а2 не дала бы истинного положения нуля весов.
Рассмотрим теперь три последовательных размаха указателя аъ
а2 и а3, из которых два, ах и а3, в левую сторону, а один, а2 —
в правую. Взяв полусумму величин ах и а3, мы получим число,
которое относительно а2 будет более удовлетворять усло-
условию равенства размахов в ту и другую сторону от положения рав-
равновесия, чем одно ах или а3. Следовательно, нуль весов, вычислен-
вычисленный как
будет уже ближе к действительному его положению.
Так как изменение амплитуды происходит не пропорционально
времени, а по экспоненциальному закону, то, взяв, например, пять
последовательных размахов — аъ а2, а3, а4 и а5, три, аъ а3, а5,
в одну сторону и два, а2 и а4, в другую, и выведя среднее из разма-
размахов в каждую сторону, мы, очевидно, найдем числа, еще более удов-
удовлетворяющие условию равенства размахов от положения равно-
равновесия в ту и другую сторону; нуль е0 весов, вычисленный как
е0 —
будет еще ближе к положению истинного равновесия.
В случае, если размахи а будут отсчитаны не от крайнего левого,
а от среднего деления шкалы, то само собой разумеется, что отсче-
отсчетам, произведенным в разные стороны, следует приписывать раз-
разные знаки; обычно отрицательными считают отсчеты, произведен-
произведенные в левую сторону.
Обыкновенно при определениях нуля весов ограничиваются
наблюдением пяти последовательных качаний. При записывании
наблюдаемых размахов левые размахи пишут в левом столбце,
правые — в правом. Всегда берется одним качанием более в ту
сторону, с которой начали наблюдения первого качания. Если по
освобождении арретира размахи колебаний весов очень малы, то
их увеличивают, производя над одной из чашек весов слабые взмахи
листом бумаги, после чего пропускают несколько колебаний весов
без наблюдения и затем уже начинают наблюдать. Части делений
шкалы при колебании указателя оцениваются на глаз до десятых
долей деления.
Одним определением нуля весов нельзя удовлетвориться, а надо
сделать еще по крайней мере два и взять за нуль весов среднее ариф-
арифметическое из всех определений. Зная точку нуля весов, можно
приступить к определению их чувствительности.

5. ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 69
При пользовании демпферными весами нулевая точка опреде-
определяется по шкале после их полной остановки. Следует проделать три
отсчета и взять из них среднее арифметическое. Каждый раз весы
арретируют, а затем медленно освобождают.
Определение чувствительности весов.
Если на одну чашку (правую) ненагруженных весов мы положим
разновеску 1 мГ, что достигается навешиванием рейтера на первое
деление коромысла (при арретированных весах), и определим теперь
из качаний положение равновесия (или остановку) весов так,
как мы только что определяли нуль весов, то получим уже не преж-
прежнее число, а несколько иное, например е, которое укажет нам на
перемещение положения равновесия весов на (е — е0) делений
шкалы. Абсолютная величина этого перемещения и будет выражать
чувствительность ненагруженных весов при перегрузке
в 1 мГ. Определив точку нуля весов и их чувствительность, при-
приступают к взвешиванию.
Взвешивание. Всегда можно путем последовательного
накладывания разновесок найти два числа, аи (а + 1) граммов,
между которыми будет заключаться вес взвешиваемого.тела, если
он целым числом граммов выражен быть не может. После этого
кладут разновески, вес которых выражается в дециграммах, потом —
в сантиграммах. Если вес тела целым числом сантиграммов выражен
быть не может, то переходят к нагрузке весов миллиграммами,
пользуясь рейтером. Передвигая его по коромыслу весов и ставя
на деления, отмеченные цифрами, мы можем найти такие два по-
последовательных деления, что помещение рейтера на одно из них
даст общую нагрузку, все еще меньшую веса тела, а помещение на
другое — большую.
Необходимо заметить, что при большой разнице в весе
тела и положенных разновесок перевес одной из чашек наблюдается
легко: коромысло весов при освобождении арретира тотчас накре-
накреняется в какую-нибудь сторону и не колеблется. При малой разнице
в весе коромысло продолжает колебаться, и если нельзя во время
качания заметить ясно, что размах указателя в одну сторону от
найденной нулевой точки весов больше, чем в другую, то необхо-
необходимо определить в таком случае из качаний точку равновесия
весов, т. е. то деление шкалы, на которое указывала бы при от-
отсутствии трения стрелка, когда прекратились бы колебания коро-
коромысла. Определение точки равновесия ведется точно так же, как
определение нуля весов. Прибегать к определению точки равновесия
непременно приходится при употреблении рейтера. Смотря по тому,
будет ли найденная точка равновесия весов лежать вправо или влево
от точки нуля весов, мы можем указать, какая чашка весов пере-
перевешивает.
Пусть мы нашли два таких положения рейтера, отличающихся
одно от другого на одно целое деление коромысла, т. е. 1 мГ на-

//"///I
е
0
70 МЕХАНИКА
грузки, для которых соответствующие точки равновесия будут
ег и e2i причем точка ег лежит правее найденного нуля весов, точка
е2 — левее (рис. 3). Если взвешиваемое тело лежит на левой чашке
весов, то очевидно, что нагрузка, соот-
соответствующая положению указателя весов
еъ меньше, чем вес тела, а нагрузка, вы-
вызывающая отклонение е2, — больше. Если
вес разновесок при положении равновесия
ех будет Р мГ, то, очевидно, для при-
приведения весов в нулевую точку е0 надо
Рис. 3. на правую чашку весов добавить еще
какие-то разновески, какие-то доли р мГ.
Предполагаем, что при малых углах отклонение указателя от
нулевой точки пропорционально нагрузке, вызывающей отклоне-
отклонение. Это предположение позволит вычислить величину р. Положе-
Положение^ отвечает разновесу Р мГ, положение е2 — разновесу Р + 1 мГ\
следовательно, отклонение ег — е2 отвечает разновесу в 1 мГ.
Величина ег — е2, очевидно, будет чувствительностью нагруженных
весов. Нам,необходимо вычислить ту добавочную нагрузку р, кото-
которая наклонила бы коромысло весов и перевела связанный с ним
указатель из положения ег в положение е0, т. е. сместила его на
ei — ^о делений. Если 1 мГ вызывает отклонение на ех — е2 делений,
то р мГ вызовут отклонение на ех — е0 делений, откуда
и видимый вес тела
Q-P + P.
Таким образом производится на точных весах взвешивание до деся-
десятых долей миллиграмма.
Если бы чувствительность весов была постоянна при всякой
нагрузке, то не нужно было бы добиваться, как мы это только что
делали, определения двух положений равновесия по обе стороны
нуля весов. Достаточно было бы определить какое-нибудь одно по-
положение равновесия и вычислить нужное для равновесия число мил-
миллиграммов. Но так как чувствительность с нагрузкой меняется, то
определенная перед началом взвешивания чувствительность нена-
груженных весов будет нам только помогать скорее опре-
определить, какие приблизительно надо прибавить разновески к уже
положенным, чтобы скорее найти оба положения равновесия.
Если весы не имеют рейтера, то взвешивание с точностью до
долей миллиграмма можно произвести следующим образом. Пусть
на правую чашку наложено столько разновеса, что весы находятся

5. ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 71
почти в равновесии, так что при освобождении коромысла стрелка
не слишком удаляется от среднего деления шкалы. Допустим, что
правая чашка еще немного легче левой. Определяем положение рав-
равновесия совершенно так же, как определяли нулевую точку. Обо-
Обозначим найденное таким образом положение равновесия по-преж-
по-прежнему через еъ а положение нулевой точки — через е0. Теперь при-
прибавляем на правую чашку 1 сГ и снова определяем положение рав-
равновесия, которое обозначим через е2. Следует делать так, чтобы ех
и е2 лежали по разные стороны е0, т. е. чтобы было : ех > е0 > е2.
Очевидно, что (ег — е2) есть чувствительность весов на 1 сГ добавоч-
добавочной нагрузки. Вновь предполагая, что перемещение стрелки пропор-
пропорционально добавочному грузу, вычисляем совершенно так же, как
и в предыдущем случае, величину той нагрузки в миллиграммах,
которая привела бы весы из положения ех к их нулевой точке е0,
пользуясь той же формулой. Следует только помнить, что величина
(ei — еъ) в данном случае обозначает чувствительность 1 сГ, по-
поэтому, переходя к миллиграммам, необходимо ввести множитель 10.
После окончания взвешивания необходимо вновь определить
нулевую точку весов и при вычислении р пользоваться ее средним
арифметическим.
Взвешивание необходимо произвести на правой и левой чашках
весов (см. ниже: метод двойного взвешивания).
Поправки на кажущуюся потерю веса те-
тела в воздухе. При взвешивании в воздухе согласно закону
Архимеда на тело действует выталкивающая сила, равная весу
вытесненного им воздуха, вследствие чего тело как бы теряет в весе.
Чтобы получить истинный вес тела, поступают следующим образом.
Пусть V будет объем взвешиваемого тела в кубических санти-
сантиметрах, v — объем разновесок, к — вес 1 см3 воздуха в граммах
(при температуре и давлении атмосферы, существующих во время
взвешивания). При взвешивании в воздухе тело как бы теряет
VX граммов, а разновески — vX граммов. Пусть Р — истинный
вес тела, ар — истинный вес разновесок, отмеченный на них циф-
цифрами. Тогда при равновесии в воздухе
или
Пусть D есть истинный вес 1 см3 взвешиваемого тела (численно
равный плотности), ad — такая же величина для разновесок;
тогда имеем
= P и vd = p.
Подставляя найденные из этих соотношений значения V и v в

72 МЕХАНИКА
предыдущее уравнение, получаем
откуда, решая относительно Р, находим
Производя деление числителя на знаменатель по правилам деления
многочленов, получим
1 —(A./D) d ^ D dD "^ D2
Так как величины X/d и AVD всегда весьма малы, то можно отбро-
отбросить все члены, начиная с X2/dD и дальше, и тогда последнее урав-
уравнение примет вид
Величина X зависит от давления, температуры и влажности воз-
воздуха, но обыкновенно ее считают постоянной и равной 0,0012 г/см?,
такая точность в большинстве случаев бывает достаточна. Разно-
Разновески приготовляются обыкновенно из латуни, для которой d =
= 8,4 г/см3. Подставляя величины d и X в уравнение A), получаем
Р = р + р-0,0012 (-1-0,12),
где р обозначает неисправленный вес тела, т. е. полученный непо-
непосредственно из взвешивания, и Р — его истинный вес, т. е. вес,
приведенный к пустоте.
Особые методы взвешивания. Все сказанное выше относится
к простому взвешиванию, т. е. такому, которое дает число, точное
в пределах чувствительности и постоянства весов, когда длины
обоих плеч коромысла одинаковы. Если длины плеч различны, то
вес разновесок, помещенных на одной чашке весов, не будет выра-
выражать собою веса взвешиваемого тела, помещенного на другой чашке.
В последнем случае употребляются другие методы взвешивания,
в частных подробностях вполне схожие с простым взвешиванием;
таких методов известно три: 1) метод двойного взвешивания, 2) ме-
метод тарирования и 3) метод постоянной нагрузки.
I. Метод двойного взвешивания (Гаусса). При
этом методе неравенство плеч коромысла нисколько не влияет на
полученный результат взвешивания.
Обозначим длины правого и левого плеч коромысла соответ-
соответственно через /х и /2. Кладем взвешиваемое тело на левую чашку
и уравновешиваем его на правой чашке со всей возможной точностью

5. ТОЧНОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 73
весом разновесок рь производя взвешивание по всем правилам,
сообщенным выше. Вследствие неравенства плеч вес тела Р не будет
равен pv На основании теоремы о моментах сил, приложенных
к точкам подвеса чашек, имеем
Р12 = рЛ.
Производим новое взвешивание, причем кладем тело Р на правую
чашку, а разновески — на левую. Вес последних, необходимый для
уравновешивания тела Р, пусть будет р2. По теореме моментов сил
имеем в этом случае
Р/х = р2/2.
Из последних уравнений находим
Вес тела равен корню квадратному из произведения обоих весов
разновесок. Из тех же уравнений можно найти отношение длин
плеч коромысла
А =
к
Но так как величины рх и р2 очень мало отличаются друг от друга,
то, пользуясь формулой бинома Ньютона, можно положить
. C)
Этот метод взвешивания необходимо применять при проверке раз-
разновесок. В таблице приведены допустимые погрешности при из-
изготовлении гирь для весов разного разряда (см. стр. 74).
II. Метод тарирования (Борда). На правую чашку
весов помещают взвешиваемое тело, а на левую кладут тару (тарой
называется предмет, имеющий одинаковый вес со взвешиваемым
телом; в качестве тары часто пользуются мелкой дробью) и при-
прибавляют к этой таре для окончательного уравновешивания кусочки
листового олова до тех пор, пока положение равновесия, найденное
из качаний коромысла, не будет одинаково с определенным перед
началом взвешивания нулем весов. После этого снимают тело и на
его место кладут такое количество гирь, какое необходимо для урав-
уравновешивания тары, что снова определяется из качаний весов. Вес
гирь будет равен в таком случае весу тела. При этом методе взве-
взвешивания влияние неравенства плеч коромысла на результат взве-
взвешивания будет устранено, а точность взвешивания будет лежать
в пределах чувствительности весов.

74
МЕХАНИКА
Допустимые погрешности для гирь, мг
Масса
гирь
2
500
200
100
50
20
10
5
2
1
мг
500
200
100
50
20
10
5
2
1
Прим
пустимых г
Образцовые
гири первого
разряда
допустимая
погрешность
+5
+2
+1
+1
+1
+0,5
+0,5
+0,5
+0,5
±0,4
-4-0,4
±0,4
-|-0,4
н-0,2
±0,2
-4-0,1
+-0,1
±0,1
е ч а н и е. 1
югрешностей
погрешность
определения
В
1,0
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,01
0,01
0,01
0,01
Логрешности
Аналитические гири
допустимая
погрешность
мг
—
—
+1
+1
+1
+0,6
+0,6
-+0,6
+0,6
4-0,3
-4-0,3
-4-0,3
±0,3
±0,2
-*-0,2
±0,1
±0,1
±0,1
рейтеров не
погрешность
определения
—
—
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,05
0,05
0,03
0,03
0,02
0,02
0,02
Технические
гири первого
класса
+ 10
+4
+з
+3
+2
+2
+2
+ 1
+ 1
-4-0,5
-4-0,5
±0,5
-4-0,5
-4-0,5
-4-0,5
н-0,5
-4-0,2
-4-0,1
должны превышать до-
для гирь той же номинальной массы.
массе одноименных рейтеров из одного набора не должна
0,1 мг.
Разность в
превышать
III. Метод постоянной нагрузки (Менделеева).
При этом методе на левую чашку весов кладется гиря предельного
веса, указанного для взвешивания на данных весах, а на правую
чашку — тара, точно уравновешивающая эту гирю. Равновесия
стараются достигнуть с возможной тщательностью.
Когда приходится взвешивать, то взвешиваемое тело помещают
на левую чашку и на эту чашку кладут разновески до тех пор, пока
не уравновесят тары, лежащей на правой чашке. Вес тела и разно-
разновесок, положенных для равновесия на левую чашку, будет равен
весу той гири, которая первоначально лежала на ней; следовательно,
вес тела равен весу гири без веса тех разновесок, которые были
положены для уравновешивания. Кроме постоянства чувствитель-
чувствительности х) этот способ имеет еще следующие выгоды: он требует каждый
1) Нагрузка весов остается все время постоянной, а следовательно, постоян-
постоянной остается и чувствительность весов.

6. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ 75
раз только одного взвешивания, следовательно, сокращает время
и уменьшает погрешность, могущую происходить от многократного
взвешивания.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. IV,
§ 41; гл. XIII, § 93.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. Н. М. Рудо, Весы, теория, устройство, регулировка и проверка. Маш-
гиз, 1957.
3. Н. М. Рудо, Точное взвешивание, Машгиз, 1945.
ЗАДАЧА6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПИКНОМЕТРОМ
И ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ВЗВЕШИВАНИЕМ
Плотностью называется масса, заключенная в единице объема
какого-либо тела, поэтому определение плотности сводится к опре-
определению массы тел а и его объема. Определение массы тела может
быть произведено путем его взвешивания *), т. е. путем сравнения
с массой разновесок известной величины. Непосредственное изме-
измерение объема тела, если оно ограничено сложной поверхностью,
затруднительно, поэтому поступают так: тело взвешивают в воде и,
пользуясь законом Архимеда, определяют массу воды, вытесненную
телом; зная плотность воды, вычислением находят объем. Плот-
Плотность воды соответствующей температуры берется из табличных
данных.
С понятием плотности тела не следует смешивать понятие удель-
удельного веса тела. Удельным весом называется вес единицы объема тела.
Легко видеть, что удельный вес d и плотность р любого тела свя-
связаны между собой соотношением
где g — ускорение силы тяжести, т. е. между удельным весом и
плотностью имеется та же самая связь, что и между весом и массой
тела. Если численные значения удельного веса выражать в Г/см3,
а плотность выражать в г/см3у то удельный вес тела будет численно
равен его плотности.
г) Конечно, только в том случае, если взвешивание производится в пустоте
или если введена соответствующая поправка на кажущуюся потерю веса тела
в воздухе.

76 МЕХАНИКА
Упражнение 1
Определение плотности твердого тела при помощи пикнометра
Принадлежности: 1) аналитические весы, 2) разновес, 3) пикнометр,
4) известковый шпат или другое твердое тело, 5) сосуд с дистиллированной водой
комнатной температуры, 6) термометр, 7) фильтровальная бумага.
Описание прибора. Описание весов — см. задачу 5; описание
пикнометров — см. задачу 7 (из указанных в этой задаче пикномет-
пикнометров для определения плотности твердых тел применимы пикно-
пикнометры первого и третьего типов).
Измерения. 1. Определяют массу т (без поправки на
кажущуюся потерю веса в воздухе) возможно большего числа ку-
кусочков исследуемого твердого тела (известкового шпата), предвари-
предварительно убедившись, что все они проходят через горлышко пикно-
пикнометра.
2. Наполнив пикнометр дистиллированной водой комнатной
температуры, определяют массу М пикнометра
с водой.
3. Высыпают кусочки твердого тела в пикнометр, отбирают изли-
излишек воды (при помощи фильтровальной бумаги) иопределяют
массу Мо пикнометра с остатком воды и твер-
твердым телом. При этом следует обратить особое внимание на
то, чтобы на кусочках не оставались пузырьки воздуха. Наличие
последних ввиду малости самих кусочков может весьма значительно
исказить результат.
Взвешивание производится по всем правилам точного взвеши-
взвешивания (см. задачу 5).
Вычисления. Непоправленная плотность, т. е. плотность, опре-
определенная без учета потери веса при взвешивании в воздухе, будет
HI с
О, = -г-. U : О,
где 6 — плотность воды при температуре опыта (берется из таблиц
в конце книги).
Для получения исправленной плотности проведем следующие
рассуждения. Введем обозначения: v — суммарный объем кусоч-
кусочков испытуемого тела, р — их истинная плотность, X — плотность
воздуха, которая принимается равной 0,0012 г/смг, А — плотность
вещества разновесок. Тогда vp будет истинная масса кусочков испы-
испытуемого тела, v8 — истинная масса вытесненной ими воды, vX —
масса воздуха, вытесненного кусочками и водой, -^-Х—масса воз-
воздуха, вытесненного разновесками, уравновешивающими кусоч-
М — Мр + т ^ — масса воздуха, вытесненного разновесками,
ЛИ, д

6. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ВЗВЕШИВАНИЕ . 77
уравновешивающими воду. Отсюда
vp — va = m — -г- л
ИЛИ
A)
Для воды соответственно имеем
vF -К) = (М-Мо + m) (l -A). B)
Деля почленно равенство A) на B), получим
р —А, _ m
б — X М — Мо + ^*
откуда
Упражнение 2
Определение плотности твердого тела гидростатическим
взвешиванием
Принадлежности: 1) точные весы, 2) разновес, 3) скамеечка к весам,
4) твердое тело, плотность которого определяется, 5) стеклянный цилиндр, 6) тон-
тонкая проволока.
Описание весов см. в задаче 5.
Измерения. Взвешивают исследуемое тело в воздухе с точностью
до 1 мГ (см. задачу 5), а потом, подвесив его на тонкой проволоке
надлежащей длины на крючок левой чашки весов, опять уравнове-
уравновешивают гирями. Обозначим неисправленное значение массы иссле-
исследуемого тела через т, а через т1 — его массу вместе с проволокой.
Ставя затем на треножник над чашкой весов (см. рис. 2, стр. 81)
стакан с достаточным количеством дистиллированной воды, при
арретированных весах погружают в него испытуемое тело. При этом
наблюдают, во-первых, чтобы тело не касалось стенок и дна стакана,
во-вторых, чтобы через поверхность воды проходила только одна
неперекрученная (для уменьшения капиллярного действия) прово-
проволока и, наконец, чтобы не было на поверхности тела прилипших
пузырьков воздуха. Сняв часть гирек с другой чашки весов, при-
приводят весы в равновесие. Пусть кажущаяся масса тела с проволокой
при погружении в воду будет т2. Таким образом, масса вытесненной
телом воды
W = т1 — т2;

78 МЕХАНИКА
тогда непоправленная плотность тела будет равна
Pi = W 8'
Вычисления. Полученная плотность должна быть исправлена,
так как не принята в расчет кажущаяся потеря веса тела и воды
в воздухе. Если при температуре взвешивания плотность воды
равна б, плотность воздуха — Я, то, очевидно, для исправленной
величины плотности р тела следует написать, что
где V есть объем тела, равный объему вытесненной им воды. Вели-
Величина этого объема определится из уравнения
W = VF — X).
Таким образом, поправленная плотность р тела равна
E)
Поправкой на потерю веса проволоки в воде ввиду ее малости можно
пренебречь.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
См. литературу к задаче 5.
ЗАДАЧА 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ ПИКНОМЕТРОМ
И ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ВЗВЕШИВАНИЕМ
Упражнение 1
Определение плотности жидкости при помощи пикнометра
Принадлежности: 1) аналитические весы, 2) разновес, 3) пикнометр,
4) сосуд с испытуемой жидкостью, 5) сосуд с дистиллированной водой, 6) сосуд
с водой комнатной температуры, 7) термометр, 8) фильтровальная бумага.
Описание прибора. Описание весов см. в задаче 5.
Пикнометр в принципе представляет собой сосуд вполне опре-
определенного неизменного объема. Наполняя его последовательно йс-

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ ПИКНОМЕТРОМ
79
следуемой жидкостью и водой и взвешивая, можно определить
плотность жидкости. Действительно, пусть непоправленное на по-
потерю веса в воздухе значение массы пикнометра с жидкостью будет
Р, масса его с водою Q и масса самого пикнометра — р. Тогда масса
жидкости, заключенной в пикнометре, будет Р — р, а масса воды
Q — р. Плотность же (непоправленная) вследствие равенства объ-
объемов будет равна
Пикнометры, изготовляющиеся почти исключительно из стекла
(вследствие его малой химической активности), имеют весьма раз-
разнообразные формы; не-
некоторые из них изобра-
изображены на рис. 1.
Наиболее простым - ас
является пикнометр пер-
первой формы, наполнение
которого до верхнего
края горлышка произ-
производится с помощью пи-
пипетки. Горлышко затем
закрывается пришлифо-
пришлифованной пробкой, имею-
имеющей узкий канал, через
который излишняя жид-
жидкость сама вытекает. При наполнении нужно следить за тем, чтобы
внутри пикнометра не оставалось пузырьков воздуха, для чего лучше
всего заставлять жидкость стекать в пикнометр по его стенкам. После
этого пикнометр должен быть тщательно высушен снаружи при
помощи фильтровальной бумаги; при этом особое внимание следует
обратить на то, чтобы удалить всю жидкость из зазора между гор-
горлышком и пробкой. Возможность испарения жидкости через от-
открытый конец канала является до некоторой степени недостатком
этой формы пикнометра. Для устранения этого иногда на пробке
пикнометра, приблизительно посредине, наносят метку, на уровне
которой должна устанавливаться жидкость. Но добиться этого до-
довольно затруднительно.
Гораздо удобнее пикнометр второй формы. Удобство заключается
в особой простоте его наполнения, которое производится путем
всасывания жидкости через узкий конец трубки а до метки с в
трубке Ь. Если будет набрано слишком много жидкости, то изли-
излишек удаляется прикладыванием к отверстию трубки а кусочка филь-
фильтровальной бумаги; если слишком мало, то подносят к этому же
отверстию а на кончике стеклянной палочки каплю жидкости;
капиллярные силы сами втягивают ее внутрь.

80 МЕХАНИКА
Однако оба эти типа пикнометров обладают тем общим недо-
недостатком, что объем их зависит вследствие расширения стекла от
температуры. Ошибка, возникающая при этом, может быть устра-
устранена, если пикнометры перед взвешиванием поместить на некоторое
время (минут на 10—20 в зависимости от объема) в стакан воды
комнатной температуры и после этого пополнить или убавить коли-
количество жидкости в зависимости от изменения объема.
Наиболее совершенной является третья форма пикнометров.
Наличие пробки, закрывающей узкое горло сосуда, и термометра,
позволяющего учитывать изменение его объема, устраняет недо-
недостатки, присущие первым двум формам.
Измерения. 1. Определяют непоправленное значение массы Р
высушенного внутри и снаружи пикнометра (просушивание произ-
производится либо продуванием струи гррячего воздуха, либо нагрева-
нагреванием всего пикнометра в сушильном шкафу).
2. Определяют массу Q пикнометра, наполненного дистиллиро-
дистиллированной водой.
3. Определяют массу Р пикнометра, наполненного исследуемой
жидкостью.
Взвешивания производятся по всем правилам точногб взвеши-
взвешивания (см. задачу 5), причем достаточно производить их лишь на
одной чашке весов.
Вычисления. Приведенная выше формула A), примененная
к полученным данным, даст так называемую непоправленную плот-
плотность жидкости, так как в ней не учитываются потери веса в воздухе.
Выведем точную формулу, учитывающую это обстоятельство.
Обозначим через v внутренний объем пикнометра (его емкость)
при температуре опыта, б — плотность воды при той же температуре
(находится из таблиц), р — истинную плотность исследуемой жид-
жидкости, X — плотность воздуха, которая принимается равной
0,0012 г/см3, А — плотность разновесок; тогда vp будет истинная
масса жидкости, заключенной в пикнометре, v6 — истинная масса
воды в том же объеме, vk — масса воздуха, вытесняемого жидко-
жидкостью и водой, Р~р к (или —г1^- М — масса воздуха, вытесняемого
разновесками, уравновешивающими жидкость. На основании факта
равновесия имеем
ф — оХ^Р — Р — -^-^
или х
Для воды же соответственно

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЖИДКОСТЕЙ ПИКНОМЕТРОМ
Деля почленно равенства B) и C), получим
81
6 —A, Q — P1
откуда
D)
Упражнение 2
Определение плотности жидкости гидростатическим взвешиванием
Принадлежности: 1) точные весы, 2) разновес, 3) стеклянный запаян-
запаянный баллончик, 4) металлический треножник, 5) два стакана, 6) сосуд с исследуе-
исследуемой жидкостью, 7) тонкая проволока.
Описание весов см. в задаче 5.
Измерения. 1. Подвешивают баллончик на тонкой проволоке
на крючок одной из чашек весов (рис. 2) и уравновешивают его
разновесками на другой чашке с точностью
до 1 мг.
2. Ставят над чашкой весов на тренож-
треножник стакан с дистиллированной водой и
погружают баллончик в воду, наблюдая,
чтобы он не касался ни дна, ни стенок ста-
стакана, чтобы к нему не прилипли, особенно
в ушке, пузырьки воздуха и чтобы через
поверхность воды проходила только одна
неперекрученная проволока. Уравновеши-
Уравновешивают весы и отсюда находят непоправлен-
ное значение массы вытесненной воды р.
3. Удалив стакан с водою, осушают
баллончик фильтровальной бумагой, ста-
ставят на место воды стакан с испытуемой
жидкостью, погружают в него баллончик *
и опять уравновешивают весы. Пусть не- *
поправленное значение массы вытеснен-
вытесненной жидкости будет q. Отсюда находят непоправленную плот-
плотность ее q8/p.
Вычисления. Обозначим через v объем баллончика, через 6 —
плотность воды во время опыта (температура ее должна быть от-
отмечена) и через X — плотность воздуха. Объем баллончика, равный
объему вытесненной им воды, определится из равенства
Рис. 2.
Исправленная величина плотности

82 МЕХАНИКА
откуда, подставив значение v, найдем, что исправленная плотность
жидкости выразится так:
р = ±(Ъ-Х) + Х. E)
Величина б находится из таблиц, К можно принять равной
0,0012 г/см3. Поправкой на потерю веса проволоки в.жидкости
ввиду ее малости можно пренебречь.
Если известен коэффициент расширения жидкости, то можно
вычислить ее плотность при 0° С.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
См. литературу к задаче 5.
ЗАДАЧА 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗ РАСТЯЖЕНИЯ И ИЗГИБА
Введение. Рассмотрим деформации, встречающиеся в настоящей
работе.
1. Растяжение. Под влиянием груза Р проволока или
стержень длиною L и поперечного сечения S растягивается (или
укорачивается) на величину AL. По закону Гука
где a — коэффициент упругости при растяжении (сжатии), или
коэффициент продольного удлинения (сжатия). Модуль упругости
при растяжении, или модуль Юнга, равен
2. Изгиб. Если прямой упругий стержень неподвижно за-
закрепить одним концом в твердой стене, а другой конец нагрузить
грузом Р, то этот конец опустится, т. е. стержень согнется. Легко
понять, что при таком изгибе верхние слои стержня будут растя-
растягиваться, нижние — сжиматься, а некоторый средний слой, кото-
который называют нейтральным слоем, сохранит длину и только пре-
претерпит искривление.
Перемещение К, которое получает свободный конец стержня,
называется стрелой прогиба. Стрела прогиба будет тем больше, чем
больше нагрузка, и, кроме того, она должна зависеть от формы и
размеров стержня и от его модуля упругости. Для стержня длины Ly

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗ РАСТЯЖЕНИЯ И ИЗГИБА 83
ширины а и высоты Ъ стрела прогиба выражается формулой (см.
литературу)
* 4PZ.»
л F
где Е — модуль Юнга материала стержня, а Р — нагрузка, при-
приложенная к незакрепленному концу стержня. В случае если стер-
стержень будет обоими концами свободно положен на твердые
опоры и нагружен в середине весом Р (см. рис. 2), то стрела про-
прогиба найдется также из уравнения C), но только вместо величины Р
надо будет подставить Р/2, а вместо L — подставить L/2. В самом
деле, в этом случае изгиба каждая из опор оказывает на стержень
противодействие, равное Р/2, тогда как средняя часть остается го-
горизонтальной. Таким образом, стержень, опирающийся обоими
концами, ведет себя точно так же, как если бы он был закреплен
посередине, а на каждый из обоих концов, находящихся на расстоя-
расстоянии L/2 от середины его, действовала бы вверх сила Р/2. Следова-
Следовательно, в этом случае стрела прогиба будет равна
« PL*
л —
откуда
PL3
Е =
Упражнение 1
Определение модуля упругости из растяжения
Принадлежности: 1) прибор, 2) линейка, 3) зрительная труба, 4) мик-
микрометр.
Описание прибора. Прибор состоит из двух кронштейнов А и В
(рис. 1), расположенных один над другим и служащих для укреп-
укрепления проволоки из исследуемого материала. При нагрузке, осу-
осуществляемой грузами РР, проволока удлиняется и стержень г,
несущий зеркальце М и опирающийся на цилиндр d, вращается
вокруг оси О.
При удлинении проволоки на Л/ зеркальце повернется на угол а
и будет иметь место соотношение
, А/
*8а
где Ь — длина стержня г. Изменение положения зеркальца может
фиксироваться по шкале S, изображение которой рассматривают
? зеркальце через трубу R> имеющую в окуляре крест нитей или

МЕХАНИКА
одну горизонтальную нить. Если An — разность делений шкалы
при повороте зеркальца на угол a, a D — расстояние от зеркала
до шкалы, то можно
п написать
I
¦
м
V
\
—С
Так как величина А/
очень мала, то очень
мал и угол а; и tg 2а =
= 2tgа. Сопоставлением
полученных формул по-
получаем
Ы=2ОЬ' E)
Нижний кронштейн
^5 В имеет арретир /, поль-
$а зуясь которым, вверты-
~Ц вая винт с, можно ос-
^ ZD вобождать проволоку
R ТЦ от нагрузки. Грузы,
Ц . необходимые для на-
^ грузки проволоки, бе-
берут с особого подвеса,
укрепленного на верх-
верхнем кронштейне; при
снятии нагрузки грузы
укладывают на подвес.
Этим достигается посто-
постоянство нагрузки на верх-
верхний кронштейн и тем
самым — постоянство
прогиба последнего. На-
Нагрузку проволоки и сня-
снятие нагрузки нужно
всегда производить при
поднятом арретире.
Измерения. Длина
проволоки / измеряется
линейкой при опущен-
опущенном арретире, а ее диа-
диаметр, необходимый для
определения сечения S, — микрометром. Измерение диаметра
проволоки следует проделать несколько раз в разных местах и из
полученных значений взять среднее арифметическое.
т
Рис. 1.

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ИЗ РАСТЯЖЕНИЯ И ИЗГИБА 85
Сначала проволоку нагружают половиной имеющихся грузов,
находят в трубе изображение шкалы, фокусируют трубу, а шкалу
устанавливают так, чтобы была видна ее середина. Затем измеряют
линейкой расстояние D между зеркалом и шкалой (и уже больше
не сдвигают ни шкалу, ни трубу). После этого, подняв арретир,
снимают все грузы, и опустив арретир, отмена от нулевую точку на
шкале.
Последовательно нагружая проволоку грузами один за другим
(на каждом из них указан его вес), произзодят отсчеты делений шка-
шкалы, наблюдаемых в трубу, и заключают, на сколько делений пере-
перемещается изображение шкалы. Так проделывают для всех грузов,
снимая их с подвеса, а после этого так же последовательно идут
в обратном порядке, снимая грузы и перекладывая их на подвес.
Если нулевая точка не совпадает с прежней, берут среднее
значение из двух показаний; так же поступают с каждыми двумя
отсчетами, получаемыми при одинаковых нагрузках.
Необходимо построить график изменения удлинения проволоки
с изменением величины нагрузки и убедиться, что имеет место
линейная зависимость (закон Гука).
Произведенные измерения дают возможность определить удли-
удлинение проволоки А/ по формуле E) (величина Ь дается как постоян-
постоянная прибора) и затем величину модуля упругости по формуле B)
для каждой нагрузки. Истинное значение Е получается как среднее
арифметическое из отдельных значений (Е выражается в кГ/мм2).
Упражнение 2
Определение модуля упругости из изгиба
Принадлежности: 1) прибор для определения модуля упругости из
изгиба, к нему набор стержней с прямоугольным сечением, 2) микроскоп для
измерения вертикальных расстояний, 3) штангенциркуль, 4) линейка со шкалой.
Описание прибора. Прибор для определения модуля упругости
из изгиба состоит из массивной платформы ss' (рис. 2) с двумя стой-
стойками на концах. На стойках укреплены стальные призмы так, что
ребра их параллельны между собою.
Микроскоп для измерения вертикальных расстояний состоит
из раздвижной стойки, основанием которой служит треножник
с установочными винтами. Наверху стойки укреплен в горизонталь-
горизонтальном положении микроскоп, снабженный окулярным микромет-
микрометром и свободно вращающийся около вертикальной оси. Стойка
имеет деления и раздвигается при помощи кремальеры. При грубых
измерениях и измерениях таких расстояний, которые не помещаются
в пределах окулярного микрометра, пользуются шкалой на стойке.
При измерении малых расстояний пользуются одним окулярным
микрометром;

86
МЕХАНИКА
В
Д
Рис. 2.
Измерения. На призмы прибора накладывают стержень из
исследуемого материала так, чтобы середина его С совпала с сере-
серединой расстояния между А и В (рис. 2). В точке С на стержень под-
подвешивают стремя для накладывания
грузов.
. На конец вертикального заост-
заостренного штифта, укрепленного на
стремени, направляют микроскоп,
установленный предварительно гори-
горизонтально при помощи установочных
винтов и уровня. Определяют цену
одного деления окулярного микро-
микрометра. Для этого приводят нулевое
деление микрометра в совпадение с
концом штифта и замечают положе-
положение указателя на стойке микроскопа.
Затем, перемещая микроскоп при по-
помощи кремальеры, приводят послед-
последнее деление микрометра в совпадение
с рассматриваемым концом штифта
D и замечают перемещение указателя по шкале стойки. Отсюда
вычисляют цену одного деления микрометра.
После этого нагружают стремя последовательно грузами в 1, 2
и 3 кГ и каждый раз отсчитывают, на сколько делений прогибается
стержень. Затем проделывают ту же операцию в обратном порядке,
т. е. разгружают постепенно стержень, отмечая всякий раз прогиб
его. Перемещение (прогиб) се' середины стержня и есть стрела его
прогиба. Зная цену одного деления микрометра, можно выразить
стрелу прогиба в миллиметрах. Необходимо построить график
изменения величины стрелы прогиба с изменением нагрузки и
убедиться, что имеет место линейная зависимость (закон Гука).
Наконец, измеряют длину стержня L, т. е. расстояние между
ребрами призмы, на которые он опирается, и стороны а и Ь прямо-
прямоугольного сечения стержня. Измерения длины стержня производят
масштабной линейкой с точностью до 1 мм9 а длины и ширины
сечения стержня — микрометром (см. задачу 1) с точностью до
0,01 мм. Пользуясь данными измерений, вычисляют модуль упру-
упругости по формуле D). Окончательный результат следует представить
как в кГ/мм2, так и в дин/см2.
Измерения модуля упругости по стреле прогиба производят для
трех стержней различных размеров и из различного материала.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. X, §81—84, 86—89.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XIV, § 105—108.

9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ИЗ КРУЧЕНИЯ 87
ЗАДАЧА 9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ИЗ КРУЧЕНИЯ
Принадлежности: 1) прибор для определения угла закручивания про-
проволоки, 2) осветитель с полупрозрачной миллиметровой шкалой, 3) масштабная
линейка, 4) секундомер.
Теория. Если проволоку или стержень, закрепленные с одного
конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил РР с мо-
моментом, равным Му то угол
кручения по закону Гука оказы-
оказывается равным ф = сМ, где с—
коэффициент, зависящий от ве-
вещества проволоки. Модуль кру-
кручения /, равный
/ = -^ = ^, о)
1 с ф w Рис. к
показывает, какой момент нуж-
нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.
Модуль сдвига N равен
где P/S определяет величину касательного усилия на единицу по-
поверхности, а со — угол сдвига (рис. 1).
хМежду модулем кручения / и модулем сдвига материала прово-
проволоки существует простое соотношение
^? C)
где г — радиус цилиндрической проволоки, a'L — длина ее. Вывод
формулы C) см.: С. П. Стрелко в, Механика, § 86.
Размерность модулей Е я N одна и та же. В самом деле, размер-
размерность модуля упругости Е
а размерность модуля сдвига N
Числовая величина модулей упругости зависит, таким образом,
от единиц, в которых измерены сила и площадь. В системе СГС
модули упругости выражаются в дин/см2, в практической системе
в кГ/мм2 и в системе СИ в н/м2.

88
МЕХАНИКА
П 1
I П
Если желают перейти от значения модуля в практичес-
практической системе к значению модуля в системе СГС, то, очевидно,
значение модуля в практической системе нужно умножить на
9,81 -107.
Измерение модуля кручения может быть выполнено статическим
или динамическим методом. В первом случае измеряется угол за-
закручивания проволоки
под действием опреде-
определенного закручиваю-
закручивающего момента. Во v вто-
втором случае измеряется
-С период крутильных ко-
колебаний маятника, под-
подвешенного на исследуе-
исследуемой проволоке. Рассмот-
Рассмотрим последовательно
оба метода.
гг Статический
метод. К нижнему
концу проволоки АВ,
подвешенной на деревян-
деревянной раме С, прикреплен
металлический диск D
радиуса R (рис. 2).
Верхний конец прово-
проволоки зажимается винтом
Еу благодаря чему он
неподвижен. По окруж-
окружности диска навиты в
одну сторону две нити, пропущенные через блоки Fx и F2 и не-
несущие на концах два одинаковых груза Рх и Р2. Эти грузы дей-
действуют как пара сил, приложенных в противоположных точ-
точках одного и того же диаметра диска.
С диском жестко связано зеркальце G, поворачивающееся на
некоторый угол при закручивании проволоки под влиянием при-
приложенной пары сил. Поворот зеркальца фиксируется на шкале 5,
по которой перемещается отраженное от зеркальца изображение
нити осветителя Т.
Если при равновесии нить совпадает с делением п0, а после по-
поворота с делением пу то при малых углах поворота имеет место соот-
соотношение
~ Я tin / Л\
Рис. 2.
здесь d — расстояние от зеркальца до шкалы, выраженное в тех же
единицах длины, что и деления на шкале.

9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ИЗ КРУЧЕНИЯ 89
Подставляя значение момента М = 2PR и N из C) в равенство
A) и решая его относительно N, будем иметь
Угол закручивания определяется по формуле D). Другие входя-
входящие в формулу E) величины измеряются непосредственно.
Динамический метод. Этот метод основан на зави-
зависимости периода крутильных колебаний маятника, подвешенного
на проволоке, от упругих свойств материала проволоки. При изме-
измерениях используется тот же прибор, что и в статическом методе.
Крутильным маятником служит диск D, который в данном слу-
случае уже не соединяется нитями с грузами. Момент инерции этого
диска может увеличиваться надеванием на штифты, имеющиеся
на диске, специальных грузов. Штифты расположены по двум кон-
концентрическим окружностям. Изменяя расстояние от грузов до цен-
центра диска, можно изменять момент инерции, а вместе с этим и период
колебаний маятника.
Период колебаний определяется по времени, в течение которого
маятник совершает некоторое число полных колебаний.
Упражнение 1
Определение модуля сдвига статическим методом
Установить трубу осветителя так, чтобы видеть на шкале отра-
отражение зайчика от зеркальца. При этом шкала должна быть перпен-
перпендикулярна к оси трубы. Освободив винт ?, осторожно поворачи-
поворачивают на небольшой угол верхний конец проволоки так, чтобы ризка
отраженного от зеркальца зайчика попадала на середину шкалы,
и фиксируют это положение. Записывают нулевой отсчет п0, т. е.
деление шкалы, на которое приходится нить трубы до подвешивания
грузов. Прикрепив к концам нитей платформы, нагружают их
грузами, записывают отсчет по шкале я, соответствующий новому
положению равновесия (веса грузов на платформах должны быть
между собой примерно равны), и затем, сняв грузы, вновь произво-
производят нулевой отсчет п0. Подобные измерения повторяют для двух,
трех и т. д. грузов, каждый раз предварительно определяя нулевой
отсчет.
Проделав измерения с максимальным грузом, повторяют изме-
измерения в обратном порядке, постепенно уменьшая величину грузов
на платформах. За угол закручивания, соответствующий тому или
иному грузу, берут среднее значение из измерений в одном и в дру-
другом направлениях

90 МЕХАНИКА
(штрихами отмечены отсчеты,4 производившиеся при уменьшении
грузов). Измеряют расстояние d от зеркальца до шкалы и вычисляют
модуль кручения Для каждой нагрузки. Сравнивая значения модуля
кручения, полученные при различных моментах сил, убеждаются,
что все они имеют приблизительно одинаковое значение, т. е. в пре-
пределах применявшихся нагрузок закон Гука выполняется.
После этого, промерив все входящие в формулу E) величины,
вычисляют модуль сдвига. Измерение диаметра проволоки следует
произвести в нескольких местах. Величина модуля вычисляется
в дин/см2, кГ/мм2 и в н/м2.
Упражнение 2
Определение модуля сдвига из крутильных колебаний
Если колеблющееся твердое тело совершает вращательные дви-
движения, то к нему может быть применен основной закон вращатель-
вращательного движения
где М — вращающий момент относительно оси АВ (рис. 2), J —
did
момент инерции тела относительно той же оси и -^ — угловое уско-
ускорение. Обозначая через /-ф вращающий момент, можно написать
Вращающий момент направлен всегда так, чтобы уменьшить угло-
угловое отклонение ф.
Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении
ускорение —^ пропорционально смещению ф и направлено противо-
противоположно ему, а это есть существенный признак гармонического ко-
колебательного движения.
Итак, тело совершает гармонические колебания, а периоды этих
колебаний можно найти, вспомнив, что множитель пропорциональ-
пропорциональности между -ш и ф, в данном случае -у, должен быть равен
2 __ 4я2
<° - Т2 .
т. е.
4я2 - f tb\
откуда
Здесь Т есть период колебания маятника.

9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ИЗ КРУЧЕНИЯ 91
Для того чтобы из этого выражения найти /, необходимо исклю-
исключить неизвестный момент инерции У, для этого в задаче определяются
два периода колебаний маятника 7\ и Г2.
Работу выполняют следующим образом. Надевают на крайние
штифты диска (удаленные от оси вращения) четыре груза, при этом
платформы с грузами Рг и Р2 отсоединяются от нитей. Наблюдая за
изображением на шкале, определяют деление, соответствующее по-
положению равновесия. Устанавливают на это деление перемещаю-
перемещающуюся по шкале ризку отраженного от зеркальца зайчика. Сооб-
Сообщают системе вращательный импульс так, чтобы диск совершал
крутильные колебания с небольшой амплитудой.
Для этого отвертывают немного винт Н и легким рывком потя-
потягивают за шнурок, соединенный через рычажок с верхним крепле-
креплением проволоки. Следует обратить внимание на то, чтобы при этом
не было поступательных колебаний и чтобы изображение шкалы
не выходило из поля зрения.
Измеряют суммарное время ста колебаний маятника и вычисляют
период колебания маятника 7\. Переставив грузы на внутренние
штифты диска, таким же способом измеряют измененный период
колебаний Г2.
Из этих определений имеем
откуда
Ц Л '
Момент инерции крутильного маятника можно представить как
момент инерции грузов 4т/2 плюс момент инерции диска и проволоки
U т- е-
Jx = Aml\ + j и J2 = Amll + j.
Для того чтобы исключить неизвестное /, вычитаем Jx из У2
ya_y1==4m(/S-/J). G)
Подставив сюда значение J2 = JXT\IT\, из уравнения G) найдем
, 4mr?(/!-/f)
J
Подставив, наконец, это выражение в уравнение F), найдем модуль
кручения /
__ 16я2т(/| — /?)
-

92 МЕХАНИКА
Определив расстояния осей грузов от оси вращения диска 1Ъ /2
и их массу, по формуле C) вычисляют модуль сдвига
N _ S2Lmn {l\ — /?)
Величину модуля сдвига рекомендуется вычислить в дин/см2,
кг/мм2 и н/м2.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, Гостехиздат, 1956, гл. XI, §80—86.
2. Р. В. Поль, Механика, акустика и учение о теплоте, Гостехиздат, 1957,
гл. VIII, §67—72.
ЗАДАЧА 10
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА
Принадлежности: 1) секундомер, 2) разновес, 3) штангенциркуль,
4) миллиметровая линейка.
Описание прибора и теория. Цель задачи — экспериментальная
проверка основного уравнения вращательного движения — урав-
уравнения моментов
Л = %М, A)
где J — момент инерции тела, е — его угловое ускорение, %М —
сумма (векторная) моментов сил, приложенных к телу.
Прибор (маятник), применяемый в настоящей работе, изображен
схематически на рис. 1. Он состоит из четырех стержней и двух
шкивов различного радиуса, укреп-
укрепленных на одной горизонтальной оси.
По стержням могут перемещаться и
закрепляться в нужном положении
четыре (по одному на каждом стер-
стержне) груза одинаковой массы. При
помощи грузов различной массы, при-
прикрепляемых к концу намотанной на
тот или иной шкив нити, маятник
может приводиться во вращение.
Пренебрегая силами трения, можем
написать уравнение вращательного
движения маятника
/е = М = RT, B)
уравнение поступательного движения груза на нити
ma = mg — Ty C)
уравнение, связывающее ускорения движений,
а = zR. D)
Рис. 1.

10. ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ\ 93
Здесь R — радиус шкива, Т — натяжение нити, а — ускорение
движения груза на нити, g — ускорение силы тяжести, m — масса
груза.
Эти уравнения дают постоянное во времени значение величины
ускорения а = . ™ R2 g, которое может быть найдено из урав-
уравнения
¦а = ?, E)
где h — расстояние, проходимое грузом за время /. В условиях
задачи h — постоянная величина.
1 случай проверки. Постоянный момент инерции, раз-
различные моменты сил. Из уравнения A) имеем
Уравнения B)—F) дают
Щ*\ Ш1 - Щ = m2Rl {gt\ - 2/i). G)
В уравнение G) входят величины, определяемые экспериментально.
2 случай проверки. Различные моменты инерции,
постоянные: масса груза и радиус шкива.
По теореме о параллельном переносе осей моментов инерции
имеем
J1 = J0 + m'L*, (8)
где Уо — момент инерции тела массы т' относительно оси, проходя-
проходящей через центр масс тела, Ух — момент инерции того же тела от-
относительно параллельной оси, удаленной на расстояние L от преж-
прежней.
Пусть J'o — момент инерции всех четырех грузов массы Am'
относительно оси, проходящей через их центры масс. При удалении
их центров на расстояние /х от прежней их оси момент инерции Jx
будет равен
Л = Уо + 4m7J.
Если JQ — момент инерции маятника без грузов, то полный момент
инерции маятника будет
J[ = ^о + Jq + 4m7J.
При удалении центров масс грузов на расстояние /2 соответственно
имеем
Если 1Х > /2, то
/; — /; = 4т'(/? — ©. (9)

94 МЕХАНИКА
Уравнения A) и (9) дают
^г- — ^~- = 4т' A\ — /1). A0)
Из уравнений B)—E) и A0) получаем
В это уравнение входят величины, определяемые эксперимен-
экспериментально. Уравнения G) и (И) получены без учета силы трения в оси
маятника и силы трения о воздух.
Силой трения при поступательном движении груза на нити можно
несомненно пренебречь. При вращательном движении маятника
наибольшую роль играет момент силы трения в оси маятника (момент
силы трения о воздух незначителен). Величина момента силы трения
в оси при небольших угловых скоростях вращения маятника яв-
является практически постоянной величиной, равной моменту силы
трения покоя. Это позволяет (см. ниже) произвести оценку этой ве-
величины. Чем меньше по сравнению с моментом силы натяжения
нити момент силы трения, тем точнее, при прочих равных условиях,
будут выполняться уравнения G) и A1).
Измерения. С самого начала следует произвести измерения
следующих величин:
1. Высоты Л, опускания груза на нити (метровой линейкой с точ-
точностью до \ см). ,
2. Радиусов Rx и R2 шкивов (штангенциркулем).
После этого грузы на стержнях маятника укрепляют в самом
ближнем положении /2 от оси маятника. Миллиметровой линейкой
измеряют расстояние от середины каждого груза до оси вращения
маятника. Измерение каждой величины (/?1э R2i /2) необходимо
произвести не менее трех раз. За истинную величину принимают
среднее арифметическое значение получаемых величин. При опре-
определении величины /2 сначала находят среднее арифметическое зна-
значение этой величины для каждого груза на стержне, а затем уже
среднее арифметическое из полученных четырех значений.
При проверке уравнений G) и A1) на конец нити, намотанной на
шкив, прикрепляют поочередно грузы массой в 200 и 300 г. Поль-
Пользуясь секундомером, измеряют время tx (нить намотана на шкив ра-
радиуса /?i) опускания груза в 200 г (тх) с высоты h. Время опускания
измеряют не менее трех раз — определяют среднее арифметическое.
Нить перебрасывают на другой шкив (радиуса R2), на конец при-
прикрепляют груз в 300 г (т2) и совершенно так же определяют время
t2 опускания груза с высоты h. По полученным данным убеждаются
в справедливости, в пределах ошибок измерения, уравнения G),
а, следовательно, и уравнения A).

11. ОПРЕДЕЛ. МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА 95
После этого все грузы на стержнях закрепляют по-прежнему
симметрично в новом положении, наиболее удаленном от оси маят-
маятника. Совершенно так же, как раньше определяли величину /2,
определяют величину 1Х (расстояние от середины каждого груза
на стержнях до оси маятника). Для такого маятника производят те
же измерения, как и раньше. Вновь убеждаются в справедливости
формулы G).
Пользуясь полученным экспериментальным материалом, убеж-
убеждаются (в пределах ошибок измерения) в правильности уравне-
уравнения A1), а следовательно, и уравнения (9).
Для оценки величины момента сил трения в оси маятника посту-
поступают следующим образом.
К концу нити, намотанной на тот или иной шкив, прикрепляют
груз, постепенно увеличивая его до тех пор, пока маятник не начнет
вращаться. Не менее трех раз находят наименьшее значение веса
такого груза. За истинное значение принимают среднее арифмети-
арифметическое из полученных величин.
Произведение полученного значения веса груза на радиус шкива
дает возможность судить о величине момента сил трения в оси
маятника.
Необходимо определить относительную ошибку в %, допус-
допускаемую, если пренебрегать силой трения. Для этого следует взять
отношение величины момента сил трения к величине наименьшего
момента силы натяжения нити.
Масса одного груза т! на стержнях маятника — известная ве-
величина.
ЛИТЕРАТУРА
С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, § 52.
ЗАДАЧА 11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ
ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Определение момента инерции методом трифилярного подвеса
Принадлежности: 1) трифилярный подвес, 2) секундомер, 3) штанген-
штангенциркуль, 4) образцы для измерения.
Теория метода. Трифилярный подвес (рис. 1) осуществлен так:
круглая платформа подвешена на трех симметрично расположенных
нитях, укрепленных у краев этой платформы. Наверху эти нити
также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего

96
МЕХАНИКА
диаметра, чем диаметр платформы. Платформа может совершать кру-
крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной
к ее плоскости и проходящей через ее середину; центр тяжести
платформы при этом перемещается по оси вращения.
Период колебаний определяется величиной момента
инерции платформы; он будет другим, если плат-
платформу нагрузить каким-либо телом; этим и поль-
пользуются в настоящей работе.
Если платформа массы т, вращаясь в одном нап-
направлении, поднялась на высоту Л, то приращение
потенциальной энергии будет равно
Ех = mgh,
где g — ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом
направлении, платформа придет в положение равно-
равновесия с кинетической энергией, равной
Р-ис. 1. где J — момент инерции платформы, соо — угловая
скорость платформы в момент достижения ею положе-
положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании
закона сохранения механической энергии имеем
-2 J(*l = mgh.
A)
Считая, что платформа совершает гармонические колебания,
можем написать зависимость углового смещения платформы от
времени в виде
где р — угловое смещение платформы, a — амплитуда смещения,
Т — период колебания, t — текущее время. Угловая скорость со,
являющаяся первой производной |5 по времени, выражается так:
—¦3-
В момент прохождения через положение равновесия (t = О,
Т, 3/2Т и т. д.) абсолютное значение этой величины будет
2яа
B)
На основании выражений A) и B) имеем
C)

11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА 97
Если / — длина нитей подвеса, R — расстояние от центра плат-
платформы до точек крепления нитей на ней, г — радиус верхнего диска,
то легко видеть (рис. 2), что
h = 001= ВС—ВСХ = BC + BCi .
Так как
(ВСJ = (АВJ - (АСJ = /» — (# — гJ,
(ВСгJ = (BAJ* — (ЛАJ = /2 - (#2 Л-г2 — 2Rr cos a),
то
h =
2Rr(\ —cos а)
ARr sin2 ~
BC
BC
При малых углах отклонения а значение синуса этого угла можно
заменить просто значением а, а величину знаменателя положить
равной 21. Учитывая это, получаем
2/
Тогда на основании C)
21
--X jBna\2
-2J [TJ »
откуда
_ mgRr T2
D)
По формуле D) может быть определен
момент инерции и самой платформы, и тела,
положенного на нее, так как все величины
в правой части формулы могут быть непос-
непосредственно измерены.
Вращательный импульс, необходимый
для начала крутильных колебаний, сооб-
сообщается платформе путем поворота верх-
верхнего диска вокруг его оси при помощи
натяжения шнура, приводящего в движе- Рис. 2.
ние рычажок, связанный с диском. Этим
достигается почти полное отсутствие других некрутильных коле-
колебаний, наличие которых затрудняет измерения.
Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка,
против которой при покоящейся платформе устанавливается ука-
указатель — стержень на подставке.

98 МЕХАНИКА
Измерения. Сначала определяют по формуле D) момент
инерции пустой платформы Jo. Так как величины
/,#,/* и масса платформы т0 даются как постоянные прибора,
то определяют только время периода колебаний пустой
платформы Го. Для этого сообщают платформе вращательный им-
импульс и при помощи секундомера измеряют время некоторого числа
E0—100) полныхтюлебаний, что дает возможность достаточно точно
определить величину периода То.
После этого платформу нагружают исследуемым телом, масса
которого должна быть предварительно определена путем взвешива-
взвешивания, и вновь определяют период колебания Т всей системы. Затем,
пользуясь формулой D), вычисляют момент инерции Jx всей системы,
принимая ее массу m равной сумме масс тела и платформы. Вели-
Величина момента инерции тела J определяется как разность
J == J i J Q.
При помощи трифилярного подвеса может быть проверена и
теорема Штейнера, для чего необходимо иметь два со-
совершенно одинаковых тела. Сначала определяют момент инерции
этих тел, положив их одно на другое в середине платформы.
Затем оба тела располагают симметрично на платформе и опре-
определяют их момент инерции при таком расположении. Половина этой
величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося
на фиксированном расстоянии от оси вращения. Зная это расстоя-
расстояние, массу тела и момент инерции тела, положенного в центре плат-
платформы, можно проверить указанную теорему.
Тела на платформу необходимо класть строго симметрично так,
чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены
концентрические окружности на определенном расстоянии друг
от друга. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами
колебаний, большими 5—6°.
ЛИТЕРАТУРА
С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, § 52, 59.
ЗАДАЧА 12
ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КОЛЕСА
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3) штангенциркуль,
4) линейка с миллиметровыми делениями.
Введение. Уравнение вращательного движения для материаль-
материального тела имеет вид
Л = М, A)

12. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КОЛЕСА
99
где / — момент инерции тела, е — его угловое ускорение, М — мо-
момент приложенных к телу сил.
Момент инерции — аналог массы. Как масса — мера инертно-
инертности при поступательном движении, так и момент инерции — мера
инертности при вращательном движении. При вращении тела вокруг
различных осей моменты инерции различны. Величина момента
инерции относительно какой-либо оси определяется пространствен-
пространственным распределением элементарных масс тела — геометрией масс.
Аналитическое вычисление величины момента инерции произво-
производится путем интегрирования выражения
\ B)
где р — плотность вещества в элементе объема dv, находящегося
на расстоянии г от оси вращения. *
Дри сложной форме поверхности, ограничивающей тело, и не-
неравномерном распределении плотности аналитический подсчет ве-
величины момента инерции может быть достаточно сложной задачей.
Экспериментальное же определение момента инерции осуществимо
легко. В настоящей задаче измеряется момент инерции велосипед-
велосипедного колеса двумя различными способами.
Упражнение 1
Определение момента инерции методом колебаний
Описание установки и измерения. Велосипедное колесо А может
вращаться с малым трением вокруг горизонтальной оси О (рис. 1).
На внутренней стороне обода ко-
колеса симметрично по диаметру ук-
укреплены две очень легкие и одинако-
одинаковые по весу короткие трубки В. К
колесу на нити прикреплен металли-
металлический шар С.
Помещая шар в одну из трубок,
получаем физический маятник, кото-
который может колебаться вокруг поло-
положения равновесия, отклоняясь влево
и вправо от вертикали, проходящей
через ось колеса. Угол отклонения
может быть определен по угломер-
угломерной шкале D.
Пренебрегая моментом сил тре-
трения, можем написать уравнение движения колеса вместе с шариком
(Jx + У)ф = — mgL sin ф, C)
где Jх — момент инерции колеса с трубками, J — момент инерции
шарика относительно оси колеса, т — масса шарика, L — расстоя-
Рис. 1.

100 МЕХАНИКА
ние между центром шарика и осью колеса, g — ускорение силы
тяжести, ф — угол отклонения колеса от положения равновесия,
Ф — угловое ускорение колеса.
Если sin ф ^» ф (малые углы отклонения), то можно написать
D)
Зная, что процесс движения периодический, примем закон дви-
движения в виде
Ф = ф0 sin со/, E)
где со = 2п1Т — циклическая частота, Т — период колебаний
колеса, ф0 — амплитуда колебаний.
Из уравнения E), дифференцируя его по времени, получаем
ф =: С02ф. F)
Сопоставляя уравнения D) и F), находим
2 _ 4я* _ mgl G)
Учитывая, что диаметр шарика во много раз меньше радиуса колеса,
можем считать шарик материальной точкой и положить
J = tnL2. (8)
Тогда из уравнений G) и (8) получаем
) (9)
Вычисление момента инерции колеса по этой формуле требует
измерения массы шарика, периода колебаний и расстояния от оси
вращения до центра шарика.
Масса шарика m определяется взвешиванием, период колебаний
Т — секундомером, расстояние L — миллиметровой линейкой.
Сначала тщательно взвешивают шарик. После этого не менее
трех раз измеряют расстояние от оси вращения до центра
шарика. Вычисляют среднее арифметическое значение этой вели-
величины.
Шарик помещают в одну из трубок, колесо отклоняют от его
положения равновесия на угол, не превышающий 8°. Определяют
по секундомеру время 30 полных колебаний. Вычисляют среднее
арифметическое значение одного полного периода колебаний.
По полученным данным, пользуясь уравнением (9), вычисляют мо-
момент инерции колеса.

12. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КОЛЕСА
101
Упражнение 2
Определение момента инерции методом вращения
Описание установки и измерения. Велосипедное колесо А может
вращаться с малым трением вокруг горизонтальной оси 00 (рис. 2).
Колесо имеет соосный с ним цилиндр /С, на который наматывается
нить с прикрепленным к ней грузом (шариком) С.
Под действием силы тяжести шарик будет опускаться, приводя
колесо во вращение. Уравнения движения системы без учета сил
трения имеют вид
та = mg — Т,
A0)
а = е/\
где m — масса шарика, J х — момент инерции колеса (с трубками В
(см. рис. 1)), g—ускорение силы тяжести, Т — натяжение нити,
г — радиус цилиндра, на который намотана
нить. А
Из уравнений A0) получаем
а =
mg
(Jx/r*)
(И)
Ускорение а шарика при опускании на полную
длину нити h определяется уравнением h =
= at*/2. Поэтому окончательно получаем
2h
A2)
к
Вычисление момента инерции по этой
формуле требует измерения массы груза (ша-
(шарика) т, радиуса цилиндра /•, расстояния Л, р /I/
проходимого опускающимся шариком, вре-
времени / опускания шарика. Масса шарика оп-
определяется взвешиванием, радиус г изме-
измеряется штангенциркулем (используется сред- Рис. 2.
нее арифметическое значение из многих за-
замеров), время опускания / измеряется секундомером, h опреде-
определяется по шкале N. По полученным данным, пользуясь уравне-
уравнением A2), вычисляют момент инерции колеса.
Найденное значение Jx необходимо сопоставить с величиной,
получающейся из уравнения (9) в упражнении 1.
Дополнение. Учет сил трения может быть произведен наиболее
просто в данном упражнении.
При опускании шарика е высоты h (на полную длину нити) его
потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию системы

102 МЕХАНИКА
и работу против сил трения
mgh = Е
где М — момент сил трения, ф — полный угол поворота колеса,
Е — кинетическая энергия системы.
После того как шарик опустится на полную длину нити /г,
колесо будет продолжать вращаться, и нить начнет наматываться
на цилиндр. В результате шарик поднимется на максимальную
высоту hx < Л. Очевидно,
Е = mghx
где фх — полный угол поворота колеса при подъеме шарика.
Учитывая, что h = гф, a hx = гфъ получаем
Эта формула позволяет вычислить величину момента силы тре-
трения. Считая его известным, можем вместо системы уравнений A0)
написать
та = mg — 7, '
A4)
а = ег,
где по-прежнему а = 2h/t2. Уравнения A3) и A4) дают
Этим выражением пользуются для вычисления момента инерции
колеса с учетом сил трения.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, № 52, гя. XIV,
§ 124.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. XIII,
§ 89, 92.
ЗАДАЧ А 13
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ (ГЕОМЕТРИИ МАССЫ)
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3) штангенциркуль.
Теория. Моментом инерции твердого тела называется величина
J = Er*m, A)
где т — масса в малом элементе объема тела, г — расстояние этого
элемента от оси вращения (сумма берется по всем элементам объема).

13. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 103
Момент инерции относительно какой-либо оси определяется
пространственным распределением массы тела относительно этой
оси. Известно, что момент инерции J относительно оси, параллель-
параллельной оси, проходящей через центр масс, можно представить в виде
J = J0 + mL\ B)
где Jo — момент инерции тела массы т относительно оси, прохо-
проходящей через центр масс, a L — расстояние между параллельными
осями.
Установим зависимость между
величинами моментов инерции тела ^(х,у,г)
для осей вращения, пересекающихся
в одной точке. Полученная зависи-
зависимость покажет, что понятие момента
инерции сложнее, чем понятие массы.
Выведенное уравнение проверяется
экспериментально.
Определим момент инерции тела
относительно некоторой оси враще-
вращения О А (рис. 1). За начало координат
выберем произвольную точку, которая
находится в теле на этой оси. С ося- Рис. 1.
ми координат, направление которых
выбрано также произвольно, ось вращения составляет углы а, р, у.
Имеем:
J = ^ г2т = 2 т [р2 — (ОВJ]. C)
Учитывая, что р2 == х2 + у2 + г2, ОВ — х cos а + у cos Р + z cosy
и cos2 а + cos2 p + cos2 у = 1, из уравнения C) получаем
J = 2 т К*2 + У1 + z2) (cos2 а + cos2 р + cos2 у) —
— (х cos а + у cos p + 2 cos yJ\. D)
Выполнив преобразования, найдем
+ cos2 у 2 /и (х2 + у2) — 2 cos у cos p*2 tnyz —
— 2 cos a cos у 2 tnxz — 2 cos а cos p 2 т*У-
Выражения при квадратах косинусов углов представляют собой
моменты инерции тела относительно осей координат
— они всегда положительны. Выражения
^ myz = Jy?, 2 mzx = Jzx> 2 мху = Jxy

104 МЕХАНИКА
называются центробежными моментами инерции. Эти величины
могут быть положительными, отрицательными или равными нулю
(см. ниже).
Вводя обозначения Jx = Л, Jy = В, Jz = С, /^ = D, Jzx = ?,
У^ = /\ получаем
У = Л cos2 а + В cos2 р + С cos2 у — 2D cos р cos у —
— 2? cos y cos а — 2F cos а cos p. E)
Момент инерции в общем случае определяется шестью величи-
величинами, а не одной, как его аналог — масса, являющаяся скалярной
величиной. Для различных осей, проходящих через начало коор-
координат (разные углы a, Р, у), величина момента инерции будет, есте-
естественно, различна.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию изменения вели-
величины момента инерции тела. Для этого отложим от начала коорди-
координат по всем осям в произвольном, но в одном масштабе отрезки
OD = I/VJ, где J — момент инерции тела относительно данной
оси. Концы всех отрезков образуют некоторую поверхность. Най-
Найдем уравнение этой поверхности. Координаты конца любого отрезка
OD могут быть написаны в виде
x=0D cos а, у = OD cos ji, z= OD cos у.
Это дает
r, cos (J = yVJ, cosy = zV~J.
Пользуясь этими соотношениями, из уравнения E) получаем урав-
уравнение поверхности в виде
Ах2 + By2 + Cz2 — 2Dyz — 2Ezx — 2Fxy —1=0. F)
Так как отрезки OD всегда конечны, то можно утверждать,что
поверхность, описываемая уравнением F), является поверхностью
эллипсоида. Зная эту поверхность, можно всегда определить момент
инерции тела относительно любой оси, проходящей через начало
координат, так как J = 1/(ODJ.
Эта поверхность называется эллипсоидом инерции относительно
точки О, выбранной произвольно. Оси эллипсоида инерции назы-
называются главными осями инерции тела в этой точке. В каждой точке
тела имеются, следовательно, три взаимно перпендикулярные глав-
главные оси инерции.
Из аналитической геометрии известно, что эллипсоид имеет
три взаимно перпендикулярные оси. Уравнение эллипсоида, отне-
отнесенное к этим осям, имеет наиболее простой вид, оно не содержит
членов с произведениями различных координат. Поэтому, принимая
главные оси инерции тела (в любой точке) за оси координат, можно

13. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
105
положить центробежные моменты равными нулю: Jxy = Jy2 =
= Jzx — 0. Учитывая это, из уравнения E) получаем
J = Jx cos2
Jy cos2
+ У* cos2 у.
G)
В этом случае момент инерции определяется не шестью, а как
вектор, тремя величинами.
Эллипсоид инерции относительно центра тяжести тела назы-
называется центральным, а его „ главные оси называются главными
центральными осями инерции. Для однородных симметричных тел
главные центральные оси инерции — оси симметрии тела. Именно
для этого случая проверяется эк-
экспериментально уравнение G).
Описание установки. Тело, для
которого определяются моменты
инерции, — однородный металли-
металлический параллелепипед (рис. 2).
Л
N
Рис. 2.
Рис. 3.
Поместим начало координат в центр масс параллелепипеда, оси
координат направим по его осям симметрии. Направим ось Ох
нормально к наибольшей по величине грани параллелепипеда, ось
Оу — нормально к средней грани, ось Oz — нормально к наимень-
наименьшей грани.
В середине каждой грани сделаны небольшие углубления для
закрепления тела при его вращении вокруг осей Ох, Оу, Oz. Углуб-
Углубления сделаны также в местах, позволяющих укреплять тело при
его вращении около осей ММЪ NNU ККЪ DB±.
Параллелепипед неподвижно укрепляется в рамке А (на рис. 3
он укреплен по оси Oz) при помощи шипов СС, входящих в углубле-
углубления, когда подвижная планка L прижата к телу. Сама планка за-
закрепляется на рамке пружинами. Для передвижения планки необ-
необходимо выступы К приблизить друг к другу. Рамка может вращаться
вокруг горизонтальной оси 00. Вращение происходит при опуска-

106 МЕХАНИКА
нии груза Р, висящего на нити, намотанной на цилиндр N. Масса
груза и радиус цилиндра указываются на установке.
Если груз опустился с высоты А, то, пользуясь законом сохра-
сохранения механической энергии, можно написать
% qf (8)
где т — масса груза, v — скорость его движения, J' — момент
инерции тела и рамки, о — угловая скорость вращения рамки,
g — ускорение силы тяжести.
Учитывая, что v = cor, v = 1/*2оА, Л = ctfjf/2, где г — радиус
цилиндра, а — ускорение движения груза, tx — время опускания
груза с высоты А, получаем
Для момента инерции одной рамки (без тела) имеем
где t0 — время опускания груза с высоты Л.
Из двух последних уравнений для момента инерции тела отно-
относительно оси вращения получаем
'=¦??««-<»• (9)
Пользуясь этой формулой, можно определить моменты инерции
тела Jx, */y, JZy */, выразив их соответственно через время tx, ty9
tz, t опускания груза.
Пусть размер параллелепипеда по оси Ох равен а, по оси Оу
равен 6, по оси Ог равен с. Квадраты направляющих косинусов для
его диагонали соответственно равны
Подстановка уравнений (9) (для различных осей вращения)
и A0) в формулу G) дает
1 - я2
Это уравнение проверяется экспериментально.
Уравнение (9) было получено без учета сил трения при вращений
тела. Это обстоятельство не сказывается, однако, на уравнении A1),
так как коэффициент, учитывающий силы трения, одинаков для
всех членов этого уравнения и поэтому сокращается.

14. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС 107
Измерения. Для выполнения работы необходимо измерить:
1) размеры тела (ребра параллелепипеда) а, 6, с\ 2) времена опуска-
опускания груза с одной и той же высоты для пустой рамки (/0) и рамки
с телом, закрепленным в различных положениях. -
Измерения рекомендуется проводить в следующем порядке.
Сначала штангенциркулем измеряют величины а, bt с не менее
трех раз в разных сечениях тела и берут для каждой из них
среднее арифметическое. Затем вычисляют их квадраты и сумму
квадратов.
Время опускания t0 груза измеряют секундомером. Для этого
нить, имеющую на конце груз, аккуратно виток к витку наматывают
полностью на цилиндр. Освобождая рамку (которая придержи-
придерживалась рукой), пускают секундомер. Его останавливают, когда
груз, опустившись с высоты ft, начинает подниматься. Измерение
времени необходимо произвести не менее трех раз и вычислить его
среднее арифметическое значение.
После этого закрепляют в рамке параллелепипед в разных
положениях и измеряют так же, как и прежде, времена: txi ty, tzy t.
По полученным данным убеждаются в правильности (в пределах
погрешности измерений) уравнения A1), а следовательно, и урав-
уравнения G). Пользуясь уравнением (9), вычисляют моменты инерции
параллелепипеда для осей Ox, Oyy Oz. Расстояние, на которое опу-
опускается груз, измеряется сантиметровой линейкой. Полученные
значения моментов инерции сопоставляются между собой.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, § 52, 55, 59.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. XIII,
§89.
ЗАДАЧА 14
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
Принадлежности: 1) установка, 2) специальные разновесы, 3) милли-
миллиметровая линейка, 4) секундомер.
Введение. Центром масс (центром тяжести) материальной
системы называется точка, координата которой определяется.урав-
определяется.уравнением
1л mi
где гг — координата точки массы mit

108
МЕХАНИКА
Движение центра масс определяется теоремой, утверждающей,
что центр масс системы движется так, как если бы в нем была сосре-
сосредоточена вся масса системы и к нему были приложены все внешние
силы, приложенные к системе.
Цель задачи — экспериментальная проверка теоремы о движе-
движении центра масс. Для этого используется машина Атвуда, допол-
дополненная некоторыми деталями.
Два груза А и В (рис. 1), массы которых одинаковы и равны
500 г, висят на двух параллельных нитях, перекинутых через блоки
и
М
Рис. 1.
С и D, массы которых одинаковы и равны 15 г (применение двух па-
параллельных нитей предотвращает вращение грузов вокруг их вер-
вертикальных осей).
Груз А имеет вид цилиндра, груз В составлен из двух равных
полуцилиндров, сложенных своими плоскостями так, что между
ними оставлена щель. Центр масс этого груза находится на тонкой
проволоке, соединяющей обе его половины.
Примерно на середине прямой, соединяющей центры масс спо-
спокойно висящих грузов, помещен рычаг Р, который может вращаться
в вертикальной плоскости, вокруг оси О, и перемещаться поступа-
поступательно в плоскости вращения. Это позволяет установить острый ко-
конец рычага Р точно в центр масс грузов А и В и зажимным винтом Н
закрепить такое положение рычага.
К острому концу рычага прикреплена нить L. Она проходит
в щель груза В через его центр масс (нить переброшена через про-
проволоку в щели), опущена вертикально вниз (через отверстие внизу

14. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС 109
груза В) и все время натянута, так как на нижнем ее конце укреп-
укреплен груз Е массой в 1 г.
На грузе В симметрично с двух его сторон прикреплены крючки
(на рисунке не указаны), на которые можно подвешивать разновесы
в виде колец.
При наложении разновесов центр массы системы (массой груза Е
пренебрегаем) смещается вдоль линии L (по оси х)у которая фикси-
фиксирована натянутой нитью.
При движении системы (груз В движется вертикально вниз,
груз А вертикально вверх) центр масс системы движется вертикально
вниз, оставаясь на линии натянутой нити.
За движением центра масс можно, следовательно, следить как
за движением точки пересечения натянутой нити с вертикальной
прямой, заранее определенной и зафиксированной. Этой прямой
является левый край металлической линейки R с делениями, кото-
которая может перемещаться параллельно самой себе в вертикальной
плоскости (очень близкой к вертикальной плоскости, в которой
находится натянутая нить). Перемещение линейки достигается тем,
что она свободно подвешена к краю диска F, который может вра-
вращаться вокруг горизонтальной оси О.
Вращение диска по часовой стрелке дает перемещение линейки
вправо, против часовой стрелки — дает перемещение влево. Зажим-
Зажимным винтом К диск, а следовательно и линейка, могут закрепляться
в нужном положении.
Для того чтобы удерживать грузы (при наличии разновесов на
грузе В) в покое, служит электромагнит N с электролампой в его
цепи. Когда она горит, электромагнит включен и удерживает
груз А. При размыкании ключа погасание лампочки служит сигна-
сигналом начала движения системы.
Время окончания движения определяется вспышкой света дру-
другой электролампочки; для этого на стержне М может перемещаться
и закрепляться в нужном положении (не указанная на рисунке)
платформа, на которой имеются две кисточки из мягкого провода.
Груз В задерживается платформой, а когда он касается кисточек,
то замыкает цепь второй лампочки. Обе лампочки и ключи в цепи
электромагнита смонтированы на щитке (не указан на рисунке),
расположенном для удобства наблюдения в непосредственной бли-
близости от линейки R.
Теория. Уравнение движения центра масс А и В (величиной гру-
груза Е пренебрегаем) может быть написано в виде
(тг +т2) j = (щ + m2) g - (Тх + 72), A)
где пг1 — масса груза В и всех разновесов на нем, т2 — масса
груза Л, g — ускорение силы тяжести, / — ускорение движения
центра масс, 7\ — натяжение нитей груза В, Т2 — натяжение
нитей груза А.

ПО МЕХАНИКА
Уравнения движения грузов А и В (пренебрегаем силами тре-
трения их о воздух) имеют вид
тха^т&—Тъ B)
— ш2а = m2g — Г2, C)
где а — ускорение движения грузов.
Из уравнений B) и C) получаем
Из уравнений A)—C) находим
(тг + т2) j = (тг — т2) а. (б)
Пренебрегая массой блоков (сравнительно с массой грузов
Л и В), можно разность Тг — Т2 отождествить с силой трения в осях
двух блоков, т. е. положить, что
7\-Г2 = 2/ = т'?, F)
где тп' — масса разновеса при определении силы трения (см. ниже).
Из уравнений D)—F) получаем
/ _ ("*i — т2) (шг — т2 — ш') п.
Более строгий вывод выражения для величины ускорения дви-
движения центра масс с учетом масс вращающихся блоков дан в при-
приложении.
Измерения. Прежде чем начать измерения, необходимо убе-
убедиться, что нити не перекручены (грузы легко передвигаются),
электромагнит работает (горит его электролампочка), груз Е про-
проходит через платформу и при опускании груза В контакты кисточки
замыкаются (вспыхивает лампочка).
После этого на груз В навешивают различные разновесы и на-
находят, при какой наименьшей величине разновесов начинается
движение грузов. Вес этого минимального количества разновесов
и будет давать силу трения 2/ = m'g в осях блоков, где т! — масса
минимального количества разновесов, g — ускорение силы тяжести
(сила трения покоя незначительно отличается от силы трения при
движении).
Силу трения определяют, беря среднее значение из результатов
5—6 измерений. Затем к грузу В прибавляют еще разновесы A0 или

14. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС 1 1 1
15 г) и определяют координату X (по формуле X = ^m-l центРа
массы. Начало координат при этом следует поместить в центре
масс грузов без разновеса, т. е. в месте крепления нити. В этом слу-
случае координаты xt точек центров грузов и разновеса сводятся к оди-
одинаковой по модулю (но разной по знаку) для масс грузов А и В
величине /. Ее можно определить как половину расстояния между
центрами масс грузов Л и В, когда они находятся на одном уровне
(/ = 100 см).
Определив величину расстояния, на которое смещается точка
центра масс, закрепляют на этом расстоянии (по горизонтали, см.
рис. 1) левый край линейки R. После этого груз А опускают на торец
электромагнита и замечают то деление на шкале вертикально
висящей линейки, против которого проходит натянутая нить. Вы-
Выключают (нажатием ключа) ток в цепи электромагнита и в момент
погасания лампочки включают секундомер. Его останавливают
в момент вспышки второй лампочки и замечают, на каком делении
линейки находилась в этот момент нить. Это позволяет определить
расстояние, проходимое центром масс за известное время. Это время
может быть различно, если изменять положение платформы на
стержне М.
При постоянном количестве разновесов на грузе В и разном
времени движения грузов расстояния, проходимые центром масс,
будут различны, но ускорение будет постоянной величиной. Для
определения величины ускорения движения центра масс поль-
пользуются кинематической формулой / = 2s//2, где s — расстояние,
/ — время. Из 5—6 измерений (для разных s и t) определяют сред-
среднее арифметическое значение величины ускорения. Непосредствен-
Непосредственная проверка теоремы состоит в' экспериментальном доказа-
доказательстве равенства (в пределах ошибок измерений) получаемых
значений для ускорений по кинематической формуле и по фор-
формуле G).
Следует иметь в виду, что проведение работы требует большого
внимания и осторожности. Совершенно недопустимо перекручива-
перекручивание нитей и раскачивание грузов В и Е — они должны висеть со-
совершенно спокойно. Следует следить, чтобы контакты-кисточки
были всегда в положении, которое обеспечивало бы замыкание цепи
и давало вспышку лампочки.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, § 56.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XIII, § 88.

112
МЕХАНИКА
Приложение к задаче 14
Учет вращательного движения блоков приводит к системе
уравнений
т2) j =
m2)g —
Т2)9
— m2a = m2g — Т2,
Л = (Т1 —Га)г —/rOf
Je = (T3-T2)r-fr0,
a = er,
J = 2 m0r2,
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
где (рис
Tlt Т2,
. 2) тг и m2 — масса грузов, т0 — масса блока (одного),
Т3 — натяжения нитей, а — ускорение движения грузов,
/ — ускорение движения центра масс,
g — ускорение силы тяжести, е —
угловое ускорение блоков, / — мо-
момент инерции блока, г — внешний
радиус блока, г0 — внутренний ра-
радиус блока, /0 — сила трения блока
(одного) при его вращении.
Из уравнений D) и E) получаем
Т1 + Т2 = 27Y (8)
Уравнения A) и (8) дают
(mx + m2) j = (тг + m2)g — 2T3, (9)
Определяя Тг из уравнения D) и
Т2 из уравнения E) и подставляя их
значения в уравнения B) и C), полу-
получаем
Рис. 2.
Сложение этих уравнений дает
-irz-T3-frf> A0)
+ J-s-T3+fr-f. (И)
V"i — п1ъ)и = \"Li т п1ъ) & — 2Т'з- A2)
Вычитая уравнение A1) из уравнения A0) и используя при этом
уравнения F) и G), находим
{шх + ш2 + mo)a=: (m1 — m2)g — 2f rf. A3)

15. КОЭФФИЦИЕНТ СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ И К. П. Д. МОТОРА ЦЗ
Но
Сопоставление уравнений (9) и A2) дает
(тг + т2) j = (mx — m2) a.
A4)
A5)
где т! — масса разновеса, вес которого уравновешивает силу тре-
трения.
Из уравнений A3)—A5) получаем
(Щ\ — ^2) iv^i — ^2 — "О
* (т.. -4- тЛ (т~ -А- щ»
A6)
f щ)(щ + щ + щ)*'
Учитывая, что т1 + т2^> т0 (пренебрегая т0), получаем окон-
окончательно
(//It — ТП2) (^1 — ^2 — ^ ) л. /1 7\
ЗАДАЧА 15
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
И КОЭФФИЦИЕНТА ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ (К. П. Д.) МОТОРА
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3) миллиметровая
бумага.
Введение. Простейшим законом для силы трения скольжения
является закон Кулона
F = WV, A)
где F — сила трения скольжения, N — сила нормального давле-
давления, k — коэффициент трения скольжения. Последний зависит
в общем случае не только от свойств
трущихся поверхностей, но и от их
относительной скорости. В первом
приближении можно принять этот
коэффициент за постоянную вели-
величину.
Теория. Силу трения скольже-
скольжения, действующую длительное вре-
время, легко получить, имея вращаю-
вращающийся цилиндр.
Пусть на такой цилиндр В
(рис. 1) наложена пластинка О А.
Возникающий при этом момент силы трения скольжения будет
тормозить цилиндр и приведет к его остановке, если нет моментов
сил, создающих вращение. Уравнение движения цилиндра
Рис. 1.

114 МЕХАНИКА
запишется в этом случае в виде
/g? = _(Af + f7?), . B)
где У, /?, со — соответственно, момент инерции, радиус и угловая
скорость цилиндра, F — сила трения скольжения между цилиндром
и пластинкой, М — момент сил трения в осях цилиндра, t — время.
Отсюда
d* = -M + p*dt. C)
Из соотношения C) следует, что уменьшение угловой скорости
вращения шкива при k = const будет происходить по закону
M + FR. ,4,
где щ — начальная угловая скорость (при / = 0).
Полная остановка шкива наступит через время т, определяемое
из выражения
<*o—M+jFR* = O. E)
Это дает
Без наложенной пластинки (F = 0) время т0 полной остановки
шкива (от начальной скорости соо) определится как
Из уравнений F) и G) получим
Этим уравнением пользуются для определения силы трения
скольжения.
Коэффициентом полезного действия (к. п. д.) г\ называется выра-
выраженное в процентах отношение полезной мощности Рх к затрачен-
ной Р2:
т|=-">0?%. (9)
С увеличением нагрузки к. п. д. двигателя сначала растет бы-
быстро, затем его рост замедляется, и он достигает своего наибольшего
значения, после чего к. п. д. понижается.

15. КОЭФФИЦИЕНТ СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ И К. П. Д. МОТОРА 1 15
Если шкив вращается мотором, то, очевидно, затраченная мощ-
мощность Р2 есть мощность, потребляемая мотором при вращении всей
системы:
P2=IUem. A0)
Если к вращающемуся шкиву прижата неподвижная пластинка,
то к шкиву будет приложена сила трения скольжения F. Полезная
мощность мотора определится уравнением
P1 = RFco вт.' A1)
Для к. п. д. получаем
г) = Ю0^%. A2)
Этой формулой и пользуются при вычислении к. п. д. мотора.
Описание установки. Два мотора постоянного тока и металли-
металлический цилиндр-шкив радиуса R жестко укреплены на одной оси.
Один из моторов является динамо-машиной.
.Реостатами в цепи первого мотора изменяется мощность Р2,
потребляемая им. По имеющимся в цепи вольтметру и амперметру
с показаниями, соответственно, U и / эта мощность измеряется:
Р2 = IU вт.
Второй мотор — динамо-машина — имеет вольтметр, по пока-
показаниям U1 которого определяется угловая скорость со вращения
шкива: на установке дана зависимость со = / (t/j).
Легкая металлическая пластинка ОА (см. рис. 1), накладывае-
накладываемая на шкив В поворотом вокруг оси О, может быть прижата к нему
с различной силой N. Для этого на пластинку может накладываться
различное число грузов известной массы.
Сила трения скольжения определяется по времени т и т0, необ-
необходимому для полной остановки шкива после выключения питания
мотора с прижатой к нему пластинкой и без нее. На установке
указаны материалы шкива и пластинки, для которых измеряется
коэффициент трения скольжения. Указаны также величины радиуса
шкива R и момента инерции вращающейся части установки У.
Упражнение 1
Определение силы трения скольжения
Измерения начинают с наибольшей нагрузки на пластинку.
Величина этой нагрузки и применяемые грузы указаны на уста-
установке.
Мотор включают при полностью введенных сопротивлениях
реостатов. Постепенно уменьшая сопротивление, доводят напряже-
напряжение на моторе до величины, указанной на нем.

116 МЕХАНИКА
После установления скорости вращения, записывают показание
вольтметра в цепи динамо-машины. Выключают ток в цепи мотора
и одновременно включают секундомер, останавливая его при прек-
прекращении вращения; записывают время т.
Последующие измерения времени остановки шкива производят
при последовательном уменьшении величины нагрузки — снимают
один за другим (по одному) грузы с пластинки. Убрав пластинку
со шкива, измеряют время т0 его остановки.
Во всех случаях необходимо устанавливать, пользуясь реоста-
реостатами, напряжение на динамо-машине такое же, какое было вначале
(при наибольшей нагрузке). При этом условии торможение шкива
начинается всегда с одной и той же начальной угловой скорости соо.
Все измерения времени необходимо делать не менее трех раз и
вычислять среднее арифметическое значение этого времени. Для всех
значений применявшихся нагрузок, пользуясь уравнением (8),
вычисляют величину силы трения скольжения.
Полученный материал следует представить в виде графика
F = f (N) на миллиметровой бумаге, откладывая N по оси абсцисс, а
F—по оси ординат. Усредненные значения полученных данных при-
приводят к прямой, проходящей через начало координат. Тангенс угла
наклона прямой дает величину коэффициента трения скольжения.
Упражнение 2
Определение к. п. д. мотора
Измерения начинают также с наибольшей нагрузки, указанной
на установке. Включают цепь мотора, напряжение на его зажимах
доводят до величины, указанной на нем. При установившейся ско-
скорости вращения записывают показания двух вольтметров и ампер-
амперметров. Нагрузку уменьшают, убирая один из грузов и вновь запи-
записывают показания приборов. Число таких измерений указано на
установке.
Зная величину F, определенную ранее по формуле (8), вычисляют
к. п. д. мотора для всех значений применявшихся нагрузок.
Экспериментальные данные представляют в виде графика ц =
= ф (Рх), откладывая по оси абсцисс Ръ а по оси ординат т|%.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. V, § 38, 41, 42.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. VII.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
3. С. Г. Калашников, Электричество, «Наука», 1964, гл. XII, § 137>
138.

16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ 117
ЗАДАЧА 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
(ТРЕНИЕ ГИБКОЙ ЛЕНТЫ)
Принадлежности: 1) установка, 2) миллиметровая бумага.
Теория. Сила трения скольжения F по закону Кулона дается
выражением
F = kN, A)
где N — сила нормального давления, k — коэффициент силы трения-
скольжения.
Величина этого коэффициента зависит и от свойств трущихся
поверхностей и от величины их относительной скорости. При малом,
диапазоне изменения величины этой скорости коэффициент трения
скольжения можно считать постоянной величиной, зависящей только
от свойств поверхностей.
Трение скольжения при различных относительных скоростях,
движения поверхностей легко получить, прижимая гибкую ленту
к поверхности вращающегося цилиндра. Натяжения между
отдельными элементами ленты различны и по направлению и по
величине, а это приводит к раз-
различному значению нормального
давления для каждого элемента
ленты.
Закон Кулона поэтому следует
писать в дифференциальной форме
выражая dF и dN через величину
натяжения для элемента длины
ленты.
Пусть лента A BCD (рис. 1) ох-
охватывает часть поверхности ци-
цилиндра, определяемую углом ср.
Натяжения свободных концов лен-
ленты обозначим через 7\ и Г2. Выде-
Выделим на этой ленте бесконечно ма-
малый элемент ВС и рассмотрим его равновесие под действием всех
приложенных к нему сил. Этими силами являются: натяжения нити
Т и Т + dTy сила трения dF, реакция связи dN.'
Для равновесия элемента необходимо,- чтобы алгебраическая
сумма всех сил, приложенных к нему, была равна нулю. Проекции
Рис. L

118 МЕХАНИКА
этих сил на ось ординат и ось абсцисс соответственно дают
(Т + dT) cos Ц — (T + dF) cos Ц = 0.
Из первого уравнения, заменяя для малых углов sin (йф/2)
через dyl2 и пренебрегая величинами второго порядка малости,
получаем
dN = T dq. C)
Из второго уравнения получаем
dF = dT. D)
Из уравнений B)—D) находим
dF = kT dq " E)
или
AT
F)
Полагая k постоянной величиной, не зависящей от Г, интег-
интегрированием по всей длине линии контакта ленты с поверхностью
цилиндра, получаем
1п^- = &ф или Tx = T2ek^ G)
где е = 2,718 — основание натуральных логарифмов.
Величина Т нарастает с увеличением угла <р очень быстро.
Для иллюстрации этого напомним, что двумя-тремя оборотами
каната вокруг цилиндрической стойки удерживается теплоход на
причале. Для величины коэффициента силы трения скольжения
имеем
Пользуясь этой формулой, вычисляют величину коэффициента силы
трения скольжения.
Описание установки. На оси электромотора укреплен (рис. 2)
металлический цилиндр-шкив А радиуса R. Гибкая лента-ремень,
к которой могут прикрепляться ленты из различного материала,
прижимает эти ленты к поверхности шкива, охватывая его нижнюю
половину (угол ф = л). Натяжение ленты создается и измеряется

16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ 119
пружинными динамометрами Сх и С2. Вращением гаек Dx и D2
динамометры можно перемещать по вертикали, изменяя этим натяже-
натяжение ремня. Коэффициент силы трения скольжения определяется,
следовательно, для пары «металл шкива — материал ленты» (ука-
(указывается на установке).
На оси электромотора укреплен другой мотор (не изображен
на рисунке) постоянного тока, служащий динамо-машиной. К его
клеммам присоединен вольтметр. Появляю-
Появляющаяся при вращении его ротора разность
потенциалов U позволяет определить угловую
скорость со вращения шкива. На установке
приводится коэффициент п уравнения
со = nU. (9)
i.
В
1
В
Рис. 2.
Перед началом измерений необходимо
произвести тарировку пружин каждого дина-
динамометра. Для этого, сняв ремень с динамо-
динамометра, укрепляют на конце его пружины
платформу известной массы. На нее после-
последовательно, один за другим, помещают грузы,
массы которых также известны, и отмечают
показания на шкале динамометра. По полу-
полученным данным строят тарировочный график.
Поступая так же, получают график для вто-
второго динамометра.
Измерения. Для измерений ремень укрепляют на динамометрах
так, чтобы он был прижат к шкиву. При полностью введенных со-
сопротивлениях реостатов включают электромотор. Постепенно умень-
уменьшая сопротивление, доводят напряжение на моторе до величины,
указанной на нем. Необходимо, чтобы в этом случае (наибольшая
скорость скольжения) лента была прижата к шкиву.
Измерения сводятся к одновременным отсчетам показаний U
на вольтметре и натяжений 7\ и Т2 на динамометрах, при постепен-
постепенном увеличении скорости вращения шкива.
Каждый отсчет необходимо делать при установившемся враще-
вращении (U = const). Из формулы (9) вычисляют угловую, а затем ли-
линейную скорость шкива. По формуле (8) вычисляется величина
коэффициента силы трения скольжения. (Число замеров, радиус
шкива и другие величины, не указанные в описании, приведены на
установке.)
Полученный экспериментальный материал следует представить
графически. На миллиметровой бумаге наносят по оси абсцисс
скорость скольжения, а по оси ординат — величину коэффициента
силы трения скольжения.
Оставлять мотор включенным с прижатой к шкиву лентой не
следует.

J20 МЕХАНИКА
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VI, § 42.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. VII.
ЗАДАЧА 17
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ СУХОГО ТРЕНИЯ
(ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ)
Принадлежности: 1) установка, 2) миллиметровая бумага.
Введение. При качении колеса по наклонной плоскости возни-
возникают силы трения. Если колесо катится без скольжения, то соз-
создается сила трения покоя. Величина этой силы F определяется зако-
законом Кулона
F^kN, A)
где k — коэффициент трения покоя, N — сила нормального давле-
давления. Сила трения F всегда параллельна плоскости соприкосновения
трущихся тел.
Если колесо катится со скольжением, то появляется сила тре-
трения скольжения, величина которой определяется равенством
F, = k,N. B)
Коэффициент трения кг зависит не только от свойств трущихся
поверхностей, но и от их относительной скорости. Если скорости
движения не слишком велики, его можно считать постоянным и
равным коэффициенту k (kx ^ k).
При качении цилиндра по плоскости следует учитывать неупру-
неупругую деформацию плоскости и цилиндра. Реакция опоры не проходит
через центр тяжести цилиндра, а несколько смещена вперед по дви-
движению. Это приводит к появлению момента реакции опоры относи-
относительно оси вращения цилиндра, препятствующего его вращению.
Этот момент носит название момента сил трения качения и может
быть записан в виде
М = k2N, C)
где k2 — коэффициент момента сил трения качения. Он существенно
отличается от коэффициентов k и kl9 так как является размерной
величиной и, по существу, характеризует плечо силы давления
опоры относительно оси цилиндра.
Теория.-Коэффициенты трения k, ku k2 можно определить из
измерения скорости движения шарика по желобу.
1. При незначительных углах наклона желоба к горизонту
шарик, находящийся в желобе, будет в состоянии покоя. Наиболь-

17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ СУХОГО ТРЕНИЯ
121
ший угол, при котором шарик еще не начинает скатываться, полу-
получим из условий равновесия (рис. 1, а)
mg sin ах — F = О,
Fr — k2mg cos аг = О,
D)
где т — масса шарика, F — параллельная плоскости сила трения,
покоя, g — ускорение силы тяжести, г — «плечо» силы F.
Рис. 1.
Эти уравнения дают
E)
Если величина угла аг известна (см. ниже), то из уравнения E)
можно вычислить коэффициент ?2.
2. При увеличении угла наклона желоба с угла а = ах начи-
начинается качение шарика без скольжения. Для желоба прямоугол-ь-
ного сечения уравнения движения шарика (рис. 1, б) запишутся
в виде
тх = mg sin a — F,
mgcosa — N = О,
х = rep,
F)
при этом / = B/5) mR2> r = Ry 1/2 (R — радиус шарика, J — мо-
момент инерции шарика, х — ускорение движения центра масс ша-
шарика, ^ — угловое ускорение шарика).
Из этих уравнений получим
F = gtng Usina+ 5— cos a j,
G)
x= gg (sina — у cosaj.

122 МЕХАНИКА
Так как по закону Кулона F ^ kmg cos а, то уравнение
1 / k \
F = kmg cos а2 = дтё D sin a2 + б ~ cos a2 j (9)
определяет наибольшее значение угла a = a2, при котором еще
возможно движение без скольжения.
Из уравнения (9) получим
Если a2 и &2 известны (см. ниже), уравнение A0) позволяет вычис-
вычислить коэффициент k.
Из уравнения (8) видно, что центр масс шарика движется рав-
равномерно ускоренно. Если его начальная скорость была равна нулю,
то для расстояния х, проходимого им за время /, имеем
*=4»«. . (И)
Уравнения (8) и A1) дают
A2)
cos a
где E/9)g sin a = / — ускорение движения точки центра масс шарика
без учета трения качения. В предельном случае, когда х = 0,
а угол a = аъ уравнение A2) приводит к уравнению E). Уравнение
A2) позволяет определить коэффициент k2t измеряя время скаты-
скатывания шарика для различных углов наклона желоба.
3. При углах наклона желоба a > a2 движение шарика можно
(приближенно) считать чистым скольжением. Уравнение движе-
движения центра масс шарика может быть написано в виде
тх = tng sin a — kxmg cos a. A3)
Из уравнений (Л) и A3) получим
^)^ A4)
Уравнение A4) позволяет определить коэффициент k± для различ-
различных углов наклона желоба.
Описание установки. Основная часть установки — металли-
металлический желоб прямоугольного сечения, имеющий длину 200 см.
Он может поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через его середину. Вращением двух цилиндрических гаек, нахо-
находящихся по обе стороны желоба, он может закрепляться в нужном
положении. Угол наклона желоба к горизонту а определяется угло-
угломером. Внутренняя поверхность желоба покрыта лентой из мате-
материала, легко деформирующегося при движении стального шарика

17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СИЛЫ СУХОГО ТРЕНИЯ 123
диаметром 3 см. Измерение коэффициентов трения производится,
следовательно, для пары «материал ленты — сталь».
На верхнем (правом) торце желоба помещен пружинный.зажим,
который удерживает шарик; на нижнем торце установлен стержень,
смещаемый ударом движущегося шарика. Зажим и стержень свя-
связаны с контактами цепи электросекундомера (ПВ-53Л), которым
измеряется время движения шарика на расстоянии х = 200 см:
при нажатии на кнопку (в правом верхнем торце желоба) зажим
освобождает шарик и одновременно включает секундомер; при ударе
шарика о стержень цепь размыкается и секундомер останавли-
останавливается. Секундомер включен в сеть переменного тока E0 гц) напря-
напряжением 220 в.
При измерениях необходимо помнить:
1. Кнопка, освобождающая шарик и включающая секундомер,
должна быть включена в течение всего времени движения ша-
шарика.
2. Стержень, смещаемый при ударе шарика, перед следующим
измерением необходимо вернуть в исходное положение. Возвраще-
Возвращение стрелок секундомера в нулевое положение производится плав-
плавным и длительным нажатием на кнопку прибора. Шарик закреп-
закрепляется под зажимом нажатием кнопки на торце желоба. Нажатие
на кнопку для пуска шарика должно быть плавным без сотрясения
желоба.
Измерения и обработка результатов. Измеряется время дви-
движения шарика при различных (указанных на установке) углах
наклона желоба. Для каждого положения желоба время движения
шарика следует измерить не менее трех раз и взять из них среднее
арифметическое. По формуле A1) вычисляют для всех углов наклона
желоба величину ускорения шарика.
Полученные результаты необходимо представить в виде графика
на миллиметровой бумаге, откладывая по оси абсцисс углы наклона,
а по оси ординат величину ускорения шарика. Удобен масштаб:
1 см — \° и I см — 10 см/сек2 (размер бумаги 30 X 30 см). На эту
же бумагу наносят через каждые 3° график функции / = E/9)g sin a,
т. е. ускорение движения шарика без учета трения качения. Наб-
Наблюдаемое пересечение кривых на графике может быть формально
объяснено тем, что сила трения качения уменьшается с увеличением
скорости движения шарика.
Так как сила нормального давления в условиях задачи изме-
изменяется крайне незначительно, то уменьшение силы трения качения,
по-видимому, связано с уменьшением коэффициента &. Уменьше-
Уменьшение коэффициента объясняется уменьшением деформации ленты
при увеличении скорости движения шарика.
Точка пересечения графиков определяет угол а'2, очевидно,
близкий к углу а2, при котором возникает скольжение, так как даже
при k2 = 0 график ускорения шарика может пересечь теоретиче-

124 МЕХАНИКА
скую кривую х = E/9)g sin а только после появления проскальзы-
проскальзывания. Для этого угла, полагая k2 = 0, из уравнения A0) получим
?=Jtga2. A5)
Экстраполяцией графика х = / (а) до пересечения с осью абсцисс
определяют величину угла ах. Вычисление k2 для углов, больших
аъ но меньших а2, производится по формуле A2), для угла ах —
по формуле E). Коэффициент k вычисляют по формуле A5). Для
углов, больших а2, но значительно меньших 90°, kx вычисляется
по формуле A4).
Полученные значения коэффициентов трения следует сопоста-
сопоставить между собой.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. V, §38, 41, 42; гл. VIII,
§ 72, 75.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. VII, § 44, 49, 50; гл. XIII, § 97.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
3. И. В. Крагельский, В. С. Щедров, Развитие науки о трении,
Изд. АН СССР, 1956, гл. VII.
ЗАДАЧ А 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ И ВРЕМЕНИ
СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ
Принадлежности: установка.
Теория. Отношение относительной скорости тел после удара
иг — и2 к относительной скорости до удара vx — v2 называется
коэффициентом восстановления х):
В условиях опыта коэффициент восстановления может считаться
величиной, зависящей только от материала соударяющихся тел.
Величину коэффициента восстановления и вре-
времени соударения удобно определять при центральном ударе шаров.
Пусть два шара одинаковой массы висят на нитях равной длины,
касаясь друг друга. Если оба шара отклонить на равные углы и одно-
одновременно освободить их, то они, сталкиваясь друг с другом, в любой
Положительные направления скоростей v и и противоположны.

18. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ
125
момент времени будут иметь скорости, равные по величине, но раз-
разные по знаку. Коэффициент восстановления в этом случае равен
;tt-(-tt)
V — (— V)
и
где и — скорость шара (любого) после удара, v — скорость шара
до удара.
Для п последовательных соударений может быть написано п
уравнений:
их = kvl9
и2 = kv2,
ип = kvn.
Пользуясь тем, что иг = и2, и2 — v3y.
ния), из уравнений B) получаем
B)
(пренебрегаем силами тре-
C)
Отношение скоростей может быть заменено отношением расстоя-
расстояний (дуг), проходимых шарами. Если шар опускается по вертикали
на высоту Л, то скорость v может быть представлена в виде
D)
где g — ускорение силы тяжести.
Пусть / — длина нити подвеса шара, а — угол отклонения шара,
5 — расстояние, проходимое шаром. Тогда
При /
a = j, A = /(l— cos а) = 2/sin2 J.
s из этих уравнений получаем
*-!•
Уравнения C)—E) дают
E)
F)
где s0 — расстояние (дуга), проходимое шаром до первого соударе-
соударения, sn — расстояние, проходимое шаром после n-го удара.
Формула F) получена в предположении, что сил трения нет.
В действительности имеет место сила трения шаров о воздух, что
приводит к уменьшению амплитуды каждого последующего колеба-

126 МЕХАНИКА
ния даже при отсутствии соударений (т. е. при колебании одного
шара). Закон убывания амплитуды может быть представлен в виде
Sn = qnS0, G)
где Sn — амплитуда /г-го неполного колебания, q — некоторая кон-
константа, несколько меньшая единицы. Закон убывания амплитуды
может быть проверен экспериментально, так как согласно G)
должны выполняться соотношения
В процессе колебаний с соударениями уменьшение амплитуды
происходит не только в результате действия сил трения, но также и
вследствие неполного восстановления скорости при соударении.
Так как амплитуда пропорциональна скорости в нижней точке,
то S± = kqS0, откуда Sn = knqnS0 = knS'n, т. е. для определения
коэффициента восстановления получаем следующую формулу, учи-
учитывающую силу трения:
Н1Г- <8>
Время соударения зависит от относительной скорости
шаров в момент удара, упругих постоянных для их материала,
а также радиуса шаров.
Если шары соединить проводником с заряженным конденсато-
dom, то в течение времени соударения шаров конденсатор будет раз-
разражаться. Время соударения может быть поэтому отождествлено
со временем разрядки конденсатора. Конденсатор разряжается по
закону
Q(t) = Qoe'^\ (9)
где. С — емкость конденсатора, R — сопротивление цепи при раз-
разрядке, t — время разрядки, Qo — начальный заряд на конденса-
конденсаторе, Q (t) — заряд, оставшийся на конденсаторе к моменту вре-
времени t.
В нашем случае в момент времени t = т процесс разрядки пре-
прерывается, поэтому время соударения т равно
т = /?С1п|, A0)
где Q — заряд, оставшийся на конденсаторе после соударения.
Для измерения величины заряда пользуются баллистическим
гальванометром (см. задачу 84, т. II), отклонение рамки которого про-
пропорционально величине заряда. Величины зарядов пропорцио-

18. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ
1.27
нальны, таким образом, смещениям «зайчика» по шкале при-
прибора
Qo = фп0 и Q = р/г,
где E— коэффициент пропорциональности, п0 и п-^-деления
шкалы. Пользуясь этими соотношениями, получаем окончательно
т = ЯС1п^. A1)
Этой зависимостью и пользуются в настоящей задаче при измере-
измерении времени соударения.
Описание установки. Схема установки приведена на (рис. 1).
Шары А подвешены на двух металлических нитях каждый, что пре-
предохраняет их от вращения вок-
вокруг вертикальных осей. Шары
удерживаются в отклоненном
положении двумя электромаг-
электромагнитами М, цепи которых соеди-
соединены последовательно. При раз-
размыкании ключом Ki этой цепи
шары освобождаются и ударяют-
ударяются друг о друга. Расстояния,
проходимые шарами, измеряют-
измеряются по шкале Е. Двойной пере-
перекидной ключ К2 служит для за-
зарядки конденсатора С @,5 мкф)
от батареи В B,6 в) и для раз-
разрыва цепи ударяющихся шаров.
В верхнем (на схеме) положении
ножей ключа конденсатор заря-
заряжается, в нижнем при соуда-
соударении шаров он разряжается.
Разомкнутое состояние ключа
позволяет временно сохранить
полный заряд конденсатора или
его часть после соударения
шаров.
Ключ последовательного дей-
действия К3 при его нажатии сна-
сначала размыкает цепь гальвано-
гальванометра О (проводником / эта цепь замкнута), а
гальванометр на заряженный конденсатор.
Рис. I.
позже замыкает
Рамка гальвано-
гальванометра приходит в движение, «зайчик» от осветителя дает смещение
по шкале прибора. Прекращение нажатия на ключ /С3 размыкает
цепь «конденсатор — гальванометр» и замыкает цепь гальванометра
на малое сопротивление проводника /, что ведет к успокоению
его колебаний.

128 МЕХАНИКА
Если ошибки ^связанные с определением п0 и п, положить рав-
равными, т. е. An = Ап0, то относительная ошибка, связанная с опре-
определением логарифма, будет равна
A (In (по/п)) = 1 +(яр/я) Ьп
1п(ло/я) 1п (ло/я) п0 '
При заданных п0 и An эта ошибка возрастает при п -> п0 и
при п -> 0. Наиболее оптимальные значения п, соответствующие
минимуму выражения A2), составляют 20—30% от п0. В соответ-
соответствии с этим при С = 0,5 мкф и имеющихся временах соударения
величина R должна быть ориентировочно 200—300 ом. При таком
сопротивлении цепи разрядки можно не учитывать сопротивление
контакта шаров, которое в процессе соударения не остается постоян-
постоянным. В работе применяется гальванометр типа ГЗБ-47.
Измерения. 1. Для измерения коэффициента восстановления
достаточно собрать цепь электромагнитов и убедиться в правиль-
правильности подвеса шаров. Необходима их хорошая центрировка для
получения центрального удара.
Убедившись, что начальные отклонения обоих шаров одина-
одинаковы, размыкают ключ Кг и, отсчитав 10—16 соударений, измеряют
величину Sn (отклонение шара после последнего удара). Это проде-
проделывают 3—5 раз, измеряя величину Sn для каждого шара. Вычис-
Вычисляют среднее арифметическое значение этой величины. Затем изме-
измеряют амплитуду Sn n-го неполного колебания одного шара (т. е.
без соударений), причем п равно числу соударений при определе-
определении Sn. Величина коэффициента восстановления определяется
по формуле (8).
2. Для определения времени соударения шаров необходимо
собрать схему полностью. После ее сборки включают освещение
гальванометра и отмечают положение «зайчика» на шкале прибора
(нулевое положение). Затем определяют величину наибольшего
смещения «зайчика» (от нулевого положения), которое соответ-
соответствует прохождению через гальванометр всего заряда Qo. Для этого
замыкания ключ /С2 на батарею, затем размыкают его и замыкают
ключ Кзу удерживая его в этом положении до тех пор, пока не нач-
начнется обратное движение «зайчика».
По шкале прибора отсчитывают величину п0, при этом поль-
пользуются средним арифметическим из трех отдельных смещений «зай-
«зайчика». После этого вновь замыкают ключ К2 на батарею и включают
цепь электромагнитов; шары должны находиться в отклоненном
положении (притянуты к электромагнитам).
Ножи ключа /С2 переводят в нижнее положение (замыкают цепь
шаров); ключом /Сх размыкают цепь электромагнита. После первого
соударения шаров ключ К2 ставят в положение, размыкающее обе
цепи — цепь батареи и цепь шаров (вертикально). Ключом К3
замыкают цепь гальванометра и по шкале прибора отсчитывают

19. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ
129
величину п. Все эти операции проделывают три раза. При замыка-
замыкании ключа Кз его необходимо удерживать в этом положении до тех
пор, пока не начнется обратное движение «зайчика». Время соударе-
соударения определяется по формуле A1).
Нельзя забывать перед нажатием ключа /С3 размыкать ключом
Кч цепи батареи и шаров (ставить ножи вертикально).
ЛИТЕРАТУРА
§80.
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. IV, § 35.
2. С. Г. Калашников, Электричество, «Наука», 1964, раздел I, гл. VII,
ЗАДАЧА 19
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ
БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Принадлежности: 1) баллистический маятник, 2) пружинная пушка,
3) шкала для отсчета, 4) набор снарядов.
Настоящая задача представляет собой один из примеров практи-
практического использования процесса неупругого удара для определения
скорости полета снаряда мето-
методом баллистического маятника.
Баллистический маятник
представляет собой тело массой
М (в нашем случае это цилиндр,
частично наполненный пласти-
пластилином), подвешенное на длин-
длинных легких нитях (рис. 1). В ма-
маятник стреляют по горизонталь-
горизонтальному направлению снарядом,
имеющим массу т и скорость
v, снаряд входит в пластилин
и сообщает общей массе системы
М + т некоторую скорость v'.
Маятник отклоняется, и высоту
его подъема h измеряют.
Если время т соударения пу-
пули с,маятником мало по сравне-
сравнению с периодом Т колебания маятника, то маятник не успевает за-
заметно отклониться от исходного положения за время соударения.
Это значит, что во время удара не возникает силы, стремящейся вер-
вернуть маятник в исходное положение. Поэтому в таком случае систе-
систему «снаряд — маятник» можно рассматривать как замкнутую и при-
применять к ней законы сохранения количества движения и момента
м
Рис.

130 МЕХАНИКА
количества движения. В условиях нашей задачи т ^ 7\ следова-
следовательно, можно написать
mv = (М + т) х/. A)
(до удара) (после удара)
Применение здесь к удару пули о маятник закона сохранения коли-
количества движения в системе «снаряд — маятник» является вполне до-
допустимым приемом решения данной задачи, но совсем не универ-
универсальным для задач о соударении двух твердых тел, из которых
одно имеет неподвижную ось вращения.
Возможность использования закона сохранения количества
движения связана в данном случае с тем, что размеры маятника малы
по сравнению с длиной нити подвеса, т. е. данный маятник можно
рассматривать как математический, и тогда, как легко показать,
уравнение, выражающее закон сохранения момента количества
движения, переходит в уравнение, выражающее закон сохранения
количества движения.
Действительно, закон сохранения момента количества движения
для системы пуля — маятник запишется в виде
mvl = J(o, B)
где mvl — момент количества движения пули до удара, J — момент
инерции маятника с пулей относительно оси вращения О (с угло-
угловой скоростью со = v'/l)
у = (Af + m) /2
(/ — расстояние от центра тяжести системы «маятник — пуля» до
точки подвеса). Подставляя это значение J в формулу B), получим
mvl = (М + т) /2 у, или mv = (М + т) v\
т. е. соотношение, выражающее закон сохранения количества
движения.
В общем случае при ударе снаряда в маятник произвольной
конфигурации для решения задачи нужно пользоваться законом
сохранения момента количества движения. Однако для любого
маятника существует некоторый центр удара, совпадающий с цент-
центром качания маятника, при ударе в который никакого взаимодей-
взаимодействия между маятником и его осью в момент удара не происходит.
При ударе пули в центр качания уравнение закона сохранения
момента количества движения можно записать в виде B), считая
/ расстоянием от О до центра качания маятника (см. [2]).
Если массы Миши скорость v' определены на опыте, то ско-
скорость v может быть вычислена из соотношения A). Очевидно, массы
Мит можно определить путем взвешивания. Что касается ско-
скорости v\ то она может быть определена из следующих соображений.

19. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ
131
После удара маятник повернется вокруг горизонтальной оси, и его
центр тяжести поднимется вверх на высоту к. Закон сохранения ме-
механической энергии после удара запишется в этом случае в виде
откуда
v' = Y2gh . C)
Величина h может быть определена из измерений отклонения маят-
маятника от положения равновесия (рис. 1). Длина нитей /0, на которых
подвешен маятник, считается заданной.
Воспользуемся опять обозначением / для расстояния от центра
тяжести маятника до точки подвеса. Тогда
= l — lcosa =
D)
где а — угол отклонения маятника от положения равновесия.
В свою очередь угол а может быть определен из условия
tga = |, E)
где S — смещение нити отсчетной рамки в горизонтальном направ-
направлении, а R — расстояние этой рамки до точки подвеса R = / + а%
Учитывая формулы A),
C), D), окончательное вы-
выражение для скорости по-
полета снаряда записываем
в виде
М4-т
F)
Измерения. Сначала
взвешивают снаряды и ци-
цилиндрическое тело маятни-
маятника. Затем подвешивают
тело маятника на нити.
Регулируют длину нитей
так, чтобы направление
оси цилиндра было гори-
горизонтально и перпендикулярно к линии, соединяющей обе точки
подвеса. При этом надо следить за тем, чтобы нити подвеса не перек-
перекручивались. Устанавливают шкалу, предназначенную для опреде-
определения отклонения маятника, параллельно отсчетной рамке маят-
маятника на расстоянии примерно 5—6 мм от нее. Подготавливают пушку
к выстрелу. Для этого рычаг 1 (рис. 2) отводят в крайнее правое
Рис. 2.

132 МЕХАНИКА
положение. Вставляют снаряд в дуло пушки 2 и задвигают его
шомполом до отказа. Тщательно убедившись в том, что снаряд,
вылетевший из пушки, может попасть только в маятник, производят
выстрел. Для этого курок 3 отводят вертикально вниз. Делают отсчет
отклонения маятника по шкале.
Для каждого снаряда производят не менее пяти выстрелов и
соответственно этому не менее пяти отсчетов отклонения маятника.
По этим данным находят среднее значение отклонения S. По
формуле E) находят величину а, считая tga я« sin a ^ a, и под-
подставляют ее в формулу F) для определения скорости полета сна-
снаряда.
Опыты производят с тремя снарядами.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965.
2. В. Л. Кирпичев, Беседы о механике, Гостехиздат, 1951.
3 А Д А Ч А 20
КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3) сантиметровая
линейка.
Теория. Цель задачи — определение скорости пули при помощи
крутильного баллистического маятника.
После попадания пули в маятник (см. его описание) он начинает
колебаться вокруг своей вертикальной оси. Если пренебречь при
его движении моментом сил трения, то можно воспользоваться
двумя законами сохранения.
На основании закона сохранения моментов количества движения,
считая удар полностью неупругим, можно написать (до удара
и после)
mvl = (Ух + ml2) a), A)
где т — масса пули, v — ее скорость, / — расстояние от оси вра-
вращения маятника до точки удара пули, со — угловая скорость маят-
маятника, /х — момент инерции маятника.
Закон сохранения механической энергии (после удара) дает
lf(J1 + ml*)<** = lJD<?*> B)
где ф — угол (наибольший) поворота маятника, D — постоянная
момента упругих сил.

20. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 133
Из этих уравнений получаем
A + mP). C)
Так как момент инерции пули ml2 во много раз меньше Jly то урав-
уравнение C) может быть написано в виде
<«
Будем считать, что 1) т < 7\ т. е. время воздействия пули на
маятник во много раз меньше периода колебаний маятника (балли-
(баллистический маятник), 2) sin а я^ а, т. е. угол отклонения маятника
мал — не более 5—6°.
Уравнение движения баллистического маятника при этих усло-
условиях может быть написано в виде
Jxa = — Da,
где a — угол поворота маятника, a — угловое ускорение. Решение
этого уравнения приводит к выражению для периода колебаний 7\
Для исключения величины D можно поступить следующим об-
образом. Изменим момент инерции маятника, изменив расстояние
между грузами. Тогда
7\ =
F)
Л-У2 = АУ, G)
где Г2 — период колебаний при новом значении момента инер-
инерции /2> &J — разность моментов инерции.
Уравнения F) дают
Из уравнений G) и (8) получаем
М ' 2
Уравнения D), E) и (9) дают

134
МЕХАНИКА
Величину А/ можно определить, пользуясь теоремой Штей-
нера. Из этой теоремы следует, что
A1)
A2)
где Jq — момент инерции маятника, когда центры тяжестей грузов
С (см. рис. 1) совпадают с осью вращения маятника, Jx — момент
инерции, когда оба груза находятся на расстоянии Rx от оси враще-
вращения, /2 — момент инерции, когда оба груза находятся на расстоя-
расстоянии R2y М — масса одного груза.
Пусть /?х >/?2, тогда из уравнений A1) и A2) получаем
Л - J2 = AJ = 2М (RI — RI). A3)
Уравнения A0) и A3) окончательно дают
4яфМ
ml T!-
A4)
Описание установки. Установка состоит из крутильного маят-
маятника и пистолета. Крутильный маятник (рис. 1) собран из двух
массивных металлических стержней, скрепленных муфтой Л.
D
Рис. 1.
По горизонтальному стержню между кольцами В и муфтой А
могут перемещаться два металлических цилиндра (груза) С. Вблизи
концов стержня в разных местах могут закрепляться чашечки D,
наполненные пластилином.
Для измерения угла поворота маятника на его вертикальном
стержне укреплено зеркальце ?. Луч света от осветителя, отражаясь
от зеркальца, скользит по шкале (на рисунке не показана).

20. КРУТИЛЬНЫЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 135
Величина угла поворота ф определяется с учетом закона отра-
отражения луча
™ 1 п
где L — расстояние от зеркальца до «зайчика» На шкале, п — число
делений шкалы, на которое смещается «зайчик».
Маятник укреплен на кронштейне при помощи проволоки Fy де-
деформация которой создает момент упругих сил, и подшипника /С
Вращением головки N вертикальная плоскость маятника может быть
установлена в нужном положении.
Пистолет представляет собой металлическую трубку-ствол, ук-
укрепленную на массивном основании. В закрытом конце этой трубки
имеется пружина. Пружина сжимается, пуля опускается в ствол.
После освобождения пружины пуля выбрасывается.
Измерения. Они сводятся к измерению длины и времени (массы
пули и цилиндров известны). Начинают с того, что оба цилиндра
раздвигают вдоль стержня так, чтобы они касались колец. Изме-
Измеряют величину /?х, т. е. расстояние между осью маятника и середи-
серединой одного из цилиндров. Измеряют также / — расстояние между
осью маятника и серединой одной из чашечек с пластилином. Затем
устанавливают правильное расположение маятника и пистолета так,
чтобы
1) «зайчик» был на середине шкалы;
2) ось ствола пистолета была перпендикулярна к оси горизон-
горизонтального стержня маятника; ось ствола и ось стержня были в одной
горизонтальной плоскости;
3) конец ствола пистолета был на расстоянии 2—3 см от поверх-
поверхности пластилина в чашечке. Это достигается поворотом маятника
(вращением головки N) и правильным расположением пистолета,
свободно перемещаемого по столу.
Расстояние L между зеркальцем и «зайчиком» измеряют сдн-
тиметровой линейкой. После этого производят «выстрел», пистолет
отодвигают в сторону и отсчитывают величину я, т. е. наибольшее
отклонение «зайчика» от положения равновесия.
Для измерения периода колебаний Тъ не останавливая маят-
маятника, пускают в ход секундомер. Через десять полных колебаний
секундомер останавливают, определяют среднее арифметическое
значение величины периода.
Уменьшив момент инерции маятника (придвинув цилиндры
вплотную к муфте), измеряют R2 — расстояние между осью маят-
маятника и серединой одного из цилиндров.
Для измерения периода колебаний Г2 снова производят «вы-
«выстрел» (измерять отклонение «зайчика» по шкале не следует). Опре-
Определение величины периода Т2 производится'так же, как и величины
периода 7\.

136 МЕХАНИКА
По формуле A4) определяют ркорость пули.
Для грубой оценки времени соударения т можно измерить штан-
штангенциркулем глубину проникновения пули в пластилин d и восполь-
воспользоваться выражением
где Ъ = v/2 — средняя скорость движения пули в пластилине.
Сравнение т и 7\ дает возможность убедиться в том, что маят-
маятник является баллистическим.
Все измерения необходимо производить не менее трех раз и
пользоваться средним арифметическим значением измеряемой ве-
величины.
Измерение скорости пули может быть также проведено кинема-
кинематическим методом. Поместим начало координат в точку вылета пули
из ствола пистолета. Ось х направим горизонтально по направлению
движения пули, ось у — вертикально вниз.
Пренебрегая силами трения, уравнения закона движения пули
запишем в виде
x=vt, y = \gt\
где v — искомая скорость пули, g — ускорение силы тяжести,
t — время.
Эти уравнения дают
v - х I/TIT
Для определения хи у поступают следующим образом. Пистолет
ставят на угол стола, ствол пистолета направляют вдоль стола.
На столе, в плоскости полета пули, располагают большую линейку
с сантиметровыми делениями. Затем производят выстрел и при попа-
попадании пули на линейку (или у края ее) определяют дальность по-
полета пули, т. е. величину х. Это следует проделать не менее десяти
раз и вычислить среднее арифметическое значение измеряемой
величины.
Величину у (высота падения пули) измеряют линейкой, имеющей
миллиметровые деления.
Величина скорости пули, получаемая кинематическим методом,
должна быть близкой (при отсутствии грубых ошибок при измере-
измерениях) к величине скорости, получаемой динамическим методом.
ЛИТЕРАТУРА
С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. V, §87; гл. VII, § 53.;
гл. XIV, § 124.

21. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА 137
ЗАДАЧ А 21
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Принадлежности: 1) установка, 2) разновесы, 3) секундомер.
Описание установки и теория. Цель задачи — ознакомление
со сложным движением твердого тела на примере движения маят-
маятника Максвелла.
Установка, применяемая в настоящей задаче, состоит из равно-
плечных лабораторных весов А (рис. 1), установленных на
высоте около 2 м над уров-
уровнем пола. К концу коро-
коромысла весов, вместо снятой
платформы, на треугольном
стремени В подвешивается
маятник. Он представляет со-
собой однородный металличес-
металлический диск С, в середине кото-
которого укреплен металлический
стержень D. К концам этого
стержня прикреплены две
крепкие (капроновые) нити.
Они тщательно, виток к витку,
наматываются на стержень
(от концов его к диску). При
освобождении маятника он
начинает движение: поступа-
поступательное вниз и вращательное
вокруг своей оси симметрии.
Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения
(когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити
на стержень, а, следовательно, и к подъему маятника. Движение
маятника после этого замедляется, маятник останавливается и снова
начинает свое движение вниз и т. д. Расстояние, проходимое маят-
маятником, измеряется по вертикальной рейке Е с делениями.
Уравнения движения маятника без учета сил трения имеют вид
Рис.
ma = mg — 27,
Je = 27>,
а — ег,
A)
B)
C)
где т — масса маятника, J — момент инерции маятника, g — ус-
ускорение силы тяжести, г — радиус стержня, 7 — натяжение нити
(одной), а — ускорение поступательного движения центра масс
маятника, 8 — угловое ускорение маятцика. Ускорение а может

138 МЕХАНИКА
быть получено по измеренному времени движения t и проходимому
маятником расстоянию s из уравнения
которое является следствием уравнений A) — C).
Уравнения A) — C) дают
2T = m(g — a), E)
3=Цг\ F)
Пользуясь этими уравнениями, определяют момент инерции маят-
маятника Максвелла. Натяжение нитей при движении маятника можно
вычислить из уравнения A), зная а, а также измерить непосред-
непосредственно.
Измерения. Для выполнения работы необходимы два человека.
Измерения начинают с определения нулевой точки весов. После
этого определяют величину 2Т0, т. е. натяжение нитей при спокойно
висящем маятнике. Для этого маятник взвешивают не менее трех
раз. За истинный вес принимают среднее арифметическое значение
из трех полученных значений веса.
Для определения натяжений нитей при движении маятника про-
производят взвешивание опускающегося маятника. Для этого очень
тщательно, виток к витку, на стержень маятника навивают нити.
Поддерживая маятник рукой (нити его должны быть расположены
в вертикальной плоскости), его затем освобождают и за время его
опускания производят взвешивание.
Изменение натяжений нитей (по сравнению с покоящимся маят-
маятником) незначительно, но это изменение все же необходимо опре-
определить. Взвешивание поэтому производят не менее десяти раз.
Абсолютно необходимо, чтобы к моменту достижения маятником
наинизшего положения, когда происходит рывок нитей, весы были
бы уже арретированы, для этого необходимо, чтобы один работаю-
работающий взвешивал, другой арретировал весы к нужному моменту
времени.
Ускорение поступательного движения (вниз) маятника опреде-
определяют, измеряя время, за которое стержень маятника опустится на
расстояние S = 100 см (отсчитывается по рейке). Время опускания
измеряют секундомером не менее 5—6 раз и определяют среднее
арифметическое. По формуле D) получают величину ускорения по-
поступательного движения маятника (оси его стержня).
Для более точного измерения времени на рейке Е могут закреп-
закрепляться в разных положениях два легких рычага — контакта (не
указаны на рисунке). Ударяясь об эти рычаги, маятник после-
последовательно, одну за Другой, размыкает цепи двух неоновых лампо-

22. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА (ПРЕЦЕССИЯ) 139
чек, лампочки гаснут. При погасании первой лампочки секундомер
пускают в ход, при погасании второй его останавливают. Первый
рычаг необходимо укрепить на рейке непосредственно под маятни-
маятником, так как формула D) применима при движении без начальной
скорости.
После определения момента инерции маятника по формуле F)
следует рассчитать величину момента инерции, зная размеры маят-
маятника и массы его частей.
При измерениях следует убедиться, что ускорение поступатель-
поступательного движения маятника, так же как и натяжение нитей, одинаково
как при движении маятника вниз, так и при движении вверх.
Все измерения необходимо производить с большой осторож-
осторожностью, так как маятник легко повредить, если даже незначительно
погнуть его стержень. Маятник с погнутым стержнем при своем дви-
движении начинает «бить»; сильно раскачиваясь из стороны в сторону.
Проводить измерения с таким маятником опасно. Следует поэтому
оберегать маятник от ударов об пол, край стола и т. п.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, § 58.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, гл. VI,
§41.
3 А Д А Ч А 22
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА (ПРЕЦЕССИЯ)
Принадлежности: 1) прибор, 2) секундомер, 3) запасной ротор мотор-
моторчика с диском, 4) эталонный цилиндр, 5) штангенциркуль.
Введение. Гироскопом называется твердое тело, быстро вращаю-
вращающееся вокруг своей оси симметрии. Для быстро вращающегося ги-
гироскопа можно считать, что направления векторов главного мо-
момента количества движения и мгновенной угловой скорости мало
отличаются от направления оси симметрии фигуры. Именно это
позволяет судить о движении вектора главного момента коли-
количества движения по движению видимой оси симметрии гироскопа,
При наличии момента внешних сил главный момент количества
движения, а следовательно и ось гироскопа, совершают прецессион-
прецессионное движение так, что
M = JVQ, A)
где М — момент внешних сил, Q — угловая скорость прецессии,
iV = /со — главный момент количества движения — произведение
момента инерции гироскопа на угловую скорость его собственного
вращения со.

140
МЕХАНИКА
Цель задачи —а) ознакомление с особенностями движения гиро-
гироскопа, б) определение угловой скорости собственного вращения
гироскопа со.
Описание прибора. Прибор (рис. 1) состоит из электрического
моторчика Л, укрепленного в обойме В. Обойма опирается на верти-
вертикальный стержень С и
Е может вращаться вокруг
! в А Д-, горизонтальной оси, а
вместе со стержнем —
вокруг вертикальной.
X Углы поворота вокруг
этой оси могут опреде-
определяться по шкале D.
Собственно, гироско-
гироскопом является ротор мо-
моторчика с массивным
диском Е. Момент внеш-
внешних сил, приложенных
Рис. 1. к гироскопу, может из-
изменяться при перемеще-
перемещении груза К по стержню обоймы. Питание моторчика переменным
током производится через автотрансформатор, подводка тока к дви-
движущемуся моторчику осуществляется через скользящие контакты
(не показаны на рисунке). В процессе выполнения работы необ-
необходимо соблюдать осторожность и не прикасаться к вращающе-
вращающемуся диску. Перед началом измерений необходимо убедиться в
том, что прибор может свободно вращаться вокруг своих осей.
Измерения. Груз К закрепляют на стержне обоймы так, чтобы
весь прибор Ааходился в безразличном равновесии, ось гироскопа
устанавливают горизонтально. Включают ток и выжидают 3—4 мин,
пока ротор не начнет вращаться с наибольшим числом оборотов.
Смещением груза К создают момент силы тяжести М. Величина
этого момента сил определяется по формуле М = Ph, где Р — за-
заданный вес груза, h — расстояние этого груза от его начального
положения, измеряемое штангенциркулем.
Пользуясь шкалой D, измеряют величину угловой скорости пре-
прецессии при различных значениях момента М (при различных зна-
значениях плеча А). Необходимо сделать 5—6 измерений, а затем уже
выключить ток и тем самым прекратить вращение ротора.
При устойчивой работе моторчика (со = const) в пределах
ошибок измерений должно соблюдаться условие
Q2
B)
Пользуясь этим, определяют величину С — среднее арифметическое
значение величины С,

23. ИЗМЕРЕНИЕ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ 141
Величину угловой скорости собственного вращения со определяют
согласно формуле A) из соотношения
<о=4 C)
где J — момент инерции ротора с диском. Определение этой ве-
величины производится сравнением периодов крутильных колебаний
имеющегося отдельного ротора с диском и эталонного цилиндра.
Их попеременно укрепляют на нити (рис. 1) и с помощью секундо-
секундомера определяют периоды их крутильных колебаний. Этот период
определяется по формуле
/? D)
где / — модуль кручения, а У — момент инерции тела.
Момент инерции Jo эталонного цилиндра массы т и радиуса г
равен Jo — тг2/2.
Написав уравнение D) для эталонного цилиндра и ротора мотор-
моторчика и исключая из этих уравнений /, получим для момента инерции
моторчика
Т — I* F — -А гпг2
j — j2Jo — 2Р '
где 7\ и Т2 — периоды колебаний цилиндра и ротора моторчика
соответственно.
Периоды колебаний определяют при помощи секундомера из
10—15 полных колебаний, следя за движением закрашенных полос
на образующих ротора и эталона.
Масса m определяется взвешиванием, радиус г измеряется штан-
штангенциркулем.
При выполнении работы следует проследить за поведением гиро-
гироскопа при небольших нажатиях на конец стержня обоймы (не на вра-
вращающийся диск!). Необходимо усвоить, что движение гироскопа
определяется направлением момента сил, а не просто сил.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. VII, § 65, 67.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XIII, § 103, 104.
3 А Д А Ч А 23
ИЗМЕРЕНИЕ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3) мерный сосуд.
Введение. Постоянная реактивная сила действует на тело тогда,
когда имеется постоянный поток частиц вещества,' выбрасываемый
этим телом. В качестве примера появления реактивной силы и дви-

142
МЕХАНИКА
вызванного ею, укажем на ракету, выбрасывающую поток
газа. Применение закона сохранения количества движения к системе
«тело — выбрасываемое им вещество» показывает, что:
1. Направление реактивной силы противоположно направлению
относительной скорости выбрасываемого потока частиц.
2. Величина реактивной силы Ф равна
ф--&*. а)
где Am/A* — масса вещества, выбрасываемого в единицу времени,
v — скорость выбрасываемых частиц относительно ракеты.
В настоящей задаче
реактивная сила струи
воды измеряется двумя
независимыми друг от дру-
друга методами.
Описание установки.
Схематически вид уста-
установки приведен на рис. 1.
Основная ее часть — ме-
металлический маятник АВ.
Он может колебаться в
вертикальной плоскости,
опираясь на нож призмы
в точке С. Нижняя часть
маятника — полая трубка,
имеющая на конце А пат-
патрубок, внутреннее сечение
которого S. Верхняя пред-
представляет собой сплошной
стержень, по которому мо-
может перемещаться и зак-
закрепляться на нем цилиндр
D весом Т. Вблизи точки С
трубка имеет отросток,
ось которого параллельна
лезвию ножа призмы и
который соединен с мяг-
мягким резиновым шлангом.
По шлангу подается вода,
которая вытекает из пат-
патрубка, образуя струю. Появляющаяся при этом реактивная сила
отклоняет маятник от вертикального положения. При постоянном
потоке воды угол отклонения стержня постоянен.
Постоянство потока осуществляется тем, что вода в маятник
поступает по трубке 2 из специального сосуда М. Поступающая из
Ф
Рис. 1.

23. ИЗМЕРЕНИЕ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ 143
водопровода по трубке / вода наполняет этот сосуд до постоянного
уровня, излишек воды сливается в раковину по трубке 3. На трубке 2
имеется пружинный зажим /С, при помощи которого можно пере-
перекрывать ток воды в маятник. Вода, вытекающая из маятника, течет
по желобу Е и собирается в мерный сосуд G.
Теория. Силами, приложенными к маятнику (см. рисунок),
являются; 1) реактивная сила Ф, 2) сила тяжести маятника Р
(с водой, но без цилиндра ?>), 3) сила тяжести Т цилиндра D.
1. Пусть расстояния точек приложения сил Ф, Р, Т от оси вра-
вращения маятника соответственно будут L, а, Ь. Уравнение моментов
сил относительно оси вращения маятника может быть написано
в виде
ФЬ + Tb sin а = Pa sin a, B)
где а — угол отклонения маятника от вертикали.
Если измерить углы аг и а2 отклонения маятника при двух раз-
различных положениях Ьг и Ь2 цилиндра D, то из уравнений B), исклю-
исключая Ра, получим
Ф-т(&2-&1) sinaiSina* . C)
L v 2 1У sma2 — smci! v 7
Для дальнейших вычислений удобно заменить величины Ьг и Ь2
расстояниями от точки центра тяжести цилиндра до верхней точки
конца маятника, которые измеряются непосредственно. Обозначая
их соответственно через 1г и /2, а через /0 — расстояние от точки
опоры стержня до его верхнего конца, можем написать:
/0 — /i, b2 = l0 —
D)
где хг и х2 — отклонения верхнего конца стержня по горизонтали.
Из уравнений C) и D) получим
Этим уравнением пользуются для вычисления реактивной силы
первым способом.
2. Величина реактивной силы может быть определена и другим
способом. Пусть средняя (по сечению S патрубка) скорость исте-
истечения воды будет v. Для массы воды, вытекающей за единицу
времени, пренебрегая сжатием струи, можем написать
где р — плотность воды.

