Author: Полякова Т.С.
Tags: воспитание обучение образование история народного образования и педагогической мысли математика история образования история математики издательство московского университета
ISBN: 5-211-04686-2
Year: 2002
Text
Т.С.Полякова
2
g
к
Й
5»
й
5s
Й
Й
ИСТОРИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
В РОССИИ
j
Издательство
Московского
университет
2002
УДК 37(091)
ББК 74.03(2)
П 54
Полякова Т. С. История математического образования в России. —
М.: Изд-во Московского ун-та, 2002.— 624 с. ISBN 5-211-04686-2
В книге рассмотрена история отечественного математи-
ческого образования эпохи Российской империи.
Книга адресована научным сотрудникам в области ис-
тории математики и истории образования, преподавателям
математики высших и средних учебных заведений, студентам
математических специальностей и всем, кто озабочен судьбой
российского математического образования.
Рецензенты:
вице-президент Международной академии истории науки
профессор С. С. Демидов,
академик РАО А. А. Греков
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Нижневартовского ЗАО «Энергоремонт»
{генеральный директор Н.В. Соловьев)
Полякова Татьяна Сергеевна
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ
Зав. редакцией Г. С. Савельева
Редактор Р. А. Бунатян
Художники К. Кретов а-Даждь, Т. Лапина
Художественно-технический редактор Г. Д. Колоскова
Корректоры А. В. Яковлев, А. Я. Марьясис
Подписано в печать 20.06.02. Формат 60X90/16 Бумага офс. Nel.
Усл. печ. л. 39,0. Уч.-изд. л. 37,58. Тираж 1000 экз. Заказ 393 . Изд. № 7454
Ордена «Знак Почета» Издательство Московского университета.
1003009, Москва, Б. Никитская ул., 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» Изд-ва МГУ.
119992, Москва, Ленинские горы.
ISBN 5-211-04686-2 @ Издательство Московского
университета, 2002 г.
© Т. С. Полякова, 2002 г.
© Художественное оформление
К. Кретова-Даждь, Т. Лапина, 2002 г.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО
•Типография И ПО профсоюзов Профиздат».
109044. Москва. Крутицкий вал, 1S.
300-летию отечественного
математического образования
(1701-2001)
и
250-летию Московского университета
(1755-2005)
посвящается эта книга
Предисловие научного редактора
Актуальная современность истории
.ГГристальное внимание ученых, общественных деятелей и
просто думающих людей все больше и больше привлекают сей-
час те линии тысячелетней истории России, которые на общем
фоне развития мировой цивилизации привели к значительным,
даже, в некотором смысле, эталонным достижениям. В подобных
случаях меньше всего хотелось бы говорить о случайном везе-
нии и слепой удаче или ограничиваться хрестоматийной фразой
«Умом Россию не понять». Гораздо важнее и актуальнее скру-
пулезно изучить факты и обстоятельства, проанализировать ди-
намическую цепочку событий, назвать имена и описать деяния
всех причастных личностей и попытаться постичь внутреннюю
логику процесса от его предтеч до его апогея.
Одним из таких уникальных и поразительных феноменов яв-
ляется эпопея зарождения, возвышения и расцвета российского-
советского математического образования, которое по праву при-
знается всеми как одно из лучших в мире, и отечественной ма-
тематической школы, выдающиеся достижения которой общеиз-
вестны и бесспорны.
Развитию нашего математического образования посвящен
целый ряд интересных и серьезных работ, появившихся в по-
следние несколько десятилетий и выполненных как историками
науки, так и известными учеными-математиками. Написанные в
различном стиле, с разными целевыми установками, эти иссле-
дования подробно освещают отдельные стороны и этапы фор-
мирования отечественного математического образования. При
этом дореволюционные времена изучались относительно слабо,
поскольку главное внимание было принято уделять советскому
периоду, кстати, богатому педагогическими нововведениями и
методическими находками.
5
Предлагаемая вниманию читателей книга — результат мно-
голетнего кропотливого труда профессора Ростовского государ-
ственного педагогического университета Татьяны Сергеевны
Поляковой, видного специалиста по истории, содержанию и ме-
тодике математического образовния. В итоге мы получили пио-
нерскую и весьма удачную фундаментальную монографию, где
представлено систематическое и всестороннее изложение двух-
вековой (от начала XVIII до 10-х годов XX века) исторической
панорамы математического образования в Российской империи.
Однако в этой книге не просто описаны основные события
и факты, названы люди и констатирован их вклад, перечисле-
ны успехи и неудачи в досоветской истории математического
образования. Особенно ценно то, что здесь содержится обсто-
ятельный научный анализ исторического процесса, выделены и
детально охарактеризованы ключевые факторы, позволившие за
относительно короткий временной период преодолеть колоссаль-
ный разрыв в европейском и российском уровнях математическо-
го образования начала XVIII века и обеспечить его эффективное
функционирование в России в XX веке.
К этим факторам автор монографии с полным основанием
относит прежде всего традицию патроната математического об-
разования со стороны государства. Важным фактором являлся и
характерный для всех наших крупных математиков постоянный
и активный, просто органичный интерес к математическому об-
разованию, в том числе и школьному. Как одну из бесспорных
положительных сторон книги следует расценивать большое вни-
мание, уделенное анализу роли личности в истории отечествен-
ного математического образования. Диапазон этих личностей ог-
ромен — от самодержцев Петра I, Александра I и великих мате-
матиков Л. Эйлера, Н. Лобачевского до малоизвестных сегодня
авторов школьных учебников.
От всей души с замечательной книгой хочется поздра-
вить автора Т. С. Полякову, выполнившую блестящее научное
исследование, и всех ее коллег по Ростовскому педагогическо-
му университету, прежде всего — ректора, академика РАО
А. А. Грекова, — поддерживавших творческий поиск и способ-
ствовавших его успешному завершению.
Монография Т. С. Поляковой выходит в свет в преддверии
славного 250-летнего юбилея МГУ. Приятно выразить автору
искреннюю признательность за то, что она особо подчеркнула
эту замечательную дату своим посвящением, а в специальном
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
очерке подробно остановилась на роли Московского университе-
та в становлении математического образования школьного уров-
ня в России. В самой книге внимательно и всесторонне просле-
живается методическое и организационное влияние Московского
университета на повышение уровня и формирование содержания
преподавания математики в школе, его исключительный вклад
в формирование ‘ научных, преподавательских и учительских
кадров.
О формировании преподавательских кадров в МГУ стоит
сказать чуть подробнее. Подготовка высокообразованных в на-
учном отношении выпускников и к педагогической деятельности
всегда была традиционной для Московского университета. Лишь
в 60-х годах прошлого века по ряду причин (как объективных,
так и субъективных) эта традиция на некоторых факультетах
прекратилась. Однако в 90-е годы стало актуальным эффектив-
ное осуществление системообразующей функции вуза — воспи-
тание квалифицированных кадров для средней и высшей школы.
В 1997 г. по инициативе ректора МГУ академика В. А. Садо-
вничего организуется факультет педагогического образования,
призванный, параллельно научному, давать студентам и аспи-
рантам необходимое образование для получения педагогических
квалификаций «Преподаватель» и «Преподаватель высшей шко-
лы». Тем самым была восстановлена одна из старейших наших
традиций — неразрывное единство научной и педагогической
компонент классического университетского образования. Без-
условно, это послужит дальнейшему прогрессу среднего и выс-
шего образования в стране.
В заключение — несколько слов не о научном, а о прагма-
тическом значении книги.
Российское школьное, в том числе и математическое обра-
зование регулярно переживает разнообразные преобразования,
модернизации, реформы. В целом это неизбежно и естественно.
Жизнь идет вперед, по своим законам развивается и обществен-
ное сознание, а потому изменяется понимание целей образования
и образовательных стандартов, пересматриваются содержание и
объем программ, издаются новые и исчезают привычные учеб-
ники, растет профессиональный уровень педагогов, появляются
более совершенные образовательные технологии. Приходят мо-
лодые учителя и, как ни печально, уходят любимые пожилые...
Предисловие научного редактора 7
Но успех любой перестройки образования будет гарантиро-
ван лишь тогда, когда предлагаемые нововведения не просто
слепо следуют за сиюминутной конъюнктурой реалий момента,
а в максимальной степени учитывают уже накопленный опыт
и сложившиеся традиции. Вот почему любому деятелю образо-
вательной системы просто необходимо хорошо знать историю
отечественного образования, высоко ценить все лучшее, что бы-
ло достигнуто, и правильно понимать причины прошлых неудач.
И именно поэтому нет сомнений, что книга Т. С. Поляковой,
посвященная, казалось бы, академическому изучению событий
давно минувших лет истории образования, будет исключительно
актуальной сегодня при практическом решении его современных
конкретных проблем и послужит действенным помощником при
планировании стратегии его будущего развития.
Н. X. Розов
декан факультета
педагогического образования МГУ
Москва
январь 2002 г.
Предисловие автора
Одной из несомненных общенациональных ценностей наше-
го народа является отечественное математическое образование,
которое имеет уникальную историю, характеризующуюся пора-
зительным динамизмом.
В начале XVIII в. в области математического образования
Россия отставала от развитых стран Европы практически на
полтысячелетия, однако уже к концу XIX в. математическое об-
разование в нашей стране отвечало европейским стандартам,
вошло на равных правах в международную классическую систе-
му школьного математического образования. В середине XX в.
«эффект спутника» напрямую связывают с качеством советской
модели образования, прежде всего естественно-математического.
В конце же XX столетия высококвалифицированные отечествен-
ные математики заполнили образовательные и научные учреж-
дения промышленно развитых стран мира. И этим фрагментом
монументальной, пр определению Ф. Ницше*, истории России
мы не вправе пренебрегать.
Поразительно, но несмотря на значительное количество пуб-
ликаций по этой проблеме** целостная, систематически изло-
женная история отечественного математического образования до
сих пор не создана***. Настоящая книга и призвана в основном
* Ницше различает три рода истории — монументальную, описы-
вающую «все великое для создания столь же великого»; антикварную,
которая отражает «благоговейное» отношение к прошлому, его кон-
сервацию даже в мелком, ограниченном; критическую, т. е. «судящую
и осуждающую» [199, с. 131].
** Анализ этих публикаций представлен в нашей книге [238, с. 3-11].
*** фундаментальное исследование посвящено лишь советской эпохе
отечественного математического образования [126].
9
решить задачу обобщения и систематизации истории математи-
ческого образования эпохи Российской империи.
Почему наше внимание привлекает именно эта эпоха? От-
вет прост: в самом ее начале математическое образование в Рос-
сии практически отсутствовало*, в то время как к завершению
этой эпохи в стране была создана модель образования, которую
мы называем российской моделью международной классической
системы математического образования. При всех дальнейших
реформациях мы вновь возвращались к этой испытанной ве-
ками системе, лишь в той или иной степени осовременивая ее.
Так, в 1931 г. после начавшегося с 1918 г. поиска (в основном не-
удачного) новых моделей произошла реставрация отечественных
традиций, была создана советская модель классической системы
математического образования, в основе которой лежал ее рос-
сийский прообраз. После радикальной реформы математическо-
го образования 60-70-х гг. XX в. в математическом сообществе
стали раздаваться призывы «Назад, к Киселеву!», которые бы-
ли реализованы в новых программах и комплектах учебников,
во многом возвращающих школу к классическим образцам.
Систематичность изложения требует следования логике ос-
новных этапов истории отечественного математического обра-
зования. Они выделены нами в ранее опубликованной книге, где
охарактеризован первый этап этой истории — этап зарождения
отечественного математического образования [238, с. 13-79].
Первая часть предлагаемой вашему вниманию работы по-
священа второму этапу истории математического образования
— этапу становления, который охватывает все XVIII столетие,
начинаясь с указа Петра I об основании Математико-навигацкой
школы (1701) и, в основном, заканчиваясь с учреждением минис-
терства народного просвещения, воспитания юношества й рас-
пространения наук (1802). Одной из характерных особенностей
этого этапа развития отечественного математического образо-
вания является его нерасчлененность на содержательные и воз-
растные ступени. Поэтому здесь по существу описана история
* Вернее, носило латентный характер, проявляясь лишь в редких
сохранившихся письменных источниках, иногда только косвенно под-
тверждающих наличие математического образования в этот времен-
ной период. Никакой информации о его персоналиях, институтах и
др., к сожалению, не сохранилось (см. подробнее в нашей книге [238,
18-79].)
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
развития прообразов всех уровней математического образования
— высшего, среднего и начального.
Созданное в 1802 г. министерство разработало план ре-
формирования государственной образовательной системы Рос-
сии, определив в 1803 г. четыре рода государственных образова-
тельных учреждений: приходские, уездные, губернские учили-
ща (гимназии) и университеты, уставы которых были приняты
в 1804 г. Устав университетов закрепил их ведущую научно-
методическую роль в учебных округах, сделав все остальные
учебные заведения подведомственными университетам. Именно
в 1804 г. отечественное математическое образование, ранее, как
мы уже говорили, по сути нерасчлененное на содержательные и
возрастные ступени, делится на три уровня: высший (универси-
тетское математическое образование), средний (гимназическое
математическое образование) и начальный (математическое об-
разование уездных и приходских училищ). Несмотря на то что
эти уровни достаточно жестко связаны принципом преемствен-
ности единой государственной системы, отныне у каждого из них
своя судьба, свои закономерности и этапы развития, а значит, и
своя история.
Во второй части книги мы предприняли попытку изло-
жить историю развития среднего (гимназического) математи-
ческого образования в Российской империи XIX-начала XX в. О
некоторых особенностях развития других его ступеней, а также
истории подготовки учителей математики мы будем упоминать
только в силу необходимости, сосредоточив свое внимание имен-
но на гимназическом математическом образовании. В этой части
охарактеризованы третий и четвертый этапы истории отечест-
венного математического образования — этапы создания рос-
сийской модели международной классической системы матема-
тического образования среднего уровня (1804г.-90-е гг. XIX в.)
и движения за ее реформирование (конец XIX-начало XXв.).
Внутренняя структура первых двух частей книги опре-
деляется необходимостью оптимального соотношения между
институционально-событийным, идейно-материальным и персо-
налистическим компонентами. Суть каждого из компонентов и
механизм определения этого соотношения описаны нами во вве-
дении к уже упоминавшейся книге [238, с. 17]. Мы старались со-
хранить этот механизм и в настоящей книге.
Предисловие автора 11
В соответствии с этим каждый крупный раздел включает
в качестве первого подраздела институционально-событийный
аспект, характеризующий институты математического образо-
вания и факты, события и явления, в нем происходящие. Здесь
же анализируются идейно-материальный и персоналистический
аспекты истории математического образования, чем достигает-
ся целостность изложения. Во вторых подразделах, как правило,
детально характеризуется учебная и методическая литература,
т.е. доминирует идейно-материальная сторона.
Особое внимание в книге уделено персоналистическому ком-
поненту в силу того, что именно персоналии осуществляют вза-
имосвязь развития математического образования с развитием
всего государства и математики как науки. Поэтому этот компо-
нент широко присутствует в первом разделе, но превалирующим
является в заключительной, третьей части книги, где пред-
ставлены достаточно подробные биографические сведения о вы-
дающихся педагогах-математиках. Отбор персоналий осущест-
влялся соразмерно вкладу реальных лиц в отечественное мате-
матическое образование, однако элемент субъективизма здесь не
исключается.
К сожалению, влияние Московского университета на мате-
матическое образование среднего уровня недостаточно исследо-
вано. В преддверии 250-летнего юбилея признанного эталонным
научного и образовательного центра страны автор взял на себя
почетную обязанность наметить абрис такого рода исследова-
ния, поместив в начале книги юбилейную статью.
Без влияния Московского университета не могла бы состо-
яться и эта книга. Автор выражает искреннюю признатель-
ность профессорам Московского университета С. С. Демидову
и Н.Х. Розову, чьи ценные советы, замечания и пожелания су-
щественно повлияли на качество работы, а их постоянное доб-
рожелательное участие в судьбе книги провинциального авто-
ра помогло ей дойти до читателя всей России. Хочется отме-
тить и поддержку факультета педагогического образования, за
короткий период своего существования наладившего эффектив-
ные связи с педвузами страны и математическим образованием
среднего уровня.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
Автор не претендует на исчерпывающую полноту описа-
ния истории математического образования Российской империи.
Очень многое еще не изучено или забыто. История отечественно-
го математического образования — молодая, пограничная (меж-
ду историей математики, историей образования и отечествоведе-
нием) область истории. Автор только выражает надежду, что у
него найдутся последователи, которые приложат усилия к даль-
нейшему развитию этой молодой науки.
И последнее. Мы не ставили перед собой задачу поиска но-
вых фактов, сосредоточив усилия на обобщении и системати-
зации уже опубликованного материала. Поэтому считаем своим
безусловным и приятным долгом выразить огромную призна-
тельность предшествующим поколениям исследователей, зани-
мавшихся изучением отдельных граней истории отечественного
математического образования. Только благодаря их неустанно-
му подвижническому труду стало возможным написание этой
книги.
Т. С. Полякова
Ростов-на-Дону
декабрь 2001 г.
Московский университет
и развитие отечественного
гимназического математического
образования
в Российской империи
Первым центром математического образования в России
была Москва. Именно здесь 300 лет назад по указу Петра I
от 14 января 1701г. было открыто первое в стране светское
государственное учебное заведение — знаменитая Московская
математико-навиганкая школа, создан не менее знаменитый пер-
вый отечественный печатный учебник математики «Арифмети-
ка» Леонтия Филипповича Магницкого. Именно из Москвы в
1714 г. в крупные губернские города России для организации
цифирных школ были посланы первые русские учителя мате-
матики, которые были выпускниками Математико-навигацкой
школы. Глубоко символично, что первыми светскими государст-
венными школами страны были школы с доминантным матема-
тическим образованием, что явствует даже из их исторических
названий. Петр Великий был первым из правителей России, ге-
ниально осознавшим, что образование вообще, а математическое
образование в первую очередь, является приоритетным ресурсом
эффективного реформирования России.
С переводом в 1715 г. навигацких классов Математико-
навигацкой школы в С.-Петербург и образованием на их базе
Морской академии центр математического образования посте-
пенно перемещается во вновь созданную столицу, где были от-
крыты военные и технические школы с доминантным математи-
ческим образованием, издавалась научная и учебная литература.
Динамичное развитие математика и математическое обра-
зование получили в связи с открытием С.-Петербургской Ака-
демии наук, подбор академиков-математиков в которую с са-
мого начала оказался чрезвычайно удачным. Особенно мощный
импульс развитию математики и математического образования
сумел придать великий Леонард Эйлер, который много сил и
Ц ПРЕДИСЛОВИЕ
времени отдал преподавательской и даже чисто методической
деятельности и которого мы считаем основоположником первой
в стране методической школы.
Специфической особенностью С.-Петербургской АН в отли-
чие от европейских аналогов явилось не только то, что она на-
ходилась на государственном финансировании, но и то, что она
объединяла исследовательские и учебные функции — при акаде-
мии были открыты университет и гимназия. Однако функцио-
нировали они не очень успешно, иногда практически прекращая
свою деятельность в силу плохого финансирования и отсутствия
у молодежи того времени стимулов к получению фундаменталь-
ного образования. Наиболее успешные годы работы этих учеб-
ных заведений были связаны с руководством М. В. Ломоносова,
одной из наиболее плодотворных инициатив которого в образо-
вательной сфере было открытие университета в Москве.
Дело в том, что все попытки создания общеобразователь-
ных учебных заведений в Петербурге были неудачными [34,
с. 383]. «Золотая молодежь» предпочитала получать образова-
ние в военно-учебных заведениях или поступать прямо на служ-
бу в государственные, благо при этом не требовалось никаких
подтверждений образовательного ценза (впрочем, он и не уста-
навливался), достаточного для соответствующего чина. Иначе
обстояло дело в Москве, где существовала значительная потреб-
ность в образовании, о чем свидетельствовало «великое число
домашних учителей, содержимых помещиками в Москве» [34,
с. 383]. Учреждение в 1755 г. Московского университета вновь
открыло перед Москвой перспективы развития в ней матема-
тики и математического образования.
Около полувека (до 1804 г.) математика в Московском уни-
верситете была вспомогательным предметом, как и в других
высших учебных заведениях, здесь отсутствовал математичес-
кий факультет или отделение. Однако математическое образова-
ние набирало силу и постепенно стало выступать в качестве эта-
лонного образца отечественной, а в дальнейшем и мировой мо-
дели университетского математического образования, каковым
остается и поныне. Развитию математики и математического
образования в Московском университете посвящены серьезные
историко-математические и историко-биографические исследо-
вания, среди которых выделяются публикации в самом авто-
ритетном отечественном историко-математическом издании,—
серии «Историко-математические исследования».
Московский университет и гимназическое образование_____ 15
В I выпуске серии (1948) первый из двух отделов пол-
ностью посвящен истории математики в Московском универ-
ситете со времени его учреждения до Великой Отечествен-
ной войны. Это работа П. С. Александрова, Б. В. Гнеденко и
В. В. Степанова «Математика в Московском университете в
XX в. (до 1940 г.)», солидный труд А. П. Юшкевича «Матема-
тика в Московском университете за первые сто лет его су-
ществования», наконец, статья известнейшего биографа выдаю-
щихся отечественных математиков-педагогов В. Е. Прудникова
«П. Л. Чебышев и Московский университет 40-х годов XIX в.».
VIII выпуск «Историко-математических исследований»
(1955) предваряется посвящением 200-летию Московского уни-
верситета, включает солидный (более 500 страниц) раздел
«Математика и механика в Московском университете». Он
содержит фундаментальное исследование И. И. Лихолетова и
С. А. Яновской «Из истории преподавания математики в Мос-
ковском университете (1804-1860)» и работу П. С. Александрова
«Математика в Московском университете в первой половине
XX в.».
Из солидных публикаций, освещающих историю математи-
ки и математического образования в Московском университете,
укажем также книгу «Математическая наука в МГУ» (1980), в
которой кроме развития в МГУ математики как науки освеща-
ются и отдельные проблемы истории математического образо-
вания в Московском университете.
Что касается влияния Московского университета на мате-
матическое образование начального и среднего уровня (школь-
ного), то публикации, специально посвященные этой проблеме,
автору неизвестны. Факты же говорят о том, что это влияние,
начиная практически со времени его основания, было несомнен-
ным и плодотворным.
Влияние Московского университета на школьное математи-
ческое образование выразилось прежде всего в открытии при нем
гимназии. Это было требованием М. В. Ломоносова, считавше-
го, что университет без гимназии как «пашня без семян» [169,
с. 514]. На самом деле было открыто даже две гимназии — для
детей дворян и для разночинцев. В утвержденном Елизаветой
Петровной проекте об учреждении университета это обосновы-
вается следующим образом: «понеже в Москве таких.. .школ не
находится, где бы молодые люди к вышним наукам надлежащим
образом приготовлены... быть могли... указать, чтоб при Мос-
16 ПРЕДИСЛОВИЕ
ковском университете под его ведомством учредить две гимназии
— одну для дворян, а другую для разночинцев, кроме крепост-
ных людей» [34, с. 383].
Если не считать неудачного опыта работы гимназии при Пе-
тербургской АН, это были практически первые отечественные
гимназии, которые положили начало математическому образо-
ванию среднего уровня. И, самое главное, гимназия при Москов-
ском университете в отличие от петербургской имела большой
успех. По всей видимости этот успех объясняется в основном
тем, что она освобождала небогатых дворян от необходимос-
ти нанимать для обучения детей дорогих и к тому же часто
неподготовленных иностранных гувернеров. Причем интерес к
гимназическому образованию в Москве был стабильно высоким:
в первый же год в гимназии записалось несколько сотен уче-
ников, в 70-х гг. в них обучалось уже около 1 тыс., а к концу
XVIII в. — более 3 тыс. мальчиков.
26 апреля 1755 г. начались занятия в обеих гимназиях. Они
имели одного ректора, но раздельное обучение до последнего,
«ректорского» класса — в нем учеников объединяли для подго-
товки к поступлению в университет. Становясь студентом, гим-
назист получал «шпагу и с ней дворянское достоинство, кончая
университет, студент выходил из него с обер-офицерским чи-
ном» [34, с. 383], что стимулировало разночинцев к получению
гимназического и университетского образования.
Гимназическое образование в Москве в это время носило
ярко выраженный гуманитарный характер, что следует даже
из названий трех из четырех школ, которые составляли гимна-
зию: первая школа — русская, вторая — латинская и четвертая
— школа новых европейских языков. Третья школа называлась
школой оснований наук. Объем математического образования в
гимназиях при Московском университете был невелик. В рус-
ской школе математика не изучалась, в нижнем классе латин-
ской школы изучались 4 арифметических действия (дважды в
неделю по 4 часа). В школе оснований наук дети знакомились с
дробями, а также с элементами геометрии и алгебры (по 4 часа
в неделю). Наконец, в школе новых европейских языков продол-
жалось изучение арифметики, алгебры и геометрии (по 4 часа в
неделю). В 90-е гг. было добавлено обучение началам алгебры и
тригонометрии.
Локальная образовательная система при Московском уни-
верситете активно развивалась. В 1779 г. был создан так назы-
Московский университет и гимназическое образование______17
ваемый Благородный пансион, который отличался от гимназий
тем, что в центре его внимания были «не гуманитарные, а «ре-
альные» науки» [128, с. 357]. Уровень преподавания математики
в этом учебном заведении был значительно выше, чем в гимна-
зиях.
Итак, влияние Московского университета на школьное ма-
тематическое образование в первые десятилетия его функциони-
рования осуществлялось, во-первых, через обучение математике
тысяч юношей в созданной в это время локальной гимназичес-
кой образовательной системе, включающей две гимназии и Бла-
городный пансион.
Во-вторых, влияние Московского университета на разви-
тие во второй половине XVIII в. математического образования
проявилось в создании под его патронатом гимназий в губернс-
ких городах. В 1758 г. для пополнения университета студентами
была открыта двойная гимназия в Казани, из которой вышли
впоследствии такие знаменитые наши соотечественники, как
Г. Р. Державин, С. Т. Аксаков, Н. И. Лобачевский. Не здесь ли,
кстати, истоки бурного развития математики в Казанском уни-
верситете в начале XIX в.? После создания Благородного панси-
она по его образцу создаются небольшие дворянские гимназии в
Нижнем Новгороде, Твери, Рязани, Курске, Великом Новгороде
и других губернских городах. В течение всего XVIII в. созданная
таким образом первая отечественная гимназическая образова-
тельная система находилась под наблюдением и покровитель-
ством Московского университета, который снабжал гимназии
преподавателями, учебниками, в отдельных случаях и денеж-
ными средствами.
В-третьих, существенное влияние Московского университе-
та на развитие отечественного математического образования за-
ключалось в активной подготовке педагогических кадров. В кон-
це 60-х гг. XVIII в. среди его студентов имелись «гимназические
информаторы» [27, с. 46], для которых читались специальные
курсы лекций. Их готовили к педагогической работе. Спустя
десятилетие при университете была создана педагогическая се-
минария, в 90-х гг. называвшаяся учительской. В ней наряду
со специальными, предметами изучались «наставления педаго-
гические и методические». Требования к квалификации препо-
давателей математики были не очень высокими: арифметика,
геометрия, плоская тригонометрия, элементы алгебры составля-
ли содержание математического образования в течение второй
18 ПРЕДИСЛОВИЕ
половины XVIII в. Несмотря на то что специальная подготов-
ка математиков Московским университетом не велась, в учи-
тельской семинарии готовились преподаватели математики для
самого университета, его гимназий, впоследствии для гимнази-
ческого образования вообще.
Среди воспитанников университета были известные в свое
время преподаватели математики первых гимназий и дру-
гих учебных заведений С. Лобанов, И. Федоров, А. Любинский,
А. Рогов, Г. Карташевский, автор нескольких учебников мате-
матики магистр А. Барсов и др. [27, с. 46]. Они содействовали
распространению в России математического просвещения педа-
гогической деятельностью в Москве и других городах, своими
учебниками, речами, переводами. Так, Г. Карташевский, рабо-
тавший в Казанской гимназии, был одним из первых учителей
математики Н.И. Лобачевского. Он настолько удачно поставил
там преподавание математики, что приехавший в 1808 г. в Ка-
занский университет на должность заведующего кафедрой ма-
тематики ученый европейской известности, бывший в молодые
годы учителем Гаусса, М. Ф. Бартельс был поражен высоким
уровнем подготовки студентов, перешедших в университет из
гимназии.
Итак, за первые 50 лет своего существования Московский
университет оказал существеннейшее влияние на развитие оте-
чественного гимназического образования, в том числе математи-
ческого. Его усилиями создана первая в стране активно действу-
ющая гимназическая образовательная система, включающая две
гимназии и Благородный пансион при Московском университете,
а также созданные и патронируемые им две гимназии в Казани и
сеть благородных пансионов в губернских городах России. Мос-
ковский университет готовил для этой системы преподавателей,
снабжал гимназии учебниками и даже денежными средствами.
Кроме того, с 60-х гг. XVIII в. начинается работа по соз-
данию преподавателями Московского университета учебников
математики на русском языке не только для нужд само-
го университета, но и для «распространения просвещения в
народе» [159, с. 138]. Первые учебники математики на рус-
ском языке были созданы преподавателем математики универ-
ситета Д.Д. Аничковым. Это учебник арифметики «Теорети-
ческая и практическая арифметика в пользу и употребление
юношества...», учебник геометрии «Теоретическая и практи-
ческая геометрия, в пользу и употребление не токмо юношест-
Московский университет и гимназическое образование_____19
ва, но и тех, кои упражняются в землемерии, фортификации
и артиллерии...», аналогично озаглавленный учебник тригоно-
метрии, а также учебник алгебры «Начальные основания алгеб-
ры или арифметики литеральной, служащие для удобнейшего
и скорейшего вычисления как арифметических, так и геомет-
рических задач, в пользу и употребление российского юношест-
ва, упражняющегося в математических науках...». В основном
тексте книги дается подробный анализ этих учебников, неодно-
кратно переиздававшихся в течение сорока лет.
Новый этап патроната Московским университетом школь-
ного математического образования начинается в начале XIX в.
Взошедший на престол Александр I основным принципом своей
образовательной политики считает продолжение начатого Пет-
ром I и Екатериной II дела, заключающегося в том, чтобы «про-
светить народ, образовать Россию*...» В 1804г. опубликован
«Устав учебных заведений, подведомственных университетам.,
в которых регламентировалась деятельность всех типов училищ
— приходских, уездных и губернских (гимназий) под руководст-
вом университетов.
Приведем краткие извлечения из последнего документа, ха-
рактеризующие функции университетов в руководстве ими учи-
лищами всех типов.
«1. Учебные заведения, подведомые университетам, суть:
гимназии, уездные, приходские и другие, под каким бы то ни
было названием училища и пансионы, находящиеся в губерни-
ях, к каждому университету причисленные...
10. Все учители гимназий определяются тем университетом,
в округе коего состоит гимназия, по представлениям директора
или и непосредственно...
11. В гимназии, сверх обыкновенного преподавания наук,
приготовляются к учительской должности, .. .они испытуются в
знаниях своих; после чего с ведома университета, за подписани-
ем директора и учителей, получают свидетельства... потребные
учителям училищ...
64. Директор гимназии избирается университетом того
округа, к которому оная принадлежит...
* Из «Исторического похвального слова Екатерине II» Карамзина,
опубликованного в первые же месяцы после смерти Павла I и счита-
ющегося своеобразной программой преобразований Александра. Цит.
по: [317, с. 200].
20 ПРЕДИСЛОВИЕ
66. Директор непосредственно зависит от университета, в
который обо всех училищных делах представляет во всякое
время...
68. По делам училищным, требующим пособия земского пра-
вительства, .. .директор относится к губернатору, донося о том
университету...» [317, с. 215-216].
Даже в частных учебных заведениях «содержатели и учи-
тели пансионов обязаны учить вообще по тому расположению
часов, которое по представленному от них плану университетом
утверждено... [317, с. 234-235].
Итак, на университет возлагались обязанности по подготов-
ке и подбору руководящих и преподавательских кадров всех ви-
дов учебных заведений начала XIX в.
Таким образом, те функции, которые добровольно, в иници-
ативном порядке взял на себя еще во второй половине XVIII в.
Московский университет, в начале XIX в. официально возложены
государством на российские университеты. Заметим, что добро-
вольные функции Московского университета были даже шире,
включая методическое, материальное и даже частично финан-
совое обеспечение курируемых учебных заведений. Более того,
университеты, кроме Московского, Виленского и Дерптского,
еще только предстояло создать. Пока Казанский, Харьковский
и значительно позже Петербургский университеты пережива-
ли период организации, Московский университет с уже накоп-
ленным богатым опытом патронирования целой сети гимназий
включился в руководство всеми учебными заведениями Москов-
ского учебного округа.
Однако физико-математический факультет Московского
университета в первой четверти XIX в. переживал естествен-
ные трудности организации и роста, осложненные не очень удач-
ным кадровым составом преподавателей математики. По оцен-
ке И. И. Лихолетова и С. А. Яновской [159, с. 187-190], которые
сравнили преподавательские кадры и уровень преподавания ма-
тематики в Казанском, Харьковском и Московском универси-
тетах, это сравнение было не в пользу последнего. Из переч-
ня преподаваемых математических дисциплин, количества от-
водимых на них часов, сопоставления учебных руководств они
делают заключение, что уровень преподавания математики «в
Московском университете был ниже, чем в Казанском». Кроме
того, в последнем уже работали Н. И. Лобачевский и такие «ква-
лифицированные преподаватели математики, как Бартельс (до
Московский университет и гимназическое образование_____21
1820 г.) и Брашман (с 1825г.), тогда как Московский универси-
тет в этот период был еще чрезвычайно беден кадрами в области
математических наук» [159, с. 190]. Уровень преподавания мате-
матики в Московском университете был ниже и по сравнению с
Харьковским университетом, в котором в то время замечатель-
ный педагог Т. Ф. Осиповский был избран ректором, преподавал
математику и создал хороший учебник «Курс математики».
Во многом трудности Московского университета в целом и
физико-математического факультета этого времени были обу-
словлены последствиями Отечественной войны 1812 г., когда
сгорели практически все его помещения, в том числе библио-
тека. Восстановить нормальное функционирование факультета
удалось лишь к 20-м годам. Постепенно укреплялись и кадры
преподавателей математики. На смену «нетрудоспособному уже
профессору П. Суворову» [159, с. 159], который кроме элементар-
ной математики и некоторых сведений о конических сечениях
ничего не мог сообщить своим слушателям, пришел несколько
лучше подготовленный Т.Н. Перелогов, позже достаточно ква-
лифицированный П.С. Щепкин и особенно Д.М. Перевощиков,
Н. Д. Брашман и Н. Е. Зернов — «люди уже совсем другого на-
учного и педагогического уровня» [159, с. 194].
Деятельность русского математика и астронома, декана от-
деления математики (1833-1848) и ректора (1848-1851) Москов-
ского университета Д.М. Перевощикова уже не ограничивалась
решением основной задачи факультета — повышением уровня
преподавания математических дисциплин, но включала в се-
бя и заботу о математическом просвещении русского народа, в
том числе о математическом образовании гимназического уров-
ня. Он опубликовал для средней школы учебники: «Арифметика
для начинающих» (1820), «Гимназический курс чистой матема-
тики» (1838), «Основания алгебры» (1854). Два последних бы-
ли рекомендованы ученым комитетом министерства народного
просвещения в качестве учебных пособий для гимназий. Кро-
ме того, Д.М. Перевощиков уделял внимание средней школе и
будучи членом училищного комитета при министерстве народ-
ного просвещения с 1827 по 1829 г. В 1834 г. он был назначен
инспектором над частными учебными заведениями Москвы, а в
следующем году ревизовал учебные заведения Костромской гу-
бернии [132, с. 77].
Когда он был ректором Московского университета, нередко
можно было видеть его на экзаменах в 1-й Московской гимназии,
22 ПРЕДИСЛОВИЕ
воспитанники которой долгое время учились по его «Гимнази-
ческому курсу чистой математики» [251, с. 189]. Особую же славу
Перевощикову доставляет его «Ручная математическая энцикло-
педия в 13 томиках», первые 4 которой посвящены элементар-
ной математике. Она была написана с большим педагогическим
и методическим мастерством. По «Ручной математической эн-
циклопедии» «в свое время училась математике молодежь почти
всей России» [251, с. 198]. В частности, М. Ю. Лермонтов изучал
по этой книге математику в Благородном университетском пан-
сионе и школе гвардейских прапорщиков [132, с. 76]. Это издание
доставило Д.М. Перевощикову огромную популярность. Высо-
кие достоинства «Ручной математической энциклопедии» оце-
нил даже Н. В. Гоголь, не любивший и не знавший математики.
«Не знаю, как воздать хвалу этому образцовому сочинению, —
писал он из Нежина, — я, только читая ее, понял все то, что
мне казалось темным, неудовлетворительным, когда проходил
математику... Здесь все изъяснено, все основано на умственном
созерцании, но так просто, так легко, ясно изложено, что дитя
в состоянии понимать его*».
Нельзя не отметить сложившуюся у Перевощикова ориги-
нальную систему требований к учебникам математики, которая
подробно рассмотрена нами в основном тексте книги, как и его
«Гимназический курс чистой математики».
Н.Д. Брашман перешел в 1834 г. из Казанского в Москов-
ский университет при «несколько трудных для него обстоя-
тельствах**» и нашел поддержку у Д.М. Перевощикова, ко-
торый выполнял в это время обязанности декана отделения
математики. Его заслуги перед отечественным математичес-
ким образованием среднего уровня не так велики, как заслу-
ги последнего, но все же значительны. Прежде всего они со-
стоят в том, что Брашман был заботливым учителем выдаю-
щихся деятелей математического образования: П. Л. Чебышева,
О. И. Сомова, А. Ю. Давидова и других. Кроме того, он вел за-
нятия с будущими учителями математики в Педагогическом ин-
ституте, который функционировал до 60-х гг. при Московском
университете, а также исполнял должность инспектора част-
ных учебных заведений и женских училищ в Москве. Брашман
* Из письма Н. В. Гоголя П. П. Косаровскому от 13 сентября 1827 г.
[84, с. 109].
** См. подробнее: [251, с. 327-335].
Московский университет и гимназическое образование____23
был активнейшим из создателей в 1864 г. Московского кружка
любителей математических наук, который в 1867 г. официаль-
но утвержден как Московское математическое общество. Оно
вскоре стало издавать журнал «Математический сборник» —
первый «прочно установившийся орган математических знаний
в России» [251, с. 343], в котором публиковались не только ис-
следования научного характера, но также разнообразные статьи
по элементарной математике, предназначенные для учителей.
Профессор Московского университета, с 1834 г. заведующий
кафедрой чистой математики Н. Е. Зернов принадлежит к выда-
ющимся педагогам высшей школы и имеет несомненные заслу-
ги перед математическим образованием среднего уровня прежде
всего подготовкой преподавателей математики. Известный ма-
тематик Е. И. Золотарев говорил об этом так: «Многочислен-
ные ученики... сделавшиеся в свою очередь учителями, рассе-
яны по всей России, некоторые из них достигли вполне заслу-
женной славы*». Начинал же Н. Е. Зернов свою педагогическую
деятельность в 1827 г. учителем арифметики одного из лучших
средних учебных заведений того времени — Благородного пан-
сиона при Московском университете. В результате этой работы
им был опубликован учебник «Начальные основания арифмети-
ки» для учеников приготовительного класса. В этом учебнике
автор впервые сделал попытку значительно изменить началь-
ный курс арифметики не только по объему, но и по изложению.
Учебник Зернова — это практически сборник упражнений и за-
дач, которые подобраны и решены так, что ученику нетрудно
самому сделать заключение о том или ином правиле действий и
дать определения этим действиям.
Кроме того, Н. Е. Зернов достаточно долгое время был чле-
ном попечительского совета Московского учебного округа и в
этой должности оказывал влияние на постановку и методику
преподавания математики в начальных и средних школах окру-
га. Как члену попечительского совета Зернову была поручена
подготовка учителей математики на педагогических курсах, ко-
торые были открыты в начале 60-х гг. во всех университетских
городах России.
Несомненной заслугой перед отечественным математичес-
ким образованием является открытие в 1839 г. в Москве первой
* Цит по: [251, с. 359].
Ц ПРЕДИСЛОВИЕ
в стране «реальной» гимназии, которая называлась 3-й Москов-
ской реальной гимназией. Будучи самым крупным промышлен-
ным центром того времени, Москва остро нуждалась в кадрах
с усиленным естественно-научным и техническим образованием,
которое и давала вновь созданная гимназия. Это подчеркивалось
при ее открытии: гимназия должна была служить «как вообще
для удовлетворения усиливающейся потребности в образовании
юношества, так и в особенности для преподавания в Москве, в
сем центральном пункте внутренней промышленности, техни-
ческого курса наук*». Директором этой гимназии был назна-
чен выпускник математического отделения Московского уни-
верситета, первый наставник по математике П.Л. Чебышева,
замечательный методист-математик П. Н. Погорельский. Полу-
чив после окончания университета степень магистра физико-
математических наук, он с 1830 г. преподавал математические
курсы в Московском университете, слывя одновременно лучшим
частным преподавателем математики Москвы. За короткий срок
П.Н. Погорельский сделал гимназию во всех смыслах образцо-
вой как по обеспеченности учебниками, хорошо оборудованны-
ми кабинетами и лабораториями, так и по прекрасно подготов-
ленным педагогическим кадрам, которые он подбирал с особой
тщательностью. Преподавателей по техническим дисциплинам
Погорельский специально подготовил, отправив их на средст-
ва гимназии в Петербург и даже за границу. Преподавание всех
предметов велось в 3-й Московской гимназии на высоком уровне,
требовательность к ученикам была высокой. Особенно это каса-
лось математики, чему немало способствовало культивирование
директором гимназии методических совещаний, на которых об-
суждались разумные способы распределения материала, наибо-
лее удачные приемы его изложения и другие педагогические и
методические проблемы.
Когда же в 1841 г. в ведение Погорельского как директора
гимназии были переданы народные училища, он очень оператив-
но сумел существенно повысить в них уровень обучения. Это об-
ратило на себя внимание министра народного просвещения «и
заставило его потребовать, чтобы и все остальные школы были
устроены по образцу московских. [249, с. 188]. Для совершенст-
вования подготовки учителей народных училищ Погорельский
открыл при своей гимназии летние курсы, на которых сам чи-
тал методику арифметики.
* Цит по: [251, с. 389]
Московский университет и гимназическое образование___25
Славу выдающегося педагога Погорельский умножил сво-
ими учебниками математики. Не найдя учебника, соответство-
вавшего его взглядам и педагогическим требованиям, он в на-
чале 30-х гг. перевел «Курс чистой математики» Беллавеня, су-
щественным образом изменив оригинал. Учебник подробно оха-
рактеризован нами в основном тексте книги. Здесь же отметим
лишь, что он был чрезвычайно удачен, хорошо приспособлен к
гимназической программе, что обеспечило многочисленные пе-
реиздания и официальное признание: он был принят министер-
ством просвещения в качестве учебного руководства для гим-
назий. Особенно большую популярность получила «Алгебра»
Погорельского, которая представляла собой переработанные из-
влечения из «Курса» и отличалась краткостью в сочетании с
полнотой и общедоступностью изложения. До 60-х гг. она служи-
ла основным учебником алгебры для гимназий. П. Л. Чебышев,
будучи членом Ученого комитета министерства по математи-
ческим наукам и рекомендуя «Алгебру», говорил, что это самая
лучшая книга по алгебре из всех на русском языке, потому что
она «самая краткая».
Несмотря на то что с принятием нового устава университе-
тов 1835 г. официальные функции их руководства образованием
начального и среднего уровня существенно урезаны, уже сложив-
шиеся традиции его продолжаются. Особенно ярко это проявля-
ется в создании новых учебников математики. Можно утверж-
дать, что с 30-х гг. XIX в. начиная с учебников Погорельского и
Перевощикова доминирующие позиции в создании качественной
учебной математической литературы занимают выпускники и
преподаватели Московского университета, несмотря на то что
официальную поддержку все же проще было получить учебни-
кам математики столичных авторов.
Профессор Московского университета, декан физико-мате-
матического факультета, первый президент Московского мате-
матического общества, редактор «Математического сборника»
А.Ю. Давидов имеет значительные заслуги и перед математи-
ческим образованием среднего уровня. Он более 20 лет (1863-
1885) был постоянным членом попечительского совета Москов-
ского учебного округа, выполняя разнообразную организацион-
ную и методическую работу: участвовал в составлении про-
грамм по предметам гимназического курса, рекомендовал луч-
шие руководства и пособия к ним для фундаментальных биб-
лиотек, рецензировал опубликованные учебники, участвовал в
26 ПРЕДИСЛОВИЕ
просмотре письменных работ по математике при испытаниях
на аттестат зрелости учеников гимназий и реальных училищ,
вел обширную переписку с учителями математики.
Давидов создал комплект учебников по всем предметам кур-
са математики средней школы. Это «Элементарная геометрия
в объеме гимназического курса» (1864), «Начальная алгебра»
(1866), «Руководство к арифметике» (1870), «Геометрия для
уездных училищ» (1873), «Тригонометрия» (1877), «Собрание
геометрических задач» (1888). Учебники алгебры и геометрии
выдержали десятки переизданий и составили целую эпоху в раз-
витии отечественной учебной литературы по математике. В них
сочетается доказательность теории с богатыми приложениями.
Эти учебники по предложению Чебышева были одобрены Уче-
ным комитетом в качестве руководств для средних учебных за-
ведений. Краткий биографический очерк и характеристика наи-
более значимых его учебников представлены в основном тексте
книги.
Достаточную известность в 60-70-х гг. XIX в. получил учеб-
ник алгебры выпускника Московского университета и препода-
вателя математики Московского дворянского института, возник-
шего на базе Московского университетского Благородного панси-
она, О. И. Сомова. «Начальная алгебра» опубликована в 1860 г.
для нужд Морского корпуса, позже она была приспособлена к
гимназическому курсу, выдержала еще несколько изданий и бы-
ла хорошо принята методико-математическим сообществом.
Выпускник московской реальной гимназии и Московского
университета Александр Иванович Гольденберг известен как
выдающийся педагог-математик, нашедший в себе смелость пер-
вым противостоять так называемому «методу Грубе» изучения
начальной арифметики (подробно см. в основном тексте книги)
и его авторитетнейшим российским представителям. Их мето-
ду «изучения чисел» (в его терминологии «монографическому»)
он противопоставляет свой метод «изучения действий». В тече-
ние трех лет (1879-1882) Гольденберг издавал один из первых
журналов по элементарной математике «Математический лис-
ток». Он автор «Методики начальной арифметики» и «Сборника
задач и примеров для обучения начальной арифметике», кото-
рые оказали существенное влияние на перестройку преподава-
ния арифметики в начальной школе. Гольденберг составляет
четыре задачника для средних учебных заведений: для приго-
товительного класса, для первого класса, для второго класса и
Московский университет и гимназическое образование____27
дополнение для второго класса — десятичные дроби. Задачники
находят поддержку в учительской среде. Несмотря на то, что
официальные органы не очень приветствовали задачники Голь-
денберга, они расходились в сотнях тысяч экземпляров. Краткий
биографический очерк и характеристика его методической ’дея-
тельности представлены в основном тексте книги.
Выпускник 1-й Московской гимназии и Московского универ-
ситета, выдающийся педагог-математик А. Ф. Малинин сосре-
доточил свою педагогическую деятельность в Москве, работая в
качестве преподавателя 4-й Московской гимназии, а затем ди-
ректора Московского учительского института. А. Ф. Малинин
знаменит прежде всего как автор целой серии замечательных
учебников по элементарной математике, известных своими при-
знанными научными и методическими достоинствами: полнотой
содержания, ясностью и живостью изложения в соединении с до-
статочной строгостью. Всего А. Ф. Малинин, один и в соавторст-
ве с К. П. Бурениным, подготовил и опубликовал 15 руководств
по всем физико-математическим предметам, изучавшимся в гим-
назиях и других учебных заведениях. Наиболее распространен-
ными из них являются «Руководство к прямолинейной триго-
нометрии», «Руководство арифметики» и «Собрание арифмети-
ческих задач» (совместно с Бурениным), «Руководство алгеб-
ры и собрание алгебраических задач для гимназий» (совместно
с Бурениным). Некоторые из них переиздавались бесчисленное
количество раз и использовались вплоть до 60-х гг. XX в.
Знаменитым автором школьных учебников является и
Н. А. Шапошников, выпускник 4-й Московской гимназии (уче-
ник А. Ф. Малинина) и Московского университета (ученик
А. Ю. Давидова). После защиты магистерской диссертации Ша-
пошников преподает в Московском университете, затем пригла-
шается в Московское высшее техническое училище, где стано-
вится профессором. Уже в 25 лет он выпускает оригинальный
«Курс алгебры и собрания алгебраических задач». В 1880 г.
выходит «Курс прямолинейной тригонометрии и собрание три-
гонометрических задач», одобренный Комитетом министерства
народного просвещения и удостоенный премии Петра Велико-
го. Особенно оригинален и современен комплект учебников по
арифметике и алгебре: «Арифметика целых чисел» (1881), «Ос-
нования общей арифметики и алгебры» (1886), «Введение в ал-
гебру» (1887), «Краткое руководство арифметики, объединенной
с методикой и систематическим сборником типических задач для
28 ПРЕДИСЛОВИЕ
гимназии» (1888), «Учебник алгебры» (1890—1892), «Дополнение
элементарного курса математики и введение в высший мате-
матический анализ» (1892). Особенно большую методическую
ценность и широкую популярность получил написанный Ша-
пошниковым совместно с учителем Н.К. Вальцовым «Методи-
чески обработанный сборник алгебраических задач с текстом
общих объяснений и разнообразными практическими указани-
ями» (1887-1890). В 1891г. он одобрен Комитетом министерст-
ва, удостоен премии Петра Великого и переиздавался вплоть до
середины XX в.
Тем не менее ослабление традиций кадрового и методичес-
кого руководства университетами начальным и средним образо-
ванием в учебных округах, начавшись с нового устава 1835 г.,
во второй половине XIX в. усиливаются. Некоторая часть уни-
верситетской профессуры считает ниже своего достоинства за-
ниматься делами школы. Краткий очерк учебников математики
этого периода говорит о том, что менее всего это относится к
Московскому университету. Об этом же говорит активное учас-
тие профессоров и преподавателей Московского университета в
самом значимом событии в истории математического образова-
ния начала XX в. — I и II Всероссийских съездах преподавателей
математики.
В организационный комитет I съезда, состоявшегося на
«рождественских вакациях» 1911/12 уч. г. в Петербурге, вошел
профессор Московского университета и председатель Московско-
го математического кружка Б. К. Млодзеевский. Комитет обра-
тился с «просьбой взять на себя разработку и представление
докладов общего характера» [301, с.Х] к известным педагогам-
математикам, среди которых и приват-доцент Московского уни-
верситета В. В. Бобынин. Среди многочисленных приветствий
съезду представлены и приветствия созданного при Московском
университете Московского математического кружка и издава-
емого им журнала «Математическое образование» [301, с. 4-5],
первый номер которого вышел накануне съезда. Кроме доклада
Бобынина [301, с. 129—143] на съезде был прочитан доклад ре-
дактора этого журнала, профессора Московского университета
И. И. Чистякова «Элементы теории чисел в средней школе» [301,
с. 245-253]. Он же сделал доклад о деятельности Московского ма-
тематического кружка [301, с. 301-303].
Одна из заключительных резолюций посвящена созыву II
съезда в Москве. Съезд просит «Московский Математический
Московский университет и гимназическое образование_____29
Кружок, ввиду выраженной председателем и присутствующи-
ми его членами готовности организовать Второй Съезд» [301,
с. 571].
С торжественной речью на открытии в Москве 26 декаб-
ря 1913 г. II Всероссийского съезда преподавателей математики
выступил председатель его организационного комитета, выпуск-
ник и профессор Московского университета Б. К. Млодзеевский.
Обосновав значимость съезда для России особыми причинами —
«обширность страны, сравнительно слабое развитие городской
жизни и связанная с этими двумя условиями большая разъеди-
ненность культурных деятелей» [112, с.З], — он подчеркивает,
что «именно в последние десятилетия в математике сделаны та-
кие открытия, которые не только изменили коренным образом
наши воззрения по целому ряду основных вопросов, но и вызвали
в связи с этим коренной переворот в методике математики» [112,
с. 4]. К ним он относит роль интуиции при преподавании геомет-
рии, возможность более строгого изложения учения о величинах
и других основных отделов алгебры, необходимость введения в
среднюю школу основных понятий исчисления бесконечно ма-
лых, аналитической геометрии и теории вероятностей и очище-
ния программ от «накопившегося за прежнее время, устаревшего
и сделавшегося ненужным материала» [112, с. 4].
В адрес съезда пришла приветственная телеграмма рек-
тора Императорского Московского университета, от имени
физико-математического факультета приветствовал съезд его
декан профессор Л. К. Лахтин. Среди предлагавшихся участ-
никам съезда экскурсий есть и экскурсия в «Механический
кабинет и Кабинет Геометрических моделей Московского уни-
верситета», которая состоялась 1 января 1914 г. Осмотр со-
провождался объяснениями заведующего кабинетом профессо-
ра Н. Е. Жуковского, хранителя кабинета Б.М. Бубекина и
А. А. Волкова [112, с. 135 дневника съезда]. С содержательны-
ми докладами на съезде выступили сотрудники университета
Б. К. Млодзеевский, В. В. Бобынин и И. И. Чистяков. В заклю-
чительной речи Млодзеевский в качестве основной заслуги съез-
да указывает «призыв к освобождению преподавания науки от
рутины и формализма и к более тесному сближению школы с
наукою и с жизнью» [112, с. 166 дневника съезда].
Нельзя не остановиться специально на деятельности чрез-
вычайно значимого в контексте этой книги приват-доцента Мос-
ковского университета, уже упоминавшегося В. В. Бобынина. Он
30 ПРЕДИСЛОВИЕ
внес вклад в методику математики, первым выдвинув идею ис-
пользования элементов историзма в преподавании математики.
По этой проблематике Бобынин делал доклады на Всероссий-
ских съездах преподавателей математики. Более того, он явился
первым исследователем истории математического образования
и даже читал в Московском университете курс «История и со-
временное состояние преподавания математики» [19], явившись
в некоторой мере вдохновителем скромных трудов автора и, в
частности, создания предложенной вниманию читателя книги.
Прекрасные традиции активного влияния Московского уни-
верситета на математическое образование среднего уровня, за-
ложенные и удачно реализованные в ту эпоху его развития, кото-
рую мы называем эпохой Российской империи (со времен Петра I
до революции 1917г.), динамично и эффективно развивались
в советский период отечественной истории. Достаточно вспом-
нить реформу математического образования 60-70-х гг. XX в.,
вдохновителем и организатором которой был блестящий матема-
тик, академик АН СССР, выпускник и профессор Московского
университета А. Н. Колмогоров. Оппонентами же этой реформы,
когда выявились ее серьезные недостатки, стали также профес-
сора и выпускники Московского университета — академики АН
СССР Л. С. Понтрягин и А. Н. Тихонов. Под руководством по-
следнего создан авторский коллектив, состоящий также преиму-
щественно из профессоров Московского университета, подгото-
вивший серию альтернативных учебников математики, которые
действуют в отечественной средней школе и поныне.
Проблемы математического образования находятся в цент-
ре внимания ректора Московского университета академика РАН
В. А. Садовничего, доклад которого о настоящем и будущем ма-
тематического образования, сделанный в 2000 г. на Всероссий-
ской конференции в Дубне и размноженный на примитивных
ксероксах в десятках тысяч экземпляров, прочитан всеми, кто
заинтересованно следит за перспективами развития математи-
ческого образования.
Продолжаются и традиции подготовки учителей, для че-
го в Московском университете в 90-х гг. XX в. открыт первый
в стране университетский педагогический факультет. Деканом
его является известный математик, профессор Московского уни-
верситета Н. X. Розов, серьезно занимающийся проблемами оте-
чественного математического образования как с точки зрения
его содержания и методов, так и истории.
Московский университет и гимназическое образование____31
Традиции же, заложенные В. В. Бобыниным, были блестя-
ще развиты в трудах историка математики, выпускника и про-
фессора Московского университета А. П. Юшкевича, который
во всех своих фундаментальных работах по истории матема-
тики в России не обходил вниманием и историю отечественно-
го математического образования. Сейчас эти традиции продол-
жаются выпускником и профессором Московского университета
С. С. Демидовым, постоянно поддерживающим в том числе и ав-
тора настоящей книги в усилиях по созданию систематически
изложенной истории отечественного математического образова-
ния. Да и факт публикации первой книги по истории математи-
ческого образования в России в Издательстве МГУ говорит сам
за себя.
Влияние Московского университета на школьное матема-
тическое образование всегда было, есть и во все времена бу-
дет одним из важнейших факторов, определяющих динамичное
и эффективное развитие математического образования в нашей
стране. Автор не может не закончить констатацией того факта,
что в этой вступительной статье лишь намечены основные вехи
двухвековой истории влияния Московского университета на ма-
тематическое образование среднего уровня. Это лишь заметки,
заявка на глубокое исследование проблемы, которого безусловно
достоин Московский университет. Остается выразить надежду,
что проблема найдет своего заинтересованного исследователя.
ГО ПГГСии
История
математического
образования
в XVIII веке
ИЛИ Д^АТЫНДА .
*|т0 е<пч ZfUJHcriK* ;
Jt^AMrritA ИЛЙ « Г<ТЬ ^дож
wnnot ч мдоигтио* , икс&п «удое
«ШОГ0ЛОЛ>«*4|ШИ< 1 И МЯОГОртДЛжЬмКМ ч *
«мЬямир жг и ммАижнр • II
MUWNJ^CA 1ф*дй«и1нр А|1ДДИГ1КШ«« Ч Ijurtp-
ПИН04 Ч Н N'jAOnMNNOl •
If AHROriCA ^СТЬ др|дА»4ТГкД П[Дтй(Л }
фт»
1 1 П041ТЖА ч КАИ (рЖДДЖКАЛ .
1 AOT’fTfflU Ч К< ко Г^АЖДАнт^
Ч*УкЖШ5 ИО НК Д&>Ж((№ЧМ(НЫГг1Г(^г2*Л/»1ИАА4ЖА41АЛ •
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ В РОССИИ
В ЭПОХУ ПЕТРА I
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В СТРУКТУРЕ
РОССИЙСКИХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
ЭПОХИ ПЕТРА I
1.1.1. Образование
как приоритетный ресурс
реформирования России
Приступив к поистине грандиозным преобразованиям го-
сударства Российского, Петр I столкнулся с существенным пре-
пятствием — отсутствием профессионально подготовленных и
просто грамотных людей, которые могли бы воплотить его пла-
ны в жизнь. Поэтому одним из кардинальных направлений своей
деятельности он во многом спонтанно, но поразительно прозор-
ливо* избрал спешную подготовку разнообразных специалистов
для регулярной армии, строящегося флота, открывающихся за-
водов, реформируемого, а во многом создающегося заново го-
сударственного аппарата. Именно при его прямом участии в
России организованы первые светские государственные школы,
причем преподавание во всех этих школах носило ярко выражен-
ную математическую специализацию. Из всех неисчерпаемых
ресурсов России — людских, территориальных, материальных,
природных, военных и т. д., он сделал приоритетным ресурс об-
разовательный, так как только он мог стать и стал импульсом
для эффективного введения в действие всех остальных.
* В недавно вышедшей книге М. Харта «Сто великих людей» [314]
представлены всего три уроженца России, среди которых и Петр I.
Показательно, что он удостоен этой чести не столько за практические
реформы, сколько за теоретические прозрения.
35
Попытки использования научно-образовательного
потенциала Европы. Существует мнение, что Петр I стре-
мился поставить русскую жизнь на западноевропейские основы
без учета российских традиций и российского потенциала. Од*
нако мы скорее согласимся с мнением, высказанным отечествен-
ным историком В. О. Ключевским. Он считал, что царь ограни-
чивался «стремлением вооружить русское государство и народ
готовыми западноевропейскими средствами, умственными и ма-
териальными, и тем самым поставить государство в уровень с
завоеванным им положением в Европе, поднять труд народа до
уровня проявления им сил» [134, с. 291]. Петру I приписывает-
ся грубоватая, но образная и прагматичная фраза: «Нам нужна
Европа на несколько десятков лет, а потом мы к ней должны
повернуться задом» [300, с. 101].
Первоначально Петр I попытался для достижения просве-
тительских целей использовать сложившийся к тому време-
ни научно-образовательный потенциал развитых европейских
стран, видимо, памятуя свои «европейские университеты». От-
правка русских людей за границу означала крутой переворот
в сознании современников, так как до Петра контакты с ино-
земцами не приветствовались, разрешение на выезд за рубеж
получали лишь лица, исполнявшие дипломатические функции,
и купцы. Теперь же отправка за границу не только не запре-
щалась, но поощрялась и даже проводилась в принудительном
порядке: в 1699 г. «государь дал позволение всем своим поддан-
ным ездить в иностранные европейские государства для обуче-
ния, которое прежде было запрещено под казнию; и не точию
позволил на сие, но еще к тому их и понуждал»*.
Однако затраченные для этого силы и средства не прине-
сли желаемого результата: немного нашлось русских юношей,
стремившихся получить образование за рубежом; еще меньше
— способных к этому. Эффект от посылки за границу преиму-
щественно детей дворян для получения образования оказался не-
значительным.
Для распространения знаний нужны были книги, поэтому
параллельно Петр Великий начал их печатание сначала также
за границей. В 1700 г. он дал амстердамскому коммерсанту Яну
Тессингу грамоту на издание и продажу в России книг свет-
ского характера, географических карт и т.п. Однако голландец
* Журнал, или Поденная записка. ..4.1. С. 7. Цит. по: [215, с. 109].
36 I. История математического образования в XVIII е.
потерпел убытки: в России не нашлось достаточно потребите-
лей. Правду сказать, и качество книг было невысоким. Все же
в результате в России появились первые учебные книги на рус-
ском языке, в том числе математические (подробнее см. далее).
Образовательная ситуация в России в конце XVII в.
Россия располагала в этот период единственным учебным за-
ведением — Московской славяно-греко-латинской академией*,
открытой в 1687 г. В 1694 г. приглашенные для преподавания
в ней «православные и искусные учителя» братья Лихуды бы-
ли отстранены от дел, noche чего академия стала приходить в
упадок, около 150 ее слушателей бедствовали. Но самое сущест-
венное — изменился профиль академии: раньше здесь изучали не
только теологию, но и основные светские науки, необходимые на
гражданской и военной службе, теперь же богословие постепенно
вытесняло светские науки.
Петр I к концу XVII в. имел вполне определенную програм-
му распространения просвещения в России, которую впервые
публично огласил в беседе с больным патриархом Адрианом,
навестив его в октябре 1699 г. Царь посетовал на невежество
священников, которые «грамоте мало умеют», в то время как
церковное образование, по его мнению, «паче всего в жизни на-
добно». И тут же высказал мысль о необходимости светского об-
разования: «из школы.. .во всякие потребы люди, благоразумно
учася, переходили в церковную службу и в гражданскую воин-
ствовати, знати строение и докторское врачевское искусство».
Учебные заведения для подготовки гражданских специалистов,
считает Петр, «надобно и прирадеть тщательно зело» [70, с. 33-
34].
Итак, царь Петр к концу XVII в. проникается идеей ценнос-
ти образования и выбирает в качестве доминирующей образова-
тельной модели светскую профессиональную школу, установив
государственный патронат над ее функционированием.
* Здесь и впредь мы не рассматриваем систему духовного обра-
зования, которая при всем своем несовершенстве все же имелась в
России.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 37
1.1.2. Математическое образование
в основных образовательных системах
I четверти XVIIIвека
В конце XVII в. Петр I приступает к организации первой
в России образовательной системы — системы национального
государственного профессионального образования, сделав при-
оритетным военно-техническое его направление, что вполне ес-
тественно для той эпохи. «Как и прежде, наука и школа должны
были служить практическим потребностям государства. Изме-
нилось только понимание этих потребностей: вместо исправле-
ния церковных книг и охранения веры, речь шла теперь о пре-
образовании армии и флота» [34, с. 382].
Итак, при Петре I были заложены основы профессио-
нального образования: в начале XVIII в. созданы математико-
навигацкая, инженерная, артиллерийская школы, горные учи-
лища. Это обстоятельство сыграло решающую роль в истории
отечественного математического образования, так как в осно-
ву создаваемой системы Петр положил изучение математики,
совершенно объективно оценивая ее роль в военно-техническом
обучении. Однако кроме объективных сыграли роль и некоторые
субъективные факторы.
Петр Великий и математика. Первый из этих фак-
торов состоял в том, что математические познания самого
Петра были достаточно основательны. Еще в молодости он
с охотой изучал математику. Знаменитым русским историком
Н. И. Костомаровым описан эпизод, с которого началось увле-
чение Петра Великого математикой. В четырнадцатилетием
возрасте он услышал от князя Долгорукого, что у последне-
го был такой инструмент, «которым можно брать дистанции
или расстояния, не доходя до того места» [140, с. 261]. Моло-
дой царь пожелал видеть инструмент, но Долгорукий ответил,
что он украден. Царь поручил купить себе такой инструмент
во Франции, куда Долгорукий ехал в качестве посла. В 1688 г.
Долгорукий привез из Франции астролябию и готовальню с ма-
тематическими инструментами. С большим трудом отыскали
голландца Франца Тиммермана, который объяснил царю их на-
значение. Царь приблизил к себе Тиммермана и начал учиться
У него арифметике, геометрии и фортификации. «Учитель был
небольшой знаток своего дела, но ему достаточно было сделать
Петру указание: талантливый ученик сам до всего добирался»
38 I. История математического образования в XVIIIв.
[140, с. 261]. Таким образом, постепенно Петр овладел математи-
кой в объеме, необходимом для квалифицированного инженера,
архитектора и навигатора своего времени. Более того, он даже
принимал участие в издании математических книг (см. далее).
По-русски он писал с ошибками, но с чертежами и математичес-
кими приборами обращался свободно. «В этом, как и во многих
других отношениях, он на голову превосходил не только своих
предшественников на русском престоле, но и других монархов».
В знаменитой траурной речи одного из сподвижников царя
Петра Феофана Прокоповича «На похвалу блаженныя и вечно-
достойныя памяти Петра Великого» имеется несколько преуве-
личенное, но все же недалекое от истины сравнение состояния
математической культуры России до и после петровских преоб-
разований: «Что же решим о арифметике, геометрии и прочих
математических искусствах, которым ныне дети российские с
охотой учатся, с радостью навыкают и полученное показуют с
похвалою: так прежде было ли? Не ведаю, во всем государст-
ве был ли хотя бы один цырлик [циркуль — Т. П.], а прочего
орудия и имен не слыхано; а есть ли бы где некое явится ариф-
метическое или геометрическое действие, то тогда волшебством
нарицано» [83, с. 78].
Вторым фактором, который повлиял на осознание роли ма-
тематики в современном ему обществе, по-видимому, явилось
личное знакомство Петра с немецким математиком Готфридом
Вильгельмом Лейбницем. Петр познакомился с ним в 1711г. в
Торгау, вел оживленную переписку и прсвоил ему «звание тай-
ного советника с жалованьем 1 000 рейхсталеров в год» [140,
с. 351]. Лейбниц присылал своему покровителю всякого рода пре-
образовательные проекты*, оказавшие значительное влияние на
перестройку России по западноевропейскому образцу, в том чис-
ле и на организацию образования. Лейбниц не без основания счи-
тая, что в школе господствуют схоластика и формализм, однако
именно в школе видел точку опоры, вокруг которой можно пере-
вернуть мир: «Предоставьте мне дело воспитания, — и я изменю
* Например, коллегиальное управление для всех отраслей государ-
ства; о введении чиновной лестницы (знаменитая «Табель о рангах»);
о необходимости собирания и сохранения памятников древности (Пет-
ром I положено, таким образом, начало и русской археологии); об ор-
ганизации экспедиции для открытия пролива между Азией и Амери-
кой; о снаряжении научных путешествий для географических и физи-
ческих открытий
1. Математическое образование в эпоху Петра I 39
лицо Европы менее чем в один век» [7, с. 46]. Первой профес-
сиональной школой с военно-технической специализацией была
широко известная в истории русского просвещения Математико-
навигацкая. школа.
Математико-навигацкая школа. 14 января 1701г. ца-
рем Петром был издан указ об учреждении в Москве пер-
вой русской военно-технической «математических и навигац-
ких, т.е. мореходно-хитростных наук школы», подведомствен-
ной Оружейной палате. Первым начальником школы был гене-
рал Ф. А. Головин. Однако он был обременен другими обязан-
ностями, поэтому ее делами фактически управлял видный госу-
дарственный деятель петровской эпохи А. А. Курбатов*.
Школа была поли функциональной: она выпускала молодых
людей «во все роды службы, военной и гражданской, которые
требовали некоторых научных сведений или даже одного знания
русской грамоты; из навигацкой школы выходили, кроме моря-
ков, инженеры, артиллеристы, учители в другие новые школы,
геодезисты, архитекторы, гражданские чиновники, писари, мас-
теровые и проч.» [59, с. 7]. Сохранился подлинный документ о ее
основании и первых днях существования, что позволяет уверен-
но судить об организации в ней обучения, в том числе матема-
тике.
Состав учащихся. Математико-навигацкая школа предна-
значалась для обучения дворянских и «приказных»** детей, т.е.
была в некотором роде элитарной школой для обучения русских
юношей «добровольно хотящих, иных же паче и со принуждени-
ем» [59, с. 7]. «Принуждение» обусловлено было во многом неже-
ланием родителей отдавать своих детей в школу. Так, обеспечен-
ные дворяне не хотели, чтобы их дети учились со сверстниками
неблагородного происхождения. Во многом поэтому значитель-
ная часть обучаемых на самом деле относилась к малоимущим
слоям населения. Для них назначалась своеобразная «дифферен-
цированная стипендия»: «.. .учинить неимущим поденный корм,
* Алексей Александрович Курбатов был сподвижником Ф. А. Голо-
вина, выдвинулся из крепостных графа Шереметьева благодаря сво-
ему проекту введения гербовой бумаги [104, с. 356]. В дальнейшем он
стал энергичным защитником организации народного просвещения в
России, в частности инициатором создания «цифирных школ» [113,
с. 28-29].
** Детей чиновников.
40 I. История математического образования в XVIIIв,
усмотряя, арифметике или геометрии ежели кто сыщется от-
части искусным, по пяти алтын в день, иным же по гривне и
меньше, рассмотрев коегождо искусство учения...» [59, с. 7].
Первоначальный комплект Математико-навигацкой школы
был определен в 500 учащихся от 12 до 17 лет.
Сухарева башня*. Первоначально для Математико-навига-
цкой школы был «определен двор, мастерские палаты в Кадаше-
ве, называемой большой полотенной...» Однако преподаватели
школы «.. .сказали, что им на том дворе учить тех наук учени-
ков невозможно для того, что тот двор построен на месте низком,
а надобно до тех наук двору потребну быть ради смотрения в
совершенстве оризонта на месте высоком. А вместо того дво-
ра взята под те науки Сретенская по земляному городу башня с
палатами, на которых часы боевые» [59, с. 7]. Первая русская ма-
тематическая школа обосновалась «в старой Сухаревой башне,
немного высоко и далеко от моря...» [12, с. 48]. Так поэтически
отозвался в своих воспоминаниях обучавшийся в Математико-
навигацкой школе Василий Яковлевич Чичагов, впоследствии
боевой адмирал, одержавший блестящую морскую победу над
шведами в 1789 г.
Сухарева башня приобрела широчайшую известность: в
первой четверти XYIII в. она считалась средоточием математи-
ки и вообще учености, упоминаясь в этом своем качестве даже
в одной из современных пьес:
«... а грош не дал бы беречь другому,
что, в свалку одну свернув, глотает
дом, и лес, и пашни,
хоть числит он лучше всей
Сухаревой башни»
[289, с. 106].
Петр требовал «отписать к Москве к математическим учи-
телям (в Сухаревой башне), сколь много солнцу затмения будет в
Воронеже, и, нарисовав, к нам прислали». Это говорит о том, что
в Сухаревой башне в состоянии были производить сложнейшие
по тому времени астрономические наблюдения и вычисления.
* Первоначально — Сретенская. Окончательное название было да-
но Петром для увековечения имени стрелецкого полковника Лаврен-
тия Сухарева, который, оставшись верен ему во времена стрелецкого
бунта, охранял его в Троицкой лавре и селе Преображенском [104,
с. 356].
1, Математическое образование в эпоху Петра I fl
Судьба Сухаревой башни трагична и в какой-то мере зако-
номерна. Печальной памяти 30-е годы XX в. вошли в историю
как годы разрушения, в пылу или по недомыслию, многих па-
мятников отечественной культуры, истории, архитектуры. К
сожалению, Сухарева башня, по праву принадлежащая к на-
циональным святыням, разделила судьбу многих из них — она
была снесена. Являясь материальным памятником отечествен-
ной культуры, она еще во многом определяла и исторический
облик Москвы. К голосам современных деятелей культуры Рос-
сии, не раз высказывавших мнение о восстановлении Сухаревой
башни, автор присоединяет и свой.
Преподавательский состав. Во время пребывания царя Пет-
ра в Англии он познакомился с профессором Эбердинского уни-
верситета Эндрью Фарварсоном (у нас звавшимся Андреем Да-
ниловичем) и пригласил его с собой в Россию. В соответствии
с уже упоминавшимся указом Петра Великого об образовании
Математико-навигацкой школы предписывалось «во учителях
быть английские земли урожденным: математической — Анд-
рею Даниловичу Фарварсону, навигацкой — Степану Гвыну да
рыцеру Грысу... »*
Кстати, приведем оценку англичан А. А. Курбатовым Го-
ловину, которому, как уже говорилось, была поручена школа:
«Дело в них признал я в одном Андрее Фарварсоне, а те два
хотя и навигаторы написаны, только и до Леонтия** наукой не
дошли» (1703).
В качестве основателя Математико-навигацкой школы Фар-
варсон развил энергичную деятельность: он участвовал в разра-
ботке системы обучения, ввел в нее арифметику, алгебру, гео-
метрию, тригонометрию плоскую и сферическую, сам препода-
вал их, а также писал учебники. В частности, под редакцией
Фарварсона у нас был предпринят перевод и издание несколь-
ких книг «Начал» Евклида. В одном из официальных документов
1737 г. так отмечается значение деятельности А.Д. Фарварсона
для развития русского просвещения: с его помощью «первое обу-
чение математике в России введено и едва ли не все при флоте
* Гвин и Грейс прибыли в Россию из Англии вместе с Фарвар-
соном, оба были, насколько известно, воспитанниками Оксфордского
университета. Цит. по: [63].
** Имеется в виду Л. Ф. Магницкий.
42 I. История математического образования в XVIIIв.
российские подданные, от высших и до низших, к мореплаванию
в навигацких науках обучены» [128, с. 146].
Только первое время Россия использовала исключитель-
но иностранцев в качестве учителей. В уже упоминавшем-
ся документе об образовании и первых днях существования
Математико-навигацкой школы сохранились сведения о нача-
ле деятельности первого русского преподавателя математики,
талантливейшего педагога Леонтия Филипповича Магницкого:
«Февраля в 22 день в тех же науках.. .велено быть осташковцу
Леонтию Магницкому» [63]. Дело в том, что английские пре-
подаватели не знали русского языка, ученики же не только не
владели английским, но и зачастую не умели читать и писать
на родном языке. А. А. Курбатов понял, что школе необходим
русский учитель и пригласил на эту должность Магницкого,
которого хорошо знал и любил сам Петр I.
Итак, уже с первых лет существования школы появился рус-
ский учитель математики, не уступавший иностранцам ни в зна-
нии математики, ни в организаторских способностях. Будучи
образованнейшим человеком своего времени, Л. Ф. Магницкий
владел латинским, греческим, немецким, голландским языками
и был достаточно знаком с достижениями западноевропейских
математиков. Магницкий преподавал в Математико-навигацкой
школе арифметику, геометрию и тригонометрию, исполняя пре-
подавательские обязанности с присущей ему исключительной
добросовестностью, о чем свидетельствует следующее пись-
мо дьяка Курбатова, фактического руководителя Математико-
навигацкой школы, датированное 1703 г.: «По 16 июля прибрано
и учатся 200 человек. Англичане учат их той науке чиновно,
а когда временем и загуляются, или, по своему обыкновению,
почасту и долго проспят. Имеем им помоществователем Леон-
тия Магницкого, который непрестанно при той школе бывает,
и всегда имеет тщание не только к единому ученикам в науке
радению, но и ко иным к добру поведениям.. .»* Он же сравни-
вает Магницкого с другими учителями, признавая его методи-
ческие преимущества: «учителя учат нерадительно, а ежели бы
не опасались Магницкого, многое бы у них было продолжение,
для того, что которые учатся остропонятно, так бранят и велят
дожидаться меньших» [287, с. 1347-1348].
* Оплата труда Магницкого тем не менее в сравнении с учителя-
ми-англичанами была низкой: Фарварсон получал 250 руб., двое дру-
гих по 150, Магницкий же — только 90 руб., 1 алтын и 4 деньги.
1. Математическое образование в эпоху Петра I^5
Обратимся вновь к свидетельству адмирала В. Я. Чичагова:
«Один из учителей, Магницкий, слыл за великого математи-
ка» С 1715 г. Магницкий стал старшим учителем Математико-
навигацкой школы и заведующим ее учебной частью; он руко-
водил Математико-навигацкой школой до последних дней сво-
ей жизни. В значительной мере благодаря ему математические
знания стали распространяться в нашей стране и приобретать
подобающее им значение.
Л. Ф. Магницкому принадлежит несколько руководств по
математике, из которых важнейшим является «Арифметика си-
речь наука числительная...» Эта книга является первым фунда-
ментальным трудом в истории русского математического обра-
зования. Именно она сделала Магницкого по-настоящему знаме-
нитым. По этой книге учились многие поколения русских людей.
Ломоносов называл ее «вратами своей учености»* и многое от-
туда знал наизусть.
Организация обучения. Математико-навигацкая школа раз-
делялась на «русскую школу», в которой учили грамоте; «ци-
фирную школу», в которой обучали арифметике; и «высшие
классы», где изучались геометрия, тригонометрия, география и
навигация. Преподавание математики с самого начала включало
арифметику, геометрию, тригонометрию, пользование таблица-
ми логарифмов, счетными линейками. Петр I распорядился от-
вести для каждой науки особый день и проходить их параллель-
но. Впоследствии порядок обучения был следующим: ученики,
обучавшиеся арифметике, после экзамена у Магницкого перево-
дились в следующий класс — геометрии; обучившиеся геомет-
рии — в класс тригонометрии и т.д.
Нормативные документы — учебные планы, программы
— отсутствовали. Содержание обучения определяли учебники.
В частности, содержание обучения математике определялось в
основном знаменитой «Арифметикой...» Л.Ф. Магницкого и пе-
реведенными на русский язык Я. В. Брюсом учебниками геомет-
рии «Приемы циркуля и линейки» и «Геометрия практика».
Сроки обучения на практике были неопределенными. Фар-
варсон считал нужным отводить арифметике 1 год, геометрии
8 месяцев, плоской и сферической тригонометрии по 3 месяца, а
на весь курс обучения 6 лет и 9 месяцев. По мнению Магницкого,
время изучения предмета зависело от способностей ученика и его
* Наряду с «Грамматикой» М. Смотрицкого.
44 I- История математического образования в XVIIIв.
прилежания: «Арифметику прилежный выучит в 10 месяцев, а
ленивый в год; геометрию прилежный в 2, а ленивый в 3 месяца.
И менее тех лет научить не можно, понеже многие, которые вновь
к нам присылаются,... и читать мало умеют» [59, с. 96].
Особенности методики обучения математике. Обучение ма-
тематике в Математико-навигацкой школе носило догматичес-
кий характер: требовалось только запоминать правила и уметь
применять их к соответствующим задачам. В то же время
«Арифметика» Магницкого, которая преимущественно и опре-
деляла методику обучения математике, не лишена своеобразных
методических достоинств: примеры восходящей трудности, ин-
тересный подбор задач и проч.
Тем не менее, по свидетельству авторитетнейших энцикло-
педистов Брокгауза и Ефрона, «догматический метод изложе-
ния, требовавший только заучивания наизусть правил и схем
их приложений к частным примерам, узкопрактические цели
преподавания и насильственное привлечение к изучению наук
множества лиц, не имеющих к этому ни малейшей склонности,
все это не могло приготовить способных к самодеятельности ра-
ботников в области чистой науки» [34, с. 725]. Впрочем, этого и
не требовалось.
Дальнейшая судьба учеников. По окончании курса Фарвар-
сон и Магницкий подавали списки «окончивших обучение и гото-
вых к практике» сначала в Оружейную палату, а потом в Приказ
военно-морского флота. Например, в августе 1702 г. Магницкий
писал в Оружейную палату: «если иметь совершенное ко уче-
никам во учении радение, то возможно быть шести человекам
к весеннему времени на корабли». Таким образом, шесть учени-
ков закончили обучение за неполных 2 года. По некоторым све-
дениям, ученики еще до окончания курса посылались в качестве
учителей в матросские портовые школы. Так, в апреле 1703 г. из
математико-навигацкой школы велено прислать в Воронеж «ра-
ди учения матросов арифметике из числа лучших учеников двух
человек». «По освидетельствовании Магницким» двух человек
отпустили на 2 месяца в Воронеж, где тогда строился петровс-
кий флот, «переменяясь с иными, чтобы от ученья от прочих не
отстали» [188].
Полностью свою работу Математико-навигацкая школа ра-
звернула с начала 1704 г.; в 1706 г. из нее уже были отправлены в
Голландию и Англию 30 учеников для обучения мореходству; в
1711 г. в школе было даже 311 навигаторов, т. е. молодых людей,
1. Математическое образование в эпоху Петра I J5
окончивших начальный курс мореплавания; в 1712 г. из состо-
явших в училище 517 учеников были «в готовности для науки
за море 50 человек, к инженерной — 170 человек» [188].
Учиться в те времена было нелегко: науки преподавались
большей частью на малопонятном языке, учебных пособий не
хватало или они были дороги, с учащимися обращались сурово,
применяли телесные наказания, из-за чего они часто убегали из
школы. Как сообщалось в «высочайшем указе», в 1722 г. из мос-
ковской навигацкой школы бежали 127 учеников, «от чего про-
изошла утрата денежной суммы, потому что оные школьники-
стипендиаты, жив многие лета и забрав жалованье, бежали»
[128, с. 146].
В 1715 г. навигаторские классы школы были переведены в
Санкт-Петербург и на их базе создана Морская академия, ко-
торой поручено было готовить специалистов для флота: Россия
к тому времени стала крупной морской державой. С этого года
обучение в Математико-навигацкой школе несколько изменило
свой характер: военные науки изучали теперь во вновь открыв-
шейся академии, а в московской школе стали учить только ариф-
метике, геометрии и тригонометрии. В сущности, из профессио-
нальной она превратилась в специализированную математичес-
кую, выполняя функции подготовительного училища для Мор-
ской академии. Однако и в Морской академии математика от-
нюдь не потеряла своего значения. Напротив, в записке Петра I,
определявшей предметы обучения в Морской академии, подчер-
кивается первостепенное значение математики для подготовки
военных моряков и инженеров: «Учить детей: 1) арифметике,
2) геометрии ...» [59, с.47].
Роль Математико-навигацкой школы в отечественном ма-
тематическом образовании. Несмотря на все трудности, мос-
ковская Математико-навигацкая школа сыграла выдающую-
ся роль в истории не только отечественного математическо-
го образования, но и российского образования в целом. Преж-
де всего в условиях, когда критическим ресурсом Петра I бы-
ло время, она подготовила ускоренный выпуск значительно-
го количества не только математиков и навигаторов, но и
специалистов-профессионалов широкого профиля. В частности,
в словаре Брокгауза и Ефрона приводится следующая оценка:
«...приготовление деятелей-практиков удалось вполне школе
математических и навигацких наук». Эта оценка иллюстриру-
ется ярким примером: «Наблюдения и измерения, проведенные
46 I. История математического образования в XVIIIe.
вышедшими из школы геодезистами и гидрографами, достави-
ли материалы для издания в 1726-1734 гг. первой «Генеральной
карты» всей России и первого русского атласа, озаглавленного
«Атлас Российской империи», состоящего из 14 карт» [34, с. 725].
Кроме того, Математико-навигацкая школа стала первым
центром пропаганды светской науки, в том числе и прежде всего
математики, именно ей принадлежит честь стать первым учеб-
ным заведением, готовившим учителей математики.
В 1752 г. петербургская Морская академия была преобразо-
вана в Морской шляхетный* кадетский корпус, что превратило
ее в сугубо сословное учебное заведение наряду с Сухопутным
шляхетным кадетским корпусом. Навигацкая школа в связи с
этим была распущена и лишь дети дворян переведены из нее в
Морской кадетский корпус.
Другие профессиональные школы. В 1701 г. в Москве
была открыта артиллерийская школа, в 1707 — хирургическая
школа при военном госпитале. В 1711-1712 гг. сподвижник царя
Петра генерал Яков Вилимович Брюс организовал в Москве ин-
женерную школу, которая вместе с артиллерийской позднее была
переведена в Санкт-Петербург. Чуть позже появилось несколь-
ко горных училищ при заводах Карелии и Урала, где готовили
квалифицированных мастеров для металлургической промыш-
ленности.
Контингент учащихся в профессиональных учебных заведе-
ниях по масштабам того времени был довольно значительным.
Штаты Математико-навигацкой школы предусматривали обу-
чение в ней 500 учащихся. В Морской академии обучалось 300
человек, в инженерной школе — 100-150, несколько десятков че-
ловек овладевали медициной в специальном медицинском учили-
ще [215, с. 496].
Появилась и первая общеобразовательная школа: в 1703 г.
в Москве на Покровке функционировала общеобразовательная
гимназия, открытая пастором Глюком**. В ней положено было
преподавать языки, грамматику, арифметику, этику, политику,
* Шляхетный — «к сословию дворянскому относящийся» [100].
** Интересна его судьба: при взятии Мариенбурга Петр поступил
так, как стало обычным поступать лишь в XX в.: в качестве трофея
он увез ученого, пастора Глюка [286, с. 17].
1. Математическое образование в эпоху Петра I^7
философию. В гимназии имелся «танцевальный мастер» и «кон-
ный учитель», обучавший верховой езде. Однако широкая обще-
образовательная программа в ней не была осуществлена, и, как
и другие подобные ей учебные заведения, гимназия преврати-
лась преимущественно в подготовительную школу иностранных
языков.
По свидетельству Н.И. Костомарова, Петр Великий «забо-
тился дать образование дворянам больше, чем другим сослови-
ям» [140, с. 350]. Так, в 1722 г. в инженерной школе, в которой
предполагалось учить геометрии и фортификации, две трети
учащихся были из дворянских семей. В 1714 г. Петр I велел разо-
слать во все губернии по нескольку выпускников Математико-
навигацкой школы учить дворянских детей «...цифири и гео-
метрии. Архиереи не должны были давать венечные памяти
дворянам, желающим вступить в брак, если они не выучатся»
[140, с. 350].
Морская академия также учреждалась для дворянских де-
тей. Царь Петр в октябре 1715 г. собственноручно начертал для
нее инструкцию, а в декабре того же года именным указом велено
мальчиков дворянского звания от десяти лет и выше посылать
в Петербург для обучения морскому делу. «По известию одного
иностранца, не было в России ни одной знатной фамилии, из ко-
торой не находилось бы юношей от 16-18 лет в этой академии»
[140, с. 350]. Чисто дворянским учебным заведением была и от-
крытая при преемниках Петра в 1731 г. Рыцарская академия, со-
четавшая военную подготовку с широким общим образованием.
Рыцарская академия имела большую популярность в дворянской
среде.
К сожалению, мы не имеем конкретных материалов, по ко-
торым можно было бы судить об уровне математического об-
разования в этих учебных заведениях. Однако несомненно, что
математика в них преподавалась, причем в значительных объ-
емах.
Все охарактеризованные школы — элитарные профессио-
нальные, не имеющие целью общее образование широких кругов
населения. Однако, создавая преимущества в деле образования
дворянскому званию перед прочими сословиями, Петр Великий
тем не менее считал необходимым, чтобы во всех слоях общест-
ва распространялось учение. Для этого им была предпринята
попытка создания более массовых учебных заведений.
48 I. История математического образования в XVIIIe.
Цифирные школы В 1714 г. специальным указом в гу-
бернских городах были учреждены так называемые «цифирные»
школы (цифирью в то время называлось то, что мы сейчас
считаем элементарной математикой) при архиерейских домах
и крупных монастырях. В соответствии с этим указом «нау-
ка цифирная» объявляется обязательной. Итак, 1714 год можно
считать годом, начиная с которого математическое образование
получило статус обязательного.
Состав учащихся этих школ определялся также указом и
предполагался достаточно разнородным: «Во всех губерниях,
дворянских и приказного чина, дьячих и подьяческих детей,
от 10 до 15 лет, опричь однодворцев*, учить цифири и некото-
рую часть геометрии». Учреждаемым школам велено было от-
вести помещения в архиерейских домах и монастырях, в том
числе и для выполнения неких контрольных функций: «Учение
полагалось бесплатным, но, по окончании учения, при выдаче
свидетельств, учитель имел право брать по рублю за каждого
ученика. Без такого свидетельства нельзя было жениться» [140,
с. 351].
Преподавательский состав. Мы уже упоминали, что Мате-
матико-навигацкая школа в определенном плане играла роль
учительской семинарии, поскольку ее ученики посылались в ка-
честве учителей в матросские портовые школы. Но более всего
Математико-навигацкая школа прославилась в истории отечест-
венного школьного математического образования тем, что под-
готовила первых учителей для цифирных школ. В год перевода
ее из Москвы в Петербург царь Петр распорядился разослать в
губернии по два ученика навигацкой школы, выучивших геомет-
рию и географию, «для науки молодых ребяток из всяких чинов
людей» [34, с. 383].
Заметим, что именно с созданием цифирных школ связана
первая фуркация отечественного образования — разделение мас-
сового образования в России на два типа: духовное образование,
история которого началась значительно ранее и которой мы не
касаемся, и светское. «Низшая светская школа давала предвари-
тельные математические сведения, низшая духовная — познания
словесные» [34, с. 383]. Таким образом, начальное духовное об-
разование было во многом гуманитарным, начальное светское
*
Кроме детей крепостных крестьян.
I. Математическое образование в эпоху Петра I^9
образование имело ярко выраженный математический характер,
что отразилось даже в названии школ — «цифирные».
Образование в этих школах должно было быть по тем вре-
менам достаточно основательным. Это видно, в частности, из
инструкции, данной учителю такой школы: «Ехать тебе в Пере-
яславль Рязанский и по указу Его Императорского Величества
714 и 716 годов учить тебе дьячих, подьяческих, поповых и про-
чего церковного чину, архиерейского дому и монастырских слуг
детей их, по высылке от воеводы, от 10 до 15, а посадских и
прочих чинов детей же, которые сами похотят.. .арифметике,
а именно, нумерации, аддиции, субстракции, мультипликации,
дивизии, тройных правил и тройных детрательных, как без до-
лей, так и с долями и десятичного счету и деления, радиксу
квадрата и радиксу куба, а который ученик вышеозначенную
науку обучит, тех учить геометрии, а именно: прежде истолко-
ванию геометрии и циркульных приемов, потом тригонометрии
плоской, планиметрии и штирометрии» [13, с. 3].
Эффективность обучения. В 1716 г. было открыто в разных
городах России 12 цифирных школ; к ним в 1720-1722 гг. при-
соединились еще 30. По сведениям, собранным в 1727г., набрано
было в эти школы учеников, охотой и силой, несколько более
2 000 чел., так что о массовости цифирных школ можно гово-
рить с очень большой натяжкой. По сословному составу учени-
ки этих школ распределялись на следующие группы (по данным
упомянутого словаря Брокгауза и Ефрона [34, с. 383]):
из духовного звания ..................931 (45%);
солдатских детей .................... 402 (20%);
приказных ........................... 374 (18%);
посадских...................................... 93 (4,5%);
дворян и детей боярских .............. 53 (2,5%).
В обществе образовательные реформы встречали прямое
противодействие. «Не вели, государь, для означенной науки, во
учиненные в Москве школы детей наших брать», — писали жи-
тели трех губернских городов [149, с. 8]. Необходимости в обра-
зовании не испытывало практически ни одно сословие. В 1716 г.
от обязательного посещения этих школ были освобождены дети
дворян [221, с. 640].
В 1720 г. поступила к царю челобитная от посадских людей
— каргопольцев, устюжан, вологжан и калужан. Они жалова-
лись, что у них «насильно берут детей, везут в города и держат
в тюрьмах за караулом» [140, с. 351]. Дети ничему не учатся и
50 I. История математического образования в XVIIIв.
только теряют время. «А дети у нас дома смолоду приучаются
сидеть за прилавком и посылаются со старшими по купеческим
делам. Если у нас будут забирать детей, то промыслы упадут и в
казенных поборах будет остановка» [140, с. 383]. Правительство
удовлетворило требования горожан и освободило детей «посад-
ских людей» от обязательного обучения.
Синод потребовал, чтобы дети духовного сословия были воз-
вращены в епархиальные школы*, после чего в 14 из 42 дей-
ствующих цифирных школ учеников совсем не осталось и их
пришлось закрыть. Преподаватели из провинции вернулись в
Математико-навигацкую школу. В уцелевших школах учились
почти исключительно дети приказных.
Таким образом, из более чем 2 000 первоначально набран-
ных в цифирные школы учеников в 1727 г. осталось только 500.
Приведем данные [180, с. 250], которые во многом характеризуют
низкую эффективность цифирных школ:
выбыли посадские и духовные ........ 572 (37%);
бежали, отпущены в дома и не явились ... 322 (20,8%);
выучено и отпущено ................. 302 (19,9%);
безграмотных, неспособных и идиотов ... .233 (15%);
взяты в разные должности ............ 93 (6%).
Таким образом, только 395 человек, или около 20% учащих-
ся, окончили цифирные школы; из них лишь 93 человека (менее
0,5% всех взятых в обучение) нашли прямое применение полу-
ченных знаний — «взяты в разные должности».
Мы видим, что эффективность обучения в первых относи-
тельно массовых школах России была крайне невысока, уровень
математического образования определялся арифметикой и эле-
ментами геометрии.
Однако история сохранила примеры и иного рода. Органи-
затором одной их цифирных школ был выдающийся сподвиж-
ник Петра I Василий Никитич Татищев, известный в истории
отечественного образования как автор знаменитого «Разговора
* В это же время происходит достаточно бурное развитие духов-
ного образования: в 1721-1725 гг. открыто до 45 епархиальных школ;
почти каждый губернский город имел по две школы — светскую и
духовную. Между ними началась борьба за учеников. Кстати, в учеб-
ный план епархиальных школ по указу 1722 г. вводится математика
— духовное образование перестает быть чисто гуманитарным.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 51
о пользе наук и училищ». В нем он ратует за развитие ти-
пографского дела, открытие библиотек, специально выделяет
«полезные науки» [149, с. 6], к которым относит письмо, крас-
норечие, иностранные языки, арифметику, геометрию, землеме-
рие} механику, физику, химию. Татищев становится начальни-
ком всех уральских и сибирских заводов, основывает Екатерин-
бург, в котором в 1720 г. создает цифирную школу (сохранив-
шуюся до наших дней в виде индустриального техникума). В
арифметическом отделении этой школы преподавались арифме-
тика, геометрия, логарифмические вычисления, тригонометрия
и «знаменование» (черчение и техническое рисование).
Математическое образование в цифирных школах. Как уже
говорилось, в цифирных школах изучались арифметика и гео-
метрия. Сведения о создании для цифирных школ специальных
учебников не сохранились. Вполне вероятно, что их просто не
было, — единственным источником математических знаний, по
всей видимости, служил учитель.
Разделения на классы во многих школах также не было, и
нередко один учитель одновременно вел занятия с группой в 20-
30 учеников, изучавших совершенно разные предметы. Идеаль-
ным в классе считалось такое положение, когда каждый зубрил
свою часть предмета вслух, согласованного хора при этом, ес-
тественно, не было. Учитель, уверенный, что все заняты делом,
мог спокойно предаться собственным занятиям.
Сохранились сведения об обучении математике в цифирной
школе в Переяславле Рязанском в 1727 г. [224, с. 117]. Из 32 уче-
ников 11 проходили нумерацию, 5 — сложение, 1 — вычитание,
3 — умножение, 5 — деление, 3 — тройные правила, 2 — деся-
тичные дроби, 1 — геометрию, 1 — плоскую тригонометрию.
Отсутствовали не только доказательства, но и внятные объ-
яснения: учитель лишь формулировал основные определения и
правила и разбирал решения типовых задач. Речь о развитии
вообще не шла. Ученик должен был знать на память ряд пра-
вил и решать задачи, попадающие в сферу их действия. По сло-
вам историка математики А. П. Юшкевича, «нет нужды крити-
ковать очевидные недостатки таких педагогических приемов»
[345, с. 20].
Следует отметить, что такие же приемы обучения в это вре-
мя широко практиковались в учебной математической литера-
туре и школе подавляющего большинства развитых европейских
стран. Более того, общеобразовательные средние школы Запад-
52 I. История математического образования в XVIIIe.
ной Европы, являясь преемниками латинских школ, имели по
преимуществу классическое направление и находились под пря-
мым влиянием духовенства, поэтому математика там была не в
почете. Так, в знаменитом Итонском колледже (Англия) обяза-
тельный курс математики был введен лишь в 1851г. [149, с. 8]
Известно высказывание профессора Бриля, который утвержда-
ет, что в конце XVIIIв. «.. .математика в немецких гимназиях
была чуждым элементом», ёе терпели только в форме числового
счета [178, с. 13].
Учебные пособия по математике. Как уже говорилось, в
историко-математической и историко-педагогической литерату-
ре отсутствуют сведения о математических учебных книгах,
которые использовались в цифирных школах. Так как учителя-
ми математики в них были выпускники Математико-навигацкой
школы, естественно предположить, что они пользовались теми
же учебниками, по которым обучались сами, т.е. «Арифмети-
кой» Магницкого, «Приемами циркуля и линейки» Брюса, от-
бирая из них доступный для начального обучения математике
материал.
Сохранились и описаны конспекты по математике той эпо-
хи. По их содержанию можно судить о математических знани-
ях, фактически сообщавшихся ученикам. Ряд таких конспек-
тов, наиболее ранние из которых относятся к 1703 г., изучил
В. В. Бобынин [29]. Все они довольно сходны. А. П. Юшкевич
описал один из них, относящийся, по-видимому, к третьему де-
сятилетию XVIII в. [345, с. 20]. Описанный экземпляр представ-
ляет собой толстую тетрадь в солидном переплете, снабженную
тщательно выполненными чертежами, часть из которых дана
на вкладных листах. Математике в ней отведено 145 двойных
страниц. В арифметической части, явно составленной по Маг-
ницкому, конспект доходит до тройных правил включительно.
Раздел геометрии открывается рассуждениями о практичес-
кой и теоретической геометрии из «Приемов циркуля и линей-
ки», за которыми следуют определения. Далее приводятся реше-
ния важнейших задач на построение и измерение фигур.
Сохранились сведения о рукописных конспектах самого на-
чала «Арифметики» Магницкого*, составленных учениками на-
вигацкой школы. Об этом пишет А. П. Юшкевич: «Арифмети-
ку» Л. Ф. Магницкого «изучали много и прилежно, о чем свиде-
тельствуют многочисленные сохранившиеся списки книги» [345,
* См. подробнее: [171, с. 238].
1. Математическое образование в эпоху Петра I 53
с. 20]. Такие конспекты охватывали обычно не более четырех
действий арифметики и вполне могли использоваться в цифир-
ных школах.
Трудности обучения. Как видно из приведенных выше дан-
ных, около 15% учащихся бежали из цифирных школ, несмотря
на то что за неявку в школу нередко сажали в тюрьму, на цепь
[81, с. 51]. Причины этого весьма разнообразны и связаны прежде
всего с новизной дела школьного образования. Назовем основные
из них.
Первая группа причин связана с противодействием общест-
ва образовательным реформам. Население, как уже говорилось,
неохотно отпускало своих детей в школы, так как это резко меня-
ло старинный жизненный уклад, обычаи, привычки. Школьный
режим был чрезвычайно жесток: за плохие успехи и нерадивость
следовали телесные наказания. Сохранилось даже такое попу-
лярное в школе того времени двустишие:
«Розга ум вострит, память возбуждает
И волю злую к благу прилагает»
[345, с. 21].
Дворяне весьма неохотно обучали своих детей в школе: рус-
ского барича, избалованного с малых лет приставленными к
нему крепостными слугами, презиравшего всякий «холопский»
труд, имевшего отвращение ко всякой «иноземщине» [345, с. 21],
к числу которой причислялись прежде всего науки, отпугивала
и сама школа, и перспектива государственной службы.
Вторая группа причин обусловлена тем, что система обу-
чения в школах только складывалась. Недоставало учебников
и других книг, таблиц, инструментов. Учителя, естественно, не
имели специальной подготовки для работы в школе. Методика
преподавания математики отсутствовала как на теоретическом,
так и на практическом уровне. Мало разработана была русская
научная, в том числе математическая, терминология, с живой
речью еще не слившаяся.
И все же полное или неполное образование в государствен-
ных школах петровского времени получили первые сотни и даже
тысячи русских людей.
Роль цифирных школ в отечественном математическом об-
разовании. Профессиональная направленность школ в начале
XVIII в. обусловила особое внимание к изучению в них мате-
матики, тем более что все прикладные науки считались, в сущ-
54 I- История математического образования в XVIIIe.
ности, ответвлениями прикладной математики, для овладения
которой следовало предварительно изучить теоретическую ма-
тематику. Поэтому первым типом русской школы и были ци-
фирные школы. Несмотря на их невысокую эффективность, со-
вершенно несомненна роль цифирных школ в распространении
математического просвещения в России. Более того, вследствие
той конкуренции, которая возникла между цифирными и епар-
хиальными школами, как уже говорилось, математическое обра-
зование проникло и в них: Синод решил ввести преподавание в
семинариях «как арифметики, так и нужнейшей части геомет-
рии, дабы они обеих вышеозначенных и церкви и гражданству
потребных наук были искусны и тем оба определения, т. е. и
прежде состоявшееся о арифметическом и геометрическом уче-
нии Его Императорского Величества указы и изложенное потом
о свойственной науке синодальное установление исполнили бы»
[128, с. 362-363].
Таким образом, благодаря цифирным школам математика
стала основным предметом во всех типах школ первой четверти
XVIII в.
Дальнейшая судьба цифирных школ. Поскольку учителей
математики цифирные школы получали из Морской академии,
преобразованной из Математико-навигацкой школы, они состоя-
ли в распоряжении Адмиралтейской коллегии. Адмиралтейство
не хотело заниматься несвойственным ему делом и попыталось
освободиться от цифирных школ, объединив их с епархиальны-
ми и передав в распоряжение Синода. Однако Синод решил, что
«передавать ученикам одну арифметику без связи с богословски-
ми науками — дело светское, а не духовное» [81, с. 52].
Цифирные школы просуществовали до 1744 г.; к тому време-
ни из 42 школ, организованных к 1722 г., осталось только 8. Три
самые большие из них были слиты с так называемыми гарни-
зонными школами, остальные прекратили свое существование.
Гарнизонные школы. Первые гарнизонные школы были
основаны Петром I в 1716 г. Они находились при воинских час-
тях и представляли собой низший разряд военных учебных заве-
дений в России для детей солдат. Существование их было неста-
бильно: они то закрывались, то открывались вновь. В очередной
раз они были открыты по указу 1732 г. «Об учреждении при
гарнизонных пехотных полках гарнизонных школ» [220, с. 486].
В 1744 г. цифирные школы, как уже говорилось, были присо-
единены к гарнизонным школам, просуществовавшим до конца
1. Математическое образование в эпоху Петра I 55
XVIII в. и сослужившим определенную службу русскому просве-
щению: «Еще в первые годы царствования Екатерины II учи-
телей математики можно было достать только из гарнизон-
ных школ» [34, с. 383]. Таким образом, традиции Математико-
навигацкой школы сохранились и для школ гарнизонных: они
также сыграли роль учительских семинарий, причем, как и в
предыдущем случае, готовили преимущественно учителей ма-
тематики (здесь уместна литературная реминисценция: в коме-
дии Фонвизина «Недоросль» старый учитель-солдат по фамилии
Цыфиркин, получил образование именно в гарнизонной школе).
В гарнизонные школы принимали мальчиков семилетнего
возраста. Обучали их грамоте, арифметике и в зависимости от
профиля школы — «артиллерийской и инженерной науке», «сол-
датской экзерциции», «художествам и мастерствам, кои армии
и полкам потребны» [220, с. 486] (музыке, игре на флейте и ба-
рабане), писарскому делу и некоторым ремеслам. Когда воспи-
танникам исполнялось 15 лет, их зачисляли в армию.
К сожалению, сведений об объеме математических знаний,
учебниках математики, методических принципах обучения ма-
тематике в гарнизонных школах не сохранилось.
Феофан Прокопович и математическое образование
в петровскую эпоху. Феофан Прокопович принадлежит к чис-
лу наиболее выдающихся деятелей русского просвещения начала
XVIII в. и образованнейших людей своего времени. Он препода-
вал в Киево-Могилянской академии и в рамках курса философии
читал арифметику и геометрию.
В 1709г. о Феофане Прокоповиче узнал Петр!. Будучи
убежденным сторонником его реформ, Прокопович до самой
смерти царя оставался его ближайшим сподвижником. В 1721г.
Прокопович на собственные средства открыл в Петербурге шко-
лу для сирот и бедных детей, ставшую одной из лучших школ
своего времени. В ней изучали языки (славянский, русский, ла-
тинский и греческий), риторику, историю, римские древности,
арифметику, геометрию, рисование и музыку.
Феофан Прокопович оставил большое литературное насле-
дие, значительная часть которого опубликована. Лекции по
арифметике и геометрии составляют, к сожалению, неопублико-
ванный математический трактат «Два первых и обширнейших
основания математики арифметика и геометрия в пользу уча-
щегося российского юношества в Академии Киево-Могилянской
изложенных, 1707 и 1708 гг.»
56 L История математического образования в XVIIIв.
Первая часть трактата — учебник арифметики, построен-
ный как западноевропейские учебники. Тем не менее некото-
рые разделы его раскрыты значительно подробнее и доходчивее,
например, учение о дробях, пропорции, способы решения неко-
торых классов задач. Все правила сопровождаются разнообраз-
ными примерами и решенными задачами. В последнем разделе
первой части «Арифметики, как специальной части геометрии»,
рассмотрено извлечение квадратных и кубических корней, на-
хождение пропорциональных чисел.
Во второй части изложена геометрия. Содержание ее пред-
ставляет собой сокращение евклидовских «Начал», выполнен-
ное с большим педагогическим мастерством. Впервые в русской
математической литературе все теоремы даны с доказательст-
вами. Задачи на построение решены очень подробно, снабжены
прекрасными чертежами. Евклидовым материалом Феофан Про-
копович не ограничивается: в его трактате рассмотрены овал,
эллипс, парабола, спираль. Значительное место отведено в кур-
се практическим измерениям на местности и необходимым для
этого инструментам.
Курс лекций по математике Феофана Прокоповича отли-
чается от современных ему курсов (например, «Арифметики»
Магницкого, руководств по геометрии) более высоким теорети-
ческим уровнем.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 51
1.2. УЧЕБНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
КНИГИ ЭПОХИ ПЕТРА I
Содержание образования, в том числе математического,
определяют такие нормативные документы, как учебные пла-
ны и программы. В эпоху Петра I их, естественно, еще не было.
Содержание, а во многом и методика обучения определялись поч-
ти целиком учебными математическими книгами.
1.2.1. Зарождение отечественной
печатной учебной
математической литературы
Первая русская печатная математическая книга. По-
видимому, первая печатная математическая книга на русском
языке — «Считание удобное, которым всякий человек, купую-
щий или продающий зело удобно изыскати может число всякие
вещи...»* Она издана в Москве в 1682г., поэтому его можно
считать годом зарождения в России печатной математической
литературы. С математической точки зрения «Считание.—
это таблица умножения, охватывающая произведения чисел от
1 х 1 до 100 х 100. Эта книга была напечатана славянским шриф-
том и в славянской нумерации, имела чисто практическое назна-
чение — определение цены приобретенной вещи. В предисловии
объясняется, как пользоваться ею. Приведем выдержки из пре-
дисловия:
«К читателю. Сия книжка, читателю любезный, надобна
человеку для скорого всякие вещи цены обретения, которую кто
купити или продати хощет. А мера и цена, за сколько чего сколь-
ко денег дати или взяти, объявляется в сей книжке на всякой
странице в верхних да и в посторонних (крайних) первых стро-
ках в клеточках... если меру положишь в верхней строке, и ты
от того числа пойди рядом клеточками и дойди до той клеточки,
которая стоит против верхнего числа, которое число меру пока-
зывает, и стали-, и сколько в той клеточке будет чисел, столько
будет за тот товар и цены копейками, или алтынами, или грив-
нами, или рублями... Здравствуй, и о трудящихся в сем моли
Бога»**.
* Высказывается предположение, что автором ее является Магниц-
кий (см.: [149, с. 13-14]).
** Цит. по: [1, с. 49].
58 I. История математического образования в XVIIIв.
Таким образом, в первом слева столбце и в первой сверху
строке соответственно идут числа от 1 до 100, а на пересечении
столбцов и строк — произведения соответствующих чисел.
Автор в предисловии дает указание и на умножение чисел,
превышающих произведение 100 х 100: «И о сем, читателю, бу-
ди тебе известно, что в сей книжке положено счету, краткости
ради, только одно сто. А если мера или цена превзойдет число
счета, который положен в сей книге, и тому возможно по сему же
счету, меру и цену, умножая, хотя многие тысячи счести». В сен-
тябре 1714 г. в Петербурге вышло второе издание этой таблицы.
Напечатана она гражданским шрифтом с индийскими цифрами.
Математические книги И. Ф. Копиевича. Как уже
упоминалось, первоначально печатание книг было отдано гол-
ландцу Я. Тессингу. Именно им было издано первое на русском
языке печатное руководство по арифметике. Автор его Илья Фе-
дорович Копиевич (или Копиевский) родом из Белоруссии. Оно
называлось «Краткое и полезное руковедение во аритметику,
или в обучение и познание великому счету, в сочетании всяких
вещей» (Амстердам, 1699). Большая часть книги по традиции
тех лет содержит нравоучительные изречения по латыни и в
русском переводе (типа «жену свою ты должен любити, от любо-
деицы себя сохранити»), притчам и басням Эзопа. Арифметике
отведено 16 страниц (из 71), на которых даны краткие сведения о
десятичной нумерации и первых четырех действиях над целыми
числами, причем сообщаются весьма лаконичные характерис-
тики операций. Эта книга, хотя и была издана очень большим
по тому времени тиражом 3 350 экземпляров, оказала незначи-
тельное влияние на распространение математических знаний в
России. В 1701 г. Копиевич издал в Амстердаме пособие по мо-
реходству «Книга учащая морского плавания...» [128, с. 152], в
которой впервые в печати на русском языке изложены элементы
геометрии и тригонометрии. В ней также помещены пятизнач-
ные таблицы логарифмов, синусов. Однако роль и этой книги в
отечественном математическом образовании незначительна.
В начале XVIII в. под наблюдением самого царя Петра и
его сподвижника Я. В. Брюса в московской типографии начался
выпуск разнообразных светских книг: календарей, книг по гео-
графии и истории, грамматике и юриспруденции, политических
памфлетов, руководств хорошего тона, учебников по военному
делу, навигации, архитектуре, математике и т.д. С 1703 г. ста-
ла выходить, правда нерегулярно, печатная газета «Ведомости»,
I. Математическое образование в эпоху Петра I 59
первый же номер которой сообщал, между прочим, что «в ма-
тематической штюрманской школе более 300 человек учатся и
добре науку приемлют» [349, с. 12].
1.2.2. «Арифметика» Л. Ф. Магницкого
Будет сей труд
Добре пользовать русский люд.*
История создания книги. «Арифметика» — одна из са-
мых знаменитых русских книг, по праву принадлежащих к па-
мятникам национальной письменной культуры. Процитируем
уже известный нам подлинный документ об основании и первых
днях существования Математико-навигацкой школы: «Февраля
22 день в тех же науках у вышеозначенных учителей велено быть
осташковцу Леонтию Магницкому и через труд свой издать на
словенском диалекте, избрав от арифметики и геометрии и нави-
гации, поелико возможно годную к тиснению книгу. И ноября в
21 день он, Леонтий Магницкий, книгу арифметику издания сво-
его явил и та книга послана с ним же, Леонтием, в типографию и
велено с той же книги напечатать в типографии со усмотрением
исправления 2 400 книг» [63, с. 468-469].
Итак, 22 февраля 1702 г. Магницкому был заказан учебник
математики, отпущены средства на его составление и печата-
ние**. В чрезвычайно короткие сроки — за 9 месяцев — он
создал уникальную по своим качествам учебную математичес-
кую книгу, которая издана большим для того времени тиражом.
Она имела пышное и длинное, по обычаям того времени, назва-
ние: «Арифметика, сиречь наука числительная. С разных язы-
ков на славенский язык*** переведенная, и во едино собрана, и
на две книги разделена». Издана она в Москве в январе 1703 г. и
сыграла в истории отечественного математического образования
чрезвычайную роль: в течение полувека она была необыкновенно
* Из предисловия к «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.
** По сведениям С. М. Соловьева, настоял на том, чтобы право из-
дания книги было отнято у некоего иностранца и передано Магниц-
кому А. А. Курбатов, в доме которого Магницкий и писал ее [104,
с. 356].
*** Магницкий считал только славянский язык приличным для ли-
тературного употребления, оставляя русский для одних приказных
Дел [251, с. 21].
60 I. История математического образования в XVIIIв.
популярна и не имела конкурентов как в немногочисленных шко-
лах того времени, так и в более широких читательских кругах,
в том числе и среди самоучек.
Такая необычайная популярность во многом объясняется
тем, что, несмотря на указание в подзаголовке о переводном ха-
рактере книги, на самом деле это было достаточно оригинальное
как в содержательном, так и в методическом плане сочинение,
которое явилось связующим звеном между традициями москов-
ской рукописной учебной литературы и влияниями новой, запад-
ноевропейской. Хорошо знавший иностранные языки Магницкий
изучил большое количество европейских учебников, книги гре-
ческих и латинских авторов, русские математические рукописи
и использовал эти материалы в работе над учебником.
«Арифметика» Магницкого, прямо или косвенно, в свою
очередь оказала большое влияние на всю последующую отечест-
венную математическую литературу. Об «Арифметике» Маг-
ницкого написано много и подробно. Дадим краткую характе-
ристику этой уникальной книги.
Полифункциональность. Следуя традициям отечественной
рукописной учебной литературы, Магницкий включил в «Ариф-
метику» «былинный» материал: она описывала «деяния Петра»
и поэтому могла в какой-то мере выполнять функции учебни-
ка новейшей российской истории (в апологетическом, впрочем,
варианте). Кроме того, «Арифметика» содержала общефилософ-
ские рассуждения, советы читателю, общие выводы, часто изло-
женные в стихотворной форме, что усиливало ее воспитательное
воздействие. Так как это был учебник для будущих мореплава-
телей, в нем содержались сведения по метеорологии, астроно-
мии и навигации, а также многочисленные данные по естество-
знанию и технике, что позволяет считать «Арифметику» пред-
течей отечественной печатной научно-популярной литературы,
хотя основное содержание книги все-таки математика.
Математическое содержание «Арифметики». Назва-
ние книги значительно уже ее математического содержания, так
как помимо арифметических сведений в ней представлен также
значительный алгебраический, геометрический материал, эле-
менты плоской и сферической тригонометрии. Таким образом,
с содержательной точки зрения «Арифметика, сиречь наука
числительная...» является скорее энциклопедией современных
автору математических знаний, чем простым учебником ариф-
метики. Не уходит Магницкий от традиций русской рукописной
1. Математическое образование в эпоху Петра I 61
учебной книги, предпосылая математическому содержанию свои
представления о значении математики, изложенные, как и боль-
шинство отступлений, в стихотворной форме:
... Арифметике любезно учися, в ней
разных правил и штук придержися.
Ибо в гражданстве к делам есть потребно
лечите твой ум аще числит вредно.
Та пути в небе, решит и на море, еще
на войне полезна и в поли.
Общее всем людям образ дает знати, дабы
исправно в размерах ступати.
Здесь подчеркнуто прикладное значение математики как
науки, помогающей человеку во всей его практической деятель-
ности, позволяющей проникнуть в подлинную сущность вещей и
избрать правильный образ действий; разъясняется польза ариф-
метики как общегражданская для купцов, ремесленников и т.д.,
так и государственная, ее особое значение в военном деле и мо-
реплавании.
Магницкий делает попытку дать определение арифметики:
«Арифметика или числительница есть художество честное, не-
завистное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, от древ-
нейших же и новейших, в разные времена живших изрядней-
ших арифметиков изобретенное и изложенное». Таким образом,
Магницкий, восхваляя арифметику на манер безвестных авторов
XVII в., определяет ее как «художество», т. е. искусство решения
задач счета, вычисления.
Системы счисления. Магницкий использует в «Арифмети-
ке» индо-арабскую десятичную позиционную систему счисления,
лишь вскользь разъясняя латинскую и упоминая о славянской.
Пагинация (нумерация страниц) также славянская. При харак-
теристике системы счисления Магницкий использует своеобраз-
ную терминологию, которая удержалась в учебниках матема-
тики до конца XVIII в. Все числа первого десятка он называ-
ет перстами’, десятки, сотни и т.д. (числа вида 30, 900, ...)
— суставами, все остальные числа — сочинениями*. Значащие
* Такое подразделение на персты, суставы и сочинения заимство-
вано у древнеримских авторов, основано на пальцевом счете (единицы
— пальцы, десятки — суставы пальцев).
62 I. История математического образования в XVIIIв.
цифры Магницкий называет знаменованиями в отличие от нуля,
который зовется цифрою*.
Арифметические действия у Магницкого носят два названия
— латинское и русское: нумерацио, или счисление, аддицио, или
сложение, субстракцио, или вычитание, дивизио, или деление.
Нумерация, как и прежде, выделяется в особое действие.
Особое внимание уделяет Магницкий числам вида 10п (п
— целое положительное) и их наименованиям. Старый счет на
тьмы, легионы и пр. заменен общепринятыми в Европе милли-
онами, биллионами, триллионами и квадриллионами (каждый
класс содержит 6 десятичных разрядов). Далее 1024 Магницкий
не идет, объясняя это следующим образом:
Довлеет число сего
к вещам всем мира всего.
В «Арифметике» Магницкого впервые в отечественной
учебной математической литературе также в стихотворной фор-
ме высказана идея бесконечности числового ряда:
Число есть бесконечно,
Умом нам недотечно,
Никто не знает конца,
Кроме всех Бога творца.**
Здесь же впервые в русской математической литературе 0 возве-
ден в ранг числа: Магницкий причисляет его к «перстам» (пер-
вым 10 числам) и тем самым намного опережает свое время.
Структура книги. Большой том, объемом свыше 600 стра-
ниц, «Арифметика» Магницкого состоит из двух арифмети-
ческих книг: «Арифметики политики, или гражданской»*** и
«Арифметики логистики, не ко гражданству токмо, но к движе-
нию небесных кругов принадлежащей». Третья книга посвящена
навигации. Охарактеризуем математическое содержание обеих
арифметических книг.
* От арабского «ас-сифр» — «пустое»; только в XIX в. слово «циф-
ра» приобрело современное значение, а знак 0 — привычное нам наи-
менование, заимствованное из латинского языка, — нуль.
** Цит. по: [339, с. 61].
*** Термин «арифметика политика», т. е. гражданская, восходит к
византийской литературе XIV в.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 63
« Арифметика политика» — первая книга — объемом
в 218 двойных страниц посвящена изложению собственно ариф-
метики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубичес-
ким). Она состоит из пяти частей:
1. «О числах целых.»
2. «О числах ломаных, или с долями.»
3. «О правилах подобных, в трех, в пяти и в седми перечнях.»
4. «О правилах фальшивых, еже есть гадательных.»
5. «О правилах радиксов, квадратных и кубических, геомет-
рии принадлежащих.»
Кратко охарактеризуем каждую из частей первой книги.
В первой части рассмотрены целые числа и 5 действий —
нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. В отли-
чие от рукописей XVII в. Магницкий кроме правил их выполне-
ния дает определения действий:
«Что есть нумерацио?
Нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию
именовати, яже в десяти знаменованиях, или изображениях со-
держатся и изображаются аще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, из них
же девять назнаменовательны суть: последнее же 0 (еже цифрою
или ничем именуется) егда уно едино стоит, тогда само о себе
ничтоже значит. Егда же коему оных знаменований приложение
будет, тогда умножает в десятеро»*.
Определения арифметических действий, видимо, заимство-
ваны Магницким из современной ему западноевропейской ли-
тературы**. «Аддицио, или сложение, есть двух или многих
числ во едино собрание, или во един перечень совокупление»
— так определяет Магницкий сложение. Вычитание определя-
лось у Магницкого не как действие, обратное сложению, но как
самостоятельная операция, что можно считать естественным на
первой стадии обучения. «Субстракцио, или вычитание, есть им-
же малое число, из болшего вычитаем и излишнее объявляем».
Как независимые действия, решающие некоторые задачи,
определялись также умножение и деление. «Умножение есть, им-
же что в числах умножаем, или коликим вещам по множеству
иных вещей раздаем: и количество их числом показуем». Та-
ким образом, Магницкий сводил умножение к повторному сло-
жению совокупностей предметов. «Деление есть имже болшее
* Цит. по: [349, с. 13].
** См. подробнее там же, с. 13-14.
64 I- История математического образования в XVIIIв.
число, или перечень на равные части меншим разделяем, от них
же едину числом же показуем».
Безусловно, эти определения крайне несовершенны как с со-
держательной, так и с методической точки зрения. Мы не будем
заниматься бесплодной их критикой хотя бы потому, что она яв-
ляется внеисторической. Сам факт попытки определения ариф-
метических действий носит продуктивный характер, так как он
положил начало процессу, в результате которого в ходе анализа
и совершенствования родились современные определения.
Свойства действий не рассматривались.
Основное внимание, естественно, уделялось правилам дей-
ствий и разбору многочисленных примеров. Магницкий, как и
его предшественники, приводил по нескольку способов деления и
умножения. Знаки действий не употреблялись (как и в иностран-
ных учебниках того времени). Значительное внимание уделял
Магницкий способам проверки арифметических действий. Для
проверки вычитания и деления применялись обратные действия,
для всех действий — проверка с помощью 9*.
Далее идут именованные числа, которым предпосылается
обширный трактат о древних греческих, римских и еврейских
деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах
«Московского государства и окрестных некиих», три сравни-
тельных таблицы мер, веса и денег. Этот трактат, отличаю-
щийся замечательными подробностями, ясностью и точностью,
свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого. Более того,
он имеет несомненную историческую значимость, так как да-
ет сведения о системах мер и денежном обращении России. Что
касается именованных чисел, то Магницкий знакомит читате-
ля с их сложением и вычитанием, а также с «раздроблением» и
«превращением», которые рассматривает как деление и умноже-
ние. Действия с именованными числами выполняются обычным
способом.
Во второй части «Арифметики политики» подробно изла-
гаются дроби. Магницкий впервые в русской математической
литературе дает определение дробей: «Число ломаное ничтоже
* Проверка числом 9 состоит в том, что отдельные слагаемые де-
лят на 9, складывают получившиеся при этом остатки. Если сумма
остатков (или остаток от деления ее на 9) совпадает с остатком от
деления суммы слагаемых на 9, то действие считается произведен-
ным правильно. Проверка 9 имеет ряд ограничений, Магницкий же
ошибочно рекомендует этот способ без них.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 65
ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь пол-
тина есть половина рубля, а пишется аще 1/2 рубля, или четь
1/4 или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5 и всякие ве-
щи яковая либо часть, объявлена числом: т.е. ломаное число».
Не случайно изучение дробей следовало за отделом об имено-
ванных числах и системах мер: дробь понималась Магницким
не как отвлеченное число или доля отвлеченной единицы, но
как доля величины, вещи. Дробь при этом мыслилась как не-
кое целое, состоящее из меньших единиц (полтина — 50 копеек,
например). Затем Магницкий подробно излагает арифметичес-
кие действия с дробями — нумерацию, сокращение, сложение,
вычитание, умножение и деление.
Третья часть содержит тройные правила, изложенные в
отличие от рукописей XVII в. подробно и расчлененно. Кроме
обычного тройного правила в целых и долях различаются «воз-
вратительное», т.е. обратное тройное правило, «правило трой-
ное сократительное», в котором возможно предварительное со-
кращение членов пропорции, и правила 5, а также 7 величин.
Магницкий прямо связал тройное правило с пропорциональнос-
тью величин, однако сколько-нибудь развитое учение о пропор-
циях у него отсутствует, поэтому даже простое тройное правило
описано в «Арифметике политике» недостаточно ясно.
В четвертой части изложены правила ложных положений.
Магницкий в отличие от своих русских и иностранных пред-
шественников рассмотрел не два, а три случая правила двух
ложных положений: 1) когда оба положения больше искомого;
2) когда оба они меньше; 3) когда одно больше, а другое мень-
ше. У Магницкого имеются также задачи, решаемые по правилу
одного ложного положения, которое он тем не менее специально
не выделил. Этим заканчивается та часть «Арифметики», кото-
рая роднила ее с рукописями XVII в. Остальное ее содержание
для русского читателя было новым.
В последней, пятой части «Арифметики политики» Магниц-
кий поместил учение о прогрессиях и об извлечении квадратных
и кубических корней. Эти вопросы он справедливо относит к ал-
гебре. Элементы алгебры Магницкий излагает во второй части
книги, однако, считая, что изучать ее будут немногие, решает
предложить некоторые вопросы «в дополнение многих, в пре-
шедших частях различных правил...» Учитывая потребности
практики, он приводит много примеров приложения алгебраи-
ческого материала к военному и морскому делу.
66 I. История математического образования в XVIIIв.
В пятой части Магницкий возвращается к «подобенствам»,
или, как он их теперь называет, пропорциям и прогрессиям —
арифметическим, геометрическим, лишь упомянув о «гармони-
ческих». Он продолжает введенную им в русскую учебную книгу
традицию введения определений:
«Прогрессио есть пропорция или подобенство числ к числам
в примножении, или во уменшении яковых либо перечнев».
«Арифметическое прогрессио или пропорция есть, егда три
или многая числа коеждо их друг от друга равное разнство, но
разные пропорции имать, и сие или единаким пошествием, яко
2, 4, 6, 8, 10, 12 или не единаким, яко 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13».
«Геометрическое прогрессио или пропорция есть, егда три
или многая числа, едину и туюжде между собою пропорцию, но
разнства различная имут, и сие или единаким пошествием, яко
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, или не единаким, яко 2, 4, 6, 12, 18».
Рассматриваются убывающие и возрастающие прогрессии,
свойства арифметических прогрессий и правило для вычисле-
ния ее суммы: «Первый предел и последний сложи, и то сложе-
ние сумножи с половиною всех пределов». Формула для общего
члена, естественно, не дается, правило формулируется для кон-
кретного (14-го) члена прогрессии: «Разнством сумножи 13 мест,
и первый предел к тому приложи, и будет последний предел».
Изложение геометрической прогрессии начинается определени-
ем ее знаменателя: «Идеже достоит умствовати яко егда, два
числа геометрического прогрессия, и едино другим разделяет-
ся, и произведение бывает пропорция, или умноженное число,
имже прогрессия возвышается или вознижается». Формул для
нахождения общего члена и суммы членов геометрической про-
грессии у Магницкого нет, при решении задач он пользуется
описательным способом.
Квадратному корню посвящена статья «О радиксе квадрат-
ном». Магницкий дает геометрическое определение квадратного
корня, так как использует его в дальнейшем в основном в гео-
метрических приложениях. Определив сторону квадрата по его
площади и поместив табличку квадратов от 1 до 12, Магницкий
отмечает, что всякое число может быть квадратом и подроб-
но на примере описывает способ извлечения квадратного корня
из целых и дробных чисел. Приближенное значение корня он
получает приписыванием пар нулей справа.
По аналогии вводится и понятие о кубическом корне, ко-
торому посвящена статья «О радиксе кубическом». Интересны
1. Математическое образование в эпоху Петра I 67
задачи этой статьи, среди которых есть задачи на замену куба
несколькими равновеликими между собой кубами: «Некоторый
куб имеет сторону 28 вершков. Из него надо сделать 8 одинако-
вых меньших кубов. Определить сторону куба».
В связи с большим количеством вычислений в пятой части
«Арифметики политики» Магницкий впервые в отечественной
математической литературе приводит сведения о десятичных
дробях*: «иной член арифметики... яже децималь или десят-
ная именуется, сиречь в десятных частях, или в сотых, или в
тысяшных и множайших». Он рассматривает сложение десятич-
ных дробей, формулирует правила их вычитания и умножения.
«Арифметика логистика — вторая книга — объем-
ом 87 страниц открывается большим предисловием, в котором
раскрывается значение «арифметики логистики», или «арифме-
тики небесных движений», или, наконец, «астрономской». В нем
вводятся основные понятия сферической астрономии. Основное
содержание «Арифметики логистики» — алгебра**, с которой
русский читатель познакомился впервые благодаря Магницко-
му. Изучение алгебры Магницкий рассматривал как «некий вы-
сочайший и тщаливейшим токмо свойственный жребий, даже не
всякому общенарожному человеку есть сия потребна, яко куп-
цем, икономом, ремесленником и таковым».
По мнению А. П. Юшкевича [349, с. 15], содержание этого
раздела свидетельствует о том, что автор изучил довольно об-
ширную английскую и французскую литературу, но сделал это
достаточно поверхностно. Магницкий сам писал, что собрал ма-
териал «не по мнозе времени».
«Арифметика логистика» состоит из двух частей:
1. «О числе арифметики, алгебраики речения и арифметики
логистики через градусы и минуты действующия».
2. «О геометрических через арифметику действующих».
* Все же это не отвлеченные числа: Магницкий приводит немец-
кую десятичную систему мер, в которой сажень или рута содержала
10 футов, фут — 10 дюймов, дюйм — 10 гран [349, с. 15].
** В XVII в. алгебраический материал являлся еще достоянием на-
учных трактатов, а не учебников математики. Кроме того, что мы
сейчас называем элементарной алгеброй, излагается извлечение кор-
ней высшей степени с помощью биномиальных коэффициентов, шес-
тидесятиричная система дробей и целых чисел и некоторые другие
вопросы.
68 I. История математического образования в XVIIIв.
Магницкий, как всегда, начинает с определения: «Алгебра
же назвася от изобретателя, Гебер нарицаемого». Таким обра-
зом, он слово «алгебра» производил, как и многие в его время,
от имени якобы изобретшего ее Гебера*.
Указано семь видов алгебры**: нумерация, «знаменова-
ние»***, сложение, вычитание, умножение, деление и тройное
правило.
В статье «О нумерации алгебраики» даны письменные и
словесные обозначения последовательных степеней от 1-й до 12-
й включительно, например: 1-я — Я-бок, или радикс; 3-я - С-
кубус, или кубик. Степени от 13-й до 25-й лишь перечисляются
и обозначаются, им не дано специальных названий.
После этого Магницкий переходит к другому способу обо-
значения — «знаменованию алгебраики», которое «ничто же
ино есть, токмо литеры гласныя, или о немже взыскание есть.
Такожде и согласные, полагаемыя за количества даных чисел,
или познаных»****. Показатель степени Магницкий обознача-
ет повторением возводимой в степень величины соответству-
ющее число раз, например: «А • АА • ААА • АААА • ААААА».
Или помещает его в одной строке справа от основания степени:
«А1 • А2 • АЗ • А4 • А5». Коэффициент у него имеет такое же зна-
чение, как и сейчас. Знаки сложения и вычитания он использует
нестандартные, так же, как и знак равенства.
Действия с одночленами и многочленами показываются на
примерах, действия с алгебраическими дробями выполняются
так же, как сейчас.
Вторая часть «Арифметики логистики» «О геометрических
через арифметику действующих» состоит из двух основных раз-
делов.
Первый посвящен правилам вычисления различных фигур
«планиметрии и солидометрии»:
* На самом деле севильский астроном Гебер, точнее Джабир ибн
Афла, живший в XI в., к этому не имел никакого отношения.
** Под видом Магницкий в данном случае подразумевает алгебра-
ические операции.
*** В данном случае «нумерация» — название чисел, «знаменова-
ние» — изображение.
**** Магницкий пользуется здесь системой обозначения неизвестных
величин прописными гласными и данных величин прописными со-
гласными, которую ввел Виет.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 69
- площадей треугольника, параллелограмма, трапеции и про-
извольного четырехугольника, а также правилу Герона;
- площади круга, сегмента и сектора;
- поверхности и объема шара;
- объемов призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, а также
цилиндрической и конической поверхностей.
Интересно, что здесь же изложено вычисление поверхности
и объема земного шара в итальянских милях.
Во втором разделе второй части «Арифметики логистики»
представлено решение уравнений. Прежде всего рассматривают-
ся способы решения квадратных уравнений:
- уравнения первого типа:
х2 + х = с; х2 = с + х; с = х + х2;
- уравнения второго типа:
х2 = х + с; х2 + с = х; х + с = х2.
Что квадратный корень имеет два знака и поэтому квадрат-
ное уравнение имеет два решения, Магницкий знал. Более того,
ему было известно, что сумма корней равна по модулю второ-
му коэффициенту. Однако он не принимал во внимание отри-
цательные, иррациональные и комплексные решения и поэтому,
рассматривая уравнения первого и второго типов, пользовался
одним решением. Для общего случая х2 + рх = q Магницкий
формулирует следующее правило: «Творится же сие правило
сице: первое, множи, число праздное чрез квадрат*; второе, мно-
жи половину радикса само на ся; третие, она два произведения
сложи во едино; четвертое, из сложения оного извлецы радикс
квадрат; пятое, от радикса квадрата вычти половину числа ра-
дикса, и остаток раздели чрез число квадрата, и имети будеши
просто число радикса 1Я»**. Это словесное выражение общеиз-
вестной формулы корней приведенного квадратного уравнения,
представленное в алгоритмическом виде.
Итак, значительное место в «Арифметике логистике» от-
ведено алгебре, однако она у Магницкого не играет самостоя-
тельной роли: ее назначение чисто прагматическое — помочь
* Коэффициент при квадрате. — Т. П.
** Цит. по: [349, с. 17].
70 I. История математического образования в XVIIIв.
в решении ряда геометрических задач, важных с прикладной
точки зрения и подводящих к решению некоторых проблем, свя-
занных с навигацией. Именно поэтому, видимо, алгебраические
сведения рассредоточены по разным разделам «Арифметики ло-
гистики».
Далее Магницкий переходит к изложению тригонометрии,
которая представлена очень кратко (около 10 страниц) и зачас-
тую неясно. Сведения о тригонометрии были новинкой в русской
учебной литературе. Нет никаких предварительных объяснений,
даже не определены линии синуса и косинуса. Магницкий сооб-
щает правила вычисления по синусу дуги а, меньшей 90°, коси-
нуса дуги 90° — а («синуса дополнения»); рассматривает синусы
и хорды дуг 2а, За, 5а, приводит словесное выражение синуса
половинного аргумента; решает несколько задач на приближен-
ные вычисления некоторых значений синуса и косинуса.
Заключает «Арифметику» нововведение в русской учебной
литературе: различные сведения, полезные для моряков (табли-
цы магнитных склонений, таблицы широты точек восхода и за-
хода Солнца и Луны, координаты важнейших портов, часы при-
лива и отлива в них и т.д.), подробная характеристика которых
не входит в нашу задачу.
Итак, с содержательной точки зрения «Арифметика» Маг-
ницкого включает в себя:
- арифметику натуральных и положительных рациональных
чисел, в том числе десятичных дробей;
- элементы алгебры: алгебраическую символику, квадратные
и кубические корни, квадратные и линейные уравнения (не-
явно рассматриваются при изучении правил ложного поло-
жения) ;
- простейшие и несистематизированные элементы тригоно-
метрии.
Геометрия в учебнике не представлена, геометрические све-
дения являются составной частью алгебраических разделов, по-
священных квадратным и кубическим корням и квадратным
уравнениям.
Благодаря этому учебнику в русской научной литературе
впервые появились квадратные уравнения, десятичные дроби,
прогрессии, а в математическом языке — термины «множи-
тель», «делимое», «проопорция», «прогрессия» и др.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 71
1.2.3. Методические особенности
«Арифметики^ Магницкого
.ГГерейдем теперь к характеристике методических особен-
ностей первого русского учебника математики.
Логическая составляющая. Мы имеем в виду, в первую
очередь, наличие определений математических понятий, доказа-
тельность математических предложений, обоснованность сфор-
мулированных правил, вид формул. Как уже было сказано ранее,
в «Арифметике» Магницкого впервые в русской учебной литера-
туре делается попытка систематического определения основных
понятий арифметики и алгебры, примеры которых нами в из-
обилии приведены. Таким образом, Магницкий явно выделяет
понятийный аппарат. Однако в его определениях, особенно в
учении о прогрессиях, квадратных и кубических корнях, есть
существенные логические недочеты*. Так, кроме общих опре-
делений математических понятий (например, определение про-
порции, приведенное выше) Магницкий дает определения, но-
сящие более частный характер, включающие в себя примеры.
Геометрическим понятиям, встречающимся в книге, не дается
определений, указаны лишь отдельные названия, причем иног-
да новое название без объяснения встречается только в задаче.
Тем не менее введение определений в традицию русской учебной
математической книги, несомненно, заслуга Магницкого.
Что касается доказательств математических предложений,
то они в строгом смысле слова в «Арифметике» Магницкого от-
сутствуют. Но в очень многих случаях он, растолковывая прави-
ла, подводит к их сознательному применению, привлекая все воз-
можные аналогии. Так, при изложении тройного правила Маг-
ницкий пользуется такой аналогией: сооружая дом, ставят сна-
чала два угла, и затем третий, после чего находят четвертый.
Так и в тройном правиле: по известным трем величинам нахо-
дят четвертую, пропорциональную третьей. Все же отсутствие
доказательств приводит к безусловному догматизму изложения:
важно было научить производить действия, не объясняя, поче-
му делается так, а не иначе. От ученика требовалось только
заучить наизусть правила и уметь их применять в решении за-
дач. Это требование своего времени и стремился реализовать
Магницкий — «первый российский арифметик и геометр».
* Заметим, что подобные недочеты присущи всем арифметическим
руководствам того времени.
12 I. История математического образования в XVIIIв.
Формул как таковых в «Арифметике» также нет. Это обу-
словлено прежде всего отсутствием необходимой символики: ал-
гебраическая символика Декарта окончательно проникла в учеб-
ные математические книги только в XVIII в.; частично исполь-
зовалась символика Виета, частично — коссическая символика.
В связи с несформированностью символики формулы излагались
в словесном виде, принимая вид правил.
Методика изложения материала. Весь материал книги
изложен в катехизисной форме (форме вопросов и ответов), ши-
роко распространенной в то время. Эта форма изложения имеет
несомненные педагогические достоинства и в какой-то мере воз-
рождается в настоящее время*. Приведем пример катехизисной
формы изложения материала. Глава о вычитании целых чисел
начинается так: «Что есть субстракцио? Субстракцио или вы-
читание есть, также малое число из большего вычитаем и из-
лишнее объявляем...»
Все темы излагались по единой, если можно так выразиться,
методической схеме: каждое новое правило начиналось с просто-
го примера, затем давалась его общая формулировка, и, наконец,
оно закреплялось большим количеством задач преимущественно
практического содержания. Надо признать, что такая методи-
ческая схема сохранилась и в некоторых современных техноло-
гиях обучения.
Приведем небольшой фрагмент из текста «Арифметики»,
для того чтобы предметно представить описанную форму изло-
жения материала.
«Ино сложение в три перечня. Егда же случится тебе сло-
жити три перечня во един, како же 578, 402, 396 и ты постави
такожде перечень под перечень прямо, число против чисел
578
402
396
и прочертив под ними черту, и рцы 8, 2 и 6 итого 16: и ты десять
* В частности, активные методы обучения — метод беседы, в
том числе эвристической, во многом строятся на вопросно-ответной
форме.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 73
во уме держи за один, а б напиши под чертою под 6:
578
402
396
6
гли же един, что в уме и 7 верхнего перечня, и 9 нижнего, и
соберется всего 17: о них же 7 напиши подле 6 к левой руке под
9-ю
578
402
396
76,
а десяток паки во уме держи за един какоже и прежде собери
паки во едино: един, что во уме, 5 верхнего перечня, четыре
среднего, 3 нижнего: всего будет 13: о них же 3 напиши подле
7, к левой руке под 3, а десяток един напиши в ряд подле 3, к
левой же руке:
578
402
396
1376
и будет всего сложено из трех перечней 1376» [81, с. 60-61].
После этого формулируется «правило общее», употребляю-
щееся для сложения не только трех чисел, но «сколько случит-
ся».
Каждое правило, особенно выполнения арифметических
действий, сопровождалось правилом проверки — «поверением».
Например, при изучении сложения Магницкий поясняет, что
«поверение ничто иное есть, токмо свидетельство сложения, аще
истинно сложил без погрешения или в чем погрешил, а пове-
ряется сице, из всех верхних перечней порядком вычитай по 9.
Оставшее же напиши особо. А потом вычти из последнего пе-
речня по 9 же: и что останется, того смотри, аще толикое же
число осталось, елико и в верхних перечнях оставшее, и особно
написанное. И по тому знай, ако право, и без погрешения сложен
перечень. А ще же не будет согласен остаток с первым остатком,
убо не добре сложил еси»*.
* Упоминавшееся ранее правило проверки 9.
Ц I. История математического образования в XVIIIв.
Рассмотрим подробнее методику изложения арифметичес-
ких действий.
Методика обучения действию сложения мало отличается от
современной: сначала показывается сложение двух чисел с посте-
пенным усложнением примеров; потом рассматривается сложе-
ние трех чисел, которое также закрепляется большим количест-
вом примеров, и лишь после этого дается «правило зачальне»
для произвольного количества слагаемых. Это правило сопро-
вождается значительным количеством примеров, задач житей-
ского содержания. Например, такая
Задача. «Житопродавец некий продал жита 7 человекам.
Первому 125 четвертей, другому 107, третьему 99, четвертому
86, пятому 130, шестому 133, седьмому 250. И последи смечал
колико четвертей продал.
И сложив аще обрете в сложении 930»*.
Методика обучения умножению, вычитанию и делению так-
же мало отличается от распространенной теперь. В «Арифмети-
ке» приводилась таблица умножения, которую надо было знать
наизусть. Она заканчивалась следующими нравоучительными
строками:
Аще кто не твердит
таблицы и гордит
не может познати
числом, что множати
и во всей науки
не свободен от муки.
Колико не учит,
туне ся удручит
и в пользу не будет
аще ее забудет.
Методические особенности системы задач. Система задач
и упражнений «Арифметики», возможно, самая интересная из
предложенных Магницким методических новаций. Имея в виду
не только нужды школы, но преимущественно самоучек, како-
вым являлся он сам, Магницкий помещает в книге очень большое
количество подробно разобранных примеров и детально решен-
ных задач на различные правила. Таких задач, по авторитетно-
му свидетельству А. П. Юшкевича [349, с. 13], в «Арифметике»
было значительно больше, чем в соответствующих заграничных
математических руководствах. Прежде всего обратим внимание
на большое количество объяснительных примеров («прикладо»),
которые иллюстрируют основные положения теории. Очень час-
то они прямо включаются даже в формулировки определений
* Цит. по: [83, с. 81].
1. Математическое образование в эпоху Петра I 75
(см. выше определение дроби). Как правило, это не отвлечен-
ные, а содержательные примеры.
Таким образом, с помощью удачно подобранных примеров
основные понятия излагаются, ассоциируясь у читателя с при-
вычными житейскими образами, что облегчает их восприятие.
Эта тенденция обнаруживается и в системе задач: каждая
задача облекается автором в практическую или просто интерес-
ную форму. Так, например, извлечение квадратного корня он
иллюстрирует задачами, подобными следующей:
Задача. «Некий генерал хочет с 5000 человек баталлию
учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне и
ведательно есть колико оная баталлия будет в лице и в стороне
человек.»
Решение. «Раздели на 2 все 5 000, будет 2 500, из него же
извлеки квадратный радикс, будет 50 человек в стране и сие
умнож через 2, придет 100.»
Многочисленные исследователи отмечают в качестве несо-
мненного методического достоинства «Арифметики» Магницко-
го умелый подбор примеров: «примеры восходящей трудности»
[149, с. 11], «многочисленные примеры, более простые из которых
последовательно сопровождались более сложными» [349, с. 14].
Однако, пожалуй, самая яркая характеристика задач «Ари-
фметики» — прикладной характер задач. Особенно убедитель-
но это проявляется в удовлетворении запросов основного потре-
бителя арифметических познаний — купечества. Практически
вся третья часть «Арифметики политики» посвящена тройно-
му правилу и представляет из себя решение задач торговли: 137
задач объединены в 13 статей, заголовки которых достаточно
красноречивы. Приведем некоторые названия и примеры содер-
жащихся в статьях задач*.
Первая статья — «тройная торговая». Для нее типична та-
кая задача: «5 аршин стоят 2 рубля 2 гривны, сколько стоят 15
аршин?». Третья статья — «тройная торговая в товарных ово-
щах и с вывескою». Типичная задача: «Куплено для пороха 22
бочки селитры весом с тарой 702 пуда, а платили за селитру с
тарой 1404 рубля, а за пуд селитры по 2 руб. 16 коп., при этом
от 108 пудов снижали 8 пудов. Найти стоимость пуда селитры
без тары, вес селитры и сколько уплачено за селитру».
* Все задачи этих статей взяты преимущественно из русских ру-
кописей XVII в.
76 I. История математического образования в XVIIIв.
В одиннадцатой статье «Торговой складной со времени»
объединены задачи делового характера. Например: «Некоторый
человек нанял на год работника и обещал ему платить 12 руб.
и кафтан, но он работал 7 месяцев и получил 5 руб. и кафтан.
Сколько стоит кафтан?».
В последней, тринадцатой статье «О соединении вещей»
Магницкий впервые в отечественной учебной литературе вво-
дит задачи на смешение.
Часть задач разбиралась ясно и подробно, другие решались
чисто формально. Приведем пример* сравнительно простой за-
дачи, решение которой давалось без дополнительного пояснения.
Задача. «Один путник идет от града в дом, а ходу его
будет 17 дней, а другой путешественник от дому во град тойжде
путь творяше, а может пройти в 20 дней, оба же сии человека
пойдоша во един и тойжде час от мест своих и ведателно есть в
колико дней сойдутся. Придет в 9^ дня, зри изобретается сице:
17 17 7
20 20 9— дня».
340 37 37
Выделим еще один тип задач — геометрические. Как уже
говорилось, геометрия в сочинении Магницкого не излагалась,
однако прикладные геометрические задачи решались в изоби-
лии. Так, при введении десятичных дробей и квадратных корней
рассматриваются преимущественно геометрические примеры, в
частности основывающиеся на (несформулированной) теореме
Пифагора. Образцом их может служить определение глубины
колодца по его диаметру и длине диагонально пересекающей
его лестницы. Представлены и задачи на определение боковой
поверхности конуса по периферии основания и образующей, на
определение поверхности шара по диаметру и т.п. Например,
задача, в которой ищется количество пуль диаметром в 1/2 цол-
ля** каждая, которое можно сделать из свинцового ядра диамет-
ром в 18 цоллей. Прикладной характер носил и уже охарактери-
зованный ранее обширный трактат о деньгах, мерах и весах.
Отметим еще одну методическую особенность задач «Ариф-
метики» Магницкого — наличие задач, как их сейчас принято
* См. подробнее: [349, с. 14-15].
** Единица немецкой десятичной системы мер: сажень (рута) со-
держала 10 футов, фут — 10 цоллей.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 77
называть, занимательного характера. Так, он дает примеры ум-
ножения «с некоим удивлением», в которых произведения состо-
ят из одних единиц, двоек и т. д. (777 х 143; 777 х 286 ...).
Четвертая часть «Арифметики политики» заканчивается
специальной статьей «О утешных неких действах через ариф-
метику употребляемых», которая содержит шесть заниматель-
ных задач (в основном они взяты из русских арифметических
рукописей XVIIв.).
Итак, «Арифметика» обладала рядом несомненных методи-
ческих достоинств, однако была трудна для понимания не только
учеников, но и учителей того времени. Более доступной ее час-
тью была арифметика, но даже и она нуждалась в значительной
переработке, чтобы быть широко использованной в цифирных
школах и в домашнем учении.
Гуманитарный потенциал книги. Говоря несколько вы-
ше о полифункциональности «Арифметики», мы частично оха-
рактеризовали уникальный гуманитарный потенциал книги: в
ней содержались сведения из Новейшей истории («деяния Пет-
ра»), имелось большое количество общефилософских рассужде-
ний, изречений, нравоучений, советов читателю, изложенных
преимущественно в стихотворной форме.
Стихи сопровождали и математическое содержание «Ариф-
метики». Так, после правила сложения двух целых чисел при-
ведена таблица суммы двух чисел при изменении слагаемых в
пределах первого десятка, после чего стихотворные строки:
К двум един, т.е. три, Хотящий же не лгати,
два же к трем пять смотри. похвально слагати,
Так и все назирай, да тщити познати
таблицу разбирай. изустно сказати*.
Но этим гуманитарная составляющая «Арифметики» не ис-
черпывалась, ярко проявляясь в эстетических особенностях кни-
ги, прежде всего в ее художественном оформлении. Книга кра-
сочна, изобилует символическими картинками, которые были
характерны для литературы того времени. На обороте титуль-
ного листа изображен букет из неведомых цветов, окруженный
виньеткой со словами: «Тако цветет человек, яко цвет сельный».
Под виньеткой помещено стихотворение, в котором отражено
* Цит. по: [83, с. 81].
78 I. История математического образования в XVIIIв.
отношение автора к арифметике (см. выше). Книга имеет свой
герб, также описанный в стихотворной форме. Он изображает:
- двуглавого орла с Георгием Победоносцем, поражающим
дракона;
- Пифагора с весами, товарами, мешком денег и цифрами;
- Архимеда с земным шаром, кораблем и другими предмета-
ми, характеризующими мошь науки.
Первая книга открывается аллегорической картинкой, из-
ображающей восседающую на троне Арифметику с короной на
голове и с большим ключом (к знанию) в правой руке. К тро-
ну ведут пять ступеней: счисление, сложение, вычитание, умно-
жение и деление. Портик храма поддерживают восемь колонн,
изображающих, согласно надписям, геометрию, стереометрию,
меркаторию*, фортификацию и архитектуру. На пьедестале над-
пись: «Арифметика что дает, на столпах то все имеет»**. Таким
образом, художественное оформление и стихотворное изложение
создавали насыщенный эмоциональный фон книги, во многом
формируя познавательные интересы читателя.
Итак, «Арифметика, сиречь наука числительная...» не
только содержала энциклопедические математические сведения,
причем с ярко выраженной прикладной направленностью, но и
обладала целым рядом методических достоинств, значительным
гуманитарным, в том числе эстетическим, потенциалом. Все это
сделало ее не просто учебником математики, но и выдающимся
литературным памятником петровской эпохи, сыгравшим реша-
ющую роль в деле математического образования в России.
1.2.4. Другая учебная
математическая литература
петровской эпохи
Учебники арифметики, таблицы. По «Арифметике»
Магницкого изучали математику во всех учебных заведениях
эпохи Петра Великого, а также люди, занимающиеся самооб-
разованием. Изучение этой книги давало возможность стать
математически высокообразованным человеком. Однако и пос-
ле ее выхода не отпала необходимость в небольшом учебнике
для усвоения первоначальных арифметических сведений***.
* Торговое дело.
** Описание взято из [349, с. 13].
*** Кстати, существует достаточно обоснованная точка зрения, что
1. Математическое образование в эпоху Петра I 79
В 1705 г. было издано наглядное пособие по арифметике
«Новый способ арифметики феории или зрительные, сочинен
вопросами ради удобнейшего понятия... В Москве 1705 года че-
рез труды Василия Киприанова». Оно представляло собой боль-
шую таблицу, украшенную многочисленными аллегорическими
рисунками, видами Кремля и только что основанного «Петропо-
лиса» — Петербурга, портретами ученых (Архимеда, Пифагора,
Коперника, Тихо Браге и др.) и изображениями математичес-
ких инструментов. Она содержала начальные арифметические
сведения, изложенные по образцу «Арифметики» Магницкого в
катехизисной форме.
В первой части пособия даны «пределения» по Магницкому
пяти основных математических действий, таблица умножения,
способы проверки умножения и деления 9, а также примеры дей-
ствий с именованными числами. Во второй части кратко изло-
жены сведения о десятичных дробях и действиях над ними. «В
свое время, — замечает Б. Е. Райков, — эти листы играли ту
же роль, какую в наше время популярные книжки» [254, с. 109].
Другим пособием по арифметике были переизданные в Мос-
кве в 1714 г. таблицы умножения (напомним, первое издание осу-
ществлено в 1682 г.).
В 1703 г. изданы* первые в России «Таблицы логариф-
мов, синусов, тангенсов и секансов к научению мудролюбивых
тщателей», переизданные в 1715 г. с указанием, что издание
было произведено «тщанием и заосвидетельством Математико-
навигацких школ учителей» [349, с. 12] Фарварсона, Гвина и
Магницкого. Эти таблицы воспроизводят известные таблицы
Влакса, вышедшие в 1628 г., и содержат семизначные десятич-
ные логарифмы чисел до 10 000, а также логарифмы и нату-
ральные значения вынесенных в заглавие тригонометрических
функций.
Ломоносов изучал математику не по учебнику Магницкого, а по од-
ному из таких небольших учебников (см. подробнее: [171, с. 233-239]).
* Отметим несомненные заслуги в издании математической лите-
ратуры уже упоминавшегося нами «библиотекаря и издателя», ко-
торый называет себя в прошении на имя Петра «рабом математи-
ческих наук», Василия Анофриевича Киприанова. Кроме «Нового
способа...» он издал «Таблицы логарифмов...», а также «Табли-
цы горизонтальные северный и южныя широты» (пер. с голл. СПб.,
1722), подготовленные Фарварсоном и Магницким.
80 I- История математического образования в XVIIIв.
Учебники геометрии. Несмотря на энциклопедический
характер «Арифметики» Магницкого, в ней практически от-
сутствовал геометрический материал. Необходим был учебник
геометрии, который удовлетворял бы возросшие потребности в
геометрических знаниях. В петровскую эпоху на русском язы-
ке были напечатаны два переводных геометрических учебных
руководства: «Приемы циркуля и линейки» и «Геометрия прак-
тика».
«Приемы циркуля и линейки». В 1708 г. в Москве дважды
был издан учебник геометрии* под названием «Геометрия сло-
венски землемерие издадеся новотипографским тиснением** по-
веление царя ... Петра Алексеевича ... или избраннейшее начало
во математических искусствах, инже возможно легким способом
заступити землемериа и иных из оного происходящих искусств»
[107]. Переводчиком книги был известный сподвижник Петра I
Яков Вилимович Брюс. Интересно, что царь принял деятельное
участие в издании, тщательно отредактировав весь текст книги.
Известно три издания учебника. Второе издание вышло в
1709 г. с двумя новыми разделами. Первый из них «О превраще-
нии фигур плоских во иныя такова же содержания», отдельно
изданный еще в 1708 г., составлен Брюсом, второй — «Постро-
ение солнечных часов в различных случаях» — принадлежит
Петру I. В 1725 г. вышло третье издание книги под названием
«Приемы циркуля и линейки», которое и стало общепринятым.
Кратко охарактеризуем содержание учебника.
В предисловии объясняется тесная взаимосвязь между «гео-
метрией феоретикой» и «геометрией практикой» и польза этой
науки: «Первая обходится токмо единым размышлением о дово-
дах в художествах и искусствах по ведомым или правилам оныя
употребляюща, такожде из истинаго ли основания могу освиде-
тельётвованны быть.. .Другая же противна первой есть, и дей-
ствует токмо единым обучением, тако о чем первая на пред и
* Перевод изданной в 1686 г. в Вене книги «Ertzeroqliche Handgriffe
des Zirckels und Lineals», автором которой, как установил И. Я. Деп-
ман, был австрийский математик Антоний Эрнест фон Пюркен-
штейн. Ценные библиографические сведения о «Приемах...» опуб-
ликовал С.Е. Фель [309].
** Это первая математическая книга, напечатанная новым русским
гражданским шрифтом.
1. Математическое образование в эпоху Петра I 81
мыслили, то сия действом являет.. .Однако же не может еди-
на без другия добро стояти...» Так как учебник предназначал-
ся для Математико-навигацкой школы, курс геометрии носил
не теоретический, а практический характер. Поэтому, придавая
столь большое значение теории в предисловии, автор ограничи-
вается минимумом теоретических сведений.
В первой части книги сформулированы определения — опи-
сания ряда геометрических понятий. Первым описывается по-
нятие точки: «Пункт есть линейная точки, о ней же мыслити
возможно, и не может вящще линейши разделена быти». О плос-
кости сказано: «Плоская суперфициа или наружность есть такое
величество, которое долго и широко есть без толстоты. Солнеч-
ная стень изображает нам подлинную плоскость».
Даются конструктивные описания более сложных линий:
- винтовой линии — «гелика, или шурупная»;
- спиралей — «спиралис, или улитковая»;
- конических сечений, к которым автор относит «эллиптику»,
«параболику» и «гиперболику»;
- эллипсоида — «сфероид или раздавленный глобус изобра-
жает подлинное яйцо»;
- конус сравнивается с заостренным караваем.
Автор вновь обращается к соотношению теории и практики,
образно представляя чистого теоретика как ремесленника «худо-
жествие разумеющу, а не действующу, инженеру же добывающу
крепости на бумаге, корабельщику же, в дому своем на морской
маппе* щасливо во Америку ездящу». В то же время Я. В. Брюс
считает, что «не много инако и тому служитца будет, иже бы
токмо едину практику хотел. Зане он царскую крепость на песке
строил бы и под Дунай реку подкоп бы проводил, а на остаток с
баварским плотом во Индею ездил бы». Подобные меткие, образ-
ные, зачастую остроумные разъяснения роли теории и практики
в геометрии, ее пользе для черчения карт, фортификации, воен-
ного дела и проч, можно отнести к несомненным методическим
достоинствам книги. Приведены в ней и исторические сведения о
происхождении геометрии в Египте из потребностей измерения
земельных участков.
Тут же формулируются «общественные знаемности» (обще-
принятые положения, аксиомы) — практически те же, что у Ев-
клида. А вот список постулатов («обещания» или «допущения»)
* Карте. — Т. П.
82 I. История математического образования в XVIIIe.
существенно отличается от Евклидова. Так, нет постулатов о
равенстве прямых углов и о параллельных. Введенные в книгу
допущения необходимы при решении задач на построение. При-
ведем примеры: «Допущается и признается свободно, без всякого
прекословия. Ежели кто имеет прямую линейку, к тому же ка-
рандаш или перо, то может он тем на бумаге из данныя точки
прямую линию начертить» или: «Обещается каждому свобод-
но данную прямую можно продолжити, коль далеко похощешь,
токмо бы места свободного довольно было». Таким образом, пос-
тулаты превращаются в алгоритмы выполнения соответствую-
щего построения.
Первая часть книги занимает вместе с прекрасными рисун-
ками и изящными гравюрами около 50 страниц и характеризует-
ся сочетанием математических формулировок в стиле Евклида
с практическими чертежными советами. Остальные шесть час-
тей «Приемов циркуля и линейки» представляют собой около
100 точных и приближенных построений при помощи циркуля и
линейки. При решении задач автор ограничивается только опи-
санием построения, какие-либо доказательства отсутствуют.
В первой части речь идет о простейших построениях: уг-
ла, равного данному; деления угла пополам; деления отрезков
на несколько равных частей; проведении касательных к окруж-
ности из данной точки. Здесь же приведены решения достаточно
сложных задач на построение:
- проведение прямой через две точки, которые из-за большого
расстояния между ними нельзя соединить линейкой;
- построение спиралей из полуокружностей, радиусы которых
возрастают в арифметической или геометрической прогрес-
сии.
Во второй части «Приемов циркуля и линейки» рассматри-
ваются следующие построения: правильных многоугольников,
центра круга с помощью перпендикуляров в серединах двух
хорд, веревочное построение эллипса и определение его цент-
ра и осей. Третья и четвертая части посвящены вписанным и
описанным около круга фигурам. В пятой части «Приемов...»
дается построение различных пропорциональных величин. За-
ключительная, шестая часть учебника посвящена приемам вы-
черчивания проекций куба на плоскость, а также рассмотрению
разверток пяти правильных многогранников и правил их постро-
ения. Последний раздел книги посвящен преобразованию одних
плоских фигур в другие, им равновеликие, например, треуголь-
1, Математическое образование в эпоху Петра I 83
ника в другой треугольник с тем же основанием, но другим уг-
лом при нем; в равносторонний треугольник; в параллелограмм
с данным углом при основании. Затем прямоугольник преоб-
разовывался в равновеликий квадрат. В заключение давалась
приближенная квадратура круга.
Итак, «Приемы циркуля и линейки» достаточно полно зна-
комили читателя с различными, в том числе достаточно слож-
ными, геометрическими построениями, а также некоторыми пре-
образованиями фигур. Это был первый русский учебник геомет-
рии, который во многом превзошел рукописное сочинение Ивана
Елизарьева (1625). Книга имела успех, в свое время была весьма
распространенной, о чем говорит не только количество переизда-
ний, но и значительное число ее рукописных списков, известных
в настоящее время. Однако «Приемы циркуля и линейки» не со-
держали правил измерения и вычисления размеров фигур и поэ-
тому не могли полностью удовлетворить потребности геометри-
ческого образования. Этот пробел восполнил еще один учебник
геометрии эпохи Петра Великого.
