КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Робоча програма та методичні вказівки
для студентів першого та другого курсів
фізичного факультету
І 2005
УНІВЕРСИТЕТ
Рецензенти:
д-р фіз -мат наук, проф. С.М.Єжов,
канд. фіз -мат. наук. доц. С.А Кривошея.
канд. фіз.-мат. наук, доц. Н.В.Майко
Рекомендовано до друку вченою радою радіофізичного факультету
(протокол № 2 від 10 жовтня 2005 року)
Математичний аналіз : Робоча програма та методичні вказівки для студентів
першого та другого курсів фізичного факультету І Упорядник О.М. Радченко. -
К.: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2005. - 51 с.
© О.М. Радченко, упордкування, 2005
Принимаясь за дало, соберись с духом.
Козьма Прутков
Дану робочу програму призначено для студентів фізичного факуль-
тету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Вона містить всю необхідну інформацію щодо загальної програми, змі-
сту практичних занять та форм контролю результатів роботи з матема-
тичного аналізу — основної складової математичної підготовки майбут-
ніх спеціалістівфізиків.
За програмою фізичного факультету курс математичного аналізу ви-
вчають протягом перших трьох семестрів. Даний вступ містить загаль-
ні зауваження, наступний розділ — загальну програму всього курсу
та список рекомендованої літератури, а три останніх — чітку програму
роботи відповідно для першого, другого та третього семестрів (тобто
всього терміну навчання). Для кожного семестру наведено:
-	основні теоретичні поняття та факти;
-	основні типи практичних задач;
-	повну програму практичних занять;
-	орієнтовний календарний план;
-	орієнтовні питання до колоквіуму;
-	зразки екзаменаційних білетів.
Призначення наведеної інформації допомогти студентам в організації
ними своєї роботи по вивченню цієї математичної дисципліни.
Навчання на фізичному факультеті взагалі і вивчення математично-
го аналізу зокрема є посильними для кожного підготовленого студента,
але в силу великого об’єму та складності учбового матеріалу вимага-
ють систематичної, напруженої та наполегливої роботи. Так матеріал
кожної прослуханої лекції, практичного заняття чи лабораторної ро-
боти має бути своєчасно опрацьованим та засвоєним, а кожна чергова
лекція чи заняття будуть максимально ефективними лише за умови по-
передньої підготовки до них. Оскільки з математичного аналізу у сту-
дентів для цього є все необхідне (детальна програма роботи, повний
текст лекцій, а також програма, графік та зміст практичних занять), то
питання такої підготовки ніколи не обговорюватиметься, просто сту-
денти повинні бути готові до кожного чергового заняття.
При всій важливості спілкування з викладачами під час аудитор-
них занять за розкладом (лекції, практичні заняття, лабораторні робо-
ти, семінари, консультації) головний акцент у вищій школі робиться
на самостійній роботі студентів. Тому студенти мають бути готові до
того, що не весь програмний матеріал під час аудиторних занять буде
розглянуто однаково детально, а тому ряд питань треба буде вивчати
самостійно. Так, наприклад, доведення критерію інтегровності через
суми Дарбу студенти, які претендують на “добре” чи “відмінно”, ма-
ють опрацювати самі. Як правило, таке самостійне опрацювання саме і
полягатиме в подібному поглибленому розгляді тих питань, щодо яких
під час аудиторних занять можна (або в силу певних обставин доводи-
ться) обмежитись лише коротким оглядом Оскільки винесення тих чи
інших питань на самостійне опрацювання не завжди може бути перед-
бачене заздалегідь, то про кожне таке питання студенти дізнаються в
процесі поточної роботи.
В будь-якому розділі науки, а відповідно і в будь-якій навчальній
дисципліні, є ключові речі, без чіткого й правильного розуміння та
засвоєння яких ні про яке справжнє знання відповідного матеріалу
в цілому не може бути і мови. Розділ “Основні теоретичні поняття
та факти” містить повний перелік відповідних питань для матеріалу
кожного семестру.
Оскільки час на вивчення кожної програмної дисципліни є обме-
женим, то завжди важливо знати повний перелік підсумкових вимог
до її засвоєння. Щодо необхідної теорії, то її об’єм та зміст вичерпно
відображає загальна програма та основний підручник (дивись [1] у
списку літератури). Що ж до практичної частини курсу, то відповідну
інформацію відображено у розділах “Основні типи практичних задач”
та “Програма практичних занять": перший містить повний перелік ти-
пів задач, які студент повинен навчитись розв’язувати у відповідному
семестрі, а другий дає повне уявлення про рівень цих задач та про
послідовність й об’єм необхідної роботи.
Поточний контроль та оцінювання роботи студентів з математич-
ного аналізу здійснюється під час практичних'занять та контрольних
робіт. Важливою формою проміжного контролю є колоквіум, який про-
водиться приблизно посередині семестру і є своєрідним “мінііспитом".
Тому заключні розділи містять орієнтовні питання до колоквіумів, а
також зразки екзаменаційних білетів. Що ж до характеру самих іспи-
тів, то їх форма та зміст постійно вдосконалюються, проте загальною
тенденцією є поступовий перехід до виключно письмової їх форми, на
що треба настроїтися з самого початку.
А завершимо цей невеличкий вступ ще однією мудрою порадою
неперевершеного Козьми Пруткова:
Начиная своє поприще, не теряії, о юноша,
драгоценного времени!
ЗАГАЛЬНА ПРОГРАМА
Вступ
Основні поняття та операції математичного аналізу змінних вели-
чин: функція границя, похідна, диференціал, інтеграл.
Дійсні числа: поняття дійсного числа, алгебраїчні та порядкові власти-
вості дійсних чисел, геометрична повнота множини дійсних чисел та
теорема про вкладені відрізки.
Віддаль між точками на прямій. Розширена числова пряма. Око-
ли та їх властивості. Обмеженість та точні межі числових множин.
Загальна теорема про повноту множини всіх дійсних чисел.
Комплексні числа: означення, алгебраїчні властивості та геометричне
зображення Тригонометрична форма комплексного числа та її застосу-
вання Формула Муавра. Корені з комплексного числа.
Функції однієї змінної
Границі послідовностей та функцій
Границі послідовностей.
Основні поняття: загальне означення та частинні випадки границі
послідовності; єдиність границі; збіжні, розбіжні, нескінченно малі та
нескінченно великі послідовності.
Найпростіші властивості: границі нерівностей та теорема про затис-
нуту послідовність; властивості та застосування нескінченно малих по-
слідовностей; алгебраїчні операції над збіжними послідовностями
Підпослідовності та частинні границі: означення, границя послідов
ності через її підпослідовності, теорема Больцано-Веєрштраса.
Умови збіжності: умови збіжності монотонної послідовності та число
е; критерій Коші збіжності довільної послідовності.
Границі функцій.
Основні поняття: загальне означення та частинні випадки границі
функції; єдиність границі, критерій існування двосторонньої границі
через односторонні; нескінченно малі та нескінченно великі функції.
6
Загальна програма
Найпростіші властивості: границі нерівностей й теорема про затис-
нуту функцію; властивості та застосування нескінченно малих функ-
цій; алгебраїчні операції над границями функцій.
Границі функцій через послідовності: характеристика границі функції
через послідовності; теореми про границю суперпозиції; заміна змінної
при обчисленні границі.
Умови існування границі функції: умови існування границі монотон-
ної функції; критерій Коші для скінченної границі довільної функції.
Неперервність: означення; збереження неперервності при алгебраїчних
операціях та суперпозиції; неперервність оберненої функції; точки роз-
риву та їх класифікація.
Елементарні функції: означення та властивості степеневої, дробово-
раціональної, ірраціональної, показникової, логарифмічної та тригоно-
метричних функцій; неперервність елементарних функцій.
Визначні границі.
Асимптотичні (граничні) розклади: означення для ї = о(д), ї = О(д)
та ї-^д; критерій граничної еквівалентності змінних величин; граничні
розклади для приростів основних елементарних функцій; властивості
о-малих; застосування еквівалентностей та граничних розкладів до
обчислення границь.
Властивості неперервних функцій на відрізку: теорема Коші про про-
міжні значенні; теорема Веерштраса про обмеженість; рівномірна не-
перервність та теорема Кантора.
Диференціальне числення
Основні поняття та факти.
Похідна: означення, геометричний смисл, рівняння дотичної до графіка
функції.
Диференціал: означення, критерій диференційовності. Обчислення по-
хідної та диференціала' загальні властивості похідної; похідні основних
елементарних функцій; загальні властивості диференціала, інваріант-
ність форми першого диференціала; обчислення похідної та диферен-
ціала від функцій, не заданих явно.
Похідні та диференціали вищих порядків: означення, властивості та
похідні вищих порядків від всіх основних елементарних функцій.
Властивості диференційовних функцій: локальні екстремуми та тео-
рема Ферма; теореми Ролля, Лагранжа та Коші щодо диференційовних
функції на відрізку, критерій сталості функції на інтервалі.
Загальна програма
7
Застосування похідних.
Розкриття невизначеностей 0/0 та оо/оо (правило Лопіталя).
Формула Тейлора: загальна теорема про асимптотичний розклад; роз-
клад основних елементарних функцій; формула Лагранжа для похибки
асимптотичної формули.
Дослідження функцій', умови монотонності, локального екстремуму та
опуклості; загальна схема дослідження функції та побудова її графіка.
Відновлення функції за похідною
Основні поняття-, первісна; единість первісної з точністю до сталої та
невизначений інтеграл; найпростіші первісні.
Властивості невизначеного інтеграла лінійність, заміна змінної та
формула інтегрування частинами.
Інтегрування в елементарних функціях для деяких класів функцій:
інтегрування раціональних функцій, інтегрування деяких типів ірра-
ціональних та тригонометричних функцій.
Інтегральне числення
Основні поняття: означення та взаємозв’язок двох типів інтеграла
Рімана, необхідна умова інтегровності.
Умови інтегровності: суми Дарбу та їх властивості; критерій інте-
гровності через суми Дарбу; інтегровність кусково-неперервних фун-
кцій.
Найпростіші властивості інтеграла: лінійність та інтеграл по сумі
відрізків, теорема про середнє.
Обчислення визначеного інтеграла: інтеграл як функція змінної верх-
ньої межі; теорема про відновлення функції за її похідною та формула
Ньютона-Лейбніца; інтегрування частинами та заміна змінної у визна-
ченому інтегралі.
Застосування інтеграла: загальна схема застосування інтеграла та
приклади застосувань (площа поверхні та об’єм тіла обертання, меха-
нічні моменти, середнє значення неперервної величини, площа криво
лінійної трапеції).
Невласні інтеграли: означення, найпростіші властивості, обчислення.
Збіжність невласного інтеграла: означення, критерій Коші, ознаки по
рівняння збіжності невласного інтеграла від знакосталої функції, абсо-
лютна і умовна збіжність невласного інтеграла від знакозмінної функ-
ції. ознака Діріхле.
8
Загальна програма
Багатовимірні простори
та функції
Поняття п-вимірного простору Кп.
Властивості простору Кп: скалярний добуток, довжина вектора та
нерівність Коші-Буняковського; кут між векторами та теорема косину-
сів; поняття евклідового простору.
Множини в просторі Кп: узагальнення поняття околу; взаємне роз-
ташування точки та множини; основні типи множин.