144 МЕХАНИКА
Для величины реактивной силы получим
^ ^ G)
Масса выбрасываемой в единицу времени воды может быть опреде-
определена по объему воды Q, стекающей в мерный сосуд за время t:
= ^p. (8)
Из уравнений G) и (8) получим
• = !(?)"¦ »
Этим уравнением пользуются для вычисления реактивной силы вто-
вторым способом.
Измерения. Значения величин L, /0 и Г, необходимые для вы-
вычисления реактивной силы первым способом, приведены на уста-
установке. Последовательность измерений следующая. Цилиндр D за-
закрепляют в одном из его положений, маятник устанавливают так,
чтобы он мог свободно колебаться. При вертикальном положении
маятника по миллиметровой шкале отсчитывают расстояние lv
Медленно открывают кран водопровода и при установившемся от-
отклоненном положении маятника по миллиметровой шкале отсчи-
отсчитывают расстояние xv
Пружинным зажимом (не закрывая кран водопровода) прекра-
прекращают доступ воды в маятник. Цилиндр D закрепляют-в другом по-
положении и вновь, повторяя те же операции, производят измерения.
Не следует помещать цилиндр D слишком близко к оси вращения
маятника, это уменьшает точность измерения величины х. Не ре-
рекомендуется закреплять его и далеко от этой оси, так как в этом
случае маятник при отклонении может опираться гранью своей
призмы на подставку.
По полученным данным, пользуясь формулой E), вычисляют
величину реактивной силы. За истинное значение принимают сред-
среднее арифметическое из трех отдельных измерений реактивной силы.
Для определения силы вторым способом собирают вытекающую
воду в мерный сосуд. Не менее трех раз, пользуясь секундомером,
определяют объем воды, вытекающей, например, за 10 сек. Зная
величину S (дается на установке), по формуле (9) вычисляют вели-
величину реактивной силы. Значения реактивной силы, полученные по
формулам E) и (9), должны быть (в пределах ошибок измерений)
одинаковыми.
"ЛИТЕРАТУРА
С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XII, § 110.

24. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
145
3 А Д А Ч А 24
ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ (РАКЕТА)
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер.
Теория. Цель задачи — изучение движения тела, движущегося
подобно ракете.
Установка, применяющаяся при этом, изображена схематически
на рис. 1. Она состоит из двух полых цилиндров А и В равного
веса и объема, которые висят на нити, перекинутой через блок С.
Цилиндр В имеет одно отверстие в середине дна. Цилиндр
А имеет два одинаковых отверстия в боковой поверхности.
Оба цилиндра могут наполняться водой. Отвер-
Отверстия в цилиндрах подобраны так, что масса во-
воды, вытекающей в единицу времени, одинакова
для обоих цилиндров.
С начала истечения воды к цилиндру В будет
приложена реактивная сила, направленная
вверх, которая и приведет систему в дви-
движение.
Величина реактивной силы Ф определяется
относительной скоростью истечения воды и и
скоростью изменения массы цилиндра (воды)
dm
Уравнение движения для цилиндра В (считаем нить нерастя-
нерастяжимой, пренебрегаем ее массой и силой трения) может быть написано
в виде
dv
B)
где т — масса цилиндра (с водой) в любой момент времени после
начала движения, Т — натяжение нити, g — ускорение силы тя-
тяжести.
Уравнение движения для цилиндра А (при тех же условиях)
имеет вид
dV = rp ,д\
Из уравнений B) и C) получаем
dt
или 2^ = -^
am

146 МЕХАНИКА
Интегрирование при и = const дает/
2^ = —lnm + C.
Определяя константу интегрирования из условия, что при t = О
v = 0, т = т0, получаем
**"=—. D)
Это уравнение отличается от «уравнения Циолковского» только
наличием дополнительного множителя 2 в показателе степени.
Движение цилиндра В, следовательно, аналогично движению
ракеты вне поля тяготения. Упростим это уравнение. Если v < и> то
V
е*и=\+2^1)в E)
Правую часть уравнения D) можно написать в виде
где т0 — масса цилиндра (с водой) при / = 0, т — то же в момент
времени ty m1 — масса воды, вытекшая за время t.
Если тг <^ т0, то
5-i+g-). (б)
Из уравнений D), E) и F) получим
При /Их << т0 масса mj =— at (a = const). Это дает
аи ж
Для расстояния s, проходимого цилиндром В за время /, по-
получаем (по модулю)
Эта формула может быть экспериментально проверена измере-
измерением SH /.
*) Из соотношения в* = 1 + ~. + т^ +- •.+ ^р, пренебрегая членами,
начиная с третьего, получаем е* = 1 + ¦*•
2) Умножив и разделив —— на щ + тъ пренебрегаем величиной т\
Щ — Щ
по сравнению с ml.

24. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
147
Описание установки. Цилиндры А и В (рис. 2) равного веса и
объема из стекла висят на нити, перекинутой через легкий блок С,
который укреплен на стене. Для отсчета уровня воды в цилиндрах
на каждом из них (в верхней части) на-
нанесена шкала. Над цилиндрами имеются
диски D (назначение их будет ясно из
дальнейшего).
Ниже блока С к вертикальной доске
прикреплен прозрачный короб Е с откры-
открытым верхом. Дно короба может откиды-
откидываться рычагом Р. Когда цилиндры висят
примерно на одном уровне, то они нахо-
находятся внутри короба. Ниже первого ко-
короба на доске прикреплен второй короб
G с прозрачной передней стенкой и от-
открытым верхом (подвижное дно первого
короба движется в верхней части вто-
второго короба).
Цилиндры наполняются водой свер-
сверху через две трубки /С, соединенные
гибким резиновым шлангом с краном
водопровода. Трубки могут передви-
передвигаться в горизонтальном направлении.
Передвижение их осуществляется с по-
помощью рычагов (неуказанных на рисунке)
тем же рычагом Р. Когда дно короба
не откинуто (находится в горизонтальном
положении), концы трубок, подающих
воду, находятся над цилиндрами и струи
воды наполняют их. Излишек воды сли-
сливается через края .цилиндров в нижний
короб.
Поворотом рычага Р трубки отодви-
отодвигаются, т. е. прекращается поступление
воды в цилиндры (вода из трубок сли-
сливается в нижний короб) и одновременно
открывается дно короба. При этом освобождается цилиндр А и
начинается движение цилиндров.
Расстояние, проходимое цилиндром В, определяется по шка-
шкале L и может быть заранее задано благодаря платформе М, кото-
которая может перемещаться по стержню N и закрепляться на
нем. При движении цилиндров платформа, сквозь которую про-
проходит нить, не пропускает диска D — движение прекращается.
Стопор S — плоская металлическая пластинка, конец которой
подводится под диск D цилиндра Л, — не позволяет системе
двигаться.
Рис. 2.

148 МЕХАНИКА
Для удаления воды из нижнего короба служит трубка, соеди-
соединенная со стоком раковины водопровода. Трубка эта расположена
несколько выше дна короба, поэтому в коробе всегда имеется вода,
играющая роль амортизатора: цилиндр Л, двигаясь вниз, остана-
останавливается, погружаясь в воду.
При выполнении работы следует быть осторожным, не закрывать
дна короба до тех пор, пока оба цилиндра не будут подняты выше
плоскости дна, не пускать сильных струй воды резким поворотом
крана водопровода. При передвижении цилиндров руками это необ-
необходимо делать осторожно, чтобы не выдернуть нити из углубления
блока.
Следует следить за тем, как бьют струи из отверстий цилиндров,
и в случае их засорения сообщить об этом лаборанту.
Измерения. Для измерений необходимы два человека. Прежде
всего определяют величину ос. Для этого закрепляют стопором «S
цилиндры и после наполнения их водой отодвигают рычагом Р
дно сосуда, пуская одновременно в ход секундомер. Через 4, 5,
10, 13, 15 сек отсчитывают положение опускающегося уровня
воды в цилиндре В (один работающий делает отсчет по секундомеру,
другой по шкале на цилиндре В).
Строят график, по горизонтальной оси которого отложено время,
а по вертикальной — количество вытекающей воды (диаметры
цилиндров известны, плотность воды принимается равной еди-
единице).
Через точки, нанесенные на миллиметровой бумаге, проводится
линия, проходящая через начало координат. При малых значениях
времени истечения эта линия будет прямой, тангенс угла наклона
ее к оси времени и дает величину а.
Необходимо убедиться,, что а имеет одно и то же численное зна-
значение для обоих цилиндров. Только в этом случае возможно даль-
дальнейшее проведение работы.
Убедившись в этом, закрывают дно короба (цилиндры должны
быть при этом выше плоскости дна) и осторожно опускают цилиндр
А на дно короба. Цилиндр А должен опираться о дно короба и на-
находиться в вертикальном положении, цилиндр В должен быть при
этом выше цилиндра А на 1—2 см.
Осторожно открывают кран водопровода и следят за наполнением
цилиндров. Вода из цилиндров будет вытекать через отверстия,
необходимо чтобы струи воды были в состоянии наполнить оба ци-
цилиндра, несмотря на утечку. Струи воды не должны быть, однако,
очень сильными — это приведет к раскачиванию цилиндров, что
совершенно недопустимо. Убедившись, что оба цилиндра напол-
наполнены водой и она переливается через края (должны быть видны вы-
выпуклые мениски у обоих цилиндров), поворотом рычага Р откиды-
откидывают дно короба и одновременно с этим пускают в ход секундомер.
В момент удара диска о кольцо секундомер останавливают.

24. ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 149'
Измерения производят, располагая платформу так, чтобы про-
проходимые расстояния составляли 75—100 см. Для каждого расстоя-
расстояния время движения определяют три раза и находят его среднее зна-
значение. Отношение пройденного расстояния (определяемого по шкале)
к квадрату среднего значения времени должно быть постоянной ве-
величиной для всех расстояний, т. е. должно выполняться соотно-
соотношение
Sl S2 S1 If /QV
ц ч ~ч к- • (9)
Определяют величину среднего значения этих отношений /О
Удвоенное значение этой величины является ускорением движения
цилиндров
а = 2К = ^о. A0)
Величина скорости истечения воды определяется по формуле
, A1)
где h — средняя (арифметическая) высота уровня воды в цилиндре
за время движения, g — ускорение силы тяжести, ф — коэффициент
скорости. Для определения величины h поступают так. Зная время
движения цилиндров, определяют по графику высоту столба вы-
вытекшей воды за это время. Разность между полной высотой цилиндра
(она известна) и половиной высоты столба вытекшей воды дает ве-
величину h. Коэффициент скорости для случая отверстия в тонкой
пластинке может быть принят (по гидравлическим данным) равным
0,97; g = 981 см/сек2.
Зная величины и и а, вычисляют величину реактивной силы
по формуле Ф = иа. Зная /л0, определяют величину этой силы
по формуле
ф = 4/Ст0.
Численные значения реактивной силы, полученные двумя спо-
способами, должны (в пределах погрешности измерений) совпадать.
Так как при движении цилиндров соблюдаются условия а <^ g и
v <J и, это позволяет: 1) величину а, измеренную для неподвижных
цилиндров, использовать при их движении, 2) скорость, определен-
определенную по формуле A1), считать за относительную скорость истечения
воды.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965; гл. III, § 27.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963, гл. XVI,.
§ 126.

150 МЕХАНИКА
3 А Д А Ч А 25
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ
Принадлежности: 1) установка, 2) мерные сосуды, 3) термометр, 4) се-
секундомер, 5) миллиметровая бумага.
Задача имеет целью: 1) рассмотреть на примере движения воды
различные виды течений; 2) выяснить зависимость коэффициента
сопротивления от величины, характеризующей течение.
Введение. При движении всех вязких жидкостей (и газов)
наблюдаются два устойчивых режима течения: ламинарный и тур-
турбулентный. При ламинарном течении вектор скорости в любой точке
трубы не имеет составляющей в направлении, нормальном оси трубьь
При турбулентном течении появляется непрерывно изменяющаяся
во времени составляющая вектора скорости, перпендикулярная
к оси трубы. Это приводит к сильному перемешиванию слоев теку-
текущей жидкости (и газа), образованию завихрений в отдельных ме-
местах потока. Разность сил давления, необходимая для поддержания
турбулентного течения, возрастает.
Важнейшей характеристикой течения вязкой среды является
безразмерная величина — число Рейнольдса
Re = ?=4. A)
где v — средняя (по сечению трубы) скорость течения, г — внут-
внутренний радиус трубы, г) — вязкость среды, р — ее плотность,
v = г)/р — кинематическая вязкость.
Для всех жидкостей и газов до Re = 1000 осуществляется ла-
ламинарное течение. От Re = 2000 и выше устанавливается турбулент-
турбулентное течение. В области значений Re между 1000 и 2000 имеется пе-
переходный неустойчивый режим течения.
Перепад сил давления Ар между концом трубы и каким-либо ее
сечением можно измерить, пользуясь манометрически трубкой
Ар = pghy B)
где р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести, h —
высота столба жидкости в манометре.
Количество q жидкости, вытекающей из трубы в единицу вре-
времени (объемный расход), может быть легко измерено:
q = nr2v. C)
Одновременное измерение величин Ар и q позволяет рассмотреть
вопросы, поставленные в данной задаче.
Из уравнений A) и C) получаем

25. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ 15Г
С учетом размеров трубы перепад сил давления, необходимый:
для преодоления сил^трения, может быть представлен в виде
где / — длина трубы, г|э — безразмерная величина (коэффициент
сопротивления).
Пользуясь этим уравнением, можно определить величину коэф-
коэффициента сопротивления для ламинарного потока. Количество вы-
вытекающей жидкости в случае ламинарного течения определяется
формулой Пуазейля
Из уравнений D) — F) получим
1> = Й. G>
- = -М- (8V
q nr*pg' K '
а из уравнений B) и F)
Уравнения G) и (8) применимы только для ламинарного течения.
Величина коэффициента сопротивления для турбулентного те-
течения определяется эмпирической формулой
Щ (9)
Описание установки. Три цилиндрические латунные трубки
с гладкой внутренней поверхностью разного диаметра смонтированы
на общей станине и укреплены в горизонтальном положении. Раз-
Размеры трубок приведены на установке.
Вода по шлангу подается из водопровода в трубку с концом В
(рис. 1) и выливается через конец А в мерный сосуд D. Время сбора
воды в сосуд определяется секундомером, ее температура — термо-
термометром Т. Стеклянная трубка С служит манометром. Высота h уровня
воды в ней, отсчитываемая по шкале М, определяет перепад давления
на длине /, определяемый по формуле B).
Измерения. Следует измерить высоту h уровня воды в-манометре
и ее объемный расход q при разных скоростях течения для всех
трубок. Число замеров и границы изменения величины h для ка-
каждой трубки даются на установке.
Измерения должны выполняться тщательно: секундомер пу-
пускается в ход в момент, когда мерный сосуд подставлен под струю,
и останавливается в момент, когда его удаляют. При малых расходах.

152
МЕХАНИКА
(малые значения /гиг) время сбора воды следует увеличить.
Необходимо следить за тем, чтобы течение-было стационарным,
т. е. уровень воды в манометре в течение одного опыта не переме-
перемещался.
Результаты измерений для всех трех трубок необходимо пред-
представить графически. По оси абсцисс откладывают величину перепада
В
Рис. 1.
давления в см столба А,по оси ординат — объемный расход q в смь/сек.
Масштаб для всех трех трубок должен быть одинаков, точки для
каждой трубки необходимо обозначать различным образом (чтобы
не спутать их).
Для малых значений величины h (ламинарное течение) графики
(для каждой из трех трубок) должны давать линейную зависимость.
Наклон прямых определяется уравнением (8).
Сопоставление начальных участков (ламинарные течения) экспе-
экспериментальных кривых с начальными участками теоретических кри-
кривых позволяет судить о корректности произведенных измерений.
Результаты измерений для всех трех трубок можно представить не
тремя кривыми, а одной. Это можно сделать, если построить график
для безразмерных величин, а именно, график кривой \|) = / (Re).
Значения Re вычисляются по формуле D), значения^ — по формуле
E). Для ламинарного течения все точки укладываются (в пределах
погрешности измерений) на одну кривую, описываемую уравнением
G). Можно убедиться, что для турбулентного течения получаемый
график близок к кривой, описываемой уравнением (9).
ЛИТЕРАТУРА
1. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
хл. XVI, § 127.
2. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XII, § 100, 111.

26. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
3 А Д А Ч А 26
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
СОПРОТИВЛЕНИЯ
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3)
бумага.
миллиметровая
Введение. При движении тел в воздухе последний оказывает
сопротивление этому движению. Составляющая силы сопротивления,
направленная по потоку, называется лобовым сопротивлением. При
малых скоростях движения пластинки
в воздухе это сопротивление пропорцио-
пропорционально скорости и проекции площади
пластинки на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную к скорости.
Описание установки. Схема уста-
установки приведена на рис. 1. На гори-
горизонтальной оси может вращаться (в под-
подшипниках) стержень АВ с укрепленными
на нем пластинкой ВС и грузами Ои?.
Стержень с грузами и пластинкой урав-
уравновешен на оси.
На цилиндр М наматывается нить,
имеющая на конце груз Р, который
опускаясь, приводит во вращение стер-
стержень с пластинкой. Вся система укреп-
укреплена на штативе, который снабжен шка-
шкалой для измерения расстояния, прохо-
проходимого грузом. Кроме цилиндра М, на
оси закреплен также второй цилиндр
(не указан на рисунке), радиус которого
больше радиуса первого. Это позволяет,
пользуясь одним грузом (на нити), изменять скорость вращения
пластинки. Грузы на стержне увеличивают его момент инерции;
это приводит к возрастанию времени движения и позволяет изме-
измерить его более точно.
Поворотом стержня АВ вокруг его продольной оси пластинка
может быть установлена и закреплена так, что вектор линейной
скорости ее частиц при движении пластинки под действием груза Р
будет нормален или параллелен ее плоскости. В первом случае ло-
лобовое сопротивление пластинки будет большим, во втором оно очень
мало.
Величина массы груза Р и значения радиусов цилиндров при-
приведены на установке.
Теория. Пренебрегая силами трения в подшипниках, силами
трения грузов и стержня о воздух, уравнения движения системы
Рис. I.

154
можно
написать
в
виде
J
МЕХАНИКА
day
dt ~~
а =
mg—T,
Тг — Сю,
dm
A)
где т — масса груза, J — момент инерции вращающейся части уста-
установки, Т — натяжение нити, г — радиус цилиндра, а — ускорение
движения груза, g—ускорение силы тяжести, d<o/dt — угловое
ускорение, о — угловая скорость, С — коэффициент момента ло-
лобового сопротивления пластинки.
Из уравнений A) для углового ускорения получим
^ = Л_Во), B)
где
Из уравнения B) следует, что ускорения движения тел (пла-
(пластинки и груза на нити) зависят от скорости. Если поверхность
пластинки находится в плоскости вращения, то, полагая С = О,
из уравнений D) и B) получим вращение пластинки с постоянным
угловым ускорением
f = Л = const, E)
Зная расстояние Ао, проходимое грузом Р за время /0, находим
А=Щ. F)
В общем случае (т. е. при С Ф 0) скорость вращения нарастает,
но приближается к некоторой наибольшей постоянной величине
<отах. Величина этой скорости может быть получена из условия,
что ускорение с момента достижения этой скорости должно быть
равно нулю. Тогда из уравнения B) имеем
F. G)
Для максимальной скорости опускания груза Р получим
Ушах- Г J. (8)

26. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 155
Допустим, что экспериментально получена (см. ниже) кривая —
расстояние А, проходимое грузом, как функция времени /, т. е.
h = / (/). Тангенс угла наклона а, касательной к линейному участку
этой кривой, дает приближенное значение максимальной скорости
опускания груза:
t>max = tga. (9)
Из уравнений (8) и (9) определяем
Измерения, 1. Устанавливают поверхность пластинки так, чтобы
ее лобовое сопротивление было максимальным. Проверяют, урав-
уравновешен ли стержень на оси вращения. Тщательно, виток к витку,
наматывают нить на цилиндр малого радиуса. Нижняя часть груза
Р должна быть на одном уровне с нулевым делением шкалы на
штативе.
2. Пользуясь секундомером, определяют время опускания груза
для нескольких определенных расстояний А. Значения этих расстоя-
расстояний и число их указано на установке. По полученным данным строят
график, откладывая по оси абсцисс время t9 а по оси ординат —
расстояние Л.
3. После этого пластинку устанавливают так, чтобы ее лобовое
сопротивление было минимальным. Как и прежде, измеряют время
опускания груза на различные расстояния (они указаны на уста-
установке).
4. Все указанные измерения повторяют, навивая нить на ци-
цилиндр большого радиуса.
Графики кривых h = f (t) следует построить на миллиметровой
бумаге, в одном масштабе.
Вычисление параметров уравнений. Вычисления удобно произ-
производить в следующем порядке.
1. Используя ряд измерений для h0 и tQ по формуле F), вычис-
вычислить величину А. В дальнейшем надо использовать среднее ариф-
арифметическое значение этой величины.
2. По графику h = / (/) определить величину угла а.
3. По формуле A0) определить величину В.
4. По формуле C) вычислить величину J'.
5. Пользуясь формулой D), определить величиру С.
Параметры вычисляют для двух случаев, а именно: при опуска-
опускании груза с цилиндра малого радиуса и при опускании груза с ци-
цилиндра большого радиуса. Получаемые при этом значения момента
инерции J должны быть (в пределах ошибок измерений) равными
друг другу. Значения других параметров для движений при раз-
разных радиусах цилиндров следует сопоставить между собой.

156 МЕХАНИКА
Дополнение. Значение наибольшей скорости вращения, как уже
упоминалось, приближенно. Действительно, из уравнения B)
имеем
A-B(o ~ В A —Bay ~"""
Интегрируя с учетом, что при t = О угловая скорость ю = 0, после
преобразования получим
Л ,« — в/ч
Из этого уравнения видно, что со асимптотически приближается
к своему наибольшему значению и делается ему равным только
при t =00.
Отметим, что подобного рода зависимости встречаются нередко.
Например, нарастание силы тока в цепи, имеющей катушку само-
самоиндукции, или разности потенциалов на обкладках конденсатора
лри его зарядке приводят также к асимптотическим зависимостям.
Определение величин, изменяющихся асимптотически, тем точ-
точнее, чем длительнее время их наблюдения. В нашем случае опреде-
определение максимальной угловой скорости вращения будет тем точнее,
чем больше расстояние, проходимое грузом на нити.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XII, § 112, 118.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. Я. Б. Зельдович, Высшая математика для начинающих, Физматгиз,
1963, часть VI, § 7; часть VIII, § 5.
3. С. Г. Калашников, Электричество, «Наука», 1964, раздел I, гл. 7,
§ 80; раздел II, гл. 9, § 107.
3 А Д А Ч А 27
ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИСТЕМЫ
Принадлежности: 1) набор пружин и грузов, 2) сосуд с вязкой жидко-
жидкостью, 3) секундомер.
Задачей работы является ознакомление с простейшим случаем
собственных гармонических колебаний. Изучаются колебания пру-
пружинного маятника, которые в воздухе можно считать незатухаю-
незатухающими.

27. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИСТЕМЫ 157
Описание установки. Установка состоит из штатива (рис. 1),
на котором поочередно подвешиваются на различных пружинах
грузы разного веса. Штатив снабжен
шкалой. В стеклянный сосуд налита
вязкая жидкость.
!Г
Упражнение 1
Определение коэффициента жесткости
пружины статическим методом
Для определения коэффициента жест-
жесткости пружины k статическим методом
измеряется длина /, на которую растя-
растянется пружина при подвешивании к ней
груза известного веса Р. Из условия
k = Pll D 1
Рис. 1.
находят k. Измерения проводят для каждой пружины при трех
различных грузах.
Упражнение 2
Нахождение зависимости периода собственных колебаний
пружинного маятника от массы груза
Измеряется период Т собственных колебаний пружинного маят-
маятника для одной из пружин с коэффициентом жесткости k при раз-
разных грузах и строится зависимость Г2 от массы груза т.
Для измерения Т выводят груз из положения равновесия при-
примерно на 30—50 мм и измеряют секундомером промежуток времени
t, в течение которого маятник совершит п колебаний (п = 10 — 20).
Величина Т определяется из соотношения Т = tin. Для большей
точности следует сделать несколько измерений и взять средний ре-
результат.
Упражнение 3
Нахождение зависимости собственных колебаний пружинного
маятника от коэффициента жесткости пружины
Измеряется период собственных колебаний Т пружинного маят-
маятника для всех имеющихся пружин при одном и том же грузе C0—
50 г) и строится график зависимости Т2 от k.
Зная период колебаний системы и массу груза, следует вы-
вычислить коэффициент жесткости по формуле k = 4n2m/T2 и сравнить
с коэффициентом жесткости kt полученным статическим методом.

158 МЕХАНИКА
Упражнение 4
Определение логарифмического декремента затухания пружинного
маятника и коэффициента трения г
Для определения логарифмического декремента затухания 9
пружинного маятника груз массы т помещают в сосуд с жидкостью
и измеряют период колебаний Т и время ty в течение которого ампли-
амплитуда колебаний уменьшится до 10% своей первоначальной величины,
т. е. до At = 0,1 Ло.
Измерения следует проделать для нескольких начальных ам-
амплитуд G0, 50, 30 мм), причем для каждого значения амплитуды ре-
рекомендуется проделать не менее пяти измерений.
По данным измерений вычисляют логарифмический декремент
из соотношения
Зная 0, по формуле 0 = гТ/2т находят коэффициент силы
трения г.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XIV, § 123, 124, 126.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XVII, § 135—137.
3 А Д А Ч А 28
ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА НА КРУТИЛЬНОМ МАЯТНИКЕ
Принадлежности: 1) прибор, 2) секундомер.
Введение. В задаче изучаются вынужденные колебания фу
тильного маятника при действии на него гармонически изменяю-
изменяющейся во времени внешней силы. Уравнение движения в этом случае
может быть написано в виде
/ос = — ka — ha + Fo sin pt7 A)
где J — момент инерции маятника, а — угловое ускорение, k —
постоянная момента упругой силы, а — угол поворота маятника
от положения равновесия, h — постоянная момента сил трения,
а — угловая скорость, Fo — амплитуда момента внешней силы,
р — циклическая частота этой силы, t — время.
Полное решение этого уравнения имеет вид
а - Ае~ ь< cos (<oxt + %) + В sin (pt + q>), B)

28. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА НА КРУТИЛЬНОМ МАЯТНИКЕ 159
где б = Л/2У, ©! = YiklJ) — 82 — частота собственных колебаний,
А и ф0 — амплитуда и фаза собственных колебаний, определяемые
начальными условиями, В — амплитуда вынужденных колебаний,
<р — разность фаз между фазой смещения при вынужденных коле-
колебаниях (pt + ф) и фазой момента внешней силы (pt). Эти величины
в противоположность А и ф0 определяются параметрами урав-
уравнения A).
Через некоторое время после начала колебаний собственные ко-
колебания благодаря затуханию исчезнут и останутся только выну-
вынужденные
а = В sin (pt + ф), C)
где
В — F° D)
. E)
Из уравнения D) следует, что при приближении частоты внеш-
внешнего воздействия к частоте собственных колебаний (при постоян-
постоянном значении 6) амплитуда колебаний возрастает. При резонансе
(р2 = со2 — 2б2) амплитуда вынужденных колебаний достигает
наибольшей величины. Чем меньше затухание, тем круче подни-
поднимается и опускается кривая зависимости амплитуды вынужденных
колебаний от частоты внешнего воздействия — амплитудная резо-
резонансная кривая.
Из уравнения E) видно: 1) при р ^ со значение ф близко к нулю,
т. е. фаза смещения вынужденного колебания почти совпадает с фа-
фазой внешней силы; 2) при р« со значение ф « —я/2, т. е. фаза сме-
смещения отстает от фазы внешней силы на четверть периода; 3) при
р ^> со значение ф близко к—я, т. е. фаза смещения отстает от
фазы внешней силы на половину периода.
Чем меньше затухание, тем резче происходит изменение кривой
зависимости фазы смещения от частоты внешнего воздействия —
фазовая резонансная кривая.
Непосредственная цель задачи — экспериментальное получение
амплитудной и фазовой резонансных кривых.
Описание прибора. Схема применяемого прибора приведена на
рис. 1. Крутильный маятник представляет собой металлическое
кольцо А, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси О.
На этой же оси может вращаться рычаг В. К оси маятника и к ры-
рычагу прикреплена спиральная пружина С. Конец рычага через
шатун D соединен с эксцентриком Е, укрепленным на диске редук-
редуктора М. При вращении последнего в одном направлении рычаг со-
совершает колебательное движение. Благодаря пружине маятник со-
совершает также крутильные колебания.

160
МЕХАНИКА
Изменением расстояния между эксцентриком и осью диска редук-
редуктора достигается изменение амплитуды колебания рычага, т. е. ам-
амплитуды колебаний момента внешней силы, а следовательно и ампли-
амплитуды колебаний маятника. Величина этих амплитуд в сантиметрах
измеряется по шкале N.
Редуктор соединен с электромотором (не указан на рисунке).
Число оборотов мотора может изменяться при изменении сопротив-
сопротивления цепи мотора (имеется реостат).
рддунтора
Для увеличения затухания маятника применяется электромаг-
электромагнит (не указан на рисунке), между полюсами которого движется маят-
маятник. Питание электромагнита производится постоянным током,
в цепь включаются амперметр и реостат. Изменением силы тока
в электромагните можно изменять величину затухания маятника,
так как в маятнике, движущемся в магнитном поле, возникают вих-
вихревые токи.
Измерения. 1. Получение амплитудной кривой.
Убеждаются, что маятник может свободно вращаться вокруг своей
оси. Включают цепь электромагнита, выводя реостат, увеличи-
увеличивают силу тока до первого указанного значения. Маятник отклоняют
на небольшой угол и следят за положением его указателя на шкале!
Пользуясь секундомером, определяют период колебаний Т и цик-
циклическую частоту со собственных колебаний маятника. Отмечают
через полный период величины отклонений маятника хъ х2, x3i...y xn.
Пользуясь формулой In (XJXn+1) = 67, вычисляют величину коэф-
коэффициента затухания б.
После этого включают цепь электромотора. Выводя реостат, вы-
выжидают установления колебаний маятника. Находят наибольшую
амплитуду вынужденных колебаний. Следят за движением указа-
указателя рычага по шкале. Пользуясь секундомером, определяют цик-
циклическую частоту внешнего воздействия (рычага), при котором до-
достигается наибольшая амплитуда. По полученным данным прове-
проверяют формулу р2 = со2 — 2б2.

28. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНС V НА КРУТИЛЬНОМ МАЯТНИКЕ 161
Измеряют еще шесть пар значений: частота внешнего воздей-
воздействия — амплитуда колебаний. Три пары значений рекомендуется
получить для частот колебаний, меньших собственной частоты маят-
маятника, три — для частот, больших собственной.
После этого уменьшают ток в электромагните до второго ука-
указанного значения и получают данные для режима колебаний с мень-
меньшим коэффициентом затухания.
Полученный экспериментальный материал необходимо предста-
представить в виде графиков. По оси абсцисс откладывают частоту внешнего
воздействия, по оси ординат — амплитуду вынужденных колебаний.
Определение периодов колебаний (частот) следует производить не
менее трех раз для каждого значения. За истинное значение при-
принимают среднее арифметическое.
Снимать амплитудные кривые при малом затухании не следует —
режим колебаний неустойчив.
2. Получение фазовой кривой (дополни-
(дополнительное описание п р и .6 о р а ). Устройство для опре-
определения угла сдвига фаз между смещением маятника и моментом
внешней силы состоит из двух контактов, замыкающих цепи двух
неоновых лампочек (не указаны на рисунке), и шкалы, по которой
отсчитываете я этот угол.
Первый контакт связан с движением маятника. Для этого на
металлическом кольце Р (см. рис. 1) укреплена подвижная ки-
кисточка (не указана на рисунке) из мягких тонких проволок. При
движении маятника его указатель периодически соприкасается
с кисточкой, что приводит к замыканию цепи первой лампочки —
она вспыхивает. Кисточка устанавливается так, чтобы вспышка
происходила в момент прохождения маятника через нуль шкалы
(положение равновесия).
Вторая пара контактов связана с движением, задающим внешнее
воздействие. Для этого на оси редуктора имеется пружинящий вы-
выступ /С. При вращении оси редуктора он периодически касается
другого выступа L на кольце R, цепь замыкается, вспыхивает вто-
вторая лампочка. Выступ К на оси устанавливается так, чтобы лампочка
давала вспышку, так же как и первая, в момент прохождения ука-
указателя рычага через нуль шкалы N. При установившихся колеба-
колебаниях маятник всегда отстает в своем движении от движения рычага
на угол ф (уравнение E)), лампочки вспыхивают не одновременно.
Поворотом кольца R относительно шкалы 5 на некоторый угол мож-
можно добиться одновременного вспыхивания двух лампочек. Этот
угол и является углом сдвига фаз ф между смещением маятника и
моментом внешней силы.
Перед измерениями следует убедиться, что указатель маятника
в состоянии покоя находится на нуле шкалы, а указатель рычага
при его движении отклоняется от нуля в обе стороны на одинаковые
расстояния. Если не выполняется первое условие, необходимо
I

162 МЕХАНИКА
освободить один конец спиральной пружины и сместить его так,
чтобы указатель встал на нуль, и вновь закрепить. Второе условие
не выполняется в случае деформации указателя рычага, которую
необходимо устранить.
После правильного расположения кисточки на кольце и выступа
на оси редуктора их необходимо закрепить, чтобы предотвратить их
смещение в дальнейшем. Диск R устанавливают так, чтобы его ука-
указатель стоял на нуле шкалы S. Этим исчерпываются все приготовле-
приготовления для снятия фазовых кривых.
Они снимаются для тех же значений коэффициентов затухания,
для которых снимались амплитудные кривые. Измерения произ-
производятся в следующем порядке. Включают цепь электромагнита,
силу тока доводят до величины, соответствующей первому значению
коэффициента затухания. Включают цепь мотора. Увеличивая силу
тока, находят наибольшую амплитуду вынужденных колебаний.
Включают цепи неоновых лампочек. Поворотом кольца R добиваются
их одновременной вспышки х). Пользуясь секундомером, измеряют
частоту вынужденных колебаний', по шкале отсчитывают угол сдви-
сдвига фаз.
Совершенно так же измеряют еще шесть пар значений: частота
вынужденных колебаний — угол сдвига фаз. Три пары значений
следует получить для частот колебаний, меньших собственной ча-
частоты колебаний маятника, три — для частот колебаний, больших
собственной.
Частоты колебаний необходимо определять не менее трех раз.
За истинное значение частоты принимается среднее арифметическое.
Полученный материал представляется в виде графиков. По оси
абсцисс откладывают частоты колебаний, по оси ординат — углы
сдвига фаз.
При выполнении работы следует проследить за движением ука-
указателей маятника и рычага в их движении относительно друг друга.
Необходимо уяснить, при каких условиях: 1) оба указателя дости-
достигают крайних положений и проходят через нуль шкалы практи-
практически одновременно, 2) один указатель проходит через нуль, другой
находится в крайнем положении, 3) оба указателя проходят через
нуль в противоположных направлениях.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XIV, § 127, 128.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XVIII, § 140.
х) За полный период колебаний одна лампочка, связанная с движением
маятника, дает две вспышки, другая — одну.

29. ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
163
3 А Д А Ч А 29
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер.
Краткая теория. Совокупность двух или нескольких маятников,
каким-либо образом связанных между собой, представляет связан-
связанную систему. В качестве примера рассмотрим си-
систему, изображенную на рис. 1. Она состоит из
двух совершенно идентичных пружинных маятни-
маятников /, 2, представляющих грузы массы /л, подве-
подвешенные на пружинах 3, 4 жесткости k и располо-
расположенные на одной вертикали один под другим.
Если эти маятники связать между собой с
помощью третьей пружины 5 жесткости &12, то
получим связанную систему с двумя степенями
свободы.
В положении равновесия обоих грузов сумма
всех сил, действующих на каждый груз, а именно
силы тяжести и упругих сил, равна нулю. Если
один груз вывести из положения равновесия на
величину хъ а второй на величину х2, то появятся
упругие силы, «стремящиеся» вернуть систему в
положение равновесия. При этом результирующая
сила, действующая на первый груз, будет равна
/х =— kx± — k12 (хг — х2)у а на второй /2 =
= —kx2 — k12 (x2 — Хх). Уравнение движения каждого груза запи
шется следующим образом:
1
1
Рис. 1.
kxx + k12 (xx — х2)
kx2 + k12 (x2 — хг)
тХ1 = О,
тх2 == 0.
Складывая эти уравнения и вычитая одно уравнение из другого, по-
получим два независимых уравнения
= 0,
где X = хх + х2 и Y == хг — х2.
Решение этих уравнений хорошо известно:
X = A cos (aj + ф),
Y = В cos (a2t +1|?),
где щ —Vklm = о)о, т. е. частоте, с которой колебались бы обэ
груза при отсутствии связи, и со2 = V(k + 2k12)/m.

164 МЕХАНИКА
Частоты со, и ю2 носят название нормальных частот. Константы
Л, В, ф и г|) находятся, как обычно, из четырех начальных условий.
В нашем случае такими условиями будут значения двух координат
и двух скоростей грузов в начальный момент времени. Так, напри-
например, если обе скорости в начальный момент равны нулю, т. е.
хг @) = i2 @) = 0, то, как следует из определения, X @) = Y @) =
= 0, а это означает, что ф и i|> должны быть равны нулю. В дальней-
дальнейшем будем подразумевать, что это условие всегда выполняется.
Для того чтобы разобрать характер движения того или иного
груза, найдем явные выражения хх и х% как функций времени и
начальных отклонений хх @) = х10 и я2 @) = х20. Так как хг =
= (X + У)/2 и х2 = (X - Г)/2, то
*i@ = 2 C0S ^ "^ 2" C0S ®2* и Х2 @ = 2"cos ^ — 2^cos Ю2^ A)
В начальный момент времени х1о = к- •+• j и л:20 = j — 2"»
откуда Л = х10 + х20 и В = х10 — х20.
Общее решение системы уравнений A) при условии ?А @) =
= i2 @) = 0 запишется, как .
Отсюда видно, что движение каждого груза представляет су-
суперпозицию двух колебаний с нормальными частотами ыг и со2.
При этом, вообще говоря, возникают биения. Однако специальным
подбором начальных отклонений можно добиться того, что колеба-
колебания с той или иной частотой возбуждаться не будут
Действительно, пусть дс10 = х20, т- е- °^а маятника отклонены вверх (или
вниз) на одинаковую величину от положения равновесия. При этом оба груза
будут колебаться синфазно с частотой щ = со0. Если х10 = — х^, т. е. грузы от-
отклонены на одинаковую величину от положения равновесия, но в разные сто-
стороны, то оба груза будут колебаться в противофазе с частотой оK.
Биения лучше всего наблюдать, когда начальное отклонение одного из гру-
грузов равно нулю. Пусть х2о = 0, тогда
xt {t) = Ц° cos toxt + ^ cos со2* и лг2 (*) = ^ cos со^ — ^0 cos щг.
Используя известные тригонометрические соотношения, получим

29. ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
165
\ky TO C02 — <
A (Щ + C02 ,
изменяется более медленно, чем cos ( п—- t
Так как связь по условию задачи слабая, т. е. k12
cos Г2 7 е0' ^
* соь поэтому
Это позво-
ляет рассматривать движение грузов как колебание с частотой со = (сох -\- со2)/2
и сравнительно медленно меняющейся амплитудой.
В начальный момент второй груз покоится, т . е. амплитуда колебаний равна
нулю. Через некоторое время колебания станут заметны, и через время т/2 =
:= я/ (со2 — tOi) амплитуда колебаний станет макси-
максимальной, после чего вновь начнет уменьшаться и
обратится в нуль в момент т = 2л/ (со2 — о)х).
Период биения определяется как время между
двумя последующими минимальными значениями ам-
амплитуды. В нашем случае период биения равен времени
между двумя последующими моментами, когда ампли-
амплитуда колебаний одного из грузов обращается в нуль,
т. е. период биения равен т = 2я/ (со2 — %), откуда
частота биения равняется просто разности нормаль-
нормальных частот
соб = со2 — coL.
выполняется в самом общем
1т
Это соотношение
случае.
Описание прибора. Прибор состоит из
двух одинаковых пружинных маятников 6
(рис. 2), подвешенных один под другим и свя-
связанных при помощи пружины.
Для того чтобы добиться строго одинако-
одинаковой частоты колебаний обоих маятников, дли-
на рабочей части пружины нижнего маятника
может несколько изменяться путем перемеще-
перемещения пружины вверх или вниз и закрепления
ее верхнего конца в нужном положении.
Для отклонения маятников на одинаковую
величину вверх и одновременного пуска их
имеется специальное пусковое устройство.
Оно состоит из\ вертикальной штанги 7 с
двумя платформами 5. Платформы можно
перемещать по штанге и закреплять в нуж-
нужном положении. Штанга свободно переме-
перемещается вверх и вниз внутри двух направ-
направляющих муфт 4. Нижнее положение штанги ограничивается сто-
стопором 1 или шаблоном 2, который закладывается между стопором
и штангой. В верхнем положении штанга закрепляется с помощью
задерживающего устройства 3.
Измерения. В задаче требуется определить частоту собственных
колебаний, обе нормальные частоты и частоту биений для различ-
различных пружин связи.
Прежде всего следует убедиться в том, что собственные частоты
у обоих маятников совпадают с достаточной точностью. Для этого
Рис. 2.

166 МЕХАНИКА
нужно в отсутствие связи привести оба маятника в синфазные коле-
колебания и проследить, появляется ли после достаточно большого числа
колебаний (порядка 100—200 полных колебаний) заметный сдвиг
по фазе. Если сдвиг обнаружен не будет, значит, установка отрегу-
отрегулирована правильно. В противном случае придется изменить ра-
рабочую длину нижней пружины, однако делать это без разрешения
преподавателя или лаборанта не рекомендуется. Частота собствен-
собственных колебаний определяется путем измерения времени не меньше
чем 100 полных колебаний одного из маятников. Таких измерений
нужно произвести несколько для одного и другого маятника, чтобы
исключить ошибку в счете и оценить ошибку измерения.
Для того чтобы наблюдать «чистые» колебания с меньшей нор-
нормальной частотой, т. е. синфазные колебания без биений при нали-
наличии связи, необходимо отклонить оба груза 6 на одинаковую высоту и
одновременно отпустить. Для этого нужно приподнять штангу 7
на величину, определяемую специальным шаблоном 2, который
подкладывается вниз под штангу. После этого надо подвести плат-
платформы 5 под оба груза 6 и закрепить их так, чтобы они только ка-
касались грузов и не выводили их из положения равновесия. Затем
поднять штангу и закрепить ее в верхнем положении с помощью
специального задерживающего устройства 3. При этом оба груза
получат одинаковые отклонения вверх. Если теперь убрать шаблон
и отпустить штангу, то оба груза придут в колебания с нормальной
частотой ©!. При этом пружина связи в процессе колебания не долж-
должна деформироваться. Для определения частоты щ нужно измерить
время 100 полных колебаний одного из грузов.
Возбуждение нормальных колебаний с частотой со2 осущест-
осуществляется отклонением обоих грузов на одинаковые расстояния, но
в разные стороны. С помощью нитки, которая пропускается внутрь
пружины, стягивают пружину связи так, чтобы она была еще в ра-
растянутом состоянии. При этом будет выполнено условие х10 =— х20.
Если после того, как грузы успокоились, пережечь нитку, то оба
груза начнут колебаться в противофазе с частотой со2. При этом
не должно наблюдаться никаких биений.
Для определения частоты со2 измеряется время 100 полных коле-
колебаний.
Для возбуждения колебаний с биениями один из грузов отво-
отводится от положения равновесия на некоторую величину. При этом
отклонение должно быть таким, чтобы пружина связи в процессе
колебаний все время оставалась в натянутом состоянии. При таком
способе возбуждения начальное смещение второго груза не будет
в точности равно нулю, но оно будет мало вследствие условия k12 <^
«^ k. Для определения частоты биений нужно измерить время, рав-
равное 10—20 периодам биений.
Полученные значения для нормальных частот и частоты биения
нужно сравнить с теоретическими.

30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА И ЧАСТОТЫ БИЕНИЙ 167
Жесткость пружины связи k12 определяется на установке зада-
задачи 27 описанным там способом, а жесткость основных пружин
k определяется по частоте собственных колебаний, так как массы
обоих грузов даны.
Измерения нужно провести для 2—3 различных пружин связи.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XIV, § 133—135.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XVIII, § 144, 145.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
3. С. П. Стрелков, Введение в теорию колебаний, ч. II, Гостехиздат,
1951, гл. I.
3 А Д А Ч А 30
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА И ЧАСТОТЫ БИЕНИЙ
Принадлежности: 1) установка, 2) секундомер, 3) масштабная линейка.
Введение. Хорошо известно, что груз, спокойно висящий на
винтовой пружине, при растяжении последней начинает совершать
колебания. Обычно рассматривают поступательное движение груза
по вертикали вверх и вниз (см. задачу 27). Это движение груза не
является, однако, единственным. Одновременно можно наблюдать и
периодическое вращение груза (в одну и другую стороны) вокруг его
вертикальной оси. Если груз, спокойно висящий, осторожно по-
повернуть вокруг этой оси и отпустить, кроме крутильных колебаний
можно наблюдать и вертикальные.
Для пружины крутильные колебания вызываются" деформацией
сжатия (растяжения) продольных слоев ее материала, а вертикаль-
вертикальные — деформацией сдвига слоев в поперечном сечении материала
пружины. Известно, что между модулем сдвига N и модулем
Юнга Е имеется связь, даваемая уравнением
где \х — коэффициент Пуассона, т. е. абсолютное значение отно-
отношения относительной поперечной деформации к относительной
продольной деформации. Наличие одной деформации ведет к по-
появлению другой.
Для пружин с малыми углами наклона витков к горизонтали
обычно пренебрегают деформацией сжатия по сравнению с дефор-
деформацией сдвига. Это позволяет при их растяжении рассматривать

168 МЕХАНИКА
только вертикальные колебания. Для этих же пружин при их за-
закручивании можно пренебречь деформацией сдвига и рассматривать
только крутильные колебания. При этих условиях легко опреде-
определить коэффициент Пуассона по измерениям периодов колебаний
груза на пружине.
Действительно, из теории упругости известно, что коэффициент
жесткости kx винтовой пружины при вертикальных колебаниях
груза (без учета деформации сжатия)
Коэффициент жесткости k2 винтовой пружины при крутильных
колебаниях груза (без учета деформации сдвига) равен
k -— C)
*2 - 32пО ' {д)
где d — диаметр проволоки пружины, D — диаметр пружины,
п — число витков проволоки, N и Е — соответственно модули сдвига
и сжатия.
Уравнение движения груза при малых вертикальных колеба-
колебаниях можем написать в виде
тх = — kxx, D)
а для крутильных колебаний в виде
Jq> = — /г2ср, E)
где т и J — соответственно масса и момент инерции груза, подве-
подвешенного к нижнему концу пружины, х и ф — соответственно коор-
координаты линейного и углового смещений груза.
• Из уравнений D) и E) получим
\ = 2я Y? •
Т2 = 2п Yi , G)
где 71 — период вертикальных колебаний, Т2 — период крутиль-
крутильных колебаний.
Уравнения A) — C), F) и G) дают
2 / Т2
Этим уравнением и пользуются для вычисления коэффициента Пуас-
Пуассона материала пружины.
Если рассматривать задачу о колебаниях более полно, то груз,
подвешенный на винтовой пружине, необходимо считать системой

30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА И ЧАСТОТЫ БИЕНИЙ 169
с двумя степенями свободы. Груз одновременно совершает два вида
движения: крутильные и вертикальные колебания. Формально это
аналогично движению двух маятников, соединенных между собой
легкой пружинкой (связанные маятники). Особенность колебания
таких маятников рассмотрена в задаче 29.
В нашем случае роль «пружинки» играет связь между деформа-
деформацией сдвига и деформацией сжатия (см. уравнение A)).Устранить
действие этой «пружинки», как это делается в случае маятников при
их отклонении в одну сторону на одно расстояние, не представляется
возможным.
Нормальные частоты колебаний груза на винтовой пружине не
равны между собой. В этом случае можно наблюдать каждое соб-
собственное колебание — это крутильное и вертикальное колебания.
Частоты этих колебаний — нормальные частоты груза.
Не изменяя массы груза, можно изменить его момент инерции,
а следовательно, и период крутильных колебаний. Приближая друг
к другу периоды колебаний груза, можно наблюдать, как и в слу-
случае двух связанных маятников, появление биений, т. е. периодиче-
периодических изменений во времени амплитуды крутильных и вертикальных
колебаний.
Частота биений со равна разности собственных частот, т. е. раз-
разности частот двух видов колебаний груза (крутильных щ и вер-
вертикальных (Oi)
со = Ц — (ох. (9)
Для периода биений получим
TL A0)
1 2 ' 1
Описание установки. Пружина диаметром D (рис. 1, а) с грузом
А на ее нижнем конце верхним концом прикреплена к консоли.
Рис. 1.
Металлический груз имеет вид, изображенный на рис. 1, б. Это
составной (для изменения массы) цилиндр А с двумя одинаковыми

170 МЕХАНИКА
симметрично укрепленными на нем стержнями В. Для изменения
момента инерции груза по резьбе стержней могут перемещаться
одинаковые диски С.
Момент инерции груза относительно оси симметрии 00 цилиндра
может быть получен как сумма моментов инерции пяти тел, а именно:
Jx — цилиндра А массы тх и радиуса гь 2«/2 — двух стержней В
массы т2 каждый, радиуса г2, длины /2; 2«/3 —двух дисков С массы
т3 каждый, радиуса г3, толщины /3. Вся масса т груза равна
т = т1 + 2т2 + 2m3.
Моменты инерции тел, составляющих груз, вычисляются по фор-
формулам
А = \ ЩгЪ 2J2 = 2m2L\ + *$ {1\ + 3/1),
2J3 = 2m3{ Ц + 1 [II + 3 (П +
где L2 и L3 — расстояния от оси цилиндра А до центра масс соот-
соответственно стержня В и диска С. Это дает
J = J± + 2J2 + 2/8 = \тхг\ + 2т2[ц +-(/! + Зг|)] +
+ g- m3 [l\ + 3 (rj + /-!)] + 2т3Ц. A2)
Первые три члена этого выражения не зависят от положения ди-
дисков на стержнях и вычисляются заранее по данным, имеющимся
на установке. Последний член, кроме массы диска т3, определяется
расстоянием L3. Эта величина измеряется при помощи штангенцир-
штангенциркуля.
Измерения. 1. Коэффициент Пуассона определяется при условии,
что возбуждение продольных колебаний вызывает минимальные
крутильные колебания. Условия, при которых разность частот этих
колебаний наибольшая, находятся экспериментально. Очень осто-
осторожно, чтобы не сообщить системе других колебаний, создают не-
небольшим опусканием груза вертикальные колебания. Пользуясь
секундомером, измеряют время десяти полных колебаний и вычис-
вычисляют период вертикальных колебаний 7\.
Не изменяя момента инерции груза, осторожно, чтобы не сооб-
сообщить других колебаний, небольшим поворотом груза вокруг верти-
вертикальной оси создают крутильные колебания. Из десяти полных ко-
колебаний вычисляют период крутильных колебаний Т2.
Периоды 7\ и Т2 необходимо вычислить не менее трех раз и
пользоваться средними арифметическими значениями для каждой
величины L3 и D. По полученным данным, пользуясь формулами
(8), A1) и A2), вычисляют величину коэффициента Пуассона.

31. ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 171
2. Перемещением дисков на стержнях груза изменяют его мо-
момент инерции. Следует убедиться, что по мере уменьшения разности
частот при возбуждении крутильных колебаний все более замет-
заметными становятся вертикальные колебания и биения. При достаточно
отчетливом наблюдении биений приступают к проверке форму-
формулы A0).
Для этого при очень малых осторожно вызываемых крутильных
колебаниях определяют их период Т%. Не изменяя момента инерции
груза, осторожно создают вертикальные не очень малые колебания.
Период биений т определяют, измеряя секундомером время между
двумя последовательными остановками груза при его крутильных
колебаниях. Измерения повторяют не менее трех раз и пользуются
средним арифметическим значением. Зная величины Тъ Т% и т,
проверяют формулу A0). Не следует пользоваться очень близкими
значениями величин 7\ и Т2 и сообщать пружине большие началь-
начальные отклонения.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. X, § 81; гл. XIV,
§ 133—135.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XIV, § 106; гл. XVIII, § 145, 146.
ЗАДАЧ А 31
ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ
РЕЗОНАНСА
Введение. Гибкая однородная нить (струна), натянутая между
двумя точками и выведенная из положения равновесия, может со-
совершать колебания различного вида. В струне могут установиться
стоячие волны (на концах струны мы всегда им?ем узел смещения),
при этом на длине струны / будет укладываться всегда целое число
стоячих волн, а так как расстояние между двумя соседними точками
струны, колеблющимися с одинаковой амплитудой, равно половине
длины бегущей волны, то можно написать
где п — целое число A, 2, 3, и т. д.). Так как длина волны связана
со скоростью распространения импульса деформации вдоль струны
с и частотой колебаний струны v соотношением < =* -, то
' v = ^-c. B)

172 МЕХАНИКА
Струна, следовательно, может колебаться не с одной частотой,
а с целым спектром частот, что соответствует тому факту, что струна
может рассматриваться как система, состоящая из бесконечного
числа материальных точек.
Опыт показывает, что скорость распространения импульса де-
деформаций вдоль струны определяется величиной натяжения Р
струны и линейной плотностью р материала струны, т. е.
е = Ф(Р, Р).
Эта зависимость может быть раскрыта, если применить метод
размерностей. Пусть
С=ф(Р, р) = ртрп9
но [Р] = MLT~2, [р] = ML~\ [с] = LT-1 (М — масса, L — длина,
Т — время), следовательно,
LT-1 = (MLT-*)m (MLr1)".
Приравнивая показатели степеней левой и правой частей урав-
уравнения, получим m — п = 1, 1 = 2m, m + п = 0, откуда m = l/2f
п =— 1/2. Таким образом, имеем
Отсюда получаем окончательное выражение для частот колебаний
струны
V = р
Это частота наиболее простых так называемых собственных или
нормальных колебаний струн. Наиболее общим случаем колебаний
_____ струн является колебание,
в котором одновременно
присутствуют все п собст-
собственных колебаний. Любое
сложное колебание струны
может быть представлено
как наложение (суперпо-
(суперпозиция) многих собственных
колебаний, отличающихся
Рис. I. не только величинами своих
частот, но и величинами
своих амплитуд для отдельных точек струны. Распределение ампли-
амплитуд отдельных точек струны при собственных колебаниях для раз-
различных значений п имеет вид, изображенный на рис. 1.

31. ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
173
Цель настоящей задачи — получение на струне стоячих волн,
наблюдение картины распределения амплитуд и количественная
проверка формулы C) для частот колебаний струны. При этом ве-
величины р, / и v остаются постоянными, изменяется только вели-
величина Р, что ведет к изменению п.
Упражнение 1
Горизонтальная струна
Принадлежности: 1) установка, 2) разновесы, 3) масштабная линейка,
4) небольшой отрезок применяемой струны.
Описание установки. Установка (рис. 2) состоит из струны /,
натягиваемой нитью при помощи валика 2 и связанной с ним чер-
червячной передачи. Струна соединена с нитью посредством мягкой
Рис. 2.
стальной пружины 3 с указателем, положение которого может быть
отсчитано по шкале. По деформации этой пружины судят о величине
натяжения струны.
Внешнее периодическое воздействие, необходимое для колебаний
струны, создается тем, что по струне пропускается переменный
ток с частотой v = 50 сек'1, а сама струна помещается между по-
полюсами электромагнита 4. Благодаря этому на струну действует
внешняя периодическая сила, частота изменения которой также
равна 50 сек.
Передвижением электромагнита вдоль струны достигается пе-
перемещение по струне точки приложения внешней силы. Струна
должна быть из немагнитного материала, иначе она будет притя-
притянута к одному из полюсов электромагнита и ее колебания будут
нарушены.
На рис. 3 изображены электрические схемы включения струны
(а) и электромагнита (б).

