Author: Бутенин Н.В.
Tags: физика математическая физика теория колебаний издательство высшая школа
Year: 1963
Text
КОЛЕБАН И Й
Н. В. БУТЕНИН
ТЕОРИЯ
КОЛЕБАНИЙ
Допущено
министерством высшего и среднего
специального образования СССР
13 качестве учебного пособия для студентов
м ашиностроителъных, электротехнических
и строительных специальностей
высших технических учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ .ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — I 9 6 3
ОТ АВТОРА
В настоящем учебном пособии изложены общие основы теории
колебаний.
Учебное пособие написано в соответствии с программой по
дополнительным главам курса теоретической механики, утверж-
денной Министерством высшего и среднего специального образова-
ния СССР для механических машиностроительных специальностей
высших технических учебных заведений.
При написании учебного пособия использованы лекции по
линейным и нелинейным колебаниям, которые читал автор в те-
чение ряда лет.
Материал, не соответствующий программе дополнительных,
глав теоретической механики, включен в учебное пособие для
того, чтобы показать связь данного курса с целым рядом спе-
циальных курсов (прикладной теорией упругих колебаний, тео-
рией автоматического регулирования и т. п.).
Учебное пособие предназначено для студентов очных и заоч-
ных отделений высших учебных заведений.
При подготовке рукописи к печати учтены ценные замечания
профессора Г. Ю. Джанелидзе, доцентов М. И. Батя, А. Л. Двор-
никова и Я. Л. Лунца, которым автор выражает глубокую бла-
годарность.
Автор-
ВВЕДЕНИЕ
Колебания представляют собой наиболее распространенный
вид движения, которое обладает свойством повторяемости (перио-
дичности). Эта повторяемость может быть полной или частичной.
Трудно назвать область техники, где бы не возникали в той
или иной степени колебательные движения. Колебания ма-
териальных систем, различных по своей физической природе,
различны по характеру протекания, степени периодичности,
причинам возникновения. Они могут быть механическими,
электромеханическими, электромагнитными, химическими, термо-
динамическими и т. п.
К механическим колебаниям можно отнести: колебания балок,
фундаментов машин, корпуса корабля, крыльев самолета, колебания
токарных и фрезерных станков при некоторых режимах резания,
явление приливов и отливов, колебания плотности и давления
воздуха при прохождении акустических волн и т. д.; к электро-
механическим колебаниям — колебания мембраны телефона;
к электромагнитным — колебания в электрических контурах,
в волноводах, в резонаторах.
Колебания имеют огромное значение для современной техники,
особенно для таких отраслей, как автоматическое регулирование
и управление, судостроение, самолетостроение, турбостроение.
Такие же отрасли техники, как техническая акустика и радио-
техника, целиком основаны на использовании колебаний.
Следует отметить, что для некоторых отраслей техники основ-
ным при изучении колебательных процессов является разработка
борьбы с колебательными движениями (вибрациями), для других,
наоборот, разрабатываются методы наиболее целесообразного
использования колебательного движения для различных задач.
Но какие бы задачи по использованию колебаний или по их
подавлению не ставились, совершенно ясно, что прежде всего
возникает необходимость глубокого изучения колебательных
движений.
Несмотря на физическое разнообразие природы колебаний,
всем колебательным движениям присущи некоторые общие зако-
номерности. Изученье этих закономерностей, а также и разра-
3
Для состояния равновесия <р — 0 характерно то, что при
отклонении маятника от этого положения на небольшой угол не
происходит дальнейшего увеличения этого угла; при положении
же равновесия (ф = л) отклонение маятника на как угодно малый
угол неизбежно вызовет еще большие отклонения, т. е. маятник
будет удаляться от положения равновесия.
Таким образом, бывают состояния равновесия, для которых
эй системы от положения равно-
весия не вызывают в дальней-
шем еще больших отклонений.
Такие состояния равновесия на-
зывают устойчивыми.
Если же как угодно малые
отклонения системы от состоя-
ния равновесия приводят к все
возрастающим отклонениям, то
состояние равновесия называют
неустойчивым.
Кроме рассмотренных видов
состояний равновесия, может су-
ществовать и такое состояние,
когда система, будучи отклонен-
ной от положения равновесия на
произвольное расстояние (в известных пределах), всегда окажется в
новом положении равновесия и не будет стремиться вернуться к
прежнему положению или удалиться от него. Примером такого со-
стояния равновесия является состояние равновесия тяжелого шара
не горизонтальной плоскости. Такое состояние равновесия назы-
вается безразличным.
Строгое математическое определение устойчивости состояния
равновесия дал выдающийся математик и механик Александр
Михайлович Ляпунов (1857—1918). Наиболее важной из его работ,
посвященных проблеме устойчивости является его диссертация
«Общая задача об устойчивости движения» [14].
Приведем определение устойчивости состояния равновесия по
Ляпунову.
Устойчивым состоянием или положением равновесия системы
называется такое ее состояние, когда при достаточно малом
начальном отклонении от него и при достаточно малых начальных
скоростях все точки системы, имея сколь угодно малые скорости,
будут двигаться так, что они не уйдут от своего равновесного поло-
жения далее наперед заданного расстояния, как бы оно мало не было.
Пусть рассматриваемая механическая система, подчиненная
стационарным голономным связям, имеет з степеней свободы.
Положение такой системы определяется при помощи з обобщенных
координат qr, q2, ... qs. Эти координаты можно выбрать так,
чтобы в положении равновесия они равнялись нулю.
6
Положение равновесия = = • • • = ^ = 0 является устой-
чивым, если для любых наперед заданных положительных чисел
е и е2 можно подобрать два других положительных числа щ
/т] так что ПРИ соблюдении начальных условий
WK’I,, |<7,(0)|<Пг (1-3)
в любой момент времени t будет выполняться условие
1'7у(01<е1, |<7у(СКе2 (/=1, 2, ..s). (1.4)
Из этого определения, очевидно, вытекает, что число т]1
должно быть меньше числа 8t, а число
в противном случае условие (1.4) не было
бы выполнено уже в начальный момент
времени.
Используя данное определение, пока-
жем, что положение равновесия математи-
ческого маятника при ф--0 (рис. 2) бу-
дет устойчивым.
Для рассматриваемого примера q(t) =
= <р (Q и q (0 = <р (/). Зададимся какими-
либо положительными произвольными чис-
лами е* и е2 и выясним, можно ли подо-
брать такие числа т]1 и г)2, чтобы при
начальных условиях, удовлетворяющих
тп — меньше ибо
I
I
неравенствам
I Ф (0) |
|ф(0)|<112,
(1-5)
выполнялись условия
|<Р (0l<ei>
ф(0|О2,
(1.6)
как бы малы и в2 не были.
Покажем, как можно для положения равновесия при ф — 0
подобрать числа г)т и т]2.
Из закона сохранения механической энергии
Т + П = Т0 + П0;
для нашего случая следует:
—-J- mgl (1 — cos ср)
m/2cp02
2
+ mg/(l — cosepj,
где q5o = <p(O)
Так как
то
И <ро = ср(О).
1 — cos ф = 2 sin2 ~-
2 Фо
7
Так как и (р’^Ои sin2-^-^0, то можно записать
(1.7)
(1-8)
Неравенства (1.6) будут выполняться, если ф„ и ф0 подобрать
так, чтобы выполнялось
фо + 7 sin2 < ysin2 - |L, (1.9)
Ф2 + sin2 (1.10)
L Л
так как при этом согласно (1.7), (1.8) получим
sin2 ~ <sin2 -у и Ф2<С«1
/л £
и, следовательно,
|ф(01<8р |ф(01<е2.
Пусть у -у-sin -£-<Се2, тогда выполнение неравенства (1.9)
обеспечивает выполнение неравенства (1.10).
Выберем угол тп меньше ег Пусть, например, = т. е.
|фо/< V’ тогДа "Па найдется из неравенства (1.9).
В этом случае из неравенства (1.9) следует
фо <-р( Sin2 .rjj — Sin’-jJ
\ К*?44 'i J j *
ИЛИ
следовательно,
81
(1.11)
Если у —~sin-~->82, то выполнение неравенства (1.10)
обеспечивает выполнение неравенства (1.9).
Выберем скорость т]2 меньше б2. Например, пусть т]2 =
8 a
2 ”
т. е. | ф„ К Тогда из неравенства (1.10) вытекает
4sin2^<X-^=|e2,
/ 2 ^ 2 л 42
8
откуда Ф0<С2 arcsin-j- у — и, следовательно, искомое г^ —
л • 1 3/
= 2 arcsm 1/ — .
Н f g
Таким образом, показано, что как бы не были малы числа в*
и е2, всегда можно найти такие т]г и т]2, что при выполнении ус-
ловий (1.5) будут выполнены условия (1.6). Это и есть строгое
доказательство того, что положение равновесия маятника [при
<р = 0 является устойчивым по Ляпунову.
§ 2. Теорема Лагранжа-Дирихле о достаточном признаке
устойчивости положения равновесия системы
в консервативном силовом поле
Из выражения^для потенциальной энергии математического
маятника
II — mql(y —cos ср)
видно, что для положения равновесия при <р = л потенциальная
энергия будет иметь максимальное значение, а для положения
равновесия ср = 0 потенциальная энергия имеет минимум.
Это значит, что минимум потенциальной энергии здесь соот-
ветствует устойчивому состоянию равновесия. Но, оказывается,
что и для любой материальной системы минимум потенциальной
энергии является признаком устойчивого состояния равновесия.
Строгое доказательство этого утверждения дано в теореме Лаг-
ранжа-Дирихле: если для материальной системы, находящейся*
в консервативном силовом поле и подчиненной голономным,
идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в по-
ложении равновесия имеет минимум, то это положение равно-
весия является устойчивым. •
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы заметим,
что минимум потенциальной энергии при некоторых значениях
обобщенных координат qx, q2, . . ., qs уже обеспечивает выполне-
ние условий равновесия (1.2), так как при экстремальном значении
потенциальной энергии ее первые частные производные должны
обращаться в нуль.
Далее будем считать, что в положении равновесия q1 — qz —
~ . =qs = 0. Это можно достигнуть путем соответствующего
выбора обобщенных координат.
Примем, что потенциальная энергия в положении равновесия
равна нулю, т. е. /7(0,0, ..., 0) = 0. Это равенство всегда можно
получить, так как потенциальная энергия определяется с точностью
До произвольной постоянной и, следовательно, выбирая соответ-
ствующим образом эту постоянную, получим, что
77tnJn=/7(O,O,...,O) = O. (1.12)
Перейдем к доказательству теоремы.
Представим положение системы, задаваемое s обобщенными
координатами qx, q2, ...,qsy положением некоторой точки в s-мер-
ном пространстве. Эту точку назовем «изображающей». Так, на-
пример, для системы с двумя степенями свободы (s = 2) любое ее
положение можно задать при помощи декартовых координат qv>
q2 (рис. 3). Для доказательства устойчивости рассматриваемого
положения равновесия нужно показать, что можно найти такие
Рис. 4
начальные условия, что «изображающая» точка в s-мерном прост-
ранстве с координатами qY, q2, ...yqs не выйдет за пределы не-
которого как угодно малого s-мерного куба с центром в начале
координат, и производные от ее координат qlt q2y...yqs будут
как угодно малы.
Пусть е—любое наперед заданное положительное число. Так
как в начале координат потенциальная энергия имеет минимум и
равна нулю, то в некоторой окрестности начала координат потен-
циальная энергия будет положительна.
На гранях s-мерного куба, где (/ = 1, 2,...,s), по-
тенциальная энергия есть не обращающаяся в нуль положитель-
ная непрерывная функция. Пусть минимум этой функции будет
те, т. е.
{П (qv q2, . . .,qs)}^ т„ (1.13)
qj= ±е(/ = 1, 2, . . .,s).
Для системы с двумя степенями свободы величина тг пред-
ставляет собой минимальное значение потенциальной энергии на
сторонах квадрата со стороной 2е (рис. 3).
10
Если теперь подберем такие числа rj1 и г|2, что при выполне-
нии начальных условий
|<7/(0)1 <Пх. П/(0)|<П2
(/=l,2,...,s)
всегда (т. е. при любом t) будет соблюдаться условие
П
(1.14)
то изображающая точка не выйдет за пределы s-мерного е — куба,
т. е. будет выполняться | (/) | < в (/ — 1, 2, . . ., s).
Действительно, если изображающая точка достигнет грани куба,
то будет нарушено неравенство (1.14), ибо на гранях куба должно
выполняться противоположное неравенство (1.13).
Покажем, что числа т]1 и т]2, при которых будет соблюдаться
условие (1.14), можно подобрать.
Найдем такую окрестность начала координат, чтобы в ней вы-
полнялось условие
01>0). (1.15)
Такая окрестность всегда существует, так как П — функция
непрерывная, положительная и обращается в нуль в начале коор-
динат. На рис. 4 показано, как найти такую область при s = 2.
Для этого плоскостью /7 = ^ пересекаем поверхность Л —
= Л(д1? (?2) -и находим замкнутую кривую у. Внутрь проекции
кривой у на плоскость впишем квадрат с центром в начале
координат и стороной 2^.
Таким образом, всегда можно найти такой s-мерный куб со
стороной 2т], что при соблюдении неравенств
1?/(0)|<^ (/=1,2, ...,s) (1.16)
(будет соблюдено неравенство (1.15).
Пусть теперь в начальный момент будут выполняться нера-
венства (1.16).
Тогда для потенциальной энергии в начальный момент Ло
будет справедливо
Выберем начальные скорости точек системы такими, чтобы
при выполнении
I Д(0) 1<л2
'(где i]2 — достаточно малое число) выполнялось
(1.18)
11
При выбранных начальных условиях из закона сохранения
механической энергии
т+п=т0+пв
следует
Т’ + ПСпОе- (1-19)
Так как кинетическая энергия, что следует из ее опреде-
ления, всегда положительна и равна нулю только при равновесии
системы, т. е. Т^О, то согласно (1.19) имеем
Д<г]<Х, (1.20)
а это значит, что изображающая точка не выйдет за ^пределы
8 — куба.
Поскольку также и /7^0, то Т <^т\ те, а это значит, что
при т] достаточно малом | qL, (/) | не будут превышать наперед
заданной величины е2.
Таким образом, доказано, что исследуемое положение равно-
весия устойчиво.
На рис. 3 изображен квадрат со стороной 2е. По заданной
стороне квадрата 2е всегда оказывается можно подобрать квадрат
со стороной 2т],, такой, что если в начальный момент изобража-
ющая точка находится внутри этого квадрата и получает доста-
точно малую начальную скорость | qj(O) | <т]2, то она никогда
не выйдет за пределы указанного б — квадрата, как бы б" мало не
было.
В связи с тем, что вблизи положения равновесия /7^>0, до-
казанная теорема формулируется еще и следующим образом: если
при всяком достаточно малом отклонении системы от исследуемого
положения равновесия приращение потенциальной энергии системы
положительно, то данное положение равновесия устойчиво.
Если заданными силами, действующими на систему, подчинен-
ную идеальным связям, будут силы тяжести, то из теоремы Лаг-
ранжа-Дирихле вытекает принцип Торичелли: если центр тяже-
сти системы занимает наинизшее положение, то данное поло-
жение равновесия устойчиво.
Если в положении равновесия минимум потенциальной энер-
гии отсутствует, то исследование устойчивости состояния равнове-
сия становится очень сложной задачей
Приведем без доказательства лишь одну из теорем А. М. Ля-
пунова: если отсутствие минимума потенциальной энергии П
в исследуемом положении равновесия обнаруживается уже по чле-
нам второго порядка (или вообще по членам наименьшего по-
рядка) в разложении функции П (qx, q2, .. .,qs) в ряд Тейлора,
то равновесие неустойчиво.
Пример 1. Найдем, при каком условии верхнее вертикальное
положение равновесия маятника (<р = 0, рис. 5) является устой-
чивым, если свободному вращению маятника препятствует пло-
>2
<ская спиральная пружина, установленная так, что при ср = 0 она
не напряжена. При отклонении маятника от положения ф = 0 на
него действует восстанавливающий момент со стороны пружины
М — с | ф |, где с — постоянный коэффициент жесткости. Исследуем
также другие возможные положения равновесия.
Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Примем
за обобщенную координату угол ср (рис. 5). Пусть в положении
<р = 0 потенциальная энергия равна нулю, тогда при отклонении
маятника на угол ср потенциальная энергия системы будет равна:
77 = -:Р(а-^) + ^=-Ра(1-со8ф)+^.
Найдя
077 D I
— ==— Ра sin <р 4-сер
И
д2П
дф2
= — Ра cos (р с,
При Ф — 0, получим
дП п &П п .
-^- = 0, ^-2= — Ра4-с.
Оф 9 Оф2 1
Из первого равенства видно, что рассматриваемое положение
маятника при ф = 0 является положением равновесия. Из второго
равенства следует, что при с^>Ра
вторая производная от П по ф будет
больше нуля, т. е. потенциальная
энергия будет иметь минимум, а по-
ложение равновесия будет устойчи-
вым.
д2П
При с<^Ра <С 0 и, следова-
тельно, согласно теореме Ляпунова,
состояние равновесия при ф = 0 не-
устойчиво.
Найдем теперь другие возможные
положения равновесия. Для этого при-
дП
равниваем нулю
— Ра sin Фр + сфр^О,
откуда
с Рис. 5
81йфр=йфр.
Из рассмотрения рис. 6 следует, что при 0 с <С Ра и для
— л Фр <С я будем иметь два одинаковых по величине и разных
по знаку значений угла фр, т. е. будут два состояния равновесия,
симметричных относительно состояния равновесия ф = 0.
13
Для этих состояний равновесия будем иметь:
f д2П\ D in f с л\
~ Ра cos % + с==Ра cos % V -1)
= Ра cos <р (—sm фр--1 = Ра cos ср (Ще — 1'
Р \фр COS фр J к фр )
Из этого выражения следует, что
при всех значениях —л<^<рр<^л и, следовательно, состояния;
равновесия <рр 0 и фр<^0 будут устойчивы.
Рис. 6
Таким образом, установлено, что при с^>Ра будет единствен-
ное устойчивое состояние равновесия ф = 0. При с<^Ра будет три.
состояния равновесия:
1) ф = 0 — неустойчивое,
2) ф = фр 0 — устойчивое,
3) ф = фр 0 —- устойчивое.
Пример 2. Найти положения равновесия и исследовать их ус-
тойчивость для тяжелого стержня АВ (рис. 7), один конец кото-
рого связан с неподвижным шарниром А,
а к другому прикреплена пружина BD.
Длина нерастянутой пружины равна а,,
жесткость пружины с, длина стерж-
ня а.
За обобщенную координату возьмем
угол поворота стержня ф. Рассматриваемые
силы: вес стержня Р и сила упругости пру-
жины F, являются консервативными. При-
нимая, что в положении стержня, когда
пружина находится в ненапряженном со-
стоянии, потенциальная энергия системы
равна нулю, напишем выражение для пс-
тенциальнои энергии в виде
так как
а л . а а } а
COS у + j COS ф = у + у COS ф,
а удлинение пружины
к=а
I 2 cos у — 1У
Первая производная от П по ф будет
Q ф 1 А • Ф
2 cos ~ — 1 sm ~
дП Ра . 2
-V- =-тг sm ф — са
ду 2 1
= a sin у (Р — 2cd) cos -у у- са .
ф
Приравнивая это выражение нулю, получим
sin у (Р—2са) cos у
са =0.
Таким образом, положение равновесия определится или из
уравнения
sin У'- 0
или из уравнения
(Р — 2са) cos ~ -|- са — 0.
Первое из этих уравнений даст
q) = 0.
Из второго будем иметь
ф, са
cos ~ .
2 2са — Р
(1.21)
Очевидно, что положение равновесия, определяемое этим выра-
жением, существует лишь при условии
са
т. е. или при са^>Р, или при Ру>3са.
Вторая производная от П по ф имеет вид
д2П _ а
дф2"- ~2
(Р — 2са) cos ф 4~ са cos ~
* При
са
| 2са — Р |
15
Для положения равновесия при ср = О
д2П а ч
Это значит, что при Р^>са
чиво, а при Р <^са — согласно
Для положения равновесия,
это состояние равновесия устой-
теореме Ляпунова — неустойчиво,
определяемого равенством (1-21),
дгП____a r,D
о»<р“ 2 2са)
При са Р Д
1 д<р2
(2 cos' f - 1U ai cos -21 .
\ £ J & Cv
^>0, т. e. рассматриваемое положение равнове-
сия устойчиво.
При Р^>3са
д2П
д(р2
<^0, и, следовательно, положение равновесия
неустойчиво. ч
Таким образом, в рассматриваемом примере при са>Р суще-
ствует два состояния равновесия: неустойчивое при ф = 0 и устой-
чивое при <р — <pv определяемом из (1.21); при Р^>3са— также два
состояния равновесия: устойчивое при ф = 0 и неустойчивое при
Ф = Фг
При са<^Р^Зса будет одно устойчивое состояние равновесия
при ф — 0.
§ 3. Выражение для кинетической и потенциальной энергий
консервативной материальной системы при ее малых
отклонениях от устойчивого состояния равновесия.
Диссипативная функция Рэлея
Пусть положение материальной системы, имеющей s степеней
свободы, определяется обобщенными координатами qz, ...,qs.
Если рассматриваемая материальная система подчинена неста-
ционарным связям, то декартовы координаты точек системы свя-
заны с обобщенными координатами соотношениями:
X/-- ^2’ • • ’’ У S* ty* Т
= ( (!-22)
^7-- (^71’ ^2’ •••’^5’0 J
(/ = 1,2, . ..,п, где п — число точек материальной системы). Эти
соотношения эквивалентны следующему:
где ri— радиус-вектор, определяющий положение i точки. Ско-
рость /-й точки материальной системы будет:
V*— ~dt ^dq^1^ dq2^2 ‘ ‘ dqsqs I dt ’
16
Подставляя это выражение в формулу для кинетической энер-
1 п
о гг 1 V1 2
гии материальной системы Т = mivt > получим
i = 1
Вводя обозначения
будем иметь
. л 5
т = j- 2 2 Ajk qjqk + 2 Bkqk + Ta. (1.25)
Z j—-l k = l k—1
Заметим, что согласно обозначению (1-24)
Ajk—AkJ.
Итак, кинетическая энергия голономной материальной системы
с нестационарными связями состоит из трех частей.
Первая часть
Л = 4 2 2 Ajkqjqk (1.26)
является функцией второй степени относительно обобщенных ско-
ростей qyy q2, . . ,yqs\ вторая часть
— функцией первой степени относительно обобщенных скоростей
и, наконец, третья часть Т\— функция нулевой степени относи-
тельно обобщенных скоростей.
О г *
Если связи стационарные, то = 0 (/ = 1, 2, ..., п), и вы-
ражение для кинетической энергии принимает вид (1.26), где коэф-
фициенты Ajk являются функциями обобщенных координат, т. е.
AJk=Ajk^^ Чг’ ’ ’ •> 0 27)
17
Далее будем рассматривать лишь стационарные связи.
Примем, что в положении равновесия материальной системы ее
обобщенные координаты имеют нулевое значение, т. е.
<71 (0) = <72 (0) — • •. = qs (0) = 0.
Предположим, что движение материальной системы происхо-
дит таким образом, что значения ее обобщенных координат и об-
общенных скоростей малы. Отметим, что предположение о малости
отклонений материальной системы от положения равновесия и ма-
лости обобщенных скоростей остается еще неопределенным,
так
хак не указаны границы этой малости.
Разлагая коэффициенты AJk в окрестности положения равнове-
сия систем в ряд Л4аклорена по степеням обобщенных координат,
получим
Qs) (Дм)о + ( dqi\
Индекс 0 означает, что величины AJk и производные от A}-k
по обобщенным координатам берутся при нулевых значениях об-
общенных координат.
Обозначая ajk-= (A{aJk — akA и ограничиваясь членами,
порядок которых относительно обобщенных координат и обобщен-
ных скоростей не выше второго, будем иметь
i S aJkqjqk. (1.28)
Постоянные коэффициенты ajk называются квазиинерционными
коэффициентами.
Из выражения (1.28) следует, что для рассматриваемого дви-
жения кинетическая энергия является однородной определенной
положительной квадратичной формой обобщенных скоростей с
постоянными коэффициентами, так как она всегда положительна
и равна нулю только при равенстве нулю всех обобщенных ско-
ростей одновременно.
Потенциальная энергия рассматриваемой консервативной мате-
риальной системы является функцией обобщенных координат, т. е₽
Л;— Л , q2, • • • 9 qs).
Можно предположить, что в положении равновесия потен-
циальная энергия всегда имеет нулевое значение
П = П(0, 0, ..., 0) = 0.
Кроме того, известно, что в положении равновесия потенциаль-
ная энергия имеет экстремальное значение. Это значит, что произ-
водные от потенциальной энергии по обобщенным координатам
дП дП дП п
ч- , при q.~q = ... — qs — v
(координаты положения равновесия) равны нулю.
18
Следовательно, разложение потенциальной энергии в ряд
Маклорена по степеням qr, q2,..., qs в окрестности положения
равновесия имеет вид
J S
qz, . . <7i) = -2 {да,-даь)а • • •
/=1 k=l 4 J °
Вводя обозначение
дг77 \
и пренебрегая членами выше второго, получим
s S
-S cjkQjQk>
jz=A k~l
(1.29)
где cjk — ckj — постоянные коэффициенты, называемые квазиупру-
гими коэффициентами. Если потенциальная энергия системы в по-
ложении равновесия имеет минимум, то, как известно (§ 2), поло-
жение равновесия будет устойчиво.
Таким образом, при движении материальной системы в окрест-
ности положения устойчивого равновесия потенциальная энергия
будет определенной положительной однородной квадратичной фор-
мой обобщенных координат.
Будем теперь понимать под малыми отклонениями материаль-
ной системы от положения равновесия и малыми обобщенными
скоростями такие, для которых выражения для кинетической энер-
гии и потенциальной энергии имеют соответственно вид (1.28)
и (1.29).
Основной целью введения понятия малых колебаний, как это
показано ниже, является получение дифференциальных уравнений
движения в виде системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.
Введем теперь в рассмотрение диссипативную функцию Рэлея.
. Предположим, что материальная система совершает движение
ври наличии сил сопротивления. Рассмотрим случай, когда силы
сопротивления, действующие на точки материальной системы,
пропорциональны скоростям этих точек.
Пусть на i — точку материальной системы действует сила
Я/ = -₽А, (1.30)
где — постоянный коэффициент.
Найдем теперь обобщенные силы, обусловленные наличием
сил сопротивления, соответствующие обобщенным координатам
q„ .qs рассматриваемой голономной системы.
19
Как известно, обобщенные силы находятся по формулам
п
Используя (1.30), перепишем эту формулу в виде
но так как [9]
dqj dqj ’
то получим
V ft- d~Vi д V д v М
,=1 dqj dqjf^ 2 dqj i==1 2
Функция
функцией Рэлея.
(1 -32)
называется диссипативной
Таким образом, имеем
(1.33)
т. е. обобщенная сила, обусловленная силами сопротивления»
соответствующая какой-либо обобщенной координате, определяется
как частная производная от диссипативной функции по соответ-
ствующей обобщенной скорости.
Сравнивая выражение (1.32) с выражением для кинетической
/ П 2 \
/ тр? \
энергии системы I Т— видим’ что диссипативная функ-
\ f = 1 /
ция отличается от кинетической энергии положительными коэф-
фициентами (вместо mt стоит pz). Следовательно, для малых от-
клонений и малых обобщенных скоростей диссипативная функция
будет определенной положительной квадратичной формой обоб-
щенных координат и будет иметь вид
S S
£ ЕмЛ, (Д-34)
/— 1 k:-\
bjk = bkj — постоянные коэффициенты.
20
Уравнения Лагранжа второго рода при наличии сил сопро-
тивления имеют вид
а {'"''Л-<>Т-____д—
dt\dqj/ dqj dqj dqj'
(/=1, 2, . . s)
Умножим эти уравнения на qj и, просуммировав по/, получим
или
По теореме Эйлера об однородных функциях имеем
\
а так как
то окончательно будем иметь
d (Т + 77)
dt
— 2Ф.
(1.35)
Отсюда следует, что введенная для сил сопротивления, про-
порциональных первой степени скорости, диссипативная функ-
ция Ф является мерой рассеяния механической энергии Т -\-П
в единицу времени.
Глава 2
СВОБОДНЫЕ МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 4. Свободные незатухающие колебания
Положение материальной системы, подчиненной идеальным
голономным стационарным связям и имеющей одну степень, опре-
деляется одной обобщенной координатной qx = qt Кинетическая
энергия такой системы для малого отклонения и малой обобщен-
ной скорости будет (§ 3)
Г =4 а?. (2.1)
2S
21
Отметим, что если рассматривать прямолинейное движение
материальной точки, то постоянный коэффициент а будет равен
массе т этой точки. Если рассматривать движение твердого тела
вокруг оси, то коэффициент а будет равен моменту инерции тела
относительно оси вращения.
Если рассматриваемая материальная система находится в поле
консервативных сил, то согласно (1.29) ее потенциальная энергия
равна
H~cq\ (2.2)
где с — постоянный коэффициент. Этот коэффициент для различ-
ных систем имеет различное значение. Например, при рассмотре-
нии движения материальной точки под действием восстанавли-
вающей силы пружины этот коэффициент представляет собой
жесткость пружины.
Для консервативной системы с одной степенью свободы при
наличии стационарных идеальных связей уравнение движения
в форме уравнения Лагранжа второго рода имеет вид [9] и [12].
d /dL \ dL ___g
dt\dq/ dq ’
где L = T — n.
Для нашего случая получим
aq-\-cq = О
или, вводя обозначение k2 — —, будем иметь
q_^-k2q — 0.
(2.3)
(2.4)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка с постоянным коэффициентом.
Характеристическое уравнение этого диффе ренциального урав-
нения имеет вид
s24-F = 0. (2.5)
Корни этого уравнения чисто мнимые
sx — ik, s2 —— ik,
где i — V — 1.
Общим решением уравнения (2.4) будет
q = Clelkt
где сг и с2— произвольные постоянные интегрирования.
Выделяя из этого решения действительную часть, имеем
q — A cos sinfe/. (2.6)
В решении (2.6) действительные числа Л и В являются про-
извольными постоянными интегрирования.
22
Если ввести новые произвольные постоянные а и в при по-
мощи соотношений
A=asine, В—a cose, (2.7}
то решение (2.6) перепишется в виде
q sin (kt Ц-в).
(2.8)
Задавая различные значения произвольным постоянным, полу*
чим целое многообразие решений уравнений (2.4).
Таким образом, материальная система, имеющая одну степень
свободы и подчиненная идеальным стационарным голономным
связям, в поле консервативных сил около устойчивого состояния
равновесия совершает движение по синусоидальному закону.
Такое колебательное движение называется гармоническим.
L Из выражения (2.8) следует, что наибольшее отклонение
системы от положения равновесия равно а. Это наибольшее от-
клонение называется амплитудой колебаний. Аргумент
называется фазой колебания, а в—начальной фазой. Очевидна
что и амплитуда а и начальная фаза в как произвольные постоян-
ные интегрирования определяются из заданных начальных условий.
Пусть в начальный момент при г=0 начальное положение
системы определялось q — qQ, а начальная скорость q = qQ, тогда
продифференцировав (2.8) по времени, т. е. найдя
q — ak cos (ktе),
получим уравнения для определения а и в следующие уравнения;
#0 = asine,
q^ = ak cos в,
откуда
и, следовательно, величина q будет изменяться по закону
sin ^kt Ц- arctg .
(2.9)
Из рассмотрения этой формулы следует, что система будет
совершать движение лишь при условии, что начальные значения
qQ и qQ будут одновременно отличны от нуля. Это значит, что
для приведения системы в движение следует лишь в начальный
момент вывести ее из состояния равновесия, затем система будет
совершать движение согласно закону (2.9). Такие движения ма-
териальной системы называются свободными или собственными
движениями.
22
Величина fe, входящая в выражение (2.9), называется угловой
(или круговой) частотой колебания (в дальнейшем будем назы-
вать k просто частотой).
Частота k = не зависит от начальных условий и опре-
деляется параметрами системы.
Промежуток времени Т, в течение которого происходит одно
полное колебание, т. е. наименьший промежуток времени, по
истечению которого движение точки будет полностью повторяться,
называется периодом колебаний. Зависимость между периодом
колебаний и частотой определится из условия периодичности
движения
a sin [£ (/ Т) —е] = a sin (kt -J- 8 2л),
откуда
Т = (2.10)
Таким образом, период колебаний, так же как и частота, не
зависит от начальных условий. Это свойство системы называется
изохронностью.
Частотой колебаний v называют число колебаний в единицу
времени, т. е. v = ~.
График закона движения (2.9) представлен на рис. 8.
' Пример 3. Рассмотрим колебания груза весом Q, подвешенного
яа пружине, жесткость которой равна с (рис. 9).
Рис. 9
Возьмем за начало координат точку подвеса пружины. Тогда,
если длина свободной пружины равна /0, на тело А будет дейст-
вовать сила весом Q, направленная вниз, и упругая сила пру-
жины с ] г/ — /0|.