Міра множини в Кп: міра Жордана та вимірність множини; критерій
вимірності; загальні властивості вимірних множин, вимірність та міра
криволінійної трапеції.
Границя послідовності в Кп: означення; принцип покоординатної збі-
жності; критерій Коші; властивості збіжних послідовностей.
Векторні функції однієї змінної: означення границі для вектор функ-
ції та принцип покоординатної границі; властивості границі вектор-
функції; похідна та інтеграл від вектор-функції.
Плоскі та просторові криві: рівняння кривої; геометричний смисл
похідної від вектор-функції; гладкі та кусково-гладкі криві; загальне
означення довжини кривої та обчислення довжини гладкої кривої; еле-
менти диференціальної геометрії гладких кривих.
Функції декількох змінних
Диференціальне числення
Основні поняття та факти.
Гоаниця та неперервність для функцій декількох змінних.
Похідні та диференціали 1-го порядку: частинні похідні та загальне
означення диференціала; похідні та диференціали від числової фун-
кції декількох змінних (в тому числі необхідна та достатні умови ди-
ференційовності); похідні та диференціали від багатовимірної функції
декількох змінних (в тому числі загальні необхідна та достатні умови
диференційовності); диференційовність та похідна складної функції;
властивості диференціала; геометричний смисл диференційовності, до-
тична площина та нормаль до поверхні.
Похідні та диференціали вищих порядків: частинні похідні та дифе-
ренціали вищих порядків; умови рівності змішаних похідних; необхідні
Загальна програма
9
та достатні умови диференційовності вищих порядків; формула Тейло-
ра для функції декількох змінних.
Застосування похідних та диференціалів.
Неявно задані функції: теорема існування, приклади застосувань.
Залежність функцій: означення, необхідна умова залежності.
Екстремуми числової функції декількох змінних: необхідна умова
безумовного локального екстремуму; знаковизначеність квадратичних
форм та достатні умови безумовного локального екстремуму, критерій
Сільвестра; умовний екстремум та метод Лагранжа для його знаходже-
ння; найбільше та найменше значення функції на компактній множині.
Інтегральне числення
Інтеграли 1-го роду.
Кратний інтеграл: означення; умови інтегровності (критерій інтегров-
ності через суми Дарбу; інтегровність кусково-неперервних функцій);
найпростіші властивості (лінійність, інтеграл по сумі множин, теоре-
ма про середнє); зведення кратного інтеграла до повторного; заміна
змінних в кратному інтегралі.
Невласні кратні інтеграли.
Криволінійний інтеграл: природна параметризація для гладкої кривої;
означення інтеграла та його властивості (лінійність, інтеграл по сумі
кривих, незалежність від напряму на кривій); обчислення.
Поверхневий інтеграл: поверхні та їх рівняння; дотична площина та
нормаль до поверхні; орієнтація поверхні; площа поверхні; означення,
властивості (лінійність та інтеграл по сумі поверхонь) та обчислення
поверхневого інтеграла.
Інтеграли 2-го роду.
Кратний інтеграл.
Криволінійний інтеграл: означення; властивості (лінійність, інтеграл
по сумі кривих, залежність від напряму на кривій); зв’язок з інтегралом
1-го роду та обчислення; інтеграл по елементарних кривих; теорема про
відновлення функції декількох змінних за її похідною.
Поверхневий інтеграл означення, властивості (лінійність, інтеграл по
сумі поверхонь, залежність від орієнтації поверхні), зв’язок з інтегра-
лом 1-го роду та обчислення.
Зовнішній диференціал: означення; зовнішній диференціал від форм в
К3; теорема Пуанкаре. Інтегрування зовнішнього диференціалу: фор-
мули Гріна, Гауса-Остроградського та Стокса
10
Загальна програма
Елементи теорії поля
Скалярне поле: похідна за напрямком; градієнт та його смисл; від-
новлення скалярного поля за його градієнтом.
Векторне поле: інтегральні характеристики (циркуляція та потік); ло-
кальні характеристики (ротор та дивергенція) та їх зв’язок з зовнішнім
диференціалом; основні типи векторних полів (потенціальні та солено-
їдальні); загальна структура векторного поля та його відновлення за
дивергенцією й ротором; оператор Гамільтона.
Ряди
та інтеграли з параметром
Ряди
Числові ряди.
Числовий ряд: означення, збіжність, елементарні властивості, критерій
Коші та необхідна умова збіжності.
Збіжність знакосталих рядів: ознаки порівняння; спеціальні ознаки
(Даламбера, Коші через корені, Коші інтегральна); загальна схема до-
слідження збіжності знакододатного ряду.
Збіжність знакозмінних рядів: абсолютна та умовна збіжність; пере-
становка доданків у абсолютно та умовно збіжних рядів; ознаки Дірі-
хле та Лейбніца збіжності знакозмінних рядів; оцінка залишку ряду
типу Лейбніца; загальна схема дослідження збіжності числового ряду.
Додавання та множення числових рядів.
Функціональні ряди.
Функціональні послідовності: поточкова та рівномірна збіжність на
множині; критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послі-
довності; теореми про неперервність, інтеграл та похідну границі функ-
ціональної послідовності.
Функціональні ряди: поточкова та рівномірна збіжність на множині;
критерій Коші рівномірної збіжності ряду; достатні умови рівномірної
збіжності ряду (ознаки Веєрштраса та Діріхле); теореми про неперерв-
ність, інтеграл та похідну від суми функціонального ряду.
Степеневі ряди: область збіжності та радіус збіжності; неперервність,
диференціювання та інтегрування степеневого ряду всередині інтерва-
лу збіжності; розклад функції в степеневий ряд; степеневий ряд на
Загальна програма
11
множині комплексних чисел, функції ех, 8Іпх, соєг від комплексної
змінної та формула Ейлера.
Ряди Фур’є: означення, умови та смисл розкладу функції в тригономе-
тричний ряд Фур’є; умови поточкової та рівномірної збіжності триго-
нометричного ряду Фур’є; комплексна форма ряду Фур’є.
Інтеграли з параметром
Власні інтеграли з параметром: неперервність, диференціювання та
інтегрування по параметру.
Невласні інтеграли з параметром: поточкова та рівномірна збіжність
на множині; критерій Коші рівномірної збіжності; достатні умови рів-
номірної збіжності (ознаки Веєрштраса та Діріхле); неперервність, ди-
ференціювання та інтегрування по параметру невласного інтеграла.
Ейлерові інтеграли: означення, основні властивості та використання
до обчислення деяких визначених інтегралів.
Інтеграл Фур’є: означення, умови та смисл представлення функції ін-
тегралом Фур’є; перетворення Фур’є.
Поняття про
функціональні простори
Метричні простори: означення та приклади; повнота метричного про-
стору; принцип стискаючих відображень та його застосування.
Евклідові лінійні простори: розклади по ортогональному базису в не-
скінченновимірному функціональному лінійному просторі та тригоно-
метричний ряд Фур’є як приклад такого розкладу.
ЛІТЕРАТУРА
Основна література
1. Радченко О.М. Математичний аналіз. — Київ, 1999-2003.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическо-
му анализу. — М., Наука (довільне видання).
12
Загальна програма
Додаткова література
1.	Ильин В.А., Лозняк З.Г. Основи математического анализа. — М.,
Наука (будь-який рік видання).
2.	Кудрявцєв Л.Д. Курс математического анализа — М., Внісшая
школа (будь-який рік видання).
3.	Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное
пособие по математическому анализу — Киев, Вища школа, 1978-
1986
4.	Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное
пособие по вьісшей математико, т.1-3 — М., Здиториал УРСС.
5.	Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Калайда А.Ф. Математиче-
ский анализ — Киев, Вища школа, 1983-1985.
Зрозуміло, що список тієї учбової літератури, яку студенти фізичного
факультету можуть використовувати при вивченні математичного ана-
лізу, можна було б значно збільшити. Проте не вся така література є
сьогодні однаково доступною, а тому в цих загальних рекомендаціях
доводиться обмежитись тим, що є в потрібній кількості на полицях
бібліотек та книгарень.
ПЕРШИМ СЕМЕСТР
Основні теоретичні поняття та факти
Наступний перелік містить ті ключові поняття та факти, без міцно-
го знання яких є неможливим ні повноцінне вивчення математичного
аналізу, ні його плідне застосування. Отже впевнене володіння всі-
ма ними є абсолютно обов’язковим, а тому вимагатиметься від всіх
студентів як необхідна передумова отримання мінімально позитивної
оцінки як при поточній роботі, так і на екзамені.
1.	Основні операції математики змінних величин на прикладі задачі
про прямолінійний нерівномірний рух:
-	означення та загальний смисл похідної;
-	означення та загальний смисл інтеграла;
-	зв’язок похідної та інтеграла на простому прикладі.
2.	Позначення Лейбніца для похідної та інтеграла: їх смисл та вза-
ємозв’язок.
3.	Дійсне число та числова пряма.
4.	Алгебраїчні та порядкові властивості дійсних чисел.
5.	Неперервність множини дійсних чисел та її наслідки.
6.	Модуль дійсного числа: означення, смисл та властивості.
7.	Віддаль між точками на числовій прямій: формула, властивості.
8.	Розширена числова пряма.
9.	Околи: загальне поняття, основні випадки.
10.	Точні межі числових множин.
11.	Комплексне число: означення та геометричне зображення.
12.	Тригонометрична форма комплексного числа.
13.	Границя послідовності: загальне означення, частинні випадки.
14.	Збіжна послідовність.
15.	Нескінченно мала та нескінченно велика величини.
16.	Теореми про границю затиснутої послідовності та функції.
17.	Теорема про границю суми, різниці, добутку та частки.
18.	Теорема Больцано-Веєрштраса.
19.	Критерій збіжності монотонної послідовності
14
Перший семестр
20.	Означення числа е.
21.	Критерій Коші збіжності послідовності.
22	Границя функції: загальне означення, основні частинні випадки
23.	Неперервність функції: означення та його смисл.
24.	Елементарні функції: загальне поняття, означення, властивості та
графіки основних елементарних функцій.
25.	Неперервність елементарних функцій.
26.	Точки розриву: означення, класифікація.
27.	Визначні границі.
28.	Характеристика асимптотичної поведінки функції (означення).
29.	Основна теорема про асимптотичний розклад. Приклади.
ЗО.	Теорема про проміжні значення неперервної функції.
Зі.	Теорема про межі неперервної функції на відрізку.
32.	Рівномірна неперервність та теорема Кантора.
33.	Геометричний смисл існування скінченної похідної.
34.	Геометричний смисл існування нескінченної похідної.
35.	Диференційовність функції та диференціал.
36.	Інваріантність форми 1-го диференціала.
37.	Формули для похідної від складної та оберненої функцій.
38.	Знаходження похідних від всіх основних елементарних функцій
та обернених до них.
39.	Теорема Ферма та необхідна умова локального екстремуму.
40.	Формула скінченних приростів.
41.	Правило Лопіталя.
42.	Загальний асимптотичний розклад функції.
43.	Асимптотичні розклади в околі точки х — 0 для функцій ех,
8ІПХ, СО8 х, (1 Т х)“ та 1п(1 + х).
44.	Загальна формула скінченних приростів.
45.	Достатня умова локального екстремуму функції через зміну зна-
ку її похідної.
46.	Достатня умова локального екстремуму через другу похідну.
47.	Обчислення похідних від неявно заданої функції.