«Геометрия практика с фигурами» издана в 1714 г. в Петер-
бурге, Автором ее является также Яков Вилимович Брюс. Эта
книга — важное дополнение к «Приемам циркуля и линейки»,
она состоит из четырех разделов, в которых решено 68 задач на
измерение фигур.
В первом разделе рассмотрено 13 задач на решение пря-
моугольных и косоугольных треугольников и определение недо-
ступных предметов с помощью тригонометрии.
Прежде чем использовать тригонометрию для решения за-
дач, необходимо было ввести важнейшие тригонометрические
понятия.
В «Геометрии практике» — это линии синуса, тангенса и
секанса в прямоугольном треугольнике РДС с прямым углом
Д\ «В треугольнике называются линеи, нижняя в литерах ДР,
Синус, перпендикулярная, в литерах ДС, Секанс». Таким обра-
84 I- История математического образования в XVIIIe.
зом, синус, тангенс и секанс вводятся, соответственно, как кате-
ты и гипотенуза прямоугольного треугольника. Никаких подроб-
ностей относительно свойств и отношений тригонометрических
линий, заданных таким способом, автор не излагает, сразу же
приступая к решению практических задач в виде рецептов.
Во втором разделе решаются те же и аналогичные задачи,
но с применением логарифмических таблиц. Третий раздел —
«планиметрия», или способы «во всяких планах познавать су-
перфицию*, или дробные меры, из каких стороны их состоят».
В нем вычисляются площади треугольника, произвольного че-
тырехугольника, эллипса (по неточной формуле S = 7г^а^
вместо S = nab), кругового сектора и сегмента. Четвертая часть
— «штирометрия, яже учит какими способами познавать в кор-
пусах, или телах, как в регулярных, так и во иррегулярных кор-
пуленцию»**. В ней вычисляются поверхности круглых тел и
объемы правильных многогранников и круглых тел. Решения в
третьей и четвертой частях книги приводятся чисто геометри-
ческие, без применения тригонометрии. Как и в ранее разобран-
ных учебниках, какие-либо обоснования, не говоря уже о строгих
доказательствах, отсутствуют.
*
* Площадь, поверхность. — Т. П.
** Объем. — Т. П.
85
2. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ В РОССИИ
Великий муж, прославивший век свой
просвещением рода человеческого.*
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИЧЕСКОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
во II четверти XVIII — начале XIX века
Академическая образовательная система — уникальное яв-
ление в интеллектуальной истории России. Она возникла в связи
с учреждением С.-Петербургской Академии наук, функциониро-
вала на протяжении всего XVIII в. и прекратила свое существо-
вание в начале XIX в. в связи с реформированием всей отечест-
венной системы образования. Одним из активнейших создателей
академической образовательной системы был величайший мате-
матик всех времен и народов Леонард Эйлер, с именем которого
так или иначе связано дальнейшее развитие школьного мате-
матического образования в России. Он внес громадный вклад
в процесс его становления как непосредственно (создание про-
грамм и учебников), так и опосредованно, через многочисленных
учеников, которые в большинстве своем не стали значительны-
ми математиками, но сделали неизмеримо много для постановки
в России школьного математического образования.
Непосредственное влияние на школьное математическое об-
разование Эйлер оказывал преимущественно через деятельность
в гимназии при императорской Академии наук. Прежде чем ха-
рактеризовать достижения Эйлера и его последователей в деле
математического образования обратимся к «последнему деянию
Петра» — созданию Академии наук.
* Похвальная речь покойному Леонарду Эйлеру, сочиненная на
французском языке и читанная в собрании Академии октября 23 дня
Николаем Фуссом [253, с. 353].
86 I. История математического образования в XVIIIв.
2.1.1. Математическое образование
в гимназии
при С.-Петербургской Академии наук
Создание Санкт-Петербургской Академии наук.
Петр I неоднократно высказывал мысль о создании Академии.
Самое раннее упоминание об этом относится к 1699 г. — в уже
упоминавшейся беседе царя с патриархом Адрианом о необхо-
димости просвещения России. Пользовавшийся европейской из-
вестностью математик и политик Г. В. Лейбниц, как уже гово-
рилось ранее, настоятельно рекомендовал царю обширную про-
грамму культурных реформ, среди которых центральное место
занимало основание школ и Академии. Аналогичные советы да-
вал Петру I и знаменитый профессор математики и естествен-
ных наук Галльского и Марбургского университетов X. Вольф, а
также целый ряд видных французских ученых*. Вероятно, соз-
дание Академии наук ускорил тот факт, что Петр I был избран
членом Парижской Академии наук. В ответ на это избрание он
писал в Парижскую Академию: «Мы ничего больше не желаем,
как чтоб чрез прилежность, которую мы будем прилагать, нау-
ки в лучший цвет привесть, себя яко достойно вашей компании
члена показать» [125, с. 30].
Петр решил придать Академии не только исследователь-
ские, но и учебные функции, учредив при ней университет и
гимназию, чтобы «расплодить науку в народе». Объединение ря-
да функций мотивировалось тем, что «таким бы образом одно
здание с малыми убытками тое же бы с великою пользою чини-
ло, что в других государствах три разные собрания чинят»**.
22 января 1724 г. в Зимнем дворце в присутствии императора
состоялось заседание Сената, на котором обсуждается проект
основания Академии; 28 января этого же года Сенат издал указ
о ее учреждении.
Академия наук состояла из трех классов: математическо-
го, физического и гуманитарного. Математический класс дол-
жен был делиться на четыре кафедры: одна кафедра отводилась
для математики, другая — для астрономии, географии и навига-
ции и две — для механики. В физический класс входили также
четыре кафедры: физики теоретической и экспериментальной,
анатомии, химии и ботаники. Гуманитарный цикл состоял из
* См. подробнее: [125, с. 30].
** Цит. по: [81, с. 71].
2. Леонард ЭЙЛЕР 87
трех кафедр: красноречия и древностей, истории древней и но-
вой и права, политики и этики.
Такая структура Академии была совершенно оригинальной,
а не скопированной с западных образцов, так же, как и структу-
ра университета при Академии: он должен был состоять толь-
ко из юридического, медицинского и философского факультетов.
Академия и университет были вполне светскими учреждениями,
они не включали богословской кафедры или факультета, как бы-
ло принято в то время в странах Запада. Изучение богословия
было оставлено на попечение Синода. Еще одним кардинальным
отличием русской Академии от иностранных стало то, что она
была не добровольным общественным, а важным государствен-
ным органом, исполняющим твердый государственный бюджет
и располагающим превосходными для своего времени вспомо-
гательными учреждениями: обсерваторией, лабораториями, ин-
струментальными мастерскими, библиотекой, музеем, ботани-
ческим садом, издательством и типографией.
В утвержденном Петром! проекте Академия получила на-
звание «социетет», т. е. общество «художеств и наук». Однако
под художествами тогда в большей степени понималось ремесло,
чем искусство. В собственноручно написанном императором до-
кументе предложен перечень 19 различных «художеств», в числе
которых имеются действительно художественные специальнос-
ти (живопись, скульптура, архитектура), прикладные научные
(оптическое искусство, построение математических инструмен-
тов) и ремесла (столярное, токарное, плотничное).
Научные и преподавательские кадры Академии и
университета. В России, естественно, еще не было своих уче-
ных, каковые могли быть кандидатами в академики*. Поэто-
му решено было произвести первый набор академиков за гра-
ницей. Установка была взята на приглашение крупных уче-
ных. В результате оживленной переписки и переговоров мате-
матики Я. Герман, братья Николай и Даниил Бернулли, физики
X. Мартини, Г. Б. Бюльфингер и некоторые другие ученые, со-
гласились приехать в Россию. Всего приехало 17 профессоров.
По уставу Академии они должны были читать лекции. Однако
* Впрочем, энциклопедически образованные люди, вполне достой-
ные звания академика, у нас были, например В. Н. Татищев. Но такие
люди в то время служили стране в качестве государственных деяте-
лей, поэтому заниматься только наукой они не могли.
88 I. История математического образования в XVIIIв.
слушателей в университете не было. Пришлось выписать из За-
падной Европы 8 студентов (слова «студент» в русском языке
еще не было, студенты Академии назывались «елевами», сама
Академия наук — «Сиянс-Академи»).
Учреждение в России Академии наук совпало с периодом
расцвета математики в Европе. Подбор профессоров по отделу
математических наук (из 23 академиков, приглашенных в тече-
ние первых лет, 7 являлись математиками) оказался поразитель-
но удачным: Я. Герман, ученик Якова Бернулли, с 1707 г. про-
фессор университета в Падуе, а затем во Франкфурте-на-Одере;
Николай и Даниил Бернулли — сыновья знаменитого Иоганна
Бернулли; Христиан Гольдбах — один из известных и плодо-
витых математиков своего времени, имеющий разнообразные
интересы как в математике*, так и вне ее: много путешество-
вал, был знаком со многими видными учеными своего времени.
С 1727 г. к ним присоединился Леонард Эйлер.
Сразу же после приезда в Россию первых академиков начал
издаваться журнал «Комментарии Санкт-Петербургской Акаде-
мии» — первый российский научный журнал, успех которому
обеспечил блестящий состав академиков. В первом же томе был
напечатан ряд статей, посвященных интегрированию дифферен-
циальных уравнений, впервые в истории математики рассмат-
ривавшихся независимо от геометрических или механических
задач. Со второго тома начал печататься Л. Эйлер, без мему-
аров которого позднее не выходил практически ни один том. В
третьем томе появился знаменитый мемуар Иоганна Бернулли
о колебании струны, в котором впервые решение давалось три-
гонометрическим рядом.
Леонард Эйлер и С.-Петербургская Академия наук.
По иронии судьбы, Эйлер приглашен в С.-Петербургскую Ака-
демию наук на кафедру физиологии. Но «так как я, — пишет в
автобиографии Эйлер, — чувствовал склонность только к мате-
матическим наукам, то меня сделали адъюнктом высшей мате-
матики, а предложение назначить меня к занятиям медициною
совсем не состоялось»**.
* Внес значительный вклад в теорию чисел, теорию дифференци-
альных рядов и дифференциальной геометрии, сформулировал гипо-
тезу, известную под названием «проблемы Гольдбаха», занимался ис-
торией науки и вопросами преподавания.
** Цит. по: [251, с. 30].
2. Леонард ЭЙЛЕР 89
Знаменательно, что приехал он в Петербург в день смерти
Екатерины I: Академия, лишившись ее покровительства, при-
шла в упадок — денежные средства перестали своевременно от-
пускаться, руководителями были назначены лица, не имевшие
представления о научной работе. Многие академики не выдер-
живали нового режима и уезжали на родину. Этот негативный
процесс тем не менее способствовал быстрому профессиональ-
ному росту Эйлера в области математики: в 1729 г. он занял
освободившееся место профессора физики, а с 1730 г. возгла-
вил кафедру математики. За последующие 11 лет в академичес-
ких изданиях было напечатано около 70 его работ, он активно
привлекался к практической деятельности: составлению геогра-
фических карт, экспертизе технических проектов, колоссальным
вычислительным работам* и др.
В 1741 г. Эйлер вынужден уехать из России в Берлинскую
Академию наук по той причине, что «после кончины достослав-
ной императрицы Анны, при последовавшем тогда регентстве,
дела стали почти плохо»**. Однако он не порывает связей с Рос-
сией, продолжает печатать значительную часть своих мемуаров
(109 за время отсутствия в России) в «Комментариях...»
В 1766 г. Эйлер вновь вернулся в Россию и жил в ней безвы-
ездно до смерти. Энергия и трудоспособность его поразительны,
авторитет огромен. Сошлемся хотя бы на воспоминания дирек-
тора Академии наук княгини Е. Р. Дашковой, в которых она опи-
сывает свое вхождение в новую должность.
«.. .Прежде чем отправиться в Академию, я поехала с ви-
зитом к великому Эйлеру. Называю его великим, потому что
он, бесспорно, был самым крупным геометром и математиком
наших дней...
Недовольный, как и все остальные, он уже давно не ездил в
Академию и ни во что не вмешивался...
Я попросила Эйлера поехать со мной в Академию по край-
ней мере в этот раз, обещая, что в будущем не стану настаивать
на его присутствии. Мне хотелось, чтобы в научную конферен-
цию при моем первом появлении я была введена им...
* Рассказывают, что в результате выполнения срочных вычисли-
тельных работ, необходимых правительству, он потерял зрение, про-
изведя их в три дня (другие академики требовали на эту работу не-
сколько месяцев).
** Цит. по: [81, с. 75].
90 I. История математического образования в XVIIIв.
Войдя в залу заседаний, я сказала собравшимся там про-
фессорам и адъюнктам, что, не имея отношения к учености, не
могла найти более торжественного способа выразить свое ува-
жение к наукам и просвещению, чем быть введенной в Академию
господином Эйлером.
Произнося эти немногие слова, я заметила, что господин
Штелин, профессор аллегории..., занял место возле кресла ди-
ректора и, видимо, собирался по своему рангу, изображать пер-
вое лицо после меня. Тогда, обратившись к господину Эйлеру,
я предложила ему сесть, где он пожелает, так как любое место,
которое он займет, всегда будет первым» [118, с. 182-183].
Интересы Эйлера поразительно разносторонни. В их сфе-
ру входили наука, техника, религия, даже искусство (музыка).
Его педагогическое и методическое мастерство несомненны, что
можно подтвердить хотя бы такими фактами. На немецком язы-
ке существует издание «Универсальная библиотека Реклама»
(Universal-Bibliotek von Reklam), которое выпустило тысячи все-
возможных книг по всем отраслям науки, техники, литерату-
ры, искусства и др. для самого широкого круга читателей по
совершенно незначительным ценам. В этой серии содержится
единственная математическая книга — «Руководство к алгебре
Леонарда Эйлера». Одна из самых знаменитых книг в мировой
истории — эйлеровские «Письма к немецкой принцессе»* (вы-
держали более 100 изданий, переведены на многие языки) стала
значительным событием в истории науки и просвещения. Нас же
интересует в первую очередь роль Эйлера в развитии школьного
математического образования. Прежде чем характеризовать ее,
вернемся к Академическим учебным заведениям и постановке в
них математического образования.
Гимназия при С.-Петербургской Академии наук. В
1726 г. при Академии наук была основана первая в России гим-
назия, которая в течение почти четверти века была и единствен-
ной. Она являлась подготовительной школой при Академическом
университете и должна была обучать «первым фундаментам на-
ук» начинающих учиться, чтобы они «со временем учениями
академическими пользоваться могли»**.
* Написаны в 1672 г. для маркграфини Софии Шарлотты Бран-
денбургской под заглавием «Письма о разных физических и филосо-
фических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе».
** Цит. по: [125, с. 142].
2. Леонард ЭЙЛЕР 91
Преподавательский состав. Преподавание в гимназии пору-
чалось молодым адъюнктам*, прошедшим курс наук у академи-
ческих профессоров.
Программа обучения первоначально разработана первым
президентом Академии наук Л. Л. Блюментростом (в прошлом
— лейб-медиком Петра I). В соответствии с ней гимназия разде-
лялась на пять классов. Первое место отводилось преподаванию
латинского языка как международного научного языка того вре-
мени. Вторым обязательным языком был немецкий (напомним,
академики были приглашены из Германии и Швейцарии), до-
полнительные — греческий, французский и итальянский. В по-
следних классах вводились общеобразовательные предметы —
«история и первые математики начатки, также география с гло-
сусом соединенная**. Однако этот проект не был осуществлен в
полном объеме: систематический курс стал обязательным лишь
для тех, кто готовился к академической службе, остальные из-
учали предметы по собственному желанию и выбору.
Состав учащихся. Доступ в гимназию формально был от-
крыт всем: проект устава не ставил никаких сословных ограни-
чений для поступления. Первоначально в гимназию поступило
много дворянских детей, но с течением времени, особенно с от-
крытием в 1731 г. Сухопутного шляхетного кадетского корпуса,
это учебное заведение становилось все менее дворянским: оно не
давало ни чина, ни особых прав, ни должности. Вместе с детьми
дворян — сыновей сенаторов, генералов, адмиралов, политиков и
чиновников — в гимназию поступали разночинцы и солдатские
дети, причем постепенно именно они заполнили гимназию.
Академическое начальство пыталось препятствовать этому:
для дворян создавались более благоприятные условия обучения,
предлагалось привлекать к занятиям в гимназии кадетов Сухо-
путного шляхетного корпуса. В проекте регламента гимназии,
составленном в 1735 г., предлагалось разделить каждый класс
на два отделения — для шляхетства и «для подлейших». Бы-
ли сделаны даже попытки создать при гимназии пансион для
«благородных детей». Есть свидетельства, что уже при самом
основании гимназии при ней находился особый надзиратель при
* Младшие по должности члены Академии назывались адъюнкта-
ми, после них — экстраординарные профессора и профессора. •
** Цит. по: [125, с. 142].
92 I. История математического образования в XVIIIв.
«юношах благородных, в академическом доме живущих»*.
За первые 15 лет существования более трети учащихся гим-
назии составляли также дети иностранцев, состоявших на госу-
дарственной службе в России.
Возрастной состав принимаемых в гимназию был чрезвы-
чайно пестрым — от 5 до 25 лет, прием продолжался круглый
год, полный курс включал 8-10 лет.
Объединить учащихся в более или менее однородные груп-
пы не представлялось возможным, что приводило практически
к индивидуальному характеру обучения.
Учителя нередко манкировали своими обязанностями, что
негативно влияло на учеников — дисциплина была очень плохой,
особенно среди гимназистов, не получавших стипендии.
Количественный состав. Сохранились неполные сведения о
приеме в гимназию. Обобщим их в таблицу:
Таблица 1
Год приема Количество принятых Год приема Количество принятых
1726 112 1744 6
1727 58 1745 40
1728 56 1748 48
1729 74 1749 62
1730 15 1750 70
1731 29 1753 150
1732 22 1760 37
1737 19 1766 88
1738 13
Значительное сокращение с 1730 г. числа принятых в гим-
назию объясняется многими причинами, среди которых отъезд
двора Петра II в Москву, основание привилегированного Сухо-
путного шляхетного корпуса. «Не помогли, — как свидетель-
ствует энциклопедический словарь «Россия», — и учреждение
стипендий для гимназистов и общежития для казеннокоштных
* Цит. по: [125, с. 142].
2. Леонард ЭЙЛЕР 93
студентов, набранных к тому же не из гимназии, а из семина-
рий» [34, с. 383]. Таким образом, академическая гимназия не мог-
ла удовлетворить даже потребности в студентах академического
университета.
Существенное улучшение дел в 40-50-е годы связано пре-
имущественно с деятельностью М. В. Ломоносова по подготовке
отечественных специалистов. Уже в первые годы своей работы
в Академии он выступал за увеличение количества гимназистов,
улучшение их материального и правового положения. Так, в со-
ставленном Ломоносовым в 1755 г. проекте улучшения работы
Академии наук большое внимание уделялось гимназии*. Ломо-
носов требовал, в частности, увеличить число гимназистов «из
податных сословий». «Боятся потерять 40 алтын, — с горечью
писал Ломоносов, — а не жалеют тысяч на выписывание ино-
странцев» [125, с. 300]. Благодаря его усилиям работа гимназии
при Академии наук значительно улучшилась, о чем свидетельст-
вует хотя бы такой факт: за первые 30 лет ее существования ни
один академический гимназист не был произведен в студенты;
когда гимназией руководил Ломоносов, 24 гимназиста поступили
в университет [168, с. 536].
После смерти Ломоносова положение дел в гимназии опять
резко ухудшилось. В 90-е годы число гимназистов возросло до
100 человек и более, но затем численность их вновь, и на этот
раз окончательно, стала падать.
Математическое образование. Курс математики академи-
ческой гимназии включал в себя арифметику, геометрию и три-
гонометрию. Преподавателями математики, как уже говорилось,
назначались адъюнкты академии и одним из первых сразу по
приезде в Россию им стал Л. Эйлер [313, с. 374] (1727). Одна-
ко не всегда выбор учителей математики для гимназии был так
удачен: «Наряду с хорошими учителями имелись совершенно не-
подходящие, из недоучившихся студентов» [349, с. 2].
Учебники математики выбирались самими преподавателя-
ми. Сначала это были учебники X. Вольфа, в дальнейшем их
постепенно вытесняют специально созданные для академичес-
кой гимназии учебники академиков Эйлера и Крафта. Во вто-
рой половине 50-х годов преподавание велось преимуществен-
но по учебнику С. Я. Румовского «Сокращения математики», по
которому преподавали и в 70-е, и в 90-е годы. В академичес-
кой гимназии некоторое время (с середины 50-х гг.) преподавал
* См. подробнее: [125, с. 300].
94 I- История математического образования в XVIIIв.
математику также С. К. Котельников, который в определенной
степени восстановил приоритет учебников X. Вольфа, переведя
его «Сокращения первых оснований математики». Руководства
Вольфа рекомендовал и Ломоносов [349, с. 3].
Внимание к математическому образованию в академичес-
кой гимназии усиливается в связи с назначением ее директором
академика-математика Петра Борисовича Иноходцева (1785). До
своего назначения он имел достаточный опыт чтения публичных
лекций по математике, перевел «Универсальную арифметику»
Эйлера, позже — известный учебник А. Г. Кестнера «Началь-
ные основания математики» (СПб., 1792. Ч. 1; 1794. Ч. 2). Для
академической гимназии он составил «Краткое наставление к
преподаванию математики» (осталось в рукописи), в котором
определяет количество учителей математики и математические
предметы: «Как число обучающихся первым основаниям мате-
матики нарочито велико, то непременно нужно быть двум учи-
телям, из которых бы один преподавал арифметику, а другой
геометрию и плоскую тригонометрию...» Иноходцев рекоменду-
ет и учебники по этим предметам: «.. .По книге г. коллежского
советника и академика Румовского» [128, с. 347].
В своем наставлении, которое можно считать первой по-
пыткой создания прообраза методического пособия для учителей
математики, П. Б. Иноходцев определяет и основные параметры
методики изучения математики: «Протолковав каждое правило,
должно учителю спросить учащихся, довольно ли оное поняли
и могут ли сами пересказать, в противном случае надлежит по-
вторить. Причем стараться, чтобы ученики на предложенные
им вопросы, особливо из геометрии, решения и причины сперва
изустно пересказывали, а потом уже самые вычисления на доске
делали, и доказательства предлагали. Пред окончанием класса
можно им задавать вопросы, которые бы они к следующему дню
решили и учителю показывали» [128, с. 347].
Итак, в качестве основных элементов методики обучения
математике Иноходцев предлагает:
- подробное объяснение «каждого правила»;
- получение от учеников информации о том, насколько они
его поняли, при необходимости повторение объяснения;
- решение на доске упражнений и задач на применение этого
правила с предварительным обсуждением плана решения;
- задание на дом задач и упражнений, проверка их учителем
на следующий день.
2. Леонард ЭЙЛЕР 95
Результативность обучения в гимназии. Отсев из гимназии
был огромным. Так, на августовском экзамене 1734 г. из 13 уче-
ников низшего класса в средний перевели 3, а из 10 учеников
среднего класса в высший — только 1. Подавляющее большинст-
во окончивших и не окончивших обучение гимназистов направ-
лялись во вспомогательные учреждения Академии — канцеля-
рию, мастерские, типографию, книжные лавки. До университета
доходили очень немногие [128, с. 347].
Как уже говорилось, дети дворян не особенно стремились к
получению естественно-математического образования, не сулив-
шего преуспевания ни в военной, ни в гражданской деятельнос-
ти. Представителям же более низких слоев общества учиться в
академической гимназии было крайне трудно из-за материаль-
ных проблем. Ломоносов писал, что у него «до слез доходило»
при виде босых гимназистов, которым «почти есть было нечего».
В то же время большие по тому времени академические суммы
тратились на золоченую резьбу для библиотечных шкафов. Ког-
да управление гимназией и университетом было передано Ломо-
носову (50-е гг.), он переукомплектовал штаты, составил новые
учебные планы и поручил финансовые дела гимназии одному из
ближайших учеников Эйлера С. К. Котельникову, который был
ее инспектором и читал лекции по математике. По настоянию
Ломоносова в очередной раз возобновились прерванные лекции,
и повторилась ситуация, сложившаяся при основании Академии
наук: число профессоров (13) превышало число гимназистов (12).
В последующие десятилетия (60-80-е гг.) эффективность
обучения в гимназии оставалась крайне низкой. В начале 90-х
годов в связи с по-прежнему низкой эффективностью обучения
в гимназии была создана комиссия для улучшения преподава-
ния математики. В ее состав входили академики Иноходцев,
Румовский, Крафт и Шуберт. Результатом ее работы явился
проект преподавания математики в гимназии, который остал-
ся неосуществленным, в частности, из-за того, что народные
училища, открытые в 1786 г., начали активно конкурировать с
академической гимназией. В 1805 г. после открытия губернских
гимназий она была официально закрыта*. Несмотря на многие
* Академический университет прекратил свое существование зна-
чительно раньше, в 60-е годы. Таким образом, образовательные функ-
ции Академии наук были исчерпаны; с начала XIX в. она стала сугубо
научным учреждением.
96 I. История математического образования в XVIIIв.
несовершенства преподавания математики в академической гим-
назии, она сделала за годы своего существования большое дело,
обучив математике сотни молодых людей.
Эйлер был выдающимся педагогом, воспитателем не одного
поколения русских математиков через гимназию и университет.
Так, в каталоге университетских лекций указывается:
- за 1732 г.: «Л.Эйлер, профессор теоретической и эксперимен-
тальной физики, имея поручение преподать физику, намерен
излагать по понедельникам, средам и четвергам теорию фи-
зики, а по пятницам иллюстрировать теорию опытами»;
- за 1734 г.: «Леонард Эйлер, профессор высшей математики
от 2 до 3 часов пополудни будет излагать ученикам курс
математики».
В 1738 г. Эйлер читал публичные лекции по логике и выс-
шей математике. На них приглашались кроме студентов уни-
верситета слушатели Морской академии, Сухопутного шляхет-
ного корпуса и других школ. С просветительской целью Эйлер
писал научно-популярные статьи для «Примечаний» к «Петер-
бургским ведомостям*».
Нас интересует прежде всего педагогическая деятельность
Эйлера в гимназии при Академии наук.
Проект обучения в академической гимназии. Эйлер участ-
вовал в работе комиссии, учрежденной в 1737 г. для улучшения
работы гимназии. Им представлена пространная записка, в ко-
торой предложен проект системы обучения. Охарактеризуем ее
основные принципы.
1. Преемственность между гимназическим и университетским
образованием. «Главная задача гимназии, — писал Эйлер,
— приготовить университетских слушателей, и весь учеб-
ный план должен получить направленный к этой цели ха-
рактер»**.
2. Прагматический характер обучения. Прохождение полного
курса гимназии Эйлер считал необязательным, полагая, что
можно прекращать занятия, если учащийся приобрел доста-
точные для его будущей профессии знания.
3. Бессословность и бесплатность обучения. Доступ в гимна-
зию, по мнению Эйлера, должен быть открыт всем, а обуче-
ние бесплатно, так как в этом заинтересовано прежде все-
* См.: [251, с. 54].
** Цит. по: [146, с. 561].
2. Леонард ЭЙЛЕР 97
го само государство. Однако он признавал необходимость
отдельного обучения дворян и детей всех прочих сословий:
«... Те, которые не то, чтобы бедные, — писал Эйлер, — но
происходят из низкой черни, получают плохое воспитание
и обычно имеют скверные нравы. Поэтому представляется
необходимым сделать различие в месте для сидения, либо
каким-нибудь другим образом, так, чтобы хорошо воспитан-
ные не имели общения с плохо воспитанными и не могли бы
подпасть под дурное влияние» [128, с. 143].
4. Эйлер предлагал единую десятилетнюю продолжительность
обучения с разделением на пять двухгодичных классов. Воз-
раст учащихся — от 5 до 16 лет.
5. Необходимость создания учебников, соответствующих воз-
расту и развитию гимназистов.
Л. Эйлер предложил и свой проект программы гимназичес-
кого курса. Прежде всего он включал в него изучение языков —
латинского как международного научного языка того времени
(впрочем, Эйлер предостерегал от чрезмерного увлечения ла-
тынью) и немецкого, так как он был родным языком многих
учителей гимназии.
После языков основополагающее значение Эйлер отводил
математике. «За языками, — писал он в проекте переустрой-
ства гимназии, — следуют математические науки, из которых
элементарные и наиболее необходимые в обычной жизни должны
основательно изучаться в гимназии. Из их изучения не только
каждый извлечет большую пользу, какую бы деятельность он
впоследствии ни выбрал, но основательный и верный метод пре-
подавания просветит его разум и сделает его способным во всех
науках отличать недосказанное от твердо усвоенного, истинное
от ложного» [22, с. 248]. По обычаям того времени, полагаясь
на монаршью волю больше, чем на логические аргументы, Эй-
лер добавляет: «Кроме того, безусловное приказание Ее Имп.
Величества гласит, чтобы было уделено особое внимание препо-
даванию решительно всем ученикам арифметики и геометрии»
[22, с. 249].
Итак, Эйлер считает, что из математических дисциплин
в гимназии при С.-Петербургской Академии наук прежде всего
должны изучаться арифметика и геометрия. Кроме этих разде-
лов математики, по мнению Эйлера, целесообразно специально
изложить учение о шаре, так как оно необходимо «для отчет-
ливого понимания географических карт и исторической геогра-
98 I. История математического образования в XVIIIв.
фии». В преподавании математики Эйлер впервые в отечествен-
ном школьном образовании пришел к необходимости не только
заучивать правила и применять их при решении задач, но и по
мере возможности приводить их логические обоснования.
Требования к учебникам математики. Понимая, что успе-
хи преподавания во многом зависят от учебников, Эйлер считал
необходимым повысить их качество, изложив в проекте пере-
устройства академической гимназии требования к ним:
1. «Арифметика должна преподаваться по хорошему учебни-
ку; молодежи следует не только сообщить простые правила
арифметики, но, по мере возможности, приводить обоснова-
ния этих правил...»
2. «Подобным же образом обстоит дело с геометрией, которую
следует основательно изучать с помощью хорошего учебни-
ка. Первоначально надо сообщить ученикам определения и
показать геометрические фигуры, а затем перейти к теоре-
мам и доказательствам.»
3. «.. .необходим хороший учебник по тригонометрии, в кото-
ром должны быть изложены основы тригонометрии и опи-
саны различные способы измерения и вычисления фигур.»
4. «...потребуется также учебник о шаре; в этом учебнике
должно быть дано математическое объяснение различным
природным явлениям Земли, климатам и временам года»
[22, с. 48-49].
Итак, в проекте преобразования академической гимназии
Эйлер охарактеризовал основополагающее значение математи-
ки в гимназическом образовании, вычленил основные матема-
тические дисциплины и сформулировал требования к учебным
пособиям по этим дисциплинам.
Судьба проекта. Кроме языков и математики в програм-
му гимназического образования Эйлер включил каллиграфию,
историю, географию, рисование и — дань дворянскому воспита-
нию — танцы.
Проект, представленный комиссией, был чрезвычайно про-
грессивным для своего времени, во многом предвосхищая рефор-
мы гимназического образования, проведенные только в начале
XIX в. К сожалению, он не был утвержден и поэтому во многом
оказался неосуществленным*.
* Такая же участь постигла проект устава академической гимна-
зии, представленный позже ее инспектором Г. Крафтом.
2. Леонард ЭЙЛЕР 99
Однако ту часть проекта, реализация которой зависела
только от него самого, Эйлер с присущей ему энергией начал
осуществлять. Речь идет о создании учебных пособий по мате-
матике. По словам Н. Фусса, он «.. .не вменял себе за унижение
трудиться над сочинением, которое было ниже сил его, но важно
по намерению, с которым было написано» [243, с. 358].
Прежде чем характеризовать учебные пособия Эйлера, кос-
немся наиболее популярных учебников математики того време-
ни. Кроме уже проанализированной нами «Арифметики» Маг-
ницкого в ходу были учебники иностранных авторов, среди
которых выделялись книги Христиана Вольфа, автора весьма
распространенных руководств по всему циклу математических
наук.
Методические идеи X. Вольфа. Для того чтобы пред-
метно говорить о методических идеях Вольфа, кратко охаракте-
ризуем существующие в его время математические книги. Их
можно разделить на две категории. Первая — переводы ан-
тичных авторов или книги, им подражающие. Чаще всего по
ним занимались в университетах. Вторая — учебники, не со-
держащие теоретических сведений и удовлетворяющие профес-
сиональные запросы купцов, строителей, землемеров, военных и
др. Обычно они назывались «Практической арифметикой» или
«Практической геометрией», ориентировались на широкий круг
читателей и были построены как собрание рецептов для реше-
ния задач. Обе категории уже в начале XVIII в. перестали удов-
летворять запросы европейского математического образования.
Основной тенденцией развития учебной литературы постепенно
стало стремление перейти к современным по содержанию, систе-
матически изложенным курсам математики, в которых приори-
тетное значение отдавалось логической составляющей, и преж-
де всего строгой доказательности математических предложений.
Наиболее законченную форму эта тенденция приобрела в Герма-
нии в учебниках математики, созданных X. Вольфом.
В 1701 г. вышли в свет четыре тома его «Оснований всех ма-
тематических наук», много раз переиздававшиеся и получившие
широкое распространение в университетах. Кроме сведений, по-
черпнутых у античных авторов, Вольф включил в свой учеб-
ник материалы из аналитической геометрии и математическо-
го анализа, созданных только в XVIIв., придав математическо-
му содержанию «Оснований» современное звучание. Курс Воль-
фа включал в себя изложение 19 математических дисциплин:
100 I. История математического образования в XVIIIв.
арифметики, геометрии, тригонометрии, механики, гидростати-
ки, аэрометрии, гидравлики, оптики, катоптрики, диоптрики,
перспективы, астрономии, географии, хронологии, гномоники,
пиротехники, архитектуры военной и гражданской, алгебры.
В то же время, выступая против практических курсов ма-
тематики, когда правила давались без всяких обоснований, за-
учивались механически, Вольф считал, что главное в обучении
— развитие мышления, и выдвигал на первый план логичес-
кую тренировку ума, что предполагает прежде всего усиление
доказательности. Поэтому теоремы или правила в курсе Воль-
фа обычно сопровождались доказательствами (иногда весьма ту-
манными). Однако представления о структуре отдельной мате-
матической дисциплины, внутренней логике ее развития, внут-
ренних и внешних связях, методах и приемах доказательства
были размыты или отсутствовали вовсе.
Таким образом, чрезвычайно прогрессивные в своей основе
тенденции постепенно выродились в чрезмерное увлечение внеш-
ней, чисто формальной стороной, превратились в нагромождение
«.. .не применяющихся далее и потому бесполезных и педагоги-
чески даже вредных аксиом, постулатов и многочисленных опре-
делений, за которыми следовали плохо связанные с ними и между
собой теоремы, следствия и поучения...» [339, с.79]. Доходило
до курьезов. Например, «доказательное» изложение архитекту-
ры предполагало в качестве «теорем» утверждения, что окно не
должно быть выше 3 футов от пола или что высота комнаты не
должна быть ни слишком велика, ни слишком мала*. Учебники
Вольфа, несмотря на большой успех, были зачастую перегруже-
ны отвлеченными рассуждениями, оторванными от наглядных
представлений и интуиции в угоду формальной логике, породив
в отечественной методике математики понятие «вольфанизм»**,
т.е. выдвижение на первый план логической тренировки ума,
предельная и необоснованная формализация обучения матема-
тике, приводящая часто к иллюзорной строгости в ущерб на-
глядным представлениям и интуиции [149, с. 15].
Развитие Эйлером школьных математических дис-
циплин. Эйлер выдвигает принципиально иные методические
принципы гимназического преподавания математики, основной
* См. подробнее: [339, с. 80].
** Возможно, он появился в угоду развернувшейся в 30-40-е гг.
XX в. кампании борьбы с «низкопоклонством» перед Западом.
2. Леонард ЭЙЛЕР 101
из которых на современном языке можно охарактеризовать как
сочетание принципов научности и доступности. Он отвергает
как чисто практические курсы математики, так и излишнюю
формализацию в изложении математических дисциплин, высту-
пая таким образом оппонентом Вольфа. В этом отношении Эйлер
близок к французской школе учебной математической литерату-
ры, наиболее яркими выразителями которой являются А. Клеро
и знаменитый энциклопедист Ж. Д'Аламбер: они предприни-
мали энергичные попытки соединить «простоту и общедоступ-
ность обучения математике с большей или меньшей точностью
и убедительностью доказательств» [348, с. 18].
Кроме того, Эйлер минимизировал количество математи-
ческих дисциплин, ограничив их арифметикой, алгеброй, геомет-
рией и тригонометрией, и был сторонником систематического
изложения соответствующих дисциплин. Эти идеи он воплотил
в ряде учебных пособий по математике, написанных специально
для школьного ее изучения, преимущественно в академической
гимназии. Подробная характеристика этих учебников дана в со-
ответствующем разделе. Здесь мы ограничимся характеристи-
кой вклада Эйлера в развитие школьных математических дис-
циплин.
По арифметике Эйлер написал «Руководство к арифметике
для употребления в гимназии Императорской Академии наук».
К сожалению, пособие осталось незавершенным из-за отъезда
Эйлера в Берлин. Это пособие явилось прототипом для всех по-
следующих отечественных, а возможно, и не только отечествен-
ных учебников арифметики.
Эйлеровское учебное пособие по алгебре известно в отечест-
венной литературе как «Универсальная арифметика». Несмот-
ря на то что ее математическое содержание значительно пре-
восходит потребности школы того времени, прекрасный отбор
материала и особенно доступный язык изложения сделали это
пособие одним из самых популярных для своего времени. Эйлер
задумал «Универсальную арифметику» как книгу, по которой
читатель мог бы самостоятельно изучить основы алгебры. Су-
ществует легенда-быль, что сделать это ему удалось уже в про-
цессе написания книги*. Потеряв зрение, он надиктовывал кни-
гу по алгебре мальчику-слуге, который прежде был портным, не
имевшим понятия о математике. В процессе работы над книгой
* Она первоначально изложена в «Похвальном слове Л. Эйлеру»
Н. Фусса и в предисловии Бернулли к французскому переводу книги.
102 I. История математического образования в XVIIIв.
он не только понял все, что диктовал ему великий слепой, но
в скором времени был в состоянии самостоятельно завершать
все самые трудные вычисления и решать задачи, которые ему
предлагались.
Эйлер намеревался написать учебник по элементарной гео-
метрии, который, по всей видимости, все же не был им написан.
Сохранившиеся фрагменты говорят о том, что Эйлер стремился
сочетать научность изложения с его доступностью. Учебник по
тригонометрии также не был написан Эйлером. Однако именно
он создал современную теорию тригонометрии, разработав не
только высшие ее разделы, но и те, которые изучаются в шко-
ле. До Эйлера тригонометрические функции не рассматривались
единым образом как функции числового аргумента — рассмат-
ривались тригонометрические линии в круге произвольного ра-
диуса, не было ясности в вопросе о знаках синуса, косинуса и
тангенса в зависимости от четвертей круга, не существовало
единых обозначений. Подавляющее большинство теорем доказы-
валось не в общем виде, а преимущественно на основе наглядных
соображений.
Эйлер впервые:
- рассматривает синус, косинус и тангенс как функции про-
извольного аргумента (в том числе комплексного);
- вводит круг единичного радиуса, что упрощает формулы;
- решает вопрос о знаках тригонометрических функций;
- выводит формулы приведения для углов, больших 90°;
- упрощает все записи, введя единообразные обозначения три-
гонометрических функций;
- систематизирует формульную тригонометрию, отправляясь
от нескольких основных формул.
Итак, вне зависимости от того, имеется ли учебник Эйлера
по конкретной математической дисциплине, школьное матема-
тическое образование в России в течение почти трех столетий в
немалой степени строилось «по Эйлеру».
2.1.2. Учебники математики
для академической гимназии
Гимназический курс математики включал преподавание
арифметики, геометрии и тригонометрии. Первым учебником
математики в гимназии было пособие X. Вольфа «Auszug aus
den Anfangsgrunden allermathematischen Wissenschaften» (1713),
широко распространенное в то время. В нем были реализованы
методические идеи, охарактеризованные ранее: приоритетность
2. Леонард ЭЙЛЕР 103
развития мышления перед формированием практических уме-
ний, формализация математического содержания.
Эйлер выдвигает совершенно иные методические основы
гимназического преподавания математики, которые реализуют-
ся им прежде всего в учебнике арифметики для академической
гимназии.
Учебник арифметики для академической гимназии
Эйлера. «Руководство к арифметике для употребления в гим-
назии при Императорской Академии наук» (в двух частях) Эй-
лера вышло в С.-Петербурге на немецком языке в 1738-1740 гг.
и в русском переводе в 1740 и 1760 гг.* Это учебное пособие по-
ложило начало новому направлению в отечественной школьной
математической литературе.
Авторская характеристика методических идей. Эй-
лер в обращении к читателю так характеризует необходимость
в отечественном учебнике арифметики: «Число арифметических
книг, которые в разных государствах на свет изданы, так вели-
ко, что многим сей труд мог бы весьма ненужным казаться.. .Но
русское юношество не может пользоваться иностранными ру-
ководствами без больших затруднений и сочинения страдают
крупными недостатками».
Под недостатками Эйлер понимает как чисто практичес-
кий характер учебников математики (например, «Арифметики»
Магницкого), так и излишнюю формализацию, ведущую к искус-
ственному усложнению изложения (учебники X. Вольфа). При-
ведем характеристику этих учебников самим Эйлером: «.. .кои
содержат или только одни правила со многими при них по-
ложенными примерами, а о основании, на котором те правила
утверждаются, не упоминается в них ни одним словом; или хотя
праведные основания сея науки в некоторых руководствах и по-
казываются, однако ж так трудным и непонятным образом, что
ежели кто к математическому порядку не привык, то не можно
* Великолепный русский перевод этой книги был представлен в
Академию адъюнктом В. Е. Адодуровым в марте 1737 г., но в свет
вышел позднее под заглавием «Руководство к арифметике для упо-
требления в гимназии при императорской Академии наук, переведен-
ное с немецкого чрез Василия Адодурова, Академии наук Адъюнкта.
В Санкт-Петербурге, 1740 г., 312 страниц». Под тем же названием
в 1760 г. была издана вторая часть немецкого оригинала в переводе
«Академии наук студента Василья Кузнецова».
104 I- История математического образования в XVIIIв.
почти того и выразуметь». По мнению Эйлера, «если арифмети-
ка без оснований и доказательств показываться будет, то оная
не довольна ни к разрешению всех случаев, ни к поощрению че-
ловеческого разума, о чем наипаче надлежало бы стараться».
Эйлер считает, что ,изучая арифметику, ученики должны при-
учаться «праведные основания и причину видеть» и через это
они «приобыкнут к основательному размышлению».
Таким образом, Эйлер стремился дать обоснованное и вмес-
те с тем понятное изложение числовой арифметики. С современ-
ной точки зрения, в своем учебнике он попытался сочетать прин-
ципы доступности и научности в изложении математики, что
было безусловным шагом вперед в развитии методических идей
школьного обучения математике. Будучи первоклассным вычис-
лителем, Эйлер в обращении к читателю делает акцент на необ-
ходимости поиска наиболее эффективных способов вычислений:
он подчеркивает, что большинство учебников не заботится «о
тех способах, чрез которые счисление легче и короче учинить
можно, но тем только удовольствуются, чтоб о всем основание
в коротких словах показано было».
Итак, Эйлер предъявлял к учебнику арифметики целый ряд
прогрессивных методических требований и попытался их реа-
лизовать в «Руководстве к арифметике...». Эти требования в
обобщенном и осовремененном виде выглядят следующим обра-
зом: 1) научность, выражающаяся в необходимости обоснования
математических фактов, 2) доступность изложения материала,
3) упрощенная техника арифметических вычислений.
Математическое содержание «Руководства к арифметике».
В предисловии Эйлер раскрывает и свои планы в отношении
математического содержания учебника: в первых двух частях
предполагалось изложить действия над целыми и дробными чис-
лами, в третьей — правила тройное, ложного положения и др.,
в четвертой — представить часть курса, «который надлежит до
геометрии и до прочих частей математики, и содержит в себе
десятичные дроби купно с вычитанием радиксов, а напоследок
также и учение о логарифмах и их употреблении толкует». Из-за
отъезда Эйлера в Берлин в 1741 г. учебник остался недописан-
ным и вышли только первые две его части.
Первая часть называется «О первых арифметических дей-
ствиях в целых и ломаных числах» и содержит:
- определение понятия числа как множества частей одного
рода;
2. Леонард ЭЙЛЕР 105
- системы нумераций;
- сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел
(гл.П-V);
- сложение, вычитание, умножение и деление дробей (гл. VI-
IX).
Вторая часть включает в себя действия над именованными
числами, а также таблицы русских и зарубежных мер и весов.
Итак, в «Руководстве к арифметике» представлено относи-
тельно традиционное для того времени математическое содер-
жание, однако четко выделен только арифметический материал,
что явилось одним из первых шагов к дифференциации школь-
ной математики и учебных пособий на отдельные предметы *.
Особенности изложения материала в «Руководстве к
арифметике»**
1. Как мы уже говорили, в большинстве современных Эйле-
ру учебников математики (в том числе в «Арифметике» Магниц-
кого) нумерация включена в число арифметических действий. В
эйлеровском учебнике арифметики нумерация не включается в
число арифметических действий, а выделяется в отдельную гла-
ву.
2. Эйлер дает определения арифметических действий. При-
меры:
«Деление учит данное число на столько равных частей раз-
делить, на сколько кто желает»;
«Умножение есть способ как такое число сыскать надлежит,
которое бы данного числа вдвое или втрое, или во столько раз
было больше, сколько угодно».
Как видно, это не определения умножения и деления, кото-
рые вполне строго можно было бы ввести, опираясь на сложение,
но и не громоздкие конструкции, которые мы находим, напри-
мер, в «Арифметике» Магницкого.
3. Все правила действий даются с необходимыми обоснова-
ниями: иногда с полным доказательством (например, признаки
делимости), иногда доказательство неполное. Для нахождения
наибольшего общего делителя используется алгоритм Евклида.
Очень часто рассматриваются не частные приемы выполнения
* Напомним, «Арифметика» Магницкого носит энциклопедичес-
кий характер, включая кроме чистой арифметики элементы геомет-
рии, тригонометрии, алгебры, прикладной математики.
** См. подробнее: [251, с. 60; 313, с. 375-377].
106 I. История математического образования в XVIIIв.
действий, а общий принцип. Так, при сложении и вычитании
Эйлер сразу показывает принцип сложения единиц соответству-
ющих разрядов, по которому осуществляется сложение любых
чисел.
4. Что касается законов действий (рассматриваются ассоци-
ативность, коммутативность и дистрибутивность), то, несмот-
ря на провозглашенную в обращении к читателю необходимость
обоснований, дается удовлетворительное объяснение только ком-
мутативности умножения (при помощи прямоугольника, состав-
ленного из рядов точек), причем применяется неполная индук-
ция, не являющаяся методом строгого доказательства.
5. Необычен и характер примеров, иллюстрирующих прави-
ла. Если в других руководствах они в основном имели практи-
ческий характер, то в «Руководстве к арифметике» Эйлер часто
использует примеры из Библии или античности, так как теоло-
гия и история входят в сферу его интересов. Вообще примеры
разбираются очень подробно, на них выясняются всевозможные
нюансы, частные и особые случаи рассматриваемого вопроса.
Кроме того, рассматривается очень много задач естественно-
научного характера, есть и практические задачи.
6. Большое внимание уделено признакам делимости на 2, 3,
4, 5, 6, 8, 9, которые используются для облегчения вычислений.
7. Очень подробно рассматривает Эйлер деление с остатком,
естественно переходя от него к дробям. Учение о дробях пред-
шествует разделу об именованных числах, причем Эйлер вводит
два определения дроби.
Первое — дробь как частное от деления, неосуществляюще-
гося нацело, причем, убеждая в существовании дроби, он рас-
сматривает пример: при делении 17 на 5 частное целым быть не
может, «однакож оно есть некоторое количество, или число, по-
тому что можно сказать, что сие частное число больше, нежели
3, а меньше, нежели 4».
Второе — дробь как сумма долей единицы: «Всякое ломаное
число, когда единица или нечто целое разделится на столько
равных частей, сколько показывает нижнее число, содержит в
себе столько оных частей, сколько изъявляет верхнее над чертой
стоящее число».
На примере Эйлер показывает, что они практически совпа-
дают.
8. Там, где нужно, намечается перспектива, ставятся проб-
лемы, которые предполагается решить в дальнейшем. Так, при
2. Леонард ЭЙЛЕР 107
изучении деления Эйлер специально предлагает задуматься над
случаем, когда частное «такими числами, о каких мы теперь
рассуждаем, изобразить не можно, но к тому требуются лома-
ные числа, или доли, которых свойство теперь еще за неизвест-
ное полагается, а истолкование будет в следующем».
9. В конце каждой главы приводятся текстовые задачи, хотя
задач и упражнений для самостоятельного решения в учебнике
явно недостаточно, а специальных задачников в то время не бы-
ло.
Итак, Эйлеру удалось написать учебник арифметики, несо-
мненными методическими достоинствами которого можно счи-
тать:
1) систематическое изложение материала;
2) достаточно оптимальное сочетание теории и практики;
3) успешные попытки если не обосновать, то хотя бы разъяс-
нить, растолковать каждое правило, что существенно повысило
уровень строгости изложения, научности учебника;
4) доступность изложения материала, проявившаяся прежде
всего в простом, ясном изложении правил, упрощенной технике
вычислений.
Не став стабильным учебником, «Руководство к арифмети-
ке» оказало значительное влияние на учебную математическую
литературу и стало прецедентом создания выдающимся ученым
доступного школьного учебника, не снижая его научного уровня.
Учебники геометрии для академической гимназии.
Во времена Эйлера геометрию часто преподавали по «Нача-
лам» Евклида, которые в течение XVIII в. трижды переводят-
ся в России*. Однако ни один из переводов не был адаптирован
для школы, неадаптированный же вариант, безусловно, был ма-
ло пригоден для нужд обучения. К тому же к учебникам матема-
тики предъявлялись все более серьезные методические требова-
ния, поэтому тяжеловесные стиль и структура «Начал» переста-
ют удовлетворять потребностям обучения геометрии. Изданные
для Математико-навигацкой школы пособия по геометрии но-
сили чисто практический характер, т.е. требовалось создание
учебников геометрии нового поколения.
Рукопись, приписываемая Эйлеру. Ранее излагались общие
представления Эйлера об изучении геометрии в академической
* И. Сатаровым — в 1739 г., Н. Кургановым — в 1769 г., В. Ники-
тиным и Л. Суворовым — в 1784 г.
108 I. История математического образования в XVIIIв.
гимназии. Есть достаточно обоснованные предположения, что
он предпринял попытки создать учебник геометрии: о нем есть
упоминания в ряде библиографических источников, найдены ру-
кописные фрагменты учебника геометрии на немецком языке*,
идентифицированные как принадлежащие Эйлеру. Однако са-
ма книга, если она все же была издана, по всей видимости, не
сохранилась, во всяком случае, до сих пор не найдена.
Рассмотрим вкратце содержание сохранившихся фрагмен-
тов, так как они уточняют представления о требованиях Эйлера
к содержанию школьного учебника геометрии. Особый интерес
представляет начало фрагмента, где Эйлер дает определения-
описания основных понятий.
«1. Линия, лат. linea, есть длина без ширины и толщины».
«2. Настолько малая часть линии, что она более не имеет
длины, называется точкой, punktum...».
«8. И от А к В можно провести только одну-единственную
прямую линию; напротив, из Л в В может проходить много
кривых...».
Далее описываются свойства измерения длин в английских
футах и дюймах, русских мерах — саженях, аршинах, верстах,
а также немецких милях. После этого определяются простейшие
фигуры: угол, его элемнты, равенство углов, окружность и круг
и их элементы. Даются без доказательств первые теоремы:
«1. Если в некоторой окружности даны две равные хорды,
то и стягиваемые ими дуги будут равны.
2. Поэтому если из концов одинаковых дуг провести радиу-
сы, то и образуемые при этом углы будут также равны между
собой.»
Затем следуют определения перпендикуляра к прямой, пря-
мого и тупого углов. Параллельные прямые Эйлер вводит так:
«Две прямые линии ВА и СД сходятся, когда они все более
сближаются, в каковом случае они в конце концов встречаются и
образуют угол. Поэтому такие линии при продолжении в другие
стороны за В и С все больше удаляются одна от другой, что
называется расхождением.
Если две линии, АВ и СД, не сходятся и не расходятся,
то они параллельны, т.е. параллельные линии такие, которые
неизменно одинаково удалены одна от другой и, как бы далеко
ни продолжались, нигде не сходятся.»
* См. подробнее: [22].
2. Леонард ЭЙЛЕР 109
После этого следуют теоремы об углах при пересечении
двух параллельных прямых третьей и о параллельности и пер-
пендикулярности прямых. Далее помещен небольшой раздел под
заголовком «О знаках и их употреблении», в котором вводится
современнейшая для того времени символика: знаки =, +, —,
Следующий раздел называется «О треугольниках» и на-
чинается с определения фигуры как «пространства или места,
ограниченного линиями и заключенного внутри них», после че-
го вводятся понятия трех- , четырех- и пятиугольника. Доказы-
ваются теоремы о сумме углов треугольника, о величине угла
треугольника и дается классификация треугольников по сторо-
нам и углам. С помощью наложения доказаны первый и вто-
рой признаки равенства треугольников. Затем рассматривают-
ся свойства равнобедренного и равностороннего треугольников,
довольно оригинально доказывается третий признак равенства
треугольников.
После этого Эйлер перечисляет основные задачи на постро-
ение:
- треугольников по трем элементам;
- перпендикуляра из заданной точки прямой и из заданной
точки на прямую;
- деление угла пополам;
- построение углов в 60 и 30°.
Заключительный раздел фрагмента назван «О четырех-
угольниках». Эйлер классифицирует их на параллелограммы и
трапеции, параллелограммы, в свою очередь, на прямоугольни-
ки, квадраты, ромбы, обосновывая свойства параллелограммов.
Достаточно подробно рассматривается вопрос о равновеликос-
ти параллелограммов и треугольников, решаются задачи на по-
строение некоторых равновеликих фигур. Доказываются теоре-
мы о сумме внутренних углов четырех-, пяти-, шестиугольни-
ков, произвольного многоугольника. В заключение даются опре-
деления правильных многоугольников и приводится таблица ве-
личин внутренних углов трех-, двенадцати- и девяностоуголь-
ников.
Итак, во фрагментах представлен классический планимет-
рический материал, изложенный доходчиво и достаточно совре-
менно, с обоснованиями важнейших теорем.
Как считает Ю.А. Белый [22, с. 247], весьма вероятно, что
рукопись предназначалась для преподавания в академической
110 I. История математического образования в XVIIIв.
гимназии в первые годы пребывания Эйлера в С.-Петербурге,
т.е. в 1727-1730 гг. В эти годы он еще не обнародовал основные
педагогические и методические воззрения, но, судя по фрагмен-
ту этого учебника, уже руководствовался ими при разработке
конкретных пособий.
Продолжим характеристику учебников геометрии, создан-
ных для академической гимназии.
Учебник Г. Крафта. В 1748 г. выходит в свет «Краткое ру-
ководство к теоретической геометрии», написанное академиком
С.-Петербургской Академии наук Георгом Крафтом специально
для академической гимназии*. Интересно, что русский вариант
этой книги был отредактирован М. В. Ломоносовым, прекрасно
знавшим математику, широко использовавшим ее в своих иссле-
дованиях и даже внесшим некоторый вклад в развитие матема-
тического образования в России**. Вопросы, связанные с несоиз-
меримостью, преимущественно обойдены. Проблемы измерения
площадей и объемов решаются с помощью принципа Кавалье-
ри и вписания в кривые линии «многоугольников с бесконечно
малыми сторонами» [348, с. 26]. Таким образом, несмотря на на-
звание курса Г. Крафта, все сколько-нибудь сложные теорети-
ческие вопросы обойдены, проблемы же прикладного характера
во многом по-прежнему доминируют.
Отказавшись от попыток аксиоматического построения гео-
метрии (аксиомы отсутствуют), автор широко использует дви-
жение для преобразования фигур. Кроме теоретического мате-
риала книга Крафта содержит многие весьма полезные практи-
ческие приложения. Она отличается простотой изложения, до-
ступностью материала, однако уровень строгости ее явно недо-
статочен. Тем не менее довольно долго ученики академической
гимназии пользовались преимущественно ею. «Краткое руковод-
ство к теоретической геометрии» было переиздано в 1762 г.
Учебники алгебры для академической гимназии»
Точных данных об использовании в академической гимназии тех
или иных учебников алгебры не сохранилось. Поэтому ограни-
чимся здесь лишь упоминанием и очень лаконичной характерис-
тикой учебных пособий по алгебре того периода:
* В 1740 г. эта книга вышла на немецком языке (Einleitung zur
Rechnenkunst), а затем в русском переводе студента И. Голубцова.
** См. подробнее: [121, с. 75].
2. Леонард ЭЙЛЕР 111
1. «Начальное основание математики. 4.1. Спб., 1752» во-
енного инженера Н. Е. Муравьева — автора первого русского
учебника алгебры. Курс содержал обширный материал, включая
бином Ньютона и методы решения уравнений высших степеней.
Однако он страдал традиционными для той поры недостатками:
несистематичностью изложения, трудностью восприятия мате-
риала в силу неясности, нечеткости изложения.
2. «Универсальная арифметика. Спб., 1757» Н.Г. Кургано-
ва, которая содержала элементы алгебры (подробную характе-
ристику книги см. ниже).
«Универсальная арифметика» Л. Эйлера. Леонард Эйлер
создал учебник алгебры, ставший прообразом всех последую-
щих, вплоть до учебников конца XIX — начала XX в. Двухтом-
ное «Полное введение в алгебру» Эйлер подготовил по возвра-
щении в Петербург. Оно издано на немецком языке [358] в 1770 г.
Ранее, в 1768-1769 гг. вышел русский перевод этой книги под на-
званием «Универсальная арифметика», который оставил далеко
позади все существовавшие тогда в России учебники алгебры *.
«Универсальная арифметика» Эйлера написана как бы в двух
планах — учебном и исследовательском **. Она состоит из двух
томов.
В первом томе разработан основной алгебраический аппа-
рат. Вводный раздел первого тома называется «О разных исчис-
лениях простых количеств» и начинается с общих рассуждений
«о математике вообще», определения понятия числа как «отно-
шения одного количества к другому», характеристики предмета
алгебры. Эйлер считает, что алгебра, или аналитика, — «осно-
вательная часть математики», заключающая «вообще все слу-
чаи, какие токмо при учении о числах и исчислении оных место
иметь могут». Он характеризует взаимосвязи алгебры с ариф-
метикой как «наукой о числах собственно так называемых», ко-
торая «простирается токмо до известных родов исчисления, ко-
торые чаще в общежитии случаются». Здесь же излагается ал-
гебраическое знакоположение, рассматриваются действия с по-
ложительными и отрицательными числами, а также с дробями.
Рассматривается извлечение корней и в связи с этим иррацио-
нальные числа. Завершается этот раздел теорией логарифмов.
* Русский перевод выполнен студентами академического универ-
ситета И. Иноходцевым и И. Юдиным.
** См. подробнее: [350].
112 I. История математического образования в XVIIIв.
Во втором разделе, озаглавленном «О разных исчислениях
сложных количеств», рассматриваются действия над многочле-
нами, исследуются ряды, получающиеся при делении 1 на (1 —а),
и бином Ньютона для любого показателя. В третьем разделе пер-
вого тома рассматриваются отношения, пропорции, прогрессии,
бесконечные десятичные дроби и проценты («исчисление инте-
ресов») .
В первом томе Эйлер стремился к возможно более полному
обоснованию алгебраических правил. Законам действий отведе-
но немного места: рассматривается лишь переместительный за-
кон умножения. Более подробно рассмотрен случай деления на
•нуль в духе присущих Эйлеру взглядов на бесконечность. Эти
взгляды он частично раскрыл еще в «Руководстве к арифмети-
ке». Не обходя трудные места, он достаточно четко и корректно
с математической точки зрения их разъясняет. Так, касаясь слу-
чая, когда делитель является нулем, Эйлер пишет: «Тогда част-
ное число есть бесконечного количества; но понеже сей случай
в обыкновенном делении не приходит, то тем, которые учиться
еще начинают, о бесконечных количествах ничего предлагать не
надобно»
Не всегда внятно изложена природа отрицательных, ирра-
циональных (по Эйлеру, «неизвлекомых») и мнимых («невоз-
можных») чисел. «Поелику все числа, какие токмо представить
себе можно, суть или меньше или больше 0, или суть самый О,
то явствует, что квадратные корни из отрицательных чисел в
число возможных включить не можно, и что следственно оные
наименовать должно числами невозможными *. Однако Эйлер
признает их пользу для алгебры, так как они, по его мнению,
служат признаком невозможности решения задачи.
Учение о логарифмах Эйлер изложил заново**. Логарифм
он определяет как показатель степени выбранного основания.
Особенно большое внимание уделил Эйлер процессу логарифми-
рования и его связям с другими способами вычисления. Обще-
признанно, что учение о логарифмах — одна из лучших частей
его книги.
* Цит. по: [313, с. 375-376].
** До него понятие логарифма трактовалось совершенно неудовле-
творительно даже такими учеными, как Лейбниц, Иоганн Бернулли,
Д'Аламбер.
2. Леонард ЭЙЛЕР ИЗ
Академик В. Я. Буняковский так характеризовал первый
том эйлеровской алгебры: «Первая часть «Алгебры» Эйлера по-
служит драгоценным руководством преподавателю арифметики
для собственного образования. Из этого образцового сочинения
он научится ясно и отчетливо излагать свои мысли, располагать
самым выгодным образом как общие предложения, так и прие-
мы решения частных вопросов и, так сказать, доводить учеников
самих к открытию доказываемых истин, что конечно, в высшей
степени полезно. С другой стороны, изучавший основательно эту
книгу усилится в теоретической части арифметики, потому что
эта часть излагается у Эйлера в самой близкой связи с начальны-
ми понятиями об алгебре и, следовательно, получает там более
развития и определительности, чем в обыкновенных курсах»*.
Второй том посвящен уравнениям. В нем излагаются сведе-
ния о решении уравнений до 3-й и 4-й степеней включительно,
в том числе приближенные методы вычисления действительных
корней. Однако общая теория уравнений в нем не рассматривав
лась.
Кроме того, второй том содержал научные результаты са-
мого Эйлера в области диофантова анализа. В нем он:
- впервые четко сформулировал, в чем состоит принципиаль-
ное различие между решением неопределенных уравнений
второй и третьей степеней;
- показал детальное применение «метода секущей» и «мето-
да касательной» для приближенного решения диофантовых
уравнений.
Мы специально так подробно охарактеризовали изложение
Эйлером теории диофантовых уравнений, чтобы подчеркнуть
сугубо исследовательский характер отдельных разделов «Уни-
версальной арифметики». Однако в основной своей части она
включает материал, который сейчас принято называть элемен-
тарной алгеброй, изложена вполне доступно и в этом отношении
превосходит все предыдущие пособия по алгебре. Неудивитель-
но, что «Полное введение в алгебру» Эйлера неоднократно пере-
издавалось на немецком языке, а также в русском, французском,
английском и голландском переводах.
Все же учебник Эйлера включал слишком большой и труд-
ный для гимназического обучения материал, поэтому возникла
задача его переработки, которую успешно выполнил ближай-
ший ученик и помощник Эйлера в последние годы его жизни
* Цит. по: [251, с. 63-64].
114 I- История математического образования в XVIIIв.
Н. И. Фусс. Он издал книгу «Начальные основания алгебры, вы-
бранные из алгебры Леонарда Эйлера», неоднократно переизда-
вавшуюся начинал с 1799 г.* Это практически переработанная в
учебных целях эйлеровская «Универсальная арифметика» (под-
робная характеристика учебника дана ниже). Не будет преуве-
личением сказать, что русские пособия по алгебре до учебника
А. П. Киселева включительно продолжали и развивали тради-
цию, «восходящую через Фусса к Эйлеру» [350, с. 73].
«Сокращения математики С. Я. Румовского. «Сокращения
математики. Часть первая, содержащая начальные основания
арифметики, геометрии и тригонометрии, сочиненная Академии
наук адъюнктом Степаном Румовским. В Санкт-Петербурге при
императорской Академии наук. 1760» — таково полное название
этого учебного пособия. По мнению ряда исследователей**, «Со-
кращения» написаны под несомненным влиянием трудов видно-
го венгерского ученого первой половины XVIIIв., почетного чле-
на Петербургской Академии наук И. А. Сегнера***, в нем также
прослеживаются методические идеи X. Вольфа. Кроме того, при
написании «Сокращений» Румовский широко пользовался три-
гонометрическими исследованиями Л. Эйлера.
Полное руководство по элементарной математике для уча-
щихся академической гимназии и университета в это время от-
сутствовало: издание «Универсальной арифметики» Эйлера еще
не было закончено, учебника тригонометрии не было вообще,
«Краткое руководство к теоретической геометрии» Крафта до-
вольно быстро разошлось. «Сокращения» Румовского во многом
восполнили этот недостаток, став новым руководством для гим-
назистов по всем разделам элементарной математики, включая
алгебру.
* Первоначальный вариант был издан на французском языке в
1783 г.
** См.: [339, с. 193; 217, с. 115].
*** Профессор Г. В. Рихман, который сыграл важную роль в ста-
новлении Румовского как ученого и преподавателя, будучи большим
поклонником Сегнера, строил свои блестящие лекции во многом на ос-
новании его трудов. Он учил студентов академического университета
творчески решать новые задачи, делать выводы только на основании
опытов и внимательно подмечать законы. Видимо, эти принципы Ру-
мовский и воспринял у своих учителей, чтобы воплотить впоследст-
вии в собственные работы (см. подробнее: [217, с. 26-28]).
2. Леонард ЭЙЛЕР 115
Учебное пособие Румовского состоит из «Предуведомления»
и четырех разделов — начальных оснований арифметики, теоре-
тической геометрии, плоской тригонометрии и практической гео-
метрии. В «Предуведомлении» Румовский в качестве основной
цели провозглашает создание математического курса на «рос-
сийском языке». Вслед за Эйлером Румовский делит учебные
пособия по уровню доказательности на две категории. Однако
вопреки Эйлеру, который предлагает сочетать доказательность
с простотой и ясностью изложения, Румовский признает при-
оритет доказательности, следуя скорее X. Вольфу. ,Строгость
математическая, которая состоит в том, чтоб ничего кроме из-
вестного и ясно доказанного за основание не принимать, нечув-
ствительно приучает рассуждать о вещах твердо и основатель-
но». Поэтому основной метод изложения материала, который
определен в «Предуведомлении», — не ограничиваться только
содержанием правил, а приводить «сверх того доказательства
и всякого действия причины». Румовский считает, что «начи-
нающим учиться полезно предлагать математические науки по
такой книге, где строгость и порядок математический наблюда-
ется», поэтому изложение материала он считает необходимым
начинать «от понятий самых простых и известных» — опреде-
лений и теорем. Он подчеркивает необходимость связи теории
и практики, особое значение математики для развития общест-
ва: «Почитая за излишнее дело пространно доказывать пользу
математики, тем сие заключу, что в общем житии ничего без
познания величины и количества в пользу нашу употребить не
можем, которое от одной математики заимствовать должно».
В «Предуведомлении» раскрываются и связи математики с
другими науками. Так, о взаимосвязи математики и физики он
пишет: «Чем больше в физике открыто будет неоспоримых ис-
тин, которые бы могли служить основанием, тем больше мате-
матика распространяется». Это говорит о том, заключает автор,
«сколь пространно поле математики и сколь нужна арифметика
и геометрия к приобретению знания других частей математи-
ческих». Еще раз, очень настойчиво, Румовский подчеркивает
в «Предуведомлении», что математика приучает «мысли свои и
рассуждения так располагать, чтоб ничего неизвестного, неясно-
го и без доказательства не утверждать», потому что человек «и
о других вещах тому же порядку последовать будет», ибо «при-
вычка есть другая природа». Подтверждая свою изумительную
эрудицию и интерес к проблемам педагогики, он привлекает в
116 I. История математического образования в XVIIIв.
качестве авторитета английского ученого-педагога Дж. Локка:
«Математические науки весьма способны к приучению разума
к твердым и основательным рассуждениям... когда кто, обу-
чаясь математике, получит способность рассуждать порядочно,
то тому же порядку последовать будет и в рассуждениях о дру-
гих вещах». В заключение «Предуведомлений» Румовский пре-
дупреждает учащихся, что для овладения математикой необхо-
димы трудолюбие и настойчивость, приводя в качестве аргумен-
та знаменитые слова Евклида о том, что «нет и для государей
особливого и способнейшего пути к познанию математики».
Итак, в «Предуведомлении» Румовский излагает свои мето-
дические принципы, к которым можно отнести:
- доминирование доказательности, логической составляющей
математики как средства в том числе воспитания и разви-
тия обучаемого;
- необходимость изложения математики на современном рос-
сийском языке;
- сочетание теории и практических приложений;
- первоначальное введение аксиом и определений, что можно
условно назвать аксиоматическим стилем изложения мате-
риала.
Перейдем к характеристике содержания «Сокращений». Из
четырех отделов, перечисленных нами ранее, наиболее интерес-
ными по полноте и ясности изложения являются арифметичес-
кий и тригонометрический. Арифметический отдел Румовский
начинает в соответствии со своими методическими принципами
с определений. Арифметику он, как и Эйлер, характеризует как
науку, которая «показывает свойства чисел и подает правила к
решению случающихся в общежитии задач». Целое число, как
понимает его Румовский, есть «множество частей одинакового
рода, взятых вместе и называемых единицами». При изложении
действий над целыми числами Румовский, по его собственным
словам, следовал Сегнеру.
Прежде чем вводить понятие дроби, Румовский предлагает
учение об отношениях и пропорциях. Действия над дробями он
обосновывает свойствами пропорций и использует определения
операций. Практическая часть главы о пропорциях и дробях на-
зывается «О употреблении пропорций в общежитии», включает
тройное правило с его разновидностями и иллюстрируется мно-
гочисленными задачами.
2. Леонард ЭЙЛЕР 117
Последняя глава арифметического отдела предлагает мате-
риал для знакомства с прогрессией как основой логарифмов,
которые определяются как члены арифметической прогрессии,
соотнесенные с геометрической.
Геометрический отдел характеризуется попыткой адапта-
ции Евклида для школьного обучения путем изменения стиля
и структуры «Начал», не касаясь фактического содержания. По
Евклиду определяются основные понятия (точка, прямая, плос-
кость), перечисляются аксиомы, система которых, естественно,
недостаточна. При изложении вопросов метрики случай несоиз-
меримости обойден, что также вполне естественно (он оконча-
тельно решен в математике лишь спустя столетие).
В третьем отделе, посвященном плоской тригонометрии, Ру-
мовский знакомит читателя с тригонометрическими величина-
ми, моделируя их, по примеру Эйлера, с помощью единичной
окружности. Он рассматривает их знаки в разных четвертях,
устанавливает отношения, выводит тригонометрические форму-
лы. Вторая глава содержит изложение теории синусов и косину-
сов и решение на этой основе треугольников.
В четвертом отделе, «Прибавлении», включающем начала
практической геометрии, излагаются способы проведения пря-
мых и кругов на земной поверхности, приемы измерения углов
астролябией, пользования ватерпасом, способы приближенного
вычисления сегмента с малой высотой и узких круговых секто-
ров. В соответствии с интересами автора и традициями времени
рассматриваются вопросы геодезии и астрономии. Так, в послед-
нем разделе Румовский отмечает, что эта наука имеет прямое
отношение к астрономии, механике и оптике, и особое внимание
обращает на характеристику инструментов и способы пользова-
ния ими для различных измерений.
Заканчивая краткий разбор «Сокращений математики» Ру-
мовского, еще раз подчеркнем, что, несмотря на то что они рас-
крывают пути применения математики в других науках, харак-
теризуются тщательным подбором примеров, они все же были
трудны для понимания во многом из-за «вольфовского» стиля
изложения. Тем не менее «Сокращения» были одним из наи-
более употребительных в академической гимназии руководств.
Заметим, что некоторые авторы (например, [251, с. 94]) объяс-
няют это высоким положением в Академии самого автора.
118 I. История математического образования в XVIIIe.
2.2. МЕТОДИЧЕСКАЯ ШКОЛА
ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА
Безошибочно можно сказать, что
нынешнее преуспеяние математических
наук в наших учебных заведениях много
обязано Академии наук, так как Эйлер,
умирая, оставил семь даровитых последо-
вателей, считавших за честь себе назы-
ваться его учениками и бывших не только
кабинетными учеными, но и лучшими на-
ставниками в тогдашних учебных заведе-
ниях Петербурга*.
Мы вынужденно прерываем институционально-событий-
ный поток повествования, так как во второй четверти XVIII в.
возникло и стало играть все возрастающую роль в развитии
математического образования явление надсобытийное, не име-
ющее официально признанного статуса, определенной формы,
более того, по сути своей неформальное. Речь идет о явлении
сугубо интеллектуальном, уникальном, практически единствен-
ном в истории отечественного математического образования — о
методико-математической школе **, основателем которой явил-
ся гениаль ный ученый, занимающий одно из ведущих мест в
истории мировой математики, Леонард Эйлер. Это явление во
многом и относительно надвременное, ибо, имея четкие времен-
ные границы снизу (начало педагогической деятельности Эйле-
ра), оно очень сложно ограничивается сверху: идеи методической
школы Эйлера развивались весь XVIII в. и во многом продолжа-
ли сохранять свое значение в XIX в.
Заметим к тому же, что название, данное нами этому явле-
нию, достаточно условное, в определенной мере внеисторическое,
так как методика математики как наука родилась значительно
позже. Все же по сути это явление методико-математическое.
Поэтому, понимая всю приблизительность этого названия, мы
остановились именно на нем.
* Пекарский П. П. История Императорской Академии наук. В 2 т.
СПб., 1870. Т.1. C.LXIII.
** В качестве аналога можно привести, пожалуй, только методичес-
кую школу академика А. Н. Колмогорова в последней четверти XX в.
2. Леонард ЭЙЛЕР 119
2.2.1. Роль учеников и последователей Эйлера
в развитии отечественного
математического образования
Из семи* «даровитых последователей» Эйлера, упомяну-
тых в эпиграфе известным историографом П. П. Пекарским, по
крайней мере С. К. Котельников, С. Я. Румовский, М. Е. Голо-
вин и Н. И. Фусс оставили заметный след в истории российско-
го математического образования. Они и составили костяк об-
щепризнанной методической школы Эйлера [149, с. 15-18]. Ее
можно считать первой методической школой России, так как
Л. Ф. Магницкий практически был методистом-одиночкой. Бо-
лее того, единственный из его учеников [139, с. 55] и последо-
вателей Н.Г. Курганов также развивал не только методические
идеи Магницкого, но и Эйлера, и фактически принадлежит к
его методической школе. К ней можно отнести и первого уче-
ника Эйлера Василия Адодурова, который сначала делал замет-
ные успехи, но потом переключился на работу переводчика (как
мы уже упоминали, он, в частности, перевел с немецкого «Ру-
ководство к арифметике») и на создание русской грамматики.
К методической школе Эйлера причисляют и еще одного ака-
демика, Гурьева, который хотя и не был его непосредственным
учеником, но много сделал для улучшения математического об-
разования [81, с. 83].
Охарактеризуем подробнее глубокое влияние учебников и
научных трудов Эйлера на создание отечественной учебной
литературы по математическим и связанным с ней наукам.
Его «Руководство к арифметике» положительно отразилось
на преподавании арифметики во многом благодаря популяр-
ным учебникам преподавателя Морского кадетского корпуса
Н. Г. Курганова. «Универсальная арифметика» Эйлера стала
прообразом всех последующих школьных учебников алгебры,
начиная с Н.И. Фусса и Т. Ф. Осиповского (XVIII в.) и кончая
А. П. Киселевым (XX в.). М. Е. Головин издал «Плоскую и сфе-
рическую тригонометрию с алгебраическими доказательствами»
на основе оригинальных научных мемуаров и книг Эйлера, по-
священных тригонометрии.
Во втором томе перевода «Сокращений первых оснований
математики» X. Вольфа (Спб., 1771) С. К. Котельников пред-
ставил первое на русском языке изложение введения в анализ,
* Б. В. Гнеденко называет восемь [81, с. 83].
120 I. История математического образования в XVIIIe.
а также дифференциального и интегрального исчисления, в ос-
нове которого лежали фундаментальные исследования Эйлера.
Труды Эйлера по механике явились основой другого учебника
Котельникова — «Книге, содержащей в себе учение о равнове-
сии и движении тел» (Спб., 1774).
Сочинения Эйлера по математическому анализу и анали-
тической геометрии служили классическими образцами для со-
ставителей учебных руководств по этим предметам. Представ-
ляется крайне затруднительным перечислить отечественных и
зарубежных авторов учебников, черпавших материалы из на-
учных трактатов Эйлера. Невозможно удержаться от соблазна
привести в этой связи знаменитую фразу, приписываемую Лап-
ласу: «Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель».
Обобщим методические идеи Эйлера, которые мы частично
уже охарактеризовали ранее.
1. Достаточно четкое выделение из школьной математики
арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, которые
в дальнейшем становятся общепризнанным классическим
набором дисциплин для средней школы и получают назва-
ние элементарной математики.
2. Создание учебников по этим дисциплинам, в которых мате-
риал излагается систематически, т. е. таким образом, чтобы
математические предложения образовывали стройную сис-
тему, в основе которой лежат логические доказательства, а
также разумно сочетаются теория и практика.
3. Преодоление схоластики и формализма, господствовавших
в доэйлеровских учебниках математики: оптимальное соче-
тание научности и доступности в изложении материала.
4. Создание русской математической терминологии, сочетаю-
щей общепризнанные иностранные с удачными русскими
терминами.
Перейдем к более подробной характеристике деятельности
учеников и последователей Эйлера в области математического
просвещения в России, но, сосредоточив внимание на их роли
в отечественном математическом образовании, мы не считаем
возможным ограничиться только ею и полагаем необходимым
кратко охарактеризовать и другие аспекты их интеллектуаль-
ной деятельности. Заметим, что это поколение выдающихся дея-
телей математического образования относится к интеллектуаль-
ной элите того времени, имеющей широкие интересы во многих
сферах науки и культуры
2. Леонард ЭЙЛЕР 121
Учебно-литературная и педагогическая деятель-
ность Н. Г. Курганова. По общему признанию, наиболее та-
лантливым представителем методической школы Эйлера был
Николай Гаврилович Курганов — замечательный педагог и
оригинальный писатель, ученик Л. Ф. Магницкого и продолжа-
тель его деятельности по распространению математических зна-
ний в нашей стране. Имя Курганова стало широко известным
в научной среде второй половины XVIII в. благодаря его аст-
рономическим работам, в которых его активно поддерживал
М. В. Ломоносов, управлявший с 1758 г. Географическим депар-
таментом. В 1761 г. должно было произойти редчайшее астроно-
мическое явление — прохождение Венеры по диску Солнца. По
очень многим обстоятельствам профессиональные наблюдения
этого явления были чрезвычайно важны (достаточно сказать,
что они могли помочь в вычислении расстояния от Земли до
Солнца). Ломоносов, отдававший приоритет русским професси-
налам, поручил эти престижные наблюдения адъюнкту Акаде-
мии наук Красильникову и Курганову. Заведовавшие обсерва-
торией иностранные ученые, по выражению Ломоносова, «неис-
кусные обсерверы», всячески препятствовали выполнению этих
исследований: то обсерватория оказывалась запертой, то не до-
ставало необходимых инструментов. Дело дошло до Сената. В
конечном итоге «по ордеру» Ломоносова Красильников и Кур-
ганов провели наблюдения, данные которых оказались наиболее
точными из всех, полученных в России*. На них ссылался Ломо-
носов в широко известной работе «Явление Венеры на Солнце»,
они получили высокую оценку за рубежом.
Наиболее значимый след в интеллектуальной культуре Рос-
сии Курганов оставил как один из выдающихся просветителей
XVIIIв., педагогическая деятельность которого связана преиму-
щественно с Морской академией.
Письмовник. Просветительская деятельность Курганова не
ограничивалась математикой, астрономией и близкими к ним
наукам. Обладая ценнейшим для просветителя даром слова, он
создал «Российскую универсальную грамматику, или всеобщее
письмословие», получившую впоследствии название «Письмов-
ник» и принесшую своему создателю великую славу. С 1769 г.
* По другим данным, они оказались малонадежными (по замеча-
нию академика С. Я. Румовского) и не появились в печати [251, с. 104].
122 I. История математического образования в XVIIIe.
до середины XIX в. она издавалась 11 раз (по некоторым дан-
ным, 18 раз), что само по себе беспрецедентно для светских книг
того времени. Кроме грамматики и статей по пиитике и рито-
рике она содержала массу полезных сведений для людей самых
разнообразных специальностей и представляла собой своеобраз-
ную энциклопедию, доступную для самых широких слоев чита-
телей. Особенно тщательно разработан в «Письмовнике» отдел
астрономии, где Курганов доказывал вред суеверий, утверждал
теорию шарообразности Земли и опровергал веру в «небесные
знамения», якобы предвещавшие бедствия людям.
Кроме этого, «Письмовник» содержал «разнообразные при-
совокупления», которые и создали книге небывалую популяр-
ность. Это и первый в России сборник пословиц, и «краткие за-
мысловатые повести» (анекдоты), и «учебные разговоры» (нра-
воучения, которые сопровождали учебные книги, в том числе
и математические, начиная с самых первых). По свидетельству
Гоголя, Пушкин очень интересовался Кургановым прежде всего
как автором «Письмовника», даже хотел написать его биогра-
фию: расспрашивал литераторов предыдущих поколений, рылся
в старых журналах, сердился, жаловался, но поиски его остались
безуспешными — он не мог даже узнать, когда жил Курганов
и где он служил *. Значение «Письмовника» Пушкин охаракте-
ризовал в «Истории села Горюхина» устами горюхинского лето-
писца: «Чтение письмовника долго было любимым моим упраж-
нением. Я знал его наизусть и, несмотря на то, каждый день
находил в нем новые незамеченные красоты».
«Письмовник» благодаря своей занимательности приучал
людей к чтению и готовил почву для более серьезной литера-
туры. «Замысловатые повести и стихотворства списывались в
особые тетради и распространялись между людьми, которые
«Письмовника» в целом виде и в глаза не видели, усваивались
даже людьми безграмотными, проникали в народ, а в то же вре-
мя универсальная грамматика и статьи по риторике и пиитике
служили учебником в школах» [133, с. 485].
Числовник. Видимо, благодаря именно своему драгоценному
дару слова, блестяще проявившемуся в «Письмовнике», Кур-
ганов создал уникальный учебник математики «Универсаль-
ная арифметика», соединив достоинства арифметик Магницкого
(популярная манера изложения) и Эйлера (более научный стиль,
* См.: [251, с. 110].
2. Леонард ЭЙЛЕР 123
стремление к доказательности). «Универсальная арифметика»
(Спб., 1757, 1794) создавалась для Морского кадетского корпу-
са. В ней кроме арифметики были изложены также элементы
алгебры. Она явилась сплавом достаточно систематического и
ясного изложения с убедительными иллюстрациями приложе-
ний математики к практике. В «Универсальной арифметике»
автор стремился дать «основательное учение, как легчайшим
способом разные в обществе случающиеся, Математике принад-
лежащие, Арифметические, Геометрические и Алгебраические
выкладки производить».
Написанная простым, хорошим языком, снабженная инте-
ресными задачами, книга стала самым распространенным учеб-
ником математики того времени. При последующей переработке
она получила краткое название «Числовник» (1771).
Курганов не признавал длинных и туманных доказательств,
которые так характерны для вольфанистов, заменяя их объясне-
ниями на конкретных примерах и задачах. «Продолжительное и
подробное объяснение, — говорит он, — причиняет юношеству
скуку с нерачением». Поэтому в его учебниках преимущественно
собраны правила, объясненные решением многочисленных при-
меров и сопровождаемые, как у Магницкого, «поверением». Кур-
ганов не без основания считает, что такого рода учебники при-
несут «больше пользы начинающему учиться арифметике мла-
дому отроку по слабости его разума». Можно сказать, что в его
книгах появился конкретно-индуктивный метод, который потом
нашел широкое применение в школе и сейчас считается одним
из ведущих*.
Надо полагать, «Письмовник» и «Числовник» во второй по-
ловине XVIII в. сыграли роль, аналогичную роли «Арифметики»
Магницкого и «Грамматики» Смотрицкого почти за столетие до
того. Каждый культурный человек в России знал Курганова как
автора «Числовника» и «Письмовника». Курганов издал также
«Генеральную геометрию» (Спб., 1765), но она не имела тако-
го широкого распространения, как учебник арифметики, глав-
ным образом, из-за трудности изложения материала. Видимо,
это заставило его издать в 1768 г. переработанный французс-
кий перевод «Начал» Евклида под названием «Элементы гео-
метрии», который был принят за руководство в Морском корпу-
се. Мы еще вернемся к этим и другим учебникам математики
Н.Г. Курганова.
* См. подробнее: [149, с. 16].
124 I- История математического образования в XVIIIe.
Он издал несколько учебников по военным наукам, из кото-
рых отметим «Опыт о теории и практике управления кораблей»
(Спб., 1775), бывший переводом английского сочинения. Курга-
нов добавил свои собственные весьма обширные приложения по
морской тактике и кораблестроению. Через три года он опубли-
ковал капитальный труд — «Книгу о науке военной с описанием
бывших знатнейших атак и с присовокуплением науки о перспек-
тиве и словаря инженерного», в которой, говоря о тактике мор-
ского боя, требовал решительного и смелого маневра, правиль-
ного выбора главного удара и сосредоточения на нем превосхо-
дящих сил. Один из выдающихся учеников Курганова адмирал
Ф. Ф. Ушаков в сражении при Фидониси (1788) впервые приме-
нил прием атаки, заключающейся в нанесении главного удара по
флагманскому кораблю (вопреки господствовавшей тогда линей-
ной тактике) и одержал победу над превосходящими силами про-
тивника. Трудно сейчас судить о прямом влиянии, но какая-то
заслуга «Книги о науке военной» Н. Г. Курганова в этой победе,
по-видимому, имеет место.
К сожалению, в историко-математической и историко-
методической литературе не сохранились сведения о Курганове
как преподавателе математики. Однако его портрет как просве-
тителя был бы неполным, если бы мы ограничились характе-
ристикой его учебников математики и не коснулись его педаго-
гической деятельности в Морском кадетском корпусе. Курганов
читал лекции по астрономии и навигации, прививая своим слу-
шателям любовь к исследованиям, связанным с морской служ-
бой не только военного характера. Именно он оказал большое
влияние на формирование личностей известных русских море-
плавателей XIX в. И.Ф. Крузенштерна, О. Ф. Лисянского и др.
Педагогическое мастерство Курганова общепризнанно. Приве-
дем свидетельство историографа Морского кадетского корпуса
Ф. Ф. Веселаго: «Разбирая морские сочинения Курганова, нель-
зя не удивляться, кроме других достоинств, полному отсутствию
педантизма и горячему старанию излагать самые сухие вещи
общепонятным «приятным» для читателя образом. При всесто-
ронней, даже самой строгой оценке трудов Курганова, нельзя
не видеть, что они на несколько десятилетий опередили своих
современников» [133, с. 482].
В течение полувека Н. Г. Курганов обучал воспитанников
Морского корпуса математике, навигации и астрономии, а в по-
следние годы жизни преподавал и опытную физику. Лекции Кур-
2. Леонард ЭЙЛЕР 125
ганова по физике были «самыми оживленными и любимыми для
кадетов старших классов. Он производил физические опыты са-
мым оригинальным образом и начинал всегда с какого-нибудь
анекдота. Говорят, что, производя опыты об электричестве, он
бывал великолепен, составлял самые затейливые группы из ка^
детов и с помощью электрического тока заставлял их невольно
приседать к полу, замечая: «А коленки у тебя слабы, старай-
ся, чтобы голова была покрепче». На его лекции часто являлись
опытные и сведущие моряки: видно, кроме оригинального изло-
жения, эти лекции сообщали еще много дельного и основатель-
ного, если их так охотно посещали» [59, с. 163].
Академическая, популяризаторская и педагогичес-
кая деятельность С. К. Котельникова. Котельникова мож-
но считать учеником двух выдающихся деятелей науки и куль-
туры XVIII в. — Феофана Прокоповича и Леонарда Эйлера. На-
чальное образование он получил в школе, учрежденной Про-
коповичем преимущественно для «бесприютных сирот и детей
бедняков» [251, с. 65], систематическое образование — в акаде-
мической гимназии и академическом университете, еще позже
— в Берлине, в доме Леонарда Эйлера, который высоко ценил
научные успехи и нравственные качества Котельникова: «.. .во
всяком случае несомненно, что во всей Германии не найти более
трех человек, которые в математике заслужили бы предпочтение
перед Котельниковым, но я надеюсь, что в течение года добьюсь
с ним того, что он превзойдет и этих людей *».
И если Курганов выступает лишь проводником методичес-
ких идей Эйлера, то Котельников — наиболее выдающийся его
ученик. Показательно, что в судьбе Котельникова принимал
участие и другой великий ученый той эпохи — М. В. Ломоносов:
когда управление гимназией и университетом при Академии на-
ук было передано ему, он поручил преподавание математики в
университете Котельникову, рекомендовал назначить его в кан-
целярию АН с целью создать в Академии «в голосах равновесие
между российскими и иноземцами».
С. К. Котельников — первый из русских ученых, имевший
самостоятельные работы по математике и механике. Надо при-
знать, что чисто научная его продукция невелика. Отвечая на
* Из письма Эйлера советнику канцелярии Петербургской Акаде-
мии наук Шумахеру. Цит. по: Семен Кириллович Котельников // Ма-
тематика в школе. 1986. №3 (обложка).
126 I. История математического образования в XVIIIв.
запрос о неподаче им статей в «Ежемесячные сочинения к поль-
зе и увеселению служащие», Котельников писал: «.. .орученное
мне дело в рассуждении гимназии, такожде и чтение лекций
оставляют весьма мало времени, в которое бы мне в науке мо-
ей профессии можно было упражняться в покое*». Итак, ос-
новной деятельностью одного из первых русских академиков
С. К. Котельникова была Деятельность просветительская в ее
различных аспектах.
Прежде всего, хотя это и выходит за рамки нашего исследо-
вания, нельзя не отметить значительный вклад Котельникова в
русскую культуру. В 1783 г. была основана Российская Академия
(Академия русского языка и словесности), первым президентом
которой была назначена княгиня Екатерина Романовна Даш-
кова**. Устав так определял цели новой Академии: «Главный
предмет Российской Академии состоять должен в обогащении
и очищении языка российского и в распространении словесных
наук в государстве ***». Как хороший лингвист Котельников
был избран ее членом **** и активно участвовал в работе одно-
го из наиболее важных отделов — «объяснительного», который
занимался определением слов, а также анализом их состава. Ре-
зультатом работы отдела стал знаменитый «Словарь Академии
Российской» (СПб., 1789). Каждый из академиков собирал мате-
риалы по одной какой-либо букве. Котельников составил опре-
деления слов с математическим содержанием (в том числе слов,
означавших деньги, меру и вес) и собрал слова, начинающие-
ся с буквы «ч». В ежегодных отчетах Российской Академии и
при издании каждой части словаря упоминалось, что Котельни-
ков активно способствовал успеху составления «Словаря Россий-
ской Академии», вошедшего в историю русской лексикографии
как один из выдающихся ее памятников и просуществовавшего
в научном обороте свыше 150 лет.
* Цит. по: [339, с. 193].
** Мы уже упоминали о ее вхождении в должность, см. с. 89.
*** Цит. по: [217, с. 151].
**** Кстати заметим, что при организации работы Российской Ака-
демии оказалось, что наиболее способными к работе в ней оказались
не филологи, а математики и представители естественных наук: Ко-
тельников, Румовский, Иноходцев, Протасов и др.
2. Леонард ЭЙЛЕР 127
Котельников много потрудился и над изданием Софийского
и Воскресенского списков Новгородской летописи. Она находи-
лась в академической библиотеке, которой заведовал Котельни-
ков. За неимением специалистов ему было поручено печатание
указанной летописи, с чем в 1794 г. он успешно справился.
Отметим также популяризаторскую деятельность Котель-
никова уже в области математики и математического просвеще-
ния. В 1761 г. на традиционном публичном собрании Академии
* он произнес знаменитую речь о пользе математики «Слово о
пользе упражнений в чистых математических рассуждениях»,
которая в том же году была опубликована отдельным издани-
ем. «Слово...» знакомит нас с методологическими взглядами
Котельникова на природу и роль математики: «Издревле бы-
ли всегда и гонители, были и защитники наук, как то еще и
поныне — везде больше невежд, нежели наук любителей... Я
принял намерение защитить математические науки от тех, ко-
торые вооружаются против пользы упражнений в чистых ма-
тематических рассуждениях. Почитают оные за бесплодные и
бесполезные, рассуждая только по внешнему виду, не стараясь
рассмотреть в тонкость, дабы увидеть их пользу» [141, с. 3].
Польза же математических упражнений, как считает автор, в
том, что они «источники многочисленных физических правд».
Кроме того, «нигде нельзя лучше научиться здравому о вещах
рассуждению, как в подобных рассуждениях». Далее Котельни-
ков впервые в русской литературе приводит обзор исторического
развития математики вместе с ее приложениями, с помощью ко-
торого раскрывает значение математики для других наук, «о
пользе которых никто не сумневается».
Основным лейтмотивом этой речи является идея единства
теории и практики, которые, взаимно обогащая друг друга, при-
дают динамизм развитию науки в целом. Отмечая значительную
роль математических идей в познании природы, Котельников
писал в этой речи: «И понеже математики рассуждают вообще
о всех вещах, ничего не называя своим именем, или поколику
* Публичные собрания Академии устраивались раз в году. На них
выступали два академика «по избранию академическому», из которых
один должен был произносить речь на латинском языке, другой —
на русском. Латинская речь должна была переводиться на русский и
в напечатанном виде раздаваться присутствовавшим. Таким путем
расширялся круг посещавших публичные собрания и поднималось их
просветительское значение (см.: [125, с. 172]).
128 I. История математического образования в XVIIIв.
они [вещи] в рассуждении их важны или количества их свойств
переменяются, <...>, то можно оные рассуждения их во всех
употреблять науках, глядя по обстоятельствам, случающимся в
телах перемен. Ибо к полезному оных в других науках употреб-
лению почти ничего больше не надобно, как каждое количество
назвать своим именем, которых уже свойства и их перемены ис-
следованы и включены в формулы аналитические*». Он приво-
дит убедительные примеры таких математиков, как Пифагор,
Евклид, Архимед, Аполлоний, Декарт, Ньютон, Лейбниц, ко-
торые наряду с эпохальными математическими достижениями
немало способствовали техническому прогрессу общества.
В качестве популяризатора математического просвещения
Котельников выступает и практически. С конца 50-х гг. с приня-
тием нового Устава Академии, академикам вменялось в обязан-
ность «чтение популярных публичных лекций с демонстрацией
опытов» [125, с. 319], что отвечало практическим потребностям
страны. В летние месяцы 1785-1796 гг. С. К. Котельников чи-
тал публичные лекции по высшей математике и механике, кото-
рые пользовались достаточной популярностью. Он так объяснял
необходимость чтения этих лекций: «.. .рассуждая, что в мате-
матической части наук русского другого нет, то я принимаю на
себя преподавать ту часть или части из чистой математики, ко-
торые положить за благо рассуждению будет». По каким именно
областям математики он читал лекции, явствует из объявления
1794 г.: «Нижеподписавшийся под сим Семен Котельников будет
давать наставление в первых основаниях математических наук,
в арифметике, геометрии, механике и алгебре, изъявляя правила
примерами и задачами, в обыкновенные дни и часы» [251, с. 78].
Сохранился рапорт академика С. К. Котельникова, датиро-
ванный 3 октября 1793 г., в котором он раскрывает собственную
систему преподавания математики в форме публичных лекций
для всех желающих: «Порядок лекций моих и способ преподава-
ния был следующий: сперва начал я с арифметики, и преподавал
оную совокупно с алгеброю, изъясняя доказанные правила при-
мерами и прикладами в задачах.
После арифметики геометрию, последую Евклидовым эле-
ментам, выпустя некоторые ненужности или редко употребляе-
мые предложения, не упуская из виду алгебры, как необходимо
нужной части по нынешнему состоянию математических наук.
* Цит. по: [339, с. 192-193].
2. Леонард ЭЙЛЕР 129
Потом проходил тригонометрию, которую предложил я аналити-
ческим порядком, дабы доказать первый приступ к выкладкам
трансцендентных количеств, зависимых от циркуля.
После тригонометрии показывал первые основания диффе-
ренциального и интегрального калькуллюсов, изъясняя правила
примерами и прикладом о леченных (использованных — Т. П.)
задачах, показав первый приступ к понятию учения о кривых
линиях и на сем покончил мои лекции сентября 13 дня» [128,
с. 354].
Итак, система распространения математических знаний
академиком Котельниковым носила традиционные для того вре-
мени черты:
- арифметика и алгебра излагались параллельно, основные
положения алгебры доказывались и иллюстрировались при-
мерами;
- геометрия изучалась в адаптированном евклидовском вари-
анте;
- тригонометрия изучалась в обобщенном виде, «по Эйлеру».
Котельников дает оценку и эффективности проводимых им
занятий: «Сперва было довольно слушателей, полны лавки; но
как обычай есть, потом приходило и меньше и больше и от вре-
мени убывало, осталось к концу весьма малое число. Сколько их
каждый раз приходило, я не считал, но соображался с числом
наиприлежнейших» [128, с. 354].
Однако наиболее плодотворна и разнообразна была педаго-
гическая деятельность С. К. Котельникова. Начнем с его пред-
ставлений об организации массового образования в России. Со-
хранилась точка зрения Котельникова на проблемы организации
обучения в школах и гимназиях.*
«1. В которых городах быть школам и гимназиям — под-
линно объявить не могу, ибо для сего должно знать внутреннее
государства состояние. Но вообще ко учреждению школ и гим-
назий есть наиспособнейшие города, в которые наипаче отправ-
ляется европейское купечество, ибо от того учащим и учащимся
в содержании их облегчение будет, но и потребные к учению
вещи легче и дешевле доставать можно.
* Эта точка зрения была представлена в Конференцию Академии
наук в 1761 г. и практических последствий не имела.
130 I. История математического образования в XVIIIв.
2. Гимназии должно учредить в тех городах, где больше
дворянства, чиновных людей и знатнейшего купечества.
3. В школах учить: правописанию российского языка и пер-
вых оснований латинского, такожде первых оснований: истории,
географии, арифметики, геометрии и катехизису православной
веры.
4. В гимназиях обучать: латинскому языку, к которому не-
бесполезно будет присовокупить и греческий; переводить и пи-
сать чисто на российском языке; географии, истории и мифо-
логии, такожде краткому познанию греческих и римских древ-
ностей, первым основаниям математических наук, т. е. арифме-
тике и геометрии с тригонометриею. Не худо присовокупить и
первые основания статики с изъяснениями некоторых самых и
весьма употребительных машин для показания пользы употреб-
ления оной науки; первым основаниям философии, риторике и
стихотворству» [292, с. 55-56].
Не давая прямых ответов на вопросы о размещении школ и
гимназий в силу признаваемой им некомпетентности, Котельни-
ков набрасывает, таким образом, учебные планы того, что мы
сейчас называем начальным (школы) и средним (гимназии) об-
разованием.
Практическая педагогическая деятельность Котельникова
связана преимущественно с академическими университетом и
гимназией. В академическом университете он читал лекции
по математике и механике. Сохранились объявления о лекци-
ях С. К. Котельникова:
- 1757 г.: «Семен Котельников, высшей математики экстраор-
динарный профессор, слушателям своим, в простой геомет-
рии и алгебре довольно упражнявшимся, подавать будет на-
ставление о дифференциальных и интегральных выкладках,
продолжив наперед некоторые основания алгебры и кривых
линий, кои могут служить вместо введения к помянутым
выкладкам»;
- 1761г.: «Семен Котельников, высшей математики профес-
сор, будет давать наставления всей математики по сокра-
щениям Вольфовых первых оснований»;
- 1766 г.: «Семен Котельников, профессор высшей математи-
ки, по окончании первых оснований механики, продолжать
будет по порядку и прочие прикладной математики части,
т.е. гидростатику, гидравлику и оптику» [251, с. 78].
2. Леонард ЭЙЛЕР 131
Итак, Котельников читал в университете лекции по выс-
шим разделам математики и специальным курсам математики;
в последующие годы он преподавал студентам алгебру, диффе-
ренциальное и интегральное исчисления и разделы высшей гео-
метрии.
Деятельность С. К. Котельникова в академической гим-
назии носила преимущественно организаторский характер. В
1758 г. ректором университета и гимназии при Академии наук
был назначен М. В. Ломоносов. В помощь себе в качестве инспек-
тора гимназии он предложил Котельникова: «К сей должности
никто не способен, кроме г-на профессора Котельникова, кото-
рого честные поступки и трезвое и умеренное житье канцелярии
Академии довольно известно» [26, с. 503]. Это предложение бы-
ло принято. Став инспектором гимназии в 1761г., Котельников
энергично взялся за ее переустройство:
- часть учащихся была отчислена из-за неспособности к уче-
нию, «непорядочного поведения», а также «превосходящих
надлежащие лета» [26, с. 746], часть набрана вновь;
- материальное состояние гимназии и гимназистов несколько
улучшилось, в частности были повышены ассигнования на
канцелярские принадлежности, мебель, а также обеспечение
учащихся общежитием, одеждой и обувью;
- были приняты энергичные меры по улучшению состава учи-
телей и надзирателей.
Но, может быть, самое главное, чего добился в должнос-
ти инспектора Котельников, это привлечение внимания к нуж-
дам гимназии со стороны Академии наук, для которой гимназия
всегда была обременительным придатком. Академическая кон-
ференция, на которой было обсуждено положение дел в гимназии,
сочла, что основным недостатком является отсутствие книг для
учащихся. Было принято, в частности, решение печатать в ака-
демической типографии классические произведения по выбору и
под надзором академиков и рассылать их как в русские учебные
заведения, так и за границу (в последнем случае в основном для
обмена на книги, нужные университету и гимназии).
Кроме организационной деятельности С. К. Котельников
читал в гимназии лекции по математике, одновременно будучи
профессором Морского шляхетного кадетского корпуса и немало
содействуя повышению в нем уровня преподавания математи-
ческих наук. Все же основным для развития отечественного ма-
тематического образования в деятельности Котельникова стал
132 I. История математического образования в XVIIIв.
его вклад в создание русской учебной литературы, что было для
того времени первоочередной задачей. Котельникову принадле-
жит ряд руководств, оказавших большое влияние на развитие в
России преподавания математики, механики, геодезии.
В 1766 г. Котельников издал книгу «Молодой геодет, или
Первые основания геодезии» — первое на русском языке печат-
ное руководство по геодезии, одну из самых нужных в то время
книг. До нее некоторые сведения по геодезии сообщались обычно
в курсах геометрии и тригонометрии, носили отрывочный харак-
тер. Котельников впервые дал полное и систематическое изло-
жение этой науки, учитывая ее особую значимость для строи-
тельства и землемерия. Строгость изложения материала впол-
не достаточна, для доказательства основных положений широко
используются математика и смежные дисциплины. Эта книга
требовала от читателя хорошего знания математики и смежных
с нею физики, механики, астрономии, оптики. Кроме новизны
содержания книга отличалась стройностью и ясностью изложе-
ния и сыграла значительную роль в развитии отечественного
физико-математического образования, в том числе и тем, что
очистила математику от элементов геодезии.
В этом же году Котельников издает учебник арифметики.
Книга написана скорее в традициях вольфанизма, чем в эйлеров-
ском духе. Она не имела широкого распространения, не найдя
достаточного числа последователей среди учителей математики
того времени. Совсем иначе обстояло дело с изданием в 1774 г.
учебника Котельникова по теоретической механике под названи-
ем «Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении
тел». Научные и методические достоинства ее несомненны. Это
одна из самых выдающихся русских учебных книг XVIII в.
Котельникову принадлежит и честь издания первого русско-
го учебного руководства по математическому анализу. Он опуб-
ликовал его в виде дополнения к переведенным им «Сокращени-
ям первых оснований математики» X. Вольфа (СПб., 1771). Пре-
подавание математического анализа в университете и кадетских
корпусах было сильно затруднено отсутствием учебников. Хотя
руководство Котельникова представляло краткий конспект тру-
дов Эйлера по дифференциальному и интегральному исчислени-
ям, оно сыграло значительную роль в развитии отечественного
образования в той его части, которая сейчас называется выс-
шим: несколько поколений инженеров, офицеров армии и флота
и педагогов обучались по нему математическому анализу.
2. Леонард ЭЙЛЕР 133
Итак, первый из русских учеников Эйлера С. К. Котельни-
ков посвятил свою творческую жизнь решению организацион-
ных, содержательных и методических проблем отечественного
математического образования на разных его уровнях — от на-
чального (арифметика) до высшего (математический анализ).
Организаторская, просветительская и педагогичес-
кая деятельность С. Я. Румовского. Степан Яковлевич Ру-
мовский — современник и коллега С. К. Котельникова, один из
учеников Л. Эйлера, у которого он жил и учился вместе с Ко-
тельниковым в берлинский период жизни великого математика.
Эйлер высоко ценил его: «Румовский — это блестящий ум, спо-
собный оказать великую честь русской науке», — писал он в
1765 г. в письме в Петербургскую Академию наук [217, с. 6].
Несмотря на то что личные взаимоотношения Румовско-
го с Ломоносовым сложились крайне неудачно [217, с. 50-55],
его научная и общественная деятельность формировалась под
непосредственным влиянием Ломоносова, его традиций нацио-
нальной науки и культуры. В творчестве Румовского нашли
отражение глубокий патриотизм, органическое единство науч-
ных исследований и их практических приложений, вера в силу
прогресса и разума. В научном творчестве он был гораздо акти-
внее, чем Котельников, хотя и Румовский много времени и сил
уделял преподаванию, учебно-литературной, научно- и учебно-
организаторской работе.
Научно-организаторская деятельность С. Я. Румовского пре-
жде всего связана с административными обязанностями его в
Академии: в последние годы работы в ней он состоял вице-
президентом, оставаясь до конца жизни Почетным членом Ака-
демии. Кроме того, он заведовал Географическим департамен-
том, был участником и организатором крупнейших научных
астрономических экспедиций, значимость которых до сих пор
неоспорима: он работал в качестве практического астронома, а
потом и руководителя экспедиций для наблюдения прохождения
Венеры через диск Солнца; был руководителем двух экспеди-
ций в Сибирь и к Белому морю. Астрономические экспедиции
Румовского позволили определить географические координаты
многих мест России. Обобщив имеющиеся результаты, Румов-
ский составил каталог 62 астрономических пунктов России (до
Румовского были определены полностью лишь 17). Заметим, что
в Западной Европе в то время не было такого значительного ко-
личества мест, определенных астрономическими наблюдениями.
134!• История математического образования в XVIIIв.
Научная продукция С. Я. Румовского составляет свыше 80
работ по астрономии, геодезии, физике и математике, большин-
ство их напечатано в периодических изданиях Петербургской
Академии наук. Важнейшие его работы посвящены практичес-
кой астрономии. По математике Румовским опубликовано семь
мемуаров, содержавших решения частных задач анализа и тесно
примыкавших к работам Эйлера.
Просветительская деятельность Румовского, возможно, ши-
ре и значительнее, чем аналогичная деятельность Котельникова,
он один из первых популяризаторов научных сведений в образо-
ванных слоях государства Российского. Прежде всего через изда-
ние академических календарей, которые выходили под различ-
ными названиями («Месяцеслов на лето от рождества, сочинен-
ного на знатнейшие места Российской империи», «Исторический
месяцеслов» и др.) и имели огромное образовательное значение: в
них помещались научно-популярные статьи по астрономии, ста-
тистике, метеорологии, истории и географии России и т.д.
Для календарей Румовский составлял преимущественно
астрономический отдел, где помещались сведения о долготе дней
и ночей, восходе и заходе Солнца в главных городах России, о
явлении планет, кульминации Луны и др. В первые годы Румов-
ский прибавлял к этим сведениям небольшие астрономические
статьи популярного характера. Популярный характер носили и
два периодических издания — «Академические известия» и «Но-
вые ежемесячные сочинения», которые редактировал Румовский.
Ему же принадлежит русский перевод знаменитых эйлеровских
«Писем к немецкой принцессе», выдержавших в России четы-
ре издания и пользовавшихся громадной популярностью. При-
нял участие он и в переводе «Всеобщей и частной естественной
истории» Ж. Л. Бюффона. Эти переводы вводили русского чи-
тателя в естественно-научную картину мира, сложившуюся к
XVIII столетию. Научно-популярный характер носили и речи
Румовского на торжественных публичных собраниях Академии
наук.
Разносторонне образованный, Румовский нередко выпол-
нял поручения Академии, выходившие за рамки естественно-
математического цикла. Так, в 1756 г. она поручила Румовскому
написать статью «О различных изменениях в законодательстве
России и о новом русском кодексе», в которой он не только об-
общил уже известные материалы, но и очень обстоятельно рас-
смотрел законодательные реформы Петра I.
2. Леонард ЭЙЛЕР 135
Значительное внимание уделял Румовский и истории. С
1786 г. и до начала XIX в. он издавал журнал «Продолжение
древней российской библиотеки», в котором печатались важней-
шие материалы отечественной истории* **. Так, в первом номере
Румовский опубликовал подготовленный им текст выдающего-
ся исторического (преимущественно юридического) источника
— «Русской правды» Ярослава Мудрого и другой не менее цен-
ный документ — «Судебник» Ивана Грозного; позже был опуб-
ликован манускрипт, содержащий выписки из законов Велико-
го князя Владимира. Таким образом, благодаря деятельности
С. Я. Румовского многие исторические документы были опубли-
кованы и введены в научный оборот. Следует заметить, что все
труды Румовского, какой бы научной проблеме они ни были по-
священы, отличались блестящим знанием истории вопроса, поэ-
sk эк
тому его можно считать и одним из первых историков науки .
Огромную просветительскую и образовательную роль сыг-
рали труды Румовского в качестве члена Российской Академии.
Будучи крупнейшим знатоком русского языка, он являлся од-
ним из ее учредителей, составлял общий план академического
словаря и был одним из самых деятельных участников его раз-
работки. После завершения работы над «Словарем Российской
Академии» Румовский был привлечен к составлению и редакти-
рованию «Словаря, азбучным порядком расположенного». В на-
чале XIX в. начал выходить журнал Российской Академии***,
основателем и редактором которого он был. Российская Акаде-
мия поручила ему и перевод «на язык отечественный истории
Тацита». Румовский вскоре представил перевод «Анналов» Та-
цита, а потом и трех остальных книг, объединенных в «Летопись
Корнелия Тацита». Он выполнил и еще несколько важных пере-
водов, опубликованных в различных изданиях.
Просветительская деятельность Румовского не обошла сто-
роной и педагогику. Будучи приверженцем великих французских
мыслителей XVIII в., он видел в широком распространении науч-
ных знаний главный источник благосостояния как государства
* Это издание явилось продолжением «Древней российской вив-
лиофики» (вивлиофика — древнее название библиотеки), изда-
вавшейся в 70-е гг. XVIII в. выдающимся русским просветителем
Н. И. Новиковым.
** См. подробнее: [217, с. 160].
*** «Сочинения и переводы, издаваемые Российскою Академиею».
136 I. История математического образования в XVIIIв.
в целом, так и народа. Он считал, что совершенно необходимо
«повсюду насаждать науки, везде распространять просвещение»
[217, с. 168]. Ему принадлежит прекрасный перевод сочинения
Ж. Ж. Руссо «Эмилия», в котором изложены взгляды великого
французского просветителя на воспитание.
Заканчивая обзор деятельности Румовского на поприще про-
светительства, отметим участие его в подготовке к изданию со-
брания сочинений Ломоносова, что было чрезвычайно важно не
только для популяризации имени и научного наследия великого
ученого, но и для популяризации отечественной науки.
Педагогическая деятельность С. Я. Румовского связана с
академическим университетом, где он читал на русском языке
лекции по математике и астрономии, а в 1765 г. был назначен
инспектором этого университета. Продолжая традиции Ломоно-
сова, Румовский пропагандировал широкое внедрение русского
языка в обучение на всех ступенях — от низшей до высшей: юно-
ши «вместо того, чтоб с молодых лет упражняться в науках и
острить разум, наперед принуждены бывают самое лучшее вре-
мя употребить на изучение какого-нибудь языка, к чему ничего
кроме памяти не требуется, а силы разума коснеют, и в полном
возрасте к наукам и важным употреблениям, где долговременное
требуется рассуждение, бывают неспособными» [264, с. 4].
Подробности о преподавании Румовского в академическом
университете не сохранились. Результатом же этого препода-
вания и практической реализацией идеи о необходимости внед-
рения в обучение русского языка стал созданный им учебник
математики. Одним из препятствий введению обучения на род-
ном языке Румовский считал недостаток отечественной учебной
литературы: «Недостаток на российском языке до наук касаю-
щихся книг должно почитаться за великое препятствие распро-
странению оных в России» [264, с. 4]. Чтобы восполнить этот
пробел, Румовский за год преподавания в академическом уни-
верситете сумел подготовить первую часть учебного пособия,
включающую арифметику, и представить ее в Академическое
собрание, которое поручило дать заключение о его качестве
С. К. Котельникову. Он дал положительное заключение: книга
разработана «хорошо и студенты академические по ней обуче-
ны быть могут с пользою» [217, с. 45]. Еще через год Румовский
завершил второй раздел учебника «Начальные правила геомет-
рии», после чего вся книга была обсуждена в Академическом
собрании, рекомендована к печати и вышла в свет в 1760 г.
2. Леонард ЭЙЛЕР 137
Учебник Румовского «Сокращения математики, часть пер-
вая. ..» и по содержанию, и по методике изложения близок учеб-
никам Эйлера:
- в него включены результаты некоторых новейших исследо-
ваний, в том числе математических работ Эйлера;
- математическая терминология его более совершенна в срав-
нении с ранее изданными учебными пособиями;
- учебник изложен на современном Румовскому русском языке
с достаточной полнотой и в то же время простотой.
Просматривается значительное влияние на учебник Румов-
ского теоретических исследований Эйлера по тригонометрии.
Небольшой раздел тригонометрии, включенный в «Сокраще-
ния», впервые в русской математической учебной литературе
отходил от устаревшей манеры, которой следовали авторы, не
учитывавшие достижений Эйлера в этой области. Однако «Со-
кращения» Румовского оказались все же достаточно трудными
для восприятия (как и учебники самого Эйлера) и за пределами
академического университета практически не использовались.
Практическая педагогическая деятельность Румовского не
ограничивалась академическим университетом. Он осуществ-
лял преимущественно организационно-контролирующие функ-
ции, являясь одновременно инспектором основанного в 1776 г.
в Петербурге Греческого кадетского корпуса*, членом главного
правления училищ и попечителем Казанского учебного округа.
Избрание Румовского инспектором греческого кадетского
корпуса свидетельствует об уважении, которым он пользовал-
ся в образованном русском обществе того времени. Пользуясь
полной свободой в устройстве внутренней жизни этого учеб-
ного заведения, Румовский отлично поставил обучение в гре-
ческом кадетском корпусе, ставшим одним из лучших учебных
заведений С.-Петербурга. Большое внимание он уделял подбо-
ру учителей. Будучи сторонником педагогических идей Руссо и
Монтескье, он предъявлял к педагогам следующие требования:
* Греческий кадетский корпус (гимназия «чужестранных одновер-
цев») был создан в связи с турецкими войнами для греческих мальчи-
ков и явился одним из выражений сочувствия России грекам и другим
православным народам, находившимся под турецким владычеством и
«доброхотствованиями» русским во время турецкой войны. Учились
там и русские юноши.
138 I. История математического образования в XVIIIв.
«Учителей в сию гимназию без строгого экзамена отнюдь прини-
мать не должно, хотя бы они от прежних мест аттестаты имели.
Свирепость, вспыльчивость и досадательные учительские сло-
ва затмевают в детях понятие, смущают внимание и наконец
приводят к тому, что учение кажется им несносною работою»*.
В речи, произнесенной при открытии греческого кадетского
корпуса, Румовский предложил обширную программу обучения.
Учебный план содержал следующие предметы: изучение языков
(русского, немецкого, французского, итальянского, турецкого и
греческого), истории и политической географии, логики и мора-
ли, красноречия и физики, математических наук (арифметики,
алгебры, геометрии и высшей математики — «до интеграла и
дифференциала»). Воспитанников корпуса, «кои будут иметь да-
рования и природную остроту к словесным наукам и высшей ма-
тематике», предполагалось «отсылать в Академию наук» [217,
с. 84].
Прекрасные результаты обучения в греческом кадетском
корпусе создали заслуженный авторитет Румовскому-педагогу,
одному из основателей отечественной системы массового обра-
зования в конце XVIII — начале XIX в. Румовский становится
попечителем одного из шести созданных в соответствии с ней
учебных округов — казанского. Попечитель обязан был забо-
титься о «распространении и успехах народного просвещения
в местах, ему вверенных» [217, с. 108]. От профессионализма,
энергии и эрудиции попечителя во многом зависела организация
образования в округе от начального до университетского, так
как в его функции входила организация массовых школ, опреде-
ление научных направлений университетов, подбор педагогичес-
ких кадров, оборудование кабинетов, лабораторий, библиотек и
других научных и культурных учреждений.
Казанский учебный округ был самым обширным в Россий-
ской империи. В него входило 13 губерний от Нижегородской до
Тихого океана и от Пермской до Астраханской. Трудности рас-
пространения просвещения в столь обширном и удаленном от
интеллектуальных центров России округе не требуют особых
комментариев. Несмотря на серьезные препятствия, Румовский
* Румовский С. Я. Речь, говоренная при первом собрании, бывшем
в гимназии чужестранных одноверцев, 1777 года марта 15 дня // Но-
вые ежемесячные сочинения. Ч. XVI. 1787. Октябрь. С. 87 (цит. по:
[217, с. 167]).
2. Леонард ЭЙЛЕР 139
очень много сделал для развития просвещения в подведомствен-
ном ему учебном округе. Сохранилась его собственная оценка
этих нелегких трудов в письме министру народного просвеще-
ния: «В течение 8-ми лет я сам нес всю тяжесть училищного
совета и самого университетского совета. Под моим наблюдени-
ем учреждено 7 гимназий и 8-я в Вятке готовится к открытию,
27 уездных и приходских училищ, которые все равно что уни-
верситеты, и 5 главных народных училищ с подведомственными
им малыми училищами» [217, с. 181].
Особенно сложно было осуществить подбор учителей в учеб-
ные заведения отдаленных губерний округа — Иркутскую, То-
больскую, Томскую. Румовский неоднократно обращался к вы-
пускникам петербургских учебных заведений с предложениями
работы в качестве учителей в казанском округе. Его усилия бы-
ли вознаграждены: почти каждый год из Петербурга в казанс-
кий учебный округ направлялись воспитанники педагогическо-
го института, Академии художеств и других учебных заведений
столицы. Так, в 1808 г. 13 выпускников петербургского Педаго-
гического института разъехались по гимназиям этого округа.
Среди них в Тобольск уехал Иван Менделеев, отец будущего
великого русского химика.
Очень часто усилия Румовского, направленные на распро-
странение просвещения в отдаленных местах Российской импе-
рии, наталкивались на прямое противодействие местных чинов-
ников. Так, генерал-губернатор Иркутской губернии «не может
терпеть ни просвещение ума, ни людей ученого сословия... счи-
тает просвещение за нечто излишнее, а гимназию за ненужное»*.
Большую службу в деле отечественного математического
образования сослужил Румовский в качестве члена Комитета
по рассмотрению учебных руководств для средних и высших
школ России (1803). В частности, на математиков Румовского
и Фусса была возложена задача по составлению первого ката-
лога учебных руководств для гимназий, уездных и приходских
училищ. Проявив при составлении каталога так присущие ему
обдуманность и последовательность, Румовский и его коллеги
сохранили почти все, что было полезного в отечественной учеб-
ной математической литературе.
Одной из основных задач Румовского как попечителя казан-
ского учебного округа было создание Казанского университета,
* Из письма Румовскому проф. И. А. Литрова, которому он по-
ручил осмотреть Иркутскую гимназию [217, с. 181].
ЦО I. История математического образования в XVIIIв.
который должен был служить научно-образовательным центром
Востока России. Румовский участвовал в создании достаточно
демократичного устава университета, в котором были учтены
и его специфические особенности. В частности, он добился соз-
дания кафедры восточных языков и востоковедения. Основное
внимание Румовский уделил подбору высококвалифицированно-
го преподавательского состава. Требовалось укомплектовать 27
университетских кафедр и позаботиться об обеспечении препо-
давателями Педагогического института. Если учесть, что од-
новременно шло комплектование кафедр еще в пяти округах
Российской империи, то можно представить себе, каким нелег-
ким было это дело. Румовский использовал все возможные пути:
пригласил в университет лучших учителей Казанской гимна-
зии, благодаря своим широким научным связям рекомендовал
на должности преподавателей выпускников Педагогического ин-
ститута и других учебных заведений столицы, обратился к ино-
странным ученым с предложениями занять вакантные кафедры
в Казанском университете.
С. Я. Румовский обладал удивительной способностью рас-
познавать педагогический талант, благодаря чему Казанский
университет достаточно быстро был укомплектован прекрасны-
ми преподавательскими кадрами. Особое внимание он уделял
замещению вакансий кафедр математики, физики и астроно-
мии. Первым преподавателем, положившим начало блестящему
расцвету математических наук в Казанском университете был
воспитанник Московского университета Г. И. Карташевский, в
год открытия университета (1805) ставший адъюнктом высшей
математики. Одновременно Румовским было получено согласие
учителя и друга Гаусса проф. М. X. Бартельса занять в Казан-
ском университете кафедру высшей математики, хотя тот к ис-
полнению своих обязанностей приступил только через три года.
Но по его рекомендации в качестве профессора прикладной ма-
тематики при Казанском университете был утвержден магистр
математики из Геттингена Г. Ф. Раппер, в течение 10 лет доб-
росовестно руководивший кафедрой*. Именно эти прекрасные
преподаватели явились наставниками великого Лобачевского, о
* С. Я. Румовский сумел создать в Казанском университете исклю-
чительно благоприятные условия для иностранных ученых. Этому
способствовало и то, что период наполеоновских войн пагубно ска-
зался на состоянии науки во многих европейских странах.
2. Леонард ЭЙЛЕР 1J1
котором Бартельс в одном из писем к Румовскому сообщает: «Ес-
ли они (студенты Лобачевский и Симонов — Т. П.) продолжать
будут упражняться в совершенствовании своем, то займут зна-
чащие места в математическом кругу» [129, с. 27].
Большое внимание уделял Румовский созданию кабинетов
и научных лабораторий. Через несколько лет после открытия в
университете работали химический, физический и минералоги-
ческий кабинеты, анатомический театр, ботанический сад, обо-
рудовалась обсерватория. Быстро комплектовалась библиотека.
Румовский сумел приобрести в Петербурге прекрасное собрание
(более 5 тыс. томов), состоящее из научных сочинений, коллек-
ции географических карт, словарей [232, с. 123-125].
Итак, Степан Яковлевич Румовский — один из выдающихся
организаторов образования в России второй половины XIX — на-
чала XX в. Будучи учеником великого Эйлера, он первостепен-
ное значение придавал математическому образованию, его вклад
в развитие которого весьма существен.
Михаил Евсеевич Головин — первый русский мето-
дист-математик. Головин — непосредственный ученик Лео-
нарда Эйлера. По возвращении в Петербург в 70-е гг. Эйлер
руководил математическими занятиями Головина и Фусса, ис-
полнявших при нем и секретарские обязанности. Кроме Эйлера
непосредственное влияние на Головина оказал М. В. Ломоносов
(Головин был его племянником), определивший его в раннем воз-
расте для обучения в академическую гимназию. В качестве адъ-
юнкта Академии он прослужил в ней в течение 10 лет, занима-
ясь переводами, участвуя в составлении ежегодных календарей,
производя гидрологические наблюдения и др. В 1786 г. Головин
перешел в незадолго до того открытую Петербургскую учитель-
скую семинарию — первое учебное заведение России, готовив-
шее преподавателей общих гражданских школ. На ее основе в
1804 г. открылся Педагогический институт, а в 1819 г. — Петер-
бургский университет. В Петербургской учительской семинарии
Головин прослужил в качестве профессора до самой своей смер-
ти в 1790 г. Можно сказать, что он был первым методистом-
математиком, внесшим большой вклад в непосредственную под-
готовку учителей математики.
Составление комплекта учебников для народных училищ.
М. Е. Головину принадлежит выдающееся место в истории рус-
ского математического просвещения. Комиссия об учреждении
народных училищ в 80-е гг. XVIII в. поручила ему составление
Ц2 I. История математического образования в XVIIIв.
учебников по физико-математическим предметам, из которых
для изучения в училищах были определены арифметика, геомет-
рия, физика, механика и гражданская архитектура. Выполняя
поручение Комиссии, Головин подготовил и издал следующие
учебники:
1. Руководство к арифметике для употребления в народных
училищах. 4.1. СПб., 1783. Ч. II. СПб., 1786.
2. Краткое руководство к геометрии для народных училищ.
СПб., 1786; 2-е изд. — 1808.
3. Руководство к механике, изданное для народных училищ
Российской империи. СПб., 1785.
4. Краткое руководство к гражданской архитектуре и зод-
честву, изданное для народных училищ Российской империи.
СПб., 1789.
Таким образом, Головин создал учебники для народных
училищ по всему циклу физико-математических дисциплин за
исключением физики. Эти учебники пользовались широкой из-
вестностью, неоднократно переиздавались: последнее, 10-е из-
дание относится к 1822 г. Что касается методических прин-
ципов, положенных в основу учебников Головина, то им были
реализованы не идеи Эйлера, а скорее методические принципы
Н. Г. Курганова, положенные им в основу уже упоминавшегося
«Числовника»: напомним, в нем собраны правила, объясненные
решением многочисленных примеров и «утвержденные повере-
нием», т. е. «Числовник» не был систематическим изложением
арифметики. Курганов утверждал, что таким и должен быть
учебник математики для начинающих в силу «слабости их разу-
ма». Именно в этой манере изложены учебники Головина для на-
родных училищ, которые мы подробно рассмотрим далее. Здесь
же дадим лишь их краткую характеристику.
Учебник арифметики. В учебнике арифметики перечисля-
ются правила, которыми необходимо пользоваться при вычисле-
ниях, после чего показываются примеры применения этих пра-
вил к решению задач. Доказательства правил или объяснения,
заменяющие доказательства, практически отсутствуют. Содер-
жание курса арифметики мало изменилось по сравнению с учеб-
ником Курганова. Более серьезное внимание было уделено деся-
тичным дробям, полностью исключены геометрические задачи
и логарифмы. По-прежнему большое место занимали правила
практической арифметики.
2. Леонард ЭЙЛЕР ЦЗ
Несмотря на догматический характер изложения, учебник
арифметики Головина получил широчайшее распространение на
начальной ступени математического образования так же, как и
очень близкая к нему «Краткая арифметика, служащая к лег-
чайшему обучению малолетнего юношества, в вопросах и отве-
тах» М.Ф. Меморского (М., 1794), которая переиздавалась поч-
ти столетие. От учебника Головина эта книга отличалась лишь
катехизической формой изложения, заимствованной, видимо, у
Магницкого.
Приведем фрагмент учебника, иллюстрирующий его стиль:
«В. Что есть Арифметика?
О. Арифметика есть наука о числах.
В. Что есть число ?
О. Число есть собрание единиц одного рода.
В. Что есть единица?
О. Всякая вещь сама по себе взятая, в своем роде одна».
Учебник геометрии. «Краткое руководство к геометрии»
М. Е. Головина содержало минимальное количество теоретичес-
ких сведений, причем доказывались лишь простейшие теоремы
(об углах при основании равнобедренного треугольника, сумме
углов треугольника и некоторые другие). Доказательства были
либо неаккуратно проведены, либо просто неверны. Остальной
геометрический материал излагался рецептурно, в виде правил
решения практических задач, причем для их решения (особен-
но задач на построение, определение расстояний и им подобных)
учебник часто не давал нужных теоретических сведений. Вли-
яния на дальнейшую отечественную учебную математическую
литературу учебник геометрии Головина практически не оказал.
Таким образом, учебники для народных училищ М. Е. Голо-
вина не были систематическим изложением математических
дисциплин, страдали догматизмом, чрезмерным увлечением
практическим материалом в ущерб теории. Это вело к заучи-
ванию учебников наизусть, причем примеры и задачи заучива-
лись так же, как и теория, что, естественно, негативно влияло
на развитие учеников, воспитывало в них чувство самодостаточ-
ности: они считали, что хорошо знают математику, в то время
как на самом деле знали только правила выполнения действий
и решения практических задач.
Несмотря на то что учебники для народных училищ не
устранили основных недостатков учебной литературы того вре-
мени, все же в них сказалось влияние методических идей Эйлера
Щ I- История математического образования в XVIIIв.
прежде всего в том, что руководства Головина были изложены
простым, доступным языком, наглядно и конкретно, предназна-
чались специально для общеобразовательной, а не профессио-
нальной школы, наиболее характерной для России XVIIIв., т.е.
несмотря на элементарность, чрезмерную краткость и рецептур-
ность, учебники М. Е. Головина сослужили большую службу в
деле распространения математических знаний в России, буду-
чи долгие годы единственными руководствами для начальных
училищ в нашей стране.
Учебники по механике и гражданской архитектуре. Учеб-
ные пособия по механике и гражданской архитектуре М. Е. Голо-
вина имеют весьма четкую практическую направленность, со-
храняя рецептурный характер. Несмотря на то что эти книги
не являются предметом нашего рассмотрения, проанализируем
некоторые извлечения из предисловия к учебнику механики, так
как Головин предлагает в нем новую методику работы с книгой:
«Преподавая по сей книге механику, надлежит сначала одного
из учащихся заставить прочитать один параграф, но если в сие
время учащий подметит кого ни есть невнимающего, должен он,
остановив первого, заставить того продолжать читанное; через
сие самое принудит он каждого быть во внимании. По прочтении
параграфа подлежит учителю разъяснить сначала слова, учени-
кам неизвестные, потом растолковать самую материю и наконец
задавать разные вопросы».
Итак, Головин предлагает следующую методику работы с
учебной книгой:
- чтение ее небольшого раздела одним из учеников под на-
блюдением учителя;
- комментарии учителем новой терминологии;
- объяснение сущности прочитанного;
- первоначальный контроль усвоенного с помощью системы
вопросов.
Эта методика долгое время была основной при работе с
учебником. В какой-то мере она сохранилась и поныне, хо-
тя и не является оригинальным изобретением самого Голови-
на. Скорее, это использование в преподавании цикла физико-
математических дисциплин единой методики обучения в народ-
ных училищах, предложенной в первом отечественном методи-
ческом пособии для учителя «Руководство учителям первого и
второго классов народных училищ» (СПб., 1783) организатором
народных училищ Ф. И. Янковича де Мириево.
2. Леонард ЭЙЛЕР 1J5
Далее в предисловии к учебнику механики Головин подчер-
кивает роль наглядности в обучении, особо выделив роль моде-
лей: «Сверх того надлежит стараться иметь в готовности модели
упоминаемых в сей книге машин и показывать их сложение, ког-
да нужда того потребует». Более того, Головин говорит здесь о
необходимости такой формы учебных занятий, как учебные эк-
скурсии: «Притом, если случай допускает учителю водить своих
учеников в такие места, в коих машинами какая ни есть работа
производится, и изъяснить им все, что ни найдется доступного».
Учебник тригонометрии. Самым удачным учебником мате-
матики, созданным Головиным, является руководство по триго-
нометрии под названием «Плоская и сферическая тригонометрия
с алгебраическими доказательствами...».
Он представил этот учебник С.-Петербургской Академии
наук еще в 1780 г. Было принято решение об издании этого по-
собия, однако исполнение его по невыясненным причинам затя-
нулось. Книга вышла лишь через девять лет, в 1789 г. «Плос-
кая и сферическая тригонометрия» представляет собой первое
на русском языке подробное руководство по тригонометрии, на-
писанное на высоком научном уровне. Здесь Головин не только
воплотил методические идеи Эйлера, но и опирался на его науч-
ные исследования в области тригонометрии: книгу «Introduktio
in analysis infinitorum» (1748)*, некоторые его мемуары. Головин
пользуется символикой Эйлера, выводит все формулы лишь для
первой четверти окружности единичного радиуса, как и Эйлер.
Что касается тригонометрических линий в единичном круге, то
Головин вводит лишь синус, косинус, тангенс и котангенс.
Книга в отличие от руководств для народных училищ ха-
рактеризуется строгой доказательностью: достаточно подробно
дан вывод уравнений и формул, связывающих тригонометри-
ческие величины между собой, а также приведены важнейшие
теоремы, доказанные аналитически. Она включает весь тради-
ционный для нас тригонометрический материал за исключением
обратных тригонометрических функций.
Можно без преувеличения сказать, что учебник Головина
по тригонометрии не только превосходил многие русские и ино-
странные учебники того времени по этому предмету, но и разви-
вал методические идеи Эйлера, представляя собой систематичес-
кий курс тригонометрии, изложенный на высоком научном уров-
* Введение в анализ бесконечно малых.
I. История математического образования в XVIIIв.
не и в то же время современным ясным языком, с использованием
самой современной для того времени символики и терминологии.
Воплощение методических идеи Эйлера Фуссом.
Николай Иванович Фусс — ближайший ученик и секретарь Эй-
лера, который в юношеском возрасте по совету Д. Бернулли был
приглашен в Петербург и прожил у Эйлера 10 лет, работая с ним
ежедневно по 8-9 часов и в конечном итоге породнившись с его
семьей. Именно он в наиболее полной мере реализовал как но-
вое эйлеровское содержание математического образования, так
и методические идеи Эйлера.
Наиболее значительны организационно-научные заслуги
Н. И. Фусса: он в течение длительного времени занимал пост
непременного секретаря Академии наук. Что касается его на-
учного творчества, то Фусс продолжал исследование более или
менее частных вопросов фундаментальных трудов Эйлера: ему
принадлежит более 100 мемуаров, так или иначе примыкающих
к работам великого учителя.
Просветительская деятельность Фусса проникнута глубо-
чайшим пиететом к великому учителю, который он хранил до
конца дней своих:
- он произнес знаменитую «Похвальную речь покойному Лео-
нарду Эйлеру, сочиненную на французском языке и читан-
ную в собрании Академии октября 23 дня...»*, в которой
изображено «течение жизни великого мужа, прославившего
век свой просвещением рода человеческого» [253, с. 353];
- его перу принадлежит биография Эйлера**, содержащая
первый список его трудов;
- очень многое сделано им для публикации огромного по-
смертного наследия Эйлера. Фусс десятилетиями редакти-
ровал и публиковал работы Эйлера, в результате введя в
научный оборот около 170 его статей.
Весьма продуктивна практическая педагогическая деятель-
ность Н. И. Фусса. В 80-е и 90-е гг. он был профессором Сухо-
путного и Морского шляхетных кадетских корпусов; в начале
* Полный текст речи см. в кн.: [253, с. 353-382]. Приводится пер.
С. Я. Румовского с французского оригинала.
** Oge de Monsieur Euler. St.-Petersbourg, 1783. На самом деле
это французский оригинал речи Фусса, снабженный списком трудов
Эйлера.
2. Леонард ЭЙЛЕР------------------------------------Ц7
XIX в. стал одним из активнейших членов Главного правления
училищ, и в этом качестве принимал деятельное участие в ре-
форме системы образования в России.
Но все же самой большой заслугой Фусса перед отечествен-
ной культурой является его вклад в прогресс математического
образования в России, выразившийся в создании нового поколе-
ния учебников математики, написанных под сильнейшим влия-
нием трудов Эйлера. Особенно значительное место в этом ряду
занимает созданный им учебник алгебры. В 60-70-х гг. XVIII в.
было выпущено несколько учебных руководств по алгебре, имев-
ших серьезные недостатки. Курс алгебры Муравьева [192] содер-
жал обширные сведения, включая методы решения уравнений
высших степеней и бином Ньютона. Однако это не был систе-
матический курс алгебры, написан он был к тому же весьма
тяжеловесно.
В «Универсальной арифметике» Курганова наиболее содер-
жательна была арифметическая часть, алгебра же изложена
весьма поверхностно. Эйлер создал классическую двухтомную
«Универсальную арифметику», подробно охарактеризованную
нами выше. Она не могла стать и не стала школьным руко-
водством по алгебре, на что, впрочем, Эйлер и не претендовал*:
объем ее был чрезмерен, в ней были разделы, не имеющие ни-
какого отношения к тому, что принято называть элементарной
математикой (например, отдел диофантова анализа). Однако в
силу блестящих методических достоинств и поразительной яс-
ности изложения, так присущих Эйлеру, «Универсальная ариф-
метика» послужила основой всех позднейших учебных пособий
по алгебре.
Первым математиком, который попытался адаптировать
знаменитую книгу Эйлера для школы, был Н.И. Фусс. Надо
признать, что эта попытка была вполне удачной. «Начальные
основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера»
(СПб., 1798) — это практически эйлерова алгебра, сокращен-
ная и приспособленная для преподавания в средней школе. Фусс
сумел убрать из книги Эйлера весь не относящийся к элементар-
ной алгебре материал, приблизил манеру изложения к школьным
требованиям, внес некоторые улучшения в структуру курса, о
чем мы еще будем говорить позднее. Книга Фусса определила
в методическом плане направление развития учебников алгебры
* См.: [348, с. 25].
Ц8 I. История математического образования в XVIIIe.
на несколько десятилетий. По словам А. П. Юшкевича, «Не бу-
дет преувеличением сказать, что русские пособия по алгебре до
учебника А. П. Киселева включительно продолжали и развивали
традицию, восходящую через Фусса к Эйлеру» [350, с. 73].
Учебник был написан для кадетов Сухопутного шляхетно-
го корпуса, профессором которого в течение почти 20 лет был
Н. И. Фусс. Для них же несколько позже были изданы и учебники
по высшей математике: «Начальные основания высшей геомет-
рии» (СПб., 1804) и «Начальные основания дифференциального
и интегрального исчислений» (СПб., 1804), также написанные
под сильнейшим влиянием Эйлера и широко используемые в
учебных заведениях, которые мы теперь называем высшими.
Итак, к концу XVIII в. были созданы приемлемые учебники
по основным математическим дисциплинам: учебники арифме-
тики Эйлера и Курганова, тригонометрии Румовского и Голови-
на, даже краткие пособия по высшей математике Котельникова
и Фусса. Несколько сложнее обстояло дело с учебниками геомет-
рии. Переводы Евклида даже в адаптациях не удовлетворяли по-
требностям школьного обучения. Учебники Крафта и Курганова
отличались отсутствием сколь-либо приличествующей строгос-
ти изложения.
Пробел отчасти восполняется Фуссом, который выпускает
учебник под названием «Геометрия в пользу и употребление
обучающегося благородного юношества в Сухопутном шляхет-
ном корпусе» (СПб., 1799). Он дает в нем, пожалуй, впервые в
отечественной учебной математической литературе системати-
ческое изложение геометрии, используя частично аксиоматику.
Однако и этот учебник был еще далек от потребностей шко-
лы: в нем много тяжелых определений, неудачных формулиро-
вок и неточных доказательств. Тем не менее Николай Иванович
Фусс практически создал новое поколение учебников по алгебре
и геометрии. Они отличались достаточной научностью, выра-
жавшейся в строгом построении курса и доказательности мате-
матических предложений, и в то же время ясностью и четкостью
изложения, что отвечало основным методическим принципам,
предъявляемым к учебникам математики великим Эйлером.
2. Леонард ЭЙЛЕР Ц9
2.2.2. Учебники математики
эйлеровской методической школы
Учебники математики Н. Г. Курганова. Универсаль-
ная арифметика. В 1755 г. Курганов представил в Адмиралтей-
ство заказанный ему Морским кадетским корпусом учебник ма-
тематики под названием «Универсальная арифметика, содержа-
щая основательное учение, как легчайшим способом разные во-
обще случающиеся, математике принадлежащие арифметичес-
кие, геометрические и алгебраические выкладки производить».
В 1757 г. по указу Адмиралтейства этот учебник был напечатан.
Он состоит из «Обращения к читателю» и пяти частей, которые
называются:
1. О действиях с целыми и дробями.
2. Об именованных числах.
3. О правилах для решения общежитейских задач.
4. О геометрических приложениях.
5. Об алгебре.
Из приведенных названий видно, что структура книги во
многом повторяет структуру «Арифметики» Магницкого. Более
того, «Обращению к читателю» предпосланы стихи Магницко-
го, что подчеркивает не только преемственность содержания со-
чинений обоих авторов, но и некую нравственную связь учителя
Магницкого и ученика Курганова, большое уважение второго к
методическому авторитету первого:
Прими, юне, премудрости цветы
Разумных наук обтицая верты*.
Арифметике любезно учися,
В ней разных правил
и штук придержися,
Ибо в гражданстве к делам есть потребно
Лечити твой ум, аще числит вредно.
Отдавая дань уважения великому предшественнику, Курга-
нов в «Обращении к читателю» говорит и об отличиях своей
книги от ранее изданных учебников математики: «Книга сия
к вашей, склонный читатель, пользе то в себе содержит, чего
в прежних до ныне на нашем языке бывших изданиях по ма-
лым частям для общего употребления с великим недостатком
* Верты — обороты, извилистые дорожки сада; вся строчка обо-
значает: «преодолевая трудности науки» — Т. П.
I. История математического образования в XVIIIв.
находится. В ней показан сокращенный и основательный способ
учения начальных математических наук в житии человеческом
необходимо потребных, с таким намерением, дабы начинающим
сие сочинение за краткое руководство к познанию оным служить
могло».
Недаром мы назвали Курганова просветителем: из этого об-
ращения видно, что он стремился не только создать учебник
для школы, но имел в виду потребности жизни и любителей-
читателей. Таким образом, «Универсальная арифметика» пред-
назначалась не только для обучения в Морском кадетском корпу-
се, но и для самообразования. В предисловии к книге Курганов
излагает свои взгляды на математику как науку: «Все науки,
которые рассуждают о величине или количестве, математичес-
кими называются. Количество представляется двояко, одно со-
ставное из отдельных между собою частей, как например, горсть
дроби: и оное числами изъявляются; другое из частей между со-
бою соединенных, как цепь; такая величина протяжением назы-
вается, итак числа и протяжения суть оба количества токмо с
такою разностью, что первые числят, а последние мерять и чис-
лить вдруг должно: того ради о числах рассуждает Арифметика,
а о протяжении Геометрия».
Итак, Курганов касается здесь практически философской
проблемы математики — выделяет понятия числа и меры и счи-
тает, что именно они являются основными понятиями матема-
тики. Продолжая рассуждать о философских проблемах матема-
тики, Курганов излагает свои взгляды на предмет арифметики.
Вспомним, что Магницкий понимал арифметику как искусство,
которое необходимо для решения исключительно практических
задач. Курганов же считает, что «арифметика есть наука, ко-
торая показывает свойства чисел и притом подает правила, спо-
собные к решению в общенародии случающихся по исчислении
задач».
Перейдем к краткой характеристике содержания «Универ-
сальной арифметики. Н.Г. Курганова.
Первые две части «О действиях с целыми и дробями» и
«Об именованных числах» Курганов излагает близко к эйлеров-
скому «Руководству к арифметике», заимствуя из него основные
определения, теоремы о делимости и другой теоретический ма-
териал. Таким образом, здесь он существенно отошел от дог-
матизма и практицизма Магницкого. Наиболее дискуссионным
в то время был вопрос о методике изучения тройного прави-
2. Леонард ЭЙЛЕР 151
ла и правил ложного положения, которые излагались либо без
доказательств, либо очень замысловато. Такая методика была
недоступна не только ученикам, но зачастую даже учителям.
В начале 50-х гг. эти правила были исключены из ариф-
метики и включены в алгебру. Интересно в этом отношении
заявление преподавателя арифметики академической гимназии
А. Барсова, позднее профессора Московского университета, в
котором он излагал некоторые мотивы своего прошения об от-
ставке: «Понеже я ныне правило соединения и правило фальши-
вое, которые главным препятствием в собственном моем учении
были и меня к оному прошению принудили, с некоторыми уче-
никами прошел, а впредь оных правил обучать за непотребно
рассуждено, для того, что оные в алгебре способнее и лучше
преподавать можно. Того ради я оную должность за отягчение
себе более не признаю»*.
Однако при изложении в третьей части тройного и фальши-
вых правил Курганов все же близко следовал Магницкому, лишь
откорректировав чрезвычайно запутанное, многословное и непо-
нятное у того определение тройного правила. Курганов дает до-
статочно толковое объяснение тройного правила как действия,
находящего к данным трем числам четвертое. Кроме того, зада-
чи на тройное и фальшивые правила не разделены у Курганова
на множество статей и им не уделяется так много места, как в
«Арифметике» Магницкого.
Четвертая часть «Универсальной арифметики» посвящена
десятичным дробям, квадратным и кубическим корням и вы-
числениям размеров фигур. В отличие от Магницкого Курганов
помещает изучение десятичных дробей в начало четвертой час-
ти, подчеркивая их самостоятельное значение, не зависящее от
решения геометрических задач.
В пятом, алгебраическом разделе представлен практически
тот же материал, что и у Магницкого: действия над буквенными
выражениями, линейные и квадратные уравнения, пропорции,
прогрессии и логарифмы. Однако в методике изложения их Кур-
ганов существенно отошел от Магницкого: материал излагается
систематически, последовательно; доказательства отсутствуют,
но объяснения обязательны и отличаются четкостью и логич-
ностью. Таким образом, заключительная часть «Универсальной
арифметики» Курганова представляет собой попытку система-
тического изложения курса элементарной алгебры.
* Цит. по: [349, с. 3].
152 I. История математического образования в XVIIIв.
Дальнейшая судьба «Универсальной арифметики^. В 1771 г.
Курганов издал второй учебник под названием «Арифметика,
или Числовник, содержащий в себе все правила числовой вы-
кладки, получающиеся в общежитии, в пользу всякого уча-
щегося, воинского, статского и купеческого юношества», ко-
торый впоследствии приобрел широкую известность под име-
нем «Числовник». Содержание и методика изложения матери-
ала в «Числовнике» еще больше отличается от «Арифметики»
Л. Ф. Магницкого: исключены геометрические задачи, арифме-
тическая часть расширена подробным изложением свойств мно-
гоугольных и пирамидальных чисел (дань пифагорейской мате-
матике). В алгебраической части оставлены извлечение корней,
пропорции и прогрессии (без буквенных обозначений) и лога-
рифмы. Таким образом, сохранен преимущественно материал,
связанный с вычислительными процессами, арифметика очища-
лась Кургановым от несвойственного ей материала.
В 1776 и 1791 гг. «Числовник» переиздан в стереотипном
варианте, однако в 1794 г. Курганов издает первоначальный ва-
риант «Универсальной арифметики», отбросив все изменения,
сделанные для «Числовника». В предисловии он объясняет это
«советом доброго человека, купца Ивана Петровича Глазунова».
По всей видимости, «Универсальная арифметика» более отвеча-
ла потребностям практической деятельности того времени.
Учебники геометрии. В 1764 г. Курганов представил в кан-
целярию Морского корпуса учебное пособие по геометрии, о ко-
тором в рапорте говорил: «Собрал я из новейших иностранных
изданий книгу, содержащую в себе основательное учение гео-
метрии, тригонометрии и геодезии, которую в рассуждение всех
ныне находящихся геометрических российских книг с лучшею
пользою для обучения сему в морском корпусе употреблять мож-
но»*. Этот учебник издан в 1765 г. под названием «Генеральная
геометрия, или общего измерения протяжения, составляющего
теорию и практику оной науки». Он включал в себя три час-
ти — лонгиметрию, планиметрию и стереометрию. Кроме того,
«Генеральная геометрия» содержала плоскую и элементы сфе-
рической тригонометрии. Основным отличием ее от ранее из-
данных руководств по геометрии являлось то, что в ней впервые
в отечественных учебниках доказывались теоремы.
* См.: [251, с. 104].
2. Леонард ЭЙЛЕР 153
Оригинальны в учебнике определения геометрических по-
нятий: в основу их было положено кинематическое образова-
ние. Возможно, именно эти нетрадиционные элементы — не-
стандартность определений и наличие логических доказательств
теорем — сделали книгу труднодоступной для восприятия, что
и обусловило ее невысокую популярность. Видимо, неудача за-
ставила Курганова искать иные пути преподавания геометрии.
На сей раз это были классические «Начала» Евклида. В 1768 г.
Курганов издал адаптированный для отечественного обучения
вариант «Начал» под названием «Элементы геометрии, т. е. пер-
вые основания науки о измерении протяжения, состоящие из ось-
ми Евклидовых книг, изъясненные новым способом, удобопонят-
нейшим юношеству». Мы уже упоминали, что Европа изучала
геометрию «по Евклиду». «Элементы геометрии» Курганова —
первая отечественная адаптация Евклида, ставшая руководст-
вом по геометрии в Морском корпусе.
Учебники математики С. К. Котельникова. Известны
два учебника математики Котельникова, краткую характерис-
тику которых мы дали выше. Это учебник арифметики для Мор-
ского кадетского корпуса и учебник математического анализа.
Учебник арифметики. Полное название его — «Сочинение
первых оснований математических наук, часть I, содержащая
в себе арифметику, в пользу учащегося в Морском Шляхет-
ном кадетском корпусе юношества, 1766». Учебник состоит из
предислования и девяти глав. В предисловии Котельников ха-
рактеризует методические идеи, положенные в основу учебника.
Первая из них — специфический характер изложения, сочетаю-
щий доказательность и компактность: «Книжка сия сочинена в
пользу учащихся с предводительством и для того все предложе-
но и доказано кратко, сколь возможно, и ясно, сколько дозволила
краткость».
Далее Котельников говорит об изменении системы изложе-
ния материала: «В порядке расположения вещей несколько от
других писателей отступлено; ибо сей порядок показался нату-
ральнее и сходственнее с понятием, какое я о числе себе предста-
вил и какое предложил в сей книжке». В частности, отступление
от традиционной системы выразилось в изложении десятичных
дробей и действий над ними одновременно с целыми числами.
Действительно, и в нумерации десятичных дробей, и в пра-
вилах действий с ними абсолютная аналогия именно с целыми
числами. И то, что впервые счел «натуральнее» Котельников,
154 I- История математического образования в XVIIIe.
стало доминирующим в большинстве современных учебников
математики, где десятичные дроби изучаются также вслед за
положительными целыми числами. Новый порядок изложения
курса Котельников объясняет не только большей естественнос-
тью, но и иными методологическими воззрениями, выражающи-
мися в своеобразной трактовке числа: «Образ, в котором я себе
число представляю, есть ньютонов; оное представление как неко-
торое содержание двух количеств. Но как самое содержание есть
такожде количество, то должно наперед предположить о переме-
нах оного, зависящих от его свойства, состоящих в уменьшении
и увеличении, сложением и вычитанием совершающихся».
Итак, число трактуется Котельниковым по Ньютону, как
«содержание», т.е. отношение двух количеств. Это и обуслов-
ливает структуру книги: «Чего ради вся книжка расположена
тако: в первой главе предложено о сложении и вычитании яко
главных свойствах чисел, во второй о содержании, а в следую-
щих о всем том, что от первых двух зависит». Таким образом,
так как число трактуется как отношение, большое внимание в
учебнике отведено изложению теории пропорций, на основе кото-
рой обосновываются пресловутые правила — тройное и ложных
положений.
Математическое содержание учебника арифметики Котель-
никова тем не менее достаточно традиционное: первые шесть
глав содержат действия над целыми числами и дробями, зада-
чи «на правила», в том числе тройное и одного и двух ложных
положений.
В последних трех главах излагается преимущественно ма-
териал, который сейчас принято считать алгебраическим: при-
меняется буквенное обозначение количеств, излагаются сведе-
ния об извлечении корней, прогрессиях, логарифмах. Заметим,
что этот раздел учебника изложен Котельниковым чрезвычай-
но современно. Обычно логарифмы рассматривались путем со-
поставления соответствующих прогрессий — арифметической и
геометрической. Котельников первым в России придерживается
эйлеровской трактовки логарифма как степени (a log aN = N)*.
Алгебраические методы доминируют и в изложении арифмети-
ческого материала. Так, правила действий над дробями доказы-
ваются алгебраически, с помощью буквенных обозначений. Это
придает изложению тяжеловесный характер.
* См. подробнее: [185, с. 52].
2. Леонард ЭЙЛЕР 155
Впечатление тяжеловесности усиливается многочисленны-
ми определениями, требованиями, аксиомами, примечаниями,
присовокуплениями, мнениями и др. Так, объяснение умноже-
ния и деления разбито на 9 положений, 10 доказательств, 6
присовокуплений, 2 определения, 1 требование, 3 вопроса с их
решениями и 3 примечания. Перед нами яркий образчик изло-
жения математики «по Вольфу». Разумное требование доказа-
тельности вырождается в усложненную структуру, формальные
требования, не менее формальные рассуждения, туманные дока-
зательства. Примат логического над содержательным привел к
тому, что не лишенная достоинств книга Котельникова не нашла
широкого распространения. Провозглашенная им идея единства
теории и практики в «Слове о пользе упражнений в чистых мате-
матических рассуждениях», о котором мы уже говорили выше,
к сожалению, не нашла реального воплощения в его учебнике
арифметики.
Учебник математического анализа. Как уже говорилось, Ко-
тельников подготовил и издал первое русское учебное руководст-
во по математическому анализу. В 1771г. Котельников перевел
учебник X. Вольфа* и издал его в двух томах под названием «Со-
кращение первых оснований математики» (СПб., 1770-1771).
Раздел «Первые основания алгебры» он снабдил своими до-
полнениями: «О величинах переменных», «О дифференциальном
калкулосе», «О интегральном калкулосе». И если в методичес-
ком плане он реализовал не столько идеи своего великого учите-
ля, сколько его оппонента в методическом отношении X. Вольфа,
то в дополнениях, которые и явились первым русским учебным
руководством по математическому анализу, Котельников сжа-
то изложил основные положения трудов Эйлера по дифференци-
альному и интегральному исчислению, использовав следующие
его работы: «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифферен-
циальное исчисление», «Основания интегрального исчисления».
Эти труды в те времена еще не были переведены на русский
язык, не могли служить учебником и в силу своего объема, из-
лишней детализированности, чрезмерного для нужд обучения
научного уровня. Дополнения Котельникова чрезвычайно ком-
пактны — около полусотни страниц.
* Auszug aus den Aufangsgrunden fiir Mathematischen Wissenschaf-
ten. Halle, 1713.
156 I. История математического образования в XVIIIe.
В части дополнений «О величинах переменных» Котельни-
ков приводит сведения о функциях-«объятиях» и их разложениях
в степенные ряды, «О дифференциальном калкулосе» — правила
дифференцирования, ряд Тейлора, экстремумы, дополнение «О
интегральном калкулосе» содержит вычисление неопределенных
интегралов, применение рядов, отдельные определенные интег-
ралы и обыкновенные дифференциальные уравнения.
В силу чрезвычайной сжатости курса уровень доказатель-
ности минимальный: объяснения часто совершенно недостаточ-
ны, доказательства практически отсутствуют, как и примеры.
Учебники математики М. Е. Головина. Учебник ариф-
метики для народных училищ. «Руководство к арифметике для
употребления в народных училищах» — не оригинальное сочи-
нение Головина, а перевод учебника С. Вуяновского (подробнее
см. ниже). Оно состоит из вступления и трех глав. Во вступле-
нии рассматривается нумерация, что говорит о том, что автор
не относит нумерацию к действиям, а считает ее основой ариф-
метики вообще.
Вначале дается определение единицы как «вещи одной по се-
бе», число же определяется как «две или больше единиц одного
рода вешей, взятых вместе». Таким образом, единица, а также
ноль по старинке к числам не причисляются. Такое представле-
ние о числах было шагом назад по сравнению даже с «Арифме-
тикой» Магницкого. Далее дается понятие об обозначении чисел:
2, 3,... , 9 — это знаки чисел, знак единицы «1» и знак нуля «О».
Все знаки чисел, единицы и нули Головин считает цифрами.
Первая глава состоит из пяти параграфов, где в основном
рассматриваются четыре основных арифметических действия —
сложение, вычитание, умножение и деление. Лишь в последнем
параграфе излагаются способы их проверки с помощью обрат-
ных действий.
Каждый из параграфов, посвященных действиям, начина-
ется с определений, сходных с традиционными для того вре-
мени. Далее вводятся названия для компонентов действий и в
рецептурной форме излагается правило, по которому выполня-
ется действие, в качестве иллюстрации приводится несколько
примеров с подробным описанием хода решения. Общие разъ-
яснения метода решения не даются, изложение догматическое,
свойства действий не рассматриваются. Например, после опреде-
ления умножения посредством сложения вводятся термины: дан-
ные числа называются «множащимися», а число, которое обра-
2. Леонард ЭЙЛЕР 157
зуется, — «произведением». Если один «множащийся» больше
другого, тогда обыкновенно больший называется «множимым
числом, а меньший — множителем». Правила умножения начи-
наются с примечания, что если оба множителя записаны с по-
мощью только одной цифры, то произведение следует искать в
таблице умножения, которая в учебнике, однако, не приводится.
В четвертом параграфе, посвященном делению, кроме деления
нацело рассматривается и деление с остатком, которого нет в
оригинале Вуяновского. Таким образом, Головин обобщил деле-
ние на случай деления с остатком.
Во второй главе рассматриваются действия с именованными
числами, иллюстрированные примерами с русскими денежными
единицами, мерами и весами. Последняя глава первой части со-
стоит из трех параграфов. В первом из них вводятся знаки ариф-
метических действий, которые до сих пор в учебном руководстве
не употреблялись. Во втором параграфе рассматривается трой-
ное правило. Напомним, что еще в средние века догматическое
изучение многочисленных «правил» вызывало справедливые на-
рекания как учителей, так и учеников*. Приведем в качестве
примера такого изложения фрагменты из «Руководства к ариф-
метике».
Начинается параграф с определения тройного правила:
«Если за тремя данными числами (называемыми частями)
нужно найти 4-е неизвестное число, то способ его нахождения
называется тройным правилом. Например: за 3 фунта уплачено
15 копеек, сколько нужно уплатить за 9 фунтов? Чтобы найти
4-е неизвестное число, нужно иметь в виду следующие правила:
1) Написать данные числа так, чтобы вопрошаемое число, т. е.
9 фунтов, было написано на 3-м месте.
2) Число одного в вопрошаемым названия, т. е. 3 фунта, пишет-
ся на первом месте, а остальное известное число пишется в
середине.
3) Неизвестный член обозначается через х и пишется так:
3 : 15 = 9 : х, из чего видно:
1) что первый член с третьим, а второй с четвертым должны
быть одного названия;
2) второй член должен относиться к четвертому так, как пер-
вый к третьему, или первый ко второму, как третий к чет-
вертому.
* См., например: [349, с. 3].
158 L История математического образования в XVIIIe.
Поэтому такие числа называются пропорциональными, а
тройное правило — правилом пропорции.
Для того чтобы отыскать четвертое пропорциональное чис-
ло, умножь второй член 15 на третий 9 и произведение 135
раздели на первый член 3. Частным будет четвертое пропор-
циональное число 45.
Проверка делается так, что первый член умножается чет-
вертым, а второй третьим. Произведения должны быть равны»*.
После этого разбирается несколько примеров решения задач
коммерческого характера с помощью тройного правила. В неко-
торых из них действия производят с именованными числами,
которые до составления пропорции приводят к единицам одного
названия.
Итак, приведенный пример достаточно ярко иллюстрирует
догматический характер изложения тройного правила: не вво-
дятся понятия «отношение», «пропорция», которые лежат в ос-
нове тройного правила; употребляются без каких-либо объясне-
ний термины «пропорциональное число», «относится»; изложе-
ние правила рецептурно — оно могло только механически за-
учиваться.
Еще более туманно и кратко изложено в последнем парагра-
фе первой части обратное тройное правило. Приведем в качестве
иллюстрации один из примеров**.
Пример. «3 человека выполняли работу за 8 дней, за
сколько дней выполнят ту же работу б человек?
По простому тройному правилу будет: 3 : 8 = б : х и выйдет
16 дней. Но, как известно, для 6 человек нужно меньше времени,
и найденное число не может быть настоящим пропорциональ-
ным числом. Для того чтобы найти настоящее пропорциональ-
ное число, нужно первый член умножить вторым, а произведение
разделить на третий член, тогда найдется настоящее пропорцио-
нальное число — 4 дня: 3 : 8 = 6 : 4 или переставляются первый
и третий члены:
б : 8 = 3 : 4.
* Цит. по: [316, с. 635-636].
** Почти дословное изложение примера из ранее указанной статьи
[316]; упрощения касаются незначительных частностей для облегче-
ния восприятия.
2. Леонард ЭЙЛЕР 159
Чтобы такого рода задачи проверить, нужно: если члены не пе-
реставлены, первый член умножить вторым, а третий четвер-
тым и оба произведения должны быть равны, например:
3 : 8 = 6 : 4.
Проверка Зх8 = бх4 = 24.
Если же первый член переставлен на место третьего, а тре-
тий на место первого, то умножь первый член четвертым, а вто-
рой третьим и произведения должны быть равны, например:
6 : 8 = 3 : 4.
Проверка: 6 х 4 = 8 х 3 = 24.»