Пусть у будет обобщенной координатой (считаем, что груз
движется поступательно по вертикали; массой пружины пренеб*
24
регаем), тогда выражение для кинетической энергии системы
будет
Т - Т ту*,
где т — -----масса груза.
При выборе начала отсчета в точке О выражение для потен-
циальной энергии имеет вид
п -= — tngy + у (у — /0)2.
Находя первую производную от 11 по у и приравнивая ее
нулю
— mg + c(yn —
получим значение
/ I тё
y = yn = h + -r >
при котором П принимает минимальное значение, так как
Величина S = -~ представляет собой статическое удлинение
пружины под действием силы Q — mg.
Введем теперь новое начало отсчета в точке, где у — уп.
В ней сила веса груза и сила натяжения пружины взаимно
уравновешиваются. Такая точка называется точкой статического
равновесия.
Пусть теперь х координата, определяющая положение системы,,
причем
х — у — уп- (2.11)
Если принять, что в положении равновесия потенциальная
энергия равна нулю, то можно записать
JU £ JU
Так как кинетическая энергия в силу (2.11) записывается
в виде
Т — ^-тх\
то
L1 л 1 Л
= тх — сх
и уравнение движения системы имеет вид
mx-^-cx^G
или
25
где
Общее решение этого уравнения будет
x = asin (kt 4“е)-
Предположим, что в начальный момент (/
х0= — б, и у = уо=хо = 09 тогда
5 Зя
а = е=Т
?и, следовательно,
х =— б cos kt.
Период колебаний будет равен Т = 2п 1/ — .
* eg
Пример 4 [10]. Маятник, состоящий из жесткого невесомого
стержня длины /, несущего груз весом Р на конце, установлен
Рис. 10
так, что точка подвеса находится под грузом
(рис. 10). К этому стержню прикреплены две пру-
жины на расстоянии а от точки подвеса. Жесткость
каждой пружины равна с. Найти:
1) соотношение между величинами Р, Z, а, при
котором положение равновесия при <р = 0 устой-
чиво;
2) период малых колебаний около этого по-
ложения равновесия.
Взяв угол ф (рис. 10) за обобщенную коорди-
нату, для малых колебаний можем написать вы-
ражение для потенциальной энергии в виде
П — — Р1 (1 — cos ф) -|-ш2ф2 = — Р1 у -|-ш2ф2 =
=±(2са2 — Р1) <р2.
Так как
%1 = (2са2-Р/)<р, ^-=2ca2-Pl,
то положение равновесия при ф = 0 будет устойчиво, если
2ш2 —Р/>0
или
0) У = Ц, т. е.
Кинетическая энергия маятника равна:
26
Составив лагранжеву функцию
£ = Т_Я=1^/2^_±(2саг-Р/)<р\
получим уравнение движения маятника
— /2ф (2ш2 — Р/) ф = 0.
Из этого уравнения следует, что частота
2га2 \ g
Р/ Л
колебаний равна:
b2_(2caz-Pl)
к РР
а период
ГГУ 2 ТС
1
“Пример 5 [12] и [27].
тяжелого маятника, ось
калью (рис. 11).
= 2л 1/ 9 р. • J- .
г 2са2 — Pl g
Определить частоту
которого составляет
малых колебаний
угол а с верти-
Рис. 11
Рис. 12
Предполагается, что масса маятника сосредоточена в точке С.
Пусть ф означает угол поворота маятника вокруг своей оси.
Кинетическая энергия, очевидно, будет равна
7 = ^/2ф2.
Введем в рассмотрение неподвижную систему координат
Oxyz, причем ось г направим вертикально вверх, а плоскость
yz проведем через равновесное положение маятника. Обозначим
координату С в положении равновесия (на рис. 12 эта точка
обозначена Со), а г—-координату той же точки С, но после пово-
рота маятника на угол ф.
Потенциальная энергия равна:
П = Р(г — z0).
27
Из рис. 12 следует, что z0 = —/sina. Для того чтобы найти
координату г, разложим вектор ОС на два направления: направ-
ление оси Ох и направление ОСо. Составляющая по оси х проек-
ции на ось z не дает. Про-
, , _______________________екция на ось z — составляю-
д г< щей по направлению ОС0 —
/71_______ будет
z — — I cos <р sin a,
1 1 так как проекция ОС на на-
/ правление ОСо равна /cos ср.
Подставляя значения г и
z0 в выражение для потен-
циальной энергии, имеем
П — Р1(\ — cos (р) sin a.
Для малых ср
П = ~ Plqz sina.
£
Уравнение движения ма-
ятника имеет вид
Рис. 13
Рис. 14
<p-]-PZq) sina = 0.
Угловая частота маятника
равна
а период колебаний
Т = 2л 1/—4-
Г g sin
Из полученного выражения для периода видно, что при малых
углах а период может быть весьма большим. Такого типа маят-
ники иногда употребляются для записи колебаний при землетря-
сении (горизонтальный сейсмограф).
Пример 6 [12] и [27]. Для регистрации малых вертикальных
колебаний применяется прибор, изображенный на рис. 13, в ко-
тором жесткий рычаг ЛОВ, несущий груз Р, может вращаться
вокруг оси, проходящей через точку О, перпендикулярной
к плоскости рисунка. Определить частоту и период малых коле-
баний груза, если даны: момент инерции J рычага вместе с гру-
зом относительно оси вращения, коэффициент жесткости пру-
жины с и все размеры. Равновесное положение стержня ОБ — го-
ризонтальное.
Пусть угол поворота рычага будет ср (рис. 14). Если Lo — длина
пружины в ненапряженном состоянии, а L — длина пружины при
28
повороте рычага на угол <р, то потенциальная энергия пружины
будет
Так как равновесное положение стержня ОВ горизонтальное,
то это значит, что в этом положении предварительное напряже-
ние пружины Fq уравновешивает вес рычага с грузом, т. е.
FQa = Pl,
но
Fq С (^СТ Fq) J
где Лст — длина пружины, когда стержень ОВ горизонтален.
Отсюда следует, что
I — I =Fq — FI
ст 0 с ас
И
La = LCT —
° СТ nr
Используя найденное выражение для Lo, перепишем потен-
циальную энергию в виде
Примем, что потенциальная энергия веса рычага с грузом
равна:
= — Р (х — х0) = — Р (I sin ф — х0).
Величину х0 выберем из условия равенства нулю потенциаль-
ной энергии всей системы в положении равновесия, т. е. при
Ф = 0.
Так как потенциальная энергия всей системы равна:
/7.4-77.
/г т \2 1 Р1 /Г т X I П /1 • X
(L — Lct) + (L — ^ст) + 2^с — Р (Z sin Ф — О >
то выбирая х0
Р2/2
2tz2c
, будем иметь
77 = | (L - А„)2 + V ~ Lct) - Pl sin Ф•
Найдем теперь L. Из рис. 14 следует, что
А А = 2~— sin-^-.
1 cos а 2
Угол АХАК равен л—|---------а.
29
Таким образом, величина L будет:
l/^+4(E^),sin> -f-4-4^. ^smf.cos(a+f)==^
= j/Lct + 2cz2 (1 + tg2 a) (1—cos <p) 2aLCT [sin q>—tg a (1 —cos <p)].
Разложим L в ряд, ограничиваясь членами с ср2:
j j Г. । 2а2 (1 4- tg2a) Z1 ч . 2а г . , Z1 ч,
I=:Lct1/ 1 + —-7Г ~ • 0 — cos ф) +т~ lsin ф—tga (1—COS<р)] =
И £ст ст
Отсюда следует, что
(L-LCT)2
ст
Выражение для потенциальной энергии теперь будет
иметь
вид
Положение равновесия будет устойчивым, если Гпри <р —О
/7"(0)^>0, т. е. положение равновесия устойчиво, если
N = со? — FQa tg a
Предположим, что это неравенство выполнено.
Так как кинетическая энергия системы равна
то уравнение движения будет
Период колебаний
при а —0
«7ф~|-Уф
0.
7 = 2л 1/4
г са2
Определим, при каком а период колебаний будет наибольшим.
Обозначим
и найдем экстремум этого выражения.
30
Так как
_______ р п I 2а2 tg ccF0
dtga— г»а"Г дст >
то экстремальное значение tg а равно tg а — ~. При этом у имеет
ла
dztj
минимальное значение, так как .^>0, а период колебаний —
d(tga) г
максимальное значение
§ 5. Влияние на свободные колебания силы сопротивления»
пропорциональной первой степени скорости
Материальные системы, движение которых происходит в среде
с сопротивлением, не являются консервативными системами. Урав-
нения движения таких систем запишем в виде
dt \ dq / dq
(2.12)
где Q — обобщенная сила, соответствующая неконсервативным
силам, a L = T— П—функция Лагранжа.
Найдем выражение для Q в случае наличия силы сопротив-
ления, пропорциональной первой степени скорости.
Диссипативная функция Рэлея (§ 3) для системы с одной
степенью свободы имеет вид
®=~bq* (6>0).
На основании (1.33), определяем
ЭФ к'
Q = ~T = —bq-,
dq
так как для малых колебаний
T=^aq\ n = ^cq\
ТО (2.12) дает
aq-\- bq-}-cq = 0
или
где
2/г = -, £2=~.
а а
(2.13>
Уравнение (2.13) является однородным дифференциальным?
Уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение этого дифференциального урав-
нения имеет вид
s2-|-2/is-|-A!2 = 0.
Корни характеристического уравнения равны:
sI== —/г4-//г2 —^2,
s2 =—h — Vh2 — k2.
Характер движения точки будет существенно зависеть от соотно-
шения величин h и k.
Если h<^k (случай малого сопротивления), то корни характе-
ристического уравнения комплексно сопряженные. Если h^>k
(случай большого сопротивления), то корни вещественны.
Рассмотрим подробно каждый из этих случаев.
1. Случай малого сопротивления (h<^k). Корни
характеристического уравнения будут
s2 = ~h — iVk2 — h\
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
q = e~ht (сх cos t k2 — h2 4- c2sin t \'k2 — h2), (2.14)
где и c2— постоянные интегрирования.
Если ввести новые произвольные постоянные а и е при по-
мощи формул:
ri = asm8,
% c2 = ezcose,
то получим
q = ae~ht sin (tV k2 —h2 -f-s). (2.15)
Из рассмотрения выражения (2.15) следует, что при t—>оо
7—^0 (так как e~ht—>0), т. е. движение затухающее. Но это
затухающее движение будет колебательным, так как прежде чем
система достигнет положения равновесия (при t—>оо), она будет
проходить через это положение равновесия в моменты времени,
равные
, ПП — 8
L = —7= ,
п Vk2 — h2
где n = 0, 1, 2, 3, ...
Движение, описываемое формулой (2.15), не является перио-
дическим, так как с течением времени последующие максималь-
ные отклонения точки от положения равновесия постепенно
уменьшаются. Важным является то обстоятельство, что эти мак-
симальные отклонения достигаются через один и тот же посто-
2л
янный промежуток времени, равный г .
32
Рассматриваемое движение условно назовем периодическим
с периодом, равным
tjy 2зх
Vk2 — h2 ’
На рис. 15 кривые ае~м и —ае~м являются границами об-
ласти, внутри которой расположен график этого движения.
Обозначим t = i" (рис. 15) момент времени, когда
sin (Г ]/Л/г2 — /г2 е)
1;
тогда qt=tf, = ae~M".
В этот момент времени график движения касается кривой
ае~м.
Заметим, что qt=t" не равняется максимальному относитель-
ному отклонению системы от положения равновесия. Максималь-
ное отклонение достигается в момент f <^t" (рис. 15).
Рис. 15
Найдем моменты времени, соответствующие максимальным
относительным отклонениям системы от положения равновесия.
Для этой цели найдем производную по t от q, т. е.
q — — ае hX [h sin (t У k2 — h2 8) —
— У k2 — h2 cos (/ У k2 — /г2 —e) ]
и приравняем ее нулю
ae~ht' [— h sin (/' ]/*k2 — h2 -ф- е) -ф-
kz — h2 cos (f У k2 —h2 8)] = 0,
откуда
tg (f8).
3 H. В. Бутенин
(2.16)
33
Из этого выражения вытекает, что моменты времени, соответ-
ствующие максимальным относительным отклонениям системы
от положения равновесия, например в направлении положитель-
ного отсчета координаты q, следуют друг за другом через оди-
наковые промежутки времени, равные периоду
2 зт
Vk2 —~h2 ‘
Обозначая Г первый момент времени достижения" системой
максимального отклонения при <7>0, получим последующие
моменты времени достижения точкой максимальных относитель-
ных отклонений при 9>0:
/' + ?, Г+ 27, ..., Г + пТ, ...
Величины максимальных относительных отклонений для соот-
ветствующих указанных моментов времени равны:
ае~ ht' Y&2— h2 -j- e), ae~h (*'+Л sin (7 Yk2 — h2 + e), ...,
ae“M*'-Hnsin (7 Yk2— Л2 + е),...
Отношение любого последующего максимального отклонения
системы от положения равновесия к предыдущему через промежу-
ток времени, равный периоду, является постоянной величиной,
показывающей, во сколько раз уменьшается максимальное откло-
нение.
Это отношение, характеризующее быстроту затухания, назы-
вается декрементом колебания-, оно равно
ае~ Л + (п+О Л sjn уk2 — А2 -|- 8) p-h?
ae~h 1*'+"Л sin (/' у^2 — И2-[-г)
Натуральный логарифм этой величины, т. е. 1пе“Лг = — ЬТ
называется логарифмическим декрементом колебания.
Определим теперь произвольные постоянные интегрирования.
Пусть начальные условия будут: при / = 0 q = qQ, q — q^
тогда, подставляя эти условия в выражениях в (2.15) и (2.16),
получим для определения постоянных интегрирования следующие
уравнения:
q^ = а sin е,
qQ = — ha sin е + a Y k2 — h2 cos e,
откуда
<7o - h2
tg 8 = ~-------------------.
<7o + ^o
34
2. Случай большого сопротивления (й^>&). В этом
случае корни характеристического уравнения "вещественны и от-
рицательны
s2 = — h-\-Vh2 — /г2<0
s2 = — h — V~h* — 0
Рассмотрим предварительно граничный случай, т. е. случай
Корни характеристического уравнения при h = k кратные
(Si = s2 = — h) и общее решение имеет вид
+ (2.17)
где с, и с2— постоянные интегрирования.
Пусть начальные условия будут: при / = 0 q — qa, q = q9>
тогда подставляя эти начальные условия в (2.17) ив выраже-
ние для обобщенной скорости
— he ы (cl-\-c2f)-\rc2e~ht,
получим уравнения для определения ct и cz
Qq== Ч“ ^2»
откуда
Н = </о> С2 = ?о + ^о-
Таким образом, для заданных начальных условий закон изме-
нения q от времени записывается в виде
<7 = е-м[<7о + (?о + Ч>Н1- (2.18)
Из выражения (2.18) видно, что в этом случае движение
колебательного характера не имеет, но будет затухающим, т. е.
при t—>оо q—>0. Таксе движение часто называют апериоди-
ческим.
Для выяснения зависимости характера графика этого движе-
ния от 70 и q% исследуем выражение (2.18) на максимум и ми-
нимум.
Дифференцируя (2.18) по времени, имеем:
q = е~м [<j0 — h (qa + hqe) t].
Приравнивая это выражение нулю и сокращая на е~м^=0,
получим значение t—tx, соответствующее экстремальному зна-
чению q
t =
h (7о + Мо) ’
Рассмотрим несколько случаев.
з*
35
1. Пусть </0^>0, </0^>0, тогда /1^>0. Этому значению со-
ответствует максимальное значение q, так как
q = — h (q0 + hqj e -ht‘ < 0.
График движения в этом случае имеет вид, представленный на
рис. 16, а,
2. Пусть ?0>0,
0, но | qa\^>hq(). В этом случае tt
0,
Рис. 16
но (/ в этот момент имеет минимальное зна-
чение, так как
-^>0.
q
График этого движения представлен на
рис. 16, б.
3. Пусть <?0>0, 90<0, но |<70|</Ч0.
Для этого случая
<7o
ков движения
ВИЙ
Это значит, что q экстремальных значе-
ний не имеет.
График такого движения имеет вид, пред-
ставленный на рис. 16, в.
Отметим, что при qQ
не изменится, и,
0 характер графи-
например, для начальных усло-
1
У о \
<7 о 0»
Я О 0’
<7„>0, <h
qo>o, q0
графики будут зеркальным отображением графиков, представлен-
ных на рис. 16.
Рассмотрим теперь случай, когда h"^>k.
Общее решение уравнения (2.13) в этом случае имеет вид
q = e~M [Cletrh2-k2
(2.19)
Из этого выражения следует, что при t—> оо q—>0, т. е.
движение затухающее апериодическое.
Если при /=0
q=q^
то
„ $2*7о 7о „ Я о SiQo
где и s2 — корни характеристического уравнения.
36
Решение (2.19), используя найденные выражения для q и
перепишем в виде
М_о-.Уоь 5q.t.s^oes2t . (2.20)
Sz — Sj 1 s2 — Si v 7
Дифференцируя (2.20) по времени и приравнивая полученный
результат нулю, получим значение t=tv соответствующее экст-
ремальному значению q:
/ _____________ 1^ S2( ffo Sl(7o) ,
Г*-2Ул^Ш81(.о 52(?о)-
1 in / j i 2 /ft2 - ft2 (ft +/ft2 - ft2) I.
2/ft2-fe2 1 ft* [ дя -|_ qo (h + J
Искомое значение будет больше нуля в том случае, если
_________12 \п (9 21)
При ?о>0 и д0>0 неравенство (2.21) выполняется. Значе-
ние q при t = tx определяется выражением
= = q^^^h^V^-k2)
Движение системы происходит таким образом, что при увели-
чении времени t до значения ix величина q растет, а затем асимп-
тотически стремится к нулю. График такого движения имеет вид,
представленный на рис. 16, а.
Если <7о>0, 4о<°> но + —^г)> то неРа~
венство (2.21) также выполняется.
При этом
(h-\~Vh2 — k2)
es-Ji | g0 I
ft + /ft2 - ft2
| r/01
h + /ft2 — ft2
ft + /ft2 - ft2
k
g0 (ft + /ft2 - ft2)
<7ol
так как /z>0.
Следовательно, при t = tA q имеет минимальное значение. Гра-
фик этого движения изображен на рис. 16, б.
Наконец, при <70 > 0, ?0<0, |^01 <?0 (/гД-|/7г2 — fe2) нера-
венство (2.21) не удовлетворяется. Величина q экстремальных
значений не имеет (16, в).
Случай h — k имеет значение только как граница, отделяющая
колебательное движение от апериодического. Практически же
в реальной системе движения будут примерно одинаковы в доста-
37
точной близости к границе h — k как с одной, так и с другой
стороны.
Пример 7. Для определения вязкости жидкости Кулон упот-
реблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку,
он заставлял ее колебаться сначала в воздухе, а затем в той жид-
кости, вязкость которой надлежало определить, и находил про-
должительность одного размаха 7\ в первом случае и Tz — во
втором. Сила трения между пластинкой и жидкостью может быть
выражена формулой 2Scw, где 2S — поверхность пластины, v—
ее скорость, а — коэффициент вязкости. Пренебрегая трением
между пластиной и воздухом, определить коэффициент а по най-
денным из опыта величинам Т\ и Т2, если вес пластины равен Р.
Взяв начало отсчета в точке статического равновесия и обо-
значив х координату, определяющую положение пластины, полу-
чим уравнение движения пластины в воздухе в следующем виде:
— х —I— сх -= 0,
g ‘
где с — жесткость пружины.
Полупериод определяется по формуле
При движении пластинки в жидкости уравнение движения
будет:
— х 4- 2s ах + сх = О
g ‘ 1
и пол у период равен:
ГТЛ «Т
2 ’
где
k* = c4. h^g
Исключая из выражений для Т\ и Т2 величину с, получим
искомое а
§ 6. Определение частоты колебаний при помощи закона
сохранения энергии. Метод Рэлея приближенного учета
дополнительных масс [22] и [27]
Если сопротивлениями движению материальной системы можно
пренебречь, то в ряде случаев для определения частоты колеба-
ний весьма выгодно воспользоваться законом сохранения механи-
ческой энергии
тп=тв-\-пв.
38
Для малых колебаний около устойчивого положения равнове-
сия выражения для Т и П имеют вид соответственно (2.1) и (2.2)
и, следовательно,
-|а<72 + ус<72=у + (2.22)
«О Лл
где — обобщенная координата, — обобщенная скорость в на-
чальный момент времени.
Пусть <7о=^О, а <7о = О, тогда (2.22) примет вид
+1С?2 = 1Ч2. (2.23)
£
Если ^ = 0, кинетическая энергия будет иметь максимум,
Э9 = 9тах. Таким образом, согласно (2.23), имеем
|а92таХ=|с9о. (2.24)
Предполагая, что движение происходит по гармоническому
закону q — q^cos kt, получим
t •
<7 max 1 qo^9
и тогда на основании (2.24)
т. е. то же выражение, что и в § 4.
Перейдем к рассмотрению приближенного метода Рэлея учета
массы упругих тел.
При изучении колебаний груза, подвешенного на пружине
(пример 3), задача решалась без учета массы пружины как за-
дача с одной степенью свободы, при этом достаточно просто опре-
делен период колебаний груза. Если теперь учесть массу пру-
жины, то задача становится значительно сложнее и ее точное
решение представляет большие трудности.
Приближенное решение таких задач можно провести спосо-
бом, предложенным Рэлеем [22].
Считая, что колебания некоторой простой системы известны,
исследуем колебания системы, которая получается из первона-
чальной в результате внесения малых изменений в кинетическую
и потенциальную энергии. Будем предполагать, что закон коле-
бания новой системы лишь незначительно изменится (могут по-
явиться новые степени свободы, но будем считать, что коэффи-
циенты у соответствующих им координат и скоростей в выраже-
нии для Т и П малы).
Тогда для новой системы, отнесенной к прежней координате
(которая теперь лишь приближенно описывает движение системы)
39
имеем
T^T + ^T^L(a-Yba)q2, П\ = П + SZ7=1 (с+&)q2,
где да и дс— малые величины.
При начальных условиях: / = 0, q = q^ закон сохра-
нения энергии запишется в виде
Очевидно, справедливо
Т(а + 6а)9тах =4-(с + 6с)9о. (2.25)
Предполагая, что q изменяется по гармоническому закону,
т. е. q ~ qQ cos kt, на основании (2.25), получим
k2 =с-^-. (2.26)
Предположим (пример 3), что пружина имеет массу, но эта
масса мала по сравнению с массой груза. При этом можно считать,
что масса пружины не будет в значительной мере влиять на
закон колебаний и можно принять, что перемещение любого се-
чения пружины происходит так же, как и в том случае, когда
пружина массы не имеет. Это значит, что потенциальная энергия
системы не изменится от учета массы пружины (изменится лишь
положение точки статического равновесия системы), т. е. бс = О.
Определим да\ для этого найдем кинетическую энергию пру-
жины.
При принятых предположениях перемещение сечения пружи-
ны, находящегося на расстоянии b от ее верхнего закрепленного
конца, равно (рис. 9)
Ьх
Т ’
где I — длина пружины в положении равновесия.
Масса элемента пружины длиной db будет:
dm=z~db,
где у — вес единицы длины пружины.
Кинетическую энергию пружины вычислим по формуле
___ 1 у Г Ьх
пр ~2 g J ~Т
Таким образом, в рассматриваемом примере
40
и, следовательно,
А2 с _________ 3cg
Q । yl 3Q + Q/
£ ' 3g
где Q — вес груза, Qx — вес пружины, а с — жесткость пружины
(см. пример 3).
Глава 3
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 7. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивлений
В этой главе рассмотрено действие задаваемой силы, являю-
щейся известной функцией времени, на материальную систему,
которая может совершать малые движения около устойчивого
положения равновесия. Колебания в системе, которые возникают
благодаря действию задаваемой силы, называются вынужденными
колебаниями.
Пусть кинетическая и потенциальная энергии системы будут
Т = n=±cq2.
Пусть обобщенная сила, соответствующая обобщенной коор-
динате — известная функция времени
Q=f (0-
Дифференциальное уравнение движения системы при этом
имеет вид
dq + cq=f(t) (3.1)
или
? + (3.2)
«2 Г
где .
Рассмотрим сначала случай, когда /(/) является гармониче-
ской функцией, т. е.
Ш = Н sin (pt + б),
где Н — амплитуда;
р — угловая частота и
6 — начальная фаза внешней силы.
Если ввести обозначение
(3.3)
(Д'
то уравнение (3.2) перепишется в виде
?-|-/г2(7 = /70 sin (р/4-6). (3.4)
41
Уравнение (3.4) является линейным неоднородным дифферен-
циальным уравнением с постоянными коэффициентами второго по-
рядка.
Как известно, общее решение такого уравнения является сум-
мой общего решения однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения
q-^k2q = Q
было уже найдено в § 4 и имеет вид
qx — a sin
Будем искать частное решение неоднородного уравнения при
p=^k также в виде гармонической функции, т. е.^
<72 = Д8ш(р/4-у), (3.5)
где А и у — постоянные числа, которые нужно подобрать, чтобы
подстановкой q2 обратить в тождество уравнение (3.4).
Находя вторую производную от q2 по времени [<?2 =
— — р2Л sm(p/-|-у)] и подставляя ее и выражение (3.5) в уравнение
3.4), получим
A (k2 — р2) sin (pt -|- у) — #0 sifl (Р^ + й)-
Введя обозначение ф = pt-\-y, будем иметь
р/-|-б = ф-|-б— У
и, следовательно,
A (k2 — р2) sin <р — Не [sin <р cos (б — у) cos ф sin (6 — у)Ь
Приравнивая коэффициенты при sin ф и cos ф в правой и левой
частях уравнения, получим уравнения для определения неизвест-
ных А и у
A (k2 — р2) = Я0 cos (б — у),
0 — Не sin (б — у).
Так как Не=£0, то sin (б — у) = 0 и>
Y —б, ^ = ^_°p2
Таким образом, частное решение уравнения (3.4) имеет вид
92=^psin(p^ + 6). (3.6)
Это выражение определяет вынужденные колебания системы,
происходящие с частотой внешней силы и не зависящие от на-
чальных условий.
42
Амплитуда этих колебаний равна:
D=|T^- <3'7>
При k >> р имеем
?2 = Osin (р^4-д).
Это значит, что вынужденные колебания при k р совпадают
по фазе с вынуждающей силой.
При k < р
q2 — — D sin (pt 4- б) = D sin (pt -f- 6 + л)>
т. e. в этом случае разность фаз между вынужденными колеба-
ниями и вынуждающей силой равна л.
Итак, общее решение уравнения (3.4) будет
q = Яг + q2 = a sin (kt + 8) sin (pt + (3-8)
или (§ 4)
q = A cos kt-\-B sin ktЬ2И<> 2sin (р/Ц-S). (3.9)
Взяв общее решение в виде (3.9), определим произвольные
постоянные, задав начальные условия: при / — О q — q0, q — qQ.
Так как
q = — Ak sin kt -f- Bk cos kt-ф- 2 cos (pt6),
к p
то^уравнения для определения А и В получим в виде
«/o^ + ^^pSinS,
?0 = ^ + ^r4COS6,
откуда
А = sin б>
— --"Г Ь2 Н° t C0S б-
k k Р-р2
Подставляя эти выражения в (3.9) будем иметь
В. (
k2 — р2 \
q = q0 cos kt 4~ у sin kt —
sin6cos£f-]-y cos 6sinfe/)-]-^2~2psin(P^4_S). (3.10)
Полученное выражение (3.10) состоит из трех частей:
первая часть
qa cos kt Ц- sin kt
представляет собой собственные колебания системы, обусловлен-
ные начальными условиями;
43
вторая часть
Н.
kz — о2
представляет собой колебания, обусловленные наличием внешней
силы, но происходящие с частотой собственных колебаний;
третья часть
sin (pt + d)
есть вынужденные колебания, происходящие с частотой внешней
силы.
Вынужденные колебания, как уже выяснено, не зависят от
начальных условий; амплитуда их существенно зависит от соот-
ношения частот внешней
силы и собственных коле-
баний. Действительно, со-
ласно (3.7), имеем
о=—
'-V
^ст
1_£!
kz
>
го HQ На Н
где D =-^ = — = — .
ст k? ас с
Если рассматривать ко-
лебание груза на пружи-
не,
удлинение пружины под
действием постоянной си-
то DCT — статическое
л
с 2*
Рис. 18
/г
рис. 17 показан график из-
отно-
Из этого графика еле-
лы Я.
На
менения D при изменении
шения j
дует, что при р, достаточно близ-
ком к k, амплитуда вынужденных
колебаний будет очень велика, а
при р, намного большем k, ампли-
туда вынужденных колебаний
будет очень малой. На рис. 18 по-
казаны графики вынужденных ко-
лебаний, построенные при р =
k (рис. 18, а) и при р = 46
(рис. 18, б). Следовательно, если
1, то вынужденные колебания представляют собой высоко-
р_
k
частотные колебания очень малой амплитуды.
44
Отношение X
называется коэффициентом ди-
намичности, и оно показывает, как относится амплитуда вынуж-
денных колебаний к отклонению системы от положения равнове-
сия при постоянном воздействии, равном Н. График для X
аналогичен графику для D (рис. 17).
Рассмотрим случай, когда р очень близко к k. Примем при-
ближенно, что 1, но р — тогда при нулевых началь-
ных условиях выражение (3.10) можно записать в виде
^ = — ^^2 sin (kt + 8) sin (р/4-6)%
= ferz72sin?“E^zcos(p/4-6). (3.11)
Из этого выражения видно, что при р, близком к k, ампли-
туда колебаний будет равна:
2Я0
k2 — р2
. р — k
sin—
т. е. является гармонической функцией очень малой частоты,
сами же колебания происходят с частотой р. Такое явление носит
название биений. График функ-
ции (3.11) изображен на рис. 19. ?4я_________________i
Биения представляют собой
наложение собственных и вы-
нужденных колебаний с очень
близкими друг к Другу часто-
тами.
Перейдем к рассмотрению
случая р = k. В этом случае ча-
стное решение уравнения (3.4)
следует брать в виде
q^At sin (р/4-у).
Подставляя это выражение в (3.4), получим
2Лр cos (pt -ф- у)
/70sin (р/ + 6).
Вводя ср—pt-\~y, будем иметь
2 Ар cos ф = Яо sin [ф -ф- (S — у)],
откуда для определения неизвестных Л и у имеем
2Ар = sin(6 — у),
0 = Яо cos (S — у).
45
Из этих уравнений находим
а Л я Но
7 = в-у, А =
и, следовательно,
/"/п/ • f t г q эт \ Hr\t z . > —4
^=Vsinlpz+s~2tC0S(pZ + s)-
Общее решение будет
q = с, cos kt -f- ct sin kt — cos (pt -f- 6) •
zp
Для начальных условий: при t — Oq = qa, q=^q‘a
t cos (pt -f- 6) — sin pt
При 7o = 0, ^o = O имеем
q = q, cos pt + sinp^ —
sin pt — t cos (pt -J- 6)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
отклонения материальной системы
от положения равновесия бу-
дут неограниченно возрастать
с течением времени. Такое
явление носит название ре-
зонанса. На рис. 20 пред-
ставлен график изменения
*** с течением времени.
Рассмотрим теперь урав-
нение (3.2), где под f(t) бу-
дем понимать периодическую
2 л
функцию периода Т — — ,
разложенную в ряд Фурье>
(3.15)
со со
f (0 = v а0 + У as cos spt Д- У bs sin spt,
3=1 5 = 1
о 0
(s = 0, 1,2,3, ...),
(s = l, 2, 3, ...).
Перепишем (3.14) в виде
2^
co
+ У (as cos spt -f- bs sin spt)
(3.16)
и введем новые постоянные
as=A. sin 6., 6.=/l„cosSc.
Тогда (3.16) примет вид
СО
f (0 =4 а« + X 4sin № + ^)>
5 = 1
где
Л = ]/<4 + ^,
Г us
(Х>
Слагаемые суммы У* X<ysin(sp/-|-6J называются гармониками.
При s = 1 — первая гармоника, при S — 2 — вторая гармоника и т. д.
Уравнение (3.2) теперь будет
ОС
? + //5Sin(SPZ+65)> (3-17)
5 = 1
где
Нй=^, Н.=^-.
0 a s а
Предполагая, что k^=sp (s — 1, 2, 3, ...) будем искать част-
ное решение уравнения (3.17) в виде
00
<7,=М> + X sin (spt + ys), (3.18)
5 = 1
где Nq1 Ns и ys — постоянные (пока неопределенные) числа.
Подставляя (3.18) в уравнение (3.17), имеем
СО Q0
— X Nss*P2 sin (spt + b) + k^0 + X sin (spt + =
^=1 5 = 1
00
= уЯо+Х Hssin(spt + •
5 = 1
Вводя замену ys = $pt -{-ys, получим
QO qtj
X Ns (k2 — sV) Sin <p5 + k2N0 = у H„ + X Hs sin [<ps + (S,—Y,)]>
5=1
откуда
y5(F-SV) = ^cos(6.-Y,),
O = HS sin (65 — Yj.