48.	Обчислення похідних від параметрично заданої функції.
49.	Первісна та невизначений інтеграл.
Перший семестр
15
50.	Таблиця найпростіших інтегралів.
51.	Заміна змінної в невизначеному інтегралі.
52.	Інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.
53.	Загальний метод інтегрування раціональних функцій.
54.	Інтеграл Рімана по відрізку та від точки до точки.
55	Інтегровність функції. Необхідна умова інтегровності.
56.	Достатні умови інтегровності.
57.	Елементарні властивості інтеграла.
58.	Властивість інтеграла як функції змінної верхньої межі.
59.	Теорема про відновлення функції за її похідною.
60.	Формула Ньютона-Лейбніца (з доведенням).
61.	Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
62.	Заміна змінної у визначеному інтегралі.
63.	Загальна схема застосування інтеграла.
64.	Невласний інтеграл: смисл та загальне означення.
65.	Обчислення невласного інтеграла.
66.	Простір Ип: загальне поняття.
67.	Скалярний добуток в просторі Кп: означення та властивості.
68.	Модуль вектора в просторі Кп: означення та властивості.
69.	Віддаль між точками в просторі Кп: означення та властивості.
70.	Нерівність Коші-Буняковського в просторі Р.п.
71.	Що таке евклідів простір.
72.	Означення вимірності множини та міри Жордана в Кп.
73.	Критерій вимірності множини за Жорданом.
74.	Вимірність та площа криволінійної трапеції.
75.	Означення границі послідовності та функції в просторі Кп.
76.	Принцип покординатної збіжності послідовності в просторі Кп.
77.	Принцип покординатної границі для вектор-функції; обчислення
похідної та інтеграла від вектор-функції
78.	Крива та її рівняння.
79.	Геометричний смисл вектор-функції та похідної від неї.
80.	Гладка та кусково-гладка крива: означення; геометричний смисл.
81	Довжина кривої: означення та обчислення для гладкої кривої.
16
Перший семестр
Основні практичні задачі
Перелік містить всі ті типи задач та методів їх розв’язування, які обо-
в’язково мають бути розглянуті та засвоєні при вивченні передбачених
вищевказаною програмою розділів математичного аналізу, а також ті
практичні навички, які при цьому мають бути вироблені. Свідоме, чі-
тке і впевнене володіння всіма перерахованими навичками хоча б в
мінімальному об’ємі є абсолютно обов’язковим, а тому вимагатиме-
ться від всіх студентів як необхідна передумова отримання мінімально
позитивної оцінки як при поточній роботі, так і на екзамені. Пока-
зником вказаного рівня практичного володіння матеріалом є здатність
свідомо, впевнено і чітко розв’язувати задачі абсолютно всіх перера-
хованих типів хоча б найпростішого рівня складності.
1.	Дійсні числа та елементарні функції:
а)	розклад виразу (а + Ь)п безпосередньо за формулою бінома
Ньютона (тобто обчислюючи всі біноміальні коефіцієнти) та
за допомогою трикутника Паскаля;
б)	побудова графіків простих функцій за допомогою перетво-
рень графіків основних елементарних функцій (включаючи
суми, добутки та суперпозиції типу х + згпх, х • згпх та
згп(1/х)).
2.	Комплексні числа:
а)	виконання алгебраїчних операцій з комплексними числами;
б)	отримання тригонометричної форми комплексного числа та
її застосування при обчисленні хп та х,/п.
3.	Границя послідовності:
а)	безпосереднє обчислення границь простих послідовностей;
б)	знаходження всіх частинних границь розбіжних послідовно-
стей простої структури;
в)	доведення збіжності послідовностей за допомогою властиво-
стей нескінченно-малих, умов збіжності монотонної послі-
довності та критерію Коші.
4.	Границя функції:
а)	безпосереднє обчислення границь від простих дробово-ра-
ціональних та ірраціональних функцій;
б)	дослідження функцій на неперервність з визначенням типу
точок розриву;
Перший семестр
17
в)	виділення головної частини та знаходження еквівалентних
для нескінченно-малих та нескінченно-великих величин;
г)	застосування асимптотичних властивостей (тобто еквівален-
тностей та асимптотичних розкладів для нескінченно-малих
чи нескінченно-великих) при обчисленні границь.
5.	Диференціальне числення:
а)	обчислення похідних від явно заданих елементарних фун-
кцій та функцій, заданих неявно або параметрично,
б)	знаходження диференціала та його застосування до елемен-
тарних наближених обчислень;
в)	обчислення похідних вищих порядків;
г)	застосування формули Тейлора при обчисленні границь та
при наближених обчисленнях;
д)	застосування правила Лопіталя при обчисленні границь;
е)	застосування похідних до дослідження функцій;
ж)	побудова графіків функцій, заданих явно, неявно та параме-
трично.
6.	Знаходження невизначеного інтеграла:
а)	від простих функцій, які заміною змінних чи інтегруванням
частинами швидко зводяться до табличних інтегралів;
б)	від довільних дробово-раціональних функцій;
в)	від деяких ірраціональних виразів;
г)	від деяких тригонометричних виразів.
7.	Інтегральне числення:
а)	обчислення визначеного інтеграла;
б)	обчислення невласного інтеграла;
в)	елементарні застосування визначеного інтеграла:
-	площа криволінійної трапеції та довжина кривої;
-	об’єм та площа поверхні обертання;
-	фізичні застосування.
18
Перший семестр
Програма практичних занять
Вступ до аналізу
1.	Вступна контрольна робота.
2.	Метод математичної індукції та формула бінома Ньютона:
А: 2, 10; властивості біноміальних коефіцієнтів, трикутник Па-
скаля (доведення); (а + Ь)6, (а±Ь)7 (обома способами)
Д: (а±Ь)8 (обома способами); 4, 8, Ю.І(а.в) | 337, 338, 339.
3.	Похідні та диференціали:
А: 843. 851. 868, 880, 894, 916, 921, 940.
Д: 841, 852, 857, 870, 878, 882, 891, 896, 904, 917, 924, 950 | 331-334.
4.	Похідні та диференціали (продовження):
А: 1083 | 1085, 1087, 1089 | 1098 | 1090(а,в,д) | 1099, 1106.
Д: 1084 | 1086, 1088 | 1090(6,г.е) | 1100 | 1097, 1107 | 291-92.
5.	Елементарні методи інтегрування:
А: 1628, 1631, 1634 | 1645, 1649 | 1656, 1658 | 1661, 1/(х2 -1),
1640, 1667, 1669.
Д: 1632, 1633, 1636, 1646 | 1657, 1659 | 1663, 1641, 1668, 1670.
6.	Елементарні методи інтегрування (продовження):
А: 1675, 1677, 1689, 1693, 1695, 1697 | 1795, 1798, 1803.
Д: 1674, 1676, 1690, 1696, 1698 | 1792, 1796, 1799, 1802, 1804.
7.	Комплексні числа:
А: представити в тригонометричній формі числа ±6±8і; обчи-
слити (6 —8і)100 та (1 +і)п/(1 —	; розв’язати рівняння
г5 + 1 = 0 та гб + 1 = 0; зобразити множини точок на ком-
плексній площині.
Д: безпосередньо перевірити властивості додавання та множе-
ння комплексних чисел; розв’язати задачі, аналогічні до пе-
рерахованих в А.
8.	Контрольна робота.
Далі необхідно, щоб паралельно до виконання завдань по поточній темі
студенти обов’язково розв’язали наступні задачі (які треба по кілька
задач систематично задавати додому на кожному практичному занятті):
Перший семестр
19
-	графіки, які можна побудувати без повного дослідження про-
стими перетвореннями графіків основних елементарних функцій:
293-94, 297 | 5іп2х, созес2х, зіпі/х | 304, 305, 341, 343, 308-
09, 310 | 315-17 | 318-20 | 321-22 ;
-	похідні: 846, 847, 849 | 854, 859 | 863, 865, 869 | 871, 874 | 889,
895, 897, 898| 903, 905, 909 | 912, 914, 918, 919 | 920, 922, 925,
926, 928 | 931, 934, 937, 939 | 941, 944, 946, 948, 949 | 951, 952,
954, 955, 956 | 963, 969 ;
-	невизначені інтеграли: 1629, 1635, 1643, 1662, 1678, 1679, 1680,
1682, 1685, 1686, 1691 | 1709, 1714, 1731 | 1797, 1805, 1806, 1807,
1808, 1809 | 1811, 1812 | | л/х2±а2<1х, 1820.
Границі послідовностей та функцій
9.	Границі простих послідовностей. Частинні границі:
А: 1 + а +... + а11,56 | усно з записом: 46, 47 | 48, 51 | 101.1, 108.
Д: 49, 50, 52, 53 | 105, 107, 114, 123.
10.	Умови збіжності послідовностей:
А: затиснута послідовність: 58 | монотонні: 78 (усно, з запи-
сом), 77 (смисл!) | критерій Коші: 82, 87.
Д: 59, 68 | 79. 81 |83. 84 | 146-47.
11.	Обчислення елементарних границь (безпосереднє обчислення гра-
ниць простих функцій — раціональних та ірраціональних):
А: х —> 0: 411(а,б,в), 413 | х —> оо: 416, 435, 437 | 602.
Д: 412, 414 | 415, 418, 425 | 436, 438, 458 | 603.
12.	Дослідження функцій на неперервність:
А: 684, 701 | 690, 698 | 720.
Д: 677, 679, 680, 689, 700 | 702, 704, 717 | 722.
13.	Виділення головної частини у неск/малих та неск/великих:
А: х 0: 650(а,д) | х —> оо: 651(ж,г) | 655(а) | 657(а) | 650(в).
Д: 650(6), 651(6) | 651(в) | 652.1 | 653(а,б), 655(6), 656(6),
657(6,д), 658(6,в).
14.	Обчислення границь всіма методами (з акцентом на використанні
еквівалентностей та виділенні головної частини):
20
Перший семестр
А: усно (з записом): 471, 472, 474, 474.1, 474.2 | 473 | 480, 482,
493, 499
Д: 475, 479, 483, 489, 494, 500, 503, 505.
15.	Обчислення границь всіма методами (продовження):
А: 506 | 518, 512, 521 | 534(усно), 533 | 540-40.1 | 593, 587.
Д: 508, 510, 514, 522, 527 | 535 | 545, 566, 567 | 594, 572.
16.	Рівномірна неперервність:
А: усно (без запису): 789, 794-797 | 792, 799.
Д: записати: 789, 794-97 | 802(а,в,д,г) | за означенням: 789, 800 | 803.
17.	Контрольна робота.
Диференціальне числення
18.	Обчислення похідних (в основному від неявно та параметрично
заданих функцій, адже для заданих явно це вже має бути від-
працьовано — дивись зауваження в кінці вступного розділу):
А: повторення (явно): 853, 875, 904, 964 | параметрично: 1140
(у' та у") | неявно: 1146 (у' та у") | 1025, 1027, 1029.
Д: 864, 878, 888, 906, 923 | 1142, 1143 | 1147, 1148 | 1031, 1033.
19.	Диференціал та його застосування:
А: двома способами (через похідні та через властивості дифе-
ренціала): 1090(а,д,з) | застосування: 1099, 1101. 1104, 1411(а).
Д: 1090(6.г,е) — двома способами | 1097, 1100, 1102, 1411(6) | 315-317.