В следующих изданиях заключительная глава первой части,
в которой, как уже сказано, излагались тройные правила, была
исключена, так как опыт показал, что в младших классах ее
изучить не успевали.
Во второй части «Руководства к арифметике» сообщались
сведения о дробях и действиях над ними, о десятичных дробях, о
точном и приближенном извлечении квадратного и кубического
корней, арифметической и геометрической прогрессиях, а также
о тройных правилах, правилах смешения и одного и двух лож-
ных положений. Наиболее интересным и новым был раздел, по-
священный десятичным дробям. Головин придал им столь важ-
ное значение, какого не придавал ни один из авторов прежних ру-
ководств по арифметике. Другим отличием учебника Головина
от других учебных руководств по арифметике является полное
исключение им геометрического материала и буквенного исчис-
ления. Оставлен только раздел об извлечении корней, так как
в начальной школе алгебру не изучали, а этот раздел, по мне-
нию Головина, имел важное практическое значение. В учебнике
отсутствуют задачи и упражнения для самостоятельного реше-
ния, несмотря на то, что методика, предложенная в «Руководстве
учителям», рекомендована для приобретения учениками навы-
ков самостоятельного решения преимущественно практических
задач.
Таким образом, «Руководство к арифметике для народных
училищ» не обладало серьезными содержательными или мето-
дическими достоинствами. Учтем к тому же, что ко времени
выхода его в свет в России существовали учебники арифмети-
ки Эйлера и Курганова несравнимо более высокого качества.
160 I. История математического образования в XVIIIв.
Их можно было адаптировать для нужд народных училищ со
значительно большим эффектом.
Учебник геометрии для народных училищ. «Руководство к
геометрии для народных училищ» М. Е. Головина состоит из
предисловия и трех традиционных разделов — лонгиметрии,
планиметрии и стереометрии.
Во вступлении Головин излагает методические приемы ра-
боты с учебником, сообразуясь в основном с требованиями «но-
вой методы обучения», представленной в «Руководстве учите-
лям»: «Учитель, проходя геометрию по сей книжке, должен про-
читывать каждый период; потом изъяснить оный, тотчас спра-
шивать, как они истолкованное поняли, а не подаваться далее
до тех пор, пока большая часть учеников не уразумела хорошо
прочитанного».
При решении задач, требующих доказательств, автор пред-
лагает прежде «истолковать самое предложение, потом присту-
пить к доказательству, причем должно напоминать ученикам,
в каком случае задачу сию в общежитии употреблять можно».
Иными словами предлагается следующая методика разбора за-
дач: анализ условия, решение или доказательство, показ связи
задачи с жизнью, с практикой.
Особенно важным средством связи геометрии с жизнью счи-
тает Головин учебные экскурсии в целях, как мы сейчас бы
сказали, измерений на местности: «Училище снабжено должно
быть упоминаемыми в сей книжке орудиями, как-то: астроля-
биею, компасом и пр., с коими учителю вместе с учениками в
летнее время выходить на поле, и там на деле показать решение
практических задач, кои в классах разрешены были». Большое
значение придает Головин моделированию как средству нагляд-
ности и связи с практикой: «Если дойдено будет до тел, то долж-
но сделать их из толстой бумаги, показать ученикам и стараться
довести их до того, чтобы они и сами сделали то же». Все эти
приемы необходимы, по мнению Головина, для того, чтобы об-
легчить усвоение геометрии: «...одним словом, делать все то,
что служит к лучшему и легчайшему преподаваемых предметов
уразумению».
Во вступлении особенно подчеркивалось практическое зна-
чение геометрии: «Сколько знание геометрии полезно и нужно в
общежитии, никто спорить не может. Землемерие, архитектура
гражданская и военная, мореплавание, физика, механика и пр.,
словом все наиполезнейшие для людей науки служат явным то-
2. Леонард ЭЙЛЕР 161
му доказательством. Самые художества и рукоделие не малую
пользу от ней заимствовать могут. Так, живописцу поможет она
в исправном рисовании, инструментальщику в делании верных
орудий, столяру и плотнику в проведении прямых и горизон-
тальных линий; каменщику в складывании стен; самому даже
хлебопашцу сделает пользу при означении меж в случае споров
при разделении полей во время посевов, при строении овинов,
закромов и пр.»
Здесь же, во вступлении, начинает излагаться и содержа-
тельная часть геометрии: вводятся такие основные понятия, как
точка, линия, поверхность, формулируются некоторые аксиомы.
Первый раздел учебника включает в себя лонгиметрию, из-
ложение которой носит чисто практический характер: даются
в виде правил решения 41 задачи (например, задача о делении
отрезка пополам или о проведении перпендикуляра к прямой).
Теоретический материал практически отсутствует. В виде ис-
ключения можно привести несколько предложений об углах:
смежных, вертикальных, а также образованных прямой, пере-
секающей две параллельные прямые. Во втором разделе изла-
гается планиметрия. В нем доказываются простейшие теоремы
— о сумме углов треугольника, углах при основании равнобед-
ренного треугольника и некоторые другие, причем и они были
чаще всего туманны, а иногда и вовсе неверны. Весь осталь-
ной материал излагается рецептурно, в форме правил решения
практических задач. В последнем разделе учебника геометрии
представлена стереометрия, причем основной целью и объектом
изучения являются построение моделей пространственных тел и
вычисление их объемов и поверхностей.
Доминирование практического материала над теоретичес-
ким, нечеткие, неполные, иногда неверные доказательства, а за-
частую их полное отсутствие, догматизм изложения материала
определяют невысокую эффективность учебника геометрии для
народных училищ. Он не оказал сколько-нибудь серьезного вли-
яния на дальнейшую отечественную литературу по геометрии,
если не считать несколько более содержательного, но достаточно
близкого к «Руководству к геометрии» М. Е. Головина учебника
М. Розина «Начальные основания теоретической и практической
геометрии» (СПб., 1797) и пособия М. А. Матинского «Началь-
ные основания геометрии, сочиненные для Общества благород-
ных девиц. (СПб., 1798).
162 I, История математического образования в XVIIIв.
Учебник тригонометрии. «Плоская и сферическая тригоно-
метрия с алгебраическими доказательствами, собранными Ми-
хаилом Головиным, надворным советником Академии наук чле-
ном и Учительской семинарии профессором» (написана в 1780 г.,
опубликована в 1789 г.) не имела конкретного адреса, не состав-
лялась для какого-либо конкретного учебного заведения. Воз-
можно, это не накладывало на Головина никаких ограничений
и позволило создать наиболее универсальный и удивительно со-
временный учебник тригонометрии, который по своему научно-
му уровню и ясности изложения не имел аналогов не только в
отечественной учебной математической литературе, но и оста-
вил далеко позади современные ему иностранные руководства
по тригонометрии. Само название книги определяет характер
построения курса тригонометрии, в котором основное место за-
нимает постепенное аналитическое развитие системы тригоно-
метрических формул на плоскости и на сфере.
Учебник Головина состоит из двух частей — плоской три-
гонометрии и сферической тригонометрии. Плоская тригономет-
рия содержит три главы. Первая глава «О названии и свойстве
линий тригонометрических» начиналась с замечания о том, что
радиус окружности принимается за единицу и что углы изме-
ряются градусами или длиной соответствующей дуги. После
этого выводились формулы, связывающие тригонометрические
функции одного аргумента, формулы суммы и разности триго-
нометрических функций, синусов и косинусов кратных углов. Не
рассматривались в учебнике только обратные функции.
Первая часть учебника Головина представляет наибольший
интерес, так как в ней представлена практически вся формуль-
ная тригонометрия, чего не удалось сделать Румовскому в его
«Сокращениях». Во второй главе «О нахождении и употребле-
нии таблиц синусов» описывается один из простейших способов
составления тригонометрических таблиц. Третья глава «О раз-
решении треугольников», как явствует из названия, содержит
основные задачи на решение треугольников.
В сферической тригонометрии представлены аналитические
доказательства теорем о кругах на шаре, сферических углах,
сторонах сферических треугольников и случаях их равенства.
Затем рассматриваются основные задачи на решение сферичес-
ких треугольников.
В «Плоской и сферической тригонометрии» Головину уда-
лось четко и ясно изложить современную теорию тригономет-
2. Леонард ЭЙЛЕР 163
рии, что явилось большим шагом вперед по сравнению с ранее
изданными учебниками*; в то же время ему удалось сохранить
традиции подробного и достаточно аккуратного изложения прак-
тической тригонометрии. О значении книги М. Е. Головина в
развитии учебной математической литературы прекрасно вы-
сказался А. П. Юшкевич: «В книге Головина русские учащи-
еся получили превосходное руководство. Влияние ее сказалось
не сразу. В 1794 г., например, издана была тригонометрия Безу,
довольно неплохо в своем роде написанная, но устаревшая в обо-
значениях, в пользовании кругом радиуса г, в полном пренебре-
жении к вопросу о знаках линий в разных четвертях. Но дух
новой, эйлеровской тригонометрии проникал уже в жизнь»**.
Таким образом, учебник тригонометрии Головина представ-
ляет собой выдающееся явление в учебной математической лите-
ратуре XVIII в. Его содержание и методика изложения предопре-
делили развитие учебной литературы по тригонометрии практи-
чески на столетие. В целом же методическое творчество Голови-
на обширно, но качественно неоднородно: оно содержит блестя-
щий учебник тригонометрии и слабые или очень слабые в содер-
жательном и методическом отношениях учебники математики
для народных училищ.
Учебники математики Н. И. Фусса. Учебник алгебры,
как уже говорилось, был создан Фуссом для Сухопутного Шля-
хетного кадетского корпуса, опубликован под названием «На-
чальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда
Эйлера» (СПб., 1798) и претерпел ряд переизданий в XIX в.
Практически он является адаптацией для школьного обучения
двухтомной «Универсальной арифметики» Л. Эйлера. Охарак-
теризуем те существенные изменения, которые внесены Фуссом.
1. Достаточно кардинально изменив структуру курса, Фусс пе-
реместил ближе к началу учение об уравнениях, справедли-
во посчитав его основой курса алгебры; пропорции и про-
грессии же, напротив, отнес к концу книги.
2. Автор произвел значительные изъятия: из отдела диофан-
това анализа, в котором рассматривались неопределенные
* Сведения по. тригонометрии содержали более десятка учебников
математики (от Магницкого до Аничкова). К тому времени были на-
писаны и несколько учебников тригонометрии [8; 69; 102; 291].
** Юшкевич А. П. Л. Эйлер и русская математика в XVIII веке //
Тр. ин-та истории естествознания. М.-Л., 1949. Т. 3. С.85.
164 I- История математического образования в XVIIIв.
уравнения, сохранил лишь краткие сведения о решении в це-
лых числах линейных уравнений с двумя неизвестными; рез-
ко сократил раздел об уравнениях третьей и четвертой сте-
пеней; исключил приближенные методы определения корней
уравнений. Вообще Фуссу удалось сильно сжать изложение
материала: из двухтомного сочинения Эйлера он получил
книгу с вполне приемлемым объемом (около 350 с.).
3. Н.И.Фусс внес отдельные удачные коррективы в изложение
материала, в частности:
- изменил определения некоторых алгебраических понятий,
заново определил такие понятия, как «формула», «много-
член»;
- на числовых примерах провел исследование системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными, в связи с чем
впервые в отечественной учебной литературе введены поня-
тия о независимости уравнений и о «невозможных» систе-
мах;
- упрощена терминология;
- упростил, а кое в чем и дополнил теоретический материал.
4. Манеру изложения из чисто научной эйлеровской Фусс удач-
но адаптировал к целям преподавания, благодаря чему она
приобрела учебный характер.
Все это позволяет считать книгу Фусса вполне самосто-
ятельным сочинением — оригинальным учебным пособием по
алгебре, которое оказало кардинальное влияние на всю дальней-
шую учебную математическую литературу по алгебре.
Учебник геометрии Н. И. Фусса был издан первоначально
во французском варианте под названием «Lekons de geometric»
(St.-Ptsb., 1798). На русском языке он напечатан в 1799г. под
заголовком «Геометрия в пользу и употребление обучающегося
благородного юношества в Сухопутном шляхетном корпусе». Он
был издан в С.-Петербурге в объеме более 300 с. и выдержал там
же ряд изданий в XIX в.
В учебнике геометрии Н. И. Фусса впервые в отечественной
учебной геометрической литературе было дано систематическое
изложение планиметрии и стереометрии. Ранее входивший во
все учебники раздел лонгиметрии специально не выделялся. Из
учебника были исключены все ранее загромождавшие изложе-
ние геодезические задачи и наставления, отошедшие в уже соз-
данные к тому времени учебные руководства по геодезии (см.,
например, «Первые основания геодезии» Котельникова).
2. Леонард ЭЙЛЕР 165
В основание курса положена немногочисленная и, конечно,
неполная система аксиом, изложенная в самом начале (к сожале-
нию не все формулировки удачны). Теоремы курса доказывались
с помощью введенной аксиоматики; к сожалению, похвальное в
целом стремление к простоте и краткости изложения приводило
зачастую к неточностям в доказательстве ряда теорем, напри-
мер в учении о подобии. В учебнике приведено и опровергнутое
уже ко времени первого издания книги, но повторенное даже в
издании 1811 г., доказательство постулата о параллельных [348,
с. 27].
Учебник состоит из шести глав. Первая глава посвящена
прямой и градусному делению углов; вторая содержит теоре-
мы о смежных и вертикальных углах, параллельных прямых,
равенстве треугольников, их сторонах и углах; в третьей изло-
жена теория круга, а также связанных с ним углов (вписанных
и т. д.); в четвертой рассматриваются пропорциональность и по-
добные фигуры; пятая глава посвящена сравнению и измерению
фигур (сюда же попала и теорема Пифагора); шестая содержит
материал о превращениях и делениях плоских фигур. Как видно
из краткой характеристики содержания глав учебника, в нем все
же доминировал планиметрический материал. Элементы стерео-
метрии содержала преимущественно пятая глава. В учении об
измерении пирамиды, шара и проч. Фусс применял принцип Ка-
вальери.
Итак, учебник геометрии Н. И. Фусса, обладая рядом несо-
мненных достоинств, основное из которых — систематичность
изложения, был несвободен и от недостатков, присущих, впро-
чем, большинству школьных учебников XVIII в. — бессодержа-
тельные определения, неудачные формулировки, неточные дока-
зательства.
166 I. История математического образования в XVIIIв,
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
В СТРУКТУРЕ РОССИЙСКИХ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
II половины XVIII века
3.1. Образовательная ситуация в России
в середине XVIIIвека
Попытаемся реконструировать образовательную ситуацию,
сложившуюся в России к середине XVIIIв., акцентировав вни-
мание на сфере математического образования.
Идея ценности образования очень медленно начинает осо-
знаваться передовыми слоями российского общества. Образо-
вательное пространство России характеризуется сосущество-
ванием в нем нескольких образовательных систем, а следова-
тельно, и нескольких образовательных парадигм: профессио-
нальной, академической, общеобразовательной, специальной, со-
словной, духовной. Некоторую роль начинает играть домашнее
образование.
Профессиональная образовательная система включает в се-
бя военное (Морская и Рыцарская академии), военно-техничес-
кое (артиллерийское и инженерное училища), техническое (гор-
ные училища), медицинское (хирургическая школа) и другие на-
правления. Низший уровень профессионального образования —
гарнизонные школы и низшие школы при перечисленных учеб-
ных заведениях. К середине XVIII в. профессиональная образо-
вательная система является наиболее жизнеспособной, матема-
тическое образование в ней сохраняет приоритетность и отли-
чается высоким качеством.
Академическая образовательная система представлена гим-
назией и университетом при С.-Петербургской Академии наук.
Основное ее назначение — подготовка научных кадров для са-
мой Академии, равно как преподавательских кадров для нее же
и других образовательных систем, а также чиновников для го-
сударственной службы.
3. Математическое образование II половины XVIIIв. 167
Математическое образование является доминантным в ака-
демической образовательной системе в силу чрезвычайно силь-
ного кадрового состава академиков-математиков, которые одно-
временно являются преподавателями академических учебных за-
ведений. Более того, они составляют ядро уникального явления
в истории интеллектуальной культуры России — методической
школы Л. Эйлера, пронизавшей все образовательные системы
России того времени и активно внедрявшей в преподавание ма-
тематики самые прогрессивные педагогические и методические
идеи преимущественно с помощью созданных в недрах этого ин-
теллектуального феномена учебников математики.
Специальная образовательная система, представленная Мо-
сковской (Сухаревской) математической школой (бывшая Мате-
матико-навигацкая), практически перестает функционировать,
так как надобность в подготовке юношей для поступления в С.-
Петербургскую Морскую академию постепенно сходит на нет.
Массовая общеобразовательная система, которая была соз-
дана при Петре I, практически распадается, так как низшие
слои населения активно противодействуют обучению своих де-
тей в школе, по-прежнему не осознавая значимости образования.
Те немногие представители этих слоев, которые ее осознали,
удовлетворяют свои потребности преимущественно в академи-
ческой (недаром практически все русские академики «первого
призыва» — представители именно этих слоев), частично — в
профессиональной образовательных системах.
В середине XVIII в. возникает и довольно эффективно разви-
вается сословная образовательная система — система пансионов,
основанная в большой мере на частной и в некоторых случаях —
на общественной инициативе*. В пансионах преподается и ма-
тематика, однако уровень ее преподавания целиком зависит от
подготовки учителя, объем математических сведений ограничи-
вается преимущественно арифметикой.
Духовная образовательная система к тому времени была не
чисто профессиональной, а в некоторой степени и общеобразова-
тельной, так как именно она составила активную конкуренцию
общеобразовательной системе (в лице цифирных школ) и взяла
на себя достаточно значительную часть ее функций. В частнос-
ти, в духовных семинариях Синод решил ввести преподавание
арифметики и элементов геометрии, хотя «реальные предметы»
* Количество пансионов к концу века значительно увеличилось, ко-
личество учащихся в них, пожалуй, было самым большим [128, с. 357].
168 I. История математического образования в XVIIIв.
были чужеродными для системы духовного образования и не по-
лучали сколько-нибудь глубокого освещения.
Домашнее образование в основном являлось сословным,
дворянским, женское образование ограничивалось только им.
Приоритеты его — языки, ведущим из которых к концу ве-
ка становится французский, в некоторой степени — литера-
тура. Основное внимание уделялось воспитанию хороших ма-
нер, музыкальному образованию. В качестве учителей пригла-
шали преимущественно иностранцев. Дисциплины естественно-
математического цикла всегда находились на периферии домаш-
него образования. Изучение математики зависело от желания и
подготовленности учителя и вряд ли выходило за рамки элемен-
тов арифметики.
Итак, в середине XVIII в. наиболее развитой по-прежнему
является профессиональная образовательная система, которая
стабильно дает образование высокого качества. В профессио-
нальную образовательную систему органично вписывается ма-
тематическое образование, являясь ее основной, доминантной
составляющей. Поэтому, характеризуя математическое образо-
вание второй половины XVIIIв., мы основное внимание уделим
математической компоненте профессиональной образовательной
системы, а также математическому образованию во вновь воз-
никших или воссозданных образовательных системах.
Итак, проанализировав в предыдущей части книги уни-
кальное явление в интеллектуальной истории России XVIII в.
— методическую школу Л. Эйлера, вобравшую в себя преиму-
щественно персоналистический и идейно-материальный компо-
ненты, мы возвращаемся к характеристике институционально-
событийного компонента, т.е. к анализу развития основных ин-
ститутов школьного математического образования и событий,
происходящих в его сфере.-Мы вполне осознанно ограничиваем-
ся лишь этим компонентом, так как в предыдущих частях книги
были охарактеризованы основные идеи, послужившие внутрен-
ним стимулом развития математического образования второй
половины XVIII в.; персоналии — носители этих идей и матери-
альное их воплощение в виде созданной ими учебной математи-
ческой литературы. Образовательные институты, которые мы
описываем в этой части книги, являются пространством функци-
онирования этих идей и персоналий. Подробную характеристику
деятелей математического образования и созданных ими учебни-
ков мы будем давать лишь в том случае, если они не входят в
3. Математическое образование II половины XVIIIв.169
методическую школу Л. Эйлера, специально не выделяя главы
для характеристики учебной математической литературы (кро-
ме учебников, созданных для Московского университета).
3.2. Математическое образование
в профессиональных учебных заведениях
II половины XVIIIвека
Петр I и его сподвижники отчетливо осознавали государ-
ственную важность профессионального образования, с которого
«есть пошло» отечественное образование вообще. К сожалению,
осознание этого было в значительной мере утрачено власть иму-
щими в постпетровский период: «От Екатерины I до Елизаве-
ты, а особенно при Анне Иоанновне, о подготовке новых кадров
офицерства, инженеров, моряков, учителей заботились ничтож-
но мало» [349, с. 6]. Так, если в Морской академии перед смертью
Петра обучалось 394 человека, то в 1725 г. их было лишь 180,
в 1731г. — 140, а в 1745 г. она вместе с Сухаревской (бывшей
Математико-навигацкой) школой насчитывала всего 102 учени-
ка. Таким образом, профессиональное образование в России в
постпетровский период переживало глубокий кризис. Не луч-
ше обстояло дело и с общеобразовательными учебными заве-
дениями. Остатки цифирных школ в 1744 г. были объединены
с гарнизонными школами, количество учеников в которых было
ничтожным, уровень образования крайне низким.
Дворянство, по-прежнему не заинтересованное в получении
систематического образования, добилось освобождения от обяза-
тельного обучения: указом от 9 февраля 1737 г. дворянским де-
тям было предоставлено право на домашнее образование. Более
того, обучение своих детей даже вменялось в обязанность дворя-
нина, однако исполнение этой обязанности зависело от многих
причин и прежде всего от желания дать полноценное образова-
ние и от наличия квалифицированных учителей. Ни того, ни дру-
гого у дворянства, как правило, не было, поэтому указ выполнял-
ся чисто формально. Недаром в одной из сатир А. Д. Кантемира
невежда-помещик заявлял:
Землю в четверти делить без Евклида смыслим,
Сколько копеек в рубле, без алгебры счислим.
В 30-е гг. XVIII в. вновь были созданы только два типа
учебных заведений: Рыцарская академия (1731), которая гото-
вила учащихся не только к военной, но и к гражданской дея-
тельности и где предметы изучались по выбору учащихся, но в
170 I. История математического образования в XVIIIв.
их число были включены кроме «реальных» юридические и по-
литические науки, и гарнизонные школы (1732), созданные при
некоторых полках для солдатских детей 7-15 лет, «дабы впредь
польза государству и в рекрутах облегчение были».
В середине XVIII в. начинается некоторый рост профессио-
нальных школ, что выражается в увеличении количества уча-
щихся и в структурной их реорганизации.
1. В 1762 г. Рыцарская академия была преобразована в су-
губо военное учебное заведение — Сухопутный шляхетный ка-
детский корпус. Контингент его возрастает с 200 человек при
основании до 600-700 к концу века.
2. В 1758 г. два училища — артиллерийское и инженерное
были слиты в единый артиллерийский и инженерный шляхет-
ный корпус, штат их учеников возрастает к 1784 г. до 400.
3. Вместо Морской академии и Морской артиллерийской
школы в Петербурге и Сухаревской математической школы в
Москве в 1752 г. создается Морской шляхетный кадетский кор-
пус. Он располагается в Петербурге и имеет комплект в 360 че-
ловек. В первое время он выпускает около 30 специалистов в год,
начиная с 1775 г. уже в среднем более 80. К концу века военно-
морское образование продолжает специализироваться: в 1798 г.
в Петербурге основывается кораблестроительное училище.
4. Существенное развитие казенных и частновладельческих
металлургических заводов обостряет потребность в квалифици-
рованных специалистах, поэтому в 1774 г. основывается Горное
училище с четырехлетним курсом обучения. Число его учащих-
ся достаточно быстро возрастает с 20 до 120, а в 1776 г. при нем
открывается подготовительное отделение.
5. Некоторый прогресс наблюдается и в развитии началь-
ного образования: с 6 тыс. в 1738 г. до 12 тыс. в 1797 г. увели-
чивается число учащихся в гарнизонных школах; в 1762 г. при
кадетских корпусах создаются «солдатские роты» и «штурман-
ские школы» для обучения «низшим мастерствам и художест-
вам» [349, с. 6].
Во всех этих учебных заведениях преподаванию математи-
ки придавалось первостепенное значение. В них работали луч-
шие преподаватели математики, преимущественно представите-
ли методической школы Л. Эйлера, которые создавали учебную
математическую литературу нового поколения. Заметим, что во-
енное и военно-техническое образование в это время становится
строго сословным, дворянским.
3. Математическое образование II половины XVIIIв.171
Морской шляхетный кадетский корпус. Особенно хо-
рошо было поставлено преподавание математики в Морском
шляхетном кадетском корпусе. Для обучения навигации и мате-
матике по штату полагалось 15 человек — профессор, 2 учите-
ля и при них 6 подмастерьев и 6 учеников. Преподавательский
состав Морского корпуса был традиционно силен. Достаточно
сказать, что наиболее известные педагоги-математики методи-
ческой школы Л. Эйлера работали именно в Морском шляхетном
кадетском корпусе. К ним относятся: профессор Н.Г. Курганов,
всю жизнь посвятивший воспитанию и образованию будущих
морских офицеров; академик С. К. Котельников, совмещавший
преподавание в академической гимназии с чтением лекций по
разделам высшей математики старшим воспитанникам корпу-
са и создавший учебные математические пособия специально
для него. Академик Н.И. Фусс, непременный секретарь Акаде-
мии наук, выпустил несколько первоклассных учебников мате-
матики, читал курс математики не только в Морском, но и в
Сухопутном шляхетных корпусах.
В Морском кадетском корпусе использовались практически
все существовавшие в определенное время учебные пособия по
математике. До 1855 г. обучение математике в основном велось
по «Арифметике» Магницкого и функционировавших парал-
лельно и описанных нами выше пособиях и конспектах по прак-
тической геометрии и тригонометрии. Их сменили специально
созданные для Морского кадетского корпуса пособия блестящего
просветителя Н. Г. Курганова, создателя учебников нового типа,
соединявших в себе систематичность и доказательность с прос-
тотой, изяществом стиля, яркой образностью и живой манерой
изложения. Опубликовав «Универсальную арифметику» и «Ге-
неральную геометрию», а затем переведя с французского адапти-
рованные для школы «Начала» Евклида, Курганов значительно
поднял уровень математической подготовки в Морском шляхет-
ном кадетском корпусе. Особенно большой славой пользовался
его учебник арифметики: «Достоинства «Арифметики» Курга-
нова были так несомненны, написана она была таким простым и
ясным языком, что знаменитый Магницкий со своим славянским
языком и запутанными определениями окончательно и навсегда
померк в учебной литературе» [136, с. 191-192].
В этот же и последующий периоды здесь стали употреблять-
ся и руководства по математике, созданные для академической
гимназии, в частности использовался учебник геометрии Краф-
172 I. История математического образования в XVIIIв.
та, приложенный к нему перевод французского учебника триго-
нометрии. Следуя западноевропейским традициям, геометрию в
Морском корпусе предпочитали преподавать «по Евклиду». По
всей видимости, тон тут задал А. Фарварсон, подготовив рус-
ское издание широко распространенных в Европе «Элементов
геометрии» А. Такэ, где был изложен упрощенный вариант I—VI
и XI-XII книг «Начал». Известны несколько переводов «Начал»
Евклида и их адаптаций, выполненных специально для Морско-
го кадетского корпуса:
- «Евклидовы элементы» (СПб., 1739), перевод с французской
адаптации И. Сатарова;
- раздел геометрии в «Книге полного собрания о навигации»
(СПб., 1748-1753) С. Мордвинова, впоследствии знаменито-
го адмирала;
- «Элементы геометрии» (СПб., 1768) - адаптированный пе-
ревод «Начал», выполненный Н. Г. Кургановым и принятый
в Морском корпусе в качестве учебника;
- «Евклидовых стихий книг осьм» (СПб., 1784), перевод с гре-
ческого преподавателей Морского корпуса В. Н. Никитина и
П. И. Суворова.
Книга Сатарова признания не получила. Солидный учебник
навигации Мордвинова кроме геометрии содержал навигацию и
плоскую и сферическую тригонометрию. Наибольший интерес
представляет отдел тригонометрии, написанный с доказатель-
ствами. Однако книга Мордвинова оказалась трудной не только
для кадетов, но и для их учителей.
Под влиянием Никитина и Суворова в 80-х гг. изменился
стиль преподавания математики в Морском корпусе. В 1784 г.
Никитин был назначен инспектором корпуса, а Суворов его по-
мощником; оба они получили магистерскую степень в Оксфорде
и попытались ввести в Морском корпусе элементы сложившейся
в Европе системы математического образования. Это выража-
лось, в частности, в том, что арифметику стали изучать после
геометрии; введено чтение лекций «по образу, как в универси-
тетах делается». Никитин и Суворов в 1787 г. издали учебник
«Тригонометрия, две книги» (СПб.,), которая также была со-
ставлена по несколько устаревшим западноевропейским образ-
цам. Тем не менее этих авторов отличали высокая математичес-
кая культура, требовательность к точности и доказательности
изложения, а также стремление к созданию отечественной мате-
матической терминологии.
3. Математическое образование II половины XVIIIв,173
Кроме математики, которую мы теперь называем элемен-
тарной, начиная с 60-х гг. в Морском кадетском корпусе для
старших воспитанников читался курс высшей математики. На-
чало этому положил академик С. К. Котельников, который изла-
гал старшим кадетам разделы высшей математики и специаль-
но для корпуса выпустил «Первые основания математических
наук» (СПб., 1766); часть I, впрочем, содержала в себе арифме-
тику.
В конце XVIII в. курс математики был существенно попол-
нен аналитической геометрией и математическим анализом и по-
ручен академику Н.И. Фуссу.
Итак, Морской шляхетный кадетский корпус всегда славил-
ся прекрасной постановкой математического образования, уже
в XVIII в. включавшего не только элементарную математику,
но и основные разделы высшей*. Это учебное заведение умело
привлечь для преподавания первоклассных математиков свое-
го времени, которые к тому же выполняли его заказы на созда-
ние современной учебной математической литературы. В других
профессиональных учебных заведениях уровень математическо-
го образования был существенно ниже.
Сухопутный шляхетный кадетский корпус. Рыцар-
ская академия подобно большинству школ того времени была
многопредметным учебным заведением, в котором изучались
предметы по выбору. В 1762 г. она была переименована р Су-
хопутный шляхетный кадетский корпус, в котором сохранилась
та же многопред меткость. Материалы обследования корпуса в
1784 г. говорят о том, что были выявлены серьезные недостат-
ки в обучении кадетов, заключавшиеся прежде всего именно в
многопред меткости, переходившей в «полную беспредметность»
[349, с. 8]. Это обусловило тот факт, что за девять лет кадеты не
успевали закончить изучение арифметики, геометрией не могли
овладеть и за 12 лет. В старших классах у кадетов оказывалось
так много дисциплин, что они «отчаиваясь успеть во всем, ни
к одной, по-видимому, затем не применялись и ни в одной не
успевали» [128, с. 364], поэтому в учебный план начали вносить
коррективы, что, однако, не сразу дало эффект.
* Впрочем, надо отдать должное историографу Морского кадет-
ского корпуса Ф. Ф. Веселаго: возможно, благодаря ему мы просто
больше знаем о постановке математического образования в этом учеб-
ном заведении.
174 I- История математического образования в XVIIIв.
Некоторую роль в развитии отечественного математичес-
кого образования сыграл преподаватель Сухопутного кадетско-
го корпуса Степан Назаров, перу которого принадлежат два
учебника элементарной математики. Около 1756 г. им написан
учебник «Начальное основание геометрии с доказательствами»,
по-видимому, так и не изданный. Второй учебник «Практичес-
кая геометрия» был издан в 1760-1761 гг. и впоследствии дваж-
ды переиздавался (1767, 1775). Учебник включал традиционные
части: лонгиметрию, планиметрию, штирометрию, тригономет-
рию и на самом деле состоял из набора практических задач с
решениями без объяснений и доказательств, не представляя со-
бой и с методической точки зрения ничего нового.
Сохранилось имя — тоже не первой величины — еще од-
ного преподавателя Сухопутного кадетского корпуса — Карл
фон Людевих, который в 1758 г. издал «Краткое руководство к
арифметике». Одновременно в Сухопутном кадетском корпусе
работали и первоклассные преподаватели математики, в част-
ности Николай Иванович Фусс, написавший специально для это-
го учебного заведения популярные учебники математики.
В 1800 г. Сухопутный шляхетный кадетский корпус был
преобразован в I Кадетский корпус — среднее учебное заведе-
ние, основанное уже на совершенно иных принципах.
Инженерно-артиллерийский шляхетный корпус. Еще
при Петре I придавалось большое значение инженерному образо-
ванию. «Для распространения в нашем отечестве теоретических
и практических сведений по инженерной части по распоряжению
правительства:
а) приглашались из областей вновь присоединенных к Рос-
сии (Лифляндия) и из разных государств Европы сведущие ин-
женеры и техники в нашу службу на выгодных условиях;
б) учреждены были инженерные школы в Москве и в Пе-
тербурге; поощрялись частные школы, где обучали недорослей
артиллерийской и инженерной наукам;
в) дозволено было дворянам ездить в Западную Европу за
границу для обучения артиллерии и инженерству;
г) употреблялись всякого рода поощрения и награды обу-
чавшимся этим наукам; служившие в инженерах получали окла-
ды жалованья больше противу «армии»;
д) во время зимней стоянки войск по квартирам или в кре-
постях назначались инженерные офицеры для обучения солдат
инженерному делу;
3. Математическое образование II половины XVIIIв.175
е) определены были необходимые предметы знания, «состав-
лявшие нужную часть инженерства»;
ж) фортификации обучали не только в Морской академии, в
полковых школах, но и в духовных семинариях» [270, с. 361-362].
В середине XVIII в. (1758) были слиты воедино Артилле-
рийское и Инженерное училища. Директор последнего Миха-
ил Иванович Мордвинов был назначен руководителем объеди-
ненной школы*. В 1762 г. по инициативе П.И. Шувалова, вос-
питанника и соратника Петра I, школа была преобразована в
Инженерно-артиллерийский шляхетный корпус. Среди ее вы-
пускников были не только прославленные русские генералы,
включая М. И. Кутузова, но и видные математики и методис-
ты: С. Е. Гурьев, В. И. Висковатов, Н. В. Верещагин.
По плану директора Инженерно-артиллерийского шляхет-
ного корпуса М. И. Мордвинова математике предназначалась ве-
дущая роль в подготовке офицерских кадров. Он включил в
учебный план механику, арифметику и низшую алгебру, на-
чальную и высшую геометрию, «свойства трех сечений конуса
и прочее до сего относящееся» [27, с. 41].
Мордвинов, в частности, отстаивал одну из самых передо-
вых эйлеровских идей — необходимость систематического изло-
жения математических курсов. Так, в одной из своих инструк-
ций он утверждал: «Геометрия, получая надлежащее развитие
в ее практических приложениях, должна иметь свое основание
в систематическом изложении евклидовых начал, знание кото-
рых каждому, кто только чему-нибудь учиться хочет, нужно...
[123, с. 109]. Здесь же определялось основополагающее значение
арифметики для всей математики: «Наука счисления есть ос-
нование всем математическим наукам; в оной надлежит учить
все правила основательно и изъяснять примерами». И, наконец,
подчеркивалось возрастающее значение алгебры: «.. .за нужное
почитается обучать счислению литерами, чтобы сделать спо-
собными учеников к понятию трудных геометрических доказа-
тельств. Нынешние авторы пишут все свои дела алгебраически,
итак, не зная сей науки, ученик ими пользоваться не может» [27,
с. 109-110].
* С 1755 по 1761 г. в ней учился М. И. Кутузов, впоследствии зна-
менитый полководец и генерал-фельдмаршал. Кутузов обращал на
себя внимание замечательными математическими способностями и
преподавал арифметику и геометрию в солдатской школе, будучи уче-
ником училища.
176 I. История математического образования в XVIIIв.
Мордвинов и Шувалов постоянно заботились о том, чтобы
Инженерно-артиллерийский корпус имел хороший состав учи-
телей, прежде всего по чистой и прикладной математике. Это
выразилось, в частности, даже в том, что особое внимание было
уделено достаточному их вознаграждению. Зарплата определя-
лась важностью предмета и удобством подыскания учителей*.
В числе лучших учителей Инженерно-артиллерийского корпу-
са мы находим ученика Ломоносова по академической гимна-
зии и университету, его единомышленника, известного фило-
софскими сочинениями, поручика артиллерии Якова Павловича
Козельского, незаурядного мыслителя, человека большой эруди-
ции. Он преподавал математику с 1757 г. сначала в объединенной
Инженерно-артиллерийской школе, а потом в кадетском корпусе
в течение 11 лет.
Интересны взгляды Козельского на обучение вообще и пре-
подавание математики, в частности, которые высказаны в пре-
дисловиях к его учебникам и философским работам. Особенно
горячо он пропагандирует связь теории с практикой: «А как
многие из авторов пишут одну теорию, другие одну практику,
а некоторые из них, и то редко, мешают теорию с практикой,
то мне оба метода не показались приемлемыми, чего ради я сле-
довал третьему и при описании... правил удалялся от великой
сухости теории и от прямой слепоты практики; а напротив того
старался все предложения изъяснить кроме опытов еще и жи-
тейскими примерами»**.
Этими принципами Козельский руководствовался и при на-
писании учебника арифметики. Неумение решать практические
житейские задачи Козельский объясняет порядком учения: «По-
тому что учителя при показании правил обыкновенно задают
ученикам своим примеры, в одних цифрах состоящие, не упоми-
ная притом никаких случающихся в жизни человеческой нужд,
которые принадлежат для решения к тем правилам» [135, с. 4],
поэтому объяснения в учебнике арифметики он строит так, что-
бы «начинающий учиться арифметике не имел нужды искать
решения арифметических примеров и задач в других книгах»
[135, с. 4].
* Вот интересные в этом плане данные: учитель математики —
800 руб. в год, политических наук — 600 руб., русского языка — 500,
иностранных языков — 400 и учитель танцев — 300 руб. в год.
** Из предисловия к «Механическим предложениям» (СПб., 1764).
3. Математическое образование II половины XVIIIв.177
О практической педагогической деятельности Козельского
подробных сведений, к сожалению, нет. Известно только, что
Шувалов, считавший математику «основанием всем наукам в
свете» поручил Козельскому составить руководство по ариф-
метике, которое и было издано в 1764 г. (СПб.) под названием
«Арифметические предложения для употребления обучающего-
ся в Артиллерийском и Инженерном шляхетном кадетском кор-
пусе благородного юношества». Учебник содержал те сведения,
которые во второй половине XVIII в. составляли предмет ариф-
метики и которые мы найдем и в других подобных учебных ру-
ководствах того времени: целые числа и действия над ними, от-
ношения и пропорции, задачи «на правила», приложения ариф-
метики к некоторым вопросам геометрии, возведение в степень и
извлечение квадратных и кубических корней, действия над деся-
тичными дробями, логарифмы. Методика изложения материала
была во многом заимствована у X. Вольфа и его последователей:
автор стремился держаться «математического порядка», кото-
рый горячо пропагандировался также Румовским, Аничковым*
и Котельниковым. Однако «Арифметические предложения» от-
личаются от учебников этих авторов двумя особенностями.
1. Изложение материала в нем ясное и четкое, наукообразия,
которое проявлялось, по выражению Козельского, в истол-
ковании арифметических правил «по литерам, что молодо-
му человеку начинающему учиться понимать трудно»; ав-
тор «постарался все такие правила написать и доказать без
употребления литерных выкладок» [135, с. 4].
2. Особое внимание уделяется арифметическим правилам, ко-
торые важны в повседневной жизни: «Я исключил из сего
сочинения некоторые правила, для того, что они ни в жи-
тейских нуждах, ни в действиях натуры места не имеют»
[135, с. 4]. Такой строгий отбор арифметических правил обу-
словил конкретность в их изложении.
Ясность и конкретность изложения сделали «Арифметичес-
кие предложения» учебником, доступным для понимания учени-
ков, и выделили его из руководств по арифметике того времени.
Вернемся к истории Инженерно-артиллерийского кадет-
ского корпуса. Директор корпуса в 70-х — начале 80-х гг.
М. И. Мордвинов и сменивший его П.И. Мелессино способство-
вали выдвижению Инженерно-артиллерийского корпуса в пер-
вые ряды русских военно-учебных заведений своего времени.
* О Д. С. Аничкове см. далее.
178 I. История математического образования в XVIIIв.
В 1784 г. был утвержден новый учебный план Инженерно-
артиллерийского корпуса, в соответствии с которым учащиеся
двух младших возрастов проходили все общеобразовательные
предметы по курсу главного народного училища (о народных
училищах см. далее). В старших классах для изучения бы-
ла определена следующая последователтьность математических
дисциплин: 4-й класс — арифметика и практическая геометрия;
5-й класс — «литерная» арифметика (уравнения первой и второй
степени), геометрия, тригонометрия и «энциклопедия смешанной
математики»*; 6-й класс — алгебра («изъяснение высших урав-
нений, сечения конические и прочая»), механика и гидравлика.
Математику в Инженерно-артиллерийском корпусе в это
время преподавал Николай Васильевич Верещагин, ученик
Я.П. Козельского. Это один из наиболее образованных препо-
давателей корпуса, известный педагог-математик второй поло-
вины XVIII в. Он обладал широчайшей эрудицией: кроме об-
ширных знаний в математических и военных дисциплинах был
чрезвычайно сведущ в естествознании, философии и истории,
владел французским, немецким, итальянским и латинским язы-
ками. Это давало ему возможность следить за развитием ма-
тематики как науки и отражать в своих лекциях ее новейшие
достижения. В частности, Верещагин знакомил кадетов с «Вве-
дением в анализ бесконечно малых» Эйлера, с методом реше-
ния систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с
помощью определителей. Одним из первых в России он начал
читать аналитическую геометрию. Верещагин подготовил учеб-
ную математическую книгу, но не успел ее издать. Она была
издана после его смерти в 1819 г. его сыном А.Н. Верещагиным
под заглавием «Математические предложения об употреблении
алгебры во всех частях прямолинейной геометрии, логарифмах,
тригонометрии плоской и сферической».
Н. В. Верещагин остался в истории математического обра-
зования примером бескорыстного служения делу: «Любовь к нау-
ке всегда заставляла Верещагина забывать собственные выгоды:
для тех воспитанников, которые имели склонность к математи-
ке, и для всех любителей этой науки он открыл у себя в доме
безденежное чтение лекций» [64, с. 306].
* Элементы механики и гидравлики, гражданская архитектура,
фортификация и артиллерия. — См.: [251, с. 146].
3. Математическое образование II половины XVIIIв.179
Содержание лекций Н. В. Верещагина, по-видимому, легло в
основу четырехтомного учебника математики Ефима Войтяхов-
ского, который был учителем Инженерно-артиллерийского кор-
пуса, а затем руководителем известной в Москве частной «Мате-
матической школы» [340, с. 108]. В 1787-1790 гг. он опубликовал
его в Москве под длинным и пышным названием «Теоретичес-
кий и практический курс чистой математики, содержащий в
себе Арифметику, Геометрию, Тригонометрию с практикою с
рписанием пропорционального циркуля или сектора, Алгебру с
высшими ступеньками, Криволинейную геометрию с теориею и
практикою искусства бросания бомб в пользу и употребление
юношества и упражняющимся в математике». Несмотря на ще-
котливые обстоятельства, связанные с появлением книги, она
пользовалась популярностью*. Благодаря полноте содержания,
удачному расположению материала, вполне достаточному коли-
честву практических задач «Курс чистой математики» около 40
лет** был одним из самых распространенных учебных матема-
тических пособий для русской средней школы. Система изло-
жения теоретического материала в нем обнаруживает сильное
влияние методических идей X. Вольфа.
Итак, Н. В. Верещагин оказал существенное влияние не
только на преподавание математики в Инженерно-артиллерий-
ском корпусе, но и на все развитие математического образования
во второй половине XVIII в. Следует отметить, что несомнен-
ный авторитет в образованном русском обществе на самом деле
заслужил и весь прекрасно подобранный преподавательский со-
став Инженерно-артиллерийского корпуса. Сохранилась лестная
его характеристика: «Корпусные учители и офицеры, с самого
основания корпуса составляли между собой тесный, дружеский
кружок людей, которые вдали от волнения и шума городской
жизни с жаром предались науке и чтению, находя в дружеских
беседах своего кружка поощрение и помощь в своих занятиях»
[123, с. 160]. Таким образом, Инженерно-артиллерийский кадет-
* Как считает военный писатель и историк А. В. Висковатов, эта
книга представляла собой лекции Верещагина по математике, издан-
ные без его ведома Войтяховским. Это, по словам Висковатого, вызва-
ло недовольство Верещагина, так как лекции были составлены только
для учеников, а не для издания, и инициировало составление «Мате-
матических предложений» [250, с. 147].
** Последнее издание вышло в 1824 г.
180 I. История математического образования в XVIIIв.
ский корпус благодаря умелому руководству и квалифицирован-
ным преподавателям, особенно математикам, к концу XVIII в.
стал одной из лучших военно-технических школ.
Горное училище — одна из самых старинных техничес-
ких школ. Организация горных, равно как и других профессио-
нальных школ, началась при Петре I, причем основывались они,
как правило, в тех городах, где на самом деле ощущалась по-
требность в соответствующих специалистах. Эти школы долго
не просуществовали из-за отсутствия преподавателей, учебни-
ков, в том числе специальных, и в конечном итоге — малой за-
интересованности государства в подготовке горных мастеров и
инженеров.
Однако бурно развивавшаяся горная промышленность Ура-
ла вновь актуализировала проблему организации специализи-
рованного горного училища. В 1761г. «несколько уральских
горнопромышленников во главе с башкиром Измаилом Тасимо-
вым возбудили ходатайство об открытии училища» [128, с. 369],
предложив свои, как сейчас бы сказали, спонсорские услуги:
«Для содержания в оном учащихся, доколе оное училище не уни-
чтожится, они, промышленники, от своих собственных руд усту-
пают из получаемой ими цены с каждого пуда руды по полушке»
[55, с. 658]. Ходатайство горнопромышленников было удовлетво-
рено, и в 1773 г. в Петербурге при Берг-коллегии учреждено
горное училище. Этому событию был посвящен специальный
доклад Сената, в котором определялась и номенклатура пред-
метов обучения в горном училище: «К современному же дейст-
вию и исполнению того, необходимо нужно и совершенное зна-
ние потребных к тому сведений и наук: первое — Арифметики
трех частей, Геометрии для снятия на поверхности местополо-
жений заводских и их окрестностей, отводу лесов, высоты гор
и тому подобное; для рудников Маркшейдерское искусство...,
Минералогия..., Химия..., Архитектура и Гидравлика..., Ме-
ханика, для сооружения и сложения потребных чинов в корпусы,
нужные к заводским действиям, в замену человеческого бремени
и к скорейшему в деле успеху, Физика...» [55, с. 658].
Был определен четырехгодичный курс обучения. Предпола-
галось некое подобие вступительного экзамена: для поступле-
ния в училище требовалось знание основ математики, равно как
двух иностранных языков. Исходя из этого первоначально реше-
но было принимать в Горное училище выпускников Московско-
го университета (см. далее). Но затем исходя из сложившихся
3, Математическое образование II половины XVIIIв.181
реалий требования к учащимся были существенно снижены —
до знания начет арифметики. Оканчивающие училище молодые
люди получали специальность шихтмейстеров XII и XIII клас-
сор. Училище оказалось достаточно эффективным: первый вы-
пуск состоялся досрочно уже в 1776 г. Всего до конца XVIII в.
было выпущено около 140 человек.
Преподавательский состав горного училища состоял пре-
имущественно из профессоров и адъюнктов С.-Петербургской
Академии наук. Так, высшую математику читал член-коррес-
пондент Академии А.М. Вильбрехт; отдельные разделы мате-
матики читал академик В. Г. Крафт (сын Г.Ф. Крафта).
Подчеркнем существенное отличие горного училища от дру-
гих профессионально-технических школ XVIII в.: в нем с самой
его организации был преодолен основной дефект образования то-
го времени — отсутствовала многопредметность. Возможно, это
объясняется тем, что оно основано позже других учебных заве-
дений такого рода, когда явление многопредметности было уже
осознано в качестве негативного, тормозящего развитие образо-
вания. Это выгодно отличает его от других аналогичных заведе-
ний, равно как и то, что оно не имело функций подготовительной
и средней школы. Горное училище в XVIII в., в сущности, явля-
ло собой прообраз того, что мы сейчас называем высшей школой.
Заканчивая характеристику математического образования
в профессиональных учебных заведениях XVIII в., отметим зна-
чительную роль Академии и методической школы Л. Эйлера в
прогрессе преподавания в них математики. Выше мы показали
значение педагогической деятельности академиков, принадлежа-
щих к методической школе Эйлера, в Морском и Сухопутном
кадетских корпусах, и в Горном училище. Кроме того, в конце
XVIII в. академик С. Я. Гурьев преподавал в кораблестроитель-
ном училище; С. Е. Румовский — в Греческой гимназии, которая
находилась при Инженерно-артиллерийском кадетском корпусе
и создана в связи с турецкими войнами. С другой стороны, в
1755 г. Академия возобновила чтение публичных лекций, в чис-
ле слушателей которых находились и воспитанники профессио-
нальных учебных заведений.
Итак, основные образовательные системы, сложившиеся во
второй половине XVIII в., не были изолированными, они были
жестко связаны прежде всего через представителей методичес-
кой школы Л. Эйлера. Математическое образование в них по-
прежнему носило доминантный характер.
182 I. История математического образования в XVIIIв.
3.3. Математическое образование
в Московском университете
Неудачные попытки устроить обще-
образовательные учебные заведения в
Петербурге побудили правительство
сделать такой же опыт в Москве, в
виду' существовавшей там потребнос-
ти в образовании, о которой свиде-
тельствовало «великое число домаш-
них учителей, содержимых помещиками
в Москве»*.
С той поры, как в Петербурге была открыта Морская ака-
демия (1715), центр математического просвещения переместился
в Петербург. С основанием в нем Академии наук с гимназией,
университетом и типографией при ней северная столица оконча-
тельно превращается в основной центр развития отечественной
математики и математического образования: в ней открываются
новые военные и технические школы, позже — учительская се-
минария; Петербург — центр научно-математической и методи-
ческой школы Л. Эйлера, здесь издается обширная литература
по математике и ее преподаванию.
Учреждение Московского университета вновь открыло пе-
ред Москвой перспективу развития в ней математики и ма-
тематического образования. 25 января 1755 г. по инициативе
М. В. Ломоносова, поддержанной графом И. И. Шуваловым**,
был открыт Московский университет в составе философского,
юридического и медицинского факультетов. Богословский фа-
культет, традиционный для западноевропейских университетов,
как и в C-Петербургском академическом университете, отсут-
ствовал.
Впервые в истории отечественного образования предпола-
гаются вступительные экзамены: «В студенты решено было
принимать лиц, выдержавших нетрудные испытания по курсу
свободных наук (собственно, по основам начальной математики
* Брокгауз Ф. А., Ефрон И. А. Энциклопедический словарь «Рос-
сия». СПб., 1898.
** Их по праву считают основателями Московского университета,
а 25 января, знаменитый в интеллектуальной истории России Тать-
янин день, стал с тех пор ежегодно широко отмечаемым праздником
российских студентов. Эти традиции ныне возродились.
3. Математическое образование II половины XVIIIв. 183
и словесности) и латинскому языку, имевших свидетельство о
благонравии и исключенных из подушного оклада» [340, с. 45].
Впрочем, так как идея ценности образования по-прежнему имела
невысокий статус, число желающих и подготовленных к учебе
в университете было крайне незначительным. Из-за этого пер-
воначально даже нельзя было разделить студентов по факуль-
тетам. Поэтому все студенты должны были начинать занятия
на философском факультете, который считался своеобразной об-
щеобразовательной ступенью для получения профессионального
образования. Занятия на нем продолжались 3 года, после чего
студенты поступали на один из двух «вышних» [80, с. 15] фа-
культетов — медицинский и юридический, обучение на которых
продолжалось 4 года. Таким образом, университетское образо-
вание можно было получить за 7 лет.
Преподавание математики в Московском универси-
тете. Надо сказать, что математика в Московском университе-
те долго служила лишь вспомогательным предметом: в течение
почти полувека в нем изучалась практически только элементар-
ная математика — арифметика, геометрия, плоская тригономет-
рия и алгебра*. В основном это был тот минимум математичес-
ких знаний, который необходим медику, естественнику, просто
образованному человеку.
Специальной кафедры математики вначале не было, она вы-
делилась только в 1758 г. Это было вызвано не осознанием важ-
ности математики как самостоятельной дисциплины, а тем, что
Совет медицинского факультета обратил внимание на недоста-
точное знание студентами физики. Плохое же усвоение физики
обусловливалось неумением использовать математику (читался
только курс чистой математики), потому члены Совета обрати-
лись с просьбой «возложить на кого-либо из членов университе-
та преподавание сих частей математики» [80, с. 15], имея в виду
прикладную математику.
Преподавательские кадры. С преподавателями математи-
ки первое время дело обстояло не очень хорошо: в 1755 г. был
приглашен для ее преподавания один из учеников Ломоносо-
ва по С.-Петербургскому академическому университету Антон
* Сравните с упомянутыми уже профессиональными учебными за-
ведениями этого времени, где достаточно основательно изучались и
разделы высшей математики. В этом отношении Московский универ-
ситет был ближе к своим европейским собратьям, в которых матема-
тика также занимала вспомогательное место.
184 Г История математического образования в XVIIIв.
Барсов, который, не будучи специалистом-математиком, через
5 лет перешел на кафедру русской словесности и оставил замет-
ный след в истории русской культуры работами по синтаксису
русского языка. Курс прикладной математики был предложен
И. Росту, воспитаннику Геттингенского университета, который
до того преподавал английский язык.
Итак, с начала 60-х гГ. в Московском университете чита-
лись два математических курса: чистая математика, включаю-
щая традиционные арифметику, алгебру, геометрию и тригоно-
метрию, и прикладная математика, в которую входят оптика,
механика, астрономия, гидравлика, аэрометрия; «к ним неред-
ко присоединялись военная и гражданская архитектура, геоде-
зическая практика, горное дело» [340, с. 48].
Первым специалистом-математиком в Московском универ-
ситете был Дмитрий Сергеевич Аничков, ученик Барсова, кото-
рый принял от него кафедру чистой математики.
Учебники математики. Первоначально в основу преподава-
ния математики были положены «Institutiones mathematiche»
И.Ф. Вейдлера*, составленные в духе вольфанизма. Курс Вейд-
лера, написанный более чем за 40 лет до того, был одобрен про-
фессорской конференцией. Книги Вейдлера и созданные позже,
но близкие им по духу учебники Д. С. Аничкова «приобрели в
Москве монополию еще на сорок лет» [340, с. 48]. Аничков очень
серьезное внимание уделял самостоятельному написанию учеб-
ников математики, во многом поддерживая методические идеи
X. Вольфа о выдвижении на первый план логической трениров-
ки ума, признании за математикой значения всеобъемлющего
метода познания. Преувеличение логической составляющей и
пренебрежение приложениями приводило к формализму в обу-
чении.
Д. С. Аничков не был слепым подражателем этих идей: он
признавал прикладной характер математики, позволяющий ис-
следовать явления природы. Он издал учебники элементарной
математики по всем предметам. Перечислим их: «Теоретичес-
кая и практическая арифметика в пользу и употребление юно-
шества» (М., 1764); «Теоретическая и практическая геометрия, в
* Русские перводы учебников Вейдлера, выполненные Д. Аничко-
вым, появились позже: арифметики, геометрии и алгебры — в 1765 г.,
новые исправленные издания этих учебников — в 1795 г.
3. Математическое образование II половины XVIIIв,185
пользу и употребление не токмо юношества, но и тех, кои упраж-
няются в землемерии, фортификации и артиллерии, из разных
авторов собранная... Дмитрием Аничковым. (М., 1780); «Теоре-
тическая и практическая тригонометрия, в пользу и употребле-
ние не токмо юношества, но и тех, кои упражняются в землеме-
рии, фортификации и артиллерии» (М., 1780); «Начальные ос-
нования алгебры, или арифметики литеральной, служащия для
удобнейшаго и скорейшаго вычисления как арифметических, так
и геометрических задач, в пользу и употребление российского
юношества, упражняющегося в математических науках, собран-
ные из разных авторов... Дмитрием Аничковым» (М., 1781).
Даже из непривычно длинных названий, принятых в то
время, явствует, что от целей только обучения — «...в поль-
зу и употребление юношества...», заявленных в подзаголовке
учебника арифметики, изданного в 1764 г., Д. С. Аничков пе-
реходит к более широким взглядам на обучение математике:
в 80-х гг. в подзаголовках появляется фраза «.. .не токмо юно-
шества, но и тех, кои упражняются в землемерии, фортификации
и артиллерии...» Таким образом, не принадлежа формально к
методической школе Л. Эйлера, Д.С. Аничков в своих учебни-
ках достаточно успешно реализовал некоторые идеи этой шко-
лы: разделение элементарной математики на четыре предмета
— арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию; сочета-
ние логического и прикладного в изложении элементарной мате-
матики. Эти учебники пользовались значительной популярнос-
тью, многократно переиздавались в университетской типогра-
фии и вплоть до конца XVIII в. являлись одними из ведущих
в стране*.
Организация обучения математике. В Московском универ-
ситете преподавание носило лекционный характер, читались
лекции в первые годы на латинском языке, иногда тут же пе-
реводились на русский каким-нибудь знающим латынь слуша-
телем; разделение на курсы отсутствовало. Математику изучали
чаще всего в первые два года, но при желании можно было зани-
маться ею и в конце обучения, которое продолжалось 3-4 года.
В 1767 г. профессорской конференцией университета было пред-
ложено читать лекции по возможности на русском языке, что
* Впрочем, существует и другое мнение: сухие и педантичные
учебники Д. С. Аничкова приобрели в Московском университете мо-
нополию почти на 40 лет, что характеризует рутинность тогдашнего
университетского преподавания [349, с. 9—10].
186 I. История математического образования в XVIIIв.
стало постепенно выполняться. Лектор из года в год строго
придерживался выбранного им учебного руководства по мате-
матике. Лекции были публичными: на них могли приходить и
посторонние лица.
Сроки изучения математики были различны. Д. С. Аничков
читал курс чистой математики в течение двух лет по две двух-
часовые лекции в неделю. В первый год изучались арифметика
и геометрия, во второй — продолжение геометрии и тригоно-
метрия, алгебра читалась не всегда. После Аничкова до реорга-
низации Московского университета в начале XIX в. с той же пе-
риодичностью читал курс математики В. К. Аршеневский. Этот
курс был трехгодичным — на третьем году читалась алгебра.
И. А. Рост и его преемник М. И. Панкевич излагали прикладную
математику трехлетними циклами по четыре двухчасовых лек-
ции в неделю’ Учебный год продолжался с 1 августа по 26 июня,
летом студенты под руководством преподавателя проходили гео-
дезическую практику.
Как считает А. П. Юшкевич, «твердой обязанности прочи-
тать курс целиком не было» [340, с. 52]. Так, М. И. Панкевич
сообщал, что будет читать механику, гидростатику и, «если
время позволит», аэрометрию. И. А. Рост никогда не успевал
изложить алгебру и заканчивал курс словами: «Однако уже не
остается времени» [340, с. 52]. Чтение лекций было качествен-
но неоднородным. Рост читал ясно, спокойно, с «приятной жи-
востью» [340, с. 52]. Лекции Панкевича часто были непонятны,
он допускал ошибки, путался. «А как вообще он был упорен в
мнениях и щекотлив, то весьма затруднялся, когда по причи-
не ошибки в выкладке на лекции получал ложный результат.
Он этим сильно тревожился и волновался внутренне и, желая
поправиться и отыскать свою ошибку, еще более путался и сби-
вался» [27]. В дополнение к лекциям велись занятия с отстаю-
щими по математике, которые поручались лучшим окончившим
студентам. Переходных экзаменов с курса на курс не существо-
вало, для окончания университета следовало сдать экзамены по
циклу предметов соответствующего факультета.
Таким образом, уровень преподавания математики в Мос-
ковском университете в XVIII в. был невысоким, во всяком слу-
чае ниже, чем в академических учебных заведениях и профессио-
нальных школах того времени. Однако основная заслуга универ-
ситета в прогрессе математического образования заключалась
в активной подготовке педагогических кадров. В конце 60-х гг.
3. Математическое образование II половины XVIIIв,187
среди его студентов имелись «гимназические информаторы» [27,
с. 46], для которых читались специальные курсы лекций и ко-
торых готовили к педагогической работе. Спустя десятилетие
при университете была создана педагогическая семинария, в 90-е
годы называвшаяся Учительской. В ней наряду со специальны-
ми предметами изучали наставления педагогические и методи-
ческие. Требования к квалификации преподавателей математи-
ки были не очень высокими: арифметика, геометрия, плоская
тригонометрия, элементы алгебры — вот содержание матема-
тического образования в Московском университете в течение
второй половины XVIII в. И, несмотря на то что подготовка ма-
тематиков Московским университетом не велась, в Учительской
семинарии готовили преподавателей для самого университета,
его гимназий, впоследствии — для гимназического образования
вообще.
Среди воспитанников университета были преподаватели
первых гимназий и других учебных заведений: С. Лобанов,
И. Федоров, А. Любинский, А. Рогов, Г. Карташевский, автор
нескольких учебников математики магистр А. Барсов и др. [27].
Они содействовали распространению математического просве-
щения педагогической деятельностью в Москве, своими учебни-
ками, речами, переводами.
Математическое образование в университетских
гимназиях. «При университете должна быть и Гимназия, —
писал Ломоносов графу Шувалову, — без которой университет,
как пашня без семян» [169, с. 514]. В соответствии со взаим-
ным желанием основателей Московского университета при нем
надлежало быть гимназии, причем практически в 1755 г. были
созданы даже две гимназии: для детей дворян и для разночин-
цев*. Гимназия в Москве в отличие от Петербурга имела успех,
так как освобождала небогатых дворян от необходимости на-
нимать дорогих и к тому же часто профессионально неподго-
товленных иностранных гувернеров для обучения своих детей.
Следовательно, можно говорить о том, что в период создания
* Вскоре для пополнения университета была открыта такая же
двойная гимназия в Казани (1758), число гимназистов в которой не
превышало 150, а перед закрытием в 1784 г. числилось всего 52; из
нее вышли впоследствии такие знаменитые наши соотечественники,
как Г. Р. Державин. С. Т. Аксаков, Н. И. Лобачевский.
188 I. История математического образования в XVIIIв.
Московского университета официально произошла фуркация об-
щего среднего образования: оно разделилось на две ветви —
дворянское «благородное» образование и образование для раз-
ночинцев. Напомним, что в военно-техническом образовании это
произошло значительно раньше — в период создания в начале
30-х гг. XVIII в. Морского и Сухопутного шляхетных кадетских
корпусов, которые предназначались для обучения исключитель-
но дворянских детей.
В 1779 г. параллельно гимназии в Москве был создан бла-
городный пансион, по образцу которого впоследствии создаются
небольшие дворянские школы в Нижнем Новгороде, Твери, Ря-
зани, Курске, Новгороде и других губернских городах.
Таким образом, Московский университет стоял у истоков
гимназического образования крупнейших городов России, в те-
чение XVIII в. находившегося под его наблюдением и покро-
вительством: университет снабжал гимназии преподавателями,
учебниками, в отдельных случаях и денежными средствами.
26 апреля (7 мая по новому стилю) 1755 г. начались заня-
тия в гимназиях при Московском университете. Обе гимназии
имели одного ректора, обучение проводилось раздельно до по-
следнего «ректорского» класса, в котором учеников объединяли
для подготовки к поступлению в университет (занятия продол-
жались 1-2 года). Завершали свое образование и переходили в
университет преимущественно разночинцы и дети обедневших
дворян. Детей же состоятельных дворян после гимназии обык-
новенно отдавали в военную или гражданскую службу.
Становясь студентом, гимназист «получал шпагу и с ней
дворянское достоинство, кончая университет, студент выходил
из него с обер-офицерским чином» [34, с. 383]. Это стимулирова-
ло разночинцев к получению гимназического и университетского
образования, решая для них множество проблем не только ин-
теллектуального и материального, но и престижного характера.
Интерес к образованию в Москве в отличие от Петербур-
га оставался стабильно высоким: в первый же год в универси-
тетские гимназии записалось несколько сот человек, в 70-х гг.
в них обучалось уже около тысячи человек, к концу XVIII в.
— более трех тысяч. Единого учебного плана в гимназиях не
было, у гимназистов был некоторый выбор более или менее са-
мостоятельного пути обучения, которое в это время носило до-
статочно ярко выраженный гуманитарный характер. Гимназия
разделялась на три школы — русскую, латинскую и школу но-
3. Математическое образование II половины XVIIIв.189
вых европейских языков. Русская школа была начальной, в ней
учили читать и писать по-русски и по-латыни, изучали грамма-
тику. В латинскую школу, которая предполагала последующую
научную стезю*, можно было перейти, окончив русскую. В ниж-
нем классе латинской школы продолжали изучать латинский и
русский языки, занимались переводами с латинского на русский
и обратно. Здесь же детей знакомили с четырьмя действиями
арифметики (дважды в неделю по 4 часа).
В следующем классе продолжали изучать русский и латин-
ский языки (преимущественно синтаксис), занимались перево-
дами. Продолжали изучать и математику — знакомились с дро-
бями, а также с элементами геометрии и алгебры (по 4 часа в
неделю). Гуманитарный характер образования выражался в том,
что наряду с латинским изучался греческий язык, а также осу-
ществлялось знакомство детей с «российским стихосложением»
[80, с. 14]. В «вышнем» классе продолжали изучение латинского
и греческого языков и начинали обучение географии, всеобщей
истории, философии, античной литературе, «российскому сти-
хотворству и риторике» [80, с. 15]. Те гимназисты, которые не
собирались получать университетское образование, после рус-
ской школы направлялись в немецкую или французскую, обуче-
ние в них было на год короче и вместо латыни изучался один
из новых языков. Математическое образование в этом классе
представляло собой продолжение изучения арифметики, алгеб-
ры и геометрии (по 4 часа в неделю). В 90-е гг. добавлено было
обучение началам алгебры и тригонометрии.
Уровень математического образования в Московской уни-
верситетской гимназии можно оценить как весьма посредствен-
ный. Много хуже и в количественном, и в качественном отно-
шении обстояло дело в Казанской гимназии, которую курировал
Московский университет. Если в Москве число гимназистов по-
стоянно и достаточно быстро возрастало, то в Казани их число
не превосходило 150. Сохранились свидетельства поэта Гаврии-
ла Державина, который обучался в Казанской гимназии с 1759
по 1762 г.: «Нас иногда учили тогда вере без катехизиса, языкам
без грамматики, числам и измерениям без доказательств, музыке
без нот. Книг, кроме духовных, почти никаких не читали»**.
* Напомним, что латинский язык в то время еще сохранял статус
общенаучного.
** Цит. по: [349, с. 9].
190 I. История математического образования в XVIIIв.
Итак, общий уровень математического образования в уни-
верситетской образовательной системе, включающей наряду с
московской гимназии в ряде крупных городов России, был край-
не низок. За единственным исключением: в 1779 г. был осно-
ван Московский университетский пансион, который отличался
от гимназий тем, что в центре его внимания были «не гумани-
тарные, а «реальные» наукй» [128, с. 357].
3.4. Учебники математики
для Московского университета
Д. С. Аничкова
Для полноты картины кроме учебников методической шко-
лы Л. Эйлера подробно охарактеризуем учебники, во многом
отражавшие позицию его идейных оппонентов, к которым мы
относим Д. С. Аничкова. Созданные им учебники пользовались
достаточной популярностью, неоднократно переиздавались и во
второй половине XVIII в. относились к числу ведущих в Рос-
сии. Уже отмечена нами и их близость по духу учебникам
X. Вольфа и И. Вейдлера. Однако Аничков использовал и оте-
чественную учебную математическую литературу, в частности,
учебники Румовского, Крафта. Вейдлеровский курс математи-
ки Аничков существенно улучшил: значительно увеличил число
задач и упражнений, многие выводы изложил подробнее и яс-
нее, часть доказательств заменил другими, более доступными,
исключил многие лишние формальные детали, загромождавшие
курс.
Учебник арифметики. «Теоретическая и практическая
арифметика в пользу и употребление юношества, собранная из
разных авторов... Дмитрием Аничковым» вышла в 1764 г. и пе-
реиздавалась в 1775, 1786 и 1793 гг. Аничков в основном сохра-
нил структуру, определения, порядок теорем И. Вейдлера, что не
позволило считать его учебник полностью оригинальным кур-
сом математики, но сделало его значительно лучше вейдлеров-
ского — содержательнее, доступнее и живее. Учебник начина-
ется с «Предуведомления о математическом способе учения»,
в котором раскрывались, в частности, идеи X. Вольфа и его
последователей о строении курса математики. Здесь Аничков
знакомит читателя с такими терминами и соответствующими
им понятиями, как определение, основание (аксиома), постулат,
теорема, задача, королларий (примечание), схолия (поучение).
3. Математическое образование II половины XVIIIв.191
Вслед за Вольфом Аничков под аксиомой подразумевает «ис-
тину, которая непосредственно выводится из определения и не
подлежит особливому доказательству для своей ясности». В ка-
честве примера приводится следующее математическое предло-
жение: «Целое равно своим частям, вместе взятым». При таком
подходе роль определений существенно возрастает, становясь ос-
новополагающей. Аничков разъясняет отличие теорем от задач:
«.. .понеже знание математических истин есть весьма полезное,
того ради должно относить оные к самой практике. Поэтому та-
кое предложение, которое учит нас сношению истины с самим
делом, т.е. что делать должно, называется задачею».
В качестве предмета математики в учебнике явно выступа-
ет число, определение которого сформулировано в соответствии
с учебником Румовского: «Число есть множество частей одина-
кового роду, вместе взятых; и всякая из оных частей называется
единица». Первая часть учебника является в основном теорети-
ческой. Аничков определяет числа равные, большие, меньшие,
«ровные» (четные) и «неровные». Здесь же он знакомит чита-
телей с нумерацией, причем сопровождает изложение кратким
историческим экскурсом. Далее Аничков приводит 10 аксиом
целого числа, прототипами которых служат в основном акси-
омы Евклида. Например: «Всякое число или количество само
себе равно», «Когда два числа или количества равны одному
третьему, то оные равны и между собой». Позднее вводятся
аналогичные аксиомы для отношений чисел. Такое увлечение
аксиоматикой на уровне начального овладения арифметикой бы-
ло скорее данью моде на методические идеи Вольфа, нежели не-
обходимостью, и существенно усложнило курс. Как и доказа-
тельство такой, например, теоремы: «Числа слагаемые должны
быть одного роду». Отрицательные числа вводятся по аналогии
с учебниками С. Я. Румовского, исходя из ситуации необходи-
мости вычитания большего числа из меньшего: «Когда случится
вычитать большее число из меньшего, то вычитается меньшее
из большего, а к остатку приписывается знак -». Эта ситуация
иллюстрируется задачами на приход-расход.
Достаточно много внимания уделяется действиям над чис-
лами. Аничков в изобилии приводит таблицы для простейших
случаев: сложения до 9 + 10, вычитания до 18 — 9. Деление реко-
мендуется осуществлять двумя способами: 1) обычный, «стол-
биком»; 2) делитель умножается на 1, 2, 3, ..., 9, а затем из
полученной таблицы берутся вычитаемые и десятичные зна-
192 I. История математического образования в XVIIIв.
ки частного. По сложившейся традиции много места отводится
проверке правильности выполненного действия. Кроме взаим-
ной проверки рекомендуется проверка девяткой, причем, как и у
Магницкого, не оговаривается, что она не всегда применима.
Свойства действий Аничков не рассматривает. Зато дейст-
вия над именованными числами излагаются подробно, равно как
и отношения («содержания», по принятой тогда терминологии).
Излишнее увлечение деталями, так характерное для последова-
телей X. Вольфа, проявилось здесь очень отчетливо: отношения
Аничков расчленил на множество видов: «содержания большей
неравности» (когда предыдущее больше последующего), мень-
шей неравности, двойное, тройное и т.д., полуторное, половин-
ное и даже полутретное (5:2); все эти термины требовали к
тому же заучивания.
Стремление к доказательности проявляется в обосновании
автором правил действий с дробями, где общие рассуждения со-
четаются с подтверждающими их примерами. Например, умно-
жение дробей поясняется так: умножить одно число на другое
значит взять его столько раз, сколько во втором единиц, а дробь
есть часть целого; следовательно, умножая s на 2/з нужно взять
от s такую часть, какую выражает второй множитель. «И поне-
же знаменатель есть одно только имя, показующее, на сколько
частей целое разделено, то из одного токмо числителя 3 множи-
мой дроби должно взять такую часть, какую другая дробь 2/з
изображает, т.е. две трети»*. Существенным отличием учеб-
ника Аничкова от своего прототипа является раздел о десятич-
ных дробях, который к тому времени занял прочное положение
в учебниках арифметики. При этом он использовал старинную
форму записи. Так, дробь 0,5842, например, записывалась:
I II III IV IV
5 8 4 2 ИЛИ 5842
Периодические дроби Аничков не рассматривал, для дробей
типа 4/7 ограничивался указанием на необходимость пользовать-
ся приближенными их значениями.
В первой части учебника рассматриваются также квадра-
ты и кубы двучлена и основанный на них способ извлечения
квадратных и кубических корней. Весь этот обширный мате-
риал находит применение во второй части учебника «О прак-
тической арифметике». Основа ее — тройное правило, которое
* Цит. по: [340, с. 60].
3. Математическое образование II половины XVIIIв. 193
рассматривается на множестве примеров и во всех возможных
модификациях. Кроме тройного приводятся (без доказательства)
правила фальшивые одного и двух ложных положений, также с
модификациями. Надо отдать должное: Аничков писал, что ал-
гебра делает их лишними, его цель — лишь показать, насколько
легче решать эти же задачи алгебраически. В конце учебника
приложен обширнейший список (более чем на ста страницах)
различных древних и современных мер.
Итак, учебник арифметики Д. С. Аничкова был написан все
же в вольфовском духе, и сторонники этого направления в обуче-
нии математике были удовлетворены его воплощением в русском
варианте: «Эта Арифметика кажется тем прочих исправнее, что
в ней наблюден точно Математический учения порядок, и по-
следовано славному учению Вольфию, коего лучшего примера
Господину Автору избрать и не можно было»*.
Учебник геометрии. «Теоретическая и практическая гео-
метрия» в качестве продолжения курса чистой математики по-
явилась лишь в 1780 г., переиздана в 1787 г. По традиции того
времени геометрия делилась на три части — лонгометрию, пла-
ниметрию и стереометрию. Теоретический материал сочетался
с очень большим количеством прикладных задач, что, к сожа-
лению, отрицательно сказалось на логическом строении курса,
привело к потере взаимосвязей в теории. Это хорошо иллюст-
рирует содержание первых трех глав первой, лонгометрической
части. В первой главе Аничков помещает определения и пла-
ниметрические аксиомы и постулаты, причем отбор аксиом не
представляется сколько-нибудь удачным. Вторая глава посвяще-
на детальному описанию устройства и употребления математи-
ческих инструментов — циркуля, рейсфедера, зубчатого колеса
для пунктира, линейки, наугольника, землемерной цепи, отвеса,
астролябии и др. Третья глава начинается с задачи о проведе-
нии прямой между двумя точками на бумаге, дереве или камне (с
помощью окрашенной веревки), на поле (с помощью кольев и це-
пи). После этого решается задача об измерении отрезка на бума-
ге циркулем и в поле с помощью веревки, вываренной в горячем
масле и навощенной, чтобы от сырости длина ее не менялась.
* Из рецензии на учебник Аничкова, опубликованной в «Ежеме-
сячных сочинениях и известиях об ученых делах» Академии наук за
декабрь 1764 г.
194 I- История математического образования в XVIIIв.
Итак, в трех главах — минимум теории, абстрактной и
полностью сосредоточенной в первой главе; в двух других —
методы, способы и приемы решения простейших практических
задач измерения на местности. В лонгометрии рассматриваются
также:
- теоремы о смежных и вертикальных углах, после чего сле-
дуют практические методы измерения углов астролябией;
- теоремы о равенстве треугольников;
- параллельность и перпендикулярность в основном рассмат-
риваются с практических позиций — с помощью прибли-
женного или точного построения параллельных или перпен-
дикулярных прямых;
- теоремы об углах, образованных прямой с двумя параллель-
ными прямыми;
- теоремы о подобии, которые доказываются совершенно не-
убедительно; на их основе решаются задачи о делении от-
резка на равные части и о построении пропорциональных
отрезков, определении недоступных расстояний и высот;
- теоремы о хордах и углах окружности и приближенное вы-
числение ее длины.
Вторая, планиметрическая часть учебника Аничкова посвя-
щена теоремам о четырех- и многоугольниках, методам прибли-
женного построения правильных многоугольников, правилам из-
мерения площадей. Теорема об отношении площадей двух кругов
доказывается с помощью вписанного в них многоугольника со
столь большим числом сторон, что они «от окружности ни мало
не будут разнствовать». Теорема Пифагора дана с доказатель-
ством, как и теорема о стороне, лежащей против острого угла,
формула Герона приводится без обоснований. И здесь внуши-
тельна практическая часть: черчение планов, деление площадей
фигур на равные части, преобразование равновеликих плоских
фигур.
Третья часть представляет собой элементы стереометрии.
Как уже говорилось, аксиомы для пространства не формули-
руются; в основном рассматриваются приемы определения объ-
ема стереометрических фигур, преимущественно основанные на
принципе Кавальери. И вновь достаточно большая практическая
часть: описание и изготовление калибрированной линейки для
определения веса пушечных ядер, визира для измерения объема
бочек и т. п.
3. Математическое образование II половины XVIIIв.195
По мнению А.П. Юшкевича, учебник геометрии «получил-
ся хуже арифметики», так как он представляет собой «хаотичес-
кое нагромождение аксиом и правил употребления навощенных
веревок» [340, с. 63] и не является систематическим, ясно и до-
ходчиво изложенным курсом геометрии.
Учебники тригонометрии и алгебры. «Теоретическая
и практическая тригонометрия» издана в том же 1780 г., что и
учебник геометрии, и переиздана в 1787 г. Прототипом ее также
является учебник Вейдлера. Аничков внес некоторые корректи-
вы и дополнения, например, введена теорема о синусе суммы и
разности, задачи на решение треугольника по углам и сумме
сторон и др.
Однако при написании этого учебника автор не учиты-
вал достижений Эйлера в области тригонометрии, которые уже
два десятилетия назад вошли в учебник С. Я. Румовского. На-
пример, Аничков не перешел к единичной окружности, а по-
прежнему во все определения и теоремы вводил радиус г круга,
рассматривал не тригонометрические функции, а тригономет-
рические линии, знак тангенса в первой и второй четвертях у
него одинаковый, исследование тригонометрических линий до-
полнительных углов, зависимостей между ними у него отсут-
ствует. Учебник по-прежнему излагается в виде словесных пра-
вил, формулы отсутствуют. Много практического материала:
описание способов вычисления тригонометрических таблиц, за-
дачи на определение недоступных расстояний и высот. Таким
образом, учебник тригонометрии Аничкова сильно проигрывает
тригонометрической части уже опубликованных «Сокращений»
С. Я. Румовского и тем более вскоре вышедшему учебнику три-
гонометрии М. Е. Головина.
«Начальные основания алгебры, или арифметики литераль-
ной» изданы через год после учебника тригонометрии, в 1781 г. В
первой главе Аничков раскрывает свой взгляд на предмет алгеб-
ры как науки, которая «из данных количеств, с помощью срав-
нений, находит другие неизвестные количества, тогож роду, о
которых, в рассуждении данных, нечто знать дается». Он на-
зывает алгебру всеобщей арифметикой, «потому, что чрез оную
вычисляется все, что можно вычислить». Здесь же Аничков зна-
комит читателя с аппаратом алгебры — терминологией, обозна-
чениями, скобками, вводит «положительные или подтвердитель-
ные» и «отрицательные или недостаточные» (он также называет
их «непристойными») количества.
196 I. История математического образования в XVIIIв.
Во второй, третьей и четвертой главах рассматриваются
действия над одночленами и многочленами, алгебраическими
дробями, степенями и радикалами. Пятая глава посвящена квад-
рату, кубу и четвертой степени бинома и применению их к извле-
чению корней. Следующая, шестая глава посвящена уравнениям:
решаются уравнения первой степени с одним и двумя неизвест-
ными и квадратное уравнение*, причем рассматривается лишь
положительный корень; другие типы квадратных уравнений не
представлены в учебнике, хотя они и требовались для решения
задач в последующих главах. Пожалуй, это самый неудачный
раздел учебника: даже у Магницкого квадратные уравнения из-
ложены основательнее, не говоря уж о знаменитой «Универсаль-
ной арифметике» Эйлера, вышедшей более десятилетия назад.
В седьмой-десятой главах даны приложения алгебры к ре-
шению задач: в седьмой-восьмой на приложение алгебры к ариф-
метике — задачи на проценты, прогрессии, о движении навстре-
чу друг другу и т. п.; в девятой-десятой на приложения алгебры
к геометрии и тригонометрии — построение четвертого пропор-
ционального отрезка или корня квадратного уравнения, деление
отрезка в крайнем и среднем отношении, вычисление высоты
треугольника по сторонам, ребра тетраэдра, вписанного в шар.
Учебник заканчивает глава одиннадцатая, в которой рас-
сматриваются свойства кривых. Здесь вводятся понятия о диа-
метре («поперечнике» линии, делящем параллельные хорды по-
полам), оси, сопряженном диаметре, ординате («семиординате»)
и абсциссе, параметре. Конические сечения определяются урав-
нениями, сформулированными словесно и записанными буква-
ми. Без доказательства сообщается о фокальных свойствах кри-
вых, асимптоте. Кроме конических сечений приводится конхои-
да, циклоида, квадратриса, логарифмическая кривая и спираль
Архимеда. Материал этой главы изложен достаточно корректно.
Итак, учебники, созданные Д. С. Аничковым для Москов-
ского университета, существенно уступали по своим содержа-
тельным и методическим достоинствам уже в основном создан-
ным к тому времени учебникам Эйлера и его учеников и по-
следователей. Надо отметить, что практически отсутствовали
какие-либо другие математические или учебные труды матема-
тиков Московского университета. Это одно из первых светских
государственных учебных заведений, в котором математическое
образование не играло доминантной роли.
* Вида х2 + ах — Ь.
3. Математическое образование II половины XVIIIв.197
3.5. Математическое образование
в системе народных училищ
Проекты преобразования школы при Екатерине II.
В первую половину своего царствования Екатерина II интересо-
валась проблемами воспитания, поддерживая в первую очередь
идеи французских просветителей-энциклопедистов. Она «даже
мечтала посредством школы создать новую породу людей» [34,
с. 384]. Под ее патронатом возникает масса проектов об учреж-
дении училищ: «План об учреждении разных училищ проф.
Ф. Дильтея» (1784), проект организации государственных гим-
назий (1766), проект комиссии об училищах (1768) и др. Из
всех этих многочисленных проектов реализуются преимущест-
венно проекты И. И. Бецкого, воспитательная система которого
предполагает такие гуманистические компоненты, как отказ от
телесных наказаний, перегружения памяти детей, учет детских
интересов. По его планам открыт ряд новых учебных заведе-
ний: училища при Академии наук (1765) и Академии художеств
(1764); Смольный институт для воспитания благородных девиц
(1764) с «мещанским отделением» при нем (1765), положивший
начало женскому образованию в России, Коммерческое училище
в Москве (1772). В то время «при крайней грубости и отста-
лости русского общества, учреждение таких учебных заведений
было, несомненно, большим шагом вперед» [34, с. 384].
Все проекты, как осуществленные, так и неосуществленные,
в основном предусматривали создание сословных школ как для
благородных, так купеческих и «других неподлого состояния лю-
дей детей» [149, с. 18], причем преимущество отдавалось учеб-
ным заведениям закрытого, пансионного типа. Дело в том, что
Екатерина II, поддерживая идеи либерально-дворянского воспи-
тания, «считала нужным начинать воспитание возможно рань-
ше и по возможности парализовать влияние семьи. Это главная
причина предпочтения, которое оказывала она закрытым муж-
ским и в особенности женским учебным заведениям». С этой
целью были открыты «малолетние отделения, куда принимали
детей 4-5 лет» [34, с. 384], при уже существующих учебных за-
ведениях — академической гимназии и кадетских корпусах.
Возникали проекты и об организации массового образова-
ния, реализации одного из которых мы и посвящаем настоящий
раздел книги. Однако после Великой французской революции
1793 г. Екатерина II ужесточает позиции относительно массово-
го образования.: «Черни не должно давать образования, поколику
198 I. История математического образования в XVIIIв.
будут знать столько же, сколько вы да я, то не станет повино-
ваться нам в такой мере, как повинуется ныне» [339, с. 217].
Подготовка к созданию общеобразовательных школ. Наи-
большее значение для становления отечественного образования,
в том числе математического, имеет первая серьезная попыт-
ка организовать на всей территории России сеть однородных
школ общего образования. В 1782 г. начала работать «Комис-
сия об учреждении народных училищ», которая выработала
«План к установлению народных училищ в Российской импе-
рии», утвержденный императрицей. За основу его был взят
австрийский образовательный проект, составленный специально
приглашенным Екатериной II для проведения реформы школь-
ного дела австрийским сербом Федором Ивановичем Янковичем
де Мириево, последователем идей Я. А. Коменского. Он знал рус-
ский язык и имел большой опыт в организации школ: в 70-х
— начале 80-х гг. им была создана система училищ для авст-
рийских сербов, проживающих в Венгрии. Янкович был первым
директором православных школ в этом королевстве.
По плану, предложенному Комиссией, во всех городах Рос-
сии следовало открыть народные училища: в уездных городах —
малые, в губернских — главные. Но прежде чем приступать к
практической реализации этого плана, необходимо было решить
задачу подготовки учителей. Для этого в 1782 г. была откры-
та Учительская семинария с одногодичным курсом, для обуче-
ния в которой были приглашены лучшие студенты Александро-
Невской, Смоленской и Казанской семинарий, а также Славяно-
греко-латинской академии.
В 1783 г. Янкович опубликовал «Руководстве учителям пер-
вого и второго классов народных училищ». Это первое методи-
ческое руководство, где излагаются требования к режиму рабо-
ты школы и методике преподавания. Тогда же были открыты
народные училища в Петербурге, которые через два года насчи-
тывали уже 1193 учащихся [128, с. 360]. Одновременно для подго-
товки учителей было открыто Главное народное училище (1783).
Здесь изучали закон божий, русский, латинский и немецкий язы-
ки, географию, историю, математику, физику, естествознание и
рисование. В младших классах училища преподавали ученики
Янковича, в старших — профессора Академии наук. Таким об-
разом, была подготовлена методическая и кадровая основа для
организации отечественной общеобразовательной системы обу-
чения.
3. Математическое образование II половины XVIIIв.199
Создание сети народных училищ. В 1786 г. был вы-
работан и утвержден Екатериной II «Устав о народных учили-
щах», в соответствии с которым была введена система общего
образования, действовавшая по 1804 г. В уездных городах соз-
давались малые двухклассные народные училища, где в первом
классе осваивали чтение и письмо, устный и письменный счет,
закон Божий и Священную историю, во втором — продолжали
преподавание закона Божьего и арифметики, начинали изучение
грамматики и изучали книгу «О должностях человека и граж-
данина». В губернских городах учреждались главные народные
училища с пятилетним обучением (четвертый класс был двух-
годичным). В первых двух классах главных народных училищ
изучали те же предметы и в том же объеме, что и в малых учили-
щах, чем обеспечивалась преемственность ступеней обучения. В
старших классах преподавали географию, геометрию, историю,
физику, механику, архитектуру и естественную историю, а так-
же продолжалось изучение грамматики и катехизиса.
К сожалению, многие прогрессивные идеи в данной образо-
вательной системе не были реализованы: об обязательности на-
чального обучения не было и речи, организация сельских школ
вообще не предусматривалась, городские школы не давали пол-
ного среднего образования, образование девочек оставалось весь-
ма проблематичным.
Развитие сети народных училищ. В 1786 г. было открыто 26
главных народных училищ, в 1778 г. — еще 14. К началу следую-
щего века количество училищ достигло 315. В табл. 2 приведены
данные [34, с. 384; 349, с. 11], характеризующие развитие народ-
ного образования в России в конце XVIII в.:
Таблица 2
Годы Число училищ Число преподавателей Число учащихся
1782 8 26 518
1785 12 38 1491
1786 165 394 11388
1790 269 629 14 625
1793 311 738 18 297
1797 285 664 15 628
1800 315 790 19915
200 I. История математического образования в XVIIIв.
К сожалению, «для новых училищ не было назначено ника-
ких средств, обязанность содержания их возлагалась на приказы
общественного призрения и ставилась в зависимость от щедрос-
ти местных городских дум» [34, с. 384]. Этим была ослаблена
традиция государственного патроната образования, заложенная
еще Петром I. На первых порах училищ было открыто доволь-
но много, но содержание их было непосильным бременем для
местных бюджетов и постепенно не только не открывались но-
вые школы, но и закрывались открытые ранее: показательны в
этом отношении данные за 1797 г. Кроме материальных причин
существенное негативное влияние на динамику развития сети
народных училищ оказывало отношение населения. Охотников
учиться оказывалось немного. Местные власти по-прежнему вы-
нуждены были прибегать к разного рода принудительным сред-
ствам для заполнения училищ, особенно старших классов. Об-
разование девочек вообще не было принято: среди учащихся их
было менее 10% [349, с. 11].
В главных училищах ученики большей частью были детьми
купцов, мещан и солдат, дворяне по-прежнему отдавали предпо-
чтение домашнему образованию или сословным учебным заведе-
ниям. Представители же «среднего класса» предпочитали огра-
ничиваться элементарными знаниями, полученными в младших
классах народных училищ. Еще хуже обстояло дело с малыми
народными училищами: в небольших городах потребность в об-
разовании чувствовалась еще слабее. Так, в 1790 г. обыватели
Лебедяни, Шацка, Спасска и Телешкова подали в губернии поч-
ти одинаковые заявления: «Купецких и мещанских детей в шко-
лах не состоит, да и впредь к изучению в училища отдавать
детей мы не намерены. Того ради содержать училища желания
нашего не состоит и мы не видим для себя от оных пользы» [34,
с. 384]. Училища в этих городах были закрыты.
Все же в конце XVIII в. народные училища не могла постиг-
нуть судьба цифирных школ начала века, тенденция к возрас-
танию числа учителей и учеников сохраняется. Число учеников
народных училищ к концу века увеличилось почти в 40 раз, од-
нако и утверждать, что образование стало массовым, не следует.
Общее количество учеников по разным подсчетам невелико:
- один ученик в среднем на 500 человек [349, с. И] (учитыва-
лись учащиеся светской городской школы, духовной школы,
воспитанники кадетских корпусов, дворянских пансионов и
гарнизонных школ);
3. Математическое образование II половины XVIIIв.201
- один ученик в среднем на 800 человек [34, с. 384] (учитыва-
лись училища и духовные школы).
Очень многие ученики не заканчивали курс. Имеется сви-
детельство О. Козодавлева, который в 1788 г. после инспекции
народных училищ писал: «Во всех главных народных училищах
найдено мною, что число учащихся в третьих и четвертых клас-
сах весьма мало и что учащиеся во вторых классах обыкновенно
не желают продолжать учения в третьем разряде. Сие происхо-
дит оттого, что родители и свойственники учащихся не видят
цели учения, в высших классах преподаваемого. Они почитают,
что детям их нужны токмо предметы двух низших классов, да и
то по причине чтения и чистописания, а прочие науки почитают
они бесплодными, или по крайней мере ненужными... Всякий
знает, что для снискания места в гражданской службе нужно
одно токмо чистописание...» [349, с. 11]. В Архангельской гу-
бернии за 1786-1803 гг. в училищах перебывали 1432 человека,
а с полным аттестатом вышло 52.
Итак, сеть народных училищ, возникшая в конце XVIII в.,
была несовершенна и ограничена. В основу ее был положен прин-
цип единообразия, который касался плана, методов преподава-
ния, учебной литературы и внешнего порядка. Была даже пред-
принята попытка подчинить принципу единообразия все много-
ликое образовательное пространство Российской империи, вклю-
чающее в себя разнообразные образовательные системы. Так,
учебный план Инженерно-артиллерийского корпуса был согла-
сован с учебным планом народных училищ, обеспечивая преем-
ственность средней и высшей ступеней образования. Тем не ме-
нее первая в России система общеобразовательных школ создала
предпосылки для дальнейшего развития всех образовательных
систем, возникших к тому времени, и подготовки квалифициро-
ванных отечественных кадров для государства Российского.
Подготовка учителей для народных училищ. В 1783 г.
в Петербурге было открыто Главное народное училище для под-
готовки учителей. Резкий рост количества училищ и учителей
в 1786 г. (см. табл. 2, с. 199) был связан в первым выпуском 150
учителей именно этим учебным заведением. В 1784 г. при Глав-
ном училище было создано специальное отделение для подготов-
ки учителей главных училищ, которое с осени 1786 г. выделили
в Учительскую семинарию со сроком обучения в два с полови-
ной года. Программа Учительской семинарии предусматривала
изучение математики, физики, естественной истории, черчения,
202 I. История математического образования в XVIIIв.
рисования и языков (русского, латинского и немецкого), т.е. тех
же предметов, что и в училище, но гораздо основательнее. Курс
математики был весьма солидным, он включал начала матема-
тического анализа и теории кривых.
Преподаватели сначала были приглашены из Академии на-
ук. В частности, в последние годы жизни занятия здесь вел по-
четный академик М. Е. Головин, профессором математики и фи-
зики был также П. И. Гиларовский, автор достаточно известных
«Сокращений математики» (СПб., 1796). Организатор народных
училищ Ф. И. Янкович де Мириево был и главным руководи-
телем Учительской семинарии. Он опубликовал первое методи-
ческое пособие для учителей «Руководство учителям первого и
второго классов народных училищ Российской империи» (СПб.,
1783). В основу этого методического руководства было положено
«совокупное наставление» для проведения уроков всех предме-
тов. Урок следовало объяснять один и тот же всему классу, все
ученики должны были слушать объяснения учителя или ответ
вызванного ученика и быть, в свою очередь, готовым к ответу*.
Одним из основных методических приемов было так назы-
ваемое «совокупное чтение», которое заключалось в следующем:
1) новый отрывок из учебника должен прочитать вслух учитель;
2) весь класс повторяет этот отрывок хором или порознь от 8 до
12 раз в зависимости от трудности материала; 3) параллельно
на доске с помощью учителя появлялось изображение началь-
ных букв слов подлежащей запоминанию фразы. Однако дело не
должно было ограничиваться только заучиванием. В методичес-
ком руководстве говорилось о том, что лучше было бы, если бы
учащиеся отвечали «исправно своими словами, нежели теми са-
мыми, которые находятся в книге; ибо из того видеть можно, что
они дело понимают». Более того, предлагалось развивать сооб-
разительность учеников, новые трудные места разъяснять особо,
в случае неточных ответов задавать наводящие вопросы. Были
упразднены телесные наказания, а также «все посрамления и
честь трогающие устыжения, как-то: уши ослиные и название
скотины, осла и тому подобные» [349, с. 12].
Таким образом, наряду с сохранением крайне формальной
методики обучения в народных училищах предлагалось реализо-
вать и некоторые современные для того времени педагогические
и методические идеи.
* До тех пор, как правило, каждый ученик класса занимался особо,
т. е. классно-урочная система функционировала в России формально.
3. Математическое образование II половины XVIIIв.203
В последние годы своего существования Учительская се-
минария готовила учителей с некоторой специализацией. Было
установлено две группы (реальная и гуманитарная) предметов
специализации: в первую входили математика, архитектура и
физика; во вторую — натуральная история, политическая исто-
рия и география. За 15 лет из семинарии вышло более 400 пе-
дагогов. В 1804 г. Учительская семинария была преобразована
в Педагогический институт, на основе которого в 1819г. возник
Петербургский университет.
Вскоре вслед за открытием Петербургской учительской се-
минарии учреждено аналогичное учебное заведение в Москве:
в 1787 г. при Московском главном народном училище открыта
педагогическая семинария для подготовки учителей малых на-
родных училищ. К концу века она подготовила 46 учителей из
числа студентов Славяно-греко-латинской академии, Троицкой
и Перервинской духовных семинарий. Вообще в течение всего
XVIII в. преподавателями и студентами учительских семина-
рий, да и многих других учебных заведений, были выпускни-
ки духовных учебных заведений, в программу которых входили
«реальные» предметы, в частности математика.
Математическое образование в народных училищах:
содержание и методика. В соответствии с Уставом народных
училищ математика — один из основных предметов изучения.
В малых училищах изучается арифметика: в 1-м классе — уст-
ный и письменный счет, во 2-м — продолжение арифметики до
тройного правила. В главных училищах математика изучает-
ся в таком объеме и последовательности: в 1-м и 2-м классах
изучается программа малых училищ, что, в частности, обеспе-
чивает некоторую их преемственность, в 3-м классе — дроби, в
том числе десятичные, а также задачи на правила — тройные
правила, правила товарищества, смешения, ложных положений.
В 4-м классе изучают основы геометрии в весьма кратком изло-
жении и гражданской архитектуры (представляющей в то время
один из разделов математики).
Обучение математике должно было подчиняться общей ме-
тодике, разработанной Янковичем. Каждое правило учитель
должен пояснить примером и разбором «для чего он поступил
так, а не иначе». После этого к классной доске вызывают луч-
шего ученика и дают задание на это правило, после чего спраши-
вают, по какому правилу и как он его выполняет. Затем учитель
пишет на доске или диктует задание на это же правило, которое
204 I- История математического образования в XVIIIe.
класс выполняет на аспидных (индивидуальных) досках или же
один из учеников записывает на классной доске решение, под-
сказываемое всем классом.
По приобретении навыка предлагалось давать ученикам
«несколько хороших и состоянию их приличных задач, не ска-
зывая, однако, по какому правилу задачу решать должно», что
способствовало осознанному применению различных правил. За-
дачи при этом рекомендовалось подбирать не отвлеченные, а
«выбирать такие случаи, которые попадаются в общежитии, в
хозяйстве, в ремеслах, в художестве, купечестве и других част-
ных промыслах, в мере, весе и монете употребительной». На дом
предлагалось задавать новые упражнения и обязательно их про-
верять на следующем уроке.
Учебники математики для народных училищ. Для
нормального развития первой массовой образовательной систе-
мы в России нужны были соответствующие учебники. Большую
работу по их созданию провел Ф. И. Янкович де Мириево. Он
организовал группу авторов, которая под его руководством вы-
пустила ряд учебников.
Об авторстве учебников математики для народных учи-
лищ. Автор учебника арифметики для народных училищ «Ру-
ководство к арифметике для употребления в народных учи-
лищах» (СПб., 1783. Ч. 1) не указан. Вопрос об авторстве
этого учебника интересовал как историков математики, так
и историков педагогики. Единого мнения на этот счет нет*.
А. П. Юшкевич [349, с. 28], вслед за В. В. Бобыниным, счита-
ет автором М. Е. Головина. Такое же мнение высказывает и
А.В. Ланков [149, с. 20]. П.Ф. Каптерев считает учебники для
народных училищ переводными, а переводчиком учебника ариф-
метики — Н. Г. Курганова. Е. Н. Медынский поддерживает мне-
ние о переводном характере книги, но считает переводчиком
самого Ф. И. Янковича, несколько позже он приписывает ему
авторство.
Детальное исследование, проведенное О.Ф. Хичием [316],
убедительно доказывает, что первая часть русского учебника
арифметики для народных училищ является переводом учебни-
ка арифметики, изданного в 1777 г. в Вене. Автор его — Стефан
Byяновский, ближайший помощник Янковича де Мириево в ор-
ганизации сербских школ в Венгрии. Сопоставление учебника
Вуяновского с учебником для народных училищ дает основания
* См. подробнее [316].
3. Математическое образование II половины XVIIIв.205
для утверждения, что единственным их различием является сле-
дующее: во второй главе учебника австрийские монеты, меры
и веса заменены соответственно русскими [316, с. 620]. Вторая
часть «Руководства к арифметике», изданная в С.-Петербурге в
1786 г., по всей видимости, создана М. Е. Головиным.
Учебное пособие «Краткое руководство к геометрии для на-
родных училищ» издано в С.-Петербурге в 1786 г. Авторство его
также приписывают М. Е. Головину. Однако А. П. Юшкевич вы-
сказывает сомнение в справедливости этой гипотезы [349, с. 28]
и, оценивая его негативно, считает, что скорее всего это пере-
вод какого-то «скверного иностранного учебника» [349, с. 29].
С ним не согласен А. В. Ланков, который, ставя в заслугу автору
то, что учебник на первый план ставит не логику, а интуицию и
наглядность, делает заключение: «Такой учебник не может быть
переводным. По свежести и оригинальности методических кон-
цепций авторство учебника можно приписать М. Е. Головину.
Этот учебник — одна из интереснейших книг второй половины
XVIII века» [149, с. 21].
В руководстве для народных училищ по арифметике и гео-
метрии Головин конкретизирует на примере преподавания ма-
тематики методику, предложенную Янковичем в «Руководстве
учителям». Содержание этих учебников достаточно традици-
онно: в первой части «Руководства к арифметике» изложены
нумерация и действия над целыми и именованными числами,
во второй — дроби, пропорции и «задачи на правила». Боль-
шое внимание уделяется десятичным дробям. Геометрический
материал из учебника арифметики исключен полностью.
Учебник геометрии содержит лишь 16 теорем, доказатель-
ства примерно те же, что и в учебниках Крафта. Широко ис-
пользуется идея движения как при введении новых понятий, так
и при доказательстве теорем. Значительное внимание уделяет-
ся измерениям, при этом предлагается моделирование ситуаций.
«Практические задачи, — говорит автор, — можно разрешить
на ровном столе булавками и нитками, из которых первые засту-
пят место кольев, а другие — цепей». В летнее время Головин
предлагает использовать то, что мы сейчас называем уроками-
экскурсиями. Подробное содержание учебников и реализованные
в них методические идеи изложены ранее, при характеристике
достижений методической школы Л. Эйлера.
ГЕОМЕТРГА
СЛАВЕ История
С Т? N4 Л Г математического
bbl 1 Л Г образования
в России
Is^aqecA нов от
ПОВЕлЪн 1£мЪ б*АГОЧ
нлшыо ц в XIX — начале XX века
Всея icmkh 1 малЬгя i россн срж:^1.
прг бллгоро/н ЬшемЪ госудлрЬ нашемЪ 14лрЕВ!чЬ
1. ОТЕЧЕСТВЕННОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
в I четверти XIX века
1.1. НА РУБЕЖЕ XVIII и XIX веков:
ЗАРОЖДЕНИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ
МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
КАК НАУКИ
Рубеж XVIII и XIX вв. в истории математического образе-
вания России, как и всей Европы, более всего характеризуется
первыми шагами методики преподавания математики как нау-
ки. Любая наука становится таковой при выполнении как мини-
мум следующих условий: 1) перехода от практического уровня
к теоретическому, подтвержденного появлением соответствую-
щих публикаций; 2) обретения неких официальных институтов
функционирования; 3) появления ее фигурантов.
По авторитетному мнению И. К. Андронова [7, с. 49-50], ко-
торое в дальнейшем мы возьмем на себя смелость уточнить, ме-
тодика преподавания математики как наука утвердилась в связи
с появлением работ И. Г. Песталоцци, А. Дистервега, С. Лакруа
и др. в конце XVIII — начале XIX в. В. В. Репьев в широко из-
вестном в 60-70-х гг. учебнике общей методики преподавания
математики высказывает мнение, что «методика преподавания
математики выделилась из педагогики в трудах видного педа-
гога швейцарца И.Г. Песталоцци (1746-1827), который в 1803 г.
напечатал книгу «Наглядное учение о числе» [259, с. 6]. Это вре-
мя оба автора и относят к началу первого этапа истории разви-
тия методики преподавания математики как науки.*
* Напомним, что некоторые проблемы методики преподавания
математики ставились еще в начале XVIII в. немецким ученым
X. Вольфом и его последователями. Они на первый план выдвига-
ли требования доказательности и энергично перестраивали немецкую
учебную литературу с этих позиций, имея активных последователей
и в России. См. подробнее [238, с. 140-141].
209
Однако история математического образования в России вы-
ходит за эти хронологические рамки — она ведет свое начало со
времен Киевской Руси и до означенного периода проходит два
этапа своего развития: зарождения (до XVII в.) и становления
(XVIII в.).
В течение всего XVIII в. в России активно функционирова-
ли методические идеи при отсутствии как минимум первого из
указанных нами условий превращения методики преподавания
математики в науку. Поэтому мы склонны считать этот период
ее предысторией. Кратко обобщим элементы методики препода-
вания математики, появившиеся в математическом образовании
в России XVIII в.
1.1.1. Предыстория развития отечественной
методики преподавания математики как науки:
функционирование методических идей в XVIII веке
Специальная методическая литература в XVIII в. отсут-
ствовала. Сферой функционирования методических идей явля-
лись учебники математики. Сделаем попытку обобщить эти
идеи.
Напомним прежде, что XVIII в. является веком созда-
ния отечественной печатной литературы по математике. Мы
выделяем два поколения отечественных учебников матема-
тики XVIII в. В учебниках первого поколения, к которым
мы относим единственную книгу начала века «Арифметику»
Л. Ф. Магницкого, методические идеи не формулировались и, по
всей видимости, отчетливо не осознавались автором. Они мо-
гут быть выделены только при анализе содержания учебников.
Кратко изложим результаты проведенного нами анализа [238,
с. 112-119].
1. Явно просматривается логическая составляющая учебни-
ка: при отсутствии формул и доказательств растолковывают-
ся правила, в виде которых формулируются математические
предложения; делается попытка систематического определения
основных понятий, т.е. выделяется понятийный аппарат.
2. Методика изложения материала однородна: используется
катехизисная форма (вопросы и ответы), широко распростра-
ненная в то время и имеюшая несомненные педагогические до-
стоинства; все темы излагаются по единой методической схеме:
каждое новое правило начинается с простого примера, затем да-
ется его общая формулировка, и, наконец, оно закрепляется боль-
210 IL XIX — начало XX в
шим количеством задач преимущественно практического содер-
жания; каждое правило, особенно выполнения арифметических
действий, сопровождается правилом проверки — «поверением»;
методика обучения арифметическим действиям мало отличается
от распространенной в настоящее время.
3. Осознанно используются различные функции задачв обу-
чении математике — они употребляются в качестве: 1) объяс-
нительных примеров («прикладо»), в которых иллюстрируют-
ся основные положения теории; 2) материала для закрепления
и тренировки, очень умело подобранного по принципу восходя-
щей трудности; 3) воспитания интереса к математике, для чего
используются практические и прикладные задачи, задачи зани-
мательного характера.
4. Значителен гуманитарный потенциал книги: 1) в ней со-
держались сведения из Новейшей истории («деяния Петра»),
общефилософские рассуждения, изречения, нравоучения, сове-
ты; 2) основное содержание учебника излагалось в стихотвор-
ной форме; 3) книга оформлена в соответствии с эстетическими
канонами своего времени: она красочна, изобилует символичес-
кими картинками, имеет свой герб.
К учебникам математики второго поколения относятся
учебники методической школы Л. Эйлера, созданные преиму-
щественно во второй половине XVIII в. В отличие от учебника
Магницкого, который специально не формулировал методичес-
кие принципы книги, в учебниках второго поколения они чаще
всего явно представлены в предваряющей части учебников или
иных методических материалах.
Объединяет эти учебники реализация единой методической
концепции, которая вычленена нами из известных публикаций
Л. Эйлера и включает следующие идеи: 1) сближения содержа-
ния математического образования с современной математикой;
2) разумной минимизации количества математических дисцип-
лин путем вычленения в школьном математическом образовании
арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии; 3) постро-
ения учебных математических курсов на базе дидактических
принципов систематичности, научности и доступности, учета
возрастных особенностей обучающихся [238, с. 246-247].
1. I четверть XIX в.211
Так, в эйлеровском «Руководстве к арифметике для упо-
требления в гимназии императорской Академии наук»: 1) мате-
риал изложен преимущественно систематически; 2) оптимально
сочетание теории и практики; 3) успешны попытки если не обос-
новать, то хотя бы разъяснить каждое правило, что существенно
повышает уровень научной строгости; 4) доступность не только
декларируется в предисловии изложения, но и обеспечена прос-
тым, ясным языком пособия, упрощенной техникой вычислений.
В учебном пособии Эйлера по алгебре «Универсальная
арифметика» в наиболее полном виде отражена методическая
идея сближения школьного курса математики с математикой
как наукой. То же можно сказать и об учебнике его ученика
«Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими до-
казательствами, собранными Михаилом Головиным, надворным
советником, Академии наук членом и Учительской семинарии
профессором», в котором изложена созданная Эйлером современ-
ная теория тригонометрии.
Завершая обзор методических идей этапа становления оте-
чественного школьного математического образования, обратим-
ся к учебникам арифметики и геометрии, написанным в 80-е гг.
XVIII в. для народных училищ. В них конкретизировалась соз-
данная Янковичем де Мириево общая методика проведения уро-
ков всех предметов — так называемое «совокупное наставление»
[238, с. 235-236], которое делало приоритетной коллективную
форму обучения. Одним из основных методических приемов бы-
ло так называемое «совокупное чтение», направленное на чисто
формальное заучивание текста*. Предлагалось также развивать
сообразительность учеников, особо разъяснять новые трудные
места, в случае неточных ответов задавать наводящие вопросы,
побуждать учеников отвечать своими словами, что обеспечивало
понимание. Итак, на этапе предыстории методики преподавания
математики в отечественном математическом образовании ак-
тивно циркулировали математико-методические идеи, которые
стали основой математического образования начального и сред-
него уровня в XIX и XX вв. Они касались и таких общих проб-
лем, как методика урока математики в рамках классно-урочной
* Напомним, что оно заключалось в следующем: 1) новый отрывок
из учебника читает вслух учитель; 2) весь класс повторяет этот от-
рывок хором или порознь от 8 до 12 раз в зависимости от трудности
материала; 3) параллельно на доске учитель выписывает начальные
буквы слов, подлежащих запоминанию.
212 IL XIX — начало XX в
системы, методические принципы преподавания школьной мате-
матики, и более частных вопросов — перечня математических
дисциплин, отбора содержания каждой дисциплины, методики
изучения отдельных разделов и тем.
1.1.2. Осознание методических проблем
в качестве приоритетного ресурса
развития математического образования
Прежде чем рассмотреть, как протекало осознание роли
методических проблем в развитии математического образова-
ния в России, сделаем попытку охарактеризовать этот процесс
в более широком международном контексте.
Со второй половины XVIII в. лидирующее положение в ма-
тематике занимает французская математическая школа. Блестя-
щие ее представители Д'Аламбер, Лагранж, Лаплас, Лежандр,
Монж стояли у истоков таких новых направлений математи-
ки, как вариационное исчисление, дифференциальные уравне-
ния, теория бесконечных рядов, начертательная и проективная
геометрии. Они активно занимались также вопросами обоснова-
ния анализа.
Во французской математической школе впервые стали вы-
двигаться на передний план и вопросы методики преподавания
математики. Здесь стали осознавать роль математического об-
разования не только в развитии самой математики, но и в раз-
витии культуры вообще.
Методические идеи французской математической
школы во второй половине XVIII в. Произошедшая во
Франции в 1789 г. революция привела к реформе светского обра-
зования и, в частности, к созданию Политехнической и Высшей
нормальной школ*. Как считают авторы одного из первых в на-
шей стране учебников методики преподавания математики «Пе-
дагогика математики» В. Мрочек и Ф. Филиппович, особенно за-
ботился о развитии математики Наполеон I. Именно он основал
Нормальную школу «с целью подготовить будущих преподава-
телей» и пригласил туда «в качестве лекторов и руководителей
* Иначе Высший педагогический институт, где готовили учите-
лей на базе фундаментального образования университетского уровня
и изучения педагогики. Это высшее учебное заведение до сих пор со-
храняет во Франции свой высочайший статус, «являясь самым авто-
ритетным вузом страны, а вторым идет Сорбонна» [7, с. 50].
1. I четверть XIX в.213
работ» [191, с. 30] Лагранжа, Монжа, Лакруа, Лежандра, Фурье,
Понселе, Коши и других крупных ученых-математиков конца
XVIII — начала XIX в. В их среде и началось осознание реша-
ющей роли в развитии математики разработки целесообразной
системы математического образования на различных его ступе-
нях.
Особое внимание уделялось построению курса геометрии,
так как потребности времени требовали глубокого ее изуче-
ния военными, инженерами, моряками. Практически с начала
XVIII в. ряд французских и английских ученых подвергли кри-
тическому анализу некоторые разделы евклидовых «Начал», ко-
торые были основой изучения геометрии в учебных заведениях
того времени. В середине XVIII в. с резкой критикой системы
Евклида выступил А. Клеро, который в «Elements de geometric»
(1741) резко возражал против чрезмерной, иногда даже лож-
ной строгости и отвлеченности курсов теоретической геометрии,
провозгласив принципы естественности, практичности и прос-
тоты их изложения.
Наиболее весомый вклад в развитие этих идей внес матема-
тик-энциклопедист, общественный деятель и просветитель
Ж. Д'Аламбер, который вместе с философом-просветителем
Д. Дидро предпринял в 1751г. издание знаменитой «Энцикло-
педии наук, искусств и ремесел»*.
В ряде статей этой энциклопедии и других публикациях**
Д'Аламбер изложил оригинальную точку зрения как на общие
принципы преподавания математики, так и на систему изложе-
ния курса геометрии. Он возражал против широко распростра-
ненного построения этого курса «по Евклиду», предлагая исклю-
чить из него аксиомы, постулаты, настаивая на основательном
* «Энциклопедия» — грандиозный по своим масштабам труд, наи-
более полный и систематизированный из существовавших в то вре-
мя. Д'Аламбер написал известное предисловие, в котором представил
очерк происхождения и развития человеческих знаний и интересную
классификацию наук. Он ввел отделы математики, физики и меха-
ники, поместил множество собственных статей по самым разным во-
просам философии, истории, литературы, этики. В 1757 г. Д'Аламбер
отошел от издания «Энциклопедии». Подробнее см.: [111, с. 8-9].
** Это статьи «Геометрия», «Элементы науки», «Кривая», книга
«Дух философии».
214 II» XIX — начало XX в
пересмотре определений основных понятий. При этом он требо-
вал усиления внимания к измерениям, методу наложения, инту-
итивным представлениям о пределах и др., которые подвластны
чувственному восприятию и не требуют развитого абстрактно-
го мышления. Реализуя на практике принципы демократизации
обучения, он считал «целесообразными различно построенные
курсы. Одни ученики удовлетворятся учебником практической
геометрии; другие могут ограничиться более или менее строги-
ми рассуждениями; наиболее способные нуждаются в полном и
совершенно строгом теоретическом руководстве» [341, с. 31].
На базе этих общих представлений Д'Аламбер разработал
оригинальную структуру курса геометрии, в основу которой бы-
ли положены проблемы метрической геометрии. Отсюда и са-
мый курс должен состоять из трех отделов: геометрии прямой
и окружности, геометрии поверхностей и геометрии тел*. В со-
ответствии с этим в первой части курса он предложил рассмот-
реть свойства прямой и окружности, чтобы сразу использовать
их при измерении углов дуги окружностей, широкое примене-
ние должен был получить метод наложения. Вторую часть курса
предлагалось посвятить геометрии поверхностей, выражая пло-
щади поверхностей через площадь прямоугольника.
При изучении площади круга Д'Аламбер предлагал приме-
нить метод пределов и рассматривать площадь круга как предел
площадей одних и тех же вписанных (или описанных) много-
угольников. В третьей части должна была изучаться геометрия
тел, причем при измерении объемов тел (пирамиды и шара) ши-
роко привлекался метод пределов**.
Говоря об изучении геометрии кривых, Д'Аламбер требует
не следовать слепо геометрическим методам древних, а приме-
нять методы алгебры, облегчающие вычисления и доказатель-
ства. «Метод древних можно назвать дорогою не прямою, труд-
ною и беспокойною, по коей геометрии читателей своих обуча-
ет и утверждает; Аналист, поставленный выше, обозревает сию
дорогу единым мгновением ока» [99, с. 157]. Таким образом, в
основу курса геометрии Д'Аламбер заложил измерение геомет-
рических величин, предлагал использовать в качестве основ-
ных методов доказательства метод наложения, метод пределов
* См.: [111, с. 14].
** Подробнее о предложенных Д'Аламбером принципах построения
и содержания курса геометрии см.: [341, с. 30-31].
1. I четверть XIX в.215
и начала теории пропорций, выведенные геометрически. Идеи
Д'Аламбера нашли достаточно широкое распространение в пер-
вую очередь в военных учебных заведениях, которые в XVIII в.
во Франции, как и в России, отличались первоклассным матема-
тическим образованием. Именно на этих основах базировались
новые учебники математики для военных и морских школ Фран-
ции второй половины XVIII в.
Особую известность в 60-е гг. приобрел неоднократно пере-
издававшийся впоследствии «Курс математики» Э. Безу*, кото-
рый преподавал математику в училище гардемаринов и в Коро-
левском артиллерийском корпусе. Он частично воплотил идеи
Д'Аламбера, поступившись, впрочем, строгостью изложения в
вопросах, связанных с измерением длины окружности, подоби-
ем, параллельностью и др.
Популярны были также учебники математики С. Лакруа,
которые отличались содержательностью и вместе с тем доступ-
ностью изложения. Академик Сильвестр Лакруа в начале XIX в.
преподает математику в Высшей нормальной школе, его учебни-
ки переведены на многие европейские языки, в том числе на русс-
кий**. Он сыграл особую роль в истории методики преподавания
математики как науки: ему принадлежит первая в западноевро-
пейской научной литературе книга по вопросам преподавания
математики «Опыт об образовании вообще и о математичес-
ком в частности»***. Далее мы покажем, что приоритет выпуска
первой методической книги в Европе принадлежит русскому уче-
ному, математику и педагогу С. Е. Гурьеву.
Однако особенно широкую популярность и распространение
в конце XVIII и начале XIX вв. получило пособие по геометрии
А. Лежандра «Elements de geometric» (1794). Вопреки домини-
рующим идеям демократизации изложения, приспособления его
к нуждам школы того времени Лежандр возвратился к античной
строгости в построении курса геометрии, восстановив в прежних
правах классические евклидовы определения, аксиомы и посту-
латы. Вместо метода пределов он пользовался также античным
* Е. Besout. «Cours des mathematiques a 1'usage de la marine et de
1'artillerie». Paris, 1770.
** Наиболее известен учебник S Lacroix. «Elements de geometric a
1'usage del'ekole centrale des quatre nations». Paris, 1798.
*** S. Lacroix. «Essay sur 1'enseignement general et celui des mathema-
tiques en particulier». Paris, 1805.
216 II. XIX — начало XX в
«способом исчерпывания», слегка им видоизмененным. Однако
это возвращение было достаточно условным: при необходимости
он широко применял в изложении геометрии алгебру и арифме-
тику, что делало курс геометрии Лежандра чрезвычайно совре-
менным.
Структура пособия Лежандра оригинальна. В первой час-
ти курса рассматриваются прямые, треугольники и параллело-
граммы; во второй — окружность и круг, а также измерение
углов; в третьей — теоремы о подобии треугольников и изме-
рение площадей прямолинейных фигур. Четвертая книга посвя-
щена правильным многоугольникам, а также измерению длины
окружности и площади круга. В пятой книге изучались плоскос-
ти и телесные углы, в шестой — многогранники. Седьмая книга
посвящена изучению шара и сферических треугольников; вось-
мая — измерению площадей поверхностей и объемов цилиндра,
конуса и шара.
Учебник Лежандра неоднократно переиздавался, под его
сильным влиянием, по мнению А. П. Юшкевича, вскоре был со-
ставлен более краткий русский учебник Н. И. Фусса «Геометрия
в пользу и употребление благородного юношества» (1799), ко-
торый мы характеризовали в первой книге дилогии [238, с. 197-
198].
Продолжение С. Е. Гурьевым эйлеровской традиции
патроната математики как науки над отечественным
математическим образованием. При внимательном анали-
зе можно усмотреть некоторую аналогию в отечественном ма-
тематическом образовании начала и конца XVIII в., когда впер-
вые в истории западноевропейской математики начали активно
функционировать методические идеи, реализованные в учебни-
ках X. Вольфа и его последователей. Тогда оперативный доступ
к педагогическим и методическим идеям Европы обеспечил ге-
ниальный Эйлер, заложив, таким образом, в России традицию
патроната математики как науки над математическим обра-
зованием. Он и представители первой отечественной научно-
методической школы его имени не только аккумулировали пе-
редовые методические идеи, но и обогатили и переосмыслили
их, адаптировав к реалиям российской образовательной ситуа-
ции [238, с. 200-201].
В конце XVIII в. в Европе вновь самым активным обра-
зом циркулируют новые методические идеи, суть которых оха-
рактеризована нами выше. Фигуранты методической школы
1. I четверть XIX в.217
Л. Эйлера — Румовский, Котельников, Головин, согласно мне-
нию А. П. Юшкевича, которое мы разделяем, «остались в основ-
ном чуждыми новым идеям» [341, с. 28]. Иное дело Н.И. Фусс,
положивший идеи Лежандра в основу созданного им учебника
геометрии.
В это время в России уже были подготовлены первоклас-
сные математики, к числу которых в первую очередь следует
отнести Семена Емельяновича Гурьева. Русская математичес-
кая и методическая культура конца XVIII — начала XIX в. в
первую очередь связана с этим именем. Именно С. Е. Гурьева
можно считать продолжателем традиции патроната математи-
ки над математическим образованием в России.
С. Е. Гурьев являлся учеником и в некотором роде после-
дователем Николая Васильевича Верещагина* — одного из
широко известных русских математиков-педагогов, деятель-
ность которого мы охарактеризовали выше. В самом кон-
це XVIII в. С. Е. Гурьев стал академиком и энергично соче-
тал работу в Академии наук с практической педагогической
и теоретико-методической деятельностью. Ему принадлежит и
ряд научных работ, относящихся к различным разделам ма-
тематики и механики. Но особый интерес для нас представ-
ляет разработка С. Е. Гурьевым проблем методологии мате-
матики и методики ее преподавания. Он является автором
знаменитых методических работ, которые опубликованы, как
мы покажем ниже, по крайней мере не позднее, чем работы
И. Г. Песталоцци, А. Дистервега и С. Лакруа, являющихся, по
мнению И. К. Андронова и В. В. Репьева**, основоположниками
методики преподавания математики как науки.
Труды Песталоцци написаны несколько раньше или одно-
временно с Гурьевым***, но это были работы преимущественно
по начальному образованию; Дистервег писал блестящие учеб-
ники и руководства по математике значительно позже: напри-
мер, «Элементарная геометрия...» («Elementare Geometric fur
* В 1784 г. Гурьев с отличием окончил Инженерно-артиллерийский
корпус и по рекомендации Н. В. Верещагина был оставлен при нем в
качестве преподавателя математики.
** Их мнение в отношении И. Г. Песталоцци поддерживает П. В. Го-
рностаев. См.: [86, с. 74].
*** Его книги «Наглядное учение о числе» и «Азбука наглядности,
или наглядное учение об измерении» вышли в свет в 1803 г.
218 IL XIX — начало XX в
Volksschule und Anfanger uberhaupt») опубликована в 1860 г. [220,
с. 747]. Знаменитый методический труд Лакруа «Опыт об об-
разовании вообще и о математическом в частности» («Essay
sur I’enseignement en general et celui des mathematiques en
particulier») вышел лишь в 1805 г. С. Е. Гурьев же представил
на суд педагогической и академической общественности свои ме-
тодологические и методические взгляды в 1798 г.: в начале этого
года он предъявил в Академию наук сочинение «Опыт о поста-
новлении математики на твердых основаниях», а затем опубли-
ковал важнейшую свою работу «Опыт о усовершении элементов
геометрии», которая считается первым вышедшим в России ме-
тодическим сочинением. Так что есть основания признать при-
оритет С.Е. Гурьева как автора первого в европейской литера-
туре обобщающего труда по методике преподавания геометрии,
хотя эта проблема, по-видимому, требует специального исследо-
вания, что выходит за рамки поставленных перед нами задач.
Тем не менее к числу основоположников методики преподавания
математики как науки кроме И. Г. Песталоцци, А. Дистервега,
С. Лакруа, упоминаемых в этом качестве И. К. Андроновым, мы
склонны причислить и нашего известного соотечественника Се-
мена Емельяновича Гурьева.
С.Е. Гурьев в некотором роде поклонник опыта француз-
ской математической и методической школ, хотя был достаточ-
но самобытен в своих методических новациях. Он сумел объеди-
нить вокруг себя группу передовых деятелей математического
образования: В. И. Висковатова, П.А. Рахманова, Ф. Кузьмина,
А. Н. Ильинского, В. И. Себржинского и др., которые энергич-
но взялись за разработку и пропаганду передовых методических
идей. Очень важно, что они первыми публиковали свои работы
по высшим разделам математики, философии математики и ме-
тодике ее преподавания исключительно на русском языке, явля-
ясь основоположниками русской учебной и методической литера-
туры. С созданием научно-методической школы Гурьева можно
с уверенностью говорить о продолжении традиций Л. Эйлера в
отечественном математическом образовании.
Далее мы сделаем попытку анализа основных достиже-
ний этой школы. Сейчас же охарактеризуем методические идеи
С. Е. Гурьева, реализованные им в системе математического об-
разования, предложенной для Морского кадетского корпуса, так
как опыт ее реализации во многом повлиял на реформу образо-
вания начала XIX в.
1. I четверть XIX в.219
1.1.3. Развитие методико-математических идей
в творчестве С. Е. Гурьева
Морской кадетский корпус и в это время сохранил тради-
ции первоклассного математического образования, заложенные
еще в XVIII в. В 1801 г. С. Е. Гурьев был приглашен в комитет,
разрабатывавший курс морских учебных заведений*, на который
возлагалась задача «сочинить особую систему морского учения,
соображенную со всеми предметами, в искусство сие входящими,
наиболее сходственную с нынешним состоянием наук, ведущую
кратчайшим и точным путем ко всем объемлемым оным позна-
ниям»**.
Математику комитет признал «главнейшим предметом,
морского учения составляющим» и основную свою цель видел в
«доставлении общего полного и нынешнему состоянию наук со-
ответствующего курса математики, наблюдая при этом, чтобы
все входящие в него науки и каждой из них особенно принад-
лежащие предметы соединены были естественнейшим союзом»
[251, с. 161-166].
Прежде чем характеризовать методическую систему обуче-
ния математике «по Гурьеву», коснемся его понимания природы
человеческого познания, которые выступают в качестве ее ос-
новных принципов.
1. С. Е. Гурьев утверждал, что первоначальные познания
человек получает из опыта «посредством чувств наших». Он
считал первичным свойством реально существующих вещей
«протяжение и движимость суть первые, которые нам таким
образом представляются, то явствует, что исследование сих
свойств естественных тел должно быть первым учением мыс-
лящего существа» [98, с. 5]. Таким образом, именно геометрию,
изучающую эти свойства естественных тел, следует положить в
основу системы математического образования, она «есть первая
отрасль всей математики» [251, с. 62].
* В этот комитет кроме С. Е. Гурьева вошли такие видные дея-
тели математического образования как академик Л. Ю. Крафт, про-
фессор Т. Ф. Осиповский, ученик Гурьева адъюнкт Академии наук
В. И. Висковатов,. Официальным председателем комитета считался
П. В. Чичагов — «один из наиболее просвещенных русских адмиралов
начала XIX в., горячий ревнитель математики» [137, с. 161].
** Из единственного сохранившегося протокола заседаний комитета
[251, с. 161-166].
220 IL XIX — начало XX в
2. Способность человека к абстрагированию С. Е. Гурьев
считает «столь же ему свойственной, как и самое размышление»
[251, с. 62]. Именно с ее помощью человек получает представ-
ление об основных геометрических понятиях — точке, линии,
поверхности.
3. У детей способность к абстрагированию еще слабо разви-
та, поэтому систематические курсы геометрии и арифметики не
могут быть предметами их обучения*.
Эти соображения привели С. Е. Гурьева к идее концентри-
ческого изложения математики, которая положена им в основу
проекта системы математического образования, утвержденного
комитетом при Морском кадетском корпусе. Эта идея служи-
ла в течение двух столетий одной из основополагающих идей
построения содержания школьного математического образова-
ния**. Не потеряла она своего значения и сейчас. Так, напри-
мер, И. С. Сафуанов кладет ее в основу современного изучения
математических дисциплин в педагогическом вузе***.
Итак, система математического образования «по Гурьеву»
должна состоять из трех концентров: «1) детская арифметика
и геометрия; 2) настоящая геометрия и наука исчисления, со-
держащая в себе основания настоящей арифметики и простой
алгебры с присовокуплением плоской и сферической тригономет-
рии; 3) высшая математика, состоящая из теории уравнений и
функций, дифференциального, интегрального и вариационного
исчисления, а также механика, гидродинамика, физика, астро-
номия и геодезия»****.
Под детской арифметикой и геометрией С. Е. Гурьев пони-
мал «предварительное для малолетних воспитанников сочине-
ние, содержащее в себе как начальные правила арифметики,
* Как мы уже говорили, подобные взгляды С. Е. Гурьева можно
считать развитием идей Д'Аламбера, высказанных им в «Энциклопе-
дии».
** См., например, о двух концентрах преподавания тригонометрии
в [179, с. 492-495], о концентрическом расположении материала ариф-
метики в начальной школе в [284, с. 10-12].
*** См. главу «Концепция генетико-концентрического обучения ма-
тематическим дисциплинам в педагогическом вузе» в [272].
**** Морского учебного корпуса часть первая. СПб., 1804. Предуве-
домление. — Цит. по: [251, с. 163].
1. I четверть XIX в.221
так и правила для черчения геометрических фигур и состав-
ления из бумаги геометрических тел» [93]. Таковыми в самых
общих чертах он представлял себе содержание и методику изуче-
ния математики на начальной ступени обучения. Курс должен
иметь прикладной характер, включать элементы практической
арифметики и практической геометрии и в качестве основного
метода использовать лабораторный метод, а основного средства
— наглядность. Этот проект, который можно считать первым
методически обоснованным проектом отечественного школьного
математического образования, является показателем достаточно
высокого развития методико-математической теории в России
начала XIX в.
С.Е. Гурьев не ограничивается теоретическими построе-
ниями. Получив официальное утверждение проекта математи-
ческого образования для Морского училища, он с присущей
ему энергией приступает к практическому его воплощению.
По заданию комитета по разработке системы морского учения
С.Е. Гурьев написал учебник геометрии под названием «Мор-
ского учебного курса часть первая, содержащая основания гео-
метрии» (СПб., 1804) и учебник арифметики «Науки исчисления
книга первая, содержащая основания арифметики» (СПб, 1805).
Они практически воплощали идеи, изложенные С. Е. Гурьевым
в «Опыте о усовершении элементов геометрии», предисловиях к
его учебным руководствам и обобщены им впоследствии в «Рас-
суждениях о математике и ее отраслях» (СПб., 1809).
С.Е. Гурьев создал также многочисленные учебные пособия
по высшей математике для Училища корабельной архитектуры,
профессором и инспектором которого он был назначен сразу же
по его открытии в 1798 г. Математика здесь преподавалась в
полном соответствии с его методической системой. Она вклю-
чала на первом этапе геометрию и науку исчисления, под кото-
рой подразумевались арифметика и алгебра и на втором этапе
геометрию кривых линий и кривых поверхностей, дифференци-
альное и интегральное исчисление, теорию дифференциальных
уравнений, трансцендентную геометрию кривых линий и кривых
поверхностей и вариационное исчисление.
С 1809 г. С. Е. Гурьев преподавал в Петербургской духов-
ной академии, где читал элементарную и высшую математику.
Годом позже он приглашен на должность профессора в толь-
ко что открытом Институте путей сообщения. Многочисленные
математические дисциплины, которые он читал в этих профес-
222 IL XIX — начало XX в
сиональных учебных заведениях, были обеспечены специально
разработанными учебными руководствами. Например, к курсу
дифференциального исчисления им подготовлено пособие «Ос-
нования дифференциального исчисления с приложением оного к
аналитике» (СПб., 1811), которое, по мнению А. П. Юшкевича,
оказалось «наиболее ценным учебником Гурьева... Это было,
для своей эпохи, выдающееся руководство» [341, с. 35]. Гурье-
ву принадлежит первое на русском языке изложение дифферен-
циальной геометрии в «Основаниях трансцендентной геометрии
кривых поверхностей» (СПб., 1806). Мы не имеем возможнос-
ти останавливаться подробнее на учебниках Гурьева по высшей
математике. Некоторые сведения о них можно найти в историко-
методической литературе*.
Итак, С. Е. Гурьев опубликовал первый в истории оте-
чественного математического образования научно-методический
труд «Опыт о усовершенствовании элементов геометрии», мето-
дически обосновал оригинальную систему математического об-
разования, которую сумел воплотить в жизнь в профессиональ-
ных учебных заведениях, создал серию учебников математики,
обеспечивающих эту систему. Чуть позже мы подробнее охарак-
теризуем эти учебники, но прежде обобщим методические идеи,
которые сформулированы первым русским ученым-методистом:
1. Изучение математики концентрами.
2. Необходимость начинать изучение математики во втором
концентре с геометрии.
3. Изложение всех школьных математических дисциплин на
единых основах, в качестве которых выступает оригиналь-
ная трактовка понятия величины**.
* См., например, [341, с. 29-30; 251; 160; 168-169]
** Гурьев четко отделял понятие величины от понятия числа как
педагогически, так и научно. По его мнению, величина — более об-
щее и широкое понятие, чем число, которым может быть выражено
только отношение однородных величин. Изучением отношений меж-
ду величинами занимается наука, которую Гурьев назвал «наукою
исчисления», содержащая две части — арифметику и алгебру. Отно-
шение «какого ни есть рода величин к их единице есть паче общее
нежели числа», которое Гурьев считает геометрической величиной,
ближайший образ ее — прямая линия: «На прямую линию взирать
будем яко на общее средство, служащее к определению отношений как
несоизмеримых, так и соизмеримых соединений величин» [98, с. 18].
1. I четверть XIX в.223
4. Введение в школьное математическое образование «науки
исчисления», под которой он понимает арифметику и эле-
менты алгебры, построенные на геометрических основах.
5. Систематическое изложение геометрии во втором концент-
ре в виде стройной системы теорем, сгруппированных по
«предметам».
1.1.4. Учебная и методическая литература,
созданная С. Е. Гурьевым
для нужд школьного обучения математике
.Начнем анализ методического наследия С. Е. Гурьева с
«Опыта о усовершении геометрии» (СПб., 1798). Это солидная
(264 с.) книга, которая является первым в европейской лите-
ратуре научным трудом собственно методического характера.
В ней «отчетливо выступает стремление автора к более точ-
ному обоснованию математики» [127, с. 12]. Основное внимание
при этом он уделил критике различных подходов к построению
геометрии и анализа. Основное содержание книги — изложение
теории пределов (в основе — теория пределов Д'Аламбера) и те-
ории пропорциональных величин (практически современное из-
ложение теории пропорций Евклида [127, с. 13]). Сосредоточим
внимание на тех проблемах «Опыта о усовершении геометрии»,
которые касаются школьного обучения математике.
Основными задачами сочинения Гурьева, как считает А. П.
Юшкевич [341, с. 32], являлись: 1) критика сложившейся практи-
ки преподавания геометрии; 2) изложение собственного плана по-
строения ее курса. К числу наиболее замечательных руководств
по геометрии, созданных за всю многовековую историю матема-
тического образования, С. Е. Гурьев относит «Начала» Евклида
и очень распространенную в начале XIX в. книгу А. Лежандра
«Elements de geometric» (1794)*. Будучи приверженцем идей
Д'Аламбера, Гурьев критиковал Лежандра по двум принципи-
альным позициям: 1) он считал, что в элементарной геометрии
* Книга Лежандра имеется в русском переводе: А. Лежандр. «Ос-
нования геометрии». СПб., 1837. В ней он вопреки Д'Аламберу счел
нужным возвратиться к античной строгости построения геометрии:
восстановил в правах классические определения и аксиомы, современ-
ному ему методу пределов предпочел видоизмененный им античный
способ «исчерпывания». В то же время он широко применял правила
алгебры и теорию пропорций, придавая геометрии современный вид
[342, с. 31].
224 II- XIX — начало XX в
недопустимо применять алгебру и вычисления в силу того, что
алгебра, «рассматриваемая во всей ее общности», сама предпо-
лагает геометрию и ее общую теорию пропорций; 2) он полагал,
что Лежандр напрасно отказался от усовершенствованного ме-
тода пределов, заменив его античным способом «исчерпывания».
В то же время он критиковал евклидовы «Начала», по ко-
торым, напомним, преподавалась геометрия во многих учебных
заведениях XVIII в. Чтобы пояснить суть этой критики, изло-
жим собственные представления Гурьева об основах построения
курса геометрии. Он считал, что «система элементарной гео-
метрии может быть двоякой: или соображенной с началами или
соображенной с предметами». Под системой, «соображенной с
началами», Гурьев подразумевает строго логическое изложение
материала, основанное на «трех началах» (методах доказатель-
ства), к которым он вслед за Д'Аламбером относит метод нало-
жения, теорию пропорций и учение о пределах*. Под системой
же, «соображенной с предметами», он понимает способ распре-
деления геометрического материала, систематизирующий тео-
ремы не по методу доказательства, а по их математическому
содержанию, отношению к «предметам» геометрии. С этой точ-
ки зрения Гурьев считает «Начала» Евклида расположенными
беспорядочно, без учета тех «предметов», о которых ведется речь
в доказываемых теоремах.
С методической точки зрения очень интересно отношение
Гурьева к охарактеризованным им системам изложения геомет-
рии. Он считает, что они предназначены для разных категорий
учащихся, предлагая «самых людей разделить на два рода: на
способных изобретать новые истины и не более способных токмо
понимать уже изобретенные» [93, с. 7]. Первым понятна и полез-
на система изложения геометрии, в терминологии Гурьева, «со-
ображенная с началами», поскольку они «не могут ограничить
себя предметами», а должны владеть методами доказательства,
так как «будут сами прилагать оные как некие орудия к новым
изысканиям». Вторые же, «не способны будучи действовать са-
ми орудиями», предпочтут изложение, при котором «предметы
расположены в сходственнейшем порядке». Вследствие того, что
вторая категория людей преобладает, он отдает предпочтение
системе, основанной на предметах. Более того, Гурьев полагает,
* Д'Аламбер в качестве «трех начал геометрии» выделял принцип
наложения, метод пределов и начала теории пропорций, выделенные
геометрическим путем [47, с. 30].
1. I четверть XIX в.225
что и для творческой категории изучающих математику людей
система обучения геометрии, «соображенная с предметами есть
превосходнейшая», так как они «не преминут усмотреть пру-
жины ея, которые те же самые, что у системы, соображенной с
началами».
Однако это не значит, что Гурьев недооценивает строгость
и точность изложения материала. Напротив, он утверждает, что
в математике нецелесообразно ставить вопрос о предпочтении
точности и удобства: он полагает, что «чем вывод строже, тем
он ко разумению удобен, ибо строгость состоит в приведении
всей целости к началам наипростейшим» [95, с. 3]. Идея о груп-
пировке теорем «по предметам» осуществлена С. Е. Гурьевым
в «Опыте», в котором курс геометрии разбит на четыре кни-
ги: первая посвящена «сопряжению прямых с прямыми», вторая
рассматривает «сопряжения круга с прямыми», в третьей из-
учаются «сопряжения плоскостей с прямыми и плоскостями» и,
наконец, в четвертой изучаются «сопряжения трех простейших
кривых поверхностей (цилиндра, конуса и шара) с прямыми и
плоскостями» [251, с. 165].
Первая книга начинается с рассмотрения сопряжения (пе-
ресечения) двух прямых, перпендикулярных и наклонных. Со-
пряжение трех прямых приводит к треугольникам или к двум
параллельным прямым, пересеченным третьей. Охарактеризо-
ванные «предметы» определяют содержание первой книги: гл. 1
посвящена углам, гл. 2 — треугольникам, гл. 3 — параллельным
прямым, гл. 4 — параллелограммам, включая теорему Пифаго-
ра, гл. 5 — многоугольникам. Здесь же рассматривается учение
о подобии и вводится теория пропорций.
Вторая книга включает в себя три главы: гл. 1 рассмат-
ривает различные случаи сопряжения окружности и прямой, в
гл. 2 изучаются вписанные и описанные многоугольники, нако-
нец, гл. 3 посвящена способу пределов и сопряжению круга с тре-
угольником. Третья книга содержит две главы. В гл. 1 рассмат-
риваются сопряжения плоскостей с прямыми и плоскостями, в
гл. 2 изучаются параллелепипеды, призмы и пирамиды. Заклю-
чительная четвертая книга включала главы о цилиндре, конусе
и сфере.
Описанная структура курса геометрии является оригиналь-
ной и встречается в учебниках учеников и последователей
С. Е. Гурьева.
226 IL XIX — начало XX в
«Морского учебного курса часть первая, содержа-
щая основания геометрии». В соответствии с идеями, изло-
женными в «Опытах», С. Е. Гурьевым было написано пособие
«Морского учебного курса часть первая, содержащая основания
геометрии» (СПб., 1804), состоящее из предуведомления и двух
книг, общим объемом 770 страниц. В предисловии С.Е. Гурьев
излагает свою методическую систему изучения геометрии, начи-
ная, как и «Опыт» с критики существующих систем изложения
курса геометрии. В каждом из двух томов «Морского учебного
курса» по две книги, названия которых полностью совпадают с
декларированным в «Опытах» содержанием отдельных частей
геометрии, «сообразованной с предметами»: «О свойствах, ко-
торые имеют место при взаимном сопряжении прямых линий с
прямыми», «Свойства, которые имеют место при взаимном со-
пряжении круга с прямыми».
Учебник производил очень цельное впечатление: «теоремы
и «присовокупления» к ним располагались в таком порядке, что
делается очевидным их происхождение и необходимость» [251,
с. 166], все разделы книги естественно вытекали друг из дру-
га и были неразрывно связаны, структура их по возможности
однотипна. Основная цель С. Е. Гурьева — создать учебник, в
котором геометрия представлена не как случайное собрание те-
орем, а стройная система, где теоремы объединены в группы,
«сообразованные с предметами» (прямыми, кругами, плоскос-
тями и т. д.), — была достигнута.
Однако в историко-методической литературе единодушно
отмечаются и существенные недостатки «Морского учебного
курса» [346, с. 35; 251, с. 167]: чрезмерный объем книги, слож-
ность и растянутость доказательств, тяжеловесность языка, об-
щая громоздкость и трудность. Он оказался малопригодным для
учеников руководством, но несмотря на это пользовался доволь-
но широким распространением, выдержал два издания и отчас-
ти использовался при создании учебников геометрии, особенно
учениками и последователями С. Е. Гурьева.
Свои достаточно необычные идеи в сфере преподавания
арифметики С.Е. Гурьев реализовал в руководстве «Науки ис-
числения книга первая, содержащая основания арифметики»
(СПб., 1805). Напомним, что основная особенность этой мето-
дики состояла в том, что арифметику С. Е. Гурьев излагает,
«используя теорию пропорций, построенную им на чисто гео-
метрической основе» [127, с. 13]. В предисловии к «Науке исчис-
1. I четверть XIX в.227
ления» он дает ее определение как науки, занимающейся изуче-
нием отношений между величинами, раскрывает внутреннюю ее
структуру, дает определение основных понятий*.
Основное содержание учебника отражено в четырех главах:
1. О изображении чисел словами и знаками. 2. О первых че-
тырех способах исчисления целых чисел. 3. О первых четырех
способах исчисления дробных чисел. 4. О первых четырех спо-
собах исчисления десятичных дробных чисел. Изложение дока-
зательное: все правила обосновываются, доказательства часто
геометрические. Построение арифметики на чисто геометричес-
кой основе В.Н. Молодший [185, с. 72] объясняет тем, что авто-
ры (в том числе Гурьев) не считали возможным дать понятию
иррационального числа чисто арифметическое обоснование. Но
зная, что без несоизмеримых величин обойтись невозможно, они
требовали использовать геометрическое определение несоизме-
римых величин.
В соответствии с этими взглядами С. Е. Гурьев рассматри-
вает четыре действия над целыми и дробными числами, исполь-
зуя теорию пропорций. При этом он вынужден был определять
сложение, вычитание, умножение и деление как действия между
величинами, а не числами. Рассмотрим, к примеру, его опре-
деление действия умножения: «Умножение есть способ находить
величину, которая бы к одной из данных, называемой множимою,
так относилась, как другая, именуемая множителем, к единице.
Множимая и множащая величина вообще множителями называ-
ются, а найденная через умножение оных произведением имену-
ется» [94, с. XXIII]. Естественно, такой подход обусловил чрез-
мерную громоздкость учебника. В данном случае, введя при-
веденное выше определение умножения, Гурьев вынужден был
сопроводить его примечанием, «из которого видно, что за недо-
статком слов, слову «умножение» приписывается новый смысл,
смысл действия над величинами» [251, с. 164]. Дробь Гурьев рас-
сматривал не только как результат разбиения единицы на рав-
ные части, но и как результат деления одной величины на дру-
гую [185, с. 75], что было достаточно прогрессивно в то время.
* «Наука исчисления» по Гурьеву должна изучаться (и изучалась в
Петербургской духовной академии) в такой последовательности: ч. 1,
содержащая основания «частной арифметики», ч. 2, содержащая осно-
вания «универсальной арифметики, или языка алгебраического», ч. 3
«Об алгебре, собственно называемой» и ч. 4 «Об аналитике».
228 II. XIX — начало XX в
Все же, по оценкам в историко-методической литерату-
ре (А. П. Юшкевич, В. А. Прудников) «Науки исчисления часть
первая» оказалась малоудачным учебником арифметики. Курс
алгебры С. Е. Гурьева не успел выйти в свет, поэтому мы не
имеем возможности судить о качестве остальных этапов изуче-
ния «науки исчисления».
1.1.5. Научно-методическая
школа С. Е. Гурьева*
С. Е. Гурьев объединил вокруг себя группу заметных в ис-
тории отечественного математического образования педагогов-
математиков, которые разрабатывали и пропагандировали его
методические идеи. Во всех учебных заведениях, где работал
Гурьев, он проявлял особую заботу о подготовке преподаватель-
ских кадров, стремясь при этом подбирать их из русских людей,
что было существенной проблемой отечественной науки и оте-
чественного образования со времен Петра I**. Так, в октябре
1801г. Гурьев доносил в Адмиралтейств-коллегию: «Училище
корабельной архитектуры... имеет... необходимую надобность
в двух профессору помощников... и как таковых помощников
не без трудности здесь отыскать можно, то не благоугодно ли
будет истребовать от... двух студентов из учительской семина-
рии, дабы из оных профессор училища с большой удобностью и
успехом мог сделать себе помощников» [175, с. 411]. В результа-
те этого прошения к Училищу корабельной архитектуры были
прикомандированы студенты-математики учительской семина-
рии Гроздов и Грязнов, которые после смерти С. Е. Гурьева воз-
главили кафедры математики в Петербургской духовной акаде-
мии и Училище корабельной архитектуры.
Подготовкой преподавателей математики С. Е. Гурьев зани-
мался и в открывшейся в 1809 г. Петербургской духовной семина-
рии, профессором которой он был назначен с самого ее основа-
ния. Воспитанники этого учебного заведения А. Н. Ильинский,
В. С. Себржинский, А. Е. Покровский и С. И. Райковский были
его учениками и последователями.
* Мы не склонны считать учеников и последователей Гурьева
научно-методической школой в силу отсутствия внутри нее единства
взглядов на многие методические проблемы, вылившиеся в конце ее
существования в резкую полемику, критику взглядов ее основателя
(см. далее). Мы склонны назвать ее «протонаучной школой».
** См.: [251, с. 158; 341, с. 29].
1. I четверть XIX в.229
Гурьев заботился и о подготовке русских научных кадров
через Академию наук. Так, в 1799 г. он рекомендовал акаде-
мической конференции преподавателя алгебры и механики в
Инженерно-артиллерийском шляхетном кадетском корпусе Ва-
силия Ивановича Висковатова. В представленной Гурьевым до-
кладной записке указано, что в действительные члены Академии
«могут быть рекомендованы следующие лица, обладающие соот-
ветствующими знаниями: член-корреспондент Академиии наук
лейтенант артиллерии Висковатов, студент учительской семи-
нарии Иван Разумихин и лейтенант флота Опацкий, все трое
преданы науке и согласны поступить на службу в Академию»
[247, с. 991].
Профессора Гроздов и Грязнов излагали математику в Пе-
тербургской духовной академии и Училище корабельной архи-
тектуры в духе идей своего учителя*. Особенно высоко современ-
ники и ближайшие последователи Гурьева оценили его учебник
геометрии, который во многом служил им образцом.
А. Н. Ильинский, преподаватель Петербургского горного
корпуса, является автором учебного пособия по геометрии, на-
звание которого говорит само за себя — «Основания геометрии,
составленные по системе С. Е. Гурьева». Он так оценил его по-
собие «Морского учебного курса часть первая, содержащая ос-
нования геометрии»: «Кто же не пленится сими качествами, кто
не отнесет их к совершенству учебной книги; кто не согласит-
ся, что при разборе истин, разбросанных без порядка, учащийся
должен почти в одно и то же время заниматься многими и раз-
нообразными предметами, которые, поступая один за другим в
память его, или тут же изглаживаются, или смешиваются один
с другим так, что сосредоточить понятие о них весьма трудно»
[120, с. VI-VII]. А. Н. Ильинский в своем учебнике геометрии со-
хранил систему Гурьева, опустив множество мелких теорем и
упростив доказательства оставшихся. Это позволило, практи-
чески сохранив содержание учебника геометрии Гурьева, почти
втрое уменьшить ее объем [127, с. 17].
Преподаватель Петербургской духовной семинарии и ака-
демии С. И. Райковский во многом в соответствии с идеями
С. Е. Гурьева пишет свой учебник геометрии под названием «На-
чальные основания геометрии» (СПб., 1827). Московский учи-
тель Ф. Кузьмин при написании книги «Способ пределов и его
* См.: [251, с. 155].
230 IL XIX — начало XX в
употребление в геометрии» (М., 1804), в существенно перерабо-
танном виде вышедшей в 1806 г. под названием «Начала способа
пределов и применение его к началам геометрии», опирался в
основном на «Опыт о усовершении элементов геометрии».
Учебник алгебры С.Е. Гурьев издать не успел. Это сделал
его ученик и последователь из числа воспитанников Петербург-
ской духовной академии, профессор математики этой академии
В. И. Себржинский. Он написал пособие под названием «Осно-
вания алгебры» (СПб., 1820), одобренное в качестве руководства
для духовных семинарий, используя неопубликованные рукопи-
си Гурьева, что послужило основанием для длительных разби-
рательств* с участием многих знаменитых людей той эпохи**.
Из числа учеников и последователей С. Е. Гурьева особен-
но большую роль в развитии отечественного математического
образования и математической культуры вообще, по мнению
А. П. Юшкевича [341, с. 36], сыграли крупные математики и
педагоги-математики рубежа XVIII-XIX вв. В. И. Висковатов и
П. А. Рахманов. Однако они практически не занимались вопроса-
ми математического образования школьного уровня, поэтому мы
очень кратко коснемся лишь некоторых сторон их деятельности.
* Вдова С. Е. Гурьева подала жалобу на автора «Оснований ал-
гебры», обвинив его в плагиате и требовала уничтожения учебника
как «сочинения, похищенного у своего учителя» [16, с. 361]. В дело
вмешалась Академия наук, был представлен отзыв об алгебре Себр-
жинского, в соответствии с которым следовало «признать жалобу вдо-
вы Гурьевой совершенно основательною и обвинить в подлом плагиа-
те ученика, который, обокрав знаменитого своего наставника», имел
«еще дерзость в оправдании своем затемнять честь его яко писателя
и академика». — Цит. по: [251, с. 150].
** Этим щекотливым делом занимались академик Н. И. Фусс, зна-
менитый в образованных кругах своего времени профессор Москов-
ского университета М. П. Погодин, известный писатель, филолог и
педагог В, Ф. Одоевский, министр народного просвещения в 20-х гг.
XIX в А. С. Шишков, наконец, примечательнейшая личность эпохи
А. А. Аракчеев, который, обучаясь в Инженерно-артиллерийском ка-
детском корпусе, был учеником Гурьева и даже оставлен по его реко-
мендации при корпусе репетитором по арифметике и геометрии (под-
робнее см.: [137, с. 149-150])
1. I четверть XIX в.231
Петр Александрович Рахманов* — потомственный дворя-
нин и профессиональный военный, известен прежде всего своими
патриотическим взглядами и ярко выраженной гражданской по-
зицией. Сохранилось его высказываение: «Долг дворянина есть
посвящать Отечеству все свои умственные качества»**. Следуя
этому принципу, он отдал Отечеству и собственную жизнь: вый-
дя в 1810 г. в отставку в чине майора, он тем не менее вернулся
в армию во время Отечественной войны 1812 г. и погиб в битве
под Лейпцигом в октябре 1813 г.
Будучи профессиональным военным, П.А. Рахманов в те-
чение всей своей жизни был полностью сосредоточен на проб-
лемах математики и ее преподавания. Он сблизился с учеными-
математиками Московского университета, поддерживал деловые
отношения с С. Е. Гурьевым и в первые годы своей педагогичес-
кой и популяризаторской деятельности был его единомышленни-
ком. В изданном в 1803 г. в Москве пособии «Новая теория содер-
жания и пропорций геометрических соизмеримых и несоизмери-
мых количеств»*** он применил теорию пределов в изложении
Гурьева. Однако уже тогда проявилось его критическое отноше-
ние к некоторым взглядам своего учителя: он принял существо-
вание иррациональных чисел, которые игнорировал Гурьев.
В дальнейшем П.А. Рахманов, уехав на некоторое время в
Париж, знакомится с новейшими достижениями представителей
французской математической школы и становится их горячим
поклонником. Он знакомится с Лагранжем, Лежандром, посеща-
ет лекции в знаменитой Политехнической школе, что повлияло
на всю его дальнейшую педагогическую и методическую дея-
тельность (но не повлияло на позиции патриота и граждани-
на, который отдал жизнь в войне с наполеоновской Францией).
Вернувшись в 1806 г. на Родину, Рахманов активно занимается
литературной деятельностью: публикует ряд статей по теории
бесконечных рядов и рецензий на новинки учебной литературы в
* В данном случае мы не можем ограничиться характеристикой
его научной и педагогической деятельности, считая своим долгом кос-
нуться и некоторых биографических сведений ввиду незаурядности
личности П.А. Рахманова.
** Цит. по: [341, с. 37].
*** Точность названия сомнительна. Цит. по: [341, с. 37].
232 IL XIX — начало XX в
научных журналах*, с 1810 г. предпринимает собственное изда-
ние «Военного журнала», в котором ведет математический от-
дел, неустанно пропагандируя «значение математического обра-
зования для военных» [341, с. 36].
Наиболее значительная из его работ — «Собрание сочине-
ний» (СПб., 1807) — является обобщением материалов, изло-
женных в нескольких ранее опубликованных брошюрах**. Инте-
ресны, по мнению А. П. Юшкевича, изданные в 1810 г. «Лекции
г. Рахманова о дифференциальном исчислении» (СПб.) и «Опыт
о различных теориях дифференциального исчисления и о срав-
нении оных» (СПб., 1812), в которых критически освещаются
взгляды на теорию дифференциального исчисления крупнейших
ученых — от Барроу до Лагранжа [341, с. 36].
Продолжая традиции выдающихся математиков-педагогов
XVIII в., в пропаганде математического просвещения Рахманов
не ограничивается публикациями: на своей петербургской квар-
тире он читал лекции по математическому анализу, имевшие
большой успех среди учащейся молодежи, учителей и интересу-
ющихся наукой офицеров.
Великолепные человеческие качества П. А. Рахманова: са-
мостоятельность суждений, смелость, умение критически мыс-
лить — обусловили наиболее интересный для нашего повество-
вания научно-публицистический феномен, связанный с именами
С. Е. Гурьева и В. И. Висковатова. Имеются в виду поздние пуб-
ликации Рахмановым «статей-рецензий, направленных против
Гурьева»***. Особенно резкой критике [67] были подвергнуты
методические взгляды Гурьева, изложенные им в учебнике для
Морского кадетского корпуса «Морского учебного курса часть
первая, содержащая основания геометрии». Речь шла об основ-
ной методической проблеме построения курса геометрии — соот-
несении его с началами или предметами. П. А. Рахманов считал,
* Это «Артиллерийский журнал» и только что начавший функ-
ционировать журнал Московского университета «Московские ученые
ведомости».
** Это новое изложение теории поверхностей вращения (по Мон-
жу), цилиндрических и конических поверхностей, где есть и самосто-
ятельно полученные Рахмановым результаты. Например, он выводит
уравнение касательной плоскости к поверхности путем предельного
перехода от плоскости, проходящей через три точки поверхности.
*** См. подробнее: [341, с. 37].
1. I четверть XIX в.233
что каждое построение имеет свои недостатки: методическая
система, построенная на основе «предметов», приводит к ис-
кусственным построениям, длиннотам, повторениям, особенно
пагубным для начинающего изучать курс. Гурьев же «не толь-
ко что строго наблюдает порядок, сообразованный с предметами,
но еще вступает в такие подробности и такие замысловатости,
которые сверх сил всякого ребенка»*.
Основным недостатком методической системы изучения ма-
тематики, предложенной Гурьевым, Рахманов не без основания
считал его отказ от использования в геометрии чисел, изучение
ее прежде арифметики. Это искажает естественные представ-
ления ребенка о мире математики, искусственно разъединяя ос-
новные понятия математики — число и геометрическую фигуру.
В результате из геометрии искусственно исключается проблема
измерения: в предложенном Гурьевым курсе оснований геомет-
рии не идет речь об измерении углов, вычислении площадей и
объемов, т. е. одна из основных целей геометрии, присущая ей
даже генетически**, не достигается. Получается, что «сочини-
тель в своей геометрии все сказал о равенстве фигур, кроме того,
для чего обыкновенно сие говорится» [341, с. 37].
Сам Гурьев в ответ на критику Рахманова не всту-
пил в дискуссию. Полемику в той или иной степени про-
должили его единомышленники и ученики В. И. Висковатов и
Н. М. Архангельский. Василий Иванович Висковатов*** был
единомышленником Гурьева, скорее, в разработке проблем диф-
ференциального исчисления и механики [124, с. 52-54]. Вопро-
сами школьного математического образования он не занимал-
ся. Однако критика Рахмановым методических воззрений Гурь-
ева, по-видимому, послужила причиной того, что в 1812 г. в
«Санкт-Петербургском вестнике» появляется (несколько запоз-
далый) отрицательный отзыв на одну из работ Рахманова****.
Н. М. Архангельский, впоследствии ставший профессором Харь-
ковского университета, находясь при Гурьеве, как мы сейчас ска-
* См. подробнее: [341, с. 37].
** Напомним, геометрия исторически возникла как наука об изме-
рениях.
*** В. И. Висковатов (1780-1812) — математик и механик, член Пе-
тербургской АН (1807), преподаватель Артиллерийского и Инженер-
ного корпусов и Института инженеров путей сообщения.
**** См. подробнее: [341, с. 37].
234 II- XIX — начало XX в
зали бы, для «повышения квалификации», анонимно печатает в
1813 г. брошюру с защитой взглядов своего учителя, в том числе
на изучение математики*. Продолжения дискуссии не последо-
вало: Висковатов скончался в 1812 г., Гурьев и Рахманов — в
1813г.
Методические идеи С. Е. Гурьева, особенно его критика ан-
типедагогического, по его мнению, характера метода Евкли-
да изложения геометрии, нашли своих сторонников и позже. В
1846 г. не без влияния Гурьева учитель математики 1-й Москов-
ской гимназии Н. В. Соколов опубликовал «Решение геометри-
ческих вопросов геврестическим методом», в котором продолжил
эту критику: «Евклид деспотически заставил всех читающих его
«Начала» рассуждать, не развлекаясь ничем посторонним. А та-
кой каприз великого писателя произвел, к сожалению, то, что он
остался при малом числе читателей» [с. 155]. Еще более резкая
критика метода Евклида содержится в работах русских препо-
давателей математики второй половины XIX в **.
Д.М. Перевошиков***, популярнейший профессор Москов-
ского университета, автор многочисленных научно-популярных
изданий и учебников математики****, использовал «три нача-
ла» (напоминаем, что под тремя началами Гурьев понимал пра-
вило наложения, теорию пропорциональных величин и учение о
пределах) и теорию пределов Гурьева в созданном им учебнике
«Основания геометрии» (М., 1826)*****. В отличие от Гурьева
он применял иррациональные числа.
Сделаем некоторые выводы относительно методического
творчества С. Е. Гурьева.
* Брошюра называлась «Рассмотрение примечаний на Основания
геометрии, сочиненные г. Гурьевым, помещенные в Военном журна-
ле» (СПб., 1813).
** Например, в книгах К. Мазинга, В. Беренса [23].
*** См. статью в ч. III настоящей книги.
**** Среди них наиболее широкое распространение получило учебное
и справочное пособие «Ручная математическая энциклопедия» (М.,
1826-1837) в 13 т., написанная живо и легко. Первые четыре тома
издания были посвящены элементарной математике и изданы в виде
«Курса чистой математики для гимназий». Пособие считалось одним
из лучших учебников математики для гимназий.