47
Таким образом, имеем
N = Н± V =6 N =___________________
° 2/г2 ’ ь s k2—szp2’
и, следовательно, искомое частное решение будет
со
. ==& + sin (spt + 6s).
5=1
(3.19
(3.20)
Напишем теперь общее решение
СО
q=А cos kt + В sin kt + 4- У, . 2 Hs2 i sin (spt Д- 6S).
•j ду
5=1
Для начальных условий при t = 0 Q — Q — Qo определим
значения произвольных постоянных А и В. Уравнения для опре-
деления А и В будут:
ОС-
<70=4 4-4-У sin 6S,
' о I 2k2 1 к2 — sp2 s
5=1
00
q„ = Bk + £ cos 6,,
5 = 1
откуда
co
Д = Ш----та---У, та—'\ i;Sin6
/0 2k2 * k2 — sp~ s
5=1
k2 — s2p2 s
5 = 1
и, следовательно,
<?<> 2/г2
) cos kt 4- т? sin kt Д- та —
J fC ли
JO
5
< k2 — s2pz
5 = 1
CO
_ss2 2- sin (spt 65).
5 = 1 г
(3.21)
Рассмотрение полученного решения показывает, что постоян-
ная составляющая силы лишь смещает состояние равновесия
в направлении действия силы на величину
Поэтому; изменяя начало отсчета, т. е. вводя новую коор-
динату
2 = <7 —<7ст>
48
получим
Z = zo cos ktsin kt—
th
k2 — szp2
cos kt sin 6^ -J- sin kt cos d5) -|~
co
+ £ sin (spt + 6 J'
5=1 H
(3.22)
где
20 Qo QCT’ ^0 Qq*
В решении (3.22) первые два слагаемых представляют собой
собственные колебания, обусловленные начальными условиями.
Первая сумма — это колебания с собственной частотой, обуслов-
ленные наличием внешней силы, вторая сумма представляет
собой вынужденные колебания с частотами, кратными частоте р.
Если окажется, что k — np, где п — целое число, то частное
решение уравнения (3.17) следует искать в виде
п — 1
<h=N. + IL Ns sin (spt 4- ys) + #„/ sin (npt + ys) +
5 = 1
GO
+ £ Nssin(spt + ys). (3.23)
5 — П —j— 1
Очевидно, что величины No, Ns и у^, где s= 1,2, ..п— 1,
n-j-1, ... будут выражаться формулами (3.19). Величины же
Nn и yrt найдутся аналогично величинам (3.12) и будут равны:
N , у =S —— .
п 2пр Yn п 2
Подставляя все эти значения No, у^, Nst уп, Nn в (3.23),
получим
п — 1
q—+ £ и 2 sin (sPt + —
/2 2k2 1 k2 — s2p2 1 s'
5=1
QO
— cos (npt + fi„) 4- £ ^-j=2 sin (spt 4- 6S). (3.24)
5=П-|-1 H
Из этого решения следует, что благодаря наличию слагаемого
— cos (пр/4-6„),
отклонение q2 будет неограниченно возрастать с течением вре-
мени /. Такое явление носит название резонанса п-го рода.
4 Н. В. Бутенин
49
Определим теперь произвольные постоянные в общем реше-
нии для случая k = np.
Так как в этом случае
q — A cos kt -j- В sin kt <?2,
где qz определяется формулой (3.24), то для начальных условий:
при / = 0 q — q^, q--qQ уравнения для определения Л и В
имеют вид:
Из этих уравнений следует, что
со («)
А = q. — ~ — У, т^-И-V2 sin
2k2 k2— s2p2 s
5=1
СО (и)
В = ~ 4- cos 6 — тг У, fc2 а cos д.;
k 1 2пр п k k2 — s2p2 s’
5 = 1
значок (п) у сумм означает, что член при s = n в эти суммы не
входит.
Подставив найденные значения Л и В в общее решение,
получим
Я
<7о
Й cos kt + sin kt —
2 j 1 k
co («)
5=1
СО
k2 — s2p2
(П)
L k2- k2sin ^spt+—
5=1
" cos 6Msin&Z —
in П
= cos(np/4-6„).
(3.25)
Так как коэффициент при cos (npt-\-b^ у последнего" слагае-
мого при t—> оо неограниченно возрастает, то и отклонения
системы от положения равновесия будут неограниченно возрастать.
Отметим, что если в разложении внешней силы будут отсутст-
вовать некоторые гармоники, то резонанса, соответствующего этим
гармоникам, не будет.
Приведем решение уравнения (3.2) в форме определенного
интеграла. Это решение имеет то преимущество, что не требует
при его составлении знания конкретной зависимости обобщенной
50
силы от времени. Это решение получим, используя метод вариации
произвольных постоянных.
Как было уже показано (§ 4), общее решение однородного
уравнения
<?-|-F<7=0
имеет вид
q =Аcoskt-\-B sinAZ. (3 2)
Будем искать решение уравнения (3.2) в форме (3.26), но Л и В
уже считаем функциями времени. Продифференцировав (3.26) по
времени, считая Л и В функциями времени, имеем
q = — Ak sin kt -ф- Bk cos kt -ф- A cos kt -ф- В sin kt.
Так как вместо одной функции q вводятся две неизвестные
функции Л и В, то их можно связать между собой по нашему
выбору.
Будем считать, что Л и В таковы, что первая производная
от q по времени будет такой же, как при постоянных Л и В.
Тогда
q ==—AksinktBkcoskt, (3.27)
а
Л'cos kt -j- В sin kt — 0. (3.28)
Находя теперь вторую производную ст q по времени
q — — Ak^coskt — Bk2 sin kt — Ak sin kt -ф- Bk cos kt
и подставляя ее и (3.26) в уравнение (3.2), получим
— Aksinkt-^Bk cos kt ~ F(t), (3.29)
где f (/)=!/(/).
ex
Решая совместно уравнения (3.28) и (3.29), найдем Л и В
Л = — ~F(t) sin kt, (3.30)
К
cos kt. (3.31)
К
Интегрируя эти выражения, будем иметь
t
A(t) = c\ — С В(т)sinkrdr,
О
t
В (/) — с2 Ц- ~ С F (т) cos kx dx, (3.32)
* J
о
сг и сг — произвольные постоянные интегрирования.
Подставляя Л и В в (3.26), получим общее решение
t
q — с\ cos kt -j- c2 sin kt — ~ cos kt J F (t) sin kx dx Ц-
о
t
“hy sin#/ У F(t) cos#t dx
о
или, внося cos kt и sin£/ под знак интеграла
t
q = c1 cos/г/Ц-c2 sin у ?F(r)sinfe (t— x)dr. (3.33)
Пусть при t = 0 q = qa, q = qa.
На основании (3.32) имеем
Л(0) = с1? B(0) = c2
и, следовательно, согласно (3.26) и (3.27), получим
<7o=^(0) = Cv
<7o = B(0)fe = c2£2,
т. е.
^ = <70> С2=^^
Подставляя значения сг и с2 в (3.33), будем иметь
t
q = q0 cos kt + sin kt 4- ~ C F (t) sin k (t — r) dr. (3.34)
Если при / = 0 <zo = 0, qo = 0, то
t
q ==-£ J F(r)sin£ (t — x)dx. (3.35)
0
t
Слагаемое F (r) sin # (/— x)dx в выражении (3.34) представ-
ляет собой колебания, обусловленные наличием внешней силы.
Пример 8. Найти закон колебания груза в неподвижной системе
координат, подвешенного на пружине, верхний конец которой
совершает гармонические колебания по закону a sin pt (рис. 21).
эдесь жесткость пружины с, длина пружины в нейтральном положе-
нии /0, вес груза Q.
Выберем начало неподвижной системы координат в точке,
соответствующей точке статического равновесия груза при непод-
вижном верхнем конце пружины (рис. 21).
Напишем уравнение движения
Q -
— = — с (х — a sin pt).
о-
52
Вводя обозначение k2 — ~ , получим
x-[-k2x = ak2slr\. pt.
Считая, что k^p и при нулевых начальных условиях на
основании (3.10) имеем
х = Л sinsin kt)
или
Для того чтобы груз воспроизводил закон колебания верхнего
конца пружины с наименьшим искажением, нужно
собственных колебаний груза k была велика по
сравнению с частотой вынуждающей силы. Дей-
ствительно, разность между asinp/ и найденным
значением х будет
чтобы частота
# = asinp/
Эта разность будет тем меньше, чем меньше
отношение . Этот результат физически ясен, так
как увеличение k можно произвести за счет уве-
личения жесткости пружины и при абсолютно же-
Рис. 21
сткой пружине груз будет совершенно точно во-
спроизводить закон колебания верхнего конца пружины.
Найдем теперь жесткость пружины, при которой в системе
наступит резонанс.
Это будет при k
2
р или w = p , откуда
Закон колебания груза найдем в соответствии с (3.14)
ар sin pt . .
----— — t cos pt
2 p r
Пример 9. Определить вынужденные колебания для материаль-
ной системы, рассмотренной в предыдущем примере, по отношению
к подвижной системе координат, движущейся поступательно
по закону движения верхнего конца пружины (рис. 22).
с
53
Переход от неподвижной системы координат к подвижной
осуществляется по формуле
Подставив это
Согласно (3.6)
в уравнение (*), получим
хг 4- k2xT = ар2 sin pt.
имеем
ар2 • /
— 2sin pt
k2 — р2 r
a
----smPf-
Таким образом, в подвижной системе координат, совершающей
такое же движение, как и верхний конец пружины, вынужденные
колебания будут тем
Рис. 22
меньше отличаться от колебаний верхнего
конца пружины, чем меньше частота
собственных колебаний k. Отметим, что
/г ,
при малых у разность фаз между ко-
лебаниями конца пружины и вынужден-
ными колебаниями равна л.
В рассмотренном примере в сущно-
сти изложена теория прибора для
за-
Рис.
писи вертикальных колебаний — вибрографа. На рис. 23 при-
ведена схема такого прибора. Барабан, на который наносит-
ся запись, совершает такое же движение, как и верхний конец
пружины. Как следует из рассмотренного примера, для записи
колебаний на барабане с наименьшим искажением, необходимо
иметь пружину с очень малой жесткостью.
Пример 10. Определить вынужденные колебания груза, подве-
шенного на пружине (рис. 24), при действии на него вертикаль-
ной силы, график изменения которой во времени представлен на
рис. 25.
Если начало координат взять в точке статического равновесия
и ось х направить вертикально вниз, то уравнение движения груза
будет иметь вид
x-Yk2x = ^-f(t),
где т — масса груза,
Рис. 24
Разложим
по формулам:
/(О в
ряд Фурье. Коэффициенты ряда вычислим
Y C f (0 cos spt &
0
2jis
cos
С с / • 2jTS
\ f (0 Sin
V
О
Для имеем
(рис. 25):
S
о
1
т
о
2
2Р/ f
2
2
1
О
2
Для as (s= 1, 2,
2
2
2
2P C 2ns
s = ‘тг ) cos ' т
о
J cos t dt —
Z
2
— — sinstt Ц • (1 — COS 5Л),
SJT I
откуда
2Р Т
— sin зл -J
s sn Г
55
Аналогично находим
Таким образом, разложение f(t) имеет вид
где s=l, 3, 5, ... (нечетные числа).
Если Т2 = 0, то 7\ — Т и
СО
г / АР 1 • 2л .
f(t) =— / . — Sin-Tp-S/.
' v ’ л s Т
S — 1
Вводя теперь
1/ a24-b2 2Р / 7 Т \
Hs^—2( 1 —cossnb),
5 m snm r \ T J ’
перепишем уравнение движения в виде
СО
где
7\
sin «л
tgd,=-----------— , s=l, 3, 5 ...
1 — COS 5Л -77Г-
Вынужденные колебания, согласно (3.20), будут происходить
2л
по закону, если конечно ~s^k
§ 8. Вынужденные колебания при наличии сопротивления,
пропорционального первой степени скорости
При наличии сопротивления, пропорционального первой сте-
пени скорости, и задаваемой вынуждающей силы уравнение дви-
жения материальной системы имеет вид
тг=— ^-+Q(0. (3.36)
dt\dq J . дЯ dq' V '
где L = T — П — функция Лагранжа;
56
Т —кинетическая энергия;
П —' потенциальная энергия;
Ф —диссипативная функция Рэлея;
Q (/) = /(/)— задаваемая вынуждающая сила.
Так как для малых отклонений и скоростей
Т = ~адг, П = ^сдг, Ф=~Ьд2,
причем а, Ь, с — постоянные числа, то (3.36) будет иметь вид
ag-[-bg-}-cg = f(t). (3.37)
Рассмотрим подробно случай, когда f (t) — гармоническая
функция, т. е.
f (/) = // sin (р^ф- б), (3.38)
где Я, р и б— заданные постоянные величины.
Вводя обозначения
перепишем (3.37) в виде
q -J- 2hq ф- k2q = HQ sin (pt ф- б). (3.39)
Уравнение (3.39) — линейное неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение этого уравнения является суммой общего реше-
ния однородного уравнения qT и частного решения неоднородного
уравнения q21 т. е.
<7 = <7i + <7»«
В § 5 найдено общее решение однородного уравнения для
случая малого сопротивления (k /г)
q1 = e~ht (с1 cos t }/rk2 — h2 ф-с2 sin t ]/42 — Л2),
для случая большого сопротивления (k<^h)
qx = e~ht (c>^^^2 + 4e-'^^=T2),
где сг, с2, с'2— произвольные постоянные интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
<72 = D sin (р/ф-у), (3.40)
гДе D и у — постоянные величины, подлежащие определению.
Подставляя q2 и его первую и вторую производные по времени
в Уравнение (3.39), получим
D (&2 — р2) sin (pt ф- у) ф- %hDp cos (pt ф- у) = Яо sin (pt ф- б).
57
Вводя <р = р/—|—у, будем иметь
D(k2—р2) sin q-\-2hDp cos ф=Я0 [sin <р cos (б—y)-|-cos ф sin (б—у)];
это уравнение обратится в тождество, если
D(k2 — р2) = Нйсо$(Ь — у), i ..
2/iDp=tfosin(S —у). ) к ‘ ’
Уравнения (3.41) служат для определения D и у. Решая их.
будем иметь
П=- Н° , (3.42)
V(k2 - р2)2 4- 4й2р2 'l
tg(S_Y) = _^P_. (3.43)
Вводя обозначение
у'= 6 —у, (3.44)
перепишем (3.43) в виде
у = б —у' = 6 —arctg^^. (3.45)
Таким образом, частное решение будет иметь вид
Но sin (pt + б — у')
Y (k2 — р2)2 + 4Л2р2 ’
(3.46)
Это частное решение представляет собой вынужденные коле
бания, происходящие с частотой вынуждающей силы.
Напишем теперь общее решение уравнения (3.39):
Для h<Yk (малое сопротивление)
о
q = q1-\- q2 = e~M (сt cos t У k2— h2 -|- c2 sin t У k2— h2 )-|-
sin(p/-|-S — у'); C
|Д/г2 — р2)2 ~г 4Л2р2
для h^> k (большое сопротивление)
q = qi-[-q2 = e-M (c'lcty'^ + c2e~tV'^)-[- |
-4- r— H,> __sin (pt -j- 5 — у') • (3.48
1 У(k2 - p2)2 + 4li2p2
Из рассмотрения выражений (3.47) и (3.48) следует, что ка1
при hy>k, так и при по истечении достаточно большог
промежутка времени материальная система будет совершат
только вынужденные колебания, так как собственные движени:
системы затухнут. Вынужденные колебания, происходящие по за
кону (3.46), будут, таким образом, установившимися колебаниям
материальной системы.
Найдем закон колебаний материальной системы при наиболв
общих начальных условиях: при t = 0 q — q^, q = q0- Рассмотри
только случай h.<yk.
58
Дифференцируя (3.47) по времени, получим
Ч
е м [(с2 Y k2 — h2 — cji) cos t Y k* — h2 —
— ~b ci Y k2 — h2) sin t Yk2
/^ +
P^o___
Y (k2 - pY+wY
cos (р/—|—6 — y'),
и уравнения для определения произвольных постоянных интегри-
рования будут иметь вид
- °- sin (6 — у'),
) (£2 - р2)2 + 4/г2р2
<7о
откуда
о
th
YY — р2)2 -ф 4/г2р2
cos (б —у'),
ci = ?о------т =...............— sin (6 — у'),
V Д2-р2)24-4А2р2 v 1 ’
с Яг> 4~ ___
2 р/г2 - /’2
— 1Г9-------г;, л Y sin (6 — у') 4- Р COS (б —- у')].
Yk2 — hs Y(k2 - р2)2 4/i2p2 L V Г / I и \ I/I
После подстановки найденных с, и c2 в решение (3.47) имеем
q = e~ht [9о cos t Уk2 — h2 + sin t У k2 — Л2
1 Vk2~~h2
-----=r ... ^°e [sin (6 — v') cos t У k2 — h2-\-
/(^2-p2)24-4/iV v y 7 1
1
[h sin (6 — y') -f- p cos (6 — y')] sin t Уk2 — h2
0 ..sin (pt -4-6 — y )-
p2)2 4/г2р2 vr I /
Из полученного выражения видно, что как собственные коле-
бания, обусловленные начальными условиями, так и колебания
с собственной частотой, обусловленные вынуждающей силой,
с течением времени затухают и материальная система совершает
вынужденные гармонические колебания с частотой внешней силы.
Следовательно, эти вынужденные колебания и представляют
основной практический интерес. Амплитуда и фаза этих колебаний
существенно зависят от отношения частоты вынуждающей силы
к частоте собственных колебаний системы в среде без сопротив-
ления.
Амплитуда вынужденных колебаний, согласно (3.42), равна
_______li0_________________л-7 ст_____
У (^2 __ р2)2 + 4h2p2 — Z-7-—p2V ’
И + kzkz
59
где DCT = -^j- = — (отклонение системы от состояния равновесия
под действием постоянной силы И).
Вводя обозначения £ = 4’ , р~4, получим
_______^ст________
У(1 -z1 2)2 + 4z2p2 *
(3.49)
Из этого выражения следует, что при z — 0 D = DCT; при’г = 1
= а при z—> оо D — >0.
Выясним, при каких значениях г и р амплитуда имеет мак-
симальное значение. Введем
обозначение
Очевидно, что минимум у
соответствует максимуму D.
Так как
S=-^(l-22) + 8^2(
амплитуде D, так как при
то z, соответствующее экстре-
мальному у, найдется из урав-
нения
— 4^(1—г2) + 8?р2 = 0.
Корень этого уравнения
z = 0 соответствует D = DC(.
и не представляет практиче-
ского интереса.
При z^=0 имеем '
Это значение z будет дей-
ствительным лишь при
02 s' 1
Полученное значение z со-
ответствует максимальной
00 2
<Ру
dz2
8(1 — 202)>О.
1
На рис. 26 показана зависимость D от z при р2*^^-. Коэффи-
60
циент динамичности
-- в рассматриваемом случае равен:
ст
_______1________
у(1 - z2)2 + 4p2z2 ’
На рис. 27 построены зависимости X от г при различных зна-
чениях р. Эти графики очень удобны для определения ампли-
туды вынужденных колебаний, если известны
ст’
Z
Под резонансом в рассматриваемом случае можно было бы
понимать колебания при г = У\—2р2 или при р = У&— /г2,
но следуя установившейся традиции
под резонансом будем понимать коле-
бания при p = k.
Из рассмотрения рис. 26 и 27 сле-
дует, что если на материальную систе-
му будет действовать гармоническая
сила высокой частоты, т. е. когда p^>k,
то амплитуда вынужденных колебаний
будет так мала, что ею можно пренеб-
речь. Это свойство линейной системы
носит название фильтра высоких ча-
стот.
Напишем теперь выражение, опреде-
ляющее разность фаз между вынуждаю-
щей силой и вынужденными колеба-
ниями:
tg . 2hJL~ =
Y k2 - p2 1 - z2 ’
Из этого выражения следует, что при 2=1 (т. е. при резо^-
нансе) tg у' = оэ и у' = .
При 2 = 0 tgy' = O и у' = 0, при 2 = оо у'=л независимо
от р.
На рис. 28 приведена зависимость у' от г при различных
значениях р.
Рассмотрим случай, когда внешняя сила, являясь периоди-
ческой, разлагается в ряд Фурье вида
со
/(/)= 2 Я5 sin (spt 4-6s).
5z-l
В этом случае установившееся движение будет происходить
по закону
q = V r. s _________________sin (spt 65 — Y-0’
У (k2 — s2p2)2-\~ 4h,zszp2
S • 1
61
где
' , 2hsp
Y^arctg^^^.
Если при каком-либо s(s = 1, 2,3, ...) будет равенство sp = k,
то наступит резонанс соответствующего рода.
Пусть, например, sp = k при s= n. Тогда имеем резонанс и-го
рода. Амплитуда n-гармоники установившихся колебаний
при резонансе равна:
Нп
2hnp *
Максимальная амплитуда и-гармоники будет при
np = Vk2 — 2/г2
и равна
2h У kz - /г2 ’
При малых h разница между этими амплитудами весьма мала.
Предположим теперь, что f (0— любая функция времени, и
выразим решение уравнения (3.37) в форме определенного инте-
грала. Для этого применим метод вариации произвольных постоян-
ных.
Перепишем уравнение (3.37) в виде
q ~^-2hq-\-k2q = F (t\ (3.52)
где =
При k^>h решение уравнения (3.52) при F(0=0 имеет вид
q = e~ht (ct cos kxt -фс2 sinfe^). (3.53)
Найдем решение уравнения (3.52) [приГ(/)^=0] в виде (3.53),
считая (\ и с2 функциями времени. Для определенности будем
считать, что функции и с2 таковы, что производная от q
по времени имеет такой же вид как при и с2 постоянных.
Следовательно, имеем
q = e~ht (c2kl — hcj cos kJ — (c2h -ф-sin kJ],
ct cos kJ ф- c2 sin kJ — 0, (3.54)
где kx = Yk2 — h2.
Находя теперь вторую производную от q по t и подставляя ее,
а также q и q в уравнение (3.52), получим
— сх (he~ht cos kJ ф- kxe~M sin kJ) -ф-
ф-с2 (kxe~M cos kJ — he~ht sin йф) = F (0.
Полученное уравнение совместно с уравнением (3.54) составляет
систему уравнений для определения сА и с2, Решая эту систему,
€2
будем иметь
F(t) м
с =------~~е sm k.t,
1 kr 1
F(f) м ц ,
c, — —^-e cos kJ,
2 kr 1
откуда
t
cl — c1 — tM F (t) ehx sin kxx dx,
J
о
t
c2 v= c2 4- — F (t) eh~ cos kYxdx,
J
о
где c'j и c'2-—постоянные интегрирования.
Подставим найденные значения сг и с2 в (3.53):
q = e~M (t\ cos kJ -Г<?2 sin kJ)-\-
ht *
-j- [ — cos kJ C F (t) eh~ sin kxx dx -J-
0
t
4“ sin kJ §F(x) eh~ cos kYx dx] = e~M (4 cos kJ 4- 4 s^n ^4) 4“
0
t
4- 4 у F (t) e~ h (/ _ r) sin kx (t — t) dx.
1 0
Для начальных условий: при t = 0 q — qa, q — qa получим
q=e~M (<70 cos kJ ^sin kJ j -f-
t
+ y f F(r)e-*</-T>sin^1 (t — x)dx. (3.55)
0
Рассмотрим комплексный метод нахождения вынужденных
колебаний. При действии на материальную систему силы (3.38)
Уравнение движения имеет вид (3.39); при действии силы
/ (/) = // cos (pt 4- 6) уравнение движения будет
q -}-2hq -}-kzq — H cos (3.56)
Обозначим координату q в уравнении (3.39) q2, а в уравне-
нии (3.56) qx.
Тогда будет справедливо
2hql-irkzql = Hll cos (pt Д-6), (3.57)
+ 2h<h + ^^2 = ^0 Sin (PZ + 6) • (3 -58)
63
Введем комплексную координату
_____ <7=<71 + ^
где 1 = У — 1.
Умножая теперь уравнение (3.58) на i и складывая его затем
с уравнением (3.57), получим
q Ц- 2hq -\-k*q = Ное! О'*+8>
или
q-}-2hq-\-k2q = Ae'pt, (3.59)
где A = HoeiS.
Частное решение этого уравнения находим в виде
q = Be'pt. (3.60)
Подставляя выражение (3.60) в уравнение (3.59), имеем
В (k* — р2 + i2hp) eipt = Aeipt,
откуда
в =-&------• (3-61)
Л — Р + l2/zp v 7
Представляя комплексное число В в виде
где D и у — действительные числа, перепишем (3.61)
Deri = H _______-——
(3.62)
Из этого выражения следует, что
D = —— Н° -------
У(k2 - p2)z + 4hzpz'
Так как
z(pt+T) i
q = De =De V k ~p Л
TO
q. = r. . - - cos (pt Д- 6 — arctgz/^ Л
71 /(^„p2)2+4A2p2 1 ^k2-p2)
И
== ~ ^Z , Sin (pf + 6 — arCt§ ’
У (k2 — p2)z 4h2p2 \ R P /
т. e. выражение для закона вынужденных колебаний такое же,
что и в § 7, но получено оно более просто.
64
Функцию частоты
(ф) kt _ р2 _|_ i2hp
часто называют частотой или амплитудно-фазовой характери-
стикой.
Если на материальную систему влияет внешнее воздейст-
вие Aeipt, то в системе возникнут колебания, закон которых
получается путем умножения внешнего воздействия на частот-
ную характеристику
q = W (ip)Aeipt. (3.63)
Представим W (ip) в виде
W(ip)=R(p)
Модуль R (р) = ^._^ __.....называется амплитудной ха-
рактеристикой .
Аргумент ср (р) — — arctg называется фазовой характе-
ристикой.
Выражение (3.63) можно теперь переписать в виде
q=R(p) AeiW+v&K—R (р) Н&*+*+? (р)] —
= —... Hq -----& ^+5+ф (p)J
у (kz — р2)2 + 4hzp2
Пример 11. На рис. 29 дана принципиальная упрощенная
схема для исследования вертикальных колебаний мотора авиа-
ционного двигателя [20]. Моторная установка весом Р представ-
лена на схеме грузом А, амортизаторы заме-
нены в данном случае двумя пружинами с об-
щей жесткостью с, демпфирующие свойства под-
вески учтены введением демпфера В.
Определить максимальное усилие, переда-
ваемое на корпус самолета, если на моторную
установку А действует возмущающая сила
Н sinqt. Сопротивление демпфера В пропорци-
онально скорости, т. е. равно bv(b — коэффи-
циент пропорциональности). Выяснить также
зависимость силы, передаваемой на корпус са-
молета, от демпфирующих свойств подвески
моторамы.
Если начало координат взять в точке статического равнове-
сия груза и направить ось х вертикально вниз, то дифферен-
циальное уравнение движения моторной установки будет (пренеб-
регаем массой амортизаторов):
р .. .
— х——сх—bx-]-H sin pt
Н, В. Бутенин
65
или
х 4- 2hx 4- kzx = HQ sin pt,
где
2h =
p~cJ>
K — p »
Согласно (3.47) и (3.49), установившееся движение груза бу-
дет происходить по закону
где
^ст — > Y F —р2 •
Если обозначить
то амплитуду вынужденных колебаний можно записать в виде
D = W.
с 1
Закон движения будет иметь вид
х = XDCT sin (pt + у).
Искомая сила, действующая на корпус самолета, равна:
Т = сх~\- Ьх
или
Т = WCT [с sin (pt Ц- у) + bp cos (pt -J- у)] =
= I - sm(pf.+y)+-tt cos(j^-]-y) ,
o L -
HO
sin (pZ4-y) 4-cos (p/+ y) = 41 4-l^P_2sin (pt4- Y4~6).
где
. . 2Лр
tg6=-*r.
Так как
k^DCT = cDCT = H,
то
T=v/]Z 1 4-^sin(p^4-Y4-6)-
66
Максимальное значение силы Т равно:
будем иметь
При -£ = ]/ 2 \=1 при «любом h, т. е. не зависит от со-
противления демпфера.
При 2 с увеличением h величина X, уменьшается.
При 2 с увеличением h величина Z, увеличивается.
Пример 12. К телу, подвешенному на пружине и погружен-
ному в жидкость, сопротивление которой пропорционально пер-
вой степени скорости, внезапно приложена постоян-
ная сила. Сила действует все время'от t — О до t —
Определить закон движения груза для 0 <4 t tx и для
Очевидно, что если начало координат взять в точ- ®
ке статического равновесия, то уравнение движения ।_____<___
системы будет иметь вид (рис. 30) ^-z?e=-
х Ц- 2hx kzx = F (/), Z —rJ “
где k* = ~ — с — жестокость пружины, P —
вес груза, b — коэффициент сопротивления среды, х
F (0—=Q0» Qo — постоянная сила, действующая
Рис. 30
на груз при
Для нулевых начальных условий, согласно (3.55), имеем
о
ов-Л(/-т) — т)^б/т,
где
k,=Vk* — h2.
Вводя z—t— т, получим
<1 '
х = ~ Сe~hz svnik.zdz — —Ге~Й2/ •— r-sin'&.z— cos k.z\
kJ 1 h’ + kj \ 1 Jo
1 —e~ht
(3.64)
67
Полученное выражение, как известно, даст закон колебаний
Перемещение груза к моменту t = tv будет равно:
1 —е~м' (~ sin k.t. -I- cos k.=
Продифференцируем по времени выражение (3.64)
x = ~ e~M sin&.L
ki 1
Для f=i> имеем
xt=t1 = $?e~Zrt»sin£1£1 = xe. (3.66)
«1
Найдем теперь закон колебаний груза для t>tv При отсут-
ствии силы груз будет совершать собственные затухающие ко-
лебания. Для определения этих колебаний нужно в общем
пр тении
х = е~м [CiCos^-t-CjSin^jZ] (3.67)
определить постоянные интегрирования с, и ct, исходя из усло-
вий: при t=tt х=х„, х=х#, где х, и х, определяются выра-
жениями (3.65) и (3.66).
Так как
x=e~M[(ctkt—cji)coskj — (с^ + с,Л) sin Mb
т0 уравнения для определения ct и ct будут
с, cos k.t. 4-е. sin k.t. =^-’
I 111Ж 11 Ьх
cos k.t
_ (Л cos kjt -j- fe, sin Mi) с, (б, cos k1t1 — h sin kJ J=v sin kja.
Решая эти уравнения находим
Подставляя значения с, и с, в выражение (3.67), получим
Полученное выражение и представляет собой закон движения
груза при
Выражение (3.68) можно получить„ и значительно проще,
русть к рассматриваемой материальной системе, находящейся
в покое, приложена в момент t — t^ постоянная сила равная
Если этот момент времени выбрать за начальный, т. е.
вести отсчет времени от этого момента как от нуля, то на осно-
вании (3.64) будем иметь для т^>0, где x==t —
Если теперь это выражение сложить с выражением (3.64),
то получим
— sin kJ + cos kj^
а это и будет законом колебания материальной системы при
t>t'.
Пример 13. Определить закон колебаний для материальной
системы, рассмотренной в предыдущем примере, обусловленный
импульсом мгновенной силы [29].
Импульсом мгновенной силы называется предел произведения
силы на время ее действия, когда время действия силы стре-
мится к нулю, а сама сила стремится к бесконечности, т. е.
S—lim (Q-Q.
ti -> о
Q —> со
Учитывая, что zi==y перепишем (3.68) в виде
e-Aft-t.)
v- sin Л, (t — / J -f- cos kA (t —
(h
-7- sin M4- COS k,t
1 1 1
и перейдем к пределу при —>0
x==lim —X
—> о с
Q -> оо
g-Aff-fp R sJn __ q _|_ cos kr (t — tx)
X lim-------------------r—----------------
Применяя правило Лопиталя имеем
her,it~t<)
-r sin kx (t — ZJ + cos kr (t — tx)
k
t~h (t-tj j /z cos (Z —sin k, (t — Z,)]___________________ S
— e~ht-^-sink.t.
C R1
66
Так как k2 = ~, то
k LJ 7
х — г^е~ы sin k.t.
kyP 1
Очевидно,
где
Так как
что^максимальное значение x будет равно:
X -----! Р sin k t
max k P 011 vi/«’
1
1
^=^arctgy.
• k
sin arctgy = -
h
1
окончательное выражение для xmax будет:
у ____________________________Sg „-him.
Amax kpv
Глава 4
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
КОНСЕРВАТИВНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ 'СВОБОДЫ
ОКОЛО УСТОЙЧИВОГО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ,
§ 9. Дифференциальные уравнения движения
и их решение в общем случае
Для рассматриваемого случая (s = 2) выражения для кине-
тической и потенциальной энергий согласно (1.28) и (1.29) имеют
вид:
2 ^^12^71^2 ^22^2) ’
Ч~ 2^12^71^2 ~Н ^22?2)*
(4.1)
(4.2)
Так как кинетическая энергия системы — определенная поло-
жительная квадратичная форма, то коэффициенты а1г, а12 и a2t
не могут быть произвольными. Покажем, каким условиям должны
удовлетворять эти коэффициенты.