IE
174 МЕХАНИКА
Измерения. Прежде всего градуируют пружину; с ее конца
снимают нить, навитую на валик, и к нему прикрепляют ДРУГУЮ
нить, несущую платформу E на р^с. 2); нагружают платформу раз-
различными грузами известного веса и одновременно фиксируют поло-
положение указателя пружины на шкале и вес соответствующих грузов.
Полученные таким образом данные дают возможность построить
график зависимости натяжения
~~~f ~~ *^~~ струны Р от деформации пружины
1 ? CZD k (P = ф (?)). Затем, сняв нить
t с платформой, к концу пружины
а) вновь прикрепляют конец нити,
идущей на валик, и вращением чер-
Г~ ^ вячной передачи натягивают пру-
'—J **/66 жину. Зная показания &, теперь
^ легко по графику определить на-
натяжение струны Р.
g) » После этого устанавливают
электромагнит так, чтобы середина
ис' ' струны оказалась между его по-
полюсами, и включают постоянный
ток, идущий через обмотку электромагнита, и переменный ток, про-
проходящий через струну. Медленно увеличивая натяжение струны,
добиваются устойчивых колебаний ее при п = 1 (см. распределение
амплитуд точек струны при п = 1 на рис. 1).
После получения устойчивых колебаний производят отсчет
амплитуд колебаний отдельных точек струны (не менее 10) при по-
помощи прозрачной шкалы F на рис. 2), могущей скользить вдоль
струны. (Если амплитуды колебаний очень малы, необходимо уве-
увеличить силу тока, идущего по струне, или увеличить силу тока в об-
обмотке электромагнита.)
Устанавливая электромагнит на расстоянии 1/4 и 1/6 дли-
длины струны и добиваясь устойчивых колебаний струны при
п = 2 и п = 3, измеряют амплитуды колебаний отдельных ее
точек.
Пользуясь полученными данными, строят графики распределения
амплитуд при л=1, п = 2, л=3и сравнивают их с теоретиче-
теоретическими, нанося на те же графики теоретические синусоиды.
Проверка формулы C) заключается в том, что, полагая в ней
v = 50 сект1, зная /, п и Р, определяют линейную плотность р ма-
материала струны.
Длину струны / измеряют непосредственно масштабной линейкой,
п определяют из картины распределения^ амплитуд, а Р опреде-
определяют по ранее построенному графику.
Затем сравнивают полученное таким образом значение р с плот-
плотностью, измеренной путем взвешивания образца проволоки струны,
длина которого предварительно измерена.

31. ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 175
Упражнение 2
Вертикальная струна
Принадлежности: 1) установка, 2) разновесы и сухой песок, 3) мас-
масштабная линейка, 4) небольшой отрезок струны.
Описание установки. Струна А (рис. 4) может быть из материала,
который не проводит электрический ток. Внешнее периодическое
воздействие на струну осуществляется в верхней точке, где конец
струны прикреплен к железной
пластинке В. Конец этой пластинки
находится между полюсами электро-
электромагнита С, питаемого переменным
током частотой 50 гц.
Сама пластинка является частью
магнитной цепи электромагнита D,
питаемого постоянным током, из-
изменение которого позволяет изме-
изменять амплитуду колебаний плас-
пластинки, а, следовательно, и струны.
Нижний конец струны прикреп-
прикреплен к концу рычага Е с осью вра-
вращения в точке О. Ниже подвешена
платформа М и ведерко N, на
другом конце рычага Е может
перемещаться и закрепляться груз
К. Вес платформы и ведерка мо-
может быть уравновешен этим грузом.
Натяжение струны определяет-
определяется весом груза на платформе и
весом песка в ведерке. Пользование
песком позволяет незначительно
изменять величину натяжения;
вес песка определяется на весах.
Для наблюдения фигур, при-
принимаемых струной, применяется
стробоскопическое освещение. Для
этого 'за матовым стеклом S в
коробе Т помещена лампа дневного Рис. 4.
света, включаемая в цепь перемен-
переменного тока E0 гц, 220 в). Струна, совершающая 50 полных ко-
колебаний в секунду и освещаемая лампой, дающей 100 вспышек в се*
кунду, кажется неподвижной в своих двух крайних положениях.
Измерения. Уравновешивают рычаг Et включают цепи освещаю-
освещающей лампы, электромагнитов. На платформу постепенно наклады-
накладывают гири, в ведерко насыпают песок, добиваясь того, чтобы струна

176 МЕХАНИКА
давала устойчивую картину основного тона. Пользуясь шкалами
Q, измеряют амплитуды колебаний в различных точках (не менее 10)
струны. По полученным данным строят график зависимости ампли-
амплитуды колебаний от координаты точки струны. Полученную кривую
необходимо сравнить с теоретической синусоидой, амплитуда ко-
которой равна амплитуде экспериментальной кривой. На том же листе
бумаги строят такую синусоиду.
Совершенно так же поступают для двух следующих обертонов
струны. По формуле C) при п = 1, зная v E0 гц), Р и /, определяют
величину линейной плотности струны р (длину струны / измеряют
масштабной линейкой).
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XV, § 138—143.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XVIII, § 149, 150.
3 А Д А Ч А 32
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
МЕТОДОМ КУНДТА
Принадлежности: 1) установка, 2) миллиметровая линейка, 3) термо-
термометр.
Теория. При переходе акустических волн из одной среды в дру-
другую частота колебаний сохраняется, но изменяется скорость рас-
распространения волн, что приводит к изменению длины волны.
Для двух сред можно написать vx = Xxv, v2 = X2v, где vx и
v2 — скорости распространения волн в средах 1 и 2, ^ и %г — длины
волн в этих средах, v — частота колебаний. Эти уравнения дают
Если одна из сред: например 2, — газ (воздух), то скорость звука
определяется по формуле Лапласа
где р — давление воздуха, р — его плотность, у — отношение
удельных теплоемкостей (у = cp/cv).
Учет изменения плотности газа с изменением температуры
Р ~ -1 ± /) приводит к выражению
= ]/р-о у

32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА МЕТОДОМ КУНДТА 177
где а — коэффициент расширения воздуха, t — температура в гра-
градусах Цельсия, р0 — плотность при t = 0° С, v0 — скорость рас-
распространения звуковых волн при нуле градусов Цельсия, рав-
равная 331 м/сек (а для влажного воздуха может быть принятой рав-
равной 0,004). Пользуясь выражением для и2, получаем
A)
Описание прибора и измерения. Прибор Кундта (рис. 1) состоит
из стеклянной трубки Л, закрытой с одного конца, и стержня В
из материала, в котором хотят измерить скорость распространения
звука, с легким диском С на одном конце.
А л Г»
Ж
Рис. 1.*
Зажимом D стержни поочередно закрепляются на своей середине.
В трубку насыпают немного пробковых опилок и, положив ее на под-
подставку, располагают стержень так, чтобы диск вошел в трубку на
небольшое расстояние, не касаясь ее стенок.
Свободный конец стержня натирают в направлении от середины
^фланелью, покрытой канифолью, возбуждая тем самым собствен-
собственные продольные колебания частиц стержня. При принятом здесь
способе возбуждения возникают в основном собственные колебания
с минимальной частотой. Они представляют стоячие волны. В месте
зажима стержня частицы находятся в покое (амплитуда колеба-
колебаний равна нулю). Здесь узел смещения и скоростей. Во всех осталь-
остальных, сечениях стержня амплитуды колебаний не равны нулю и воз-
возрастают к концам стрежня, где имеются пучности смещений и ско-
скоростей. На стержне длины L укладывается половина длины вол-
волны Ях, поэтому имеем
L = V2. B)
В полости трубки (в воздухе) также устанавливаются колеба-
колебания, которые распределяют пробковые опилки в характерные фи-
фигуры Кундта, Когда расстояние от диска до закрытого конца трубки
будет равно целому числу полуволн, фигуры Кундта образуются
особенно легко и ясно, что объясняется совпадением частоты коле-
колебаний стержня с одной из собственных частот столба воздуха в трубке.
В результате такого совпадения увеличивается амплитуда колеба-
колебаний столба воздуха в трубке (резонанс).
Чтобы получить отчетливые фигуры Кундта, необходимо при
возбуждении колебаний (натирании стержня) трубку несколько

178 МЕХАНИКА
смещать в одну или другую сторону, изменяя тем самым частоты
собственных колебаний столба воздуха и добиваясь совпадения
одной из этих частот с частотой колебаний стержня.
Получив отчетливые фигуры, измеряют (линейкой с миллимет-
миллиметровыми делениями) длину нескольких фигур, определяют среднюю
длину одной фигуры. Ясно, что длина одной фигуры / равна по-
половине длины волны Я2, распространяющейся в воздухе, т. е.
/ = V2. C)
Если измерить длину стержня L = Хг/2 и длину фигуры Кундта
/ = К2/2 и знать скорость распространения звука v0 в воздухе при
температуре 0° С, можно вычислить скорость распространения зву-
звуковой волны в стержне по формуле
Длина стержня L измеряется линейкой с миллиметровыми
делениями, температура / по термометру, находящемуся в комнате.
Измерения производят для трех стержней. Все измерения следует
производить не менее трех раз, пользуясь средним арифметическим
значением искомой величины.
Определив скорость vx для всех стержней и зная плотность мате-
материала их, определяют модуль Юнга Е материала стержней, так как
Полученные значения для модуля Юнга следует сравнить с таб-*
личными данными.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XV, § 138—143.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XVIII, § 149, 150.
3 А Д А Ч А 33
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА И МОДУЛЯ ЮНГА
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Принадлежности: 1) прибор (с держателем стержня, возбудителем п
приемником), 2) исследуемые стержни, 3) катодный осциллограф ЭО-4, 4) звуковой
генератор ЗГ-2А.
Цель работы — определение скорости звука и модуля Юнга
путем измерения резонансных частот продольных звуковых колеба-
колебаний в стержнях, изготовленных из слабопоглощающих звук мате-
материалов (металлы).

33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 179
При распространении звука в изотропных твердых телах на-
наблюдаются как продольные, так и поперечные волны, причем ско-
скорость их распространения различна и зависит от упругих свойств
тел, через которые проходит волна. Теоретический анализ этого
процесса довольно сложен. В случае продольных волн теория дает
следующее соотношение для скорости звука в стержне, длина ко-
которого велика по сравнению с линейными размерами его сечения:
с =
где с — скорость распространения продольной звуковой волны,
Е — модуль Юнга материала, из которого сделан стержень, и
р — его плотность.
Для возбуждения продольных колебаний в стержне достаточно
каким-либо образом вызывать в одном из его концов попеременное
сжатие и растяжение в направлении длины. Благодаря очень малому
затуханию упругой волны в стержне и ее полному отражению на
границе раздела стержень — воздух при определенных частотах
колебаний устанавливаются стоячие волны. Если стержень за-
закреплен посредине, то при таком возбуждении узел стоячей волны
приходится в месте зажима, а пучности — на концах стержня.
В этом случае на стержне укладывается нечетное число Я/2, так как
расстояние между узлами равно половине длины волны. Это условие
можно записать так:
где L — длина стержня, X — длина бегущей волны, п = 0, 1, 2, 3.
Воспользовавшись равенством с = Xv, можно получить формулу
для скорости распространения продольной звуковой волны в
стержне
где v — частота колебаний.
Определив резонансные частоты v, при которых устанавливаются
стоячие волны, можно найти скорость распространения продоль-
продольных волн в стержне (формула B)), а отсюда и модуль Юнга (фор-
(формула A)).
Описание установки. Схема установки представлена на рис. 1.
Установка состоит из звукового генератора /, прибора // с дер-
держателем стержня и двумя электромагнитами для возбуждения и
приема продольных колебаний и катодного осциллографа ///.
Исследуемый стержень / закрепляется зажимом 2 на своей середине
так *), чтобы его нижний и верхний концы были расположены
2) Стержень должен быть закреплен строго в середине (с точностью до одного
миллиметра); неточное закрепление влияет на результаты измерений.

180
МЕХАНИКА
1
E
3 s
f
О
z ш
Рис. I.
против полюсов возбудителя 3 и приемника 3\ Для усиления воз-
возбуждения продольных колебаний возбудитель и приемник необ-
необходимо расположить более близко у концов стержня, что дости-
достигается при помощи микровинтов, жестко связанных с электромаг-
электромагнитами. Переменное элект-
электрическое напряжение от
генератора ЗГ-2А 1) подво-
подводится к катушке возбужде-
возбуждения. В результате на ниж-
нижний конец стержня будет
действовать периодическая
сила с частотой, равной
частоте генератора, и в
ферромагнитном стержне
возбудятся продольные вол-
волны. Если стержень сделан из немагнитного материала, то для
возбуждения продольных волн к его концам приклеивают тонкие
пластинки из мягкого железа.
Верхний электромагнит — приемник 3' — является преобра-
преобразователем звуковых колебаний в электрические. Его катушка
присоединяется к клеммам «вход вертикального усилителя» катод-
катодного осциллографа. Усиленные электрические колебания, посту-
поступающие от приемника, и наблюдаются на экране осциллографа 2).
Постепенно изменяя частоту колебаний напряжения, подаваемого
на возбудитель от генератора, можно добиться резонанса, т. е.
совпадения частоты указанных колебаний с одной из частот соб-
собственных колебаний стержня.
Возрастание амплитуды на экране осциллографа может произойти и в ре-
результате резонанса поперечных колебаний исследуемого стержня (отдельные
сечения стержня смещаются перпендикулярно к его оси). Этот эффект выражен
тем сильнее, чем дальше отстоят свободные концы стержня от возбудителя и
приемника и относительно них нарушена центровка стержня.
Катушки электромагнитов должны иметь постоянные магниты, при этом
напряженность магнитного поля магнитов должна быть не меньше (лучше, если
больше), чем напряженность магнитного поля катушек электромагнитов в ре-
результате прохождения переменного тока. Только в этом случае частота возбуж-
возбуждающей силы будет равна частоте звукового генератора. Если в катушке электро-
электромагнита постоянный магнит заменен сердечником из мягкого железа, то электро-
электромагнит будет притягивать стержень с удвоенной частотой (два раза за период
переменного тока независимо от его направления) и частота возбуждающей силы
будет в два раза больше.
Измерения. Собирают установку по схеме рис. 1. Пользуясь
микровинтами, приближают возбудитель 3 и приемник 3' к соот-
соответствующим концам стержня до воздушного зазора, равного
1) Генератор ЗГ-2А представляет собой прибор, в котором можно получать
электрические колебания, лежащие в области звуковых частот B0—20 000 гц).
2) В данной работе используется осциллограф ЭО-4.

33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 181
0,1—0,2 мм. Напряжение на выходе звукового генератора ЗГ-2А
устанавливается на максимум. Наблюдая за экраном катодного
осциллографа, медленно вращают лимб «установка частоты» зву-
звукового генератора до тех пор, пока не наступит возрастание ам-
амплитуды колебаний на экране катодного осциллографа. Соответ-
Соответствующую частоту колебаний отсчитывают по лимбу генератора х).
Особенно сильное возрастание амплитуды колебаний наблюдается
при основном резонансе.
Повышая частоту звукового генератора, находят другие возмож-
возможные резонансные частоты материала стержня.
Пользуясь формулами B) и A), определяют скорость распростра-
распространения продольных волн и модуль Юнга стержня.
Указанные измерения проводят со стержнями различной длины,
изготовленными из железа, стали, латуни и алюминия.
Для одного из стержней снимают резонансную кривую, измеряя
изменение амплитуды колебаний на экране катодного осциллографа.
По полученным данным строят резонансную кривую.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XV, § 138—143.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1953»
гл. XVIII, § 149, 150.
1) Для металлических стержней, длина которых 300—500 мм, основная ре-
резонансная частота равна нескольким килогерцам; настройку нужно начинать
с 3000 гц.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
3 А Д А Ч А 34
ИЗГОТОВЛЕНИЕ И ГРАДУИРОВКА ТЕРМОПАР
Термопарой называется замкнутая электрическая цепь, содержа-
содержащая два спая различных металлических проводников.
Если температура спаев различна, то в цепи идет обусловлен-
обусловленный термоэлектродвижущей силой электрический ток. Величина
термоэлектродвижущей силы Е пропорциональна разности темпе-
температур tx — t2
-t& A)
где С — постоянная величина, если разность температур не очень
велика. Величина С не превышает нескольких десятков микровольт
на градус.
Настоящая работа в значительной мере препаративна. В работе
производится: 1) изготовление термопары, 2) градуировка термопа-
термопары, 3) проверка одной точки градуировки по температуре плавле-
плавления олова B32° С), 4) нахождение коэффициентов зависимости
E = f(t- t0).
Упражнение 1
Изготовление термопары
Принадлежности: 1) тонкая проволока из различных металлов, 2) мил-
милливольтметр, 3) фарфоровые и резиновые трубки.
Схема термопары представлена на рис. 1. Два проводника А В
и ACDB из различных материалов имеют общие точки Л и В, где
они сварены друг с другом. К точкам С и D может подключаться
милливольтметр.
Длина проводника А В 60 см> Л С 40 см, DB 20 см. Изготовляется
термопара следующим образом. Концы двух проводников из раз-
различных материалов скручиваются так, чтобы они плотно прилегали
друг к другу (можно скреплять их более тонкой проволокой).
Сварка концов производится в пламени электрической дуги. Для
этого используется дуговой фонарь (рис. 2) с угольными электро-

34. ИЗГОТОВЛЕНИЕ И ГРАДУИРОВКА ТЕРМОПАР
183:
дами, укрепленными винтами в специальных зажимах А и В. Рас-
Расстояние между концами углей можно изменять от руки при помощи
рукояток С и D. Угли для предохранения глаз заключены в подъем-
подъемный кожух (на рисунке не показан).
Рис. 1.
У^\
Рис. 2.
Дуга зажигается только при опущенном кожухе, наблюдение
ведется через цветное стекло в кожухе. Дуга включается в цепь
постоянного тока последовательно с реостатом в несколько десятков
омов. Полярность углей не безразлична, положительный полюс
присоединяется к углю большего диаметра.
Для зажигания дуги включают рубильник (сопротивление рео-
реостатов должно быть наибольшим), угли сводят до соприкосновения
и сейчас же разводят. Если дуга не появляется, сопротивление
реостата необходимо уменьшить. При правильно подобранном
расстоянии между углями накаляются только их концы, дуга
не шипит и горит спокойно.
Для сварки термопар концы проводников очень осторожно на
время не более одной секунды вводят в пламя дуги (смотреть на
пламя можно только через цветное стекло!). После сварки необхо-
необходимо убедиться*в прочности спая и удалить тонкую проволочку,
скреплявшую проводники (если она применялась).
Сваренные проводники осторожно продергивают отдельно друг
от друга через два канала в фарфоровой трубке длиной 10 см.
Необходимо, чтобы сваренный конец выступал за торец трубки
не более чем на 3—4 мм.
На длинные концы проводников для изоляции их друг от друга
надевают тонкие резиновые трубки. Перед сваркой второго конца
термопары на длинный проводник лучше надеть фарфоровую трубку
(меньшей длины).
После сварки короткий проводник продергивается через остав-
оставшийся свободный канал трубки (сваренный конец должен выступать
на 3—4 мм от конца трубки). На оставшийся короткий проводник
одевается тонкая резиновая трубка.
Концы проводников термопары из одного материала присоеди-
присоединяются к клеммам (см. ниже).

184 молекулярная физика
Упражнение 2
Градуировка термопар
Принадлежности: 1) электрическая печь, 2) термометры, 3) термопары,
4) милливольтметр.
Градуируется не только изготовленная термопара, но и еще
три готовых. Один конец изготовленной термопары вставляется
в керамическую крышку печи, другой — в сосуд с маслом (так же,
как и готовые термопары).
Температура в полости печи может достигать 250° С и изме-
измеряется термометром, вставленным в отверстие крышки г). Темпера?
тура масла также измеряется термометром и остается практически
постоянной, так как сосуд имеет двойные стенки, омываемые про-
проточной водой. Питание печи производится переменным током, в цепь
включается автотрансформатор с ограничителем подаваемого на
печь напряжения.
Концы всех термопар присоединены к клеммам, укрепленным на
колодке около сосуда с маслом. Применяющийся милливольтметр
с вилкой, вставляемой в ту или иную пару клемм, может замыкать
цепь любой термопары.
Градуируют все термопары одновременно. Для этого включают
нагрев печи и через каждые 15—20° С замечают показания термо-
термометра печи и милливольтметра, включаемого поочередно на все
четыре термопары.
Следует быть внимательным и не спутать, какие показания к ка-
какой термопаре относятся. Когда температура достигнет 250° С,
нагрев печи выключают. Следует воспользоваться падением темпе-
температуры и вновь произвести отсчет показаний милливольтметра
через каждые 15—20° С для всех термопар.
Полученный экспериментальный материал необходимо предста-
представить в виде графиков
где п — показания милливольтметра, (tx — t2) — разность пока-
показаний термометров печи и сосуда с маслом. Все 'графики следует
дать на одном листе бумаги в одном масштабе (для сравнения).
х) Градуировать термопару следует по температурам плавления жидких
веществ, так как, если это делать по термометру, то в градуировку автоматически
войдут систематические ошибки шкалы термометра. Кроме того, возможно по-
появление дополнительных ошибок, связанных с тем, что температура масла в рав-
равных его участках может немного различаться. Однако в этом упражнении градуи-
градуировка для уменьшения объема работы производится с помощью термометра, а
в следующем упражнении лишь одна точка проверяется по температуре плавле-
плавления олова. s

34. ИЗГОТОВЛЕНИЕ И ГРАДУИРОВКА ТЕРМОПАР 185
Упражнение 3
Проверка градуировки термопары по температуре плавления олова
Принадлежности: 1) электрическая печь, 2) термопара (изготовленная),
3) милливольтметр, 4) тигель с оловом.
Для того чтобы убедиться в том, что изготовленная термопара
проградуирована правильно, ее в прежних условиях проверяют по
температуре плавления олова B32° С). Для этого в печь помещают
фарфоровый тигель с оловом.- Печь закрывается другой крышкой
(крышка с тремя термопарами и термометром ставится на специаль-
специальную подставку).
Изготовленная термопара вставляется в отверстие крышки так,
чтобы конец термопары мог погрузиться в расплавленное олово,
не касаясь дна и стенок тигеля. Милливольтметр должен быть вклю-
включен на исследуемую термопару.
Включают печь. Убедившись, что олово расплавилось и конец
термопары погружен в олово, печь выключают.
При охлаждении печи через каждые 5 минут фиксируют положе-
положение стрелки на шкале милливольтметра. Следует сразу же строить
график кривой охлаждения, т. е. зависимость показаний милли-
милливольтметра (температуры) от времени.
Из графика видно, что до температуры плавления олова наб-
наблюдается сравнительно быстрое уменьшение показаний прибора.
При температуре плавления олова, когда оно кристаллизируется,
кривая зависимости температуры от времени становится параллель-
параллельной оси времени. После кристаллизации олова температура в тигле
быстро уменьшается. После этого печь включают снова и совер-
совершенно так же снимают кривую нагревания (график строят на
прежнем листе бумаги). Когда олово вновь расплавится, печь
выключают, термопару вынимают из печи.
По двум полученным кривым, усредняя, определяют показание
п' милливольтметра, соответствующее температуре плавления олова
B32° С). Эти два числа позволяют нанести на ранее полученный
график изготовленной термопары еще одну точку. Если градуировка
была произведена правильно, эта точка должна совпасть с точкой,
лежащей на кривой градуировки.
Недопустимо: 1. Вставлять в печь с расплавленным оловом ртут-
ртутный термометр. 2. Погружать в расплавленное олово остальные
термопары.
Упражнение 4
Нахождение коэффициентов зависимости Е = f (t — t0)
В пределах малых изменений разности температур между горя-
горячим и холодным спаями термопары /гор — /хол = Т можно считать
термоэлектродвижущую силу Е линейной функцией разности

186 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
температур Т
Е = еТ9 B)
где е — термо-э. д. с. при Т = 1° С — должна быть в этом случае
постоянной.
Однако рассмотрение экспериментального графика показывает,
что при увеличении разности температур наблюдается системати-
систематическое отклонение от линейности.
Предположим, что реальная зависимость имеет вид
Е = е0Т + СТ2 C)
и будем искать коэффициенты е0 и С. Для уменьшения объема расче-
расчетов удобнее искать коэффициенты е0 и С для зависимости
^г=ео + СТ. D)
Выбирают одну из измеренных в задаче термопар (например,
железо — константан) и по полученным опытным данным рассчи-
рассчитывают для нее еп мкв
?\000 21 ш E)
Следует построить график еп(Тп)> который (в пределах исследо-
исследованных Т) представляет прямую, не проходящую через начало
координат. Таким образом, еп можно представить в виде
еп = е0 + СТПУ F)
где е0 и С — неизвестные постоянные.
Воспользовавшись методом наименьших квадратов, найдем
наиболее вероятные их значения (см. Введение). Чтобы не иметь
дела с очень большими числами при расчетах, удобно предста-
представить е0 и С в виде некоторой суммы двух чисел
ео = е, + х и С = С' + у, G)
где е\ — ближайшее минимальное целое число из ряда найденных
из опытов еп, а х — добавок к нему, С — некоторая малая вели-
величина, порядок которой определяется максимальным порядком Тп,
г у — добавок к ней. В данной работе удобно положить С = 0,01.
Тогда уравнение F) сведется к
ея = е'ь +х + 0901 Тя + уТя,
откуда, введя новую переменную zn = еп — eQ — 0,01 Тп, получим
гп = х + уТп, (8)

34. ИЗГОТОВЛЕНИЕ И ГРАДУИРОВКА ТЕРМОПАР 187
Для определения х и у, а следовательно, е0 и С, выбирают 10 экс-
экспериментальных точек так, чтобы они равномерно охватывали всю
экспериментальную кривую, и вычисляют для них г:
= x + уТ2У
ю-
(9)
Разность между левой и правой частями каждого из уравнений
(9) определяет отклонение zn опытного результата измерений от его
точного значения х + уТп, соответствующего точному значению
Тъ Т2 ...
В опыте Т1у Т2 ... могли быть определены с ошибкой, которая
вошла в общую ошибку гъ z2... Поэтому в теоретической правой
части ошибку Тп повторно не учитывают и считают значения Тп
точными.
По методу наименьших квадратов наиболее вероятные коэффи-
коэффициенты зависимости между измеряемыми величинами должны со-
соответствовать наименьшей сумме квадратов отклонений (см.
Введение).
Воспользовавшись методами дифференциального исчисления»
найдем условия минимума
= 0 И
Ту
Отсюда получаем два уравнения для определения наиболее близ-
близких к истинным значений х и у:
Решая эти уравнения относительно у и х, получим
п V (Т2\ ("V Т ^2 '
11 2и \l n) \Zj i n)
X =
Найденные значения а: и у с их знаками подставляют в уравне-
уравнения G), a eQ и С в уравнение C). Таким образом, получаем оконча-
окончательно
Е мкв = е0Т + СТ2.

188
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Полученную закономерность проверяют для Т = 50, 100, 150,
200, 250° С. Рассчитанные э. д. с. (в мв) наносят на эксперимен-
экспериментальную кривую. Для удобства расчета следует составить таблицу:
г„Тп
LznTn
Ц
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. I, § 15.
2. К. П. Яковлев, Математическая обработка результатов измерений,
Гостехиздат, 1953, гл. 10, § 5.
3 А Д А Ч А 35
ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕРМИЧЕСКОГО КОЭФФИЦИЕНТА ДАВЛЕНИЯ
ГАЗА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Принадлежности: 1) прибор, 2) пружинный вакуумметр, 3) насос
ВН-461, 4) электроплитка, 5) бачок.
Введение. Термический коэффициент давления газа характери-
характеризует относительное изменение давления газа при изменении тем-
температуры на Г С
Коэффициент а можно легко определить из уравнения состоя-
состояния для идеального газа
~. ¦ B)
Принимая V постоянным и дифференцируя по Г, получим
(др\
\df)v
V *
Из уравнений A)—-C) следует, что
1 (dp\ 1
)
C)
D)

35 ТЕРМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА
189
-
-
В
.
-
_ с
г\ЛЛЛАп
Рис.
Таким образом, термический коэффициент давления газа обратно
пропорционален абсолютной температуре. В частности при
То = 273° К @° С) а = а0 == 27з гРад~1-
Описание прибора. Прибор для определения термического коэф-
коэффициента давления газа состоит из стеклянного баллона В (рис. 1),
заполненного воздухом при по-
пониженном давлении, и вакуум-
вакуумметра М, соединенного с бал-
баллоном резиновым шлангом. Кран
К служит для соединения бал-
баллона с атмосферой. Баллон по-
погружен в бачок С, установленный
на электрической плитке Л.
Давление в баллоне изме-
измеряется вакуумметром с трубча-
трубчатой пружиной. Кран D соеди-
соединяет вакуумметр с баллоном,
кран Е служит для соединения
системы с насосом Н.
Перед началом работы сле-
следует убедиться, что вакуумметр
показывает давление 256—300 мм pm. cm. Если давление лежит вне
этих пределов, надо Обратиться к лаборанту. Самим вращать кра-
краны на установке не разрешается\
Измерения. Заполняют бачок снегом или водой комнатной
температуры. По термометру, погруженному в бачок, отсчитывают
температуру и замеряют при этом показания вакуумметра. Затем
включают электрическую плитку и начинают нагревать воду.
Начиная с 10° С через каждые 5° до кипения воды, замеряют тем-
температуру роды в сосуде и отсчитывают соответствующее показание
вакуумметра. По барометру-анероиду измеряют атмосферное дав-
давление.
Сразу же после окончания измерений необходимо слить воду из
бачка.
Вычисления. Вакуумметр измеряет разрежение, следовательно,
чтобы найти давление в баллоне, надо из атмосферного давления
вычесть показания вакуумметра
Р = Ратм — Рвак-
Зная давление газа в баллоне и его температуру, строят график
зависимости давления газа от его температуры. Из графика по тан-
тангенсу угла наклона прямой и значениям давления газа при
соответствующих температурах находят значения а для разных

190 молекулярная физика
температур (от 0° до 100° С). Строят график а = f (T). На этом
же графике наносят теоретическую кривую.
' Примечание. Надо заметить, что мы не учитывали изменение объема
газа, вызванное некоторым расширением стеклянного баллона при его нагревании,
и пренебрегая объемами соединительной трубки и вакуумметра, ввиду их незна-
незначительности по сравнению с размером баллона. Таким образом, надо ожидать,
что значения, полученные на данной установке, будут заниженными.
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. I, § 4.
3 А Д А Ч А 36
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ЭКВИВАЛЕНТА ТЕПЛА
(МЕТОД ДЖОУЛЯ)
Принадлежности: 1) прибор Джоуля, 2) два термометра, 3) электромо-
электромотор с реостатом, шкивом и ключом, 4) лупа или измерительный микроскоп (МИР-1).
Введение. Теплота может быть переведена в механическую
работу, а механическая работа может быть переведена в теплоту.
Если некоторое количество теплоты Q эквивалентно некоторому
количеству работы Л, т. е. одно из них, например Л, затрачивается
при получении другого Q, то между ними существует соотношение
А = JQ, A)
где / — постбянное число, которое, как известно, принято назы-
называть механическим эквивалентом тепла. Оно показывает, какое
количество единиц работы надо затра-
затратить, чтобы получить одну единицу теплоты; можно еще
сказать, что механический эквивалент теплоты является тем множи-
множителем, который позволяет переходить от механических единиц
к тепловым или обратно. Механический эквивалент теплоты выра-
выражают иногда в килограммометрах на килокалорию, иногда в эргах
на калорию.
Величину механического эквивалента определяют на опыте;
ее находят, измеряя возможно точно величины А и Q, т. е. застав-
ляя на опыте определенное количество работы превращаться в теп-
теплоту. Существует несколько экспериментальных методов определе-
определения механического эквивалента теплоты; ниже приводится несколько
измененный способ Джоуля.
Описание прибора. Прибор состоит из латунного никелирован-
никелированного калориметра С (рис. 1), который помещается в обернутой
войлоком оболочке ZZ\ последняя наполняется водой комнатной
температуры и служит для защиты от случайных колебаний темпе-

36. МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКВИВАЛЕНТ ТЕПЛА (МЕТОД ДЖОУЛЯ)
191
ратуры. Калориметр неизменно соединен со шкивом Z), а снизу
свободно упирается острием Е в коническое углубление у. Сверху
калориметр поддерживается вставляемой в него латунной трубкой
GB с лопатками РР, которая в свою очередь опирается на непод-
неподвижный подшипник А. На конец G этой трубки насажен шкив F,
Рис. 1.
соединенный с мотором бесконечным ремнем. Счетчик (не показан-
показанный на рисунке) отмечает число оборотов шкива F, а следовательно,
и лопаток PP. Число оборотов мотора регулируется реостатом (также
не показанным на рисунке).
Лопатки РР, вращаясь, приводят во вращение жидкость. Меха-
Механическая работа при этом благодаря вязкости жидкости переходит
в теплоту; температура жидкости повышается. Из-за наличия сил
внутреннего трения начнет вращаться и сам калориметр. Этому
вращению препятствует груз М, привязанный к нити, которая
намотана на шкив D. Сила тяжести груза создает момент по направ-
направлению, противоположному моменту силы натяжения ремня мотора.
Изменяя реостатом скорость вращения мотора, а следовательно,
и лопаток, можно сделать эти два момента равными по величине;
калориметр вращаться не будет, груз М будет неподвижно висеть
на нити, а механическая работа в этом случае целиком превратится
в теплоту.
Теория. Как известно, для случая вращательного движения
величину работы можно выразить следующим образом:
А =

192 молекулярная физика
где М — момент силы, производящей работу, ср — угол поворота.
Поэтому величина механической работы Л, которая соответствует
числу N оборотов лопаток, очевидно, равна
А = 2nNRP, . B)
где- R — радиус шкива ?>, Р — вес груза М.
С другой стороны, количество теплоты Q, выделенной в калори-
калориметре, равно
Q=(k + w) A/, C)
где k -r- произведение массы воды, находящейся в калориметре,
на удельную теплоемкость воды, w — водяной эквивалент калори-
калориметра, который можно считать равным произведению массы кало-
калориметра на удельную теплоемкость металла калориметра (для
латуни с = 0,09 кйл/г -град), At — повышение температуры кало-
калориметра.
Из формул B) и C) находим, что искомый механический экви-
эквивалент / равен
Л_ 2nNRP (A)
1 Q (k + w)At ' * к '
Величина At — повышение температуры калориметра — опре-
определяется из таблицы записи наблюдений показаний термометра для
ряда последовательных показаний счетчика.
Измерения. Прежде всего взвешивают калориметр. Затем в обо-
оболочку НН наливают воду комнатной температуры. В калориметр С
наливают 1200 г воды при температуре на 1—2° ниже температуры
оболочки.
Прибор собирают, как показано на рисунке, вращающиеся
части на подшипниках смазывают, ремень FL перекидывают через
шкив мотора (ключ должен быть разомкнут). Термометры Т и 7\
ставят на место. На нить, перекинутую через блок D, подвешивают
груз М. *
Реостат ставят на максимум сопротивления. Пустив мотор при
помощи ключа, постепенно выводят сопротивление, чтобы груз М
приподнялся на 2—5 см и держался на этой высоте.
Пользуясь лупой (лучше МИР-1), следят за ростом температуры
воды. Не следует допускать повышения температуры более чем на
2,0—2,5° С. Через каждые 0,5° С отсчитывают по счетчику число
оборотов, совершаемых лопатками.
Зная величины Р и R по формуле D), определяют значение
механического эквивалента теплоты. За истинное значение прини-
принимают среднее арифметическое из трех или четырех пар значений
величин At и N.
Примечание. В системе единиц СИ механический эквивалент теплоты
равен 1, поскольку там единицы измерения теплоты и работы совпадают.

37. МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКВИВАЛЕНТ ТЕПЛА (МЕТОД РАСШИРЕНИЯ ГАЗА) 193
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. II, § 9.
3 А Д А Ч А 37
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ЭКВИВАЛЕНТА ТЕПЛА
(МЕТОД РАСШИРЕНИЯ ГАЗА)
Принадлежности: 1) термостат ТС-15 с контактным термометром,
2) прибор.
Введение. Механический эквивалент тепла определяется в дан-
данной задаче с помощью измерения работы расширения газа. Если
газ совершает работу расширения Л, то согласно первому зако-
закону термодинамики он поглощает при этом некоторое количество
тепла AQ:
Д<2-Д? + Л, A)
где АЕ — изменение внутренней энергии газа, равное
Д? - mcvAT. B)
Здесь m — масса газа, cv — удельная теплоемкость газа при по-
постоянном объеме, AT — изменение температуры газа.
При постоянном давлении имеет место соотношение
Д<2 = тсрАТ. C)
Здесь ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении.
Из соотношений A)—C) следует, что
А=ЛсР — cv)mAT. D)
Между теплоемкостями ср и cv существует связь, выражаемая
соотношением
где i — число степеней свободы молекулы. Подставляя это выраже-
выражение в формулу D), получим
A=j^r2mcpAT. F)
Если измерить работу А в механических единицах, а ср в^
то механический эквивалент тепла выразится так:
1 ~ 2 срАТ m-

194
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
К
Описание прибора. Работу расширения в данной установке
совершает воздух, заключенный в рабочем объеме А (рис. 1):
Рабочий объем А соединен капилляром с U-образной трубкой.
В этой трубке находится вода, играющая роль поршня. Рабочий
объем погружен в термостат с
водой. U-образная трубка оста-
остается вне термостата. При нагре-
нагревании воздуха в объеме А он
расширяется. Уровень воды в
U-образной трубке перемещает-
перемещается. При этом совершается работа
против внешнего давления. Это
давление складывается из атмо-
атмосферного давления р0 и давле-
давления Др, возникающего вследст-
вследствие разности уровней воды в
коленах U-образной трубки.
Однако если разность уровней
не превосходит 10 см> то Др со-
составляет не более 1% от р0. По-
Поэтому можно считать, что в про-
продолжении опыта давление оста-
остается почти постоянным, и исполь-
использовать для определения механи-
Рис. 1. чес кого эквивалента соотноше-
соотношение F). В верхней части соеди-
соединительного капилляра имеется кран, сообщающий рабочий объем
с атмосферой. Он позволяет фиксировать начальное положение
мениска в U-образной трубке независимо от начальной темпера-
температуры и атмосферного давления.
Пусть температура воздуха в рабочем объеме возросла на Д7\
Совершенная при этом воздухом работа равна
Л-рДК. (8)
Изменение объема воздуха ДV равно
Д V = S ДА.
(9)
Здесь S — площадь сечения U-образной трубки, а ДА — изменение
высоты уровня воды в этой трубке. *
Объем А значительно больше, чем объем капилляра и U-образ-
U-образной трубки, находящихся вне термостата. Поэтому можно считать,
что практически весь работающий газ находится при температуре
термостата.
Термостат имеет нагреватель Я, включаемый тумблером (нагрев
300 вт) и холодильник X (змеевик), охлаждаемый проточной водой.
Эти элементы находятся внутри термостата. Кроме того, термостат

37. МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКВИВАЛЕНТ ТЕПЛА (МЕТОД РАСШИРЕНИЯ ГАЗА) 195
имеет специальную систему, состоящую из отдельного нагревателя
и контактного термометра с реле. Эта система позволяет автомати-
автоматически поддерживать температуру вблизи заданной величины. Тем-
Температура измеряется термометром с точностью 0,1° С. Тумблером
«мотор» включается механическая мешалка, перемешивающая воду
в термостате. t
Измерения. Перед началом опыта надо привести схему в исход-
исходное состояние. Температура воды в термостате должна быть
19—20° С. Для этого надо включить тумблер мотора, перемеши-
перемешивающего воду в термостате, и открыть водяной кран для охлаждения
змеевика. Тумблер «нагрев, 300 вт» должен быть выключен, а кран
К открыт. Автоматическая система обеспечит снижение (или повы-
повышение) температуры термостата до 19—20° С. После того как тем-
температура достигнет стационарного значения (в пределах ± 0,2° С),
необходимо зафиксировать исходное положение уровня воды в
U-образной трубке, температуру воды в термостате, закрыть кран
/(, соединяющий рабочий объем с атмосферой, а также записать
атмосферное давление. После этих приготовлений надо выключить
водяное охлаждение термостата и включить нагрев тумблером
(«нагрев, 300 в/п»). С этого момента .автоматическая регулировка
температуры прекращается и идет равномерное нагревание термо-
термостата.
Уровень воды в колене U-образной трубки необходимо отмечать
по отсчетной шкале через каждые 0,5°. После того как уровень воды
опустится до конца шкалы, следует открыть кран, соединяющий
рабочий объем с атмосферой. При этом уровень воды вернется
в исходное положение. Затей, зафиксировав новую начальную
температуру, снова провести измерение. Таким образом повторить
опыт 2—3 раза. После окончания измерений выключить нагреватель
и включить охлаждение термостата.
Вычисления. Построить графики зависимости АЛ изменения
уровня воды в колене U-образной трубки от температуры для всех
опытов. В каждом случае найти тангенс наклона графика ДА/ДТ.
Рассчитать для каждого графика механический эквивалент тепла
по формуле F); для воздуха можно принять i = 5; ср взять из таб-
таблиц, массу воздуха рассчитать, используя табличные данные для
плотности р (т = pV0, где Vo — рабочий объем, заданный для
прибора). Найти среднюю величину механического эквивалента
тепла. Рассчитать ошибку данного метода измерений.
Примечание. В системе единиц СИ механический эквивалент тепла ра-
равен 1, поскольку там единицы измерения теплоты и работы совпадают.
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. II, § 1-6.

196 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
3 А Д А Ч А 38
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ОХЛАЖДЕНИЯ
Принадлежности: 1) прибор, 2) набор образцов, 3) секундомер, 4) лист
миллиметровой бумаги.
Теория метода. Металлический образед, имеющий температуру
более высокую, чем температура окружающей среды, в этой среде
охлаждается. Количество теплоты, теряемой образцом металла за
малый промежуток времени At, может быть записано в виде
d^dVM, A)
где с — теплоемкость металла, р — его плотность, Т — темпера-
температура, которая принимается одинаковой во всех точках образца
в силу малости размеров образца и большой теплопроводности
металла. Интегрирование здесь ведется по всему объему образца.
Это же количество теплоты q может быть выражено и по закону
Ньютона
где То — температура окружающей образец среды, а — коэффи-
коэффициент теплоотдачи. Здесь интегрирование ведется по всей поверх-
поверхности образца.
Сравнивая выражения A) и B), получаем
^ /у у \ ^ с /о\
Учитывая, что величины dT/dt, с и р не зависят от координат
точек объема, а величины а, Т и То не зависят от координат точек
поверхности образца, можно написать
r—T0)S, D)
где V — объем образца, 5 — его поверхность. Выражение D) можно
переписать в виде .
д(Т-Т0) = aSgt 5
Т— То cm ' "*
где m = p V — масса образца; знак минус показывает, что с увели-
увеличением t температура образца убывает. Интегрирование выражения
E) дает
т т — (Т Т ) е стп ' 1°/
1 1 о — К1 m 1 о) ^
При интегрировании выражения E) сделано допущение, что вели-
величина aS/cm не зависит от температуры, что хорошо оправдывается
при малых значениях разности Т — То.

38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ОХЛАЖДЕНИЯ 197
Логарифмируя выражение F), получим
Это — уравнение прямой линии. Величина (— aS/cm) представ-
представляет собой тангенс угла наклона этой прямой линии к оси времен.
Получив из опыта значения температуры образца для ряда зна-
значений времени, нужно взять логарифмы от величин Т — Го и на
миллиметровой бумаге построить график их зависимости от вре-
времени. Вместо натуральных логарифмов можно воспользоваться
десятичными, что легко сделать при помощи логарифмической ли-
линейки. В этом случае тангенс угла наклона прямой линии G) к оси
времен будет в 2,3 раза меньше, чем при использовании натураль-
натуральных логарифмов. Но так ка'к в данной задаче требуются не значения
тангенсов отдельно, а лишь их отношение, то применение десятич-
десятичных логарифмов не повлияет на конечный результат.
Получив графики, соответствующие выражению G); для двух
образцов и определив по этим графикам значения тангенсов углов
наклона к оси времени, возьмем их отношение, обозначая его через ky
откуда
(8)
(9)
-ггов
Величины а и 5 принимаем одинаковыми для обоих образцов
в одних и тех же интервалах температур.
Описание установки и измерения. Схема установки изображена
на рис. 1. Электропечь А смонтирована на двух направляющих
стержнях, по которым она
может перемещаться вверх
и вниз (на рисунке стерж-
стержни не показаны). Образец
В представляет собой ци- 6
линдр длиной 30 мм и
диаметром 5 мм с высвер-
высверленным с одного конца ка-
каналом. В этот канал поме-
помещают фарфоровую трубку,
через которую пропущены
проволоки термопары С. Концы термопары подведены к гальва-
гальванометру G. Температура образца отсчитывается прямо по шкале
гальванометра, который снабжен специальным графиком перевода
его показаний в значения температуры спая термопары.
В начале опыта печь опускается по направляющим стержням
вниз настолько, чтобы образец полностью оказался внутри нее,
затем включается источник тока.
Рис. 1.

198
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
После нагревания образца до 550—600° С печь быстро подни-
поднимают вверх и закрепляют винтами. Нагретый образец охлаждается
в неподвижном воздухе (имеющем температуру TQ) до температуры
ниже 100° С. С помощью секундомера через каждые 10 сек произ-
производят запись температуры образца по показаниям гальванометра.
По ряду полученных из опыта значений температуры для каж-
каждого из трех образцов (медь, алюминий и железо) составляется
таблица по форме:
№
t, сек
т—т„ °с
log (Т-Т„)
Затем ня листе миллиметровой бумаги в координатах log (Т — Го)
и t строят графики для всех трех образцов. Полученные графики
разбиваются вертикалями на такие участки, на которых они прямо-
прямолинейны. Для каждого из таких участков определяется тангенс
угла наклона к оси времени и определяется значение теплоемкости
по формуле (9) для железа и алюминия. Значения теплоемкости
меди даны в табл. 18. Затем строят графики теплоемкости для алю-
алюминия и железа в зависимости от температуры.
При этом следует иметь в виду, что в формуле (9) величины
теплоемкости сх и с2 относятся к одной и той же температуре.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. IV, § 5, стр. 476.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. Я. А. Туровский, Г. М. Бартенев, Определение теплоемкости ме-
металлов методом охлаждения, ЖТФ 10, вып. 6, 1940, стр. 514.
3 А Д А Ч А 39
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ ЖИДКОСТЕЙ
Принадлежности: 1) калориметр, 2) термостат, 3) вольтметр, 4) галь-
гальванометр И-101, 5) секундомер, 6) реостат, 7) ключ, 8) мензурка, 9) термопара,
10) технические весы и разновес.
Введение. Цель задачи — определение удельной теплоемкости
жидкости методом графического учета потерь тепла вследствие
теплообмена системы с окружающей средой.

39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ ЖИДКОСТЕЙ 199
По определению,, удельная теплоемкость вещества в интервале
температур ДГ равна
с = Q t
где т — масса вещества, Q — сообщенное ему тепло, ДГ — повы-
повышение его температуры.
Точное определение с вызывает некоторые затруднения вследст-
вследствие неизбежного теплообмена исследуемого вещества в калориметре
с окружающей средой. Термостатирование калориметра снижает
теплообмен, но не может свести его к нулю. Наименьшими потери
будут для опытов, проведенных в интервале температур от Tt (ниже
температуры окружающей среды) до Tk (выше температуры окру-
окружающей среды) однако это не всегда удобно для эксперимента.
Расчет поправок проще, если теплообмен идет в одном направ-
направлении; удобнее, чтобы температура калориметра была выше тем-
температуры среды, что легко осуществить, немного подогрев иссле-
исследуемую жидкость, тогда в течение всего опыта калориметр только
отдает тепло окружающей среде. Расчетная формула для определе-
определения удельной теплоемкости может быть получена из уравнения
теплового баланса для этого случая:
где Q — количество тепла, отданного нагревателем, ДГ =
= Г2 — Тг — измеренное повышение температуры калориметра
с жидкостью (Тг — начальная температура в момент включения
нагревателя, Г2 — конечная максимальная температура опыта),
в — поправка, учитывающая теплообмен (знак «+» соответствует
выбранному ранее направлению теплообмена), m — масса иссле-
исследуемой жидкости в калориметре, с — ее удельная теплоемкость,
Э — тепловой (водяной) эквивалент калориметра, т. е. количество
теплоты, которое надо сообщить калориметру для нагревания его
на 1° С (для калориметра из однородного материала тепловой экви-
эквивалент равен массе калориметра, умноженной на удельную тепло-
теплоемкость материала; в данной задаче калориметр латунный, нике-
никелированный).
Количество теплоты, отданное нагревателем — электрической
печкой — рассчитывается так:
Q = 0,24/G/,
где / — сила тока в амперах, U — напряжение в вольтах и f —
время действия нагревателя в секундах. Тогда
0,24IUt Э^
fit

200
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Для правильного определения ДГ, в и Э следует воспользо-
воспользоваться графиком температурного хода калориметра. Из-за тепло-
теплообмена температура калориметра представляет сложную функцию
времени. Для выбранных ранее условий опыта ее график имеет
вид, изображенный на рис. 1.
От t0 — 0 до tx идет так называемый начальный период измене-
изменения температуры — охлаждение в результате теплообмена от
Рис. 1.
начальной температуры в калориметре То (в момент включения се-
секундомера) до 7\ — температуры через время tx (в момент вклю-
включения нагревателя). В интервале от tx до t2 идет главный период —
калориметр получает от нагревателя больше тепла, чем отдает
вследствие теплообмена; t2 — момент выключения нагревателя,
но из-за тепловой инерции максимальная температура Т2 дости-
достигается позднее — в момент ^. В интервале от t% до t3 (выключения
секундомера, конец опыта) идет конечный период — охлаждение
в результате теплообмена от максимальной температуры Т2 до
конечной Т3 (в момент t3).
Расчет поправки в.* При точных калориметрических
измерениях вводится ряд различных поправок, но в данной работе
можно ограничиться только температурной поправкой, обуслов-
обусловленной теплообменом. Все тепло Q, полученное системой «жид-
«жидкость — калориметр» от нагревателя, делится на две части: Qx —
тепло, идущее на нагревание системы от 7\ до Г2, и q — тепло,
отдаваемое системой окружающей среде (термостату). Без этой
потери система нагрелась бы на Д7\ = А Г + в, где
Количество тепла,1 отдаваемое системой в течение главного
периода вследствие теплообмена с окружающей средой, можно

39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ ЖИДКОСТЕЙ 201
определить по закону Ньютона:
';
q=a\{T-Te)dt, C)
h
где а — коэффициент теплоотдачи калориметра, Тс — температура
термостата. Величина поправки в связана с q уравнением
® = ШТэ- <4>
Подставляя q, выраженное из D), в формулу C), получим
\ E)
где k = a/(me + Э).
Пусть за малое время dt температурная поправка составляет
d6, т. е. dq = (me + Э) d@ = а (Т — Тс) dt. Будем считать а
и Гс постоянными величинами. Выражение
характеризует скорость охлаждения системы вблизи темпера-
туры Т. Тогда [я^-ЦЪ-Т,) и l$)Tt = Ь(Т2-Те) -
скорости охлаждения вблизи температур Тх и Т2. Равенство
d@ dT
4t = 4t справедливо в том случае, когда нагреватель выключен
и тепло в систему не поступает, т. е. в начальные и конечные пе-
периоды, исключая область, где сказывается тепловая инерция
нагревателя. Так как То — Тг и Т2 — Т3 невелики, то изменение
температуры в начальный и конечный периоды можно считать ли-
линейными. Заменим (d@/dt)T величиной (Д77Д^)Г и рассчитаем эту
величину из графика температурного хода охлаждения: (AT/A^r,
из линейной части начального периода, а (Д77Д/)г2 — из линейной
части конечного периода.
Будем считать, ^то скорость нагревания калориметра в течение
главного периода значительно больше скорости охлаждения, игра-
играющего роль небольшой поправки к основному процессу нагревания.
Тогда временную зависимость температуры в течение главного
периода можно приближенно считать линейной:
НГ ^2 7*1 ± , ^2 7\ *1 ?2 /J\
Подставим выражение G) в соотношение E). Проинтегрируем
уравнение E) и, используя значения (АТ/А0г, и (АГ/Д/)г2, получим

202
окончательно
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
(8)
Рис. 2.
Описание установки. Электрическая схема установки представ-
представлена на рис. 2. Калориметр представляет собой металлический ста-
стакан С, внутри которого на-
-@
ходится нагреватель Н
(электроспираль). На время
опыта калориметр уста-
устанавливается при помощи
специального устройства в
термостат А (большой со-
сосуд с водой, играющий
роль внешней среды). Тем-
Температура в калориметре из-
измеряется при помощи шес-
шести последовательно соеди-
соединенных термопар 7\ «Хо-
«Холодные» спаи находятся в
термостате, а «горячие» —
в калориметре, поэтому
термопары показывают раз-
разность температур термо-
термостата и калориметра. Тер-
мо-э. д. с. измеряется галь-
гальванометром G. Температура определяется с помощью градуиро-
вочного графика. Нагреватель Н включают в цепь постоянного
тока на 24 в через потенциометр, силу тока устанавливают по ампер-
амперметру A а).
Измерения. 1. На технических весах взвешивают сухой кало-
калориметр, потом наливают в него 150—170 смъ спирта или другой
исследуемой жидкости и снова взвешивают. Разность между двумя
взвешиваниями дает массу исследуемого вещества.
2. Устанавливают калориметр с веществом в термостат и, вклю-
включив нагреватель, подогревают систему на несколько градусов
B—3° С), что соответствует 15—20 делением шкалы гальванометра,
одновременно устанавливают силу тока, идущего через нагрева-
нагреватель, равный 1 а.
3. Выключают нагреватель и, дождавшись начала охлаждения
(обратный ход стрелки гальванометра), начинают опыт.
4. Включают секундомер и через каждую минуту записывают
показания гальванометра в течение 10—12 мин. Одновременно
со снятием последнего показания гальванометра при охлаждении
включают снова нагреватель (/ = 1 а) и через каждые 30 сек отме-
отмечают показания гальванометра. Подогревают систему на 2—3° С

40. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ 203
A5—20 делений) и выключают нагреватель, продолжая вести изме-
измерения каждые 30 сек до начала охлаждения, после чего отсчеты
производят через 1 мин в течение 10—12 мин. Таким образом, все
три периода температурного хода снимают непрерывно, друг за
другом, не выключая секундомера.
5. По полученным данным строят график AT (t). Рассчитывают
температурную поправку в по формуле E) и удельную теплоем-
теплоемкость исследуемой жидкости по формуле B). Тепловой эквивалент
калориметра может быть задан или его определяют по формуле A)
совершенно таким же образом, но в калориметр заливают дистилли-
дистиллированную воду, считая ее теплоемкость с = 1 кал/г *град.
ЛИТЕРАТУРА
М. М. Попов, Термометрия и калориметрия, изд. МГУ, 1954, §30, стр. 84;
§ 135, стр. 320.
3 А Д А Ч А 40
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ
Принадлежности: 1) прибор, 2) ручной насос.
Теория метода. Величина отношения теплоемкости при
постоянном давлении (ср) к теплоемкости при постоянном объеме
(cv) для газов играет очень большую роль при адиабатиче-
адиабатических процессах и при процессах, близких к ним. Для примера
укажем, что ею, в частности, определяется скорость распростра-
распространения звука в газах, от нее зависит течение газов по трубам со
звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей
в расширяющихся трубах.
Описываемый ниже способ определения отношения удельных
теплоемкостей газов у = cp/cv чрезвычайно прост.
Пусть мы имеем стеклянный сосуд, соединенный с манометром.
Посредством крана сосуд может соединяться с атмосферой, и пусть
первоначально в нем было атмосферное давление. Если с помощью
насоса накачать в сосуд небольшое количество воздуха и закрыть
кран, то давление в сосуде, конечно, повысится; но если это повы-
повышение было произведено достаточно быстро, манометрический
столбик не сразу займет окончательное положение, так как сжатие
воздуха было адиабатическим, и следовательно, температура его
повысилась 1). Окончательная разность уровней в манометре (h^
установится только тогда, когда температура воздуха внутри со-
сосуда сравняется благодаря теплопроводности стенок с температу-
температурой окружающего воздуха.
*) В действительности же нагнетание воздуха занимает некоторое время,
и поэтому процесс этот нельзя считать строго адиабатическим.

204 молекулярная физика
Обозначим через Тг абсолютную температуру окружающего
воздуха и через рх — давление газа внутри сосуда, соответствую-
соответствующее показанию манометра hx\ совершенно ясно, что
Pi = Po + *i. A)
где р0 — атмосферное давление (конечно, при этом р0 и hx должны
быть выражены в одинаковых единицах). Эти два параметра 7\
и рг характеризуют состояние газа, которое мы назовем первым
состоянием газа (состояние I: Тъ рх).
Если теперь быстро открыть кран, то воздух в сосуде будет
расширяться адиабатически, пока давление его не сделается рав-
равным р0; при этом он охладится до температуры Г2; это будет вторым
состоянием газа (состояние II: Т2, р0).
Если сразу после открывания снова закрыть кран, то давление
внутри сосуда начнет возрастать вследствие того, что охладив-
охладившийся при расширении воздух в сосуде станет снова нагреваться.
Возрастание давления прекратится, когда температура воздуха
в сосуде сравняется с внешней температурой TL\ это будет третьим
состоянием газа (состояние III: Тъ р2).
Обозначим давление воздуха в сосуде в этот момент через р2
и соответствующее показание манометра —- через й2. Ясно, что
Р2 = РО + К B)
Так как переход от состояния II к состоянию III произошел
без изменения объема, то мы вправе применить здесь закон Гей-
Люссака
К процессу адиабатического расширения, т. е. к переходу из состоя-
состояния I в состояние II, может быть применен закон Пуассона, кото-
который удобно написать в следующей форме:
где у — отношение удельных теплоемкос?ей газа при постоянном
давлении и при постоянном объеме cplcvl). Подставляя сюда
х) Эта формула уравнения Пуассона может быть легко получена из обычной
PlV\ = PzVl
если воспользоваться для Зтой цели уравнением состояния газа
Возведя последнее уравнение в степень у и разделив его почленно на уравнение
Пуассона, получим
рТ1 _ рГ1
Т1 ~ Ч '

40. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ 205
значение рх из уравнения A) и переставляя члены, получим
ИЛИ
1 +:
= 1
Так как hJpQ и G\ — Т2)/Т2 — величины малые сравнительно
с единицей, то, разлагая оба двучлена по биному Ньютона и огра-
ограничиваясь членами первого порядка малости, получим
Ро
откуда
Y '
Но выражение, стоящее в левой части уравнения, есть не что
иное, как /г2; действительно, подставив в уравнение C) значение р2 из
уравнения B) и разрешив его относительно
Л2, получим
Следовательно, можно написать
Y 1
2— —у 1,
откуда окончательно находим
D)
Мнасосу
Описание прибора. Прибор состоит (рис. 1)
из стеклянного баллона А и соединенных
с ним трехходового крана В и водяного мано-
манометра С. Сосуд А через кран В может присое-
присоединяться к ручному воздушному насосу.
Измерения. Кран ставят так, чтобы по-
полость насоса соединялась только с баллоном
А. Действуя насосом осторожно, нагнетают
воздух в сосуд. Когда разность уровней воды
в манометре достигнет 20—25 см, кран пово-
поворачивают (против стрелки часов) так, чтобы
полость баллона полностью изолировалась от воздуха комнаты.
После этого, когда давление установится, производят первый отсчет
разности уровней в манометре hv
Рис.

206 молекулярная физика
Поворотом крана (против стрелки часов) устанавливают на один
момент сообщение полости сосуда с атмосферой. Кран'вновь пово-
поворачивают (по стрелке часов), снова изолируя полость сосуда; реко-
рекомендуется закрывать кран тотчас же после прекращения звука,
создаваемого выходящим воздухом.
После установления давления в сосуде производят второй отсчет
разности уровней в манометре й2.
Опыт следует повторить не менее десяти раз, изменяя в каждом
случае величину hv Для каждой пары значений hx и h2 по формуле
D) определяют величину отношения удельнцх теплоемкостей. За
истинное значение принимают среднее арифметическое.
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. II, § 7, 8.
ЗАДАЧА 41
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ГАЗАХ И ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ
ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ
Принадлежности: 1) две трубы с телефонами на концах, 2) звуковой
генератор ЗГ-2А, 3) осциллограф ЭО-4, 4) милливольтметр ЛМ.
Задачей работы является определение скорости звука в воздухе
методом стоячей волны, исследование температурной зависимости
скорости звука и определение отношения удельных теплоемкостей.
Теория метода. Скорость распространения продольных волн
в сплошной среде
где Е — модуль Юнга среды, р — ее плотность.
Процесс распространения акустических волн можно считать
адиабатическим, поэтому формула для скорости звука записы-
записывается в виде:
' A)
где 7 = Ср/Су — отношение удельных теплоемкостей газа,_р — дав-
давление.
Скорость звука зависит от температуры газа. Действительно,
1

41. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ГАЗАХ 207
где Ро — плотность газа при 0° С, t — температура в °С, а — коэф-
коэффициент расширения газа (а = 0,004). Следовательно,
~ A + at) = v0 Vl +0,004/. B)
При отражении бегущей волны от закрытого конца трубы в трубе
образуются стоячие волны с распределением смещений, даваемых
формулойг)
у = 2 A cos —? cos со/,
где А — амплитуда, со — частота колебаний, % — длина бегущей
волны, х — координата, определяющая положение, точек среды.
Если при отражении не происходит потерь энергии, то на за-
закрытом конце трубы всегда образуется узел смещений. Расстояние
между двумя соседними узлами или пучностями равно половине
длины бегущей волны Я.
Меняя частоту возбуждения, мы будем получать в закрытой
трубе стоячие волны каждый раз, когда вдоль трубы будет уклады-
укладываться целое число полуволн. Скорость звука определится по фор-
формуле
vt = Xv, C)
где к — длина волны, v — частота собственных колебаний столба
воздуха, равная частоте вынуждающих колебаний.
Но К = 21 In, где п = 1, 2, 3,.., kf указывает, какое число полу-
полуволн укладывается по всей длине трубы /.
Таким образом, для скорости звука получаем выражение
2lvn /л.
vt=-jr- D)
Число п определяется из наблюдения двух последовательных
состояний колеблющейся системы, при которых устанавливаются
стояние волны, следующим образом:
E)
Описание установки. Установка состоит из двух труб: раздвиж-
раздвижной и нераздвижной, генератора звукового диапазона ЗГ-2А, осцил-
осциллографа ЭО-4 и термопары с милливольтметром (рис. 1). На кон-
концах каждой трубы помещены телефоны 7\ и Т2, один из которых
является передатчиком колебаний, а другой приемником. На не-
х) Условие существования плоской волны в трубе диаметра Сбудет <2<А./2.

208
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
раздвижной трубе сверху помещена обмотка L, служащая для
изменения температуры газа внутри трубы. Обмотка включается
Рис.
в сеть переменного тока на 127 в. Измерение температуры произво-
производится при помощи термопары, подключенной к милливольтметру.
Телефон 7\ возбуждается генератором ЗГ-2А, сигнал восприни-
воспринимается телефоном Т2 и подается на осциллограф.
Упражнение 1
Определение скорости звука методом стоячей волны
в нераздвижной трубе и исследование зависимости
скорости звука от температуры
Подготовка к измерениям. Схема собирается в соответствии
с рис. 1. При сборке ее необходимо следить за тем, чтобы экраны
проводников были заземлены.
Включают питание осциллографа и генератора от сети перемен-
переменного тока. После прогрева (около 5 мин) производят установку
нуля частоты генератора: ставят лимбы генератора «расстройка»
и «установка частоты» на нуль, а ручку регулировки выходного
напряжения — в крайнее правое положение (максимум напряже-
напряжения). Затем, медленно вращая лимб «установка нуля», добиваются
максимума выходного напряжения, что соответствует положению
стрелки вольтметра на нуле (или близкому от нуля положению).
Измерения. Изменяя частоту генератора от 1000 до 3000 гц,
последовательно возбуждают в закрытой трубе стоячие волны.
Установлению стоячих волн соответствует резкое увеличение
амплитуды электрических колебаний, наблюдаемых на экране
осциллографа. Измеряют частоту, при которой произошло установ-
установление стоячих волн, не менее трех раз и берут средний результат.
По формулам D) и (б)вычисляют скорость звука. Для получения
значения скорости звука при 0° С следует сделать поправку по
формуле B).

42. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 209
Для нахождения зависимости скорости звука от температуры
включают нагреватель и, изменяя температуру на 10—20° С, опре-
определяют описанным выше методом скорость звука при данной тем-
температуре. По полученным данным строят график зависимости ско-
скорости звука от температуры.
Нагревание производят не более чем до 120° С, в противном
случае магниты телефонов могут размагнититься.
Упражнение 2
Определение скорости звука методом стоячей волны
в раздвижной трубе
Подготовка к измерениям. См. упражнение 1.
Измерения. Фиксируют частоту генератора и, раздвигая трубу,
находят расстояние между двумя последовательными положениями
выдвижной трубы, при которых устанавливаются стоячие волны.
Каждое измерение следует произвести не менее трех раз и взять
среднее значение. Меняя частоту от 1000 до 2000 гцу находят длины
стоячих волн для нескольких частот. Зная длину волны, опреде-
определяют скорость звука по формуле C).
Упражнение 3
Определение отношения ср/Су = у для воздуха
Используя' найденное значение скорости #звука и формулу
Лапласа A), находят у = cplcv. Атмосферное давление р опреде-
определяют по барометру. Плотность воздуха р при атмосферном давле-
давлении берут из таблиц. При подсчете ошибки измерения необходимо
учесть, что ошибка измерения частоты в рекомендованном интер-
интервале частот составляет 3—5% от показаний прибора.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл."XV, §138, 139, 141, 142.
2. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963 *гл. XX,
§ 163.
3 А Д А Ч А 42
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(СРАВНИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД)
Принадлежности: 1) прибор для нагревания образцов, 2) 4 термопары,
3) гальванометр М-101, 4) термостат ТС-15, 5) набор образцов, 6) штангенциркуль.
Введение. Из опыта известно, что количество тепла dQ, которое
проходит вследствие теплопроводности через слой толщины dx,
площади S при разности температур на границах слоя dt, пропор-

210
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ционально градиенту температур dt/dx, площади S и времени di:
dQ = —IS (dt/dx) dx,
где X — коэффициент пропорциональности, который называется
коэффициентом теплопроводности.
Для определения коэффициентов теплопроводности исследуется
распределение температур между отдельными теплопроводными
слоями многослойной стенки.
Внутри каждого слоя можно
считать, что температура изме-
J няется по линейному закону и
коэффициент теплопроводности
не зависит от температуры.
- Такое предположение возможно
при малой толщине слоя и не-
небольшой разности температур
на его границах.