***** Например, в книгах К. Мазинга, В. Беренса [23].
1. I четверть XIX в.235
1. Его взгляды на роль числа в школьном курсе математики
оказались устаревшими: он игнорировал не только иррациональ-
ные, но даже отрицательные числа; изгнал число из геометрии,
практически лишив ее одной из основных линий — линии гео-
метрических величин.
2. Идея Гурьева о приоритетном изучении геометрии в
ущерб арифметике оказалась несостоятельной.
3. Несостоятельна и его идея о преимуществе изучения гео-
метрии, «соображенной с предметами», по сравнению с изложе-
нием ее, «соображенной с началами».
4. Чрезмерная, к тому же ненужная, педантичность в во-
просах разведения понятий «величина» и «число» привела к
громоздкости и тяжеловесности учебников Гурьева.
5. Изложение арифметики на основе геометрической теории
отношений оказалось недоступным и далее в школьном обучении
не использовалось.
6. Несмотря на то, что дальнейшее развитие школьного ма-
тематического образования показало, что многие методические
новации Гурьева не прошли испытания временем, роль его ме-
тодического творчества трудно переоценить:
- до него методические проблемы в отечественной учебной ли-
тературе не выделялись в качестве самостоятельного пред-
мета исследования, методические концепции чаще даже не
осознавались их авторами как таковые;
- он сумел поставить проблемы математического образования
в центр интересов ведущих математиков своего поколения;
- он создал первую в Европе математико-методическую книгу
«Опыт о усовершении элементов геометрии»;
- он создал и впервые в европейской математической культу-
ре методически обосновал цельную методическую систему
изучения геометрии (несмотря на ее недостаточную эффек-
тивность, это важно как факт);
- его идея концентрического изучения математики прошла ис-
пытания временем и во многом используется и сейчас;
- он впервые сформулировал проблему учета в обучении ма-
тематике особенностей мыслительной деятельности обучае-
мых;
236 II. XIX — начало XX в
- наконец, он впервые методически обосновал разделение ма-
тематического образования на три ступени — начальную,
среднюю и высшую; обозначил математическое содержание
каждой ступени и реализовал это разделение в практике ор-
ганизации математического образования в Морском кадет-
ском корпусе.
Этот опыт оказался хорошим заделом для перехода всей сис-
темы отечественного математического образования на новую ка-
чественную ступень, основная характеристика которой — его
разделение на начальное, среднее и высшее математическое об-
разование.
Вернемся к указанным нами условиям, при наличии кото-
рых науку можно считать таковой. На рубеже XVIII-XIX вв.
методика математики становится наукой. «Опыт о усовершении
геометрии» С.Е. Гурьева — самая ранняя отечественная мето-
дическая публикация, в которой методика преподавания матема-
тики сделала первые шаги в направлении от практического к те-
оретическому уровню. Гурьев по праву может считаться ее пер-
вым фигурантом, Комитет по разработке курса морских учеб-
ных заведений в какой-то мере может играть роль официально-
го института функционирования методики преподавания мате-
матики как науки, а научно-методической школе С. Е. Гурьева
можно придать статус неформального института ее функциони-
рования.
Результаты методической деятельности С. Е. Гурьева убе-
дительно свидетельствуют о том, что методика математи-
ки является наукой экспериментальной. Многие теоретико-
методические построения Гурьева не нашли подтверждения в
практике и преданы забвению. Другие же его методические идеи
вошли в широкую практику и реализуются и сейчас.
7. I четверть XIX в.237
1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
в I четверти XIX века
1.2.1. Математическое образование
в период образовательных реформ
начала XIX века
Общая характеристика образовательных реформ на-
чала XIX в. В начале XIX в. идея ценности образования не под-
вергалась сомнению в передовых кругах российского общества.
Александр I (1801-1825), который с младых лет готовился Ека-
териной Великой к управлению государством, был достаточно
образованным человеком и отличался, особенно в начале сво-
его царствования, либеральными взглядами. Он считал своей
задачей «даровать стране свободу и тем не допустить ее сде-
латься в будущем игрушкой в руках каких-либо безумцев» [149,
с. 23]. Будучи приверженцем образвательных идей французских
просветителей, он считал образование важнейшим ресурсом ре-
формирования страны и осознавал необходимость вложения в
него значительных сил и средств.
Именно поэтому отечественные государственные реформы
начала века, связанные с именем М.М. Сперанского*, сущест-
веннейшим образом коснулись образовательной сферы. В рам-
ках этих реформ в 1802 г. для централизации государствен-
ного аппарата вместо коллегий, созданных еще Петром I, уч-
реждаются министерства. В их числе и «Министерство народ-
ного просвещения, воспитания юношества и распространения
* Михаил Михайлович Сперанский (1772-1839) — государствен-
ный и политический деятель, автор общего плана государственных
преобразований в начале царствования Александра I — имел са-
мое непосредственное отношение к математическому образованию: с
1791 г. он преподавал в Александро-Невской духовной семинарии ма-
тематику, физику, красноречие, философию [138, с. 38]. В общем плане
реформ была представлена единая система государственного образо-
вания, носившая ярко выраженные либеральные черты. В 1812 г. Спе-
ранский был отстранен от обязанностей госсекретаря, в связи с чем
его реформы, в том числе образовательные, были приостановлены.
238 II. XIX — начало XX в у
наук»*, основной целью которого было единое руководство сис-
темой образования. Министерством разработана и реализовала
новая система управления народным образованием. В соответ-
ствии с ней в России были созданы шесть учебных округов —
Петербургский, Московский, Белорусско-Литовский, Дерптский,
Казанский, Харьковский. Во главе учебных округов поставлены
университеты (ученые коллегии и попечитель), которые подчи-
нялись министерству и созданному при нем совету попечителей.
В трех округах университеты уже существовали (Московском,
Виленском и Дерптском). В трех остальных их предстояло еще
учредить, «что считалось одною из главных задач попечителей
этих округов» [34, с. 384]. Уже в 1804 г. были основаны универ-
ситеты в Казани и в Харькове. В Петербурге в том же году был
учрежден Педагогический институт, преобразованный в универ-
ситет лишь в 1819 г.
При министерстве народного просвещения было создано
Главное правление училищ. В соответствии с подготовленным
им. указом 1803 г. «для нравственного образования граждан, со-
ответственно обязанностям и пользам каждого состояния, опре-
деляются четыре рода училищ, а именно: 1) приходские; 2) уезд-
ные; 3) губернские, или гимназии; 4) университеты» [342, с. 15].
Таким образом, под патронажем университетов оказались
три типа школ: приходская (одно училище на два прихода, один
год обучения), уездная (в каждом городе, два года) и гимназия
(в губернском городе, четыре года). Главной особенностью этой
системы образования, как считает Ю.М. Колягин, «было обес-
печение единства и преемственности» [79, с. 37]. Приходские учи-
лища были призваны готовить детей к поступлению в уездные,
предоставляя «детям земледельческих и других состояний све-
дения, им приличные». Уездные училища готовили учащихся
в гимназии и открывали «детям различного состояния необхо-
димые познания, сообразные состоянию их и промышленности»
[149, с. 24]. Гимназии являлись преемницами уездных училищ
и готовили учащихся к поступлению в университет. «Каждая
* Первым министром народного просвещения был назначен граф
Петр Васильевич Завадовский (1739-1812), один из инициаторов от-
крытия многих высших учебных заведений страны [138, с. 181]. Он
был сторонником национальных основ российского образования: бу-
дучи министром, он пишет царю письмо, в котором «предсказывает
большую беду российскому обществу, ибо семейным воспитанием и
обучением занимаются иноземные учителя» [138, с. 13].
1, I четверть XIX в.___________:_____________________239
школа начинает с того, чем кончила предыдущая; таким обра-
зом обеспечен прямой переход из одной школы в другую» [191,
с. 40].
На первой ступени обучения изучались закон Божий, чте-
ние, письмо, арифметика; на второй добавлялись геометрия, гео-
графия, история, начала физики, начала естественной истории;
на третьей уже отсутствовало изучение русского языка и зако-
на Божьего и вместо них вводились логика, психология, этика,
эстетика, естественное и народное право и политическая эконо-
мия.
В 1804 г. был принят Устав учебных заведений, подведомст-
венных университетам, и Устав самих университетов, который
закрепляет их ведущую научно-методическую роль в учебных
округах. Устав декларировал школу всех типов бессословной.
Университетскому образованию министерство просвещения
уделяло особое внимание. В 1803 г. был установлен «образова-
тельный ценз для государственных чиновников, исполнение обя-
занностей которых требовало специальных знаний» [127, с. 8], а
в 1809 г. для них ввели экзамены на чин*. Именно университеты
готовили чиновников государственного аппарата и преподава-
телей для создающейся сети учебных заведений. Либеральные
веяния эпохи проявились в том, что Устав университетов пред-
полагал многие ранее немыслимые свободы: провозглашались
права самоуправления, в том числе автономия, выборность рек-
торов и деканов; организация и контроль преподавания возла-
гались на совет, куда входили профессора университета; совету
же поручалась цензура печатных произведений. Как говорится
в знаменитом энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона,
«очень скоро, однако, все добрые намерения устава 1804 г. ока-
зались иллюзией» [34, с. 384]: со временем эти права и свободы
урезывались и ограничивались. Как, впрочем, и бесплатность и
бессословность образования, провозглашенные в начале царст-
вования Александра I.
Вкратце охарактеризуем оценку образовательных реформ
начала XIX в. общественностью. В основном либеральный ее ха-
рактер был горячо поддержан формировавшимся тогда слоем
передовой русской интеллигенции, которая откликнулась на нее
* По закону, изданному под влиянием ММСперанского, для чинов-
ников, желающих получить должность 8-го класса, устанавливался
особый экзамен. Для подготовки к нему при университете должны
были читаться специальные лекции для чиновников.
240 IL XIX — начало XX в /
рядом литературных начинаний, организацией публичных лек-
ций и т. п. Публичные лекции, читавшиеся в то время при Мос-
ковском университете, собирали обширную и разносословную Ау-
диторию, стремившуюся к научным знаниям. Н. И. Карамзин
характеризовал эту аудиторию следующим образом: любитель
просвещения «с душевным удовольствием видит там знатных
московских дам, благородных молодых людей, духовных, куп-
цов, студентов Заиконоспасской академии и людей всякого зва-
ния». Естественно, высказывались и прямо противоположные
точки зрения. Так, достаточно известный в то время публи-
цист И. П. Пнин открыто заявляет, что для монархической Рос-
сии «неравенство состояний служит подпорой и потому должно
поддерживаться» [236, с. 37].
Подробнее охарактеризуем содержание Устава гимназий
1804 г. Перечень предметов и количество выделяемых на них
учебных часов для гимназий определяется в Уставе 1804 г. «та-
белью уроков» [191, с. 40-41], представленной в табл. 3.
Таблица 3
Предметы Классы
I II III IV
Математика чистая и прикладная
и опытная физика 6 6 6 -
История и география 6 6 - -
Статистика - - 4 2
Логика и грамматика 4 - - -
Психология и нравоучение - 4 - -
Эстетика и риторика - - 4 -
Право естественное и народное - - — 4
Политическая экономия — — — 4
Естественная история - - 4 4
Технология — — — 4
Наука о торговле — — — 4
Латинский язык 6 в 4 —
Французский язык 4 4 4 4
Немецкий язык 4 4 4 4
Итого 30 30 30 30
2. I четверть XIX в.2^1
Как видно из таблицы, математические дисциплины — ма-
тематика с опытной физикой и статистика — занимают очень
достойное место среди учебных предметов, превышая подавляю-
щее их большинство по объему часов и количеству лет обучения.
Это позволяет считать, по мнению авторов одной из первых
методических книг, в которой этюдно изложена история мате-
матического образования в России, что «в области педагогики
математики Россия сказала некогда первое слово, — и теперь,
100 лет спустя, эхо его приходит в Россию обратно из-за грани-
цы» [191, с. 40].
Кроме указанных в таблице учебных предметов, в гимназии
по средам и субботам проходили уроки рисования.
В гимназии не было уроков по закону Божьему и русскому
языку. Лишь по указу 1811г. преподавателям было предписа-
но ввести дополнительные занятия по религии и экзамены по
закону Божьему проводить в присутствии специально пригла-
шенных духовных лиц.
Расписание занятий по дням недели было таким [191, с. 41]:
понедельник .................с 8 до 12 и с 14 до 16 ч.
вторник......................с 8 до 12 и с 14 до 16 ч.
среда .......................с 8 до 11ч.
четверг .....................с 8 до 12 и с 14 до 16 ч.
пятница .....................с 8 до 12 и с 14 до 16 ч.
суббота .....................с 8 до 11ч.
В уставе следующим образом формулируется двуединая
цель гимназий: «§4. Учреждение гимназий имеет двоякую цель:
1) приготовление к университетским наукам юношества, кото-
рое по склонности к оным, или по званию своему, требующему
дальнейших познаний, пожелает усовершенстововать себя в уни-
верситетах; 2) преподавание наук, хотя начальных, но полных в
рассуждении предметов учения, тем, кои, не имея намерения про-
должать оные в университетах, пожелают приобрести сведения,
необходимые для благовоспитанного человека» [191, с. 41].
Определен в §6 Устава и состав преподавателей: каждая
гимназия имеет восемь учителей; один учитель преподает чис-
тую и прикладную математику и опытную физику; другой —
историю, географию и статистику; третий — философию, изящ-
ные науки и политическую экономию; четвертый — естествен-
ную историю, основания наук, относящихся к торговле и техно-
логии; пятый обучает латинскому языку; шестой — немецкому,
седьмой — французскому, восьмой — рисованию [191, с. 40-41].
2^2 II. XIX — начало XX в
Интересно, что, как и в XVIII в., должность учителя и кла/с
государственного чиновника, который ему присваивался, диффе-
ренцировались по степени важности преподаваемого предмет^*.
Определено в Уставе материальное обеспечение и оборудо-
вание гимназий: «§31. Сверх того в каждой гимназии должны
быть: 1) библиотека, избранная из разных известнейших класси-
ческих авторов и лучших ученых творений иностранных и рос-
сийских, наипаче относящихся до учебных предметов, препода-
ваемых в гимназии; 2) собрание географических карт, глобусов
и армилярных сфер с небольшим атласом древней географии;
3) собрание естественных вещей из всех трех царств природы,
потребных к изъяснению и наглядному познанию естественной
истории, особливо-ж всех естественных произведений той губер-
нии, в коей гимназия находится; 4) собрание чертежей и моделей
машин, наиболее употребляемых к изъяснению механики и дру-
гих частей прикладной математики и технологии; 5) собрание
геометрических тел, геодезических орудий, астролябий, компа-
сов и прочее; 6) собрание орудий физических. Каждое из сих
собраний должно быть вверено надзиранию учителя той науки,
к объяснению которой они способствуют**».
Определены в гимназическом Уставе 1804 г. и обязанности
учителей. Первая из формулировок этой части Устава представ-
ляется чрезвычайно демократической: «§38. Учитель, всех при-
ходящих в класс учиться его предметам, должен обучать, не тре-
буя от них никакой платы за учение; при самом же учении не
должен пренебрегать детей бедных родителей, но всегда иметь
в памяти, что он приготовляет членов обществу» [191, с. 43].
Определяет Устав и стиль преподавания, отдельно выделяя
«малолетних детей»: «§40. Он должен стараться всеми силами,
дабы ученики преподаваемые им предметы понимали ясно и пра-
вильно; быть терпеливым и исправным, и полагаться больше на
свою прилежность и порядочныя правила, нежели на чрезмер-
ный труд учеников своих. Для малолетних детей он старается
сделать учение свое легким, приятным и более забавным, нежели
тягостным» [191, с. 43-44].
* Учитель рисования состоял в 12-м классе государственных чи-
новников, учителя языков — в 10-м классе и назывались младшими
учителями, учителя других наук состояли в 9-м классе государствен-
ных чиновников и назывались старшими учителями.
** Цит. по: [191, с. 43].
1, I четверть XIX в.243
Итак, в начале XIXв. образовательная политика высше-
го руководства Российской империи становится чрезвычайно
активной, традиции государственного патронажа образования
укрепляются. Это проявляется прежде всего в том, что пра-
вительство решило взять на себя содержание университетов,
губернских гимназий и уездных училищ; «на долю общества
остались расходы на начальные приходские училища (город-
ские и сельские); правда, никакого обязательства по их от-
крытию на общество не возлагалось» [138, с. 36]. Глобальная
образовательная система Российской империи подвергнута ко-
ренной реконструкции, в результате которой: 1) ей приданы
черты единообразия; 2) обеспечено наиболее квалифицирован-
ное научно-методическое руководство со стороны университе-
тов*; 3) законодательно закреплено разделение образования на
начальное (приходские и уездные училища), среднее (гимназии)
и высшее (университеты). Сами по себе образовательные рефор-
мы носили чрезвычайно прогрессивный характер. До сих пор в
английских учебниках сравнительной педагогики русская шко-
ла самого начала XIX в. называется «первой демократической
школой в Европе» [286, с. 69].
Реформы начала XIX в. в математическом образова-
нии России. 1804 год по праву считается годом рождения выс-
шего математического образования: согласно Уставу, универси-
теты учреждались в составе четырех факультетов — «нравст-
венных и политических, физических и математических, врачеб-
ных, или медицинских, и словесных наук» [127, с. 8]. Таким об-
разом, в университетах впервые были организованы самостоя-
тельные физико-математические факультеты. Содержание уни-
верситетского математического образования определялось мате-
матическими кафедрами, в качестве которых чаще всего функ-
ционировали кафедры чистой математики и прикладной мате-
матики. Чистая математика, которая читалась первые два года
обучения, включала повторительный курс арифметики, алгебры,
геометрии и тригонометрии, а также разделы высшей математи-
ки — аналитическую геометрию и высшую алгебру, дифферен-
циальное и интегральное исчисления, «а со временем и другие
* Это укрепило заложенные Эйлером традиции патронажа мате-
матики как науки над математическим образованием: ведущие мате-
матики страны работали в университетах, под патронажем которых
находилось среднее звено математического образования.
Щ IL XIX — начало XX в
собственно математические предметы» [127, с. 50]. Прикладная
математика изучалась на третьем году обучения и включала
механику, оптику, астрономию и др.
Математике по-прежнему уделялось большое внимание в
профессиональной образовательной системе, в которую входили
военные, морские, инженерные и другие специальные учебные
заведения. Программы по математике в них в этот период су-
щественно расширены и часто не уступают университетским.
Профессиональная образовательная система по-прежнему дает
первоклассное математическое образование.
Содержание математического образования на начальном и
среднем уровнях в это время таково: на первой ступени (при-
ходское училище) изучаются первые действия арифметики, на
второй (уездные училища) — арифметика, начальные сведения
из геометрии, на третьей (гимназии) вводятся чистая и приклад-
ная математика и опытная физика (18 часов в неделю или по б
недельных часов в первых трех классах), статистика (6 часов в
неделю или 2 недельных часа в 3-м и 4 — в 4-м классах) [149,
с. 24].
С начала XIX в. гимназия становится основным средним
учебным заведением России. Гимназии при С.-Петербургской
Академии наук, Московском университете и возникшие под па-
тронажем последней гимназии в губернских городах стали ос-
новой достаточно единообразного гимназического образования.
В соответствии с Уставом гимназий 1804 г. учебные планы и
программы по-прежнему отсутствуют. Общее содержание мате-
матики определяется Уставом. Кроме «арифметики и началь-
ной (прямолинейной) геометрии с плоской тригонометриею» по
Уставу 1804 г. следовало преподавать также «алгебру до урав-
нений третьей степени с приложением к геометрии и коническим
сечениям». Курсы чистой и прикладной математики содержали
кроме элементарной математики и некоторых разделов физики
элементы аналитической и начертательной геометрий, начала
дифференциального и интегрального исчислений.
Математику и физику в гимназии, как правило, преподавал
один учитель. В 1-м классе изучались части чистой математики:
алгебра, геометрия, плоская тригонометрия. Указывалось, что
следует вести алгебру наравне с геометрией, «дабы показать не-
обходимость и пользу оной в решении геометрических задач»
[51, с. 79]. Во 2-м классе заканчивалось изучение чистой мате-
матики и начиналось преподавание прикладной математики и
1. I четверть XIX в.245
опытной физики. В 3-м классе заканчивалось изучение приклад-
ной математики и опытной физики.
В Уставе давались и некоторые общие методические реко-
мендации. Так, в §28 говорится: «Дабы лучше соединить теорию
с практикою и дать ученикам ясное понятие о многих предме-
тах, которые проходили они в классах, учители, преподающие
математику, естественную историю и технологию, должны с бо-
лее успевшими из своих учеников ходить во время вакации за
город; сие послужит тем ученикам некоторого рода награжде-
нием. Учитель математики приобщает учеников к главнейшим
действиям практической геометрии...» [191, с. 42].
В 1803 г. для исправления старых учебников и составления
новых при Главном правлении училищ был организован осо-
бый комитет, в то время неофициальный, узаконенный только
в 1818 г. и названный Ученым комитетом министерства народ-
ного просвещения [250, с. 76]. Членом этого комитета по мате-
матическим наукам назначается академик Н. И. Фусс, который
более 20 лет (до 1826 г.) активно и самоотверженно решал проб-
лемы математического образования в рамках этого комитета.
В качестве руководства по математике для гимназий были
одобрены переведенные на русский язык в конце XVIII в. «На-
чальные основания математики» А. Кестнера, которые охваты-
вали все части математики, изучавшиеся в гимназиях. В 1805 г.
взамен этого учебного пособия был рекомендован «Курс мате-
матики» Т. Ф. Осиповского, подробную характеристику которо-
го мы представим далее. Он оставался основным руководством
для гимназий до 1812 г.
Следует признать, что и в начале XIX в. математическое
образование в российской гимназии по-прежнему страдало мно-
гопредметностью, содержательной неопределенностью. В даль-
нейшем мы сосредоточим свое внимание преимущественно на
истории среднего (гимназического, в меньшей мере — профес-
сионального) математического образования в России, обращаясь
к особенностям развития отечественного начального и высшего
математического образования лишь по мере необходимости.
Итак, в начале XIX в. математическое образование, одной
из характерных, черт которого в XVIII в. являлась его нерас-
члененность на возрастные и содержательные ступени, делится
на начальное, среднее и высшее. Залогом эффективности этой
фуркации математического образования является многообразие
образовательных парадигм XVIII в. Научно-методическая ее ос-
246 IL XIX — начало XX в
нова во многом обеспечена трудами первого официально при-
знанного отечественного методиста-математика С. Е. Гурьева.
Отечественное образование в постреформенный пе-
риод. Несмотря на прекрасные замыслы, результаты рефор-
мирования российской образовательной системы, сложившей-
ся к концу XVIII в., были достаточно скромными. Сеть учи-
лищ развивалась крайне медленно. Так, за 10 лет (1803-1812)
было открыто всего лишь 178 приходских училищ. К началу
1809 г. насчитывалось только 126 уездных училищ на 533 го-
рода [149, с. 24]. Министром народного просвещения с 1810 по
1816 г. являлся граф Алексей Кириллович Разумовский, полу-
чивший блестящее европейское образование и с 1807 г. бывший
попечителем Московского учебного округа. Он расширил сеть
начальных школ, запретил телесные наказания. Один из самых
замечательных его проектов — создание знаменитого Царско-
сельского лицея, воспитавшего крупнейших мыслителей и госу-
дарственных деятелей «золотого века» истории нашей страны.
Либеральные образовательные идеи начала века сменяют-
ся периодом сомнений и даже отката назад. Ярким проявлени-
ем такого отката является деятельность молодого попечителя
Петербургского учебного округа С. С. Уварова*, впоследствии
министра народного просвещения России. В 1811г. он пред-
ставил проект нового гимназического Устава, так называемый
«Уваровский план». По мнению В. Мрочека и Ф. Филипповича,
«устав Уварова — это устав прусский. В нем самобытна лишь
знаменитая Уваровская троица «православие, самодержавие, на-
родность»» [191, с. 45]. Эксперимент по внедрению этого про-
екта был проведен только в одной петербургской гимназии. Из
учебного плана в соответствии с ним исключались политичес-
кая экономия и другие экономические науки, эстетика, право.
Естественные науки существенно урезались, из математики ис-
ключались начала дифференциального и интегрального исчисле-
ния. Взамен вводились греческий язык**, закон Божий и другие
дисциплины*** (о судьбе «Уваровского плана» см. ниже).
* С. С. Уваров стал попечителем петербургского учебного округа
в 24 года
** Стремление к древним языкам во многом объясняется личными
интересами Уварова, специалиста в области греко-римской истории
и филологии
*** См.: [149, с. 24-25].
1. I четверть XIX в.2^7
Эффективность образовательных реформ впрямую зависе-
ла от политики государства в очень сложных международ-
ных условиях того времени. Начиная с 1805 г. усиливается
противостояние России и Франции. Александр I отстраняет
М. М. Сперанского от обязанностей государственного секрета-
ря и отправляет его в ссылку, тем самым приостановив все его
реформы, в том числе образовательные*.
Отечественная война 1812 г. существенно повлияла на внут-
реннюю ситуацию в стране. С одной стороны, она активизирова-
ла патриотические настроения в обществе, заставила передовые
его слои задуматься о национальном самосознании и националь-
ном самоопределении, показала мощь русского народа, с особой
силой проявляющуюся в годы испытаний. С другой стороны,
вместе с русской армией, прошедшей всю Европу освободитель-
ным походом, в Россию с новой силой проникают идеи и реалии
Запада. Но если в начале царствования Александр I готов был не
только поддержать их, но и воплотить в жизнь, то с возрастом
взгляды его претерпевают существенные изменения, становятся
все более консервативными. Он приближает ко двору генерала
А. А. Аракчеева, о котором мы уже упоминали как об ученике и
в какой-то мере покровителе С. Е. Гурьева. Аракчеев де-факто
правит империей, сосредоточив в своих руках огромную власть
и распространяя на всю страну военную дисциплину.
Образование Священного союза в 1816 г. во многом было на-
правлено на решение задачи борьбы с развитием либеральных
идей. Влияние Союза на школу «оказалось решительным и ро-
ковым» [191, с. 35]. Внутренняя политика его членов, особенно
образовательная, ужесточается.
В Германии, в которой в 1809-1810 гг. на широких демокра-
тических началах был разработан новый учебный план, в основу
которого были положены так называемые новогуманистические
идеи, воплощенные в трудах Вольфа, Гумбольдта, Шлегеля и
* Основной причиной этой отставки были прозападные, даже
профранцузские взгляды Сперанского, которые проявились достаточ-
но давно. В связи с этим у него и у его реформ было много проти-
вников. так, Н. М. Карамзин, придворный историк Александра I, ад-
ресовал государю пространную записку «О древней и новой России»,
в которой доказывал вредность реформ Сперанского. Они, по мнению
Карамзина, легко и необдуманно уничтожали старые порядки и столь
же легко и необдуманно вводили в русскую жизнь неадаптированные
к ее специфике французские новации.
248 II. XIX — начало XX в
Зифферна. Однако введен в действие он был только в 1816 г. и
его ново-гуманистическое содержание существенно выхолащи-
вается. В 1819 г. доходит до того, что руководство двумя депар-
таментами — полиции и народного просвещения — поручает-
ся некоему фон Камптцу, автору «Кодекса жандармерии». Идеи
строгой дисциплины начинают доминировать в прусской школе.
Приведем для примера выдержки из инструкций министерства:
«Обстоятельства времени более, чем когда-либо, заставляют до-
рожить введением в школы строгой дисциплины, дабы подрас-
тающее поколение не заражалось духом разнузданной свободы и
дерзости и с младых лет приучалось к покорности и повинове-
нию закону». Основная задача школы при этом — «развивать в
питомцах чувство преданности, верности и покорности госуда-
рю и государству». В связи с этим предписывалось «строжайше
следить за преподавателями и < ... > немедленно доносить о
замеченных признаках неблагонадежности не только министер-
ству народного просвещения, но одновременно и высшей мест-
ной полицейской власти»*. Средствами для давления служили
так называемые кондуитные листы: классные наставники вели
их относительно учеников, директора — относительно учителей,
окружные инспекторы — относительно директоров.
Во Франции во времена Священного союза в области обра-
зования принята программа Жозефа де Местра, фанатичного
приверженца церковного абсолютизма и строгого порядка.
Эти идеи нашли сочувствие у Александра!. В 1817г. им
учреждается объединенное «Министерство духовных дел и на-
родного просвещения», название которого говорит само за себя.
Главой этого министерства назначается друг детства Александ-
ра I князь Александр Николаевич Голицын — «реакционер и
мистик, председатель всероссийского библейского общества» [17,
с. 38], который объявил «христианское благочестие основанием
истинного просвещения». Он остался в истории отечественного
образования учредителем трех новых духовных академий, орга-
низатором чисток Петербургского и Казанского университетов и
жесткой цензуры [138, с. 181] во всей системе образования**. Так,
* Цит. по: [191, с. 36-37].
** Несмотря на это он был обвинен в либерализме, попытках нис-
провержения православной церкви и в 1824 г. смещен. На смену ему
был назначен 70-летний адмирал Александр Семенович Шишков, яв-
лявшийся приверженцем сугубо сословного образования [149, с. 25].
1. I четверть XIX в.249
для цензуры учебников в 1818 г. создается специальный ученый
комитет в качестве составной части Главного правления учи-
лищ. По представлению Голицына и с одобрения Александра 1
были сменены попечители учебных округов.
Начинаются и прямые преследования по политическим и ми-
ровоззренческим мотивам. В этот период из университетов в
Харькове, Казани, Петербурге были изгнаны либерально мыс-
лящие преподаватели и заменены более лояльными, но чаще
всего недостаточно квалифицированными педагогами. Так, в
1820 г. должности ректора Харьковского университета лишает-
ся «выдающийся по своей эрудиции и педагогическому дарова-
нию» [339, с. 222] профессор математики Т. Ф. Осиповский. Он
был уволен по рекомендации попечителя Харьковского учебного
округа 3. Я. Карнеева*, вследствие доноса профессора филосо-
фии Дудровича**, обвинившего Осиповского в том, что он «пуб-
лично в заседании училищного совета называл министра ду-
ховных дел и народного просвещения «невеждою, не читавшим
ничего другого, кроме библии»» [323, с. 484], а также пропове-
довал атеистические взгляды***. Как считает А. П. Юшкевич,
Осиповский превосходно поставил преподавание математики в
Харьковском университета, «но после его увольнения в 1820 г.
уровень преподавания несколько понизился...» [339, с. 223].
Особенно известен в этом отношении был попечитель Ка-
занского учебного округа М.Л. Магницкий, по меткому выра-
жению А. П. Юшкевича, «недостойный потомок автора «Ариф-
метики»» [329, с. 218]. В истории Казанского университета, на-
* Ряд авторов причисляют его наряду с М.Л. Магницким и
Д. П. Руничем к ярко выраженным реакционерам, проводившим в
жизнь установки нового объединенного министерства. См., например,
[251, с. 184; 149, с. 25]
** Донос начинается с общей характеристики мировоззрения Оси-
повского: «Ваше превосходительство, извольте знать образ мыслей г.
ректора совершенно противным началам веры и Святого писания»
(см.: [279, с. 18].). В качестве доказательства дальше описывается та-
кой факт: «Он (Осиповский) при публичном испытании студентов из
философии < ... > из злобы против внушаемого мною юношеству
благочестия, не устыдился громко утверждать, что Бог не живет»
(см. подробнее: [323, с. 484]).
*** Подробнее о мировоззрении Т. Ф. Осиповского см.: [251, с. 174-
177; 17, с. 28-41].
250 IL XIX — начало XX в
писанной Н.П. Загоскиным, так характеризуется его деятель-
ность: «Магницкий быстро свел счеты с личным составом уни-
верситета, разогнав часть профессоров, терроризировав остав-
ленных им на службе и пополнив его своими креатурами. Он
совершенно подчинил себе совет университета, сделав его по-
корным и бессловесным орудием своей воли и своих обновитель-
ных измышлений» [116, с. 390]. Эти «обновительные измышле-
ния» касались направления и общей постановки здесь препо-
давания, куда «направилась преобразовательная деятельность
Магницкого, с полной справедливостью заслуживающая позор-
ное название — гонения на науку» [116, с. 390]. Магницкий по
незначительному поводу завел дело «о неблагопристойностях
и противностях», приписываемых Н. И. Лобачевскому. Он да-
же предлагал в 1819 г. закрыть подчиненный ему университет
за вольнодумство, на что правительство все же не решилось.
Такая атмосфера не могла не сказаться на гимназическом
образовании и народном просвещении вообще. На него стало вы-
деляться очень мало средств, не хватало учителей, в том числе
учителей математики. В 1817 г. была введена плата за обуче-
ние в учебных заведениях Петербургского округа, а с 1819 г.
— стала вводиться и в других округах [34, с. 385]. В этом же
1819 г. «Уваровский план» был распространен на все гимназии.
Средняя школа России становится классической и узко сослов-
ной*. Сословность образования этого периода ярко подтвержда-
ется примером Устава учебных заведений Дерптского округа,
принятого в 1821г. В соответствии с ним народные училища
должны давать знания, составляющие «полный круг школьно-
го образования для беднейшего сословия граждан»; уездные же
училища должны иметь целью только «образование граждан,
посвящающих себя ремеслам или промышленности», поэтому
способ учения в них не должен «переходить в ученость, кото-
рая не соответствовала бы будущему занятию гражданина»**.
Сословность образования усиливается при явной поддержке пра-
вительства: оно «стало открывать «благородные пансионы» не
только при гимназиях, но даже и при университетах» [34, с. 385].
* Напомним, что «Уваровский план» предполагал введение гре-
ческого языка и закона Божьего за счет естественно-математического
цикла и наук «философских и общественных» [34, с. 385].
** Выдержки из Устава Дерптского учебного округа. Цит. по: [342,
с. 15].
1. I четверть XIX в.251
В гимназиях вводится семилетний курс обучения за счет
присоединения к ним трех низших классов, «чем устраняется
необходимость предварительного прохождения курса в приход-
ском и уездном училищах» [34, с. 385]. Этим практически уни-
чтожается преемственность учебных заведений, что было одним
из несомненных достижений образовательных реформ в России
начала XIX в.
В приходских и частично уездных училищах вводится так
называемый способ взаимного обучения, или ланкастерский ме-
тод, который создан в Англии, куда на стажировку отправ-
ляются выпускники педагогического института, в том числе
Ф. И. Буссе, о деятельности и учебниках которого мы расскажем
в дальнейшем. Введение этого метода обусловлено не столько ме-
тодическими, сколько материальными причинами, так как один
учитель одновременно мог обеспечить обучение до восьми групп
учеников. В школах по способу взаимного обучения классы дели-
лись на группы, каждая из которых поручалась отдельным луч-
шим ученикам — «авдиторам». Они осваивали урок при помо-
щи учителя и должны были передать свои знания более слабым
ученикам. При таком способе обучения все делалось по команде,
чем стремились достичь строгого однообразия и порядка. Этот
способ усиленно насаждался С. С. Уваровым, большим привер-
женцем его был Н. И. Лобачевский. Многие русские педагоги-
математики относились к нему резко отрицательно, например
П. С. Гурьев.
В 1820 г. при Главном правлении училищ был образован ко-
митет для устройства училищ взаимного обучения, в который
вошли такие знаковые фигуры, как Магницкий, Рунич, Ува-
ров*, но в 1822 г. организация школ взаимного обучения была
прекращена. Причина, по-видимому, состоит в том, что в них
был усмотрен республиканский дух.
В делах попечителя Казанского учебного округа М. Л. Маг-
ницкого сохранилось донесение, автор которого пишет: «В оных
равными всегда управляют равные», что «утверждает юношест-
во в привычках республиканских». В конце донесения сохрани-
лась приписка Магницкого: «Давно и твердо уверен будучи, что
выдумка школ взаимного обучения... никуда не годная и даже
вредная... я старался в прежнем порядке только останавливать
* См.: [261, с. 134].
252 II. XIX — начало XX в
и препинать ход сего дела... ныне же приемлю смелость пред-
ставить, что необходимо нужно все школы взаимного обучения
закрыть»» [193, с. 96]. К такого рода школам вернулись только
в новом Уставе школ 1828 г.
Статистические данные по народному образованию к концу
царствования Александра I таковы: в шести учебных округах
функционировало 48 гимназий с 5 491 учеником и 337 уездных
училищ с 29 479 учениками*. Гимназии были небольшими: сред-
нее число учащихся в каждой из них обычно не превышало ста
человек**. В Петербургском округе число учащихся в гимназиях
во второй половине царствования Александра I даже уменьши-
лось.
Итак, начав с либеральной идеи о том, что «образование и
наука представляют собой великую военную, техническую и ад-
министративную силу» [342, с. 15], руководство страны к концу
царствования Александра I перешло к методам жесткого дав-
ления на все сферы общественной жизни, в том числе и обра-
зования, что не могло не привести к возникновению духовной
оппозиции в стране и вскоре вылилось в одно из самых тра-
гических событий в истории России — восстание декабристов
1825 г.
Математическое образование к этому времени несколько
стабилизировалось. Разделение его на возрастные и содержа-
тельные ступени упрочилось. Учебная литература регулярно об-
новлялась, ориентируясь, теперь уже окончательно, на отечест-
венных авторов. С 1805 г. в качестве основного руководства по
математике для гимназий был рекомендован «Курс математи-
ки» Т.Ф. Осиповского. В 1814 г. его сменили «Начальные осно-
вания чистой математики» члена ученого комитета Министерст-
ва народного просвещения со времени его основания Н. И. Фусса.
К характеристике этих учебников мы и перейдем.
* К этому следует прибавить шесть учебных заведений с 1 308 уче-
никами, занимавших промежуточное положение между гимназиями и
университетами: так называемое Петербургское «высшее училище»
для «благородных», уравненное в правах с университетом; «Ярослав-
ское демидовское высших наук училище», или Ярославский лицей,
Кременецкий лицей, нежинская «Гимназия высших наук», коммер-
ческое училище в Таганроге, одесский «Ришельевский лицей», [193,
с. 385].
** См. подробнее: [193, с. 385].
1. I четверть XIX в.253
1.2.2. Учебники математики
I четверти XIX века
В первой четверти XIX в. в качестве руководств для гим-
назии были рекомендованы всего три учебника [248, с. 7]: «На-
чальные основания математики» А. Г. Кестнера, «Курс чистой
математики» Т. Ф. Осиповского и «Начальные основания чистой
математики» Н.И. Фусса.
Учебник Кестнера был переведен с немецкого и издан (1792)
для главных народных училищ. Он состоял из двух частей: пер-
вая содержала арифметику и алгебру (235 с.); вторая — гео-
метрию, тригонометрию плоскую и сферическую, перспективу
и сечения конуса (430 с.). Для своего времени это был неплохой
учебник: современный по стилю изложения, содержащий все те
части чистой и прикладной математики, которые изучались в
гимназиях. Как заявлял автор в предисловии, он старался все
«выводить из несумнительных оснований посредством умство-
ваний». Образцом для него служил Евклид.
Однако арифметика в этом учебнике излагалась неполно,
ограничиваясь действиями над целыми числами и обыкновен-
ными дробями. Материал о десятичных дробях был отнесен к
алгебре. Не излагались в учебнике также признаки делимости,
нахождение НОД и НОК, что приводило к трудностям при при-
ведении дробей к общему знаменателю. Все эти недостатки, как
считает В. Е. Прудников [248, С. 7], объясняют то обстоятельст-
во, что «Начальные основания математики» служили в качестве
учебника для гимназий в течение только одного года.
«Курс математики» Т. Ф. Осиповского. Тимофей Фе-
дорович Осиповский — первый русский математик, получивший
специальное педагогическое образование. В 1783 г. он был зачис-
лен «для приготовления к учительским должностям в учреж-
давшуюся тогда в С.-Петербурге учительскую семинарию*»,
которую возглавил Янкович де Мириево. По окончании препо-
давал математику, физику и российскую словесность в Мос-
ковском главном народном училище, позже стал профессором
математики Петербургского педагогического института. Явля-
ется одним из основателей и ректором (1813-1820) Харьковско-
го университета. Осиповский сотрудничал с С. Е. Гурьевым в
комитете, разрабатывавшем курс морских учебных заведений.
* Автобиографическая записка Т. Ф. Осиповского [14, с. 523].
254 II. XIX — начало XX в
Осиповский так комментирует эту работу: «За всем тем уде-
лял я однакож несколько времени, чтобы быть в еженедельных
заседаниях высочайше учрежденного комитета для составления
морского курса наук, в которой я принят был членом, и зани-
маться по оному дома» [14, с. 529].
Будучи профессором Харьковского университета, Осипов-
ский уделял внимание развитию народного образования. Он
дважды «визитировал» школы Харьковского учебного окру-
га, и его доклады по этому поводу содержат ценный мате-
риал для анализа деятельности современной ему школы [251,
с. 182]. Пройдя все ступени деятельности преподавателя матема-
тики, будучи первоклассным лектором* и глубоким математи-
ком. Т. Ф. Осиповский создал капитальный «Курс математики».
В основе методических взглядов Осиповского лежит система
Янковича де Мириево. Вот некоторые выдержки из «Руковод-
ства учителям» Янковича: «Стараться более учители должны
об образовании и изощрении разума учеников, нежели о попол-
нении и упражнении памяти...», «Начинать при учении всегда
следует с легкого и идти потом к трудному...», «Ученики долж-
ны отвечать не «да» или «нет», но полною речью.. .»** Эти и
другие простые и ясные правила Осиповский положил в основу
своего преподавания и учитывал при разработке «Курса мате-
матики». Первый вариант он написал, еще работая в Москве.
Заняв в 1800 г. кафедру математики и физики Петербургской
учительской семинарии, он убедился в несоответствии новым ре-
алиям русских учебников математики и оперативно подготовил
новый вариант своего «Курса». В 1801 г. Комиссией об учреж-
дении училищ был опубликован второй том этой книги (337 с. и
11 таблиц чертежей), через год — первый том (358 с.) и значи-
тельно позже (1823***) — третий том (571 с.) [251, с. 179].
* Осиповский, по свидетельству одного из слушателей, был выда-
ющимся лектором и, весь проникнутый любовью к своему предмету
и к своей обязанности, умел «для учеников своих поэтизировать даже
дифференциальное и интегральное исчисления» [262].
** Цит. по: [251, с. 184].
*** В книге В. Е. Прудникова ошибочно указан 1820 г. Мы пользуем-
ся более точными, по нашему мнению, сведениями Э. Я. Бахмутской
[17, с. 49]. Она приводит выдержки из письма Осиповского от 25 мая
1822 г, в котором он выражает свое огорчение по поводу того, что
третий том «Курса математики» до сих пор не напечатан.
1. I четверть XIX в.255
Первые два тома содержали арифметику, алгебру, геомет-
рию и тригонометрию, т.е. практически были курсом элементар-
ной математики, хотя курс алгебры выходил за рамки элемен-
тарного изложения. Первое издание учебника Осиповского имело
такой успех, что достаточно быстро для того времени было рас-
продано (1809). Возникла необходимость в его переиздании, что
было сделано дважды — в 1814 и 1829 гг. Третий том посвящен
математическому анализу. К сожалению, напечатана лишь его
первая часть, вторая, посвященная приложениям математичес-
кого анализа к геометрии, так и не увидела света [17, с. 49].
По мнению одного из самых серьезных исследователей твор-
чества Осиповского Э.Я. Бахмутской, «Курс математики» Оси-
повского составлял обширный по материалу и связанный един-
ством и последовательностью изложения курс, по которому уча-
щийся мог получить полное университетское образование. Она
отмечает также, что во многих разделах «Курс математики»
даже превышает требования университетской программы [17,
с. 49]. Это было лучшее отечественное руководство, содержащее
систематически, полно и в то же время доступно изложенный
курс математики от начальных арифметических сведений до ос-
нов вариационного исчисления. Именно систематичность и до-
ступность «Курса математики» Осиповского сделали его наи-
более распространенным в первой четверти XIX в. учебником
математики, рекомендованным для гимназий и университетов.
Введение к первому тому Осиповский начинает с опреде-
ления математики как науки о величинах. «Все то, что может
быть подвергнуто измерению, называется величиною, и наука
о величинах называется математикой» [202, с. 1]. При этом он
подчеркивает, что «величина и количество (число) суть вещи
однозначные»*. Как считает Осиповский, многообразие различ-
ных видов величин обусловило существование различных частей
математики.
Первый том содержал «частную и общую арифметику», т. е.
в привычной нам терминологии собственно арифметику и алгеб-
ру. Первая часть первого тома представляла собой собственно
арифметику, называлась «Частная арифметика», состояла из 66
страниц, излагалась просто и кратко в следующей последова-
тельности: 1. Об изображении чисел и четырех первых действий
с целыми числами. 2. О дробях. 3. О разных мерах и их частях,
* Такое представление абсолютно не совпадает с подробно изло-
женной нами ранее точкой зрения С. Е. Гурьева.
256 II. XIX — начало XX в
употребляемых в общежитии, и их вычисление. 4. О десятерич-
ных дробях. 5. О непрерывных дробях. Здесь рассматриваются
правила действий над натуральными числами, обыкновенными
и десятичными дробями, которые не объясняются, а показыва-
ются Законы арифметических действий не формулируются. До-
статочное внимание уделено в учебнике признакам делимости.
Большое значение придается арифметическим задачам, предла-
гаются различные методы их решения. Тут же приведен пере-
чень употребляемых в России мер, правила перехода от более
мелких мер к более крупным и наоборот.
В конце первой части вводится понятие о непрерывных дро-
бях, указано применение их для приближенного изображения
несократимой дроби. В качестве примера приводится прибли-
женное представление числа тг сначала в виде обыкновенной не-
сократимой дроби, а потом в виде непрерывной дроби.
Вторая часть первого тома называется «Всеобщая арифме-
тика, или алгебра» и состоит из трех отделений. В первом отде-
лении рассматриваются действия над составными количества-
ми, степени и корни, логарифмы, пропорции, прогрессии, трой-
ные правила; во втором изложена теория уравнений и неопреде-
ленный анализ; третье включало в себя суммирование рядов и
преобразование непрерывных дробей в «бесконечные строки».
Практически «Всеобщая арифметика» охватывает весь соб-
ственно алгебраический материал, содержащийся в «Универ-
сальной арифметике» Эйлера. В то же время Осиповский вно-
сит в курс ряд изменений и дополнений, вводит некоторые новые
разделы и доказательства. Так, Осиповский одним из первых в
отечественной математической литературе вводит в свой учеб-
ник общую теорию алгебраических уравнений высших степеней.
Он рассматривает ряд общих свойств алгебраических уравнений
высших степеней и их корней: приводит теоремы о количестве
корней уравнения n-й степени, о зависимости между корнями
и коэффициентами уравнения, о взаимной сопряженности комп-
лексных корней уравнения с действительными коэффициентами
и др.
По всеобщему признанию, наиболее удался Осиповскому
раздел о логарифмах*. Кроме изложения определения и свойств
логарифмов, показаны способы их вычисления с помощью беско-
нечных рядов. В отличие от Гурьева Осиповский вводит понятия
иррациональных и мнимых, или «невозможных» чисел и широко
* См.: [251, с. 185; 17, с. 54-55].
1. I четверть XIX в.257
ими пользуется. Иррациональные числа он определяет следую-
щим образом: «Величина, стоящая под знаком \/ , называется
радикальною величиною и когда из нее с точностью требуемого
корня извлечь, т. е. на требуемое число равных множителей раз-
бить не можно, тогда она называется иррациональной, т. е. несо-
измеримой величиной» [202, с. 86]. Таким образом, он пытается
дать определение иррационального числа при помощи множест-
ва рациональных чисел. Широко пользуясь мнимыми числами,
Осиповский просто распространяет на них правила алгебраичес-
ких действий, даже не оговаривая это специально, что некоторые
авторы считают несомненным недостатком учебника*.
Второй том «Курса математики» Т. Ф. Осиповского содер-
жит «геометрию, прямолинейную и сферическую тригономет-
рию и введение в криволинейную геометрию» [203, с. 1]. При раз-
работке этого учебника Осиповский пользовался принципами,
сформулированными Д'Аламбером и охарактеризованные нами
ранее. Напомним, что они могут быть выражены следующим
образом: 1) в основу курса следует положить метрику и пото-
му геометрия должна разделяться на три раздела, изучающие
последовательно длины, площади и объемы; 2) очень осторож-
но нужно подходить к аксиоматическому построению курса —
аксиомы убрать, определения вводить постепенно, 3) в качестве
основного метода использовать метод наложения (движение).
Во введении Осиповский явно формулирует некоторые из
перечисленных принципов. Сторонник материалистической фи-
лософии, он показывает, что геометрия возникла из нужд прак-
тики, касается египетских корней этой научной дисциплины и
определяет предмет геометрии следующим образом: «Все за-
нятие сей науки состоит в исследовании свойств протяжений.
< ... > Каждое тело в свете имеет существенную и неотде-
лимую принадлежность — протяжение, простирающееся в три
стороны» [203, с. 3]. Поверхности при этом рассматриваются как
границы тел, линии — как границы поверхностей, точки — как
границы линий. Основным методом исследования протяжений
является сравнение с мерой протяжения того же рода [17, с. 57].
В геометрической части «Курса математики» три разде-
ла — «лонгиметрия, планиметрия и штереометрия», а также
дополнения к ним — элементы криволинейной геометрии. Ос-
новное содержание учебника начинается с измерения длин —
* Например, [171, с. 55].
258 IL XIX — начало XX в
лонгиметрии. Осиповский предлагает оригинальное определение
прямой и кривой линий, в основе которого лежит понятие движе-
ния: «Прямая линия есть та, которая происходит от движения
точки, простирающейся беспрестанно по одному направлению,
кривая же линия есть та, которая происходит от движения точ-
ки, беспрестанно переменяющей свое направление» [203, с. 6].
Сразу же после определения прямой и кривой линий Оси-
повский вводит определение окружности. Свойства прямой и
окружности изучаются совместно. В различных изданиях вто-
рого тома «Курса математики» теория параллельных изложена
по-разному, так как Осиповского, по-видимому, не без основа-
ний не удовлетворял ни один вариант. Суть различных видов
изложения этого вопроса состоит в следующем: вместо пятого
постулата вводится более простое предложение и делается по-
пытка его обоснования, безусловно, несостоятельная, впрочем,
как и аналогичные попытки многих поколений математиков до
Осиповского. Другой тонкий вопрос курса лонгиметрии — не-
соизмеримость отрезков — автор просто обходит: «Когда же
линии не равны, то как та, так и другая могут быть вымеря-
ны общею мерою» [203, с. 9].
При вычислении длины окружности, как и площади круга
Осиповский использует простейшие инфинитезимальные прие-
мы, представляя окружность состоящей из бесконечного множес-
тва малых дуг «которые могут быть рассматриваемы как пря-
мые линии» [203, с. 18]. Эти же методы использует автор «Курса
математики» во втором и третьем разделах второго тома при
вычислении площадей поверхностей и объемов тел. Например,
поверхность шара он представляет как предел суммы боковых
поверхностей усеченных конусов с бесконечно малыми высота-
ми. Исключение составляет теорема о равенстве объемов двух
пирамид с равновеликими основаниями, которая доказывается с
помощью принципа Кавальери.
Заключительная часть геометрического материала «Курса
математики» приведена в самом конце книги в виде дополне-
ний. Это элементы криволинейной геометрии: конические сече-
ния (эллипс, гипербола, парабола), циссоида Диоклесса, спираль
Архимеда, циклоиды и квадратрисы Динострата. Этот матери-
ал излагается без применения методов аналитической геомет-
рии. В дополнениях вводится также понятие о радиусе кривизны,
эволютах и эвольвентах кривых и рассматриваются некоторые
свойства эволюты параболы.
1. I четверть XIX в.259
Большую часть второго тома «Курса математики» состав-
ляют прямолинейная и сферическая тригонометрия. Автор фор-
мулирует предмет прямолинейной тригонометрии следующим
образом: «Прямолинейная тригонометрия есть наука, как по дан-
ным трем частям прямолинейного треугольника находить про-
чие его части» [203, с. 140]. После этого следует замечание о том,
что среди этих частей должна находиться хотя бы одна сторона.
Содержание этого раздела «Курса математики» составляет пол-
ный по тому времени курс элементарной тригонометрии. Кроме
того, здесь выводятся разложения синуса, косинуса, тангенса и
арксинуса в бесконечные степенные ряды, что обеспечивает зна-
комство учащихся с приближенным вычислением значений три-
гонометрических функций с помощью бесконечных рядов.
Специальная глава этого раздела посвящается применению
тригонометрии к решению алгебраических уравнений, напри-
мер, к решению кубических уравнений в тех случаях, когда фор-
мула Кардано не дает результата. Еще одна глава посвящается
изложению основных теорем и формул сферической геометрии
и сферической тригонометрии. Приводится большое количество
примеров их применения преимущественно в астрономии.
По мнению Э.Я. Бахмутской, к которому мы присоединя-
емся, геометрическая часть «Курса математики», изложенная
во втором его томе, обладает такими несомненными достоинст-
вами, как «богатство содержания... в соединении с простотой и
доступностью изложения» [17, с. 60], что обеспечило его широкое
распространение в средних и высших учебных заведениях Рос-
сии. Более того, несмотря на то что Комиссия по учреждению
народных училищ в 1814 г. рекомендовала для изучения в учи-
лищах учебник Н. И. Фусса, который мы охарактеризуем далее,
первые два тома «Курса математики» имели такую популяр-
ность, что в 1820 г. были переизданы в третий раз.
Третий том «Курса математики» содержит в себе теорию
аналитических функций. Он начинается с определения постоян-
ных и переменных величин, функций и функциональной зави-
симости. Постоянные величины, по Осиповскому, «суть те, кои
при изменении других остаются в одном и том же состоянии; пе-
ременные же величины суть те, кои могут переходить через раз-
личные состояния» [204, с. 1]. Определение функциональной за-
висимости близко к эйлеровскому, данному во «Введении в ана-
лиз»: «Если какая-нибудь переменная величина у выражается
через какую-нибудь другую переменную величину, например ж,
260 IL XIX — начало XX в
и через постоянные величины, то сие ее выражение называется
функциею величины х» [204, с. 2]. Таким образом, понятие функ-
ции в этом определении отождествляется с ее аналитическим
выражением. После введения основных понятий следует ввод-
ный раздел «О некоторых преобразованиях функций», в кото-
ром даются дополнительные алгебраические сведения, нужные
для дальнейшего изложения: Следующий раздел, озаглавленный
«О последовательном изменении функций», является подготови-
тельным к дифференциальному и интегральному исчислению и
содержит изложение теории конечных разностей. На этой теории
базируется основное содержание третьего тома — дифференци-
рование и интегрирование функций, которым посвящена первая
книга третьего тома «Курса математики» Т. Ф. Осиповского.
Вторая книга посвящена интегрированию дифференциаль-
ных уравнений как в целых, так и частных дифференциалах и
вариационному исчислению.
При оценке третьего тома «Курса математики» сошлемся
на мнение авторитетного историка М. И. Сухомлинова, который
считает, что «сочинения его показывают знакомство автора со
всем, что было замечательного в математической литературе
Европы. Избравши образцом преимущественно Эйлера, Осипов-
ский, по ясности и строгости изложения, был достойным после-
дователем великого математика» [294, с. 39].
Преподавание математики в крупнейших отечественных
университетах долгое время велось в соответствии с «Курсом
математики» Т. Ф. Осиповского. Он же был более десятилетия
основным учебником математики для гимназий.
«Начальные основания чистой математики» Н. И.
Фусса. Все же «Курс математики» Осиповского, скорее, был
учебником для высшей школы, превышающим нужды гимназии.
Для школы среднего уровня нужен был специальный учебник
математики. Ученый комитет министерства народного просве-
щения решил создать специальные учебники для гимназий. В
качестве пособия по арифметике была одобрена «Арифметика»
Лакруа в переводе Ф. И. Петрушевского. Подготовку руководст-
ва по всем остальным математическим дисциплинам, специаль-
но приспособленного к гимназическому курсу, Ученый комитет
поручил академику Н. И. Фуссу. Будучи членом этого комитета
со времени его основания, Фусс постоянно оказывал значитель-
ное влияние на постановку математического образования на всех
его ступенях. Выполняя поручение Ученого комитета, он перера-
1. I четверть XIX в.261
ботал ранее опубликованные им пособия по отдельным разделам
математики и издал учебник под названием «Начальные осно-
вания чистой математики». Это руководство с 1814 г. и стало
основным учебником математики для гимназий.
«Начальные основания» состояли из трех частей и содер-
жали следующие разделы: 1) начальные основания алгебры,
2) начальные основания геометрии, 3) приложения алгебры к
геометрии, 4) плоская тригонометрия, 5) конические сечения, 6)
основания дифференциального и интегрального исчислений.
Алгебру Н. И. Фусс изложил «по Эйлеру», на том уровне
строгости, которые предъявлялись в это время. В разделе «Ко-
нические сечения» Н. И. Фусс вводит функциональный аппарат:
дает понятие о системе координат, о постоянных и переменных
величинах, а в разделе «Основания дифференциального и ин-
тегрального исчислений» — определение функции в следующем
виде: «Функцией переменной величины называется выражение,
состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными вели-
чинами» [312, с. 278]. В геометрии же Н. И. Фусса, как считает
В. А. Прудников, «мы не найдем в нужной мере той «неупус-
тительной строгости», которая всегда отличала эту науку от
других математических дисциплин» [248, с. 8].
«Начальные основания чистой математики» Н. И. Фусса бы-
ли компактны, доступны, объяснения и доказательства хорошо
приспособлены к возрастным особенностям учащихся. Это руко-
водство достаточно долго служило целям гимназического мате-
матического образования, во всяком случае, до принятия нового
школьного Устава 1828 г. Это был первый стабильный учебник
математики для гимназий, о чем свидетельствует специальное
распоряжение 1814 г.: «Министр народного просвещения пред-
писал всем гимназиям, дабы отныне учители оных руководство-
вались сим сочинением и круг математическим наук ограничи-
вался бы в гимназиях непременно теми частями математики, кои
в сем сочинении помещены» [273, с. 225]. Поскольку программы
гимназий еще не существовали, содержание гимназического ма-
тематического образования определяли учебники. Именно в со-
ответствии с руководством Н. И. Фусса были определены объем
и характер гимназического курса математики. Впервые в исто-
рии отечественного математического образования это официаль-
но вносило некоторое единство в определение его содержания.
262
2. ОТЕЧЕСТВЕННОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
во II четверти XIX века
13 первой четверти XIX в. в России началось формирова-
ние системы среднего (гимназического) математического обра-
зования, которая с конца XIX — начала XX в. стала называться
международной классической системой школьного математичес-
кого образования. Формирование этой системы — долгий про-
цесс, начавшийся в начале века и в основном завершившийся в
90-х его годах.
Запас прочности созданной системы оказался чрезвычай-
ным: далее следовали регулярные, более или менее успешные
попытки ее реформирования, продолжающиеся и до сих пор.
С этой системой связан и наивысший подъем отечественно-
го математического образования, известный в истории прошед-
шего XX в. как «эффект спутника», когда космические успехи
нашей страны объясняли высоким уровнем советской образова-
тельной системы и прежде всего системы математического об-
разования.
Охарактеризовав самое начало создания гимназической сис-
темы математического образования, продолжим анализ основ-
ных периодов этапа создания российской модели классической
системы школьного математического образования, начав со вто-
рой четверти XIX в. Это не условный хронологический рубеж,
эта дата полностью согласуется с историческими реалиями:
в начале второй четверти XIX в. (1826) начинаются очеред-
ные преобразования образовательной системы России, которые
существенно повлияли на развитие математического обра-
зования.
____________________________________________263
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
в конце 20-х — начале 30-х гг. XIX века
2.1.1. Математическое образование в России
в период образовательных реформ
конца 20-х — начала 30-х гг. XIX века
/Царствование Николая I началось в условиях созданной в
его канун обстановке жесткого государственного давления на все
сферы культуры и науки, в том числе на образование. Новый мо-
нарх по инерции или сознательно вынужден был продолжить эту
политику. Основным орудием ее исполнения стало чиновничест-
во, которое «при помощи циркуляров стало управлять всем: от
экономики до науки и образования» [138, с. 41]. Были созданы
органы надзора за преподаванием, ужесточилась цензура лите-
ратуры, в том числе учебной, усилился контроль за народной
школой.
Николай I был чрезвычайно противоречивой фигурой. Не-
смотря на кровавое начало своего царствования, при всех из-
держках созданного им в конечном итоге режима одно несомнен-
но — он отчетливо сознавал и старался защищать национальные
интересы России. По словам А. И. Солженицына, он был «преж-
де всего русский государь и русские интересы ставил выше ин-
тересов европейских монархов» [285, с. 38]. Он хорошо понимал
необходимость реформирования России, в том числе в сфере об-
разования.
Общая характеристика образовательных реформ
конца 20-х — начала 30-х гг. XIX в. Надо сказать, что к то-
му времени цели и содержание гимназического образования еще
не были четко определены. С одной стороны, ему вменялось гото-
вить своих выпускников для продолжения учебы в университете,
с другой — для гражданской и военной службы. В соответствии
с этой двуединой целью был выработан учебный план 1804 г.,
«страдавший многопредметностью» и приводивший к «поверх-
ностному энциклопедизму» [248, с. 7] гимназического образова-
ния. Основу его составляли философские науки, читавшиеся в
университетских городах профессорами университетов и требо-
вавшие для их усвоения определенной базы знаний, которой не
могли иметь гимназисты 10-12 лет от роду. Кроме философских
в учебный план включено было множество других наук — обще-
образовательных и специальных, школьных и университетских.
264 !!• XIX — начало XX в
За четыре гимназических года ученики могли овладеть только
их общими основами, нередко сводившимися к сжатой термино-
логии соответствующей дисциплины.
Приведем пример того, что должен был усвоить гимназист
1-го класса в начале 20-х гг.: основы логики, философическую
грамматику, математическую географию, введение в полити-
ческую географию, элементы алгебры. К последним относились
следующие сведения: 1) определение алгебры и предваритель-
ные понятия; 2) четыре действия над простыми и сложными
количествами, рациональными и радикальными; 3) алгебраи-
ческие дроби; 4) непрерывные строки или деление в бесконеч-
ность [248, с. 7]. Такое же обилие и разнообразие учебных пред-
метов было и в следующих классах. Для осуществления назрев-
ших образовательных реформ в 1826 г. учреждается Комитет
устройства учебных заведений [34, с. 386], основной целью ко-
торого является искоренение либеральных тенденций и введе-
ние в образование единообразия, «прекращения преподавания по
усмотрению учителя». Сохранилось высказывание самого Ни-
колая I: «...воспретить произвольное преподавание учений по
произвольным книгам и тетрадям» [138, с. 42].
В 1828 г. Комитетом был разработан и принят новый Устав
гимназий, определивший семилетний срок гимназического обу-
чения. В соответствии с этим Уставом действующая система
образования была заменена жестко сословной системой, при ко-
торой каждому сословию предназначались определенные типы
учебных заведений и ставились свои образовательные задачи.
Следовало «расположить учение в каждом учебном заведении
таким образом, чтобы оно могло служить окончательным обра-
зованием того класса людей, для которого таковые училища пре-
имущественно учреждаются»*. В 1824г. министром народного
просвещения стал яростный сторонник сословного образования
адмирал Александр Семенович Шишков — человек преклонного
возраста**.
Общий характер реформ определен в докладной записке
[34, с. 386] министра-адмирала: «Приходские училища должны у
* Из докладной записки (1826) министра народного просвещения.
Цит. по: [340, с. 126].
** Годы жизни А. С. Шишкова 1754-1841. В должность министра
народного просвещения он вступил в 70 лет.
2. II четверть XIX в.265
нас существовать преимущественно для крестьян, мещан и про-
мышленников низшего класса; уездные — для купечества, обер-
офицерских детей и дворян; гимназии — преимущественно для
дворян»*. Этим определялась и дальнейшая судьба выпускни-
ков: приходские и уездные училища могли готовить только пи-
сарей, конторщиков и мелких чиновников. Университеты долж-
ны были готовить высших чиновников и ученых и туда после
окончания гимназии принимались лишь дети дворян и купцов
1-й гильдии.
Целым рядом распоряжений министерства затруднялся до-
ступ в гимназии лиц непривилегированных сословий, в них «за-
водятся «благородныя» скамейки для дворян, отдельно для пле-
беев» [191, с. 46], была увеличена плата за обучение, вновь вве-
дены телесные наказания.
Однако справедливости ради надо сказать, что государство
в лице царского правительства начинает в этот период откры-
вать начальные училища в селах и уездных городах, беря на
себя руководство образованием. Материальное обеспечение этих
училищ остается за земством. Уставом 1828 г. вновь ставится во-
прос о распространении школ взаимного обучения, в частности,
из-за возможности решения с их помощью возникающих матери-
альных и финансовых проблем. Дано распоряжение об открытии
классов взаимного обучения в университетах. Так, их открыли
при Казанском университете. В таком классе здесь обучались
22 студента, каждый из которых по окончании курса представ-
лял работу с описанием метода. По одной из этих работ можно
составить представление об организации работы в таких шко-
лах**. Помещение для занятий — большой зал на 70 человек.
По стенам в два ряда вывешиваются специальные таблицы: в
верхнем ряду — на тему текущего дня, в нижнем — на пройден-
ное. Для каждых семи учеников имеется стол. Ученики делятся
на 8 классов, перевод из класса в класс осуществлялся по ре-
зультатам экзаменов. Для проведения занятий в каждом классе
выделялся ученик старшего класса. Общее руководство и орга-
низация занятий осуществлялись учителем.
* Другие члены Комитета устройства учебных заведений, участво-
вавшие в разработке Устава, шли еще дальше. Так, Ламберт считал,
что дети, принадлежащие к разным сословиям, не могут быть воспи-
тываемы вместе [34, с. 386].
** См. подробнее: [193, с. 97].
266 II. XIX — начало XX в
Училища взаимного обучения Казанского учебного округа
служили образцом для организации таковых в других окру-
гах*. В распространении этого способа обучения принимал де-
ятельное участие бывший тогда ректором Казанского универ-
ситета и одновременно председателем училищного комитета
Н.И. Лобачевский, который дал распоряжение об обязательном
введении этого метода в приходских училищах и подготовитель-
ных классах гимназий. К 1831г. такие школы были открыты в
Казанской, Пермской и Саратовской губерниях, в 1847 г. их чис-
ло по Казанскому учебному округу доходило до 37 [193, с. 97-98].
С введением нового школьного Устава 1828 г. в гимназиях
было усилено классическое начало. Основное назначение Устава
как раз и заключалось в «ознакомлении с правильным класси-
ческим образованием преимущественно сословия дворян». Со-
став предметов, преподаваемых в гимназиях, был совершенно
изменен. «Центром тяжести занятий проект устава предполагал
сделать древние языки, причем на латинский язык назначалось
во всех классах 70 часов, на греческий — 50» [34, с. 386]. Од-
нако император Николай I высказался против (возможно, этому
способствовала известная записка А.С. Пушкина), и в оконча-
тельной редакции Устава на латинский язык выделялось 39 ча-
сов, на греческий — 30. Сначала это коснулось только гимназий
университетских городов: в них вводилось изучение греческого
и увеличивалось время изучения латыни. Интересно отметить,
что среди новых дисциплин в курс гимназии как учебный пред-
мет вводилась логика.
В связи с введением нового школьного Устава Ученый ко-
митет министерства народного просвещения потребовал списки
всех учебных книг и пособий, употреблявшихся в государствен-
ных и частных училищах. После рассмотрения было признано
необходимым «большую часть из них исправить, а другие либо
заменить новыми, либо сохранить во временном употреблении»
[248, с. 8]. Естественно, что произошедшие изменения в большой
степени коснулись и математического образования.
Реформирование гимназической системы математи-
ческого образования конца 20-х — начала 30-х гг. XIX в.
По Уставу 1828 г. в гимназиях значительно ослаблялись так на-
зываемые реальные науки. Из учебного плана полностью исклю-
чалось естествознание, курс физики сокращался до минимума.
* См.: [4, с. 21].
2. II четверть XIX в.267
Математика как учебная дисциплина существенно трансфор-
мировалась: совершенно упразднялась прикладная математика,
чистая же математика ограничивалась курсом до конических се-
чений включительно. Кроме того, вводилось преподавание эле-
ментов начертательной геометрии. Для учеников, изучавших,
кроме латинского, также греческий язык, «курс математики был
сокращен и включал только арифметику, алгебру и геометрию»
[127, с. 148].
В соответствии с принятым Уставом в гимназиях с гречес-
ким языком на математику отводится 15 часов, на физику — 4
часа, на латинский и греческий языки — 46 часов [149, с. 25].
Вместе с Уставом гимназии получили в 1828 г. первый
утвержденный министерством учебный план по математике. В
соответствии с ним математика в гимназиях излагалась в таком
порядке.
Вариант А. Для не изучавших греческий язык: в 1-м и 2-м
классах — арифметика; в 3-м классе — начала алгебры, вклю-
чая уравнение второй степени; в 4-м классе — продолжение и
окончание алгебры, первые начала геометрии (лонгиметрия); в
5-м классе — продолжение и окончание геометрии (планимет-
рия и стереометрия); в 6-м классе — начальные понятия о на-
чертательной геометрии, прямолинейная тригонометрия, первая
часть приложения алгебры к геометрии; в 7-м классе — вторая
часть приложения алгебры к геометрии, содаржащая в себе ко-
нические сечения. В заключение учитель должен был провести
«обозрение» всего гимназического курса математики и тем са-
мым сблизить «понятие учеников о предметах, в разное время
ими познанных».
Вариант Б. Для изучавших греческий язык: в 1-м и 2-м
классах — арифметика; в 3-м классе — первые начала алгеб-
ры, включая уравнения второй степени; в 4-м, 5-м и 6-м клас-
сах — геометрия, причем время, назначенное в 7-м классе для
черчения и рисования, полагалось употреблять для повторения
геометрии.
Анализируя приведенный учебный план, можно сделать сле-
дующие выводы:
1. Для варианта Б: крайне сокращен объем учебного ма-
териала, алгебра изучается только один год и ограничивается
ее началами; тригонометрия вообще не изучается, что делало
крайне затруднительным изучение курса физики.
268 IL XIX — начало XX в
2. Для варианта А:
- недостаточность времени для изучения арифметики (2 го-
да) и геометрии (планиметрия и стереометрия изучаются в
течение одного года);
- излишек времени на изучение приложений алгебры к гео-
метрии (основы аналитической геометрии), которые вряд ли
могут быть усвоены при слабой базе элементарных алгебры
и геометрии;
- сомнительность введения начертательной геометрии, кото-
рая в то время не преподавалась даже в университетах.
3. Несмотря на ряд недостатков, учебный план по математи-
ке 1828 г. сыграл положительную роль, впервые в отечественном
математическом образовании указав преподавателям математи-
ки более или менее твердые рамки, которыми следует ограничи-
вать гимназический курс математики.
Общие преобразования в гимназическом образовании нача-
лись в 1832 г., когда было опубликовано циркулярное предло-
жение министра народного просвещения попечителям учебных
округов об учебных планах преподавания предметов гимнази-
ческого курса. В нем были введены первые, довольно краткие,
но единые программы по математике [51, с. 79]. Эти программы
должны были обеспечить единообразие преподавания математи-
ки в гимназиях на уровне всей страны. На деле единообразие рас-
пространялось только на уровень определенного учебного окру-
га. Покажем механизм обеспечения преподавания математики по
единым программам.
Для их конкретизации попечители учебных округов дали по-
ручения соответствующим университетам выработать инструк-
цию о том, «в какой мере и до каких пределов должны быть
доводимы учебные предметы в каждом из классов уездных учи-
лищ и гимназий» [251, с. 239]. Так, попечитель Казанского учеб-
ного округа поручил Казанскому университету назначить ко-
митет по созданию этой инструкции во главе с его ректором
Н. И. Лобачевским. В 1830 г. Лобачевский составил эту инструк-
цию в виде руководства по преподаванию математики в гимнази-
ях и уездных училищах под названием «Наставления учителям
математики в гимназиях». Так как в «Наставлениях» выска-
заны педагогические и методические взгляды Лобачевского, в
дальнейшем мы проанализируем их подробно.
2. II четверть XIX в.269
В различных учебных округах указания министерства на-
родного просвещения выполнялись по-разному. Так, в западных
губерниях России были сильны тенденции к классическому об-
разованию и поэтому преподавание математики преследовало
преимущественно формальные цели, т.е. развитие абстракт-
ного мышления учеников. Особенно показателен в этом плане
Устав учебных заведений Дерптского университета, в соответ-
ствии с которым и организовывалось гимназическое образование
в соответствующем учебном округе. В нем прямо указывалось,
что «математика есть наука, которая более всего образует силу
размышления и проницательности... Математическое учение
должно быть преподаваемо в таком виде, чтобы оно особенно
служило упражнению остроумия». Поэтому особо подчеркива-
лось, что при изучении геометрии «никогда не употребляются
линейка и циркуль, ни на доске, ни на бумаге». Практические
применения теории преследовало там цели чисто методическо-
го характера — как средства повышения усвояемости. Иначе
обстояло дело в Казанском учебном округе, где большое значе-
ние придавалось как раз практическим приложениям математи-
ки. В своих «Наставлениях учителям математики в гимназиях»
Н. И. Лобачевский писал, что «математике должно учить в гим-
назиях еще и с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые,
были достаточны для обыкновенных потребностей в жизни». По
учебникам же и «Запискам профессора Лобачевского» училось
математике не одно поколение воспитанников Казанского учеб-
ного округа*.
В связи с введением нового Устава ученый комитет минис-
терства народного просвещения потребовал списки всех дейст-
вовавших учебников и учебных пособий и после их анализа пред-
ложил внести в них существенные изменения или заменить но-
выми. Пересмотр и обновление прежде всего коснулось учебника
математики Н.И. Фусса «Начальные основания чистой матема-
тики», который с 1813 г. рекомендовался в качестве пособия по
математике для гимназий.
Требования к учебникам математики в то время были до-
статочно высокими: учебник должен был быть написан «по зрело
обдуманному плану» так, чтобы соответствующая наука излага-
лась «в современном состоянии и притом ясно и основательно»,
большое значение придавалось расположению материала и его
объему — «не слишком ли он пространен или стоит в сравнении
* См. подробнее: [193, с. 83—85].
270 IL XIX — начало XX в
с временем и пределами учебного курса тех заведений, для ко-
их назначен» [273, с. 268]. Контроль за учебниками математики
возлагался на члена Ученого комитета министерства народного
просвещения.
Членом Ученого комитета по математическим наукам до
1826 г. был Н.И. Фусс. Его сменил профессор Д.С. Чижов. По
его мнению, «Начальные основания» Фусса не удовлетворяли
возросших требований к гимназическому образованию, так как:
1) алгебра в учебнике «крайне трудна для понимания учащих-
ся», 2) геометрия «недостаточно строга в доказательствах и при-
менениях на практике», 3) тригонометрия «достаточна со сторо-
ны примеров и решения практических задач, но недостаточна в
рассуждении описания самонужнейших геометрических орудий»
[332, с. 195]. Чижов предложил заменить учебник Н.И. Фусса
«Курсом чистой математики» группы французских авторов*.
Для этого его надо было перевести, адаптировать к особеннос-
тям русской гимназии и издать, что требовало значительного
времени **. Издание «Курса» планировалось в 1836 г.
До этого для временного использования в русских гим-
назиях были рекомендованы следующие учебники [248, с. 8]:
1) «Руководство к арифметике» и «Собрание арифметических
задач» Ф. И. Буссе; 2) «Арифметические листки» П. С. Гурьева;
3) перевод «Курса чистой математики» Беллавеня, в нача-
ле 30-х гг. сделанный инспектором 1-й Московской гимназии
П. Н. Погорельским. Эти учебники и деятельность некоторых из
их авторов мы охарактеризуем ниже.
* Этот учебник часто называют «Курсом чистой математики»
Беллавеня, хотя генерал Беллавень только поручил составление его
профессорам Аллезу, Пюиссану и др. Он неоднократно переиздавался
в России.
** Эта работа была поручена преподавателям Артиллерийского
училища А. Я. Кушакевичу и А. С. Киндереву. Перевод был выпол-
нен в срок, но книга не была утверждена Ученым комитетом ми-
нистерства народного просвещения в качестве учебника для гим-
назий. Профессора Московского университета Д. М. Перевощиков и
Н. Д. Брашман дали на нее отрицательный отзыв. Из всего «Курса»
была временно принята в качестве руководства для гимназий только
геометрия.
2. II четверть XIX в.271
2.1.2. Учебная и периодическая
методическая литература
конца 20-х — начала 30-х гг. XIX века
Первые русские периодические издания для учителя
математики. Возникший в российском обществе со времен де-
кабристов интерес к проблемам воспитания и образования не
угасал. Трибуной для обсуждения этих проблем стал ежеме-
сячный общепедагогический «Журнал народного просвещения»,
созданный в 1834 г., а также периодические издания, существо-
вавшие при учебных округах [321, с. 84]. Интересно отметить,
что периодическое издание для учителя математики появилось
на год ранее.
«Учебный математический журнал» — первый матема-
тический журнал для учителей — начал издаваться в Рос-
сии в 1833 г. Редактором и издателем этого журнала был док-
тор философии Дерптского университета Карл Яковлевич Куп-
фер* (1789-1838), который преподавал математику и в гимназии
г. Ревеля [280, с. 13] (ныне Таллин, Эстония). Здесь он и стал
издавать свой журнал. Купфер был практически единственным
автором «Учебного математического журнала». В предисловии
к последней книге первого года издания редактор указывал, что
только «три лица со стороны прислали статьи для журнала»
[108, с. 10]. Однако у читателя журнал вызвал интерес. Число
подписчиков в первом году дошло до 300, во втором вырос-
ло до 450, что для того времени было довольно много. Жур-
нал прекратил свое существование в 1835 г. в связи с переездом
К. Я. Купфера в Нежин.
«Учебный математический журнал» печатал статьи, за-
дачи по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии для
учащихся различных ступеней школы, рецензии на книги, пред-
ставлявшие интерес для учителя математики. Кроме того, в пре-
дисловии издателя к первому номеру журнала он обещает «по
возможности извещать читателей о вновь учреждаемых учи-
лищах и о заслугах умерших учителей» и помещать в журна-
ле «жизнеописания великих математиков, коих чтение может
быть полезным и приятным отдохновением в обучении мате-
матике, которая для многих несколько обременительна» [304,
* С 1835г. он стал профессором математики в лицее князя без-
бородко в Нежине, «где он оставил по себе самую лучшую память»
[108, с. 9].
272 II. XIX — начало XX в
с. IV]. Первый номер журнала начинался с биографии Иоган-
на Генриха Песталоцци, что послужило основанием для заяв-
ления А. В. Панкова [149, с. 29] о том, что «Учебный матема-
тический журнал» пропагандирует идеи Песталоцци. На самом
деле в журнале анализируются методические идеи Песталоцци,
указываются как позитивные, так и негативные стороны его пе-
дагогического и методического творчества.
Основной задачей издания Купфер считает обмен опытом
с целью совершенствования преподавания математики: «Иной
преподаватель, искусный в своем деле, мог бы и другим при-
носить пользу и вообще содействовать к усовершенствованию
преподавания, сообщая свои замечания об учебных книгах и о
самом преподавании; такие замечания журнал сей будет прини-
мать и распространять» [304, с. 5].
Очень большое внимание в журнале уделялось учебной ли-
тературе: публиковались библиографические списки выходящих
в России и за рубежом учебников математики, помещались их
краткие аннотации или подробно излагался материал этих учеб-
ников. Издатель считал, что каждый читатель вправе требовать
от журнала «обозрения хороших учебных книг, основательного
разбора лучших из них и сличения разных сочинений об одном
предмете, которое показывало бы преимущества и недостатки
каждого» [306, с. 1], поэтому К. Я. Купфер приводил значитель-
ные по объему отрывки из анализируемых книг, сопровождая
их комментариями. В «Учебном математическом журнале» пе-
чатались также статьи, посвященные методам преподавания ма-
тематики. Из них наибольший интерес представляет сочинение
самого К. Я. Купфера «Первоначальная алгебра», так как в этой
статье формулируется основная методическая идея автора —
о более широких, чем тогда считалось, функциях упражнений
в обучении математике [280, с. 14]. Подробный анализ ее дает
Р. А. Симонов в журнале «Математика в школе» [280, с. 14-15].
Приведем краткое изложение статьи.
Основная цель автора — удовлетворить интересы как на-
учного подхода к преподаванию, так и запросы, предъявляемые
учащимися к учебнику. «Предначертал ход обучения алгебры, —
писал К. Я. Купфер, — мы в то же время старались развить все
так, чтобы и юноши, желающие учиться алгебре, могли с поль-
зою читать сию статью» [306, с. 257]. В работе К. Я. Купфера
излагались методы решения систем уравнений первой степе-
ни с несколькими неизвестными. Автор указывал два метода
2. II четверть XIX в.273
решения. Первый он называл «методом испытания» или «спо-
собом приближения уравнений к корням». Этот метод заклю-
чается в последовательной подстановке в уравнение различных
чисел. Второй метод, названный «общим», состоит в «последова-
тельном преобразовании предложенного уравнения дотоле, пока
в одной части уравнения останется одно искомое количество, а
в другой части будут находиться все известные» [306, с. 290].
Изложение материала статьи подчиняется правилу, которо-
му неукоснительно следует автор: прежде чем сделать теорети-
ческий вывод, нужно рассмотреть ряд примеров (упражнений), в
которых данное математическое положение лучше всего отраже-
но. Автор считает, что такой принцип более всего соответствует
«естественному ходу исследования, потому что прежде надобно
рассматривать предметы, а потом рассуждать об оных» [306,
с. 273]. До этого математические упражнения рассматривались
лишь как способ иллюстрирования теории. К. Я. Купфер счи-
тал, что функции упражнений значительно шире, что теория и
упражнения взаимопроникаемы. Как мы знаем из дальнейшего
развития методики преподавания математики, эта идея оказа-
лась чрезвычайно плодотворной: в настоящее время существуют
фундаментальные методические, работы, целиком посвященные
роли задач и упражнений в обучении математике. Купфер рас-
сматривал связь теоретического изложения с математическими
упражнениями как особый метод, лежащий в основе преподава-
ния математики.
Подавляющее большинство сугубо методических статей
журнала развивало эту идею. К. Я. Купфер выделял следующие
функции упражнений: способность сообщать очевидность тео-
ретическим положениям, наглядно раскрывать их содержание,
служить связуюшим звеном с практикой. Например, знакомство
с тригонометрическими функциями К. Я. Купфер советует осу-
ществлять следующим образом: «Должно для объяснения сперва
научить ученика находить их (тригонометрические функции —
Т. П.) для 30° и 45°, потом еще некоторые хотя только посредст-
вом начертания и измерения, после того дать ему таблицу оных
от градуса до градуса, не давая еще однакоже таблицы логариф-
мов сих количеств, чтобы не развлечь тем внимание его. За сим
должны следовать задачи о прямоугольном треугольнике, кото-
рые не только пояснят пред сим истолкованные понятия и не
только укажут на преимущества их в приложении, но все пред-
ставят в наивозможной очевидности» [306, с. 141]. Только после
2Ц IL XIX — начало XX в
выполнения таких серий упражнений целесообразно, по мнению
Купфера, вводить понятие тригонометрических функций.
Кроме сведений о новой учебной математической литерату-
ре и статей методического характера «Учебный математичес-
кий журнал» содержит около 400 различных задач и упражне-
ний по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии. Во-
обще журнал можно рассматривать и как своеобразный задач-
ник: подписчики его могли отдельно выписывать особые листы
с упражнениями. Задачи удачно классифицировались по отдель-
ным школьным дисциплинам с учетом возрастных особенностей
учащихся. Специально выделялись задачи для уездных училищ
и гимназий. Все представленные в журнале задачи снабжены
ответами, многие сопровождались решениями (геометрические
задачи на построение — с анализом и построением). Условия
некоторых из них снабжены «объяснениями» и «примечания-
ми», в которых подробно анализировалось содержание задачи.
Источником задач были в основном иностранные публикации,
многие задачи составлял сам Купфер.
«Учебный математический журнал» К. Я. Купфера вызвал
интерес у читателя. На него подписались многие учебные заведе-
ния и частные лица. В печати появились отклики на публикации
журнала, из Москвы, С.-Петербурга и других городов России
присылались письма, в которых авторы приводили свои способы
решения задач. Известна рецензия П. С. Гурьева на «Учебный
математический журнал», помещенная в № 4 «Педагогического
журнала» (1833), в которой он, в частности, писал: «Пожелаем,
чтобы читатели со временем находили в оном («Учебном ма-
тематическом журнале» — Т. П.) более приложений теории к
искусствам и ремеслам; это потребность века» [193, с. 86].
Итак, первый русский математический журнал для учителя
«Учебный математический журнал» давал информацию о новых
образовательных учреждениях, учебных математических кни-
гах, на его страницах обсуждались современные методические
идеи, основной из которых являлась идея о широких функциях
упражнений в обучении математике. Таким образом, «Учебный
математический журнал» — безусловно замечательное явление
в истории русского математического образования, «проводник
совершенно оригинальных методических идей, а не репродукция
с иностранщины» [280, с. 13].
2. II четверть XIX в.275
«Педагогический журнал» выходит в 1833-1834 гг. Од-
ним из издателей его являлся выдающийся педагог-математик
П.С. Гурьев (сын академика С.Е. Гурьева). Это был первый в
России журнал, посвященный вопросам теории и истории педа-
гогики. В нем публиковались статьи и отрывки из крупных со-
чинений известных педагогов, преимущественно немецких, так
как наиболее авторитетной в это время была немецкая педагоги-
ческая школа*. Помещались в журнале также рецензии на вы-
шедшие в России учебники.
На страницах «Педагогического журнала» кроме общепеда-
гогических обсуждались и методические проблемы. П. С. Гурь-
ев, будучи одним из самых деятельных его редакторов и сотруд-
ников, был еще и активным автором журнала. Здесь он опубли-
ковал свои первые статьи — «Упражнения в изустном исчис-
лении для облегчения малолетних детей», «Предварительные
упражнения в алгебре, входящие собственно в алгебраический
язык» и рецензии на руководства по математике Ф. И. Буссе и
Н.Т. Щеглова [251, с. 423].
За два года существования «Педагогического журнала» вы-
шло 6 его частей, в 1834г. он был закрыт.
Учебники математики для гимназий конца 20-х —
начала 30-х гг. XIX в. Напомним, что в первой полови-
не 30-х гг. XIX в. для временного использования в гимнази-
ях ученый комитет министерства народного просвещения реко-
мендовал следующие учебники математики: 1) «Руководство к
арифметике» и «Собрание арифметических задач» Ф. И. Буссе;
2) «Арифметические листки» П. С. Гурьева; 3) перевод «Курса
чистой математики» Беллавеня, в начале 30-х гг. выполненный
инспектором 1-й Московской гимназии П. Н. Погорельским. Оха-
рактеризуем подробнее эти учебники, а также педагогическую и
методическую деятельность их авторов, так как все они внесли
заметный вклад в историю отечественного математического об-
разования.
Учебники Ф. И. Буссе и его первая в России методика на-
чального обучения арифметике. Федор Иванович Буссе был хо-
рошо знаком с педагогическими и методическими идеями Запад-
ной Европы: после окончания в 1816 г. Петербургского педагоги-
ческого института он был командирован за границу, посетил
* См. подробнее: [191, с. 35-39].
276 И. XIX — начало XX в
Германию, Англию, Францию и Швейцарию, активно знако-
мясь с разрабатывавшимися там новыми методами преподава-
ния. Ф. И. Буссе известен как автор «многочисленных и широко
распространенных учебников элементарной математики, отли-
чавшихся научными и методическими достоинствами» . Осбенно
ценил учебники Буссе П.Л. Чебышев. Будучи членом Ученого
комитета министерства народного просвещения*, он рекомендо-
вал их в качестве руководств для обучения математике в гим-
назиях и начальной школе [251, с. 399].
Кроме работы над учебниками математики Ф. И. Буссе в
качестве члена Ученого комитета министерства участвовал в со-
ставлении учебного плана по математике для гимназий 1828 г.,
разработал проект программы по математике для русских гим-
назий 1846 г. Таким образом, он имел определяющее влияние на
математическое образование во второй четверти XIX в.
Ф. И. Буссе принадлежат следующие руководства по мате-
матике: «Руководство к преподаванию геометрии для школ во-
енных поселений» (1826), «Руководство к арифметике» (1830),
«Руководство к преподаванию арифметики для учителей»
(1831), «Собрание арифметических задач для гимназий и уезд-
ных училищ» (1831), «Руководство к геометрии для уездных
училищ» (1831), «Вопросы для экзаменаторов по математи-
ке» (1835), «Арифметические таблицы для приходских училищ
по способу взаимного обучения» (1835), «Руководство к гео-
метрии для гимназий» (1844), «Первоначальные упражнения
в арифметике» (1858), «Сокращенные логарифмические табли-
цы» (1858)**. Все эти учебники долгое время были основными
руководствами для школ министерства народного просвещения,
некоторые из них были изданы департаментом народного про-
свещения. Заметим, что, несмотря на специализацию Буссе на
методе взаимного обучения, которую он получил в Англии, он
нечасто пользовался им в учебниках. Исключение составляют
только «Арифметические таблицы» для начальной школы.
* Он сменил на этой должности Ф. И. Буссе.
** В различных литературных источниках [149, 248, 251] имеются
довольно значительные расхождения в годах выпуска этих учебников,
связанные, по всей видимости, с большим числом их переизданий и
часто неполными выходными данными. Мы ориентируемся в основ-
ном на годы, указанные в [251], так как эта книга носит фундамен-
тальный характер и издана позже, чем другие источники.
2. II четверть XIX в.277
Обратимся к характеристике учебников Ф. И. Буссе, реко-
мендованных в начале 30-х гг. для гимназий. Это «Руководст-
во к арифметике» и «Собрание арифметических задач», к ко-
торым примыкает «Руководство к преподаванию арифметики».
Прежде всего отметим комплексность подхода Буссе к методи-
ческому обеспечению курса арифметики для гимназий, которая
стала нормой только в настоящее время. Практически Буссе соз-
дал комплект книг для учителя и ученика по одному предмету
— учебник, задачник и методическое руководство для учителя.
Если присовокупить к этому комплекту вышедшие позже «Во-
просы для экзаменаторов по математике», то можно сказать, что
автор обеспечил изучение теории, формирование умений и навы-
ков и итоговый контроль за результатами обучения арифметике.
Охарактеризуем подробнее эти книги.
«Руководство к арифметике» переиздавалось много раз:
2-е издание вышло в 1833 г., после чего учебник переиздавался
через каждые 2-3 года. В 1875 г. было опубликовано 18-е изда-
ние руководства. В связи с этим событием в «Педагогическом
сборнике», по мнению И. Я. Депмана, «самом солидном из всех
чисто методических журналов по математике» [108, с. 12], из-
дававшихся в XIX в., появляется такой отзыв: «Входить в под-
робное рассмотрение арифметики г. Буссе считаем излишним.
Все занимающиеся преподаванием математики весьма хорошо с
нею знакомы. По содержанию своему она вполне удовлетворяет
гимназической программе и в этом отношении не уступает ни
одному из руководств по арифметике, после нее появившемуся».
Далее отмечается, что «по сжатости объема она имеет преиму-
щества перед всеми полными учебниками арифметики, после нее
изданными, а по простоте изложения она всех более напоминает
собой капитальный труд Лакруа «Практика элементарной ариф-
метики»» [223, с. 755-756].
Разрабатывая руководства по арифметике, Буссе придержи-
вался такого принципа: начинать обучение надо с самых прос-
тых наглядных истин и соблюдать постепенность в переходе к
более трудным математическим фактам, для того чтобы, с од-
ной стороны, стимулировать развитие учащихся, с другой —
сообщить им полезные в общежитии сведения. Руководствуясь
этим принципом, Буссе проводил обоснования просто и ясно, ис-
пользовал наглядные графические представления для изложения
учения о дробях, которые особенно трудно даются детям [248,
с. 9].
278 II. XIX — начало XX в
Содержание «Руководства к арифметике» полностью отве-
чало потребностям младших классов гимназии. Оно включало
нумерацию, действия над обыкновенными и именованными чис-
лами, обыкновенные, десятичные и непрерывные дроби и дей-
ствия над ними, отношения и пропорции, задачи на правила.
В дополнениях излагалось извлечение квадратных и кубических
корней. Охарактеризуем некоторые особенности курса арифме-
тики Буссе, которые отличают его от ранее издававшихся.
Число Буссе понимал только как результат измерения, не
давая представления о числе как результате счета: «Число есть
показание, сколько раз в какой-нибудь величине содержится еди-
ницы того же рода»*. В учебник впервые включен такой важ-
ный «для законченности курса арифметики» [248, с. 9] материал,
как законы арифметических действий, причем автор подробно их
разъясняет, чаще всего предваряя эти объяснения формулиров-
кам правил. При объяснениях он широко использует примеры.
Приведем в качестве иллюстрации объяснение коммутативного
закона умножения.
«Умножить 4 на 3 значит взять четыре единицы три раза:
1 + 14-1 + 1
1+1+1+1
1 + 1 + 1 + 1
з+з+з+з
сложив, получим 4 раза по 3 единицы.
Итак, взять 4 единицы по три раза значит то же, что взять
3 единицы 4 раза, или 4 х 3 = 3 х 4.
Из сего можно заключить, поелику числа взяты совершенно
произвольно, что из одних и тех же сомножителей составляется
всегда одно и то же произведение, в каком бы порядке оные числа
ни были перемножены» [44, с. 156].
В отличие от многих учебников арифметики того времени в
учебнике арифметики Буссе изучаются такие вопросы, как раз-
ложение чисел на множители, бесконечные десятичные дроби.
«Собрание арифметических задач, расположенных по руко-
водству к арифметике, составленному для уездных училищ» —
таково полное название второй книги комплекта для препода-
вания арифметики, созданного Ф. И. Буссе. Очень большое зна-
чение он придавал устному счету и решению задач. Эта книга
* Цит. по: [251, с 407].
2. II четверть XIX в.279
— один из первых сборников задач, изданных в нашей стране*.
Единственный исследователь, который анализирует этот задач-
ник, В. Е. Прудников считает, что он не лишен некоторых недо-
статков. В качестве таковых он отмечает следующие: 1) почти
во всех задачах «подсказывалось решение» [251, с. 409], 2) содер-
жание задач не всегда интересно.
Однако сам факт появления в русской учебной математи-
ческой литературе сборника задач, безусловно, является про-
грессивным фактором развития математического образования.
Тем более, что «Сборник арифметических задач» Буссе не усту-
пал по качеству многим другим подобным сборникам задач более
позднего времени и продолжал издаваться даже в 70-х гг. XIX в.
«Руководство к преподаванию арифметики для учителей»
Ф. И. Буссе после «Опыта о усовершении элементов геометрии»
С. Е. Гурьева является первой методической книгой в России**.
Практически это первая методика преподавания арифметики,
изданная в нашей стране для учителей математики, жестко
привязанная к соответствующему учебнику и сборнику задач.
В книге для учителя Ф. И. Буссе высказывал и некоторые теоре-
тические положения. В частности, сформулировал методические
принципы, на которых у него основано изложение арифметики:
«1) упражнение должно приспособлять к понятиям и возрасту
учащихся; 2) не оставлять ничего без основательного объясне-
ния; 3) наблюдать постепенность; 4) сперва развивать в учени-
ках ясное понятие о каком-нибудь правиле, а потом уже давать
определение оного; 5) заставлять учеников в уме решать легкие
задачи; 6) показывать ученикам пользу и необходимость каждо-
го арифметического правила, приспособляя оное к решению за-
нимательных и часто встречающихся в общежитии задач» [47,
с. 3-4]. Интересно отметить, что эти же шесть правил приведе-
ны в предисловии к безымянному «Руководству к преподаванию
арифметики», в котором излагается систематический курс ариф-
метики в катехизисной форме***.
* До 30-х гг XIX в. были изданы только подобные сборники Виш-
невского и Куртнера, не отличавшиеся особыми методическими до-
стоинствами (см.: [248, с. 9].
** Несколько ранее, в 1826 г., Буссе издал «Руководство к препода-
ванию геометрии для школ военных поселений», которое также носи-
ло методический характер, но не приобрело широкой известности.
*** См. подробно: [109, с. 1-3].
280 II. XIX — начало XX в
Далее Ф. И. Буссе на конкретных примерах показывал, как
эти правила следует применять. Приведенный нами ранее при-
мер введения переместительного закона умножения хорошо ил-
люстрирует применение второго и четвертого принципов.
Итак, руководства для гимназии, созданные Ф. И. Буссе, со-
ответствовали уровню математической и методической науки
того времени, имели широкое распространение и популярность
в среде учеников и учителей математики.
«Арифметические листки» П. С. Гурьева. Петр Семенович
Гурьев — один из известнейших отечественных педагогов-
математиков XIX в. Его не без оснований считают творцом ме-
тодики арифметики в России [149, с. 30]. Позже мы еще раз вер-
немся к его методическому творчеству. Сейчас же сделаем по-
пытку анализа первого изданного им руководства по математике
— «Арифметических листков», рекомендованных для препода-
вания математики в гимназиях в начале 30-х гг.
«Арифметические листки, постепенно расположенные от
легчайшего к труднейшему, содержащие в себе 2 523 задачи с
решениями оных и кратким руководством к исчислению, состав-
ленные П. Гурьевым» — таково полное название этого учебного
руководства*. Цель пособия, по словам автора, заключалась в
том, чтобы «сверх сбережения времени дать учителю средст-
во возбудить и поддержать в учениках своих сколько возможно
самодеятельность»**. С этой целью он избирает оригинальную
форму своего первого сочинения — это были именно отдельные
листы с порциями учебного материала.
Содержание «Арифметических листков» состояло из объяс-
нений арифметических правил, задач, расположенные в поряд-
ке возрастания трудности, а также вопросов для повторения.
Гурьев предполагал использовать их как своеобразный разда-
точный материал дифференцированного, как мы сейчас сказа-
* «Арифметические листки» посвящены П. Н. Фуссу — правнуку
Л. Эйлера, наставнику Гурьева. В предисловии помещена такая тро-
гательная фраза, обращенная к П. Н. Фуссу: «Священный долг благо-
дарности ободрил во мне желание посвятить сей, хотя малозначащий,
но первый труд мой наставнику, в юных летах моих изливавшему на
меня свои неусыпные попечения и утвердившему во мне любовь к
наукам и занятиям».
** Гурьев П. «Арифметические листки». СПб., 1833. С. 3. Цит. по:
[251, с. 9].
2. II четверть XIX в.281
ли бы, характера. Каждый листок должен был быть наклеен на
картон. После объяснения учителем того или иного арифмети-
ческого правила листки должны были быть розданы ученикам
в соответствии с силами и способностями каждого.
Арифметические правила П. С. Гурьев подробно объяснял,
стараясь изложить их так, чтобы «ученик сам, без помоши учи-
теля, мог идти далее вперед». Ту же роль Гурьев отводил и
вопросам для повторения: «С тою же целью помещены в конце
книги вопросы, которые должны руководствовать ученика при
изучении объяснений» [88, с. 11]. Роль учителя Гурьев считал
чрезвычайно важной и видел в том, чтобы «заставлять ученика
сравнивать и противополагать пройденное им вновь с выучен-
ным прежде и получаемые понятия о науке соединять в одно
целое»*.
Задачи в «Арифметических листках» разнообразны по со-
держанию, довольно успешно связаны с жизнью. Менее удач-
ны, по мнению В. Е. Прудникова, определения понятий, объясне-
ния правил и вопросы для повторения [251, с. 426]. В частности,
Гурьев не считает ноль цифрой, полагая, что это «знак, который
сам по себе ничего не значит, но тогда только имеет значение,
когда оный находится в соединении с какою-либо другою циф-
рою».
Второе исправленное издание «Арифметических листков»
вышло через много лет после первого, в 1847 г.
«Курс чистой математики» Беллавеня в переводе П. Н. По-
горельского. В начале 30-х гг. XIX в. Платон Николаевич Пого-
рельский считался одним из наиболее известных педагогов Мос-
квы. Будучи инспектором 1-й московской гимназии, потом ди-
ректором вновь открытой 3-й московской гимназии, городских
и уездных училищ Московского учебного округа, Погорельский
сумел за короткое время сделать эти учебные заведения образцо-
выми, выведя их в число лучших школ России первой половины
XIX в. Подтверждение этому мы находим в официальном «Жур-
нале министерства народного просвещения» за 1852 г.: «Реаль-
ная гимназия и городские в Москве начальные училища обязаны
Погорельскому своим образцовым устройством, которое обрати-
ло на себя внимание и благоволение министра». Здесь же дает-
ся оценка выдающихся способностей Погорельского: «Соединяя
* Цит. по: [149, с. 32].
282 IL XIX — начало XX в
в себе сметливость ума с ловкостью, опытность с деятельнос-
тью, Погорельский обладал качествами наставника и начальни-
ка. Одно только — болезнь могла отвлекать его от любимых
им занятий по службе»*. По учебникам Погорельского изуча-
ло школьную математику не одно поколение русских людей.
Он был домашним учителем математики Пафнутия Львовича
Чебышева, который избрал для дальнейшего образования мате-
матическое отделение Московского университета во многом под
влиянием своего замечательного наставника.
Хорошо зная современную переводную и отечественную
учебную математическую литературу и не найдя в ней соответ-
стовавших его требованиям учебников, он в начале 30-х гг. по
собственной инициативе перевел учебник, известный как «Курс
чистой математики» Беллавеня. Этот оригинальный перевод
был так удачен и так соответствовал гимназической программе
Устава 1828 г., что выдержал несколько изданий и был офици-
ально рекомендован в качестве руководства для гимназий. Пол-
ное его название — «Курс чистой математики, составленный по
поручению генерала Беллавеня профессорами Аллезом, Пюисса-
ном и другими, в переводе с французского П.Н. Погорельского,
с его дополнениями и изменениями» [127, с. 148]. Таким образом,
это не просто перевод, а переработанный и дополненный вари-
ант «Курса чистой математики», удовлетворявший возросшие
требования к гимназическому математическому образованию.
Основным достоинством «Курса чистой математики» Бел-
лавеня-Погорельского был современный язык изложения мате-
риала, максимально приближенный к обычной речи, тогда как
учебная литература того времени отличалась старомодной тя-
желовесной риторикой. Кроме того, в отличие от современных
ему учебников математики пособию была присуща достаточная
полнота, соединенная с компактностью, точностью и ясностью
изложения. Все это говорит о поразительном педагогическом
мастерстве П.Н. Погорельского, который пользовался в Москве
необыкновенной известностью прежде всего за счет умения «дер-
жать весь класс во время урока в неослабном напряжении и из-
лагать свою науку в ясной и общедоступной форме» [250, с. 12].
Из всего «Курса чистой математики» наиболее удачно По-
горельский переработал алгебру, которая «при небольшом объ-
еме отличалась полнотою содержания и общедоступностью из-
ложения» [251, с. 397]. Она до 50-х гг. XIX в. была принята в
* Цит. по: [251, с. 385].
2. II четверть XIX в.283
качестве руководства в большинстве учебных округов, несмот-
ря на некоторые достаточно серьезные недостатки. В частности,
в «Алгебре» Погорельского не излагались такие важные вопро-
сы, как исследование решений квадратных уравнений, квадрат-
ные уравнения с двумя неизвестными, двучленные уравнения и
уравнения высших степеней. Ощущался и недостаток задач для
самостоятельной работы учеников. Эта проблема была решена в
1853 г. А. Н. Вольманом, который опубликовал в качестве допол-
нения к «Алгебре» Погорельского «Практические упражнения к
алгебре». В последнем учебном руководстве изложены недостаю-
щие теоретические вопросы, которые требовались изменившейся
программой по математике. Здесь помещены также 1 594 алгеб-
раические задачи.
«Алгебра» Погорельского в 1863 г. вышла в свет 8-м изда-
нием и до конца 80-х гг. почти всегда упоминалась в каталогах
руководств по математике, рекомендованных для гимназий [248,
с. 10]. «Геометрия» Беллавеня-Погорельского была менее попу-
лярна, но в некоторых учебных округах она употреблялась в
гимназиях достаточно продолжительное время.
Очень ценил учебники своего наставника П.Л. Чебышев.
Будучи членом Ученого комитета по математическим наукам,
он рекомендовал их в качестве руководств для гимназий. Осо-
бенно это касалось «Алгебры», которую Чебышев считал самой
лучшей учебной книгой на русском языке, поскольку она «самая
краткая» [242].
Итак, учебные руководства П. Н. Погорельского по элемен-
тарной математике, благодаря своим замечательным педагоги-
ческим и методическим достоинствам долгое время имели за-
служенную популярность и регулярно переиздавались — прак-
тически через каждые 2-3 года.
284 И- XIX — начало XX в
2.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
в 30-х — начале 50-х гг. XIX века
Начало 30-х гг. XIX в. проходит в условиях реформирова-
ния образовательной системы России и встроенной в нее систе-
мы гимназического математического образования. Следующий
важный период в истории образования в России связан с именем
«первого насадителя классицизма» [191, с. 44] графа Сергея Се-
меновича Уварова, который и до той поры играл в этой истории
весьма значительную роль, будучи попечителем Петербургского
учебного округа.
2.2.1. Математическое образование
в России 30-х — начала 50-х гг. XIX века
Образовательная политика России во времена ми-
нистра народного просвещения С. С. Уварова. Характе-
ризуя образовательную политику целой эпохи, мы впервые об-
ращаемся к конкретному лицу. Это объясняется тем, что на
посту министра народного просвещения С. С. Уваров в отличие
от многих предшествующих и последующих исполнителей вел
активную самостоятельную образовательную политику, вполне
им осознаваемую и согласованную с образовательной политикой
Европы, с которой он был хорошо знаком. В истории России де-
ятельность и личность С. С. Уварова оценивается неоднозначно,
но никто не может отрицать его блестящих способностей и несо-
мненного стремления к величию России так, как он это понимал.
Коснемся некоторых фактов его незаурядной биографии.
Получив домашнее образование, С. С. Уваров уже четырна-
дцатилетним юношей состоит на службе в министерстве ино-
странных дел, затем работает в Европе в качестве посланника,
что способствует его знакомству со многими очень известны-
ми людьми. Блестящий дар речи, великолепное знание новых и
древних языков производят сильное впечатление на окружаю-
щих. В частности, об Уварове с похвалой отзывался гениальный
немецкий писатель и философ И. В. Гете.
В 1810 г. 24-летний Уваров оставил службу в министерст-
ве иностранных дел и был назначен директором департамента
мануфактур и торговли и одновременно — директором госу-
дарственного заемного и коммерческого банков. Однако в конце
2. II четверть XIX в.285
того же года он получает новое назначение — попечителя С.-
Петербургского учебного округа*. На этом посту он преобразует
Главный педагогический институт в С.-Петербургский универ-
ситет, осуществляет реформу учебных планов и программ гим-
назий и уездных училищ — знаменитый «Уваровский план».
В основу этих реформ положены прусские образцы — преиму-
щественно идеи барона Г. Штейна, прусского реформатора, с ко-
торым Уваров был хорошо знаком в пору своей дипломатической
деятельности. В 1821 г. из-за разногласий с министром духовных
дел и народного просвещения А. Н. Голицыным Уваров уходит
из округа и возвращается на должность директора департамента
мануфактур и торговли и банков**.
Значительна роль С. С. Уварова в развитии литературы и
науки первой половины XIX в. По его инициативе было создано
знаменитое литературное общество «Арзамас». Уваровым был
написан ряд трудов по греко-римской истории и филологии, при-
несших ему известность в ученом мире. Уваров являлся членом
многих европейских научных обществ. С 1818 г. и практически
до конца жизни он был президентом Петербургской Академии
наук [138, с. 43]. В начале царствования Николая I С. С. Уваров
возвращается в сферу народного просвещения. В 1832 г. он на-
значается помощником министра, в следующем году — управля-
ющим министерством и, наконец, в 1834 — министром. На этом
посту он остается до конца 1849 г.
С. С. Уваров стремился прежде всего к тому, чтобы уберечь
страну от революционных потрясений, характерных для Европы
того времени. Он определяет свою образовательную политику
следующим образом: «Мы живем среди бурь и волнений поли-
тических. < ... > Но Россия еще юна, девственна и не должна
вкусить, по крайней мере теперь еще, сих кровавых тревог. На-
добно продлить ее юность и тем временем воспитать ее. Вот
моя политическая система» [138, с. 44]. Для такого воспитания,
по мнению Уварова, необходимо, чтобы молодое поколение «луч-
* Это назначение связывают с тем, что в апреле 1810 г. его тесть,
граф Алексей Кириллович Разумовский, служивший до того попечи-
телем Московского учебного округа, стал министром народного про-
свещения (см.: [191, с. 44]).
** На его место назначается «верный сподвижник» Аракчеева и
Магницкого Рунич, «доведший до конца разрушение С.Петербургско-
го университета» [191, с. 45].
286 II. XIX — начало XX в
ше знало Русское и по-Русски» [138, с. 44]. Суть же воспитания
России заключается в знаменитой формуле Уварова как минист-
ра просвещения — «Православие. Самодержавие. Народность».
Содержание этой формулы наиболее полно раскрывается в до-
кладе С. С. Уварова императору Николаю I, сделанном 19 нояб-
ря 1833 г. Приведем выдержки из него.
В начале доклада Уваров делает программное заявление,
что считает «заглавным методом, лозунгом моего управления
следующее выражение: «Народное воспитание должно совер-
шаться в соединенном духе Православия, Самодержавия и На-
родности»». Далее он выражает уверенность в необходимости
сохранения самобытности России: «Россия, к счастью, сохрани-
ла досель теплую веру к некоторым религиозным, моральным и
политическим понятиям, ей исключительно принадлежащим. В
сих понятиях, в сих священных остатках ее народности, нахо-
дится и весь залог будущего ее жребия. Подлежит собрать их в
одно целое и связать ими якорь нашего спасения...» В качест-
ве государственной Уваров формулирует задачу сочетания оте-
чественной самобытности и европейской просвещенности. Он за-
дается вопросом: «Как учредить у нас народное воспитание, со-
ответствующее нашему порядку вещей и не чуждое Европейско-
го духа? По какому правилу следует действовать в отношении
к Европейскому просвещению, к Европейским идеям, без коих
мы уже не можем обойтись, но которые без искусного обуздания
их грозят нам неминуемой гибелью?» Это, по мнению Уварова,
можно сделать, используя такие начала, «без которых Россия не
может благоденствовать, усиливаться, жить», в качестве како-
вых он предъявляет свою триаду. И далее аргументирует необ-
ходимость каждого из начал, в нее входящих: «Без любви к ве-
ре предков народ, как и честный человек, должен погибнуть...»
«Самодержавие представляет главное условие политического су-
ществования России в настоящем ее виде...» «Дабы Трон и
Церковь оставались в их могуществе, должно поддерживать и
чувство Народности, их связующее...»
Основным средством народного воспитания на основе «пра-
вославия, самодержавия, народности» С. С. Уваров считает ох-
ранительные меры и, имея в руках мощные рычаги управления
народным образованием, немедленно вводит их в действие*.
* К этому времени значительно укрепился бюрократический аппа-
рат, исполнительная власть была жестко централизована.
2. II четверть XIX в.287
Несмотря на жесткие меры, ограничивающие получение об-
разования низших сословий, «потребность русского общества в
30-х и 40-х гг. сделалась настолько значительной, что число уча-
щихся в гимназиях, падавшее в конце царствования Александ-
ра I и в начале царствования Николая I, стало опять возрастать»
[34, с. 386], вызывая опасения у правительства. «Ограничения
идут за ограничениями» [191, с. 46]. В 1835г. было обнародо-
вано новое положение об управлении округов, в соответствии
с которым университеты как рассадники вольнодумства были
устранены от курирования гимназий*, директора гимназий —
от заведования низшими школами. В 1837 г. последовал Высо-
чайший указ на имя С. С. Уварова «О точном и повсеместном
наблюдении правил о приеме в учебные заведения людей раз-
личных состояний».
Министр народного просвещения С. С. Уваров вполне опре-
деленно отвечает на усилившееся стремление к образованию в
докладной записке 1840 г.: «При возрастающем повсюду стрем-
лении к образованию наступило время пещись о том, чтобы чрез-
мерным этим стремлением к высшим предметам учения не поко-
лебать порядок гражданских сословий, возбуждая в юных умах
порыв к приобретению роскошных (т. е. излишних — Т. П.) зна-
ний» [34, с. 386]. Через пять лет министр в своем «предложении»
попечителям округов еще более определен: «Принимая во вни-
мание, что в высших и средних учебных заведениях через меру
умножился прилив молодых людей, рожденных в низших слоях
общества^ для которых высшее образование бесполезно, состав-
ляя лишнюю роскошь и выводя их из круга первобытного состо-
яния без выгоды для них самих и для государства», необходимо
«повысить плату за ученье» [34, с. 386] (курсив мой — Т. П.).
11 июня 1845 г. Уваров вносит проект «О возвышении платы
за право обучения», который высочайше утвержден с пометкою:
«Притом надо сообразить, нет ли способов затруднить доступ
в гимназии для разночинцев?» Через несколько дней Уваров со-
общает государю, что он это предвидел и потому 3 июня внес
* Вслед за этим издан новый университетский устав, в соответ-
ствии с которым существенно урезывались университетские академи-
ческие свободы: ректоры и деканы оставались выборными, но власть
Совета была ограничена, судебные функции были вовсе отняты у уни-
верситета, существенно усиливалась роль попечителя, введена форма
для студентов, богословие, церковная история и церковное право ста-
ли обязательными дисциплинами для всех факультетов [34, с. 387].
288 IL XIX — начало XX в
в кабинет министров предложение «О средствах устранить от
гимназии детей купцов, мещан и других лиц податного состоя-
ния» [191, с. 46].
Затрудняя доступ в среднюю и высшую школу «третье-
му сословию», правительство не особенно старалось привлечь
к обучению и дворянство. Николай I был сторонником полу-
чения дворянами военного образования и несения ими военной
службы перед гражданской: «На сей же конец им открыта воз-
можность поступать в военно-учебные заведения или же прямо
в ряды войск, для чего университетское образование не есть не-
обходимость»*. Одновременно с этим подвергается изменениям
учебный план. В 1844 г. из гимназий изъяты последние остат-
ки философских и общественных наук [34, с. 386], прекращено
преподавание статистики. В конце 1845 г. урезана программа по
математике, о чем мы будем подробно говорить далее. В 1847 г.
из учебного плана исключается логика.
Европейские революционные бури 1848 г. приводят к экстра-
ординарным мерам в образовательной области. Министерством
народного просвещения был издан секретный циркуляр, в ко-
тором, ссылаясь на происходящие в Европе события, делаются
указания попечителям учебных округов обратить особое внима-
ние: 1) на дух преподавания вообще, 2) на образ мыслей сту-
дентов и воспитанников, 3) на благонадежность наставников и
воспитателей. В качестве надежного средства предупреждения
вольнодумства в этом циркуляре предлагалось: 1) отчетливое
преподавание закона Божия, с указанием на обязанности верно-
подданных, 2) недопущение при преподавании предметов ничего
такого, что могло бы поколебать веру или уменьшить убеждение
в необходимости или пользе основных учреждений правительст-
ва, 3) бдительное и строгое наблюдение за нравственностью [5,
с. 159-160]. В ответ на циркуляр попечители округов представи-
ли особые донесения о духе преподавания и установлении тесной
связи между попечителями и органами полиции.
Такая атмосфера не замедлила сказаться на численности
обучающихся. Число студентов во всех университетах, достиг-
шее в 1847г. 4 000, в 1850г. упало до 3 000, т.е. уменьшилось
на 25%. Число гимназистов с 21382 в 1847 г. упало до 17 827 в
1854г., т.е. сократилось почти на 17%**.
* Цит. по: [340, с. 127].
** Цит. по: [340, с. 127].
2. II четверть XIX в.289
Подвергается остракизму даже усиленно насаждавшийся в
гимназиях ранее по инициативе С. С. Уварова классицизм, ко-
торый считался гарантией против «дерзновенных мечтаний».
Теперь взгляды изменились: считается, что классицизм способ-
ствует распространению республиканских идей и этим грозит
самодержавной России: «Знакомство с древними литература-
ми и с условиями жизни классических народов способствует к
распространению республиканских идей и к культу языческого
просвещения»*. Николай I в ответ на революционные потрясе-
ния Европы ужесточает внутреннюю политику, создает особый
цензурный комитет. В это же время он утрачивает доверие к ми-
нистру народного просвещения, и С. С. Уваров вынужден уйти
в отставку с этого поста.
За полтора десятилетия своей министерской деятельности
С. С. Уварову удалось сделать очень многое. Он, в частности:
- завершает подготовку учебных программ на основе класси-
ческого (общего) образования;
- заканчивает создание централизованной системы управле-
ния образованием с ограничениями университетской авто-
номии;
- вводит обязательные заграничные стажировки будущих мо-
лодых преподавателей вузов;
- сохраняет и упрочивает государственно-сословную систему
образования;
- участвует в открытии 480 различных учебных заведений;
- в рамках Академии наук осуществляет научную программу
в области русской истории и языка;
- курируя по должности цензурное ведомство, старается про-
водить гибкую политику, не допуская разрушительных «со-
чинений, но и не зажимая все живое» [138, с. 46].
В 1849 г. классицизм изгнан из гимназического образования,
теперь «поручили естественным наукам и математике заботить-
ся о порядке и нравственности» [191, с. 47]. 21 марта гимназии
по предложению попечителя Петербургского учебного округа
Мусина-Пушкина были разделены, начиная с 4-го класса, на
* Из записки (1871г.) барона Ф. П. Николаи — видного деятеля
отечественного образования, министра народного просвещения в нач-
ле 80-х гг., в которой излагается история и результаты насаждения
классицизма. Цит. по: [191, с. 46].
290 IL XIX — начало XX в
классическое и реальное отделения. Произошла бифуркация гим-
назического образования. Доступ в классические отделения был
открыт «преимущественно дворянам, как более надежному эле-
менту» [191, с. 47], латинский и греческий начинались с 4-го
класса только классического отделения.
Впоследствии классическая система была еще более ослаб-
лена: греческий язык был оставлен лишь в 9 гимназиях универ-
ситетских городов для подготовки в студенты филологического
факультета. Знание греческого языка в России стало такой ред-
костью, что в 1856 г. министр народного просвещения вынужден
был разрешить прием в студенты историко-филологического фа-
культета Казанского университета молодых людей, не знавших
греческого языка [34, с. 387].
Гимназическая система математического образова-
ния 40-х — начала 50-х годов XIX в. Во второй половине
30-х гг. никаких существенных изменений в гимназическом
математическом образовании не произошло, кроме появления
новых учебников, которые мы охарактеризуем в следующем
параграфе. Однако именно в эти годы, по свидетельству
А. П. Юшкевича, математическая «подготовка, сообщаемая в
гимназиях, начала несколько улучшаться, но это был процесс
весьма затяжной» [340, с. 129].
Существенные изменения начались с реализации планов
С. С. Уварова как министра народного просвещения России.
Сделав классицизм основным ядром гимназического обучения,
он «приложил немало усилий к тому, чтобы математика в этом
обучении потеряла свое прежнее превалирующее значение» [251,
с. 403]. 15 декабря 1845 г. министр издает циркулярное предло-
жение «Об ограничении в гимназиях преподавания математи-
ки» [51, с. 79], которым отменялось преподавание в гимназиях
аналитической и начертательной геометрий. Одновременно бы-
ло предложено в виде эксперимента ввести новое «распределение
математики», которое прилагалось. Это распределение явилось
«первой официально утвержденной подробной программой пре-
подавания математики в гимназиях» [251, с. 403]. Оно устана-
вливало четкие пределы курса математики, в нем указывались
объем и последовательность изучения математики по классам и
математическим дисциплинам. На основании этого распределе-
ния уроков Ф. И. Буссе составлен проект примерной программы
по математике. Перечислим отличительные особенности этой
программы в сравнении с учебным планом 1828 г.
2. II четверть XIX в.291
1. Арифметика заканчивалась не во 2-м, а в 3-м классе, где
необходимо было изучить следующие вопросы: применение гео-
метрической пропорции к простому тройному правилу, вычис-
лению процентов, учету векселей и проч.; применение геометри-
ческой пропорции к сложному тройному и остальным правилам
(смешения, товарищества и др.).
2. В курс арифметики дополнительно включался раздел о
периодических дробях.
3. Курс геометрии начинался со второго полугодия 4-го и
заканчивался в 5-м классе.
4. Курс алгебры начинался в 3-м, продолжался в 4-м и 5-м
классах, причем в последнем ей уделялось незначительное время;
заканчивалось изучение алгебры в 6-м классе.
5. В курс алгебры вводились два новых раздела: 1) «перело-
жения, всевозможные и различные сочетания; ньютонов бином,
возвышение в степень многочисленного количества; 2) приложе-
ние алгебры к решению геометрических задач»*.
6. В раздел приложений алгебры к решению геометрических
задач включались следующие вопросы: 1) закон однородности,
которому следуют все алгебраические выражения протяжений;
2) построение алгебраических, рациональных и иррациональ-
ных выражений 2-й степени, изображающих линию, площадь
или объем; 3) построение корней уравнения 2-й степени с од-
ним неизвестным.
7. В 6-м классе изучался также курс тригонометрии, в ко-
торый дополнительно включался специальный раздел решения
геометрических задач с помощью тригонометрии.
8. Специальные указания давались учителю математики,
особенно старших классов, чтобы он заботился преимуществен-
но о развитии и укреплении в своих учениках самостоятельности
«в применении известных им теоретических начал к решению
практических задач» [251, с. 404].
Таким образом, в программе по математике для гимназий,
составленной в 1846 г. Ф. И. Буссе, была значительно усилена
прикладная сторона преподавания математики во всех матема-
тических дисциплинах — арифметике (приложения к решению
арифметических задач «на правила»), алгебре (приложения к
* Цит. по: [251, с. 404]. Сами особенности в основном представлены
там же.
292 II. XIX — начало XX в
решению геометрических задач), тригонометрии (также прило-
жения к решению геометрических задач).
Кроме того, за счет исключения из гимназического курса
начертательной и аналитической геометрий существенно рас-
ширился прежде всего курс алгебры. Однако к числу недостат-
ков курса алгебры следует отнести отсутствие такого важного
раздела, как решение неравенств первой и второй степеней. Не-
удачно и распределение этой учебной дисциплины по классам.
Так, курс алгебры 4-го класса был чрезвычайно труден: он на-
чинался с таких сложных вопросов, как исследование системы
уравнений, решение неопределенных уравнений первой степени
с двумя и тремя неизвестными, а заканчивался теорией соедине-
ний и биномом Ньютона. Большие трудности вызывал и раздел
«Приложения алгебры к решению геометрических задач» преж-
де всего из-за отсутствия пособий, в которых бы доступно изла-
гался этот вопрос. Эти трудности вскоре были устранены изда-
нием в 1847 г. «Приложений алгебры к решению определенных
геометрических задач» А. Н. Вольмана [127, с. 147].
В курсе арифметики большие трудности вызывал раздел
«О непрерывных дробях», который изучался очень рано (во 2-м
классе) и не имел приложений в арифметике. Этот раздел целесо-
образнее было перенести в курс алгебры, где он нашел бы широ-
кое применение при решении неопределенных уравнений первой
степени с двумя неизвестными.
Программа курса геометрии соответствовала «Руководству
начальной геометрии» Ф. И. Буссе.
Программа Ф. И. Буссе была первой общей для всех русских
гимназий программой по математике [127, с. 147], определявшей
не только содержание ее преподавания в целом, но и последова-
тельность изучения отдельных тем, а также распределение их
по классам.
Положительные изменения в преподавании математики про-
изошли вскоре после 1849 г. в связи с отказом от классицизма в
гимназическом образовании. Вместо греческого языка новый ми-
нистр, князь Платон Александрович Ширинский-Шахматов, в
некоторых гимназиях распорядился ввести естественные науки.
Он так аргументировал свое решение: естественные науки «со-
ставляют потребность современного образования, преподаются
в военно-учебных заведениях и институтах и могут ощутитель-
но облегчить подробное и основательное изучение естественных
наук для студентов физико-математического и медицинского фа-
2. II четверть XIX в.293
культета» [34, с. 387]. Математика в это время была усилена с
20 до 30 недельных часов (по четырем классам) [191, с. 47].
В октябре 1851 г.*, произошли новые изменения в русле от-
хода от классицизма: «Просматривая таблицу уроков на 1852 г.,
Николай I вычеркнул совершенно греческий язык и только,
уступая просьбам министра, согласился оставить его в 9-ти гим-
назиях» [191, с. 47]. Однако это не улучшило, а ухудшило поло-
жение математики. Освободившиеся от греческого часы были
отданы на уроки естествознания. Математика же опять подвер-
глась сокращению до 22х/г часов.
В соответствии с новым распределением часов в 1852 г. в
виде эксперимента была введена новая программа по математи-
ке. Она была рассчитана на полный гимназический курс, т.е.
на 7 лет. От программы 1846 г. эта программа отличалась не-
сколько иным распределением материала по классам, а также
включением в курс алгебры комбинаторики и бинома Ньютона.
В 7-м классе предусматривалось повторение всего пройден-
ного в предыдущие годы в целях развития и укрепления само-
стоятельности учащихся в применении теории к решению прак-
тических задач. Кроме повторения пройденного за весь гимнази-
ческий курс предлагалось «если время и способности учащихся
дозволят»**, ввести дополнение некоторых разделов математи-
ки, причем не уточнялось, каких именно, решение этого вопроса
предоставлялось самому учителю математики.
Особое внимание в программе 1852 г. уделено решению за-
дач и вообще приложениям теории к практике. Так, в курс ал-
гебры 3-го класса был введен пропедевтический цикл решения
уравнений как основного метода решения задач. В 5-м классе
предусматривалось решение задач практической геометрии. В
программу курса тригонометрии 6-го класса вводилось проведе-
ние измерительных работ на местности.
Другой характерной особенностью программы по матема-
тике 1852 г. стала явно выраженные внутрипредметные связи
между отдельными математическими дисциплинами. Введение
* Несмотря на то что формально эта дата выходит за рамки первой
половины XIX в., характеризуемые далее события укладываются в
логику завершения соответствующего периода развития отечествен-
ного математического образования. Поэтому мы описываем их здесь.
** Цит. по: [51, с. 79].
294 Н- XIX — начало XX в
элементов алгебры начиналось в арифметике с обобщения реше-
ния арифметических задач, и алгебра представлялась ученикам
как продолжение и обобщение арифметики. Не менее четко связь
между алгеброй и геометрией выражалась в виде приложений
алгебры к решению геометрических задач. Геометрия и триго-
нометрия связывались в анализируемой программе посредством
решения геометрических задач с применением тригонометрии.
Программа 1852 г. оказалась очень перегруженной, вместе с
тем в ней отсутствовали учение о неравенствах и раздел о функ-
циях. Невзирая на эти недостатки, программа в целом сыграла
прогрессивную роль в создании отечественной системы гимна-
зического математического образования.
2.2.2. Отечественные учебники математики
в 30—40-х гг. XIX века
Несмотря на настойчивые и во многом успешные попыт-
ки министерства обеспечить единообразие содержания образо-
вания, в гимназиях разных учебных округов использовались
разные учебники. Так, в московских гимназиях широко исполь-
зовался «Гимназический курс чистой математики» профессо-
ра Московского университета Д.М. Перевощикова. В гимназиях
Казанского учебного округа преподавание велось преимущест-
венно по руководствам Н. И. Лобачевского, в частности, курс
алгебры читался по рукописному руководству элементарной ал-
гебры, предисловие к которому содержало методические реко-
мендации к ее преподаванию [248, с. 10].
В 1844 г. почти одновременно были изданы два очень хоро-
ших учебника математики для гимназий: «Руководство началь-
ной геометрии» Ф. И. Буссе и «Арифметика» В. Я. Буняковско-
го. Охарактеризуем некоторые методические принципы и учеб-
ники математики этих авторов.
Взгляды Д. М. Перевощикова на учебники матема-
тики и его «Гимназический курс чистой математики».
В 1837г. профессор Д.М. Перевощиков, в то время декан мате-
матического отделения Московского университета, издал «Гим-
назический курс чистой математики». Помимо этого он опуб-
ликовал большое количество учебников математики, механики,
астрономии, руководствуясь собственными требованиями*.
* Они изложены в предисловии к переводу «Дифференциального
исчисления Франкера» (М., 1824). См.: [132, с. 75].
2. II четверть XIX в.295
1. Перевощиков уделял много внимания выработке логичес-
кого мышления и самостоятельной работе учеников: «Учебное
сочинение < ... > должно доставлять учащимся столько позна-
ний, чтоб они могли без труда переходить от него к исследова-
ниям высшим».
2. Когда логическое мышление будет достаточно развито,
«постигнувши сию тайну, учащийся и с малым количеством ис-
тин будет в состоянии приобретать новые сведения, даже сам
проложить путь к открытиям».
3. Учебник должен отличаться методической последователь-
ностью и стройностью: «Сочинитель обязан содержащиеся в
учебном сочинении истины соединить так, чтобы все они про-
истекали из одной коренной истины очевидным образом. < ... >
Это научает выводить заключения и пользоваться ими при но-
вых вопросах».
4. Главное внимание в учебнике должно уделяться основ-
ным положениям соответствующей науки: «Нет надобности на-
полнять учебную книгу исследованиями частными, которые, об-
ременяя память, не позволяют уму действовать свободно и уда-
ляют от цели учения».
5. Что касается решения задач, то Д.М. Перевощиков вы-
ступал против таких задач, которые требуют искусственных
приемов, догадок, считая, что место им вне учебных занятий:
«Примеры должно разрешать помощью непосредственного при-
ложения предшествовавших теорий, а не посторонними, искус-
ственными приемами».
6. Особенно ценил Перевощиков, как и читатели его книг,
компактность изложения материала: «Краткость в выражениях
необходима, часто довольно одного указания на прежнее иссле-
дование, обременительнее же всего повторения».
7. В заключение он обращался к авторам учебников: «Из се-
го видно, что составить учебную книгу не так легко, как обык-
новенно думают; чтоб написать сочинение сего рода об одной
части науки, должно обнимать всю науку, хорошие учебные со-
чинения весьма редки, потому что познания сочинителя часто
простираются не далее его книги».
Мы уже говорили о «Ручной математической энциклопе-
дии» Перевощикова, которая удовлетворяла этим требованиям и
была написана с большим педагогическим и методическим мас-
терством. По ней «в свое время училась математике молодежь
почти всей России» [251, с. 198], в частности, М. Ю. Лермонтов
296 IL XIX — начало XX в
изучал по этой книге математику в Благородном университет-
ском пансионе и школе гвардейских прапорщиков [132, с. 76].
Это издание доставило Д. М. Перевощикову огромную популяр-
ность. Может быть, наиболее парадоксален тот факт, что вы-
сокие достоинства «Ручной математической энциклопедии» оце-
нил Н.В. Гоголь, не любивший и не знавший математики. «Не
знаю, как воздать хвалу этому образцовому сочинению, — пи-
сал он из Нежина. — Я, только читая ее, понял все то, что мне
казалось темным, неудовлетворительным, когда проходил мате-
матику. Как удивительно изъяснена теория дифференциального
и интегрального исчисления... Мне нравится, что во всем этом
курсе всякая часть, даже самая арифметика, написана так, что
ее никак нельзя учить буквально, так, как многие делают с гео-
метриею — здесь все изъяснено, все основано на умственном со-
зерцании, но так просто, так легко, ясно изложено, что дитя в
состоянии понимать его»*.
«Гимназический курс чистой математики» практически
стал результатом переработки Д. М. Перевощиковым первых
шести книг его «Ручной математической энциклопедии»: в них
были внесены исправления и дополнения, изменены определе-
ния некоторых математических понятий и др. В окончатель-
ный вариант «Гимназического курса» были включены арифме-
тика, элементарная алгебра, начальная геометрия, прямолиней-
ная тригонометрия и конические сечения, которые еще входили
в то время в программу гимназий. Из этого учебного пособия
«приняты были к употреблению, преимущественно в московских
гимназиях, алгебра и тригонометрия» [248, с. 10].
Арифметика в новом учебнике изложена Перевощиковым
просто и доступно, особенно это касается действий с дробями,
которые автор понимает как «невычисленные» частные. При из-
ложении арифметики Перевощиков вслед за С.Е. Гурьевым не
пользуется теорией пропорций, которая, по его мнению, «при-
надлежит целиком геометрии». Во многом «по Гурьеву» изла-
гается Перевощиковым и геометрия. Что касается алгебры, то
в «Гимназическом курсе» изложен большой и временами доста-
точно трудный материал. Одним из первых автор ввел в учеб-
ник элементарной алгебры понятие функции, причем сделал это
* Из письма Н. В. Гоголя П. П. Косаровскому от 13 сентября 1827 г.
[84, с. 109]. Впервые в контексте истории математического образова-
ния цит. [251, с. 198].
2. II четверть XIX в.297
практически в конце курса в связи с обобщением бинома Ньюто-
на на дробные и отрицательные показатели. Приведем это опре-
деление: «Выражение, составленное из какого-нибудь количест-
ва, соединенного с другими так, что с переменою его величины
переменяется величина и самого выражения, называется функ-
циею сего количества» [229, с. 199]. Учебник алгебры включает
приложения алгебры к геометрии, под которыми здесь понима-
ются элементы аналитической геометрии: система координат,
уравнения прямой, окружности, параболы, эллипса, гиперболы
и общее уравнение второй степени с двумя неизвестными.
«Гимназический курс» выдержал два издания и имел до-
вольно широкое распространение. «Прямолинейная тригономет-
рия», входившая в его состав, была рекомендована П.Л. Чебы-
шевым как руководство для гимназий даже в 60-х гг. [251, с. 201].
30-40-е гг. были временем огромного интереса общества к
литературным журналам, которые публиковали статьи по ши-
рокому кругу проблем, в том числе по проблемам образова-
ния*. В «Отечественных записках» 1841г. помещена рецензия
на «Гимназический курс чистой математики», которая начина-
лась словами: «Нам не нужно рекомендовать эту книгу учащим и
учащимся; имя автора рекомендует ее лучше всех журнальных
похвал. Кто имел удовольствие слушать чтение ученого про-
фессора и читать его сочинения, тот знает, что каждое из них
отличается глубоким знанием предмета, прекрасным изложени-
ем, не допускающим ничего лишнего и не опускающим ничего
нужного» [209, с. 49].
Такие разделы «Гимназического курса» Д. М. Перевошико-
ва, как арифметика, алгебра и прямолинейная тригонометрия
довольно долго служили источником и образцом для авторов
последующих учебников. На основе раздела алгебры «Гимнаг
зического курса» Перевощиков в 1854 г. опубликовал «Основа-
ния алгебры», рекомендованные министерством народного про-
свещения как пособие для преподавателей в гимназиях.
«Руководство начальной геометрии» Ф. И. Буссе и
«Практические упражнения в геометрии» П. С. Гурье-
ва. Перевод «Курса чистой математики» Беллавеня, выполнен-
ный к 1836 г., не удовлетворил членов Ученого комитета минис-
терства просвещения. К использованию в гимназиях была одоб-
* Сам Перевощиков активно публиковался в литературных жур-
налах. См. подробнее ч. III настоящего издания.
298 IL XIX — начало XX в
рена только геометрия и то временно, до издания более подхо-
дящего учебника, заказанного Ф. И. Буссе. В 1844 г. Буссе пред-
ставил рукопись учебного гимназического руководства для гим-
назий, по поручения физико-математического отделения Петер-
бургской Академии наук отрецензированную В. Я. Буняковским
и П.Н. Фуссом*. В представленном ими отзыве указано, что
«Руководство начальной геометрии» Ф. И. Буссе «достойно од-
обрения и может с пользою заменить курсы геометрии, доны-
не употреблявшиеся в гимназиях»**. Таким образом, учебник
геометрии Буссе был одобрен для употребления в гимназиях и
издан департаментом народного просвещения.
Учебник Буссе стал первым в истории отечественного ма-
тематического образования учебником элементарной геометрии,
который имеет современную структуру и практически современ-
ное содержание. В нем отсутствует раздел лонгиметрии, ранее
присутствовавший во всех более ранних учебных руководствах
по геометрии. В «Руководстве начальной геометрии» только два
раздела — планиметрия и стереометрия. Учебник Буссе удовле-
творял требованиям, которые математика прдъявляла к учеб-
никам того времени, он хорошо продуман и в методическом
отношении. По мнению В.Е. Прудникова, который анализиро-
вал этот учебник достаточно детально, у него есть только один
недостаток — отсутствие в каком-либо виде элементов теории
пределов [251, с. 409]. Объясняется это, по-видимому, тем, что в
программе 1846 г. теории пределов тоже нет.
Отметим также, что «Руководство начальной геометрии»
Ф. И. Буссе — один из первых отечественных учебников мате-
матики, полностью соответствовавших программе 1846 г., воз-
можно, потому, что автором ее также был Федор Иванович.
В 1844 г. П. С. Гурьев совместно со своим учеником по Гат-
чинскому сиротскому институту А. Дмитриевым подготовил и
издал сборник задач по геометрии, который назван им «Прак-
тические упражнения в геометрии» и утвержден Комиссией по
рассмотрению учебных пособий министерства просвещения в ка-
честве учебного пособия для гимназий.
* Павел Николаевич Фусс — сын Н. И. Фусса. С 1818 г. — адъюнкт,
с 1826 г. — академик математики, в 1826-1830 гг. — инспектор клас-
сов в Петербургском воспитательном доме [201, с. 20].
** Протокол общего собрания Петербургской Академии наук от 28
июня 1844г. Цит. по: [248, с. 11].
2. II четверть XIX в.299
Цели и задачи этого издания он сформулировал следующим
образом: «Цель настоящей книги состоит в том, чтобы без на-
рушения общепринятого способа преподавания геометрии дать
ученикам возможность чаще возбуждать в себе самодеятель-
ность, пытать свои силы в применении общих законов к частным
случаям и, наконец, в преодолении затруднений собственным
усиленным напряжением ума находить истинное удовольствие».
«Практические упражнения в геометрии» включали плани-
метрические задачи на построение и вычисление. Задачи распо-
ложены удачно — последовательно, по мере возрастания труд-
ности решения. Задачник Гурьева — один из первых отечест-
венных задачников по геометрии.
«Арифметика» В. Я. Буняковского. Виктор Яковлевич
Буняковский — математик, сочетавший педагогическую дея-
тельность* с активной научной работой. Как преподаватель
Морского кадетского корпуса он принимал деятельное участие
в различных комиссиях по составлению программ и конспек-
тов для военно-учебных заведений, рассмотрению учебных ру-
ководств по математике и др. С 1862 г. Буняковский занимал
должность главного наблюдателя за преподаванием математи-
ческих дисциплин в военно-учебных заведениях.
В. Я. Буняковский разработал и издал три учебных руко-
водства по элементарной математике: «Арифметика», «Про-
грамма и конспект арифметики» ** и «Программа и конспект на-
чальной геометрии». Из них наибольшей известностью пользова-
лась его «Арифметика», рекомендованная Ученым комитетом в
качестве учебного руководства для гимназий. Рукопись «Ариф-
метики» была предложена на отзыв М. В. Остроградскому, ко-
торый дал о ней положительное заключение. «Арифметика» вы-
держала три издания (1844, 1849, 1852), которые заметно отли-
чались друг от друга. Она применялась в большинстве учеб-
ных округов России и ее всегда упоминали в списке руководств
* С 1827 по 1864 г. он преподает в Морском училище, с 1846 по
1859 г. читал в Петербургском университете курсы лекций по мате-
матическому анализу, дифференциальным уравнениям, вариационно-
му исчислению. Преподавал он и в Горном институте, и в Институте
путей сообщения. См.: [346, с. 9].
** Впрочем, это практически краткое изложение методики препо-
давания арифметики, предваряющее второе издание «Арифметики»,
которое мы проанализируем ниже.
SOO II. XIX — начало XX в
по арифметике для гимназий, который в начале каждого года
составлялся Ученым комитетом министерства народного про-
свещения [248, с. 12]. «Арифметика» Буняковского пользовалась
заслуженной популярностью у преподавателей математики бла-
годаря своим несомненным методическим достоинствам. К чис-
лу таковых относились систематичность и последовательность
изложения материала, подробные и понятные объяснения ариф-
метических правил, исключение из курса арифметики алгебра-
ического материала (например, извлечения квадратных и куби-
ческих корней, уравнений первой степени)*, умение выделить
основной материал, убрав дополнительный в «прибавления».
Особенно привлекает в «Арифметике» наличие методичес-
ких указаний для учителя, которые были сосредоточены преиму-
щественно в предисловии. Приведем некоторые из них.
1. «Упражнять как можно более в изустном и письменном
счислении, пока ученик не утвердится совершенно в этом пред-
мете».
2. «Основные действия показать сперва наглядным обра-
зом, без всякого доказательства. Когда учащийся приобретет
совершенный навык в производстве их, тогда уже повторить
с объяснением причин. Поступая так, внимание ученика не бу-
дет развлечено рассматриванием предмета с двух сторон, во-
первых, механическим производством выкладок, а во-вторых, до-
казательством объясняемых примеров. От этого правила можно
уклониться только при быстрых способностях учащегося».
3. «Когда ученик привыкнет к выкладкам и к некоторым
умственным соображениям, тогда можно приступить к дробям.
Смотря на степень развития ученика, можно руководствоваться
или приведенным сейчас правилом, или приемы с их объяснения-
ми проходить вместе, когда заметишь, что учащийся достаточно
для того развит».
4. «Предлагать ученику как можно более задач, преиму-
щественно же практических; при этом должно стараться раз-
нообразить по возможности условия задаваемых для решения
вопросов»**.
* Это, существенно упростив курс арифметики, все же создавало
некоторые трудности для учителя математики, так как эти вопро-
сы нужны были при изложении курса геометрии, который изучался
раньше, чем алгебра.
** Цит. по: [251, с. 313-314].
2. II четверть XIX в.301
Кроме предисловия «Арифметика» состояла из семи глав,
включавших: 1) предварительные понятия об именованных и
отвлеченных числах, 2) нумерацию, 3) действия над целыми от-
влеченными числами, 4) обыкновенные дроби, 5) десятичные и
непрерывные дроби, 6) практические приложения арифметики,
7) прибавления. Дадим краткую характеристику наиболее ори-
гинальных из них.
Предварительные понятия об именованных и отвлеченных
числах. Здесь обобщаются те понятия о числе и счете, которые
человек получает из окружающей действительности. Буняков-
ский не проводит резкую границу между именованными и от-
влеченными числами, а старается их по возможности связать,
показать переход от одних к другим. Он объясняет такой под-
ход тем, что понятие об именованных числах развивается у детей
раньше, поэтому оно проще и доступнее, чем понятие об отвле-
ченном числе. Определения целого числа автор не дает, так как
считает, что оно «более затемняет понятия детей, чем развивает
их».
Действия над целыми отвлеченными числами. Здесь даны
оригинальные доказательства некоторых предложений, принад-
лежащие, видимо, самому Буняковскому. Так, он объяснял, по-
чему при умножении множимое можно разбивать на части, сле-
дующим образом.
«Рассматривая произведение 17 на 4, или 68, можем разло-
жить 17, например, на части 3, 5 и 9, в этом случае найдем:
три пять девять
111 11111 111111111
111 11111 111111111
111 11111 111111111
111 11111 111111111
т.е. произведение 17 на 4 равно сумме частных произведений: 3
на 4, 4 на 4 и 9 на 4».
Обыкновенные дроби. Действия над ними Буняковский объ-
ясняет полно и достаточно обычно. Наиболее же оригинальная
часть — учение о делимости чисел было помещено в виде до-
полнения к этому разделу, где объясняются «способы сокраще-
ния дробей, основанные на признаках делимости целых чисел и
на определении общего наибольшего делителя». Начинает этот
302 IL XIX — начало XX в
раздел Буняковский с понятия о простых числах. Он рассматри-
вает таблицы умножения, объясняет способ разложения состав-
ных чисел на простые множители и показывает, как определить,
сколько простых множителей может иметь данное число. После
этого он практически формулирует предложение о единственнос-
ти разложения числа на простые множители: «Всякое целое чис-
ло допускает только одно разложение на простые множители» —
и даже доказывает, что «количество простых чисел бесконечно».
Последние два предложения впервые включены в гимназический
курс арифметики.
Много внимание Буняковский уделял признакам делимости.
Некоторые из них даны с доказательствами, а признаки дели-
мости на 7, 11 и 13 только сформулированы в основном тексте
«Арифметики», доказательство же их помещено в «Прибавле-
ниях».
Десятичные и непрерывные дроби. Этот раздел Буняковс-
кий излагает очень хорошо, особенно материал о превращении
обыкновенных дробей в десятичные и о периодических дробях.
Наиболее сложное доказательство — признаков разложимости
обыкновенной несократимой дроби в чистую и смешанную пери-
одическую — дано в «Прибавлениях».
Заметим, что в 3-м издании «Арифметики» Буняковский
объединяет десятичные дроби с целыми числами в одном по-
нятии «десятичных чисел». Действия над десятичными дробя-
ми рассматриваются раньше, чем действия над обыкновенны-
ми дробями. Буняковский это мотивирует следующим образом:
«Имея, с одной стороны, в виду, что всякую численную задачу
только тогда можно считать вполне решенной, когда искомая
величина выражена десятичным числом, целым или дробным, а
с другой, тождество понятий о десятичных дробях и целых чис-
лах» целесообразно изучать действия над десятичными дробями
вместе с действиями над целыми числами, «чрез что изложение
арифметики упростится».
Надо сказать, что проблема последовательности изучения
действий над обыкновенными и десятичными дробями и до сих
пор остается одной из ведущих проблем методики арифмети-
ки. Подход Буняковского реализуется и в современных учеб-
никах, например, в учебнике математики для 5-6-го класса
Н.Я. Виленкина и др., введенном в обучение математике в пе-
риод колмогоровских реформ математического образования 60-
70-х гг. XX в.
2. II четверть XIX в.303
В заключительном разделе «Арифметики» В. Я. Буняков-
ский рассматривал в качестве дополнительного важный и ин-
тересный материал о различных системах счисления. Здесь по-
казано, как перейти от одной системы к другой, и подробно
рассмотрены двоичная или «диадическая», как называет ее Бу-
няковский, и двенадцатиричная или «додекадическая» системы
счисления. Даны пояснения к римской и славянской системам
счисления. «Арифметика» В. Я. Буняковского стала одним из
лучших учебных руководств, нашедших доброжелательное от-
ношение в обществе. Журнал «Маяк» в 1844 г. так отзывался о
ней: «Книга, им изданная, есть лучшее руководство, не только
для учащихся, но и для учителей, как образец легкого, самого
естественного, ясного изложения».
Итак, авторы учебников математики в 30-40-х гг. XIX в.
все чаще не ограничивались разрозненными методическими ука-
заниями, но разрабатывали методику изучения соответствую-
щей математической дисциплины по этим учебникам. Перейдем
к характеристике первых обобщенных методических сочинений,
которые чаще всего посвящены методике обучения арифметике,
что объясняется, видимо, накопленным к этому времени значи-
тельным опытом ее преподавания.
2.2.3. Отечественная методика
преподавания арифметики в 30-40-х гг. XIX века:
методические труды
П. С. Гурьева и В. Я. Буняковского.
Напомним некоторые факты, связанные с первыми оте-
чественными методическими публикациями. Сначала методи-
ческие рекомендации были сосредоточены во вводных частях
учебников математики — вступлениях, предисловиях, предуве-
домлениях, введениях и др.
В 1786 г. Комиссией училищ было издано «Руководство учи-
телям первого и второго классов народных училищ Российской
империи», где давались подробные указания для проведения уро-
ков всех предметов, в том числе и математики, охарактеризо-
ванные нами в первой книге дилогии. Школьные Уставы 1804 и
1828 гг. указывали на необходимость «испытания учителей в ме-
тодах преподавания по «Руководству для учителей» 1786 года»
[252, с. 427]. В конце XVIII в. в России публикуется первый в Ев-
ропе методический труд. Это «Опыт о усовершении элементов
геометрии» академика С. Е. Гурьева.
304 II- XIX — начало XX в
В 1832 г. Ф. И. Буссе издает для учителей уездных училищ
«Руководство к преподаванию арифметики», которая стала пер-
вой отечественной книгой, имеющей совершенно конкретную ад-
ресность и полностью методическое содержание. «Руководство»
не носило общего характера, как книга Янковича де Мириево, а
являлась первой в истории математического образования в Рос-
сии методикой начального преподавания арифметики.
В 1833-1834 гг. в России издаются первые педагогико-
методические журналы. Это «Учебный математический жур-
нал» Купфера, предназначенный для учителя математики,
и «Педагогический журнал», публикующий преимущественно
статьи общепедагогического характера. В нем появляются и
методико-математические материалы, авторство которых при-
надлежит в основном сыну академика С.Е. Гурьева — Петру
Семеновичу Гурьеву. Он же публикует в 30-40 гг. XIX в. свое
первое методическое руководство.
Итак, в 30-х гг. XIX в. разрозненные методические ука-
зания к преподаванию отдельных математических дисцип-
лин сменяются систематическими методиками. В первую оче-
редь отечественными математиками-методистами Ф. И. Буссе,
П.С. Гурьевым, В. Я. Буняковским создаются методики препо-
давания арифметики. Книгу Буссе мы уже охарактеризовали,
приступим к характеристике методических трудов П.С. Гурье-
ва и В. Я. Буняковского.
«Руководство к преподаванию арифметики малолет-
ним детям» П. С. Гурьева. В 1839 г. выходит в свет первая
часть «Руководства к преподаванию арифметики малолетним
детям» П.С. Гурьева, которая предназначалась для учителей
и родителей, пожелавших самостоятельно обучать своих детей.
Книге Гурьева предпослано обширное предисловие, в котором он
обосновал необходимость такого рода сочинения: «У нас новичок
учитель совершенно предоставлен самому себе. Воля у неего есть,
сердия много, но в положительных сведениях он крайне нуж-
дается и, в чем именно горе, часто не знает, к кому и как при-
бегнуть о помощи. Ему, чуждому педагогических знаний, дают
в руки сжатую краткую учебную книгу и велят учить по ней с
непременным условием, чтобы все неясное и ложное и недоказан-
ное в ней дополнял собственными опытами и наблюдениями. Но
какой опытности можно ожидать от него, когда он сам только
что вступил на педагогическое поприще»*.
* Цит. по: [251, с. 426].
2. II четверть XIX в.305
Кроме того, в предисловии Гурьев говорит о необходимос-
ти создания методики преподавания математики как науки. Он
обращается к опытным преподавателям математики «принять-
ся скорее за труд и посредством издания целого ряда педагоги-
ческих сочинений заставить, наконец, неопытного учителя смот-
реть на преподавание не как на дело произвола, а как на знание,
основанное на прочных и положительных началах» [251, с. 427].
Эти «прочные и положительные начала» П. С. Гурьев
видит в педагогической и методической теории, пропущен-
ной сквозь призму опыта: «Мы читали Песталоцци, Шмида,
Тюрка... и многих других, поверяя читанное на опыте, к ко-
торому нам дала возможность служба по одному из обширней-
ших и разнообразнейших педагогических заведений*, состави-
ли таким образом нашу книгу»**. Итак, считая методику пре-
подавания математики наукой, Гурьев подчеркивает ее экспе-
риментальный характер, придавая большое значение резуль-
татам опытной проверки ее теоретических положений, в том
числе выдвинутых всемирно известной первой в мире методико-
математической школой И. Г. Песталоцци.
Прежде чем говорить о методике преподавания арифметики,
Гурьев касается вопросов ее методологии. Он отделяет арифме-
тику от других математических дисциплин, формулируя поня-
тие об арифметике как учебном предмете следующим образом:
«Вся арифметика собственно заключается в четырех действи-
ях: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти действия
производятся над числами, которые бывают целые и дробные.
Все прочее, что обыкновенно относят к ней, не составляет со-
бой теории, но есть приложение тех же самых правил и законов
к разным потребностям человеческого быта» [149, с. 32]. Далее
он выступает против тройных правил, которые в то время про-
должают доминировать в курсе арифметики: «Так называемые
тройные правила не требуют ни других начал, ни других дей-
ствий» [149, с. 32].
Первая часть «Руководства к преподаванию арифметики
малолетним детям» состоит из трех разделов: 1) действия над
* Имеется в виду Гатчинский сиротский институт, который гото-
вил учителей уездных училищ. Впоследствии в нем работал и добился
замечательных успехов в педагогике К.Д. Ушинский, сменивший на
посту директора классов П. С. Гурьева.
** Цит. по: [149, с. 32].
306 IL XIX — начало XX в
числами от 1 до 10, 2) действия над числами от 1 до 100 и
3) действия над целыми числами вообще. В качестве основно-
го принципа методики начального преподавания арифметики
Гурьев выдвигает принцип «медленного, но отчетливого пре-
подавания, возбуждающего самодеятельность ученика». Особое
значение при этом он придает вопросительно-ответному (кате-
хизическому) методу.
В 1842 г. П. С. Гурьев издает вторую часть «Руководства к
преподаванию арифметики». Цель издания ее та же. В предисло-
вии он большое внимание уделяет самодеятельности учеников:
он говорит, что «убежден, что большая часть неуспехов происхо-
дит не столько от способностей, сколько от недостатка самодея-
тельности. Нередко видим, что учитель в классе принимает на
себя роль оратора, вместо того, чтоб быть руководителем и толь-
ко наводить учеников на сознание» [251, с. 428]. Гурьев характе-
ризует отдаленные результаты такого преподавания: «Ум, не
приученный с ранних лет пытать свои силы, делается впослед-
ствии недоверчивым к самому себе и рад, если за него работают
другие. Вот причина плоских умов, которыми так бывают бога-
ты общества» [251, с. 428].
Содержание второй части «Руководства к преподаванию
арифметики» продолжает содержание первой и включает следу-
ющие разделы: 1) различные действия над дробями, выраженны-
ми в малых числах (преимущественно устный счет), 2) различ-
ные действия над дробными числами вообще и 3) действия над
десятичными и непрерывными дробями. Форма изложения мате-
риала, начиная с третьего раздела, изменяется — преимущество
отдается не вопросительно-ответной, а повествовательной фор-
ме. Возможно, на изменение формы изложения повлияла критика
катехизического метода, которым злоупотреблял Гурьев в пер-
вой части «Руководства». Эта критика появилась в популярном
литературно-художественном журнале, что само по себе явля-
лось примечательным фактом, свидетельствующим о присталь-
ном внимании общества к проблемам образования, в том числе
математического. В журнале «Отечественные записки», обра-
щаясь к автору «Руководства», в 1847 г. писали: «Как же вы
хотите, чтобы учитель арифметики следовал предписанному ва-
ми порядку, делая ученику в таком-то месте такой-то вопрос, за
ним непременно такой-то другой, потом именно такой-то третий
и т. д.?» Далее следовал упрек в формализме, которого так стра-
шится сам Гурьев: «Чем же тогда становится преподавание, как
2. II четверть XIX в.307
не чтением вашей книги, и в чем будет оно состоять, как не в ме-
ханических приемах, к которым впрочем, вы г-н автор, питаете
такое отвращение? Учителю тут, очевидно, ничего не остается
делать как взять в руки вашу книгу и делать ученику гото-
вые вопросы. < ... > Из этого выйдет разговор между двумя
действующими лицами, которые могут не понимать ни арифме-
тики, ни друг друга, но из которых каждый будет безошибочно
сказывать свою роль»*.
В целом же общество восприняло доброжелательно появле-
ние одной из первых методик. Так, газета «Северная пчела» пос-
ле выхода в свет первой части «Руководства» дала ему такую
характеристику: «До сих пор мы не встречали еще такой дель-
ной, основательной и просто объясненной арифметики для мало-
летних детей, как арифметика г-на Гурьева» [251, с. 429]. Далее
она рекомендуется учителям и родителям детей «семи, восьми,
много девяти лет от роду».
В дальнейшем Гурьев вернулся к ранее написанным «Ариф-
метическим листкам», объединил их с «Руководством к препода-
ванию арифметики» и в значительно переработанном виде вклю-
чил в изданную в 1861 г. «Практическую арифметику».
«Программа и конспект арифметики» и «Програм-
ма и конспект геометрии» В. Я. Буняковского. Выше, ха-
рактеризуя учебник арифметики В. Я. Буняковского, мы говори-
ли, что в предисловии автор дает ряд методических рекоменда-
ций к изучению соответствующего курса. По всей видимости,
написав «Арифметику», Буняковский почувствовал необходи-
мость в более подробном толковании собственных методических
идей, создав в итоге одну из первых методик арифметики. Но ес-
ли Буссе и Гурьев разработали методику начального обучения
арифметики, то «Арифметика» Буняковского была рекомендо-
вана к изучению в гимназиях и военно-учебных заведениях, т.е.
предназначена для получения среднего математического обра-
зования, поэтому и созданный Буняковским методический труд
также относился к методике преподавания арифметики на сред-
нем уровне. Он назывался «Программа и конспект арифметики»
и был опубликован в 1849 г. перед выходом в свет 2-го издания
«Арифметики».
* Отечественные записки. 1847. Т. XXI. Отд. 6. С. 56. Цит. по: [149,
с. 32].
308 II. XIX — начало XX в
Программные методические установки даются В. Я. Буня-
ковским в первом разделе «Программы и конспекта арифмети-
ки», который называется «Общие замечания». Охарактеризуем
некоторые из этих методических положений. В. Я. Буняковский:
1) считает необходимым последовательное изложение курса
арифметики: «Необходимо в продолжение всего курса арифмети-
ки сохранить последовательность не только в порядке главных
статей этой науки, но и в подробностях изложения»;
2) полагает, что следует полно, глубоко и доказательно его
излагать: «В исследовании всякого предмета необходима надле-
жащая полнота; поверхностные взгляды и сокращения там, где
имеем в виду достигнуть очевидности или полного убеждения,
более вредят, чем приносят пользы. Действительно, полудоводы
и голословные доказательства приучают ум к лености и недейст-
венности, тогда как должно стремиться всеми силами возбудить
в нем деятельность»;
3) считает основной задачей автора учебника выделение
главного, существенного: «Лучше довольствоваться основатель-
ным изложением важнейших статей науки, нежели увеличивать
число их введением второстепенных, когда время не позволяет
пройти все со строгой отчетливостью»;
4) предъявляет требования к стилю изложения: «Изложение
должно быть просто, ясно, по слогу соответствовать возрасту и
понятиям начинающих; педантский тон, рождающий всегда тем-
ноту и неопределенность в выражениях, есть зло даже в высших
науках, а тем более в элементарной, какова арифметика»;
5) предлагает основательное закрепление материала: «Пре-
подаватель по возможности должен стараться не переходить к
новому предмету, пока учащиеся вполне не утвердятся в прой-
денном. От этого, конечно, произойдет неизбежное замедление в
начале курса; но это самое замедление будет содействовать не
только надежности, но даже и быстроте дальнейших успехов»;
6) советует преподавателю расширять кругозор: «Знать
учителю только то, что он читает, мало: его преподавание не-
пременно будет отзываться неуверенностью, в изложении часто
найдется недосказанное, и это никак не ускользнет от сметли-
вости учеников. А ослабление доверия учащихся к познаниям
преподавателя, конечно, должно иметь невыгодное влияние на
их дальнейшие успехи»;
2. И четверть XIX в.309
7) считает абсолютно необходимыми вычислительные упра-
жнения: «Частые практические упражнения в классе, и по воз-
можности вне классов, необходимы; как бы преподаватель хоро-
шо и ясно ни читал не только арифметику, но даже и высшие
части математики, нельзя ожидать успехов, если учащиеся срб-
ственным трудом и попытками не познакомятся с механизмом
вычисления»;
8) указывает в качестве источников практических арифме-
тических задач такие учебные дисциплины, как география, ста-
тистика, физика, механика, причем «верность численных дан-
ных, входящих в задачи, составляет условие необходимое: уче-
ники, удерживая в памяти хотя некоторые численные показания,
приобретут без особого труда и, так сказать, мимоходом, сведе-
ния, полезные для всякого образованного человека»*.
Эти методические положения, подавляющее большинство
которых не потеряло своего значения и сейчас, Буняковский
конкретизировал в основном тексте «Программы и конспекта
арифметики», показав учителям, как надо излагать тот или иной
раздел курса.
Своеобразны представления В. Я. Буняковского о пред-
мете арифметики. Они резко контрастируют с воззрениями
П. С. Гурьева, однако содержание курса арифметики оба авто-
ра представляют себе примерно одинаково. Буняковский счита-
ет, что арифметика — лишь «техническая или исполнительная
часть алгебры» и потому должна ограничиться «развитием не-
которых первоначальных понятий о целых и дробных числах,
произношение и изображение на письме обоих родов чисел и ос-
новные четыре действия над ними». Весь остальной материал,
который тогда по традиции излагался в курсе арифметики, —
извлечение квадратных и кубических корней, тройные правила,
непрерывные дроби, прогрессии и логарифмы — должны, по его
мнению, изучаться в курсе алгебры. Таким образом, Гурьев и
Буняковский продолжили работу по очищению арифметики от
чуждого ей материала, которая начата еще в середине XVIII в.
Эйлером и его последователями.
По аналогии с «Программой и конспектом арифметики» и
с той же целью В. Я. Буняковским издана «Программа и кон-
спект начальной геометрии» (1851). В ней он излагает основ-
ные методические принципы преподавания этого предмета: не-
обходимость делать экскурсы в историю геометрии, соблюдать
* Цит. по: [251, с. 314-315].
310 II. XIX — начало XX в
меру в использовании наглядности при ее изучении, не обреме-
нять память большим количеством вспомогательного материала
(определений, вспомогательных утверждений и т. д.). Не потеря-
ло актуальности и указание о том, что при изучении геометрии
вводить определения следует «только по мере надобности, на-
блюдая притом, чтобы возможность определяемого предмета не
подлежала никакому сомнению» [251, с. 317].
Все же «Программа и конспект геометрии» менее известна,
чем «Программа и конспект арифметики», вероятно, в силу того,
что отсутствовало само учебное руководство.