Предположим, что ап>0 и перепишем выражение для ки-
нетической энергии в виде
feT - ^11 Я1 Н 2^12^ц7 1Q2 ~~Н ^11^22^2^
’ 2ап iQ2 ^12^2 А2 ^12 ?г]
2ап f(^и^71 1~" ^12?2) “Н (^и^22 ^12^ ^7jl •
Из этого выражения следует, что при
ап > 0. (4.3)
Кинетическая энергия будет определенно положительной
только при
а1Аг — а!г>0. (4.4)
Если же аг1а22— Я12<^0, то кинетическая энергия должна
обратиться в нуль при
но так как кинетическая энергия обращается в нуль только при
одновременном нулевом значении (<Л —72 = 0) обобщенных ско-
ростей, то должно выполняться условие (4.4).
Из условий (4.3) и (4.4) вытекает, что и
^22 х> 0*
Таким образом, коэффициенты а12 и а22 должны удовлет-
ворять условиям
ап>0, а22>°> «11а22 —«12>0- (4-5)
Так как при движении системы около устойчивого положения
равновесия потенциальная энергия—также определенно положи-
тельная форма обобщенных координат, то коэффициенты с12
и с22 должны удовлетворять условиям
Х1>°» С22>°. С11С22 — > 0- (4.6)
Для консервативной материальной системы с двумя степенями
свободы дифференциальные уравнения движения в обобщенных
координатах (уравнения Лагранжа второго рода) имеют вид
d /dL \ dL q
dt\dq[)~~dq[ ’
d /dL \ dL g
dt V dq J ^2 ’
где
L — T — П.
Используя выражения (4.1) и (4.2), получим:
(4.7)
Будем искать решение этой системы линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
в виде
q^e^, qt = aest, (4.8)
где s и а — постоянные, но пока не известные числа.
71
Подставляя эти значения qt и q2 в уравнения (4.7) и предпо-
лагая, что esty^0, получим для определения s и а следующие
уравнения:
a11s’ + eu + a(a12s’ + c12) = 0, 1
a12s2 + c12 + aK2s2 + c22) = 0. / ( '
Исключая из этих уравнений а, получим уравнение для
определения s2:
(n„s2 + cn) (a22s2 4- c22) — (a12s2 + c12)2 = 0. (4.10)
Определив из этого уравнения s1, найдем величину а по лю-
бой из формул:
ф, ____gns2 ~~г~ gii
^12
ИЛИ
(4.11)
s.
Уравнение*7(4.10) биквадратное. Обозначим его корни s* и
причем будем считать, что
Исключим из рассмотрения случай, когда один из корней
равен нулю или когда корни кратные. Докажем, что при дви-
жении консервативной системы около устойчивого положения
равновесия корни sf и s* будут отрицательными.
Рассмотрим функцию
f (s2) = (a„s2 + Cn) (a22s24-c22) — (a12s2 -f- c12)2.
Значения s2, при которых f(s2) обращается в нуль, будут
корнями уравнения (4.10).
На основании (4.6) имеем:
(4.12)
Так как по (4.5) а„а22 — nJ2>0, то
f (± оо)— -|-оо.
Из рассмотрения этих значений функции f(s*) при различны»
s2 следует, что корни уравнения (4.10) будут отрицательными,
например
(рис. 31)
при —
г ап
будут удовлетворять неравенствам
72
Найдем еще одно соотношение между коэффициентами уравне-
ний движения.
Решая уравнение (4.10), получим
2 (^11^22 “F ^22^11 2б212С12) i
S1 2--- „ . 9 \
2 (Оц^ #12)
i —j— ^22^11 2^12^12) (^11^22 ^12) (^11^*22 ^Ig)
2 (<2ц#22 ^12)
___ (^11^22 ~ Г ^22^11 ^^12^12)
2 (^п<322 ^12)
dz ~У (^11^22 ' ^П^гг)2 * * 4 (^11^12 ^12а11Х(^22^12 £12^22)
2 (tZ1]a22 ^12)
Так как sJ<^0 и s22<0, то подкоренное выражение должно^
быть положительным, т. е.
(^11^22
^11^22) Ь" (^11^12
Вводя обозначения
^12^11) 22^12 ^12^22)
будем иметь
и, следовательно,
s = ± ikxi s2 — ± ife-.
Частное решение уравнений движения (4.7), соответствующее’
первому корню, согласно (4.8),
(z/J, — Cj cos 4" С2 s^n
(?s)i — ai (ci cos kJ -J- с2 sin kJ),
(4-13>
73*
где в соответствии с (4.11) будет
«х = - =- С» ~ 012 j, (4.14)
^12 ^12^1 ^22 ^22^1
а сг и с2 — произвольные постоянные интегрирования.
Частное решение, соответствующее второму корню, имеет вид
(7i)2 = cscos^4-c4sin£2/, Д
(72)2 = MC5COS V + ^sin V)> j
где
__ 41 flH^2 ^12 Й12^2 /а 1
ос2 =----------- =------------- (4.16)
42 ^12^2 4i2 ^22^2
(са и с4— произвольные постоянные интегрирования).
Для определения k* и k* служит уравнение (4.10), в котором
s* заменено на —k2.
(с„ — оп/г2) (с22 — a22k2) — (с12 — a12k2)2 = 0 (4.17)
АЛИ
(а1Лг — 012) kl — (atlc22 4- с, fi22 — 2oI2c12) k2 cnc22 — cj2 = 0;
это уравнение называется уравнением частот.
Введем новые произвольные постоянные Д1? А2, рг и fS2:
сг = Аг sin c3 = /42sin |32,
c2 = ylIcospi, c4 = 42cosp2.
На основании формул (4.13) и (4.15) получим
= Sin (^4-р,), 1
(72)i = aMisill(^/ + ₽i)> / ( ’
(<7x)2 = /l2sin(V + ₽2), 1
(?2)2 = M2sin(^ + P2)- J ( '
Общее решение линейных уравнений (4.7) будет суммой част-
ных^ линейно независимых решений, т. е.
91 — (71)1 + (71)г — Ai S^n + Pi) 4“ ^2 sin (^2^ + Рг)> ) 20)
9z = (72)1 + (72)2 = aiA1 sin (V + Pl) + M2"sin (k2t + p2). J
Коэффициенты и ос2 называются коэффициентами распреде-
лениям они вычисляются по формулам (4.14) и (4.16) или как корни
уравнения
(^12^22 ^12^22)^ +(^11С22 ^И^гг) (^11^12 ^11^12) ===®> (4-21)
которое получается из (4.9) путем исключения s2.
Общее решение (4.20) представляет собой закон свободных
колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы
около устойчивого положения равновесия.
Произвольные постоянные интегрирования Alf Л2, и |32
определяются из начальных условий: при t — 0
<7i(O) = ?io» 72(0)=72О- <7i(0) = ^o> <72(°) = <72о-
Рассмотрение общего решения (4.20) показывает, что каждая
из обобщенных координат изменяется по сложному закону, пред-
ставляющему собой сложение двух гармонических движений
с разными частотами, фазами и амплитудами.
Частоты kx и /г2 в общем случае несоизмеримы, поэтому закон
изменения обобщенных координат не является периодическим.
В связи с этим удобнее рассматривать каждое из слагаемых
этого решения в отдельности, т. е. законы изменения координат
рассматривать в виде (4.18) и (4.19).
Закон изменения координат, соответствующий меньшей ча-
стоте (&J [формула (4.18)], называется первым главным колебанием
системы.
Закон изменения координат, соответствующий большей ча-
стоте (k2) [формула (4.19)], называется вторым главным колебанием.
Каждое из этих колебаний происходит по гармоническому
закону.
Частоты kx и k2 называются соответственно первой и второй
главной собственной частотой системы, причем kr<^k2.
Из рассмотрения (4.18) и (4.19) следует, что в каждом из
главных колебаний обобщенные координаты (q,1)1 и (д2)1 или (7г)2
и (72)2 имеют одинаковые частоты и одинаковые фазы. Кроме
того, отношения амплитуд в первом и втором главных колеба-
ниях являются постоянными величинами
равными коэффициентами распределения, т. е. зависят от струк-
туры системы и не зависят от начальных условий.
Первое главное колебание иногда называют основным колеба-
нием, так как в целом ряде задач колебание с меньшей частотой
является основным в движении материальной системы.
Если одйа из обобщенных координат, например q2, тождест-
венно равна нулю, т. е. система не будет иметь одной степени
свободы, то уравнение ее движения имеет вид
о,
г. е. движение происходит по гармоническому закону с частотой
п. =
(4.22)
Если же ^ = 0, то для q2 справедливо уравнение
^22?2 ^22^2 0
75
и движение происходит по гармоническому закону с частотой
• (4.23)
22
Частоты пл и п2 называются парциальными частотами. Си-
стемы же, соответствующие парциальным частотам, называют
парциальными системами.
Парциальные частоты неравны главным частотам kx и
и, ’ следовательно, свойства системы с двумя степенями свободы
принципиально отличаются от свойств системы с одной степенью
свободы.
Отметим интересное обстоятельство, вытекающее из анализа
функции f (s2) (рис. 31). Как видно из условий (4.12), между
главными парциальными частотами существует соотношение
> п* > > °, (4.24)
2d £i JL Л “
т. е. парциальные частоты лежат между главными частотами,
причем первая главная частота меньше низшей парциальной ча-
стоты, а вторая главная частота больше высшей парциальной
частоты.
Это обстоятельство дает нам возможность судить о знаках
коэффициентов распределения при условии, что а12 = 0 или*
си = 0.
Случай а12 = 0 является случаем отсутствия инерционной
связи, а 'случай с12 = 0— случаем отсутствия упругой связи
между парциальными системами.
Действительно, если а12 = 0, то кинетическая энергия системы
т. е. кинетическая энергия составляется как сумма кинетические
энергий парциальных систем.
Если с12 — 0, то потенциальная энергия системы
/7 = 1(си^4-с22<7|),
т. е. потенциальная энергия является суммой потенциальные
энергий парциальных систем.
Если а12 = 0, коэффициенты распределения
Сп • Cjj Яц&2
ai =--------с---. = — —-с-------
с12 с12
и, следовательно, в силу условий (4.24) и а2 имеют разные
знаки.
Если clt = 0, то и^а2 также имеют разные знаки, так как
С11 ^11^2
76
Таким образом, при наличии только одной упругой связи или
инерционной связи знаки коэффициентов распределения раз-
личны*).
Исследуем так называемые биения для систем с двумя степе-
нями свободы в том случае, когда главные частоты kr и k* мало
отличаются друг от друга, т. е. при
’Ь __ h b
Заменяя в решении (4.20) аргумент на
где
= + (₽»-₽>). (4-25)
получим
9, = A sin (kJ 4- р,) + Аг sin (kJ + Pl +ip),
9» = “Д sin (^4 + PJ + “Д sin (kJ + Pi + ip).
Так как
sin (kJ + P> 4" Ч1) — sin (kJ 4- pi) cos ip 4- cos (kJ 4“ PJ sin ip,
TO
9i = Hi + A cos Ф) sin (kJ 4- Pi) 4- At sin ip cos (kJ 4~ pj,
qt = (а.Д J 4- atAt cos ip) sin (kJ 4- Рг) 4~ atAt sin ip cos (kJ 4- p,).
Вводя обозначения
Д,4- At costp=BiCosOi,
^iSinip=B, sin 6i,
a, A, 4- ос.Д. ccs ip = B. cos 0„
X А I X Z 1 Z Z r
a.A. sin ip=B, sin 6,,
Z Z 1 Z Z
перепишем выражения для qt и qt в виде
qt = Bt sin (kJ 4- pi 4-01),
<71 = 51 sin ^44-Pi + U>
где
в,=/ л:+л:+2ЛЛс«*, tg о,=.
В, = V«:л; + a\A\+2«АЛ ,Л, cos <|>, tg 9, -aWJU
Величины BT, B2, 9t и 62 содержат функции sinip и созф,
в которых ф, согласно (4.25), медленно увеличивается с тече-
нием времени, так как &2 — kr очень мало. Следовательно, в малом
промежутке времени—колебания почти гармонические.
В течение же большого промежутка времени амплитуды В*
и В2 этих колебаний медленно периодически изменяются в пре-
делах соответственно от | At— Х2| до и от 1»!^! —
— а2Л2| до I (одновременно) при медленном измене-
нии cos ф от — 1 до 1.
*) Отметим, что если одновременно а]2 — 0 и с12 = 0, то система распа-
дается на две независимые друг от друга парциальные системы.
77
Отметим, что если коэффициенты распределения и
имеют противоположные знаки, то максимуму Вг отвечает ми-
нимум В2 и наоборот. Следовательно, при усилении колебаний
первой координаты, колебания второй затихают, и наоборот.
Как уже указывалось, полученное явление периодического из-
менения амплитуды колебаний при близости значений главных
Рис. 32
частот kx и kz друг к другу называют
биением. График биений в конкретном
примере приведен ниже (рис. 34).
Пример 14. Найти закон движения
двух физических маятников, представ-
ляющих собой однородные стержни
одинаковых поперечных размеров и
сделанных из одного и того же мате-
риала. Маятники подвешены на одной
горизонтали при помощи шарниров и
соединены между собой пружиной, же-
сткость которой равна с. Длина пру-
жины в ненапряженном состоянии рав-
на расстоянию между маятниками
в положении их равновесия. Необходи-
мые размеры указаны на рис. 32. Массой пружины пренеб-
речь.
Выберем за обобщенные координаты углы отклонения маят-
ников от вертикали, т. е. углы отклонения маятников от их
равновесного положения:
<71 = <Р> 92 = Ф-
Выражение для кинетической энергии будет иметь вид
где и J?— моменты инерции первого и второго маятников
соответственно относительно осей, проходящих
через точки А а В.
Потенциальная энергия выражается формулой
П = Ы'ё 4 (1 —• C0S Ф)+т£ 4 U — cosФ) + .
где тг и т2 — массы маятников;
А — удлинение пружины.
Для малых отклонений
COStp^l—у, COSIp^l— Х = £(р—щр.
Следовательно,
78
Таким образом, имеем
— <7\, 6ZJ2 0, cz22 — /2,
си = ^4 + ш2’ c12 = —га2, c22==m2g-f 4-ra2.
Уравнение (4.17) будет иметь вид
(сп — а, Л2) (с22 — a22fe2) — cf2 = 0.
рассматриваемой задаче
Парциальные частоты в
2
П2
С22
а22
тгё 4- са2
следовательно, уравнение для определения главных частот
k* — (п2 + n2) k2 + п\ п2 — у*2 = 0,
где
у2 с12 czal
^11^22 *Л*^2
Решая это уравнение, получим
,2 «> 4- - V(п\ + п2)2 - 4 (п2г п2 - у22)
' ’=-----------------2 ----==
«1 4- «I - V\п2 - пу2 + 4у22
2
,2 «?4-”24-Ц(«?4-"1)2-4(^п2-у52)
k2==---------------------------------=
. _ п2 4- п2 4- Z(n2--П2)2 + 4у22
2
Так как а12 = 0, то коэффициенты распределения будут иметь
противоположные знаки:
са2
са2
са2
Для получения более наглядных результатов, предположим,
что /, = /2 = /, а следовательно, и /, = /2== J (т1 = т2 = т).
В этом случае
r ml2
так ка J = .
О
Главные частоты
79
Коэффициенты распределения в этом случае равны:
«1=1> а2 = — I’
Общее решение будет иметь вид
<р = Я, sin (kzt 4- р>) + Az sin (kzt + pt),
гр = At sin (kzt -j- PJ — A sin (kzt -j- p,).
Таким образом, в первом главном колебании (с частотой kz)
(ф)1==(-ф)1,
т. е. в первом главном колебании маятники совершают одинако-
вые движения с частотой, равной частоте каждого из маятников
при отсутствии пружины. Форма этого колебания показана на
рис. 33, а.
Во втором главном колебании
(ф). = —(Ф)2.
т. е. маятники отклоняются на одинаковые углы в противопо-
ложные стороны. Форма этого колебания показана на рис. 33, б.
Рис. 33
Определим теперь произвольные постоянные интегрирования
Лж, Pi и задав следующие начальные условия при
ф = ф„ г|) = 0, <р = 0, гр = О.
Для определения At, Аг, р, и р2 будем иметь уравнения!
tp.xz^sinp^Asinp,, j
O = ^1sinpi—^2sinps, '
0 = cos р, 4" cos Р2, J
0 = A.k. cos р. — A,kz cos ps,
откуда
80
и,
следовательно,
(р = ~ (cos kJ 4" cos ^20 = (Pocos i cos/?l ф— /,
z. £ £
, <Pn , . J 1 ±\ . ki — k<> J ki - r- k« ,
ip=у (cos kJ — cos kJ) = <p0 sm —g—-1 cos ——-1.
При /?i и /г2, близких друг к другу, т. е. при
бса2 , 3g
тР '-2!
ИЛИ
4cV
ml
получается явление биений, которое заключается в том, что
каждый из маятников совершает быстрые колебания с частотой
/ч МД2 и амплитудой, которая медленно изменяется с частотой
k2-k.
""2 *
При этом, когда амплитуда первого маятника достигает мак-
симального значения, у второго маятника она делается равной
нулю, и наоборот.
Явление биений представлено на рис. 34.
Пример 15. Определить частоты и формы главных колебаний
Двойного математического маятника (рис. 35) при условии, что
к точке ЛД (массы mJ прикреплена пружина жесткостью с.
Масса груза М2 равна т2. Длина пружины в ненапряжен-
ом состоянии равна /0.' Остальные размеры указаны на рис. 35
ассой пружины пренебречь. За обобщенные координаты примем
6
Бутенин
81
ф. Определим кинетическую энергию системы
Координаты точек Л11 и Л12 соответственно будут равны:
2 -1 ™ Т | *2 --^1 111 Т Г *2 0111 Т
и, следовательно, квадраты скоростей точек Л41 и М2 определятся
по формулам
*2
Для малых колебаний примем cos (<р
нетической энергии получим следующее выражение:
Т = ~ [(т. + /и.) /!ф2 + 2mJЛЙ4- т/Л'
• 1
тогда для ки-
Потенциальная энергия
П = m.gl. (1 — cos ф) + m2g [/r (1 — с
где X — удлинение пружины.
Для малых колебаний
G)2
COS ф 1 — 7-- , COSTp^ 1
COS1|))]+ —
4
Таким образом,
12
1)’ ^12
22
^22
Вводя в рассмотрение парциальные частоты
а
^22
перепишем уравнение для определения частот
22
в виде
22
I
♦
12
где
а2
2 12
12 „
т
т
*4
Эту формулу можно получить, исходя из теоремы о сложении скоростей.
откуда получаем
Решая это уравнение, будем иметь
—V №—
12
' 12
П1 + + У— «2
12
Коэффициенты распределения
12
и, следовательно,
Первая и вторая формы колебаний указаны соответственно
на рис. 36, а и б.
Рис. 36
Рассмотрим, как будут изменяться главные частоты при изме-
нении жесткости пружины (все остальные параметры системы
будем считать фиксированными). В качестве величины, характе-
ризующей изменение жесткости пружины, возьмем отношение
парциальных частот
6*
83
Вводя обозначения z = ——, (>~ 1—д29, сг = ——<О>
«з тг -Нл2
перепишем уравнение для определения главных частот в виде
уравнения гиперболы
GZ2
Одну ветвь гиперболы обозначим z1? другую z2.
При g = 0 2j = 0, z2 = ~~ , при g—>00 z1-^l. Для ветви
Рис. 37
zx асимптотой будет z
ветви
а
1, для
На рис. 37 показано распо-
ложение ветвей z. и z, и асимп-
А м
тот.
/ £2 \
Прямую z = 1 ( — = 1 ) на
\ /
рис. 37 можно рассматривать
как кривую неизменяющейся
парциальной частоты п2, а пря-
мую г = g ( —=-i- , как
\ П\ /
& *
кривую парциальной
Кривые z1 и z2 соответствуют частотам kr и k2.
Из рис. 37 следует, что при £ <4
частоты /zv
К*
А < А
а при 1
Рассмотрим случай, когда 1Х
В этом случае
1* = 1, т=тл
мА
т, с = 0.
«’=Т> ^=т- ^==4
= f (2-/2), ^ = |(24-]/2),
Пример 16. Исследовать малые свободные колебания груже-
ной платформы весом Р (рис. 38), покоящейся на двух рессо-
рах А и Ву имеющих одинаковые коэффициенты жесткости с.
Центр тяжести платформы с грузом находится на заданных
расстояниях а и Ь от рессор А и В. Платформа выведена из
положения равновесия путем сообщения центру тяжести начальной
скорости t>0, направленной вертикально вниз, без начального от-
клонения.
Массы рессор и силы трения не учитывать.
Момент инерции платформы Jc —0,1 (а2. Колебания
происходят в вертикальной плоскости.
За обобщенные координаты примем: у
тяжести от положения равновесия
рота платформы относительно
оси, проходящей через центр
тяжести, от положения равнове-
сия против часовой стрелки.
Кинетическая энергия систе-
мы равна:
отклонение центра
по вертикали вниз, ср
угол пово-
Рис. 38
Найдем выражение для по-
тенциальной энергии. Пусть КА и — величины сжатия рессор
Л и В в произвольном положении платформы, а ЛоЛ и ZoB— сжа-
тие этих рессор в положении статического равновесия.
Потенциальная энергия, отсчитанная от положения равновесия,
П = — Ру
Очевидно, что
оВ
а ср,
Используя эти выражения, перепишем потенциальную энергию
в виде
Р У + 4 (2/
6ф2 -|- 2ХоДу + 2ХоДаф
|- 2афу Ц- 2ХоВу — 2ХоВ6ф — 2bqy).
Реакции пружин в положении статического равновесия опреде
ляются по формулам:
следовательно,
Подставляя теперь полученные выражения для А,оЛ и ХоВ в вы-
ражение для потенциальной энергии, окончательно будем иметь:
[2с/
Ь2) ср2].
Из рассмотрения
дует
кинетической и
«12 = 0,
с,2 = с(а — Ь),
потенциальной
энергии сле-
«22 = 0,1 («24-62)^ ;
сгг,=с (a*Ьг).
Уравнение частот имеет вид
2
— 2с 0,1 (а* + Ь1)
b)2 = Q
или
6*-12|424-10сг-Щ4М
Р 1 ат 4- bz Pz
Корни этого биквадратного уравнения будут равны:
Согласно (4.14) и (4.16), имеем
1 с (о — а) ’ г
Определим в общем решении
У=A sin (kJ + pj 4- А2 sin (kJ 4- p2),
Ф = a, A 2 sin (kJ 4- p,) 4- a2 As sin (kJ 4- P2)
произвольные постоянные A„ A2, pt и P2 из начальных
при t = 0 y(0) = 0, y(0) = vQ, cp(O) = O, ф(0) = 0.
Так как
условий:
y = ktAt cos (kJ 4- PJ 4~ кгАг cos (M + P2),
ф—aAAcos (^4 A Pi) Ааг^гАcos (V+PA
то уравнения для определения At, At, pi и P2 будут:
0 = Aj sin Px 4- A2 sin p2,
0 = a,A, sin P, 4- a,A, sin P„,
A A I A I 2 2 12'
v„ = k.A, cos p. -\-k.A, cos p„,
V Д A 1A| AM 1 A r
0 = a.k.A. cos p. A-a.k.A, cos p,.
AAA BA мм2 12
Решая эти уравнения, получим
a.v
*>0
Искомый закон колебаний имеет вид
Первые слагаемые в обеих формулах представляют собой пер-
вое главное колебание, а вторые слагаемые — второе главное ко-
лебание.
Так как для первого и второго главных колебаний соответ-
ственно
(^) 1=(<р) 1» О)2 = ”(ф)2.
то первое главное колебание есть вращение платформы вокруг не-
которой неподвижной точки О1? а второе — вокруг неподвижной
оси 02 (рис. 39). Расстояния Ofi
и 02С равны: 1 1 1 j is 0^ ~
1 «1 Qr__ 1 а' 2 а2 J |
Знаки у и ср I i ' 1 в первом случае । ।
одинаковы, а во втором противо- JrL г ___________!
по ложны. В целом малые колеба- Л| । У*—
ния платформы представляют со- | [ j"-*
бой сумму этих вращений, проис- рис, 39
ходящих одновременно.
Пример 17. Найти частоты и формы главных поперечных ко-
лебаний балки, свободно лежащей на двух опорах О и С (рис. 40)
и нагруженной в точках и М2 двумя грузами весом, соответ-
ственно, Qt и Q2. Массой балки пренебречь. Проекции упругих
сил F, и 72, действующих со стороны изогнутой балки на грузы
в точках Мг и М2, имеют вы-
ражения
Рис. 40
где с2, с' и с" — заданные
постоянные коэффициенты,
зависящие от жесткости бал-
ки при изгибе и от длин
^1» Ь (эти коэффициенты определяются методами сопротивле-
ния материалов), и f2 — прогибы балки в точках и ТИ2.
Пунктирная линия ОАВС на рис. 40 обозначает положение
статического равновесия изогнутой балки под действием грузов
За обобщенные координаты примем отклонения уг и у2 точек
и М2 от их равновесных положений А и В. Величины стати-
ческих прогибов а и b (рис. 40) определяются из условий Ft = Qx
и F2 = Q2, т. е.
Q =с.а— c.b, О = с'b — с" а.
Кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия, отсчитанная от положения равновесия
ОАВС, записывается в виде
Подставив в это выражение 7\, Р2, Q1? Q2 и приняв во внима-
ние, что fl=yiAra, f2 = y2-\- Ь, получаем
77 = У ~ + С'У^ + “ С2Ь ~ С"Ь) У1 “
— (2с'b — с2а — с"а) у ].
Так как в положении равновесия обобщенные силы равны нулю
т. е. при у, = Оу у = 0
ду
то коэффициенты q, с2, с' и с" должны удовлетворять уравнениям
и, следовательно, окончательное выражение для потенциальной
энергии имеет вид
‘Итак, имеем
Уравнение частот имеет вид
откуда находим квадраты главных частот:
Т /(Q/ + Qa)2 - Q,Q2 [4qc -(с2+с')2]],
где знак минус относится к kz1 а плюс — к k2.
1 2
88
Коэффициенты распределения равны:
Для частного случая, когда /
задачи будет с .—с, с9 = с”,
этом случае
ls и Q1=^Q2 = Q в условии
Рис. 41
т. е. в первом главном колебании
GOi = QOi=A sin (kj 4- в.),
во втором главном колебании
(У2)2
(^1)2
Формы главных колебаний изображены на рис. 41. Расстояния
от точек Л41 и М2 до их равновесных положений Л и В в каж-
дом главном колебании по величине одинаковы (Л1ТЛ —-Л12В).
§ 10. Особые случаи
(случай кратных корней, случай нулевого корня)
Выше рассмотрены случаи, когда главные частоты неравны
друг другу и ни одна из частот не равнялась нулю.
Рассмотрим сначала случай равных частот.
Корни характеристического уравнения (4.17) будут равны друг
другу при условии f (
. е. при
22
22
^22
12
12
Обозначая эти отношения &2, будем иметь
и, следовательно, потенциальная энергия запишется в виде
^22^7 2^’
Дифференциальные уравнения движения системы при этом
имеют вид
|1
или
Рассматривая эту систему как систему двух однородных урав-
нений относительно неизвестных (?!-(-k2q^ и (q2-\^k*q^ и при-
нимая во внимание, что определитель этой системы (см. 4.5)
Убеждаемся, что система имеет только нулевые решения
Из этих уравнений следует
<71 = sin (kt + pj, q2 = Д2 sin (kt + 02),
т. e. обе координаты изменяются по гармоническому закону
с одинаковой частотой, равной
Произвольные постоянные определяются из начальных условий,
причем для каждой координаты независимо от другой.
Рассмотрим теперь случай, когда одна из главных частот
равняется нулю. Согласно уравнению частот это будет тогда,
когда
ciA2 — ^2 = 0. (4.26)
Отметим, что в этом случае нельзя утверждать, что состояние
равновесия, около которого изучаем движение системы, будет
устойчивым.
Действительно, на основании (4.26) имеем
^12 ==
и, следовательно, выражение для потенциальной энергии
П = у (cn?f + 2cltq,qt + c2iql) = 1 ± 2/Е^2?1<?2 -f- с22^) =
Отсюда следует, что потенциальная энергия уже не будет
знакоопределенной функцией, а может обращаться в нуль при
q^ и б/2, неравных нулю (такие функции называются знакопостоян-
ными) .
Введем теперь новую обобщенную координату
90
откуда
Выражения для кинетической и потенциальной энергии будут
иметь вид
где
Уравнения движения при этом
^11^1 ^12^2
^12^ ~~ ^22^2
Исключая из этих уравнений <?2, получим
(&1А2—6А) ^ + ^ = 0,
откуда
= A sin (kt -|- р), (4-27)
где k2 =------—------>0, так как для коэффициентов Ь2„
Л" ьг1ь22 - ь212
Ь12 в силу (4.5) должно выполняться
условие
^„>0, 622>°> fciA2 — b\2> 0.
Интегрируя второе уравнение дви.
жения, имеем
q2 = — ^А sin (kt + ₽) + с J + с2.(4.28)
и ЛЛ
Рассмотренный случай, очевидно, воз-
можен тогда, когда потенциальная энер-
гия не будет содержать координату q2.
Положение равновесия будет опреде- Рис. 42
ляться координатой ^ = 0, а координа-
та qt может иметь любое значение. Это значит, что в отноше-
нии координаты q2 положение равновесия безразлично.
Пример 18. Материальная система представляет собой груз М,
колеблющийся на конце круглого невесомого упругого стержня
(рис. 42). Найти закон колебания груза.
Рассматривая малые колебания груза, будем считать, что
точка М при изгибе стержня перемещается в одной плоскости
хОу, перпендикулярной к^неизогнутой оси стержня. Тогда
(тх2 wz/2),
| С (ОМ)г
(сх2-\-суг),
91
где т — масса груза, с — коэффициент жесткости стержня, кото-
" / ЗЕ I \
рыи известен из курса сопротивления материалов [ с = —^~ ); он
одинаков при изгибе во всех направлениях, так как взят круглый
стержень.
Уравнения движения
тх~г сх= О,
Следовательно,
Траекторией движения точки М (рис. 42) в этом случае будет
эллипс, а в частных случаях окружность или прямая, так как
рис. 43. Предположим, что тело
Пример 19. Рассмотрим движение системы, изображенной на
• В имеет массу т2 и перемещается
по направляющей без трения; нить, на которой подвешено тело А
массой будем считать невесомой.
Пусть обобщенные координаты
Тогда
2
Квадрат скорости тела А
.2 '2 2 /2*21'2 п /* *)
= cos г/, •
" " *“ II
*) Из рассмотрения рис. 43 следует, что скорость можно найти
непосредственно, складывая геометрически переносную скорость д2 и относи-
тельную скорость /7, тела А.
Для малых qr и qx получим
vi = Pqi-\-2lq.q,-\-qt
ля тела В квадрат скорости определится по формуле
кинетической энергии получим следующее выражение:
(т^у
где
*^11 , ^l2 - — ^.22
Потенциальная энергия системы
n=-^m.g (l — x1) = m1gl (1
Для малых i/j получим
nggi)-
Уравнения движения имеют вид
L
ля q получим уравнение
т
т
следовательно
Для q будем иметь
т
т. -
А $'Лп(/с/ | Д5) Д-с/
1А sin(fe/-|“P)"hci^"bc
т
Найдем теперь ординату центра тяжести ус системы тел 4
ЭД + т?У2
Так как для малых q
го будем иметь
т
- т
Этот результат,
женин центра масс.
естественно,
можно получить
сразу из теоремы о дви-
93
Генератор |
Рис. 44
Таким образом, оба тела совершают гармонические колебания
в системе координат, связанной с центром тяжести этих тел, ко!
торый, в свою очередь, движется равномерно параллельно оси J
или находится в покое (в зависимости
от начальных условий). 1
Пример 20. Исследовать свобод-!
ные крутильные колебания вала, со-1
единяющего гидротурбину и электри-1
ческий генератор (рис. 44) и движе-!
ние генератора и турбины, если из-’
вестно, что турбина путем удара по<
лучила начальную угловую скорость
со0. Коэффициент жесткости вала при;
кручении равен с. Массой вала и тре-
нием пренебречь. Моменты инерции
и J2 роторов турбины и генератора
относительно оси вращения заданы.»
Обозначим и <р2 углы поворота, соответственно турбины и:
генератора. Угол закручивания вала ф
обобщенные координаты
Ф2. Примем за<
Выражение для кинетической энергии имеет вид
1
Потенциальная энергия
Представим уравнения движения
+Лф2+
Из уравнения частот следует
Общее решение будет:
Найдем постоянные интегрирования, используя начальные
условия: при / = 0 :
со
Так как
Ф = cos (fe/ + P),
то уравнения для определения с
С, И Р будут:
^0
о
откуда
<о0
Таким образом, закон крутильных колебаний вала имеет вид
л|л и г
Закон вращения генератора
о
О
2
Закон вращения турбины
о
Из полученных выражений для ip, и <р2 следует, что вал
совершает крутильные гармонические колебания
и амплитудой
из равномерного вращения с угловой скоростью
а движение генератора и турбины
с частотой k
складываются
(меньше начальной) и гармонических колебаний
что и для вала, но с меньшей амплитудой,
происходящих
с той же частотой k
так как сумма амплитуд генератора и турбины равна амплитуде
колебания вала.