В настоящей задаче рассмат-
рассматривается прохождение тепла
через трехслойный диск, толщина которого мала по сравнению с
его диаметром, что позволяет пренебречь потерями тепла через
боковые поверхности.
Для каждого слоя диска (рис. 1) уравнение теплопроводности
можно записать в виде
где Q — количество тепла, прошедшего от слоя с температурой tn
к слою с температурой tn_x за единицу времени, а — толщина слоя,
S — его площадь.
Одно и то же количество тепла Q 1) поступает с одной стороны
поверхности диска (J5), 2) проходит все его слои, 3) выходит с по-
поверхности А в окружающую среду. Тогда для каждого слоя диска
площадью S можно написать
Q = KStl=llt A)
. и — и
- az
B)
C)
где Хъ А,2, д3 соответственно коэффициенты теплопроводности
для каждого слоя. Разделив A) и C) на B), получим
а а ах t3 —12 л л аз ^з — ^2 (д\
*^1 ==: ***2 — ~+ 7—> 3 == 2 — / 7 • \ /

42. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
211
Зная коэффициент теплопроводности среднего слоя, можно
определить его значения для других слоев, измерив толщину слоев
и определив разности температур. Для большинства изоляцион-
изоляционных материалов обнаружена, зависимость коэффициента тепло-
теплопроводности от температуры. Лишь в небольшом интервале измере-
измерений температур (порядка 10°) можно считать коэффициент тепло-
теплопроводности постоянным.
Описание установки. Постоянный поток тепла через трехслой-
трехслойную стенку (диск) осуществляется так: три слоя исследуемых веществ
(рис. 2) плотно зажимают между двумя одинаковыми медными
Рис. 2.
бачками, из которых нижний бачок N охлаждается проточной во-
водой, а верхний М — нагревается водой, идущей из термостата через
трубки AAV Для измерения температуры используются четыре
одинаковые термопары /, //, ///, IV, холодные спаи которых пог-
погружены в бачок с маслом /С, охлаждаемый проточной водой через
трубки ВВг.
Горячие спаи помещаются между кружками исследуемых ве-
веществ по возможности ближе к центру. При всех измерениях ме-
меняется только средний кружок, а верхний и нижний всегда ста-
ставятся резиновые, так как только резина может дать соприкоснове-
соприкосновение по всей поверхности, несмотря на вложенную термопару, и
исключить возможность теплообмена другим способом.
При определении теплопроводности пренебрегаем потерями
тепла на краях кружков, что можно сделать, так как радиус круж-
кружков значительно больше их толщины и измерение температуры
производится в центре кружка.
Ток в термопарах измеряется гальванометром G. Сила тока
в термопарах пропорциональна разности температур горячего
и холодного спаев, поэтому вместо D) можно написать
л __ * а3 п3 — п2
3~~ 2Ъп*-пв>
E)
где пъ /г2, п3, щ — показания гальванометра, соответствующие
силе тока в термопарах. В задаче применяются медно-константа-
новые термопары из проволоки диаметром 0,2 мм.

212 молекулярная физика
Измерения. В настоящей задаче определяются:
1. Коэффициенты теплопроводности резины в двух слоях при
разных температурах сравнением с теплопроводностью эбонита,
для которого А, = 0,47 -10 кал/град -см -сек.
2. Коэффициент теплопроводности некоторого данного вещества
сравнением с теплопроводностью резины, для которой значения X
берутся из первого измерения.
Перед началом работы следует по инструкции ознакомиться
с устройством и правилами работы термостата.
Включают термостат согласно инструкции. Когда температура
воды в термостате достигнет 50—55° С, производят предваритель-
предварительный прогрев бачка М.
Для этого включают мотор термостата и 2—3 минуты прогоняют
нагретую воду через бачок. Затем мотор выключают и нагревают
воду в термостате до 60—65° С. После этого снова включают мотор
и пускают горячую воду через верхний бачок. Между бачками
закладывают два кружка резины и между ними эбонит с известной
теплопроводностью, измерив предварительно толщину каждого
кружка. Между кружками прокладываются четыре термопары,
после чего всю систему поджимают винтом Р.
Одновременно пускают холодную воду через нижний бачок.
После 5—7 мин работы мотора и прогрева образцов можно произ-
производить измерения. Путем последовательного включения термопар
на гальванометр, идя от холодного спая до самого горячего, ведут
запись показания каждой термопары. Для получения надежных
результатов следует перед началом записи измерений убедиться,
что процесс теплообмена установился, т. е. показания отдельных
термопар перестали зависеть от времени.
Закончив первую серию измерений, осторожно заменяют эбо-
эбонитовый кружок на кружок из материала, коэффициент теплопро-
теплопроводности которого надлежит определить, и, прогрев его 7—10 мин,
снимают показания со всех термопар, как в первом измерении.
Обработка результатов. По известной теплопроводности эбонита
по формуле E) определяют коэффициенты теплопроводности резины
для двух интервалов температур: %х — для температуры 10—15° С —•
температура нижнего слоя и i3 — для 60—65° С. Из соотношения
E) определяется коэффициент теплопроводности исследуемого ма-
материала по известным значениям Хх и Хг для резины. Для измеряе-
измеряемых значений К следует подсчитать величину ошибки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. В. Т елеен и н, Молекулярная физика, «Высшая школа», 1965,
гл. 6, § 60.
2. Р. В. Поль, Механика, акустика и учение о теплоте, Гостехиздат,
1957, гл. XVII, § 17.

43. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ 213
3 А Д А Ч А 43
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
Принадлежности: 1) установка, 2) график показаний термопар.
Теория метода. Распределение температуры Т вдоль нагревае-
нагреваемого с одного конца стержня, ось которого совпадает с осью х,
дается решением дифференциального уравнения вида
= а2(Г—TqI), A)
причем
Здесь То — температура окружающего стержень пространства,
а — коэффициент теплоотдачи, Р — периметр поперечного сечения
стержня, S — площадь поперечного сечения стержня, X — иско-
искомый коэффициент теплопроводности. Решение уравнения имеет вид
Т — То = Аеах + Be- ax.
г) Это уравнение может быть выведено из следующих соображений. Рассмот-
Рассмотрим отрезок стержня длиной dx. Количество тепла, проходящее через сечение,
соответствующее точке лс, будет
Количество тепла, проходящее через сечение, соответствующее точке х + dxr
равно
Через боковую поверхность отрезка стержня теряется количество тепла
dq'" = a.(T— T0)Pdx.
При стационарном процессе dq'" ~ q' — q", т. е.
Разлагая это выражение в ряд и пренебрегая бесконечно малыми высших поряд-
порядков, можем написать
\dx)x + dx \dx)x- dx*йХ>
откуда
Обозначая ^ = а2, получим -j-^ = а2(Г— Го).

214 молекулярная физика
Полагая, что при х = О температура Т = Тъ а сам стержень бес-
бесконечно длинный, т. е. при х = со Т = То, получим
откуда -
«=4Ш^. ' B)
Количество теплоты, теряемое стержнем через боковую его по-
поверхность,
dq = a(T-T0)Pdx,
что может быть записано в виде
g-7'0)*-". C)
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до оо9 получим
Q=^(Tt-T0). D)
Используя уравнение (Г), находим, что
Х ? E)
Подставляя значение а из уравнения B), получаем окончательно
А," = чх F)
Для определения теплопроводности согласно этой формуле
необходимо знать количество тепла q> отдаваемое стержнем при
стационарном режиме через поверхность стержня, температуру
нагреваемого конца стержня 7\, температуру Т в какой-либо точке
стержня на расстоянии х от нагреваемого конца, площадь попереч-
поперечного сечения стержня S и температуру окружающей среды То.
Практически, конечно, невозможно иметь бесконечно длинный
стержень, однако чем он длиннее, тем точнее может быть измерена
величина коэффициента теплопроводности. Найдем величину ошиб-
ошибки, полагая, что стержень имеет длину /. Из уравнения C), интег-
интегрируя его от х = / до х = со, получим
Разделив это соотношение на выражение D), полученное путем
интегрирования того же уравнения C) в пределах от х = 0 до
х = со, получим
Д<7 = qe- al. G)

43. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
215-
Это выражение и дает величину ошибки, допускаемой при опреде-
определении теплоты q, когда принимают стержень длины / за бесконечно
длинный.
Описание прибора. В задаче определяется • теплопроводность
латунного стержня, нагревание конца которого производится
в электропечи (рис. 1). Количество тепла, даваемое печью в еди-
единицу времени, определяется по формуле Q = 0,24 I0U0, где 1/0 И-
Вода
Дьюаровскш сосуд
Рис. 1.
/0 — определяемые приборами напряжение на концах обмотки
печи и сила тока в цепи обмотки. Температура печи (конца стержня)
7\ определяется термопарой. Теплота Q частично идет на создание
теплового потока (q)f обусловленного теплопроводностью стержня,
частично — в окружающее печь пространство (ft), так что
Если удалить стержень из печи и, регулируя нагрев ее, полу-
получить в ней такую же температуру 7\, какая была в ней со стержнем,
то ясно, что этим самым можно определить количество теплоты,
идущее в окружающую печь среду, именно
qx = 0э24/1?/1э
где /х и 1/г — сила тока и напряжение в печи без стержня. Таким
образом,
<7 = 0,24(/0?/0 —ад.
Для уменьшения ошибки в определении q необходимо, чтобы
величина qx была мала по сравнению с величиной q, для этого
печь помещена в сосуд Дьюара. Температура стержня Т измеряется
пятью термопарами, расположенными на стержне на определенных
расстояниях. Сам стержень помещен в раскрывающийся цилиндри-
цилиндрический кожух с двойными стенками, между которыми проте-
протекает вэда. Температура окружающего стержень пространства Т^

216 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
отождествляется с температурой этой воды. Так как нет необходимо-
необходимости знать абсолютные температуры точек стержня (в формулу входят
только их разности), то один конец каждой термопары помещен
в протекающую воду так, что показания гальванометра, соединяе-
соединяемого с термопарами, соответствуют прямо разности температур.
Эти показания переводят в разности температур по имеющемуся
графику.
Измерения. Вначале определяют площадь поперечного сечения
5 исследуемого стержня, для чего измеряют микрометром его
диаметр, затем масштабной линейкой измеряют длину стержня /
и расстояния х от нагреваемого конца стержня до каждой из пяти
термопар, укрепленных на стержне.
После этого конец стержня устанавливают так, чтобы он плотно
входил в отверстие печи. Затем включают нагревание печи и, мед-
медленно открывая кран водопровода, создают ток воды.
Дальнейшие измерения производят после того, как установится
тепловое равновесие, т. е. когда показания всех шести'термопар,
попеременно включаемых на гальванометр, будут оставаться неиз-
неизменными. Производят запись показаний всех шести термопар (пять
на стержне и одна в печи) и показаний вольтметра и амперметра.
Затем отодвигают печь от конца стержня и, уменьшая силу тока,
идущего на нагревание печи, добиваются того, чтобы термопара
печи давала прежние показания на шкале гальванометра; одно-
одновременно записывают показания вольтметра и амперметра.
Измерения повторяют, приближая и удаляя печь, не менее двух
раз и вычисляют средние значения. Количество теплоты qy отдавае-
отдаваемое печью стержню, определяют как разность теплот, подводимых
к печи, по формуле q = 0,24 (I0U0 — /if/i).
Далее производят обработку полученных данных. Пользуясь
имеющимся графиком зависимости показаний гальванометра от
разности температур G\ — То) и (Г — Го), определяют величины
этих разностей для всех термопар. После этого в прямоугольной
системе координат по оси х откладывают расстояния термопар
от нагреваемого конца стержня, а по оси у — величины In * т °,
•» *¦ о
что дает прямую линию, отвечающую уравнению
у = In Ц^ = ах.
По нанесенным точкам, усредняя, находят величину углового
коэффициента а этой прямой и, подставляя его значение в формулу
E), находят искомую величину коэффициента теплопроводности
стержня.
Необходимо, зная величины q, аи /, определить ошибку, допус-
допускаемую при измерении величины А, и обусловленную тем, что стер-
стержень не бесконечно длинный; это делается по формуле G).

44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА 217
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. В. Тел ее нин, Молекулярная физика, «Высшая школа», 1965,,
гл. VI.
2. Р. В. Поль, Механика, акустика и учение о теплоте, Гостехиздат^
1957, гл. XVII, § 172—174.
3 А Д А Ч А 44
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА
Принадлежности: 1) прибор, 2) водоструйный насос, 3) балластный
сосуд, 4) нуль-гальванометр М-122, 5) амперметр ЛМ-1, 6) магазин сопротивле-
сопротивлений МКМС, 7) постоянные сопротивления, 8) реостаты, 9) двойной ключ, 10) пе-
переключатель, 11) термометр, 12) вакуумметр.
Теория метода. Перенос тепла от более нагретой части какого-
либо тела к менее нагретой может осуществляться тремя способами:
теплопроводностью, конвекцией и лучеиспусканием. В случае
передачи тепла путем теплопроводности количество тепла, прохо-
проходящее за время dx через площадку dS, перпендикулярную к направ-
направлению, в котором существует градиент температуры ^, будет
где X— коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств
вещества. Для газов коэффициент теплопроводности зависит от
температуры, он растет с ее увеличением. Знак «минус» означает,
что перенос тепла происходит в направлении уменьшения темпера-
температуры /.
Одним из методов определения коэффициента теплопроводности
в газе является следующий. По оси цилиндрической трубки, внутри
которой находится исследуемый газ, натягивается тонкая прово-
проволока. Если проволоку нагревать током, а температуру стенки трубки
поддерживать постоянной, то в направлении радиуса трубки воз-
возникнет градиент температуры. Через любую коаксиальную с про-
проволокой поверхность радиуса у за единицу времени пройдет коли-
количество тепла
где / — длина проволоки. Для стационарного1 процесса Q — вели-
величина постоянная. Разделив в этом выражении переменные и проин-
проинтегрировав его, получим

*218 ' молекулярная физика
где ух — внутренний радиус трубки, tx — температура газа у внут-
внутренней поверхности трубки, у2 — радиус проволоки, t2 — темпе-
температура проволоки, или
1 _ 0 In (Уг/Уг) /п
Таким образом, чтобы определить коэффициент теплопровод-
теплопроводности, надо знать количество тепла, переносимое от проволоки
к стенке трубки путем теплопроводности, разность температур
между слоями газа, непосредственно прилегающими к поверхностям
проволоки и трубки (которую мы будем считать равной разности
температур между проволокой и трубкой), и размеры проволоки
и трубки. Последние определяются непосредственным измерением
и в условиях настоящей задачи являются заданными. За темпера-
температуру стенки трубки tx принимают температуру окружающего ее
пространства, которая измеряется термометром. Температуру про-
проволоки t2 можно определить, измерив изменение ее электрического
сопротивления при нагревании. Действительно, в области при-
применяемых температур сопротивление проволоки растет с темпера-
температурой по линейному закону, т. е.
R = R0(\+at),
где Ro — сопротивление проволоки при t = 0° С, R — ее сопротив-
сопротивление при /°С, а — температурный коэффициент сопротивления.
Измерив сопротивление проволоки R± до ее нагревания (т. е. при
температуре tu равной температуре стенки трубки), а затем сопро-
сопротивление R2 при ее нагревании до температуры t2 и зная темпе-
температурный коэффициент сопротивления вещества проволоки а,
получим
Если считать, что все выделяемое идущим по проволоке током
тепло (Q' = 0,24 I2R2) переносится путем теплопроводности, то, под-
подставив в формулу A) значение Q = Q' и t2 из уравнения B) для
коэффициента теплопроводности, получим
л _ 0,24 In (У1/у2)
При этом, очевидно, получим несколько завышенное значение
коэффициента теплопроводности. Действительно, величина Q, вхо-
входящая в формулу A), всегда меньше, чем Q', так как помимо тепло-
теплопроводности тепло, как уже указывалось, может передаваться
стенке трубки излучением и за счет конвекции. Кроме того, часть
тепла может передаваться через подведенные к проволоке электри-
электрические провода.

44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА 219'
Для оценки количества тепла, отдаваемого проволокой благодаря
излучению, можно воспользоваться законом Стефана — Больц-
мана, по которому с единицы поверхности абсолютно черного тела
за единицу времени излучается энергия
где Т — абсолютная температура черного тела, а коэффициент
а = 5,735 '10~12 em/см2 *град*. Любое тело, которое не является
абсолютно черным, при той же температуре излучает меньшую
энергию
W - АвТ\
где А — поглощательная способность тела. Для всех тел- А < 1
(например, для никеля А = 0,4). Если Тг — абсолютная темпера-
температура нагретой проволоки, Г2 — абсолютная температура стенки
трубки и если считать, что все излучение проволоки попадает на
стенку трубки, то энергия, отдаваемая через излучение, будет
где S — площадь поверхности проволоки. Подсчитанная таким
образом энергия излучения в условиях данной задачи составляет
несколько процентов от энергии, выделяемой текущим по прово-
проволоке током и здесь не учитывается.
Относительно влияния конвекции опыт показывает, что в замк-
замкнутых пространствах малых размеров конвекция практически от-
отсутствует и процесс передачи тепла определяется только тепло-
теплопроводностью и излучением. Влияет ли конвекция в данной задаче
на передачу тепла от проволоки к стенке трубки, можно проверить
произведя измерения коэффициента теплопроводности при различ-
различных давлениях воздуха в трубке. Количество тепла, перекосимое
благодаря конвекции, уменьшается с уменьшением плотности газа,
т. е. с уменьшением давления. Коэффициент теплопроводности,
а, следовательно, и тепло, передаваемое теплопроводностью, в шц-
роком интервале давлений от давления не зависят. Поэтому, если
результаты измерений коэффициента теплопроводности с уменьше-
уменьшением давления воздуха в трубке остаются неизменными, можно
считать, что конвекция не влияет "на передачу тепла от проволоки
к стенке трубки.
Влияние отдачи тепла через концы проволоки можно учесть
опытным путем, используя не одну проволоку, а две одинакового
материала и различной длины. В настоящей задаче этим влиянием
пренебрегаем.
Описание установки. Прибор (рис. 1) состоит из вертикально
расположенной медной трубки ) диаметром 10 мм, по оси которой
натягивается никелевая проволока диаметром 0,2 мм, подведен-

220
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис. 1.
ная к клеммам, расположенным на концах трубки и изолирован-
изолированным от нее. Прибор соединен с водоструйным насосом 2 и вакуум-
вакуумметром 3. Шкала вакуумметра
градуирована таким образом,
что для измерения давления в
миллиметрах ртутного столба
необходимо показание стрелки
вакуумметра вычесть из вели-
величины атмосферного давления.
Балластный сосуд 4 служит для
увеличения объема откачивае-
откачиваемого пространства, что необхо-
необходимо для плавной работы на-
насоса. Устройство насоса изобра-
изображено на рис. 2. Из суженного
конца трубки вытекает с боль-
большой скоростью вода. Согласно
уравнению Бернулли в узкой части трубки давление умень-
уменьшается. Поэтому вытекающая из нее вода будет засасывать
из окружающего пространства воздух и увлекать его с собой.
Измерения. 1. Для измерения сопротив-
сопротивления проволоки собирается схема моста ^
Уитстона х) (рис. 3), одним из плеч которого
является указанная, выше проволока сопро-
сопротивлением R. Сопротивления г и г2 берутся
постоянными (г = 1 ом и г2 = 100 ом). Подо-
Подобрав сопротивление гъ чтобы мостик урав-
уравновесился, находим R = rxr/r2 = 0,01 rv
Гальванометр моста включается с помощью
двойного ключа К (устройство ключа см. в
задаче 69).
При слабом нажатии гальванометр вклю-
включается через большое предохраняющее соп-
сопротивление. При сильном — сопротивление
закорачивается и гальванометр оказывается
включенным непосредственно. Мост питается
от источника постоянного тока на 24 в. Сила
тока в мосте регулируется реостатами 1 или 2,
из которых один является высокоомным (два
последовательно соединенных реостата с соп-
сопротивлением по 2500 ом) и включается в цепь при измерении
сопротивления при малых токах, текущих по проволоке. При этом
\
\
V/
• Воздух
Рис. 2.
*) При измерении коэффициента теплопроводности для определения сопро-
сопротивления проволоки обычно пользуются потенциометрическим методом, как наи-
наиболее точным.

44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА 221
температура проволоки практически равна температуре окружаю-
окружающей среды. Второй реостат имеет сопротивление 220 ом. При вклю-
включении его в цепь источника тока можно нагреть проволоку, так как
значительно увеличится сила текущего по ней тока, и одновременно
измерить ее сопротивление. Для пере-
переключения реостатов служит ключ Kv
2. Определение сопротивлений про-
проволоки при различных температурах
производится в следующем порядке:
через кожух, окружающий трубку, про-
пропускается водопроводная вода, темпе-
температуру которой измеряют термометром.
За температуру стенки трубки tx при-
принимают температуру проточной воды.
При включенном в цепь источника много-
омном реостате измеряется сопротивле-
сопротивление проволоки Rx при температуре tlf
равной температуре стенки трубки. За-
Затем, включив с помощью переключателя Кг реостат с меньшим
сопротивлением, устанавливают по амперметру нужный ток и,
выждав, когда проволока нагреется и температура ее установится
постоянной (в чем можно убедиться, измеряя время от времени ее
сопротивление), измеряют ее сопротивление при температуре /2.
Производят измерения при трех значениях идущего по проволоке
тока @,6; 0,8; 1а). Силу текущего по проволоке тока / можно вы-
вычислить, зная силу тока /, которую показывает амперметр. Если
Рис. 3.
мостик уравновешен, то IR = (i — /) гъ откуда / = п *±г ,.
но
.100
г
R г 1 , .
в нашем случае — = - = щ, следовательно, / = г щ
Произведя измерения, по формуле C) определяют коэффициент
теплопроводности. Так как точность измерений сопротивления
проволоки с помощью моста Уитстона недостаточна для обнаруже-
обнаружения зависимости коэффициента теплопроводности от температуры,
то за величину коэффициента теплопроводности следует взять сред-
среднее ее значение из всех измерений.
3. Такие же измерения проделывают при пониженном давле-
давлении воздуха в трубке для трех значений давления E00, 350,
200 мм рт. ст.). Для этого пропускают воду в насос (кран 5 должен
быть закрыт, прибор подключен к насосу) и, откачав до нужного
давления, отключают прибор от насоса краном 6 (см. рис. 1). Вы-
Выполнив измерения, соединяют прибор с насосом и снова понижают
давление. После окончания измерении, прежде чем остановить
подачу воды в насос, поворотом крана 6 отсоединяют прибор и
краном 5 соединяют насос с атмосферой (иначе вода может попасть
в соединительные трубки и прибор).

222 молекулярная физика
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. В. Т елеен и н, Молекулярная физика, «Высшая школа», 1965,
гл. 6 и 7.
2. С. Э. Фриш и А. В. Тимор ев а, Курс общей физики, т. I, Физмат-
гиз, 1962, гл. VII, § 55—57.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
3. Специальный физический практикум, т. I, Гостехиздат, 1945, стр. 236—242.
3 А Д А Ч А 45
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ
КОНВЕКЦИИ
Принадлежности: 1) установка, 2) градуировочный график к термо-
термопарам.
Введение. Процесс передачи тепла от одного тела к другому
может осуществляться путем излучения, конвекции или теплопро-
теплопроводности. При распространении тепла в жидкой и газообразной
средах (при не слишком высоких температурах) основную роль
играет конвекция, так как теплопроводность большинства жидкостей
(исключение составляют жидкие металлы) и газов мала.
На рис. 1 приведены фотографии нагретых труб (две трубы рас-
расположены горизонтально и. одна вертикально). На фотографии
отчетливо видны конвекционные потоки воздуха. Количество тепла,
передаваемого конвекцией с единицы поверхности тела, нагретого
до температуры 7\, в единицу времени окружающей среде темпера-
температуры Г2, можно выразить в виде Qk = ak (Т1— Т2).
Коэффициент ak называется коэффициентом теплоотдачи. Он
является сложной функцией параметров среды (ее вязкости, плот-
плотности, теплоемкости и т. п.), формы тела и, вообще говоря, функ-
функцией температуры.
Количество тепла QL, излучаемое нагретым до температуры Тг
телом с единицы поверхности в единицу времени, определяется
по закону Стефана—Больцмана
Ql = AuTl
Здесь а — универсальная постоянная (константа излучения),
равная 1,36 • 10~12 кал/см2 -сек -град4, а Л — коэффициент, характери-
характеризующий поглощательную способность тела*). Максимальной излуча-
*) Строго говоря, закон Стефана—Больцмана применим к абсолютно чер-
черным телам [3]. Однако для ряда технических расчетов им в указанной форме
можно пользоваться.

45. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ 223
тельной способностью обладает так называемое абсолютно черное
тело, которое поглощает все падающие на него лучи. Для абсолютно
черного тела А = 1. Для всех прочих тел Л < 1. При теплообмене
каждое тело не только излучает, но
и поглощает излучение окружающих
тел. При условии, что поверхность
Sx тела с температурой 7\ значительно
меньше поверхности S2 с темпера-
температурой Т2 (при T1>T2i S^SJ,
имеем
где А — коэффициент, характеризую-
характеризующий поглощательную способность те-
тела с температурой 7\.
Если учесть возможность тепло-
теплообмена как конвекцией, так и излу-
излучением, то для полного количества
ternia, теряемого телом, получим
= аG\-Г2),
Да (Т* Г4)
где aL = т _т • — коэффициент
теплоотдачи излучением,а = ак +aL—
суммарный коэффициент теплоотдачи.
Написанные в таком виде соотно-
соотношения справедливы для установив-
установившегося процесса, т. е. когда темпера-
температуры 7\ и Т2 поддерживаются постоян- Рис. 1.
ными.
Целью настоящей задачи является экспериментальное определе-
определение коэффициентов теплоотдачи aL и ak и установление зависимости
коэффициента теплоотдачи а от разности температур Т1 — Т2.
Описание установки и измерения. Установка состоит (рис. 2)
из горизонтально расположенной медной трубки Г, внутри которой
по оси натянута нихромовая проволока, закрепленная в пробках
аи Ь. Проволока служит нагревателем — по ней пропускается элек-
электрический ток. Медная трубка нагревается и отдает тепло окружаю-
окружающему ее воздуху. Для измерения температуры наружной поверх-
поверхности трубки на ней, на рчавных расстояниях друг от друга, укреп-
укреплены семь термопар (медь—константан).
Холодные спаи всех термопар помещены в сосуд Л, находящийся
при комнатной температуре. С помощью переключателя Р любая
из термопар может быть замкнута на гальванометр G (на рис. 2

224
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
приведена схема включения на гальванометр четвертой термопары,
расположенной на середине трубки).
Ключи Ki и К2 служат для включения цепей нагревателя и тер-
термопар. Реостатом R можно регулировать ток в нагревателе. Перед
1 \jh yfr V^
Рис. 2.
началом измерения собирают цепь нагревателя (с амперметром,
вольтметром, реостатом и ключом) и цепь термопар (с гальваномет-
гальванометром и ключом). После этого замыкают ключи /Ci и К2- Уменьшая
сопротивление реостата (при сборке схемы он должен быть включен
на наибольшее сопротивление), доводят ток до 0,75 а.
По показаниям гальванометра, переключая на него поочередно
все термопары, следят за изменением температуры на поверхности
трубки. По прошествии некоторого времени показания всех термо-
термопар перестанут изменяться. Это будет означать, что количество
теплоты, получаемой от нагревателя, равно количеству теплоты,
отдаваемой трубкой в воздух, т. е. процесс является установив-
установившимся. Количество тепла Q, подводимое к трубке по закону Джо-
Джоуля — Ленца равно Q = 0,247Ut, откуда для коэффициента суммар-
суммарной теплоотдачи, пренебрегая потоком тепла через торцы трубки,
получим
а =
где U — разность потенциалов (в вольтах) на концах проволоки-
нагревателя, / — сила тока (в амперах), d — внешний диаметр
трубки, / — длина трубки. Значения d и / написаны на установке.
Температуру 7\ поверхности трубки при установившемся про-
процессе определяют как среднее арифметическое из показаний всех

45. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ 225
термопар (пользуясь градуировочным графиком термопар). Темпе-
Температуру Т2 окружающего воздуха измеряют обычным термометром.
Зная температуры Тг и Т2 вычисляют aL (для меди А = 0,70)»
Зная а и az, по формуле ak = a — aL определяют коэффициент
теплоотдачи при конвекции. Эксперимент повторяют при более вы-
высоких температурах поверхности трубки. Рекомендуемые значения
силы тока написаны на установке. Необходимо следить за тем, чтобы
в момент каждого измерения процесс был установившимся.
Полученный экспериментальный материал необходимо пред-
представить в виде графиков
Коэффициент теплоотдачи ak является, как уже говорилось,
сложной функцией формы тела, свойств окружающей среды и тем-
температуры. Поэтому может показаться, что в любом реальном случае
для оценки теплоотдачи необходимо экспериментально определить
ее величину. Однако при рассмотрении теплоотдачи путем конвек-
конвекции, так же как в гидродинамике, можно выделить из всего много-
многообразия способов осуществления данного опыта рад опытов, кото-
которые являются физически подобными. Это означает, что если два опыта
произведены в разных условиях (разный диаметр нагретых труб,
разная теплопроводность окружающей среды и т. п.), но сохраня-
сохраняются постоянными некоторые безразмерные комбинации физических
параметров опыта (моделирование), то коэффициент теплоотдачи
будет оставаться неизменным. Это позволило показать, что для
труб всех диаметров, как расположенных вертикально, так и го-
горизонтально, и для сферических поверхностей разных диаметров,
помещенных в разных газах и жидкостях, коэффициент теплоотдачи
где В и п — величины, определяемые видом конвекционных пото-
потоков воздуха, К — коэффициент теплопроводности воздуха, d —
внешний диаметр трубки. Логарифмируя, получаем
Комбинация величин в левой части уравнения, как легко видеть,
является безразмерной величиной.
Для определения величин В и п в прямоугольной системе коор-
координат строят график, откладывая по оси абсцисс величину
lg [224 G1! — Г2)], по оси ординат — lg^.
По точкам проводят прямую», которая не проходит через начало
координат, а отсекает отрезок величины lg В. Пользуясь этим,

226 молекулярная физика
определяют численное значение В. Величину п определяют как
тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.
Определив Bun для коэффициента конвекционной теплоот-
дачи^ получим
a*=f ?[224G!-
Эта величина имеет применение не только в условиях приведенного
эксперимента, но и во всех случаях, когда выполняются условия
подобия (равенство определенных безразмерных комбинаций физи-
физических параметров). Для большей точности определения величин
В и п масштабы по осям координат следует выбрать так, чтобы
прямая шла под углом, близким к 45°, к осям координат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. В. Т елеен и н, Молекулярная физика, «Высшая школа», 1965,
гл. 6, § 64—66.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. М. А. Михеев, Основы теплопередачи, Грсэнергоиздат, 1956, стр. 45—
51, 161.
3. Г. С. Ландсберг, Оптика, Гостехиздат, 1957, стр. 583—597.
3 А Д А Ч А 46
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
ПО МЕТОДУ СТОКСА
Принадлежности: 1) стеклянный цилиндр с водой, 2) пробирка диамет-
диаметром ^ 3 см, наполненная исследуемой жидкостью, 3) измерительный микроскоп
с предметным стеклом, 4) секундомер, 5) шарики из сплава Вуда, 6) пинцет,
7) осветительная лампа, 8) масштабная линейка.
Теория метода. На твердый шарик, падающий в вязкой жид-
жидкости, действуют три силы: сила тяжести, подъемная сила (закон
Архимеда) и сила сопротивления движению, обусловленная силами
внутреннего трения жидкости. При движении шарика слой жидко-
жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется
со скоростью шарика. Ближайшие смежные слои жидкости также
приводятся в движение, но получаемая ими скорость тем меньше,
чем дальше они находятся от шарика. Таким образом, при вычисле-
вычислении сопротивления среды следует учитывать трение отдельных слоев
жидкости друг о друга, а не трение шарика о жидкость.
Если шарик падает в жидкости, простирающейся безгранично
по всем направлениям, не оставляя за собой никаких завихрений

46. МЕТОД СТОКСА 227
(малая скорость падения, маленький шарик), то, как показал
Стоке, сила сопротивления равна
/ = бятрг, A)
где г] — коэффициент внутреннего трения жидкости, v — скорость
шарика, г — его радиус.
Вывод этой формулы довольно сложен и поэтому не может быть
приведен здесь; его можно найти в специальной литературе. Од-
Однако вид соотношения, определяющего силу /, можно с точностью
до постоянного множителя установить, исходя из соображений
размерности.
Опыт показывает, что сила сопротивления будет тем больше,
чем больше коэффициент внутреннего трения tj, радиус г и ско-
скорость v падающего шарика. Таким образом, можно написать
/ = Лт|г V. B)
Но
'--*?• <3>
Сравнивая соотношения B) и C), нетрудно видеть, что r*vy должно
иметь размерность S -^. Так как
Г С dv] _ \ГМ2 СМ 1 _
L dK] ~~ L сек • см J -
_ \см*\
\ ~~ \сек\'
то
[сТкУ
откуда
т. е.
Следовательно,
/ = Ar\vr.
Множитель А этим методом не может быть определен; он получается
равным 6я, если решить задачу гидродинамики вязкой жидкости.
В случае падения шарика в жидкости уравнение движения име-
имеет вид
dv __4 з 4
Г

228 молекулярная физика
Здесь р — плотность вещества шарика, рх — плотность жидкости,
g — ускорение силы тяжести.
Все три силы, входящие в правую часть уравнения D), будут
направлены по вертикали: сила тяжести — вниз, подъемная сила
и сила сопротивления — вверх. Сила сопротивления с увеличением
скорости движения шарика возрастает, а ускорение уменьшается
и наконец шарик достигает такой скорости, при которой ускорение
становится равным нулю, тогда уравнение D) принимает вид
3- nr8g (р — Pi) — 6nr\rv0 = 0. E)
В этом случае шарик движется с постоянной скоростью vQ. Такое
движение шарика называется установившимся.
Решая уравнение E) относительно коэффициента внутреннего
трения, получаем
Зная величины, находящиеся в правой части равенства, можно
определить коэффициент внутреннего трения жидкости.
Практически невозможно осуществить падение шарика в без-
безграничной среде, так как всегда жидкость находится в каком-то
сосуде, имеющем стенки. Если шарик падает вдоль оси цилиндри-
цилиндрического сосуда радиуса R> то учет наличия стенок приводит к сле-
следующему выражению для коэффициента вязкости:
— ?. пт-2
A+2,4
G)
Наличие таких границ жидкости, как дно сосуда и верхняя поверх-
поверхность жидкости, этой формулой не учитывается.
Прибор, состоящий из широкой стеклянной пробирки (рис. 1)
с нанесенными на ней тремя кольцевыми горизонтальными мет-
метками dl9 d2 и d3 (I — расстояние между соседними метками), напол-
наполняется исследуемой жидкостью (касторовое масло, трансформатор-
трансформаторное масло, глицерин) так, чтобы уровень жидкости был на 5—8 см
выше верхней метки.
Пробирка помещена в широкий стеклянный цилиндр, напол-
наполненный водой для уменьшения влияния изменения температуры
в помещении. Так как вязкость жидкостей сильно меняется с тем-
температурой, в воду помещен термометр 7\ точность которого 0,1°.
Цилиндр укреплен на подставке с установочными винтами; при
помощи этих винтов и отвеса он может быть установлен верти-
вертикально.
Измерения. Для измерения коэффициента внутреннего трения
жидкости, например масла, употребляются очень маленькие шарики

46. МЕТОД СТОКСА
229
Рис. 1.
из сплава Вуда *). Диаметр этих шариков измеряют микроскопом
с окулярным микрометром, цена деления которого известна. Для
этого шарики вынимают при помощи острия из сосуда, где они хра-
хранятся, кладут на предметное стекло и вместе с ним помещают на
столик микроскопа. Сфокусировав
микроскоп, производят отсчет
делений окулярного микрометра.
При измерении следует следить
за тем, чтобы стекло не было пок-
покрыто маслом, ибо при этом шарик
нельзя сфокусировать.
Измерив таким образом диа-
диаметр шарика, при помощи того
же острия опускают шарик в ци-
цилиндр с жидкостью как можно
ближе к его оси; глаз наблюда-
наблюдателя должен быть при этом уста-
установлен против верхней метки,
чтобы она сливалась в одну пря-
прямую. В момент прохождения ша-
шарика через эту метку пускают в ход секундомер. После этого глаз
помещают аналогичным образом против второй метки и в момент
прохождения шарика через нее останавливают секундомер.
Если наблюдатель пропустил момент прохождения шариком
второй метки, то, продолжая наблюдение, останавливают секундо-
секундомер при прохождении третьей, нижней метки. Кроме того, третья
метка нужна для определения предельной величины шариков, ис-
используемых в данной работе. В этом случае наблюдатель должен
иметь два секундомера: первый включают и останавливают при
прохождении шариком первой и второй меток, второй секундомер —
при прохождении второй и третьей меток. Если скорости шарика
между метками db d2 и d2, d3 одинаковы, то шариками данного
размера можно пользоваться при выполнении работы, в противном
случае следует брать шарики меньшего размера.
При наблюдении падения шариков полезно осветить прибор со
стороны наблюдателя, но не ставить лампу близко к сосуду во из-
избежание нагревания жидкости. Опыт с разными шариками следует
повторить не менее десяти раз.
*) Шарики из сплава Вуда (Bi — 50,10%; Pb — 24,90%; Sn — 14,20%;
Cd — 10,80%) изготовляются следующим образом. В верхней части высокого
цилиндра, наполненного водой, помещается трубчатая электрическая печь (кера-
(керамика с одним витком спирали). Измельченный сплав Вуда закладывается в стек-
стеклянную пипетку с оттянутым капиллярным кончиком. Пипетка опускается
в воду в центре печи. При нагревании спирали сплав Вуда (температура плавле-
плавления 70° С) вытекает из капилляра мелкими каплями и, застывая в воде в нижней
части цилиндра, падает на дно в виде маленьких шариков.

230
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Вычисления. Считая, что к моменту прохождения шариком
верхней метки скорость его уже установилась, получим
где t — время прохождения шариком расстояния между метками.
Подставляя в формулу G) значения v0, г, /?, g, а также р и plf
получим значение коэффициента внутреннего трения. Значение ко-
коэффициента внутреннего трения рассчитывается для каждого ша-
шарика; затем определяется среднее значение и вычисляется относи-
относительная ошибка результата.
Если относительная ошибка результата измерений незначительно
отличается от относительной ошибки метода, то работу можно счи-
считать законченной. В противном случае измерения повторяются
вновь. Результаты измерений рекомендуется записывать по сле-
следующей форме:
N
1
2
3
г, см'
1, см
/, сек
v, см/сек
т], пуаз
В системе СИ коэффициент внутреннего трения г\ выражается
в н -сек/м2.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. V, §§ 39, 40.
2. Г. Н. Богданова, Е. П. Субботина, Руководство к практическим
занятиям по физике, ч. 1, «Советская наука», 1949, гл. VII, § 10.
3 А Д А Ч А 47
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ЖИДКОСТИ
КАПИЛЛЯРНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ
Принадлежности: 1) прибор, 2) пипетка, 3) пикнометр, 4) секундомер,
5) исследуемые жидкости, 6) термометр.
Введение. Для определения коэффициента вязкости жидкости
используется закон Пуазейля для ламинарного течения по трубам
(капиллярам)

47. КАПИЛЛЯРНЫЙ ВИСКОЗИМЕТР 231
где / — длина трубы, г — ее радиус, Ар — разность давлений на
концах трубы, q — объем жидкости, протекшей через трубу в еди-
единицу времени, rj — коэффициент вязкости.
Пользуясь этим выражением, зная величины q, r, / и Ар, можно
определить коэффициент вязкости г).
Однако удобнее пользоваться формулой Пуазейля для опреде-
определения относительного коэффициента вязкости. В самом деле, если
взять две жидкости (соответствующие величины для одной из них
отметим знаком 0 и другой — 1) и измерить времена /0 и tx истече-
истечения одинаковых объемов Q этих жидкостей (Q = qt) через один
и тот же капилляр (одинаковые г и /), то будем иметь согласно
формуле A)
Разделив второе уравнение на первое, получим l=x^-1r— или
Если жидкость вытекает под действием силы тяжести, то Apip
~ Pi/po, где р0 и рг — плотности жидкостей, и соотношение B)
можно написать в виде
Таким образом, зная времена истечения взятых жидкостей tx и /0
и их плотности рх и р0, можно определить относительный коэффи-
коэффициент внутреннего трения —, а найдя из таблиц значения т]0, вы-
Ло
числить и абсолютную величину т^.
Описание прибора. Прибор представляет собой U-образную
стеклянную трубку abecd (рис. 1), широкое колено аЬ которой за-
заканчивается внизу расширением Ь, а другое колено состоит из ка-
капилляра е, заканчивающегося наверху шариком с> который перехо-
переходит в более широкую трубку d. Под шариком и над ним в трубках
due нанесены две метки тип, ограничивающие вполне определен-
определенный объем жидкости, время истечения которого измеряется при
опыте.
Прибор закрепляют в зажимах К на штативе S и опускают
в стакан G с водой так, чтобы уровень воды был выше верхней
метки т\ прибор должен быть установлен вертикально, что про-
проверяют при помощи отвеса. В стакан G опускают также термометр Т
и мешалку М.
Измерения. Прибор сначала хорошо прополаскивают водой,
а затем небольшим количеством исследуемой жидкости. После этого,
установив прибор по отвесу, выпускают при помощи пипетки в ши-

232
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
рокое колено ab определенный, постоянный при всех опытах объем
испытуемой жидкости. Далее осторожно всасывают жидкость через
резиновую трубку /, надетую на трубку dy и наполняют шарик с
выше метки т. Отпустив трубку,
наблюдают истечение жидкости и
пускают в ход секундомер в тот мо-
момент, когда мениск проходит через
метку т, а в момент, когда мениск
проходит через метку п, останавли-
останавливают секундомер. Таких наблюдений
производят несколько. Так опреде-
определится время tx истечения жидкости,
помещающейся в шарике с. После
этого проделывают тот же опыт с во-
водой и для нее также определяют
время истечения t0.
Вслед за этим определяют плот-
' ность р испытуемой жидкости (при
той же температуре, при которой
измерялось время истечения). Для
этой цели пикнометр (описание пикно-
пикнометра см. в задаче 7), наполненный
жидкостью, опускают в стакан и
дают ему постоять в нем минут 15,
после чего уровень жидкости в пикнометре подводят точно до метки
(отбиранием при помощи фильтровальной бумаги и добавлением
пипеткой). Вынимают пикнометр, тщательно обсушивают и нахо-
находят вес жидкости в нем. Точно так же определяют вес воды в
пикнометре.
Из массы Q жидкости и w воды определяется истинная плотность
по формуле
Рис. 1.
Здесь б обозначает плотность воды при температуре опыта (берется
из таблиц), X — плотность воздуха; ее можно принять равной
0,0012 г/см3 (см. задачу 7). Опыты производят с водными раство-
растворами NaCl G и 12%) и NH4NO3 B0 и 40%).
Искомый коэффициент трения г\ вычисляется по формуле C)
Здесь % — коэффициент внутреннего трения воды; его берут из
таблиц.
ЛИТЕРАТУРА
С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XII, § 111.

48. РОТАЦИОННЫЙ ВИСКОЗИМЕТР М. П. ВОЛАРОВИЧА
3 А Д А Ч А 48
233
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ВЯЗКИХ СРЕД
РОТАЦИОННЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ М. П. ВОЛАРОВИЧА
Принадлежности: 1) вискозиметр, 2) секундомер, 3) разновес.
Описание прибора. Прибор предназначен для измерения вяз-
вязкости в пределах от 5 до 107 пз. Измерения могут производиться
в диапазоне темЬератур от —60 до +160° С. Схема прибора дана
на рис. 1.
Имеются два строго коа-
коаксиальных вертикальных
латунных цилиндра Л и В.
Каждый цилиндр оканчи-
оканчивается внизу полусферой,
радиус которой равен ра-
радиусу цилиндра. Цилиндр
В неподвижен, цилиндр А
может вращаться на ша-
шариковом подшипнике С.
Вращение создается нали-
наличием двух грузов D, вися-
висящих на нитях, намотанных
на барабан М. Грузами
служит обычный разновес
от технических весов.
Цилиндр В съемный,
он укреплен в пазах верх-
верхней плиты прибора. Ис-
Исследуемая жидкость поме-
помещается в полости между
цилиндрами. На поверх- Рис. Ь
ности внутреннего цилинд-
цилиндра имеется шкала, разделенная на миллиметры, по которой опре-
определяется высота цилиндрического слоя жидкости.
Для пуска и остановки цилиндра при наличии грузов на нитях
имеется тормоз (не указан на рисунке). Число оборотов в секунду,
совершаемое цилиндром, отсчитывается с помощью стрелки ?,
находящейся над шкалой.
Для измерения вязкости при различных температурах вискози-
вискозиметр помещается в термостат, наполненный термостатирующей жид-
жидкостью. Повышение температуры осуществляется нагревом жидко-
жидкости термостата. Применяется электрическая печь, питаемая пере-
переменным током через автотрансформатор.
Для получения низких температур в термостате через отверстие
в верхней плите могут опускаться кусочки твердой углекислоты.

234
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Перемешивание жидкости термостата производится мешалкой (не
указана на рисунке) от руки. Температура жидкости измеряется
тремя термопарами (см. задачу 34), прикрепленными к внешней
стенке цилиндра В. Температура определяется по показаниям галь-
гальванометра, включаемого попеременно в цепь каждой термопары.
(Цепь термопар и гальванометр не указаны на рисунке).
Численное значение температуры отсчитывается по градуиро-
вочной кривой: «показания гальванометра — величина темпера-
температуры». За температуру жидкости принимают среднее значение тем-
температуры, даваемое каждой термопарой.
Движение цилиндра происходит под действием сил натяжения
нитей, к которым прикреплены разновесы. Силы, которые препят-
препятствуют движению, следующие: 1) сила внутреннего трения жид-
жидкости для цилиндрической и сферической поверхностей; 2) сила
трения в подшипнике цилиндра.
Рассматриваем установившееся движение. Момент сил внутрен-
внутреннего трения жидкости, действующих на сферическую и цилиндри-
цилиндрическую поверхности, очевидно, пропорционален коэффициенту вяз-
вязкости жидкости, а также угловой скорости вращения подвижного
цилиндра.
Пусть N — число оборотов цилиндра в секунду, ц — коэффи-
коэффициент вязкости жидкости, g — ускорение силы тяжести, R — ра-
радиус барабана, т — масса разновесов, висящих на нитях, в грам-
граммах, т0 — масса разновесов при измерении силы трения в подшип-
подшипниках (см. ниже). Имеем
где С — постоянная.
Уравнение A) можно переписать в виде
=pL. B)
Теория дае*г
J
где гх — радиус внутреннего цилиндра (и сферы), г2 — радиус
внешнего цилиндра (и сферы), h — высота цилиндрического слоя
жидкости. Первое слагаемое в знаменателе обусловлено моментом
сил внутреннего трения для цилиндрической поверхности, второе —
для сферической. Пусть CR = /С, это дает
Не давая полного вывода выражения для С, приведем вывод выра-
выражения для первого члена, что позволит выяснить физическую кар-

48. РОТАЦИОННЫЙ ВИСКОЗИМЕТР М. П. ВОЛАРОВИЧА 235
тину появления момента внутренних сил для цилиндрической по-
поверхности.
При вращении цилиндра слой исследуемой жидкости, прилегаю-
прилегающей непосредственно к его поверхности, движется вместе с этой
поверхностью — скорости их движения одинаковы. Все остальные
слои благодаря вязкости движутся с меньшими скоростями. Вдоль
радиуса угловая скорость вращения слоев жидкости уменьшается,
на внутренней поверхности внешнего цилиндра скорость движения
слоя жидкости равна нулю. Учитывая это, можно сказать, что вдоль
радиуса имеется градиент угловой скорости —^, а следовательно,
о о dv
и градиент линейной скорости движения слоев жидкости — j- =
= — г -т-. Сила внутреннего трения по Ньютону может быть пред-
представлена в виде
F = — y\S -г- = — ц2шкг j~. E)
Выражение для момента сил внутреннего трения получаем в виде
М = Fr = —
Интегрируем уравнение
М -? = — 2nr\hd(uy
получаем
М
—2 = 4щкы + Сх.
Граничные условия, а именно со = Q при г = гх и со = 0 при г = г2,
дают
Из двух последних уравнений получаем величину момента сил
трения (цилиндрическая поверхность)
Для прибора РВ-8 имеем гх = 1,605 см, гъ = 1,915 см, R =
= 2,240 ежм это дает
к 2,240
Д "" 683,0Л + 729,9''

236 молекулярная физика
Упражнение 1
Измерение вязкости при постоянной температуре
Верхняя часть прибора осторожно поднимается из термостата
и имеющимся винтом закрепляется на вертикальной стойке. Легким
поворотом вокруг оси внешний цилиндр освобождают из пазов
и удаляют. При этом следует быть осторожным и не повредить
проводов термопар. Оба цилиндра тщательно промывают бензином
и просушивают.
Сначала определяют величину Fo, т. е. силу трения в подшип-
подшипнике цилиндра. Для этого на нить подвешивают последовательно
различные грузы и замечают, при какой наименьшей величине их
начинается вращение внутреннего цилиндра. В цилиндр наливают
немного исследуемой жидкости, вставляют его в выточку имеющейся
муфты и закрепляют поворотом вокруг его оси.
Для определения величины h цилиндр следует вновь вывернуть
и по шкале на внутреннем цилиндре отсчитать эту величину. Если
жидкости было налито мало, ее следует добавить, если слишком
много, ее количество необходимо уменьшить. После этого верхнюю
часть прибора опускают в термостат — прибор готов для измерений.
На нити подвешивают груз Рг F—7 г), освобождают тормоз
и определяют с помощью секундомера время десяти или пяти обо-
оборотов вращающейся стрелки вискозиметра. Произведя 3—4 повтор-
повторных отсчета, вычисляют среднее значение числа оборотов N в се-
секунду.
Последовательно подвешивают на нити еще четыре или пять
грузов (Р2, Р3, Р4, Рб), увеличивающихся по весу, и для каждого
из «их определяют среднее значение величины N.
Обработка полученного экспериментального материала произ-
производится следующим образом. По полученным данным строят график.
По оси абсцисс откладывают величину Рп — Ро, по оси ординат —
среднее значение числа оборотов в секунду N. График, как легко
видеть, должен давать прямую, проходящую через начало коор-
координат. Для угла а наклона этой прямой (с осью абсцисс) можно
написать
г п
ctga =.
N *
Учитывая это, выражение для коэффициента трения жидкости
может быть написано в виде
ьг х 2,240
Ц = К Ctga = 1
.Температура определяется как среднее арифметическое из по-
показаний всех термопар.

49. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ГАЗА 237
Упражнение 2
Измерение вязкости при различных температурах
Измерения производят для 4—5 значений температуры, начиная
от комнатной, через каждые ГО° С.
После окончания замеров при комнатной температуре включают
печь и следят за показаниями термопар. Когда температура повы-
повысится на 10° С, вновь проделывают весь цикл измерений. Так же
поступают и после того, как температура повысится еще на 10° С.
Измерения производят только при установившейся температуре.
Температура определяется как среднее арифметическое значе-
значение из показаний всех термопар.
Обработка полученного цифрового материала при любой темпе-
температуре производится так же, как в первом упражнении. В конце
работы необходимо построить график, отложив на оси абсцисс
температуру, а на оси ординат — коэффициент вязкости исследуемой
жидкости.
В системе СИ размерность коэффициента вязкости — ке/м -сек.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. V, § 39.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. М. П. Воларович, Вязкость смазочных масел при низких темпера-
температурах, ч. 1, Изд-во АН СССР, 1944, стр. 15—19.
3 А Д А Ч А 49
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ГАЗА
КАПИЛЛЯРНЫМ ВИСКОЗИМЕТРОМ
Принадлежности: 1) установка, 2) измерительный микроскоп, 3) изме-
измерительная миллиметровая линейка, 4) секундомер.
Введение. Для определения вязкости газов может быть применен
метод капиллярного вискозиметра (см. задачу 47).
Если истечение газа совершается через достаточно короткий
капилляр (как в нашем случае), то давление, под которым нахо-
находится газ у входа в капилляр, незначительно отличается от давле-
давления у выхода из капилляра. Тогда плотность газа вдоль оси капил-
капилляра остается практически неизменной, газ можно считать несжи-
несжимаемым, и можно использовать выражение
яг4 &t А /1Ч
Г1=-8ГдпАР' <!>
где Д V — объем газа, протекший через капилляр длиной / за время

238
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис. I.
Д/, Др — разность давлений на концах капилляра, г) — коэффици-
коэффициент внутреннего трения газа.
Описание установки. Установка (рис. 1) состоит из газометра Г,
манометра М, капилляра К и осушительной склянки С. Соедине-
Соединение их между собой ясно
из рисунка.
В газометре, из которого
выливается вода, создается
разрежение. Благодар я
возникшему перепаду дав-
давлений образуется ток воз-
воздуха через капилляр. Ма-
Манометром М измеряют этот
перепад давления на кон-
концах капилляра. Склянка
С с хлористым кальцием
служит для осушивания
воздуха перед его прохож-
прохождением через капилляр.
Газометр имеет краны /, 5, 6, 7. Кран 5 служит для наполнения
водой полости газометра, из воронки 2 через кран / вода может
выливаться из этой полости. Через кран 6 полость газометра может
соединяться с внешним пространством, через кран 7 эта полость
соединяется с капилляром.
Водомерная трубка 4 со шкалой, проградуированной на литры,
позволяет определить объем вытекшей воды.
Газометр устанавливают по отвесу S, что необходимо для пра-
правильного определения объема вытекшей воды по шкале водомерной
трубки. Концы капилляра через резиновые пробки крепятся в пат-
патрубках Аг и А2.
Измерения. Измеряют с помощью миллиметровой линейки длину
/ капилляра /С
Укрепив капилляр горизонтально (в штативе), измеряют с по-
помощью измерительного микроскопа, тщательно и несколько раз,
внутренний диаметр 2г капилляра. Проделав эти измерения, ка-
капилляр укрепляют в патрубках Ах и Л2.
После этого, установив газометр по отвесу, наполняют его водой.
Для этого из крана водопровода, пользуясь шлангом (не указан
на рисунке), заполняют водой воронку газометра 2. При закрытых
кранах 1 и 7 и при открытых кранах 5 и 6 вода из воронки 2 по
трубке 3 поступает в полость газометра. Когда поднимающийся
уровень воды в водомерной трубке достигает наибольшей высоты,
краны 5 и 6 закрывают. Этим заканчивается подготовка к измере-
измерениям при протекании воздуха через капилляр.
После этого полностью открывают кран 7 и очень осторожно
и медленно открывают кран 1.

49. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ГАЗА 239
Выливающаяся из газометра вода по шлангу сбрасывается в водо-
водосток — начинается просасывание воздуха через капилляр.
Нужно следить за образующейся разностью уровней в мано-
манометре М и не допускать переброса воды в патрубок Ах (величина
разности уровней может регулироваться краном /). Стационарное
течение устанавливается не сразу — необходимо выждать некото-
некоторое время, пока разность уровней воды в манометре М не будет
постоянной. После этого отмечают положение уровня воды на
шкале водомерной трубки, пуская одновременно секундомер. Секун-
Секундомер останавливают при вытекании 0,5—1,0 л воды, чем и опре-
определяют At и А V.
Перепад давления Ар на концах капилляра К определяют по
разности уровней воды в манометре М. Несколько F—8) раз при
одном и том же значении величины Ар сбрасывают из газометра
одно и то же количество воды А У и измеряют при этом время исте-
истечения At. Определяют среднее время истечения и, пользуясь этими
данными, определяют по формуле A) коэффициент вязкости воздуха
г) при комнатной температуре.
Вода газометра может иметь меньшую температуру (измеряется
термометром, находящимся в воронке газометра и не указанным на
рисунке), чем комнатная (температура входящего в полость газо-
газометра воздуха). В этом случае необходимо внести поправку на изме-
изменение объема вошедшего в газометр воздуха. Легко видеть, что
где AV — объем протекшего через капилляр воздуха при темпе-
температуре t, AV—объем вытекшей воды с температурой /', а = 1/273.
После получения величины коэффициента вязкости воздуха
необходимо убедиться, что он измерялся при ламинарном течении
воздуха через капилляр. Движение будет ламинарным, если без-
безразмерная величина Re = vdp/r\ <^ 2000. Здесь Re — число Рей-
нольдса, v — средняя скорость течения газа, d — диаметр капил-
капилляра, р — плотность воздуха, ц — коэффициент вязкости воздуха.
Величина средней скорости определяется из выражения v =
= AV/Atnr2, плотность воздуха при комнатной температуре бе-
берется из таблиц.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. П. Стрелков, Механика, «Наука», 1965, гл. XII, § 111.
2. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физмат -
гиз, 1963, гл. III, § 8.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
3. И. Ф. Голубев, Вязкость газов и газовых смесей (справочное руко-
руководство), Физматгиз, 1969.

240 молекулярная физика
3 А Д А Ч А 50
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ПО-ВЫСОТАМ ПОДНЯТИЯ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРНЫХ ТРУБКАХ
Принадлежности: 1) катетометр, 2) набор капиллярных трубок разного
диаметра, 3) держатель капиллярных трубок, 4) стакан для жидкостей, 5) дере-
деревянная подставка, 6) миллиметровый масштаб, 7) отвес.
Введение. Если мысленно разрезать поверхность жидкости
по какой-либо произвольной линии, то сила сцепления между
обеими частями ее, вызванная взаимным притяжением молекул,
находящихся по обе стороны линии, будет тем больше, чем больше
будет длина линии /; другими словами, сила поверхностного на-
натяжения / будет прямо пропорциональна длине
/ = а/. A)
Коэффициент пропорциональности а, представляющий собой силу
поверхностного натяжения, действующую на единицу длины по-
поверхностной пленки жидкости, называется коэффициентом поверх-
поверхностного натяжения. Его принято измерять в дин/см или в мГ/мм.
Если благодаря соприкосновению с твердым телом поверхность
жидкости получит некоторую кривизну, то на такой поверхности
силы поверхностного натяжения вызывают некоторые дополнитель-
дополнительные явления. Эти силы дают при выпуклых и вогнутых поверхно-
поверхностях слагающую, направленную всегда в сторону вогнутой поверх-
поверхности, и таким образом создают внутри всякой искривленной по-
поверхности добавочное, вызванное именно кривизной поверхности,
давление.
Если поверхность сферическая, то это добавочное давление мо-
может быть выражено следующим образом:
Ар = |, . B)
где R — радиус кривизны поверхности. Этим добавочным давле-
давлением, т. е. давлением, обусловленным кривизной мениска, вызы-
вызываются явления поднятия и опускания жидкости в капиллярных
трубках. Жидкость поднимается (опускается) в капилляре на-
настолько, чтобы гидростатическое давление столба жидкости уравно-
уравновесило давление, вызванное кривизной поверхности.
Если считать, что жидкость полностью смачивает поверхность
трубки, то радиус кривизны R совпадает с внутренним радиусом
трубки г, так что
. Ap = 2^ = pgh, C)
где р — плотность жидкости, h — высота подъема ее, g — ускоре-
ускорение силы тяжести. Таким образом, зная радиус капилляра, плот-

50. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 241
ность жидкости и высоту ее подъема в капилляре, можно по
формуле C) определить коэффициент поверхностного натяже-
натяжения а.
Описание катетометра. Катетометры служат для измерения
вертикальных расстояний на недоступных для непосредственного
измерения объектах.
Устройство применяемого
в настоящей работе катето-
катетометра КМ-10 представлено на
рис. 1. На металлическом
цилиндре, укрепленном на
массивном треножнике, мо-
может легко вращаться и за-
закрепляться винтом 1 верти-
вертикальная стальная полая тру-
труба-колонна 2.
Повороты трубы на малые
углы осуществляются винтом
3 (винт / должен быть при
этом закреплен).
На колонне укреплена
оправа 4 с вертикальной
стеклянной шкалой, располо-
расположенной строго параллельно
оси колонны. Шкала осве-
освещается электрической лам-
лампочкой.
По колонне может переме-
перемещаться вверх и вниз каретка
5, уравновешенная при по-
помощи троса противовесом, находящимся внутри колонны. Зак-
Закрепление каретки в нужном положении производится винтом 6.
Для незначительного изменения положения каретки при закреп-
закрепленном винте 6 пользуются маховичком 7.
На каретке укреплена зрительная труба 8, уровень 10 и отсчет-
ный микроскоп 9, который имеет спиральный окулярный микрометр.
Зрительная труба имеет призмы, назначение которых состоит
в переносе изображения пузырька уровня в поле зрения трубы,
имеющем вид, изображенный на рис. 2.
В малой незатемненной части поля (в прямоугольнике) видны
контуры половинок пузырька уровня. В другой части поля зрения
видны четыре прямые линии, необходимые для наводки трубы на
объект наблюдения. Если труба установлена горизонтально, кон-
контуры половинок пузырька образуют непрерывную линию,
если труба не горизонтальна — контуры половинок смещены
(рис. 3).
Рис. 1.

242
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Наводка трубы на точку объекта производится так, чтобы эта
точка находилась на уровне горизонтальной линии и располагалась
между двумя расходящимися прямыми (рис. 2).
f
N
Рис.
Установлено Ноустановлено
Рис. 3.
Наводка этих прямых на резкость достигается вращением оку-
окуляра трубы, фокусировка трубы на объект осуществляется винтом 11
(рис. 1). В поле зрения микроскопа имеются три шкалы (рис. 4),
позволяющие производить
отсчет вертикального сме-
смещения каретки с трубой с
точностью до 0,0002 мм.
Десятые -доли милли-
миллиметра отсчитываются по
шкале в виде двух красных
вертикальных линий с на-
нанесенными сверху вниз де-
делениями от 0 до 10 (мелкие
цифры).
Целое число миллимет-
миллиметров указывается цифрой,
стоящей около крупного
штриха, находящегося
между нулевым и десятым
делением первой шкалы.
Сотые и тысячные, а на
глаз и десятитысячные до-
Рис-4* ли миллиметра опреде-
определяются по круговой шка-
шкале (сверху)—пользуются указателем, находящимся над первой
шкалой. Для отсчета этих долей миллиметра пользуются махович-
маховичком 13 (рис. 1). Вращая его (по часовой стрелке, если смотреть
снизу вверх), опускают первый виток двойной спирали на линию

50. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 243
штриха, дающего целое число миллиметров. Необходимо, чтобы
этот штрих занял симметричное положение между двойными вит-
витками спирали в промежутке двух красных вертикальных линий.
Если круговая шкала была приведена ранее к нулю (вращением
маховичка 13), то после установки штриха по верхней шкале можно
отсчитать сотые и тысячные доли миллиметра. Эти доли должны
быть прибавлены к целым и десятым долям миллиметра.
Как на пример отсчета по всем трем шкалам укажем, что на рис. 4
отсчет дает величину 12,2725 мм. Для выполнения измерений не-
необходимо, чтобы колонна была установлена строго вертикально.
Это достигается «вращением винтов треножника и производится при
монтаже прибора — делать это вновь не следует (винты у тренож-
треножника не трогать!).
Установка трубы горизонтально осуществляется вращением
винта 12 (рис. 1). Необходимо убедиться, что труба остается гори-
горизонтальной (контуры половинок пузырька должны образовывать
непрерывную дугу) в любом положении каретки (ее передвигают,
вращают колонну).
Механизмами малых перемещений (микрометрические винты)
следует пользоваться только тогда, когда точка наблюдения находится
вблизи точки перекрестия нитей. Включают освещение шкалы, про-
производят отсчеты. Измеряемая длина является разностью отсчетов.
Во время измерений необходимо следить, чтобы: 1) измерения
производились без перефокусировки трубы; 2) сохранялось гори-
горизонтальное положение трубы; 3) отсчет для каждой точки произ-
производился не менее трех раз.
Рекомендуется ознакомиться с заводским описанием прибора.
Измерения. Внутренние диаметры трех применяемых капилляр-
капиллярных трубок измеряются отсчетным микроскопом МИР-1, а высоты
подъема жидкости в трубках измеряются катетометром КМ-10.
Студент должен оценить, какую степень точности измерений ка-
катетометром следует использовать.
Капиллярные трубки перед измерением должны быть чисто вы-
вымыты, сначала их промывают раствором двухромокислого ка-
калия, в серной кислоте, а затем дистиллированной водой и спиртом.
Трубки просушиваются пропусканием через них нагретого воздуха.
После этого трубки поочередно укрепляют в держателе штатива
и отсчетным микроскопом тщательно измеряют их внутренние диа-
диаметры (ось трубки должна быть перпендикулярна оси микроскопа,
трубка хорошо освещена). Эти измерения необходимо сделать в не-
нескольких сечениях для каждой трубки, производя не менее трех
отсчетов величины диаметра для каждого сечения. Из всех получен-
полученных измерений берут среднее арифметическое.
Если эти величины сильно отличаются друг от друга для раз-
различных сечений, то с трубкой работать не следует — она не цилин-
цилиндрическая. Если средние значения диаметров отличаются друг от

244
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
я
друга на величины, не превышающие ошибки измерений, то находят
среднее арифметическое и принимают его за истинное значение
диаметра капилляра цилиндрической трубки.
После этих измерений капиллярные трубки разных внутренних
диаметров зажимают в общем держателе АВ (рис. 5), устанавли-
устанавливают их по отвесу С вертикально
и погружают в стакан с дистилли-
дистиллированной водой, опустив их на
2—3 см больше, чем это нулйю
для опыта; оставляют их в этом
положении несколько минут,
чтобы стенки каналов трубок ос-
основательно смочились водой. Затем
трубки приподнимают, зажимают
их и отсчитывают положения вер-
вершин менисков при помощи катето-
катетометра (к каждому отсчету следует
еще прибавить высоту, равную г/8
радиуса канала — поправку на ме-
мениск). Потом трубки снова опус-
опускают глубже и через несколько
минут поднимают и повторяют от-
отсчеты. Повторив измерения не ме-
менее трех раз, приступают к вычис-
вычислению коэффициента поверхност-
поверхностного натяжения.
Вычисления. Если трубки со-
совершенно чисты, то высоты жид-
жидкости в трубках должны быть каждый раз одни и те же. Обозначим
эти высоты через hl9 h2 и /г3, радиусы каналов соответствующих
трубок — через гъ г2 и г3. Тогда
а — -"у Рё ~ ~2~.Р8 == ~уГ~Р§*
отсюда
2а 2а „ и и 2а 2а
Рис. 5.
h , _ 2а 2а
1 z g?r\ g?r2
и Пл — ho =
следовательно,
Подставляя в эти равенства значения rlf r2i /*3, hu h2 и Л3, получен-
полученные из измерений, и взяв из таблицы (см. в конце книги) значение р
при температуре наблюдения, находим искомое а.
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. VII, § 2.

51. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 245
ЗАДАЧА 51 /
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ПРИ ПОМОЩИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО КАПИЛЛЯРА
Принадлежности: 1) установка, 2) два стаканчика с исследуемой жид-
жидкостью, 3) два капилляра.
Теоретическое введение см. в задаче 50.
Описание метода и установки. Если в горизонтально располо-
расположенный капилляр ввести каплю исследуемой жидкости, смачи-
смачивающей стенки капилляра, то на торцах столбика жидкости оба
мениска будут вогнутые. Повысив давление с одной стороны, можно
подвести столбик к концу капилляра и тем самым сделать поверх-
поверхность одного торца плоской. Разность давлений с двух сторон
столбика жидкости может быть измерена с помощью U-образного
манометра, разность высот уровней в котором измеряется катето-