20.	Обчислення похідних та диференціалів вищих порядків:
А: 1113, 1114. 1126, 1127 | 1181, 1183 | 1162, 1193, 1197 | 1190.
Д: 1115, 1117, 1128 | 1182, 1184 | 1161, 1165, 1194, 1198, 1204 |
1213, 1226, 1189.
21.	Формула Тейлора та її застосування до наближених обчислень:
А: 1388. 1381. 1383-4, 1392 | 1394(в), 1411(а) (оцінка похибки) | 1289(а)
Д: 1380, 1385-87, 1389, 1391 | 1394(6,г), 1395, 1411(6) | 1289(б.в).
22.	Формула Тейлора та правило Лопіталя при обчислення границь:
А: 1398, 1401 | 1322, 1331, 1338, 1363.1 | комбінуючи способи:
1326, 1354.
Перший семестр
21
Д: 1399, 1402, 1406 | 1325, 1330, 1332, 1340, 1341, 1348, 1350,
1355, 1363.
23.	Застосування похідних до дослідження функцій:
А: 1251(а,б) | 1260, 1263 | 1455(а), 1456(а).
Д: 1251(в,г) | 1261, 1262, 1264(а) | 1455(6), 1456(6).
24.	Застосування похідних до дослідження функцій:
А: 1456.1, 1457 | 1558, 1561, 1574, 1578.
Д: 1459, 1460 | 1559, 1562, 1576, 1579.
25.	Побудова графіків функцій:
А: 1512, 1535. Д: 324.1(а-м).
26.	Контрольна робота.
Невизначений інтеграл
Оскільки фундамент інтегрування (елементарні методи інтегруван-
ня, заміна змінних та інтегрування частинами) вже було розглянуто на
початковому етапі, то тут — вже продовження.
27.	Загальні методи інтегрування (повторення).
28.	Інтегрування дробово раціональних виразів:
А: 1867, 1872, 1881, 1884 | 1895 (методом Остроградського).
Д: 1866, 1873, 1875, 1887 | 1892 (методом Остроградського).
Додатково: 1903-06, 1908-16 (1913, 1916 — нетривіальна заміна!).
29.	Інтегрування деяких ірраціональних виразів:
А: 1932, 1943 | 1966 | 1983, 1989.
Д: 1929, 1934 | 1967 | 1984, 1986.
Тригонометричні заміни доцільно розглянути після інтегрування
тригонометричних виразів.
30.	Інтегрування деяких тригонометричних виразів:
А: 1991, 1996, 2000, 2002 (три способи та їх порівняння), 2004
| 2012(а) | 2038, 2028(а), 2014.
Д: 1992, 1994, 1999, 2003, 2005 | 2011 (а) | 2029, 2026, 2033,
2028(6), 2025, 2016
22
Перший семестр
На завершення для додаткової роботи чи повторення можна ви-
користати інтеграли 2126-65.
Визначений інтеграл
31.	Обчислення визначеного інтеграла:
А: 2211 (в т.ч. геометрично), 2212, 2239, 2245-46 | 2221 |2233(а).
Д: 2213, 2240, 2242, 2248, 2249 | 2220, 2223, 2224 | 2233(6).
32.	Обчислення невласного інтеграла:
А: 2338, 2342, 2215, 2346 (+ формула Ейлера) | 2390 | 2258, 2257(а)
Д: 2340, 2347 (+ формула Ейлера), 2348 | 2395 | 2265, 2257(6), 2259.
На завершення теми для додаткової роботи чи повторення можна брати
2268-82. При цьому корисно знайти інтеграли від комплекснозначних
функцій та з використанням формул Ейлера (2288, 2289, 2290 і т.п.).
Застосування інтеграла
33.	Обчислення площі криволінійної трапеції та довжини кривої:
А: 2396, 2404 | 2431, 2443, 2450, 2440.
Д: 2401, 2402, 2411 | 2433, 2442, 2446, 2448.
Бажано, щоб до кожної задачі був ескіз відповідного графіка (мо-
жливо за рахунок розгляду цих кривих на попередніх заняттях).
34.	Об’єм та площа поверхні тіла обертання:
А: 2473, 2480(а) | 2489(а), 2490.
Д: 2474, 2480(6), 248О(в) | 2489(6), 2495.
35.	Фізичні застосування визначеного інтеграла.
36.	Контрольна робота.
Решта часу (якщо залишиться) має бути присвячено повторенню та
підготовці до підсумкової контрольної роботи.
Перший семестр
23
Орієнтовний календарний план
Дата	Тема лекції	Тема практичного заняття
5.9	Основні поняття математики змін- них величин	Вступна контрольна робота
7.9	Основи диференціювання	Математична індукція. Біном.
12 9	Основи інтегрування	Похідні та диференціали
		Похідні та диференціали
19.9	Дійсні числа	Елементарне інтегрування
21.9	Комплексні числа	Елементарне інтегрування
26.9	Границя послідовності: основні поняття та властивості.	Комплексні числа
		Контрольна робота
3.10	Підпослідовності. частинні гра- ниці. збіжність послідовності.	Границі простих послідовностей; частинні границі.
5.10	Границя функції, основнії поняття та властивості, існування.	Умови збіжності послідовності
10.10	Неперервність функцій.	Обчислення простих границь еле- ментарними методами.
		Дослідження на неперервність.
17.10	Визначні границі, асимптотичні розклади. Застосування до границь	Виділення головної частини.
19.10	Неперервні функції на відрізку. Рівномірна неперервність.	Обчислення границь усіма мож- ливими методами.
24.10	Похідна та диференціал: озна- чення й властивості.	Обчислення границь усіма мож- ливими методами.
		Рівномірна неперервність.
31.10	Похідні та диференціали вищих по- рядків Властивості диференцінов- них функцій.	Контрольна робота
2.11	Правило Лопіталя та формула Тейлора.	Похідні (повторення)
24
Перший семестр
7.11	Застосування похідних до до- слідження функцій.	Диференціал.
		Похідні та диференціали вищих порядків.
14.11	Інтегрування раціональних функцій.	Формула Тейлора.
16.11	Інтегрування деяких класів елементарних функцій.	Формула Тейлора та правило Ло- піталя.
21 11	Визначений інтеграл: озн-ня,	Застосування похідних до дослід- ження функцій.
	існування, основ, властивості.	Застосування похідних до дослід- ження функцій.
28.11	Обчислення визначеного інтеграла.	Дослідження функцій та побудова графіків.
30.11	Застосування визначеного інтеграла.	Контрольна робота
5.12	Невласний інтеграл: означення,	Загальні методи інтегрування (повторення).
	обчислення, збіжність.	Інтегрування дробово-раціона- льних функцій.
12.12	Багатовимірний простір: озна- чення, евклідова структура.	Інтегрування деяких ірраціо- нальних функцій.
14.12	Міра в багатовимірному просторі	Інтегрування деяких тригоно- метричних функцій.
19.12	Границя, похідна та інтеграл	Обчислення визначеного інтеграла
	від багатовимірних величин	Обчислення та збіжність невла- сного інтеграла.
26.12	Криві: основні поняття, дотична та нормаль, довжина.	Площа криволінійної трапеції та довжина кривої.
28.12	Підсумкова лекція	Об’єм та площа поверхні для тіла обертання.
Кожний окремий фрагмент даного плану (який складається з двох
відокремлених рядків) відображає черговий календарний тиждень на-
вчання. План складено так, щоб будь-якому практичному заняттю пе-
редував розгляд відповідної теми на лекціях. Тому студенти мають всі
можливості для планомірної роботи та своєчасної підготовки до черго-
вих занять, причому лише така систематична поточна робота може
бути запорукою успіху при вивчення математичного аналізу.
Хоча вказані теми лекцій охоплюють всі ключові моменти програ-
ми першого семестру, проте, як вже було відзначено, абсолютно весь
Перший семестр
25
передбачений програмою матеріал розказати на лекціях просто немож-
ливо Тому студенти мають обов’язково доповнити почуте на лекції
самостійною роботою з літературою.
Орієнтовні питання до колоквіуму
Колоквіум проводиться наприкінці другого місяця занять й має на меті
перевірити засвоєння студентами теоретичного матеріалу. Колоквіум
складається з двох частин: перша — це перевірка засвоєння основних
понять та фактів в формі “математичного диктанту”, друга — детальна
письмова відповідь на два теоретичних питання. Позитивні результати
колоквіуму враховуються під час проведення семестрового екзамену.
1.	Основні операції математики змінних величин на прикладі задачі
про прямолінійний нерівномірний рух.
2.	Повнота множини дійсних чисел.
3.	Теорема про вкладені відрізки.
4.	Віддаль на числовій прямій. Розширена числова пряма.
5.	Околи та їх загальні властивості.
6.	Обмеженість та точні межі числових множин: означення, існува-
ння, загальна теорема про повноту.
7.	Характеристика обмеженості множини та теореми про точні межі.
8.	Комплексні числа: означення, алгебраїчні операції, геометричне
зображення
9.	Комплексні числа: тригонометрична форма та її застосування.
10.	Границя послідовності: загальне означення та його частинні ви-
падки, приклади.
11.	Границя послідовності: єдиність границі, зауваження про збіжні
та нескінченно малі послідовності.
12	Границя послідовності: граничні оцінки та границі нерівностей.
13.	Границя затиснутої послідовності. Властивості нескінченно ма-
лих послідовностей та приклад застосування.
14.	Теорема про арифметичні операції над збіжними послідовностя-
ми. Застосування.
15.	Частинні границі послідовності. Теорема про існування границі
послідовності через підпослідовності.
16.	Теорема Больцано-Веєрштраса.
26
Перший семестр
17.	Теорема про границю монотонної послідовності та її наслідки.
18.	Число є.
19	Критерій Коші збіжності послідовності. Приклади.
20.	Границя функції: загальне означення та його частинні випадки,
приклади.
21.	Границя функції: єдиність та критерій існування двосторонньої
границі через односторонні.
22.	Границя функції: граничні оцінки та границі нерівностей.
23.	Теорема про границю затиснутої функції та властивості нескін-
ченно малих.
24.	Теорема про арифметичні операції над границями функцій.
25.	Теорема про існування границі функції через послідовності.
26.	Границя суперпозиції та заміна змінних при обчисленні границь.
27.	Теорема про границю монотонної функції та її наслідки.
28.	Критерій Коші існування скінченної границі функції.
29.	Неперервність функції: означення, збереження неперервності при
арифметичних операціях над функціями та при суперпозиції.
ЗО.	Неперервність елементарних функцій.
31.	Класифікація точок розриву: означення та приклад.
32.	Перша визначна границя.
33.	Друга визначна границя.
34.	Три останні визначні границі.
35.	Асимптотична поведінка функції: означення, основна теорема про
асимптотичний розклад, наслідки.
36.	Властивості о-малих та застосування еквівалентностей до обчи-
слення границь.
37.	Теорема Коші про проміжні значення неперервної функції.
38.	Теорема Веєрштраса про межі неперервної функції на відрізку.
39.	Рівномірна неперервність: означення, теорема Кантора.
40.	Похідна: означення, приклади.
41.	Геометричний смисл похідної.
42.	Диференціал.
Перший семестр
27
Зразки екзаменаційних білетів
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Фізичний факультет
Курс: 1 Семестр: 1
І	МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Екзаменаційний білет № 1.
1.	Основні операції математики змінних величин на прикладі
задачі про прямолінійний нерівномірний рух.