§ 11. Нормальные координаты
При произвольном выборе обобщенных координат для кинети-
ческой и потенциальной энергии имеем выражения " вида
V
2С12? 1?2+ с•
(4.29)
Если коэффициенты а12 и с12 равны нулю, то дифференциаль-
ные уравнения движения для каждой обобщенной координаты
95
независимы друг от друга и решение задачи
рованию уравнений вида
aq -I- cq = Q.
сведется к интегри-
для которых выражения для
кинетической и
Естественно поставить вопрос: нельзя ли найти такие обобщен-
ные координаты
потенциальной энергии не содержали бы соответственно членов
с произведениями обобщенных скоростей и произведениями обоб-
щенных координат? Оказывается, что такие координаты можно
найти и они называются нормальными координатами (или глав-
ными координатами).
Пусть и будут нормальными координатами, тогда кине-
тическая к потенциальная энергия системы запишутся в виде
(4.30)
где а
инерционные и квазиупругие коэффициенты.
Ьудем искать связь между старыми обобщенными координа-
тами qx и q2 и нормальными координатами и | в виде
(4.31)
постоянные числа, которые требуется определить,
так как в по-
а также ^и £2 обращаются в нуль.
где и <х2—
Отметим, что преобразование (4.31) однородно,
ложении равновесия qr и q2, .
Подставляя выражения (4.31) в формулы” (4.29), получим
{(^и 2£Z12ol ^22^i) Si 2 Гбх.. (ex <х) -4-
Так как эти выражения должны быть эквивалентны выраже-
ниям (4.30), то должно выполняться условие:
(4.32)
(4.33)
Уравнения (4.33)
и а2. Предполагая
служат для определения искомых величин
что а.9с— из этих уравнений
получим
Следовательно,
квадратного уравнения
можно рассматривать
как . корни
2 l*22Lll ^11u22
. - - *
^12^22 ^22^12
llv12 12vll
12С22 ^22^12
которое, согласно (4.21), является уравнением для определения
коэффициентов распределения.
Таким образом, и сс2 являются коэффициентами распреде-
ления.
Коэффициенты а2, ct и с2 положительные. Например, коэф-
фициент равен удвоенному значению кинетической энергии
при замене qv на 1, a q2 на аг Коэффициент сг равен удвоенному
значению потенциальной энергии при замене на 1 и q2 на av
Аналогично получается и для а2 и с2.
Таким образом, выбрав произвольно обобщенные координаты
и найдя затем коэффициенты распределения, по формулам (4.31)
определим нормальные координаты.
Дифференциальные уравнения в нормальных координатах имеют
вид
будет:
Решение этих уравнении при
</А’- ^1? ^2’ II 12
начальных условий,
-1- 1 17» ~2 ~ 2'2 12/’
произвольные постоянные, определяемые из
12
12^2
22^2
12
22
6Z2
2
Если подставить в эти выражения значения иа2, то можно
легко убедиться, что полученные kx и k2 будут совпадать со зна-
чением частот kA и k2) определяемых из уравнения частот (4.17).
Следовательно, каждая нормальная координата изменяется по
гармоническому закону с одной из главных частот.
Если
^11^22 ^22^12
т. е.
12
а также
7 Н. В. Буте1 и
97
т. е
то в этом случае уравнение частот имеет кратные корни и поня-
гие нормальных координат теряет смысл.
Если
^12^22
^22^12
(4.34)
3 ^12^11 О»
формулы
то вместо формул (4.31) нужно ввести
Тогда для определения и получим уравнения
М.Р,+(₽,+== о,
CUP1₽2 + (Pl + Р2) С12 + С22 = О'
Так как по (4.34) 0^
2
например, 0
О,
1
и тогда
^71 — РЛ1 — одна из координат является глав-
ной.
Пример 21. В примере 14 в случае рав-
ных маятников
Формулы (4.31) имеют вид
откуда нормальные координаты будут
Пример 22. Определить малые колебания груза Л4, подвешен-
ного на пружине, при условии, что пружина может свободно
поворачиваться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса О
(рис. 45). Весом пружины пренебречь, вес груза М равен Р.
Длина пружины в ненапряженном состоянии равна /0. Пусть I
длина пружины в состоянии равновесия.
За обобщенные координаты примем угол ф и удлинение пру-
жины z от ее длины в состоянии равновесия.
Пусть qx — г, ?2 = ф.
Кинетическая энергия будет
Найдем потенциальную энергию
/7 — mg [I — (Z 4 z) cos ф] 4~ 4"
(/ /94~2)j
98
(с — жесткость пружины), так как с(1 — l^ — mg, то
n = mg[l — (/-j-z)cosф]+у + .
Если ограничиться членами третьего порядка малости, то
получим
Т — m (z2 /2ф2 + 2/зф2),
77 = У + W + gZqA
Если же ограничиться
членами только второго порядка, то
т. е. для малых колебаний координаты ф и z являются нормаль-
ными .
Главные частоты
Из полученного результата следует, что угол отклонения
и удлинение пружины независимы друг от друга. Однако следует
иметь в виду, что этот результат справедлив лишь при очень
малых отклонениях системы от положения равновесия.
лава
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 12. Случай, когда главные частоты не совпадаю?
с частотой вынуждающей силы
Предположим, что на консервативную материальную систем)
с двумя степенями свободы, подчиненную голономным стацио-
нарным идеальным связям, действуют вынуждающие силы
Вычисляя соответствующие этим вынуждающим силам обобщен-
ные силы (?! (/) и Q2(/), получим уравнения движения системы
н виде
й,1?1 + + ^12^2 = Q. (0. I
0^1 + О229. + С. «<71 + СггЯ, = Q» (О- I
(5.1>
Рассмотрим случай, когда (/) и Q2(/)— синусоидальные
функции времени, одинаковой частоты и одинаковой фазы, т. е.
Q, = /71sin(pZ Ц-6), Q2 = f72sin(p/4~6). (5.2)
Предположим, что р не является корнем уравнения
(с„ — а„/г2) (с22 — а22/г2) — (с12 — а12/г2)2 = О,
т. е. р не равно главным частотам kv и kz.
Общее решение уравнений (5.1) является суммой общего
решения однородных уравнений, которое уже найдено в § 8,
и частного решения неоднородных уравнений (5.1).
Частное решение уравнений (5.1), когда Qi и Q2 имеют вид
(5.2), будем искать в виде
qi = B1sm(pt -f-S), q2 = B2sin(pt 4-6). (5.3)
ЭтоТчастное решение представляет собой вынужденные коле-,
бания. ’
Подставляя (5.3) в уравнения (5.1), получим уравнения для
определения и В2, т. е. амплитуд вынужденных колебаний;
(с„ — а11Р2)В^(с12 — аГ2р*)В2 = Ни i
(cit — a12P2)Bt + (c22 — a22p2)B2==H2. |
Обозначая
Л (р2) = (с„ — апр2) (С22 — а22р2) — (с,2 — о12р2)2 (5.5
и решая уравнения (5.4), получим
D (^22 ^22Р2) ^2 (С12 @Л2р )
А (р2)
D ___ ^2 (^11 ^11Р2) (^12 ^12Р ) ।
2 - Гр) ' v ’
Следовательно, вынужденные колебания происходят по з
кону
<7 = (Cg2 ~ (с»2 sin (pt + 6), j
A (P ) (5
q2 = (c" ~ °,1P xrf1 (C*2 ~ a'2'?- sin (pt + 5) • J
Общее решение будет иметь вид
/7, = ^,sin(V + ₽i) + >l2sin(fe2/4-P2) + B1sin(p/4-6),
</2 == а.Л, sin (k2t + ₽,) + sin (V + ₽2) + В2sin (Pz + 5
Произвольные постоянные Alf Л2, и |32 определяются
начальных условий.
Так как k\ и k\ (главные частоты) являются корнями ур
нения
(сп — а„Р2) (с22 — о22Р2) — (с12 — a,2fe2)2 = 0,
100
то выражение (5.5) можно представить в виде
Л (р2) - (<h&2 - а22) (р2 - k2) (р2 - k22)
и, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний равны:
*» N
Q (С22 fl22P2) ^2 (g12 Д12Р2)
1 — (^А2-^2)(Р2-^)(Р2-^) ’ I
g ~__ ^2 (С11 апр2) (С12 а12р2)
(^22 - ^2) (Р2 “ (Р2 - ,
Из выражений (5.8) следует, что при р2—>Р2 или р2—>fe
амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают,
если только числители не стремятся при этом к нулю.
При р — kx или p = k2 наступает резонанс, т. е. неограни-
ченное возрастание с течением времени амплитуды вынужденных
колебаний. Решение (5.7) в этом случае уже не имеет места.
В следующем параграфе дано решение, соответствующее
этому случаю.
Рассмотрим случай Q2 = 0; если
—//sm(p/-|-S),
то
D __ Н (С22 #22Р2) о ___ Н (С12 Й12Р2) /К Q Q\
Д(р2) ’ Вг~~ Д(р2) • (5-0, а)
Если подобрать коэффициенты с22и а22так, чтобы с22—а22р2=О,
т. е.
С22
а22
(5-8)
то
вг--=о, Вг
н
с12 — а12рг'
(5.9)
Это значит, что подбирая в соответствии с условием (5.8)
параметры системы, относя-
щиеся ко второй степени сво-
боды, можно полностью по-
гасить вынужденные колеба-
ния первой обобщенной ко-
ординаты. Это положение яв-
ляется основой теории дина-
мических гасителей колеба-
ний.
Пример 23. Пусть дана
система с одной степенью сво-
°Ды, например система,
цР^Дставленная на рис. 46.
ол° д имеет вес Р, жесткость пружины с1.
ИнУсоидальная сила Q —?/sin(p/-(-6). Взяв начало коорди*
Рис. 47
Рис. 46
На тело действует
10)
нат в точке статического равновесия, получим следующие вы
ражения для кинетической и потенциальной энергий:
Т=^^х\, П=4с^
(массой пружины пренебрегаем).
Уравнение движения тела А
— X, ctxt = Н sin (pt 4- б)
&
я, следовательно, вынужденные колебания будут происходить по
закону
sin {pt 4~S),
г/^р k— у ~— частота собственных колебаний тела А,
Присоединим теперь к телу А при помощи пружины жест-
кости с2 тело В (рис. 47), вес которого Q. Координаты хг и х
будем отсчитывать от точки статического равновесия тела >
и соответственно тела В. Кинетическая энергия системы
Так как удлинение пружины от положения равновесия соот
ветственно = и К2 — х2— то потенциальная энерги
системы равна:
При составлении потенциальной энергии не учтены силы вес
гел Л и В, так как они уравновешиваются силами натяжени:
пружин в положении равновесия грузов.
Отметим, что координата хх в системе с двумя степеням]
свободы отличается от координаты хг в системе с одной степень!
* Q
свободы на постоянную величину, равную — .
ci
Перепишем кинетическую и потенциальную энергию в вид
Таким образом, имеем
102
Дифференциальные уравнения будут иметь вид
или
(5.12)
где
Амплитуды вынужденных колебаний, согласно (5.8, а),
2
W) ’ —
Hcz
равны
2
2
с2.
Подберем теперь сг и Q так, чтобы выполнялось
Р
тогда
О
2 сг pzQ ’
(5.13)
т. е. амплитуда вынужденных колебаний тела А оказалась
равной нулю.
Член с2х2 в первом уравнении системы (5.12) представляет
собой реакцию тела А на движение тела В.
Если вместо х2 подставить его значение
— sin (р/4-6),
С2
то получим
— с2х2 = Н sin (р/4-6).
Это значит, что действие тела В на тело А в любой момент
времени уравновешивает возмущающуюся силу Qt = Н sin {pt -р- б),
приложенную к первому грузу.
Из выражения (5.13) видно, что при малом весе тела В
нельзя погасить колебания тела А путем подбора жесткости с2,
так как при заданной частоте р амплитуда В2 может быть очень
большой.
Рассмотрим случай, когда р2 = ^р-, т. е. когда тело А при
отсутствии тела В имеет собственную частоту колебаний, рав-
ную частоте вынуждающей силы. В этом случае наступает
явление резонанса, т. е. неограниченного возрастания амплитуды
вынужденных колебаний тела А.
ЮЗ
Присоединяя в этом случае тело В и подбирая с2 из условия
<\g
2 D С
погасим колебания тела А.
Вводя обозначения
напишем уравнение для определения главных частот
2
D "2,
так как
то получим
2 ____ С12
^11^22
0.
Корни этого уравнения:
При корни и k2 близки друг к другу 'и к часто-
те р = м2.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1) применение гасителя колебаний целесообразно, если без
него для тела А имеется резонанс; J
2) применение гасителя допустимо лишь при строго фиксиро-
ванной частоте р, ибо при ее изменениях возможен резонанс
с одним из главных колебаний системы.
§ 13. Случай, когда одна из главных частот совпадает
с частотой вынуждающей силы j ]
Покажем сначала, что формы главных колебаний системы
при резонансе совпадают с соответствующими формами свобод-
ных главных колебаний.
На основании (5.8) имеем
Й11Р2 гг |
^2__ g12 _
^1 Ц g22 ^22^2 _ 1
1 Ci2 ~ а12р2 2
104
При p2 — k2i получим
В2
5.
Н 2сС( Н ]
аналогично при р2 = ^2 имеем -? = а,.
Для упрощения выкладок при построении решения перейдем
к нормальным координатам.
Пусть нормальные координаты будут и Ej2.
На основании (4.31) имеем
?i = Bi + ^2> <72 = аЛ1 + аЛ- (5.14)
Найдем обобщенные силы, соответствующие нормальным
координатам.
Имея в виду, что
М = QM + QJq2 = + 026g2,
где Qt и Q2 — обобщенные вынуждающие силы, соответствующие
координатам q1 и <?2;
0, и 02— обобщенные силы, соответствующие нормальным
координатам; используя (5.14), получим
Qi (6g, + 6U+Q. («1^,+a26U=©л.+© л 2.
откуда
©1 —<21+«1<?2- ©2 = Q ! + «2^2 •
Дифференциальные уравнения в главных координатах имеют
вид (§ 11)
f 2 + sin (р/ 4- б).
и2
Предположим теперь, что p2 — k\.
Решения, соответствующие вынужденным колебаниям, будут
иметь вид (§ 7)
s /cos(^+5),
A-^ksin(;pL6).
«2 - р2)
Тогда на основании (5.14) получим:
(Я, -j-aj/Zg)
2рал
t COS (pt 4" 6) +
ZZj ~4~
a2 ~ P2)
sin (pt
g^ (Z/j ~H gjZZ2)
2pax
t cos (pt Ц- 6) +
^2 (ZZj 4“ ^2^2)
“a2(^-P2)
sin (pt
72
105
Аналогично можно найти решение и при p2-—k2.
Таким образом, явление резонанса возникает при совпаде
нии частоты вынуждающей силы с одной из
свободных колебаний.
Пусть теперь и 02 имеют более сложный
главных частот
вид
п
0, = 2 H'k sin (kpt бА),
k = l
п
02= 2 H"k sin (kpt
k = l
тогда уравнение движения будут иметь вид
п
£1 + ^=2 МНМ + Ц
k~l
п
12 + k^2 = 2 h'k sin (kpt 4- 6ft),
kz=l
, где
/?2— _£i_ ь2—
ar ’ R2~ a2 ’
— hk
Решение, соответствующее вынужденным колебаниям,
иметь вид
Резонанс,
из гармоник
т. е. неограниченное возрастание амплитуды
вынужденных колебаний, возникает тогда,
будет
ОДНО!
когд
справедливо равенство
kt — kp9 z = l, 2, 6 = 1, 2, 3, ...» n.
При k = l имеем резонанс первого рода, при k = 2 — рез<
нанс второго рода и т. д.
Если, например, k^—jp, то наступает резонанс /-го рода.
Соответствующий член в выражении для в этом случ<
будет: .
— т cos (k.t + 6у),
т. е. амплитуда в этом слагаемом неограниченно возраста
с течением времени.
106
Глава 6
ВЛИЯНИЕ СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ
НА МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
В предыдущих главах рассмотрены свободные и вынужден-
ные колебания консервативных систем, подчиненных голоном-
ным стационарным идеальным связям около устойчивого поло-
жения равновесия.
Рассмотрим теперь, как на такие колебания влияют силы
сопротивления. Исследуем только такие силы сопротивления,
которые пропорциональны первой степени скорости.
§14. Влияние сил сопротивления
на свободные колебания систем
с двумя степенями свободы [12]
Для упрощения выкладок примем за обобщенные координаты
системы ее нормальные координаты. Тогда выражения для
кинетической и потенциальной энергии будут иметь вид
г+«,£),
Диссипативная функция будет однородной квадратичной фор-
мой обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами (§ 3)
Так как 7, П и Ф являются положительными и определен-
ными квадратичными формами, то должно выполняться (§ 9)
^>0, я2>0, ^>0, с2>0, ^>0, &2>0, b^ — /z2>0. (6.2)
Уравнения движения системы имеют вид
+ ^Х + = 0-
(6.3)
Будем искать частное решение этой системы уравнений
в виде
^ = aest. (6.4)
Подставляя (6.4) в уравнения (6.3) и сокращая на est,
получим
GjS2 4- bts ahs + с, = 0,
hs 4- a (a2s2 4- bts 4- с2) == 0.
(6-5)
107
Исключая из этой системы уравнений а, получим уравнение
для определения s
<W‘ + (а1Ь2 + a2bl) S’ + («А + ЙА + Ь1Ь2 — S2 +
+(&a+cA)s+ca=°- (6-6)
Это уравнение называется характеристическим и служит для
определения показателя s. Отметим, что коэффициенты этого ,
уравнения по (6.2) положительны.
Предположим, что корни этого уравнения комплексные. 1
В силу вещественности коэффициентов будем иметь
Из уравнений (6.5) вытекает
__ rtjS2 -р bxs -{-Cj hs
hs a2s2 + b2s-{~cz
и, следовательно, для каждого s будет соответствующее значе-
ние а; так, например, для и имеем
Аналогичные выражения будут и для &2 и а2, соответствую-
щих значениям s9 и s9.
Частные решения для корней и будут иметь вид
где с1У Cj — произвольные постоянные. Черточкой наверху обоз-
начено комплексное число, сопряженное числом без черточки.
Складывая эти решения, получим новое решение, которое
будет вещественным:
= cteSit 4~
= ахсге3^ Ц- axcxes^.
Полагая, что
ai = ₽i + *Yi> ai = Pi — *Yv
(где Yj и p!—действительные числа) и используя (6.7),
108
получим
еП1/ (Л, cos kJ -|- Вх sin kJ).
& = еп'* [(₽, + ZY1) е'^ + (₽, - ZY1е
= е"1' [(р1 Л, + Y A) cos kJ + (р А — Y14.) sin kJ].
В полученном решении At и — произвольные постоянные
интегрирования, £ и ух— действительная и мнимая части
выражений и
На основании (6.7) и (6.8) имеем
(6.9)
Для корней s2 и s2 аналогично будем иметь
g(2) = en2t cos kJ + Вг sin kJ),
gw=еп^ [(р2Л2 + Y A) cos kJ + (РА — у2Л2) sin kJ],
где Л2 и В2 — произвольные постоянные интегрирования, а
получаются из формул (6.9) путем замены индекса 1 на 2.
Общее решение имеет вид
= g(i)~|- £<2) = еп^ (/IjCos kJ В2 sin kJ) -|~
en^ (A2 cos kJ Д- B2 sin kJ),
lt = £<‘> + [(р.Л t + Y A) COS kJ + (PA -
— Y Д) sin kJ] + e”*1 [ (p 2Л 2 4- Y A) cos kJ +
+(PA —Y2A)sinM- >
(6.10)
P2 и y2
(6.П)
Из рассмотрения решения (6.11) следует, что движение си-
стемы будет затухающим колебательным движением только в том
случае, если п, и п2— отрицательные числа.
Следовательно, для того чтобы движение было затухающим,
нужно, чтобы корни характеристического уравнения имели отри-
цательную действительную часть.
Отметим, что мнимая часть корней дает частоты колебаний.
Существует несколько критериев, устанавливающих необхо-
димые и достаточные условия того, чтобы вещественные части
корней характеристического уравнения были отрицательны. При-
недем без доказательства лишь формулировку критерия Гурвица,
применив ее к алгебраическому уравнению четвертой степени.*
* Обоснование этого критерия можно найти в [3].
109
Пусть дано алгебраическое уравнение
чЛ I zv «Л I Л «2 I ..
Будем считать, что а0
Составим определители
о
о
о
о
Чтобы корни уравнения (6.12) имели отрицательную веществен-
ную часть, необходимо и достаточно, чтобы все эти определители
были положительны. Это значит, что должно выполняться условие
D^a.yO, Dt=a.ai — aoa.'^>0,
а4а’] > 0.
Четвертое условие упрощается и дает а4Д> 0.
Таким образом, имеем
а,>0, — «0а3>0, as(ala2— а0а3)
Из третьего условия следует, что
— а4о’>0,а4>0.
а так как
а. Д> 0>
то
аг (а2аг — а0а3) > 0
и при а3Д>0
а А — а0а3 > 0.
Итак, условия Гурвица для уравнения четвертой степени
имеют вид
а1>°> а4>0, а, (аЛ — а3а0) — afat > 0. (6.13)
Для характеристического уравнения (6.6) первые три условия
выполняются. Покажем, что выполняется и четвертое условие
D, — (с^2 + сгЬ3) [(агЬ2 Д- a2bt) (atc2 Д- а2с, Д- b2b2 — А’) —
= (Ь1Ьг — ^1Ь2 4- с2Ь2) (аД Д-аД) Д- b2b2 (c2at — с,а2У.
По условиям (6.2) О3Д>0 и, следовательно,
ni<°> «2<0-
по
Итак, решение (6.11) характеризует затухающие колебания,
что физически вытекает из условия (1.35), так как движение про-
исходит с постоянной затратой механической энергии.
При большом сопротивлении может оказаться, что не все корни
характеристического уравнения комплексные. Пусть, например, два
корня будут вещественны. Тогда имеем
S. :
Частные решения, соответствующие корням s2 и sa, имеют вид
где с2 и cs
постоянные произвольные действительные числа
а
и а8 равны:
h, I пч
I V
Общее решение в этом случае записывается в следующем виде:
I '(Zlj cos kJ-[~Bl sin kJ)
If KpjXj YjBJ cos kJ —
t. e. движение является наложением затухающих колебаний и апе-
риодических движений.
Аналогично можно построить решение, когда все четыре корня
вещественны.
§ 15. Вынужденные колебания
при наличии сил сопротивления
Проведем исследование влияния сил сопротивления, пропорцио-
нальных первой степени скорости точек материальной системы, на
вынужденные колебания, используя нормальные координаты. Пусть
и 02— обобщенные силы, соответствующие нормальным коорди-
натам и £2.
Принимая, что кинетическая энергия, потенциальная и диссипа-
тивная функция Рэлея имеют такой же вид, что и в § 14, получим
уравнения движения в виде
(6.14)
Нахождение частного решения этой системы при любых 0t и 62
сопряжено с очень громоздкими выкладками, поэтому ограничимся
рассмотрением случая, когда ©t и 02— гармонические функции
одной частоты и фазы, т. е.
©j = НХ sin {pt 6), 02 = //2sin(p/ + 6)-
Уравнения движения в этом случае имеют вид
а& + hix + ьЛ + с2?2 = Н2sin (Р* + s)- 1
Частное решение этой системы, соответствующее вынужденным
колебаниям, будем искать комплексным методом (§ 8).
С этой целью рассмотрим еще одну систему уравнений вида
аЛ + ^Л + Лрг + с1п1 = ^1С08(р^ + ё), | (б
«Л + + Ь2^2 + С2П2 = Нг cos (pt 4- б), J
где* r)i и т]2 — нормальные координаты.
Введем в рассмотрение комплексные координаты
«Л = 111+^1. У 2 = ^2 +^2- (6-17)
Умножая теперь первое и второе уравнения системы (6.15) на
i = ]/" — 1, складывая полученные выражения с первым и вторым
уравнениями (6.16), а также учитывая (6.17), получим
+ Mi + hyt + С1У1 = Hlel(Pt+f‘\ у
а2У2 + М + Ь2У2 + Ш = Н2е< (pt+i)- I
Частное решение этой системы будем искать в виде
уг = М^+\ у2=М2е^+\ (6.19)
где М1 и Л12 — подлежащие определению комплексные числа.
Подставляя решения (6.19) в систему уравнений (6.18) и сокра-
щая на получим систему уравнений для определения Mt
и М9
Mt [(с, — а^2) + ibjj] + Mjhp
Н2,
Mtihp
М2 [(с2 — а2р2) + ib2p]
н2.
Решая эти уравнения, находим
м _______________________Hi (с2 — а2р2) + ip (Hyb2 - H2h)_________________
1 (Cj — ajp2) (с2 — а2р2) +p2(h2 — bj>2) 4- ip[bt(c2 — a2p2) 4- b2 (с, — агр2)} 1
M _______________________H2 (c, — c,p2) + ip (H2bj — HJi)_________________,5
2 (c, — a,p2) (c2 — a2p2) 4- p2 (h2 — bJJ 4- iplb^ — a2p2) 4- b2 (Cj — atp2)] \
Для того чтобы выделить действительную и мнимую части эти
выражений, умножим их числители и знаменатели на комплекснс
сопряженное выражение со знаменателем, т. е. на
(с, — а.р2) (с2 — а2р2) + р2 (h2 — ЬгЬ2) — ip [6t (с2 — а2р2) +
+ 62(с,— а.р2)].
112
Для Мх будем иметь
^=4(4+/^)-
где
А = 1(с, — ахр2) (с2 — а2р2) 4- р2 (h2 — bxb2)]2 4~
+ Р2 (сг — «2Р2) + b2 (q — ахр2)]2,
А, = ^1{(с1 — оЛ(с, — а2Р2)2 + ргР22]+/г2р2(с2—а2р2)}—
Н2P*h [&, (с2 — а2р2) + Ь2 (с, — ахр2)],
= {pbx [(с2 — а2р2)2 + b^p2] — h2b2ps} —
— H2ph [(с. — ахр2) (с2 — atp2) — р2 (bxb2 — /г2)].
Для М2, получим
4=^(4+^),
где
Л = — нihP2 tt>2 (с, — а2р2) 4- b2 (ct — ахр2)] -|~ 1
+ Ж — а2Р2) t(q — а,Р2)2 + Р2^2] + p*h2 (с. — ахр2)}, |
Вг = —Hi{hp [ (с, — ахр2) (с2 —а2р2) + p2h2]—hp2bxb2}—
~Н2 {РЬ2 1(<\ — «1Р2)2 + Р2Р21 — h2b2ps}.
Используя (6.20) и (6.22), перепишем решения (6.19)
=-£- {А2 cos (pt + 6) — В2 sin (pt + 6) + / [Л^ш (pt + 6) +
4-B, cos(p/4-S)]},
~ “Ь г^2)e' (/’z+5)—4“ {Acos {pt+6) — B2 sin (pt+6) ~H
+ i [A2 sin (pt + 6) 4-B2 cos (pt 6)]}.
Мнимая часть этих выражений по (6.17) и представляет собой
^с™ое решение (выражающее вынужденные колебания) системы
Это решение имеет вид
(6.20)
(6.21)
(6.22)
(6.23)
=-у sin (Pz + 6) + Bicos (Pt + 6)L
£2=“4 И2 sin (pt 4- 6) 4- В2 cos (pt 4- 6)],
где A, At, Bt, A2 и B2 определяются формулами (6.21) и (6.23).
Определив Л,, Вх, Л2 и В2, можно найти .амплитуду и началь-
ную фазу вынужденных колебаний:
^=4-/Л|+^. tgs2=J. I
Z1 I J
И. В. Бутенин
(6.24)
113
8
Таким образом, вынужденные колебания будут происходить по
закону:
В, —Г»! sin (p^ + S + e,),
gt = £)2sin (р^ + 64-eJ.
Рассмотрим более подробно случай, когда Ht = H, —
b2 — b2=— h—b. В этом случае
А = [(q — а,р2) (с2 — а2р2) + Ь 2р2]2 +
+ Ь2р2 [(С1 - а1Р2)2 + (с2 - «.р2)2 - Ь2р2],
Д, = Н {(с, — а,р2) [(с2 — а2р2)2 + Ь*р*] + Ь‘рг (с2 — а2р2)},
В2=—НЬр(с2 — а,р*)\
Д2—НЬ2р2 [(с, — а2р2) 4- (с2 — а2р2)],
В2 = НЬр (сг — а,р2) (с2 — а2р2).
Пусть теперь имеется резонанс первого главного колебания
с возмущающей силой, т. е. р2 = —.
а1
В этом случае
Д1__ Н В1__________н_
Д с2 —OjP2’ Д Ьр ’
А*. — ._И__ В =0
Д с2~а2р*’ °*
Согласно формулам (6.24) амплитуды и начальные фазы вы-
нужденных колебаний
D =-------
2 |с2 —а2р2|’
е2 = 0 при с2 —а2р2>*0
и е2 = л при с2 —а2р2<0.
При резонансе второго главного колебания с возмущающей си-1
лой, т. е. при р2=-^, получим j
а2
Д, _ Н
Д Cj — atp2 ’
А2 Н
Д Cj —OjP2’
В2 = 0,
в2=о.
Рассмотрение случая, когда — 0,^ в2 — И sin (pt 6) прово-
дится аналогичным образом.
Так как при наличии сопротивлений свободные колебания си-
стемы являются затухающими, то при установившемся движения
система будет участвовать только в вынужденных колебаниях, по-
этому и рассматривались только вынужденные колебания.
Пример 24. Рассмотрим теперь теорию динамического гасителя
колебаний при наличии сил сопротивления.
I 14
Пусть сопротивление помещено между телами Ли В (см. рис. 47)
и предположим, что оно пропорционально их относительной ско-
рости х\ — х2.
Уравнения движения рассматриваемой [системы в этом случае
будут иметь вид (§ 12)
~ Xt + с1х1 — с, (х2 — х2) + а (х, — х2)=Н sin (pt 4- б),
4 *2 4" с* (х2 — А) — а СЧ — = О,
О
где а — коэффициент, характеризующий^ сопротивление.
Предполагая, как и прежде, что
и вводя обозначения
К Р
перепишем уравнения движения в виде
Xi -|- пг2 (1 -J- 6) Xj — ri$x2 + рбх, — рбх2 = h sin (pt -f- 6),
x2 — п[хг 4- п2хг — fJXj ~f ₽X2 = 0.
lacTHce решение в этом случае более просто искать в виде
х2 = ЛJsin (pt + б) + Вг cos (pt б),
х2 — Аг sin (pt 4- б) 4- В2 cos (pt 4- б).
Подставляя эти выражения в уравнения' движения и прирав-
нивая затем коэффициенты при sin(p/4-6) и cos(p^4~6) в правых
и левых частях найденных равенств, получим' уравнения для опре-
деления постоянных At, Bt, Д2 и В2:
Л1 (1 4- б) - ра] - В,рбр-Д2^б4-В2рбр=Л,
А₽бр 4- в, (ni (14-6)- р2] - А₽бр - В2п’б=о,
—А«1+51₽р4-А(«1—р2)—в2рр=о, ।
_д1рр_в1п‘4-д2₽р4-вдп:-р‘)=о. I
(6.25)
Предположим, что пгг,— р\ В этом'случае при отсутствии тела
В (вибратора) тело А находится в резонансе, при наличии же тела
В и отсутствии сопротивления тело находится в покое.
Определитель системы (6.25) при п2 = р2 будет
м2б, — ₽би2, — бп|, рбп2
рбпЕ, п’б, — ₽бп2, — п|б
—о, — р«2
— рп2, — п2, рп2, 0
0, 0, —п|б, рбп2
0, 0, — рбп2, — п2б
— «2, 0, 0, — рп2
0, —и’, р«2, 0
115
Постоянные Д,, Bt, Аг и Вг равны:
=_____h р8 в=_____________h р
л*й п| + р8’ 1 Мп8 + Р8’
Амплитуды вынужденных колебаний соответственно будут:
п2бИ«^ + Р2 СгИп22+Рг
2 n2d С2
Из полученных результатов видно, что сопротивление совер-
шенно не влияет на движение тела (вибратора). В то же время
сопротивление обусловило колебания тела Д, так как при отсут-
ствии сопротивления тело А находилось в покое.
При малых Q и с2 амплитуда не будет малой. Однако при
наличии сопротивления и отсутствии тела В, тело А при n* = pz
совершало бы колебания с амплитудой
h *>
1 рбп2 *
2
Из отношения
1
2
видно, что при малом сопротивлении (Р — мало) амплитуда Dl зна-
чительно меньше т. е. колебания тела А в достаточно большой
степени успокаиваются. |
Не проводя вычислений, отметим, что если р (частота вынуж-
дающей силы) не будет иметь строго определенной величины,-
то при ее совпадении с одной из главных частот тело В вызовет
колебания тела А с большой амплитудой, т. е. тело В будет уже.