Вообще два вышеуказанных методических труда В. Я. Бу-
няковского не имели такого широкого резонанса, как его же
учебник арифметики, возможно, в силу непривычности тако-
го рода сочинений или в силу того, что они были подготов-
лены автором для военно-учебных заведений и не вышли на
самый массовый уровень существовавшего тогда среднего ма-
тематического образования — уровень гимназического матема-
тического образования. Надо признать, что в них отразились не
только методические взгляды самого Буняковского, но и воззре-
ния тех учителей математики, которые группировались вокруг
М. В. Остроградского в бытность последнего руководителем ма-
тематического образования в системе военно-учебных заведений
России [251, с. 315]. Эта деятельность, судя по архивным мате-
риалам [142, с. 55], началась в 1843 г. и длилась долгие годы.
2. II четверть XIX в.311
2.3. Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ
И ГИМНАЗИЧЕСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ В РОССИИ
15 книге по истории математического образования XVIII в.
[238] в качестве одной из специфических особенностей развития
отечественного математического образования мы выделили его
патерналистские традиции, подчеркнув наличие двух ветвей та-
кого патронирования — патронат государства и патронат мате-
матики как науки. Эти традиции в полной мере сохранены и
развиты и на этапе становления российской модели классичес-
кой системы школьного математического образования.
Патронат государства выражался bvtom, что, несмотря на
чрезвычайную пестроту образовательного пространства России,
доминирующие позиции в образовании среднего уровня занимала
государственная система гимназического образования, которая к
30-м гг. XIX в. приобретала заметное единообразие в содержа-
нии и методике математического образования.
Традиции патроната математического образования со сто-
роны математики как науки в лице ее выдающихся деятелей за-
ложены в самом начале истории математики в России великим
Эйлером. В течение всего XVIII и в начале XIX в. они продол-
жались всеми сколь-нибудь заметными математиками России —
учениками и последователями самого Эйлера: С. Е. Гурьевым,
Т.Ф. Осиповским, в середине XIX в. — В. Я. Буняковским. На-
чиная с 1843 г. М. В. Остроградский был привлечен «к работе
штаба учебных заведений и стал систематически участвовать в
решении различных научных и методических вопросов, связан-
ных с преподаванием математики в военно-учебных заведениях»
[142, с. 55].
Но самым блистательным математиком России после Эйле-
ра был, вне всякого сомнения, Николай Иванович Лобачевский,
который созданием новой геометрии произвел глубочайший пе-
реворот в истории всей мировой науки. Вызывает неподдельное
удивление и искреннее восхищение тот факт, что наряду с вели-
кими достижениями в математике Лобачевский находил силы и
время не только для практической педагогической деятельнос-
ти, но и для глубокой разработки педагогических и методичес-
ких проблем. Его по праву можно назвать одним из выдающихся
отечественных педагогов-математиков.
312 II. XIX — начало XX в
Надо признать, что вовлечению крупнейших отечественных
ученых в решение проблем образования прямо способствовала
сложившаяся в России государственная образовательная систе-
ма. В соответствии с уставами 1804 и 1828 гг. именно универ-
ситеты, в которых были к этому времени сосредоточены луч-
шие научные силы страны, курировали народное просвещение
на гимназическом, да во многом и на начальном уровнях. При-
чем не на общественных началах, а будучи официально упол-
номоченными выполнять эту работу. Таким образом, блестящая
идея Петра I о совмещении научных и образовательных функций
Петербургской Академии наук продолжала функционировать в
новых условиях и с новыми субъектами. Академия наук к нача-
лу XIX в. полностью освободилась от учебных функций. Уни-
верситеты же, в которых во многом был сосредоточен научный
потенциал России, продолжали их выполнять.
Только новое Положение об управлении учебными округами
1835 г. ослабило влияние университетов на школьное образова-
ние, поскольку последние были отстранены от прямого участия в
делах учебных округов. Однако связь университетов и гимназий
отнюдь не была окончательно прервана. Непременным членом
совета при попечителе округа должен был быть ректор соответ-
ствующего университета. Кроме того, и Устав 1835 г. требовал
от попечителей округов «во всех училищных делах, требующих
ученых соображений, испрашивать мнение Совета университе-
та». Таким образом, рычаги влияния университетов на среднюю
и начальную школу во многом сохранились.
Таковы были отношения русских университетов и русской
школы во времена Н. И. Лобачевского. Перейдем к характерис-
тике педагогических и методических идей великого ученого и его
деятельности на благо отечественного математического образо-
вания.
Уже в ранний период своей деятельности Лобачевский осо-
знает важность методики преподавания математики. В преди-
словии к учебнику элементарной алгебры (написан в 1825 г.) он
заявляет следующее: «Я готов думать, что если учение матема-
тики, столь свойственное уму человеческому, остается для мно-
гих безуспешно, то это по справедливости должно приписать
недостаткам в искусстве и способе преподавания» [167, с. 360].
Начиная со студенческих лет, Лобачевский активно зани-
мался преподавательской деятельностью, прочтя практически
все университетские математические курсы. При этом он осо-
2. II четверть XIX в.313
знанно стремится к методическому совершенству: «Не утверж-
дая с дерзостью, чтоб я постигнул совершенство в последнем
(искусстве и способе преподавания — Т. П.), но хочу надеяться,
что избрал прямую дорогу к цели, впрочем, ожидаю подтверж-
дения от других» [167, с. 360].
Наиболее плодотворный период педагогической и методи-
ческой деятельности Н. И. Лобачевского начинается с 1827 г.,
когда он в качестве ректора Казанского университета являет-
ся одновременно председателем училищного комитета, в ведении
которого находились все школы Казанского учебного округа.
Лобачевский находился у руководства учебным округом
практически до самой своей кончины: по 1845 г. в качестве ректо-
ра университета, в 1845 г. он был назначен управляющим Казан-
ским учебным округом, с 1846 г. он являлся первым помощником
вновь назначенного попечителя.
Деятельность Н. И. Лобачевского оказала несомненное вли-
яние на развитие школьного образования в самом обширном в то
время Казанском учебном округе, в который входили к началу
30-х гг. XIX в. Казанская, Нижегородская, Симбирская, Пензен-
ская, Саратовская, Вятская, Пермская и Оренбургская губернии.
Будучи математиком, основное внимание он уделял улучшению
преподавания математики в округе.
Уже в первый год ректорства Н. И. Лобачевский создал ко-
миссию по разработке программ, в том числе по математике, для
поступления в университет. Эти программы оказались настоль-
ко удачными, что в 1830 г. министерство народного просвещения
поручило Казанскому университету составление программ обу-
чения математике во всех государственных гимназиях и учили-
щах. Таковые были составлены по всем предметам и снабжены
методическими рекомендациями для преподавателей.
Лобачевский считал, что математику можно хорошо из-
учить только в государственном учебном заведении. Он говорил
об этом следующим образом: «Наука почти бесполезная в семей-
ствах, но весьма важная для Государств, Математика требует
и учения от лица Государства. Едва ли не из общественных за-
ведений могут только выходить хорошие Математики, где все
благоприятствует этой науке». Он указывает и условия, спо-
собствующие хорошей организации преподавания математики в
государственных учебных заведениях: «Выбор лучших настав-
ников, которые непрестанно трудятся увеличить собственные
свои познания; порядок и строгость, так сказать, военные, ко-
314 II. XIX — начало XX в
торые одни только в состоянии принудить учеников следовать
неослабно за преподаванием и удерживать в непрестанном на-
пряжении их внимание; наконец, множество учеников, возбуж-
дая соревнование, рождает охоту, превращает ее со временем
в страсть и бывает причиною появления гениев-Математиков»
[167, с. 369].
В значительном педагогическом наследии Н.И. Лобачевско-
го сохранились его методические и даже одно педагогическое со-
чинения. К ним можно отнести «Обозрение преподавания чистой
математики», «О важнейших предметах воспитания», «Настав-
ления учителям математики в гимназиях», а также учебники
элементарной алгебры и элементарной геометрии.
2.3.1. Методические труды и учебники элементар-
ной математики Н. И. Лобачевского. Педагогические и ме-
тодические взгляды Н. И. Лобачевского на преподавание мате-
матики на среднем уровне ранее всего сформулированы им в
предисловиях к учебникам математики для гимназий. Это воз-
зрения раннего Лобачевского. Напомним, что учебники геомет-
рии и алгебры подготовлены им к изданию в 1823 и 1825 гг.
соответственно. Этими же годами (1822-1826) датируются и
уже упоминавшиеся выше «Обозрения преподавания чистой ма-
тематики».
Максимально полно и в наиболее зрелом виде педагогичес-
кие и методические воззрения Н.И. Лобачевского изложены им
в «Наставлениях учителям математики в гимназиях».
«Наставления учителям математики в гимназиях». Это зре-
лый и наиболее детальный методический труд Н.И. Лобачев-
ского. История создания его такова. В 1828 г. вслед за приняти-
ем нового школьного Устава Министерство народного просве-
щения утвердило и учебный план преподавания математики и
других учебных дисциплин в семиклассных гимназиях и уезд-
ных училищах. В связи с этим попечитель Казанского учебного
округа М. Н. Мусин-Пушкин предложил университету создать
комитет для выработки инструкции по преподаванию каждо-
го учебного предмета. Председателем созданного комитета был
назначен ректор университета Н.И. Лобачевский. Ему же лич-
но было предложено разработать соответствующую инструк-
цию для учителей математики, которая названа «Наставления
учителям математики в гимназиях» и датирована 16 августа
1830 г.
2. II четверть XIX в.315
Эти инструкции не были напечатаны, но, как считает
В.М. Нагаева, введшая их в научный оборот, «есть основания
полагать, что идеи, высказанные в них, активно внедрялись в
практику школы» [193, с. 94]. В качестве примера она приво-
дит «Исторические записки Нижегородской дирекции», в кото-
рых указывается, что «приведено в действительное исполнение
данное г. попечителем указание к улучшению методов препо-
давания, заключающиеся преимущественно в наглядном, осяза-
тельном способе учения, в объяснении каждого правила приме-
ром, каждого изложения — практикою» [193, с. 94]. Здесь пере-
числены как раз те требования, которые содержались в «На-
ставлениях» Н. И. Лобачевского. Впервые «Наставления учите-
лям математики в гимназиях» изданы в 1948 г. стараниями
В.М. Нагаевой [160] — одного из самых известных исследова-
телей Н. И. Лобачевского.
«Наставления учителям математики в гимназиях» состоят
из следующих разделов: 1) способ преподавания; 2) предметы
учения; 3) разделение на классы; 4) учебные книги. В докумен-
те приводится содержание гимназического курса, рассчитанное
на семилетнее обучение. Оно достаточно обширно и включает
арифметику, алгебру, геометрию (включая конические сечения),
тригонометрию (плоскую и сферическую).
В начале «Наставлений» Лобачевский сформулировал не-
которые общие рассуждения к курсу в целом. Мы уже вкратце
характеризовали его взгляды на окружающую нас действитель-
ность как источник познания и чувства, с помощью которых
человек познает мир. Эти же мысли конкретизированы им в
«Наставлениях» на математику как часть науки. Лобачевский
исходил из положения, что «математическим наукам служат не
первые понятия, которые мы получаем в природе прямо чувст-
вами» [160, с. 556]. Далее Лобачевский сформулировал свои пред-
ставления о математике как науке следующим образом: «Вся ма-
тематика есть наука об измерении; все то, что существует в при-
роде, подчинено необходимому условию быть измеряему: посему
различие между величинами должно относиться к различному
роду измерений их и к числам, которые их представляют; все
прочие понятия всегда будут темны и недостаточны». В соот-
ветствии с этими воззрениями Лобачевский определял сущность
основных математических дисциплин — алгебры и геометрии:
геометрия имеет своей целью «дать общие правила для изме-
рения», алгебра же «предполагает измерение уже сделанным и
316 IL XIX — начало XX в
потому все величины представляет в числах, а числа означает
буквами для общего об них рассуждения» [160, с. 556].
Заметим, что такая трактовка алгебры и особенно геомет-
рии страдает безусловной односторонностью хотя бы потому,
что к тому времени получили идеи геометрии положения, на-
пример в трактате Понселе «О проективных свойствах фигур».
Однако сами по себе материалистические представления Лоба-
чевского о математике в эпоху мистицизма и кантианских пред-
ставлений о пространстве, как априорной форме человеческого
сознания были, безусловно, прогрессивными. Созданная Лоба-
чевским к тому времени неевклидова геометрия, в которой ев-
клидова является лишь ее частным случаем, легла в основу со-
временного понимания пространства.
На основе этих воззрений раскрываются дидактические и
методические взгляды Н.И. Лобачевского, которые достаточно
полно представлены в «Наставлениях учителям математики в
гимназиях».
1. Прежде всего он раскрывает цель и сущность матема-
тического гимназического образования. Напомним, что в соот-
ветствии с уставом 1828 г. непосредственно практические «ма-
териальные» цели ставились перед уездными училищами, ко-
торые должны были готовить кадры для промышленности.
Характер же обучения в гимназии предполагался отвлеченно-
гуманитарным, классическим, и гимназическое математическое
образование должно было преследовать чисто «формальные» це-
ли развития творческих сил учащегося. Лобачевский же следу-
ющим образом формулировал цели гимназического математи-
ческого образования: «Польза от сего рода учения бывает двоя-
кая: применение его к потребностям в нашей жизни и дальней-
шее развитие самой науки. Умение применять общие правила ко
всякому случаю предполагает твердое их познание и сверх того
навык» [160, с. 555].
Таким образом, он нашел здравый компромисс между двумя
диаметрально противоположными точками зрения, установив
верное соотношение между формальной и материальной целями
преподавания математики. Кроме того, Лобачевский в формули-
ровку этих целей внес характерное для него требование твердых
знаний и прочных навыков, без чего невозможно, по его мнению,
развитие мышления. «Способность к отвлечениям, — писал он
в «Обозрениях преподавания чистой математики», — увеличи-
вается от времени и постепенно непрестанным упражнением».
2. II четверть XIX в.317
Для достижения этой цели Лобачевский считает необхо-
димыми: 1) ясность и отчетливость первоначальных понятий;
2) механическое закрепление пройденного в целях формирова-
ния навыков; 3) активное воспроизведение и систематизация
пройденного [193, с. 119]. Эти взгляды Лобачевского нашли от-
ражение в учебной работе Казанского учебного округа. Так, в
«Исторических записках учебных заведений Казанского учебно-
го округа» содержится информация о том, что в Нижегородской
гимназии по предложению попечителя «по всем предметам на-
блюдается, чтобы пройденное в начальных классах было повто-
ряемо в высших и чтобы ученик мог во всякое время дать отчет
в пройденном» [193, с. 120-121].
2. Большое значение Н.И. Лобачевский придавал система-
тичности и научной строгости изложения математики в школе.
Систематичность в изложении учебного материалы он считал
необходимым условием успешности обучения: «Ясность предме-
та и порядок, в котором строгое суждение связывает все истины,
служат единственным средством, чтобы постигнуть и удержать
общие правила» [160, с. 555].
Однако строгость суждений в науке и школьном обучении
Лобачевский не отождествлял, ограничивая последнюю преде-
лами доступного ученику, сообразного с его возрастом и воз-
можностями. Это особенно подчеркивалось им в отношении гео-
метрии: «При вступлении в геометрию надобно довольствовать-
ся теми понятиями, которые получаем о них прямо помощью
чувств без всяких дальнейших исследований и постороннего по-
собия. Эти понятия просты и на них основанные истины ощути-
тельны. Хотя в них замечается некоторая темнота и неопреде-
ленность, но совершенная строгость могла бы вовлечь в иссле-
дования, которые были бы не у места в гимназическом учении
потому, что они открывают нам невозможность познавать до-
статочно все геометрические свойства тел и что для убеждения
в том, как далеко оправдываются такие положения геометрии,
надобно было бы прибегать к наблюдениям астрономическим и
к пособию других частей математики» [160, с. 557].
Говоря о темноте и неопределенности изложения геометрии,
Лобачевский прежде всего имел в виду учение о параллельных,
которое, по его мнению, «не везде может быть строго; но должно
убеждать только ощутительностью истины и простотою пред-
положения, хотя и произвольного» [160, с. 557]. Но в доступных
учащимся вопросах Н. И. Лобачевский считал необходимым со-
318 II. XIX — начало XX в
блюдать всю возможную строгость: «Важно, не погрешая про-
тив математической строгости, доказывать справедливость всех
общих положений», — говорит он в «Наставлениях учителям ма-
тематики в гимназиях» [160, с. 557].
3. Следующая важная методическая проблема, которую рас-
крывает Н. И. Лобачевский в анализируемом документе, — это
отношение к развитию мышления средствами математики. Эта
проблема вплотную примыкает к «материальной» и «формаль-
ной» целям гимназического математического образования.
Особое значение Лобачевский придавал необходимости раз-
вития логического мышления средствами математики: «В ма-
тематике всего важнее способ преподавания. Обширность науки
даже в первых ее началах, которые должны составлять гимна-
зическое учение, уже такова, что может быть обнимаема толь-
ко в общих правилах. Чтобы притти к сим правилам, надобно
частные и раздельные представления о мере и числе соединить
в одно, и с такими-то сложностями и отвлеченными понятия-
ми рассуждать о всяком предмете и счете». Каким же образом
возможно это соединение? Лобачевский считает, что только в
процессе овладения математическими знаниями: «Способность
составлять отвлеченные понятия... приобретается постепенно и
может усовершенствоваться непрестанно для развития ума...»
При этом он опять подчеркивает роль чувственного восприя-
тия и наглядности: «Дело состоит в том, что наш ум должен
сперва от предметов, прямо действующих на чувства, перейти
к числам, а, наконец, и самые числа представить под общим
означением помощью букв». Поэтому начальное обучение мате-
матике должно быть поставлено так, чтобы у ребенка все было
«под пальцами и перед глазами» [160, с. 557].
По мере расширения круга арифметических понятий необ-
ходимые связи устанавливаются путем присоединения «толко-
ваний», которые «не дают доказательств строго, но дают чув-
ствовать причины». И «только с алгеброю начинается строгое
математическое учение, которое возвращается также к первым
правилам арифметики, и утверждается верность их строгим
суждениям, выражаясь всегда буквами и знаками» [160, с. 557].
Таким образом, только здесь уместны строгие доказательст-
ва, и у ребенка постепенно формируются представления о систе-
ме математических знаний. Содержание знаний составляло для
Лобачевского основу обучения математике, только на ее основе
могла идти речь о развитии творческих сил и развитии ученика.
2. II четверть XIX в.319
4. Следующий дидактический принцип, который представ-
лен в «Наставлениях учителям математики в гимназиях», —
сознательность и целеустремленность, в которых Лобачевский
видел необходимые условия успешности обучения математике.
Исходя из этого, он выступал последовательным противником
механического заучивания материала: «В постепенном развитии
понятия и в умении не допускать, чтобы одно изучение на память
общих правил и механическое исчисление заменяли суждение,
заключается искусство преподавания и успех его» [160, с. 557].
Для сознательности восприятия учениками нового учитель дол-
жен исходить из круга уже имеющихся представлений. Когда
же ученик уже оперирует абстрактными понятиями, сознатель-
ное восприятие их обеспечивается четкостью и определенностью
вводимых понятий и использованием разнообразных примеров:
«Надобно, чтобы учитель с употреблением знаков давал поня-
тия совершенно определенные и строгие; наконец, не довольст-
вуясь еще и этим, присоединял сюда примеры, которые столько
же поясняют правила, сколько предупреждают механическое их
употребление» [160, с. 556].
Сознательность предполагает активное восприятие матери-
ала, которое во многом зависит от понимания смысла и цели той
работы, которая делается в классе, поэтому Лобачевский считал,
что особое внимание необходимо уделять практическим приме-
нениям математики. Касательно геометрии такой практической
целью является то, чтобы «дать общие правила для измерения»,
которые, по его выражению, «надобно согласовать с измерением
на самом деле».
5. Наконец, большое внимание в «Наставлениях» уделя-
ется учету индивидуальных и возрастных особенностей де-
тей, их способностей. Так, обучение детей младшего возраста
Н. И. Лобачевский предлагал сообразовывать с особенностями
внимания, его непроизвольностью, придавая большое значение
методу взаимного обучения: «Другое необходимое условие для
успешности учения то, чтобы уметь победить леность и рассе-
янность детского возраста. Той и другой цели способствует в
совершенстве способ взаимного обучения, который разнообрази-
ем своим предохраняет учеников от скуки» [160, с. 556].
В гимназиях же основной проблемой Лобачевский считал
определение и усовершенствование склонностей и способностей
ученика. Протестуя против усиления в Уставе 1828 г. внимания
к древним языкам, Лобачевский пишет в «Наставлениях»: «Же-
320 II. XIX — начало XX в
лательно, чтобы предоставлялось на волю ученикам посвящать
себя исключительно языкам и для таких назначать также и гре-
ческий; напротив, других, рожденных с дарованиями для мате-
матических наук, не обременять изучением многих языков и не
лишать средств для усовершенствования их преимущественных
способностей» [160, с. 560].
Итак, в «Наставлениях учителям математики в гимназиях»
Н.И. Лобачевский сформулировал свои методические воззрения,
касающиеся взаимоотношений «формальной» и «материальной»
целей обучения математике, проблемы развития мышления на
основе усвоенной системы математических знаний и сформиро-
ванных умений и навыков, а также реализации в преподавании
гимназического курса математики таких дидактических прин-
ципов, как систематичность и научная строгость изложения,
сознательность и целеустремленность учеников, учет их воз-
растных и индивидуальных особенностей и способностей прежде
всего к математике.
Учебники элементарной математики Н. И. Лобачевского. В
первой половине XIX в. в гимназиях Казанского учебного округа
преподавание математики велось преимущественно по учебным
руководствам Н. И. Лобачевского. Это объясняется тем, что он
был весьма критически настроен к современной ему учебной ма-
тематической литературе: «В России для гимназий курсов еще
не издано. Иностранные — лучшие французские, но они писаны
для отечественных учебных заведений» [160, с. 559]. Таким об-
разом, отдавая должное качеству очень популярных тогда фран-
цузских учебных математических руководств, Лобачевский счи-
тал, что они не могут обеспечить отечественное математическое
образование в силу присущих ему специфических особенностей.
Сам Лобачевский предъявлял достаточно высокие требова-
ния к учебной литературе. Он, как мы уже говорили, высказывал
необходимость систематического изложения материала, научной
строгости, учета возрастных особенностей учеников и доступ-
ности излагаемого им материала, опоры на чувства начинающих
изучать математику и, следовательно, широкое использование
наглядности, связи теории с практикой и т.д.
Эти требования отразились в работе школ Казанского учеб-
ного округа, что подтверждается «Историческими записками
учебных заведений Казанского учебного округа». Так, в «Ис-
торических записках Пензенской дирекции» сообщалось, что
в 1837 г. в Пензенской гимназии инспектор казанских училищ
2. II четверть XIX в.321
сделал следующее замечание: «Избранное руководство исклю-
чительно по Фуссу не соответствует требованиям науки в на-
стоящее время»*. В «Исторической записке о первой Казанс-
кой гимназии» есть такая запись: «Учитель Попов тем более
заслуживает доверенность начальства, что он, приняв за обра-
зец творения г. Ректора Лобачевского, старается в духе этого
автора быть по возможности систематическим и строгим» [193,
с. 139].
В своей преподавательской деятельности Лобачевский руко-
водствовался преимущественно собственными конспектами. Он
провел также очень важную работу по составлению руководств
по элементарной математике для гимназий, в которых тогда
ощущался острый недостаток, особенно в окраинных учебных
округах, к которым относился и Казанский учебный округ. Что-
бы восполнить этот недостаток, попечитель округа обратился
к профессорам Казанского университета с предложением на-
писать учебные руководства для гимназий. Лобачевский опера-
тивно откликнулся на это предложение и подготовил к печати
сначала курс элементарной геометрии, а затем курс элементар-
ной алгебры. Оба эти руководства Лобачевского явились плодом
его многолетних личных размышлений в процессе преподавания
математики, о чем свидетельствуют дошедшие до нас записи
лекций, читанных им с 1815 по 1817 г. [251, с. 238]. К характе-
ристике этих учебных руководств мы и перейдем.
Учебник элементарной геометрии Н. И. Лобачевского. На-
писанный Лобачевским в 1823 г.** учебник элементарной гео-
метрии все же не был предназначен для обучения в гимнази-
ях. Это, скорее, был буферный курс, который предполагал об-
общение и систематизацию гимназического курса и читался в
качестве вводного в университете. Правда, он достаточно широ-
ко использовался и в гимназиях Казанского учебного округа. Об
этом говорят следующие обстоятельства: 1) по этому пособию
велись занятия по чистой математике в Казанском университе-
* Цит. по: [193, с. 139].
** Даты написания существенно разнятся у авторов, пишущих об
учебниках элементарной математики Лобачевского. Так, Б. В. Бол-
гарский [32] указывает в качестве даты написания учебника элемен-
тарной геометрии 1829г., тогда как В.М. Нагаева [193] цитирует от-
зыв на него Фусса, датированный 1823 г. Мы склонны доверять имен-
но последнему автору.
322 II. XIX — начало XX в
те; 2) в этом учебнике реализованы задачи, поставленные перед
курсом геометрии в «Обозрениях преподавания чистой матема-
тики»: объем материала, система его расположения, концепция
учебника соответствуют высказанным там соображениям.
В «Геометрии» Лобачевского мы уже находим принципы,
позднее развитые в его научных сочинениях «О началах гео-
метрии» и «Новые начала геометрии», поэтому современники
не могли в должной мере оценить оригинальность и новаторст-
во мысли великого геометра, что послужило причиной неблаго-
приятного отзыва об этом учебнике академика Н. И. Фусса. Он
прежде всего подверг сомнению тот факт, что пособие по элемен-
тарной геометрии Лобачевского является учебной книгой: «Если
сочинитель думает, что оно может служить учебною книгою, то
он сим доказывает, что он не имеет точного понятия о потреб-
ностях учебной книги». Далее Фусс формулировал свои понятия
о «потребностях учебной книги», «т.е. о полноте геометричес-
ких истин, всю систему начального курса науки составляющих,
о способе математическом, о необходимости точных и ясных
определений всех понятий, о логическом порядке и методическом
расположении предметов, о надлежащей постепенности геомет-
рических истин, о неупустительной и, по возможности, чисто
геометрической строгости их доказательств и пр.». Рецензент
делал вывод о том, что «о всех сих необходимых качествах и
следу нет в рассмотренной мною геометрии» [174, с. 156].
Фусс подошел к оценке с точки зрения общих требований,
предъявляемых к школьному учебнику. Учебник Лобачевского
все же был не школьный учебник, а пособие к курсу, завер-
шающему элементарное геометрическое образование студентов
университета. Неодобрительный отзыв Фусса, во многом неспра-
ведливый, повлиял на то, что учебник геометрии Лобачевского
не был напечатан и был опубликован только в 1909 г. и во вто-
ром томе полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского, вы-
шедшем в 1949 г.
Концепция учебника выражена Лобачевским в самом опре-
делении геометрии в самом начале учебного пособия: «Часть чис-
той Математики, в которой предписываются способы измерять
пространство, называется Геометриею» [166, с. 43]. В соответ-
ствии с таким определением предмета геометрии он выделял ту
цель ее преподавания, о которой мы говорили, анализируя «На-
ставления учителям математики в гимназиях», т. е. цель чисто
практическую, утилитарную — «дать общие правила для изме-
2. II четверть XIX в.323
рения». Надо признать, что эта формулировка цели достаточно
узка, так как в ней совершенно игнорируются возможности раз-
вития средствами геометрии логического и пространственного
мышления, а также формирования умений применять геометри-
ческие знания к построениям и вычислениям.
Курс элементарной геометрии у Лобачевского полностью
подчинялся высказанной им идее. Он излагал вопросы, связан-
ные преимущественно с измерением величин, сопровождая их
лишь «самыми необходимыми определениями и допущениями,
играющими роль аксиом» [32, с. 2], привычных аксиом, теорем,
лемм и т.п. в этом учебнике нет.
Изложение курса элементарной геометрии Н.И. Лобачев-
ский начинал с вопроса об измерении прямых линий. В качестве
единиц измерения он вводил метрические меры, что было для
того времени новаторским шагом*. Лобачевский дает способ из-
мерения отрезков прямой, следуя правилу, которое он сформули-
ровал в «Обозрениях преподавания чистой математики»: «Мате-
матика имеет целию действительное измерение вещей, а посему
не должна идти далее, нежели сколько того требуют чувства»
[174, с. 205]. Поэтому отношение двух отрезков для Лобачевско-
го всегда есть число, притом он выражал его — точно или при-
ближенно — рационально. В случае несоизмеримости это чис-
ло выражалось непрерывной дробью с любой точностью. При
этом он использовал прием приближения, определяющий ирра-
циональное число как общий предел двух последовательностей
приближенных рациональных значений.
С измерением отрезков прямых линий связано у Лобачев-
ского и измерение кривых. Он ввел и определение кривой, пред-
ставлял кривую линию как совокупность большого числа бес-
конечно малых прямолинейных отрезков, что облегчало в бу-
дущем изучение математического анализа. Таким образом, уже
при измерении длины окружности Лобачевский использовал тео-
рию пределов, без которой невозможно сколько-нибудь серьезное
изложение вопросов метрики. Далее Лобачевский в отличие от
большинства других авторов руководств, применял метод преде-
лов и для определения площади круга, объема пирамид и круг-
лых тел.
* Метрические меры считались порождением Французской рево-
люции, поэтому их употребление не особенно приветствовалось (см.:
[32, с.З]).
324 IL XIX — начало XX в
Необыкновенно современно выглядит параллельное изуче-
ние вопросов планиметрии и стереометрии, что, кстати, еще
раз говорит об обобщающем характере учебника геометрии
Лобачевского. Таким образом, Лобачевский «придерживает-
ся принципа, который впоследствии получил наименование
фузионизма... которым очень увлекались многие методисты в
конце XIX и в начале XX в.» [174, с. 205]. Можно добавить,
что под знамена этой идеи встали и многие методисты конца
XX в., делающие попытки одновременного изучения планимет-
рии и стереометрии. У Лобачевского, курс элементарной геомет-
рии которого был обобщающим, эти идеи были вполне естест-
венными, имея значимое внутреннее содержание. Так, в первом
разделе объединялось измерение прямых и кривых линий. Во
втором разделе «Об углах» рассматривались одновременно ли-
нейные, двугранные и телесные углы. В этом же разделе парал-
лельно изучались окружность и шаровая поверхность. В третьем
разделе рассматривалось положение прямых в одной и разных
плоскостях, в том числе взаимное расположение перпендикуляр-
ных прямых и перпендикулярных плоскостей.
Кроме идей фузионизма в учебнике Лобачевского использу-
ется так называемый генетический способ изложения учебного
материала, т.е. изложения, подчиненного решению единой проб-
лемы — в данном случае проблемы измерения геометрических
величин, которая, в свою очередь, зависит от решения ряда част-
ных задач — измерения длин, площадей и объемов. Сочетание
этих способов, по мнению В.М. Нагаевой [193, с. 145], как нель-
зя лучше подходит для курса обзорного характера, написанного
Лобачевским. Материалы «Наставлений учителям математики
в гимназиях» говорят о том, что в гимназическом курсе геомет-
рии он не рекомендует пользоваться этими двумя принципами.
Одним из существенных достоинств «Геометрии» Лобачев-
ского является тот факт, что в курс включаются простейшие
задачи на построение в пространстве, так что то сужение цели
преподавания геометрии до чисто практической (метрической),
о котором мы говорили ранее, лишь провозглашается. На самом
деле включение этих задач способствует развитию пространст-
венного мышления и выработке конструктивных умений и на-
выков.
Учебнику Лобачевского свойственен некий прагматизм: но-
вые понятия он вводил лишь тогда, когда строгое изложение
теории какого-либо измерения было невозможно без его введе-
2. II четверть XIX в.325
ния. Но и тут он не дает сразу формального сухого определе-
ния, а предварительно разъясняет возможность практического
создания соответствующего геометрического образа. Например,
при введении понятия прямоугольника он поступает следующим
образом: «Когда одна линия перпендикулярна к другой, эта к
третьей, третья к четвертой и когда все четыре линии лежат
в одной плоскости, а прямые углы по одну сторону линий, то
первая будет перпендикулярна к четвертой, так что составится
четырехугольник с прямыми углами, который посему и называ-
ется прямоугольник» [166, с. 71].
В учебнике элементарной геометрии Лобачевский, как и в
своих научных исследованиях, особое внимание уделял учению
о параллельных. Прежде всего он отделил теоремы абсолютной
геометрии от положений, основанных на пятом постулате. До-
стоверность же геометрических положений, основанных на нем,
по выражению Лобачевского, опирается на соглашение, которое
«должно убеждать только ощутительностью истины и просто-
тою предположения, хотя и произвольного». Таким образом, Ло-
бачевский отказался от своих прежних попыток доказать посту-
лат о параллельных и сопровождает его лишь разъяснениями.
Несмотря на это, тщательный анализ «Обозрений препода-
вания чистой математики» и учебника элементарной геометрии
Лобачевского говорит о том, что в процессе решения чисто ме-
тодических задач появлялись гениальные догадки о возможнос-
ти кардинального решения проблемы пятого постулата, выделя-
лась абсолютная геометрия и готовилась почва для построения
так называемой «воображаемой геометрии», которую мы теперь
с полным правом называем геометрией Лобачевского.
Учебник элементарной алгебры Н. И. Лобачевского. Вы-
полняя предложение попечителя Казанского учебного окру-
га, Н. И. Лобачевский кроме учебника элементарной геометрии
(1823) в 1825 г. подготовил к печати и учебник элементарной ал-
гебры. Он не был напечатан в 1825 г. но в значительно перерабо-
танном виде составил содержание первых 13 глав «Алгебры или
исчисления конечных». Первоначальный вариант учебника эле-
ментарной алгебры предназначался в качестве учебного пособия
для гимназий. Этот вариант Лобачевский представил в совет
физико-математического отделения, который в том же 1825 г. на
основе одобрительного отзыва проф. Г. Б. Никольского выска-
зался в пользу издания руководства [351, с. 75], которое, однако,
не состоялось по невыясненным обстоятельствам. Год спустя по
326 IL XIX — начало XX в
просьбе автора рукопись была ему возвращена, и только через
несколько лет Лобачевский решил издать свое руководство, на
этот раз уже для студентов университетов и учителей. В связи с
этим он несколько переработал уже написанную часть и допол-
нил ее такими разделами высшей алгебры, как теория определи-
телей и решение систем п линейных уравнений с п неизвестны-
ми, общая теория уравнений высших степеней и др. В результате
учебник Лобачевского представлял собой общий университетс-
кий курс, начинавшийся с обобщения основных арифметических
операций и завершавшийся теорией уравнений высших степеней.
Книга «Алгебра или вычисление конечных» была подготовлена
к печати в 1831г. и издана в Казанской университетской типо-
графии в 1834 г.*
Общие воззрения Лобачевского на математику и роль в ней
основных методов математики — анализа и синтеза, охаракте-
ризованные нами при анализе «Обозрений преподавания чистой
математики», определяли и отношение Лобачевского к алгебре
как науке и учебному предмету. Он сформулировал это отноше-
ние в предисловии к своему учебному руководству.
Лобачевский так определил предмет и структуру той части
математики, которая исходит из аналитических методов: «Вся-
кого рода вычисление делается с той целью, чтобы найти неиз-
вестное; а потому правила для вычисления соединяются в одно
учение — Аналитику. Ее можно разделить на Арифметику, Ал-
гебру и Дифференциальное исчисление».
Далее Лобачевский охарактеризовал арифметику и аглебру:
«В Арифметике начинают с примеров на числах; потом, соблю-
дая постепенность в понятиях, вместо чисел, чтобы разуметь их
произвольными, в Алгебре употребляют буквы; избегая, однако
ж, способа бесконечно малых или границ, как такого, который
требует более усилий от ума и составляет уже последнюю и выс-
шую часть Аналитики». После этого он объяснил подзаголовок
своей книги «Алгебра или вычисление конечных» следующим
образом: «В этом смысле Алгебра есть та же наука, которую
Ньютон назвал Общая Арифметика, чтобы отличить от Ариф-
метики на числах, и которую столько же справедливо можно
назвать вычисление конечных».
Наконец, Лобачевский определил дифференциальное исчис-
ление, положив в основу этого определения доминирующий его
* Цензором ее был писатель С. Т. Аксаков, соученик Лобачевского
по Казанской гимназии [351, с. 75].
2. II четверть XIX в. 327
метод. Он говорит, что алгебра как вычисление конечных явля-
ется своего рода пропедевтикой дифференциальному исчислению
и считает, что она «в противоположность с дифференциальным
или вычислением бесконечно малых, где являются неоспоримо
новые начала, под каким бы видом ни старались их представ-
лять, желая соблюсти строгость, эту существенную принадлеж-
ность всякого Математического учения» [167, с. 23].
Итак, Лобачевский понимал под алгеброй вычисление ко-
нечных в отличие от дифференциального исчисления, под кото-
рым он понимал вычисление бесконечно малых. Он считал воз-
можным включить в алгебру и теорию чисел, которую «должно
рассматривать, впрочем, как учение отдельное, если здесь изла-
гаются те особенные способы, которые ему только свойственны»
[167, с. 24].
Основным же в алгебре Лобачевский считал теорию урав-
нений: «Решение уравнений составляло всегда главный предмет
алгебры» [167, с. 25], что роднило его взгляды с тем направле-
нием развития алгебры XVIII и первой половины XIX в., начало
которому положил Ньютон во «Всеобщей арифметике» (1707).
«Алгебра или вычисление конечных» Лобачевского, являясь «в
известном смысле одним из заключительных звеньев в цепи тру-
дов Маклорена, Клеро, Эйлера, Варинга, Лагранжа, Фурье и
других алгебраистов, продолжавших разработку и углубление
проблематики Ньютона» [351, с. 81], в то же время отличалась
«глубоко оригинальным подходом автора к ряду основных во-
просов алгебры как науки и как предмета преподавания» [351,
с. 74]. И прежде всего это оригинальные воззрения Лобачевско-
го на предмет алгебры, классификацию аналитических наук и
основные их методы.
Так как мы рассматриваем историю отечественного мате-
матического образования гимназического уровня, ограничимся
анализом элементарной части руководства Лобачевского. В пре-
дисловии к рукописи гимназического курса Лобачевский так по-
яснил цели и задачи ее составления: «Новая книга начал ма-
тематики не должна напрасно умножать число существующих,
потому что их и без того много. Читателю довольно слегка про-
бежать мою алгебру, чтобы открыть в ней большее развитие со
всеми изданными до сих пор и не думать более, чтоб намерение
мое было собрать и повторить только сказанное другими. Далее
он не замедлит увидеть, что кроме старания сделать лучший
выбор я прибавил еше и много нового» [167, с. 368]. Лобачевский
328 II. XIX — начало XX в
с гордостью пишет далее о том, что предлагаемый курс прошел
испытание собственным опытом: «Опыт на моей стороне. Два
года читается алгебра в Казанской гимназии под моим руковод-
ством, и в последнее время я имел всю причину восхищаться
успехами детей. Видел, что они тверды в правилах, понимая
все, совершенно уверенные в своих знаниях, отвечают со рве-
нием на вопросы, с намерением даже сысканные, разрешают их
легко, не подозревая, чтоб в них может скрываться затруднение,
достойное занять взрослых» [167, с. 368].
Таким образом, учебник элементарной алгебры Н. И. Лоба-
чевского явился результатом преподавания автором соответ-
ствующего курса, пригодность его проверялась школьной прак-
тикой. Это отмечено и профессором Никольским в его отзыве:
«Автор имел случай сделать все нужные исправления в отно-
шении к способу учения», а также «проверить успешность на
самом опыте»*.
Надо отметить, что учебник элементарной алгебры, несмот-
ря на то что не был опубликован, единственный из учебников
Лобачевского, который широко использовался в гимназическом
математическом образовании в Казанском учебном округе. Так,
в «Исторической записке о 1-й Казанской гимназии» указывает-
ся, что в 1830-1831 учебных годах «в среднем алгебраическом
классе было пройдено по руководству проф. Н. Лобачевского: о
счете одночленных количеств, о скобках, о счете сложных коли-
честв, о дробях, об уравнении 1-й степени, о Ньютоновой строке,
об уравнениях 2-й степени, общие понятия о логарифмах и об
их главных свойствах»**. При этом изложение материала Лоба-
чевским было систематическим и достаточно строгим, о чем в
предисловии говорил и сам автор: «Я не боялся затруднить моей
разборчивостью и строгостью в истинах более, нежели сколько
это может принести пользы» [167, с. 369].
Лобачевский объяснял это тем, что основную цель элемен-
тарной алгебры он видел в том, чтобы «положить первые и твер-
дые основания вообще для всех родов вычислений, употребляе-
мых в аналитике». Для достижения же этой цели, как считал
Лобачевский, «надобно было всегда желать, чтоб она стала на
* Цит. по: [193, с. 78].
** Владимиров В. В. Историческая записка о 1-й Казанской гимна-
зии [66]. Цит. по: [248, с. 10-11].
2. II четверть XIX в.329
твердом основании, чтоб строгость и ясность сохранялись в са-
мых ее началах, как оне делаются первым ее достоинством в про-
должении. Такого рода опущение было вредно для целой науки,
потому что было всегда причиной или бесполезных исследований
или темных, даже ложных понятий» [167, с. 369].
Из этого следует, что в алгебре нельзя допускать никаких
нестрогих доказательств с целью сделать ее более понятной уче-
никам. Лобачевский по этому поводу говорит в «Наставлениях
учителям математики в гимназиях»: «Только с алгеброю на-
чинается строгое математическое учение, которое возвращает-
ся также к первым правилам арифметики и утверждает вер-
ность их строгим суждением, выражаясь всегда буквами и зна-
ками» [160, с. 557]. Алгебра, изложенная на строгих логичес-
ких началах, как считал Лобачевский, необходима только для
тех, кто готовит себя к профессии, делающей неизбежным зна-
комство с анализом, т.е. прежде всего для студентов физико-
математических факультетов университетов.
Совсем другим было отношение Лобачевского к арифмети-
ке. Он считал, что она необходима всем, поэтому ее необходимо
сделать общедоступной, преподавание же ее должно учитывать
практические потребности людей. Он полагал, что арифмети-
ка не есть часть науки математики, а является лишь учебным
предметом [251, с. 244]. Однако так как арифметика является
пропедевтикой алгебры, она должна быть хорошо освоена и об-
основана. «Вот почему, — говорил Лобачевский в предисловии
к учебнику алгебры, — в моем сочинении говорится о числах,
счете, четырех действиях Арифметических» [167, с. 24-25].
Охарактеризуем расположение материала в учебнике Лоба-
чевского «Алгебра или вычисление конечных». Первые шесть
глав были посвящены теории арифметических операций над це-
лыми числами и дробями. В гл. 7 и 8 излагалась теория деся-
тичных и непрерывных дробей. В гл. 9 рассматривалась теория
линейных уравнений и теория определителей, в гл. 10 — цело-
численное решение линейных систем. Гл. 11 и 12 посвящены
операциям возведения в степень и извлечения корня, гл. 13 —
логарифмам, гл. 14 — тригонометрическим функциям. В гл. 15
изложена теория конечных разностей, в гл. 16 — решение дву-
членных уравнений, наконец, в заключительной гл. 17 рассмот-
рена теория уравнений высших степеней. Охарактеризуем те из
них, которые относятся к элементарной алгебре.
330 IL XIX — начало XX в
Первые шесть глав «Алгебры или вычисления конечных»
посвящены изучению натуральных чисел и действий над ними.
По мнению А. П. Юшкевича и И. Г. Башмаковой, Лобачевский
одним из первых понял значение логических основ натурального
ряда, и в этом отношении его руководство по алгебре «откры-
вало новую эпоху, эпоху постепенной разработки аксиоматики
натурального ряда...» [350, с. 84]. В этих главах практически
раскрыта теория арифметических операций.
Во вступлении Лобачевский дает некоторые основные опре-
деления. Начинает он с определения количества (коликое): «Все
то, что допускает понятие о величине, называется коликое, та-
ковы все вещи, скорость движения, время, потому что все это
может быть измеряемо». После этого вводит понятие величи-
ны и меры: «Величина всякого коликого познается только через
сравнение с другим, взятым за меру». Наконец, Лобачевский да-
ет понятие числа и единицы следующим образом: «Когда умал-
чивается и то, чего назначается величина, и то, что берется из
сравнения, тогда величина получает название числа, а мера —
единицы» [167, с. 29]. Таким образом, Лобачевский дает общее
определение числа как отношения двух однородных величин.
Числа Лобачевский классифицирует следующим образом.
Целые числа выражаются в выбранной мере без помощи долей,
т. е. он определяет целые как собрания единиц. Дробные выража-
ются «в долях так же, как целые в единицах». Наконец, он гово-
рит о неизмеримых числах, в которых ни одна из долей единицы
не откладывается без остатка: «Всего чаще таковы бывают ис-
кусственные числа, определяемые условиями, но которым вцолне
удовлетворить нельзя. Для них употребительны особые знаки,
пока точность вычисления оставляется на произвол» [167, с. 31].
Если же точность вычисления заранее указана, то неизмеримые
числа, по мнению Лобачевского, можно заменить рациональны-
ми дробями: «Различие их с прочими числами, измеряемыми,
в том только, что дробь, которой они изображаются, меняется,
смотря по точности, наблюдаемой в вычислении» [167, с. 31]. Та-
ким образом, Лобачевский определяет иррациональное число как
множество рациональных чисел [350, с. 92].
Глава 1 «Алгебры или вычисления конечных» посвящена
определению сложения и вычитания и доказательству основ-
ных свойств этих операций. Операция сложения определяется
с помощью «присчитывания»: «К целому числу придать другое,
значит к единицам первого присчитать единицы второго» [167,
2. II четверть XIX в.331
с. 33]. Далее он определяет ноль как такое число, которое не из-
меняет другого числа при сложении: «Нуль числа не переменяет,
будет ли к числу придан, или число придано к нему».
Введя аппарат операции сложения, Лобачевский впервые да-
ет доказательство коммутативности этой операции [350, с. 95].
Он распространяет его на все числа: он заявляет, что сложение
дробей после приведения их к общему знаменателю сводится к
сложению одних только числителей, т.е. целых чисел и «посе-
му предложение будет уже доказано для всех чисел, как скоро
оно докажется для целых» [167, с. 34]. Операцию вычитания Ло-
бачевский определяет в качестве обратной сложению: «Вычесть
число из другого, значит найти такое третье, которое с первым
даст второе» [167, с. 35]. После чего Лобачевский особо отмеча-
ет единственность операции вычитания: «Разность двух чисел
может быть только одно число» [167, с. 36]. Это положение им
доказывается на основании единственности счета.
В главе 4 Лобачевский рассматривает операции умножения
и деления. Операция умножения вводится им следующим обра-
зом: «Умножить коликое на другое значит найти третье, которое
бы происходило из первого, как второе из единицы» [167, с. 49].
На основе этого определения он обосновывает умножение на 0
и 1. Случай 0 • а = 0, как отмечает Лобачевский, «не подхо-
дит собственно под общее определение, потому что нуль никак
не происходит из единицы» и потому это равенство можно при-
нять «только в дополнение к общему определению, тогда как и
всякое другое, коликое могло бы почтено быть за произведение
0-а» [167, с. 50]. Деление вводится Лобачевским как операция, об-
ратная умножению, специально рассматривается случаи деления
на 1 и 0. После этого доказывается коммутативность умножения.
Как считают А. П. Юшкевич и И. Г. Башмакова, «значение
идей, положенных Лобачевским в основание алгебры, огромно.
< ... > Работы по исследованию свойств натурального ряда под-
готовили почву для революции в арифметике и алгебре, сравни-
мой по своему значению с открытием неевклидовой геометрии»
[350, с. 101]. К сожалению, работы Лобачевского над исследова-
нием основ арифметики малоизвестны, а ведь практически они
являются прологом к аксиоматическому ее построению.
В главах 5 и 6 Лобачевский переносит определенные ранее
алгебраические операции на рациональные числа, что не пред-
ставляет труда, так как все операции с обыкновенными дробями
сводятся к соответствующим операциям с их числителями.
332 II. XIX — начало XX в
Глава 9 посвящена теории уравнений 1-й степени. Рассмот-
рев традиционные способы решения простейших линейных урав-
нений и их систем, Лобачевский основное внимание уделяет из-
ложению основ теории определителей. Гл. 13 посвящена лога-
рифмической функции, изложенной с помощью формулы бинома
Ньютона для произвольного рационального показателя, без ис-
пользования теорий рядов и пределов. Логарифмы объясняются
перед построением вычислительной алгебры.
В главе 14 рассматриваются тригонометрические функции,
что Лобачевский мотивирует во введении: «О тригонометричес-
ких функциях я также захотел поговорить, не выхода, впрочем,
из пределов Алгебры... потому что не только решение уравне-
ний требует такого пособия, но даже и учение о степенях оста-
лось бы иначе неполным» [127, с. 26]. В основу изучения тригоно-
метрических функций положено понятие о показательной функ-
ции. Он исходит из формул Эйлера, откуда затем аналитическим
путем получаются и все основные тригонометрические функции.
Итак, учебник «Алгебра или вычисление конечных» не яв-
ляется, строго говоря, учебником элементарной алгебры, он да-
леко выходит за рамки традиционного школьного курса и при
изложение вопросов алгебры здесь используются в основном те
методы, которые принято называть элементарными. Более то-
го, многие вопросы Лобачевским излагаются с большой степе-
нью оригинальности и новаторства. Таковы разделы, в которых
обосновываются действия над натуральными числами; таково
данное им расширенное понятие функции, которое весьма близ-
ко к современному; такова трактовка трансцендентных функций,
особенно тригонометрических. Лобачевский внес значительный
вклад в теорию определителей. Наконец, в заключительной гла-
ве, посвященной теории уравнений высших степеней, Лобачевс-
кий дает собственный метод приближенного решения уравнений,
«обычно именуемый методом Греффе, хотя последний и подошел
к таковому решению позднее Лобачевского» [32, с. 6].
Оба учебных пособия были наиболее приспособлены не для
нужд гимназического математического образования, а для об-
общения и систематизации элементарной геометрии и элемен-
тарной алгебры на первом этапе получения университетского
образования. Они скорее могут быть охарактеризованы как по-
собия по элементарной математике с точки зрения высшей.
*
333
3. ОТЕЧЕСТВЕННОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
II половины XIX — начала XX века
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
ГИМНАЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ
во II половине XIX — начале XX века
3.1.1. Математическое образование
в российской средней школе
II половины 50-х и 60-х гг. XIX века
Образовательная политика России с началом царствования
Александра II Освободителя в сравнении с концом правления
Николая I приобрела иной вектор, который в наибольшей степе-
ни характеризуется словами министра народного просвещения
(1854-1858) А. С. Норова: «Наука всегда была для нас одной
из главнейших потребностей, но теперь она первая. Если вра-
ги наши имеют над нами перевес, то единственно силою своего
образования. И так мы должны все наши силы устремить на это
великое дело» [191, с. 48].
Изменение отношения к науке и образованию прежде всего
коснулось университетов: постепенно были устранены практи-
чески все ограничения, введенные в конце царствования Нико-
лая I: восстановлены автономия университетов и право выписы-
вать из-за границы научную и учебную литературу «без цен-
зурного рассмотрения» [34, с. 388], разрешены неограниченный
прием студентов и присутствие на лекциях вольнослушателей
(в том числе женщин), восстановлены упраздненные ранее ка-
федры государственного права европейских держав и истории
философии.
Середина XIX в. в истории науки характеризуется прежде
всего расцветом наук о природе — появлением теории дарвиниз-
ма, созданием органической и физической химии, физиологии и
т. д. В связи с этим старый спор «классического» и «реального»
334 П- XIX — начало XX в
образования перешел в новую фазу: реальное образование на-
чало приобретать все больше сторонников. Министерство про-
свещения вынуждено было начать подготовку новой школьной
реформы.
В 1858 г. Ученый комитет министерства представил проект
школьного устава, предусматривающий бифуркацию гимнази-
ческого образования на филологическое и физико-математичес-
кое направления. П. Л. Чебышев, будучи членом Ученого коми-
тета, разработал проект учебного плана по математике. В нем
были сформулированы следующие цели ее преподавания: 1) раз-
витие умственных способностей учащихся; 2) усвоение сведений,
необходимых для всякого культурного человека; 3) подготовка к
специальным занятиям физико-математическими науками и их
приложениями к практической деятельности. В соответствии с
последними двумя целями курс математики в гимназиях дол-
жен состоять из двух разделов — общего, для всех учащихся 1-5
классов; и специального, для желающих продолжать «реальное»
образование в 6-8 классах. В специальный курс входили: продол-
жение алгебры, тригонометрия, аналитическая и начертатель-
ная геометрии, математическая география, оптика и механика.
Унифицированная программа проектом Устава не предусматри-
валась, давались лишь краткие пояснения относительно объема
материала. В частности, высказывалось пожелание, «чтобы в
курсе алгебры VI класса ученики были ознакомлены с поняти-
ем о функциях и их производных» [51, с. 80]. Право составления
подробной программы предоставлялось педагогическим советам
гимназий. Этот проект не был осуществлен, Ученый комитет в
1859 г. отказался от идеи бифуркации.
Вместо этого в 1860 г. министерством был представлен для
обсуждения новый проект Устава гимназий, в котором отдава-
лось явное предпочтение «реальному» образованию: латинский
начинался лишь с 3-го класса, греческий — с 5-го; на математи-
ку снова отводилось 27,5 часов, а на естествознание и физику —
20 часов. Однако этот проект был подвергнут ожесточенным на-
падкам, его переделывали дважды — в 1862 и 1864 гг. «В угоду
защитникам классицизма постепенно уменьшались программы
по математике и естественным наукам и увеличивались по древ-
ним языкам» [191, с. 48].
Следует отметить, что проблемы образования, в том числе
математического, широко дискутировались общественностью.
Немалую роль сыграла в этих дискуссиях педагогическая жур-
S. II половина XIX — начало XX в.335
налистика, для которой 60-е гг. XIX в. являлись годами расцве-
та. Этот период — пик деятельности первых классиков русской
педагогической мысли — Н. И. Пирогова и К. Д. Ушинского. Пе-
дагогические проблемы находят отражение и в общественно-
политических журналах, например в «Современнике». В част-
ности, проблемы преподавания в классической гимназии дисцип-
лин физико-математического цикла стали объектом обществен-
ного внимания во многом благодаря усилиям выдающегося ли-
тературного критика и публициста Д. И. Писарева. Так, в ста-
тье «Наша университетская наука» дана убедительная критика
классического образования, обоснована необходимость замены ее
реальной школой, тесно связанной с жизнью. Ключом к такой
школе Писарев считает усиление естественнонаучной подготов-
ки, что способствовало росту влияния материализма и подры-
вало принципы казенной морали и религии, традиционные ав-
торитеты. Физиолог И.П. Павлов так оценивал роль Писарева
в распространении естественнонаучных знаний: «Под влиянием
литературы шестидесятых годов, в особенности Писарева, на-
ши умственные интересы обратились в сторону естествознания,
и многие из нас, в числе этих и я, решили изучать в университете
естественные науки» [216, с. 371].
Писарев высоко оценивает роль математики в развитии че-
ловеческого общества: «.. .математика — наука великая, заме-
чательнейший продукт одной из благороднейших способностей
человеческого разума» [234, с. 133]. В то же время он считает,
что в гимназическом преподавании происходит «профанирова-
ние математики» (имея в виду ее формализацию), которое он
называет «преступлением перед разумом». «Доказывая теорему,
— пишет Писарев, — гимназист только притворяется, будто он
выводит доказательство одно из другого; он просто отвечает за-
ученный урок; вся работа лежит на памяти, и там, где изменяет
память, там оказывается бессильною математическая сообрази-
тельность, которую вы, благодушный педагог, уже готовы были
предположить в вашем речистом ученике» [234, с. 132]. Причи-
ну этого Писарев видит в «своеобразных достоинствах систе-
мы преподавания», при которой «математика есть не что иное
как... ряд удивительных фокусов, придуманных бог знает зачем
и бог знает какою эквилибристикою человеческого мышления»
[234, с. 132]. Эта порочная система подменяет содержательное из-
учение математики бессмысленной зубрежкой, «отрывом науки
от жизни, отсутствием межпредметных связей и даже наличи-
336 II. XIX — начало XX в
ем «бедственных междоусобий» между арифметикой, алгеброй,
геометрией и тригонометрией» [182, с. 393]. Писарев считает,
что такая постановка преподавания математики активно и по-
стоянно порождала «врагов математики», которые утверждали:
«.. .математику ненавижу и в жизни своей не возьму больше в
руки ни одного математического сочинения».
Математика, по мнению Писарева, должна излагаться так,
«чтобы самодеятельность ученика была постоянно возбуждена,
чтобы мысль его, творя по своим естественным законам, посто-
янно убеждала его в непреложности истин, постоянно говорила
его сознанию: это так и иначе быть не может» [233, с. 84]. Пи-
сарев также считал, что большую роль в повышении интереса
к математике, осознании необходимости ее изучения призвана
сыграть история науки, знакомство «с процессом деятельности
человеческой мысли в лице ее лучших, самых развитых предста-
вителей» [233, с. 84].
Высоко оценивая роль математики в развитии общества и
отдельной человеческой личности*, Д.И. Писарев выступал за
увеличение объема преподавания математики в гимназиях при
изменении ее методики: он предлагал отвести на изучение этого
предмета 6 часов в неделю в каждом классе, что почти вдвое
превышало бы число уроков математики в реальных гимназиях
того времени.
Профессиональное обсуждение проблем гимназического об-
разования состоялось на Педагогическом съезде директоров и
учителей, который проходил в июле 1864 г. в Одессе. На нем
обсуждались и вопросы, касающиеся математического гимна-
зического образования. Что касается его содержания, то ввиду
перегруженности программ 1852 г. было принято решение о со-
кращении курса математики. Съездом были сформулированы и
методические принципы преподавания математики в гимназии,
отмечалось, что оно должно быть направлено «главным обра-
зом на сознательное усвоение материала, а не на механическое
или малосознательное заучивание математических правил или
законов» [51, с. 80]. Особое значение придавалось наглядности
* В то же время, не будучи математиком, Писарев не всегда верно
оценивал значение и особенности математики. Так, он считал, что
«время великих открытий и радикальных переворотов окончательно
миновало для математики», что она «никогда не будет давать ни-
какой пищи ни чувству, ни воображению» и «не может сделаться
эстетически привлекательной» (см.: [235, с. 352]).
3. II половина XIX — начало XX в.______________;_____ 557
обучения математике, а также взаимному посещению учителя-
ми уроков друг друга с целью обмена опытом преподавания ма-
тематики.
После широкой общественной дискуссии проблем гимнази-
ческого образования, в том числе математического, 19 ноября
1864 г. был утвержден новый Устав гимназий и прогимназий,
в соответствии с которым учреждались три типа гимназий с
семилетним сроком обучения: классическая с двумя древними
языками, классическая с одним древним языком и реальная. Го-
сударственный совет, обсуждая проект министерства, определил
и пропорции, постановив, что «половина всех русских гимназий
должна быть обращена в гимназии с одним латинским языком.
Остальную половину он разделил между сторонниками крайних
мнений: четверть должна была сделаться реальными, четверть
— вполне классическими (т.е. с обоими древними языками)»
[34, с. 388]. Министру народного просвещения было предостав-
лено право преобразовывать гимназии в классические и реаль-
ные, «сообразно местным в тех и других потребностям» [34,
с. 388]. Гимназии стали общеобразовательными и общедоступ-
ными, открытыми для всех сословий, однако плата за обуче-
ние была сохранена, что закрывало доступ в гимназии детям
неимущих слоев населения. Устав 1864 г. был «лебединою пес-
ней либеральных реформ» [191, с. 49]: кроме бессословности он
обеспечивал возможность выбирать между классической и ре-
альной гимназиями, предоставляя воспитанникам обеих одина-
ковые права*, отменял телесные наказания, повышал авторитет
учителя и роль педагогического совета.
В 60-х гг. XIX в. положено начало женскому образованию в
России: учреждены женские училища 1-го разряда с 6-годичным
сроком обучения и училища 2-го разряда с 3-годичным сроком
обучения. Никаких прав дальнейшего обучения эти училища не
давали. Объем математики был очень невелик: в перворазряд-
ных училищах «проходилась арифметика и начала геометрии, в
училищах 2-го разряда преподавались лишь четыре арифмети-
ческих действия» [149, с. 40].
* Все же реальные гимназии давали подготовку лишь для поступ-
ления в высшие специальные учебные заведения и (первое время) на
физико-математические факультеты университетов, классические же
не имели ограничений.
338 IL XIX — начало XX в
В то время на учебные программы установился взгляд,
крайнее выражение которого сконцентрировано в известном вы-
сказывании Н.И. Пирогова: «Программа необходима для не-
опытного и посредственного учителя; дельный же, опытный и
талантливый учитель не нуждается в программе; она у него в
голове, а не на бумаге». Как считал Пирогов, «главное в обу-
чении детей состоит не в том, что им сообщается, а в том,
как им сообщается изучаемое» [114, с. 38]. Гимназический Устав
1864 г. не содержал программ преподавания по каждому предме-
ту, во избежание же произвола в определении объема изучаемого
материала предложил ограничиться специальной инструкцией,
опубликованной 12 марта 1865 г. Эта инструкция в части пре-
подавания математики была разработана П. Л. Чебышевым и в
отличие от других предметов четко определяла те рамки, в ко-
торых должно было быть заключено преподавание математи-
ки, физики и космографии. В соответствии с ней в классических
гимназиях на математику отводилось 22 часа и на естествозна-
ние и физику по 6 часов, в реальных гимназиях на математику
отводилось 25 часов, на естественные науки 23 часа и физику
9 часов. В этой инструкции содержание курса математики опре-
делялось лишь в общих чертах, в рамках которых программы
имели право составлять сами учителя с последующим утверж-
дением педагогическими советами. Такая свобода привела к то-
му, что преподавание одного и того же предмета существенно
различалось не только в гимназиях разных округов, но даже в
гимназиях одного и того же округа.
Пользуясь предоставленным им правом, в ряде учебных
округов начали вводить в преподавание элементы высшей мате-
матики. Из доклада П. Л. Чебышева о программах преподавания
математики, представленных учебными округами в Ученый ко-
митет министерства, следует, что в Киевском и Одесском окру-
гах предусматривалось преподавание аналитической геометрии
в реальных гимназиях, а в Харьковском — начал теории веро-
ятностей и дифференциального и интегрального исчислений.
В части инструкции, касающейся математики, было учте-
но и то, что классические гимназии давали право на поступ-
ление в университет на все факультеты, не исключая физико-
математического. Поэтому инструкция предписывала, чтобы в
такого рода гимназиях преподавались в полном объеме все части
элементарной математики; арифметика, алгебра с включением
бинома Ньютона, геометрия, вся физика и космография.
3. II половина XIX — начало XX в.339
Подобно тому, как Устав 1835 г. ослабил влияние универ-
ситетов на среднюю и начальную школы, образовательная ре-
форма 1864 г. ослабила связи начальной и средней школы. Вслед
за Уставом вышло «Положение о начальных народных учили-
щах», в котором практически узаконено отделение средней шко-
лы от начальной: в соответствии с ним начальные школы изыма-
лись из ведения директоров гимназий и передавались в ведение
специально созданных губернских и уездных училищных сове-
тов. В составе этих советов были представители министерств
народного просвещения и внутренних дел, Синода, земств, го-
родского самоуправления и других ведомств, которым принад-
лежали начальные школы. В обязанности уездного училищного
совета входили «надзор за преподаванием в начальных школах,
назначение и увольнение учителей, организация снабжения школ
учебно-наглядными пособиями» [218, с. 68]. «Положение» предо-
ставляло право открытия народных училищ не только государ-
ству, но и общественным организациям, частным лицам, земст-
вам. В нем формулировалась основная цель народных училищ:
«утверждать в народе религиозные и нравственные понятия и
распространять первоначальные полезные знания», в числе ко-
торых и «четыре арифметических действия».
3.1.2. Реформа математического образования
в России в 70-х гг. XIX века
Однако либеральные образовательные реформы 60-х гг.
XIX в. очень быстро сменились контрреформой средней школы.
Из-за студенческих беспорядков после покушения на Александ-
ра II отстраняется от должности либеральный министр народ-
ного просвещения А. В. Головнин. В 1866 г. на пост министра
назначается граф Д. А. Толстой, известный консерватор, обер-
прокурор Синода. Ужесточается государственный контроль над
средней и высшей школой — инспектирование учебных заведе-
ний, контроль за их деятельностью, цензура. Толстой с помо-
щью известных в свое время общественных деятелей М. Каткова
и К. Леонтьева начинает решительную борьбу за насаждение
классицизма. Как пишут В. Мрочек и Ф. Филиппович в одной
из первых книг, связанных с историей математического образо-
вания («Педагогика математики. Исторические и методические
этюды»), «тройственный союз — Катков, Леонтьев, граф Тол-
стой — распределил между сочленами роли, — и работа заки-
пела. В 1866 г. граф Толстой становится министром и берет на
себя проведение проектов, Катков — подготовку общественного
340 II. XIX — начало XX в
мнения, Леонтьев — изготовление проектов» [191, с. 50]. Таким
образом, содержание контрреформ определялось К. Леонтьевым,
известным в то время публицистом. В связи с этим интересно
его мнение о задачах школы: «Необходимо всеми силами бороть-
ся против народного образования. Если Россия сопротивлялась
сколько-нибудь успешно духу времени, то этим мы обязаны до
известной степени безграмотности народа» [191, с. 50]. Таким
было мировоззрение главного идеолога контрреформ.
Основным средством их проведения вновь становится изуче-
ние древних языков, которое, по мнению организаторов контр-
реформ, в состоянии уберечь обучаемых «от всякого размыш-
ления, убить самостоятельность и приучить к механизму дей-
ствий» [191, с. 50]. «Усиление изучения древних языков долж-
но способствовать к отрезвлению юношества от современного
свободомышления как религиозного, так и политического»*, —
писал крупный чиновник министерства барон Николаи.
30 июля 1871 г. относительно либеральный школьный Устав
1864 г. был заменен Уставом гимназий**, действовавшим без
существенных изменений до 1917 г. Против этого Устава вы-
сказалось большинство членов Государственного совета, обсуж-
давшего реформу школьного образования, но утверждено было
мнение меньшинства [34, с. 389]. По новому Уставу все гимназии
были преобразованы в классические с восьмилетним сроком обу-
чения (в 7-м классе обучение продолжалось два года), с двумя
древними языками, число часов на изучение которых существен-
но увеличилось. Сословность вновь стала «ведущим принципом
комплектования гимназий» [218, с. 69].
Сущность контрреформ состояла в том, что «естествозна-
ние окончательно изгнано, бифуркация отменена, математика
приведена к минимуму и к логике: все прикладное исключе-
но» [218, с. 69]. Но основной недостаток состоял в определении
основной цели гимназического обучения вообще и математи-
ческого в частности. Она формулировалась как исключитель-
но формально-умственное развитие учащихся. В объяснитель-
* Цит. по: [191, с. 50].
** Барон Николаи обосновывает его необходимость борьбой с Уста-
вом 1864 г.: «Издание устава 1871г. состоялось, хотя и негласно, под
влиянием предвзятого убеждения против сочинителей предшествую-
щего устава (1864), будто бы поклонявшихся идеям, так называемым,
либеральным, в противоположность охранительным» [191, с. 50].
3. II половина XIX — начало XX в.341
ной записке к Уставу она звучала следующим образом: «Глав-
нейшими, основными предметами гимназического учения всегда
и везде справедливо признавались математика и в особенности
древние классические языки, и поэтому на них должны преиму-
щественно сосредоточиваться, упражняться и созревать умст-
венные силы учащихся»*. Таким образом, на обучение матема-
тике и древним языкам министерство народного просвещения
смотрело как на средство ограждения учащихся от вольнодум-
ства, всячески насаждая абстрактно-дедуктивное, формально-
схоластическое преподавание математики в гимназиях. Часы
распределялись следующим образом: на математику вместе с фи-
зикой, математической географией и кратким естествознанием
отводится 37 часов из 206 (на латинский язык 49 часов и на
греческий 36).
Вместо реальных гимназий учреждены реальные училища с
ограниченными правами. Их цель по Уставу от 15 мая 1872 г. —
«общее образование, приспособленное к практическим потреб-
ностям и к приобретению технических познаний». Таким обра-
зом, реальным училищам сообщался «резко выраженный про-
фессиональный уклон» [339, с. 306], срок обучения в них урезал-
ся на один год, к тому же 7-й класс объявлен необязательным.
Всем этим реальные училища превращались не только «в не-
полноправную, но и в неполноценную среднюю школу» [344,
с. 2]. Общее образование в них давалось лишь в первых четы-
рех классах, с 5-го начиналась специализация по двум отделе-
ниям — основному и коммерческому. После 6-го класса ученики
выбирали одно из трех направлений — коммерческое, механико-
техническое или химическое. В учебном плане присутствовали
такие предметы, «как счетоводство, книговодство, письмоводст-
во» [137, с. 77]. Изучение древних языков в реальных училищах
не предусматривалось, курс математики же был значительный.
Более 40 часов в неделю по всем классам отводилось черчению.
В учебный план реальных училищ входил также курс естество-
знания, который должен был преподаваться «не научно, а тех-
нологически» [137, с. 77]. Окончившие реальные училища были
лишены права поступления в университет**.
* Цит. по: [51, с. 81].
** В 1888 г. реальные училища вновь приобрели характер общеоб-
разовательных средних школ, хотя по-прежнему права на поступле-
ние в университет они не давали (см.: [344, с. 2]).
342 II. XIX — начало XX в
Вскоре министерство народного просвещения открыло жен-
ские гимназии, впервые официально приобщив женщин к изуче-
нию математики. Курс этих гимназий был приблизительно та-
ким же, что и курс мужских.
Оценка образовательной реформы начала 70-х гг. XIX в. не-
однозначна. Приведем крайнюю точку зрения о влиянии на пре-
подавание математики образовательных реформ, сформулиро-
ванную уже упоминавшимися В. Мрочеком и Ф. Филипповичем:
«Только теперь был нанесен удар математике. Сведенная к 28
часам из общего числа 226 часов, принужденная питаться учеб-
никами Малинина, Давыдова и Киселева, загнанная на задвор-
ки школы, она вскоре порвала с традициями и превратилась в
орудие отупения. Математике учились, кто хотел; обыкновен-
но успехи ученика по древним языкам заставляло начальство
смотреть сквозь пальцы на полное его пренебрежение даже эле-
ментами математики» [191, с. 51]. Борьба между классическим и
реальным гимназическим образованием, которая велась на про-
тяжении всего XIX в. (замена естествознания на древние языки
и обратно происходила уже в четвертый раз), завершилась на
сей раз полной победой классической модели гимназического об-
разования.
Мы склонны к более мягкой оценке этого влияния. Коли-
чество часов по математике в гимназиях фактически не умень-
шилось, а даже увеличилось. Кроме того, с принятием нового
устава русская гимназия впервые получила единые, стабильные,
общегосударственные программы по всем предметам, в том чис-
ле и по математике.
Примерная программа по математике, составленная при
участии П.Л. Чебышева, была опубликована 31 июля 1872 г.
Устав 1871г. предоставлял педагогическим советам гимназий
право представлять в высшие инстанции свои мнения «об изме-
нениях в программах, вызываемых существом дела» [51, с. 80],
поэтому опубликованная программа называлась примерной.
Программа определяла следующий порядок изучения мате-
матики в гимназиях. В 1-3-м классах изучалась арифметика. В
3-м классе начиналось и в 7-м классе (первый год) заканчивалось
изучение алгебры. В 7-м классе (второй год) повторялся весь
курс алгебры вместе с арифметикой. Курс геометрии начинался
в 6-м и заканчивался в 7-м классе (первый год) повторением все-
го пройденного и изучались приложения алгебры к геометрии.
В 7-м классе (второй год) изучалась тригонометрия.
3. II половина XIX — начало XX в. 34 3
Объем преподавания математики сохранялся примерно та-
ким же, что и в программе 1852 г. Были, правда, внесены су-
щественные изменения с целью ее разгрузки и приведения в
соответствие с возрастными особенностями учащихся. В курс
геометрии 5-го класса было введено вычисление сторон правиль-
ных многоугольников, вписанных в круг и описанных около него,
и тема о пределах. Кроме того, в примерных программах 1872 г.
уделялось много внимания применению теории к решению за-
дач, указание на необходимость решения которых содержались
почти в каждом разделе программы. Одновременно повышались
и требования к изучению теории. Перед разложением чисел на
простые множители вводились признаки делимости, перед вы-
числением длины окружности — пределы.
Что касается реальных училищ, то 12 мая 1873 г. министер-
ством народного просвещения были утверждены учебные планы
и программы по всем предметам, в том числе по математике, ме-
ханике и практической механике. В основу программы по мате-
матике положен учебный план, составленный П. Л. Чебышевым
в 1858 г. Значительное место в ней отводилось начертательной
геометрии, «разложению степенных количеств в строки» [250,
с. 84], способу пределов, способу неопределенных коэффициентов.
3.1.3. Математическое образование
в русской средней школе
конца XIX — начала XX века
Образовательная политика России в 80-90-е гг. XIX столе-
тия характеризуется дальнейшей борьбой с либеральными тен-
денциями 60-х. После убийства Александра II (1881) и воцарения
Александра III советником последнего по проблемам образова-
ния стал его учитель и наставник в детские и юношеские годы
К. П. Победоносцев, взгляды которого на российское образование
совпадали со взглядами бывшего министра народного просвеще-
ния графа Д. А. Толстого, ставшего министром внутренних дел
России. Министром народного просвещения назначается его еди-
номышленник и коллега И. И. Делянов, который сумел стать в
весь период царствования императора Александра III «главным
деятелем в сфере учебного дела» [34, с. 390]. Именно эти люди
ответственны за образовательную политику России в это время.
Основа этой политики — укрепление «охранительной и со-
словной традиции» [137, с. 91]. Сразу после воцарения Александ-
ра III в письме императору от 22 марта 1882 г. К.Д. Победонос-
344 И. XIX — начало XX в
цев сформулировал эту политику следующим образом: ее следу-
ет строить так, чтобы в российской школе «люди низшего класса
могли получать нехитрое, но солидное образование, нужное для
жизни, а не для науки». Главной же опорой российской школы
он считал при этом церковь.
В 1884 г. был введен новый университетский Устав*, прак-
тически уничтоживший дажё ограниченный характер универси-
тетской автономии. Что касается начального образования, то в
этом же году по инициативе Победоносцева были утверждены
«Правила о церковно-приходской школе». Церковно-приходские
школы пользовались государственной поддержкой и рассмат-
ривались прежде всего как противовес общественной, земской
школе. Одной из главных задач новых школ являлось воспита-
ние «преданности к престолу», а также внушение детям «любви
к церкви и богослужению, дабы посещение церкви и участие в
богослужении сделалось навыком и потребностью сердца уча-
щихся»**.
В то же время министр народного просвещения И. И. Деля-
нов, не производя формальных изменений уставов учебных за-
ведений среднего уровня, «в циркулярном порядке воздвигнул
особые препятствия для поступления в гимназии детей из непри-
вилегированных классов» [344, с. 1]. В 1887 г. в целях дальней-
шего укрепления охранительных и сословных традиций минис-
терством издается специальный циркуляр, который в обществе
был назван циркуляром «о кухаркиных детях»***. Вновь была
повышена плата за обучение в гимназии, директорам же было
предложено освободить подведомственные им гимназии «от по-
ступления в них детей кучеров, лакеев, поваров, прачек, мелких
лавочников и тому подобных людей, детей коих, за исключением
* Министр народного просвещения И. Д. Делянов внес на рассмот-
рение Государственного совета проект университетской реформы,
разработанный Д. А. Толстым. Большинство членов Госсовета вы-
сказались против проекта, но утверждено было мнение меньшинства
(см.: [34, с. 390]).
** Цит. по: [218, с. 72].
*** Первоначально Деляновым было предусмотрено, что в гимназии
впредь будут допускаться дети лишь некоторых сословий, не ниже
купцов 2-й гильдии. Эта мера была признана неподходящей даже
Александром III, в результате была только повышена плата за обу-
чение и разослан печально знаменитый циркуляр (см.: [344, с. 2]).
3. II половина XIX — начало XX в.345
разве одаренных необыкновенными способностями, вовсе не сле-
дует выводить из среды, к коей они принадлежат» [339, с. 307],
а для некоторых национальных меньшинств введена ограничи-
тельная норма приема. Все это повлекло за собой заметное сокра-
щение общего числа гимназистов и повышение среди них про-
цента дворян «почти до 60» [339, с. 307]. Все же, несмотря на все
препятствия, «разночинная» молодежь проникала в гимназии и
университеты, и «именно из ее среды выходило большинство
деятелей русской науки и просвещения» [339, с. 307].
В соответствии с «циркуляром о кухаркиных детях» на-
чальные школы было предложено передать в духовное ведомст-
во, «т.е. сделать эту школу повсеместно церковно-приходской»
[137, с. 91]. Но на практике из этой идеи ничего не получилось:
губернское дворянство, земство и другие ведомства, курировав-
шие начальную школу, оказали ожесточенное сопротивление, да
и средств у государства для такого широкомасштабного начи-
нания не оказалось.
Некоторые частные изменения, которые были внесены в
уставы средних учебных заведений в 1888 г. (реальные учили-
ща), в 1891г. (гимназии), «не изменили существенно характер
этих учебных заведений» [34, с. 390]. Приведем таблицу уроков
по каждому предмету.
Таблица 4
Предметы Гимназии Реальные училища
Закон Божий 16 14
Русский язык 29 28
Латинский язык 42 -
Греческий язык 33 -
Математика 29 31
Физика 7 10
История 13 14
География 8 12
Французский язык 19 18
Немецкий язык* 19 32
Чистописание и рисование 10 39**
* В гимназиях обязателен один новый язык.
** Чистописание — 8, рисование и черчение — 31.
346 IL XIX — начало XX в
Введение новых уставов практически не сказалась на препо-
давании математики в гимназиях. В 1890 г. в программы 1872 г.
были внесены некоторые изменения и дополнения. Изменения ка-
сались более рационального распределения тем по классам, что
обеспечило их большую доступность. Дополнения практически
не увеличивали объем изучаемого материала, делая его усвоение
более полным.
Так, например, исследование линейных уравнений с одной
и двумя неизвестными переносилось из 5-го класса в 7-й, так
же как и решение неопределенных уравнений первой степени с
двумя наизвестными.
В курсе арифметики 1-го класса восстанавливалось изуче-
ние изменения результатов действий в зависимости от изменения
его компонентов, вводилось ознакомление с простейшими дробя-
ми через задачи (преимущественно устного характера).
В курс алгебры вводились действия над количествами с от-
рицательными (7-й класс) и дробными (5-й класс) показателями,
а также решение неравенств первой степени с одним неизвест-
ным (7-й класс).
В курсе геометрии делались специальные указания о необхо-
димости решения задая на построение и вычисление к каждому
из изучаемых разделов.
Особую роль играл 8-й класс, где в курсе математики пре-
дусматривалось повторение пройденного за все годы обучения и
решение задач по всем разделам. Однако повторение не должно
было стать механическим: «должно было дополняться и доказы-
ваться то, что в предыдущим классах не могло быть сделано в
силу возрастных особенностей учащихся» [51, с. 81].
Впервые в истории русской гимназии программе была пред-
послана объяснительная записка, содержащая методические ука-
зания ко всему курсу математики и отдельным дисциплинам.
В определении цели преподавания математики была усиле-
на формальная сторона. Подчеркивалось, что математика как
наука точная и отвлеченная является удобным средством для
умственного развития учащихся, в связи с чем основное внима-
ние предлагалось уделять основательному и систематическому
изучению теории, практические же задания должны были слу-
жить лишь средством иллюстрации теории и приобретения вы-
числительных навыков. Это существенно обедняло представле-
ние о прикладной стороне математики, ее возможности служить
мощнейшим методом познания.
3. II половина XIX — начало XX в. 347
Охарактеризуем содержание программы по арифметике, ал-
гебре и геометрии.
1. Программа по арифметике содержала вопросы о деся-
тичной системе счисления, арифметических операциях с поло-
жительными рациональными числами и их применении к из-
учению величин, о метрической системе мер и русских счетах.
Курс завершался большим традиционным разделом «Задачи на
правила». В последнем классе гимназии преподавали элементы
теоретической арифметики — различные системы счисления, за-
коны арифметических действий, теоремы о делимости, теорема
о каноническом разложении, признаки делимости, периодичес-
кие дроби. В программу последнего класса реальных училищ
было включено дополнительно изучение приближенных вычис-
лений. До 1917 г. программа не претерпела существенных изме-
нений, если не считать исключения некоторых второстепенных
вопросов и значительного упрощения и сокращения раздела, со-
державшего задачи на правила, который давно и справедливо
критиковался педагогической общественностью.
2. Программа по алгебре содержала следующие вопросы:
многочлены, алгебраические дроби, уравнения первой степени,
теория пропорций, уравнения и трехчлен второй степени, ра-
дикалы, извлечение квадратных и кубических корней из чисел,
квадратных — из многочленов, прогрессии, логарифмы, иссле-
дование уравнений и их систем, неравенства первой степени,
неопределенные уравнения первой степени, непрерывные дро-
би, теория соединений и биномиальная теорема. В последнем
классе — делимость многочлена на двучлен, эквивалентность
уравнений и приложение алгебры к геометрии. В курсе алгеб-
ры последних классов гимназии излагалась теория пределов,
доказывалось существование логарифмов. Вопросы неопределен-
ного анализа и непрерывных дробей были впоследствии исклю-
чены из программы. Программа реальных училищ отличалась
только содержанием алгебы последнего класса, где изучались
комплексные числа, решение двучленных уравнений с прило-
жением к построению правильных вписанных многоугольников,
исследование на экстремум трехчлена второй степени и дробно-
рациональной функции второй степени, способ неопределенных
коэффициентов.
3. Программа по геометрии включала следующие вопро-
сы. Планиметрия: учение об углах, параллельных прямых, тре-
угольниках, многоугольниках, окружности, несоизмеримости от-
348 II. XIX — начало XX в
резков, подобии, вписанных и описанных многоугольниках, мет-
рических свойствах треугольников; вычисление площадей; по-
нятие предела и вычисление на его основе длины окружности и
площади круга; задачи на построение. Стереометрия: взаимное
расположение прямых и плоскостей; призма, параллелепипед,
пирамида; понятие о правильных многогранниках; равенство и
подобие призм и пирамид; цилиндр, конус, шар и его части.
Программы преподавания математики 1890 г. сохранились
в русской гимназии до 1917 г., несмотря на неоднократные по-
пытки реформировать школу, предпринятые в начале XX в.
В 90-х гг. XIX и начале XX в. в отечественном гимнази-
ческом образовании происходили некоторые позитивные изме-
нения, связанные с именем министра народного просвещения
Н.П. Боголепова, сторонника эволюционных преобразований и
реального образования. Постепенно несколько ослаблен «клас-
сицизм» — изъят как обязательный греческий язык, уменьшено
число часов на латынь (до 30), отменен письменный экзамен по
латыни, восстановлено, правда, в очень небольшом объеме, ес-
тествоведение (6 часов). Общее число часов на изучение мате-
матики колебалось около 30 в неделю.
Во второй половине 1899 г. министерство народного просве-
щения под руководством Н.П. Боголепова решило вынести проб-
лемы среднего образования на широкое обсуждение педагогичес-
кой общественности. Для этого были созваны при учебных окру-
гах особые совещания, посвященные вопросам реформы средней
школы. Совещания прошли во всех округах и «дали интересные
материалы по программам и методам преподавания математи-
ки в средней школе» [149, с. 125]. Так, например, в Московском
учебном округе в работе совещания приняло участие до 200 че-
ловек среди которых такие значимые имена как Н.А. Андреев,
Н.Е. Жуковский, Б. К. Млодзеевский, Н.А. Рыбкин. Так, декан
физико-математического факультета Московского университета
П. А. Некрасов в своем докладе объясняет «плачевные результа-
ты» экзаменов первокурсников недостатками преподавания ма-
тематики в гимназиях и самим направлением этого преподава-
ния, которое определено слишком односторонней схоластичес-
кой целью «усвоения последовательности и логичности выводов
и доказательств». Он критикует учебные планы и программы,
одобренные министерством учебники и задачники «с фантасти-
ческим, часто нелепым и сложным материалом». «При этом за-
бывают, что математика не есть формальная логика и отвле-
3. II половина XIX — начало XX в.349
ченная схоластическая эквилибристика, а наука и вместе с тем
величайший из научных методов миропознания, что такою она
является не в высших только частях, но и в ее элементах» [195].
В результате работы совещаний были составлены учебные
планы и программы для следующих типов школ: гимназия с
двумя древними языками, гимназия с одним древним языком,
реальная гимназия, средняя школа нового типа. Большое вни-
мание уделено цели преподавания математики, в качестве кото-
рой было сформулировано «усвоение математики как науки и
как научного метода миропознавания»; теоретический курс был
поставлен на первое место, решение же задач «служило только
пособием к усвоению теории»; программы по математике пред-
полагалось освободить от устаревшего материала: «все статьи,
имеющие лишь вспомогательное значение, должны быть, по воз-
можности, сокращены»*.
Все материалы учебных округов поступили в министер-
ство, обобщены и проанализированы, что дало возможность
Н.П. Боголепову в 1900г. создать комиссию из представителей
всех учебных округов, представившую новый план организации
среднего образования, в соответствии с которым предполагалось
учреждение следующих средних учебных заведений (в скобках
указано число недельных часов на изучение математики):
1. Гимназия с двумя древними языками (3-4).
2. Гимназия с латинским языком и новыми иностранными язы-
ками (3-4).
3. Школа нового типа с новыми иностранными языками (3-4).
4. Гимназия с гибким учебным планом, позволявшим осущест-
влять индивидуализацию обучения (1-4).
5. Восьмиклассные реальные училища (5).
6. Средние учебные заведения с бифуркацией с 4-го класса на
гуманитарные и реальные отделения (4-5).
7. Кадетские корпуса (4).
8. Духовные семинарии (3-4).
9. Коммерческие училища (4-5).
По этому плану в качестве основных предполагалось со-
хранить два типа учебных заведений — гимназии и реаль-
ные училища. Некоторые элементы плана удалось осушест-
* Цит. по: [149, с. 126].
350 II. XIX — начало XX в
вить*: в реальных училищах добавлен дополнительный 8-й
класс, окончание которого давало право поступления на физико-
математический и медицинский факультеты университета.
Значительную работу провела математическая подкомис-
сия «боголеповской комиссии» под руководством известного
педагога-математика Н.И. Билибина**, давшая отрицательную
оценку программам мужских гимназий 1890 г. из-за формали-
зации обучения и включившая в программу некоторые элемен-
ты аналитической геометрии (в виде приложения алгебры к гео-
метрии). Подкомиссия сформулировала следующие основопола-
гающие задачи реформирования математического образования:
1) определить объем преподавания математики как общеобра-
зовательного предмета; 2) распределить учебный материал по
классам соответственно возрасту учащихся; 3) определить не-
обходимое число часов по каждому классу; 4) указать все то,
что должно служить предметом объяснительной записки к при-
мерным программам. Подкомиссия считала, что преподавание
математики в первых трех классах и учебные планы в 4-7-м
классах должны быть совершенно одинаковы и в гимназиях и в
реальных училищах.
В реальных училищах по плану 1905/06 учебного года на
математику (с элементами высшей) приходилось 35 недельных
часов. В женских гимназиях на математику отводилось около 20
часов в неделю (по всем классам) [344, с. 2].
Серьезные изменения в программах по математике для ре-
альных училищ произошли в 1906 г., когда в учебный план ре-
альных училищ были включены начала аналитической геомет-
рии на плоскости и математического анализа, изучавшихся в
старших классах.
Программа по аналитической геометрии содержала все ос-
новные вопросы этого курса, за исключением исследования кри-
вых второго порядка.
По математическому анализу рассматривались следующие
вопросы: пределы, функция и аргумент, понятие производной и
дифференциала, техника дифференцирования, производные эле-
ментарных функций, теоремы о непрерывных функциях, иссле-
* К сожалению, другим планам не суждено было сбыться: в нача-
ле 1901г. Н.П. Боголепов был смертельно ранен эсером-террористом
П. В. Карповичем.
** См.: [177, с. 12].
3. II половина XIX — начало XX в.351
дование функций на экстремум, уравнения касательной и нор-
мали, понятие об определенном и неоопределенном интегралах.
В 1907г. году вышел и учебник Н.И. Билибина [25], со-
ставленный по новой программе. Позже опубликованы «Осно-
вания анализа бесконечно малых» А. Воинова (1909), «Основа-
ния аналитической геометрии на плоскости» и «Основания ана-
лиза бесконечно малых» Д. Горячева (1909), «Начала анализа»
М. Попруженко (1913) и др.
Для кадетских корпусов в 1911 г. утверждена программа по
математике на новых началах. По этой программе «цель матема-
тики заключается, между прочим, и в развитии функционально-
го мышления» [311, с. 314]. Введение этих программ стало одним
из частных результатов острой дискуссии, которая развернулась
в 90-е гг. XIX в. вокруг содержания математического образова-
ния среднего уровня. Итоги этой дискуссии частично подведены
в 1911-1914 гг. на I и II Всероссийских съездах, работу которых
мы осветим позже. Съезды привлекли к проблемам математи-
ческого образования представителей не только педагогического
сообщества, но и широких общественных кругов.
Последний период досоветской истории отечественного ма-
тематического образования — август 1914 — октябрь 1917 г. Он
проходит в сложных условиях Первой мировой войны и Февраль-
ской и Октябрьской революций. В системе математического об-
разования все оставалось в основном по-прежнему.
В 1915-1916 гг. министерство народного просвещения вело
подготовку к кардинальной реформе средней школы. Инициато-
ром ее стал министр народного просвещения граф Павел Ни-
колаевич Игнатьев, с именем которого связан так называемый
«Игнатьевский проект» реформы школы. До января 1915 г. он
был чиновником высокого ранга министерства землеустройства
и земледелия.
Спустя неделю после своего назначения Игнатьев «уже вы-
ступает в Государственной думе и говорит о необходимости ре-
формировать в народном образовании, по существу, все!» [137,
с. 134]. Недостатки отечественной системы образования министр
не без оснований объяснял, в частности, отрицательным отно-
шением ко всему русскому, «которое в течение двух столетий
внедрялось в сознание русского интеллигентного человека...
Естественные и роковые последствия такого воспитания выра-
зились в отсутствии веры в собственные силы, обидно прене-
брежительном отношении к русскому языку, русской природе,
352 IL XIX — начало XX в
русской культуре... и недостаточно развитом чувстве патрио-
тизма*. Вскоре (апрель 1915 г.) Комитет по реформе школы,
созданный при министерстве народного просвещения, обнаро-
довал цели и задачи реформы. Были созданы многочисленные
комитеты и комиссии на местах, к реформе привлечена широкая
общественность.
В качестве основных задач школы выдвигались следующие:
школа должна быть национальной, дава/ь законченное среднее
образование, иметь разные направления в соответствии с воз-
можностями конкретных учебных заведений и способностями и
устремлениями учащихся.
В апреле 1915 г. было создано «особое совещание по рефор-
ме средней школы», которое приняло принципиальные решения
общего характера: 11-летний срок обучения, фуркацию, одно-
типность мужской и женской школы и др. По всем специаль-
ностям были созданы особые комиссии, которые разработали
учебные планы и программы. Математическую комиссию воз-
главлял К. А. Поссе.
Суть этой реформы состояла в следующем. Начальная шко-
ла имела 3-годичный срок обучения. С 4-го класса шла вто-
рая ступень средней школы (с четырехлетним курсом обуче-
ния), которая делилась на три отделения: новогуманитарное,
гуманитарно-классическое и реальное. Последнее в свою очередь
должно было состоять из двух ветвей — физико-математической
и естественно-исторической. Часы на математику в проекте со-
кращались: 24 часа на гуманитарных отделениях (вместо 32 в
гимназиях) и 34 часа на физико-математической ветви (вмес-
то 35 в реальных училищах). Общее время на Изучение мате-
матики в этих школах должно было быть соответственно 11,8;
14,9; 22, 7; 17,2% общего времени, отведенного на изучение обще-
образовательных предметов [126]. табл. 5 содержит сетку часов
на математику и физику четырех классов второй ступени [149,
с. 132].
По ряду предметов были предусмотрены практические за-
нятия, продекларирована «важность не расширения, а углубле-
ния курса», обращено внимание на внекласные занятия, воспи-
тательные мероприятия и др. [176]. Во всех типах школ пред-
полагалось предоставление возможности освоения культурного
наследия своих народов.
* Цит. по: [137, с. 134].
3. II половина XIX — начало XX в.353
Таблица 5
Предметы Новогуманитарная ветвь Гуманитарно- классическая ветвь Реальная ветвь
классы
4 5 6 7 4 5 6 7 4 5 6 7
Математика Физика 4 2 4 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 2 2 3 4 4 4 6 4 6 5 6*
Что касается математического образования, то, как счита-
ет Ю.М. Колягин [137, с. 135], в его основу должен был быть
положен опыт школьного образования развитых стран Запада,
в частности американских и английских педагогов Д. Дьюи и
Дж. Перри. Так, последний считал, что главной целью школьно-
го обучения математике следует считать выработку у учащихся
умений делать нужные расчеты. Он предлагал изучать в шко-
ле не только разделы элементарной математики, но и высшей
— дифференцирование, интегрирование, векторы и др. в утили-
тарном варианте. Учащиеся должны были при решении конк-
терных практических задач пользоваться формулами, алгорит-
мами, приемами измерений и вычислений. Выводы же формул,
обоснования алгоритмов, доказательства, по мнению автора этой
методики, доступны лишь способным ученикам, которые могут
их изучать в рамках занятий «по желанию».
Вскоре Комитет по реформе средней школы предложил це-
лый пакет документов, в том числе программы по школьным
дисциплинам. Они значительно отличались от предшествую-
щих, включали в себя минимум знаний и рекомендации для
учителей по разработке собственных программ. Правительством
этот пакет документов был отклонен. Основные идеи реформы
не были приняты и педагогической общественностью: весной и
летом 1916 г. состоялись педагогические съезды, на которых не
прошли многие предложения гиперактивного министра народ-
ного просвещения (например, отмена оценок, ежегодных экзаме-
нов). На местах реформа тоже не пошла из-за противодействия
* Математическая ветвь.
354 II- XIX — начало XX в
чиновников и неприятия ее значительным количеством учите-
лей, не поддержавших многие предполагавшиеся нововведения.
В результате этот проект не был осуществлен, в конце 1916 г.
П. Н. Игнатьев вынужден был подать в отставку. На должность
министра был назначен Н. К. Кульчицкий, удаленный ранее с
должности попечителя С.-Петербургского учебного округа за са-
ботаж реформе. Реформистская деятельность министерства на
этом закончилась, подготовленная реформа не была реализована.
После Февральской революции 1917 г. весной и летом были
проведены Всероссийские съезды учителей и преподавателей, на
которых были приняты решения, в обобщенном виде предлагав-
шие те решения, которые дискутировались педагогической об-
щественностью с начала XX в. Так, в резолюции апрельского
съезда говорилось о необходимости: децентрализации школьно-
го управления, построения единой общеобразовательной школы,
освобождения школы от государственной опеки, приближения
школьного обучения к жизни, учета школой культурных потреб-
ностей всех народов России и др. [137, с. 138].
В мае 1917 г. Временное правительство учредило Государ-
ственный комитет по народному образованию, в котором за не-
сколько месяцев были подготовлены десятки различных законо-
проектов, ни один из которых так и не был принят. Двухвековая
история математического образования Российской империи на
этом завершилась. Ей на смену пришла история отечественно-
го математического образования советского периода, основные
вехи которой охарактеризованы в изданной в 1975 г. в киевском
издательстве «Паукова думка» «Истории математического об-
разования в СССР».
3. II половина XIX — начало XX в.355
3.2. ДВИЖЕНИЕ ЗА РЕФОРМУ
ОТЕЧЕСТВЕННОЙ МОДЕЛИ
КЛАССИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШКОЛЬНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
3.2.1. Классическая система
школьного математического образования
и ее российская модель
К 90-м гг. XIX в. учебный предмет «математика» стабили-
зировался, в результате чего сложилась система, которую мы,
вслед за И. К. Андроновым [3, с. 6], называем международной
классической системой математического образования. Матема-
тическое содержание ее характеризовалась следующими особен-
ностями:
1) существованием элементарной и высшей математики:
высшая математика изучалась в высшей школе, а элементар-
ная — в средней;
2) разделением элементарной математики на четыре учеб-
ных предмета — арифметику, алгебру, геометрию и тригономет-
рию, которые «излагались в средней школе как самостоятельные
и независимые друг от друга» [6, с. 7];
3) изучением в начальной школе не учебного предмета
«математика» в целом, а только ее части — «пропедевтичес-
кой арифметики на эмпирической основе без теории предмета»
[6, с. 7];
4) изучением в высшей школе основ математики как науки
XVII-XVIII вв. — аналитической геометрии и математического
анализа, развиваемых как самостоятельные, не связанные друг
с другом дисциплины и лишь внешне объединенные одним на-
званием «высшая математика».
Основные методические особенности международной клас-
сической системы математического образования таковы:
1) постановка двух целей обучения математике: а) образова-
тельной, направленной на усвоение большого количества мате-
матических фактов; б) воспитательной, связанной с развитием
формально-логического мышления учеников;
2) резкое разграничение функций учителя и ученика: учи-
тель активно передает готовые знания, ученик же пассивно за-
поминает и воспроизводит эти знания, применяя их при решении
специально подобранных задач;
356 IL XIX — начало XX в
3) наличие по каждому школьному математическому пред-
мету учебников и сборников задач.
Эта система обучения, функционируя длительное время, да-
ла выдающиеся результаты*, однако она имела и весьма сущест-
венные недостатки. К ним можно отнести, например, следую-
щие:
1) несоответствие между развивающейся наукой математи-
кой и соответствующим учебным предметом, «между которыми
имелось резкое различие по содержанию, объему, системе и ме-
тоду развития математических истин» [6, с. 6];
2) разрыв между элементарной и высшей математикой;
3) отсутствие пропедевтического курса математики;
4) слабые взаимосвязи дисциплин, составляющих элемен-
тарную математику, — арифметики, алгебры, геометрии и три-
гонометрии;
5) превалирование формально-логических целей изучения
математики в средней школе;
6) доминирование в сборниках задач по математическим
дисцйплинам задач и упражнений искусственного характера,
мало связанных с практикой и даже теорией, представленной
в учебниках.
В результате математика «стала бичом для значительной
части учеников» [6, с. 7], которая признавалась неспособной к ее
изучению: до 10% учеников не переходила в следующий класс,
создалась некая пирамидальная система, когда 8-й класс гим-
назии оканчивали от 50 до 40% школьников, поступивших в
1-й класс. Это привело к тому, что появились крайние точки
зрения, призывающие даже не включать математику в общеоб-
разовательный школьный курс: «В общеобразовательном школь-
ном курсе нет достаточных оснований делать математику обя-
зательной для всех: она слишком отвлеченна и далека от жизни,
слишком трудна для многих. Ее влияние на развитие ума не
представляет чего-либо особенного: те основные мыслительные
процессы, которые господствуют в математике, имеют место и в
* Мы считаем, что и советская система математического образова-
ния, признаваемая сейчас лучшей в мире, является одной из моделей
международной классической системы школьного математического
образования, реставрированной в 30-е гг. XX в. после многолетних
бесплодных исканий
3. II половина XIX — начало XX в.357
других науках < ... > нам казалось бы излишним включать ма-
тематику, как самостоятельный предмет, в обязательный учеб-
ный курс для всех, предоставив ее изучение тем, которые владе-
ют соответствующими способностями и которым отвлеченность
математических рассуждений не представит слишком больших
затруднений» [131, с. 7—8].
3.2.2. Движение за реформу
математического образования в России
на рубеже XIX-XX веков
.Накопившиеся к началу XX в. трудности и противоречия
в области школьного математического образования привели к
мощному движению за его реформу, которое приобрело между-
народный характер и часто связывается в методической литера-
туре с именем одного из самых видных математиков того вре-
мени Феликса Клейна. Действительно, именно Клейн в 1897 г.
на I Международном математическом конгрессе в Цюрихе в до-
кладе «Вопросы математического образования» «обосновал не-
обходимость реформы математического образования и сформу-
лировал первые ее принципы» [137, с. 101], которые легли в ос-
нову разработанной в 1905 г. под его руководством «Меранской
программы» преобразований математического образования. Од-
нако задолго до начала международного движения за реформу
школьного математического образования, названного впослед-
ствии реформой Клейна, провозглашенные в ней идеи широко
обсуждались в России. Некоторые исследователи истории оте-
чественного математического образования даже считают, что в
России реформаторские идеи начали обсуждаться и частично
реализовываться раньше, чем за рубежом*.
Так, на протяжении 1891г. в журнале «Русская школа»
(№ 2, 3, 9, 10) печаталась работа одного из крупнейших отечест-
венных педагогов-математиков С. И. Шохор-Троцкого «Цель и
средства преподавания низшей математики с точки зрения тре-
бований общего образования», в которой критикуется сложив-
шаяся система математического образования. Автор предлагает
ввести начальный курс геометрии, обогатить арифметику раз-
делом о приближенных вычислениях, ввести в курс алгебры по-
нятие функции и теорию пределов.
Особенно большой резонанс в педагогической обществен-
ности вызвала ярко написанная и опубликованная в майском
* См., например, [177, с. 12-16; 6, с. 11; 52; 137, с. 109].
358 IL XIX — начало XX в
номере журнала «Русская мысль» за 1895 г. статья выдаю-
щегося деятеля отечественного просвещения, профессора Мос-
ковского городского народного университета им. Шанявского*
В. П. Шереметевского «Математика как наука и ее школьные
суррогаты», в которой автор подчеркивает, что идеи современ-
ной математики остаются за рамками гимназических программ.
Он пишет: «Молодые люди конца XIX в., готовящиеся при-
нять официальное удостоверение в умственной зрелости, искус-
ственно задерживаются на средневековом уровне математичес-
кой мысли; считаются неспособными усвоить хотя бы элементы
математики, как науки нового времени». В. П. Шереметевский
считает, что элементарный курс математики должен группи-
роваться вокруг понятия функциональной зависимости: «Чем
раньше оно будет вызвано и осторожнее выражено в сознании
учащегося, тем лучше». Он ратует также за введение в школь-
ный курс элементов аналитической геометрии и математичес-
кого анализа за счет некоторых сокращений курса математики,
считая, что «счисление бесконечно малых есть та часть матема-
тики, которой она обязана своим значением, своим краеугольным
положением в здании современной науки. Его элементы и долж-
ны стать достоянием общеобразовательной школы» [329, с. 105].
Большое внимание назревшим проблемам реформы мате-
матического образования в конце XIX — начале XX в. уделя-
лось в педагогической и методической печати. Для этого вре-
мени характерно и такое уникальное явление в истории ма-
тематического образования и интеллектуальной истории Рос-
сии, как научно-педагогические кружки. Так, в Петербурге в
1885 г. был создан отдел математики при Педагогическом му-
зее военно-учебных заведений, в котором до 1895 г. было сде-
лано 200 докладов [344, с. 4], посвященных состоянию и пер-
спективам развития математического образования в России.
Вопросами реформы образования в этом кружке занимались
педагоги Шохор-Троцкий, Томилин, Филиппович, профессора
* Народные университеты были общедоступными просветитель-
скими учреждениями, предназначенными для повышения культурно-
го уровня и профессионального мастерства всех желающих, незави-
симо от возраста (все же не ниже 16 лет) и образования. Занятия
велись в вечернее время. Преподавателю университета не требова-
лось иметь ученую степень, не обязателен опыт педагогической де-
ятельности. В народных университетах преподавали И. М. Сеченов,
В. И. Вернадский, И.П. Павлов, К. А. Тимирязев.
3. II половина XIX — начало XX в.359
Б. Коялович, К. Поссе, А. Васильев, академик Н. Сонин. В Мос-
кве с 1900 г. аналогичная работа велась в рамках кружка пре-
подавателей при Обществе распространения технических зна-
ний. Из этого кружка вырос затем так называемый Московский
математический кружок, который наряду с проведением регу-
лярных заседаний с докладами ведущих ученых и педагогов-
математиков по актуальным проблемам математического об-
разования устраивал летние курсы для учителей, с 1911 г. вы-
пускал журнал «Математическое образование». В работе круж-
ка активно участвовали такие видные деятели математическо-
го образования, как Б. К. Млодзеевский, И. И. Чистяков. Анало-
гичные кружки (общества или их отделения) возникли позже в
Харькове, Киеве, Варшаве, Нижнем Новгороде, Оренбурге, Ре-
веле, Полтаве, Риге, Новочеркасске, Орле и других губернских
городах России.
Большую активность в деле реформирования образования
проявили представители среднего профессионального образова-
ния. Так, в 1901-1902 гг. состоялся съезд представителей ком-
мерческих училищ, в рамках которого работала математичес-
кая комиссия под председательством А. Н. Страннолюбского,
признавшая необходимым изучение аналитической геометрии.
В 1903-1904 гг. вопросы преподавания математики были по-
ставлены на обсуждение на III Съезде деятелей технического
и профессионального образования. В докладах Н. Завадского и
Д. Ройтмана было предложено ввести в программу средней шко-
лы начала дифференциального исчисления, аналитическую гео-
метрию и начала начертательной геометрии. Военное ведомство,
в виде эксперимента, с начала 1903/4 учебного года ввело новые
программы по математике в трех кадетских корпусах — Первом,
Псковском и Донском.
Заметим, что большая часть постановлений съездов ком-
мерческих и технических училищ была воплощена в жизнь, что
объясняется большей мобильностью и оперативностью ведомств,
которым были подотчетны эти учебные заведения.
Итак, идеи реформирования классической системы школь-
ного математического образования зародились и широко обсуж-
дались в России не только в педагогической и методической,
но и в общественно-публицистической печати, в общественных
объединениях и на профессиональных съездах, с самого нача-
ла 90-х гг. XIX в., т.е. задолго до официального начала анало-
гичного международного движения, которым считается конфе-
360 II. XIX — начала XX в
ренпия естествоиспытателей и врачей в г.Бреславле (1904г.).
Первые документы этого движения в России были опублико-
ваны в 1899-1900 гг.* в то время как «Меранская программа»
Ф. Клейна опубликована лишь в 1905 г. Работа министерской ко-
миссии Н.П. Боголепова перевела реформистское движение не
позже 1899 г. в официальное русло. Все это подтверждает тот
факт, что к концу XIX в. российское математическое образова-
ние не только стало органической частью международной сис-
темы, но в некоторых отношениях опережало общеевропейский
уровень, было нацелено на реформу, принципы которой вполне
согласовывались с общемировыми тенденциями.
Российское движение за реформу математического образо-
вания органично влилось в международное реформистское дви-
жение, которое получило организационное оформление в рам-
ках IV Международного конгресса математиков, проходившего
в Риме в 1908 г. Конгресс создал Центральный комитет Между-
народной математической комиссии, президентом которого был
избран Феликс Клейн. Популярность его как крупного ученого-
математика обеспечила Клейну безусловный международный
авторитет. Мы согласимся с мнением Н. В. Метельского, что
основная заслуга Клейна в области реформы математическо-
го образования «состоит в энергичной пропаганде и широком
распространении реформистских идей» [177, с. 16]. Русскую под-
комиссию возглавляли академик Н. Я. Сонин, а затем профессор
К. А. Поссе. Известное завершение многогранная деятельность
математического и методического сообществ России в конце XIX
— начале XX вв. получила в работе двух съездов преподавате-
лей математики, сам факт работы которых не может не восхи-
щать: ни одна другая школьная дисциплина не знала в своей
истории такого рода прецедентов.
* См. документы, опубликованные в книге К. М. Щербины [338]
(Труды комиссий и групп при Московском Учебном Округе 1899 г.;
Предположения комиссии преподавателей математики киевских сред-
них учебных заведений 1899 г.; Труды комиссии министра Н. П. Бого-
лепова). В этой же книге на с. 152 представлена сводка материалов по
рассматриваемому вопросу
3. II половина XIX — начало XX в.361
3.2.3. Всероссийские съезды
преподавателей математики
1911—1914 гг.
I Всероссийский съезд преподавателей математики.
Инициатором проведения съезда явился отдел математики Педа-
гогического музея военно-учебных заведений в Петербурге. Чле-
ны отдела В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович, авторы уже упоми-
навшейся нами и широко цитировавшейся ранее книги «Педаго-
гика математики. Исторические и методические этюды», обра-
тились к директору музея и председателю отдела математики
генерал-лейтенанту 3. А. Макшееву с этой инициативой, кото-
рая была горячо поддержана профессорами А. В. Васильевым,
К. А. Поссе и С. Б. Савичем. В течение восьми дней на зим-
них каникулах 1911/12 учебного года в Петербурге состоялся
I Всероссийский съезд преподавателей математики, в работе ко-
торого приняли участие 1 217 человек. Среди них — деятели
высшей школы А. В. Васильев, К. А. Поссе, С. А. Богомолов (Пе-
тербург), В. В. Бобынин, Н. А. Шапошников, В. Б. Струве (Мос-
ква), В.Ф. Каган, С. О. Шатуновский (Одесса), Д.Д. Мордухай-
Болтовской (Варшава), Д.М. Синцов (Харьков), педагоги А. П.
Киселев, С. И. Шохор-Троцкий, Д. Э. Теннер, В. Р. Мрочек, Н. А.
Томилин. Председателем съезда был избран профессор А. В. Ва-
сильев. Был заслушан 71 доклад, состоялись прения, съезд при-
нял резолюции.
Большинство докладчиков призывали к. достаточно ради-
кальной переработке программ преподавания математики в
средней школе, главным образом в гимназиях. Один из первых
выступающих, С. А. Богомолов, в докладе на тему «Обоснова-
ния геометрии в связи с постановкой ее преподавания» пред-
лагает разделить преподавание геометрии на две части: про-
педевтический курс, базирующийся на широком использовании
интуиции, и систематический курс, который должен быть вы-
строен на аксиоматической основе. В пропедевтическом курсе
докладчик считал полезным ввести начала проективной и на-
чертательной геометрии, а в завершение систематического курса
ознакомить учащихся с идеями геометрии Лобачевского. К это-
му докладу примыкает сообщение П.А. Долгушина (Киев) «Не-
евклидова геометрия в средней школе», в котором раскрывался
опыт популярного изложения идей геометрии Лобачевского в 8-м
классе гимназии при помощи связок окружностей. Пропедев-
тическому курсу геометрии в средней школе посвящен доклад
362 II. XIX — начало XX в
А. Р. Кулишера «Начальный (пропедевтический) курс геомет-
рии в средней школе. Его цели и осуществление» [301, с. 376-412].
Докладчик обращает особое внимание на взаимосвязи пропедев-
тического и систематического курсов, а также на необходимость
первого оказать «помощь другим предметам первого цикла учеб-
ного плана средней школы (арифметике, географии, естествозна-
нию)».
Значительное место отведено вопросу разработки в стар-
ших классах более строгого учения о натуральных числах
и операциях над ними, расширению понятия числа (доклады
Б. Б. Пиотровского «Курс теоретической арифметики в старших
классах средней школы» и Т. А. Афанасьевой-Эренфест «Ирра-
циональные числа в средней школе»). В докладе И. И. Чистякова
«Элементы теории чисел в средней школе» [301, с. 245-252] от-
мечается, что «теоретическая арифметика поставлена у нас со-
вершенно неудовлетворительно», и предлагается ввести в курс
математики «вместо суррогатов теории чисел — изучение самой
теории чисел» в старших классах на базе тех сведений, кото-
рыми учащиеся старших классов уже располагают. Докладчик
считает теорию чисел той областью математической науки, в
которой значительных успехов добились русские ученые «Бу-
няковский, Чебышев, Бугаев, Вороной... Их труды составляют
честь и гордость русской математической науки, и наилучшим
воздаянием их памяти была бы широкая популяризация знаний
из области теории чисел, путем введения ее основ в нашу сред-
нюю школу» [301, с. 252].
В. В. Бобынин в докладе «Цели, формы и средства введе-
ния исторических элементов в курс математики средней школы»
не только ратует за органичное введение в преподавание мате-
матики элементов историзма, но и аргументированно спорит с
теми деятелями российского образования, которые распростра-
няют «отрицательные взгляды на математику, поддерживаемые
и распространяемые не только Л.Н. Толстым и его последова-
телями, но даже и некоторыми произведениями педагогической
литературы» [301, с. 141].
Доклад В. Ф. Кагана «О подготовлении преподавателей ма-
тематики для средних учебных заведений» [301, с. 470-554] пред-
ставляет собой серьезное исследование истории педагогического
образования, состояния его в Одесском учебном округе, включа-
ет обширный список литературы по обсуждаемому вопросу.
3. II половина XIX — начало XX в.363
Большая группа докладов посвящена реформе курса алгеб-
ры и введению в среднее математическое образование элемен-
тов высшей математики. Ф. В. Филиппович, опираясь на свой
опыт, в докладе «Постановка преподавания начал анализа в
средней школе» утверждает, что «Ввести начала дифференци-
ального и интегрального исчислений в среднюю школу нужно
не в виде «надстройки» над так называемым школьным кур-
сом элементарной математики, а в связи с понятием о функции,
проходящим красной нитью через всю программу математики.
Ввиду этого весь курс математики в средней школе должен быть
сконцентрирован около идеи функциональной зависимости и рас-
ширен первоначальными понятиями анализа бесконечно-малых»
[301, с. 115]. Автор доклада предлагает взять время на изучение
этих разделов за счет исключения «устарелых отделов», к кото-
рым он относит неопределенные уравнения, непрерывные дроби,
теорию соединений, бином Ньютона и др. М. Г. Попруженко в
докладе «Об анализе бесконечно малых в средней школе» [301,
с. 577-578] указывает на введение в курс средней школы элемен-
тов анализа, как на одну из основных тенденций развития мате-
матического образования в Америке и странах Европы, и фор-
мулирует условия, которым должен удовлетворять обогащенный
этими идеями курс: 1) общедоступность курса, 2) честность его,
3) краткость, 4) органическая связанность с общим курсом мате-
матики средней школы. Он дает и краткий обзор учебной лите-
ратуры по этому вопросу. Н. А. Томилин в докладе «Применение
графического метода в средне-школьном курсе математики» де-
тально развивает проблему применения графиков и их значении
для введения идеи функциональной зависимости, изучения зако-
нов физики и химии, приближенного решения задач.
В докладах П.А. Некрасова «О результатах преподавания
начал анализа бесконечно малых, аналитической геометрии и те-
оретической арифметики в реальных училищах и гимназиях» и
Б. Г. Крамаренко «К вопросу о постановке преподавания мате-
матики, главным образом аналитической геометрии и анализа
бесконечно малых, в реальных училищах Кавказского учебного
округа» анализируются первые итоги преподавания в средней
школе элементов высшей математики. Оба докладчика приходят
к выводу, что по сравнению с началами анализа аналитическая
геометрия усваивается успешнее и не вызывает особых труднос-
тей у учащихся. В докладе В. И. Шиффа «Обзор учебников по
аналитической геометрии, составленных для реальных училищ»
S64 II- XIX — начало XX в
критике подвергнуты как учебники, написанные в соответствии
с утвержденной министерством программой для реальных учи-
лищ 1905 г., так и те учебники, которые выходят за рамки этих
программ.
Иные подходы к введению элементов аналитической геомет-
рии и математического анализа в курс средней школы предло-
жили К. А. Поссе [241, с. 452—458] и В. Б. Струве [290, с. 458-468].
Одобряя включение в общий курс средней школы этого матери-
ала, они предлагали организовать специальные математические
классы для тех учащихся, которые собираются поступать на ма-
тематическое отделение университетов или в высшую техничес-
кую школу. Последний предлагал взять за образец французскую
школу, в которой введена такого рода специализация.
Значительное число докладов было посвящено также кри-
тике учебных руководств по арифметике, алгебре, геометрии,
тригонометрии и высшей математике для реальных училищ.
Среди докладов по специальной методике заслуживает внима-
ния выступление К. Ф. Лебединцева «Вопрос о дробях в кур-
се арифметики (основные положения методики курса дробей)»
о последовательности изучения дробей. Он предлагет сначала
знакомить учеников с обыкновенными дробями, затем с десятич-
ными (без умножения и деления), а потом параллельно изучать
те и другие. Заметим, что эта схема принята сейчас во многих
учебниках математики для 5-6-го классов.
На I Съезде преподавателей математики получает призна-
ние методика математики как наука: III секция съезда офици-
ально называется секцией методики математики*. Было пред-
ставлено 47 докладов по методологии и методике преподавания
математики. Докладчики секции методики математики выдви-
гают требования «жизненности и реальности изучаемого ма-
териала», одновременно не признавая утилитаризма в препо-
давании математики, который в то время усиленно насаждал-
ся в США. Н. Н. Володкевич в докладе «О реальном направле-
нии преподавания математики в связи с жизненными фактами»
так охарактеризовал отношение к утилитаризму: «Цель нау-
ки более высокая, чем непосредственная польза... Мы долж-
ны приучить наших воспитанников к постоянной проверке те-
оретических построений на их согласие с действительностью».
На заседаниях секции ставится много существенных вопросов,
* Труды I Всероссийского Съезда Преподавателей математики.
Т.П. Секция III (методика). СПб., 1913.
3. II половина XIX — начало XX в. 365
по-новому освещающих проблемы частных методик: лаборатор-
ный метод (Д.Д. Галанин, Н.А. Тамашева, Н.П. Попов и др.),
приближенные вычисления (В. А. Крогиус), графический метод
(Д.Э. Теннер, М.Л. Франк).
Сошлемся на оценку работы I Всероссийского съезда пре-
подавателей математики его активного участника, извест-
ного математика, философа, историка математики, педагога
Д.Д. Мордухай-Болтовского, который издал обзор его работы
[187].
1. Безусловную поддержку введению в среднюю школу эле-
ментов математического анализа нашла лишь идея функцио-
нальной зависимости; даже элементы аналитической геометрии
и — особенно — математического анализа предлагалось вво-
дить в школу «.. .только постольку, поскольку с помощью гра-
фического, наглядного метода она дает возможность уяснить
эту идею» [187, с. 9]. Серьезные возражения против введения
в среднюю школу элементов математического анализа выска-
заны М. Г. Попруженко, Ф. В. Филипповичем, Д. Д. Мордухай-
Болтовским.
2. Не нашли поддержки и предложения, связанные с идеей
аксиоматизации школьного курса геометрии, в частности изуче-
ние в школе элементов проективной геометрии, аксиоматика ко-
торой достаточно наглядна. Большую поддержку вызвала идея
пропедевтического курса геометрии, построенного на наглядной
основе и интуитивных, а не логических доказательствах. В сис-
тематическом же курсе число аксиом должно быть избыточным,
а не минимальным.
3. Большой интерес участников съезда вызвали общие
вопросы преподавания математики: пробуждение интереса к
философским аспектам математики (доклад А. В. Васильева),
психологические проблемы преподавания математики (доклад
С. И. Шохор-Троцкого), введение элементов историзма (доклад
В. В. Бобынина), необходимость практической и прикладной на-
правленности школьной математики (доклад В. В. Лермантова).
Итог работы съезда был подведен в его резолюциях, которые
содержат 19 положений [301, с. 568-571]. В частности, съезд при-
знал необходимым: 1) «поднять самодеятельность и активность
учащихся, а также усилить наглядность преподавания на всех
его ступенях и в то же время повысить логический элемент в
старших классах, считаясь, однако, с психологическими особен-
ностями возраста учащихся и с доступностью для них препода-
366 II. XIX — начало XX в
ваемого материала»; 2) «опустить из курса математики средней
школы некоторые вопросы второстепенного значения, провести
через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости»;
3) «в целях сближения преподавания в средней школе с требо-
ваниями современной науки и жизни — ознакомить учащихся
с простейшими и, несомненно, доступными им идеями анали-
тической геометрии и анализа»; 4) создание «задачников, соот-
ветствующих кругу интересов учащихся на каждой ступени их
обучения и включающих в себя данные из физики, космографии,
механики и пр.»; 5) такую организацию преподавания в средней
школе, которая, «сохраняя общеобразовательный ее характер,
допускала бы специализацию в старших классах, приноровлен-
ную к индивидуальным способностям учащихся и удовлетворя-
ющую требованиям высшей школы». Часть резолюций касалась
проблемы совершенствования подготовки и переподготовки учи-
теля математики. В резолюциях особенно подчеркивалось, что
необходимо «проявить соответствующую осторожность при всех
начинаниях, касающихся проведения их в жизнь» ввиду слож-
ности высказанных пожеланий.
II Всероссийский съезд преподавателей математи-
ки. Одна из заключительных резолюций I Всероссийского съез-
да преподавателей математики гласила: «Съезд признает необ-
ходимым созвать Второй Всероссийский Съезд преподавателей
математики в Москве в декабре 1913 г.». Это решение было вы-
полнено. Подготовку и организацию II Съезда провел Московс-
кий математический кружок, председателем организационного
комитета был Б. К. Млодзеевский, председателем съезда был
избран М.Г. Попруженко. В работе съезда участвовало свыше
1 200 человек, представлено, обсуждено и опубликовано 32 докла-
да*. Можно сказать, что масштабы второго съезда в сравнении
с первым были несколько более скромными.
Открывая съезд, профессор Млодзеевский отметил, что
«успехи естествознания и техники выдвинули вопрос о введе-
нии в среднюю школу вопросов, изучаемых теперь обыкновен-
но в высшей школе; стало очевидным, что в настоящее время
основные понятия исчисления бесконечно малых, аналитичес-
кой геометрии и теории вероятностей должны быть достояни-
ем каждого образованного человека» [112, с. 3]. Таким образом,
Млодзеевский протянул нить, связующую оба съезда, и наметил
основные направления развернувшейся на форуме дискуссии.
* Перечень докладов см.: [112, с. 186-187].
3. II половина XIX — начало XX в. 367
Первый доклад съезда, который сделал профессор Д.М.
Синцов, был посвящен анализу работы Международной комис-
сии по преподаванию математики. Он сделал краткий обзор
международных акций комиссии за последние годы и положе-
ния с преподаванием математики в ведущих странах Европы,
а также в Северо-Американских Соединенных Штатах. Основ-
ное направление работы комиссии — дополнение курса средней
школы понятиями высшей математики. Профессор Синцов про-
должил развитие этих идей в докладе «О преподавании анали-
тической геометрии в средней школе».
С. Н. Бернштейн в докладе «Понятие функции в средней
школе» подробно изложил весьма спорную точку зрения на при-
емы введения понятия функции. Он считал, что необходимо зна-
комить учеников и с оперативным, и с табличным, и с графи-
ческим ее определением, выдвигая на первый план «оператив-
ное определение функции и, как его простейший, хотя и очень
частный пример, аналитическую функцию, т. е. строку Тэйлора»
[112, с. 100].
В докладе П. А. Некрасова «Об учебных особенностях двух
направлений математического курса средней школы» обосно-
вывается включение в старшие классы средней школы элемен-
тов теории вероятностей и статистики. Автор предлагает ввес-
ти в курс алгебры следующие вопросы: «1) теория соединений
и перемещений, 2) теория вероятностей с логическою класси-
фикацией признаков и причин и с законами больших чисел,
3) статистическая теория... корреляций, включающая спо-
соб наименьших квадратов и вырабатывающая... постула-
ты физико-химических, биологических и экономических наук»
[112, с. 85].
Цикл докладов касается возможных изменений в кур-
се геометрии: использованию понятий о бесконечно малом и
о пределе при измерении длин и объемов посвящен доклад
К. Ф. Лебединцева «Теория пределов в курсе геометрии» [112,
с. 277-289]; возможности внедрения в среднюю школу идеи дви-
жения анализируются в докладе А.Р. Кулишера «Идея движе-
ния в современной геометрии и область ее применимости в курсе
средней школы» [112, с. 286-317]. При этом последний призывает
критично относиться к этой новой для школы идее: «Несколько
преувеличенное стремление внести в изложение геометрии при-
емы, основанные на движении, в конце концов оказались вдвой-
368 IL XIX — начало XX в
не плодотворными: оно заставило критически отнестись к этим
приемам... и в то же время пролило новый свет на другие при-
емы, совершенно выключающие движение» [112, с. 317].
Интерес вызвал доклад профессора А. К. Власова «Какие
стороны элементарной математики представляют ценность для
общего образования?», в котором сделана попытка охарактери-
зовать общекультурную составляющую среднего математичес-
кого образования.
Доклады Н. Салтыкова и Д. Синцова посвящены проблеме
подготовки учителей математики. Салтыков делает обзор сис-
темы подготовки учителей в ряде европейских стран, критику-
ет сохраняющиеся в России правила 1868 г., согласно которым
«звание учителя и воспитателя гимназий и прогимназий при-
обретается сдачей установленных испытаний, без прохождения
университетского курса» [112, с. 39], считая, что это звание мо-
жет быть получено после окончания университета и временных
педагогических курсов, устройство которых обусловлено зако-
ном 1909 г. При этом особенно большое значение Н. Салтыков
придавал практическим занятиям, семинарам и тому, что мы
сейчас называем педагогической практикой. Докладчик вносит
предложение об учреждении специальной комиссии для составле-
ния к III Съезду плана подготовки преподавателей математики.
Д. Синцов [112, с. 66-70], который лично руководил временными
педагогическими курсами в Харьковском учебном округе, поде-
лился своим не слишком позитивным опытом этой работы, вы-
сказав критическое отношение к самой этой идее.
Большая группа докладов была посвящена собственно мето-
дическим вопросам: оценке и контролю (доклады К. Ф. Лебедин-
цева, В. Н. Рутковского, Д.Д. Галанина [112, с. 100-110,124-144,
181-186 соответственно]); организации внеклассных занятий по
математике в условиях нового содержания обучения (доклад
В. Фриденберга [112, с. 144-148]); идеи введения элементов ис-
торизма в среднее математическое образование, высказанные
на I Съезде, развил В. В. Бобынин [112, с. 54-60]. Особое вни-
мание съезда занимали вопросы «образовательного равноправия
мужчин и женщин» [137, с. 116], которые частично ставились в
докладе Д.М. Синцова, дискутировались в прениях.
II Всероссийский съезд преподавателей математики принял
семь постановлений. На первом месте в постановлениях съезда
оказалась проблема подготовки учителей математики, в целях
совершенствования которой предлагалось:
3. II половина XIX — начало XX в.369
«а) чтобы лица, приступающие к преподаванию, обладали
подготовкой как научной, так и общепедагогической;
б) чтобы на физико-математических факультетах высших
учебных заведений читались курсы, освещающие с научной точ-
ки зрения основные вопросы элементарной математики;
в) чтобы устраивались районные съезды преподавателей
математики;
г) чтобы устраивались краткосрочные и крупные педагоги-
ческие курсы для преподавателей математики;
д) чтобы организацию таких курсов, кроме учреждений,
устраивающих их в настоящее время, приняли на себя высшие
учебные заведения, а также математические кружки и общества,
объединяющие преподавателей»*.
Следующее постановление касалось программ по математи-
ке, в целях совершенствования которых предлагалось:
«а ) чтобы педагогическим советам было предоставлено пра-
во разрешать преподавателям отступать от существующих
программ под условием представления проектов изменений на
утверждение совета;
б) чтобы осуществление пересмотра программ и плана пре-
подавания математики в средней школе было произведено в це-
лом, а не путем частичных изменений; при выработке такого
проекта плана необходимо не только внесение новых отделов, но
и освобождение курса от отделов, утративших свое значение;
в) чтобы преподавание математики в женских гимназиях
было организовано на одинаковых началах с мужскими;
г) чтобы к совместной работе по выработке плана и про-
граммы преподавания привлекались представители науки и пре-
подаватели средней школы»**.
Еще одно важное постановление съезда, подводящее итог
одной из самых оживленных дискуссий обоих съездов, касается
преподавания в средней школе элементов высшей математики.
Съезд признал начала аналитической геометрии и анализа не-
обходимыми в курсе средней школы всех типов, рекомендуя при
этом:
«а ) пересмотр программ аналитической геометрии и ана-
лиза;
* Дневник съезда [112, с. 163-164].
** Дневник съезда [112, с. 164].
370 II. XIX — начало XX в
б) назначение на эти предметы достаточного количества
времени;
в) установление связи анализа с предыдущими частями кур-
са;
г) более правильная методическая постановка преподавания
аналитической геометрии и анализа»*.
Остальные постановления съезда касались организацион-
ных вопросов, в частности, было принято решение о проведении
III Всероссийского съезда преподавателей математики в декабре
1915 г. в Харькове**. Однако начавшаяся вскоре Первая мировая
война помешала созыву III Съезда.
Заметим, что постановления съезда включали преимущест-
венно перечни организационных мероприятий, связанных с со-
держанием курса математики средней школы и подготовкой учи-
телей математики, сугубо методические задачи сформулирова-
ны очень общо или не сформулированы вовсе.
Подведем общие итоги Всероссийских съездов преподавате-
лей математики, охарактеризовав те основные идеи, которые об-
суждались на заседаниях съездов и положены в основу назрев-
ших реформ преподавания математики в средней школе. Эти
идеи пронизывали все структурные компоненты математичес-
кого образования — его цели, содержание и методы.
1. Что касается целей математического образования, то,
кроме господствовавшей с 70-х гг. XIX вв. так называемой «фор-
мальной цели» (цели развития прежде всего логического мыш-
ления), получила всеобщее признание и другая основная цель
— «материальная» (имеющая практическое, прикладное значе-
ние). Это позволяло давать учащимся представление о матема-
тике как мощном методе познания. В некоторых докладах об-
суждалась и общекультурная значимость математического об-
разования среднего уровня. Д. Д. Мордухай-Болтовской в своих
комментариях к работе съездов считает, что этих целей недо-
статочно, необходимо осуществлять всестороннее воспитание —
научное, этическое, эстетическое и др. [186].
* Дневник съезда [112, с. 164].
** Харьковское математическое общество после обсуждения вопро-
са ответило, что не может взять на себя подготовку и проведение III
Съезда. За эту задачу по предложению оргкомитета II Съезда взялся
Педагогический музей С.-Петербурга (см.: [237]).
3. II половина XIX — начало XX в.371
2. Наиболее оживленную дискуссию вызвали доклады, по-
священные отбору содержания математического образования
среднего уровня. Здесь выделяются следующие идеи:
- идея расширения содержания математического образования
средней школы всех типов за счет элементов высшей мате-
матики одновременно с исключением устаревшего и мало-
ценного в общекультурном отношении материала;
- тесно связанная с предыдущей идея фуркации обучения в
старших классах средней школы, которая выходит за рамки
собственно математического образования и касается рефор-
мы школы в целом;
- проблема преемственности курсов математики средней и
высшей школы, а также идея сближения между собой раз-
личных математических предметов и математики с други-
ми предметами естественного цикла;
- одна из главных идей реформы - связь обучения с жизнью,
которая опирается на практическую цель математическо-
го образования и требует создания задачников нового типа,
показывающих приложимость математики к различным об-
ластям науки, техники, человека в целом;
- идея обогащения содержания математического образования
элементами истории математики.
3. Если проблема содержания математического образования
вызывала повышенный интерес прежде всего у деятелей высшей
школы, которых среди участников съездов было большинство, то
проблема методов преподавания математики находилась в цент-
ре внимания преимущественно педагогов-математиков средней
школы. В связи с этой проблемой можно вычленить следующие
идеи:
- приведение методов преподавания в соответствие с психоло-
гическими особенностями возраста учащихся и связанный
с ним концентрический способ построения всего школьного
курса математики с введением пропедевтических циклов* с
конкретно-индуктивными методами преподавания и посте-
пенным переходом к абстрактно-дедуктивным методам при
более строгом и систематическом изложении материала в
старших классах;
* Напомним, что еще на рубеже XVIII-XIX вв. он был обоснован
С. Е. Гурьевым.
372 IL XIX — начало XX в,
- идея широкого распространения лабораторного метода и
практических работ в преподавании математики*;
- идея преимущественного использования методов, направ-
ленных на активизацию самостоятельной работы, творчес-
ких и практических работ учащихся.
Мы перечислили лишь важнейшие идеи и связанные с ними
проблемы, поиск решений которых являлся целью движения за
реформу математического образования среднего уровня на рубе-
же XIX-XX вв. и Всероссийских съездов преподавателей мате-
матики 1911-1914 гг. Многие из них до сих пор не нашли сво-
его решения, многие впоследствии показали свою несостоятель-
ность в практике массовой школы, некоторые из плодотворных
идей своевременно не были воплощены в жизнь из-за начавшей-
ся вскоре Первой мировой войны. Работа съездов показала, что
отечественному движению за реформу среднего математическо-
го образования свойственны необычайно широкое и богатое со-
держание и разнообразие форм.
В практическом плане реализации тех идей, которые обсуж-
дались на Всероссийских съездах преподавателей математики,
было сделано очень немногое. Наиболее прогрессивно мыслящие
педагоги-математики пытались проводить в жизнь эти идеи в
отдельных учебных заведениях, чаще всего частных. В подавля-
ющем же большинстве государственных школ все оставалось по-
прежнему. В 1915-1917 гг. на первый план неожиданно высту-
пила проблема преподавания в школе теории вероятностей. Уче-
ный совет министерства народного просвещения, в который в то
время входили профессора-математики П. А. Некрасов (Москов-
ский университет) и В. Г. Алексеев (Юрьевский университет),
в целях, как они открыто заявляли, борьбы с материализмом**,
стал добиваться включения в курс гимназии теории вероятнос-
тей. При этом, как считали многие, принципы теории вероятнос-
тей самым ненаучным методом извращались в идеалистическом
духе. Против этого выступили крупнейшие математики во гла-
ве с академиком А. А. Марковым. В «Журнале Министерства
народного просвещения» за 1915 г. велась оживленная и нелице-
приятная дискуссия по этой проблеме. В нее вмешалась Акаде-
* Широкое распространение лабораторного метода в первые годы
советской власти не дало ожидаемых результатов, роль этого метода
в преподавании математики была явно переоценена.
** См. подробнее: [339, с. 311].
3. II половина XIX — начало XX в.373
мия наук, создав в октябре 1915 г. комиссию, в которую вошли
А. А. Марков, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, А. Н. Крылов и др.
Вскоре комиссия вынесла решение, осуждавшее использование
теории вероятностей «с предвзятой целью превратить науку в
орудие религиозного и политического воздействия» [183, с. 12].
В значительной степени влиянием съездов объясняется ин-
тенсивное развитие в 1912-1915 гг. учебной и математико-
методической литературы, новой по содержанию и заложенным
в ней идеям.
374 II. XIX — начало XX в
3.3. МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
II половины XIX — начала XX века
3.3.1. Периодические издания
для учителя математики
II половины XIX — начала XX века
«Вестник математических наук». Первым русским
методико-математическим журналом был «Учебный матема-
тический журнал» К. Я. Купфера. Журнал «Вестник матема-
тических наук» стал выходить почти тридцать лет спустя, в
1861г., в городе Вильно. Издателем нового журнала был дирек-
тор виленской обсерватории Матвей Матвеевич Гусев, который
хотел создать не учебно-методический, а чисто научный жур-
нал. В «Вестнике» кроме русских активное участие принимали
иностранные ученые. Статьи печатались на русском, немецком,
французском языках.
«Вестник» ставил себе основной целью информирование чи-
тателей о новостях в области физико-математических наук и
популяризацию этих наук. Кроме статей научного содержания
журнал содержал библиографические обзоры, указатели русской
и иностранной математической и естественно-научной литера-
туры, рецензии о вышедших книгах, а также «оригинальные и
переводные статьи популярного содержания, представляющие не
столько ученый, сколько практический интерес» [61, с. 11].
В разделе научных статей журнал имел в качестве ав-
торов многих известных впоследствии деятелей математики и
математического образования: профессора Московского универ-
ситета Бугаева, математика и историка математики Ващенко-
Захарченко, преемника Лобачевского по кафедре Попова акаде-
мика Савича, профессора Киевского университета Рахманинова
и др. Принимали участие в публикации статей и учителя мате-
матики, например Е. Ф. Сабинин.
Большинство статей журнала относилось к вопросам «выс-
шей математики или к пограничной области между элементар-
ной и высшей математикой» [108, с. 11]. В небольшом количест-
ве печатались и статьи по элементарной математике, адресо-
ванные непосредственно учителю и ученикам. Среди них можно
указать статьи А. Жбиковского «Относительно признаков дели-
мости чисел» (№ 1)*, А. Попова «Доказательство геометрическо-
* Разбор статьи см.: [280, с. 16].
3. II половина XIX — начало XX в.375
го положения о кратчайшем расстоянии между двумя точками»
(№ 21), Л. Износкова «Числовой цирк пифагорейцев» (№ 22). Эти
статьи можно считать одними из первых научно-популярных
публикаций в отечественной литературе.
Журнал не нашел необходимого числа подписчиков и пре-
кратил свое существование в середине второго года издания на
сороковом номере.
«Педагогический сборник». С 1836 г. Главное управле-
ние военно-учебных заведений издавало «Журнал для чтения
воспитанникам военно-учебных заведений», который перестал
удовлетворять возросшим потребностям и перестал издаваться
в 1863 г. Был поднят вопрос о создании «специального органа
главного управления, неофициальный отдел которого должен
был являться педагогическим журналом» [108, с. 11]. С 1 ок-
тября 1864 г. стал выходить журнал «Педагогический сборник»
под редакцией известного педагога того времени Н. X. Бесселя,
с 1882 по 1910 г. под редакцией видного методиста-математика
А. Н. Острогорского. Сначала журнал выходил ежемесячно. В
1880 г. не вышло ни одного номера, в 1881 и 1882 гг. — по 4
номера, с 1883 г. — по 12 номеров в год.
«Педагогический сборник», несомненно, самый солидный из
всех чисто методических журналов второй половины XIX — на-
чала XX в. В 1915 г. ему исполнилось 50 лет, в связи с чем был
издан в виде специальной книги указатель всех напечатанных в
нем статей*. История журнала изложена в книге последнего его
редактора И. С. Симонова [278].
«Педагогический сборник» печатал значительное количест-
во методико-математических статей особенно в период редакти-
рования его А. Н. Острогорским. Он, придя в «Педагогический
сборник», уже имел опыт издания и редактирования одного из
лучших журналов для детей и родителей того времени «Детское
чтение» (1869-1877), в виде приложения к которому издавался
«Педагогический листок (для родителей и воспитателей)». Бла-
годаря А. Н. Острогорскому «Педагогический сборник» «стал
одним из популярнейших педагогических журналов в России,
самым читаемым в широких кругах передового учительства»
[207, с. 7]. Журнал поднимал такие актуальные вопросы, как
* Систематический указатель статей, напечатанных в неофици-
альной части «Педагогического сборника» за 50 лет (1864-1914) /
Сост. С. А. Переселенков. Пг., 1915.
376 II. XIX — начало XX в
воспитание широко образованного человека с твердыми нравст-
венными убеждениями, способного самостоятельно и творчески
работать, гуманное отношение к детям, тесное взаимодействие
семьи и школы, личность педагога.
Трудно указать какой-нибудь вопрос элементарной матема-
тики, содержание в популярном изложении и особенности препо-
давания которого не рассматривались бы на страницах «Педа-
гогического сборника». Статьи для этого журнала писали такие
известные ученые, как Ермаков, Шапошниковы (отец и сын),
С. Бернштейн, Бобынин, Цингер; видные методисты Латышев,
Гольденберг, Евтушевский, Киселев, Шохор-Троцкий, Остро-
горский, Попруженко. В журнале печаталось много статей пре-
подавателей математики Будаевского, Герна, Мазинга, Томаса,
Матковского, Григорьева, Свешникова, Шидловского*.
«Математический сборник». С 1866 г. выходит научный
журнал «Математический сборник», который считается «глав-
ным русским математическим журналом» [108, с. 12]. Это ор-
ган старейшего математического общества в России, созданного
при Московском университете, первый специальный математи-
ческий журнал на русском языке.
Начиная со второго тома (1867) и по десятый (1882) «Ма-
тематический сборник» присоединил к основному отделу ориги-
нальных математических исследований отдел второй (с отдель-
ным счетом страниц), в котором печатались материалы, рассчи-
танные на учителей математики. Интересно мнение о втором от-
деле журнала П. Л. Чебышева, который не только давал ему вы-
сокую оценку, но и рекомендовал библиотекам средних учебных
заведений: «В состав этого издания кроме записок, относящихся
к высшей математике, входят статьи по тем частям матема-
тики, которые преподаются в гимназиях, и статьи эти имеют
особый интерес в педагогическом отношении... Ознакомление
учителей гимназии и учеников высших классов со статьями та-
кого рода обещают несомненную пользу, а потому я полагаю, что
«Математический сборник», как единственное у нас издание, где
такие статьи печатаются, должен быть приобретен гимназичес-
кими библиотеками» [320, с. 401-402].
Второй отдел имеет весьма солидный объем (в некоторых
томах до 250 страниц) и, как считает И. Я. Депман, «подходит в
полной мере под понятие журнала по элементарной математике,
* См.: [108, с. 12].
3. II половина XIX — начало XX в.377
предназначенного для учителя и любителя математики» [108,
с. 12]. Приведем для примера несколько статей.
Из т. II, 1867 г.: Бугаев Н. В. Теорема Эйлера о много-
гранниках; Давидов А. Ю. Распространение формулы бинома на
дробные и отрицательные показатели. Из т. III, 1868 г.: Лет-
ников А. Д. О теории параллельных линий Н. И. Лобачевского
(первая попытка популярного изложения идей Лобачевского на
русском языке); Бугаев Н. В. Математика как орудие научное и
педагогическое; Давидов А. Ю. Единство мер и весов (пропаган-
да метрической системы мер и весов — Т. П.); Дингер В. Я. Об
основной теореме высшей геометрии.
Кроме статей научно-популярного и методического характе-
ра второй отдел «Математического сборника» содержит задачи,
их решения и рецензии на книги по элементарной математике.
Авторами научно-популярных статей и рецензий были масти-
тые ученые, часто профессора-математики; такими же автори-
тетными лицами предлагались задачи для решения (например,
ряд задач предложен академиком В. Я. Буняковским).
Видное место занимают в журнале статьи историко-мате-
матического содержания. Например, здесь помещены биографии
М. Фарадея, Б. Римана, пропагандируются достижения науч-
ных заслуг русских математиков С. Е. Гурьева, М. В. Остроград-
ского, П. Л. Чебышева. В статье о геометрии Лобачевского пред-
ставлены некоторые биографические материалы, переписка Га-
усса, в которой излагаются взгляды последнего на новую геомет-
рию, дается русский перевод статьи Лобачевского «Геометри-
ческие изыскания о теории параллельных линий». В. Я. Цингер
в заметке «Об основной теореме высшей геометрии» рассмат-
ривает вопрос возникновения и развития проективной геомет-
рии. Однако редко статьи второго отдела носят чисто историко-
математический или методический характер, чаще они были
комбинированными. Так, в статье Дингера кроме историческо-
го обзора проективной геометрии предложено популярное изло-
жение теоремы о равенстве сложного отношения четырех точек
сложному отношению соответствующих лучей пучка. Одновре-
менно автор рассмотрел проблему повышения качества препо-
давания математики в школе.
Московское математическое общество рассчитывало при-
влечь внимание широких кругов учителей математики к «Ма-
тематическому сборнику», что оказалось нереальным. Начиная
с пятого тома этот отдел журнала становился все менее инте-
378 IL XIX — начало XX в
ресным в методическом отношении, десятый том (1878) оказался
последним, в котором он представлен.
«Математический отдел» журнала «Семья и шко-
ла». В 1871-1888 гг. в Петербурге известным физиком Кон-
стантином Дмитриевичем Краевичем издавался педагогический
журнал «Семья и школа». Издатель был не только профессором
Горного института, Морской академии и создателем популяр-
нейшего учебника физики, но и автором учебника и сборника
задач по алгебре, выдержавших ряд изданий.
С самого начала в журнале печатались и математические
статьи. С сентября 1877 г. они выделены в особое приложение
под названием «Математический отдел». Этот журнал пред-
назначался для учителя, в нем публиковались преимуществен-
но статьи методического характера такими известными авто-
рами, как А. И. Гольденберг, В. А. Евтушевский, С. И. Шохор-
Троцкий, К. Мазинг, Н. А. Страннолюбский, Н.И. Билибин. По-
являлись в нем и статьи по истории математики.
В журнале «Семья и школа» печатались также подробные
отчеты о заседаниях «Петербургского педагогического общест-
ва», из которых интерес для истории математического образова-
ния представляют дискуссии о пропедевтическом курсе геомет-
рии, «Арифметике» Л. Н. Толстого и др.
«Математический листок». Этот журнал существовал
только три года и не оставил существенного следа в истории
математического образования. Издавался он известным мето-
дистом Александром Ивановичем Гольденбергом и был посвя-
щен исключительно вопросам элементарной математики, ее ис-
тории; за годы существования журнала читателям было предло-
жено около 250 задач. Журнал предназначался, главным обра-
зом, для учеников старших классов средних учебных заведений.
А. И. Гольденберг сотрудничал практически во всех научно-
популярных и методико-математических журналах. В 1879 г.
он начал издавать журнал «Математический листок». Журнал
предполагался ежемесячным, однако первые 12 номеров вышли
только в течение двух лет, и 9 номеров второго тома также рас-
тянулись почти на два года. В 1882 г. «Математический листок»
прекратил свое существование из-за материальных трудностей.
Большинство статей журнала было написано самим Голь-
денбергом. Сотрудничали в журнале К. Мазинг, С. П. Фролов,
И. П. Долбня, Д. Извеков. Несколько статей историко-математи-
ческого содержания опубликовал в «Математических лист-
3. II половина XIX — начало XX в. -------------------319
ках» В. В. Бобынин (Происхождение и первоначальное развитие
письменного счета», «Математика древних египтян»). Вообще
историко-математическая компонента этого журнала была чрез-
вычайно сильна. Здесь помещены большие переводные обзоры
Кантора «Евклид и его век» и Бретшнейдера «Геометрия и гео-
метры до Евклида».
В вышедших номерах «Математических листков» «помеще-
ны статьи по весьма различным вопросам всех разделов элемен-
тарной математики и ее истории» [108, с. 12]. А. И. Гольденберг
был большим любителем истории математики, поэтому боль-
шинство статей сопровождалось подробными историческими
справками самого издателя и редактора. Он же написал исто-
рические статьи «Как древние извлекали квадратный корень из
чисел», «Ложное правило арабских математиков» и др.
«Журнал элементарной математики». По мнению
серьезных исследователей [108, с. 14; 101, с. 537], это было са-
мое лучшее в русской популярно-математической и методичес-
кой литературе второй половины XIX в. периодическое издание
для учителей математики. «Журнал элементарной математи-
ки» (1884-1886), выходивший затем под названием «Вестник
опытной физики и элементарной математики», издавался в Ки-
еве, позже в Одессе. Основателем и первым редактором его был
профессор Киевского университета Василий Петрович Ермаков;
долгие годы им руководил приват-доцент Новороссийского уни-
верситета (впоследствии профессор Московского университета)
В. Ф. Каган. Объем каждого номера журнала — 1 печатный
лист, годовой комплект состоял из 18 номеров, в каникулярное
время журнал не выходил.
Журнал предназначался для преподавателей математики,
учеников старших классов и вообще для любителей математики.
Первоначально редакция не предполагала помещать в журнале
сугубо методический материал, считая, что «основной педаго-
гический прием состоит в краткости и ясности изложения»*.
Однако в предисловии ко второму тому это мнение редактора
изменилось. В. П. Ермаков пишет: «Мы желали бы ввести от-
дел педагогический. Чтобы быть хорошим учителем, недоста-
точно иметь хорошие учебники и задачники, нужно еще уме-
нье преподавать...» Поэтому в журнал был введен педагоги-
ческий (методический) отдел как трибуна для обмена практи-
* Цит. по: [108, с. 15].
380 II. XIX — начало XX в
ческим опытом преподавания. Фактически этот Фтдел не успел
по-настоящему развернуться и свелся, главным образом, к не-
скольким рецензиям. В них оказывалась поддержка новым ка-
чественным учебникам и книгам, например, «Систематическо-
му курсу арифметики» А.П. Киселева (СПб., 1884), «Методике
начальной арифметики» А. И. Гольденберга (СПб., 1885).
Журнал получил широкое распространение во всей стране
и оказал значительное влияние на общий прогресс отечествен-
ной математической и методической культуры. Редактор фор-
мулирует в качестве основной цели журнала популяризацию ма-
тематических знаний элементарными средствами. «Мы желаем
показать, — пишет он в редакционной статье первого номера, —
что объем элементарной математики далеко выходит из преде-
лов гимназического курса, что есть много интересных вопросов,
которые не входят в курсы преподавания ни средних, ни высших
учебных заведений».
Одним из отличий нового журнала являлось то, что в нем
публиковались статьи не только по математике, но и по физике,
«хотя последней и уделялось первое время меньше внимания»
[101, с. 540]. Вторая важная особенность журнала — большое
внимание задачам, которые вместе с решениями занимали в
некоторых номерах до половины объема. Это объяснялось пе-
дагогическим кредо В. П. Ермакова: он придавал упражнениям
особое значение в развитии математических способностей учени-
ков. В отделе задач сотрудничали видные впоследствии ученые:
Г. Вороной, Д. Граве, В. Каган. Оригинальной формой работы
с читательским активом были систематически помещавшиеся в
журнале так называемые «темы для сотрудников». Темы пред-
лагались для самостоятельной разработки, наиболее удачные из
них публиковались в журнале и премировались математической
литературой. Примеры таких тем: «Теория векторов на плос-
кости», «Отделение корней кубического уравнения».
За время существования журнала в нем было опубликова-
но около 250 статей и заметок. Ермаков сумел привлечь к со-
трудничеству значительное число авторитетных авторов. Так, в
математической части журнала представлены публикации про-
фессоров Киевского университета М. Е. Ващенко-Захарченко
и И. И. Рахманинова, выдающихся ученых А. А. Маркова и
А. И. Коркина, преподавателей высших и средних учебных заве-
дений И. Иванова, Г. Флоринского, Д. Извекова, Э. Шпачинско-
го и др.
3. II половина XIX — начало XX в,381
В центре математического отдела журнала, по мнению ре-
дакции, должна быть геометрия, а в ней — актуальные в то
время задачи на построение*. Журнал широко пропагандиро-
вал элементы проективной геометрии и векторного исчисления.
В алгебраической тематике превалировали задачи на поиск наи-
больших и наименьших значений функций, проблемы теории со-
единений и элементы теории вероятностей.
«Журнал элементарной математики» издавался в тече-
ние двух лет (четырех семестров). В.П. Ермаков отказался от
его редактирования «по многочисленности своих занятий» [101,
с. 546], передав издание в руки Э. Шпачинского — одного из бли-
жайших сотрудников журнала. Ермаков согласился оставить за
собой идейное руководство математической частью журнала, по-
лучившего новое название — «Вестник опытной физики и эле-
ментарной математики».
«Вестник опытной физики и элементарной матема-
тики». Этому журналу принадлежит особо важная роль в исто-
рии отечественного математического образования. Он издавался
на протяжении более трех десятилетий (1886-1917). До 1898 г. он
редактировался Эразмом Корнелиевичем Шпачинским, в даль-
нейшем — Вениамином Федоровичем Каганом.
Программа «Вестника», представленная в первом номере,
была следующей: 1) специальные статьи по всем разделам ма-
тематики и физики; 2) статьи педагогического содержания, биб-
лиографические указатели, рецензии и критика; 3) темы, вопро-
сы, задачи по математике и физике и их решения; 4) хроника
научных новостей, бюллетени выдающихся метеорологических
явлений, мелкие заметки; 5) корреспонденция и объявления ре-
дакции. Основная цель журнала в этом же номере сформули-
рована таким образом: «Способствовать преподавателям в по-
лезном эксплуатировании склонности учащейся молодежи знать
больше, чем по официальной программе». Специальные статьи,
темы и задачи «при строго научном содержании» должны бы-
ли поэтому иметь «возможно популярную» форму [101, с. 541].
В год выходило 24 номера «Вестника» (от 24 до 28 страниц в
* В 1881 г. в Тамбове вышла много раз переиздававшаяся впослед-
ствии книга И. Александрова «Методы решения геометрических за-
дач на построение»; в 1883 г. в Харькове под ред. К. Андреева вышла
книга Ю. Петерсена «Методы и теории решения геометрических за-
дач на построение».
382 IL XIX — начало XX в
каждом номере), максимальное число подписчиков — более 500.
Ученый комитет министерства народного просвещения рекомен-
довал журнал для фундаментальных и ученических библиотек
мужских гимназий, прогимназий и реальных училищ, а также
для библиотек учительских семинарий, институтов и городских
училищ. Несмотря на популярность журнала, существование его
было нестабильным. Недостаточный тираж издания, низкая под-
писная цена (от 4 до 6 руб. в год) и высокая стоимость типо-
графских работ вызывали постоянный дефицит. Официальной
поддержки журнал не имел: Министерство народного просве-
щения ограничивалось назначением мизерных единовременных
пособий, которые не покрывали этот дефицит.
Всего вышло 674 номера «Вестника», в которых было опуб-
ликовано несколько тысяч статей, заметок, задач и их реше-
ний. Постоянными авторами журнала были И. Александров,
А. Бобятинский, Е. Буницкий, А. Гольденберг, В. Ермаков, Д.
Ефремов, В. Каган, М. Попруженко, В. Студенцов, П. Свешни-
ков, Г. Флоринский, П. Флоров, С. Шатуновский, Э. Шпачинский
и др. Значительное количество авторов составляли учителя, бы-
ли среди них учащиеся средней школы и студенты университе-
тов.
Подробный анализ содержания «Вестника» дан в специаль-
ном исследовании С. А. Дахия [101, с. 553-611]. Мы ограничимся
лишь краткими комментариями.
Начнем с материалов о математике. Среди статей по гео-
метрии большое место занимали разработки «тем для сотруд-
ников», плодом которых стал ряд статей, заполнявших пробе-
лы в русской научно-популярной литературе. Разработка тем
была хорошей школой для любителей математики и начинаю-
щих специалистов-математиков. Значительное количество ста-
тей посвящено геометрии треугольника (Ефремов, Свешников,
Гольденберг) и вопросам конструктивной геометрии (Александ-
ров, Шатуновский, Каган). Особой значимостью отличаются
статьи, популяризирующие геометрию Лобачевского (Ермаков,
Ефремов, Бондаренко, Каган, Юшкевич). Особенно энергично
кампанию пропаганды идей Лобачевского «Вестник» развернул
к столетию со дня его рождения (1893). Был опубликован, в част-
ности, русский перевод статьи А. Пуанкаре «Неевклидовы гео-
метрии» и его полемики с противниками новых идей. Популяри-
зации развития идей Лобачевского посвящены многочисленные
статьи В. Ф. Кагана, одна из характерных черт которых — за-
3. II половина XIX — начало XX в.383
бота их автора об исторически справедливой оценке приоритета
Лобачевского в открытии неевклидовой геометрии и в создании
нового математического мировоззрения.
Алгебра была представлена значительно более скупо. Здесь
преобладал традиционный материал (разложение многочленов
на множители), способы решения уравнений 3-й и 4-й степе-
ни, вопросы равносильности уравнений и др.). Некоторое вни-
мание было уделено элементарным приемам исследования прос-
тейших функций на экстремум (Гирман, Флоров, Свешников),
теории приближенных вычислений (Ефремов и др.), графическо-
му решению алгебраических уравнений по способу Лилля (Шан-
Гирей, Флоринский), описанию машины Торре для решения
уравнений (Точидловский).
Вопросы исследования анализа бесконечно малых сначала
занимали в «Вестнике» незначительное место. Большей частью
это были небольшие статьи по отдельным частным вопросам.
Положение изменилось с введением элементов высшей матема-
тики в курс реальных училищ. В последнее пятилетие своего
существования «Вестник» начал знакомить читателей с пробле-
мами общей теории функций (Афанасьева-Эренфест, Буницкий,
Мазуровский, Даватц и др.).
Скупо освещались на страницах журнала и вопросы исто-
рии математики. Редактор осознавал необходимость большего
внимания к этим вопросам и ввел специальную рубрику «Из
прошлого», не получившую серьезного развития. Позже вопро-
сам истории математики стало уделяться несколько больше
внимания, что отчасти связано с прекращением в 1905 г. из-
дания журнала «Физико-математические науки» В. Бобынина
(см. далее), специально посвященного истории математики. Он
вынужден был публиковать свои новые работы в «Вестнике».
Значимым историко-научным и популяризаторским явлением
стала публикация в 308-403 номерах журнала «Историческо-
го очерка учения об основаниях геометрии» В. Ф. Кагана. В
журнале была опубликована речь академика А. А. Маркова на
торжественном собрании Академии наук, в которой был дан
исторический анализ развития одной из центральных проб-
лем теории вероятностей (закона больших чисел) и в связи с
этим трудов П.Л. Чебышева и его научной школы. Очень ак-
туальным был «Исторический обзор понятия о функции» (1912)
С. Н. Бернштейна, прозвучавший в виде доклада на I Всероссий-
ском съезде преподавателей математики.
384 И- HIX — начало XX в
Заслугой журнала следует считать своевременную популя-
ризацию начинавшей усиленно развиваться в это время матема-
тической логики (Слешинский, Буницкий).
По вопросам преподавания математики в средней школе в
«Вестнике» публиковались статьи таких авторитетных авторов,
как Ермаков, Преображенский, Слешинский, Попруженко, Жби-
ковский, Александров, Гирман, Флоринский. На страницах жур-
нала удалось организовать дискуссию по вопросу об экзаменах
по математике и физике, в результате которой победила здоро-
вая идея о необходимости сохранения экзаменов по математике
при условии нормализации их проведения и устранения «экзаме-
национного террора».
Из работ по общей методике следует отметить статьи, по-
священные развитию творческих способностей учеников, их са-
мостоятельности, одним из эффективных путей которого являет-
ся внеклассная работа по математике (Шпачинский, Полянский
и др.).
Достаточное внимание было уделено в «Вестнике» мето-
дике алгебры (Ермаков, Матковский, Шпачинский, Герн, Еф-
ремов). Особенный интерес представляет статья А. Самко «К
вопросу об образовательном значении алгебры», в которой ав-
тор полемизирует с М. Е. Ващенко-Захарченко, ставившим на
первое место по степени влияния на учащихся геометрию: «Ал-
гебра по простоте начала, допускающего, однако, беспредельную
сложность развития, должна быть признана идеальной логикой,
строгая система ее не может остаться без существенного образо-
вательного влияния на развивающийся ум». Статей по методике
арифметики в «Вестнике» немного. Основные из них посвящены
критике архаичных приемов решения арифметических задач.
Значительное место в журнале занимали статьи об общих
проблемах методики геометрии и тригонометрии (Преображен-
ский, Житков), рецензии на новые учебники геометрии. В част-
ности, высокую оценку рецензента (М. Попруженко) получил по-
явившийся в 1892 г. учебник геометрии А. Киселева. Редакция
инициировала вопрос политехнизации курса геометрии в гимна-
зиях и реальных училищах (Шпачинский, Коваржик).
Остановимся на освещении в «Вестнике» движения за
реформирование математического образования рубежа XIX-
XX вв. В журнале опубликованы многочисленные переводные
и компилятивные материалы, посвященные преподаванию ма-
тематики за рубежом, в то время как движение за реформу оте-
3. II половина XIX — начало XX в.385
явственного математического образования — особенно до 1912 г.
— должным образом в нем не освещались. Это признано и ру-
ководством журнала: в редакционной статье, посвященной его
25-летию, освещение отечественного опыта реформирования ма-
тематического образования было признано «самым больным во-
просом».
В «Вестнике» была организована дискуссия, посвященная
лабораторно-утилитаристскому методическому течению. Сто-
роннику его В. Лермантову противостояли в полемике такие из-
вестные деятели математического образования, как В. Ф. Каган,
К. Ф. Лебединцев*. Значительная часть материалов «Вестника»
посвящена реформистскому течению во Франции, Италии, Да-
нии, Пруссии. С момента образования Международной комиссии
по преподаванию математики журнал ввел специальную рубри-
ку для публикации материалов о ее деятельности. В частнос-
ти, в ней был опубликован отчет русского делегата комиссии
К. А. Поссе о работе конференции Международной комиссии в
1914 г., на которой обсуждались результаты введения начал выс-
шей математики в курс средней школы.
После введения в 1907 г. элементов высшей математики в
курс реальных училищ в «Вестнике» более активно публику-
ются отечественные реформистские материалы. Так, в 1908 г.
был опубликован «Проект учебного плана по математике для
мужских гимназий, составленный Варшавским кружком препо-
давателей физики и математики», в котором более прогрессив-
но ставились цели математического образования, предлагались
активные методы обучения, стимулирующие самостоятельную
работу учащихся (эвристический способ, аналитический метод
доказательства теорем и др.), последовательно проводилась идея
концентрического изучения отдельных математических дисцип-
лин, в последнем классе вводились элементы высшей матема-
тики и теории вероятностей. Истории организации преподава-
ния математики в нашей стране посвящена статья К. Щербины
«Математика в русской средней школе», которая была введени-
ем к известному труду автора под тем же названием, вышедшему
в 1907 г.
В 1912—1914 гг. «Вестник» уделял значительное внимание
состоявшимся в этот период I и II Всероссийским съездам пре-
подавателей математики. В.Ф. Каган опубликовал обстоятель-
ный отчет о работе первого съезда, а также речь А. В. Васильева
* Подробнее см.: [101, с. 592-593].
386 II. XIX — начало XX в
«Математическое и философское преподавание в средней школе»
и доклады о согласовании программ средней и высшей школы
К. А. Поссе, Я. Б. Струве и Д. М. Синцова.