2.	Правило Лопіталя розкриття невизначеностей.
Затверджено засіданням кафедри математики та теоретичної радіофізики
21 грудня 2004 р., протокол № 3.
Завідуючий кафедрою	Придатченко Ю.В.
Задачі з математичного аналізу. Варіант № 1.
А1. Знайти границю: Ііт	'
А2. Знайти похідну р =	
АЗ. Знайти інтеграл: /д °° сіх.
А4. Дослідити функцію р = х/(1 + х21 та побудувати її графік.
В1.	Знайти границю: Ііт 1-А?-—
х—>0	х
В2.	Знайти похідну: р — 1п (агссов .
ВЗ.	Знайти інтеграл: [ ПГТрЧЇ+ТТ •
В4.	Обчислити інтеграл |2” зіптпх зіппх сіх при т.пЄК.
С0.	Обчислити границю Ііт при а > 1.
п -гсх? П'
другий семестр
Основні теоретичні поняття та факти
Цей перелік містить ключові поняття та факти з програми другого
семестру, більшу частину якої складає диференціальне та інтегральне
числення функцій декількох змінних.
1.	Границя функції декількох змінних: загальне означення та від-
мінність її від повторної границі по різних змінних.
2.	Частинна похідна функції декількох змінних.
3.	Диференційовність функції декількох змінних:
-	означення;
-	необхідні умови;
-	достатні умови;
-	геометричний смисл.
4.	Дотична площина та нормаль до поверхні.
5.	Диференціал та повна похідна функції декількох змінних.
6.	Матриця Якобі та якобіан.
7.	Диференціювання суперпозиції для функцій декількох змінних.
8.	Інваріантність форми першого диференціала.
9.	Властивості диференціала.
10.	Формула Тейлора для функції декількох змінних.
11.	Теорема про неявну функцію.
12.	Функціональна залежність та її необхідні умови.
13.	Локальний екстремум функції декількох змінних: означення, не-
обхідні умови, достатні умови.
14.	Критична точка функцій декількох змінних.
15.	Умовний екстремум функції декількох змінних: означення, метод
виключення, метод Лагранжа.
16.	Інтеграл Рімана по множині.
17.	Достатні умови інтегровності функції по множині.
18.	Основні властивості кратного інтеграла.
19.	Теорема про зведення подвійного інтеграла до повторного.
Другий семестр
29
20.	Теорема про зведення потрійного інтеграла до повторного.
21.	Теорема про заміну змінної у кратному інтегралі.
22.	Природна параметризація кусково-гладкої кривої.
23.	Криволінійний інтеграл 1-го роду означення та властивості.
24.	Криволінійний інтеграл 1-го роду: формула для обчислення.
25.	Поверхня: означення, параметричне рівняння.
26.	Поверхня координатні лінії, дотична площина, нормаль.
27.	Орієнтація поверхні.
28.	Площа поверхні.
29.	Поверхневий інтеграл 1-го роду: означення та властивості.
ЗО.	Криволінійний інтеграл 2-го роду: означення та властивості.
31.	Криволінійний інтеграл 2-го роду: формула для обчислення.
32.	Криволінійний інтеграл 2-го роду по елементарних кривих.
33.	Теорема про відновлення функції декількох змінних за похідною.
34.	Загальна формула Ньютона-Лейбніца.
35.	Поверхневий інтеграл 2-го роду: означення та властивості.
36.	Поверхневий інтеграл 2-го роду: зв’язок з інтегралом 1-го роду.
37.	Поверхневий інтеграл 2-го роду по елементарних поверхнях.
38.	Диференціальна форма та зовнішній диференціал.
39.	Теорема Пуанкаре.
40.	Формула Гріна
41.	Формула Стокса (координатна та векторна форми).
42.	Формула Гауса-Остроградського (координатна й векторна форми).
43.	Загальна формула Стокса.
44.	Критерій повного диференціала.
45.	Похідна за напрямком: смисл та формула для обчислення.
46.	Градієнт: означення та смисл.
47.	Дивергенція: означення та смисл.
48.	Ротор: означення та смисл.
49.	Оператор Гамільтона.
50.	Потенціальне поле: означення, критерій потенційності.
51.	Соленоїдальне поле: означення, критерій соленоїдальності.
52.	Числовий ряд, його загальний член та частинна сума
зо
Другий семестр
53.	Збіжність/розбіжність числового ряду.
54.	Критерій Коші збіжності числового ряду.
55.	Необхідна умова збіжності числового ряду.
56.	Ознаки порівняння збіжності знакосталого ряду.
57.	Ознаки Даламбера та Коші збіжності знакосталого ряду.
58.	Абсолютна та умовна збіжність числового ряду.
59.	Ознака Лейбніца збіжності знакозмінного ряду.
60.	Теореми про перестановки доданків ряду.
Цей перелік питань, як і аналогічний перелік для першого семестру,
містить лише ті ключові поняття та факти, впевнене володіння якими
є абсолютно обов’язковим, а тому вимагатиметься від всіх студентів
як необхідна передумова отримання мінімально позитивної оцінки як
при поточній роботі, так і на екзамені.
Основні практичні задачі
Наступний перелік містить всі ті типи задач й методів їх розв’язування,
які обов’язково мають бути розглянуті та засвоєні при вивченні перед-
бачених програмою другого семестру розділів математичного аналізу,
а також ті практичні навички, які при цьому мають бути вироблені
1.	Обчислення частинних похідних та диференціалів від функції де-
кількох змінних (в тому числі заданих неявно та параметрично).
2.	Заміна змінних в диференціальних виразах.
3.	Дослідження функцій декількох змінних на екстремум: безумов-
ний та умовний.
4.	Застосування методу Лагранжа до дослідження функцій декіль-
кох змінних на умовний екстремум.
5.	Знаходження найбільшого та найменшого значень функції декіль-
кох змінних на множині.
6.	Зведення до повторного та заміна змінних при обчисленні подвій-
ного та потрійного інтегралів.
7.	Обчислення криволінійних та поверхневих інтегралів.
Другий семестр
31
8.	Відновлення функції декількох змінних за її диференціалом.
9.	Застосування формул Гріна та Гауса-Остроградського до обчи-
слення відповідних інтегралів 2-го роду.
10.	Обчислення градієнта, дивергенції та ротора.
11.	Перевірка потенційності та соленоїдальності векторного поля.
12.	Дослідження на збіжність числового ряду.
Як і раніше, свідоме, чітке і впевнене володіння всіма перерахованими
навичками хоча б в мінімальному об’ємі є абсолютно обов’язковим, а
тому вимагатиметься від всіх студентів як необхідна передумова отри-
мання мінімально позитивної оцінки як при поточній роботі, так і на
екзамені. Показником вказаного рівня практичного володіння матеріа-
лом є здатність свідомо, впевнено і чітко розв’язувати задачі абсолют-
но всіх перерахованих типів хоча б найпростішого рівня складності.
Програма практичних занять
На початку семестру необхідно забезпечити випередження лекція-
ми відповідних практичних занять за рахунок повторення на перших
двох заняттях геометричних та фізичних застосувань інтеграла.
1.	Повторення: геометричні застосування визначеного інтеграла.
2.	Повторення: фізичні застосування визначеного інтеграла.
Диференціювання функцій декількох змінних
3.	Частинні похідні 1-го та 2-го порядків, диференціал (2 способи),
застосування диференціала:
А: 3214, 3220 | 3238 | 3244(а), 3245(а), 3246 (точно та набли-
жено) | 3257, 3267 | 3280(а), 3281(6).
Д: 3216, 3219, 3226 | 3237 | 3244(в), 3245(6,г), 3249, 3250 |
3260. 3266 | 3280(6), 3282(а,б).
4.	Похідні вищих порядків; диференціювання суперпозиції:
А: 3283, 3287, 3298, 3305 | 3309.
Д: 3286, 3294, 3301, 3304 | 3310.
32
Другий семестр
5.	Диференціювання суперпозиції:
А: 3316, 3324 | 3352 | 3354, 3358 (частинний інтеграл).
Д: 3317, 3325, 3326 | 3353 | 3355, 3356, 3360.
6.	Диференціювання функцій, заданих неявно або параметрично:
А: 3380, 3384 (і похідні, і диференціали) | 3401 | 3407.1, 3408 | 3424.
Д: 3371, 3373, 3385, 3391 (і похідні, і диференціали) | 3402 |
3407, 3409 | 3412, 3425.
7.	Заміна змінних в диференціальних виразах:
А: 3437, 3435, 3439 | 3451 | 3458, 3465, 3475.
Д: 3436, 3443 | 3453 | 3460, 3466, 3474.
8.	Заміна змінних в диференціальних виразах; формула Тейлора:
А: 3481, 3485 | 3489, 3514 | 3511(а) | 3585, 3587(а), 3602.
Д: 3482 | 3493, 3507, 3517, 3526| 3511(6) | 3582, 3587(6), 3588,
3594, 3603.
9.	Дослідження функцій на екстремум:
А: 3626, 3642, 3644, 3627 | 3651.
Д: 3624, 3628, 3636, 3643. 3681, 3682 | 3652.
10.	Умовний екстремум; найбільше та найменше значення функції:
А: 3654(двома способами) | 3655, 3662 [ 3663, 3675, 3676.
Д: 3656(двома способами), 3664, 3668 | 3672 | 3677, 3678.
11.	Різні задачі на екстремум:
А: 3683, 3687 | 3689, 3699 (для прямої) | 3684 | 3701, 3708.
Д: 3685, 3694 | 3699, 3700 | 3706, 3707.
12.	Підсумкове заняття.
13.	Контрольна робота.
Інтегрування функцій декількох змінних
14.	Подвійні інтеграли: зведення до повторного:
А: 3918 | 3924, 3928 | 3948 | 3932 (двома способами), 3934 | 3910.
Д: 3917 | 3926, 3929 | 3949 | 3933, 3935 | 3984 | 3911.
Другий семестр
33
15.	Подвійні інтеграли: заміна змінних, обчислення площі й серед-
нього значення:
А: 3954, 3953 | 3967 | 3997 | 3965, 3971 | 3974 | 3977 | 4074.
Д: 3955. 3951 | 3996, 3986, 3987 | 3966, 3973 | 3975 | 3915.
16	Потрійні інтеграли: зведення до повторного, заміна змінних:
А: 4076, 4084 | 4078, 4080, 4092 | 4086.
Д: 4077, 4085 | 4079, 4081, 4093 | 4097.
17.	Потрійні інтеграли: обчислення об’єму, маси, центра ваги:
А: 4101, 4104, 4107, 4125 | 4131, 4134.
Д: 4102, 4106. 4108, 4126 | 4132, 4135.
18.	Невласні кратні інтеграли. Кратні інтеграли: решта застосувань:
А: 4171, 4176, 4169 | 4053 | 4070 | 4158, 4159, 4155.
Д: 4170, 4174, 4177 | 4062 або 4063 | 4071 | 4156, 4157, 4160.
19.	Довжина кривої та криволінійний інтеграл 1-го роду:
А: 4222. 4237, 4238 | 4231, 4241 | 4326.
Д: 4224, 4228, 4239 | 4232, 4241.1 | 2453.
20.	Площа поверхні та поверхневий інтеграл 1-го роду:
А: 4038, 4047 | 4343, 4345, 4349 | 4352.1.
Д: 4036, 4045, 4050 | 4344, 4348 | 4352.