возбудителем колебаний [12], [27]
Глава 7
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
С ^СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 16. Свободные колебания консервативной системы
с s степенями свободы g
Пусть q19 ^ — обобщенные координаты рассматри-^
ваемой системы. Дифференциальные уравнения движения консерва-i
тивной системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа;
* Это следует из уравнения движения тела А при отсутствии тела В:
xt -|- pdxj — h sin (pt б).
116 1
второго рода) имеют вид
\d (dL\ dL
dt\dqJ d<Jj
(j=i, 2,..s),
где L = T— П.
Для малых колебаний около устойчивого положения равнове*
сия (§ 3)
S S 5 S
cjkQjclk*
/=1 Л = 1 / = 1А = 1
Так как
то уравнения движения будут:
S
S (fljkQk ~Ь cjt£hz)== 0 (/ = 1, 2,..., s)
Лх=1
(7.1)
или в развернутом виде
причем
ajk = akj > cjk — ckj •
Основываясь на результатах исследования системы с двумя
степенями свободы, будем искать частное решение этой системы
в виде
<71 = (kt + ₽), ?2 = 42[sin (£/ + ₽),
qs = As sin (^ + ₽). (7.3)
Подставляя решение (7.3) в систему (7.2), получим систему
уравнений для определения неизвестных Л2, .
117
Эта система однородных уравнений имеет не нулевое решение
только в том случае Лесли ее определитель равен нулю, т. е.
Уравнение (7.5) является уравнением для определения k, т. е.
уравнением для определения частоты свободных колебаний. Это
алгебраическое уравнение s-ro порядка относительно k2.
Ниже показано, что при колебаниях около устойчивого поло-
жения равновесия все корни этого уравнения положительны.
Рассмотрим только случай неравных корней. Пусть эти корни
будутJb порядке возрастания)
Перейдем теперь к определению величин Л,, А99 ....
Ж * F г
Так как для k\ определитель (7.5) равен нулю, т. е.
то одно из уравнений системы (7.4) будет следствием остальных.
Так как мы предполагаем, что корень k\ не является кратным
корнем, то -это значит, что не все миноры определителя (7.5)
равны нулю.
Предположим, что минор, который получается путем вычер-
кивания последней строчки и последнего столбца, не равен нулю,
т. е.
2,3 —
В этом случае первые s — 1 уравнений после подстановки в
них вместо k* корня k\ будут служить для определения величин
д(О д(О дО)
(индекс сверху соответствует номеру корня).
118
\w12
Эти уравнения имеют вид
д<>) . А'1»
°п Joj
12
2 Л?»
a. -kA -7-:
12 7 Д(О
22
7 Л'1»
д(1)
А" .
л<‘» ‘
д(0
к^>
IS
2S
i (7-7)
А(1)
+ (С2.
д(О
I k*) —
A?-1,S-1 *1'
д'1»
1^).
Решая эти уравнения относительно—^
д'1»
, получим
IS
12
А" 1
Л'1» ДДЛ?)
2S
22
~t~ (c
к
p
(pg— i, s — i Cis— i, s — i &i)«
Если теперь первый столбец полученного определителя поста-
вить на последнее место и изменить знаки у его членов на об-
оатные, то получим
Д'^^АЛ^)
где — минор, получающийся из определителя (7.5) путем
вычеркивания первого столбца и последней строчки.
Аналогично будем иметь
Л'1»_ A,(k\) Л'О , Д,_,(ф
д'^ди^) ’ л'1» ДД^) ’
отсюда следует, что
Д'1* Д'1» л',1», Д'1»
1 __ 2 __ ______ S — 1 ___ А /у Q\
Д.(^) “Дг^) ” Д,_,(^) ~“ди^) ’
119
Обозначив эти отношения ct, получим
А)’=с^(к;) 0=1. 2, s), (7.10)
/
где Ау(&1) — минор, соответствующий /-му столбцу и последней
строке определителя (7.5).
Используя (7.10), запишем частное решение (7.3) в виде
sin (ktt 4
(<7i)i
(^)sinOM + Pi),..
сА(Аф sin (^4 + ₽i)-
(7.11)
Аналогично тому, как было построено решение, соответствую-
щее корню k2lt можно построить решение и для других корней.
Например, для корня k]
(?i)/==^A(^)sin(V + ₽/)’ (92)y = ^A2(^)sin(^./ + py),
Общее решение системы
(7.2) будет иметь ви,
В этом решении 2s произвольных постоянных (с,, с2, ...,
cs> Pi» Р2> •••» Pj) определяются из начальных условий, т. е. из
условий, что при t — 0 обобщенные координаты и обобщенные
скорости имеют заданные значения.
Докажем теперь, что корни уравнения частот (7.5) — положи-
тельные числа при колебаниях системы около устойчивого поло-
жения равновесия [12]. Доказательство проведем, от противного.
Пусть корень k2 будет комплексным, т. е.
(7.13)
Очевидно, что амплитуды (7.10) в этом случае также комп
лексные
Для сопряженного корня
k2 = т — in
• <
будем иметь
(7.14)
(7.15)
(7.16)
Уравнения (7.4). т. е.
S
120
(где k2
Л и сложим
умножим последовательно на А
Подставляя в это уравнение полученные значения Ak и Aj и
сокращая на сс, получим
S S ‘
i bj) (ak
ibk)(cJk
bjbh) (cj
s s
ak^j) (cjk
Jk
Последнее слагаемое
равно нулю, так как при /
а при j
k, так как
Jk
jk и kj'
слагаемому
соответствует слагаемое
эти слагаемые равны по абсолютной величине, но противоположны
по знаку.
Таким образом, имеем
bjbk) (cjk
отк уда
s s
(ajak + bjbk) а &
т. е. k2 оказалось вещественным и, следовательно, все b
ajakPjk
s
S ajakajk
121
Заметим,Тчто вещественность корня fe2, оказывается,
только из условий, что
вытекает
laj.k
Заметим, что сумма
представляет собой удвоенное значение потенциальной энергии
системы при замене обобщенных координат на т. е.
2П (ау)«
Аналогично сумма, стоящая в знаменателе, представляет собой
удвоенную кинетическую энергию, в которой обобщенные скорости
заменены на а,. т. е.
£
Следовательно, имеем
К 2
Так как кинетическая и потенциальная энергии выражаются
положительной и определенной квадратичной формой (положение
равновесия устойчиво), то k2 является положительной величиной.
Отметим, что при решении задач общее решение, как правило,
не находится. Основным является определение частот главных ко-
лебаний и их форм, т. е. определителей ДД&/)*
§17. Нормальные координаты
в случае системы
[с s степенями свободы
При изучении малых колебаний систем с двумя степенями
свободы рассматривался вопрос о нахождении нормальных коор-
динат, т. е. таких координат, для которых выражения для кине-
тической и потенциальной энергии не содержат произведений об-
общенных скоростей и координат, а содержат лишь их квадраты.
Для таких координат движение, соответствующее каждой ко-
ординате, есть простое гармоническое колебание.
Покажем, что можно найти линейное преобразование от лю-
бых исходных обобщенных координат к нормальным координатам
и для систем с s степенями свободы [12].
Пусть qt, qs, qs — произвольные обобщенные координаты
рассматриваемой системы.
Выражения для кинетической и потенциальной энергий при
этом имеют вид (§ 3)
CjkWk-
(7.17)
Общее же решение дифференциальных уравнений движения
имеет вид (7.12), т. е.
= с,ДА (#) sin (kJ + р,) + с2Д*
{kl) sin (ktt P2) -ф-
Обозначая
c2sinOV4-p2),
получим
Эти выражения и являются искомым линейным преобразова-
нием от обобщенных координат qlf q2, qz, ..qs к нормальным
координатам |t, Это легко проверить подстановкой
выражений (7.18) в выражения для кинетической и потенциаль-
ной энергий.
Выражение (7.18) запишем в виде
Як = Ъ (fe/) ъ
(7.19)
и подставим в выражение для кинетической энергии
(7.20)
^дд^дд^).
(7-21)
Подставляя теперь (7.19) в выражение для потенциальной
энергии, будем иметь
п=4 Е Е Е Д/ (*?) Е д* № ъ=
1 Л=1 8—1 0=1
s ’ s
<7-22>
6=1 0=1
где
=Е Е с/А М) ДА &). (7.23)
|/=1 А=1
Покажем, что
/п8, —п8о = 0 ПРИ 6 = (Т.
На основании (7.9) имеем
Lj{k^c=A^
и, следовательно, согласно уравнений (7.4), получим
(с,, - а.Х) Д, А) + (с12 - а,Х) Д2 (^) +•.• +
+ (с,,-а>2в)ДД^) = О,
(с„ - atik^\ № + (с22 - at2k‘) Д2 (£’)-(-...+
+(^-М°А(^)=о,
(Сл — ^>2) Д, (k\)+(cS2 — aS2k*) Д2 (£a)J- ...+
+ (Cji-a>oA(^o) = 0 ---
или короче
g(CyA-a^2o)AA(^) = 0 (7=1, 2........,[s),
откуда
Л cjk&k (^ст)= ajk^k (^°) (/—1,2, ..., s).
Л=1 Л=1
Умножим обе части этого равенства на Ду(/ф (б^о) и про-
суммируем по / от 1 до s.
Е Е c^k Д/ (ki)=Е Е a j (^)-
/ = 1 Л=1! /=1 Л=1 .
Согласно (7.21) и (7.23), получим
n8, = ^2m8o. (7.24>
124
Так как aJk=akJ и cJh=ckJ, то
т^ = т,ъ и ль=/пл. (7.25)
Заменим теперь в формуле (7.24) индекс 6 на а и наоборот
В силу (7.25) должно быть
т. е. должно выполняться это равенство и равенство (7.24), но так
как kl (S а), то эти равенства могут быть выполнены лишь
тогда, когда
n8a = 0, mg,=0 (бу=а).
Обозначим для простоты
[т№ — а&, nK=cs
и тогда выражения для кинетической и потенциальной энергий бу-
дут
S S \
Т =~ X т№& — ± х а8|§, I
6=1 8=1 I
S si f (7.26)
8=1 6=1 )
Отметим, что главные частоты равны
kl — 5^1—£1
^6о «6
и, следовательно, определяются из уравнения (7.5).
Таким образом, нахождение нормальных координат связано, как
и нахождение общего решения при произвольных обобщенных
координатах, с решением уравнения частот (7.5) и вычислением
определителей Ду (fef), т. е. введение нормальных координат, с точки
зрения фактических вычислений, не упрощает решения задачи.
Нормальные координаты важны при теоретическом рассмотрении
задач о колебаниях.
Докажем теорему Рэлея [21] и [22]: период консервативной
системы, колеблющейся при наличии стационарных связей около
положения устойчивого равновесия, имеет стационарное значе-
ние, если колебание нормального типа.
Предположим, что благодаря введению связей число степеней
свободы сведено к единице. Пусть положение системы при этом
определяется координатой гр Очевидно, что главные координаты
U •••, L будут выражены тр
125
Предполагая, что в положении равновесия т| —О и колебания
малы, при разложении функций Д, f2, . .., fs в ряд Маклорена
оставим лишь члены, линейные относительно т]
Подставляя теперь эти выражения в (7.26), получим
s
Т=4 . 4-а/п1)т]2,
k—-l
S
ГТ 1 'V к. 2 1 / 2| 2 I t 2s 9
n—-2Z^cklk=-2 (c^ + Wt ... 4-a^)ri .
1 k=l
Уравнение движения будет:
(Oj/n? 4- atml 4~ . • • + asm^) iq {cxm\cjn* -]-••• + csm$ 4 == °
Т] — A sin t
и, следовательно,
<V"1 + CX + • • • +
4-tz2m^4-. . .-\-a,m2
ИЯЕГ^ * V
Квадрат частоты колебаний равен
, 2 схт\ + c2ml +. . . + csm*
/г =-------------------------.
+ а2т22 +•!..+ asm*
(7.27)
Из полученного выражения следует, что если коэффициенты
т19 пг2, ..., ms за исключением какого-либо одного малы, т. е.
данный тип колебаний мало отличается от одного из исходных
нормальных колебаний, то период изменится на величину второго
порядка. Это значит, что периоды различных колебаний стацио-
нарны по отношению к малому изменению их характера под дей-
ствием идеальных связей.
Покажем теперь, что полученное значение для k2 будет за-
ключаться между наибольшим и наименьшим из положительных
чисел
ал а2 ras
Пусть наибольшее из этих чисел равно N, а наименьшее — п,
тогда
c^n^c^c^N,у
a2n^c2^a2N,
м £» л *
(7.28)
а.п^ c.^a,N.
о О «3
126
Следует иметь в виду, что знаки равенств не могут иметь
место во всех неравенствах, так как числа (&=1, 2, ...,$)
неравные.
Заменяя теперь в (7.27) с1У .. ., cs из соотношений (7.28),
имеем
,2
£
2
S’
Таким образом, если в консервативной системе, ^имеющей s
степеней свободы и совершающей главные колебания с частотами
ограничить число степеней свободы до одной при помощи допол-
нительных связей, то система будет совершать гармоническое
колебание с частотой, заключенной между наибольшей и наимень-
шей частотой нормальных колебаний.
§18. Вынужденные колебания систем
с s степенями свободы
Рассмотрим сначала случай отсутствия сил сопротивлений.
Предположим, что на материальную систему, кроме консерватив-
ных сил, действуют еще другие какие-либо силы. Эти силы на-
зовем возмущающими.
Уравнение движения при наличии возмущающих сил будет:
d 7 д£ А
di qj/
(/=1, 2, .... s).
Для малых колебаний имеем (§ 16)
Л
k = l
(7.29)
где Q2, .... — обобщенные силы, соответствующие возму-
щающим силам.
Уравнения (7.29) представляют собой систему неоднородных
линейных уравнений. Общее решение такой системы составляется
как сумма общего решения системы однородных уравнений и
частного решения неоднородной системы. Обшее решение одно-
родной системы найдено в § 16. Нахождение частного решения,
представляющего собой вынужденные движения под действием
возмущающих сил, при любых Q2, ..., представляет до-
вольно большие трудности. Ограничимся рассмотрением случая,
127
когда обобщенные силы Qn Q2, .Qs будут представлять со-
бой гармонические функции одного периода и фазы, т. е.
tfysin
Уравнения движения при этом примут вид
(fljk4k + CjkQk) =Я/ sin (pt + б)
(7.30)
или в развернутом виде
Найдем сначала частное решение этой системы уравнений,
предположив, что //.=//, — ... = //, t . = Н =0
При где k} — какой-либо корень уравнения частот,
частное решение ищем в виде
<7*=Bftsin(pf-|-6).
После подстановки выражения (7.31) в систему (7.30), получим
Решая эту систему уравнений относительно Bv В2, ...,BS, бу-
дем иметь
А(р2)
128
так как р2 не является корнем уравнения частот,
Так как система (7.30) линейная, то при Hlf Н2, ...,HS, не
равных нулю, будем иметь
5
и, следовательно, частное решение имеет вид
$
sin (р/ 6) у
А(Р2)
(7.32)
Из рассмотрения этого решения следует, что при р2 —где ttj—•
какой-либо корень уравнения частот, амплитуда вынужденных ко-
лебаний системы неограниченно возрастает. Однако при p2 — k2j ре-
шение (7.32) невозможно. В этом случае частное решение содержит
в одном из слагаемых множителей время t и амплитуда будет
возрастать пропорционально времени. Это явление носит название
резонанса. Если /=1 будет резонанс первого рода, j = 2— резо-
нанс второго рода и т. д.
Значительно проще проводится рассмотрение вынужденных
колебаний в нормальных координатах.
Уравнения движения в нормальных координатах имеют вид (§ 17)
(7.33)
где 0Х, 02, ..., 05— обобщенные силы, соответствующие нормаль
ным координатам и обусловленные возмущающими силами.
Так как возможная работа равна [9],
м = Q,^, 4- Q5q 4- .. . + Qs6qs,
9
Н. В. Бутенин
129
то на основании (7.18) имеем
м=[QA (*?)+Q А (#) + • • • + QA (*2)] ^. +
+iq, a, (fel)+qa U® +... + QA О +... +
+[Q д (^)+Q A (^) + •.?+Q A (**)]
Следовательно,
Решение уравнений (7.33) производится теми же^методами,
что и для системы с одной степенью свободы (§ 4). Напомним, чтс
переход от нормальных координат к обычным происходит по
формулам (7.18). j
Рассмотрим теперь вопрос о нахождении вынужденных коле-
баний для случая наличия сил сопротивления [9]. Эти решений
найдем комплексным методом.
Согласно (6.5), имеем
и, следовательно, уравнения движения при наличии сил сопротив
ления имеют вид *
S <-aJk4k + bjkQk + с]кЯк) = Qj (7.34
(/ = 1,2,
Пусть Qy=Hyei^t+8\ Предположим, что все Qy, где / = 2, 3,.. 1
..., s, равны нулю. 1
Частное решение ищем в виде
qk = BkeW+\ (7.35)'
Подставляя это выражение в уравнения (7.32), получим (
s ) I
22 АИф)2 + &1Иф)+c^Bk=H„ । -у
'* S’ <7'36>i
22aap)2+m«p)+c/*ib*=°’ J
(j = 2, 3, I
Если обозначить A (ip) определитель этой системы алгебраичес-
ких уравнений, a A1S(ip) — минор, взятый с соответствующим зна-
ком, полученный путем вычеркивания первой строки и k-ro столба!
130
определителя А (гр), то будем иметь
а^—~кй^г <7-d7)
(k = 1,2, 3..s).
Правильная дробно-рациональная функция от ip с веществен-
ными коэффициентами
,Г.>'м4' Р-38)
иногда называется частотой или амплитудно-фазовой характе-
ристикой.
Согласно (7.35), (7.37) и (7.38), искомое частное решение будет
qk=wlk (ip) нл^+Ь)- (7.39)
Представляя Wlk(ip) в виде
Wlk(ip) = Rlk(p)e^,
где 7?1Л(р)^>0— амплитудная характеристика, а
(р) — фазовая характеристика, перепишем (7.39) в виде
?ft=-7?lA(p)H/^+s+4*^M. (7.40)
Так как
Qi = [cos (pt б) -J- i sin (pt 4- 6)],
для Qj=7/jSin (pt -J- 6) получим частное решение, взяв мнимую часть
решения (7.40), т. е.
<h = Rik (р) sin [pt + б 4- Т1А (р)] (7.41)
(6=1, 2, ..., s).
Пусть теперь все Qj—Н не равны нулю, тогда
= (*=1.2......4
и, следовательно,
?Л=е.«+ч£ Я, ^5.
к J Д(ф)
Вводя обозначение
w _^jkUP)
w tk >
получим
qk=j\WJkHje^+^ :;(7.42)
Для Qj— Hj sin (pt Д6), где /—1, 2,...,s, решением будет
мнимая часть выражения (7.42).
9;: 131
Отметим, что если
п sin (npt 4- б_)
п/»
s), то согласно (7.41) будем иметь
Rlk(np)
о
sin (npt 4- б„ 4- (пр)].
§ 19. Крутильные колебания валов
Рассмотрим цилиндрический вал постоянного сечения, концы j
которого свободно лежат в подшипниках. Пусть на валу закреплено
п дисков (рис. 48). Массой
вала в сравнении с массами I
дисков будем пренебрегать.
Положение рассматривае- |
мой системы определяется уг- ]
лами поворотов дисков, а так 1
как дисков и, то число сте- 1
пеней свободы у системы бу- 1
дет п. 1
Обозначим J2, ..., J
Jn — моменты инерции дисков ]
углы поворота дисков, отсчи- |
относительно вала, ср
тываемые от равновесного положения. Пусть clt c2t ..., сп_г —
коэффициенты жесткости соответствующих участков вала
(рис. 48).*
Кинетическая и потенциальные энергии системы соответственно
равны:
и, следовательно, дифференциальные уравнения Лагранжа второго
рода для этого случая будут иметь вид
П
П-2
п
п —
П
П
* Из курса сопротивления
материалов следует, что
GJ„ GJ
с2 ~~ / > • • • » 1 --/
Д2 1П— 1
соответствующих участков
сдвига, /о — полярный момент инерции сечения вала.
длины
вала
модуль
Эти уравнения и представляют собой дифференциальные урав-
нения свободных крутильных колебаний вала с п жестко закреп-
ленными на нем дисками.
Если все уравнения системы (7.43) сложить, то получим
откуда
const,
т. е. момент количества движения рассматриваемой системы отно-
сительно оси вала является постоянной величиной. Этот результат
можно написать и сразу, поскольку момент внешних сил относи-
тельно оси вала равен нулю.
Примем, что момент количеств дви-
жения системы равен нулю и будем рассматривать колебательные
движения дисков, связанные с закручиванием вала.
Для нахождения собственных частот и форм колебаний системы
ее решение будем искать в виде
A„sin(£Z + Р).
После подстановки этих выражений в систему (7.43), получим
Отличные от нуля решения этой системы относительно Х2,...
..., возможны в тем случае, если определитель ее равен нулю,
т. е.
133
»
Если все строки этого определителя прибавить к первой, то
A(F)
Определитель (7.45) представляет собой уравнение n-ой степени
относительно k2 и называется уравнением частот. Один корень
этого уравнения всегда равен нулю (ki = 0).
Для этого корня уравнения движения (7.43) допускают решения
которые соответствуют равномерному движению вала вместе с ди-
сками. Если момент количеств движения системы равен нулю, то
эти решения будут нулевыми.
После решения уравнения частот (7.45) получим остальные п — 1
корней; подставляя их в (7.44), найдем соотношения между ампли-
тудами и тем самым формы главных колебаний.
Сделаем несколько замечаний о вынужденных крутильных ко-
лебаниях. Эти вынужденные колебания появляются благодаря дейст-
вию периодически изменяющихся вращающих моментов, приложен-
ных к дискам. Эти вынуждающие силы войдут в уравнения дви-
жения в качестве правых частей.
Нахождение амплитуд вынужденных колебаний происходит так,
как это описано в § 18. Если периодические вынуждающие силы
представляются в виде совокупности гармонических функций, то
при совпадении частоты какой-либо гармонической составляющей
с одной из собственных частот kz, kz, ..., kn будет возникать ре-
зонанс (мы считаем, что —0). Числа оборотов вала, при которых
появляются резонансные крутильные колебания, называются крити-
ческими .
Пример 25 [27]. Найти частоты и формы главных колебаний для
вала с тремя дисками.
Для п~ 3 уравнение частот имеет вид
134
Один корень k\ = 0 и он соответствует возможности вращения вала
как твердого тела без кручения.
Два других корня находятся из уравнения
Уравнения (7.44) для п = 3 будут:
(с,— сЛ=0’
— + (с, + сг — J2fe2) К — сг\ = О,
Из первого
Пусть ^2 И
Тогда для k*-
и третьего уравнении находим:
Л'_ A cjhn
- ’
корни уравнения частот, причем &2<С^з •
X
X
*
(7Л6)
X
X
i
(7.47)
Одно из соотношений (7.46) — положительное, другое отрица
тельное. Оба соотношения (7.47) отрицательные.
Рис. 49
Таким образом, в первом главном колебании два соседних
диска вращаются в одном направлении, тогда как третий вращается
в противоположном направлении. Во втором главном колебании
средний диск вращается в направлении, противоположном направ-
лению вращения крайних дисков.
На рис. 49, а показана форма первого главного колебания, а на
рис. 49, б — форма второго колебания.
Пример 26 [27]. Найти уравнения движения системы с зубчатой
передачей, изображенной на рис. 50. Эта система вместо единого
вала содержит зубчатые передачи.
Пусть J8— моменты инерции вращающихся дисков, <р1 и <р8__
соответствующие углы поворота; г"— моменты инерции шестерен;
п передаточное отношение, <р2,— шр2— углы поворота шестерен»
и С2—коэффициенты жесткости валов.
Кинетическая энергия системы равна:
*2
где
ff
Потенциальная энергия
Ф2)2 + с2(— п«рг
и, следовательно, уравнения движения имеют вид
ф2) = 0,
Ф1) + ^2 («ф2 + ф,)п = 0,
пф2) = 0.
Глава 8
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ
ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 20. Понятие об устойчивости движения
.., qs, то кине-
Пусть имеется голономная материальная система с s степенями
свободы, на которую наложены стационарные связи.
Если обобщенные координаты обозначить qit q2, ..., qs, то кине-
тическая энергия будет однородной квадратичной формой обобщен-
ных скоростей (§ 3):
гДе A/k = Ajkiq^ q2, • ••» qs) и не зависит явно от времени.
Пусть Qn Q2, ..Qs — обобщенные силы, которые могут быть
функциями обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени.
Дифференциальные уравнения движения материальной системы
Предположим, что
<7/=М0 (8.3>
есть решение уравнений (8.2) при определенных начальных условиях.
Движение, происходящее по закону (8.3), называется невозму-
щенным (основным).
Введем понятие устойчивости этого движения.
Назовем невозмущенное движение системы устойчивым, если
при сообщении ей в некоторый момент времени небольших откло-
нений от того положения, в котором она находится в данный мо-
мент времени, и небольших начальных скоростей, добавочных к тем,
которые она имела в данный момент в невозмущенном движении,
новое движение системы (возмущенное) происходит по закону, как
угодно близкому к закону невозмущенного движения, в течение
как угодно большого промежутка времени.
Математическую формулировку понятия устойчивости движения
впервые дал А. М. Ляпунов [14]. Приведем эту формулировку.
Пусть невозмущенное движение системы происходит по закону (8.3).
Пусть в момент времени /0 происходит возмущение движения, обу-
словленное, например, ударами, сообщенными точкам системы. Это
возмущение выразится в том, что точки системы получат добавочные
отклонения и скорости из состояния, соответствующего невозму-
щенному движению.
Закон движения материальной системы после сообщения ей воз-
мущения будет удовлетворять те же дифференциальные уравнения
движения, которые удовлетворяет и закон невозмущенного движения,
однако эти законы отличаются друг от друга, так как возмущенное
движение определяется измененными начальными условиями.
Пусть возмущенное движение (при />/0) происходит по закону
1,2, ...,$).
Будем считать, что^закон невозмущенного движения (8.3), т. е.
?/=№ (/=1,2, . ..,s),
задан; тогда для начального момента времени t = tQ известны
/ДО) и /ДО) (/=1,2, ...,s).
Так же будем считать известными величинами
Д=хД0) = 7Д0) —/ДО) и = ХД 0) = ?Д 0) —/Д 0),
характеризующие возмущение.
137
A
Невозмущенное движение будет устойчивым, если для заранее
заданных как угодно малых положительных чисел и е2 можно
найти такие положительные числа т]
пол нении условий
что при вы
.‘.о
будет выполняться
лри любом
Если же при t jx___________________ -
называется асимптотически устойчивым. При невыполнении сфор-
мулированных условий невозмущенное движение будет неустой-
чивым .
>0, то невозмущенное движение
§ 21. Дифференциальные уравнения возмущенного движения
и их интегрирование
Наиболее распространенным методом исследования устойчиво- 1
сти движения является метод малых колебаний.
Изложим этот метод на примере системы с одной степенью
свободы.
Если q является обобщенной координатой, характеризующей
положение системы, то кинетическая энергия системы |
/(/), а для возмущенного
Для невозмущенного движения q
Найдем разложение коэффициента A (q) в ряд по степеням х’1
f-\-x, ограничиваясь при этом членами второго
считая, что q
порядка:
dq* J о
и в производные от А по q
Индекс 0 означает,
в место q подставлено f. Поскольку невозмущенное движение за-
дано, то функции А
Подставляя (8.4) в выражение для кинетической энергии и
ограничиваясь членами, содержащими х и х в степени не выше
второй, получим
ЧТО
dq J 0
известны,
о
*/(01.0
♦
о
о
dA\
dqjQ
А х2
/1ОЛ
fdA
dq2
о
438
V
= 0 и, следовательно, выра-
Для невозмущенного движения х
жение для кинетической энергии имеет вид
< Л
Обозначая обобщенную силу в невозмущенном движении Qo,
напишем дифференциальное уравнение невозмущенного движения
d /'дТ\ дТ
0»
. е.
1 dAa £2
О*
Уравнение возмущенного движения будет:
dt \ дх
Для написания этого уравнения в развернутом виде
следующие выражения:
составим
дТ__ p'[dA\ f’ I fzx
dx L2 \dq Jq ‘ \dq )J ‘2 \dqzjJ
(8-7)
Обобщенную силу в возмущенном движении представим в виде
Используя (8.7) и (8.8), напишем уравнение движения
Учитывая (8.6) и то, что
получим
Вводя обозначения
139
будем иметь
ах
Таким образом, уравнение возмущенного движения (8.10) .пред
(8.10>
с коэффициентами, которые являются известными функциями вре-
мени.
или неустойчиво исходное невозмущенное движение.
нения возмущенного движения (8.10)
ставляет собой однородное «линейное дифференциальное уравнение
Решение этого уравнения и позволяет судить, устойчиво-
Если невозмущенное движение таково, что коэффициенты урав-
нения возмущенного движения (8.10) — постоянные величины, то
оно (невозмущенное движение) называется стационарным движе-
нием.
Для стационарного движения характеристическое уравнение
дифференциального уравнения (8.10) имеет корни
— Ь ф- Ь2 — 4ас
2а
b — Ь2 — 4 ас
Движение будет устойчиво, если корни s1 и s2 действительны*
и отрицательны или имеют отрицательную действительную часть.
Если произвести аналогичные выкладки для системы с s сте-
пенями свободы, то уравнения возмущенного движения получим^
в виде [12]
где
Для стационарного движения aJk, bJk, cJk, ^ — постоянные*
величины. Из выражений (8.12) в случае стационарного движе-
ния следует, что
ajk — akj » °jk
s
140
Из последнего равенства видно:
1
дЛь
(8.13)
Предположим, что на систему действуют как консервативные
силы, так и силы сопротивления (пропорциональные первой сте-
пени скорости точек системы).
Для консервативных сил Q.-
гия), откуда
потенциальная энер -
dQj д2П д(рг
dqk dqi&ij dqj'
(8-14)
Следовательно, на основании (8.13) и (8.14) и выражения
для cjk следует, что cjk = ckJ.
Для сил сопротивления Q?-
функция Рэлея), откуда
где
oq i
(Ф — диссипативная
d(ik
д’Ф д<2к
_ » I
dqkd'qj dqj
Значит,
Наконец, из выражения для dJk (8.13) следует, что
jk
Ограничимся теперь рассмотрением системы с двумя степе-
нями свободы. Уравнения неустановившегося движения для s = 2
будут иметь вид
Эти уравнения отличаются от уравнений малых колебаний
около положения равновесия наличием членов d12x2 и d21xx, при-
чем d12 =— d21. Эти члены называются гироскопическими, так
как они появляются в уравнениях всегда, когда система содержит
гироскоп [17].
Проинтегрируем уравнение (8.15).
Рассмотрим случай, когда силы сопротивления отсутствуют
(611=^12 = ^22=0).
Уравнения (8.15) при этом имеют вид:
• •
где
Эти уравнения можно записать в виде
(8.16>
Как показано выше, такие квадратичные формы можно одно-
временно линейным преобразованием от переменных хг, х2 к но-
вым переменным у2 привести к виду, когда А и С не содер-
жат произведений соответственно угу2 и угу2 (§ 11).
После преобразования для форм Л и С, получим:
А = ^(а1у21-\-а2у^, С = у (с с 2у$.
Уравнения (8.16) при этом примут вид
^УАсхУх + Yui/i + УггУг = °.
«2^2 + С1Уг + У21У1 + У22У2 = °-
Свойства коэффициентов у гироскопических членов доказаны ’#
в общем виде при произвольном выборе координат, следовательно„ 1
они будут выполняться и для координат уг и у2. Я
Это значит, что у11=у22 = 0 и у12 = — у21 и уравнения дви-
жения запишутся в виде
а1У1+сгУ1+\г2У2 = 0, \ (8 j7^
^2 + ^2—^>2^ = °- ’ ' ।
Будем искать частное решение этих уравнений в виде
y.=est, y2 = cest, (8.18>
где о и s — постоянные числа.
После подстановки выражений (8.18) в уравнения (8.17), по*-
лучим уравнения для s и о:
<м,+‘.+т..<»=». | (819>
a2s2a4-с2(т — yl2s = O. J
Исключая из этих уравнений сг, получим уравнение для на-
хождения s: !
a2a2s* + (а,с2 + a2ci + Y Д) «2 + СЛ = °- (8.20>
142
Характер корней этого уравнения определяет устойчивость
или неустойчивость невозмущенного движения. Для устойчивого
движения необходимо, чтобы действительная часть корней урав-
нения (8.20) не была положительной.
Решая это уравнение относительно s2, получим
s
2
1,2
— (а,с2 + о2с, + y2z) ±
1/ (а,с2 4- а2с, 4- у’2)2 — 4а1а2с1с2
2а1а2
В приложениях, как правило, а2^>0, следовательно,
аха2^>0.
Если сгс2<^0, т. е. и с2 имеют противоположные знаки, то
корни sj и s2 вещественны, причем s*^>0, Отсюда сле-
дует, что невозмущенное движение неустойчиво, так как один
из корней уравнения (8.20) — вещественное положительное число.