Подготовку и деятельность II Всероссийского съезда препо-
давателей математики «Вестник» осветил в статье В. Ф. Кагана
«К предстоящему второму съезду» и в отчетах о его деятельнос-
ти Д. М. Синцова. Большое значение имел данный в журнале
критический обзор изданных министерством народного просве-
щения в 1915 г. «Материалов по реформе средней школы». Автор
обзора К. Щербина подверг резкой критике программы по мате-
матике, составленные министерской комиссией и предусматри-
вающие значительное сокращение часов на математику.
«Физико-математические науки в их настоящем и
прошлом». Журнал издавался с 1885 по 1899 г. на средства
первого русского историка математики Виктора Викторовича
Бобынина, который был его издателем, редактором и автором
подавляющего большинства статей. Журнал выходил двумя па-
раллельными изданиями: отдел научных статей — 4 раза в год,
отдел научных новостей, критики и библиографии — 12 раз в
год.
Основное содержание журнала — история математики,
практически единственным специалистом в которой был Бобы-
нин. Среди «различных заметок и небольших статей по исто-
рии и философии математики, рецензий, некрологов, биографий,
международной и русской научной хроники» [269, с. 351] опубли-
кованы серии исследований автора — «Очерки истории развития
математических наук на Западе», «Очерки истории развития
физико-математических наук в России», «Лекции по истории ма-
тематики». Частями во всех 13 томах журнала была напечата-
на «Русская физико-математическая библиография», в которой
с редкой обстоятельностью Бобынин собрал полный указатель
книг и журнальных статей по физико-математическим наукам,
опубликованных в России с начала книгопечатания до 1816 г.
Из-за материальных затруднений в 1898 г. журнал был за-
крыт. Но в следующем году В. В. Бобынин приступил к изда-
нию другого журнала «Физико-математические науки в ходе их
развития», издание первого тома которого (из 12 номеров) про-
должалось до 1905 г. В последнем выпуске Бобынин опубликовал
статью об истории своих журналов, печальный конец которых,
по его мнению, во многом обусловлен «довольно тяжелыми мате-
риальными условиями, создаваемыми для специальных изданий
3. II половина XIX — начало XX в. 387
в России»*. Он привел перечень статей, данные о количестве,
составе и географическом распределении подписчиков, бюджете
журнала, а также факты «разительного равнодушия к журналу
со стороны чиновников, ведавших наукой и народным образова-
нием» [269, с. 352]. В «Вес,тнике опытной физики и элементар-
ной математики» опубликована статья Д. Волковского «Судьбы
русской математической журналистики», написанная под впе-
чатлением известия о прекращении издания первого русского
историко-математического журнала. В ней нарисована «печаль-
ная картина» тех трудностей, которые стояли на пути русской
математической журналистики.
Все перечисленные журналы не были в строгом смыс-
ле методическими, львиная доля публикаций носила научно-
популярный характер. Назрела необходимость в специальном
печатном органе, полностью посвященном проблемам матема-
тического образования. Ответом на эту потребность явился уч-
режденный в 1912 г. журнал «Математическое образование».
«Математическое образование». Журнал издавался в
1912-1917 гг. Он основан учрежденным в 1905 г. Б. К. Млодзеев-
ским, А. Ф. Гатлихом и И. И. Чистяковым Московским матема-
тическим кружком и приурочен ко времени открытия I Всерос-
сийского съезда преподавателей математики. Журнал освещал
вопросы преподавания математики преимущественно в средних
и отчасти в высших учебных заведениях, выходил ежемесячно,
кроме мая и летних месяцев. Объем журнала был невелик —
каждая книжка около 50 страниц. Большие статьи печатались
с продолжениями в нескольких номерах.
Редактировался журнал профессором Московского универ-
ситета и Высших московских женских курсов Иосафом Ивано-
вичем Чистяковым. Всего вышло 48 номеров**. Журнал имел
следующие разделы: статьи по математике (в основном элемен-
тарной), имеющие и методический интерес; небольшие матема-
тические заметки; статьи методического характера по различ-
* Цит. по: [269, с. 351].
** Журнал был реанимирован в советское время и издавался Мос-
ковским научно-педагогическим математическим кружком в 1928—
1930 гг., когда вышло из печати 24 номера. Сейчас журнал «Мате-
матическое образование» вновь возрожден, издается с апреля 1997 г.
Фондом математического образования и просвещения. Издатели вос-
произвели даже стиль оформления своего предшественника.
388 II. XIX — начало XX в
ным разделам математики, обсуждение программ преподавания;
статьи и заметки по истории математики; биографические ма-
териалы; статьи, посвященные приложениям математики и не-
которым вопросам преподавания физики; раздел задач — реше-
ния задач текущего номера публиковались в следующем номере,
приводился список читателей, решивших предложенные задачи;
хроника математического, образования; библиографический от-
дел [173].
Журнал ориентировался на учителя средней школы, одна-
ко это не повлияло на высокий научный и методический уро-
вень публикаций. С журналом активно сотрудничали профессо-
ра Б. К. Млодзеевский, А. К. Власов, К. А. Поссе, В. Б. Струве,
Д.М. Синцов, В. В. Бобынин, Н. А. Умов, Н.Н. Салтыков, А. Б.
Васильев, С.Н. Бернштейн, Д.Д. Мордухай-Болтовской; мето-
дисты П. А. Баранов, А. Ф. Гатлих, И. И. Александров, Н. А. Из-
вольский, Д.Д. Волковский, К.Ф. Лебединцев, А.П. Киселев,
А. П. Поляков и др.
Особенно большое внимание уделялось в журнале анализу
работы I и II Всероссийских съездов преподавателей математи-
ки. Печатались наиболее интересные доклады съездов, итогам
их работы посвящены обширные редакционные статьи*.
Итак, журналы для учителей математики или журналы, со-
держащие наряду с другими разделами специальный раздел, по-
священный математике и ее преподаванию, во второй половине
XIX — начале XX в. ставили перед собой несколько основных
целей: 1) расширение представлений о так называемой элемен-
тарной математике, ее методах и приемах, вовлечение читателей
в решение математических задач; 2) популяризацию в учитель-
ской и ученической среде достижений современной математики,
в том числе отечественной; 3) обсуждение методических проб-
лем, обмен опытом.
На протяжении анализируемого периода приоритеты в до-
стижении этих целей менялись: первые представители отечест-
венной популярно-методической периодики делали акцент на
проблемах элементарной математики, стремясь показать, чо ее
идеи и методы выходят за пределы гимназического курса ма-
тематики, вовлекая любителей математики в решение нестан-
дартных задач. К концу XIX в. появляется все больше публика-
ций, популяризирующих современные достижения математики.
* См., например: [325].
3. II половина XIX — начало XX в.389
Так, именно журнальной периодике мы обязаны популяриза-
ции идей геометрии Лобачевского. В дальнейшем акценты все
больше смещаются в сторону методических проблем. Страни-
цы журналов все чаще предоставляются для анализа реформы
классической системы школьного математического образования
в странах Запада с начала XX в. и для дискуссии о состоянии
и перспективах развития отечественного математического обра-
зования.
3.3.2. Методика преподавания
математики в России
II половины XIX — начала XX века
Книги по методике математики второй половины
XIX — начала XX в. Кроме журнальной периодики в конце
XIX — начале XX в. издаются книги научно-популярного харак-
тера. Сначала это преимущественно переводные издания. Так,
например, в 1907 г. выходит в свет в переводе с немецкого книга
С. Тромгольта «Игры со спичками», в 1910 г. — книга Шуберта
«Математические развлечения». Но уже в 1908-1810 гг. появ-
ляются три тома книги Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки»,
известной и переиздающейся до сих пор. В 1914 г. издаются исто-
рические очерки В. К. Беллюстина «Как дошли люди до насто-
ящей арифметики». Появляются интересные сборники софизмов
А. И. Обреимова и много других книг.
Наибольший интерес для нас представляют книги методи-
ко-математической направленности. П. С. Гурьев развивает свои
идеи в «Практической арифметике» (1861). Большое воздей-
ствие на преподавание арифметики в школе оказала «Мето-
дика начальной арифметики» А. И. Гольденберга (СПб., 1885).
Оригинальные методические взгляды высказывает С. И. Шохор-
Троцкий в «Методике арифметики с приложением сборни-
ка упражнений по арифметике» (1886), впоследствии обоб-
щенные в «Методике начального курса математики». Лекции
В. П. Ермакова по вопросам преподавания арифметики и алгеб-
ры, прочитанные в декабре 1899 г., записаны и опубликованы
Н. Мукаловым под названием «Публичные лекции о препода-
вании арифметики и алгебры» (Киев, 1900). В. К. Беллюстин
опубликовал «Очерки по методике геометрии» (М., 1910).
Д.Д. Галанин написал и издал книгу по методике арифметики
(М., 1911). К.М. Щербина дал общий «Обзор трудов и мнений
по вопросу об улучшении программ математики в средней шко-
390 II. XIX — начало XX в
ле за последние девять лет (1899-1907)» в книге* «Математика
в русской средней школе» (Киев, 1908).
«Педагогика математики. Исторические и методические
этюды» В. Мрочека и Ф. Филипповича — первая отечественная
книга по проблемам педагогики математики (СПб., 1910) — вы-
звала острую дискуссию. Во введении авторы продекларировали
свое понимание педагогики математики: «История математики
в связи с историей культуры и школы, история обучения матема-
тике, философское обоснование научных проблем и гносеология
математических понятий, сравнительная методология и научные
завоевания, наконец, демократизация науки — вот что должно
составить основу педагогики математики».
Содержание книги разбито на две части. Первая часть носит
исторический и общепедагогический характер. Интересен обзор
эволюции педагогики математики с VI в. до н. э до 1909 г. Обще-
педагогические главы посвящены наглядным и лабораторным
методам, взаимосвязям психологии, педагогики и школы, ха-
рактеристике принципов педагогики математики. Вторая часть
книги носит частнометодический характер: обоснование началь-
ных курсов арифметики, геометрии и алгебры, а также методика
изучения наглядной геометрии, целых и дробных чисел, положи-
тельных и отрицательных чисел, уравнений 1-й и 2-й степеней.
К. Ф. Лебединцев в «Вестнике опытной физики и элементар-
ной математики» (1910, № 524) подверг резкой критике чрезмер-
ное и некритичное увлечение авторов результатами эксперимен-
тальной психологии с ее тезисом «ребенок думает мускулами» и
навязывание в качестве основного лабораторного метода обуче-
ния, утилитарный подход к математике как учебному предмету.
В примечании от редакции В.Ф. Каган в принципе присоеди-
нился к критическим выводам Лебединцева [101, с. 593].
Методика арифметики. В первой половине XXI в. пре-
имущественно в трудах Ф. И. Буссе, П. С. Гурьева и В. Я. Буня-
ковского были заложены основы отечественной методики препо-
давания арифметики, которая с той поры развивается достаточ-
но динамично. Ранее упомянуты некоторые книги методического
характера. Обращает на себя внимание, что большая часть из
них посвящена методике арифметики.
* Подзаголовок книги принадлежит преподавателю I Киевской
гимназии К. М. Щербине.
3. II половина XIX — начало XX в.391
В этот период в России ведется острая дискуссия об ариф-
метике «по способу Грубе». Не вникая в ее подробности, ука-
жем некоторые характерные черты: 1) последовательное изуче-
ние каждого числа первого десятка; 2) последовательное изуче-
ние двузначных чисел на задачах, в которые входили все четыре
действия; 3) параллельно вводились и дроби. Таким образом, ме-
тод Грубе сводился к так называемому монографическому изуче-
нию чисел, а не арифметических действий. В результате счет-
ные навыки дети приобретали достаточно быстро, но знания,
необходимые в житейском обиходе, не получали — реализовы-
валась преимущественно «формальная», а не «материальная»
цель обучения арифметике. К 60-м гг. XIX в. в России (преиму-
щественно в Петербурге) сложилась небольшая, но влиятельная
группа педагогов-математиков (наиболее заметной фигурой сре-
ди них был В. А. Евтушевский), усиленно пропагандировавших
метод Грубе и адаптировавших его к условиям русской шко-
лы. Появилось несколько методических пособий по этому ме-
тоду. Так, в 1861г. один из его приверженцев И. И. Паульсон
издал книгу «Арифметика по способу Грубе». Наиболее попу-
лярной в среде учительства книгой, в которой популяризирова-
лась арифметика «по способу Грубе», было методическое посо-
бие В. А. Евтушевского.
«Методика арифметики» В. А. Евтушевского опубликована
в 1872 г., имела успех в методическом сообществе, часто переиз-
давалась. В основе методики Евтушевского лежал метод Грубе,
адаптированный к реалиям русской школы. Эта адаптация со-
стояла в основном в том, что параллельно с монографическим
изучением чисел и их свойств изучались основные арифмети-
ческие действия.
Во введении излагалась общая методика арифметики. «Ме-
тодика арифметики» содержала следующие отделы: элементар-
ный курс целых чисел, элементарный курс обыкновенных дро-
бей, систематический курс арифметики. Вначале приводилась
программа курса, который Евтушевский делил на элементар-
ный и систематический. Элементарный курс предполагал из-
учение арифметики следующим образом: 1-й год — изучение
чисел от 1 до 10 и от 10 до 20; 2-й год — изучение чисел от
20 до 100, определение действий над числами и их проверка, со-
ставные именованные числа в пределах первой сотни; 3-й год
— нумерация, действия над числами любой величины и с со-
ставными именованными числами, обыкновенные дроби. Систе-
392 II. XIX — начало XX в
матический курс арифметики излагался не полностью, а в виде
«отдельных статей». Евтушевский давал «самые сжатые указа-
ния относительно разработки в классе главнейших отделов из
систематического курса арифметики».
Таким образом, как считает Е. В. Прудников, Евтушевский
следует Грубе только при изучении чисел от 1 до 20 и частично
от 21 до 100. В остальном же Евтушевский «вполне самобытен,
и его разбираемое сочинение представляет собой совершенно са-
мостоятельную методику» [251, с. 598]. Эта книга полезна начи-
нающему учителю, к тому же она была снабжена одновременно
изданным «Сборником арифметических задач», адаптированном
к предложенной методике*. Книгами Евтушевского пользова-
лось большинство русских начальных школ в 70-80-х гг. XIX в.
Влияние его было в то время исключительно велико, он был не-
пререкаемым авторитетом в воспросах методики арифметики,
его цитировали как педагога-классика наряду с Я. Коменским и
Г. Песталоцци.
Однако большинство русских педагогов-математиков «от-
рицательно относилось к методу Грубе, как и вообще ко всей
немецкой педагогике того времени» [251, с. 434], находя ее фор-
малистичной и чуждой детской природе. Л. Н. Толстой писал**
по поводу метода Грубе следующее: «Способ так чужд нашему
русскому не педантическому складу ума, уродства его так ярко
бросаются в глаза, что, казалось бы, способ этот никак не может
привиться в России, а, между прочим, он прилагается...» [298,
с. 323]. Отрицательные отзывы получили методика и сборник за-
дач Евтушевского со стороны П.Л. Чебышева, который рецен-
зировал их в 1871-1872 гг. по поручению Ученого комитета ми-
нистерства народного просвещения. Аргументированная крити-
ка методических воззрений Евтушевского содержится в работах
очень известных методистов того времени А. И. Гольденберга,
В. А. Латышева и П. С. Гурьева.
«Методика начальной арифметики» А. И. Гольденберга.
Эта книга опубликована в 1885 г. В ней автор раскрывает сущ-
ность своей методики изучения начальной арифметики, которая
* «Сборник арифметических задач Евтушевского» переиздавался
почти каждый год. Первая его часть «Целые числа» в 1894 г. вышла
46-м изданием, а в начале XX в. — 65-м. См.: [251, с. 597].
** В открытом письме на имя председателя Московского комитета
грамотности, опубликованном в 1874 г. в «Отечественных записках».
3. II половина XIX — начало XX в.393
противостоит так называемому «монографическому изучению
чисел» (термин Гольденберга) по методу Грубе. В основу сво-
ей методики Гольденбергом положен метод изучения действий.
При изучении чисел он вводит три концентра: 1-й — числа до
10; 2-й — числа до 100; 3-й — числа выше 100. Основы методи-
ки арифметики Гольденберга можно кратко охарактеризовать
несколькими положениями [104, с. 395]:
1. Обучение детей счислению имеет целью научить их со-
знательно производить действия над числами и развить в детях
навык прилагать эти действия к решению задач общежитейско-
го содержания.
2. Общеупотребительные, сокращенные способы производ-
ства арифметических действий основаны, с одной стороны, на
применении простейших свойств чисел и, с другой, на пользова-
нии десятичным расчленением их.
3. Образовательное значение обучения арифметике заключа-
ется в том, что «обучаясь приемам вычисления, дети ясно видят
перед собой цель, которую в каждом данном случае им предсто-
ит достигнуть, отдают себе полный отчет в тех средствах, при
помощи которых они могут самостоятельно достигнуть цели, и,
пользуясь десятичным счислением, приучаются видеть в нем то
тонкое и совершенное орудие, которое мы недостаточно ценим
только потому, что оно так просто и нам так привычно».
Что касается систематического курса арифметики, то Голь-
денберг выступает за очищение его от второстепенного мате-
риала, такого как коммерческий и математический учет век-
селей, правило смешения, цепное правило и др. Он вслед за
С. И. Шохор-Троцким выступает за пересмотр роли задач в
изучении арифметики, считая, что арифметические задачи не
цель, а только средство обучения. На этом Гольденберг стро-
ит реформу учебно-задачной литературы, подготовив четыре
новых сборника задач для средних учебных заведений. Он ис-
ключил из них задачи «на правила», считая их вредными, «ибо
рутина освобождает ученика от необходимости мыслить». В за-
дачниках Гольденберга не выделяются в особую главу задачи
на именованные числа, на метрическую систему мер, на про-
центы. Им, по мнению А. В. Ланкова, свойственны простота,
логичность построения, точность, ясность языка, краткость со-
держания, отсутствие задач «казуистического, схоластического
и искусственного характера, систематичность и чувство меры в
использовании легкого и трудного материала».[149, с. 54].
394 И- XIX — начало XX в
Подчеркнем мужество А. И. Гольденберга, одним из первых
выступившего против непререкаемого авторитета В. А. Евту-
шевского. В 1876 г. в первом томе «Учебно-воспитательной биб-
лиотеки», издававшейся учебным отделом Московского общест-
ва распространения технических знаний, он публикует статью,
в которой впервые подвергает профессиональному критическому
разбору его «Методику арифметики», доказывая несостоятель-
ность положения Грубе, что все числа в области первой сотни
доступны непосредственному созерцанию и что работа над чис-
лами выше сотни может быть сведена к первой сотне. В 1880 г.
в № 196 «Русских ведомостей» опубликована его статья «Немец-
кие измышления в русской школе», в которой «грубеизм» под-
вергается еще более острой и аргументированной критике.
«Практическая арифметика» П. С. Гурьева, изданная в
1881г. в Петербурге, явилась во многом обобщением изданных
ранее «Арифметических листков» и «Руководства к преподава-
нию арифметики». Одной из целей написания этой книги была
борьба с проникновением «грубеизма» в русскую школу, кото-
рую автор настойчиво и упорно начал одним из первых. «Для
меня ясно, — писал Гурьев в предисловии к «Практической
арифметике», — что г-н Евтушевский скомпоновал свою кни-
гу («Методику арифметики» — Т.П.) в кабинете, без всякой
предварительной практики, что он черпал содержание для нее из
разных книг, в том числе и из моей, но не пережевал его, а потому
мои возражатели никак не могут утверждать, что теперь ариф-
метика в наших школах освободилась от всех пут схоластики,
окутавшей разве только в новый костюм наглядности».
«Практическая арифметика» Гурьева состоит из предисло-
вия и двух примерно равных по объему книг: «Низший курс, до-
ступный для всех» и «Высший или окончательный курс арифме-
тики». Первая книга не содержит почти никакой теории, так как
написана она для «практических людей», образование которых
заканчивалось в начальных училищах и которым нужна была
преимущественно техника вычислений. Во второй книге много
теории, предназначалась эта книга для тех, кто «на арифметике,
как прочной основе, желал утвердить дальнейшие свои познания
в математике».
Свое методическое кредо П.С. Гурьев излагает следующим
образом: «Чтобы идти в науке всегда в параллель с силами уча-
щихся, следует научить их сперва считать и изображать циф-
рами только числа от одного до десяти, потом тотчас перейти к
3. II половина XIX — начало XX в.395
сложению и вычитанию этих чисел, к разложению или разделе-
нию их на равные части... необходимо сообщить также понятие
о дробях, сколько дозволяют пределы первых десяти чисел».
Преимущества такого подхода, по мнению Гурьева, состоит в
том, что «хотя сначала будет пройдено мало, однако же целое,
которое потом все более и более станет развиваться... подобно
концентрическим кругам...» Таким образом, автор развивает
идеи о концентрическом изучении математики, высказанные на
рубеже XVIII-XIX вв. его отцом С. Е. Гурьевым.
В соответствии с этим Гурьев разбил свою книгу на пять
«степеней»: 1-я — изучение чисел от 1 до 10, (нумерация, срав-
нение, четыре действия, аликвотные дроби*, действия над ними
и т.д.); 2-я — изучение чисел от 10 до 100 по тому же пла-
ну; 3-я — изучение чисел любой величины; 4-я — дроби обык-
новенные, десятичные, непрерывные; 5-я — решение задач «на
правила» при помощи пропорций. Каждая степень содержит из-
быточное количество примеров и задач, решение значительной
части из которых подробно разбирается, предупреждая возмож-
ные затруднения ученика.
«Практическая арифметика» Гурьева была для своего вре-
мени очень полезным методическим пособием для учителя, а
также своеобразным «автодидактом», т.е. пособием для само-
образования.
«Руководство к преподаванию арифметики» В. А.
Латышева. Несмотря на то что нас интересует отечественное
математическое образование среднего уровня (преимуществен-
но гимназическое), нельзя не уделить некоторое внимание де-
ятельности одного из самых авторитетных ученых-методистов
второй половины XIX — начала XX в. Василия Алексеевича Ла-
тышева, который занимался проблемами преимущественно на-
чального математического образования. В 1880 г. он основывает
журнал «Русский начальный учитель», выполняя, по традиции
тех времен, функции и издателя, и редактора, и единственного
постоянного сотрудника. Латышев так формулирует цель жур-
нала: «Помочь учителями как своими советами, так и предостав-
лением им возможности печатать свои работы» (1882, № 1, с. 1).
Более 30 лет (по 1911г. включительно) журнал являлся одним
из важнейших средств распространения опыта работы учителей
начальной школы.
* Дроби с числителем 1.
396 IL XIX — начало XX в
В первые годы в качестве приложений к журналу печата-
лась методическая литература для учителя. Так, в 1880-1882 гг.
было опубликовано первое издание «Руководства к преподава-
нию арифметики» В. А. Латышева, после чего книга была изда-
на и несколько раз переиздана. Это основной методический труд
Латышева. Его главное достоинство состоит в том, что в «Руко-
водстве» обобщен не только многолетний личный опыт автора,
но и опыт многих учителей. Латышев критикует существующие
методические руководства за то, что в них «все более и более
распространяется обычай излагать только тот метод, который
выработан автором; из-за этого получается такое представление,
как будто успех преподавания только тогда и возможен, когда
преподающее лицо будет точно следовать указаниям автора ме-
тодики. Мы считаем такое направление весьма неблагоприятно
влияющим на развитие дела преподавания и потому вредным».
«Руководство к преподаванию арифметики» состоит из введения
и пяти глав. В первых двух главах автор дает ряд полезных для
учителя методических указаний о том, как следует объяснять
арифметические действия детям и в какой последовательности
излагать материал. В третьей главе «Краткий очерк различных
систем курса, предложенных в русских руководствах к препода-
ванию арифметики» Латышев дает критический анализ различ-
ных концепций изучения арифметики. Особенно резкой критике
подвергнут так называемый метод Грубе, проводником в жизнь
которого в русской школе был В. А. Евтушевский. В четвертой
главе предлагаются приемы работы над задачами. Пятая глава
посвящена методическим особенностям работы с теоретическим
материалом, так как Латышев считал, что теория при изучении
арифметики играет особо важную роль.
Книги по методике арифметики 80-90-х гг. XIX в. В это
время в России четко обозначились два основных направления
изучения арифметики. Первое — сторонники идеи Гольденберга,
положившего в основу арифметики изучение четырех действий
над числами. Второе — последователи Евтушевского, считав-
шего основой арифметики монографическое изучение чисел, т.е.
изучение их состава. Публикуется большое количество книг по
методике арифметики: «Методика арифметики» Д. Мартынова
(1884), «Методика арифметики целых чисел» Ф. И. Егорова
(1887), «Записки по методике арифметики» Г.М. Вишневского
(1892), «Методическое руководство по арифметике» Т. Лубенца
(1890), «Методика начальной арифметики» К. П. Арженикова
3. II половина XIX — начало XX в.397
(1898), «Методика арифметики» В. К. Беллюстина (1899) и др.
Эти книги, как правило, сопровождаются изданием сборника за-
дач по арифметике. Имеется среди них и книга, объединяющая
методику и сборник задач. Это «Методика арифметики с при-
ложением сборника арифметических упражнений для учеников
с учителем» С. В. Житкова.
Большая часть методистов развивала метод изучения дейст-
вий. К ним относятся Ф. И. Егоров, К. П. Аржеников, В. К. Бел-
люстин. Попытку некоторой рестраврации монографического
метода с «более совершенными приемами знакомства с составом
числа» [6, с. 9] предпринял Д.Л. Волковский в книге «Детский
мир в числах» (ч. I, II, III), опубликованной в 1913-1916 гг. Кро-
ме того, он в 1914-1915 гг. выпустил «Руководство к детскому
миру в числах» (ч. I, II).
Все эти методические руководства строятся на основе лич-
ного опыта и являются как бы толкователями задачников тех
же авторов, что обычно указывается ими в предисловиях. Так,
Ф. И. Егоров в предисловии прямо указывает, что «книга эта со-
ставлена применительно... к задачникам». Это обусловило тот
факт, что чаще всего в методических руководствах не излага-
лась цельная методическая система, а давались некоторые ре-
цепты преподавания арифметики. Некоторые авторы понимали
условность такого положения и обращались к читателям с поже-
ланиями творчески применять их советы. Так, В. К. Беллюстин
в предисловии пишет: «Я далек от того, чтобы считать свои спо-
собы единственными, применимыми всегда и вполне. Наоборот,
я горячо советовал бы принимать во внимание развитие детей и
местные школьные условия». Несмотря на ряд недостатков, эти
методические руководства сыграли значительную роль в исто-
рии методов преподавания арифметики в русской школе.
Так, был подробно разработан метод беседы. Во многих ме-
тодических руководствах содержался раздел «Методические раз-
работки», в которых приводятся не только вопросы учителя, но
и предполагаемые ответы учеников. По мнению А. В. Ланкова,
«в большинстве случаев это был добросовестный материал, пе-
ренесение которого в школу поднимало эффективность заня-
тий» [149, с. 62-63]. Неопытные учителя часто разрабатывали
конспекты уроков, непосредственно опираясь на эти материа-
лы. В «Методике арифметики» В. К. Беллюстина приведен даже
«дневник занятий», в котором темы уроков были распределены
по месяцам и числам. При творческом отношении он был боль-
398 II. XIX — начало XX в
шим подспорьем для молодого учителя. Впоследствии «дневник
занятий» был издан отдельной брошюрой.
Много внимания в этих, методических руководствах уделя-
лось проблеме наглядности в преподавании арифметики. Так,
в книге Г. Вишневского приводится перечень средств обучения,
в который входят: русские торговые счеты, арифметический
ящик, шведские счеты, дробные счеты, счеты Каховского, на-
бор тонких палочек, коробочки с пуговицами, образцы мер и т. п.
Автор подробно описывает русские торговые счеты, признавая
их «самым лучшим пособием для русской начальной школы»
[65, с. 17]. Здесь приведен перечень образцов различных мер:
сажень, аршин, вершок, фут, дюйм в качестве линейных мер;
квадратный фут; кубическая четверть; меры веса — фунты, ло-
ты, золотники; меры жидкостей — ведро, штоф; меры сыпучих
тел — четверик и гарнец. На уроках рекомендуется не толь-
ко показать меры, но и измерять и взвешивать с их помощью.
К. П. Аржеников кроме арифметического ящика и счетов пред-
лагает использовать при счете пальцы, палочки, пучки соломы и
др. Он обращает внимание учителей на полезность изготовления
самодельных наглядных пособий, применение которых принесло
бы большую пользу обучению арифметике, осмыслило работу
детей, способствовало зарождению у них интереса к предмету.
Широкая пропаганда среди учительства наглядности вызвала
рождение нового вида промышленных предприятий — мастер-
ских по изготовлению наглядных пособий.
В перечисленных ранее методических руководствах по
арифметике уделялось внимание также вопросу самостоятель-
ной работы учащихся. Особенно остро он стоял в сельских шко-
лах, где учитель одновременно вел занятия с тремя классами.
На этом мы закончим краткий обзор методических руко-
водств учителю по преподаванию арифметики. Остановимся бо-
лее подробно на книгах С. И. Шохор-Троцкого, которые пред-
ставляли собой цельную методическую систему преподавания
арифметики, основанную на разработанной автором «методе це-
лесообразных задач». Он развивал идею изучения четырех ариф-
метических действий.
«Методика арифметики» С. И. Шохор-Троцкого. По
методике арифметики Шохор-Троцким было опубликовано не-
сколько книг, в которых последовательно развивались его мето-
дические идеи. «Методика арифметики с приложением сборни-
ка упражнений по арифметике» — первая методическая работа
3. II половина XIX — начало XX в.399
автора. Она опубликована в 1886 г. и содержит как методичес-
кие идеи Шохор-Троцкого, реализованные на примере изучения
арифметики, так и сборник упражнений.
В дальнейшем были опубликованы следующие книги: «Ме-
тодика арифметики», «Учебник методики арифметики для тех
средних учебных заведений, где преподается этот предмет»,
«Методика арифметики. Пособие для учителей средней шко-
лы», «Методика начальной арифметики» и др. Отличительное
и во многом новое для своего времени в методике арифмети-
ки Шохор-Троцкого — генетический метод. Он считал, что на
основе повторяющихся фактов у ребенка возникают некоторые
общие «счетно-числовые» представления, которые затем обра-
щаются в законы арифметических действий. Не технические на-
выки должны, по мнению Шохор-Троцкого, стоять на первом
месте, а воспитание ребенка. Методы преподавания, используе-
мые учителем математики, должны беречь силы ребенка, под-
держивать его самодеятельность, пробуждать в нем интерес и
любознательность.
Шохор-Троцкий — автор не потерявшего значение и сейчас
метода целесообразных задач, являющегося своеобразным раз-
витием индуктивного метода, который в настоящее время назы-
вается конкретно-индуктивным. Шохор-Троцкий так определяет
сущность этого метода: «С задач, при методе целесообразных за-
дач, начинается урок, задача делается исходным пунктом, когда
приходится обратиться к новому арифметическому представле-
нию, будь то представление о сущности умножения однозначно-
го числа на однозначное, будь то условие о смысле умножения
на дробь...» [336]. В «Методике» им обосновывается необходи-
мость метода целесообразных задач следующим образом: «Ис-
тинная метода состоит в том, чтобы ставить ребенка в усло-
вия, при которых ум человеческий начал изобретать арифмети-
ку, сделать его свидетелем этого изобретения». Но, как считает
Шохор-Троцкий, и этого недостаточно: «В настоящее время надо
стремиться к тому, чтобы метода поставила учащегося в такие
условия, при которых он мог бы быть не только свидетелем, но,
по возможности, активным участником этого изобретения».
Ставя задачу в основу всего обучения арифметике, Шохор-
Троцкий особое значение придает простым задачам, которые,
как он считает, являются средством «для выработки представле-
ний арифметического характера, средством для выработки точ-
ных понятий о действиях, для возбуждения деятельности ума
400 IL XIX — начало XX в
учащегося». Что касается сложных задач, то они, по его мнению,
должны быть исключительно практическими. Трудные, запу-
танные задачи, «не проникнутые единою руководящею идеею»,
как он считает, не приносят пользы. Приемы решения таких
задач, по Шохор-Троцкому, «чужды и мере понимания и степе-
ни умственного развития учащихся». Он решительно выступа-
ет против «антипедагогических тенденций авторов задачников»,
распределяющих задачи по типам, «дрессирующих» учеников.
Шохор-Троцкий считает необходимым очистить курс ариф-
метики от чуждого ему материала. «Разные «тройные правила»,
учения о пропорции, периодические дроби и т.п.» он называет
«пережитком средневековой истории», солидаризируясь в этом с
А. И. Гольденбергом. Шохор-Троцкий заявляет, что при очище-
нии курса от чуждого материала и использовании метода целе-
сообразных задач «неспособных к изучению арифметики... нет
и быть не может».
Являясь принципиальным противником метода «моногра-
фического изучения чисел» (Грубе, Евтушевский и др.), Шохор-
Троцкий возражает и против метода «изучения действий»
(Гольденберг). В своей «Методике арифметики» (1898 г.) он рас-
пределяет курс арифметики на 30 ступеней, в дальнейшем уве-
личив их число до 40. На первый класс приходится 14 ступеней,
на второй — 11, на третий — 5. Впрочем, это деление не жест-
ко: автор считает, что «ни ученики, ни даже сам учитель не
должны помнить, что на какой ступени проходится» [334, с. 60].
Приведем в качестве примера первые ступени: 1. Упражнения
детей в сознательном устном счете от 1 до 20 включительно.
2. Ознакомление детей с цифрами от 1 до 9. 3. Прибавление 1
к числам, не большим 8, знаки -4- и =, отнимание 1 от чисел,
меньших 10, знак —.4. Обозначение двузначных чисел от 11 до
19 включительно, а также обозначения 10 и 20.
Шохор-Троцкий впервые вводит в методику такие понятия,
как лабораторные работы, измерения на местности, включая их
и в начальный, и в систематический курсы арифметики*.
В третьей и четвертой главах своей методики Шохор-
Троцкий дает следующее обоснование принципа наглядности:
«1. Обучая математике, должно иметь в виду не только спо-
собность человека к умозрению, но и органы ощущений учащих-
ся и волевой элемент в душевной их жизни.
* См.: [149, с. 70].
S. II половина XIX — начало XX в.401
2. Без чувственных восприятий и соответствующих им ощу-
щений и представлений не может получиться ни точных поня-
тий, ни плодотворных математических идей, ни основательных
знаний, ни твердых навыков.
3. Одно только знание ря^а слов без полной власти над их
смыслом — знание призрачное, ложное и безрезультатное.
4. Истинное знание возможно только при следующих усло-
виях: а) при наличности ясных и верных представлений и б) при
должной подготовке к надлежащему ассоциированию представ-
лений, понятий и идей, составляющих материал этого знания.
5. Эти условия достижимы только при полной наглядности
обучения, при интересе детей к делу и при посильной активной
работе органов ощущений, с одной стороны, и ума, творческой
фантазии и воли — с другой.
6. Готовые наглядные пособия, конечно, полезны; но важ-
нее всего самодеятельность учеников, а потому изготовленные
ими самими наглядные пособия и затраченный при этом плано-
мерный физический труд еще полезнее, чем готовые наглядные
пособия».
Заметим еще, что в пятой главе «Методики начального кур-
са арифметики» Шохор-Троцкий раскрывает значимость того,
что мы сейчас называем педагогической техникой учителя. Она
названа «О выразительности речи, жесте и ритме при обуче-
нии арифметике». Автор раскрывает «роль пауз и интонации»
при чтении условия задачи, «ритм при сложении двузначных
чисел» и др. Он закладывает основы эстетического воспита-
ния средствами арифметики: часто говорит об изящных прие-
мах вычислений, изящных способах решения задач, эстетически
привлекательных чертежах и т.п.
Специальная работа С. И. Шохор-Троцкого [335] посвящена
обоснованию целей преподавания математики, среди которых он
специалььно рассматривает воспитательные цели.
Лабораторный метод и наглядное обучение в оте-
чественной методической литературе начала XX в. На-
чиная с 1910 г. в области методики арифметики появляется новая
оригинальная литература, пропагандирующая последние веяния
в преподавании начальной арифметики — лабораторное направ-
ление, в связи с чем глубоко разрабатывается проблема нагляд-
ного обучения математике. Этим двум проблемам отдал дань
С. И. Шохор-Троцкий, но наиболее ярким и последовательным
проводником лабораторного метода в отечественную методику
402 II. XIX — начало XX в
математики является Дмитрий Дмитриевич Галанин. В течение
двух лет он публикует несколько руководств по методике ариф-
метики [76]. Галанин считает, что даже понятие о числе нужно
вырабатывать с помощью процесса измерения, рекомендует из-
мерять на уроках емкость сосудов с водой или песком, перемещая
их из одного сосуда в другой, измерять длину бумажной ленты
и т. п. Он объединяет в так называемую «арифметическую ла-
бораторию» такие пособия по арифметике, как листы цветной
бумаги, деревянные линейки, весы с гирями, чаши с песком, мо-
дели монет, различную посуду*.
В это же время выходит уже упоминавшаяся нами книга
«Педагогика математики» В. Мрочека и Ф. Филипповича, тре-
тья глава которой «Наглядная и лабораторная методы» цели-
ком посвящается лабораторному методу, а в главах по частной
методике («Обоснования начального курса арифметики», «Обос-
нования начального курса геометрии», «Наглядная геометрия»)
показывается применение наглядного и лабораторного методов
в практике обучения математике.
В книге Л. В. Глаголевой «Преподавание арифметики лабо-
раторным методом. Год первый» (1910) весь материал первого
года обучения арифметике автор делит на 76 уроков и дает много
практических указаний по применению лабораторного метода.
Делается попытка перенесения лабораторного метода и в
систематический курс арифметики: в 1913 г. казанский педагог
Н. Г. Лексин публикует большую книгу «Опыт практического
руководства по методике арифметики» (Казань, 1913). Эта кни-
га посвящена именованным числам и дробям. Во введении автор
настаивает «на общих классных наглядно-лабораторных рабо-
тах», в одном из параграфов «Практические упражнения в изме-
рении» учащиеся измеряют глубину колодцев, озер, рек, высоту
домов, деревьев и др. Сам автор считает новым в своей книге
«обработку учебного материала на самом уроке по наглядно-
лабораторному способу».
Некоторые методисты (например, В. Г. Фридман в своей
«Методике арифметики», 1913) подвергают лабораторный ме-
тод критическому разбору. Основным возражением против его
широкого применения они считают трудность практического
осуществления: большие затраты средств, материалов, времени,
отсутствие удобных помещений. Отмечается, что лабораторный
* См.: [149, с. 134].
3. II половина XIX — начало XX в.^03
метод целесообразно вводить на отдельный уроках, придавая им
характер лабораторных работ.
Параллельно с лабораторным методом большое применение
в арифметике начинают находить иллюстрации и графические
упражнения. Появляется большое количество задачников с кар-
тинками и различными графическими задачами, что имеет су-
щественное влияние на реализацию идеи функциональной зави-
симости в рамках средней школы.
На Всероссийских съездах преподавателей математики эти
проблемы также широко обсуждались. Им практически пол-
ностью посвящены доклады В. Р. Мрочека «Экспериментальные
проблемы в педагогике математики», Д. Э. Теннера «Наглядные
пособия», сделанные в рамках I съезда; на II съезде проблемы на-
глядного обучения математики и лабораторного метода нашли
свое отражение в докладах Н.Г. Панкова «Измерительный ме-
тод при начальном курсе арифметики», Д. Л. Волковского «Зна-
чение картинок для первоначального обучения арифметике»,
В. В. Петрова «Практические работы по математике в средней
школе», С. Н. Полякова «Вопрос о реформе школьной математи-
ки с методологической точки зрения».
Методика геометрии. После первого методического гео-
метрического труда С. Е. Гурьева, появившегося на рубеже
XVIII и XIX вв., отечественные методисты уделяли методике
геометрии не слишком много внимания — наибольшее развитие
в России получила методика арифметики. Положение изменяет-
ся в 60-х гг. XIX в. В педагогической печати начинают активно
дебатироваться вопросы о начальном курсе геометрии, о введе-
нии пропедевтического курса геометрии в среднюю школу.
П. К. Гейлер в статье «Геометрия как необходимое образо-
вательное средство в каждом мужском и женском учебном заве-
дении», опубликованной в общепедагогическом журнале «Учи-
тель» (1864), проводит разделение курса геометрии на ступени.
«Геометрию следует начинать с сравнительного рассмотрения
наглядных преподавательских средств, а не с отвлеченных поня-
тий, как то до сих пор делалось, когда начинали с точек, линий,
площадей». Однако автор предупреждает и от другой крайнос-
ти: «От сухих отвлеченностей бросились на одни формы и на
бесплодный перечень названий». Гейлер считает, что изготов-
ление чертежей и моделей, занимающее существенное место на
первой ступени обучения геометрии, должно сопровождаться со-
ответствующими обобщениями и выводами, иначе геометрия не
404 II- XIX — начало XX в
только не будет способствовать умственному развитию, но такое
преподавание приведет «к поверхностному, неверному и непол-
ному пониманию оснований науки».
Интересные соображения о начальном курсе геометрии вы-
сказывает В. А. Евтушевский в статье «Из пропедевтики геомет-
рии», опубликованной в «Педагогическом сборнике» в 1866 г. Он
исходит из общей идеи концентрического преподавания элемен-
тарной математики и разрабатывает программу и уроки про-
педевтического курса геометрии, составляет образцы задач, по-
средством которых связывались занятия арифметикой, алгеброй
и геометрией.
В обосновании программ и методики преподавания про-
педевтического курса геометрии большая работа проделана
В. А. Латышевым, который разрабатывает два типа таких кур-
сов. Первый из них он называет элементарным и относит к
двухклассным училищам министерства народного просвеще-
ния. Программа его разработана Петербургским учебным окру-
гом при участии Латышева. Содержание определяется тем, что
двухклассные училища открываются в сельской местности и
должны удовлетворять потребностям крестьянского населения.
Методическую характеристику курса Латышев дает в журна-
ле «Русский народный учитель» за 1901г. [153, с. 327-335]. В
основу курса им положены «Сведения о практических примене-
ниях геометрии, преимущественно к измерению поверхностей,
объемов и к съемке планов». Большое место отводится приемам
геометрических построений с помощью циркуля и линейки. Ла-
тышев считает, что пропедевтический курс геометрии должен
иметь образовательное значение, и в связи с этим предъявля-
ет к нему требования законченности и равномерности в частях.
В практическом курсе, как считает Латышев, «можно давать и
так называемые наглядные доказательства», которые возмож-
ны в том случае, когда такое доказательство не представляет
затруднений для учеников. Однако при этом Латышев кате-
горически возражает против «поверхностных и неправильных
доказательств». Геометрия в этом курсе сопровождается эле-
ментами черчения и измерений на местности — рекомендуется
применение астролябии, эккера, мензулы.
Пропедевтический курс второго типа был предназначен для
городских училищ и разрабатывался Латышевым как элемен-
тарно-теоретический. Ему посвящена статья в журнале «Рус-
ская школа» за 1893 г. [150]. Латышев не являлся сторонником
3. II половина XIX — начало XX в.405
начальных геометрических курсов в форме наглядной геомет-
рии, будучи убежден, что исключительно наглядное обучение
геометрии теряет свою образовательную ценность. Он считал,
что в городских училищах «должен преподаваться теоретичес-
кий курс» в силу особого значения геометрии для развития де-
дуктивного мышления. «Рассмотрение форм должно предшест-
вовать занятиям геометрией и составлять содержание приго-
товительного курса геометрии», на который Латышев отводил
первый год обучения в городском училище. Так как он считал
невозможным овладение полным курсом геометрии в течение
оставшихся трех лет, предлагалось подробное изучение плани-
метрии. Из стереометрии же изучалось бы только то, что каса-
ется вычисления поверхностей и объемов (без доказательств).
Методические концепции Латышева, касающиеся пропедев-
тического курса геометрии, по мнению А. В. Ланкова, «отлича-
лись реальностью и научностью, он был убежден, что исключи-
тельно наглядное прохождение геометрии теряет образователь-
ную ценность» [149, с. 92].
«Материалы по методике геометрии» А. Н. Остро-
горского. Первым серьезным трудом по методике системати-
ческого курса геометрии во второй половине XIX в. является
книга А. Н. Острогорского «Материалы по методике геомет-
рии», которые печатались в приложении к «Педагогическому
сборнику» за 1883 г. и в следующем году вышли отдельным из-
данием. Автор скромно называет свой труд «материалами», так
как он «не имеет времени и не считает себя достаточно подготов-
ленным, чтобы составить методику геометрии» [207, с. 74]. Ос-
новная цель Острогорского — не столько рассмотреть вопросы,
которые относятся непосредственно к области методики, сколь-
ко помочь преподавателю «уяснить самому себе науку, которую
он намерен преподавать». Приведем содержание книги: Общие
замечания о геометрических определениях. Определения прямой,
угла, фигуры и т.д. Аксиомы. Происхождение и дидактическое
значение их. Арифметические аксиомы. Геометрические аксио-
мы. Теорема, ее состав. Взаимная зависимость теорем. Значение
обратных теорем. Образование обратных теорем. Доказательст-
во теоремы. Убеждение учеников в необходимости доказывать
теоремы. Доказательство с логической стороны. Чертеж. Вспо-
могательные линии. Крямые и косвенные доказательства. Спо-
соб наложения. Способ пропорциональности. Способ пределов.
Алгебраические выкладки при доказательстве теоремы. Запись
406 II. XIX — начало XX в
доказательства. Аналитический и синтетический методы. Про-
работка теоремы в классе.
«Материалы» Острогорского содержат теоретические осно-
вы методики геометрии, фоном которых является критический
анализ современных ему и предшествующих учебников, что осо-
бенно ценно. Большое значение он придает логической состав-
ляющей курса геометрии — понятия и их образование, опреде-
ления, аксиомы и теоремы и т. д. Так, разбирая понятие прямой
линии, он анализирует пять определений (от Евклида до Ост-
роградского) и после этого делает вывод: «Понятие о прямой
служит основанием для всего дальнейшего; само же оно не име-
ет перед собою ничего более простого, что могло бы служить
основанием для ее определения». Еще раньше он говорил: «Поня-
тие прямой принадлежит к основным, не допускающим никакого
определения».
Приняв обычное для того времени определение аксиомы
как истины, не требующей доказательства, Острогорский после
тщательного анализа приходит к вполне современному выводу:
«Мы признаем истину аксиомою совершенно условно».
Острогорский считал, что «в научном отношении точное
определение понятий и правильная классификация их весьма
важны». Несмотря на то что, по его мнению, изучение геомет-
рии может способствовать развитию логического мышления и
потому на уроках геометрии учащиеся должны самостоятельно
рассуждать, доказывать и т. д., работа с определениями геомет-
рических понятий должна быть очень осторожной. Остро горс-
кий считает очевидным, «что нам не приходится рассчитывать
на самодеятельность учеников при выработке определений, по
крайней мере, некоторых и главным образом основных, стоя-
щих в начале курса». По мере накопления понятий и их опре-
делений, которые могут «служить ему образцами, учащийся,
может быть, в состоянии будет справиться с работой, особенно
если ему известны уже понятия, аналогичные с определяемыми
(четырехугольники после треугольников и т. п.)». Чаще же все-
го, как считает Острогорский, «забота учителя будет клониться
единственно к тому, чтобы его ученики хорошо восприняли го-
товое определение... поняли смысл каждого слова, каждой фра-
зы, в него входящих». Таким образом, Острогорский формулиру-
ет основные методические особености работы с определениями
понятий и указывает затруднения, которые могут встретиться
учителю при работе с ними. Что касается классификации по-
3. II половина XIX — начало XX в.407
нятий, то автор «Материалов» справедливо предлагает «ясно
обозначить, какое основание принято при делении, тогда уче-
ники будут в состоянии видеть, как с расширением содержания
понятия уменьшается объем его и какое место занимает данное
понятие в ряду других».
В главе о теоремах Острогорский дает значительное ко-
личество ценных методических сведений — строение теоремы,
значение обратных теорем, роль силлогизмов в доказательстве
теорем. Он рассматривает различные способы доказательства
теоремы на уроке: «Доказательство теоремы может быть либо
сообщено преподавателем в форме связного рассказа, либо вы-
ведено самими учащимися при помощи учителя». Разобрав пре-
имущества и недостатки каждого приема, он предлагает широ-
ко использовать аналитический способ доказательства, который
«дает направление уму», побуждает учеников искать матема-
тические зависимости, применять эвристику. Много внимания
Острогорский уделяет не только «проработке теоремы в классе»,
но и «разучиванию учениками вне класса уроков геометрии». Та-
ким образом, в «Материалах» Острогорского излагается вполне
законченная методика обучения доказательству теорем в курсе
геометрии.
Итак, что касается методики геометрии, то на рубеже XIX-
XX вв. проблема построения пропедевтического курса геометрии
в учебных заведениях с сокращенным курсом обучения (напри-
мер, городские и сельские училища министерства народного про-
свещения) была практически решена. Пропедевтический курс
геометрии для общеобразовательных средних учебных заведе-
ний оставался проблемой дискуссионной. В защиту этого курса
выступали известные педагоги-математики Евтушевский, Ко-
синский, Страннолюбский и др., однако вопрос о введении его
в гимназии и реальные училища остался открытым*. По мето-
дике систематического курса геометрии опубликован фундамен-
тальный труд А. Н. Острогорского.
Много внимания методике геометрии уделено в работе I Все-
российского съезда преподавателей математики (1911). Фунда-
ментальный доклад «Современное состояние курса геометрии в
средней школе в связи с обзором наиболее распространенных
учебников» сделан Н.А. Извольским. На основе анализа мно-
гочисленных учебников геометрии конца XIX — начала XX в.
* Дискуссия о перестройке курса геометрии средней школы развер-
нулась, в частности, на страницах журнала «Семья и школа» (1873).
408 II. XIX — начало XX в
докладчик пришел к выводу об их логическом несовершенстве
в построении системы аксиом, определениях и доказательствах.
Он считал, что «современное обучение геометрии направляется
двумя положениями: 1) желанием доказывать все, что не ак-
сиома, и 2) требованием исходить в этих доказательствах из
определений... »* В результате «мы доказываем теоремы, не
имеющие содержания, а с другой стороны, мы даем определе-
ния, противоречащие друг другу».
Крайне интересны тезисы доклада Д. В. Ройтмана** «О
систематическом курсе элементарной геометрии в средней шко-
ле» [301, с. 431-434], в которых дается оригинальная трактов-
ка причин плохого усвоения геометрии: «Молодой развиваю-
щийся ум всегда будет склонен интересоваться и придавать
значение самой истине неизмеримо более, чем ведущему к ней
доказательству.. .Вкус к системе, как цепи доказательств, раз-
вивается значительно позже, и по характеру средней школы
в нынешнее время его удовлетворение могло бы быть отнесе-
но к специализации предметов» [301, с. 431-432]. Он считает,
что «материальное содержание» систематического курса геомет-
рии невелико и включает в себя учение о подобии многоуголь-
ников, теорему Пифагора и геометрические величины (длины,
площади, объемы), кончая объемом шара. Цепь же логических
заключений, «которою она добывается.. .слишком тяжеловесна,
насильственно и неестественно извне навязана» [301, с. 432]. По-
этому, по мнению Ройтмана, курс элементарной геометрии дол-
жен быть радикально перестроен на основе следующего прин-
ципа: не доказывать теорем, для всякого ученика очевидных, в
том случае, если доказательство значительно труднее самой те-
оремы. За счет сэкономленного времени, как считает Ройтман,
можно реформировать курс, «почерпнув материал из начерта-
тельной геометрии Монжа и из, так называемой, синтетической
(проективной — Т. П.) геометрии Понселе (проективные свой-
ства фигур — Т. П.) и Штейнера (зависимость геометрических
фигур друг от друга — Т. П.)» [301, с.434].
Извольский в своем докладе высказал и мнение относитель-
но пропедевтического курса геометрии: он считает, что в систе-
матическом курсе «и интуиция, и логика должны идти рука об
* Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики.
Т/П. С. 90.
** Умершего накануне съезда, в декабре 1911г.
3. II половина XIX — начало XX в.409
руку» и поэтому нет никакой необходимости в каком-то особом
пропедевтическом курсе. С. А. Богомолов, наоборот, предложил
в виде прелюдии к строго логически построенному курсу гео-
метрии дать пропедевтический курс, имеющий целью «разви-
тие пространственной интуиции и накопление геометрических
знаний» и предполагающий использование в качестве основного
лабораторного метода.
А. Р. Кулишер свой очень солидный доклад «Начальный
(пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его цели и
осуществление» [301, с. 376-412] специально посвятил этому кур-
су. Он считал, что в качестве основной цели курс преследует не
только «задачу более целесообразного выполнения последующе-
го систематического курса, но является одним из необходимых
условий правильного развития мышления ребенка, неразрыв-
но связанным с общими воспитательными и образовательны-
ми целями школы». Что касается содержания пропедевтичес-
кого курса, то докладчик считает, что «материал, вводимый
в подобный курс, должен иметь отношение к тому миру про-
странственных и обыденных представлений, в котором живет
ребенок» и в то же время «должен оказать до известной степени
помощь другим предметам первого цикла учебного плана сред-
ней школы (арифметике, географии, естествознанию)». Кроме
того, пропедевтический курс, по мнению Кулишера, должен «с
одной стороны, способствовать изучению некоторых важнейших
свойств пространства... с другой стороны, внести свою долю
в дело развития мышления и умения правильно формулировать
умозаключение». Далее докладчик обосновывает необходимость
взаимосвязи пропедевтического курса с начальной школой и сис-
тематическим курсом геометрии. В 1914 г. А. Р. Кулишер издал
«Учебник геометрии. Курс подготовительный», а в 1918 г. опуб-
ликовал книгу «Методика и дидактика подготовительного курса
геометрии», в которых реализованы идеи доклада.
Сторонником наглядно-лабораторного метода и пропедев-
тического курса геометрии был казанский педагог-математик
Н.Г. Лексин, который в 1914 г. выпустил методическое пособие
«Пропедевтический курс геометрии. Наглядно-лабораторные
примерные уроки и рисунки в тексте».
Идея пропедевтического курса геометрии нашла большое ко-
личество сторонников и осуществлялась на практике. В 1911 г. в
некоторых коммерческих училищах пропедевтический курс про-
водился по широкой программе в течение 3-4 лет обучения.
410 II. XIX — начало XX в
Кроме проблем совершенствования систематического и не-
обходимости пропедевтического курсов геометрии в методико-
математическом сообществе в начале XX в. остро дискутиро-
вался вопрос о включении элементов высшей геометрии в курс
средней школы. Вопрос преподавания в средних учебных заведе-
ниях элементов аналитической геометрии детально обсуждается
на Всероссийских съездах. Так, на I съезде результатам изуче-
ния аналитической геометрии в реальных училищах частично
посвящены доклады Б. К. Крамаренко «К вопросу о постанов-
ке преподавания математики, главным образом аналитической
геометрии и анализа бесконечно малых, в реальных училищах
Кавказского учебного округа» и П. А. Некрасова «О результатах
преподавания начал анализа бесконечно малых и аналитической
геометрии в реальных училищах». На II съезде специально по-
священ этой проблеме доклад Д. Синцова «О преподавании ана-
литической геометрии в школе». Однако результаты изучения
этого нового для средней школы материала не всегда позитивны.
В прениях по докладам известный методист А.Н. Шапошников с
тревогой отмечает: «В учениках наших заметны признаки разо-
чарования в математике... мы, предлагая по официальной указ-
ке молодому поколению науку в одностороннем схоластическом
освещении, рискуем разрушить плоды вековых усилий, поселив
в умах подрастающего поколения превратные понятия о выс-
шей математике» [301, с. 118]. Эта тревога разделялась многи-
ми педагогами-математиками. М. Г. Попруженко выдвинул та-
кие требования к методике изучения элементов высшей матема-
тики в школьном курсе: 1) общедоступность, 2) честность его (в
смысле научной корректности), 3) краткость, 4) органическая
связанность с общим курсом математики средней школы*.
В ряде докладов предлагается изучение в средней школе
элементов неевклидовой геометрии. Так, в одном из первых до-
кладов I съезда — докладе С. А. Богомолова «Обоснование гео-
метрии в связи с постановкой ее преподавания» предлагается
«традиционный материал элементарной геометрии оживить и
пополнить ее новейшие теории: проективная геометрия, начер-
тательная геометрия (в пропедевтическом курсе), неевклидова
геометрия (в систематическом курсе» [301, с. 435]. Этой же проб-
леме посвящен небольшой по объему [301, с. 150-155] доклад
П. А. Долгушина «Неевклидова геометрия в средней школе», в
* См.: [149, с. 140].
3. II половина XIX — начало XX в.^77
котором автор делится своим опытом изложения идей неевкли-
довой геометрии «в элементарной обработке» в 8-х классах жен-
ской и мужской гимназий.
Методика алгебры. В XIX в. в области методики ариф-
метики в России была создана самобытная методическая школа,
в это же время заложены основы методики геометрии. Что каса-
ется алгебры, то проблемы методики алгебры в первой половине
XIX в. практически не ставились. Исключением можно считать
книгу Лобачевского «Алгебра или исчисление конечных», в пре-
дисловии к которой автор формулирует некоторые методические
идеи, касающиеся преподавания алгебры. Но в данном случае
имелся в виду все же буферный между гимназией и университе-
том курс алгебры.
Движение за реформу программ и методов преподавания ал-
гебры началось в 60-е гг. в связи с поистине небывалым ин-
тересом русского общества к вопросам обучения и воспита-
ния, которым характеризуются эти годы. Основные проблемы
дискуссии таковы: 1) формулировка цели преподавания алгеб-
ры, содержание ее школьного курса и требования к учебникам;
2) поиск путей и методов перехода от арифметики к алгебре;
3) включение в курс алгебры в качестве одного из основных по-
нятия функции; 4) совершенствование учебников алгебры. Новое
направление в преподавании алгебры стремится создать препо-
даватель Морского кадетского корпуса А. Н. Страннолюбский.
«Курс алгебры, основанный на постепенном обоб-
щении арифметических задач» А. Н. Страннолюбского.
Преподавание математики в большей части наших средних
учебных заведений в 60-х гг. Страннолюбский находил совер-
шенно неудовлетворительным. Особенно плохо, по его мнению,
дело обстояло с преподаванием алгебры. В одной из своих ста-
тей, опубликованных в журнале «Учитель» (1867, №16), он пи-
шет следующее: «Алгебре в особенности как-то не счастливится.
В то время как преподавание арифметики и геометрии начинает
мало-помалу выбиваться из той рутинной колеи, в которой оно
еще недавно обреталось, преподавание алгебры делает весьма
медленные успехи». Он считает, что причина этого, «главней-
шая, подрывавшая в самом основании успехи учеников, заклю-
чалась в резком переходе от арифметики к алгебре». В связи
с этим Страннолюбский считает, что учебник алгебры должен
состоять из двух частей, резко отличающихся друг от друга по
методу изложения — пропедевтической и систематической.
412 IL XIX — начало XX e
Задача первой части состоит в обобщении арифметических
задач, которые укрепляли и углубляли бы «приобретенные уже
прежде математические сведения и понятия, развивали бы в них
способность к сознательному, правильному и точному употреб-
лению математического языка и сообщали бы уму учащихся ма-
тематические привычки, формулировали в них математический
склад мыслей». Метод изложения в первой части — преимущест-
венно индуктивный с элементами строгой дедукции.
Задача второй части — строгое научное изложение элемен-
тарной алгебры «без отступлений в пользу разных практичес-
ких приемов и подводящих объяснений», которыми, по мнению
Страннолюбского, изобиловали учебники алгебры того времени.
Свою концепцию пропедевтического курса Страннолюбский
изложил в опубликованном в 1867 г. «Курсе алгебры, основнан-
ном на постепенном обобщении арифметических задач», кото-
рый представляет собой не учебное руководство, а дидактичес-
кие указания для преподавателей начальной алгебры. Он счи-
тал, что систематическое и строго научное преподавание алгеб-
ры может быть успешным только при условии постепенного пе-
рехода от арифметики к алгебре в такой последовательности:
1) буква, сопровождаемая наименованием (общее именованное
число); 2) отвлеченное число; 3) буква без наименования (отвле-
ченное общее число); 4) буква как алгебраическое количество
(положительное и отрицательное).
В соответствии с этой концепцией обобщение задач прохо-
дит через три ступени. Первая ступень — задачи, тождествен-
ные по условиям, роду данных и вопросу, но отличающиеся чис-
ленной величиной. Рассмотрение их приводит к первому обобще-
нию, результатом которого являются общие решения, выражае-
мые буквами с каким-нибудь наименованием. Вторая ступень —
задачи, различающиеся между собой условиями и родом данных,
но одинаковые по численной величине, притом поставленный в
их конце вопрос и содержащиеся в них условия приводят к той
же совокупности действий над одинаковыми отвлеченными чис-
лами. Третья ступень — задачи, различные по условиям, роду и
величине данных, но приводящие к одной и той же совокупности
действий над данными.
Странннолюбский располагает материал последовательно,
по урокам: 1) запись решения произвольными значками с наи-
менованиями; 2) замена произвольных значков буквами; 3) сло-
жение; 4) вычитание; 5) употребление скобок; 6) значение коэф-
3. II половина XIX — начало XX в. ^73
фициента; 7) понятие о многочленах; 8-9) подобие одночленов;
10) сложение многочленов и т. д. [149, с. 100].
Первая часть «Курса алгебры» до уравнений первой степе-
ни с одним неизвестным построена именно на таких задачах.
Положительные и отрицательные величины Страннолюбский
вводит в процессе решения уравнений первой степени и задач
на составление этих уравнений. Действия над «алгебраически-
ми количествами» он излагает не полностью, а только те из них,
которые необходимы для изучения следующих частей алгебры.
При этом он пользуется конкретно-индуктивным методом, ши-
роко применяя движение. Например, правило умножения он вво-
дит с помощью такой задачи: «Паровоз, идущий равномерно со
скоростью V верст в час, проходит мимо станции В ровно в
полдень. На каком расстоянии будет этот паровоз от другой
станции Л, отстоящей от В на а верст?» Так с помощью за-
дач Страннолюбский стремится получить все формулы алгебры
(до алгебраических дробей включительно).
Итак, чтобы облегчить учащемуся усвоение начальной ал-
гебры, следует, по мнению Страннолюбского, сосредоточиться
на постепенном обобщении несложных арифметических задач.
При этом ученики сами должны участвовать в формулировках
соответствующих определений, правил, сами должны состав-
лять нужные примеры и задачи, т.е. «преподавание начальной
алгебры надо вести катехитически, в форме собеседования» [251,
с. 632]. На многочисленных примерах Страннолюбский показы-
вает, как это можно делать. Надо сказать, что такая методи-
ка требует много времени на подготовку объяснений и доказа-
тельств. К тому же в «Курсе алгебры» Страннолюбского излиш-
нее время и силы тратятся для подготовки не только основных,
но и второстепенных алгебраических понятий и правил.
Эта концепция шла вразрез с общепринятыми в то вре-
мя отечественными традициями преподавания алгебры. Так,
Н. И. Лобачевский считал, что «понятия алгебраические не
должны приобретаться навыком, а должны быть переданы с
первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью
и определительностью»*. Этой же точки зрения придерживал-
ся и П.Л. Чебышев. Он считал необходимыми в курсе алгебры
строгие доказательства, так как нестрогие доказательства, по
его мнению, приучают учеников видеть «достаточную причину
там, где ее нет». Что касается катехизического метода, то, в
* Цит. по: [251, с. 632].
4Ц II. XIX — начало XX в
целом одобряя его, Чебышев рекомендовал применять его в си-
лу затратности времени только при выводе основных правил и
избегать при изучении второстепенного материала.
Чрезмерное увлечение в 60-х гг. XIX в. наглядностью и са-
мостоятельными обобщениями учащихся при изучении алгебры
приводило к тому, что все внимание обращалось на первые шаги,
на «выработку алгебраического языка», в то время как другие
существенные вопросы методики алгебры не вызывали интереса
отечественных методистов.
Почти одновременно со Страннолюбским вопрос о пропе-
девтике алгебры поднимает и В. А. Евтушевский, первая работа
которого по этой проблеме «Пропедевтика алгебры» [222] пуб-
ликуется в 1868 г.
«Методика приготовительного курса алгебры»
В. Евтушевского и А. Глазырина. В 1876 г. Евтушевский
(совместно с Глазыриным) опубликовал эту. книгу параллель-
но с «Вопросами, задачами и примерами к приготовительному
курсу алгебры».
Необходимость приготовительного курса алгебры авторы
мотивировали тем, что, следуя Дистервегу, учение надо начи-
нать с той точки зрения, на которой стоит ученик. «Мир формул
и отвлеченных уравнений, — пишут авторы, — есть мир, чуж-
дый ученику, занимавшемуся до сих пор только арифметикой,
его математический мир состоит из задач, попадавшихся в ариф-
метике. Поэтому следует познакомить ученика с формулой, как
с выражением решения задачи, следует познакомить его с урав-
нением, как выражением решения задачи, и с его решением, как
средством для решения задачи, при всем этом должно соблю-
дать достаточную постепенность». Во введении к «Методике»
авторы сформулировали цель и содержание подготовительно-
го курса алгебры, исходя из которых разделили этот курс на
две части. Первая часть — алгебра абсолютных величин. Эта
часть решает задачу введения «алгебраического языка», пере-
ход к буквенным обозначениям от числовых формул, обобщение
решения задач с элементарными тождественными преобразова-
ниями. Вторая часть книги — алгебра относительных чисел, где
рассматриваются уравнения. Понятие уравнения авторы связы-
вают с задачами: «Уравнение есть равенство, выражающее со-
держание задачи». Авторы делают попытку элементарной клас-
сификации задач, приводящих к составлению простейших урав-
нений. В этой части подробно разработаны все те упражнения,
3. II половина XIX — начало XX в.415
которые, по мнению авторов,‘должны предшествовать система-
тическому изучению алгебры. Уроки в книге Евтушевского и
Глазырина изложены в форме вопросов и ответов, задачи подо-
браны удачно и вполне соответствуют своему назначению. Как
и Страннолюбский, авторы зачастую, увлекшись стремлением к
обобщению, чрезмерно много внимания уделяют второстепенно-
му материалу и лишают учеников самостоятельности.
«Методика приготовительного курса алгебры» не имела то-
го успеха, который выпал на долю «Методики арифметики» Ев-
тушевского. В. А. Латышев дает такое объяснение этому факту:
«В 60-х годах многие занимались вопросом о том, как улучшить
преподавание алгебры. Но, по тогдашнему увлечению нагляд-
ностью преподавания и наведением учащихся к обобщениям...
все внимание было обращено на первые новые шаги обучения,
да притом на первых же шагах хотели показать все приемы ра-
боты, что лежат в основе «переходных курсов» алгебры». Это,
по мнению Латышева, приводило к тому, что «занятия дела-
лись очень неопределенными по содержанию, плохо связанными
между собой и очень скучными... О том, как вести занятия ал-
геброй дальше при изучении уравнений, совсем не говорилось»
[152, с. 151].
«О преподавании алгебры» В. П. Ермакова. Третьей
заметной работой по методике алгебры является брошюра (2 пе-
чатных листа) «чуткого педагога и глубокого математика» [149,
с. 104], киевского профессора В.П. Ермакова, опубликованная в
1892 г. Отмечая большую неуспеваемость по алгебре, он кате-
горически не согласен с тем, что «алгебра есть символическая
наука, доступная только избранным натурам». Истинной при-
чиной неуспеваемости Ермаков считает «плохое преподавание».
Ермаков так формулирует свою концепцию преподавания
математики: «Математика состоит из положений, условий, опре-
делений и задач. Положение или теорема есть неизменная истина
в науке. Условие есть то, что зависит от нашего произвола». В
основу алгебры автор кладет 18 положений, 2 условия и 7 опреде-
лений. Условия устанавливают порядок действий. Определения
относятся к следующим понятиям: член, многочлен, вычитание,
отрицательное число и др. Дальше идут положения: 1) перемес-
тительный закон суммы; 2) результат сложения и вычитания
нескольких чисел не изменится, если переставим числа вместе
с их знаками; 3) последовательное вычитание нескольких чисел
можно заменить вычитанием их суммы и т.д.
416 IL XIX — начало XX в
Оригинально выводятся Ермаковым правила действий с
относительными числами: он распространяет правила ариф-
метики на отрицательные двучлены и многочлены. Например,
7+(0-9) = 7 + 0-9 = 7-9 = -2. Или, обобщая: (0-а)(0-Ь) =
= 0- 0 — 0-Ь — a-0 + ab. Отсюда (—а)(—Ь) = ab. Далее автор вы-
ясняет реальное значение отрицательных чисел и делает вывод,
что положительные и отрицательные числа суть абстракции по-
ложительных и отрицательных величин.
Работа Ермакова была замечена педагогической общест-
венностью. С. И. Шохор-Троцкий, не соглашаясь с некоторыми
частными вопросами, дает в целом позитивную оценку его ме-
тодике. Особенно «назидательным, — пишет Шохор-Троцкий в
статье, опубликованной в журнале «Русская школа», — кажется
нам тот факт, что В. П. Ермаков, столь счастливо соединивший
в себе звание профессора с правом на признание за ним крупных
ученых заслуг, не только не относится сколько-нибудь презри-
тельно к педагогике и методике преподавания, но даже некото-
рым образом берет эти дисциплины под свое покровительство»
[333].
Идея функциональной зависимости в отечественной
методике математики конца XIX — начала XX в. Даль-
нейшее развитие методики алгебры связано с проникновением в
школьный курс математики идеи функциональной зависимости.
Принято считать, что эти идеи начали проникать в школьное
математическое образование лишь в самом конце XIX в. Однако
это не совсем верно. Еще в середине века М. В. Остроградский
высказывал требование о включении в школьный курс мате-
матики идеи функциональной зависимости [54, с. 7], а один из
его учеников, А. Н. Тихомандрицкий, частично осуществил идеи
своего учителя в гимназическом учебнике «Начальная алгебра»
(1853).
В 1865 г.* была опубликована статья «Некоторые соображе-
ния о методе преподавания начальной математики» В. Н. Шкла-
ревича, который также был одним из учеников М. В. Остроград-
ского. Поставив перед собой задачу построить преподавание ал-
гебры так, чтобы ее усвоение стало более сознательным, фор-
мирующим навыки применения алгебраического аппарата к ре-
шению практических задач, сближающим преподавание алгеб-
ры с жизнью, Шкларевич приходит к выводу, что всего этого
* В № 5 журнала «Педагогический сборник».
3. II половина XIX — начало XX в.^77
можно добиться путем насыщения курса алгебры элементами
учения о функциональной зависимости. Он раскрывает обще-
образовательное и практическое значение понятия функции и
ее графического изображения, предлагает систему упражнений,
способствующих формированию графических умений и навыков,
сопровождая свои предложения подробными методическими ука-
заниями. Шкларевич предлагает ввести в курс алгебры графи-
ческое построение уравнений, ввести понятие об эмпирических
уравнениях и о графическом интерполировании, а также устано-
вить более тесную связь алгебры с физикой. Статья Шклареви-
ча — замечательная страница в истории развития отечественной
методики преподавания алгебры, к сожалению, незаслуженно за-
бытая.
Проблема внедрения в школьное математическое образова-
ние функциональной линии вновь встречается в периодической
печати в 1878 г. в работе С. И. Шохор-Троцкого «Математика
как предмет общего образования»*. Он считает, что в курсе ал-
гебры можно ознакомить учащихся с понятием о постоянных и
переменных величинах, функцией и ее обозначением. Затронув
вопрос о классификации величин на зависимые и независимые,
он замечает, что ребенок, решая задачу, уже «образовывает себе
понятие о существовании зависимости между вопросом и дан-
ными задачи» и считает, что ему в этом случае надо помочь
разумными указаниями учителя. Если же ученик усвоил поня-
тие о зависимых и независимых величинах, то он легко усвоит
понятие о функции.
О необходимости введения в курс алгебры понятия функции
и ее графического изображения С. И. Шохор-Троцкий пишет и
в своей знаменитой работе «Цель и средства преподавания низ-
шей математики», опубликованной в журнале «Русская школа»
(1891. №2, 3, 9, 11).
В 1893 г. в журнале «Педагогический сборник» публикует-
ся статья известного педагога-математика В. Е. Сердобинского
о реформе преподавания математики, основным тезисом кото-
рой является необходимость включения в элементарную мате-
матику идеи функциональной зависимости. Автор считает, что
«знакомство с функциональной зависимостью величин нужно на-
чинать возможно ранее, пользуясь всяким случаем указывать ее
примеры». Для плодотворного развития идей функциональной
* Опубликована в журнале «Педагогический музей» (СПб. 1878.
№4-8, 10).
418 IL XIX — начало XX в
зависимости алгебра предоставляет, как считает Сердобинский,
наиболее широкие возможности. При этом многие разделы курса
алгебры (например, теория уравнений, их исследование) могут
получить более строгое научное обоснование. Автор заключает:
«Пора придать алгебре средней школы ее истинный характер
теории функций». Геометрия и тригонометрия, считает Сердо-
бинский, также нуждаются в систематическом проведении идеи
функции.
В 1895 г. в журнале «Русская мысль», который был еже-
месячным литературно-политическим изданием, рассчитанным
на широкий круг читателей, опубликована знаменитая статья
В. П. Шереметевского «Математика как наука и ее школьные
суррогаты», в которой обосновывается необходимость реформы
школьного математического образования. Сам факт публикации
этой статьи в журнале такого ранга говорит о том, что вопрос
реформы школьного математического образования приобретает
общественную значимость. Мы уже касались основного содержа-
ния этой статьи. Подчеркнем еще раз, что центральным поня-
тием современной математики автор считает понятие функции
и призывает сделать его основным понятием школьного курса
математики. «Чем раньше оно будет вызвано и осторожнее вы-
ращено в сознании учащихся, тем лучше. А сделать это гораздо
легче, чем утаивать его по мудрым правилам школьной тради-
ции. Оно как бы напрашивается на внимание учащихся с первых
же глав арифметики, когда приходится говорить об изменении
результатов четырех действий, величины дроби в зависимости
от изменения числителя и знаменателя, вообще о прямой и об-
ратной пропорциональности и т.д.»*
Позже опубликована большая работа В. П. Шереметевского
«Очерк основных понятий, приемов и метода математики как ос-
новы изучения природы», в которой автор конкретизирует свои
представления о реформе школьного математического образова-
ния**. Он еще раз подчеркивает, что современная математика
* Вс. Шер-ский. «Математика как наука и ее школьные суррога-
ты» («Русская мысль». 1895, №5, с. 118). Статья опубликована под
«прозрачным» псевдонимом. В научном обороте представлена так,
как в списке литературы этой книги.
** Эта работа опубликована в «Сборнике статей в помощь само-
образованию по математике, физике, химии и астрономии» (1898,
вып. I).
3. II половина XIX — начало XX в.^7$
есть учение о функции, приводит многочисленные примеры из-
учения явлений природы с помощью учения о функциях и вновь
высказывает убежденность в том, что центральным понятием
школьной математики должно стать понятие функции.
В 1898 г. в Педагогическом обществе при Московском уни-
верситете открыто отделение преподавателей математики, пред-
седателем которого был избран Б. К. Млодзеевский. 10 ноября
1900 г. С. П. Виноградов на заседании этого отделения сделал
доклад «Понятие о функции в элементарной алгебре», в кото-
ром предложил план курса алгебры, в основе которого лежало
понятие функции. Он рекомендовал рассматривать алгебраичес-
кие выражения как функцию букв, в него входящих. Понятие об
изменяемости можно получить, «взяв какую-либо алгебраичес-
кую функцию, и проследить ее изменение, меняя переменное. По-
лезно привести и примеры конкретных изменяющихся величин»
[212, с. 89]. Докладчик предлагает следующий порядок изучения
функций: «Сперва изучается функция линейная, потом трехчлен
второго порядка в связи с зависящими от него вопросами, далее
функция у = У® и, наконец, функции тригонометрические; по-
добный курс позволит ознакомить учащихся с главнейшими об-
щими свойствами функций» [212, с. 89]. Заметим, что этот план
во многом совпадает с принятым в настоящее время порядком
изучения функций.
Итак, многие методисты второй половины XIX в. рассмат-
ривали введение идеи функциональной зависимости в школьный
курс алгебры в качестве средства повышения его научности, спо-
собствующего в то же время использованию алгебраического
аппарата для решения практических задач. Эти идеи претво-
ряются в жизнь в трудах К. Ф. Лебединцева и других педагогов
начала XX в. В частности, Лебединцев предлагал изменить ме-
тоды обучения математике в соответствии с психологическими
возможностями учащихся. Он доказывал необходимость модер-
низации школьного курса математики, развития функциональ-
ного мышления учащихся, показывая огромное значение понятия
функции для естествознания и экономики. Значение его работ
значительно шире, чем внедрение в курс алгебры идеи функцио-
нальной зависимости. Раскроем вкратце основные его методи-
ческие новации, касающиеся школьного курса алгебры.
В 1910 г. в журнале «Педагогический сборник» был напеча-
тан доклад, прочитанный К. Ф. Лебединцевым в Московском ма-
тематическом кружке под названием «Программа и метод пре-
. 420 IL XIX — начало XX в
подавания алгебры в средней школе». В нем он отмечал, что до
того времени методика алгебры почти совсем не разрабатыва-
лась, не были установлены даже основные ее положения. Пос-
ле анализа недостатков господствовавшего тогда абстрактно-
дедуктивного метода преподавания алгебры Лебединцев на ряде
конкретных примеров показал, как избежать этих недостатков,
применяя конкретно-индуктивный метод, и сформулировал ос-
новные положения этого метода.
К. Ф. Лебединцев глубоко проанализировал систему препо-
давания математики того времени, ориентированную преиму-
щественно на механическое заучивание и формирование навы-
ков. По его мнению, эта система не считается с психологией
учащихся. Он развил новую методику, которую впоследствии ре-
ализовал в своих учебниках. Основные положения этой методики
он изложил в докладе на I Всероссийском съезде преподавателей
математики под названием «Метод обучения математики в ста-
рой и новой школе», напечатанном в журнале «Математическое
образование» (1912, №2).
В этом докладе развиты основные положения конкретно-
индуктивного метода, к использованию которого Лебединцев
подходит диалектически: «Конкретно-индуктивный метод игра-
ет существенную роль на всех ступенях обучения математике;
но, само собой разумеется, что он не исключает дедукцию, но
должен быть с нею неразрывно связан, в особенности на выс-
ших ступенях курса. По мере того как развиваются логические
способности учащихся и возникает у них потребность в проч-
ном обосновании изучаемых истин, должен иметь место переход
от чисто индуктивных восприятий к более или менее сложным
рассуждениям, от констатирования отдельных математических
истин к установлению логической связи между этими истинами»
[154, с. 77].
В докладе указывалось, что, согласно данным психологии,
приблизительно на 14 году жизни учащиеся способны сознатель-
но пользоваться рядом умозаключений. Исходя из этого, предла-
галось разделить курс математики на три концентра, «в каждом
из которых метод преподавания изменялся бы сообразно степе-
ни умственного развития учащихся» [156, с. 59]. Для каждого из
концентров устанавливались возрастные границы и основной ме-
тод изучения материала. Эти идеи позже (1913) были воплощены
Лебединцевым в курсе алгебры «Концентрическое руководство
алгебры для средних учебных заведений».
3. II половина XIX — начало XX в.^21
Методические новации Лебединцева обобщены им в книге
«Метод обучения математике в старой и новой школе» (М.,
1914).
Что касается внедрения в школьный курс математики
идеи функции и элементов анализа, то они обобщены в труде
К. Ф. Лебединцева, который с сокращениями опубликован толь-
ко в 1983 г. в журнале «Математика в школе» (1983, No4) под
названием «Основные положения методики учения о функциях и
элементах анализа в школах II ступени». Изложим тезисно эти
основные положения, касающиеся учения о функциях*.
1. При знакомстве с простейшими функциями следует исхо-
дить из изучения тех процессов, в которых данная функциональ-
ная зависимость может быть легко и отчетливо более или менее
самостоятельно установлена учащимися.
2. Для достижения поставленной цели следует сначала об-
новить в памяти учащихся понятие о пропорциональной связи
между двумя величинами и для этого предложить им исследо-
вать, например, зависимость между пройденным расстоянием и
временем при равномерном движении и другие зависимости пря-
мопропорционального характера.
3. После этого у учащихся будет достаточно отчетливое по-
нятие о величинах постоянных и переменных, о независимых
переменных и функциях, о функциональной зависимости вообще
и прямой пропорциональности в частности.
4. На основе этих представлений может быть проведено за-
конченное ознакомление учащихся с линейной функцией и ли-
нейными уравнениями с одним, двумя и тремя неизвестными.
5. Параллельно с разработкой понятия функции должны
быть изучены соответствующие вопросы из геометрии и алгеб-
ры (равенство треугольников, перпендикулярность и параллель-
ность, свойства четырехугольников, подобие, решение линейных
уравнений, смысл положительных, отрицательных, нулевых ре-
шений, их отсутствия).
6. Расширение круга функций, знакомых учащимся, будет
состоять в исследовании некоторых простых и интересных функ-
ций, приводящих к кривым второго порядка (гиперболе, парабо-
ле, кругу), степенных и тригонометрических функций. Большая
часть их может быть исследована при рассмотрении конкретных
задач.
* См. подробнее: [155, с. 60-62].
422 IL 'XIX — начало XX в
7. Параллельно с изучением функций учащиеся должны по-
степенно знакомиться и с учением о пределе и производной функ-
ции, чтобы тем самым приобрести могущественный метод для
исследования функций и для решения многих вопросов геомет-
рии и естествознания, иначе не поддающихся точной математи-
ческой обработке.
На Всероссийских съездах преподавателей математики идеи
внедрения в школьный курс математики функциональной зави-
симости находит своих многочисленных сторонников. Так, в пер-
вом же докладе I съезда «Математическое и философское препо-
давание в средней школе», сделанном А. В. Васильевым, в ка-
честве цели математического образования в последний учебный
год указывается: «1) выяснение учащимися значения математи-
ки для точного знания и математического выражения законов
природы и 2) научный ретроспективный взгляд на систему эле-
ментарной математики». Для достижения этой цели докладчик
предлагает обратить особое внимание «на выяснение понятия о
функции и ее росте» [301, с. 21].
Ф. В. Филиппович в докладе «Постановка преподавания на-
чал анализа в средней школе» считает, что ввести их необходимо
не в виде «надстройки» над школьным курсом математики, «а в
связи с понятием о функции, проходящим красной нитью через
всю программу математики. В виду этого весь курс математи-
ки в средней школе должен быть сконцентрирован около идеи
функциональной зависимости...» [301, с. 115].
А. Г. Пичугин в докладе «Содержание курса школьной ма-
тематики» также считает, что «понятие о функции должно быть
центральным пунктом всего преподавания математики», одна-
ко, на его взгляд, речь должна идти «не об абстрактной идее
о функциональной зависимости... не об обобщающей формуле
этого понятия, — но только о конкретных функциях, наглядно
представленных в декартовых координатах и дающих возмож-
ность постичь яснее сущность указанной зависимости величин»
[301, с. 157].
В. В. Лермантов в докладе «Содержание курса математи-
ки с точки зрения современных запросов жизни и приемы для
посильного выполнения школою этих требований» на I съезде,
отстаивая практические цели обучения математики, считает,
что, «отбросив ненужные, трудные части арифметики, следу-
ет сообщать основы алгебры, геометрии и тригонометрии... из-
лагая все в духе функционального мышления», понимаемое им
3. II половина XIX — начало XX в. ^23
как антитезу «духу академического мышления». Последнее же,
по его мнению, следует формировать «не ранее 14-летнего воз-
раста, так как большинство учеников... к «математическому
развитию» еще неспособно» [301, с. 179]. Н.А. Томилин высту-
пает с докладом, название которого ближе всего идее функцио-
нальной зависимости — «Применение графического метода в
среднешкольном курсе математики». Он считает, что «опыт-
ный учитель может воспользоваться графическим методом, что-
бы постепенно ознакомить учащихся с идеей функциональной
зависимости двух величин» [301, с. 366].
В материалах II Всероссийского съезда преподавателей
математики присутствует специально посвященный понятию
функции доклад С. Н. Бернштейна «Понятие функции в сред-
ней школе». В нем автор анализирует различные дефиниции
понятия функции и высказывает свои предпочтения: «На пер-
вый план следует выставить оперативное определение функции
и, как его простейший, хотя и очень частный пример, аналити-
ческую функцию... но, разумеется, оба другие определения так-
же должны занять значительное место в средней школе» [301,
с. 100]. Этот доклад носит преимущественно умозрительный ха-
рактер и имеет скорее общеобразовательный, нежели методичес-
кий интерес для учителя математики средней школы. Чисто
практический интерес представляет доклад А. И. Бакчинского
«Запросы преподавателя физики в области математики». Од-
ним из самых животрепещущих запросов докладчик считает
идею функциональной зависимости: «Экспериментальная физи-
ка нуждается в том, чтобы учащиеся имели прочное понимание
пропорциональной зависимости». Он перечисляет эти зависи-
мости: «прямая и обратная пропорциональность между двумя
величинами; прямая и обратная пропорциональность между од-
ной величиной и квадратом другой величины; прямая пропор-
циональность между одной величиной и двумя другими величи-
нами; прямая пропорциональность некоторой величины по отно-
шению к одной величине и обратная пропорциональность ее по
отношению к другой». Докладчик показывает, что все эти слу-
чаи применимы к разным отделам физики — законам падения
тел, законам Гука и Мариотта, законам тяготения, освещения,
электрического тока и др. Кроме того, по мнению докладчика,
«весьма желательно, чтобы ученики возможно раньше освоились
с идеей функциональной зависимости между двумя величинами
и с методом графического изображения такой зависимости [301].
424 II- XIX — начало XX в
Методика тригонометрии. Методика тригонометрии
сложилась позже методики других дисциплин, возможно, в си-
лу того, что она позже окончательно выделилась в самостоя-
тельную учебную дисциплину русской школы. Одним из пер-
вых дошедших до нас методических трудов по тригонометрии
можно считать соответствующий раздел «Конспекта по препо-
даванию чистой математики в Казанском университете в 1824-
1825 учебном году», составленный Н. И. Лобачевским. Он счи-
тает, что тригонометрия «разделится на три части: первая — о
тригонометрических функциях — будет заключать в себе самое
необходимое для уразумения двух остальных; вторую часть...
составляют задачи, относящиеся к разрешению треугольников,
а третья — то же для сферических». Что касается определения
тригонометрических функций, то несмотря на то, что он пред-
лагает начинать с определения их в прямоугольном треуголь-
нике, в дальнейшем «определение их распространится и на все
возможные значения углов». Завершается конспект по тригоно-
метрии планом: 1. Определение тригонометрических функций.
Главнейшие их свойства. 2. Превращение выражений для удоб-
нейшего вычисления по таблицам. 3. Уравнения, откуда должно
проистекать решение всех задач прямолинейной тригонометрии.
4. Разрешение прямоугольных треугольников. 5. Уравнения для
сферической тригонометрии. 6. Неперовы и Гауссовы аналогии.
7. Разрешение задач сферической тригонометрии. 8. О сферичес-
ких треугольниках, весьма мало разнящихся от прямолинейных.
Лобачевский высказывает сожаление, что «нет еще до сих
пор книги, в которой бы тригонометрия была представлена в
системе, с выбором способа изложения и в том состоянии, до ко-
торого она доведена ныне по частям в различных математичес-
ких сочинениях». Что касается определения тригонометрических
функций, то он так объясняет необходимость распространения
их на все углы: «Геометрия доставляет значение синусов острых
углов; распространение на прочие углы остается, следовательно,
произвольным и может быть сделано так, руководствуясь поло-
жением линии, выражающей синус в разных частях круга, что
все свойства тригонометрических функций будут общи всякой
величине угла».
Таким образом, Лобачевский еще в первой трети XIX в. по-
ставил задачу выстроить достаточно строгий в научном отно-
шении курс тригонометрии. За исходный пункт изучения триго-
нометрии он берет прямоугольный треугольник с последующим
3. II половина XIX — начало XX в.^25
расширением области изменения углов и устанавливает, как на-
зывает его В.Г. Чичигин [326, с. 12], принцип перманентности:
«все свойства тригонометрических функций будут общи всякой
величине угла».
Итак, прежнее узкоутилитарное направление изучения три-
гонометрии стало уступать позиции научному направлению, что
проявлялось в более строгом изложении курса, введении доказа-
тельств теорем и вывода формул, установлении связей между
тригонометрическими величинами.
В середине XIX в. под влиянием запросов военно-учебных
заведений возникает потребность в построении нового курса
тригонометрии, в результате изучения которого ученики долж-
ны возможно раньше научиться применять тригонометрию к
решению практических задач, связанных с военным делом. В
1848 г. Главное управление военно-учебных заведений при ак-
тивном участии академика М. В. Остроградского, который был
главным наблюдателем за преподаванием математики в военно-
учебных заведениях, издало новую программу. В соответствии
с ней тригонометрические величины определяются как отноше-
ния сторон прямоугольного треугольника, затем следует вывод
формул для решения треугольников как прямоугольных, так и
косоугольных, потом выводятся формулы тригонометрических
величин суммы и разности двух углов и другие зависимости,
наконец, тригонометрические величины углов, превышающих
прямой угол.
В развитие этой программы М. В. Остроградский в 1851 г.
опубликовал конспект по тригонометрии для руководства в
военно-учебных заведениях, в котором он выступает как сторон-
ник определения тригонометрических функций на первом эта-
пе их изучения как отношений сторон в прямоугольном тре-
угольнике с последующим обобщением их определения и рас-
пространением его на углы любой величины. Однако эти про-
грессивные идеи с трудом воплощаются в практику препода-
вания прежде всего потому, что авторы учебников тригоно-
метрии по-прежнему считают основной целью изучения этого
предмета решение треугольников. Только в 1886 г. в преди-
словии к широко распространенному гимназическому учебни-
ку Ф. И. Симашко пишет: «В настоящее время программы всех
учебных заведений... требуют рассмотрения тригонометричес-
ких величин из круга», в связи с чем теоретическая часть этого
учебника претерпела значительные изменения.
426 II. XIX — начало XX в
В этом же году специальная комиссия преподавателей
средних учебных заведений при Педагогическом музее военно-
учебных заведений обсуждает вопрос о преподавании триго-
нометрии [245, с. 17-20]. На заседании комиссии выступает
А. Н. Страннолюбский с докладом «Об учебнике тригонометрии
Ф. И. Симашко». В докладе в зависимости от поставленных це-
лей он выделяет три направления в развитии тригонометрии как
учебного предмета. Первое направление: в качестве основной це-
ли выступает решение треугольников; второе направление: ос-
новная цель — теория круговых функций, применяемая к реше-
нию треугольников; третье направление — среднее между дву-
мя первыми. Перед участвующими в обсуждении преподавателя-
ми математики были поставлены следующие вопросы: Каковы
должны быть цель и характер преподавания тригонометрии в
среднем учебном заведении? Следует ли ограничить ее объем и
содержание лишь учением о вычислении треугольников или же
нужно выдвинуть на первый план ознакомление учеников с эле-
ментами теории круговых функций на основе геометрических
соображений, а собственно тригонометрию рассматривать как
особый отдел геометрии, являющийся лишь приложением тео-
рии круговых функций к решению треугольников? Какое мес-
то в курсе тригонометрии должно быть отведено практическим
приложениям, например, к низшей геодезии?
В своем докладе Страннолюбский высказал также следую-
щие требования к использованию тригонометрических таблиц: в
статье о составлении тригонометрических таблиц ограничиться
указанием на возможность их составления, исключив вовсе раз-
ложение функций в ряды; в тригонометрических вычислениях
употреблять пятизначные таблицы логарифмов.
На следующем заседании этой же комиссии, состоявшем-
ся 5 марта того же года, было проведено обсуждение пробле-
мы преподавания тригонометрии. В частности, было «призна-
но не соответствующим целям общеобразовательного заведения
при изучении тригонометрии ограничиваться только дрессиров-
кой в решении треугольников, развитием чисто механических
приемов работы с большими числами семизначных логарифми-
ческих таблиц и решением массы практических задач по дан-
ным шаблонам» [246, с. 67]. Кроме того, было решено «отбро-
сить из курса тригонометрии теорию бесконечных рядов (как
недоступную пониманию учеников этой ступени развития), за-
менить семизначные таблицы пятизначными, геодезические за-
3. II половина XIX — начало XX в.^27
дачи отнести к курсу геометрии и вообще при изучении три-
гонометрических функций знакомить с основными элемента-
ми теории круговых функций» [246, с. 67]. Результаты заседа-
ния А. Н. Страннолюбский резюмировал следующим образом:
«1. В курсе тригонометрии необходимо изучать теорию круго-
вых функций с применением ее к решению треугольников; ни
в коем случае не ограничивать курса решением треугольников.
2. Приложения тригонометрии к решению геодезических задач
не считать необходимым». Первое предложение не было под-
держано в официальных сферах. На последнее предложение ко-
миссии откликается министерство народного просвещения, ко-
торое в 1892 г. предлагает исключить из программ 7-классной
гимназии измерение линий и углов на земной поверхности и
приложение тригонометрии к измерениям на местности. В ре-
альных училищах исключаются графические способы решения
треугольников и вычисления с помощью таблиц тригонометри-
ческих величин.
Это привело, как считает А. В. Ланков, к тому, что в конце
XIX в. тригонометрия «вступила на путь формального изложе-
ния, оторванного от жизни и практики» [149, с. 117]. Препода-
вание тригонометрии характеризовалось следующими чертами:
1) отсутствием пропедевтического курса; 2) определением три-
гонометрических функций как отношений «тригонометрических
линий» к радиусу; 3) недостаточным использованием функцио-
нальной зависимости, отрывом изучения свойств тригонометри-
ческих функций от их графиков; 4) недостаточными приложени-
ями тригонометрии к решению задач практического содержания.
Такое построение курса тригонометрии по-прежнему не
удовлетворяло многих педагогов-математиков, которые актив-
но критиковали существующий курс и вносили конструктивные
предложения по его изменению в рамках совещаний по рефор-
ме средней школы, созванных при учебных округах в 1899 г., в
Московском и Киевском математических обществах, в Комис-
сии преподавателей средней школы при Педагогическом музее
военно-учебных заведений и др.
Под такого рода жестким влиянием методического сооб-
щества министерством народного просвещения в 1906 г. была
изменена программа курса тригонометрии в реальных учили-
щах. Был принят концентрический способ изучения тригоно-
метрии: первый концентр — пропедевтический (6-й класс) со-
держал материал, необходимый для решения прямоугольных
428 IL XIX — начало XX в
и косоугольных треугольников с помощью таблиц логарифмов;
второй концентр т— систематический (7-й класс) содержал тео-
рию тригонометрических (гониометрических) функций, включая
и обратные, тригонометрические уравнения и неравенства, не-
обходимые для приближенного вычисления тригонометрических
функций. В связи с таким построением курса пересматривается
вопрос об их определении. На первом этапе вводятся определе-
ния синуса, косинуса и тангенса через стороны прямоугольного
треугольника, на втором эти определения обобщаются, широко
используются графики тригонометрических функций, развива-
ется теория решений тригонометрических уравнений, усилива-
ются практические применения тригонометрии. Таким образом,
преподавание тригонометрии в реальных училищах становится
более обоснованным теоретически и теснее связанным с практи-
ческими приложениями.
В это же время выходит в свет фундаментальная книга
П. К. Шмулевича под названием «Курс прямолинейной триго-
нометрии и методы решения тригонометрических задач (энцик-
лопедия тригонометрии)» (СПб., 1907). Она на самом деле име-
ла энциклопедический характер, содержала сведения, которые
обычно не входят в учебники, а также решения широкого круга
задач.
Все же вопросы преподавания школьного курса тригоно-
метрии находились на периферии интересов методического со-
общества, приоритеты отдавались методикам арифметики, гео-
метрии, в меньшей мере — алгебры. Об этом говорит хотя бы
тот факт, что в материалах Всероссийских съездов преподава-
телей математики отсутствуют доклады, прямо посвященные
методике изучения тригонометрии. Тем не менее, несмотря на
отсутствие крупных работ по методике тригонометрии, в на-
чале XX в. заложен прочный ее фундамент: расширены и осо-
временены цели изучения тригонометрии, сделан переход к под-
робному изучению тригонометрических функций, методическая
литература обогатилась оригинальными пособиями и новыми
идеями изучения тригонометрии в курсе средней школы, про-
граммы реальных училищ 1906 г. позволили накопить ценный
опыт концентрического преподавания тригонометрии как учеб-
ного предмета.
3. II половина XIX — начало XX в.429
3.4. УЧЕБНИКИ МАТЕМАТИКИ
ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ГИМНАЗИИ
II половины XIX — начала XX века
В 50-х гг. XIX в. в отечественных гимназиях по-прежнему
используются созданные в 30-40-х гг. учебники Ф. И. Буссе,
П. С. Гурьева, В. Я. Буняковского. Министерство народного
просвещения отдало дело контроля над учебниками специаль-
но созданному в 1803 г. Ученому комитету. Однако в 1831г. ко-
митет был упразднен на том основании, что «предметы заня-
тий комитета могут быть поручаемы членам Академии или Пе-
тербургского университета». Как считает В.Е. Прудников [250,
с. 77], опыт скоро показал, что упразднение Ученого комитета
было ошибочно. Его функции были переданы нескольким от-
делам министерства, что приводило к ненужному параллелиз-
му и несогласованности. В 1854 г. министром народного про-
свещения был назначен А. С. Норов, который начал свою дея-
тельность с ходатайства о восстановлении Ученого комитета. В
1856 г. Александр II утвердил проект указа о Главном правле-
нии училищ и правила действий Ученого комитета. Членом его
по математическим наукам был назначен П.Л. Чебышев, в то
время адъюнкт Академии наук, он приступил к своим обязан-
ностям в начале 1857 г. В число этих обязанностей входила и
работа с математической литературой: 1) рецензирование мате-
матических учебников; 2) постоянное наблюдение за тем, в каких
учебных руководствах по математике нуждаются школы и изыс-
кание средств для удовлетворения этих нужд; 3) рассмотрение
книг физико-математического содержания, предназначавшихся
для поднесения царю и членам его семьи как особенно полез-
ные или распространение которых в обществе необходимо было
предупредить как недоброкачественные; 4) рекомендация книг
математического содержания, которые предполагались для рас-
пространения в учебных заведениях России [250, с. 79]. Кроме
того, Ученый комитет занимался составлением каталогов учеб-
ных руководств для гимназий, прогимназий и народных училищ.
В 1861 г. Чебышевым был представлен на утверждение Уче-
ного комитета новый каталог учебников по математике для низ-
ших и средних учебных заведений. Это было время начала ост-
рой дискуссии о содержании образования в отечественной шко-
ле, которая подвергалась сильнейшей критике. В частности, в
связи с принятием нового Устава предлагалось заменить ста-
рые учебники новыми. Чебышев очень осторожно подошел к
430 II. XIX — начало XX в
этому вопросу. Он считал, что «в преподавании арифметики,
как сокращенной, так и полной, и в преподавании геометрии,
по проекту устава, не предполагается существенных изменений,
вследствие чего по этим наукам могут оставаться те же руко-
водства, которые были изданы министерством или допущены им
к употреблению» [115, с. 37]. Рекомендация руководств по ариф-
метике и геометрии, вышедших за четверть века до этого, бы-
ла поддержана Ученым комитетом. Это вызвало недовольство
в методическом сообществе того времени, особенно в той среде,
в которой находились сторонники методов Грубе. Они считали
метод Буссе, учебники которого рекомендовались Ученым ко-
митетом, «механическим, давно устаревшим», который должен
быть заменен новым методом, с которым, по их мнению, следова-
ло знакомиться по учебникам Паульсона, Рубисова и Золотова.
Эта критика особенно остро звучала на заседаниях Петербург-
ского педагогического общества и в периодической педагогичес-
кой печати.
Что касается учебников по другим математическим дисцип-
линам, то точка зрения Чебышева была иной. Он писал: «Но по
проекту устава предполагается произвести значительные изме-
нения в преподавании алгебры. В гимназиях, где особенно будет
развито изучение древних языков, курс алгебры должен быть
сокращен против нынешнего. В прочих же гимназиях курс ал-
гебры должен быть распространен. Для надлежащего успеха тот
и другой курс алгебры должен представлять собою нечто целое,
законченное. Таких курсов алгебры в настоящее время не име-
ется, и от искусства их составления много будет зависеть успех
преподавания алгебры в гимназиях... То же можно сказать об
остальных науках математических: тригонометрии и оснований
начертательной и аналитической геометрии, для которых по-
надобятся руководства, согласованные и с курсом, и с числом
уроков, назначенных на эти предметы» [115, с. 38].
До конца своей деятельности в Ученом комитете (1873)
П.Л. Чебышев из года в год просматривал каталоги матема-
тических учебников и своевременно их видоизменял. Он по по-
ручению комитета давал отзывы о рукописях и книгах мате-
матического содержания, проявляя высокий уровень строгости
при их рецензировании. Так, Чебышев дал отзыв о 167 матема-
тических сочинениях, предназначавшихся в качестве учебников
для начальных и средних школ. Из них были одобрены: 11 —
в качестве руководств по математике для начальных и средних
3. II половина XIX — начало XX в.^31
школ, 9 — в качестве пособий и 7 рекомендованы для школьных
библиотек [250, с. 94].
К середине 60-х гг. русская учебная литература по матема-
тике обогатилась многочисленными руководствами по отдель-
ным математическим предметам, которые по своим достоинст-
вам не уступали зарубежным аналогам. В результате проведен-
ного им анализа этой литературы Чебышев в 1864 г. докладывал
Ученому комитету: «В настоящее время наша педагогическая
литература достаточно богата по части низшей математики...
и представляет все нужные средства для преподавания этих наук
в гимназиях». Тем не менее он не считал существующие учебни-
ки идеальными и полагал необходимым их дальнейшее улучше-
ние, которого, по его мнению, «нельзя достигнуть объявлением
конкурса, так как составление курсов по этим предметам, при
поспешной работе, не может выйти особенно удачно»*. Он не
без оснований считал, что «такие курсы должны составляться
годами и представлять собою результаты продолжительной пе-
дагогической деятельности». Дело же министерства и Ученого
комитета при нем, по мнению Чебышева, — «следить постоянно
за новыми изданиями и допускать к употреблению в гимнази-
ях все, что окажется того достойным, не давая в этом отноше-
нии каких-либо привилегий одним книгам перед другими» [250,
с. 97].
Однако под влиянием идей демократизации 60-х гг. XIX в.
министерство народного просвещения объявило конкурсы: в
1864 г. — на подготовку лучших учебников для начальных школ,
в 1865 г. — для гимназий и прогимназий. Требования к учебни-
кам математики сформулированы в проекте объявления конкур-
са 1865 г.: «Должно быть обращено особое внимание на ясность
и определительность выражений, на устранение таких оборотов
речи, при которых является возможность различного понимания
смысла. Все объяснения и доказательства должны быть вполне
строги, без излишних подробностей и с крайне осмотрительным
употреблением слов: очевидно, само по себе понятно и т.п., ко-
торые нередко употребляются авторами там, где доказательст-
во представляет особенные затруднения. Из различных приемов
для доказательства теорем желательно, чтобы предпочтение бы-
ло сделано тем приемам, которые наиболее естественны; там,
где могут быть употреблены одинаково способ доказательства
от противного и способ пределов — употреблять последний. Все
* Цит. по: [250, с. 97].
432 IL XIX — начало XX в
предложения должны быть пояснены надлежащими примерами.
Кроме того, желательно, чтобы на каждую статью были пред-
ложены задачи для упражнения» [250, с. 98-99].
Через три года, в 1868 г., на конкурс поступило 18 рукопи-
сей. Для их рассмотрения была создана специальная комиссия
под председательством Чебышева. Отзывы членов этой комис-
сии, составляющие более 100 страниц, сохранились. В результа-
те работы комиссии в 1869 г. было установлено, что ни одно из
поданых на конкурс математических сочинений не удовлетворя-
ло сформулированным условиям, особенно в отношении «крат-
кости и ясности изложения, точности определений и строгости
выводов» [274, с. 789].
3.4.1. Учебники арифметики
Ученый комитет Министерства народного просвещения в
начале 60-х гг. XIX в. рекомендовал оставить прежние руковод-
ства по арифметике, т. е. «Таблицы взаимного обучения арифме-
тике», «Руководство к арифметике» и «Собрание арифметичес-
ких задач» Ф. И. Буссе*. Широкое распространение имели «Пер-
воначальные упражнения в арифметике», представлявшие собой
переработку «Руководства к арифметике» Буссе.
Кроме того, в ходу были прекрасные курсы арифметики Бу-
няковского, Воленса, Леве, Щеглова. Что касается пособий по
арифметике, в основе которых лежит метод Грубе, то они дол-
гое время не находили сторонников среди отечественных педа-
гогов. Так, учебник Рубисова «Начальная арифметика. Пособие
для наглядного обучения арифметике» было отклонено как ру-
ководство или пособие Ученым комитетом министерства по сле-
дующим причинам: «Сочинение г. Рубисова не учебник, а посо-
бие для учителей. Относительно системы преподавания первых
начал арифметики в сочинении г. Рубисова нет ничего нового;
он предлагает сначала ознакомить учеников вполне с первыми
10 числами и потом уже перейти к числам большим. Объясне-
ния, предлагаемые автором в его книге, далеко не удовлетвори-
тельны». Положение изменилось только после появления учебни-
ков В. А. Евтушевского, методические идеи которого нами уже
охарактеризованы. Учебники этого автора мы проанализируем
* Кроме того рекомендовалось еще «Руководство к изучению че-
тырех арифметических действий» А. Н. Больцмана.
3. II половина XIX — начало XX в.^SS
чуть позже, так как раньше их вышли в свет учебники арифме-
тики, которые быстро завоевали популярность и получили ши-
рокое распространение в стране.
«Уроки практической арифметики» Ф. И. Симашко.
Несмотря на то что этот учебник издан в 1852 г. для учебных за-
ведений военного ведомства, он оказал большое влияние на пре-
подавание математики в других учебных заведениях России.
Поясняя цели и задачи издания этого руководства, автор
писал в предисловии: «Первоначальные понятия о числах и дей-
ствиях над ними мы приобретаем с детства, не учась еще ариф-
метике. При составлении «Уроков практической арифметики» я
предложил себе, по указанию опыта, привесть эти первоначаль-
ные понятия в порядок и потом мало-помалу перейти от них к
другим, сложнейшим понятиям, не затрудняя учащихся опре-
делениями и правилами. Чтобы достигнуть этой цели, я каж-
дый раз, когда мне надобно объяснять определение или правило,
сперва предлагаю задачу, решаю ее, и тогда уже перехожу к
определению или правилу». Итак, Симашко вводит определения
и правила конкретно-индуктивно, предваряя их решением задач.
Кроме того, как пишет Симашко в том же предисловии, «в кон-
це каждого арифметического действия я предлагаю задачи для
решения, как самое лучшее и вернейшее средство для учащихся
усвоить правила, а для преподавателей — избежать сухости».
Содержание «Уроков практической арифметики» таково:
I отдел — целые числа, II — дроби, III — десятичные дроби,
IV — составные числа, V — задачи. Отделы делятся на «уро-
ки, которых насчитывается 21. В них содержится все самое
необходимое из курса арифметики». Теория в «Уроках прак-
тической арифметики» не излагается. По справедливой харак-
теристике В. А. Латышева, «Уроки практической арифметики»
Ф. И. Симашко «скорее всего можно назвать сборником отдель-
ных объяснений, охватывающим все наиболее важные статьи
курса арифметики». Он же дает достаточно высокую оценку
книге Симашко: «Нельзя не признать ее очень хорошей книж-
кой, в которой очень много простых и в то же время удачных и
правильных объяснений» [151, с. 755].
«Уроки практической арифметики» Симашко выдержали
несколько изданий и долгое время служили полезным пособи-
ем для учителей. Об одном из них известный отечественный
педагог А. Н. Острогорский писал: «Замечательно, что издан-
ные в 1859 г. Симашко «Уроки практической арифметики. Курс
434 II- XIX — начало XX в
приготовительный», по отзыву специалистов, были в свое время
явлением вполне оригинальным» [208, с. 2].
«Руководство арифметики» и «Собрание арифмети-
ческих задач» А. Ф. Малинина и К. П. Буренина. Эти
книги опубликованы в 1866 г. Авторы их — опытные препода-
ватели, близко знакомые со школьной практикой. Цель издания
«Руководства арифметики» они видели в том, чтобы «дать уча-
щимся книгу, которая, содействуя, с одной стороны, развитию их
логического мышления и, представляя науку в систематическом
изложении, была бы в то же время им совершенно по силам». Для
достижения этой цели в основу курса было положено небольшое
количество простых определений, которые предварялись прак-
тическими примерами (в большинстве случаев — задачей), из
которых «уяснялась бы и необходимость нового понятия, и са-
мое его определение». Выводы же и доказательства авторы «ста-
рались делать языком, хотя и научным, но настолько простым
и живым, чтобы они были понятны, при внимательном чтении,
даже ученику первого класса». Этого принципа они придержи-
вались даже при наборе: крупным шрифтом были напечатаны те
статьи, которые предназначались для младших классов гимна-
зий, мелким — те, которые подготовлены для повторения ариф-
метики в 7-м классе (например, нахождение всех делителей чис-
ла, общий признак делимости чисел, признаки делимости на 7,
11, 13 и 37, непрерывные дроби).
Что касается изложения материала, то «Руководство ариф-
метики» Малинина и Буренина отличались от других руко-
водств, по мнению В.Е. Прудникова, двумя важными особен-
ностями: 1) при объяснении каждого действия указывалось его
значение и вопросы, которые могли быть решены с его помощью;
2) изложение каждого параграфа заканчивалось серией вопросов,
представлявших все содержание параграфа. Иногда эти вопросы
требовали распространения выводов параграфа на частные слу-
чаи или нетрудного самостоятельного вывода из изложенного.
Это приучало ученика обдумывать ответ, учиться связно выра-
жать свои мысли, осмысленно читать учебник [251, с. 551]. Эти
особенности выгодно отличали «Руководство арифметики» Ма-
линина и Буренина от многих существовавших тогда учебников
арифметики. «Руководство арифметики» имело очень большой
успех, за 21 год (1867-1888) выдержало 15 изданий, каждый ти-
раж составлял около 20 000 экземпляров.
3. II половина XIX — начало XX в.^35
«Собрание арифметических задач» Малинина и Буренина
содержит 20 343 задачи, разнообразных по содержанию и после-
довательно расположенных в порядке возрастания сложности.
Все задачи разбиты на отделы, причем порядок отделов сов-
падает с порядком «Руководства арифметики» тех же авторов.
«Собрание арифметических задач» выдержало 18 изданий об-
щим тиражом 645 000 экземпляров.
Эти учебники арифметики имели хорошие отзывы в пе-
дагогических и методических журналах: в журнале «Учитель»
(1869, август, с. 533-534), в «Учебно-воспитательной библиоте-
ке» (1876, т.1. ч.П, с. 37-40) и в «Математическом сборнике»
(1867). Не все методическое сообщество позитивно оценивало
«Руководство арифметики» и «Сборник арифметических задач».
Как уже говорилось, последователи метода Грубе были недоволь-
ны отечественными учебниками с отличными от их воззрений
методическими основами. Несмотря на положительную в целом
оценку, эти книги по предложению Чебышева не были одобре-
ны как руководства для гимназий, а рекомендовались только в
качестве пособия.
Резко отрицательно относился к указанным руководствам
В. А. Латышев: «В арифметике гг. Малинина и Буренина набра-
но много сведений, но нет ни последовательности в развитии,
ни ясности и отчетливости в изложении теории; для малень-
ких детей изложение часто непонятно вследствие растянутости
объяснений, употребления длинных периодов, дурно выражен-
ных правил и редкости обобщений» [151, с. 33]. Как считает
В. Е. Прудников, свой учебник арифметики Малинин и Буре-
нин и не предназначали для маленьких детей. Он был написан
в качестве учебника для гимназий и, не будучи свободен от не-
достатков, «удовлетворительно осуществлял цель авторов и был
удобен в преподавании, которое велось согласно с официальными
программами, принятыми в большей части наших общеобразо-
вательных учебных заведений» [251, с. 552]. Не внеся в учебники
арифметики ничего принципиально нового по сравнению с кни-
гами Ф. И. Буссе, учебник Малинина и Буренина существенно
облегчил работу учителя математики.
Как бы там ни было, «после учебников арифметики Ф.И.
Буссе в средней и низшей школе России на десятки лет получили
господство» учебники А. Ф. Малинина и К. П. Буренина» [104,
с. 391].
436 IL XIX — начало XX в
«Сборник арифметических задач» В. А. Евтушев-
ского. Мы уже характеризовали методические взгляды Евту-
шевского. Практическим воплощением их и был опубликованный
в 1871г. «Сборник арифметических задач». Он был также ито-
гом многолетнего личного опыта автора и результатом изучения
методов преподавания элементарной математики в нашей стране
и за границей.
В предисловиях к частям «Сборника» Евтушевский подроб-
но характеризует содержание каждой из них и те особенности,
которые отличают задачник от аналогичных книг.
Одной из отличительных особенностей является располо-
жение задач, которое строго следует той методической схеме,
изложенной в его «Методике арифметики». Первые 10 отделов
содержали устные задачи с числами от 1 до 100. Следующие
три отдела были посвящены задачам на составные именованные
числа в пределах первой сотни, XIV и XV отделы — задачам на
составные именованные числа любой величины.
Вторая часть сборника содержала задачи на дроби и вклю-
чала в себя 5 основных отделов: 1) элементарный курс дробей,
2) систематический курс дробей, 3) десятичные дроби, 4) про-
порции и задачи «на правила», 5) упражнения для вычисления
с отвлеченными числами.
В обеих частях сборника содержалось 1 894 задачи и свыше
200 упражнений для вычисления.
В 1871г. Евтушевский представил «Сборник арифметичес-
ких задач» на рассмотрение Ученого комитета министерства на-
родного просвещения, который по предложению П. Л. Чебышева
не одобрил его в качестве руководства для употребления в гим-
назиях. Причины этого заключались в том, что предложенная
в нем методика не соответствовала принятой у нас в то время
системе обучения арифметике. Чебышев считал, что сам по се-
бе сборник задач Евтушевского не представляет ценности для
учителя без книги, в которой была бы изложена соответствую-
щая методика*: «При тех особенностях, которые замечаются в
«Сборнике задач» Евтушевского, такая книга крайне необходи-
ма; только при пособии ее можно надеяться, что наши учителя,
привыкшие к общепринятой у нас системе преподавания ариф-
метики, будут в состоянии извлечь надлежащую пользу. Но до
тех пор, пока эта книга не будет издана автором, нельзя вводить
* «Методика арифметики» Евтушевского опубликована годом поз-
же сборника задач.
3, II половина XIX — начало XX в.4$7
в употребление его сборник задач, составленный, по-видимому,
для преподавания арифметики по системе, существенно отлич-
ной от той, по которой составлены учебники, принятые в ру-
ководство в наших училищах»*. В отзыве указано также, что
задачи в сборнике расположены строго по величине чисел, но не
всегда учитывается их сложность.
Несмотря на неблагоприятный официальный отзыв, «Сбор-
ник арифметических задач» Евтушевского быстро разошелся,
так что в 1872 г. потребовалось его второе издание. Это во мно-
гом объясняется нехваткой учебных книг по арифметике в связи
с открытием в это время большого числа начальных школ.
«Сборник арифметических задач» Евтушевского переизда-
вался каждый год, иногда приходилось выпускать даже два
издания в год. Первая часть сборника под названием «Целые
числа» вышла в начале XX в. 65-м изданием. Вторая его часть
выдержала 22 издания.
Учебники арифметики конца XIX — начала XX в.
Характеризуя методические идеи А. И. Гольденберга, мы уже
говорили о его сборниках задач. По его примеру практичес-
ки все авторы книг по методике арифметики, вышедших в 80-
90-х гг. XIX в., как мы уже упоминали, сопровождали свои кни-
ги выпуском задачников. Так, Ф. И. Егоров опубликовал «Ариф-
метику и сборник арифметических задач» (1887), К. П. Аржени-
ков является автором «Сборника арифметических задач и приме-
ров для начальных училищ» (1898), который выдержал десятки
изданий и выходил с изменениями до 1917 г., В. К. Беллюстин
создал «Арифметический задачник» I, II, III и IV годов обуче-
ния, составленный на основе программы министерства народно-
го просвещения 1899 г. и выдержавший около десяти изданий.
В основу всех этих задачников была положена идея изучения
четырех арифметических действий.
Видное место среди методистов, развивавших идею изуче-
ния четырех арифметических действий, занимал С. И. Шохор-
Троцкий, автор «Сборника упражнений по арифметике для
учащихся в народной школе» (в трех частях, первое издание
— 1888 г.), выдержавшего 12 изданий. Им опубликован также
«Арифметический задачник» — отдельные варианты для учи-
теля и ученика.
* Цит. по: [251, с. 596].
438 II. XIX — начало XX в
В 1888 г. выходит «Краткое руководство арифметики, объ-
единенной с методикой и систематическим сборником типичес-
ких задач для гимназии» Н. А. Шапошникова в нескольких час-
тях: I — арифметика целых чисел, II — арифметика дробных
чисел, III — общие способы решения арифметических задач.
Особенно интересна эта последняя часть.
«Систематический курс арифметики для средних
учебных заведений^ А. П. Киселева. Наконец, в 1884 г. вы-
ходит в свет первый учебник Андрея Петровича Киселева —
учебник арифметики под названием «Систематический курс
арифметики для средних учебных заведений».
В предисловии к этому учебнику автор, как считает
В.Е. Прудников [248, с. 18], без достаточных на то оснований
говорит об отсутствии в русской учебно-математической ли-
тературе учебника арифметики, который можно было бы «ре-
комендовать как ученикам младших, так и ученикам старших
классов; каждое руководство или слишком трудно и не ясно для
учеников младших классов, или не отвечает требованиям науч-
ной точности и строгости, и потому не годится для учеников
старших классов». Киселев в качестве одной из целей создания
этого учебника ц ставит цель написания «такого учебника ариф-
метики, который бы одинаково годился как для младших, так и
старших классов». Для ее достижения автор пользуется двумя
шрифтами: обыкновенным изложено то, что, как считает автор,
доступно ученикам младших классов, мелким — то, что служи-
ло дополнением к курсу младших классов и должно изучаться в
старших классах.
Книга была разослана по редакциям разных журналов для
отзыва и сдана на комиссию в несколько столичных книжных
магазинов. Через некоторое время получены очень хорошие от-
зывы из различных мест (см., например, рецензию С. И. Шохор-
Троцкого в журнале «Семья и школа» или В. П. Ермакова в
журнале «Элементарная математика»). Второе издание «Сис-
тематического курса арифметики» было одобрено Ученым ко-
митетом министерства народного просвещения в качестве руко-
водства для гимназий.
Тиражи этого учебника впечатляют: до принятия этой кни-
ги в качестве стабильного учебника арифметики в 1938 г. общий
тираж 36 изданий составил 1 800 000 экземпляров. В качестве
стабильного учебника он практически ежегодно издавался мил-
лионными тиражами.
3. II половина XIX — начало XX в.4$ 9
А. П. Киселев в результате кропотливой длительной рабо-
ты по совершенствованию «Систематического курса арифмети-
ки» добивается того, что этот учебник постепенно вытесняет все
другие учебники арифметики.
3.4.2. Учебники геометрии
Ученый комитет министерства народного просвещения в на-
чале 60-х гг. XIX в. рекомендовал оставить прежние руководст-
ва по геометрии, т.е. учебник геометрии Ф.И. Буссе.
Во второй половине XIX в. появляется много новых учебни-
ков геометрии, авторы которых стремились «отойти от евклидо-
ва образца и создать оригинальный отечественный учебник гео-
метрии, лишенный недостатков «Начал» Евклида (как учебника
— Т. П.) и отражающий новейшие педагогические требования и
достижения науки» [194, с. 28].
По количеству и разнообразию учебной литературы по
геометрии период конца XIX — начала XX в. был чрезвы-
чайно богатым. Было издано более 60 учебников. В их чис-
ле учебники, которые пользовались большой популярностью:
М. В. Остроградского, М. Ващенко-Захарченко, А. Ф. Малини-
на, Ф.И. Егорова, А. Н. Глаголева, А. Ю. Давидова, Н.А. Из-
вольского. Особенно популярен был учебник А. П. Киселева, ко-
торый в переработанном виде оставался стабильным учебником
геометрии отечественной школы до второй половины XX в.
В учебниках этого периода более четко осознается логичес-
кая структура курса геометрии — основные неопределяемые по-
нятия и система аксиом. Сложный с педагогической точки зре-
ния вопрос об измерении длины окружности (площади круга)
часто рассматривается с привлечением понятия предела пери-
метров (площадей) специальным образом построенных много-
угольников.
Можно указать на следующие основные особенности [194,
с. 29-30] отечественной учебной литературы по геометрии, из-
данной в конце XIX — начале XX в. Первая — авторы наибо-
лее оригинальных учебников геометрии уделяли исключитель-
но большое внимание истории геометрии, которые излагались в
отдельной главе (Ващенко-Захарченко) или рассматривались на
протяжении всего курса в качестве примечаний или приложений
к главам. Вторая — стремление их авторов при соблюдении тре-
бования строгости, сделать изложение школьного курса геомет-
рии более ясным для понимания учащихся. Успешному решению
440 II. XIX — начало XX в
этого вопроса способствовали тщательно подобранные конструк-
тивные и вычислительные задачи, а также задачи прикладного
характера. Третья особенность большинства учебников этого
периода — наличие в них так называемого общего отдела, со-
держащего наиболее интересные обобщающие задачи на вычис-
ление и построение (Давидов, Киселев и др.). Наконец, четвертая
особенность — единство стиля изложения первых разделов пла-
ниметрии и стереометрии без учета возрастных особенностей
учеников. Если при изложении первых разделов планиметрии
значительное место занимают интуиция и апелляция к опыту,
то при изложении стереометрии в большей степени должна пре-
валировать логика.
В 60-70-х гг. XIX в. в связи с появлением новых типов учеб-
ных заведений (двухклассные училища министерства народного
просвещения, городские училища) одной из основных проблем
преподавания геометрии в школе становится проблема изуче-
ния начальной геометрии и введения пропедевтического курса
геометрии в среднюю школу. В связи с этим создано большое
количество учебников по пропедевтическому курсу геометрии.
В 1867 г. вышла в свет «Наглядная геометрия» М. О. Косин-
ского, во введении к которой автор так обосновывает необхо-
димость наглядной геометрии: «Очень полезно приучать ум к
размышлению не только о наглядных предметах, но также о
понятиях и представлениях отвлеченных, но... нельзя давать
их в пищу для ума, еще совершенно неподготовленного к раз-
мышлению. В высшей степени важно сгладить переход от на-
глядного к отвлеченному, сделать его постепенным, начать с
рассуждений, основанных на внешних чувствах, и только мало-
помалу присоединять к ним рассуждения, заставляющие рабо-
тать способности внутренние». В «Наглядной геометрии» Ко-
синского изложение начинается «с протяжений о трех измере-
ниях», на изучении которых вырабатываются основные поня-
тия геометрии. Эта книга начала целую серию учебников для
пропедевтического курса геометрии. Это «Курс элементарной
геометрии» П. П. Фан-дер-Флита, «Краткий курс геометрии»
3. Вулиха, два различных учебника под названием «Нагляд-
ная геометрия» Волкова и Астряба, «Геометрия на задачах»
С. И. Шохор-Троцкого. Можно сказать, что проблема пропедев-
тического курса начальной геометрии в отечественной методике
была в основном решена как на теоретическом уровне, так и на
уровне создания достаточно качественных учебников. В гимна-
3. II половина XIX — начало XX в.___________:_________Ц1
зическом курсе геометрии оставалось еще очень много нерешен-
ных проблем, многие из которых актуальны и поныне.
Дадим краткую характеристику наиболее распространен-
ных учебников геометрии второй половины XIX — начала XX в.
«Руководство начальной геометрии» М. В. Остро-
градского. Это пособие Остроградский создавал для средних
военно-учебных заведений в течение пяти лет, последовательно
выпустив в свет «Руководство начальной геометрии. Курс II об-
щего класса» (СПб., 1855); курс III общего класса (СПб., 1857);
курс IV общего класса (СПб., 1860). Это очень объемный учеб-
ник, включающий в общей сложности в трех курсах 750 страниц.
М. В. Остроградский в изложении геометрии решил отсту-
пить от евклидовых традиций, мотивируя это в предуведомле-
нии следующим образом: «Сочинение это отличается от других
руководств по той же науке развитием основных начал, поряд-
ком теорем и способом доказательств. Автор имеет в виду при-
близить изложение истин начальной геометрии к способам, упо-
требляемым в других частях математики, а потому разместил
предложения в порядке, который ему показался наиболее соот-
ветствующим поставленной цели». Остроградский имел в виду
использование «способа аналитического и без пособия фигур».
Он не распространил этот принцип на изложение всего курса, о
чем он говорит далее в предуведомлении: «Однако же он (автор
— Т. П.) не посмел, в первой попытке, войти в решительное со-
стязание с изложением, которому Евклид представил образец и
которое употребляется более 20 веков. Но если первый опыт бу-
дет одобрен, то в последующих изданиях автор с большею реши-
тельностью введет в начала науки все изменения, необходимые
для совершенного выполнения сейчас указанной мысли».
Количество чертежей в руководстве Остроградского сведено
к минимуму, изложение ведется «гипотетически-дедуктивным
методом, с присущей автору простотой и изяществом рассужде-
ний» [251, с. 596]. Этот метод заключается в том, что у Евклида
ни одна теорема не появлялась раньше той, которая необходи-
ма для ее доказательства, что предопределяло «линейный поря-
док» их расположения. Остроградский попытался заменить эту
достаточно искусственную систему естественной генетической
системой расположения теорем.
Однако отсутствие наглядности и чрезмерный уровень до-
казательности даже очевидных фактов очень загромоздили курс,
серьезно ослабив его доступность для учащихся. Это произошло,
442 IL XIX — начало XX в
по мнению О. И. Сомова, потому, что «Остроградский никогда
сам не преподавал в низших классах и не знал по собственному
опыту, как для начинающего трудно усвоить слишком отвле-
ченные истины и как необходима некоторая наглядность» [288,
с. 24].
Например, рассуждению о том, что такое прямая линия, по-
священы две страницы текста и дано такое определение: «Для
сокращения речи следует дать имя линии, действительной или
воображаемой, которую мы вводим как простейшее из всех про-
тяжений. Мы назовем ее прямою линиею, понимая под этим на-
званием линию, совершенно определяемую условием проходить
через две точки, так что не может быть двух или более прямых,
имеющих общие пределы». После этого следуют обстоятельные
доказательства очевидных свойств прямой линии: «прямая ли-
ния может быть продолжена без конца, по обоим ее направлени-
ям», «две прямые, проведенные на плоскости, имеющие общую
точку, непременно пересекаются в этой точке, т.е. переходят,
каждая, с одной стороны другой линии на сторону противопо-
ложную».
Высокий уровень научности курса Остроградского, преоб-
ладание абстрактного над конкретным, логики над интуици-
ей привели к тому, что «Руководство начальной геометрии»
не пользовалось популярностью в учительских кругах, не бы-
ло включено П. Л. Чебышевым в список учебников, одобренных
Ученым комитетом министерства народного просвещения в ка-
честве руководства для употребления в гимназиях. Книга под-
верглась острой критике в педагогической печати*.
«Элементарная геометрия в объеме гимназического
курса» А. Ю. Давидова. Эта книга пользовалась особой по-
пулярностью и очень широким распространением. Она вышла
в свет в 1864 г. и до 1922 г. выдержала 39 изданий. «Элемен-
тарная геометрия» Давидова была одобрена П. Л. Чебышевым в
качестве руководства по геометрии для гимназий, что, учитывая
чрезвычайную требовательность его к учебным книгам, говорит
о безусловных достоинствах этого учебника.
Как считает А. В. Ланков [149, с. 93], «Элементарная гео-
метрия» Давидова по логической стройности, содержанию и сти-
лю достаточно близка отечественным учебникам геометрии се-
редины XX в. Изложение теории в учебнике ведется «не в логи-
* См. подробнее: [251, с. 583-584].
3, II половина XIX — начало XX в.44$
ческом, а произвольном порядке» [248, с. 15]: I. О прямых линиях
и углах. II. О фигурах вообще. Равенство треугольников. III. О
параллельных линиях. IV. Подобие. V. Об окружности и площа-
ди круга. Пределы.
Крупный и мелкий шрифт Давидов использовал для выделе-
ния обязательного и необязательного материала. Несомненным
достоинством является то, что теоретический курс сопровож-
дается приложениями геометрии к практике. Автор знакомит
учащихся с астролябией, съемкой плана и другими приборами
и приемами измерений на местности. В учебнике геометрии Да-
видова, пожалуй, впервые в отечественной учебной литературе
значительное внимание уделяется задачам. Они разнообразны,
временами довольно трудны. Автор, вопреки сложившейся в то
время практике, не приводит решения ни одной задачи, помещая
в конце учебника лишь указания к их решениям.
В учебнике содержится много исторических сведений, свя-
занных с излагаемым материалом, которые даются либо в самом
тексте, либо в сносках.
Учебник не свободен от недостатков, которые подвергались
критике со стороны современников. Однако были и другие оцен-
ки. Так, В. Я. Буняковский писал автору: «Ваша элементарная
геометрия составляет истинное приобретение нашей учебной ма-
тематической литературы. Ясность, соединенная с сжатостью
изложения, стройный порядок в распределении предметов, пояс-
нительные, так удачно подобранные примеры, — все это вместе
дает Вашей книге большое преимущество перед другими учеб-
никами по геометрии»*. А. Я. Билибин в 1922 г. в предисловии
к последнему изданию «Элементарной геометрии» Давидова пи-
сал: «Чрезвычайно популярная в русской школе, выдержавшая
уже 38 изданий, геометрия Давидова настолько глубоко проду-
мана и богата разнообразием материала, что и теперь может
служить руководством учащейся молодежи, будучи переработа-
на в сторону более строгого изложения, каковое диктуют совре-
менные взгляды науки и педагогики».
«Руководство наглядной геометрии и собрание гео-
метрических задач для уездных и городских училищ»
А. Ф. Малинина. Это пособие впервые издано в 1873 г., в
1893 г. вышло в свет его 9-е издание. Оно относится к руковод-
ствам по пропедевтическому курсу геометрии, разработанным в
* Цит. по: [251, с. 535].
444 !!• XIX — начало XX в
соответствии с принципами наглядной геометрии, поэтому щед-
ро иллюстрировано чертежами: не только отдельные теоремы,
но и части наиболее сложных теорем и даже некоторые задачи
сопровождаются подробными чертежами. Доказательства тео-
рем и заменяющие их объяснения вполне доступны для учеников.
Они в большинстве случаев наглядны. Всюду, где можно, приве-
дены практические примеры, иллюстрирующие геометрические
понятия и представления. Кроме планиметрии, которая состав-
ляет большую часть книги, дается пропедевтика стереометрии:
изучаются основные факты геометрии в пространстве.
Специальное внимание в учебнике уделено измерениям на
местности — съемке планов, нивелированию, используемым для
этого приборам. В учебнике большое количество контрольных
вопросов, специально подобранных задач и упражнений, система
которых была достаточно удачна.
«Руководство наглядной геометрии» часто критиковалось
в педагогической печати преимущественно за отсутствие долж-
ной строгости изложения. Надо отдавать отчет в том, что эта
книга была предназначена для начального наглядного обучения
геометрии в младших классах и вполне удовлетворяла потреб-
ности детей этого возраста в уровне строгости доказательств
и определений. А. Ф. Малинин относился к критике вполне кон-
структивно: он признавал слабые стороны своих учебников, в
частности этого, и систематически работал над их совершенст-
вованием при многочисленных последующих переизданиях.
«Геометрия на задачах» С. И. Шохор-Троцкого. Эта
книга вышла в свет в 1908 г. Она является попыткой построения
пропедевтического курса геометрии, как выражается автор, «на
методических упражнениях и геометрическом черчении». Она
представлена в двух вариантах: а) для учителя, являющаяся
практической методикой (два издания); б) для учащихся, являю-
щаяся учебным пособием, в котором теория дана в единстве с за-
дачником (два выпуска). Методической основой «Геометрии на
задачах» является разработанная Шохор-Троцким ранее «мето-
да целесообразных задач». Этот метод рекомендует от подобран-
ных задач идти к обобщениям в определениях и теоремах, чтобы
ученикам стало понятным «зачем и почему» [6, с. 86]. В «Геомет-
рии на задачах» очень удачен подбор упражнений по черчению
и геометрических задач, большое внимание уделяется правилам
построения чертежей и т. п. Имеются и задачи, связанные с из-
мерениями на местности.
3. II половина XIX — начало XX в.44$
Пропедевтический курс геометрии в интерпретации Шохор-
Троцкого не был воспринят учительством. Впрочем, А. В. Лан-
ков считает, что не были восприняты школой и все другие опы-
ты построения подобных подготовительных курсов геометрии
[149, с. 70]. Он полагает, что виной этому является тот факт,
что недостатками «чертежного» направления многие считали
его односторонность, преобладание плоскостных образов, искус-
ственное отделение их от пространственных образов, игнориро-
вание функциональной зависимости.
«Элементарная геометрия» А. П. Киселева. Этот уче-
бник вышел в свет в 1892 г. и имел фантастическую популяр-
ность: он постепенно вытеснил все другие учебники геометрии,
а в 1938 г., как и учебники А. П. Киселева по арифметике и ал-
гебре, после переработки был принят в качестве стабильного для
советской средней школы, уйдя с авансцены истории отечествен-
ного математического образования лишь в 60-х гг. XX в.
3.4.3. Учебники алгебры
В области преподавания арифметики Россия в XIX в. созда-
ла свою оригинальную методическую школу, во многом опере-
див западноевропейскую. Отечественная методика геометрии во
многом основана на трудах С. Е. Гурьева еще в начале XX в., во
второй его половине в методике геометрии определились значи-
тельные сдвиги, практически заложены ее основы. Алгебра как
дисциплина более абстрактная оказалась в сильной зависимос-
ти от формально-схоластических тенденций, которые вслед за
Западной Европой проникли и в Россию.
Движение за реформу программ и методов преподавания ал-
гебры началось в 60-е гг. XIX в. в связи с демократизацией об-
щества, усиления его влияния на педагогику и школу. Вопрос
об упрощении систематического курса алгебры, создании пропе-
девтического ее курса был одним из основных вопросов реформы
алгебры.
На постановку и уровень преподавания математики в сред-
них учебных заведениях второй половины XIX в. значитель-
ное влияние оказал П.Л. Чебышев. Начав в 1856 г. свою де-
ятельность в качестве члена Ученого комитета при минис-
терстве народного просвещения, он в число руководств, кото-
рые «представляют собой достаточные средства для препода-
вания в гимназиях математики» включил учебники алгебры
А. Н. Тихомандрицкого и О. М. Сомова.
446 II. XIX — начало XX в
«Начальная алгебра» А. Н. Тихомандрицкого. Учеб-
ник алгебры профессора Киевского университета А. Н. Тихоман-
дрицкого вышел в свет в 1853 г., выдержал два переиздания
(1855, 1860). Автор — ученик М. В. Остроградского — частич-
но осуществлял в своем учебнике методические идеи своего учи-
теля. Он попытался отойти от «формально-схоластических тен-
денций в преподавании алгебры, характерных для того времени,
и приблизить это преподавание к науке и жизни» [54, с. 7].
В 1854 г. в некоторых учебных округах была сделана по-
пытка заменить «Алгебру» П.Н. Погорельского учебником Ти-
хомандрицкого, в начале 60-х гг. он употреблялся во всех семи
учебных округах России в силу того, что по полноте содержания
и системе изложения материала «Начальная алгебра» привлека-
ла внимание многих преподавателей математики того времени.
Предмет математики автор определяет, как «верное и после-
довательное (систематическое — Т. П.) изложение знаний, при-
обретаемых нами о взаимной зависимости величин, и тех истин,
на которых основываются самые способы их измерения» [297,
с. 8], выделяя затем начальную алгебру как часть математики,
занимающуюся исследованием простейших случаев взаимной за-
висимости величин.
Положительные и отрицательные числа вводятся как способ
выражения изменений (увеличения или уменьшения) величин.
Рассматривается также изменение результатов арифметических
действий в зависимости от изменения их компонентов.
В главе об уравнениях А. Н. Тихомандрицкий вводит снача-
ла понятие о функции. Начав с конкретных примеров изменения
числового значения данного алгебраического выражения в зави-
симости от изменения входящих в него букв, он дает следующее
определение функции, специально выделенное в тексте: «Выра-
жения, изменяющие численное свое значение вместе с изменени-
ем значения переменных, в них входящих, называются функци-
ями этих переменных» [297, с. 139].
Для введения понятия уравнения автором ставится задача
нахождения таких чисел, при подстановке которых вместо пере-
менных данная функция обращается в нуль, показывается, что
«для этой цели приравнивают функцию нулю... И такое равен-
ство называется уравнением». После этого автор обобщает поня-
тие уравнения следующим образом: «Обыкновенно уравнением
называется равенство двух алгебраических выражений, состав-
ленных из известных и неизвестных».
3. II половина XIX — начало XX в.^7
Подчеркнув, что решение различных задач практики приво-
дит к решению уравнений, Тихомандрицкий говорит о том, что
основная трудность решения таких задач состоит в составлении
уравнения и приводит примеры 15 конкретных задач, которые
решаются с помощью составленных уравнений. Таким образом,
Тихомандрицкий вводит достаточно научную трактовку поня-
тий уравнения и функции.
Практика показала, что учебник начальной алгебры Ти-
хомандрицкого, несмотря на его несомненные достоинства, не
вполне подходит для гимназий. Во-первых, многие статьи ока-
зались «трудными для понимания учеников младших и сред-
них классов, а некоторые просто недоступными» [248, с. 12]. На-
пример, извлечение корней из числа рассматривалось как част-
ный случай извлечения корней из многочленов, которое, в свою
очередь, основывалось на биноме Ньютона, изучавшемся поз-
же. Во-вторых, расположение материала не было согласовано с
официальной программой по математике для гимназий 1852 г.
В-третьих, был плохо изложен раздел о логарифмах, мало вни-
мания обращалось на употребление их при вычислениях, в то
время как таблицы логарифмов являлись основным средством
вычислений.
«Начальные основания алгебры» Н. Т. Щеглова.
Этот учебник алгебры был сравнительно близок по своим науч-
ным и методическим достоинствам к учебнику Тихомандрицко-
го. Издан он тоже в Петербурге в 1853 г. Это был учебник «повы-
шенного типа», в котором изложена теория уравнений высших
степеней, много внимания уделяется численному решению урав-
нений методами Ньютона и др. Более того, в учебнике Щеглова
излагались даже элементы теории вероятностей. Одним из пер-
вых Щеглов ввел в курс алгебры теорию соединений.
Изложение материала в учебнике было, несмотря на доста-
точный уровень научности, ясным и доступным. К сожалению, в
нем отсутствовали задачи и упражнения. Не был им предложен и
сборник задач к своему курсу. Благодаря своим положительным
качествам учебник Щеглова был одобрен Ученым комитетом в
качестве пособия для гимназических библиотек.
«Начальная алгебра» О. И. Сомова. Профессор Петер-
бургского университета Осип Иванович Сомов издал свой учеб-
ник алгебры в 1860 г. Подготовлен был этот учебник для воспи-
танников Морского кадетского корпуса и, по отзывам его препо-
давателей, соответствовал возрасту учащихся и потребностям
448 IL XIX — начало XX в
их развития. В 1862 г. вышло второе издание этого учебника,
приспособленное к нуждам гимназического математического об-
разования. Оно отличалось несколько иным расположением ма-
териала и добавлением разделов о непрерывных дробях и опре-
делителях.
В 1875 г. вышло четвертое издание «Начальной алгебры»
Сомова. 16 глав учебника составляли обычный для того вре-
мени гимназический курс алгебры, 13 дополнительных пара-
графов включали те вопросы, которые в него не входили —
освобождение уравнений от радикалов, извлечение квадратных
корней из многочленов и др. Дополнительные параграфы были
весьма полезны для тех, кто готовился поступать на физико-
математические факультеты университетов.
Предмет алгебры Сомов видел в «составлении формул и раз-
ных в них упрощениях», но формуле давал очень узкое толкова-
ние. Прекрасно были изложены в этом курсе свойства квадрат-
ного трехчлена в связи с определением экстремумов функций.
Изложение материала в учебнике алгебры Сомова отлича-
ется сжатостью и систематичностью. Простота изложения со-
четалась с необходимым уровнем строгости. По уровню слож-
ности учебник соответствовал возрасту учащихся. Как считает
В.Е. Прудников, недочеты этого учебника не носят принципи-
ального характера [251, с. 454]. К их числу он относит следую-
щие: узкое определение таких понятий, как формула, алгебраи-
ческое выражение; неточности в изложении теории извлечения
корней; неполное изложение теории соединений с повторениями
(изложена только теория перестановок с повторениями), кото-
рая в то время входила в программу дополнительного класса
реальных училищ.
Несмотря на эти недостатки «Начальная алгебра» О. И. Со-
мова принадлежит к числу лучших учебников алгебры. Она
применялась в большинстве учебных округов (в пяти из се-
ми) в качестве руководства по алгебре для гимназий. Учебник
имел хорошие отзывы в педагогической периодике. Так, препо-
даватель одной из московских гимназий В. Преображенский в
журнале «Учебно-воспитательная библиотека» (т.1, 1876) так
характеризовал учебник Сомова: «Учебник принадлежит к чис-
лу лучших, благодаря сжатому и систематическому изложению;
если и встречаются отступления от этих качеств, то их немно-
го: дополнительные же статьи представляют весьма полезные
прибавления...»
3. II половина XIX — начало XX в.449
«Курс начальной алгебры» и «Собрание алгебраи-
ческих задач» К. Д. Краевича. Обстоятельный учебник ал-
гебры опубликован Краевичем в 1865 г. Содержание этой книги
значительно шире ее названия. В ней кроме вопросов, относив-
шихся собственно к элементарной алгебре, рассматривались не-
которые вопросы арифметики, требовавшие алгебраических об-
оснований, а также материал, относившийся к высшей матема-
тике, но примыкавший к элементарной алгебре, — элементы те-
ории рядов, способ неопределенных коэффициентов и др. Целая
глава была посвящена теории вероятностей. Все это существен-
но увеличило объем учебника и не могло не сказаться на его
качестве.
У учебника алгебры Краевича много достоинств. Это и пол-
нота содержания, систематичность изложения, упрощенные по
сравнению с имевшимися курсами доказательства теорем, сжа-
тость, точность языка. Автор разделил курс начальной алгебры
на две части: первая содержала материал до пропорций и про-
грессий включительно и имела «характер упражнений в алгеб-
раических действиях для приобретения навыков в выкладках»
[251, с. 571]; вторая начиналась с исследования уравнений и рас-
сматривала «общие и отвлеченные свойства величин», требо-
вавших «значительного напряжения ума». Таким образом, Кра-
евич отделял прикладную часть алгебры от теоретической, чему
в школьной практике того времени внимания не уделялось.
Учебник алгебры Краевича в рукописи рецензировался
по поручению Ученого комитета министерства просвещения
П.Л. Чебышевым. Он отметил, что такого рода расширенный
курс в принципе полезен, но ввиду ограниченности времени и
невозможности расширения курса без ущерба для других пред-
метов такое расширение не может быть выполнено на должном
уровне. Он привел достаточно убедительные примеры того, ка-
кие «чувствительные недостатки произошли в ней (книге —
Т. П.) от желания вместить в малый объем то, что для полно-
го и отчетливого изложения требует много места. В результате
Чебышев не нашел возможным рекомендовать «Курс начальной
алгебры» Краевича как руководство для гимназий. Он не вклю-
чил его даже в качестве пособия для гимназических библиотек.
В педагогической печати появились и весьма сочувствен-
ные рецензии на учебник Краевича. В частности, в журнале
«Учитель» (1865, №5) была опубликована рецензия В. Воленса,
в которой тот рекомендует «Курс начальной алгебры» не только
450 II. XIX — начало XX в
для гимназий, но и для взрослых, желающих изучить алгебру.
Широкого распространения все же он не получил, употреблял-
ся только в одном из семи учебных округов и даже не во всех
гимназиях этого округа.
«Собрание алгебраических задач» того же автора (СПб.,
1864) — это один из первых отечественных задачников по ал-
гебре. П.Л. Чебышев одобрил его в качестве руководства для
гимназий и включил в каталог учебной литературы по мате-
матике 1867 г. Он содержал 1 756 упражнений и задач, соответ-
ствовавших основным разделам «Курса начальной алгебры», и
служил дополнением к нему. По образцу задачника Краевича
были опубликованы известные задачники по алгебре: «Собрание
алгебраических задач» Е. Пржевальского и «Сборник примеров
и задач, относящихся к курсу алгебры» Ф. Бычкова.
«Начальная алгебра» А. Ю. Давидова. Этот учебник
опубликован в 1866 г. и переиздавался 24 раза вплоть до 1922 г.
Многочисленным переизданиям немало способствовало, видимо,
и хорошо известное математическому сообществу имя Давидо-
ва, профессора Московского университета и первого президента
Московского математического общества. Учебник производит
впечатление капитального труда [295, с. 349] по элементарной
алгебре. Впрочем, его содержание выходит за рамки обычно-
го курса элементарной алгебры. Так, в нем изложено решение
в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней; в связи с решени-
ем системы уравнений 1-й степени со многими неизвестными
вводятся определители и анализируются их основные свойства,
при изложении логарифмов предлагается специальная глава о
бесконечных рядах, даны некоторые признаки их сходимости.
Материал гимназического курса изложен весьма полно и
подробно. Так, приложению свойств квадратного трехчлена к
разысканию наибольших и наименьших значений посвящено 8
страниц компактной печати. Относительным (положительным
и отрицательным) числам посвящается начало второй главы,
автор долго и тщательно работает над понятием отрицатель-
ного числа, показывая их противоположность числам положи-
тельным. Специальная глава посвящена непрерывным дробям,
в отдельной главе рассматриваются неравенства.
После каждой главы приводятся упражнения и задачи (от
30 до 100), в конце книги даны ответы к ним. Задачи подобра-
ны достаточно удачно: они интересны и важны для усвоения
изученного и пригодны для самостоятельного решения.
S. II половина XIX — начало XX в.j51
Автор считал решение задач важным способом закрепления
теории, развития логического мышления и приобретения прак-
тических навыков. Давидов неоднократно возвращался к этим
разделам учебника и перерабатывал их, исключая некоторые
задачи и добавляя новые.
«Начальная алгебра» Давидова удачно напечатана с исполь-
зованием двух шрифтов, хорошо оформлена. Имеются в этой
книге и некоторые недостатки: практически отсутствуют связи
алгебры с другими предметами, прежде всего арифметикой, не
сделан переход от арифметики к алгебре, есть некоторые дефек-
ты в ряде доказательств и в расположении материала. Специа-
листы указывают и на неудачное определение в учебнике пред-
мета алгебры: «Алгебра учит рассуждать о величинах. При этом
она изображает их буквами и означает особыми знаками зави-
симость между ними».
Эти недостатки не представляются существенными. Учеб-
ник Давидова был «несколько удобнее других руководств по эле-
ментарной алгебре, тогда у нас употреблявшихся» [251, с. 536].
Эти преимущества «Начальной алгебры» Давидова дали воз-
можность Ученому комитету по предложению П.Л. Чебышева
одобрить книгу в качестве руководства для гимназий и вклю-
чить в каталог этих руководств в 1867 г.
«Руководство алгебры и собрание арифметических
задач» А. Ф. Малинина и К. П. Буренина. Этот учебник
алгебры издан в Москве в 1875 г. Несмотря на то что, по мне-
нию В. Е. Прудникова [251, с. 552], учебник алгебры пользовался
несколько меньшим успехом, чем учебник арифметики тех же
авторов, он много раз переиздавался.
Как и все учебники этих авторов, «Руководство алгебры»
принадлежало к особенному, по терминологии В. Е. Прудникова,
«малининскому» направлению, которое характеризуется соче-
танием достаточной научной строгости объяснений и дока-
зательств и доступностью, которые обеспечивают понимание
предмета учениками соответствующего возраста. Изложение от-
личается живостью и простотой и сопровождается большим чис-
лом удачно подобранных задач и упражнений, в конце книги да-
ны ответы к ним. Таким образом, учебник алгебры Малинина и
Буренина является также и задачником по алгебре.
Интересно определение алгебры, данное во введении, в ка-
честве «образца исканий определения алгебры такими большими
педагогами-математиками, как авторы рассматриваемой книги»
452 II. XIX — начало XX в
[295, с. 349]. Оно следующее: «Наука, занимающаяся составлени-
ем общих решений различных задач и вообще решением вопро-
сов относительно чисел в общем виде, называется Алгеброю».
Учебник Малинина и Буренина — книга весьма основатель-
ная. Если сравнивать с учебником Давидова, то в ней отсутству-
ют уравнения 3-й и 4-й степеней, определители; непрерывные
дроби располагаются в конце, после бинома Ньютона. Специ-
ально выделены дополнительные к курсу элементарной алгеб-
ры главы — пределы, элементы теории рядов и показательные,
логарифмические и тригонометрические ряды, способ неопреде-
ленных коэффициентов, бином Ньютона при любом показателе
(даже иррациональном). Выводы и доказательства во всех этих
разделах не отличались строгостью.
Несомненным достоинством учебника алгебры Малинина и
Буренина является то большое внимание, которое уделено пере-
ходу от арифметики к алгебре.
По предложению П.Л. Чебышева, «Руководство алгебры и
собрание алгебраических задач» одобрено в качестве руковод-
ства для гимназий. Как считают специалисты, это во многом
обусловлено тем, что расположение материала в учебнике Ма-
линина и Буренина было близко к официальной программе по
математике 1864 г. Это делало его удобным для школьной прак-
тики и удовлетворяло основному требованию Ученого комитета.
«Курс алгебры и собрание алгебраических задач»
Н. А. Шапошникова. Это руководство по алгебре состоит из
двух частей и выходит в свет в 1876-1877 гг. Как считает
В. Е. Прудников [251, с. 556], его автор является последовате-
лем так называемого «малининского» направления в создании
школьных учебников математики, а учебник алгебры, как, впро-
чем, и тригонометрии, явились «преемниками» соответствую-
щих руководств А.Ф. Малинина.
Книга Шапошникова, который издал ее в молодые годы (ч. I
он опубликовал 25-летним преподавателем гимназии), представ-
ляет собой весьма подробный курс элементарной алгебры. В
начале курса автор так определяет его назначение: «Начальная
алгебра имеет целью обобщить как способы для решения ариф-
метических вопросов, так и самые вопросы». При написании
этого алгебраического курса автор, как он сам заявляет в преди-
словии, руководствуется идеей «соединить строго научное изло-
жение с простотой и ясностью, соответствующими начальному
курсу».
3. II половина XIX — начало XX в.^55
Часть I состоит из трех отделений и заканчивается уравне-
ниями 1-й степени. Ч. II состоит из девяти отделений, в которых
изложены следующие вопросы: возведение в степень и извлече-
ние корня, мнимые количества, уравнения 2-й степени, неопре-
деленный анализ, прогрессии, соединения, бином Ньютона, лога-
рифмы, непрерывные дроби. Представлены и бесконечные ряды:
разложение в ряды логарифмов, бином Ньютона для отрицатель-
ных и дробных показателей. Чрезмерное насыщение курса эле-
ментарной алгебры Шапошникова внепрограммным материалом
привело к тому, что учебник не был одобрен Ученым комитетом
в качестве руководства для гимназий.
В 1887 г. выходит написанный Н. А. Шапошниковым и учи-
телем Н. К. Вальцовым «Методически обработанный сборник
алгебраических задач с текстом общих объяснений и разнообраз-
ными практическими указаниями» (ч. I — для 3 и 4-х классов
гимназий). В 1890 г. выходит продолжение сборника (ч. II — для
5-8-х классов гимназий). Этот сборник получил высокую оцен-
ку в педагогической прессе, среди учительства и даже офици-
альную. В 1891г. обе части были одобрены Ученым комитетом.
Более того, они удостоены премии Петра Великого. В этом сбор-
нике задач все упражнения располагались в порядке нарастания
трудностей и содержали два варианта упражнений одинаковой
сложности, один из которых имел решение, указание к решению
или ответ, другой не имел ответа, что предполагало создать у
учеников навыки самоконтроля и самопроверки. Задачник Ша-
пошникова и Вальцова выдержал 24 издания, последнее вышло
в 1917 г. С 1931г. «Сборник алгебраических задач» издается с
изменениями. По мнению И. К. Андронова [6, с. 92], эти измене-
ния только ухудшили систему задач. В таком варианте задачник
Шапошникова и Вальцова издавался до 1948 г., выдержав еще 28
изданий.
«Элементарная алгебра» Н. Н. Маракуева. Первая
часть этого учебника алгебры вышла в Москве в 1886 г., вторая
— там же в 1887 г. Объем достаточно велик — 454 и 506 стра-
ниц соответственно. Учебник алгебры преподавателя математи-
ки Н. Н. Маракуева имеет подзаголовок — «Курс систематичес-
кий в двух частях». По оценке специалистов, это на самом деле
систематический курс, причем, самый полный из отечественных
курсов элементарной алгебры*. Книга Маракуева в течение мно-
* См.: [248, с. 19; 295, с. 351].
454 II- XIX — начало XX в
гих лет служила для преподавателей математики средних школ
своего рода справочником по разнообразным вопросам алгебры.
Автор обосновывает необходимость такого солидного курса ал-
гебры тем, что, с одной стороны, учителю нужно руководство,
стоявшее на уровне представлений того времени о величине и
количестве, с другой стороны, необходимо восполнить те проб-
лемы, которые Маракуев находил в общепринятых тогда кур-
сах алгебры Сомова, Давидова, Малинина и др. При этом автор
имел в виду постановку преподавания алгебры во Франции. По-
этому в курсе элементарной алгебры Маракуева много такого
материала, которого мы не найдем в учебниках алгебры того
времени, в том числе и в наиболее полном из них, каким был
учебник Н. А. Шапошникова. Например, разложение многочле-
нов на множители способом двучленных делителей, соединения
с повторениями, разложение тг в бесконечные ряды.
Содержание курса алгебры Маракуева таково: ч. I состоит
из двух отделов — «Алгебраическое исчисление» (гл. I—XVII);
«Уравнения и неравенства первой степени» (гл. XVIII-XXVII).
Ч. II состоит из четырех разделов — «Уравнения и неравенст-
ва второй и высших степеней» (гл. XXVIII-XLI); «Анализ со-
единений и его приложения» (гл. XLII-XLIII); «Теория рядов
и логарифмов» (гл. XLIV-LI); «Непрерывные дроби» (гл. LII).
Все отделы изложены подробно, многие задачи (в том числе гео-
метрические) разбираются в тексте. В конце каждой главы до-
статочно солидно представлены задачи и упражнения. В книге
есть и недостатки. Так, не всегда тщательны доказательства,
приведенные в тексте исторические сведения грешат обилием
неточностей. Тем не менее, как считает В.Е. Прудников [248,
с. 19], «Элементарная алгебра» обладает многими преимущест-
вами, которые делали это пособие весьма полезным как для
учителей математики, так и наиболее продвинутых учеников.
К ним он относит: 1) подробные объяснения тех начал, на кото-
рых основано решение уравнений, и хорошее изложение теоремы
об умножении уравнения на множитель с неизвестным; 2) ис-
черпывающая полнота материала о неравенствах, достаточное
количество примеров на решение неравенств; 3) тщательность
изложения материала об исследовании уравнений, достаточное
количество разобранных задач на исследование уравнений пер-
вой степени; 4) разнообразие элементарных приемов определения
наибольших и наименьших значений функции с графическими
иллюстрациями и большим числом разобранных примеров.
3. II половина XIX — начало XX в. J^55
«Элементарная алгебра» А. П. Киселева. В 1889 г. вы-
шел в свет учебник Киселева, которому было суждено сменить
«малининское направление» и постепенно вытеснить все другие
учебники алгебры. Это объясняется, как представляется, преж-
де всего тем, что этот учебник наиболее строго выдержан Как
курс именно элементарной алгебры: теория уравнений заканчи-
вается на квадратных уравнениях и приводящихся к ним (би-
квадратных, возвратных); бином Ньютона дается только для
целых положительных показателей; отсутствуют бесконечные
ряды. Кроме того, он более других учебников соответствовал
программам гимназий 1890 г.
Текст учебника делится на основной и дополнительный, к
которому отнесены следующие вопросы: понятия о предмете ал-
гебры и о функции; элементы теории пределов; максимумы и
минимумы некоторых функций; способ неопределенных коэффи-
циентов; комплексные числа, выраженные тригонометрически;
приложения комплексных чисел к решению двучленных уравне-
ний и к делению окружности на равные части.
Рассмотрим подробнее элементы методологии курса алгеб-
ры Киселева. В основном курсе он дает такое представление об
алгебре: «Алгебра прежде всего указывает способы, посредством
которых одно алгебраическое выражение может быть преобра-
зовано в другое, тождественное ему» (2-е издание). Более совре-
менное представление о предмете алгебры обозначено в первой
из дополнительных статей «Понятие о функции и о предмете ал-
гебры». Автор определяет алгебру как «часть математических
наук, которая занимается рассмотрением свойств алгебраичес-
ких функций». Дальше вводится графическое изображение функ-
ции и рассматриваются способы нахождения максимума и мини-
мума некоторых функций, в том числе и дробно-рациональных,
строятся их графики. Само определение функции не вводится,
автор ограничивается графическими представлениями о ней.
Учебник алгебры А. П. Киселева выдержал колоссальное
количество переизданий и в досоветский (30 изданий), и в советс-
кий периоды. По всей видимости, это во многом объясняется тем,
что автор был оперативен во внесении существенных изменений
как в методику изложения материала, так и в концепцию учеб-
ника. Так, уже в 5-м издании автору пришлось сделать дополне-
ния — ввести неравенства 2-й степени, нахождение наибольшего
и наименьшего значений трехчлена 2-й степени и др. Особенно
существенные изменения внесены в начале XX в. в 23-е изда-
456 II. XIX — начало XX в
ние. Киселев в том или ином виде включает в учебник алгебры
такие современные идеи, как идея переменной величины, поня-
тие функции, графический метод изображения функциональной
зависимости. Так, дано новое изложение главы об отрицатель-
ных и положительных числах на основе индуктивного метода,
введено понятие функции, понятие о несоизмеримых отрезках
трактуется независимо от понятия предела.
«Курс алгебры для средних учебных заведений» и
другие учебные книги по алгебре К. Ф. Лебединцева.
В 1909-1910 гг. вышел в свет новый по содержанию, системе
и методу изложения учебник алгебры К. Ф. Лебединцева. Основ-
ное отличие этого учебника от ранее изданных учебников алгеб-
ры заключается в том, что в нем осуществлялось параллельное
развитие двух основных идей — понятия о числе и понятия о
функциональной зависимости. В предисловии к учебнику гово-
рилось: «Автор придерживается убеждения, что основные по-
ложения так называемой высшей математики должны быть су-
щественной и неотъемлемой частью общего образования, приоб-
ретаемого в школе. Для него представляется несомненным, что
понятие о функции и идея функциональной зависимости, в связи
с графическим способом изображения функции, являются могу-
щественным орудием познания, без которого не может теперь
обходиться химик или физиолог и которое оказывает сущест-
венную пользу также и психологу, и экономисту».
Глава «Функции первого порядка и их наглядное изображе-
ние» следует сразу же после уравнений и неравенств 1-й степени.
За квадратными уравнениями располагается глава «Функции
второго порядка и их наглядное изображение». Наряду с этим
дается логически обоснованная теория иррациональных чисел.
Учение о логарифмах излагается на основе исследования пока-
зательной и логарифмической функций.
Большим достижением этого учебника перед методикой ма-
тематики является и то, что в нем на основе критики господст-
вовавшего тогда абстрактно-дедуктивного метода преподавания
алгебры* практически впервые «был развит новый метод изло-
* Эта критика особенно ярко прослеживается в докладе К. Ф. Ле-
бединцева в Московском математическом кружке под председатель-
ством Б. К. Млодзеевского, сделанном на одном из заседаний 1910 г.
и напечатанном в одном из номеров «Педагогического сборника» за
этот же год.
3. II половина XIX — начало XX в.4 57
жения курса алгебры — конкретно-индуктивный (этим терми-
ном автор тогда еще не пользовался)» [156, с. 59]. Как мы уже
говорили, этот метод под названием «метода целесообразных за-
дач» одновременно разрабатывался и С. И. Шохор-Троцким.
В 1910 г. вышла первая часть «Систематического сборника
задач и других упражнений по курсу алгебры» К. Ф. Лебедин-
цева, в котором значительно обновлены алгебраические задачи
в части тождественных преобразований и — особенно — в час-
ти задач на составление уравнений и неравенств. В нем впервые
подобраны задачи на раскрытие свойств алгебраических функ-
ций и их графических изображений. В 1914 г. вышло продол-
жение этой книги — вторая часть, содержание которой также
существенно обновлено по сравнению с ранее изданными задач-
никами по алгебре. В нем также меньше искусственных задач,
отсутствуют громоздкие упражнения и задачи. Элементы ис-
следования вводятся сразу же при решении задач с помощью
составления уравнений 1-й степени. Характерная особенность
— ответов к задачам не дано, так как автор считал, что на-
до приучать учеников к самоконтролю и самопроверке.
Позже (1911) появились его учебник «Основы алгебры для
учебных заведений с практическим курсом алгебры», в кото-
ром весь материал изложен конкретно-индуктивно, и задачник
«Краткий алгебраический задачник для учебных заведений с
практическим курсом алгебры». Эти учебные книги предназна-
чались для неполной средней школы.