21.	Підсумкове заняття.
22.	Контрольна робота.
23.	Криволінійний інтеграл 2-го роду та відновлення функції за її
похідною:
А: 4248 | 4251, 4254, 4279 | 4258, 4260, 4286 | 4271, 4290.
Д: 4249 | 4250, 4253, 4280 | 4259, 4261, 4263, 4285 | 4291 |
4293, 4294, 4295| 4278.
24.	Формула Гріна, застосування. Поверхневий інтеграл 2-го роду:
А: 4299, 4307 | 4308 | 4363, 4365.
Д: 4298, 4303 | 4309 | 4364, 4366.
34
Другий семестр
25.	Формули Стокса та Остроградського; їх застосування:
А: 4370, 4369 | 4376, 4378, 4380 | 4387, 4389 | 4381 | 4391.
Д: 4374. 4371 | 4377, 4379 | 4388, 4390 | 4382 | 4392 | 4399, 4400.
Елементи теорії поля
26.	Похідна за напрямком, градієнт, дивергенція та ротор:
А: 3342, 3345, 4401, 4416 | 4422.1, 4426 | 4436.1 .
Д: 3341, 3347, 4401.1, 4418 | 4423, 4430, 4432 | 4439 | 3343.
27.	Робота, циркуляція, потік:
А: 4441, 4443, 4445, 4447 | 4452, 4453, 4454 | 4457, 4458.
Д: 4442, 4444, 4445.1, 4448 | 4452.2, 4455 | 4457.1, 4459, 4460.
28.	Контрольна робота.
Числові ряди
29.	Числові ряди: поняття збіжності та суми ряду, критерій Коші,
ознаки порівняння для знакододатних рядів
А: 2546, 2549, 2551а | 2573 | 2559, 2562 | 2646 | 2607, 2609,
2629, 2631.
Д: 2547, 2550, 25516 | 2574, 2575.1 | 2560, 2563 1 2647 | 2608,
2626, 2627, 2632 + (додатково) 2552, 2553 | 2588 | 2568.
30.	Спеціальні ознаки збіжності знакододатних рядів:
А: 2580, 2585 | 2586 | 2598 (Гаусса) | 2619.
Д: 2579, 2581 | 2587 | 2600 | 2620.
31.	Ознаки збіжності знакозмінних рядів:
А: 2661 | 2673, 2669, 2667 | 2701 | 2670 | аналог 2703.1 (а).
Д: 2660 | 2679, 2685, 2686 | 2675, 2677 | 2703.1(а).
32.	Підсумкове заняття.
Другий семестр
35
Орієнтовний календарний план
Дата	Тема лекції	Тема практичного заняття
6.2	Похідні й диференціали функ- цій декількох змінних	Повторення: застосування визна- ченого інтеграла.
		Повторення: застосування визна- ченого інтеграла.
13 2	Диференціювання суперпозиції. Геометричний смисл. Похідні й диференціали витих порядків.	Похідні й диференціали першого та другого порядків
		Похідні вищих порядків; диферен- ціювання суперпозиції.
20.2	Заміна змінних в диференціальних виразах. Формула Тейлора.	Диференціювання суперпозиції
		Диференціювання функцій, зада- них неявно або параметрично.
27.2	Локальний екстремум функції де- кількох змінних. Неявно задані функції.	Заміна змінних в диференціаль- них виразах
		Заміна змінних (закінчення). Формула Тейлора.
6.3	Залежність функцій. Умовний екс- тремум. Найбільше та найменше значення на множині.	Безумовний та умовний екстремум
		Умовний екстремум. Найбільше та найменше значення.
13.3	Кратні інтеграли: означення, вла- стивості, обчислення.	Різні задачі на екстремум
		Підсумкове заняття.
20.3	Невласні кратні інтеграли. Криво- лінійний інтеграл 1-го роду. По- верхні: основні поняття.	Контрольна робота
		Подвійні інтеграли: зведення до повторного.
27.3	Площа поверхні. Поверхневий інтеграл 1-го роду.	Подвійні інтеграли: заміна змін- них, застосування.
		Потрійні інтеграли: зведення до повторного, заміна змінних.
3.4	Криволінійний інтеграл 2-го роду. Відновлення функції за її похідною.	Потрійні інтеграли; обчислення об’єму, маси, центру ваги.
		Невласні кратні інтеграли. Кратні інтеграли: решта застосувань.
10.4	Поверхневий інтеграл 2-го роду	Довжина кривої та криволінійний інтеграл 1-го роду.
		Площа поверхні та поверхшевий інтеграл 1-го роду.
36
Другий семестр
17.4	Алгебра геометричних мір	Підсумкове заняття.
		Контрольна робота.
24.4	Зовнішній диференціал. Формула Гріна.	Криволінійний інтеграл 2-го роду, відновлення функції за ПОХІДНОЮ
		Формула Гріна та її застосування. Поверхневий інтеграл 2-го роду.
8.5	Формули Остроградського та Стокса.	Формули Стокса та Остроградсько- го, їх застосування.
		Похідна за напрямком, градієнт, дивергенція та ротор.
15.5	Елементи теорії поля.	Робота, циркуляція, потік.
		Контрольна робота
22.5	Знакододатні ряди.	Числові ряди: основні поняття, ознаки порівняння.
		Ознаки збіжності знакододатних рядів.
29.5	Знакозмінні ряди.	Ознаки збіжності знакозмінннх рядів.
		Підсумкове заняття
Вивчення математичного аналізу в другому семестрі має дві осо-
бливості: перша — це значна кількість святкових днів, які припадають
на весняні місяці, а друга — відносно менша кількість лекцій. Це в
будь-якому випадку означає збільшення акценту на самостійне опра-
цювання теоретичного матеріалу порівняно з першим семестром, а та-
кож, можливо, деякі неузгодженості наприкінці семестру між змістом
практичних та лекційних занять. Якщо такі вимушені неузгодженості
виникнуть, то доведеться інколи самостійно готуватись до практично-
го заняття з тієї теми, яку ще не було розглянуто на лекціях.
Орієнтовні питання до колоквіуму
1.	Критерій диференційовності для ї : Кп —> К.
2.	Необхідні умови диференційовності для ї : Кп —> К.
3.	Достатня умова диференційовності для ї : Кп —> К.
4.	Критерій диференційовності для ї : ІКП —> К’п.
Другий семестр
37
5.	Загальна теорема про необхідні умови диференційовності.
6.	Загальна теорема про достатні умови диференційовності.
7.	Диференційовність складної функції.
8.	Властивості диференціалу функції декількох змінних.
9.	Геометричний смисл диференційовності для Г : К2 —> К.
10.	Частинні похідні вищих порядків.
11.	Диференціали вищих порядків. Умови диференційовності.
12.	Формула Тейлора.
13.	Неявно задані функції
14.	Залежність функцій.
15.	Необхідні умови локального екстремуму.
16.	Достатні умови локального екстремуму.
17.	Умовний екстремум.
18.	Кратний інтеграл: означення, умови інтегровності.
19.	Кратний інтеграл: найпростіші властивості.
20.	Лема про неперервність інтеграла з параметром.
21.	Кратний інтеграл: зведення до повторного.
22.	Кратний інтеграл: заміна змінних. Застосування та наслідки.
23.	Природна параметризація кривої.
24.	Криволінійний інтеграл 1-го роду.
25.	Поверхні: загальні поняття.
26.	Площа поверхні.
27.	Інваріантність характеристик поверхні.
28.	Поверхневий інтеграл 1-го роду.
38
Другий семестр
Зразки екзаменаційних білетів
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Фізичний факультет
Курс: 1 Семестр: 2
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Екзаменаційний білет № 1.
1.	Означення та критерій диференційовності для І: Кп —> К.
2.	Площа поверхні.
3.	Задачі.
Затверджено засіданням кафедри математики та теоретичної радіофізики
24 травня 2004 р., протокол № 64.
Завідуючий кафедрою	Придатченко Ю.В.
Задачі з математичного аналізу. Варіант № 1.
А1. Дослідити на збіжність числовий ряд У 1 /^п2 + 1.
А2. Довести рівність &та<1(и/ц) = (ц^тайи — и£тасІц)/ц2
АЗ. Дослідити на екстремум функцію и = х2 4- у2 +г2 + 2х + 4у — 6г.
А4. Зобразити область О = {1 < х2 + у2 < 4} та обчислити інтеграл
До ’Л2 +У2 йхйу.
В1.	Перевірити, що вираз (у + х)йх + (х + г)йу + (х + у)йх є повним
диференціалом сій від деякої функції ц(х, у, г), і знайти цю функцію.
В2.	Дослідити на екстремум и = х — 2у + 2г при умові х2 + у2 + г2 = 9.
ВЗ.	Обчислити потік вектора а = т з середини назовні через бічну поверхню
конуса х2 4-у2 < г2 (0 < г < її) та через повну поверхню цього конуса.
В4.	Обчислити інтеграл хугсіхбусіг, де область V обмежено поверх-
нями х = 0, у = 0, г = 0, х2 + у2 + г2 = 1.
ТРЕТІЙ СЕМЕСТР
Основні теоретичні поняття та факти
Цей перелік містить ключові поняття та факти з програми третього
семестру, головну частину якої складають функціональні ряди та інте-
грали з параметром.
1.	Функціональна послідовність та функціональний ряд: означення
та множина збіжності.
2.	Рівномірна збіжність функціональної послідовності та ряду:
-	означення та критерій Коші;
-	ознаки Веєрштраса та Діріхле рівномірної збіжності ряду;
-	умови неперервності границі функціональної послідовності
та суми функціонального ряду;
-	умови почленного інтегрування та диференціювання функ-
ціональної послідовності й функціонального ряду.
3.	Степеневий ряд:
-	множина збіжності та формули для радіуса збіжності;
-	неперервність, почленне інтегрування та диференціювання
степеневого ряду всередині області збіжності;
-	теорема про розклад функції в степеневий ряд;
-	розклади в степеневий ряд основних елементарних функцій.
4.	Тригонометричний ряд Фур’є:
-	означення та спектральний смисл;
-	теорема про розклад у тригонометричний ряд Фур’є;
-	тригонометричний ряд Фур’є в комплексній формі.
5.	Збіжність функціональної послідовності та функціонального ряду
в середньому квадратичному.
6.	Розклад в ряд по ортогональній системі функцій.
7.	Власні інтеграли з параметром:
-	умови неперервності по параметру;
-	диференціювання та інтегрування по параметру.
8.	Невласні інтеграли з параметром:
40 Третій семестр
-	означення рівномірної збіжності та критерій Коші;
-	ознаки Веєрштраса та Діріхле рівномірної збіжності;
-	умови неперервності по параметру;
-	диференціювання та інтегрування по параметру
9.	Ейлерові інтеграли, їх властивості та застосування.
10.	Інтеграл Фур’є;
-	означення та спектральний смисл;
-	теорема про представлення функції інтегралом Фур’є;
-	інтеграл Фур’є в комплексній формі;
-	пряме та обернене перетворення Фур’є.
11.	Принцип стискаючих відображень
Цей перелік питань, як і аналогічні переліки для першого та другого
семестрів, містить лише ті ключові поняття та факти, впевнене воло-
діння якими є абсолютно обов’язковим, а тому вимагатиметься від
всіх студентів як необхідна передумова отримання мінімально пози-
тивної оцінки як при поточній роботі, так і на екзамені.