катетометром (см. задачу 50) или горизонтальным микроскопом.
В этом случае для коэффициента поверхностного натяжения а
имеем
a = jpg7i, A)
где г — радиус капилляра, g — ускорение силы тяжести, h — раз-
разность высот уровней в манометре, р — плотность жидкости в мано-
манометре.
Изменение давления осуществляется поднятием или опусканием
(с помощью подвижного столика) сосуда А (рис. 1) с водой, соеди-
соединенного сифоном с другим сосудом Ву также наполненным водой.
Рис. 1.
Верхняя часть сосуда В соединена с капилляром L и манометром М.
Для определения положения сосуда Л, при котором мениск делается
плоским, за концом капилляра L, освещенным лампочкой S, на-
наблюдают в микроскоп С небольшого увеличения. Когда поверхность

246 молекулярная физика
жидкости становится плоской, мениск оказывается равномерно
освещенным.
Необходимо, чтобы концы капилляра были хорошо отшлифованы
и при подведении столбика жидкости к концу капилляра этот конец
был сухим.
Плотность воды, налитой в манометр, можно принять равной
единице. Величина радиуса капилляра или указывается как посто-
постоянная прибора, или ее измеряют (способ измерения см. в задаче 50).
Этот метод определения поверхностного натяжения применим
к жидкостям, которые вполне смачивают стекло. Он достаточно
прост, обеспечивает хорошую точность и позволяет определять
поверхностное натяжение жидкостей, имеющихся в очень малых
количествах.
Измерения. Исследуемыми жидкостями являются толуол
и вода. Для более точного определения величины поверхностного
натяжения измерения производят с двумя капиллярами. Напол-
Наполнение капилляров каплей исследуемой жидкости осуществляется
опусканием их в сосуд с жидкостью, после чего капилляры попере-
попеременно при помощи резиновой трубки прикрепляются к концу мано-
манометра. Само измерение сводится (если даны радиусы капилляров)
к отсчету при помощи катетометра или горизонтального микро-
микроскопа К разности уровней в манометре в момент, когда передвиже-
передвижением сосуда А добьются равномерного освещения конца капилляра
(в этот момент мениск становится плоским). Опусканием сосуда А
столбик жидкости смещают к середине капилляра, а затем вновь
подводят к концу и повторяют отсчеты на манометре. Измерения
производят не менее трех раз на каждом капилляре и берут среднее
значение.
ЛИТЕРАТУРА
См. литературу к задаче 50.
3 А Д А Ч А 52
ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО
НАТЯЖЕНИЯ РАСТВОРА ОТ ЕГО КОНЦЕНТРАЦИИ И ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО МЕТОДУ МАКСИМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ В ПУЗЫРЬКЕ
Принадлежности: 1) аспиратор, 2) спиртовый манометр, 3) сосуд в
форме пробирки с боковым отростком и пробкой, 4) трубка с оттянутым концом,
5) два стакана, 6) термометр, 7) электроплитка, 8) мешалка, 9) штатив, 10) набор
исследуемых жидкостей.
Теоретическое введение см. в задаче 50.
Описание прибора. Прибор (рис. 1) состоит из наполненного
водой аспиратора Л, соединенного с помощью резиновых трубок

52. КОЭФФИЦИЕНТ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ РАСТВОРА 247
и четырехконечной трубки С с манометром М1) и с верхним воз-
воздушным пространством плотно закрытого сосуда Б, в который на-
наливается некоторое количество исследуемой жидкости. Через от-
отверстие в пробке в этот сосуд вводится так называемый «кончик»,
представляющий собою стеклянную трубку, нижний конец которой
Рис. 1.
оттянут так, что выход канала трубки весьма узок. Этот «кончик»
помещается на уровне испытуемой жидкости так, чтобы он сопри-
соприкасался с ее поверхностью. Сосуд В помещается для поддержания
или изменения температуры в стакан, наполненный водой, который
может подогреваться. Четвертый отросток d четырехконечной труб-
трубки, который может закрываться, соединяет всю эту систему с ат-
атмосферой.
Если, закрыв отросток d, слегка приоткрыть кран аспиратора,
то вода начнет медленно вытекать из него, и в верхней части аспи-
аспиратора, а следовательно, и в соединенных с ней верхней части со-
сосуда В и левом колене манометра создается разрежение.
При некотором определенном разрежении избыток атмосфер-
атмосферного давления проталкивает через «кончик» в сосуд В пузырек воз-
воздуха. Это происходит тогда, когда разность давления атмосферного
2) Зеркальная шкала манометра для удобства отсчета может передвигаться
вверх и вниз.

248 . молекулярная физика
воздуха и воздуха в сосуде В, измеряемая разностью высот уровней
жидкости в коленах манометра, уравновешивает давление, вызы-
вызываемое поверхностным натяжением испытуемой жидкости, стремя-
стремящимся сжать образующийся пузырек.
Обозначим эту разность давлений через Я, а коэффициент по-
поверхностного натяжения исследуемой жидкости — через а. Тогда
в момент отрыва пузырька между ними будет существовать следую-
следующее соотношение:
а = АН, A)
где А — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров
«кончика», т. е. величина, постоянная для данного прибора.
Для определения ее необходимо произвести опыт с какой-либо
жидкостью, поверхностное натяжение которой хорошо известно,
например с-водой. Тогда, подставив соответствующие значения
#0 и а0 в формулу A), будем иметь
А=%. B)
Определив таким образом постоянную прибора, можно перейти
к определению поверхностного натяжения любой жидкости, кото-
которое выразится теперь формулой
Измерения. 1. Определение постоянной прибора.
Собрав прибор согласно рисунку, налив в аспиратор воды до уровня
бокового отростка и дистиллированной воды в сосуд В до уровня,
указанного на рисунке, открывают отросток d соединительной стек-
стеклянной трубки, устанавливая этим внутри прибора атмосферное
давление. Уровни жидкости в коленах манометра при этом вырав-
выравниваются. Передвигая шкалу манометра, устанавливают нулевое
деление ее на общий уровень спирта в коленах. Закрыв затем от-
отросток d, открывают кран аспиратора настолько, чтобы изменение
давления происходило достаточно медленно и можно было легко
отсчитать высоты уровней в манометре в момент отрыва
пузырька.
Когда частота образования пузырьков установится, начинают
производить отсчеты по манометру, отмечая высоту уровня в обоих
коленах. Отсчеты производятся не менее чем для десяти пузырьков,
и из них берется среднее.
Одновременно производят отсчет температуры в стакане с водой,
в который погружен сосуд В.
Подставив в формулу B) полученное значение Но и взятое из
таблиц или графика значение а0 для данной температуры, находят
постоянную прибора.

53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 249
2. Определение зависимости а от концен-
концентрации раствора. Вылив воду из сосуда В, наполняют
его раствором метилового спирта в воде определенной концентра-
концентрации, причем во избежание ошибки рекомендуется предварительно
прополоскать сосуд и особенно «кончик» этим раствором. Опре-
Определив, как и в первом случае, высоту Я, находят по формуле C)
соответствующее значение а.
Подобные измерения повторяют для целого ряда растворов из-
известной концентрации и по полученным данным строят график за-
зависимости а от концентрации.
3. Определение зависимости а от темпе-
температуры. Прополоскав и наполнив ксилолом сосуд В, нагре-
нагревают воду в стакане, в который погружен сосуд, до 80—90°
и дают ей затем медленно остывать, производя через каждые 10°
отсчеты.
Определив по этим отсчетам а для нескольких температур, строят
график зависимости а от температуры.
ЛИТЕРАТУРА
См. литературу к задаче 50.
ЗАДАЧА53
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ ВОЛНОВЫМ МЕТОДОМ
Принадлежности: 1) вибратор, 2) автотрансформатор, 3) неоновая
лампа, 4) ванна для испытуемой жидкости, 5) штангенциркуль.
Теория. Если в каком-либо месте периодически нарушать гори-
горизонтальность поверхности жидкости, то это место явится источни-
источником волн. Если следить лишь за изменением положения поверх-
поверхностного слоя, то такие волны можно назвать поперечными.
Роль возвращающей силы играют силы поверхностного натяже-
натяжения и силы тяжести. Действительно, поверхность покоящейся жид-
жидкости, находящейся под воздействием силы тяжести, горизонтальна.
Всякое искривление поверхности жидкости связано с увеличением
ее потенциальной энергии, обусловленной силами поверхностного
натяжения. Под действием сил поверхностного натяжения поверх-
поверхность стремится уменьшиться, т. е. возвратиться в горизонтальное
положение, в котором потенциальная энергия минимальна.
При небольших амплитудах волн пути отдельных частиц жид-
жидкости с некоторым довольно большим приближением можно считать
окружностями. Диаметры этих круговых путей наибольшие для
частиц, находящихся на поверхности, и быстро уменьшаются

250 молекулярная физика
с глубиной. Поэтому можно считать, что волны распространяются
по поверхности жидкости.
Диаметр d = 2r траекторий «поверхностных» частиц жидкости
равен разности высот между впадиной и гребнем. Период Т полного
обращения частицы соответствует продвижению волны на полную
ее длину Я.
На гребне волны частица движется в направлении распростра-
распространения волны, во впадине — в противоположном направлении.
Для подсчета скорости распространения волны удобно рассмот-
рассмотреть движение частиц жидкости на поверхности в системе коорди-
координат, жестко связанной с движущейся волной. При таком выборе
системы отсчета можно не принимать во внимание перекачку энер-
энергии из пучности волны во впадину, так как в «застывшей» волне
энергия каждого участка волны остается неизменной.
В случае малых амплитуд (г <^ Я) наблюдатель, движущийся
вместе с волной, видит частицы, проносящиеся по поверхности за-
застывшей волны в сторону, противоположную движению волны. Во
впадине эта относительная скорость частицы равна v + 2nr/T
(v — скорость распространения волны, 2пг/Т — абсолютная
скорость частицы). На гребне относительная скорость частиц
меньше, чем во впадине, на удвоенную величину ее абсолютной
скорости.
Это уменьшение скорости частицы при поднятии на гребень
объясняется увеличением потенциальной энергии. Для гравитацион-
гравитационных волн, в образовании которых основную роль играют силы тя-
тяжести (если силами поверхностного натяжения можно пренебречь),
это изменение потенциальной энергии равно весу mg, умноженному
на высоту у
AU = mg2r. A)
Изменение кинетической энергии можно подсчитать, пользуясь
соотношением A):
[(, + ^_(y_L)] = ^ B)
По закону сохранения энергии At/ = AW, т. е.
C)
В случае малых амплитуд очертание волны можно считать синусо-
синусоидальным. Для синусоидальных волн
vT = к. D)
Учитывая это, из D) получим выражение для скорости гравитацион-
гравитационных волн

63. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 251
С ростом длины волны к скорость гравитационных волн увеличи-
увеличивается.
Влияние поверхностного натяжения на величину потенциальной
энергии можно учесть следующим образом. Рассмотрим рис. 1,
на котором изображено вертикальное сечение волны, распростра-
распространяющейся в направлении линии АВ по поверхности жидкости плот-
плотности рис поверхностным натяжением а. Линия AQB — уровень
Рис. 1.
спокойной поверхности жидкости, h — высота точки Р волновой
поверхности над линией АВ.
Если в процессе распространения волны точка Р поднимется
на бесконечно малую величину б, то малый элемент поверхности dS
будет двигаться вверх против силы dS т~-., где R — радиус кривизны
¦ I "I
вертикального сечения поверхности волны в точке Р. Работа, со-
совершаемая при подъеме элемента поверхности dS в точке Р, равна
dA = dS щ-bcos^, F)
где р — угол между вертикалью и радиусом кривизны вертикаль-
вертикального сечения поверхности волны в точке Р.
Можно считать, что жидкость, необходимая для наполнения
освободившегося при перемещении элемента поверхности простран-
пространства, берется с уровня AQB. Тогда работа, совершаемая против силы
тяжести, равна pdS8cos (J • gh. Вся совершаемая при перемещении
элемента поверхности dS работа (т. е. полное приращение потен-
потенциальной энергии) равна
dU = dSd cos ft • (pgh + ~). G)
Множитель \/R представляет собой кривизну сечения поверх-
поверхности волны в точке Р, ее нетрудно вычислить.
Запишем уравнение бегущей волны в виде
(8)

252 молекулярная физика
Если зафиксировать положение волны в какой-либо момент вре
мени t, то получим кривую, изображенную на рис. 1. Кривизну 1/
в любой точке кривой можно вычислить по формуле *)
dx
В рассматриваемом случае малых амплитуд (h0 <^ X) второй член
в квадратных скобках можно опустить. Тогда
Подставляя это значение кривизны в G), получим
A1)
Отсюда видно, что поверхностное натяжение как бы увеличивает
ускорение силы тяжести на величину 4я2а/рАА Учитывая это, можно
видоизменить соотношение E) для скорости волны применительно
к общему случаю с учетом как силы тяжести, так и сил поверхност-
поверхностного натяжения
Выражение под знаком корня есть сумма двух слагаемых, из
которых первое Xgl2n делается бесконечно большим при бесконечно
большом X, а второе 2яа/рА, — при бесконечно малом X. Таким об-
образом, скорость распространения волны бесконечно велика при
очень малом Ху затем она уменьшается, достигая некоторого мини-
минимального значения vm{n> и далее вновь возрастает, стремясь к беско-
бесконечности при очень больших длинах волн.
Значение длины волны, соответствующее vm\n, разграничивает
область гравитационных волн от области так называемых капилляр-
капиллярных волн, в образовании которых основную роль играет поверх-
поверхностное натяжение жидкости.
Для чисто капиллярных волн 2nal pX*p>Xgl2n, и скорость их
распространения определяется соотношением
В общем случае из A2) можно получить выражение коэффици-
коэффициента поверхностного натяжения а, выражая v через частоту v
и длину волны X (v = Xv)
г) П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, Гостехиздат,
1956, стр. 116.

53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 253
Получив на поверхности с помощью вибратора волны и измерив
их длину волны А, (используя, например, стробоскопическое осве-
освещение), легко по формуле A4) определить коэффициент поверхност-
поверхностного натяжения жидкости а, зная частоту колебаний вибратора
v и плотность жидкости р.
Пользуясь этим методом, в настоящей задаче и определяют ко-
коэффициент поверхностного натяжения жидкости.
Описание установки. Для получения колебаний используется
электромагнитный вибратор, питаемый от "сети переменного тока
через автотрансформатор.
Вибратор (рис. 2) представляет собой изогнутый стерженек /
с шариком на конце, скрепленный с намагниченным «язычком» 2,
помещенным между одноименными
полюсами двух подковообразных
магнитов, причем намагниченность
«язычка» противоположна намаг-
намагниченности полюсов 3.
Две катушки с одинаковым
направлением обмоток 4, питае-
питаемые от сети переменного тока че-
через автотрансформатор, также
помещены между теми же полю-
полюсами подковообразных магнитов
так, что «язычок» находится между
ними. Таким образом, частота
колебаний вибратора равна час-
частоте тока, питающего обмотки элек-
электромагнита, а именно 50 гц.
Колеблющийся стерженек вибратора касается поверхности воды
или другой жидкости в кювете и возбуждает на ней круговые по-
поверхностные волны той же частоты.
Для измерения длины волны применяется стробоскопическое
освещение от неоновой лампы, питаемой от сети переменного тока.
Удобно установить неонрвую лампу так, чтобы волны освещались
от светящейся щели между двумя электродами. Тогда частота мига-
миганий лампы равна удвоенной частоте городского тока, т. е. 100 гц.
Освещенные волны кажутся совершенно неподвижными я их кажу-
кажущаяся длина в два раза меньше длины бегущей волны. Картина
отчетливо видна, так как колебания вибратора и вспышки неоновой
лампы происходят синхронно вследствие того, что они питаются
от одного и того же источника переменного тока.
Электрическая схема установки представлена на рис. 3. Можно
освещать волны вспышками лишь одного электрода лампы, повер-
повернув ее соответствующим образом. Тогда в неподвижной картине
волн длина волны равна длине бегущей волны, так как теперь
частота мигания лампы равна 50 гц. Но вследствие побочного осве-
Рис.

254
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис. 3.
щения, проникающего от второго электрода, картина в этом случае
менее отчетлива.
И в том и в другом случаях картину неподвижных волн легко
наблюдать по теням на дне кюветы. Для этого дно ванночки должно
быть сделано из непрозрачного бе-
белого материала.
Так как освещение от неоновой
лампы недостаточно интенсивно,
то при измерениях, особенно при
ярком дневном свете, всю уста-
установку следует экранировать. Для
этой цели служит чехол из непро-
непрозрачного, плотного материала.
Длина волны измеряется при
помощи штангенциркуля. Для
этого подносят штангенциркуль к
поверхности жидкости и устанавливают его так, чтобы на дне
ванночки между внутренними границами теней от ножек штанген-
штангенциркуля располагалось целое число волн.
Чтобы измерения были правильными, они должны быть произ-
произведены при следующих условиях:
1. Три точки — концы ножек штангенциркуля и стержень виб-
вибратора у поверхности жидкости — должны находиться на одной
прямой. При этом то же самое условие
будет автоматически выполняться и для
теней.
2. Ножки штангенциркуля должны
лежать почти горизонтально и в не-
непосредственной близости к поверх-
поверхности жидкости, почти касаясь ее. При
этом внутренние границы теней от но-
ножек штангенциркуля должны совпадать
с касательными к теневым кольцам на
дне ванночки. Если слой жидкости до-
достаточно толст, то теневые волны замет-
заметно отличаются по форме от круговых
— кольца вытянуты.
3. Проекции на дне ванночки от внут-
внутренних краев ножек штангенциркуля
должны заключать точно целое число
длин теневых волн. Для этого ножки штангенциркуля должны
быть касательными либо к внутренним, либо к внешним границам
теневых колец. Правильное положение штангенциркуля изображено
на рис. 4.
Прибор, используемый в настоящей задаче, изготовлен по чер-
чертежам К. А. Рагозинского.
Рис. 4.

54. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ И КРИТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА 255
Порядок измерений. Перед началом работы необходимо тщательно
вымыть ванну и налить в нее испытуемую жидкость. Уровень жид-
жидкости должен быть достаточно высоким A—1,5 см) для того, чтобы
не влияло дно кюветы. Не следует наливать слишком много жид-
жидкости: вследствие преломления в толще жидкости кольца будут
широкими с нерезкими границами, что неблагоприятным образом
сказывается на результатах измерения. Затем надо опустить стер-
стержень вибратора до соприкосновения с жидкостью. После этого
следует включить установку по схеме рис. 3, предварительно
убедившись^ что автотрансформатор поставлен на нуль.
Убедившись, что лампочка горит, нужно подать напряжение
с автотрансформатора на вибратор (не более 30—60 в). При этом
на дне ванночки должна появиться неподвижная картина круго-
круговых волн. Далее надо отрегулировать работу вибратора, изменяя
силу упругости возвратной пружины 5 (на рис. 2) вибратора ре-
регулировочным винтомб. Картина на дне кюветы должна быть совер-
совершенно неподвижной в виде замкнутых чередующихся темных и
светлых колец.
Теперь можно приступить к измерениям. Следует проделать
достаточное количество измерений E—10).
ЛИТЕРАТУРА
1. С. Э. Хайкин, Физические основы механики, Физматгиз, 1963,
гл. XIX, § 158, 159.
2. Р. В. Поль, Механика, акустика и учение о теплоте, Гостехиздат,
1957, стр. 300.
3 А Д А Ч А 54
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ В БОЛЬШОМ ИНТЕРВАЛЕ ТЕМПЕРАТУР И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЕЕ КРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
Принадлежности: 1) специальный прибор, 2) катетометр, 3) таблица
плотностей пара и жидкости исследуемого вещества.
Задачей работы является определение коэффициента поверх-
поверхностного натяжения этилового эфира при изменении его температуры
от комнатной до критической путем измерения высоты поднятия
жидкости в капилляре и измерения кривизны мениска.
Описание прибора. Устройство прибора схематически показано
на рис. 1. В стеклянном запаянном сосуде цилиндрической формы /
содержится жидкость 2. Внутри сосуда укреплены две капиллярные
трубки 3 с различными радиусами гх и г2 их внутренних сечений.
Капиллярные трубки параллельны между собой и со стенками со-

256
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
суда. Сосуд с капиллярными трубками подвешен к крышке 4 в вер-
вертикальном положении внутри нагревателя. В полость нагревателя
к сосуду с жидкостью и капиллярами подведена термопара 7 для
измерения температуры. Горячий спай термопары прижат к сосуду
кольцом 6 из тонкой металлической фольги. Нихромовая прово-
проволока 12 нагревателя находится в полости между двумя стальными
пластинками 10, 11. В стенках нагревателя имеется' два окна (на
Рис. 1.
рисунке не показаны). Заднее окно закрыто матовой стеклянной
пластинкой. Переднее окно закрыто прозрачной плоскопараллель-
плоскопараллельной стеклянной пластинкой. Нагреватель помещается в металли-
металлическом массивном корпусе 14, имеющем также два окна, закрытые
стеклянными плоскопараллельными пластинками (на рисунке не
показаны). К заднему окну в особом держателе подведена элек-
электрическая лампочка для освещения сосуда с жидкостью и капил-
капиллярными трубками. Наблюдение производится через передние окна 8
корпуса и нагревателя при помощи зрительной трубы 9. ХЬлодный
спай термопары помещен в пробирке с маслом при комнатной тем-
температуре. Концы термопары подведены к милливольтметру 13,
при помощи которого измеряется э. д. с. термопары. Термопара
проградуирована, и к задаче приложен график зависимости з. д. с.
от температуры. При помощи этого графика по показаниям милли-
милливольтметра производится определение температуры сосуда с жид-
жидкостью: В сосуде содержится этиловый эфир.

54. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ И КРИТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА 257
Давление в стеклянном сосуде при нагревании растет и доходит
(в критическом состоянии) до 35 атм.
Во избежание разрыва сосуда категорически запрещается после
начала нагревания раскрывать прибор и производить в нем какие-
либо исправления.
Теория. Лаплас показал, что на искривленной поверхности
жидкости кроме внешнего давления существует добавочное давление,
обусловленное кривизной поверхности жидкости и поверхностным
натяжением жидкости. Это добавоч-
добавочное давление выражается формулой
Лапласа
\
2а
A)
И~ ос ~—
где а — поверхностное натяжение
жидкости, R — радиус кривизны по-
поверхности жидкости в капиллярной
трубке. Это добавочное давление,
приложенное к искривленной по-
поверхности мениска жидкости, на-
направлено к центру кривизны мениска.
Таким образом, на вогнутом мениске
это давление направлено против внеш-
внешнего давления. Следовательно, на
вогнутом мениске давление меньше,
чем на плоском. На выпуклом мениске добавочное давление направ-
направлено вниз и, складываясь с внешним давлением, увеличивает общее
давление на мениск. На рис. 2 показана в разрезе капиллярная
трубка, опущенная в смачивающую жидкость (г — радиус трубки,
R — радиус кривизны мениска, ф — краевой угол). Из рисунка
видно, что
Рис. 2.
П __
COS ф
Следовательно, добавочное давление равно
_ 2а cos ф
р ~ •
B)
C)
В момент опускания капиллярной трубки в жидкость при сопри-
соприкосновении жидкости со стенками трубки образуется мениск с ра-
радиусом кривизны R. При образовании мениска возникает добавоч-
добавочное давление, уменьшающее внешнее давление. Благодаря этому
жидкость в капиллярной трубке поднимается^-на такую высоту hy
при которой вес столбика жидкости в капилляре уравновешивает
собою добавочное давление.

258 молекулярная физика
Если считать, что над жидкостью в капиллярной трубке нахо-
находится насыщающий пар данной жидкости, то направленное вниз
давление столба жидкости в капилляре можно выразить в виде
Pi = h(pM — pn)gf D)
где рп — плотность пара, рж —. плотность жидкости.
Добавочное давление на поверхности мениска направлено вверх
и равно
2а cos ф
Р2=—~
E)
Сравнивая давление столбика жидкости рх и добавочное давление
р2, получим равенство
^ F)
Из этого равенства легко определить высоту столбика жидкости
в капилляре
h = 2ctC0S(P (j)
и поверхностное натяжение жидкости
Величина поверхностного натяжения значительно изменяется
с изменением температуры жидкости. Краевой угол также зна-
значительно изменяется с температурой. Поэтому высота столбика
жидкости в капилляре с изменением температуры также меняется.
Выражение высоты столбика жидкости в капилляре дано фор-
формулой G) только для случая, когда вне капилляра поверхность
жидкости плоская. В данной задаче сосуд с жидкостью имеет радиус
внутреннего сечения около 9 мм. Поэтому поверхность жидкости
между капиллярами и стенками сосуда ограничена и до некоторой
степени искривлена. За счет кривизны поверхности жидкости вне
капилляров высота столбика жидкости в каждом из капилляров
будет меньше на некоторую величину Л, одинаковую для каждого
из капилляров. Следовательно, для высот жидкости в обоих капил-
капиллярах можно написать выражение
2асозФ _А h 2асо5ф А д
1 МРж — Pn)g 2 Г2(Рж— Pn)g
Разность высот столбиков жидкости в капиллярах
hl-h2=,2acos\ r^=^ A0)
1 (Рж — Рп)? Vi

54. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ И КРИТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА 259
свободна от влияния искривления поверхности жидкости вне ка-
капилляров. В это выражение входит краевой угол, величина которого
зависит от температуры. Из рис. 2 видно, что
_ г
где R — радиус кривизны поверхности жидкости в капилляре,
а г — радиус внутреннего сечения этого капилляра. Так как крае-
краевой угол должен быть одним и тем
же для капилляров различного се-
сечения, то его можно было бы опре-
определить через радиус кривизны ме-
мениска в любом из капилляров.
Однако это удобнее сделать из
наблюдений кривизны мениска
жидкости вне капилляров. Если _}_
обозначить радиус сечения сосуда ^_^
через г3, а радиус кривизны ме- j--
ниска в этом сосуде через R3, то '
A2)
т
Рис. 3.
Обозначим расстояние между
наиболее низкой точкой вогнутого
мениска и его приподнятыми краями через б3 и назовем эту вели-
величину глубиной мениска. На рис. 3 показан вид мениска в сосуде
через зрительную трубу (т. е. перевернутым).
Диаметр внутреннего сечения трубки является хордой круга
с радиусом кривизны мениска. Исходя из этого, радиус кривизны
мениска можно выразить формулой
Следовательно,
2б3
A3)
A4)
Принимая во внимание выражения A4) и A0), получим для по-
поверхностного натяжения
а== (^1 — Ла)(рж — ?n)g
а==
4 гх — г2 г3б3 *
Значения величин гъ г2 и гг даны. Следовательно, для определе-
определения величины поверхностного натяжения жидкости при некоторой
температуре Т необходимо при этой температуре измерить разность
высот столбиков жидкости в капиллярах и глубину мениска жид-
жидкости вне капилляров.
Для выполнения этих измерений применяется катетометр ОМС-5.
Отсчет по его шкалам производится совершенно так же, как на ка-

260
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
тетометре КН-10 (см. описание задачи 50). Рекомендуется ознако-
ознакомиться с заводским описанием катетометра ОМС-5.
Измерения. Заметим, что мениск жидкости в сосуде виден через
зрительную трубу не в разрезе, а целиком. Поэтому он кажется
толстым. Однако легко виден самый низ мениска и его края, приле-
прилегающие к стеклу. Расстояние между нижним краем мениска и его
верхними краями есть глубина мениска б3. Определение а должно
быть сделано не менее чем для 15 значений температуры.
Кроме того, необходимо зафиксировать температуру исчезнове-
исчезновения мениска и критическую температуру, т. е. температуру, при
которой плотность жидкости равна плотности насыщающего пара.
Равенство указанных плотностей можно установить следующим
образом. До исчезновения мениска видимое расстояние между ка-
капиллярами под мениском заметно больше расстояния между теми
же капиллярами над мениском. Капилляры при переходе через
мениск из-за преломления света кажутся изломленными. При уве-
увеличении температуры плотности выравниваются и видимое рас-
расстояние между капиллярами в области пара увеличивается, а в об-
области жидкости уменьшается.
При температуре исчезновения мениска расстояния между ка-
капиллярами в области пара и в области жидкости еще отличаются
друг от друга. Это свидетельствует о том, что при температуре исчез-
исчезновения мениска плотность жидкости и плотность насыщающего
пара еще неодинаковы. При дальнейшем повышении температуры
уже после исчезновения мениска плотности жидкости и насыщен-
насыщенного пара выравниваются, видимые расстояния между капиллярами
внизу и вверху становятся одинаковыми. Температура, при которой
это наблюдается, является критической температурой. Наблюдения
и измерения должны быть записаны в рабочей тетради по следую-
следующей форме:
U, мв
Т, °С
h\, мм
Il2, MM
hi—fl2, ММ
88, мм
9 — Р .
г/см3
8|, мм*
ос
Здесь через hx и h2 обозначены высоты отдельных столбиков жидко-
жидкости в капиллярах, измеряемые от уровня жидкости вне капилляра
до верхнего уровня. Разности hx — h2 измеряются непосредственно
и вычисляются по значениям йь ft2; U — показания милливольт-
милливольтметра, включенного в цепь термопары.
По данным hx—h2 и б3 строят на листе миллиметровой бумаги
два графика их зависимости от температуры. Для зависимости а

55. ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ И РАСШИРЕНИЕ ПАРОВ ВОДЫ 261
от температуры строится график на том же листе, где построены
графики для hx—h2 и б3.
Для постепенного увеличения нагрева сосуда с жидкостью необ-
необходимо увеличивать напряжение на зажимах нагревателя посред-
посредством автотрансформатора, на крышке которого даны обозначения
напряжения. Нагревание должно производиться медленно. Нару-
Нарушение этого порядка приведет к искажению результатов опыта.
Появление мениска жидкости можно наблюдать после выключения
тока в нагревателе. Зависимость плотностей жидкости и насыщающе-
насыщающего пара от температуры для этилового спирта дается в виде таблицы:
и °с
20
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
Плотность
в
Рж. г'/см*
0,7143
0,6894
0,6764
0,6658
0,6532
0,6402
0,6250
0,6105
0,5942
. 0,5764
жидкого этилового эфира
зависимости
Рп, г/см*
0,00187
0,00373
0,0058
0,00677
0,00892
0,01155
0,01477
0,01867
0,02349
0,02934
и его паров
от температуры
t, °с
130
140
150
160
170
180
185
190
193
194,5
Рж. *Л^8
0,5580
0,5385
0,5179
0,4947
0,4658
0,4268
0,4018
0,3663
0,3300
0,2636
Рп. г/сл*
0,03638
0,04488
0,05551
0,06911
0,08731
0,11350
0,13200
0,16200
0,20120
0,2636
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К- Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. VII, § 2—4.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. Я. А. Туровский, Превращение жидкости из смачивающей в несма-
чивающую, Уч. зап. МОПИ, т. ХСП, 1960, вып. 4, стр. 73.
3. Я- А. Туровский, Определение плотностей жидкости и насыщающего
пара от комнатной температуры до критической, Уч. зап. МОПИ, т. ХСН,
1960, вып. 4, стр. 33.
3 А Д А Ч А 55
ИЗУЧЕНИЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СЖАТИЯ И РАСШИРЕНИЯ ПАРОВ ВОДЫ
Принадлежности: 1) вакуумная установка, 2) термостат ТС-15 с кон-
контактным термометром, 3) вакуумметр ВИТ-1.
Введение. Связь основных характеристик состояния газа или
пара — температуры 7\ давления р и объема V принято называть
уравнением состояния. Наиболее простым уравнением состояния

262
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис.
является уравнение состояния идеального газа. Однако реальные
газы следуют этому уравнению только приближенно, да и то лишь
при определенных условиях. Для
описания свойств реального газа или
пара используется уравнение Ван-
дер-Ваальса, включающее поправки
на учет сил взаимодействия между
молекулами. Качественный ход изо-
изотерм Ван-дер-Ваальса р (V)T приве-
приведен на рис. 1. Надо отметить, что и
уравнение Ван-дер-Ваальса не отра-
отражает полностью поведения реального
газа. На участке АВ зависимость
р (V)T не следует уравнению Ван-
дер-Ваальса — график проходит так,
как показано пунктиром. Исключе-
Исключение составляют лишь неустойчивые
состояния переохлажденного пара
или перегретой жидкости.
Участок АВ графика соответст-
соответствует давлению насыщающего пара;
участок ВС — давлению ненасыщающего пара. В настоящей задаче
экспериментально определяется зависимость р (У)тдля паров воды
в области АС.
Описание установки. Схема экспери-
экспериментальной установки приведена на
рис. 2. Основная часть установки со-
состоит из двух цилиндров, I и II, соеди-
соединенных между собой U-образной труб-
трубкой. В цилиндры налито масло, кото-
которое играет роль поршня для сжатия
исследуемых паров воды. Вода нахо-
находится в резервуаре ///. Пары воды че-
через краны 7 и 8 могут быть впущены в
цилиндр /. Цилиндр / отделяется от
остальной части установки краном 7.
Изменяя давление р в цилиндре //,
можно изменять уровень масла в свя-
связанном с ним цилиндре /. Таким путем
осуществляется либо сжатие, либо рас-
расширение паров, находящихся в цилинд-
цилиндре /. На специальном графике, прила-
прилагаемом к установке, представлена зависи-
зависимость объема свободной части цилиндра / от положения уровня масла.
Для поддержания постоянства температуры воды -и пара резер-
резервуар и цилиндр / снабжены водяными рубашками, в которых цир-
Рис. 2.

55. ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ И РАСШИРЕНИЕ ПАРОВ ВОДЫ 263
кулирует вода из термостата Т. Для измерения давления в системе
используются термоэлектрический манометр ТМ (см. описание
задачи 62) и U-образный манометр. Для предотвращения попа-
попадания масла из цилиндров в резервуар имеются две ловушки,
Лг и Л2.
Опыт требует предварительной откачки воздуха из системы.
Откачка производится с помощью форвакуумного насоса Н. Даль-
Дальнейшее изменение давления в цилиндре // осуществляется впуском
атмосферного воздуха с помощью порционного крана 4.
Подготовка установки к эксперименту. В исходном положении
все краны установки закрыты, за исключением кранов 5, 6, 7. Это
необходимо для того, чтобы избыточное давление в каком-либо из
цилиндров или в одном из колен U-образного манометра не выда-
выдавило масло в остальные части установки. Когда краны 5, 6, 7 от-
открыты, давление во всех частях установки, кроме резервуара ///,
одинаково.
Сначала производится откачка воздуха из системы. Для этого
необходимо поставить кран 1 в нейтральное положение, затем
включить форвакуумный насос Н. Через 0,5 мин надо последова-
последовательно открыть краны 1,2,3. Давление в системе контролируется
с помощью термоэлектрического манометра ТМ. Откачку следует
произвести до давления 5 -102 мм pm. ст.
Для установления нужной температуры паров воды надо вклю-
включить термостат и мотор. Затем открыть кран проточной воды для
охлаждения термостата. Тумблеры «нагрев» поставить в положение
«выключено». Выждать, пока термометр термостата покажет нуж-
нужную температуру A7—14° С). Для автоматического поддержания
температуры в дальнейшем используется ртутный контактный тер-
термометр.
В контактном термометре находится подвижный контакт — про-
проволочка. Она перемещается вверх и вниз с помощью магнита, ук-
укрепленного на термометре. Если конец проволочки касается поверх-
поверхности ртутного столбика в термометре, то срабатывает реле. Это
реле выключает подогрев термостата и температура воды в термо-
термостате понижается благодаря охлаждению проточной водой. Уровень
ртутного столбика в термометре понижается, и конец проволочки
отрывается от поверхности ртути. При этом снова срабатывает реле
и включается нагрев. Температура вновь начинает расти. Таким
образом, температура воды в термостате все время поддерживается
около некоторой заданной величины. Из термостата вода прогоня-
прогоняется насосом через рубашки цилиндра и резервуара.
После того как выбранная температура в термостате достигнута,
конец контактной проволочки приводят в соприкосновение с ртут-
ртутным столбиком, но не погружают его далеко в ртуть. Включают
тумблер «нагрев». Дальнейшее поддержание температуры идет ав-
автоматически.

264 молекулярная физика
Измерение давления в цилиндре /. В установившемся состоянии
давление в цилиндре / равно
P = Pi + p2' A)
Здесь рх — давление, возникающее вследствие разности уровней
масла в цилиндрах / и //, а р2 — давление в цилиндре //.
Величину рг измеряют с помощью U-образного манометра.
Одно колено манометра откачивается до давления 5 • 10~2 мм рт. ст.
и отделяется краном 6. Второе колено соединено с цилиндром //.
И в цилиндрах и в манометре находится одинаковое масло. Плот-
Плотность масла рм = 0,8 г/см3.
Давление р2 в цилиндре // находят по формуле
fc = A*^, B)
Ррт
где
разность высот уровней масла в коленах манометра, отсчитанная
по шкале манометра, а ррт — плотность ртути, равная 13,6 г/смг.
Давление рг находится по формуле
Pi-iht-bjf*-. C)
Ррт
Здесь йх и ft2 — высоты уровней масла (в мм), отсчитанные по шка-
шкалам на первом и втором цилиндрах.
Отметим, что рг может быть и отрицательным и положительным.
Для нахождения давления паров р величины рг и р2 алгебраически
складываются.
Упражнение 1
Измерение давления насыщающих паров воды
Произвести подготовку установки к эксперименту. После до-
достижения в установке давления 5 -10 мм рт. ст., разъединить
цилиндры / и //, закрыв кран 5. Краном 6 разъединить колена
U-образного манометра.
Затем закрыть краны 2У 3 и 1 и выключить насос. Кранами 8 и 7
соединить цилиндр / с резервуаром воды ///. Выждать 5 мин до
полного установления уровней масла в цилиндрах. По формуле A)
найти давление насыщающих паров воды при выбранной темпе-
температуре.
После окончания измерений закрыть кран 8. Включить насос.
Выждав 1 мин, открыть краны 5, 2, 5, 1 и снова откачать установку
до давления 5 -10~2 мм рт. ст.

55. ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ И РАСШИРЕНИЕ ПАРОВ ВОДЫ 265
Упражнение 2
Измерение зависимости p(V) при изотермическом
расширении паров воды
Перед выполнением упражнения давление в системе должно быть
не более 5 -10~2 мм рт. ст. После достижения нужного давления
следует разъединить цилиндры I и II краном 5. Закрыть краны 2
и 3. Насос не выключать. Кран, разъединяющий колена U-образ-
U-образного манометра, должен быть закрыт.
После этого надо установить начальный объем в цилиндре /,
который предстоит заполнить насыщающим паром воды (80—100 см3).
Для этого в цилиндр // порционным краном 4 впускают небольшими
количествами воздух. Чтобы впустить одну порцию воздуха, кран 4
надо повернуть на 360°. Если впущено слишком много воздуха и
уровень масла в цилиндре / поднялся выше выбранного деления,
надо откачать некоторую часть воздуха из цилиндра //. Для этого
необходимо закрыть кран 7, повернуть кран 3 на 360° и снова от-
открыть кран /. При этом часть воздуха уходит в пространство между
кранами ¦/ и 5, и давление в цилиндре / уменьшается.
Для окончательного установления уровней масла надо выждать
3 мин. После получения нужного объема следует открыть краны 8
и 7 и впустить в цилиндр / пары воды. Благодаря их давлению
уровни масла в цилиндрах сместятся. Нужно довести эти уровни
до прежнего положения впуском дополнительных порций воздуха
в цилиндр //, после чего снова следует выждать до установления
уровней 3 мин и перекрыть краны 7 и 8.
Затем снимается зависимость р (V). Сначала пары сжимают.
Для этого в цилиндр // впускают порциями воздух. После каждого
впуска выжидают 3 мин и записывают показания U-образного мано-
манометра и высоту уровней масла в цилиндрах h± и h2. Конечный объем,
занимаемый парами, не должен быть меньше 10 см3.
Затем производят расширение паров, для этого порциями от-
откачивают воздух из цилиндра //, выжидая после удаления каждой
порции 3 мин. После каждого изменения объема записывают по-
показания U-образного манометра и величины hx и h2. Расширение
ведется до полной откачки воздуха из цилиндра //.
После окончания опыта нужно открыть последовательно кра-
краны 6, 7, 5, 3, 2, 1 и произвести откачку системы до давления
5 -10~2 ммрт. ст. Затем закрыть краны /, 2, 3 и выключить насос,
термостат и вакуумметр. Закрыть кран проточной воды.
Обработка результатов. Результаты измерений лучше всего
представить в виде таблиц и графика. В таблицах должны быть
представлены давление паров воды р (в мм рт. ст.) в цилиндре /
и произведение pV (в мм рт. ст. -еж3) в зависимости от значения
объема V, занимаемого паром. Отдельно должны быть записаны

266 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
измеренное давление насыщающих паров, температура в термостате
и начальный объем Vo. На графиках представить зависимость
р(У) и pV(V).
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. V, § 1—7.
2. Описание термостата (прилагается к задаче).
3 А Д А Ч А 56
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ТЕПЛОТЫ ИСПАРЕНИЯ ВОДЫ
Принадлежности: 1) термостат с контактным термометром, 2) прибор,
3) термометр на диапазон температур от 20 до 100° С.
Введение. Теплота парообразования складывается из двух
частей. Первая часть — это теплота, которая тратится на работу
расширения пара, образовавшегося из жидкости. Эта часть на-
называется внешней теплотой парообразования. Если над поверхно-
поверхностью жидкости существует только ее насыщающий пар, то при испа-
испарении 1 г -моль вещества внешняя теплота парообразования, оче-
очевидно, равна
Qi-p(V2-v1). A)
Здесь р — давление насыщающих паров, a V1 и V2 — молярные
объемы жидкости и пара.
Другая часть теплоты парообразования тратится на преодоление
сил притяжения между молекулами жидкости. Эта часть называется
внутренней теплотой парообразования. Она равна разности вну-
внутренних энергий 1 г -моль жидкости и пара.
При изотермическом процессе испарения внутренняя теплота
парообразования равна
Здесь а — постоянная уравнения Ван-дер-Ваальса, равная для воды
5,47 л2 -атм *моль~2. Полная теплота парообразования 1 г -моля
p(V1-v1). C)
Для воды вдали от критической температуры Vt <; V2- Так, для
100° С, когда р = 1 атм, V± = 18 см9/моль, а У2 = 3 -104 смг1 моль.
В настоящей задаче измерения производятся при температуре

56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ТЕПЛОТЫ ИСПАРЕНИЯ ВОДЫ 267
t < 100° С. В этом случае приближенное выражение для Q име-
имеет вид
Q^± + pV%. D)
С ростом температуры Q убывает. Однако в небольшом температур-
температурном интервале ДГ <^ Т можно считать, что величина Q приблизи-
приблизительно постоянна.
Из второго начала термодинамики следует формула Клапейрона—
Клаузиуса
dp _\ Q л-ч
dT ~~ Т V2 — Vt ' {D}
дающая связь между величинами р и Т для насыщающих паров жид-
жидкости. Учитывая, что в наших условиях V2 ^> Vl9 можно написать
приближенно
Если температура системы далека от критической, т. е. плотность
паров невелика, то для насыщающего пара можно воспользоваться
уравнением Клапейрона
^. G)
Из уравнений G) и F) получим для 1 г *моля соотношение
d? — 1 OR (я\
dT~~ TRT' 1°'
Разделив переменные и решив это уравнение, получим
\np = --^f+C. (9)
Здесь С — постоянная интегрирования.
При решении уравнения (8) не учитывалась зависимость Q G).
Это справедливо лишь для узкого интервала температур Д7\ для
которого Q является средней величиной. В настоящей задаче Q
определяется в диапазоне от 20 до 50° С. Таким образом, АГ/Г < 0,1.
Получаемое значение Q является средним для этого интервала тем-
температур. Из формулы (9) следует, что тангенс угла наклона гра-
графика In p — ф (\1Т) равен Q/R. Определив этот тангенс, можно рас-
рассчитать молярную, а также удельную q = Q/\i теплоты парообра-
парообразования, если известен молекулярный вес жидкости \i.
Описание установки. Основная часть установки — U-образный
ртутный манометр (рис. 1). Одно колено А манометра соединено
с резервуаром воды В. Другое колено откачано. Манометр измеряет

268
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
давление насыщающих паров воды в мм рт. ст. Резервуар с мано-
манометром помещен в сосуде водой, температуру которой можно менять.
Температура паров воды меняется с помощью термостата. Схема
установки приведена на рис. 2. Термостат имеет подогреватель 2,
питаемый от сети переменного тока и холо-
холодильник 1 — змеевик с проточной водой.
Вода перемешивается при помощи мотора
3, который одновременно подает воду в
Рис. 1.
Рис. 2.
змеевик 4, находящийся в сосуде с прибором 5. Включая нагрева-
нагреватель, можно заставить горячую воду протекать по змеевику 4. Так
нагревается вода в сосуде с прибором.
Изменение температуры отмечается по термометру. Температура
воды, окружающей прибор, не должна превышать 50° С, так как
манометр рассчитан на работу в определенных пределах темпе-
температуры.
В термостате имеется блокирующее реле, соединенное с кон-
контактным термометром. При достижении в термостате темпера-
температуры 50° С реле размыкает цепь нагревателя.
Для охлаждения термостата необходимо выключить нагрева-
нагреватель и пустить воду в змеевик /.
Измерения. Перед началом опыта необходимо убедиться, что
температура воды в резервуаре с прибором не превышает 20—23° С.
Если температура воды выше, ее надо охладить. Для этого вклю-
включается мотор термостата и открывается доступ холодной воде
в змеевик термостата /. Нагреватель должен быть выключен. После
достижения в резервуаре с прибором температуры 20—23° С сле-
следует закрыть приток холодной воды к змеевику и выключить мотор.
Необходимо учитывать, что из-за тепловой инерции температура
воды в резервуаре на несколько градусов отстает от температуры
в термостате. Для контроля температуры в приборе на резервуаре
с водой имеется дополнительный термометр.

7. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ИСПАРЕНИЯ ЖИДКОГО АЗОТА 269
Чтобы начать нагревание прибора, надо включить тумблер
«нагрев» термостата и мотор. По мере нагревания воды в резер-
резервуаре с прибором необходимо измерять температуру и давление
паров воды через каждые 1—2° С. Нагревание вести до темпера-
температуры 50° С. После окончания работы выключить мотор и тумблер
«нагрев».
Используя полученные данные, необходимо: 1) построить гра-
график зависимости давления насыщающих паров воды от темпера-
температуры р (t)\ 2) построить график In p = ф A/Т1); 3) рассчитать
среднее значение удельной и молярной теплот парообразования.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. VII, § 4 и гл. VIII.
2. Е. А. Штрауф, Молекулярная физика, Гостехиздат, 1949, гл. II, §3—5.
3 А Д А Ч А 57
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ИСПАРЕНИЯ ЖИДКОГО АЗОТА
Принадлежности: 1) стационарный дьюаровский сосуд с нагревателем
для испарения жидкого азота, 2) калиброванный газометр для измерения коли-
количества испаренного азота, 3) конденсационный термометр для измерения темпе-
температуры жидкого азота, 4) электрическая схема для включения нагревателя в
дыоаровском сосуде, 5) секундомер, 6) защитные очки для наблюдателя.
Описание прибора. Задача имеет целью измерение теплоты
испарения жидкого азота и ознакомление выполняющих задачу
с элементами экспериментальной техники при работе со сжижен-
ными газами.
Испарение жидкого азота производится из небольшого цилин-
цилиндрического дьюаровского сосуда FF, установленного неподвижно
на деревянной стойке (рис. 1). Этот сосуд имеет непосеребренную
вертикальную полоску, позволяющую видеть уровень сжиженного
газа (в данном случае азота) в сосуде. Внутри сосуда находится
герметически закрытый металлический нагреватель S, содержащий
маленькую константановую печку, питаемую током, подводимым
к ней сверху по проводам, заключенным в металлическую трубку,
служащую держателем кожуха нагревателя. Сверху дьюаровский
сосуд закрыт латунной крышкой, герметически соединенной с внеш-
внешними стенками сосуда при помощи резиновой манжеты, обвязанной
снаружи проволокой. В крышке сверху имеется ряд отверстий.
Одно отверстие, закрывающееся резиновой пробкой, служит для
наливания через вставляемую в него металлическую воронку
жидкого азота внутрь сосуда. В другое отверстие впаяна латунная

270
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
трубка, на которую надета резиновая трубка, соединяющая дьюа-
ровский сосуд с расположенным на столе газометром. В третье
отверстие введена трубка нагревателя. Ввод трубки нагревателя
уплотнен резиновой манжеткой. В четвертое отверстие крышки,
D
Рис. 1.
также на резиновом уплотнении, введена трубка конденса-
конденсационного термометра. О его работе будет сказано
ниже.
Испаряющийся из дьюаровского сосуда азот поступает через
упомянутую выше резиновую трубку в газометр. Схема газометра
изображена на рисунке слева. Назначение газометра заключается
в измерении количества газа, выходящего в результате испарения
жидкости из дьюаровского сосуда. Измерением объема газа можно
гораздо точнее определить количество испарившейся в сосуде жид-
жидкости, чем при непосредственном измерении объема жидкости,
так как плотность жидкостих приблизительно в 1000 раз больше
плотности газа.
Подача тепла в установку задается мощностью нагревателя,
которая измеряется по амперметру и вольтметру, включенным
в цепь питания нагревателя. Нагреватель питается от аккумуля-
аккумулятора напряжением около 10 в.
Таким образом, зная количество испаренной жидкости по изме-
изменению объема газа в газометре и подведенное количество тепла
через нагреватель, можно найти теплоту испарения

57. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОТЫ ИСПАРЕНИЯ ЖИДКОГО АЗОТА 271
сжиженного газа, налитого в дьюаровский сосуд. Если ее обозна-
обозначить через Я, то легко видеть, что
* 0,24Я// 0,24IURTt /1Ч
А/ = = г? • (U
т pV\i ' у '
где / — сила тока в нагревателе, U — падение напряжения на
нагревателе, t — время нагревания, остальные величины, входящие
в эту формулу, именно р — давление газа в газометре, V — объем
газа в газометре, \х — молекулярный вес газа, R — универсальная
газовая постоянная, Т — абсолютная температура газа — свя-
связаны с выражением массы испаренной жидкости.
Теплота испарения зависит от температуры, поэтому всякий
результат ее измерения имеет ценность постольку, поскольку из-
известно, при какой температуре он получен. Измерять температуру
жидкого азота можно газовым термометром, электрическим тер-
термометром сопротивления — термоэлементом и др. В данном слу-
случае используется конденсационный термометр.
Принцип его действия может быть разъяснен следующим образом.
Для измерения температуры кипения азота пользуются тем
физическим законом, что упругость насыщающего пара чистой
жидкости является однозначной функцией ее температуры. В дью-
дьюаровский сосуд (см. рисунок) погружают полый стеклянный ша-
шарик А конденсационного термометра, наполненный чистым газо-
газообразным азотом и герметически соединенный с манометром В.
При наполнении сосуда жидким азотом газообразный азот в по-
полости шарика А частично конденсируется, и манометр показывает
упругость насыщающих паров при соответствующей температуре.
Зная показания манометра в этот момент и барометрическое давле-
давление на открытом конце манометра, можно получить истинную упру-
упругость паров азота и по таблице или по соответствующему графику
зависимости Т от р (прилагается к прибору) можно найти темпе-
температуру сконденсировавшейся жидкости и тем самым температуру
азота в сосуде.
Измерения. Через воронку наполняют дьюаровский сосуд на
две трети его объема жидким азотом 1). По истечении нескольких
минут, когда процесс испарения азота из сосуда установится, можно
приступить к опытам. Сначала определяют количество азота, испа-
испаряющегося в результате естественного теплоподвода, при выклю-
выключенном нагревателе. Для этого, пользуясь трехходовым краном К>
г) Жидкий азот предоставляется выполняющим работу студентам в неболь-
небольшом металлическом дьюаровском сосуде. В целях предохранения работающих
с прибором от осколков стекла, могущих разлететься, если случайно лопнет дью-
дьюаровский сосуд FF, он помещен в прозрачную оболочку из пластмассы. При про-
проведении эксперимента следует быть крайне осторожным, необходимо надевать
предохранительные очки.

272 молекулярная физика
направляют поток газообразного азота, ранее выпускавшийся
в комнату, в газометр С и по прикрепленной к нему шкале D изме-
измеряют объем азота, испарившегося за 10—15 мин. Затем включают
нагреватель и, поддерживая силу тока постоянной @,5 а), вновь
измеряют объем азота, испарившегося за тот же промежуток
времени.
Оба опыта повторяют 2—3 раза, чередуя их. При этом каждый
раз записывают показания вольтметра и амперметра и одновре-
одновременно показания манометра В. По разности объемов азота, испа-
испарившегося при нагревании и без нагревания, находят объем азота,
испарившегося под действием тепла, подводимого нагревателем.
Учитывая показания шкалы объема на газометре, показания водя-
водяного манометра *) на нем и температуру газа, находят массу испа-
испарившегося азота. Вычислив подводимое тепло по формуле A),
находят теплоту испарения жидкого азота при температуре,
определяемой по показаниям конденсационного термометра 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Е. А. Штрауф, Молекулярная физика, Гостехиздат, 1949.
2. Специальный физический практикум под редакцией Г. В. Спивака,
Гостехиздат, 1945, т. II, раздел III.
ЗАДАЧА 5$^
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ВТОРОГО РОДА
В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Принадлежности: 1) прибор, 2) термопара, 3) мост для измерения
емкостей.
Введение. Цель настоящей работы — определение температуры
фазового перехода в твердом теле. Вещество в твердом состоянии
может находиться в различных фазах, соответствующих различным
кристаллическим модификациям. Это явление называется полимор-
полиморфизмом. Кристаллическое состояние твердого тела характеризуется
определенной симметрией в расположении атомов вещества. Так
как физические свойства вещества связаны с их строением, то
ясно, что одно и то же вещество, находясь в различных кристалли-
кристаллических состояниях, должно обладать различными свойствами.
Как известно, при определенных условиях вещество может
переходить из одной фазы в другую. При этом возможны переходы
г) В газометре существует избыточное давление, обусловленное весом кол-
колпака газометра. Это давление можно измерить, пользуясь водяным манометром Ё,
присоединенным к газометру.
2) Калибровочная кривая конденсационного термометра вывешивается у га-
газометра.

58. ТЕМПЕРАТУРА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ВТОРОГО РОДА 273
такого типа, при которых меняется удельный объем вещества,
а следовательно, и его плотность. Такие переходы сопровождаются
либо поглощением, либо выделением тепла, и называются фазовыми
переходами первого рода. Примеры таких превращений — плавле-
плавление и возгонка, т. е. переходы вещества из твердой в жидкую и газо-
газообразную фазы. Возможны переходы первого рода и при превраще-
превращениях в твердых телах (например, к таким переходам относится
переход серы из ромбической модификации в моноклинную). Сим-
Симметрия кристаллической структуры может при этом меняться про-
произвольным образом, т. е. либо понижаться, либо повышаться.
Фазовые переходы первого рода описываются уравнением Клапей-
Клапейрона — Клаузиуса, являющимся прямым следствием второго на-
начала термодинамики.
Существует и другой тип фазовых переходов — переходы второго
рода. Для них характерна такая перестройка внутренней струк-
структуры вещества, при которой не происходит изменения удельного
объема. При таких переходах, следовательно, отсутствует теплота
перехода. Таким образом, если при переходах первого рода удель-
удельный объем и внутренняя энергия в точке перехода испытывают
скачок, то при переходах второго рода эти величины остаются
непрерывными. При фазовом переходе второго рода испытывают
скачок теплоемкость вещества, сжимаемость, коэффициент линей-
линейного расширения и ряд других величин. Скачком меняется сим-
симметрия структуры, хотя размеры, характеризующие расстояния
между атомами, меняются непрерывно. Постепенного изменения
симметрии кристалла не может быть, так как определенные эле-
элементы симметрии могут присутствовать либо отсутствовать. При
фазовых переходах второго рода симметрия структуры обычно по-
повышается при повышении температуры.
На плоскости ру Т точки фазовых переходов первого и второго
родов дают кривые фазовых переходов, соответствующие равно-
равновесному состоянию двух фаз. В точке фазового перехода первого
рода могут существовать в равновесии обе фазы вещества. При
переходах второго рода для данных давления и температуры обе
фазы вещества совпадают. Точки кривых фазовых переходов вто-
второго рода называются Х-точками или точками Кюри. Кривые фазо-
фазовых переходов второго рода плавно переходят в кривые переходов
первого рода. Точка на кривой, разделяющая переходы первого и
второго родов, называется критической точкой Кюри. Вблизи нее
разница между переходами первого и второго родов мала. Приме-
Примером фазового перехода второго рода может служить переход железа
из ферромагнитного состояния в парамагнитное. Нужно заметить,
что полной теории, описывающей фазовые переходы второго рода,
в настоящее время еще нет.
Для экспериментального определения температуры фазового
превращения можно использовать температурную зависимость лю-

274
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис.
бой величины (теплоемкости ср, Диэлектрической проницаемости е
и др.), испытывающей скачок при температуре перехода. В данной
задаче определяется температура фазового перехода в титанате
бария (BaTiO3), относящемся к классу так называемых сегнето-
электриков. При высоких температурах это вещество обладает
кристаллической структурой с элементарной ячейкой в виде куба
(рис. 1, а). В вершинах куба расположены ионы Ва, в центрах
граней — ионы О и в цент-
центре куба — ион Ti. Связь
ионов между собой носит
электростатический харак-
характер.
Небольшой по размерам
ион Ti, находящийся внут-
внутри октаэдра из ионов О,
имеет некоторую свободу
перемещений. При доста-
достаточно высоких температу-
температурах центр куба является
положением устойчивого
равновесия для иона ти-
титана, соответствующим ми-
минимуму потенциальной энергии. При понижении температуры по-
положение устойчивого равновесия иона Ti смещается в сторону
одного из ионов кислорода, причем смещения его в ту или иную
сторону равновероятны. Смещение иона Ti имеет величину по-
порядка 0,1 А.
Появившийся в результате смещения иона Ti электрический
момент оказывает влияние на ионы соседних ячеек, в результате
чего возникает спонтанная поляризация вещества. При смещении
иона Ti из центра куба структура сразу теряет некоторые элементы
симметрии (например, ось симметрии третьего порядка, центр сим-
симметрии) и из кубической становится тетрагональной. Эта точка
соответствует фазовому переходу второго рода или близкому к нему
фазовому переходу первого рода. Рентгенографические исследова-
исследования структуры титаната бария вблизи точки перехода показывают,
что объем ячейки при переходе почти не меняется. Размеры ее
увеличиваются в направлении смещения иона Ti и уменьшаются
в двух других направлениях. Таким образом, при температуре
фазового перехода меняется форма ячейки. Кубическая решетка
переходит в тетрагональную (рис. 1 и 2, а и б). Изменение размеров
ячейки, происходящее при таком превращении, показано на рис. 3.
При уменьшении температуры образца до точки перехода происхо-
происходит незначительное уменьшение ребра куба а0. После фазового
перехода один из параметров ячейки (расстояние с) начинает
увеличиваться, а два других (расстояния а) уменьшаться.

58. ТЕМПЕРАТУРА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ВТОРОГО РОДА
275
Однако объем V ячейки в точке перехода практически не ме-
меняется.
Вблизи температуры фазового перехода ионы Ti слабо удержи-
удерживаются в своих положениях равновесия, Следовательно, при нали-
наличии внешнего поля они будут легко смещаться из своего положения
1Щ~:;Л1
о)
Рис. 2.
\
4.03
4,0/
iOO
равновесия; при этом возникнет сильная поляризация, а это озна-
означает, что диэлектрическая проницаемость е вблизи точки фазового
перехода должна сильно возрасти. Увеличение е можно легко
обнаружить, измеряя емкость конденсатора, между пластинками
которого помещен слой титаната бария.
Следует отметить, что величина диэ-
диэлектрической проницаемости сегнетоэ-
лектриков зависит также от величины
напряженности внешнего электрического
поля, в которое помещен образец. В об-
области фазового перехода значение е для |
некоторых веществ меняется в 10—20 и
более раз.
Описание прибора и измерения. Тем- | 3,99-
пература фазового перехода в данной
задаче определяется по зависимости ве-
величины диэлектрической проницаемости
от температуры для поликристалличе-
поликристаллического образца титаната бария. У раз-
различных образцов из-за наличия в их
составе некоторых примесей температуры фазовых переходов отли-
отличаются друг от друга.
Используемая в задаче установка схематически изображена
на рис. 4. Исследуемый образец /, имеющий форму плоского ци-
цилиндра с посеребренными поверхностями, зажимается между латун-
латунными дисками 2У укрепленными на фарфоровых трубках. Диски
с вложенным между ними исследуемым образцом образуют кон-
конденсатор, емкость которого измеряется при выполнении работы.
Конденсатор может быть помещен внутри печки 3, нагревание
которой контролируется с помощью включенного в цепь нагрева-
и0

276
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
/{прибору,
измеряющему
емкость
тельной обмотки амперметра. Изменяя ток в цепи печки можно
менять ее температуру.
Температура образца определяется с помощью термопары. Один
из спаев термопары 4 укреплен в латунном диске конденсатора,
а второй поддерживается при
комнатной температуре. Ем-
Емкость конденсатора может быть
измерена с помощью какого-
либо прибора, работающего по
принципу моста переменного
тока (см. задачу 93, т. II).
При измерениях емкости в
области фазового перехода и
при необходимости перехода с
одного измерительного диапа-
диапазона прибора на другой в по-
полученных значениях емкости
возможен скачок, возникающий
Рис. 4. из-за значительного изменения
напряжения, подаваемого на об-
образец при переключении диапазонов. Такое скачкообразное изме-
изменение емкости может быть учтено путем измерения определенной1
емкости при специально выбранной температуре на смежных
диапазонах и внесении соответствующей поправки в последую-
последующие измерения. С правилами пользования прибором для измерения
емкости необходимо познакомиться по специальному описанию.
При проведении работы измерения емкости конденсатора с иссле-
исследуемым образцом проводятся при различных температурах, начи-
начиная от комнатных и кончая температурами, позволяющими обна-
обнаружить область фазового перехода (порядка 120—200° С в зависи-
зависимости от используемого образца).
После увеличения силы тока в цепи печки необходимо выждать
некоторое время для установления нового значения температуры.
Измерения емкости следует проводить только при установившейся
температуре. В области фазового перехода измерения целесооб-
целесообразно проводить через меньшие температурные интервалы.
Результаты работы должны быть представлены в виде таблицы
измерений и графика зависимости емкости конденсатора от темпе-
температуры, дающего возможность определить температуру фазового
перехода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезер, Е. М. Лифшиц, Курс общей фи-
физики, механика и молекулярная физика, «Наука», 1965, § 74, стр. 216—220.
2. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, стр. 462—464.
3. С. Г. Калашников, Электричество, Физматгиз, 1964,§56, стр. 116—119.

59. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА 277
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика, Физматгиз,
1964, § 137, стр. 501—506.
3 А Д А Ч А 59
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА
Введение. Атмосферный воздух содержит некоторое количество
водяных паров. Количество этих паров может меняться как по
абсолютной величине, так и по степени насыщения, что характе-
характеризуется абсолютной и относительной влажностью. Целью задачи
является определение этих величин.
Абсолютная влажность — количество водяного пара, находя-
находящегося в 1 м* воздуха, выраженное в граммах. Вес 1 м3 сухого
воздуха при 0° С и при давлении 760 мм рт. ст. равен 1293 г. На
основании уравнения Клапейрона вес 1 м? воздуха при темпера-
температуре /° Си при давлении р мм рт. ст. будет равен
1293 р г
1 + at 760 1
(а = V273 — коэффициент расширения воздуха). Плотность водя-
водяного пара по отношению к плотности воздуха при одинаковых дав-
давлении и температуре равна 0,622. Применяя и к водяному пару
уравнение Клапейрона (что справедливо лишь для паров, далеких
от состояния насыщения), получим для веса 1 ж3 водяного пара
1293.0,622 р _10 р
Пользуясь этим выражением, можно определить абсолютную
влажность воздуха, если известна упругость (парциальное давле-
давление) паров воды.
Из формулы A) видно, что при малых значениях t величина
абсолютной влажности q численно мало отличается от величины
упругости водяного пара р, поэтому принято абсолютной влаж-
влажностью называть упругость водяного пара и выражать ее в милли-
миллиметрах ртутного столба.
Относительная влажность определяется выражением
/• = ? -100%, B)
где Р — упругость паров, насыщающих пространство при темпе-
температуре t. Относительная влажность характеризует, таким образом,
степень насыщения воздуха водяным паром.

278
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Определение влажности воздуха производится обычно (с исполь-
использованием табличных данных) или методом определения точки росы
или психрометрически.
Упражнение 1
Определение влажности по точке росы
Принадлежности: 1) гигрометр с термометром, 2) серный эфир, 3) кау-
каучуковая груша.
Описание прибора и измерения. Точкой росы называется темпе-
температура, при которой водяной пар, имеющийся в воздухе, стано-
становится насыщенным, т. е. начинает конденсироваться на охлажден-
охлажденной поверхности.
Наиболее простым конденсационным гигрометром является
гигрометр Ламбрехта. Он состоит (рис. 1) из металлического сосуда А
цилиндрической формы, укреплен-
укрепленного на подставке. Один торец со-
сосуда отполирован и окружен таким
же кольцом В, которое укреплено
на теплоизоляционном материале.
Сосуд имеет одно отверстие С и
два патрубка D и Е. Через отвер-
отверстие С в сосуд ^наливают серный
эфир, после чего оно закрывается
пробкой с термометром. На пат-
патрубок D надет резиновый шланг с
грушей для продувания воздуха
через эфир. Воздух с парами эфи-
эфира выходит через патрубок Е. (Что-
(Чтобы пары эфира не попадали в ком-
комнату, рекомендуется пропускать
выходящий воздух через банку с
водой.)
При пропускании воздуха эфир
испаряется, его температура по-
понижается, сосуд охлаждается. Это
приводит к тому, что на полиро-
полированной поверхности торца начинает
появляться роса из водяных паров
окружающего воздуха. Прибор
необходимо установить так, чтобы
отполированный торец и кольцо были хорошо освещены. О мо-
моменте появления росы судят по потускнению поверхности (по
сравнению с кольцом) отполированного торца.
Температуру tx начала этого потускнения необходимо, по воз-
возможности то*Лю, определить по термометру. Уменьшая поток воз-
Рис.

59. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА
279
духа, замечают температуру t2 исчезновения росы. Определение
/х и t2 производят не менее трех раз. За точку росы /р принимают
среднее значение из полученных величин. Следует остерегаться
влияния дыхания работающего на влажность около прибора.