Увлекшись популярной в то время концепцией концентри-
ческого изучения математики, К. Ф. Лебединцев выпускает курс
алгебры «Концентрическое руководство алгебры для средних
учебных заведений» (1914), в котором первый концентр охва-
тывает учение об уравнениях 1-й и 2-й степени с необходимы-
ми сведениями из алгебраических преобразований и об отрица-
тельных и иррациональных числах. Этот концентр построен на
конкретно-индуктивном методе изложения. Во второй концентр
входит теория решения уравнений и неравенств, основанная на
учении о равносильности, а также развитие понятия числа и ос-
новы учения о пределах. Во втором концентре основной метод
изложений — абстрактно-дедуктивный.
Учебные руководства по алгебре К. Ф. Лебединцева поль-
зовались большим спросом, поэтому в 1916 г. «Курс алгебры»
выходит уже 4-м изданием, «Концентрическое руководство ал-
гебры» — 2-м изданием, «Основы алгебры» — 3-м изданием.
458 II. XIX — начало XX в
3.4.4. Учебники тригонометрии
В середине XIX в. возникает потребность в построении но-
вого курса тригонометрии под влиянием прежде всего запросов
военно-учебных заведений (кадетских корпусов), учащиеся кото-
рых должны были как можно раньше научиться применять три-
гонометрию к решению практических задач, связанных с воен-
ным делом. Поэтому инициативу в изменении преподавания три-
гонометрии в отечественном математическом образовании берет
на себя Главное управление военно-учебных заведений при ак-
тивном участии знаменитого академика М. В. Остроградского,
занимавшего в это время должность главного наблюдателя
за преподаванием математики в военно-учебных заведениях. В
1848 г. была издана новая программа по математике для кадет-
ских корпусов, которая следующим образом определяла основ-
ные положения преподавания тригонометрии: тригонометричес-
кие величины определяются как отношения сторон прямоуголь-
ного треугольника, затем следует вывод формул для решения
треугольников, как прямоугольных, так и косоугольных, после
этого выводятся формулы тригонометрических величин суммы
и разности двух углов и др., наконец, тригонометрические вели-
чины углов, превышающих прямой угол.
В соответствие с этой программой М. В. Остроградский на-
писал «Программу и конспект тригонометрии для руководства
военно-учебных заведений». Ф. И. Симашко в духе программы
и сочинения Остроградского, а также руководствуясь «преиму-
щественно личными указаниями нашего знаменитого академи-
ка М. В. Остроградского», написал и опубликовал (1852) новый
учебник тригонометрии. Этот учебник нашел широкое распро-
странение не только в учебных заведениях военного ведомства,
но и в других типах средних учебных заведений России, как и
учебник тригонометрии А. Ф. Малинина «Руководство прямоли-
нейной тригонометрии», опубликованный в 1867 г.
Можно указать еще несколько хороших учебников тригоно-
метрии, вышедших в 80-90-х гг. XIX в., авторы которых (Прже-
вальский [244], Веребрюсов [58], Воинов [68] и др.) вносили в свои
учебные книги не очень существенные изменения по сравнению
с учебниками Симашко и Малинина. К. А. Торопов [299] впер-
вые делает попытку создать общий метод решения треугольни-
ков, «исходя из ряда равных отношений (теорема синусов)» [149,
с. 117]. Очень широкое распространение получила «Прямолиней-
ная тригонометрия» Н. Рыбкина.
3. II половина XIX — начало XX в.459
В конце XIX и в начале XX в. появляются многочисленные
учебники тригонометрии, в которых принята новая концепция
изложения этого предмета. В соответствии с этой концепцией
усилена теория, в основу которой положено представление о три-
гонометрических величинах как функциях. Среди авторов этих
учебников нет, как считает В. Г. Чичигин [326, с. 14], полного со-
гласия в следующих принципиальных положениях: 1) чему надо
отдать предпочтение — решению треугольников (прямолиней-
ной тригонометрии) или изучению тригонометрических функ-
ций (гониометрии); 2) в каком порядке изучать эти два главных
раздела тригонометрии. В соответствии с этим выбором учебни-
ки тригонометрии этого периода можно условно разбить на две
группы.
К первой группе относятся учебники, в которых изложение
начинается с решения треугольников. Это учебники В. Гебеля
[78], Н. Билибина [24], Слетова [283] и др. Так как в програм-
мы по математике этого периода не входил предварительный
курс тригонометрии прямоугольного треугольника, можно ска-
зать, что учебники этой группы были построены более рацио-
нально с методической точки зрения. Они ставили сначала отно-
сительно знакомую и вполне понятную ученикам задачу решения
треугольников (прямоугольных, потом косоугольных), для чего
вводились тригонометрические величины углов сначала от 0 до
90°, потом от 0 до 180°. После этого расширялась область из-
менения аргумента-угла и ставилась новая задача — изучение
тригонометрических функций. Таким образом, эти учебники ре-
ально осуществляли внутрипредметные связи математики, что
является, по мнению В. Г. Чичигина [326, с. 16], несомненным их
достоинством. Они в той или иной мере связывали тригономет-
рию с предшествующим курсом геометрии (решение треуголь-
ников), а потом вводили учащихся в новый курс гониометрии,
который по своим методам достаточно близко примыкает к кур-
су алгебры (тождественные преобразования, функции).
Авторы учебников второй группы Н. Рыбкин [268], Н. Ша-
пошников [327], Ф. Симашко [277] и др. сразу начинали курс
гониометрии, т. е. сразу вводили тригонометрические величины
углов, устанавливали зависимости между ними и формулирова-
ли правила тождественных преобразований. Только после этого
вводился курс решения треугольников. Таким образом, учащи-
еся сразу вводились в совершенно новый круг идей и методов
«без всякой связи с курсом геометрии и без видимой связи с кур-
460 IL XIX — начало XX в
сом алгебры» [326, с. 16]. Это приводило к тому, что ученики
формально выводили и запоминали огромное количество фор-
мул без применения их вне курса тригонометрии, что создавало
существенные затруднения в его изучении.
В 1906 г. изменена программа курса тригонометрии в ре-
альных училищах, в которую введено концентрическое изучение
тригонометрии*. В связи с этим появляется ряд новых учебников
тригонометрии. В них не только реализована идея концентричес-
кого изучения тригонометрии, но осуществлен и ряд новых идей
в изложении самого курса**. Дается исторический очерк разви-
тия идей тригонометрии. В связи с введением пропедевтического
курса пересматривается вопрос об определениях тригонометри-
ческих функций: на пропедевтическом этапе вводятся определе-
ния синуса, косинуса и тангенса как отношения сторон прямо-
угольного треугольника; при переходе к решению косоугольных
треугольников эти определения обобщаются с помощью проек-
ций (В. Мрочек и др.). Большое внимание уделяется приложени-
ям решений треугольников при съемке планов, измерении высот,
триангуляции (В. Мрочек, Н. Билибин и др.).
В процессе систематического изучения тригонометрии (го-
ниометрические функции) вводится понятие о векторах, широко
используются графики тригонометрических функций, подробно
рассматривается вопрос о вычислении приближенных значений
функций, о составлении тригонометрических таблиц. В некото-
рых учебниках не менее подробно изучаются обратные тригоно-
метрические функции. Существенно улучшается изучение три-
гонометрических уравнений за счет введения теории их решений,
совершенствования задач, широкого использования приложений.
В 1907 г. в учебнике Д. Ройтмана «Курс элементарной гео-
метрии со включением начал тригонометрии, изложенной по
измененной системе» предложена новая оригинальная система
изложения тригонометрии. Суть ее заключается в том, что три-
гонометрические величины связываются с геометрической темой
* Мрочек В. «Прямолинейная тригонометрия» (1908); Шиловс-
кий В. «Курс прямолинейной тригонометрии, приспособленный к пер-
вому ознакомлению с этим предметом» (1909); Билибин Н. «Курс
тригонометрии» (1909); Шифф В. «Прямолинейная тригонометрия»,
изд. 2 (1910); Курилко П. «Сборник задач по элементарному курсу
гониометрии и тригонометрии» (Одесса, 1914) и др.
** См.: [149, с. 119].
3. II половина XIX — начало XX в.J61
«Подобие фигур». С помощью подобия вводятся понятия синуса,
косинуса и тангенса острого угла, используя которые решаются
прямоугольные треугольники. Этот подход не только обеспечи-
вает пропедевтику систематического курса тригонометрии, но и
облегчает и обобщает многие теоремы геометрии (формула для
вычисления квадрата стороны треугольника, пропорциональные
отрезки в треугольнике и круге и др.), упрощает решение мно-
гих задач. Кроме того, Ройтман предлагает ввести в курс гео-
метрии некоторые понятия и теоремы сферической гониометрии,
которые необходимы для сознательного восприятия учащимися
математической географии и астрономии.
Концепция Ройтмана не нашла официальной поддержки. В
«Журнале министерства народного просвещения» (апрель 1908)
была опубликована рецензия, в которой она была названа «не-
нужным новшеством, крайне неумелым и беспомощным». Иначе
обстояло дело в методическом сообществе. Идея пропедевтичес-
кого курса, связанного с геометрией, нашла методическое вопло-
щение в нескольких вскоре вышедших в свет учебниках. Но наи-
более удачным оказалась реализация этой идеи у самого Ройтма-
на. История показала, что по этому пути пошло развитие препо-
давания тригонометрии не только в России (в советский период),
но и во многих странах Запада.
Перейдем к более подробной характеристике учебных книг
по тригонометрии второй половины XIX — начала XX в.
«Программа и конспект тригонометрии для руко-
водства военно-учебных заведений» М. В. Остроград-
ского. Это сочинение Остроградского опубликовано в Петер-
бурге в 1851 г. и на многие годы предопределило изучение три-
гонометрии не только в военно-учебных заведениях, но во всех
типах школ.
Во введении Остроградский разъясняет необходимость из-
учения тригонометрии и определяет ее предмет: «Предмет три-
гонометрии состоит в решении треугольников, т. е. в разыскании
неизвестных его частей по данной стороне и двум другим час-
тям». Основная идея, заложенная в программу, — «устранить
из курса все «тренировочно-математическое», подчинить отбор
материала главной цели — ознакомлению с тригонометрически-
ми величинами» [184, с. 15-16]. Именно поэтому основную часть
содержания курса тригонометрии автор видит в решении пря-
моугольных треугольников, «предпосылая им определение три-
гонометрических линий как отношение сторон этих треуголь-
462 II. XIX — начало XX в
ников (причем длина гипотенузы принимается за единицу) и
специально построенные таблицы» [251, с. 279].
За решением прямоугольных треугольников следует реше-
ние косоугольных, основанное на теореме синусов. Она выводит-
ся из рассмотрения диаметра круга, описанного около треуголь-
ника. Формулы тангенса половинного угла, суммы и разности
синусов, синуса суммы и разности остроумно выводятся с помо-
щью специальным образом построенного треугольника.
Что касается приложений тригонометрии к военному делу
(артиллерии, фортификации, топографии и др.), даются толь-
ко общие указания, разработка этих вопросов предоставляется
авторам руководств по тригонометрии и непосредственно препо-
давателям математики.
Курс тригонометрии М. В. Остроградского выгодно отлича-
ется от многих других, по мнению И. А. Марона и И. Б. Погре-
бысского [172, с. 17], компактностью, цельностью и ясностью из-
ложения материала, а также остроумием доказательств
«Тригонометрия» Ф. И. Симашко. На основании кон-
спекта М. В. Остроградского преподаватель математики Пав-
ловского кадетского корпуса Франц Иванович Симашко разра-
ботал и опубликовал свой учебник тригонометрии (СПб., 1852).
В предисловии автор писал: «В предлагаемом руководстве к три-
гонометрии по указанию академика М. В. Остроградского, опре-
деления тригонометрических величин выведены из рассмотре-
ния прямоугольных треугольников, независимо от круга». Да-
лее дается несколько узкое, но ясное определение предмета три-
гонометрии: «Предмет тригонометрии состоит в решении тре-
угольников»*. Ограничив таким образом предмет тригономет-
рии, автор вообще не рассматривает секанс и косеканс, а все
остальные тригонометрические линии выводит из прямоуголь-
ного треугольника.
Как считает В. Е. Прудников [251, с. 582], достоинствами
учебника тригонометрии Симашко являются четкая авторская
позиция, небольшой объем, а также ясность и четкость изло-
жения. Из недостатков можно отметить отсутствие в учебнике
радианного измерения углов, величина их выражается только в
градусах, минутах и секундах.
* Видимо, понимая недостаток такого определения предмета три-
гонометрии, Симашко во 2-м издании «Тригонометрии» (1857) не-
сколько его расширил, добавив слово «преимущественно».
3. II половина XIX — начало XX в.^63
Вышедшее в 1857 г. почти не измененное 2-е издание учеб-
ника тригонометрии Ф. И. Симашко было одобрено Ученым ко-
митетом министерства народного просвещения в качестве руко-
водства для гимназий и в течение многих лет являлось одним из
лучших учебников тригонометрии отечественной школы.
В 1886 г. вышло 3-е, практически новое издание «Тригоно-
метрии» Симашко, которое состоит из пяти отделов: 1. Предмет
тригонометрии; определив тригонометрических величин; из-
менение тригонометрических величин при изменении углов от
О до 360°; тригонометрические величины отрицательных углов;
приведение тригонометрических величин к первой четверти; за-
висимость между тригонометрическими величинами одного и
того же угла. 2. Зависимость между тригонометрическими ве-
личинами различных углов; приведение формул к виду, удобно-
му для логарифмирования. 3. Тригонометрические таблицы. 4.
Зависимость между сторонами и углами треугольников; реше-
ние прямоугольных и косоугольных треугольников; измерение
площадей. 5. Приложения решения треугольников к решению
практических задач. Это издание не потеряло преимуществ двух
первых: оно компактно и в то же время подробно, изложение ясно
и общедоступно. Удачны иллюстрации с чертежами, помещен-
ными в самом тексте, и тщательно разобранными примерами
решения задач и упражнений.
Учебник тригонометрии Ф. И. Симашко продержался почти
50 лет (6-е издание его состоялось в 1907г.). Но за свою долгую
жизнь он пережил значительную эволюцию в зависимости от
требований, которые предъявлялись к школе вообще и к курсу
тригонометрии в частности.
«Руководство к прямолинейной тригонометрии»
А. Ф. Малинина. Публикацией этого руководства в 1862 г.
Малинин начал свою учебно-литературную деятельность.
Содержание этого руководства таково: «Предисловие. Вве-
дение. I. Тригонометрические величины и их взаимное отноше-
ние. II. Изменение тригонометрических величин при изменении
дуги от 0 до 360° и далее. III. Тригонометрические величины
суммы и разности дуг, кратных и дробных дуг. IV. Приведе-
ние формул к виду, удобному для логарифмических вычислений.
V. Вычисление тригонометрических величин какой-нибудь ду-
ги. Расположение и употребление тригонометрических таблиц.
VI. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
VII. Решение треугольников. VIII. Разные задачи.
464 II- XIX — начало XX в
Как и другие учебники Малинина, учебник тригонометрии
написан ясно и доходчиво — это осознанная позиция автора. В
предисловии он пишет: «Я старался сделать изложение по воз-
можности простым и понятным для учащихся и потому избегал
неясных определений и выбирал такие доказательства и объяс-
нения, которые приводят к цели скорее и проще». Так, Мали-
нин совершенно определенно и четко решает одну из важнейших
проблем курса — проблему определения тригонометрических ве-
личин: «В некоторых курсах, — пишет он, — различаются три-
гонометрические величины угла и дуги; по моему мнению, это
только спутывает понятия ученика, и потому я определил три-
гонометрические величины как длины известных линий в круге
при радиусе, равном единице».
Учебник тригонометрии Малинина отличается прекрасным
подбором задач, над которыми автор работал практически к
каждому новому изданию: начиная с 4-го издания (1868) число
задач в каждом последующем издании значительно увеличива-
лось. Так, в 7-м издании (1875) их 420, почти втрое больше, чем
в 1-м издании.
Содержание «Руководства к прямолинейной тригономет-
рии» Малинина полностью соответствовало программе по ма-
тематике. Во многом поэтому оно в 1867 г. по предложению
П. Л. Чебышева было одобрено Ученым комитетом министерст-
ва народного просвещения в качестве руководства для гимназий.
В отзыве Чебышев так характеризует учебник тригонометрии
Малинина: «По рассмотрении этого сочинения я нашел, что оно
отличается и полнотою содержания, и ясностью изложения, а
вместе с тем составляет курс тригонометрии объема весьма не-
значительного. По соединении таких достоинств сочинение г-на
Малинина представляет очень хорошее руководство для препо-
давания тригонометрии, а потому я нахожу нужным... предло-
жить этот курс тригонометрии для употребления руководством
в гимназиях всех округов». Мы уже говорили об очень строгом
отношении Чебышева к рецензируемым учебникам, поэтому его
высокую оценку книги Малинина можно считать объективной.
«Руководство к прямолинейной тригонометрии» А. Ф. Ма-
линина пользовалась большой популярностью среди учителей. В
1886 г. оно вышло 11-м изданием и разошлось в количестве 14 000
экземпляров, в 1909 г. вышло 19-е издание этого замечательного
учебника.
3. II половина XIX — начало XX в.^65
«Курс прямолинейной тригонометрии и собрание
тригонометрических задач» Н. Шапошникова. Этот учеб-
ник опубликован в 1880 г. В нем осуществлен функциональный
подход к изучению тригонометрии: курс начинается с понятия
функции, затем в нем изложено учение о тригонометрических
функциях. В учебном пособии прекрасно подобраны задачи и
упражнения.
Курс тригонометрии Шапошникова был одобрен Ученым ко-
митетом министерства народного просвещения в качестве учеб-
ного руководства для гимназий. В 1890 г. выходит с небольшими
изменениями 3-е издание учебника тригонометрии Шапошнико-
ва, который удостоен высшей награды — премии Петра Вели-
кого. В дальнейшем вышло еще 20 изданий учебника, из них
последнее, 23-е, — в 1918 г.
Шапошников, имея сложившуюся оригинальную систему
взглядов на преподавание математики, постоянно совершенст-
вует свои учебники. В 1904 г. он выпускает «Новый курс ал-
гебраической прямолинейной тригонометрии», построенный на
векторной основе и комплексных числах. Эта книга не получи-
ла широкого распространения, сам автор в предисловии пишет,
что она является учебным руководством для более или менее
отдаленного будущего.
Учебники тригонометрии Н. Рыбкина. Первое, очень
сжатое (51 с.), издание учебника тригонометрии Рыбкина вышло
в 1888 г. под названием «Конспект прямолинейной тригономет-
рии». В нем отсутствует термин «функция», тригонометричес-
кие функции называются «тригонометрическими числами» уг-
лов (или дуг), «как отвлеченные числа (положительные или от-
рицательные), выражающие направление и относительную дли-
ну тригонометрических линий».
В предисловии автор писал: «Если конспект (напечатанный
в небольшом количестве экземпляров) окажется пригодным, то
второе издание будет снабжено задачами и приведено к типу
конспективного учебника». Книга получила одобрение педаго-
гической общественности, и в 1894 г. вышло новое ее издание
под заглавием «Прямолинейная тригонометрия». Она состояла
из двух выпусков: первый содержал гимназический курс триго-
нометрии, второй — дополнение для реальных училищ.
Учебник тригонометрии Рыбкина, как считает А. В. Ланков
[149, с. 117], был «типичным формалистическим учебником»,
обладавшим следующими недостатками: отсутствовала пропе-
466 II. XIX — начало XX в
девтика, функции определялись через «тригонометрические ли-
нии», недостаточны приложения, решение треугольников пре-
обладало над учением о функциях [127, с. 554]. Тем не менее
«Прямолинейная тригонометрия» Рыбкина не .только получи-
ла наибольшее распространение в конце XIX — начале XX в.,
но и после переработки долгое время была стабильным учебни-
ком тригонометрии в советский период развития отечественного
школьного математического образования.
3.4.5. Классический комплект
учебников математики для гимназий
Во второй половине XIX — начале XX в. в связи с достаточ-
но быстрым развитием сети начальных и средних школ в России
появилось значительное количество разнообразных учебных по-
собий по школьным математическим дисциплинам отечествен-
ных авторов. К концу XIX в. в результате конкуренции сфор-
мировался комплект учебников, которые мы называем учебни-
ками, соответствующими российской модели классической сис-
темы школьного математического образования*. Они соответ-
ствовали программам по математике для начальной и средней
школы конца XIX в.
Для начальной школы. Книги В. А. Евтушевского «Сбо-
рник арифметических задач» в двух частях (выдержал около по-
лусотни изданий) и «Методика арифметики» (выдержала около
20 изданий); А. И. Гольденберга «Сборник задач и примеров» и
«Методика начальной арифметики» (выдержала 25 изданий).
В основу методики Евтушевского положено монографичес-
кое изучение чисел, в то время как методические принципы книг
Гольденберга — изучение четырех арифметических действий
над числами. Последователями Гольденберга были Ф. И. Егоров,
К. П. Аржеников и В. К. Беллюстин, книги которых для началь-
ного изучения арифметики также входят в комплект классичес-
ких учебных пособий по математике. Это «Арифметика и сбор-
ник арифметических задач» и «Методика арифметики» (выдер-
жала шесть изданий) Егорова, «Сборник арифметических задач
и примеров для начальных училищ» (выдержал десятки изда-
ний, выходил с изменениями и после 1917г.), а также «Уроки на-
чальной арифметики», позднее названные «Методикой началь-
ной арифметики» (последнее издание вышло в 1935 г.), «Ариф-
метический задачник» I-IV годов обучения (выдержал около 10
* См. также: [6, с. 8-10].
3. II половина XIX — начало XX в. ^61
изданий) и «Методика арифметики» (переиздававшаяся много
раз вплоть до 1919 г.) В. К. Беллюстина.
Развивал методику изучения действий и С. И. Шохор-Троц-
кий, в основу книг которого был положен разработанный им
метод целесообразных задач. Он является автором «Сборника
упражнений по арифметике для учащихся в народной школе» в
трех частях (выдержал 12 изданий) и «Методики арифметики»
(около 1Q изданий), которые также входят в комплект класси-
ческих учебных пособий по математике для начальной школы.
Для средней школы. Из многих десятков печатных учеб-
ных пособий наибольшее распространение с середины XIX в. по-
лучили следующие учебники, согласованные с программами по
математике 1890 г. и относящиеся нами к классическим учебным
пособиям по математике.
По арифметике — это книги А. Ф. Малинина и К. П. Буре-
нина «Руководство арифметики для гимназий» (издававшееся с
некоторыми изменениями 40 раз) и «Собрание арифметических
задач» (выдержало 41 издание); А. П. Киселева «Систематичес-
кий курс арифметики» (30 изданий).
По алгебре — «Элементарная алгебра» А. П. Киселева (вы-
держала 33 издания); «Методически обработанный сборник
алгебраических задач с текстом общих объяснений и разно-
образными практическими указаниями» Н. А. Шапошникова и
Н. К. Вальцова (издавался с изменениями до 1960 г., выдер-
жал более 100 изданий); «Пятизначные таблицы логарифмов»
Е.М. Пржевальского, выходившие с 1861 по 1923 г. (свыше 50
изданий), которые вытеснили из школы громоздкие семизнач-
ные таблицы логарифмов.
По геометрии — «Элементарная геометрия» А. П. Киселева
с набором задач на построение; «Сборник геометрических за-
дач на вычисление» в двух частях Н. А. Рыбкина. Эти учебные
книги по геометрии переиздавались с изменениями до 60-х гг.
XX в.
По тригонометрии — «Учебник прямолинейной тригономет-
рии ДЛ5> средних учебных заведений» и «Сборник тригономет-
рических задач для средних учебных заведений» Н. А. Рыбкина,
впервые изданные в середине 90-х гг. XIX в., позже объединены
в одну книгу «Учебник прямолинейной тригонометрии и собра-
ние задач».
Математическое
в России
в лицах:
XVIn ~ начало XX века
О^рггввг
пвербока, с осшж воорув-
ЖЖТ —BiyiPMUfCl.
Квадмппгям фуяжяо
Ш ав MB* X. Жм X « Т\1В1*—М —
Обжат
обметь
точке (••>). W • • -ft.
у т . Ветвя варебожы
Поим темям фуягцее
У«< (OO.ojM). Об-
Пересекает ос» Оу * точке
у ш 1, ось Ов ве вересека»
ет. Фукккжк возрастает жа
чкж*А жркьюб в ску-
чав о > 1 ж убывает в случае
Обметь оярсйеаевяж: « > О,
обметь жвмемяжя: у — жю-
4 • Пересекает ось Ов в точке в » 1,
вересекает. Фужкуш возрастает «в
Феофан Прокопович
(1681-1736)
Выдающийся деятель просвещения и культуры России и
Украины: философ, богослов, естествоиспытатель, математик,
педагог, оратор, писатель, государственный деятель, высший
церковный иерарх.
Родился в Киеве, семнадцати лет от роду с успехом окон-
чил курс наук в Киево-Могилянской академии, после чего уехал
учиться за границу. Блестяще окончил Владимиро-Волынскую
коллегию (в то время находившуюся на территории Польши)
и был отправлен в Рим, в коллегию св. Афанасия. Благодаря
своим выдающимся способностям Феофан Прокопович сразу же
выделился из среды воспитанников и получил возможность ра-
ботать в Ватиканской библиотеке, брать частные уроки у на-
чальника коллегии. В Риме Феофан Прокопович пополнил свои
знания истории и классической литературы, основательно из-
учил математику и естественные науки.
С 1705 г. — профессор Киевской академии (с 1707 — пре-
фект, с 1711 — ректор), где преподавал риторику, поэтику. В
1707-1708 гг. Феофан Прокопович прочел двухгодичный курс
философии, введя в него целые разделы физики, арифметики и
геометрии в университетском объеме того времени. С 1716 г. —
ближайший соратник Петра I, его «ученой дружины»*, почти
неотлучно находившийся при нем практически до самой смерти
Петра. По его поручению разработал «Духовный регламент».
Феофан Прокопович на собственные средства учредил од-
ну из первых в России светских частных общеобразователь-
ных школ, в которой основным предметом была математика.
* Кроме Ф. Прокоповича в нее входили такие выдающиеся про-
светители, как В. Н. Татищев — организатор уральской горной про-
мышленности, администратор и дипломат, сделавший очень многое
для изучения истории и географии России, и А.Д. Кантемир, знаме-
нитый своими сатирами, распространявшимися в списках. Первая,
наиболее прославившая его сатира «К уму своему» (1729) сопровож-
далась красноречивым подзаголовком — «На хулящих учение» (см.
подробнее: [125, с. 41]).
В 1725 г. принимал участие в организации С.-Петербургской
Академии наук. Образованнейший человек своего времени (в его
личной библиотеке насчитывалось до 30 000 томов), он поддер-
живал тесные связи с передовыми людьми России, в частнос-
ти с М. В. Ломоносовым. Математические курсы, прочитанные
Ф. Прокоповичем, были первыми в России научными курсами,
стоявшими на уровне западноевропейских как по своему мате-
матическому содержанию, так и по педагогическим и методи-
ческим достоинствам.
Феофан Прокопович пропагандировал новейшие достижения
естественных наук, в том числе впервые в России выступал как
поборник учения Коперника (в курсе богословия). Поклонник и
почитатель Бекона и Декарта, он резко осуждал преследова-
ния со стороны церкви, которым подвергался Галилей. Буду-
чи одним из высших церковных иерархов (епископ Псковский с
1718, архиепископ Новгородский с 1724, вице-президент Синода
с 1721), тем не менее выступал против слепой веры, в которой
строго преследовалось всякое проявление свободной мысли.
Оставил большое литературное наследие на русском, поль-
ском и латинском языках — речи, трактаты, стихи, драмы. Из
него выделяется книга «Краткая история о делах Петра Вели-
кого», в которой Феофан Прокопович показал величие России в
прошлом и настоящем. Математический трактат охарактеризо-
ван нами ранее.
Оказал значительное влияние на постановку математичес-
кого образования, в частности, в Киевской академии. Курс мате-
матики в ней после Феофана Прокоповича включал арифметику,
теоретическую и практическую геометрию, «арифметическую
астрономию», тригонометрию, астрологию и астрономию. Этот
курс не уступал университетским курсам математики Западной
Европы.
472_________________________________________________
Андрей Данилович Фарварсон
(1675-1739)
Андрей Данилович Фарварсон (Henry или Harry Farguhar-
son), уроженец Милна близ Эбердина. В 1691-1695 гг. обучался
в Маришал-колледже Эбердинского университета, затем препо-
давал в нем математику.
В 1698 г., во время пребывания в Англии, Петр I познако-
мился каким-то образом с Фарварсоном и пригласил его с собой
в Россию для преподавания математики и морских наук.
Вскоре после его приезда (1701) в Москве была основана и
начала работу «математических и навигацких, т. е. мореходно-
хитростных наук школа». Во главе этой школы был постав-
лен А.Д. Фарварсон, которому принадлежит почетное место в
истории российского математического просвещения. Фарварсон
участвовал в разработке программ математико-навигацкой шко-
лы, ввел в них арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию
плоскую и сферическую. Он читал в этой школе навигацию, аст-
рономию и некоторые разделы математики (по всей видимости,
геометрию и тригонометрию).
Фарварсон внес значительный вклад в разработку учебной
литературы. Он участвовал в издании нескольких переводов. В
частности, под редакцией Фарварсона были предприняты пере-
вод и издание нескольких книг «Начал» Евклида в переработке
А. Такэ (адаптированное для юношества изложение I-VI и XI-
XII книг «Начал» с присоединением извлечений из сочинений
Архимеда «Об измерении круга» и «О шаре и цилиндре»). Прак-
тически это первый русский печатный теоретический курс гео-
метрии: «Эвклидовы элементы из двенадцати невтоновых книг
выбранные и в осмь книг чрез профессора математики Андрея
Фарварсона сокращенные, с латинского на российский язык хи-
рургиусом Иваном Сатаровым преложенные» (СПб., 1739). Эта
книга сохранилась в русской математической литературе под со-
кращенным названием «Элементы». Возможно, она предназна-
чалась для учащихся Морской академии, в типографии которой
печаталась.
______________________________________________________.473
Фарварсон написал несколько руководств, из которых изда-
на была лишь «Книжица о сочинении и описании сектора. Скал
плоской и гунтерской со употреблением оных инструментов в ре-
шении различных математических проблем» (СПб., 1739). Под
сектором здесь понимается пропорциональный циркуль, гунтер-
ская скала — логарифмическая линейка, которую ввел в начале
XVII в. Э. Гунтер. Таким образом, в книге Фарварсона изложе-
но построение и применение натуральных и логарифмических
шкал чисел и тригонометрических величин, а также сектора.
Затем он решает задачи на отыскание неизвестного члена про-
порции, деления отрезка на данное число частей, построение эл-
липса по заданным осям, решение прямоугольных треугольни-
ков и т. п. Совершенно неизвестна судьба упоминаемого в этой
книге его учебника тригонометрии. Неизвестно даже, был ли он
опубликован. Сохранились сведения, что Фарварсон принимал
участие в издании «Таблиц логарифмов, синусов, тангенсов и
секансов» и «Таблиц горизонтальных северные и южные широ-
ты восхождения солнца».
В 1715 г. на базе Математико-навигацкой школы была соз-
дана и переведена в Петербург Морская академия, в которую
Фарварсон был также переведен в 1716 г. профессором. Заслуги
его в подготовке моряков неоспоримы и значительны. В 1737 г. по
представлении Адмиралтейств-коллегии ему был присвоен чин
бригадира*, «понеже через него первое обучение математике в
России введено, и едва ли не все при флоте ее императорско-
го величества российские подданные от высших до низших к
мореплаванию в навигацких науках обучены».
Фарварсон был довольно тесно связан в своей деятельности
и с учрежденной в 1725 г. по указу Петра I, но после его смерти,
Академией наук.
*
* Чин бригадира — промежуточный между полковником и гене-
рал-майором и позднее упраздненный.
474-------------------------------------------------
Леонтий Филиппович Магницкий
(1669-1739)
Леонтий Филиппович Магницкий — выдающийся русский
педагог-математик первой половины XVIII в., сыгравший значи-
тельную роль в создании русской математической литературы.
Он первым в России избрал математику своей специальностью
и был автором первого печатного математического учебника в
нашей стране.
Сведения о жизни и деятельности Магницкого очень скуд-
ны, большая часть из них до сих пор не подтверждена докумен-
тально. Предположительно Магницкий был сыном крестьянина
Осташковской слободы Тверской губернии «по прозванию Теля-
тина».
«Петр I имел случай узнать сего достойного мужа, явил ему
много милостей: пожаловал деревнями в Владимирской и Там-
бовской губерниях и приказал ему выстроить дом на Лубянке.
Государь, беседуя с ним многократно о математически^-науках,
был так восхищен глубокими познаниями его в оных, ч^о назы-
вал его магнитом и приказал писаться Магницким»*. Подтверж-
дением того, что именно Петр I дал ему фамилию Магницкий,
является эпитафия на могильной плите.
Магницкий являлся одним из высокообразованных людей
своего времени: он знал латинский, греческий, голландский и
итальянский языки, математику, церковную литературу, пиити-
ку и риторику. Однако до сих пор ничего достоверно не известно
о том, получил ли Магницкий сколько-нибудь систематическое
образование или был в полном смысле самородком и самоучкой.
Есть предположения, что он учился в Московской славяно-греко-
латинской академии**. Однако в числе ее учеников за первые
15 лет существования ни фамилии Магницкого, ни фамилии Те-
лятина не значится. В предисловии к своей «Арифметике» он
заявляет:
* Верх В. Н. Жизнеописание Л. Ф. Магницкого // Записки адми-
ралтейского департамента. СПб., 1825.
** Смирнов С. История Московской славяно-греко-латинской ака-
демии. М., 1855.
_____________________________________________________^75
И мню за яко то имать быть,
Что сам себе всяк может учить.
Сохранилась выдержка из одного архивного документа, ха-
рактеризующая Магницкого в юношеские годы: «В младых ле-
тах неславный и недостаточный человек.. .он прославился толь-
ко тем, что сам научившись чтению и письму, был страстный
охотник.. .разбирать мудреное и трудное». На надгробной пли-
те Л.Ф. Магницкого находим такие слова: «Он научился нау-
кам дивным и неудобовероятным способом». Все это позволяет
предположить, что своим незаурядным познаниям он обязан не
столько школе, сколько природному дарованию.
Учителем математики созданной в 1701г. Математико-
навигацкой школы был назначен англичанин Фарварсон. По-
мощником его в 1702г. был определен Л.Ф. Магницкий, извест-
ный руководству как лучший математик Москвы. Тогда же бы-
ли отпущены средства на составление и печатание учебника
Магницкого по математике.
В течение короткого времени Магницкий создал свою знаме-
нитую «Арифметику», которая сразу же стала основным учеб-
ником математико-навигацкой школы по всем математическим
дисциплинам и в течение всей первой половины XVIII в. оста-
валась практически единственной фундаментальной математи-
ческой книгой.
В Математико-навигацкой школе Л. Ф. Магницкий обучал
арифметике, геометрии и тригонометрии. Вначале преподавал
также и навигацию. Преподавательские обязанности Магниц-
кий исполнял с присущей ему добросовестностью. С момента
открытия Морской академии Математико-навигацкая школа не-
сколько изменила свой характер: в ней стали учить только мате-
матике — арифметике, геометрии и тригонометрии. Магницкий
стал старшим учителем Математико-навигацкой школы и за-
ведующим ее учебной частью, а с 1732 г. ему поручили также
заведование ее распорядительно-хозяйственной частью.
Начиная с 1714 г. на него были возложены обязанности на-
бора учителей «из незнатных пород» для учрежденных тогда по
всей России цифирных школ. Сохранилось донесение 1716 г., в
котором Магницкий сообщает, что он подобрал из своей школы
только 6 человек и что «больше из таких незнатных пород до-
стойных не явилось» [13]. Таким образом, он сыграл значитель-
ную роль и в деле организации массового обучения математике
в цифирных школах.
476 III. Математическое образование в лицах
Роль Магницкого в подготовке математически образован-
ных людей в России трудно переоценить. Приведем свидетельст-
во сына одного из его учеников, впоследствии адмирала Василия
Яковлевича Чичагова: «Один из учителей, Магницкий, слыл за
великого математика... Он издал даже печатанное славянским
шрифтом сочинение в лист, бывшее у меня в руках, в котором
заключались арифметика, геометрия, тригонометрия и начатки
алгебры. Впоследствии эту книгу признавали за образец уче-
ности. Тут-то отец мой почерпнул свои познания»*. До послед-
них дней своей жизни Л. Ф. Магницкий руководил московской
Математико-навигацкой школой.
Однако он не ограничивался педагогической работой, ак-
тивно участвовал в общественной деятельности, выполнял от-
дельные поручения царя Петра. Так, Магницкий занимался обу-
стройством Твери, о чем остались свидетельства в истории
Тверского края: «Петр I имел намерение сию крепость (Тверь
— Т. П.) привести в хорошее и оборонительное состояние и для
того в 1707 г. прислан был в Тверь математических и навигац-
ких наук учитель Леонтий Магницкий с планом, который через
наряженных... работников, коих было 4425 человек, в три ме-
сяца вся поправил и наделал больверки»**.
В 1703 г. Магницкий участвовал в организации доставки
войску провианта. В 1733 г. Магницкий управлял московской
академической конторой, доставляя в Коллегию отчеты. Эти
поручения Петра I показывают, что он имел высокое мнение не
только о знаниях Магницкого, но и о его порядочности.
Погребен Магницкий в Москве. На надгробном камне сохра-
нилась эпитафия, сделанная его сыном. Она проливает свет на
личность Леонтия Филипповича Магницкого, поэтому приведем
ее полностью:
«В вечную память христиански, благочестно, це-
ломудренно, благоверно и добродетельно пожившему
Леонтию Филипповичу Магницкому, первому в России
математики учителю, зде погребенному мужу христи-
анства истинного, веры в бога претвердой, надежды на
усмотрению нрава ко всем всеприятнейшего и к себе
* Воспоминания сына В. Я. Чичагова П. В. Чичагова цит. по: [251,
с. 19-20].
** Карманов Д. И. Собрание сочинений, относящихся к истории
Тверского края. Тверь, 1893. Цит. по: [104, с. 361].
Леонтий Филиппович Магницкий^77
влекущего, пожалован, именован прозвищем Магниц-
кий, и учинен российскому бога несомненной, любви к
богу и ближнему нелицемерной, благочестия по законе
ревностного, жития чистого, смирения глубочайшего,
великодушия постоянного, нрава тишайшего, разума
зрелого, обхождения честного, праводушия любителю,
в услугах государям своим и отечеству усерднейше-
му попечителю, подчиненным и отцу любезному, обид
от неприятелей терпеливейшему, ко всем приятнейше-
му и всяких обид, страстей и злых дел всеми сила-
ми чуждающемуся, в наставлении и юных в рассуж-
дении совете друзей искуснейшему, правды как о ду-
ховных, так и гражданских делах опаснейшему храни-
телю, добродетельного жития, истинному подражанию
всех добродетелей собранию, которой путь сего времен-
ного и прискорбного жития начал 1669 года июня 9 дня.
Наукам научился дивным и неудобовероятным спосо-
бом, его величеству Петру Первому великому импера-
тору и самодержцу всероссийскому для остроумия в на-
уках учинился знаем в 1700 году, и от его величества
по благородному юношеству учителем математики, в
котором звании ревностно, верно, честно, всеприлежно
и беспорочно служа четырем самодержцам всероссий-
ским, и, пожив в мире сем 70 лет 4 месяца и 10 дней
1739 года, октября 19 дня 20 по полуночи в 1 часу,
оставя добродетельным своим житием и благочестно
христианскою кончиною по многим и неисчетным мира
сего суетных поторжинях пример оставшим по нем по
шестидневной болезни и по тою благочестно скончался.
Довольно жил себе по заслугам и для памяти вечной,
но ах недовольно
по желанию своих присных и для услуг всего отечества,
но хотя не к тому с нами, но во царствии небесном
бессмертный
Ты же пришедший,
Что ? Ищещи всем. Так жил, ныне же есть прах и пепел.
478 III. Математическое образование в лицах
Научися убо от сего гроба.
Что? Каков ты, таков он был, а в таком он ныне,
таков ты будешь.
И всегда тщися на смерть быти:
Понеже мы подвержены все единой смерти,
невестно, когда та похощет стерти.
Не по должности, надписал горькослезный
Иван, нижайший раб, сын ему любезный»*.
Итак, Леонтий Филиппович Магницкий внес неоценимый
вклад в развитие математического просвещения в России, создав
одну из самых замечательных учебных математических книг
«Арифметика, сиречь наука числительная...», в течение деся-
тилетий обучая математике русских юношей, участвуя в подго-
товке первых учителей математики для массовых школ.
*
* Цит. по: Андронов И. К. Первый учитель математики россий-
ского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в
школе. 1969. №6. С. 77.
Интригующая история, связанная с надгробной плитой Магниц-
кого, описана Андроновым в этой статье. Именно Иван Козьмич
нашел это надгробие и уточнил содержание текста. Первоначально
он нашел упоминание о гробнице Магницкого в книге А. Мартынова
«Русская старина в памятниках церковного и гражданского зодчест-
ва» (М., 1852) в статье «Церковь Гребневской богоматери». Эту древ-
нейшую (XV-XVI вв.) церковь в 1932 г. решено было разобрать в свя-
зи со строительством метро. При этом была обнаружена надгробная
плита Магницкого и его гробница; под головой покойного находилась
стеклянная чернильница, имевшая форму лампадки, и полуистлевшее
гусиное перо.
______________________________________479
1 Яков Вилимович Брюс
(1690-1735)
.Генерал-фельд маршал Я. В. Брюс — ближайший сподвиж-
ник Петра I в деле развития культуры и образования в России,
выросший из «потешных» в крупного государственного деятеля
— сенатора, начальника всей артиллерии, президента Берг- и
Мануфактур-коллегий.
Его отец Билим Брюс в середине XVII в. прибыл из Шот-
ландии в Россию и был назначен командиром одного из полков.
Яков Вилимович получил очень хорошее домашнее образование,
в 1697-1698 г. продолжил его в Англии — занимался математи-
кой и астрономией, изучив их весьма глубоко. Он стал одним
из самых образованных людей своего времени, интересы его бы-
ли многообразны: личная библиотека составляла гигантское для
того времени количество книг — 1 500. Вместе с Фарварсоном в
Сухаревой башне он оборудовал первую в России обсерваторию,
сам изготовил для нее инструменты, организовал астрономичес-
кие наблюдения и составил звездную карту.
Я. В. Брюс был знатоком географии и обладал редкой кол-
лекцией географических карт. С его участием по Европейской
России и Сибири рассылались выпускники Морской академии
— русские геодезисты для производства съемок и составления
ландкарт. Он обладал уникальным этнографическим собрани-
ем, а также большой коллекцией физических приборов. Ему при-
надлежит заслуга пропаганды в России коперниканства и идей
Ньютона.
Велики заслуги Я. В. Брюса в организации издательского
дела в России. Уже в первые годы XVIII в. в Москве наря-
ду с Московским печатным двором — первой русской типогра-
фией, возникшей еще в XVI в., упоминается новая типография,
получившая вскоре название гражданской. Она находилась под
надзором Брюса, а ее первым начальником был «библиотекарь»
В. Д. Киприанов. В этой типографии в 1709 г. начал печататься
первый в России календарь (1709-1715), получиыпий название
Брюсова календаря*.
* [125, с. 22].
480 III. Математическое образование в лицух
Имея обширные математические познания, Брюс участво-
вал в руководстве Математико-навигацкой школы, осуществил
переводы геометрических учебных руководств «Приемы цирку-
ля и линейки» и «Геометрия практика».
Я. В. Брюс завещал Академии наук свою уникальную биб-
лиотеку, а также не менее уникальные коллекции инструментов,
памятников старины, географических карт и прочих редкостей.
481
Христиан Вольф
(1679-1754)
Лристиан Вольф — немецкий математик, философ, физик
и психолог; ученик Лейбница. Член Берлинской, Парижской, Пе-
тербургской академий наук и Лондонского Королевского общест-
ва. Профессор университетов Лейпцига, Галле и Марбурга.
Научные интересы Вольфа многогранны. Он читал лекции
по таким предметам, как логика, математика, физика, механи-
ка, оптика, гидравлика, архитектура, пиротехника; первым ввел
преподавание в немецких университетах философии, основанное
на математике и естествознании.
Издал популярные в свое время учебники для университе-
тов и школы. Наиболее значительный из них — «Основания всех
математических наук» в четырех томах для высшей школы.
Сторонник доказательного изложения математики. Его «Осно-
вания» были первым учебником математики в С.-Петербургской
академической гимназии. Математические работы X. Вольфа в
основном популяризируют и расширяют идеи Лейбница в диффе-
ренциальном и интегральном исчислениях. Так, в «Математи-
ческом словаре» (Лейпциг, 1716) обсуждаются понятия «посто-
янная величина», «переменная величина», характеризуется идея
соответствия между абсциссами и ординатами точек исследуе-
мой кривой. X. Вольф ввел обозначение умножения точкой, де-
ления — двоеточием.
Вольф сыграл большую роль в организации С.-Петербург-
ской Академии наук. В частности, он поддерживал идею об от-
крытии при ней учебных заведений — гимназии и университета.
Неоднократно приглашался на работу в С.-Петербург, содейст-
вовал приезду в открывающуюся Академию наук таких перво-
классных математиков, как братья Николай и Даниил Бернул-
ли, Я. Герман. С другой стороны, принял на себя все хлопоты по
устройству в Марбурге русских студентов, среди которых выде-
лил М. В. Ломоносова. Сохранился такой отзыв Вольфа о нем:
«Молодой человек с прекрасными способностями Михаил Ломо-
носов со времени своего прибытия в Марбург прилежно посещал
мои лекции математики и философии, а преимущественно физи-
ки и с особенной любовью старался приобретать основательные
482 III. Математическое образование в лицах
познания. Нисколько не сомневаюсь, что если он с таким же при-
лежанием будет продолжать свои занятия, то он со временем, по
возвращении в отечество, может принести пользу государству,
чего от души и желаю».
Ломоносов отзывался о Вольфе как своем учителе с боль-
шим уважением, на основе книг и лекций Вольфа он составил
первый учебник на русском языке по экспериментальной физике
«Вольфианская экспериментальная физика».
Таким образом, заслуги X. Вольфа в деле российской науки
и просвещения несомненны.
_________________________________________________483
Леонард Эйлер
(1707-1783)
Великий математик и механик, а также физик, астроном,
теолог, теоретик музыки, естествоиспытатель в том смысле, что
все области естествознания, к которым можно было применить
математические методы, входили в круг его научных интересов.
Член С.-Петербургской, Парижской, Берлинской Академий наук,
Лондонского Королевского общества и многих других академий
наук и научных обществ.
Родился в Базеле в семье пастора, который был учеником
Якова Бернулли и защитил диссертацию по математике. От от-
ца Леонард получил первые сведения по математике. В 1724 г.
окончил Базельский университет, где его учителем был Иоганн
Бернулли.
В 1726 г. Эйлер был приглашен в С.-Петербургскую Акаде-
мию наук и в мае 1727 прибыл в Петербург в качестве адъюнк-
та физиологии, с 1731 г. — профессор физики и теоретической
механики, в 1731-1741 гг. — профессор математики. В 1741г.
переехал в Германию для работы в Берлинской Академии на-
ук, куда его пригласил прусский король Фридрих II. С 1744 г.
— директор Математического класса Берлинской Академии. В
1766 г. навсегда возвратился в Петербург. Вскоре почти полнос-
тью потерял зрение.
Научные интересы Эйлера необозримы. Он внес существен-
ный вклад в такие математические дисциплины, как вариа-
ционное исчисление, интегрирование обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, степенные ряды, специальные функции,
дифференциальная геометрия, теория чисел. Ввел двойные ин-
тегралы, преобразовал тригонометрию, придав ей практически
современный вид, уделял большое внимание прикладным вопро-
сам математики. Эйлер заложил основы математической физи-
ки, механики твердого тела, гидродинамики и гидравлики, во
многом — механики машин. В 1736 г. вышел в свет его трак-
тат по механике, в котором он впервые изложил динамику точ-
ки с помощью математического анализа и ввел понятие силы
инерции. Эйлер опубликовал серию работ по астрономии, сис-
тематически изложил теорию упругих кривых, получил важные
484 III. Математическое образование в лицах
результаты по сопротивлению материалов. Активно занимался
навигацией, баллистикой, диоптрикой. Всемирно знамениты его
«Письма к одной немецкой принцессе» — философское произ-
ведение о физической картине мира. Л. Эйлер создал основные
руководства для университетов по высшей математике «Веде-
ние в исчисление бесконечно малых» (1748), двухтомное «Диф-
ференциальное исчисление» (1755) и трехтомное «Интегральное
исчисление» (1766-1770); написал учебники арифметики и ал-
гебры для гимназии; высказал основополагающие идеи развития
школьного математического образования.
Список трудов Эйлера содержит около 850 наименований, в
их числе ряд многотомных монографий; из них при жизни бы-
ло опубликовано около 550. С 1909 г. и до настоящего времени
в Швейцарии издается полное собрание его сочинений, предва-
рительно рассчитанное на 72 тома. Кроме того, лишь частично
опубликована его научная переписка.
Для России, в которой во времена Эйлера происходило лишь
становление науки, его труды имели особое значение. Трактаты
Эйлера и его учебники значительно повысили уровень матема-
тического просвещения. Большое внимание Эйлер уделял под-
готовке ученых для С.-Петербургской Академии наук. Известна
его активная поддержка М. В. Ломоносова, на диссертацию ко-
торого он дал положительный отзыв. У него не только учились,
но и жили в его доме в Берлине первые русские академики.
Сам Эйлер высоко ценил те условия для работы, которые
создали ему в С.-Петербургской Академии наук. В письме к
Шумахеру от 18 ноября 1749 г., отправленном из Берлина, где
он тогда жил, Эйлер писал: «...я и все остальные, имевшие
счастье некоторое время состоять при русской императорской
Академии, должны признать, что всем, чем являемся, мы обя-
заны благоприятным обстоятельствам, в которых там находи-
лись. Что касается собственно меня лично, то при отсутствии
этой превосходной возможности, я был бы вынужден отдаться
главным образом другим занятиям, в которых, судя по всему,
оказался бы только дилетантом. Когда его корол. величество
[Фридрих II Прусский] недавно спросил меня, где я изучил то,
что знаю, я, согласно истине, отвечал, что всем обязан своему
пребыванию при Академии в Петербурге»*.
Кончина Эйлера была отмечена траурным заседанием кон-
ференции Академии наук. Для увековечения памяти великого
* Цит. по: [339, с. 86].
485
математика в зале заседаний напротив кресла президента бы-
ла поставлена колонна с бюстом Эйлера. Посмертные почести,
оказанные Эйлеру в России, произвели глубокое впечатление на
зарубежных ученых, которое прекрасно выразил Кондорсе в ре-
чи памяти Эйлера во Французской Академии наук: «Итак, на-
род, который мы в начале этого века принимали за варваров, в
настоящем случае подает пример цивилизованной Европе — как
чествовать великих людей при жизни и уважать их память после
смерти; и другим нациям приходится в данном случае краснеть,
что они не только в этом отношении не могли предупредить
Россию, но даже не в состоянии ей подражать»*.
Похоронен Л. Эйлер С.-Петербургском некрополе — Алек-
сандро-Невской лавре, потомки его живут в основном в России.
Без сомнения, имя Леонарда Эйлера является одним из самых
славных в плеяде выдающихся математиков всех времен, его
труды и сейчас продолжают оказывать решающее влияние на
прогресс всей современной математики.
*
* Цит. по: Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Леонард Эйлер //
Историко-математические исследования. М., 1954. Вып. VII. С. 464.
486 III. Математическое образование в лицах
Георг Вольфганг Крафт
(1701-1754)
Немецкий математик и физик. Родился в Титлингане.
Учился в Тюбингенском университете. Иностранный почетный
член Петербургской Академии наук. В числе первых академиков
прибыл в Петербург в конце 1725 г. Вначале состоял адъюнктом,
с 1731 г. — профессором математики, а с 1733 г. — профессором
физики. До 1744 г. работал в С.-Петербургской Академии наук,
впоследствии был профессором Тюбингенского университета.
Вел метеорологические и астрономические наблюдения, ста-
вил физические опыты в лаборатории, которую привел в образ-
цовый порядок. Основные научные работы посвящены гидроди-
намике и физике. Написал ряд учебников по этим дисциплинам.
В «Записках Санкт-Петербургской Академии наук» и «Новых
записках» помещено около 60 работ Крафта, из них треть по
элементарной геометрии, эволютам и каустикам, дружествен-
ным и совершенным числам, интегральному исчислению.
Был преподавателем академической гимназии, в 1738 г. —
ее инспектором. Для академической гимназии написал учебники
географии и механики, а также «Краткое руководство к теорети-
ческой геометрии», вышедшее в русском переводе в 1748 г. Краф-
ту принадлежат большие заслуги в популяризации научных зна-
ний. В первом научно-популярном журнале на русском языке
«Исторические, генеалогические и географические примечания»
(издавались как приложение к газете «Санкт-Петербургские ве-
домости») помещено много блестящих статей Крафта, среди
которых выделяются обзоры истории и современного состоя-
ния трех знаменитых задач древности — о квадратуре круга,
трисекции угла и удвоении куба.
Известен также несколько экзотическими интересами. Им-
ператрица Анна Иоанновна часто обращалась в Академию наук
с вопросами по части астрологии. «Сие дело, — пишет академик
Я. Я. Штелин, — всегда касалось тогдашнего проф. Крафта, ко-
торый по такому случаю на придворный вкус больше принадле-
жал к астрологии и чрез принятыя в ней правила решал удиви-
тельные задачи».
_________________________________________________487
Николай Гаврилович Курганов
(ок. 1726-1796)
Знаменитый русский просветитель, создатель «Письмов-
ника» и «Числовника» — эпохальных книг в истории отечест-
венного образования, приобщивших широкие слои населения
России XVIII в. не только к первоначальной грамотности в об-
ласти грамматики и математики, но и к просвещению вообще.
Как автор учебников по основным предметам преподавания в С.-
Петербургском Морском кадетском корпусе Курганов удостоен
Академией наук звания профессора в 1774 г.
Родился в Москве (по одним сведениям — в 1725, по дру-
гим — в 1726 г.) в семье унтер-офицера. Образование получил
в Московской школе математических и навигацких наук, мате-
матику изучал под руководством Л. Ф. Магницкого. В 1741 г. за
отличные успехи переведен слушателем в Морскую академию,
где также блестяще учился и уже в 1743 г. был назначен в гарде-
маринскую роту преподавателем астрономии, в которой выказал
наибольшие успехи.
С 1744 г. Курганов совмещал обучение в классе «большой
астрономии», специально созданном для подготовки преподава-
телей, с педагогической деятельностью в стенах Морской акаде-
мии. С 1746 по 1752 г. Курганов принимал активное участие в
научных экспедициях Академии наук, организованных для аст-
рономических наблюдений, а также составления подробной кар-
ты Балтийского моря, показав себя настолько эрудированным
и способным исследователем, что Академия наук просила пере-
вести Курганова к себе «на вечно». Морской корпус отказал в
этой просьбе, мотивируя тем, что Курганов «и ему нужен» [59,
с. 141]. В 1752г. Морская академия была преобразована в Мор-
ской шляхетный кадетский корпус. С этого времени Курганов
преподавал в высших классах астрономию, наблюдал за всеми
учителями математики, за пополнением библиотеки и имел в
своем ведении все астрономические приборы.
В 1757 г. вышла в свет «Универсальная арифметика», став-
шая основным учебником математики Морского корпуса в силу
того, что была, как и «Арифметика» Магницкого, практически
энциклопедией элементарной математики того времени. После
488 III. Математическое образование в лицах
основательной переработки этот учебник переиздан под назва-
нием «Числовник». Начиная с 1765 г. Курганов создает серию
учебников для Морского кадетского корпуса: учебник геометрии
«Генеральная геометрия», учебник грамматики, пиитики и ри-
торики «Грамматика российская универсальная», впоследствии
расширенная и названная «Письмовником».
Большим успехом пользовались его переводы зарубежных
учебников, существенно дополненные и адаптированные для
российского юношества: 1) «Элементы геометрии» — переве-
денные с французского языка и адаптированные для школы «На-
чала» Евклида; 2) «Бугерово новое сочинение о навигации» —
переведенное тоже с французского и выдержавшее четыре изда-
ния; 3) переведенные с английского книги Саверьени «О счисле-
нии ходу корабля» и Гариса «О часах для считания времени на
море»; 4) переведенные с французского сочинения «О точности
морского пути» и «Наука морская».
Параллельно Н.Г. Курганов преподавал математику и на-
вигацкие науки, а также астрономию и физику в Морском кадет-
ском корпусе, занимая должность главного инспектора классов;
в 1771 г. ему присвоено звание секунд-майора.
В 1777 г. он издал книгу по военному искусству «О науке
военной». Кроме учебников Курганов подготовил справочное по-
собие «Собрание астрономических таблиц, нужнейших для мо-
реплавания, с присовокуплением разных примечаний», которым
пользовались русские моряки вплоть до середины XIX в. В по-
следние годы жизни Курганов занимался составлением фунда-
ментального курса навигации, дополняя ранее переведенную и
расширенную книгу Бугера по навигации.
________________________________________________489
Семен Кириллович Котельников
(1723-1806)
Русский математик и просветитель, почетный член С.-Пе-
тербургской Академии наук, академик Российской Академии со
времени ее основания (1783).
Родился в С.-Петербурге в семье солдата лейб-гвардии Пре-
ображенского полка, у отца же выучился читать и в 11 лет
поступил в школу, созданную Феофаном Прокоповичем, знаме-
нитым сподвижником Петра!. В 1738г. эта школа перестала
существовать. Часть ее питомцев, в том числе и Котельников,
была направлена в Александро-Невскую семинарию. В 1741 г.
он перешел сначала в академическую гимназию, а через год —
в академический университет.
Будучи уже академиком, М. В. Ломоносов принял живое
участие в судьбе Котельникова: добился разрешения для него
(одного из двух «прямых российских студентов») заниматься
индивидуально у него и у Рихмана в течение 1744-1748 гг. Ко-
тельников проявил столь незаурядные способности, что Рихман
ставил его на первое место среди других студентов: «Котель-
ников в отличие от других студентов... настолько успел, что
приступил уже к изучению высшей математики в ее прикладной
части, т. е. к механике, гидростатике, гидравлике, аэродинами-
ке, проявляет усердие».
По окончании университета (1750) Котельников представил
академической конференции пробную научную работу (аналог
нынешней дипломной) «О спрямлении и квадратуре конхоиды
при помоши касательной», в которой определил величину пло-
щади, заключенной между конхоидой, касательной к ней в ее вер-
шине и радиус-вектором, а также длину самой конхоиды. Работу
высоко оценил Эйлер: «Работа... свидетельствует о чрезвычай-
но тонком и весьма предрасположенном к математическим заня-
тиям уме, тем более, что автор этой работы, по всей видимости,
имел мало руководств в математике. Исследование же, не касаясь
его автора, таково, что оно никак не посрамит «Commentarii»*.
* Имеются в виду «Комментарии Петербургской Академии наук».
490 III. Математическое образование в лицах
В 1751 г. Котельников назначен адъюнктом и послан за гра-
ницу, где слушал лекции по геометрии и механике в Лейпцигском
университете. Однако оплатить эти лекции Котельников не мог:
«Я до конца слушать не в состоянии для того, что мне уже за
пять месяцев, которые я у него слушал, должно 50 талеров за-
платить», — писал он в академическую канцелярию.
Академическая канцелярия послала Котельникова в Берлин
«к почетному Академии члену господину Эйлеру и слушал же у
него лекции со всякою прилежностью и радением...» В 1752г.
Котельников поселился в квартире Эйлера и быстро приобрел
расположение великого ученого своими научными успехами и
высокими моральными качествами. Вскоре он прислал Конфе-
ренции Академии наук свою вторую научную работу — «Ре-
шение одной геометрической задачи», о которой Эйлер отозвал-
ся также очень хорошо. По окончании обучения в 1754 г. Эйлер
рекомендует Котельникова на кафедру высшей математики в
С.-Петербургской Академии наук. Ломоносов также поддержал
кандидатуру Котельникова. В декабре 1756 г. издано постанов-
ление: «Понеже Академии наук адъюнкт Семен Котельников...
переизобрел достаточное знание, так что заслужил звание про-
фессорское; к тому же Он состояния честного и трезвого, которо-
го невозможно без того оставить, чтоб не окружить его, по его
достоинству, высочайшее ее императорского величества милос-
тью, и для того определяют быть ему экстраординарным про-
фессором высшей математики».
В 1760 г. Котельников утвержден ординарным академиком,
а в 1783 г. избран членом Российской Академии. Деятельность
Котельникова в Академиях носила разнообразный характер:
- читал доклады в Конференции Академии наук и публичные
лекции при ней, лекции студентам и гимназистам академи-
ческих университета и гимназии, а также кадетам Морского
корпуса;
- участвовал в разработке проекта об учреждении школ и
гимназий, был инспектором академической гимназии;
- заведовал Кунсткамерой, Библиотекой Академии, Гидро-
графическим департаментом;
- в течение 17 лет был членом Комиссии Академии, осущест-
вляя коллегиальное практическое руководство ею;
- участвовал в создании «Словаря Академии Российской», из-
давал русские летописи и даже был цензором.
Семен Кириллович Котельников^91
Научное наследство Котельникова состоит из восьми не-
больших сочинений, два из которых мы охарактеризовали чуть
выше, и «Слова о пользе упражнений»; остальные пять сочине-
ний посвящены частным проблемам математики и смежных с
ней наук:
1. Исследование радуги, или небесной дуги (1757).
2. О равновесии сил, приложенных к телам (1759).
3. О поправке магнитной, показывающей склонение стрелки
(1759).
4. Доказательство ряда 2x6...
5. Речь о восхождении паров.
Эти мемуары написаны большей частью на латинском язы-
ке и опубликованы в «Новых записках Петербургской Академии
наук».
В 1770-1771 гг. Котельников опубликовал перевод учебни-
ка Вольфа в двух томах под названием «Сокращения оснований
математики», снабдив его дополнениями, в которых дал конспек-
тивное изложение результатов Эйлера по математическому ана-
лизу. Эти дополнения принято считать первым на русском языке
учебником основ анализа.
Большой вклад внес Котельников и в создание пособий по
элементарной математике. В 1766 г. он издал учебник арифмети-
ки для учащихся Морского кадетского корпуса, который, одна-
ко, не нашел широкого распространения в силу тяжеловесности,
обилия формальных рассуждений. Гораздо большее распростра-
нение получили уже упомянутые учебники Котельникова по гео-
дезии и механике.
Обладавший блестящими математическими способностями,
С. К. Котельников сосредоточил свои силы преимущественно на
развитии математического образования на среднем и высшем
уровнях.
492 III. Математическое образование в лицах
Степан Яковлевич Румовский
(1734-1812)
Выдающийся русский ученый — астроном и математик,
физик и просветитель XVIII — начала XIX вв., почетный член
Петербургской и Шведской Академий наук, член Российской
Академии, почетный член Адмиралтейского департамента.
Родился в 1734 г. в деревне Старый Погост Владимир-
ской губернии в семье священника. В 1739 г. семья переезжа-
ет в Петербург, где Степан Яковлевич поступил в Александро-
Невскую семинарию. Здесь обнаружился его интерес к наукам
естественно-математического цикла. В 1748 г. он поступает в
академический университет, слушает лекции Ломоносова по фи-
зической химии, Рихмана — по математике и физике, Попова —
по астрономии, Крузиуса* — по языкам и древней литературе,
Тредиаковского — по красноречию.
В 1750 г. Румовский избирает своей специальностью мате-
матику, в 1752 г. — подает пробную научную работу «Нахож-
дение прямой линии посредством тангенсов такой, которая бы
равна была кривой эллиптической линии». По заключению экза-
менаторов, этой работой «довольно показал, что он в математике
и в выкладках изрядный успех имеет...» [292, с. 21].
В 1753 г. для представления к званию адъюнкта Румовский
подготовил сочинение «Решение задачи Кеплера: по данному
сектору найти полуординату», которая послана на отзыв Эй-
леру. Получив положительный отзыв, он удостаивается звания
адъюнкта и отправляется Академией в Берлин для продолже-
ния математического образования под руководством Эйлера, ко-
торый предоставил ему в своем доме полный пансион (вместе
с Котельниковым). Сохранились рекомендации Эйлера: «Во все
продолжение своего пребывания здесь они так себя вели, что я их
всегда ставил в пример моим детям; в изучении же наук они по-
стоянно выказывали такое усердие, что наверное принесут честь
и пользу Академии» [292, с. 42]. О двухлетнем пребывании в доме
Эйлера Румовский сохранил самые лучшие воспоминания, про-
должив дружеские отношения со своим великим учителем до по-
следних дней его жизни.
493
Возвратившись в 1756 г. в Петербург, Румовский становит-
ся преподавателем математики и астрономии академического
университета, вскоре (1760) издав учебное пособие по матема-
тике «Сокращения математики». В 1761-1762 гг. участвует в
работе экспедиции в Сибирь для наблюдения прохождения Ве-
неры по диску Солнца, которое провел 26 мая 1761 г. в Селенгин-
ске. Погодные условия не позволили получить точные данные по
определению солнечного параллакса, для чего в основном прово-
дились исследования. Более удачной была научная экспедиция
под руководством Румовского в Колу (Кольский полуостров) в
1769 г. Результаты этих наблюдений изданы в XIV томе «Ком-
ментариев Петербургской Академии наук» на латинском язы-
ке под названием «Наблюдение над прохождением Венеры через
диск Солнца 23 мая в Коле, сделанном Степаном Румовским»
(СПб., 1769). Участвуя в экспедициях, Румовский занимался
определением географических координат мест, которые раньше
на картах отмечались весьма условно. Обобщив свои результаты
и результаты коллег, Румовский составил каталог 62 астроно-
мических пунктов в России.
В 1763 г. Румовский стал экстраординарным профессором, в
1766 г. — членом Комиссии Петербургской Академии наук и ру-
ководителем Географического департамента, в 1767 г. — орди-
нарным академиком, в 1800 г. — вице-президентом Петербург-
ской Академии наук.
Румовскому принадлежит свыше 80 работ (полный их спи-
сок представлен в книге Г. Е. Павловой [217, с. 188-195]) по аст-
рономии, геодезии, физике и математике. По математике он
опубликовал в основном на латинском языке семь мемуаров,
тесно примыкающих к работам Эйлера. Первая из математи-
ческих работ Румовского «Solutio problematic cue eujusdam ad
maxima minimale pertinentis» (1763) содержит решение постав-
ленной Эйлером задачи: определить контур основания конуса
данной высоты, имеющего при данном объеме наименьшую боко-
вую поверхность. В остальных статьях по математике, которые
представлены Румовским после двадцатилетнего перерыва, речь
идет о решении некоторых видов дифференциальных уравнений
1-го порядка, которые с помощью подстановок приводятся к ли-
нейному, о суммировании расходящихся рядов и интегрирова-
нии алгебраических функций посредством рационализирующих
подстановок. При этом Румовский не только решает частные за-
дачи, примыкающие к исследованиям Эйлера, но и весьма гра-
494 HI. Математическое образование в лицах
мотно, впрочем, применяет преимущественно его приемы [339,
с. 194-195; 217, с. 118-119]. Математическое содержание этих ра-
бот не представляет особого интереса, хотя для своего времени
они имели определенное значение.
Румовский является одним из основателей Российской Ака-
демии (1783) и одним из первых ее членов. В этом качестве он
принимает самое активное участие в подготовке и издании пер-
вых в России академических словарей, помимо этого является
редактором крупнейших изданий Российской Академии, ему, как
прекрасному знатоку многих иностранных языков, к тому же в
совершенстве владевшему литературным русским, Академия по-
ручала важнейшие переводы. Румовский неоднократно был на-
гражден золотой медалью Российской Академии «за ревностное
участие в общих занятиях».
Больших успехов добился Румовский и в педагогической де-
ятельности. С 1757 г. он читал лекции по математике и астроно-
мии в академическом университете, в 1760 г. издал «Сокращения
математики» в качестве учебника для его студентов. С 1776 по
1783 г. был инспектором основанного тогда в Петербурге Гре-
ческого кадетского корпуса. В 1798 г. Адмиралтейств-коллегия
поручила Румовскому подготовку учителей навигации Морско-
го кадетского корпуса к проведению астрономических исследо-
ваний, за что Румовский получил по представлению морского
ведомства высокую награду. Румовский внес большой вклад в
развитие образования в России, выполняя с 1803 г. обязанности
попечителя Казанского учебного округа. Под его руководством
была создана система образования Сибири и Востока Европей-
ской части России: Казанский университет, гимназии, приход-
ские и уездные училища в крупных городах округа. Препода-
вательский состав Казанского университета был подобран им
столь тщательно, что за короткое время он стал одним из ве-
дущих университетов России, выпускающих в том числе перво-
классных математиков (Н.И. Лобачевский).
Блестящая эрудиция, огромное трудолюбие, незаурядные
способности исследователя определили почетное место Румов-
ского среди интеллектуальной элиты второй половины XVIII в.
*
495
Михаил Евсеевич Головин
(1756-1790)
Русский физик и математик, почетный член С.-Петербург-
ской Академии наук с 1786 г. Один из первых методистов-ма-
тематиков, профессор Петербургской учительской семинарии с
1786 г.
М. Е. Головин родился в селе Матигоры Архангельской гу-
бернии. Он был племянником М. В. Ломоносова и по его рекомен-
дации в 1765 г. поступил в академическую гимназию. Сохрани-
лось едва ли не единственное частное письмо Ломоносова, напи-
санное им за месяц до смерти своей сестре, матери Головина*,
в котором афористически определена судьба Головина: «Я не
сомневаюсь, что он через учение счастлив будет».
В 1773 г. Головин окончил академическую гимназию и по-
ступил в академический университет, где изучал физику у
Л. Ю. Крафта. Основное же внимание было отдано математике,
которую он изучал под руководством Л. Эйлера, будучи одним
из ближайших его учеников и помощников. В частности, он за-
писывал со слов или прямо под диктовку Эйлера его сочинения,
что требовало незаурядной математической подготовки. Будучи
студентом, Головин представил мемуар «О наименьших колеба-
ниях свободно подвешенного тела», о котором сохранился отзыв
Конференции Императорской Академии наук: «...мемуар был
написан студентом Головиным и Эйлер-отец похвально выска-
зался об этом молодом человеке, который очень хорошо понял
и схватил сущность этой части математики, не встретив в ней
никаких затруднений, откуда конференция может судить, что
успехи Головина очень значительны, если учесть малое время, в
течение которого он слушал лекции Эйлера» [251, с. 134].
В 1776 г. Головин избран адъюнктом по кафедре опытной
физики, и в этом звании он состоял в течение 10 лет. При вступ-
лении в должность он представил академической Конферен-
ции работу «Пример пояснений к трактату знаменитого Эйлера
«К постройке кораблей»».
* См. полностью: [251, с. 133-134].
4.96 III. Математическое образование в лицах
Состоя на службе в Академии, он занимался переводческой
работой, участвовал в трех экспедициях, организованных Акаде-
мией наук и имевших целью получить необходимые материалы
для составления генеральной карты России. Кроме того, Голо-
вин принимал участие в составлении ежегодных календарей,
производил гидрологические наблюдения на Неве, участвовал
в деятельности различных комиссий, рассматривавших посту-
павшие в Академию технические проекты, в частности техни-
ческую документацию к сооружению моста, спроектированного
И. П. Кулибиным.
Значительную роль в развитии естественно-математичес-
ких наук сыграли удачные переводы Головина. В 1775 г. он пе-
ревел с французского сокращенный вариант «Морской науки»
Эйлера, изданный в 1778 г. под названием «Полное умозрение
строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся
навигации». Этот перевод стал первым отечественным учеб-
ником для мореплавателей и кораблестроителей. К нему были
приложены обширные примечания и дополнения самого Голо-
вина, содержащие пояснения к выводам некоторых формул, а
также к доказательствам отдельных теорем Эйлера. В примеча-
ниях излагались и некоторые новые достижения в навигации и
кораблестроении.
В 1781 г. Головин перевел популярную книгу по астроно-
мии французского ученого Ж.-Ж. Лаланда «Сокращение аст-
рономии или звездозакония» (СПб., 1789). Успешно участвовал
он и в переводе знаменитой книги Л. Эйлера «Введение в анализ
бесконечно малых»: в 1781 г. Головин перевел первые шесть глав
второго тома*. Самостоятельных научных работ у Головина ма-
ло. Кроме уже упоминавшихся можно отметить статью, продол-
жавшую одну из работ Эйлера о звуке «Приложение мемуара
Эйлера о колебании колоколов» (Акты Петербургской Академии
наук, 1785).
В 1786 г. из-за неладов с Е. Р. Дашковой, Головин оставил
Академию, сохранив за собой лишь редактирование собрания со-
чинений М. В. Ломоносова. При уходе он получил звание почет-
ного члена Академии наук.
Последние годы своей жизни М. Е. Головин работал в Пе-
тербургском главном народном училище, Петербургской учи-
тельской семинарии и в знаменитой комиссии об учреждении
*
Первый том был издан в 1748 г.
Михаил Евсеевич Головин 1^91
народных училищ. В качестве члена комиссии написал и из-
дал учебные руководства для народных училищ по арифметике,
геометрии, механике и архитектуре. Учебник по механике был
просмотрен и одобрен Эйлером; в нем Головин одним из первых
использовал понятие, близкое к понятию вектора. В учебнике
тригонометрии «Плоская и сферическая тригонометрия» (СПб.,
1789), Головин предлагает современную, разработанную Эйле-
ром теорию тригонометрических функций, изложенную анали-
тически. По научному уровню и современной методике изложе-
ния этот учебник стал выдающимся достижением отечественной
учебной математической литературы.
М. Е. Головина по праву считают одним из первых методис-
тов-математиков нашей страны. В предисловиях к своим учеб-
никам он изложил методические принципы их составления, глав-
ным из которых считал наглядность и конкретность в изло-
жении материала. Практическая педагогическая деятельность
М. Е. Головина в главном народном училище и учительской се-
минарии С.-Петербурга, к сожалению, не нашла своего отраже-
ния в историко-педагогической и историко-математической ли-
тературе.
498 III. Математическое образование в лицах
Николай Иванович Фусс
(1755-1825)
.Русский математик, организатор науки, академик С.-Пе-
тербургской Академии наук, почетный член и член-корреспон-
дент множества научных обществ, в том числе Берлинской и
Стокгольмской Академий наук, Копенгагенского и Геттинген-
ского научных обществ, Американской Бостонской академии,
Американского Филадельфийского общества, Академий наук в
Падуе, Турине, научных обществ в Вене, Лейпциге. Он был
также почетным членом Виленского, Московского, Харьковского
университетов и многих научных обществ России.
Родился в семье архитектора в швейцарском городе Базеле,
бывшем и родиной Л. Эйлера, а также местом жизни и творчес-
кой деятельности многих членов семейства Бернулли. Шести лет
от роду поступив в гимназию, он блестяще окончил ее и в 1768 г.
в 13 лет был принят в Базельский университет по математичес-
кой специализации. Способности, а еще более работоспособность
Фусса были замечены Даниилом Бернулли, рекомендовавшем его
в помощники Эйлеру. Прибыв в 1773 г. в Петербург, он поселился
в семье Эйлера, с которым впоследствии породнился, женившись
на одной из его внучек. Под руководством Эйлера Фусс основа-
тельно изучил широкий круг вопросов математики и смежных с
нею наук. Кроме того, он исполнял обязанности секретаря: пи-
сал под диктовку, читал вслух, по указаниям Эйлера производил
вычисления и оформлял его статьи и книги.
В 1776 г. Фусс стал адъюнктом, а в 1783 — академиком С.-
Петербургской Академии наук; с 1800 г. после смерти старшего
сына Эйлера назначен на пост непременного секретаря Акаде-
мии, который занимал вплоть до своей кончины. Первые науч-
ные исследования Фусса проведены под прямым руководством
Л. Эйлера. Они имеют сугубо практический характер. Так, пер-
вая печатная работа называется «Подробная инструкция для из-
готовления и расчета зрительных труб», вторая посвящена за-
дачам страхового дела — устройству страховых касс и лотерей.
Кстати, первая работа Фусса вызвала позитивный отзыв Бер-
нулли, который всегда поддерживал его стремление к решению
499
практических вопросов: «Нельзя было совершить лучшее вступ-
ление в республику литературы. Я предпочитаю всем остальным
практические работы, лишь бы они были построены на хорошей
теории» [201, с. 14].
В 1778 г. Фусс был награжден премией Парижской Акаде-
мии наук за первую свою астрономическую работу «О пертур-
бациях в движении кометы, которая проходит вблизи некоторой
кометы». В том же томе «Мемуаров» Парижской Академии наук,
где она была опубликована, помещена заметка о ней, в которой
не только отмечаются достоинства работы, но и подчеркиваются
нравственные устои самого автора: «В запечатанном конверте,
где г. Фусс записал свое имя, он заявил, что если его статья
имеет какие-либо достоинства, то он обязан этим полезным со-
ветам, которые ему давал г. Эйлер, и просил обнародовать это
заявление. Г. Фусс был тогда очень молод, и если молодость —
это время, когда скромность является долгом, то это также и
то время жизни, когда исполнение этого долга очень редко и
потому особенно заслуживает одобрения» [201, с. 69].
Многочисленные последующие труды Фусса в подавляющем
большинстве посвящены решению частных вопросов, поставлен-
ных в сочинениях его великого учителя. Тематика опубликован-
ных (свыше 100*) сочинений Фусса весьма разнообразна: вопро-
сы интегрирования, разложения функций в бесконечные ряды
и произведения, решение отдельных видов дифференциальных
уравнений, работы по геометрии и механике.
По всеобщему признанию [339, с. 197; 125, с. 351], лучшие из
научных работ Фусса — геометрические, в общей сложности 33.
В области сферической геометрии он решил три задачи о сфе-
рическом треугольнике, построенном на данной дуге большого
круга; ввел понятие сферического эллипса и исследовал его свой-
ства. Ему принадлежат новые решения ряда трудных задач эле-
ментарной геометрии, например задачи Аполлония о построении
круга, касающегося трех данных кругов, и аналитической гео-
метрии. Часть работ носит дифференциально-геометрический
характер: он решил ряд задач на определение свойств кри-
вых, параметры которых связаны определенными соотношени-
ями. Стоит указать еще и на поставленную Фуссом «проблему
замыкания», над которой впоследствии работали такие крупные
математики, как Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Якоби.
* Полный список работ Фусса опубликован в книге: Лысенко В. И.
Николай Иванович Фусс. М., 1975.
500 III. Математическое образование в лицах
Довольно значительна работа Фусса по фортификации «Те-
оретические исследования о каменных одеждах», в которой дает-
ся математическое обоснование необходимой толщины покрытия
валов. Надо сказать, что его работы прикладного характера до
сих пор остаются недостаточно изученными.
Несомненны заслуги Н. И. Фусса в организационно-научной
деятельности С.-Петербургской Академии наук. Будучи непре-
менным ее секретарем, он являлся также членом комитетов по
пересмотру уставов Академии наук, Академии художеств; он
представлял в Петербургскую Академию наук сочинения К.-
Ф. Гаусса, Ф. Бесселя, П. Лапласа, В. Гершеля. Фусс выдвинул
кандидатуру Гаусса для избрания в почетные члены Академии.
Через посредство Фусса Академия поддерживала связи с ино-
странными и отечественными учеными и учреждениями.
Кроме работы в Академии Н. И. Фусс занимался препода-
вательской деятельностью и был одним из первых отечествен-
ных методистов-математиков. Он преподавал в Сухопутном (с
1784 г.) и Морском (с 1796 г.) шляхетных кадетских корпусах.
Для этих учебных заведений он написал учебники математики,
которые позже широко использовались в военных и гражданских
школах первой четверти XIX в. Н. И. Фусс принимал активное
участие в развитии отечественного гражданского образования.
Будучи членом комитетов по пересмотру уставов Московского
и Виленского университетов, участвовал в усовершенствовании
университетского и гимназического уставов. Являясь членом
Главного правления училищ, он принимал деятельное участие
в реформе отечественного школьного образования. В основу вы-
шедших в январе 1803 г. «Предварительных правил народного
просвещения» положен проект, предложенный Н. И. Фуссом.
Иностранец по происхождению, Николай Иванович Фусс
стал гражданином России, человеком русской культуры. Как и
его предшественники Эйлер и Крафт, он явился основателем ди-
настии русских математиков. Почти 80 лет члены его семьи бы-
ли связаны с С.-Петербургской Академией наук, на протяжении
55 лет Н.И. Фусс и его сын П.Н. Фусс были ее непременными
секретарями. «Через их руки проходили все дела Академии, пе-
реписка, их мнения часто становились решающими в вопросах
приема новых членов и членов-корреспондентов, рассмотрения
присланных в Академию сочинений и др.» [201, с. 20].
501
Дмитрий Сергеевич Аничков
(1733-1788)
Русский математик и философ, профессор Московско-
го университета с 1771г. Сын мелкого служащего Троице-
Сергиевской лавры, учился в семинарии при Лавре. В 1755 г. был
принят в Московский университет, за время учебы в котором за
успехи получил пять золотых медалей. Биографы сходятся во
мнении, что он отличался не столько блестящими способностя-
ми, сколько трудолюбием, неутомимостью и основательностью
познаний. В 1762 г. по окончании университета начал препода-
вать в гимназии при Московском университете (тригонометрию
и алгебру) и в самом университете (геометрию и тригономет-
рию). С 1765 г. взял на себя также чтение логики и метафизики
на латинском языке.
В научном плане философия была ему ближе, чем математи-
ка. В 1769 г. Аничков подал в Совет университета диссертацию
на получение звания ординарного профессора. Тема ее — «Рас-
суждение о начале и происшествии натурального богопочитания
у разных, а особливо невежественных народов». Она не соот-
ветствовала господствовавшим тогда религиозным взглядам: в
ней высказывалось мнение о земном происхождении верований,
утверждалось, что «противно натуре человеческой верить тому,
чего в мыслях и воображении представить не можно», что «Бо-
га в троице, без откровения, натурально понимать не можно»,
что «древность преданий много споспешествует к закоснению
народов в суеверии» [340, с.55] и т.п. Цензура пропустила его
сочинение, но в профессорской конференции 24 августа 1769 г.
ему было «поставлено на вид» и, несмотря на внесенные им в
диссертацию коррективы, присвоение звания было задержано.
В истории отечественного школьного математического об-
разования Аничков оставил заметный след прежде всего как
автор ряда учебников, созданных специально для Московского
университета и гимназии при нем. В середине 60-х гг. сложи-
лось катастрофическое положение с учебниками математики. В
эти годы библиотека Московского университета могла предло-
жить только учебники Вейдлера, Вольфа, Крафта и Штурма на
502___________' III. Математическое образование в лицах
латинском языке, учебники математики на русском языке от-
сутствовали (кроме изданного еще при участии А. Фарварсона
переработанного А. Такэ варианта «Начал» Евклида).
Д. С. Аничков перевел и в 1765 г. издал серию учебных руко-
водств Вейдлера, которые представляют собой сокращения учеб-
ников X. Вольфа: «Аналитика специоза, или алгебра», «Арифме-
тика теоретическая и практическая», «Геометрия теоретическая
и практическая» и «Плоская тригонометрия». В следующем году
он перевел и издал также вейдлеровскую «Военную архитектуру
или фортификацию», решив, таким образом, острую проблему
нехватки учебников математики.
Однако он понимал, что нужны новые учебники, учитываю-
щие современные достижения математики. Оставаясь в методи-
ческом отношении проводником идей Вольфа, он сумел создать
свои собственные учебники по всем математическим дисципли-
нам, содержание которых в некоторой степени отличалось от
учебников Вейдлера и Вольфа: в 1764 г. «Теоретическую и прак-
тическую арифметику», в 1780 г. — «Теоретическую и практи-
ческую геометрию» и «Теоретическую и практическую тригоно-
метрию», в 1781 г. — «Начальные основания алгебры». Наиболее
удачен, по мнению специалистов, учебник арифметики. Несмот-
ря на сухость изложения, так присущую методике Вольфа, учеб-
ники Д. С. Аничкова сыграли довольно значительную роль в по-
становке математического образования в Московском универси-
тете, практически не выходя, впрочем, за его пределы. К концу
XVIII в. русская учебная математическая литература, воспри-
няв преимущественно идеи методической школы Л. Эйлера, на-
столько увеличилась количественно и улучшилась качественно,
что учебники Аничкова были уже устаревшими, тем не менее
они явились значительным вкладом в русскую культуру, в том
числе в русское математическое образование.
503
Семен Емельянович Гурьев
(1766-1813)
.Развитие отечественной математики и математического
образования в начале XIX в. прежде всего связано с деятельнос-
тью академика С. Е. Гурьева, которому Академия наук обязана
появлением новых идей в области математического анализа и
его приложений к геометрии и механике, а школьное математи-
ческое образование — зарождением новой науки, впоследствии
получившей название методикой преподавания математики.
Он родился в обедневшей дворянской семье под Новгоро-
дом. В 1778 г. Гурьевы определили своего сына в Инженерно-
артиллерийский корпус, считавшийся одним из лучших учеб-
ных заведений того времени, где в обучении доминировали
технические предметы и математика. Последнюю преподавал
С.Е. Гурьеву Николай Васильевич Верещагин*. По-видимому,
именно Н. В. Верещагину Гурьев обязан глубокими познаниями
в математике и рано проявившимся интересом как к самой ма-
тематике, так и к ее преподаванию. Во всяком случае в 1784 г.
именно Верещагин рекомендует новоиспеченного штык-юнкера
на должность репетитора математики здесь же, при корпусе.
В 1792 г. Гурьев был отправлен в Лондон для совершенст-
вования в науках. По свидетельству адмирала П. В. Чичагова,
посланного вместе с ним, «к великому разочарованию, < ... >
они не нашли в научных книгах ничего нового, < ... > они у се-
бя дома, занимаясь по переводным книгам, ушли столь далеко»
[12, с. 9]. По возвращении из-за границы Гурьев был произве-
ден в капитаны и занял должность профессора математики в
Инженерно-артиллерийском корпусе.
Академическая деятельность Гурьева началась в 1796 г.,
когда он был избран адъюнктом Академии наук, а через два
года утвержден в звании академика после представления сочи-
нения «Опыт о постановлении математики на твердых осно-
ваниях». Избрание его академиком сопровождалось открытой
* О роли Верещагина в развитии математического образования
см.: [238, с. 213-215]
504 HI- Математическое образование в лицах
борьбой с директором Академии наук П.П. Бакуниным, пово-
дом для которой послужило продолжавшееся в Академии за-
силье иностранцев. В этом смысле Гурьев продолжал традиции
М. В. Ломоносова. Окончательное решение было принято после
прямого обращения С. Е. Гурьева к императору Павлу I и спе-
циального распоряжения последнего утвердить Гурьева в звании
академика*.
В Академии Гурьев развил чрезвычайно активную и плодо-
творную деятельность. Протоколы Академической конференции
пестрят сообщениями о его научных докладах, выступлениях
по организационным вопросам, отзывах на различные печат-
ные и рукописные сочинения. При этом Гурьев оставался ве-
рен принципам поддержки национальной науки, что выража-
лось в его особой заботе о подготовке отечественных научных
кадров. Именно он рекомендовал в Академию В. И. Висковатова.
Сохранился протокол заседания Академической конференции от
28 апреля 1802 г. по поводу этого избрания. Приведем выдержки
из него: «Коллежский советник Гурьев представил докладную
записку о выборах нового астронома, которая содержала следу-
ющее: 1) приглашение иностранного ученого на вакантное мес-
то астронома в Академии наук запрещено 36 ст. регламента;
2) < ... > следует позаботиться о подготовке русских молодых
людей для занятий практической астрономией» [251, с. 154].
С. Е. Гурьев инициировал также вопрос об издании акаде-
мических сочинений на русском языке. В протоколе заседания
Академической конференции от 27 мая 1799 г. сохранилось его
предложение «перевести на русский язык лучшие элементарные
трактаты по различным наукам < ... > и их напечатать для
того, чтобы публика могла понимать эти трактаты и почувст-
вовать к ним интерес» [251, с. 152]. В 1808г. Академия наук по
предложению Гурьева приступила к изданию на русском языке
научного органа «Умозрительные исследования Императорской
Академии наук», которые выходили в свет до 1819 г. и принесли
большую пользу в распространении математических знаний в
нашей стране.
Научное творчество С. Е. Гурьева довольно значительно
для того времени: в периодических изданиях Академии наук
им опубликовано около 25 работ по аналитической, дифференци-
альной и элементарной геометрии, математическому анализу и
* См. подробнее: [251, с. 152-153].
Семен Емельянович Гурьев 505
механике. Одно из самых значительных его оригинальных произ-
ведений — «Опыт о усовершенствовании элементов геометрии»
(1798). Мы уже характеризовали его как первое отечественное
научно-методическое сочинение. Однако роль его этим далеко не
исчерпывается. В «Опыте» впервые на русском языке была пред-
принята попытка изложения философских вопросов математики,
в частности методологии геометрии и анализа. При этом Гурь-
ев стремился к более точному обоснованию математики, совре-
менному изложению теории пределов и теории пропорциональ-
ных величин. Его «Рассуждения о математике и ее отраслях»
(1809) свидетельствуют о материалистическом подходе к вопро-
су о предмете и возникновении математики.
Из собственно математических сочинений можно отметить
работы С. Е. Гурьева по дифференциальной геометрии. Это
прежде всего «Мемуар о решении основных задач, предложен-
ных для кривых, ординаты которых исходят из неподвижной
точки» (1801), где впервые дан аналитический вывод основных
уравнений для плоских кривых в полярных координатах. В рабо-
те «О разделении поверхностей второго порядка на роды и виды»
предложен критерий для классификации поверхностей, который,
впрочем, не привился в математике.
Работы Гурьева по математическому анализу в основ-
ном связаны с теорией пределов и попытками на ее основе
более строгого доказательства известных теорем. По мнению
А. П. Юшкевича, подлинной строгости автор, как и многие его
современники, достичь не мог, «ибо опирался на теорию преде-
лов Даламбера, в которой еще не были разработаны ни вопросы,
связанные с непрерывностью, ни учение о сходимости рядов и
т. д.» [341, с. 35].
В наиболее значимом сочинении Гурьева по механике «Об-
щее правило равновесия с приложением оного к машинам» [303,
с. 39-132] сформулировано и доказано общее правило равновесия
любого числа сил (обратная теорема до Гурьева никем не была
доказана). Это общее правило Гурьев применил к решению ряда
частных задач, например такой новой для того времени области
техники, как корабельная архитектура.
Педагогическая деятельность Гурьева началась в 1784 г. с
должности репетитора по математике в Инженерно-артиллерий-
ском корпусе, где он продолжал преподавать до конца жизни.
В 1798 г. Гурьев по рекомендации Академии наук был назна-
чен профессором и инспектором вновь открытого в Петербурге
506 III. Математическое образование в лицах
Училища корабельной архитектуры. Отличной постановкой обу-
чения искусных судостроителей Училище очень во многом бы-
ло обязано своему инспектору классов. Александр I, посетивший
Училище в 1803 г., «нашел в нем хорошее устройство и порядок»,
отнеся их к «тщательному усердию главного профессора того
училища Гурьева» [175, с. 411] и объявил ему благодарность.
В 1809 г. С. Е. Гурьев назначается на должность профессора
только что открывшейся Петербургской духовной академии, при
открытии которой прочитал «Рассуждение о мафематике и ее
отраслях», впоследствии опубликованное. В духовной академии
он преподает не только элементарную, но и высшую математи-
ку. Это «основания геометрии кривых линий и кривых поверх-
ностей, основания дифференциального и интегрального исчис-
лений, основания трансцендентной геометрии кривых линий и
кривых поверхностей, дальнейшие исследования, до интеграль-
ного исчисления относящиеся, с приложением к трансцендент-
ной геометрии (исчисление частных дифференциалов и исчис-
ление вариационное)» [324, с. 208]. На основе высших разделов
математики С. Е. Гурьев читал такие курсы, как статика, ди-
намика, гидростатика, гидродинамика, математическая оптика,
основания астрономии.
После безвременной кончины в 1812 г. своего ученика акаде-
мика В. И. Висковатова Гурьев читает лекции по чистой и при-
кладной математике в Институте корпуса инженеров путей сооб-
щения. Одно время он преподавал навигацию в Морском кадет-
ском корпусе и под его руководством разработана оригинальная
система обучения математике морских офицеров.
Будучи, как С. Я. Румовский и С. К. Котельников, членом
не только Академии наук, но и Академии русского языка и сло-
весности (с 1800г.), С.Е. Гурьев принимал участие в составле-
нии русского академического словаря, представив определения
физических и математических терминов, начинающихся с бук-
вы «а».
Итак, оставив глубокий след в русской математике, деятель-
ности Академий наук и русского языка и словесности, наиболее
известен С. Е. Гурьев все-таки как первый отечественный уче-
ный, создавший методологические и методические научные тру-
ды, приложивший очень много усилий для улучшения препода-
вания математики в высшей и средней школе.
Семен Емельянович Гурьев 501
Здесь уместно привести слова известного историка-методис-
та Д.Д. Галанина: «Переходя теперь к оценке сочинений Гурье-
ва и его личности, мы видим, что при глубоком математическом
уме он обладал большими педагогическими дарованиями. Педа-
гогический талант позволял ему угадывать те запросы, которые
могла предъявлять молодежь своему учителю, и он спешил дать
ответы на эти запросы. Я убежден в том, что если бы современ-
ники побольше вдумались в его учебники, то русская школьная
практика, с одной стороны, твердо установила бы наиболее це-
лесообразные методические принципы именно в том объеме, как
это намечается в настоящее время, а с другой — школа не иска-
зила бы так Евклида, как это сделано в современных учебниках.
Я даже думаю, что если мы, отбросив ложную гордость, более
внимательно вникнем в забытые учебники Гурьева, то найдем в
них ответы на те вопросы, которые нам ставит современность»
[75, с. 56].
*
508 III. Математическое образование в лицах
Тимофей Федорович Осиповский
(1765-1832)
Тимофей Федорович Осиповский — русский математик
и мыслитель-материалист. Профессор математики Петербург-
ского педагогического института и ректор Харьковского уни-
верситета, один из учителей знаменитого русского математика
М. В. Остроградского по Харьковскому университету.
Родился Т.Ф. Осиповский 22 января 1765 г. в селе Осипове
Ковровского уезда Владимирской губернии в семье священника.
Окончил Владимирскую духовную семинарию, где получил хо-
рошую подготовку по латинскому языку и философии. В 1783 г.
в Петербурге в рамках образовательных реформ Янковича де
Мириево открывается Учительская семинария под его руковод-
ством, куда Осиповский и был переведен студентом в числе луч-
ших 150 учеников духовных семинарий — риторов и философов,
отозванных для подготовки к учительскому поприщу. Тут он в
течение двух с половиной лет изучал математику, физику, ес-
тественную историю, географию, историю, черчение, рисование
и языки — русский, немецкий и латинский, «занимаясь наибо-
лее физико-математическими науками» и «будучи отличнейшим
студентом по сей части» [14, с. 23-525].
По окончании семинарии Осиповский как один из лучших
учеников был направлен в Московское главное народное учи-
лище, где преподавал латинский язык, русскую грамматику и
математические предметы — арифметику, геометрию, механи-
ку, физику и архитектуру. Параллельно Т. Ф. Осиповский ак-
тивно участвовал в подготовке учителей для малых народных
училищ, часто выступая и в роли репетитора по математике, и
в роли методиста-математика, который на практике знакомил
кандидатов в учителя с методом преподавания, предложенным
Янковичем де Мириево в первом отечественном методическом
пособии «Руководство учителям». Для этого будущие учителя
присутствовали на уроках, в том числе у Осиповского.
Уже в Московском главном народном училище Осипов-
ский выделялся яркими педагогическими способностями, об-
щей эрудицией и глубокими познаниями в области физико-
математических наук. Московский университет и Петербургское
509
медико-хирургическое училище приглашали его возглавить ка-
федру математики, но в силу чрезвычайной скромности он отка-
зался. Комиссия об учреждении училищ присылала Осиповскому
для отзыва издаваемые ею математические рукописи и пособия.
Эта же комиссия предложила ему в 1800 г. занять кафедру
математики и физики в Петербургской учительской семинарии*,
которую он в свое время окончил. Это предложение Осиповс-
кий принял, став ее профессором. В это время Академия наук
предлагала ему вступить в число ее членов в звании адъюнкта
математики, но Осиповский опять-таки из соображений личной
скромности отказался от этого предложения.
Интенсивность деятельности Осиповского в Петербургской
учительской семинарии была чрезвычайно высока: он активно
занимался преподаванием (12ч в неделю и бч репетиторства),
готовил к изданию начатый в Москве «Курс математики». Этим
его деятельность не ограничивалась. Он пишет в автобиогра-
фии: «потом возложено на меня приведение в порядок институт-
ской библиотеки и поручен надзор за нею. Потом возложена на
меня и правка переводов студенческих» [14, с. 529]. Параллельно
он активно сотрудничал в Комитете для составления морского
курса наук, членом которого был назначен.
В 1803 г. по предложению основателя Харьковского универ-
ситета В.Н. Каразина Т.Ф. Осиповский занимает в этом уни-
верситете кафедру чистой математики. В течение 17 лет (1813-
1820) он работает в качестве профессора и в должности ректора.
На плечи Осиповского легла почти вся работа по организации и
руководству названным университетом**, официальное откры-
тие которого состоялось в январе 1805 г. Он, по признанию со-
временников, заложил фундамент высшего математического об-
разования и математики как науки в Харьковском университете
и на всем Юге России.
В течение первого десятилетия существования Харьковско-
го университета Осиповский преподавал в нем практически все
математические науки (геометрию, плоскую и сферическую три-
гонометрию, дифференциальное, интегральное и вариационное
* В 1803 г. она была преобразована в Учительскую гимназию, в
1804 — в Педагогический институт, на базе которого в 1806 г. был
создан Главный педагогический институт — одно из лучших высших
учебных заведений России в первой половине XIX в. [251, с. 180].
** См.: [251, с. 181].
510 III. Математическое образование в лицах
исчисления, приложения аналитических функций к высшей гео-
метрии), с 1808 г. на него было возложено кроме того чтение
оптики, механики и астрономии. Все лекции он читал исключи-
тельно на русском языке. Считается, что во многом благодаря
Осиповскому преподавание математики в Харьковском универ-
ситете было поставлено очень серьезно*.
По свидетельству современников, Т. Ф. Осиповский был вы-
дающимся лектором. Сохранился ряд восторженных отзывов его
учеников о его преподавательском таланте. Так, один из его
слушателей Розальон-Рошальский писал, что Осиповский, весь
проникнутый любовью к своему предмету и к своей обязаннос-
ти, умел «для учеников своих поэтизировать даже дифференци-
альное и интегральное исчисления»** ***. Т.Н. Селиванов так от-
зывается о своем учителе: «Т. Ф. Осиповский, известный в свое
время математик, кроме математики и физики, обладал много-
сторонними сведениями и был неутомимо трудолюбив, < ... >
всегда и со всеми в обращении был ровен, никогда не выходил
из себя, любил говорить положительно, выражаться точно» [14,
с. 962]. М. В. Остроградский до конца жизни сохранил благодар-
ные воспоминания о своем учителе и был чрезвычайно высокого
мнения о его знаниях и эрудиции [17, с. 42]. Известный историк
образования М. И. Сухомлинов так характеризует деятельность
Осиповского: «Обязанный своими познаниями собственному та-
ланту и неутомимой ревности, с которою изучал творения ев-
ропейских ученых, Осиповский излагал открытия гениальных
двигателей науки с ясным и глубоким знанием дела; его уни-
верситетские чтения служили превосходною школою для слу-
шателей, указывали им верный путь и давали прочный залог
для дальнейших, самостоятельных занятий [293, с. 86]». Учени-
ки Осиповского вследствие столь высоких профессиональных ка-
честв своего учителя проявляли большой интерес к математике
и обнаруживали блестящие способности к математическим ис-
следованиям . * * *
* См.: [17, с. 40; 310].
** Розальон-Рошальский П. Мои воспоминания // Харьковские гу-
бернские ведомости. 1869. №93, 95. Цит. по: [251, с. 182].
*** Кроме знаменитого М. В. Остроградского следует особо упомя-
нуть А. Ф. Павловского, Н. М. Архангельского и М. А. Байкова, став-
ших впоследствии профессорами математики в Харьковском универ-
ситете. (См. подробнее: [17, с. 45-48]).
Тимофей Федорович Осиповский 511
Многие современники высоко оценивали также человеческие
качества Т. Ф. Осиповского. Помимо его удивительной скром-
ности, проявившейся, в частности, в отказе от вполне заслу-
женных должностей и званий, отмечается совершенство его
морального облика, всеобщее уважение к нему профессорско-
преподавательского состава Харьковского университета, гово-
рится о его «благородном и чистом образе действий» [17, с. 42].
С присущей ему энергией, трудолюбием и благородством
в течение семи лет исполнял Осиповский и обязанности рек-
тора Харьковского университета. Он проявил большую за-
боту об улучшении материального положения профессорско-
преподавательского состава особенно в связи с Отечественной
войной 1812 г., обращал пристальное внимание на развитие ма-
териальной базы университета.
Честность и глубокая порядочность Т. Ф. Осиповского ярко
проявились во внесении по его инициативе существенных кор-
ректив в порядок присуждения ученых степеней. Уставом минис-
терства народного просвещения позволялось допускать к экзаме-
ну на ученую степень каждого по выбору. Осиповский считал:
«Такая свобода представлена, без сомнения, с той целью, чтобы
не останавливать хода отличным талантам, но отличные талан-
ты редки, и этим правом в нашем университете, да вероятно и
в других, пользовались более пролазы и выходило нередко, что
ученые степени приобретались чужим умом и чужими трудами»
[323, с. 468]. Во избежание такого рода злоупотреблений Осипов-
ский пред лаг л установить сроки, до истечения которых не может
быть представлена очередная ученая степень. Эти предложения
были учтены при разработке Главным правлением училищ пра-
вил для производства в ученые степени, утвержденных в 1819 г.
Будучи серьезным ученым-естествоиспытателем Осипов-
ский инициировал создание при Харьковском университете Об-
щества наук с двумя отделениями — словесным и естественным.
Целью Общества было распространение знаний на Юге России.
В период его ректорства (1817) были опубликованы «Труды Об-
щества наук», где были в том числе и статьи Осиповского. На
заседаниях Общества обсуждались актуальные для того време-
ни проблемы философии и естествознания. Очень часто проис-
ходили ожесточенные дискуссии по философским проблемам ес-
тествознания, активное участие в которых принимал сам Оси-
повский, оценивая обсуждаемые явления с материалистических
позиций.
512 IIL Математическое образование в лицах
Административная и педагогическая деятельность Осипов-
ского в Харьковском университете закончилась незаслуженной
отставкой, тем более обидной, что произведена она была чрез-
вычайно недостойным способом: с помощью доносов, тайно по-
лученного в министерстве согласия на увольнение Осиповского
из университета, спешно собранного, также тайного заседания
совета, который отстранил его от должности ректора* и окон-
чательно уволил из университета**.
Научное творчество Т. Ф. Осиповского составляет ряд ста-
тей философского и естественно-научного характера и перево-
дов***. Перечислим научные статьи Осиповского в хронологи-
ческом порядке: «Рассуждение о пользе наук» (1795), «О про-
странстве и времени» (1807), «О динамической системе Кан-
та» (1813), «Теория движения тел, бросаемых на поверхности
земной» (1817), «Об астрономических преломлениях» (1817), «О
разделении электричества в разобщенных отводах при держа-
нии перед ними в некотором удалении наэлектризованного те-
ла» (1817), «О излияниях солнца» (1819), «Рассуждение о том,
что астрономические наблюдения над телами солнечной систе-
мы, когда их употребить хотим, в выкладке требующие большой
точности, надлежит поправлять еще по времени прохождения
от них света» (1825), «Исследование светных явлений, видимых
иногда на небе в определенном положении в рассуждении солнца
или луны» (1827). Из приведенного списка видно, что основные
публикации относятся к физической оптике и астрономии. Аст-
рономические труды Осиповский писал уже после отставки с
должности ректора, которая произвела на него чрезвычайно тя-
желое впечатление.
* Подробнее см.: [17, с. 42].
** В течение полутора лет Осиповский даже не мог добиться по-
лагавшейся ему по закону пенсии, вскоре переехал с семьей (женой и
пятью детьми) в Москву и последние 12 лет жизни испытывал очень
Серьезные материальные затруднения.
** Т. Ф. Осиповский перевел на русский язык четырехтомную «Не-
бесную механику» Лапласа, «Логику или умственную науку, руково-
дящую к достижению истины» Кондильяка, «Электрические опыты,
любопытства и удивления достойные» Адамса и др. Перевод книги
Лапласа так и не был опубликован, как и собственное исследование
Осиповского «О действии сил на гибкие тела и происходящем от того
равновесии».
Тимофей Федорович Осиповский 513
В одном из прошений, поданых с просьбой указать причи-
ну его увольнения, Осиповский с гневом писал: «Заключая из
некоторых бумаг, мною из университета и от г. министра по-
лученных, надлежит, кажется, написать вообще: по представ-
лениям т. попечителя и последовавшему на оныя предписанию
г. министра духовных дел и народного просвещения выгнан я
из университета без всякого вида, как невежда и негодяй, кото-
рый не мог быть терпим в оном» [337, с. 382]. Изгнание одного из
лучших университетских профессоров того времени без объясне-
ния причин является лучшей характеристикой той атмосферы,
которая сформировалась в конце царствования Александра I в
области образования.
Т.Ф. Осиповский умер 12 июня 1832 г. и похоронен на Ва-
ганьковском кладбище в Москве. Надгробная надпись гласит*:
Осиповский Тимофей Федорович
первый знаменитый русский математик
ректор Харьковского университета
заслуженный профессор высшей математики и астрономии
*
* [17, с. 45].
5Ц Ш. Математическое образование в лицах
Федор Иванович Буссе
(1794-1859)
Федор Иванович Буссе родился в Петербурге в семье лю-
теранского пастора. Окончив гимназию в 1811г., он поступил в
Петербургский педагогический институт, который готовил учи-
телей средних учебных заведений, преимущественно гимназий.
Первые два года студенты пединститута слушали одни и те же
предметы, в последний же год обучения каждый студент вы-
бирал один из учебных предметов, получая соответствующую
специализацию. Ф. И. Буссе выбрал математику.
По окончании института Буссе вместе с другими его вы-
пускниками был отправлен за границу для ознакомления с ши-
роко распространенной в Англии «Белл-Ланкастерской»* (чаще
просто ланкастерской) системой, иначе «методом взаимного обу-
чения», «изобретенным гг. Ланкастером и Беллом для народных
училищ» [211, с. 179]. Это «система организации и методов обу-
чения в начальной школе, при которой старшие и более успева-
ющие ученики являлись помощниками учителя и под его руко-
водством вели занятия с остальными учащимися» [220, с. 178].
Будущий министр народного просвещения С. С. Уваров, зани-
мавший в то время пост попечителя Петербургского учебного
округа, хотел «пересадить его на русскую почву» [251, с. 400].
Он и организовал командировку Буссе.
По приезде в Лондон Ф. И. Буссе ежедневно посещал Цен-
тральное училище, в котором преподавание велось по методу
Ланкастера, получив в результате специальный диплом в из-
учении метода взаимного обучения. После этого Буссе посещал
занятия в училище доктора Белла, получив и свидетельство, что
«так называемый национальный метод обучения был им изучен
вполне»**. В Швейцарии Ф. И. Буссе посетил институт Песта-
лоцци, в котором в то время активно разрабатывались методы
начального обучения.
* Свое название он получил по именам английских педагогов
А. Белла и Дж. Ланкастера.
** Первая в России ланкастерская школа // Исторический вестник.
1887, сентябрь. С. 65 // Цит. по: [251, с. 400].
515
Возвратясь в Россию в 1819 г., Ф. И. Буссе был назначен
учителем математики «второго разряда Главного педагогичес-
кого института», в который был переименован к тому времени
Петербургский педагогический институт. Главный педагогичес-
кий институт осуществлял подготовку учителей уездных и при-
ходских училищ, курс обучения составлял 4 года, математике
отводилось большое количество недельных уроков. С этого вре-
мени началась педагогическая деятельность Ф. И. Буссе, которая
длилась непрерывно в течение 40 лет.
В 1823 г. «второго разряда Главный педагогический инсти-
тут» был преобразован в гимназию, целью которой являлась
подготовка учителей начальных школ и подготовка будущих
студентов к поступлению в университет. Курс математики был
значительно расширен и включал все разделы элементарной ма-
тематики, а также аналитическую и начертательную геометрии.
В процессе практической педагогической деятельности в
гимназии Ф. И. Буссе придерживался собственной методической
системы, сущность которой заключалась в следующем.
1. Прежде всего каждый преподаватель математики должен
ставить перед собой «двоякую цель: развитие умственных спо-
собностей учащихся и сообщение им надлежащих по этим пред-
метам сведений» [9, с. 93]. Таким образом, Ф. И. Буссе практи-
чески сформулировал принцип сочетания обучения и развития в
преподавании математики, не противопоставляя их друг другу,
как это часто делается сейчас, а считая взаимодополняющими.
2. Он определяет и пути достижения этих целей. Например,
при изучении арифметики «к достижению первого служило пре-
имущественно изустное вычисление, состоящее не только в при-
обретении навыка скоро совершать действия над числами в уме,
но более в упражнении воспитанников в решении вопросов, коих
постепенная трудность, заключающаяся в условиях, сообщает
им способность находить впоследствии без помощи преподава-
теля решение предлагаемых вопросов и делать таким образом
предмет для них занимательным» [9, с. 93].
3. При объяснении правил арифметики Буссе применял ка-
техизисный метод, сущность которого состоит в том, что ученик
с помощью вспомогательных вопросов должен был сам сделать
соответствующее заключение.
4. Буссе отводил существенную роль наглядности в обу-
чении арифметики. Например, при изучении дробей он широко
применял их графические представления.
516 III. Математическое образование в лицах
Во второй половине 20-х гг. Ф. И. Буссе уже пользуется
значительным авторитетом. Его привлекают к рецензированию
учебников математики, активное участие принимает он и в со-
ставлении учебного плана 1828 г. по математике, разработанно-
го в связи с принятием нового Устава.
В 1829 г. в Петербурге вновь открывается Главный пе-
дагогической институт, который был закрыт в 1819 г. в свя-
зи с учреждением Петербургского университета. Ф. И. Буссе
назначается преподавателем математики этого института и
утверждается в звании адъюнкта. После назначения в 1832 г.
М. В. Остроградского заведующим кафедрой математики Глав-
ного педагогического института Буссе становится его помощни-
ком в этой должности.
В 1838 г. Ф. И. Буссе назначается директором 3-й петербург-
ской гимназии. Здесь он проявил себя как отличный админи-
стратор, очень хороший учитель математики, начитанный и
умный педагог, сильно влияющий «в воспитательном отноше-
нии на вверенное ему учебное заведение» [251, с. 412]. Манера
его воспитательных воздействий объяснялась мягким характе-
ром Буссе и гуманными взглядами на воспитание, что входило
в противоречие с официальной системой, основанной на страхе
и наказании. Стараясь смягчить атмосферу в гимназии, Буссе
особое внимание уделял классным надзирателям. Он старался
подбирать на эту должность людей с хорошим образованием,
высокими нравственными качествами и практическим опытом
педагогической работы. Отчеты Буссе в качестве директора
гимназии содержательны, в них дается и оценка «нравственной
стороны» деятельности гимназии.
За время своего руководства 3-й петербургской гимнази-
ей Буссе поставил преподавание математики в ней на высокий
уровень. Сам Федор Иванович был прекрасным гимназическим
преподавателем математики, среди его учеников «успевающих
по математике было почти вдвое больше, чем по всем другим
предметам» [252, с. 140]. По воспоминаниям одного из его учени-
ков, «весь строй учебной и воспитательной стороны заведения
от него зависел и что гувернеры действовали под его влиянием
и потому дело шло стройно и хорошо»*.
* Из воспоминаний известного русского педагога 60-х гг. XIX в.
К. Сент-Иллера [73, с. 37].
Федор Иванович Буссе 517
В конце 1845 г. министр народного просвещения Уваров из-
дает циркуляр «Об ограничении в гимназиях преподавания ма-
тематики», которым отменялось преподавание в гимназии ана-
литической и начертательной геометрии. В связи с этим в 1846 г.
Ф. И. Буссе составляет новую примерную программу по мате-
матике. Эта программа была первой общей для всех русских
гимназий программой по математике, «определявшей не толь-
ко объем этой науки в общих чертах, но и указывавшей, что
именно и в какой последовательности должно быть пройдено в
каждом классе по арифметике, алгебре, геометрии и тригономет-
рии» [251, с. 406].
С 1850 по 1856 г. Ф. И. Буссе работал в качестве члена (по
математическим наукам) Ученого комитета министерства на-
родного просвещения. Это был период ломки и перебоев в дея-
тельности комитета*. Видимо, поэтому ничего определенного о
работе Буссе в комитете нам неизвестно.
Ф. И. Буссе является автором большого количества учебни-
ков математики. Он был широко образованным человеком, обла-
дал обширными познаниями в математике и педагогике, замеча-
тельными личными качествами. Помимо того, он был прекрас-
ным администратором и преподавателем математики, одним из
создателей методики преподавания арифметики, автором учеб-
ников математики, долгое время пользовавшихся заслуженной
популярностью.
*
* См. подробнее: [250, с. 77].
518 III. Математическое образование в лицах
Дмитрий Матвеевич Перевощиков
(1788-1880)
Русский математик и астроном, академик Петербургской
Академии наук, декан отделения математики и ректор Москов-
ского университета, выдающийся педагог-математик, популяри-
затор науки, один из первых ее историков и заметный общест-
венный деятель середины XIX в.
Дмитрий Матвеевич Перевощиков родился в г. Саранске
(тогда Пензенской губернии) в семье армейского офицера. Закон-
чил Казанскую гимназию, где учился с 1802 по 1805 г. вместе с
будущим великим математиком Н. И. Лобачевским. Гимназия в
те времена страдала многопредметностью: в учебный план вхо-
дили языки древние и новые, математика, логика, практичес-
кая философия, физика, химия, натуральная история. В гимна-
зии обучали также рисованию, музыке, фехтованию и танцам.
Гимназическими учителями у Перевощикова были очень извест-
ные математики и прекрасные педагоги — выпускники Москов-
ского университета Г. И. Карташевский (чистая математика) и
И.П. Запольский (прикладная математика и физика). Это обес-
печило очень солидную подготовку его по математике.
По окончании гимназии Перевощиков был зачислен сту-
дентом вновь открытого Казанского университета, где Гри-
горий Иванович Карташевский в должности адъюнкта выс-
шей математики продолжал преподавать у него цикл физико-
математических дисциплин. Уровень математической подготов-
ки у студентов был очень высок. Сохранились воспоминания
С. Т. Аксакова, который учился вместе с Перевощиковым. Он
рассказывает о впечатлениях, которые произвели знания сту-
дентов на знаменитого в Европе ученого, учителя и друга Га-
усса профессора Бартельса*. «Математика, — писал Аксаков,
* Попечителем Казанского учебного округа был С. Я. Румовский,
который много сил отдал созданию Казанского университета, сде-
лав приоритетным подбор высококвалифицированных преподавате-
лей, одним из каналов которого было приглашение иностранных уче-
ных. В их числе был и М. X. Бартельс. См. подробно нашу книгу по
истории математического образования в XVIII в. [238, с. 176-177].
519
— так сильна была у нас, что когда < ... > Бартельс, придя
на первую лекцию, попросил кого-нибудь из студентов показать
ему на доске степень их знаний, то А. М. Княжевич разрешил
ему из дифференциалов и конических сечений такую чертовщи-
ну, что Бартельс, как истинный ученый, пришел в восторг и,
сказав, что для таких студентов надобно профессору готовиться
к лекциям, поклонился и ушел» [2, с. 231]. Бартельс также был
первоклассным преподавателем математики, поддержавшим вы-
сокий уровень преподавания в Казанском университете.
В годы студенчества Д. М. Перевощиков показал свои неза-
урядные математические способности и трудолюбие. Уже тогда
(1807) ему было поручено «повторительное» преподавание ма-
тематики и физики, и слушатели его показывали на экзаменах
хорошие знания.
По окончании Казанского университета в 1808 г. Перево-
щиков получил место старшего учителя математики и физи-
ки в Симбирской гимназии. Он полностью отдается препода-
вательской деятельности, добиваясь в ней больших успехов.
Параллельно он совершенствует свой научный уровень, пере-
ведя на русский язык несколько иностранных руководств по
математике (в том числе «Геометрию» Лежандра) и получив
в 1813 г. в Казанском университете ученое звание магистра
физико-математических наук за работы «О всеообщем тяготе-
нии» и «Краткий курс сферической тригонометрии» [159, с. 229].
Перевощиков очень быстро завоевал в Симбирске авторитет и
уважение как самый талантливый и энергичный из гимназичес-
ких учителей [318].
В 1818г. Д.М. Перевощиков переезжает в Москву и на-
значается преподавателем математики и физики «благородно-
го, пансиона при Московском университете. В следующем го-
ду он утверждается в звании адъюнкта и в течение пяти лет
преподает алгебру и аналитическую геометрию. Долгие годы
Перевощиков совмещает преподавание в Московском универ-
ситете и «благородном пансионе. После закрытия последнего в
1830 г. он целиком отдается преподавательской деятельности в
университете, читая там практически все дисциплины физико-
математического цикла и астрономию.
В это время в Московском университете еще не было преодо-
лено отношение к математике как вспомогательной науке, кото-
рое сформировалось в самом начале деятельности университета
в середине XVIII в. Отчетливо понимая это, Перевощиков актив-
520 III. Математическое образование в лицах
но включается в работу над совершенствованием преподавания
математики, и прежде всего над созданием и публикацией доб-
рокачественных учебников математики, полно и доступно отра-
жающих состояние математики как науки.
Создание учебников для университета Д.М. Перевощиков
начинает в 1819 г. с перевода (совместно с П.С. Щепкиным) на
русский язык «Курса чистой математики» Франкера [148], кото-
рый использовался в университете, но до той поры не был переве-
ден. Этот курс в то время пользовался широкой известностью и
был переведен почти на все европейские языки. Перевощиков ис-
пользовал руководство Франкера при чтении лекций по алгебре
и аналитической геометрии. Позже, начиная с 1822 г. он при-
держивался уже и написанного им самим руководства «Главные
основания аналитической геометрии трех измерений»*. Перево-
щиков очень ценил учебник Франкера и постепенно перевел и
остальные его части [110, 296]. Он переводит и «Курс чистой
математики» С. Лакруа, сочинения которого были очень попу-
лярны как в Европе, так и в России первой половины XIX в. [10,
79, 206].
Кроме того, он опубликовал для средней школы следующие
учебники: «Арифметика для начинающих» (1820), «Гимнази-
ческий курс чистой математики» (1838), «Основания алгебры»
(1854). Два последних были рекомендованы ученым комитетом
министерства народного просвещения в качестве учебных посо-
бий для гимназий. Кроме того, Д.М. Перевощиков уделял вни-
мание средней школе и будучи с 1827 по 1829 г. членом Учи-
лищного комитета. В 1834 г. он был назначен инспектором над
частными учебными заведениями Москвы, а в следующем году
ревизовал учебные заведения Костромской губернии [132, с. 77].
Даже когда он был ректором Московского университета, нередко
можно было видеть его на экзаменах в 1-й московской гимназии,
воспитанники которой долгое время учились по его «Гимнази-
ческому курсу чистой математики» [251, с. 189].
Особую же славу Перевощикову доставляет его «Ручная ма-
тематическая энциклопедия в 13 томиках», о которой мы много
писали выше. Кроме учебников математики Перевощиковым из-
даны многочисленные учебные пособия по физике и астрономии.
* Перевощиков Д. М. «Главные основания аналитической геомет-
рии трех измерений». М., 1822.
Дмитрий Матвеевич Перевощиков 521
С 1824 г. Перевощиков переходит на чтение лекций пре-
имущественно по астрономии и в 1826 г. получает звание ор-
динарного профессора по этой кафедре*. Однако чтения лекций
по математике он не оставляет, часто замещая выбывших или
заболевших преподавателей университета.
Д. М. Перевощиков был прекрасным лектором, излагавшим
материал простым русским языком, о чем сохранилось немало
воспоминаний современников. Как вспоминал Герцен, он всег-
да высмеивал «птичий язык» любителей иностранных словечек
[132, с. 76]. Один из его учеников вспоминал: «Лекции < ... >
Перевощикова < ... > отличались превосходным изложением
и увлекали слушателей» [302, с. 130]. Другой писал: «Только у
двоих профессоров аудитория была именно тем, чем она долж-
на быть согласно с собранием слушающих, у Т. А. Каменецкого
и Д.М. Перевощикова. Но первый достигал этого < ... > серь-
езностью нрава, второй же и достоинством обращения со сту-
дентами, и достоинством лекций» [74, с. 189]. Он «преподавал
математику вдохновенно, как поэт, как бы создавая ее во вре-
мя изложения, с страстною любовью к ней, которую сообщал и
своим слушателям» [328, с. 451]. О его «необыкновенно простом
и мастерском чтении лекций студенты всегда говорили с вос-
торгом» [319]. Некоторые студенты под влиянием лекций Пере-
вощикова меняли специальность и переходили на математичес-
кое отделение, как произошло, например, с известным филологом
профессором А.Д. Галаховым. Он много сделал для своих сту-
дентов, в частности и для ставших впоследствии знаменитыми
Н.Е. Зернова, П.Л. Чебышева, А.Ю. Давидова.
Он возлагал большие надежды на А. И. Герцена, который
в 40-х гг. учился на физико-математическом отделении Мос-
ковского университета. Сохранились сведения о беседе с ним
Перевощикова в 1844 г. «Жаль-с, у вас прекрасные-rc были-с
способности-с», — говорил ему профессор. Герцен возразил: «Да
ведь не всем же за вами на небо лезть. Мы здесь займемся, на
земле, кой-чем»**.
* Им написаны учебники и другие труды по астрономии и физике:
«Руководство к астрономии» (М., 1826), «Руководство к опытной фи-
зике» (1833), «Основания астрономии» (М., 1842), «Предварительный
курс астрономии» (1847), «Теория планет» (1863-1868), «Вековые воз-
мущения семи больших планет» (1859-1860).
** Цит. по: [340, с. 140].
522 III. Математическое образование в лицах
С 1833г. Д.М. Перевощиков в течение 15 лет избирался де-
каном физико-математического отделения и в этом качестве за-
ботится главным образом о повышении уровня преподавания ос-
новных предметов: математики, механики и физики. Охаракте-
ризуем те его достижения, которые касаются математики.
По предложению декана вводились такие новые курсы, как
начертательная геометрия (с 1844 г.) и теория вероятностей (с
1850г.)*. Придавая большое значение замещению достойными
кандидатами должностей заведующих кафедрами чистой и при-
кладной математики, Д. М. Перевощиков составлял программы
для конкурса, опубликованные в «Московских ведомостях» [189].
Требования к кандидатам были очень высоки: представить в
Совет университета пространную записку с методологическим
обоснованием математики как науки, ее истории и современном
состоянии, а также охарактеризовать особенности ее преподава-
ния, в том числе различные подходы к преподаванию геометрии,
«нового анализа». Кроме того, необходимо было составить пол-
ный конспект преподавания**.
Очень заботлив был Д.М. Перевощиков к молодым препо-
давателям. Одним из лучших его учеников был известный ма-
тематик Н. Е. Зернов. Во время его руководства отделением ма-
тематики магистерскую диссертацию защищал П.Л. Чебышев.
Архивные документы, относящиеся к его защите, показывают,
что Перевощиков относился к Чебышеву очень доброжелатель-
но***.
В качестве декана физико-математического отделения Пере-
вощиков разработал проект изменения преподавания дисциплин
соответствующего цикла, который был необходим к введению
нового университетского Устава 1835 г. Приведем основные по-
ложения этого проекта, принятого за основу изменений в препо-
давании математики на математических отделениях универси-
тетов страны.
«I. К физико-математическим наукам принадлежат: 1) чис-
тая математика, 2) механика тел твердых и жидких, 3) оптика,
4) астрономия, 5) физика и 6) геодезия.
* См.: [159, с. 232].
** Обильные цитирования из программы для замещения должнос-
ти заведующего кафедрой чистой математики представлены в [251,
с. 192-193].
*** Подробнее см. там же.
Дмитрий Матвеевич Перевощиков 523
II. Студенты, поступающие на математическое отделение,
должны знать: 1) арифметику, 2) геометрию, 3) алгебру до урав-
нений 2-й степени включительно, 4) прямолинейную тригоно-
метрию и 5) конические сечения.
III. Учение должно быть расположено в таком порядке. Пер-
вый год: 1) теория высших уравнений, дифференциальное и ин-
тегральное исчисление, 2) физика, 3) сферическая тригономет-
рия и сферическая астрономия. Второй год: 1) высшая геомет-
рия, теория вероятностей и вариационное исчисление, 2) про-
должение физики, 3) статика и гидростатика, 4) теория планет
и затмений, составление каталогов звезд, упражнения в практи-
ческих вычислениях, геодезия. Третий год: 1) динамика и гид-
родинамика, 2) оптика, 3) важнейшие статьи из небесной меха-
ники, теория комет.
IV. Каждый профессор должен учить три раза в неделю по
2 ч или по крайней мере 1 х/г ч.
V. Весьма полезно иметь профессора гражданской архитек-
туры, которому необходимо поручить и преподавание начерта-
тельной геометрии.
VI. Для руководства в преподавании должны быть приняты
сочинения Эйлера и Лагранжа по алгебре, Коши — по дифферен-
циальному и интегральному исчислению и по высшей геометрии,
Лагранжа — по механике, < ... >, Перевощикова по физике и
астрономии» [251, с. 193-194].
Итак, в этом проекте были регламентированы все стороны
жизни физико-математического отделения: определены основные
дисциплины и порядок их изучения, уровень подготовки посту-
пающих, режим работы профессоров, а также научные сочине-
ния, по которым следует вести преподавание.
Д.М. Перевощиков в течение многих лет выполнял ряд обя-
занностей и должностей: руководил Московской астрономичес-
кой обсерваторией в течение 20 лет, принимал участие в строи-
тельстве нового Кремлевского дворца, был членом училищного
комитета, исполнял обязанности цензора в Московском цензур-
ном комитете*. В 1828 г. он был назначен инспектором «казенно-
коштных» (т.е. находящихся на содержании государства) сту-
дентов. Он должен был следить за поведением студентов, их за-
нятиями, заботиться о разумном проведении досуга, решать хо-
зяйственные вопросы. Сохранились отзывы его знаменитых впо-
* См.: [159, с. 232].
524 III. Математическое образование в лицах
следствии студентов. В. Г. Белинский писал: «Инспектор Пере-
вощиков — человек весьма известный в ученом свете. Он строг,
любит порядок и устройством нашего казенного быта большей
частью одолжены ему»*.
В 1842г. Д.М. Перевощиков был избран проректором, а в
1848 — ректором Московского университета. Он исполнял эти
обязанности в течение трех лет, уйдя в 1851 г. в отставку и вско-
ре переехав в Петербург, где в следующем году избран адъюнк-
том Академии наук. Здесь он всецело отдался научной и популя-
ризаторской деятельности, которой активно занимался и до того.
В частности, появляются его капитальные труды по теории дви-
жения планет, принесшие ему славу крупного астронома**.
Ему принадлежит около 70 научных и научно-популярных
статей по самым разным проблемам современной ему науки***.
Первые издавались в научных изданиях, в частности в «Ученых
записках Московского университета», членом редакции которых
он был с 1833 по 1836 г., и «Записках Академии наук». Вторые
активно публиковались Д.М. Перевощиковым в общедоступных
журналах «Соревнователь», «Московский телеграф», «Московс-
кий вестник», «Отечественные записки», «Московитянин», «Со-
временник» и др.
Так, в «Магазине естественной истории» Перевощиков по-
местил ряд статей под редакцией Чернышевского****. Он пи-
сал: «И по числу и по внутреннему достоинству они (статьи
Перевощикова — Т. П.) в русской литературе занимают первое
место в ряду всех подобных произведений: они составляют его
(журнала — Т. П.) украшение и придают ему прочное ученое
значение» [322, с. 227]. Далее Чернышевский называет Перево-
щикова автором, известным «своим дарованием популярно из-
лагать научные вопросы», и так характеризует роль не только
этих статей, но и всей научно-популяризаторской деятельности
Перевощикова: «Мы едва ли ошибемся, сказав, что в последние
* Цит. по: [132, с. 77].
** «Вековые возмущения семи больших планет», «Теория планет»,
«Гауссов способ вычислять элементы планет».
*** Список научных и научно-популярных статей Д.М. Перевощи-
кова по математике представлен в [159, с. 236].
**** «Замечания о математической географии», «Геодезические и то-
пографические работы в России», «Обозрение русских календарей»,
«О термометрическом состоянии земли».
Дмитрий Матвеевич Перевощиков 525
тридцать лет никто не содействовал столько, как он, распро-
странению астрономических и физических сведений в русской
публике: Д.М. Перевощиков постоянно был первым, неутоми-
мейшим и полезнейшим из людей, посвятивших свою ученую
деятельность этому прекрасному стремлению» [322, с. 227].
К популяризаторской деятельности можно отнести и его
пропаганду метрической системы мер, начатую еще в «Арифме-
тике для начинающих» — руководстве для учащихся подготови-
тельного класса Благородного пансиона (1820). В восторженных
выражениях Перевощиков прославлял ее творцов: «Сия счаст-
ливая мысль родилась в головах французского революционного
Конвента из славнейших ученых Франции: Лапласа, Лагранжа,
Монжа, Борды, Лефевра, Жино и пр. Сии великие умы испол-
нили желание правительства так, как надобно было ожидать от
их обширной учености» [227, с. 73]. Не менее восторженно от-
зывался он и о самой метрической системе мер: «Метрические
меры имеют все желаемые совершенства. Если существуют еще
препятствия для принятия их во всеобщее употребление, то, по
крайней мере, ученые должны уважать сие изобретение, доро-
жить им и навсегда остаться признательными к трудам мужей,
желавших принести истинную пользу для всех народов и для
всех времен» [227, с. 77]. Интересен его перевод книги Ф. Араго
«Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров», вы-
полненный в академический период его жизни (издан в 1862 г.).
Чисто научные публикации по математике касаются интег-
рирования рациональных и иррациональных дробей, двучлен-
ных дифференциалов и дифференциалов со многими перемен-
ными, а также интегрирования тригонометрических и логариф-
мических функций. Они опубликованы в «Записках Академии
наук» в поздний период его жизни (1867-1973) и представляют
собой «как бы главы обстоятельно и хорошо продуманного учеб-
ника по интегральному исчислению» [251, с. 210]. В этих статьях
разобрано много интересных упражнений, даны указания к вы-
числению некоторых наиболее трудных интегралов.
Особый интерес представляет популяризаторская деятель-
ность Д.М. Перевощикова, касающаяся трудов великого рус-
ского ученого М. В. Ломоносова. Он посвящает ему статьи и
выступления, в которых объясняет русскому обществу значе-
ние Ломоносова как естествоиспытателя — физика, геолога и
минеролога. Наибольшей известностью пользуется его речь на
торжественном акте, посвященном 76-летию Московского уни-
526 III. Математическое образование в лицах
верситета «В рассмотрение Ломоносова рассуждения о явлени-
ях воздушных, от электрической силы происходящих», которая
вызвала общественный резонанс. Характеризуя Ломоносова, Пе-
ревощиков объяснял его стремление постичь силы природы сле-
дующим образом: «Гений-патриот, краеугольный камень нашей
учености, муж великий, законоположник языка нашего и вмес-
те смелый, проницательный и неутомимый испытатель приро-
ды, родившийся в стране суровой, которая, укрепляя его тело,
представляла светлым его взорам чудесные огни, горящие среди
неприступных льдов, и незаходящее солнце, коего тусклые лучи
скользили по земной поверхности, не оживляя оной.
Сии и многие другие необыкновенные явления севера воз-
буждали в душе его жажду познаний, непреодолимое желание
постигнуть законы чудес природы...»
Перевощиков отмечал научную прозорливость Ломоносова:
«Читая рассуждения Ломоносова о различных предметах естес-
твознания, всегда приходил я в удивление перед его гением, ко-
торый провидел истины, доказанные ныне многочисленными и
точными наблюдениями...» Как пример он рассматривал тепло-
вую теорию Ломоносова, впоследствии переоткрытую Румфор-
дом. С болью говорит Перевощиков о невнимании к достижени-
ям русской науки и даже забвении ее достижений: «Не могу не
сделать замечания о несправедливом равнодушии русских уче-
ных к трудам знаменитого соотечественника: рассуждая о тепле,
всегда умалчивают они о Ломоносове, предупредившем Румфор-
да целым полустолетием». Он приводит в пример иностранных
ученых: «Для чего не следуем похвальному примеру иноземных
ученых, которые всякое новое замечание своих собратий сохра-
няют тщательно, и даже весьма часто о самых мелочных опы-
тах пишут и говорят как об открытиях, расширяющих пределы
науки?» И делает заключение, к сожалению, актуальное и поны-
не: «Мы редко оцениваем справедливо труды своих сограждан,
хладнокровно уступаем иностранцам славу изобретений».
Широкое общественное звучание приобрели статьи Пе-
ревощикова о Ломоносове. Так, в «Современнике» была на-
печатана его статья «Отрывки из физической географии»,
где Перевощиков вновь обращается к приоритетам отечест-
венной науки*. Анализируя «Первые основания металлургии»
* Перевощиков Д. М. Отрывки из физической географии // Совре-
менник. 1848. Т. VII, отд. II.
Дмитрий Матвеевич Перевощиков 527
М. В. Ломоносова, он писал: «Предложения, которые извлек Ара-
го из рассуждения де Бомона, совершенно сходны с доказатель-
ствами М. В. Ломоносова, опровергавшего оставленную ныне те-
орию Вернера. Таким образом уверяемся, что в учении о подня-
тии гор М. В. Ломоносов предупредил новейших геологов почти
целым столетием. Причину этого поднятия М. В. Ломоносов от-
нес к действиям собственного тепла земли»*.
В статье «Труды Ломоносова по физике и физической гео-
графии», напечатанной в журнале «Радуга», Д. М. Перевощиков
раскрыл глубокие знания Ломоносова в области физики и метео-
рологии. Анализируя сочинение Ломоносова «О большей точнос-
ти морского пути», раздел которого посвящен «предсказанию по-
год, а особливо ветров», где Ломоносов говорит о необходимости
учреждения в разных частях света метеостанций, он делает за-
ключение, что «Ломоносов предвидел и предсказал все, что ныне
думают и делают метеорологи» [231, с. 199].
Д.М. Перевощиков пользовался любым случаем для популя-
ризации трудов Ломоносова и отстаивания приоритета отечест-
венной науки: в речах, статьях, учебниках, даже в примечаниях
к своему переводу уже упоминавшейся книги Ф. Араго «Биогра-
фии знаменитых астрономов, физиков и геометров».
Он слыл любителем и знатоком драматического искусства,
заядлым театралом, со знанием дела высказывался о Пушки-
не, Державине, Гоголе, игре знаменитого актера М. С. Щепкина,
был глубоким знатоком Шекспира. Он общался практичес-
ки со всеми знаменитыми людьми своего времени, особен-
ную симпатию питал к Гоголю, который часто обедал в
доме Перевощикова. Почитателями многочисленных талантов
Д. М. Перевощикова были такие знаменитые люди его эпохи,
как Щепкин, Грановский, Аксаков, Чернышевский. Белинский
и Фет в своих воспоминаниях по-доброму упоминали о нем.
Перевощиков прожил чрезвычайно насыщенную жизнь и
умер в 1880 г. в очень преклонном возрасте. Ряд столичных газет
поместил некрологи, в которых подчеркивалась значительная
роль Дмитрия Матвеевича в отечественной культуре и науке.
*
* Перевощиков Д. М. Отрывки из физической географии // Совре-
менник. 1848. Т. VII, отд. II. С. 44.
528 III. Математическое образование в лицах
Петр Семенович Гурьев
(1807-1884)
Петр Семенович Гурьев родился в семье очень известного
русского математика академика Семена Емельяновича Гурьева,
которому принадлежит первый в русской методике преподава-
ния математики методический труд «Опыт о усовершенствова-
нии элементов геометрии». Семейные традиции оказались чрез-
вычайно живучими, так как Петр Семенович, унаследовав лю-
бовь к отечественному математическому просвещению, со вре-
менем стал одним из самых известных методистов-математиков,
создателем одной из первых русских методик начального обуче-
ния арифметике. О его детских и юношеских годах сохранилось
очень мало сведений. Неизвестно даже, где он получил образо-
вание, для того времени очень незаурядное: он имел обширные
познания в теории и истории педагогики, философии, методике
и дидактике.
Сохранились сведения о том, что его наставником с юных
лет был правнук Леонарда Эйлера Петр Николаевич Фусс. Бла-
годарность своему учителю Гурьев выразил самым наилучшим
способом, посвятив ему первый свой труд «Арифметические
листки». Около 1828 г. по рекомендации П.Н. Фусса, который
был в это время главным наблюдателем за учебной частью
Гатчинского сиротского института, Петр Гурьев был принят
учителем в вышеозначенное учебное заведение. В задачи это-
го учебного заведения входила и подготовка учителей уездных
училищ.
В 1832 г. Гурьев и инспектор классов Гатчинского сиротско-
го института Е. О. Гугель* основали при этом институте школу
* Егор Осипович Гугель (1804-1841) — известный русский педа-
гог. В начале своей деятельности ознакомился с системой Песталоц-
ци, дал новое направление начальному обучению, изменил методы
преподавания, в арифметике ввел устный счет. Основное внимание
сосредоточил на повседневной воспитательной работе, построенной
на взаимном доверии между воспитанниками и воспитателем [220,
с. 634].
529
для малолетних детей. Министерство разрешило в качестве экс-
перимента набрать в эту мини-школу 10 мальчиков 4-6-летнего
возраста, которые находились на воспитании в семьях Гатчины.
На средства Гурьева и Гугеля был нанят маленький особняк, где
дети проводили большую часть дня под руководством наставни-
ка и его жены, специально обученных обращению с детьми.
Целью школы было создать для детей-сирот условия семей-
ной жизни, способствуя правильному развитию их способностей
в соответствии с самыми современными для той поры педаго-
гическими воззрениями. Режим работы этой школы напоминал
режим современного детского сада: дети приходили в школу ра-
но утром и возвращались домой вечером. Обучение в школе для
малолетних детей дало очень хорошие результаты: дети, «гру-
бые и неопрятные, стали быстро изменяться; они с радостью
посещали школу, с горем и плачем возвращались из нее к тем
людям, которые взяли их к себе большей частью из-за денег и
оставляли часто без всякого присмотра» [251, с. 422].
Это была первая в России школа для детей-сирот — прооб-
раз приютских домов. В 1837 г. на базе этой мини-школы была
открыта полноценная школа для малолетних детей-сирот при
Гатчинском сиротском институте.
В 1848 г. Гурьев был назначен инспектором классов Гат-
чинского сиротского института. В это время он получил новый
устав, в соответствие с которым расширялись учебные програм-
мы и увеличивалась продолжительность обучения. Основной
целью Гурьева было целесообразное устройство учебной части:
он считал, что следует «упрочить на долгое время процветание
столь огромного и разнообразного филантропического заведения,
каков Гатчинский сиротский институт»*.
Все преподавание в Гатчинском сиротском институте он
строил на общих основах педагогики, начиная с устройства учеб-
ной части и равномерного распределения каждого предмета пре-
подавания по классам, особенно заботясь о связях между ними.
При нем были составлены подробные программы по всем пред-
метам обучения, которые не только «показывали бы каждому
учителю точно и определенно, что от него требуется, но чтоб
открывали ему еще способы, как он должен действовать для вер-
нейшего и менее ошибочного достижения предназначенной ему
* Гурьев П. «Очерки истории Гатчинского сиротского института.
СПб., 1854. С. 118. Цит. по: [251, с. 422].
530 III. Математическое образование в лицах
цели» [213]. Все эти меры привели к повышению эффективнос-
ти преподавания, большинство учащихся оканчивало обучение
в институте в положенный уставом срок.
Гатчинскому сиротскому институту Гурьев отдал почти
30 лет жизни. В 1858 г. он вышел в отставку. По одной из вер-
сий причиной отставки было приглашение в 1854 г. на долж-
ность учителя словесности и законоведения бывшего препода-
вателя Демидовского юридического лицея, одного из старей-
ших учебных заведений страны, знаменитого русского педагога-
демократа Константина Дмитриевича Ушинского. В 1855 г.
Ушинский был назначен «инспектором, т.е. зав. уч. частью»
[221, с. 450] Гатчинского сиротского института. «Яркое дарова-
ние К.Д. Ушинского, расположение к нему П.В. Голохвастова
(директора института) и почетного опекуна Гатчинского сирот-
ского института графа Ланского сделали пребывание Гурьева в
должности инспектора классов этого института затруднитель-
ным» [251, с. 416].
Начиная с первых лет своей работы в Гатчинском сиротском
институте, П.С. Гурьев активно участвовал в издании педагоги-
ческих журналов. В 1833-1834 гг. он совместно с Е. О. Гугелем
и А. Г. Ободовским издавал «Педагогический журнал», содер-
жание которого мы охарактеризовали в основном тексте книги.
С 1857 по 1860 г. Гурьев участвовал также в издании журна-
ла «Русский педагогический вестник», который был посвящен
проблемам обучения и воспитания. Особое внимание этот жур-
нал уделял вопросам женского образования.
Выйдя в отставку, П. С. Гурьев поселился в своем родовом
поместье Щупоголово Тесовской волости Новгородского уезда,
где стал очень активным земским деятелем. Он занимал долж-
ности губернского и уездного гласного Новгородского земства,
мирового судьи, попечителя земских школ Тесовской волости.
Работая на этих должностях, Гурьев не оставлял без внимания
народное просвещение. Он пропагандировал мысль о привлече-
нии учителей к изучению и статистическому описанию Новго-
родского уезда, боролся за улучшение путей сообщения, создание
земской почты*.
* Гурьев активно публиковался в это время по указанным пробле-
мам. В частности, им выпущены в «Трудах Вольно-экономического
общества» «Брошюрки о земских вопросах», «Предложения новгород-
скому уездному земскому собранию» и др. (см. подробнее: [251, с. 416]).
Петр Семенович Гурьев 531
Педагогическая деятельность Гурьева в земстве носила про-
тиворечивый характер и получила в истории образования спе-
циальное название «Гурьевского дела». В 1874 г. он был избран
попечителем земских школ в Тесовской волости Новгородского
уезда. Он всегда был сторонником содержания школ не толь-
ко на земские средства, но и на личные средства крестьян той
местности, где работала школа. Он сразу назначил плату за обу-
чение для тех времен очень большую — по копейке в сутки, т. е.
3 руб. 65 коп. в год. Собранные средства позволили поставить
дело обучения на достаточно высокий уровень. В 1880 г. в Те-
совской волости было уже 12 земских школ (в начале деятель-
ности Гурьева их было две) во главе с двухклассной школой, на
постройку и оборудование которой Гурьев не жалел ни своих,
ни собранных с крестьян средств. Для этой школы был постро-
ен громадный дом за фантастическую по тем временам сумму
в 8 000 руб. Она стала своеобразным учебным центром волости,
в котором общались учителя, находился склад всех учебных по-
собий для школ волости, учительская и детская библиотеки с
большим для того времени количеством книг. В результате де-
ятельности П. С. Гурьева за короткое время число грамотных в
волости увеличилось на 25%, значительно увеличилось и число
учителей.
Однако предложенная плата за обучение была непосильной
для большинства крестьян, к тому же со временем ею стали
практически принудительно облагать и крестьян, не имевших
детей школьного возраста. В 1884 г. крестьяне не только отказа-
лись от всяких дальнейших пожертвований, но и отменили все
прежние сборы на школу. Они даже призывали сжечь здание
двухклассной школы. В результате все тесовские школы были
закрыты и открылись только после смерти П. С. Гурьева. Возоб-
новлены были и школьные сборы, но в более реальных размерах.
Умер П. С. Гурьев на 77 году жизни, целиком посвященной
школьному делу и земству. Погребен он в своей усадьбе Щупо-
голово. Прискорбно то, что ни одна из газет и ни один педаго-
гический журнал, которых издавалось в то время достаточное
количество, не поместили некролога, не описали его достойной
подражания деятельности на ниве народного просвещения.
532 III. Математическое образование в лицах
Виктор Яковлевич Буняковский
(1804-1889)
Виктор Яковлевия Буняковский — русский математик,
академик Петербургской Академии наук, ее вице-президент
(1864-1889) и почетный вице-президент. Награжден орденом
Александра Невского «во внимание к 50-летней деятельности
его на ученом поприще, ознаменовавшейся многими замеча-
тельными трудами, способствовавшими успехам математики»*.
Был почетным членом всех русских университетов и множества
ученых обществ. При Академии наук была учреждена премия
им. В. Я. Буняковского за лучшие сочинения по математике.
Виктор Яковлевич Буняковский родился 4 (16 декабря по
новому стилю) 1804 г. в городе Баре Могилевского уезда По-
дольской губернии в семье боевого офицера Якова Васильевича
Буняковского, который проявил, как сказано в наградных доку-
ментах, «отличную храбрость и отменное мужество» в много-
численных сражениях и умер в 1809 г. в чине полковника.
В. Я. Буняковский получил домашнее образование вместе с
сыном генерала А. П. Тормосова, сослуживца отца, сначала в
Петербурге, затем в Москве.
В 1820 г. Буняковский вместе со своим однокашником уезжа-
ет для получения дальнейшего образования за границу. В пер-
вый год он берет частные уроки по математическим наукам в
Германии, потом слушает лекции в Лозаннской академии. Блес-
тящее математическое образование Буняковский завершил в Па-
риже, где в Сорбонне изучал математику под руководством Лап-
ласа, Фурье, Пуассона, Лежандра, Ампера и др. Определяющее
влияние на Буняковского оказали его занятия под руководством
Коши.
В 1825 г. Буняковский получает степень доктора математи-
ческих наук после публичной защиты диссертации, которая со-
стояла из двух частей — работ по аналитической механике и
математической физике [251, с. 293]. В следующем 1826 г. Буня-
ковский возвращается на родину, в Петербург.
* Цит. по: [251, с. 305-306].
_____________________________________________________ 533
По возвращении Буняковский определяется на службу в
военно-учебные заведения: сначала он был приглашен препода-
вать математику в старших классах Первого кадетского корпуса
(бывший Сухопутный шляхетный кадетский корпус), позже —
в офицерских классах Морского кадетского корпуса, где он про-
работал 37 лет непрерывно. К Морскому кадетскому корпусу и
к военным морякам Буняковский испытывал особую симпатию
и поддержал сложившиеся традиции первоклассного математи-
ческого образования в этом учебном заведении.
В дальнейшем Буняковский преподает математику в Гор-
ном институте, Институте корпуса инженеров путей сообщения.
В 1864 г. он избран ординарным профессором Петербургского
университета, в котором более 10 лет читал различные разделы
математического анализа, теорию вероятностей, вариационное
исчисление и другие математические дисциплины.
Таким образом, В. Я. Буняковский около 40 лет своей жизни
отдал преподаванию математики в учебных заведениях различ-
ного типа и активно способствовал повышению уровня отечест-
венного математического образования.
Методическая деятельность Буняковского была связана в
основном с преподаванием математики в воено-учебных заведе-
ниях: он принимал активное участие в деятельности различных
комиссий по составлению для них программ и конспектов, рас-
смотрению учебных руководств, проведению экзаменов для лиц,
желающих стать преподавателями военно-учебных заведений,
и др. После смерти М. В. Остроградского (1862) Буняковский
сменил его на посту главного наблюдателя за преподаванием
математических наук в военно-учебных заведениях, для нужд
которых им были написаны учебные руководства «Арифмети-
ка», «Конспект начальной геометрии» и др., сыгравшие роль в
истории гимназического математического образования.
Его преподавательская и методическая деятельность в
военно-учебных заведениях высоко оценена современниками.
Так, начальник военно-учебных заведений генерал-майор Иса-
ков на общем собрании Академии наук отметил, что «деятель-
ность Буняковского по ведомству военно-учебных заведений бы-
ла в совершенной мере достойна его ученого звания и заслужила
полную благодарность со стороны означенных заведений»*.
* Протоколы общего собрания Академии наук за 1864 г. Цит. по:
[251, с. 305-306].
534 Ш- Математическое образование в лицах
М. В. Остроградский давал высокую оценку работе Буня-
ковского в качестве члена и редактора специальной математи-
ческой комиссии, которая занималась разработкой проблем пре-
подавания математики в военно-учебных заведениях.
Остались свидетельства о замечательных лекторских ка-
чествах и высоком педагогическом мастерстве В. Я. Буняков-
ского. Прежде всего современников поражала его эрудиция. В
совершенстве владея языками, он читал всю математическую
и связанную с математикой русскую и иностранную литерату-
ру. Он не полагался на свою эрудицию и обширные научные
познания, а всегда тщательно готовился к чтению лекций, кото-
рые отличались четкостью и глубиной содержания, изяществом
и точностью языка.
Приведем одно из впечатлений современников о нем и его
педагогическом мастерстве: «Буняковский был наиблестящим
лектором со всех сторон, даже по внешности, имея привлека-
тельную, но строгую наружность, обличающую мыслителя. Он
читал с поразительною ясностью и отчетливостью, читал ровно,
так что увлечения и вдохновения не замечалось. Он не произво-
дил того ошеломляющего впечатления, какое вообще производил
Остроградский, но каждому, не менее того, чувствовалось, что
перед ним находится огромная величина и сильный вождь. Бу-
няковский был вполне на высоте своей задачи, т.е. открывать
впервые таинства высшего анализа»*.
В. Я. Буняковский был чрезвычайно скромен, отзывчив и
внимателен к людям. Он был «снисходительным к трудам
других и самым непритязательным. Когда нужно было гово-
рить истину, — обращаясь к Буняковскому, говорил профес-
сор А. Н. Савич, — Вы ее излагали открыто, чистосердечно и
всегда в самых лучших формах. Кто из нас не испытывал той
простой и непритворной любезности, того постоянного доброду-
шия, которые так часто проявлялись в течение 37-летней Вашей
службы»**. Среди его коллег в первую очередь следует назвать
М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева.
* Воспоминания В. А. Панаева // Русская старина. 1893, ноябрь.
С. 408. Цит. по: [251, с. 318].
** Коргу ев П. Описание празднества, данного в честь академика
В. Я. Буняковского 30 декабря 1864 года. Кронштадт. 1865. С. 8. Цит.
по: [251, с. 320].
Виктор Яковлевич Буняковский 535
С Остроградским Буняковский впервые познакомился в Па-
риже. В конце 20-х гг. тот был приглашен преподавать матема-
тику в Морской кадетский корпус, где в это время уже работал
Буняковский. Сохранились воспоминания одного из их учеников
о возобновившемся знакомстве: вскоре после того, как Буняков-
ский «начал бороться с нашею математической неразвитостью,
явился на то же поприще другой деятель; то был гениальный
М. В. Остроградский. Я живо помню, как убеленный седина-
ми и уже знаменитый наш первый кругосветный мореплаватель
(адмирал И. Ф. Крузенштерн — Т. П.) ввел в класс к Виктору
Яковлевичу молодого тогда ученого; как дружески будущие ко-
рифеи науки протянули друг другу руки, как бы уславливаясь
действовать заодно на предстоящем им поприще» [251, с. 321].
Дружеские отношения с Остроградским Буняковский пронес че-
рез всю жизнь, отзываясь о нем всегда с уважением и особенно
ценя его научные заслуги.
В конце 40-х гг., в бытность Буняковского профессором Пе-
тербургского университета, на него было возложено посещение
лекций адъюнкта того же университета П. Л. Чебышева и пред-
ставление отзыва о нем как о преподавателе. В. Я. Буняковский
оказал большую поддержку молодому лектору своими советами
и дал прекрасный отзыв о его работе. Дружеские отношения с
Чебышевым также сохранились на всю последующую жизнь.
Единственный, но очень серьезный упрек можно сделать
В. Я. Буняковскому в отношении его недооценки «воображаемой
геометрии» Н. И. Лобачевского. В своих научных интересах Бу-
няковский был близок к геометрии, более того, к теории парал-
лельных, однако ни в одном из своих мемуаров, посвященных
этой проблеме, он не только не упомянул о гениальных работах
Лобачевского, но даже выразил отрицательное к ним отноше-
ние*.
Обширна и плодотворна научная деятельность В. Я. Буня-
ковского. Библиография его работ включает 168 названий**.
Сфера научных интересов Буняковского очень широка: теория
чисел и теория вероятностей с ее приложениями к страхованию,
* См. подробнее далее, в статье о Н. И. Лобачевском.
** Эти данные взяты из биографического словаря-справочника [33,
с. 81]. В. Е. Прудников указывает источники библиографических дан-
ных, в их числе составленный самим Буняковским (108 названий).
536 III. Математическое образование в лицах
демографии и др. Кроме того, ему принадлежат мемуары в об-
ласти анализа, геометрии, алгебры; он занимался также прак-
тикой вычислений. Труды Буняковского относятся и к теорети-
ческой механике, истории математики, математической физике.
Общественный подъем в России 60-х гг., связанный с отме-
ной крепостничества и бурным развитием капиталистических
отношений, потребовал от математики решения многих при-
кладных задач, которые преимущественно связаны с теорией
вероятностей. Это исследования, посвященные статистике на-
родонаселения, подсчету вероятных контингентов русской ар-
мии, организации страхового дела и пенсионных касс. Вкупе с
капитальным трудом Буняковского «Основания математичес-
кой теории вероятностей» (1846) они содействовали успешному
развитию теории вероятностей в Росии, передовые позиции в ко-
торой с этих пор принадлежали русским и впоследствии совет-
ским ученым-математикам. Работы по теории чисел о сравнени-
ях, квадратичном законе взаимности возродили у отечественных
ученых интерес к проблемам теории чисел, успешно разрабаты-
вавшимся в России во времена Эйлера.
В математическом анализе большое значение имеют работы
Буняковского по теории неравенств. В частности, им открыто и
доказано «неравенство Буняковского», которое иногда ошибочно
называют «неравенством Шварца», хотя Г. А. Шварц нашел его
на 16 лет позже Буняковского. Оно весьма часто употребляет-
ся в интегральном исчислении и в исследованиях, посвященных
разложению произвольных функций по функциям ортогональной
системы.
В течение многих лет Буняковский занимался теорией
параллельных, пытаясь систематизировать попытки доказа-
тельств пятого постулата Евклида и разработать собственную
теорию параллельных линий. Наиболее известная из этих работ
— мемуар «Параллельные линии» (1853), который до сих пор
не потерял своего педагогического значения в силу прежде все-
го приведенного в нем исторического обзора и классификации
многочисленных доказательств пятого постулата.
Буняковский заботился о создании современной ему мате-
матической терминологии, а также популяризации математики
через энциклопедические словари. Составленный им обширный
«Лексикон чистой и прикладной математики», первый том ко-
торого (до буквы Б) издан в 1839 г., имел большое значение для
математического просвещения и упорядочивания научной тер-
Виктор Яковлевич Буняковский 537
микологии. Буняковский занимался также рассмотрением, пояс-
нением и пополнением математических терминов и выражений
для словаря церковно-славянского и русского языков, изданного
Академией наук в 1847 г. Кроме того, он был редактором мате-
матического отдела «Энциклопедического словаря» (1861-1863),
в котором помещено несколько статей и самого Буняковского.
Значительное количество статей по математике поместил он и
в «Энциклопедическом словаре» Плюшара. Вообще, в академи-
ческих словарях Буняковский опубликовал свыше 50 статей и
заметок, причем большинство из них относится к истории мате-
матики, к которой он проявлял большой интерес.
В. Я. Буняковский был не только одним из лучших ученых-
математиков своего времени, но и замечательным изобретате-
лем. Он предложил оптимальное распределение громоотводов
над зданиями, изобрел новый планиметр, существенно облег-
чивший работу землемеров. Его изобретение так называемых
самосчетов (усовершенствованные русские счеты) не только об-
легчили работу кассиров, бухгалтеров и др., но и явились в не-
котором роде толчком для изобретения П. Л. Чебышевым одной
из первых вычислительных машин — арифмометра Чебышева.
Работы Буняковского по прикладным вопросам теории ве-
роятностей способствовали развитию в России страхового дела
и пенсионных касс. Он был главным государственным экспертом
по статистике и страхованию.
Научная деятельность В. Я. Буняковского протекала пре-
имущественно в рамках Академии наук. В 1828 г. он был избран
адъюнктом по чистой математике, в 1830 г. — экстраординар-
ным академиком, в 1841г. — ординарным, с 1864 г. почти до
самой смерти Буняковский занимал должность вице-президента
Академии наук. Во всех этих качествах Буняковский проявил
себя как талантливый организатор и неутомимый труженик.
Он постоянно делал доклады по самым разнообразным вопросам
практически на всех заседаниях физико-математического отде-
ления Академии наук.
Активно работал Буняковский в различных комитетах и ко-
миссиях при Академии. Так, в 1830 г. он вошел в состав комите-
та по изучению перспектив введения григорианского календаря,
который позволил бы облегчить отношения России с другими
европейскими государствами. В 1844 г. В. Я. Буняковский вмес-
те с М. В. Остроградским и другими известными математиками
вошел в состав комиссии по изданию трудов Эйлера. Комиссией
538 III. Математическое образование в лицах
был составлен план издания полного собрания сочинений вели-
кого ученого. С участием Буняковского удалось издать некото-
рые труды Эйлера, его переписку и список сочинений. Совместно
с П. Я. Чебышевым он способствовал изданию арифметических
трудов Эйлера, систематического указателя всех мемуаров Эй-
лера по теории чисел.
В 1863 г. была назначена специальная комиссия из академи-
ков под председательством Буняковского для составления нового
устава Академии наук и ее штатного расписания. Она работала
около двух лет и создала эти важные документы, регламенти-
рующие всю деятельность Академии.
Однако основным его академическим занятием кроме иссле-
довательской деятельности было рецензирование математичес-
ких сочинений, поступавших на отзыв в Академию наук.
Высококвалифицированная, энергичная и очень продуктив-
ная деятельность В. Я. Буняковского в сочетании с прекрасны-
ми человеческими качествами снискала признание всей акаде-
мической корпорации. В 1875 г. был создан комитет для орга-
низации 50-летнего юбилея научно-педагогической деятельности
Буняковского. В его состав входили такие известные академики-
математики, как П. Л. Чебышев, О. И. Сомов, А.Н. Савич.
Комитетом было получено разрешение на открытие подпис-
ки для изготовления специальной медали, причем «вследствие
подписки < ... > составился капитал, на который поставлено
учредить премию за лучшие работы по математике» [72, с. 449].
Эта премия вручалась с 1884 по 1896 г. таким известным рус-
ским математикам как П. А. Некрасов, К. А. Поссе, Н. Я. Сонин,
М. А. Тихомандрицкий и Г. Ф. Вороной.
Торжественное собрание, посвященное этому юбилею, состо-
ялось 19 мая 1875 г. и превратилось в «восторженную овацию
юбиляру» [251, с. 306] и показало то глубокое уважение, кото-
рым пользовался В. Я. Буняковский в академических, научных
и преподавательских кругах.
В 1888 г. столь же торжественно отмечалось 60-летие его
академической деятельности. Лишь за несколько месяцев до ухо-
да из жизни, почувствовав, что не может более принимать ак-
тивное участие в жизни Академии наук, Буняковский подал
прошение об увольнении с должности вице-президента и пре-
доставлении ее лицу, обладающему силами для качественного
исполнения этих обязанностей. Сам факт подачи такого рода
прошения говорит о его высоких моральных качествах.
Виктор Яковлевич Буняковский 539
Вся жизнь Буняковского была полностью посвящена интел-
лектуальной деятельности. По словам академика К. С. Веселов-
ского, «он жил, когда работал, и жил только, чтобы работать,
и его биография почти вся укладывается в рамки его библио-
графии» [60, с. 8]. Однако это не мешало ему не только любить
поэзию, но и самому быть поэтом*, пользоваться широкой из-
вестностью не только в научном мире, но и среди широких слоев
образованного русского общества.
В. Я. Буняковский умер 30 ноября (12 декабря) 1889 г. В
траурной церемонии участвовала большая часть членов Ака-
демии наук и множество других лиц. Почти все газеты поме-
стили некрологи, в которых характеризовалось значение его на-
учных трудов и энергичной деятельности на многих поприщах.
В. Я. Буняковский похоронен на Смоленском кладбище Петер-
бурга.
*
* В 26 лет он перевел стихотворение Байрона «К морю» и опубли-
ковал его в журнале «Маяк» за 1840 г. (см.: [251, с. 321]).
540 III. Математическое образование в лицах
Николай Иванович Лобачевский
(1792-1856)
Николай Иванович Лобачевский — великий русский ма-
тематик, гениальный создатель неевклидовой геометрии, член-
корреспондент Геттингенского общества наук. Открытие новой
геометрии сыграло революционную роль в развитии не только
геометрии, но и всей математической науки. Это прорыв, за-
вершивший практически двухтысячелетнюю историю проблемы
обоснования геометрии, связанной с пятым постулатом Евклида
и вытекающей из него теорией параллельных линий, положив
конец бесплодным попыткам доказательства этого постулата.
Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декаб-
ря по новому стилю) 1792 г. в Нижнем Новгороде в семье уезд-
ного землемера*. Вскоре его отец умер, семья (мать и три сы-
на, из которых Николай был средним) осталась практически без
средств к существованию и переехала в Казань. В 1802 г. энер-
гичной Прасковье Александровне Лобачевской удалось добиться
поступления своих сыновей в Казанскую гимназию на «казенный
кошт».