Основні практичні задачі
Наступний перелік містить всі ті типи задач й методів їх розв’язування,
які обов’язково мають бути розглянуті та засвоєні при вивченні перед-
бачених програмою третього семестру розділів математичного аналізу,
а також ті практичні навички, які при цьому мають бути вироблені.
1	Знаходження множини збіжності функціональної послідовності
та функціонального ряду.
2.	Дослідження рівномірної збіжності функціональної послідовності
на заданій множині,
3.	Доведення рівномірної збіжності функціонального ряду за допо-
могою ознак Веєрштраса та Діріхле.
4.	Знаходження інтервалу збіжності степеневого ряду.
5.	Розклад функції в степеневий ряд за допомогою вже відомих роз-
кладів основних елементарних функцій.
6.	ІІочленне диференціювання та інтегрування степеневого ряду.
Третій семестр
41
7.	Розклад функції в тригонометричний ряд Фур’є.
8.	Доведення рівномірної збіжності невласного інтеграла з парамет-
ром за допомогою ознак Веєрштраса та Діріхле.
9.	Для інтеграла з параметром (власного чи невласного):
-	доведення неперервності по цьому параметру;
-	диференціювання та інтегрування по цьому параметру.
10.	Застосування гамма- та бета-функцій до обчислення інтегралів.
11.	Представлення функцій інтегралом Фур’є.
12.	Знаходження перетворення Фур’є заданої функції.
Як і раніше, свідоме, чітке і впевнене володіння всіма перерахованими
навичками хоча б в мінімальному об’ємі є абсолютно обов'язковим, а
тому вимагатиметься від всіх студентів як необхідна передумова отри-
мання мінімально позитивної оцінки як при поточній роботі, так і на
екзамені. Показником вказаного рівня практичного володіння матеріа-
лом є здатність свідомо, впевнено і чітко розв’язувати задачі абсолют-
но всіх перерахованих типів хоча б найпростішого рівня складності.
Програма практичних занять
В процесі роботи необхідно забезпечити випередження лекціями
відповідних практичних занять за рахунок повторення на практичних
заняттях задач з вже розглянутих на першому курсі розділів. Най-
важливішими з них є дослідження на екстремум функцій багатьох
змінних, інтегрування функцій багатьох змінних (кратне, криволінійне
та поверхневе) та векторний аналіз.
Функціональні ряди
1.	Область збіжності функціонального ряду, рівномірна збіжність
послідовності:
А: 2718, 2724 | 2748, 2751, 2754, 2757.
Д: 2717, 2726. 2728 | 2747, 2752, 2755.
2.	Рівномірна збіжність функціонального ряду:
А: 2770 | 2768, 2774(в,ж,к) | 2775(а), аналог для 2780.
Д: 2772 | 2774(а, г, з, л) | 2780, 2781 | 2797.
42
Третій семестр
3.	Степеневі ряди:
А: 2812, 2822, 2833 | 2839 | 2841, 2843
Д: 2814, 2825, 2836 | 2840 2877 | 2842, 2852.
4	Степеневі ряди (продовження):
А: 2844, 2857 | 2882 | 2906, 2911.
Д: 2854, 2858 | 2883 | 2903, 2907, 2912, 2914 | 2932, 2928, 2934.
5.	Ряди Фур’є:
А: 2941. 2945 | 2952 (з графіками) | 2948 | 2957 | типу 2964 |
2961, 2983.
Д: 2944, 2946 | 2953 (з граф) | 2949 | 2958 | 2964 | 2962, 2984.
6	Ряди Фур’є (продовження)
А: 2966, 2970 (нер Бесселя) | 2938, 2950, 2958 (рівн Парсева.пя).
Д: 2967, 2971, 2963 (нерівність Бесселя) | 2940, 2944 (рівність
Парсеваля).
7.	Контрольна робота.
Інтеграли з параметром
8.	Власні інтеграли з параметром:
А: 3713(а), 3717 | 3723 | 3735.
Д: 3713(в), 3718(а.в) | 3724 | 3736.
9	Невласні інтеграли з параметром (рівномірна збіжність):
А: 3741 | 3755.1 1 3758, 3760 | 3779.
Д: 3743 | 3755.2 | 3761.
10.	Невласні інтеграли з параметром (обчислення):
А: 3793 | 3798 ] 3830.
Д: 3780 | 3795 | 3814 | 3804 | 3835(6, г,е).
11.	Ейлерові інтеграли та інтеграл Фур’є:
А: 3844, 3846, 3852, 3855, 3857, 3860, 3864.2 | 3881, 3883, 3885,
3887 | 3891 | 3896, 3900(а) | в компл формі: 3896, 3897, 3898.
Д: 3847, 3849, 3850, 3851 3856 3864.1 | 3882, 3884, 3886, 3888
| 3890 | 3897, 3900(6)
Третій семестр
43
Орієнтовний календарний план
Дата	Тема лекції	Тема практичного заняття
13.9	Функціональні послідовності	Повторення: числові ряди.
		Повторення: екстремуми функцій декількох змінних.
27.9	Функціональні ряди: загальна теорія; степеневі ряди.	Функціональні послідовності: рів- номірна збіжність
		Функціональні ряди: область збі- жності
11.10	Степеневі ряди. Ряди Фур’є.	Функціональні ряди: рівномірна збіжність
		Степеневі ряди
25.10	Ряди Фур’є.	Степеневі ряди
		Ряди Фур’є
8.11	Власні інтеграли з параметром.	Ряди Фур’є
		Контрольна робота
22.11	Невласні інтеграли з параметром.	Власні інтеграли з параметром
		Невласні інтеграли з параметром: рівномірна збіжність
6 12	Інтеграли Ейлера та Фур є.	Невласні інтеграли з параметром: обчислення
		Інтеграли Ейлера та Фур’є
20.12	Метричний простір. Стискаючі відображення.	Контрольна робота
		Підсумкове заняття
Оскільки семестр є підсумковим у вивченні математичного аналізу,
то доцільно поєднати вивчення нових розділів з повторенням ключо-
вих питань та задач, вже розглянутих раніше. При цьому, враховуючи
специфіку фізичного факультету варто обмежитись заміною змінних в
диференціальних виразах, дослідженням на екстремум функцій декіль-
кох змінних та інтегруванням функцій декількох змінних (кратним,
криволінійним та поверхневим), а також векторним аналізом
44
Третій семестр
Орієнтовні питання до екзамену
1.	Рівномірна збіжність функціональної послідовності: означення,
критерій Коші.
2.	Неперервність границі функціональної послідовності та суми
функціонального ряду.
3.	Інтегрування границі функціональної послідовності та суми
функціонального ряду.
4.	Диференціювання границі функціональної послідовності та суми
функціонального ряду.
5.	Рівномірна збіжність функціонального ряду: означення, критерій
Коші, ознака Веєрштрасса, приклад застосування.
6.	Рівномірна збіжність функціонального ряду: означення, ознака
Діріхле, приклад.
7.	Степеневий ряд: означення, вид множини збіжності, обчислення
радіусу збіжності.
8.	Теорема про рівномірну збіжність степеневого ряду; її наслідки.
9	Розклад функцій в степеневий ряд. Степеневі ряди на множині
комплексних чисел. Функції ех, віпг, созг.
10.	Ряд Фур’є: означення, смисл, теорема про розклад, приклади,
комплексна форма.
11	Неперервність та інтегрування по параметру власного інтеграла
(з доведенням). Приклади.
12.	Диференціювання по параметру власного інтеграла; приклад.
13.	Рівномірна збіжність невласного інтеграла з параметром: означе-
ння, критерій Коші, приклад.
14	Рівномірна збіжність невласного інтеграла з параметром: ознаки
Веєрштрасса та Діріхле, приклад.
15.	Неперервність, інтегрування по параметру невласного інтеграла.
16.	Диференціювання по параметру невласного інтеграла.
17.	Інтеграл Діріхле.
18.	Ейлерові інтеграли.
19.	Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є.
20	Метричні простори Принцип стискаючих відображень.
21.	Дійсні числа: смисл, алгебраїчні та порядкові властивості, непе-
рервність (повнота).
І
Третій семестр
45
22	Комплексні числа означення, геометричний смисл додавання та
множення, тригонометрична та показникова форма.
23	Границя змінної величини: означення та основні властивості
24.	Критерій Коші існування скінченної границі.
25.	Неперервність: означення, властивості, неперервність елементар-
них функцій.
26.	Визначні границі та їх наслідки (поведінка Ду для основних еле-
ментарних функцій).
27.	Граничні розклади виділення головної частини нескінченно малої
чи нескінченно великої; застосування до обчислення границь та
в ознаках порівняння
28.	Похідна та диференціал як характеристики локальної поведінки
функції. Інтеграл як обернена операція.
29.	Загальна теорема про граничний розклад.
ЗО.	Загальна формула скінченних приростів.
31.	Теорема про похідну визначеного інтеграла по верхній межі та її
наслідки.
32	Загальна схема застосування інтеграла. Приклади.
33	Диференційовність функції: означення, геометричний смисл,
умови диференційовності.
34.	Локальний екстремум функції однієї та декількох змінних.
35.	Залежність змінних та теорема про неявну функцію.
36.	Метод Лагранжа дослідження функції на умовний екстремум.
37.	Криволінійний та поверхневий інтеграли 1-го роду.
38	Відновлення функції декількох змінних за її диференціалом.
39	Криволінійний інтеграл 2-го роду, формули Гріна й Стокса.
40.	Поверхневий інтеграл 2-го роду, формула Гауса-Остроградського.
41.	Зовнішній диференціал: означення, диференціал від основних ди-
ференціальних форм, загальна формула Стокса.
42.	Скалярне поле: похідна за напрямком, градієнт та його смисл,
відновлення скалярного поля за його градієнтом.
43	Векторне поле: інтегральні (циркуляція, потік) та локальні харак-
теристики (ротор дивергенція); відповідні інтегральні формули
44	Векторне поле: основні типи (потенційне та соленоїдальне); за-
гальна структура векторного поля.
46
Третій семестр
Зразки екзаменаційних білетів
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Фізичний факультет
Курс : 2 Семестр: З
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Екзаменаційний білет № 1
1. Рівномірна збіжність функціональної послідовності: означення,
критерій Коші
2. Комплексні числа: означення, геометричний смисл додавання та
множення.
Затверджено засіданням кафедри математики та теоретичної радіофізики
21 грудня 2004 р протокол № 3.
Завідуючий кафедрою	Придатченко Ю.В.
Задачі з математичного аналізу. Варіант № 1.
А1. Розкласти функції 8Їіх та сйх в ряд по хп, знайти інтервали збіжності.
А2. Побудувати графік функції у = 8Їдп(8іпх) та отримати її спектральний
розклад.
АЗ. Дослідити на екстремум функцію и = х2 + у2 + г2 + 2х + 4у — 6г.
А4. Зобразити область О = {1 < х2 + у2 < 4) та обчислити інтеграл
Яс у/*2 + У2 йхйу.
В1.	Довести рівномірну збіжність при <х Є К інтеграла	йх.
В2.	Побудувати графік функції х е “|х| й представити ЇЇ інтегралом Фур’є.
ВЗ.	Дослідити на екстремум и = х — 2у + 2г при умові у2 + у2 + г2 = 9.