Рассмотрим случай, когда ^jC2^>0; это может быть, когда
Cj^>0 и о2^>0 или когда и c2<f0.
Пусть с1^>0 и с2>0, тогда корни и s'2 действительны и
отрицательны и движение устойчиво.
Пусть теперь с\ 0 и с2 0. В этом случае при отсутствии
гироскопических членов движение будет неустойчивым.
Найдем условия стабилизации при наличии гироскопических
членов.
Согласно уравнению (8.20), условие вещественности корней s*
и s2 запишется в виде
(«А + а2с, + ?12)2 — 4«!«2CA > 0
ИЛИ
y|2 4~ (аА 4" a2ci) а (^1с2—^а)2 > о,
откуда
(yL+ад—ад)2 >—4у212а а .
Предположим, что уг12 Ц- — а А 0, тогда
или
Из этого выражения получим
I V, 2 I > V— «2е! + /— «!С2-
(8-21)
Если условие (8.21) будет выполнено, то корни s? и s* ве-
щественны.
Для того чтобы корни были отрицательны, нужно
aic2 + ^2Ci + 0,
143
т. е.
y*2> — «а —
но это условие выполнимо, если выполняется условие (8.21).
Таким образом, устойчивость установившегося движения мо-
жет быть достигнута при достаточно большой величине коэффи-
циента у12 у гироскопических членов.
Предполагая, что корни s* и s2 действительны и отрица-
тельны, построим общее решение уравнений (8.17).
Пусть =— k2 и s* =—k22, тогда шз уравнений (8.19) по-
лучим
cr1=Zcx1, o2 = za2, о2 =— Za2,
где
Yl2^1 С2 ^2^1 У12^2 ^2 ^2^2
Общее решение уравнений (8.17) имеет вид
где постоянные интегрирования
а Аг и BY — постоянные действительные числа.
После подстановки выражений (8.23) в общее решение (8.22)
будем иметь:
yl = Al cos kxt 4-#! sin kJ -JA2 cos k2t Ц- B2 sin^2^,
У^ — а1 (^i cos — A sin + (A cos — A s^n AO-
Вводя обозначения
A. = D, sin S., A2 — D2 sin S2,
AAA £» £л
B, = D,cosd,, В. = £). cos 62,
А А А £л
окончательно получим
Уг = Dr sin (kxt + 6J 4- D2 sin (k2t + 62),
y2 = а,Г>, cos (^/4-64 + cc2D2 cos (k2t 4- 62).
Если рассмотреть теперь задачу об устойчивости при наличии
сил сопротивления, пропорциональных скоростям точек материаль-
ной системы, то уравнение (8.20) уже не будет биквадратным урав-
нением и судить об устойчивости или неустойчивости движения
следует, используя, например, критерий Гурвица (§ 14).
144
НЕЛИНЕЙНЫЕ колебания
Глава 9
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ;ПЛОСКОСТИ
§ 22. Фазовая плоскость.
Особые точки линейных систем
и их классификация
Метод фазовой плоскости (фазового пространства) является
одним из распространенных методов исследования нелинейных
систем.
Разработанный и примененный к решению некоторых нелиней-
ных задач радиотехники, механики, автоматического регулирова-
ния Л. И. Мандельштамом, Н. Д. Папалекси, А. А. Андроновым
и другими учеными этот метод позволил решить многие нелиней-
ные задачи и выявить специфические особенности нелинейных
систем.
Рассмотрение метода проведем на примере нелинейной системы
с одной степенью свободы.
Многие задачи теории колебаний приводят к необходимости
исследования дифференциального уравнения вида
d2x , г / dx\ ~
dt)-0’
р ( dx \ о 1 dx
где f '^х, — нелинейная функция хи .
Если ввести переменную У =77, то уравнение (9.1)
LX L
представить в виде двух уравнений первого порядка
dx
dt
dy
dt
У,
— fix, у)-
(9.1)
можно
(9.2)
Эта система уравнений представляет частный случай системы
более общего вида
dx
dt
dt
Ю Н. В. Бутенпв
145
Нашей задачей является изложение приемов и способов ис-
следования системы (9.3).
Если нелинейные функции Р и Q не содержат явно времени,
то система (9.3) называется автономной системой, в противном
случае — неавтономной.
В этой главе рассматриваются лишь автономные системы.
Вводя в рассмотрение плоскость переменных х и у = ~ бу-
дем рассматривать хну как прямоугольные координаты.
Для простоты примем, что функции Р (х, у) и Q (х, у) опреде-
лены на всей плоскости переменных х и у. Тогда каждому со-
стоянию нелинейной системы, определяемому координатой х и
скоростью у = на плоскости ху будет соответствовать точка
и, наоборот, каждая точка плоскости ху будет соответствовать
только одному состоянию системы.
В связи с этим плоскость ху называется плоскостью состояний или
фазовой плоскостью. Каждому состоянию системы на фазовой пло-
скости соответствует одна точка, называемая изображающей точкой.
При изменении состояния системы, т. е. при изменении коор-
динаты х и скорости у = —, изображающая точка перемещается
по фазовой плоскости. Траектория изображающей точки назы-
вается фазовой траекторией. Уравнение фазовой траектории пред-
ставляет собой зависимость между координатой и скоростью
жения рассматриваемой системы.
Целой фазовой траекторией называется кривая, которая
сывается изображающей точкой за все время ее движения.
Определим положение изображающей точки на фазовой
скости радиусом-вектором
r = xi4ryj>
дви
on Il-
Li ло-
рде i и /— единичные векторы осей х и у\ тогда скорость
где i и /— единичные векторы осей х и у; тогда скорость изо-
бражающей точки (фазовая скорость) определится по формуле
— dr dx —
v=-di
dti
Для механической материальной системы производная -т,
представляет скорость изменения координаты, а производная
dt=dt2— проекцию ускорения. Следовательно, точки плоскости
ХУ> где фазовая скорость равна нулю, для рассматриваемой ма-
териальной системы будут соответствовать состояниям равновесия.
Рассмотрим опять систему уравнений (9.3). Деля второе урав-
нение на первое, получим:
dy Q (х, у) ,п
146
Решение этого уравнения устанавливает связь между х и у,
т. е. дает интегральные кривые. Ц4
Заметим, что интегральные кривые лишь в простейших слу-
чаях совпадают с фазовыми траекториями. Как это установлено
ниже, интегральная кривая может состоять из нескольких фазо-
вых траекторий.
Фазовая скорость, т. е. скорость движения изображающей
точки, равна нулю в тех точках плоскости ху, где одновременно
функции Р и Q обращаются в нуль, т. е.
. Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям (9.6),
для дифференциального уравнения (9.5) являются особыми точ-
ками; в этих точках не выполняются условия теоремы Коши о
единственности решения дифференциального уравнения.
Для исходной материальной системы особые точки уравнения
(9.5) соответствуют состояниям равновесия. Это значит, что эти
особые точки имеют для нас физический смысл как состояния рав-
новесия рассматриваемой материальной системы.
Если известно поведение фазовых траекторий на всей плоско-
сти ху, а также вблизи особых точек, то, очевидно, можно су-
дить как о характере движения исходной системы, так и о ха-
рактере ее состояний равновесия. Покажем это на примере простей-
шей линейной системы.
Как известно [12], уравнение движения математического маят-
ника имеет вид
тР<р mgl sin ср — О,
где т — масса маятника, I — длина маятника, g — ускорение силы
тяжести, ср— угол, определяющий положение маятника (рис. 51).
После деления на тР, получим
<р-|-Т s-inq> = 0. (9.7)
*
Вводя обозначения k2 = ~-> = ф и предполагая, что ,откло-
нения маятника от положения равновесия (<р —0) малы (sin ср^ср),
имеем
x^-k2x = 0. (9.8)
После замены у—= х будет
(9.9)
dx
at J
10*
147
Деля первое уравнение на второе, получим уравнение интег-
ральных кривых
(9.Ю)
Единственной особой точкой этого уравнения является точка
с координатами х —0, у = 0.
Интегрирование уравнения (9.10) дает
Полученное уравнение представляет собой семейство эллипсов.
Каждый такой эллипс (при конкретном значении постоянной с)
представляет собой траекторию изображающей точки, т. е. инте-
гральные кривые здесь совпадают с фазовыми траекториями.
Полученное семейство эллипсов заполняет всю фазовую пло-
скость, за исключением начала координат. В этой точке эллипс»
соответствующий с —0, вырождается в точку (рис. 52).
Особая точка, через которую не проходят ни одна фазовая тра-
ектория и которую окружают замкнутые фазовые траектории, на-
зывается центром.
Величина скорости изображающей точки при ее движении по
фазовой траектории равна:
Следовательно, фазовая скорость равна нулю лишь в особой
точке (х —0, у = 0).
Рассмотрение фазовой плоскости с нанесенными на ней фазо-
выми траекториями (рис. 52) позволяет судить о характере дви-
жения системы. Направление движения изображающей точки можно
определить по одному из уравнений (9.9), например при х^>0,
~<^0, следовательно, у убывает (рис. 52).
Изображающая точка, начав движение из какой-либо точки фа-|
зовой траектории, по истечении конечного промежутка времени (так
148
как фазовая скорость равна нулю только в точке х = 0, у — 0)
возвратится опять в ту же точку. Это значит, что система вер-
нется опять в исходное состояние. Следовательно, замкнутые тра-
ектории соответствуют периодическим движениям.
Таким образом, малые колебания маятника около устойчивого
положения равновесия при любых начальных условиях совер-
шаются по периодиче-
скому закону.
Рассмотрим теперь
поведение маятника
вблизи верхнего положения равновесия (ф = л).
Вводя замену ф = ф-[“я (Рис- 53) перепишем (9.7) в виде
ф — sin ф — 0.
V
Заменяя опять т|? на х и у- на k'1 для малых будем иметь:
If
х — k2x = 0.
Уравнения (9.3)
в этом случае принимают вид
(9.11)
Интегрируя уравнение интегральных кривых
dy kzX
dx У *
получим
у2 — k2x2~c.
(9.12)
Уравнение (9.12) дает семейство гипербол, заполняющих фазо-
вую плоскость.
149
При с = 0 интегральная кривая вырождается в две прямые
y = kx и у = — kx, проходящие через особую точку системы
(9.11) х —О, у=0.
При с -ф 0 интегральные кривые через особую точку не про-
ходят. Прямые y = kx и у — — kx являются асимптотами для
интегральных кривых, для которых с^О. Расположение инте-
гральных кривых на фазовой плоскости и направление движения
по ним изображающей точки показано на рис. 54. Отметим, что
прямая y = kx состоит из трех фазовых траекторий: прямой
y — kx при х^>0, особой точки х = 0, // = 0, прямой y=kx при
х<^0. Эго же относится и к прямой у — — kx.
TbkhmJ образом, в рассматриваемом примере при любых на-
чальных условиях, кроме соответствующих прямой z/ = — kx,
изображающая точка удаляется от особой точки, причем движение
исходной системы — апериодическое. Скорость изображающей точки
равна нулю только в особой точке (х = 0, y — ty. Если даже изо-
бражающая точка приближается к началу координат, то затем
она уходит от него.
Из этого следует, что состояние равновесия, соответствующее
полученной особой точке, является неустойчивым. Такая особая
точка называется седлом.
Движение по асимптоте у —— kx соответствует такому слу-
чаю, когда изображающая точка, двигаясь к началу координат
со стремящейся к нулю скоростью, в конечный промежуток вре-
мени его не достигает. Очевидно, что движение по этой ассимп-
тоте соответствует такой специально подобранной скорости, когда
кинетическая ^энергия в начальный момент времени равна работе,
которую должна совершать система, чтобы попасть в положение
равновесия.
Такое движение практически получить нельзя, так как точно
реализовать необходимые начальные условия нельзя. Поэтому
для всякого реального движения особая точка типа седла яв-
ляется неустойчивой.
Рассмотрим еще движение маятника в среде с сопротивлением.
При условии, что сила сопротивления пропорциональна скорости,
уравнение движения будет:
тГ ф -ф- Ьср Ц- mgl sin ф = 0
или
Ф Ц- 2Лф -ф- k2 sin ф = 0. (9.13)
Вводя замену х = ф, у=ф = х, для малых отклонений от по-
ложения равновесия ф = 0 имеем
=— 2hy — k2x,
at J
dx
dt-y
150
и
dy — 2hy — kzx
dx у
(9.14)
Единственная особая точка для этого уравнения будет в на-
чале координат (х = 0, у — 0).
Интегрируя уравнение (9.14) при h<^k, получим [1] и [7]:
(у2-]^2hxyk2x2)2 =ceki
где —]/й2 — h2.
Это уравнение дает семейство интегральных кривых, запол-
няющих плоскость ху. Фазовая скорость, равная
V
V (2hyk2 х)2 -j-y2, нигде не равна нулю, кроме точки * = 0,
= 0, и уменьшается при приближении к этой точке.
Интегральные кривые в этом случае являются фазовыми тра-
екториями и представляют
чало координат (рис. 55).
Так как в силу уравнений
движения изображающая
точка стремится по спира-
ли к началу координат,
собой спирали, навивающиеся на ни-
то особая точка будет называться устойчивым фокусом.
Из рассмотрения поведения фазовых траекторий можно сде-
лать вывод о том, что при любых начальных условиях (кроме
х = 0, у = 0) маятник совершает затухающие колебания, асимп-
тотически приближаясь к состоянию равновесия.
При h^>k уравнение интегральных кривых будет [1] и [7]:
h
у2 -\-2hxy ~\-k2x2
4- h - vh2 - k2
X
V/г2 - Л2
+ h + V li2 — k2
На рис. 56 показано примерное расположение интегральных
кривых на плоскости ху. В этом случае фазовые траектории не
151
совпадают с интегральными кривыми, так как каждая интеграль*;
ная кривая состоит из трех фазовых траекторий; две из этих
фазовых траекторий соответствуют асимптотическим движениям
изображающей точки к началу координат (особой точки), а
третья является особой точкой.
Особая точка, через которую проходят все интегральные кри-
вые, называется узлом. В нашем случае изображающая точка по
всем фазовым траекториям движется к особой точке, которая бу-
дет устойчивым узлом.
Для маятника устойчивый узел соответствует устойчивому
состоянию равновесия. Представленные на рис. 56 фазовые тра-
ектории соответствуют апериодическому движению маятника.
На основании фазовых представлений о простейшей линейной си-
стемы можно сделать следующие выводы:
1. Характер и расположение фазовых траекторий, направление
движения по ним изображающей точки дают возможность судить
о характере движения материальной системы.
' 2. Особые точки и их характер определяют характер состоя-
ния равновесия материальной системы.
Эти обстоятельства требуют найти способы и приемы оп-
ределения особых точек нелинейных уравнений и выяснить их
характер, а также найти методы построения фазовых траекторий
для этих нелинейных уравнений, особенно тогда, когда уравнение
интегральных кривых не удается проинтегрировать.
Прежде чем перейти к решению этих задач, рассмотрим воп-
рос о типах и характере особых точек линейной однородной си-
стемы общего вида: dx , у \ _ах-[-Ьу, । X , <9Л5> dt сх~\-йУ' 1
где а, Ь, с, d — постоянные коэффициенты.
Если искать решение этой системы уравнений в виде
х — Aest, y = oAestt
где А — любое постоянное число, то уравнения для определения
сг и s будут:
c-j-cra— qs = 0, j v
откуда
S (2 С /г\ Л
о =---7—, сг =-----(9.17)
b ’ s — d v '
Исключая из уравнений (9.16) величину о, получим характе-
ристическое уравнение: J
s2 — (а -ф- d) s ad — cb = 0. (9.18)
152
Пусть корни этого уравнения будут s, и $2, тогда
(9.17) имеем:
s, — а с \
s^d' |
s2 — а с [
b ' s2 — d ’ I
согласно
(9.19)
Коэффициенты и о2 называются коэффициентами распреде-
ления.
Если предположить, что характеристическое уравнение не
имеет кратных корней и оба корня имеют отличные от нулей
действительные части, то общее решение уравнений (9.15) будет
иметь вид
где Аг и А2 — произвольные постоянные интегрирования.
Система уравнений (9.15) имеет только одну особую точку в
начале координат.
Решение (9.20) показывает, что тип и характер особой точки,
а также поведение интегральных кривых определяется характе-
ром корней характеристического уравнения, которые в свою оче-
редь зависят от значений коэффициентов уравнений (9.15).
Перейдем к определению типа и характера особой точки. До-
кажем, что систему уравнений (9.15) при помощи линейного од-
нородного преобразования'
£ = 0СЛ: + ₽У’ I (9.21)
можно привести к виду
dri
dt S,£’
(9.22)
где Sj и s2— корни характеристического уравнения.
Предположим, что <хб— у₽ =^=0. Это предположение обеспечи-
вает разрешимость уравнений (9.21) относительно х и у.
Согласно (9.21), шмеем
1 q dy
dt~~ dt'Vdi’
ix i о dy
dt^Tt + ^dt-
Используя теперь (9.15), (9.21) и (9.22), запишем
s, (ах ру) = а (ах + by) 4~ р (сх + dy),
S2 (YX 4~ Sy) = Y (ax -J- by) 4~ 6 (ex 4“ dy),
откуда
aSj — aa 4- pc, Ys2 — Уа 4~ Sc,
Pst = ab 4- pd, Ss2 = yb -j- Sd.
153
Полученные выражения представляют собой две системы од-
нородных уравнений для определения а, [3, у и б.
Так как мы предполагаем, что а, р, у, 6 одновременно не
равны нулю, то должно выполняться условие
a —s2 с a — sz с
b d — s. ’ b d — sz
т. е.
Si — (а 4- d) sL 4- ad — bc = О,
— (а 4- d) s2 4“ ad — be — 0.
Сравнение этих выражений с характеристическим уравнением
подтверждает, что и s2 в уравнениях (9.22) — корни характери-
стического уравнения.
Отметим, что
ОС d Sj с 1 • у S2 de 1 /q
(3 b a — Sj Xj ’ d b s2 — a x2 ’ ' '
Особая точка системы (9.15) x = 0, y = 0 на плоскости xy
соответствует особой точке ^ = 0, т]
скости £т].
Пусть s1 и s2 — действительные корни одного знака. Отноше-
а и — также действительные числа и, следовательно, при
0 системы (9.22) на пло-
ния
действительных х и у координаты £ и т] действительны.
Интегрируя уравнение интегральных кривых
п Д.
где 6Z=-2 ^>0, получим
Si
Все кривые этого семейства интегральных кривых параболиче-
ского типа проходят через начало координат и при а^>1 имеют
касательной ось g(i]— 0), а при а<^1 имеют касательной ось
*1(1 = 0).
Если Яд и s2 отрицательны, то изображающая точка движется
к началу координат. Особая точка в этом случае называется устой-
чивым узлом. Если sT и s2 положительны, то изображающая точка
удаляется от начала координат и особая точка называется неустой-
чивым узлом.
На плоскости ху при 1 касательной к интегральным кри-
вым уравнений (9.15) будет прямая т) = ух6^7 = 0, т. е.
При 1
такой касательной является
154
На рис. 57 и 58 показан характер интегральных кривых соот-
ветственно при Sj и s2 — отрицательных и при и s2 — положи-
тельных.
Пусть Sj и s2— действительные числа, имеющие разные знаки.
Интегрирование уравнения
интегральных кривых
где
даст
с
Отметим, что оси £ = О
и ц = 0 также являются
интегральными кривыми и
служат асимптотами для
других интегральных кри-
вых.
На рис. 59 показано
расположение интеграль-
ных кривых на плоскости
gi], а также направление
движения изображающей
точки при s1<^0, s2^>0.
Особая точка В = 0,
т] = 0 является неустойчи-
вой и называется седлом.
На плоскости ху асимп-
тоты £ — 0 и т| = 0 пере-
1
ходят в прямые у= — — х
и у =— — х (рис. 60).
Рассмотрим теперь слу-
чай, когда и s2 — комп-
лексные сопряженные, т. е,
s2 = a [-ib, (9-24)
Рис. 57
Рис. 58
где аг и Ъх —действительные числа.
Переменные £ и т] при действительных х и у будут комплексно
сопряженными. Покажем, что можно найти линейное преобразо-
вание от переменных х и у к новым действительным переменным
и и V.
155
Пусть
г] — и — iv,
(и и v — действительные числа).
(9.25)
Согласно (9.22), имеем:
S +* Tt = +/6»)
du . dv z \
dT —1 Tt= (°1 ~tb^ (u —lv)’
откуда
du
dt
dv
dt
(9.26)
Для плоскости uv уравнение интегральных кривых имеет вид
dv____bxu
du ахи — bxv *
(9.27)
Особая точка здесь одна: и = 0, v = 0.
Введем полярные координаты
i/=QCOStp, V = Q sin ф.
Так как
du = dp’cos ф — q sin ф^ф и dv = dQ sin ф -|- q cos фб?ф,
то подставляя эти выражения в уравнение (9.27), получим
feiQziQ = aiQ2^.
156
Исключая из рассмотрения точку q = 0, имеем
е
Интегрируя это уравнение, получим
q — се^ \
Это семейство интегральных кривых представляет собой лога-
рифмические спирали, для которых точка и —О, о = 0 является
асимптотической. Такая точка называется фокусом.
Для того чтобы найти направление движения изображающей
точки по интегральным кривым, умножим первое уравнение
системы (9.26) на и, а второе — на v и сложим:
dtt । dv i 9 f о\
udt +vdt=aA“ +p')-
Так как
TO
do
dt=a^-
Если a1^>0, т. e. действительная часть корней и s2 больше
нуля, то о—>оо и изображающая точка удаляется от начала
координат и особая точка называется неустойчивым фокусом.
Если ^<^0, то изображающая точка стремится к началу коор-
динат и особая точка называется устойчивым фокусом.
Рис. 61
Вид интегральных кривых на плоскости uv показан на рис. 61,
а на плоскости ху — на рис. 62.
Таким образом, для системы уравнений (9.15) могут быть сле-
дующие типы состояний равновесия:
1) для Si и s2 действительных и отрицательных —• устойчивый
узел;
2) для s, и s2 действительных и положительных — неустой-
чивый узел;
157
3) для и s2 действительных и разных знаков — седло;
4) для и s2, комплексно сопряженных при положительной
действительной части,—неустойчивый фокус;
5) для и s2, комплексно сопряженных при отрицательной
действительной части,—устойчивый фокус.
Если ввести обозначение
Р
и q = ad— cb,
то характеристическое уравнение запишется в виде
s2 ps—|— q = 0.
Корнями его будут
Q — p — Vp2 — 4q — р + /р2—I?
1 2 ’ 2 2
Если 7<^0, то особая точка — седло; если рУ>0, q^>®, то
особая точка —или устойчивый фокус, или устойчивый узел;
если р<^0, q^>0, то особая точка — или неустойчивый фокус,
или неустойчивый узел.
Рассмотрев типы и характер особых точек линейной системы
перейдем к рассмотрению нелинейной системы.
§ 23. Теорема Ляпунова об устойчивости
по первому приближению
Рассмотрим систему уравнений:
(9.28)
где Р (х, у) и Q (х, у) — аналитические нелинейные функции х и у.
Предположим, что система уравнений (9.28) описывает пове-
дение некоторой динамической системы, а координаты х и у
являются координатами изображающей точки на фазовой пло-
скости ху.
Точки фазовой плоскости, где фазовая скорость
dt j
равна нулю, соответствуют состояниям равновесия динамической
системы. Эти точки являются особыми точками уравнения
и находятся из условий
dy Q(x, у)
dx Р (х, у)
Р{х, у) = 0, )
= j
(9.29)
(9.30)
158
Пусть координаты особой точки х0, z/0. Поставим вопрос об
определении характера и устойчивости этой точки, т. е. об опре-
делении устойчивости состояния равновесия динамической системы.
Для ответа на вопрос об устойчивости особой точки с коор-
динатами х0, у0 выясним характер движения изображающей
точки в окрестности особой точки. Для этого введем новые пере-
менные £ и т], характеризующие отклонение изображающей точки
от точки с координатами х0, ур.
x=xt + %, г/=г/о + п-
Разложим теперь функции Р (х, у) и Q (х, у) в ряды по сте-
пеням £ и тр Это разложение имеет вид
где PX(L rj) и Qj (£, т]) —функции, в которые g и rj входят в сте-
пени не ниже второй.
Так как х0, yQ — координаты особой точки, то по (9.30)
Р(х0, у9)=0, Q(x„ у9)=0.
Вводя обозначения
и учитывая (9.31), перепишем уравнения (9.28) в виде
n), J
^ = cB + dn + Qi(^. П)- (
Если отбросить в этих уравнениях функции Рг (L ц) и (g, т]),
то получим линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение системы (9.33) будет
s2 — (аd) sad— Ьс = 0.
А. М. Ляпунов доказал, что в случае, когда оба корня этого
уравнения имеют отличную от нуля действительную часть,
состояние равновесия (особая точка) системы (9.32) устойчиво,
если действительные части корней отрицательны; если хотя бы
одна действительная часть положительна, то состояние равно-
весия неустойчиво.
159
В случае, если действительные части корней характеристиче-
ского уравнения равны нулю или если один корень равен нулю,
а другой отрицателен, то уравнения первого приближения (9.33)
не дают ответа на вопрос об устойчивости особой точки (состоя-
ния равновесия).
Характер поведения фазовых траекторий вблизи простых особых
точек, т. е. точек, для которых оба корня характеристического
уравнения имеют отличную от нуля действительную часть, также
определяется уравнениями первого приближения (9.33) *.
Изложенное выше позволяет при определении характера и
устойчивости особой точки нелинейной системы (9.28) пользо-
ваться уравнениями первого приближения (9.33).
§ 24. Методы построения фазовых траекторий
Рассмотрим методы, позволяющие в некоторых случаях точно
или приближенно построить интегральные кривые на фазовой
плоскости для динамической системы, имеющей одну степень
свободы.
1. Консервативные системы]
Пусть исходная материальная система является консерватив-
ной. Дифференциальное уравнение такой системы можно при-
вести к виду (предполагаем, что f(x)— аналитическая функция)
Обозначив
Уравнение
в этом случае
у—х, получим
— — ~ f (х)
dt т 1 { ' 9
dx
интегральных кривых
dy _ f (*)
dx my>t
может быть проинтегрировано. Так как
tjdy = ±f(x)dx,
в i v
то
где h— постоянная интегрирования.
Уравнение (9.35), представляющее собой уравнение семейства
интегральных кривых, выражает закон сохранения энергии, так
* Доказательство этих положений дано в книгах [1] и [14].
160
I
тх2
— кинетическая
потенциальная энергия ^динамической системы, поделенная на
массу т.
Перепишем уравнение (9.35) в виде
(9.36)
Постоянная h определяется из начальных условий, причем
каждому значению начальных условий соответствует одно значе-
ние й, каждому же значению h соответствует бесчисленное мно-
жество значений х и у, удовлетворяющих уравнению (9.36).
Построенная на фазовой плоскости в соответствии с уравнением
(9.36) кривая называется кривой, равной энергии. Ветви этой
кривой и будут фазовыми траекториями.
Построим интегральные кривые. Из уравнений (9.34) следует,
что интегральные кривые пересекают ось х, имея вертикальную
касательную. Кроме того, согласно (9.36), интегральные кривые
симметричны относительно оси х.
Интегральные кривые будут иметь горизонтальные касатель-
ные в точках, расположенных на прямых, параллельных оси у
для всех х, являющихся корнями уравнения /(х).
Так как
Щ-Л(х),
(9.37)
то для х, удовлетворяющих неравенству
й —П(х)<0,
интегральные кривые действительных ветвей не имеют.
Особые точки соответствующие состояниям равновесия исход-
ной динамической системы, будут в точках фазовой плоскости ху,
где фазовая скорость
V +
V —
равна нулю.
Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость хг и по-
строим на ней кривую z~I7(x) (рис. 63, а).
Проведя прямую с=--й, замечаем, что действительные движе-
ния будут только для х, расположенных левее точки пересечения
кривой г = П(х) и прямой z — h. На рис. 63,6 показан вид
интегральной кривой на плоскости хуг Для z = hY интегральная
кривая показана пунктиром.
Рассмотрим случай, когда функция ? = /7(х) имеет минимум.
Из рассмотрения рис. 64 следует, что при h = hQ интеграль-
ная кривая вырождается в точку, в которой фазовая скорость
равна нулю (особую точку). Для всех интегральные кри-
11 Н. В. Бутенин 161
и
вые будут замкнутыми кривыми, окружающими особую TO4KyJ
Такая точка устойчива и называется центром.
Замкнутые интегральные кривые соответствуют периодическим
движениям. Период этих движений определяется из уравнения
(9.37). Так как
__ X
то
откуда следует, что искомый период равен:
dx
/2 [/i - 77 (*Й
(9.38)
где х, и х2— абсциссы точек пересечения интегральной кривой
С ОСЬЮ X.
Рис. 63
Рис. 64
Пусть теперь потенциальная энергия имеет максимум (рис. 65).
При h = hQ интегральная кривая распадается на четыре фазовые
траектории, сходящиеся в особой точке. Эти фазовые траектории
называются усами. При все фазовые траектории располо-
жены выше и ниже особой точки, а при h<^hQ — слева и справа
от нее.
Характер фазовых траекторий около особой точки подобен ха*
рактеру фазовых траекторий у особой точки типа «седло».
162
Рассмотренные случаи являются элементарным доказательством
теоремы Лагранжа-Дирихле и теоремы Ляпунова, приведенных
в § 2.
Рассмотренных примеров достаточно, для того чтобы построить
фазовые траектории при сложном виде функции z = 77(x)[l].
Пример 27. Математический маятник без сил сопротивления.
Уравнение движения имеет вид (§ 22)
<р4-k2 sin <р == 0 —
Обозначая
х = ср, # —<р = х,
получим
sinx, ^ — у.
at at s
Так как в этом случае
z — 77 (х) — \ k2 sin х dx — — k2 cos x,
то уравнение интегральных кривых имеет вид
у* — — h -L k2 cos х.
А*
(9.39)
При ф — 0, 4- 2л, + 4л, ... функция z — П (х) имеет изолирован-
ные минимумы, которым на плоскости ху соответствуют особые
точки — центры (рис. 66).
163
При ф = ± л, ± Зл, ... г—П (х) имеет изолированные максимумы..
Этим максимумам на плоскости xyt соответствуют неустойчивые
особые точки — седла.
На рис. 66 показано общее распределение фазовых траекторий
на плоскости ху. При/к^ — k2 действительных движений маятника
не существует. При — k2 фазовые траектории являются
замкнутыми кривыми, окружающими особые точки-центры. Эти
замкнутые траектории соответствуют периодическим колебательным
движениям маятника.
Найдем период колебаний маятника при начальных условиях:
при / = 0
Согласно выражения (9.39), имеем
Я — — kz cos х0.
Период найдем по формуле (9.38):
Т = 2 С 7 = =.
J у 2kz (cos г — cos х0)
— Xq
Так как интегральные кривые симметричны относительно оси
У, то
Введем замену
. х
sin у
sin^ =—
sin2
тогда
Интеграл
к
2
не может быть выражен через элементарные функции и называется
полным эллиптическим интегралом первого рода.
Для малых х0, можно принять
1 — sin2 ~ sin2 ф
. 2
•2 X
164
тогда
К = J (1 </ч|) = у 4-ySin’^ ,
о
следовательно,
Т = 2л 1/- (1+4
V g \ 1 4
* 2 ^0
Sin ~
Если теперь рассмотреть величину х0 такой, что sin у то
Т = 2л 1/ — (1 +^хо •
Г g \ 1 16 о у
При h=kz фазовые траектории являются кривыми с самопере-
сечением в особых точках-седлах. Такие фазовые траектории на-
зываются сепаратрисами. Сепаратрисы
имеют очень большое значение, так как
они отделяют друг от друга области, за-
полненные траекториями различных ти-
пов.
При h k* получаются фазовые траек-
тории, двигаясь по которым изобража-
ющая точка будет перемещаться в од-
ном направлении и уйдет в бесконечность.
Такие фазовые траектории называются
убегающими. Движение изображающей
точки по этим траекториям соответству-
Рис. 67
ет круговому движению маятника в од-
ном направлении.
Отметим, что фазовую плоскость ху в рассматриваемом слу-
чае движения маятника можно представить как развертку ци-
линдрической поверхности. На самом цилиндре будет две особых
точки: седло и центр. Убегающие траектории охватывают цилиндр
(рис. 67).
2, Метод изоклин
Метод изоклин является общим графическим методом построе-
ния интегральных кривых.
Пусть уравнения движения системы имеют вид (9.28). Уравне-
ние интегральных кривых запишем в виде
dy
dx
(9.40)
где ср = -
165
Геометрическое место точек, в которых интегральные кривые
имеют одинаковый угол наклона касательных, называется изо-
клиной.
Очевидно, что кривая
<р(х, z/) = c\
где с — фиксированное число —* изоклина.
Рассматриваемый метод построения фазовых траекторий заклю-
чается в следующем: на фазовой плоскости строится семейство
Рис. 68
изоклин, т. е. изоклины с различ-
ными значениями: c1,c2,cz, ....