Казанская гимназия основанная в 1758 г. одной из первых
в России под патронатом Московского университета, влачила
довольно жалкое существование и была практически восста-
новлена в 1798 г. Очень удачный подбор преподавателей пред-
определил высокое качество естественнонаучной и прежде всего
математической подготовки, особенно следует отметить воспи-
танника Московского университета Г. И. Карташевского, перво-
го учителя математики Н. И. Лобачевского. Он был прекрасно
образованным математиком, замечательным педагогом и очень
отзывчивым человеком, имевшим очень большое влияние на сво-
его ученика. В гимназии царил довольно суровый режим, курс
обучения был краток и труден. За время обучения в гимназии
* В современной литературе появились иные версии происхожде-
ния Лобачевского и условий его воспитания и образования (см. под-
робнее: [87]).
5Ц
Лобачевский аттестовался как «весьма прилежный и благонрав-
ный ученик, в конце гимназического курса занимающийся с осо-
бенным прилежанием математикой и латинским языком» [251,
с. 220].
В 1805 г. фактически при гимназии был открыт Казанский
университет. Директор гимназии И. Ф. Яковкин был назначен
профессором и инспектором университета, другие преподава-
тели гимназии, в том числе и Карташевский, — адъюнктами
(доцентами) университета. В феврале 1807 г. пятнадцатилетним
юношей Лобачевский был «перечислен» из Казанской гимназии
в Казанский университет, незадолго перед тем открытый.
Академик С. Я. Румовский, бывший с 1803 г. попечителем
Казанского учебного округа и создателем Казанского универ-
ситета, основное внимание уделил подбору высококвалифици-
рованного преподавательского состава, что ему блестяще уда-
лось*. В только что открытый провинциальный университет
приехали первоклассные иностранные математики, в том числе
М. X. Бартельс**, Ф. К. Броннер, К. Ф. Реннер и И. И. Литтров.
У Бартельса Лобачевский учился чистой математике, у Литтро-
ва — астрономии, у Броннера — физике и у Реннера — приклад-
ной математике [105, с. 11].
Профессор Бартельс, будучи выдающимся педагогом (он
был в молодые годы и школьным учителем математики великого
Гаусса), стал вторым учителем математики Н. И. Лобачевского.
Он сумел поставить обучение математике в Казани на очень
высокий уровень, опираясь в своем изложении на лучшие ма-
тематические сочинения того времени. Интересно, что он изла-
гал студентам и историю математики. Анализ он читал, следуя
Эйлеру и Лакруа, дифференциальную геометрию — по Монжу,
* См. подробнее: [238, с. 176-177].
** В 1801г. Гаусс получает приглашение в Петербургскую Акаде-
мию наук. По-видимому, Гаусс рекомендовал вместо себя Иоганна
Мартина Христиана (Мартина Федоровича, как его звали в России)
Бартельса, чем и воспользовался Румовский, предложив Бартельсу
кафедру математики в Казани. Последний согласился сначала только
на звание почетного члена Казанского университета. Однако в 1807 г.,
когда Пруссия была оккупирована Наполеоном, Бартельс принял при-
глашение в Казань, куда и прибыл в начале 1808 г. (См. подробнее:
[106, с. 478-479]).
542 III. Математическое образование в лицах
основные разделы теории чисел по Гауссу [346, с. 2]. Таким об-
разом, студенты-математики воспитывались на трудах признан-
ных классиков математики и механики. Лучших своих учеников
он приучал к самостоятельной работе над их исследованиями.
Бартельс высоко оценил царящий среди студенчества Казанско-
го университета дух стремления к знаниям и культуре*. Он от-
мечал, что «нашел в Казани, несмотря на незначительное число
студентов, необыкновенно много любви к изучению математи-
ческих наук»**.
Среди лучших учеников, а их насчитывалось около 20, Бар-
тельс быстро выделил Лобачевского, обладавшего блестящими
математическими способностями. В 1811г. Бартельс в отзыве
попечителю учебного округа так характеризовал его успехи:
«О искусстве последнего (Лобачевского — Т. П.) предложу хотя
один пример. Лекции свои располагаю я так, что студенты мои
в одно и то же время бывают слушателями и преподавателями.
По сему правилу поручил я перед окончанием курса старшему
Лобачевскому предложить под моим руководством пространную
и трудную задачу о вращении, которая мною для себя уже была
по Лагранжу в удобопонятном виде обработана. < ... > Лоба-
чевский при окончании последней лекции подал мне решение сей
столь запутанной задачи...» [56, с. 19-20]. Он же говорил, что
«Лобачевский оказал столько успехов, что даже во всяком не-
мецком университете он был бы отличным» [81, с. 99].
В 1811 г. Лобачевский по рекомендации Бартельса, который
указывал на его «чрезвычайные успехи и таковые же дарования
в науках математических и физических» [251, с. 221], получил
звание магистра и начал подготовку к научной деятельности
под руководством Бартельса и к преподаванию арифметики и
геометрии чиновникам, готовившимся к сдаче экзаменов на чин,
* Писатель С. Т. Аксаков, обучавшийся в Казанской гимназии и
университете почти одновременно с Лобачевским, писал: «Нельзя без
удовольствия и без уважения вспомнить, какою любовью к просве-
щению, к наукам было одушевлено тогдашнее старшее юношество...
Занимались не только днем, но и по ночам... Учителя были также
подвигнуты таким горячим рвением учеников и занимались с нами
не только в классах, но и во всякое свободное время, по всем празд-
ничным дням. .. Прекрасное, золотое время! Время чистой любви к
знанию, время благородного увлечения».
** Цит. по: [346, с. 2].
Николай Иванович Лобачевский 543
а затем и к работе в самом университете. В марте 1814 г. Лоба-
чевский был произведен в адъюнкты, а в августе 1816 г. в звании
экстраординарного профессора получил кафедру математики. В
1822 г. он был назначен ординарным профессором.
В эти годы он читал теорию чисел, алгебру, математи-
ческий анализ, сферическую тригонометрию, а также разде-
лы элементарной математики, входившие в то время в уни-
верситетский курс. Лобачевский также преподавал в течение
1819-1821 гг. физику и астрономию, заменяя участвовавшего в
кругосветной экспедиции Беллингсгаузена своего однокашника
И.М. Симонова, впоследствии выдающегося астронома.
В 30-40-е гг. Лобачевский читал курсы интегрального ис-
числения , интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений, интегрирования уравнений с частными производны-
ми и вариационного исчисления. Читал Лобачевский по собст-
венным конспектам, по воспоминаниям одного из слушателей,
«в аудитории он заботился об изложении со всею ясностью, но
любил более сам учить, нежели излагать по авторам, предоста-
вив слушателям самим познакомиться с подробностями учебной
литературы»*.
Лекции Лобачевский излагал простым и общедоступным
языком, «без желания придать внешнюю красоту своей речи,
без риторической эмфазы и крика; в словах его слышался и его
логический ум и широкое образование. Спокойным ровным голо-
сом он делал свои широкие обобщения, вызывал увлекательные
образы и возбуждал мысль» [37, с. 243-244]. В аудитории Ло-
бачевский мог быть «глубокомысленным или увлекательным,
смотря по предмету изложения; при этом заботился об изложе-
нии со всею ясностью, решая сначала частные задачи по спо-
собу синтетическому, а потом доказывая общие предложения по
способу аналитическому... Он чертил на доске не скоро, стара-
тельно, формулы писал красиво, дабы воображение слушателей
воспроизводило с удовольствием предметы преподавания» [240].
Экзаменатором Лобачевский был весьма строгим, «требо-
вал, чтобы студенты, отвечая на вопрос, выражались точно, от-
четливо и с ясным пониманием того, что говорят, причем часто
останавливал студента вопросами, касающимися не вычисления
собственно, а понимания того, что делается; нередко сам брал
мел в руки и чрезвычайно просто и понятно объяснял студенту
то, что, видимо, он не усвоил себе» [353, с. 69]. Студенты любили
* Цит. по: [346, с. 3].
544 Ш. Математическое образование в лицах
Лобачевского, несмотря на его строгость, и чувствовали в нем
первоклассного ученого, отличающегося широтой математичес-
кого и общего образования.
Мировую известность принесла Н. И. Лобачевскому его на-
учная деятельность. Он создал новую, так называемую «вооб-
ражаемую геометрию», изменив представление о самой матема-
тике, ее основах. До создания новой геометрии аксиома счита-
лась безусловной истиной, не требующей доказательств в силу
своей очевидности. Знаменитый пятый постулат о параллель-
ных также не вызывал сомнений по своей сути, однако «слож-
ный характер его формулировки и относительно меньшая само-
очевидность обратили на него особенное внимание геометров»
[346, с. 8].
Попытки его доказательства продолжались в течение почти
2 000 лет, но к началу XIX в. проблема параллельных остава-
лась неразрешенной. Лобачевский решил ее совершенно неожи-
данно и кардинально, заменив «очевидный» постулат о парал-
лельных «неочевидным» предложением, являющимся его отри-
цанием. Это был абсолютно революционный факт, изменяющий
представление о логическом строении всей математики.
Лобачевский очень рано заинтересовался теорией парал-
лельных линий. Поразительно, что он никогда не читал в уни-
верситете лекций по высшим разделам геометрии и первые идеи
новой геометрии пришли к нему при глубоком анализе курса эле-
ментарной геометрии, которые он читал с самого начала своей
преподавательской деятельности. В лекциях, которые он читал
в 1815-1817 гг., он по примеру многих поколений предшествен-
ников еще пытался найти доказательство постулата о парал-
лельных, но впоследствии сам увидел ошибочность своих рас-
суждений и нигде их не опубликовал. В рукописном учебнике
элементарной геометрии (1823) Лобачевский уже отказывается
от попыток доказательства пятого постулата: «Строгого дока-
зательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были
даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают
быть почтены в полном смысле математическими доказательст-
вами» [166, с. 70].
11 (23) февраля 1826 г. Лобачевский выступил на совете
физико-математического отделения Казанского университета с
докладом на тему «Сжатое изложение начал геометрии со стро-
гим доказательством теоремы о параллельных линиях». Этот
день вошел в историю математики как день рождения геомет-
Николай Иванович Лобачевский 545
рии Лобачевского. Он представил также и письменный вариант
этого доклада, написанный на французском языке, под загла-
вием «Exposition succincte des principes de geometrie aves une
demonstration rigoureuse du theoreme des parallelles». В препрово-
дительной бумаге Лобачевский просил рассмотреть его работу и
в случае одобрения напечатать ее в намеченных к тому времени
к изданию «Ученых записках университета». Однако рецензен-
ты не представили никакого отзыва, доклад так никогда и не
был напечатан, рукопись была утеряна*.
В 1829 и 1830 гг. в пяти книжках университетского журна-
ла «Казанский вестник» Лобачевский опубликовал сочинение «О
началах геометрии». Оно содержит извлечения из «Exposition
succincte», дополненные развитием этого исследования. Это пер-
вая в мире публикация по неевклидовой геометрии. В ней изло-
жены следующие вопросы: 1) абсолютная геометрия, 2) основы
«воображаемой геометрии, 3) вопрос о геометрии реального про-
странства, 4) аналитическая и дифференциальная геометрия не-
евклидова пространства и вычисление длин, площадей, поверх-
ностей и объемов, 5) сравнение интегралов и найденные вновь
определенные интегралы [35, с. 511].
Во вступлении Лобачевский совершенно определенно гово-
рит о цели своего исследования: «Нигде в математике нельзя
терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены мы
допустить в теории параллельных линий... Здесь намерен я изъ-
яснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в гео-
метрии. Изложение всех моих исследований потребовало бы...
представления совершенно в новом виде всей науки» [165, с. 27-
28]. Из этой оценки видно, что Лобачевский совершенно отчетли-
во представлял значение своих исследований для развития всей
математической науки.
Заменив пятый постулат его отрицанием, Лобачевский по-
строил «воображаемую геометрию» — собственную геометри-
ческую систему, отличную от евклидовой. Она включала в себя
ряд внешне парадоксальных теорем, например теорему о том,
что сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых и,
вообще говоря, меняется от треугольника к треугольнику. По-
этому нужны были дополнительные доказательства ее жизнен-
ности. Эти доказательства Лобачевский искал в решении двух
проблем: первая — какова геометрия видимого мира, вторая —
как строго доказать непротиворечивость новой геометрии.
* См. подробнее: [130, с. 264].
546 III. Математическое образование в лицах
Для решения первой проблемы он, будучи хорошим астроно-
мом, привлек астрономические данные о параллаксах неподвиж-
ных звезд и пришел к заключению, что «все линии, которые
подлежат нашему измерению, даже расстояния между небес-
ными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою
в теории за единицу, что употребительные до сих пор уравне-
ния прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погреш-
ности должны быть справедливы» [130, с. 45]. Таким образом,
Лобачевский показал, что наши геометрические представления
сложились в результате наблюдений хотя и чрезвычайно продол-
жительных, но «происходивших в весьма небольшом участке ми-
роздания, в пределах которого они возникли в упрощенном виде»
[130, с. 284]. Эти представления при попытке их распростране-
ния на все мироздания составляют иллюзию подобно тому, как
иллюзию составляло убеждение, что Земля плоская.
Для решения второй проблемы Лобачевский прибегнул к
приему, не обладающему строгой доказательностью, но подкреп-
лявшему уверенность в непротиворечивости новой геометрии:
он вывел интегральные формулы измерения фигур в новой гео-
метрии и показал совпадение результатов со значениями тех же
интегралов, полученных чисто аналитически.
В сочинении «О началах геометрии» намечены все вопро-
сы, которые подробнее развивались в последующих геометри-
ческих исследованиях Лобачевского: «Воображаемая геометрия»
(1835) [307], «Новые начала геометрии с полной теорией парал-
лельных» (1835-1838)*, «Применение воображаемой геометрии к
некоторым интегралам» (1836), «Геометрические исследования о
параллельных линиях» (1840), «Пангеометрия» (1855). Его идеи
становятся известны за рубежами страны: в 1837 и 1840 гг. он
издает мемуары на французском** и немецком*** языках.
* Ученые записки Казанского Императорского университета. 1835,
кн. III, с. 3-48; 1836, кн.1, с. 3-98; кн.Ш, с. 3-50; 1837, кн.1, с. 3-97;
1838, кн. I, с. 3-124; кн. III, с. 3-65. Это наиболее подробная работа
Лобачевского, посвященная началам геометрии. В ней параллельно
изучаются как геометрия Евклида (в терминологии Лобачевского,
«употребительная»), так и «воображаемая» геометрия Лобачевско-
го (см. подробнее: [266, с. 14]).
** Geometric iniaginaire. Crelles Journal. 1837. 17, 295 ff.
*** Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallel-Linien.
Berlin, 1840.
Николай Иванович Лобачевский 547
Такая широкая пропаганда идей Лобачевского вызвала не-
однозначную реакцию в математическом сообществе. Дело в
том, что идеи неевклидовой геометрии, начиная с 1810-х гг., об-
думывал великий Гаусс, но не решался их обнародовать, опа-
саясь «крика бейотийцев (глупцов), который поднимется, ког-
да я выскажу свои воззрения целиком»*. Кроме того, теорией
параллельных занимался молодой венгерский математик Янош
Больяи, который независимо от Лобачевского, но на три года
позже (1832) опубликовал знаменитый теперь «Appendix»** с
изложением элементов неевклидовой геометрии.
Гаусс, познакомившись с трудами Лобачевского*** и Боль-
яи, не осмелился оказать им открытую поддержку. Косвенное
одобрение трудам Лобачевского Гаусс выразил тем, что в 1842 г.,
через два года после издания в Германии «Геометрических ис-
следований по теории параллельных линий», рекомендовал его в
члены Геттингенского научного общества. Для более подробно-
го знакомства с трудами Лобачевского он даже изучил русский
язык. Естественно, Лобачевский испытал большое удовлетворе-
ние от признания его Гауссом, слава о котором дошла до него
еще в университетские годы через их общего учителя Бартель-
са. Он ответил благодарственным письмом**** *****. Другие связи
Лобачевского с Геттингенским королевским обществом наук не
установлены* * * * *.
Иначе обстояло дело на родине. Невольно вспоминается зна-
менитое: «В своем отечестве пророков нет». Впрочем, новая гео-
метрия настолько парадоксальна, что крайне недоверчивое от-
ношение к ней на первых порах, по всей видимости, вполне ес-
тественно. Лобачевский просто значительно опередил свой век.
* Из письма астроному Бесселю. О взглядах Гаусса на новую гео-
метрию стало известно из его посмертно изданной (1863) переписки.
** «Аппендикс» был опубликован в качестве приложения к учебно-
му руководству отца Яноша — Фаркаша Больяи, известного матема-
тика, друга Гаусса.
*** Гаусс располагал к тому времени несколькими публикациями
Лобачевского; однако первоначально смог изучить их основательно
лишь отчасти и отложил точное прочтение до тех пор, пока у него
не окажется больше досуга и он не начнет свободнее читать русскую
литературу. См. подробнее: [28].
**** См.: [174, с. 326].
***** См.: [267, с. 107].
548 III. Математическое образование в лицах
Не только не оценили, но и не поняли его трудов в Казанском
университете. Так, профессор Бартельс смотрел на его геомет-
рические работы «более как на интересные и остроумные иссле-
дования, чем как на работу, полезную для прогресса науки» [143,
с. 166]. И это самая мягкая из оценок. Чаще же всего его откры-
тие вызывало иронию, в лучшем случае безразличие, иногда —
прямую вражду и издевательства.
Не встретила понимания новая геометрия и в российских
академических кругах. Так, академик В. Я. Буняковский в сво-
ем сочинении «Параллельные линии» (1835) даже не упомянул
заслуг Лобачевского в разработке теории параллельных, обой-
дя его имя полным молчанием. В 1872 г. Буняковский посвятил
Лобачевскому специальный мемуар «Рассмотрение некоторых
странностей, имеющих место в построениях неевклидовой гео-
метрии». В нем он пытался опровергнуть геометрию Лобачев-
ского, но все же с уважением отнесся к его имени и очень лестно
отзывался о его математическом гении [315, с. 177].
В 1834 г. в булгаринском «Сыне Отечества» на работу «О
началах геометрии» появился отзыв, который, скорее, можно
назвать пасквилем. Его авторы не стеснялись в выражениях
и обвиняли Лобачевского в невежестве, наглости, отсутствии
здравого смысла, а сам мемуар высмеивался как сатира или
карикатура на геометрию. Лобачевский тяжело переживал эту
критику, тем более что его ответ, посланный в редакцию «Сы-
на Отечества» не был опубликован. Пасквиль был анонимен,
но авторство приписывают чаще всего кому-то из окружения
М. В. Остроградского [346, с. 13]. И если это так, то можно сде-
лать вывод, что замечательный математик не только не оценил
значимости открытия Лобачевского, но и участвовал в оскор-
бительной его критике. Кстати, и в немецкой печати появились
издевательские статьи о работах Лобачевского.
Потребовалось почти полстолетия, чтобы идеи Лобачевско-
го вошли в математику и стали восприниматься как поворотный
пункт, «который определил почти весь стиль математического
мышления последующей эпохи» [266, с. 20]. Кстати, первый от-
зыв позитивного характера, появился в русском журнале «Оте-
чественные записки» в 1856 г. в анонимной рецензии на «Пангео-
метрию» Лобачевского, опубликованную годом ранее в «Ученых
записках Казанского университета». Этот научный труд харак-
теризовался в рецензии как «последнее слово» в желании Лоба-
чевского довести геометрию «до крайней строгости». В заключе-
Николай Иванович Лобачевский 549
ние рецензент признавал рассуждения Лобачевского весьма лю-
бопытными в том отношении, что оно «показывает тесную связь
между всеми математическими истинами». Автор рецензии счи-
тает, что чтение труда Лобачевского «весьма затруднительно»
и требует солидной специальной подготовки [119, с. 123-124].
Настоящее же признание идей Лобачевского началось в кон-
це 50-х гг., когда после смерти Гаусса (1855) приступили к из-
данию его переписки. В одном из писем, датированном 1840 г.,
Гаусс дает восторженную оценку работе Лобачевского «Геомет-
рические исследования о параллельных линиях». В математи-
ческом сообществе авторитет Гаусса был чрезвычайно высок, со-
чинение Лобачевского стали внимательно изучать, прониклись
сознанием глубины и своеобразия изложенных в нем идей. В те-
чение нескольких лет его перевод появился на всех культурных
языках мира, о Лобачевском заговорили на родине.
Интересно, что когда идеи Лобачевского возродились, их
развитие пошло очень высокими темпами. Геометрической сис-
теме Лобачевского посвящалось все большее количество иссле-
дований. Особенный интерес представляет работа итальянского
математика Бельтрами (1868), который обнаружил в евклидо-
вом пространстве поверхности, на которых осуществляется гео-
метрия Лобачевского, что сразу же лишило ее того «фантасти-
ческого налета, который вызывал отрицательное к ней отноше-
ние» [130, с. 292]. Вслед за ним разработкой новых геометричес-
ких идей занимаются крупнейшие математики мира — Риман,
Пуанкаре, Клейн, Ли, Пеано, Гильберт. В этих исследованиях
рамки учения о пространстве существенно раздвигаются, воз-
никают обширные исследования о различных геометрических
системах, исследования же их непротиворечивости приводят к
разработке новых представлений об аксиоматическом методе и
его мощных возможностях. Но гениальный автор этих идей уже
не дождался своего триумфа, он ушел из жизни непризнанным,
но убежденным в своей правоте, проявив удивительную силу во-
ли, несгибаемую убежденность и недюжинный характер.
Вернемся в 20-30-е гг. Попав в положение непризнанного
ученого, Лобачевский нашел выход в энергичной практической
деятельности. Мы уже говорили о его работе в качестве одного
из организаторов Казанского учебного округа. Не менее сил, вре-
мени и энергии он отдавал и административной работе в Казан-
ском университете. В 1920 г. Лобачевский становится деканом
физико-математического отделения. Это было время в истории
550 III. Математическое образование в лицах
Казанского университета, названное «эпохой Магницкого». Оно
характеризуется как самая мрачная ее страница. Историограф
Н.П. Загоскин так описывал этот период: «Магницкий быстро
свел счеты с личным составом университета, разогнав часть
профессоров, терроризировав оставленных им на службе и по-
полнив его своими креатурами. Он совершенно подчинил себе
совет университета, сделав его покорным и бессловесным оруди-
ем своей воли и своих обновительных измышлений» [116, с. 390].
На первых порах взаимоотношения между Лобачевским и
Магницким были довольно благоприятные. Лобачевскому пред-
ложили две кафедры — физики и астрономии, ввели его в строи-
тельный комитет, поручили упорядочить университетскую биб-
лиотеку. С течением времени отношения начали портиться —
Лобачевский не хотел быть послушным орудием Магницкого. В
1821г. он уклонился от произнесения актовой речи, в 1822 г. от-
казался от должности секретаря Совета университета. В связи
с этим было заведено целое дело о его «неблагопристойностях и
противностях». Конфликт возник не только у Лобачевского. Все
годы правления Магницкого от профессоров сыпались жалобы
и докладные записки в министерство народного просвещения.
Магницкий, со своей стороны, засыпал министерство доносами
на тех, кто не подчинялся его режиму, в результате чего наконец
не только был отстранен от должности, но и выслан в Ревель*.
На его место был назначен граф М. Н. Мусин-Пушкин, пе-
ред которым встала задача «оздоровить еще молодой, но уже
искалеченный Казанский университет, вдохнуть в него науч-
ную жизнь, сделать из него тот очаг просвещения, который
был так необходим стране» [130, с. 287]. Совет университета,
по-видимому, при поддержке Мусина-Пушкина, в 1827 г. из-
брал ректором тридцатитрехлетнего Н. И. Лобачевского, кото-
рый мог справиться с этой задачей. На этой должности Ло-
бачевский продемонстрировал глубокую преданность интересам
университета, постоянную заботу о его материальной основе** и
* На это решение, по всей видимости, повлияло и личное негатив-
ное отношение Николая I к Магницкому (См.: [130, с. 286-287]).
** За годы ректорства Лобачевского были выстроены анатомичес-
кий театр, химическая лаборатория с физическим кабинетом и биб-
лиотекой, астрономическая и магнитная обсерватории, оранжерея;
были предприняты также энергичные меры по обеспечению этих под-
разделений первоклассным оборудованием и материалами [346, с. 4]).
Николай Иванович Лобачевский 551
духовной жизни, тактичность по отношению к профессуре, вни-
мание к жизни студенчества. По словам советского математи-
ка П.С. Александрова, даже если бы Лобачевский не оставил
«ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы
должны были бы вспоминать о нем как о значительнейшем на-
шем университетском деятеле, как о человеке, который высокому
званию ректора университета дал такую полноту содержания,
которой ему не придавал, по-видимому, никто другой из лиц,
носивших это звание, — до, во время или после Лобачевско-
го» [198, с. 19]. Об уважении, которое Лобачевский завоевал в
качестве ректора, можно судить по тому, что он избирался на
этот пост б раз на протяжении без малого 20 лет. Первой и,
может быть, главной его заслугой было то, «что он сумел вне-
сти мир и успокоение в возбужденную и расщепленную среду
профессоров университета» [130, с. 288-289].
Университет был укреплен новыми научными силами, биб-
лиотека стала одним из богатейших книгохранилищ страны,
создан научный печатный орган университета — «Ученые за-
писки Императорского Казанского университета». К сожалению,
мы не можем подробно останавливаться на деятельности Лоба-
чевского на посту ректора. Отметим только, что свои обязан-
ности он понимал чрезвычайно широко, вникая в детали всех
повседневных дел университета: «Ни одно событие университе-
та, ни один сколько-нибудь важный факт его истории с самого
начала до настоящего времени не могут быть упомянуты без
имени Лобачевского. Его благородная жизнь тесно и неразлучно
сплеталась с историей Казанского университета; она есть живая
летопись университета, его надежд и стремлений, его возраста-
ния и развития» [37, с. 227]. Можно без преувеличения сказать,
что Н. И. Лобачевский вслед за С. Я. Румовским создал Казанс-
кий университет. Все же главной своей заботой он считал вос-
питание юношества. Свои чрезвычайно любопытные взгляды на
эту проблему он изложил в речи «О важнейших предметах вос-
питания», анализ которой дан нами в основной части книги.
В 1846 г. Лобачевский в шестой раз был избран ректором
университета на очередное четырехлетие, однако в августе сле-
дующего года исполнялось 30 лет со времени назначения его про-
фессором. По Уставу это был максимальный срок, в течение
которого профессор мог занимать кафедру. Совет Казанского
университета возбудил перед министром народного просвеще-
ния ходатайство об оставлении Лобачевского в профессорской
552 III. Математическое образование в лицах
коллегии на посту ректора, но Лобачевский отказался от тако-
го лестного предложения и подал в отставку [130, с. 290-291]*.
Лобачевский был назначен на второстепенный пост в Казанском
учебном округе. Его прямым руководителем оказался малообра-
зованный казанский помещик, генерал Молоствов. Отстранение
от дела всей жизни, окорбительное подчинение Молоствову, лич-
ные тяжелые невзгоды и прежде всего смерть горячо любимого
сына, расстроенные материальные обстоятельства, непризнание
научных результатов — все это подорвало его здоровье и очень
быстро привело к полному одряхлению.
В 1855 г. праздновалось 50-летие Казанского университета.
Именно к этому юбилею Лобачевский опубликовал свой заверша-
ющий труд под новым названием «Пангеометрия»**, который,
как считает В. Ф. Каган, носит характер научного завещания ве-
ликого ученого. К этому времени он практически ослеп и дикто-
вал это сочинение двум своим ученикам. 12 (24) февраля 1856 г.,
в тот самый день, в который тридцать лет назад он впервые
обнародовал результаты своих гениальных исследований на за-
седании физико-математического отделения, Лобачевский скон-
чался. В последний путь его провожало высшее руководство Ка-
занского учебного округа и Казанского университета, студенты
и воспитанники обоих казанских гимназий, бывшие ученики и
почитатели его многочисленных талантов.
В 1895 г. Казанское физико-математическое общество учре-
дило Международную премию им. Н. И. Лобачевского за труды
по геометрии, преимущественно неевклидовой. Именем Лобачев-
ского назван кратер на обратной стороне Луны.
*
* По другим сведениям, министерство не сочло нужным поддер-
жать просьбу совета университета. См.: [346, с. 14].
** Термин «воображаемая геометрия» перестал удовлетворять Ло-
бачевского в силу своей двусмысленности, оторванности от реального
мира. В предисловии к «Пангеометрии» он замечает по поводу назва-
ния своей геометрии, «которую, может быть, приличнее назвать пан-
геометрией, потому что это означает геометрию в обширном виде,
где обыкновенная геометрия будет частный случай». Таким образом,
«пангеометрия» в представлении Лобачевского означала «всеобщую
геометрию». См.: Яновская С. А. О мировоззрении Н. И. Лобачевского
// ИМИ. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. Вып. III, с. 50).
553
Михаил Васильевич Остроградский
(1801-1861)
Михаил Васильевич Остроградский — выдающийся рус-
ский математик и педагог, один из основателей Петербургской
математической школы, член Петербургской Академии наук.
М. В. Остроградский родился 24 сентября 1801г. в деревне
Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии. Род Ост-
роградского принадлежал к старинной дворянской фамилии, к
тому времени обедневшей. Получил образование в пансионе при
Полтавской гимназии, затем в этой гимназии (по некоторым све-
дениям*, гимназического курса Остроградский не закончил) и
Харьковском университете.
В университет он поступил в 1817г. вопреки собственно-
му желанию, так как мечтал о военной карьере, первые пол-
тора года занимался неохотно. В конце второго года Остро-
градский поселился на квартире адъюнкта Харьковского уни-
верситета А. Ф. Павловского, который оказал на него большое
влияние советом оставить «несообразные желания». В универ-
ситете Остроградский проявил большие способности к матема-
тике и механике, причем наибольшее влияние на него оказали
лекции Т. Ф. Осиповского. В 1820 г. он блестяще сдал экзаме-
ны, что дало основание Осиповскому, бывшему тогда ректором
Харьковского университета, ходатайствовать о присвоении Ост-
роградскому степени кандидата. Однако из-за конфликта с про-
фессором философии Дудровичем Остроградский так и не полу-
чил документа об окончании Харьковского университета. Это не
охладило его любви к науке и стремления к получению профес-
сорского звания.
Для того чтобы усовершенствовать свои познания в мате-
матике и механике, в мае 1822 г. Остроградский отправляется
в Париж, который в 20-е гг. XIX в. был крупнейшим научным
центром во главе с такими замечательными представителями
точных наук, как Лаплас, Фурье, Пуассон, Коши, Ампер, лек-
ции которых усердно посещает Остроградский. О пребывании
* См.: [251, с. 256].
554 HI Математическое образование в лицах
Остроградского в Париже сохранились скудные сведения. Из-
вестно лишь, что в 1825 г. Коши в «Мемуаре об интегралах,
взятых между мнимыми пределами» лестно отзывается об Ост-
роградском, называя его «русским молодым человеком, одарен-
ным большой проницательностью и весьма сведущим в исчис-
лении бесконечно малых». В 1826 г. Остроградский представил
Парижской Академии наук «Мемуар о распространении волн в
цилиндрическом бассейне», в котором дал решение одного из
важных вопросов математической физики. Парижская Академия
наук постановила напечатать этот мемуар, что свидетельствует
о его значительных научных достоинствах.
По возвращении Остроградского в Россию в 1828 г. «он тот-
час был оценен соотечественниками, и около него образовался
кружок любителей математики, желавших ознакомиться с но-
выми взглядами и методами в анализе» [288, с. 10]. 29 декабря
1828 г. Академия наук избрала Остроградского адъюнктом ка-
федры прикладной математики, в 1830 г. он получил звание ор-
динарного академика.
Исследования Остроградского касаются разнообразных об-
ластей математики и механики: дифференциального и интег-
рального исчислений, алгебры, геометрии, теории вероятностей,
теории чисел, аналитической механики, математической физики,
баллистики.
По приезде в Петербург Остроградский начинает педаго-
гическую деятельность с только что учрежденных офицерских
классов Морского кадетского корпуса. В дальнейшем он препо-
давал во многих высших учебных заведениях Петербурга — Ин-
ституте корпуса инженеров путей сообщения, Главном инженер-
ном училище, Главном педагогическом институте, Артиллерий-
ской академии и училище.
В Главном педагогическом институте Остроградский рабо-
тал со времени его открытия (1832) и до конца жизни. Остро-
градский читал здесь курсы высшей алгебры, дифференциально-
го, интегрального и вариационного исчислений, аналитическую
геометрию и теоретическую механику. Кроме того, он руководил
подготовкой к профессорскому званию наиболее талантливых
своих слушателей. Таким образом, Остроградский, в течение
почти 30 лет возглавляя преподавание математических наук в
Главном педагогическом институте, оказал большое влияние на
развитие отечественного математического образования и подго-
товку научных и преподавательских кадров.
Михаил Васильевич Остроградский 555
Кроме того, Остроградский долгое время (1847-1860) состо-
ял в должности главного наблюдателя за преподаванием мате-
матики в военно-учебных заведениях и оказал прямое влияние
на организацию и методику этого преподавания своими руко-
водствами по начальной геометрии и тригонометрии, а также
в качестве председателя комиссии по составлению новых про-
грамм по элементарной математике для кадетских корпусов. К
этим программам должны были быть составлены конспекты,
т.е. подробные «дополнительные пояснения, которые выража-
ли бы цель, дух, направление и метод преподавания математи-
ки и механики, внутреннюю связь отдельных частей этих наук
между собой, служили бы полной инструкцией преподавателям
и указывали им... необходимые учебные пособия в классах и
сочинения, которые могли служить руководством самим учите-
лям» [251, с. 278]. Эти конспекты по всем предметам математики
и механики были составлены и изданы под руководством и при
непосредственном участии Остроградского. Конспект по триго-
нометрии был составлен самим Остроградским. В соответствии
с ними были написаны и изданы новые руководства для упо-
требления в военно-учебных заведениях, которые оказали су-
щественное влияние и на преподавание математики в других
средних учебных заведениях России. К их числу принадлежа-
ли «Руководство начальной геометрии» в трех частях самого
Остроградского, «Арифметика» В. Я. Буняковского, «Тригоно-
метрия» Ф. И. Симашко.
В конце 50-х гг. Остроградский получил звание заслужен-
ного профессора Главного педагогического института, профес-
сора офицерских классов Морского корпуса, Института инжене-
ров путей сообщения, Михайловской артиллерийской и Никола-
евской инженерной академий, главного наставника-наблюдателя
по математическим наукам в военно-учебных заведениях и в Ин-
ституте корпуса инженеров путей сообщения.
Слава Остроградского в России была беспрецедентна. Поч-
ти все русские математики и инженеры первой половины XIX в.
были его учениками: Н.Д. Брашман в Москве, Г.Е. Паукер,
И. А. Вышнеградский, Н.П. Петров, П.Л. Лавров и др. в Пе-
тербурге, Е. Сабинин в Одессе, И. И. Рахманинов в Киеве,
Е. X. Бейер в Харькове и др.
Имя Остроградского было хорошо известно не только в на-
учных и преподавательских кругах Петербурга, но и всему обра-
зованному русскому обществу. Он поддерживал дружеские отно-
556 III. Математическое образование в лицах
шения с коллегами, в том числе такими известными математика-
ми середины XIX в., как В. Я. Буняковский, Н.Л. Брашман. Он
был принят в доме Авдотьи Ивановны Голицыной, которая серь-
езно занималась изучением литературы, истории, философии и
математики. В ее доме на Большой Миллионной в Петербур-
ге часто бывали Пушкин, Жуковский, Батюшков, Вяземский,
Одоевский, для научных бесед приглашались Остроградский,
Брашман и другие ученые.
Остроградский был одним из немногих отечественных
ученых-математиков первой половины XIX в., которые имели
безусловное признание за рубежом. Он был членом-корреспон-
дентом Парижской Академии наук, действительным членом Ту-
ринской, Римской и Американской академий.
__________________________________________________557
Франц Иванович Симашко
(1817-1892)
Среди русских педагогов-математиков, сформировавших-
ся под непосредственным руководством М. В. Остроградского и
В. Я. Буняковского и преподававших в военно-учебных заведе-
ниях, видное место занимает Франц Иванович Симашко, комп-
лект учебников которого по всем математическим предметам
для средних учебных заведений благодаря своим несомненным
научным и методическим достоинствам имел широкое распро-
странение не только в военно-учебных заведениях, но и во всех
других типах школ.
Симашко родился в 1817 г. в Варшаве. Сведений о его роди-
телей не сохранилось, известно лишь, что получил образование
он в Петербурге, в Военно-сиротском доме, будучи круглым си-
ротой. Поступил он туда в 1827 г. и за время учебы проявил
свои способности и любовь к математике. В 1835 г. руководст-
во Павловского кадетского корпуса, в который к тому времени
был переименован Военно-сиротский дом, обеспечило Симашко
возможность слушать публичные лекции Остроградского по ал-
гебраическому и трансцендентному анализу, которые тот читал
в Морском кадетском корпусе. Это окончательно определило ин-
тересы Симашко.
Окончив в 1837 г. Павловский кадетский корпус, Симашко
был произведен в прапорщики, назначен в 5-ю артиллерийскую
бригаду, служил в ней недолго и перешел в 1839 г. на должность
преподавателя математики и фортификации в фейерверкерскую
школу 2-й артиллерийской бригады. До конца жизни Симашко
оставался на службе в качестве преподавателя учебных заве-
дений военно-учебного ведомства. В 1843 г. Симашко вернулся
в родной Павловский кадетский корпус в качестве преподава-
теля математики. Зарекомендовав себя наилучшим образом, он
в 1860 г. был назначен инспектором классов Новгородского ка-
детского корпуса,, где работал в течение четырех лет, а позже
исполнял те же обязанности в Павловском военном училище.
В 1865 г. Симашко становится директором Полтавской воен-
ной гимназии, в которой прослужил 20 лет. Он сумел прекрасно
поставить дело в этом учебном заведении, сплотив за короткое
558 III. Математическое образование в лицах
время преподавателей и воспитателей в дружный и работоспо-
собный коллектив. Большое внимание уделял Симашко воспита-
нию гимназистов, в основу которого был положен принцип ува-
жения к личности, формирования у воспитанника правил долга,
чести. Полтавская военная гимназия занимала одно из первых
мест среди русских военных гимназий и не уступала лучшим
учебным заведениям Европы того времени.
Еще в 1845 г. Симашко начал учебно-литературную дея-
тельность переводом с французского учебника Мейера и Шоке
«Начальные основания алгебры» — учебника продвинутого ти-
па, содержащего ряд статей высшей алгебры. Он имел достаточ-
но широкое распространение, обладая рядом научных и педаго-
гических достоинств. С 1852 г. Симашко начал издавать ори-
гинальные учебники по элементарной математике. Первыми из
них выпущены в свет «Уроки практической арифметики» (1852)
и почти одновременно «Тригонометрия», которая много раз пе-
реиздавалась со значительными изменениями. В 1865 г. вышло
3-е издание учебника геометрии «Начальная геометрия», кото-
рая написана в полном соответствии с «Конспектом геометрии»
В. Я. Буняковского (1851) и в 1870 г. вышла 4-м, исправленным
изданием. Кроме этого, Симашко принадлежат «Начальные ос-
нования алгебры», «Вычисления по приближению», «Руковод-
ство к решению геометрических вопросов на местности, съемке
планов и нивелированию».
В 1885 г. в связи с пошатнувшимся здоровьем Симашко хо-
тел оставить военную службу, но его перевели в Главное управ-
ление военно-учебных заведений, учитывая его большой опыт
и хорошее знание учебно-воспитательного процесса. В 1886 г. в
кадетских корпусах были введены новые программы, в связи с
чем была назначена особая комиссия, которая в истории военно-
учебных заведений носит название «Комиссии Ф. И. Симашко».
Эта комиссия обратила внимание на усиление физического вос-
питания кадетов, в связи с чем на 10 минут было сокращено
время урока в пользу физических упражнений. Комиссия также
предписала всем кадетским корпусам пользоваться одним и тем
же учебником по определенному предмету, были также незна-
чительно изменены программы, высказано требование большую
часть учебной работы проводить в классах, оставляя на внеклас-
сное время минимум материала. Не все начинания этой комиссии
были положительно восприняты педагогической общественнос-
тью военно-учебных заведений.
Франц Ив анович Симашко 559
В начале 90-х гг. генерал Симашко возглавлял комиссию по
разработке программ, уставов и других официальных докумен-
тов для военно-учебных заведений.
Пятьдесят лет Ф. И. Симашко занимался педагогической де-
ятельностью, пройдя последовательно должности преподавате-
ля, инспектора классов, директора военной гимназии, чиновника
Главного управления военно-учебных заведений, написав комп-
лект первоклассных учебников по всем математическим дисцип-
линам.
560 III. Математическое образование в лицах
Пафнутий Львович Чебышев
(1821-1894)
Пафнутий Львович Чебышев — знаменитый русский ма-
тематик и механик, основатель Петербургской математической
школы, академик Петербургской Академии наук. Он происходил
из старинного дворянского рода, родился 4 мая 1821 г. в сельце
Окатово Боровского уезда Калужской губернии в семье чиновни-
ка Тульского губернского правления, участника Отечественной
войны 1812 г., вышедшего в 1815 г. в’ отставку. Чебышев полу-
чил первоначальное образование в семье. В 30-х гг. XIX в. для
получения более серьезного образования старшими сыновьями
(Пафнутием и Павлом) семья переехала в Москву. Однако гим-
назическое образование, вероятно в силу сословных дворянских
предрассудков, не устраивало родителей Чебышева, поэтому в
дом были приглашены лучшие московские педагоги. Математи-
ку братья изучали под руководством очень известного педагога-
математика, переводчика широко распространенного в то время
учебника «Курс чистой математики» Беллавеня, директора мос-
ковской гимназии Платона Николаевича Погорельского. Видимо,
талантливый педагог возбудил в Чебышева интерес к матема-
тике, развил его математические способности.
В 1837 г. Чебышев весьма успешно сдал экзамены в Москов-
ский университет и был зачислен студентом физико-математи-
ческого отделения философского факультета. Отлично учась в
университете, он, еще будучи студентом, проявил свои выда-
ющиеся математические способности. Так, в 1840/41 учебном
году Чебышеву была присуждена серебряная медаль за сочине-
ние «О числовом решении алгебраических уравнений высших
степеней», в котором он уточнил существовавшие методы при-
ближенного решения уравнений, указав при этом ошибки в ре-
комендуемых студентам пособиях.
Окончив Московский университет в 1841г. «отличнейшим
кандидатом», Чебышев был оставлен для подготовки к профес-
сорскому званию. В 1846 г. он защитил магистерскую диссерта-
цию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей», после
чего в 1847 г. переехал в Петербург на должность адъюнкта Пе-
тербургского университета. До 1882 г. он читал там лекции по
561
аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей,
теории эллиптических функций, высшей алгебре и другим дис-
циплинам. Одновременно вел большую научную работу в Петер-
бургской Академии наук.
Чтение курса теории чисел стимулировало Чебышева к
самостоятельным научным изысканиям в этой области. В
1849 г. состоялась публичная защита его труда «Теория срав-
нений» в качестве докторской диссертации. Оппонентами вы-
ступали академик В. Я. Буняковский, профессора С. С. Куторга,
А. Н. Савич, О. И. Сомов. «Теория сравнений» Чебышева была
опубликована в этом же году, что явилось большим событием
для русской математической науки и математического образова-
ния. Наиболее оригинальной частью этого труда явились прежде
всего исследования распределения простых чисел в ряду нату-
ральных. Книга выдержала четыре издания, использовалась в
качестве учебника по одноименному курсу, была переведена на
ряд иностранных языков. Учитывал высокие научные и методи-
ческие достоинства этого сочинения, Академия наук присудила
Чебышеву Демидовскую премию.
Кроме того, Чебышеву принадлежат серьезные исследова-
ния по теории вероятностей, теории приближения функций, ин-
тегральному исчислению, теории механизмов. Многие понятия и
утверждения в математике называются именем Чебышева — ме-
тод, неравенства, теоремы, постоянная система, уравнение, мно-
жество и др. Он был талантливым изобретателем — создал бо-
лее 40 новых механизмов и усовершенствовал более 80. Многие
из них демонстрировались на выставках в Париже (1878) и Чи-
каго (1893). Особое значение в истории вычислительной техники
имеет арифмометр Чебышева.
За время своей 35-летней педагогической деятельности Че-
бышев подготовил большое количество известных ученых. К
ним принадлежат Е. И. Золотарев, А. Н. Коркин, А. М. Ляпунов,
Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве, К. А. Поссе и др. Это позволяет гово-
рить о Петербургской математической школе под руководством
Чебышева.
Несмотря на то что основные педагогические интересы Че-
бышева сосредоточены на высшей школе, он внес большой вклад
в улучшение преподавания математики в начальных и средних
учебных заведениях. Этому способствовала его деятельность в
Попечительском совете Петербургского учебного округа и осо-
бенно в Ученом комитете министерства народного просвеще-
562 III. Математическое образование в лицах
ния. За 17 лет работы в Ученом комитете (1857-1873) Чебышев
исполнял многочисленные обязанности: участвовал в разработ-
ке уставов начальных, средних и высших школ; рецензировал
учебники математики; наблюдал за тем, в каких учебных ру-
ководствах по математике нуждаются школы; составлял и рас-
сматривал программы по математике для начальных и средних
школ, писал инструкции об объеме преподавания математики,
физики и космографии в гимназиях и прогимназиях. Надо ска-
зать, что в 60-х гг. XIX в., в условиях общественного подъема
и демократизации общества, было очень важно сохранить еди-
ный стержень уже во многом сложившейся отечественной мо-
дели классической системы школьного математического образо-
вания. Этому в немалой степени способствовал авторитет Че-
бышева, его серьезное, критичное отношение к методическому
обеспечению начальной и средней школы, высокий уровень тре-
бований, предъявляемых ученым к школьным учебникам. Более
200 руководств и пособий по элементарной математике проана-
лизировал Чебышев в качестве члена Ученого комитета, и толь-
ко 11 из них он посчитал возможным рекомендовать в качестве
руководств по математике для начальных и средних школ. В
то же время Чебышев не был ретроградом, он высказывался о
дополнении гимназического курса математики такими вопроса-
ми, как, например, понятие о функциях и их производных, чем
намного предвосхитил идеи реформы математического образо-
вания конца XIX в.
Заслуги Чебышева перед наукой признаны во всем мире, че-
му способствовали и его заграничные поездки в 50-х гг. XIX в.,
во время которых он сумел завязать деловые отношения с таки-
ми известными учеными, как Дирихле, Луивилль, Кэли, Силь-
вестр. Чебышев был членом Берлинской АН (1871), Парижской
АН (1874), Лондонского королевского общества (1877) и дру-
гих академий, научных обществ и университетов. В 1944 г. АН
СССР учредила медаль имени П. Л. Чебышева за лучшие иссле-
дования по математике и премию его имени за лучшие иссле-
дования в теории механизмов. Именем Чебышева названа плита
талассоида на обратной стороне Луны.
563
Август Юльевич Давидов
(1823-1885)
.Выдающийся русский педагог-математик Август Юлье-
вич Давидов родился 15 декабря 1823 г. в Либаве (Латвия) в
семье врача, которая в 1839 г. переехала в Москву. Первоначаль-
ное образование он получил в семье под руководством отца. В
Москве Давидов учился в высших классах «отделения для обер-
офицерских детей» при Московском воспитательном доме, где
в то время работал его отец. Высшие классы по уровню об-
разования превосходили гимназии того времени, к тому же в
них работали многие профессора Московского университета, на
медицинский факультет которого Давидов поступал в 1841 г. Од-
нако на экзамене по математике, которые принимал профессор
Н.Д. Брашман, Давидов обнаружил глубокие знания не только
по элементарной математике, но «даже по дифференциальному
исчислению, намного превосходившие требования, предъявляе-
мые абитуриенту-медику» [53, с. 84]. По настоянию отца и экза-
менатора Давидова зачислили не на медицинский факультет, а
на математическое отделение философского факультета.
По окончании университета в 1845 г. Давидов был оставлен
для подготовки к профессорскому званию, будучи тогда же на-
значен на должность преподавателя кадетского корпуса в Мос-
кве, где проработал пять лет.
В 1848 г. Давидов получил степень магистра математичес-
ких наук, защитив диссертацию на тему «Теория равновесия
тел, погруженных в жидкость», а в 1859 г. утвержден в зва-
нии адъюнкта (соответствует современной должности доцента)
Московского университета. В 1853 г. он подготовил солидный
научный труд «Теория капиллярных явлений», за одну главу
которого под названием «Определение поверхности жидкости,
содержащейся в сосуде» получил степень доктора наук. Тогда
же Давидов стал экстраординарным, а в 1859 г. ординарным про-
фессором кафедры прикладной математики Московского универ-
ситета. В 1862 г. он перешел на кафедру чистой математики,
которую занимал до конца своей работы в университете. Осе-
нью 1885 г. после 35 лет активной педагогической, научной и
общественной деятельности А. Ю. Давидов уходит в отставку.
564 Ш- Математическое образование в лицах
По случаю 35-летия его профессорской деятельности в Поли-
техническом музее при большом стечении публики состоялось
торжество, которое показало, как высоко чтили образованные
русские люди заслуги Давидова; он был избран почетным чле-
ном Московского университета.
Эти почести Давидов заслужил прежде всего своей плодо-
творной педагогической деятельностью, ярким педагогическим
талантом и блестящими лекторскими способностями.
В 1850 г. после работы в кадетском корпусе Давидов был
приглашен для преподавания теории вероятностей в Московс-
кий университет и внес существенный вклад в совершенствова-
ние математического образования в Московском университете.
Он читал курсы теории вероятностей, небесной механики, эле-
ментарной механики, теории функций комплексного переменно-
го, теории эллиптических функций, вариационного исчисления,
интегрирования уравнений с частными производными, исчисле-
ния конечных разностей, дифференциального и интегрального
исчисления. Многие из этих курсов читались в Московском уни-
верситете впервые.
В течение 12 лет (1863-1873; 1878-1881) Давидов был де-
каном физико-математического факультета, показав себя в этой
должности в качестве энергичного хозяина, заботившегося о пре-
стиже факультета и университета.
При физико-математическом факультете были учрежде-
ны Общество любителей естествознания и знаменитое Москов-
ское математическое общество, первым президентом которого в
1867 г. был избран А. Ю. Давидов. Эти общества считались со-
ставной частью физико-математического факультета, на их за-
седаниях обсуждались диссертации молодых ученых, научные
сообщения студентов; лучшие из них публиковались затем в на-
учных изданиях обществ. Учреждение обществами премий по
различным научным дисциплинам оказало большую поддержку
молодым исследователям.
Велики заслуги Давидова и перед математическим образо-
ванием среднего уровня. В 1866 г. под его редакцией начал вы-
ходить один из первых русских математических журналов —
«Математический сборник». Начиная со второго тома в нем пе-
чатались статьи по элементарной математике и рецензии на
учебники, любителям предлагались задачи, позже публикова-
лись присланные решения. Практически это был журнал эле-
ментарной математики для учителей и любителей.
Август Юльевич Давидов 565
Давидов более 20 лет (1863-1885) был постоянным членом
попечительского совета Московского учебного округа, выпол-
няя разнообразную организационную и методическую работу:
участвовал в составлении программ по предметам гимназичес-
кого курса, рекомендовал лучшие руководства и пособия к ним
для фундаментальных библиотек, рецензировал опубликованные
учебники, участвовал в просмотре письменных работ по матема-
тике при испытаниях на аттестат зрелости учеников гимназий
и реальных училищ, вел обширную переписку с учителями ма-
тематики.
Давидов создал комплект учебников по всем предметам кур-
са математики средней школы. Это «Элементарная геометрия
в объеме гимназического курса» (1864), «Начальная алгебра»
(1866), «Руководство к арифметике» (1870), «Геометрия для
уездных училищ» (1873), «Тригонометрия» (1877), «Собрание
геометрических задач» (1888). Учебники алгебры и геометрии
выдержали десятки переизданий и составили целую эпоху в
развитии учебной литературы. Эти учебники по предложению
Чебышева были одобрены Ученым комитетом в качестве руко-
водств для средних учебных заведений.
А. Ю. Давидов оказал большое влияние на преподавание ма-
тематики в Московском университете и Московском учебном
округе. Его учебники для гимназий и реальных училищ сыграли
выдающуюся роль в истории отечественного математического
образования.
566 III. Математическое образование в лицах
Александр Федорович Малинин
(1835-1888)
Александр Федорович Малинин известен методическому со-
обществу главным образом как автор многочисленных и весьма
распространенных учебников по элементарной математике, фи-
зике и космографии.
По словам известного методиста и автора ряда учебни-
ков математики Н. А. Шапошникова, А.Ф. Малинин «обучил в
России сотни тысяч учеников, создал сложную элементарно-
математическую литературу и вызвал своим примером массу
новых деятелей на поприще этой литературы»*.
А. Ф. Малинин родился в Москве в 1835 г. О родителях его
подробных сведений не сохранилось. Известно, что его отец был
штатным смотрителем 3-го московского уездного училища и
приложил все силы к тому, чтобы дать детям хорошее обра-
зование.
Первоначальное образование А.Ф. Малинин получил в учи-
лище, где работал его отец, среднее — в 1-й московской гим-
назии, которую окончил в 1850 г. с золотой медалью. Основное
внимание в гимназии Малинин уделял математике и древним
языкам. Четырнадцатилетним мальчиком он знал почти всю
«Одиссею» наизусть, чем, по воспоминаниям современников,
привел в удивление министра народного образования, специа-
листа по древней филологии графа С.Е. Уварова во время его
посещения гимназии в 1848 г. Тем не менее под влиянием про-
фессора Московского университета Д. М. Перевощикова, неодно-
кратно экзаменовавшего гимназистов 1-й московской гимназии,
А.Ф. Малинин в 1850г. поступает на физико-математический
факультет Московского университета. Своими успехами сту-
дент Александр Малинин обратил на себя благосклонное внима-
ние таких строгих профессоров Московского университета, как
Н.Е. Зернов, Н.Д. Брашман.
В 1854 г. Малинин с золотой медалью заканчивает Москов-
ский университет и в возрасте 19 лет назначается старшим пре-
подавателем математики в Тверскую гимназию, быстро приоб-
* Цит. по: [251, с. 39].
567
ретя, несмотря на свою молодость, авторитет не только в уче-
нической, но и в учительской среде. В 1854 г. он возвращается в
Москву преподавателем 4-й гимназии.
Прекрасное образование и разноплановые выдающиеся спо-
собности помогли А. Ф. Малинину за короткое время приобрес-
ти в Москве известность как одного из лучших преподавателей
математики и физики. В 4-й гимназии он усилил практичес-
кие упражнения по математике, составил и издал литографи-
рованные «записки» по арифметике и алгебре, устроил хорошо
оборудованный кабинет физики. Преподавателем этой гимназии
А. Ф. Малинин работал до 1870 г., после чего был назначен ди-
ректором Тульской гимназии и в этой должности показал себя с
самой лучшей стороны.
В 1872 г. А. Ф. Малинин получает место директора вновь
открытого, совершенного нового по своим идеям учебного за-
ведения — Московского учительского института, предназначав-
шегося специально для подготовки учителей городских училищ.
Это были закрытые учебные заведения с трехгодичным сроком
обучения, в которых преподаватели выполняли и функции воспи-
тателей. Воспитанниками Учительского института были почти
исключительно приезжие из провинции, принятые по предвари-
тельному экзамену.
При Московском учительском институте функционировали
дополнительные курсы для учителей уездных училищ, желав-
ших получить звание учителя городского училища. Малинин
успешно справляется с разнообразными функциями директора
такого специфического учебного заведения. Он не только забо-
тится об овладении воспитанниками знаний и умений, но и о
развитии в них стремления к самообразованию, сознания зна-
чимости будущей учительской деятельности и любви к ней. Под
руководством Малинина Московский учительский институт уже
в первые годы своего существования стал лучшим учебным за-
ведением такого рода.
Александр Федорович Малинин много сил и времени отда-
вал комиссии по устройству публичных чтений при Обществе
распространения технических знаний, которая была создана в
1885 г. с целью устраивать в праздничные дни беседы по са-
мым разным вопросам, далеко выходящим за рамки программы
учебных курсов гимназий. Он был первым председателем этой
комиссии и продолжал руководство ею до своей преждевремен-
ной смерти.
568 III. Математическое образование в лицах
В памяти потомков А. Ф. Малинин остался прежде всего
как автор целой серии замечательных учебников по элементар-
ной математике, известных своими признанными научными и
методическими достоинствами: полнотой содержания, ясностью
и живостью изложения в соединении с достаточной строгостью.
Всего А. Ф. Малинин — один и в соавторстве с К. П. Бурениным
— подготовил и опубликовал 15 руководств по всем физико-
математическим предметам, изучавшимся в гимназиях.
569
Василий Андрианович Евтушевский
(1836-1888)
Василий Андрианович Евтушевский — выдающийся русс-
кий педагог-математик, первым обративший свое внимание на
методику обучения элементарной математике. «Методика ариф-
метики» Евтушевского получила громадное распространение,
какого «ни одно из прежних руководств и ни одно из последу-
ющих в XIX веке не имело» [251, с. 588].
В. А. Евтушевский родился 24 апреля 1836 г. в семье мел-
копоместного дворянина, служившего чиновником в Полтаве.
Образование он получил в Полтавской гимназии и в Главном
педагогическом институте, который не сумел окончить ввиду
его закрытия. Закончил свое образование В. А. Евтушевский в
1861г. на физико-математическом факультете Петербургского
университета, после чего поступил на педагогические курсы, ко-
торые в то время были учреждены при Петербургском учебном
округе с целью подготовки преподавателей для средних учебных
заведений. В качестве слушателя курсов Евтушевский был обя-
зан в течение первого года обучения присутствовать на уроках
штатного преподавателя математики (им был учитель матема-
тики 2-й петербургской гимназии Е.Х. Рихтер), в течение вто-
рого года обучения — сам давать уроки под наблюдением своего
руководителя.
По окончании курсов Евтушевский получил место препода-
вателя математики во 2-й петербургской военной гимназии, где
обратил на себя внимание ее директора, по ходатайству которо-
го в составе группы молодых преподавателей был командирован
за границу для изучения специальных учебных заведений, гото-
вивших учителей. По возвращении из-за границы в 1864 г. он
был назначен руководителем открытых тогда при 2-й военной
гимназии Высших педагогических курсов. В течение 12 лет Ев-
тушевский руководил занятиями молодых кандидатов-педагогов
и подготовил около 100 прекрасных учителей математики для
военных гимназий и других учебных заведений, которые рас-
пространяли метод преподавания своего учителя и развивали
основные его методические идеи.
570 III. Математическое образование в лицах
В течение ряда лет Евтушевский стоял во главе препода-
вания математики в военных учебных заведениях. Много сил
и времени он отдал устройству Педагогического музея военно-
учебных заведений в Соляном городке, который сыграл позже
выдающуюся роль в истории отечественного математического
образования. Так, по инициативе музея в 1911-1912 гг. был со-
зван I Всероссийский съезд преподавателей математики.
Музей в Соляном городке по размерам и богатству экспо-
зиции не имел аналогов в Европе. Евтушевский был не только
одним из основателей музея, но и коллектором, составителем ка-
талогов, лектором. Ему обязаны своим возникновением две мас-
терские учебных пособий. С конца 60-х гг. Евтушевский читал
систематические лекции для учителей, которые благодаря эру-
диции и блестящей манере чтения привлекали широкую ауди-
торию.
В. А. Евтушевский был в числе основателей многих педа-
гогических учреждений: Аларчинские женские курсы, которые
потом стали Высшими женскими курсами; Андреевские курсы
для подготовки учителей народных школ; Петербургское педа-
гогическое общество (с 1879 г. В. А. Евтушевский — его предсе-
датель).
В 1875 г. он был приглашен заведовать учебной частью трех
детских приютов, а затем занял место инспектора по учебной
части во всех детских приютах, улучшение положения которых
во многом обеспечивалось заботой и энергией Евтушевского.
Много времени и усилий отдал Евтушевский и делу органи-
зации народных школ, оказывал содействие в устройстве школ
земству, поддерживал идею организации домашних школ, был
поборником высшего женского образования.
С 1877 по 1882 г. Евтушевский был одним из редакторов
педагогического журнала «Народная школа» и на этом посту
заботился прежде всего о том, чтобы изгнать из него «сухой
педантически-педагогический тон, оживить его практическими
статьями». Он уделял большое внимание развитию библиогра-
фического раздела, из которого читатели знакомились с содер-
жанием, достоинствами и недостатками вновь опубликованных
книг. При Евтушевском в журнале были организованы два но-
вых отдела — иностранная хроника по народному образованию
и педагогическая хроника, которую вел сам Евтушевский. Здесь
публиковались обзоры деятельности по народному образованию
различных земств, городов, известия об открытии новых учи-
Василий Андрианович Евтушевский 571
лищ, обсуждались проблемы обязательного обучения детей, фи-
зического воспитания, анализировались особенности обучения и
воспитания в различных типах учебных заведений.
Деятельность Евтушевского подвергалась пристальному
вниманию и достаточно пристрастной оценке педагогического
сообщества. Сперва его труды, особенно в области методики
обучения арифметике, превозносились, как не имеющие себе
равных, начиная же с конца 70-х гг. подверглись резкой кри-
тике. Несомненно одно — труды Евтушевского оказали большое
влияние на развитие математического образования в России, ра-
зойдясь по огромной стране в сотнях тысяч экземпляров.
572 III. Математическое образование в лицах
Александр Иванович Гольденберг
(1837-1902)
Александр Иванович Гольденберг — известный русский
педагог-математик. Он родился в Москве, в семье врача-
гомеопата. Окончил 3-ю московскую реальную гимназию и в
1858 г. — Московский университет. В семье в совершенстве из-
учил немецкий и французский языки, в гимназии отличался пре-
красным знанием латыни, занимался музыкой у известного пиа-
ниста Л. Онноре. Всегда отличался многогранностью интересов
и широкой эрудицией, любовью к природе, которую он хорошо
знал: много занимался ботаникой, собрал гербарий московской
флоры. По окончании университета поступил на военную служ-
бу в артиллерию. Став офицером, в 1859 г. поступил в Михай-
ловскую артиллерийскую академию, которую окончил в 1861г.
Прослужив в течение нескольких лет артиллерийским офицером,
в 1865 г. был назначен преподавателем математики во 2-ю мос-
ковскую военную гимназию. В 1867 г. вышел в отставку и стал
преподавать математику в частных мужских и женских учебных
заведениях и на различных курсах.
В 1873 г. Гольденберг был назначен директором земской
учительской школы, открытой Московским губернским земст-
вом, что позволило ему познакомиться с работой начальной шко-
лы и общаться с сельскими учителями. Через два года земская
учительская школа была преобразована в Учительскую семи-
нарию министерства народного просвещения, в связи с этим
работа Гольденберга стала более регламентированной, и он
возвращается в Москву, где вплотную приступает к научно-
методической работе. Он сотрудничает практически во всех пе-
дагогических и методических журналах того времени. Наибо-
лее значимые публикации — статьи в «Учебно-воспитательной
библиотеке», «Русских ведомостях», в которых он подвергает
детальному разбору и резкой критике апологетов «метода Гру-
бе» В. А. Евтушевского и В. Воленса. Их методу «изучения чи-
сел» (в его терминологии «монографическому») он противопо-
ставляет свой метод «изучения действий». В течение трех лет
(1879-1882) Гольденберг издавал один из первых журналов по
элементарной математике «Математический листок».
573
В 1884 г. А. И. Гольденберг переезжает в Петербург. Вско-
ре выходят в свет его «Методика начальной арифметики» и
«Сборник задач и примеров для обучения начальной арифме-
тике», которые оказали существенное влияние на перестройку
преподавания арифметики в начальной школе.
Методическая общественность в это время выражала не-
удовлетворенность задачниками для систематического курса
арифметики в средних учебных заведениях, протестуя прежде
всего против «задач на правила», оторванных от реальной дей-
ствительности, надуманных и искусственных. Присоединяясь к
точке зрения С. И. Шохор-Троцкого, что арифметические зада-
чи являются не целью, а средством обучения, А. И. Гольденберг
берется за реформу задачников и за короткое время составля-
ет четыре задачника, которые находят поддержку в учитель-
ской среде своей «целесообразной, строгой последовательностью
в распределении материала, подбором задач и совершенно но-
выми и своеобразными упражнениями» [149, с. 54]. Известный
методист-математик К. К. Мазинг так характеризует задачи из
сборников Гольденберга: «Он не выдумывал задачи, но подобно
художнику или поэту вызывал в своем воображении всю клас-
сную комнату, учебную обстановку, учеников, представляя их
ответы при разном складе их мысли» [265]. Несмотря на то что
официальные органы (например, Ученый комитет при минис-
терстве народного просвещения) не приветствовали задачники
Гольденберга, они расходились в сотнях тысяч экземпляров.
А. И. Гольденберг отличался «чрезвычайно многосторон-
ним образованием, широтою взгляда и глубоко интересовался
не только книгами, но и вообще всеми течениями государствен-
ной и общественной жизни. Это был человек не только боль-
шого ума, но и глубоких убеждений, не знавший компромиссов
со своей совестью» [149, с. 55]. Об эрудиции его можно судить
по библиотеке, которую он завещал различным учреждениям.
В ней было 902 названия иностранных и 551 название русских
книг. Среди них — книги классиков математики (Евклид, Архи-
мед, Аполлоний, Диофант, Ньютон, Лаплас), труды по истории
и философии математики (Монтюкла, Кантор, Кестнер).
А. И. Гольденберг оказал несомненное влияние на реформу
классической системы школьного математического образования
в России конца XIX — начала XX в.
*
574 III. Математическое образование в лицах
Александр Николаевич
Страннолюбский
(1839-1903)
Александр Николаевич Страннолюбский родился 29 января
1839 г. на Камчатке в семье крупного чиновника,возглавлявшего
в то время область. В 1850 г. Страннолюбский поступил в Петер-
бургское Морское училище, которое успешно закончил в 1856 г.,
был произведен в мичманы и определен на службу во флот.
Высшее образование он получил в офицерских классах Мор-
ского кадетского корпуса, где слушал курс высшей матема-
тики и механики у таких известных ученых и педагогов, как
В. Я. Буняковский, О. И. Сомов, А. Н. Коркин. Закончив Мор-
скую академию в 1866 г. (в этом году Морской кадетский корпус
переименован в Морскую академию), он получил чин лейтенанта
и отправлен в следующем году за границу. Цель командировки
— ознакомление с теорией и практикой кораблевождения. От-
чет о научной командировке — статья «Современное состояние
некоторых вопросов, относящихся до вооружения и парусности
броненосных судов» (Морской сборник. 1867, №10). В 1868 г.
Страннолюбский назначается штатным преподавателем мате-
матики в Морской кадетский корпус и состоит в этой должности
почти тридцать лет. Одновременно он начинает преподавать в
женских гимназиях и на педагогических курсах.
Страннолюбский вел активную и очень профессиональную
литературно-педагогическую деятельность, являясь сотрудни-
ком педагогических журналов «Учитель», «Русская школа»,
«Образование», «Женское образование» и др. Широко обсуж-
дались его статьи о состоянии народного образования в России,
о его всеобщности и обязательности, о начальном образовании,
о женском образовании. Чтобы осуществить всеобщее и обяза-
тельное обучение, недостаточно, по мнению Страннолюбского,
издать соответствующий закон, нужно создать реальные усло-
вия для его выполнения, к которым он относил улучшение бла-
госостояния народа, общественного и материального положения
учительства.
575
Особенно много сделал Страннолюбский в области женско-
го образования: он принимал активное участие в организации
частных женских гимназий, педагогических курсов, в том числе
Аларчинских, на базе которых созданы Высшие женские («бес-
тужевские») курсы в Петербурге. С момента их возникновения
в 1878 г. он состоял членом комитета Общества для доставле-
ния этим курсам средств и секретарем этого комитета. Мно-
гие публикации Страннолюбского посвящены проблемам женс-
кого образования. Здесь прежде всего надо отметить солидный
доклад «Высшие женские курсы», представленный в 1886 г. в
Особую комиссию министерства народного образования, статью
«Современные нужды высшего женского профессионального об-
разования» (Русская школа. 1890, №3), в которой автор отста-
ивал необходимость систематического коммерческого образова-
ния женщин и характеризовал, какими должны быть женские
профессиональные школы.
Среди заслуг Страннолюбского нельзя не отметить тот
факт, что в течение трех лет (1866-1868) он в качестве домашне-
го учителя давал уроки юной Софье Ковалевской. Она изучала
под его руководством элементарную и высшую математику и
прекратила эти занятия только в связи с отъездом за границу
для получения университетского образования. С. В. Ковалевская
всегда очень тепло отзывалась о человеческих и педагогичес-
ких качествах Страннолюбского в сохранившихся и опублико-
ванных письмах [85]. Сохранились и письма Страннолюбского
к Ковалевской, из которых, в частности, следует, что послед-
няя принимала участие в деятельности комитета Общества для
доставления Высшим женским курсам средств.
Еще будучи мичманом, Страннолюбский примкнул к од-
ному из студенческих кружков Петербурга, который органи-
зовал на Васильевском острове ежедневную бесплатную шко-
лу для мальчиков бедных родителей, не получавшую никаких
государственных субсидий и существовавшую за счет взносов
членов кружка. Первым выборным инспектором этой школы был
Страннолюбский, который приложил немало усилий к тому, что
Василеостровская школа была «свободной» — без поощрений и
наград, без наказаний и оценок. В субботние вечера в школе про-
ходили собрания педагогов, целью которых было ознакомление
с теорией и историей педагогики, а также изучение и состав-
ление методических руководств по отдельным предметам. Ос-
новы «Курса алгебры, основанного на постепенном обобщении
576 III, Математическое образование в лицах
арифметических задач» Страннолюбского заложены в процессе
деятельности этих собраний. Благодаря труду прекрасных пе-
дагогов Василеоостровская школа приобрела в середине 60-х гг.
XIX в. большую известность как учебное заведение, в котором
учителя приобретали педагогические знания, опыт и проника-
лись духом гуманного отношения к детям. В 1866 г., подобно
всем воскресным и бесплатным учебным заведениям, Василеост-
ровская школа была закрыта.
Уйдя в конце 90-х гг. в отставку, Страннолюбский про-
должал свою деятельность на благо народного образования. Он
состоял непременным членом Петербургского комитета грамот-
ности, принимал активное участие в деятельности Русского тех-
нического общества, в различных благотворительных учреж-
дениях. Он участвовал в работе I съезда русских деятелей по
техническому и профессиональному образованию (1889-1890), в
двух съездах директоров и представителей попечительских со-
ветов коммерческих училищ в 1901 и 1902 гг.
А. Н. Страннолюбский вошел в историю русского просвеще-
ния как выдающийся педагог-математик, активный сторонник
высшего женского образования, наставник русских учителей, не-
утомимый борец за развитие и преобразование отечественной
школы.
*
_______________________________________________577
Алексей Николаевич Острогорский
(1840-1917)
Алексей Николаевич Острогорский родился 25 января
1840 г. в Петербурге в семье чиновника. Образование получил
во 2-м Петербургском кадетском корпусе, который окончил в
1858 г. фельдфебелем с производством в офицеры в Финляндский
полк. По окончании корпуса был зачислен в Михайловскую ар-
тиллерийскую академию, которую с отличием окончил в 1861г.
Уже в это время Острогорский сблизился с кружком молодых
педагогов, студентов Петербургского университета, открывших
в 1860 г. известную Василеостровскую начальную школу. Дис-
куссии кружковцев по общим вопросам образования и воспи-
тания, обсуждение актуальных проблем, которые выдвигались
общественно-педагогическим движением того времени, способ-
ствовали формированию его педагогических взглядов.
На протяжении многих лет (1861-1906) Острогорский рабо-
тал в учебных заведениях военного ведомства. Свою педагоги-
ческую деятельность он начинает с должности репетитора физи-
ки во 2-м кадетском корпусе Петербурга. В 1872 г. Острогорский
назначается на должность инспектора классов Петербургской
военной гимназии, а в 1877 г. приглашается на должность ди-
ректора Учительской семинарии военного ведомства (Москва),
где преподает геометрию и методику геометрии. Работает он и
в Пажеском корпусе, и на педагогических курсах при Педагоги-
ческом музее военно-учебных заведений.
Наряду с активной практической педагогической деятель-
ностью Острогорский занимался литературной работой и теоре-
тическими исследованиями в области педагогики и психологии.
Он публикует ряд статей в педагогических журналах — «Об-
разцовый учитель» (1866), «Характеристика учеников» (1867),
«Личность воспитателя в деле воспитания» (1868), «О влиянии
умственного развития на нравственное воспитание» (1869) —
оригинальных по замыслу и трактовке анализируемых проблем.
Богатый опыт работы в качестве преподавателя геометрии в
Учительской семинарии военного ведомства Острогорский обоб-
щил в первом в России труде по методике изучения системати-
ческого курса геометрии «Материалы по методике геометрии».
578__________.___IIL Математическое образование в лицах
Острогорский был видным публицистом и издателем. Он
основал журнал «Детское чтение», которым руководил многие
годы (1869-1877). Острогорский сумел привлечь к сотрудничест-
ву в журнале многих прогрессивных писателей, сам писал для
детей рассказы и научно-популярные статьи. В 90-х гг. его рас-
сказы были напечатаны в нескольких сборниках — «В своем
кругу», «Среди природы», «По белу свету», «На досуге» и др.
С 1883 по 1910 г. Острогорский был редактором журнала
«Педагогический сборник», издававшегося Главным управлени-
ем военно-учебных заведений, который тематически выходил за
пределы своей официальной программы, печатая работы по ди-
дактике, общей и частным методикам, вопросам нравственного
воспитания. Острогорский защищал независимость журнала от
внешнего давления, стремился сохранить его прогрессивное на-
правление, благодаря чему «Педагогический сборник» стал од-
ним из популярнейших педагогических журналов в России вто-
рой половины XIX в. В нем опубликовано и большинство педаго-
гических работ самого Острогорского, в том числе «Нравствен-
ные привычки», «По вопросу о нравственности», «Образование
и воспитание», «Дисциплина и воспитание», а также его много-
численные рецензии на педагогическую литературу.
Сугубо оригинальный характер имеет опубликованный им
в 1897 г. сборник «Педагогические экскурсии в область лите-
ратуры», в котором Острогорский анализирует такие важные
педагогические проблемы, как нравственное воспитание, инди-
видуальный подход, взаимоотношения учителя с учащимися.
Многие годы Острогорский разрабатывал вопросы дисцип-
лины, изучал ее роль в жизни школы, понимая дисциплину как
средство успешного обучения и воспитания и выдвигая в про-
тивовес чисто внешней дисциплине задачу воспитания у детей
«внутренней» дисциплины как результата развития своего чело-
веческого достоинства, укрепления стремлений к правде, любви,
труду и знанию. Он призывал чутко относиться к детским пере-
живаниям, вникать во внутренний духовный мир ребенка, стре-
миться сблизиться с ним. Его мысли об организации школьного
дела, задачах и средствах нравственного воспитания, учителе и
его качествах имели большое значение для своего времени.
В 1903 г. Острогорский издает «Педагогическую хрестома-
тию», в которой публикуются выдержки из статей Н.И. Пиро-
гова, К. Д. Ушинского и других выдающихся отечественных пе-
дагогов по вопросам воспитания. В 1914 г. вышла в свет его
Алексей Николаевич Острогорский 579
книга «Н.И. Пирогов и его педагогические заветы», в которой
анализировались взгляды не обучение и воспитание педагогов-
шестидесятников.
А. Н. Острогорский по праву занимает одно из видных мест
в отечественной истории педагогики и как методист-математик,
и как педагог, который не только смело критиковал недостатки
современной ему школы, но и пропагандировал и развивал про-
грессивные педагогические идеи, в том числе в педагогической
и детской журналистике.
580 III. Математическое образование в лицах
Виктор Викторович Бобынин
(1849-1919)
Виктор Викторович Бобынин возможно не относится к чис-
лу выдающихся отечественных педагогов-математиков. Тем не
менее заслуги его перед отечественной математикой и матема-
тическим образованием столь велики, его пример оказал такое
сильное воздействие на автора этой книги, что не поместить в
нее сведений о его подвижнической жизни невозможно.
В. В. Бобынин родился в деревне Шили Смоленской губер-
нии в семье мелкопоместного дворянина. В 1867 г. с отличием
он закончил Тульскую гимназию, а в 1872 г. — Московский уни-
верситет. Преподавал математику в военно-учебных заведениях
сначала в Нижнем Новгороде, затем в Москве.
Постепенно его профессиональные интересы концентриру-
ются на истории математики. В 1882 г. Бобынин защитил ма-
гистерскую диссертацию «Математика у древних египтян», ко-
торая представляла собой исследование, выполненное на основе
опубликованного незадолго до этого знаменитого папируса Рин-
да. И тогда же он получил должность приват-доцента Москов-
ского университета, где первым в истории России читал в ка-
честве факультативного общий курс истории математики [269,
с. 347]. Более того, он читал в Московском университете и курс
«История и современное состояние преподавания математики»
[19], являясь, таким образом, инициатором изучения истории
математического образования будущими математиками и пре-
подавателями математики.
Во второй половине XIX в. в нашей науке практически от-
сутствовали исследования развития математики в России. Этот
пробел восполнил Бобынин, посвятивший изучению истории
физико-математических наук и математического образования в
России большую часть своей жизни. Он первым исследовал ста-
ринные русские рукописи по математике, «описал различные
приемы счета, указал на разработанность многих других ма-
тематических средств, содержащихся в русских рукописях» [62].
В области истории математики и математического образо-
вания ему принадлежат такие фундаментальные работы, как
«Состояние математических знаний в России до XVI в.» (1884),
581
«Очерки истории развития физико-математических знаний в
России. XVII столетие» (1890) и значительное количество ста-
тей. Большую ценность имеет составленная Бобыниным «Рус-
ская физико-математическая библиография» (1886-1890), в ко-
торой указаны все печатные источники (даже старинные кален-
дари) практически с начала книгопечатания в России — с 1578
по 1816 гг.
С 1884 г. он становится издателем журнала «Физико-
математические науки в их настоящем и прошедшем». В 1898 г.
вышло 13 томов журнала. Затем Бобынин стал издавать новый
журнал «Физико-математические науки в ходе их развития» (до
1904 г.). Эти журналы содержали статьи по истории и филосо-
фии математики, биографические очерки, научную информацию;
автором большинства из них был сам Бобынин.
Подвижническая деятельность Бобынина не находила боль-
шой поддержки среди коллег и в официальных кругах. Он не по-
лучал никаких государственных субсидий на издательскую дея-
тельность, издавал журналы на свои средства, продолжая одно-
временно читать лекции в университете, преподавать в военно-
учебных заведениях, лично писать почти все статьи в своих жур-
налах и вести редакционную и издательскую работу.
Бобынин внес свой вклад и в методику математики, первым
выдвинув идею использования элементов историзма в преподава-
нии математики. По его мнению, каждый учитель должен знать
историю математики и вводить ее элементы в «самый строй пре-
подавания математики». По этой проблематике Бобынин делал
на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики до-
клады, которые назывались «Цели, формы и средства введения
исторических элементов в курс математики средней школы» и
«Об указаниях, получаемых преподаваниеем математики от ее
истории».
Бобынину присущи бескомпромиссность и смелость в отста-
ивании своих взглядов. Так, в ответ на фельетон Л. Н. Толстого
«Ложная наука», опубликованный в газете «Русские ведомости»
(от 10 ноября 1909 г.), в котором к числу ложных наук автор
причисляет почти все естественные науки, Бобынин выступает
4 января 1910 г. на XII Всероссийском съезде естествоиспытате-
лей и врачей с докладом «По поводу древних и новых нападок
на чистую математику». В этом докладе он резко критикует вы-
сказывания Л. Н. Толстого, авторитет которого был в то время
чрезвычайно высок.
582 III. Математическое образование в лицах
Наследие Бобынина чрезвычайно велико: им опубликовано
более 550 научных работ, часть из них — в Энциклопедическом
словаре Брокгауза и Ефрона, Русском биографическом словаре,
что говорит о его большом авторитете в научной среде, приоб-
ретенном к тому времени. В конце жизни ему было поручено
написание однотомной «Истории русской математики» и трех-
томной «Всеобщей истории математики», работу над которыми
прервала смерть ученого. Имя Бобынина пользовалось извест-
ностью и за рубежом. В 1906-1908 гг. он написал часть IV тома
«Лекций по истории математики» М. Кантора.
Профессор Московского университета В. В. Бобынин — пер-
вый русский историк математики и историк математического
образования, внесший выдающийся вклад в русскую науку, в
том числе методику математики.
583
Василий Алексеевич Латышев
(1850-1912)
Насилий Алексеевич Латышев — выдающийся русский
педагог-математик. Родился в семье крупного чиновника ми-
нистерства народного просвещения в Петербурге. Закончил с
отличием Ларинскую гимназию и физико-математический фа-
культет Петербургского университета.
В 1872 г. Латышев был назначен учителем в Гатчинскую
учительскую семинарию и в этом же году переведен препода-
вателем математики в только что основанный Петербургский
учительский институт, предназначенный для подготовки учи-
телей в городские училища. В нем он проработал непрерывно
20 лет и зарекомендовал себя как способный и знающий препо-
даватель. Он вел занятия по теоретической арифметике, элемен-
тарной геометрии, алгебре, тригонометрии, приложениям алгеб-
ры к геометрии и началам аналитической геометрии. Излагая
эти предметы, Латышев знакомил своих слушателей с мето-
дикой преподавания арифметики и геометрии, руководил проб-
ными уроками, выполнял обязанности классного наставника и
воспитателя при пансионе. Кроме Учительского института Ла-
тышев преподавал математику в 3-й и 5-й гимназиях, в земской
учительской школе и был председателем педагогического совета
одной из женских гимназий в течение 10 лет.
В 1892 г. Латышев становится директором народных учи-
лищ Петербургской губернии, в начале XX в. он — помощник
попечителя Петербургского учебного округа, затем управляю-
щий этим округом и, наконец, член совета министра народного
просвещения.
В 1880 г. Латышев начал издание ежемесячного журнала
«Русский народный учитель», авторами большинства статей в
котором были учителя-практики. Кроме того, в журнале публи-
ковались также рецензии на учебную и методическую литерату-
ру, на книги для чтения учащихся, обзоры литературы, письма
читателей и др. Журнал достаточно быстро завоевал симпатии
широких слоев учительства и к концу XIX в. стал самым рас-
пространенным педагогическим ежемесячником.
584 Ш. Математическое образование в лицах
Кроме многочисленных статей в своем журнале и дру-
гих периодических педагогических и методических изданиях
В. А. Латышев опубликовал три учебных руководства: «Объ-
яснительный курс арифметики» (1877), «Руководство к препо-
даванию арифметики» (1880), «Учебник арифметики в объеме
младших классов гимназии» (1882). Они явились ценным вкла-
дом в русскую учебно-математическую литературу, отличаясь
оригинальностью содержания, доступностью, простотой и сис-
тематичностью изложения.
В. А. Латышев пользовался безусловным уважением окру-
жающих. В праздновании 25-летнего юбилея его педагогической
деятельности (1897) приняли участие представители Петербург-
ского учебного округа, многочисленные учителя, представители
различных общественных организаций, педагогического и мето-
дического сообществ.
В. А. Латышев — один из создателей методики арифметики
в России, известный деятель народного образования, редактор и
издатель журнала «Русский народный учитель», в течение 40
лет он плодотворно трудился на ниве народного просвещения и
еще при своей жизни заслужил глубокое уважение и признатель-
ность учителей.
_________________________________________________585
Николай Александрович
Шапошников
(1851-1920)
Известный русский педагог Н.А. Шапошников родился в
семье юриста. Родители его страстно увлекались музыкой —
отец играл на арфе, мать была пианисткой. Образование он по-
лучил в 4-й Московской гимназии, где преподавал математику
известный педагог и автор широко распространенных учебников
математики А. Ф. Малинин. Окончив с золотой медалью гимна-
зию в 1868 г., Шапошников поступает в Московский универси-
тет, где в это время преподавали такие известные профессора-
математики, как А.Ю. Давидов, В. Я. Цингер, Н.В. Бугаев.
По окончании 3-го курса Шапошников пишет научную ра-
боту «О таутохронизме плоских кривых», за которую получает
золотую медаль. В 1873 г. он окончил университет, был оставлен
при кафедре чистой математики и одновременно был приглашен
преподавать математику в родной гимназии, где работал много
лет (1873-1887). С 1874 по 1884 г. Шапошников преподает эле-
ментарную и высшую математику на Высших женских курсах.
В 1879 г. он успешно сдает магистерские экзамены и вско-
ре представляет диссертацию «Об интегрировании уравнений с
полными дифференциалами и частными производными перво-
го порядка», после защиты которой Шапошникову присуждена
степень магистра физико-математических наук.
Три года он преподает в Московском университете, в 1884 г.
его приглашают на должность доцента Московского высшего
технического училища, где вскоре он становится профессором.
Здесь он работает до ухода на пенсию в 1898 г.
Шапошников отличался независимостью суждений, ориги-
нальным взглядом на методические проблемы, необычайной ра-
ботоспособностью, что позволило ему создать несколько ориги-
нальных курсов и методических статей. Уже в 25 лет он выпус-
кает первую часть «Курса алгебры и собрания алгебраических
задач» (1876), через год выходит вторая часть этого курса.
В 1880 г. выходит «Курс прямолинейной тригонометрии и
собрание тригонометрических задач» Шапошникова, в основу
586 III. Математическое образование в лицах
которого положена перспективная идея изучения тригонометри-
ческих функций. Учебник был одобрен Комитетом министерства
народного просвещения, третье его издание удостоено высшей
награды — премии Петра Великого.
Особенно оригинален и современен комплект учебников по
арифметике и алгебре, в котором реализованы некоторые ре-
форматорские идеи преподавания этих гимназических курсов:
обобщение арифметики как переходная ступень к изучению ал-
гебры, повторение основ арифметики и параллельное изучение
основ алгебры, пропедевтика изучения высшей математики в
курсе алгебры. Это «Арифметика целых чисел» (1881), «Осно-
вания общей арифметики и алгебры» (1886), «Введение в алгеб-
ру» (1887), «Краткое руководство арифметики, объединенной с
методикой и систематическим сборником типических задач для
гимназии» (1888), «Учебник алгебры» (1890-1892), «Дополнение
элементарного курса математики и введение в высший матема-
тический анализ» (1892).
Особенно большую методическую ценность и широкую по-
пулярность получил написанный Шапошниковым совместно с
учителем Н. К. Вальцовым «Методически обработанный сбор-
ник алгебраических задач с текстом общих объяснений и разно-
образными практическими указаниями» (1887-1890), который в
1891г. одобрен Комитетом Министерства народного просвеще-
ния и удостоен премии Петра Великого.
Шапошников, имея собственную систему взглядов на пре-
подавание математики, часто подвергал резкой критике работы
коллег. Так, в 1893 г. в журнале «Педагогический сборник» он
начинает острую дискуссию с издателем журнала «Элементар-
ная математика» киевским профессором В. П. Ермаковым. В от-
вет на отрицательную оценку его «Нового курса алгебраической
прямолинейной тригонометрии» (1904), построенного на вектор-
ной основе и комплексных числах, профессора Б.М. Кояловича
Шапошников начинает дискуссию с Ученым комитетом минис-
терства народного просвещения*.
В 1898 г. Шапошников выходит на пенсию, и все свои силы
отдает литературной работе: совершенствует свои многочислен-
ные книги, пишет статьи, в которых подвергает критике состоя-
ние математического образования и намечает пути его реформи-
рования. В 1904-1914 гг. вышли книги Шапошникова «Основной
* Подробнее о содержании этих дискуссий см.: [6, с. 89-91].
Николай Александрович Шапошников 587
курс математического анализа» и «Основы дифференциально-
го и интегрального исчисления с приложением к геометрии»,
в 1909 г. опубликованы «Основания арифметики и алгебры», в
1911г. — «Руководство арифметики для преподавателей и уча-
щихся старшего возраста». Конфликты с коллегами привели к
тому, что его новые книги не доходили до учителей математи-
ки. Шапошников покинул Москву и переехал в Ригу, где стал
преподавать математику в частном учебном заведении.
В 1915 г. учебные заведения Риги эвакуируются в южные
районы страны, куда уезжает и Шапошников. В 1918 г. он ста-
новится одним из организаторов Северо-Кавказского политехни-
ческого института в Краснодаре, где работает в качестве про-
фессора математики. Умер он вдали от родины.
Учебники Н. А. Шапошникова по элементарной математике
вошли в золотой фонд отечественного математического образо-
вания.
*
588 III. Математическое образование в лицах
Андрей Петрович Киселев
(1852-1940)
Андрей Петрович Киселев родился 30 ноября 1852 г. в
г. Мценске Орловской губернии в бедной мещанской семье. На-
чальное образование получил в одногодичном приходском учи-
лище и трехгодичном уездном училище. Для получения образо-
вания он вынужден был с ранних лет подрабатывать репетитор-
ством*. В 1871 г. он заканчивает Орловскую гимназию с золотой
медалью, продав которую, на вырученные средства едет в Петер-
бург и поступает на физико-математический факультет универ-
ситета. Здесь он слушает лекции замечательных математиков
П.Л. Чебышева, А. Н. Коркина, О. И. Сомова, Ю.В. Сохоцкого,
Е. И. Золотарева и др. Благодаря своему трудолюбию и выдаю-
щимся способностям в 1875 г. А. П. Киселев заканчивает универ-
ситет (раньше срока, за 3,5 года вместо 4) со степенью кандида-
та за сочинение по высшей алгебре. По окончании университета
он получает место преподавателя механики и черчения в Воро-
нежском реальном училище, а в дальнейшем — преподавателя
физики и математики этого же училища.
После 15-летней работы в Воронежском реальном училище
Киселев был переведен в Курскую гимназию. Причиной этого
перевода была активная деятельность Киселева в Воронеже, в
частности в обществе вспомоществования бедным ученикам, «в
пользу которого была поставлена нежелательная для губернато-
ра пьеса» [104, с. 401]. Для того чтобы вернуться в Воронеж, где
он имел очень высокий авторитет, Киселев вынужден был пе-
рейти в военное ведомство, в котором в ту пору создалась более
творческая педагогическая среда, чем в министерстве народного
просвещения. В результате он получил место учителя матема-
тики и физики в Воронежском кадетском корпусе. Проработав в
* Он обучал чтению, письму и счету лавочницу-соседку, за что
получал ежемесячно пачку чая и два фунта сахара. Учась в гимна-
зии в Орле, за стол и угол был воспитателем и репетитором детей
состоятельного купца (см.: [6, с. 93]).
589
Воронеже 25 лет, Киселев в 1910 г. выходит в отставку. В пос-
лереволюционные годы он вновь вернулся к преподаванию ма-
тематики — в 1918-1926 гг. он работал в нескольких «школах
красцых командиров» Воронежа и Ленинграда, в котором жил в
последние годы.
Уйдя в отставку, А. П. Киселев полностью отдается соз-
данию и совершенствованию учебников математики. В конце
XIX в. на книжном рынке было около двух десятков учебных
книг по математике для средней школы. Среди них выделялись
такие учебники, как пособия по всем математическим предме-
там А.Ф. Малинина, учебники алгебры А.Ю. Давидова, учеб-
ники тригонометрии Н. А. Шапошникова и др. Комплект учеб-
ников Киселева практически по всем школьным математичес-
ким предметам вступил в соревнование с учебниками того вре-
мени. В результате длительной работы по переработке и усовер-
шенствованию они к началу XX в. практически вытеснили все
другие учебники математики, получили большое распростране-
ние, выдержав рекордное количество изданий.
Превосходство учебников А. П. Киселева над другими учеб-
ными руководствами того времени выражается в том, что он
стремился достичь точности в определении математических по-
нятий, простоты в рассуждениях, сжатости и ясности в изложе-
нии. Отточенное содержание, удачно выполненные чертежи, ис-
кусное использования разных шрифтов для выделения главного
обеспечили высокое качество учебников Киселева. Это качест-
во предопределено также тем, что автор учебников математики
имел богатейший педагогический опыт, постоянно изучал поста-
новку преподавания математики в русской и зарубежной школе
(он имел богатейшую библиотеку научной, педагогической и ме-
тодической литературы), поддерживал постоянную связь с учи-
телями математики, постоянно учитывая их пожелания и заме-
чания.
Перечислим наиболее известные учебники А. П. Киселева с
указанием года первого издания: «Систематический курс ариф-
метики для средних учебных заведений» (1884), «Элементарная
алгебра» (1888), «Элементарная геометрия» (1892), курс алгеб-
ры 7-го класса реальных училищ «Дополнительные статьи ал-
гебры» (1893), «Краткая арифметика для городских училищ»
(1895), «Краткая алгебра для женских гимназий» (1896), «Эле-
ментарная физика для средних учебных заведений со многими
упражнениями и задачами» (1902), «Начальное учение о произ-
590 III. Математическое образование в лицах
водных» (1908), «Графическое изображение некоторых функций,
рассматриваемых в элементарной алгебре» (1913), «Элементы
алгебры и анализа» (1925), «Задачи и упражнения к элементам
алгебры» (1928).
В 1933 г. Президиум Центрального исполнительного коми-
тета наградил «Андрея Петровича Киселева, старейшего пре-
подавателя математики и автора учебников, которые в течение
десятилетий служили основными руководствами в русской шко-
ле, учитывая плодотворную долголетнюю педагогическую дея-
тельность»*, орденом Трудового Красного Знамени. В советское
время его книги выпускаются миллионными тиражами и стано-
вятся стабильными учебниками математики. Даже после смерти
А. П. Киселева его учебники арифметики, алгебры и геометрии
(под редакцией видных отечественных методистов и математи-
ков А. Н. Барсукова, А. Я. Хинчина, Н. А. Глаголева) остаются
стабильными учебниками математики огромной страны.
*
* Цит. по: [104, с. 401].
591
Семен Ильич Шохор-Троцкий
(1853-1923)
Семен Ильич Шохор-Троцкий — выдающийся русский
математик-педагог. В своих многочисленных методических ра-
ботах выступал с требованиями реформы содержания и ме-
тодов обучения математике. Разрабатывал методику обуче-
ния арифметике и геометрии и методику обучения математике
индуктивно-лабораторным методом. Автор метода целесообраз-
ных задач, обосновал принцип наглядности обучения математи-
ке, разработал проблему целеполагания в методике математики.
С. И. Шохор-Троцкий родился в г. Каменец-Подольске в не-
богатой семье. Когда мальчику было 12 лет, умер отец. Среднее
образование получил в Киевской и затем в Херсонской гимна-
зиях, поддерживая себя материально частными уроками. Со-
стоял вольнослушателем в Новороссийском университете, затем
поступил в Петербургский институт инженеров путей сообще-
ния, но через некоторое время вынужден был уехать за границу.
В 1877-1881 г. в Берлине, Гейдельберге и Кенигсберге Шохор-
Троцкий изучал математику, физику и философию. Здесь он слу-
шал лекции Гельмгольца, Вейерштрасса, Кронекера и других
выдающихся ученых. Из-за границы Шохор-Троцкий посылает
в Россию педагогические и публицистические статьи в жур-
нал «Педагогическая хроника». Там же он создает свою пер-
вую достаточно солидную методическую работу «Математика
как предмет общего образования», которая печатается в журна-
ле «Педагогический музей (1879, №4-8, 10).
По возвращении в Россию в 1887 г. Шохор-Троцкий сдает
экзамен на звание домашнего учителя и получает право пре-
подавания. В это время в России организовываются частные
средние учебные заведения (гимназии Стоюнина, Оболенской,
Таганцевой и др.), в которых педагогическая деятельность ме-
нее регламентирована, чем в государственных, поэтому в них
существует больщая свобода для реализации новаторских пе-
дагогических и методических идей, чем и пользуется активно
Шохор-Троцкий. В 90-е гг. XIX в. он работает и в государст-
венных учебных заведениях — Николаевском кадетском корпусе,
Павловском, Александровском и Смольном институтах.
592 III. Математическое образование в лицах
В 1896 г. началась методическая деятельность С. И. Шохор-
Троцкого на летних учительских курсах, которые создавались
уездными и губернскими земствами. За последующие 20 лет он
провел около пятидесяти учительских курсов.
В 1906 г. Шохор-Троцкий принял участие в политической
забастовке, что послужило поводом к его увольнению с должнос-
ти преподавателя Смольного и Александровского институтов. К
этому времени он был широко известен в педагогических кругах,
его активно приглашают для работы земские учебные заведения,
устроители краткосрочных педагогических курсов и др. В тече-
ние двадцати лет он выезжал в разные города России читать
лекции по методике математики на летних учительских кур-
сах. Учителя Петербурга, Саратова, Витебска и других городов
знали Шохор-Троцкого не только как блестящего лектора, но и
как педагога-новатора, щедро делившегося с аудиторией новыми
методическими идеями, глубоко продуманными и прошедшими
практическое воплощение в самых разнообразных учебных заве-
дениях от начальной школы до Вольной высшей школы, Педа-
гогической академии лиги образования, Психоневрологического
института. В своих лекциях, докладах и книгах С. И. Шохор-
Троцкий отстаивает метод преподавания математики, который
он назвал «методою целесообразных задач». Задача, понимае-
мая им очень широко, является исходным пунктом подведения
учащихся к новому математическому представлению, а затем
к понятию. Эти идеи стали предтечей того, что мы называем
проблемным обучением.
Будучи блестящим интеллектуалом, обладая большими зна-
ниями и богатым педагогическим опытом, Шохор-Троцкий был
замечательным лектором, буквально завораживающим аудито-
рию. Об этом можно судить по брошюре «Отчет о лекциях по
методике начальной математики» (Кострома, 1911), прочитан-
ных Шохор-Троцким в Костроме в 1910 г. Составителем этой
брошюры был В. В. Аристов, редактором — сам С. И. Шохор-
Троцкий.
С 1918 по 1923 г. он работал в качестве профессора матема-
тики в Каменноостровском сельскохозяйственном институте.
Большой интерес представляют взгляды Шохор-Троцкого
на пособия для учеников и учителей. Он считал, что у учеников
должны быть две книги по математике — задачник, содержащий
упражнения для самостоятельной работы, и учебник, в котором
математические знания изложены в логически стройной системе.
Семен Ильич Шохор-Троцкий 593
Для учителя, по мысли Шохор-Троцкого, также следует создать
две книги — одну по методике преподавания предмета, другую
— с подбором методически расположенных задач и упражнений,
выполняемых учениками под руководством учителя.
С. И. Шохор-Троцкий принимал активное участие в рабо-
те I Всероссийского съезда преподавателей математики ЮН-
1912 гг. Его обстоятельный доклад «Требования, предъявляе-
мые психологией к математике, как учебному предмету» откры-
вает второе заседание съезда 28 декабря 1911 г. Он активно учас-
твует в дискуссии по вопросам методики изучения элементов ма-
тематического анализа в средней школе, использования элемен-
тов историзма в преподавании математики, изучения в средней
школе иррациональных чисел и др. Шохор-Троцкий председа-
тельствует на последнем заседании съезда 3 января 1912 г.
С. И. Шохор-Троцкий — педагог-математик большого даро-
вания и значительных творческих возможностей, которые он эф-
фективно реализовал как в научно-методической, так и в прак-
тической педагогической деятельности. Вряд ли можно назвать
методическую проблему конца XIX — начала XX в., которой он
не касался бы в своих работах, публичных выступлениях, прак-
тической педагогической деятельности. Он был пионером в раз-
работке многих вопросов общей методики преподавания матема-
тики, таких как вопрос о цели и средствах обучения математи-
ке, о психологических его основах, о принципах дидактики, об
идейной стороне математики и др. С. И. Шохор-Троцкий оста-
вил после себя большую школу учеников и последователей.
594 Математическое образование в лицах
Дмитрий Дмитриевич
Мордухай-Болтовской
(1876-1952)
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской родился 27
июля 1876 г. в г. Павловске Петербургской губернии. Полу-
чил образование в первой классической гимназии Петербур-
га, где у него уже проявляется интерес к математике, под-
держиваемый зародившейся страстью к чтению и любовью к
учебной книге. С 1894 г. он продолжает свое образование на
физико-математическом факультете Петербургского универси-
тета. Здесь его незаурядная математическая одаренность и рез-
ко выраженная склонность к углубленному осознанию науч-
ных проблем привлекают к себе внимание выдающихся профес-
соров университета, в том числе математиков А. Н. Коркина,
А. А. Маркова и К. А. Поссе. По окончании университета в
1898 г. по представлению последнего Мордухая-Болтовского
оставляют для подготовки к профессорскому званию по кафед-
ре чистой математики. В конце этого же года он был направлен
на работу в Варшавский политехнический институт в качестве
ассистента известного математика профессора Г. Ф. Вороного.
Работая здесь, он впервые увлекся методическими проблема-
ми: его интересуют содержание, методика и организация прак-
тических занятий. В результате в 1904 г. на русском (Варшава)
и польском (Львов) языках выходит «Систематический сборник
элементарных упражнений по дифференциальному и интеграль-
ному исчислениям» (426 с.). «Этот большой сборник, в основ-
ном оригинальный по своему заданному материалу, представля-
ет собой мастерскую реализацию весьма зрелых и интересных
педагогических воззрений автора, обстоятельно изложенных в
введении к работе» [181, с. 45]. Он лег в основу изданного в
1914-1915 гг. в Петрограде большого (около 900 с.) двухтомного
задачника. В нем впервые задачи распределены по степени труд-
ности, с подробными разъяснениями в начале каждой темы и с
показом на конкретных примерах приемов наиболее целесообраз-
ного решения. Этот сборник получил широкое распространение,
помимо четырех изданий на русском языке, был переведен на
595
польский язык и «служил настольной книгой почти всякого сту-
дента как математика, так и техника, занимавшегося Высшей
Математикой» [196, с. 6]. Удачная «методическая структура его
была положена в основу задачников по математическому анали-
зу ряда других авторов» [20, с. 7]. К сожалению, эта книга более
не переиздавалась и вскоре стала библиографической редкостью.
В 1909 г. Мордухай-Болтовской утверждается экстраорди-
нарным профессором Варшавского университета, а через три
года — ординарным.
К варшавскому периоду научной деятельности относятся
его самые крупные результаты в математике. Это обширные
исследования по интегрированию в конечном виде трансцен-
дентных функций и решению в квадратурах дифференциальных
уравнений. В 1913 г. он решает 22-ю математическую пробле-
му Гильберта, доказав, что функция, определенная известным
рядом, не может быть определена алгебраическим дифферен-
циальным уравнением. В этом же году Дмитрий Дмитриевич
обнародовал свои первые результаты исследований о трансцен-
дентных числах, являющиеся серьезным подступом к решению
знаменитой 7-й проблемы Гильберта, полностью решенной в
1934 г. А. О. Гельфондом. Трудно назвать раздел математики,
в котором он не работал бы. Его научные интересы отличались
большой широтой и распространялись на различные разделы
анализа, теории чисел, геометрии, истории математики и мето-
дики преподавания.
Достижения в математике не препятствуют его развиваю-
щимся интересам к методическим проблемам. Придавая важ-
ное воспитательное значение методике преподавания математи-
ки как в средней, так и в высшей школе, он опубликовал ряд
работ по вопросам преподавания математики или отдельных ее
разделов. Он не только был участником Всероссийских съездов
преподавателей математики (1911-1912 и 1913-1914 гг)., но и
провел глубокий анализ основных направлений работы съездов.
Признание его заслуг выразилось, в частности, и в том, что он
был включен в состав Русской национальной подкомиссии Меж-
дународной комиссии по математическому образованию (1909).
В 1915 г. Варшавский университет со своим профессорско-
преподавательским составом в силу условий военного вре-
мени был эвакуирован в Ростов-на-Дону. С 1915 по 1942 г.
Д.Д. Мордухай-Болтовской — профессор университета, педин-
ститута и других вузов Ростова-на-Дону.
596 III. Математическое образование в лицах
Он никогда не терял связи со школой. Будучи профессором,
преподавал в средних учебных заведениях, серьезно относился
к руководству педагогической практикой будущих учителей. Он
не раз подчеркивал в своих выступлениях, что создать учено-
го намного легче, чем создать учителя. Именно с этой целью
была организована работа физико-математического кружка. На
его базе позднее стал функционировать так называемый «мето-
дический collocvium», на котором обсуждались вопросы мето-
дики преподавания и дидактики математики, программы и пла-
ны по математике, учебно-методическая литература. Мордухай-
Болтовской не только руководил работой коллоквиума, но и
сам очень часто делал доклады на методические темы. Занятия
коллоквиума посещали не только студенты, но и преподавате-
ли университета, рабфака, средних учебных заведений, учителя
школ. Большое значение он придавал развитию математическо-
го мышления и пространственных представлений. Убежденный
в целесообразности демонстрации моделей в процессе препода-
вания, он создает геометрический кабинет, который одно время
считался лучшим в стране. Он выступает за изучение элементов
истории математики в средней школе, большое значение при-
дает истории методики преподавания математики, в частности
изучению истории учебника, в связи с чем он весьма содержа-
тельно анализирует проблемы математической терминологии.
Интерес к проблемам методики математики как высшей, так
и средней школы Морд ухай-Бол товской воспитывал и у своих
учеников, многие из которых посвятили себя преподавательской
деятельности*.
Он был прекрасным лектором. По свидетельству Н. М. Нес-
торовича, «Курсы Дмитрия Дмитриевича всегда были насыще-
ны идеями, его лекции изобиловали рядом замечаний и указаний
на интересные проблемы, давали освещение старых проблем с
новой точки зрения или указывали зародыши новых идей в ста-
рых вопросах. Все это, естественно, будило интересы его слуша-
телей» [197, с. 12].
В 1942 г. в Ростове-на-Дону, несмотря на бомбежку, он по-
шел читать лекцию студентам пединститута. При выходе из зда-
ния он был тяжело ранен, что повлекло почти годовое пребыва-
ние в госпиталях и эвакуацию в Ессентуки. В Ростове-на-Дону
* Под его руководством около 40 человек защитили кандидатские
и докторские диссертации.
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской 597
сгорело почти все имущество Мордухай-Болтовского — богатей-
ший научный архив и уникальнейшая библиотека. После войны
он затратил немало труда и времени, чтобы восстановить по па-
мяти некоторые из погибших рукописей. С 1943 г. он профессор
Пятигорского и Ивановского пединститутов. По ходатайству по-
следнего Д.Д. Мордухай-Болтовской был представлен в члены-
корреспонденты Академии педагогических наук и к званию За-
служенного деятеля науки РСФСР.
Скончался Д.Д. Мордухай-Болтовской в 1952г. Выражая
глубокое уважение к его памяти, его коллега и товарищ
В. Ф. Каган в письме к родственникам называет его «последним
математиком старой школы».
В лице Д. Д. Мордухай-Болтовского гармонически сочетал-
ся крупный ученый-исследователь и ученый-педагог, учитель в
самом широком смысле этого слова.
598 III. Математическое образование в лицах
Константин Феофанович Лебединцев
(1878-1925)
Константин Феофанович Лебединцев родился 25 октября
1878 г. в г. Радоме (Польша) в семье начальника учебной дирек-
ции города. После выхода на пенсию его отец переехал с семьей
на Украину и поселился в Киеве.
В 1888 г. Константин Лебединцев поступил во 2-ю Киев-
скую гимназию, окончив которую в 1896 г., он поступил на
физико-математический факультет Киевского университета. В
это время в университете читали лекции замечательные про-
фессора математики М. Е. Ващенко-Захарченко, В.П. Ермаков,
Б. Я. Букреев, Д. А. Граве.
В июне 1900 г. Лебединцев окончил университет с дипломом
первой степени и был рекомендован для подготовки к профес-
сорскому званию. Однако руководство Киевского университета
отказалось утвердить его кандидатуру, мотивируя это актив-
ным участием Лебединцева в конфликте студенчества с одним
из профессоров.
С 1900 до 1906 г. он преподает математику во 2-й Киевской
гимназии и в 1-м Коммерческом училище. С 1902 г. он является
членом Киевского физико-математического общества, в котором
органически объединяются исследования по математике и ме-
тодике ее преподавания. Особенно много внимания в обществе
уделяется вопросам реформирования математического образова-
ния среднего уровня. Работа в Коммерческом училище, которое
не входило в сферу министерства народного просвещения и по-
тому не имело обязательных программ и предписанных свыше
методов обучения, давала Лебединцеву возможность проверить
на практике свои взгляды на изучение в школе функциональ-
ной зависимости, а также разрабатывать новый метод обуче-
ния математике, который он впоследствии назвал конкретно-
индуктивным.
Первые публикации К. Ф. Лебединцева посвящены общепе-
дагогическим проблемам. В 1904 г. в киевском журнале «Педа-
гогическая мысль» была опубликована его первая статья «Как
поддержать дисциплину в средней школе?» В качестве главной
599
причины недисциплинированности автор указывал на саму сис-
тему школьного воспитания, которая, как считал Лебединцев,
способствовала «понижению умственных интересов у целого по-
коления». Воспитание, по Лебединцеву, должно содействовать
развитию привычки к систематическому труду, общественных
чувств и самодеятельности. В 1905 г. появились статьи Лебедин-
цева «О границах педагогического вмешательства в воспитание
детей», «Об одной педагогической утопии» (с критикой тео-
рии свободного воспитания), «К вопросу о представительстве
общества в жизни школы».
В 1906 г. появляется первая методическая работа Лебедин-
цева «Новое направление в области методики арифметики и его
практические результаты». В этом же году Лебединцева при-
влекли к суду за постановление Киевского педагогического об-
щества против применения репрессивных мер к ученикам, при-
нимавшим участие в политических забастовках 1905 г., приня-
того по его предложению. В результате Киевское педагогическое
общество было закрыто, как и журнал «Педагогическая неделя»,
редактировавшийся Лебединцевым, после чего он не мог устро-
иться на штатную должность преподавателя математики даже
в частную школу Киева.
В 1909 г. Лебединцев переезжает в Москву и до 1916 г. пре-
подает математику в частной гимназии Е. А. Кирпичниковой.
Это была единственная гимназия, где разрешалось совместное
обучение мальчиков и девочек (по программе мужских гимна-
зий). В эти годы Лебединцев написал ряд статей в защиту
совместного обучения, а также стал известен как талантли-
вый автор учебников алгебры «Курс алгебры для средних учеб-
ных заведений» (1909), «Систематический сборник задач и дру-
гих упражнений по курсу алгебры» (1910), «Основы алгебры»
(1911), «Концентрическое руководство алгебры» (1913-1916).
В это же время он выступает с докладами и пишет фун-
даментальные методические труды по актуальным проблемам
математического образования «Программа и метод преподава-
ния алгебры в средней школе» (1910), «Метод обучения мате-
матике в старой и новой школе» (1912). В них он обосновывает
конкретно-индуктивный метод обучения математике, разраба-
тывает систему преподавания алгебры на основе функциональ-
ной идеи, концентрического изложения и органичного сочета-
ния конкретно-индуктивного и абстрактно-дедуктивного мето-
дов обучения математике.
600 III. Математическое образование в лицах
Лебединцев принимал активное участие в работе Всерос-
сийских съездов преподавателей математики, на каждом из ко-
торых он сделал по два доклада. На I съезде: «Метод обучения
математике в старой и новой школе», в котором раскрыта сущ-
ность традиционной и реформистской систем математического
образования; «Вопрос о дробях в курсе арифметики», где рас-
смотрены две возможные системы изложения обыкновенных и
десятичных дробей. На II съезде: «Теория пределов в курсе гео-
метрии», в котором дана обновленная методика изложения темы;
«Вопрос о способах оценки и контроля познаний учащихся».
В 1914 г. выходит книга Лебединцева «Метод обучения ма-
тематике в старой и новой школе», в которой собраны его статьи
по общей и частной дидактикам и общепедагогического харак-
тера.
Активно участвует Лебединцев и в так называемом «игна-
тьевском проекте». В 1915 г. назначенный министром народно-
го просвещения П. Н. Игнатьев приглашает его на должность
окружного инспектора при Петроградском учебном округе, в
связи с чем Лебединцев переезжает в Петербург. Он входит в
качестве члена в комиссию по реформированию математичес-
кого образования, председателем которой назначен известный
профессор математики К. А. Поссе. Лебединцев составил «Про-
ект программы по математике для общеобразовательной сред-
ней школы» гуманитарного направления.
Возвратившись в Москву в связи с упразднением учебных
округов и должности окружных инспекторов, с 1917 г. Лебедин-
цев принимает участие в разработке основ отечественного ма-
тематического образования в школе советского периода: он был.
членом комиссии по разработке программ по математике для
трудоврй школы, работал консультантом при отделе реформы
школы Наркомпроса РСФСР.
И в эти годы Лебединцев продолжает активно печатать-
ся. В 1918 г. выходит пособие «Учение о простейших функциях,
их графиках и теории пределов», которое служит дополнением
ранее изданных им книг по алгебре. В 1919 г. появилось «Ру-
ководство алгебры... в 2-х частях», в котором на протяжении
всего курса изучались функции и их графики. Эта книга была
тепло встречена педагогической общественностью, переиздава-
лась 12 раз. В этом же году выходит его «Математика в на-
родной школе» (первая ступень), в которой раскрываются цели,
программа и методы обучения математике в трудовой школе.
Константин Феофанович Лебединцев 601
В 1922 г. опубликовано «Руководство алгебры», приспособлен-
ное для новой школы, и «Сборник задач по курсу алгебры». В
1923 г. выходит на русском и украинском языках пособие «Счет
и мера» — пособие по арифметике и элементам геометрии для
трудовой школы I ступени. Наконец, в 1925 г. вышла в свет книга
Лебединцева «Введение в современную методику математики», в
которой большое внимание уделено теоретическому обоснованию
конкретно-индуктивного метода обучения математике.
Последние годы жизни (с мая 1919) Лебединцев трудился
на своей родине — в Киеве, куда его командировали для по-
мощи Наркомпросу Украины. Он принимал активное участие в
работе многочисленных комиссий, связанных с реформой шко-
лы на Украине, вел большую общественную работу. В 1921 г. на
базе Киевского университета и Высших женских курсов был соз-
дан Высший институт народного образования, с которым связа-
на дальнейшая административная и преподавательская деятель-
ность Лебединцева: он был его проректором, деканом факульте-
та социального воспитания, деканом факультета профессиональ-
ного образования. В 1923 г. Лебединцеву было присвоено звание
профессора.
В деятельности К. Ф. Лебединцева сочетались глубокая эру-
диция научного работника с увлеченностью педагога-новатора,
который умело применял достижения науки к решению педаго-
гических проблем.
602
Послесловие
Лтак, в эпоху Российской империи в нашем Отечестве
практически за два века была создана уникальная система ма-
тематического образования. Эта система, по нашему мнению,
характеризуется следующими специфическими особенностями:
1. Встроенностью отечественного математического образова-
ния в европейскую образовательную культуру при сохране-
нии ярко выраженной самобытности.
2. Доминированием государственной системы математическо-
го образования над частной и общественной как одно из
выражений этой самобытности вследствие традиций госу-
дарственного патроната математического образования, за-
ложенных Петром I.
3. Патронатом над математическим образованием математи-
ки как науки, традиции которого заложены Л. Эйлером и
продолжены математиками мирового уровня: Н. И. Лобачев-
ским, М. В. Остроградским, П. Л. Чебышевым, Д.Д. Мор-
духай-Болтовским, А. Н. Колмогоровым, А. Я. Хинчиным.
4. Доминированием естественно-математического образования
как механизма ускоренного государственного развития, тра-
диции которого заложены Петром I и возрождались в про-
цессе всех сколько-нибудь успешных реформ.
5. Стремлением лучших учебных заведений России с доми-
нантным математическим образованием к достижению не-
коего мирового уровня эталонности.
6. Принятием отечественной школой учебников математики
только в том случае, если прогрессистские тенденции (за-
падноевропейские или собственные) сочетаются с отечест-
венными традициями.
7. Встроенностью математического образования в культуру
России, наиболее ярко проявившуюся в процессе использова-
ния интеллектуального потенциала выдающихся педагогов-
математиков в других сферах отечественной культуры.
603
Система математического образования, созданная в эпоху
Российской империи, реставрирована в советский период. К вы-
соким качественным параметрам предыдущей эпохи была до-
бавлена количественная составляющая. Практически все обуча-
ющиеся в средней школе получали математическое образование
достаточно высокого уровня, так как политика государства бы-
ла направлена на поддержание паритета между гуманитарным
и естественно-математическим компонентами общего образова-
ния.
В 1940-1950-е гг. советская модель классической системы
школьного математического образования достигла оптимально-
го функционирования, о чем говорит хотя бы то, что одной из
важнейших причин успехов советской науки и техники (апогей —
начало космических проектов) признана советская система обра-
зования, в которой ведущие позиции занимала математическая
составляющая. Эта модель заимствована некоторыми странами
и, как правило, дает хорошие результаты. Так, Южная Корея,
которая переняла многие черты отечественной системы матема-
тического образования, стала занимать ведущие места в между-
народных математических олимпиадах школьников.
В год трехсотлетия отечественного математического обра-
зования, каковым является 2001 г., следует вновь осмыслить по-
зитивные и негативные черты накопленного опыта. Вслед за
ректором Московского университета В. А. Садовничим хочется
вопросить: «Кого конкретно и по каким причинам не устраива-
ет положение дел в математическом образовании?» [271, с. 30].
В любом случае несомненно, что при разработке магистральных
направлений развития математического образования в XXI в.
необходимо учитывать накопленные за три столетия лучшие
традиции отечественного математического образования.
*
604
Литература
1. Абаляев Р.Н. Первая в России печатная таблица умножения //
Математика в школе. 1983. № 3.
2. Аксаков С. Т. Семейная хроника в воспоминаниях. М., 1879.
3. Александров П. С. Несколько слов по поводу речи Лобачевского
«О важнейших предметах воспитания» // Математика в школе.
1977. Ns 2.
4. Алексеев Г, Ф. Исторический очерк казанских городских началь-
ных училищ. Казань, 1890.
5. Алешинцев И. А. История гимназического образования в России
XVIII и XIX вв. СПб., 1912.
6. Андронов И. К. Полвека развития школьного математического
образования в СССР. М.: Просвещение, 1967.
7. Андронов И. К. Развитие науки математики и молодой, совре-
менной науки педагогики математики // Ученые записки МОПИ.
1968. Т. 202, вып.6.
8. Аничков Д. Теоретическая и практическая тригонометрия. 1780.
9. Аничков Н. Историческая записка 50-летия 3-й петербургской
гимназии. СПб., 1973.
10. Арифметика с примечаниями. Соч. Лакруа / Пер. с франц.
Д.М. Перевощикова. М., 1826 (1833).
11. Архангельский Н. М. Рассмотрение примечаний на Основания
геометрии, сочиненные г. Гурьевым, помещенных в Военном
журнале. СПб., 1813.
12. Архив адмирала П. В. Чичагова. СПб., 1885.
13. Архимандрит Макарий. Историко-статистическое описание Ря-
занской духовной семинарии. Новгород, 1864.
14. Багалей Д. И. Опыт истории Харьковского университета. Харь-
ков, 1906.
15. Баранов П.А. Решение треугольников в курсе геометрии с при-
ложением таблиц катетов. 1910.
16. Барсуков Н. Жизнь и труды М. П. Погодина. СПб, 1862.
17. Бахмутская Э.Я. Тимофей Федорович Осиповский и его «Курс
математики» // ИМИ. 1952. Вып. V.
18. Башмакова И. Г. Вклад Эйлера в алгебру // Развитие идей Лео-
нарда Эйлера и современная наука. М., 1988.
19. Башмакова И. Г., Петрова С. С. История математики в Москов-
ском университете // Математическая наука в МГУ. М., 1980.
20. Белозеров С. Е. Вклад в математику ученых Ростовского универ-
ситета // Уч. зап. РГУ. 1955. Т. 24, вып. 1.
605
21. Белозерцев Е. П. Русское образование: уроки истории, идеи и
принципы // Alma mater. 1994. № 5, 6.
22. Белый Ю. А. Об учебнике Л. Эйлера по элементарной геометрии
// ИМИ. 1961. Вып. XIV.
23. Беренс В. Начальная геометрия для средних учебных заведений.
СПб., 1872.
24. Билибин Н.И. Курс тригонометрии. 4.1. 1909; Ч. II. 1910.
25. Билибин Н. И. Основания анализа бесконечно малых. Для реаль-
ных училищ. СПб., 1907.
26. Билярский П. С. Материалы для биографии Ломоносова. Спб.,
1865.
27. Биографический словарь профессоров и преподавателей Москов-
ского университета в 2 ч. М., 1855. Ч. 2.
28. Бирман К. Р. Об избрании Н. И. Лобачевского членом-коррес-
пондентом Геттингенского научного общества // ИМИ. 1973.
Вып. XVIII.
29. Бобынин В. В. Очерки развития физико-математических знаний
в России // Физико-математические науки в их настоящем и про-
шедшем. 1890. Т. 17.
30. Бобынин В. В. Цели, формы и средства введения исторических
элементов в курс математики средней школы // Труды 1-го Все-
российского Съезда Преподавателей математики. СПб., 1913.
31. Боголюбов А. Н. Математики. Механики: Биографический спра-
вочник. Киев: Паукова думка, 1983.
32. Болгарский Б. В. Идеи Н. И. Лобачевского в области методики
математики // Математика в школе. 1952. Ns 2.
33. Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики. Киев: Ра-
дянська школа, 1987.
34. Брокгауз Ф. А., Ефрон И. А. Энциклопедический словарь «Рос-
сия». СПб., 1898.
35. Бронштейн И. Н. Библиографические сведения. Геометрия Лоба-
чевского // Об основаниях геометрии. М., 1956.
36. Бронштейн И. Н. К истории «Обозрений преподавания чистой
математики» Н.И. Лобачевского // ИМИ. 1950. Вып.III.
37. БуличН.Н. Из первых лет Казанского университета (1805—
1819). Казань, 1904.
38. Буняковский В. Я. Арифметика. СПб., 1844.
39. Буняковский В. Я, Программа и конспект арифметики. СПб.,
1849.
40. Буняковский В. Я. Программа и конспект начальной геометрии.
СПб., 1851.
606
41. Буссе Ф. И. Арифметические таблицы для приходских училищ
по способу взаимного обучения. СПб., 1835.
42. Буссе Ф. И. Вопросы для экзаменаторов по математике. СПб.,
1835.
43. Буссе Ф. И. Первоначальные упражнения в арифметике. СПб.,
1858.
44. Буссе Ф. И. Руководство к арифметике. СПб., 1830.
45. Буссе Ф. И. Руководство к геометрии для гимназий. СПб., 1844.
46. Буссе Ф. И. Руководство к геометрии для уездных училищ. СПб.,
1831.
47. Буссе Ф. И. Руководство к преподаванию арифметики для учите-
лей. СПб., 1831.
48. Буссе Ф. И. Руководство к преподаванию геометрии для школ во-
енных поселений. СПб., 1826.
49. Буссе Ф. И. Собрание арифметических задач для гимназий и
уездных училищ. СПб., 1831.
50. Буссе Ф. И. Сокращенные логарифмические таблицы. СПб., 1858.
51. Бычков Б. П. 100-летие программ преподавания математики в
русской гимназии // Математика в школе. 1972. №6.
52. Бычков Б. П. К истории вопроса о реформе преподавания мате-
матики // Математика в школе. 1951. №6.
53. Бычков Б.П. Педагог-математик А.Ю. Давидов // Математика
в школе. 1973. №6.
54. Бычков Б. П. Понятие функции в курсе алгебры русской средней
школы в XIX в. // Математика в школе. 1954. №4.
55. В память столетнего юбилея Горного института в Петрограде //
Горный журнал. 1923. №11.
56. Васильев А. В. Николай Иванович Лобачевский. СПб., 1914.
57. Венгеров С. А. Критико-биографический словарь. СПб., 1897-
1904. T.VI.
58. Веребрюсов А. Прямолинейная тригонометрия. 1890.
59. Веселаго Ф. Ф. Очерк истории Морского кадетского корпуса.
СПб., 1852.
60. Веселовский К. С. Отчет Академии наук за 1889 год // Записка
Академии наук. СПб. 1890. Т. 63, кн. 1.
61. Вестник математических наук. 1861. № 1.
62. Виктор Викторович Бобынин // Математика в школе. 1984. № 1.
Обложка.
63. Викторов А. Описание записных книг и бумаг старинных двор-
цовых приказов 1613-1725. М., 1883. Вып. 2.
607
64. Висковатов А. Н. В. Верещагин // Военный энциклопедический
лексикон. T.III.
65. Вишневский Г. М. Записки по методике арифметики. 1892.
66. Владимиров В. В. Историческая записка о 1-й Казанской гимна-
зии. Казань, 1867.
67. Военный журнал. Кн. 23, 24. СПб, 1812.
68. Воинов А. Прямолинейная тригонометрия. 1894.
69. Войтяховский Е. Полная и сокращенная тригонометрия. 1786.
70. Воскресенский Н. А. Законодательные акты Петра I. М.-Л.,
1945.
71. Воспоминания В. А. Панаева // Русская старина. 1893, ноябрь.
72. Воспоминания К. С. Веселовского // Русская старина. 1901, де-
кабрь.
73. Воспоминания казенного пансионера о 3-й петербургской гимна-
зии // Русская школа. 1898. №4.
74. Время высшего образования. Университет (1822-1826). Из запи-
сок одного человека // Русский вестник. 1876, ноябрь.
75. Галанин Д.Д. История методических идей по арифметике в Рос-
сии. М., 1915.
76. Галанин Д.Д. Методика арифметики. Второй год обучения. 1911.
77. Галанин Д.Д. Методика арифметики. Первый год обучения.
1910.
78. Гебель В. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 3. 1911.
79. Геометрия. Соч. Лакруа / Пер. с франц. Д. М. Перевощикова. М.,
1835.
80. Гнеденко Б. В. Московский университет и математическое про-
свещение // Математика в школе. 1980. №2.
81. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. М.-Л.,
1946.
82. Гнеденко Б. В. Педагогические взгляды Н. И. Лобачевского //
Математика в школе. 1993. № 1.
83. Гнеденко Б. В., Погребысский И. Б. Леонтий Магницкий и его
«Арифметика» // Математика в школе. 1969. №6.
84. Гоголь Н. В. Поли. собр. соч. Т. X. Письма. М.: Изд-во АН СССР,
1940.
85. Голос минувшего. 1916. №2-4.
86. Горностаев П. В. Проблемы математического образования в тру-
дах И. Г. Песталоцци // Математика в школе. 1996. №4.
87. Гудков Д. А. Н. И. Лобачевский. Загадки биографии. Изд-во Ни-
жегородского ун-та, 1992.
88. Гурьев П. Арифметические листки. СПб., 1832
608
89. Гурьев II. Очерки истории Гатчинского сиротского института.
СПб., 1854.
90. Гурьев П. Практическая арифметика. СПб., 1861.
91. Гурьев П. Руководство к преподаванию арифметики малолетним
детям. Ч. 1. СПб., 1839.
92. Гурьев IL, Дмитриев А. Практические упражнения в геометрии.
СПб., 1844.
93. Гурьев С. Е. Морского учебного курса часть первая, содержащая
основания геометрии. СПб., 1804.
94. Гурьев С. Е. Науки исчисления книга первая, содержащая осно-
вания арифметики. СПб, 1805.
95. Гурьев С. Е. Опыт о усовершении элементов геометрии. СПб.,
1798.
96. Гурьев С. Е. Основания дифференциального исчисления с прило-
жением оного к аналитике. СПб., 1811.
97. Гурьев С. Е. Основания трансцендентной геометрии кривых по-
верхностей. СПб., 1806.
98. Гурьев С. Е. Рассуждения о математике и ее отраслях. СПб.,
1809.
99. Даламбер Ж. Дух философии / Пер. с франц. М., 1790.
100. Даль В, Толковый словарь живого великорусского языка в 4 т.
М., 1989. Т. 1.
101. ДахияС.А. «Журнал элементарной математики» и «Вестник
опытной физики и элементарной математики» // ИМИ. 1956.
Вып. IX.
102. Депарсье А. Трактат по тригонометрии плоской и сферической
/ Пер. с франц. 1741.
103. Депмаи И. Я. Геометрия практика // ИМИ. 1955. Вып. VIII.
104. Депмаи И. Я, История арифметики. М., 1959.
105. Депмаи И. Я. Литтров — учитель Н.И. Лобачевского // ИМИ.
1956. Вып. IX.
106. Депмаи И. Я. М.Ф. Бартельс — учитель Н.И. Лобачевского //
ИМИ. 1950. Вып. III.
107. Депмаи И. Я. О первом печатном руководстве по геометрии на
русском языке // Тр. ин-та истории естествознания. 1949. Т. 3.
108. Депмаи И. Я. Русские математические журналы для учителя //
Математика в школе. 1951. №6.
109. Дзюба Ф. Т. Из истории развития педагогических идей в России
// Математика в школе. 1953. №5.
110. Дифференциальное исчисление. Соч. Франкера, с переменамх и
прибавлениями / Пер. с франц. Д. М. Перевощикова. М., 1824.
609
111. Добровольский В. А. Даламбер. М.: Знание, 1968.
112. Доклады, читанные на 2-м Всероссийском Съезде преподавате-
лей математики в Москве. М., 1915.
113. Жураковский Г. Е. Из истории просвещения в дореволюционной
России. М., 1978.
114. Журнал Министерства народного просвещения. 1858, июль.
115. Журнал Министерства народного просвещения. 1862. Ч. СХШ,
отд. 1.
116. Загоскин Н.П. История Казанского университета. Казань, 1904.
117. Записка Н. И. Лобачевского об учебных заведениях Петербурга
// Материалы для биографии Н.И. Лобачевского / Собр. и ред.
Л. Б. Модзалевский. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
118. Записки княгини Дашковой. М., 1991.
119. Зубов В. П. Кто был автором анонимной рецензии на «Пангео-
метрию» Лобачевского в «Отечественных записках»? // ИМИ.
1956. Вып. IX.
120. Ильинский А. Н. Основания геометрии, составленные по системе
С. Б. Гурьева. СПб., 1825.
121. Искра-Перевалова Л. А. М. В. Ломоносов и математическое обра-
зование в России XVIII века // Математика в школе. 1961. №5.
122. Исторический очерк русских учебных руководств по математике
// Педагогический сборник. 1878, ноябрь.
123. Историческое обозрение II Кадетского корпуса. Спб., 1862.
124. История Академии наук СССР в 3 т. М.-Л.: Наука, 1964. Т. 2.
125. История Академии наук СССР в 3 т. М.-Л.: Наука, 1958. Т. 1.
126. История математического образования в СССР. Киев: Наукова
думка, 1975.
127. История отечественной математики в 4 т. Киев: Наукова думка,
1967. Т. 2.
128. История отечественной математики в 4 т. Киев: Наукова думка,
1966. Т. 1.
129. Катая В. Ф. Лобачевский. М.-Л., 1944.
130. Каган В. Ф. Н. И. Лобачевский // Очерки по геометрии. Изд-во
Моск, ун-та. 1963.
131. Каптерев П. Ф. Общеобразовательный школьный курс // Обра-
зование. 1901. № 12.
132. Касьянюк С. Дмитрий Матвеевич Перевощиков // Математика
в школе. 1953. № 1.
133. Кирпичников А. И. Былые знаменитости русской литературы //
Исторический вестник. 1887. №9.
134. Ключевский В. О. Курс русской истории в 9 т. М., 1989. Т. 4.
610
135. Козельский Я. П. Арифметические предложения. СПб., 1764.
136. Колбасин Е.Я. Литературные деятели прошлого времени. СПб.,
1859.
137. Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование.
М.: Просвещение, 2001.
138. Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование.
Орел, 1996.
139. Копелевич Ю. X. Эйлер — член Петербургской академии наук //
Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. М., 1988.
140. Костомаров Н. И. Русская история в жизнеописаниях ее главней-
ших деятелей в 2 кн. М., 1995. Кн. I, вып. I.
141. Котельников С. К, Слово о пользе упражнений в чистых мате-
матических рассуждениях. СПб., 1761.
142. Кропотов А. И., Марон И. А. М. В. Остроградский и его педаго-
гическое наследие. М.: Учпедгиз, 1961.
143. Кузнецов Б. Г, Ломоносов, Лобачевский, Менделеев. М.-Л., 1946.
144. Кузьмин Ф. Начала способа пределов и применение его к началам
геометрии. М., 1806.
145. Кузьмин Ф. Способ пределов и его употребление в геометрии. М.,
1804.
146. Кулябко Е. С. Педагогические воззрения Леонарда Эйлера //
Леонард Эйлер. М., 1958. С. 561.
147. Курилко П. Сборник задач по элементарному курсу гониометрии
и тригонометрии. Одесса, 1914.
148. Курс чистой математики. Соч. Франкера / Пер. с франц.
Д.М. Перевощикова и П.С. Щепкина. М., 1819. 4.1.
149. Панков А. В. К истории развития передовых идей в русской ме-
тодике математики. М.: Учпедгиз, 1951.
150. Латышев В. А. Геометрия в городских училищах // Русская шко-
ла. 1893. №3, 4.
151. Латышев В. А. Исторический очерк русских учебных руководств
по математике // Педагогический сборник. 1878, июль.
152. Латышев В. А. О преподавании алгебры в гимназиях // Русская
школа. 1893. №9, 10.
153. Латышев В. А. Опыт разработки программы геометрии для 2-
классных народных училищ // Русский Народный учитель. 1901.
№8, 9.
154. Лебединцев К. Ф. Метод обучения математике в старой и новой
школе // Математическое образование. 1912. №2.
611
155. Лебединцев К. Ф. Основные положения методики учения о функ-
циях и элементах анализа в школах II ступени / / Математика в
школе. 1983. №4.
156. Лебединцева Е. К. Константин Феофанович Лебединцев // Ма-
тематика в школе. 1983. №4.
157. Лежандр А, Основания геометрии. СПб., 1837.
158. Лекции г. Рахманова о дифференциальном исчислении. СПб.,
1810.
159. Лихолетов И. М., Яновская С. А. Из истории преподавания ма-
тематики в Московском университете (1804-1860 гг.) // ИМИ.
1955. Вып. VIII.
160. Лобачевский Н. И. Наставления учителям математики в гимна-
зиях // Тр. ин-та истории естествознания. 1948. Вып II.
161. Лобачевский Н. И. Научно-педагогическое наследие. Руководст-
во Казанским университетом. Фрагменты. Письма. / Отв. ред.
П. С. Александров и Б. Л. Лаптев. М.: Наука, 1976.
162. Лобачевский Н. И. Новые начала геометрии с полной теорией па-
раллельных. Харьков, 1912.
163. Лобачевский Н. И. О важнейших предметах воспитания // Ма-
тематика в школе. 1977. № 2.
164. Лобачевский Н. И. О началах геометрии // Об основаниях гео-
метрии. М.: Гостехиздат, 1956.
165. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. Поли. собр. соч. Т. 1. М.,
1946.
166. Лобачевский Н.И. Поли. собр. соч. М.-Л., 1949. Т. 2.
167. Лобачевский Н.И. Поли. собр. соч. М.-Л., 1948. Т.4.
168. Ломоносов М.В. Поли. собр. соч. в 11 т. М., 1956. Т. 9.
169. Ломоносов М.В. Поли. собр. соч. в 11 т. М., 1957. Т. 10.
170. Мазинг К. Геометрия и систематический подбор задач для сред-
них учебных заведений. М., 1879.
171. Майстров Л. Е. М.В. Ломоносов и «Арифметика» Л. Ф. Магниц-
кого // ИМИ. 1976. Вып. XXI.
172. Марон И. А., Погребысский И. Б. О педагогическом наследии
М.В. Остроградского // Михаил Васильевич Остроградский /
Под ред. И. Б. Погребысского и А. П. Юшкевича. М., 1961.
173. Математическое образование // Журнал Фонда математическо-
го образования и просвещения. 1997. № 1, апрель-июнь.
174. Материалы для биографии Н.И. Лобачевского. // Сост. и ред.
Л. Б. Модзалевский. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
175. Материалы для истории русского флота. Ч. XVII. СПб., 1904.
612
176. Материалы по реформе средней школы. Примерные програм-
мы и объяснительные записки, изданные по распоряжению
г. министра народного просвещения. СПб., 1915.
177. Метельский Н. В. Очерки истории методики математики. Минск:
Вышэйшая школа, 1968.
178. Методика и дидактика математики в средней школе. СПб., 1917.
179. Методика преподавания математики // Под общей ред. С. Е. Ля-
пина. 4.2. Л., 1956.
180. Милюков П. Н. Очерки по истории русской культуры в 3 т. М.,
1994. Т. 2. 4.2.
181. Минковский В. Л. К пятидесятилетию научно-педагогической де-
ятельности профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского // Матема-
тика в школе. 1949. №2.
182. Минковский В. Л. Методико-математические идеи Д. И. Писаре-
ва. ИМИ. 1966. Вып. XVIII.
183. Минковский В. Л. Педагогические идеи и деятельность академи-
ка А. А. Маркова // Математика в школе. 1952. №5.
184. Михаил Васильевич Остроградский / Под ред. И. Б. Погре-
бысского и А. П. Юшкевича. М., 1961.
185. Молодший В. Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX в.
М.: Учпедгиз, 1963.
186. Мордухай-Болтовской Д. Д. Второй Всероссийский съезд препо-
давателей математики. Варшава, 1914.
187. Мордухай-Болтовской Д. Д. Первый Всероссийский съезд препо-
давателей математики. Варшава, 1912.
188. Московская школа петровской эпохи // Москва в ее прошлом и
настоящем. Вып. 7.
189. Московские ведомости. 1834. №34, 35.
190. Мрочек В. Прямолинейная тригонометрия. 1908.
191. Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. Историчес-
кие и методические этюды. Т. 1. СПб., 1910.
192. Муравьев Н. Начальное основание математики. СПб., 1752.
193. Нагаева В. М. Педагогические взгляды и деятельность Н. И. Ло-
бачевского // ИМИ. 1950. Вып. III.
194. Назарьев С. В, К истории учебной литературы по геометрии //
Математика в школе. 1951. № 1.
195. Некрасов П. А. О цели и значении преподавания математики в
гимназиях // Физико-математический ежегодник. 1900.
196. Несторович Н, М. К 30-летию научной и педагогической деятель-
ности профессора Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовско-
го. Т. 3. Ростов н/Д.: Известия СКГУ, 1928.
613
197. Несторович Н. М. О работе Математического Семинария Вар-
шавского и Донского Университета. 1911-1924 гг. Т. 3. Ростов
н/Д: Известия СКГУ, 1928.
198. Николай Иванович Лобачевский // Сб. статей. М.-Л., 1943.
199. Ницше Ф. О пользе и вреде истории для жизни // Философия
истории. Антология. М.: Мысль, 1994.
200. Об основаниях геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.
201. Ожигова Е.П. Математика в Петербургской Академии наук. Л.:
Наука, 1980.
202. Осиповский Т. Ф. Курс математики. Т. 1. СПб., 1802.
203. Осиповский Т. Ф. Курс математики. Т. 2. СПб., 1820.
204. Осиповский Т. Ф. Курс математики. Т. 3. СПб., 1823.
205. Основания алгебры. Соч. Лакруа / Пер. с франц. Д. М. Пере-
вощикова. М., 1837.
206. Основания прямолинейной и сферической тригонометрии и при-
ложение алгебры к геометрии / Пер. с франц. Д. М. Перевощи-
кова. М., 1835.
207. Острогорский А. Н. Избранные педагогические сочинения. М.:
Педагогика, 1985.
208. Острогорский А. Н. Ф. И. Симашко // Пед. сборник. 1892, но-
ябрь.
209. Отечественные записки: Библиографическая хроника. 1841.
T.XIX.
210. Отечественные записки. 1847. Т. XXI.
211. Отправка молодых педагогов за границу в 1816 г. // Русская ста-
рина. 1880. Т. XXIX.
212. Отчет о деятельности Педагогического общества, состоящего
при Московском университете, за 1900-1901 гг. М., 1902.
213. Отчет по Гатчинскому сиротскому институту за 1848/49 уч. год.
СПб., 1849.
214. Очерки по геометрии. Изд-во Моск, ун-та, 1963.
215. Павленко Н.И. Петр Великий. М., 1990. С. 109.
216. Павлов И. П. Полное собрание трудов. Т. V. М.-Л., 1949.
217. Павлова Г. Е. Степан Яковлевич Румовский. М., 1979.
218. Паначин Ф.Г. Педагогическое образование в России. М., 1979.
219. Паульсон И. И. Арифметика по способу Грубе. СПб., 1861.
220. Педагогическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1964.
Т.1.
221. Педагогическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1968.
Т.4.
222. Педагогический сборник. 1868, июль.
6Ц__________________________________________________________
223. Педагогический сборник. 1875, июль.
224. Пекарский П. П. Наука и литература в России при Петре Вели-
ком. СПб., 1862.
225. Пекарский П. П. История Императорской Академии наук в 2 т.
СПб., 1870. Т. 1.
226. Первая в России ланкастерская школа // Исторический вестник.
1887, сентябрь.
227. Перевощиков Д. М. Арифметика для начинающих. М., 1820.
228. Перевощиков Д, М. Гимназический курс чистой математики.
Ч. II. Основания алгебры. М., 1837.
229. Перевощиков Д. М. Основания алгебры. М., 1854.
230. Перевощиков Д, М. Ручная математическая энциклопедия в 13 т.
М., 1826-1837.
231. Перевощиков Д. М. Труды Ломоносова по физике и физической
географии // Радуга. 1865, апрель.
232. Периодические сочинения о успехах просвещения в России. СПб.,
1809. Т. XXII.
233. Писарев Д. И. Подробный конспект преподавания первоначаль-
ной математики малолетним детям П. Гурьева // Избранные пе-
дагогические высказывания. М., 1938.
234. Писарев Д. И. Наша университетская наука. Соч. в 4 т. Т. 2. М.,
1955.
235. Писарев Д.И. Школа и жизнь // Избранные педагогические вы-
сказывания. М., 1938.
236. Пиии И. Опыт о просвещении относительно к России. СПб., 1804.
237. Подготовка III Всероссийского съезда преподавателей математи-
ки // Математический вести. 1917. №2, 3.
238. Полякова Т. С. История отечественного школьного математичес-
кого образования. Два века. Кн. I: Век восемнадцатый. Ростов-
на-Дону: Изд-во РГПУ, 1997.
239. Полякова Т. С. История отечественного школьного математичес-
кого образования. Два века. Кн. II: Век девятнадцатый. Первая
половина. Ростов-на-Дону: Изд-во РГПУ, 2001.
240. Полов А. Ф. Воспоминания о службе и трудах Казанского универ-
ситета Н. И. Лобачевского // Уч. зап. Каз. ун-та. Кн. IV. Казань,
1857.
241. Поссе К. А. О согласовании программ в средней и высшей шко-
лах // Тр. 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей матема-
тики. СПб., 1913.
242. Поссе К. А. Пафнутий Львович Чебышев // Венгеров С. А.
Критико-биографический словарь. СПб., 1897-1904. Т. VI.
615
243. Похвальная речь Эйлеру Николая Фусса // Развитие идей Лео-
нарда Эйлера и современная наука. М., 1988.
244. Пржевальский Е. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 3.
1884.
245. Протокол XIII собрания // Пед. сборник. 1887, февраль.
246. Протокол заседаний преподавателей математики средних учеб-
ных заведений, 5 марта 1887 г. // Пед. сборник. 1887. №1-12.
247. Протоколы Академии наук. Т. 4. СПб., 1911.
248. Прудников В. Е. О русских учебниках математики для средних
школ в XIX в. // Математика в школе. 1954. №3.
249. Прудников В. Е. П. Л. Чебышев и Московский университет 40-х
годов XIX в. // ИМИ. 1948. Вып. 1.
250. Прудников В. Е. Пафнутий Львович Чебышев. М.: Учпедгиз,
1950.
251. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIXb. М.:
Учпедгиз, 1956.
252. Пятидесятилетний юбилей 3-й петербургской гимназии // Журн.
министерства народного просвещения 1873, февраль.
253. Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. М., 1988.
254. Райков Б. Е. Очерки по истории гелиоцентрического мировоззре-
ния в России. М.-Л., 1937.
255. Райковский С. И. Начальные основания геометрии. СПб., 1827.
256. Рахманов П. А. Опыт о различных теориях дифференциального
исчисления и о сравнении оных. СПб., 1812.
257. Рахманов П. А. Собрание сочинений. СПб. 1807. Ч. 1.
258. Река времен. Книга истории и культуры. М.: Эллен Лак, 1995.
Т.1.
259. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. М.: Уч-
педгиз, 1958.
260. Речь председателя Организационного Комитета проф. Б. К.
Млодзеевского при открытии 2-го Всероссийского Съезда пре-
подавателей математики // Доклады, читанные на 2-м Всерос-
сийском съезде преподавателей математики в Москве. М., 1915.
261. Рождественский С. В. Исторический обзор деятельности Минис-
терства народного просвещения. СПб., 1902.
262. Розальон-Рошальский П. Мои воспоминания // Харьковские гу-
бернские ведомости. 1869. № 93, 95.
263. Румовский С. Я. Речь, говоренная при первом собрании, бывшем
в гимназии чужестранных одноверцев, 1777 года марта 15 дня //
Новые ежемесячные сочинения. Ч. XVI. 1787, октябрь.
264. Румовский С. Я. Сокращения математики. 4.1. СПб., 1760.
616
265. Русская школа. 1903. № 5, 6.
266. Рыбкин Г, Ф. Материализм — основная черта мировоззрения
Н.И. Лобачевского // ИМИ. 1950. Вып.III.
267. Рыбкин Г. Ф., Федоренко Б. В. Геттингенское общество наук и
Н.И. Лобачевский // ИМИ. 1956. Вып.IX.
268. Рыбкин Н. Учебник прямолинейной тригонометрии.
269. Рыбников К. А. Виктор Викторович Бобынин // ИМИ. 1950.
Вып. III.
270. Савельев А. Исторический очерк инженерного управления в Рос-
сии. СПб., 1879.
271. Садовничий В. А. Математическое образование: настоящее и бу-
дущее // Доклад на Всероссийской конференции «Математика
и общество. Математическое образование на рубеже веков». М.,
2000.
272. Сафуанов И. С. Теория и практика преподавания математичес-
ких дисциплин в педагогических институтах. Уфа: Магрифат,
1999.
273. Сборник распоряжений по министерству народного просвещения
(1802-1834). Т. 1. СПб., 1886.
274. Сборник распоряжений по Министерству народного просвеще-
ния. Т.4. СПб., 1886.
275. Сборник статей в помощь самообразованию по математике, фи-
зике, химии и астрономии. Вып. I. 1898.
276. Себржинский В. И. Основания алгебры. СПб., 1820.
277. Симашко Ф. Тригонометрия. 1900.
278. Симонов И. С. «Педагогический сборник» за 50 лет. Пг., 1914.
279. Симонов Р. А. Борьба Т. Ф. Осиповского против мистики в мате-
матике // Математика в школе. 1955. №5.
280. Симонов Р. А. Первые русские математические журналы — но-
сители прогрессивных методических идей / / Математика в шко-
ле. 1955. №3.
281. Синцов Д. О подготовке преподавателей математики // Докла-
ды, читанные на 2-м Всероссийском Съезде преподавателей ма-
тематики в Москве. М., 1915.
282. Систематический указатель статей, напечатанных в неофици-
альной части «Педагогического сборника» за 50 лет (1864-1914)
/ Сост. С. А. Переселенков. Пг., 1915.
283. Слетов. Прямолинейная тригонометрия. 1915.
284. Снигирев В. Т., Чекмарев Я.Ю. Методика арифметики. М.: Уч-
педгиз, 1938.
________________________________________________________617
285. Солженицын А. И. «Русский вопрос» к концу XX в. М.: Голос,
1995.
286. Соловейчик С. Час ученичества. М.: Детская литература, 1986.
287. Соловьев С.М. Соч. в 18 кн. М., 1993. Кн. VIII, т. XV.
288. Сомов О. И. Очерки жизни М. В. Остроградского // Записки Им-
ператорской Академии наук. 1863. Кн. I, т. III.
289. Сочинения кн. Кантемира. СПб., 1831. С. 106.
290. Струве В. Б, К вопросу о согласовании программ математики
в средней и высшей школе // Тр. 1-го Всероссийского Съезда
Преподавателей математики. СПб., 1913.
291. Суворов П., Никитин Н. Тригонометрии две книги. 1787.
292. Сухомлинов М.И. История Российской Академии. СПб., 1846.
293. Сухомлинов М. И. Материалы для истории образования в России
// Русская старина. 1865, октябрь.
294. Сухомлинов М. И. Материалы для истории образования в России
в царствование императора Александра I // Журн. министерст-
ва народного просвещения. 1865. Ч. 128.
295. Сушкевич А. К. Материалы к истории алгебры в России в XIX в.
и в начале XX в. // ИМИ. 1951. Вып. IV.
296. Сферическая тригонометрия. Соч. Франкера / Пер. с франц.
Д.М. Перевощикова. М., 1825.
297. Тихомандрицкий А.Н, Начальная алгебра. СПб., 1855.
298. Толстой Л. Н. Педагогические сочинения. М.: Изд-во АПН
РСФСР, 1948.
299. Торопов К. А. Курс прямолинейной тригонометрии. Пермь, 1894.
300. Три века. Россия от смуты до нашего времени. М., 1992.
301. Тр. 1-го Всероссийского Съезда Преподавателей математики.
СПб., 1913.
302. Умнов М. Николай Алексеевич Любимов // Журн. министерства
народного просвещения. 1897, июль.
303. Умозрительные исследования. 1810. Т. 2.
304. Учебный математический журнал. Ревель, 1833. Ч. 1.
305. Учебный математический журнал. Ревель, 1834. Ч. 1.
306. Учебный математический журнал. Ревель, 1834. Ч. 2.
307. Уч. зап. Казанского императорского университета. 1835. Кн. I.
С. 3-88.
308. Уч. зап. Казанского императорского университета. 1835. Кн. III.
С. 3-48; 1836. Кн.П. С. 3-98; Кн.Ш. С. 3-50; 1837. Кн.1. С. 3-97;
1838. Кн.1. С.3-124; Кн.Ш. С.3-65.
309. Фель С. Е. Петровская геометрия // Тр. ин-та истории естество-
знания. 1953. Т. 4.
618
310. Физико-математический факультет Харьковского университета
за первые 100 лет существования / Под ред. И. П. Осипова,
Д. И. Багалея. Харьков, 1908.
311. Филиппович Ф. В. Постановка преподавания начал анализа в
средней школе // Тр. 1-го Всероссийского Съезда Преподавате-
лей математики. СПб., 1913.
312. Фусс Н. Начальные основания чистой математики. СПб, 1812.
Ч.Ш.
313. Хармац А. Г. Создание Л. Эйлером учебника арифметики нового
типа с повышенной в нем ролью теории // Уч. зап. МОПИ. 1968.
Т. 202, вып. 6.
314. Харт М. Сто великих людей. М.: Вече, 2000.
315. Хилькевич Э. К. Из истории распространения и развития идей
Н.И. Лобачевского в 60-70-х годах XIX столетия // ИМИ. 1949.
Вып. II.
316. Хичий О. Р. Об авторстве первого учебника арифметики //
ИМИ. 1957. Вып.Х.
317. Хрестоматия по истории педагогики. М.: Учпедгиз, 1938.
318. Христофоров А. Очерки из истории Симбирской губернской гим-
назии // Симбирские губернские ведомости. 1875. № 21, 22.
319. Чаев Н. Отрывки из воспоминаний // Русское обозрение. 1895.
Т. 38.
320. Чебышев П. Л. Полное собр. соч. М., 1951.
321. Черкасов Р. С. История отечественного школьного математичес-
кого образования // Математика в школе. 1997. № 2.
322. Чернышевский Н. Г. Поли. собр. соч. СПб., 1906. Т. 1.
323. Чириков Г. С. Тимофей Федорович Осиповский — ректор Харь-
ковского университета // Русская старина. 1876, ноябрь.
324. Чистович И. История Петербургской духовной академии. СПб.,
1857.
325. Чистяков И.И. Первый Всероссийский съезд преподавателей ма-
тематики // Математическое образование. 1912. № 2.
326. Чичигин В. Г. Методика преподавания тригонометрии. М.: Уч-
педгиз, 1954.
327. Шапошников Н. Курс прямолинейной тригонометрии. 1918.
328. Шевырев С. История Московского университета. М., 1855.
329. Шереметевский В. П. Математика как наука, и ее школьные сур-
рогаты // Русская мысль. 1895. Кн. 5.
330. Шидловский В. Курс прямолинейной тригонометрии, приспособ-
ленный к первому ознакомлению с этим предметом. 1909.
331. Шифф В. Прямолинейная тригонометрия. Изд. 2. 1910.
619
332. Шмид У. История средних учебных заведений в России. СПб.,
1878.
333. Шохор-Троцкий С. И. Авторитетное слово в области методики
математики // Русская школа. 1893. №1.
334. Шохор-Троцкий С. И. Методика начальной арифметики. Ч. 1.
1898.
335. Шохор-Троцкий С. И. Цель и средства преподавания математики
с точки зрения требований общего образования. СПб., 1893.
336. Шохор-Троцкий С. И. Чему и как учить на уроках арифметики
// Русская школа. 1894, январь, февраль, март.
337. Щелков И. П. Из истории Харьковского университета // Журн.
министерства народного просвещения. 1890, октябрь.
338. Щербина К. М. Математика в русской средней школе. Киев, 1908.
339. Юшкевич А. П. История математики в России. М., 1968.
340. Юшкевич А. П. Математика в Московском университете за пер-
вые сто лет // ИМИ. 1948. Вып. 1.
341. Юшкевич А.П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1947. №6.
342. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1948. № 1.
343. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1948. № 3.
344. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1949. №3.
345. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1947. № 2.
346. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1948. № 2.
347. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1948. № 6.
348. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1947. № 4.
349. Юшкевич А. П. Математика и ее преподавание в России. XVII-
XIX вв. // Математика в школе. 1947. № 3.
350. Юшкевич А. П. Эйлер и математическое просвещение в России
// Математика в школе. 1983. № 5.
351. Юшкевич А.П., Башмакова И. Г. «Алгебра или вычисление ко-
нечных» Н.И. Лобачевского // ИМИ. 1949.
352. Якунин П. Ф. О деятельности Н. И. Лобачевского в области на-
родного просвещения // ИМИ. 1956. Вып. IX.
620
353. Янишевский Э. П. Из воспоминаний старого казанского студен-
та. Казань, 1893.
354. Янош Боль&и. Appendix. // Серия «Классики естествознания».
М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
355. Auszug aus den Aufangsgrunden filtr Mathematischen Wissen-
schaften. Halle, 1713.
356. Besout E. Cours des mathematiques a 1’usage de la marine et de
rartillerie. Paris, 1770.
357. Eloge de Monsieur Euler. St.-Petersbourg, 1783.
358. Euler L. Vollstandige Anleitung zur Algebra. SPb., 1770.
359. Geometric imaginaire // Crelles Journal. 1837. T. 17. P. 295.
360. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallel-Linien.
Berlin, 1840.
361. Lacroix S. Elements de geometric a 1’usage del’ekole centrale des
quatre nations. Paris, 1798.
362. Lacroix S. Essay sur 1‘enseignement tu general et celui des mathema-
tiques en particulier. Paris, 1805.
363. Legandr A. Elements de geometric. Paris, 1794.
621
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие научного редактора.......................4
Предисловие автора...................................8
Московский университет и развитие гимназического
математического образования в Российской империи....13
Часть I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ в XVIII в......................33
1. Математическое образование в эпоху Петра I................34
1.1. Математическое образование в структуре российских
образовательных систем эпохи Петра 1...............34
1.1.1. Образование как приоритетный ресурс
реформирования России...........................34
1.1.2. Математическое образование
в основных образовательных системах I четверти XVIII в.37
1.2. Учебные математические книги эпохи Петра I....57
1.2.1. Зарождение отечественной печатной учебной
математической литературы.......................57
1.2.2. «Арифметика» Л. Ф. Магницкого............59
1.2.3. Методические особенности «Арифметики» Магницкого. 71
1.2.4. Другая учебная математическая литература
петровской эпохи................................78
2. Л. Эйлер и математическое образование в России............85
2.1. Математическое образование в российской академической
образовательной системе во II четверти XVIII — начале XIX в.. 85
2.1.1. Математическое образование в гимназии
при С.-Петербургской Академии наук..............86
2.1.2. Учебники математики для академической гимназии.... 102
2.2. Методическая школа Леонарда Эйлера...............118
2.2.1. Роль учеников и последователей Эйлера
в развитии отечественного математического образования.119
2.2.2. Учебники эйлеровской методической школы.....149
3. Математическое образование в структуре
российских образовательных систем II половины XVIII в.1вв
3.1. Образовательная ситуация в России в середине XVIII в. ... 166
3.2. Математическое образование
в профессиональных учебных заведениях II половины XVIII в.. 169
3.3. Математическое образование в Московском университете . 182
3.4. Учебники математики для - Московского университета
Д. С. Аничкова........................................190
3.5. Математическое образование в системе народных училищ 197
622 Оглавление
Часть II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ в XIX — начале XX в...............207
1. Отечественное математическое образование
в I четверти XIX в.....................................208
1.1. На рубеже XVIII-XIX вв.: зарождение отечественной
методики преподавания математики как науки...........208
1.1.1. Предыстория развития отечественной методики
преподавания математики как науки:
функционирование методических идей в XVIII в.......209
1.1.2. Осознание методических проблем
в качестве приоритетного ресурса
развития математического образования...............212
1.1.3. Развитие методико-математических идей
в творчестве С. Е. Гурьева.........................219
1.1.4. Учебная и методическая литература, созданная
С. Е. Гурьевым для нужд школьного обучения математике .. 223
1.1.5. Научно-методическая школа С. Е. Гурьева.....228
1.2. Математическое образование в I четверти XIX в...237
1.2.1. Математическое образование
в период образовательных реформ начала XIX в.......237
1.2.2. Учебники математики первой четверти XIX в......253
2. Отечественное математическое образование
во II четверти XIX в................................. 262
2.1. Математическое образование
в конце 20-х — начале 30-х гг. XIX в.................263
2.1.1. Математическое образование в России
в период образовательных реформ
конца 20-х — начала 30-х гг. XIX в.................263
2.1.2. Учебная и периодическая методическая
литература конца 20-х — начала 30-х гг. XIX в......271
2.2. Математическое образование
в 30-х — начале 50-х гг. XIX в.......................284
2.2.1. Математическое образование в России
30-х — начала 50-х гг. XIX в.......................284
2.2.2. Отечественные учебники математики
во II половине 30-х и в 40-х гг. XIX в.............294
2.2.3. Отечественная методика преподавания
арифметики в 30-40-х гг. XIX в.:
методические труды П. С. Гурьева и В. Я. Буняковского.303
2.3. Н. И. Лобачевский
и гимназическое математическое образование в России.....311
623
3. Отечественное математическое образование
во II половине XIX — начале XX в......................333
3.1. Математическое образование гимназического уровня
во II половине XIX — начале XX в....................333
3.1.1. Математическое образование в российской средней
школе II половины 50-х и 60-х гг. XIX в...........333
3.1.2. Реформа математического образования в России
в 70-х гг. XIX в..................................339
3.1.3. Математическое образование в русской средней
школе конца XIX — начала XX в.....................343
3.2. Движение за реформу отечественной классической модели
системы школьного математического образования.......355
3.2.1. Классическая система школьного
математического образования и ее российская модель..355
3.2.2. Движение за реформу математического
образования в России на рубеже XIX-XX вв..........357
3.2.3. Всероссийские съезды преподавателей
математики 1911-1914 гг...........................361
3.3. Методическая литература
II половины XIX — начала XX в.......................374
3.3.1. Периодические издания для учителей математики
II половины XIX — начала XX в...................374
3.3.2. Методика преподавания математики в России
II половины XIX — начала XX в.....................389
3.4. Учебники математики отечественной гимназии
II половины XIX — начала XX в.......................429
3.4.1. Учебники арифметики........................432
3.4.2. Учебники геометрии.........................439
3.4.3. Учебники алгебры...........................445
3.4.4. Учебники тригонометрии.....................458
3.4.5. Классический комплект учебников для гимназий.466
Часть III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В РОССИИ В ЛИЦАХ: XVIII — начало XX в.................469
Феофан Прокопович.................................470
Андрей Данилович Фарварсон........................472
Леонтий Филиппович Магницкий......................474
Яков Вилимович Брюс...............................479
Христиан Вольф....................................481
Леонард Эйлер.....................................483
Георг Вольфганг Крафт.............................486
Николай Гаврилович Курганов.......................487
624 Оглавление
Семен Кириллович Котельников.......................489
Степан Яковлевич Румовский.........................492
Михаил Евсеевич Головин............................495
Николай Иванович Фусс..............................498
Дмитрий Сергеевич Аничков..........................501
Семен Емельянович Гурьев...........................503
Тимофей Федорович Осиповский.......................508
Федор Иванович Буссе...............................514
Дмитрий Матвеевич Перевощиков......................518
Петр Семенович Гурьев..............................528
Виктор Яковлевич Буняковский.......................532
Николай Иванович Лобачевский.......................540
Михаил Васильевич Остроградский....................553
Франц Иванович Симашко.............................557
Пафнутий Львович Чебышев...........................560
Август Юльевич Давидов.............................563
Александр Федорович Малинин........................566
Василий Андрианович Евтушевский....................569
Александр Иванович Гольденберг.....................572
Александр Николаевич Страннолюбский................574
Алексей Николаевич Острогорский....................577
Виктор Викторович Бобынин..........................580
Василий Алексеевич Латышев.........................583
Николай Александрович Шапошников...................585
Андрей Петрович Киселев............................588
Семен Ильич Шохор-Троцкий..........................591
Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской.............594
Константин Феофанович Лебединцев...................598
Послесловие.......................................... 602
Литература.............................................604