В4.	Обчислити інтеграл хуг сіхсіусіг, де область V обмежено поверх-
нями х = 0 у = 0, г = 0, х2 + у2 + г2 = 1.
ДОДАТОК
Дійсні числа
Дійсне число — це нескінченний, десятковий дріб, який виникає
при уявному вимірюванні значення неперервної величини шляхом по-
рівняння цього значення з відповідним еталоном. Дійсне число є кіль-
кісною мірою неперервної величини, а тому крім звичних властиво-
стей додавання, множення та відношення “більше-менше” множина
всіх дійсних чисел Ж має важливу властивість неперервності, яку
можна виразити наступними еквівалентними способами:
-	- для будь-яких множин А, В с їй, таких що А розташована лівіше
за В, існує точка с є їй, що лежить між цими множинами;
-	у обмеженої знизу множини А С їй існує точна нижня межа;
-	у обмеженої зверху множини А С К існує точна верхня межа;
-	кожна послідовність [о.і,Ьі] 2) (аг,Ьг] 3 ... вкладених відрізків
має спільну точку і виконано принцип Архімеда.
Функції та неперервність
Якщо окреме значення величини виражається дійсним числом, то
при розгляді змінних величин виникає поняття функції у = ї(х) як
математичної моделі залежності однієї змінної величини від іншої.
Оскільки метою математичного аналізу змінних величин є досліджен-
ня характеру зміни однієї величини залежно від іншої, то початковими
є поняття зміни або приросту величини, яке традиційно позначають
буквою А. Так, для залежності у = Т(х) приростом незалежної змін-
ної х є Ах — хг — хі, а відповідним приростом залежної змінної у є
Ау = У2 - У і =	- Ихі) 
Однією з ключових властивостей багатьох залежностей та відповід-
них функцій є неперервність. На мові приростів неперервність фун-
кції у = ї(х) в точці хо означає, що при Ах = х — хо —» 0 обов’язково
Ау = ї(х) — ї(хо) —> 0, тобто малій зміні величини х відповідає ма-
ла зміна величини у Неперервність є не просто однією з багатьох
можливих властивостей змінних величин та функцій, а одним з наріж-
них каменів всього сучасного математичного аналізу таких величин.
Практична потреба систематичного розгляду змінних величин та їх
залежностей ставить питання про структуру цих залежностей. При
цьому на перший план вийшли функції х“, ах та 1о£а х (як природні
48 Найважливіші поняття та формули
доповнення до додавання з множенням) разом з тригонометричними
функціями 5ІП.Х, созх, ідх, сідх та оберненими до них (як основ-
ними функціями аналітичної геометрії). Ці функції стали тими еле-
ментарними складовими, через які виражаються інші функції, тобто
такими ж фундаментальними складовими практичного математично-
го арсеналу, як алгебраїчні операції. Пізніше, з появою так званих
спеціальних функцій, функції, які утворено з скінченної кількості пе-
рерахованих вище елементарних цеглин шляхом скінченної кількості
обчислень функції (тобто композицій) та алгебраїчних операцій, стали
називати елементарними
З неперервності основних елементарних функцій та збереження не-
перервності при алгебраїчних операціях й суперпозиції випливає непе-
рервність будь-якої елементарної функції ^(х) в кожній точці області
визначення Ог Отже для будь-якої елементарної функції ^(х) і до-
вільного х0 Є існує Ііт ї(х), причому Ііт ї(х) — ї(хо).
х->х0	х-чхо
Визначні границі
Практичне знаходження похідної у'(х) (яка виражає швидкість
зміни величини у в залежності від х) вимагає більш детального дослі-
дження поведінки приросту Лу при Ах —) 0. В першу чергу, звичай-
но, це стосується основних елементарних функцій. Визначальними при
цьому є декілька нетривіальних границь, які внаслідок їх важливого
значення назвали визначними-.
Ііт 51ПХ = 1 , Ііт (1 + 1/х)х — Ііт (1 + х)1 = є ,
хчО X	х—>оо	х—>0
1п(1+х)	Єх — 1	(1+х)“- 1
Ііт---------= 1, Ііт-------= 1, Ііт---------------= а.
ХТО X	х->0 X	х-»0 х
Виражену в цих рівностях інформацію щодо поведінки при х—>0 не-
скінченно малих 8Іпх 1п(1 + х) ех — 1 та (1 +х)“ — 1 часто пред-
ставляють у вигляді граничних (при х —» 0) еквівалентностей
8Їпх~х, Іп(1+х)-х, ех — 1-х, (1 + х)“ — 1 ~ <хх .
Замість цих граничних еквівалентностей зручно використовувати гра-
ничні (або асимптотичні) розклади, зокрема
зіттх = х + о(х) , 1тг( 1 + х) = х + о(х) , ех — 1 + х + о(х),
де доданок о(х) є нескінченно малою відносно х величиною Загаль-
ний вигляд таких розкладів виражається формулою Тейлора
Найважливіші поняття та формули
49
Диференціальне числення
Жодний приріст Ду — у(хг)—у(*і) ніколи не є вичерпною характе-
ристикою зміни величини у, оскільки цей приріст ніяк не відображає
деталі поведінки величини у при зміні х від Хі до хг. Для того,
щоб прирости Ду якомога точніше описували поведінку величини у,
різниці Дх — Х2 ~ хі повинні бути якомога меншими. Тому повну ін-
формацію щодо зміни величини у(х) містить лише граничне значення
відношення Ду/Дх при Дх —> 0 або відповідний граничний вираз для
Ду. Граничне значення відношення називають похідною від величини
у(х) і позначають у'(х) або йу/йх, а граничний вираз для приросту
називають диференціалом величини у(х) і позначають йу.
Похідна у'(х) та диференціал йу тісно пов’язані між собою, що
виявляється, зокрема, в тотожності йу = у'(х)йх, яку можна назвати
основною рівністю диференціального числення. При цьому з прак-
тичного боку принципово важливим є те, що внаслідок простих вла-
стивостей похідної (властивості диференціала цілком аналогічні)
(Г±д)' = ї'±д',	(с-Г)' = с-Г,
(ї- д)' —ї'д + їд',	(Т/д)' = (ї'д - їд')/д2 ,
[у(х(і))]'о =у(х(і0))  х'(і0), х'(уо) = 1/У'(х0) ,
та відомих виразів для похідних від основних елементарних функцій
(х“)' = ах“~’ ,	(ах)' = ах1па,	(ех)/ = ех,
(ІОЄа Х)‘	, _ 1 ХІП.О ’	(ІПх/ = - , X	(зіпх)' — СО5Х ,
(СО8 х)'	— — 8ІП X ,	(♦дх) -	2 , СО8Л X	(сїдх) -	. 2 5ГП X
(агс8іпх)'=  .	, (агссоьх)'=—	. . , (агсі£х)'= ——у-
\/1 — х2	у/1-х2	1 + х2
існує простий алгоритм знаходження похідної та диференціала від
будь-якої елементарної функції.
Рівність йу = у'(х)йх можна назвати диференціальною формою
залежності у(х). Важливість та зручність цієї рівності полягають в
тому, що вона виражає граничний (при Дх —> 0) зв’язок між Ду та Дх
незалежно від того, яким є характер зміни величини х.
50 Найважливіші поняття та формули
Основним застосуванням похідних та диференціалів є дослідження
поведінки та властивостей функцій (зростання-спадання, екстрему-
ми, опуклість та точки перегину тощо). При цьому дуже важливу роль
відіграє формула Тейлора
«М -,(«.) +	+ ї>-’(Дх^ +...+ ї^£>(Дх)" + ОІДХ)",
І!	2!	П!
яка дозволяє при умові існування скінченної похідної п-го порядку
виділити головну частину нескінченно малої Ду з точністю до о(Дх)п.
Зокрема для основних елементарних функцій в околі точки х0 — 0
е
х2
2!
х
8ІПХ = X —
X3 X5
З? + 5Ї
(2п—1)!
1п(1 4-х) =
X2 х4
2Ї + 4Ї
(-Ппх
(2п)!
2п+1
х2 х3
~2 + Т
і V
— + о(хп) ;
СО5 X = 1 —
(1 +Х)
а(а — 1) 2
1 + ах + —— х
а(а — 1)  • • (а— п + 1)
п!
Інтегральне числення
При відновленні функції за її похідною та в багатьох інших випад-
ках виникає одна й та сама операція, яку називаються визначеним
інтегралом або просто інтегралом. Ключовою властивістю інтеграла,
яка робить інтегральне числення ефективним математичним інструмен-
том, є формула Ньютона-Лейбніца
ї(х)гіх = Е(Ь)-Е(а)
де Е(х) є первісною для Т(х), тобто функцією, для якої Е '(х) = Е(х).
Найважливіші поняття та формули
51
Первісна Е(х] існує у кожної неперервної функції ї(х). Оскільки
будь-які первісні для ї(х) на (а,Ь) відрізняються на сталу, то мно-
жина всіх первісних має вигляд {Р(х) + С}. Довільний визначений з
точністю до сталої елемент К(х) + С цієї множини називають неви-
значеним інтегралом й позначають /ї(х) сіх. Це дозволяє, зокрема, в
багатьох важливих випадках виразити первісну через основні елемен-
тарні функції, оскільки з таблиці похідних автоматично отримуємо
+ С (а^-1)
Г сіх
— =1пІх| + С
ах сіх = ~ + С
1п а
зіп х йх = — сов х + С
е* йх = е* + С
СОБ х йх — зіп х + С
Г сіх
] СО82 X
= ід х + С
йх	_
- 2 = — сід х + С
зіп х
Г ах
І .	- — агсзш х + С = — агссоз х + С
З х/1 — х2
= агсі^х + С = — агссі^х + С
Крім цього, важливими засобами практичного обчислення інтеграла (і
визначеного, і невизначеного) є формули заміни змінних та інтегру-
вання частинами, які у випадку визначеного інтеграла мають вигляд
ь
х(Ь)
Загальний простий принцип, який забезпечує можливість застосувати
ці формули, полягає в тому, що всі функції повинні бути неперерв-
ними на проміжку між а та Ь.
При використанні формули Ньютона-Лейбніца, як правило, недо-
цільно починати із знаходження первісної Г(х). Обчислення значно
спрощуються, якщо всі необхідні перетворення (включаючи заміну
змінних та інтегрування частинами) виконати безпосередньо в ви-
значеному інтегралі, а формулу Ньютона-Лейбніца застосовувати вже
тоді, коли в результаті перетворень інтеграл зведено до елементарних
табличних інтегралів.
Навчальне видання
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Робоча програма та методичні вказівки
для студентів першого та другого курсів
фізичного факультету
Упорядник
РАДЧЕНКО Олександр Миколайович
Друкується за авторською редакцією
Підписано до друку 14.12.05. Формат 60x84і™. Вид. №404. Гарнітура Агіаі. Папір офсетний.
Друк офсетний. Наклад 100. Ум. друк. арк. 3,0- Зам. № 25-3031.
Надруковано у Видавничо-поліграфічному центрі "Київський університет"
01601, Київ, б-р Т.Шевченка, 14, кімн. 43,
8 (38044) 239 3222; (38044) 239 3172; тел. /факс (38044) 239 3128.
Е-таіі: уубау_роІудгарЬ@ипІу.кіеу.оа
ІМАМ/ Мір:Яурс.ипІї.кіеу.иа
Свідоцтво внесено до державного реєстру ДК № 1103 від 31.10 02