Точки пересечения изоклин бу-
дут особыми точками уравнения.
(9.40).
На изоклине, для которой
с==с11 возьмем какую-либо точ-
ку Л. Из этой точки проведем
две прямые с угловыми коэф-
фициентами сг и с2 (пунктирные
прямые на рис. 68). Расстояние
между точками пересечения этих
прямых с изоклиной с=с2 раз-
делим пополам и обозначим точ-
ку деления Б. Отрезок ДБ при-
мем за отрезок интегральной
кривой между изоклиной с — с2
и изоклиной с=с2. Дальнейшее построение производится анало-
гичным образом, только за исходную точку берется точка Б.
3. Метод Льенара
Метод Льенара [23] является графическим способом построения
интегральных кривых для нелинейных уравнений, имеющих вид
Х + Ф1 (*) + &ах = 0.
(9.41)
Если ввести замену т==
kt, то
dx dt_. dx
dxdi~“dl ’
и уравнение (9.41) примет ви
где
(9.42)
166
Обозначив
dx
получим
ф(0)
Уравнение интегральных кривых будет:
dy— — x
dx у
(9.43)
Построим на фазовой плоскости ху кривую х = — <р(у). Возь-
мем на плоскости ху точку Р с координатами х и у. Из этой
точки проведем прямую, параллельную
оси х, до пересечения
с кривой х =— <р(у). Из полу-
ченной точки М (рис. 69) опу-
стим перпендикуляр MN на
ось х.
Тангенс угла а между отрез-
ком PN и осью х равен:
tga
LN ’
но так как
— [ — Ф (У)]
то
PL = yy LN=x
=х-\~ч(у),
tga
Рис. 69
* + <₽(#)
Сравнивая это выражение с (9.43), можем утверждать, что на-
правление касательной к интегральной кривой в точке Р будет
перпендикулярно отрезку PN-1
Итак, построение фазовой траектории можно произвести сле-
дующим образом: через точку Р проведем отрезок, перпендику-
лярный отрезку NP, на этом отрезке берем точку Pt и определяем
указанным способом направление касательной к интегральной
кривой в точке Рх; проводим касательную; берем на ней точку Р2
и т. д. В результате получим ломаную линию, которая будет тем
ближе к интегральной кривой, чем меньше отрезки ломаной.
Пример 28. Влияние сухого трения на малые колебания кон-
сервативной системы с одной степенью свободы.
Уравнение движения имеет вид:
где Тх=— Т при х^>0 и Тх
Обозначив x=kty получим
Т при х<^0 (Т>0).
167
где
^^^1
dx
dx
dx
И
dx
При
^>0 функция х
<р(у) будет х
а при
dx
70, (рис. 70).
Произведя построение Льенара в любой точке плоскости, где
У^>0, убеждаемся, что интегральная кривая, проходящая через
эту точку, будет окружностью
с центром в точке С\. Для
части фазовой плоскости, где
У <С 0, фазовые траектории бу-
дут окружности с центром в
точке О2. Отрезок С\О2 явля-
ется отрезком стыка фазовых
траекторий — зоной «застоя».
Рис. 70
0’
4. Метод Пелла
Этот метод [30] применя-
ется к уравнению вида
х -ф- ф (х) f (%)—о.
Вводя у
уравнение интегральных кривых в виде
— f (х)
запишем
(9.44)
dx
Построим теперь на плоскости ху две функции ср — ср (у) и
fz=f(x), причем (р откладываем в отрицательном направлении оси
х, a f — в отрицательном
направлении оси у (рис. 71).
Возьмем на плоскости ху
точку Р с координатами
пар ал
проведем линию
лельную оси у до точки К
пересечения ее с кривой
f=f(x). Отрезок LK бу-
дет при ' этом значением
f(x) в точке Р. Отложим
этот отрезок от точки L
в отрицательном [если
f(x)^>0] направлении оси
х (отрезок LM). Проведем
Рис. 71
из точки Р еще линию, параллельную оси х, до точки N пересече-
ния ее с кривой ф = фО/)- Отрезок RN является значением <р(у)
в точке Р. Отложим этот отрезок от точки М в отрицательном
направлении [при ф(г/)>0] оси х (отрезок MS).
Тангенс угла наклона отрезка SP с осью х будет
LM +A1S
У
f W + Ф (у) ‘
Сравнивая это выражение с уравнением (9.44), заключаем, что
касательная к интегральной кривой в точке Р будет перпендику-
лярна отрезку PS. Следующая точка Р, берется на этой касатель-
ной и проводится аналогичное построение.
Отметим, что для ряда задач эффективным является графиче-
ский метод Дробова [7].
Глава 10
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
с одной степенью свобо;
[Ы
Существует достаточно большое количество методов точного
и приближенного исследования нелинейных систем. Как правило,
эти методы приспособлены к тем или иным специфическим осо-
бенностям рассматриваемых нелинейных систем.
Рассмотрим лишь некоторые из этих методов.
§ 25. Метод припасовывания.
Понятие о методе точечных преобразований.
Понятие об автоколебаниях
Метод припасовывания является одним из точных методов изу-
чения движения нелинейных систем. Он применяется тогда, когда1
нелинейная функция, входящая в дифференциальное уравнение,
такова, что область изменения ее аргументов может быть разбита
на участки, на каждом из которых можно проинтегрировать диф-
ференциальное уравнение. Особенно применим метод припасовы-
вания, когда нелинейную функцию можно заменить функцией,
описывающей ломаную линию, каждое звено которой — прямо-
линейный отрезок. В этом случае движение системы будет описы-
ваться линейными уравнениями, сменяющими друг друга, так как
каждому звену ломаной линии соответствует участок, на котором
дифференциальное уравнение движения является линейным.
Суть метода припасовывания заключается в следующем. Задав-
шись начальными условиями внутри какого-либо участка, нахо-
дим интегральную кривую, соответствующую этим начальным
условиям; затем определяем состояние системы (координату и
169
скорость) на границе с соседним участком, на котором движение
описывается уже другим дифференциальным уравнением; началь-
ными условиями для решения уравнения движения на этом участке
берем конечное состояние на предыдущем участке и т. д.
Приведем пример для фазовой плоскости. Предположим, что
кривая y = qp(x) (рис. 72) делит фазовую плоскость на две об-
ласти, в каждой из которых фазо-
- У вые траектории определяются урав-
нениями, которые можно проинтег-
рировать. Возьмем за начальную
точку — точку Ро в области А. Ес-
ли фазовая траектория, проходя-
щая через точку Ро, пересечет кри-
вую у = ф(х) в точке Pv то эту
точку Рг выбираем за начальную
для фазовой траектории в области
В. Точка Р2 будет затем началь-
ной для фазовой траектории в об-
ласти А и т. д. Таким образом,
проведя такое последовательное при-
„ пасовывание начальных условий, д!
можно следить за движением изоб-
ражающей точки, а тем самым Ш
судить о поведении динамической системы.
Рассмотрим применение этого метода к задаче о влиянии сухого
трения на малые колебания консервативной системы.
Дифференциальное уравнение движения имеет в этом случае
вид
..
aq-^cq = Q
или
^ + ^2? = QV J
где ^2==Т’ ^=='7==7’» при Qi=—^==—T« ПРИ Ж
q О (Т — величина постоянная) *.
Фазовая плоскость q'q делится на две области: область q^>О,
где уравнение движения имеет вид
?+^=-т0 (10.1) j
и область где Ж;
(10.2)
Пусть начальные условия будут: при t — 0, q = qo>0, q = 0.
Для того чтобы началось движение, необходимо, чтобы кон- |
сервативная сила cqQ была больше максимальной силы трения
* Предполагается, что максимальная сила трения покоя равна силе трения
при движении.
170
покоя, т. е.
cq. > т.
Значит начальное отклонение должно удовлетворять нера-
венству
„ т т,
с k2'
Пусть q0 удовлетворяет этому неравенству. Тогда движение
начнется в области, гдед<^0, так как ^£-=—kiq-\-Q1, т. е.
(X L
при положительных q значениях q убывает.
Движение будет происходить согласно уравнению (10.2). Если
т
ввести замену x = q-\-a, где а — — то уравнение (10.2) перей-
дет в уравнение
т. е. система совершает движение по гармоническому закону, но
положение равновесия перенесено из точки 4 = 0 в точку с коор-
динатои ?01 = у°-
Решение уравнения (10.2) при выбранных начальных условиях
будет
и
] sin kt.
k21
Первый этан движения окончится тогда, когда q снова обра-
тится в нуль. Это будет при t — ^-.
При этом
[ 2Го\
Q. К ---91--- ( 9о Ь2 ) •
к * j
Для того чтобы начался новый этап движения, нужно, чтобы
, . т0 зг0
19i I > т. е. qo .
Пусть это условие соблюдено, тогда начнется новый этап дви-
2Т
Жения с начальными условиями: 7 = 0, q=qx = — |—«-0
<7 = 0.
Если ввести переменную у — q-\-b, где
(10.1) будет:
y-\-k*y = Q,
то уравнение
К
171
т. е. опять имеем уравнение свободных гармонических колебаний»
но уже около состояния равновесия, смещенного от точки ^ = 0'
в точку <70i=— bi •
Решение уравнения (10.1) при полученных начальных условиях
имеет вид
ИЛИ
-JO
if
о
cos kt — -Л
COS kt —
При t
q изменит знак, при
470
этом
И
о
о
5, получим еле
2
о
О
Предполагая опять, что q
дующий этап движения, согласно уравнению (10.2), и с начальными,
условиями: при t
Легко заметить, что при каждом этапе движения максималь-
ное отклонение системы от положения равновесия будет умень-
2Т0
шаться на величину -~
о
п
а все этапы движения совершаются в оди-
наковые промежутки времени, равные 5-. Это значит, что сила
сухого трения не изменяет периода собственных колебаний системы.
Движение прекратится, когда | q
В качестве второго примера рассмотрим маятник, находящийся
в среде с вязким трением. Предположим, что на маятник дейст-
вует постоянный момент в направлении движения маятника
только тогда, когда угловая скорость маятника положительна [ 1 ], т. е
НО
М (ф)
(7И — постоянная величина).
Уравнение движения маятника имеет вид:
при ф^>0
Ф 4~ 2Лф 4“ &2ф = А10;
при Ф<^0
Ф -р- 2/ир 4“ &2ф — 0,
где MQ = ^2 (т — масса маятника, I — его длина).
(10.3>
(10.4>
172
После замены х — <р, у — х — <р, уравнение (10.3) можно запи-
сать в виде двух уравнений первого порядка
dy
dt
dx
dt — У’
2hy— k2x 4- A40.
Уравнение фазовых траекторий будет
dy — 2hy — k2x 4- Mq
(10.5)
Для уравнения (10.4) получим
(10.6)
dx
Уравнение (10.5) действительно на фазовой плоскости в области
— в области, где у<
Для части фазовой плоскости, где у ^>0, при h
особая точка х — ~
k£
г/ < 0, особая точка
Если уравнение (10.5) справедливо на всей фазовой плоскости,
то фазовая траектория имеет вид, показанный на рис. 73, а\ если
справедливо уравнение (10.6) на всей плоскости ху, фазовая траек-
тория имеет вид, показанный на рис. 73,6. Разрежем теперь обе
где у^>0, а уравнение (10.6)
k будет одна
> части, где
у = 0 — устойчивый фокус,
устойчивый фокус в начале координат.
I
Рис. 73
плоскости, изображенные на рис. 73, по линии у
дем сшивание верхней полуплоскости,
и нижней полуплоскости, изображенной на рис. 73,6. На рис. 74
показан результат такого сшивания. Полученные фазовые траекто-
рии характеризуют движение маятника.
Как видно из рассмотрения рис. 74, при достаточно больших
начальных отклонениях маятник совершает затухающие колебания;
при достаточно малых отклонениях колебания маятника нарастаю-
щие. Очевидно, можно предположить о существовании замкнутой
0 и произве-
изображенной на рис. 73, а
173
фазовой траектории, на которую наматываются все остальные фа-
зовые траектории. Такая замкнутая фазовая траектория соответст-
вует периодическому движению маятника, причем параметры этого
движения не зависят от начальных условий и определяются пара-
метрами рассматриваемой динамической системы (маятника),.
Рис. 74
Докажем, что эта замкнутая траектория единственная и пери
одическое движение маятника, соответствующее этой траектории
устойчиво.
Для у<^0 решение уравнения (10.4) (где <р заменено на х
имеет вид
_ L J. I _ • Г
где k1 — ]/rk2 — hz.
Определив
x=e~M[(c2k1
c\h) cos k.t
c.h) sin k.t}
& * X J
для начальных условии: при t
0, получим
2
Следовательно,
е~м
sin#/
Для момента времени t
hit
174
Для у>0 решение уравнения (10.3), в котором также <р
заменено на х, будет:
~-м
Мй
Для начальных условий: при t
= 0, получим
Для t
Обозначая
х обращается в нуль, а х равен:
_м,
2 Ь2
i Ма
и используя (10.7), перепишем выражение
(10.8)
Полученная функция (10.8) определяет по заданной точке на (
положительной полуоси х последующую точку пересечения, т. е.
по значению определяется значение xz. Такая функция назы-
вается функцией последования. Она определяет точечное преобра-
зование полупрямой (положительной полуоси х) в самое себя,
т. е. устанавливает определенное взаимно однозначное и непре-
рывное соответствие точек х1 полупрямой с точками xz той же
полупрямой.
Метод точечных преобразований, применяемый к решению не-
линейных задач, и ставит перед собой задачу нахождения функ-
ции последования. Однако следует иметь в виду, что получить
функцию последования в явном виде удается только в очень
простых случаях. Существенным в применении метода точечных
преобразований является установление функции последования
в параметрическом виде. Разработка метода точечных преобразо-
ваний и его применение к решению целого ряда важнейших задач
проведено в основном А. А. Андроновым и его учениками.
Для периодического движения должно выполняться условие
(10.9)
т. е. при точечном преобразовании точка должна преобразовы-
ваться в самое себя. Такая точка называется неподвижной точкой
преобразования.
В соответствии с (10.9) выражение (10.8) примет вид
^-г^+^>(1 + е-ЛГ),
175
откуда
ЛД 1
0 /г2 ’1 — e~hT*
(10.10)
Таким образом, установлено, что в рассматриваемой задаче
возможно периодическое движение. Будем понимать под амплиту-
дой периодических движений какой-либо величины половину раз-
ности максимального и
Для нашего случая максимальное отклонение дается формулой
(10.10), минимальное отклонение найдем из условий (10.7), т. е.
минимального
значении этой величины.
Амплитуда будет равна:
(*о
Мо 1
_ е-пт
и она не зависит от начальных условий, а зависит только от
параметров системы.
Определения амплитуды ха недостаточно, чтобы утверждать,
что такое движение в действительности может быть реализовано.
Рис. 75
Следует доказать, при каких начальных условиях установится
это движение и будет ли оно устойчиво. Для этого надо
построить соответствующую диаграмму, называемую диаграммой
Лемерея, На этой диаграмме графически изображена связь между
двумя последовательными максимальными отклонениями одного
знака, т. е. и х3
Пусть дана система координат хрс9 (рис. 75). Построим на
плоскости хрс3 прямую (10.8); заметим, что угловой коэффициент
этой прямой e~zhT<A. Проведем еще вспомогательную прямую
176
х3 = %i. Пересечение указанных прямых определяет максималь-
ное отклонение х3 = Xi = х0.
Пусть х'\ — начальное отклонение, меньшее х0; тогда этому
отклонению будет соответствовать х'3, которому также будет
соответствовать максимальное отклонение х'5. Продолжая эти
построения, видно, как бы мало начальное отклонение не было,
колебания происходят с увеличивающейся амплитудой, пока
максимальное отклонение не достигнет постоянного значения х0.
Если теперь взять максимальное отклонение x/zi>x0, то по гра-
фику найдем следующее отклонение х"з, по которому найдем
следующее x/zs и т. д. Из этого построения видно, что колебания
затухают до тех пор, пока максимальное отклонение не достига-
ет постоянного значения xG.
Таким образом, установлено, что какие бы начальные усло-
вия не были в рассматриваемой динамической системе, несмотря
на наличие сопротивления среды, установится периодическое
движение.
Амплитуда- этих периодических колебаний не зависит от на-
чальных условий и определяется свойствами динамической си-
стемы. Такие колебания называются автоколебаниями, а дина-
мические системы, в которых возможны автоколебания, назы-
ваются автоколебательными системами. Термин «автоколеба-
ния» введен в теорию колебаний А. А. Андроновым.
Изолированная замкнутая траектория на фазовой плоскости
называется предельным циклом. Предельные циклы могут быть
устойчивыми, полуустойчивыми и неустойчивыми. В случае,
если фазовые траектории, близкие к предельному циклу, как
внутри, так и вне его «наматываются» на него, т. е. изображаю-
щая точка приближается к предельному циклу, то предельный
цикл называется устойчивым и он соответствует автоколебаниям.
Если фазовые траектории разматываются с предельного цик-
ла как внутри его, так и снаружи, то предельный цикл называет-
ся неустойчивым. Наконец, если с одной стороны фазовые траек-
тории наматываются на предельный цикл, а с другой стороны
разматываются, то предельный цикл называется полуустойчи-
вым.
С математической точки зрения автономные автоколебатель-
ные системы с одной степенью свободы можно определить как
такие системы, уравнения движения которых характеризуются
наличием на фазовой плоскости одного или нескольких устойчи-
вых предельных циклов.
С физической точки зрения автоколебательные системы мож-
но охарактеризовать как системы, способные совершать не-
затухающие колебания за счет постоянных источников энергии,
причем поступление энергии, расходуемой на преодоление со-
противлений, регулируется самой системой.
Основным отличием автоколебаний от периодических движе-
ний в консервативной системе является характерное для авто-
12 Н. В. 'Бутенин
177
колебаний свойство независимости в широких пределах ампли-
туды колебаний от начальных условий.
Следует также
иметь в виду, что период
автоколебаний в
общем случае также определяется
свойствами динамической
системы. В этом отличие автоколебаний от вынужденных коле-
баний, которые происходят с частотой вынуждающей силы.
§ 26. Метод медленно изменяющихся коэффициентов
(метод Ван-дер-Поля)
Этот метод является одним из приближенных методов иссле-
дования поведения нелинейной динамической системы, уравне-
ние движения которой имеет вид
d2x
dt2 '
(10.11)
dx
~dt'
нелинейная функция
Предположим, что рассматриваемая динамическая система
близка к линейной консервативной. Близость рассматриваемой
системы к линейной консервативной характеризуется малым па-
раметром jut (обычно безразмерным).
Введем безразмерное время х = kt. Вследствие
dx dx d2x d2x
уравнение (10.11) можно
dt
что
dt
в виде
dx
dt2
dx2 *
переписать
d2x
dx2
(10.12)
J V ’ dx )
b*< Ж V
dx
Если обозначить у==тг
J dx
то получим
у)
dx
dx
Уравнение интегральных кривых имеет вид
— у)
При р =
0 это уравнение будет
dy х
dx у *
Фазовые траектории будут вложенными друг в друга окруж-
ностями с центра в начале координат (особой точке типа
«центр»).
178
Решение уравнения (10.12) при р — 0 имеет вид
a cos kt
b sin kt,
(10.13)
где а и b — произвольные постоянные интегрирования.
Найдем теперь решение уравнения (10.12) при р малом, но
не равном нулю (р^=0). Решение возьмем в виде (10.13), но а
и b будем считать функциями времени. Поскольку вместо функ-
ции х вводятся две неизвестные функции а и Ь, можно связать
эти функции по собственному выбору. Берем а и b такими, что
первая производная от х по времени имеет такой же вид, как и
при а и b постоянных.
Исходя из этого, имеем
dx
dr
b cos т
(10.14)
da । db _
-r- COS T 4~ 7- Sin T
dx dx
(10.15)
Вычисляя вторую производную
db
-T- COS T
dx
и подставляя ее, а также (10.13) и (10.14) в уравнение (10.12),
получим
— ~ sin cost—-^[(а cost -ф- b sin т, — asinr-J-Ь cost). (10.16)
Решая систему уравнений (10.15) и (10.16) относительно
da db
v- и имеем
ат ат
da с z
й^-И/(асс
db г,
C0ST
c>
(10.17)
Уравнения (10.17) представляют собой уравнение (10.12),
преобразованное к новым переменным.
Заметим, что хотя уравнение (10.12) явно не содержало вре-
мени, система (10.17) является неавтономной.
Так как решение находится при малом р, то, согласно урав-
нений (10.17), производные ~ и будут также малы (считаем,
что эти производные в течение одного
Это значит, что функции а(т) и 6(т) —
периода 2л постоянны).
медленно изменяющиеся
функции т, т. е. такие, изменениями которых за один период
исходной динамической системы можно пренебречь.
12*н. В. Бутенин
179
Производя теперь усреднение правых частей уравнений (10.17)
по т за период от 0 до 2л, получим
da
dx
db
dr
Вводя обозначения
, —a sin т -j- b cos t) sin x dr,
(10.18)
перепише"
уравнения (10.18) в виде
= Ь),
^=pQ(a, b).
(10.19)
«укороченными» уравнениями
рассмотрение плоскость величин'' а
dx
* dt
Уравнения (10.19) называются
или уравнениями Ван-дер-Поля.
Введем теперь
Согласно (10.13), особая точка на плоскости ab с координатами
а==0, Ь — 0 будет соответствовать для исходной системы состоя-
нию равновесия х-
Особые точки плоскости ab с координатами а-^=0, b ^=0 для
исходной системы соответствуют периодическим движениям.
Следовательно, изучая тип и характер особых точек, а также
расположение фазовых траекторий уравнений (10.19) на плоскости
ab, можно судить о
ской системы.
При переходе к полярным координатам переменные в системе
уравнений (10.19) разделяются.
Пусть
возможных движениях исходной динамиче
Q sin ft,
тогда
da do л « . n dft db do . a « d$
-^cos-O-Qsin^ ; _ = ^sinfl + ecosfl_.
x—a cos r -j- b sin r — q cos (t — Ф),
x — — a sin т -4- b cos x — — о sin(r — *8j.
180
Подставляя эти выражения в уравнения (10.19), имеем
dx
0 sinO
dr
о
sn
~ sin ^4-р cos 0;
dx х
о
Решая эти уравнения относительно ~
2=рф(е)> )
<
g = JlT(Q). (
d$
-г-, получим
иТ
(10.20)
Здесь
27!
ф(е) = __± cos L
О
— q sin □ sin £ d£,
271
О
где | —т —'б’Л
Первое уравнение системы (10.20) не зависит от второго. Это
уравнение первого порядка и фазовая плоскость для него вырож-
дается в прямую.
Качественно уравнения такого типа полностью определяются
характером и расположением состояний равновесия на фазовой
прямой. Координаты состояний равновесия являются корнями
уравнения:
Ф(0) = 0. (10.21)
Пусть один из корней этого уравнения будет о —р0. Введем
новую переменную а, определяющую положение изображающей
точки вблизи состояния равновесия, т. е. положим
тогда первое уравнение системы (10.20) запишется в виде
du
|1Ф (е0 4- и).
После разложения функции Ф (о0 -{- и) по степеням и и отбра-
сывания в этом разложении всех членов в степени выше первой,
получим
* । >
* Подобная замена законна» так как подынтегральные ф^икпии периода
веские.
12**
181
A.. M. Ляпунов доказал, что при Ф’ (Qa)=£0, состояние равно-
весия р — о0 будет устойчивым, если Ф'(р0)<0, и неустойчивым,
если Ф' (qo)>0. Качественно это объясняется следующим образом:
при малых и знак определяется знаком Ф’ (q0) и, следова-
тельно, при Ф' (qo<0) величина и уменьшается, а при Ф'(ро)>0
она увеличивается, т. е. изображающая точка будет уходить от
состояния равновесия.
Перейдем к рассмотрению уравнения
Пусть q — Qi будет каким-либо корнем уравнения (10.21).
Предположим, что корни уравнения Чг(р) = 0 не совпадают
с корнями уравнения (10.21).
Для Q —Q,- имеем
откуда
^=^(е/)т4-^0.
Для а и b получим
а = е. cos [рТ (р,) Т + fl;],
& = Q,-sin[p4r(o/)T-|-flo].
Следовательно, на плоскости ab будет предельный цикл
радиусом q = qz = ]/а2 ft2. Устойчивость или неустойчивость
этого цикла определяется характером состояния равновесия
q — q^ Направление движения изображающей точки определяется
знаком ¥ (qz).
На плоскости ху получим
X r= Qi COS { [ 1 — рЧг (Qi)] T — fl0 },
r/ = Qi Sin {[1 — pT (p,)] T — fl0},
т. e. круговой предельный цикл, соответствующий корню q = q,-.
Величина
Дю — — рЧг (Q,)
называется поправкой на частоту.
При решении практических задач часто бывает случай, когда
Ч' (р) = 0.
d'Q1
В этом случае ^- — 0 и 'О = йо — постоянное число.
На плоскости ab все интегральные кривые представляют
собой прямые, проходящие через начало координат и имеющие
различные углы наклона -ft — const.
Движение по всем прямым происходит одинаково и опреде-
ляется уравнением (q). Состояния равновесия, определив-
ci С
182
мые уравнением (10.21), целиком заполняют окружности, радиусы
которых равны корням уравнения (10.21).
На плоскости ху для корня q = qz будет
Xr=3QzC0S(T — Оо),
y=Qzsin(T — &„).
Следовательно, на плоскости ху будет круговой предельный
цикл радиусом q = qz.
Отметим, что случай равенства корней уравнения (10.21)
и 1F(q)=^O приводит к рассмотрению случая 'F(o)s0.
Обоснование приведенного здесь метода дано Л. И. Мандель-
штамом и Н. Д. Папалекси [16] и [1].
Пример 29. Применим рассмотренный метод к исследованию
уравнения движения маятника в среде с сопротивлением и под-
талкивающим моментом, действующим только в одном направ-
лении.
Уравнение движения такой системы дается уравнениями
(10.3) и (10.4), т. е.
при <р>0 ф-[-2hq>/егф = Ма;
при ф<0 ф-f-2/гф-|-k2(f> = 0,
где Ма — постоянная величина.
Вводя r = kt, получим
<Лр । 2/г dtp ।
(10.22)
где
«.(s)
I k2
I 0
при
при
Сделаем предположение о близости рассматриваемой системы
к линейной консервативной. Примем, что
2/г ।
2/г
тогда, вводя р, — -г-, будем иметь
^4-ф=рГ-$4-Л42(5гУ1 , (10.23)
dr2 1 т г 1 2 \ dx J у
где
= ПРИ i>0’
при ^<0.
(10.24)
Уравнение (10.23) имеет вид уравнения (10.12).
183
Если искать решение уравнения (10.23) в виде
Q COS (Т — О),
dtp
dr
то уравнения (10.20) будут:
dQ
dr
Так как в нашем случае
то
Следовательно, на плоскости <рср имеется устойчивый круговой
предельный цикл, радиус которого равен:
k М* 1
to k2 hi k2 ’
(10.25)
m Я
где T = y.
Рассмотрим теперь формулу (10.10). Если предположить, что
h мало и в разложении e~hT пренебречь членами, начиная
с члена, содержащего /г2, то получим
где
У k2 -
Следовательно, результат (10.25) можно считать достоверным
с точностью до членов hz (р2).
Отметим, что из приближенных методов широко применяются
методы, созданные Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Боль-
шой вклад в развитие этих
методов
внесли
ский [5] и
Е. П. Попов [19J.
А. Митрополь-
ЛИТЕРАТУРА
Г А н д р о н о в А. А.,
Физматгиз, 1958,
Витт А. А., Хайкив С. 3. Теория колебаний.
2. Ан д ронов А. А. Собрание Трудов. АН СССР, 1956.
3. I а баков И. М. Теория колебаний. ТИТТЛ, 1958.
4. Бауи ,н Н. Н. Динамические модели свободных часовых ходов «Памяти
А. А. Андронова». АН СССР, 1955.
5. Б о го любое Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические мето
ды в теории нелинейных колебаний. Физматгиз,
J6. Булга ков Б. В. Колебания. ГИТТЛ, 1954.
7. Б у те н и н Н. В, Элементы теории нелинейных
колебаний. Судпромгиз,
8. Гольдфарб Л. С. О некоторых нелинейностях в системах регулирова-
ния. «Автоматика и телемеханика». АН СССР, № 5, 1947.
9. Г а н т м а х е р Ф. Р. Лекции по аналитической механике. Физматгиз, 1930.
10. Ден-Гартог. Механические колебания. Физматгиз, 1960.
11. Лэмб Г. Динамическая теория звука. Физматгиз, 1960.
12. Лойцянский| Л. Г., Лурье А. И. Теоретическая механика, часть
третья. ГТТИ, 1934.
13. Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического
регулирования. ГИТТЛ, 1951.
14. Л япунов А. М. Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ 1935.
15. М а лки н И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, ГИТТЛ,
1956. "
16. М а н д е л ь ш т а м Л. И., ПапалексиН. Д. Об обосновании одного
метода приближенного решения дифференциальных уравнений, «ЖЭТФ>.
АН СССР, т. IV, 1934.
17. Мер кин Д. Р. Гироскопические системы. ГИТТЛ, 1956.
18. Н е й м а р к Ю. И. О периодических движениях релейных систем. «Памяти
А. А. Андронова», АН СССР, 1955.
19. Попов Е. П., Пальто в И. П. Приближенные методы исследований
нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1960.
1957.
Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. Машгиз,
21.
22.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Розе Н. Н. Динамика твердого тела. «Кубуч», 1932.
Рэлей Дж. В. Теория звука, т. 1. ГИТТЛ, 1940.
Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических
системах. Изд. иностр, литературы, 1952.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. ГОНТИ, 1938.
Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. ГИТТЛ, 1950.
Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. ГИТТЛ, 1948.
Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Физматгиз, 1959.
Цыпкин Я. 3. Теория релейных систем автоматического регулирования.
ГИТТЛ, 1955.
Яблонский А.. А.,
школа», 1961.
Нор ей ко С, С. Курс теории колебаний. «Высшая
Pell. J. АррL Meeh. 24, № 2, 1957.
Введение.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
3
ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Глава 1
Устойчивость равновесия системы
§ 1. Понятие устойчивости состояния равновесия системы по Ляпунову ’ 5
§ 2. Теорема Лагранжа-Дирихле о достаточном признаке устойчивости по-
ложения равновесия системы в консервативном силовом поле ... 9
§ 3. Выражение для кинетической и потенциальной энергий консерва-
тивной материальной системы при ее малых отклонениях от устойчи-
вого состояния равновесия. Диссипативная функция Рэлея...........16
Глава 2
Свободные малые колебания систем
одной степенью свободы
§ 4. Свободные незатухающие колебания............................ 21
§ 5. Влияние на свободные колебания силы сопротивления, пропорцио-
нальной первой степени скорости....................................31
§ 6. Определение частоты колебаний при помощи закона сохранения энер-
гии. Метод Рэлея приближенного учета дополнительных масс ... 38
Глава 3
Вынужденные колебания систем
с одной степенью свободы
§ 7. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивлений...............41
§ 8. Вынужденные колебания при наличии сопротивления, пропорцио-
нального первой степени скорости .....................................
Глава 4
Малые колебания консервативной материальной системы
с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия {
1
§ 9. Дифференциальные уравнения движения и их решение в общем
случае ........................................................
§10. Особые случаи (случай кратных корней, случай нулевого корня) 8 х
§11. Нормальные координаты.......................................<
186
Глава 5
Вынужденные колебания систем
с двумя степенями свободы
Стр.
§ 12. Случай, когда главные частоты не совпадают с частотой вынуждаю-
щей силы...........................................................99
§ 13. Случай, когда одна из главных частот совпадает с частотой вы-
нуждающей силы....................................................104
Глава 6
Влияние сил сопротивления на малые колебания систем
с двумя степенями свободы
§14. Влияние сил сопротивления на свободные колебания систем с двумя
степенями свободы............................................. ... 107
§15. Вынужденные колебания при наличии сил сопротивления 111
Глава 7
Малые колебания системы с 5 степенями свободы
§16. Свободные колебания консервативной системы с $ степенями свободы 116
§17. Нормальные координаты в случае системы с s степенями свободы 122
§ 18. Вынужденные колебания систем с s степенями свободы..........127
§ 19. Крутильные колебания валов........... . . 132
Глава 8
Малые колебания системы около положения
стационарного движения
§20. Понятие об устойчивости движения........................... .136
§ 21. Дифференциальные уравнения возмущенного движения и их инте-
грирование .................................................. • 138
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Глава 9
Представление движения на фазовой плоскости
§ 22. Фазовая плоскость. Особые точки линейных систем и их класси-
фикация ..........................................................145
§23. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению . 158
§24. Методы построения фазовых траекторий ... ... 160
1. Консервативные системы .......................160
2. Метод изоклин.......................................165
3. Метод Льенара . . ... ... . . 166
4. Метод Пелла ... .......... ... .168
Глава 10
Методы исследования нелинейных систем
с одной степенью свободы
§ 25. Метод припасовывания. Понятие о методе точечных преобразований.
Понятие об автоколебаниях....................................169
§26. Метод медленно изменяющихся коэффициентов (метод Ван-дер-Поля) 178