Пользуясь таблицей 19, по величине /р определяют значение
абсолютной влажности, а по величине комнатной температуры — t
давление насыщающих паров воды. Зная эти величины, опреде-
определяют значение относительной влажности по формуле B).
Упражнение 2
Определение влажности по точке росы электрическим гигрометром
Принцип работы электрического гигрометра такой же, как и
гигрометра Ламбрехта. Электрический гигрометр, отличается тем,
что охлаждение в нем создается не в результате испарения эфира,
а вследствие эффекта Пельтье в полупроводниках.
Схема электрического гигрометра приведена на рис. 2. В его
цепь включены два полупроводниковых элемента А я В. При про-
протекании в цепи, тока на одних кон-
концах элементов х тепло поглощается,
на противоположных концах у одно-
одновременно выделяется. Для охлажде-
охлаждения этих концов к ним прикреплены
радиаторы С. К охлаждающемуся
спаю прикреплен медный цилиндр F,
в котором высверлено отверстие для
термометра.
Концы х охлаждаются только при
определенном направлении тока в це-
цепи. ' Поэтому на входных клеммах
прибора, на штеккерах и на розетке
нанесены знаки «+» и «—». При не-
несоблюдении полярности подключения
прибора в полупроводниках А и В
на концах х происходит не поглоще-
поглощение тепла, а его выделение. Это
может вывести прибор из строя. В цепь прибора включен
амперметр; ток в цепи прибора не должен превышать 15 а.
Цилиндр вместе с термоэлементом заключен в теплоизолирую-
теплоизолирующий кожух. Торцевая сторона медного цилиндра отполирована,
открыта и соприкасается с окружающим воздухом. Торцевую по-
поверхность охватывает полированное кольцо /С, отделенное от
охлаждаемого цилиндра теплоизолирующей прокладкой.
Перед включением прибора необходимо осветить полированные
поверхности сбоку пучком света так, чтобы угол падения был
Рис. 2.

280 молекулярная физика
близок к 90°. Затем надо проверить полярность подключаемых
штеккеров. Прибор включается в цепь постоянного тока с напря-
напряжением 24 в.
При охлаждении медного блока на его полированной поверх-
поверхности появляется роса, образующаяся из паров окружающего
воздуха. Температура, при которой появляется роса, должна быть
измерена по термометру с точностью не менее 0,5°. При этой тем-
температуре давление насыщающих паров воды равно парциальному
давлению паров в воздухе.
После достижения температуры образования росы необходимо
выключить прибор. В результате естественного теплообмена мед-
медный цилиндр нагревается. При этом роса исчезает. Момент исчез-
исчезновения росы с поверхности цилиндра также отмечается по термо-
термометру. Измерение температур появления и исчезновения росы
необходимо повторить не менее трех раз. Из полученных величин
берут среднее значение /р.
Из таблиц находят значение давления насыщающих паров
воды р и Р, соответствующие температурам t? и t. Величина р
представляет искомую величину абсолютной влажности в мм рт. ст.
Отношение г = р/Р -100% даст относительную влажность.
Упражнение 3
Метод психрометра
Принадлежности: стандартный аспирационный психрометр.
Введение. Метод психрометра — наиболее распространенный
метод измерения влажности воздуха. Сущность его состоит в сле-
следующем: пусть два одинаковых термометра находятся в одинаковых
потоках воздуха. Показания этих термометров, естественно, должны
быть одинаковыми. Если же баллончик одного из термометров
будет все время смочен, например, обернут мокрым батистом, то
показания термометров окажутся различными. Благодаря испаре-
испарению воды с бйтиста так называемый «мокрый» термометр показывает
температуру более низкую, чем сухой термометр. Чем меньше влаж-
влажность окружающего воздуха, тем интенсивнее будет испарение и
тем ниже показания мокрого термометра. Отсчеты по двум тер-
термометрам дадут разность температур, которая и будет характери-
характеризовать влажность воздуха. При установившемся режиме испарения,
когда температура мокрого термометра тоже установится, приток
тепла Qx извне равен расходу тепла Q2 на испарение воды с поверх-
поверхности термометра.
По закону Ньютона за единицу времени имеем
Qi = a(t-tJSu C)

59. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА
281
где /—/х — наибольшая разность температур, Sx — поверхность
баллончика мокрого термометра, а — коэффициент пропорциональ-
пропорциональности.
По закону Дальтона испарение в единицу времени определяется
выражением
м __ CS2(pn—p)
т - 77 '
где М — масса испарившейся воды, S2 — площадь испаряющей
поверхности, Н — давление воздуха, рн — упругость насыщающего
водяного пара при температуре испаряющейся жидкости, т. е.
температуре tl9 p — упругость
водяного пара, находящегося в
воздухе, С — коэффициент про-
пропорциональности, зависящий от
скорости потока воздуха.
Количество тепла Q2 может
быть записано в виде
и
D)
где г — удельная теплота испа-
испарения воды.
При Qi = Q2 и S± = S2 полу-
получаем
куда
в
н
= a(t — t1)y от-
отря-АЦ-ЦН, E)
где А = а/Сг — постоянная при-
применяемого прибора. Величина
этой постоянной определяется в
основном скоростью потока и
находится экспериментально.
Описание прибора и изме-
измерения. Устройство применяемого
стандартного аспирационного
психрометра изображено на
рис. 3. Видны два одинаковых
специальных термометра Л, бал-
баллончик правого покрыт батистом. Аспиратор имеет пружинный
вентилятор, который заводится ключом В.
Путь воздушных потоков (скорость 2,5 м/сек) показан стрел-
стрелками — выше баллончиков оба потока соединяются в один. Для
устранения нагревания прибора его металлические части никели-
никелированы.
Рис. 3.

282 молекулярная физика
Батист смачивается при помощи резиновой груши С с пипет-
пипеткой D. Груша наполняется дистиллированной водой. Небольшим
нажатием груши воду в пипетке поднимают, но не больше чем
на 1 см от конца пипетки. Такое положение уровня сохраняется
благодаря зажиму F. Крайне осторожно пипетка вводится в трубку
для смачивания батиста. После этого открывают зажим, чтобы вода
опустилась в грушу. Следует опасаться, чтобы при смачивании вода
не попала на другой термометр и внутреннюю поверхность трубки.
Ключом В заводят вентилятор E—6 оборотов ключа) и следят за
показанием термометра. Когда показания установятся (через
4—5 мин), их записывают; вентилятор при этом должен работать
полным ходом. При отсчете показаний термометров следует прежде
отсчитать десятые доли градусов и записать их и только после
этого целые значения.
Абсолютная влажность по стандартному аспирационному пси-
психрометру определяется формулой
р = Рп — 0,000662 (/ — tj H. F)
Величину рн берут из таблицы 19. Барометрическое давление
определяют, пользуясь барометром. Если из таблицы 19 взять
величину давления насыщающего пара при температуре окружаю-
окружающего воздуха, то легко определить по формуле B) относительную
влажность. Удобнее, однако, пользоваться специальными номо-
номограммами в виде кривых, с помощью которых, зная температуры
t и /ь сразу путем отсчета определяется величина относительной
влажности (см. Приложение к задаче).
Относительная влажность по этой номограмме определяется
как точка пересечения вертикальных прямых (температура «су-
«сухого» термометра) и наклонных прямых (температура «мокрого»
термометра).
Результаты измерений следует сравнить с полученными по
методу точки росы.
Упражнение 4
Абсолютный весовой метод
Принадлежности: 1) ампула с поглотителем, 2) газометр, 3) аналити-
аналитические весы.
Описание установки и измерения. Этот метод дает наиболее
точные результаты. Для определения влажности воздух пропускают
через ампулы, содержащие вещества, хорошо поглощающие влагу.
Зная увеличение массы ампул и объем пропущенного воздуха,
можно определить абсолютную влажность.
Схема применяемой установки приведена на рис. 4. Ампулы А
с хлористым кальцием (и рядом других поглотителей) соединены
резиновым шлангом с газометром 5, наполненным водой. Открыв

59. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА
283
краны / и 4, медленно просасывают комнатный воздух через ампулы.
Объем воздуха, оказавшегося в газометре, определяется по шкале
С в литрах, его температура — термометром Т.
Необходимо учесть разницу в температурах воды и воздуха.
На основании закона Клапейрона имеем
G)
где V — объем воздуха в газометре при температуре tx с упругостью
водяного пара Е, V — объем воздуха, прошедшего через ампулы,.
Рис. 4.
при температуре t с упругостью водяного пара р, Н — атмосфер-
атмосферное давление. Если увеличение массы ампул Am, то абсолютная
влажность (в граммах) выражается так:
Я = -ЦТ • (8)
Из уравнений G) и (8) получаем
Я =
I/(//-?)(! +at)
(9)
Для абсолютной влажности как упругости водяных паров (в мил-
миллиметрах) из уравнений A) и (9) получаем
TJ
Р =
1 +
\у06У(Н — 1
Am (I + at
Величина относительной влажности определяется по формуле B>
с помощью таблицы 19.

284 молекулярная физика
Измерения производят следующим образом. При помощи шланга
наполняют водой из водопровода воронку F газометра. При закры-
закрытых кранах 1 и 4 и открытых кранах 2 и 3 вода заполняет баллон
газометра. Следует опасаться выливания воды через кран 2, в нуж-
нужный момент его закрывают так же, как и кран 3.
Ампулы взвешивают на аналитических весах с точностью до
0,01 г (пробки ампул должны быть закрыты) и снова через шланг
соединяют с краном 1. После этого медленно открывают сначала
кран 4 (чтобы пары воды из газометра не попали в ампулы), а затем
кран 1.
Вода, выливающаяся из газометра (через шланг в раковину
водопровода) создает при открытых пробках в ампулах поток воз-
воздуха через эти ампулы. Необходимо, действуя краном 4, отрегули-
отрегулировать скорость этого потока так, чтобы она не превышала 1 л
в 2,0—2,5 мин.
Выпустив 25 л воды, краны закрывают и измеряют температуру
воздуха в газометре. Отсоединяют ампулы и, закрыв их пробками,
вновь взвешивают с той же степенью точности.
Зная увеличение массы ампул Am и объем V оказавшегося в газо-
газометре воздуха по формуле A0), определяют величину абсолютной
влажности. Для получения точных результатов необходимы хорошие
поглотители, тщательное взвешивание (см. задачу 5) и достаточный
путь поглощения, чтобы при данной скорости потока воздуха все
находящиеся в нем пары успели поглотиться. Полученный
результат следует сравнить с результатами измерений по точке росы
и методом психрометра.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Б. Млодзеевский, Молекулярная физика, Гостехиздат, 1941,
стр. 136—138.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. В. Н. Кедроливанский и М. С. Стернзат, Метеорологические
приборы, Гидрометеоиздат, 1953, стр. 84—103.
3. С. Г. Калашников, Электричество, «Наука», 1964, § 225.
4. Полупроводники в науке и технике, т. II, Изд-во АН СССР, 1958,
гл. 17, § 3.
3 А Д А Ч А 60
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО
Принадлежности: 1) микроскоп МБИ-2 с осветителем, 2) объект-микро-
объект-микрометр, 3) набор предметных и покровных стекол, 4) секундомер, 5) фильтровальная
бумага, 6) пипетка, 7) эмульсия.
Введение. Грамм-молекула любого вещества содержит одина-
одинаковое число молекул N. Число это носит название числа Авогадро.

60. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО , 285
Цель задачи — экспериментальное определение этой чрезвы-
чрезвычайно важной физической константы, необходимой для расчетов
многих величин в различных областях физики и химии (масса
молекулы, заряд электрона и т. д.). В классической работе по
изучению броуновского движения Перрен показал, что, пользуясь
аналогией газа и эмульсии, можно определить число Авогадро
из соотношения
RT
где N — число Авогадро, пх и п2 — число частиц в единице объема
на уровнях hx и /i2, gr — эффективное ускорение силы тяжести,
Т — абсолютная температура, R — универсальная газовая по-
постоянная, m — масса частицы.
Для частицы эмульсии, имеющей форму шарика, эффективный
вес может быть вычислен по формуле
mgr ==з f3(P — Po)g> B)
где г — радиус частицы, р — плотность вещества частицы, р0 —
плотность среды.
Подставляя B) в A) и логарифмируя, получаем
л/ = 3/?Г1п(лдМа) П)
Величины пъ п2, г, р, р0, Л2 — hx могут быть измерены. Измерить
пх и п2 можно двумя способами:
1. С помощью мгновенной фотографии на разных уровнях эмуль-
эмульсии и последующего подсчета резких изображений частиц. Однако
частицы малы и все время движутся, поэтому время экспозиции
должно быть мало, нужно сильное освещение. Резкие негативы
получить трудно.
2. Второй способ основан на том, что броуновские частицы
эмульсии, как и молекулы газа, подчиняются закону распределе-
распределения Больцмана, не зависящему от времени. Уменьшив с помощью
диафрагмы поле зрения микроскопа так, чтобы в поле зрения сразу
попадало малое число видимых зернышек D—5), сосчитаем их,
повторим такой подсчет достаточное число раз и просуммируем
полученные значения.
В силу беспорядочности броуновского движения 150—200 отсче-
отсчетов вполне заменят фотографию, охватывающую поле зрения
в 150—200 раз больше. Одинаковое число измерений на разных
Уровнях позволит определить отношение п1/п2. Диафрагмой может
служить пластинка из фольги с отверстием, проколотым концом
тонкой иглы, помещенная в фокальной плоскости окуляра.

286 молекулярная физика
Для правильного подсчета частиц требуется соблюдать следую-
следующие основные условия. При применении первого способа площади
снимков, на которых подсчитываются пх и п2, должны быть строго
одинаковы. При втором способе числа отсчетов на уровнях hx и й2
тоже должны быть строго одинаковыми и достаточно большими (не
меньше 150).
В качестве исследуемого объекта в данной задаче используется
эмульсия канифоли в воде или в растворе спирта и воды. Если
полученную эмульсию освободить от спирта, то она может сохра-
сохраняться длительное время — частицы не слипаются. В случае при-
присутствия спирта частицы канифоли укрупняются, и эмульсия через
трое суток уже для работы непригодна.
Для получения эмульсии 10 см* 2%-ного раствора канифоли
в спирте вливают по каплям в 15 см? воды при тщательном поме-
помешивании. При этом образуется молочно-белая эмульсия из частиц
шарообразной формы. После суток отстоя наиболее крупные ча-
частицы выпадают в осадок. Слой эмульсии над осадком годен для
опыта. Плотность р0 среды равна 0,95 г/см3, р канифоли меняется
от 1,01 до 1,09 г/сл*3, поэтому перед составлением 2%-ного раствора
рекомендуется ее определить.
Описание установки. Установка состоит из микроскопа МБИ-2,
осветителя и стеклянной тонкой кюветы с исследуемой эмульсией.
Изготовить такую кювету можно следующим образом. Две поло-
половинки покровного стекла наклеиваются теплым парафином на пред-
предметное стекло на некотором расстоянии друг от друга. Промежуток
заливается эмульсией и закрывается сверху покровным стеклом
(надо следить, чтобы не появлялись пузырьки воздуха). Края кю-
кюветы парафинируют, чтобы объект не высыхал. Для работы сле-
следует пользоваться монокулярной насадкой.
Окуляр 20X снабжен диафрагмой и служит для отсчета частиц.
Окуляр 15 X имеет сетку и употребляется для определения сред-
среднего радиуса частиц. Работа ведется при светлом поле, осветитель
обеспечивает равномерное и одинаковое освещение объекта в тече-
течение всей работы.
Измерения. Устанавливают микроскоп и осветитель на нужную
яркость поля. На столик микроскопа кладут кювету с эмульсией.
Берут объектив с шестидесятикратным увеличением F0 X) и с по-
помощью слабого окуляра (Юх) фокусируют микроскоп на объект.
Работать следует с иммерсионной жидкостью'). Фокусировать
следует осторожно, чтобы не повредить кювету, лучше из край-
крайнего, нижнего положения объектива, выдвигая его вверх. После
фокусировки меняют окуляр на рабочий B0 X) с диафрагмой и
г) Кедровое масло с показателем преломления, равным показателю прелом-
преломления стекла. Вносится между линзой осветителя и объектом, и между объектом
и объективом.

60. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО
287
приступают к счету частиц на данном уровне hx (уровень замечают
по делениям на барабане микрометрического винта).
Производят счет числа частиц, находящихся в данный момент
в поле зрения. Рекомендуется производить отсчеты через каждые
5 сек1). Следует сделать не менее 150 отсчетов, после чего микро-
микрометрическим винтом перемещают вертикально микроскоп на 40—
50 мкм и производят счет числа частиц на уровне Л2. Число отсчетов
должно быть одинаковое. Число частиц, находящихся в поле зре-
зрения в данный момент (с интервалом в 5 сек), записывают в таблицу
следующей формы:
Уровень
л,
Число частиц в поле зрения
3, 2, 4, 3, 0, 2, 2, 1, 3, 5 и т. д.
0, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 1, 2 и т. д.
После окончания счета кювету снимают со столика микроскопа.
Отмечают абсолютную температуру Т эмульсии (комнатную).
Определение среднего радиуса частицы производят при помощи
окуляра с пятиадцатикратным увеличением A5 X) с сеткой. Пред-
Предварительно надо определить размеры сетки с помощью объект-
микрометра. Каплю эмульсии наносят на предметное стекло и дают
подсохнуть на воздухе, после чего накрывают покровным стеклом.
При высыхании среды зерна эмульсии соединяются цепочками,
ими покрывается плотно участок поля. Поэтому можно подсчитать
число зерен, имеющихся на стороне квадрата сетки. Подсчет про-
производят 10 раз в разных местах объекта. Эти подсчеты следует
делать особенно тщательно, так как наибольшая ошибка обуслов-
обусловлена ошибкой при определении радиуса частицы. Пользуются
средним значением радиуса. Так как работа ведется с иммерсион-
иммерсионным слоем, то расстояние ti2 — h[, измеряемое по барабану микро-
микроскопа, не равно расстоянию /12 — hi в эмульсии. Следует ввести
поправку, равную отношению показателей преломления nt эмуль-
эмульсии и п2 иммерсии, таким образом, истинное расстояние h2 — hx =
Конечная расчетная формула имеет вид
4лг* (р - Ро) #0,89 (AJ - К) *
D)
х) Это время может быть произвольным, так как распределение частиц ста-
стационарно.

288 молекулярная физика
Весь проведенный расчет применим к частицам строго одина-
одинакового размера. В эмульсии, приготовленной вышеописанным
способом, имеются частицы разных размеров, причем кривая рас-
распределения частиц по величине имеет максимум. Положение этого
максимума зависит от концентрации эмульсии и смещается в сто-
сторону больших радиусов при старении. Поэтому для расчета следо-
следовало бы пользоваться не средним арифметическим радиусом частицы,
а наивероятнейшим, который всегда меньше среднего. Однако
получить кривую распределения частиц эмульсии по размерам
трудно, к тому же она меняется во времени, приготовить эмульсии
с частицами' одинакового размера тоже очень сложно, поэтому
получаемое по формуле D) число Авогадро несколько занижено по
абсолютной величине.
Постановка задачи в таком виде все же целесообразна. Выпол-
Выполнение ее дает возможность наблюдать броуновское движение,
убедиться, что имеет место изменение плотности частиц по высоте
в поле силы тяжести, и получить на основании собственных изме-
измерений число Авогадро, не сильно отличающееся от его точного
значения.
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. I, § 4.
ЗАДАЧ А 61
ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА
Принадлежности: 1) микроскоп МБИ-4 с кристаллическим препара-
препаратом— пластинкой берилла, 2) осветитель ОИ-7, 3) спектропроектор СП-1, 4) кино-
кинопленка со снимками пузырька газа в жидком включении в кристалле, 5) циркуль-
измеритель.
Броуновское движение — непрерывное, беспорядочное переме-
перемещение малых частиц вещества, взвешенных в жидкости или в газе, —
представляет собой одно из наиболее ярких и доступных наблюде-
наблюдению проявлений молекулярно-кинетической природы тепла. Броу-
Броуновское движение в более сложных формах — тепловые шумы
в радиосхемах, вибрации легких деталей в измерительных прибо-
приборах, колебания тока электронной эмиссии — требует специального
учета при точных физических измерениях.
Поэтому наблюдение броуновского движения и 'изучение его
закономерностей входит в круг обязательных этапов подготовки
современного физика. Количественное теоретическое и эксперимен-
экспериментальное изучение броуновского движения дает поучительный при-
пример тех статистических закономерностей, которым подчиняются

61. ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА 289
флуктуационные явления1). Броуновское движение представляет
собой флуктуации импульса (количества движения) частиц, создаю-
создающиеся в результате беспорядочных толчков, получаемых частицами
со стороны участвующих в тепловом движении окружающих моле-
молекул среды.
При изучении процессов, подчиняющихся статистическим зако-
закономерностям, совсем непростым-* является вопрос о том, какие
именно параметры изучаемых систем и Какие взаимосвязи этих
параметров целесообразно измерять на опыте. Например, при
изучении теплового движения молекул газа целесообразно и воз-
возможно измерять на опыте скорость молекул и ее зависимость от
температуры. Однако в случае броуновского движения частиц
измерения их скоростей оказываются нецелесообразными. Дело
в том, что в жидкости, в отличие от газа, молекулы расположены
в непосредственной близости друг от друга и в результате этого
непрерывно испытывают соударения между собой и с броуновскими
частицами. Это обстоятельство придает запутанный характер дви-
движению броуновских частиц, непрерывно изменяющих свою ско-
скорость, и приводит к тому, что измерения скорости теряют практи-
практический смысл. Именно опыт показывает, что значение отношения
As/A/, где As — смещение частицы за время А/, не стремится к опре-
определенному пределу при уменьшении промежутка времени А/.
Наличие такого предела, как известно, является необходимым усло-
условием отыскания истинного значения скорости всякого движения.
Теоретический анализ броуновского движения, произведенный
А. Эйнштейном, показал, что целесообразно находить на опыте
средние квадратичные смещения s2 броуновских частиц или их
проекции (Ал:J на какое-нибудь произвольное направление х2).
Оказывается, что для случая беспорядочного теплового движения
частиц связь этих величин с промежутками времени т, в течение
которых происходили смещения Ах, очень проста. Именно
= 2Dt, A)
где D — коэффициент диффузии частицы в жидкости или в газе
(см. ниже). Полученные на опыте многочисленные подтверждения
этого соотношения явились доказательством молекулярно-кине-
х) Флуктуациями называются случайные местные и временные отклонения
значений параметров системы (плотности, температуры, давления, эмиссии элект-
электронов и т. д.) от их средних значений. Флуктуации происходят в результате
теплового движения атомов и молекул и имеют место даже в системах, находя-
находящихся в. состоянии термодинамического равновесия.
2) Чертой сверху мы обозначим операцию усреднения величины (Ал:J по
многим ее значениям, измеренным через равные промежутки времени т. В резуль-
результате полной беспорядочности теплового движения среднее значение величины Ал:
равно нулю.

290
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
тической природы броуновского движения. Изучение броуновского
движения послужило основанием к исследованию в дальнейшем
целого ряда флуктуационных явлений.
Рассмотрим принадлежащий А. Эйнштейну элементарный вывод
соотношения A), экспериментальная проверка справедливости
которого составляет предмет настоящей задачи.
Пусть в некотором объеме однородной жид-
жидкости или газа находятся посторонние взвешен-
взвешенные частицы или молекулы и концентрация их
меняется только в направлении некоторой ко-
координаты 'X. Обозначим их концентрацию (число
частиц в единице объема) буквой п. Проведем
мысленно плоскость АВ перпендикулярно к оси х
(рис. 1). В результате теплового движения* час-
частицы будут изменять свою координату х, при-
причем смещения частиц в направлении +х и —х
будут равновероятны. Пусть среднее квадратич-
- ное смещение частицы вдоль оси х за время т
будет У (АхJ. В таком случае не представ-
представляет труда подсчитать поток частиц, который за
время т продиффундирует сквозь плоскость А В. Если концентрация
частиц влево от плоскости в среднем на отрезке У (АхJ будет пъ а
вправо от плоскости — соответственно п2, то искомый поток час-
частиц N за время т через 1 см2 нашей плоскости слева направо
выразится соотношением
В
Рис. 1.
(АхJ (П1-п2).
B)
С другой стороны, макроскопическое изучение диффузии пока-
показывает, что число продиффундировавших через 1 см2 плоскости
частиц N за время т пропорционально градиенту концентрации
диффундировавшего вещества и времени т, т. е. можно записать
C)
У (АлгJ
где D — коэффициент диффузии. Размерность коэффициента диф-
диффузии см21сек, а его физический смысл таков: это — количество
вещества (частиц), прошедшее через 1 см2 плоскости АВ в 1 сек
при градиенте концентрации частиц, равном единице.
Приравнивая друг другу полученные выражения для N, находим
откуда получается искомое соотношение
jAxJ ~ 2Dt.

А
Рис. 2.
61. ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА 291
Хотя проведенный нами расчет и опирался на рассмотрение
процесса диффузии, однако полученный результат для связи между
(Дл:J и временем т не зависит от числа диффундировавших частиц,
а следовательно, он справедлив и для перемещений отдельной
броуновской частицы.
Новый интересный случай броуновского движения был открыт
и подробно изучен проф. Г. Г. Леммлейном *). Сущность дела
может быть изложена следующим
образом.
В естественных кристаллах ми-
минерала берилла (Be3Al2Mg6018),
образовавшихся в отдаленную гео-
геологическую эпоху, встречаются
своеобразные жидкие включения
тех растворов солей, из которых
образовался берилл. При кристал-
кристаллизации берилла капельки этого
раствора оказались замкнутыми
в теле выросшего кристалла. Ра-
Раствор этот в свою очередь рассло-
расслоился на водный раствор солей и на капельки выделившейся из
него углекислоты СО2. Ввиду того что теперь углекислота в этих
капельках находится уже при температуре ниже критической, она
разделяется на две фазы: жидкую и газовую.
Газовая фаза образует маленький пузырек, помещающийся
где-либо внутри сферической капельки углекислоты.
Картину подобного включения в кристалле берилла можно
видеть на прилагаемой фотографии (рис. 2). На рисунке видны
составные части, находящиеся внутри включения в кристалле:
водный раствор двойной алюминиевой магниевой соли бериллия,
жидкая углекислота / и газовый пузырек СО2 — 2.
Наблюдение и количественное исследование броуновского дви-
движения пузырька и составляет предмет настоящей задачи.
Упражнение 1
Визуальное наблюдение движений броуновской частицы —
газового пузырька
Кристаллический препарат берилла с несколькими включениями
установлен на столике микроскопа с большим увеличением, так
как размер пузырька составляет лишь несколько микрон. Вся
г) Мы пользуемся здесь случаем принести глубокую благодарность проф.
| Г. Г. Леммлейну | и старшему научному сотруднику Института кристаллогра-
кристаллографии АН СССР Н. О. Клия за предоставление всех материалов, включая кино-
киноснимки, необходимых для постановки этой задачи.

292 * молекулярная физика
система микроскопа вполне подготовлена к наблю-
наблюдениям и микроскоп помещен под колпак, открывать кото-
который категорически воспрещается из-за чрезвычайной хрупкости
кристаллов берилла.
Осветитель микроскопа расположен, разумеется, вне защит-
защитного колпака.
В целях наилучшей фокусировки препарата по глазам наблю-
наблюдателя ручка тонкой фокусировки микроскопа выведена с левой
стороны колпака, через его. стеклянную стенку. Вращением этой
ручки на 1—2 оборота можно хорошо сфокусировать включения
в кристалле и движущиеся в них пузырьки.
Следует иметь в виду, что разные включения, а следовательно
и пузырьки, расположены на разных уровнях внутри кристалла.
Поэтому, как правило, нельзя одновременно хорошо видеть не-
несколько движущихся пузырьков. Надо отдельно фокусировать
микроскоп на каждый пузырек.
Выполняющий задачу должен внимательно рассмотреть дви-
движения пузырьков, убедиться в хаотичности этих движений, в том,
что маленькие пузырьки движутся быстрее крупных.
Подобные непосредственные наблюдения физического процесса
являются важным моментом подготовки выполнения количест-
количественной части задачи.
Упражнение 2
Количественное исследование броуновского движения
Количественное исследование в данном случае заключается
в проверке соотношения Эйнштейна, связывающего средний квад-
квадрат смещения частицы с протекшим промежутком времени. Но эта
проверка осуществляется в настоящей задаче своеобразным спо-
способом.
Броуновское движение одного из пузырьков углекислоты снято
через микроскоп на кинопленку (рис. 2). Фотографии сделаны,
как всегда при работе киноаппарата, через одинаковые промежутки
времени. Таким образом, последовательные кадры кинопленки
дают возможность фиксировать положение броуновской частицы (пу-
(пузырька) через равные промежутки времени. Измеряя величину
смещений пузырька и обрабатывая их должным образом (см. ниже),
можно проверить закон Эйнштейна.
Использование кинопленки со снимками движения пузырька
для указанных целей требует некоторых специальных техниче-
технических средств и знания некоторых приемов работы.
Пленка с нумерованными кадрами снимков зажата между двумя
стеклами. Эти стекла с пленкой помещаются на столик специаль-
специального оптического проекционного аппарата — спектропроектора.

61. ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА 293
Устройство его напоминает конструкцию "обычного фотоувели-
фотоувеличителя.
Спектропроектор дает возможность получить на листе бумаги,
лежащем под объективом прибора, увеличенное изображение кад-
кадров кинопленки, расположенных на столике прибора. На этих
увеличенных изображениях кадров легко видеть сфотографиро-
сфотографированные включения в кристалле берилла, контуры капли жидкой
углекислоты и плавающий в ней пузырек.
Если с помощью острия или остро отточенного карандаша на-
нанести на бумаге положение пузырька, соответствующее первому
кадру пленки, то, передвинув пленку на один кадр, можно вновь
нанести на бумагу новое положение пузырька. Таким путем, про-
просматривая кадр за кадром, можно нанести на бумагу множество
положений пузырька, соответствующих снимкам, сделанным через
равные промежутки времени. Каждое положение пузырька при этом
должно быть нумеровано.
Однако для. того, чтобы эта операция имела практическую
ценность, необходимо соблюдение следующего важного- условия.
Необходимо, чтобы на бумаге фиксировалось именно броуновское
смещение пузырька относительно кристалла. Поэтому необходимо,
чтобы изображения включений в кристалле, полученные на разных
кадрах, точно совмещались друг с другом в проекции.
Следовательно, перед нанесением на бумагу каждого поло-
положения пузырька необходимо убедиться в том, что изображение
включения в кристалле ложится на бумагу всякий раз на прежнее
место.
Для этой цели при проецировании первого же кадра пленки
на бумагу с помощью линейки наносятся две линии (линии А А и ВВ
на рис. 2), совпадающие с изображением контуров исследуемого
включения в кристалле.
^ После этого при смене кадров контуры каждого следующего
к&дра опять точно совмещаются с этими же линиями АА и ВВ.
При этих условиях изменение в положениях изображения пузырька
будет действительно результатом броуновского движения.
Разумеется, что в процессе этих операций бумага на столике
спектропроектор а должна быть абсолютно неподвижна. х
Устройство спектропроектор а несложно. Его осветительная
часть никакой регулировке не подлежит. Зажатая между стеклами
кинопленка помещается на его верхний столик. Изображение
кадров на бумагу фокусируется вращением объектива проектора
на V4—V2 оборота.
Несущий пленку столик спектропроектор а имеет два взаимно-
перпендикулярных перемещения, осуществляемых при помощи
рычагов управления. Вращение кадров в горизонтальной плоскости
осуществляется непосредственно от руки перемещением пленки на
столике проектора. Все три перечисленных возможных перемещения

294 молекулярная физика
пленки над объективом спектропроектора обеспечивают возмож-
возможность полного совмещения друг с другом на бумаге последователь-
последовательных проекций изображений включения в кристалле с разных кад-
кадров кинопленки. Но перед тем, как начинать наносить на бумагу
нужные для работы положения пузырька, рекомендуется просмо-
просмотреть через проектор несколько кадров пленки и попрактиковаться
в совмещении даваемых ими изображений.
Полученная на бумаге в увеличенном виде картина броунов-
броуновских перемещений газового пузырька обрабатывается следующим
образом.
Прежде всего отметим, что отсутствие какого-либо односторон-
одностороннего систематического конвекционного дрейфа пузырька позволяет
проверить закон Эйнштейна непосредственно для полных переме-
перемещений пузырька As, а не для их проекций на какую-либо ось коор-
координат. Длина каждого отрезка между двумя отмеченными на бумаге
положениями пузырька измеряется так: сначала концы игл раз-
раздвижного циркуля-измерителя совмещаются с отмеченными на
бумаге нужными точками, а затем циркуль-измеритель переносится
на миллиметровую линейку, по которой расстояние между кон-
концами игл измеряется с точностью до 0,1 мм. Результаты подоб-
подобных измерений перемещений пузырька заносятся в составлен-
составленную по приведенному образцу таблицу, которая используется
также и для внесения в нее результатов последующей обработки
измерений.
Обращаем внимание на то, что в таблице для примера приве-
приведены результаты измерений и их обработки лишь для трех зна-
значений промежутка времени т *). Между тем, в действительности,
по этой схеме должна быть проведена обработка результатов и
для других значений т = 1, 2, 3, ..., п, допускаемых сочетаниями
зарегистрированных нами положений пузырька, составленными
по образцу первых трех сочетаний, приведенных в таблице. Однако
не имеет смысла использовать высокие значения т, для которых
число измеренных перемещений пузырька не может быть сделано
больше трех. Очевидно, что в этом случае операция усреднения
квадратов перемещений становится мало надежной.
Заключительным этапом обработки результатов измерений яв-
является наглядная форма проверки закона Эйнштейна.
Для этого на миллиметровой бумаге строится прямоугольная
система координат, на оси абсцисс которой откладываются про-
промежутки времени /гт, а на оси ординат — значения (AsJ в подхо-
подходящем масштабе. Если всё нанесенные таким образом на коорди-
координатную плоскость точки могут быть соединены прямой линией,
проходящей через начало координат, то закон Эйнштейна
1) Мы принимаем условно за т = 1 промежуток времени между съемкой
двух смежных кинокадров.

61. ИЗУЧЕНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА 295
1
ео
см
11
<J
<J
OS
>четани
гочек
и
<
<
Сочетания
точек
1
OS
>четани
точек
и
со
i
1—4
^k
'со4
со
1—3
©1
со
IN
со
I
со
к»
со
2—5
со
со
2—4
ео
©1
СО
ео
СО
I
•
3—6
•
:
3—5
ео
СО
со
<J
3—4
i
:
4—7
j
:
4—6
IN
СО
"*«
со
4—5
•
;
5—8
•
:
5—7
со
со
<J
со
со
5—6
:
;
6—9
•
:
6—8
со
со
о
со
6—7
1
1
со
* 1
: :
:
si
1
: <|
• 7
со
е
• 7
1
I
1
и
со
II
<м
(As)
И
JI
II
со
L
\
^—'
II
см
1
1
¦
||
II
ме
со
^-^
<
II
¦5
1
I
7
si
[
<

296 молекулярная физика
удовлетворен. Высокое качество эксперимента при выполнении кино-
киносъемки движений пузырька и главное соответствие условий его
движения в кристалле предпосылкам, положенным в основу теоре-
теоретического рассмотрения вопроса, обеспечивают в данном случае
полное удовлетворение закона Эйнштейна, если, конечно, все после-
последующие этапы выполняемой уже в практикуме работы проведены
достаточно тщательно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Е. А. Штрауф, Молекулярная физика, Гостехиздат, 1949.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
2. А. К. Тимирязев, Кинетическая теория материи, Учпедгиз, 1956.
3. М. А. Леон то вич, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944.
4. А. Эйнштейн, М. Смолуховский, Брауновское движение,
ОНТИ, 1936.
3 А Д А Ч А 62
ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА
Принадлежности: 1) вакуумная установка с ротационным насосом
ВН-461М и паромасляным насосом ЦВЛ-100 или ММ-40; к установке припаяны:
откачиваемый баллон, разрядная трубка и трубка, предназначенная для отыска-
отыскания течи, 2) термопарный манометр ЛТ-2 и ионизационный манометр ЛМ-2,
3) электрическая схема для измерения давления с помощью термопарного мано-
манометра, 4) вакуумметр ВИ-3, 5) трансформатор Тесла, 6) разборные модели рота-
ротационного двухступенчатого насоса ВН-461М и диффузионных насосов ЦВЛ-100
или ММ-40.
Введение. Цель настоящей задачи — ознакомление с основными
принципами вакуумной техники, с приборами, применяющимися
в вакуумной технике и их характеристиками.
В настоящем описании изложены лишь физические основы при-
применяемых приборов, детальное описание которых имеется в рекомен-
рекомендованной литературе.
Вакуумная техника преследует три цели: получение вакуума,
его измерение и его сохранение. Вакуумной называется система
ограниченного объема, находящаяся при давлении много меньшем,
чем атмосферное. Система или объем, в котором создается вакуум
для каких-либо целей, называется реципиентом.
Обычно вакуум делят на низкий, средний и высокий. Степень
вакуума зависит от давления газа и от размеров реципиента d.
Если длина свободного пробега молекул X удовлетворяет условию
X <J d, то вакуум называется низким; если К я^ d, то вакуум сред-
средний; если Я ^> d, то вакуум высокий.

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА 297
Для откачки реципиент соединяется трубопроводами с насосом.
В процессе откачки по трубопроводу течет поток газа. Потоком
газа называется количество газа Q, проходящее за 1 сек через сече-
сечение трубопровода. Количество газа в вакуумной технике изме-
измеряется величиной
Q == рУ мм рт. ст. - л. A)
Нетрудно показать, что полное число молекул N в объеме V
и величина Q связаны соотношением
Q=NkT, B)
где k постоянная Больцмана. Поток газа равен
/ = Jjl мм рт. ст. • л • сек—1. C)
Между потоком газа и разностью давлений рг и р2 на концах трубо-
трубопровода имеет место соотношение
I = L(p2-Pl). D)
Здесь величина L называется проводимостью трубопровода. Про-
Проводимость в общем случае является функцией давления в трубо-
трубопроводе. Поток откачиваемого газа обычно создается насосом.
Насосы, применяемые в современной вакуумной технике, имеют
самые разнообразные конструкции в зависимости от назначения
вакуумной системы и требований процесса откачки.
Любой из насосов характеризуется двумя главными пара-
параметрами: скоростью откачки и предельным давлением.
Скоростью откачки называется поток откачиваемого из реци-
реципиента газа, деленный на давление газа у входа в насос
я~кг-. E>
Скорость откачки измеряется в л/сек, мъ1сек, смд/сек. Скорость
откачки является не только функцией конструктивных особенно-
особенностей насоса, но и давления рвх.
Скорость откачки, начиная с некоторого давления, у любого
насоса начинает уменьшаться. Наименьшее давление рпр, до кото-
которого может быть откачен реципиент, называется предельным давле-
давлением насоса. При этом давлении скорость откачки обращается
в нуль. Предельное давление является вторым основным пара-
параметром насоса. Если можно считать, что S не зависит от давления р
в реципиенте в некотором интервале давлений, то за время dt насос
откачивает количество газа, равное pS dt. Пусть за это время давле-
давление в реципиенте объема V уменьшится на dp, тогда
Spdt = — V dp. F)

298
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Решая это уравнение, получим зависимость давления в откачивае-
откачиваемом реципиенте от времени:
р =
G)
,А
В
П
Рис. 1.
где р0 — давление в реципиенте в начальный момент.
Рассмотрим два основных типа насосов: механический поршне-
поршневой и диффузионный насосы. Эти насосы нашли наиболее широкое
распространение из-за прос-
простоты своей конструкции и
надежности в работе.
Поршневой меха-
механический насос. Схе-
Схема поршневого насоса и диаг-
I рамма цикла его работы пред-
представлены соответственно на
рис. 1 и 2. Насос имеет пор-
поршень Я, рабочую камеру В и
два клапана — входной Кг и
выходной /С2.
Вход насоса соединяется с реципиентом. Пусть объем рабочей
камеры насоса равен Vo. При всасывающем ходе поршня (поршень
движется вправо) газ из реципиента через входной клапан Кг
постепенно заполняет камеру, пока не заполнит ее всю (точка 1
на рис. 2). Клапан К2 при этом закрыт. Этот процесс происходит
при постоянном входном
давлении рвх.
Затем поршень адиаба-
адиабатически сжимает газ .в ка-
камере от давления рвх до
давления рвых (адиабата
U 2). Входной клапан при
этом закрывается, а вы-
выходной открывается. Да-
Далее газ выталкивается из
камеры (изобара 2, 3). Дав- Рис. 2.
ление в камере при этом
остается постоянными равнымрвых. Из-за наличия некоторой полости
около клапана в камере всегда остается некоторое количество газа
объема Vx. Большую часть этого объема составляет объем канала А
(рис. 1), соединяющего камеру с клапаном К2- Этот объем назы-
называется остаточным. При последующем всасывании впускной клапан
открывается не сразу, а только после того, как давление в рабочей
камере упадет до рвх (адиабата 5, 4). Таким образом, открывание
входного клапана произойдет лишь тогда, когда часть объема
рабочей камеры (а именно объем Vx) уже заполнена газом при давле-

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА 299
нии рвх- В результате за каждый цикл работы насоса из реципиента
откачивается количество газа, равное
Q = (V0-V1)pB,. (8)
Если за 1 сек насос делает п циклов, то поток откачиваемого газа
I-(Vo-Vi)pB,n. (9)
Отсюда получим скорость откачки
S = n(V0-V1). A0)
Выражая Vx из уравнения адиабаты, получим
Здесь So = VQn. Чем меньше рвх» тем меньше скорость откачки.
Давление рвх, при котором S обращается в нуль, называется пре-
предельным. Ниже этого давления реципиент данным насосом отка-
откачать нельзя. Для поршневого насоса предельное давление
вь,х. ¦' A2)
Чем меньше выходное давление рвых, тем лучше предельный вакуум
насоса.
Механические насосы обычно работают при рвых = 1 атм. Для
улучшения предельного вакуума в таких насосах применяют две
ступени откачки. Каждая ступень откачки состоит из отдельной
камеры, работающей как самостоятельный насос. Выход первой
камеры соединен со входом второй. Таким образом, выходное давле-
давление первой камеры рвых1 равно входному давлению второй камеры
рВх2. Если параметры VQ и Vx для обеих камер равны, то предель-
предельный вакуум двухступенчатого насоса равен
В конструкциях реальных насосов обычно применяются вра-
вращающиеся в цилиндрической камере поршни. Общее рассмотрение
работы насоса с поршнем, приведенное выше, остается справедли-
справедливым и для таких насосов.
Диффузионный насос. Механические насосы обычно
не создают в реципиенте достаточно высокого вакуума. Их предель-
предельное давление не ниже, чем 10~3 мм рт. ст. Поэтому механические
насосы, как правило, используют совместно с диффузионными.
Схема пароструйного диффузионного насоса представлена на
рис. 3. Одноступенчатый диффузионный насос состоит из паропро-
паропровода Я, сопла С и диффузора Д. Струя пара выходит из сопла
с большой скоростью v, попадает в диффузор и движется вдоль его

300
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис. 3.
оси, заполняя все сечение диффузора. Молекулы газа из реципиента
диффундируют в струю пара и отбрасываются к выходу насоса.
Далее газ откачивается механическим насосом. Пары масла кон-
конденсируются на стенках диффузора,
I JL который обычно охлаждается во-
ГП I I дой, жидкое масло снова стекает
I 1 { I в испаритель (на рисунке не по-
' ! /^_ ^ казан) по специальному трубопро-
трубопроводу.
Для эффективной откачки не-
необходимо, чтобы молекулы газа
свободно проникали вглубь струи
пара. Это возможно лишь при
малой плотности пара в струе и
малом выходном давлении газа
(обычно при р< 10~2 мм рт. ст.).
Рассмотрим приближенную теорию работы диффузионного на-
насоса. Предположим, что струя пара равномерно заполняет сечение
диффузора вправо от плоскости среза сопла АВ. Через кольцеобраз-
кольцеобразный зазор между соплом и стенками диффузора молекулы газа из
реципиента проникают в струю пара. В сечении АВ возникает
скачок концентрации газовых молекул. Слева от плоскости АВ их
концентрация равна п0, а справа — nv Обозначим через v среднюю
арифметическую скорость молекул газа. В результате теплового
движения через 1 см* сечения АВ из реципиента в струю за 1 сек
проходит п0 v/6 молекул газа. В обратном направлении проходит
п-^/6 молекул. Так как пх < п0, то результирующий поток молекул
направлен* из реципиента в струю пара. Суммарное число молекул,
прошедших за 1 сек через 1 см2 сечения потока, равно
Поток газа и число молекул связаны соотношением
где Т — температура газа. Отсюда скорость откачки:
nokT '
A4)
A5)
A6)
Выразим поток газа через 1 см2 произвольного сечения диффу-
диффузора. К выходу насоса со скоростью v отбрасывается струей пара
п (х) v молекул в секунду. Это соответствует потоку газа
I1 = n (x) vkT.
A7)

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА 301
В обратном направлении за 1 сек продиффундирует поток газа
I, = -Dd?kT; A8)
здесь D — коэффициент диффузии молекул газа. Полный поток
1 ——- t\ [ X) C//v I ~— LJ ~~z /vi , AУ)
dx /
Заменив / через 5рвх и решив полученное дифференциальное урав-
уравнение, имеем
v
6
¦ ii?Lr:
B0)
где! — длина диффузора (см. рис. 4, на котором показано распреде-
распределение давления при работе диффузионного насоса). Если учесть,
что^ D обычно малая величина, то
о V 1
B1)
Соотношения B0) и B1) дают нам скорость откачки, приходя-
приходящуюся на 1 см2 входного сечения насоса. Полная скорость откачки
насоса выражается формулой
Av
B2)
здесь А — площадь сечения за-
зазора между соплом и диффузо-
диффузором.
Скорость паров масла v в на-
насосе обычно не превышает Рис. 4.
180 м/сек. С помощью диффу-
диффузионных насосов достигаются давления до. 10~6 мм pm. cm.
Более низкое давление не может быть достигнуто из-за проникно-
проникновения паров масла в реципиент. Для достижения давлений ниже,
чем 10 6 мм рт. ст. применяют вымораживание паров масла или
используют другие типы насосов.
Для улучшения предельного вакуума часто применяют много-
многоступенчатые диффузионные» насосы. Каждой ступени соответствует
свой паропровод и свое сопло. На рис. 5 представлен разрез двух-
двухступенчатого диффузионного насоса. Насос имеет два коаксиаль-
коаксиальных паропровода Л и В, а также два сопла С я Д. Сопла повора-
поворачивают струю пара, направляя ее от входа насоса к выходу, вдоль

302
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
оси диффузора. Если вещество, используемое в испарителе, неодно-
неоднородное (состоит из нескольких фракций), то применяется фракцион-
фракционная разгонка по компонентам. Наиболее тяжелые фракции с наи-
наименьшим давлением насыщающих паров проходят в сопло Д, наи-
наиближайшее к реципиенту. Легкие фракции подаются в более уда-
удаленное от реципиента сопло. Это предотвращает попадание легких
фракций в реципиент и тем самым снижает предельное давление
насоса. Попадание различных фракций в разные паропроводы
происходит автоматически благодаря различию в температурах
кипения этих фракций. У краев испарителя улетучиваются легкие
/{откачиваемому
объекту
Молвпулы
воздуха
Тяжелые
фракции
Легкие
'фракции
Кфордакуумно-
му насосу
Рис. 5.
фракции и попадают в паропровод А. Тяжелые фракции доходят
до центра и только там испаряются, попадая в паропровод В.
Манометры. Рассмотрим основные типы манометров, применяе-
применяемых для измерения давления в вакуумных системах.
Компрессионный манометр Мак-Леода.
Действие компрессионного манометра основано на измерении давле-
давления газа, сжатого в известное число раз. Если в реципиенте давле-
давление газа низкое, то обычным U-образным манометром измерить его
трудно. Но если газ предварительно сжать во много раз, то давле-
давление сжатого газа уже нетрудно измерить. Манометр Мак-Леода —
это U-образный манометр, позволяющий производить предваритель-
предварительное сжатие газа.
В исходном состоянии газ заполняет некоторый известный
объем Vo манометра, сообщающийся с реципиентом, и имеет неко-

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА 303
торое давление рх, равное давлению в реципиенте (рис. 6). Подвиж-
Подвижный резервуар* Б позволяет заполнять объем Vo жидкостью. Жид-
Жидкость вытесняет газ в капилляр /Сь сжимая газ до некоторого
давления, которое значительно больше, чем рх. Разность уровней
жидкости в капиллярах К± и К2 служит мерой давления этого
сжатого газа. Уровень жидкости в капилляре К2 в общем случае
выше, чем в капилляре К±- Обычно сжимающей жидкостью служит
ртуть. Если до сжатия давления газа в объеме Vo было рх, то после
сжатия давление равно разности уровней ртути hx — Н2> а объем
равен h±St где S — сечение капилляра /Ci, a hx — высота запол-
заполненной газом части капилляра.
Применяя закон Бойля—Мариотта, получим искомое давление
с
рх = _ (hx — h2) hx мм рт. ст. B3)
Обычно уровень ртути в капилляре /С2 доводят до вершины капил-
капилляра /Ci (A2 = 0)- Тогда
с
рх = _ h\ мм рт. ст. B4)
Этот метод называется квадратичным методом измерения. Вели-
Величина S/Vo называется постоянной манометра Мак-Леода.
Если доводить уровень ртути в капилляре К± до определенной
метки Л01, то
Рх^ тг hol/^h mm pm. cm. B5)
Здесь A/i — разность уровней ртути в капиллярах. Этот метод
называется линейным методом измерения.
Если принять, что наименьшее измеримое Ah = 1 мм, то мини-
минимальное давление (квадратичный метод), измеримое манометром,
равно
Pmin = тг-мм рт. ст. B6)
Максимальное давление, измеримое манометром, равно
Ртах = тг Я2 мм рт. ст.; B7)
здесь Н — длина капилляра Kv
Манометр Мак-Леода является абсолютным манометром и не
требует предварительной градуировки.
Термопарный манометр. Принцип действия мано-
манометра основан на зависимости коэффициента теплопроводности
газа от давления. Электрическая схема применяемого в данной
задаче манометра стермопарной лампой ЛТ-2 приведена, на рис. 7.

304
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис.
В манометрической лампе этого типа имеется нить накала НН,
нагреваемая электрическим током. К середине нити накала при-
прикреплен один спай термопары 7Т, другой спай имеет температуру
стенок лампы.
При изменении давления в некотором диапазоне его значений
теплопроводность газа начинает зависеть от давлений. Темпера-
Температура нити накала также начинает
изменяться. Индикатором измене-
изменения температуры служит термо-
э. д. с. Величину термо-э. д. с. изме-
измеряют милливольтметром; она яв-
является мерой давления газа.
В манометрической лампе про-
процесс теплопередачи идет между
металлической нитью и цилиндри-
цилиндрическим корпусом лампы, радиус
которого значительно больше ра-
радиуса нити г (обычно г = 0,01 см).
В этом случае, в отличие от слу-
случая теплопередачи между двумя
параллельными плоскостями, коэффициент теплопроводности зави-
зависит от давления только при условии X > г, где Я — длина свобод-
свободного пробега молекул газа. Это условие ограничивает рабочую
область манометра со стороны высоких давлений.
При малых давлениях теплопроводность газа падает, а темпе-
температура нити растет. При этом потери тепла, обусловленные тепло-
теплоизлучением и теплопроводностью держателей нити, становятся
больше, чем тепловой поток, переносимый газом. Температура
нити перестает определяться давлением газа. Эти факторы огра-
ограничивают рабочую область манометра со стороны низких давлений.
Рабочая область манометрической лампы ЛТ-2 лежит между
0,5 и 10~~3 мм рт. ст. Ток накала обычно подбирается так, чтобы
при давлении 10~3 мм рт. ст. термо-э. д. с. была равна 10 ме.
Это значение тока указывается на цоколе лампы.
Недостаток термопарных манометров заключается в том, что
они не являются абсолютными и требуют предварительной градуи-
градуировки. Эта градуировка зависит от рода газа, давление которого
измеряется.
Ионизационный манометр. Ионизационный мано-
манометр измеряет давления ниже 10~3 мм рт. ст. На данной вакуумной
установке используется прибор ВИ-3 с манометрической лампой
ЛМ-2. Принцип действия манометра основан на зависимости числа
ионизации газовых молекул электронами от давления газа. Прин-
Принципиальная электрическая схема прибора представлена на рис. 8.
Манометрическая лампа имеет катод К и расположенные коак-
сиально вокруг катода цилиндрические сетку С и коллектор Р.

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА
305
Рис. 8.
Перед включением прибора сетка манометра прогревается до крас-
красного каления (в данной схеме цепь прогрева не указана) для обезга-
живания материала сетки. Затем прогрев выключается. Изменяя на-
накал катода, устанавливают ток эмиссии электронов равным 1е — Ъма.
Сетка имеет относительно катода положительный потенциал
иг = 200 в. Электроны, ускоренные в поле между катодом и сет-
сеткой, проскакивают сквозь нее в
область между сеткой и коллек-
коллектором. Коллектор имеет отно-
относительно катода отрицательный
потенциал ?/2 = 25 в. Поэтому
электроны на коллектор не по-
попадают, а отражаются назад, к
катоду, и, таким образом, колеб-
колеблются между коллектором и ка-
катодом. Вследствие колебаний
удлиняется траектория элект-
электрона, а вероятность столкнове-
столкновения его с молекулами газа рас-
растет. Образующиеся при столкновении электрона и молекулы
положительные ионы собираются на коллекторе, а потерявшие
энергию электроны уходят на сетку.
Чем больше давление, тем чаще происходит ионизация. Ионный
ток на коллектор 1Р является мерой давления газа. Он пропор-
пропорционален давлению
[Р = Ср. B8)
Коэффициент пропорциональности С для лампы ЛМ-2 равен
0,1 а/мм рт. ст. Одновременно с ионизацией происходит возбуж-
возбуждение молекул с последующим излучением фотонов. Эти фотоны
вызывают фотоэмиссию электронов с коллектора. Если давление
газа мало (менее 10~7 мм рт. cm), то ионный ток становится малым
по сравнению с фототоком. Фотоэффект ограничивает рабочую
область манометра со стороны низких давлений. В лампе ЛМ-2
эта граница составляет 5 «Ю"8 мм рт. ст.
При больших давлениях манометр также не может работать
из-за опасности перегорания катода. Катод (обычно вольфрамовый)
при давлении в манометре выше 10~3 мм рт. ст. в присутствии
активных газов — кислорода, паров воды и других — быстро раз-
разрушается. Это явление ограничивает возможность применения
ионизационного манометра с накаливаемым катодом со стороны
высоких давлений.
Описание установки. Вакуумная установка в данной задаче
содержит все элементы обычных вакуумных устройств, кроме того,
она дополнена некоторыми деталями, позволяющими выполнить
упражнения.

306
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Рис. 9.
Схема вакуумной установки приведена на рис. 9. На схеме вве-
введены следующие обозначения: РН — форвакуумный ротационный
механический насос, ПН — диффузионный высоковакуумный паро-
масляный насос/ Б2 — откачиваемый баллон, ИМ — ионизацион-
ионизационный манометр, ТМ — термопарный манометр, Бх — дополнитель-
дополнительный форвакуумный баллон
к диффузионному насосу, Т —
разрядная трубка для оцен-
оценки вакуума по виду свече-
свечения газового разряда, Тр—
трубка «с течью», Л — ло-
ловушка для паров масла.
Форвакуумный насос РН
служит для создания предва-
предварительного разрежения, необ-
необходимого для работы диффу-
диффузионного насоса ПН. Краны
Кх—/Се служат для соедине-
соединения отдельных частей уста-
установки друг с другом. Кран Кг может соединять форвакуумный
насос либо с установкой, либо с атмосферой. В процессе откачки
он повернут так, что подключает к насосу установку. При
выключении форвакуумного насоса кран Кг необходимо соеди-
соединить с атмосферой, иначе атмосферное давление выдавит масло
из рабочей камеры насоса в трубку, соединяющую насос с уста-
установкой.
Откачку воздуха форвакуумным насосом из баллона Б2 можно
вести как через диффузионный насос, так и минуя этот насос. Для
этого служат краны /C и /D. Если откачка ведется помимо диффу-
диффузионного насоса, отверстие в пробке трехходового крана /С4 должно
быть повернуто в сторону форвакуумного насоса (первый путь)
и откачка из баллона Б2 идет в направлении сплошных стрелок.
Кран /С3 при этом должен быть закрыт, таким образом, диффузион-
диффузионный насос полностью отключен от установки.
При переключении крана /D в сторону диффузионного насоса
откачка идет по направлению, указанному пунктирными стрел-
стрелками, через диффузионный насос (второй путь). При этом кран /С3
должен быть открыт. В начале откачки, если в баллоне Б2 большое
давление (выше? чем предельное давление форвакуумного насоса),
надо создать предварительно необходимое для работы диффузион-
диффузионного насоса разрежение и вести откачку по первому пути и лишь
после включения диффузионного насоса переходить на откачку
по второму пути. Вообще, часть установки, связанная с диффузион-
диффузионным насосом (насос ПН и баллон ?х), всегда должна находиться
«под вакуумом», чтобы избежать поглощения воздуха маслом,
находящимся в диффузионном насосе.

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА 307
При выполнении упражнений, во время которых давление
меняется от атмосферного до форвакуумного, эта часть установки
отключена от всех остальных, что соответствует закрытому крану К3
и первому положению крана /С4- Особенно важно, чтобы в разогре-
разогретый диффузионный насос не попал газ при высоком давлении,
так как масло, имеющееся в насосе, при этом сгорает и насос выхо-
выходит из строя.
Порядок включения установки указан в упражнениях.
Упражнение 1
Знакомство с устройством вакуумных насосов
В этом упражнении следует:
1. Детально ознакомиться с разборным макетом насоса ВН-461М.
Определить путь прохождения откачиваемого газа внутри насоса
от входа до выхода. Определить число ступеней насоса. Измерить
полезный объем рабочей камеры одной из ступеней. Измерить диа-
диаметр и длину канала, соединяющего камеру с выпускным клапаном
насоса. Вычислить вредный объем. Рассчитать предельное давление
насоса по формуле A3), считая обе его камеры идентичными.
Рассчитать скорость откачки насоса по формуле A1) при зна-
значениях входного давления 0,1 и 0,01 мм рт. ст. при числе оборотов
насоса 9 об/сек.
2. Детально ознакомиться с устройством диффузионных насосов
ЦВЛ-100 или ММ-40. Определить путь прохождения откачиваемого
газа внутри насоса от входа до выхода. Определить число ступеней
насоса. Измерить входное сечение насоса и по формуле B2) рассчи-
рассчитать скорость откачки одного из насосов ЦВЛ-100 или ММ-40.
Оформление результатов. В отчете необходимо указать тип
ротационного насоса, для которого производились измерения. Ука-
Указать полученные размеры полезного и вредного объемов камеры,
а также рассчитанные значения скорости откачки и предельного
вакуума. Указать тип диффузионного насоса, для которого велись
измерения, величину входного'сечения и скорость откачки, рассчи-
рассчитанную для этого насоса.
Упражнение 2
Знакомство с приборами для измерения давления
и с устройством вакуумной установки
В этом упражнении следует:
1. Зарисовать схемы электрических вакуумметров: термопар-
термопарного и ионизационного. Указать рабочие области каждого из мано-
манометров тех типов, которые используются на вакуумной установке.

308 молекулярная физика
2. Зарисовать манометр Мак-Леода. Выбрать один из имеющихся
манометров и определить его постоянную. Для этого с помощью
измерительного микроскопа находят диаметр рабочего капилляра
манометра. Объем шаровой части манометра находят методом за-
заполнения его водой. Величину объема определяют с помощью мер-
мерной мензурки, в которую выливают заполнявшую манометр воду.
Рассчитать постоянную а = S/Vo. Измерив длину рабочего
капилляра, рассчитать минимальное и максимальное давления,
которые позволяет измерять данный манометр.
3. Детально ознакомиться со схемой вакуумной установки и
назначением каждой детали. Зарисовать схему установки.
Оформление результатов. В отчете необходимо представить схемы
электрических манометров и манометра Мак-Леода. Указать раз-
размеры и параметры выбранного манометра Мак-Леода. Привести
вычисленные значения постоянной а и границы рабочей области
манометра. Представить схему вакуумной установки, пользуясь
принятыми обозначениями.
Упражнение 3
Изучение процесса откачки и измерение предельного вакуума
с помощью форвакуумного насоса
1. При выполнении этого упражнения пользуются только фор-
вакуумным насосом. Давление измеряется термоэлектрическим ма-
манометром. Ионизационный манометр должен быть во время выпол-
выполнения этого упражнения выключен, а кран /С2 закрыт. В исходном
положении все краны установки должны быть закрыты (отверстия
в пробках кранов обращены к работающему). Убедившись, что все
краны перекрыты, включить нагреватель термоэлектрического ма-
манометра в сеть 127 в. Реостатом R (см. рис. 7) установить силу тока,
указанную на цоколе манометрической лампы.
2. Пустить в ход форвакуумный насос. Для этого несколько раз
B—3 раза) быстро включить и выключить ,мотор насоса для того,
чтобы удалить масло из камер насоса. Включить окончательно насос
и выждать 2—3 мин. Краном Кг соединить насос с остальной частью
установки. (При повороте пробки крана необходимо одной рукой
поддерживать муфту крана, так как при сильном трении возможна
поломка крана и примыкающего к нему трубопровода.) Краном
/С4 подключить к форвакуумному насосу баллон ?2, а краном К%
термопарный манометр ТМ. Откачка должна идти, минуя насос ПН
и баллон Бг. Поэтому кран /C должен быть перекрыт. По измене-
изменению показаний термопарного манометра убедиться в том, что насос
работает.
3) Качественно о величине разрежения газа в установке можно
судить по свечению газового разряда в трубке 7\ Разряд возбуждают

62. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ ВАКУУМА 309
трансформатором Тесла. Для этого свободный конец вторичной об-
обмотки трансформатора подносят к незаземленному электроду трубки.
(Каждый раз перед включением трансформатора надо перекрывать
кран /Се во избежание порчи манометрических ламп.)
4. Произвести ступенчатую откачку системы. Для этого сначала
перекрыть кран /Сь а краном /С3 впустить в установку атмосферный
воздух (краны /С3 и /С2 остаются закрытыми). Закрыть кран /С8.
Далее периодически подключать и отключать от системы форвакуум-
ный насос краном Кг. Время, в течение которого насос подключен
к установке, измеряется секундомером. После каждого интервала
откачки следует временная пауза, в течение которой надо измерить
термопарным манометром давление в системе. Необходимо также
определить характер разряда в трубке Т и записать форму, цвет и
размеры разрядного столба, соответствующие давлению в каждой
паузе.
Длительность каждого интервала откачки примерно 5—10 сек.
Откачку вести до давления 5 • 10~3 мм pm. ст.
5. После окончания ступенчатой откачки открыть кран К± и
вести откачку в течение 5—7 мин, пока не будет достигнуто предель-
предельное разрежение в системе.
Оформление результатов. Результаты ступенчатой откачки и
описание разряда представить в виде таблицы. Представить график
зависимости давления в системе от времени, в течение которого
велась откачка. Пользуясь формулой G), оценить скорость откачки
насоса для р = 0,01 мм рт. ст. Отметить предельное давление
насоса.
Упражнение 4
Отыскание мест натекания в вакуумной установке
В уже собранной вакуумной системе нередко возникают нару-
нарушения герметичности, т. е. натекание газа. Отыскание мест нате-
натекания производится различными методами. Имеются специальные
приборы — течеискатели, позволяющие обнаружить даже самые
небольшие течи. Широко распространенным методом отыскания
не слишком малых мест течи в стеклянных вакуумных установках
является метод искры.
В этом методе в качестве течеискателя используется трансфор-
трансформатор Тесла. Если конец провода от вторичной обмотки поднести
к поверхности стеклянной трубки или баллона с разреженным га-
газом, то с этого конца на стекло" перекинется беспорядочный пучок
мелких искр. Если вблизи окажется поврежденное место (невидимое
глазом отверстие, незаметная трещина и пр.), то в точку натекания
газа начинает бить искра, резко отличающаяся своей интенсивностью
и цветом.

310 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
В настоящем упражнении места течи надо отыскать в трубке
Тр. Для этого закрывают краны /Се и /С4, краном /С5 соединяют
трубку Тр с форвакуумным насосом. Концом вторичной обмотки
трансформатора Тесла исследуют поверхность стекла трубки Тр.
Установив места натекания, отмечают их специальным каран-
карандашом.
Данный метод пригоден в диапазоне давлений от нескольких
мм pm. ст. до 10~3 мм рт. ст.
По окончании отыскания мест течи надо отсоединить краном
Къ трубку Тр от остальной установки. Затем открыть краны /С4
и /Св и вновь откачать баллон Б2 до предельного вакуума.
Упражнение 5
Получение и измерение высокого вакуума
1. После достижения предельного давления, создаваемого фор-
форвакуумным насосом, можно приступить к пуску диффузионного
насоса. Для этого переключить краны К3 и /С4 так, чтобы откачка
из баллона Б2 шла через диффузионный насос. Затем следует пу-
пустить воду из водопроводного крана в систему охлаждения диффу-
диффузионного насоса. Убедившись по стоку воды в достаточности ее
поступления, включают нагреватель диффузионного насоса. При
этом должна загореться сигнальная лампа, укрепленная возле на-
насоса. Нужно постоянно контролировать систему охлаждения. При
прекращении подачи воды надо немедленно выключить нагреватель
и поставить в известность преподавателя или лаборанта.
По мере разогревания насоса из масла начинает выделяться
поглощенный газ. Поэтому вначале давление в установке несколько
возрастает. Разогревание насоса длится 10—15 мин.
2. Убедившись при помощи термоэлектрического манометра, что
давление в реципиенте не превышает 10~:{ мм рт. ст., включают
вакуумметр ВИ-3 согласно прилагаемой к прибору инструкции и
измеряют давление в системе.
3. После измерения давления выключают вакуумметр, закры-
закрывают кран К% и наблюдают свечение разряда в трубке Т. Недопу-
Недопустимо наблюдать свечение при включенном ионизационном мано-
манометре и открытом кране /С6. Это может привести к порче манометри-
манометрической лампы. Через 20 мин после первого измерения давления из-
измеряют давление еще раз.
4. После достижения предельного вакуума выключают манометры
и нагреватель диффузионного насоса. Следует закрыть все краны
(отверстия пробок кранов должны быть обращены к работающему).
Поступление воды не прекращается до полного охлаждения насоса.
Преждевременное выключение охлаждения приводит к порче масла
в насосе.

63. ИЗМЕРЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА АТОМОВ 311
Выключают форвакуумный насос, краном Кг сообщают вход
форвакуумного насоса с атмосферой. Убедившись, что диффузион-
диффузионный насос остыл, можно выключить подачу воды, охлаждавшей
насос.
Оформление результатов. Записать величины измеренных давле-
давлений с описанием характера свечения в разрядной трубке при этих
давлениях. Отметить предельное давление.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. IV.
2. Б. И. Королев, Основы вакуумной техники, «Энергия», 1964.
3. Р. Яккель, Получение и измерение вакуума, ИЛ, 1952.
3 А Д А Ч А 63
ИЗМЕРЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА АТОМОВ
МЕТАЛЛА В ВАКУУМЕ
Принадлежности: 1) вакуумная установка ТВУ-5 с приспособлением
для температурного распыления металла, 2) микрофотометр МФ-2.
Краткая теория. Известно, что молекулы газа испытывают
при своем движении бесчисленные столкновения между собой.
Молекулы газа между двумя столкновениями движутся прямоли-
прямолинейно и равномерно, т. е. проходят определенную длину свободного
пробега. При неизменных условиях (род газа, давление и темпера-
температура) эти пути могут сильно отличаться друг от друга. Поэтому
рассматривают некоторую среднюю статистическую величину —
среднюю длину свободного пробега. Эта величина, обозначим ее К,
зависит от рода газа, вернее, от размера молекул газа, от темпера-
температуры и от давления или плотности газа.
Зависимость средней длины свободного пробега X от плотности
газа можно вывести, считая молекулы твердыми упругими шари-
шариками диаметра D и полагая, что молекулы взаимодействуют, если
расстояние между их центрами не больше D, т. е. при соударении.
Если в единице объема содержится К молекул и все они движутся,
то эту зависимость можно записать в виде
Мы для упрощения считали молекулы твердыми шариками диа-
диаметра D. В действительности D — диаметр эффективного попереч-
поперечного сечения — статистическая величина, характеризующая вероят-
вероятность процесса соударений молекул металла с молекулами воздуха.

312 молекулярная физика
В отличие от истинного диаметра молекул, диаметр эффективного
поперечного сечения зависит от температуры или от относительной
скорости молекул.
В нашем случае молекулы металла и воздуха находятся при
разных температурах, поэтому в формулу A) должна быть введена
поправка Максвелла
—-
B)
где тг и 7" — молекулярный вес и абсолютная температура воз-
воздуха, т и Т — соответствующие величины для металла. Из первых
опытов с молекулярными пучками (Дюнуайе, 1911 г.), получен-
полученными распылением металла в высоком вакууме (X J> /, где / — раз-
размеры сосуда), было обнаружено, что молекулярные пучки ведут
себя подобно световому потоку: дают четкие тени от поставлен-
поставленных на их пути предметов при точечном источни-ке распыления и
ясные тени и полутени при использовании источника конечных раз-
размеров.
При среднем вакууме (X ж I) тень от предмета получается
размытой, а при низком вакууме (к ^ /) из-за большого числа
столкновений между молекулами нельзя получить изображения
предмета.
Пусть в газе находится источник молекул, испускающий рав-
равномерно по всем направлениям N молекул в секунду. Обозначим
через Nx число молекул, прошедших расстояние х без столкнове-
столкновений. Число молекул, испытавших столкновения на пути от х до
х + dx, очевидно, равно —dNx и пропорционально N-x и dx, т. е.
— dNx = bNxdx, откуда, интегрируя, получим
V
Средняя длина свободного пробега к этих N молекул равна
ч 00 00 ОО
Я = ± J x(- dNx) = 1 J bxNxdx = ^ bxe- b*dx = \
0 0 0
Нетрудно подсчитать число молекул, которые пересекут малую
поверхность S, находящуюся на расстоянии х от источника под
углом а к направлению пучка. Положим Af0 — число молекул,
выходящих из точечного источника за малый промежуток времени.

63. ИЗМЕРЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА АТОМОВ 313
Если предположить, что на пути х не происходит соударений мо-
молекул пучка с молекулами воздуха, то из этого числа на площадку S
попадет iV0S ^^2-sin а молекул. Учитывая столкновения молекул,
надо написать
sin a
или, заменяя j— N0S = с = const для данных условий эксперимента:
4я
=-^ since
C)
Этой формулой мы будем пользоваться для определения средней
длины свободного пробега молекул К
Пусть О — крупинка распыляемого в вакууме металла (рис. 1),
АВ — горизонтальная пластинка на расстоянии х0 от источника
О, CD — диафрагма с несколькими круглыми отверстиями.
Рассмотрим два пятна, /л-е и м-е, напыленные на пластинке. Рас-
Расстояния от этих пятен до источника 0 будут хт и ^соответственно.
Тогда по формуле C), заменив sina = ^ и сх0 = С для точек
/пил, можно записать
лт
И
D)
Назовем непрозрачностью в
данной точке пластинки ве-
величину
л = in г°.
Рис. 1.
где /0 — фототок, вызванный
светом, прошедшим через чис-
чистую стеклянную пластинку, / —фототок, полученный при прохожде-
прохождении света от того же источника через пластинку с напыленным
слоем металла. Для тонких слоев с достаточной точностью можно
считать, что непрозрачность ц пропорциональна числу молекул
металла, находящихся на единице поверхности в данной точке
пластинки, т] = aN, где а — коэффициент пропорциональности.
Выражения D) перепишем в виде
и цп = aNn =
Разделим первое на второе
Це(хп~
ИЛИ А. =
E)

314
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Таким образом, для нахождения средней длины свободного про-
пробега надо, измерив расстояние нескольких точек пластинки от
источника, определить для каждой из них непрозрачность. По полу-
полученным данным следует построить график, откладывая на оси абс-
абсцисс 1п(т]л:3), а на оси ординат — х, тогда тангенс угла наклона по-
полученной прямой даст значение к. Определив к и зная условия,
при которых напылялась пластинка (давление и температура),
следует по формуле B) подсчитать диаметр эффективного попереч-
поперечного сечения молекулы D.
Описание установки и приборов. Для создания молекулярного
пучка применяется вакуумная установка, способная давать разре-
разрежение порядка 10~3—10"8 мм рт. ст. В нашей задаче для этих
целей используется вакуумная установка ТВУ-5, имеющая рабочее
пространство под съемным металлическим колпаком с окнами,
которые позволяют наблюдать ход напыления. Для распыления
металла установка имеет пульт напыления, позволяющий регулиро-
регулировать ток накала испарителя до 50 а.
Схема вакуумной установки дана на рис. 2. Колпак А отка-
откачивается форвакуумным В и диффузионным С насосами. Давление
может контролироваться термопар-
термопарной ЛТ-2 и ионизационной ЛМ-2
манометрическими лампами.
Напыление и обработка резуль-
результатов. Стеклянную пластинку тща-
тщательно промывают и просушивают.
Между клеммами напылителя за-
закрепляют танталовую лодочку с
крупинкой распыляемого металла
(в нашей задаче — медь), укреп-
укрепляют пластинку в держателе и из-
измеряют расстояние между лодоч-
лодочкой и пластинкой х0. Устанавли-
Устанавливают колпак А на резиновом кольце и плотно его закрепляют.
Все краны перед началомг откачки должны быть закрыты. Вентиль
для впуска воздуха в колпак должен быть плотно завинчен. Вклю-
Включают форвакуумный насос.
После 2—3 мин откачки открывают кран / так, чтобы воздух
из-под колпака откачивался форвакуумным насосом. Включают
термопарный манометр. Когда давление достигнет 10~2 мм рт. ст., с
помощью кранов 1 и 2 соединяют колпак с диффузионным насосом, а
диффузионный насос с форвакуумным. При давлении 10~2 мм рт. ст.
пускают воду для охлаждения диффузионного насоса и включают
его. При давлении 10~3 мм рт. ст. открывают кран 3 и вклю-
включают ионизационный манометр. Когда давление достигнет значе-
значения A—5) «Ю мм рт. ст., включают пульт напыления и тум-
тумблеры «трансформатор» и «автотрансформатор» на пульте напыления.
Рис. 2.

63. ИЗМЕРЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА АТОМОВ 315
Затем один из работающих поворачивает ручку автотрансформа-
автотрансформатора, устанавливает ток накала напылителя 40—45 а и следит за
ходом напыления через окно. Другой работающий в это время
отмечает по манометру давление, при котором производилось на-
напыление. Весь процесс напыления продолжается 10—30 сек,
пока на пластинке не появятся легкие, видимые в окно пятна.
Процесс напыления окончен. Пульт напыления выключают,
отключают ионизационный манометр, закрывают краны 1 и 3
и выключают подогреватель диффузионного насоса. Кран 2 остается
открытым, происходит откачка диффузионного насоса при постоян-
постоянном охлаждении. Воду до полного остывания насоса не выключать!
Открывают вентиль D для впуска воздуха под колпак, который
поднимают, чтобы достать пластинку. (Если окажется, что надо
получить другую пластинку с напылением, то берут чистую пла-
пластинку, ставят и укрепляют колпак, закрывают вентиль D, пере-
перекрывают кран 2 и повторяют весь процесс откачки, как указано
выше.) Напыленная пластинка помещается на столике микрофо-
микрофотометра. Регулируя ширину щели, устанавливают определенную
величину фототока /0 = 500—700 делений шкалы. Затем, пере-
перемещая пластинку со столиком микрофотометра, находят для каж-
каждого из шести пятен значения / в точке наиболее плотного напыле-
напыления, отмечают одновременно по шкале (укрепленной на передней
стенке столика) расстояние между первым пятном и остальными
пятью. Полученные результаты заносят в таблицу. Для опреде-
определения X строят график. При определении D по формуле B) при-
принимают К = 3,56 -1016 р, где р — давление в мм рт. ст., при ко-
котором производилось напыление.
Отчет о работе удобно составить в виде таблицы. Во второй
колонке таблицы записывается расстояние между данным и первым
пятнами.
№
пятна
1
I
/о
/
-п
X
/0 =
In х
3 In л:
in (г]*3)
Для определения натуральных логарифмов, квадратных корней
и кубов вычисляемых величин следует пользоваться математиче-
математическими таблицами.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. III, § 1—3.
2. Р. В. Тел ее нин, Молекулярная физика, «Высшая школа», гл. 1, § 14, 15.

316 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
3 А Д А Ч А 64
ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ
НА МЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Введение. В природе, в жизни, в технике часто встречаются
случайные явления. Предсказать отдельные случайные явления
нельзя, так как на них сказывается влияние очень большого числа
неподдающихся контролю факторов. Например, при стрельбе
в цель, при измерениях физических величин, в движении молекул,
в азартных играх и т. п. в той или иной степени наблюдаются эле-
элементы случайности. Однако даже если можно было бы учесть все
определяющие данное явление факторы, то одно единичное явле-
явление еще не характеризует общей картины случайных явлений.
Например, одно наугад выбранное отверстие в мишени почти ничего
не говорит нам о меткости стрелка, в то время как большое число
произведенных выстрелов дает понятие о точности стрельбы в цель.
Случайные явления наиболее полно описываются при помощи
математического аппарата теории вероятностей. Большая совокуп-
совокупность случайных явлений или величин подчиняется так называе-
называемым статистическим законам. Статистические законы дают возмож-
возможность определять вероятность, с которой осуществляется то или
иное событие в серии случайных однотипных событий, средние
величины в серии измеряемых величин, наиболее вероятные откло-
отклонения от среднего и т. п. Все эти характеристики определяются за-
законом распределения случайных величин — зависимостью вероят-
вероятности появления данной величины от значения самой величины.
Наиболее распространенным ^в природе законом распределения
случайных величин является так называемый закон нормального
распределения (закон Гаусса). Это распределение имеет место в том
случае, если случайная величина зависит от большого числа фак-
факторов, могущих вносить с равной вероятностью положительные и
отрицательные отклонения. Примером такого распределения может
служить распределение случайных ошибок при измерении любой
физической величины. Действительно, на величину полученного
результата измерения влияют такие факторы, как нестабильность
физических условий (например, температуры), при которых прово-
проводились измерения, случайные колебания прибора, различные по-
положения глаза при отсчете показаний прибора, индивидуальные
свойства глаза наблюдателя и т. п. Ошибку каждого измерения
можно разбить на более мелкие элементарные ошибки, вызванные
различными причинами, предположив, что они имеют одинаковую
величину и равновероятные знаки.
Число измерений AN, давших отклонение от среднего значения
измеряемой величины в пределах от х до х + Ах, пропорционально
интервалу Ах и полному числу измерений N. .

64. ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ 317
Функция
называется законом распределения или плотностью вероятности.
Можно показать *), что закон нормального распределения (закон
Гаусса) имеет вид
У =y=.e-h2*2, B)
где х — отклонение измеряемой величины от ее среднего значения,
а у — плотность вероятности появления ошибки величины х (рис. 1).
Величина h носит название у
меры точности', она опреде-
определяется из соотношения
х- C)
Чем больше мера точнос-
точности Л, тем меньше х0, т. е. тем
меньше рассеяние результа-
результатов измерений относительно
их среднего значения и соот-
соответственно больше точность
измерений. Другие харак-
характеристики рассеяния — сред-
средняя арифметическая ошибка Рис j
х и средняя квадратичная
ошибка а — связаны с мерой точности следующими соотношениями:
X == _ —
V2
Другим примером распределения случайных отклонений может
служить стрельба в цель. Большое число неподдающихся контролю
факторов (неточность прицела,
несимметричность пули, дефекты
ружья и т. п.) приводят к случай-
случайным отклонениям пули от цели.
Однако в данном случае элемен-
элементарные ошибки имеют не два рав-
равновероятных значения (положи-
(положительное и отрицательное), а беско-
бесконечное множество значений, соот-
соответствующих смещениям точки
попадания по различным радиусам в плоскости мишени (рис. 2).
Вдоль любого направления ф, проведенного через максимум плот-
L) См. приложение 1.
Рис. 2.

318
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ности попадания, закон имеет характер нормального распределения
/ф (г). Если же нас интересует вероятность отклонения от цели на
расстояние г независимо от направления этого отклонения, то плот-
плотность вероятности попадания / (г) надо просуммировать по площади
тонкого кольца радиусом г и шириной Аг:
F (г) Аг = / (г) 2пгАг = Ае~ h2r2 rAr,
F(r)
»"г. D)
В результате одномерный закон распределения отклонений от
цели приобретает вид асимметричного максимума, смещенного отно-
относительно центра (рис. 3). (С увели-
увеличением г плотность вероятности
попадания падает, а площадь коль-
кольца 2пг Аг растет.)
Аналогичная картина наблю-
наблюдается и при изучении распреде-
распределения молекул газа по скорос-
скоростям — так называемого распреде-
распределения Максвелла. Случайные столк-
столкновения молекул при хаотическом
движении в газе приводят к слу-
случайным изменениям их скоростей
как по величине, так и по направ-
направлению. Если рассматривать рас-
распределение молекул по скоростям
вдоль какого-нибудь одного направления ф, то большое число
случайных соударений приводит к закону нормального распреде-
распределения вдоль этого направления. Если же интересоваться числом
молекул AN (и), имеющих скорость в интервале от и до и + Аи
независимо от направления, то необходимо просуммировать закон
нормального распределения по всем направлениям в пространстве.
Тогда
AN (и) = п (и) Аи = Ае~"h2a2 Апи2 Au = Be" h2a2 и2 Аи. (б)
Пронормировав это соотношение и учтя, что давление газа
Рис. 3.
_ ^.JL
связано с абсолютной температурой Т уравнением состояния
p = ykT, получим закон распределения молекул по скоростям
«-*"""•

64. ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ 319
молекулярный вес, k — по-
где N — общее число молекул, \л
стоянная Больцмана.
Так как наиболее вероятная скорость и3 соответствует макси-
максимуму на кривой распределения, то п} „_,, = 0, и закон рас-
расам и ив
пределения можно выразить через ив:
I G)
Из уравнения F) видно, что закон распределения молекул по
скоростям качественно имеет такой же характер, как и при стрельбе
в цель D) с той лишь разницей, что в этом случае при экспоненте
стоит квадратичный (и2), а не линейный (г) множитель.
Упражнение 1
Изучение закона нормального распределения случайных ошибок
Изучение закона нормального'распределения ошибок прово-
проводится на механической модели, воспроизводящей картину случай-
случайных отклонений от среднего положения частиц в результате сум-
суммирования большого числа равновероятных элементарных ошибок
(рис. 4). Сыпучий материал (на-
(например, пшено) из воронки /
просыпается через ряд сеток 2,
отклоняющих частицы от вер-
вертикального направления. Рас-
Рассеянное зерно, собираясь в ящи-
ящике с узкими ячейками 3, дает
представление о характере рас-
распределения случайных отклоне-
отклонений от вертикали. Все отдель-
отдельные детали модели крепятся на
общем штативе 4. Прямоуголь-
Прямоугольная воронка имеет внизу узкую
щель, ширина которой регули-
регулируется высотой поднятия бо-
боковых щечек 5. Рекомендуется
устанавливать ширину щели в
2—3 мм. Из воронки падает узкий поток частиц. Сетки представляют
собой стальные струны, натянутые на рамки параллельно щели
воронки на расстоянии 7 мм друг от друга. Сетки располагаются
в держателе 6 одна под другой со смещением на половину периода
так, чтобы струна каждой сетки приходилась под серединой про-
промежутка предыдущей. При соударении частиц со струной происхо-
происходит элементарное отклонение с равной вероятностью вправо и влево.
Рис. 4.

320
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Таким образом, воспроизводится закон нормального распределения
случайных отклонений от вертикали в плоскости, перпендикулярной
щели воронки и струнам (одномерное распределение). Плоский
ящик 3 имеет прозрачные стенки из плексигласа, на которых на-
нанесены горизонтальные риски, позволяющие определять высоту
уровня зерна в каждой ячейке.
1. В держатель 6 вставляются три сетки (малое число элемен-
элементарных ошибок) таким образом, чтобы центральная струна верхней
сетки приходилась под щелью воронки. Через воронку сыплется
зерно до тех пор, пока центральные ячейки ящика 3 не заполнятся
почти до верху. Измеряется уровень зерна в каждой ячейке в услов-
условных единицах (число рисок). Результаты измерений наносятся на
график распределения зерен по ячейкам #; = / (я,). Очевидно, что
уровень зерна в i'-й ячейке уг пропорционален числу зерен, попав-
попавших в эту ячейку. Величина отклонения хг есть расстояние i'-й ячей-
ячейки от средней, лежащей непосредственно под щелью, а интервал
между ячейками Ах принимается за единицу.
2. В держатель 6 вставляются все 12 сеток с чередующимся
сдвигом струн на полпериода. Количество высыпаемых зерен мало
(порядка 20—30 зерен), т. е. мало число измерений. Распределение
зерен по ячейкам в этом случае измеряется не по уровню, а по числу
зерен в каждой ячейке. Результаты измерений наносятся на ана-
аналогичный предыдущему график уг — f (xi).
3. Через то же число сеток A2) сыплется большее количество
зерна. Полученное в результате этого нормальное распределение
зерен по ячейкам измеряется по уровням зерна в ячейках и науо-
сится на график yt = / (#,). Результаты измерений и вычислений
сводятся в таблицу:
X
У
УХ2
Для серии экспериментальных данных, сведенных в таблицу,
определяется мера точности h — |/ 9 , 2.х). Затем строится по
нескольким точкам теоретическая кривая с данной мерой точности h
и наносится на тот же график.
*) См. приложение 2.

64. ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ 321
Упражнение 2
Изучение распределения Максвелла
Для знакомства с законами распределения, аналогичными
закону Максвелла (закону распределения молекул по скоростям),
служит механическая модель, осуществляющая двумерное рассеи-
рассеивание частиц (рис. 5). Круглая воронка 1 направляет поток зерна
Рис. 5.
на ряд металлических сеток 2 диаметром 30 см с квадратными ячей-
ячейками 7x7 мм. Сетки расположены на расстоянии 1 см друг от друга
по вертикали таким образом, чтобы узлы каждой сетки прихо-
приходились над центрами отверстий предыдущей. Зерно, просыпаясь
через сетки, рассеивается по всем направлениям в плоскости,
параллельной плоскостям сеток, и образует распределение, подобное
распределению точек попадания пуль при стрельбе в мишень.
Непосредственно под сетками располагается серия концентриче-
концентрических вертикальных цилиндров 3 с радиусами 1, 2, 3,..., 15 см.
Так как дно цилиндров скошено, то все зерна, попавшие в тонкий
цилиндрический слой между двумя соседними цилиндрами, ссы-
ссыпаются вместе и через отверстия 4 по направляющим 5 поступают
в отдельные ячейки ящика с прозрачными стенками 6. Каждый
цилиндрический слой осуществляет, таким образом, суммирование
всех случайных отклонений определенной величины независимо
от направления этого отклонения. Полученное в результате
этого распределение аналогично распределению Максвелла для

322 молекулярная физика
скоростей двумерного газа
п(и) = Ne~u2m»-~. (Для двумерного газа Л2 = 1/2и2.) (8)
1. В механическую модель закладываются в определенном
порядке в соответствии с номерами все 20 сеток, через которые
сыплется зерно. Измеряется полученное в ящике 6 распределение
зерна по ячейкам щ = / (щ)\ щ — уровень зерна в /-й ячейке,
пропорциональный числу зерен в этой ячейке щ =. AN (ui)/Au,
Аи = 1, а щ — расстояние /-й ячейки от начальной, в которую
ссыпается зерно из самого узкого цилиндра (R — 1 см). Результаты
измерений наносятся на график.
2. Аналогичные измерения проводятся при вдвое меньшем числе
сеток. Результаты измерений также наносятся на график. Если
удары зерна о сетку в модели аналогичны соударениям молекул
в газе, то уменьшение числа сеток, ведущее к уменьшению числа
соударений, а следовательно, к уменьшению рассеяния, можно
связать с понижением температуры газа.
3. По максимумам кривых на обоих графиках определяются
наиболее вероятные скорости ив и и'ъ в наших условных единицах,
а затем находится отношение температур двумерного газа, модели-
U'2 р г—
рованного в нашей задаче ™ = у (так как иа ~ у Т).
4. Для результатов измерений п. 1 проводится проверка совпаде-
совпадения экспериментального распределения щ = / (щ) с вычисленными
по формуле (8) п (и) Аи - An (и) = Ne~a2/*ul^ = — WA (е- /2).
в
Число частиц, попавших в интервал от щ_х до щ (количество зерна
в i-й ячейке), равно интегралу от Ап(и) в пределах от щ_х до иг\
= 2nh a = l/2ul, щ = i\ значения п/, вычисленные таким образом,
наносятся на график с экспериментальным распределением щ = / (щ).
ЛИТЕРАТУРА
1. А. К. Тимирязев, Кинетическая теория материи, Учпедгиз, 1955,
гл. II.
2. И. К. Кикоин, А. К. Кикоин, Молекулярная физика, Физматгиз,
1963, гл. I, § 9—13.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
3. К. П. Яковлев, Математическая обработка результатов измерений,
Гостехиздат, 1953, гл. IV.
4. А. Уорсинг, Дж. Геффнер, Методы обработки экспериментальных
данных, ИЛ, 1953, гл. VI, VII.
5. F. A. Schulze, Phys. Zeits, т. XXX, 1925, 325.

64. ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ЗАКОНОМЕРНОСТЯМИ 323
Приложение 1
-Ниже приводится вывод закона нормального распределения.
Пусть в каждое измерение входит п элементарных ошибок равной
величины б, каждая из которых с равной вероятностью A/2) может
иметь положительный и отрицательный знак. Вероятность того,
что все п элементарных ошибок войдут в измерение со знаком
:<+», равна у0 = A/2)*, т. е. произведению вероятностей каждого
из п событий. Результирующая ошибка в этом случае равна xQ = лб.
Вероятность такого события, когда т элементарных ошибок из п
имеют отрицательные знаки, а остальные (п — т) — положитель-
ные, равна ут = С:AГAГ-т=С-A)л, где СГЯ = - п!
число возможных сочетаний из п ошибок по числу отрицательных
эшибок т. Величина соответствующей результирующей ошибки хт
будет равна (п — 2т)б:
Число элементарных
ошибок
положитель-
отрицатель-
отрицательных
Результирую-
Результирующая ошибка х
Вероятность появления такой
ошибки у
П
Я—1
п — т
п — т— 1
О
1
т
/71+1
по
(л-2) а
_2m — 2M
0/2)*
(п — т) \ т \
0/2)"
—m—
A/2)"
Зависимость вероятности появления ошибки у от величины х
представляет собой ступенчатую кривую. При уменьшении эле-
элементарных ошибок б и при возрастании их числа п так, чтобы пб2
:тремилось к конечному пределу, ступенчатая кривая прибли-
приближается к плавной. Найдем аналитическое выражение этого распре-
распределения при б -> 0. Касательная к кривой определяется пределом
отношения Ау /Ах при б -> 0:
— Ут
^ 1_
п\
26
26 \2 / (я — т)\т\ \ т+\
п — 2т
т
26
т
, так как т> К

324 молекулярная, физика
Поскольку хт = (п — 2т) б, то 2т = /г — ^-, и
Ал: "" «б2 - xmb' W
При б -> О /гб2 стремится к постоянному пределу, который обо-
обозначим 1/2А2; отсюда ^ = — 2/г2ух, у = — 2/i2*dA;.
Интегрирование дает нам следующее соотношение: у = Ae-* h2x2.
Пронормировав это выражений, получим закон нормального рас-
распределения в окончательной форме
y e
Это распределение может быть получено и другими методами
(см. [3]).
Приложение2
Определение меры точности h данной серии случайных вели-
величин (хъ х2, ..., хп), распределяющихся по нормальному закону,
состоит в том, чтобы найти такое значение /г, при котором появление
данной серии величин (хъ х2, ..., хп) было бы наиболее вероятным.
Вероятность появления серии случайных величин Y равна произ-
произведению вероятностей появления каждой из этих величин
Y = у (хг) у (х2).. :У (хп) = {±
Мера точности h определяется из условия Y = max или dY/dh = О
и d2Y/dh2<i0. Тогда
(Величина же d2Y/dh2 всегда отрицательна.)
Для нашего случая число измерений п равно числу зерен,
т. е. п = %kyh где yt — высота уровня в ячейке. Каждое откло-
отклонение^ входит в серию измерений щ раз (м? = kyt). Следовательно,
h -

ТАБЛИЦЫ
1. Международная система единиц (СИ) по ГОСТу 9867-61
Величина
Длина
Масса
Время
Сила электриче-
электрического тока
Термодинамиче-
Термодинамическая темпера-
температура
Сила света
Плоский угол
Телесный угол
Площадь
Объем
Частота
Плотность
Скорость
Угловая скорость
Ускорение
Угловое ускоре-
ускорение
Сила
Единица
измерения
Основные
Метр
Килограмм
Секунда
Ампер
Градус Кельвина
Свеча
Сокращенные обо*
значения единиц
русские
латинские
или
греческие
. единицы
ж
кг
сек
а
°К
ев
Ш
ч
S
А
°К
cd
Дополнительные единицы
Радиан
Стерадиан
рад
стер
rad
sr
Производные единицы
Квадратный метр
Кубический метр
Герц
Килограмм на ку-
кубический метр
Метр в секунду
Радиан в секунду
Метр на секунду
в квадрате
Радиан на секун-
секунду в квадрате
Ньютон
м2
ж3
гц
кг/м3
м/сек
рад/сек
м/сек2
рад/сек2
н
m2
m3
Hz
kg/m3
m/s
rad/s
m/s2
rad/s2
N
Размерность
производных
единиц
—
—
—
—
• —
—
A ЖJ
A му
1 : A сек)
A кг):(\ жK
A ж) : A сек)
A рад) : A сек)
A м):(\ секJ
A рад):(\ секJ
A кг)* A ж): (\секJ

326
ТАБЛИЦЫ
Продолжение
Величина
Давление (меха-
(механическое на-
напряжение)
Динамическая
вязкость
Кинематическая
вязкость
Работа, энергия,
количество теп-
теплоты
Мощность
Количество элек-
электричества, элек-
электрический за-
заряд
Электрическое
напряжение,
разность элек-
электрических по-
потенциалов,
электродвижу-
электродвижущая сила
Напряженность
электрического
поля
Электрическое
сопротивление
Электрическая
емкость
Поток магнитной
индукции
Индуктивность
Магнитная ин-
f 1 Л Т Т Л ? » ц у-ш
дукция
Напряженность
магнитного по-
поля
Магнитодвижу-
Магнитодвижущая сила
Световой поток
Яркость
Освещенность
Единица
измерения
Ньютон на квад-
квадратный метр
Ньютон-секунда
на квадратный
метр
Квадратный метр
на секунду
Джоуль
Ватт
Кулон
Вольт
Вольт на метр
Ом
Фарада
Вебер
Генри
Тесла
Ампер на метр
Ампер
Люмен
Свеча на квад-
квадратный метр,
или нит
Люкс
Сокращенные обо-
обозначения единиц
русские
HJM2
н • сек/м2
м2/еек
дж
em
к
в
е/м
ом
ф
еб
гн
тл
а\м
а
лм
ceJM2,
или нт
лк
латинские
или
греческие
N/m2
N • s/m2
m2/s
J
W
С
V
V/m
Q
F
x Wb
H
T
A/m
A
lm
cd/m2,
или nt
Ix
Размерность
производных
единиц
A к) : A мУ
(\н)-(\сек):{\м)*
A мУ : A сек)
A к) • A м)
A дж): A сек)
A а) • A сек)
A em):(l а)
A в):A м)
A в): A а)
A *): A в)
A к) ¦ A ом)
A вб):(\а)
A вб): A мУ
A а): A м)
A а)
A ев) • A стер)
A ев): A uf
A лм):(\ мУ

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
2. Приведение показаний барометра к 0° С
327
Из высоты барометра //, отсчитанной при t° по масштабу, верному при 0° С,
отнято @,000182—-Р) • tit. Коэффициент расширения р масштаба (латунного)
принят равным 0,000019; для стеклянного масштаба числа должны быть уве-
увеличены на 0,008 t (см. последний столбец).
г с
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
680
0,11
0,22
0,33
0,44
0,55
0,67
0,78
0,89
1,00
1,11
1,22
1,33
1,44
1,55
1,66
1,77
1,88
2,00
2,11
2,22
2,33
2,44
2,55
2,66
2,77
2,88
2,99
3,10
3,21
3,33
3,44
3,55
3,66
3,77
3,88
690
0,11
0,22
0,34
0,45
0,56
0,67
0,79
0,90
1,01
1,12
1,24
1,35
1,46
1,57
1,69
1,80
1,91
2,02
2,14
2,25
2,36
2,47
2,59
2,70
2,81
2,92
3,04
3,15
3,26
3,37
3,49
3,60
3,71
3,82
3,94
700
0,11
0,23
0,34
0,46
0,57
0,68
0,80
0,91
1,03
1,14
1,26
1,37
1,48
1,60
1,71
1,83
1,94
2,05
2,17
2,28
2,40
2,51
2,62
2,74
2,85
2,97
3,08
3,19
3,31
3,42
3,54
3,65
3,77
3,88
3,99
Отсчитанная
710
0,12
0,23
0,35
0,46
0,58
0,69
0,81
0,93
1,04
1,16
1,27
1,39
1,50
1,62
1,74
1,85
1,97
2,08
2,20
2,31
2,43
2,55
2,66
2,78
2,89
3,01
3,12
3,24
3,36
3,47
3,59
3,70
3,82
3,93
4,05
720
0,12
0,23
0,35
0,47
0,59
0,70
0,82
0,94
1,06
1,17
1,29
1,41
153
1,64
1,76
1,88
2,00
2,11
2,23
2,35
2,46
2,58
2,70
2,82
2,93
3,05
3,17
3,29
3,40
3,52
3,64
3,76
3,87
3,99
4,11
высота
730
0,12
0,24
0,36
0,48
0,59
0,71
0,83
0,95
1,07
1,19
1,31
1,43
1 55
1,67
1,78
1,90
2,02
2,14
2,26
2,38
2,50
2,62
2,74
2,86
2,97
3,09
3,21
3,33
3,45
3,57
3,69
3,81
3,93
4,05
4,16
Я, мм
740
0,12
0,24
0,36
0,48
0,60
0,72
0,84
0,96
1,09
1,21
1,33
1,45
157
1,69
1,81
1,93
2,05
2,17
2,29
2,41
2,53
2,65
2,77
2,89
3,02
3,14
3,26
3,38
3,50
3,62
3,74
3,86
3,98
4,10
4,22
750
0,12
0,24
0,37
0,49
0,61
0,73
0,86
0,98
1,10
1,22
1,34
1,47
1 59
1,71
1,83
1,96
2,08
2,20
2,32
2,45
2,57
2,69
2,81
2,93
3,06
3,18
3,30
3,42
3,55
3,67
3,79
3,91
4,03
4,16
4,28
760
0,12
0,25
0,37
0,50
0,62
0,74
0,87
0,99
1,11
1,24
1,36
1,49
1.61
1,73
1,86
1,98
2,11
2,23
2,35
2,48
2,60
2,73
2,85
2,97
3,10
3,22
3,34
3,47
3,59
3,72
3,84
3,96
4,09
4,21
4,34
770
0,13
0,25
0,38
0,50
0,63
0,75
0,88
1,00
1,13
1,26
1,38
1,51
1,63
1,76
1,88
2,01
2,13
2,26
2,38
2,51
2,64
2,76
2,89
3,01
3,14
3,26
3,39
3,51
3,64
3,77
3,89
4,02
4,14
4,27
4,39
780
0,13
0,25
0,38
0,51
0,64
0,76
0,89
1,02
1,14
1,27
1,40
1,53
1,65
1,78
1,91
2,03
2,16
2,29
2,42
2,54
2,67
2,80
2,92
3,05
3,18
3,31
3,43
3,56
3,69
3,81
3,94
4,07
4,20
4,32
4,45
0,008 /
0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,26
0,27
0,28

328
ТАБЛИЦЫ
3. Поправка отсчета барометра на капиллярность
(Поправка дана в мм> ее всегда нужно прибавлять к отсчитанной высоте.)
Диаметр
трубки, мм
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0,4
0,83
0,47
0,27
0,18
—
_
—
0,6
1,22
0,65
0,41
0,28
0,20
0,15
—
Высота мениска, мм
0,8
1,54
0,86
0,56
0,40
0,29
0,21
0,15
0,10
0,07
0,04
1,0
1,98
1,1»
0,78
0,53
0,38
0,28
0,20
0,14
0,10
0,07
1,2
2,37
1,45
0,98
0,67
0,46
0,33
0,25
0,18
0,13
0,10
1,4
1,80
1,21
0,82
0,56
0,40
0,29
0,21
0,15
0,12
1,6
—
1,43
0,97
0,65
0,46
0,33
0,24
0,18'
0,13
1,9
—
—
1,13
0,77
0,52
0,37
0,27
0,19
0,14
4. Приведение веса тела к пустоте
Истинный вес 1 сяг латунных разновесок принят равным 8,4 Г; истинный
вес 1 см3 воздуха 0,00120 Г. Если тело, истинный вес 1 еж3 которого есть d Г,
весит в воздухе т Г, то к его весу следует добавить mk мГ, где k определяется
формулой
d
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
k
+ 1,57
1,36
1,19
1,06
0,95
0,86
0,78
0,71
0,66
0,61
0,56
0,52
0,49
+0,46
d
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
—
k
+0,457
0,337
0,257
0,200
0,157
0,124
0,097
0,075
0,057
0,042
0,029
0,017
+0,007
—
d
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
k
+0,007
—0,010
—0,023
—0,034
—0,043
—0,051
—0,057
—0,063
—0,068
—0,072
—0,076
—0,080
—0,083
—0,086

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
329
5. Плотность сухого воздуха при разных температурах
Плотность 5 сухого воздуха при t° и давлении И мм ртутного столба
вычисляется по формуле
0,0012932 _#
~~ 1 + 0,00367 . t * 760*
tt СС
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
700
0,00
1191
1187
1182
1178
1174
1170
1165
1161
1157
1153
1149
1145
1141
1137
1133
1129
1125
1121
1117
1113
1110
1106
1102
1098
1095
1091
1087
1084
1080
1077
1073
710
0,00
1208
1204
1199
1195
1191
1186
1182
1178
1174
1169
1165
1161
1157
1153
1149
1145
1141
1137
1133
1129
1126
1122
1118
1114
1110
1107
1103
1099
1096
1092
1088
720
0,00
1225
1221
1216
1212
1207
1203
1199
1194
1190
1186
1182
1178
1173
1169
1165
1161
1157
1153
1149
1145
1141
1137
1134
ИЗО
1126
1122
1118
1115
1111
1107
1104
я,
730
0,00
1242
1238
1233
1229
1224
1220
1215
1211
1207
1202
1198
1194
1190
1186
1181
1177
1173
1169
1165
1161
1157
1153
1149
1145
1142
1138
1134
ИЗО
1126
1123
1119
мм рт.
740
0,00
1259
1255
1250
1245
1241
1236
1232
1228
1223
1219
1215
1210
1206
1202
1198
1193
1189
1185
1181
1177
1173
1169
1165
1161
1157
1153
1149
1146
1142
1138
1134
ст.
750
0,00
1276
1272
1267
1262
1258
1253
1249
1244
1240
1235
1231
1227
1222
1218
1214
1210
1205
1201 -
1197
1193
1189
1185
1181
1177
1173
1169
1165
1161
1157
1153
1150
760
0,00
1293
1288
1284
1279
1274
1270
1265
1261
1256
1252
1247
1243
1239
1234
1230
1226
1221
1217
1213
1209
1205
1201
1197
1193
1189
1185
1181
1177
1173
1169
1165
770
0,00
1310
1305
1300
1296
1291
1287
1282
1277
1273
1268
1264
1259
1255
1251
1246
1242
1238
1233
1229
1225
1221
1216
1212
1208
1204
1200
1196
1192
1188
1184
1180
780
0,00
1327
1322
1318
1313
1308
1303
1299
1294
1289
1285
1280
1276
1271
1267
1262
1258
1254
1249
1245
1241
1236
1232
1228
1224
1220
1216
1212
1208
1204
1200
1196

330
ТАБЛИЦЫ
6. Плотность воды при разных температурах
/, °с
0
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Плотность,
г/см*
0,99987
0,99993
0,99997
0,99999
1,00000
0,99999
0,99997
0,99993
0,99988
0,99981
0,99973
0,99963
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Плотность,
г/см*
0,99952
0,99940
0,99927
0,99913
0,99897
0,99880
0,99862
0,99843
0,99823
0,99802
0,99780
0,99757
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Плотность,
г/см*
0,99732
0,99707
0,99681
0,99654
0,99626
0,99597
0,99567
0,99537
0,99505
0,99472
0,99440
0,99406
Гра-
Градусы
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
7. Плотность ртути (г/см3)
при разных
температурах (°С)
Градусы
0
13,5955
5698
5461
5216
4971
4727
4484
4241
3999
3757
3516
1
5930
5683
437
5191
4947
4703
4459
4217
3975
3733
3492
2
5905
5658
5412
5167
4922
4678
4435
4192
3950
3709
3
5880
5634
5388
5142
4898
4654
4411
4168
3926
3685
—
4
5856
5609
5363
5118
4873
4630
4386
4144
3902
3661
_
б
5831
5584
5339
5094
4849
4605
4362
4120
3878
3637
6
5806
5560
5314
5069
4825
4581
4338
4095
3854
3613
—
7
5772
5535
5290
5045
4800
4557
4314
4071
3830
3589
—
8
5747
5511
5265
5020
4776
4532
4289
4047
3806
3565
—
9
5722
5486
5241
4996
4751
4508
4265
4023
3781
3541
—

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
8. Плотность некоторых жидкостей
331
Название
Химическая
формула
/,
Плотность,
г/см*
Амиловый спирт
Анилин
Ацетон
Бензол
Вода
Глицерин
Керосин
Ксилол
Метиловый спирт ....
Нитробензол
Ртуть
Серный (этиловый) эфир
Сероуглерод
Скипидар
Толуол
Уксусная кислота ....
Хлороформ
Этиловый спирт
QH12O
CeH7N
CsH0O
сено
н2о
C3H8OS
свнь(сн3J
CeH5O2N
c;fiie
C2H4O3
CHC1,
CsHeO
о
о
20
20
4
О
о
18
О
18
О
О
О
16
18
18
18
О
0,815
1,015
0,792
0,879
1,000
1,260
0,8
0,85
0,792
1,21
13,596
0,716
1,263
0,858
0,87
1,049
1,483
0,789
9. Плотность некоторых водных растворов
(при 18° С)
96
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
кон
0,999
1,045
1,091
1,139
1,188
1238
1,290
1,344
1,400
1,45
1,51
1,57
КС1
0,9986
1,0308
1,0638
1,0978
1,1335
—
_
KJ
0,9986
1,0363
1,0762
1,1200
1,1679
1,218
1,273
1,332
1,397
1,468
1,545
1,630
1,731
К2Сг207
0,999
1,035
1,072
1,109
—
'
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60

332
ТАБЛИЦЫ
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
NH4C1
0,9986
1,0142
1,0289
1,0430
1,0571
1,0710
—
ZnSO4
0,999
1,051
1,107
1,167
1,232
1,305
1,379
—
NaOH
0,9986
1,0545
1,1098
1,1650
1,2202
1,2751
1,3290
1,3811
1,4314
1,4794
1,5268
П]
NaCl
0,9986
1,0345
1,0711
1,1090
1,1485
1,1897
—
| CuSO4
0,999
1,051
1,107
1,167
1,23
(пересыщенный)
—
родолжение
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
AgNO3
0,9986
1,0422
1,0893
1,1404
1,1958
1,2555
1,3213
1,3945
1,4773
1,5705
1,6745
1,7895
1,9158
.
—
—
HCl
0,9986
1,0236
1,0482
1,0734
1,0989
1,1248
1,1508
1,1757
1,199
—
—
—
HNO3
0,999
1,027
1,056
1,086
1,118
1,151
1,184
1,217
1,250
1,283
1,314
1,344
1,372
1,397
1,418
1,438
1,457
1,473
1,489
1,50
1,52
H2SO4
0,9986
1,0323
1,0669
1,1030
1,1406
1,1796
1,2199
1,2614
1,3043
1,349
1,397
1,447
1,500
1,555
1,612
1,671
1,729
1,781
1,817
1,836
1,838
H3PO4
0,999
1,027
1,054
1,083
1,114
1,145
1,179
1,214
1,251
1,290
1,330
1,373
1,418
1,464
1,512
1,562
1,615
1,672
—
—
Спирт
0,9986
0,9898
0,9824
0,9760
0,9696
0,9628
0,9551
0,9463
0,9367
0,9264
0,9155
0,9043
0,8928
0,8811
0,8693
0,8574
0,8452
0,8327
0,8197
0,8060
0,7911
%
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 333
10. Плотность некоторых твердых веществ (г\смь)
Алебастр
Алмаз
Алюминиевая бронза
(90% меди + 10% алю-
алюминия)
Алюминий
ъ литой
» вальцованный
» кованый . . . .
» химически чи-
чистый
Асбест
Баббит белый
Береза сухая
Бор
Бром
Бронза
Бук сухой
Бумага писчая
Висмут
Вольфрам
Воск
Гипс кристаллический .
Гипс обожженный . . .
Гранит
Графит
Дуб сухой
Ель сухая
Железо химич. чистое
ъ сварочное . , .
» литое
Золото
Известковый шпат . . .
Исландский шпат . . . .
Каменный уголь (в ку-
кусках) .
Каучук
Калий?
Кварц
Константан
2,25—2,87
3,4—3,6
7,7
2,69
2,56
2,62—2,80
2,70—2,80
2,58
1,2-2,8
7,1
0,51—0,77
2,4
3,12
8,7
0,62—0,83
0,70—1,15
9,76—9,93
19,1
0,95—0,99
2,17—2,31
1,8
2,4—2,8
1,9—2,3
0,7—1,03
0,37—0,75
7,86
7,8
7,85
19,3
2,71
2,71
1,2—1,5
0,92—0,96
0,86
2,65
8,8
Латунь
Лед
Магний
Манганин
Марганец
Медь литая
> вальцованная . . .
> электролитическая
Мрамор
Натрий
Нашатырь
Нейзильбер
Никелин
Никель
Олово литое
* вальцованное . .
Парафин
Платина
Пробка
Сахар
Свинец
Сера ромбическая . . . .
» моноклинная ....
Серебро
Слюда
Соль поваренная
ъ каменная
Сплав Вуда
Сосна сухая
Сталь литая
Стекло крон
» флинт
Сурьма
Фосфор.белый
Цинк
Чугун
Эбонит
8,3—8,7
0,88—0,92
174
8,4
7,8
8,6—8,9
8,9—9,0
8,88—8,96
2,52—2,84
0,97
1,52
8,4—8,7
8,77
8,4—9,2
7,23
7,3—7,5
0,87—0,93
21,2—21,7
0,24
1,59
11,22—11,44
2,07
1,96
10,42—10,57
2,6-3,2
2,08—2,20
2,28—2,41
9,7
0,35—0,60
7,7—8,0
2,4-2,6
3,0—5,9
6,6
1,8
6,86—7,24
. 6,6-7,3
1,8

11. Некоторые постоянные газов
Плотность Ь (масса 1 л в г); плотность d в жидком состоянии; термический коэффициент давления а; удельная
теплота ср при 18° С (в кал\град • г) и отношение cpjcVf коэффициент внутреннего трения т) при 0° С (в г\см- сек);
теплопроводность k при 0° С (в кал/см • град • сек); точка плавления 6° С; точка кипения т°; теплота парообразования
А (в кал\г)\ критическое давление р (в атмосферах); критическая температура t °C.
ь
1,2507
0,7708
0,0899
1,2928
0,1786
1,9777
1,4290
0,7168
1,3402
1,2504
1,9768
3,214
d
0,79
0,68
0,06
—
0,15
—
1,13
0,47
—
0,79
—
1,56
а
0,00
3674
3802
3662
3674
3660
368
3674
—
—
367
3726
—
СР
0,249
0,52
3,41
0,241
1,25
0,210
0,218
0,53
0,242
0,250
0,202
0,124
1р
cv
1,40
1,31
1,41
1,40
1,66
' 1,28
1,40
1,31
1,38
1,40
1,30
1,36
0,000
167
093
084
172
189
138
192
104
172
167
140
129
k
0,000
0567
049
376
0565
338
0351
0572
074
0555
• 052
0331
0183
—209,9
— 78
—259
—
—272
—102
—218
—184
—167
—199
— 57
—100
—195,8
—33,5
—252,7
—193
—268,8
— 90
—183,0
—161,5
—150
—190
— 78,5
— 34,5
X
48
327
108
50
5,5
—
51
—
—
142
675
р
33,5
112
12,8
37,2
2,25
71,7
50
46
65
35
73
76
—147
+132
—240
—141
—268
+ 36
—119
— 83
— 94
—139
+ 31
+144
Азот
Аммиак
Водород
Воздух (своб. от СО2) . • •
Гелий
Закись азота
Кислород
Метан
Окись азота
Окись углерода
Углекислый газ
Хлор

12. Основные тепловые постоянные некоторых газов
5 °
§ s «
С с с
m
.
с
о
н
ев
304,1
154,4
126,1
132,4
33,3
5,3
сЗ
•=<
О
22
S «
72,9
49,7
33,5
37,2
12,8
2,26
• к
О ?
аз 5
I
в S
—
90,2
77,3
79,2
20,4
4,2
is.
Давление г
тройной то
мм рт. cm
5,1
2
96,4
—
50,7
—
Предельная
тура, полу»
откачкой п
54,7
50
52
9
1
Угольный ангидрид СО2
Кислород О2
Азот N2
Воздух
Водород Н2
Гелий Не
1,144
0,804
0,875
0,07
0,122
0,41
0,49
0,47
2,33
1,0
216,7
54,7
63,3
14,0
не имеет —
50,9
50
108
5,5
58,03
38,32
43,75
7,56
0,66
х) При атмосферном давлении и температуре 194 °К СО2 образует твердую фазу (сухой лед).

336
ТАБЛИЦЫ
13. Некоторые постоянные жидких тел
Коэффициент поверхностного натяжения а при 18° С (в duHJcM); коэффи-
коэффициент внутреннего трения tj при 18° С (в г\см • сек); коэффициент расшире-
расширения 3 при 18° С; удельная теплоемкость q при 18° С (в кал\град • г); точка
плавления 6 °С; теплота плавления р (в кал/г) точка кипения т СС; теплота
парообразования X (в кал/г)', критическая температура t °C; критическое
давление р (в атм).
а
43
23,3
29,0
44
72,8
66
28,4
26
—
5-102
32
22,8
22,0
23,6
28,6
26
27
17,0
1027]
4,6
0,337
0,673
1,02
1,05
1393
0,647
—
0,244
1,59
0,382
0,632
1,22
2,39
0,613
1,27
0,579
0,238
Р
0,00
085
131
124
112
018
050
101
092
160
0181
121
122
ПО
095
109
107
126
163
я
0,50
0,52
0,407
0,11
0,999
0,58
0,40
0,51
0,52
,0,033
0,24
0,60
0,58
0,57
0,414
0,50
0,23
0,56
е
— 6,2
— 94,3
+ 5,50
— 7,3
0
— 20
— 49,3
—
—160
— 38,9
—112,0
— 97
—114
—127
— 95,1
+ 16,6
— 63,7
—116,3
р
21
—
30,4
16,2
79,7
42
39
—
—
2,8
—
—
—
—
45
47
27
184,2
56,7
80,2
63,0
100,0
290
138,5
—
27,9
356,7
46,2
64,7
78,3
96
110,8
118,5
61,2
34,6
X
104
125
94
43
539,1
—
81
—
—
68
85
265
202
163
87
90
58
202
t
426
235
288
302
374
—
350
—
201
1470
273
240
243
263
320
322
260
194
р
52,3
47
47,7
131
218
—
27
—
33,7
—
73
78,7
63
49,9
41,6
57,2
—
35
Анилин
Ацетон
Бензол
Бром
Вода
Глицерин . . .
Ксилол (т) . .
Нефть
Пентан
Ртуть
Сероуглерод. .
Спирт метило-
метиловый
Спирт этило-
этиловый
Спирт пропи-
пропилов ый . . . .
Толуол
Уксусная кис-
кислота
Хлороформ . .
Эфир этиловый

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
14. Некоторые тепловые постоянные твердых тел
337
Коэффициент
расширения
(О—ЮО0)
а. 104
0,238
0,171—0,212
0,135
0,045
7,1—15,2
—
0,05—0,5
0,04—0,58
0,145
0,121
0,106
0,114
0,009
0,066
0,316
0,83
—
0,134
0,08
0,0057
• 0,124
0,1523
0,188—0,193
0,51
0,238
0,261
0,181
0,167
2,26
0,184
0,128
0,123
0,230
0,0679
0,118
1,07—4,7
0,091
—
0,293
1,18
•0,197
0,09
0,079
0,066
0,0118
0,079
0,04
0,291
0,84
Теплоем-
Теплоемкость при
18°, кал/г
0,214
0,104
0,031
0,037
—
0,04
1 0,33
0,032
0,119
0,12
0,032
0,057
0,17
0,17
} 0,19
—
0,103
0,10
0,0917
0,50
0,25
0,10
0,094
0,295
0,095
0,11
0,055
0,031
0,059
—
0,028
0,69
0,03
0,175
0,056
0,16
0,12
0,033
0,11
0,16
0,093
—
Теплопроводн,
при 13°,
кал
град • см • сек
Точка
плавления
°С
658,7
271
33 380
63
65,5
1063
1530
2 350
320,9
62,3
810
1480
около 900
0
651
1083
97,5
около 1 000
1452
около 1 100
231,9
2 500
1557
38—56
1770
327
106,8—119,2
960,5
2 800
419,4
Теплота
плавле-
плавления,
кал/г
76,8
12,64
42,3
8,4
15,9
23—33
13,66
15,7
58,2
79,63
72
42
31,7
58,3—73
14,0
35,10
5,33
9,37
21
28,1'
Алюминий
Бронза
Висмут
Вольфрам
Воск
Вуда сплав . . . .
Дерево черное . .
» дубовое . .
» еловое . .
Золото
Железо
Сталь
Чугун
Инвар
Иридий
Кадмий
Калий
Кальций
Кварц _1_ оси . . . .
» || оси . . . .
» плавленый
Кобальт
Константан . . . .
Латунь
Лед'
Магналий
Магний
Манганин
Медь
Натрий
Нейзильбер . . . .
Никель
Нихром
Олово
Осмий
Палладий
Парафин
Платина
Пробка
Свинец
Сера
Серебро
Стекло крон. . . .
» флинт . . .
Тантал
У»ерод
Фарфор
Цинк
Эбонит
0,48
0,14
0,019
0,38
0,3
0,0005
0,70
0,14
0,11
0,12
0,011
0,14
0,22
0,23
0,016
0,033
0,0024
0,054
0,26
0,006
0,38
0,052
0,92
0,32
0,07
0,14
0,157
0,168
0,0005
0,166
0,001
0,083
0,0005
1,01
0,0016
0,0014
0,13
0,037
0,0025
0,265
0,0004

338
ТАБЛИЦЫ
15. Приведение объема газа к 0° и давлению 760 мм рт. ст.
Если объем газа и его плотность при t° и давлении И мм рт. ст. рав-
равны V и Ь, то объем газа Vo и плотность Ьо при 0° и давлении 760 мм рт. ст.
вычисляются по формулам
т/———-Мк и Ь0 = 5A+аЛ^, где а = 0,00367.
7ои п
/, сс
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1+0/
1,0000
1,0037
1,0073
1,0110
1,0147
1,0183
1,0220
1,0257
1,0294
1,0330
1,0367
1,0404
1,0440
1,0477
1,0514
1,0550
1,0587
1,0624
1,0661
1,0697
1,0734
1,0771
1,0807
1,0844
1,0881
1,0917
1,0954
1,0991
1,1028
1,1064
1,1101
1,1138
1,1174
1,1211
1,1248
1,1284
1,1321
1,1358
1,1395
1,1431
1,1468
/, °С
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
1+а/
1,1468
1,1505
1,1541
1,1578
1,1615
1,1651
1,1688
-1,1725
1,1762
1,1798
1,1835
1,1872
1,1908
1,1945
1,1982
1,2018
1,2055
1,2092
1,2129
1,2165
1,2202
1,2239
' 1,2275
1,2312
1,2349
1,2385
1,2422
1,2459
1,2496
1,2532
1,2569
1,2606
1,2642
1,2679
1,2716
1,2752
1,2789
1,2826
1,2863
1,2899
1,2936
/, еС
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
1+а/
1,2936
1,2973
1,3009
1,3046
1,3083
1,3119
1,3156
1,3198
1,3230
1,3266
1,3303
1,3340
1,3376
1,3413
1,3450
1,3486
1,3523
1,3560
1,3597
1,3633
1,3670
1,3707
1,3743
1,3780
1,3817
1,3853
1,3890
1,3927
1,3964
1,4000
1,4037
1,4074
1,4110
1,4147
1,4184
1,4220
1,4257
1,4294
1,4331
1,4367
1,4404
Я
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
н
760
0,9211
0,9224
0,9237
0,9250
0,9263
0,9276
0,9289
0,9303
0,9316
0,9329
0,9342
0,9355
0,9368
0,9382
0,9395
0,9408
0,9421
0,9434
0,9447
0,9461
0,9474
0,9487
0,9500
0,9513
0,9526
0,9539
0,9553
0,9566
0,9579
0,9592
0,9605
0,9618
0,9632
0,9645
0,9658
0,9671
0,9684
0,9697
0,9711
0,9724
0,9737
н
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
н
760
0,9737
0,9750
0,9763
0,9776
0,9789
0,9803
0,9816
0,9829
0,9842
0,9855
0,9868
0,9882
0,9895
0,9908
0,9921
0,9934
0,9947
0,9961
0,9974
0,9987
1,0000
1,0013
1,0026
1,0039
1,0053
1,0066
1,0079
1,0092
1,0105
1,6118
1,0132
1,0145
1,0158
1,0171
1,0184
1,0197
1,0211
1,0224
1,0237
1,0250
1,0263

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 339
16. Температура кипения воды при разных давлениях
0
1
2
3
4
5
6
. 7
8
9
10
680
96,92
6,96
7,00
7,04
7,08
7,12
7,16
7,20
7,24
7,28
7,32
Я —
690
7,32
7,36
7,40
7,44
7,48
7,52
7,56
7,60
7,63
7,67
7,71
700
7,71
7,75
7,79
7,83
7,87
7,91
7,95
7,99
8,03
8,07
8,11
710
8,11
8,14
8,18
8,22
8,26
8 30
8,34
8,38
8,42
8,45
8,49
барометрическое
Я 1), мл
720
8,49
8,53
8,57
8,61
8,65
8,69
8,72
8,76
8,80
8,84
8,88
730
8,88
8,91
8,95
8,99
9,03
9 07
9,10
9,14
9,18
9,22
9,26
давление.
i рт. ст.
740
9,26
9,29
9,33
9,37
9,41
9,44
9,48
9,52
9,56
9,59
9,63
750
9,63
9,67
9,70
9,74
9,78
9 82
9,85
9,89
9,93
9,96
0,00
760
100,00
0,04
0,07
0,11
0,15
0,18
0,22
0,26
0,29
0,33
0,37
770
0,37
0,40
0,44
0,48
0,51
0,55
0,58
0,62
0,66
0,69
0,73
780
0,73
0,76
0,80
0,84
0,87
0,91
0,94
0,98
1,02
1,05
1,09
790
1,09
1Л2
1,16
1,19
1,23
1,26
1,30
1,33
1,37
1,41
1,44
17. Теплоемкость воды при различных температурах
t, °С
0
5
10
15
20
25
30
с, кал/г
1,0091
50
20
1,0000
0,9987
78
73
t, °С
35
40
45
50
55
60
65
с, кал/г
0,9971
71
73
77
82
88
94
t, °С
70
75
80
85
90
95
100
с, кал/г
1,0001
07
14
21
28
35
43
18. Теплоемкость меди при
Температура, °С
Теплоемкость,
кал\г • град
0
0,0910
100
0,0940
разных температурах
200
0,0975
300
0,1008
400
0,Ю38
500
0,1070
600
0,1090

340 ТАБЛИЦЫ
19. Давление и плотность насыщающего водяного пара
при разных температурах
/, °с
—30
—29
—28
—27
—26
—25
—24
—23
—22
—21
—20
—19
—18
—17
—16
—15
—14
—13
—12
—11
—10
— 9
— 8
— 7
— 6
— 5
— 4
— 3
— 2
— 1
р, мм
рт.ст.
0,28
0,31
0,35
0,38
0,43
0,47
0,52
0,58
0,64
0,70
0,77
0,85
0,94
1,03
1,13
1,24
1,36
1,49
1,63
1,78
1,95
2,13
2,32
2,53
2,76
3,01
3,28
3,57
3,88
4,22
*) т — масса
т, г
0,33
0,37
0,41
0,46
0,51
0,55
0,60
0,66
0,73
0,80
0,88
0,96
1,05
1,15
1,27
1,38
1,51
1,65
1,80
1,96
2,14
2,33
2,54
2,76
2,99
3,24
3,51
3,81
4,13
4,47
1 м3 пар
t, °с
0
1
2
3
4
5
6 *
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
р, ММ
рт. ст.
4,58
4,93
5,29
5,60
6,10
6,54
7,01
7,51
8,05
8,61
9,21
9,84
10,52
11,23
11,99
12,79
13,63
14,53
15,48
16,48
17,54
18,65
19,83
21,07
22,38
23,76
25,21
т, г
4,84
5,22
5,60
5,98
6,40
6,84
7,3
7,8
8,3
8,8
9,4
10,0
10,7
И,4
12,1
12,8
13,6
14,5
15,4
16,3
17,3
18,3
19,4
20,6
21,8
23,0
24,4
з, выраженная в граммах
t, °С
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
45
50
55 .
60
65
70
75
80
85
90
95
100
р, ММ
рт, cm.
26,74
28,35
30,04
31,82
33,70
35,66
37,73
39,90
42,18
44,56
47,07
49,69
52,44
55,32
71,88'
92,5
118,0
149,4
187,5
233,7
289,1
355,1
433,6
525,8
633,9
760,0
т, г
25,8
27,2
28,7
30,3
32,1
33,9
35,7
37,6
39,6
41,8
44,0
46,3
48,7
51,2
65,4
83,0
104,3
130
161
198
242
293
354
424
505
598

ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 341
20. Психрометрическая таблица относительной влажности воздуха (в %)
К Си
Показа
сухого
метра,
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
0
.100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
Разность
1
81
84
85
86
87
88
89
90
90
91
91
92
92
92
93
93
2
63
68
70
73
75
76
78
79
81
82
83
83
84
85
85
86
показаний сухогч
3
45
51
56
60
63
65
68
70
71
73
74
76
77
78
78
79
4
28
35
42
47
51
54
57
60
62
64
66
68
69
71
72
73
з и влажного термометров, °С
5
И
20
28
35
40
44
48
51
54
56
59
61
62
64
65
67
6
14
23
28
34
38
42
45
48
51
54
56
58
59
61
7
10
18
24
29
33
37
41
44
47
49
50
53
55
8
7
14
20
25
30
34
37
40
43
45
48
50
9
4
И
17
22
26
30
34
37
40
42
44
10
9
15
20
24
28
31
34
37
39
21. Растворимость некоторых солей в воде
В 100 весовых частях воды при насыщении растворяется весовых частей
соли, не содержащей воды:
Соль
При
0° С
28
128
3
13
8
5
89
28
35,5
73
82
7
64
1,5
31
44
50
температуре
18° С
34
142
6,9
29
10,5
11
111
36
36,0
86
98
20
79
1,3
35
52
71
100° С
57
209
56
250
26
94
156
73
39,6
180
204
45
130
0,8
59
102
155
Соль
При
0° С
0,18
52
27
210
43
75
18
29
122
38
—
0,0317
0,005
0,0я40
0,0306
179
температуре
18° С
0,202
56
35
360
51
76
23
39
220
51
0,05
0,0323
0,008
0,0855
0,0313
201
100° С
0,17
74
610
95
61
75
900
130
—
—
—
490
КС1 . .
KJ . . .
ксю3.
KNO3 .
K2SO4.
KsCr207
К3СО3.
NH4C1 .
NaQ. .
NaNO3
NaClO3
Na2CO3
LiCl . .
Li2CO3
BaCl2 .
SrCl2 .
CaCU •
CaSO4
MgCl2
MgSO4
ZnCl2
ZnSO4
CdSO4
CuSO4
NiSO4
AgNO3
Pb (NO3J
Hg,SO4
BaSO4
BaC2O4
CaC2O4
AgQ
Тростниковый са-
сахар

342 ТАБЛИЦЫ
22. Поверхностное натяжение воды при температурах
от 0 до 80° С
Температура, °С
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Пов ер хностно е
натяжение,
дан/см
75,49 '
74,75
74,01
73,26
72,53
71,78
71,03
70,29
69,54
Температура, °С
45
50
55 -
60
65
70
75
80
Поверхностное
натяжение,
дан/см
68,6
67,8
66,9
66,0
65,1,
64,2
63,3
62,3
23. Коэффициент внутреннего трения воды при разных
температурах (в г/см • сек)
t, °с
0
5
10
15
16
17
18
19
105GI
1797
1518
1307
1 140
1 ПО
1082
1055
1029
На -М°
—56
—42
—33
—30
—28
—27
—26
и °с
19
20
21
22
23
24
25
30
1О5[Т)]
1029
1004
980
957
936
915
895
803
На+1°
—25
—24
—23,
—21
—21
—20
—18
t, °С
30
40
50
60
70
80
90
100
1051т)]
803
655
551
470
407
357
317
284
На+1°
—15
—10
—8,1
-6,3
—5,0
-4,0
—3,3
t, вС
100
110
120
130
140
1,50
160
1О5[Т)]
284
256
232
212
196
184
174
На+1°
—2,8
—2,4
—2,0
—1,6
-12
-Ю
24. Ускорение силы тяжести g для разных широт
на уровне моря
Широта,
градусы
0
- 5
10
15
20
25
30
g, см/сек^
978,030
978,069
978,186
978,376
978,634
978,952
979,321
Широта,
градусы
35
40
45
50
55
60
65
g, см/сек2
979,730
980,166
980,616
981,066
981,503
981,914
982,285
Широта,
градусы
70
75
80
85
90
Москва
Ленинград
#, см/сек 2
982,606
982,866
983,058
983,176
983,216
981,523
981,908

Алюминий ....
Бронза
Дерево
Железо кованое
Сталь
Стальная струна
Инвар
Чугун серый . .
> белый . .
Золото
Кварц плавленый
Константан . . .
Латунь
Магналий ....
Манганин ....
Медь
Нейзильбер . . .
Никель
Олово
Платина
Свинец
Серебро
Стеклр
Тантал
Цинк
6300—7500
10600
400—1800
20000—22000
20000—22000
14000
7500—13000
18000
7000—9500
6000
16600
8000—10000
7000
12600
ЮООО—13000
11000
20000—22000
4000—5500
16000—17500
1500—1700
7000—8000
5000—8000
19000
8000—13000
—20
—3
-2 до —4
—2
-1 до —2
—4
до —4
N
2300—2700
4600
7000—8500
8000—8300
5600
5000
2600—3900
6200
2700—3700
4700
3900—4800
4000
7800
1700
6000—7240
550
2500—2900
1800—3000
4000
—21
-2 до —5
-2 до —5
—3
—5
-4 до —6
4
— 3
— 2
—80
-7 до —8
—40
0,33
0,31
0,28
0,28
0,23—0,27
0,41
0,33
0,3—0,4
0,33
0,34
0,37
0,30
0,33
0,38
0,43
0,37
0,2—0,3
0,2-0,3
5
10
20
20—150
50
6
30
до 13
6
0,5—20
9
15
10— 40
18— 80
3— 22
40— 60
50—160
до 250
78
12—13
И
12—66
32
10—50
20
16—45
50
1,7—2,5
24—34
2
29
3—9
93
13—20
5000
3—4000
1 5100
2100
4300
3200
3900
3600
3600
4900
2600
2800
1300
2700
5000—6000
3400
3700

344 ТАБЛИЦЫ
26. Таблицы для вычислений
Основные алгебраические и тригонометрические формулы
1) (а + bf =t аз + 3a2b + 3ab2 + ъ*.
2) .(а — bf = л3
3) д: = =-^ — , если ах* + Ьх + с = 0.
4) * = _? +j/"^2-^, если
5) (х + а)™ = хт w(w
+
6) sin (-я а: ) == cos л:; cos (-^ х J = sin л:.
7) sin (-9-+ -^ j = cos л:; cos (-^- + х) = — sin л:.
8) sin (я — л:) = sin л:; cos (я — л:) = — cos л:.
9) sin (— х) = — sin л:; cos (— л:) = cos x.
10) sin (х +у) = sin л: • cos .у + sin у • cos x.
11) sin (л: —у) = sin л: • cos .у — sin .у • cos x.
12) cos (х+у) = cos х • cos .у — sin x • sin.y-
13) cos (л: — у) = cos лг • cos^ + sin л: • sin^.
14) sin 2x = 2 sin л: • cos л:; cos 2x = cos2 л: — sin2 лг.
f t .
1 — cos x x i/~l + cosa:
; соз У^
17) sin a + sin 0 =
18) sin a — sin P = 2 cos ^-i^- • sin -
19)
21)
2
—2— • sin
__ sin (a + P)
20) cos a — cos P = — 2 sin a - P- - ~« a ^
cos a • cos
22) tga — tgP ^ sin (a — ft)
cos a . cos p *

ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ 345
Некоторые формулы аналитической геометрии на плоскости
1) Уравнение прямой, проходящей через начало координат:
y = kx.
2) Общее уравнение прямой:
ах + by -f- с = 0.
3) Уравнение окружности с центром в начале координат:
4) Уравнение параболы:
у2 = 2рх.
5) Уравнение эллипса:
6) Уравнение касательной к эллипсу:
ххх ууг
7) Уравнение нормали к эллипсу:
8) Уравнение гиперболы:
Основные формулы дифференциального и интегрального исчислений
d (a ± v) du dv
о
dx
d(uv)
г) ~dx~
3)
dx
dx
du
Vlx~ +
du
v dx
~dx'
dv
dx
dv
Udx
' dx
5)^ = ^lna.
6)
rf(lnx) _ 1
_x rfsinx rfcosjf
7) -^F-^008^ -ir = ~*mx'
g djgx = 1_. tf ctgjy ^ |_
^ rf^ cos2 x * dx sin*

346 таблицы
9) Формула Тейлора:
f(x) =f(a)+ ^-f (a) + {*~%)%Г (a) + ... +
10) Формула Маклорена:
/ (х) = / @) + ^f @) + у?/" @) +
11) «* =
д«2 д-4 д«$
13) COS^=1—5J-+ — —_
= x+ _ + _ + _+-_
15) ^(х + а)т dx = ^ip-j (л: + e)m+1.
16) ^ —\—dx= 1п(в + дг).
17) \ sin х dx = — cos x; \ cos x dx = sin л:.
18)
Формулы для приближенных вычислений
Если а, Ь, с и d малы сравнительно с единицей, а а не превосходит 2°
и выражено в радианах, то в первом приближении можно принять:
= 1 ±.a±b + c±....(l ±.а)(\ ±
еа = 1 -f- a
m,(i + *)-= в-у
sin a = tg a = а
cos а = 1
sin F it а) ^= sin 6 ± a cos 9
cos F i: а) = cos 6 т а sin 6

ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ 347
Некоторые постоянные числа и их логарифмы (lg)
Числа
*) тс = 3,14159
2тс = 6,28319
-—- = 0,78540
* -^- = 0,52360'
о
-^- = 4,18879
JL = 0,00873
тс2 = 9,86960
1^=1,77245
т/JL=* 0,80600
г 6
¦^/"-^- = 1,61199
Окружность = 360°
= 21600'
=1296000"
8) * = 2,71828
*) тс = 3,14159 26535
Логарифмы
0,49715
0,79818
f,89509
1,71900
0,62209
3,94085
0,99430
0,24857
1,90633
0,20736
2,55630
4,33445
6,11261
0,43429
89793 23846
Числа
2) -i-= 0,31831
* = 0,15915
Ztc
—= 1,27324
тс
-—-=« 1,90986
-—-= 0,23873
— =114,59156
тс
1
---= @,10132
"I/ J-^ 0,56419
у -5-= 1,24070
3/"~3"
1/-^-= 0,62035
f 4тс
Радиан = 57° 17'44",806
=*=57°,29578
= 3437',747
= 206264",8
M=lg e = 0,43429
Mt = jj|^ 2,30259
«) 1/тс = 0,31830 98861 83790 67153...
8) Основание натур
е = 2,71828 18284.
альных, или
••
неперовых, логарифмов
Логарифмы
Г,50285
1,20182
0,10491
0,28100
1,37791
2,05915
1,00570
1,75143
0,09367
1,79264
1,75812
3,53627
5,31443

348
ТАБЛИЦЫ
Градусы в радианах
2
о
&
Гра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
0'
0°, 0
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
0,3316
0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
0,4189
0,4363
0,4538
0,4712
0,4887
0,5061
0,5236
0,5411
0,5585
0,5760
0,5934
0,6109
0,6283
0,6458
0,6632
0,6807
0,6981
0,7156
0,7330
0,7505
0,7679
6'
0°, 1
0017
0192
0367
0541
0716
0890
1065
1239
1414
1588
1763
1937
2112
2286
2461
2635
2810
2985
3159
3334
3508
3683
3857
4032
4206
4381
4555
4730
4904
5079
5253
5428
5603
5777
5952
6126
6301
6475
6650
6824
6999
7173
7348
7522
7697
12°
0°, 2
0035
0209
0484
0559
0733
0908
1082
1257
1431
1606
1780
1955
2129
2304
2478
2653
2827
3002
3176
3351
3526
3700
3875
4049
4224
4398
4573
4747
4922
5096
5271
5445
5620
5794
5969
6144
6318
6493
6667
6842
7016
7191
7365
7540
7714
18'
о°. з
0052
0227
0401
0576
0750
0925
1100
1274
1449
1623
1798
1972
2147
2321
2496
2670
2845
3019
3194
3368
3543
3718
3892
4067
4241
4416
4590
4765
4939
5114
5288
5463
5637
5812
5986
6161
6336
6510
6685
6859
7034
7208
7383
7557
7732
24'
0°, 4
0070
0244
0419
0593
0768
0942
1117
1292
1466
1641
1815
1990
2164
2339
2513
2688
2862
3037
3211
3386
3560
3735
3910
4084
4259
4433
4608
4782
4957
5131
5306
5480
5655
5829
6004
6178
6353
6528
6702
6877
7051
7226
7400
7575
7749
30'
0°, 5
0087
0262
0436
0611
0785
0960
1134
1309
1484
1658
1833
2007
2182
2356
2531
2705
2880
3054
3229
3403
3578
3752
3927
4102
4276
4451
4625
4800
4974
5149
5323
5498
5672
5847
6021
6196
6370
6545
6720
6894
7069
7243
7418
7592
7767
36'
0°, 6
0105
0279
0454
0628
0803
0977
1152
1326
1501
1676
1850
2025
2199
2374
2548
2723
2897
3072
3246
3421
3595
3770
3944
4119
4294
4468
4643
4817
4992
5166
5341
5515
5690
5864
6039
6213
6388
6562
6737
6912
7086
7261
7435
7610
7784
42'
0°, 7
0122
0297
0471
0646
0820
0995
1169
1344
1518
1693
1868
2042
2217
2391
2566
2740
2915
3089
3264
3438
3613
3787
3962
4136
4311
4485
4660
4835
5009
5184
5358
5533
5707
5882
6056
6231
6405
6580
6754
6929
7103
7278
7453
7627
7802
48'
0°, 8
0140
0314
0489
0663
0838
1012
1187
1361
1536
1710
1885
2060
2234
2409
2583
2758
2932
3107
3281
3456
3630
3805
3979
4154
4328
4503
4677
4852
5027
5201
5376
5550
5725
5899
6074
6248
6423
6597
6772
6946
7121
7295
7470
7645
7819
54'
0°, 9
0157
0332
0506
0681
0855
1030
1204
1379
1553
1728
1902
2077
2251
2426
2601
2775
2950
3124
3299
3473
3648
3822
3997
4171
4346
4520
4695
4869
5044
5219
5393
5568
5742
5917
6091
6266
6440
6615
6789
6964
7138
7313
7487
7662
7837
Средн.
разности
12 3
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
369
4 5
1215
12 15
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
1215
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15

ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Градусы в радианах
349
Продолжение
3
о
§*
Гра
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
65
86
87
88
89
0'
0°, 0
0,7854
0,8029
0,8203
0,8378
0,8552
0,8727
0,8901
0,9076
0,9250
0,9425
0,9599
0,9774
0,9948
1,0123
1,0297
1,0472
1,0647
1,0821
1,0996
1,1170
1,1345
1,1519
1,1694
1,1868
1,2043
1,2217
1,2392
1,2566
1,2741
1,2915
1,3090
1,3265
1,3439
1,3614
1,3788
1,3963
1,4137
1,4312
1,4486
1,4661
1,4835
1,5010
1,5184
1,5359
1,5533
в'
0°, 1
7871
8046
8221
8395
8570
8744
8919
9093
9268
9442
9617
9791
9966
0140
0315
0489
0664
0838
1013
1188
1362
1537
1711
1886
2060
2235
2409
2584
2758
2933
3107
3282
3456
3631
3806
3980
4155
4329
4504
4678
4853
5027
5202
5376
5551
12'
0°, 2
7889
8063
8238
8412
8587
8762
8936
9111
9285
9460
9634
9809
9983
0158
0332
0507
0681
0856
1030
1205
1380
1554
1729
1903
2078
2252
2427
2601
2776
2950
3125
3299
3474
3648
3823
3998
4172
4347
4521
4696
4870
5045
5219
5394
5568
18'
0°, 3
7906
8081
8255
8430
8604
8779
8954
9128
9303
9477
9652
9826
L0001
0175
0350
0524
0699
0873
1048
1222
1397
1572
1746
1921
2095
2270
2444
2619
2793
2968
3142
3317
3491
3666
3840
4015
4190
4364
4539
4713
4888
5062
5237
5411
5586
24'
0°, 4
7924
8098
8273
8447
8622
8796
8971
9146
9320
9495
9669
9844
1,0018
0193
0367
0542
0716
0891
1065
1240
1414
1589
1764
1938
2113
2287
2462
2636
2811
2985
3160
3334
3509
3683
3858
4032
4207
4382
4556
4731
4905
5080
5254
5429
5603
30'
0°, 5
7941
8116
8290
8465
8639
8814
8988
9163
9338
9512
9687
9861
1,0036
0210
0385
0559
0734
0908
1083
1257
1432
1606
1781
1956
2130
2305
2479
2654
2828
3003
3177
3352
3526
3701
3875
4050
4224
4399
4573
4748
4923
5097
5272
5446
5621
36'
0°, 6
7959
8133
8308
8482
8657
8831
9006
9180
9355
9529
9704
9879
1,0053
0228
0402
0577
0751
0926
1100
1275
1449
1624
1798
1973
2147
2322
2497
2671
2846
3020
3195
3369
3544
3718
3893
4067
4242
4416
4591
4765
4940
5115
5289
5464
5638
42'
0°, 7
7976
8151
8325
8500
8674
8849
9023
9198
9372
9547
9721
9896
1,0071
0245
0420
0594
0769
0943
1118
1292
1467
1641
1816
1990
2165
2339
2514
2689
2863
3038
3212
3387
3561
3736
3910
4085
4259
4434
4608
4783
4957
5132
5307
5481
5656
48'
0°, 8
7994
8168
8343
8517
8692
8866
9041
9215
9390
9564
9739
9913
1,0088
0263
0437
0612
0786
0961
1135
1310
1484
1659
1833
2008
2182
2357
2531
2706
2881
3055
3230
3404
3579
3753
3928
4102
4277
4451
4626
4800
4975
5149
5324
5499
5673
54'
0°, 9
8011
8186
8360
8535
8709
8884
9058
9233
9407
9582
9756
9931
1,0105
0280
0455
0629
0804
0978
1153
1327
1502
1676
1851
2025
2200
2374
2549
2723
2898
3073
3247
3422
3596
3771
3945
4120
4294
4469
4643
4818
4992
5167
5341
5516
5691
Средн.
разности
1 2 3
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
3 6 9
4 5
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15
12 15

350 ТАБЛИЦЫ
Радианы в градусах и тригонометрические функции
Ра-
Радианы
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
Градусы
0°, 573
1°, 146
1,719
2,292
2,865
3,438
4,011
4,584
5,157
5,730
6,876
8,022
9,168
10,31
11,46
12,61
13,75
14,90
16,04
17,19
18,34
19,48
20,63
21,77
22,92
24,07
25,21
26,36
27,50
28,65
29,80
30,94
32,09
33,23
34,38
35,53
36,67
37,82
38,96
40,11
41,26
42,40
43,55
44,69
0° 34'
1° 9'
Г 43'
2° 17'
2° 52'
3°26'
4° Г
4° 35'
5° 10'
5° 44'
6° 53'
8° 1'
9° 10'
10° 19'
11° 28'
12° 36'
13° 45'
14° 54'
16° 3'
17° 11'
18° 20'
19° 29'
20° 38'
21° 44'
22° 55'
24° 4'
25° 13'
26° 21'
27° 30'
28° 39'
29° 48'
30° 57'
32° 5'
33° 14'
34° 23'
35° 32'
36° 40'
37° 49'
38° 58'
40° 7'
41° 15'
42° 24'
43° 33'
44° 42'
sin
0,0099
0201
0300
0398
0500
0599
0700
0799
0901
0999
1198
1395
1593
1791
1988
2181
2377
2571
2765
2954
3145
3335
3524
3703
3894
4078
4260
4439
4617
4795
4970
5143
5312
5480
5647
5812
5972
6131
6289
6443
6593
6743
6890
7034
cos
1,000
1,000
1,000
9992
9987
9982
9975
9968
9959
9950
9928
9902
. 9872
9838
9800
9759
9713
9664
9610
9554
9492
9427
9359
9289
9211
9131
9047
8961
8870
8776
8678
8576
8473
8364
8253
8138
8021
7900
7775
7647
7518
7385
7248
7108
tg
0,0099
0201
0300
0399
0501
0600
0702
0802
0904
1004
1207
1408
1614
1820
2028
2235
2447
2Q61
2877
3092
3314
3538
3765
3986
4228
4466
4709
4953
5206
5464
5727
5997
6269
6552
6843
7142
7445
7761
8088
8426
8770
9131
9506
9896
Ра-
Радианы
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
142
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
тс/2
Градусы
45,84
46,99
48,13
49,28
50,42
51,57
52,72
53,86
55,01
56,15
57,30
58,45
59,59
60,74
61,88
63,03
64,18
65,32
66,47
67,62
68,76
69,91
71,05
72,20
73,34
74,49
75,64
76,78
77,93
79,07
80,22
81,37
82,51
83,66
84,80
85,95
87,10
88,24
89,39
90е
45° 50'
46° 59'
48° 8'
49° 17'
50° 25'
51° 34'
52° 43'
53° 52'
55° 0'
56° 9'
57° 18'
58° 27'
59° 36'
60° 44'
61° 53'
63°. 2'
64° 11'
65° 19'
66° 28'
67° 37'
68° 46'
69° 54'
71° 3'
72° 12'
73° 21'
74° 29'
75° 38'
76° 47'
77° 56'
79° 4'
80° 13'
81° 22'
82° 31'
83° 39'
84° 48'
85° 57'
87° 6'
88° 14'
89° 23'
sin
7173
7312
7447
7579
7707
7833
7956
8076
8192
8305
8415
8522
8625
8724
8820
8913
9002
9086
9168
9247
9321
9391
9458
9521
9581
9636
9687
9735
9779
9818
9855
9887
9915
9939
9959
9975
9987
9995
9999
cos
6967
6822
6674
6523
6372
6216
6058
5897
5736
5570
5402
5232
5060
4889
4713
4535
4355
4176
3993
3808
3622
3437
3247
3057
2865
2675
2481
2286
2090
1897
1699
1501
1302
1106
0906
0706
0506
0308
0108
tg
1,030
1,072
1,116
1,162
1,210
1,260
1,313
1,370
1,428
1,491
1,558
1,629
1,704
1,784
1,872
1,965
2,067
2,176
2,296
2,428
2,574
2,733
2,912
3,115
3,344
3,602
3,904
4,258
4,678
5,177
5,799
6,586
7,613
8,986
10,988
14,124
19,740
32,421
92,908

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Таблица значений функции е* и е~х
351
X
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
. 0,41
0,42
0,43
0,44
1,0000
1,0101
1,0202
1,0305
1,0408
1,0513
1,0618
1,0725
1,0833
1,0942
1,1052
1,1163
1,1275
1,1388
1,1503
1,1618
1,1735
1,1853
1,1972
1,2092
1,2214
1,2337
1,2461
1,2586
1,2712
1,2840
1,2969
1,3100
1,3231
1,3364
1,3499
1,3634
1,3771
1,3910
1,4049
1,4191
1,4333
1,4477
1,4623
1,4770
1,4918
1,5068
1,5220
1,5373
1,5527
1,0000"
0,9900
0,9802
0,9704
0,9608
0,9512
0,9420
0,9324
0,9231
0,9139
0,9048
0,8958
0,8869
0,8781
0,8693
0,8607
0,8521
0,8437
0,8353
0,8269
0,8187
0,8106
0,8025
0,7945
0,7866
0,7788
0,7710
0,7634
0,7558
0,7483
0,7408
0,7334
0,7261
0,7189
0,7118
0,7047
0,6977
0,6907
0,6839
0,6771
0,6703
0,6636
0,6570
0,6505
0,6440
х
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
ех
1,5683
1,5841
1,6000
1,6161
1,6323
1,6487
1,6653
1,6820
1,6989
1,7160
1,7333
1,7507
1,7683
1,7860
1,8040
1,8221
1,8404
1,8589
1,8776
1,8965
1,9155
1,9348
1,9542
1,9739
1,9937
2,0138
2,0340
2,0544
2,0751
2,0959
2,1170
2,1383
2,1598
2,1815
2,2034
2,2255
2,2479
2,2705
2,2933
2,3164
2,3396
2,3632
2,3869
2,4109
2,4351
е-*
0,6376
0,6313
0,6250
0,6188
0,6126
0,6065
0,6005
0,5945
0,5886
0,5827
0,5769
0,5712
0,5655
0,5599
0,5543
0,5488
0,5433
0,5379
0,5326
0,5273
0,5220
0,5168
0,5117
0,5066
0,5016
0,4966
0,4916
0,4867
0,4819
0,4771
0,4723
0,4677
0,4630
0,4584
0,4538
0,4493
0,4449
0,4404
0,4360
0,4317
0,4274
0,4232
0,4189
0,4148
0,4107
X
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
111,
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
ех
2,4596
2,4848
2,5093
2,5345
2,5600 •
2,5857
2,6117
2,6379
2,6645
2,6912
2,7183
2,7456
2,7732
2,8011
2,8292
2,8577
2,8864
2,9154
2,9447
2,9743
3,0042
3,0344
3,0649
3,0957
3,1268
3,1582
3,1899
3,2220
3,2544
3,2871
3,3201
3,3535
3,3872
3,4212
3,4556
3,4903
3,5254
3,5609
3,5966
3,6328
3,6693
3,7062
3,7434
3,7810
3,8190
0,4066
0,4025
0,3985
0,3945
0,3906
0,3867
0,3829
0,3791
0,3753
0,3716
0,3679
0,3642
0,3606
0,3570
0,3534
0,3499
0,3465
03430
0,3396
0,3362
0,3329
0,3296
0,3263
0,3230
0,3198
0,3166
0,3135
0,3104
0,3073
0,3042
0,3012
0,2982
0,2952
0,2923
0,2894
0,2865
0,2836
0,2808
0,2780
0,2753
0,2725
0,2698
0,2671
0,2645
0,2618

ТАБЛИЦЫ
X
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1 75
1,76
1,77
1,78
1,79
ех
3,8574
3,8962
3,9354
3,9749
4,0149
4,0552
4,0960
4,1371
4,1787
4,2207
4,2631
4,3060
4,3492
4,3929
4,4371
4,4817
4,5267
4,5722
4,6182
4,6646
4,7115
4,7588
4,8066
4,8550
4,9037
4,9530
5,0028
5,0531
5,1039
5,1552
5,2070
5,2593
5,3122
5,3656
5,4195
5,4739
5,5290
5,5845
5,6406
5,6973
5,7546
5,8124
5,8708
5,9299
5,9894
е'х
0,2592
0,2567
0,2541
0,2516
0,2491
0,2466
0,2441
0,2417
0,2393
0,2369
0,2346
0,2322
0,2299 '
0,2276
0,2254
0,2231
0,2209
0,2187
0,2165
0,2144
0,2122
0,2101
0,2080
0,2060
0,2039
0,2019
0,1999
0,1979
0,1959
0,1940
0,1920
0,1901
0,1882
0,1864
0,1845
0,1827
0,1809
0,1791
0,1773
0,1755
0,1738
0,1720
0,1703
0,1686
0,1670
X
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
ех
6,0496
6,1104
6,1719
6,2339
6,2965
6,3598
6,4237
6,4883
6,5535
6,6194
6,6859
6,7531
6,8210
6,8859
6,9587
7,0287
7,0993
7,1707
7,2427
7,3155
7,3891
7,7679
8,1662
8,5849
9,0250
9,4877
9,9742
10,486
11,023
11,588
12,182
12,807
13,464
14,154
14,880
15,643
16,445
17,288
18,174
19,106
20,085
21,115
22,198
23,336
24,532
е~х
0,1653
0,1636
0,1620
0,1604
0,1588
0,1572
0,1557
0,1541
0,1526
0,1511
0,1496
0,1481
0,1466
0,1451
0,1437
0,1423
0,1409
0,1395
0,1381
0,1367
0,1353
0,1287
0,1225
0,1165
0,1108
0,1054
0,1003
хю
0,9537
0,9072
0,8629
0,8208
0,7808
0,7427
0,7065
0,6720
0,6393
0,6081
0,5784
0,5502
0,5234
0,4979
0,4736
0,4505
0,4285
0,4076
х
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5
5,10
5,20
5,30.
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6
6,20
6,40
6,60
6,80
7
7,2
7,4
7,6
7,8
8
8,5
9
9,5
10
Продол
ех
25,790
27,113
28,503
29,964
31,500
33,115
36,598
40,447
44,701
49,402
54,598
60,340
66,686
73,700
81,451
90,017
99,484
109,95
121,51
134,29
148,41
164,02
181,27
200,34
221,41
244,69
270,43
298,87
330,30
365,04
403,43
492,75
601,84
735,09
897,85
1096,6
1339,4
1636,0
1998,2
2440,6
2981,0
4914,8
8103,1
13360
22026
жение
0,3877
0,3688
0,3508
0,3337
0,3175
0,3020
0,2732
0,2472
0,2237
0,2024
0,1832
0,1657
0,1500
0,1357
0,1228
0,1111
0,1005
ХЮ2
0,9095
0,8230
0,7447
0,6738
0,6097
0,5517
0,4992
0,4517
0,4087
0,3698
0,3346
0,3027
0,2739
0,2479
0,2029
0,1662
0,1360
0,1114
ХЮ3
0,912
0,747
0,611
0,500
0,410
0,335
0,203
0,123
0,075
0,045

Приложение
32 31 30' 23 28 27 26 25° 24 23 22 21 20° JS 18 17 /S 15° /* 73 12 11 10° 3 д